Metallfedern: Grundlagen, Werkstoffe, Berechnung, Gestaltung und Rechnereinsatz, 2.Auflage

Manfred Meissner · Hans-Jürgen Schorcht Metallfedern

Manfred Meissner · Hans-Jürgen Schorcht

Metallfedern Grundlagen, Werkstoffe, Berechnung, Gestaltung und Rechnereinsatz Unter Mitarbeit von Klaus Wanke 2., ergänzte Auflage

Mit 338 Abbildungen und 90 Tabellen

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Dr.-Ing. habil. Manfred Meissner Dozent für Maschinenelemente i. R. Dr.-Ing. habil. Hans-Jürgen Schorcht Universitätsprofessor für Maschinenelemente i. R. Technische Universität Ilmenau Fakultät für Maschinenbau 98684 Ilmenau [email protected] Dipl.-Ing. Klaus Wanke Mitarbeiter der Fa. Scherdel, Marktredwitz Am Laubengang 12 09116 Chemnitz [email protected] Bibliografische Information der Deutschen Bibliothek Die Deutsche Bibliothek verzeichnet diese Publikation in der Deutschen Nationalbibliografie; detaillierte bibliografische Daten sind im Internet über http://dnb.ddb.de abrufbar. Ursprünglich erschienen als Band 41 in der Reihe: Konstruktionsbücher

ISBN 978-3-540-49868-1 Springer Berlin Heidelberg New York ISBN 978-3-540-55892-7 1. Aufl. Springer Berlin Heidelberg New York Dieses Werk ist urheberrechtlich geschützt. Die dadurch begründeten Rechte, insbesondere die der Übersetzung, des Nachdrucks, des Vortrags, der Entnahme von Abbildungen und Tabellen, der Funksendung, der Mikroverfilmung oder der Vervielfältigung auf anderen Wegen und der Speicherung in Datenverarbeitungsanlagen, bleiben, auch bei nur auszugsweiser Verwertung, vorbehalten. Eine Vervielfältigung dieses Werkes oder von Teilen dieses Werkes ist auch im Einzelfall nur in den Grenzen der gesetzlichen Bestimmungen des Urheberrechtsgesetzes der Bundesrepublik Deutschland vom 9. September 1965 in der jeweils geltenden Fassung zulässig. Sie ist grundsätzlich vergütungspflichtig. Zuwiderhandlungen unterliegen den Strafbestimmungen des Urheberrechtsgesetzes. Springer ist ein Unternehmen von Springer Science+Business Media springer.de © Springer-Verlag Berlin Heidelberg 1996, 2007 Die Wiedergabe von Gebrauchsnamen, Handelsnamen, Warenbezeichnungen usw. in diesem Buch berechtigt auch ohne besondere Kennzeichnung nicht zu der Annahme, dass solche Namen im Sinne der Warenzeichen- und Markenschutz-Gesetzgebung als frei zu betrachten wären und daher von jedermann benutzt werden dürften. Sollte in diesem Werk direkt oder indirekt auf Gesetze, Vorschriften oder Richtlinien (z. B. DIN, VDI, VDE) Bezug genommen oder aus ihnen zitiert worden sein, so kann der Verlag keine Gewähr für die Richtigkeit, Vollständigkeit oder Aktualität übernehmen. Es empfiehlt sich, gegebenenfalls für die eigenen Arbeiten die vollständigen Vorschriften oder Richtlinien in der jeweils gültigen Fassung hinzuzuziehen. Satz: Digitale Druckvorlage der Autoren Herstellung: LE-TEX, Jelonek, Schmidt & Vöckler GbR, Leipzig Umschlaggestaltung: WMXDesign, Heidelberg Gedruckt auf säurefreiem Papier 68/3180 YL – 5 4 3 2 1 0

Vorwort

Für den Entwurf und die Gestaltung von Metallfedern als ein wesentlicher Teil der Federntechnik sind neben Auslegungsrechnungen vor allem Werkstoff- und Herstellungskenntnisse von Bedeutung. Metallische Werkstoffe werden hauptsächlich in den Halbzeugformen Stab, Draht und Band zu Federn verarbeitet. Aus funktionellen und oft auch konstruktiven Gründen sind verschiedenartige Federformen gebräuchlich. Berechnungsgrundlagen und -verfahren für viele Grundformen sind seit Jahrzehnten Stand der Technik und in Normen verankert. Von diesen Feststellungen ausgehend, sind in dieses Buch sowohl dem gegenwärtigen Stand der Technik entsprechende Auslegungsrechnungen für zahlreiche Metallfederformen, die grundlegenden Herstellungsverfahren einschließlich der für die Federntechnik bedeutsamen Werkstoffbehandlungen (Wärmebehandlungen, Oberflächenbehandlungen) und ihre Auswirkungen auf die Funktion der Feder als auch verschiedene konstruktive Aspekte des Einsatzes der Federn aufgenommen worden. Auch werden eine Reihe Spezialanwendungen, Fragen des dynamischen Verhaltens, der Rechentechnik und vieler konstruktiver Anwendungen mindestens im Grundsätzlichen angesprochen. Die aufgenommenen Berechnungs- und Konstruktionsbeispiele sollen Anregungen für den Federentwurf (insbesondere bei Neukonstruktionen) vermitteln. Sowohl dem in der Produktentwicklung, Produktanwendung sowie dem in der Forschung tätigem Ingenieur als auch dem Studierenden an Technischen Universitäten und Hochschulen soll mit dieser Publikation eine zusammenfassende Darstellung der vielfältigen technischen Disziplinen nahegebracht werden, die beim Federentwurf zusammenwirken und demzufolge gebührend zu beachten sind. Neben dem Herausgeber, Herrn em. Prof. Dr.-Ing. Dr. h. c. mult. Gerhard Pahl, haben uns viele Kollegen aus Theorie und Praxis mit Hinweisen, Anregungen und Beiträgen unterstützt, wofür wir uns an dieser Stelle vielmals bedanken möchten. Ganz besonderer Dank gilt Herrn Dipl.-Ing. Klaus Wanke, Mitarbeiter für Service, Berechnung und Anwendung der Firma Technische Federn S. Scherdel GmbH Marktredwitz, für zahlreiche Beiträge und umfassende Beratung. Viele Federfirmen stellten uns ihre Firmenschriften und Kataloge zur Verfügung. Auch dafür vielen Dank. Bei

VI

Vorwort

der Erstellung der zahlreichen Zeichnungen sowie bei der Gestaltung und Durchsicht des Manuskripts haben uns viele Mitarbeiterinnen und Mitarbeiter unseres Instituts unterstützt. Besonders danken möchten wir Frau Dr.-Ing. Gunhild Chilian, Frau Dipl.-Ing. Veronika Geinitz, Frau Renate Heß, Herrn Dipl.-Ing. Ulf Kletzin, Frau Heidi König und Herrn Dipl.-Ing. Steffen Lutz. Dank auch dem Verlag, der uns durch Herrn Dipl.-Ing. Thomas Lehnert bei der Abfassung und Gestaltung der Druckvorlagen vielfältig unterstützte. Ilmenau, im Mai 1996

Manfred Meissner

Hans-Jürgen Schorcht

Vorwort

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Vorwort zur 2. überarbeiteten Auflage

Obwohl die Berechnung und auch teilweise die Gestaltung von Federn in den letzten Jahren in zunehmendem Maße in die federherstellenden Betriebe verlagert wurden, gibt es ein ungebrochenes Interesse an einer geschlossenen Darstellung der Behandlung von Federn, in der neben den Auslegungsrechnungen auch werkstofftechnische und fertigungstechnische Grundlagenkenntnisse vermittelt werden. Das zeigt die große Nachfrage bei den Autoren zu den Möglichkeiten des Bezuges dieses Buches. Daher entstand der Entschluss zur Herausgabe einer 2. Auflage. Die Umstellung verschiedener Normen aus dem Bereich der Federn und der Federwerkstoffe auf Europa-Normen (EN) machte neben der Fehlerbeseitigung auch eine umfassende Überarbeitung der Normenangaben und einiger Werkstoffbezeichnungen erforderlich. Gegenüber der 1. Auflage sind auch einige Bilder neu gezeichnet worden. In Kapitel 8 wurden Ergebnisse neuerer Forschungsprojekte ausgewertet, die in dem seit 1962 am Institut für Maschinenelemente der TU Ilmenau bestehenden Forschungslabor für Federn und Federntechnik durchgeführt wurden. Die Autoren möchten sich an dieser Stelle bei den Mitarbeitern der Forschungsgruppe Federn und bei allen Firmen und Einrichtungen der Federnindustrie bedanken, die diese Forschungsprojekte seit Erscheinen der 1. Auflage dieses Buches in vielfältiger Weise unterstützt haben. Die Autoren bedanken sich vor allem bei Frau Heidi König, die die Überarbeitung der Bilder übernommen hat, sowie bei Frau Dr.-Ing. Gunhild Chilian und Herrn Dr.-Ing. Kersten Liebermann für die technische Beratung und Unterstützung. Unser Dank gilt auch Herrn Prof. Dr.-Ing. Ulf Kletzin für seine Mitarbeit am Kapitel 8 und dem Verlag, der uns wieder durch Herrn Dipl.-Ing. Thomas Lehnert sowie Herrn Dipl.-Ing. Boris Gebhardt bei der Umgestaltung der Druckvorlagen zur Seite stand. Ilmenau, im Februar 2007

Manfred Meissner Hans-Jürgen Schorcht

Inhaltsverzeichnis

Beitragsverzeichnis ...............................................................................XIV Formelzeichen ........................................................................................ XV Lateinische Buchstaben .................................................................. XV Griechische Buchstaben ............................................................. XXIV Häufig verwendete Indizes ........................................................XXVII Normen-Vergleichstabelle..............................................................XXVIII 1 Einleitung................................................................................................ 1 1.1 Entwicklung der Federntechnik........................................................ 1 1.2 Das Maschinenelement Feder........................................................... 2 1.2.1 Konstruktionsmethodische Aspekte des Federentwurfs ............ 2 1.2.2 Einteilung und Einsatzgebiete ................................................... 3 1.2.3 Anforderungen an Berechnung, Gestaltung und Auswahl ........ 4 1.2.4 Anforderungen an Werkstoff, Fertigung und Prüfung............... 5 2 Grundlagen............................................................................................. 7 2.1 Federentwurf..................................................................................... 7 2.1.1 Federungsverhalten.................................................................... 7 2.1.2 Federberechnung ..................................................................... 11 2.1.3 Federsysteme ........................................................................... 18 2.1.4 Berechnungshilfen und Federoptimierung .............................. 21 2.2 Einfluss der Herstellung auf die Federfunktion.............................. 24 2.2.1. Kaltformgebung...................................................................... 24 2.2.2 Warmformgebung.................................................................... 27 2.2.3 Wärmebehandlung................................................................... 29 2.2.4 Randschichtverfestigung durch Kugelstrahlen ........................ 36 2.2.5 Plastizieren (Vorsetzen)........................................................... 39 2.2.6 Oberflächenbehandlung........................................................... 44 2.2.7 Fertigungstechnische Hinweise zum Federentwurf................. 45

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Inhaltsverzeichnis

2.3 Federprüfung .................................................................................. 47 2.3.1 Einflüsse auf die Funktionswerte der Federn .......................... 47 2.3.2 Prüfen der Federkennwerte...................................................... 48 2.3.3 Werkstoff- und Lebensdauerprüfungen................................... 49 2.3.4 Ermittlung von Elastizitäts- und Gleitmodul........................... 49 2.4 Normen für Federn und Federwerkstoffe ....................................... 51 3 Werkstoffe ............................................................................................ 53 3.1 Anforderungen, Einteilung und Werkstoffwahl ............................. 53 3.1.1 Anforderungen......................................................................... 53 3.1.2 Einteilung ................................................................................ 54 3.1.3 Werkstoffauswahl.................................................................... 55 3.2 Werkstoffarten ................................................................................ 55 3.2.1 Federstähle............................................................................... 55 3.2.2. Nichteisenmetalle ................................................................... 64 3.2.3 Sonderwerkstoffe..................................................................... 66 3.3 Einflüsse auf das Federungsverhalten von Metallfedern................ 69 3.3.1 Entstehen und Wirken von Eigenspannungen ......................... 69 3.3.2 Kriechen und Relaxation [3.32]............................................... 73 3.3.3 Einfluss der Arbeitstemperatur................................................ 76 3.3.4 Einflüsse auf die Dauerschwingfestigkeit ............................... 83 3.4 Werkstoffdaten für den Entwurf..................................................... 85 4 Berechnungsgrundlagen für Einzelfedern......................................... 89 4.1 Zug- und druckbeanspruchte Federn .............................................. 89 4.1.1 Zugstabfedern .......................................................................... 89 4.1.2 Ringfeder® ............................................................................... 90 4.2 Biegebeanspruchte Federn.............................................................. 99 4.2.1 Gerade Biegefedern (Biegestabfedern) ................................. 100 4.2.2 Gekrümmte Biegefedern........................................................ 104 4.2.3 Gewundene Biegefedern........................................................ 108 4.2.4 Scheibenförmige Biegefedern ............................................... 115 4.2.5 Berechnungsbeispiele ............................................................ 124 4.3 Torsionsbeanspruchte Federn ....................................................... 131 4.3.1 Drehstabfedern ...................................................................... 131 4.3.2 Schraubendruckfedern zylindrischer Form............................ 137 4.3.3 Schraubenzugfedern zylindrischer Form............................... 150 4.3.4 Schraubenfedersonderformen ................................................ 155 4.3.5 Berechnungsbeispiele ............................................................ 168

Inhaltverzeichnis

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5 Entwurf von Federanordnungen ...................................................... 183 5.1 Geschichtete Anordnung von Einzelfedern .................................. 183 5.1.1 Geschichtete Blattfedern........................................................ 183 5.1.2 Anwendungen der Ringfeder® ............................................... 188 5.1.3 Tellerfedersäulen ................................................................... 193 5.2 Federsätze ..................................................................................... 197 5.3 Federn und Anordnungen für konstante Kräfte und Momente .... 198 5.3.1 Federn mit Gleichkraftverhalten............................................ 198 5.3.2 Anordnungen für konstante Kräfte und Momente................. 204 5.4 Federantriebe ................................................................................ 208 5.4.1 Allgemeine Grundlagen......................................................... 209 5.4.2 Schraubenfederantriebe ......................................................... 215 5.4.3 Drehfederantriebe .................................................................. 241 5.4.4 Blattfederantriebe .................................................................. 252 5.4.5 Berechnungsbeispiele ............................................................ 258 6 Konstruktionen mit Federn .............................................................. 267 6.1 Anwendung konstruktionstechnischer Methoden......................... 267 6.1.1 Allgemeine Grundlagen methodischen Vorgehens ............... 267 6.1.2 Grundregeln des Gestaltens ................................................... 268 6.1.3 Realisierung bestimmter Grundprinzipien mit Federn .......... 270 6.1.4 Baureihenentwicklung ........................................................... 275 6.1.5 Von der Aufgabenstellung zur fertigen Feder ....................... 278 6.2 Ausgewählte Konstruktionsbeispiele............................................ 280 6.2.1 Kontaktbauelemente der Elektrotechnik................................ 280 6.2.2 Feinwerktechnische Konstruktionen mit Federn ................... 287 6.2.3 Federn im Fahrzeugbau ......................................................... 293 6.3 Konstruktionen bei speziellen Anforderungen ............................. 324 6.3.1 Anforderungen an das Federungsverhalten ........................... 325 6.3.2 Anforderungen an die Federgestalt........................................ 327 6.3.3 Optimierung von Federn........................................................ 327 6.3.4 Beispiel einer Optimierungsstrategie..................................... 333 6.4 Darstellungsarten von Federn in Konstruktionen ......................... 335 7 Schwingungsverhalten von Schraubenfedern ................................. 339 7.1 Grundlagen und Modelle .............................................................. 339 7.1.1 Schwingungsvorgang............................................................. 339 7.1.2 Modellbildung, Ersatzsysteme, Voraussetzungen ................. 341 7.2 Längsschwingungen von Schraubenfedern .................................. 342 7.2.1 Allgemeines ........................................................................... 342 7.2.2 Freie ungedämpfte Schwingung ............................................ 343 7.2.3 Freie gedämpfte Schwingung ................................................ 345

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Inhaltsverzeichnis

7.2.4 Erzwungene Schwingungen .................................................. 347 7.2.5 Die stoßbelastete Schraubendruckfeder................................. 349 7.3 Querschwingungen von Schraubenfedern .................................... 356 7.3.1 Ansätze und Modellvereinbarungen ...................................... 356 7.3.2 Querfederrate und Eigenfrequenz.......................................... 357 7.4 Drehschwingungen von Schraubenfedern .................................... 359 7.4.1 Ansätze, Modellvereinbarungen und Drehfederrate.............. 359 7.4.2 Dreheigenfrequenz ................................................................ 360 7.5 Einflüsse von Gestalt und konstruktiver Anordnung.................... 362 7.5.1 Einflüsse der Federgestalt...................................................... 362 7.5.2 Einflüsse der konstruktiven Anordnung ................................ 362 7.6 Schwingungsanalyse mit Hilfe der FEM...................................... 364 7.7 Experimentelle Schwingungsanalyse ........................................... 365 7.7.1 Bedeutung der Experimente .................................................. 365 7.7.2 Ausgewählte Verfahren ......................................................... 365 7.8 Berechnungsbeispiele und Untersuchungsergebnisse .................. 367 7.8.1 Zusammenstellung der Berechnungsbeziehungen................. 367 7.8.2 Berechnungsbeispiele ............................................................ 369 7.8.3 Untersuchungsergebnisse und Zusammenfassung ................ 375 8 Rechnereinsatz zum Federentwurf .................................................. 381 8.1 Stand, Bedingungen, Methoden, Tendenzen ................................ 381 8.1.1 Entwicklung des Rechnereinsatzes in der Federntechnik...... 381 8.1.2 Auswirkungen rechnerunterstützter Produktentwicklung ..... 383 8.1.3 Tendenzen des Rechnereinsatzes für den Federentwurf........ 386 8.2 Kommerzielle Programme zum Federentwurf ............................. 393 8.3 Programm zur Schraubendruckfederoptimierung......................... 404 8.4 Programme zum Entwurf von Federantrieben.............................. 420 8.4.1 Grundlagen und allgemeiner Aufbau .................................... 420 8.4.2 Dateneingabe, Dialogbetrieb und Datenausgabe................... 423 8.4.3 Darstellung der Vorgehensweise an einem Beispiel ............. 428 8.4.4 Schlussfolgerungen für den rechnerunterstützten Federentwurf.......................................................................... 436 8.5 Anwendung der Finite Elemente Methode ................................... 437 8.5.1 Möglichkeiten und grundsätzliches Vorgehen ...................... 437 8.5.2 Besonderheiten der Anwendung für den Federentwurf......... 441 8.5.3 FEM-Federprozessor – Grundidee, Aufbau, Umsetzung, Anwendung............................................................................ 450 8.6 Anwendung der Mehrkörpersimulation........................................ 470 8.6.1 Ausgangssituation und prinzipielle Möglichkeiten ............... 470 8.6.2 MKS-Schraubenfedermodelle und ihre Leistungsfähigkeit .. 472

Inhaltverzeichnis

XIII

8.6.3 MKS-Federprozessor – Aufbau, Leistungsumfang und Anwendung..................................................................................... 481 8.7 Ausblick........................................................................................ 498 Literaturverzeichnis .............................................................................. 503 Allgemeine Literatur........................................................................... 503 Spezielle Literatur............................................................................... 504 Kapitel 1 ......................................................................................... 504 Kapitel 2 ......................................................................................... 505 Kapitel 3 ......................................................................................... 510 Kapitel 4 ......................................................................................... 512 Kapitel 5 ......................................................................................... 519 Kapitel 6 ......................................................................................... 523 Kapitel 7 ......................................................................................... 528 Kapitel 8 ......................................................................................... 529 Sachverzeichnis ...................................................................................... 541

Beitragsverzeichnis

Manfred Meissner Ilmenau Kapitel 1, 2.1, 2.3, 4, 5.1, 5.2, 5.3.1, 6.1, 6.2.1, 6.2.2, 6.3, 6.4, 7

Hans-Jürgen Schorcht Ilmenau Kapitel 5.3.2, 5.4, 6.2.3, 8

Klaus Wanke Chemnitz Kapitel 2.2, 3, 6.2.2.3

Formelzeichen

Lateinische Buchstaben A A, B Atr A0 B B, B BF , BF BP , BP Bz C CW D DD DH DK DS Da DaG , DaK DaN Da kor D'a Da M , Di M De Di

Fläche in mm² Koeffizientenmatrix Amplitude in mm Konstanten tragende Fugenfläche in mm² Grundwelleneinflussfaktor Breite in mm Biegesteifigkeit einer Druckfeder (Ersatzmodell) in Nmm² Übertragungsmatrix bzw. normierte Übertragungsmatrix Feldmatrix, normierte Feldmatrix Punktmatrix, normierte Punktmatrix Bereichszahl spezifische Federung in mm/N spezifische Federung einer Windung in mm/N Durchmesser in mm relative Dämpfung in % Drucksteifigkeit einer Druckfeder (Ersatzmodell) in N Dorndurchmesser in mm Hülsendurchmesser in mm Gehäuse-Innendurchmesser in mm Kerndurchmesser in mm Durchmesser des Flächenschwerpunktkreises in mm Außendurchmesser, äußerer Windungsdurchmesser in mm zulässiger Größt- bzw. Kleinstwert von Da in mm Außendurchmesser genormter Schraubenfedern in mm korrigierter Federaußendurchmesser in mm Außendurchmesser des geschlitzten Innenringes einer Ringfeder bzw. belasteter Ringe in mm Außendurchmesser bearbeiteter Tellerfedern in mm Durchmesseränderung bei der Federung von Drehfedern in mm Tellerfeder-Außendurchmesser (allgemein als Bezeichnung des Außendurchmessers verwendet) in mm Innendurchmesser, innerer Windungsdurchmesser in mm

XVI

Formelzeichen

D'i Dm DmN D0 E F FB FBv , FBh FD FF FFl FF12 FG FH FK FKe FM FN FP FQ FR FS FS,H FSRa FSetz FT FZ FZ2 Fa Fb Fb0 Fc Fdyn Fe Ferr Fn FnN

Innendurchmesser des geschlitzten Innenringes einer Ringfeder bzw. belasteter Ringe in mm Innendurchmesser bearbeiteter Tellerfedern in mm mittlerer Durchmesser, mittlerer Windungsdurchmesser (meist nur mit D bezeichnet) in mm mittlerer Windungsdurchmesser genormter Schraubenfedern in mm Durchmesser der Stülpmittelpunktlinie von Tellerfedern in mm Elastizitätsmodul in N/mm2 Kraft; Federkraft, allgemein, in N Radbremskraft in N Bremskraft der Vorder- bzw. Hinterachse in N Dämpfungskraft in N Antriebsfederkraft in N Federkraft in N Fliehkraft in N erforderliche Federkraft für den Massenausgleich in N Gewichtskraft in N Gewichtskraft der Fahrzeug-Gesamtmasse in N Hilfskraft in N stationäre (konst.) Gegenkraft in N genäherte konstante Gegenkraft (Ersatzmodell) in N Messkraft in N Normalkraft in N Radaufstandskraft in N Prüfkraft in N Querkraft, Federkraft senkrecht zur Federachse in N Reibkraft in N Schaltkraft in N Kraft einer Federsäule in N Druckstangenkraft in N Radseitenführungskraft in N Setzkraft in N Trägheitskraft in N Zwangskraft, Führungsnormalkraft in N Zusatzkraft der Stützblattfeder in N Axialkraft in N Federkraft an der Stelle a in N Federkraft einer Ringfeder bei Belastung in N Biegekraft querbelasteter Zugfedern infolge der eingewickelten Zugkraft F0 in N Blockkraft, Kraft bei Erreichen des Blockzustands einer Feder in N dynamische Kraft in N Federkraft einer Ringfeder bei Entlastung in N Erregerkraft in N nutzbare Federkraft in N nutzbare Federkraft (Prüfkraft) einer genormten Feder in N

Formelzeichen Fr Fst Fstat Fst e Fv F0 F1, 2 ....n 'F 'FA G I It J JA JF Jm K KL Ka; Kb K1, 2 .... n Kn L LF LH LK Lc Le1 , Le2 Ln LnN Ls1 , Ls2 L0 L0(tx) L0N L1, 2 .... n L01 L02 'L M MFM MH Mb

XVII

Radialkraft in N stationäre Gegenkraft in N stationäre Kraft in N genäherte stationäre Gegenkraft (Ersatzmodell) in N Federkraft des geschlitzten Innenringes einer Ringfeder in N Vorspannkraft in N eingewickelte, innere Vorspannkraft bei Zugfedern in N Federkräfte, den Federwegen s1, 2...n zugeordnet in N Federkraftdifferenz in N Radantriebskraft-Schwankung in N Gleitmodul in N/mm2 Größtwert einer Größe äquatoriales Flächenträgheitsmoment in mm4 polares Flächenträgheitsmoment in mm4 Massenträgheitsmoment in kg·cm² Massenträgheitsmoment der anzu- treibenden Bauteile in kg·cm² Massenträgheitsmoment der Feder (auf die Federachse bezogenes Massenträgheitsmoment aktiver Windungen) in kg·cm² Massenträgheitsmoment der Endmasse in kg·cm² Korrekturfaktor, allgemein Kleinstwert einer Größe Lagerungsbeiwert für Schrauben- druckfedern Beiwerte zur Berechnung des polaren Widerstandsmomentes Korrekturfaktoren zur Federwegbe- rechnung Korrekturfaktor der Anzahl wirksamer Windungen von Druckfedern Länge, allgemein in mm Länge der belasteten Feder in mm momentane Länge der Antriebsfeder in mm Ösenlänge von Zugfedern in mm Länge des Wickelkörpers von Schraubenfedern in mm Blocklänge von Federn in mm federungsunwirksame Konstruktionsmaße in mm Federlänge bei Einwirken der Kraft Fn , Prüflänge in mm Prüflänge einer genormten Druckfeder in mm Schenkellängen von Drehfedern in mm Länge unbelasteter Federn in mm Länge der unbelasteten Feder zur Zeit tx in mm Länge der unbelasteten genormten Schraubenfeder in mm Längen der durch die Kräfte F1, 2.... n belasteten Feder in mm Länge der unbelasteten Antriebsfeder in mm Länge der unbelasteten Zusatzfeder in mm Längendifferenz in mm Moment einer Kraft in Nmm Antriebsmoment eines Drehfeder- antriebs in Nmm Drehmoment einer Rohr-Stabfeder in Nmm Biegemoment in Nmm

XVIII Mst Mt Mv M0 M1 MI, II NG Pü Q R RFA RFL RQ RN RRA Re Rm Rp Rp 0,2 Rp 0,01 Rt R1 R1B R1M R2 R2e RM S SD SFü SW Sa Serf Svorh S1, 2 T T(t) TFn TR U V VDd , Vij

Formelzeichen stationäres Gegenmoment in Nmm Torsionsmoment in Nmm Vorspannmoment in Nmm Biegemoment an der Einspannstelle gekrümmter Blattfedern in Nmm Drehmoment einer im Federhaus geführten Spiralfeder in Nmm Biegemomente in Teilbereichen von gekrümmten Blattfedern in Nmm Grenzlastspielzahl Überlebenswahrscheinlichkeit in % Querkraft in N Federrate (auch oft mit "c: Federsteife" bezeichnet) in N/mm Radius in mm Federrate von Fahrzeugtragfedern in N/mm Federrate von Fahrzeugluftfederun- gen in N/mm Querfederrate in N/mm Federrate einer genormten Schraubenfeder in N/mm Federrate eines Fahrzeugrades bzw. einer Fahrzeugachse in N/mm Streckgrenze in N/mm2 Zugfestigkeit (Bruchfestigkeit) in N/mm2 Proportionalitätsgrenze in N/mm2 Zugspannung bei einer bleibenden Dehnung von 0,2% in N/mm2 Zugspannung bei einer bleibenden Dehnung von 0,01% in N/mm2 Rauhtiefe in μm Federrate der Antriebsfeder in N/mm Federrate einer Antriebs-Blattfeder in N/mm Drehfederrate einer Antriebs-Dreh- feder in Nmm/rad Federrate von Zusatzfedern in N/mm Federrate einer fiktiven Zusatzfeder (Ersatzmodell) in N/mm drehwinkelbezogenes Federmoment (Drehfederrate) in Nmm/rad Sicherheitsfaktor Spiel in μm Schubsteifigkeit einer Druckfeder (Ersatzmodell) in N Sicherheit gegen Dauerbruch Führungsspiel in μm Windungssteigung von Schraubenfedern in mm Summe der Windungs-Mindestab- stände von Schraubenfedern in mm erforderliche Sicherheit, Sollsicherheit vorhandene Sicherheit Schwerpunkte Schwingungsdauer in s kinetische Energie in Nm Zeitfunktion beim Produktansatz nach Bernoulli Toleranz der Federkraft Fn Toleranz der Federrate in % potentielle Energie in Nm Volumen in mm³ Zeitausgleichsfaktoren

Formelzeichen VE VF V1 VW W WF WM WR Wb Wbel Wopt Wt X(xF) Z a

aB aK aKG ; aKK aS aW aV a0 b b0 b1 b1, 2 c cM d dLN dLW dN dSchr da di df

Einbauvolumen der Feder in mm³ Federvolumen, Werkstoffvolumen der Feder in mm³ Vergrößerungsfunktion Vergrößerungsfaktor der Schubspannung Arbeit, Federarbeit, allgemein in Nmm Widerstandsmoment in mm³ Federarbeit, elastischer Anteil in Nmm Energie der Endmasse in Nm Reibungsarbeit in Nmm Widerstandsmoment bei Biegebeanspruchung in mm³ Federarbeit in Belastungsrichtung in Nmm optimale Federarbeit, Federarbeit eines Zugstabes in Nmm Widerstandsmoment bei Torsionsbeanspruchung in mm³ Ortsfunktion beim Produktansatz nach Bernoulli Zustandsvektor Abstand in mm Beschleunigung in mm/s² Profildicke in mm Ringabstand in Ringfedersäulen in mm Länge einer Rechteckseite in mm halbe Seitenlänge rechteckförmiger Druckfedern in mm Endbeschleunigung in m/s² Koppelstellenabstand in mm Größt- u. Kleinstwert von aK in mm Schlitzbreite geschlitzter Innenringe in mm Windungsabstand in mm Ventilbeschleunigung in m/s² Anfangsbeschleunigung in m/s² Breite, Profilbreite, Streifenbreite, Abstand in mm halbe Seitenlänge rechteckförmiger Druckfedern in mm Breite von Blattfedern an der Einspannstelle in mm Breite von Blattfedern am freien Federende in mm Achsenabstände in mm Abstand in mm Federkonstante in N/mm Drehfederkonstante in Nmm/rad Drahtdurchmesser in mm Durchmesser des Schraubenlochmittenkreises in der Nabe in mm Durchmesser des Schraubenlochmittenkreises in der Welle in mm genormter Drahtdurchmesser in mm Schraubendurchmesser in mm Außendurchmesser in mm Einspannkopf-Außendurchmesser an Drehstäben in mm Innendurchmesser in mm Einspannkopf-Fußdurchmesser an Drehstäben in mm

XIX

XX e en; et ex,y, z exF; eyF e1, 2 f fFA fFR fF12 fb ferr f0 f0L f0LD f0Q f0M g h hN hW h0 h'0 h1 i j jM k

kB kFA kRA kG kL kNR kSR kW kb k1

Formelzeichen Abstand in mm Einheitsvektoren im n-t-Koordina- tensystem Einheitsvektoren im xyz-Koordinatensystem Einheitsvektoren im xFyF-Koordinatensystem Schwerpunkt-, Randabstand in mm Frequenz in 1/s Eigenfrequenz der Fahrzeugaufbau- Schwingung in 1/s Eigenfrequenz der Fahrzeugrad- bzw. -achsschwingung in 1/s Wirkungslinie der Federkraft Betriebsfrequenz in 1/s Erregerfrequenz in 1/s Eigenfrequenz (Grundwelle) in 1/s Längseigenfrequenz einer Schraubendruckfeder (Grundwelle) in 1/s Längseigenfrequenz mit Dämpfung in 1/s Quereigenfrequenz einer Schraubendruckfeder (Grundwelle) in 1/s Dreheigenfrequenz einer Schraubendruckfeder (Grundwelle) in 1/s Erdbeschleunigung in m/s² Höhe, Profilhöhe in mm Fallhöhe in m genormte Federbanddicke in mm Wölbungshöhe in mm Rechengröße (h0 = l0 – t), Federweg bis zur Planlage bei Tellerfedern ohne Auflageflächen (lichte Höhe einer Tellerfeder) in mm Dicke von Blattfedern an der Einspannstelle in mm Rechengröße (h'0 = l'0 – t), Federweg bis zur Planlage bei Tellerfedern mit Auflageflächen in mm Dicke von Blattfedern am freien Federende in mm Anzahl wechselsinnig geschichteter Einzelfedern (Tellerfedern)/-pakete Trägheitsradius in mm Zählgröße, Ordnungszahl Ordnungszahl (Drehschwingungen) Spannungsbeiwert, allgemein Biegekoeffizient (r/t) Rechengröße für Vereinfachungen Zählgröße, Anzahl der Diskretisierungsintervalle Dämpfungskoeffizient in Ns/m Spannungsbeiwert n. Bergsträsser Dämpfungswert, Fahrzeugaufbau Dämpfungswert Fahrzeugrad/-achse Spannungsbeiwert nach Göhner Windungszwischenraumfaktor Dämpfungskoeffizient bei Newton'- scher Reibung in Ns²/m Dämpfungskoeffizient bei Stocke'scher Reibung in Ns/m Spannungsbeiwert nach Wahl Spannungsbeiwert bei Biegebeanspruchung Neigungsfaktor, Schraubenfederantrieb

Formelzeichen k1B k1M k1MB k2 kV kW l lA lE lH lK lS lW lZ le lf lmind lw l0 l'0 m

mA mAK mAK 0 mA(s) mAe mF mFA mFe mRA mV mi m4 n

nE nf

XXI

Neigungsfaktor, Blattfederantrieb Neigungsfaktor, Drehfederantrieb Neigungsfaktor, Spiralfederantrieb Substitutionsfaktor Querschnittskennzahl, Biegefedern Querschnittskennzahl, Torsionsfed. Länge, allgemein in mm gestreckte Länge gekrümmter Stäbe in mm Länge der Auflage von Parabelfedern in mm Länge der Einspannung von Parabelfedern in mm Länge der Hohlkehle bei Drehstäben in mm Kopflänge an Drehstäben in mm Schaftlänge an Drehstäben in mm Messlänge, Schenkellänge in mm Spiralfederlänge in mm gestreckte Länge einer Windung in mm Stablänge, zylindrischer Teil in mm rechnerische Ersatzlänge in mm Stablänge, federnder Anteil in mm Mindestlänge in mm wirksame Länge in mm Länge (Höhe) unbelasteter Tellerfedern ohne Auflageflächen in mm Länge (Höhe) der unbelasteten Tellerfeder mit Auflageflächen in mm Masse, allgemein, in kg Poissonsche Zahl diskretisierte Punktmasse in kg Faktor, Zählgröße; Rechengröße für Vereinfachungen angetriebene Endmasse in kg in der Koppelstelle K konzentrierte Endmasse in kg in der Koppelstelle K0 konzentrierte Endmasse in kg wegabhängig-veränderliche Antriebsmasse in kg genäherte konstante Antriebsmasse (Ersatzmodell) in kg Federeigenmasse in kg Masse des Fahrzeugaufbaus in kg Federersatzmasse in kg Fahrzeugrad- / -achsmasse in kg Ventilmasse in kg Masse der Getriebeglieder in kg Bremskraftbegrenzungsmasse in kg Anzahl, allgemein; Anzahl der Elemente; Anzahl der Umdrehungen; Anzahl gleichsinnig geschichteter Einzelfedern (Tellerfedern) Windungszahl, allgemein (federnder Anteil) Zählgröße Anzahl der Endwindungen Anzahl federnder Windungen (wirksamer Windungszahlanteil)

XXII ng nred nt nü n0 n' 'n p pN pW q; q1 ... n qF qFM qW qd , qz qf qx ; qy qa r rK rmind r0 'r 'r' s sA sA1 sA1e sA1B sA2 sB sK sK0 sQ sR sS sT

Formelzeichen Federhaus-Gesamtumdrehungszahl reduzierte Anzahl wirksamer Windungen von Schraubendruckfedern Gesamtwindungszahl Übergangswindungszahl (Anzahl wirksamer Windungen mit Steigungsübergang) Anzahl der Windungen ungespannter Spiralfedern theoretisch erreichbare Windungszahl von Spiralfedern Anzahl der bis an die Federenden durchgeführten Federlagen nutzbare Umdrehungszahl; Anzahldifferenz Flächenpressung in N/mm² Arbeitspunkt eines Antriebs Flächenpressung Ring/Nabe in N/mm² Flächenpressung Ring/Welle in N/mm² Faktoren; Rechengrößen für Abkürzungen Kräfteverhältnis Spannungsvergrößerungsfaktor bei Druckfeder-Drehschwingungen Windungsanteil (qW = nü ) Abkürzungen Eigenfrequenzen-Verhältniszahl Streckenlast in N Abstands-Verhältnis Radius, allgemein in mm Rundungsradius, Hohlkehlenradius in mm Windungsradius von Kegelfedern in mm Abstand zwischen Spiralenursprung und Koppelstelle in mm Mindest(biege)radius in mm Bandkrümmungsradius in mm Differenz der Kraftangriffsstellen an Tellerfedern in mm Differenz der Kraftangriffsstellen bearbeiteter Tellerfedern in mm Weg; Federweg, allgemein in mm wirksame Anfangsauslenkung des Antriebs in mm Anfangsauslenkung der Antriebsfeder in mm genäherte Anfangsauslenkung der Antriebsfeder, Ersatzmodell in mm Anfangsauslenkung einer Antriebs- Blattfeder in mm Anfangsauslenkung der Zusatzfeder in mm Hub der angetriebenen Endmasse in mm Federweg des Stabes infolge Biegebeanspruchung in mm Federweg, Grenzwert der Knicksicherheit in mm Weg der Koppelstelle K in mm Weg der Koppelstelle K0 in mm Federweg senkrecht zur Federachse (Querfederweg) in mm Radeinfederungsweg in mm Federweg einer Federsäule in mm Federweg des Stabes infolge Torsionsbeanspruchung in mm

Formelzeichen sV sVh sa sb

sbl sc serr sh sgrenz sn sv

s0 s1, 2 ... n 's t tB tB ist tB soll tDF tS ta ta m ti ti m tm ts t2S u, v u, v, w v vB vBG ; vBK vW vm

XXIII

Ventilweg in mm Ventilhub in mm Federweg bereits aufliegender Windungen bei Kegelfedern in mm Federweg noch frei federnder Windungen bei Kegelfedern in mm Federweg des geschlitzten Innenrings einer Ringfeder nach Schließen des Schlitzes in mm Betriebsfederweg, Federweg bei der Betriebskraft Fb in mm bleibender, nichtelastischer Federweganteil, Setzweg in mm Federweg bis zum Erreichen des Blockzustands der Feder in mm Erregerweg in mm Federhub, Federwegdifferenz in mm Grenzwert des Federwegs in mm nutzbarer Federweg in mm Federweg des geschlitzten Innenringes einer Ringfeder bis zum Schließen des Schlitzes in mm Vorspannweg, Federweg bei der Vorspannkraft Fv in mm Gradientenkolbenweg in mm Federweg an der Stelle y0 in mm geometrisch unwirksamer (eingewundener) Federweg von Zugfedern in mm Federwege, den Federkräften F1...n zugeordnet in mm Federwegdifferenz in mm Zeit in s Dicke, Blechdicke, Banddicke in mm Bewegungszeit in s erreichte Bewegungszeit in s vorgegebene Bewegungszeit in s Druckflanschdicke in mm Stoßzeit in s Dicke des Außenringes von Ringfedern in mm mittlere Dicke des Außenringes von Ringfedern in mm Dicke des Innenringes von Ringfedern in mm mittlere Dicke des Innenringes von Ringfedern in mm mittlere Ringdicke von Ringfedern in mm Dicke des geschlitzten Ringes in mm Zeit für eine Kurbelwellenumdrehung in s Länge des geraden Teils gekrümmter Blattfedern in mm Verschiebungen im federbezogenen xyz-Koordinatensystem des räumlich gekrümmten Stabes in mm Geschwindigkeit in m/s Endgeschwindigkeit einer angetriebenen Endmasse in m/s zulässiger Größt- bzw. Kleinstwert der Endgeschwindigkeit einer angetriebenen Endmasse in m/s Ausbreitungsgeschwindigkeit der Stoßwelle in m/s mittlere Geschwindigkeit in m/s

XXIV vw vwB vwM v0 w x, y, z x(t) xA0 ; yA0 xF xend x0 xˆ yF yFe yF(0) yF(j) y(x) y0 z

Formelzeichen Fortpflanzungsgeschwindigkeit der Stoßwelle in einer Schraubenfeder in m/s Fortpflanzungsgeschwindigkeit der Stoßwelle in einer Blattfeder in m/s Fortpflanzungsgeschwindigkeit der Stoßwelle in einer Drehfeder in m/s Anfangsgeschwindigkeit in m/s Wickelverhältnis (w = Dm /d) Variable zeitabhängiger Schwingweg in mm Mittelpunktkoordinaten in mm Drahtkoordinate (Koordinate entlang der Drahtachse) in mm x-Koordinate von K zur Zeit t = tB x-Koordinate von K zur Zeit t = 0 Schwingungs-Nullage Amplitude, Maximalausschlag in mm Verschiebungskoordinate parallel zur Federachse Verschiebungskoordinate, Ersatzmodell Verschiebungsfunktion der Grundwelle Verschiebungsfunktion der j-ten Oberwelle Bahnfunktion eines Antriebs Abstand (Versetzung) zwischen Bewegungsbahn und Einspannstelle Anzahl, Zählgröße Drehfederachse

Griechische Buchstaben ' 'Fa 'Mb 's 't 'xi 'y 'z ) D

DW E

Differenz, allgemein Schwankungen der Fahrzeugantriebskraft in N Biegemomentdifferenz in Nmm Federwegdifferenz in mm Zeitdifferenz in s Draht- bzw. Bogenelement in mm absoluter Fehler von xi absoluter Fehler von y Hohlzylinderelement-Dicke in mm Drehsteifigkeit einer Druckfeder (Ersatzmodell) in Nmm² Steigungswinkel in Grad Federratenverhältnis R2 /R1 Winkel, allgemein in Grad Krümmungswinkel gekrümmter Blattfedern in Grad Neigungswinkel Steigungswinkel einer Windung von Schraubenfedern in Grad Winkel, allgemein in Grad Keilwinkel; Kegelwinkel in Grad Intervallwinkel in Grad

Formelzeichen

EE EF Eb Eh El Es E0 EV J JK JKV Jbl Jel G

G\M G... H Hbl Hel ] K KA KD KM KS KV NL NM NMG Nj NjG N2/S O

XXV

Breitenverhältnis von Trapezfedern (E = b1 /b0 ) Verhältnis der E-Moduln E2 /E1 Verhältnis der Federkräfte F2/F1 Verhältnis der Federbreiten b2/b1 Verhältnis der Federhöhen (-dicken) (h2 /h1 = t2 /t1 ) Verhältnis der Federlängen (l2 /l1 ) Verhältnis der Federwege (s2 /s1 ) Winkel zwischen x-Achse und Federachse zur Zeit t = 0 in Grad Verhältnis der Biegespannungen bei Blattfedersätzen (Vb 2 /Vb 1 ) Schiebung in % Winkel, allgemein in Grad Kurbelwellendrehwinkel in Grad Kurbelwellendrehwinkel pro Ventil- hub in Grad bleibender (plastischer) Anteil der Schiebung in % elastischer Schiebungsanteil in % Durchmesserverhältnis bei Tellerfedern (G = De /Di ) und bei Drehstabfedern (G = df /d); Dickenverhältnis Drehwinkel um die x-, y-, z-Achse des federbezogenen Koordinatensystems in Grad relativer Fehler einer Größe Dehnung in % Beiwert zur Berechnung des Federwegs von Druckfedern aus Draht mit Rechteckquerschnitt bleibender (plastischer) Anteil der Dehnung in % elastischer Dehnungsanteil in % Winkelverhältnis MBMA1 spezifische Federung (K = s/L0 ) Verhältniszahl Frequenzverhältnis Artnutzwert Wirkungsgrad der Dämpfung Massenutzwert Spannungsverhältnis Volumennutzwert Lastanteilfaktor (s/sn ; bzw. s/sc) Massenverhältnis (mA /mF ; m/mF ) Grenzwert für das realisierbare Massenverhältnis NM Verhältnis der Massenträgheitsmomente JA /JF Grenzwert für das realisierbare Verhältnis Nj der Massenträgheitsmomente Grenzwert des realisierbaren Massenverhältnisses Nj mit k1 = 2/S Verhältnis der Hohlkehlenlänge zum Stabdurchmesser bei Drehstab-

XXVI

OE O0 O0G Ou ; Oo μ

Q U

V VA1 VDWD V H; W H V O; W O V U; W U Va Vb VbE Vbk Vi Vh; Wh Vm; Wm Vo; Wo Vu; Wu Vz Vzul W WA1 WSt Wk WkH Wkh Wr Wt WtE W0

Formelzeichen federn (O = lH /d ) Schlankheitsgrad von Druckfedern (O = L0 /Dm ) Eigenwert, allgemein Eigenwert der Grundwelle eines Antriebs mit massebehafteter Feder Größtwert des Eigenwertes Grenzwerte des Suchbereichs von O0 Kehrwert der Poissonzahl; Reibbeiwert; bezogene Masse eines Bogenelementes in kg/m Längenverhältnis bei Drehstabfedern (Q = le /lH ) Dichte in kg/dm3 Reibungswinkel in Grad Rundungsradius in mm Radienverhältnis (U = r/d) bei Drehstabfedern Normalspannung in N/mm2 Biegespannung bei Anfangsauslenkung MA1 in N/mm² Dauerschwingfestigkeit, allgemein in N/mm2 Dauerhubfestigkeit in N/mm2 oberer Wert der Dauerfestigkeit in N/mm2 unterer Wert der Dauerfestigkeit in N/mm2 Spannung, außen in N/mm² Amplitude der Nennspannung, Spannungsausschlag in N/mm² Biegespannung in N/mm² Federbiegegrenze in N/mm2 Biegespannung mit Berücksichtigung der Stabkrümmung in N/mm² Spannung, innen in N/mm² Hubspannung in N/mm2 Mittelspannung in N/mm2 Oberspannung in N/mm2 Unterspannung in N/mm2 Zugspannung in N/mm² zulässige Zugspannung in N/mm² Tangentialspannung, allgemein in N/mm2 Verdrehspannung der Antriebsfeder bei Anfangsauslenkung in N/mm² Schubspannung bei Stoßbelastung in N/mm² Verdrehspannung mit Berücksichtigung der Stabkrümmung in N/mm² Dauerhubfestigkeit in N/mm² Hubspannung, mit Beiwert k berechnet, in N/mm² Eigenspannung nach dem Vorsetzen von Drehstäben in N/mm² Torsionsspannung in N/mm² Schubelastizitätsgrenze in N/mm² eingewundene Verdrehspannung bei Schraubenzugfedern in N/mm² stationäre Schubspannung in N/mm²

Formelzeichen W0,2 W0,04 M

MA MA1 MA1B MB MF MK Ma \ Z ZL ZQ Zerr Zj Zm Z0 ZM

Verdrehspannung bei einer bleibenden Schiebung von 0,2% in N/mm² Verdrehspannung bei einer bleibenden Schiebung von 0,04% in N/mm2 Drehwinkel, Verdrehverformung in Grad Spiralfeder-Drehwinkel in Grad Stufensprung geometrischer Reihen Phasenwinkel in Grad wirksame Anfangsauslenkung eines Drehfederantriebs in Grad Anfangsauslenkung der Antriebs-Drehfeder in Grad Anfangsauslenkung der Antriebs-Spiralfeder in Grad geforderter Drehwinkel des Antriebs in Grad Antriebswinkel in Grad Winkel zwischen Spiralenursprung und Koppelstellen in Grad Winkelamplitude in Grad Spannungsbeiwert zur Berechnung von Druckfedern aus Draht mit Rechteckquerschnitt Kreisfrequenz in 1/s Eigenkreisfrequenz von Schraubendruckfedern in Längsrichtung in 1/s Eigenkreisfrequenz von Schraubendruckfedern in Querrichtung in 1/s Erregerkreisfrequenz in 1/s Eigenkreisfrequenz der j-ten Welle (j = 0 ... n) in 1/s mittlere Winkelgeschwindigkeit in m/s Eigenkreisfrequenz in 1/s Eigenkreisfrequenz von Schraubendruckfedern bei Drehschwingungen in 1/s

Häufig verwendete Indizes a b c d erf ertr i k m max min p t vorh z zul

XXVII

Ausschlag-, Amplitude, außen Biegung BlockDruckerforderlich ertragbar innen korrigiert mittel maximal minimal ProportionalitätsTorsion vorhanden Zugzulässig

Normen-Vergleichstabelle

DIN-Nr. bisher

DIN EN-Nr. neu

Titel (Inhalt) neu

1757

12166

1777

1652

2076 2088

10270-1 bis 3 13906-3

2089 T1

13906-1

2089 T2

13906-2

17221

10089

17222

10132-4

17223 T1

10270-1

17223 T2

10270-2

17224

10270-3

17224

10151

17240

10269

17670 T2

1654

17677

12166

Kupfer und Kupferlegierungen, Drähte zur allgemeinen Verwendung Kupfer und Kupferlegierungen, Platten, Bleche, Bänder usw. für allgemeine Verwendung siehe DIN EN 10270-1 bis 3 Zylindrische Schraubenfedern aus runden Drähten und Stäben. Berechnung und Konstruktion. Teil 3: Drehfedern Zylindrische Schraubenfedern aus runden Drähten und Stäben. Berechnung und Konstruktion. Teil 1: Druckfedern Zylindrische Schraubenfedern aus runden Drähten und Stäben. Berechnung und Konstruktion. Teil 2: Zugfedern Warmgewalzte Stähle für vergütbare Federn, Technische Lieferbedingungen Kaltband aus Stahl für eine Wärmebehandlung, Techn. Lieferbedingungen, Teil 4: Federstähle Stahldraht für Federn Teil 1: Patentiertgezogener unlegierter Federstahldraht Stahldraht für Federn Teil 2: Ölschlussvergüteter Federstahldraht Stahldraht für Federn Teil 3: Nichtrostender Federstahldraht Federband aus nichtrostenden Stählen, Technische Lieferbedingungen Stähle und Nickellegierungen für Befestigungsmittel bei erhöhten und tiefen Temperaturen Kupfer und Kupferlegierungen, Federbänder für Blattfedern und Steckverbinder Kupfer und Kupferlegierungen, Federdrähte zur allgemeinen Verwendung Warmgewalzte Flachstähle aus Federstahl

59145; 59146 10092-1

1 Einleitung

1.1 Entwicklung der Federntechnik Die Elastizität fester Stoffe wurde schon in frühen Zeiten der Menschheitsgeschichte vor allem für Werkzeuge und Hilfsmittel des Nahrungserwerbs (Fallen, Pfeil und Bogen) genutzt. Holz war hierfür der hauptsächlich eingesetzte Werkstoff. Später wurde über Jahrhunderte hinweg die Federntechnik in ihrer Entwicklung durch die Anwendung in der Waffentechnik bestimmt. Bekannt sind Federn in Wurfmaschinen, Drückermechanismen und Radschlossantrieben [12][1.5][1.14][1.18][1.20]. Das Maschinenelement Feder nutzt die Eigenschaft vieler Werkstoffe, bei Krafteinwirkungen mit einer reversiblen Formänderung zu reagieren, zur Realisierung technischer Aufgaben in besonderem Maß. Deshalb sind Fortschritte in der Qualität, der Formenentwicklung und -herstellung der Federn eng mit der Entwicklung der Metalltechnik verbunden. So führte nicht zuletzt die Entwicklung der Metallurgie, gefördert durch den Maschinenbau, die Eisenbahn- und Automobiltechnik und auch durch die Feinwerktechnik, in den letzten Jahrhunderten zu einer sprunghaften Entwicklung der Federntechnik aus vorwiegend handwerklichen Fertigungsstätten (Schmiede, Schlosser, Uhrmacher) zu einem speziellen, eigenständigen Industriezweig. Die Federnfertigung erfordert viele spezielle Einrichtungen und Maschinen. Zu deren Herstellung entwickelten sich Anfang des Jahrhunderts Bereiche des Maschinenbaus, in denen die ersten Federwickelmaschinen gebaut wurden [1.1]. In wenigen Jahren war deren Konstruktion so fortgeschritten, dass mit ihnen eine vollautomatische Fertigung von Schraubenfedern aus Draht möglich wurde [1.2]. Neben solchen mechanisch gesteuerten Automaten findet man heute in der Federnproduktion vor allem mikrorechnergesteuerte Federwinde-, -biege- und -prüfautomaten. Sie alle bestimmen den relativ hohen Automatisierungsgrad in der Federnindustrie. Mit der ständigen Verbesserung der Werkstoffqualität der Halbzeuge, der Federberechnung und der Erkenntnisse zur Dauerschwingfestigkeit

2

1 Einleitung

konnte auch die Zuverlässigkeit der Federn erhöht werden. Spezielle Federwerkstoffe wurden entwickelt. Die Federntechnik der Gegenwart ist ein vielseitiger, wegen der speziellen Produktfertigung meist eigenständiger Zweig der metallverarbeitenden Industrie mit den Schwerpunkten Kaltund Warmumformung sowie Wärmebehandlung. Die Produkte dieses Industriezweiges sind durch eine große Arten- und Formenvielfalt gekennzeichnet. Heute können Federn aus den verschiedensten elastischen Werkstoffen hergestellt werden. Besondere Bedeutung in der Federntechnik haben metallische Werkstoffe. Neben fertigungstechnischen und werkstofflichen Anforderungen (z.B. Dauerschwingfestigkeit) kommt der richtigen Auslegung und dem Festlegen der geeigneten Federgestalt in der Bauteilentwicklung besondere Bedeutung zu. Federentwicklung und Federntechnik sind untrennbar und vom Konstrukteur gleichrangig zu behandeln.

1.2 Das Maschinenelement Feder 1.2.1 Konstruktionsmethodische Aspekte des Federentwurfs Federn sind Maschinenelemente, bei denen die Aufnahme und Übertragung von Kräften unter relativ großen Formänderungen vor sich geht. Diese Eigenschaft wird durch eine entsprechende Form und die Verwendung eines geeigneten Werkstoffs erreicht, so dass sich mit diesem Maschinenelement zahlreiche Funktionen realisieren lassen. Im Einzelnen sind das im Sinne einer konstruktionsmethodischen Betrachtung die Funktionen x Aufnehmen, Speichern und Abgeben mechanischer Energie (Elastische Kraft- bzw. Drehmomentleitung, reversible Wandlung potentieller und kinetischer Energie) sowie x Wandeln mechanischer Energie in Wärmeenergie durch Reibung [4][7][14][1.15].Federn gehören damit zu den vielseitigsten Lösungen des Konstrukteurs, mit denen ganz bestimmte Aufgaben erfüllt werden können. Dabei werden bei Metallfedern vorwiegend folgende mechanische Wirkprinzipe genutzt: x die elastische Kraftleitung und Speicherung erfolgt mechanisch auf der Basis des Hookeschen Gesetzes (V H·E bzw. W J·G) und x die Energiewandlung erfolgt auf der Basis des Energieerhaltungssatzes der Technischen Mechanik und des Coulombschen Reibungseffektes.

1.2 Das Maschinenelement Feder

3

Gestaltungsmerkmale für eine zweckmäßige Federgestaltung [8][9][10] [14] sind x Wirkfläche (bei Federn sind es Wirkkörper), x Wirkbewegung und x prinzipielle Stoffeigenschaften. Aus fertigungstechnischen, weniger aus berechnungstechnischen Gründen werden vorwiegend einfache Wirkkörper (Stab, Ring, Scheibe) angestrebt. In diesen Wirkkörpern werden die Beanspruchungen genutzt, die merkliche Verformungen hervorrufen. Durch sie wird die Wirkbewegung beschrieben. Die prinzipiellen Werkstoffeigenschaften sind bei Federn von ausschlaggebender Bedeutung. Angesichts der hohen zu erwartenden Verformungsbeträge wird ein Werkstoff mit hoher Festigkeit und großem Elastizitätsbereich angestrebt. Als Werkstoffe kommen Metalle und Nichtmetalle zum Einsatz, wonach man Metallfedern und Federn aus Nichtmetallen unterscheidet. Aus diesen Überlegungen ergibt sich die in Tabelle 1.1 dargestellte Übersicht. Ordnende Gesichtspunkte sind Wirkkörper und Beanspruchungsart. 1.2.2 Einteilung und Einsatzgebiete Federn eignen sich besonders für das Speichern von mechanischer Arbeit als potentielle Energie, die zum gegebenen Zeitpunkt wieder freigegeben werden kann. Diese Eigenschaft begründet ihre Verwendung für den Energie-, Kraft- und Wegausgleich. Die Tatsache, dass die Federn Energieumformer sind, lässt erkennen, dass sie zusammen mit den von ihnen bewegten, massebehafteten Bauelementen schwingungsfähige Systeme darstellen (s. Kap. 5 und 6). So finden Federn vielfältige Verwendung als Speicherelemente (Hauptaufgabe Energiespeicherung, z.B. Aufzugfedern in mechanischen Uhren, Laufwerken und sonstigen Antrieben), Messelemente (Nutzen der Proportionalität zwischen Kraft und Verformungsweg), Schwingungs- und Dämpfungselemente (z.B. Achsfedern bei Fahrzeugen, Pufferfedern, Unruhfedern in mechanischen Uhren), Ruheelemente mit Aufgaben der Kraftverteilung, des Kraft- und Wegausgleichs, der Erzeugung von Vorspannkräften und Realisierung von Rückstellbewegungen und als Lagerelemente, bei denen die Biege- oder Verdrehelastizität des Werkstoffs für Bewegungen innerhalb eines begrenzten Bereichs ausgenutzt

4

1 Einleitung

werden (Federgelenke, Drehspulen) [8][9][10].

Federführungen,

Spannbandlagerungen

von

Tabelle 1.1. Einteilung der Federn (Übersicht)

Neben diesen Einteilungsgesichtspunkten gibt es noch weitere Merkmale, die sich zu Einteilungen nutzen lassen, beispielsweise die Federgestalt (Blattfeder, Tellerfeder, Schraubenfeder), die Kraftwirkung (Zug-, Druck-, Drehfeder) und die Art der Werkstoffbeanspruchung (Biegefeder, Torsionsfeder). Auch sind Bezeichnungen verbreitet, die sich aus dem Verwendungszweck bzw. dem Einsatzgebiet ableiten, wie Aufzugfeder, Kontaktfeder, Ventilfeder oder Rückholfeder. 1.2.3 Anforderungen an Berechnung, Gestaltung und Auswahl Im Rahmen eines Federentwurfs sind sowohl Entscheidungen bezüglich der Federart, der Form und Abmessungen, der Federbefestigung, des Federwerkstoffs als auch der Fertigungs- und Prüfmöglichkeiten zu treffen. Entscheidungshilfen sind neben Katalogunterlagen der Hersteller vor allem Berechnungen zum Verformungsverhalten und zur Tragfähigkeit (Lebensdauer) der Federn. Es ist die Gestalt der Federn festzulegen und ein Funktions- und ein Festigkeitsnachweis zu führen (s. Abschn. 2.1.2 u. Kap. 4).

1.2 Das Maschinenelement Feder

5

Neben den aus funktionellen Forderungen resultierenden Bedingungen sind vor allem fertigungs- und werkstofftechnische Belange zu berücksichtigen, um minimale Kosten zu erreichen. Die Gestaltung von Metallfedern erfordert vor allem Kenntnisse und Erfahrungswerte der Kaltumformung und Wärmebehandlung (s. Abschn. 2.2 und Kap. 3). Die richtige Federgestalt bestimmt nicht nur die Zuverlässigkeit der Erfüllung der Federfunktion, sondern auch eine wirtschaftliche Fertigung. Bei der Gestaltung neuentwickelter Federn sind deshalb auch Überlegungen anzustellen, ob nicht bereits im Fertigungsprogramm der verschiedenen Hersteller befindliche Federn die gestellte Aufgabe erfüllen und daher ausgewählt werden sollten. Die Anpassung der Konstruktion an vorhandene Federn hat Vorrang. Zur Federauswahl stehen dem Konstrukteur zahlreiche Hilfsmittel zur Verfügung, angefangen von Federauswahltabellen in Normen (DIN 2093; DIN 2098), Katalogunterlagen und Tabellenbüchern [1.3] über Nomogramme und Rechenschieber [1.6][1.17][1.19] bis zum Einsatz der Rechentechnik [1.4][1.13], die eine Federberechnung oft erübrigen bzw. eine überschlägliche Parameterbestimmung (Vorauswahl) ermöglichen. Aus diesen Überlegungen geht hervor, dass sowohl der Federberechnung, aber noch mehr der Federgestaltung eine nicht zu unterschätzende Bedeutung zukommt, wobei zahlreiche Bedingungen zu beachten sind, auf deren wichtigste bei der Behandlung der jeweiligen Feder (s. Kap. 4) eingegangen wird. 1.2.4 Anforderungen an Werkstoff, Fertigung und Prüfung Aus den Anforderungen an Berechnung und Gestaltung zur Realisierung ganz bestimmter Aufgaben, die an eine Feder gestellt werden, leiten sich auch Forderungen an Werkstoff, Fertigung und Prüfung ab. Sie sind bei einem Federentwurf stets im Zusammenhang zu sehen. Zur Fertigung von Federn kommen vorrangig Runddrähte und Bänder aus hochelastischen Werkstoffen zum Einsatz [18][1.16]. Metallische Federwerkstoffe werden sowohl im federharten als auch im weichen Zustand verarbeitet, wobei die Kaltumformung dominiert. Federharte Werkstoffe besitzen schon vor der Federformung die für die Federfunktion wichtigen Eigenschaften [1.16]. Derartig hochfeste Werkstoffe sind besonders kerbempfindlich. Risse, Fehlstellen, Einschlüsse, Randoxidation, Randabkohlung wirken sich festigkeitsmindernd aus [1.10][1.11]. Durch Randschichtverfestigungsverfahren, wie beispielsweise das Kugelstrahlen (s. Abschn. 2.2.4), können diese Nachteile weitgehend kompensiert werden [1.7][1.8][1.9]. Konstruktion und Fertigung haben die Aufgabe, Gestaltung und Formung der Federn so vorzunehmen, dass zusätzliche

6

1 Einleitung

Kerben, Oberflächenverletzungen und Wärmebehandlungsfehler vermieden werden. Weiche Werkstoffe setzt man vorwiegend für kompliziert geformte Federn ein. Sie erlangen ihre Federeigenschaften durch eine Wärmebehandlung nach der Federformung. Bei der erforderlichen Schlussvergütung ist der Härteverzug zu beachten. Zur Qualitätssicherung in der Federnfertigung [1.12] sind sowohl Produkt- als auch Werkstoffprüfungen erforderlich. Die Prüfung der Federn im Anschluss an die Fertigung dient vor allem der Kontrolle von Maß- und Formgenauigkeit sowie der Erfüllung der Funktionsforderungen und der Lebensdauer. Möglichkeiten der konstruktiven Beeinflussung werkstoffund fertigungstechnischer Störquellen behandeln die Kap. 2 u. 3.

2 Grundlagen

2.1 Federentwurf Ziel des Federentwurfs ist das Festlegen der Federgestalt mit allen für die Fertigung und den Einsatz erforderlichen Einzelheiten unter Beachtung funktioneller, werkstoff- und fertigungstechnischer Bedingungen. Die Lösung technischer Aufgaben durch Einsatz von Federn erfordert innerhalb eines Federentwurfs Entscheidungen über die geeignete Federart und Federform, die Größe der Parameter, die die Federgestalt beschreiben, Form und Art der Federanschlüsse (Koppelstellen mit anderen Bauteilen), die Wahl des richtigen Werkstoffs, notwendige Wärme- und Oberflächenbehandlungen, Maßnahmen zur Qualitätssicherung und Überlegungen zu einer wirtschaftlichen Fertigung. Innerhalb des Federentwurfs nimmt die Dimensionierung (Auslegung) einen bedeutenden Anteil ein. Grundlagen dazu behandeln die folgenden Abschnitte. 2.1.1 Federungsverhalten Federdiagramm. Eine wesentliche Berechnungsgrundlage für den Entwurf von Federn bildet die Kenntnis ihres Federungsverhaltens. Es stellt die analytische Beschreibung des Zusammenhangs zwischen der auf die Feder einwirkenden Kraft F und des sich daraufhin einstellenden Federwegs s als Auslenkung des Kraftangriffspunktes dar. Je nach Art des Belastungs-Verformungs-Zusammenhangs und der ihn bestimmenden bzw. beeinflussenden Größen hat die im Federdiagramm dargestellte Federkennlinie einen linearen, progressiven, degressiven oder aus diesen Teilen kombinierten (nichtlinearen) Verlauf (Abb. 2.1.a). Entscheidenden Einfluss auf den Verlauf der Federkennlinie haben Werkstoff und Federgestalt. Bei Metallfedern ist vom Verhalten des Werkstoffs her (reibungsfreie Federn vorausgesetzt) ein linearer Kennlinienverlauf (Abb. 2.1.b) zu er-

8

2 Grundlagen

warten, solange nicht durch die Belastung die Elastizitätsgrenze überschritten wird. Durch die im Bereich der Gültigkeit des Hookeschen Gesetzes gegebenen Proportionalität zwischen Spannung und Dehnung stellt sich im Idealfall nach Entlastung immer wieder eine vollständige Rückverformung ein. b)

s

3

s

W = F 1 · s 1 /2

F, (M)

D

'F

2

c)

F

1

F2

F

F1

a)

M

s1 s2

M

' s s, (M )

Abb. 2.1. Federdiagramm a) Prinzipielle Kennlinienverläufe (1 linear; 2 progressiv; 3 degressiv); b) Modelle (translatorisch bzw. rotatorisch bewegtes Federende); c) Lineare Federkennlinie und Federarbeit

Die Federgestalt beeinflusst die Form der Kennlinie entscheidend. Abb. 2.2 zeigt Beispiele von Federn, bei denen auf Grund der besonderen Federart, Federform und Federanordnung Kennlinien mit nichtlinearem Verlauf vorliegen. Der Einfluss der Federgestalt auf den Kennlinienverlauf ist analytisch fassbar und kann beim Federentwurf gezielt zur Realisierung ganz bestimmter, gewünschter Kennlinien eingesetzt werden. a)

b)

c)

F s

h0

t

s

F

M

F

WR

F

WF h 0 /t = konst. M

s

s

Abb. 2.2. Beispiele für Federkennlinienverläufe a) mit Reibung, Spiralfeder im Federhaus; b) degressiver Kennlinienteil einer Tellerfeder; c) progressiver Verlauf bei einer Kegelstumpffeder

2.1 Federentwurf

9

Federrate (Federsteife). Zur Charakterisierung einer Feder wird der Anstieg der Kennlinie herangezogen, der allgemein R = tan D dF/ds

(2.1a)

bzw. RM tanD = dM/dM







(2.1b)

ist und als Federrate bezeichnet wird. In den meisten Fällen besitzen Federn eine lineare bzw. annähernd lineare Kennlinie (s. Abb. 2.2), so dass sich für jede Federvorspannung das gleiche Verhältnis R = (F2 - F1 )/(s2 - s1 ) = 'F/sh

(2.2)

ergibt und die Federrate somit einen konstanten Wert (Federkonstante) hat. Viele Federn sind in mehreren Richtungen verformbar, und es ist je nach Kraftrichtung bzw. Freiheitsgrad des freien Federendes zwischen Längs-, Quer- und Drehfederrate zu unterscheiden . Arbeitsvermögen (Federarbeit). Bei Belastung der Feder durch die Kraft F bzw. ein Moment M ist die Federarbeit s

W

³ F ( s ) ˜ ds

(2.3a)

0

bzw. M

W

³ M (M) ˜ dM

(2.3b)

0

Unter Voraussetzung einer linearen Federkennlinie ist die Federarbeit

W

F ˜s 2

W

M ˜M 2

R ˜ s2 2

(2.4a)

bzw. RM ˜ M 2 2

Sie ergibt sich stets als Fläche unter der Federkennlinie (Abb. 2.2).

(2.4b)

10

2 Grundlagen

Hysterese. Bedeutsam für den Einsatz von Federn für mess- und regelungstechnische Aufgaben ist eine hohe Stabilität des Federungsverhaltens. Zahlreiche physikalische Erscheinungen wirken störend auf den Kennlinienverlauf, so dass sich Unterschiede zwischen dem theoretischen und dem praktischen Verlauf ergeben. Bedingt durch den besonderen Aufbau (z.B. geschichtete Blattfeder oder Spiralfeder im Federhaus), durch den Werkstoff oder durch Krafteinleitungs- und -ableitungsstellen, wirken Reibkräfte verformungs- und rückverformungsbehindernd. Diese Behinderung äußert sich beim Betrachten der Federarbeit als Energieverzweigung (W = WF ± WR ), bei Vorliegen einer Wechselbeanspruchung in Form einer Hystereseschleife (Abb. 2.3). F

c

H0

s

b

a

H

t0 Abb. 2.3. Federkennlinie mit Hysterese (bei Wechselbeanspruchung)

te

t

Abb. 2.4. Zeitliche Spannungs-Dehnungs- Verläufe a elastische Rückfederung; b verzögerte elastische Rückfederung (Nachwirkung); c plastische Verformung; (a + b: elastische Verformung

Relaxation, Kriechen und Nachwirkung sind Erscheinungen, die zu zeitbedingten Veränderungen der Federungswerte (F, s) führen. Während als Relaxation und Kriechen plastische Verformungen bezeichnet werden, die sich bei konstanter Einbaulänge (z.B. bei Schraubendruckfedern) als Kraftverlust (Relaxation), bei konstanter Belastung als Längenverlust (Kriechen) äußern (Abb. 2.4), sind Nachwirkungen elastische Verformungen, die zeitverzögert erfolgen [2.18][2.52][2.56]. Nutzwerte. Zur Beurteilung, Einschätzung und zum Vergleich verschiedener Federn werden vielfach sogenannte Nutzwerte, wie Artnutzwert KA , Volumen- (bzw. Masse-) Nutzwert KM = KV/U und Wirkungsgrad der Dämpfung KD herangezogen [12][13].

2.1 Federentwurf

11

2.1.2 Federberechnung 2.1.2.1 Anliegen

Anliegen der Federberechnung ist es, die zahlreichen Einflüsse und verschiedenen Forderungen auf der Grundlage von Verformungs- und Spannungsbeziehungen so zu berücksichtigen, dass die entworfene Feder den Bedingungen des Funktionsnachweises, in dessen Rahmen die Einhaltung der geforderten Federrate, der Kräfte und Federwege innerhalb vorgegebener Toleranzen, das Schwingungsverhalten und andere Forderungen überprüft wird und den Bedingungen des Festigkeitsnachweises, in dessen Rahmen die Einhaltung der zulässigen Spannungen durch einen Spannungs-, Sicherheits-, Tragfähigkeits- oder Lebensdauernachweis überprüft wird, genügt. Insbesondere beim Festigkeitsnachweis sind die jeweils vorliegenden Betriebsverhältnisse zu berücksichtigen [8][9][12][13][16][2.16] [2.50]. Fast immer ist die Zahl festzulegender Parameter größer als die Zahl der Bestimmungsgleichungen, so dass eine iterative Vorgehensweise erforderlich ist. 2.1.2.2 Belastungs- und Beanspruchungsverläufe

Für die Federberechnung bedeutsam sind weg- und zeitabhängige Belastungsverläufe. Die Wegabhängigkeit der Belastung (F = f(s)) stellt ein wesentliches Funktionsmerkmal der Federn dar. Die Zeitabhängigkeit der Belastung (F = f(t) hat Bedeutung für den Festigkeitsnachweis. Bei zeitabhängigen Belastungen werden stationäre (ruhende) und instationäre (dynamische) Grundfälle unterschieden. Diese Belastungen führen zu stationären und instationären Beanspruchungen des Federwerkstoffes. Die bei Federn am häufigsten vorkommenden zeigt Abb. 2.5. Rein ruhende Beanspruchungen (Abb. 2.5a) sind recht selten. Meist liegen Schwellbeanspruchungen in verschiedenen Formen vor (Abb. 2.5b bis 2.5d). Wechselbeanspruchungen treten nur in einigen speziellen Anwendungsfällen auf (z.B. Drehstabfedern, Federn für Lagerungen und Führungen). Stochastischen Beanspruchungen sind Kfz-Federn ausgesetzt. Die Federberechnung berücksichtigt folgende Grundfälle des zeitlichen Belastungsverlaufs:

12

2 Grundlagen

x Rein stationäre Beanspruchung. Sie liegt bei zeitlich konstanter Belastung (ruhender Belastung) der Feder vor. x Quasistationäre Beanspruchungen. Das sind zeitlich veränderliche Belastungen, die - durch kleine Hubwege sh (bis 10% der Dauerhubfestigkeit) oder 4 - durch größere Hubwege, aber Schwingspielzahlen <10 , verursacht werden (Abb. 2.5a) [3]. x Rein schwellende, sinusförmige Beanspruchung liegt bei vorgespannten Federn vor, die periodischen Belastungsschwankungen ausgesetzt sind (Abb. 2.5b und 2.5d). Schwingspielzahlen sind >104 und die Hubspannung >10% der Dauerhubfestigkeit. x Stoßartige Beanspruchungen entstehen bei einer Schwellbeanspruchung mit kurzzeitig einwirkenden hohen Belastungen (Belastungsspitzen, s. Abb. 2.5c). x Wechselbeanspruchungen werden durch Belastungen mit Richtungsänderungen (Vorzeichenwechsel) hervorgerufen. x Stochastische Beanspruchungen entstehen durch veränderliche, nichtperiodische Belastungsschwankungen. Bei solchen Federn mit zeitlich veränderlichen Hub- und Mittelspannungen (Abb. 2.5e), deren Größtwerte über der Dauerhubfestigkeit liegen können, sind bei der Lebensdauerberechnung statistische Analysen der Lastkollektive und Schadensakkumulationshypothesen anzuwenden [2.16][2.19]. F

a

b

c

d

e t

Abb. 2.5. Typische zeitliche Beanspruchungsverläufe für Federn a stationäre bzw. quasistationäre Beanspruchung (z.B. konstante Vorspannung, Spielausgleich); b Schwellbeanspruchung bei Rückholfeder; c Stoßbeanspruchung an Schalterfeder; d sinusförmige Schwellbeanspruchung an schwingender, vorgespannter Feder (Ventilfeder); e stochastische Beanspruchung (z.B. KfzFeder)

Bei allen instationären Belastungsformen wird bei der analytischen Behandlung von einem sinusförmigen Verlauf nach Abb. 2.7 ausgegangen.

2.1 Federentwurf

13

2.1.2.3 Beanspruchungsgrenzen und zulässige Spannungen

Bei der Dimensionierung von Federn sind vom Konstrukteur Beanspruchungsgrenzen zu berücksichtigen. Sie sind auf der Basis der in einschlägigen Normen und Datenblättern enthaltenen Werkstoffkennwerte festzulegen, wobei die unterschiedlichen, jeweils vorliegenden zeitlichen Belastungsverläufe zu berücksichtigen sind. Als Beanspruchungsgrenze wird dabei der Werkstoffkennwert angesehen, bei dessen Überschreiten das Versagen des Bauteils eingeleitet wird. Wesentliche Versagenskriterien bei Federn sind neben Bauteilbrüchen bleibende Verformungen in unzulässiger Größe. Aufgrund der unterschiedlichen Anforderungen an Federn und der zahlreichen Einflüsse auf die Festigkeit der Werkstoffe wird bei Dimensionierungen der Kennwert des vorgesehenen Werkstoffs nicht immer in voller Höhe angesetzt. Es wird mit zulässigen Spannungen gerechnet, die sich als Quotient aus dem als ertragbare Spannung angesehenen Festigkeitswert (Rm; Re; Rp0,2; Rp0,01 ; VbE; WtF) und der Sollsicherheit S = Serf ergeben. Vzul = Vertr /S

bzw. Wzul = Wertr /S

(2.5)

Empfehlungen zur Wahl der Sollsicherheit und der Festigkeitswerte sind in der Literatur, den Berechnungs- und Konstruktionskatalogen und den einschlägigen Normen enthalten [12][13][18][2.12][2.24][2.42]. Bei stationären und quasistationären Beanspruchungen wird allgemein die im Zugversuch (Abb. 2.6a) ermittelte Streckgrenze Re als Festigkeitswert zugrunde gelegt. Federwerkstoffe weisen im Spannungs-DehnungsDiagramm (Abb. 2.6b) jedoch keine ausgeprägte Streckgrenze auf. An ihrer Stelle wird die 0,2-Dehngrenze Rp 0,2 angegeben. a)

Rm

Rp0,2

H

H = 0,2%

Re

Abb. 2.6. SpannungsDehnungs-Diagramm a) zähe Werkstoffe; b) Federwerkstoffe

Rp0,01

V

Rm

b) V

H

Für Federn sind bleibende Verformungen in der Größe von 0,2 % meist schon zu hoch, weshalb auf die technische Elastizitätsgrenze (Proportionalitätsgrenze) Rp 0,01 bei Zugbeanspruchung bzw. W0,04 bei Verdrehbeanspru-

14

2 Grundlagen

chung zurückgegriffen wird. Mindestwerte dafür können vom Hersteller nicht garantiert werden. Vielfach fehlen auch diese Werkstoffdaten, so dass allgemein die Zugfestigkeit Rm mit garantierten Mindestwerten zur Berechnung zulässiger Spannungen verwendet wird. Durch Multiplikation mit dem Faktor 1/S erhält man beispielsweise die zulässigen Spannungen (s.a. DIN EN 13906-1 bis DIN EN 13906-3) für Druckfedern, nicht vorgesetzt:

Wc zul = 0,40·Rm

(S = 2,50)



Druckfedern, vorgesetzt:

Wc zul = 0,56·Rm (S = 1,79)



Zugfedern:

Wzul



Drehfedern:

Vb zul = 0,70·Rm (S = 1,43).

= 0,45·Rm (S = 2,22)

Beim Festlegen der zulässigen Spannung sind neben Besonderheiten der Federform (Geometrie und Abmessungen), der Herstellung (u.a. Eigenspannungen) auch die Art der Beanspruchung (Biegung oder Verdrehung) zu berücksichtigen. Sofern verfügbar, wird bei biegebeanspruchten Federn die Federbiegegrenze VbE (Biege-Elastizitätsgrenze, Ermittlung s. DIN 50151), ansonsten Re oder Rm als Festigkeitswert eingesetzt. Einflüsse durch das Biegen (Biegeradius, Richtung der letzten Biegung), Oberflächenausführung und Temperatur am Einsatzort verändern diese Werte. Dieser Umstand ist bei der Wahl der Sollsicherheit S = Serf zu beachten. In manchen Fällen werden für den Entwurf torsionsbeanspruchter Federn Eigenschaftswerte wie Gleitmodul G und Schub-Federgrenze WtE (Torsions-Elastizitätsgrenze) benötigt, die meist fehlen. Unter Verwendung von Näherungsbeziehungen G = mE/2(m + 1) = 0,385·E

(2.6)

WtE = VbE/1,73 = 0,578· VbE

(2.7)

ist eine Berechnung möglich (m = 10/3 gesetzt). Bei Schraubendruck- und -zugfedern aus Draht wird allerdings, wie bereits erwähnt, die Zugfestigkeit Rm als Basis für die Berechnung der zulässigen Spannung Wzul benutzt. Bei instationären (dynamischen) Beanspruchungen sind die Dauerschwingfestigkeit und die Zeitfestigkeit als ertragbare Spannungen maßgebend. Die meisten dynamisch beanspruchten Federn werden vorgespannt eingebaut und somit schwellend beansprucht (Unterspannung Vu > 0 bzw.

2.1 Federentwurf

15

Wu > 0). Dauerfestigkeitswerte für Federn sind deshalb meist in der Darstellungsform nach Goodman als Funktion VD = f(VU ) bzw. WD = f(WU ) in Schaubildern verfügbar (s. Abb. 2.8). 1000

W kO  W kU 600

Wh

Wo Vh

Wm

Vm

d = 5 mm

400

W kH

(F)

d = 1 mm d = 2 mm

N/mm²

Schwingspiel

VW

Vo 200

Wu Vu t

Abb. 2.7. Periodische Schwellbelastung mit sinusförmigem Verlauf

0

200

400 N/mm²

W kU

1000

Abb. 2.8. Dauerfestigkeitsschaubild für kaltgeformte Druckfedern aus vergütetem Ventilfederdraht, kugelgestrahlt

Die bekannten dauerfestigkeitsverändernden Einflüsse [4][2.6][2.19] [2.22][2.23][2.45][2.54][2.59], die schließlich zur Gestaltfestigkeit führen, sind auch für Federn von Bedeutung. Ganz besonders der Einfluss der Oberflächenbeschaffenheit des Werkstoffs ist zu beachten. Hochfeste Werkstoffe sind besonders kerbempfindlich. Durch eine entsprechende Oberflächenbehandlung (z.B. Kugelstrahlen) ist eine Steigerung der Dauerfestigkeit möglich. Die Federberechnung erfolgt bei Vorhandensein eines Dauerfestigkeitsschaubildes, das für die gewählte Federart und den vorgesehenen Werkstoff gilt, durch Errechnen der Nennspannungen und Ermitteln der dazugehörigen Dauerfestigkeitswerte aus dem Schaubild (s. DIN EN 13906-1). Beispielsweise ergeben sich bei Beanspruchung einer Druckfeder durch die Kräfte F1 und F2 die Nennspannungen Wu = f(F1 ) ” WU ; Wo = f(F2 ) ” WOҏ ; ҏWh = f(F2 - F1 ) ” WH , die mit den entsprechenden Dauerfestigkeitswerten WU ; WO und WH zu vergleichen sind.

16

2 Grundlagen

2.1.2.4 Berechnungsablauf

Bei stationären und quasistationären Beanspruchungen der Feder bzw. des Federwerkstoffs können die Berechnungen nach den im Kap. 4 für die jeweilige Feder angegebenen Grundbeziehungen für Verformungen und Spannungen vorgenommen werden. Innerhalb des Funktionsnachweises ist dann zu überprüfen, ob die geforderten Federwege bzw. Federkräfte innerhalb der gegebenen Toleranzen realisiert werden konnten: smin ” s ” smax ;

smax < sgrenz

(2.8a)

Fmin ” F ” Fmax ;

Fmax < Fgrenz

(2.8b)

Rmin ” R ” Rmax

(2.8c)

Die Grenzwerte für den Federweg smax bzw. die Federkraft Fmax ergeben sich aus der begrenzten Werkstoffbeanspruchbarkeit. Bei Schraubendruckfedern z.B. wird der Federweg auch durch Einbauverhältnisse, durch die maximal mögliche Zusammendrückung auf Blocklänge Lc der Feder oder durch die erforderliche Knicksicherheit begrenzt. Durch den Spannungsnachweis ist die Einhaltung der Bedingung Nennspannung ” zulässige Spannung

zu prüfen. Das kann durch einen Spannungsvergleich Vvorh ” Vzul bzw. Wvorh ” Wzul

(2.9a)

oder durch einen Sicherheitsvergleich (Vergleich der Istsicherheit mit der Sollsicherheit) Svorh • Serf

(2.9b)

erfolgen. Die Berechnung der Nennspannungen ist nach den im Kap. 4 angegebenen Beziehungen unter Berücksichtigung der federartspezifischen Abweichungen und Besonderheiten vorzunehmen. Die meisten der hierfür verwendeten Spannungsbeziehungen beruhen auf Näherungslösungen, die nur Hauptbeanspruchungen berücksichtigen, oft nur für kleine Federwege vernachlässigbare Abweichungen ergeben und im begrenzten Umfang Einflüsse der Federgestalt berücksichtigen. Zulässige Spannungen sind nach den im Abschn. 2.1.2.3 dargelegten Zusammenhängen und unter Berücksichtigung der Werkstoffkennwerte (s. Kap. 3) zu ermitteln. Die Festlegung des Sicherheitsfaktors richtet sich

2.1 Federentwurf

17

nach der zur Berechnung der zulässigen Spannung verwendeten ertragbaren Spannung (Rm; Re; Rp 0,2; Rp 0,01; VbE u. dgl.), nach dem Einsatzzweck der Feder, den betrieblichen Bedingungen und vielen anderen Faktoren und setzt große Erfahrungen voraus, wenn auch ökonomische Belange (z.B. optimale Werkstoffauslastung) berücksichtigt werden sollen. Bei dynamischen Beanspruchungen führt die Berücksichtigung der Zeitabhängigkeit vieler Berechnungsgrößen zu einem erheblichen Rechenaufwand. Um diesen in erträglichen Grenzen zu halten, ist man bestrebt, näherungsweise, speziell beim ersten Federentwurf (Überschlagsrechnung), weitgehend stationär zu rechnen. Dabei werden je nach vorliegendem Belastungsfall recht erhebliche Abweichungen in Kauf genommen. Federbrüche sind die Folge, wenn die Abweichung der dynamischen von der stationären Beanspruchung zu einer wesentlichen Überschreitung der zulässigen Spannung führt. Aber auch beim Versuch, sowohl bei den Nennspannungen als auch bei den aus Dauerfestigkeitswerten ermittelten zulässigen Spannungen alle dynamischen Einflüsse berücksichtigen zu wollen, stößt man auf Grenzen, die x durch einen hohen Rechenaufwand, x durch fehlende Festigkeitswerte bei entsprechenden Betriebsbedingungen, x durch fehlende, die Dauerfestigkeit beeinflussende Faktoren, x durch Idealisierungen bei der Modellbildung und andere Bedingungen gegeben sind (s.a. Kap. 5). Fast immer liegen in irgendeiner Form reibungsbehaftete und somit gedämpfte, schwingungsfähige Feder-Masse-Systeme vor. Die dynamischen Federwege und Federkräfte erreichen Amplitudenspitzenwerte, die erheblich größer als rein stationär ermittelte sein können. Diese Werte sind abhängig [5][6][12][2.10][2.26][2.35][2.38][2.40][2.53] x von der Zeit (s = f(t) ; v = f(t) usw.) und der Zeitfunktion der äußeren Belastung, x von den Trägheitskräften der bewegten Massen, x vom Verhältnis Erreger- zur Eigenfrequenz (Ze /Z) und x von den Dämpfungskräften. Wie bei stationären Beanspruchungen sind auch hier Funktions- und Spannungsnachweise zu führen (analog Gl. (2.8) und (2.9)), mit dem Unterschied, dass sowohl bei den Federwegen, Federkräften und Nennspannungen als auch bei den ertragbaren Spannungen die dynamischen Verhältnisse und Einflüsse einzubeziehen sind.

18

2 Grundlagen

2.1.3 Federsysteme

Die Anordnung mehrerer Federn zur Aufnahme von Kräften und Bewegungen in einer Konstruktion wird als Federsystem bezeichnet. Als Federsysteme sind auch Bauteilanordnungen untereinander und mit Federn anzusehen, wenn sich deren Federraten nicht um wesentliche Größenordnungen voneinander unterscheiden. Entsprechend der möglichen Federanordnungen und -beweglichkeiten (Freiheiten, Freiheitsgrade) entstehen ebene oder räumliche Federsysteme, wobei die Einzelfedern translatorische oder rotatorische Bewegungen ausführen und die Gesamtbewegung sich dann aus diesen Teilbewegungen zusammensetzt. Einfache Federsysteme ergeben sich durch Parallel- bzw. Reihenschaltung von Einzelfedern, bei denen nur eine translatorische oder rotatorische Bewegungsrichtung zugelassen wird. Bei ebener Anordnung sind Bewegungen in zwei Translations- und einer Rotationsrichtung möglich, so dass das Federungsverhalten der Einzelfedern in diesen Richtungen (Längs-, Quer- und Drehfedersteife) bei der Berechnung des Federsystems zu beachten ist [5][8][9][12][13][16][2.10][2.26][2.31][2.35][2.38][2.40][2.53]. Parallelschaltung von Federn. Das Modell einer parallelen Anordnung von Einzelfedern mit gleichgroßen oder verschieden großen Federsteifen zeigt Abb. 2.9a. Bei unterschiedlichen Federlängen, verschiedenen Federarten und -formen sind entsprechende konstruktive Maßnahmen für die Realisierung gewünschter Anordnungen zu treffen.

Abb. 2.9. Parallelschaltung von Einzelfedern a) Anordnung; b) Ersatzschaltbild; c) Federkennlinien

Zur Berechnung der dieses System ersetzenden Gesamtfeder (Abb. 2.9b) gilt unter der Voraussetzung, dass nur eine Translationsbewegung in Kraftrichtung erfolgt:

2.1 Federentwurf

19

In einer Federparallelschaltung legt der Kraftangriffspunkt jeder Einzelfeder den gleichen Federweg s zurück. Somit ergibt sich: Gesamtfederweg des Systems

s = s1 = s2 = ... sn n

¦1 Fz

Gesamtfederkraft des Systems F = F1 + F2 + ... Fn = Gesamtfederrate

R = R1 + R2 + ... Rn =

n

¦1 Rz

(2.10)

.

(2.11) (2.12)

Die Federrate des Gesamtsystems einer Federparallelschaltung ist stets größer als die Federrate der Einzelfedern (Abb. 2.9c). Federn mit unterschiedlich großen Federraten erfordern einen asymmetrischen Kraftangriffspunkt, wenn die Verschiebung ohne Verkippen (drehmomentfrei) erfolgen soll. Aus den Gleichgewichtsbedingungen folgt nach Abb. 2.9a für den Abstand a des Kraftangriffspunktes mit F1 = R1 s1 bzw. F2 = R2 s2 a = F2 l/F = (R2 l)/(R1 + R2 ) .

(2.13)

Reihenschaltung von Federn. Abb. 2.10 zeigt das Modell von in Reihe geschalteten Federn. Charakteristisch für eine derartige Schaltung ist:

In einer Federreihenschaltung wird jede Einzelfeder durch die auf das System wirkende Gesamtkraft F belastet.

Abb. 2.10. Reihenschaltung von Einzelfedern a) Anordnung; b) Ersatzschaltbild; c) Federkennlinien

20

2 Grundlagen

Somit gilt: Gesamtfederkraft des Systems F = F1 = F2 = ... Fn Gesamtfederweg des Systems s = s1 + s2 + ... sn = Gesamtfedersteife

(2.14) n 1 z

(2.15)

¦s

1/R = 1/R1 + 1/R2 + ... + 1/Rn =

n

¦ 1/ R 1

z

(2.16)

Die Federrate des Gesamtsystems einer Federreihenschaltung ist stets kleiner als die Federrate der Einzelfedern (Abb. 2.10c). Kraftmomentbelastete Federparallelschaltung. Parallelgeschaltete Federn sind als System in der Lage, auch Kraftmomente aufzunehmen. Ein auf diese Weise belastetes System zeigt Abb. 2.11. Dessen Drehfederrate RM ergibt sich mit dem Ansatz

M = F1·a + F2(l – a) = R1·a2·M + R2(l – a)2·M ,

(2.17)

wobei F1 = R1·s1 und F2 = R2·s2 sowie s1 = a·M und s2 = (l - a)M ist, zu RM = M/M = R1·a2 + R2(l – a)2 .

(2.18)

Das Rückstellmoment ist dem Quadrat der Federabstände zum Drehpunkt proportional. Es zeigt sich eine Analogie zum Trägheitsmoment.

Abb. 2.11. Kraftmomentbelastete Federparallelschaltung

2.1 Federentwurf

21

2.1.4 Berechnungshilfen und Federoptimierung

Unentbehrlich sind beim Entwurf von Federn in Tabellen oder Diagrammen erfasste Hilfsgrößen und Richtwerte (z.B. k-Faktor nach Göhner, s. Abb. 4.15 u. Tabelle 4.18). Für einige Federarten (z.B. Druckfedern in DIN 2098 und in [12] [1.3][2.70] sowie Tellerfedern in DIN 2093; s.a. [2.68][2.71]) stehen Datenblätter zur Verfügung, aus denen für bestimmte Federwerkstoffe „Normfedern“ ausgewählt werden können. Spezielle Forderungen sind nicht immer erfüllbar. In solchen Fällen ist aber mit Hilfe von Datenblättern (Beispiele in Tabelle 2.1) bereits eine überschlägliche Parameterbestimmung möglich. Derartige Datenblätter sind folglich ein wesentliches Hilfsmittel für den Federentwurf. Für die Berechnung vieler Federarten stehen seit langem die unterschiedlichsten grafischen Rechenhilfen in Form von Leitertafeln (Fluchtlinientafeln) oder Nomogrammen zur Verfügung [9][10][2.20][2.62]. Neben Nomogrammen zur Berechnung von Schraubendruckfedern sind solche für die Berechnung von Tellerfedern, Spiralfedern, Blattfedern und Blattfederkombinationen entwickelt worden [8][10][2.20]. Einige Beispiele zeigen die Abb. 2.12 und 2.13.

Abb. 2.12. Nomogramm zur Berechnung von Tellerfedern

22

2 Grundlagen

1. Federanordnung (Prinzipbild)

2. Nomogramm-Aufbau

3. Grundbeziehungen und Abkürzungen

Einzelfeder:

s

4 Fl 3 oder s Ebh 3

2l 2 V b zul 3Eh

Doppelfeder:

Eb = b2/b1 ; Eh = h2/h1 ; El = (l2 – l1)/l1 ; Es = s2/s1 ; EF = F2/FKo ; EE = E2/E1 ; EV = Vb2/Vb1 ; m = Eb·Eh2·EV (für EF d 1); k = Eb·Eh3·EE ; qa = a/s1 ; q1 = k(qa + 1) + 1;

Abb. 2.13. Arbeitsblattaufbau zur Berechnung von Kontaktblattfeder-Schaltern nach [10][1.17][2.20]

Der Aufwand für die Erstellung der Nomogramme ist zwar erheblich, dafür sind sie aber meist bequem zu handhaben und führen schnell zu brauchbaren Ergebnissen. Auf kleiner Fläche lässt sich eine recht große Zahl von Variablen unterbringen. Bedingt durch die begrenzte Zeichenund Ablesegenauigkeit liefern diese Rechenhilfen allerdings nur relativ ungenaue Federdaten. Für den Federentwurf ist die Genauigkeit oft ausreichend. Werden genauere Werte benötigt, ist eine Nachrechnung erforderlich. Die moderne Rechentechnik stellt heute in allen Bereichen der Industrie, vor allem aber bei der Produktentwicklung, ein wesentliches Hilfsmittel dar. Für Federberechnungen stehen zur Nutzung dieser Technik, neben den in der Fachliteratur [1.4][1.13] enthaltenen, vor allem Programme der Hersteller zur Verfügung [2.67][2.71][2.73]. Spezielle Programme zur Behandlung dynamischer Probleme an Federn beziehen die Finite-ElementeMethode (FEM) ein. Das Feder-Modell wird dabei in endliche Abschnitte aufgeteilt, für deren Randpunkte Kraft-Verschiebungs-Beziehungen mit Hilfe von Steifigkeitsmatrizen formuliert werden. Unter periodischen oder beliebigen instationären Krafterregungsformen lässt sich so das dynami-

2.1 Federentwurf

23

Tabelle 2.1. Beispiele für Datenblätter zu Federn (Sorte C n. DIN 17223 jetzt SH/DM n. DIN EN 10270-1) a) Schraubendruckfedern (Werte nach [2.67]) F

Fn

Dm

DRUCKFEDERN zylindrische Form

d mm 2

Dm mm 25

20

16

L0 mm 58,0 88,5 135,0 195,0 290,0 41,0 62,0 94,0 135,0 200,0 30,0 45,0 68,0 98,0 145,0

nf 3,5 5,5 8,5 12,5 18,5 3,5 5,5 8,5 12,5 18,5 3,5 5,5 8,5 12,5 18,5

Fn N 130

160

200

±TFn R N N/mm 7,68 2,980 6,98 1,896 6,54 1,227 6,27 0,834 6,08 0,563 8,84 5,821 8,05 3,704 7,55 2,397 7,25 1,630 7,04 1,101 11,23 11,370 10,23 7,235 9,58 4,681 9,20 3,183 8,93 2,151

d L 0 = Ln + sn

Fn

Federstahldraht DIN 17223, Sorte C; Bezeichnungsbeispiel mit d = 2,0 mm; Dm = 16 mm; L0 = 30 mm: DRUCKFEDER C 2,0 x 16,0 x 30,0

Ln mm 14,5 20,0 29,0 39,0 59,5 13,5 19,0 27,5 37,0 54,5 12,5 17,5 25,5 35,0 52,0

s

sn

Ln

Lc mm 11,0 15,0 21,0 29,0 41,0 11,0 15,0 21,0 29,0 41,0 11,0 15,0 21,0 29,0 41,0

DD max mm 22

DH min mm 28

17,1

22,9

13,4

18,6

b) Schraubenzugfedern

ZUGFEDERN

L0

20

16

L0 mm 57,5 69,7 88,0 102,0 118,0 139,0 159,0 51,1 63,3 81,6 95,8 112,0 132,0 153,0 49,5 62,9

Fn

nf 10 16 25 32 40 50 60 10 16 25 32 40 50 60 10 16

F0 N 7,1

Fn N 118

12,8

142

16

178

R N/mm 1,180 0,736 0,471 0,368 0,294 0,236 0,196 2,030 1,270 0,814 0,636 0,509 0,407 0,339 3,970 2,480

d

F0

Federstahldraht DIN 17223, Sorte C; Bezeichnungsbeispiel mit d = 2,0 mm; Dm = 20,0 mm; L0 = 132 mm: ZUGFEDER C 2,0 x 20,0 x 132 Dm mm 24

sn L0 = L n – s n

s Fn Ln

Ln mm 152 221 325 406 498 613 728 115 165 241 300 367 451 535 85,5 122

Dm

zylindrische Form

d mm 2

F

24

2 Grundlagen

sche Verhalten der Federn analysieren, simulieren und berechnen. Allerdings ist bei der Bewertung der Ergebnisse, wie bei allen FEMBerechnungen, eine kritische Herangehensweise angezeigt. Werden Aufgaben der Federoptimierung einbezogen, dann nimmt die Differenziertheit der Programme weiter zu. Anliegen solcher Rechnungen ist es, für einen bestimmten Zweck die geeignetste Feder oder die Feder mit optimalen Abmessungen zu finden. Das Suchen nach einem Optimum im Rahmen einer technischen Aufgabe führt bei der Lösung der mathematischen Problemstellung meist zu Ergebnissen, die sich nicht unmittelbar technisch verwerten lassen. Der Konstrukteur muss Kompromisslösungen eingehen, insbesondere dann, wenn ein Teil der zu bestimmenden Parameter in diskreter Form vorliegt, wie es bei Federn häufig der Fall ist (z.B. durch Halbzeugparameterstufungen). Zahlreiche Optimierungsziele sind bei Federn formulierbar [12][1.4][2.9][2.39]. Vorrangig sind jedoch die Bedingungen des Funktions- und des Festigkeitsnachweises zu erfüllen.

2.2 Einfluss der Herstellung auf die Federfunktion Die Formgebung der Grundkörper von Metallfedern erfolgt ausschließlich spanlos. Federn mit kleinen bis mittleren Materialquerschnitten werden durch Kaltformgebung und solche mit größeren durch Warmformgebung hergestellt. Eine spanende Formgebung findet lediglich bei der Bearbeitung von Federenden oder Werkstückkanten statt. Anschließend durchgeführte Wärme- und Oberflächenbehandlungen sowie spezielle Plastizierungsvorgänge dienen der Vervollkommnung der Feder. Sie können deren Funktionsfähigkeit entscheidend beeinflussen. Nachfolgend soll nur auf einige wichtige Fakten der Federherstellung eingegangen werden (ausführlichere Darstellungen s. [12][2.5][2.15] [2.36][2.37][2.48]). 2.2.1. Kaltformgebung

Schraubenfedern werden aus Federdraht meist bis zu Drahtstärken d = 16 mm kalt geformt. Abb. 2.14 enthält den prinzipiellen Fertigungsablauf für kaltgeformte Schraubendruckfedern aus federhartem Werkstoff. Die Grundformgebung einer Schraubenfeder erfolgt durch Wickeln um einen Dorn oder durch Winden mit einem Federwindeautomaten. Federkörper für Zugfedern werden meist mit Vorspannung gewickelt.

2.2 Einfluss der Herstellung auf die Federfunktion

25

Werkstoff: patentiert gezogener, ölschlussvergüteter oder federhart gezogener Draht Winden/Wickeln des Federkörpers

Anlassen Schleifen der Federenden; bei Bedarf : Entgraten der geschliffenen Enden Kugelstrahlen (wenn gefordert) Entspannen nach dem Kugelstrahlen

Vorsetzen Oberflächenbehandlung; Korrosionsschutz Endkontrolle

Abb. 2.14. Fertigungsablauf der Kaltformgebung einer Schraubenfeder

Abb. 2.15 zeigt das Prinzip des Federwindens. Die so entstandenen Federkörper werden ebenso wie die durch Wickeln hergestellten entsprechend weiterverarbeitet. Bei Druckfedern erfolgt ein Anschleifen der Federenden und bei Zug- oder Drehfedern meist in einem unmittelbar folgenden Arbeitsgang das Abbiegen der Federenden. Je nach der Größe des Loses setzt man hierzu moderne Maschinen und Automaten oder handwerkliche Methoden [2.5][2.15][2.36][2.37][2.48][2.63] ein. Obwohl bei Schraubenfedern das Wickelverhältnis (Verhältnis des mittleren Windungsdurchmessers zum Drahtdurchmesser, w = Dm /d) im Bereich von 4dw d16 (bevorzugt zwischen 7dw d10) liegen sollte, sind durchaus kleinere Werte bis w = 3 und in Ausnahmefällen auch darunter üblich. Um beim Winden bzw. Wickeln oder Ösenanbiegen Risse (auch Haarrisse) zu vermeiden, muss der verwendete federharte Werkstoff noch über beträchtliche Kaltverformungsreserven verfügen. Die Herstellung von Spiral-, Draht- und Flachformfedern ähnelt denen der Schraubenfedern. Bei der Kaltumformung sollte man zu hohe Werkstoffbeanspruchungen vermeiden. Üblich ist deshalb in der Federntechnik das Prinzip des Kantenbiegens (s. Abb. 2.16). Umformungen wie das Tiefziehen sind mit federharten Bändern nicht machbar.

26

2 Grundlagen

Abb. 2.15. Schematische Darstellung des Windens einer Schraubenfeder 1 Einzugrollen; 2 Drahtführung; 3 Windestifte; 4 Schneidmesser; 5 Steigungsstift (-keil, -haken) elastische Rückfederung

Druck

Abb. 2.16. Prinzip des Kantenbiegens

Belastungsspannung

Eigenspannung

Zug

Abb. 2.17. Belastungsspannungen und Biegeeigenspannungen im Draht beim bzw. nach dem Wickeln

Bei schwierig zu formenden Federenden mit zu kleinen Biegeradien ist es beispielsweise bei der Spiralfederherstellung mitunter notwendig, die Federenden weich zu glühen, um die Umformung zu ermöglichen. Erfolgt dies unsachgemäß, dann können hierbei ebenfalls Werkstofffehler entstehen, die die Funktion beeinträchtigen. Das Risiko eines unsachgemäßen Glühens der Federenden kann man vermeiden, wenn kompliziert geformte Draht- oder Bandfedern aus weichgeglühtem Material gefertigt und anschließend auf Federhärte vergütet (gehärtet und angelassen) werden. Diese Herstellungsvariante erfordert jedoch Maßnahmen zum Vermeiden des Härteverzuges.

2.2 Einfluss der Herstellung auf die Federfunktion

27

Die Kaltumformung federharter Werkstoffe ist mit dem Entstehen von Eigenspannungen (inneren Spannungen) verbunden, deren Größe und Verteilung ebenfalls funktionsentscheidend sein können. Am Beispiel einer Schraubenfeder soll das Entstehen von Eigenspannungen demonstriert werden. Der bei der plastischen Verformung entstehende Verlauf der Belastungsspannungen ist aus Abb. 2.17 ersichtlich. In den zur Federmitte gerichteten inneren Fasern liegen Druck- und in den äußeren Zugspannungen vor. Wird die Verformung beendet, d.h. die Belastung aufgehoben, dann findet eine elastische Rückfederung statt, die entlang der in Abb. 2.17 eingezeichneten Geraden verläuft. Die Größe der Rückfederung wird von der Elastizitätsgrenze beeinflusst und ist bei den meisten Federwerkstoffen relativ hoch. Nach der Rückfederung liegen Restspannungen (Eigenspannungen) vor, deren Größe sich aus der Differenz von Belastungs- und Rückfederungsspannungen ergibt. Aus Abb. 2.17 ist ersichtlich, dass an der Innenseite des gekrümmten Drahtstückes Zugeigenspannungen und an der Außenseite Druckeigenspannungen vorliegen. Die in den äußeren Fasern entstandenen Eigenspannungen sind dabei den vorher wirkenden Belastungsspannungen entgegengerichtet. In einem bestimmten Abstand von der Oberfläche findet man einen eigenspannungsfreien Zustand, während in der Nähe der neutralen Faser die Eigenspannungen wieder mit den ursprünglichen Belastungsspannungen gleichgerichtet sind (Näheres s. Abschn.3.3.1). Weiterhin ist es bei der Kaltformgebung nahezu unmöglich, Oberflächenbeschädigungen des Werkstoffes zu vermeiden. Dem Geschick des Federherstellers obliegt es, solche Oberflächenbeschädigungen klein zu halten und an weniger hoch beanspruchte Stellen zu legen. Oberfläche und Kantenbeschaffenheit wirken sich jedoch entscheidend auf die Dauerfestigkeit aus. Abb. 2.18 zeigt den Einfluss der Kanten- und Oberflächenbeschaffenheit auf die Dauerfestigkeit von Flachfedern nach B. Kaiser [2.28]. Es ist zu erkennen, dass selbst die Gratanordnung für die Dauerwechselfestigkeit entscheidend sein kann. 2.2.2 Warmformgebung

Die Warmformgebung von Stählen zu Blatt-, Schrauben-, Drehstabfedern und Stabilisatoren (s.a. Abb. 2.19) findet im Temperaturbereich von 830 bis 900 Grad Celsius statt. Es ist dabei nicht nur möglich, große Materialquerschnitte mit relativ geringen Kräften zu verformen, sondern es bleiben nach der Warmumformung in der Regel auch keine unerwünschten Eigenspannungen zurück.

28

2 Grundlagen 800 700

Ck101

Ck75 0,5 mm dick

1,0 mm dick

N/mm²

600

V$

500

V A90 V A50 V A10

400

300

200 100

a)

b)

c)

d)

e)

f)

Abb. 2.18. Einfluss der Oberfläche und Kantenbeschaffenheit auf die Dauerfestigkeit von Flachfedern nach B. Kaiser [2.28] (VA Ausschlagdauerfestigkeit, 90%, 50% und 10% Überlebenswahrscheinlichkeit; Ck75 (a und b) mit Rm = 1700 N/mm²; Ck101 (c bis f) mit Rm = 1640 N/mm²) a) arrondiert und poliert; b) arrondiert und randoxidiert; c) arrondiert; d) geschnitten, Schnittgrat auf der Druckseite; e) geschnitten, Schnittgrat auf der Zugseite; f) trovalisiert Beachte: Nach DIN EN 10132-4 ist für Ck75 ĺ C75S und Ck101 ĺ C100S zu setzen.

Selbstverständlich ist die Warmformgebung auch von Risiken begleitet. So kann eine Überhitzung (Überschreitung der oberen Grenztemperatur) oder ein zu langes Halten auf einem Temperaturniveau zu einer Kornvergröberung führen. Entkohlung oder Verzunderung können auftreten. Außerdem ist zu beachten, dass beim Erreichen der unteren Temperaturgrenze nicht mehr weiter verformt werden darf, ohne vorher das Werkstück erneut zu erhitzen. Grundsätzlich werden warmgeformte Federn unmittelbar nach der Warmformgebung gehärtet, d.h. in Öl abgeschreckt und sofort nach dem Abschrecken angelassen. Ist durch die Formgebungstechnologie nicht sicher gewährleistet, dass eine gleichmäßige Temperaturverteilung im Härtegut vorliegt, dann ist vor dem Abschrecken ein Temperaturausgleich in einem Ofen notwendig, um Rissbildung zu vermeiden. Des weiteren ist auch dann ein Wiedererwärmen erforderlich, wenn die Werkstücktemperatur unter die untere Grenze der Härtetemperatur abgefallen ist.

2.2 Einfluss der Herstellung auf die Federfunktion

29

Werkstoff: warmgewalztes Federband Erwärmen auf eine Temperatur von ca. 900°C Warmformgebung: Augen rollen, Blatt auswalzen, Lochen, Beschneiden usw. Erwärmen auf Härtetemperatur

Biegen und Härten in der Form Anlassen Kugelstrahlen Montieren Setzen und Prüfen

Abb. 2.19. Fertigungsablauf einer warmgeformten Blattfeder

Weil bei Federn mit größeren Materialquerschnitten der Oberflächenzustand entscheidend die Lebensdauer beeinflussen kann, ist es üblich, auch bei warmgeformten Federn vor dem Wickeln die Walzhaut des eingesetzten Materials durch Ziehen, Schälen oder Schleifen zu beseitigen. Man schafft damit im Zusammenwirken mit einer nachfolgenden Oberflächenverfestigung einen geeigneten Oberflächenzustand. Bei manchen Federarten, wie Blattfedern, Stabilisatoren, aber auch Tellerfedern, erfolgen Warmumformung und Abschrecken in ein und demselben Werkzeug, so dass wie beim Abschrecken in einer Härtepresse jeder Härteverzug vermieden werden kann. 2.2.3 Wärmebehandlung

Je nach der Art des eingesetzten Federwerkstoffes (s.a. Kap. 3), werden an Federn verschiedenartige Wärmebehandlungen durchgeführt, wie das Anlassen ( statt Anlassen wäre nach DIN EN 10052 der Begriff Spannungsarmglühen anzuwenden) nach einer Kaltumformung (Entspannen), das Anlassen zur Aushärtung ausscheidungshärtbarer Werkstoffe und das Härten sowie nachfolgende Anlassen von weichen, härtbaren Federstählen (Vergüten).

30

2 Grundlagen

2.2.3.1 Anlassen (Entspannen) von Federn aus federharten Werkstoffen

Die bei der Kaltumformung von federharten Werkstoffen entstehenden Eigenspannungen sind, von Ausnahmen abgesehen, für die spätere Funktion der Feder schädlich, da sie die elastischen Eigenschaften der Feder beeinträchtigen (s.a. Abschn. 3.3.1). Das geht aus Abb. 2.20 hervor. Es zeigt als Beispiel die Schubspannungs-Schiebungs-Kurven einer Druckfeder vor und nach dem Anlassen. Es ist ersichtlich, dass die unangelassene Feder eine scheinbar niedrigere Schubelastizitätsgrenze als die angelassene Feder besitzt. In der Federnpraxis wirkt sich dies so aus, dass eine nicht angelassene Feder einen höheren Setzbetrag als eine angelassene Feder aufweist (s. Abb. 2.21). angelassen

1000

3

N/mm²

W

4

800 2 1

600

unangelassen 400

200

0 0,04

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

1,2

% 1,4

1,6

J

Abb. 2.20. Schubspannungs-Schiebungs-Kurven einer Druckfeder aus Federstahldraht Sorte A DIN 17223, unangelassen bzw. bei 250°C angelassen (Drahtdurchmesser d = 3,2 mm; Wickelverhältnis w = 4; Windungszahl n = 3,5; Zugfestigkeit Rm = 1630 N/mm²); (DIN 17223 jetzt DIN EN 10270-1) 1 W0,04 unangelassen; 2 W0,2 unangelassen; 3 W0,04 angelassen; 4 W0,2 angelassen

Durch eine Wärmebehandlung ist der Betrag und damit der Einfluss der Eigenspannungen verringerbar, wobei der Spannungsabbau mit steigender Behandlungstemperatur zunimmt. Abb. 2.22 zeigt als Beispiel die Änderung der an der Windungsinnen- bzw. -außenseite vorhandenen Wickeleigenspannungen durch das Anlassen. Um eine Entfestigung des Werkstoffes zu vermeiden, sind, je nach Federwerkstoff und Federart, nur relativ

2.2 Einfluss der Herstellung auf die Federfunktion

31

niedrige Anlasstemperaturen zulässig (s. Tabelle 2.2). Ein völliger Spannungsabbau erfordert Temperaturen von über 550°C , die bei den meisten Federn nicht anwendbar sind.

Setzmaß

6 mm 5 4

nicht angelassen Fsetz = 60N

3 2 1

angelassen Fsetz = 70N Fsetz = 60N

0

1 2 3 4 Anzahl der Setzvorgänge

5

Abb. 2.21. Einfluss des Anlassens auf das Setzmaß einer Druckfeder in Abhängigkeit von der Anzahl der Setzvorgänge (Drahtdurchmesser d = 1,4 mm; Wickelverhältnis w = 13; Windungszahl n = 5,75;Werkstoff: Federstahldraht Sorte DH DIN EN 10270-1)

Abb. 2.23. Anstieg der Zugfestigkeit Rm, Streckgrenze Rp 0,2 und Elastizitätsgrenze Rp 0,01 durch Reckalterung beim Anlassen von patentiert gezogenen Drähten nach F. Schwier [2.57]

Abb. 2.22. Eigenspannungs-Tiefenprofil an Druckfedern aus Ventilfederdraht, vor und nach dem Anlassen, nach [2.69]

32

2 Grundlagen

Tabelle 2.2. Anlasstemperaturen für kaltgeformte Federn aus verschiedenen Werkstoffen (1 abhängig von der Zusammensetzung) Werkstoff

Federart

Patentiert gezogener Draht

Druck-, Dreh- und Drahtformfedern Zugfedern mit hoher Vorspannkraft alle Drahtfedern

Ölschlussvergütete Federstahlund Ventilfederdrähte Austenitische Stähle: X12CrNi18-8

Kupferlegierungen:

1

alle Federarten Zugfedern mit hoher Vorspannkraft alle Federarten X7CrNiAl17-7 Zugfedern mit hoher Vorspannkraft Cu-Zn-Legierungen alle Federarten Cu-Sn-Legierungen alle Federarten Cu-Be-Legierungen alle Federarten

Anlasstemperatur in °C 230–250 200–230 380–400 380–400 300–320 475–490 350–400 160–190 165–190 300–350 ¹

abhängig von der Zusammensetzung

Neben dem mit dem Anlassen erzielbaren Eigenspannungsabbau sind in Abhängigkeit vom Federwerkstoff weitere Einflussfaktoren wirksam, die sowohl die Federherstellung als auch den späteren Einsatz beeinflussen können. Während beispielsweise auf Federhärte vergütete Federstahl- bzw. Ventilfederdrähte oder Federbänder bei einer Erwärmung solange keine Veränderung der Werkstoffeigenschaften aufweisen, solange nicht die ursprünglich bei der Halbzeugherstellung angewandten Anlasstemperaturen überschritten werden, weist die Gruppe der patentierten und kaltgezogenen Drähte bzw. Bänder beim Erwärmen Alterungserscheinungen auf (auch Reckalterung genannt), die durch Ausscheidung von Oxiden und Nitriden an den Korngrenzen bedingt sind. Wie Abb. 2.23 erkennen lässt, steigen Zugfestigkeit Rm , Streckgrenze Rp0,2 und Elastizitätsgrenze Rp0,01 in Abhängigkeit von der Zusammensetzung bis zu Anlasstemperaturen von 220°C zunächst an, so dass die Grenzen für die zulässige Werkstoffbeanspruchung erhöht werden können. Dabei verzeichnet die Elastizitätsgrenze den größten Anstieg. Mit weiter steigender Temperatur verringert sich die Höhe der Änderungen der Werkstoffkennwerte, da man in den Bereich der Rekristallisation gelangt. Völlig anders geartet sind die Vorgänge beim Erwärmen von austenitischen, nichtrostenden Drähten und Bändern. Nach dem Lösungsglühen und Kaltziehen oder Walzen auf Festigkeit weisen diese Stähle, z.B. solche aus X12CrNi18-8, ein Gefüge auf, dass zum größten Teil aus Austenit, D-

2.2 Einfluss der Herstellung auf die Federfunktion

33

Eisen und Martensit besteht. Mit einer Erwärmung zwischen 150 und 450°C findet eine weitere Gefügeumwandlung des Austenits statt. Es ist dann wie bei patentiert gezogenen Drähten ein Anstieg von Zugfestigkeit, Streckgrenze und Schubmodul (Gleitmodul) erreichbar. Neben der Beeinflussung der Werkstoffeigenschaften durch eine Erwärmung müssen auch die Veränderungen der Feder selbst beachtet werden. So verringert sich mit einer Erwärmung bei Zugfedern die eingewickelte innere Vorspannkraft. Abb. 2.24 zeigt am Beispiel einer Zugfeder aus patentiert gezogenem Federstahldraht, dass mit steigender Anlasstemperatur die Vorspannkraft abfällt. Aus diesem Grunde sind der Höhe der Anlasstemperatur bei Zugfedern Grenzen gesetzt (s.a. Tabelle 2.2). 120 N 100

Vorspannkraft

2 80

3 1

60

40

1

2

4

6

8

10

20

40

60

100

Zahl der Lastwechsel

Abb. 2.24. Einfluss des Anlassens auf die innere Vorspannkraft einer Zugfeder aus patentiertem Federstahldraht Sorte SL DIN EN 10270-1 1 Feder nicht angelassen; 2 Feder angelassen auf 240°C; 3 Feder angelassen auf 300°C; Daten der Feder: Drahtdurchmesser d = 2,5 mm; Federdurchmesser De = Da = 15,2 mm; Windungszahl n = 23

Beim Anlassen ändern sich ferner Federdurchmesser und Stellung der Endwindungen zueinander. Bei Federn aus patentierten oder vergüteten Drähten nimmt der Federdurchmesser infolge des Abbaus der Eigenspannungen ab. Bei Federn aus austenitischen Drähten ist dagegen eine Vergrößerung des Federdurchmessers zu erkennen. Werkstofffehler können die Anlassbehandlung beeinträchtigen. Darauf ist bei der Federherstellung zu achten. Treten beispielsweise beim Kaltzie-

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2 Grundlagen

hen des Drahtes zu hohe Temperaturen auf, dann altert der patentiert gezogene Draht schon bei der Drahtherstellung und es kommt beim Anlassen der Federn nicht zu den erwarteten Effekten. Im gealterten Zustand ist dieser Werkstoff nur noch bedingt kaltumformbar und neigt zu Verformungsrissen bei der Federherstellung. Aus diesem Grunde sollten angelassene Federn aus patentiert gezogenem Draht nicht mehr plastisch verformt werden. Weiterhin ist zu beachten, dass Federn aus vergüteten Drähten und Bändern umgehend nach der Kaltumformung angelassen werden sollten, um Spannungsrissbildung zu vermeiden. Längere Verweilzeiten zwischen der Kaltumformung und dem Entspannen können zu Misserfolgen führen. 2.2.3.2 Aushärten bei ausscheidungshärtbaren Werkstoffen

Ziel des Aushärtens ist die Steigerung der Festigkeit (Rm; Rp0,2; Härte) von Federwerkstoffen. Die dafür infragekommenden Werkstoffe sind Legierungen mit Mischungslücke im festen Zustand des Legierungssystems. Insbesondere sind es neben einigen Stählen (s.o.) vor allem Cu-BeLegierungen und Ni-Legierungen, die als ausscheidungshärtbare Federwerkstoffe gelten. Die Festigkeits- bzw. Härtesteigerung wird durch Ausscheiden einer oder mehrerer Phasen aus übersättigter fester Lösung erreicht. Bei umwandelnden Stählen, die neben der Martensithärtung eine Ausscheidungshärtung erfahren (beispielsweise warmfeste und martensitaushärtende Stähle), ist mit dem Austenitisieren gleichzeitig ein Lösungsglühen verbunden. Dieses führt nach dem Abschrecken zu einer übersättigten Lösung, deren Entmischung durch die Bildung von Ausscheidungen während des Auslagerns erfolgt. Die Wärmebehandlung besteht also in der Regel aus Lösungsglühen und Warmauslagern. Diese Behandlung wird in der Federntechnik vor allem bei Cu-Be-Legierungen angewendet und soll am Beispiel der Berylliumbronze CuBe2 dargestellt werden. In dieser Legierung bilden Kupfer und Beryllium ein binäres System mit Mischungslücke im festen Zustand. Kupfer löst bei 864°C maximal 2,1% Beryllium, bei Raumtemperatur jedoch <0,1%. Nach einem Lösungsglühen bei etwa 500°C wird eine Zugfestigkeit von Rm = 450–550 N/mm² erreicht, die sich durch anschließendes Kaltwalzen oder Kaltziehen auf Rm = 850–950 N/mm² steigern lässt. Daran anschließend erfolgt die Federfertigung durch Kaltumformung. Den Abschluss dieser Behandlung bildet das Warmauslagern bei etwa 350°C. Hierbei lässt sich eine weitere Steigerung der Festigkeit auf Rm = 1200–1300 N/mm², in einigen Fällen auch bis auf Rm = 1400 N/mm², erreichen.

2.2 Einfluss der Herstellung auf die Federfunktion

35

2.2.3.3 Härten und Anlassen (Vergüten)

Der eigentliche Zweck des Härtens und Anlassens von Federn, die in der Regel aus geglühten Stählen gefertigt wurden, besteht darin, die zur Federfunktion notwendigen Festigkeitseigenschaften zu erzielen. Besitzt beispielsweise der Stahl 51CrV4 im geglühten Zustand eine Zugfestigkeit von ca. Rm = 800 N/mm², dann sind durch das Härten und Anlassen Werte von Rm = 1400–1900 N/mm² erzielbar (Härte- und Anlasstemperaturen s. DIN EN 10132-4 bzw. 10089). Die Federrate als Verhältnis von Federkraft zu Federweg ist ausschließlich von der Form der Feder, ihren Abmessungen und vom Elastizitätsbzw. Gleitmodul des Werkstoffes abhängig. Da sich letztere Werkstoffkennwerte nur unwesentlich durch Härten und Anlassen ändern, ist die Federrate von der Wärmebehandlung weitgehend unabhängig und das Härten und Anlassen ist nur für die Belastbarkeit (Tragfähigkeit) der Feder verantwortlich. Forderungen nach einer Wiederholung der Wärmebehandlung bei nicht erreichter Federrate sind deshalb in der Regel unbegründet. Die Werkstoffauswahl für zu härtende Federn hängt von vielen Faktoren, wie Härtbarkeit, Eignung zu Feinkörnigkeit, Entkohlungsneigung, Ansprunghärte, Durchhärtbarkeit, Anlassbeständigkeit usw., ab (s.a. Abschn. 3.2 und [2.7]). Grundsätzlich lassen sich alle Stähle mit einem Kohlenstoffgehalt >0,4% härten. Jedoch ist zu beachten, dass nicht jedes Härteverfahren für jeden Stahl geeignet ist. In der Federnfertigung werden vorrangig die nachfolgend kurz beschriebenen Härteverfahren eingesetzt. Für viele Federn, insbesondere Flachform- und Blattfedern wird häufig die normale Härtung unter Verwendung üblicher Abschreckmittel, wie Härteöl, angewendet. Bei komplizierten Formfedern, die zu Härteverzug neigen, ist auch eine Abschreckung im Warmbad durchaus möglich. Das Bainitisieren, die isotherme Gefügeumwandlung in der Bainitstufe (auch als Zwischenstufenvergütung bekannt), ist eine Wärmebehandlung, die zu einem geringen Bauteilverzug führt [2.61]. Neben der Verzugsarmut eignet sich diese Wärmebehandlung durch das entstehende feine Gefüge besonders für schwingend belastete Federn. Sie ist jedoch weniger für statisch hoch belastete Federn geeignet, weil zwischenstufenvergütete Stähle ein wesentlich schlechteres Streckgrenzenverhältnis als üblich vergütete Stähle aufweisen. Bei dünnen Querschnitten ist das Bainitisieren auch an Kohlenstoff-Federstählen durchführbar. Für dickere Querschnitte eignen sich dafür legierte Federstähle wie 51CrV4 oder 61SiCr7 [2.8]. Höchste Festigkeitseigenschaften kann man durch das Austenitformhärten erzielen. Es handelt sich hierbei um eine thermo-mechanische Behandlung, bei der Umformung und Temperatur zeitlich so gesteuert werden, dass keine wesentliche Rekristallisation des Austenits stattfindet.

36

2 Grundlagen

Um die Federfunktion nicht zu beeinträchtigen, ist bei Wärmebehandlungen immer auf ein gleichmäßiges und stetiges Erwärmen zu achten. Dadurch lassen sich Spannungen vermeiden, die Rissgefahr mindern und ein Überhitzen mit Kornvergröberung sowie eine Randabkohlung verhindern. 2.2.4 Randschichtverfestigung durch Kugelstrahlen

Die höchste Werkstoffbeanspruchung tritt in der Regel in den Randschichten, also an der Werkstoffoberfläche der Feder auf. Andererseits sind an der Oberfläche oft kleine Fehler (Riefen, Kratzer usw.) vorhanden, die sich ungünstig auswirken können. Seit vielen Jahrzehnten wird deshalb versucht, durch eine Verfestigung der Randschichten eine Steigerung der Dauerschwingfestigkeit von Federn zu erzielen. Gegenüber den sonst im Maschinenbau üblichen Verfahren, wie Oberflächen-Festwalzen, Randschichthärtung (Induktions- oder Einsatzhärtung) oder Randschichtnitrieren, hat sich, auch infolge der besonderen Geometrie vieler Federn, allgemein nur das Kugelstrahlen (Shot Peening) durchgesetzt [2.75][2.79]. Mit Pressluft oder Schleuderrädern werden Stahlkugeln oder gerundetes Drahtkorn mit entsprechender Geschwindigkeit auf die Federn geschleudert. Es entsteht eine Werkstoffverdichtung und damit eine Verfestigung der Oberfläche. Die erzielbare Verdichtung hängt von den Strahlbedingungen (Abwurfgeschwindigkeit, Behandlungsdauer, Strahlwinkel usw.), dem Strahlmittel (Korndurchmesser, -festigkeit und -zustand) und von der Härte des Federwerkstoffes ab und lässt sich kaum verallgemeinern. Abb. 2.25 enthält Wöhlerkurven für Druckfedern aus patentiert gezogenem bzw. vergütetem Draht. Die Steigerung der Zeit- und Dauerfestigkeit kugelgestrahlter gegenüber ungestrahlten Federn ist deutlich erkennbar. Eine Steigerung der Kugelstrahlwirkung ist durch das sogenannte Spannungsstrahlen möglich. Spannt man das zu strahlende Bauteil (maximal bis zum Erreichen der 0,2%Dehngrenze) vor, so kann annähernd die gesamte kinetische Energie des Strahlmittels in plastische Verformungsarbeit (und Wärme) umgesetzt werden. Versuche an Blattfedern (Parabelfedern) ergaben eine Steigerung der Dauerschwingfestigkeit gegenüber ungespannt kugelgestrahlten Federn um mehr als 50% [2.77][2.81]. Die mit dem Kugelstrahlen erzielbare Steigerung der Dauerfestigkeit beruht auf x der Erzeugung von Druckspannungen (s. Abb. 2.26) in den Randschichten des Federwerkstoffes, wodurch die höchste resultierende Betriebspannung 0,15 bis 0,20 mm unter die Oberfläche verschoben wird,

2.2 Einfluss der Herstellung auf die Federfunktion

37

x der Kaltverfestigung in einer dünnen Randschicht und x der Glättung der Oberfläche, wodurch Kerbwirkung und Oberflächenfehler in ihren Auswirkungen gemindert werden.

Abb. 2.25. Wöhlerkurven von Druckfedern aus rundem Draht mit d = 1 mm, ungestrahlt (a und c) und kugelgestrahlt (b und d) nach [2.73] a aus patentiert gezogenem Draht, ungestrahlt; b aus patentiert gezogenem Draht, kugelgestrahlt; c aus vergütetem Ventilfederdraht, ungestrahlt; d aus vergütetem Ventilfederdraht, kugelgestrahlt

Abb. 2.26. Eigenspannungen in den Randschichten einer Druckfeder vor und nach dem Kugelstrahlen a an der Windungsinnenseite, nach dem Anlassen, ungestrahlt; an der Windungsinnenseite, nach dem Kugelstrahlen; c an der Windungsaußenseite, kugelgestrahlt

38

2 Grundlagen

Abb. 2.26 lässt deutlich erkennen, dass an der Windungsinnenseite der untersuchten Druckfeder Zugeigenspannungen vorliegen (s.a. Abb. 2.17). Durch das Kugelstrahlen entstehen Druckeigenspannungen. Sie kompensieren die unerwünschten (meist schädlichen) Zugeigenspannungen. Natürlich sind an der Windungsaußenseite höhere Druckeigenspannungen vorhanden, weil hier vor dem Kugelstrahlen ebenfalls Druckeigenspannungen vorlagen [2.74][2.80]. Mit der Randschichtverfestigung durch Kugelstrahlen kann der negative Einfluss von Oberflächenfehlern in der Randzone, wie Entkohlung, Einschlüsse, Riefen, Haarrisse, kompensiert oder zumindest verringert werden. Weiterhin ist das Kugelstrahlen eine gute Vorbereitung für nachfolgende Oberflächenbehandlungen zwecks Korrosionsschutzes [2.76][2.78]. Die beim Kugelstrahlen entstehenden unvermeidbaren Spannungsspitzen in Oberflächennähe führen gegenüber ungestrahlten Federn zu einer größeren Relaxation. Sie kann durch ein Entspannen nach dem Strahlen bei einer Temperatur von 200 bis 240°C vermieden werden. Dabei sind werkstoffabhängige Temperaturgrenzen zu beachten, bei deren Überschreiten die durch das Kugelstrahlen erreichte Steigerung der Dauerschwingfestigkeit wieder gemindert wird (s. Abb. 2.27).

Abb. 2.27. Abbau der mit dem Kugelstrahlen erreichten Erhöhung der Dauerhubfestigkeit von Druckfedern aus unlegiertem, vergütetem Ventilfederdraht durch eine Wiedererwärmung nach P. Zimmerli [2.66]

Beim Kugelstrahlen sind folgende Fehler zu vermeiden: x Das Strahlen mit scharfkantigen oder gebrochenen Körnern. Die damit entstehende Oberfläche hat zur Folge, dass durch Kerbwirkung die Dauerschwingfestigkeit unter den Wert von ungestrahlten Federn absinken kann.

2.2 Einfluss der Herstellung auf die Federfunktion

39

x Das Überstrahlen. Bei zu langer Strahldauer oder zu hoher Abwurfgeschwindigkeit sind sowohl schuppenartige Werkstofftrennungen [2.29] als auch Spannungsrisse zu beobachten. Die Behandlungsdauer ist deshalb so kurz zu wählen, dass der Eigenspannungsaufbau die gewünschte Steigerung der Dauerschwingfestigkeit erbringt. 2.2.5 Plastizieren (Vorsetzen)

Sobald bei der Belastung von Federn die auftretende Werkstoffbeanspruchung (z.B. Schubspannung bei Schraubenzug- oder -druckfedern oder Biegespannung bei Drehfedern) die Elastizitätsgrenze des Werkstoffes überschreitet, tritt in Abhängigkeit vom Maß der Spannungsüberschreitung eine bleibende Verformung auf, die sich in einem „Sitzenbleiben“ der Federn äußert. Bei Druckfedern nimmt in diesem Falle als äußeres Kennzeichen die ungespannte Länge ab. Bei Zugfedern verringert sich die innere Vorspannkraft. Dieser Vorgang wird in der Federntechnik schlechthin als Setzen bezeichnet. Aus den Werkstoffwissenschaften sind hierzu die Begriffe Kriechen und Relaxation bekannt (Nähere Erläuterungen hierzu s. Abschn. 3.). Tritt das Setzen erst während des Betriebszustandes auf, dann kann es zur Beeinträchtigung der Funktionsfähigkeit der Feder bis hin zum Ausfall des Aggregates oder der Maschine führen. Um dies zu vermeiden, können entweder die Werkstoffauslastung durch höhere Materialquerschnitte verringert oder bei der Herstellung entsprechende Vorkehrungen getroffen werden. Druckfedern werden aus diesem Grunde um den zu erwartenden Setzbetrag länger gewickelt und mit entsprechenden Vorrichtungen bzw. Maschinen durch Zusammendrücken auf Blocklänge vorbelastet. Diese Behandlung wird als „Setzen“, „Vorsetzen“ oder „Plastizieren“ bezeichnet. Zugfedern mit innerer Vorspannkraft werden dagegen mit höherer Vorspannkraft als gefordert gewickelt und nach dem Anlassen bis auf eine bestimmte Länge, die größer als die später angewendete maximale Länge ist, auseinandergezogen. Dieses Vorsetzen bezeichnet man auch als Recken. Das Vorsetzen stellt zwar einen zusätzlichen Arbeitsgang dar, ermöglicht aber sowohl eine bessere Werkstoffauslastung als auch eine Verbesserung der Federeigenschaften. Es ist deshalb aus der Federherstellung nicht wegzudenken. Die Verbesserung der Federeigenschaften ist auf Eigenspannungen zurückzuführen, die nach der überelastischen Verformung im Werkstoff zurückbleiben (s.a. Abschn. 3) und die beim späteren Einsatz eine höhere Belastung erlauben. Das soll am Beispiel einer Drehstabfeder erläutert werden.

40

2 Grundlagen

W

Wird der Stab im elastischen Bereich verdreht, dann ergibt sich über dem Querschnitt eine geradlinige Verteilung der Schubspannungen entsprechend Abb. 2.28. Wird jedoch die Belastung des Stabes bis zur Fließgrenze fortgesetzt bzw. diese sogar überschritten, dann ändert sich der Spannungsverlauf über dem Querschnitt und entspricht der Kurve a in Abb. 2.29. Der Verlauf der elastischen Rückfederung wird durch die Geraden b in Abb. 2.29 dargestellt. Als Differenz zwischen Belastung und Rückfederung ergeben sich die in Abb. 2.30 gezeigten Eigenspannungen. Diese können, wenn die spätere Federbelastung in gleicher Richtung wie das Vorsetzen erfolgt, die wirkenden Belastungsspannungen mindern. Das ist schematisch am Beispiel einer Drehstabfeder in Abb. 2.31 dargestellt.

a b

Abb. 2.28. Schubspannungsverteilung bei elastischer Verdrehung einer Drehstabfeder

Abb. 2.29. Schubspannungsverteilung bei überelastischer Verdrehung einer Drehstabfeder a Belastung (über die Fließgrenze hin aus); b Rückfederung

Abb. 2.30. Eigenspannungen nach dem Vorsetzen einer Drehstabfeder (Wr resultierende Verdrehspannung)

a

Wr

Wr Wr

Wr

b

Abb. 2.31. Spannungsverteilung bei Belastung einer Drehstabfeder a ohne Vorhandensein von Eigenspannungen; b mit Einfluss von Eigenspannungen

Der durch Vorsetzen erreichte Eigenspannungsaufbau erhöht aber nicht nur die statische Belastbarkeit von Federn, sondern auch die Dauerschwingfestigkeit. So ermittelten Atterbury und Diboll [2.1] an Druckfe-

2.2 Einfluss der Herstellung auf die Federfunktion

41

dern aus Cr-V-Stahl einen Anstieg der Dauerschwingfestigkeit von 10 bis 20 % je nach Grad der bleibenden Verformung beim Kaltsetzen. Für die Federherstellung ist die Vorausbestimmung des Setzbetrages beim Vorsetzen wichtig. Bei kaltgeformten Schraubendruckfedern geht man beispielsweise so vor, dass man zunächst den werkstoffabhängigen Zusammenhang zwischen Spannung und Verformung ermittelt. Dieser lässt sich für Schraubendruckfedern in Form des SchubspannungsSchiebungs-Schaubilds (Beispiel dazu s. Abb. 2.20) darstellen. Aus diesem Diagramm kann man den Zusammenhang zwischen Gesamtverformung und elastischer Verformung ableiten (Abb. 2.32).

Abb. 2.32. Schiebungs-Schaubild zur Festlegung des Setzmaßes an Schraubenfedern aus Federstahldraht DIN 17223 nach U. Otzen [2.46] (Zugfestigkeit Rm = 2060 N/mm²; angelassen bei 280°C) (DIN 17223 jetzt DIN EN 10270-2)

Die bleibende Verformung als Größe für den zu bestimmenden Setzbetrag ergibt sich dann aus der Differenz Jbl = Jges - Jel (in %)

(2.19)

und damit der Setzbetrag zu sbl

SD 2 n J bl (in mm). 100 ˜ d

(2.20)

42

2 Grundlagen

Otzen [2.46] entwickelte hierzu schon 1955 eine Berechnungsmethode, die noch heute in der federherstellenden Industrie verwendet wird [2.17] [2.64]. Dieses Beispiel soll verdeutlichen, dass man für jede Federart und jeden Federwerkstoff die Spannungs-Verformungs-Verhältnisse kennen muss, wenn man die Setzbeträge vorherbestimmen will. Beim Vorsetzen unterscheidet man je nach Behandlungstemperatur zwischen Kaltsetzen und Warmsetzen. Insbesondere bei Schrauben-, Blattund Tellerfedern stellt sich die Frage, inwieweit man durch zielgerichtetes Kaltsetzen das Verhältnis von Werkstoffbeanspruchung zu Werkstofffestigkeit so erhöhen kann, dass damit eine leichtere Feder möglich wird. Prinzipiell sind hier sowohl werkstoffseitig als auch aus der Sicht der Federform Grenzen gesetzt, deren Bestimmung eine genaue Kenntnis des Einflusses der Herstellverfahren auf die erzielbare Verteilung der Eigenspannungen in der Feder voraussetzt (s.a. Kap.3 und [2.44][2.69]). Während das Kaltsetzen Relaxation beim Einsatz der Feder vermeidet, die Werkstoffauslastung verbessert und somit eine leichtere oder kleinere Feder ermöglicht, dient das Warmsetzen in der Regel der Vermeidung von Relaxation bei Betriebszuständen mit erhöhten Temperaturen. Eine Ausnahme bildet das Warmsetzen von Federn mit niedriger Werkstoffauslastung, die später bei Raumtemperatur nur relativ niedrig belastet werden sollen. Bei diesen Federn wird beim Kaltsetzen die Elastizitätsgrenze nicht überschritten und es ist deshalb nicht möglich, Eigenspannungen aufzubauen. Bei erhöhten Temperaturen sinkt dagegen die Fließgrenze des Werkstoffes, und die Plastizierung beginnt schon bei niedrigeren Spannungen [2.32]. Federn zeigen, in Abhängigkeit vom verwendeten Werkstoff, bei Betriebstemperaturen über 40°C eine mehr oder weniger große Relaxation, die mit steigender Temperatur und Werkstoffbeanspruchung (s.a. Abschn. 3) zunimmt. Um diesen Anteil der plastischen Verformung vor dem Einbau zu eliminieren, ist ein Vorsetzen bei erhöhten Temperaturen zweckmäßig. Das Warmsetzen erfordert spezielle Einrichtungen für die Massenfertigung, ist aber trotzdem bei Schraubendruckfedern und Tellerfedern eingeführt. Im Wesentlichen werden zwei Methoden angewendet [2.58]: 1. Spannen der Feder auf Blockhöhe oder eine andere gespannte Höhe und Halten auf dieser Höhe durch geeignete Vorrichtungen. Erwärmen und Halten auf Warmsetztemperatur über einen bestimmten Zeitraum, damit eine teilplastische Verformung stattfinden kann. Abkühlen inner- oder außerhalb der Spannvorrichtungen. 2. Erwärmen der Feder auf Setztemperatur. Setzen im erwärmten Zustand.

2.2 Einfluss der Herstellung auf die Federfunktion

43

Untersuchungen haben ergeben, dass ein Teil der beim Warmsetzen induzierten Eigenspannungen wieder abgebaut wird, wenn die Feder warm aus dem Setzwerkzeug entnommen wird und langsam abkühlen kann. Die besten Ergebnisse erzielt man durch Abschrecken im gespannten Zustand [2.58]. Durch das Warmsetzen steigt zunächst die Relaxationsbeständigkeit von Federn. Das trifft, wie Abb. 2.33 zeigt, auch auf Federn aus unlegierten Werkstoffen, die für höhere Betriebstemperaturen eigentlich ungeeignet sind, zu. 1000

80°

120°

40°

160°

80°

120°

Spannung

Wk

N/mm² 800

200°

160°

700 0

2

4

6 8 10 Relaxation

12

%

16

Abb. 2.33. Einfluss des Warmsetzens von Schraubenfedern aus unlegiertem Ventilfederdraht auf die Relaxation nach 300 Stunden in Abhängigkeit von der Schubspannung nach [2.72] - - - nur kaltgesetzt; –– warmgesetzt bei 350°C (Setzspannung Wk = 1100 N/mm²)

Warmgesetzte Federn weisen aber nicht nur eine geringere Relaxation als nicht warmgesetzte auf, sondern mit dem Warmsetzen wird auch ein Anstieg der Dauerschwingfestigkeit erreicht, wobei dessen Höhe über die Setzbeanspruchung beeinflusst werden kann [2.51] (s. hierzu Abb. 2.34).

Abb. 2.34. Erhöhung der Hubfestigkeit durch Warmsetzen in Abhängigkeit von der Setzbeanspruchung nach A. Kreuzer [2.32]

44

2 Grundlagen

2.2.6 Oberflächenbehandlung

Werden Federn aus korrosionsanfälligen Werkstoffen hergestellt (korrosionsbeständige Federwerkstoffe s. Kap. 3), so ist in vielen Anwendungsfällen eine Oberflächenbehandlung zum Zwecke des Korrosionsschutzes unumgänglich. Dabei sind einige Bedingungen einzuhalten: 1. Die Schutzschicht muss gut haften und dicht sein, 2. durch die Behandlung dürfen die Federeigenschaften des Werkstoffes nicht beeinträchtigt werden und 3. die Umweltverträglichkeit von Verfahren und Überzug sind zu gewährleisten. Die Vorbehandlung ist bei der Oberflächenbehandlung von Federn besonders wichtig. So ist in der Regel eine Beizbehandlung wegen der Gefahr der Wasserstoffversprödung nicht anwendbar (s.u.). Das Reinigen kann sowohl mechanisch durch Kugelstrahlen und anschließendem Behandeln in alkalischen oder neutral wässrigen Lösungen erfolgen. Tabelle 2.3 enthält die für Federn üblichen Oberflächenbehandlungen. Wenn keine besondere Korrosionsbeständigkeit gefordert wird, dann reicht oft ein Ölen oder Wachsen der Federn aus. Einen guten Lagerschutz erreicht man, wenn die Federn vor dem Ölen mit einer Phosphatschicht versehen werden. Das Phosphatieren hat das an dieser Stelle übliche Oxidieren (Brünieren) aus Gründen des Umweltschutzes nahezu verdrängt. Weiterhin ist das Phosphatieren eine gute Grundlage für anorganische und organische Beschichtungen wie Dacromat-, Polyseal- bzw. Delta-MagniBeschichtungen. Die früher oft übliche galvanische Behandlung von Federn ist heute durch die nichtgalvanische nahezu verdrängt worden. Die Ursache liegt in der mit der galvanischen Behandlung verbundenen Wasserstoffversprödung. Sowohl beim Beizen, als auch beim kathodischen Entfetten und bei der galvanischen Behandlung selbst wird Wasserstoff frei, der ungehindert in den Federwerkstoff eindringen kann und zu einer Versprödung führt, die die Federeigenschaften erheblich beeinträchtigt und oft zum Ausfall führt [2.25][2.65]. Die Gefahr der wasserstoffinduzierten Rissbildung nimmt mit steigender Festigkeit und dem Vorhandensein von Kerben, Oberflächenfehlern und Eigenspannungen zu. Durch sofortiges Erwärmen kann der Wasserstoff teilweise wieder ausgetrieben werden [2.25][2.65]. Es hat nicht an Versuchen und Entwicklungen gefehlt, die Wasserstoffversprödung bei der galvanischen Behandlung zu vermeiden [2.21], aber letzthin war es nur möglich, diese zu verringern. Das nichtgalvanische Aufbringen von Metallschichten, wie das stromlose Vernickeln, hat sich bei Federn

2.2 Einfluss der Herstellung auf die Federfunktion

45

ebenfalls nicht bewährt. Es ergaben sich spröde Randschichten [2.4], die riss- und bruchanfällig sind. Tabelle 2.3. Für Federn übliche nichtgalvanische Oberflächenbehandlungen Name des Verfahrens oder des Rostschutz mittels

Wichtiges Merk- VorbeAuftragswe Schichtmal; Zusammen- handlung ise dicke setzung in μm (benötigte Lösungen)

Öle

Mineralöle unterschiedlicher Viskosität

Wachse

wachsartiger Belag, weich bis fest

Lacke (nicht giftig)

Reinigen, Atramentie ren, Phosphati eren

Anstreichen 5 bis 8 , Bespülen, Spritzen, Tauchen Tauchen, Streichen

Umsetzung von Chlorhydrin mit arom. Hydroxidv. unter Beigabe von Alkalilauge (CHKeton-Mischung) Polyäthylen leichtes (nicht giftig) Thermoplast-CH2CH2 Polyamide Thermoplast mit wiederk.-CO-NHchem. nichtmet.Oberflächen anorgan. beh. z. B. Überzüge meist Phosnur als phatieren Vorbehandlung Chromatiere Tauchen in n chromathaltige Lösung DacrometDispersion aus Beschichtun Zinkflocken, g Chromsäure und (giftig) anorgan. Bestandteile organischer PolysealBeschichtun Schutzüberzug g

teilweise Grundieru ng, teilweise ohne

Delta-Magni- zinkstaubhaltiges Korrosionssc Beschichtungsmat hutz Delta- erial Tone + Delta-Seal

Strahlen oder Phosphati eren

keine

40 bis 75

Eigenschaften Abrieb- Stoßfesti Haltbarke Wärmebes festigkeit gkeit it tändigkeit mäßig sehr gut ausgezei 50 - 60°C chnet in Innenräu men gut

Pulverbesc 12 bis 45 sehr gut hichtung, Tauchen, elektrostisc hes Spritzen Pulverbe75 bis 250 schichtung

keine

Pulverbeschichtung Reinigen, Tauchen, auf keinen Sprühen Fall Beizen wie chem. Oberfläche nbeh. metallisch rein

Tauchen, Spritzen

Phosphati eren

50 bis 750 je nach sehr gut Verfahren unterschie dlich -

sehr gut ausgez. 50 - 60°C für längere Einlageru ng gut bis gut bis 150-200°C sehr gut ausgezei chnet

ausgezei unbefriedi 100°C chnet gend sehr gut unbefriedi 150°C gend gut ausgezei chnet als Haftgrund

mäßig

mäßig

Tauchen u. 5 bis 10 Einbrennen mehrmals wiederholen

sehr gut

sehr gut Salzsprü htest 400-800 Stunden

Tauchen und Einbrennen, auch mehrmalig Tauchen und Einbrennen; notfalls wiederholen

sehr gut

sehr gut Salzsprü 150°C htest bis 500 Stunden

8 bis 12 in sehr gut 2 Tauchgängen

sehr gut Salzsprü 150°C htest bis 1000 Stunden

10 ; 2mal: 18

sehr gut bis 240°C

2.2.7 Fertigungstechnische Hinweise zum Federentwurf

Es ist für den Konstrukteur sehr schwer, Federn so zu entwerfen, dass sie ohne besondere Vorkehrungen vom Federhersteller produziert werden können. War es bisher üblich, von den Federn die Realisierung jeweils nur einer Funktion, z.B. nur eine Längs- oder Drehbewegung zu verlangen, so

46

2 Grundlagen

ist es heute nicht ungewöhnlich, Federn herzustellen, die mehrere Bewegungsarten ausführen und damit auch unterschiedlichen Belastungen unterliegen können (s. Abb. 2.35).

Abb. 2.35. Schraubenfeder zur Realisierung von Längs- (Schub-) und Drehbewegungen

Es ist deshalb zu empfehlen, dass der Federhersteller schon vor Abschluss der Konstruktion in die Entwicklungsarbeiten einbezogen wird, damit dieser funktionswichtige und fertigungstechnische Hinweise geben kann. Denn sehr oft hat der Federhersteller einen größeren Überblick über die für den jeweiligen Anwendungsfall mögliche Federformen unter Berücksichtigung des benötigten Federwerkstoffes. Die Federgrundkörper entstehen durch spanlose Umformung. Die sich dabei einstellenden Fertigungsabweichungen sind in der Regel größer als bei spangebender Bearbeitung. Hinweise auf einzuhaltende Fertigungstoleranzen sind in den entsprechenden Normen, wie z.B. DIN 2095 bis 2097 für Schraubenfedern, enthalten. Die Federcharakteristik wird von sehr vielen Einflussfaktoren wie Abmessungen und Werkstoffparametern beeinflusst. Es ist nicht möglich, alle Federgrößen zu tolerieren. Bestimmte Größen kann der Konstrukteur nur als Richtwert vorgeben und der Federhersteller darf diese zum Erreichen der Federcharakteristik variieren. Das geschieht über den sogenannten Fertigungsausgleich. Von ihm wird Gebrauch gemacht, um die Funktionsdaten der gefertigten Feder durch Ändern ihrer Geometrie den Anforderungen an die Federcharakteristik anzupassen (s. Abschn. 2.3).

2.3 Federprüfung

47

2.3 Federprüfung 2.3.1 Einflüsse auf die Funktionswerte der Federn

Auf die Funktionswerte der Federn wirken sich sowohl die bei Halbzeugen vorliegenden Parameterschwankungen als auch die durch die Fertigung bedingten Schwankungen geometrischer Größen sowie Schwankungen von Werkstoffkennwerten aus. Halbzeug- und Federhersteller müssen bestimmte Grenzen dieser Schwankungen einhalten. So sind beispielsweise in DIN EN 1654, 10089, 10132-4, 10258, 10270-1 bis 10270-3 zulässige Abweichungen des Draht- bzw. Stabdurchmessers d, der Banddicke t und der Band- bzw. Streifenbreite b angegeben. Der Konstrukteur muss mögliche Abweichungen bei den Federentwürfen berücksichtigen. Von ihm sind Toleranzen für Federabmessungen, die sich bei der Fertigung direkt oder indirekt ergeben, nach funktionellen und fertigungstechnischen Gesichtspunkten festzulegen. Dabei sind sowohl Maß- als auch Form- und Lageabweichungen zu beachten. In den Konstruktionsunterlagen erscheinen sie bis auf Ausnahmen meist als untolerierte Angaben, für die jedoch in DIN 7168 allgemeine Toleranzgrenzen enthalten sind [2.13]. Für die Funktionsgrößen Federkraft F, Federweg s bzw. Federrate R entstehen somit fertigungsbedingte Abweichungen, die u. a. durch die Toleranz der Federrate TR erfasst und ausgedrückt werden können. Auf diese wirken sich aber auch Abweichungen des Gleitmoduls G und des Elastizitätsmoduls E aus. Wie bereits ausgeführt, sind vom Konstrukteur sowohl Größen, die die Funktion der Feder als auch ihre Einbaufähigkeit sichern, zu tolerieren. Dabei ist darauf zu achten, dass mindestens ein Fertigungsmaß für einen Fertigungsausgleich vorgesehen wird. Das bedeutet, dem Federhersteller muss vom Konstrukteur über ein Maß die Möglichkeit des Ausgleichs bestimmter Federparameter, die bei einer wirtschaftlichen Fertigung Abweichungen außerhalb der zulässigen Bereiche besitzen können, eingeräumt werden. Über einen solchen Fertigungsausgleich, der bei Schraubenfedern beispielsweise über den Windungsabstand (Federlänge L0 ) erfolgen kann, ist die Korrektur von Federkraftabweichungen möglich. Durch eine geeignete Federkontrolle im Anschluss an die Fertigung ist sowohl die Maßhaltigkeit als auch die Funktionstüchtigkeit zu überprüfen. Je nach den Einsatzbedingungen der Feder ist eine statische oder dynamische Prüfung vorzunehmen.

48

2 Grundlagen

2.3.2 Prüfen der Federkennwerte

Wichtig ist bei Federn das Ermitteln der Federcharakteristik (Aufnehmen der Federkennlinie). In vielen Einsatzfällen werden die Federn so montiert, dass sie in der Einbaulage eine Vorspannkraft Fv oder ein Vorspannmoment Mv ausüben (Abb. 2.36, Zustand A). Im Funktionsfall wird die Feder in die Endlage (Zustand B) bewegt, in der sie oft eine ganz bestimmte Kraft aufweisen soll. Bei derartigen Federn reicht es also aus, wenn die Federkräfte oder -momente in diesen beiden Zuständen (Lagen) am Schluss der Federherstellung mit geeigneten Messeinrichtungen (Federprüfwaagen und dergleichen) ermittelt werden [12]. Ist die Federkraft oder das Federmoment im Zustand B größer als im Zustand A, erfolgt die Messung in Belastungsrichtung, im anderen Falle in umgekehrter Richtung. Ein einfaches, heute noch verwendetes Verfahren ist die Ein-PunktPrüfung (Anschlagprüfung). Hier wird beispielsweise die Länge der Feder im gespannten Zustand vorgegeben (s.a. DIN 2095 bis DIN 2097 sowie DIN 2093) und die dabei auftretende Kraft gemessen und bewertet. Das Ein-Punkt-Verfahren eignet sich für die Ermittlung von maximal zwei bis drei Punkten der Federkennlinie und nicht zur Kontrolle von Federn mit nichtlinearer Kennlinie.

Abb. 2.36. Ermittlung der Federkennwerte bei zwei Zuständen einer Feder a in Belastungsrichtung; b in Entlastungsrichtung

Abb. 2.37. Kennlinie einer geschlitzten Tellerfeder

Bei Federn mit nichtlinearer Kennlinie (Abb. 2.37), z.B. geschlitzten Tellerfedern, sind zur Kontrolle der Funktionsparameter aufwendigere Prüfeinrichtungen erforderlich. Die Feder muss kontinuierlich be- und entlastet und die Daten aufgezeichnet werden. Der Einsatz von Mikrorechnern in Verbindung mit modernen Einrichtungen der Sensortechnik ermöglicht heute eine nahezu automatische Aufzeichnung und Auswertung

2.3 Federprüfung

49

derartiger Federkennlinien im Durchlauf-Verfahren. Dadurch ist man in der Lage, auf einfache Weise auch die Prüfung reibungsbehafteter Federn (geschichtete Einzelfedern) vorzunehmen [12]. Bei manchen Federn, beispielsweise nicht knicksicheren Schraubendruckfedern oder Tellerfedersäulen, kann die Prüfung nur erfolgen, wenn die Prüfstücke auf einem Dorn oder in einer Hülse geführt werden. Die besonderen Prüfbedingungen (Art der Führung, eventuelle Schmierung) sind zwischen Hersteller und Anwender zu vereinbaren. Dies gilt auch für die Prüfung reibungsbehafteten Federn sowie für Draht- und Flachformfedern mit besonderen Auflage- bzw. Befestigungsbedingungen. 2.3.3 Werkstoff- und Lebensdauerprüfungen

Neben der Ermittlung der Federkennlinie statisch belasteter Federn besteht für schwingend belastete Federn die Notwendigkeit, die Lebensdauer unter Bedingungen, die dem Betriebszustand möglichst nahe kommen, zu ermitteln. Derartige Lebensdaueruntersuchungen sind sowohl in der Phase der Erzeugnisentwicklung als auch zur Qualitätsüberwachung während der Serienfertigung von Bedeutung. Neben Universalmaschinen sind hier oft spezielle Prüfeinrichtungen für bestimmte Federarten erforderlich. Zur Qualitätssicherung in der Federfertigung sind neben der laufenden Überprüfung der angelieferten Halbzeuge hinsichtlich Maßhaltigkeit auch Tests hinsichtlich Einhaltung der mechanischen Eigenschaften notwendig. Dazu gehören Biege- und Verwindeversuche, Härtemessungen, das Bestimmen der Zugfestigkeit, des Elastizitäts- und Gleitmoduls sowie auch Dauerfestigkeitsuntersuchungen [12][2.11][2.14][2.34][2.41][2.43][2.47] [2.49][2.51]. In diesen Bereich der Prüfungen lassen sich auch die vielfältigen Untersuchungen einordnen, die zur Beurteilung der Eignung bereits eingesetzter Werkstoffe für besondere Federformen und neuer Werkstoffe hinsichtlich ihrer Tragfähigkeit und Eignung in Federkonstruktionen erforderlich sind. Ebenso gehören die umfangreichen Untersuchungen zum Korrosionsschutz, zur Oberflächenbehandlung und anderer Maßnahmen zur Verbesserung der Lebensdauer in Prüfungen des Herstellers zur ständigen Erzeugnis-Weiterentwicklung und zur Sicherung der Qualität und Zuverlässigkeit der Erzeugnisse. 2.3.4 Ermittlung von Elastizitäts- und Gleitmodul

Der Elastizitätsmodul E als auch der Gleitmodul G sind bedeutsame Werkstoffkenngrößen für den Federentwurf. Sie unterliegen größeren Schwan-

50

2 Grundlagen

kungen, die werkstofftechnische Ursachen haben, so dass in manchen Fällen (beispielsweise bei hohen Qualitätsanforderungen) eine genaue Bestimmung erforderlich ist. Elastizitätsmodul und Federbiegegrenze lassen sich zusammen in einem Versuch nach DIN EN 10002-1 ermitteln. Entsprechende Geräte dazu sind im Prinzip nach Abb. 2.38 aufgebaut. Die Bestimmung des Elastizitätsmoduls erfolgt aus

E

F § ls · ¨ ¸ 4sb © h ¹

3

(2.21)

nachdem mit der Einrichtung nach Abb. 2.38 die durch das Massestück (4) festliegende Prüfkraft F = FP auf die Probe (1) aufgebracht und die sich daraufhin einstellende Durchbiegung s = sE mit dem Wegsensor (6) gemessen wurde. Dabei ist es zweckmäßig, die nach DIN EN 10002-1 vorgeschlagenen Werte lS in Abhängigkeit des Blechstreifenquerschnitts über die Verstellspindel (3) einzustellen. Die Bestimmung der Federbiegegrenze VbE erfolgt in der gleichen Einrichtung. Die Blechstreifenprobe wird dabei durch Verschieben des Massestückes (4) in Richtung der Durchbiegung bis zum jeweils eingestellten Anschlag (5) verformt. Die auf diese Weise eingeprägte Belastung wird soweit gesteigert, bis sich nach Entlastung eine bleibende Verformung sbl einstellt. Der Wert der Federbiegegrenze ergibt sich dann aus VbE = 6sEh/lS2 ,

(2.22)

wobei die Durchbiegung s durch Interpolation (bzw. Verfahren nach DIN 50151) zwischen den Werten ermittelt wird, zwischen denen sich eine bleibende Verformung sbl eingestellt hatte (nach DIN EN 10002-1 ist sbl = 50 μm). Eine Bestimmung des Gleitmoduls G ist im Ausschwingversuch nach Abb. 2.39 möglich. Der Prüfstab (-draht) wird einseitig fest eingespannt und am freien Ende mit einer Masse m (Scheibe mit dem Durchmesser D und dem Trägheitsmoment Jp ) versehen. Im Ausschwingversuch wird die Frequenz f ermittelt, über die sich dann mit den Prüfstababmessungen d und l der Gleitmodul aus G = 128Sf 2lJp /d 4

(2.23)

ergibt. Meist erfolgt jedoch bei bekanntem Elastizitätsmodul die Umrechnung nach Gleichung (2.6).

2.4 Normen für Federn und Federwerkstoffe

51

Bei allen Methoden der Bestimmung von Elastizitäts- und Gleitmodul über die Eigenfrequenz von Stäben ist der Einfluss der Stabeinspannung zu berücksichtigen, der mit zunehmender Stablänge geringer wird. Es ist also für eine ausreichende Stablänge und für stabile Einspannbedingungen zu sorgen. 6

°

4

2.1

b) 1

d

2.2 l

3 s 7 l s/2

FP

ls

m,Jp 5

7 D

7 h

a)

b

Abb. 2.38. Materialprüfeinrichtung für Band- und Drahtmaterial a) Schematische Darstellung der Einrichtung zum Prüfen von Federblechen 1 Probe (Blechstreifen); 2 Verstellbare, geführte Auflagebacken; 3 Verstellspindel für Auflagebacken (Rechts- und Linksgewinde); 4 Massestück für kraft- und wegeingeprägte Belastung der Probe; 5 Wegbegrenzung für wegeingeprägte Belastung; 6 Wegmesseinrichtung; 7 Gestell; lS: Stützweite; s: Weg; FP: Prüfkraft b) Schematischer Versuchsaufbau zur Bestimmung des Gleitmoduls G von Stäben

2.4 Normen für Federn und Federwerkstoffe Für die Berechnung und Gestaltung von Federn existieren eine Reihe Normen, die neben den Darlegungen zum Federentwurf eine Vielzahl von Hinweisen zur Federnfertigung, zu Güte- und Lieferbedingungen sowie Maßtoleranzen und zu den Federwerkstoffen enthalten [3]. Federnormen gehören somit zu den Grundlagen des Federentwurfs. In den letzten Jahren sind mehrere deutsche Normen in europäische Normen überführt worden. Eine Vergleichstabelle wurde in dieses Buch aufgenommen. Einige wichtige Normen für Federn und Federwerkstoffe sind in Tabelle 2.4 aufgeführt.

52

2 Grundlagen

Tabelle 2.4. Auswahl von Normen für Federn und Federwerkstoffe (s.a. [3]) DIN-Nr. DIN 2090

Ausgabe 1971-01

DIN 2098-1

1968-10

DIN 2098-2

1970-08

DIN EN 13906-1

2002-07

DIN EN 13906-2 DIN EN 13906-3 DIN 2091

2002-07 2002-07 1981-06

DIN 2092 DIN 2093 DIN EN 10270-1

2006-03 2006-03 2001-12

DIN EN 10270-2 DIN EN 10270-3 DIN EN 10132-1

2001-12 2001-08 2000-05

DIN EN 10132-4 DIN EN 10151 DIN EN 10089 DIN EN 1652

2003-04 2003-02 2003-04 1998-03

DIN EN 1654 DIN EN 12166 DIN EN 10218-2

1998-03 1998-04 1996-08

Titel (Kurzfassung) Zylindrische Schraubendruckfedern aus Flachstahl; Berechnung Zylindrische Schraubenfedern aus runden Drähten; Baugrößen Teil 1 Zylindrische Schraubenfedern aus runden Drähten; Baugrößen Teil 2 Zylindrische Schraubenfedern aus runden Drähten und Stäben – Berechnung und Konstruktion Teil 1: Druckfedern Teil 2: Zugfedern Teil 3: Drehfedern Drehstabfedern mit rundem Querschnitt – Berechnung und Konstruktion Tellerfedern – Berechnung Tellerfedern – Qualitätsanforderungen, Maße Stahldraht für Federn – Teil 1: Patentiert gezogener unlegierter Federstahldraht Teil 2: Ölschluss-vergüteter Federstahldraht Teil 3: Nichtrostender Federstahldraht Kaltband aus Stahl für eine Wärmebehandlung – Teil 1: Allgemeines Teil 4: Federstähle und andere Anwendungen Federband aus nichtrostenden Stählen Warmgewalzte Stähle für vergütbare Federn Kupfer und Kupferlegierungen – Platten, Bleche, Bänder und Streifen - Bänder für Federn - Drähte zur allgemeinen Verwendung Stahldraht – Teil 2: Drahtmaße und Toleranzen

3 Werkstoffe

3.1 Anforderungen, Einteilung und Werkstoffwahl 3.1.1 Anforderungen Federn müssen aus einem geeigneten Werkstoff hergestellt und so ausgelegt und gestaltet werden, dass sie nach Wegnahme einer aufgebrachten Belastung wieder ihre ursprüngliche Gestalt bzw. Lage einnehmen. Die dafür verantwortliche Eigenschaft des Werkstoffes ist seine Elastizität. Sie wird durch den Elastizitätsmodul oder Gleitmodul als Verhältnis zwischen Werkstoffbeanspruchung (Spannung) und Verformung (Dehnung bzw. Schiebung) ausgedrückt (s. Tabelle 3.1) und sollte einen möglichst hohen Wert aufweisen. Von Federwerkstoffen wird weiterhin verlangt, dass sie hohe Belastungen ohne bleibende Verformungen ertragen. Sie müssen daher über eine hohe Elastizitätsgrenze verfügen. Da bei den meisten Werkstoffen die Elastizitätsgrenze der Zugfestigkeit proportional ist, weisen Federwerkstoffe in der Regel auch eine hohe Zugfestigkeit auf. Schwingend belastete Federn erfordern spezielle Werkstoffeigenschaften. Neben einer hohen Dauerschwingfestigkeit sollten sie eine hohe Zähigkeit sowie Kerb- und Rissunempfindlichkeit besitzen. Sie müssen deshalb ein feinkörniges Gefüge aufweisen und frei von Verunreinigungen sein, die die Dauerschwingfestigkeit herabsetzen. Korrosion beeinflusst in erheblichem Maße die Eigenschaften einer Feder. Aus diesem Grunde ist für viele Anwendungen, insbesondere im Fahrzeugbau, aber auch im Maschinen- und Apparatebau, der Einsatz nichtrostender Werkstoffe erforderlich. Korrosionsschutzanforderungen lassen sich jedoch auch durch eine entsprechende Oberflächenbehandlung (s. Abschn. 2.2.6) erfüllen. Werden die Federn bei hohen Betriebstemperaturen verwendet, dann sind hierfür geeignete, d.h. warmfeste Werkstoffe auszuwählen. Entsprechendes gilt für einen Einsatz der Federn bei tiefen Temperaturen.

54

3 Werkstoffe

Weitere spezielle Anforderungen an Federwerkstoffe können sein: x elektrische Leitfähigkeit, z.B. bei Kontaktfedern oder x weitgehend temperaturunabhängiges Federungsverhalten, z.B für Messfedern, x Antimagnetismus. Tabelle 3.1. Elastizitäts- und Gleitmoduln verschiedener Federwerkstoffe

_____________________________________________________________________ Werkstoff E-Modul G-Modul Werkstoff E-Modul G-Modul N/mm² N/mm² N/mm² N/mm² _____________________________________________________________________ Patentier210900 81400 NiBe 2 196200 74700 ter Draht Contracid 166800 65500 vergütete 206000 78480 Thermelast 206000 78480 Drähte Monel 400 179300 65500 vergütbare 206000 78480 Monel K-500 179300 65500 Stähle Inconel 600 213700 72400 X12CrNi18-8 190300 73575 Inconel X750 213700 72400 X5CrNiMo17-12-2 185400 73575 Duranickel 206800 75800 X7CrNiAl17.7 197200 78400 Elinvar 193000 70500 E-Cu 99,9F37 108000 37000 Nispan C 189600 69000 CuZn36 110000 34300 Iso-Elastic 179300 63500 CuSn 6 bzw. 8 115000 41200 Elgiloy 203400 82700 CuNi 18 Zn20 140000 47100 Safeni 42 C 200000 77000 CuTi 103500 42750 Duratherm 600 220000 85000 CuBe 1,7 135000 50000 Nivarox 190000 65000 CuCoBe 138000 51500 Ti3Al8V6Cr4Mo4Zr 100000 39250 _____________________________________________________________________

3.1.2 Einteilung Als Werkstoffe für Federn werden sowohl Metalle (Eisen- und Nichteisenmetalle) als auch Nichtmetalle (Gummi, Kunststoffe, Holz, Glas, Flüssigkeiten und Gase) eingesetzt (s. dazu Tabelle 1.1). Von den Eisenmetallen finden hauptsächlich unlegierte und legierte bzw. rostende oder nichtrostende Stähle Verwendung. Außerdem kommen auch eisenhaltige Nickellegierungen zum Einsatz. Von den Nichteisenmetallen werden vorwiegend Kupferlegierungen als Federwerkstoffe genutzt. Für die Federherstellung ist außerdem die Einteilung nach Anlieferungszustand in weiche oder federharte Werkstoffe bedeutsam. Denn eine Reihe von Federwerkstoffen ist nur durch Kaltziehen oder Kaltwalzen im Stahlwerk in den federharten Zustand versetzbar. Sie werden dann beim Federnhersteller durch Kaltumformung zu Federn verarbeitet. Bei anderen Werkstoffen, z.B. härtbaren Federstählen, ist sowohl eine Verarbeitung aus dem weichen, geglühten als auch aus dem vergüteten Zustand möglich.

3.2 Werkstoffarten

55

3.1.3 Werkstoffauswahl Die Werkstoffauswahl setzt Grundkenntnisse über die möglichen Werkstoffarten, über ihre Eigenschaften sowie über ihre Herstellung und Verarbeitung voraus. Näheres hierzu ist in den folgenden Abschnitten ausgeführt. Tabelle 3.2 enthält als Beispiel einige mögliche Vorschläge zur Stahlauswahl für Metallfedern.

3.2 Werkstoffarten 3.2.1 Federstähle Für Federn werden sowohl unlegierte als auch niedriglegierte und hochlegierte Stähle eingesetzt. Tabelle 3.3 gibt dazu einen Überblick. Zusätzlich zum sonst üblichen Einsatz erfordert die spezifische Anwendung dieser Stähle für Federn noch weitere, besondere Eigenschaften, die in Normen (DIN EN 10016, DIN EN 10089 usw.) niedergelegt sind. Bei einem Teil der in Tabelle 3.3 genannten Stahlsorten handelt es sich um übliche Vergütungsstähle, deren Eigenschaften hinreichend bekannt sind [12]. Unlegierte Federstähle weisen eine begrenzte Durchhärtbarkeit auf. Sie lässt sich durch die Legierungselemente Chrom, Nickel und Molybdän entscheidend verbessern. Unlegierte Stähle werden deshalb für kleinere Halbzeugquerschnitte und legierte Federstähle für größere Querschnitte eingesetzt. Ein spezieller Federwerkstoff ist der aus einfachen, jedoch möglichst reinen unlegierten Stählen hergestellte patentiert gezogene Draht nach DIN EN 10270-1. Derartige Drähte werden außer für Federn nur noch in der Verseiltechnik angewendet. Durch eine isotherme Wärmebehandlung, das Patentieren, mit anschließendem Kaltziehen entsteht ein Draht mit hoher Zugfestigkeit und ausgeprägter Zeilenstruktur in Ziehrichtung, der sich besonders für biegebeanspruchte Drahtfedern eignet. Er wird aber auch für torsionsbeanspruchte, statisch belastete Druck- und Zugfedern verwendet. Während das Patentieren zunächst nur für Draht (s. DIN EN 10270-1) entwickelt wurde, ersetzt es heute auch bei der Be- und Verarbeitung anderer Werkstoffe das bisher übliche Rekristallisationsglühen in der Drahtoder Bandfertigung. Patentiert gezogener Federstahldraht nach DIN EN 10270-1 wird in den Sorten SL, SM, SH, DM und DH geliefert, deren Zugfestigkeit in dieser Reihenfolge gestuft ist, wobei die Sorten D bzw. DH die höchsten Werte aufweisen. Trotz der hohen Zugfestigkeit, die dünne Drähte mit Werten Rm > 2000 N/mm² besitzen, weisen patentiert gezogene Drähte in der Re-

56

3 Werkstoffe

gel eine gute Verarbeitbarkeit auf, solange sie nicht erneut wärmebehandelt werden müssen. Denn beim Erwärmen tritt bereits bei niedrigen Temperaturen die sogenannte Reckalterung auf, bei der die Festigkeitseigenschaften zu- und die Zähigkeitseigenschaften abnehmen (s.a. Abschn. 2.3). Tabelle 3.2. Vorschläge für die Werkstoffwahl bei Metallfedern

__________________________________________________________________ Federart Werkstoff bei ______________________________________________________ statischer dynamischer KorrosionsBeanspruchung Beanspruchung beanspruchung __________________________________________________________________ kaltgeformte Federn __________________________________________________________________ Druckfedern patentiert ölschlussvernichtrostende Zugfedern gezogene gütete VentilDrähte Drahtform-u. Drähte nach federdrähte DIN EN 10270-3 oder Drehfedern DIN EN 10270-1 DIN EN 10270-2 verzinkt gezogene Federdrähte Drähte DIN EN 10270-2 -------------------------------------------------------------------------------------------------Flachformunlegierte legierte nichtrostende Spiralfedern Bandstähle Bandstähle Federstahlbänder mit Windungs- DIN EN 10132-4 DIN EN 10132-4 DIN EN 10151 abstand -------------------------------------------------------------------------------------------------Spiralfedern vergütete texturgewalzte nichtrostende ohne Winunlegierte Federbänder Federbänder dungsabstand Federbänder hoher Festigkeit -------------------------------------------------------------------------------------------------Tellerfedern Dicke < 6 mm weichgeglühte Bänder aus unnichtrostende bzw. niedriglegierten Stählen Federbänder Dicke > 6 mm Warmband aus legierten Federhärtbare nichtstählen rostende Stähle __________________________________________________________________ warmgeformte Federn __________________________________________________________________ Druckfedern gewalzte- oder gezogene Drähte aus legierten Federstählen ------------------------------------------------------------------------------------------------Blattfedern geglühte oder ungeglühte warmgewalzte Bänder aus legierten Federstählen ------------------------------------------------------------------------------------------------Drehstabniedrig- und hochlegierte Federfedern stähle __________________________________________________________________

3.2 Werkstoffarten

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Tabelle 3.3. Überblick über meist verwendete Federstähle

____________________________________________________________________ Stahlart Stahlsorte Norm Verwendung für Verarbeitung ____________________________________________________________________ KohlenC 55S,C60S DIN kaltgewalzte Federkalt, stoffbis C85S, EN bänder Härten möglich stähle C100S 10132-4 ----------------------------------------------------------------------------------C60D bis DIN EN patentiert gezogene kalt C98D2 10016 Drähte DINEN 10270-1 ----------------------------------------------------------------------------------C66D2 bis DIN EN ölschlussvergütete kalt C68D2 10016-4 Drähte DIN 17223/2 ____________________________________________________________________ niedrig56Si7 DIN EN kaltgewalzte Federkalt, legiert 75Ni8 10132-4 bänder Härten möglich 51CrV4 ----------------------------------------------------------------------------------55SiCr6 3 DIN EN ölschlussvergütete kalt 67CrV2 10270-2 Drähte DINEN 10270-2 ----------------------------------------------------------------------------------38Si7,56Si7 DIN EN Walzdraht für warmkalt oder warm, 61SiCr7 10089 geformte Federn, aber Härten möglich 55Cr3,51CrV4 auch gezogener Draht 52CrMoV4 für kaltgeformte Federn ____________________________________________________________________ hochX12CrNi18-8 DIN EN kaltgewalzte Federkalt legiert X7CrNiAl17-7 10270-3 drähte und -bänder 10151 ----------------------------------------------------------------------------------X39Cr13 DIN EN kaltgeformte bzw. kalt oder warm, 10151 warmgeformte Drähte Härten möglich und Bänder ____________________________________________________________________

Diese Alterung läuft teilweise bereits bei zu langem Lagern bei Raumtemperatur ab. Sie kann aber zum Teil ebenso schon beim Drahtziehen eintreten, wenn der Draht infolge zu hoher Ziehgeschwindigkeit zu stark erwärmt wird. Gezogener Draht, bei dem bereits beim Ziehen eine Reckalterung erfolgte, eignet sich nicht für die Federherstellung. Man prüft deshalb die Festigkeitseigenschaften gezogener Drähte vor ihrer weiteren Verarbeitung zu Federn. Dazu werden aus einem Drahtbund Proben entnommen, von denen man die eine Hälfte unangelassen und die andere angelassen hinsichtlich ihrer Festigkeitseigenschaften untersucht. Werden bei dieser Untersuchung keine oder nur geringfügige Unterschiede zwischen den Proben festgestellt, so zeigt dieses Ergebnis, dass der Draht schon gealtert ist.

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3 Werkstoffe

Viele Federn eignen sich aufgrund ihrer Gestalt nicht für eine Oberflächenbehandlung (s.a. Abschn. 2.2.6). Deshalb werden in der Federntechnik schon seit Jahrzehnten oberflächenbehandelte Drähte eingesetzt. Eine Vorzugsstellung besitzt dabei verzinkt gezogener Draht. Er wird im Verlauf seiner Herstellung durch eine Zinkschmelze gezogen, d.h. feuerverzinkt. Beim Fertigziehen wird zwar die Zinkschicht dünner, aber auch fester mit dem Untergrund verbunden. Die erzielbaren Schichtdicken liegen bei 6 bis 18 μm (je nach Drahtdurchmesser). Man kann dadurch eine Korrosionsbeständigkeit im Salzsprühtest von mindestens 48 Stunden erreichen. Noch bessere Korrosionsschutzeigenschaften besitzen Drähte, die mit einer eutektischen Zink-Aluminium-Legierung (95 % Zink, 5 % Aluminium - Handelsname Bezinal®) überzogen sind. Hier erfolgt zunächst der Korrosionsangriff wie beim feuerverzinkten Draht nur an den Zinkteilchen der Oberfläche. Dabei kommt es aber zu einer Aluminiumanreicherung. Die Passivierungseigenschaften des Aluminiums bewirken eine dreifach so gute Beständigkeit im Vergleich zu feuerverzinkten Drähten [3.3]. Oberflächenbehandelte patentierte Drähte stellen damit eine kostengünstige Alternative zu nichtrostenden Werkstoffen dar. Ein weiterer spezieller Federwerkstoff ist ölschlussvergüteter Federbzw. Ventilfederdraht. Er ist sowohl aus unlegierten als auch aus niedriglegierten Cr-V- bzw. Si-Cr-Stählen durch Ziehen herstellbar, wobei am Schluss der Drahtfertigung ein abschließendes Härten in Öl und Anlassen erfolgt, um eine hohe Festigkeit zu erreichen. Der fertige Draht besitzt ein feines Vergütungsgefüge ohne besondere Vorzugsrichtung. Er ist für biege- bzw. torsionsbeanspruchte Drahtfedern gleichermaßen geeignet. Während unlegierte ölschlussvergütete Drähte meist für Federn mit Betriebstemperaturen von -40° bis 80°C verwendet werden, eignen sich CrV- bzw. SiCr-legierte Drähte besonders für höhere Betriebstemperaturen bis 200°C (s.a. Abschn. 3.3.3). Die Unterteilung in Feder- bzw. Ventilfederdrahtsorten berücksichtigt die Besonderheiten der Drahtfertigung und die Verwendung der Drähte zur Herstellung von Federn für statische sowie mittlere bis hohe dynamische Beanspruchungen. Für Ventilfederdrähte werden Walzdrähte mit höchstem Reinheitsgrad und verbesserter Oberflächengüte ausgesucht. Dazu wird der Walzdraht rissgeprüft. Bei Drähten für höchste Beanspruchungen erfolgt vor dem Ziehen zur Beseitigung von Fehlstellen ein Schälen oder Schleifen des Walzdrahtes (letzteres vorwiegend in den USA). Nach dem sich anschließenden Ziehen und Ölschlussvergüten, das mit großer Sorgfalt erfolgen muss, wird Ventilfederdraht im Durchlaufverfahren mit Förstersonden auf Längs- und Querrisse geprüft. Vorhandene Fehlstellen mit einer Tiefe größer 40 μm werden farblich gekennzeichnet.

3.2 Werkstoffarten

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Beim unlegierten oder legierten, ölschlussvergüteten Federstahldraht werden in der Regel nicht so hohe Qualitätsanforderungen gestellt. Deshalb rechnet man bei diesen Drähten mit einer niedrigeren Dauerschwingfestigkeit als bei Ventilfederdrähten. Patentiert gezogene und ölschlussvergütete Drähte eignen sich für die Herstellung der meisten Drahtfedern wie z.B. Schraubenfedern. Schraubenfedern haben jedoch mitunter ein so kleines Wickelverhältnis oder so komplizierte Endenformen, dass eine Herstellung aus weichgeglühten Drähten notwendig ist. In solchen Sonderfällen werden gut härtbare Federdrähte aus Stahlsorten eingesetzt, wie sie für warmgeformte Federn üblich sind. Für warmgeformte Federn (Draht- als auch Bandfedern) haben sich niedriglegierte Stähle nach DIN EN 10089 bewährt. Je nach den gewünschten Festigkeitseigenschaften kommen in der Regel die ölhärtenden Stähle 55Cr3, 61SiCr7, 51CrV4, 52CrMoV4 und 52SiCrNi5 zur Anwendung. Forderungen im Maschinen- und Fahrzeugbau nach Materialeinsparung und Leichtbauweise führen zwangsläufig zu ständig steigenden Anforderungen an die Festigkeitseigenschaften der Federstähle. Während patentiert gezogene Drähte bei kleinen Durchmessern Zugfestigkeiten von 2700 bis 3000 N/mm² ermöglichen, sind für größere Querschnitte keine vergleichbaren Werte zu erreichen. So ist es beispielsweise nicht möglich, die oben genannten niedriglegierten Stähle ohne großen Verlust der Bruchzähigkeit auf eine Festigkeit über 2000 N/mm² zu vergüten [3.9][3.18]. Die Folge davon sind Einschränkungen in der Anwendung, besonders bei Temperaturen unter -40°C. Mitunter werden deshalb für hochbeanspruchte Federn, z.B. Tellerfedern [3.23], höherlegierte Stähle wie 45CrMoV6.7 oder X41CrMoV5.1 eingesetzt. Eine weitere Möglichkeit besteht im Einsatz martensitaushärtender Stähle wie X1NiCoMoTiAl18-12-4 (sogenannter Maraging-Stahl) [3.31], mit dem man z.B. Festigkeiten um 2600 N/mm² erreicht. Hochlegierte Stähle finden ebenfalls als nichtrostende Federstähle Verwendung. Ihre chemische Beständigkeit beruht auf der Eigenschaft des Legierungselementes Chrom, stabile Schutzschichten zu bilden. Man kann diese Stähle unterteilen in x ferritische Chromstähle x perlitisch- martensitische, vergütbare Chromstähle und x austenitische Chrom-Nickel-Stähle. Für Federn werden vorwiegend nur Stähle der letzten beiden Gruppen eingesetzt.

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3 Werkstoffe

Härtbar sind die Chromstähle X20Cr13, X35Cr14 und X39Cr13, wenn auch bei hoher Austenitisierungstemperatur. Die erzielbare Festigkeit liegt zwischen 1200 und 1600 N/mm². Geeignet sind diese Stähle für Anwendungen in feuchter Luft, Wasser und Wasserdampf. Durch Zulegieren von Molybdän lässt sich die Korrosionsbeständigkeit härtbarer Stähle weiter verbessern. Deshalb werden für Federn (meist für Federn aus Federband) auch die Stähle X39CrMo13 und X35CrMo17 eingesetzt. Die genannten härtbaren Stähle eignen sich für Federn, die ihrer speziellen Form wegen nicht aus federhartem Werkstoff, sondern nur aus weichem Draht oder Band hergestellt werden können und daher anschließend noch gehärtet werden müssen. Da ihr Einsatz höhere Werkstoff- und Arbeitskosten verursacht, werden sie dort, wo es möglich ist, durch austenitische Chrom-Nickel-Stähle ersetzt. Diese Stähle erhalten durch Kaltziehen oder Kaltwalzen ihre für die Federfunktion notwendigen Festigkeitseigenschaften. Sie können nur durch Kaltumformung zu Federn verarbeitet werden. Beim Entspannen (Anlassen, Spannungsarmglühen) am Schluss der Federherstellung weisen sie eine Zunahme der Festigkeit auf. Sie werden sowohl für korrosionsbeständige als auch wärmebeständige Draht- und Bandfedern verwendet (s.a. Abschn. 3.3.2). Eine Übersicht über bekannte nichtrostende Stähle enthält Tabelle 3.4. Am bekanntesten sind die traditionellen Cr-Ni-Stähle wie X12CrNi18-8. Sie sind beständig in feuchter Luft oder Wasser. Für Einsätze in Kesselspeisewasser sind jedoch molybdän-legierte Stähle wie X5CrNiMo17-12-2 besser geeignet. Bei bestimmten Anwendungen, wenn Federn beispielsweise Angriffen von kochender Salpetersäure oder Oxalsäure ausgesetzt sind, neigen die Cr-Ni-Stähle zu interkristalliner Korrosion. Sie wird von örtlichen Chromverarmungen entlang der Korngrenzen verursacht. Für solche Anwendungsfälle eignen sich mit Titan oder Niob stabilisierte CrNi-Stähle (nähere Einzelheiten zur Korrosionsbeständigkeit s. [3.10]). Für Federn hat sich weiterhin der aushärtbare nichtrostende aluminiumlegierte Stahl X7CrNiAl17-7 durchgesetzt. Seine Eigenschaften ähneln denen von X12CrNi18-8 (W.-Nr. 1.4310, s. Tabelle 3.4). Bei einer Anlassbehandlung um 480°C zeigt sich aber ein Aushärtungseffekt, der zu hohen Festigkeitseigenschaften führt. Für kaltgeformte Federn sind höhere statische Festigkeit und bessere Ermüdungseigenschaften von Bedeutung. Hierzu gab es durch Modifikation der Zusammensetzung vielfältige Weiterentwicklungen. Ein Beispiel dafür ist der nichtrostende Stahl Sandvik 11R 51, mit dem gegenüber X12CrNi18-8 (W.-Nr. 1.4310) eine höhere Zug- und Dauerfestigkeit erzielbar ist. Eine andere Modifikation, allerdings zu X7CrNiAl17-7 (W.-Nr. 1.4568), ist das Sandvik-Band 9RU11H, das besonders für die Herstellung kompliziert geformter Flachformfedern geeignet ist. Es wird im geglühten

3.2 Werkstoffarten

61

Zustand geliefert und nach der Kaltumformung durch eine besondere Wärmebehandlung (s. Tabelle 3.5) auf Federfestigkeit gebracht. Tabelle 3.4. Übersicht über nichtrostende Stähle für Federn

____________________________________________________________________ Bezeichnung Werkstoff-Nr. Markenname Zustand Verarbeitung ____________________________________________________________________ X5CrNiMo17-12-2 1.4401 federhart Kaltumformung X7CrNiAl17-7 1.4568 17-7 PH federhart Kaltumformung 9RU10 ähnlich dem 1.4568 9RU11H weich Kaltumformung Sandvik Härtung X12CrNi18-8 1.4310 auch: federhart Kaltumformung Sandvik 11R51 X10CrNiMoTi18-10 1.4571 federhart Kaltumformung X20Cr13 1.4021 weich Kaltumformung Härtung X39Cr13 1.4031 weich Kaltumformung Härtung X35CrMo14 7C27Mo2 weich Kaltumformung Sandvik Härtung X35CrMo17 1.4122 weich Kaltumformung Härtung X40Cr13 1.2083 weich Kaltumformung Härtung ___________________________________________________________________

Tabelle 3.5. Wärmebehandlung bei Stahl 9RU11H bzw. X7CrNiAl17.7 nach [3.34] ________________________________________________________ Stufe Band 9RU11 H X7CrNiAl17-7 ________________________________________________________ 1 Lieferzustand: geglüht Lieferzustand kaltgewalzt 2 Konditionierung des 3

Austenits 1,5h /760°C Abkühlen unter 10°C

4

innerhalb 1 h Haltezeit mind. 0,5 h Ausscheidungshärtung

-

Ausscheidungshärtung

480°C/1 h 480°C/1 h Abkühlen in Luft Abkühlen in Luft _________________________________________________________

Für manche Einsatzfälle der Federn ist der Magnetismus austenitischer nichtrostender Stähle bedeutsam. Im geglühten Zustand sind praktisch alle 18-8-Cr-Ni-Stähle unmagnetisch (Permeabilität < 1,02). Jedoch durch das

62

3 Werkstoffe

zur Verfestigung notwendige Kaltziehen oder -walzen wandelt sich teilweise das Gefüge in magnetische Gefügebestandteile um. In Abhängigkeit von der Zusammensetzung, Kaltverformung und Anlassen ergeben sich die in Tabelle 3.6 aufgeführten Permeabilitäten. Tabelle 3.6. Permeabilität austenitischer nichtrostender Stähle nach Kaltziehen oder –walzen

_____________________________________

Stahlbezeichnung

Permeabilität

_____________________________________

X5CrNiMo17-7-2 1,02 bis 1,1 X12CrNi18-8 2 bis 30 X7CrNiAl17-7 30 bis 100 _______________________________

Werden jedoch tatsächlich Federn mit einer Permeabilität < 1,02 verlangt, dann müssen die üblicherweise für Federn nicht verwendeten Stahlgüten X10CrNi18-12 (W.-Nr.: 1.3956), X4CrNi18-13 (W.-Nr.:1.3941) oder X8CrMnNi18-8 (W.-Nr.:1.3952) verwendet werden [3.11]. Für Flachformfedern und Spiralfedern mit Windungsabstand sind zahlreiche spezielle Federstähle entwickelt worden. Im Allgemeinen werden Flachformfedern einfacher Form aus vergüteten Federbändern unlegierter Stähle, wie z. B C67S oder C100S, oder legierter Stahlmarken wie 51CrV4 angefertigt. Bei komplizierten Federformen ist eine Verarbeitung von federharten Bändern nicht möglich. In diesen Fällen wird weichgeglühter Bandstahl verwendet. Die Feder muss dann nach der Kaltumformung vergütet werden. Zur Beseitigung der Nachteile dieser Wärmebehandlung erhob sich die Forderung nach Herstellung vergüteter Federstahlbänder mit verbesserter Kaltumformbarkeit. Ergebnis der Entwicklung waren zwischenstufenvergütete (bainitgehärtete) Federstahlbänder, wie beispielsweise die Bänder der PT-Güten von der Fa. Brockhaus [3.1][3.30] oder die HARDFLEX-Bänder der Fa. Sandvik. Werkstoffdaten einiger dieser Federbänder enthält Tabelle 3.7. Tabelle 3.7. Werkstoffdaten zwischenstufenvergüteter Federbänder nach [3.1] MarkenStahlsorte Streckgrenze Zugfestigkeit Mindestbruch- Härte name ¹ Re in N/mm² Rm in N/mm² dehnung 5 in% HRC ____________________________________________________________________ PT 100 CK 45 750-950 900-1150 11 25-34 PT 120

CK 60

900-1100

1100-1350

10

33-40

PT 140

MK 75

1100-1300

1300-1500

9

39-46

PT 150 CK 85 1200-1400 1400-1600 8 42-50 ___________________________________________________________________ 1 PT: Pre-Tempered = vorgehärtet (Stahlsorten entsprechen noch nicht DIN EN 10132-4)

3.2 Werkstoffarten

63

Wie aus Tabelle 3.7 hervorgeht, lassen sich nicht so hohe Festigkeiten (Höchstwerte nach DIN EN 10132-4 bis 2000 N/mm²) wie mit der üblichen martensitischen Vergütung erzielen. Die zwischenstufenvergüteten Bänder besitzen aber den Vorteil, dass sie besser biege- und unter Umständen auch tiefziehfähig sind und daher die Herstellung komplizierter Flachformfedern ermöglichen. Abb. 3.1 gibt Anhaltswerte über die Biegefähigkeit dieser Werkstoffe.

Abb. 3.1. Anhaltswerte für die Biegefähigkeit von zwischenstufenvergütetem Bandstahl nach [3.1]

Für Spiralfedern ohne Windungsabstand (Triebfedern und Rollfedern) werden traditionell einerseits vergütete Federbänder aus unlegierten (z.B. C100S) oder niedriglegierten Stählen (z.B.71 Si 7) mit einer dickenabhängigen Zugfestigkeit von 2200 bis 1700 N/mm² eingesetzt. Zum anderen finden kaltgewalzte, nichtrostende Federbänder, ähnlich X12CrNi18-8 (z.B. 11R51 der Fa. Sandvik), Verwendung. Bänder aus diesen Werkstoffen eignen sich besonders dann, wenn Ansprüche an die Korrosionsbeständigkeit gestellt werden. Außerdem führt die durch Kaltwalzen erzielte Faserstruktur zu einer hohen Bruchsicherheit bei Biegebeanspruchung quer zur Walzrichtung. Die Herstellung von Spiralfedern für Dreipunktsicherheitsgurte führte zur Entwicklung neuer Texturfederbänder auf der Basis kostengünstiger unlegierter Stähle [3.13]. Ähnlich der Herstellung patentiert gezogener Drähte wird dabei das vorgewalzte Band nach dem Austenitisieren bei 450 - 500°C isotherm umgewandelt, so dass ein feinlamellares Perlitgefüge, das Sorbit, entsteht. Durch anschließendes Kaltwalzen mit Verformungsgraden von 70 bis 90 % werden die benötigten Festigkeitseigen-

64

3 Werkstoffe

schaften erreicht. Die Zugfestigkeitswerte liegen, wie Abb. 3.2 zeigt, noch über den Werten der auf übliche Weise vergüteten Bänder. Nach [3.13] wird mit texturgewalzten Bändern eine wesentlich höhere Bruchsicherheit gegenüber der Verwendung vergüteter Bänder erzielt.

Abb. 3.2. Zugfestigkeitsbereiche von martensitisch vergüteten Federbändern (H+A) und texturgewalzten Bändern Sorbitex® bzw. Bainitex® nach [3.13].

3.2.2. Nichteisenmetalle Drähte und Bänder aus Kupfer und Kupferlegierungen werden aufgrund ihrer guten elektrischen Leitfähigkeit (Beispiele s. Tabelle 3.8) vorwiegend für Federn im Apparatebau, der Feinwerktechnik und der Elektrotechnik eingesetzt. Verbreitet sind Cu-Zn-Legierungen (früher als Messing bezeichnet), Cu-Sn-Legierungen (Bronze) und Cu-Ni-Zn-Legierungen (Neusilber). Ihre Federeigenschaften, die außerordentlich temperaturabhängig sind (s.a. [3.24] und Abschn. 3.3.3), erhalten diese Werkstoffe durch Kaltverfestigung, wobei jedoch die Kennwerte deutlich unter denen von Stahl liegen (s. Tabelle 3.9). Höhere Festigkeitseigenschaften sind mit aushärtbaren Cu-Be-Legierungen erzielbar. Vorteilhaft ist bei diesen Legierungen, dass man sie vor dem Aushärten gut kalt umformen kann und durch das Aushärten eine hohe Elastizität erreicht. Neben den bekannten Cu- und Be-Legierungen gibt es vielfältige Entwicklungen zur Verbesserung der Leitfähigkeit bzw. der Festigkeitseigenschaften [3.6] [3.24]. Im Allgemeinen verfügen Kupferlegierungen über eine gute Korrosionsbeständigkeit. Sie sind beispielsweise beständig gegen Seewasser und einige Säuren, werden jedoch von wässrigen Schwefelverbindungen und Halogenen angegriffen. Lediglich in bezug auf Spannungsrisskorrosion sind Bronze und Neusilber Messing vorzuziehen.

3.2 Werkstoffarten

65

Tabelle 3.8. Elektrische Leitfähigkeit von Kupferlegierungen

___________________________________________________________ Werkstoff elektr.Leit- Werkstoff elektr.Leitfähigkeit in fähigkeit in m/Ohm mm² m/Ohm mm² ____________________________________________________________ CuZn30 17 CuBe1,7 8-13 CuZn37 15 CuBe2 8-13 CuZn23Al3,5Co 10 CuCo2Be 11-34 CuSn4 11 CuFe2,3PZn 20 CuSn6 10 CuTi2 9,3 CuSn8 9 CuSn1Ni1CrTi 30 CuNi18Zn20 3 CuCr0,3TiSi 45 ___________________________________________________________

Tabelle 3.9. Mechanische Eigenschaften von Drähten4 aus Kupferlegierungen (s.a. DIN 17682) _____________________________________________________________________ Werkstoff Zugfestigkeit ¹ BiegewechselVerdrehwechselin N/mm² festigkeit in N/mm² festigkeit in N/mm² _____________________________________________________________________ CuZn36 R700 >700 180–200 100–120 CuSn6 R900 >900 300–320 240–250 CuSn8 R900 >900 300–320 240–250 CuNi18Zn20 R880 >800 ca. 260 ca. 150 CuBe2 R1270 ² 1270–1490 CuBe2 R1100 ³ 1100–1320 CuCoBe R750 ² 750–970 CuCoBe R680 ³ 680–900 NiBe2 hart 1400–1600 _____________________________________________________________________ 1 abhängig vom Drahtdurchmesser; 2 unausgehärtet; 3 ausgehärtet; 4 Federbänder aus Cu-Legierungen s. DIN EN 1654

Kupfer- und Berylliumlegierungen sind mit Ausnahme der Legierung NiBe2 und eisenhaltigen Legierungen unmagnetisch. Nickellegierungen sind meist unmagnetisch, besitzen eine hohe Wärmeund Korrosionsbeständigkeit und einen hohen elektrischen Widerstand. Die meisten Ni-Legierungen lassen sich im lösungsgeglühten Zustand kaltverformen und sind aushärtbar. Das Aushärten wird in der Regel an fertigen Federn vorgenommen. In Tabelle 3.10 sind die Festigkeitswerte einiger Nickellegierungen und die der Kobaltlegierung Duratherm, die häufig für hochwarmfeste Federn verwendet werden, aufgeführt. Leichtmetalle in Form von Aluminiumlegierungen wurden vielfach für Federanwendungen vorgesehen, haben jedoch bis heute keine praktische Bedeutung erlangt. Vielversprechender sind Titan-Legierungen, die sich

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3 Werkstoffe

durch ein günstigeres Festigkeits-Masse-Verhältnis auszeichnen, kälteunempfindlich, warmfest sowie korrosionsbeständig sind. Tabelle 3.11 enthält als Beispiel die mechanischen Eigenschaften der Beta C-Legierung (Ti 3Al 8V 6Cr 4Mo 4Zr) (s.a. [3.36][3.37]). Tafel 3.10. Warmfeste Nickel- bzw. Kobaltlegierungen, Bezeichnungen und Festigkeitswerte _____________________________________________________________________ geschütztes Bezeichnung Werkstoff-Nr. Zugfestiganwendbar bis zu Warenzeichen keit Rm in Temperaturen von N/mm² in °C _____________________________________________________________________ Inconel X750 NiCr15Fe7TiAl 2.4669 1400 700 Nimonic 90 NiCr20Co18Ti 2.4969 1200 800 Hastelloy C4 NiMo16Cr16Ti 2.4619 800 750 Duratherm CoNiCrMo 1500-2000 500-600 _____________________________________________________________________

Tabelle 3.11. Mechanische Eigenschaften der Beta C-Legierung (Ti 3Al 8V 6Cr 4Mo 4Zr) ________________________________________________________________________________

Zustand

Zugfestigkeit 0,2-Dehngrenze Dehnung E-Modul in N/mm² in N/mm² % in N/mm² ___________________________________________________________________ lösungsge1050 1000 9 85000 glüht und ausgehärtet -------------------------------------------------------------------------------------------------kaltver1550 1500 1 105000 festigt und ausgehärtet ___________________________________________________________________

3.2.3 Sonderwerkstoffe Federn erfordern oft aufgrund an sie gestellter besonderer Forderungen auch spezielle Werkstoffe. Eine dieser Anforderungen betrifft die Temperaturkonstanz des Elastizitäts- bzw. Gleitmoduls bei Federn, die als Verformungskörper für Aufgaben der Messtechnik eingesetzt werden. Fertigt man beispielsweise Schraubenfedern für eine Tara-Ausgleichswaage aus patentiert gezogenem Draht mit temperaturabhängigem Gleitmodul, dann verursacht dessen Temperaturgang (s. Tabelle 3.12), dass Eichvorschriften nicht mehr eingehalten werden können. Man benötigt also spezielle Werkstoffe mit nahezu temperaturunabhängigem Gleitmodul, um die Funkti-

3.2 Werkstoffarten

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onsanforderungen erfüllen zu können. Die Festigkeitseigenschaften und Anwendungstemperaturen derartiger Werkstoffe enthält Tabelle 3.13. Für Waagenfedern geeignete Legierungen, wie beispielsweise Safeni®, zeichnen sich außerdem durch eine geringe mechanische Hysterese des Werkstoffes aus. Diese beträgt bei üblichen Federstählen etwa 2 % und bei Safeni® nach spezieller Wärmebehandlung nur etwa 0,03 %. Tabelle 3.12. Temperaturkoeffizient des E- bzw. G-Moduls verschiedener Werkstoffe ____________________________________________________________________

Werkstoff Temperaturkoeffizient in 10-6/°K _________________________________________________________ Duratherm 600 - 300 Kohlenstoffstahl - 100 CuSn8 - 190 CuBe2 - 180 ® - 5 bis + 8 Isoelastic ® Nispan C - 5 bis + 5 ® Nivarox ±3 bis ±10 ® Safeni < - 15 ________________________________________________________

Tabelle 3.13. Festigkeitseigenschaften und Anwendungsgrenzen für Werkstoffe mit temperaturunabhängigem E- bzw. G-Modul _________________________________________________________ WerkstoffGattung, ZusamZugfestigkeit Anwendungsname mensetzung in N/mm² temp.in °C _________________________________________________________ Elinvar Ni-Fe-Cr  t 1380 -50 bis +150 ® Nispan C Ni-Fe-Cr-Ti 1380 - 2480 -50 bis +150 ® Ni-Fe-Cr-M0 > 1170 Isoelastic ® Ni-Fe-Cr-Co  t 1440 -400 bis +400 Dynavar ® Nivarox Fe-Ni-Cr-Ti  -40 bis + 100 t 1350 ® Safeni 43C Ni-Fe-Cr-Ti-Co > 1500 -45 bis + 65 _________________________________________________________

Auch andere spezielle Eigenschaften von Werkstoffen können für Federn ausgenutzt werden. So weisen einige spezielle Ni-Ti-, Cu-Zn-Al- und Cu-Al-Ni-Legierungen einen Formgedächtnis-Effekt auf [3.26][3.29]. Dieser beruht auf reversiblen temperaturabhängigen Änderungen vom martensitischen in den austenitischen Gefügezustand. Die Änderungen finden im Temperaturbereich zwischen -150 und + 150°C statt und können zur Beeinflussung der Federarbeit herangezogen werden. Am bedeutendsten sind hierbei Ni-Ti-Legierungen (Warenzeichen NITINOL® bzw. TINEL®). Ihre Wirkung soll am Beispiel von Schraubenfedern aus TINEL® nach[3.27]

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3 Werkstoffe

aufgezeigt werden. Abb. 3.3 enthält die Federkennlinie einer Schraubenfeder bei 20°C bzw. 80°C. Bei Raumtemperatur liegt ein martensitischer Gefügezustand vor, und der Gleitmodul ist niedrig. Wird die Feder über die Umwandlungstemperatur erwärmt, dann wird der austenitische Zustand erreicht, und der Gleitmodul nimmt dadurch einen wesentlich höheren Wert an.

Abb. 3.3. Federkennlinie von Schraubendruckfedern aus einer Ni-Ti-Legierung in Abhängigkeit vom Zustand (austenitisch bei 80°C; martensitisch bei 20°C) nach Stoeckel [3.27] Abmessungen: De = 5,6 mm; d = 0,7mm; L0 = 34,6 mm und n = 19)

Abb. 3.4 zeigt die Wirkungsweise des Regelvorganges mit einer Zugfeder aus einer Memory-Legierung. Aufgrund des niedrigen Gleitmoduls im martensitischen Zustand tritt eine große Längenänderung bis zum Punkt (C) auf. Wird die Feder über den Umwandlungspunkt erwärmt, dann nimmt die Steifigkeit zu und die Kraft- Weg-Kennlinie verläuft von (A) nach (B), d.h., die Zugfeder hebt die Masse M an. Praktische Anwendungen von Formgedächtnis-Legierungen findet man in vielen Technikbereichen, beispielsweise in der Regelungstechnik für Fensteröffner, Stellglieder oder thermostatische Steuerventile sowie in der Verbindungstechnik als Schrumpfringe und Steckverbinder. A

B

C

F

l1

'

'

l2

B

¤

F0 = 0

¤

F1 ; F2

M

F1

¤

Austenit

C

Martensit

M F2 F0

A ' l 1

'l 2

'l

Abb. 3.4. Wirkungsweise von Zugfedern aus NiTi-Legierungen an Hand des LastVerlängerungs-Diagramms nach [3.26].

3.3 Einflüsse auf das Federungsverhalten von Metallfedern

69

Für das temperaturabhängige Wirken von Federn werden außer Memory-Legierungen auch Thermobimetalle verwendet. Sie sind Verbundwerkstoffe, die aus zwei fest miteinander verbundenen Metallbändern mit unterschiedlichen Ausdehnungskoeffizienten bestehen. Dadurch erfährt eine ebene Feder aus Thermobimetall bei Erwärmung eine Krümmung. Um eine hohe Formänderung bei Erwärmung zu erreichen, wird als passive Komponente eine Fe-Ni-Legierung mit niedrigem Ausdehnungskoeffizient (ca. 1,2·10-6/K) und als aktive Schicht eine solche mit hohem Ausdehnungskoeffizient (11 bis 19·10-6/K) angewendet. Tabelle 3.14 enthält die Daten üblicher Thermobimetalle nach DIN 1715. Tabelle 3.14. Kennwerte ausgewählter Thermobimetalle nach DIN 1715 Thermobi- Spezifische Linearitätsmetallmarke thermische bereich, Ausbiegung¹ Temperatur in 10-6K-1 in °C TB 1577B 15,5 -20...+200 TB 1555 15,0 -20...+200 TB 1511 15,0 -20...+200 TB 1170B 11,7 -20...+380 TB 1109 11,5 -20...+380 TB 0965 9,8 -20...+425 1

Anwendungsgrenze, Temperatur in °C 450 450 400 450 400 450

Elastizitätsmodul E bei 20°C in kN/mm² 170 170 165 170 165 175

Zulässige Biegespannung Vb zul in N/mm² 250 200 200 250 200 200

zwischen 20 und 100°C

3.3 Einflüsse auf das Federungsverhalten von Metallfedern 3.3.1 Entstehen und Wirken von Eigenspannungen Der Zusammenhang zwischen der sich bei Belastung der Federn im Werkstoff einstellenden Spannungen ist über das Hookesche Gesetz gegeben. Die Elastizitätstheorie stellt die entsprechenden Beziehungen dazu bereit. Erfolgt aber die Belastung über den Gültigkeitsbereich des Hookeschen Gesetzes hinaus, dann kommt es auch zu plastischen Verformungen. Da die Kaltformgebung der Federn immer mit einer Werkstoffbeanspruchung in plastischen Verformungsbereichen verbunden ist, verbleiben Eigenspannungen (innere Spannungen) im Federwerkstoff zurück. Federwerkstoffe sind aber bereits durch die Kaltformgebung bei der Halbzeugfertigung mit Eigenspannungen behaftet. Alle diese Eigenspannungen überlagern sich, falls sie nicht durch irgend eine Behandlung beseitig wurden,

70

3 Werkstoffe

den äußeren Beanspruchungen und können somit zu einer Vergrößerung oder Verkleinerung der Federbeanspruchung führen. Man unterscheidet vier Arten von Eigenspannungen [3.22]. Für Federn sind diejenigen I. Art bedeutsam, die über makroskopische Bereiche annähernd konstant sind. Sie sollen im Folgenden näher betrachtet werden. Eigenspannungen entstehen durch die unterschiedlich hohen elastischen und plastischen Verformungsanteile der einzelnen Werkstoffbereiche. Am Beispiel der Kaltumformung eines Drahtes zu einer Schraubenfeder soll ihr Entstehen dargestellt werden. Abb. 2.17 (Abschn. 2.2.1, S. 25) zeigte bereits die Belastungsspannungen beim Biegen des Drahtes und die nach der Rückfederung entstandenen Eigenspannungen. Es treten außen Zugspannungen und innen Druckspannungen auf. Die nach der Verformung stattfindende elastische Rückfederung führt aufgrund der unterschiedlichen Belastung in den einzelnen Werkstoffbereichen zu den dargestellten Eigenspannungen als Differenz zwischen Rückfederungsspannungen und Belastungsspannungen. An der Außenseite liegen nun Druckeigenspannungen und an der Innenseite Zugeigenspannungen vor. Die Größe der beim Biegen bzw. Wickeln von Federn entstehenden Eigenspannungen hängt von vielen Faktoren ab. So wirken sich beispielsweise die Höhe der Streckgrenze, der Verformungsgrad sowie der Verfestigungsmechanismus des Werkstoffes auf den sich nach der Umformung einstellenden Eigenspannungszustand aus. Die Vorhersage der absoluten Höhe von Eigenspannungen erfordert deshalb umfangreiche Untersuchungen der eingesetzten Werkstoffe und Technologien. Eigenspannungen entstehen nicht nur bei der Kaltumformung der Halbzeuge zu Federn, sondern sie sind oft schon im angelieferten Draht oder Band, selbst bei schlussvergütetem, wie Abb. 3.5 beweist, vorhanden.

Abb. 3.5. Eigenspannungs-Tiefenprofil von ölschlussvergütetem Ventilfederdraht nach [2.69] (Drahtaußenseite = Außenseite des Coils usw.)

3.3 Einflüsse auf das Federungsverhalten von Metallfedern

71

Eigenspannungen lassen sich aber auch gezielt durch eine Oberflächenverdichtung (Oberflächenverfestigung) bei Anwendung geeigneter Verfahren (z.B. Kugelstrahlen) erreichen. Abb. 2.26 zeigt die sich nach [2.69] ergebenden Veränderungen der Eigenspannungen durch das Kugelstrahlen. Die dabei entstehenden Druckeigenspannungen üben bei vielen Federn einen günstigen Einfluss auf die Lebensdauer aus (s.a. Abschn. 2.2.4). Eine weitere Möglichkeit der Eigenspannungserzeugung besteht im Vorsetzen (Plastizieren). Diese Behandlung wurde als eine Art Training der Federbelastung eingeführt, um eine Relaxation während des Betriebszustandes in Grenzen halten zu können (s.a. Abschn. 2.2.5). Wird bei der Vorbelastung einer Feder die Elastizitätsgrenze überschritten, dann tritt in Abhängigkeit vom Betrag der Spannungsüberschreitung eine bleibende Formänderung auf und nach Entlastung ergeben sich infolge der elastischen Rückfederung Eigenspannungen, die bei späterer Belastung die Werkstoffbeanspruchung verringern. Eigenspannungen können durch eine Erwärmung abgebaut werden. So werden durch ein Anlassen (Spannungsarmglühen bei niedriger Temperatur) nach dem Federwickeln die mit dieser plastischen Verformung entstandenen Eigenspannungen, wie Abb. 2.22 zeigt, wesentlich verringert. Wird jedoch das Spannungsarmglühen bei 550 bis 650°C durchgeführt, dann wird ein vollständiger Eigenspannungsabbau erreicht. Das gleiche trifft zu, wenn die Federn auf Härtetemperatur erwärmt werden. Zur Messung bzw. Ermittlung von Eigenspannungen gibt es verschiedene Methoden (s. Peiter [3.22]), die jedoch für Federn nicht verwendbar sind. Geeignet ist das Röntgendiffraktometer-Verfahren. Es geht davon aus, dass ein auf die Metalloberfläche fallender Röntgenstrahl an Netzebenen des Kristallgitters reflektiert wird. Der Reflexionswinkel ändert sich je nach Größe der plastischen Verformung, die zu einer Vergrößerung oder Verkleinerung des Gitterebenenabstands führt. Die Darstellung der Ergebnisse erfolgt in der Regel in Form von Polardiagrammen [3.19][3.35]. Eigenspannungen beeinflussen in Abhängigkeit ihrer Verteilung die Funktion der Feder. Nur in Anwendungsfällen, bei denen die auftretende Werkstoffbeanspruchung weit unter der zulässigen liegt, wirken sich Eigenspannungen kaum aus. Das hängt natürlich auch von der Feder- und Herstellungsart ab, so dass sich über den Einfluss von Eigenspannungen nur eine allgemeine Regel aufstellen lässt: Erfolgt die Federbelastung in derselben Richtung wie bei der Herstellung (Kaltumformung), dann mindern die vorhandenen Eigenspannungen die Belastungsspannungen, im umgekehrten Falle erhöhen sie diese.

72

3 Werkstoffe

Bei kaltgeformten Schraubenfedern liegen nach dem Wickeln (bzw. Winden) und Anlassen Eigenspannungen vor, wobei sich an der Windungsinnenseite Zugeigenspannungen und an der Windungsaußenseite Druckeigenspannungen einstellen. Sie beeinträchtigen die Schubelastizitätsgrenze und damit die statische und dynamische Belastbarkeit. Bei Druckfedern, insbesondere Ventilfedern, bemüht man sich deshalb, die Zugeigenspannungen durch Anlassen bei höchstmöglichen Temperaturen weitestgehend abzubauen. Außerdem bringt man durch Kugelstrahlen, Kalt- oder Warmvorsetzen weitere Eigenspannungen in die Werkstoffoberfläche ein, um eine die Werkstoffbeanspruchung begünstigende Eigenspannungsverteilung und damit eine Verbesserung der Funktionseigenschaften der Feder zu erreichen [2.69][3.35]. Bei Zugfedern könnte eine günstige Eigenspannungsverteilung ebenfalls durch Vorsetzen erreicht werden. Da die meisten Zugfedern mit einer inneren Vorspannkraft gewickelt werden, geht jedoch bei dieser Behandlung ein Teil der eingewickelten Kraft verloren. Andererseits ist auch die Höhe der einwickelbaren Vorspannung begrenzt, wodurch dem Vorsetzen bei Schraubenzugfedern Grenzen gesetzt sind. Bei kaltgeformten Drehfedern und Spiralfedern liegen selbst nach einem Anlassen noch Eigenspannungen vor. Sie mindern die Belastbarkeit dieser Federn, wenn die Belastung in Wickelrichtung (Herstellungsrichtung) erfolgt, wie Abb. 3.6 zeigt.

Abb. 3.6. Belastungsspannungen beim und Eigenspannungen nach dem Biegen eines Drahtes

Abb. 3.7. Eigenspannungsverteilung bei vergüteten und kalt vorgesetzten Tellerfedern nach Hertzer [3.7]

3.3 Einflüsse auf das Federungsverhalten von Metallfedern

73

In Abb. 3.7 ist der durch Vorsetzen von Tellerfedern erzielbare Eigenspannungszustand dargestellt. Danach liegen große Zugeigenspannungen an der inneren Oberkante der Tellerfeder vor, die die hohen Druckspannungen bei Federbelastung mindern können. Gering sind jedoch die an der inneren oder äußeren Unterkante vorhandenen Druckeigenspannungen. Sie können zur Verbesserung der Funktionseigenschaften wenig beitragen. Höhere Druckeigenspannungen sind jedoch mit einer Kugelstrahlbehandlung oder durch Warmsetzen erzielbar. Bei Drehstabfedern spielen die Eigenspannungsverhältnisse eine besondere Rolle. Drehstäbe werden entweder nur in einer Richtung schwellend oder in beiden Drehrichtungen wechselnd beansprucht. Bei schwellend belasteten Drehstabfedern ist ein Vorsetzen in Richtung der späteren Beanspruchung zweckmäßig, wodurch funktionsgünstige Eigenspannungen erzielt werden (s. Abb. 2.28 und 2.29). Solche Federn müssen mit der Vorsetzrichtung gekennzeichnet werden. Bei wechselnd beanspruchten Drehstäben hat Vorsetzen natürlich keinen Sinn [6]. 3.3.2 Kriechen und Relaxation [3.32] Abb. 3.8 zeigt die Veränderung der Länge Lo einer Druckfeder nach mehreren Belastungen. Durch das Überschreiten der Elastizitätsgrenze tritt eine bleibende Verformung auf, die sich in einem „Sitzenbleiben der Feder“, d.h., in einer Änderung der Länge L0 der unbelasteten Feder auswirkt. Der Betrag der Änderung nimmt mit dem Maß des Überschreitens der Elastizitätsgrenze zu (s.a. Abschn. 2.2.5). Von Einfluss sind weiter die Art der Belastung (statisch oder dynamisch), die Zeitdauer (kurzzeitig oder andauernd) und die Temperatur (s. Abschn. 3.3.3).

Abb. 3.8. Längenänderung einer Druckfeder nach mehreren Belastungen

Als Grenze, bis zu der kein Setzen auftritt, gilt in der Regel die technische Elastizitätsgrenze (Rp 0,01-Grenze oder W0,04-Grenze). Dabei ist zu-

74

3 Werkstoffe

nächst zu beachten, dass vorhandene Eigenspannungen u.U. die rechnerisch unter der Elastizitätsgrenze liegenden Belastungsspannungen zusätzlich vergrößern können. Dadurch kann eine andere Spannungsverteilung entstehen. Zum anderen ist natürlich die unter Abschn. 3.3.1 genannte Regel über die Auswirkung von Eigenspannungen nur annähernd gültig. Die meisten Federwerkstoffe sind nicht ideal elastisch, sondern enthalten schon bei kleinen Beanspruchungen (Schubspannungen von etwa 300 N/mm²) neben elastischen Verformungen als dem Hauptanteil einen kleinen Anteil plastischer Verformungen, der mit den üblichen Prüfmitteln nicht messbar ist. Diese Erscheinung ist bei den meisten Federn technisch ohne Bedeutung. Sie muss nur bei Federn beachtet werden, die für messtechnische Aufgaben vorgesehen sind. Kriechen und Relaxation sind Erscheinungen bei andauernden statischen Belastungen von Federn, die zu zeitbedingten Veränderungen der Federungswerte (F; s) führen. Das Kriechen einer Feder kann als die zeitliche Änderung der Federmaße aufgefasst werden, die sich beim Einwirken einer konstanten Kraft und damit konstanten Spannung ergibt. Am Beispiel des Kriechversuches an einer Druckfeder (Abb. 3.9) äußert sich das bei konstanter Belastung, die über einen längeren Zeitraum einwirkt, in einer Längenänderung (z.B. der Länge L1 ) und der Änderung der Länge L0 der ungespannten Feder. Der zeitliche Verlauf der Änderungen ist in Abb. 3.10 dargestellt.

Abb. 3.9. Schematische Darstellung der Federbelastung beim Kriechversuch

Abb. 3.10. Kriechkurve einer Druckfeder, bezogen auf die Längen L0 undL1 bei einer Belastung nach Abb. 3.9

Ob sich die Kriechkurve asymtotisch einem Grenzwert nähert oder nicht, hängt von der Höhe der Belastung, der Prüftemperatur und dem Werkstoff ab. Liegt die Beanspruchung in der Nähe der Elastizitätsgrenze und tritt keine wesentliche Veränderung der Raumtemperatur auf, dann

3.3 Einflüsse auf das Federungsverhalten von Metallfedern

75

kann sich die Kriechkurve asymptotisch einem Grenzwert nähern. Zur Ermittlung des Kriechbetrags legt man die Parameter Belastung, Temperatur und Zeit fest und ermittelt diesen Wert aus der Differenz der Länge L0 zur Zeit t = 0 und t = tx zu 'L = L0 – L0(tx)

(3.1)

bzw. durch Messen der Länge L1 über Kriechen = ('L1·100 %)/s1 .

(3.2)

Die prinzipielle Vorgehensweise bei Relaxationsuntersuchungen von Federn zeigt Abb. 3.11. Die Feder wird auf eine bestimmte Länge lagekonstant vorgespannt. Dabei wirkt am Anfang die Kraft F1 , die eine bestimmte Spannung in der Feder verursacht. Bei andauernder Belastung sinkt die Kraft und damit auch die Spannung ab. Lediglich das Einspannmaß (Länge der gespannten Feder) bleibt konstant. In Abhängigkeit von Temperatur, Höhe der Anfangskraft und Zeit findet hier ein Kraftabfall statt, der zu einer Änderung der Federdaten im Vergleich zum ungespannten Zustand führt. Die Größe der Relaxation ergibt sich aus Werten der Kraftveränderung zwischen den Zeitpunkten t = 0 und t = tx aus Relaxation = ('F·100 %)/F1 .

Abb. 3.11. Schema der Dauerbelastung einer Feder mit konstanter Einspannlänge

(3.3)

Abb. 3.12. Verlauf der Federkraft bzw. der Relaxation (1) bei einer Zugfeder aus patentiertem Draht der Sorte C DIN 17223 (jetzt SH DIN EN 10270-1) (Abmessungen: 2,8 x 25 x 32; L1 = 363 mm)

Abb. 3.12 enthält als Beispiel die Relaxationskurve einer Zugfeder bei kurzzeitiger (etwa fünfminütiger) Belastung. Die Relaxation ist danach

76

3 Werkstoffe

noch nicht zum Stillstand gekommen. Man muss deshalb den Versuch über eine größere Zeitdauer fortführen. Als weiteres Beispiel enthält Abb. 3.13 den Relaxations-Zeit-Verlauf für Druckfedern aus patentiertem Draht bei 150°C und verschiedenen Anfangsspannungen. Daraus ist zu erkennen, dass mit steigender Anfangsspannung die Relaxation zunimmt und dass sich die Kurve asymptotisch einem Grenzwert nähert.

Abb. 3.13. Relaxations-Zeit-Verlauf von Druckfedern aus patentiertem Draht bei 150°C nach O`Malley [3.15]

3.3.3 Einfluss der Arbeitstemperatur 3.3.3.1 Einflüsse durch erhöhte Arbeitstemperaturen

Es ist allgemein bekannt, dass die Neigung der Federn zu Relaxation mit steigender Arbeitstemperatur zunimmt. Bei Arbeitstemperaturen um 120°C kann sie nicht mehr vernachlässigt werden. Weniger bekannt ist aber, dass sie sich bei unlegierten Federstählen bereits bei relativ niedrigen Arbeitstemperaturen und mittleren Spannungen auszuwirken beginnt, wie Abb. 3.14 zeigt. Druckfedern weisen beispielsweise schon bei einer 48stündigen Beanspruchung mit einer Schubspannung von 800 N/mm² und einer Arbeitstemperatur von 40°C eine Relaxation von 6 % auf. Allgemein ist festzustellen, dass die Funktionstüchtigkeit von Federn bei höheren Arbeitstemperaturen nur fachgemäß beurteilt werden kann, wenn Relaxations-Spannungs-Schaubilder für die entsprechenden Werkstoffe vorliegen. In den Abb. 3.15 bis 3.18 sind diese für die wichtigsten Federwerkstoffe dargestellt.

3.3 Einflüsse auf das Federungsverhalten von Metallfedern

77

Abb. 3.14. Relaxation von Druckfedern aus Federstahldraht Sorte C, vorgesetzt bei Raumtemperatur, in Abhängigkeit von der Schubspannung nach 48stündiger Belastung 14

14

200°C

240°C

160°C

%

% 240°C 12

12

10

120°C

10

8

160°C 120°C

6

80°C

4

2 0 500

Relaxation

Relaxation

200°C 80°C

8 6 4

2

600

700

N/mm²

Schubspannung

900

1000

Wk

Abb. 3.15. Relaxation von Druckfedern aus ölschlussvergütetem SiCrVentilfederdraht, vorgesetzt bei Raumtemperatur, nach 300 h; [3.34] (Drahtdurchmesser d = 3,85 mm)

0 500

600

700

N/mm²

Schubspannung

900

1000

Wk

Abb. 3.16. Relaxation von Druckfedern aus ölschlussvergütetem CrV-Ventilfederdraht, vorgesetzt bei Raumtemperatur, nach 300 h; [3.34] (Drahtdurchmesser d = 3,85 mm)

78

3 Werkstoffe 11 10 % 8 1mm/160°C

7

Relaxation

6 6mm/160°C

1mm/120C

6mm/120°C

1mm/80°C

5 4 3 6mm/80°C

2 1mm/20°C

1 6mm/20°C

0 0

200 400 Schubspannung W

600 800 vor Beginn der Relaxation

N/mm²

1200

Abb. 3.17. Relaxation von Druckfedern aus nichtrostendem Federstahldraht X12CrNi18-8 nach 48 h (Parameter: Drahtdurchmesser/Arbeitstemperatur) 5 1mm/240°C

% 6mm/240°C

3

Relaxation

1mm/160°C

2 6mm/160°C

1 6mm/80°C

1mm/80°C

0 0

200

400

600

Schubspannung

W

800

N/mm²

1200

vor Beginn der Relaxation

Abb. 3.18. Relaxation von Druckfedern aus nichtrostendem Federstahldraht X7CrNiAl 17-7 nach 48 h

Eine allgemeine Aussage für die Temperaturgrenzen der einzelnen Federwerkstoffe, die in Verbindung mit den Relaxations-SpannungsSchaubildern zu sehen ist, enthält Tabelle 3.15.

3.3 Einflüsse auf das Federungsverhalten von Metallfedern

79

Tabelle 3.15. Grenztemperaturen für den Einsatz metallischer Federwerkstoffe bei minimaler Relaxationserwartung ________________________________________________________________________________

Werkstoff

Maximale Arbeitstemperatur in °C bei hoher Belastung niedriger Belastung warmgesetzt --------------------------------------------------------------------------------------------------Patentierte Drähte 60-80 80-150 150 FD CrV 80-120 120-160 200 FD SiCr 80-120 120-160 200 X12CrNi18-8 160 200 350 X7CrNiAl17-7 200 250 400 CuZn30 40 60 CuSn 6 80 100 CuNi18Zn20 80 120 CuBe2 80 120 Monel 400 150 200 Inconel X-750 475 550 Nimonic 90 500 500 Duratherm 600 500 600 ___________________________________________________________________

Neben der Relaxation treten bei höheren Arbeitstemperaturen auch Veränderungen des Elastizitätsmoduls und des Gleitmoduls auf, die sich auf die Funktionsparameter der Federn auswirken. Die Abb. 3.19 und 3.20 zeigen für verschiedene Werkstoffe den Temperatureinfluss auf diese Werkstoffgrößen.

Abb. 3.20. Änderung des G-Moduls mit steigender Temperatur bei verschiedenen Werkstoffen Abb. 3.19. Änderung des E-Moduls verschiedener Werkstoffe in Abhängigkeit von der Temperatur

Wenn auch aus praktischen Gründen die Prüfung der Federkraft bzw. des Federweges bei Raumtemperatur erfolgt, so kann jedoch der Konstrukteur aus der Kenntnis dieser Veränderung die tatsächlichen Verhältnisse bei höherer Arbeitstemperatur berechnen.

80

3 Werkstoffe

3.3.3.2 Verhalten bei tiefen Arbeitstemperaturen [3.18][3.33]

Unter der Raumtemperatur liegende Arbeitstemperaturen sind bei Federn häufig anzutreffen. Sie treten sowohl beim Einsatz der Maschinen und Aggregate in arktischen Klimazonen, in Kühlanlagen oder in der Umgebung tiefgekühlter Medien (flüssiger Gase) als auch bei Einsätzen im Weltraum auf. Dabei müssen oft Temperaturen bis zu -200°C ertragen werden. Viele Federwerkstoffe, insbesondere ferritische und martensitische, reagieren empfindlich auf ein Absinken der Arbeitstemperatur. Sowohl die Zugfestigkeit als auch die Elastizitäts- und Streckgrenze nehmen dabei zwar zu, doch die Zähigkeitseigenschaften wie Brucheinschnürung oder Bruchdehnung nehmen ab. Die Temperaturempfindlichkeit eines Werkstoffes lässt sich am besten an der Veränderung der Kerbschlagzähigkeit demonstrieren (Abb. 3.21). Tritt bei einer Temperatur über 0°C beim Kerbschlagbiegeversuch ein Verformungsbruch auf (Abb. 3.21, Kurve 2), so stellt sich bei tiefen Temperaturen ein Sprödbruch ein. Dieser zeichnet sich dadurch aus, dass er an einer Kerbe beginnt, die eine Beanspruchung in drei Ebenen erzeugt. Der Übergang vom Verformungs- zum Sprödbruch kann plötzlich oder in einem Temperaturbereich erfolgen. Im Gebiet des Steilabfalls der Kerbschlagzähigkeit (Kurve 2) treten Mischbrüche mit unterschiedlichen Anteilen von Zäh- und Sprödbruch auf. Der Fall einer geringen Temperaturempfindlichkeit, die beispielsweise bei austenitischen Stählen oder Kupferlegierungen vorliegt, wird durch die Kurve 1 in Abb. 3.21 demonstriert. Die Eignung von Federwerkstoffen zum Einsatz bei tiefen Temperaturen soll an nachfolgenden Beispielen gezeigt werden. Abb. 3.21. Kerbschlagzähigkeits-TemperaturKurven 1- geringe Temperaturempfindlichkeit z.B. bei austenitischen Stählen o. Kupferlegierungen; 2- Steilabfall der Kerbschlagzähigkeit innerhalb eines kleinen Temperaturbereichs, z.B. bei unlegierten oder niedriglegierten vergüteten Stählen

Patentiert gezogene Drähte zeigen (s. Abb. 3.22) bei einer Temperaturveränderung von 23°C auf -60°C einen etwa 6 %igen Anstieg der Zugfestigkeit, während die Bruchdehnung um 13 % und die Brucheinschnürung um 9 % abnimmt. Die Elastizitätsgrenze verläuft proportional der Zugfestigkeit, so dass die Gefahr von Setzerscheinungen bei tiefen Temperaturen gering ist. Der Einfluss von Kerben wurde im Rahmen von Kerbschlagbiegeversuchen [3.33] an Proben, die der DVM-Kleinprobe nach DIN 50115

3.3 Einflüsse auf das Federungsverhalten von Metallfedern

81

ähnlich sind, untersucht. Die in Abb. 3.23 dargestellten Ergebnisse dieser Untersuchungen an patentierten Federstahldrähten der Sorten A und B zeigen zunächst bei abnehmenden Temperaturen einen Anstieg der Kerbschlagzähigkeit und später einen Abfall der Werte, während sich bei Drähten der Sorte C ein stetiger Abfall ergibt. Eine Übergangstemperatur vom Verformungs- zum Sprödbruch und ein Steilabfall der Kerbschlagzähigkeit konnten nicht festgestellt werden.

Abb. 3.22. Änderung der Zugfestigkeit, Bruchdehnung und Brucheinschnürung von patentiert gezogenem Federstahldraht Sorte C beim Abkühlen von Raumtemperatur auf -60°C nach [3.33]

Abb. 3.23. Kerbschlagzähigkeit in Abhängigkeit von der Temperatur bei patentiert gezogenen Drähten (Drahtdurchmesser d = 5 mm) [3.33]

Den Darlegungen ist zu entnehmen, dass patentiert gezogene Federdrähte durchaus bis -60°C verwendet werden können. Nach Nichols [3.20] gilt diese Empfehlung auch für verzinkt gezogene Drähte. In Abb. 3.24 sind die Kerbschlagzähigkeitsergebnisse für einen vergüteten Draht der Stahlsorte Mk 73 dargestellt. Es zeigt sich, dass zunächst bei Raumtemperatur eine wesentlich geringere Zähigkeit als bei patentiert gezogenen Drähten vorliegt. Mit einer Temperaturminderung sinkt auch die

82

3 Werkstoffe

Zähigkeit geringfügig ab, ohne dass ein Steilabfall zu verzeichnen ist. Aus diesen Untersuchungen lässt sich ableiten, dass Federn aus kerb- unempfindlichen Werkstoffen bis zu Temperaturen von -60°C einsetzbar sind. Das Zähigkeits-Temperatur-Verhalten einiger niedriglegierter Federstähle ist in Abb. 3.25 dargestellt. Zwischen Raumtemperatur und der 0°Grenze ist zunächst ein steilerer Abfall der Kerbschlagzähigkeit zu verzeichnen, der sich dann verlangsamt. Ein Steilabfall ist bis -60°C ebenfalls nicht erkennbar, so dass allgemein keine Bedenken bestehen, diese Werkstoffe bis -60°C anzuwenden. Nm/cm²

60 40 20 0 –80

–60

–40

–20

0

20 °C 40

Temperatur

Abb. 3.24. Kerbschlagzähigkeit in Abhängigkeit von der Temperatur bei vergüteten Drahtproben aus Federstahl Mk 73 (Drahtdurchmesser d = 5,5 mm)

Kerbschlagzähigkeit a k

Kerbschlagzähigkeit a k

Nm/cm²

Oteva 62

60 Oteva 70 40 20 0 –80

38Si6 –60

–40

–20

0

20 °C 40

Temperatur

Abb. 3.25. Kerbschlagzähigkeit niedriglegierter Federstähle in Abhängigkeit von der Temperatur

Härtbare nichtrostende Federstähle, wie z.B. X20Cr13, können, auch wenn sie martensitischer Struktur sind, bis -80°C verwendet werden. Für noch tiefere Temperaturen (bis -200°C) eignen sich die austenitischen CrNi-Stähle, wobei die aushärtbaren Stähle, wie X7CrNiAl17-7, gegenüber Sorten mit höherem Austenitgehalt eine größere Neigung zu Versprödung bei tiefen Temperaturen aufweisen. Kupferlegierungen sind allgemein kälteunempfindlich, während bei Nickellegierungen ebenfalls wenig Bedenken gegen einen Tieftemperatureinsatz bestehen. Tabelle 3.16 gibt Empfehlungen für einen Tieftemperatureinsatz häufig verwendeter Federwerkstoffe. Da Federn für gezielte elastische Verformungen konstruiert werden, sind Sprödbrüche bei Tieftemperaturanwendungen selten. Allgemein ist zu beachten, dass die Oberflächenbeschaffenheit von großer Bedeutung ist. Oberflächenfehler, wie Riefen, Schnittgrat, Bearbeitungsspuren, sind möglichst zu vermeiden. Ungünstig sind Spannungskonzentrationen, die bei Endenabbiegungen an Zug- oder Drehfedern auftreten können. Bruchge-

3.3 Einflüsse auf das Federungsverhalten von Metallfedern

83

fährdet sind auch Flachform- oder Spiralfedern aus geschnittenen Bändern. Zur Senkung der Bruchgefahr sind Bänder mit Natur- oder gerundeten Kanten anzuwenden. Galvanische Beschichtungen können die Versprödungsgefahr erhöhen. Alle Risiken kann man vermeiden, wenn austenitische Cr-Ni-Federstähle verwendet werden. Tabelle 3.16. Empfehlungen für den Tieftemperatureinsatz von Federwerkstoffen Werkstoff Patentiert gezogener Federstahldraht Unlegierter vergüteter Ventilfederdraht

Anwendungstemperatur in °C ohne Bedingungen mit Einschränkungen -60 (-80) -200¹ -60 (-80) -200¹

Legierter Ventilfederdraht (51CrV4, 55SiCr6) Unlegierter und niedriglegierter

-60 (-80)

-200¹

Federbandstahl Nichtrostende Federstähle

-30

-60 ²

X20Cr13 und X35CrMo17 Austenitische Stähle

-80 (-130)

-200¹, ²

X12CrNi18-8 und X7CrNiAl17-7 Cu-Legierungen

-200 -200

-273 -273

Ni-Legierungen

-100

-200

Ti-Legierungen

-253

-

1

für stationäre und quasistationäre Belastung; 2 bei großem Reinheitsgrad des Werkstoffes, feinem Vergütungsgefüge und sorgfältiger Oberflächen- und Kantenausführung

3.3.4 Einflüsse auf die Dauerschwingfestigkeit Auf die Dauerschwingfestigkeit von Federstählen wirken sich zahlreiche Einflüsse aus. Gravierende Minderungen der Dauerschwingfestigkeit werden durch Verunreinigungen im Werkstoff, Kerben, Grate und andere Oberflächenverletzungen sowie Korrosion und Fehler bei der Wärmebehandlung hervorgerufen. Verunreinigungen, die vom Stahlherstellungsprozess herrühren, führen zu Einschlüssen, die bruchauslösend sein können, wenn sie sich in oberflächennahen Schichten (50 bis 300 μm Tiefe) befinden. Weiter von der Oberfläche entfernt, sind diese Einschlüsse weniger gefährlich, da in Richtung der Werkstoffmitte (Querschnittsmitte) bei den meisten Federn die Werkstoffbeanspruchung abnimmt.

84

3 Werkstoffe

Biegewechselfestigkeit Zugfestigkeit R m

V bW

Große Auswirkungen auf die Dauerschwingfestigkeit hat die Oberflächengüte. Viele Bandfedern erfordern eine kleine Oberflächenrautiefe, weil allgemein mit steigender Rautiefe die Biegewechselfestigkeit abnimmt (Abb. 3.26) [3.14].

0,5

St70.11 ungehärtet m | 750 N/mm²) (R VCMo140 vergütet m | 970 N/mm²) (R

0,4

0,3 0

10

20

μm

30

Rauhtiefe in Längsrichtung R t

Abb. 3.26. Einfluss der Oberflächenrauheit auf die Biegewechselfestigkeit von Stählen nach Krickau [3.14]

Bei der Herstellung von Federdrähten bzw. Federbändern können die unterschiedlichsten Fehler auftreten, wie Oberflächenfehler, Wärmebehandlungsfehler, Quer- oder Längsrisse, Zunder, Rost u.a., die die Funktion der Feder beeinträchtigen können. Sehr oft sind diese Fehler die Ursache für einen Dauerbruch. So führen Längsrisse bei dauerbeanspruchten Federn schon bei kleinen Hubspannungen zum Bruch. Deshalb empfiehlt es sich, bei rissanfälligen Drähten (z.B. austenitischen nichtrostenden Drähten) am Ende der Drahtherstellung eine zerstörungsfreie Rissprüfung durchzuführen Bei Ventilfederdrähten nach DIN EN 10270-2 ist sogar eine zerstörungsfreie Prüfung auf Oberflächenfehler vorgeschrieben. Die bei der Verarbeitung von Draht auftretenden Oberflächenfehler sollten eine Größe von 40 μm nicht überschreiten. Die bei der Federherstellung entstehenden Fehler, wie z.B. Riefen beim Federwickeln/-winden, Kerben beim Anbiegen von Zugfederösen oder beim Fertigen von Drehfederenden, Kerben bzw. Grat bei der Flachformfederherstellung wirken sich auf Funktion und Lebensdauer der Federn aus, besonders dann, wenn an diesen Stellen Zugspannungen wirken. Von einer durchgeführten Wärmebehandlung herrührende Fehler, wie Kornvergröberung beim Härten, Randentkohlung, ungenügender Eigenspannungsabbau beim Anlassen sind unbedingt zu vermeiden.

3.4 Werkstoffdaten für den Entwurf

85

Ungünstig wirken sich auch Versprödungen aus, die beim Beizen oder Galvanisieren entstehen. Bei dauerschwingbeanspruchten Federn vermeidet man heute diese Arten des Oberflächenschutzes. Mitunter werden die Enden von Federn aus federharten Werkstoffen, beispielsweise von Spiralfedern, ausgeglüht oder mit anderen Teilen verschweißt. In diesen Fällen besteht die Gefahr, dass ungünstige Gefüge (ungleichmäßiger Gefügeübergang, Neuhärtezonen) entstehen, die bei Belastung zu Rissen oder Brüchen führen können. Korrosionsangriff mindert die Dauerschwingfestigkeit in erheblichem Maße, so dass meist keine Dauer- sondern nur noch eine Zeitfestigkeit zu erreichen ist. Auch Eigenspannungen, die in Lastrichtung vorhanden sind, können sich dauerfestigkeitsmindernd auswirken [3.12][3.16][3.17][3.19][3.21]. In den Randschichten der Federwerkstoffe vorhandene kleinere Fehler lassen sich durch eine Oberflächenverfestigung kompensieren. Ziel ist es dabei, Druckeigenspannungen bis in möglichst große Tiefen zu erzielen (s. Abschn. 2.2.4). Neben Werkstoff- und Herstellungseinflüssen sind natürlich eine Vielzahl konstruktiver Faktoren, wie Gestaltung der Federnenden für Befestigungen bzw. Aufnahmen der Federn und Oberflächenschutz wichtig, wenn eine hohe Lebensdauer erzielt werden soll.

3.4 Werkstoffdaten für den Entwurf Die Basis für den Federentwurf unter Annahme stationärer Belastungsverhältnisse bilden die in den einschlägigen Normen angegebenen Mindestwerte der Zugfestigkeit. Werte für die Streckgrenze oder die Federbiegegrenze sind nicht immer vorhanden. Zu beachten ist allerdings, dass die Zugfestigkeitswerte federharter Werkstoffe von den Querschnittsabmessungen der Halbzeuge, vom Festigkeitszustand, von der Temperatur und von zahlreichen anderen Einflussgrößen abhängen, die in diesem Kapitel behandelt wurden. Deshalb stellen die in Tabelle 3.17 für ausgewählte Federwerkstoffe angegebenen Zugfestigkeitswerte sowie auch die Werte für den E-Modul und den G-Modul nur Richtwerte dar. Für Nachrechnungen sind die in den angeführten Normen enthaltenen, für den vorliegenden Halbzeugquerschnitt zutreffenden Werte der Zugfestigkeit heranzuziehen. Die Berechnung der zulässigen Spannung erfolgt nach den in Kapitel 2 und Kapitel 4 für die jeweilige Feder angegebenen Beziehungen.

86

3 Werkstoffe

Nachrechnungen schwingend (nichstationär) beanspruchter Federn sind unter Verwendung der in den Normen angegebenen Dauerfestigkeitswerte vorzunehmen. Tabelle 3.17. Festigkeitseigenschaften ausgewählter Federwerkstoffe im angegebenen Abmessungsbereich (Mindestwerte der Zugfestigkeit und Mittelwerte für den E- und G-Modul bei -0 = 20°C) a) Federstahldrähte Werkstoffbezeichnung und DIN-Nr. Runder Federstahldraht, patentiert gezogen DIN EN 10270-1

Ölschlussvergüteter Federund Ventilfederstahldraht, unlegiert und legiert DIN EN 10270 -2

Drahtsorte

Verwendungszweck

Festigkeitszustand SL Zug-, Druck-, Dreh- u. federFormfedern mit niedrig. hart stationärer Belastung SM Zug-, Druck-, Dreh- u. federFormfedern mit mittl. hart stationärer und geringer dynamischer Belastung DM/SH Zug-, Druck-, Dreh- u. federFormfedern mit hoher hart stationärer und geringer dynamischer Belastung federDH Zug- und Druckfedern mit hoher stationärer u. hart mittlerer dynamischer, Dreh- und Formfedern mit hoher stationärer u. dynamischer Belastung FDC Alle Arten von Schrau- federbenfedern mit mittlerer hart bis hoher Belastung vergüt. FDCrV Vorzugsweise torsions- federbeanspruchte Federn bei hart höheren Temperaturen vergüt. FDSiCr Vorzugsweise torsions- federbeanspruchte Federn bei hart höheren Temperaturen vergüt. TDC/ Ventilfedern für hohe federVDC dynamische Torsionsbe- hart anspruchung bei Raum- vergütemperatur tet TDCrV/ Ventilfed. für sehr hohe federVDCrV dynamische Torsionsbe- hart anspruchung, Betriebs- vergütemperaturen bis 80°C tet TDSiCr/ Ventilfed. für sehr hohe federVDSiCr dynamische Torsionsbe- hart anspruchung + Betriebs- vergütemperaturen bis 100°C tet

Rm min in N/mm² 1520 1320 1060 1980 1760 1400 1020 1840 1660 1490 1160 2660 2230 1980 1740 1410 1160 1720 1400 1250 1790 1480 1400 2000 1710 1550 1850 1670 1520 1390 1910 1770 1520 1390 2080 2010 1760 1670

E in kN/mm² 206

G in kN/mm² 81,5

206

81,5

206

81,5

206

81,5

206

79,5

206

79,5

206

79,5

206

79,5

206

79,5

206

79,5

Für Abmessungsbereich in mm 1dd= 2 2
3.4 Werkstoffdaten für den Entwurf

87

b) Federdrähte aus nichtrostendem Stahl (Bez. nach EN 10027-1/EN 10027-2) Werkstoffbezeichnung und DIN-Nr. Federhart gezogener nichtrostender Federstahldraht DIN EN 10270-3

Verwendungszweck

Drahtsorte

Schraubenfedern und Drahtbiegeteile bei Anforderungen an die Korrosionsbeständigkeit

X10CrNi 18-8/ 1.4310

Festigkeitszustand federhart

X5CrNiMo17-12-2/1.4401

federhart

X7CrNiAl 17-7/ 1.4568

federhart

Rm min in N/mm² 1900 1450 1250 1575 1200 1050 1825 1325 1250

E in kN/mm² 185

G in kN/mm² 70

180

68

195

73

Abmessungsber. in mm dd 1 dd 5 d d 10 dd 1 dd 5 d d 10 dd 1 dd 5 d d 10

c) Federdrähte aus Nichteisenmetallen Werkstoffbe- Kurzzeichen zeichnung und DIN-Nr. Runde Feder- CuZn36 8 drähte aus Kupfer-Knetlegierungen CuSn6 8 DIN EN12166 CuNi18Zn20 CuBe2

Drähte aus NiLegierungen Drähte aus TiLegierungen

Inconel 600 Monel 400 Ti6Al4V Beta C-Leg. 9

8

Festig- Rm min in keitszustand N/mm² R750 ¹) 750 560 R560 380 R380 980 R980 950 R950 900 R900 R880 880 800 580 4 R580 R1270 1270 6 R1100 1100 5 R410 410 3

L

1240 910 107,9 1050

E in kN/mm² 110

G in kN/mm² 39

Elektr. Leitfähigkeit in m/:mm² 15

115

42

9

135

45

3

120 135 120 135

44 47 44 47

9 13 8 12

213,7 179,3 40,9 100

72,4 65,5

Für Abmessungsbereich in mm 0,5 d d = 1,5 1,5  d = 4,0 1,5  d = 4,0 0,1 d d = 0,5 0,5  d = 1,5 1,5  d = 4,0 0,1 d d = 0,5 0,5  d = 1,5 1,0 d d = 10,0 1,0 d d = 10,0 1,0 d d = 10,0 1,0 d d = 10,0

39

d) Bandstahl, kaltgewalzt, DIN EN 10132-4 und DIN EN 10151 Bezeichnung C55S C67S C100S 51CrV4

Festigkeitszustand +QT +QT +QT +QT

X7CrNiAl 17-7 C1500 C1300 C1150

Rm min in N/mm² 1100 1200 1200 1200 1500 1300 1150

Rp 0,2 in 7) N/mm² t1080 t1000 t1000 t1000 t 900

E in kN/mm² 206 206 206 206

G in kN/mm² 78 78 78 78

Bereich der Dicke t in mm bis 3,0 bis 3,0 bis 3,0 bis 3,0

195

73

0,25 bis 0,5 0,5 bis 1,0 1,0 bis 1,6

88

3 Werkstoffe

e) Federband aus Kupferlegierungen, kaltgewalzt nach DIN EN 1654 Bezeichnung

Festigkeitszustand R350 ¹ R410 R550 R630

Rm min in N/mm² 350 410 550 630

CuSn6

R420 R500 R560 R640

420 500 560 640

CuBe2

R410 4 R1190 2 R510 4 R1270 2 R680 4 R1310 2

410 1190 510 1270 680 1310

CuNi18Zn20

R500 R580 R640

500 580 640

CuZn36

Rp 0,2 in N/mm² t170 t300 t430 t580 t300 t450 t510 t600 t190 t980 t410 t1050 t650 t1100 d410 t510 t600

7

E in kN/mm² 110

Bereich der Dicke t in mm 0,2 bis 5 0,2 bis 5 0,2 bis 2 0,2 bis 2

115

0,1 bis 5 0,1 bis 5 0,1 bis 2 0,1 bis 2

120 135 120 135 120 135

0,2 bis 3 0,2 bis 3 0,2 bis 3 0,2 bis 3 0,2 bis 3 0,2 bis 3

135

0,1 bis 5 0,1 bis 2 0,1 bis 2

_____________________________________

1

Zustandsbezeichnung; R: mit kleinstem Wert für die Zugfestigkeit; lösungsgeglüht, kaltgewalzt und ausscheidungsgehärtet; 3 lösungsgeglüht; 4 lösungsgeglüht, kalt umgeformt; 5 lösungsgeglüht und ausscheidungsgehärtet; 6 lösungsgeglüht, kalt umgeformt, ausscheidungsgehärtet und kalt umgeformt; 7 keine Garantiewerte (Rp 0,2; E und G); 8 kaltverfestigte Legierungen im angelassenen Zustand; 9 Ti 3Al 8V 6Cr 4Mo 4Zr; L: lösungsgeglüht und gealtert; C: kaltverfestigt (federhartgewalzter Zustand); 2

4 Berechnungsgrundlagen für Einzelfedern

4.1 Zug- und druckbeanspruchte Federn Hauptsächliche Formen von Federn, in denen durch die Krafteinleitung Zug- bzw. Druckspannungen entstehen, sind Zugstab- und Ringfedern. Die Realisierung größerer Federwege erfordert bei Zugstabfedern einen großen Raumbedarf. Daher ist die Verwendung dieser Federart auf wenige Einsatzfälle beschränkt. Ringfedern dagegen finden aufgrund der vielseitigen Gestaltungsmöglichkeiten der Federelemente, ihrer Anordnung und der erreichbaren guten Dämpfung ein breites Anwendungsfeld [12][4.15][4.89][4.100][4.143]. 4.1.1 Zugstabfedern Stabförmige Zugfedern mit kreisförmigem (seltener mit prismatischem) Querschnitt besitzen eine große Federrate und werden in Prüfmaschinen als Erregerelemente für hochfrequente Schwingungen und als Kraft-WegWandler in Kraftmessdosen eingesetzt. Um die Einspannkerbwirkung zu vermeiden, werden sie meist als Schulterstäbe (s. Abb. 4.1) mit entsprechenden Übergängen gestaltet. a) b) Abb. 4.1. Zugstabfeder a) Modell; b) Gestaltung mit Absatz; c) Gestaltung mit Absatz und c) Übergang zur Schulter (lz: Länge des zylindrischen Teils; lf: Länge des federnden Teils; l: Stablänge; d: Stabdurchmesser)

90

4 Berechnungsgrundlagen für Einzelfedern

Die Federrate einer derartigen Feder mit der für die Verformung wirksamen Länge l (bzw. lf , s.a. Abschn. 4.3.1, Gl. (4.29)) und dem Querschnitt A = S·d 2/4 ist R = A·E/l = S d 2E/4l

(4.1)

und die Zugspannung im schwächsten Querschnitt Vz = F/A = 4F/S d 2 d Vz

zul

= Re /S .

(4.2)

Bei Druckbelastung solcher Federelemente ist auch die Knickbeanspruchung zu beachten. Sollen diese Federn für Messaufgaben eingesetzt werden, sind Werkstoffkennwert und Sicherheit so zu wählen, dass der Wert für die zulässige Spannung unterhalb der Elastizitätsgrenze des Werkstoffs liegt. Es kommen sowohl Stähle als auch Nichteisenmetalle zum Einsatz. Die Beanspruchung ist im ganzen Stabvolumen gleich groß. Die Federarbeit ist dann gleich der maximal erreichbaren W = Wopt = Vz2V/2E, so dass sich für den Artnutzwert in diesem Fall KA = W/Wopt = 1 ergibt [5]. Die Zugstabfeder kann somit als Vergleichs- feder für diesen Kennwert verwendet werden [5][4.63][4.85]. 4.1.2 Ringfeder® 4.1.2.1 Aufbau

Eine Ringfeder (erfunden von Kreissig [4.133]) besteht aus wechselseitig zu einer Säule geschichteten Außen- und Innenringen, deren Innen- bzw. Außenflächen doppelkegelig gestaltet sind (Abb. 4.2). Die Säulenabschlussringe sind halbe Innenringe mit nur einer Kegelfläche. Eine in Achsrichtung wirkende Druckkraft F verschiebt die Ringe ineinander, so dass sich insgesamt der Federweg s ergibt. Es kommt zu einem Aufweiten der Außenringe und zu einem Zusammendrücken der Innenringe. Der Durchmesser der Außenringe vergrößert sich, während sich der der Innenringe verkleinert. Dieser Umstand wird bei der Verwendung dieser Federart als Spannelement für Wellen-Naben-Verbindungen ausgenutzt [4.100][4.143]. Beim Verschieben der Ringe entlang ihrer Kegelflächen wirken trotz guter Schmierung beachtliche Reibkräfte entgegen der Bewegungsrichtung. Sie vergrößern bei Belastung die aufzubringende Verformungskraft F = Fb = F0 + FR' (FR' = FRcosE ) und verringern bei Entlastung die Rückstellkraft der Feder Fe = F0 - FR' (s. Abb. 4.2c). Daraus ergibt sich

4.1 Zug- und druckbeanspruchte Federn

91

der Vorteil dieser Federn, bei kleinem Raumbedarf eine große Stoßenergie aufnehmen zu können [4.55][4.89]. Je nach Konstruktion und Schmierung kann eine Dämpfung D zwischen 40 und 70 % erreicht werden.

Abb. 4.2. Ringfedersäule, aus symmetrischen Außen- und Innenringen zusammengesetzt a) unbelastet; b) belastet; c) Federkennlinie

Die eingeleitete Energie E0 nimmt rasch ab. Für die verbleibende Energie E ergibt sich dann E = E0(1  D/100 %)2 z·100 %

(4.3)

mit der Dämpfung D und der Anzahl der Schwingungen z. Beispielsweise bewirkt eine Dämpfung D = 70 % bereits nach zwei Schwingungen (z = 2) das Absinken der eingeleiteten Energie auf unter 1 %. 4.1.2.2 Berechnung

Die Berechnung der Ringfedern geht von den in Abb. 4.3 dargestellten Kräfteansätzen aus. Die daraus resultierenden Beziehungen sind in Tabelle 4.1 zusammengestellt. Sie beziehen sich auf geschlossene Ringe mit symmetrischem Profil. Beim Entwurf der Ringfeder (Ringfedersäule) wird zunächst der Federweg 's eines Ringfederelementes bestimmt, das aus je einem halben Außen- und Innenring besteht (s. Abb. 4.3). Die Gesamtzahl der benötigten Elemente n ergibt sich dann aus dem gewünschten Federweg s zu n = s/'s .

(4.4)

92

4 Berechnungsgrundlagen für Einzelfedern a) F

c) 1

FR

2

FN U EU

E

FN

d)

F

FN

Fr F/2

FN

U

U

E

FR

F = Fb

Fr

FR

F b)

Fr

FR EU Fr

E

Fr FN

F=Fe

F0

FR

Abb. 4.3. Ringfederelement a) prinzipieller Aufbau; b) Kräfte an einem Ring des Elements; c) Kräfteplan bei Belastung; d) Kräfteplan bei Entlastung; F Federkraft, allgemein; Fb Federkraft bei Belastung; Fe Federkraft bei Entlastung; F0 Federkraft ohne Reibung; Fr Radialkraft; FN Normalkraft; E halber Kegelwinkel; U Reibungswinkel; FR Reibungskraft 1 Innenring, 2 Außenring

Nach Möglichkeit sollte immer eine gerade Anzahl von Elementen verwendet werden. Am Anfang und Ende der Säule sind halbe Innenringe vorzusehen. Die Säule setzt sich dann wie folgt zusammen: n/2

Außenringe

(n/2)  1 Innenringe und zwei halben Innenringen für jedes Federende. Die Außenringe der Ringfedern werden auf Zug und die Innenringe auf Druck beansprucht. Haben Außen- und Innenringe die gleiche Wanddicke, dann tritt in beiden die Spannung V auf. Da die verwendeten Werkstoffe meist eine größere Druck- als Zugfestigkeit besitzen, sind die zugbeanspruchten Außenringe bruchgefährdeter. Um eine bessere Werkstoffausnutzung zu erreichen, werden deshalb oft die Innenringe etwas dünner als die Außenringe ausgebildet, wobei dann in beiden Ringen unterschiedliche Spannungen auftreten.

4.1 Zug- und druckbeanspruchte Federn

93

Tabelle 4.1. Berechnung von Ringfedern aus geschlossenen Ringen mit symmetrischem Profil b

ta

x yi

i

t

tim tam

b) ya

a)

a/2

c)

a

d)

h

Da

Di

Lc = n·b/2

b/2

a

a) Ringfeder, Blockzustand (Bezeichnungen)

b) Ringfederelement Bezeichnungen c) Teil einer Ringfedersäule, belastet bis zum Erreichen des Sicherheitsabstandes a d) Überlastsicherung

a

Funktionsnachweis F0

SbsE tan 2 E( Da  Di ) 2n ( Da  Di )

Fb

F0

Federkraft bei tam = tim:

Federweg:

s

n ˜ 's

tan(E  U) ; tan E

Fe

2SbsE tan 2 E n ( Da / tam  Di / tim )

F0

tan(E  U) tan E

nFb ( Da / tam  Di / tim ) 2SbE tan E ˜ tan(E  U)

Festigkeitsnachweis Spannung im Außenring: V a

Für tam = tim gilt:

V

Fb ; im Innenring: V i Sbtam tan(E  U) 4 Fb Sb( Da  Di ) tan(E  U)

Fb Sbtim tan(E  U)

94

4 Berechnungsgrundlagen für Einzelfedern

Tabelle 4.1. Berechnung von Ringfedern ....(Fortsetzung)

______________________________________________________________________ Abmessungen Summe der Mindestabstände: Sa = (n - 1)·a/2 Längen:

Ln = Lc + Sa ;

Mindestabstand:

L0 = Ln + s

bei unbearbeiteten Ringen:

a | (Da + Di)/100

bei bearbeiteten Ringen:

a | (Da + Di)/200

Zulässige Spannungen (nach [5] und [4.143]): a) Normale Lebensdauer (Dauerfestigkeit, 2·106 Lastwechsel): V d 900 N/mm2

Va d 800 N/mm2 ;

Vi d 1200 N/mm2

b) Unbearbeitete Ringfedern, Zeitfestigkeit: V < 1150 N/mm² ;

Va < 1000 N/mm² ;

Vi < 1300 N/mm²

c) Bearbeitete Ringfedern, Zeitfestigkeit: V < 1350 N/mm² ; Va < 1200 N/mm² ; Vi < 1500 N/mm² ______________________________________________________________________

Wenn tam  tm = tm tim ist, dann gilt für die mittlere Dicke tm = (tam + tim)/2 ,

(4.5)

worin nach Tabellenbild 4.1 tam = (ta + ya)/2 und tim = (ti + yi)/2 sowie ya = ta - (b·tanE)/2 bzw. yi = ti - (b·tanE)/2 ist. Für die Spannungen ergibt sich dann für den Außenring: Va = V·tmtam

(4.6a)

für den Innenring: Vi = V·tm/tim

(4.6b)

Beim Entwurf sind die in Tabelle 4.1 enthaltenen zulässigen Spannungen zu berücksichtigen. Als Federwerkstoffe kommen hauptsächlich SiCr-Federstähle wie 62SiCr5 und 67SiCr5 zur Anwendung. Die Federringe werden auf eine Festigkeit zwischen 1400 und 1700 N/mm² vergütet. Der Einfachheit halber beginnt man den Entwurf für symmetrische Ringe unter der Annahme, dass tim = tam = (Da  Di )/4 ist. Die Charakteristik einer Ringfeder lässt sich durch Einsatz eines Anteils geschlitzter Ringe an bestimmte Anforderungen anpassen. Zum Erreichen

4.1 Zug- und druckbeanspruchte Federn

95

einer größeren spezifischen Federung am Anfang der Belastung werden beispielsweise mehrere geschlitzte Innenringe (Abb. 4.4) eingesetzt. Sie arbeiten bei Belastung zunächst als Biegefeder, bis der Schlitz geschlossen ist und dann wie ein geschlossener Innenring. Da der Widerstand eines geschlitzten Ringes gegen Biegung geringer als der eines geschlossenen Ringes gegen Druck ist, besitzt der geschlitzte Innenring bis zum Schließen des Schlitzes eine kleinere Federrate, und es entsteht das in Abb. 4.5 dargestellte Kennlinienbild. Die Berechnungsbeziehungen für Ringfedern mit geschlitzten Innenringen sind in Tabelle 4.2 zusammengestellt.

Abb. 4.4. Geschlitzter Innenring (Konstruktionsbeispiel)

Abb. 4.5. Federdiagramm einer Ringfedersäule mit einem Anteil geschlitzter Innenringe

4.1.2.3 Konstruktion

Bei der Konstruktion von Ringfedern ist zu beachten, dass der halbe Kegelwinkel E stets mit Sicherheit größer als der Reibungswinkel U ausgeführt wird, um Selbstspannung zu vermeiden. Die halben Kegelwinkel unbearbeiteter Ringe liegen meist zwischen E = 14° und 15° und die bearbeiteter Ringe bei E = 12°. Für den Entwurf wird meist mit einem Winkel E= 14° (tanE = 0,25) gerechnet. Die Werte der Reibungswinkel betragen etwa U = 8° bis 9° für unbearbeitete und U = 7° bis 8° für feinbearbeitete Ringe. Weiterhin muss durch ein ausreichendes Verhältnis der Breite b zum Durchmesser Da der Ringe eine gute Führung (Verhindern von Verkantungen) gewährleistet werden. Dieses Verhältnis sollte zwischen 1/6 ” b/Da ” 1/5 liegen. Ein Verkanten tritt auch auf, wenn die Federsäule vorspannungslos ist. Durch konstruktive Maßnahmen (beispielsweise vorspannen in einer Patrone, s. Abb. 4.6) ist für eine Vorspannung der Säule zu sorgen. Die Vorspannkraft sollte 5 bis 10 % der Endkraft betragen, jedoch 50 % derselben nicht überschreiten, um die Schmierung nicht zu beeinträchtigen.

96

4 Berechnungsgrundlagen für Einzelfedern

Tabelle 4.2. Berechnung von Ringfedern mit geschlitzten Innenringen ___________________________________________________________________________________

Funktionsnachweis Federkraft:

W1 Ds Federweg des halben Schlitzringes: Ds2 ˜ V zv sv 4 Ee1 tan E Fv = 2S tan(EU )·Vzv·

bei weiterer Belastung ist: s = sv + sb und ( Fb  Fv ) Ds sb SE ( A1  A2 ) tan E ˜ tan(E  U) Widerstandsmoment: W1

2ts31 ( a  b)  bx 3  A1e1 12e1

Abmessungen Ds

= Da' - (e1 + e2) ;

e1 =

( a  b)ts21  (bx 2 ) / 3 4 A1

Da' = (Da - 2 ta ) + as tanß/2 ; ( a  b)ts22  (bx 2 ) / 3 4 A2 _____________________________________________________________________

A1, 2 = 0,5[(a + b)ts 1 , 2 - 0,5bx] ;

e2 =

Ein Vorspannungsverlust kann eintreten, wenn einzelne Ringe während des Betriebes brechen. Dieser Erscheinung kann man durch eine Zusatzfeder (Schraubendruckfeder) vorbeugen, die nur im Vorspannungsbereich arbeitet. Ist eine hohe Reibkraft unerwünscht, so ist durch Einbau von Gleitschichten, gleitgünstigen Zwischenringen, Schmierung und Wahl eines geeigneten Ringwerkstoffes eine Beeinflussung der Größe der Reibkraft möglich. Um günstige Werkstoffkombinationen zu erreichen, werden Zwischenringe aus einer Cu-Sn-Legierung (Abb. 4.7) bzw. gleitgünstiger Beschichtung (PTFE-Beschichtung) eingesetzt. Eine Schmierung ist vorzusehen. Um diese nicht durch Staub und Feuchtigkeit zu beeinträchtigen, ist ein entsprechender Schutz durch Abdeckungen, Teleskope u. dgl. einzurichten.

4.1 Zug- und druckbeanspruchte Federn

97

Abb. 4.6. In einer Patrone vorgespannte Ringfeder (weitere Beispiele in [4.143])

Abb. 4.7. Ringfederelemente mit gleitgünstigen Zwischenringen

Eine Ringfedersäule sollte so gestaltet werden, dass ein Zusammendrücken auf Block vermieden wird und ein Sicherheitsabstand a zwischen den Ringen verbleibt (s. Tabellenbild 4.1). Eine Möglichkeit der sicheren Einhaltung des Mindestabstands a besteht darin, die Breite b der Innenringe um den Spalt a kleiner als die Breite b der Außenringe auszuführen. Dadurch berühren sich die Innenringe bei der gewünschten Endkraft an ihren Planflächen, eine weitere Federung wird unterbunden, und die Außenringe werden vor Überlastung geschützt. Ringfedern sind mit Endkräften 5 d Fn d 1800 kN, Federwegen 0,4 d 's d 77,6 mm je Element und Außendurchmessern 18 d Da d 4400 mm lieferbar [4.143]. 4.1.2.4 Berechnungsbeispiel

Aufgabe:

Eine Ringfedersäule für die angegebenen Anforderungen ist zu entwerfen.

Gegeben:

Fb = 80 kN; s = 60 mm; Da = 80 mm; Dämpfung D > 60 %; ß = 14° ; Vz zul = 1100 N/mm²;

Gesucht:

Anzahl und Abmessungen der erforderlichen Ringe.

98

4 Berechnungsgrundlagen für Einzelfedern

1. Federkraft F0 Mit ß = 14° wird tanß = 0,25 und mit U = 9° ergibt sich tan(E̓̓ҙҏ + U) = 0,4245, so dass sich mit V Vz zul = 1100 N/mm² die Federkraft zu F0 = Fb tanß/ tan(ß + U) = 80˜10³ N·0,25/0,4245 = 47114 N errechnet. 2. Ringdurchmesser Di Wird b = 15 mm gewählt, dann ergibt sich 4 Fb = Di = Da – SVb tan(E  U) = 80 mm 

4 ˜ 80000 N S ˜ 15 mm ˜ 1100 N/mm 2 ˜ 0,4245

= 80 mm – 14,55 mm = 65,45 mm . 3. Anzahl der Elemente n: Die Federung eines einzelnen Elements ergibt sich aus 's =

=

2 F0 ( Da  Di ) = SbE ( Da  Di ) tan 2 E

2 ˜ 47114 N ˜ (80  65,45) mm = S ˜ 15 mm ˜ 206000 N/mm 2 (80  65,45) mm ˜ 0,25 2

= 1,559 mm . Für einen Gesamtfederweg von s = 60 mm sind n Elemente erforderlich. Sie ergeben sich zu n = s/'s = 60 mm/1,559 mm = 38,5 Die Berechnung beruht auf der Annahme, dass im zusammengedrückten Zustand (Da  Di ) = 2(tam+ tim ) ist. Im unbelasteten Zustand ist jedoch (Da  Di )  2(tam + tim) (unverformte Ringe). Für die Federwegberechnung muss deshalb Da bzw. Di um den Betrag 'D = [a + 2s/(n  1)]˜tanß verkleinert bzw. vergrößert werden. Mit a = (Da + Di)/200 = (80 + 65,45) mm/200 = 0,7273 mm ergeben sich dann die Durchmesseränderung zu 'D = [a + 2s/(n  1)]˜tanß = [0,7273 mm + 2˜60 mm/37,5]˜0,25 = = 0,982 mm und die korrigierten Durchmesser zu

4.2 Biegebeanspruchte Federn

99

D'a = Da  'D = 80 mm  0,982mm = 79,18 mm bzw. D'i = Di + 'D = 65,45 mm + 0,982 mm = 66,432 mm . Korrigiert man damit die Berechnung von 's, dann ergibt sich 's = 1,69 mm , d.h., für einen Gesamtfederweg von s = 60 mm werden n = 36 Elemente, 18 Außenringe, 17 Innenringe und zwei halbe Innenringe für die Federenden benötigt. 4. Länge der ungespannten Federsäule L0 L0= nb/2 + (n  1)a/2 + s = = 36·15 mm/2 + 35·0,7273 mm/2 + 60 mm = 342,7 mm 5. Nachrechnung der Dämpfung: Mit F'R = Fb  F0 = 80 kN  47,1 kN = 32,9 kN ergibt sich bezüglich der eingeleiteten Endkraft von Fb = 80 kN eine Dämpfung D = (2F'R/Fb )·100 % = (2·32,9 kN/80 kN)·100 % = 82 % .

4.2 Biegebeanspruchte Federn Ihrer Form entsprechend unterscheidet man gerade, gekrümmte, gewundene und scheibenförmige Biegefedern. Sie werden aus Federband oder Federdraht gefertigt, so dass vorwiegend prismatische und kreisförmige Querschnittsformen vorliegen. Das Einleiten einer äußeren Kraft führt in den Federquerschnitten zu einer Biegebeanspruchung. Andere auftretende Beanspruchungen sind meist vernachlässigbar klein. Für die Konstruktion der Abstützung und der Krafteinleitungsstelle gibt es zahlreiche Varianten, die Einfluss auf die Federberechnungen haben (s. Tabelle 4.3). Biegefedern finden in Form von geraden, gekrümmten und geschichteten Blattfedern Anwendung als Kontaktträger in verschiedenen Schalteinrichtungen der Elektrotechnik, als Fahrzeugfedern, als Elemente der KraftWeg-Umformung in verschiedenen Messeinrichtungen und auch als Lagerelemente für begrenzte translatorische oder rotatorische Bauelementebewegungen. In gewundener Form setzt man die aus Federband gefertigten Spiralfedern als Schwinger-, Rückstell- oder Aufzugfedern ein. Die aus Federdraht gewundenen Drehfedern (Schenkelfedern) verwendet man in vielfältigen Formen als Rückstell-, aber auch als Antriebsfedern. Scheibenförmige, aus Federband ausgestanzte Tellerfedern, Wellfedern und Feder-

100

4 Berechnungsgrundlagen für Einzelfedern

scheiben zeichnen sich durch geringe axiale Bauhöhe und andere Vorteile aus, die eine vielseitige Anwendung ermöglichen. 4.2.1 Gerade Biegefedern (Biegestabfedern) 4.2.1.1 Biegestabfedern mit konstantem Querschnitt

Biegestabfedern werden meist aus Federband (Rechteckquerschnitt), selten aus Federdraht gefertigt. Am verbreitetsten sind Rechteck-Blattfedern, deren Abstützung (Befestigung) einseitig durch eine feste Einspannung erfolgt (s. Tabelle 4.3). Daneben sind auch beidseitige Auflager oder Einspannungen üblich. Die Berechnung der Verlagerung s des Kraftangriffspunktes gerader Biegefedern bei Einwirken einer Kraft F erfolgt auf der Grundlage der Elastizitätslehre, wobei folgende Voraussetzungen und Einschränkungen gelten: x die Werkstoffbeanspruchungen erfolgen innerhalb des Gültigkeitsbereichs des Hookeschen Gesetzes, x Krafteinleitungs- und -ableitungsstellen sind „ideale“ Auflager oder Einspannungen, d.h., Auflager sind reibungsfrei und Einspannungen starr, x die im Querschnitt auftretenden Spannungen sind dem Abstand von der neutralen Faser (Zone) direkt proportional, x die Querschnitte bleiben unverändert in ihrer Form und eben, x die Verlagerung des Kraftangriffspunktes (Durchbiegung des freien Federendes) ist klein, und die Hebelarmverkürzung ist vernachlässigbar [4.79][4.107][4.108]. Die Größe der Verformung kann rechnerisch mit Hilfe der Differentialgleichung der elastischen Linie oder über die Formänderungsarbeit nach Castigliano und grafisch nach dem Verfahren von Mohr ermittelt werden [1] bis [13][15][16][17][20][4.16][4.40][4.46][4.73][4.87][4.101][4.121]. Im Einzelnen ergeben sich die in Tabelle 4.3 zusammengestellten Grundbeziehungen für den Funktions- und Festigkeitsnachweis, aus denen die für den jeweiligen Federentwurf erforderliche Beziehung entnommen bzw. abgeleitet werden kann. Eine einseitig eingespannte Rechteck-Blattfeder (Abb. 4.8) wird bei Belastung am freien Ende festigkeits- und werkstoffmäßig nur an der Einspannstelle voll ausgenutzt. Die um s durchgebogene Feder hat eine Federarbeit gespeichert, die sich errechnet aus W=

F ˜s 2

F 2 ˜l3 6˜ E ˜ I

V 2b ˜ V 18 ˜ E

(4.7)

4.2 Biegebeanspruchte Federn

101

Tabelle 4.3. Berechnungsbeziehungen für stabförmige Biegefedern mit Rechteckquerschnitt Modellbild, Bezeichnungen

Funktionsnachweis Festigkeitsnachweis smin d s d smax? Rmin d R d Rmax ? Vb vorh d Vb zul?

a) Blattfeder, einseitig eingespannt

Grundbeziehung:

Fl 3 K1 3EI

Vb vorh = Mb /Wb

4 Fl 3

s

K1

Ebh 3

V b vorh

6 ˜ Fl

V b max bh 2 3EI Ebh 3 V bF R V b zul 3 S erf K 1l 4 K 1l 3 _______________________________________________________ Querschnitt konstant b = b0; E = b1 /b0 = 1; K1 = 1; h = t s

4 Fl 3

Ebh 3 -------------------------------------------Querschnitt veränderlich (h = konst.) b z b0; K1 = f(E), siehe Abb. 4.10 s

K1

4 Fl 3 Eb0 h 3

V b max

6 ˜ Fl b0 h 2

3 ª1  4E  3E 2 ln E º « » 2 ¬« (1  E) 3 ¼» -------------------------------------------Querschnitt veränderlich (h = konst.) b1 = 0 o E = 0 und K1 = 3/2 K1

s

6 Fl 3

Eb0 h 3 _______________________________________________________ Querschnitt veränderlich (b = konst.) hx = f(x); K2 = f(G); G = 1 – h1 /h0 , siehe Abb. 4.10 s

K2

4 Fl 3

Ebh0 3 -------------------------------------------Querschnitt veränderlich (b = konst.) h Parabel der Form hx = f(x) = h0 x / l s

2 Fl 3 3EI

8Fl 3 Ebh0 3

V b max

6 ˜ Fl bh 2

h Parabel der Form hx = f(x) = h0 3 x / l s

Fl 3 2 EI

6 Fl 3

Ebh0 3 _____________________________________________________________________________________

102

4 Berechnungsgrundlagen für Einzelfedern

Tabelle 4.3. Fortsetzung Modellbild, Bezeichnungen

Funktionsnachweis Festigkeitsnachweis smin d s d smax? Rmin d R d Rmax ? Vb vorh d Vb zul?

b) Blattfeder, beidseitig abgestützt

Rechteckform, konstanter Querschnitt:

F (2l ) 3 48 EI

s

2 Fl 3

3 ˜ Fl

V b max

Ebh 3

bh 2

___________________________________________________________________________________ c) Blattfeder, beidseitig eingespannt Rechteckform, konstanter Querschnitt:

F (2l ) 3 192 EI

s

Fl 3

V b max

2 Ebh 3

3 ˜ Fl 2 ˜ bh 2

___________________________________________________________________________________

Unter Voraussetzung vergleichbarer Bedingungen besitzt die RechteckBlattfeder einen Artnutzwert von KA = W/Wopt = 1/9. Durch Anpassen der Federform an den Biegemomentverlauf ist eine Verbesserung auf KA = 1/3 möglich. Dieser Wert wird beispielsweise von einer Dreieck-Blattfeder erreicht. a)

x

y

b) Vz

1

M (x) = F·x

D

b

F

Vd

h

s

y

F

x l

V b max

x

Vb (x)

Mb max = F·l

Abb. 4.8. Biegefeder, einseitig eingespannt a) Berechnungsmodell mit Biegemomentverlauf; b) Biegespannungsverlauf; 1: neutrale Faser 4.2.1.2 Biegestabfedern mit veränderlichem Querschnitt

Die Dreieck-Blattfeder stellt mit ihrer ungünstigen Krafteinleitungsstelle trotz des besseren Artnutzwertes keine konstruktiv brauchbare Lösung dar, so dass meist eine Trapezform gewählt wird. Diese Form kann auch als allgemeine Form der geraden Blattfeder aus Federband mit den Grenzfällen Rechteck- (b1 = b0) und Dreieckform (b1 = 0) angesehen werden (s. Ta-

4.2 Biegebeanspruchte Federn

103

belle 4.3). Trapez- und Dreieckformen sind darüber hinaus Ausgangsformen für geschichtete Blattfedern, die in Abschnitt 5.2 behandelt werden. Durch Verändern der Querschnittsabmessungen b und h = t lässt sich die Federgestalt dem Verlauf des Biegemoments über der Federlänge angleichen, und es entstehen bei entsprechender Wahl der Funktionen b = f(x) bzw. h = t = f(x) Federkörper gleicher Biegebeanspruchung (Abb. 4.9) [12]. a)

b)

F

b0

bx

V b = konst.

F

x

x

hx

h0

h0

b0

l

l

V b = konst.

Abb. 4.9. Biegefederformen mit konstanter Biegespannung in allen Querschnitten a) Dicke veränderlich nach hx = h0(x/l)0,5 ; b) Breite veränderlich nach bx = b0(x/l) 1,6 1,5 K 2 = f G

Abb. 4.10. Korrekturfaktoren K1 und K2 zur Berechnung der Verformung querschnittsveränderlicher Blattfedern nach Abb. 4.9 bzw. Tabelle 4.3 (ß = b1 /b0; G = 1 – h1 /h0 )

K1 ; K 2

1,4

K 1 = f E

1,3 1,2 1,1 0 0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7 EG

0,8

0,9

1,0

4.2.1.3 Biegestabfedern mit Unterstützungen

Durch Unterstützungen von Blattfedern, die nachgiebig (elastisch) oder fest (starr) sein können, ist ein spezifisches Federungsverhalten erreichbar. Verschiedene Anordnungen sind möglich. Abb. 4.11 zeigt einige Beispiele. Elastisch unterstützt werden meist Kontaktblattfedern in Schalteinrichtungen der Elektro- und Gerätetechnik. Sie können auf diese Weise vorgespannt werden, wodurch sich Schaltwege verkürzen und die erforderlichen Kontaktkräfte ohne große Verformungen der Kontaktträgerfedern erreicht werden können. Über solche Stützfedern (Abb. 4.11) ist auch ein Verändern der Lage der Kontaktstücke sowie der Vorspann- und Kontaktkräfte möglich (Federsatzjustage [4.67]).

104

4 Berechnungsgrundlagen für Einzelfedern

Starr unterstützte Anordnungen ergeben sich meist als Folge der Gestaltung von Blattfedereinspannungen, -befestigungen und Krafteinleitungsstellen [4.104][4.107][4.108].

Abb. 4.11. Unterstützte Blattfedern a) und b) elastische Unterstützung; c) bis f) feste (starre) Unterstützung; g) Kontaktfedersatz mit Stützfedern

Die Berechnungsbeziehungen unterstützter Blattfedern sind in Tabelle 4.4 zusammengestellt [5][12][4.113][4.114]. 4.2.2 Gekrümmte Biegefedern 4.2.2.1 Gekrümmte Blattfedern

Aus Platzgründen müssen oft einfach oder mehrfach gekrümmte Blattfederformen, die sich aus Geraden- und Kreisbogenteilen zusammensetzen, vorgesehen werden. Von Palm und Thomas [4.91][4.92][4.93] publizierte Berechnungsgrundlagen für ausgewählte Formen sind in Tabelle 4.5 aufgeführt. Bei der Form nach Abb. 4.12 kann die Grundbeziehung für Blattfedern mit einer gestreckten Federlänge l = u + rD verwendet werden, wobei der Krümmungseinfluss durch einen Korrekturfaktor K30 berücksichtigt wird (Abb. 4.12a). Faktoren zur Berechnung der Verformung an der Kraftangriffsstelle weiterer Federformen nach Tabelle 4.5 sind in Abb. 4.13 aufgeführt [4.91].

4.2 Biegebeanspruchte Federn Tabelle 4.4. Berechnungsbeziehungen für unterstützte Blattfedern Modell, Anordnung, Bezeichnung Federweg s

Biegespannung Vb

a) Freies Federende abgestützt im Bereich a/l d 2

– 2:

Vb

2

s

Fa 3 § a · § a· ¨1  ¸ ¨ 4  ¸ 12 EI © l¹ © l¹

k1

6 Fl bh 2

˜ k1

V b max

a 2 § a ·§ a· ¨1  ¸¨ 3  ¸ l ¹© l¹ 2l 2 ©

Maximum bei x = xm

xm

l (l  a )(3l  a )

6 F (l  a ) Fl 3a · § Vb V b max (l  a ) 2 ¨ 4  ¸ 12 EI l bh 2 © ¹ ___________________________________________________________________________________ Gültig im Bereich 0 dx dx1 b) Eben unterstützte Blattfeder bei bis x1 aufliegender Feder der Form y = –s0(1 – x/l)2 s

s

2 ª 4 § EI · º s 0 ¸¸ » s 0 «1  ¨¨ 3 « 3 © Fl ¹ »¼ ¬

Vb

s Eh 0 l2

V b max

___________________________________________________________________________________ c) Elastisch abgestützte Blattfeder

s Fa

F

º F ˜ a2 Fl 3 ª (3l  a )» «1  a 3E1 I 1 ¬« 2 ˜ F ˜ l 3 ¼» 3E 2 I 2 s a 2 a3

;

für sa1 = sa2 gilt:

· 2aFa § E1 I 1 ¨  1¸¸ (3l  a ) ¨© E 2 I 2 ¹

Anmerkung: Das Auflager zwischen Einspannung und freiem Federende nach Modell a), Variante 2, wird durch die Kraft Fa der Stützfeder ersetzt. Index 1: Feder; Index 2: Stützfeder; sa: Verformung der Federn an der Stützstelle ___________________________________________________________________________________

Abb. 4.12. Gekrümmte Blattfeder; a) Grundmodell; b) Korrekturfaktor K30 = f(m; D) nach [4.93]

105

106

4 Berechnungsgrundlagen für Einzelfedern

Tabelle 4.5. Berechnungsbeziehungen für gekrümmte Blattfederformen nach [4.91][4.92] und [4.93] Federweg s

Modell, Bezeichnungen

Biegemoment Mb max

a) Form A

s

K 30

F (u  rD) 3 3EI

Mb = F(u + r)

K30 = f(m; D , s. Abb. 4.13 m = u/r (Krümmungsverhältnis) ___________________________________________________________________________________ b) Form B r3 sy ( K 31 Fy  K 32 Fx ) Mb = Fy (u + r) EI r3 ( K 32 Fy  K 33 Fx ) EI

sx

bzw.

K31 ; K32 ; K33 nach Abb. 4.13 Mb = Fx·2r m = u/r und n = v/r ___________________________________________________________________________________ c) Form C (beidseitig fest eingespannt, obere Einspannung verschiebbar) Teilsystem I: MI = –M0 m 2  Sm  2 Fr 3 M0 F ˜r s K 34 3EI 2m  S

Teilsystem II (0 dMdD2):

K34 nach Abb. 4.13

m = u/r und n = v/r MII = F(u + rsinM) – M0 ___________________________________________________________________________________ 40

120

m=4 =

n

K32 20

100

40

m=3

m

m=4

m=2

K31

20

m=1 m=0

0

80

K34 10 8

m=3

6

–20

60

0

1

2

3

n

4

5

4

30 20

40

10 8

1 0,8

m=1

6

0,6

m=0

4

20

0

2

K33

m=2

0

1

2

3

n

4

5

0,4 0

1

2

3

n

4

5

0

1

2

3

m

4

5

Abb. 4.13. Korrekturfaktoren für die Berechnung gekrümmter Biegefedern nach Tabelle 4.5 [4.91]

4.2 Biegebeanspruchte Federn

107

4.2.2.2 Formfedern

Formfedern ist eine Sammelbezeichnung für alle Biegefedern aus Federband oder Federdraht, deren Gestalt von der gestreckten (geraden) Form abweicht und durch Abbiegungen verschiedenster Art gekennzeichnet ist. Aus Federband gefertigte Federn und Federelemente werden als Flachform- oder Bandformfedern und die aus Draht gefertigten als Drahtformfedern bezeichnet. Abb. 4.14 zeigt einige Formenbeispiele. a)

b)

Abb. 4.14. Beispiele für Formfedern. a) Bandformfedern; b) Drahtformfedern

Eine Berechnung ist auf der Basis der bisherigen Darlegungen für gerade und gekrümmte Blattfedern unter Verwendung eines geeigneten Berechnungsmodells durchzuführen. Nicht immer sind Berechnungen erforderlich. Bedeutsam sind jedoch Gestaltungsregeln, wobei besonders die empfohlenen Mindestbiegeradien beim Gestalten von Abbiegungen zu beachten sind (Tabelle 4.6 und 4.7) [4.92]. Ein Unterschreiten dieser Mindestbiegeradien führt früher oder später stets zum Bruch der Federn. Biegeradien sollten jedoch auch nicht zu groß gewählt werden, da sonst der Umformvorgang in der Nähe der Elastizitätsgrenze abläuft, sich große Werte der Rückfederung und nur kleine plastische Verformungen einstellen. Dieser Umstand hat auch Auswirkungen auf die Einhaltung der vorgegebenen Toleranzen, die in diesem Bereich größerer Schwankungen der Rückfederungsbeträge nur schwer zu beherrschen sind [4.67]. Befinden sich Biegungen am Ende einer Feder, so sollten sie in ein gerades Stück von der Mindestlänge lmind = 2·t auslaufen. Ebenso wichtig ist das richtige Festlegen von Rand- und Stegbreiten sowie der Abmessungen von Lochungen und Durchbrüchen [4.67][4.109][4.145].

108

4 Berechnungsgrundlagen für Einzelfedern

Tabelle 4.6. Mindestbiegeradien für Drahtformfedern Für Bereich des Drahtdurchmessers d in mm

Mindestbiegeradius rmind in mm für die Werkstoffe: Federstahldraht Sorte SL, Federstahldraht Sorte SM Nichteisenmetalle, (DIN EN 10270-1) weichgeglühte Drähte

bis 4 4
1,0d 1,2d 1,4d 1,6d

1,2d 1,4d 1,6d 1,8d

Federstahldrähte der Sorten SH/DM und DH, nichtrostende Drähte

1,4d 1,6d 1,8d 2,0d

Tabelle 4.7. Richtwerte für Abbiegungen an Federbändern nach [4.62] Erläuterungen:

VbE Federbiegegrenze; A senkrecht zur Walzrichtung; = parallel zur Walzrichtung

Werkstoff

VbE in N/mm²

Unlegierter Stahl MK 75 1400 Nichtrostender Stahl X12CrNi177 800 Neusilber CuNi18Zn20 HV 160

400

Neusilber CuNi18Zn20 HV 180 Zinnbronze CuSn6 HV 180

520 400

Berylliumbronze CuBe2 HV 380

1050

E in Biegeradius rmin kN/mm² für D = 90° für t in mm Biegekante  A 210 bis 1,5 5t 190 0,05 bis 0,75 2t 10t >0,75 bis 1,1 6t 14t 142 bis 0,2 0 0,2 >0,2 bis 1 0 2t über 1 1t 2t 142 1t 2t 115 bis 0,2 0 0,2 >0,2 bis 1 0 2t über 1 1t 2t 135 bis 1,5 4t 7t

4.2.3 Gewundene Biegefedern 4.2.3.1 Spiralfedern

Aufbau und Einsatz. Spiralfedern sind aus Federband, in Ausnahmefällen aus Federdraht, in einer Ebene spiralförmig gewickelte Federn. Sie sind in der Lage, Drehmomente aufzunehmen und somit Rückstellmomente zu erzeugen. Hinsichtlich des Windungszwischenraums werden zwei Bauformen unterschieden: Mit konstantem Windungsabstand aw nach einer Archimedischen Spirale gewundene Federn werden als Rückstellfedern in Schlössern, Fensterhebern und Kickstartern sowie für Zeiger in elektrischen Messgeräten und als Schwingungselemente in Gangreglern von mechanischen Uhren eingesetzt.

4.2 Biegebeanspruchte Federn

109

Spiralfedern ohne Windungszwischenraum werden meist in einem Federhaus geführt. Ihre Bewegung vollzieht sich somit zwischen zwei koaxialen Zylindern (Federkern und Federgehäuse, s. Tabelle 4.9). Sie werden wegen ihres großen Energiespeichervermögens als Triebfedern für mechanische Uhren, Laufwerke und verschiedene Antriebseinrichtungen in Geräten (Datenverarbeitungsgeräte, Sportgeräte, Spielgeräte) eingesetzt und demzufolge oft als Aufzugfeder oder Triebfeder bezeichnet. Aus diesen Federn wurden die Rollfedern [4.29][4.49] entwickelt. Spiralfedern mit Windungsabstand. Sie werden vornehmlich so hergestellt und montiert [4.26][4.74], dass ihr inneres Ende fest auf einer Welle eingespannt und ihr äußeres Ende entweder fest oder auch gelenkig angeordnet wird. Diese Einspannverhältnisse sind bei den Berechnungen zu beachten. Ein ausreichender Windungsabstand soll Reibungseinflüsse während des Betriebes verhindern. Derartige Federn sind für kleine Drehwinkel (M < 360°) vorgesehen. Nur bei speziellen Konstruktionen und Anordnungen sind Drehwinkel bis M = 700° erreichbar. Tabelle 4.8 enthält die Berechnungsbeziehungen für diese Federn. Die Gleichung für das Federmoment gilt nur solange, wie die wirksame Länge lw konstant bleibt. Ist die Spiralfeder beispielsweise mit konstantem, aber zu kleinem Windungsabstand aw versehen, dann schließt sich bei Einwirken eines Drehmoments zuerst die äußere Windung. Sie wird unwirksam, die wirksame Länge verringert sich, und die Federrate RM = M/M steigt an. Eine solche progressive Federcharakteristik ist meist unerwünscht. Die Federn werden aus diesem Grund mit unterschiedlichem Windungsabstand hergestellt, der außen am größten und innen am kleinsten ist. Tabelle 4.8. Berechnung von Spiralfedern mit Windungsabstand

___________________________________________________________________________________

Funktionsnachweis: Federmoment: M

Ebt 3 M 690 ˜ l w

EIM 57,3 ˜ l w

FR1

Wirksame Länge: [bei konstantem Windungsabstand aW mit R3 = S·n(R3 + R2)]

lw

S

R32  R 22 t  aw

Sn( R3  R 2 )

Festigkeitsnachweis: Biegespannung: V b

M W

6M bt 2

; V bk

kb ˜Vb

Zulässige Spannung: V b zul 0,75 ˜ R m Bei Vorsetzen und Verarbeitung federharter Bänder ist eine Werkstoffauslastung bisVb zul = Rm möglich.

_____________________________________________________________________

110

4 Berechnungsgrundlagen für Einzelfedern

Tabelle 4.9. Berechnungsbeziehungen für im Federhaus geführte Spiralfedern ohne Windungsabstand ____________________________________________________________________________________ Federkennlinie Federhausdurchmesser DH DK Federkerndurchmesser n Anzahl der Umdrehungen des Federhauses Gesamtumdrehungszahl des Federhauses ng nutzbare Umdrehungszahl 'n Anzahl der Federwindungen im Federhaus n1, 2 Windungszahl der ungespannten Feder n0 n’ theoretisch erreichbare Windungszahl b Federbandbreite; t = h Federbanddicke l Federbandlänge (gestreckter Zustand) Grundbeziehungen Index 1: abgelaufener Zustand

b

DH

DK

h=t

Index 2: aufgezogener (endgespannter) Zustand

Theoretisch erreichbare Windungszahl: 2

DH l D DH 0,1275 H   t 2t 4t 2 S ˜ t Gesamtumdrehungszahl:

n2 ' 

n1 '

ng

n 2  n1

n 2 ' n1 '1 (0,2055  0,1275)

DK  2t

D K2 4t 2



l S˜t

0,2055

DH t

DH D  1 0,0785 H  1 t t

Gestreckte Länge der Feder: 2 2 S §¨ D H  D K ¨ ft ˜t 16 © Drehmoment:

l

M1 = 0,75M01; M 01

M1

9 Ebt 4 16SD H2

M1

· ¸ ¸ ¹

0,349

D H2 t

(mit DH = 3DK und Füllfaktor ft = 0,5)

EI M1 l

1,125

M d max

M 1 3 ng

M 1 3 0,0785

DH 1 t

Ebt 4 § D · ¨ 0,0585 H  1¸ t ¹ D H2 ©

n ' · § 2Sn1 'n 0  1 2S¨ n1 ' 2  1¸ 3 © ¹ Biegespannung:

mit M1

Vb max dVb zul d Rm

V b max

M d max

6M 1

Wb

bt 2

3

0,0785

DH 1 t

Praktische Richtwerte DH =(3 ... 4)DK; k = DH/t = 70 ... 120; DK/t > 15; ng = 4 ... 10; b/t = 15 ... 30; ft = 0,4 ... 0,6; Zugfestigkeit: Rm = 2000 N/mm2 E-Moduln: härtbare Federstähle E = 206 kN/mm2; 2 (Richtwert für den austenitische Federstähle E = 173 kN/mm ; Entwurf von St-Federn) Bronze (z. B. SnBe6) E = 108 kN/mm2; ____________________________________________________________________________________

4.2 Biegebeanspruchte Federn

111

Werden Spiralfedern im schließenden Sinne belastet, dann ist es nicht erforderlich, die durch die Bandkrümmung an der Innenseite der Spiralfeder hervorgerufene Spannungserhöhung einzubeziehen. Erfolgt die Belastung in entgegengesetzter Richtung, dann treten an der Innenseite des Federbandes Zugspannungen auf. Für diesen Fall ist die Spannungserhöhung durch einen Korrekturfaktor (s. Abb. 4.15) zu berücksichtigen. a)

2,0

b) 1,5

1,8

1,4

1,6 kb 1,4

1,3 kb 1,2

1,2

1,1

1,0 0

1

2

3

4

5

6 7 8 R2/t bzw. r/t

9

10

1,0

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

Abbiegeverhältnis r/d = (w – 1)/2

0

10 12 2 4 6 8 Wickelverhältnis w = Dm/d

14

16 18

20

Abb. 4.15. Spannungsbeiwert kb für gewundene Biegefedern a) in Abhängigkeit vom Verhältnis R2 /t bzw. r/t für Federn aus Federband; b) in Abhängigkeit vom Wickelverhältnis w = Dm /d bzw. Abbiegeverhältnis r/d (s.a. DIN EN 13906-3)

Spiralfedern ohne Windungsabstand. Sie werden meist vorgespannt in Gehäuse eingebaut und besitzen im freien Zustand (ungespannt, nicht eingebauten Zustand) n0 Windungen und eine bestimmte Krümmung (s. Abb. 4.16) [8][10][12][4.2][4.21]. Werden sie in ein Federgehäuse eingebaut, dann liegen die Windungen nach dem Einbau mit bestimmtem Druck an der Gehäusewand an. Die Windungszahl n1 im eingebauten Zustand ist dabei infolge des kleineren Durchmessers wesentlich größer als n0. Tabelle 4.10. Richtwerte für die Lebensdauer von Spiralfedern ohne Windungsabstand aus unlegiertem Federstahl nach [4.94] Federtyp

Biegespannung Lebensdauer in Vb in N/mm2 Lastspielen Triebfeder 2700 2·103 Triebfeder 1600 100·103 Wagenrückzugfeder 1600 2000·103

Abb. 4.16. Krümmungsformen von Spiralfedern ohne Windungsabstand; a) bis c) im freien Zustand; d) im eingebauten Zustand (gespannt)

112

4 Berechnungsgrundlagen für Einzelfedern

Wird nun die Feder durch Drehen des Federkerns aufgezogen, dann ist bald der radiale Druck überwunden, mit dem sich die inneren Windungen an die nächsten äußeren anschmiegen. Die Windungen lösen sich langsam vom Paket und wickeln sich um den Kern. Der Krümmungsradius verkleinert sich weiter, und die Windungszahl wächst auf n2 an. Tabelle 4.9 enthält die Kennlinie und die Berechnungsbeziehungen [4.26][4.29][4.39] [4.47][4.49][4.57][4.74][4.94][4.96][4.99][4.110][4.111][4.112][4.122] [4.145]. Lebensdauerrichtwerte sind in Tabelle 4.10 aufgeführt. 4.2.3.2 Drehfedern (Schenkelfedern)

Drehfedern sind räumlich gewundene Biegefedern, die meist als Rückstell-, Scharnier- oder Andruckfedern verwendet werden. Sie besitzen einen schraubenförmig aus Federdraht gewundenen Federkörper, von dem die Drahtenden zur besseren Kraftein- und -ableitung schenkelförmig abgebogen sind. Die Konstruktion dieser Federenden (Schenkel, Haken, Abbiegungen oder Ösen) hängt von der Art der Krafteinleitung, der Koppelstellen der zu bewegenden Bauteile und den Anforderungen an die Herstellung ab. Einfache Federformen (Abb. 4.17) sind im Interesse einer wirtschaftlichen Fertigung anzustreben.

Abb. 4.17. Empfohlene Drehfederformen

Das Wickelverhältnis w = Dm/d soll bei Federkörpern von Drehfedern zwischen w = 4 und w = 16 liegen. In Ausnahmefällen ist noch w = 3 realisierbar. Bei Wickelverhältnissen w > 16 und großer Windungszahl besteht die Gefahr des Ausknickens sowie bei kleinen Drahtdurchmessern die Gefahr des Überschnappens der Windungen. Bei der Wahl der Windungsrichtung (rechts oder links) ist zu beachten, dass Drehfedern nur im schließenden Sinn belastet werden sollten. Beim Einbau von Drehfedern ist die feste Einspannung der Federenden zu bevorzugen. Sie liefert eine hinreichende Reproduzierbarkeit der Federkennlinie. Verbreitet ist die Aufnahme der Drehfeder auf einem Führungsdorn, wobei die Belastung in Wickelrichtung erfolgen soll.

4.2 Biegebeanspruchte Federn

113

Erfolgt die Führung der Drehfeder auf einem Dorn, dann ist die Veränderung des Innen- bzw. Außendurchmessers der Feder zu beachten. Bei Belastung (Verdrehung) in Wickelrichtung verkleinert sich Di wie folgt Di M = Dmn/(n + M/360°) – d ,

(4.8a)

und bei Belastung (Verdrehung) entgegen der Wickelrichtung vergrößert sich Da nach Da M = Dmn/(n – M/360°) + d .

(4.8b)

Um Reibschluss zu vermeiden, ist auf ein ausreichendes Spiel zwischen Feder und Aufnahmedorn zu achten (Dorndurchmesser dDo = (0,8...0,9)Di). Reibung entsteht auch bei anliegenden Windungen. Soll sie vermieden werden, dann sind die Windungen lose anliegend oder mit einem Windungsabstand aW (aW = SW – d) zu wickeln. Neben einfachen Drehfedern sind auch Doppeldrehfedern gebräuchlich, die aus zwei Federkörpern und einer verbindenden Drahtschleife bestehen. Gegenüber einer einfachen Drehfeder mit gleicher Drahtlänge im Federkörper hat die Doppeldrehfeder die vierfache Federrate. Doppeldrehfedern (Haarnadelfedern) werden dann eingesetzt, wenn eine symmetrische Belastung erzielt werden soll. Die Berechnung der Drehfedern erfolgt anhand der Tabelle 4.11. Die Berechnungsgleichungen gelten exakt nur für reibungsfreie Drehfedern mit fest eingespannten und kreisförmig geführten Federenden. Bei Ausführungen mit langen Federschenkeln ist auch die Schenkeldurchbiegung zu berücksichtigen (s. DIN EN 13906-3). Durch die Drahtkrümmung kommt es zu einer unsymmetrischen Spannungsverteilung im Drahtquerschnitt. Die dadurch an der nach innen gerichteten Seite des Querschnitts entstehenden Spannungsspitzen werden durch den Beiwert kb nach Göhner [5][20] (Abb. 4.15b) berücksichtigt Vb k = kb·Vb .

(4.9a)

Bei nur im Wickelsinn statisch oder dynamisch belasteten Drehfedern kann die Spannung auch ohne den Beiwert kb berechnet werden. Zu berücksichtigen ist er jedoch stets, wenn die Drehfedern öffnend belastet oder wenn die Innenkrümmung einer Schenkelabbiegung auf Zug beansprucht wird. Zum Einfluss der Drahtkrümmung auf die Elastizitätsgrenze bei Drehfedern wird in [4.4] von Berry berichtet. Einzelheiten zur Theorie der Drehfeder sind in [20] enthalten.

114

4 Berechnungsgrundlagen für Einzelfedern

Tabelle 4.11. Berechnungsbeziehungen für Drehfedern aus Runddraht ___________________________________________________________________________________

Funktionsnachweis: Federmoment: M = FR1 =

Federweg:

s=

M ˜ Ed 4 3670 ˜ nDm

M ˜ R1 57,3

Kraft: (Berücksichtigung der Schenkeldurchbiegung) F=

SM ˜ Ed 4 3670 R1 (SnDm  R1 / 3  R2 / 3)

Festigkeitsnachweis: Biegespannung: V b

32

M ; Vb k = kb·Vb Sd 3 2

§ d · d ¸¸  0,642¨¨ Dm © Dm ¹ _____________________________________________________________________ kb

1  0,87

Die zulässigen Spannungen werden bei statischer bzw. quasistatischer Belastung zwar vom Werkstoff, der Herstellung und der Beanspruchungsrichtung beeinflusst, doch für den Entwurf wird allgemein Vb zul = 0,75·Rm

(4.9b)

verwendet. Unter bestimmten Bedingungen ist nach Tabelle 4.12 eine höhere Werkstoffbelastung möglich. Bei instationären Belastungen sind die Dauerfestigkeitswerte nach Abb. 4.18 zu verwenden. Tabelle 4.12. Zulässige Werkstoffauslastung bei Drehfedern in Abhängigkeit von der Belastungsrichtung, dem Werkstoff und der Herstellungsweise Werkstoff Patentierter Federstahldraht Sorte SH (DIN EN 10270-1) aushärtbarer nichtrostender Draht X7CrNiAl17.7 Vergütete Federstahldrähte

Herstellung

angelassen, nicht vorgesetzt angelassen, vorgesetzt angelassen, vorgesetzt Weichgeglühte bzw. warm- vergütet geformte Federstähle vergütet und vorgesetzt

Belastung im schließenden Sinn öffnenden Sinn Vzul d Rm Vzul d 1,35·Rm Vzul d Rm Vzul d 0,75·Rm Vzul d Rm

Vzul d 0,75·Rm

4.2 Biegebeanspruchte Federn a)

1600

d = 1 mm d = 2 mm

N/mm²

b)

d = 3,2 mm d = 4 mm

1200

115

d = 1 mm d = 2 mm d = 3,2 mm

1200

d = 4 mm

VO

N/mm² 800

800

VH VO

VH 400

400

0

0 0

400

800

N/mm² 1200

1600

VU

0

400

800

N/mm² 1200

VU

Abb. 4.18. Dauerfestigkeitsschaubilder für kaltgeformte Drehfedern (Grenzlastspielzahl N = 107) a) aus patentiertem Federstahldraht der Sorte DH nach DIN EN 10270-1, ungestrahlt (DIN EN 13906-3); b) aus unlegiertem, vergütetem Ventilfederdraht nach DIN EN 10270-2, kugelgestrahlt

4.2.4 Scheibenförmige Biegefedern 4.2.4.1 Tellerfedern

Tellerfedern bestehen aus kegelig geformten Ringscheiben, die aus Federband ausgeschnitten werden (Abb. 4.19). Ihre Belastung erfolgt axial, wobei die Kraftein- bzw. -ableitung gleichmäßig über den oberen Innen- bzw. den unteren Außenrand verteilt erfolgt. Sie zeichnen sich durch eine relativ große Federrate aus. Als Einzelfedern werden sie in Kupplungen und zum Spielausgleich bei Wälzlagern eingesetzt. Sie können jedoch in vielfältiger Weise kombiniert und geschichtet werden. Damit wird die Federrate beeinflusst [4.36][4.85][4.118][4.127]. In besonderen Fällen können Tellerfedern auch so gestaltet werden, dass ihre Verformung über die Planlage hinaus möglich ist. Tellerfedern sind genormt. Eine Auswahl ist nach DIN 2093 oder für weitere Abmessungsvarianten aus Firmenkatalogen [4.138][4.142][4.147] möglich. Neben der Grundform mit rechteckigem Querschnitt (Gruppe 1 und 2 nach DIN 2093, s. Abb. 4.19) werden auch Formen mit Auflageflächen (Gruppe 3 nach DIN 2093, s. Abb. 4.20a), mit Trapezquerschnitt (Abb. 4.20b) und geschlitzte Formen (Abb. 4.20c) eingesetzt. Die Berechnung des Einzeltellers ohne Auflageflächen geht auf Ansätze von Almen und Lazlo [4.1] zurück und kann nach [4][5][12][20][4.42] [4.80][4.127][4.138][4.142][4.147] sowie DIN 2092 mit hinreichender Genauigkeit erfolgen. Die grundlegenden Berechnungsbeziehungen sind in

116

4 Berechnungsgrundlagen für Einzelfedern

Tabelle 4.13 zusammengestellt. Tabelle 4.14 enthält die zur Berechnung der Federdaten erforderlichen Konstanten.

Abb. 4.19. Tellerfeder, Grundform und Hauptmaße mit Bezeichnung der Randbereiche (I, II, III, IV)und rechnerischer Spannungsverteilung (Tellerfederoberseite Vd ; Tellerfederunterseite Vz )

Abb. 4.20. Tellerfederformen a) mit Auflageflächen; b) mit Trapezquerschnitt; c) geschlitzte Formen (1: innen geschlitzt; 2: außen geschlitzt)

Die Federkennlinie des Einzeltellers ist vom Verhältnis h0 /t abhängig (s. Abb. 4.21). Bis zu Werten von h0 /t = 0,4 kann ihr degressiver Verlauf noch als nahezu linear angesehen werden. Mit zunehmendem Verhältnis h0 /t nimmt die Degressivität der Kennlinie zu. Für h0 /t = 2 besitzt sie im Bereich um s/h0 = 1 ein nahezu waagerechtes Teilstück. Aus diesem Verhalten resultiert eine Reihe unterschiedlicher Anwendungen. Mit Durchmesserverhältnissen G = De /Di im Bereich 1,7 dGd2,5 lassen sich bei guter Werkstoffausnutzung günstige Federungseigenschaften erreichen. Nach DIN 2093 genormte Tellerfedern mit G = 1,9 bis 2,05 erfüllen viele Anforderungen. Die Kennlinien dieser Federn (Reihen A, B und C) sind in Abb. 4.21 dargestellt. Die praktische Federkennlinie weicht sowohl beim Einzelteller als auch bei Tellerfedersäulen von der errechneten ab. Wie aus einem in DIN 2093 angeführten Vergleich von rechnerisch und experimentell an einer Tellerfeder DIN 2093-B50 ermittelten Kennlinien hervorgeht, gibt es zunächst bis zu einem Federweg s = 0,75·h0 eine gute Übereinstimmung zwischen praktischem und theoretischem Kennlinienverlauf. Mit weiter zunehmen-

4.2 Biegebeanspruchte Federn

117

dem Federweg (nahezu flachgedrückte Feder) ändert sich der wirksame Hebelarm 'r der Kraft wesentlich, so dass eine Krafterhöhung F' = ('r/'r')F

(4.10)

auftritt. Sie führt u. a. dazu, dass sich in der Nähe des Blockzustands ein progressiver Kennlinienverlauf einstellt. Der zur Verfügung stehende Federweg sollte deshalb nur bis etwa 75 % ausgenutzt werden, da mit der Krafterhöhung auch eine Vergrößerung der Spannungen verbunden ist. Tabelle 4.14. Beiwerte zur Berechnung von Tellerfedern

Abb. 4.21. Kennlinien von Tellerfedern (rechnerisch). Empfohlene Einfederungsgrenze nach DIN 2093 s/h0 = 0,75

G

K1

K2

K3

1,2 1,4 1,6 1,8 2 2,2 2,4 2,6 2,8 3 3,2 3,4 3,6 3,8 4 4,2 4,4 4,6 4,8 5

0,29 0,45 0,56 0,64 0,7 0,74 0,76 0,77 0,78 0,79 0,8 0,8 0,8 0,8 0,8 0,8 0,8 0,8 0,79 0,78

1 1,07 1,12 1,17 1,22 1,27 1,31 1,35 1,39 1,43 1,47 1,5 1,54 1,57 1,61 1,64 1,67 1,7 1,73 1,76

1,04 1,13 1,22 1,3 1,38 1,46 1,53 1,6 1,67 1,74 1,81 1,88 1,94 2 2,07 2,13 2,19 2,25 2,32 2,37

Die von verschiedenen Autoren entwickelten genaueren Berechnungsmethoden [4.9][4.10][4.42][4.80] haben auf Grund der mannigfaltigen Einflüsse bei der Federherstellung (z.B. Runden und Überarbeiten der Kanten) und des Werkstoffs nur theoretische Bedeutung [4.80]. Einzeltellerfedern lassen sich in vielfältiger Weise zu Paketen und Säulen kombinieren (Abb. 4.22). Tellerfedersäulen kann man aus wechselsinnig oder gleichsinnig geschichteten Einzelfedern (n = 1)

118

4 Berechnungsgrundlagen für Einzelfedern

oder Paketen zusammensetzen. Sowohl durch die unterschiedliche Kombination gleicher Tellerfedern (s. Abb. 4.22d) als auch durch die Kombination verschieden dicker Tellerfeder lässt sich eine Federsäule mit einem progressiven Kennlinienverlauf erzielen. Tabelle 4.13. Berechnungsbeziehungen für Tellerfedern (Einzelteller) ohne Auflageflächen ___________________________________________________________________________________

Funktionsnachweis Federkraft:

F

4E t4 s ª§ h s ·§ h s· º ˜ ˜ ¨ 0  ¸¨ 0  ¸  1» 2 t ¹© t 2t ¹ ¼ 1  P K1 De2 t «¬© t

für Stahl mit E = 206 kn/mm2 und P = 0,3 ergibt sich: t4 s ª§ h0 s ·§ h0 s · º F = 906·10 N/mm K D 2 ˜ t «¨© t  t ¸¹¨© t  2t ¸¹  1» ¬ ¼ 1 e 3

Federrate:

R

dF ds

2

t3 4E ˜ 2 1  P K1 De2

º ª§ h0 · 2 3h0 s 3s 2  1» «¨ ¸  2  2t t »¼ «¬© t ¹

Festigkeitsnachweis Spannungen an den Kanten I bis IV (s. Abb. 4.19): VI

º t2 sª s· 4E §h ˜ ˜ « K 2 ¨ 0  ¸  K 3 » 2 2 t t t 2 1  P K1 De ¹ © ¬ ¼

V II

º 4E s· t2 sª §h ˜ ˜ « K 2 ¨ 0  ¸  K 3 » 2 t t 2 1  P K1 De2 t ¬ ¹ © ¼

V III

º t2 s 1ª s· 4E §h ˜ ˜ ˜ (2 K 3  K 2 )¨ 0  ¸  K 3 » 2 2t ¹ 1  P K1 De2 t G «¬ © t ¼

V IV

º t2 s 1ª s· 4E §h ˜ ˜ ˜ (2 K 3  K 2 )¨ 0  ¸  K 3 » 2 1  P K1 De2 t G «¬ © t 2t ¹ ¼

Positive Ergebnisse sind Zugspannungen, negative Ergebnisse sind Druckspannungen

Beiwerte 2

§ G 1· G 1 ¨ ¸ 1 De 1 © G ¹ 3 G 1 6 ln G G ˜ ˜ ˜ ; K1 ; K2 ; K3 Di S G 1 2 S ln G S ln G  G  1 ln G _____________________________________________________________________

4.2 Biegebeanspruchte Federn a)

c)

L0

L0

l0

L0

b)

Fs ss

d)

119

L0

Fs Fs3

Fs2 Fs1 s s1

s s2

s s3

ss

Abb. 4.22. Schichtungsvarianten von Tellerfedern a) Gleichsinnige Schichtung (FS = n·F); b) Wechselsinnige Schichtung (FS = F); c) Wechselsinnige Schichtung gleicher Federpakete (L0 = i[l0 + (n – 1)t]); d) Wechselsinnige Schichtung ungleicher Federpakete mit Kennlinie

Federpakete bestehen aus n > 1 gleichsinnig geschichteten Einzelfedern. Bei Vernachlässigung der Reibung ergibt sich die Gesamtkraft (Kraft der Federsäule) zu FS = n·F .

(4.11a)

Federsäulen bestehen aus einer Anzahl i wechselsinnig geschichteten Einzelfedern oder Federpaketen, die aus n gleichsinnig geschichteten Einzelfedern bestehen. Ihr Gesamtfederweg ergibt sich bei Einwirken der Säulenkraft FS zu sS = i·s .

(4.11b)

Die Länge der unbelasteten Federsäule bzw. des unbelasteten Federpakets ergibt sich aus L0 = i[l0 + (n – 1)t]

(4.12)

und die der belasteten Federsäule bzw. des belasteten Federpaketes bei einem Federweg sn aus Ln = L0 – sn .

(4.13)

120

4 Berechnungsgrundlagen für Einzelfedern

In Säulen angeordnete Einzeltellerfedern müssen vorgespannt und geführt werden. Zahlreiche Konstruktionsbeispiele sind dazu in [1][2][4] [5][12][15][20][4.36][4.61][4.77][4.123][4.127][4.138][4.142][4.147] enthalten. Besonderes Augenmerk ist bei der Gestaltung von Tellerfedersäulen auf die Minderung der Reibung zu richten. Als Werkstoffe werden für Tellerfedern Stähle nach DIN EN 10089 und DIN EN10132-4 wie Ck67, 50CrV4, und 51CrMoV4, korrosionsbeständige Werkstoffe (X12CrNi17.7) und für besondere Ansprüche auch warmfeste Werkstoffe (X30WCrV53) eingesetzt, wobei allgemein mit einem EModul E = 206 kN/mm² gerechnet werden kann. Bei ruhender bzw. selten wechselnder Beanspruchung kann als zulässige Spannung die Streckgrenze Re der jeweiligen Werkstoffe eingesetzt werden. Tellerfedern, die einer schwingenden Beanspruchung ausgesetzt sind, sollen mindestens mit einem Vorspannweg s1 = (0,15...0,20)h0 eingebaut werden, um Anrisse, besonders an der Stelle I der Feder (s. Abb. 4.19), zu vermeiden. Beim Entwurf schwingend beanspruchter Tellerfedern sind die entsprechenden Dauerfestigkeitsschaubilder heranzuziehen (Beispiel s. Abb. 4.23). b)

a) 1200

1

1200

2 5

N/mm² 800

3

1

N/mm² 2

4

3

800

VO VU

VO VU

400

0 0

400

400

800 N/mm²

VU

1400

0 0

400

800

N/mm²

1400

VU

Abb. 4.23. Dauer- und Zeitfestigkeitsschaubilder von Tellerfedern aus 50CrV4, nicht kugelgestrahlt a) für N = 2·106 Lastspiele und Dickenbereiche t in mm. 1: t < 0,6; 2: 0,6 < t < 1,0; 3: 1,0 < t < 1,6; 4: 1,6 < t < 2,5; 5: 2,5 < t < 4,0; b) Dauer- und Zeitfestigkeiten für t < 1,25 mm. 1: N = 105 ; 2: N = 5·105 ; 3: N = 2·106 nach DIN 2093

Umfangreiche Lebensdaueruntersuchungen an Tellerfedern wurden von Schremmer [4.105], Hertzer [4.32][4.33] sowie Muhr [4.75] und Denecke [4.12] durchgeführt. Der Dauerbruch schwingend beanspruchter Tellerfe-

4.2 Biegebeanspruchte Federn

121

dern geht vorrangig von der auf Zug beanspruchten Unterseite aus. An der inneren Oberkante zeigen sich bei niedrigen Vorspannungen oft feine radial verlaufende Anrisse auf Grund der hier vorhandenen Zugeigenspannungen, die aber nach [4.105] und [4.33] nicht zum Bruch führen und mit steigender Vorspannung ausbleiben. Eine Oberflächenbehandlung durch Kugelstrahlen erhöht die Lebensdauer. Spezielle Tellerfederformen nach Abb. 4.20 erfordern einen höheren Fertigungs- und Entwurfsaufwand. Tellerfedern mit Trapezquerschnitt besitzen bei richtiger Auslegung eine gleichmäßigere Spannungsverteilung. Der progressive Kraftanstieg bei Federwegen s > 0,75h0 wird vermieden. Zu ihrer Berechnung sei auf [1][20][4.116] verwiesen. Geschlitzte Tellerfedern werden wegen des besonderen Verformungsverhaltens vor allem im Fahrzeugbau (Kupplungsfedern) verwendet. Berechnungsgrundlagen werden in [12][4.11][4.93][4.117] und [4.138] dargestellt. 4.2.4.2 Federscheiben und Wellfedern

Federscheiben sind aus Federband ausgeschnittene kreisringförmige Bauelemente, deren Federwirkung durch eine einfache oder mehrfache Wölbung in axialer Richtung ermöglicht wird (Abb. 4.24). Sie werden vorrangig zum Zweck des Spielausgleichs und zur Erzielung eines Verspannungszustands eingesetzt. b)

c)

F

F/z

h0 hW

l

l

Da

Di

t

Di

Da

F/z

t

hW

F

h0

a)

Abb. 4.24. Federscheiben. Arten, Bezeichnungen, Berechnungsansatz a) einfach gewölbte Federscheibe; b) Wellfederscheibe (axiale Wellfeder); c) Berechnungsansatz für b)

Die Berechnung einfach gewölbter Federscheiben (z.B. nach DIN 137, s. Abb. 4.24a) geht vom Ansatz einer Rechteckform [4.126] aus, wonach sich für die Federrate

122

4 Berechnungsgrundlagen für Einzelfedern

R = 4·Et3· Da 3 Di Da

(4.14)

und für die Biegespannung Vb = 1,5

FDa Da  Di t 2

(4.15)

ergibt. Die maximal mögliche Verspannkraft einer Scheibe bei Ausnutzen der Wölbungshöhe hw = s = h0 – t ist dann nach Gleichung (4.14) F = 4·Et3(h0 – t)

Da  Di . Da3

4.16)

Wellfedern sind mehrfach sinusförmig gewölbte (gewellte) Scheiben (axiale Wellfeder nach Abb. 4.24b) oder zu einem Ring geformte gewellte Bänder (radiale Wellfeder nach Abb. 4.25.

Abb. 4.25. Wellen-Naben-Verbindung mittels radialer Wellfeder (sog. Toleranzring-Verbindung) a) Schnitt mit Bezeichnungen; 1 Welle; 2 Nabe; 3 Wellfeder (Toleranzring); b) Sickenelement, Modell für Berechnungsansatz; d Wellendurchmesser; D Nabendurchmesser; p Sickenteilung; h Höhe des verformten Wellbandes; h' Bandmittenabstand; t Banddicke

Axiale Wellfedern (s.a. DIN 42013) werden meist für den Spielausgleich bei Wälzlagern eingesetzt. Der Berechnungsansatz geht von der vereinfachten Form nach Abb. 4.24c aus, wonach die Scheibe als gestreckter Träger aufgefasst wird [4.126]. Nach Tabelle 4.3c ist dann die Federrate eines Scheibenabschnitts (Welle)

4.2 Biegebeanspruchte Federn F z˜s

R0a =

192

EI l3

§t· 16 Eb¨ ¸ ©l¹

123

3

(4.17)

mit z als Anzahl der Wellen. Setzt man l = SDm/z; Dm = (Da + Di)/2 und b = (Da – Di)/2 [4.126], dann ergibt sich die Federrate einer solchen Wellfederscheibe zu

Ra = F s

§ tz · ¸¸ 16 Ebz ¨¨ © SDm ¹

3

§ tz · ¸¸ 0,517 Ebz ¨¨ © Dm ¹

3

(4.18)

und die Biegespannung zu Vb.= Fl 8Wb

2,35

FDm bt 2 z 2

4,7

FDm ( Da  Di ) t 2 z 2

(4.19)

Die vereinfachende Annahme einer gestreckten gewellten Feder ergibt für kleine Durchbiegungen und eine kleine Ringbreite b eine relativ gute Übereinstimmung zwischen den theoretischen und den experimentell ermittelten Federkennlinien. Bei größeren Ringbreiten entstehen jedoch größere Abweichungen, die eine Korrektur des Faktors unter Einbeziehen des Durchmesserverhältnisses Da/Di erforderlich machen. Die korrigierte Beziehung für die Federrate einer axialen Wellfeder nach Gl.(4.18) ist dann Rak = 0,417Ebz Da Di

§ tz · ¨¨ ¸¸ © Dm ¹

3

(4.20)

Sind die möglichen Federwege bzw. Federkräfte einer einzelnen Wellfederscheibe nicht ausreichend, so können Reihen- bzw. Parallelschaltungen (wechsel- oder gleichsinniges Schichten) angewendet werden. Bei einer Reihenschaltung sind zusätzliche konstruktive Maßnahmen erforderlich. Meist werden in diesem Fall zwischen die einzelnen Federn ebene Scheiben gelegt. Radiale Wellfedern (Abb. 4.25) werden für Wellen-Naben-Verbindungen eingesetzt. Sie sind vor allem unter der Bezeichnung „ToleranzringVerbindung“ bekannt [4.90] [4.148][4.149]. Zur besseren Handhabe und Montage werden die Wellen (Sicken) nicht über die volle Bandbreite B sondern nur bis zu einer Breite b ausgeführt. Es ergeben sich an beiden Bandrändern unverformte Randstreifen, die nicht an der Verformung des Wellbandes teilnehmen und an den Sickenrändern verformungsbehindernd wirken. Auf ihre Berechnung wird in [4.90] eingegangen. Die hierin ange-

124

4 Berechnungsgrundlagen für Einzelfedern

gebenen Beziehungen sind allerdings recht kompliziert und nur mit Einsatz entsprechender Rechentechnik bearbeitbar. Eine einfachere Beziehung, die für radiale Wellfedern ohne versteifende Seitenbänder als Näherungsbeziehung für die Berechnung der sogenannten „Sickenfedersteife“ R0r (Federsteife einer Welle oder Sicke) benutzt werden kann, ist aus der Gl. (4.17) herleitbar. Für die radiale Sickenfedersteife ergibt sich dann R0r = Fr zs

3

§ tz · , 16 Eb¨ ¸ © SD ¹

(4.21)

wobei nach M=

D 6PFr ˜ 2 z

§ tz · 4PzEDb( d  2h0  D)¨ ¸ © SD ¹

3

(4.22)

auch das übertragbare Moment näherungsweise berechnet werden kann, wenn für Fr = R0r·z·s; s = (d + 2h0 –D)/2 und FR = P·Fr gesetzt wird (h0 Höhe des unverformten Wellbandes; t Dicke des Wellbandes). 4.2.5 Berechnungsbeispiele 1. Beispiel: Blattfeder als Ankerrückstellfeder in einem Flachrelais

Gegeben: F1 = 1,1 N; F2 = 1,5 N; sh = 1,6 mm; TR = 1±0 %; l = 54 mm; B = 30 mm; Werkstoff: CuZn37 F44; Sollsicherheit Serf = 2

Die Blattfeder hat die Aufgabe, im nicht erregten Relaiszustand (Ruhezustand) die Ruhekontaktkräfte zu erzeugen und den Anker nach erfolgter Schaltung wieder in die Ruhelage zurückzustellen. Gesucht: Federquerschnitt (b; h = t); Nachrechnungen Lösung:

1. Federrate Rerf = (F2 – F1)/sh = (1,5 N – 1,1 N)/1,6 mm = 0,25 N/mm

mit den Toleranzgrenzen: Rmin = 0,225 N/mm und Rmax = 0,275 N/mm.

4.2 Biegebeanspruchte Federn

125

2. Dimensionierung Nach Tabelle 4.3 sind für eine einseitig eingespannte Blattfeder die Bedingungen (mit VbF § Rp 0,2) Vb

Mb d V b zul Wb

V bF mit V b zul = 340 N/mm²/2 = 170 N/mm² Serf

und Rmin d Rerf =

3EI d Rmax l3

zu erfüllen, aus denen sich durch Umstellen und Einsetzen 2 h = 2 Rl V b zul 3 EF2

ergibt. Mit E = 105 kN/mm² folgt damit 2 2 h = 2 ˜ 0,25 N/mm ˜ 54 mm 2˜170 N/mm = 0,525 mm; 3 ˜ 105000 N/mm ˜ 1,5 N

gewählt: h = t = 0,5 mm berf = 62 ˜ F2 ˜ l h ˜ V b zul

6 ˜ 1,5 N ˜ 54 mm = 11,44 mm; 0,5 mm 2 ˜ 170 N/mm 2 2

gewählt: b = 12 mm

3. Nachrechnungen Vb vorh= 6 ˜ F2 2˜ l b˜h

6 ˜ 1,5 N ˜ 54 mm =162 N/mm²
KS = Vb vorh/Vb zul = 162 N/mm²/170 N/mm² = 0,953 3 Rvorh = Ebh3 4l

(TR vorh = 0 %)

105 ˜103 N/mm2 ˜12 mm ˜ 0,53 mm3 = 0,25N/mm= R erf 4 ˜ 543 mm3

126

4 Berechnungsgrundlagen für Einzelfedern

4. Form der Feder Die mögliche Gesamtbreite B der Feder wird nur zu einem Teil benötigt. Zur besseren Kraftverteilung werden zwei seitliche Federarme mit der Breite b/2 vorgesehen. 5. Bemerkungen zum Lösungsweg Die Funktions- und Festigkeitsbedingungen werden im Schnittpunkt der beiden Funktionen genau erfüllt. Da für die Blechdicke t diskrete Werte zu wählen sind, kann es neben einer nicht vollständigen Ausnutzung der ertragbaren Beanspruchung (KS < 1) Abweichungen für R geben. Beide Bedingungen lassen sich praktisch nur annähernd erfüllen. Die Funktionswerte müssen toleriert sein. In praktische Rechnungen sind auch Toleranzen geometrischer Parameter (b; t; l) einzubeziehen. 2. Beispiel: Spiralfeder mit Windungsabstand

Gegeben: M2 = 7200 Nmm; M1 = 100°; M2 = 230°; Da d 60 mm; Di t 15 mm; b d 10 mm; Bandstahl mit Vb zul = 1500 N/mm² Gesucht: t; lw ; M1 ; aw Lösung:

1. Banddicke: Aus Vb = 6M/bt² folgt t=

6M bV b zul

6 ˜ 7200 Nmm = 1,69 mm; 10 mm ˜ 1500 N/mm 2

gewählt: t = 1,8 mm

2. Bandlänge: Aus M = (Ebt3M)/(690·lw) folgt lw =

Ebt 3M2 690 ˜ M 2

206000 N/mm 2 ˜10 mm ˜1,83 mm3 ˜ 230q = 556 mm 690 ˜ 7200 Nmm

3. Federrate und Anfangsmoment Bei Annahme einer linearen Kennlinie wird RM = M2 /M = 7200 Nmm/ 230° = 31,3 N/°

4.2 Biegebeanspruchte Federn

127

und damit M1 = RM·M1 = 31,3 N/°·100° = 3130 Nmm .

4. Windungsabstand Durch Umstellung folgt aus lw = S(R32 – R22)/(t + aw) aw = S R32  R22  t lw

S (252mm2-82mm2)-1,8mm=1,37 mm. 556 mm

Dieser Abstand ist bei einem Drehwinkel M2 = 230° erfahrungsgemäß zu gering. Er sollte die Banddicke nicht unterschreiten (aw t t). So wird aw = t = 1,8 mm gewählt und der Radius R3 korrigiert R3= lw t  aw  R22 S

556 mm 1,8mm  1,8mm  82 mm2 = 26,5 mm, S

wobei dann zu überprüfen ist, ob die Bedingung Da d 60 mm eingehalten wird. Sie ist mit Da vorh = 2·R3 = 2·26,5mm = 53 mm < Da max = 60 mm erfüllt. 3. Beispiel: Drehfeder

Gegeben: F2 = 40 N; R1 = 75 mm; R2 = 30 mm; Da d 35 mm; M2 = 200°; Belastung statisch und im Wickelsinn Gesucht: d; n; Vb 2 ; Werkstoff; kleinster Abbiegeradius rmin ; Einfluss der Schenkeldurchbiegung Lösung:

1. Drahtdurchmesser Für den Entwurf wird Vb zul = 1000 N/mm² angenommen. Nach Tabelle 4.11 ergibt sich aus der Spannungsbeziehung d

3

32 M 2 SVb zul

3

32 F2 R1 SVb zul

3

32 ˜ 40 N ˜ 75 mm = 3,125 mm . S ˜ 1000 N / mm 2

Gewählt wird d = 3,2 mm. Für Dm ergibt sich Dm = Da – d = (35 – 3,2)mm = 31,8 mm als Grenzwert. Gewählt wird Dm = 31 mm.

128

4 Berechnungsgrundlagen für Einzelfedern

2. Windungszahl Aus der Beziehung für das Federmoment nach Tabelle 4.11 ergibt sich n

M2 Ed 4 3670q Dm F2 R1

200q ˜ 206000 N/mm 2 ˜ 3,24 mm 4 3670q ˜ 31 mm ˜ 40 N ˜ 75 mm

12,7

3. Federrate Ohne Berücksichtigung der Schenkeldurchbiegung ist RM = M M

F2 R1 M2

40 N ˜ 75 mm = 15 Nmm/° 200q

Bei Berücksichtigung der Schenkeldurchbiegung ergibt sich R

SEd 4 M

R R · § 3670q¨ SnD m  1  2 ¸ 3 3 ¹ ©

S ˜ 206000 N/mm 2 ˜ 3,2 4 mm 4 75 30 · §  ¸mm 3670q¨ S ˜ 12,7 ˜ 31  3 3 ¹ ©

= 14,6 Nmm/°, das bedeutet, der Drehwinkel M2 wird bereits mit einer Kraft F2 = 38,9 N erreicht. 4. Festigkeitsnachweis und Werkstoffwahl Vb 2 =

32 M Sd 3

32 F2 R1 Sd 3

32 ˜ 40 N ˜ 75mm = 933 N/mm2 . 3 3 S ˜ 3,2 mm

Bei Einsatz von Federstahldraht Sorte B nach DIN 17223/T1 (jetzt SM n. DIN EN 10270-1) mit Rm min = 1560 N/mm² wird die zulässige Spannung Vb zul = 0,75·Rm = 0,75·1560 N/mm² = 1170 N/mm²

und damit die Bedingung des Festigkeitsnachweises Vb 2 = 933 N/mm² < Vb zul = 1170 N/mm²

erfüllt. 5. Kleinster Abbiegeradius Die auftretende maximale Biegespannung ist also kleiner als die zulässige Spannung. Die Differenz beider (Reserve) wird für die Festlegung

4.2 Biegebeanspruchte Federn

129

des kleinsten Abbiegeradius rmin genutzt, denn es muss auch die Bedingung Vbk 2 = kb·Vb 2 dVb zul

erfüllt sein. Daraus ergibt sich kb d Vb zul /Vb 2 d 1170N/mm²/933N/mm² d1,254

und nach Abb. 4.15a ein Abbiegeverhältnis r/d = 1,5. Damit ergibt sich für den kleinsten Abbiegeradius rmin t1,5·d = 1.5·3,2 mm = 4,8 mm. 4. Beispiel: Tellerfedersäule

Gegeben: Geforderte Daten: FS1 = 2000 N; FSn = 4000 N; sSh = sS2 – sS1 t 5 mm; Belastung quasistatisch; Gesucht: Auswahl genormter Tellerfedern Lösung:

1. Federauswahl Nach DIN 2093 sind für die geforderte Maximalkraft der Säule FSn = 4000 N bei einfacher Schichtung folgende Federn einsetzbar: Tellerfeder DIN 2093-A35,5; Tellerfeder DIN 2093-B50; Tellerfeder DIN 2093-B56 . Die Parameter dieser Federn sind in nachfolgender Tabelle zusammengestellt: Tellerfeder De DIN 2093 in mm A 35,5 35,5 B 50 50 B 56 56 B 63 63

Di in mm 18,3 25,4 28,5 31

t in mm 2 2 2 2,5

l0 in mm 0,8 1,4 1,6 1,75

F in N s in mm bei h0/t = 0,75 5.190 0,6 4.760 1,05 4.440 1,2 7.180 1,31

Die Tellerfeder DIN 2093-B56 weist den größten Federweg auf und wird auch wegen der besseren Werkstoffauslastung gegenüber der Tellerfeder DIN 2093-B63 ausgewählt. (Mit der Tellerfeder DIN 2093-B63 würde sich auch eine längere Federsäule ergeben.) Die theoretische Blockkraft Fc der Tellerfedern ist für s = h0 nach Tabelle 4.13

130

4 Berechnungsgrundlagen für Einzelfedern

5

2

Fc=9,06·10 N/mm

t 3 h0 K 1 De2

9,06 ˜10 5 N/mm 2

2 3 mm 3 ˜1,6mm =5438N. 0,7 ˜ 56 2 mm 2

Somit ergeben sich für die Tellerfeder DIN 2093-B56 folgende Kraftverhältnisse: F1/Fc =2000N/5438N = 0,368 und F2/Fc =4000N/5438N = 0,736.

2. Federwege Nach Abb. 4.21 ergeben sich für h0/t = 0,75 und die unter a) ermittelten Kraftverhältnisse folgende Wegverhältnisse: s1 /h0 = 0,28 und s2 /h0 = 0,65 .

Daraus errechnen sich die einzelnen Federwege zu s1 = 0,28·1,6 mm = 0,45 mm s2 = 0,65·1,6 mm = 1,04 mm sh = s2 – s1 = 1,04 mm – 0,45 mm = 0,59 mm

3. Anzahl der Einzelfedern Die erforderliche Gesamtzahl i der Einzelfedern bei wechselseitiger Schichtung errechnet sich aus dem geforderten Hub sSh der Säule und dem Hub sh des Einzeltellers i t sSh /sh t 5 mm/0,59 mm t 8,47 .

Gewählt wird i = 10 . Damit ergibt sich ein Federweg sSh = 5,9 mm, mit dem die Forderungen der Aufgabenstellung erfüllt werden. 4. Federsäulenlänge Die Länge der unbelasteten Säule L0 ist L0 = i·h0 = 10·3,6mm = 36 mm

und die Vorspannlänge LS1 = L0 – i·s1 = L0 – sSh = 36 mm – 10·0,45 mm = 31,5 mm .

4.3 Torsionsbeanspruchte Federn

131

4.3 Torsionsbeanspruchte Federn Es werden vorwiegend Stäbe und Drähte mit kreisförmigem Querschnitt und in speziellen Anwendungen auch prismatische Stäbe und Drähte verwendet. Neben geraden Formen sind vor allem schraubenförmig aus Draht bzw. Stäben gewickelte Federn verbreitete Formen. Die Art der Krafteinleitung verursacht in den Werkstoffquerschnitten der Federn eine Torsionsbeanspruchung als Hauptbeanspruchung. Drehstabfedern finden als Kraftfahrzeugfedern, als Federn in Einrichtungen zum Messen von Kräften und Kraftmomenten und in Form von Torsionsbändern in der Elektrotechnik (Spannbänder in Messinstrumenten) Verwendung. Mit verschiedenen Abbiegungen versehene Stabfedern werden im Kraftfahrzeugbau als Stabilisatoren eingesetzt. Schraubendruck- und -zugfedern kommen in vielfältigen Formen im Maschinenbau, der Elektrotechnik, der Feinwerktechnik und in vielen anderen Technikbereichen zum Einsatz. 4.3.1 Drehstabfedern

Verwendung finden Drehstabfedern vor allem im Fahrzeugbau zur Fahrgestell- bzw. Achsabfederung. Ihr Einsatz erfolgt als Einzelfedern oder als Kombination mehrerer Stäbe in Parallel- oder Reihenschaltung. Besonders gestaltete Drehstabenden ermöglichen ein formschlüssiges Einspannen und Einleiten eines Drehmomentes (Abb. 4.26). Die Stabenden sind gegenüber dem Drehstabquerschnitt (Verformungsbereich) verdickt ausgeführt, zur Minderung der Kerbwirkung mit einem Übergangsradius versehen und angeflächt bzw. mit einer Kerbverzahnung, einem Vier- oder Sechskant ausgebildet. Formen und Empfehlungen für Abmessungen enthält DIN 2091. Bei Einleiten eines Drehmoments wird die Drehstabfeder auf Torsion beansprucht. Erfolgt die Krafteinleitung über einen Hebelarm von der Länge R ohne Querabstützung des Drehstabes, so entstehen zusätzlich noch eine Biege- und eine Schubbeanspruchung. Drehstäbe dienen auch als Messelementeträger oder zur direkten Messung von Drehmomenten. In gestreckter oder verdrillter Form werden Bänder zur Lagerung von Messwerken und Anzeigeeinrichtungen verwendet. Solche Torsionsbänder erfüllen dabei mehrere Funktionen (Rückstellmomenterzeugung, Lagerung, Stromzuführung) gleichzeitig und sind somit typische Beispiele für eine Funktionenintegration [10][16]. Sie sind meist vorgespannt, so dass der Torsionsbeanspruchung noch eine Zugbeanspruchung überlagert ist. Ihre Berechnung wird in [4.37] dargelegt.

132

4 Berechnungsgrundlagen für Einzelfedern lz

e) lH

df

d

a)

r

r

d

df

b)

c) lz lS

lK

df

d

da

l K lH

le lf

r

d)

r: Hohlkehlenradius; d: Stabdurchmesser; d a: Kopfaußendurchm.; d f : -fußdurchm. lS : Schaftlänge; lH: Hohlkehlenlänge; lz : Länge des zylindrischen Stabes; le : Ersatzlängenanteil; lf : federnde Stablänge; l K : Kopflänge

lz

Abb. 4.26. Formen von Drehstabfedern (s.a. DIN 2091)

Spezielle Formfedern aus Rundstäben mit kreisförmigen Voll- oder Hohlquerschnitten, die verschiedenartige Abbiegungen besitzen, sind Stabilisatoren. Sie werden in Kraftfahrzeugen zur Verbesserung des Fahrkomforts und der Fahrsicherheit eingesetzt. Eine der typischen Formen zeigt Abb. 4.27. Infolge der vorhandenen Abbiegungen treten Abschnitte mit Torsions- und Biegebeanspruchung auf. 2·lT

lS

r

a1

d

F ·

F

F

F s ges

Abb. 4.27. Stabilisatorform, Ausführungsbeispiel und Kräfteansatz

Die Berechnung einer Drehstabfeder mit Kreisquerschnitt und reiner Torsionsbeanspruchung wird nach der Verformungsbeziehung mit It = Sd4/32 (M° = 180°MS) M

M ˜l G ˜ It

32 ˜ M ˜ l S˜G ˜ d 4

und der Spannungsbeziehung

(4.23)

4.3 Torsionsbeanspruchte Federn

Wt

M Wt

16 ˜ M S˜d3

133

(4.24)

vorgenommen. Die Federrate ist dann RM = M/M = G·It/l =

S˜G ˜ d 4 , 32 ˜ l

(4.25)

und die Federarbeit mit M nach Gl. (4.23), Wt nach Gl. (4.24) sowie V = Sd 2 /4 ist nach Gl. (2.4b) (s. Seite 7) 2 W = M·M/2 = M ˜ l 2 ˜ G ˜ It

V ˜ W 2t . 4˜G

(4.26)

Damit ergibt sich unter vergleichbaren Bedingungen ein Artnutzwert KA = W/Wopt = 1/2

(Wopt = VVz2/(2E) , s. Seite 76).

(4.27)

Für Drehstabfedern mit kreisrundem Hohlquerschnitt (Drehrohrfedern mit Außendurchmesser da und Innendurchmesser di ) verbessert sich der Artnutzwert und nimmt theoretisch nach KA

d a2  d i2 2d a2

(4.28)

Werte zwischen KA = 1/2 (Vollquerschnitt) und KAĺ1 (Hohlquerschnitt mit kleiner Wanddicke, diĺda) an, wobei für den Hohlstab MH = Wt·Wt = SWt(da4 – di4)/(16·d) und V = S(da2 – di2 )l/4 eingesetzt wurde. Die Größe des zu berechnenden Verdrehwinkels (bzw. auch der Federrate) wird bei Drehstäben entscheidend von der in die entsprechenden Gleichungen einzusetzenden Länge l des Drehstabes beeinflusst. Setzt man l = lZ ein, so ergeben sich zu kleine Werte für den Verdrehwinkel, da die Übergänge (Hohlkehlenlänge lH) und auch ein geringer Anteil der Einspannkopflänge lK Verformungsanteile erbringen [4.14][4.22][4.88][4.101] [4.107]. Sie sind durch einen entsprechenden Anteil Qder Hohlkehlenlänge lH zu berücksichtigen, um den die Schaftlänge lS verkürzt bzw. die Länge lZ des zylindrischen Stabteils vergrößert wird. In die Gln. (4.23) und (4.25) ist dann die sogenannte „federnde“ Drehstablänge lf einzusetzen (l = lf), die sich aus lf = lS – 2(lH – le) = lS – 2(1 – Q)lH = lZ + 2QlH

(4.29)

134

4 Berechnungsgrundlagen für Einzelfedern

ergibt. Die Hohlkehlenlänge lH , die vom Durchmesserverhältnis G = df /d und vom Hohlkehlenradius r (s. Abb. 4.26) abhängig ist, ergibt sich zu (s.a. DIN 2091) lH = d f  d 2

4r 1 df  d

d 4U (G  1) 1 2 G 1

O˜d ,

(4.30)

wobei der Faktor Onach Tabelle 4.15 in Abhängigkeit von G = df /d; Q = le /lH und U = r/d zu ermitteln ist. Tabelle 4.15. Faktoren zur Ermittlung der federnden Länge lf von Drehstäben nach [5][4.22] und DIN 2091 G = df /d Q = le /lH O = lH /d für U= (U = r/d)

1,5 2 3 4 10

1,2 0,795 0,539 0,624 0,768 0,889 1,411

1,3 0,728 0,654 0,76 0,937 1,085 1,726

1,4 0,669 0,748 0,894 1,077 1,249 1,99

1,5 0,623 0,829 0,968 1,199 1,392 2,222

1,6 0,584 0,9 1,054 1,308 1,52 2,431

1,7 0,551 0,963 1,13 1,406 1,636 2,622

1,8 0,521 1,02 1,2 1,497 1,744 2,8

1,9 0,497 1,071 1,264 1,58 1,843 2,966

2 0,475 1,118 1,323 1,658 1,936 3,122

Eine optimale Werkstoffausnutzung erreicht man nur, wenn die Köpfe, Übergänge und Drehstabschäfte so dimensioniert werden, dass alle Bereiche des Drehstabes eine gleich hohe Lebensdauer aufweisen. Das ist dann zu erwarten, wenn x die Kopflänge im Bereich von 0,5·df < lK < 1,5·df , x der Kopfdurchmesser df t 1,3·d und x Hohlkehlenradius (Übergangsradius) r > 2·d

gewählt werden. Bei nicht rotationssymmetrischem Stabquerschnitt (z.B. über der Stablänge lS gleichbleibendem Rechteckquerschnitt A = b·h) führt infolge der ungleichmäßigen Spannungsverteilung über dem Stabquerschnitt die Berechnung des Flächenträgheitsmomentes It auf elliptische Integrale. Näherungsweise wird deshalb in solchen Fällen mit It = Ka·bh3 und Wt = Ka·bh2/Kb gerechnet (Faktoren Ka und Kb nach Tabelle 4.16) [4][16] [20][4.37]. Der Verdrehwinkel nach Gl. (4.23) ist dann

M

M ˜I K a Gbh3

und die Federrate

(4.31)

4.3 Torsionsbeanspruchte Federn

RM

K a Gbh3 . l

135

(4.32)

Die größte Spannung tritt in der Mitte der größeren Rechteckseite (also bei b/2) auf und ist nach Gl. (4.24)

Wt max = K b M2 . K a bh

(4.33)

Drehstabfedern mit Rechteckquerschnitt lassen sich recht gut geschichtet anordnen, benötigen dann einen geringeren Einbauraum, und die Reibung zwischen den einzelnen Schichten wirkt schwingungsdämpfend. Infolge der ungleichmäßig verteilten Reibungskräfte ist eine exakte Berechnung der Federdaten schwierig. Tabelle 4.16. Faktoren zur Berechnung von Drehstabfedern mit rechteckigem Stabquerschnitt b/h 1 1,2 1,5 2 2,5 3 4 6 8 10 f Ka 0,141 0,166 0,196 0,229 0,249 0,263 0,281 0,298 0,307 0,312 0,333 Kb 0,675 0,759 0,852 0,928 0,968 0,977 0,99 0,997 0,999 1 1 Ka /Kb 0,208 0,219 0,231 0,247 0,257 0,269 0,284 0,299 0,307 0,312 0,333

Zulässige Spannungen, die neben der Dimensionierung auch zum Führen des Festigkeitsnachweis benötigt werden, hängen besonders bei schwingender Beanspruchung der Drehstabfedern von der Güte der Oberfläche ab. Gute Oberflächenqualitäten erreicht man durch Schälen, Schleifen und Polieren. Die Oberflächen von Drehstabfedern sind dauerhaft gegen Verschleiß und Korrosion zu schützen. Bei stationärer Beanspruchung und Verwenden von Werkstoffen nach DIN EN10089, die eine Vergütungsfestigkeit von 1600 N/mm² < Rm < 1800 N/mm² aufweisen, wird bei nicht vorgesetzten Stäben mit Wt zul = 700 N/mm² und bei vorgesetzten Stäben mit

Wt zul = 1000 N/mm²

gerechnet. Bei dynamisch beanspruchten Drehstäben gelten die aus den Dauerfestigkeitsschaubildern nach DIN 2091 zu entnehmenden Dauerfestigkeitswerte. Für den Entwurf kann zunächst mit WH = 2·WA = 500 N/mm² (Wm § 600 N/mm²) gerechnet werden.

136

4 Berechnungsgrundlagen für Einzelfedern

Zur Verbesserung der Oberfläche und zur Tragfähigkeitssteigerung werden Drehstäbe vielfach kugelgestrahlt, wodurch sich die Beanspruchbarkeit um 20 bis 30 % steigern lässt. Eine Tragfähigkeitssteigerung ist auch durch Vorsetzen der Stäbe möglich. Dabei werden sie in Richtung der späteren Betriebsbeanspruchung über ihre Fließgrenze hinaus verformt. Nach der anschließenden Entlastung verbleiben Eigenspannungen im Stab zurück, die in den höchstbeanspruchten Randzonen den Betriebsspannungen entgegen gerichtet sind. Hierdurch wird eine günstigere Verteilung der Betriebsspannungen im Stabquerschnitt und eine Entlastung der Randzonen erreicht (s. dazu auch Abschnitte 2.2.4, 2.2.5 und 3.3.1). Da vorgesetzte Stäbe nur in ihrer Vorsetzrichtung beansprucht werden dürfen, muss die Vorsetzrichtung an den Stirnflächen der Köpfe kenntlich gemacht werden. Die Berechnung von Stabilisatoren ist abschnittsweise vorzunehmen, da durch die zahlreichen Abbiegungen in mehreren Ebenen mehrmals gekrümmte Stäbe vorliegen. Es empfiehlt sich deshalb, für den ersten Entwurf zunächst eine Überschlagsrechnung vorzunehmen. Eine solche Näherungsrechnung berücksichtigt beispielsweise die Torsionsverformung sT des geraden Stababschnittes mit der Länge 2lT nach

sT =

F (a1  r ) 2 lT GI t

(4.34a)

und die Biegeverformung der Schenkel mit der Länge 2lS (s. Abb. 4.27) nach

sB =

FlS3 , 3EI

(4.34b)

woraus sich die Gesamtverformung sges zu

sges = 2(sT + sB)

(4.34c)

ergibt. Die Überschlagsrechnung geht davon aus, dass ein Teil des Stabilisators nur auf Torsion, der andere nur auf Biegung beansprucht wird. Eine genauere Rechnung berücksichtigt die in jedem Querschnitt auftretenden Beanspruchungen, wobei wegen der meist vorliegenden Symmetrie nur eine Seite des Stabilisators berücksichtigt werden braucht [1][4.13][4.40] [4.78].

4.3 Torsionsbeanspruchte Federn

137

4.3.2 Schraubendruckfedern zylindrischer Form 4.3.2.1 Aufbau und Eigenschaften

Die zylindrische Grundform der Schraubendruckfedern, kurz Druckfedern genannt, entsteht durch schraubenförmiges Wickeln um einen zylindrischen Dorn (oder Winden, s. Abschn. 2.2.1), wobei die Windungssteigung SW konstant gehalten wird. In den meisten Fällen wird Runddraht (d = konst.) verwendet. Andere Drahtquerschnittsformen (Quadrat, Rechteck, Ellipse) bleiben speziellen Anwendungen vorbehalten. Durch Variation der Windungssteigung SW, des Windungsdurchmessers Dm sowie durch Verändern des Drahtdurchmessers d innerhalb des Wickelkörpers der Feder sind vielfältige Formen möglich. Diese von der Grundform abweichenden Formen führen zu Federn, die eine nichtlineare Federkennlinie aufweisen. Für zylindrisch mit konstanter Steigung gewickelte (gewundene) Druckfedern aus rundem Draht ergibt sich der auf den mittleren Wickelzylinder vom Durchmesser Dm bezogene Steigungswinkel DW aus tan DW = SW/SDm

(4.35)

und die Windungssteigung aus den Federdaten (s. Tabelle 4.18) bei Federn der Form A (Abb. 4.28) zu

SW = (L0 – d)/nf

(4.36a)

und bei unbearbeiteten Federenden zu

SW = (L0 – 2,5d)/nf .

(4.36b)

Der Windungsabstand aW ist nach Tabellenbild 4.18

aW = SW – d .

(4.37)

Die Federenden dienen der Krafteinleitung und sind dementsprechend auszubilden. Einige Ausführungsformen sind in Abb. 4.28 dargestellt. Ziel ihrer Gestaltung ist es, in jeder Federstellung ein möglichst axiales Einfedern zu bewirken. Man erreicht dies durch eine Verminderung der Windungssteigung zur auslaufenden Windung hin, Anlegen mindestens einer Windung (nE t 1), durch Abschleifen der letzten Windung bis 0,75d, durch Versetzen der Drahtenden um 180° oder durch Verwenden besonderer Aufnahmen bei nicht angelegten und angeschliffenen Enden. In den meisten Fällen (für Federn mit d > 1 mm) wird an jedem Ende eine Windung angelegt und plangeschliffen (Form A). Bei Druckfedern mit d < 1 mm

138

4 Berechnungsgrundlagen für Einzelfedern

werden die letzte Windung (Form B) oder mehrere Windungen (Form E) an jedem Ende nur angelegt. Die Form C, bei der die Endwindungen offen auslaufen, hat sich dort bewährt, wo spezielle Federaufnahmen unumgänglich sind (z.B. bei PKW-Federungen). Die Gestalt der Federenden und ihrer Befestigung mit den entsprechenden Bauteilen wirkt sich besonders auf das dynamische Verhalten der Federn aus. a)

FormA

Form C

FormB

b) aW a W Soll

1 2

n

qW

FormD

Form E

Abb. 4.28. a) Formen von Federenden zylindrischer Schraubendruckfedern Form A: Federenden angelegt und angeschliffen; Form B: eine Windung angelegt; Form C: Federenden offen auslaufend; Form D: Federenden offen auslaufend und angeschliffen; Form E: mehrere Windungen angelegt; b) Steigungsübergang an den Federenden; 1 Sinoide; 2 Näherung

4.3.2.2 Einflüsse der Federgeometrie auf die Berechnungen

Vernachlässigungen und Näherungen führen zu mehr oder weniger großen Abweichungen bei der Berechnung des Federungsverhaltens gegenüber experimentell ermittelten Werten. Einfluss auf die Berechnung des Federungsverhaltens hat vor allem die Tatsache, dass sich im Zuge der Belastung der Feder eine Reihe von Geometriegrößen ändern. Betroffen davon sind der Steigungswinkel und der Windungsdurchmesser (Wickeldurchmesser). Die Berechnung des Federweges erfolgt unter Vernachlässigung des Steigungswinkels. Genauere Rechnungen zum Federungsverhalten berücksichtigen den Einfluss des Steigungswinkels DW durch einen Korrekturfaktor KD nach [20], wonach der Federweg sD = K Į

8 FDm3 nf Gd 4

KĮ ˜ s

und der Korrekturfaktor KD (Werte in Tabelle 4.17)

(4.38)

4.3 Torsionsbeanspruchte Federn

KD

1

3  1,27 ˜ tan 2 D W 16w2

139

(4.39)

ist. Die Vernachlässigung des Steigungswinkels führt bei Federn mit großen Wickelverhältnissen w = Dm/d und Steigungswinkeln DW > 10° schon zu recht erheblichen Abweichungen, wie Tabelle 4.17 zeigt. Zu berücksichtigen ist aber, dass der Steigungswinkel mit zunehmendem Federweg kleiner wird. Damit verringert sich wiederum die Größe der Abweichung. Tabelle 4.17. Werte für die Korrekturfaktoren KD und Kn a) Korrekturfaktor KD in Abhängigkeit vom Wickelverhältnis zur Berücksichtigung des Steigungswinkels DW bei der Berechnung des Federwegs von Druckfedern (nach [20]) Steigungswinkel DW in ° Korrekturw=4 w = 10 faktor KD für: w = 16

5 0,998 1,008 1,009

10 1,028 1,038 1,039

15 1,079 1,089 1,09

20 1,157 1,167 1,168

25 1,264 1,274 1,275

b) Korrekturfaktor Kn zur Berechnung der reduzierten Anzahl federnder Windungen Anzahl federnder Windungen nf Korrekturfaktor Kn qW = 0,3 für s = sn und qW = qW = 0,4 qW = 0,5 qW = 0,6 Korrekturfaktor Kn qW = 0,3 für s = 0,5·sn und qW = qW = 0,4 qW = 0,5 qW = 0,6

1,5 0,6 0,47 0,33 0,2 0,8 0,74 0,67 0,6

2,5 0,76 0,68 0,6 0,52 0,88 0,84 0,8 0,76

3,5 0,83 0,77 0,71 0,66 0,92 0,84 0,86 0,83

5,5 0,89 0,85 0,82 0,78 0,95 0,93 0,91 0,89

7,5 0,92 0,89 0,87 0,84 0,96 0,95 0,94 0,92

8,5 0,93 0,91 0,88 0,86 0,97 0,95 0,94 0,93

12,5 0,95 0,94 0,92 0,9 0,98 0,97 0,96 0,95

18,5 0,97 0,96 0,95 0,94 0,98 0,98 0,97 0,97

Auf das Federungsverhalten von Schraubendruckfedern mit angelegten Endwindungen haben ferner die Windungsanteile Einfluss, in denen der Steigungsübergang von den angelegten Windungen zu denen mit Sollsteigung erfolgt. Ihr federnder Anteil verringert sich lastabhängig. Geht man näherungsweise von der Annahme aus, dass innerhalb des Anteils qW einer Windung ein lineares Anwachsen des Windungsabstandes aW von Null auf den Sollwert erfolgt (praktisch nach einer Sinoide, s. Abb. 4.28b), so lässt sich die Verringerung der Anzahl federnder Windungen von nf auf nf red verformungsabhängig mit K = s/L0 nach § L s · = K ·n (4.40) ¸ n f nf red nf  'nf nf  2qW K 0 nf ¨¨1  2qW nf ˜ sn ¸¹ sn ©

140

4 Berechnungsgrundlagen für Einzelfedern

berechnen, wobei für qW herstellungsabhängige Werte im Bereich 0,3 d qW d 0,6 einzusetzen sind. Bei einer kleinen Zahl federnder Windungen ist der Einfluss, wie Tabelle 4.17b zeigt, erheblich. Auswirkungen sind besonders bei der Berechnung von Eigenfrequenzen, aber auch in Bezug auf Abweichungen von der Linearität der Federkennlinie, zu beachten. Nicht knicksichere Federn müssen auf einem Dorn oder in einer Hülse geführt werden. Beispiele zeigt Abb. 4.29. Bei geführten Federn (Abb. 4.29) ist neben dem Reibverschleiß auch die Änderung des Windungsdurchmessers Dm in Abhängigkeit von der Belastung zu beachten. Die zusätzlich zur Torsionsbeanspruchung wirkende Biegebeanspruchung führt zu einer Aufweitung des Windungsdurchmessers, deren Größe von der Art der Aufnahme (Lagerung) der Federenden abhängig ist. Für eine Druckfeder mit frei (drehbar) gelagerten Federenden ist nach [20] die Durchmesseraufweitung 'Dm bei Erreichen der Blocklänge Lc 'Dm

0,1

S W2  0,8 ˜ S W d  0,2d 2 Dm

(4.41a)

und für eine Feder, deren Federenden gegen Drehung gesichert sind 'Dm

1 S2  d2 , S 2 Dm2  S W2  d 2  Dm |0,051 W S Dm

(4.41b)

mit SW nach Gl. (4.36).

Abb. 4.29. Beispiele für das Führen von Druckfedern

Beim Wickeln der Feder auf einem Wickeldorn mit dem Durchmesser DD erfolgt nach dem Wickeln infolge der elastischen Rückfederung ein Aufweiten des Wickeldurchmessers. Der Zusammenhang zwischen Dorndurchmesser und Wickeldurchmesser ergibt sich nach [20] aus

4.3 Torsionsbeanspruchte Federn

DD

1,02 ˜ d ( Da  d ) V d  1.85( Da  d ) E

d

141

(4.42)

mit der Biegespannung V und dem Elastizitätsmodul E. 4.3.2.3 Berechnung stationär belasteter Druckfedern

Kräfte an einer Druckfeder. Die in Federachsrichtung angreifende Kraft F verformt die Feder (s. Tabelle 4.18). Das Federmaterial wird dabei vorwiegend auf Torsion beansprucht. Wie Abb. 4.30 zeigt, entstehen bei exakter Betrachtung infolge des vorhandenen Steigungswinkels DW (s. Gl. (4.35)) die Kraftkomponenten F1 und F2 , die bei Transformation in den Mittelpunkt des Stabquerschnitts in diesem zu einer Druckbeanspruchung durch die Normalkraft (Längskraft) F2 = F·sin DW , zu einer Schubbeanspruchung durch die Querkraft F1 = F·cos DW und infolge der Momente

M2 = 0,5·Dm·F·sin DW zu einer Biegebeanspruchung sowie M1 = 0,5·Dm·F·cos DW zu einer Torsionsbeanspruchung führen. Vernachlässigt man die Druck-, Schub- und Biegebeanspruchung bei der Berechnung des Federweges, so ergeben sich Abweichungen, deren Größe durch die Werte in Tabelle 4.17a zum Ausdruck kommt. Der Federhersteller kompensiert diese Abweichungen durch einen Fertigungsausgleich (s. Abschn. 2.3). Beanspruchungen, Spannungsverteilung. In Tabelle 4.18 sind die Berechnungsbeziehungen für Druckfedern aus kreisrunden und profilierten Drähten zusammengestellt. Sie gelten für stationäre und quasistationäre Beanspruchungen und bilden auch die Grundlage für die Berechnung der Nennspannungen bei dynamisch beanspruchten Federn. Der Faktor k berücksichtigt die Spannungserhöhung an der Windungsinnenseite des Drahtquerschnitts infolge der Krümmung (Abb. 4.31). Von Göhner [4.19] wurde für diesen Faktor eine Beziehung entwickelt (s. Tabelle 4.18), die inzwischen durch zahlreiche Näherungen ergänzt wurde. Dem GöhnerFaktor am nächsten kommt eine Beziehung nach Bergsträsser (vgl. Tabelle 4.19), die auch in DIN EN 13906-1 angegeben wird, während die von Wahl vorgeschlagene Korrekturbeziehung im Vergleich zum GöhnerFaktor höhere Werte ergibt.

142

4 Berechnungsgrundlagen für Einzelfedern

Dm

a)

/2

d

Wt b)

M2

F2

Wt max

d

DW

F2

F DW F

F1

c)

1

M1 F1

Abb. 4.30. Kräfte und Momente an einer Schraubenfederwindung

Dm

Abb. 4.31. Schubspannungsverteilung im Stabquerschnitt bei Torsionsbeanspruchung a) Gerader Stab (w of); b) gekrümmter Stab; c) Randspannungsverteilung am gekrümmten Stab (Schraubenfeder; 1: Federachse)

Zur Anwendung des k-Faktors gibt es eine Reihe von Ausführungen [4.43][4.50][4.124][4.130], die zeigen, dass es dazu recht unterschiedliche Auffassungen gibt. Erwiesen ist durch eine Reihe von Untersuchungen [4.68][4.69][4.51], dass sich nicht beseitigte Wickeleigenspannungen (Biegeeigenspannungen) bei dynamischen Beanspruchungen dauerfestigkeitsmindernd auswirken. Deshalb ist bei dynamischen Beanspruchungen immer mit dem Faktor k und höheren Werten zu rechnen [4.70]. Zulässige Spannungen. Für den Entwurf und das Führen des Festigkeitsnachweises werden zulässige Spannungen durch Multiplikation der in einschlägigen Normen enthaltenen Mindestzugfestigkeiten (s. Kap. 3) mit einem Faktor (s. Abschn. 2.1.2.3) berechnet. Die für den Entwurf von Druckfedern zutreffende Beziehung ist in Tabelle 4.18 angegeben. Die so ermittelten Werte gelten bei Raumtemperatur. Tiefer oder höher liegende Arbeitstemperaturen erfordern andere Werte, auf die in Abschn. 3.3 eingegangen wurde. Ebenso sind Relaxationseinflüsse bei der Wahl der zulässigen Spannungen bereits zu berücksichtigen. Druckfedern mit rechteckigem Drahtprofil. Die Berechnungsbeziehungen sind mit den dazu erforderlichen Beiwerten ebenfalls in Tabelle 4.18 aufgeführt. Die Spannung ist über den Querschnitt ungleichmäßig verteilt. Eckbereiche sind gering und die Ecken selbst nicht beansprucht. Die größte Beanspruchung tritt in der Mitte der großen Rechteckseite auf. Der Beiwert \ berücksichtigt Profil- und Krümmungseinfluss.

4.3 Torsionsbeanspruchte Federn

143

Tabelle 4.18. Berechnung von Druckfedern zylindrischer Form a) Druckfedern aus Draht mit Kreisquerschnitt (s.a. DIN EN 13906-1; [4.127] bis [4.129]) ________________________________________________________________________________________

Funktionsnachweis Federweg: s

3 8 FDm

Gd 4

nf

Federrate: Gd 4

F s

R

3n 8Dm f

Festigkeitsnachweis Schubspannung: W

8FDm Sd 3

Wmax = k·WdWzul Zulässige Spannung: Wzul = 0,5·Rm min ; Wc zul = 0,56·Rm min Spannungsbeiwert: (Werte s. Tabelle 4.19)

nach Göhner:

k = kG = 1 + 5/(4w) + 7/(8w2 )+ 1/w3

nach Wahl:

k = kW = (4w – 1)/(4w – 4) + 0,615w

nach Bergsträsser:

k = kB = (w + 0,5)/(w – 0,75)

Geometriebeziehungen Wickelverhältnis:

w = Dm /d ;

Bereichsgrenzen:

(3) 4 dwd 16 (18); Bevorzugter Bereich: 7 dwd10

Gesamtzahl der Windungen: kaltgeformte Federn: warmgeformte Federn: Blocklänge:

nt = nf + 2 nt = nf + 1,5

kaltgeformte Federn, Form A (Abb. 4.28): Form B: warmgeformte Federn, Form A:

Lc d nt·dmax

Lc d (nt +1,5)dmax Lc d(nt – 0,3)dmax

Enden unbearbeitet: Lc d (nt + 1,1)dmax Länge der Feder: gespannt: Ln tLc + Sa ; ungespannt:

L 0 t Ln + sn

Summe der Windungs-Mindestabstände: Federn kaltgeformt: Sa t (0,0015w2 + 0,1)d·nf ; warmgeformt: Sa t 0,02(w + 1)d·nf _____________________________________________________________________________________

144

4 Berechnungsgrundlagen für Einzelfedern

Tabelle 4.18. (Fortsetzung) b) Druckfedern aus Draht mit Rechteckquerschnitt [5][20][4.58][4.84][4.131] [4.132] ___________________________________________________________________________________

Funktionsnachweis Federweg:

H

s

FDm3 nf ; Gb 2 a 2

Federrate:

Gb 2 a 2 HDm3 nf

R

Festigkeitsnachweis W

Spannung:

\

FDm d W zul ba ba

Beiwerte 1,4 5,88 3,2 9,39

Spannungsbeiwert \ = f(w; b/a bzw. a/b) a=h 10

8

6

5

4

12 20

1,6 6,17 3,4 9,83

wf

2 6,87 3,8 10,73

2,2 7,26 4 11,19

2,4 2,6 7,67 8,09 4,5 5 13,33 13,48

4,6

4 5 6

4,4 4,2

f

3,6 4,5

5,0 4,5

3,4 4,0

b

3,2

3,6 3,8 3,2 3,4 2,8 3,0 2,4 2,6 2,2

3,0 2,9

2,8

2,8 2,0 1,6

h/ b

2,2

2,7 2,6

1,8

1,8

2,4 1,2

2,0

1,6

2,5

1,4

w

8 10 12 20

4,0 3,8

5,0

a=h

1,8 6,5 3,6 10,28

1,4

a

b/

h

2,4 2,6

4,0 3,6 3,2 3,8 3,4

b

3,0

a=h

1,2 5,67 3 8,95

\

1 5,59 2,8 8,51

Beiwert

b/a bzw. a/b H b/a bzw. a/b H

1,2

a=h

_____________________________________________________________________

Für Federn mit quadratischem Profil (a = b) gilt ohne Berücksichtigung der Drahtkrümmung

W 2,4·

FDm . b3

(4.43)

Vergleicht man die Druckfeder aus quadratischem Stabmaterial mit einer aus Runddraht und setzt d = a, dann hat die Profildrahtfeder eine um 43 % höhere Federrate, aber auch eine um 35 % höhere Schubspannung [4.120], so dass der Vorteil aus dieser Sicht gering ist. Auch der Vorteil aus der günstigeren Raumausnutzung ist gering [4.35].

4.3 Torsionsbeanspruchte Federn

145

Tabelle 4.19. k-Faktoren für die Spannungskorrektur zur Berücksichtigung der Drahtkrümmung in Abhängigkeit vom Wickelverhältnis w von Schraubenfedern nach Göhner: k = kG = 1 + 5/(4w) + 7/(8w2 )+ 1/w3; nach Wahl: k = kW = (4w – 1)/(4w – 4) + 0,615/w; nach Bergsträsser (s.a. DIN EN 13906-1): k = kB = (w + 0,5)/(w – 0,75) w = Dm /d kG (Göhner) kW (Wahl) kB (Bergsträsser)

2,5 1,704 1,746 1,714

3 1,551 1,58 1,555

3,2 1,506 1,533 1,51

3,5 1,452 1,476 1,455

4 1,383 1,404 1,385

5 1,293 1,311 1,294

w = Dm /d kG (Göhner) kW (Wahl) kB (Bergsträsser)

7 1,199 1,213 1,2

8 1,172 1,184 1,172

10 1,135 1,145 1,135

12 1,111 1,119 1,111

14 1,094 1,102 1,094

16 1,082 1,088 1,082

6 1,237 1,253 1,238

Bei der Herstellung (Wickeln von Profildraht) findet eine Stauchung des Profils statt. Die Profildicke verändert sich zu a1 a

1  (0,3...0,4)

Da  Di Da  Di

(4.44)

(0,3 bei kalt- und 0,4 bei warmgeformten Federn).

Dieser Profilverzerrung muss durch eine entsprechende, entgegengesetzte Profilierung des Drahtes begegnet werden. Meist wird sie durch Verwenden trapezförmig profilierten Drahtes ausgeglichen. Angewendet werden Druckfedern aus Draht mit Quadrat- oder Rechteckquerschnitt vorwiegend in Umformwerkzeugen. Federn, bei denen die lange Rechteckseite parallel zur Federachse steht, werden auch für Messzwecke eingesetzt, da ihre Federkennlinie gegenüber solchen aus Runddraht eine bessere Linearität aufweist. Empfohlen wird für diese Federn a/b = 2 bis 3 und w = Dm /b | 20 [20]. 4.3.2.4 Berechnung schwingend belasteter Druckfedern

Grundlage der Berechnung von Druckfedern bei schwingender Beanspruchung sind die in Dauerfestigkeitsschaubildern zusammengefassten Ergebnisse von Lebensdaueruntersuchungen. Die Lebensdauer von Druckfedern wird bei gleichen Belastungsbedingungen entscheidend vom Werkstoffeinsatz und vom Oberflächenzustand beeinflusst. So weisen beispielsweise Druckfedern aus vergütetem Ventilfederdraht (DIN EN 10270-2) eine höhere Dauerhubfestigkeit als solche aus patentiertem Federstahldraht Sorte DM (DIN EN 10270-1) auf. Eine beträchtli-

146

4 Berechnungsgrundlagen für Einzelfedern

che Steigerung der Dauerschwingfestigkeit ist, wie Abb. 4.32 zeigt, durch Oberflächenverfestigungsverfahren zu erreichen. Die in DIN EN 13906-1 dargestellten Dauerfestigkeitsschaubilder gelten für eine Grenzlastspielzahl NG = 107 und eine bestimmte Überlebenswahrscheinlichkeit Pü. Oft wird jedoch von den Federn eine größere Lebensdauer gefordert. Huhnen [4.43] ermittelte, dass zwischen 107 und 108 Lastspielen ein Verlust der Dauerhubfestigkeit auftritt, der sich zwischen 3 % bei Druckfedern aus X12CrNi17.7, bei solchen aus vergütetem Ventilfederdraht 10,9 % und 17 % bei solchen aus patentiertem Federstahldraht bewegt. Es ist deshalb notwendig, mit entsprechenden Sicherheiten zu rechnen.

Abb. 4.32. Dauerfestigkeitsschaubilder (NG = 107) in der Darstellung nach Goodman für kaltgeformte Schraubendruckfedern aus patentiert gezogenem Federstahldraht der Sorten DM und DH nach DIN EN 10270-1; a) nicht kugelgestrahlt; b) kugelgestrahlt (s. DIN EN 13906-1)

Die Lebensdauer schwingend belasteter Druckfedern ist um so größer, je kleiner die Hubspannung Wkh ist. Auf jeden Fall ist die Einhaltung der Bedingung Wkh < WkH zu überprüfen (s. Berechnungsbeispiel). Den Dauerfestigkeitswerten liegt ein sinusförmiges Belastungsregime (s. Abb. 2.7) zugrunde. Durch Kurven- und Kurbelgetriebe beispielsweise bedingt, sind auch andere Belastungs-Zeit-Verläufe möglich (s.a. Kapitel 5). Resonanz zwischen der Frequenz der periodischen Bewegung und der Eigenschwingung (bzw. deren Oberschwingungen) der Feder kann zu Spannungen führen, die ein mehrfaches der statischen betragen können. Damit sind vorzeitige Federbrüche verbunden. Die geforderte Lebensdauer wird nicht erreicht. Um Resonanz zu vermeiden, soll die Eigenkreisfrequenz Z0 beispielsweise einer Stahldrahtfeder (s.a. [4.56][4.59][4.60] [4.62][4.72])

4.3 Torsionsbeanspruchte Federn

Z0

R m

Gd 4 8mDm3 nf

147

(4.45)

so groß wie möglich bzw. weit genug entfernt von der Betriebskreisfrequenz Zb = Ze sein. Kurasz [4.56] schlägt vor, dass sie wenigstens das 13fache der Erregerkreisfrequenz Ze betragen soll. Resonanz wird auch dadurch unterdrückt, indem man durch Verändern der Nockenkurve Harmonische hoher Ordnung vermeidet [1][5][6]. Um Resonanzerscheinungen zu unterdrücken, hat sich auch die Verwendung von Schraubendruckfedern mit ungleichförmiger Steigung bewährt. Oft reicht schon eine ungleichförmige Steigung in der ersten federnden Windung aus, um Brüche infolge Resonanz zu vermeiden. Eine Reihe von Druckfedern mit spezieller Windungssteigung sind patentiert (DP 531 707; BRD-AS 2 000 472; BRD-OS 2 521 646). Die Amplitudenüberhöhung durch Resonanz kann man durch Erhöhen der Eigendämpfung, beispielsweise durch Verwenden von Mehrdrahtfedern [4.8][4.119][4.120] oder durch Fremddämpfung vermeiden (Patente BRD-P 1 233 214; BRD-OS 2 310 656). Bei vielen schwingend belasteten Druckfedern geht der Bruch von Scheuerstellen aus [4.43], die sich zwischen der angelegten und dem Anfang der ersten federnden Windung befinden. Abhilfe ist durch Verkleinern des Windungsdurchmessers der Endwindungen möglich (Patente BRD-OS 1 934 984; BRD-P 1 169 209; BRD-OS 2 258 572), so dass sie sich ineinander bewegen können. Die Ergebnisse der Entwurfsberechnungen schwingend beanspruchter Druckfedern sind vor einer Serienfertigung durch Schwingungsuntersuchungen zu testen. 4.3.2.5 Knickung und Querfederung

Die Berechnung der Knicksicherheit erfolgt durch Ermitteln des Federweges sK , bis zu dem die Feder knicksicher ist. Nach [4.3] ergibt sich mit dem Lagerungsbeiwert KL (Abb. 4.33) dieser Federweg für patentiert gezogenen Draht (E = 206 000 N/mm² und G = 81 500 N/mm²) mit G/E = 0,396, O = L0 / Dm sowie K = s/L0 zu

sK

2 ª § Dm · º» « ¸¸ . 0,827 ˜ L0 1  1  6,65¨¨ « K L ˜ © l 0 ¹ »¼ ¬

(4.46)

148

4 Berechnungsgrundlagen für Einzelfedern

Abb. 4.33. Lagerungsarten und Lagerungsbeiwerte KL für axial belastete Druckfedern (LK = L0 – sK)

Die Bewertung der Knicksicherheit lässt sich auch an Hand von Abb. 4.34 vornehmen. b)

a) 1,0

0,9

0,9

0,8

0,8 0,7 K

1,0

s K /L 0 = 0,808

K = s/L 0 O = L 0 /D m

0,7

K

0,6

0,6

0,5

0,5

0,4

0,4

1 2

Grenzkurve 0,3 0,2

Bereich der Knicksicherheit

0,2

K L ·L 0 /D m = 2,633

0,1 0

0,3

Bereich der Knicksicherheit

0,1

0 0

1

2

3

4

5

6 K L· O

7

8

9

0

1

2

3

4

5

6

7

O

Abb. 4.34. Grenzkurven der Knicksicherheit a) nach DIN EN 13906-1; b) Grenzkurven für Druckfedern der Form A nach Abb. 4.28 mit geführten Einspannungen (Kurve 1) und mit veränderlichen Aufnahmebedingungen (Kurve 2)

Eine Querfederung tritt bei Druckfedern mit parallel geführten Enden dann auf, wenn neben der axialen Belastung eine Querkraft FQ einwirkt und zu einer Querverschiebung sQ führt (Abb. 4.35). Dabei liegen die Federenden so lange auf, solange die Bedingung

FQL/2 dF(Dm – sQ)/2

(4.47)

4.3 Torsionsbeanspruchte Federn

149

eingehalten wird. Der Querfederweg sQ ergibt sich aus der Querfederrate RQ für runden Federstahldraht mit den oben angeführten Daten und der Abkürzung q = 1 2,53L / s , wobei L = L0 – s ist, zu sQ

FQ Dm ª L· § s˜q· L º . § ¸ q» «0,665¨1  2,53 ¸ tan¨¨ 0,595 qF ¬ s¹ © Dm ¸¹ Dm ¼ ©

(4.48)

Für die Torsionsspannung erhält man dann 8 F ( Dm  sQ )  FQ ( L  d ) , Sd 3

>

W max

@

(4.49)

wobei zu beachten ist, dass die angegebenen Gleichungen nur für kleine Querfederwege gelten. Weitere Berechnungsbeziehungen sind in [5][20] und [4.3] enthalten. F

1,8 O = L 0 /D m = 0 1,6

1

1,4

Z0Q Z 0L

L (gespannte Länge)

sQ FQ

FQ F

2

1,2 3 1,0 4

0,8 0,6

5

0,4

5,5

0,2

Abb. 4.35. Druckfeder mit gleichzeitiger Axial- (F) und Querbelastung (FQ )

0

10 0

0,1

8 7 0,2

0,3

6 0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

1,0

K= s/L 0

Abb. 4.36. Verhältnisse der Eigenkreisfrequenzen in Quer- (Z0Q ) und in Längsrichtung (Z0L) von Druckfedern in Abhängigkeit vom Schlankheitsgrad O= L0 /Dm und dem bezogenen Federweg K = s/L0 nach Haringx [4.157] (s.a. [4.4])

Die Querverschiebbarkeit ist auch bei allen federnden Windungen einer Schraubenfeder trotz fester Einspannung gegeben. Dadurch können die einzelnen Windungen neben Längsschwingungen auch Querschwingungen ausführen, die sich bei begrenztem Einbauraum bzw. Führung auf einem Dorn oder in einer Hülse durch erhebliche Geräusche bemerkbar machen. Es kommt zu Scheuerstellen und vorzeitigen Brüchen. Theoretische Untersuchungen zum Querschwingungsverhalten von Schraubendruckfedern wurden von Haringx [4.30] durchgeführt. Die Er-

150

4 Berechnungsgrundlagen für Einzelfedern

gebnisse sind als Verhältnisse der Eigenschwingungszahlen Z0Q /Z0L in Abhängigkeit vom Schlankheitsgrad O = L0 /Dm und dem bezogenen Federweg K = s/L0 in Abb. 4.36 dargestellt. 4.3.3 Schraubenzugfedern zylindrischer Form 4.3.3.1 Aufbau und Eigenschaften

Schraubenzugfedern, auch kurz Zugfedern genannt, sind um einen Dorn ohne Windungsabstand gewickelte Drehstabfedern. Sie werden ausschließlich aus Runddraht kalt bzw. bei größeren Drahtdurchmessern auch warm gefertigt, wobei die zylindrische Form (Dm = konst.) dominiert (s. Tabelle 4.21). Die Windungssteigung entspricht dem Drahtdurchmesser (SW = d). Bis auf Ausnahmen werden die Windungen mit einer bestimmten Pressung aneinander gewickelt, so dass eine innere Vorspannung entsteht, deren erreichbare Größe vom Herstellungsverfahren und vom Wickelverhältnis w = Dm /d abhängt. Tabelle 4.20 enthält hierzu Empfehlungen nach DIN EN 13906-2. Die Ausnahme, eine Zugfeder ohne innere Vorspannkraft F0 , ist nur realisierbar, wenn der Wickelkörper mit einer Windungssteigung SW > d hergestellt oder die Zugfeder nach dem Wickeln (Kaltumformen) vergütet wird. Schlussvergütete Zugfedern besitzen folglich keine innere Vorspannung. Zugfedern werden deshalb meist aus patentiert gezogenem bzw. vergütetem Federdraht hergestellt. Tabelle 4.20. Richtwerte für die erreichbare (zulässige) innere Schubspannung von Zugfedern

Wickelverhältnis w =Dm /d 4 von 4 bis 6 >6 bis 10 >10 12

Zulässige innere Vorspannung Wi0 zul bei Automatenfertigung Wickelbankfertigung 0,24 Wzul 0~,14 Wzul (Federwindeautomat) ~ d0,15Wzul d0,1Wzul d0,06Wzul 0,12 Wzul 0~,06 Wzul (Federwindeautomat) ~

Bei der experimentellen Ermittlung der Vorspannkraft ist zu beachten, dass die Vorspannung von Windung zu Windung schwanken kann und sich deshalb mit steigender Belastung die Windungen nicht gleichzeitig voneinander abheben. Dieser Umstand hat auch Auswirkungen auf die Federkennlinie. Als Vorspannkraft gilt deshalb der rechnerisch ermittelte Schnittpunkt der Geraden F1 F2 mit der Ordinate des Federkraft-Federweg-Diagramms.

4.3 Torsionsbeanspruchte Federn

151

Als Vorteile gegenüber Druckfedern sind die Knickfreiheit, die Möglichkeit der zentrischen Kraftübertragung, die Einsparung von Federtellern zur Federaufnahme und der Wegfall von Führungselementen (Dorn oder Hülse) zu nennen. Ihre Anwendung wird jedoch vom vorhandenen Einbauraum eingeschränkt. Je geringer die realisierbare Vorspannkraft der Zugfeder ist, um so größer wird die erforderliche Betriebslänge L1 , bei der die Kraft F1 erreicht wird (s. Abb. 4.37a). Aus diesem Grunde versucht man seit einiger Zeit verfahrenstechnisch (u.a. mit dem Drillwickelverfahren [4.44][4.45][4.135][4.137]) die Vorspannung um Größenordnungen zu steigern. Eine technische Lösung sind die sogenannten hifo®-Zugfedern¹ [4.45], die etwa das Dreifache der mit der Wickelbankmethode erzielbaren inneren Vorspannung besitzen (z.B. bei Federn aus Federstahldraht der Sorte SH nach DIN EN 10270-1 mit d = 3 mm und einem Wickelverhältnis w = 4 bis 10 eine Vorspannung W0 = 650 N/mm² ). Die mögliche Reduzierung des Einbauraums verdeutlicht Abb. 4.37a. a)

b) F1

c)

F r2

r1

d

F0 = F 1 Dm

Abb. 4.37. Besondere Formen von Zugfedern und Zugfederenden a) Vergleich von normalen und hifo®-Zugfedern¹ der Maschinenelemente Huhnen GmbH [4.44][4.45] und [4.135]; b) Eingewickelte (reduzierte) Öse; c) Biegeradien an Zugfederösen

Zur Übertragung der Federkraft (Kraftein- und -ableitungsstellen der Feder) sind verschiedene Federenden üblich. Abb. 4.38 enthält eine Auswahl möglicher Formen, die am häufigsten verwendet werden (s.a. DIN 2097 und [4.17]). Die angebogenen Ösen, insbesondere die Deutsche Öse (Form A), sind leicht herstellbar. Ihr Nachteil sind die ungünstigen Beanspruchungsverhältnisse, die besonders bei schwingender Belastung zum frühzeitigen Bruch führen. Für manche Anwendungen sind deshalb Zugfedern mit eingerolltem Gewindebolzen oder eingeschraubtem Gewindestück (Form H) geeigneter. Mit diesen Formen lässt sich auch die Einbaulänge einstellen. Müssen Einbauräume überbrückt werden, dann werden dazu Hakenösen verschiedener Formen (z.B. Formen F und G) benutzt. ________________________________ 1

hifo®-Zugfeder ist ein Warenzeichen der Maschinenelemente Huhnen GmbH Steinheim (s. [4.135])

152

4 Berechnungsgrundlagen für Einzelfedern

a)

d)

b)

c)

e)

k)

Dm

F

d

g)

r

D m1

f)

h)

i)

Abb. 4.38. Typische Ösenformen von Zugfedern a) Abgeschnittener Wickelkörper ohne Ösen; b) Ganze deutsche Öse (Form A); c) Halbe deutsche Öse (Form B); d) Doppelte deutsche Öse (Form C); e) Dreiviertel deutsche Öse (Form D); f) Ganze deutsche Öse seitlich hochgestellt (Form E); g) Hakenöse (Form F); h) Y -Hakenöse (Form G); i) Gewindestück in Wickelkörper eingeschraubt (Form H); k) Zugfeder mit reduzierter Öse 4.3.3.2 Berechnung stationär belasteter Zugfedern

In Tabelle 4.21 sind die Berechnungsbeziehungen für Zugfedern zusammengestellt. Es gelten sinngemäß die für Druckfedern (Tabelle 4.18) angegebenen Beziehungen. Als zulässige Spannung wird für den Entwurf von Zugfedern mit angebogenen Ösen ein Wert Wzul = 0,45·Rm min verwendet. Werden die Zugfederenden mit Gewindeteilen versehen, dann sind auch höhere Werte Wzul = (0,5 bis 0,56)Rm min möglich, wobei der Einsatz des oberen Wertes eine Vorsetzbehandlung (Recken) oder die Anwendung des Drillwickelns erfordert. In den Festigkeitsnachweis sind Ösenform und Abbiegungen einzubeziehen. An diesen Stellen (s. Abb. 4.37c) können kritische Spannungswerte vorhanden sein. 4.3.3.3 Berechnung schwingend belasteter Zugfedern

Bei Zugfedern mit angebogenen Ösen tritt die Mehrheit aller Brüche unter schwingender Belastung in den Ösen auf, weil die Ösen gegenüber dem Wickelkörper zusätzlich verformt wurden (Verdreh- und Biegeeigenspannungen), oft gegenüber dem Wickelkörper kleinere Biegeradien aufweisen (s. Abb. 4.37c), bei der Belastung mit verformt und dabei höher bean-

4.3 Torsionsbeanspruchte Federn

153

sprucht werden als der Wickelkörper. Die Verformung einer ganzen deutschen Öse entspricht beispielsweise der einer halben federnden Windung. Tabelle 4.21. Grundform, Kennlinie und Berechnung zylindrischer Schraubenzugfedern (s.a. DIN EN 13906-2) ___________________________________________________________________________________ Funktionsnachweis Federweg: sz

8 Dm3 nf Fz  F0 Gd 4

Federrate: R

Fz  F0

Gd 4 8Dm3 nf

sz

(z = 1, 2, 3...n; Zählgröße)

Festigkeitsnachweis Schubspannung: 8 Fn Dm W ; Sd 3 Wmax = Wk = k·W dWzul (auch Ösenabbiegungen beachten! w = 2r/d)

Innere Schubspannung: Wi0

8F0 Dm Sd 3

(s. Tabelle 4.20)

Zulässige Spannung: kaltgeformte Federn: (für Fmax dFn ) warmgeformte Federn:

Wzul = 0,45·Rm min Wzul = 600 N/mm²

Geometriebeziehungen Federlängen:

Länge des Wickelkörpers:

LK = (nt + 1)d

Länge der ungespannten Feder:

L0 = LK + 2LH

(bei Ösenform A nach Abb. 4.38, deutsche Öse) ___________________________________________________________________________________

Die Erfassung der auftretenden Spannungen in den Ösen ist schwierig. Eine einfache Methode wird von Carlson [4.7] (s.a. [12]) vorgeschlagen. Die auftretende Biegespannung in der Öse sollte dabei mit der zulässigen Zugspannung des Werkstoffs (Zugelastizitätsgrenze) und die Schubspannung im Bereich des Übergangs der Öse zum Wickelkörper (s. Abb. 4.37c) mit der zulässigen Schubspannung für den Federkörper verglichen werden.

154

4 Berechnungsgrundlagen für Einzelfedern

Untersuchungen von Carlson [4.7] ergaben, dass sowohl bei Deutschen als auch bei Englischen Ösen nach DIN 2097 die Brüche im Bereich der Öse auftraten, wobei die Lebensdauer und auch die Spannungen sowohl vom Ösendurchmesser als auch vom Krümmungsradius r der Abbiegung beeinflusst werden. So ermittelten Niepage [4.81] [4.82] und Kontsaludis [4.52], dass Zugfedern mit Deutschen Ösen und w = 4 eine höhere Dauerfestigkeit bzw. höhere Lastspielzahlen ertragen als solche mit w = 8. Mit zunehmendem Wickelverhältnis steigt also die Beanspruchung in der Öse und damit die Überlastung gegenüber dem Wickelkörper. Diese Überlastung lässt sich durch Verwenden einer reduzierten Öse (Abb. 4.38k) vermeiden. Die Lebensdauer angebogener Ösen kann auch erhöht werden, indem ein großer Krümmungsradius am Übergang von Federkörper und Öse gewählt wird [4.134]. Tabelle 4.22 enthält Ergebnisse der Dauerfestigkeitsuntersuchungen von Kontsaludis [4.52]. Es ist zu erkennen, dass bei Zugfedern mit w = 4 die angebogene Öse einer Öse mit Einschraubteilen nicht unterlegen ist. Dagegen ist der Abfall der Dauerhubfestigkeit bei Federn mit w = 8 und Verwenden einer Deutschen Öse recht deutlich. Der Dauerfestigkeitsabfall lässt sich vermeiden, wenn bei Federn mit größerem Wickelverhältnis zur Befestigung der Federenden Einschraubteile verwendet werden. Eine bruchgefährdete Zone befindet sich hier am Übergang zwischen eingeschraubten und ersten federnden Windungen. Der Spannungsbeiwert k ist in alle Berechnungen einzubeziehen. Tabelle 4.22. Dauerhubfestigkeiten von Zugfedern aus patentiert gezogenem Federstahldraht der Sorte DM nach DIN EN 10270-1 mit d = 4,5 mm und verschiedenen Ösenformen (Unterspannung Wu = 261 N/mm² bei w = 4 und Wu = 181 N/mm² bei w = 8) nach [4.52] Ösenform Deutsche Öse Einschraubstücke

Wickelverhältnis w 4 8 4 8

Dauerhubfestigkeit WkH bzw. WH in N/mm² mit Drahtkrümmung ohne Drahtkrümmung 457,1 273,7 397,3 370,8

331,2 233,9 287,9 316,9

Eine höhere Dauerfestigkeit besitzen auch die nach der Drillwickeltechnik hergestellten hifo-Federn infolge des günstigen Eigenspannungszustandes, der sich durch die plastische Verformung beim Verdrillen des Drahtes ergibt. Dauerfestigkeitswerte enthält Tabelle 4.23. Ein Teil der Dauerfestigkeitserhöhung resultiert aus der von Huhnen [4.45] entwickelten besonderen Ösenform, dem hifo®-Haken (Abb. 4.37a). Die Steigerung ist bereits an normal gewickelten Federn bei Verwenden des hifo®-Hakens als Öse festzustellen.

4.3 Torsionsbeanspruchte Federn

155

Tabelle 4.23. Dauerfestigkeit verschiedener Zugfedern aus patentiert gezogenem Federstahldraht Sorte DM nach DIN EN 10270-1 mit d = 3 mm nach Maschinenelemente Huhnen GmbH Steinheim [4.44] Federart

Ösenform

Normale Zugfeder

Deutsche Öse (r = 4,5 mm) hifo®-Haken hifo®-Haken

Drillgewickelte Zugfeder (hifo®-Zugfeder)

Dauerhubfestigkeit WkH Mittelspannung Wm in N/mm² in N/mm² 297

660

479 538

660 800

Allgemein wird für schwingend belastete Zugfedern empfohlen:

x große innere Vorspannkraft F0 anstreben, x möglichst hohe Anlasstemperaturen zum weitgehenden Abbau von Eigenspannungen in der Öse anwenden, x Vorsetzen (Recken) der Feder und der Öse, x bei Wickelverhältnissen w > 8 angebogene Öse (z.B. Deutsche Öse) vermeiden und durch Enden mit Einschraubstücken oder reduzierter Öse ersetzen, x große Übergangs- und Abbiegeradien anstreben, reduzierte Öse bevorzugen. Für Zugfedern liegen nur wenige Ergebnisse von Lebensdaueruntersuchungen vor. 4.3.4 Schraubenfedersonderformen 4.3.4.1 Aufbau und Eigenschaften

Als Sonderformen von Schraubenfedern sind alle Formen zu bezeichnen, die aus der Grundform (d = konst.; Dm = konst.; SW = konst.) durch Verändern der gestaltbestimmenden Parameter Drahtdurchmesser d, Windungsdurchmesser Dm und Steigungswinkel DW abgeleitet werden. Man findet sie meist bei Druckfedern. Abb. 4.39 gibt eine Übersicht über mögliche Formen von Schraubendruckfedern bei Variation einiger Gestaltparameter. Auch Kombinationen der einzelnen Variationen sind möglich. Die Formen a) bis c) erfordern durch den Einsatz kegelförmig zugearbeiteten Stabmaterials einen höheren Fertigungsaufwand, während die anderen Formen heute durch den Einsatz rechnergesteuerter Windeautomaten problemlos herstellbar sind. Lediglich bei der Form k) sind noch besondere Bedingungen zu beachten, auf die in [4.66] eingegangen wird. Charakteristisch für alle angegebenen Formen ist ihre nichtlineare Federkennlinie (Abb. 4.40). Bei allen Federn kommt es im Zuge der Bela-

156

4 Berechnungsgrundlagen für Einzelfedern

stung (mit fortschreitender Verformung) zum Aufliegen von federnden Windungen. Die Windungen wälzen sich kontinuierlich auf der Unterlage (Federteller) und auf Nachbarwindungen ab. Die Anzahl federnder Windungen verringert sich. Dadurch nimmt die Federrate zu. Die Federkennlinie hat einen progressiven Verlauf. Sonderformen von Druckfedern durch Variation von: Windungsdurchmesser D m Steigungswinkel D W

Drahtdurchmesser d a)

d)

f)

g)

h)

i)

b) e)

c)

k)

Abb. 4.39. Sonderformen von Schraubendruckfedern a)

b) Dm

F3

s1

s2

y1

L0

l2

y2 l3

y3

l = S n f Dm

Dm

l1

3

2

1

s3

Lc

F1

Ln

F2

a W1

a W2

a Wm

d

Abb. 4.40. Druckfedern mit veränderlicher Windungssteigung und progressiv verlaufender Kennlinie a) mit unstetig veränderlicher Windungssteigung; b) mit stetig veränderlicher Windungssteigung

4.3 Torsionsbeanspruchte Federn

157

Ein solches Federungsverhalten wird besonders im Fahrzeugbau bei Achsfederungen gewünscht. Überhaupt besitzen diese Federformen bei dynamischen Belastungsverhältnissen ein sehr vorteilhaftes Verhalten [6][16][17][4.20], das ihnen ein breites Einsatzgebiet eröffnet. Ihre Berechnung ist aufwendig, da ein abschnittsweises Vorgehen erforderlich ist. Berechnungshilfen in Form von Tabellen und Nomogrammen wurden erarbeitet [4.4][4.18][4.23][4.28][4.64][4.65][4.98][4.125][4.128] und Rechenprogramme erstellt [4.28]. In den folgenden Abschnitten soll auf einige Berechnungsgrundlagen eingegangen werden. 4.3.4.2 Zylindrische Schraubendruckfedern mit veränderlichem Stabdurchmesser

Meist werden für diese Federn kegelige (Abb. 4.39a und c) oder doppelkegelige (Abb. 4.39b) Stabformen verwendet, bei denen eine der Stablänge proportionale Durchmesseränderung, beispielsweise nach der Funktion d(x) = d1 + (d2 – d1)x/l, vorliegt. Für ihre Herstellung sind in letzter Zeit mit Einsatz von Mikrorechnersteuerungen wirtschaftliche Fertigungsverfahren entwickelt worden. Die Federn selbst werden vorrangig mit konstantem Außendurchmesser hergestellt. Federn aus doppelkegeligen Stäben müssen dann auf einen geteilten, doppelkegeligen Dorn gewickelt werden. Die Berechnung ist recht aufwendig. Neben dem entlang der Stabachse (Koordinate x) veränderlichen Durchmesser ist die mit zunehmendem Federweg sich verringernde Windungszahl nf infolge der Verkürzung der wirksamen Stablänge l zu berücksichtigen. Für den Windungsdurchmesser Dm kann näherungsweise ein Mittelwert eingesetzt werden. Auf der Basis der Federwegbeziehung für Druckfedern nach Tabelle 4.18 erhält man mit l = ³SDmdnf und der o. a. Funktion für den Stabdurchmesser als Federweg s

8 FDm3 d (nf ) . Gd ( x) 4 ³

(4.50)

Bei Einwirken der maximalen Kraft Fn entsteht im Stab die Torsionsspannung Wn

8 Fn Dm ; Wmax = k·Wn , Sd 3

(4.51)

wobei vorausgesetzt wurde, dass sich die Windungen mit dünneren Stabteilen bereits angelegt haben und damit d2 = dmax gilt.

158

4 Berechnungsgrundlagen für Einzelfedern

Für die Berechnung der die Federungseigenschaften bestimmenden Parameter im Zusammenhang mit einer vorgegebenen Federkennlinie empfiehlt sich ein schrittweises Vorgehen, bei dem Kennlinienabschnitte als linear angesehen werden und für diese Abschnitte mit mittleren Werten für die Federkraft, den Federweg, die Federrate sowie den jeweiligen Drahtund Windungsdurchmesser gerechnet wird. Über eine solche Vorgehensweise ist abschnittsweise die erforderliche Windungszahl zu bestimmen. Mit der Windungszahl ergibt sich dann auch die notwendige Stablänge. Rechnereinsatz oder die Nutzung tabellarischer Hilfsmittel [4.140] halten den Aufwand in Grenzen. 4.3.4.3 Zylindrische Schraubendruckfedern mit inkonstanter Windungssteigung

Der Steigungswinkel DW dieser Druckfedern mit konstantem Draht- und Windungsdurchmesser nimmt von einem Wert D1 der Endwindungen auf einen Wert Dm stetig zu, wobei der Maximalwert Dm sowohl in der Nähe einer Endwindung (Abb. 4.39d) als auch in Federmitte (Abb. 4.39e) liegen kann. Durch die unterschiedlichen Windungsabstände kommen im Verlauf der Federung immer mehr Windungen zur Anlage (Abwälzen auf benachbarten Windungen), so dass die Federrate zunimmt. Es schließen sich zuerst die Windungen mit geringerer Steigung. Ein solches Federungsverhalten mit progressivem Kennlinienverlauf lässt sich auch in einfacher Weise durch Reihenschaltung von Druckfedern, die mit unterschiedlichen, jedoch je Feder konstanten Steigungswinkeln gewickelt wurden, erzielen. Unter Verwenden der Gleichungen (2.14) bis (2.16) ergeben sich die Gesamtkraft bei Erreichen des Blockzustandes mit F1 = Fc1 ; F2 = Fc2 ; F3 = Fc3 (bei beispielsweise drei Federn) zu

Fges = F1 = F2 = F3

(4.52)

und der Gesamtfederweg als Summe der Einzelfederwege s1 = F1 /R1; s2 = F2 /R2 und s3 = F3 / R3 zu

sges = s1 + s2 + s3 = Fges(1/R1 + 1/R2 + 1/R3) .

(4.53)

In diesem Falle ist es einfacher, mit dem Kehrwert der Federrate, der spezifischen Federung (Nachgiebigkeit) C = 1/R , zu rechnen. Die spezifische Federung dieser Kombination ist dann

Cges = C1 + C2 + C3 .

(4.54)

4.3 Torsionsbeanspruchte Federn

159

Auf dieser Basis erfolgt die schrittweise Berechnung einer mit inkonstanter Steigung gewickelten Druckfeder nach Abb. 4.40a. Sie besitzt n1 Windungen mit einem Abstand aW1 , n2 Windungen mit einem Abstand aW2 und allgemein ausgedrückt nm Windungen mit einem Abstand aWm. Es gilt n = nf. Die Gesamtwindungszahl n dieser Feder wird von der Anfangssteigung der Kennlinie ( R1 = F1 /s1 ) bestimmt und ist n

Gd 4 . 8 R1 Dm3

(4.55)

Zur Berechnung der einzelnen Windungsabschnitte wird die spezifische Federung einer Windung (also n = 1) CW

8 Dm3 Gd 4

(4.56)

herangezogen. Die einzelnen Windungsabstände ergeben sich dann zu

aW1 = CW·F1 ; aW2 = CW·F2 bzw. aWm = CW·Fm

(4.57)

und die zur Realisierung der vorgegebenen Federwege notwendigen Windungszahlen n1 bis nm zu s2  s1 a W 2  a W1

n1

n

n2

n  n1 

(4.58a)

s3  s2 aW 3  aW 2

(4.58b)

: : nm = n – nm – 1 – nm – 2 - ... – n2 – n1

: : (4.58m)

Bei bekannten Windungszahlen sind auf analoge Weise die Teilfederwege bestimmbar. Meist reicht bereits eine Unterteilung der Federkennlinie in vier (m = 4) Abschnitte aus. Bei Rechnerunterstützung ist auch m > 4 möglich. Sollen die Federdaten für einen Punkt der Kennlinie berechnet werden, der nicht mit einem Geradenschnittpunkt (Knickstelle) zusammenfällt, dann gelten nach Abb. 4.40a für die Kraft Fx

F2  F3  F2

sx  s2 s3  s2

(4.59)

160

4 Berechnungsgrundlagen für Einzelfedern

und den Federweg sx

s2  Fx  F2

s3  s2 . F3  F2

(4.60)

In [4.23] wird bei den Berechnungen von der Federabwicklung im unverformten und im verformten Zustand ausgegangen, wobei die Kurvenform der Abwicklung durch eine Parabel der Form y

x  ap x m Sw

(4.61)

angenähert wird (ap eine Konstante). Für m = 1 erhält man eine Druckfeder mit linearem und für m > 1 solche mit progressivem Kennlinienverlauf. Federn der Form nach Abb. 4.39e lassen sich auch wie zwei Einzelfedern mit zum Federende hin ansteigendem Steigungswinkel berechnen. Der Festigkeitsnachweis ist wie bei zylindrischen Druckfedern mit konstanter Steigung (s. Tabelle 4.18) zu führen. 4.3.4.4 Schraubendruckfedern nichtzylindrischer Form

Durch Variation des Windungsdurchmessers Dm erhält man Schraubenfedern, deren Mantelform recht verschieden sein kann (s. Abb. 4.39f bis k). Häufig verwendete Formen sind Kegelstumpf-, Tonnen- und Taillenfedern, aber auch Federn, bei denen innerhalb einer Windung die Durchmesseränderung so erfolgt, dass gerade Abschnitte entstehen (s. Abb. 4.39k). Diese Federn werden als Kamin- oder Flachfedern bezeichnet und besonders dort eingesetzt, wo prismatische Führungskörper vorliegen.

Kegelstumpffedern entstehen durch kontinuierliches Verändern des Windungsdurchmessers Dm während des Windens der Federn. Für kleine Federwege ist unter der Annahme, dass noch alle Windungen an der Federung teilnehmen, die Federrate R

F s

Gd 4 16nf r1  r2 r12  r22

(4.62)

hier: r1 kleinster Windungsradius; r2 größter Windungsradius

Die maximale Spannung liegt in der Windung mit dem größten Durchmesser vor und beträgt

Wmax =

16 ˜ Fmax ˜ r2 . Sd 3

(4.63)

4.3 Torsionsbeanspruchte Federn

161

Anmerkung: In der üblichen Schreibweise wird der kleinste Windungsradius mit r1 und der größte mit r2 bezeichnet (s.a. Abb. 4.42 und 4.43). Somit ist r1 = rmin und r2 = rmax. Durch die fortlaufende Index-Numerierung der in den Gleichungen(4.64) bis (4.73) verwendeten Größen ergibt sich die Notwendigkeit, auch die Bezeichnung des Windungsradius dem anzupassen. Aus diesem Grunde wird bei Berechnung von Kegeldruckfedern mittels Computer auf der Basis dieser Gleichungen der Windungsradius mit rK bezeichnet (s. Abb. 4.41 und 4.46) und es gilt: r1 = rK m = rK min und r2 = rK 1 = rK max.

Abb. 4.41. Kegeldruckfeder aus Draht, Bezeichnungen (Anmerkung beachten!)

Abb. 4.42. Ansätze für Mantelkurven bei nichtzylindrischen Schraubenfedern a) Kegelstumpffeder; b) Tonnenfeder; c) Taillenfeder

Bei größeren Federwegen legen sich Windungen, beginnend mit denen, die den größten Windungsdurchmesser besitzen, an, so dass die Anzahl federnder Windungen abnimmt und mit zunehmender Federung nur noch Windungen mit kleinerem Windungsdurchmesser federn. Der Kennlinienverlauf ist progressiv [4.4][4.98]. Für Kegeldruckfedern, deren Windungsabstände aW1 bis aWm unterschiedlich, aber bekannt sind, kann dann die Berechnung abschnittsweise unter Verwenden der spezifischen Federung einer Windung CW 1, 2...m

64 rK 1, 2...m , Gd 4

(4.64)

der Federkräfte im Moment des Ausschaltens des Windungsabschnittes F1, 2...m

aW 1, 2...m C1, 2...m

und der zugehörigen Federwege

(4.65)

162

4 Berechnungsgrundlagen für Einzelfedern

s1 = aW1 + F1(C2 + C3 + ... + Cm) s2 = aW1 + aW2 + F2(C3 + C4 + ... + Cm) : sm = sc = aW1 + aW2 + ... + aWm

(4.66a) (4.66b) : (4.66m)

erfolgen. Rechnerunterstützt ausgeführt, ist eine Verfeinerung durch Wahl recht kleiner Schritte zu erzielen. Für Kegeldruckfedern mit konstantem Windungsabstand aW1 = aW2 = aWm = sc /nf vereinfacht sich die Berechnung mit der Abkürzung q = (Gd 4sc)/(64nf), und es gelten

F1·rK 13 = F2·rK 23 = Fx·rK x3

(4.67)

sowie

F1, 2 ... m =

q 3 K 1, 2... m

r

.

(4.68)

Der unter Einwirken der Kraft Fx entstehende Federweg sx setzt sich aus einem Anteil, der durch die blockierten (bereits abgewälzten, aufliegenden) Windungen nx sc nf

(4.69)

rK1  rKx nf rK1  rKm

(4.70)

sa 1, 2...m

mit nx

entsteht, und aus dem Anteil, den die noch frei federnden Windungen sb 1, 2...m

16 ˜ Fx nf  nx

2 rKx  rKm rKx2  rKm

Gd 4

(4.71)

leisten können, zusammen. Folglich ist s1,2...m = sa 1,2… . m + sb 1,2… m

(4.72)

Die Blocklänge dieser Federn beträgt bei angeschliffenen Federenden Lc = nfb + 2·d

(4.73a)

4.3 Torsionsbeanspruchte Federn

163

mit b

§r r · d  ¨¨ K1 Km ¸¸ ¹ © nf 2

2

.

(4.73b)

Ausgehend von den konstruktiven Anforderungen verfolgt man bei der Berechnung von Kegeldruckfedern folgende Aufgabenstellungen:

x Für vorgegebene Innen- und Außendurchmesser der Druckfeder soll eine kleinstmögliche Blocklänge erzielt werden, d.h., die Feder muss eine spiralförmige Abwicklung besitzen. x Die Federkennlinie soll bis in die Nähe des Blockzustands linear sein. Das bedeutet, es muss aW 1, 2 ... m = Fn·C1, 2 ... m gelten. Will man außerdem die anteiligen Federwege der Windungen konstant halten, dann ist zusätzlich ein veränderlicher Stabdurchmesser erforderlich [4.140]. x Maximale Werkstoffauslastung durch gleichgroße Schubspannungen in den einzelnen Windungsabschnitten anstreben. Die Durchführung der Federberechnung erfolgt schrittweise, wobei eine Schrittweite von 'n = 1/4 Windung ausreichend ist. Tonnen- und Taillenfedern erfordern einen höheren Aufwand bei der Berechnung, da meist eine genaue Beziehung zwischen Windungsradius und Windungszahl (in der Abwicklung eine Spirale) fehlt. Zur optimalen Ausnutzung eines vorhandenen Bauraums müssen die Windungsradien oft zeichnerisch ermittelt werden. Für die Berechnung solcher Federn bietet sich daher ebenfalls eine schrittweise Parameterermittlung an. Grundlage dafür sind die für Kegeldruckfedern angegebenen Berechnungsbeziehungen. Überschläglich lassen sich die gesuchten Federparameter (z.B. Drahtdurchmesser, Windungszahl) berechnen, in dem eine Schrittweite, wie oben angegeben, von einer Viertelwindung gewählt wird. Eine andere Möglichkeit ist die Nutzung der für zylindrische Schraubendruckfedern gültigen Gleichungen unter Verwenden von Korrekturfaktoren [4.28] [4.64][4.65]. Der Federweg ist dann allgemein für Federn, die die in Abb. 4.42 angegebenen Mantelkurvenformen besitzen, s

K4

8FDm3 nf . Gd 4

(4.74)

Diese Darstellung ergibt die Vorteile einer einheitlichen Angabe des Federwegs für Tonnen- und Taillenfedern mit konstantem Steigungswinkel und konstantem Windungsabstand. Der in Abb. 4.43 angegebene Korrek-

164

4 Berechnungsgrundlagen für Einzelfedern

turfaktor K4 gilt für Tonnen- und Taillenfedern mit Mantelkurven, die sich durch eine quadratische Parabel der in Abb. 4.42 angegebenen Form beschreiben lassen. Die hier dargestellte Berechnungsmethode ist auch für die Berechnung von Kegelstumpffedern nutzbar (Korrekturfaktor K3 nach Abb. 4.43). Der Festigkeitsnachweis wird unter Verwenden von Gleichung (4.63) geführt. r1/r 2 = 0,9

0,9 0,8 0,7

0,8 0,7

0,6 0,5 0,4

0,6 0,5

0,3 0,2 0,3

0,4

0,2 0,1

Abb. 4.43. Korrekturfaktoren für die Berechnung des Federwegs von Kegeldruckfedern sowie von Tonnen- und Taillenfedern. Kurven: — r2 /b2 (Taillenfedern); ------ b1 /r2 (Tonnenfedern)

Die Anwendung der FE-Methode mit entsprechend geeigneter Rechentechnik bringt weitere Vorteile bei der Behandlung allgemein gestalteter Schraubenfedern. In [4.18] wird ein solches Programmsystem für Tonnenfedern dargestellt, dass sich auch sinngemäß für andere Aufgabenstellungen nutzen lässt (s.a. Kapitel 7). Als Kaminfedern oder Flachfedern werden nichtkreiszylindrische Schraubendruckfedern bezeichnet [4.24][4.66], die in den Abb. 4.39k und 4.44 dargestellt sind. Sie werden überall dort eingesetzt, wo begrenzte Platzverhältnisse vorliegen bzw. prismatische Bauteile bewegt werden sollen. Am häufigsten wird die prismatische Form verwendet. Nach [4.24] ist die Federrate einer solchen Feder nach Abb. 4.44 R

F s

Gd 4 8 ADm3 nf

(4.75)

4.3 Torsionsbeanspruchte Federn

165

mit Dm = 2·a und einem Korrekturfaktor A nach Abb. 4.45, der wieder die Verwendung der Grundbeziehung für die Federrate zylindrischer Schraubendruckfedern ermöglicht. b

Dm

a

r

Abb. 4.44. Nichtkreiszylindrische Druckfeder (Kaminfeder, Flachfeder)

r/b = 0 0,2 0,4 0,6 0,8

1,6

Faktor A

1,2

1,0

b)

0,8 0,4 0

0

0,2

0,4 0,6 0,8 Verhältnis b/a

r/b = 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0

b)

0,6

Faktor A

a)

1,0

0,4

0,2

0

0

0,2 0,4 Verhältnis b/a

Abb. 4.45. Faktor A nach [4.24] zur Berechnung von Druckfedern mit Rechteckform (Kaminfedern)

Die Schubspannung ist mit Kr = (2r + 0,2d)/(2r – d) W

Kr

8FDm Sd 3

2 2 ªr r b r º «  §¨1  ·¸  §¨  ·¸ » «a © a ¹ © a a ¹ »¼ ¬

(4.76)

und die wirksame Drahtlänge ergibt sich zu l

ª b § S· rº 2 Dm nf «1   ¨ 2  ¸ » . 2 ¹ a¼ ¬ a ©

(4.77)

4.3.4.5 Mehrdrahtschraubenfedern [4.8][4.119][4.120]

Mehrdrahtschraubenfedern sind aus Seil bzw. Litze (deshalb auch oft als Litzenfedern bezeichnet) hergestellte Federn. Sie werden als Druck- und auch als Drehfedern dann eingesetzt, wenn schwingende und besonders stoßartige Belastungen vorliegen. Während bei stationärer Belastung Ein-

166

4 Berechnungsgrundlagen für Einzelfedern

draht- und Mehrdrahtfedern gleichwertig sind, gibt es Unterschiede bei schwingender Belastung. Bei einer gleichmäßig schwingenden Belastung (sinusförmiger Belastungs-Zeit-Verlauf ohne Schwingungsüberlagerungen) ist die Eindrahtfeder überlegen [4.119]. Mehrdrahtfedern fallen meist infolge der durch die Reibung zwischen den einzelnen Drähten entstandenen Oberflächenverletzungen früher aus. Erst bei einer schwingenden Belastung, die mit Resonanzen oder stoßartigen Belastungen verbunden ist, zeigt sich der Vorteil der Mehrdrahtfeder durch die vorhandene „innere“ Dämpfung. Obwohl die erreichte Lebensdauer bei den meisten Anwendungen im Zeitfestigkeitsbereich liegt, ist sie in diesen Fällen um 100 bis 400 % höher als bei Eindrahtfedern. Bei Verwendung von patentiert gezogenen Drähten sind weiterhin die höhere Zugfestigkeit der einzelnen, dünneren Drähte für eine bessere Setzbeständigkeit von Vorteil. Während bei der Eindrahtfeder ein Drahtbruch sofort zum Ausfall der Feder führt, ist die Mehrdrahtfeder nach einem Drahtbruch noch funktionsfähig. Der Schädigungsbereich, der mit dem ersten Drahtbruch beginnt und mit der völligen Zerstörung der Feder endet, beträgt etwa 10 % der Gesamtlebensdauer bei Dreidraht- und 20 bis 40 % bei Siebendrahtfedern. Die Berechnung der Federrate von Mehrdrahtfedern erfolgt unter Annahme einer Parallelschaltung von Einzelfedern (s. Abschnitt 2.1.3), deren Anzahl der Zahl Einzeldrähte in der Litze entspricht. Wegen des Reibungseinflusses ist die Erprobung von Musterfedern zur Bestätigung der Rechnung angebracht. Vorrangig werden Dreidrahtfedern angewendet. 4.3.4.6 Kegeldruckfedern aus Band

Kegelstumpffedern aus Federband mit Rechteckquerschnitt (Abb. 4.46) entstehen durch schraubenförmiges Aufwickeln des Bandes auf einen zylindrischen Dorn. Die Windungssteigung nimmt von innen nach außen hin zu, da sie dem Windungsdurchmesser proportional ist. Die der äußeren Windung ist also entsprechend ihrem größeren Windungsdurchmesser größer als die der inneren.

Abb. 4.46. Kegeldruckfeder aus Federband (Anm. S. 161 beachten!)

4.3 Torsionsbeanspruchte Federn

167

Der Federweg ist der dritten Potenz des Windungsdurchmessers proportional. Infolgedessen kommen mit wachsender Belastung die Windungen, von der äußeren beginnend nach innen fortschreitend an der Federauflage zur Anlage. Sie nehmen an der weiteren Federung nicht mehr teil. Damit besitzen auch diese Federn eine Kennlinie mit progressivem Verlauf. Wegen der hohen Eigendämpfung werden diese Federn bei Stoßbelastungen eingesetzt. Zur Charakterisierung des Federungsverhaltens erhält man die Federkraft aus Fx

q3

Gbt 3 ˜s 2 SrKx nf rK1  rKm

(4.78)

mit rK x = rK m + m(rK 1 – rK m)

(4.79)

und dem Federweg aus sx = sa + sb ,

(4.80)

wobei sa

2 2 rK1  rKx ˜ sm 2 2  rKm rK1

(4.81)

und sb

r

2 Kx





2 2 2  rKm  rKm rKx ˜ sm 2 2 2  rKm rK1 2rKx





4 4  rKm rKx ˜ sm 2 2 2  rKm rK1 2rKx





(4.82)

ist. Für m = 1 wird rK x = rK 1 und Fx = F1 , für m = 0 wird rK x = rK m und Fx = Fm. Zur Berechnung der Federkennlinie ist folglich m im Bereich 0 dmd 1 zu variieren. Die maximale Schubspannung ist Wmax = Fm ˜ rKm q2bt 2

(4.83)

und die Faktoren q2 und q3 ergeben sich näherungsweise für ein Verhältnis der Banddicke zur Bandbreite von ßt = t/b > 3 aus q2

q3

E t  0,63 . 3E t

(4.84)

168

4 Berechnungsgrundlagen für Einzelfedern

4.3.5 Berechnungsbeispiele 1. Beispiel: Statisch belastete Druckfeder 1

Gegeben: F1 = 12 N; F2 = 36 N; 's = sh = 12 mm; Da max = 18 mm; TR = 5± % Gesucht: Daten der Druckfeder (d; Dm; Da; Di; nf; nt; R; s1; s2; sn; Fn; Lc; Ln; L0; L1; L2; w; k; O; K; sK; Federwerkstoff) Lösung: 1. Dimensionierung Annahmen: F2 = 0.9·Fn; Dm = 14 mm; patentierter Federstahldraht nach DIN EN 10270-1 mit Rm min = 1600 N/mm² und G = 81500 N/mm² Drahtdurchmesser: Mit Wzul = 0.5·Rm min ist nach Tabelle 2.18 d=

3

8 Fn Dm S ˜ 0,5 ˜ Rm min

3

8 ˜ 36 N ˜14 mm = 1,21 mm , 3,14 ˜ 0.9 ˜ 0,5 ˜1600 N/mm 2

gewählt wird d = 1.25 mm. Erforderliche Federrate: Rerf = (F2 – F1)/'s = (36 N – 12 N)/12 mm = 2 N/mm mit den Toleranzgrenzen: Rmin = 1,9 N/mm < Rerf < Rmax = 2,1 N/mm. Windungszahl: nf erf =

Gd 4 8 Dm3 Rerf

81500 N/mm 2 ˜ 1,254 mm 4 = 4,53, 8 ˜ 143 mm3 ˜ 2 N/mm

gewählt wird nf = 4,5. Die Gesamtwindungszahl ist dann: nt = nf + 2 = 4,5 + 2 = 6,5. 2. Nachrechnungen Funktionsnachweis: Rvorh =

Gd 4 8 Dm3 nf

81500 N/mm 2 ˜ 1,254 mm 4 8 ˜ 143 mm3 ˜ 4,5

2,014 N/mm

Mit Rmin = 1,9 N/mm < Rvorh = 2,014 N/mm < Rmax = 2,1 N/mm sind die Bedingungen des Funktionsnachweises erfüllt.

4.3 Torsionsbeanspruchte Federn

169

Festigkeitsnachweis: Wvorh = 8 Fn D3 m Sd

8 ˜ 36 N ˜ 14 mm 3,14 ˜ 0,9 ˜ 1,253 mm3

730,5 N/mm2

mit Wickelverhältnis: w = Dm /d = 14mm/1,25mm = 11,2  k = (w + 0,5)/(w – 0,75) = (11,2 + 0,5)/(11,2 – 0,75) = 1,12 Wmax = k·Wvorh = 1.12·730,5 N/mm² = 817,9 N/mm² Für diesen Belastungsfall ist patentierter Federstahldraht Sorte SL nach DIN EN 10270-1 mit Rm min = 1660 N/mm² (Wzul = 830 N/mm²) verwendbar. Mit Wmax = 817,9 N/mm² < Wzul = 830 N/mm² sind die Bedingungen des Festigkeitsnachweises erfüllt. 3. Berechnung weiterer Daten Länge der Feder: sn = Fn /Rvorh = 40N/2,014 N/mm = 19,861 mm; Lc d nt·d = 6,5·1,25 mm = 8,125 mm; Sa t (0,0015w2 + 0,1)nf·d = (0,0015·11,22 + 0,1)4,5·1,25 mm = 1,621 mm Ln t Lc + Sa = 8,125 mm + 1,621 mm = 9,746 mm L0 tLn + sn = 9,746 mm + 19,861 mm = 29,607 mm SW = (L0 – 2d)/nf = (29,61 – 2,5)mm/4,5 = 6,024 mm tanD = SW /SDm = 6,024/3,14·14 mm = 0,1370 oD = 7,8° Ein Aufrunden der Länge der ungespannten Feder durch Wahl größerer Windungsabstände ist möglich. Federwege und Einbaulängen: s1 = F1 /Rvorh = 12 N/ 2,014 N/mm = 5,96 mm s2 = F2 /Rvorh = 36 N/ 2,014 N/mm = 17,87 mm L1 = L0 – s1 = 29,61 mm – 5,96 mm = 23,65 mm L2 = L0 – s2 = 29,61 mm – 17,87 mm = 11,74 mm

170

4 Berechnungsgrundlagen für Einzelfedern

4. Knicksicherheit K = s2 /L0 = 17,87 mm/ 29,61 mm = 0,60 O = L0 /Dm = 29,61 mm/ 14 mm = 2,115 Nach Abb. 4.34a ist mit diesen Werten die Feder knicksicher, wenn eine Lagerung nach Abb. 4.33 mit KL = 1 gewählt wird. Die Knicksicherheit ist außerdem theoretisch für einen imaginären Wurzelwert der Gl. (4.46) und für den Fall sK/s >1 gegeben. Mit den Zahlenwerten dieses Beispiels ergibt sich ein imaginärer Wurzelwert in Gl. (4.46). Nach Abb. 4.34b ist die Knicksicherheit nur bei höheren Anforderungen an die Lagerung gegeben. 2. Beispiel: Statisch belastete Druckfeder 2

Gegeben: F2 = 124 N; 's = sh = 22 mm; Da max = 30 mm; TR = 5± % Gesucht: Daten der Druckfeder ( d; Dm; nf; nt; R; Federwege, Kräfte und Längen; Federwerkstoff) Lösung: (Gegenüber Beispiel 1 wird hier eine etwas andere Vorgehensweise gewählt) 1. Annahmen Zu empfehlen ist: F1 = (0,3...0,4)Fn; F2 = (0,7...0,9)Fn; 7 dwd 10; Gewählt wurde für den ersten Entwurf: patentierter Federstahldraht nach DIN EN 10270-1 mit Rm min = 1500 N/mm²; F1 = 0,36Fn; F2 = 0,8Fn; w = 10 2. Kräfte und Federrate Fn = F2 /0,8 = 124 N/0,8 = 155 N; F1= 0,36Fn = 0,36·155 N = 55,8 N Rerf = (F2 – F1)/sh = (124 – 55,8) N/ 22 mm = 3,1 N/mm mit den Toleranzgrenzen: Rmin = 2,945 N/mm < Rerf < Rmax = 3,255 N/mm.

4.3 Torsionsbeanspruchte Federn

171

3. Dimensionierung Drahtdurchmesser: Nach Tab. 2.18 ist mit w = Dm /d und Wzul = 0,5·Rm min d=

8 Fn w S ˜ 0,5 ˜ Rm min

8 ˜155 N ˜10 3,14 ˜ 0,5 ˜1500 N/mm 2

2,29 mm .

Gewählt wurde nach DIN EN 10270-1 d = 2,4 mm mit Rm min = 1470 N/mm² (Sorte SL), Rm min = 1700 N/mm² (Sorte SM) und Rm min = 1920 N/mm² (Sorte SH). Windungszahl:

nf erf =

Gd 4 8 Dm3 Rerf

Gd 8w3 Rerf

81500 N/mm 2 ˜ 2,4 mm 8 ˜103 ˜ 3,1 N/mm

7,89

gewählt: nf = 7,5; damit wird nt = 7,5 + 2 = 9,5 . Erforderlicher Windungsdurchmesser: Aufgrund der Rundung bei der Anzahl federnder Windungen ist die Korrektur über das gewählte Wickelverhältnis w notwendig. Das geschieht über die Berechnung des Windungsdurchmessers Dm =

3

Gd 4 8nf Rerf

3

81500 N/mm 2 ˜ 2,4 4 mm 4 8 ˜ 7,5 ˜ 3,1 N/mm

24,4 mm .

Gewählt: Dm = 24,4 mm. Damit wird w = Dm /d = 24,4mm/2,4mm = 10,17 und für den Außendurchmesser ergibt sich Da = Dm + d = 24,4mm + 2,4mm = 26,8 mm. 4. Nachweisrechnungen Funktionsnachweis: 4 Rvorh = Gd3 8Dm nf

81500 N/mm2 ˜ 2,44 mm 4 8 ˜ 24,43 mm3 ˜ 7,5

3,102 N/mm

Mit Rmin = 2,945 N/mm < Rvorh = 3,102 N/mm < Rmax = 3,255 N/mm werden die Bedingungen des Funktionsnachweises erfüllt.

172

4 Berechnungsgrundlagen für Einzelfedern

Festigkeitsnachweis: ,4 mm 697 N/mm2 Wvorh = 8 Fn D3 m 8 ˜ 155 N ˜ 24 3 3,14 ˜ 2,4 mm3 Sd Mit w = Dm /d = 24,4mm/2,4mm = 10,17 ist k = 1,13 nach Tabelle 4.19 und

Wk = Wmax = k·Wvorh = 1,13·697 N/mm² = 787,6 N/mm² . Die Bedingungen des Festigkeitsnachweises Wmax = 787,6 N/mm² < Wzul = 850 N/mm² werden durch Wahl eines Federstahldrahtes der Sorte SM n. DIN EN 10270-1 erfüllt. 5. Berechnung weiterer Federdaten Federwege: s1 = F1 /Rvorh = 55,8N/3,102N/mm = 18 mm s2 = F2 /Rvorh = 124N/3,102N/mm = 40 mm sn = Fn /Rvorh = 155N/3,102N/mm = 50 mm Federlängen: Lc d (nf + 2)dmax = (7,5 + 2)2,4 mm = 22,8 mm Sa t(0,0015w2+0,1)nf·d =(0,0015·10,172+0,1)7,5·2,4 mm=4,6 mm Ln t Lc + Sa = 22,8 mm + 4,6 mm = 27,4 mm L0 t Ln + sn = 27,4 mm + 50 mm = 77,4 mm L1 = L0 – s1 = 77,4 mm – 18 mm = 59,4 mm L2 = L0 – s2 = 77,4 mm – 40 mm = 37,4 mm SW = (L0 – 2d)/nf = (77,4 mm – 2·2,4 mm)/ 7,5 = 9,68 mm tanD = SW /SDm = 9,68/ 3,14·24,4 mm = 0,1263 oD= 7,2° Eine Vergrößerung der Länge der ungespannten Feder ist durch Wahl eines größeren Windungsabstandes möglich. 6. Knicksicherheit K = s2 /L0 = 40mm/77,4mm = 0,52; O = L0 /Dm = 77,4mm/24,4mm = 3,17

4.3 Torsionsbeanspruchte Federn

173

Nach Gleichung 4.46 ist 2º ª sK = 0,827 ˜ 77,4 mm «1  1  6,65§¨ 1 ·¸ » = 26,8 mm « © 1 ˜ 3,17 ¹ »¼ ¬

und damit sK /s2 = 26,8mm/40mm = 0,67 < 1. Die Feder ist nicht knicksicher. Zu diesem Ergebnis gelangt man auch nach Abb. 4.34a. Mit KL·O = 1·3,17 (KL = 1 nach Abb. 4.33) ergibt sich ein Grenzwert KG = 0,35, der durch den Wert K = 0,52 überschritten wird. Nach Abb. 4.34b ist für O = 3,17 der Grenzwert der Knicksicherheit KG = 0,44, der ebenfalls durch den vorhandenen Wert überschritten wird. 3. Beispiel: Schwingend belastete Druckfeder

Gegeben: F1 = 280 N; F2 = 620 N; Fn = 650 N; 's = sh = 21 mm; Da d 40 mm; Betriebsfrequenz (Erregerfrequenz) fb = fe = 50 s–1; patentierter Federstahldraht Sorte DM nach DIN EN 10270-1 Gesucht: Daten der Feder (d; Dm; Da; nf; nt; L0; f0 ), Nachrechnungen Lösung: 1. Annahmen: Für den ersten Entwurf wird von einer Dauerhubfestigkeit WkH = 300 N/mm² nach Abb. 4.32 ausgegangen; G = 81500 N/mm²; w = 7 (k = 1,2); TR = 5± % gewählt. 2. Federrate Rerf = (F2 – F1 )/'s = (620 N – 280 N)/ 21 mm = 16,19 N/mm Toleranzgrenzen: Rmin =15,4 N/mm
8 ˜ 1,2 ˜ (620 N  280 N) ˜ 7 3,14 ˜ 300 N/mm 2

4,92 mm

Gewählt: d = 5 mm mit Rm min = 1660 N/mm² nach DIN EN 10270-1

174

4 Berechnungsgrundlagen für Einzelfedern

4. Windungszahl 81500 N / mm 2 ˜ 5 mm 8 ˜ 7 3 ˜ 16,2 N/mm

Gd 8w3 Rerf

nf erf =

9,16 ;

gewählt: nf = 9,5 5. Windungsdurchmesser Um die Toleranz der Federrate einzuhalten, ist nach Runden der Windungszahl der Windungsdurchmesser neu zu berechnen. Dm =

3

Gd 4 8nf Rerf

3

81500 N/mm 2 ˜ 54 mm 4 8 ˜ 9,5 ˜ 16,2 N/mm

34,59 mm

Gewählt wird Dm = 34,6 mm. Damit wird Da = Dm + d = 34,6mm + 5mm = 39,6 mm. Dieser Wert überschreitet nicht den geforderten Grenzwert. Es ist dann w = Dm /d = 34,6mm/5mm = 6,92 und k = 1,2 (Tabelle 4.19). Die Nachrechnung der Federrate erübrigt sich aufgrund der geringfügigen Rundung. 6. Nachrechnung der Spannungen Vorhandene Spannungen: Wk u = k 8F1D3m Sd WNR k

8 F2 Dm Sd 3

1,2

8 ˜ 280 N ˜ 34,6 mm 3,14 ˜ 53 mm3

F2 Wk u F1

237 N/mm2

620 N ˜ 237 N/mm 2 280 N

524,7 N/mm2

Wk h = Wk o – Wk u = 524,7 N/mm² – 237 N/mm² = 287,7 N/mm² Dauerfestigkeiten nach Abb. 4.32a (nicht kugelgestrahlt) bzw. DIN EN 13906-1: Für Wk u = 237 N/mm² ist Wk O = 570 N/mm² und Wk H = 330 N/mm². Die Bedingungen des Festigkeitsnachweises sind mit Wk o = 524,7 N/mm² <Wk O = 570 N/mm² und Wk h = 287,7 N/mm² < Wk H = 330 N/mm² erfüllt. Die vorhandene Sicherheit gegen Dauerbruch beträgt SD vorh = Wk H /Wk h = 330 N/mm²/ 287,7 N/mm² = 1,15 .

4.3 Torsionsbeanspruchte Federn

175

Durch Kugelstrahlen ist eine Erhöhung dieses Wertes auf SD = 1,6 möglich. 7. Berechnung weiterer Federdaten Federwege: s1 = F1 /Rvorh = 280 N/ 16,2N/mm = 17,28 mm s2 = F2 /Rvorh = 620 N/ 16,2 N/mm = 38,27 mm sn = Fn /Rvorh = 650N / 16,2N/mm = 40,12 mm Federlängen: Lc d(nf +2)dmax = (9,5 + 2) 5 mm = 57,5 mm Sa t(0,0015w2 + 0,1)nfd =(0,0015·6,922 + 0,1)9,5·5 mm = = 8,16 mm Ln tLc + Sa = 57,5 mm + 8,16 mm = 65,66 mm L0 t Ln + sn = 65,66 mm + 40,12 mm = 105,78 mm SW = (L0 – 2d)/nf = (105,78 mm – 10 mm)/9,5 = 10,1 mm Nachrechnung des Blockzustandes: Fc = (L0 – Lc)Rvorh = (105,78 mm–57,5 mm)·16,2 N/mm = 782,1 N Wc vorh = k 8 Fc D3 m 1,2 8 ˜ 782,1 N 3˜ 34,63mm 661,9 N/mm2 3,14 ˜ 5 mm Sd Wc zul = 0,56·Rm min = 0,56·1660 N/mm2 = 929,6 N/mm2 Damit sind alle Bedingungen des Festigkeitsnachweises erfüllt. 8. Knicksicherheit K = s2 /L0 = 38,27mm/105,78mm = 0,36 O = L0 /Dm = 105,78mm/34,6mm = 3,06 Nach Abb. 4.34a und b ist die Knicksicherheit für KL = 1 (Abb. 4.33) gegeben. Zu diesem Ergebnis gelangt man auch durch Errechnung des Grenzwertes sK für die Knicksicherheit nach Gl. (4.46) 2º ª sK = 0,827 ˜ L0 «1  1  6,65§¨ 1 ·¸ » ¨K O¸ » « © L ¹ ¼ ¬

176

4 Berechnungsgrundlagen für Einzelfedern 2º ª sK = 0,827 ˜ 105,78 mm «1  1  6,65§¨ 1 ·¸ » « © 1 ˜ 3,06 ¹ »¼ ¬ = 40,38 mm > s2 = 38,27mm

und Vergleich mit dem größten Federweg. Die Bedingung sK /s2 = 40,38 mm/ 38,27 mm = 1,055 > 1 ist erfüllt. 9. Eigenfrequenz Die Eigenfrequenz f0 = q1Z2S ist mit Z nach Gleichung (4.45) und mit q1 = S (Grundschwingung, Feder beidseitig fest eingespannt), m = mF = (Sd/2)2UDmnf und U = 7,85·10–6 kg/mm³ = 7,85·10–9 Ns2/mm4 f0 = 1 Z0 2 f0

1 Gd 4 2 8mDm3 nf

1 d G ˜ 2 ˜ 2S Dm nf 2U

1 5 mm 81500 N/mm 2 ˜ ˜ 2S 34,6 2 mm 2 ˜ 9,5 2 ˜ 7,85 ˜ 10  9 Ns 2 /mm 4

159,5 s-1

Für eine mit der Grundfrequenz schwingende, jedoch nur einseitig fest eingespannte Druckfeder (ein freies Federende), gilt q1 = S/2 und es ergibt sich eine Eigenfrequenz f0 = 79,75 s–1. Berücksichtigt man beim Ansatz, dass am freien Ende dieser Feder ohne Endmasse ein Anteil der Federeigenmasse von m = mF/3 als Endmasse vorhanden ist [4.72], so erhöht sich die Eigenfrequenz auf f0 = 138,1 s–1. 4. Beispiel: Statisch belastete Zugfeder

Gegeben: F1 = 30 N; F2 = Fn = 92 N; sh = 31 mm; Da d 16 mm; TR = 5± %; Werkstoff: nichtrostender Federstahldraht X12CrNi17.7 nach DIN EN 10270-3 Gesucht: Daten der Feder (d; Dm; Da; nf; L0 ), Nachrechnungen Lösung: 1. Annahmen Nichtrostender Draht im federharten Zustand (K) mit Rm N/mm²; G = 70000 N/mm²; w = 7 ; Wzul = 0,45·Rm min

min

= 1500

4.3 Torsionsbeanspruchte Federn

177

2. Federrate Rerf = (F2 – F1 )/sh = (92N – 30N)/31mm = 2 N/mm mit den Toleranzgrenzen: Rmin = 1,9 N/mm und Rmax = 2,1 N/mm. 3. Drahtdurchmesser 8 Fn w S ˜ 0,45 ˜ Rm min

d=

8 ˜ 92 N ˜ 7 3,14 ˜ 0,45 ˜ 1500 N/mm 2

1,56 mm ;

gewählt: d = 1,6 mm. 4. Windungszahl nf =

Gd 4 8 Dm3 Rerf

Gd 8w3 Rerf

70000 N/mm 2 ˜ 1,6 mm 8 ˜ 73 ˜ 2 N/mm

20,4 ;

gewählt: nf = 21 5. Windungsdurchmesser Dm =

3

Gd 4 8nf Rerf

3

70000 N/mm 2 ˜ 1,6 4 mm 4 8 ˜ 21 ˜ 2 N/mm

11,09 mm ;

gewählt: Dm = 11,1 mm. Damit ergibt sich Da = Dm + d = (11,1 + 1,6)mm = 12,7 mm und w = Dm /d = 11,1mm/1,6mm = 6,94 sowie k = 1,2 (Tabelle 4.19). Eine Nachrechnung der Federrate kann entfallen, da Rerf | Rvorh . 6. Nachrechnung der Spannungen Rm min = 1700 N/mm² für Durchmesserbereich d = 1,5...2 mm nach DIN EN 10270-3 Wzul = 0,45·Rm min = 0,45·1700 N/mm² = 765 N/mm² Wvorh = k 8 Fn D3 m Sd

1,2

8 ˜ 92 N ˜ 11,1mm 3,14 ˜ 1,63 mm3

= 762,2 N/mm2 < Wzul = 765 N/mm² 7. Vorspannkraft Die Einbaulänge L1 wird um so geringer, je kleiner der Federweg s1 sein kann. Dieser hängt von der Größe der eingewickelten Vorspannkraft F0

178

4 Berechnungsgrundlagen für Einzelfedern

ab. Ohne eingewickelte Vorspannung würde der Federweg s1 = F1 /Rvorh = 30mm/2N/mm = 15 mm sein. Für das vorliegende Wickelverhältnis w = 6,94 ist nach Tabelle 4.20 eine innere Vorspannung von Wi0 = 0,1·Wzul möglich. Das ergibt dann Wi0 = 0,1·765 N/mm² = 76,5 N/mm² und damit eine Vorspannkraft F0 =

Sd 3 Wi 0 8 Dm

3,14 ˜ 1,63 mm3 ˜ 76,5 N/mm 2 8 ˜ 11,1 mm

11,1 N.

Der erforderliche Vorspannweg ist folglich s1 = (F1 – F0 )/Rvorh = (30 N – 11,1 N)/ 2 N/mm = 9,45 mm. 8. Längen der Feder (s. Tabelle 4.21) LK = (nf + 1)d = (21 + 1)1,6mm = 35,2 mm LH |0,8(Dm – d) = 0,8(11,1mm – 1,6mm) = 7,6 mm (Öse Form A, Abb. 4.38) L0 = LK + 2LH = 35,2mm + 2·7,6mm = 50,4 mm L1 = L0 + s1 = 50,4mm + 9,45mm = 59,85 mm L2 = Ln = L1 + sh = 59,85mm + 31mm = 90,85 mm 5. Beispiel: Druckfeder mit progressiver Kennlinie

Gegeben: Daten der Federkennlinie: F1 = 19 N; F2 = 54 N; F3 = 105 N; F4 = 172 N; s1 = 10 mm; s2 = 20 mm; s3 = 30 mm; s4 = 40 mm; Da d 28 mm; Lc d50 mm Werkstoff: patentierter Federstahldraht nach DIN EN 10270-1 Gesucht: Daten der Feder, die mit inkonstanter Windungssteigung gewickelt werden soll (d; Dm; n = nf ; L0 ; aW), Nachrechnungen Lösung: 1. Annahmen Für den Entwurf wird zunächst patentierter Federstahldraht mit Rm min = 1600 N/mm² angenommen, so dass mit Wzul = 0,5·Rm min = 0,5·1600 N/mm² = 800 N/mm² und einem Gleitmodul G = 81500 N/mm² gerech-

4.3 Torsionsbeanspruchte Federn

179

net werden kann. Ferner wird Dm = 22 mm gewählt und Fn = F4 sowie Fc = 1,12·Fn angenommen. 2. Drahtdurchmesser Nach Tabelle 4.18 ist d t 3 8 Fn Dm SWzul

3

8 ˜ 172 N ˜ 22 mm 3,14 ˜ 850 N/mm 2

2,29 mm

Gewählt: d = 2,4 mm mit Rm min = 1700 N/mm² (Sorte SM) und Rm min = 1920 N/mm² (Sorte DM). Damit ist w = Dm /d = 22mm/2,4mm = 9,17 und k = 1,15. 3. Nachrechnung der Spannungen Wmax Wc

Wk k

k

8Fn Dm Sd 3

8 ˜ 1,12 Fn Dm Sd 3

1,15 ˜ 1,15

8 ˜ 172 N ˜ 22 mm 3,14 ˜ 43 mm3

8 ˜ 1,12 ˜ 172 N ˜ 22 mm 3,14 ˜ 43 mm3

802 N/mm2 898,2 N/mm2

Wzul = 0,5·1700 N/mm² = 850 N/mm² (Sorte SM) und Wzul = 960 N/mm² (Sorte DM) Wc zul = 0,56·Rm min = 952 N/mm² (Sorte SM); Wc zul = 1097,6 N/mm² (Sorte DM) Federstahldraht Sorte SM erfüllt die Bedingungen des Festigkeitsnachweises. 4. Erforderliche Gesamtzahl der Windungen und Federlänge Die spezifische Federung einer Windung ist nach Gl. (4.56) 3 CW = 8Dm4 Gd

8 ˜ 223 mm3 81500 N/mm2 ˜ 2,4 4 mm4

0,0315 mm/N .

Die Gesamtzahl (federnder Anteil, n = nf ) ist dann nach Gl. (4.55) n=

Gd 4 s1 8 Dm3 F1

s1 CW F1

10 mm 0,0315 mm/N ˜ 19 N

gewählt: n = 16,5 und als Blocklänge ergibt sich damit

16,71 ,

180

4 Berechnungsgrundlagen für Einzelfedern

Lc = (n + 2)dmax = (16,5 + 2)2,4 mm = 44,4 mm < Lc max = 50 mm. Nach Gl. (4.60) ist der Federweg bis zum Erreichen des Blockzustands sc = s3 + (Fc–F3) s4  s3 F4  F3 = 43,1 mm

30mm  1,12 ˜ 172  105 N

40  30 mm 172  105 N

und damit die Länge der ungespannten Feder L0 = Lc + sc = 44,4 mm + 43,1 mm = 87,5 mm. 6. Windungsabstände Die einzelnen Windungsabstände sind nach Gleichung (4.57) aW1 = CW·F1 = 0,0315mm/N·19N = 0,599 mm aW2 = CW·F2 = 0,0315mm/N·54N = 1,701 mm aW3 = CW·F3 = 0,0315mm/N·105N = 3,308 mm aW4 = CW·F4 = 0,0315mm/N·172N = 5,418 mm 7. Teilwindungszahlen Für die einzelnen Steigungsabschnitte der Feder ergeben sich nach Gl. (4.58) folgende (federnde) Windungszahlen: n1 = n – (s2 – s1)/(aW2 – aW1 ) = = 16,5 – (20 – 10) mm/ (1,701 – 0,599) mm = 7,43; gewählt: n1 = 7,5 n2 = n – n1 – (s3 – s2)/(aW3 – aW2) = = 16,5 – 7,5 – 10 mm/ (3,308 – 1,701) mm = 2,77; gewählt: n2 = 2,75 n3 = n – n1 – n2 – (s4 – s3)/(aW4 – aW3) = = 16,5 – 7,5 – 2,75 – 10 mm/ (5,418 – 3,308) mm = 1,51; gewählt: n3 = 1,5 und n4 = n – n1 – n2 – n3 = 16,5 – 7,5 – 2,75 – 1,5 = 4,75.

4.3 Torsionsbeanspruchte Federn

181

6. Beispiel: Kegeldruckfeder mit konstantem Windungsabstand

Gegeben: d = 10 mm; Da1 = 105 mm; Dam = 50 mm; n = nf = 9; nt = 11; L0 = 240 mm; Werkstoff: 55Cr3 vergütet auf Rm t1600 N/mm²; G = 78500 N/mm² Gesucht: Nachrechnung der Tragfähigkeit der Feder (Fzul ; szul ) Lösung: 1. Berechnung der Blocklänge der Feder Die Blocklänge ist nach Gl. (4.73) mit rK1 = (Da1 – d)/2 = (105 mm – 10 mm)/2 = 47,5 mm rKm = (Dam – d)/2 = (50 mm – 10 mm)/2 = 20 mm und § · b = d  ¨ rK1  rKm ¸ ¨ n ¸ f © ¹

2

2

2

§ 47,5  20 · 2 10 2 mm 2  ¨ ¸ mm 9 © ¹

9,52 mm

Lc = b·nf + 2d = 9,52 mm·9 + 20 mm = 105,7 mm. Der Federweg bis zum Erreichen des Blockzustands ist dann sc = L0 – Lc = 240mm –105,7mm = 134,3 mm. 2. Zulässige Verdrehspannung Wzul = 0,5·Rm min = 0,5·1600N/mm² = 800 N/mm² 3. Federkennlinie Für Kegeldruckfedern mit konstantem Windungsabstand ist aW1 = aW2 = ... = aWm = sc /nf = 134,3 mm/9 = 14,92 mm und die Kräfte lassen sich nach Gl. (4.68) über die Abkürzung 4 q= Gd ˜ sc 64 nf

78500 N/mm2 ˜ 104 mm 4 8 3 ˜ 14,92 mm 1,83·10 N/mm 64

und nach Umstellen der Gl. (4.70) nach rKx = rK1 – (rK1 – rKm)nx /nf bestimmen F1, 2....m = q/rK 1, 2 ....m ,

182

4 Berechnungsgrundlagen für Einzelfedern

wobei die Windungszahl im Bereich 0 dnf d9 beispielsweise in Stufen von 0,5 Windungen variiert wird. Die Ergebnisse dieser Rechnung sind in der folgenden Tabelle zusammengestellt. Bei den Berechnungen sind ferner die Beziehungen für die Schubspannung W = 16·F1, 2 ....m ·rK 1, 2 ....m /Sd 3 = 0,0051mm–3·F1, 2 ....m ·rK 1, 2 ....m und für den Federweg nach Gl. (4.69) bis (4.72) verwendet worden. 4. Tragfähigkeit Die Kegelstumpffeder kann bei Ausnutzung der zulässigen Verdrehspannung eine Kraft Fzul = 4595 N aufnehmen, wobei ein Federweg szul = 102 mm zurückgelegt wird. Der Federweg bis zum Erreichen des Blockzustands kann nicht voll genutzt werden. Um eine Überlastung der Feder zu verhindern, sind konstruktive Vorkehrungen zu treffen. 5. Ergebnisse zum Beispiel „Kegeldruckfeder“ (x = 1, 2 ... m) nx 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,3 4,37 4,4 4,5 5 5,5 : : 8,5 9

rK x in mm 47,5 45,97 44,44 42,92 41,39 39,86 38,33 36,81 35,28 34,36 34,15 34,06 33,75 32,22 30,69 : : 21,53 20

Fx in N 1707,5 1883,8 2085,1 2314,6 2580,9 2889,6 3249,6 3669,1 4167,4 4511,2 4595,0 4631,5 4760,2 5471,1 6330,8 : : 18336,6 22875,0

Wx in N/mm² 413,3 441,3 472,2 506,2 544,3 586,9 634,7 688,2 749,2 789,8 799,6 803,8 818,6 898,2 990,0 : : 2011,6 2331,2

sax in mm 0 7,5 14,9 22,4 29,8 37,3 44,8 52,2 59,7 64,2 65,2 65,7 67,2 74,6 82,1 : : 126,8 134,3

sbx in mm 56,2 54,1 52,0 49,9 47,8 45,6 43,3 41,0 38,6 37,1 36,8 36,6 36,1 33,5 30,7 : : 6,7 0

sx in mm 56,2 61,6 66,9 72,3 77,6 82,9 88,1 93,2 98,3 101,3 102,0 102,3 103,3 108,1 112,8 : : 133,5 134,3

5 Entwurf von Federanordnungen

Federn werden zwar als Einzelfedern berechnet und gestaltet, aber stets im Verbund mit Bauteilen betrieben. Derartige Anordnungen mit Bauteilen stellen immer schwingungsfähige Systeme dar. Dieser Umstand sowie die Anforderungen an die Gestaltung der Koppelstellen mit den Bauteilen haben Auswirkungen auf den Federentwurf. Viele Federn werden nicht als Einzelfedern eingesetzt, sondern zu Säulen oder anderen Anordnungen geschichtet bzw. als Federsätze verwendet. Das trifft sowohl für Blattfedern, Ringfedern, Tellerfedern und Federscheiben, die in geschichteter Form zum Einsatz kommen, als auch für Schraubenfedern zu, die als Federsätze verwendet werden. Spezielle Federn und besondere Anordnungen führen zu einem bestimmten Verhalten der Baugruppe, von denen Anordnungen, bei denen die Federkraft im Zuge der Bauteilbewegung konstant bleibt (Gleichkraftverhalten) und Anordnungen, bei denen durch Federn Massenkräfte kompensiert werden, besondere Bedeutung erlangt haben. Die Aufgabe von Federn, die Bewegung von Bauteilen in einem vorgegebenem Zeitregime zu vollziehen, führt zu Anordnungen, die als Federantriebe bezeichnet werden. Bei diesen Anordnungen steht das dynamische Verhalten des Feder-Masse-Systems mit zum Teil recht komplizierten Zusammenhängen im Vordergrund.

5.1 Geschichtete Anordnung von Einzelfedern 5.1.1 Geschichtete Blattfedern Aufbau und Einsatz. Geschichtete Blattfedern können je nach Anforderung verschieden angeordnet und gestaltet sein. Die Schichtung erfolgt beim Grundaufbau dieser Federn zunächst mit unterschiedlich langen Blattfedern gleichen Querschnitts, so dass sich bei linearer Stufung ein dreieckförmiger Federsatz ergibt. Die in Abb. 5.1 dargestellte Form ist somit als Grundform zu bezeichnen, die gleichzeitig auch die Grundlage für den Berechnungsansatz bildet. Die Einzelfedern in einem solchen Federsatz werden als Federlagen bezeichnet.

184

5 Entwurf von Federanordnungen

Eine unterschiedliche Gestaltung erreicht man durch Variation der Zusammensetzung der Lagendicken, der Abstufung der Lagenlängen und der Anzahl n' der bis an die Federenden durc hgeführten Federlagen. Konstruktive Vorkehrungen ermöglichen ein „Zuschalten“ bzw. „Abschalten“ von Teilfedern (Zusatzfedern), so dass auch ein progressives Kennlinienverhalten (s. Abb. 5.2b) realisierbar ist. Dieses Verhalten, bei dem die Eigenfrequenz belastungsabhängig ist, wirkt sich günstig auf das Schwingungsverhalten bei Fahrzeugfederungen aus. Die Reibung zwischen den Federblättern (-lagen) erfordert bei Belastung eine größere Kraft, um eine bestimmte Verformung entsprechend der theoretischen Kennlinie zu erzielen (Abb. 5.2a). Die Rückstellkraft bei Entlastung ist kleiner als die Federkraft ohne Berücksichtigung der Reibung. Wie Abb. 5.2 zum Ausdruck bringt, weist die Federkennlinie einer geschichteten Blattfeder reibungsbedingte Unterschiede zwischen Belastungs- und Entlastungsrichtung auf. Der Nullpunkt der Federkennlinie wird bei Entlastung nur theoretisch erreicht. Es ist wie bei allen reibungsbehafteten Federn mit Hysterese (s. Abb. 2.3) zu rechnen. Die Mittellinie (1) zwischen Belastungskurve (2) und Entlastungskurve (3) nach Abb. 5.2a entspricht in guter Näherung der theoretischen Federkennlinie. Die Größe der Reibungsverluste hängt von der Lagenzahl n, der Federform und dem Wartungszustand der Feder ab. Bei neuen, gut geschmierten Federn liegen die Reibungskräfte in der Größenordnung von 2 bis 5 % der Federkräfte. Im Laufe des Betriebes kann dieser Prozentsatz, durch Korrosion und Verschleiß bedingt, auf 20 % ansteigen.

F

l

2F

h

2F l

F F

F

b/2

L

s

b0

b

F

l

Abb. 5.1. Geschichtete Blattfeder (Aufbau, Modellvorstellung und Berechnungsansatz)

5.1 Geschichtete Anordnung von Einzelfedern

185

Geschichtete Blattfedern unterliegen je nach Wartung einem mehr oder minder großem Verschleiß. Dieser lässt sich durch spezielle Oberflächenbehandlungen, Oberflächenbeschichtungen, durch Anordnung von Gleitpilzen an den Federenden und durch den Einsatz von Zwischenlagen aus speziellen Kunststoffen mindern. F

F 2

F3

1 3

F2 F1

a)

s

b)

s1

s2

s3 s

Abb. 5.2. Federkennlinien geschichteter Blattfedern a) Einfluss der Reibung (1 theoretische Kennlinie; 2 bei Belastung; 3 bei Entlastung); b) progressiver Verlauf durch Federstufungen

Zur Befestigung und Kraftübertragung in horizontaler und vertikaler Richtung wird die erste Federlage mit sogenannten Federaugen versehen, die auf Spezialmaschinen angerollt werden. Die Augen dienen als Aufnahme für Lagerbolzen, Gleitbuchsen, Silentbuchsen und Gummilager. Die zweite Lage wird häufig teilweise angerollt, um das Auge der ersten Lage zu unterstützen. Die Federlagen werden durch Federschrauben (DIN 4626) zusammengehalten. Das Ausfächern der einzelnen Blätter wird durch Verwenden von Federklammern nach DIN 4621 verhindert. Aufbau und Federungsverhalten ermöglichen vor allem einen Einsatz dieser Federn im Fahrzeugbau als Tragfedern. Insbesondere werden Starrachsen durch längsliegende Blattfedern mit dem Fahrzeugaufbau verbunden. Die schwingungsdämpfende Eigenschaft infolge der Reibung zwischen den einzelnen Federblättern ist einerseits von Vorteil, anderseits aber wegen des damit verbundenen Verschleißes auch von Nachteil. Berechnung, Berechnungsmodell. Nach dem Berechnungsmodell in Abb. 5.1 wird von einer vertikal zur Feder gerichteten Belastung Fges = 2F, einer gestreckten Form (in der Praxis sind die einzelnen Federblätter vorgeformt) der Feder von der Länge L =2l und dem Vorhandensein nur kleiner Verformungen ausgegangen. Grundlage der Beziehung für den Federweg

186

5 Entwurf von Federanordnungen

s=

6 Fl 3 Enbh3

(5.1)

einer Feder mit n Federblättern bildet eine einseitig eingespannte Dreieckfeder nach Tabelle 4.3 mit I01 = b0h3/12; b0 = nb und K1 = 1,5, woraus sich auch die Beziehung für eine beidseitig aufliegende Blattfeder mit n Federblättern und L = 2l zu s=

3Fl 3 8 Enbh 3

(5.2)

ergibt. Die Dreieckspitzen sind ungünstig (großer Verschleiß). Deshalb werden die Federblattenden meist trapezförmig ausgeführt. Zur Unterstützung des Hauptblattes werden in besonderen Anwendungsfällen Federblätter beigelegt, die bis unter die Federaugen bzw. Krafteinleitungsstellen an den Federenden führen. Für diesen Fall wird bei den Berechnungen von einer trapezförmigen Blattfeder (s. Tabelle 4.3) ausgegangen. Es entstehen die in Tabelle 5.1 zusammengestellten Berechnungsbeziehungen. Bei gleichdicken Federblättern (h = konstant) ist die Biegespannung Vb =

3Fl , nbh 2

(5.3)

die mit dem zulässigen Wert zu vergleichen ist. Werkstoffe und zulässige Spannungen. Ausgangsmaterial für geschichtete Blattfedern ist warmgewalzter Federstahl nach DIN EN 10089, dessen Abmessungen und Toleranzen DIN 4620 enthält. Für den Entwurf wird allgemein bei stationärer Belastung mit Vb zul d 0,65·Rm min

(5.4)

und bei instationärer Belastung mit Vb zul dVb m + 0,75·Vb A

(5.5)

gerechnet. Beispielsweise ergeben sich bei einem Federstahl 50CrV4, der auf HB 380 vergütet ist, mit Rm min = 1400 N/mm² bei stationärer Belastung Vb zul = 910 N/mm² und bei instationärer Belastung mit einer Mittelspannung Vb m = 500 N/mm² und einer Ausschlagsdauerfestigkeit Vb A = 320 N/mm² Vb zul = 740 N/mm² als zulässige Biegespannungen. Bei der Auslegung von geschichteten Blattfedern im Fahrzeugbau wird bei

5.1 Geschichtete Anordnung von Einzelfedern

187

Tabelle 5.1. Berechnungsgrundlagen für beidseitig gelagerte und geschichtete Blattfedern Modellbild und Kräfteansatz

Funktionsnachweis Festigkeitsnachweis smin d s d smax? Rmin d R d Rmax ? Vb vorh d Vb zul ?

a) Einblattfeder, Rechteckform (beidseitig aufliegend, symmetrisch belastet, konstante Dicke) F = F g /2

b

s

s

R

h

L = 2·l

FL3 48 EI

Fl 3 6 EI

48 EI

6 EI

L3

l3

FL 4W b

Vb

Fl 4W b

___________________________________________________________________________________ b) Geschichtete Blattfeder (vereinfacht dargestellt; n' Anzahl zusätzlicher Federblätter mit L = 2l) - bei symmetrischem Aufbau (la = lb = l) 6 Fl 12 Fl 3 Vb F F s nbh 2 2n  n' Ehb 3 - bei asymmetrischem Aufbau (la z lb z l ) 12 Fl a2 l b2 s 2n  n' Ebh 3l

2F lb= l

la = l

6 Fl a l b

Vb

nbh 2 l

___________________________________________________________________________________ c) Zweistützpunktfeder, symmetrisch

F

F

l

F 2a

F

aº ª n  2n  n' » l¼ 12 Fl 3 «¬ ˜ 2n  n' n Ebh 3

s

6 Fl

Vb

nbh 2

l

___________________________________________________________________________________ d) Einblattfeder, Rechteckform (symmetrisch, veränderliche Dicke nach hx = h0(x/l)0,5 )

s

x h1

hx

h0

Fg = 2·F

F

R

F lE

b

lA

lb = l

la = l

lA

4 Fl 3 ª« § h1 2  ¨¨ Ebh03 «¬ © h0

· ¸¸ ¹

3º

» » ¼

Vb

6 Fl bh02

Ebh03 ª § h ·3 º 2l 3 «2  ¨¨ 1 ¸¸ » « © h0 ¹ » ¬ ¼

l  l E §¨¨ h1 ·¸¸

2

© h0 ¹

___________________________________________________________________________________ e) Geschichtete Parabelfeder (symmetrisch, veränderliche Dicke nach hx = h0(x/l)0,5 ) 2F

F

2lE L = 2·l

s

4 Fl 3 ª« § h1 2  ¨¨ nEbh03 «¬ © h0

· ¸¸ ¹

3º

» » ¼

Vb

6 Fl nbh02

F

n Anzahl der Einzelfedern; h0 Dicke in Federmitte; h1 Dicke am Federende

________________________________________________________________________________________________________

188

5 Entwurf von Federanordnungen

x KFZ-Vorderfedern mit Vb zul d 450 N/mm², x KFZ-Hinterfedern mit Vb zul d 550 N/mm² und x Federn für Schienenfahrzeuge mit Vb zul d 700 N/mm² gerechnet [2][5][12][15][20][5.61]. 5.1.2 Anwendungen der Ringfeder® 5.1.2.1 Ringfederelement

Aufbau. Ringfedern werden selten als Einzelfedern sondern immer als Kombination von Innen- und Außenringen eingesetzt. Grundelement dieser Feder ist ein Ringpaar mit korrespondierenden Kegelflächen (s. Abb. 4.3a). Bei Einwirken einer Kraft in axialer Richtung auf ein solches Ringfederelement entstehen, bedingt durch den Kegelwinkel E, Radialkräfte (Abb. 4.3b), die zu Verformungen der Ringe führen. Es kommt zu Relativbewegungen der sich berührenden Kegelflächen und infolge der wirkenden Normalkräfte zu Reibkräften, die der jeweiligen Bewegungsrichtung der Kegelflächen entgegen wirken. Aus diesen Eigenschaften resultieren vielseitige Einsatzmöglichkeiten. Einsatz. Zur Vergrößerung des Federwegs werden Ringfederelemente durch Schichten der Ringe zu Federsäulen in einer Reihenschaltung angeordnet. Die Reibungskräfte zwischen den einzelnen Ringkontaktstellen bewirken eine hohe Dämpfung. Diese Anordnung wird vom Hersteller [5.68] demzufolge auch als Reibungsfeder RINGFEDER® bezeichnet. Deren Berechnung wurde bereits im Abschnitt 4.1.2 behandelt. Die Verformung der Ringe führt zu einer Durchmesservergrößerung der Außenringe und zu einer Durchmesserverkleinerung der Innenringe. Dieser Umstand wird beim Einsatz der Ringfederelemente für Wellen-NabenVerbindungen durch Spannelemente, Schrumpfscheiben und Spannsätze genutzt. Somit lassen sich aus den möglichen Anordnungen der Ringfederelemente zwei wesentliche Anwendungsbereiche ableiten: 1. Kombination der Ringe zu einer Ringfedersäule (Reibungsfeder Ringfeder®) 2. Verwendung als elastische Spannelemente bei der Gestaltung von Wellen-Naben-Verbindungen (Spannelement = Ringfederelement). 5.1.2.2 Berechnung und Gestaltung von Spannelementen

Aufbau. Spannelemente mit Ringfedern können prinzipiell als nabenseitige oder wellenseitige Verspannung aufgebaut werden (Abb. 5.3). Die Ver-

5.1 Geschichtete Anordnung von Einzelfedern

189

spannung erfolgt in axialer Richtung durch Schrauben über einen entsprechend gestalteten Druckflansch. Über die Verbindung sind zwischen Nabe und Welle Drehmomente Mt und Axialkräfte Fa übertragbar. Kräfte und Momente. Der Verspannungszustand wird, wie Abb. 5.4 zeigt, in drei Stufen erreicht. Infolge des Spiels zwischen Ringfederelement und Wellen- bzw. Nabendurchmesser ist der Ausgangszustand (1. Stufe) durch Fa = 0; p = 0 und Mt = 0 gekennzeichnet. In der zweiten Stufe wird durch Einwirken der Kraft F0 und die damit verbundene Ringverformung das gesamte Spiel überwunden. Die Ringe des Ringfederelementes kommen im Fugenbereich zur Anlage. Dieser Zustand ist durch Fa = F0; p = 0 und Mt = 0 gekennzeichnet. Der Verspannungszustand ist in der 3. Stufe mit Einwirken der Axialkraft FA erreicht. Dann gelten Fa = FA + F0 ; p = f(FA; μ ; ...) und Mt = f( p; d). a)

t DF

x

b) x

d D

dLW

D

d

d LN

d Schr

dSchr

t DF

Abb. 5.3. Wellen-Naben-Verbindung mit Spannelementen, vereinfachte Darstellung (nach [5.68]) a) Nabenseitige Verspannung; b) Wellenseitige Verspannung (x Spannweg; tDF Druckflanschdicke) 1. Stufe

2. Stufe

3. Stufe pN

F0

F0

Fa

Fa

d

D

pW

Abb. 5.4. Stufen des Verspannungszustands eines Spannelements (Ringfederelement), nach [5.68]

190

5 Entwurf von Federanordnungen

Die Spannkraft F0 zur Verformung der Ringe ist insbesondere bei kleinen Ringabmessungen nicht zu vernachlässigen. Sie ergibt sich für geölt eingebaute Spannelemente mit der tragenden Länge l aus [5.68] und μ = 0,12 näherungsweise aus F0 | 277000 N/mm 2 ˜ S ˜ l ˜

Dd , Dd

(5.6)

wobei für das Spiel der Größtwert S = Smax in mm aus der Differenz der Durchmesser entweder zwischen Außenring und Nabenbohrung oder zwischen Innenring und Welle einzusetzen ist. Die Werte für das Spiel ergeben sich aus Tabelle 5.2. Die Oberflächen von Welle und Nabenbohrung sollten eine Rauhtiefe Rt d 6 μm besitzen. Wellendurchmesser d in mm bis 38 über 38

Tabelle 5.2. Toleranzen für den SpannelementeEinbau

Ringfeder- Welle Nabenelement bohrung E7/f7 h6 H7 E8/e8 h8 H8

Erst die über die Kraft F0 hinausgehende Axialkraft FA = Fa – F0 ruft die zur Übertragung des Drehmoments Mt = μ·FN·d/2 erforderliche Normalkraft FN

FA tan E  2P

(5.7)

p ˜ Atr

mit der jeweils in der Fuge herrschenden Pressung p und der tragenden Fugenfläche des Innen- bzw. Außenringes hervor. Das durch ein Spannelement übertragbare Drehmoment ergibt sich dann aus Mt1

P ˜ FA d ˜ tan E  2P 2

.

(5.8)

Bei n hintereinander geschalteten Spannelementen gilt Mt n

qn 1 ˜ Mt1 q 1

(5.9)

mit q = tanß/(tanß + 2μ) als Quotient einer geometrischen Reihe, nach der sich die Normalkräfte in den einzelnen Elementen infolge der Reibverluste verringern.

5.1 Geschichtete Anordnung von Einzelfedern

191

Die Flächenpressung in der Wellenfuge ist dann pW

FA Atr tan E  2P

(5.10)

und in der Nabenfuge pN

pW ˜

d . D

(5.11)

Als zulässige Werte (Grenzwerte) für übertragbare Kräfte und Momente ergeben sich für eine Hohlwelle mit dem Innendurchmesser di unter Berücksichtigung der Streckgrenzwerte der jeweiligen Bauteilwerkstoffe (s. Tabelle 5.3) und pW < Rp 0,2 W bei nabenseitiger Verspannung nach Abb. 5.3a pW zul

ª § di ·2 º 5 | Rp 0,2 W «1  ¨ ¸ » 6 ¬« © d ¹ ¼»

(5.12a)

und einer wellenseitigen Verspannung nach Abb. 5.3b pW zul |

ª § d  d ·2 º 5 Rp 0,2 W «1  ¨ 1 Schr ¸ » . 8 d ¹ ¼» ¬« ©

(5.12b)

Für Naben nach Abb. 5.3b gilt mit pN < Rp 0,2 N pN zul |

5 D2  D2 Rp 0,2 N N2 6 DN  D 2

(5.13a)

und für Naben nach Abb. 5.3a 2

pN zul |

D  dSchr  D 2 5 Rp 0,2 N N 8 DN  dSchr 2  D 2

.

(5.13b)

Konstruktionsbeispiele. Die Zentrierung der Nabe der auf der Welle zu befestigenden Räder, Riemenscheiben und anderen Bauteilen erfolgt durch übliche Passungen. Spannschrauben können sowohl im Nabenteil als auch in der Welle angeordnet werden (s. Abb. 5.3), wobei eine zentrale Spann-

192

5 Entwurf von Federanordnungen

Tabelle 5.3. Festigkeitswerte (Mindestwerte) ausgewählter Bauteilwerkstoffe (nach [5.68]) Werkstoff Benennung DIN-Nr. Kurzbez. Rohre 1629 St45 St52 Allgemein 17100 St42-3 e BauSt50-2 stähle St60-2 Vergü17200 Ck45 tungsstähle 34Cr4 25CrMo4 50CrV4 Einsatz17210 Ck15 stähle 20MnCr5 18CrNi8 Stahlguß 1681 GS-45 GS-60 GS-70 Grauguß 1691 GG-20 GG-30 GG-40 Temperguß 1692 GTW-40 GTS-45 Gußeisen 1693 GGG-40 m. Kugelg. GGG-60

Werkst.-Nr. 1.0408 1.0831 1.0136 1.0532 1.0542 1.1191 1.7033 1.7218 1.8159 1.1141 1.7147 1.5920 1.0443 1.0553 1.0554 0.6020 0.6030 0.6040 0.8040 0.8145 0.7040 0.7060

Werkstoffeigenschaften Rp 0,2 in N/mm² Rm in N/mm² 245 440 345 510 235 410 275 490 315 590 375 620 460 690 410 640 590 780 355 590 540 780 685 1080 230 450 300 600 420 700 120 200 200 300 220 400 220 400 300 450 250 400 380 600

Bem. ¹ ² ³

³

¹ Werte für Wanddicken 16 < s d 40 mm; ² Werte für 40 < d d 100 mm; ³ Werte im vergüteten Zustand

schraube nur bei kleinen zu übertragenden Kräften und Momenten verwendet wird. Für die Lochkreisdurchmesser der Spannschrauben werden für die Nabe dLN = D + 10 + dSchr

(5.14a)

und für die Welle dLW = d – 10 – dSchr

(5.14b)

als empirisch ermittelte Beziehungen empfohlen [5.68]. Die Kräfte, die über den Druckflansch geleitet werden, sind erheblich. Die Flanschdicke tDF ist dementsprechend zu bemessen. Die Abb. 5.5 bis 5.8 zeigen einige Anwendungsbeispiele (nach [5.68]).

5.1 Geschichtete Anordnung von Einzelfedern

Abb. 5.5. Befestigung eines Kegelrades

Abb. 5.7. Befestigung eines Kettenrades mit drei Spannelementen

193

Abb. 5.6. Rohrverschluss mit einem Spannelement

Abb. 5.8. Befestigung eines Keilriemenscheibenpaares mit je zwei Spannelementen

5.1.3 Tellerfedersäulen Aufbau und Einsatz. Tellerfedern werden sowohl als Einzelfedern als auch zu Paketen und Säulen kombiniert eingesetzt. Die Kombination zu Paketen und Säulen erfolgt mit dem Ziel, durch 1. Parallelschaltung von Einzelfedern große Kräfte aufnehmen zu können, durch 2. Reihenschaltung größere Federwege zu ermöglichen und durch 3. kombinierte Schichtung bestimmte Federkennlinien zu erzielen. Die Abb. 5.9 und 5.10 zeigen dazu einige Beispiele. Beim Einsatz geschichteter Tellerfedern ist zu beachten, dass die zu erwartende Lebensdauer der Gesamtanordnung (Tellerfedersäule) durch den Spannungszustand des höchstbeanspruchten Teilbereichs der Einzelfedern bestimmt wird.

194

5 Entwurf von Federanordnungen

a)

F

b)

i=1

n=1

F

s

n=2

s

c)

F

i=1

d)

i=4

n=1

F

i=4

s

n=2

s

Abb. 5.9. Schematische Darstellung der Federkennlinien geschichteter Tellerfedern gleicher Abmessungen nach [5.65] a) Federkennlinie einer Einzeltellerfeder (i = 1; n = 1); b) Federkennlinie einer Tellerfedersäule, die aus einem Tellerfederpaket gleichsinnig geschichteter Tellerfedern besteht (i = 1; n = 2); c) Federkennlinie einer Tellerfedersäule, die aus vier wechselsinnig geschichteten Tellerfedern besteht (i = 4; n = 1); d) Federkennlinie einer Tellerfedersäule, die aus vier wechselsinnig geschichteten Tellerfederpaketen mit je zwei gleichsinnig geschichteten Tellerfedern besteht (i = 4; n = 2)

In Abb. 5.10 werden prinzipielle Möglichkeiten für das Schichten von Tellerfedern zu Tellerfedersäulen gezeigt, um einen progressiv ansteigenden Kraftverlauf zu erhalten. Da Einzeltellerfedern eine lineare bis degressive Kraft-Weg-Kennlinie besitzen (s. Abb 4.21), bedarf es besonderer Anordnungen zur Erzielung progressiver Kennlinienverläufe. Dabei wird immer vom gleichen Grundprinzip ausgegangen, Teilbereiche der Federsäule bei Erreichen einer bestimmten Federung „abzuschalten“. Das kann konstruktiv durch spezielle Anschläge, durch die bei Überschreiten gewünschter Federkräfte einzelne Bereiche der Gesamtfeder blockiert werden, oder durch Schichtung von Tellerfedern unterschiedlicher Abmessungen, und damit unterschiedlicher Federraten (Abb. 5.10a), erreicht werden. Unterschiedliche Federraten in Abschnitten einer Tellerfedersäule lassen sich auch durch wechselsinniges Schichten von Tellerfederpaketen mit einer unterschiedlichen Anzahl Tellerfedern mit gleichen Abmessungen er-

5.1 Geschichtete Anordnung von Einzelfedern

195

reichen (Abb. 5.10b). Dadurch wird eine unterschiedliche Tragfähigkeit der Teilbereiche erreicht. Das Kraft-Weg-Verhalten dieser Anordnung ist dann dadurch gekennzeichnet, dass bei Erreichen der Federkraft F1 die Tellerfedern im Bereich 1 der Säule in Planlage gelangen und somit bei der weiteren Einfederung ausscheiden. Analoges erfahren die Tellerfedern in den weiteren Bereichen der Säule. a) 1

3

2

F

3 2+3 1+2+3

s

b) 3

1 2

F

3

2+3

1+2+3

s

Abb. 5.10. Progressive Federkennlinie durch verschiedene Schichtungsmöglichkeiten der Tellerfedersäule (Bereich 1, 2, 3), nach [5.65] a) Kombination von Tellerfedern unterschiedlicher Abmessungen (i = 6; n = 1) b) Tellerfedersäule durch Schichten unterschiedlicher Tellerfederpakete mit jeweils gleichen Tellerfedern (i = 6; n1 = 1; n2 = 2; n3 = 3)

Gestaltung. In Tellerfedersäulen angeordnete Tellerfedern müssen geführt werden. Dabei ist zwischen den Führungselementen (bevorzugt wird ein Dorn mit dem Durchmesser dDo verwendet) und dem Innen- bzw. Außendurchmesser der Tellerfedern ausreichendes Spiel (SFü = Di – dDo bzw. SFü = DH – Da ) vorzusehen. Empfehlungen zur Größe des Spiels nach DIN 2093 und [5.65][5.67] enthält Tabelle 5.4.

196

5 Entwurf von Federanordnungen

Tabelle 5.4. Empfohlenes Führungsspiel SFü bei Tellerfedersäulen

Di bzw. Da in mm bis 16 > 16 bis 20 > 20 bis 26 > 26 bis 31,5 > 31,5 bis 50 > 50 bis 80 > 80 bis 140 > 140 bis 250

SFü in mm 0,15 bis 0,2 0,20 bis 0,3 0,25 bis 0,4 0,30 bis 0,5 0,40 bis 0,6 0,60 bis 0,8 0,75 bis 1,0 1,20 bis 1,6

Die Endteller einer Tellerfedersäule sollten sich mit dem Außenrand auf der Gestell- bzw. Druckplatte (Führungsplatte) abstützen. Verbesserungen der Auflage- und Führungsbedingungen lassen sich durch Verwenden von Tellerfedern mit Auflageflächen erreichen. Eine ausreichende Schmierung hat entscheidenden Einfluss auf das Führungsverhalten, die Reibung, den Verschleiß und somit auf die Lebensdauer insgesamt. Neben Fetten, Pasten mit Molybdändisulfid-Zusatz und Gleitlacken haben sich auch verschiedene Festschmierstoffe bewährt. Abb. 5.11 zeigt verschiedene Möglichkeiten der Zentrierung von Einzeltellern in Säulen. Sie kann durch Verwenden von Zwischenringen oder in Tellerfedern spanabhebend eingearbeiteten zylindrischen Ansätzen erfolgen. Drahtring- und Kugelzentrierungen an den Tellerfederrändern [5.65][5.67] sind mit einem höheren Aufwand verbunden und deshalb nur bei besonderen Anforderungen einzusetzen.

Abb. 5.11. Beispiele für Zentrierungen von Tellerfedern in Tellerfedersäulen nach [5.65] und [5.67] a) durch spanabhebend eingearbeitete zylindrische Ansätze; b) durch Zwischenringe; c) durch Drahtringe; d) durch Kugeln

5.2 Federsätze

197

5.2 Federsätze Aufbau und Einsatz. Zu Federsätzen, die aus zwei oder mehreren parallel geschalteten Federn bestehen, werden meist Druckfedern angeordnet, wenn die gewünschte Federkraft bei vorgegebener Federkennlinie durch eine Feder nicht erreicht wird. Drei ineinander gesetzte Druckfedern (Abb. 5.12) stellen das Optimum dar. Mit weiterer Erhöhung der Anzahl Federn im Satz nimmt lediglich der Materialaufwand zu. d2

d3

d1

D m3

D m2 D m1

Abb. 5.12. Druckfedersatz

Berechnung. Unter der Annahme gleicher Werkstoffbeanspruchung und gleicher Federwege kann für den Entwurf eines Federsatzes aus drei Druckfedern nach Abb. 5.12 von den Verhältnissen Dm2 1 nf 1 d1

Dm2 2 nf 2 d2

Dm2 3 nf 3 d3

(5.15)

ausgegangen werden. Setzt man weiterhin noch nf 1·d1 = nf 2·d2 = nf 3·d3 ,

(5.16)

dann ergibt sich aus Gleichung (5.15) Dm1 d1

Dm 2 d2

Dm3 d3

w1

w2

w3 ,

(5.17)

d.h., man erhält unter diesen Voraussetzungen Federn mit gleichem Wickelverhältnis.

198

5 Entwurf von Federanordnungen

Die Kraft des Federsatzes ist F = F1 + F 2 + F 3 =

d3 · d3 S ˜ W §¨ d13  2  3 ¸ . 8 ¨© Dm1 Dm 2 Dm3 ¸¹

(5.18)

Unter den genannten Bedingungen verhalten sich dann die einzelnen Kräfte wie die Quadrate der Drahtdurchmesser F1 : F2 : F3 = d 1 2 : d 2 2 : d 3 2 ,

(5.19)

und es ist auf diese Weise unter Verwendung der Beziehungen nach Tabelle 4.18 die Dimensionierung der einzelnen Federn durchführbar [2][5][12] [5.61]. Gestaltung. Damit sich die einzelnen Federn eines Satzes nicht verklemmen oder verhaken, sollten sie an den Enden zentriert werden. Außerdem ist zu empfehlen, die mittlere Feder mit einem Wickelsinn herzustellen, der dem der Nachbarfedern entgegengerichtet ist. Bei der Festlegung des Radialspiels sind die Durchmesserabweichungen bzw. -änderungen (s. DIN 2095 und Gleichungen (4.41a und b)), die Knicksicherheit sowie die mögliche Querfederung zu beachten.

5.3 Federn und Anordnungen für konstante Kräfte und Momente 5.3.1 Federn mit Gleichkraftverhalten Kennzeichnung. Als Federn mit Gleichkraftverhalten sollen alle die Arten und Formen bezeichnet werden, die Kraft-Weg-Kennlinien bzw. –Kennlinienabschnitte aufweisen, bei denen sich im Zuge der Verformung keine oder nur eine geringe Kraftänderung einstellt. Ein solches Verformungsverhalten weisen beispielsweise Rollfedern (Abb. 5.13), Tellerfedern (für Abschnitte der Federkennlinie, s. Abb. 4.21), Schraubenknickfedern (Abb. 5.14) und Schraubenzugfedern, die biegend belastet werden (Abb. 5.16) auf. Auch von Federscheiben [12][5.68], die für die verschiedensten Aufgaben des Spielausgleichs eingesetzt werden (Abb. 5.17), wird ein solches Verhalten verlangt. So sind auch diese Federn in diese Gruppe einzuordnen. Rollfedern. Ihren Aufbau zeigt Abb. 5.13. Rollfedern bestehen aus Federband (t d0,45 mm; b d 35 mm), das durch eine spezielle Verformungsvor-

5.3 Federn und Anordnungen für konstante Kräfte und Momente

199

behandlung im ungespannten Zustand die Form einer dicht gewickelten Spirale annimmt. Das Windungspaket wird auf eine meist kleinere Vorratsrolle aufgewickelt, während das andere Federende auf einer größeren Arbeitsrolle befestigt wird. Ihre Wirkungsweise soll anhand der in Abb. 5.13a dargestellten, auch als A-Motor bezeichneten Anordnung, erläutert werden. a)

b)

Abb. 5.13. Rollfeder A-Motor a) Aufbau (1 Vorratsrolle; 2 Arbeitsrolle); b) Kennlinien von Rollfedern

Beim Aufzug wird die Rollfeder bis auf eine Windung durch Drehen der Arbeitsrolle auf dieser aufgewickelt. Das Bestreben der Rollfeder, ihre ursprüngliche Krümmung wieder einzunehmen, verursacht ein Drehmoment und das selbsttätige Aufwickeln auf die Vorratsrolle. Das an der Arbeitsrolle abnehmbare Drehmoment ist nahezu während des gesamten Ablaufs konstant (Drehmomentänderung je Umdrehung etwa 0,3 bis 1 %), wenn die Feder über ihre gesamte Bandlänge eine konstante Bandkrümmung aufweist. Durch Verändern der Bandkrümmung über der Bandlänge lassen sich unterschiedliche Verläufe der Federkennlinie (Drehmoment-Drehwinkel-Kennlinie, Abb. 5.13b) erzielen. Die Kennlinie steigt leicht, aber linear, an, wenn die Krümmung im Windungspaket von außen nach innen stetig zunimmt. Nimmt sie in gleicher Richtung leicht ab, dann verläuft auch die Kennlinie in dieser Form. Eine zyklische (unstetige) Krümmungsänderung bewirkt auch eine entsprechend zyklische Kennlinienänderung. Das Kennlinienverhalten von Rollfedern, die auch als Tensator- oder Negatorfedern bezeichnet werden [5.30], kann also über die Bandkrümmung beeinflusst werden. Der Einsatz von Rollfedern in den verschiedensten Formen erfolgt aufgrund dieses besonderen Federungsverhaltens vor allem als Triebfedern für Antriebe, von denen ein winkelunabhängiges Drehmoment gefordert wird. Beispielsweise werden sie in Filmkameras, Plattenspielern, Kabeltrommeln und Rollgurteinrichtungen als Antriebseinrichtungen sowie als Federklammer oder geschichteter Rollbogen zur Erzeugung einer weg- un-

200

5 Entwurf von Federanordnungen

abhängigen Anpresskraft in Kohlebürstenhaltern und Einrichtungen zum Spielausgleich eingesetzt [1][12][5.20]. Die Berechnung des Drehmoments eines A-Motors nach Abb. 5.13 erfolgt nach der Beziehung [5.20] M

§ 1 1 1 · Ebt 3 R4 ¨¨  ¸¸ 26,4 © R3 R4 ¹

2

(5.20)

mit der Bandbreite b, der Banddicke t, dem Radius R3 der Vorratsrolle und dem Radius R4 der Arbeitsrolle. Das erreichbare Drehmoment ist entscheidend von der Größe der beiden Rollenradien abhängig. Mit Zunahme des Durchmessers der Arbeitsrolle bei gleichbleibendem Vorratsrollendurchmesser ist eine größere Streckung des Bandes beim Aufzug verbunden. Es wird eine größere Federarbeit gespeichert. Dadurch steht beim Ablauf auch ein größeres Nutzmoment zur Verfügung. Auf die Größe des Drehmoments wirken sich ferner der E-Modul und die Bandabmessungen aus. Zu beachten ist, dass der Radius R4 im Verhältnis zum Radius R3 nicht beliebig klein sein darf, um plastische Verformungen des Bandes zu vermeiden. Als untere Grenze wird R4 t 1,7·R3 empfohlen. Im Federband entsteht bei seiner Streckung bzw. Krümmung eine Biegebeanspruchung. Geht man von einer vorhandenen Krümmung mit dem Radius r0 aus und streckt das Band bis zur geraden Lage, dann entsteht in der Anordnung der Rollfeder nach Abb. 5.13a eine Biegespannung Vb

Et . 2r0

(5.21)

Die Beanspruchungen der Rollfeder sind meist sehr hoch. Beispielsweise entsteht in der Rollfeder eines A-Motors mit der Banddicke t = 1 mm und einer Krümmung mit dem Radius r0 = 50 mm aus nichtrostendem Bandstahl nach DIN EN 10151 mit einem Elastizitätsmodul E = 195000 N/mm² eine Biegespannung von Vb = 1950 N/mm². Diese hohe Werkstoffbeanspruchung erfordert Federwerkstoffe mit hoher Elastizität und eine Begrenzung der Krümmung. Zur Anwendung kommen deshalb nur vergütete und auch texturgewalzte Federstahlbänder sowie kaltgewalzte, nichtrostende Federstähle. Erfahrungsgemäß soll die Bandkrümmung r0 t 50·t sein. Weil r0 nicht beliebig klein sein kann, muss die Bandbreite entsprechend gewählt werden (b d 100·t), um die erforderlichen Kräfte und Momente zu erreichen. Die Lebensdauer von Rollfedern hängt sowohl von der Größe der Biegespannung als auch vom Verhältnis t/r0 ab. Lebensdauerwerte werden

5.3 Federn und Anordnungen für konstante Kräfte und Momente

201

von Keitel [5.30] und Paudert [5.46] angegeben. Für Rollfedern aus nichtrostendem Federbandstahl wird beispiels- weise bei einer Biegespannung von Vb = 800 N/mm² eine Lebensdauer von 2·106 Lastspielen erreicht, die bei einer Biegespannung von Vb = 2700 N/mm² auf 4000 Lastspiele sinkt. Schraubenknickfeder. Als eine solche Feder wird die in Abb. 5.14 dargestellte Schraubenzugfeder mit besonders gestalteten Federenden bezeichnet. Sie besitzt bei einer Belastung, die parallel zur Federachse wirkt, die in Abb. 5.15 dargestellte Kraft-Weg-Kennlinie. Sie wird als Gleichkraftfeder bezeichnet, da innerhalb eines bestimmten Kennlinienbereichs nur eine geringe Federkraftänderung vorhanden ist. Die Form der Kennlinie ist durch die Federparameter (F0; n; a) beeinflussbar [1][12]. a)

b)

Abb. 5.14. Schraubenknickfeder nach [1] und [12] a) unbelastet; b) belastet; (Bezeichnungen)

Von Boerner werden in [1] Beziehungen zur Berechnung der Federkraft F ˜D S˜M˜G ˜d 4  0 m 180q ˜ 8 ˜ n ˜ Dm 2 F= M L ˜ 90q § · a ˜ sin D  M  K ¨ cos  cos M ¸ S˜M © 2 ¹

(5.23)

sowie des Federwegs

§

s = 2a>cos D  cosD  M @  LK ¨¨1 

©

180q ˜ sin M · ¸ S ˜ M ¸¹

(5.24)

von Schraubenknickfedern in der Anordnung und den Bezeichnungen nach Abb. 5.14 angegeben (n = nf und LK = d·n ).

202

5 Entwurf von Federanordnungen

Abb. 5.15. Berechnete Federkennlinie einer Schraubenknickfeder nach Abb. 5.14 mit den Federdaten: d = 1,6 mm; Dm = 11,1 mm; n = 25; F0 = 28,5 N; D = 10°; a = 18,3 mm; G = 81,5 kN/mm²

Querbelastete Schraubenzugfeder. Einseitig eingespannte, querbelastete Zugfedern nach Abb. 5.16 besitzen eine relativ flach verlaufende KraftWeg-Kennlinie, wie Abb. 5.16c zeigt. Die Zugfeder wird durch die quer zur Federachse wirkende Kraft biegend belastet. Auf die Größe der Durchbiegung wirkt sich neben den Federabmessungen (d; Dm; n) auch die eingewickelte Vorspannkraft F0 aus. Durch sie wird auch die Größe der Vorspannkraft Fb0 bei einer solchen Belastung der Zugfeder bestimmt, die für die Anwendung als Gleichkraftfeder sehr vorteilhaft ist (Einsparung großer Vorspannwege).

Abb. 5.16. Durch Querkraftwirkung gebogene Schraubenzugfeder [12] a) unbelastet; b) belastet; c) experimentell ermittelte Federkennlinien (Einspannlänge lE = 10·d) mit folgenden Federdaten (d x Da x n): 1 Zugfeder 0,63 x 3,2 x 60; 2 Zugfeder 0,55 x 4,0 x 60

5.3 Federn und Anordnungen für konstante Kräfte und Momente

203

Federscheiben. In recht unterschiedlichen Formen werden sie vorwiegend zum Spielausgleich in Wälzlagerungen eingesetzt. Wegen der flachen Federcharakteristik werden die tellerförmigen, innen und/oder außen geschlitzten Sternfedern nach Abb. 5.17 besonders im feinmechanischen und optischen Gerätebau verwendet. Auch in ungeschlitzter Form werden sie für diese Aufgaben genutzt [5.67], wenn höhere Andruckkräfte erforderlich sind. Neben dem Einsatz zum Spielausgleich in Wälzlagerungen finden derartige Federscheiben in geschlitzter und ungeschlitzter Form vor allem Verwendung in Reibradgetrieben und Kupplungen, um eine feinfühlige Drehmomenteinstellung zu ermöglichen und den Reibflächenverschleiß auszugleichen.

Abb. 5.17. Federscheibenformen für den Spielausgleich bei Wälzlagerungen und ähnlichen Aufgaben a) Sternfeder, 1 unbelastet, 2 belastet; b) Federscheibe für Kugellager; c) Spannscheibe [5.67]

204

5 Entwurf von Federanordnungen

5.3.2 Anordnungen für konstante Kräfte und Momente Anordnungen zum Erzeugen konstanter Kräfte und Momente werden vorrangig zum Kraft- und Momentenausgleich oder zum Herstellen definierter, gleichbleibender Verformungs- und Reibungsverhältnisse an Berührungsstellen gepaarter Bauteile genutzt. Die erstgenannte Anwendung wird immer dann gewählt, wenn Bauteile mit zumeist größerer Masse unabhängig von ihrer Lage im Raum, entweder in einer beliebigen Position gehalten oder ohne großen Kraftaufwand aus dieser Position heraus in eine andere bewegt werden sollen. Beispiele hierfür findet man u. a. bei Schultafeln, Garagentoren (Abb. 5.18), Kofferraum- bzw. Motorraumklappen von Pkw. Weitgehend gleichbleibende Berührungsverhältnisse sind vor allem bei Meßsystemen unverzichtbar, beispielsweise bei berührend arbeitenden Wegmeßsystemen.

Abb. 5.18. Vertikalpendel mit tiefer liegendem Federangriffspunkt [5.56]

Abb. 5.19. Hebelgetriebe eines Feinzeigers [5.56]

Da zur Erfüllung der genannten Aufgaben fast immer Federn mit linearer Kennlinie, speziell Schraubenfedern, verwendet werden, müssen die Federn mit Koppel- oder Kurvengetrieben kombiniert werden, deren Struktur und Abmessungen bzw. Kurvenformen auf die Federkennlinie abgestimmt sind. Beispiele hierfür enthält Tabelle 5.5. Ein vollständiger Kraft- und Momentenausgleich wird durch die Anordnung a) und deren Varianten b) und c) sowie durch die Anordnung d) erreicht. Einen annähernden Ausgleich verwirklicht die Federanordnung e). Zur Ermittlung der erforderlichen Federlänge L0 der Zugfeder, die hier zum Einsatz kommen soll, kann das grafische Verfahren nach Tabelle 5.5e genutzt werden [5.17][5.18]. Beim Lastausgleich in mehrgliedrigen Getrieben bietet sich das Polkraftverfahren zur Ermittlung der erforderlichen Federkraft an [5.19][5.62] (Abb. 5.21).

5.3 Federn und Anordnungen für konstante Kräfte und Momente

205

Tabelle 5.5. Federanordnungen für konstante Kräfte und Momente nach [5.17] a) Das Schwerkraftmoment kann durch die Zugfeder für jede Hebelstellung exakt, d. h.vollständig, aufgehoben werden, wenn gilt: L0 = Lc = DE, R ˜ a˜ e = m˜ g ˜ r. L0 Länge der ungespannten Feder, L Länge der gespannten Feder, Lc Blocklänge der Feder, R Federsteife, F Federkraft; F = R (L - L0). b)

e)

c)

d)

Annähernd konstantes Drehmoment innerhalb des Hebelschwenkbereiches ǻM rgibt sich nach e) mit: M dM dh dL

= F ˜ h = R˜ (L - L0) ˜ h , = R ˜ h ˜ dL + R ˜ (L - L0) ˜ dh = 0, = a ˜ cosȕ ˜ dȕ, = - L ˜ tan Į ˜ dȕ,

wenn die Feder die Bedingung f)

(L - L0) = L ˜ tan Į ˜ tan ȕ erfüllt. (L0 kann auch grafisch ermittelt werden)

Anwendungsbeispiele für die beschriebenen Federanordnungen sind in den Abb. 5.18 bis 5.21 dargestellt. Abb. 5.18 gibt den annähernden Gewichtsausgleich bei einer Pendelaufhängung wieder. Abb. 5.19 zeigt das

206

5 Entwurf von Federanordnungen

Hebelgetriebe eines Feinzeigers, bei dem durch entsprechende Kurvengestaltung und Federanordnung über den gesamten Messweg sM ein konstantes Moment M und damit eine konstante Messkraft FM = M/ e erreicht wird. Abb. 5.20 verdeutlicht den Gewichtsausgleich beim Betätigen eines Garagentores. Abb. 5.21 zeigt die Anwendung des oben genannten Polkraftverfahrens, mit dem ohne Kenntnis der wirkenden Gelenkkräfte die Kraft bestimmt werden kann, die die Feder zum Ausgleich des Garagentorgewichtes aufbringen muss.

Abb. 5.20. Schubkurbelgetriebe zum Betätigen eines Garagentores mit Gewichtsausgleich durch eine Schraubenzugfeder [5.19] 1 Führung (Gestell); 2 Schwenkhebel; 3 Garagentor; 4 Rolle; 5 Zugfeder; A0, A, A’, B, F0 : Gelenkpunkte

Das Polkraftverfahren beruht auf der Verwendung der Relativpole eines Getriebes, deren Bestimmung der eigentlichen Kräfteermittlung vorausgehen muss. Der Vorteil des Verfahrens besteht darin, dass man im Kräfteplan immer nur ein Dreieck aus der gegebenen Kraft und der gesuchten Gegenkraft sowie einer mit Hilfe der Relativpole zu bestimmenden Hilfsgeraden y zu zeichnen hat. Die Kräfte ergeben sich dann mit richtigem Vorzeichen, wenn die Vorschriften zur Indizierung der Pole und der Kräfte sowie deren Umlaufsinn im Kräfteplan eingehalten werden. Im Beispiel des Gelenkvierecks des betrachteten Garagentores (Schubkurbel) soll die vom Gestell 1 mittels Feder auf den Schwenkhebel 2 (Kurbel) übertragene Kraft FF12 so bestimmt werden, dass sie die Wirkung der Gewichtskraft FG13 des Garagentores 3 (Koppel) in der Lage 2 (vgl. Abb.

5.3 Federn und Anordnungen für konstante Kräfte und Momente

207

5.20, Gelenkpunkte mit Index 2) aufhebt und sich damit der Mechanismus im Gleichgewicht befindet. Dabei ist wie folgt vorzugehen: 1. Ermitteln des Schnittpunktes T1 der Wirkungslinien der Gewichtskraft FG13 und der Federkraft FF12. 2. Bestimmen der Lage des Relativpols 23, dessen Bezeichnung sich aus den ungleichen Indizes der beiden Kräfte ableitet (Relativpol 23 = Gelenkpunkt A2). 3. Zeichnen einer beliebigen Gerade k23 durch den Relativpol 23. Sie schneidet die Wirkungslinien der beiden Kräfte in S13 und S12. 4. Verbinden der Punkte S13 bzw. S12 mit den dazugehörigen Polen 12 (= Gelenkpunkt A0) bzw. 13 (hier Schnittpunkt der Verbindung der Pole 34 und 14 o f sowie der Verbindung der Pole 23 und 12). Daraus ergibt sich Schnittpunkt T2. 5. Zeichnen der Hilfsgerade y als Verbindung der Punkte T1 und T2. 6. Zeichnen des Kräfteplanes durch Parallelverschieben der bekannten Gewichtskraft FG13 des Garagentores sowie der Wirkungslinie fF12 der Federkraft FF12 und der Hilfsgeraden y. Daraus ergibt sich der gesuchte Betrag der Federkraft, die das Garagentor in der gezeichneten Lage 2 im Gleichgewicht hält.

Abb. 5.21. Kräfteermittlung am Schubkurbelgetriebe des Garagentores nach Abb. 5.20 1 Gestell mit Führung; 2 Schwenkhebel; 3 Garagentor; 4 Gleitstein; 5 Zugfeder; A0, A2, A2', B2, F0 Gelenke

208

5 Entwurf von Federanordnungen

Ebenso ist auch eine Berechnung auf einfache Weise möglich. Die Beziehungen dafür ergeben sich aus Abb. 5.22: FF12

0,5 FG13

a sin Į b cos (į  Į )

(5.25)

G

arcsin [(d  b cos Į) / e]

(5.26)

e

(d  b cos D )2  (c + b sin D )2

(5.27)

Abb. 5.22. Geometrische Beziehungen am Schwenk- und Lastausgleichsmechanismus des Garagentores nach Abb. 5.20 1 Gestell; 2 Schwenkhebel; 3 Garagentor; 5 Feder; a Strecke A0A2; b Strecke A0A2;' e Strecke A2'F0 (meist = Federlänge l)

5.4 Federantriebe Federn werden seit langem als Antriebselemente eingesetzt. Dabei sind sie stets mit bewegungsfähig angeordneten, massebehafteten Bauteilen gekoppelt. Ihre Aufgabe besteht darin, als Energiespeicher und -wandler zu wirken und die zur Bewegungserzeugung erforderliche Energie bereitzustellen [12][5.3][5.28][5.48]. In dieser Funktion dienen sie vielfach dem Antrieb kontinuierlich bewegter Teile, u. a. in Laufwerken von Uhren, Registriereinrichtungen, Filmgeräten.

5.4 Federantriebe

209

Verbreiteter ist aber ihr Einsatz in diskontinuierlich arbeitenden Antrieben. Diese Anwendung verdanken sie vor allem ihrer Eigenschaft, relativ viel Energie auf kleinem Raum speichern und zu einem beliebig wählbaren Zeitpunkt bedarfsgesteuert in kurzer Zeit und mit hoher Geschwindigkeit abgeben zu können. Vor allem die Feinwerktechnik, die Elektrotechnik und der Maschinenbau nutzen diese Vorteile (Abb. 5.23 und 5.24), oft auch in der Funktion als Rückstellfeder oder als Kraftschlusssicherung in Gelenken, z.B. bei Elektromagneten, Pneumatikzylindern, Kurvengetrieben usw.

Abb. 5.23. Lamellenschlitzverschluss einer Spiegelreflexkamera [5.35] 1 Antriebsfeder; 2 Lamelle Abb. 5.24. Leistungsschalter an einem Transformator [5.11] 1 Antriebsfeder; 2 Spannfeder; 3 Spannhebel; 4 Kontaktbügel; 5 Festkontakt; 6 Wicklung; 7 Festhaltung; 8 Anschlag

Zur Lösung antriebstechnischer Aufgabenstellungen kommen nahezu alle Arten von Metallfedern zum Einsatz. Besonders häufig sind Schraubenfedern, Drehfedern, stabförmige und gewundene Blattfedern anzutreffen (vgl. Tabelle 1.1). Auf sie sollen sich die folgenden Ausführungen beschränken. 5.4.1 Allgemeine Grundlagen Voraussetzungen. Zur Berechnung von Federn für kontinuierlich wirkende Antriebe können aufgrund der statischen bzw. quasistatischen (stationären) Belastungsbedingungen die im Kapitel 4 genannten Beziehungen genutzt werden [5][6][20][5.66][5.69], die z.T. auch in Normen (DIN EN 13906, DIN 2091) niedergelegt sind. Diese bauen auf den jeweils federtypspezifischen Verformungs- und Spannungsbeziehungen auf und geben die Zusammenhänge zwischen Federkräften und Verformungen an. Für die Berechnung von Federn in diskontinuierlich arbeitenden Antrieben sind sie aber in dieser Form nicht geeignet, weil sie weder die

210

5 Entwurf von Federanordnungen

Trägheitswirkung der getriebenen massebehafteten Teile noch die Zeitabhängigkeit funktionsbestimmender Größen berücksichtigen. Dazu sind Berechnungsunterlagen erforderlich, die auf dem Bewegungsverhalten des Antriebs aufbauen und die dynamische Wechselwirkung zwischen dem Antriebselement Feder und den getriebenen Bauteilen erfassen. Grundlagen dafür bilden die Bewegungsdifferentialgleichung des jeweiligen Antriebs und deren Lösungen, die Weg-Zeit-Funktion – auch als Bewegungsgesetz des Antriebs bezeichnet – und die Geschwindigkeits-Zeit-Funktion [12][5.3][5.5] [5.6][5.24][5.28][5.48] bis [5.55]. Tabelle 5.6. Aufgabenstellung zur Analyse eines Schraubenfederantriebs 1. Analyseziel:

Bewegungsanalyse Festigkeitsanalyse

2. Analysebereich:

0 d t d tB (sB gesucht) 0 d sx d sB (tB gesucht) vBK d vB d vBG

3. Belastungsforderungen:

Energiebilanz Fehleranalyse

kSR = kNR = 0

anzutreibende Masse

statische Gegenkraft

4. Funktionelle und konstruktive Daten des Antriebs und der Feder:

5. Fertigungstechnische Daten:

6. Werkstoffdaten:

Ösenform (z. B. Form A nach DIN EN 13906-2) Gütegrad der Fertigung nach DIN 2095 bis 2097 Abstandstoleranzen nach DIN ISO 2768

Festigkeitswerte Materialkonstanten

5.4 Federantriebe

211

Der funktionsgerechte Entwurf von Federantrieben verlangt vom Konstrukteur im Zusammenhang mit der Neu- und Weiterentwicklung von Maschinen und Geräten die Bearbeitung unterschiedlicher antriebstechnischer Aufgabenstellungen (Tabelle 5.6 und Tabelle 5.7): die Analyse vorhandener Antriebe und die zielgerichtete Dimensionierung von Antriebsfedern (Synthese). Zur Lösung dieser Aufgaben sollen die folgenden Abschnitte Berechnungsgrundlagen bereitstellen. Analyse. Bei der Analyse sind die Belastungsfunktionen sowie die funktionellen und konstruktiven Daten des Antriebs, einschließlich der Federgrößen, Werkstoffkennwerte, Fertigungsgüte und Fertigungstoleranzen, bekannt und es werden Aussagen zum dynamischen Verhalten verlangt (s. Tabelle 5.6). Im Vordergrund steht dabei stets die Bewegungsanalyse. Oft sind auch Angaben zum Festigkeitsverhalten, zur Energiebilanz oder zu den Auswirkungen von Fertigungsabweichungen (Fehleranalyse) gefordert. Meist ist der Hub sB vorgegeben und die benötigte Bewegungszeit tB wird gesucht. Die Analyse kann sich auch auf ein vorgegebenes Zeitintervall 0 d t d tB erstrecken. Zu ermitteln ist dann der Weg sB, der in der Zeit tB zurückgelegt wird. Synthese. Bei der Synthese (s. Tabelle 5.7) sind Bewegungs-, Belastungsund konstruktive Forderungen vorgegeben. Die Abmessungen der Feder sind so zu bestimmen, dass sie diesen Forderungen gerecht wird. Außerdem muss sie noch werkstoff- und einsatzbedingte Festigkeitsforderungen sowie eine Reihe fertigungstechnischer Forderungen erfüllen. Maßgeblich für die Bewegungsforderungen sind stets die Weg- bzw. Zeitvorgaben sB und tB. Mitunter sind aber auch für die Endgeschwindigkeit vB bzw. für die Endbeschleunigung aB vorgegebene Grenzwerte einzuhalten, beispielweise, wenn die Masse mA bei Bewegungsabschluss eine bestimmte Schlagenergie aufbringen soll (Abb. 5.25). Einfluss der Struktur und der Belastung des Antriebs. Die Bewegungsdifferentialgleichung als grundlegende Beziehung zur Beschreibung des dynamischen Verhaltens der getriebenen Bauteile erfasst die Bewegungsgeometrie und die Belastungsbedingungen des Antriebs, die Federgeometrie und die Federkennwerte. Ausschlaggebend für den Typ der Bewegungsdifferentialgleichung sowie die Wahl der Lösungsmethode und somit für Umfang und Schwierigkeitsgrad der Berechnungen sind die Bewegungsgeometrie und die Belastungsbedingungen. Die Bewegungsgeometrie wird durch Form und Lage der Bahnen der Koppelstellen K0 und K zwischen Feder und benachbarten Bauteilen, d.h. die Federanordnung, bestimmt. In vielen Fällen sind diese strukturellen Einflüsse für das Entstehen nichtlinearer Bewegungsdifferentialgleichun-

212

5 Entwurf von Federanordnungen

gen verantwortlich. Beispiele hierfür sind Schraubenfederantriebe, bei denen die Feder eine Schwenkbewegung ausführt (Abb. 5.25). Tabelle 5.7. Aufgabenstellung zur Dimensionierung einer Antriebsfeder 1. Bewegungsforderungen: vBK d vB d vBG aBK d aB d aBG a0

2. Belastungsforderungen: anzutreibende Masse

kSR = kNR = 0 statische Gegenkraft

3. Konstruktive Forderungen: DaK d Da d DaG (bzw. Bereich für Di) aKK d aK d aKG

4. Festigkeitsforderungen:

IJzul = 500 N/mm2 (angebogene Ösen)

5. Fertigungstechnische Forderungen: Wickelverhätnis 4 d w d 16 Windungszahl nt = i + 0,5 Ösenform (z. B. Form A nach DIN EN 13906-2) Gütegrad der Fertigung nach DIN 2095 oder 2096, 2097 Abstandstoleranzen nach DIN ISO 2768

In den Belastungsbedingungen finden Art und Verlauf der auf die Antriebsfeder wirkenden zeitunabhängigen und zeitabhängigen Belastungen ihren Niederschlag. Unter zeitunabhängigen äußeren Belastungen werden dabei statische Gegenkräfte Fst bzw. Gegenmomente Mst verstanden. Sie werden in der Literatur oft auch als Last oder als Funktionswiderstände bezeichnet. Ihr Verlauf über dem Weg kann konstant (Coulombesche Rei-

5.4 Federantriebe

213

bung) oder veränderlich sein. Im Falle wegveränderlicher statischer Belastungen ist eine weitere Unterscheidung in linear veränderliche Belastung und nichtlinear veränderliche zweckmäßig (Abb. 5.26).

Abb. 5.25. Schlossmechanismus einer Jagdwaffe 1 Antriebsfeder; 2 Führungsdorn; 3 Abzug; 4 Schlagstück; 5 Schlagbolzen; 6 Spannhebel; 7 Lauf; 8 Laufgelenkbolzen; 9 Patrone; 10 Verschlussstück; 11 Arretierhebel a)

b)

d)

c)

e)

Abb. 5.26. Charakteristische Funktionen statischer Belastungen Fst(x) bzw. Mst(M) a) konstant; b) linear veränderlich; c) nichtlinear steigend bzw. fallend; d) wechselnd e) mit Knick- und Sprungstellen

Bei linear wegveränderlichen statischen Belastungen, beispielsweise hervorgerufen durch eine Zusatzfeder (Abb. 5.27), sind lineare, geschlos-

214

5 Entwurf von Federanordnungen

sen integrierbare Bewegungsdifferentialgleichungen möglich. Bei nichtlinear wegveränderlichen Belastungen erhält man hingegen stets nichtlineare Bewegungsdifferentialgleichungen. Einfluss auf den Typ der für den jeweiligen Antrieb geltenden Bewegungsdifferentialgleichung haben aber vor allem die Art und der Verlauf der zeitabhängigen äußeren Belastungen. Sie wirken als Trägheits- und als Dämpfungskräfte auf die Feder ein. Dämpfungskräfte können der Geschwindigkeit sowohl linear als auch quadratisch proportional sein. Praktische Bedeutung haben jedoch nur linear geschwindigkeitsproportionale Dämpfungskräfte (Stokesche Reibung), da quadratisch proportionale (Newtonsche Reibung) erst bei größeren Geschwindigkeiten Einfluss gewinnen.

Abb. 5.27. Antrieb mit ruhender Federachse, konstanter Antriebsmasse mA und weglinearer statischer Gegenkraft Fst, hervorgerufen durch eine Zusatzfedersatzfeder L01, L02 Länge der entspannten Zusatz- bzw. Antriebsfeder; mF Federeigenmasse; sA1, sA2 Anfangsauslenkung der Antriebs- bzw. Zusatzfeder; l Länge des Federdrahtes;

Abb. 5.28. Federgetriebene Schubkurbel A, A0, B Drehgelenke; mi Masse der Getriebeglieder i = 2 ... 4; kSR Dämpfungsfaktor bei Stokescher Reibung; LF momentane Federlänge

Trägheitskräfte bzw. durch Trägheitswirkungen hervorgerufene Momente entstehen beim Beschleunigen oder Verzögern der anzutreibenden massebehafteten Bauteile. Die auf die Feder wirkenden Bauteilmassen bzw. Massenträgheitsmomente können dabei prinzipiell die gleichen Wegabhängigkeiten aufweisen, wie sie in Abb. 5.26 für die statischen Belastungen dargestellt sind. Bedeutsam ist jedoch hier allein die Unterscheidung in konstante und wegveränderliche Verläufe, da sich nur für weg- bzw. winkelkonstante Massebelastungen lineare Bewegungsdifferentialgleichungen ergeben können, während für weg- bzw. winkelveränderliche Massebelastungen stets nichtlineare Differentialgleichungen entstehen. Weg- bzw. winkelveränderliche beschleunigungsabhängige Belastungen wirken immer dann auf die Feder, wenn sie zum Antrieb von Mechanismen mit veränderlichem Übersetzungsverhältnis eingesetzt wird (Abb. 5.28) [5.28][5.48] [5.62].

5.4 Federantriebe

215

Liegen Antriebe mit linearer Bewegungsdifferentialgleichung vor (Tabelle 5.8 und Abb. 5.27), so lässt sich die Weg-Zeit-Funktion in geschlossener Form, also explizit, angeben und gezielt zur Dimensionierung der Antriebsfeder nutzen. Wird das Bewegungsverhalten des Antriebs dagegen durch eine nichtlineare Differentialgleichung beschrieben (Abb. 5.28), so ist deren Lösung nur näherungsweise mit Hilfe numerischer Methoden möglich. Die Auslegung der Antriebsfeder ist dann nur auf iterativem Wege möglich. Dies setzt den Einsatz von Rechentechnik voraus. Ohne Rechnereinsatz und für den Konstrukteur leicht handhabbar wird die Dimensionierung derartiger Antriebe nur in den Fällen, in denen es gelingt, linearisierte Ersatzmodelle zu bilden. Hierbei werden nichtlineare Einflüsse mit Hilfe geeigneter Ansätze genähert und Antriebe mit nichtlinearer Bewegungsdifferentialgleichung in solche mit linearer Differentialgleichung überführt. Damit sind dann auch alle Vorteile der Analyse und Synthese dieser elementaren Antriebe ohne Einschränkung nutzbar. 5.4.2 Schraubenfederantriebe 5.4.2.1 Dynamische Modelle

Mit einer Schraubenfeder können zwei beliebig miteinander im Raum geführte Körper gekoppelt und relativ zueinander treibend bewegt werden (Abb. 5.29). Die Kopplung erfolgt über Kopplungselemente, für deren Gestaltung unterschiedliche Lösungen bekannt sind (Abb. 4.28 und 4.38). Antriebe mit linearer Bewegungsdifferentialgleichung. Setzt man für die weiteren Betrachtungen voraus, dass K0 gestellfest ist und dass die Federachse und die sich frei schwingend bewegte Koppelstelle K zueinander eben angeordnet sind (Abb. 5.30), dann liegen Antriebe mit linearer, explizit lösbarer Bewegungsdifferentialgleichung nur dann vor, wenn

die Bewegungsbahn von K und die Federachse zusammenfallen die statische Gegenkraft bzw. das statische Gegenmoment einen konstanten oder weglinearen Verlauf aufweisen keine oder nur geschwindigkeitsproportionale Dämpfungskräfte auftreten x Bauteile mit in Bezug auf K konstanter Massewirkung zu bewegen sind. x x x x

und und und

Die Differentialgleichung folgt jeweils aus der Gleichgewichtsbeziehung für die Kräfte im Punkt K. Im Fall des elementaren Antriebs nach Abb. 5.31 hat sie unter Annahme einer masselosen Antriebsfeder mit linearer Kennlinie die bekannte Form

216

5 Entwurf von Federanordnungen

Abb. 5.29. Schraubenfederantrieb mit räumlich geführten Koppelstellen K0 und K sowie jeweils in diese Punkte reduzierter wegveränderlicher Masse mA(s) und statischer Gegenkraft Fst(s)

Abb. 5.30. Schraubenfederantrieb mit gestellfester Einspannstelle K0 und auf allgemeiner Bahn geführter Koppelstelle K ex, ey, en, et Einheitsvektoren in x-, y-, Normal- bzw. Tangentialrichtung

Abb. 5.31. Elementarer Schraubenfederantrieb R1 Federrate der Antriebsfeder

mA yF  R1 y F

0.

(5.28)

Aus ihr leitet sich nach Integration und unter Beachtung der Anfangsbedingungen für die Verschiebung yF (t = 0) = sA und die Verschiebegeschwindigkeit y (t 0) 0 sowie des Zusammenhangs s (t )

sA  yF

(5.29)

das Bewegungsgesetz des Antriebs s (t )

s A (1  cos (Z t))

(5.30)

ab. Die Weg-Zeit-Funktion enthält mit der wirksamen Anfangsverschiebung sA der angetriebenen Masse mA aus der statischen Gleichgewichtslage (Amplitude) und der Eigenkreisfrequenz Ȧ die dynamischen Kenngrößen des Antriebs. Bei statisch unbelastetem Antrieb (Abb. 5.31) entspricht sA gemäß

5.4 Federantriebe

sA

s A1

217

(5.31)

der Anfangsauslenkung sA1 der Antriebsfeder, und für die Eigenkreisfrequenz gilt R1 / m A .

Z

(5.32)

Wirken auf die Masse konstante oder weglineare statische Gegenkräfte ein, so verändern sich die Berechnungsbeziehungen für sA und Ȧ. In Tabelle 5.8 sind die Beziehungen für die Belastungsvarianten dargestellt. Tabelle 5.8. Gleichungen zur Ermittlung der dynamischen Kenngrößen sA und Ȧ für Antriebe mit linearer Bewegungsdifferentialgleichung (s. Abb. 5.31) Variante

Kennzeichen

Gleichungen für sA

Gleichungen für Ȧ

I

FK

0

sA

( R1 s A1  R2 s A2 ) /( R1  R2 ) Z

( R1  R2 ) / m A

II

s A2

0

sA

( R1 s A1  F K ) /( R1  R2 )

Z

( R1  R2 ) / m A

III

FK

0; s A2

0 sA

R1 s A1 /( R1  R2 )

Z

( R1  R2 ) / m A

IV

R2

0

sA

( R1 s A1  F K ) / R1

Z

R1 / m A

V

FK

0; R2

sA

s A1

Z

R1 / m A

0

Aus der Tabelle geht hervor, dass konstante Gegenkräfte, beispielsweise Coulombesche Reibkräfte, nur zur Veränderung der Amplitude (Verkleinerung) führen. Weglineare Gegenkräfte, hervorgerufen etwa durch eine parallelgeschaltete Zusatzfeder mit der Federrate R2 und einer Anfangsauslenkung sA2, verändern hingegen Amplitude und Eigenkreisfrequenz. Kompliziertere Weg-Zeit-Funktionen ergeben sich für Antriebe, bei denen außer den bisher betrachteten Belastungen auch Stokessche Reibung zu berücksichtigen ist. Die Bewegungsdifferentialgleichung (5.28) muss dann um den Term kSR y F erweitert werden [5.28] [5.29]. Ihre Integration führt in Abhängigkeit von der Größe des Dämpfungsfaktors kSR, der Federrate R1 und der Antriebsmasse mA zu unterschiedlichen Bewegungsfunktionen, die in Tabelle 5.9 zusammengestellt sind. Antriebe mit nichtlinearer Bewegungsdifferentialgleichung. Wird eins der genannten Linearitätskriterien verletzt, so entstehen Antriebe mit nichtlinearer Bewegungsdifferentialgleichung. Ihr Bewegungsgesetz kann nicht mehr explizit angegeben werden. Es folgt aus der numerischen Integration der Differentialgleichung. Sie ergibt sich aus dem Gleichgewicht der im

218

5 Entwurf von Federanordnungen

Tabelle 5.9. Bewegungsfunktionen linear geschwindigkeitsproportional gedämpfter Schraubenfederantriebe Variante Schwache Dämpfung Aperiodischer Grenzfall

Starke Dämpfung

Kriterium k SR 2 R1 m A k SR 2 R1 m A

k SR 2 R1 m A

Weg-Zeit-Funktion

1

s (t )

ª § k s A1 «1  e exp ¨¨  SR «¬ © 2m A

1

s (t )

ª s A1 «1  ¬

s (t )

ª § k s A1 «1  e exp ¨¨  SR © 2m A ¬

!1

§ k ¨¨1  SR 2 mA ©

§ R · k 2 ·º 1 t ¸¸ cos ¨  SR2 t ¸» ¨ mA 4m A ¸¹» ¹ © ¼

· § k t ¸¸ e exp ¨¨  SR ¹ © 2m A

·º t ¸¸» ¹¼

· t ¸¸ ¹

§ ·º k SR sinh A ¸» u ¨ cosh A  2 ¨ ¸» k SR  4 R1 mA © ¹¼ A

2 kSR R  1t 2 4mA mA

Punkt K wirkenden Kräfte (Antriebsfederkraft FF; Trägheitskraft FT; statische Gegenkraft Fst, Dämpfungskraft FD, Zwangskraft FZ). Für den allgemeinen Antrieb in Abb. 5.30 gilt danach: § y c y cc 2 · § 1 dm A m A ( x) ¨¨ x  x ¸¸  ¨  k NR 1  y c 2 2 1  yc © ¹ © 2 dx

· 2 ¸ x ¹

ª § º 1 L ·  k SR x  « R1 ¨¨1  0 ¸¸  x  yy c  F st ( x) » 2 LF ¹ ¬ © ¼ 1  yc

0

(8.33)

Sie muss unter Berücksichtigung der Bahnfunktion y(x) und der Belastungsfunktionen mA(x), Fst(x) auf den konkreten Anwendungsfall zugeschnitten werden. Typische Varianten dieser Gleichung sind für den Fall der Vernachlässigung der Newtonschen Reibung in Tabelle 5.10 zusammengefasst. Ersatzmodelle. Die aus den Bewegungsdifferentialgleichungen nach Tabelle 5.10 ableitbaren Weg-Zeit-Funktionen sind üblicherweise durch numerische Lösung mittels Rechner zu ermitteln.

5.4 Federantriebe

219

Tabelle 5.10. Bewegungsdifferentialgleichung in x-Richtung für spezielle Varianten des Antriebes nach Abb. 5.30 Bahn von K

Belastung

Kreisbahn: y

2

r  ( x  xA0 )

2

mA

mA ( s )

Fst

Fst ( s )

Lösung

ª 1 dmA x  xA0 º 2 mA x  «  mA » x  kSR x 2 d x y  yA0 ¼ ¬

numerisch oder Ersatzmodell

º ª § x  xA0 · ¸¸  Fst LF » ˜  « R1 L0  LF ¨¨ xA0  y y  yA0 ¹ »¼ «¬ ©

kSR z 0

 y A0

Bewegungsdiffentialgleichung

˜ Gerade, versetzt: y = y0 = konst.

mA

mA ( s )

Fst

Fst ( s )

mA x 

kSR z 0 Gerade, unversetzt: y=0

mA

mA ( s )

Fst

Fst ( s )

mA x 

 y  yA0 2

1 dmA 2 x numerisch x  kSR x  R1 LF  L0 2 dx LF oder Ersatzmodell  Fst 0

1 dmA 2 x  k SR x  R1 x  L0 2 dx  Fst

kSR z 0 Gerade, unversetzt: y=0

0

rL2F

mA

konst.

Fst

Fst ( s )

m A x  k SR x  R1  x  L0  Fst

0

0

numerisch oder Ersatzmodell

numerisch oder Ersatzmodell

k SR z 0 Gerade, unversetzt: y=0

mA

konst.

Fst

Fst ( s )

k SR

0

explizit m A x  R1  x  L0  R 2 x

0

Eine Näherungslösung durch geschlossene Integration lässt sich erreichen, indem man den jeweiligen Antrieb unter Vernachlässigung der Reibungseinflüsse, durch Annahme der Versetzung e = 0 sowie durch folgende Ansätze in einen Antrieb mit linearer Differentialgleichung überführt [12][5.3][5.28][5.48] (Abb. 5.32):

s A1 e

s A1 cos E 0 ;

(5.34)

sB

mA e

³ m s ds A

0

x

x

konst. ;

(5.35)

220

5 Entwurf von Federanordnungen sB

Fst e

³ F s ds

FK e

st

x

x

konst. ;

(5.36)

0

2 s B2

R2 e

ª sB sB º « ³ Fst s x ds x  Fst s x 0 » . 2 »¼ «¬ 0

(5.37)

Der Fehler, der durch diese Ersatzmodellbildung, bezogen auf den zugrunde gelegten Weg sB, entsteht, liegt bei etwa 10 %. Abb. 5.32. Ersatzmodell eines Antriebes mit kreisförmiger Bahn der Koppelstelle K yFe Verschiebekoordinate des Ersatzmodells; y0 Abstand zw. x-Achse und genäherter Bahn von K; ß0 Winkel zwischen Feder- und x-Achse für t = 0;

Berücksichtigung der Federeigenmasse. Die bisherigen Betrachtungen gehen von der masselosen Feder aus. In vielen Fällen, insbesondere in der Feinwerktechnik, sind jedoch die Massen anzutreibender Funktionsteile relativ klein. Dadurch kann auch die Eigenmasse mF der Feder einen spürbaren Einfluss auf das Bewegungsverhalten des Antriebs haben. Die dynamische Wirkung eines Masseelementes der Feder ist dann nicht nur von der Zeit t, sondern auch von dessen Lage auf der Schraubenlinie abhängig, die durch die Drahtkoordinate xF erfasst wird (Abb. 5.33). Es gilt dann die partielle Differentialgleichung des längsschwingenden Kontinuums

w 2 yF

w 2 yF , v w x F2 2 w

wt 2

(5.38)

in der

vw

l

R1 mF

d Dm

G 2U

(5.39)

die Fortpflanzungsgeschwindigkeit einer Stoßwelle längs des Federdrahtes der Länge l darstellt und yF(xF, t) die zeitabhängige Verschiebung eines Drahtpunktes XF mit der Koordinate xF beschreibt [6][12][5.28][5.38] [5.48]. Die Fortpflanzungsgeschwindigkeit hängt also nur von der Federsteife R1 und der Federeigenmasse

5.4 Federantriebe

mF

0,25 ʌ 2 d 2 U D m n f

221

(5.40)

und damit von den Werkstoffkennwerten Gleitmodul G und Dichte ȡ sowie von den Abmessungen der Feder ab. Sie beträgt für Federn aus Stahl vw = 2277 (d/Dm) m/ s.

Abb. 5.33. Antrieb mit massebehafteter Schraubenzugfeder Da Federaußendurchmesser; L2 Länge der gespannten Schraubenfeder Abb. 5.34. Einflussfaktor A0 der Grundwelle für unterschiedliche Werte des Masseverhältnisses țM und des Federsteifeverhältnisses Į

Die partielle Differentialgleichung (5.38) hat unendlich viele Lösungsintegrale, von denen in der Federberechnung zwei Ansätze Anwendung gefunden haben: der Bernoullische und der d’Alembertsche Lösungsansatz. Der Produktansatz nach Bernoulli yF(xF, t) = T(t)˜XF(xF) wandelt Gl.(5.38) in ein System gewöhnlicher Differentialgleichungen um, dessen Lösung auf harmonische Schwingungen führt [5.31]. Beim d'Alembertschen Lösungsansatz [5.31] erhält man die Verschiebungsfunktion yF = f [-(xF-l)/vw + t] als Wanderwelle, die sich mit der Geschwindigkeit vw in negativer xF-Richtung im Draht fortpflanzt (negative Wanderwelle) bzw. sich aus der Überlagerung negativer und positiver Wanderwellen ergibt. Die Verschiebungsfunktion bzw. die Weg-ZeitFunktion sind somit zeitintervallabhängig. Da die Größe des Zeitintervalls von Federkennwerten bestimmt wird, eignet sich die sog. Wanderwellentheorie nicht als Grundlage für die Federdimensionierung. Sehr gut nutzbar ist sie aber zur Bewegungsanalyse stoßbelasteter Schraubenfedern [5.38][5.39][5.40]. Für die Auslegung von Antriebsfedern kommen nur die harmonischen Schwingungen in Betracht. Zwar ergeben sich bei exakter Lösung der Gl.

222

5 Entwurf von Federanordnungen

(5.38) mit Hilfe des Bernoulli-Ansatzes unendlich viele derartige Schwingungen mit jeweils unterschiedlich großer Eigenfrequenz Ȧj (j = 0, 1, .., f), jedoch zeigen Untersuchungen [5.48], dass aufgrund der Größe des Grundwelleneinflussfaktors A0 (Abb. 5.34) für die Verschiebung yF(xF=l, t) des Punktes K die Grundwelle

y F0 l , t

A0 s B cos Z 0 t

(5.41)

mit der Eigenkreisfrequenz

Z0

O0

R1 m F

(5.42)

ausschlaggebend ist. Im Allgemeinen kann mit A0 = 1 gerechnet werden, um das Bewegungsverhalten eines Schraubenfederantriebs hinreichend genau zu beschreiben. Erst bei kleinen Massenverhältnissen NM

mA mF ,

(5.43)

größeren Federratenverhältnissen D

R 2 R1

(5.44)

und kleinen Hubverhältnissen sB/ sA entstehen größere Abweichungen. Zur Bestimmung der Eigenfrequenz Ȧ0 der Grundschwingung benötigt man nach Gl. (5.42) den Eigenwert Ȝ0. Er kann mit Hilfe der Beziehungen in Tabelle 5.11 ermittelt werden, die unterschiedliche Modelle zum Erfassen der Federeigenmasse mF für typische Belastungsfälle enthält. Tabelle 5.11. Beziehungen zur Berechnung des Eigenwertes Ȝ0 für unterschiedliche Modelle zur Berücksichtigung der Federeigenmasse mF und für Antriebe mit rein trägheitsbelasteter Antriebsfeder bzw. mit zusätzlicher weglinear veränderlicher statischer Belastung. Belastung Modell für die Federmasse mF

Kontinuum Federersatzmasse m F e

m A konst. ; Fst 0

NMO0 mF 3

masselose Feder mit mF = 0

cot O 0

mA konst. ; Fst R2 s

NM  D O0

cot O 0

O0

3 (3N M  1)

O0

3(D  1) (3N M  1)

O0

1 NM

O0

(D  1) N M

5.4 Federantriebe

223

Nach dem Kontinuummodell zur exakten Berücksichtigung der Federeigenmasse folgt der Eigenwert Ȝ0 aus einer transzendenten Eigenwertgleichung. Diese ergibt sich aus den Randbedingungen für die Federeinspannstelle K0 (yF = 0) und die Koppelstelle K (Gleichgewicht zwischen Federund Trägheitskraft) sowie aus den bereits genannten Anfangsbedingungen für yF und y F und unter Verwendung der Gln. (5.38) und (5.43) und des Produktansatzes. Für ihre Lösung bieten sich numerische und grafische Verfahren an. Aus der grafischen Lösung für den Fall der nur trägheitsbelasteten Schraubenfeder in Abb. 5.35 geht ebenso wie aus der Abb. 5.37 hervor, dass im Bereich țM > 20 der Einfluss von țM auf den Eigenwert Ȝ0 nur noch sehr gering ist. Für țM o f geht Ȝ0 gegen Null, und es bestätigen sich Gl. (5.32) bzw. die daraus abgeleiteten Beziehungen zur Ermittlung des Eigenwertes für das Modell der masselosen Feder nach Tabelle 5.11.

Abb. 5.35. Lösung der Eigenwertgleichung țM Ȝ0 = cot Ȝ0 für unterschiedliche țM 1 Darstellung der Funktion cot Ȝ0; 2 Darstellung der Funktion țM Ȝ0

Abb. 5.36. Eigenwertfehler bei Vernachlässigung bzw. näherungsweiser Berücksichtigung der Federeigenmasse mF durch eine diskretisierte Endmasse mFe = mF/ 3 1 Modell der masselosen Feder, 2 Modell der diskretisierten Federersatzmasse

Der andere Grenzwert für Ȝ0 ergibt sich bei schwingender Feder ohne Endmasse mA, d.h. für țM = 0. Er liefert für den Fall Fst = 0, d.h. Į = 0, den Wert Ȝ0 = ʌ/2. Für Į > 0 vergrößert sich der Eigenwert Ȝ0 generell (Abb. 5.37). Er nimmt insbesondere im Bereich țM < 10 deutlich größere Werte an als für Antriebe mit Į > 0, wodurch sich deren Eigenfrequenz zwangsläufig entsprechend erhöht.

224

5 Entwurf von Federanordnungen

Abb. 5.37. Eigenwert Ȝ0 der Grundwelle für 0,01 < țM < 100 und 0 < Į < 5

Neben der numerischen und grafischen Lösung der transzendenten Eigenwertgleichung besteht ein weiterer Weg zur Ermittlung von Ȝ0 in der Entwicklung der cot-Funktion in eine Potenzreihe mit Abbruch nach dem zweiten Glied. Auf diese Weise lässt sich Ȝ0 explizieren. Daraus folgt die häufig gebräuchliche Näherung der Federeigenmasse durch eine diskretisierte Endmasse mFe = mF/ 3. Sie ist zur anzutreibenden Masse mA hinzuzurechnen.(s. Tabelle 5.11). Diese Näherung ist im Allgemeinen hinreichend genau, denn nur im Bereich țM < 1 wird der Fehler gegenüber der exakten Lösung größer als 1 %. Bei țM = 0 erreicht er mit 10,3 % sein Maximum (Abb. 5.36). Beträchtlich ist aber vor allem der Genauigkeitsgewinn gegenüber der Modellannahme mF = 0 (Modell der masselosen Feder). Deshalb ist es bei Analyse- und Entwurfsberechnungen zweckmäßig, immer eine Berücksichtigung der Federeigenmasse entsprechend dem Modell der diskretisierten Federersatzmasse vorzunehmen. Hierdurch steigt die Genauigkeit der Ergebnisse, ohne dass damit der Berechnungsaufwand zunimmt. Bis auf Gl. (5.32), für die nun Gl. (5.42) anzuwenden ist, gelten dann die gleichen Beziehungen wie bei masseloser Feder. 5.4.2.2 Grundlagen der Dimensionierung

Ausgangspunkt der funktionsgerechten Dimensionierung von Antriebsfedern bilden die angegebenen Bewegungsgleichungen des Antriebs. Sie beschreiben sein Zeitverhalten, und die in den Gleichungen enthaltenen Fe-

5.4 Federantriebe

225

dergrößen sind so zu bestimmen, dass der entworfene Antrieb den Bewegungs-, Belastungs-, Festigkeits-, konstruktiven und fertigungsbedingten Forderungen der antriebstechnischen Aufgabenstellung gerecht wird (vgl. Tabelle 5.7). Die Methodik des Vorgehens hängt sowohl vom Typ des Antriebs als auch davon ab, ob genormte oder nicht genormte Schraubenfedern zum Einsatz gelangen sollen. Bei Antrieben mit linearer Bewegungsdifferentialgleichung ist stets die direkte, explizite Berechnung der Federabmessungen möglich. Dieser Weg ist aber zweckmäßigerweise nur bei der Berechnung nichtgenormter Federn zu beschreiten [12][5.28][5.48]. Werden dagegen genormte Schaubendruckfedern nach DIN 2098 verlangt, dann ist es aufgrund des begrenzten Lösungsfeldes vorteilhafter, für die Auswahl einer geeigneten Feder das Verfahren der iterative Analyse anzuwenden und dem Entwurf des Antriebs die Daten verfügbarer Normfedern zugrunde zu legen. Das gleiche Verfahren kommt auch für den Entwurf von Schraubenfedern für Antriebe mit nichtlinearer Bewegungsdifferentialgleichung in Betracht, sofern man sich nicht mit Näherungsrechnungen auf der Grundlage der Ersatzmodelle und der damit möglichen, aber zwangsläufig ungenaueren Ermittlung der Federgrößen zufrieden geben will. Dimensionierung nichtgenormter Schraubenfedern. Für die Dimensionierung nur trägheitsbelasteter, nichtgenormter Federn in der Anordnung nach Abb. 5.33 schreiben die Bewegungsforderungen nach Tabelle 5.7 vor, dass die anzutreibende Masse mA in der Zeit tB den Weg sB zurückzulegen hat. Unter dieser Voraussetzung leitet sich die Dimensionierungsbedingung:

sB

s A1 1  cos(Z 0 t B )

(5.45)

aus den Gln. (5.29) und (5.30) ab. Darin sind die gesuchten Federgrößen d, Dm, nf gemäß den Gln. (5.39), (5.40), (5.42) und (5.43) sowie der Beziehung für die Federrate R1 (vgl. Tabelle 4.18 bzw. 4.21) in der Eigenkreisfrequenz der Grundwelle Z0

O0 S

G d 2 2 U Dm nf

(5.46)

und in der Anfangsauslenkung

s A1

S D m2 n f W A1 Gd

(5.47)

enthalten, wobei IJA1 die Torsionsspannung bei Anfangsauslenkung ist.

226

5 Entwurf von Federanordnungen

Berücksichtigt man die Gln. (5.46) und (5.47) bei den weiteren Ableitungen, dann ergibt sich nach Umstellung der Dimensionierungsbedingung (5.45) und Erweitern des Quotienten sB/ sA1 mit

p

Z0 t B

O0 tB S

G d 2 2 U Dm n f

(5.48)

die normierte Dimensionierungsgleichung 1  k1 p

cos p .

(5.49)

Sie erfasst im Faktor k1

sB 2 U G t B O 0 W A1

(5.50)

den Zusammenhang zwischen Bewegungs-, Belastungs- und Werkstoffgrößen. Mit der Lösung der transzendenten Gleichung (5.49) auf grafischem Wege (Abb. 5.38) oder durch Anwendung numerischer Verfahren wird der Arbeitspunkt p des Antriebes festgelegt. Hierfür ist die Kenntnis des Wertes von k1 erforderlich. Da aber die Aufgabenstellung (vgl. Tabelle 5.7) nur über Größen sB, tB, G, ȡ, IJA1 Auskunft gibt, muss zur Berechnung von k1 zunächst das Massenverhältnis țM als Schätzwert angenommen werden, um den hierfür benötigten Eigenwert Ȝ0 ermitteln zu können. Erst danach lassen sich der Arbeitspunkt p des Antriebs als Lösungswert der Gl. (5.49) und die Federgrößen d, Dm, nf bestimmen.

Abb. 5.38. Lösung der normierten Dimensionierungsgleichung 1 - k1 p = cos p 1 Funktion f1 = cos p; 2 Funktion f2 = 1 -k1 p; 3 Funktion f3 = 1 - k1 max p

Abb. 5.39. Lösungskurven der normierten Bewegungsgleichung 1 - k1 p/ (1-k2 p) = cos p für Antriebe mit zusätzlich wirkender weglinearer statischer Gegenkraft (s.a. Gln. (5.58), (5.59) und (5.60))

5.4 Federantriebe

227

Im Einzelnen sind zur Federdimensionierung folgende Schritte notwendig [12][5.2][5.28] [5.48][5.55]: 1. Wählen eines Wertes für țM und Bestimmen von Ȝ0 gemäß den Gln. in Tabelle 5.11. 2. Berechnen von k1 nach Gl. (5.50) auf der Grundlage der in der Aufgabenstellung enthaltenen Werte sB, tB, G, ȡ, IJA1 und Ermitteln des Arbeitspunktes p nach Gl. (5.49) auf grafischem (Abb. 5.38) oder numerischen Wege bzw. unter Verwendung des Diagramms in Abb. 5.39. 3. Berechnen des Drahtdurchmessers d unter Nutzung der Gln. (5.40), (5.43), (5.48) aus

d

3

8 m A p Dm S N M O 0 tB

2UG

,

(5.51)

wobei anstelle des hier noch nicht bekannten exakten Wertes des mittleren Windungsdurchmessers Dm der Wert des Außendurchmessers Da = Dm + d oder des Innendurchmessers Di = Dm - d einzusetzen ist, je nachdem, welchen von beiden die konstruktiven Forderungen der Aufgabenstellung vorgeben. Der so ermittelte Wert d ist dem nächstliegenden Normwert dN nach DIN EN 10270 anzugleichen [12][5.28][5.48]. 3. Berechnen der federnden Windungszahl nf aus nf

O0 tB Sp

G dN 2 U D m2

(5.52)

und deren Angleich an die Bedingung nf = i + 0,5, die bei Zugfedern noch auf nf = i ±0,25 erweitert werden kann ( i – ganze Zahl). 5. Ermitteln der Eigenkreisfrequenz Ȧ0 gemäß Gl. (5.46) unter Berücksichtigung der mit der Rundung von dN und nf einhergehenden Änderung von mF. 6. Bestimmen der zur Einhaltung der Bewegungsgrößen sB und tB erforderlichen Anfangsauslenkung sA 1

s B 1  cos (Z0 t B ) .

(5.53)

Nach Durchlaufen dieser Berechnungsschritte ist zu prüfen, ob die Feder auch den anderen Forderungen der Aufgabenstellung gerecht wird. Schwerpunkte bilden dabei die Nachrechnung der Schubspannung, der Einbaulänge und bei Druckfedern auch der Knicksicherheit (s. Absch.

228

5 Entwurf von Federanordnungen

4.3.2.4). Die vorhandene Torsionsspannung ergibt sich bei anfangsausgelenkter Feder aus

W A1 vorh

VIJ k G

Gd s A1 . S Dm2 nf

(5.54)

Sie berücksichtigt im Spannungsvergrößerungsfaktor

VIJ

O 0 sin O 0

(5.55)

Spannungsüberhöhungen infolge dynamischer Belastungen und im Göhner'schen Faktor kG [5.12] Spannungsspitzen an der Innenseite der Federwindungen (anstelle von kG kann auch der Spannungsüberhöhungsfaktor nach Bergsträsser kB verwendet werden; vgl. Tabelle 4.18). Sie muss der Bedingung

W A1 d W zul

(5.56)

genügen. Für Zugfedern mit angebogenen Ösen ist mit IJzul = 500 N/mm2 zu rechnen [5.72]. Für Zugfedern ohne Ösen und für Druckfedern sind die Werte für IJzul aus Dauerfestigkeitsdiagrammen zu entnehmen (vgl. Abb. 4.32). Außerdem sind bei der Festlegung von IJzul sowohl dauerfestigkeitssteigernde als auch -mindernde Einflüsse zu berücksichtigen [5.27][5.41]. Um überlastete Federn möglichst von vornherein auszuschließen, sind der Dimensionierung Werte IJA1 = 0,8 IJzul = 0,4 Rm zugrunde zu legen [5.64]. Für die Überprüfung der Einbaulänge ist der Abstand aK der Koppelstellen K0 und K im Zustand der anfangsausgelenkten Feder maßgebend. Er ermittelt sich wie folgt: x Zugfedern mit normgerechter Ösenform (DIN EN 13906-2): aK = L0 + sA1 - s0 x Druckfedern mit Sicherheitswindungsabstand Sa min: aK = Ln + sA1 mit Ln nach Tabelle 4.18 und L0 nach Tabelle 4.21 sowie dem bei Zugfedern durch Einbringen einer Vorspannung geometrisch unwirksamen Weg s0 = F0/ R1. In beiden Fällen muss aK in dem von der Aufgabenstellung (vgl. Tabelle 5.7) festgelegten Bereich a KK d a K d a KG

liegen.

(5.57)

5.4 Federantriebe

229

Bei Nichteinhalten der genannten Bedingungen – und erforderlichenfalls auch der Forderungen vBK d vB d vBG und aBK d aB d aBG für die Endgeschwindigkeit und die Endbeschleunigung – besteht die Notwendigkeit, unter Variation von țM die angegebenen Berechnungsschritte wiederholt auszuführen. Das zusätzliche Wirken einer statischen Gegenkraft verändert die normierte Dimensionierungsgleichung in

1

k1 p 1  k2 p

cos p

(5.58)

mit 2 U G sB O 0 W A1 t B

(5.59)

2 U G s 2  FK R2 . tB

(5.60)

k1

(D  1)

k2

D

O 0 W A1

Bei ihrer Herleitung und Auswertung ist unter Beachtung der Gln. (5.29), (5.40), (5.42), (5.43) und (5.44) sowie der Tabellen 5.8, 5.10 und 5.11 in gleicher Weise zu verfahren wie bisher [5.32][5.48]. Leistungsgrenzen. Eine erfolgreiche Anwendung der Dimensionierungsgrundlagen setzt voraus, dass die in der Aufgabenstellung erhobenen Forderungen (s. Tabelle 5.7) erfüllbar sind. In der Praxis trifft dies jedoch nicht immer zu. Deshalb muss der Konstrukteur vor Beginn der Federdimensionierung abschätzen, ob die Aufgabe unter den gegebenen Bedingungen überhaupt lösbar ist und ob er durch gezielte Veränderung der Forderungen unnötigen Aufwand für eine vergebliche Lösungssuche vermeiden kann. Anhaltspunkte für diese Abschätzung liefern ihm die grafische Lösung der Dimensionierungsgrundgleichung in Abb. 5.38 und deren weitere Auswertung. Wie aus Abb. 5.38 hervorgeht, kann die Neigung k1 der Geraden nicht beliebig groß werden. Sie erreicht ihren Grenzwert, wenn die Gerade und die cos-Funktion einander tangieren. Das ist für die Werte k1 max = 0,7246 und p = 2,33 der Fall. Sie bestimmen das Maximum der Lösungsfunktion k1(p) der Gl. (5.49) in Abb. 5.39, das zugleich auch die Lösungsfunktionen k1(p, k2) der Gl. (5.58) für Antriebe mit zusätzlicher weglinearer statischer Gegenkraft infolge einer Zusatzfeder mit der Federrate R2 enthält. Die Grenze k1 max markiert damit die absolute Grenze für die Erfüllbarkeit der Bewegungs- und Belastungsforderungen [5.3][5.4][5.6][5.26][5.28][5.42]

230

5 Entwurf von Federanordnungen

[5.48]. Aus ihrer Kenntnis und Gl. (5.50) lässt sich daher eine eindeutige Beziehung O 0G

2UG 0,7246 W A1

vm

(5.61)

zwischen der geforderten mittleren Geschwindigkeit vm = sB/ tB und den als bekannt angenommenen Werkstoffdaten einerseits und dem größtmöglichen Eigenwert Ȝ0G andererseits ableiten. Da Ȝ0G über die Gleichungen nach Tabelle 5.11 mit dem im betrachteten Fall zulässigen Grenzmassenverhältnis țMG verknüpft ist, liefert die Kombination der Gleichung für das Modell der diskretisierten Federersatzmasse mit der Gl. (5.61) eine Beziehung zur Berechnung von

N MG

W 2A1 1  3,81 v m U G 3

vm

ȡ

G

IJA1

m/s g/cm3 N/mm2 N/mm2

. (5.62)

Durch Auswertung von Gl. (5.62), der Eigenwertgleichungen in Tabelle 5.11 und der Gl. (5.61) ergeben sich für țM die in den Abb. 5.40 und 5.41 dargestellten Grenzkurven țMG(vm). Sie berücksichtigen, dass bei Zugfedern die zulässige Anfangstorsionsspannung IJA1 = 0,8 IJzul infolge angebogener Ösen auf 400 N/mm2 begrenzt ist, während dieser Wert bei Druckfedern von der weiteren Oberflächenbehandlung durch Kugelstrahlen und aufgrund der Abhängigkeit Rm = Rm(dN) auch vom verwendeten Drahtdurchmesser abhängt. Bei der Nutzung der Nomogramme ist außerdem zu beachten, dass die dargestellten Grenzkurven țMG(vm) den Arbeitspunkt p = 2,33 zugrunde legen, der erst nach dem Nulldurchgang der cos-Schwingung bei ʌ/2 erreicht wird. Die Verwirklichung von Antrieben mit dem Grenzwert țMG erfordert deshalb wie bei allen Antrieben mit einem Arbeitspunkt im Bereich ʌ/2 < p d ʌ die feste Ankopplung des Bauteils an die Feder und eine Endlagenarretierung. Will man diese zusätzlichen konstruktiven Maßnahmen umgehen, so muss die Geradenneigung k1 d 2/ʌ sein. Als Grenzkurve dafür gilt dann die Kurve țM 2/ʌ(vm), die in Abb. 5.40 als Kurve 3 bezeichnet ist. In Abb. 5.41 wurde aus Gründen der Übersichtlichkeit auf die Darstellung der Grenzwertkurven țM 2/ʌ(vm) verzichtet. Sie lassen sich mit k1 = 2/ʌ = 0,6366 analog zur Grenzwertkurve țMG(vm) aus O 0 2/S und

2UG vm 0,6366 W A1

(5.63)

5.4 Federantriebe

N M 2/S

W 2A1 1  4,34 vm U G 3

vm

ȡ

G

231

IJA1

m/s g/cm3 N/mm2 N/mm2

(5.64)

ermitteln.

N M2/S

1

2 3 vm

vmax

Abb. 5.40. Grenzwertkurven für Zugfedern mit angebogenen Ösen (IJA1 = 400 N/mm2) 1 Grenzkurve vmax = vmax(țM) 2 Grenzkurve țMG = țMG(vm) 3 Grenzkurve țM 2/ʌ = țM 2/ʌ(vm)

Abb. 5.41. Grenzwertkurven țMG = țMG(vm) für Druckfedern (IJA1 = 0,5 Rm) I kugelgestrahlte Druckfedern; II ungestrahlte Druckfedern; 1 Grenzkurven für 0,1 mm d dN d 1 mm; 2 Grenzkurven für 1,2 mm d dN d 5 mm; 3 Grenzkurven für 5,5 mm d dN d 16 mm;

Abb. 5.40 enthält mit Kurve 1 außerdem eine Grenzwertkurve, die angibt, welche maximale Geschwindigkeit vmax für das gewählte Massenverhältnis țM bzw. für das jeweilige Grenzmassenverhältnis țMG(vm) bzw. țM 2/ ʌ(vm) erreicht werden kann. Diese Geschwindigkeit tritt zum Zeitpunkt des Nulldurchgangs der cos-Funktion, d.h. für k = Ȧ0tB = ʌ/2, auf. Die erreichbare maximale Geschwindigkeit ist besonders für Antriebsaufgaben von großem Interesse, bei denen es um die Erzeugung einer möglichst großen Schlagenergie geht, z.B. in Umformprozessen. Sie kann aus dem Nomogramm in Abb. 5.40 bzw. analogen Diagrammen auf einfache Weise abgelesen (s. Beispiellinien in Abb. 5.40; Vorgabe vm = 5 m/s; abgelesene Werte: țM 2/ʌ | 1,5 und vmax | 7,8 m/s) oder unter Berücksichtigung der geltenden Zusammenhänge aus der Beziehung

232

5 Entwurf von Federanordnungen

vmax

O 0 IJ A1 2G ȡ

(5.65)

berechnet werden. Gemäß Gl. (5.65) hängt ihr Betrag also nur vom Eigenwert O0 und damit vom Massenverhältnis NM sowie von den Materialeigenschaften des eingesetzten Federdrahtes ab. Danach gilt z.B. für Federstahldrähte, die unabhängig von der Festigkeitsklasse stets nahezu den gleichen Gleitmodul G und die gleiche Dichte U besitzen: Je höher die Festigkeit des eingesetzten Drahtes, umso höher die erreichbare maximale Endgeschwindigkeit. Für hochwertige Drähte sind diese Zusammenhänge beispielhaft in Abb. 5.42 dargestellt.

Abb. 5.42. Erreichbare maximale Geschwindigkeit für Ventilfederstahldrähte mit 1 Wzul = 1000 N/mm2 2 Wzul = 1200 N/mm2 ---- Kontinuummodell  Modell mFe = mF/ 3

Abb. 5.43. Abweichung bei der Berechnung der erreichbaren maximalen Geschwindigkeit vmax auf der Grundlage des Modells der diskretisierten Federersatzmasse mFe = mF/ 3

Ein Vergleich von Ergebnissen der Berechnungen von vmax, die zum einen auf der Grundlage der exakten Ermittlung von O0 mit Hilfe des Kontinuummodells und zum anderen auf der Ermittlung des Eigenwertes O0 nach dem Modell der diskretisierten Federersatzmasse mit mFe =mF/3 beruhen (s.a. Tabelle 5.11), zeigt, dass die maximal erreichbare Geschwindigkeit bei der Näherungsrechnung immer zu groß berechnet wird. Insbesondere im Bereich kleiner Massenverhältnisse NM < 1 treten größere Abweichungen auf. Sie können bis zu 10 % betragen (Abb. 5.43). Bei Antrieben mit hohen Endgeschwindigkeiten spielt aber auch die auftretende maximale Beschleunigung eine große Rolle. Sie ergibt sich aus der zeitlichen Ableitung der Gl. (5.30) und wirkt sich in Verbindung mit der anzutreibenden Masse mA als Trägheitskraft auf die Beanspruchung

5.4 Federantriebe

233

und die Verformung aller benachbarten Bauteile, einschließlich des Gestells, aus. Die größte Beschleunigung tritt gleich zu Bewegungsbeginn, d.h. zum Zeitpunkt t = 0, auf und errechnet sich aus a max

s A1Z02

vmax Z0

vmax O 0 IJ A1 s A1 2 G ȡ

.

(5.66)

Aus Gl. (5.66) geht hervor, dass die Größe des Betrages von amax außer von den Materialeigenschaften des verwendeten Federdrahtes und der zugrundegelegten Endgeschwindigkeit vmax maßgeblich von der Anfangsauslenkung sA1 der eingesetzten Feder und damit von deren Abmessungen abhängt. Für ein Beispiel sind die Zusammenhänge in Abb. 5.44 dargestellt.

Abb. 5.44. Maximal erreichbare Beschleunigung für Federantriebe mit einer zulässigen Spannung von Wzul = 1000 N/mm2 und Anfangsauslenkungen sA1 = 250 mm bzw. sA1 = 400 mm

Bei Verwendung eines Federdrahtes mit einer zulässigen Spannung von Wzul = 1000 N/mm2 und der Vorgabe einer Endgeschwindigkeit von z.B. vmax = 25 m/ s kommen für die Lösung der Aufgabenstellung nur Antriebe mit einem Masseverhältnis NM 6 1 in Betracht. Wählt man unter diesen Voraussetzungen hierfür beispielsweise einen Antrieb mit NM 6 0,9 aus und setzt dafür eine Feder ein, die bei einer Anfangsauslenkung sA1 = 400 mm die zulässige Spannung erreicht, dann entwickelt dieser Antrieb eine Anfangsbeschleunigung amax von ca. 1500 m/ s2. Wählt man dagegen eine härtere Feder aus, die bereits bei einer Anfangsauslenkung sA1 = 250 mm spannungsseitig ausgelastet ist, dann steigt die Anfangsbeschleunigung auf ca. 2500 m/ s2 an. Das bedeutet, dass sich die Trägheitskraftwirkung in dem Fall auf fast das 1,7fache erhöht. Hieraus leitet sich die Schlussfolgerung ab, für die Lösung derartiger Aufgaben möglichst weiche Federn mit großen Funktionsweg einzusetzen. Um diese Forderung erfüllen zu können, müssen aber angemessen große Bauräume vorhanden sein. Dies ist jedoch bei vielen Federanwendungen nicht der Fall.

234

5 Entwurf von Federanordnungen

Außer den konstruktiven Bedingungen der jeweiligen Antriebsaufgabe schränken meist auch die fertigungstechnischen Forderungen den Lösungsbereich für țM meist noch weiter ein. Vorhersagen dazu sind allerdings aufgrund komplizierter geometrischer Zusammenhänge nur überschlägig möglich [5.3][5.48]. So erhält man z.B. für Zugfedern mit der Federeigenmasse mF nach Gl. (5.40) und dem Drahtdurchmesser d = Da/(w + 1) mit 4 d w d 16 sowie der Blocklänge Lc = nf d für țM einen Lösungsbereich 322,7

mA mA d N M d 932,5 . 2 Lc Da Lc Da2

(5.67)

Probleme bei der Anwendung dieser Bedingung entstehen dadurch, dass die Blocklänge Lc (in mm) im Gegensatz zu mA (in g) und Da (bzw. Di in mm) in der Aufgabenstellung nicht vorgegeben ist. Auch aus den Vorgaben für die Einbaulänge aKK d aK d aKG lässt sich Lc vor Beginn der Dimensionierung nicht unmittelbar ableiten, da aK durch Größen beeinflusst wird, deren Betrag erst im Verlaufe der Federberechnung bestimmt wird (Anfangsauslenkung, Ösenlänge und ggf. auch Windungsabstand). Um dennoch einen sinnvollen Bereich für die Wahl von țM einzugrenzen, ist es zweckmäßig, von der Annahme 0,25aK d Lc d 0,75aK auszugehen. Dabei muss man berücksichtigen, dass trotz dieses relativ großen Wertebereiches für Lc noch eine Reihe brauchbarer Lösungen verloren geht. Wenn unter Berücksichtigung der erläuterten dynamischen, konstruktiven und fertigungstechnischen Bedingungen eine Wahl von țM getroffen werden konnte, ist auch der Bereich des zu erwartenden Drahtdurchmessers bereits näher einzugrenzen: 3

4 mA p S N M U O0 tB

2U DaK d d d G

3

4 mA p S N M U O0 tB

2U DaG . G

(5.68)

Der Wert für den Arbeitspunkt p kann dabei dem Diagramm in Abb. 5.45 entnommen werden. Über die Brauchbarkeit daraus berechneter Federn entscheidet aber auch hier erst die Nachrechnung der Gln. (5.51), (5.52), (5.54), (5.56) und (5.57). Da nur die exakte Berücksichtigung der Federeigenmasse die tatsächlichen dynamischen und konstruktiven Verhältnisse real widerspiegelt, wurden die vereinfachten Modellvorstellungen entsprechend den Gleichungen nach Tabelle 5.11 für die Orientierungsdiagramme nicht herangezogen. Bei vernachlässigter oder näherungsweise berücksichtigter Federeigenmasse erhält man Grenzwertkurven țMG(vm), die oberhalb der Kurven in den Abb. 5.38 und 5.39 liegen und die damit in Grenzfällen zu Ergebnissen führen können, die sich praktisch nicht verwirklichen lassen.

5.4 Federantriebe

235

Abb. 5.45. Diagramm zur Bestimmung des Arbeitspunktes p in Abhängigkeit vom Massenverhältnis țM und von der geforderten mittleren Geschwindigkeit vm (vm in m/ s)

Bezieht man außer der dynamischen Beanspruchung durch eine konstante Masse mA noch eine wegproportionale statische Gegenkraft mit ein, werden die Zusammenhänge wesentlich unübersichtlicher. Sie lassen sich aber bei Anwendung der Rechentechnik relativ leicht programmtechnisch berücksichtigen. Dimensionierung genormter Schraubendruckfedern1. Während bei der bisher dargelegten Dimensionierung nichtgenormter Schraubenfedern nur der Zwang besteht, nach DIN EN 10270 zugelassene Drahtdurchmesser dN sowie die genannten Bedingungen zu berücksichtigen, erfordert die Berechnung und Auswahl genormter Schraubendruckfedern nach DIN 2098 aufgrund der festen Zuordnung der Federparameter d, Dm, L0, nf, R, Fn die Einhaltung weiterer Restriktionen. Das Lösungsfeld schränkt sich damit erheblich ein. Deshalb erhält hier die iterative Analyse des genormten Federsortiments im Hinblick auf seine Brauchbarkeit zur Lösung der antriebstechnischen Aufgabenstellung den Vorzug. Der Anwendung des Verfahrens der iterativen Analyse kommt entgegen, dass durch Auswertung der Bedingung für das einzuhaltende Wickelverhältnis w und der Angaben der Aufgabenstellung zum Wertebereich für den Außendurchmesser Da bzw. für den Innendurchmesser Di eine Eingrenzung auf die Menge von Federn erfolgen kann, für die sich eine Analyse lohnt. Für das Wickelverhältnis w wird bei Schraubendruckfedern vorzugsweise die Einhaltung der Bedingung 7 d w d 10 empfohlen, nach Norm ist dafür der Bereich 4 d w d 16 zugelassen und in Ausnahmefällen ist auch 3 d w d 18 erlaubt (s.a. S. 20 und S. 122 sowie Tabelle 4.18). 1

Diese Vorgehensweise lässt sich auch auf Federn anwenden, deren Abmessungen in Herstellerkatalogen [5.66][5.67] enthalten sind.

236

5 Entwurf von Federanordnungen

Die Auswahl einer genormten Schraubendruckfeder läuft unter Verwendung der Datenblätter nach DIN 2098 (s.a. Tabelle 2.1) wie folgt ab: 1. Auswahl der Schraubendruckfeder mit den für die jeweilige Aufgabe geltenden Werten dN, DmN, L0N, nfN, RN, FnN. 2. Berechnen der Federeigenmasse mF nach Gl. (5.40). 3. Ermitteln von Ȝ0 nach den in Tabelle 5.11 enthaltenen Gleichungen und Berechnen von Ȧ0 nach Gl. (5.46). 4. Berechnen des vorhandenen Arbeitspunktes p entsprechend Gl. (5.48) und Überprüfen der Bedingung p d ʌ/ 2 bzw. p d 2,33. 5. Ermitteln von sA nach Gl. (5.29) und sA1 nach Tabelle 5.8. 6. Überprüfen der Bedingung sA1 d sA1 max = L0N -LnN. 7. Überprüfen der Einbaumaße der ausgewählten Feder analog den für nichtgenormte Federn geltenden Bedingungen. Beim der Abarbeiten dieser Schritte kommt es zwangsläufig häufig zu Verstößen gegen die vorgegebenen Forderungen. Die Analyse der untersuchten Feder ist dann abzubrechen und nach Vorgabe der Werte einer neuen Feder aus dem vorausgewähltem Sortiment von vorn zu beginnen. Hierbei ist vorzugsweise auf die Änderung von nf zu orientieren. Wenn diese Variationsmöglichkeit nicht zum Ziel führt, muss auf die Änderung der Federdaten dN und DmN zurückgegriffen werden. Auswirkungen von Draht- und Fertigungstoleranzen. Bei der Dimensionierung und Überprüfung der Brauchbarkeit der Feder in der dargestellten Form ist zu beachten, dass dabei stets von idealisierten Konstruktionsdaten ausgegangen worden ist. Aufgrund der Schwankungen der Federdrahtparameter d, G, ȡ sowie der Abweichungen der Federgrößen Da, nf, L0 [5.15][5.59], deren Werte durch die einzelnen Fertigungsschritte beim Herstellen der Feder (Winden, Anbiegen und Anschleifen der Federenden, Anlassen (Spannungsarmglühen), Setzen [5.45], s.a. Kap. 3) beeinflusst werden, und infolge von Maßabweichungen, die nach dem Einbau der Feder in die vorgesehene Baugruppe vorhanden sind (L1 bzw. sA1, L2 bzw. sB), entstehen zwangsläufig auch Abweichungen gegenüber der idealisierten Funktion, von der die Entwurfsrechnung zunächst immer ausgeht. Für den Konstrukteur ist es daher wichtig zu wissen, wie sich diese Abweichungen auswirken, welche Größenordnung sie besitzen und welche Vorkehrungen er ggf. treffen muss, um die gestellte antriebstechnische Aufgabenstellung unabhängig von den zulässigen Schwankungen der einzelnen Antriebs- und Federparametern sicher zu erfüllen.

5.4 Federantriebe

237

Da bei Federantrieben in der Regel der Hub sB durch Anschläge begrenzt ist, wirken sich die genannten Fertigungstoleranzen auf die Bewegungszeit aus [5.48][5.54][5.60]. Diese ergibt sich für einen elementaren Antrieb mit linearer Bewegungsdifferentialgleichung (s.a. Abb. 5.31) aus der umgestellten Dimensionierungsbedingung (5.45) zu 2

tB

S  Da  d n f O0 d

2U arc cos 1  s B s A 1 . G

(5.69)

Die Auswirkungen įtB(įxi) der darin enthaltenen fehlerbehafteten Einzelgrößen xi auf den relativen Fehler įtB der Bewegungszeit des Antriebs können mit Hilfe der Fehlergleichung Gy

'y y

n

¦ i 1

wy i 'x i wx i y

(5.70)

ermittelt werden. Die relative Zeitabweichung įtB errechnet sich damit aus Gt B

wt B 'd wt B 'Da wt B 's A 1 wt 's B    B wd t B wDa t B ws A 1 t B ws B t B wt 'nf wt 'G wt 'O 0 wt 'U .  B  B  B  B wnf t B wG t B wO 0 t B wU t B

(5.71)

Berücksichtigt man, dass die vom Eigenwert Ȝ0 verursachten Abweichungen įtB(įȜ0) gemäß den Gleichungen nach Tabelle 5.11 und Gl. (5.43) sowohl durch Abweichungen der Antriebsmasse mA hervorgerufen werden als auch durch Schwankungen der Federeigenmasse mF entstehen, die ihrerseits laut Gl. (5.40) von Da, d, nf, G und ȡ abhängen, dann ergeben sich für den Antrieb nach Abb. 5.31 folgende Einzelabweichungen: Gt B GmA

Gt B GDa

Gt B Gd Gt B Gnf

3 NM GmA ; 6 NM  2

(5.72)

§2w  2 3 NM w  1· ¨¨ ¸ GDa ;  6 N M  2 w ¸¹ © w §w  2 3 NM 2w   ¨¨  6 NM  2 w © w Gnf ;

1· ¸¸ Gd ; ¹

(5.73)

(5.74) (5.75)

238

5 Entwurf von Federanordnungen

Gt B GG

1,5 GG ;

(5.76)

Gt B GU

GU ;

(5.77)

Gt B Gs B

sB 2

s A1 1  1  s B s A1 arccos 1  s B s A1

Gt B Gs A1 

sB 2

s A1 1  1  s B s A1 arccos 1  s B s A1

Gs B ; (5.78)

Gs A1 . (5.79)

Werden zur Berechnung der Grenzwerte įtB min und įtB max der zu erwartenden relativen Zeitabweichung die nach Norm zugelassenen Toleranzbereiche der einzelnen Größen verwendet, so zeigt sich, dass die Toleranzen des Drahtdurchmessers d und des Federaußendurchmessers Da den größten Einfluss haben, während sich alle anderen Parameterschwankungen deutlich geringer auswirken. Kritisch im Hinblick auf Zeitabweichungen sind insbesondere Federn mit kleinen Abmessungen (Abb. 5.46 und 5.47).

Abb. 5.46. Relative Zeitabweichung įtB(įDa) infolge der Federaußendurchmessertoleranzen (Gütegrad 1 nach DIN 2095) 1 įtB min für w = 16 und țM o f 2 įtB max für w = 4 und țM o 0

Abb. 5.47. Relative Zeitabweichung įtB(įd) infolge der Drahtdurchmessertoleranzen für patentiert gezogenen Federstahldraht der Sorte DH nach DIN EN 10270-1 1 įtB min für w = 16 und țM o 0; 2 įtB max für w = 4 und țM o f

5.4 Federantriebe

239

Falls die Auswertung der Gln. (5.71) bis (5.79) bei Einhaltung der vorgegebenen Toleranzen ergeben sollte, dass die zu erwartenden relativen Zeitabweichungen įtB außerhalb des zulässigen Bereiches liegen, dann empfehlen sich unter Nutzung dieser Beziehungen folgende Maßnahmen: x x x x

gezieltes Verändern von Größen, die die Bewegungszeit bestimmen; Justieren des Abstandes KK0 bei gespannter Feder; Justieren der hubbegrenzenden Anschläge; Verändern des Betrages der Antriebsmasse.

Die erste Maßnahme kann verwirklicht werden, wenn die Parameterabweichungen des Drahtes bekannt sind (Drahtdurchmesser d, Gleitmodul G, Dichte ȡ). Ein Ausgleich der Zeitabweichungen infolge der Drahtparameter ist durch gezielte Änderung des Federaußendurchmessers Da, der Anfangauslenkung sA1 (über L0) oder der Windungszahl nf möglich. Die größte Wirkung erzielt man dabei mit der Ändern des Federaußendurchmessers, die kleinste mit der Windungszahl [vgl. dazu Gln. (5.73) und (5.75)]. So gleicht man beispielsweise durch eine gleichgroße relative Änderung des Federaußendurchmessers das VDd - fache der relativen Zeitabweichung des fehlerbehafteten Drahtdurchmessers aus: Gt B GDa

VDd

GDa Gd

 VDd ˜ Gt B Gd

6 N M  2 w  2  3 N M 2 w  1 . 6 N M  2 2 w  1  3 N M w  1

(5.80) (5.81)

Die grafische Auswertung des Zeitfehlerausgleichsfaktors VDd in Abb. 5.48 zeigt, dass insbesondere bei kleinen Masseverhältnissen țM der Wert von țM einen größeren Einfluss auf den Betrag von VDd ausübt als das Wickelverhältnis w.

Abb. 5.48. Zeitfehlerausgleichsfaktor VDd in Abhängigkeit vom Massenverhältnis țM und vom Wickelverhältnis w

240

5 Entwurf von Federanordnungen

Ähnliche Zeitfehlerausgleichsfaktoren Vij zwischen den Größen xi und xj erhält man durch Division der jeweils zutreffenden Gleichungen für die relativen Zeitabweichungen įtB(įxi) und įtB(įxj). Schraubenfedern für Antriebe mit nichtlinearer Bewegungsdifferentialgleichung. Die dargelegten Berechnungsgrundlagen lassen sich auch auf die Dimensionierung von Schraubenfedern für Antriebe mit nichtlinearer Bewegungsdifferentialgleichung anwenden, falls die Forderungen der Aufgabenstellung eine Näherung mit Hilfe der Ansätze für die Ersatzmodelle zulassen [s. Gleichungen (5.34) bis (5.37)]. Für den Entwurf von Antrieben mit höheren Genauigkeitsansprüchen bzw. extremen Bewegungs- und Belastungsbedingungen reicht diese vereinfachte Berechnungsmethode aber nicht mehr aus. In den Fällen wird der Rückgriff auf das Verfahren der Synthese durch iterative Analyse notwendig. Seine Anwendung erfordert stets den Rechnereinsatz und die Verknüpfung folgender Schritte (Abb. 5.49):

x Nähern des Antriebs mit Hilfe der Ansätze zur Ersatzmodellbildung; x überschlägiges Dimensionieren einer Ausgangsfeder mit Hilfe der Berechnungsgrundlagen für Antriebe mit linearer Bewegungsdifferentialgleichung; x numerisches Lösen der nichtlinearen Bewegungsdifferentialgleichung; x Vergleich des Bewegungsverhaltens des analysierten Antriebs mit dem geforderten Verhalten; x Variation der Feder- bzw. Antriebsparameter. Zur gezielten Variation der Federparameter können wiederum die Beziehungen für die relativen Zeitabweichungen įtB(įxi) vorteilhaft genutzt werden. So lassen sich z.B. Zeitabweichungen įtB*= ( tB soll - tB ist)/ tB > 5 % mit Hilfe der Korrektur des Außendurchmessers auf Null reduzieren, wenn Da unter Nutzung der Gl. (5.72) auf Da kor

Da  'Da

ª º w 6 N M  2 Gt B* » Da «1  9 N M 4 w  3  2 w  2 ¬ ¼

(5.82)

geändert wird. Ebenfalls könnte bei größeren Zeitabweichungen der Drahtdurchmesser gemäß Gl. (5.73) verändert werden. Dabei ist jedoch zu beachten, dass dies aufgrund des großen Fehlereinflusses des Drahtdurchmessers nur in relativ grob gestuften Schritten möglich ist. Deshalb müssen sich in dem Fall meist noch feinere Korrekturschritte anschließen. Dafür eignen sich, wie für die Korrektur kleinerer Zeitabweichungen įtB(įxi) generell, die Variation der Anfangauslenkung sA1 bzw. der Windungszahl nf,. Diese Variatio-

5.4 Federantriebe

241

nen müssen dann in analoger Weise wie beim Federaußendurchmesser unter Verwendung der Gln. (5.79) bzw. (5.75) erfolgen.

Abb. 5.49 Algorithmus zum Entwurf eines Antriebs mit nichtlinearer Bewegungsdifferentialgleichung

5.4.3 Drehfederantriebe 5.4.3.1 Dynamische Modelle

Außer den Längsschwingungen in Richtung der Federachse können Schraubenfedern auch Drehschwingungen um die Federachse ausführen [5.4][5.14][5.24][5.48]. Deshalb werden sie häufig auch zur Erzeugung von Drehbewegungen eingesetzt. Zu diesem Zweck werden sie meist auf einer Achse bzw. Welle geführt(Abb. 5.50) und über tangential, radial oder axial herausgeführte Federenden mit den Schenkellängen LS1 und LS2 mit benachbarten Bauteilen gekoppelt (s. DIN EN 13906-3, [5.69], Tabelle 5.12). Man erhält damit sog. Drehfeder- oder Schenkelfederantriebe.

242

5 Entwurf von Federanordnungen

Abb. 5.50. Drehfederantrieb A0 Drehachse des Antriebs; JA Massenträgheitsmoment der anzutreibenden Bauteile; JF Massenträgheitsmoment der Drehfeder; ijA1 Anfangsauslenkung der Drehfeder; ij0 Winkelbezugswert; z Drehfederachse Tabelle 5.12. Drehfedern mit tangential (Typ I), radial (Typ II) und axial (Typ III) herausgeführten Federenden (s. Abb. 4.17, S. 96) – Gleichungen zur Ermittlung des Massenträgheitsmomentes JF der Feder in Bezug auf die Federachse z Drehfedertyp

Gleichung für das Massenträgheitsmoment der Drehfeder

I

JF

m F ª Lc Dm2 Ls1  Ls2 Dm2 L3s1  L3s2 º   « » l ¬ 4 4 3 ¼

JF

L2  L2s2 Dm mF ª Lc Dm2 Ls1  Ls2 Dm2  s1  « l ¬ 4 4 2

II







L3s1  L3s2 º » 3 ¼

III

JF

m F ª Lc Dm2 Ls1  Ls2 Dm2 º  « » 4 l ¬ 4 ¼

Auch in ihrem Fall wird die Bewegung der getriebenen Teile durch eine Differentialgleichung beschrieben. Sie folgt aus dem Momentengleichgewicht um die Drehachse. Für den Antrieb in Abb. 5.50 lautet sie bei Annahme einer masselosen Feder mit linearer Kennlinie

5.4 Federantriebe

 F  R1M M JA M

0.

243

(5.83)

Die Integration von Gl. (5.83) führt analog zu Gl. (5.28) auf das Bewegungsgesetz des Dreh- bzw. Schenkelfederantriebs M

M A 1 1  cos (Z 0 t )

(5.84)

Danach wird der momentane Drehwinkel ij(t) der bewegten Kopplungsstelle K durch die Größe der zur Zeit t = 0 dynamisch wirksamen Anfangsauslenkung ijA1 bzw. ijA (vergl. dazu a. Tabelle 5.8 für Schraubenfedern) und durch die Eigenkreisfrequenz Z0

R1M J A

(5.85)

bestimmt. Diese hängt ihrerseits vom Massenträgheitsmoment JA der anzukoppelnden Bauteile und die Drehfederrate R1M

Sd 4 E 64 d

(5.86)

und damit vom Drahtdurchmesser d, vom Elastizitätsmodul E und der Drahtlänge

l

S Dm nf  Ls1  Ls2

(5.87)

ab. Der angegebene Zusammenhang ij(t) bleibt erhalten, wenn man die Federeigenmasse mF in die Betrachtungen einbezieht. Die Feder verkörpert dann einen räumlich gekrümmten Stab, der überwiegend auf Biegung beansprucht wird. Unter diesen Bedingungen führt die exakte Berücksichtigung von mF bei der Berechnung von Ȧ auf eine partielle Differentialgleichung von mindestens vierter Ordnung, die ohne vereinfachende Annahmen nicht lösbar ist. Zwei Modelle zur näherungsweisen Bestimmung von Ȧ kommen in Betracht. Als Entscheidungskriterium für die Anwendung des zweckmäßigerweise zu wählenden Modells dient die Windungszahl nf. Untersuchungen haben gezeigt [5.3][5.24], dass Drehfedern mit nf t 8 hinreichend genau wie ein auf Torsion beanspruchter Hohlzylinder berechnet werden können, während bei nf < 8 die Modellvorstellung des räumlich gekrümmten Stabes zutreffender ist. Hohlzylindermodell. Kommt das Hohlzylindermodell zur Anwendung, dann gilt entsprechend Gl. (5.38) und Abb. 5.51 die partielle Differentialgleichung

244

5 Entwurf von Federanordnungen

w 2MF wt 2

v w2 M

w 2MF . wz2

Abb. 5.51. Hohlzylindermodell eines Drehfederantriebes mit mindestens 8 Windungen ǻz Dicke eines Hohlzylinderelementes

(5.88)

Abb. 5.52. Federbezogenes Koordinatensystem

Die Fortpflanzungsgeschwindigkeit vwij der Stoßwelle berechnet sich nun aus v wM

Lc

R1M JF

(5.89)

.

Darin bedeuten Lc = nf d die Federblocklänge und JF das Massenträgheitsmoment der Feder. Für JF gilt bei Vernachlässigung des Federschenkeleinflusses JF

mF Dm2 4

S 2 U d 2 Dm3 nf . 16

(5.90)

Allerdings darf mit dieser vereinfachenden Annahme nur in Sonderfällen (Überschlagsrechnung, Federn mit kurzen Schenkeln) gerechnet werden, da der Trägheitseinfluss der Federschenkel das Mehrfache des Wickelkörpereinflusses betragen kann. Bei Berücksichtigung von LS1 und LS2 ermittelt sich JF gemäß den in Tabelle 5.12 angegebenen Beziehungen. Die Lösung der Gl.(5.88) erfolgt analog zu Gl. (5.38). Als Ergebnis erhält man Gl. (5.84), in der Ȧ durch die Eigenkreisfrequenz

5.4 Federantriebe

Z0

O0

R1M JF

O0 2S

E d U Dm2 nf

245

(5.91)

zu ersetzen ist. Ȝ0 ergibt sich als Nullstelle der Eigenwertgleichungen nach Tabelle 5.11, wenn man anstelle von țM das Verhältnis țJ der Massenträgheitsmomente JA und JF berücksichtigt. Falls auf die Feder außer der konstanten Trägheitsbelastung durch JA noch weitere Belastungskomponenten, z.B. statische Gegenmomente, einwirken, so ist bei der Modellbildung in gleicher Weise wie bei Schraubenfederantrieben vorzugehen. Modell des räumlich gekrümmten Stabes. Sind Drehfederantriebe mit weniger als 8 Windungen zu analysieren, dann werden zur Ermittlung der Eigenfrequenz die sog. Übertragungsmatrizen oder die Finite Elemente Methode angewendet, die es erlauben, die unterschiedlichen Verformungsund Belastungszustände an verschiedenen Punkten des belasteten Stabes miteinander zu verknüpfen. Im allgemeinen Fall der räumlichen Krümmung sind mit dem nach Abb. 5.52 eingeführten Koordinatensystem 12 Zustandsgrößen zu berücksichtigen: je Koordinatenachse ein Verschiebungs-, ein Verdrehungs-, ein Kraft- und ein Momentenvektor. Ihre Änderungen lassen sich in einem System von 12 linearen Differentialgleichungen darstellen, das jedoch nur unter großem Aufwand lösbar ist. Vereinfachend wird deshalb das Modell des eben gekrümmten Stabes angenommen, d.h. die Krümmung in der x, zEbene infolge der Steigung wird vernachlässigt. Der dadurch hervorgerufene Fehler ist bei üblichen Steigungswinkeln gering. Die Zahl der Zustandsgrößen verringert sich dadurch auf sechs, nämlich die Verschiebungen u und v in x- bzw. y-Richtung, die Verdrehung O um die z-Achse, die Kräfte Qx, Qy und das Moment Mz. Die Eigenkreisfrequenz Ȧ wird über die Federmasse in die Formulierung der Zustandsgrößen einbezogen. Die Trägheit der auf ein Bogenelement der Länge ǻxF bezogenen Masse P

m ' xF

2m Dm E

mF S n f Dm

(5.92)

(s. Abb. 5.53) wirkt sich als Streckenlast qx bzw. qy und als Streckenmoment qmz gemäß

qx

 P u ;

qy

 P v ;

qmz

i – Trägheitsradius in Bezug auf die z-Achse

  P i2 M

(5.93)

246

5 Entwurf von Federanordnungen

aus. Mit dem Lösungsansatz f(xF, t) = f(xF) e jȦt gewinnt man daraus

qx

P Z2 u ;

qy

P Z2 v ;

qmz

P i 2 Z2 M .

(5.94)

Abb. 5.53: Punktförmige Diskretisierung der Federmasse m diskretisierte Punktmasse eines Bogenelementes ǻxF; r mittlerer Windungsradius (r = Dm/2); ß Diskretisierungsintervall; Ȗ Knickwinkel der Federschenkel

Als Federparameter werden für die Untersuchungen der Elastizitätsmodul E, das äquatoriale Flächenträgheitsmoment I des Drahtquerschnitts, der mittlere Windungsradius r = Dm/2 und die Windungskrümmung 1/ r benötigt. Unter diesen Voraussetzungen und unter Vernachlässigung der Schubverzerrung in der Querschnittsfläche sowie der Längsdehnung des Federdrahtes ergibt sich ein Differentialgleichungssystem, in dem die mit (') gekennzeichneten Größen deren Ableitungen nach der Drahtkoordinate xF (Weg längs der Windung) darstellen. In Matrizenschreibweise lautet es: uc Qxc vc Mc M zc Qyc

0 0 1r 0  P Z2 0 0 0 1 r 0 0 0 0 0 0 0 1 r P Z2

0 0 0 u 0 0 1 r Qx 1 0 0 v M 0 1 EI 0 0 1 Mz  P Z2 i 2 0 0 0  Qy

(5.95)

Das Differentialgleichungssystem (5.95) lässt sich kürzer als Differentialgleichung 1. Ordnung Zc

AZ

(5.96)

angeben, wenn man die Größen u, Qx, v, ij, Mz, Qy als Komponenten eines Zustandsvektors Z und die Matrix mit den Federparametern als konstanten Koeffizienten A auffasst. Als Lösung dieser Differentialgleichung erhält man für ein Bogenelement ǻxF zwischen den Stellen (n-1) und n Z nc

B

e A ǻx F Z n 1

BZ n 1 .

(5.97)

e A ǻx F ist die Übertragungsmatrix für die Verknüpfung des Zustan-

des an der Stelle (n-1) mit dem an der Stelle n. Grundsätzlich kann eine derartige Übertragungsmatrix bei numerischer Lösung eines bestimmten Falles durch eine Taylor-Reihenentwicklung oder, wie für viele praktische

5.4 Federantriebe

247

Fälle möglich, auch über Ersatzpolynome ermittelt werden. Schwierigkeiten bei komplizierten Systemen umgeht man zweckmäßigerweise durch Diskretisierung der Massebelegung. Man gewinnt dabei masselose elastische Abschnitte, die durch Feldmatrizen BF repräsentiert werden, und punktförmige konzentrierte Massen, für die sich Punktmatrizen BP aufstellen lassen (Abb. 5.53). Da diese Matrizen katalogisiert vorliegen [5.47], müssen sie nicht jeweils neu abgeleitet werden. Unter Beachtung dieser Voraussetzungen ergibt sich nach Normierung der Punkt- und Feldmatrizen sowie der Zustandsgrößen die Eigenkreisfrequenz Ȧ bzw. der Eigenwert Ȝ eines Drehfederantriebes mit n Diskretisierungsintervallen aus der Matrizenmultiplikation n

Zn

–

n

B j Z1

j 1

–B

Fj

BPj Z1 ,

(5.98)

j 1

die rechentechnisch keine Schwierigkeiten bereitet. Bei der Erfassung des Gesamtsystems sind außer den masselosen Federn und massebehafteten Punkten der Feder auch noch die Zwischen- und Randbedingungen zu berücksichtigen. Sie werden durch die Art der Kopplung der Feder mit dem Gestell und mit dem anzutreibenden Bauteil, dessen Massenträgheitsmoment JA und die auftretenden Stützwirkungen bestimmt. In Abb. 5.54 sind verschiedene Fälle von Zwischen- und Randbedingungen dargestellt. Die dafür geltenden Zustandsvektoren unterscheiden sich dadurch, dass bestimmte Zustandsgrößen den Wert Null annehmen: Fall a :

Za

Fall b :

Zb

Fall c, d :

Zc

Zd

a) Abb. 5.54: Kopplungs- und Abstützungsarten von Drehfedern a) Drehgelenkkopplung b) Feste Einspannung c) freie Abstützung am Federende d) freie Abstützung an einer Windung

>0, Q , 0, M, 0,  Q @; >0, Q , 0, 0, M ,  Q @; >u, 0, 0, M, 0,  Q @. x

y

x

z

(5.99)

y

y

b)

c)

d)

Die Nullkomponenten sind wesentlich, denn sie liefern im Verlauf der Rechnung ein System homogener Gleichungen, das die Bestimmung der unbekannten Zustandsgrößen erlaubt. Aus der Koeffizientendeterminante des Systems, die gemäß der Lösbarkeitsbedingung Null sein muss, erhält

248

5 Entwurf von Federanordnungen

man schließlich den gesuchten Eigenwert Ȝ0. Er ergibt sich als Nullstelle aus der Darstellung des Restwertes ǻ(Ȝ) der Koeffizientendeterminante, den diese bei der schrittweise numerischer Lösung für ein vorgegebenes Ȝ jeweils noch besitzt (Abb. 5.55) [5.3][5.24]. Abb. 5.55. Restwert ǻ(Ȝ) der Koeffizientendeterminante Ȝ0, Ȝ1, Ȝ2,..., Ȝv Eigenwert 0.,1.,2.,..., v. Ordnung; Ȝu, Ȝo unterer bzw. oberer Anfangswert für den Suchbereich von Ȝ0

Den oberen Anfangswert Ȝo für die Suche von Ȝ0 braucht man dabei nicht größer anzusetzen als den, der sich bei Vernachlässigung der Federeigenmasse mF unter Beachtung der Gln. (5.40), (5.85), (5.86) sowie des Zusammenhangs O

Dm3 mF Ȧ 8E I

(5.100)

aus Oo

S Dm3 d 2 U 32 J A

(5.101)

Ergibt. Als unteren Anfangswert Ȝu wählt man zweckmäßigerweise Ou

S Dm3 d 2 U . 32  J A  10 J F

(5.102)

5.4.3.2 Grundlagen der Dimensionierung

Das Ziel der Dimensionierung besteht auch bei Drehfedern darin, die Abmessungen der Feder unter Einhaltung der in der Aufgabenstellung vorgegebenen Forderungen (analog zu Tabelle 5.7) so zu bestimmen, dass das getriebene Bauteil die im Bewegungsplan vorgegebenen Werte für den Antriebswinkel ijB und die Bewegungszeit tB einhält. Die Dimensionierungsgleichung lautet somit MB

M A 1  cos (Z0 t B ) .

(5.103)

Die Vorgehensweise bei ihrer Lösung hängt davon ab, welches der beiden Modelle anzuwenden ist.

5.4 Federantriebe

249

Sind im Ergebnis der Dimensionierung Schenkelfedern mit nf t 8 zu erwarten, dann kommt das Hohlzylindermodell zum Einsatz, und der Berechnungsgang läuft analog zu Schraubenfederantrieben ab. Für nf < 8 ist dagegen der Rückgriff auf das Modell des massebehafteten gekrümmten und auf Biegung beanspruchten Stabes erforderlich. Die Dimensionierung ist in dem Fall vorrangig auf die Ermittlung des Eigenwertes Ȝ0 bzw. der Eigenkreisfrequenz Ȧ0 mittels Übertragungsmatrizen oder FEM (s.a. Kap. 7) ausgerichtet, die in Verbindung mit der resultierenden Anfangsauslenkung ijA die Einhaltung der Bedingung (5.103) gewährleistet. Da es sich hierbei um einen Analysevorgang handelt, ist der Konstrukteur immer darauf angewiesen, Federabmessungen anzunehmen, ihre Verträglichkeit mit den vorgegebenen Forderungen zu untersuchen und ggf. wiederholte Parameteränderungen und Analyserechnungen durchzuführen. Die Abschätzung der zu erwartenden Windungszahl als Entscheidungsgrundlage für die Wahl des zweckmäßigen Berechnungsmodells ist daher stets der Ausgangspunkt der Dimensionierung. Sie muss unter Einbeziehung konstruktiver und dynamischer Vorgaben vorgenommen werden und erfolgt anhand der Bedingung 2

(5.104)

n f t 3,18 M B ] .

Sie berücksichtigt zwei für Drehfedern geltende Forderungen: die Durchmesseränderung der Feder zwischen gespanntem und entspanntem Zustand gemäß Gl. (4.8a) sollte 5 % nicht übersteigen, und das Spiel zwischen Feder und Führungselement (Achse, Welle, Dorn, Hülse) sollte möglichst klein sein. Die überschlägige Bestimmung von nf nach Gl. (5.104) setzt die Wahl des Winkelverhältnisses ȗ = ijB/ ijA1 und somit die Vorgabe einer vorläufigen Anfangsauslenkung ijA1 voraus. Dabei ist zu beachten, dass ȗ ohne besondere Vorkehrungen für Arretierungen (z.B. Festhaltung, formschlüssige Federankopplung) nur innerhalb des Bereiches 0 < ȗ d 1 liegen darf. Für die endgültige Festlegung von ȗ können unterschiedliche Aspekte maßgebend sein. So kann beispielsweise von der Feder verlangt werden, dass sie nach Bewegungsabschluss noch ein bestimmtes Drehmoment ausübt oder dass sie möglichst keine Prellwirkungen verursacht. Hohlzylindermodell. Ergeben sich bei der Abschätzung von nf Werte nf t 8, dann führt analoges Vorgehen wie bei Schraubenfederantrieben unter Berücksichtigung der Gln. (5.48), (5.86), (5.87), (5.90), (5.91) und M A1

M FM R1M

Wb V A1 R1M

2l V A1 Ed

(5.105)

250

5 Entwurf von Federanordnungen

nach Umformen von Gl. (5.103) auf die normierte Dimensionierungsgleichung 1  k1M Dm p

cos p .

(5.106)

Sie fasst im Faktor UE MB t B O 0 V A1

MB M A1 Z0 t B

k1M

(5.107)

ıA1 – Anfangsbiegespannung

wiederum die Bewegungs- und Belastungsgrößen des Antriebs sowie die Werkstoffdaten der Feder, also die für die jeweilige Aufgabenstellung konstant bleibenden Daten, zusammen. Ihre Lösung erfolgt auf gleiche Weise wie bei Schraubenfederantrieben (vgl. Gl. (5.49)). Die in Abb. 5.39 dargestellten Kurven sind daher auch für die Dimensionierung von Drehfederantrieben zu nutzen, wenn k1 = k1ij Dm gesetzt und Dm entsprechend den Vorgaben der Aufgabenstellung gewählt wird. Der obere Grenzwert für Grenzkurven țJG liegt mit der JF/3 -Näherung in Abhängigkeit von der mittleren Winkelgeschwindigkeit Ȧm = ijB/ tB bei N JG

0,525 V 2A 1 Z2m

Dm2

UE



1 3

Z

Dm

1/s

mm g/cm3 N/mm2 N/mm2

ȡ

E

ıA1

.(5.108)

Der gesuchte Drahtdurchmesser d ergibt sich nach Vorgabe von țJ und der Bestimmung des Arbeitspunktes p des Drehfederantriebes nach Abb. 5.37 bzw. nach numerischer Lösung von Gl. (5.106) aus d

3

32 J A p O 0 N J S U E Dm t B

.

(5.109)

Er ist auch hier dem nächstliegenden Normwert dN anzupassen, so dass danach die noch fehlenden Feder- und Antriebsparameter ermittelt sowie die erforderlichen Nachrechnungen unter Berücksichtigung des Schenkellängeneinflusses in l und JF (s. Tabelle 5.12) ausgeführt werden können. Dabei ist in der gleichen Reihenfolge wie bei Schraubenfedern vorzugehen, und es sind die gleichen Gesichtspunkte zu berücksichtigen. Eine Ausnahme bildet dabei die Festigkeitsberechnung. Für diese sind nach DIN EN 13906-3 unter Berücksichtigung der Bruchfestigkeit Rm sowie der Umrechnung ıb zul = 0,75Rm zulässige Mindestwerte ıb zul = 750 N/mm2 bzw. ı A1 = 0,6 ıb zul zu verwenden.

5.4 Federantriebe

251

Modell des räumlich gekrümmten Stabes. Ergeben sich aus Überschlagsrechnung (5.104) Werte nf < 8, dann müssen als Voraussetzung für die Anwendung der Theorie des räumlich gekrümmten Stabes zunächst noch die Werte Dm und d der Ausgangsfeder bestimmt werden, mit der man die Analyse des Drehfederantriebes beginnen kann. Dabei muss die Festlegung der Werte Dm und d stets im Zusammenhang gesehen werden. Der mittlere Windungsdurchmesser Dm = Di + d ist daher als Schätzwert aus Di = 1,05 DD zu ermitteln und mit dem vorläufigen Normwert dN, der sich unter Beachtung der Gln. (5.85) bis (5.87) aus 64 l J A Z 2 , SE

d

4

Z

1

t B arccos (1  ] )

(5.110) (5.111)

ableitet, so in Übereinstimmung zu bringen, dass die konstruktiven Bedingungen erfüllt sind. Auf der Grundlage dieser Daten lässt sich mittels Übertragungsmatrizen oder FEM die Eigenkreisfrequenz Ȧ0 des Antriebes errechnen. Sie ist maßgebend für die Größe der erforderlichen Anfangsauslenkung der Feder M A1

MB . 1  cos Z0 t B

(5.112)

Die berechnete Drehfeder wird der Aufgabenstellung gerecht, wenn MA1 zwei aus Gl. (4.8) und (5.105) abgeleiteten Bedingungen entspricht: der konstruktiven Bedingung · § Dm M A1 d 2 S nf ¨¨  1¸¸ © DD  d ¹

(5.113)

und der Festigkeitsbedingung M A1 d

2 V A1  S Dm nf  Ls1  Ls2 . Ed

(5.114)

Wird eine der beiden Bedingungen verletzt, dann ist der gesamte Analysevorgang mit geänderten Federdaten zu wiederholen. Hierbei sollte man einer abgestimmten Änderung von Dm und d den Vorzug geben, da die Änderung von nf wenig wirksam ist.

252

5 Entwurf von Federanordnungen

5.4.4 Blattfederantriebe 5.4.4.1 Dynamische Modelle

In Blattfederantrieben kommen sowohl gestreckte als auch gewundene Blattfedern zum Einsatz. Während mit gestreckten Blattfedern massebehaftete Bauteile zumeist nur über linear bzw. annähernd linear geführte Koppelstellen K angetrieben werden, dienen gewundene Blattfedern der direkten Erzeugung von Drehbewegungen. Antriebe mit gestreckter Blattfeder. Für Antriebe mit gestreckter Blattfeder (Abb. 5.56), wie sie beispielsweise in Kontaktfederanordnungen anzutreffen sind (Schalter, Relais u.a., vgl. Abb. 5.57 sowie Abb. 6.10), gilt analog zu Schraubenfederantrieben das Bewegungsgesetz (5.32). Unterschiede in der Ermittlung der dynamischen Kenngrößen sA und Ȧ schlagen sich gegenüber Schraubenfederantrieben nur in der Eigenkreisfrequenz Ȧ nieder.

Abb. 5.56. Antrieb mit gestreckter Blattfeder sA1B Anfangsauslenkung der Blattfeder; sB Hub, Antriebsweg; h Dicke; b Breite; l Federlänge

Abb. 4.57. Schalter mit Kontaktblattfedersatz

Bei Vernachlässigung der Federeigenmasse mF und unter Ausschluss statischer Gegenkräfte ermittelt sich Ȧ nach Gl. (5.32), wenn man anstelle der Federrate R1 nun die einer Blattfeder R1B setzt und diese nach Tabelle 4.3 ermittelt. Wird hingegen die Federeigenmasse mF berücksichtigt, dann gilt die partielle Differentialgleichung der frei schwingenden massebehafteten Blattfeder [12][5.1][5.28] w 2 yF wt 2

2 v wB

w 4 yF w x F4

(5.115)

5.4 Federantriebe

253

mit der Fortpflanzungsgeschwindigkeit EI UA

vwB

h 2

E . 2U

(5.116)

Dabei wurden die während der Verschiebung der Querschnitte entstehenden zusätzlichen Verdrehungen vernachlässigt. Die Lösung der Differentialgleichung mit Hilfe des Produktansatzes [5.31] führt wiederum zu einer Weg-Zeit-Funktion, deren Verlauf sich in exakter Form als Überlagerung unendlich vieler harmonischer Schwingungen yF(n) ermittelt. Wie bei Schraubenfederantrieben, so reicht auch hier die Berücksichtigung der Grundwelle aus, um das Bewegungsverhalten des Antriebes zu erfassen [vgl. Gl. (5.41)]. Gleichung (5.30) behält damit ihre Gültigkeit, wenn man zur Berechnung von Ȧ0 anstelle von Gl. (5.42) die Beziehung O20

Z0

R1B 3 mF

O20 h 2l

2

E , 3U

(5.117)

nutzt. Die Eigenkreisfrequenz Ȧ0 hängt somit außer vom Eigenwert Ȝ0 und den Werkstoffkennwerten E, ȡ noch von der Dicke h und der Länge l der Blattfeder ab, während deren Breite b nur über den Eigenwert Ȝ0 eingeht. Dieser ergibt sich dabei aus der transzendenten Eigenwertgleichung 1  1 cos O 0 cosh O 0  N M O 0 tan O 0  tanh O 0

0,

(5.118)

die in dieser Form nur die Trägheitsbelastung der Feder durch eine konstante Masse mA berücksichtigt [5.31]. Bei Vernachlässigung der Federeigenmasse folgt der Eigenwert aus der Näherungsbeziehung O0

4

3 . NM

(5.119)

Antriebe mit gewundener Blattfeder. Schwieriger als bei Antrieben mit gestreckter Blattfeder ist das dynamische Verhalten von Antrieben mit gewundener Blattfeder erfassbar. Für diese Federart sind zwei Anwendungen typisch: Spiralfedern, die in einem Federhaus eingelegt sind, und Spiralfedern ohne Federhaus (vgl. Abschn. 4.2.3.1). Das Bewegungsgesetz von Spiralfederantrieben ohne Federhaus, bei denen die Spiralfeder meist mit konstantem Windungsabstand aw bzw. konstanter Steigung a gewickelt werden (Archimedische Spirale, Abb. 5.58), entspricht prinzipiell dem von Drehfederantrieben [s. Gl. (5.84)].

254

5 Entwurf von Federanordnungen

Abb. 5.58. Spiralfederantrieb ohne Federhaus ijA1B Anfangsauslenkung der Spiralfeder; ijB geforderter Antriebswinkel; rK0, rK Abstand der Federeinspannstellen (Koppelstellen) K0, K zur Drehachse; aw Windungsabstand; a Steigung; b Breite; h Dicke; lS Spiralfederlänge; JA anzutreibendes Massenträgheitsmoment

Problematisch ist die Berücksichtigung der Trägheitswirkung der Federeigenmasse. Selbst wenn man annimmt, dass die Federform, beispielsweise die Archimedische Spirale, während der Bewegung erhalten bleibt und die Winkelgeschwindigkeit der bewegten Federelemente von der Kopplungsstelle K zur gestellfesten Federeinspannstelle K0 linear absinkt, ergeben sich für die Eigenkreisfrequenz Ȧ nichtlineare Zusammenhänge [5.1]. Diese sind nur durch Anwendung numerischer Verfahren (Runge-KuttaVerfahren, Übertragungsmatrizen, FEM) lösbar. Vernachlässigt man hingegen die Eigenmasse, so errechnet sich Ȧ aus Gl. (5.85), indem man anstelle von R1ij und l die Federrate R1ijS und Länge lS der Spiralfeder setzt: R1MS

lS ijK0 , ijK

E I lS ,



(5.120)

a M 2K0  M 2K



2 | a M 2K0 2 ;

(5.121)

Winkel zwischen dem Ursprung der Spirale und den Koppelstellen K0 , K im Bogenmaß

Erweitert man den so entstehenden Ausdruck für Ȧ noch mit dem Massenträgheitsmoment der Feder JF

3 0,25 U A rK0 M K0 ,

(5.122)

dann können unter Beachtung der Beziehung rK0 = a ijK0 schließlich Eigenkreisfrequenz Ȧ0 und Eigenwert Ȝ0 wie folgt berechnet werden: Z0 O0

O0

ha 3 rK0

3 NJ .

2E , 3U

(5.123) (5.124)

Auch in diese Beziehungen geht die Federbreite nicht explizit ein.

5.4 Federantriebe

255

Spiralfederantriebe mit Federhaus. Ähnliche Probleme ergeben sich bei der dynamischen Modellierung von Antrieben mit im Federhaus eingelegter Spiralfeder. Erschwerend kommen in diesem Fall noch zwei weitere Einflussfaktoren hinzu:

x Die Anzahl der federnden Windungen ändert sich während der Antriebsphase, insbesondere an deren Beginn und Ende. x Die Reibung, die beim Aufeinandergleiten der Windungen entsteht, reduziert die für die Bewegungserzeugung nutzbare Energie z.T. erheblich. Beide Einflussfaktoren sind nur schwer erfassbar. Auch aus der Literatur sind keine Untersuchungen zu deren dynamischer Wirkung bekannt. Einschlägige Arbeiten [5][8][5.2][5.13][5.21][5.22][5.36] befassen sich nur mit der Modellierung der Federn für stationäre Einsatzfälle. Die dazu angegebenen Beziehungen, die in Tabelle 4.9 zusammengestellt sind, treffen daher nur für Federn zu, die zur Erzeugung kontinuierlicher Bewegungen verwendet werden, wie sie beispielsweise für Laufwerke in mechanischen Uhren und Registriereinrichtungen typisch sind. Zur Unterstützung der Berechnung dienen die in den Abb. 5.59 und 5.60 enthaltenen Diagramme bzw. das in [8][5.21] erläuterte Nomogramm.

Abb. 5.59. Abhängigkeit der Gesamtumdrehungszahl ng für im Federhaus geführte Spiralfedern vom Gehäusedurchmesser DH und der Banddicke b

Abb. 5.60. Drehmoment M1(10) von Spiralfedern in Abhängigkeit von b und DH M1(10): Drehmoment M1 nach Tabelle 4.9 für b/ h = 10

256

5 Entwurf von Federanordnungen

Ergebnisse von Optimierungen für derartige Antriebe sind in [5.36] dargestellt. Für die Analyse diskontinuierlicher Antriebe sind diese Berechnungsunterlagen aber nicht geeignet. 5.4.3.2 Grundlagen zur Dimensionierung

Antriebe mit gestreckter Blattfeder. Die Dimensionierung von Antrieben mit gestreckter Blattfeder geht von Gl. (5.45) aus. Sie lässt sich analog zu Schraubenfederantrieben in die normierte Dimensionierungsgleichung

1  k 1B p

cos p

(5.125)

überführen, in der sich k1B unter Berücksichtigung von Gl. (5.117) und s A1B

2 l2 V A1 3 Eh

(5.126)

3 3 E U sB O20 V bA t B

(5.127)

zu k1B

ergibt. Der Grenzwert von k1B ist wiederum mit k1B max = 0,7246 erreicht, so dass für die Bestimmung des Grenzmassenverhältnisses țMG ähnliche Aussagen wie bei Schraubenfederantrieben gelten. Für die Größe der Biegespannung ıA1 bei Anfangsauslenkung ist in dem Fall der Richtwert ıA1 = 0,8 ıbE anzusetzen, der mit ıbE die Spannung an der Federbiegegrenze berücksichtigt. Zur Ermittlung der gesuchten Federgrößen b, h und l sind folgende Schritte nötig: 1. Wahl von țM und Bestimmen von Ȝ0 gemäß Gl. (5.118) bzw. Gl. (119). 2. Berechnen von k1B und Bestimmen des Arbeitspunktes p auf grafischem (Abb. 5.38) oder numerischem Wege bzw. mit Hilfe des Nomogramms in Abb.5.39. 3. Berechnen der Federmaterialdicke

h

2l2 p O20 t B

3U E

(5.129)

in Abhängigkeit von der nach Konstruktion zugelassenen Federlänge l und deren Anpassung an eine normgerechte Federbanddicke bN = tN.

5.4 Federantriebe

257

4. Ermitteln der Breite der Blattfeder aus b

12 l 3 mA p 2 O40 E hN3 t B2 N M

(5.130)

und deren Angleich an ein Normmaß. 5. Berechnen von Ȧ0 nach Gl. (5.117) und sA1B entsprechend Gl. (5.127). Wie bei den bisher behandelten Federarten schließen sich auch hier noch eine Reihe von Nachrechnungen an, wie z.B. Festigkeitsnachweis und Lebensdauernachrechnung (s.a. Kap. 2 und 4), Überprüfung der Einbaubedingungen u.a.m. Sie sind in analoger Weise durchzuführen. Antriebe mit Spiralfeder ohne Federhaus. Der Entwurf von Antrieben mit Spiralfedern ohne Federhaus ist infolge der Schwierigkeiten bei der dynamischen Modellierung in geschlossener Form nur für den Fall der Archimedischen Spirale (Steigung a = konst.) und bei Vernachlässigung der Federeigenmasse möglich. Ähnlich wie bei Drehfederantrieben führt die Umstellung der Gl. (5.84) unter Berücksichtigung der Bewegungsforderungen ijB, tB auf die normierte Dimensionierungsgleichung 1  k1MB rK0 p

cos p .

(5.131)

Der Faktor k1MB

1,5 U E M B tB

O 0 V A1

(5.132)

leitet sich aus Gl. (5.123) und der Beziehung für die Anfangsauslenkung M A1B

2 rK0 VA1 Eha

(5.133)

ab. Dabei ist aufgrund der Spannungsüberhöhungen an der Innenseite des Federbandes der Richtwert ıA1 = 0,7 ıbE anzusetzen. Die Lösung der Dimensionierungsgrundgleichung (5.131) erfolgt bis zur Bestimmung des Arbeitspunktes p in gleicher Weise wie bisher. Probleme bereitet die sich anschließende Berechnung der Federparameter. Sie beginnt mit der Berechnung der Spiralfederdicke aus h

3 rK0 p O 0 tBa

3U . 2E

(5.134)

Hierzu sind Angaben zur Steigung a erforderlich. Sie ist frei wählbar und steht mit dem Windungsabstand aw = kLh in dem Zusammenhang

258

5 Entwurf von Federanordnungen

a

h

 aw 2

h 1  k L 2 .

(5.135)

Durch Wahl des Zwischenraumfaktors kL, der zweckmäßigerweise Werte kL = 3...5 annehmen sollte, lässt sich h schließlich aus h

3 rK0 p O 0 t B k L  1

3U 2E

(5.136)

berechnen. Der ermittelte Wert muss noch einer normgerechten Federbanddicke hN angepasst werden, wodurch bei Berücksichtigung der Vorgaben rK0 und rK der Aufgabenstellung gleichzeitig die Federlänge lS





2 S rK0  rK2 h N 1  k L

(5.137)

festgelegt ist. Danach kann auch die Federbreite b gemäß b

2 6 rK0 JA p2 E a hN3 t B

(5.138)

bestimmt und auf ein Normmaß gerundet werden, ehe die Dimensionierung der Spiralfeder mit der Berechnung von Ȧ und ijA1B fortgesetzt wird. Abschluss bilden auch die erforderlichen Nachrechnungen. 5.4.5 Berechnungsbeispiele 1. Beispiel: Dimensionierung eines Schraubenfederantriebs

In einem Gerät soll die wechselsinnige Bewegung eines als Schlaghammer H verwendeten Klappankers durch wechselweises Wirken eines Magneten und einer Schraubenzugfeder aus patentiertem Draht mit einer Frequenz von 40 Hz verwirklicht werden. Die Forderungen der antriebstechnischen Aufgabenstellung sind in Tabelle 5.13 zusammengefasst. Der Einfachheit halber wird dabei die Bewegungsbahn des Koppelpunktes K zwischen Feder und Klappanker geradlinig angenommen. Die Lösung der Aufgabe erfolgt gemäß den in Abschnitt 5.4.2.2 genannten Schritten: 1. Umrechnen des Massenträgheitsmoments JA des Klappankers in die Antriebsmasse:

mA

J A / OK

2

90 g cm 2 / (30 mm ) 2

10 g.

5.4 Federantriebe

259

Tabelle 5.13. Aufgabenstellung zur Dimensionierung einer Rückholfeder für einen Klappankermagneten 1. Bewegungsforderungen: Endgeschwindigkeit mit RückSicht auf die Lebensdauer: vB d 1,5 m/ s

2. Belastungsforderungen: anzutreibendes Trägheitsmoment

Dämpfungswerte:

kSR = 0; kSN = 0

Statische Gegenkraft: Fst = 0

3. Konstruktive Forderungen:

5 mm d Da d 6 mm 48 mm d aK d 52 mm

4. Festigkeitsforderungen; Materialkennwerte: 5. Fertigungstechnische Forderungen: Wickelverhältnis: 4 d w d 10 Windungszahl: nt = nf Ösenform A nach DIN EN 13906-2 Gütegrad 1 nach DIN 2097 Abstandstoleranzen nach DIN ISO 2768

IJ zul = 500 N/mm2 G = 81500 N/ mm2 ȡ = 7,85 g/cm3

260

5 Entwurf von Federanordnungen

2. Wahl von țM = 10 und Bestimmen des Eigenwertes Ȝ0 aus O0

3 3N M  1

3 31

0,31109 .

3. Berechnen des Neigungsfaktors k1 aus k1

3 2 2 mm 2 ˜ 7,85 g/ cm ˜ 81500 N/ mm 3 ms 0,31109 ˜ 400 N/ mm 2

s B 2UG t B O 0 W A1

0,19164 .

Um Ausfällen bei der Spannungsnachrechnung vorzubeugen, wurde gesetzt: W A1

0,8 W zul .

4. Ermitteln des Arbeitspunktes p durch Lösen der transzendenten Gleichung (5.50). Hierzu gibt es mehrere Wege 1. Weg: Aus Abb. 5.39 mit k1 einen Näherungswert für p ablesen – hier p | ʌ/8 | 0,39 – und dessen Genauigkeit verbessern, beispielsweise mit Hilfe der Newtonschen Näherungsformel [f(p) – Dimensionierungsgrundgleichung (5.50) und f (' p) als deren Ableitung nach p]:

p neu

p

f( p ) f c( p)

p

1  k1 p  c os p  k 1 + sin p

0,39 

1  0,19164 ˜ 0,39  cos (S / 8)  0,19164 + sin (S / 8)

0,39 

1  0,0747396  0,92388  0,19164 + 0,38268

0,382794 .

Nach weiteren zwei Iterationen ergibt sich für den Arbeitspunkt p = 0,38813. 2. Weg: Auswerten der Dimensionierungsgrundgleichung (5.50) für vorgegebene p = 0,1; 0,2; 0,3; ... bis zum Auftreten eines Vorzeichenwechsels und anschließende Genauigkeitssteigerung durch Anwenden der Newtonschen Näherungsformel: p

0,1

0,2

0,3

0,4

f (p) = 1 - k1 p - cos p

- 0,01417

- 0, 01839

- 0,01283

0,002283

5.4 Federantriebe

261

Die Nullstelle liegt zwischen p = 0,3 und p = 0,4. Als Ausgangswert für die Newtonsche Näherung wird p = 0,4 gewählt. 3. Weg: Anwenden verfügbarer mathematischer Software zur numerischen Lösung transzendenter Gleichungen, beispielsweise MATHEMATICA [5.71] 5. Berechnen des Drahtdurchmessers aus Gl. (5.51) mit DmK | DaK = 5 mm bzw. DmG | DaG = 6 mm:

dK

8 mA p

3

S NM O0 tB

2UG

DaK

8 ˜ 10 g ˜ 0,38813 3

S ˜ 10 ˜ 0,31109 ˜ 3 ms 2 ˜ 7,85 g/ cm3 ˜ 81500 N/mm 2

5 mm

0,529 mm . Analog dazu erhält man mit DaG = 6 mm den Größtwert dG = 0,5621 mm. Gewählt wird als genormter Durchmesser dN = 0,56 mm. Prinzipiell wäre auch der Durchmesser dN = 0,53 mm möglich, da die Berechnung aufgrund der Rundung Dm | Da immer auf größere Werte führt. 6. Berechnen der Windungszahl nach Gl. (5.52) nf

4 mA 2 S d N Dm N M ȡ 2

4 ˜ 10 g 2

3 S ˜ (0,56 mm ) ˜ 5,44 mm ˜ 10 ˜ 7,85 g/cm 2

30,26.

Gewählt wird nf = 30,5. 7. Berechnen der Eigenkreisfrequenz nach Gl. (5.46) mit dem durch Rundungen veränderten Masseverhältnis țM = 9,92 bzw. Eigenwert Ȝ0 = 0,312277:

Ȧ0

O0 ʌ

G dN 2U D m2 n f

0,312277 81500 N/mm 2 0,56 mm 1 = 140,5 . 2 3 2 ˜ 7,85 g/ cm (0,56 mm ) ˜ 30,5 s ʌ

262

5 Entwurf von Federanordnungen

8. Ermitteln der erforderlichen Anfangsauslenkung aus Gl. (5.53):

sA1

sB / [1  cos (Ȧ0t B )] 1

2 mm / [1 - cos (140,5 s ˜ 3 ms)]

22,85 mm.

9. Überprüfen der vorhandenen Schubspannung gemäß Gln. (5.54), (5.45) und (5.46):

W A1

VW k G

G dN

O0 G dN kG s A1 sin O 0 S Dm2 n f

s A1

2 m

S D nf

0,312277 81500 N/ mm 2 ˜ 0,56 mm ˜ 1,1361 ˜ ˜ 22,85 mm sin 0,312277 S ˜ (5,44 mm )2 ˜ 30,5 424,7 N/mm 2 d Wzul

500 N/ mm 2 .

Der Faktor kG = 1,1361 ergibt sich aus Tabelle 4.18 (w = (DaG - dN)/ dN = 9,714). 10. Überprüfen der Einbaulänge im gespannten Zustand aK

L0 + s A1

LK + LH + s A1

(n f  1) d N  1,6 Di + s A1

31,5 ˜ 0,56 mm + 1,6 ˜ 4,88 mm + 22,85 mm 48,298 mm . Die Einbaulänge ist zu groß. Sie kann durch Einwinden einer Vorspannung IJ0 = 0,125 IJ zul | 62,5 N/mm2 um den Betrag 2 S Dm2 n f W 0 S ˜ (5,44 mm ) ˜ 30,5 s0 = = 62,5 N/mm 2 = 3,88 mm . G dN 81500 N/mm 2 ˜ 0,56 mm

verringert werden. Damit erhält man für die geometrisch wirksame gespannte Einbaulänge a K0

L0 + s A1  s 0

aK  s0

48,3 mm  3,88 mm 44,42 mm .

Sie wird der Bedingung (5.57) gerecht. 11. Ermitteln und Überprüfen der erreichten Endgeschwindigkeit vB aus

vB

Z 0 s A1 sin (Z 0 t B ) 140,5 s -1 ˜ 22,85 mm ˜ sin (140,5 s -1 ˜ 0,003 s) 1,314 m/ s.

Sie liegt damit vB = 1,5 m/s.

unterhalb

der

zulässigen

Endgeschwindigkeit

5.4 Federantriebe

263

12. Berechnen der Federrate nach Tabelle 4.21: R1

81500 N/ mm 2 ˜ (0,56 mm )4

G d N4 8 Dm3 n f

3

8 ˜ (5,44 mm) ˜ 30,5

0,204 N/ mm.

2. Beispiel: Dimensionierung eines Blattfederantriebes

In einem Relais (s.a. Abb. 6.10) soll die Rückstellbewegung des Ankers durch die stromführenden Umschaltfedern des Kontaktblattfedersatzes aus Neusilber (Cu Zn 37 nach DIN EN 1654) verwirklicht werden. Der Kontaktblattfedersatz besteht aus vier seriell und parallel angeordneten Umschaltern. Die Forderungen der antriebstechnischen Aufgabenstellung sind, bezogen auf einen Umschalter, in Tabelle 5.14 zusammengestellt. Die Lösung der Aufgabe erfolgt gemäß den in Abschnitt 5.4.3.2 genannten Schritten: 1. Ermitteln der Antriebsmasse mA

90 g cm 2 / (30 mm ) 2

J A / OK 2

mA

10 g.

2. Wahl von țM = 5 und Bestimmen des Eigenwertes Ȝ0 aus

O0

4

3/NM

4

3/ 5

0,880117.

bzw. durch numerisches Lösen der Gl. (5.117) zu Ȝ0 = 0,870022. 3. Berechnen des Neigungsfaktors k1 aus k1B

s B 3 3UE t B O20 V A1

2 3 1,6 mm 3 3 ˜ 8,7 g/ cm ˜ 110000 N/ mm 0,573952 . 2 ms (0,870022 )2 ˜ 296 N/ mm 2 Um Ausfällen bei der Spannungsnachrechnung vorzubeugen, wurde gesetzt:

V A1

0,8 ˜ V bE

0,8 ˜ Rm

4. Ermitteln des Arbeitspunktes p durch Lösen der transzendenten Gl. (5.125). Analog zu Beispiel 1 gibt es auch hier mehrere Wege. Bei Nutzen des ersten Weges ergibt sich wiederum aus Abb. 5.39 zunächst der Näherungswert p | 3 S / 8 = 1,1781, dessen Genauigkeit durch Anwenden der

264

5 Entwurf von Federanordnungen

Newtonschen Näherungsformel bzw. des sog. Halbschrittverfahrens auf p = 1,241964 erhöht werden kann. Tabelle 5.14. Aufgabenstellung zur Dimensionierung der Ankerrückholfeder für ein Relais 1. Bewegungsforderungen: Endgeschwindigkeit mit RückSicht auf die Lebensdauer: vB d 1,5 m/ s

2. Belastungsforderungen: anzutreibendes Trägheitsmoment

Dämpfungswerte:

kSR = 0; kSN = 0

Statische Gegenkraft: Fst = 0 Vorspannkraft:

F1 t 1 N

3. Konstruktive Forderungen:

10 mm d b d 15 mm Ruhelage ------ Arbeitslage 1 Sockel; 2 Federsatz; 3 Spule; 4 Kern; 5 Anker mit Kulisse; 6 Umschaltfeder, 7 Öffnerfeder; 8 Schließerfeder; 9, 10 Stützfeder

4. Festigkeitsforderungen; Materialkennwerte:

5. Fertigungstechnische Forderungen: Breitenverhältnis: 5 d b/ h d 20 Gütegrad 1 nach DIN EN 1654 Abstandstoleranzen nach DIN ISO 2768

V b zul = Rp 0,2 = 370 N/mm2 E = 110000 N/mm2 = 8,7 g/cm3 U

5.4 Federantriebe

265

5. Ermitteln der Materialdicke aus Gl. (5.129):

h

2l2 p O20 t B

3U E 2

3

2 ˜ (30 mm ) ˜ 1,241964

3 ˜ 8,7 g/ cm 110000 N/ mm 2

(0,870022 )2 ˜ 2 ms

0,719 mm .

Gewählt wird als genormte Banddicke hN = 0,7 mm. 6. Berechnen der Federbreite aus Gl. (5.130): b

12 l 3 m A p 2 O40 E hN3 t B2 N M 12 ˜ (30 mm )2 ˜ 10 g ˜ (1,241964 )2 4

3

2

(0,870022 ) ˜ 110000 N/mm 2 ˜ (0,7mm ) ˜ (2ms ) ˜ 5 11,559 mm. Gewählt wird als Norm- und Fertigungsmaß b = 12 mm. 7. Berechnen der Eigenkreisfrequenz nach Gl. (5.116) mit dem durch Rundungen veränderten Masseverhältnis țM = 4,5624 bzw. Eigenwert Ȝ0 = 0,889268:

Ȧ0

O20 hN 2l 2

E 3U

(0,889268 )2 ˜ 0,7 mm 110000 N/ mm 2 3 ˜ 8,7 g/ cm3 2 ˜ (30 mm )2

631,345 s 1 .

8. Berechnen der erforderlichen Anfangsauslenkung s A1B

s B / [1  cos (Ȧ0 t B )] 2 mm/ [1  cos (631,345 s 1 ˜ 0,002 s)]

2,296 mm .

9. Überprüfen der vorhandenen Biegespannung Gl. (5.126) V A1

3 E hN 2l2

s A1B

3 ˜ 110000 N/mm 2 ˜ 0,7 mm 2 ˜ (30 mm ) 2

295,17 N/mm 2 d V b zul

370 N/mm 2

˜ 2,3 mm

266

5 Entwurf von Federanordnungen

10. Ermitteln und Überprüfen der erreichten Endgeschwindigkeit vB aus vB

Ȧ0 s A1B sin Ȧ0 631,3 s 1 ˜ 2,3 mm ˜ sin (631,3 s 1 ˜ 0,002 s) 1,328 m/s.

Sie liegt damit vB = 1,5 m/ s.

unterhalb

der

zulässigen

Endgeschwindigkeit

11. Berechnen der Federrate gemäß Tabelle 4.3:

R1B

3E I l3

E b h N3 4l3

110000 N/mm 2 ˜ 12 mm ˜ (0,7 mm )3 4 ˜ (30 mm )3

4,192 N/mm.

12. Ermitteln der Vorspannkraft aus

F1 R1B ( s A1B  s B )

4,192 N/mm ˜ (2,296  1,6) mm 2,918 N .

6 Konstruktionen mit Federn

6.1 Anwendung konstruktionstechnischer Methoden 6.1.1 Allgemeine Grundlagen methodischen Vorgehens Heutige Erkenntnisse der Konstruktionsmethodik gehen davon aus, dass in technischen Systemen funktionelle, physikalische und gestalterische Zusammenhänge vorhanden sind. Diese Zusammenhänge erfordern ein konstruktives Vorgehen beim Lösen bestimmter Probleme in der Reihenfolge Funktion – Wirkprinzip – Gestalten [14][6.38][6.60]. Dabei erfolgt zunächst im Zuge einer Präzisierung der Aufgabenstellung die Klärung und Ermittlung von Forderungen und Gegebenheiten, in einer nächsten Phase das Ermitteln von Funktionen und Strukturen und in einer weiteren das Suchen, Auswählen und Bewerten von prinzipiellen Lösungen hinsichtlich der Zielstellung. Dieser Vorgang wiederholt sich auf den verschiedenen Konkretisierungsebenen des Konzipierens, Entwerfens und Ausarbeitens [7][14][6.38][6.69]. Im Folgenden soll speziell auf das Entwerfen von Baugruppen mit Federn eingegangen werden. Ein wesentlicher Arbeitsschritt des Entwerfens ist das Gestalten [8][9][10]. Mit ihm wird zunächst durch Auslegen im Zusammenhang mit der Werkstoffwahl versucht, die Funktion zu erfüllen. Wesentliche Funktionen, zu deren Erfüllung Federn eingesetzt werden, sind x Kräfte elastisch leiten, x potentielle Energie speichern und x kinetische Energie wandeln. Das Auslegen erfolgt im ersten Schritt häufig unter Verwendung von Näherungen in Form von Überschlagsrechnungen, so dass sich stets wiederkehrende Überlegungsschritte und Überprüfungsrechnungen anschließen. Aus dem Streben nach optimaler Erfüllung der Funktion, der Herstellbarkeit, der Ökonomie und Ästhetik ergeben sich zahlreiche Forderungen an die Gestalt technischer Erzeugnisse, die in der Formulierung verschie-

268

6 Konstruktionen mit Federn

dener Gerechtheiten ihren Niederschlag gefunden haben (Tabelle 6.1) und zu deren Umsetzung zahlreiche Regeln, Richtlinien und Methoden bekannt sind [8][10][14]. Nicht für jede technische Aufgabe und deren Lösung sind die angegebenen Regeln und Prinzipien gleich wichtig. Deshalb sind in vielen Fällen Kompromisse einzugehen. An einigen Beispielen sollen die für Federn bedeutsamen Regeln und Prinzipien erläutert werden. Tabelle 6.1. Forderungen an die Gestaltung und Gestaltungsprinzipien (Auswahl nach [8][9][14][6.60]) a) Forderungen Gegenstand

Forderungen

Funktion

funktionsgerecht, toleranzgerecht; Erfüllen der gestellten Aufgabe und der sich daraus ableitenden Teilaufgaben

Auslegung (Werkstoff und Dimensionierung)

werkstoffgerecht, beanspruchungsgerecht, formänderungsgerecht, formgebungsgerecht, verschleißgerecht, korrosionsgerecht, kriech- und relaxationsgerecht ...

Herstellung

fertigungsgerecht, verarbeitungsgerecht, montagegerecht, automatisierungsgerecht, justiergerecht, normgerecht

Kontrolle

kontroll- und prüfgerecht

Kosten

kostengerecht

b) Gestaltungsprinzipien Gestaltungsprinzip

Untergliederungen, Erläuterungen

Prinzipien der Kraftleitung

Prinzip der kurzen und direkten Kraftleitung Prinzip der abgestimmten Verformungen Prinzip des Kraftausgleichs Prinzip der gleichen Gestaltfestigkeit

Prinzipien der Aufgabenteilung

Funktionentrennung Funktionenintegration

Prinzipien der Selbsthilfe

Selbstverstärkende Lösungen Selbstausgleichende Lösungen Selbstschützende Lösungen

Prinzipien der Stabilität

Prinzip der Stabilität Prinzip der Bistabilität

Strukturtrennung Strukturintegration

6.1.2 Grundregeln des Gestaltens Nach Erarbeitung der prinzipiellen Lösung in der Konzeptphase durch Angabe der Wirkstruktur erfolgt in der Phase des Gestaltens das Festlegen der konkreten Gestalt dieser prinzipiellen Vorstellung. Diese Tätigkeit ist mit der Wahl des Werkstoffs (s. Kap. 3), des geeigneten Fertigungsverfahrens

6.1 Anwendung konstruktionstechnischer Methoden

269

(s. Kap. 2 und [12]) sowie dem Festlegen der Abmessungen bei Einhalten der Funktions- und Festigkeitsbedingungen verbunden. Abgeschlossen wird diese Tätigkeit mit einer technisch-wirtschaftlichen Bewertung [7][14][6.38]. Auch auf das oftmals als „Kleinteil“ angesehene Maschinenelement Feder trifft diese Vorgehensweise zu, da es vielfach, e die folgenden Beispiele zeigen sollen, das funktionsbestimmende Bauelement der Baugruppe ist. Bei der Gestaltung aller technischen Erzeugnisse sind die Grundregeln eindeutig, einfach und sicher zu beachten, die sich generell aus den Zielsetzungen zur Erfüllung der technischen Funktionen, der wirtschaftlichen Realisierung und der Sicherheit für Mensch und Umgebung ableiten. Eindeutigkeit bedeutet beispielsweise, für eine geordnete Führung des Kraftflusses zu sorgen, die mit der Belastung zwangsweise verbundene Verformung zu beachten, definierte Dehnungsrichtungen und -möglichkeiten konstruktiv vorzusehen (für geführte Schraubendruck- und -drehfedern bedeutet das z.B. die verformungsabhängige Änderung des Wickeldurchmessers beachten) und einen definierten Lastzustand nach Größe, Art und zeitlichem Verlauf zu gewährleisten. Einfachheit wird in Belangen der Fertigung, Montage und Kontrolle beispielsweise durch die Wahl einfacher geometrischer Formen erfüllt. Solche Formen sind außerdem bei der Bauteilauslegung vorteilhaft für die Modellbildung und mathematische Ansätze zur Festigkeits- und Elastizitätsberechnung der Federn. Komplizierte Federformen erfordern oft weitreichende Näherungen bei Berechnungen und vor allem einen erhöhten Fertigungsaufwand. Deshalb sollte beim Entwurf von Baugruppen mit Federn in erster Linie angestrebt werden, durch abgestimmte, gleichzeitige Bearbeitung die Bauelemente so zu gestalten, dass die Anschlussbedingungen (Koppelstellen, Federaufnahmen) durch einfache Formen realisiert werden können. Oft erfordert ein nachträgliches Anpassen der Federn an schon „fertige“ Konstruktionen aufwendige Federformen. Der Aspekt der Sicherheit wird bei Federn vor allem durch die zuverlässige Erfüllung der Funktion beachtet. Neben Korrosion, Verschleiß, Veränderungen des Werkstoffs (z.B. Versprödung, Alterung) sind es vor allem Wirkungen, die aus einem ungenügenden Abstand der berechneten Beanspruchung zur maßgebenden, maximal ertragbaren Grenzbeanspruchung resultieren. Sie führen vor allem zu einem „Setzen“ der Federn. Nicht sicher abschätzbare Betriebsbeanspruchungen entstehen oft bei nichtstationären Belastungen in der Nähe der Eigenfrequenzen der Federn durch Resonanzen. Die hierbei auftretenden Amplitudenüberhöhungen (bei Schraubenfedern sind Längs-, Quer- und Drehschwingungen möglich) wirken sich nicht nur auf Lebensdauer und Zuverlässigkeit der Federn aus, sondern verursachen auch Begleiterscheinungen wie Geräusche und Lärm.

270

6 Konstruktionen mit Federn

Aus der Fülle der in [14] angegebenen Beispiele konnte an dieser Stelle nur auf einige wesentliche, bei Konstruktionen mit Federn bedeutsame, hingewiesen werden. 6.1.3 Realisierung bestimmter Grundprinzipien mit Federn Das methodische Vorgehen bei der Bearbeitung konstruktiver Aufgaben befasst sich vorrangig mit der Frage, wie und durch welche Art sowie welchen Aufbau von Funktionsträgern bei gegebener Aufgabenstellung und festgelegter Wirkstruktur eine Funktion am besten erfüllt werden kann. Gestaltungsprinzipien (Tabelle 6.1) helfen, eine Baustruktur zu entwickeln, die den jeweiligen Anforderungen der Aufgabenstellung gerecht wird. Es muss jedoch an dieser Stelle nachdrücklich darauf hingewiesen werden, dass die Anwendung bestimmter Gestaltungsprinzipien bestimmten Anforderungen entgegenstehen. Beispielsweise verstößt die Realisierung des Prinzips der gleichen Gestaltfestigkeit (Beispiel s. Abb. 6.3) gegen das Prinzip bzw. die Forderung minimaler Fertigungskosten. Federn mit nichtkonstantem Materialquerschnitt (Trapezfedern; Parabelfedern, s. Tabelle 5.1; Federn aus konischen Drähten, Abb. 4.39) sind oft mit höheren Fertigungskosten verbunden. Das Prinzip der direkten und kurzen Kraftleitung wird in Abb. 6.1 an der Abstützung eines Maschinenrahmens gegenüber einem Betonfundament demonstriert. Die Kraftleitungswege, deren Querschnitte nach bestimmten Anforderungen (Schwingungen, Resonanzen, Dämpfungen [4.30]) ausgelegt werden müssen, erreichen dann hinsichtlich Werkstoffaufwand und resultierender Verformung ein Minimum, wenn sie kurz sind [14][6.93]. Auch hier können sich aus den genannten Anforderungen einander widersprechende Prinzipien ableiten, die eine optimale Nutzung des Prinzips der direkten und kurzen Kraftleitung nicht ermöglichen. Zu einer kurzen Kraftleitung kommt man immer dann, wenn es gelingt, die Aufgabe so zu lösen, dass in der Leitungsstrecke Zug- oder Druckbeanspruchungen entstehen (Abb. 6.1a und b). Diese Beanspruchungsarten führen im Gegensatz zur Biege- und Torsionsbeanspruchung (Abb. 6.1c bis e) zu geringeren Verformungen in den Kraftleitungsbauteilen. Bei Anordnungen nach den Abb. 6.1b und 6.1e ist jedoch die Knickgefahr zu beachten. Da der Kraftfluss stets geschlossen ist, die Federwirkungen in Konstruktionen bei der Funktionserfüllung immer Gegenkräfte hervorrufen, die in das Gestell abgeleitet werden müssen, ist es erforderlich, konstruktiv Maßnahmen einzuleiten, dass diese „Nebenkräfte“ (Reaktionskräfte) nicht zu unerwünschten Bauteilbeanspruchungen führen.

6.1 Anwendung konstruktionstechnischer Methoden a)

b)

c)

d)

271

e)

l

FG

's = ' l

F FG

's

F FG

s

's

F FG

s

F FG

's

s

F FG

's

s

's

s

Abb. 6.1. Abstützungs-Varianten eines Maschinenrahmens mit unterschiedlichen Kraftleitungswegen a) Stützplatten; sehr steife Kraftleitung (kleine Verformungen); b) Druckstabfeder; längere, aber noch sehr steife Kraftleitung mit relativ geringen Verformungen; c) Tellerfedern; Variation der Steifigkeit durch entsprechende Schichtung möglich; d) Bügelfeder; gewollt nachgiebige, biegebeanspruchte Auflage mit Möglichkeit der Kraftmessung; e) Schraubendruckfeder; sehr nachgiebige Auflage mit torsionsbeanspruchter Feder; (nach [14])

Es ist auch hier nötig, den Kraftfluss auf kurzem Weg zu schließen. Abb. 6.2 zeigt dazu ein Beispiel aus dem Kupplungsbau, bei dem das Prinzip des Kraftausgleichs auf kurzem Weg realisiert wird [14]. Durch Anordnung des Werkstoffs nur an solchen Stellen, an denen er infolge der Leitung des Kraftflusses benötigt wird, kann bei Konstruktionen das Prinzip der gleichen Gestaltfestigkeit befolgt werden. Wo keine Kräfte zu leiten sind, ist auch kein Werkstoff erforderlich. Die Form des Bauteils kann so festgelegt werden, dass sie sich dem Beanspruchungsverlauf anpasst. Die in Abb. 6.3 dargestellte Trapezform einer Blattfeder passt sich dem Verlauf der Biegebeanspruchung über der Längsausdehnung (xRichtung) an. Ideal wäre eine Dreieckform, die jedoch aus konstruktiven Gründen (die Spitze der Feder bietet keinen Platz für Bauelementekopplungen) kaum genutzt wird. Die in Abb. 6.4 dargestellte Baugruppe zur Lagerung von Spulen in Messgeräten mittels Spannbänder ist ein Beispiel für eine Zusammenfassung von mehreren Funktionen in einem Funktionsträger (Bauteil). Das Federband hat die Funktionen Lagerung und Stromzuführung zu realisieren, wobei durch die Verdrehung des Spannbandes auch Rückstellmomente nutzbar sind. Durch Funktionenintegration, die Vereinigung mehrerer Funktionen (gleichzeitig oder nacheinander) auf einem Funktionsträger, lassen sich oft recht wirtschaftliche Lösungen erzielen. Allerdings ist es

272

6 Konstruktionen mit Federn

dann meist nicht immer möglich, diesen Funktionsträger hinsichtlich der zu fordernden Grenzleistung oder hinsichtlich seines eindeutigen Verhaltens optimal auszulegen. a)

b)

c)

Abb. 6.2. Ausgleich der Andruckkraftwirkung in einer Kegelkupplung (Prinzipdarstellung), nach [14] a) Ableitung der Kraftwirkung ohne Ausgleich in die Welle, für kleine Kräfte; b) Ableitung der Kraftwirkung über ein Ausgleichselement, für mittlere Kräfte; c) Ableitung der Kraftwirkung durch symmetrische Anordnung innerhalb der Kupplung, für große Kräfte l

1

b0

b1

5 2

x

4 3

V b (x)

Abb. 6.3. Gestaltanpassung an den Biegespannungsverlauf einer Blattfeder (Trapezfeder)

Abb. 6.4. Spannbandgelagerte Drehspule eines Messgeräts 1 Zeiger; 2 Lötstelle; 3 Spannfeder; 4 Torsionsband; 5 Drehspule

Auch in Konstruktionen, in denen Prinzipien der Selbsthilfe genutzt werden, spielen Federn eine bedeutsame Rolle. Bei selbstverstärkenden Lösungen setzt sich die Gesamtwirkung aus einer Ursprungswirkung und einer Hilfswirkung zusammen. Federn sind meist für die Ursprungswirkung, die die notwendige Anfangssituation sicherstellt, verantwortlich. In Abb. 6.5 wird diese Ursprungswirkung durch die Kraft FF der Schraubendruckfeder (1) hervorgerufen, die die Topfscheibe (2) an die Kegelscheibe (3) des Reibradgetriebes presst und somit die Übertragung der Grundlast ermöglicht. Ein Anwachsen des Drehmoments führt zu einer Verschiebung des mit der Welle (4) fest verbundenen Stiftes mit Rolle (5) entlang einer schrägen Fläche am Flansch der Topfscheibe (2). Dadurch wird die Wirkung der Normalkraft FN um die Kraft FH erhöht. Die aus dem Drehmo-

6.1 Anwendung konstruktionstechnischer Methoden

273

ment gewonnene Hilfswirkung führt folglich zu einer Selbstverstärkung der Drehmomentübertragung. 2 FN

5

FH

4

1

FF

3

Abb. 6.5. Reibradgetriebe mit Einrichtung zur Selbstverstärkung der Andruckkraft, nach [14] 1 Schraubendruckfeder; 2 Topfscheibe; 3 Kegelscheibe; 4 Welle; 5 Stift mit Rolle

Die Feder selbst kann auch so aufgebaut sein, dass sie im gewissen Maße selbstschützende Funktionen übernimmt. In Tabelle 4.1 wird gezeigt, wie durch Wahl der Konstruktionsmaße der Ringfederelemente eine Wegbegrenzung der Ringfedersäule und damit eine Überlastsicherung erreicht werden kann. Auch Tellerfedern lassen sich als Einzelfedern so auslegen, dass bei einer Verformung in der Größe der möglichen Einfederung h0 bis zur Planlage dieser Feder keine Überlastung eintritt (s. Abb. 4.19). Kegelfedern aus Federband (Abb. 4.46) sind ebenfalls von ihrem Aufbau her und einer entsprechenden Auslegung durch Anlegen der Windungen auf der entsprechenden Auflage gegen Überlastung gesichert. Auch Schraubendruckfedern sind durch ihren Aufbau grundsätzlich gegen stationäre Überlastung gesichert, wenn sie so ausgelegt werden, dass bei Erreichen des Blockzustands die zulässige Werkstoffbeanspruchung nicht überschritten wird. In Abb. 6.6 sind die genannten Federarten, die einen selbstschützenden Aufbau besitzen, zusammengestellt. In Baugruppen mit Federn lassen sich auch die Bauteile, die die Kopplung mit den entsprechenden Federn vorzunehmen haben, so gestalten, dass eine Überlastung der Feder durch Formschluss der Bauteile (Anschläge) mittelbar erreicht wird. Bei konstruktiven Aufgaben ist auch immer der Einfluss von Störungen durch Beachten des Prinzips der Stabilität bzw. Bistabilität zu berücksichtigen.

b)

d)

t l0

sc

Fc

Lc

c)

Fc

L0

Fc

b

L0

sc

Fc

h0

L0

a)

6 Konstruktionen mit Federn

a Lc

274

Abb. 6.6. Beispiele für Federn mit selbstschützendem Aufbau nach [14] a) Ringfeder; b) Tellerfeder; c) Kegeldruckfeder aus Federbandmaterial; d) Schraubendruckfeder

Ein stabiles Verhalten der Baugruppe, insbesondere solcher mit Federn, ist anzustreben. Auftretende Störungen sollen solche Wirkungen erzielen, die der Störung entgegenwirken, sie mildern oder sogar aufheben. Es gibt allerdings auch Fälle, in denen durch Einwirken von Funktionsgrößen kurzzeitig ein labiles Verhalten der Baugruppe erzeugt wird. Dieser labile Zustand wird dabei nur als Übergang zu einer anderen Lage genutzt, die sich deutlich von der des Ausgangszustands abgrenzen soll. Ein solches bistabiles Verhalten wird besonders im Schalterbau der Elektrotechnik genutzt. Abb. 6.7 zeigt den prinzipiellen Aufbau eines Mikrotasters mit einer gekrümmten Blattfeder als „Schaltelement“. 1

FS

S

b)

2 3

Abb. 6.7. Federn in einem Mikrotaster-Schalter

F

2

1

e

a)

e

x

s0

Abb. 6.8. Schnellschlussbolzen in einer Turbinenwelle [14] a) Aufbau; 1 Bolzen; 2 Feder; 3 Turbinenwelle; S Schwerpunkt; e Schwerpunktabstand zur Wellenmitte b) Kennlinien; 1 Federkennlinie F = R(s0 + x); 2 Fliehkraftkennlinie FFl = mBo(Zg2(e + x); s0 Federvorspannweg; mBo Masse des Bolzens; Zg Winkelgeschwindigkeit der Grenzdrehzahl; x Weg des Bolzenschwerpunkts

6.1 Anwendung konstruktionstechnischer Methoden

275

Das Prinzip der Bistabilität wird auch bei der Konstruktion von Schnellschlusseinrichtungen in Kraftwerksanlagen sowie bei Fliehkraftschaltern und Fliehkraftkupplungen genutzt. Abb. 6.8 zeigt den Aufbau eines Schnellschlussbolzens, der an Turbinenwellen zur Betätigung einer Schalteinrichtung beim Überschreiten der Grenzdrehzahl angebaut ist. Ein unter Federvorspannung stehender Schlagbolzen, der mit seinem Schwerpunkt zur Drehachse der Welle eine exzentrische Lage mit dem Abstand e einnimmt, bewegt sich bei Erreichen einer Grenzdrehzahl gegen die Federkraft aus seiner stabilen Lage heraus, wodurch sich infolge der Verschiebung des Schwerpunktes S (Vergrößerung von e) die Zentrifugalkräfte vergrößern. Der Bolzen bewegt sich ohne weitere Drehzahlerhöhung labil nach außen und löst über einen Schalthebel das Abschalten der Anlage aus. 6.1.4 Baureihenentwicklung Die Entwicklung von Baureihen stellt ein wesentliches Mittel zur Rationalisierung in den Konstruktions- und Fertigungsbereichen dar. Für Hersteller und Anwender ergeben sich eine Reihe von Vorteilen. Die konstruktive Arbeit ist nur einmal zu leisten, die Fertigung bestimmter Losgrößen wiederholt sich, es lassen sich kürzere Lieferzeiten erreichen, und die Ersatzteilbeschaffung (-bestellung) wird erleichtert. Allerdings muss die eingeschränkte Größenwahl mit nicht immer optimalen Betriebseigenschaften als Nachteil in Kauf genommen werden. Als Baureihe werden technische Erzeugnisse (Maschinen, Baugruppen oder Einzelteile) verstanden, die dieselbe Funktion mit der gleichen konstruktiven Lösung in mehreren Größenstufen bei nahezu gleicher Fertigung erfüllen. Das Wesen einer Baureihenentwicklung besteht darin, dass man von einer Baugröße der zu entwickelnden Baureihe ausgeht und von dieser weitere Baugrößen nach bestimmten Gesetzmäßigkeiten ableitet. Der Ausgangsentwurf wird als Grundentwurf und die abgeleiteten Baugrößen als Folgeentwürfe bezeichnet [14][6.61]. Die Entwicklung von Baureihen erfolgt auf der Basis von Ähnlichkeitsgesetzen und Verwendung dezimalgeometrischer Normzahlen (s. DIN 323). Bei Federn ist neben der geometrischen Ähnlichkeit oft auch eine Ähnlichkeit in den Funktionswerten gewünscht, von denen die Federrate R eine markante Größe ist. Daneben können aber auch die kinematische Ähnlichkeit, eine statische oder eine dynamische Ähnlichkeit sowie eine Ähnlichkeit bei stationärer Beanspruchung eine Rolle spielen. Die dezimalgeometrische Reihe

276

6 Konstruktionen mit Federn

M=

n

an a0

n 10

(6.1)

mit dem Anfangsglied a0 , dem Endglied an , dem konstanten FaktorM (Stufensprung) und der Stufenzahl n bildet die Grundlage der Stufungen von Normzahlen. Die Abmessungen eines Teils der in der Federnindustrie verarbeiteten Halbzeuge (Drähte) besitzen derartige Stufungen. Bei der Wahl der Größenstufung ist es möglich, einen konstanten oder veränderlichen Stufensprung zu wählen, wobei aus technischen bzw. wirtschaftlichen Gründen innerhalb eines Größenbereichs unterschiedliche Größenabstände wählbar sind. Für einen solchen Fall ist es zweckmäßig, den jeweiligen, durch Größtwert G und Kleinstwert K begrenzten Teilbereich durch eine Bereichszahl Bz = G/K =Mn zu kennzeichnen. Mit der Anzahl n der Größenstufen im entsprechenden Teilbereich erhält man den Stufensprung aus Mn = Bz bzw. M = n Bz .

(6.2)

Beispielsweise würde sich für einen konstanten Stufensprung des mittleren Windungsdurchmessers Dm einer Schraubendruckfeder unter der Annahme von d = 1 mm und innerhalb des Bereiches für das Wickelverhältnis 4 dw d16 mit Dm G = wmax·d = 16 mm; Dm K = wmin·d = 4 mm und Bz = G/K = 16/4 = 4 ein Stufensprung für n1 = 24 (z1 = n1 + 1 = 25)

o

M1

n

Bz

24 4

1,059

n2 = 12 (z2 = n2 + 1 = 13)

o

M2

n

Bz

12 4

1,122

n3 = 6 (z3 = n3 + 1 = 7) o  M 3 n Bz 6 4 1,260  ergeben. Da die Funktionsgrößen Federkraft, Federrate usw. von den geometrischen Größen der Feder abhängen, würde in diesem Fall außerdem stets eine abhängige Stufung dieser Funktionsgrößen vorliegen. In Konstruktionen mit Federn kommt es ferner zu Auswirkungen auf die Größenstufungen der Baugruppe, da die Federn meist Funktionselemente in diesen Konstruktionen sind.

6.1 Anwendung konstruktionstechnischer Methoden

277

In Abb. 6.2 stellt beispielsweise die Schraubendruckfeder in einer Kegelkupplung die notwendige Andruckkraft bereit. Durch die Federkraft F wird die notwendige Reibkraft FR bestimmt, von der wiederum die Größe des zu übertragenden Drehmoments Mt üb abhängt. Der Stufensprung der Federkraft hängt somit vom Stufensprung des Drehmoments und vom Stufensprung des mittleren Scheibendurchmessers Dm S ab. Es ergeben sich folgende Zusammenhänge mit den entsprechenden Exponentengleichungen (Index e): Drehmoment:

Mt = Dm S·FR/2

Exponentengleichung:

Reibkraft:

FR = μ·F

FR e = F e

Federbeanspruchung:

WF =

Federrate:

RF =

8 ˜ F ˜ Dm

WF e = Fe + Dm e – 3de

S˜d3 G˜d4

Re = 4de – 3Dm e –nf

3 8 ˜ Dm ˜ nf

Setzt man voraus, dass die Federbeanspruchung WF und die Federrate R konstant bleiben sollen, dann ist sowohl der Stufensprung MW = 1 als auch MR = 1. Damit werden WF e = 0 und Re = 0. Ferner soll angenommen werden, dass der mittlere Windungsdurchmesser Dm geometrisch ähnlich zu FR wachsen soll, womit sich FR e = Dm e ergibt. Nach Einsetzen in die Exponentengleichung ergeben sich dann zwischen dem Drahtdurchmesser d und der Anzahl der federnden Windungen nf sowie der Reibkraft FR, die dem Drehmoment Mt proportional ist, folgende Zusammenhänge FR e = Fe = Dm e Fe + Dm e –3de = 0 o de =

(6.3) 2 FR e 3

§2 ©3

(6.4) · ¹

4de –3Dm e – nf e = 0 o nf e = 4¨ Fe ¸  3FR e

1 FR e . 3

(6.5)

Zwischen Federdrahtdurchmesser d und Reibkraft FR ist ein Stufensprung Md

M 2F/ 3 R

(6.6)

278

6 Konstruktionen mit Federn

und zwischen der Anzahl federnder Windungen nf und der Reibkraft FR Mnf

M1/3 F R

(6.7)

zu realisieren, wenn die formulierten Bedingungen bzw. Annahmen erfüllt werden sollen. 6.1.5 Von der Aufgabenstellung zur fertigen Feder Der Ablauf eines Federentwurfs vollzieht sich im Wesentlichen innerhalb der in Abb. 6.9 angegebenen Etappen. Grundsätzlich sollte jedoch die Entwicklung von Federn und Baugruppen mit Federn soweit wie möglich parallel beim Federanwender und beim Federhersteller erfolgen (Simultaneous Engineering). Diese „gleichzeitige Entwicklung“ bedeutet, dass der Federhersteller schon in der Konzeptphase in die Planungs- und Entwicklungsarbeiten einbezogen wird. Durch die gemeinsame und parallele Planung und Entwicklung lassen sich Entwicklungszeiten und -kosten senken. Beim Hersteller liegen zahlreiche Erfahrungen zur Herstellung und Herstellbarkeit spezieller Formen sowie Möglichkeiten der rechnerunterstützten Auslegung und Optimierung vor. Das Präzisieren der Aufgabenstellung ist eine wesentliche Maßnahme zu Beginn des Federentwurfs, die bereits gemeinsam mit dem Federhersteller vorzunehmen ist, wobei alle Anforderungen zu analysieren sind. Im Rahmen dieser Tätigkeit sind die Forderungen zur Funktion (Federkräfte, Wege, Lebensdauer, Kraft-Zeit- und Kraft-Weg-Verhalten u. a.) zu überarbeiten, entsprechende Toleranzen festzulegen und die Auswirkungen der Maßnahmen auf die Fertigung zu überdenken. Auswirkungen des Umfelds im betrieblichen Einsatz, besondere Einsatzbedingungen und ihre Auswirkungen auf die Feder sind abzuschätzen und in den Federentwurf einzubeziehen (beispielsweise notwendiger Korrosionsschutz, hohe oder tiefe Betriebstemperaturen). Bei der Lösungssuche (Schritte 2 und 3, Abb. 6.9) sollte ein korrigierendes Vorgehen dominieren. Neben der konstruktionsmethodischen Lösungssuche unter Nutzung physikalischer Effekte, Kataloge, Auswertung bewährter Lösungen oder spezieller Kreativitätstechniken ist den Fragen nachzugehen: was ist zu tun, wenn eine Lösung nicht funktionsfähig ist, die gestellten Forderungen nicht ausreichend erfüllt, wenn sie zu teuer oder nicht wirtschaftlich, fertigungs- bzw. montagefähig ist? Funktion und Wirkprinzip [14][6.60] bilden die Basis für Entscheidungen bei der Lösungssuche.

6.1 Anwendung konstruktionstechnischer Methoden

279

1. Schritt:

Aufgabenstellung und deren Präzisierung Fragen: Ist die Aufgabenstellung vollständig? Welche Forderungen und Daten sind noch zu ergänzen?

2. Schritt:

Funktion, Funktionsprinzip, Prinzipsuche, Vorauswahl Fragen: Welche Federart erfüllt die gestellten Forderungen am besten? Welcher Werkstoff ist für die vorausgewählte Feder einzusetzen? Welche Fertigungsmöglichkeiten sind damit verbunden?

3. Schritt:

Grobentwurf, Überschlägliche Dimensionierung, Lösungssuche Fragen: Lassen sich mit der vorausgewählten Feder die gestellten Forderungen der Aufgabenstellung optimal erfüllen? Ist die Fertigung unter den gestellten Bedingungen und des gewählten Werkstoffs möglich und wirtschaftlich? Muß eine andere Feder oder Federart gewählt werden?

4. Schritt:

Berechnung und Gestaltung der Feder Fragen: Durch welche Federparametergrößen werden die gestellten Bedingungen der Aufgabenstellung am besten erfüllt (Dimensionierung und Optimierung)? Welche Federformen erfüllen sowohl die Bedingungen der Aufgabenstellung als auch die Forderungen einer wirtschaftlichen Fertigung am besten?

5. Schritt:

Musterfertigung und praktische Bestätigung der Aufgabe Fragen: Werden die Anforderungen an die Fertigung erfüllt? Können die gestellten Toleranzforderungen erfüllt werden? Bestätigen die stationären Messungen die Forderungen? Ergeben die Lebensdauerprüfungen (Dauerfestigkeitstest...) eine ausreichende dynamische Tragfähigkeit?

6.Schritt:

Dokumentation der Ergebnisse (Zeichnung, Berechnungsdokumentation, Meß- bzw. Prüfprotokolle)

Aufgabe

Konstruktionsprozeß Aufgabe klären Lösung auswählen Berechnen Gestalten

Rahmenbedingungen, Voraussetzungen Simultaneous Engineering

Ergebnis

Abb. 6.9. Ablauf des Federentwurfs

Einen weiteren Schwerpunkt bilden in dieser und in der nachfolgenden Phase, der Gestaltung, das Raum-Feder-Problem. Das „Einpassen“ einer Feder in eine nahezu fertige Konstruktion ist immer mit der Gefahr verbunden, beengte Raumverhältnisse bewältigen zu müssen. Sie lassen sich

280

6 Konstruktionen mit Federn

optimal oft nur gemeinsam mit Federanwender und -hersteller lösen. In einer frühen Phase der Konstruktion einer Baugruppe ist deshalb bereits zu klären, an welcher Stelle Federn anzuordnen, welche Führungen und Aufnahmen erforderlich und welche Maßnahmen zur Befestigung der Federenden notwendig sind. In der Gestaltungsphase sind außerdem die diversen Funktions- und Festigkeitsnachweise zu führen. Hierbei sind vor allem auch Fragen der Sicherheit und Zuverlässigkeit einzubeziehen. Musterfertigung, Federprüfung und Dokumentation beschließen den Federentwurf. Auch in dieser Phase können sich noch Korrekturen ergeben. Die Aufgabenstellung ist dann erfüllt, wenn Musterfedern hergestellt und erfolgreich erprobt wurden. In der Erprobungsphase können noch Einflüsse erkannt werden, deren Berücksichtigung die Qualität des Erzeugnisses entscheidend verbessern kann. Auch in dieser letzten Phase ist die beiderseitige Zusammenarbeit von Vorteil [6.88][6.97].

6.2 Ausgewählte Konstruktionsbeispiele 6.2.1 Kontaktbauelemente der Elektrotechnik In Bereichen der Elektrotechnik und der Gerätetechnik finden vornehmlich Blattfedern mit Rechteckquerschnitt als Kontakt- und Kontaktträgerelemente (Abb. 6.10) Verwendung. Sie werden meist einseitig eingespannt befestigt. Das freie Federende trägt ein Kontaktstück. Die wichtigsten Bewertungskriterien für die Eignung eines Werkstoffs für derartige stromführende Federn in elektromechanischen und elektronischen Baugruppen und Geräten, die vor allem zur Auslegung (Dimensionierung) der Federn benötigt werden, sind x x x x

Federbiegegrenze VbE (s. Kap. 2), Schwingfestigkeit (insbesondere Biegewechselfestigkeit VbW), Elastizitätsmodul E und spezifische elektrische Leitfähigkeit N.

Bei allen derartigen Federn besteht die Forderung nach einer definierten Federkraft bei einem bestimmten Federweg. An die Federkennlinie, insbesondere ihre zeitliche und thermische Konstanz, werden recht hohe Anforderungen gestellt. Die geforderte Ruhekontaktkraft (minimale Federkraft Fmin) wird durch Federvorspannung erzeugt. Um nicht zu große Schaltwege zu erreichen, werden die vorgespannten Kontaktfedern meist durch eine steifere Feder abgestützt (s. Abb. 4.11 und 6.10).

6.2 Ausgewählte Konstruktionsbeispiele

281

Die Größe dieser durch Vorspannung erzielten Federkraft ergibt sich u. a. aus der Forderung nach einem niedrigen elektrischen Übergangswiderstand. Dieser wird durch auf den Kontaktstücken befindliche Fremdschichten beeinflusst, die erst durch eine bestimmte Kontaktkraft FK min durchbrochen werden. Sie beträgt nach [6.62] x bei Gold 0,1 bis 0,6 N, x bei Silber 1,2 bis 1,6 N und x bei Zinn, Nickel und Messing 3,5 bis 5 N. Die maximale Federkraft auf Grund des Betätigungsweges (Federweg smax) der Kontaktfeder wird durch zahlreiche Größen beeinflusst, so durch die Maß- und Formtoleranzen, die Werkstoffeigenschaften und die Einbautoleranzen. Der Federungsüberschuss ist von der „Festigkeitsreserve“ (Sicherheit bis zur Elastizitätsgrenze) abhängig. Seine Größe bestimmt die Unempfindlichkeit der Feder gegen Überlastung. Belastungen über die Elastizitätsgrenze hinaus führen zu bleibenden Verformungen, die Funktionsstörungen bewirken und deshalb in Schaltern mit Sicherheit vermieden werden müssen. Die Beurteilung eines ökonomischen Einsatzes bestimmter Werkstoffe für Kontaktfedern kann nicht allein auf der Basis massebezogener Halbzeugpreise erfolgen, sondern muss auch die mit dem jeweiligen Werkstoffrealisierbaren Baugrößen und den spezifischen Kupfereinsatz berücksichtigen [6.32]. Aus den Dimensionierungsgleichungen nach Tabelle 5.3 lässt sich ableiten, dass der maximale Federweg smax dem Verhältnis VbE/E proportional ist (Vb zul = VbE gesetzt). In Tabelle 6.2 sind für Federn gleicher Funktion das spezifische Federvolumen, die sich daraus ergebenden spezifischen Materialkosten und der spezifische Kupfereinsatz verschiedener Werkstoffe aufgeführt, die für stromführende Federn einsetzbar sind. Die Kupfer-Beryllium-Legierung CuBe2 dient dabei als Vergleichsbasis. Tabelle 6.2. Vergleich verschiedener Kupfer-Knet-Legierungen hinsichtlich ihres Materialeinsatzes für Blattfedern (Formfedern) nach [6.32]

Werkstoffbezeichnung

Vb E /E

Spezifisches Federvolumen

Spezifische Spezifischer Materialkosten Kupfereinsatz

CuFe2 CuZn37 CuNi18Zn20 CuSn6 CuNi9Sn2 CuNi20Mn20 CuTi2 CuZn23AlCo CuBe2

2300 2700 2800 3300 3800 6800 7000 7200 7800

13 11 7 8 5 1,3 1,4 1,4 1

2 1,3 1,4 2,1 1,2 0,5 0,6 0,3 1

12 6,6 4,5 8,3 4,2 0,67 1,4 1 1



282

6 Konstruktionen mit Federn

Aus Tabelle 6.2 ist zu erkennen, dass sich für hochfeste und vergütbare Werkstoffe mit einem großen Wert des Verhältnisses VbE /E sehr geringe spezifische Federvolumina und trotz relativ hoher Halbzeugpreise geringe Materialkosten je Feder ergeben. Natürlich ist dabei auch zu beachten, dass die notwendige Wärmebehandlung sich einerseits auf den technologischen Ablauf auswirkt und andererseits auch zusätzliche Fertigungskosten verursacht [6.32]. Auch mechanische und physikalische Eigenschaften (Tabelle 6.3) sind zu beachten. So weist beispielsweise die neue warmaushärtende Mehrstofflegierung CuNi20Mn20 sehr günstige Werte hinsichtlich der Materialkosten und des Kupfereinsatzes auf. Für stromführende Federn (Kontaktfedern) wird sie aber auf Grund der geringen Leitfähigkeit und der geringen Bruchdehnung (oft Werte <1 %) nicht eingesetzt, obwohl ihre Festigkeitswerte mit denen der Legierung CuBe2 vergleichbar sind. Tabelle 6.3. Eigenschaften der in Tabelle 6.2 aufgeführten Werkstoffe (Zustand: in Federqualität außer Nr. 6 und 7) Nr. Werkstoffbezeichnung

1 2 3 4 5 6 7 8 9

CuFe2 CuZn37 CuNi18Zn20 CuSn6 CuNi9Sn2 CuNi20Mn20 CiTi2 CuZn23AlCo CuBe2

SpezifiZugfestig- Vickers- E-Modul Federbie- Biegehärte gegrenze wechsel- sche Leitkeit Rm in in in N/mm² festigkeit fähigkeit N/mm² N/mm² in N/mm² in m/: 520 540 t500 t 550 t 510 <1200 <1200 t 880 t1200

150 160 160-210 160-200 180-220 <350 <400 270-320 350-450

130000 115000 142000 115000 132000 150000 130000 116000 135000

290 370 t 400 t 380 500 900 860 t 850 t1050

140 150 160 230 190 220 280

20 9 3 9 6,4 1,3 9,3 9,8 12

Diese Ausführungen und Beispiele zeigen, dass neben der Dimensionierung die richtige Werkstoffwahl unter Beachtung der Kosten für den Entwurf von Kontaktfedern eine wesentliche Rolle spielt [6.11][6.12][6.32] [6.40][6.62][6.71][6.79]. Anforderungen an Kontaktfedern in Schaltern, wie sie vielfach in Relais eingesetzt werden, ergeben sich aus der notwendigen Abstimmung der Federlagen und Kräfte auf das Triebsystem zum Einleiten der Schaltbewegungen [4.67][6.63][6.64][6.90]. Den prinzipiellen Aufbau einer Relaisbaugruppe zeigt Abb. 6.10. Da diese Federn meist vorgeformt sind, ergeben sich auf Grund der Schwankungen der Verformungswerte (z.B. Krümmung) infolge von Maß- und E-Modultoleranzen Lageabweichungen, die besonders das freie Ende, an dem sich die Kontaktstücke befin-

6.2 Ausgewählte Konstruktionsbeispiele

283

den, betreffen. Derartige Lageabweichungen entstehen außerdem durch die Maßtoleranzen der zahlreichen, konstruktiv bedingten Einzelteile (Isolierzwischenlagen, Anschlussfahnen, Stützfedern, Kontaktfedern, s. Abb. 6.10b) nach der Montage des Federsatzes. Da eine Minimierung der Abweichungen Grundtoleranzen weit unter IT4 und den Einsatz von Auswahlverfahren erfordern, müssen die notwendigen Lagen der Kontaktstücke und die Größe der Ruhekontaktkräfte nach einer „gröberen“ Fertigung und Montage des Federsatzes bzw. kompletten Relais durch Justieren hergestellt werden [10][4.67][6.27][6.42][6.47][6.48][6.94]. Das trifft auch auf eine Reihe anderer Kontaktblattfeder-Schalter (Endlagenschalter u. dgl.) zu. 2

a)

3

3

b)

UF 7

ÖF SF

1 4

StF

5 6

8

2 5

9

10 8

Abb. 6.10. Relais des Typs NSF 30 mit vier Umschaltern [12][6.47] a) Vereinfachte Darstellung des Relais; b) Federsatz des Relais; 1 Spule; 2 Joch; 3 Kulisse; 4 Federsatz; 5 Sockel; 6 Anker; 7 Kontaktstücke; 8 Anschlussfahnen; 9 Isolierzwischenlagen; 10 Deckplatte; UF Umschaltfeder; ÖF Öffnerfeder; SF Schließerfeder; StF Stützfedern

Steckverbinder haben die Aufgabe, elektronische, elektrische, elektromechanische und elektrische Bauelemente und Baugruppen elektrisch und mechanisch zuverlässig zu verbinden. Sie werden vorwiegend in gerätetechnischen Bereichen der Elektronik-, Nachrichten- und Datenverarbeitungstechnik eingesetzt, wo Bauelemente oder -gruppen aus fertigungs-, prüf- oder wartungstechnischen Gründen leicht auswechselbar zu befestigen sind [6.22][6.62][6.71]. Die meisten Steckverbinder bestehen aus starren Kontaktelementen (Stift, Messer), die über Kontaktfedern eine mechanisch trennbare elektrische Verbindung zwischen Bauelementen und Baugruppen herstellen. Die Federn sind dabei in Gehäusen geführt. Abb. 6.11 zeigt einige Beispiele.

284

6 Konstruktionen mit Federn

Abb. 6.11. Beispiele für Steckverbinder und Steckerfederformen a) Steckverbinder mit Gehäuse und Kontaktstiften (1 Kontaktstift; 2 Gehäuse; 3 Kontaktfeder); b) Im Gehäuse geführte Kontaktfeder; c) und d) Weitere Beispiele für Kontaktfederformen

Kontaktfedern besitzen recht unterschiedliche Formen (s. Abb. 6.11). Durch die Formgebung wird Einfluss auf die Federrate (Kontaktkraft, Federweg), die elektrische und mechanische Zuverlässigkeit der Verbindung sowie auf die Größe der Steckkraft genommen [6.15][6.59][6.62][6.70]. Die Kennlinie der Kontaktfeder beschreibt die Kraft-Weg-Änderung beim Stecken der Kontaktelemente, die in ihren Abmessungen, Toleranzen und Lageabweichungen so aufeinander abgestimmt und bemessen sein müssen, dass sich auf Grund der Federkennlinie im gestreckten Zustand die Nennkontaktkraft FK innerhalb vorgeschriebener Toleranzen ergibt. Abb. 6.12 zeigt den Zusammenhang zwischen Federrate-Schwankungen, Kontaktstift-Toleranz und Kontaktkraft. Die Grenzwerte der Kontaktkraft ergeben sich bei Extremwerten für die Federrate und Kontaktstiftdicke. Die Kennlinie wurde nur für einen Federschenkel gezeichnet. Für den anderen Federschenkel verläuft sie spiegelbildlich zur Symmetrielinie (3) der Feder. Drei wesentliche Toleranzauswirkungen sind zu erkennen. Der eingezeichnete Toleranzbereich T resultiert aus dem Mittenversatz und der Dickentoleranz des Kontaktstiftes (Messer), verursacht durch Montageund Fertigungsabweichungen. Die Federwegabweichung 's und die Toleranz der Federrate TR sind bedingt durch Fertigungs- und Werkstoffkenngrößenabweichungen der Kontaktfedern. Bei Formfedern wirken sich außerdem noch Formabweichungen aus. Die Hauptfunktion der Kontaktelemente ist das zuverlässige Erzeugen einer Mindestkontaktkraft bei Auswirken aller Toleranzen (Fertigungs-, Montage- und Werkstoffkenngrößenabweichungen). Die Konstruktion der Kontaktbauelemente soll dabei so erfolgen, dass die durch die Toleranzen verursachten Kontaktkraftschwankungen verringert werden, da ihr Bereich funktionsbedingt begrenzt ist. Hohe Kontaktkräfte sind erwünscht, um den

6.2 Ausgewählte Konstruktionsbeispiele

285

Übergangswiderstand klein zu halten. Sie dürfen aber einen Maximalwert nicht überschreiten, um den Verschleiß und die notwendigen Steckkräfte in Grenzen zu halten. Eine optimale Erfüllung dieser gegensätzlichen Forderungen an die Kontaktelemente ist allein durch Maßnahmen zur Einengung der Kontaktkraftschwankungen erreichbar. Vorschläge dazu werden in [6.90] dargelegt. Durch geeignete Kontaktfeder- und Gehäusegestaltung sowie Kalibrierung lässt sich beispielsweise die gewünschte Verringerung der Schwankungen erzielen. a)

b)

T

F

1

max

F

2

R

F min

Fv

FK

3

'F K

1

R max

R min sv

s

's

Abb. 6.12. Auswirkungen von Toleranzen an einer Steckverbindung (qualitativ), nach [6.90] a) Federkennlinie eines Federschenkels der Kontaktfeder (2); b) Steckverbinder (Prinzipbild) mit 1 Kontaktstift; 2 Kontaktfeder; 3 Symmetrielinie; FK Nennkontaktkraft; 'FK Kontaktkraftschwankung ('FK = FK max – FK min ); Fv Vorspannkraft; R Federrate; 's Abweichung des Federwegs; sv Vorspannweg; T Toleranz

Schleifkontakte werden vorwiegend in elektrischen Bauelementen mit veränderbaren Widerständen (Potentiometer, Schiebewiderstand) oder Induktivitäten (Stelltransformator) eingesetzt. Die Kontaktfedern stellen dabei die elektrische Verbindung direkt oder über ein Kontaktstück her. Kontaktstücke werden aus verschiedenen Gründen eingesetzt. Neben der Realisierung minimaler Übergangswiderstände und guter Korrosionsbeständigkeit soll auch ein geringer Verschleiß der Kontaktpartner erreicht werden. Durch Schlitzen der Kontaktfedern wird eine bessere Kontaktkraftverteilung bewirkt. Abb. 6.13 zeigt den Schleifer eines Miniaturpotentiometers mit besonders gestalteter Schleiferfeder. Ausführungsmöglichkeiten

286

6 Konstruktionen mit Federn

von Mehrfinger-Schleiffedern (Bürstenfedern) werden in Abb. 6.14 dargestellt [6.7]. Durch unterschiedlich tiefe Schlitzung ist eine gestufte Federrate der einzelnen Bürsten realisierbar. a)

b)

1

2

Abb. 6.13. Gefiederte Kontaktfeder eines Miniatur-Schichtpotentiometers; 1 Feder; 2 Federträger

Abb. 6.14. Gefiederte Kontaktfedern (Mehrfinger- Schleif- bzw. Bürstenfeder) a) gleich tief geschlitzt; b) abgestuft geschlitzt

Weitere Anwendungen von Federn zur Realisierung von Kontaktkräften in elektrotechnischen Erzeugnissen zeigen die folgenden Abbildungen. Abb. 6.15a zeigt eine geschlitzte Tellerfeder in Plattengleichrichtern zur Herstellung der Kontaktkräfte zwischen den einzelnen Platten. Eine Möglichkeit, nahezu gleichbleibende Andruckkräfte trotz abriebbedingter Verkürzung der Kohlebürsten zu erreichen, stellt Abb. 6.15b dar. Schraubenknickfedern besitzen einen Kennlinienbereich mit nahezu konstanter Federrate.

Abb. 6.15. Besondere Kontaktfederformen a) geschlitzte Tellerfederform als Kontaktfeder in einem Selengleichrichter; b) Verwendung einer sogenannten Schraubenknickfeder (s. Abb. 5.14) als Kohlebürsten-Andruckfeder

Neben ihrem Einsatz als Kontaktbauelemente finden Federn in der Elektrotechnik auch als Torsionsbänder zur Lagerung von Messspulen in

6.2 Ausgewählte Konstruktionsbeispiele

287

elektrischen Messgeräten Verwendung. Abb. 6.16 zeigt verschiedene Ausführungsmöglichkeiten für hängend angeordnete Drehspulsysteme. Ihre Lagerung kann frei hängend oder zweiseitig fest und vorgespannt erfolgen. In Längenmesseinrichtungen der Feinwerktechnik werden auch verdrillte und vorgespannte Torsionsbänder (Rechteckquerschnitt) zur direkten Messgrößenanzeige über mit dem Torsionsband gekoppelte Zeiger eingesetzt. Berechnungen sind nach [6.29][6.30] oder Abschn. 4.3.1 vorzunehmen. d)

b h

c)

l2

l1

b) l

a)

d

Abb. 6.16. Lagerung von Messgerätespulen mit Torsionsbändern a) freie Aufhängung; b) zweiseitig feste Aufhängung; c) zweiseitig vorgespannte Aufhängung; d) Querschnittsformen der Torsionsbänder

Für Aufhängungen nach Abb. 6.16a werden vielfach Quarzfäden mit Durchmessern zwischen 10 μm d d d 100 μm und einem Gleitmodul G = 30 bis 42 kN/mm² verwendet. Bei den anderen Arten der Aufhängung setzt man vorwiegend Bänder aus verschiedenen Kupferlegierungen (Bronzen) ein, da diese gleichzeitig die Stromversorgung der Messspule zu übernehmen haben. Zu beachten ist der Temperatureinfluss auf das Einstellmoment [6.29]. Gegenüber herkömmlichen Lagerungen (Gleit- und Wälzlager), bei denen keine Drehwinkelbeschränkung vorliegt, ist bei Verwenden von Torsionsbändern der Verdrehwinkel eingeschränkt (meist M < 180°). 6.2.2 Feinwerktechnische Konstruktionen mit Federn 6.2.2.1 Lagerungen, Führungen und Antriebe

In feinwerktechnischen Konstruktionen werden Federn vorwiegend als Antriebsfedern (s. Abschn. 5.4), Rückholfedern, Andruckfedern sowie als Elemente in Federgelenken und Federführungen eingesetzt. Ihren Einsatz als Andruckfedern zeigen die Abb. 6.17 bis 6.19. In Abb. 6.17 ist darge-

288

6 Konstruktionen mit Federn

stellt, wie durch Zugfedern die geführte Marke eines Okularschraubenmikrometers gegen die Verstellspindel gedrückt und somit spielfrei mit der Spindel in beiden Richtungen bewegt wird. Der Kraftschluss des im Abb. 6.18 dargestellten Reibradgetriebes wird ebenfalls durch eine Schraubenzugfeder bewirkt. Abb. 6.19 zeigt eine allseitig justierfähige Fassung eines Glasmaßstabs. Die gegen Federn (Blatt- und Schraubendruckfedern) arbeitenden Stellschrauben gestatten die spielfreie Einstellung in allen sechs Freiheitsgraden.

Abb. 6.17. Schraubenzugfedern als Rückstell- und Andruckfeder in einem Okularschraubenmikrometer

Abb. 6.18. Schraubenzugfeder als Andruckfeder in einem Reibradgetriebe

Abb. 6.19. Verschiedene Andruckfedern in einer Justiereinrichtung für Glasmaßstäbe

Federgelenke werden mit beidseitig fest eingespannten Biegefedern aus Draht- oder wegen der besseren Einspannmöglichkeiten aus Bandmaterial hergestellt. In wenigen Fällen werden auch Schraubenfedern verwendet. Sie sind spielfrei und reibungsarm und werden aus diesen Gründen vorwiegend im messtechnischen Gerätebau eingesetzt. Das Rückstellmoment ist erfassbar (Berechnungen s. Tabelle 4.3). Es ist eine Funktion des Schwenkwinkels M, der in seiner Größe allerdings beschränkt ist. Nachteilig ist auch die Tatsache, dass die Bewegung des Biegefedergelenks keine

6.2 Ausgewählte Konstruktionsbeispiele

289

Bewegung um einen festen Drehpunkt darstellt. Sie ist wie jede allgemeine ebene Bewegung durch das Abrollen der pendelfesten Gangpolbahn auf der gehäusefesten Rastpolbahn darstellbar [6.29]. Den prinzipiellen Aufbau eines einfachen Biegefedergelenks zeigt Abb. 6.20a. Es wird zur Lagerung von Pendeln in der Uhrentechnik und im Waagenbau verwendet.

Abb. 6.20. Biegefedergelenke a) einfaches Blattfedergelenk; b) Beispiele für Federeinspannungen; c) mit einfachen Blattfedergelenken aufgebaute Federführung (Prinzipbild); d) Kreuzfedergelenk; 1 Blattfedern; nach [6.57]

Federführungen sind in sich geschlossene Baugruppen, in denen ein zu führendes Bauteil über mehrere elastische Elemente (Federgelenke) mit einem anderen Bauteil verbunden ist (Abb. 6.20c und d). Infolge der elastischen Kopplung sind die Bauteile relativ zueinander beweglich. Federführungen [9][10][6.8][6.29][6.43][6.68][6.80] nutzen die Vorteile der Federgelenke wie Reibungsarmut, Wartungsfreiheit, Spielfreiheit und geringer Verschleiß und haben eine sehr breite Verwendung vor allem im Messgerätebau gefunden. Die komplizierte Bewegungsbahn, die von äußeren räumlichen Einflüssen und den geometrischen Verhältnissen abhängt, wurde bisher auf Grund des hohen Rechenaufwands kaum exakt ermittelt, wodurch man die Leistungsfähigkeit dieser Baugruppe nicht ausschöpfte. In [6.56][6.57][6.58] werden Berechnungsgrundlagen unter Einsatz der EDV für ein räumliches Bewegungsverhalten angegeben. Zum Einsatz in Führungen gelangen sowohl Kreuzfeder- (Abb. 6.20d), Doppelkreuzfeder- als auch einfache Federgelenke (Parallelführungen, Abb. 6.20c). Durch besondere Gestaltung der Einspannstellen der Federn

290

6 Konstruktionen mit Federn

(Abb. 6.20b) können ihre Einflüsse auf das Verformungsverhalten unterdrückt werden [6.57][6.58][6.74]. Neben Blattfedern eignen sich auch Membranfedern als elastische Elemente in Federführungen [6.77][6.78]. In Piezoaktoren wirken Federn mit scheibenförmigen Bauelementen aus bestimmten kristallinen Keramikwerkstoffen (Piezokeramik) zusammen. Die Piezokeramikscheiben erzeugen bei mechanischem Druck eine elektrische Ladung (Piezoeffekt). Der Vorgang ist reversibel und kann im Verbund mit Federn für Antriebsaufgaben genutzt werden. Ein Ausführungsbeispiel zeigt Abb. 6.21. Piezoelektrische Aktoren sind bei fachgerechter Dimensionierung, entsprechender Gestaltung und Handhabung in der Lage, Stellwege von 1 bis 200 mm und Stellkräfte bis in den Kilonewtonbereich zu realisieren [6.34]. 2

1

Abb. 6.21. Piezoaktor mit Rohrfeder (Prinzipaufbau) 1 Rohrfeder; 2 Piezoscheibe 6.2.2.2 Einsatz für messtechnische Aufgaben

Der messtechnische Gerätebau ist als eigenständiges Fachgebiet der Feinwerktechnik zuzuordnen. Wegen der großen Bedeutung der Federn im Messgerätebau soll in einem gesonderten Abschnitt auf die besonderen Probleme des Einsatzes dieser Bauelemente eingegangen werden. Mechanische Bauteilbeanspruchungen infolge des Einwirkens von Kräften und Momenten lassen sich beispielsweise nur durch ihre Wirkungen in Form von Längenänderungen (Dehnungen) bestimmen. Alle messtechnischen Einrichtungen zur Erfassung von Kräften und Momenten sowie von Dehnungen enthalten demzufolge sogenannte Verformungskörper als funktionsrelevante Bauelemente. Diese Verformungskörper sind im weitesten Sinne Federn. In der Kraft- und Dehnungsmesstechnik werden am häufigsten Blattfedern, Membranfedern, Drehstabfedern und Schraubenfedern verwendet. Nicht geeignet sind wegen des Reibungseinflusses alle geschichteten Federn. Zur Erfassung der Drücke von Gasen und Flüssigkeiten wird seit langer Zeit die in Abb. 6.22 dargestellte Rohrfeder nach Bourdon eingesetzt [6.2]. Alle Federn in Geräten der Kraft- und Dehnungsmesstechnik haben als Verformungskörper die Aufgabe, Kräfte und Kraftwirkungen in Wege (Verformungen) zu wandeln, die dann ihrerseits durch Nutzen geeigneter Verfahren in elektrische Signale umgesetzt werden. In Ausnahmefällen

6.2 Ausgewählte Konstruktionsbeispiele

291

(z.B. Rohrfedermanometer, Abb. 6.21 oder Membran-Dosenmanometer) erfolgt eine direkte mechanische Signalumsetzung und Anzeige. In Bereichen der Präzisionswägetechnik werden zur Signalumsetzung auch spezielle optische Verfahren genutzt. Zur Spannungs- und Dehnungsanalyse setzt man sowohl spezielle spannungsempfindliche Lacke und Oberflächenschichten als auch spannungsoptische Verfahren zur Indikation der Verformungen ein [4][6.14]. a)

b)

c)

M (p)

Abb. 6.22. Bourdon-Rohrfeder zum Messen von Drücken a) Rohrfeder; b) Rohrquerschnitt; c) Prinzip der Messwertanzeige im BourdonManometer

An Federn für derartige messtechnische Aufgaben werden besondere Forderungen gestellt. Bei ihrer Auslegung ist darauf zu achten, dass die auftretenden Verformungen keine plastischen Anteile enthalten. Sollsicherheiten von S = 10 sind deshalb keine Seltenheit. Erscheinungen wie Kriechen, Relaxation und Nachwirkungen (s. Kap. 2 und 3) wirken sich erheblich auf die Reproduzierbarkeit und die Genauigkeit der Messgrößen aus [12][6.74]. Über konstruktive Maßnahmen (Gestaltung der Einspannbzw. Lagerstellen) ist Einfluss auf die Minimierung dieser Fehlerquellen zu nehmen. Im Zusammenwirken mit der Reibung führen diese Erscheinungen zu einer Hystereseform der Kraft-Weg-Kennlinie ( s.a. Abb. 2.3). Hohe Ansprüche werden auch an das Temperaturverhalten der Werkstoffe für derartige Verformungskörper gestellt. In der Wägetechnik werden beispielsweise für Präzisionswaagen aus diesen Gründen anstelle der metallischen Verformungskörper Quarzgläser oder keramische Werkstoffe eingesetzt. Tabelle 6.4 enthält Beispiele für Werkstoffe mit unterschiedlichem Temperaturverhalten des E-Moduls. In der Schwingungsmesstechnik werden seismische Aufnehmer verwendet, die ein Feder-Masse-Dämpfungs-System enthalten. Abb. 6.23 zeigt den prinzipiellen Aufbau eines derartigen Aufnehmers. Für Beschleunigungsmessungen müssen solche Systeme möglichst „hoch“ abgestimmt

292

6 Konstruktionen mit Federn

sein (Masse u. Dämpfung klein, Federrate groß), um auch schnellen Signalverläufen möglichst verzögerungsfrei folgen zu können. Abb. 6.24 zeigt verschiedene Federn in der Anwendung als Verformungskörper zum Messen von Kräften und Kraftwirkungen. a)

b)

s

5 1 1

FG

3 4 2

s

2

c)

6

Abb. 6.23. Prinzipieller Aufbau eines seismischen Aufnehmers 1 seismische Masse; 2 Federn; 3 Dämpfer; 4 Gehäuse; 5 Wegaufnehmer; 6 Kraft-(Bewegungs-)Wirkungen

1

FG

3

Abb. 6.24. Federn zur Kraft- und Dehnungsbestimmung; 1 Feder; 2 Masse; 3 Dehnmessstreifen a) Prinzip der Federwaage; b) Blattfederpaar; c) Verformungskörper (Biegefeder) mit Dehnmessstreifen (3)

Tabelle 6.4. Beispiele für Werkstoffe mit unterschiedlichem Temperaturverhalten des E-Moduls

Werkstoff

Abweichungen des E-Moduls in % zwischen –50°C und +50°C X12CrNi17.7 7,8 C-Federstahl 5 CuSn8 16,5 CuBe2 13,3 ® Iso Elastic 0,45 Ni Span® 0,26 Nivarox® 0,53

6.2 Ausgewählte Konstruktionsbeispiele

293

6.2.3 Federn im Fahrzeugbau Federn finden im Fahrzeugbau in vielfältiger Funktion und Gestalt Anwendung. Beschränkt man sich dabei nur auf den Automobilbau, dann ist auch hier noch die Zahl möglicher Einsatzfälle nur schwer überschaubar. Wesentliche Beispiele für Federanwendungen in diesem Bereich sind: x Federn zur Abfederung des Fahrzeugaufbaus, zur Radführung und zur Fahrwerkstabilisierung; x Ventilfedern in Verbrennungsmotoren; x Rückstellfedern in Betätigungseinrichtungen von Bremsen, in Ventilen unterschiedlichster Art und in Seilzugbetätigungen, beispielsweise für Vergaser und andere Treibstoffeinspritzsysteme oder zum Ver- bzw. Entriegeln von Schließmechanismen; x Federn zur Erzeugung der Andruckkraft bei Kupplungen (meist geschlitzte Tellerfedern); x Federn für den annähernden Lastausgleich bei Motorhauben, Kofferraumklappen, Ladeeinrichtungen usw. (s.a. Abschn. 5.3.2). 6.2.3.1 Fahrzeugfedern

Die Fahrzeugfederung ist sowohl für die Fahrsicherheit als auch für den Fahrkomfort ausschlaggebend. Sie beeinflusst in Verbindung mit der Dämpfung und in Abhängigkeit von der Art der Radaufhängung vor allem das vertikale Schwingverhalten des Fahrzeugs, wirkt sich aber ebenfalls auf das Verhalten bei Kurvenfahrt sowie beim Anfahren und Bremsen aus. Die Kennlinie heute üblicher Kraftfahrzeugfederungen ist zumeist progressiv ausgebildet (Abb. 6.25). Im Pkw-Bereich wird sie im Regelfall durch zylindrische Schraubenfedern mit linearer Kennlinie und Zusatzfedern mit nichtlinearer Kennlinie verwirklicht [6.65] [6.66][6.67]. Die Tragfeder mit linearer Kennlinie muss dabei im Normallastfall ein weiches Federn ermöglichen. Die Zusatzfeder soll ein weitgehend Last unabhängiges Federungsverhalten gewährleisten und bei Belastungsänderungen nur geringe Standhöhendifferenzen zulassen. Zur Begrenzung des Federungsbereiches werden außerdem Anschläge vorgesehen, die je nach Federungsprinzip als Zug- oder Druckanschläge ausgeführt sind. Das vertikale Schwingverhalten eines Fahrzeugs lässt sich aus einem Schwingungsmodell ableiten, das aus mehreren Feder-Dämpfer-MasseSystemen besteht. Um einen raschen Überblick zu erhalten, kann mit dem Viertel-Fahrzeugmodell nach Abb. 6.26 gearbeitet werden [6.95]. Es zeigt ein gedämpftes Zweimassen-Modell in idealisierter Form und gibt Auskunft über die Schwingungsamplituden des Rades bzw. der Fahrzeugachse

294

6 Konstruktionen mit Federn

und des Fahrzeugaufbaus in Abhängigkeit von der Erregeramplitude serr sowie über den Einfluss der Federraten, Massen und Dämpfungswerte. Die Größe der Erregeramplitude wird vom Fahrbahnprofil bestimmt und besitzt stets stochastischen Charakter.

Abb. 6.25. Übliche Kennlinie einer Vorderachsfederung, bestehend aus Tragfeder mit linearer Federkennlinie für den Normallastbereich und Zusatzfeder mit nichtlinearer Kennlinie in Anlehnung an [6.95] 1 Kennlinie der Tragfeder; 2 Gesamtfederkennlinie

Abb. 6.26. Zweimassen-Modell zur Simulation des Schwingverhalten eines Viertelfahrzeuges in Anlehnung an [6.95] serr Erregeramplitude; z Schwingungsamplitude; R Federrate; m Masse; k Dämpfungswert; Index RA: Rad bzw. Achse; Index FA: Fahrzeugaufbau

Die Auswirkungen der Änderung der in dem Zweimassen-Modell enthaltenen Konstruktionsgrößen auf das Verhalten des realen Fahrzeugs können aus Tabelle 6.5 entnommen werden. Hieraus geht hervor, dass die Schwingungen des Fahrzeugaufbaus für den Fahrkomfort und die Achsbzw. Radschwingungen für die Fahrsicherheit maßgebend sind. Bei Personenkraftwagen liegt das Verhältnis RRA/ RFA der Federraten des Rades bzw. der Achse RRA und des Fahrzeugaufbaus RFA im Allgemeinen im Bereich von 10...15, und für das Verhältnis aus Rad- bzw. Achs-Eigenfrequenz fRA und Aufbau-Eigenfrequenz fFA ergeben sich Werte von etwa 8...15. Die Eigenfrequenzen können unter Vernachlässigung der Dämpfung überschlägig aus

f RA

0,159 ( RRA + RFA ) / mRA

(6.8a)

f FA

0,159

(6.8b)

und RFA / mFA

6.2 Ausgewählte Konstruktionsbeispiele

295

ermittelt werden, wobei im Falle von fRA mit der Annahme mFA o f gearbeitet wurde und bei fFA die Kopplungen mit RRA und mRA keine Berücksichtigung fanden. Übliche Werte für die Eigenfrequenz fFA des Aufbaus sind 0,9...1,6 Hz und für die Eigenfrequenz fRA des Rades bzw. der Achse 10...14 Hz. Tabelle 6.5. Auswirkungen der Konstruktionsgrößen auf das vertikale Schwingverhalten nach [6.95] Konstruktionsgrößen

Auswirkungen der Eigenfrequenz fFA des Fahrzeugaufbaus

Auswirkungen der Eigenfreqenz der fRA Achse bzw. des Rades

Federrate RFA des Aufbaus

auf Fahrkomfort groß

auf Fahrsicherheit gering

- größer (steifer)

Frequenz und Amplitude steigen, Komfort fällt

Frequenz steigt, Amplitude sinkt leicht

- kleiner (weicher)

Frequenz und max. Amplitude sinken, Komfort steigt

Amplitude steigt leicht bei niedrigen Erregerfrequenzen

Dämpferkonstante kFA

auf Fahrkomfort groß

auf Radlastschwankungen groß

- größer (steifer)

auf Beschleunigung klein

auf Beschleunigung groß, auf dynamische Radlastschwankg. klein

- kleiner (weicher)

Beschleunigung steigt

Amplitude fällt, dynamische Radlast steigt

Masse mFA des Aufbaus

leeres Fahrzeug hat geringeren Fahrkomfort und geringere Fahrsicherheit als volles Fahrzeug

Federung RRA des Reifens bzw. der Achse

Eigenfrequenz und Amplitude ändern sich nahezu nicht

Eigenfrequenz und Amplitude von Aufbaubeschleunigung und Radlastschwankung sinken etwa proportional mit RRA

Dämpfung kRA des Reifens bzw. der Achse

Frequenz und Amplitude ändern sich nicht

Amplitude der Aufbaubeschleunigung und Radlastschwankung sinken gering

Rad- bzw. Achsmasse mRA

Rad- bzw. Achsmasse beeinflusst Fahrkomfort kaum

kleine Rad- bzw. Achsmasse erhöht Fahrsicherheit

Die Kennwerte von Aufbaufeder (Tragfeder) und Dämpfer wirken sich aber nicht nur auf das vertikale Schwingverhalten, sondern ebenfalls auf die Wank- und Nickbewegung des Fahrzeugs aus. Dabei wird unter Nicken das Schwenken um die Fahrzeugquerachse verstanden. Es entsteht beim Anfahren und Bremsen des Fahrzeuges und wird daher noch in Anfahroder Bremsnicken unterschieden. Bremsnicken führt bekanntlicherweise zum Einfedern der Vorderräder und Ausfedern der Hinterräder. Beim Anfahrnicken tritt die entgegengesetzte Wirkung ein. Anfahr- und Bremsni-

296

6 Konstruktionen mit Federn

cken kann vor allem über die Achskinematik, aber auch über die Kennlinie der Tragfeder konstruktiv beeinflusst werden. Als Wanken wird das Schwenken des Fahrzeugs um die Längsachse bezeichnet, das bei Kurvenfahrt entsteht und zum Einfedern der Räder auf der Kurvenaußenseite und zum Ausfedern der Räder auf Kurveninnenseite führt. Diese Seitenneigung, die durch Änderung des Radsturzes und durch Radlastverlagerung das Lenk- und Bremsverhalten entscheidend beeinflusst, kann durch Verwendung von Stabilisatoren an den Vorder- und Hinderrädern verringert werden. Stabilisatoren. Bei Stabilisatoren handelt es sich um Stäbe mit Kreis-, Kreisring- oder Rechteckquerschnitt, die im Allgemeinen u-förmig gebogen sind, aber aufgrund der Notwendigkeit zum Umgehen von Fahrwerkteilen zahlreiche Abwinkelungen und Abkröpfungen besitzen (Abb. 6.27, s.a. Abschn. 4.3 und Abb. 4.27)[4.78][6.16][6.20]. Zur Verbindung mit dem Fahrwerk werden darüber hinaus die Schenkelenden mit Bohrungen, Augen, Gewindezapfen u.ä. versehen.

a)

b)

c) Abb. 6.27. Ausführungsformen von Stabilisatoren nach [6.16] a) u-förmiger Stabilisator mit Kreisquerschnitt; b) u-förmiger Stabilisator mit Rohrquerschnitt; c) Rahmenstabilisator

Außer u-förmigen Stabilisatoren werden auch Rahmenstabilisatoren verwendet, bei denen die Schenkel nach innen gebogen und soweit verlängert sind, dass ihre Enden durch Verschweißen oder Verschrauben angestauchter Flansche verbunden werden können. Derartige Stabilisatoren zeichnen sich durch eine gleichmäßige Spannungsverteilung über die gesamte Stablänge aus und ermöglichen eine Reduzierung des Stabdurchmessers um 30 bis 40 % und eine Gewichtseinsparung von 40 bis 50 % [6.16]. Allerdings müssen dafür erhöhte Aufwendungen für die Fertigung und die Lagerung im Fahrwerk in Kauf genommen werden. Ähnliche Gewichtseinsparungen erreicht man auch bei Verwendung von Rohrstabilisatoren [4.78]. Sie erfordern jedoch aufgrund der aufwendigeren Rohrbiege-

6.2 Ausgewählte Konstruktionsbeispiele

297

verfahren eine möglichst einfache Gestalt und das Einhalten größerer Mindestbiegeradien als bei Stabilisatoren aus Vollmaterial [6.20]. Zur Befestigung mit dem Fahrwerk werden Augen vorgesehen, für deren Gestaltung und Herstellung es mehrere Möglichkeiten gibt. Beispiele hierfür enthält Abb. 6.28 [6.24]. a)

c)

e)

b)

d)

f)

Abb. 6.28. Ausführungsformen der Augen von Rohrstabilisatoren und Verbindungsmöglichkeiten a, b, c) geschweißt; d) geschmiedet; e, f) Rohr geplättet und gelocht

Stabilisatoren werden auf Torsion und Biegung beansprucht, wobei der Torsionsanteil stets überwiegt und je nach Stabilisatorform und -belastung zwischen 70 und 90 % betragen kann. Die Berechnung von Stabilisatoren ist aufgrund dessen und der oft komplizierten Gestalt recht schwierig. Es werden dafür sowohl analytische als auch numerische Verfahren eingesetzt. Analytische Verfahren arbeiten häufig mit statisch bestimmten Ersatzmodellen [6.16], während numerische Verfahren hauptsächlich die Finite Elemente Methode bevorzugen [6.37]. Die Fertigung hochbeanspruchter, schwerer und kompliziert geformter Stabilisatoren erfolgt durch Warmformen in profilierten Spezialbiegewerkzeugen unter hydraulischen Pressen. Demgegenüber werden leichte Stabilisatoren mit niedrigen Beanspruchungsniveau und einfacher Formgebung sowie Rohrstabilisatoren kalt geformt. Das geschieht zumeist auf Spezialbiegemaschinen, beispielsweise Einkopf- oder Doppelkopfbiegemaschinen, oder aber auch auf Pressen. Die Kaltformung ist in der Regel sehr zeitaufwendig. Sie wird vor allem durch die bekannten Materialkennwertschwankungen der verwendeten Halbzeuge und deren Auswir-

298

6 Konstruktionen mit Federn

kungen auf das plastisch-elastische Werkstoffverhalten beeinträchtigt. Langwierige Maschineneinstellprozesse und ständiges Prüfen der Maßhaltigkeit der Stabilisatoren mit Hilfe von Lehren, die die Einbauverhältnisse im Fahrwerk verkörpern, sind die Folge. Ebenso wird die Wirtschaftlichkeit der Fertigung durch zeitaufwendige Richtoperationen beeinflusst, die sich an die Wärmebehandlung (Härten, Spannungsarmglühen) sowohl kaltgeformter als auch warmgeformter Stabilisatoren anschließen. Tragfedern. Als Tragfedern zur elastischen Abstützung (Federung) des Fahrzeugaufbau gegenüber dem Fahrwerk finden Blattfedern, Drehstabfedern und Schraubendruckfedern Anwendung. Welche dieser Federarten im konkreten Fall zum Einsatz kommt, hängt von der Fahrzeugart und von der gewählten Achskinematik ab. Außerdem sind bei der Auswahl der Federart auch die Forderungen nach Leichtbau zu berücksichtigen. Blattfedern, Parabelfedern, Stützblattfedern und Spalt-Trapezfedern. Im Nutzkraftfahrzeugbau dominieren nach wie vor Starrachskonzepte. Hierfür sind Längsblattfedern als Trag- und Führungselemente besonders geeignet, weil sie in der Lage sind, Kräfte in allen drei Richtungen sowie Anfahr- und Bremsmomente bzw. sich ändernde Momente bei angetriebenen Achsen aufzunehmen und die Ladefläche bzw. die Karosserie an zwei Stellen zu unterstützen (Abb. 6.29). Blattfedern werden heute meist nicht mehr als herkömmlich geschichtete Trapezfederpakete mit durchgehend aneinanderliegenden Blättern, sondern als ein- bzw. mehrlagige Parabelfedern, als Stützblattfedern oder als Spalt-Trapezfedern ausgeführt. Berechnungsgrundlagen sind Abschn. 5.1 bzw. [6.91][4.140] zu entnehmen. a)

b)

c)

Abb. 6.29. Kraft- und Momentenwirkungen an Längsblattfedern nach [6.66] a) Kraftwirkungen; b) Blattfederverformung infolge Momentenwirkung beim Bremsen (S-Schlag; analoges Verhalten beim Anfahren); c) Blattfederverformung an getriebenen Starrachsen infolge Antriebsmomentenschwankung (Drehschwingungen Achse); FN Radlast (Radaufstandskraft); FS Seitenkraft; FB Längskraft beim Bremsen; ǻFA Schwankungen der Antriebskraft

6.2 Ausgewählte Konstruktionsbeispiele

299

Parabelfedern bestehen aus Federblättern, die als Träger gleicher Biegespannung ausgeführt sind, deren Dicke sich über die Blattlänge nach einer quadratischen Parabel ändert (s.a. Abschn. 4.2.1.2). Sie können einoder zweistufig aufgebaut sein. Einstufige Parabelfederungen besitzen eine lineare Kennlinie und bestehen aus Blättern, die über den gesamten Belastungsbereich wirksam sind. Zweistufige Parabelfederungen haben eine progressive Kennlinie und bestehen aus Haupt- und Zusatzfeder. Die Zusatzfeder greift erst ein, wenn etwa 25 bis 50 % des bei Vollbeladung wirksamen Federweges erreicht sind, und sie erhöht die Federrate der Gesamtfederanordnung im Allgemeinen auf das 1,5 bis 3fache der Hauptfederrate. Zusatzfedern können oberhalb oder unterhalb der Hauptfeder angeordnet sein. Oben angeordnete Zusatzfedern sind kürzer als die Hauptfeder, unterhalb angeordnete annähernd gleichlang. Die Hauptfedern bestehen zumeist aus mehreren dünnen Federblättern, die Zusatzfeder ist als relativ dickes Blatt gestaltet. Typische Ausführungsformen ein- und zweistufiger Parabelfedern für Lastkraftwagen, Sattelschlepper, Omnibusse u.a. Nutzkraftfahrzeuge zeigt Abb. 6.30. a)

b)

Abb. 6.30. Ausführungsformen von mehrlagigen Parabelfedern a) Einstufige Parabelfeder mit angebogenen Augen zur Befestigung am Fahrzeugrahmen; b) Zweistufige Parabelfeder mit untenliegender Zusatzfeder sowie einem Federauge und einer freien Auflage

Wesentlichen Vorteile von Parabelfederungen sind [6.45.][6.82][6.91]: bessere Werkstoffausnutzung; gleichbleibend gute Federungseigenschaften durch definierte Eigendämpfung; hohe Lebensdauer bei weitgehender Wartungsfreiheit und verbessertem Reibkorrosionsverhalten, da sich Parabelfedern aufgrund ihrer Gestalt im Gegensatz zu herkömmlichen Blattfedern über federungswirksamen Bereich nur an den Blattenden berühren. In Verbindung mit dem Spannungsstrahlen lassen sich bei Lastkraftwagenfederungen ca.

300

6 Konstruktionen mit Federn

50 % Massereduktion verwirklichen. Bei leichten Nutzkraftfahrzeugen und Personenkraftwagen mit starrer Achse werden Parabelfedern so bemessen, dass man mit einem einzelnen Federblatt auskommt. Parabelfedern werden aber nicht nur als Tragfedern, sondern auch als Führungsfedern und Parabellenker eingesetzt (Abb. 6.31). Als Führungsfedern werden sie für luftgefederte Achsen in Lastkraftwagen, Sattelschleppern, Anhängern und Aufliegern, Omnibussen u.a.m. genutzt. Sie bestehen aus einem einzelnen Parabelfederblatt und nehmen nur einen kleinen Teil der abzufedernden Last auf. Hauptsächlich dienen sie in Verbindung mit Längslenkern und Stabilisatoren als Parallelogrammführung zur Aufnahme der Anfahr- und Bremsmomente und zur Verhinderung der Drehbewegung der Achse, des sogen. S-Schlages (s. Abb. 6.29b). a)

b)

Abb. 6.31. Ausführungsformen von Führungsfedern und Parabellenkern nach [6.91] a) Unsymmetrische Führungsfeder; b) Parabellenker;1 Fahrzeugaufbau; 2 Parabellenker; 3 Luftfeder; R1, R2, RL Federraten des Parabellenkers bzw. der Luftfeder; l1, l2 Feder- bzw. Hebellänge; FN halbe Achslast (Radaufstandskraft); F1, F2 Belastung des Parabellenkers bzw. der Luftfeder

Parabellenker haben ähnliche Aufgaben zu erfüllen wie Führungsfedern: sie sollen Nutzfahrzeugachsen führen und stabilisieren und, wenn überhaupt, nur geringfügig zur Abfederung des Fahrzeugaufbaus beitragen. Sie werden mit dem einen Ende am Fahrzeugrahmen befestigt, während sich das andere relativ zu diesem frei auf und ab bewegen kann. Im Unterschied zu Führungsfedern behindern sie damit nicht das Heben und Senken des Fahrzeugaufbaus. Sie werden dadurch auch nicht zwangsver-

6.2 Ausgewählte Konstruktionsbeispiele

301

formt. Parabellenker besitzen nur einen federnden Arm mit parabelförmig ausgewalzter Gestalt. Der andere, weitgehend starre Arm dient der Aufnahme der Tragfeder. Hierfür kommen vor allem Luftfedern, seltener Blattfedern zum Einsatz. Hauptsächliche Anwendungsbereiche sind luftgefederte Anhängern und Auflieger. Die Fertigung von Parabelfedern ist aufgrund des notwendigen Auswalzens der Parabelform kostenintensiver als bei Trapezblattfedern. Deshalb werden in jüngster Zeit zunehmend sog. Stützblattfedern eingesetzt (Abb. 6.32). Sie sind ebenfalls aus Haupt- und Zusatzfeder aufgebaut und vereinen die Vorteile der kostengünstigen Fertigung üblicher Blattfedern mit dem Leichtbau der Parabelfeder. Die Haupt- oder Oberfeder besteht aus relativ dünnen herkömmlichen Blattfedern gleicher Länge, Breite und Dicke und wird aus Halbzeugen, meist warmgewalztem Federstahl nach DIN EN 10091-1, hergestellt. Die Zusatz- oder Stützfeder ist als vergleichsweise dicke Parabelfeder ausgeführt, die bewusst kürzer als die Oberfeder gestaltet ist. Stützblattfedern weisen ähnlich günstige Eigenschaften wie Parabelfedern auf, beispielsweise das dauerhaft feinfühlige Ansprechen bei schwachen Fahrbahnstößen, geringes Gewicht und hohe Lebensdauer. Nachteilig ist die unvollständige Werkstoffausnutzung bei der Oberfeder, weshalb sich nicht ganz so leichte Bauweisen wie mit Parabelfedern verwirklichen lassen.

Abb. 6.32. Stützblattfeder im unbelasteten (linke Seite) und belasteten Zustand nach [6.91] 1 Haupt- bzw. Oberfeder; 2 Zusatz- bzw. Unterfeder; FN Radaufstandskraft; F1, F2 Belastungskräfte; FZ2 zusätzliche Stützkraft

Ähnlich wie Stützblattfedern stellen auch Spalt-Trapezfedern ein relativ neuartiges Konstruktionskonzept für Blattfederungen dar, das eine Reihe positiver Eigenschaften von Parabelfedern mit denen herkömmlicher Trapezblattfedern verbindet. Auch hier bilden die Kostenersparnis gegenüber Parabelfedern einerseits und die Leistungssteigerung gegenüber herkömmlichen Trapezblattfedern den Ausgangspunkt der Überlegungen. Bei SpaltTrapez federn berühren sich die verschieden langen, aber gleichdicken und gleichbreiten Blätter nicht wie bei traditionellen Blattfedern über die ge-

302

6 Konstruktionen mit Federn

samte Blattlänge und über den gesamten Federbereich, sondern nur im Bereich der Achseinspannung über verzinkte Zwischenlagen, also indirekt, und an den Blattenden (Abb. 6.33). Die Blattenden sind dabei so gestaltet, dass sie sich verjüngen und sich durch Anbringen sog. Etagenbögen (Abkröpfungen) oder durch Zwischenlagen aus Gummi der gleiche Abstand wie an den Achseinspannungen einstellt. Durch Festlegen eines zur Verjüngung der Federenden passenden Stufungsmaßes a lässt sich erreichen, dass die Spalt-Trapezfeder als Ganzes die Anforderungen eines Trägers gleicher Biegefestigkeit erfüllt. Jedes Federblatt überträgt dann an den Federenden die Kraft F/2 definiert auf das nächste Federblatt, die ihrerseits ein Biegemoment erzeugt, das gegenüber dem benachbarten Federblatt um den Betrag ǻMb = F a/2 differiert. Es lassen sich somit Federn konzipieren und herstellen, die, ähnlich der Parabelfeder, beträchtliche Gewichtseinsparungen gegenüber herkömmlichen Trapezblattfedern (ca. 30 bis 40 %) ermöglichen, ansprechendes Federungsverhalten zeigen und aufgrund der reduzierten Reibung zwischen den Federblättern und der Anwendung lebensdauersteigernder Fertigungsverfahren (Kugelstrahlen, Korrosionsschutz) hohe Lebensdauerwerte erreichen [6.35]. Hauptsächliches Anwendungsgebiet ist derzeit der Anhängerbau.

Abb. 6.33. Einstufige symmetrische Spalt-Trapezblattfeder mit zugehörigen Biegemomentenverlauf F halbe Achslast; a Stufungsmaß; A Federeinspannbreite; l Abstand zwischen Federauge und Federeinspannung; h(x) veränderliche Dicke an den Federblattenden

In Personenkraftwagen werden Blattfedern nur noch vereinzelt eingesetzt. Hauptsächlich kommen Einzelradaufhängungen (Doppelquer-, Längs- und Schräglenker, Feder und Dämpferbeine) oder Verbundlenkerachsen zur Anwendung [6.65][6.66]. Bei diesen Lösungsvarianten stützen die Tragfedern den Fahrzeugaufbau nicht wie bei Blattfederungen direkt

6.2 Ausgewählte Konstruktionsbeispiele

303

auf der Achse, sondern über sogen. Lenker oder Federbeine auf den Rädern ab. Hierfür werden bevorzugt Drehstäbe oder Schraubenfedern genutzt, da sie eine Reihe wichtiger Vorteile besitzen: Sie lassen sich hinsichtlich ihrer Gestalt gut und raumsparend an die Fahrzeugbedingungen anpassen, und als torsionsbeanspruchte Federn können sie einen größeren Betrag kinetischer Arbeit aufnehmen als biegebeanspruchte Blattfedern (s. Abschn. 4.2 und 4.3). Sie kommen daher für die Energiespeicherung mit einem geringerem Werkstoffvolumen aus. Dieser Sachverhalt geht auch aus dem Abb. 6.34 hervor, in dem die auf das Werkstoffvolumen bezogene spezifische Arbeitsaufnahme WF/ VF von Drehstäben, Schraubenfedern und Blattfedern zusammen mit dem Spannungs-Verzerrungs-Diagramm dargestellt sind. Dabei wurde der bekannte Zusammenhang zwischen Elastizitäts- und Gleitmodul verwendet [s.a. Gl. (2.6) in Abschn. 2.1.2.3].

Abb. 6.34. Spezifische Arbeitsaufnahme WF/ VF im Spannungs-Dehnungs- bzw. Schiebungs-Diagramm in Anlehnung an [6.18] Torsionsfedern: WF/ VF = kIJ IJ2t zul/ G = kIJ Ȗ2 G = kIJ IJt zul Ȗ; kIJ Querschnittskennzahl von Torsionsstäben: kIJ = 0,25 bei Kreisquerschnitt; Biegefedern: WF/ VF = kı ı2b zul/ E = kı İ2 E = kı ıb zul İ; kı Querschnittskennzahl bei Biegestäben: kı = 1/ 6 bei Parabelfederquerschnitt 1 spezifische Arbeitsaufnahme in Abhängigkeit von der Dehnung İ bzw. Schiebung Ȗ; 2 Spannungs-Verzerrungs-Kurven ı = İ E bzw. IJ = Ȗ G; a hochfester Drehstab; b Drehstab bei maximal zulässiger Beanspruchung; c Schraubenfeder bei maximal zulässiger Beanspruchung; d Drehstab nach DIN 2091; e, f, g Schraubenfedern nach DIN EN 13906-1 mit unterschiedlichem Drahtdurchmesser (10 mm, 20 mm, 40 mm); h Parabelblattfeder; A glasfaserverstärkter Kunststoff mit E = 41,2 kN/mm2; B Ti Al6 V4 mit G = 43,8 kN/mm2 und E = 118 kN/mm2; C Al Zn Mg Cu 1,5 mit G = 27 kN/mm2 und E = 70 kN/mm2; D Federstahl mit G = 78,5 kN/mm2 und E = 206 kN/mm2; WF Federarbeit; VF Federwerkstoffvolumen

304

6 Konstruktionen mit Federn

Als weiterer Vorteil kommt noch hinzu, dass Drehstab- und Schraubenfedern wirtschaftlicher herstellbar sind. Dies gilt insbesondere bei Verwendung von Drähten oder Stäben mit Kreis- bzw. Kreisringquerschnitt. Da diese zudem eine wesentlich höhere Querschnittskennzahl kIJ (Höchstwert kIJ = 0,25) als Drähte oder Stäbe mit Rechteck- oder Quadratquerschnitte aufweisen, ermöglichen sie auch eine höhere Arbeitsaufnahme. Drehstabfedern. Drehstäbe werden in den meisten Fällen in Verbindung mit Schwinghebeln eingesetzt. Dies gilt insbesondere für Verbundlenkerachsen (Abb. 6.35). Da von dem Schwinghebel beim Ein- und Ausfedern des Fahrzeugaufbaus zumeist größere Winkelbereiche überstrichen werden, ergeben sich trotz linearen Federverhaltens des Drehstabes stets nichtlineare Ein- und Ausfederungs-Kennlinien. Als mögliche Lösungen sind sowohl einzelne Drehstäbe als auch Drehstabkombinationen in Parallelund Reihenschaltung (Abb. 6.36) bekannt, die längs oder quer zum Fahrzeug angeordnet sein können [6.18]. Drehstabkombinationen lassen eine kompakte Bauweise sowie die Beeinflussung der Steifigkeit der Fahrzeugfederung zu. Die Ankopplung der Drehstäbe erfolgt über Formelemente, die im Abb. 4.26 dargestellt sind. Drehstäbe können außerdem gleichzeitig auch als Stabilisatoren genutzt werden.

Abb. 6.35. Verbundlenkerachse nach [6.65] 1 Längslenker (Schwingarm); 2 Querträger;3 vorderer Drehstab; 4 Koppelstück zwischen Querträger und vorderen Drehstab; 5 hinterer Drehstab; 6 Tragarm; 7 Schwingungsdämpfer; 8 Kerbzahnprofil

6.2 Ausgewählte Konstruktionsbeispiele

305

a)

b)

Abb. 6.36. Drehstabkombinationen a) Parallelschaltung von zwei bzw. drei Drehstäben[6.18]; b) Reihenschaltung von Drehstab und Drehrohr nach [12] 1 Schwingarm; 2 Drehstab; 3, 4 Drehrohrfeder; 5 Fahrzeugaufbau (Karosserie); lS Drehstablänge; lK Kopflänge; a Abstand zw. Stabachse und Drehachse; Mt Drehmoment

Schraubendruckfedern. Schraubendruckfedern dominieren als Federungslemente in Personenkraftwagen. Sie beschränken sich auf die Übernahme der Federungsfunktion und überlassen Radführung und Schwingungsdämpfung anderen Bauelementen. Wirtschaftliche Fertigung und einfache Bearbeitungsmöglichkeiten der Drahtoberfläche zur Erhöhung der Belastbarkeit (Schleifen bzw. Schälen des Vormaterials, Kugelstrahlen der Feder) haben diesen Einsatz gefördert. Aufgrund ihrer Form sind Schraubenfedern in der Lage, sich innerhalb bestimmter Grenzen an veränderliche Auflagebedingungen beim Ein- und Ausfedern der Räder anzupassen, beispielsweise bei Kreisbogeneinfederung an einem Längslenker (Abb. 6.37) oder bei Querversatz der Federteller infolge Aufbauneigung bei Kurvenfahrt. Häufig werden sie mit Schwingungsdämpfern zu Federbeinen kombiniert. Dabei werden exzentrische Anordnungen von Feder und Schwingungsdämpfer bevorzugt (McPherson-Federbein, Abb. 6.38), da sich hierdurch die Verkantungsgefahr (Klemmen) des Dämpferkolbens infolge der Reibkräfte an den Gleitstellen zwischen Kolben und Kolbenstange einerseits und Dämpfungszylinder andererseits verringern und die Ansprechempfindlichkeit der Radaufhängung erhöhen lassen [6.65][6.67]. Neuerdings nehmen die Federbeine oft auch noch eine Zusatzfeder aus mikrozelligem Polyurethan-Elastomeren auf (Abb. 6.39). Aufgrund der hohen Volumenkompressibilität bei äußerst geringer Querdehnung und des guten Rückstellvermögens ermöglichen diese Zusatzfedern bei entsprechender Gestaltung einen großen Einfederungsbereich mit sanftem Übergang im Einsatzpunkt und steilem Anstieg bei zunehmender Belastung (Abb. 6.40). Außerdem wirken sie als gefederte Endanschläge und schützen die Kolbenstange vor Verschmutzung, Steinschlag und Korrosion.

306

6 Konstruktionen mit Federn

Abb. 6.37. Längslenker-Radaufhängung nach [6.66] 1 Längslenker (Schwingarm); 2 Miniblock Feder; 3 Schwingungsdämpfer; 4 Fahrzeugaufbau (Karosserie); 5 Federteller Abb. 6.38. Radaufhängung mit radführendem Federbein nach [6.66] 1 Querlenker; 2 Feder, schräg angeordnet; 3 Schwingungsdämpfer; 4 Antriebswelle; 5 Lenkgestänge

Abb. 6.39. Federbein mit Zusatzfeder aus mikrozelligem Polyurethan-Elastomer nach [6.101] 1 Fahrzeugaufbau (Karosserie); 2 geräuschisolierende Gummipuffer; 3 Tragfeder; 4 Dämpfer; 5 Zusatzfeder

Abb. 6.40. Federkennlinie einer Radaufhängung mit radführendem Federbein und PUR-Zusatzfeder 1 Kennlinie der Tragfeder; 2 Einsatzpunkt (Zuschaltpunkt) der Zusatzfeder; 3 gemeinsame Kennlinie von Trag- und Zusatzfeder; FN Radaufstandskraft; sR Radeinfederungsweg

6.2 Ausgewählte Konstruktionsbeispiele

307

Zylindrische Schraubendruckfedern. Entsprechend der gewählten Fahrzeugkonzeption kommen Schraubendruckfedern mit unterschiedlicher äußerer Form, Drahtform, Form der Endwindungen und Kennlinie zum Einsatz. Hauptsächlich werden zylindrische Schraubendruckfedern verwendet, deren Enden verschieden gestaltet sein können (s. Abb. 4.28 in Abschn. 4.2.3.1). Waren ursprünglich zylindrische Schraubendruckfedern mit angelegten und angeschliffenen Federenden (Form A in Abb. 4.28) vorherrschend, so werden heute aus Kostengründen in der Großserienfertigung überwiegend zylindrische Schraubendruckfedern mit ungeschliffenen Federenden (Form B, Abb. 4.28) eingesetzt. Nachteilig wirkt sich die größere Bauhöhe der Feder und die Notwendigkeit zur Anfertigung passender Federteller aus, von denen jeweils einer zwecks Ausgleich der Fertigungsstreuung der Windungszahl um die Federachse einstellbar angeordnet sein muss. Abhilfe schaffen zylindrische Schraubendruckfern mit eingerollten Endwindungen (Abb. 6.41) und sog. Abwälzfedern (Form C, Abb. 4.28). a)

b)

c)

d)

Abb. 6.41. Schraubenfedern mit eingerollten Federenden [6.18] a) ein Ende eingerollt, ein Ende angelegt und geschliffen; b) ein Ende eingerollt, ein Ende angelegt und unbearbeitet; c) beide Enden eingerollt; d) Gestaltung der Einrollenden

Beide Federn verwirklichen geringe Bauhöhe und kleinere Federmasse. Zylindrische Schraubenfedern mit eingerollten Federenden ermöglichen die zylindrische Schraubenfeder mit der geringsten Bauhöhe und die Verwendung relativ kleiner, ebener Federteller, da mit dem Einrollen der Federenden die Steigung der Endwindungen zu Null werden kann. Die Fertigung dieser Federn erfordert keinen größeren Mehraufwand. Abwälzfedern erlauben für die jeweils gewählten bzw. berechneten federungsrelevanten Daten die Fertigung der leichtesten zylindrischen Schraubendruckfeder (Massereduktion 10 bis 20 %), da bei dieser Feder die nichtfedernde Windungszahl gegenüber der normalen zylindrischen Schraubendruckfeder im Extremfall bis auf 0,2 Windungen je Federende

308

6 Konstruktionen mit Federn

reduziert werden kann [6.18]. Erst mit zunehmender Windungszahl legen sich bei dieser Federform die anschließenden Windungsteile an die Federteller an, d.h. sie wälzen auf dem Federteller ab. Dabei werden die Endwindungen über den gesamten Arbeitsbereich nicht geschlossen. Schraubendruckfedern mit progressiver Kennlinie. Die Verwirklichung der Forderungen nach Leichtbau, Verbesserung des Fahrkomforts, Reduzierung der Standhöhenunterschiede bei verschiedenen Belastungen und nach Aufnahme von Stoßbelastungen mit weitgehend nutzlastunabhängigem Federungsverhalten führte zum Einsatz von Schraubendruckfedern mit progressiver Kennlinie. Die Progression beim Einfedern wird durch Abschalten von aktiven Windungsteilen erreicht. Bei zylindrischen Schraubenfedern ist das damit verbundene Abwälzen der Federwindungen nur durch veränderliche Steigung und Verwenden von Drähten mit veränderlichem Durchmesser zu bewirken. Probleme bereiten die Geräuschbildung beim Abwälzen der Federwindungen und die damit einhergehende Korrosionsgefahr, die durch den relativ schnellen Abrieb des als Schutzschicht aufgebrachten Lackes entsteht. Abhilfe schafft hier das beschwerliche und z.T. auch zeitaufwendige Aufziehen von Polyurethanschläuchen. Progressive Kennlinien sind auch mit Schraubendruckfedern mit nichtzylindrischer Mantelform zu erzielen. Von den möglichen Formen (Kegelstumpf-, Doppelkegelstumpf-, Taillen- oder Tonnenfeder, s.a. Abschn. 4.3.4.4) hat die Tonnenfeder unter der Bezeichnung Miniblockfeder in jüngster Zeit besondere Bedeutung erlangt [6.18]. Sie vereinigt geringe Bauhöhe, gute Werkstoffausnutzung und relativ kleine Federmasse und ist damit vergleichbaren zylindrischen Schraubendruckfedern bei weitem überlegen (Abb. 6.42). Ebenso trifft dies auf das Korrosionsverhalten zu. a)

b)

Abb. 6.42. Vergleich der ungespannten Federlänge L0 und der Blocklänge Lc bei Vorgabe der gleichen Federrate und Verwenden von Draht mit veränderlichem Querschnitt für eine a) Miniblockfeder (Werkbild Fa. AHLE Federn); b) zylindrische Schraubenfeder; (Werkbild Fa. Hoesch)

6.2 Ausgewählte Konstruktionsbeispiele

309

Die Endwindungen dieser Federn sind zumeist mit der Steigung Null gewickelt und erfordern damit ebene Federteller als Abstützflächen. Auch für diese Federart lässt sich Draht mit veränderlichem Durchmesser einsetzen, wodurch die Progression der Kennlinie weiter erhöht werden kann (Abb. 6.37a). Problematisch sind jedoch die Berechnung derartiger Federn [6.21] sowie deren Herstellung bei Warmformgebung, da das dafür eingesetzte Wickeln auf einem Dorn bei den üblichen Wickelverfahren stets Zusatzeinrichtungen verlangt. Nichtzylindrische Schraubendruckfedern mit linearer Kennlinie. Schraubendruckfedern mit linearer Kennlinie und nichtzylindrischer Mantelform kommen ebenfalls als Tragfedern zum Einsatz, oft allerdings nur im Zusammenwirken mit andern Federn. Verbreitet sind vor allem Kegelstumpf- bzw. Doppelkegelstumpffedern, mit denen sich bei spiralförmiger Änderung des Windungsdurchmessers mit einer Spiralensteigung aw > d und dem damit möglichen Ineinandertauchen der Windungen Blockhöhen Lc = d bzw. Lc = 2d erzielen lassen. Federteller. Die Federkräfte von Schraubendruckfedern werden auf Federtellern abgestützt (Abb. 6.43). Sie werden zumeist aus Bandmaterial geprägt und dabei in den Abstützflächen der Steigung der Endwindungen angepasst [6.18]. Zur Geräuschminderung werden vielfach Gummilagen zwischen Feder und Blechteil zwischengeschaltet. Neben der Abstützfläche weisen Federteller noch Zentrierkragen auf. Sie sollen die Feder in Querrichtung fixieren und können als Innen- oder Außenzentrierung ausgebildet sein. Die Höhe des Zentrierkragens darf dabei im gesamten Zentrierbereich die Größe des Federdurchmessers nicht überschreiten, um das Abwälzen der Windungen nicht zu behindern. Federteller mit stehendem Kragen müssen mit ausreichend großen Ablaufbohrungen für die Schmutzwasserabfuhr versehen sein, damit an dieser besonders gefährdeten Stelle die Korrosion weitgehend verringert werden kann. a)

b)

c)

Abb. 6.43. Federteller zum Abstützen und Zentrieren von Schraubenfedern a) Federteller mit Innenzentrierung; b) Federteller mit Innenzentrierung und stehendem Fangkragen; c) Federteller mit Außenzentrierung und mit Dämpfer verschweißt

310

6 Konstruktionen mit Federn

6.2.3.2 Federn in Bremssystemen

Nahezu alle Baugruppen von Bremssystemen benötigen Federn zur Verwirklichung ihrer Funktion. So findet man Federn in Betätigungseinrichtungen, Bremskraftverstärkern, Hauptbremszylindern, Bremskraftbegrenzern und -minderern, in Steuerventilen moderner Antiblockiersysteme und in den Bremsen selbst. Bis auf wenige Ausnahmen gilt für diese Anwendungen, dass die eingesetzten Federn ihre Funktionen mit hoher Sicherheit und Genauigkeit erfüllen müssen, da es sich um Sicherheitseinrichtungen des Fahrzeugs handelt, für die internationale Standards eine lückenlose Dokumentation und deren Aufbewahrung über längeren Zeitraum fordern. Deshalb ist bei der Auslegung, Fertigung und Prüfung der Federn äußerste Sorgfalt notwendig. Überwiegend werden in Bremssystemen zylindrische Schraubenfedern eingesetzt. Vereinzelt kommen aber auch andere Federarten, beispielsweise Drehfedern oder Schraubenfedern mit kegelförmiger Mantellinie, zur Anwendung. Drehfedern. Drehfedern werden u.a. als Rückstellfedern in Betätigungseinrichtungen genutzt (Abb. 6.44). Sie erlauben meist günstigere, raumsparendere Anordnungen als zylindrische Schraubenzugfedern. a)

b)

c)

Abb. 6.44. Betätigungseinrichtung für Pkw-Bremsen mit a, b) Drehfeder 1 Bremspedal; 2 Rückstellfeder; 3 Pedalanschlaghebel; 4 Bremsschalter; 5 Gabelkopf; 6 Bremskraftverstärkerstößel c) zylindrischer Schraubenzugfeder 1 Bremspedal; 2 Pedalrückstellfeder; 3 justierbarer Pedalanschlag; 4 Bremsschalter; 5 Bremskraftverstärkerstößel

6.2 Ausgewählte Konstruktionsbeispiele

311

Kegelstumpffedern. Kegelstumpffedern werden häufig in Bremskraftverstärkern verwendet. Hier sind größere Federabmessungen möglich als beispielsweise in Steuerventilen oder Bremskraftbegrenzern bzw. -minderern. Daher ist auch die geforderte Funktionsgenauigkeit bei vertretbarem Fertigungsaufwand besser realisierbar. Schraubendruckfedern. In Steuerventilen, Bremskraftbegrenzern bzw. -minderern und Hauptbremszylindern werden überwiegend zylindrische Schraubendruckfedern eingesetzt. In diesen Baugruppen haben sie meist die Aufgabe, im Zusammenwirken mit anderen Bauelementen definierte Bauteillagen bzw. Schaltzustände zu gewährleisten. Ein Beispiel für das Verwirklichen definierter Schaltzustände liefert der Bremskraftbegrenzer nach Abb. 6.45. Er soll verhindern, dass bei großer Abbremsung z = a/ g , d.h. großem Verhältnis von Bremsverzögerung a und Erdbeschleunigung g, die Hinterachse des Fahrzeugs zuerst blockiert und dieses dadurch mit dem Heck ausbricht. Das ist dann der Fall, wenn im Diagramm der Bremskraftverteilung auf Vorder- und Hinterachse (Abb. 6.46) die Parabel der idealen Bremskraftverteilung (Kurve 1), die sich aus dem dynamischen Verhalten des gebremsten Fahrzeugs ergibt und von dessen Beladung, Schwerpunktlage und Radstand abhängt, durch die Gerade der installierten Bremskraftverteilung (Kurve 2) geschnitten wird. Um den Schnitt zwischen den beiden Kurven zu vermeiden, müssen der Bremskraftbegrenzer und damit die verwendeten Federn konstruktiv so ausgelegt sein, dass ab einer vorgegebenen Abbremsung – z meist wird z = 0,7 gewählt – die Bremskraft an der Hinterachse nicht weiter zunehmen kann (Kurve 3). Abb. 6.45. Beschleunigungsabhängiger Bremskraftbegrenzer mit wälzgeführter Masse und einstellbarer Feder in Anlehnung an [6.10] 1 Eintrittsöffnung; 2 Führungsdorn; 3 Kugelhülse; 4 Masse; 5 Feder zur Verwirklichung des Schaltpunktes; 6 Kolben; 7 Feder; 8 Austrittsöffnung; 9 Dichtung; 10 Einstellmutter

Beim Bremskraftbegrenzer nach Abb. 6.45 wird das Umschalten von konstanter Bremskraftverteilung zwischen Vorder- und Hinterachse auf alleinige Bremskraftzunahme an der Vorderachse über die Feder 5 und die Masse 4 verwirklicht. Zu dem Zweck muss die Feder so dimensioniert und vorge-

312

6 Konstruktionen mit Federn

spannt sein, dass die auf der Kugelhülse 3 geführte Masse 4 bis zum Erreichen des Umschaltpunktes bei der Schaltkraft

FS

F2

ma

mzg

(6.9)

durch die Feder gefesselt bleibt und die Bremsflüssigkeit über die Eintrittsöffnung 1, die Bohrung im Führungsdorn 2, die durchbohrte Dichtung 9 und die Austrittsöffnung 8 ungehindert zu den angeschlossenen Hinterachsbremsen gelangen kann. Erst beim Überschreiten der Abbremsung z = 0,7 soll sich die Masse 4 von der dann bis auf die Länge L2 zusammengedrückten Feder 5 lösen und die Dichtung 9 verschließen, so dass beim weiteren Betätigen des Bremspedals an den Hinterachsbremsen kein Druckanstieg mehr erfolgt. Da dieser Schaltpunkt relativ genau eingehalten werden muss, um einerseits die Bremskraftsteigerung an der Hinterachse so weit wie möglich auszunutzen und kurze Bremswege zu gewährleisten, andererseits aber das gefürchtete Blockieren der Hinterräder zu verhindern, ist aufgrund der begrenzten Genauigkeit in der Federfertigung ein Justieren der Federkraft notwendig. Dies geschieht während der Montage des Bremskraftbegrenzers mit Hilfe der Einstellmutter 10. Damit sich beim normalen Fahrzeugbetriebes kurzzeitige Bremsstöße nicht auswirken und die Masse 4 bis zum Schaltpunkt von der Feder 5 gehalten wird, sind Kolben 6 und Feder 7 als zusätzlicher Puffer eingebaut.

Abb. 6.46. Diagramm der Bremskraftverteilung eines Fahrzeugs mit beschleunigungsabhängigem Umschaltpunkt 1 Kennlinie der idealen Bremskraftverteilung; 2 Kennlinie der installierten Bremskraftverteilung; 3 Kennlinie bei Bremskraftbegrenzung; 4 Kennlinie bei Bremskraftminderung; FBv, FBh Bremskraft an der Vorder- bzw. Hinterachse; FG Fahrzeuggesamtgewicht

Ähnlich wie Bremskraftbegrenzer wirken auch Bremskraftminderer. Der Unterschied zwischen beiden besteht darin, dass beim Bremskraftminderer der Bremsflüssigkeitsstrom zu den Hinterachsbremsen nach Errei-

6.2 Ausgewählte Konstruktionsbeispiele

313

chen des Schaltpunktes nicht vollständig abgeriegelt, sondern nur verringert wird, wodurch eine weitere, aber blockierungsfreie Zunahme der Hinterachsbremswirkung möglich ist. Mit dem im Abb. 6.47 dargestellten Bremskraftminderer wird der beim starken Bremsen mögliche hydraulische Überdruck entsprechend dem Verhältnis der Ringflächen am gestuften Regelkolben 12 herabgesetzt und auf die Bremsen an Vorder- und Hinterachse verteilt, wobei der Hinterachsanteil kleiner ist als beim normalen Bremsen. Das geschieht im Einzelnen wie folgt: Abb. 6.47. Bremskraftminderer in Anlehnung an [6.10] 1 Gehäuse; 2 Ventilsitz; 3 Feder; 4 Stahlscheibe; 5, 6, 11, 13 Dichtungen; 7 Druckstück; 8 Hülse; 9 Feder zur Verwirklichung des Umschaltpunktes; 10 Scheibe; 12 Regelkolben; 14 Verschlussstück

Bei normaler Bremsenbetätigung wirkt die gewählte installierte Bremskraftverteilung auf Vorder- und Hinterachse (vergl. Kurve 4 in Abb. 6.46). In dem Fall ist das Ventil des Bremskraftminderers geöffnet, und die vom Hauptbremszylinder zuströmende Bremsflüssigkeit fließt ungehindert über die Einströmbohrung im Gehäuse 1, die axialen und radialen Durchlässe am Ventilsitz 2, die Bohrung im gestuften Regelkolben 12 und die Ausströmöffnung zu den Radbremszylindern der Hinterachse ab. Mit zunehmender Abbremsung z und damit verbundenem ansteigenden Bremsflüssigkeitsdruck verschiebt sich der Regelkolben 12 gegen die Kraft der vorgespannten Feder 9 so lange, bis der Ventilsitz die Bohrung im Regelkolben verschließt. Steigt danach der Eingangsdruck am Bremskraftminderer weiter an, dann löst sich der Regelkolben vom Ventilsitz, und es kann erneut Bremsflüssigkeit zu den Bremszylindern der Hinderachse fließen. Dabei sinkt der Eingangsdruck, das Ventil wird wieder geschlossen. Öffnen und Schließen des Ventils wiederholen sich in rascher Folge, bis nach Verringern der Abbremsung z der Bremsdruck wieder sinkt und der Regelkolben 12 durch die Feder 9 in seine Ausgangslage zurück bewegt wird. Der Schaltpunkt für das Einsetzen der Bremskraftminderung wird durch entsprechende Dimensionierung der Feder 9 und der Ringflächengröße des Regelkolbens 12 bestimmt. Die Feder 3 hat darauf keinen Einfluss. Sie hat lediglich die Aufgabe, die ständige Anlage des Ventilsitzes an der Stahlscheibe 4 zu gewährleisten.

314

6 Konstruktionen mit Federn

Typische Funktionen, wie die Sicherung definierter Bauteillagen und das Schalten in bestimmten Situationen, haben zylindrische Schraubendruckfedern auch in Hauptbremszylindern zu erfüllen. Da moderne Straßenfahrzeuge aus Sicherheitsgründen mit Bremsanlagen auszurüsten sind, die über mindestens zwei Bremskreise verfügen, haben sich vorwiegend Tandem-Hauptbremszylinder durchgesetzt. Diese haben die Aufgabe, x die direkt aufgebrachte oder pneumatisch bzw. hydraulisch verstärkte Pedalkraft in Bremsflüssigkeitsdruck umzuwandeln, x den erzeugten Bremsflüssigkeitsdruck auf die Bremsen aufzuteilen, x das für den Bremsdruck erforderliche Bremsflüssigkeitsvolumen bereitzustellen und über die Bremsleitungen an die Radbremszylinder weiterzuleiten und x die beiden Bremskreise so voneinander zu trennen, dass bei Ausfall des einen der andere voll funktionsfähig bleibt. Tandem-Hauptbremszylinder sind je nach Art des Zweikreis-Bremssystems als fester oder umschaltbarer Stufentandem-Hauptbremszylinder oder als stufenloser Tandem-Hauptbremszylinder ausgeführt. Stufentandem-Hauptbremszylinder werden in Fahrzeugen mit getrenntem Vorderund Hinterachsbremskreis verwendet, wobei die Stufung der Kolbenflächen der Bremsdruckaufteilung auf Vorder- und Hinterachse entspricht. Demgegenüber werden stufenlose Tandem-Hauptbremszylinder (Abb. 6.48), bei Fahrzeugen mit gemischter Bremsdruckaufteilung auf Vorderund Hinterachse, beispielweise bei Diagonalbremssystemen, genutzt. Unabhängig von der jeweiligen Bauart verfügen Tandem-Hauptbremszylinder immer über einen Druckstangenkolben 2 und einen Schwimmkolben 3 (vgl. Abb. 6.48). Der Druckstangenkolben ist direkt mit dem Pedal bzw. mit dem Bremskraftverstärker verbunden und für die Bremsdruckerzeugung in dem einen Bremskreis (Primärkreis) verantwortlich. Der Schwimmkolben erzeugt den Bremsflüssigkeitsdruck in dem zweiten Bremskreis (Sekundärkreis). Die Lage des Schwimmkolbens wird durch die beiden Federn 4 und 5 gesichert. Sie sind daher so zu bemessen, dass bei nichtbetätigter Bremse einerseits der Schwimmkolben an dem Anschlagstift 6 anliegt und damit das Zentralventil 8 zwecks Bremsflüssigkeitsausgleich zwischen Radbremszylinder und Ausgleichsbehälter 10 geöffnet ist und sich andererseits der Druckkolben auf der Primärdichtung 7 abstützt. Bei betätigter Bremse müssen die Federn gewährleisten, dass Druckkolben und Schwimmkolben beim Reduzieren der Bremskraft der Bremspedalbewegung zwangläufig folgen.

6.2 Ausgewählte Konstruktionsbeispiele

315

Abb. 6.48. Schnitt durch einen Tandem-Hauptbremszylinder mit Zentralventil im Schwimmkolben für eine Bremsanlage mit diagonaler Bremskraftaufteilung in Anlehnung an [6.10]. 1 Gehäuse; 2 Druckstangenkolben; 3 Schwimmkolben; 4 Rückstellfeder des Druckstangenkolbens; 5 Rückstellfeder des Schwimmkolbens; 6 Anschlagstift; 7 Primärdichtung; 8 Zentralventil; 9 Zentralventilfeder; 10 Anschluss für Bremsflüssigkeitsausgleichsbehälter des Sekundärkreises; 11 Anschluss für Bremsflüssigkeitsausgleichsbehälter des Primärkreises; 12 Anschluss für rechte Vorderradbremse; 13 Anschluss für linke Hinterradbremse; 14 Anschluss für rechte Hinteradbremse (nicht sichtbar); 15 Anschluss für linke Vorderradbremse (nicht sichtbar); 16 Druckraum für den Primärbremskreis; 17 Druckraum für den Sekundärbremskreis

Zum Erfüllen der genannten Aufgaben ist es unter Berücksichtigung üblicher Betätigungskräfte von bis zu 500 N notwendig, dass die Federn relativ große Federkräfte erzeugen. Außerdem müssen sie aber auch sicherstellen, dass beim Ausfall eines Bremskreises die Bremsanlage funktionsfähig bleibt. Zu dem Zweck sollen die Feder 4 ein Aufsetzen des Druckkolbens 2 auf dem Schwimmkolben 3 (Ausfall des Primärbremskreises) und die Feder 5 das Anschlagen des Schwimmkolbens 3 am Bremszylindergehäuse 1 (Ausfall des Sekundärbremskreises) ermöglichen. Hierbei sind Kolbenwege von etwa 20 mm zurückzulegen. Die Federn müssen deshalb bei Einhaltung relativ hoher Funktionskräfte zugleich auch über eine ausreichend große Hubspannungsreserve verfügen. Daher ist der Einsatz hochwertiger Drähte erforderlich. In der Regel werden dafür patentierte Federdrähte der Klasse D verwendet. Antiblockiersysteme sollen einerseits eine optimale Ausnutzung des Bremsvermögens eines Fahrzeuges in der Nähe des jeweils größten, fahrbahnabhängigen Kraftschlussbeiwertes μB ermöglichen und andererseits dessen Lenkfähigkeit auch im Grenzbereich zwischen Blockieren und Rollen der Räder erhalten. Die damit verbundene Steuerung des Bremsflüssigkeitsstromes übernehmen elektromagnetische Steuerventile, die durch Radsensorsignale betätigt werden. Üblich ist der Einsatz druckausgegli-

316

6 Konstruktionen mit Federn

chener und druckbeaufschlagter Ventile. Druckausgeglichene Ventile sind im stromlosen Zustand offen und erlauben damit den ungehinderten Bremsflüssigkeitsstrom vom Hauptbrems- zum Radbremszylinder. Dies ist auch beim Steuerventil nach Abb. 6.49 der Fall, das zusätzlich über eine druckgradientenabhängige Umschaltung verfügt. Abb. 6.49. Druckausgeglichenes Steuerventil mit Gradientenumschaltung 1 Gehäuse; 2 Anker; 3 Ankerrückstellfeder; 4 Ankerwicklung; 5 Isolation; 6 Kolben; 7 Gradientenkolben; 8 Umschaltfeder; 9 Führungshülse mit Auslassöffnung; 10 Ausströmöffnung zum Radbremszylinder; 11 Rückschlagventilkugel; 12 Rückschlagventilfeder; 13 Einströmdüse; 14 Einströmkanal für Ankerraum, sv Verschiebeweg des Gradientenkolbens

Im Grundzustand werden der Anker 2 durch die Ankerrückstellfeder 3 in seine rechte Ausgangslage und der Gradientenkolben 7 durch die Feder 8 gegen den rechten Anschlag im Gehäuse gedrückt. Das Rückschlagventil 11, 12 ist geschlossen. Beim normalen Bremsen und bei regulären Fahrbahnverhältnissen fließt der Bremsflüssigkeitsstrom über die Einströmdüse 13 und die Austrittsöffnung 10 zum Radbremszylinder. Bei steigendem Bremsflüssigkeitsdruck bewegt sich der Gradientenkolben 7 infolge der Differenz zwischen anker- und einlassseitigen Kräften gegen die Feder 8 und nimmt den Kolben 6 mit, bis der Gradientenkolben nach Zurücklegen des Verschiebeweges sv an der Führungshülse 9 anschlägt. Das durchfließende Bremsflüssigkeitsvolumen nimmt dadurch ab. Blockiert das Rad wegen zu starker Bremswirkung bzw. nasser oder glatter Fahrbahnverhältnisse – den Beginn des Blockierens stellt der eingebaute Radsensor fest -, dann wird die Wicklung 4 eingeschaltet, und der Anker 2 nimmt den Kolben 6 mit. Dieser verschließt die Öffnung in der Einströmdüse und unterbricht so den weiteren Zustrom der Bremsflüssigkeit. Bei Freigabe des Rades und weiterbetätigtem Bremspedal schaltet der Magnet wieder ab, so dass nach Rückstellen des freigegebenen Kolbens erneut Bremsflüssigkeit zum Radbremszylinder fließen kann. Im Fall der Rücknahme des Bremspedals öffnet das Rückschlagventil, und es kommt zu einem schnellen Druckabbau.

6.2 Ausgewählte Konstruktionsbeispiele

317

Schwierig sind bei diesen Baugruppen sowohl die Dimensionierung als auch die Herstellung der eingesetzten Federn. Ihre Kennlinien, die wegen der aufzubringenden Kräfte und kleinen Funktionswege relativ steil verlaufen, müssen zur Einhaltung eines definierten Regelverhaltens des Antiblockiersystems besonders gut aufeinander abgestimmt sein. Aufgrund der räumlichen Verhältnisse kommen dafür nur Federn mit kleinem Drahtdurchmesser (z.B. d = 0,2 mm), kleinem Wickelverhältnis (w | 4) und kleiner Windungszahl zum Einsatz, die zum Setzen neigen und in jedem Falle vorzusetzen sind. In Backenbremsen haben Federn ganz unterschiedliche Aufgaben zu erfüllen. Diese lassen sich am Beispiel der Simplex-Backenbremse nach Abb. 6.50 verdeutlichen. Hier haben die Federn folgende Aufgaben zu erfüllen:

Abb. 6.50. Simplex-Backenbremse 1 Bremstrommel; 2 Rad bzw. Felge; 3 Bremsbacke, ablaufend; 4 Bremsbacke, auflaufend; 5 Bremsbelag; 6 Radbremszylinder; 7 Feder zum Lösen der Bremse; 8 Lagerbolzen; 9 Feder zur Kraftschlusssicherung der Bremsbackenlagerung; 10 automatische Nachstellvorrichtung zum Ausgleich temperaturbedingter Trommeldurchmesserschwankungen (Bimetallfeder); 11 Arretierhebel; 12 Arretierfeder

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6 Konstruktionen mit Federn

x Lüften der Bremsbacken 3 und 4 durch Feder 7 nach Druckabbau am Radbremszylinder 6, x Sicherung der Bremsbackenlagerung durch Aufrechterhalten des Kraftschlusses zwischen den Bremsbacken 3 bzw. 4 und den Lagerzapfen 8, bewirkt durch Feder 9, x Ausgleich temperaturbedingter Trommeldurchmesserschwankungen durch Nachstellen des Bremsbackenspaltes mit Hilfe der Bimetallfeder der automatischen Nachstellvorrichtung 10, x Arretierung der Einstellmutter zum Justieren des Bremsbackenspaltes mittels Arretierfeder 12. Ihr Einsatz in diesen Funktionen ist weniger kritisch, da bis auf die Rückstellfeder alle anderen Federn nur statisch belastet werden. Schwierigkeiten ergeben sich teilweise bei der Gestaltfestlegung, da zur Unterbringung der Feder oft nur sehr begrenzt Raum zur Verfügung steht. Auch hier kann Abb. 6.50 als Beispiel dienen. Aufgrund der lösungsbedingten Anordnung von Radbremszylinder und automatischer Nachstelleinrichtung war es in dem Fall nicht möglich, eine Rückstellfeder mit durchgehendem Wickelkörper zu verwirklichen. Der Wickelkörper musste unterbrochen werden, um Raum für die erwähnte Justierschraube zu schaffen. 6.2.3.3 Ventilfedern für Viertaktmotoren

Entwurf von Ventilfedern. An Bauteile in Ventilbaugruppen werden sehr hohe Anforderungen gestellt. Sie resultieren aus den Betriebsbedingungen. Pro Kurbelwellenumdrehung erfolgt je ein Öffnen und Schließen des Ventils. Für diesen Bewegungsablauf steht die Zeit einer halben Kurbelwellenumdrehung zur Verfügung. Ventilfedern sind hochbeanspruchte Bauteile dieser Baugruppen, die für die Bereitstellung der notwendigen Schließund Nockenanlagekräfte verantwortlich sind. Abb. 6.51 zeigt den schematischen Aufbau einer solchen Ventilbaugruppe und den Bewegungsablauf sowie den Beschleunigungsverlauf während einer Ventilerhebung (Ventilerhebungskurve). Bei geschlossenem Ventil muss die Ventilfeder eine Kraft F1 aufbringen, die ausreicht, um ein unbeabsichtigtes Öffnen (Flattern des Ventils) unmittelbar nach dem Schließvorgang zu vermeiden. Bei geöffnetem Ventil ist eine Federkraft F2 erforderlich, die so groß sein muss, dass ein Abheben des Ventilstößels vom Nocken sicher vermieden wird. Sie kann nach [6.33] aus der zu bewegenden Ventilmasse mV und der maximalen negativen Ventilbeschleunigung aV max nach der Beziehung

F2

S mV a V max

(6.10)

6.2 Ausgewählte Konstruktionsbeispiele

319

berechnet werden. S ist ein Sicherheitsfaktor, der im Bereich 1,2 d S d 1,5 liegen soll. a)

Abb. 6.51. Ventilbaugruppe und Bewegungsablauf während einer halben Kurbelwellenumdrehung (schematisch) a) Ventilbaugruppe b) Bewegungsablauf (schematisch) c) Bewegungsablauf des Ventils und Beschleunigungsablauf während eines halben Ventilhubes 1 Ventilsitz; 2 Ventilstößel; 3 Ventilfeder; 4 Ventilstößelführung; 5 Abtaststößel;; 6 Nocken; sV Ventilhub; aV Beschleunigung; der Ventilerhebung; ȖK Kurbelwellendrehwinkel; ȖKV während der Ventilerhebung; t2ʌ Zeit für eine Kurbelwellenumdrehung

b)

c)

Beim Entwurf von Ventilfedern ist wie bei allen anderen schwingend belasteten Federn Resonanz zwischen der Frequenz der anregenden Bewegung, d.h. der Kurbelwellendrehung, und einer Federeigenfrequenz zu vermeiden. Für eine zylindrische Schraubenfeder kann die Eigenfrequenz unter Verwendung der Gleichung (4.45) aus

fj

j

3560 d nf Dm2

G U

(6.11)

berechnet werden, wobei hier mit j = 0, 1, 2, ... die Ordnungszahl der Schwingung bezeichnet ist. Sicher lassen sich Resonanzen nur vermeiden, wenn ein ausreichend großer Abstand zwischen Erregerfrequenz und der niedrigsten Eigenfrequenz der Feder (für j = 0) vorhanden ist. Mit zunehmender Federeigenmasse sinkt die Eigenfrequenz der Feder. Um dem entgegenzuwirken, wird für Ventilfederbaugruppen eine Senkung der Federeigenmasse, aber auch der Masse der Federteller, gefordert. Das setzt eine Erhöhung der Werkstofffestigkeit und damit auch der zulässigen Spannungen voraus. Ferner ergaben Erfahrungen von K.W. Maier [6.44], dass Federn mit progressiver Federkennlinie meist eine höhere Lebensdauer besitzen als solche mit linearer Kennlinie. Bei diesen Federn nehmen während des Ventilhubes die Anzahl wirksamer Windungen ab und damit die Eigenfre-

320

6 Konstruktionen mit Federn

quenz der Feder zu. Die Feder weicht somit der gefährlichen Resonanz selbsttätig aus [6.44]. Eine progressiv ansteigende Federkennlinie lässt sich sowohl durch zylindrische Schraubendruckfedern mit veränderlicher Steigung als auch durch kegelförmige Schraubendruckfedern erreichen. Die benötigten Gleichungen sind in den Abschnitten 4.3.4.3 ( s.a. Abb. 4.40) und 4.3.4.4 aufgeführt. Die Verwendung von kegelförmigen Druckfedern ist noch mit dem Vorteil einer günstigeren Verteilung der bewegten Massen einschließlich der Federeigenmasse verbunden. Es wird ein kleinerer oberer Federteller benötigt, wodurch sich die bewegte Masse verringert. Dadurch sind geringere Federkräfte erforderlich. Das führt u. a. zu einer Verbesserung der Reibungsverhältnisse im Ventilfederantrieb [6.98]. Die Ventilfeder kann man zunächst so berechnen, dass der Drahtdurchmesser in Abhängigkeit von der Dauerfestigkeit des Werkstoffs und den äußeren Randbedingungen (Grenzen für Innen- bzw. Außendurchmesser der Feder) für die benötigten Federkräfte F1 und F2 nach

d

3

kG

8 Dm ( F2  F1 ) ʌ IJ kH

(6.12)

bestimmt wird. IJkH ist hierbei die Dauerhubfestigkeit des Werkstoffs (s. Kap. 2, Abb. 2.8 und Abschn. 4.3.2.3, Abb. 4.32). Gegenüber der Berechnung stationär belasteter Federn wird hier mit dem Faktor kG nach Göhner (s. DIN EN 13906-1 und Tabelle 4.18) die durch die Drahtkrümmung an der Federinnenseite hervorgerufene Vergrößerung der Torsionsspannung berücksichtigt [20][6.25]. Außerdem wird anstelle von Da oder Di mit dem mittleren Durchmesser Dm gearbeitet, der zunächst eine Annahme für d voraussetzt. Die Berechnung der weiteren Federdaten erfolgt nach den üblichen, in Tabelle 4.18 zusammengestellten Berechnungsbeziehungen ( s.a. 3. Beispiel in Abschn. 4.3.5). Die wirkenden Spannungen ergeben sich nach Errechnung der geometrischen Federdaten (d; Dm; n und L0) aus

IJ k1

kG

8 Dm F1 ʌ d3

Wk2

kG

8 Dm F2 . S d3

und

(6.13a)

(6.13b)

6.2 Ausgewählte Konstruktionsbeispiele

321

Diese Berechnung ist quasistatisch, d.h., sie bringt verwendbare Ergebnisse für niedrige Belastungsfrequenzen (Erregerfrequenzen) infolge niedriger Motordrehzahlen. Experimentelle Untersuchungen an Ventilfedern ergaben [6.53], dass mit zunehmender Kurbelwellendrehzahl die Hubspannung IJkh als Differenz der Spannungen IJk2 und IJk1, wie in Abb. 6.52 dargestellt, zunimmt.

Abb. 6.52. Spannungsüberhöhung bei steigender Kurbelwellendrehzahl IJk1 minimale Schubspannung bei geöffnetem Ventil; IJk2 maximale Schubspannung bei geschlossenem Ventil

Mit steigender Motordrehzahl kommt es also zu einer Spannungserhöhung. Die bei hohen Drehzahlen vorhandene Spannungsdifferenz ist damit wesentlich größer als die quasistatisch berechnete. Das ist auf das Resonanz- und Schwingungsverhalten der Ventilfeder zurückzuführen. Es muss das Ziel des Federentwurfs sein, diese Spannungserhöhung in Grenzen zu halten, um eine entsprechende Lebensdauer der Ventilfedern zu erreichen. Von T. Muhr [6.53] wurde ermittelt, dass die Spannungserhöhung unter 40 % gehalten werden kann, wenn die Eigenfrequenz-Differenz zwischen den Zuständen „Ventil geschlossen“ und „Ventil geöffnet“ mehr als 200 Hz beträgt. Berechnungsbeispiel. Aufgrund der Massenkräfte aus Ventilbeschleunigung und Ventilmasse wird für eine Ventilbaugruppe eine Feder mit den Federkräften F1 = 270 N und F2 = 720 N benötigt. Der Ventilhub soll sVh = 9 mm und der Außendurchmesser der Ventilfeder Da < 30 mm betragen; die gespannte Länge L2 soll L2 < 30 mm sein. Wird eine zulässige Dauerhubfestigkeit IJkH = 400 N/mm² angenommen, dann kann zunächst unter Annahme von kG = 1,3 der Drahtdurchmesser zu

d

3

8 kG Dm ( F2  F1 ) SWkH

4,5 mm,

3

8 ˜ 1,3 ˜ 26 mm ˜ (720 - 270) N 3,14 ˜ 400 N/mm 2

322

6 Konstruktionen mit Federn

d.h. dN = 4 mm bestimmt werden. Den exakten Wert für kG erhält man nach der Berechnung des mittleren Windungsdurchmessers Dm, für den sich unter Beachtung der Vorgabe für Da als möglicher Wert Dm=25mm ergibt, und der Kenntnis des Wickelverhältnisses w. Mit einer angenommen Summe der Mindestabstände der Windungen von Sa min = 2 mm ergibt sich als Blocklänge ein Wert

Lc

L2  S a min

30 mm  2 mm

28 mm

und aus diesem die Gesamtwindungszahl

nt

Lc / d

28 mm / 4,5 mm

6,2 Windungen

sowie die Anzahl federnder Windungen zu

nf

nt  2

6,2 - 2

4,2 Windungen.

Die minimale Federrate ist dann

Rmin

Gd4 8 Dm3 nf

79500 N/ mm 2 ˜ (4,5 mm ) 4 8 ˜ (25 mm )3 ˜ 4,2

62,1 N/ mm.

Sie sollte wesentlich kleiner als

R

( F2  F1 ) / s h

(720 N - 270 N) / 9 mm

50 N/ mm

sein. Das ist aber nicht der Fall. Die Aufgabe ist mit einer Feder schwer lösbar. Es wird die Lösung unter Verwendung eines Federsatzes, wie in Abb. 6.53 dargestellt, versucht.

Abb. 6.53. Beispiel für einen Ventilfedersatz nach [6.33] 4, 5 Federteller; 6 Befestigungskegel; 7, 8 Ventilfedern

Die Federkräfte werden im Verhältnis 2:1 auf die beiden Federn des Federsatzes aufgeteilt. Für die äußere Feder ergibt sich dann

6.2 Ausgewählte Konstruktionsbeispiele

8 kG Dm F11 S W kH

d1

3

d1

d N1

3

8 ˜ 1,3 ˜ 26 mm ˜ 450N 3,14 ˜ 400 N/ mm 2

323

4 mm, d . h .

4 mm .

Der mittlere Windungsdurchmesser der äußeren Feder kann auf Dm1 = 25,5 mm gegenüber der Annahme für den Entwurf verringert werden. Die mögliche Gesamtwindungszahl ist dann für diese Feder

nt1

Lc / d1

28 mm/ 4 mm

7 Windungen

und die Anzahl federnder Windungen wird nf1 = nt1– 2 = 7 – 2 = 5 Windungen. Die Federrate der äußeren Feder ergibt sich damit zu 79500 N/ mm 2 ˜ (4 mm )4

R1

8 ˜ (25,5 mm )3 ˜ 5

31,4 N/ mm .

Für die innere Feder wird ein mittlerer Windungsdurchmesser Dm2 = 17 mm angenommen. Mit diesem Wert ergibt sich ein Drahtdurchmesser d2

d N2

3

8 ˜ 1,3 ˜ 17 mm ˜ 450 N 3,14 ˜ 400 N/ mm 2

2,75 mm, d . h .

2,8 mm,

eine Gesamtwindungszahl

n t2

Lc / d 2

28 mm/ 2,8 mm

10 Windungen

und die Anzahl federnder Windungen zu nf2 = nt2 – 2 = 10 – 2 = 8 Windungen. Mit diesen Werten erhält man für die Federrate der inneren Feder R2

79500 N/mm 2 ˜ (2,8 mm )4 8 ˜ (17 mm )3 ˜ 8

15,5 N/ mm .

Die Federrate beider Federn ist damit

R ges

R1 + R2

31,4 N/ mm + 15,5 N/ mm

49,6 N/ mm,

324

6 Konstruktionen mit Federn

also kleiner als der empfohlene Grenzwert R = 50 N/mm, so dass diese Kombination die Forderungen der Aufgabenstellung erfüllt. Die Überprüfung der Eigenfrequenzen nach Gleichung (6.10) ergibt

f 01

f 02

4 mm ˜ 345000 mm/ s 5 ˜ (25,5 mm) 2 2,8 mm ˜ 345000 mm/ s 8 ˜ (17 mm )2

424 Hz,

418 Hz .

Geht man davon aus, dass diese Eigenfrequenzen beim Zustand „Ventil geschlossen“ vorliegen und durch Wahl von Federn mit progressiver Kennlinie noch vergrößert werden können, dann kann die Lösung als Grobentwurf akzeptiert werden. Der Feinentwurf sollte jedoch unter Mitwirkung erfahrener Federhersteller erfolgen. Durch experimentelle Untersuchungen und Berücksichtigung der Dämpfungsfähigkeit der Ventilfedern muss die erforderliche Progressivität der Federkennlinie ermittelt und eine minimale dynamische Spannungsüberhöhung angestrebt werden. Auf die Nachrechnung der Spannungen unter Verwendung des aktuellen kG-Wertes sowie auf die Berechnung der übrigen Federdaten kann mit Verweis auf Beispiel 3 Abschn. 4.3.5 verzichtet werden.

6.3 Konstruktionen bei speziellen Anforderungen An Konstruktionen, in denen Federn die funktionsbestimmenden Bauelemente bilden, werden oft besondere Anforderungen hinsichtlich ihres Kraft-Weg-Verhaltens (Federungsverhalten, Federkennlinie) als auch im Hinblick auf die Gestalt der funktionsbe- stimmenden Bauelemente gestellt. In einigen Fällen lassen sich die Forderungen von der gewählten Feder selbst erfüllen, während in manchen Fällen Federn und Bauelemente so aufeinander abzustimmen sind, dass durch ihr Gesamtverhalten die gewünschten Effekte erzielt werden (s. beispielsweise Abschn. 5.3). Häufig werden die gestellten Forderungen von einer Reihe verschiedener Federarten und einer Vielzahl konstruktiver Anordnungen unterschiedlicher Gestalt erfüllt. In solchen Fällen erhebt sich die Frage, durch welche Federn bzw. welche Anordnung oder Gestalt den Forderungen am besten entsprochen werden kann. Damit werden die Probleme einer Optimierung der Feder und ihrer Anordnung berührt.

6.3 Konstruktionen bei speziellen Anforderungen

325

6.3.1 Anforderungen an das Federungsverhalten

Wird von einer Feder oder einer Baugruppe mit einer Feder ein bestimmtes Federungsverhalten verlangt, so bedeutet das, dass diese Federn eine bestimmte Federkennlinie besitzen müssen. Das geforderte Federungsverhalten kann durch x die Auswahl einer entsprechend geeigneten Feder, x die spezielle Auslegung einer bestimmten Feder oder durch x die Gestaltung der gesamten Anordnung (Federung) erreicht werden (s. [4.5] und [4.27]). Die Wahl einer entsprechenden Feder setzt die Kenntnis ihres KraftWeg-Verhaltens (Kennlinie) und dessen Nutzbarkeit voraus. Abb. 6.54 zeigt einige typische Kennlinienverläufe. Tabelle 6.6 gibt eine Übersicht, durch welche Federarten eine vollständige, teilweise oder näherungsweise Realisierung gelingt. b)

a) 3

F

F

2

6

4

1

1 5

s

s

Abb. 6.54. Typische Federkennlinien und Möglichkeiten ihrer Näherung a) Kennlinienarten: 1 Gleichkraft-Kennlinie; 2 linear ansteigend; 3 progressiv ansteigend; 4 degressiv; b) Näherungen: 5 Näherung einer progressiv ansteigenden Kennlinie durch Geradenabschnitte; 6 Kennlinie einer Schraubenknickfeder mit Konstant-KraftBereich (s.a. Abb. 5.15)

Durch entsprechende Auslegung und Gestaltung sowie Anordnung in Parallel- oder Reihenschaltung von Federn lassen sich verschiedenartige Kennlinienformen erzielen (s. Tabelle 6.6, 2. Zeile). Nichtlineare Federkennlinien sind durch Schraubenfedern realisierbar, die so gestaltet werden, dass im Zuge der Einfederung die Anzahl federnder Windungen durch Anlegen an benachbarte oder auf der Auflage abnimmt. Das wird durch einen inkonstanten Windungsdurchmesser oder durch eine inkonstante

326

6 Konstruktionen mit Federn

Windungssteigung erreicht. In diesem Zusammenhang kann man Tellerfedern als Universalfedern bezeichnen. Sie besitzen eine Kennlinie (s. Abb. 4.21) mit nahezu linearen und verschiedenartigen nichtlinearen Abschnitten. Durch Zusammenschalten von Federn mit linearen Federkennlinien ist auch ein nichtlineares Federungsverhalten erreichbar. Die nichtlineare Kennlinie wird dabei abschnittsweise durch lineare Anteile genähert (s. Abb. 6.54b). Tabelle 6.6. Zuordnung von Federarten und Kennlinienformen nach Abb. 6.54 Nr. Federart 1 Rollfeder

2

3

Bemerkungen

Besonderheiten

geeignet für große Federwege, kleine bis mittlere Kräfte; Schraubenknickfeder geeignet für mittlere Federwege und mittlere Tellerfeder Kräfte; geeignet für kleine Federwege und große Kräfte (z. B. Spielausgleich); Zugstabfeder; Linear ansteigende Federkennlinie ergibt Federwege und Federkräfte Stabförmige, gevon der jeweiligen Auslesich bei den genannten Federn krümmte und gewun- - bei Belastung im Gültigkeitskeitsbegung der Feder abhängig dene Biegefedern; reich des Hookeschen Gesetzes, Torsionsstabfedern; - unter der Annahme, dass die ParameSchraubendruck- und ter, die die Federgeometrie beschreiben, Schraubenzugfedern während der Verformung konstant bleizylindrischer Form ben und - unter der Annahme einer reibungsfreien Kraftein- und -ableitung. Tellerfedern Nur Teilbereiche für h0 /t d 1,3 für Belastungen s/h0 d 0,75 Durch Schaltungen mit Schraubendruck- und Progressiv ansteigende Federkennlinie Federn (Reihen- bzw. -zugfedern nichtzywird durch Geometrieänderungen der Parallelschaltung) lässt sich lindrischer Form Feder erreicht. In den meisten Fällen eine Kennlinien-Näherung (Kegelstumpf-, erfolgt durch Anlegen von Windungen durch lineare Teilbereiche Tonnen- und während der Einfederung eine erzielen. Taillenfedern), mit Reduzierung der Anzahl federnder veränderlicher Windungen. Steigung, Kegeldruckfedern aus Band Tellerfedern

4 Tellerfedern

Federkennlinie mit sehr geringem Anstieg (s. Abb. 5.13b); Federkennlinie mit Konstant-KraftTeilbereich (s. Abb. 5.15); Teilbereich der Kennlinie mit h0 /t = 1,5 zwischen 0,75 d s/h0 d 1 (bzw. >1), s. Abb. 4.21;

Teilbereiche der Kennlinie, jedoch für s/h0 > 1 Kennlinien für h0 /t t1,3

Für kleine Federwege bei großen Federkräften

Wie unter Zuhilfenahme von Bauelementen, mit denen Hebel- und Kurvengetriebe aufgebaut werden, Bewegungsabläufe gestaltet werden können, wurde bereits in den Abschnitten 5.3 und 5.4 dargestellt. In diesen Anordnungen werden meist Federn mit linearer Kennlinie eingesetzt. In manchen Fällen wird von der Federung ein ganz bestimmtes Dämpfungsverhalten gewünscht. Es gibt Federn, die bereits durch ihren Aufbau

6.3 Konstruktionen bei speziellen Anforderungen

327

ein Federungsverhalten mit Hysterese besitzen. Das sind vor allem Spiralfedern ohne Windungsabstand und durch Schichtung von Einzelfedern (bzw. Federelementen) gewonnene Federkombinationen, wie geschichtete Blattfedern, Tellerfedern oder Ringfedern. Sie sind vor allem für diese speziellen Anforderungen zu verwenden. 6.3.2 Anforderungen an die Federgestalt

Neben Anforderungen an das Federungsverhalten spielen Ansprüche an die Federgestalt bei der konstruktiven Realisierung von Federungen eine bedeutsame Rolle. Diese Ansprüche leiten sich vorwiegend aus den Anforderungen an die Befestigung der Federn (Koppelstellen mit anderen Bauteilen, s. Abb. 4.38), an die notwendige Führung bei geschichteten Federn (s. Abb. 5.11), Drehfedern oder nicht knicksicheren Schraubenfedern (s. Abb. 4.29) sowie aus den zur Verfügung stehenden Platzverhältnissen ab. Jedoch leiten sich auch Forderungen an die Federgestalt aus denen an die zur Realisierung einer bestimmten Federkennlinie gestellten ab, auf die bereits eingegangen wurde (s. [4.27] sowie [6.5][6.6][6.73][6.96]). Die Frage, welche Feder die gestellten Bedingungen mit geringstem Platzbedarf bzw. kleinstem Werkstoffvolumen erfüllt, führt zur Problematik der Federoptimierung. 6.3.3 Optimierung von Federn 6.3.3.1 Aufgaben und Ziele

Es lässt sich allgemein feststellen, dass der Konstruktionsprozess in allen seinen Phasen ein Optimierungsprozess ist. Der Konstrukteur muss sowohl bei der Realisierung des Funktionsprinzips als auch bei der Gestaltung der einzelnen Bauelemente und Baugruppen die Bestlösung in bezug auf die in der Aufgabenstellung enthaltenen Forderungen anstreben [7][8][14][6.5]. Für eine technische Aufgabe, wie sie beispielsweise ein Federentwurf darstellt, gibt es stets viele Lösungen. Bezüglich einer bestimmten Zielstellung gilt es, die beste Lösung zu finden. Bei einer Federoptimierung (im weitesten Sinne der Optimierung einer Federung) werden im Wesentlichen zwei Ziele verfolgt [12][6.5][6.6] [6.26][6.50][6.52]. Einmal soll durch geeignete Verfahren und Ansätze die für eine ganz bestimmte technische Aufgabe bestgeeignete Federart [6.26][6.55] ausgewählt und zum anderen eine den gestellten Bedingungen angepasste, parameteroptimierte Feder einer Federart berechnet werden [1][12][6.31][6.36][6.39][6.41][6.52] [6.72][6.75][6.76][6.92]. Die Lösung solcher Aufgabenstellungen erfordert

328

6 Konstruktionen mit Federn

entsprechende Vergleichs- und Bewertungsmöglichkeiten. Nutzwerte (s. Abschn. 2.11) stellen beispielsweise eine solche Vergleichsmöglichkeit dar [6.28][6.55][6.86][6.87]. 6.3.3.2 Optimale Federart

In den angeführten Publikationen werden zur Beurteilung der einzelnen Federarten die verschiedensten Beurteilungsfaktoren herangezogen, wobei als kennzeichnende Größen für einen optimalen Einsatz und eine günstige Auslegung der Federn der Artnutzwert KA, die Federmasse mF , Federrate R, Federarbeit WF sowie das Einbauvolumen VE und das Federvolumen (Werkstoffvolumen) VF genutzt werden. Bei allen Vergleichen werden gleiche bzw. ähnliche Beanspruchungsverhältnisse mit den jeweils zutreffenden Beanspruchungsgrenzen zu Grunde gelegt. Neben dem Artnutzwert KA = WF /Wopt = WF ·2·E/(VF·V2 ) ,

(6.14)

der unter den genannten Bedingungen die Nutzbarkeit des Federvolumens VF zur Federarbeit angibt, werden für den Vergleich von Federn weitere Verhältnisse, wie das Verhältnis Federarbeit/Federvolumen KWa = WF /VF ,

(6.15)

das Verhältnis Federarbeit/Einbauvolumen KWb = WF /VE ,

(6.16)

das Verhältnis Federrate/Federvolumen KRa = R/VF

(6.17)

und das Verhältnis Federrate/Einbauvolumen KRb = R/VE

(6.18)

verwendet. Herber gibt diese Beziehungen in [6.26] an. Sie sind auf der Basis der Gleichungen (6.14) bis (6.18) für einige Federarten in Tabelle 6.7 aufgeführt. Ein unmittelbarer Vergleich zwischen den einzelnen Federarten hinsichtlich Federarbeit und Federvolumen nach Gleichung (6.15) ist über den Artnutzwert KA möglich. Federgestaltparameter sind in dieser Vergleichs-

6.3 Konstruktionen bei speziellen Anforderungen

329

beziehung nicht enthalten. Sofern das Einbauvolumen mit dem Federvolumen identisch ist, trifft das auch auf den Vergleich nach Gleichung (6.16) zu. Sind die beiden Volumina nicht identisch, wird das Maximum dieses Verhältnisses durch einige Federgestaltparameter bestimmt. In diesen und den weiteren Vergleichsfällen auf der Basis der Gleichungen (6.17) und (6.18) beeinflussen Federgestaltparameter das jeweils anzustrebende Maximum dieser Verhältnisse. Eine solche Forderung bedingt in diesen Fällen bereits eine Parameteroptimierung. Eine Verflechtung von Federoptimierung und Parameteroptimierung ist beispielsweise in der Forderung nach einer hohen Federrate bei geringer Federmasse (Federvolumen) enthalten. Bei einer Biegestabfeder ist diese Forderung durch Wahl geeigneter Lager- und Einspannbedingungen, Verkürzung der Stablänge l sowie über die Querschnittsabmessungen und formen möglich, während bei Zugstabfedern dieses Verhältnis nur über die Dehnlänge l beeinflussbar ist. An dieser Stelle soll noch einmal vermerkt werden, dass bei allen Betrachtungen der Werkstoff nicht mit herangezogen wurde. Die Vergleiche wurden auf der Basis „gleicher Werkstoff“ geführt. Tabelle 6.7. Vergleich ausgewählter Metallfedern für optimalen Einsatz a) Grundbeziehungen

Kreisquerschnitt: A = AKr = Sd2/4; Wb = Sd3/32; Rechteckquerschnitt: A = ARe = b·h; Wb = b·h2/6; Wt = 2·Wb; It = 2·I

Biegestabfeder (biegebeanspruchte Federn)

U

l

Drehstabfeder (torsionsbeanspruchte Federn) A, G, I, F r U

F s

A, E, I, U

s s

Prinzipbild und Bezeichnungen mit Grundbeziehungen

Zugstabfeder (zugbeanspruchte Federn)

l

F

l

Federart

A, E, F

R Vz

F ˜l A˜ E A˜ E l F A

VF = A·l mF = VF·U VF 2 WF V z zul 2˜ E KA = 1 VF = VE

F ˜l3 s 3˜ E ˜ I 3˜ E ˜ I R l3 F ˜l Vb Wb

VF = A·l mF = VF·U VF WF V 2b zul 18 ˜ E KA = 1/9 VF = VE

M RM Wt

M

Mt ˜l G ˜ It G ˜ It l Mt Wt

VF = A·l mF = VF·U VF 2 WF W t zul 4˜G KA = 1/2 VF = VE

330

6 Konstruktionen mit Federn

b) Beziehungen für Bewertungsfunktionen Federart

Zugstabfeder

Ringfeder

Stabquerschnitt

Kreis

Ring/Polygon

Federvolumen VF Einbauvolumen VE Federrate R

= Sd2·l/4 = b·h·l = S(Da² – Di ²)L0 /4 = Sd2·l/4 = b·h·l = SDa²·L0 = Sd²E/4·l =E·b·h/l SbE Da  Di tan 2 E

Rechteck

Spiralfeder Rechteck

= b·h·l = S·ra²·b Ebh 3 12 ˜ l

2n  1 Da  Di

Federarbeit WF Artnutzwert KA Federrate/Federvolumen KRa

VF 2 Vz 2E

VF 2 Vz 2E

=1 = E/l²

=1

=1

VF 2 V 6E b

1

¹ 2bE

= 1/3 tan 2

Eh 2

E 2

Federrate/Einbauvolumen KRb

Federarbeit/Federvol. KWa

Federarbeit/Einbauvol. KWb

12 ˜ l 2

n  1 Da  Di L0 2bE Da  Di tan 2 E n  1 Da2 Da  Di L0

= E/l² V 2z

V 2z

2˜ E

2˜ E

V 2z



Da2

2˜ E

 Di2 Da2

E ˜ h3 12 ˜ S ˜ l ˜ ra2

V 2b

˜

6˜ E V 2z

h ˜l

2˜ E

S ˜ ra2

˜

V 2b 6˜ E

Federart

Drehfeder

Drehstabfeder

Schraubendruckfeder

Stabquerschnitt

Kreis

Kreis

Kreis

Federvolumen VF Einbauvolumen VE Federrate R

= S·d2·l/4 = S·d2·l/4 2 = S·Da ·L0 /4 ² = S·d2·l/4

Federarbeit WF Artnutzwert KA Federrate/Federvolumen KRa

S˜G ˜ d 4 32 ˜ l

3n 8 ˜ Dm f

VF 2 V 8˜ E b

VF 2 W 4˜G t

VF 2 W 4˜G t

= 1/4

= 1/2

E ˜d 2

Federrate/Einbauvolumen KRb

= 1/2

2

8˜l

2

E˜d 4

G˜d 2

16 ˜ l ˜ L0 ˜ Da2

8˜l 2

V 2b

W 2t 4˜G

2

d ˜l Da2

˜

V b2

˜ L0 8 ˜ E

¹ ohne Reibung; ² ohne Schenkel; ³ gestreckte Drahtlänge l = S·Dm·nt

G˜d 2

G˜d 2

8˜ E Federarbeit/Einbauvol. KWb

G˜d 4

S˜ E ˜d 4 64 ˜ l

16 ˜ l

Federarbeit/Federvol. KWa

= S·d2·Dm·nt /4 = S·Da2·L0 /4

W 2t 4˜G

3

3 ˜n 2 ˜ S ˜ l ˜ Dm f

G˜d 4 3 2 ˜ S ˜ Dm 2 Wt

˜ Da2 ˜ L0 ˜ n f

4˜G

d 2 ˜l Da2

˜

W 2t

˜ L0 4 ˜ G

6.3 Konstruktionen bei speziellen Anforderungen

331

6.3.3.3 Federparameteroptimierung

Von einer Parameteroptimierung spricht man bei Federn dann, wenn die Auslegung (Dimensionierung) der Feder darin besteht, die Gestaltparameter so festzulegen, dass die gestellten Forderungen von der Feder optimal erfüllt werden. Dabei sind die durch Normen festgelegten HalbzeugParameterstufungen sowie fertigungsbedingte Parameterstufungen zu berücksichtigen. Das bedeutet, es liegen meist diskrete Optimierungsparameter vor. Folgende Optimierungsziele werden meist verfolgt: x x x x x x

optimale Funktionserfüllung, minimale Federmasse, minimaler Einbauraum, maximale Federarbeit, maximale Ausnutzung der Tragfähigkeit des Werkstoffs und minimale Federkosten (Materialkosten, Herstellungskosten...).

Diese können sowohl einzeln oder im Verbund als Forderung gestellt sein. Neben diesen Zielen sind oft auch eine Reihe federartspezifischer Bedingungen, wie beispielsweise bei Schraubendruckfedern die Knicksicherheit, die Einschränkung des Wickelverhältnisses oder die Stufung der Windungszahl zu berücksichtigen. Für bestimmte Anwendungsfälle, wie beispielsweise in der Steuerungs- und Regelungstechnik, der Messtechnik und anderen Bereichen der Feinwerktechnik und des Maschinenbaus müssen funktionsbestimmende Parameter der gesuchten Feder in durch Toleranzen festgelegten, oft recht engen Grenzen liegen. Auch Toleranzen der Halbzeugabmessungen, der Werkstoffparameter und fertigungsbedingte Toleranzen sind zu beachten. Die mathematischen Lösungen für ein Optimum sind in den meisten Fällen technisch nicht nutzbar (Parameter gehen gegen Null). Technisch sinnvolle Lösungen ergeben sich dann nur innerhalb eines bestimmten Suchraums, der durch die zahlreichen technologisch und funktionell bedingten Einschränkungen zum Teil recht erheblich eingegrenzt wird. Bei stark eingegrenzten, recht kleinen Suchräumen kann es vorkommen, dass nicht immer Lösungen gefunden werden. Vom Konstrukteur sind in solchen Fällen Entscheidungen zur Veränderung des Suchraums zu treffen. Sie können sowohl durch Verschieben der Schranken, Lockern von Restriktionen, Verändern von Toleranzgrenzen, aber auch durch Verändern vorgegebener Größen sowie des Werkstoffs eingeleitet werden. Da Lösungen meist an den Rändern des Suchraums vorliegen, sind beim Aufbau von Berechnungsprogrammen die dafür am besten geeigneten Optimierungsstrategien auszuwählen [12][6.41][6.50][6.52].

332

6 Konstruktionen mit Federn

Bei den Berechnungen zur Festlegung der Federparameter steht die Erfüllung der Funktion der Feder stets im Vordergrund. Die Forderung nach Erfüllung weiterer Optimierungsziele führt bereits in das Gebiet der Polyoptimierung [6.41]. Verschiedene Zielstellungen lassen sich jedoch zusammenfassen. So wird beispielsweise bei Erreichen des minimalen Federwerkstoffvolumens VF nach Tabelle 6.8 auch die Tragfähigkeit des Werkstoffs maximal genutzt. Eine Polyoptimierung ist somit meist vermeidbar. Tabelle 6.8. Beziehungen für das optimale Federwerkstoffvolumen einiger Federn Nr. Federart 1 Einseitig eingespannte Blattfedern mit Rechteckform und Rechteckquerschnitt

Federwerkstoffvolumen VF opt VF opt =

9 E §¨ Fmax R ¨© V b ertr

2 Drehfedern aus rundem Draht (ohne Berücksichtigung der Schenkel)

VF opt =

4 E §¨ M t max RM ¨© V b ertr

· ¸ ¸ ¹

VF opt =

2G §¨ M t max RM ¨© W t ertr

· ¸ ¸ ¹

VF opt =

2G §¨ Fn R ¨© W t ertr

3 Drehstabfedern mit Kreisquerschnitt

4 Schraubendruckfedern zylindrischer Form aus rundem Draht

· ¸ ¸ ¹

· ¸ ¸ ¹

2

2

2

2

Eine optimale Funktionserfüllung ist beispielsweise im Schnittpunkt der Funktionen gegeben, die sich aus den Verformungsbedingungen durch den Bereich der Federrate Rmin d Rvorh d Rmax

6.19a)

oder durch die Toleranz der Federrate 1 – TR vorh /TR erf t 0

(6.19b)

ausgedrückt und den Spannungsbeziehungen in der Form Vertr – Vvorh t 0 bzw. Wertr – Wvorh t 0

(6.20a)

oder mit dem Spannungsverhältnis KS = Vvorh /Vertr = Wvorh /Wertr ausgedrückt durch 1 – KS t 0

(6.20b)

6.3 Konstruktionen bei speziellen Anforderungen

333

ableiten lassen. In einem nicht zu eng begrenzten Suchraum (Lösungsfeld) gibt es meist mehrere solche Schnittpunkte, die miteinander verbunden, eine Schnittpunktkurve bilden. Alle Federn, deren Parameter zu Punkten auf dieser Kurve führen, besitzen das gleiche Federwerkstoffvolumen VF. Dieses Volumen ist das erreichbare Optimum, so dass für diesen Fall VF = VF opt gilt. Die Zielfunktion „minimales Federwerkstoffvolumen“ lässt sich dann auch als Bedingung VF – VF opt t 0

(6.21)

formulieren. Einige Beispiele sind in [12] und [6.49] aufgeführt. Optimierungsrechnungen erfordern einen recht erheblichen Aufwand, der nur rechnerunterstützt zu bewältigen ist und durch Integration in Rechenprogramme zur Federauslegung in Grenzen gehalten werden kann. Eine Abwägung des Einsatzes von Optimierungsstrategien bei Federauslegungen ist deshalb von Fall zu Fall vorzunehmen. Das nachfolgende Beispiel soll darüber einen Eindruck vermitteln. 6.3.4 Beispiel einer Optimierungsstrategie

Am Beispiel der von F.-W. Speckens [6.101] ausgearbeiteten Optimierungsstrategien für die Auslegung von Ventilfedern in modernen 4VViertaktmotoren soll dargelegt werden, in welchem Umfang konstruktive Belange der gesamten Baugruppe (Ventiltriebbaugruppe) Einfluss auf die Auslegung und die Gestaltung der Ventilfedern nehmen. Die Optimierungsziele sind bei der Bearbeitung einer derartigen Aufgabe recht vielschichtig und beziehen sich nicht nur auf die Abmessungen und die Gestalt der Feder. In die Optimierungsstrategie sind sowohl die Feder als auch die Bauteile einzubeziehen. Motorkonstrukteur und Federnfertiger sind gleichermaßen bei der Lösung dieser Aufgabe gefordert. Da in einem derartigen schwingungsfähigen Bauteilverband die Massen der Bauteile und die Eigenmasse der Feder sowie die von der Gestalt der Feder beeinflusste Eigenmasseverteilung bedeutungsvolle Einflussgrößen darstellen, hat auch die Gestalt der unmittelbar mit der Feder gekoppelten Bauteile (Federteller, Stößel...) Einfluss auf das Schwingungsverhalten. Immerhin haben Ventilfeder und zugehöriger Federteller einen Anteil von 25 % bis 30 % an der gesamten bewegten Masse des Ventiltriebes. Konische Federn oder Federn mit „Bienenkorb“-Enden ermöglichen beispielsweise eine erhebliche Massereduzierung der Federteller. Die beengten Raumverhältnisse des Zylinderkopfes beschränken die für eine derartige Aufgabe bei vertretbarem wirtschaftlichem Aufwand ein-

334

6 Konstruktionen mit Federn

setzbaren Federarten auf die Verwendung von Schraubendruckfedern, wie in [6.101] ausgeführt wird. Schraubendruckfedern haben sich als Standardfedern in Ventiltrieben durchgesetzt. Tabelle 6.9. Ablauf und Einflussgrößen bei der Auslegung von VentilSchraubendruckfedern (nach [6.101]) a) Kinematische Vorauslegung Ventiltriebspezifische Anforderungen Federkraftbedarf Federweg Federvorspannkraft maximale Federkraft maximaler Ventilhub Anforderungen: Anforderungen: Anforderungen: Sicheres Schließen der Aufrechterhaltung eines motorspezifischer Ventile ständigen Kraftschlusses Öffnungsquerschnitt zwischen den bewegten Teilen des Ventiltriebs, insbesondere im Hinblick auf die Dynamik der Hydraulikbaugruppe zum automatischen Spielausgleich Einflussgrößen: Einflussgrößen: Zylinderunterdruck; Bewegte Massen der Hydraulikbaugruppe für au- Ventilbauteile; tomatischen Spielausgleich; Beschleunigung/Verzögerung Ventilfläche und gemäß Nockenerhebungskurve; Abmessungen anderer Ventilhub Bauteile; Sicherheitsfaktoren Festzulegende Gestaltparameter der Schraubendruckfeder a) Geometriegrößen b)Werkstoffkenngrößen c) Drahtquerschnitt kreisförmig; d; Dm; nt; L0 Federwerkstoff (Stahl; NEelliptisch; MultipleMetall); Rm; (Re); E; G; U Arc d) Wicklungsform e) Wicklungsanordnung f) Anzahl zylindrisch; konisch; linear; symmetrisch progressiv; Einzelfeder; Federsatz "Bienenkorbform" asymmetrisch progressiv (Federpaket) Berechnungs- und Simulationsmodelle Kontinuum-Modell; Ein- und Mehrmassenschwinger-Modelle; FE-Modell; modifizierte FE-Modelle

b) Dynamische Analyse, Nachrechnung und Optimierung Nutzen von Simulationsmodellen zur dynamischen Analyse Aufgabe: Ermitteln der Betriebsparameter (min. und max. Federkräfte; Eigenfrequenzen; Schwingungsamplituden; Kraftschlussbedingung...) Einflüsse: Federgestalt; Massen der Ventiltriebbauteile; Ventilerhebungskurve; Beschleunigung; Drehzahl; Ventilfederweg

6.4 Darstellungsarten von Federn in Konstruktionen

335

Der Federentwurf beginnt mit der Ableitung der Funktionsdaten der Feder aus den kinematischen und konstruktiven Anforderungen der Ventiltriebbaugruppe, wie Tabelle 6.9 zeigt. Ein von Speckens entwickeltes Simulationsprogramm gestattet nach einer kinematischen Vorauslegung die Untersuchung des dynamischen Betriebsverhaltens der Schraubendruckfeder. Der verwendete Modellansatz zerlegt die Feder in ein System gekoppelter diskreter Massen (beispielsweise je Windung vier Windungsabschnitte). Das aufgestellte Differentialgleichungssystem wird mit Hilfe des Runge-Kutta-Verfahrens numerisch gelöst, wodurch Aussagen über das Kraft-, Weg- und Spannungsverhalten jedes Windungsabschnittes gewonnen werden. Durch die Bildung einer Ventiltriebersatzmasse können Schlussfolgerungen (Rückwirkungen) auf das dynamische Betriebsverhalten gezogen werden. Über einen Algorithmus zur Beschreibung der Federwickellinie wird die Ventilfeder in Kombination mit dem mittleren Windungsdurchmesser über der Federlänge erfassbar, wodurch eine aktive Federgestaltung innerhalb der Variationsgrenzen möglich wird. Einige der zahlreichen Einflussgrößen, die sich mittelbar und unmittelbar auf die Federgestalt auswirken sind im Zuge des Berechnungsablaufs in Tafel 6.9 aufgeführt. In [6.101] konnte an Beispielen gezeigt werden, dass durch den Einsatz einer bis an die Grenze der zulässigen Materialausnutzung geführten, massenoptimierten Ventilfeder Grenzdrehzahlsteigerungen von 6 % bis 8 % und Kraftstoffeinsparungen um 0,8 % bis 3 % erreichbar sind.

6.4 Darstellungsarten von Federn in Konstruktionen In Konstruktionsunterlagen werden zur Darstellung von Federn unterschiedliche Abstraktionsebenen benutzt. Häufige Formen sind Ansichten unter Nutzung von Schnitten und Teilschnitten. Diese Darstellungsform wird meist bei Einzelteilzeichnungen verwendet [6.4]. Ein Beispiel zeigt Abb. 6.55. Diese Darstellung wird vor allem für Federn komplizierter Form (Biegeformteile) benutzt, um spezielle Angaben zur Fertigung niederlegen zu können. Außer einzelnen Geometriegrößen werden hier auch Angaben über Formabweichungen, Toleranzen, Fertigungsausgleich und zur Federrate (Darstellung der Federkennlinie) vorgenommen. Für Schraubenfedern können in solchen Fällen auch Vordrucke nach DIN 2099 verwendet werden.

6 Konstruktionen mit Federn

R z 10 Sa

e

d

s

s1

angelassen: kugelgestrahlt: kaltgesetzt: Oberflächenbeh.: Dauerfestigkeitspr.: Relaxationsprüfung:

L1

L2

s2 sn

Ln Lc

sc L0

(zul. Abw.)

(Oberfl.)

mm mm mm

nt = n= L0 = zul e1 = zul e 2 =

mm mm mm

'D =

2

Fc

F1

F2

Fn

270º ± 'D

Di

D = Dm

b i x45º

d= Da = Di =

e1

R z 10

| d/4

D e = Da

336

F1 = N F2 = N R= N/mm Sa = mm Wickelricht.: Fase:

Maßstab (Werkstoff)

pat. Federstahldraht Sorte C DIN 17223 Datum Bearb. Gepr.

Name

(Benennung)

DRUCKFEDER

Norm (Firma)

(Zeichnungsnummer)

Blatt Bl.

Zust. Änderung

Datum

Name

Abb. 6.55. Zeichnung einer Schraubendruckfeder mit Federdiagramm

Neben diesen Darstellungen werden in Konstruktionsunterlagen, vor allem zur vereinfachten Darstellung in den Entwurfsphasen, Prinzipdarstellungen genutzt. Sie sind für die meist verwendeten Federarten in DIN ISO 2162 zusammengestellt. Einige Beispiele in Anlehnung an diese Zusammenstellung zeigt Abb. 6.56. Bei Konstruktionsdokumentationen und Federbestellungen sind darüber hinaus auch die in DIN 4000/T11 festgelegten Sachmerkmal-Leisten zu beachten. Abb. 6.57 enthält dazu einige Beispiele.

6.4 Darstellungsarten von Federn in Konstruktionen Druckfedern Benennung Ansicht

Darstellung Schnitt

Sinnbild ¹)

Zylindrische Schraubendruckfeder aus Draht mit rundem Querschnitt

Zylindrische Schraubendruckfeder aus Draht mit quadratischem Querschnitt

Kegelige Schraubendruckfeder aus Draht mit rundem Querschnitt

Kegelige Schraubendruckfeder aus Band mit rechteckigem Querschnitt

¹) Wenn erforderlich, Wickelrichtung und Querschnitt in Wortform angeben

Tellerfedern Benennung Ansicht

Darstellung Schnitt

Sinnbild

Tellerfeder (Einzelfeder) Tellerfederpaket (Teller gleichsinnig geschichtet)

Tellerfederpaket (Teller wechselsinnig geschichtet)

Abb. 6.56. Darstellungsbeispiele für Federn (nach DIN ISO 2162)

337

338

6 Konstruktionen mit Federn

a) Sachmerkmal-Leiste für Zugfedern

KennbuchA B stabe SachDraht- Äußemerkmal- durch- rer Winbenennung messer dungsdurchmesser Einheit

mm

mm

C

D

E

F

Feder- Feder- Federlänge, rate länge, unbemaxilastet mal belastet mm

N/mm

G

Federkraft zu C bzw. E

mm

H

J

Anzahl Werk- Oberder federn- stoff fläche den Winund/oder dungen oder SchutzWindungsart richtung -

N

b) Sachmerkmal-Leiste für Drehfedern

KennbuchA B stabe SachDraht- Innerer merkmaldurch- Winbenennung messer dunsdurchmesser Einheit mm mm

C

D

Feder- Drehlänge moment (max.) mm

E

F

Winkel zu D

Nmm

G

Momentrate

°

Nmm/°

H

J

Anzahl Werk- Oberfedernstoff fläche/ der SchutzWindunart gen -

c) Sachmerkmal-Leiste für Spiralfedern

KennbuchA stabe SachAußenmerkmalhalbbenennung messer Einheit

mm

B

C

Innen- Bandhalb- breite C1 ; messer Banddicke C2 mm mm

D

E

Dreh- Widermostand ment bei 90° μNcm :

F

G

H

Anzahl Werkder Win- stoff dungen -

-

-

J Oberfläche/ Schutzart -

Abb. 6.57. Sachmerkmal-Leisten für Federn (Beispiele nach DIN 4000/T11) a) Sachmerkmal-Leiste für Zugfedern; b) Sachmerkmal-Leiste für Drehfedern; c) Sachmerkmal-Leiste für Spiralfedern

7 Schwingungsverhalten von Schraubenfedern

7.1 Grundlagen und Modelle 7.1.1 Schwingungsvorgang Alle in technischen Erzeugnissen für Konstruktionsteile verwendeten Werkstoffe, die ein elastisches Verhalten bei Krafteinwirkungen zeigen (Vorhandensein eines Elastizitätsmoduls) und somit dem Hookeschen Gesetz gehorchen, befähigen diese Bauteile, bei Anregungen Schwingungen auszuführen. Es werden periodische und nicht-periodische Schwingungen unterschieden. Bedeutsam sind erstere. Man versteht darunter Bewegungserscheinungen von Massen, die eine Pendelbewegung um ihre Null-Lage (statische Gleichgewichtslage) vollführen. Die Periodizität kommt dadurch zum Ausdruck, dass sich der Vorgang unter gleichen Bedingungen innerhalb eines Zeitabschnitts T wiederholt (T = 't = t2 – t1 ). Ein solcher Vorgang ist in Abb. 7.1 schematisch dargestellt. Federn als elastische Bauelemente sind in der Lage, derartige Bewegungen auszuführen. Als Masse wirken dabei sowohl ihre Eigenmasse als auch an diesen Elementen zusätzlich angebrachte Massen bzw. die Massen von Bauteilen, die durch Federn bewegt (angetrieben) werden. Sie führen freie ungedämpfte Schwingungen aus, wenn im betrachteten Zeitabschnitt dem Feder-Masse-System weder Energie zugeführt noch entnommen wird. Dieser Vorgang hat in der Technik nur theoretische Bedeutung, da jeder Schwingungsvorgang beeinflusst abläuft. Der Schwingung wird durch Reibung (Festkörper-, Luft- oder Flüssigkeitsreibung, innere Reibung) Energie entzogen, so dass freie gedämpfte Schwingungen vorliegen. In vielen technischen Anwendungen wird dem Schwingungssystem Energie in Form einer von außen einwirkenden periodischen (auch nichtperiodischen) Kraft zugeführt. Dann liegen erzwungene Schwingungen vor. Die Erregung des Systems kann auch in Form von Federkraft- oder Massenkraftwirkungen erfolgen.

340

7 Schwingungsverhalten von Schraubenfedern

R = c ¹)

S /Z

S /Z

Zt + M

m x

x=0 M=0

x

x

t

^ x Z

x(t)

x

T = ' t= t 2 – t 1 t1

t2

Abb. 7.1. Modell und Weg-Zeit-Diagramm einer freien, ungedämpften Translationsschwingung (nach [7.29]) m: Masse; c: Federkonstante; x(t): Schwingweg; T: Schwingungsdauer; t: Zeit; ZKreisfrequenz; M: Phasenwinkel; xˆ : Amplitude (Maximalausschlag) ¹ In der Schwingungstechnik wird ausschließlich der Begriff Federkonstante c als allgemeingültige Größe anstelle des nach DIN EN 13906-1 für Schraubendruckfedern vereinbarten Begriffs Federrate R verwendet Translationsrichtungen: sx; sy; sz Rotationsrichtungen: Mx; My; Mz

Abb. 7.2. Bewegungsrichtungen, Freiheitsgrad

Den im Raum möglichen Bewegungsrichtungen (drei Translations- und drei Rotationsrichtungen) entsprechend (Abb. 7.2) unterscheidet man auch sechs mögliche Schwingungsrichtungen (bzw. Freiheitsgrade von Schwingungen). Eine Schraubenfeder, deren eines Ende als fest eingespannt gelten und deren anderes Ende frei beweglich sein soll, ist demzufolge in der Lage, in allen Bewegungsrichtungen zu schwingen. Durch eine entsprechende Führung ihres freien Endes bzw. der mit diesem gekoppelten Bauteile (Massen) lassen sich verschiedene Bewegungsrichtungen konstruktiv bedingt sperren. Dadurch sind entsprechende Schwingungsrichtungen behindert, eingeschränkt oder teilweise ausgeschaltet. Eine vollständige Sperrung ist wegen des stets vorhandenen Führungs- bzw. Lagerspiels technisch nicht möglich. Wegen der Freibeweglichkeit der einzelnen Windungen innerhalb des Federkörpers einer Schraubenfeder ist auch das Sperren einzelner Schwingungsrichtungen auf die Feder bezogen nie vollständig möglich. An Schraubenfedern sind deshalb Längs-, Quer- und Drehschwingungen als relevante Schwingungen zu verzeichnen.

7.1 Grundlagen und Modelle

341

7.1.2 Modellbildung, Ersatzsysteme, Voraussetzungen Für die Darstellung des Schwingungssystems und des Ansatzes der wirkenden Kräfte werden häufig Prinzipbilder verwendet. Komplizierte Systeme werden auf Ersatzsysteme zurückgeführt. Die technische Realität der Anordnung und Kopplung mechanischer Bauelemente sowie ihrer Form wird durch eine Modellvorstellung (Modellbildung) ersetzt [7.14][7.29]. Die Ausführungen in diesem Kapitel beschränken sich auf grundlegende Darstellungen des Verhaltens von schwingenden Feder-Masse-Systemen mit Schraubenfedern zylindrischer Form aus rundem Federstahldraht. Sie haben das Ziel, dem Anwender wichtige Grundbeziehungen zum Erfassen und Abschätzen von Auswirkungen des Schwingungsverhaltens von Schraubenfedern auf die Konstruktion bereitzustellen. Dazu ist die Modellbildung für das schwingende Feder-Masse-System (Abb. 7.3) sowie die Modellbildung der Schraubenfeder in diesem System vorzunehmen, um vor allem die Auswirkungen in Form von Spannungen und Verformungen der Feder erfassen zu können.

R=c

Lx = L(x, t)

c) L

s(x, t)

m

. x; x; x¨

Null-Lage (x = x 0 )

FT FR FD

FF

x = x(t)

F FF = cx

b)

FG = mg = cx

a)

x

x0 x

m

Abb. 7.3. Ein-Massen-Schwinger mit geführter Endmasse mit Kräfteansatz (nach [7.14]) a) Ersatzbild; b) Verformungsverlauf entlang der Federachse; c) Federdiagramm

Drei wichtige Modelle der Mechanik werden zur mathematischen Beschreibung von Schwingungsvorgängen genutzt, a) das Kontinuum-Modell (auf einen massebehafteten elastischen Körper wirken auf dessen Volumen bzw. freie Oberfläche stetig verteilte Kräfte), b) das Mehrkörpersystem (diskrete Trägheiten der Massen werden über masselos angenommene Federn gekoppelt, s. Abb. 7.3 und Abschnitt 7.2.2) und c) das Finite-Elemente-Modell (FEM, s. Abschn. 7.6 und Kap. 8).

342

7 Schwingungsverhalten von Schraubenfedern

Einfachstes Modell eines schwingungsfähigen Systems mit einem Freiheitsgrad ist das in Abb. 7.3 abgebildete Feder-Masse-System. Hauptforderung an ein mathematisches Modell ist die Übereinstimmung mit dem zu beschreibenden System. Darin ist sowohl eine richtige qualitative als auch quantitative Beschreibung des nachzubildenden Objekts enthalten. Diese Nachbildung gelingt aus verschiedenen Gründen immer nur unvollständig. Bei der Umsetzung der durch Technische Mechanik und Mathematik gegebenen Grundlagen zur Schwingungsanalyse, auf deren Darlegung hier verzichtet wird, sind eine Reihe Einschränkungen, Vereinfachungen und Näherungen zu beachten, die in der Literatur recht verstreut angegeben werden [7.2][7.7][7.8][7.10][7.14][7.15][7.25][7.29]. Neben Vereinfachungen, die getroffen werden, um die teilweise komplizierten Differentialgleichungssysteme mathematisch lösen zu können, sind es beispielsweise Modell-Näherungen, die die Masse der Körper im Körperschwerpunkt konzentriert annehmen. Als Kopplung bzw. Lagerung der Feder mit der Umgebung (Gestell, Bauteil) wird eine feste Einspannung oder eine gelenkige Lagerung im Sinne der Technischen Mechanik angenommen. Diese Vereinbarungen sind für die Behandlung der Schwingungen eines Feder-Masse-Systems von entscheidender Bedeutung, denn das Schwingungsverhalten wird besonders durch die Koppelstellen stark beeinflusst.

7.2 Längsschwingungen von Schraubenfedern 7.2.1 Allgemeines Betrachtet werden soll ein Feder-Masse-System mit Schraubendruck- bzw. -zugfedern zylindrischer Form aus rundem Federstahldraht. Den prinzipiellen Aufbau eines solchen Systems zeigt die Modelldarstellung in Abb. 7.3. Bei den folgenden Betrachtungen soll zunächst davon ausgegangen werden, dass die Feder im Sinne des mechanischen Modells fest mit dem Gestell verbunden und das freie Ende mit einer Masse m versehen ist. Aus konstruktiver Sicht interessieren die Eigenfrequenzen eines derartigen Systems, die Amplituden der Schwingung der Feder und die infolge der Schwingungen im Federwerkstoff entstehenden Spannungen. Da eine in Längsrichtung (longitudinal, in Richtung der Federkörpermittenachse) angeregte Schraubenfeder sowohl in Längs- als auch in Querund in Drehrichtung gleichzeitig schwingen kann, sollen diese Schwingungsrichtungen im Einzelnen nachfolgend betrachtet werden. Grundlage für die theoretischen Zusammenhänge und die Ermittlung der Eigenfre-

7.2 Längsschwingungen von Schraubenfedern

343

quenz bilden die Verhältnisse, wie sie bei einem Feder-Masse- System vorliegen, das freie ungedämpfte Längsschwingungen ausführt. 7.2.2 Freie ungedämpfte Schwingung Differentialgleichung und Eigenfrequenz bei masseloser Feder. Das in Abb. 7.3 dargestellte Modell eines Feder-Masse-Systems wird für den Fall FR = 0 und FD = 0 betrachtet. Die Feder wird als masselos angesehen. Mit den Kräften FT = m· x ; FF = c·x und FG = m·g = c·x0 folgt aus dem Ansatz für die Gesamtkraft F = m·g – c(x + x0) ,

(7.1)

die auf die Masse m wirkt, die Differentialgleichung zweiter Ordnung x 

c ˜x m

(7.2)

0

für die Schwingung der Masse m um die statische Ruhelage x = x0. Die Lösung ist als Überlagerung einer Sinus- und einer Cosinusfunktion oder als reine Sinusfunktion x = A·sin(Z1 t + M)

(7.3)

mit um den Phasenwinkel M (M = 0; S; 2S; ...) verschobenem Anfangspunkt darstellbar. Hierin ist A die Amplitude der Schwingung, deren Maximalwert Amax = v0 /Z1 ist. Gleichung (7.2) gilt als allgemeine Differentialgleichung einer längsschwingenden, einseitig eingespannten Schraubenfeder mit Endmasse, deren Eigenkreisfrequenz Z0L = Z01 =

c m

(7.4)

und deren Eigenfrequenz dann f0L =

1 c 2S m

(7.5)

für die Grundschwingung ist. Die Grundbeziehung für die Eigenfrequenz nach Gleichung (7.5) gilt allgemein für alle Federn, die Längsschwingungen ausführen, also für Druck- und Zugfedern sowie für Biegefedern

344

7 Schwingungsverhalten von Schraubenfedern

(Blattfedern). Bei Federn, die Drehschwingungen ausführen, wie beispielsweise Drehstabfedern, Drehfedern, tritt an die Stelle der Masse m das Massenträgheitsmoment J und an die Stelle der Federkonstanten c die Drehfederkonstante cM , so dass Gleichung (7.5) in f0M =

1 cM 2S J

(7.6)

übergeht [7.6]. Die Ermittlung der Eigenkreisfrequenz ist auch durch Anwendung des Energiesatzes möglich [7.10]. Näherungsweise Berücksichtigung der Federeigenmasse. Um die Größenordnung des Anteils der Federeigenmasse mF am Schwingungsvorgang zu erfassen, wird nach [7.7] beim Ansatz der kinetischen Energie berücksichtigt, dass einerseits die Verschiebung des Massenpunktes wegen der einseitig festen Einspannung der Feder nicht nur von der Zeit t, sondern auch von der betrachteten Stelle x abhängt und anderseits die Federmasse über der Länge L der Feder gleichmäßig verteilt ist. Nach Abb. 7.3b ist die Verformung der Feder an der Stelle Lx (gilt exakt für kleine Ausschläge) sx =

Lx ˜x L

(7.7)

und ein Element der Feder von der Länge dLx hat die anteilige Masse mFdLx /L sowie die Geschwindigkeit x ˜ L x L . Für die kinetische Energie des Gesamtsystems ergibt sich somit T(t) =

1 1 mF 2 L 2 ˜ m ˜ x 2  ˜ x ³ Lx dLx Lx 0 2 2 L3

1§ 1 · 2 ¨ m  mF ¸ x 2© 3 ¹

(7.8)

und über den Energiesatz die allgemeine Differentialgleichung nach Gl. (7.2) zu x 

c ˜x m  mF / 3

0.

(7.9)

Die Eigenkreisfrequenz ist Z0L = c /(m  m F / 3) , woraus sich die Eigenfrequenz des Feder-Masse-Systems bei Berücksichtigung der Federeigenmasse zu

7.2 Längsschwingungen von Schraubenfedern

c f0L = 1 2S m  m F / 3

345

(7.10)

ergibt. Ein anderer Ansatz nach [7.7][7.16][7.19] berücksichtigt über einen Anteilfaktor DM die Abhängigkeit des Federeigenmassenanteils vom Massenverhältnis NM = m/mF = 1/qM. Die Eigenfrequenz eines frei schwingenden Feder-Masse-Systems ohne Dämpfung ist f0L = 1 Z0 2S

1 c , 2S m  D M m F

(7.11)

wobei für DM die Bedingungsgleichung NM = m mF

m  D M mF mF ˜ cot mF m  D M mF

(7.12)

gilt. Durch Reihenentwicklung und Grenzwertbetrachtung (s. Abschnitt 5.4) lässt sich ermitteln, dass DM für 0 d m d f in den Grenzen 0,333 d DM d 0,4056 liegt. Als Näherungsgleichung zur Bestimmung von DM wird in [7.16] DM =

mF 1  0,07195 3 3m  m F / 3

(7.13)

angegeben. Versuche [7.16][7.19] haben gezeigt, dass durch Vernachlässigung des Eigenmassenanteils der Feder bei der Berechnung der Eigenfrequenz z.T. recht erhebliche Abweichungen zu verzeichnen sind. Bei kleinen Endmassen m treten immerhin Fehler bis zu 20 % auf. 7.2.3 Freie gedämpfte Schwingung Allgemeines. Freie ungedämpfte Schwingungen stellen nur einen Idealfall dar. In der Praxis sind stets Bewegungswiderstände vorhanden, die dem System Energie entziehen. Die Schwingungsausschläge klingen im Laufe des Schwingungsvorganges ab. Es liegen keine periodischen Bewegungen mehr vor. Die vorhandenen Widerstandskräfte (FR bzw. FD nach Abb. 7.3) sind stets der Bewegung entgegengerichtet. Sie bremsen die Bewegung. Ihre Größe kann sowohl geschwindigkeitsabhängig (Dämpfungskraft FD)

346

7 Schwingungsverhalten von Schraubenfedern

als auch geschwindigkeitsunabhängig (Coulombesche Reibungskraft FR) sein. Eine geschwindigkeitsabhängige Dämpfungskraft FD =  k ˜ Q

(7.14)

k ˜ x

stellt sich bei nicht zu schneller Bewegung in Flüssigkeiten und Gasen ein. Mit k > 0 wird ein konstanter Dämpfungskoeffizient (Einheit: Ns/m) bezeichnet, der experimentell ermittelt werden muss. Sehr schwierig ist die Behandlung von gedämpften Schwingungen bei schneller Bewegung, da dieser Fall die Lösung nichtlinearer Differentialgleichungen erfordert. Auf die Analyse reibungsgedämpfter Schwingungen soll hier nicht weiter eingegangen werden. Differentialgleichung und Eigenfrequenz. Die Differentialgleichung einer freien gedämpften Schwingung mit geschwindigkeitsproportionaler Dämpfung in der Form

mx  kx  cx

(7.15)

0

und deren allgemeine Lösung sind aus der Schwingungslehre bekannt. Bei schwacher Dämpfung mit einem Dämpfungsmaß D = k/2 mc < 1 als technisch relevanter Fall ergibt sich die Eigenfrequenz zu f0LD =

Z0 L 1 D2 2S

f 0L 1  D 2 ,

(7.16)

woraus zu ersehen ist, dass die Eigenfrequenz von der Dämpfung beeinflusst wird. Wegen der meist sehr kleinen Werte für D ist der Frequenzunterschied jedoch gering. Bei einer Dämpfung infolge Coulombescher Reibung mit einem festen Betrag FR der Dämpfungskraft ist zu beachten, dass diese Kraft ständig ihre Richtung ändert, da die Reibkraft immer der Bewegung entgegengerichtet ist. Somit lautet die DGL mx  cx  FR sign( x )

0

(7.17)

deren Lösungen für die Halbschwingungen x

und

FR c

A1 cosZ 2 t  M 21

(7.18a)

7.2 Längsschwingungen von Schraubenfedern

x

FR c

A2 cosZ 2 t  M 22

347

(7.18b)

sind. Mit den Anfangsbedingungen t = 0; x = x0 und x 0 ergeben sich die Konstanten der Gleichung (7.18a) zu M21 = 0 und A1 = x0 – FR /c. Die mit diesen Konstanten und Z2t = S errechneten Werte der Gleichung (7.18a) sind dann die Anfangsbedingungen für die nächste Halbschwingung, für die Gleichung (7.18b) gilt. Dies wiederholt sich, bis An d FR /c ist, d.h., die Schwingung hört auf, sobald die Rückstellkraft der Feder kleiner als die Reibkraft ist. Die Amplituden der Schwingung nehmen linear ab. Die Eigenfrequenz f0LR =

1 c 2S m

(7.19)

ergibt sich wie bei einer ungedämpften Schwingung. Bei freien Schwingungen, bei denen das Schwingungssystem nur einmal angeregt und dann sich selbst überlassen wird, werden die Eigenfrequenzen des Systems nur von den Systemparametern Masse, Elastizität und Dämpfung bestimmt. 7.2.4 Erzwungene Schwingungen Allgemeines und Differentialgleichung. Charakteristisch für erzwungene Schwingungen ist die periodische Energiezufuhr von außen, wobei auch eine Frequenzaufprägung von außen erfolgt. Diese Vorgänge zu beschreiben führt auf inhomogene Differentialgleichungen. Wegen der komplizierten Zusammenhänge sollen nur stationäre Schwingungen betrachtet werden. Sie können durch eine Kraft

F(t) = Ferr·sinZerrt

(7.20a)

oder durch einen Weg s(t) = serr·sinZerrt

(7.20b)

angeregt werden, wobei die Wegeinprägung stets auch eine Federkraft Ferr = c·serr hervorruft. Für ein Schwingungssystem mit Kraftanregung ergibt sich mx  kx  cx

Ferr ˜ sin Zerr t

(7.21a)

348

7 Schwingungsverhalten von Schraubenfedern

und für ein wegerregtes mx  kx  cx

.

c ˜ s err ˜ sin Zerr t

(7.21b)

Die inhomogene Differentialgleichung besitzt auf der rechten Seite ein zeitabhängiges Störglied. Ihre Lösung setzt sich aus einer allgemeinen Lösung und einer einzelnen partikulären Lösung zusammen. Als partikuläre Lösung wird das Störglied herangezogen. Da aufgrund der Dämpfung nach einiger Zeit die Eigenschwingungen abgeklungen sind (Einschwingzeit), der homogene Anteil praktisch verschwunden ist und die Schwingung durch die Erregerkraft aufrechterhalten wird, bestimmt der partikuläre Teil x(t )

xˆ ˜ sin Zerr t  M ( xˆ

Ferr bzw. = c·serr )

(7.22)

die Gesamtschwingung ( xˆ : Maximalausschlag der Amplitude; M: Phasenwinkel, Winkel, um den die Masse m dem Winkel Zerr der Erregerkraft zurückbleibt). Amplituden- und Frequenzgang. Auf die Größe der Federbeanspruchung wirkt sich vor allem die Amplitudenüberhöhung in Resonanznähe gegenüber der statischen Auslenkung aus. Mit den Abkürzungen K Zerr Z0 für das Verhältnis von Erreger- zu Eigenfrequenz und dem Dämpfungsmaß D = k/2mZ0 ergibt sich nach [7.2][7.7][7.10][7.14][7.15][7.25][7.29] die Vergrößerungsfunktion (Amplitudengang) V1

xˆ

1

Ferr / c

1  K  4D K 2

2

2

|

1 1  K2

(7.23)

als Verhältnis der Schwingungsamplitude zur Erregeramplitude, wobei die angegebene Näherung für kleine Dämpfungswerte gilt. Die Phasenverschiebung der Schwingung der Masse m gegenüber der Erregung (Phasenfrequenzgang) lässt sich aus tan M

2 DK 1  K2

(7.24)

ermitteln. Aus der Schwingungslehre bzw. der angegebenen Literatur ist bekannt, dass in Resonanznähe (0,6 dKd 1,4) die Dämpfung entscheidend auf das Schwingungsverhalten wirkt, während in den anderen Bereichen des Frequenzverhältnisses der Einfluss der Dämpfung gering ist und deshalb vernachlässigt werden kann.

7.2 Längsschwingungen von Schraubenfedern

349

Für die verschiedenen Anregungsformen des Schwingungssystems (Massenkraft-, Federkrafterregung ...) gibt es unterschiedliche Gleichungsansätze und Beziehungen für Vergrößerungsfunktion und Frequenzgang, die in der angeführten Literatur abgehandelt werden [7.2][7.7][7.8][7.10] [7.14][7.15][7.25][7.29], so dass auf die Darlegung weiterer Einzelheiten verzichtet wird. 7.2.5 Die stoßbelastete Schraubendruckfeder 7.2.5.1 Allgemeiner Ansatz

Ein Stoß ist eine endliche Geschwindigkeitsänderung in einer unendlich kurzen Zeit. Dieser Vorgang ist nur theoretisch denkbar. Infolge des elastischen Formänderungsvermögens, des Ablaufs von Form- und Bewegungsänderungen in endlichen Zeitabschnitten, ist eine solche sprungartige Belastungsänderung in der Praxis nicht möglich. Eine stoßartige Belastung einer Schraubendruckfeder liegt beispielsweise dann vor, wenn eine Masse m aus einer Höhe h auf das freie Ende der Feder fällt (Abb.7.4). a)

b)

c) FSt

F

m FSt

x

s

h

v=0

m

L0

v=0 c=R

t

ts

c=R t1

t2

Abb. 7.4. Modelle einer Schraubenfeder unter Stoßbelastung a) Freier Fall einer Masse m auf das freie Ende einer Schraubendruckfeder; b) Stoßerregung eines Feder-Masse-Systems; c) Kraft-Zeit-Diagramm der Stoßkrafterregung

Auf der Basis des Energiesatzes folgt WM = mg(h + s) = WF =

V ˜ W St2 , 4˜G

woraus sich mit der stationären Schubspannung

(7.25)

350

7 Schwingungsverhalten von Schraubenfedern

W0 =

8 ˜ Dm ˜ FG S˜d3

8 ˜ Dm ˜m˜ g S˜d3

(7.26)

die infolge des Stoßes in der Feder entstehende Schubspannung zu WSt = W 0 r W 02  2 ˜ W 0 ˜ h ˜

G w˜l

(7.27)

ergibt. Daraus ist ersichtlich, dass sich bereits für h = 0 (Auflegen des Massestückes auf das Federende und Loslassen) eine doppelt so große Schubspannung in der Feder gegenüber dem stationären Fall (Gleichung 7.26) einstellt. Wird ein Feder-Masse-System nach Abb. 7.4b durch eine Stoßkraft FSt belastet, so ergibt sich aus der Bewegungsgleichung ohne Dämpfung mx  cx FSt und unter Verwendung des harmonischen Lösungsansatzes

x = xStat(1 – cosZt)

(7.28)

(7.29)

die Federkraft in Abhängigkeit von der Stoßzeit tS = t2 – t1 (s. Abb. 7.4c) zu FF = FSt(1 – cosZtS) .

(7.30)

Solange cosZtS < 1 oder ZtS < S/2 ist, bleibt die dynamische Federkraft FF unter der stationären FG . Für ZtS = S ergibt sich bei fehlender Dämpfung FF = 2FSt = 2FG [7.22][7.29]. 7.2.5.2 Ansätze nach der Wanderwellentheorie (Stoßwellentheorie)

Differentialgleichung und Eigenfrequenz. Mit den Ansätzen nach Abb. 7.5 kann das Schwingungsverhalten einer frei schwingenden Schraubenfeder ohne Dämpfung und Endmasse durch die partielle Differentialgleichung (Ansatz nach d'Alembert) w2x wt 2

Q 2W

w2x wxF2

(7.31)

beschrieben werden [7.2][7.7][7.18][7.19]. Darin bedeuten x die Verschiebung (Verformung) in Achsrichtung der Feder, xF eine entlang der Drahtachse verlaufende Ortskoordinate und t die Zeit. Die Größe vW stellt die

7.2 Längsschwingungen von Schraubenfedern

351

Ausbreitungsgeschwindigkeit der Deformationswellen (Stoßwellen) entlang der Drahtachse xF dar. Die Lösung der Differentialgleichung (7.31) in allgemeiner Form (Bernoulli-Ansatz, s.a. Abschn. 5.4) ist x(xF; t) =

f

§ Z

¦ sin¨¨ Q n 0

©

W

· ˜ x F ¸¸ An cos Zt  Bn sin Zt ¹

(7.32)

mit n = 0, 1, 2,… Aus den Randbedingungen (ein Ende der Feder fest eingespannt vorausgesetzt) ergibt sich dann die Eigenkreisfrequenz zu Z0L = Z02 =

S ˜ j1 Q W ; ˜ 2 l

(j1 = 1, 3, 5,...)

(7.33)

sowie die Eigenfrequenz der Feder unter Berücksichtigung des Drehanteils der Federeigenmasse zu f0L = f02 = 1 Z 0 L 2S

1 Sj1 Q W ˜ ˜ 2S 2 l

mit der Fortpflanzungsgeschwindigkeit 4 (mit c G ˜3d ; l | SDm nf ; A Sd 2 / 4; I t 8 Dm n f vW =

c ˜l U A  4 I t / Dm2





l

j1 4

2w 2 c ˜ 2 m 2w  1 F

(7.34)

Sd 4 / 32 )

2w 2 c ˜ 2 2 w  1 mF

(7.35)

eines Drehstoßes in einem geraden Stab. Die schraubenförmig gewundene Drahtfeder wird also näherungsweise als ein gerader Stab aufgefasst.

Abb. 7.5. Modellansatz zur Stoßwellentheorie für Schraubenfedern

Einspannbedingungen und Endmasse. Bei einseitig eingespannter Feder gelten die Grenzbedingungen x = 0 für xF = 0 (feste Einspannung) und F c ˜ l ˜ wx / wx F 0 für xF = l (freies Federende) und die Anfangsbedin-

352

7 Schwingungsverhalten von Schraubenfedern

gungen t = 0;x = x0 = f(xF; 0); x 0 wf x F ;0 / wt , woraus aus den partikulären Ansätzen cos(Z01l/vW) = 0 folgt und damit Z01l/vW = j1·S/2 mit j1 = 1; 3; 5; ... sein muss. Diese Bedingungen führen zu der in Gleichung (7.34) aufgeführten Beziehung für die Eigenfrequenz einer einseitig fest eingespannten (aufgelegten) Feder ohne Endmasse und Dämpfung, für die unter Vernachlässigung des Drehanteils der Drahtmasse näherungsweise auch f0L = f0L1 =

j1 4

c mF

für j1 = 1; 3; 5; ...

(7.36a)

geschrieben werden kann. Für zylindrische Schraubenfedern aus rundem Federstahl- draht mit G = 81500 N/mm² und U = 7.85·10–6 kg/mm³ ergibt sich dann f0L1 = 181,4·103mm/s·

j1 ˜ d . nf ˜ Dm2

(7.36b)

Bei einer an beiden Enden eingespannten (aufgelegten) Feder ohne Dämpfung folgt aus den Bedingungen x = 0 für vW = 0 und xF = l und dem partikulären Ansatz sin(Z02l/vW) = 0, der durch Z02l/vW = 0; 2S; 3S; ... erfüllt wird, die Beziehung für die Eigenfrequenz in der Form f0L2 = 1 Z02 2S

j2 2

c mF

j2 d ˜ 2 Snf Dm2

G , 2U

(7.37)

wobei f0L2 = 2f0L1 gilt (mit j2 = 0; 1; 2; 3; ...). Bei einer einseitig eingespannten Feder mit einer Endmasse m liegen für m = 0 die Bedingungen einer einseitig eingespannten Feder (Gleichung (7.36)) und für m = f die einer beidseitig eingespannten Feder (Gleichung (7.37)) vor. Die Feder hat durch ihre Kraftwirkung die Endmasse (0 < m < f) zu beschleunigen und zu verzögern, woraus die transzendente Gleichung N M ˜ j3 ˜

S 2

cot j3

S oder 2

N M ˜ O Ej

cot O Ej ,

(7.38)

mit dem Eigenwert OEj = j3·S/2 resultiert, aus der durch Reihenentwicklung die in Tabelle 7.1 aufgeführte Zuordnung zwischen NM = m/mF und j3 für die Grundwelle hervorgeht.

7.2 Längsschwingungen von Schraubenfedern

353

Tabelle 7.1. Werte für j3 (Grundwelle) und DM (Federeigenmasse-Anteilfaktor) in Abhängigkeit von NM NM = m/mF j3 (Grundwelle) 0 0,01 0,1 0,2 0,5 1

1 0,9901 0,9097 0,8365 0,6857 0,5478

DM 0,406 0,401 0,395 0,383 0,362 0,348

NM = m/mF j3 (Grundwelle) 2 5 10 20 100 f

0,41597 0,2756 0,1980 0,1412 0,0636 0

DM 0,339 0,334 0,334 0,333 0,333 0,333

Die Eigenfrequenz einer Feder mit Endmasse ist dann für die Grundschwingung j3 4

f0L3 = 1 Z03 2S

c mF

j3 d ˜ 4 S ˜ nf ˜ Dm2

G 2U

(7.39)

worin j3 in Abhängigkeit von NM nach Tabelle 7.1 einzusetzen ist. Die Werte nach Tabelle 7.1 lassen auch erkennen, dass bei beidseitig festgehaltenen Federenden (m = f) die Feder nicht mehr in der Grundwelle schwingen kann (j3 = 0) und die für diesen Zustand berechnete Eigenfrequenz der 1. Oberwelle entspricht. Spannungen in der Schraubenfeder. Aus den bisher dargelegten Ansätzen folgt als Verhältnis qF zwischen dynamischer und statischer Kraft einer frei schwingenden Feder ohne Dämpfung und Endmasse

qF =

Fdyn Fstat

j1

S 2

(j1 = 1; 3; 5; ...) .

(7.40)

Für eine in der Grundschwingung (j1 = 1) schwingenden Feder mit nur einem Schwingungsknoten (Einspannstelle) ergibt sich nach Gleichung (7.40) bereits eine um 57 % (S/2) größere dynamische Federbeanspruchung als durch eine statische Auslenkung des freien Federendes infolge der Schwingungsamplitude xˆ . Von Gross [7.8] werden zur Abschätzung der durch Schwingungen in Schraubenfedern entstehenden Spannungen folgende Überlegungen angestellt: Der Ausschlag des freien Endes (xF = l nach Abb. 7.5) um die Ruhelage x0 ist Al = ±s. Diese Amplitude nimmt zum eingespannten (ruhenden) Ende der Feder hin (xF = 0) nach einer Sinuslinie der Funktion AxF = ±s·sin(SxF/2l)

(7.41)

354

7 Schwingungsverhalten von Schraubenfedern

ab. Die Ableitung dieser Gleichung als Tangente an der Stelle xF dieser Sinuslinie tan D x F

dAx F xF

S s §S x · ˜ cos¨ ˜ F ¸ 2 l ©2 l ¹

(7.42)

stellt ein Maß für die Spannung in der Feder an dieser Stelle dar. Zum Kräfte- bzw. Spannungsverhältnis qF zwischen stationärer und dynamischer Beanspruchung gelangt man durch die Überlegung, dass die Spannung im stationären Zustand bei der Auslenkung des freien Federendes um Al = s an allen Stellen xF des Drahtes gleich groß, somit die Gleichung für AxF eine Gerade mit dem Neigungswinkel tanDstat = AxF /xF = s/l ist und damit qF =

tan D x F tan D stat

S § S xF · cos¨ ˜ ¸ 2 ©2 l ¹

(7.43)

wird. Für xF = 0 (Einspannstelle) wird qF =S/2. Das ist ein Ergebnis, das bereits auch nach Gleichung (7.40) entstanden ist. Bei Schwingungen höherer Ordnung sind dann die jeweiligen Stellen xF, an denen Schwingungsknoten auftreten, einzusetzen. Schwingungsknoten sind stets Stellen maximaler Spannung. Bei erzwungenen (fremderregten) Schwingungen ist das Kraft- bzw. Spannungsverhältnis vom Frequenzverhältnis K ZerrZ abhängig. Für eine rein sinusförmig erregte Fe- der ohne Endmasse und Dämpfung ergibt sich das Kraftverhältnis aus x qF = S ˜ K ˜ cos§¨ SK F ·¸ . l ¹ sin SK ©

(7.44)

In Tabelle 7.2 sind einige Werte der Spannungserhöhung in Abhängigkeit vom Frequenzverhältnis aufgeführt. Interpretation der Stoßwellen-(Wanderwellen)Theorie durch Maier [7.18]. Die Verschiebungsfunktion nach Gl. (7.32), die sich auch in der Form x x(xF,t) = A0 sin§¨ Z F ·¸ ˜ cos Zt © t ¹

(7.45)

schreiben lässt (Ansatz nach d'Alembert), stellt eine periodische sinusförmige Federschwingung mit der Eigenkreisfrequenz Z Z0·j (j = 1, 2, 3 ...)

7.2 Längsschwingungen von Schraubenfedern

355

Tabelle 7.2. Spannungserhöhung sinusförmig erregter Schraubenfedern ohne Endmasse und Dämpfung nach [7.19] Frequenzverhältnis K ZerrZ 0 0,25 0,5 0,8 1,0 1,25 1,5 1,8 2,0 2,25

Kraft-(Spannungs-)verhältnis qF = Fdyn /Fstat 1 1,11 1,57 4,25 f 5,55 4,72 9,62 f 10

Stelle xF/l der Drahtachse, an der ein Spannungsmaximum auftritt von 0 bis 1 konstant (stationär) 0 (Einspannstelle) 0 0 0 und 1 0 und 0,8 0 und 0,67 0 und 0,555 0; 0,5 und 1 0; 0,444 und 0,89

und der Amplitude A0 dar. Verschiebung x, Stoßgeschwindigkeit v und Federkraft F sind sinusförmig über die Drahtlänge 0 dxF d l der Feder verteilt. Es ist eine harmonische Schwingung mit der Grundschwingung für j = 1 und den harmonischen Schwingungen höherer Ordnung für j = 2, 3, 4 usw.. Die harmonische Analyse von Schwingungen wird insbesondere bei der Analyse von Ventilfederschwingungen angewendet [7.12][7.13], um bei der Gestaltung der Nockenerhebungskurven hohe Spannungen verursachende Harmonische höherer Ordnung zu vermeiden. Von Maier wird in [7.18] gezeigt, dass Gleichung (7.45) durch entsprechende Umformung auch in der Form x(xF,t) =

§ x · A § · A0 x sin¨¨ Z F  Zt ¸¸  0 sin¨¨  Z F  Zt ¸¸ vW 2 © vW ¹ 2 © ¹

(7.46)

geschrieben werden kann und in dieser Form eine (+) und eine (–) Wanderwelle mit der Fortpflanzungsgeschwindigkeit vW und der Amplitude A0 /2 darstellt. Eine stehende harmonische Welle lässt sich folglich auch als Summe zweier gegenlaufender Wanderwellen mit sinusförmiger Verteilung und unendlicher Länge auffassen. Durch zahlreiche optische Messungen der Längsbewegung stoßbelasteter Schraubenfedern werden die Zusammenhänge in [7.18] belegt und Auswirkungen von Überlagerungen und Reflexionen dieser Wanderwellen auf Schraubenfederbeanspruchung und -bewegungsverhalten aufgezeigt. Die Beanspruchung der Feder ist von der Stoßgeschwindigkeit v abhängig. In [7.18] werden nach Ansätzen von Maier für eine (–)Wanderwelle, die vom freien Drahtende der Feder xF = l in Richtung der (–)xF-Achse zum angelegten (ruhenden) Federende verläuft, die folgenden Beziehungen für die Federkraft in einer Federwindung

356

7 Schwingungsverhalten von Schraubenfedern

Dm3 F = 141,65N·s·m ·mm d ˜ v( x, t ) -1

-2

(v in m/s)

(7.47a)

und für die durch einen Stoß im Federdraht einer Windung induzierte Schubspannung W

v 2GU

3,613N·s·m-1·mm-2·v(x,t) (v in m/s)

(7.47b)

angegeben und durch Versuche bestätigt.

7.3 Querschwingungen von Schraubenfedern 7.3.1 Ansätze und Modellvereinbarungen Modell des äquivalenten geraden Stabes (Stabmodell) [7.7]. Zur Untersuchung dynamischer Vorgänge in Schraubenfedern wird in der Technik fast ausschließlich das Modell des äquivalenten Stabes genutzt. Die zylindrische Schraubenfeder wird dabei durch einen geraden Vergleichsstab mit äquivalenten Elastizitäts- und Trägheitseigenschaften ersetzt, wodurch sich die mathematische Behandlung von Schwingungen vereinfacht. Für den Ingenieur ergeben sich überschaubare Berechnungsgrundlagen, mit deren Hilfe sich vor allem Längs- und Drehschwingungen von Schraubenfedern (besonders solchen mit einer großen Windungszahl) sowie deren Eigenfrequenzen hinreichend genau erfassen und analysieren lassen. Wie bei den Ansätzen zur Berechnung der Knickbeanspruchung wird von Gross [7.7] auch bei Querbelastung (s. Abb. 4.35) die Schraubenfeder als gerader Stab mit der Schubsteifigkeit S

G˜d4 ˜L G 8 Dm3 n f E

G L0  s 2,528 ˜ R ˜ ( L0  s) E

(7.48)

und der Biegesteifigkeit B

G˜d4 ˜L G· § 16¨1  2 ¸ Dm ˜ n f E¹ ©

R ˜ D m2 ( L0  s ) G· § 2¨1  2 ¸ E¹ ©

0,279 ˜ R Dm2 ( L0  s ) (7.49)

aufgefasst. Die angegebenen Beziehungen gelten für aus Runddraht mit konstanter Steigung gewundene zylindrische Schraubenfedern und die

7.3 Querschwingungen von Schraubenfedern

357

Zahlenwerte für patentierten Federstahldraht nach DIN EN 10270-1 mit E = 206 kN/mm² und G = 81,5 kN/mm². Für die Federlänge L bei Belastung der Feder wurde L = L0 – s geschrieben und für die Federrate R die Beziehung nach Tafel 4.18 verwendet. Es sind die in Abb. 7.6 dargestellten Fälle für Belastung und Einspannbedingungen relevant. Modell des räumlich gekrümmten Stabes [7.4][7.27]. Grundlage dieses Modells bildet das räumlich gekrümmte Bogenelement einer Schraubenfeder (s.a. Abb. 7.5). Es wird von Biderman [7.4] verwendet, um besonders das Querschwingungsverhalten von Schraubenfedern beschreiben und analysieren zu können. Gegenüber dem geraden Stabmodell werden hier Krümmung und Steigung der Windung der Feder berücksichtigt. Dieser Ansatz und die entsprechenden Grenzbetrachtungen führen zu Differentialgleichungen, die denen des sogenannten TIMOSHENKO-Balkens (s.a. Abschn. 5.4) entsprechen. Jedoch enthalten die Ansätze von Biderman [7.4] auch noch Koeffizienten-Ausdrücke, mit denen axiale stationäre Vorspannkräfte F berücksichtigt werden können. Wegen ihres komplizierten Aufbaus werden diese Beziehungen noch recht wenig genutzt. Ihr Aufbau vereinfacht sich sofort wesentlich, wenn der Steigungswinkel DW vernachlässigt wird. In diesem Falle kann jedoch auch nach dem Modell des äquivalenten geraden Stabes gerechnet werden [7.27]. c) F

l

2FQ

l

F

l

2FQ

l

d)

l

2FQ

l

F

F

sQ

F

l

2FQ

sQ

b) F

sQ

F

sQ

a) F

l

Abb. 7.6. Einspannbedingungen querbelasteter Schraubenfedern (Stabmodell nach [7.7]) a) und c) gelenkige Lagerung; b) und d) feste Einspannung; a) und b) druck-, c) und d) zugbelastet

7.3.2 Querfederrate und Eigenfrequenz

Bei Einwirken einer Drucklast (Abb. 7.6a und b, beispielsweise Schraubendruckfeder) F und einer Querkraft FQ errechnet sich die Querfederung sQ nach [7.7] mit der Abkürzung

358

7 Schwingungsverhalten von Schraubenfedern

qd

F§ F· ¨1  ¸ B© S¹

s 21  2G / E D m ( L0  s )

L0  s G  s E

(7.50)

L 1,47 ˜ s 1,66 0  1 D m ( L0  s ) s

aus sQ

FQ ª 2 « F ¬« q d

º § q s˜G · ¨¨1  ¸¸ tan d ( L0  s )  ( L0  s )» , E ( L0  s ) ¹ 2 © ¼»

(7.51)

woraus sich die Querfederrate ergibt zu RQ

FQ

F

sQ

q 2 § s ˜G · ¨¨1  ¸¸ tan d ( L0  s)  ( L0  s ) qd © E ( L0  s ) ¹ 2

.

(7.52)

Unter Zugbelastung (Abb. 7.6c und d; beispielsweise Zugfeder oder Druckfeder mit eingeschraubten bzw. befestigten Federenden) geht die Gleichung (7.51) über in sQ =

FQ ª 2 « F ¬« q z

º § q s ˜G · ¨¨1  ¸¸ tanh z ( L0  s )  ( L0  s )» 2 »¼ © E ( L0  s ) ¹

(7.53a)

mit der Abkürzung qz in der Form qz

F§ F· ¨1  ¸ B© S¹

s 21  2G / E D m ( L0  s )

L0  s G  s E

(7.53b)

L 1,47 ˜ s 1,66 0  2,31 D m ( L0  s ) s

Wie durch Haringx [7.11] dargelegt, besteht ein Zusammenhang zwischen Längs- und Quereigenfrequenzen von Schraubendruckfedern in Abhängigkeit von Vorspannung (ausgedrückt durch K = s/L0 ) und Schlankheitsgrad O = L0 /Dm der Federn (s. Abb. 4.36). Neuere Untersuchungen von Lutz [7.17] bestätigen im Wesentlichen diese Ergebnisse und versuchen Ursachen für die zum Teil recht erheblichen Abweichungen zwischen Eigenfrequenz-Messungen und -Rechnungen nach Haringx darzulegen. Als Ursache für die Abweichungen werden

7.4 Drehschwingungen von Schraubenfedern

359

1. die Lastabhängigkeit der Längseigenfrequenz (die in DIN 2089/T1 angegebene Beziehung berücksichtigte nur den lastfreien, beidseitig fest eingespannten Zustand der Druckfeder, s.a. DIN EN 13906-1), 2. der Einfluss der Lagerung (Befestigung) der Federenden, 3. die Veränderung (Verringerung) der Anzahl wirksamer Windungen im Zuge der Federbelastung, 4. die Massenverteilung der Schraubenfederwindungen, insbesondere bei nicht zylindrischen Formen und 5. die allgemeinen Abweichungen zwischen Modell und Realität angesehen. Die Untersuchungen sind noch nicht abgeschlossen. Zur Berücksichtigung der lastabhängigen Verringerung der Anzahl wirksamer Windungen wurden in [7.20] theoretische Betrachtungen angestellt. Die durch das belastungsabhängige Anlegen von Windungsanteilen an den Federenden reduzierte Anzahl wirksamer Windungen ergibt sich näherungsweise mit dem Lastanteilfaktor NL = s/sn (bzw. NL = s/sn) aus nf red = nf(1 – 2NLnü/nf) = nf·Kn ,

(7.54)

wobei infolge der Fertigungsunterschiede des Windungsabstandsverlaufs in der ersten und letzten wirksamen Windung (Steigungsübergang) die Übergangswindungszahl nü im Bereich 0,4 ” nü ” 0,8 angenommen werden kann (nü = qW in Kapitel 4).

7.4 Drehschwingungen von Schraubenfedern 7.4.1 Ansätze, Modellvereinbarungen und Drehfederrate

Die vereinfacht in Abb. 7.7 dargestellte zylindrische Schraubenfeder aus Runddraht soll bei A mit dem Gestell und bei B fest mit einer Endmasse m verbunden sein. Sie vollführt Drehschwingungen um ihre Längsachse AB mit der Winkelamplitude ±Ma . Das auf die Federachse bezogene Massenträgheitsmoment JF der nf wirksamen (federnden) Windungen mit dem Windungsdurchmesser Dm und dem Drahtquerschnitt A = Sd2/4 ist dann JF

§ D2 · § D2 · S 3 SUnf Dm ¨¨ m A  3 d 4 ¸¸ S ˜ U ˜ l ˜ A¨¨ m  d 2 ¸¸ . (7.55) 64 ¹ 16 ¹ © 4 © 4

Die Differentialgleichung der Drehschwingung (Feder ohne Endmasse) einer zylindrischen Schraubenfeder lautet mit der Abkürzung

360

7 Schwingungsverhalten von Schraubenfedern 2 vW

E˜I U AD / 4  3 ˜ I



2 m

E , U 4 D m2  3



(7.56)



wobei I = S·d4/64 gesetzt wurde und vW die Fortpflanzungsgeschwindigkeit der Biegeverformung entlang der Drahtachse xF bedeutet, w 2M wt 2 xF

A B

2 vW

w 2M . wx F2

(7.57)

m F (JF )

Abb. 7.7. Modell einer Schraubenfeder mit Endmasse m, die Drehschwingungen mit der Amplitude Ma ausführt xF Koordinate entlang der Drahtachse (nach [7.9])

m (J m ) rMa

Es sei an dieser Stelle vermerkt, dass jede Schraubenfeder während ihrer Längsbewegung infolge der Biegeverformung der Windungen stets auch Drehbewegungen vollführt. Sie werden in der Regel durch ein drehbehinderndes (drehgeführtes) Federende in ihren Auswirkungen stark gedämpft, sind aber im Bereich des Wickelkörpers weiterhin vorhanden. Nach Tabelle 4.11 ergibt sich RM = cM = M Mq

S˜M 180q ˜ M

E˜d4 S ˜ 64 ˜ 180q D m ˜ n f

(7.58)

als Drehfederrate einer zylindrischen Schraubenfeder aus rundem Draht. 7.4.2 Dreheigenfrequenz Feder ohne Endmasse. Die Schraubenfeder kann jede durch den Faktor jM (Ordnungszahl der Schwingung) bestimmte Dreh-Schwingbewegung mit den Eigenfrequenzen f 0M

jM ˜ vW 4˜l

4˜l jM

4˜l

ausführen.

jM

E˜I U ˜ A D / 4  3 ˜ d 2 / 16



E 1 2 U 4w  3

2 m



(7.59)

7.4 Drehschwingungen von Schraubenfedern

361

Feder mit Endmasse. Analog zu den Verhältnissen bei Längsschwingungen ergibt sich der Zusammenhang zwischen der Ordnungszahl jM und dem Verhältnis der Massenträgheitsmomente Jm /JF über eine transzendente Gleichung der Form

NMM =

cot(Sj M / 2)

Jm JF

Sj M / 2

,

(7.60)

deren Werte im Bereich 0 d jM d 1 in Tabelle 7.3 aufgeführt sind. Tabelle 7.3. Werte für jM in Abhängigkeit vom Verhältnis der Massenträgheitsmomente Jm (Endmasse) und JF (Federeigenmasse) NMM = Jm /JF jM NMM = Jm /JF jM

0 1 1,25 0,505

0,1 0,91 1,43 0,48

0,2 0,785 1,67 0,45

0,33 0,785 2,5 0,375

0,4 0,726 3,33 0,33

0,5 0,685 5 0,275

0,67 0,63 10 0,198

1 0,548 f 0

Der Spannungsvergrößerungsfaktor qFM bei Schwingungen einer um Ma stationär ausgelenkten Feder mit Endmasse ergibt sich nach Tabelle 7.4. Tabelle 7.4. Spannungsvergrößerungsfaktor qFM = Fdyn/Fstat in Abhängigkeit von jM j M qFM

0 1

0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1 1,004 1,017 1,038 1,069 1,111 1,165 1,231 1,321 1,431 1,571

Eigenfrequenzverhältnis. Mit den Gleichungen (7.39) und (7.59) ergibt sich zwischen Dreh- und Längseigenfrequenzen ein Frequenzverhältnis für jM = j3 = 1 q f2

w

f 0M f 0L 2E G

1 4˜l

E / U 1 /(4 w 2  3)

1 G / 2U 4˜l ˜w 1 2E § w 2 · ¨ ¸ G ¨© 4 w 2  3 ¸¹ 4w 2  3

,

(7.61)

das nur vom Wickelverhältnis w = Dm /d und dem Verhältnis von E- und G-Modul abhängt. Im Bereich 3 d w d 20 und für patentierten Federstahldraht nach DIN EN 10270-1 mit E = 206 kN/mm² und G = 81,5 kN/mm² ergeben sich für das Frequenzverhältnis qf2 die in Tabelle 7.5 aufgeführten und von Lutz durch Versuche bestätigten Werte [7.17].

362

7 Schwingungsverhalten von Schraubenfedern

Tabelle 7.5. Werte für das Verhältnis von Dreh- zu Längseigenfrequenzen qf2 in Abhängigkeit vom Wickelverhältnis w w = Dm /d qf2 = f0M /f0L

3 1,08

4 1,1

6 1,11

8 1,12

10 1,12

16 1,122

20 1,123

f 1,124

7.5 Einflüsse von Gestalt und konstruktiver Anordnung 7.5.1 Einflüsse der Federgestalt

Die Gestalt von Schraubenfedern ist vielfältig. Einige Beispiele zeigen die Abb. 4.38 und 4.39. Zur Berücksichtigung der Federeigenmasse (s. Abschn. 7.2.2) wurde eine lineare Masseverteilung über der Länge L der Feder angenommen. Sie kann nur bei zylindrischen Formen mit konstantem Drahtdurchmesser d und konstanter Windungssteigung SW erreicht werden. Sind die genannten Größen variabel, dann liegt bei solchen Federn eine andere Eigenmasse-Verteilung vor, die sich insbesondere bei Querschwingungen auf das Schwingungsverhalten auswirkt. Untersuchungen über Größe und Art derartiger Einflüsse liegen gegenwärtig noch nicht vor. 7.5.2 Einflüsse der konstruktiven Anordnung

Bei Schraubendruckfedern werden die Federenden zur Ein- und Ableitung der Federkräfte speziell gestaltet. Abb. 4.28 zeigt einige Formen für Druckfedern und Abb. 4.38 verschiedene Formen für Zugfedern. Alle diese Formen sind vom Aufbau her so beschaffen, dass sie in der Lage sind, das bei der elastischen Verformung der wirksamen Windungen im Drahtquerschnitt entstehende Torsionsmoment aufzunehmen. An den Federenden erfolgt also ein Übergang zwischen wirksamen und unwirksamen Federwindungen, der einer dreiwertigen Stützungsart der Technischen Mechanik (feste Einspannung) entspricht. Eine dreiwertige Stützung (Auflager) ist in der Lage, Stützkräfte in den beiden Koordinatenrichtungen der Ebene (im Raum auch in der 3. Koordinatenrichtung) und das sogenannte Einspannmoment aufzunehmen. Die Gestaltung der mit Schraubenfedern zu koppelnden Bauteilen hat an der Koppelstelle so zu erfolgen, dass die in die Feder ein- bzw. abzuleitenden Kräfte und Momente sicher und ohne relative Verlagerung der Bauelemente an der Koppelstelle aufgenommen werden können. Die Modellvorstellungen bzw. -vereinbarungen gehen davon aus (s. Abb. 7.6), dass zwei klassische Stützarten vorkommen, die feste Einspannung der Federenden am Bauteil und die gelenkige Lagerung zwischen Feder und Bauteil.

7.5 Einflüsse von Gestalt und konstruktiver Anordnung

363

Eine feste Einspannung ist in der Lage, auch Biegemomente zwischen Feder und Bauteil zu übertragen/aufzunehmen, während die gelenkige Kopplung dieses nicht ermöglicht. In der Praxis werden die genannten idealen Abstützungen von Federn häufig nicht erreicht. Es stellen sich Abstützungen ein, die in ihren Wirkungen zwischen diesen genannten Abstützformen liegen. Einfache Federauflagen der angelegten und angeschliffenen Endwindungen von Druckfedern als auch Aufhängungen der Ösen von Zugfedern repräsentieren die genannten idealen Abstützungen hinsichtlich einer sicheren, relativbewegungsfreien Kraft- und Momentenaufnahme nur unvollständig. Daneben sind Reibkräfte zu beachten, die bei möglichen Relativbewegungen zur Wirkung kommen. Je nach konstruktiver Ausführung der Koppelstellen zwischen Feder und Bauteil gibt es kleinere oder größere Abweichungen zu den Modellvereinbarungen, die sich auf das Schwingungsverhalten auswirken. Auch Toleranzen von Feder und Bauteil wirken sich aus. Deshalb soll an dieser Stelle noch einmal besonders darauf hingewiesen werden, dass insbesondere bei den häufig genutzten Federauflagen nach Abb. 4.28A die im Modell des äquivalenten Stabes vorgesehene Befestigung mit dem Bauteil (Gestell) nicht vollwertig als feste Einspannung sondern vielmehr als einseitige Abstützung mit Reibungseinwirkung der letzten Windung auf ihrem Sitz (Koppelstelle) anzusehen ist. Für den Fall, dass auch die Krafteinleitungsstelle (freies Federende) längsgeführt und deshalb als feste Einspannung angenommen wird, trifft die gleiche Einschränkung auch auf diese Koppelstelle zu. Werden die aufliegenden Federenden nicht formschlüssig an den Koppelstellen gefasst, ist die Größe der in die Feder einleitbaren Querkraft FQ durch die Reibkräfte begrenzt. Ferner wird die Größe von FQ auch durch das Abheben der Federenden infolge der fehlenden festen Einspannung begrenzt. Nach DIN EN 13906-1 gilt dann die Bedingung FQ ˜

D ˜s L dF˜ m Q , 2 2

(7.62)

d. h., die Größe der einleitbaren Querkraft wird durch die aktuelle Federlänge L, die in Längsrichtung wirkende Federkraft F, den Windungsdurchmesser Dm und den sich einstellenden Querfederweg sQ bestimmt. In dieser Beziehung ist nur Dm ein feststehender Wert (Konstruktionsparameter), während alle anderen Werte lastabhängig sind. Wesentlichen Einfluss auf die Funktion der Feder hat neben diesen unvollkommenen Stützungen auch der stets sich allmählich vollziehende Verformungsübergang an den Federenden. Die Verformung wird an Ein-

364

7 Schwingungsverhalten von Schraubenfedern

spannstellen nie schlagartig auf den Wert Null abgebaut. Ihr Abbau erfolgt innerhalb eines bestimmten Bereichs, der in seiner Größe von vielen Einflüssen abhängt [7.21][7.23][7.24] und kaum vorausbestimmbar ist. Die konstruktiven Verhältnisse an den Kraftein- und -ableitungsstellen beeinflussen in vielfältiger Weise die Funktion der Schraubenfedern. Untersuchungsergebnisse zur Größe dieses Einflusses sind nicht bekannt. Neben dem Knickverhalten von Schraubendruckfedern (s. Abschn. 4.3.2.5) sind vor allem Auswirkungen auf das Schwingungsverhalten [7.17] und auf das Querfederungsverhalten [7.7] zu nennen, wozu erste Ergebnisse in [7.17] publiziert wurden.

7.6 Schwingungsanalyse mit Hilfe der FEM Die Anwendung der Finite-Elemente-Methode (FEM) ermöglicht sowohl die Untersuchung des Verformungsverhaltens und die Ausbildung von Spannungen als auch das dynamische Verhalten kompliziert strukturierter Bauteile [7.1]. Die Strukturen werden in eine endliche Zahl von Elementen zerlegt, die über definierte Koppelvereinbarungen verknüpft werden [7.5]. Für die Untersuchungen an Schraubenfedern wurde die Software LUSAS [7.31] und ANSYS [7.30] genutzt [7.17]. Die erforderliche Modellierung der Schraubenfedern kann sowohl auf der Basis eines Kontinuum-Modells mit Volumenelementen (Abb. 7.8a) als auch eines Struktur-Modells mit Balkenelementen (Abb. 7.8b) erfolgen. Tests ergaben für beide Modellierungsvarianten gleichwertige Ergebnisse. Strukturmodelle sind in Bezug auf Modellierungsaufwand und Rechenzeitbedarf günstiger. a)

b)

Abb. 7.8. FEM-Modelle (nach [7.17]) a) Kontinuum-Modell; b) StrukturModell

Im Modell für Druckfedern müssen die sich beim Spannen der Feder anlegenden Windungen im Bereich der Federenden mit Kontaktelementen versehen werden, um ein gegenseitiges Durchdringen der Windungen zu

7.7 Experimentelle Schwingungsanalyse

365

verhindern (s. Abb. 7.8b). Bei Zugfedern wird die innere Vorspannung dadurch berücksichtigt, in dem der Federkörper entsprechend der Federrate kürzer modelliert und anschließend auf die Länge im unbelasteten Zustand auseinandergezogen wird. Für die komplette Erstellung des Strukturmodells von Schraubendruckund -zugfedern sind Programm-Module entwickelt worden [7.17], mit denen es möglich ist, durch Eingabe geometrischer Größen und Werkstoffdaten die benötigten Datenfiles für die FEM-Berechnung automatisch zu generieren. Die FEM-Berechnungen haben neben Auslegungs- und Nachrechnungen vor allem das Ziel, Eigenschwingungsformen darzustellen und Eigenfrequenzen in Längs-, Quer- und Drehrichtung zu ermitteln.

7.7 Experimentelle Schwingungsanalyse 7.7.1 Bedeutung der Experimente

Neben der numerischen Schwingungsanalyse kommt der experimentellen Analyse insbesondere in solchen Fällen Bedeutung zu, in denen rechnerisch schwer erfassbare Störgrößen auf den Schwingungsvorgang einwirken, die aber zu berücksichtigen und deshalb zu erfassen sind. Ursachen für Beeinflussungen des Schwingungsverhaltens eines Feder-MasseSystems liegen in Abweichungen von Modellvereinbarungen, Vereinfachungen und Näherungen zur mathematischen Behandlung der die Schwingungsvorgänge beschreibenden Differentialgleichungen sowie in allen physikalischen Größen, die sich auf die Dämpfung des Systems auswirken. Innerhalb der Modellvereinbarungen kommt der erwähnten konstruktiven Gestaltung der Koppelstellen zwischen den einzelnen am Schwingungsvorgang beteiligten Bauteilen besondere Bedeutung zu. Experimentelle Untersuchungen sind folglich unabdingbar zur Ergänzung und Bestätigung numerischer Schwingungsanalysen. 7.7.2 Ausgewählte Verfahren

Grundlage aller Verfahren zur Schwingungsanalyse von Feder-MasseSystemen ist ein entsprechender Versuchsaufbau (beispielsweise nach den in den Abb. 7.1 und 7.3 dargestellten Anordnungen), die Anregung des Systems durch einen Kraftimpuls sowie die Erfassung und Auswertung der Schwingbewegung, Einfache Analyseverfahren nutzen den Aufbau nach Abb. 7.1, erregen das System durch Entlastungsstoß und ermitteln den Schwingungsverlauf

366

7 Schwingungsverhalten von Schraubenfedern

mittels geeigneter Sensoren, die auf der Feder bzw. der schwingenden Endmasse befestigt werden. Die Auswahl der Sensoren und deren Befestigungsmöglichkeiten ist so vorzunehmen, dass die Beeinflussung des Schwingungsvorganges vermieden bzw. gering gehalten wird. Die Anregung von Schwingungen mittels Schwingtisch oder Kurbeltrieb eignet sich für eine visuelle Auswertung der Resonanzerscheinungen an Federn, vor allem der Quer- und Längsschwingungen. Eine universelle und vor allem rechnerunterstützte Auswertung des Schwingungsverhaltens von Schraubenfedern ist mit der in Abb. 7.9 dargestellten Versuchsanordnung möglich. Mit Hilfe einer Universalprüfmaschine (UPM), in der die Schraubenfeder in speziell angepassten Aufnahmen für Druck- und Zugfedern befestigt wird, erfolgt das Spannen der Feder 2 in diskreten Laststufen.

5

4

1

1 2 3 4 5 6 7

Universalprüfmaschine Prüffeder Dreikoordinaten-Kraftaufnehmer Drehmomentaufnehmer Impulshammer 4-Kanal-Ladungsverstärker PC mit Meßwertverarbeitung 7

2

6

3

Abb. 7.9. Versuchsaufbau zur computerunterstützten Erfassung des Schwingungsverhaltens von Schraubenfedern (nach [7.17]) 1 Universalprüfmaschine; 2 Probe (Schraubenfeder); 3 Peizo-DreikoordinatenKraftsensor; 4 Drehmomentaufnehmer; 5 Impulsgeber; 6 4-Kanal-Ladungsverstärker; 7 PC mit Messwerterfassungssoftware und –hardware

Ein in Reihe mit der Feder geschalteter piezoelektrischer Kraftaufnehmer 3 ermöglicht, Kräfte in den drei Achsrichtungen (s. Abb. 7.2) zu detektieren. Die Feder wird mittels Impulshammer (4) allseitig zu Schwingungen angeregt. Der Ausschwingvorgang wird computerunterstützt erfasst, mittels geeigneter Soft- und Hardware aufbereitet und ausgewertet. Über eine Fourieranalyse werden Eigenfrequenzen in den verschiedenen Koordinatenrichtungen ermittelt. Dieser Versuchsaufbau ermöglicht ein objektives, schnelles und genaues Erfassen der Eigenfrequenzen von Schraubenfedern in Längs-, Quer- und Drehrichtungen [7.17]. Somit lassen sich in einem Versuch gleichzeitig Längs-, Quer- und Dreheigenfrequenzen bestimmen.

7.8 Berechnungsbeispiele und Untersuchungsergebnisse

367

7.8 Berechnungsbeispiele und Untersuchungsergebnisse 7.8.1 Zusammenstellung der Berechnungsbeziehungen

Die Darstellung der Schwingungsanalyse an Schraubenfedern beschränkt sich auf die Ermittlung der Eigenfrequenzen und der eintretenden Spannungserhöhung in Resonanznähe. Die einzelnen Systeme/Modelle unterscheiden sich durch die Betrachtung x eines schwingenden Feder-Masse-Systems mit oder ohne Berücksichtigung des Federeigenmasseanteils, x der schwingenden Schraubenfeder (Druck- oder Zugfeder) selbst mit oder ohne Endmasse und mit oder ohne Berücksichtigung des Federeigenmasseanteils und x der Koppelbedingungen der Feder zu den angrenzenden Bauteilen. Über den Einfluss und die Größe der Dämpfung liegen kaum praktische Werte vor. Die Berechnungsbeziehungen für Längs-, Quer- und Dreheigenfrequenzen von zylindrischen Schraubenfedern aus rundem Federdraht enthalten die Tabellen 7.6 und 7.7 . Tabelle 7.6. Zusammenstellung der auf die aktive Federlänge L (belastete Feder) bezogenen Steifigkeitsbeziehungen für zylindrische Schraubenfedern aus rundem Federdraht unter Annahme eines Stabmodells (Zahlenwerte für patentierten Federstahldraht nach DIN EN 10270-1 mit E = 206 kN/mm2 und G = 81,5 kN/mm2 sowie n = nf) nach [7.3][7.7][7.8][7.9][7.26] Bezeichnung Federrate: R = tanD = F/s

Bild, Symbol

R

Drehfederrate: RM = Mt/M Drucksteifigkeit pro Längeneinheit Biegesteifigkeit pro Längeneinheit Schubsteifigkeit pro Längeneinheit Drehsteifigkeit pro Längeneinheit

Beziehung, Formel

F (M t ) D

RM

s, (M

F

L

L0

s

M

F

D

M

B

FQ

S FQ

M

t

M

t

)

G˜d 4 3 8 ˜ Dm ˜n

S E˜d 4 ˜ 64 ˜180q D m ˜ n G˜d 4 3 8 ˜ Dm ˜n

˜L

S E 2 R ˜ ˜ Dm 8 ˜180q G

R˜L

2 ˜E˜L R ˜ Dm 2( E  2G )

E ˜G ˜d 4 ˜ L 16 ˜ D m ˜ n( E  2G ) E ˜d 4 ˜L 3 8 ˜ Dm ˜n

R˜

E ˜L G

S˜ E ˜d 4 ˜ L 64 ˜180q ˜ D m ˜ n

; L = L0 – s 2 0,28 ˜ R ˜ D m ˜L

2,528 ˜ R ˜ L

2 SRD m EL 8 ˜180q ˜ G

2 5,5 ˜10 3 R ˜ D m ˜L

368

7 Schwingungsverhalten von Schraubenfedern

Tabelle 7.7. Zusammenstellung der Beziehungen zur Berechnung der Längs-, Quer- und Dreheigenfrequenzen von schwingenden Schraubenfedern zylindrischer Form aus runden Drähten (n = nf) 1 Freie ungedämpfte Schwingung; 2 Freie gedämpfte Schwingung A) Längseigenfrequenzen Schwingungsart, Modell, Bedingungen Art Modell, Ansatz, Bedingungen Modell 1: Feder-Masse-System nach Abb. 7.1

Berechnungsbeziehungen

a) masselose Feder; Endmasse m

1 2S

f 0L 1

b) mit Endmasse m und näherungsweiser Berücksichtigung der Federeigenm. mF

c m

; c

R

G˜d 4 3 8 ˜ Dm ˜n

2

f 0L

1 2S

c ; mF m  mF / 3

f 0L

1 2S

c m  D M mF

d) Feder einseitig eingespannt ohne Endmasse (m = 0)

f 0L

j1 4

c mF

; Ordnungszahl j1 = 1; 3; 5; ...

e) Feder beidseitig aufgelegt (eingespannt) ohne Endmasse (m = 0)

f 0L

j2 4

c mF

; Ordnungszahl j2 = 0; 1; 2; 3; ...

f) Feder einseitig eingespannt mit Endmasse (NM = m/mF)

f 0L

j3 4

c mF

; Ordnungszahl j3 = f(NM)

c) Präzisierte Beziehung nach b) mit DM = f(NM) nach Tabelle 7.1 im Bereich 0,333 dDM d 0,406

§S · ¨ d ¸ ˜ UD m n ©2 ¹

; NM = m/mF

Modell 2: Schwingende Schraubenfeder nach Abb. 7.5

Modelle mit Dämpfung: 2

g) System nach Modell 1 mit Dämpfung (D: Dämpfungsmaß) h) Feder nach Modell 2 mit Dämpfung (ß: Dämpfungsmaß)

f 0 LD

f 0L ˜ 1  D 2

f 0LD

c §E· 1 § S ˜ j1 · ¨ ¸ ¨ ¸ ˜ 2S © 2 ¹ m F © 2 ¹

2

2

;E

k

Sz1 2m F

B) Quereigenfrequenzen Frequenzverhältnis qf1 = f0Q /f0L in Abhängigkeit von O = L0 /Dm und K = s/L0 aus Abb. 4.36 (nach [7.11]) ermitteln.

C) Dreheigenfrequenzen (s. a. Gleichung (7.61)) Frequenzverhältnis qf2 = f0M /f0L in Abhängigkeit von E/G und w = Dm /d nach Tabelle 7.5 ermitteln. Für E/G = 2,53 ergibt sich 1,0805 d qf2 d 1,124.

7.8 Berechnungsbeispiele und Untersuchungsergebnisse

369

7.8.2 Berechnungsbeispiele 1. Beispiel

Daten der Feder 1: d = 8 mm; Dm = 63,3 mm; nf = 12,5; L0 = 300 mm; ölschlussvergüteter Federstahldraht (DIN EN 10270-2) mit U = 7,85·10–6 kg/mm³; E = 206 kN/mm² und G = 79,5 kN/mm²; Endmasse m = 0; w = Dm /d = 7,91; Beiderseits fest aufgelegte Federenden 1. Federrate im unbelasteten Zustand der Feder R

c

G˜d 4 8 ˜ Dm3 ˜ nf

79500 N/mm 2 ˜ 8 4 mm 4 8 ˜ 63,33 mm 3 ˜12,5

12,84 N/mm

2. Federeigenmasse 2

mF

§S · ¨ d ¸ UDm nF ©2 ¹ 2

§S · 6 3 ¨ ˜ 8 mm ¸ ˜ 7,85 ˜10 kg/mm ˜ 63,3 mm ˜ 12,5 0,98 kg ©2 ¹

3. Längseigenfrequenzen Für eine beiderseits eingespannte Feder ohne Endmasse nach Tafel 7.7e) mit j2 = 1 ergibt sich die Längseigenfrequenz der Grundwelle (s.a. DIN 2089/T1 bzw. DIN EN 13906-1) zu f 0L2 = j2 2

c mF

1 12,84 N/mm = 57,23 s–1 . 3 2 1 2 0,98 ˜ 10 Ns mm

Dieser Wert gilt für den unbelasteten Zustand der Feder. Die Längseigenfrequenz ändert sich jedoch in Abhängigkeit von der durch K = s/L0 bzw. NL = s/sn ausdrückbaren Belastung der Feder. Ursache ist unter anderem die belastungsabhängige Verringerung der Anzahl wirksamer Windungen. Sie kann nach [7.20] durch einen Korrekturfaktor Kn = 1 – 2NL·nü/ nf = 1 – 2·NL·0,4/ nf ; (nred = Kn·nf) mit nü = 0,4 und NL = s/sn bzw. = s/sc berücksichtigt werden. Die so berechneten Werte sind in Tabelle 7.9 den experimentell ermittelten gegenübergestellt.

370

7 Schwingungsverhalten von Schraubenfedern

4. Quereigenfrequenz Mit O = L0 /Dm = 300/63,3 = 4,74 und K = s/L0 = 0,2 (als Beispiel gewählt) erhält man nach Abb. 4.36 qf1 = 0,68 als Wert für das Frequenzverhältnis und somit als Wert für die Quereigenfrequenz (Grundwelle) f0Q1 = qf1·f0L1 /Kn = 0,68·57.23 s–1/0,981 = 39,67 s–1 . 5. Dreheigenfrequenz Mit w = 7,9125 und E/G = 206/79,5 = 2,59 erhält man nach Gl. (7.61) als Frequenzverhältnis qf2 = 1,13 und somit als Wert für die Dreheigenfrequenz f0M1 = qf2·f0L1 = 1,13·57,23s–1 = 64,75 s–1 . Tabelle 7.9. Unter Berücksichtigung der Korrektur der Anzahl wirksamer Windungen berechnete und experimentell ermittelte Eigenfrequenzen der Feder nach Beispiel 1 (1 berechnete Werte; 2 experimentell ermittelte Werte [7.17])

1

2

0 0,05 0,1 0,15 K = s/L0 0 0,086 0,167 0,25 NL = s/sn 1 0,994 0,989 0,984 Kn = nred /nf c = R = F/s 12,84 12,92 12,98 13,05 in N/mm 57,23 57,58 57,87 58,16 f0L1 in s–1 RMess in N/mm 12,65 12,84 12,79 56,28 56,77 57,01 f0L1 Mess in s–1

0,2 0,25 0,3 0,35 0,4 0,45 0,5 0,333 0,417 0,5 0,583 0,667 0,75 0,833 0,979 0,973 0,968 0,963 0,957 0,952 0,947 13,12 13,2 13,26 13,33 13,42 13,49 13,56 58,46 58,82 59,12 59,43 59,8 60,11 60,43 12,8 13,01 13,05 13,24 13,9 14,16 14,02 57,01 57,26 57,5 57,99 60,43 60,67 60,91

2. Beispiel

Daten der Feder 2: d = 4 mm; Dm = 16,3 mm; nf = 13,5; L0 = 117 mm; ölschlussvergüteter Federstahldraht (DIN 17223/T2, jetzt DIN EN 10270-2) mit U = 7,85·10– 6 kg/mm³; E = 206 kN/mm² und G = 79,5 kN/mm²; Endmasse m = 0; w = Dm /d = 4,075; Feder mit beidseitig fest aufgelegten Federenden 1. Federrate der unbelasteten Feder R

G˜d4 8 ˜ Dm3 ˜ n

79500 N/mm 2 ˜ 4 4 mm 4 = 43,51 N/mm 8 ˜ 16,33 mm3 ˜13,5

2. Federeigenmasse: 2

mF

§S · ¨ d ¸ UD m n F ©2 ¹

7.8 Berechnungsbeispiele und Untersuchungsergebnisse

371

2

§S · 6 3 ¨ ˜ 4 mm ¸ ˜ 7,85 ˜ 10 kg/mm ˜ 16,3 mm ˜ 13,5 0,068 kg 2 © ¹

3. Längseigenfrequenz: Für eine beidseitig fest eingespannte Feder ohne Endmasse ergibt sich die Längseigenfrequenz der Grundwelle für j2 = 1 nach Tabelle 7.7e zu f 0L1 = j2 2

c mF

1 43,51 N/mm = 399,95 s–1 . 3 2 1 2 0,068 ˜ 10 Ns mm

Der Korrekturwert für die Anzahl der wirksamen Windungen mit nü = 0,4 ist Kn = 1 – 0,8NL/nf . Somit ergeben sich die in Tabelle 7.10 zusammengestellten errechneten Werte, die den experimentell ermittelten gegenübergestellt werden. Die Feder ist nicht knicksicher, so dass die Werte auf den Bereich 0dKd0,2 beschränkt bleiben. 4. Quereigenfrequenz Mit O = L0 /Dm = 117/16,3 = 7,18 und K = s/L0 erhält man nach Abb. 4.36 für das Frequenzverhältnis qf1 die in Tabelle 7.10 aufgeführten Werte für die Quereigenfrequenz. 5. Dreheigenfrequenz Mit w = Dm /d = 16,3/4 = 4,075 und E/G = 206/79,5 = 2,59 erhält man nach Gl. (7.61) qf2 = 1.113 als Frequenzverhältnis und somit als Dreheigenfrequenz f0M = qf2·f0L1 = 1.113·f0L1 mit den in Tabelle 7.10 aufgeführten Werten. 3. Beispiel

Daten der Feder 3: d = 9 mm; Dm = 66 mm; nf = 12,6; L0 = 205 mm; ölschlussvergüteter Federstahldraht mit U = 7,85·10–6kg/mm³; E = 206 kN/mm² und G = 79,5 kN/mm²; Feder einseitig eingespannt mit Endmasse

372

7 Schwingungsverhalten von Schraubenfedern

Tabelle 7.10. Zusammenstellung berechneter (1) und experimentell (2) ermittelter Werte für Feder 2 K = s/L0 NL = s/sn Kn = nred /nf c = R in N/mm 1 f in s–1 0L1 qf1 = f0Q /f0L f0Q1 in s–1 f0Min s–1 RMess in N/mm f0L1 Mess in s–1 2 f0Q1 Mess in s–1

0 0 1 43,51 399,95 0,48 192 445,3 -

1

f0M Mess in s–1

0,05 0,1 0,15 0,106 0,213 0,319 0,994 0,987 0,981 43,77 44,08 44,35 402,36 405,22 407,7 0,44 0,39 0,32 177 158 130,5 448 451,2 453,9 38,46 (Mittelwert) 391,47 390,41 388,46 174,86 158,93 141,08 184,75 171,05 155,61 444,34 446,54 447,59

0,2 0,425 0,975 44,63 410,21 0,2 82 456,7 404,71 139,94 158,05 465,67

¹ Es werden in zwei Richtungen, die in einem Winkel von 90° zueinander stehen, unterschiedliche Werte der Quereigenfrequenz gemessen

1. Federrate R=c=

G˜d4 8 ˜ Dm3 ˜ nf

79500 N/mm 2 ˜ 9 4 mm 4 = 18,0 N/mm 8 ˜ 66 3 mm 3 ˜ 12,6

2. Federeigenmasse 2

mF

§S · ¨ d ¸ UD m n F ©2 ¹ 2

§S · 6 3 ¨ ˜ 9 mm ¸ ˜ 7.85 ˜ 10 kg/mm ˜ 66 mm ˜ 12,6, 1,303 kg ©2 ¹

3. Längseigenfrequenz Nach Tabelle 7.7 ergeben sich für einen Modellansatz nach Abb. 7.1 die folgenden Möglichkeiten zur Berechnung der Längseigenfrequenz: a) Feder mit Endmasse (Ansatz ohne Eigenmassenanteil) Gewählt: NM = m/mF = 5 bzw. NM = 1 c f0L1 = 1 2S m F ˜ N M bzw.

1 18N/mm = 8,37 s–1 2S 1,303 ˜ 10 3 Ns 2 mm 1 ˜ 5

18 N/mm f0L1 = 1 = 18,71 s–1 3 2 1 2S 1,303 ˜ 10 Ns mm ˜ 1

7.8 Berechnungsbeispiele und Untersuchungsergebnisse

373

b) Näherungsweise Berücksichtigung der Federeigenmasse Für NM = 5 ergibt sich f 0L1

1 c 2S m  m F / 3

1 c 2S mF N M  1 / 3

1 18N/mm 3 2S 1,303 ˜ 10 Ns 2 mm 1 ˜ 5,333

8,1s -1

gemessen wurde f0L1 Mess = 8,2 s–1 . Für NM = 1 ergibt sich f 0L1

18 N/mm 1 = 16,21 s–1 ; 2S 1,303 ˜ 10 3 Ns 2 mm 1 ˜ 1,333

f0L1 Mess = 16,2 s–1 . c) Präzise Berücksichtigung der Federeigenmasse Mit NM = 5 und DM = 0,33 nach Tabelle 7.1 ergibt sich f 0 L1

c 1 2S mF N M  D M 18 N/mm 1 3 2S 1,303 ˜ 10 Ns 2 mm 1 ˜ (5  0,33)

8,11s -1

Mit NM = 1 und DM = 0,35 nach Tabelle 7.1 ergibt sich f0L1= f 0 L1

18 N/mm 1 = 16,11 s–1 3 2 1 2S 1,303 ˜ 10 Ns mm ˜ (1  0,35)

Die Werte nach b) weichen nur unwesentlich von denen nach c) ab, während die Berechnungen ohne Berücksichtigung der Federeigenmasse deutliche Unterschiede zu den gemessenen Werten zeigen. d) Feder einseitig eingespannt nach Modell 2 (Abb. 7.5) mit Endmasse Für NM = 5 ergibt sich die Ordnungszahl j3 = 0,2756 (Tabelle 7.1) f0L1 = f 0 L1

j3 4

c mF

18 N/mm 0,2756 = 8,1 s–1 . 3 2 1 4 1,303 ˜ 10 Ns mm

374

7 Schwingungsverhalten von Schraubenfedern

Für NM = 1 ergibt sich die Ordnungszahl j3 = 0,5482 (Tabelle 7.1) f0L1 = f 0 L1

j3 4

c mF

18 N/mm 0,5482 = 16,11 s–1 . 3 2 1 4 1,303 ˜ 10 Ns mm

auch diese Werte stimmen mit den vorherigen Rechnungen und den gemessenen Werten gut überein. 4. Beispiel

Daten der Feder Feder 3 unter Stoßbelastung nach Abb. 7.4 mit folgenden Annahmen: Masse m = 1 kg = 1 Ns²/m fällt aus einer Höhe h = 100 mm auf eine ungespannte Schraubendruckfeder. 1. Beanspruchungen der Feder: Durch Auflegen der Masse m auf das freie Federende ergibt sich (ohne k-Faktor) die stationäre Spannung W0

8 ˜ F ˜ Dm 8 ˜ m ˜ g ˜ Dm Sd 3 Sd 3 1 2 8 ˜ 1 Ns m ˜ 9,81 ms  2 ˜ 66 mm ʌ ˜ 9 3 mm 3

2,26 N/mm 2 ,

und beim Fallen der Masse m aus der Höhe h ergibt sich Wf

W0 r W0  2 ˜ W0 ˜ h ˜

G˜d S ˜ D m2 ˜ n f

2 · § ¨ 2,26 r 2,26 2  2 ˜ 2,26 ˜100mm 79500N/mm ˜ 9mm ¸ N/mm 2 2 2 ¨ ʌ ˜ 66 mm ˜12,6 ¸¹ © 45,64 N/mm²

Das ergibt ein Spannungsverhältnis zwischen dynamischer und stationärer Spannung von qF = Wf /W0 = 45,64/2,26 = 20,19

7.8 Berechnungsbeispiele und Untersuchungsergebnisse

375

und eine Zusammendrückung der Feder von sf =

2˜m˜ g ˜h c

2 ˜ 1 Ns 2 m 1 ˜ 9,81 ms 2 ˜ 100 mm = 10,44 mm , 18 N/mm

während der stationäre Wert s0 = m ˜ g c beträgt

1 Ns 2 m 1 ˜ 9,81 ms 2 = 0,545 mm 18 N/mm

2. Einleitung einer Stoßwelle in das freie Federende Die Fallgeschwindigkeit der Masse m beim Auftreffen auf das Federende ist nach Zurücklegen der Höhe h v=

2˜ g ˜h

2 ˜ 9,81 m/s 2 ˜ 0,1 m = 1,4 m/s

und damit eine je Windung induzierte Spannung nach Maier [7.18] von Wf1 = 3,613

N s ˜ ˜v 2 mm m

3,613

m N s = 5,06 N/mm² , ˜ ˜1,4 2 s mm m

so dass sich bei nf = 12,6 Windungen unter Annahme einer linearen Verteilung eine Spannung Wfn = Wf1·nf = 5,06 N/mm2·12,6 = 63,76 N/mm² ergibt, die größer als die nach dem Modellansatz nach Abb. 7.4 ist (ohne Überlagerung der Wanderwellen). Das Spannungsverhältnis ist dann qF = Wfn /W0 = 63,76/2,26 = 28,21 . Die Rechnungen erfolgten ohne Berücksichtigung der Dämpfung. 7.8.3 Untersuchungsergebnisse und Zusammenfassung

Die aus der angegebenen Literatur entnommenen Beziehungen zur Schwingungsanalyse von Schraubenfedern, insbesondere die Berechnungsansätze zur Bestimmung der Längs-, Quer- und Dreheigenfrequenzen von zylindrischen Schraubenfedern aus runden Drähten, ermöglichen eine für den Federentwurf hinreichende Erfassung des Schwingungsverhaltens dieser Federn. Unsicherheiten in Bezug auf die Übereinstimmung der theoretisch ermittelten Eigenfrequenzen mit experimentell ermittelten sind darin begründet,

376

7 Schwingungsverhalten von Schraubenfedern

x dass die aktuellen Werkstoffkennwerte E- und G-Modul nicht bekannt sind und für die Berechnung der Eigenfrequenzen demzufolge nur die in den DIN-Normen enthaltenen Mittelwerte verwendet werden, x über den Einfluss der Gestaltung der Federenden und der Koppelstelle Feder-Bauteil auf das Schwingungsverhalten noch keine gesicherten Einflussfaktoren vorliegen x und in Bezug auf die Ermittlung der Quereigenfrequenzen die Modellansätze noch unzureichend sind. Die Modellnachbildung der Feder als äquivalenter Stab liefert für Längs- und Drehbewegungen hinreichend genaue Ergebnisse, wie die angeführten Beispiele zeigen. Unzureichend allerdings lässt sich mit diesem Modell das Querschwingungsverhalten nachbilden. Bei einer quer zur Längsausdehnung bewegten Feder ergibt sich nach diesem Ansatz nur eine Quereigenfrequenz. Nach dem bisherigen Stand der Untersuchungen [7.32] wird für die Ermittlung dieser ersten Quereigenfrequenz von Schraubendruck- und -zugfedern der in Tabelle 7.11 zusammengestellte Berechnungsablauf empfohlen, über den Vorspannkräfte und Windungszahleinflüsse berücksichtigt werden können. Im Gegensatz zu Gleichung (4.48), der ein Modellansatz nach Abb. 4.35 zugrunde liegt, werden bei diesen Beziehungen die Verhältnisse des Modellansatzes nach Abb. 7.6b benutzt, so dass sich eine Mitten-Querfederrate RQM errechnet. Tabelle 7.11. Berechnungsbeziehungen zur Bestimmung der ersten Quereigenfrequenz von zylindrischen Schraubendruck- und -zugfedern aus runden Drähten (nach [7.32]) a) Gegebene Größen und Vereinbarungen Schraubendruckfedern Gegebene Größen:

Schraubenzugfedern Gegebene Größen:

Drahtdurchmesser d in mm mittlerer Windungsdurchmesser Dm in mm Gesamtwindungszahl nt Anzahl der Endwindungen nE Anzahl der Übergangswindungen qW = nü ungespannte Länge der Feder L0 in mm Elastizitätsmodul E in N/mm² Gleitmodul G in N/mm² Materialdichte U in kg/mm³ Lastanteilfaktor NL = s/sc bzw. = s/sn relative Vorspannung K = s/L0

Drahtdurchmesser d in mm mittlerer Windungsdurchmesser Dm in mm Gesamtwindungszahl nt ungespannte Länge der Feder L0 in mm innere Vorspannkraft F0 in N Elastizitätsmodul E in N/mm² Gleitmodul G in N/mm² Materialdichte U in kg/mm³ Lastanteilfaktor NL = s/sc bzw. = s/sn relative Vorspannung K = s/L0

Vereinbarungen:

Vereinbarungen:

Endwindungen angelegt und bis 0,75·d angeschliffen, Enden um 180° zueinander versetzt und fest aufgelegt (beidseitig fest eingespannte Feder)

Ösenform: Halbe Deutsche Öse

7.8 Berechnungsbeispiele und Untersuchungsergebnisse

377

b) Berechnungsablauf Schraubendruckfedern Schraubenzugfedern Reduzierte Anzahl wirksamer Windungen: Federnde (aktive) Federlänge in mm: nf red = (nt – nE)Kn ;

Lf = L0 + s = (1 + K)L0

0,8 d nE d 1,2

Korrekturfaktor Kn:

Ösenhöhe in mm:

Kn = 1 – 2·NL·qW /(nt – nE) ;

0,4 d qW = nü d 0,8

Lastanteilfaktor (0 dNL d 1):

Lastanteilfaktor (0 dNL d 1): s NL = sc

s L0  L c

s L0  d ˜ n t

LH = 0,5[L0 – (nt + 1)d]

K ˜ L0 L0  d ˜ n t

NL

s sn

Federnde (aktive) Federlänge in mm:

Aktive Länge des Federkörpers in mm:

Lf = L0 – s – d(nt – nf red) = (1 – K)L0 – d(nt – nf red)

LKf = Lf – 2LH

Masse der Feder in kg:

Masse der Feder in kg:

mF = (0,5·S·d)²·U·Dm·nf red

mF = (0,5·S·d)²·U·Dm·(nt + 1)

Längsfederrate in N/mm:

Längsfederrate in N/mm:

R=

G˜d 4

R=

3 8 ˜ Dm ˜ n f red

Federkraft in Längsrichtung in N: F = R L 0  d ˜ n t ˜

n f red 2 ˜ qW

§ n  nE ˜ ln¨ t ¨ n f red ©

· ¸ ¸ ¹

G˜d 4 3 8 ˜ Dm ˜ nt

Federkraft in Längsrichtung in N: F = K·R·L0 + F0

Biegesteifigkeit der Feder in Nmm²:

Biegesteifigkeit der Feder in Nmm²:

Lf ˜ d 4 ˜ E ˜ G B= 16 ˜ D m 2G  E n f

B=

red

2 R ˜ Dm ˜ Lf ˜ E 2(2G  E )

Schubsteifigkeit der Feder in N: S=

E ˜ d 4 ˜ Lf 3 8 ˜ n f red ˜ D m

E R ˜ Lf ˜ G

Steifigkeitsfaktor in 1/mm: qd =

F§ F· ¨1  ¸ B© S¹

F § q ˜L · L § F· 1 tan¨ d f ¸  F ¨1  ¸ S ¹ qd © © 4 ¹ 4

Quereigenfrequenz (Grundwelle) in Hz: f0Q = 0,2570

RQM mF

˜10 3

2 R ˜ Dm ˜ LKf ˜ E 2( 2G  E )

Schubsteifigkeit der Feder in N: S=

E ˜ d 4 ˜ L Kf 3 8 ˜ n t ˜ Dm

R ˜ L Kf ˜

E G

Steifigkeitsfaktor in 1/mm: qz =

Mitten-Querfederrate in N/mm: RQM =

LKf ˜ d 4 ˜ E ˜ G 16 ˜ D m 2G  E n t

F B

§ F· ¨1  ¸ S¹ ©

Mitten-Querfederrate in N/mm: RQM =

2F Lf

1 § F· Lf · §  ¨1  ¸ tanh¨ q z ¸ 2 2 ¹ qz © S¹ ©

Quereigenfrequenz (Grundwelle) in Hz: f0Q = 0,2267

RQM mF

˜10 3

Die Ergebnisse von Berechnungen der 1. Quereigenfrequenz nach Tafel 7.11 mit verschiedenen Annahmen für nE und qW = nü sollen an zwei Beispielen den gemessenen Werten gegenübergestellt werden. Die Werte sind in Tabelle 7.12 und Abb. 7.10 dargestellt. Es ist zu erkennen, dass die

378

7 Schwingungsverhalten von Schraubenfedern

nach DIN EN 13906-1 für kaltgeformte Druckfedern angegebene Zahl der festen Endwindungen nE = 2 zu errechneten Werten der Quereigenfrequenzen führen, die von den experimentell ermittelten recht erheblich abweichen. Von Lutz [7.17][7.32] werden deshalb Werte für die Zahl der festen Endwindungen von nE = 0,8 und die Zahl der Übergangswindungen qW = nü = 0,8 vorgeschlagen. Mit diesen Werten errechnete Quereigenfrequenzen stimmen mit den experimentell ermittelten Werten, wie Abb. 7.10 zeigt, am besten überein. Tabelle 7.12. Vergleich der Rechenergebnisse nach Tabelle 7.11 mit experimentell ermittelten Werten der 1. Quereigenfrequenz von Schraubendruckfedern (qW = nü ) 1 Feder 2 nach Beispiel 2 mit d = 4 mm; Dm = 16,3 mm; L0 = 117 mm; nt = 15,5; O = 7,18; ölschlussvergüteter Federstahldraht mit E = 206 kN/mm² und G = 79,5 kN/mm² 2 Feder 4 mit d = 8,05 mm; Dm = 63,25 mm; L0 = 300,63 mm; nt = 14,5; O = 4,75; patentierter Federstahldraht mit E = 206 kN/mm² und G = 81,5 kN/mm² K = s/L0 nE = 2; qW = 0,4 f0Q rech nE = 2; qW = 0,8 in s–1 nE = 1; qW = 0,6 für: 1 nE = 0,8; qW = 0,8 f0Q mess in s–1 f0Q rech nE = 2; qW = 0,4 in s–1 nE =1; qW = 0,6 2 für: nE =0,8; qW = 0,8 f0Q mess in s–1

0,05 200,6 202,1 180,5 177,9 174,9 43,2 39,2 38,5 37,3

0,1 184,6 189 165,5 163,4 158,9 43 39 38,45 37,2

0,15 164,9 172 146,7 145,7 141,1 42,7 38,8 38,4 37,1

0,2 139,4 150,1 121,9 122,5 139,9 42,5 38,7 38,4 37,25

0,25 103,5 85,6 88,8 42,4 38,6 38,5 37,33

0,3

0,35

0,4

0,45

0,5

42,35 42,4 42,6 43 38,6 38,7 38,9 39,4 38,7 39 39,55 40,3 37,4 38 40,15 40,6

43,7 40,2 41,5 41,5

Die Berechnungen nach Tabelle 7.11 berücksichtigen jedoch noch nicht das Vorhandensein von zwei Quereigenfrequenzen. Untersuchungen an einer Reihe Schraubenfedern [7.17] haben gezeigt, dass es in zwei senkrecht zueinander stehenden Richtungen unterschiedlich große Quereigenfrequenzen gibt (Beispiel s. Tabelle 7.10). Diese Tatsache lässt den Schluss zu, dass der für dieses Modell verwendete äquivalente Stab die realen Verhältnisse nur unvollkommen berücksichtigt. Diese Erscheinung lässt sich etwa so auffassen, als läge in diesem Modell ein Stab mit einem elliptischen Querschnitt vor, so dass sich in den mit einem Zentralwinkel \B um die Federachse beschreibbaren Richtungen unterschiedliche, richtungsabhängige Biegesteifigkeiten B (s. Tabelle 7.6) ergeben . Diese Richtungsabhängigkeit der Biegesteifigkeit resultiert aus den durch die Form des Wickelkörpers (schraubenförmig mit der Steigung SW gewickelter Draht) und aus der Gestaltung der Federenden gegebenen Inhomogenitäten der Feder gegenüber einem gestreckten Stab. Von Wahl [7.27] wird als eine Ursache für diese Erscheinung das Nichterfassen be-

7.8 Berechnungsbeispiele und Untersuchungsergebnisse

379

Abb. 7.10. Vergleich errechneter und experimentell ermittelter Werte der 1. Quereigenfrequenz von Druckfedern nach Tabelle 7.12 (qW = nü ) a) Mit Daten der Feder 2; b) Mit Daten der Feder 4

stimmter Randbedingungen durch das Modell des äquivalenten Stabes genannt. Der wesentliche Unterschied zwischen dem Modell des räumlich gekrümmten Stabes, nach dem sich beispielsweise eine solche Richtungs-

380

7 Schwingungsverhalten von Schraubenfedern

abhängigkeit ergeben würde, und der elementaren Balkentheorie des Stabmodells besteht darin, dass die Querschnitte der Windungen nicht senkrecht auf der verformten Zentrallinie stehen [7.4][7.27], sondern zusätzliche Verdrehungen erfahren, die auf die Rotations- und Schubträgheit der Querschnitte zurückzuführen sind. Die Vorstellung, dass sich in Abhängigkeit des die Richtung beschreibenden Winkels \B um die Federachse eine elliptische Form des Verlaufs der Biegesteifigkeit ergibt, aus der sich zwei Extremwerte der Quereigenfrequenzen in senkrecht zueinander stehenden Richtungen (Ebenen) ableiten lassen, ist wiederum eine Näherung. Ansätze zur rechnerischen Erfassung durch Wahl anderer Modelle (räumlich gekrümmter Stab, TIMOSHENKO-Stab) sind in [7.4][7.27] und [7.28] enthalten. Am Beispiel der Schraubenfedern konnte gezeigt werden, dass das Eigenschwingungsverhalten von Federn in Feder-Masse-Systemen mit den Grundbeziehungen der Technischen Mechanik prinzipiell beschreibbar ist. Diese Grundbeziehungen sind sinngemäß auch auf andere Federarten anwendbar. Insbesondere für Biegeschwinger (Biegestäbe, einseitig oder zweiseitig abgestützt) sind Berechnungsbeziehungen bekannt. Bei speziell geformten Schraubenfedern sowie auch für verschiedene andere Federarten fehlen anwendungsbereite Berechnungsbeziehungen zur Erfassung und Beschreibung des Schwingungsverhaltens. Lücken bestehen auch hinsichtlich der Berücksichtigung des Federmasse-Anteils bei verschieden geformten Federn. Die theoretischen Grundlagen berücksichtigen oft nur ungenügend die zahlreichen konstruktiven Einflüsse, die mit dem Einsatz der Federn in den verschiedensten Baugruppen der Technik verbunden sind. Erst in neuerer Zeit ist es gelungen, durch Anwendung präzisierter Modelle, verfeinerter Berechnungsmethoden und Nutzung der Computertechnik den realen (praxisnahen) Verhältnissen bei Federschwingungen näher zu kommen. Die Rechentechnik ist für den Federentwurf vielseitig nutzbar. Auf einige Anwendungsbeispiele soll im folgenden Kapitel eingegangen werden.

8 Rechnereinsatz zum Federentwurf

Nachdem in den vorangegangenen Kapiteln die Grundlagen für den Entwurf von Federn und Federanordnungen dargelegt sowie Beispiele für Federanwendungen in ausgewählten Industriebereichen behandelt worden sind und auch die für den Maschinen- und Baugruppenentwurf bedeutsame Schwingungsanalyse von Schraubenfedern erläutert wurde, soll abschließend auf den rechnerunterstützten Federentwurf eingegangen werden. Dieser wird im Hinblick auf die in nahezu allen Industriebereichen feststellbare schnelle Zunahme der Nutzung der Rechentechnik für die Produktentwicklung mit dem derzeit feststellbaren Trend zum sog. Virtual Prototyping ein unverzichtbares Element beim Maschinen-, Geräte- und Anlagenentwurf. Ausgehend vom derzeitigen Stand sollen daher im Folgenden verfügbare Programmsysteme vorgestellt sowie laufende und künftige Entwicklungen behandelt werden.

8.1 Stand, Bedingungen, Methoden, Tendenzen 8.1.1 Entwicklung des Rechnereinsatzes in der Federntechnik Wie der gesamte Konstruktionsprozess [14], so ist auch der Federentwurf in den letzten Jahrzehnten, insbesondere aber in den letzten Jahren, durch die Anwendung der elektronischen Datenverarbeitung wesentlich beeinflusst worden. Erste Rechnerprogramme für den Federentwurf sind bereits sehr frühzeitig entstanden [8.5][8.37][8.51][8.54][8.84][8.85][8.89][8.98] [8.107][8.108][8.125][8.141][8.155]. Die in den 1970er Jahren verfügbare, relativ teure analoge und digitale Rechentechnik war in den meisten Fällen in Forschungseinrichtungen konzentriert. Daher wurden Programme zur Federberechnung zunächst hauptsächlich in den Forschungsstellen entwickelt, deren Praxisbezug allerdings oft noch Wünsche offen ließ [8.50]. Bei den Programmen handelte es sich meist um spezielle Einzellösungen, mit deren Hilfe nur sehr begrenzte Aufgabenstellungen, oft mit stationärem bzw. quasistationärem Charakter, bearbeitet und relativ einfache Federformen rechnerunterstützt entworfen werden konnten. Aufgrund der beschränkten Möglichkeiten damaliger Rechentechnik hinsichtlich ihrer

382

8 Rechnereinsatz zum Federentwurf

interaktiven Kommunikationsfähigkeiten - über grafische Bildschirme und Ausgabegeräte verfügten nur sehr wenige Anlagen - war die Daten-Ein/Ausgabe recht kompliziert und für den Nutzer mit erheblichem Aufwand verbunden. Nur ein mit der Handhabung dieser Programme und der dafür genutzten Technik vertrauter enger Personenkreis, in vielen Fällen nur die Programmentwickler selbst, war zur effektiven Nutzung dieser als Unterstützungsmittel für den Konstrukteur gedachten Programme in der Lage. Da viele Federanwender und Federhersteller bei der Einführung von Rechentechnik zunächst mehr Wert auf die Rationalisierung der Fertigungsorganisation und betriebswirtschaftlicher Prozesse legten und die dafür angeschaffte Rechentechnik und Betriebssoftware im Regelfall für eine wissenschaftlich-technische Aufgabenbearbeitung weitgehend ungeeignet war, fehlten für eine breite Anwendung der vorhandenen Programme zunächst außer den personellen auch die technischen Voraussetzungen [8.6]. Und so blieb für den Federentwurf mit wenigen Ausnahmen [8.11][8.18] [8.20] bis in die 1990er Jahre hinein die übliche Praxis vorherrschend, die sich durch folgende Bedingungen beschreiben lässt (vgl. Abschn. 1.2, 2.1und 6.1 sowie Kap. 4): x Berechnet werden im Allgemeinen nur Federn mit einfacher Wirkkörperform. Bei Federn mit komplizierterer Gestalt und Funktion überwiegt aus Mangel an Berechnungsgrundlagen der experimentell gestützte Entwurf. x Die Berechnung erfolgt auf der Grundlage der klassischen Modelle, die auf zahlreichen vereinfachenden Annahmen beruhen, sich ausschließlich auf die Feder bzw. auf Federkombinationen beschränken, Kopplungen mit der Umgebung idealisieren und nur die jeweilige Hauptbeanspruchung berücksichtigen. x Iteratives und damit zeitaufwändiges Vorgehen ist stets notwendig, da die Zahl verfügbarer Dimensionierungsgleichungen (Verformungs- bzw. Spannungsbeziehung) zum eindeutigen Festlegen aller Federgeometrieparameter nicht ausreicht. x Die Federdimensionierung erfolgt unter stationären Gesichtspunkten, davon abweichende Betriebsbedingungen werden über die zulässige Spannung berücksichtigt. Zeitliche Abhängigkeiten sind damit nicht erfasst. x Vielfach werden Berechnungshilfen in Form von Nomogrammen und speziell entwickelten Federrechenschiebern eingesetzt [8.63][8.139][8.142], um den trotz Verwendung vereinfachter Berechnungsmodelle immer noch hohen Aufwand für die Federauslegung in Grenzen zu halten. x Fertigungseinflüsse können in der Berechnungsphase nur unzureichend berücksichtigt werden, so dass sich der Berechnung zumeist noch langwierige experimentelle Mustererprobungen mit z.T. erheblichem Änderungsaufwand anschließen müssen.

8.1 Stand, Bedingungen, Methoden, Tendenzen

383

Erst die Mitte der 1980er Jahre einsetzende und in den letzten Jahren beschleunigte Entwicklung der Rechnerhard- und -betriebssoftware und damit die Verfügbarkeit leistungs- und kommunikationsfähiger Arbeitsplatzrechentechnik in Gestalt von Personalcomputern und Workstations einerseits und die mit dieser Entwicklung einhergehende deutliche Qualifizierung des Personals im Umgang mit Rechentechnik andererseits haben zu einer durchgreifenden Änderung im rechnerunterstützten Federentwurf geführt. Auf dem Markt erschienen Programme, die den klassischen Federentwurf [8.155][8.168][8.172][8.173] nach herkömmlichen und in der Literatur sowie in Normen ausführlich dargelegten Berechnungsgrundlagen ermöglichen [1] bis [5][8][11][12][13][15][16][17][19][20]. Derartige Programme haben vor allem bei den Federanwendern in der Zwischenzeit große Verbreitung gefunden. Daneben sind bei den Federherstellern in vielen Fällen unternehmensspezifische Programme entstanden, die sich auf die jeweilige Produktpalette konzentrieren und dazu vorhandenes Spezialwissen einbeziehen. Sie gehen meist deutlich über den Leistungsumfang kommerzieller Programme hinaus und behandeln bereits auch weitergehende Aufgabenstellungen. Deshalb sind die Programme der Federhersteller aus Wettbewerbsgründen für Außenstehende im Regelfall nicht oder nur eingeschränkt zugänglich [8.8][8.40][8.42][8.52][8.91] [8.92][8.103][8.104][8.138][8.151][8.160]. 8.1.2 Auswirkungen rechnerunterstützter Produktentwicklung Zur raschen Entwicklung und Verbreitung federspezifischer Software haben vor allem aktuelle Anforderungen des Marktes und daraus abgeleitete Entwicklungstendenzen für die Produktentwicklung beigetragen, wie sie auch für alle anderen Industriebereiche kennzeichnend sind. Sie kommen zum Ausdruck in: x der wettbewerbsbedingten Verkürzung der Zeiten für die Produkterstellung (Entwicklung, Konstruktion, Erprobung, Produktions- und Markteinführung) [8.17][8.47][8.49][8.62][8.143], x der aus Kostengründen zunehmend automatisierten Produktfertigung und den damit verbundenen steigenden Genauigkeitsanforderungen an die zu verarbeitenden Bauteile [8.73] sowie x einer, aus dem steigenden Qualitätsbewusstsein der Kunden und der Produkthaftung abgeleiteten durchgehenden Qualitätssicherung [8.16][8.62] [8.73]. Die Verwirklichung der sich daraus ergebenden Forderungen setzt vom Beginn der Produktentstehung an die enge Zusammenarbeit aller an der

384

8 Rechnereinsatz zum Federentwurf

Entwicklung, der Fertigung und auch der am Vertrieb des jeweiligen Produktes Beteiligten voraus und verlangt damit die Anwendung der Methoden der integrierten Produktentwicklung bzw. des sog. Simultaneous Engineering [8.13][8.143]. Die Anwendung dieser Entwicklungs- und Organisationsstrategie mit weitgehend gleichzeitiger paralleler Bearbeitung der zur Produkterstellung notwendigen Schritte im Team reduziert gegenüber herkömmlicher sequentieller Aufgabenbearbeitung die Zahl der Schnittstellen im Informationsfluss und die Vielfalt und Länge der nach außen auftretenden Informationsregelkreise auf ein Minimum (Abb. 8.1). Das spart Zeit und Kosten. Ein erfolgreiches Vorgehen auf diesem Wege macht aber auch die umfassende Rechneranwendung unausweichlich. Dieser Trend wird durch die fortschreitende und speziell von der Automobilindustrie getriebene Entwicklung zum Virtual Prototyping von Produkten forciert. Sie soll möglichst alle Phasen der Produktentstehung und darüber hinaus auch des gesamten Produktlebenszyklus erfassen (Abb. 8.2). a)

b)

Abb. 8.1. Produktlebenslauf mit Informationsregelkreisen nach [8.13] a) bei konventioneller Aufgabenbearbeitung; b) bei Anwendung des Simultaneous Engineering (SE) und Bearbeitung in einem SETeam 1 Nutzer-/ Markt-Rückkopplung 2 Produktionsrückkopplung

8.1 Stand, Bedingungen, Methoden, Tendenzen

385

Abb. 8.2. Stellung des Virtual Prototyping im Produktlebenszyklus [8.48][8.49]

Die Anwendung der Methoden des Virtual Prototyping setzt die Entwicklung und Verfügbarkeit vollständiger rechnerinterner Produktmodelle voraus. Sie müssen das zu entwickelnde Produkt in seinen Eigenschaften bereits vor der körperlichen Realisierung möglichst weitgehend und realitätsnah beschreiben, den Erfordernissen der jeweiligen Entwicklungsphasen entlang des konstruktiven Entwicklungsprozesses angepasst sein und Veränderungen der Produkteigenschaften während der Fertigung und des Einsatzes des Produktes berücksichtigen [8.49]. Auf den Federentwurf wirken sich die genannten Entwicklungstendenzen in verstärktem Maße aus [8.47][8.52][8.62][8.143], weil x Federanwender und -hersteller nicht identisch sind und sich durch parallele Produktentwicklung beim Hersteller von Maschinen, Anlagen, Geräten bzw. gefederter Baugruppen und beim Zulieferer der Federn gegenüber dem bisher sequentiellen Vorgehen zusätzlicher Kommunikationsbedarf ergibt. Dieser ist nur durch Anwendung neuer Organisationsformen rechtzeitig und ohne Lücken zu decken, wie das beispielsweise bei der Anwendung der Methoden der integrierten Produkterstellung bzw. des Simultaneous Engineering der Fall ist. x zahlreiche Federanwender, insbesondere aus kleinen und mittelständischen Unternehmen, aufgrund dieser Entwicklung und ihrer beschränkten Möglichkeiten nicht nur den endgültigen, fertigungsgerechten Federentwurf,

386

8 Rechnereinsatz zum Federentwurf

sondern auch den Erstentwurf immer öfter zum Federhersteller verlagern bzw. zu verlagern versuchen; x Federn sehr oft als wichtige und kritische Bauteile in hochbeanspruchten Baugruppen und Sicherheitseinrichtungen Verwendung finden (Fahrwerke, Motoren, Sicherheitsventile u.a.), in denen bei Federausfall eine Gefährdung von Menschenleben sowie die Möglichkeit der Zerstörung von Maschinen, Geräten oder Anlagen besteht. Die Federhersteller müssen dann einer umfassenden Dokumentationspflicht gerecht werden. Der Zwang zur Anwendung der Methoden des Simultaneous Engineering bzw. des Virtual Prototyping in allen Industriebereichen und damit auch im Federentwurf sowie die dadurch von Beginn an notwendige enge Zusammenarbeit von Federanwender und -hersteller beseitigt aber zugleich auch alte Probleme der Federhersteller, wie dies durch den rechnerunterstützten Federentwurf allein nicht der Fall gewesen wäre. Sie betreffen u.a. das Einpassen der Feder in das Produkt, das bisher in der Regel erst bei nahezu fertiger Konstruktion und in einen zumeist sehr engen oder gar zu kleinen Einbauraum erfolgen musste [8.143]. Letzteres war dann stets mit kostenintensiven Konstruktionsänderungen verbunden. Außerdem wird bei diesem Vorgehen eine rechtzeitige Berücksichtigung der Einsatzbedingungen der Feder (z.B. Belastungsart, Temperatureinfluss) bereits bei ihrem Erstentwurf zwangsläufig notwendig und damit auch sichergestellt. 8.1.3 Tendenzen des Rechnereinsatzes für den Federentwurf Eine wichtige Rolle spielen im Zusammenhang mit der Anwendung des Simultaneous Engineering und des rechnerunterstützten Federentwurfs die mögliche Komplexität bearbeitbarer Aufgaben und der grafische Datenaustausch im Rahmen des CAD sowie mit den verwendeten Berechnungsprogrammen. Waren anfangs nur spezielle Einzelprogramme ohne jeglichen Ein-/ Ausgabekomfort begrenzt verfügbar, so gab es dennoch bereits sehr frühzeitig Bestrebungen zur Entwicklung von Programmsystemen zur Konstruktion und Zeichnungserstellung von Maschinen- und Gerätebaugruppen [8.64]. Ihr Ursprung lag wiederum nicht im industriellen Bereich, und sie wiesen praxisrelevante Unzulänglichkeiten auf [8.50]. Alle heute verfügbaren kommerziellen Programmsysteme zum Maschinenelementeentwurf mit zeitgemäßen Ein-/Ausgabemöglichkeiten erlauben im Anschluss an die Berechnung bereits einen, wenn auch eingeschränkten Datentransfer in CAD-Systeme. So ist beispielsweise für Federn über standardisierte Schnittstellen, meist im DXF- oder IGES-Format, die Übergabe der Daten für das Bestellformular an CAD-Systeme realisiert [8.168][8.173] (s. Abschn. 8.2 und 8.3). Die Übernahme einer parametri-

8.1 Stand, Bedingungen, Methoden, Tendenzen

387

sierten Federdarstellung in die Baugruppenzeichnungen ist allerdings noch immer ein offenes Problem. Unbefriedigend ist bei kommerziellen Programmen für den Federentwurf nach wie vor außerdem, dass sich damit keine komplexeren Aufgabenstellungen bearbeiten lassen. In jüngster Zeit sind aber verstärkte Bemühungen festzustellen, auch komplexere Problemstellungen zu lösen und den Federentwurf in den Baugruppenentwurf einzubeziehen sowie dafür geeignete Programmsysteme zu entwickeln [8.30][8.32][8.43][8.47][8.61][8.91][8.92][8.106][8.110] [8.118][8.120][8.121][8.134]. Häufig besteht dabei das Ziel, das Betriebsverhalten der Feder und oft auch der gesamten Baugruppe zu simulieren, um bereits während der Produktentwicklung Funktionsfehler bzw. kritische Situationen und Stellen zu erkennen und diese durch konstruktive Einflussnahme schon in diesem Stadium zu beseitigen. Für die Lösung derartiger Problemstellungen sind jedoch Berechnungsmodelle notwendig, die weit über bisher übliche federbezogene Modelle hinausgehen. Da hierbei oft dynamische Aufgabenstellungen zu bearbeiten sind und Federn gegenüber anderen Bauteilen eine deutlich höhere Elastizität besitzen, kann in vielen Fällen auf die Starr- bzw. Mehrkörpermechanik und dafür vorhandene Programme zur Mehrkörpersimulation (MKS) zurückgegriffen werden [8.161][8.162][8.170][8.171], mit deren Hilfe die problembeschreibenden Bewegungsdifferentialgleichungen automatisch generiert und gelöst werden. Damit wird eine Vordimensionierung funktionsrelevanter Federparameter möglich (Federrate, Federkräfte, Federwege), ohne dass die benötigte Feder bereits in ihrer Geometrie festgelegt ist. Die Geometriefestlegung muss sich dann an diese Vorauslegung auf dem Niveau der Prinziplösung anschließen. Hierfür sind bereits vorhandene Programme [8.167][8.168][8.172][8.173] nutzbar (s. Abschn. 8.2), die z.T. auch bereits die Berechnung und Auswahl von Federn unter bestimmten Optimalitätskriterien zulassen [8.62] bis [8.70] (s. Abschn. 8.3). Zwischenzeitlich sind auch weitergehende MKS-Modellierungsansätze für Sonderanwendungen von Federn, z.B. als Ventilfedern, bekannt geworden [8.134][8.147][8.161]. Sie ermöglichen es durch Zerlegung der Feder in Elemente mit diskreten Teilmassen und zwischengeschalteten masselosen Federelementen, das Schwingungsverhalten der Feder als Kontinuum zu ermitteln. Allerdings setzt dies die Vorgabe der Federgeometrie voraus, zumindest in Form von Startwerten für die iterative Analyse und die damit beabsichtigte schrittweise Annäherung an die Aufgabenlösung. Wenn es beim Einsatz von Federn um die Verwirklichung von Antriebsaufgaben geht, kann auf speziell entwickelte Programme zur Analyse und Dimensionierung von Federantrieben zurückgegriffen werden [8.5] [8.34][8.51][8.54][8.107][8.108] (Abschn. 8.4). Sie berücksichtigen unterschiedliche Belastungs- und Einbaubedingungen und die Federeigenmasse.

388

8 Rechnereinsatz zum Federentwurf

Eine weitere Möglichkeit zur Bearbeitung komplexerer Aufgabenstellungen besteht in der Anwendung der Finite Elemente Methode (FEM) [8.32][8.39][8.41][8.55][8.57] bis [8.61][8.82][8.92][8.105][8.119] bis [8.124][8.133], die aufgrund ihrer Leistungsfähigkeit bereits von vielen Disziplinen des Ingenieurwesens als umfassendes Berechnungswerkzeug genutzt wird. Mit ihrer Hilfe lässt sich die Feder als Bauteil mit definierter Gestalt und Funktion in einer von anderen Bauteilen begrenzten Umgebung durch finite Elemente darstellen und in ihrem statischem und dynamischen Verhalten unter unterschiedlichen Gestalt-, Belastungs- und Einspannbedingungen analysieren und simulieren [8.30][8.43][8.44][8.45] [8.92][8.110][8.114]. Der Konstrukteur kann damit bereits im Entwurfsprozess die Funktion der Feder durch Frequenz- und Spannungsanalysen überprüfen und ihre gestaltbestimmenden Parameter, d.h. Geometrie, Werkstoff und Einbauzustand [8.136][8.137], solange variieren, bis sie den Forderungen der Aufgabenstellung genügt. Dadurch kann die bei komplexeren Aufgabenstellungen bisher unumgängliche kosten- und zeitintensive Herstellung und experimentelle Erprobung meist mehrerer, verschiedener Prototypen abgekürzt und eine für die Produkterstellung angestrebte Reduzierung der dafür einzusetzenden Zeit auf effektive Weise erreicht werden. Problematisch bei der FEM- bzw. MKS-Anwendung sind die bislang erforderliche längere Einarbeitungszeit in die Handhabung dieser zumeist komplexen und für viele Objektbereiche universell einsetzbaren CAxWerkzeuge sowie der notwendige hohe Modellierungsaufwand. Dies gilt für die Anwendung dieser Werkzeuge auf die Federntechnik und das Erarbeiten eines auf die Problemstellung zugeschnittenen Modells der Feder bzw. der Federanordnung in besonderer Weise. Es ist daher immer noch gängige Praxis, dass selbst einfache FEM- und MKS-Analysen nicht vom Konstrukteur, sondern von speziell geschulten Berechnungsingenieuren ausgeführt werden. Diese Aufgabenteilung zwischen Gestaltung und Berechnung verursacht oft Informations- und Zeitverluste und steht einer effizienten Nutzung der verfügbaren leistungsfähigen kommerziellen FEM/MKS-Werkzeuge im Wege. Außerdem sind viele Unternehmen, speziell die meist kleinen und mittelständischen Unternehmen der Federnindustrie, aufgrund ihrer Betriebsgröße nicht in der Lage, die für eine derartige Aufgabenteilung notwendige Personalkapazität bereitzustellen. Zur Veränderung der gegenwärtig unbefriedigenden Situation ist es deshalb zwingend notwendig, auf der Grundlage derartiger kommerzieller Werkzeuge objektorientierte Programmsysteme zu entwickeln, die an die Denk- und Handlungsweisen des Konstrukteurs angepasst sind und aus der dem Konstrukteur vertrauten CAD-Umgebung heraus angesprochen werden können. Außerdem muss nach erfolgter Analyse der jeweiligen Feder bzw. Federung ein problemloser Datentransfer zurück in das CAD-System

8.1 Stand, Bedingungen, Methoden, Tendenzen

389

möglich sein. Darüber hinaus muss eine Kopplung mit anderen Softwarekomponenten grundsätzlich möglich sein, damit auch weitere Aufgaben bei der Auslegung und Simulation von Federungen integriert werden können und somit das angestrebte virtuelle Prototyping von Federungen möglich wird. Das betrifft u.a. die Notwendigkeit zur Ausführung arithmetischer Berechnungsoperationen mit Hilfe von sog. CAS-Software, beispielweise zur Generierung einer Funktion für den Drahtverlauf aus vorliegenden Messdaten, oder die Einbeziehung der Software zur Lebensdauervorhersage. Ebenso muss die Nutzung vorhandenen Standard- und Erfahrungswissens zu Federwerkstoffen, zu Federfertigungstechnologien, zum Federeinsatz sowie zu bereits existierenden Federungen und ihren Eigenschaften durch Datenbanken gesichert werden. Auch die umfassende Datennutzung für die Fertigung und den Vertrieb sollte gewährleistet sein. Das Konzept eines Entwurfsystems, das diesen Anforderungen gerecht wird, zeigt Abb. 8.3 [8.55][8.57] bis [8.59][8.90][8.97][8.119] bis [8.124] [8.126] bis [8.128]. Es beruht auf der bidirektionalen Kopplung von CADSoftware zur Gestaltung von Federungen mit CAx-Software (FEM, MKS) zur Simulation ihres Belastungs-, Festigkeits- und Bewegungsverhaltens. Input

Output Technischer Entwurf

Gestaltentwurf : Funktionsparameter Zielvorstellung Restriktionen Verkopplungen

Weitere Komponenten CAO - Computer Aided Optimization Menü anwendungsunabhängig

Programme für klassische Federberechnung1

anwendungsspezifisch

Lebensdauervorhersage

CAD-Programm

Fertigungsdatentransfer Federdatenbank Maske

anwendungsunabhängig

Produktmodell MKS-Programm

STEP (AP 214, AP 104 u.a.)

anwendungsspezifisch

DIN

Geometriemodell

Zulieferteile

Gestaltungsrichtlinien

Werkstoffe

Restriktionen der MST

Rohmaterial

Spezialwissen Erfahrungen

FEM-Programm

Computer Algebra System

Abb. 8.3. Konzept des Entwurfssystems für Federungen 1

z. B. Programm Fedpro (s. Abschn. 8.3)

390

8 Rechnereinsatz zum Federentwurf

Das Entwurfssystem ist so projektiert, dass es den Konstrukteur über den gesamten Entwurfsprozess von Federungen von der Prinzipfestlegung in den frühen Phasen der Produktentwicklung bis hin zur Fertigungs- bzw. Einsatzfreigabe des Produktes unterstützt (Abb. 8.4) [8.48][8.49]. CAD Entwicklungsprozess

Prinzip der Federung

FEM Gestaltung MKS

GESTALTEN

Berechnung CAS ...

Entwicklungsprozess

Techn. Entwurf

Lebensdauervorhersage ...

Abb. 8.4. Einordnung in den Entwurfprozess

Grundlage der Kopplung der verschiedenen, kommerziell erhältlichen CAx-Produkte bildet ein parametrisiertes Produktmodell, das den bidirektionalen Austausch geometrisch-physikalischer Produktdaten erlaubt. Es soll die mehrfache Modellerzeugung möglichst vermeiden und nimmt daher bei der Verwirklichung des Konzepts eine zentrale Stellung ein. Durch diesen Lösungsansatz wird eine offene, modulare Systemstruktur erreicht. Sie stellt eine spätere Erweiterung des Entwurfssystems sicher, beispielsweise für die bereits genannte Einbindung von Software zur Lebensdauervorhersage von Federungen. Für die Bedienerführung und den Rechnerdialog sieht das Konzept eine Menüstruktur vor, die unter der Bedienoberfläche des CAD-Systems realisiert und für den Konstrukteur leicht verständlich ist. Sie soll ihm die langwierige Einarbeitung in den Umgang mit den kommerziellen Softwaretools weitgehend ersparen. Zu dem Zweck sind die einzelnen Programmmodule so konzipiert, das die Modellerzeugung in der Regel im Hintergrund automatisiert abläuft. Für die Programmierung der Menüs kommen softwareinterne Programmiersprachen zum Einsatz. Voraussetzungen für die Verwirklichung des Konzepts sind damit die Entwicklung und Verfügbarkeit spezieller Features zum automatischen Generieren zweckmäßiger Berechnungsmodelle und dafür erforderlicher Datenfiles sowie die erfolgreiche Installation eines geeigneten Produktmodells. Die Features müssen die physikalischen, geometrischen und techno-

8.1 Stand, Bedingungen, Methoden, Tendenzen

391

logischen Eigenschaften und Sachverhalte von Federn sowie die verfügbaren Werkstoffe berücksichtigen und in die jeweilige CAD-Oberfläche eingebunden werden. Als Standard für den Austausch der Produktmodelldaten sieht das Konzept die Standardschnittstelle STEP® vor, die nach DIN-ISO 10303 bereits international genormt ist [8.152]. Allerdings ist der derzeit anwendbare Teil der Norm für den notwendigen Austausch physikalischer Daten kaum ausreichend. Er beschränkt sich auf die Übertragung von Geometriedaten [8.2][8.93]. Bei den CAD-Systemen ist die Entwicklung und Implementierung der STEP-Prozessoren schon weit fortgeschritten, für die Berechnungsprogramme erfolgte dies aber bisher kaum oder nur mangelhaft. Das konzipierte Entwurfssystem nach Abb. 8.3 ist in seinen Grundzügen weitgehend realisiert. So liegen ein FEM-Federprozessor zur Untersuchung des Eigenschwingungs- und Festigkeitsverhaltens von Federn [8.55] [8.59][8.95][8.96][8.119] bis [8.124][8.126][8.127] sowie ein MKS-Federprozessor für die Simulation ihres dynamischen Verhaltens vor [8.128] bis [8.131][8.147] bis [8.149], deren Aufbau, Inhalt und Leistungsfähigkeit in den Abschn. 8.5 und 8.6 noch näher beschrieben werden. Auch für die Datenbank gibt es bereits einen detaillierten und z.T. realisierten Lösungsvorschlag, der in Abb. 8.5 dargestellt ist. Feder-Datenbank Feder-Datenbank Geometrie

Federformen

Geometrie des Ausgangsmaterials

Querschnittsformen

Kennlinie

Einganginformationen für den Entwurfsassistenten

Bauraum Art der Belastung

Biegung, Torsion, Zug/ Druck, etc.

Material Federsysteme

Federschaltungen

Kopplung zur Umgebung

Federteller, Dorn, Lasche, etc.

Einsatzbedingungen/ Umwelt

Temperatur, Magnetismus, etc.

Herstellung

kalt- / warmgeformt, Prozeßschritte

Auswahlkriterien über Menüabfrage

Abb. 8.5. Struktur und Inhalt der Federdatenbank

392

8 Rechnereinsatz zum Federentwurf

Wie Abb. 8.5 zu entnehmen ist, liefert die Datenbank Geometriemodelle der Federn sowie weitere wichtige Informationen für den Entwurf von Federungen. Sie dient damit im Zusammenwirken mit dem CAD-System als Datenpool des Federentwurfssystems. Bei ihrer Nutzung werden im verwendeten CAD-System – vorgesehen hierfür ist Pro/ENGINEER® [8.176]  mit Hilfe von Menüs grundlegende Anforderungen an die zu entwickelnde Feder abgefragt, z.B. hinsichtlich Kennlinie und Bauraum. Anschließend wird über weitere Spezifizierungen der Lösungsraum eingeschränkt und die Auswahl einer geeigneten Feder vorgenommen. Diese wird mit der Anzeige der gefundenen Federgeometrie beendet. Die Geometrieparameter der Feder stehen dann für die nachfolgende iterative Analyse der Federung zur Verfügung. Nach Abschluss der Berechnung werden neue Lösungen in der Datenbank abgelegt. Probleme bei der Umsetzung des Konzepts des Entwurfssystems bereiten derzeit noch die benötigten Schnittstellen zwischen den verwendeten CAxProgrammen. Das liegt daran, dass sich STEP® mit seinem in DIN-ISO 10303 niedergelegten Entwicklungsstand bisher nur auf die bereits genannte Übertragung von Geometriedaten und die Datenhaltung beschränkt und für den erforderlichen Austausch physikalischer bzw. werkstofftechnischer Daten nicht ausreicht. Das Entwurfssystem orientiert deshalb vorerst auf den bidirektionalen Austausch von relativ einfachen, neutralen Parameterdateien, die auf dem Grundgedanken von STEP® aufbauen und alle geometrisch-physikalischen Parameter der Federung enthalten. Die prinzipielle Wirkungsweise des Datenaustauschs zwischen den CAx-Programmen über Parameterdateien ist Abb. 8.6 zu entnehmen.

MKS

Parametermodell

CAD

Federmaterial

Koppelphysik

Federgeometrie

Koppelgeometrie

FEM FederRandbedingungen s(t), F(t)

SystemRandbedingungen s(t), F(t)

Abb. 8.6. Schema für den Datenaustausch zwischen den CAx-Systemen

8.2 Kommerzielle Programme zum Federentwurf

393

Die verwendeten Parameterdateien werden in den gekoppelten CAxSystemen automatisch aktualisiert, wobei die Programme nur den Teil der Daten des Parametermodells nutzen, den sie interpretieren können. Die zur Verwirklichung dieses Datenaustauschkonzeptes notwendige Anpassungsprogrammierung der Einzelsysteme kann mit Hilfe höherer Programmiersprachen wie C sowie programminterner Programmiersprachen wie Pro/TOOLKIT™ [8.176], APDL und AVCL erfolgen [8.12]. Dabei ist jedoch zu beachten, dass es sich bei diesen Lösungsansatz noch nicht um die angestrebte Integration der verschiedenen Softwaresysteme handelt, sondern nur um eine Programmkopplung durch Parameteraustausch mit anschließender Modellerzeugung im jeweiligen Programm. Es wird damit also weder ein gemeinsames rechnerinternes Produktdatenmodell (RIM) genutzt noch eine allgemein nutzbare Schnittstelle für der Austausch von geometrisch-physikalischen Daten geschaffen. Der Aufwand der mehrfachen Geometrieerzeugung bleibt somit bestehen. Zusammenfassend lässt sich feststellen, dass für den rechnerunterstützten Federentwurf derzeit folgende Unterstützungsmöglichkeiten bestehen: x kommerzielle Programme zur Federberechnung mit Hilfe der vereinfachten klassischen Modelle (s. Abschn. 8.2), x Programme zur Berechnung und Auswahl von Schraubendruckfedern unter Vorgabe von Optimierungszielen (s. Abschn. 8.3), x Programme zum Entwurf dynamisch wirkender Federantriebe auf der Grundlage der Bewegungsdifferentialgleichung (s. Abschn. 8.4), x Programme zur Anwendung der Finite Elemente Methode und der Mehrkörpersimulation für ausgewählte Einsatzfälle sowie, x Lösungsansätze und Lösungen für komplexere Entwurfssysteme für Federn und Federungen (s. Abschn. 8.5, 8.6 und 8.7) Unabhängig vom genutzten Programmtyp ist aufgrund der Federspezifik und der Komplexität der meisten Aufgabenstellungen immer iteratives Vorgehen notwendig, wenn man einmal vom Sonderfall der Nachrechnung von Federn mit bereits bekannten Abmessungen absieht. Inhalt und Leistungsfähigkeit der Programme, Voraussetzungen für deren Anwendung und Anwendungsbeispiele sollen in den folgenden Abschnitten näher behandelt werden.

8.2 Kommerzielle Programme zum Federentwurf Für die Dimensionierung, Auswahl und Nachrechnung von Federn stehen kommerzielle Programme mehrerer Anbieter zur Verfügung. Sie sind hauptsächlich für den Einsatz von Personalcomputern ausgelegt, teilweise

394

8 Rechnereinsatz zum Federentwurf

auch für Workstations verfügbar. Je nach Hardwarekonfiguration sind sie unter den PC-Betriebssystemen WINDOWS oder LINUX lauffähig. Die Programme sind Bestandteile von Programmsystemen zur Auslegung von Maschinenelementen und -baugruppen. Typische Vertreter derartiger Programmsysteme sind HEXAGON [8.168], MABAU [8.172] und MDESIGN [8.173]. Die Programmsysteme sind in ihrem Inhalt und in ihrer Leistungsfähigkeit vergleichbar. Sie verfügen über eine Oberfläche mit Bedienerführung in Menütechnik und sind modular aufgebaut. Zur Auslegung von Federn existieren jeweils Module zur Berechnung von x x x x x

zylindrischen Schraubendruckfedern nach DIN EN 13906-1; zylindrischen Schraubenzugfedern nach DIN EN 13906-2; Drehfedern nach DIN EN 13906-3; Drehstabfedern nach DIN 2091; Tellerfedern und Tellerfedersäulen nach DIN 2092 bzw. 2093.

HEXAGON stellt darüber hinaus auch Module zur Berechnung von Schraubendruckfedern mit nichtlinearer Kennlinie (zylindrische Druckfedern mit veränderlicher Steigung, Tonnenfedern, Taillenfedern, Kegelund Doppelkegelfedern), von Blattfedern, von Spiralfedern ohne Windungszwischenraum, von Federringen, von Wellfedern sowie von Gummiund Elastomerfedern zur Verfügung. Die Programme orientieren sich an den geltenden DIN-Normen und an den im Kapitel 4 dargelegten Berechnungsgrundlagen. Sie eignen sich für den Entwurf von Federn nach stationären bzw. quasistationären Gesichtspunkten, ermöglichen aber auch das Einbeziehen dynamischer Betriebsbedingungen bzw. Belastungen (Lastspiel- bzw. Betriebsfrequenz, erforderliche Lastspielzahl, Eigenfrequenz, Hubspannung nach Goodman- oder Haigh-Diagramm usw.). Auch die geltenden Gütevorschriften nach DIN 2093 (Tellerfedern), DIN 2095 (kaltgeformte Druckfedern), DIN 2096 (warmgeformte Druckfedern) und DIN 2097 (Schraubenzugfedern) werden bei der Dimensionierung bzw. Nachrechnung berücksichtigt. Zur Unterstützung der Eingabe in Menüform stehen verschiedene Dateien bzw. Datenbanken zur Verfügung. Sie betreffen vorrangig Materialkennwerte und Gestaltvarianten für die Federenden, enthalten aber ebenso Angaben zu Normfedern nach DIN 2098 und zu technologischen Besonderheiten sowie Hinweise zur Auswahl des Lagerungsbeiwertes v für die Berechnung der Knicksicherheit von Schraubendruckfedern u.a.m. Teilweise werden derartige Informationen auch in grafischer Form zur Verfügung gestellt. Die Ausgabe der Ergebnisse erfolgt sowohl in alphanumerischer als auch in grafischer Form über Bildschirm oder Drucker. Die alphanumerischen Daten werden in Tabellenform bereitgestellt. Die grafischen Ausgaben beziehen sich bei allen Systemen auf die Ausgabe der Federkennlinie

8.2 Kommerzielle Programme zum Federentwurf

395

und der Federzeichnung. Bei einigen Programmversionen [8.168][8.173] kann auch das Bestellformular bzw. die Fertigungszeichnung über standardisierte Schnittstellen wie DXF oder IGES ausgegeben werden, womit gewisse Voraussetzungen zur Einbindung in CAD-Systeme vorhanden sind. Auch Ausgabeformate für EXCEL bzw. für den InternetDatenaustausch sind zunehmend verfügbar. Tabelle 8.1 zeigt beispielhaft den Protokollausdruck für die Auslegung einer zylindrischen Schraubendruckfeder nach DIN EN 13906-1 mit allen Ein- und Ausgabedaten, wie ihn MDESIGN in seiner neuesten Programmversion zur Auslegung und Nachrechnung zylindrischer Schraubendruckfedern mit linearer Federkennlinie erzeugt [8.78]. Das Programm wurde in engem Zusammenwirken mit einem Federanwender der Automobilzulieferindustrie entwickelt, dessen Firmen-Know-how an vielen Stellen des Programms eingeflossen ist. Dieses Firmen-Know-how kann wahlweise aktiviert werden und tritt dann an die Stelle der ebenfalls implementierten Berechnungsvorschrift nach DIN EN 13906-1. Im Einzelnen betreffen diese praxiserprobten Erweiterungen beispielsweise eine spezielle Blocklängenberechnung, die einfederungsabhängige Korrektur der federnden Windungszahl oder die Setzlängenberechnung. Dazu zählt auch die Berücksichtigung der verschiedenen Belastungsfälle. Dafür sieht das aktualisierte Programm anstelle der gängigen zwei Belastungsfälle (statisch bzw. quasistatisch, schwingend) nunmehr einen dritten Lastfall (schwingend mit dynamischer Überhöhung) vor, der beim Auftreten von Federeigenschwingungen zu berücksichtigen ist (Abb. 8.7). Eine sinnvolle Anwendung dieses Lastfalls setzt allerdings die Kenntnis und Vorgabe des Über- bzw. des Unterschwingfaktors aus ähnlichen Einsatzfällen voraus. Die bei dynamischer Belastung erforderliche Überprüfung der Dauerschwingfestigkeit bzw. der Zeitfestigkeit kann entweder normgemäß mit Hilfe des Goodman-Diagrammes oder mit Hilfe des Haigh-Diagrammes erfolgen. Als Korrekturfaktoren für die Schubspannungsberechnung sind dabei wahlweise der Korrekturfaktor k nach DIN EN 13906-1 (Bergsträsser) oder der Korrekturfaktor k’ nach Kloos und Kaiser [8.60] verwendbar. Bei der Auslegungsrechnung unterscheidet das Programm je nach Wahl der Vorgabewerte zur Charakterisierung der Federfunktion (zwei Funktionskräfte, Hub, Rate) vier sog. Federungsaufgaben. Als Eingaben sind dabei jeweils drei der vier möglichen Werte erforderlich, der vierte Wert wird automatisch berechnet und im Eingabemenü angezeigt. Im Beispiel nach Abb. 8.8 werden die geforderte Kraft im vorgespannten Einbauzustand FV ( F1), die geforderte Kraft im entgespannten Zustand Fg ( F2) und der geforderte Hub sh als Eingabedaten verlangt und daraus die Federrate Rvg. ( R) berechnet.

396

8 Rechnereinsatz zum Federentwurf

Tabelle 8.1a. Protokoll für ein Berechnungsbeispiel zur Auslegung einer zylindrischen Schraubendruckfeder, Teil Eingabedaten, nach [8.173] TU Ilmenau Programm : MEDESIGN Explorer Benutzer : TU Ilmenau

Kunde

Version:

Proj. Nr. : 1

: 4.0

Datum

: 11.07.2006

:A

Lineare zylindrische Schraubendruckfeder Eingabedaten: Allgemeine Angaben Berechnungsgang Federungsdaten Vorspannkraft Kraft, endgespannt Mittlere Federrate Arbeitsweg (Hub) Werkstoffauswahl Zu verwendende Werkstoffdatenbank Werkstoffbezeichnung Werkstoffnummer Strahlzustand Datenqualität kleinster verfüg. Drahtdurchmesser Zugfestigkeit für d_minv R_m für größter verfügb. Drahtdurchmesser Zugfestigkeit für d_minv R_m für Durchmesserangaben Durchmesserrestriktionen Äußerer Windungsdurchmesser

F_v F_v R_vg s_H

= = = =

Auslegungsrechnung 1: Eingabe F_v, F_g, s_h 48 N 120 N 3 N/mm 24 mm

d_minv d_minv d_maxv d_minv

: : : : = = = =

allgem. Werkstofftabelle VDSiCr DIN EN 10270-2 kugelgestrahlt DIN EN 13906-1 0. 5 mm 2 2080 N/mm 10 mm 2 1670 N/mm

D_e =

1: D_e fest 20 mm

Beanspruchungsfall: Beanspruchungsfall 2: schwingend Lastspielzahl (in Mio) N = 10 Dauerfestigkeit anhand von Goodman Spannungskorrekturfaktor k (DIN, Bergsträsser) statische Festigkeitsgrenze DIN EN 10270-2 Berücksichtigung des Wickelverhältnisses Ja Konstruktive Gestaltung Oberflächenbeschichtung Arbeitstemperatur T = Gestaltung der Engwindungen Windungszahl fest (nicht federnd) n_fest = Blocklängenberechnung Korrektur der Wingungszahl Vorauslegung einer progressiven Feder Blocklängenreduzierung durch Flachwalzen Lagerung der Feder (Knickfall)

Nein o C 20 angelegt u. plangeschliffen 2 nach DIN Nein Nein Nein 5: Kein Kippen u. Auslenken

Setzen Berechnung der Setzlänge

Setzlänge nicht berechnen

Datenausgabe Ausgabeseite Ausgabe des Datenblattes als Exceltabelle

Kurzform Nein

8.2 Kommerzielle Programme zum Federentwurf

397

Tabelle 8.1b. Protokoll für ein Berechnungsbeispiel zur Auslegung einer zylindrischen Schraubendruckfeder, Teil Erläuterung ausgewählter Federparameter [8.173] TU Ilmenau Programm : MEDESIGN Explorer Benutzer : TU Ilmenau

Kunde

Version:

Proj. Nr. : 1

: 4.0

Datum

: 12.07.2006

Lineare zylindrische Schraubendruckfeder

:A

398

8 Rechnereinsatz zum Federentwurf

Tabelle 8.1c. Protokoll für ein Berechnungsbeispiel zur Auslegung einer zylindrischen Schraubendruckfeder, Teil Berechnungsergebnisse, nach [8.173] TU Ilmenau Programm : MEDESIGN Explorer Benutzer : TU Ilmenau

Kunde

Version:

Proj. Nr. : 1

: 4.0

Datum

: 14.07.2006

:A

Lineare zylindrische Schraubendruckfeder

Federberechnung-Ergebnisse: Drahtdurchmesser d = 2.000 mm mittlerer Windungsdurchmesser D = 18.000 mm äußere Windungsdurchmesser D_e = 20.000 mm innerer Windungsdurchmesser D_i = 16.000 mm federnde Windungszahl n = 9.500 Gesamtwindungszahl n_t = 11.500 Federrate, allgemein R_vg = 2.942 N/mm Summe der Mindestwindungsabstände(DIN) S_a (DIN)= 8.417 mm Summe der Mindestwindungsabstände(vorhanden) S_avorh)= 8.713 mm Länge der unbelasteten Feder L_0 = 72.789 mm Länge der vorgespannten Feder L_v = 56.000 mm Länge der endgespannten Feder L_g = 32.000 mm kleinste Prüflänge L_n = 31.704 mm Blocklänge der Feder L_c = 23.787 mm Federweg der vorgespannten Feder s_v = 16.788 mm Federweg der endgespannten Feder s_g = 40.788 mm Arbeitsweg (Hub) s_h = 24.000 mm Größter zulässiger Federweg s_n = 41.085 mm Federweg bis zum Blockzustand s_c = 49.502 mm Vorspannkraft F_v = 49.502 N Kraft, engespannt F_g = 120.000 N Krafthub F_h = 70.609 N theortische Federkraft bei Blocklänge F_c = 145.636 N Wickelverhältnis w = 9.000 Spannungskorrekturfaktor (nach Bergsträsser) k = 1.152 2 korrigierte Schubspannung bei Blocklänge W_kc = 961 N/mm 2 mit k korrigierte Unterspannung in der Feder 326 N/mm W_kv = 2 mit k korrigierte Oberspannung in der Feder 792 N/mm W_kg = 2 mit k korrigierte zul. Oberspannung W_kg_zul = 825 N/mm 2 mit k korrigierte Hubspannung in der Feder W_kh = 466 N/mm 2 mit k korrigierte zul. Hubspannung 499 N/mm W_kh_zul = 2 statische Festigkeitsgrenze in Abh. Von R_m N/mm W_zulRm = 1005 Sicherheit gegen Schwingbruch ohne dyn. Überh. j_szus = 1.070 stat. Sicherheitsfaktor ohne dyn. Überhöhung j_sstat = 1.270 Schlankheitsgrad der Feder O = 4.044 Kickfederweg Vergrößerung des Windungsdurchmessers bei L_v 0.088 mm ' D_v = Vergrößerung des Windungsdurchmessers bei L_g ' D_g = 0.202 mm kleinster Windungsabstand a_min = 5.211 mm größter Windungsabstand a_max = 5.211 mm Querfederrate einseitig eingesp Feder bei L_v R_Qv = -0.151 N/mm Querfederrate einseitig eingesp Feder bei L_g R_Qg = -2.231 N/mm Längseigenfrequenz der Feder f_e = 236 Hz Masse des Federdrahtes m = 16.038 g Länge des benötigte Federdrahtes L_d = 650.310 mm Faktor Spannungs- zu Kraftänderung (k-korr) 'W_k/ 'F = 5.717

Hinweise: - a_max ! 0,95 * d! Verhaken der Federn möglich, Kugelstrahlen schwierig.

8.2 Kommerzielle Programme zum Federentwurf

399

Die Werkstoffauswahl erfolgt über eine Datenbank, in der die Kennwerte der Werkstoffe nach DIN EN 10270 enthalten sind. Darüber hinaus besteht aber auch die Möglichkeit, nutzerspezifische Werkstofftabellen zu verwenden. Sie müssen in einer dem Programm verständlichen Form angelegt sein und dürfen keine Namensdopplungen enthalten. Zur Erarbeitung und Überprüfung dieser Datenbank steht ein entsprechendes Werkzeug zur Verfügung.

Abb. 8.7. Auswahlbox für die Wahl des Belastungsfalles im Programm „Druckfederberechnung“ von MEDSIGN Explorer, hier schwingender Beanspruchungsverlauf

Abb. 8.8. Eingabemenü für die Auswahl der vier möglichen Federungsaufgaben, hier Fall 1 mit Fv, Fg und sh

400

8 Rechnereinsatz zum Federentwurf

Für die Bauraumanpassung sieht die Auslegungsrechnung die Vorgabe des Federdurchmessers vor. Dabei kann zwischen fünf verschiedenen Durchmesser-Restriktionen gewählt werden: Vorgabe (1) eines äußeren Windungsdurchmessers De, (2) eines mittleren Windungsdurchmessers D, (3) eines inneren Windungsdurchmessers Di, (4) eines Dorndurchmessers Dd und eines Hülsendurchmessers Dh und (5) eines Wickelverhältnisses w (Abb. 8.9).

Abb. 8.9. Mögliche Varianten zur Festlegung des Federdurchmessers, hier

des Federaußendurchmessers De Zur grafischen Unterstützung dieser Auswahl stellt das Programm auch eine Auswahlbox nach Abb. 8.10 bereit. Ebenso kann die Auswahl der Ausführungsform der Federenden gemäß Abb. 8.11 grafisch unterstützt erfolgen. Wichtig ist in dem Zusammenhang auch die Anzahl der an der Federung nicht beteiligten Endwindungszahl nfest. Sie muss bei der Dateneingabe berücksichtigt werden (s. Tabelle 8.1a).

Abb. 8.10. Auswahlbox zur grafischen Unterstützung der Festlegung des Federdurchmessers, hier von De

Schließlich muss vor Beginn der Rechnung auch die Lagerungsart der Feder festgelegt werden, um den Federweg sK berechnen zu können, bis zu

8.2 Kommerzielle Programme zum Federentwurf

401

dem die Feder knicksicher ist. Dabei werden die fünf nach Norm klassifizierten Lagerungsfälle der Federenden zur Auswahl angeboten. Die in Abb. 8.12 dargestellten Federteller haben Einfluss auf den Knickfederweg sK. Ihre Dicke kann bei dessen Berechnung berücksichtigt werden

Abb. 8.11. Auswahlbox zur grafischen Unterstützung der Festlegung der Ausführungsform der Endwindungen, hier angelegt und angeschliffen

Abb. 8.12. Auswahlbox zur grafischen Unterstützung der Festlegung der Lagerungsart der Feder, hier Fall 5: Ausbiegen, d.h. kein Kippen und Auslenken des Federendes, Lagerungsbeiwert v = 0,5 (vgl. a. Abb. 4.33)

Nach Abschluss dieser Eingaben kann die Auslegungsrechnung der Feder gestartet werden. Sie erfolgt mit dem Ziel einer optimalen Spannungsauslastung des Federdrahtes. Für statisch beanspruchte Federn wird dazu eine zulässige Spannung Wt zul zugrundegelegt, die sich aus der Zugfestigkeit Rm durch Vorgabe des Verhältnis Wt zul/ Rm ergibt. Hierfür ist nach DIN EN 13906-1 der Wert 0,56 anzusetzen, das Programm lässt aber auch die Wahl anderer, in der Praxis bereits genutzter größerer Werte zu [8.23] bis [8.27][8.71][8.115][8.117]. Bei dynamischer Belastung wird das entsprechende Dauerfestigkeitsschaubild bis zur Grenze der jeweiligen Ober- und Unterspannung ausgenutzt.

402

8 Rechnereinsatz zum Federentwurf

Die Auslegungsrechnung geschieht in mehreren Schritten. In einem ersten Schritt, der sog. Erstauslegung (Abb. 8.13), werden alle relevanten Daten einer Feder ermittelt und angezeigt, die sich für die gewählten Eingabewerte und bei optimaler Spannungsauslastung des Drahtes ergeben. In einer zweiten Datenspalte wird dem Nutzer die Anpassung an seine Einsatzbedingungen ermöglicht. Dazu werden zunächst der Drahtdurchmesser automatisch auf den nächstgrößeren Normwert (DIN EN 10270) gerundet und die sich daraus ergebenden geänderten Federdaten berechnet und angezeigt. Danach können der gerundete Drahtdurchmesser d und die berechneten Werte für den mittleren Windungsdurchmesser D ( Dm), für die Windungszahl n und die Länge der unbelasteten Feder L0 bzw. wahlweise auch der vorgespannten Feder Lv ( L1) oder der endgespannten Feder Lg ( L2) verändert und hinsichtlich ihrer Auswirkungen auf die übrigen Werte sofort überprüft werden. Auf diese Weise besteht dann u.a. die Möglichkeit der Anpassung der Federlänge Lv bzw. Lg an die verfügbare Einbaulänge. Ebenso kann in dieser Berechnungsphase die meist erforderliche Rundung der Anzahl federnder Windungen auf Vorgabewerte, üblicherweise auf nf = i + 0,5 bzw. nf = i (mit i als ganzer Zahl) erfolgen. Bei diesen Anpassungen ist jedoch zu beachten, dass sich damit auch die Spannungsauslastung des Drahtes verändert und gegenüber der Erstauslegung prinzipiell verschlechtert. Dennoch bleibt aber bei richtigem Vorgehen eine Auslastung des Drahtes in der Nähe der zulässigen Spannung erhalten.

Abb. 8.13. Datenanzeige nach der Vorauslegung zwecks Anpassung an die Nutzerbedingungen (Ausschnitt)

Nach Beendigung der Nutzeranpassung kann schließlich die endgültige Berechnung der Feder und die Ausgabe der gewünschten Daten erfolgen. Neben einer Liste mit berechneten Federparametern (s. Tabelle 8.1c) wer-

8.2 Kommerzielle Programme zum Federentwurf

403

den als Ergebnis die Federkennlinie und im Falle der Berechnung dynamisch beanspruchter Federn auch das Goodman- oder das Haigh-Diagramm mit den eingetragenen Spannungswerten für den Arbeitsbereich der Federn zur Verfügung gestellt (s. Tabelle 8.1b). Außerdem wird bei Wahl einer ausführlicheren Darstellung der Berechnungsergebnisse auch eine Tabelle mit der Angabe der Toleranzen für den Windungsdurchmesser, die Funktionskräfte, die Länge der ungespannten Feder sowie für den Schiefstand der Feder und die Parallelität der angeschliffenen Federenden ausgegeben. Dabei können außer der Fertigungsgüte nach DIN 2095 auch Forderungen mit weiter eingeengtem Toleranzbereich berücksichtigt werden. In analoger Weise zur Auslegungsrechnung kann bei Vorgabe von Federgeometrie- und Funktionsdaten auch die Nachrechnung von Schraubendruckfedern erfolgen. Der Berechnungsgang ist dabei mit dem abschließenden Berechnungsgang der Auslegungsrechnung nach Beendigung der Nutzeranpassung vergleichbar, erfordert allerdings das Ausfüllen eines gesonderten Eingabemenüs (Abb. 8.14).

Abb. 8.14. Eingabemenü zur Nachrechnung einer zylindrischen Schraubendruckfeder mit linearer Federkennlinie (Ausschnitt)

Der Protokollausdruck für die Eingabedaten des Nachrechnungsmoduls ist ähnlich wie der für die Auslegungsrechnung aufgebaut. Gleiches gilt auch für den Protokollausdruck der Nachrechnungsergebnisse. Insgesamt unterstützt das Programm in seiner aktualisierten Version den Nutzer auf vielfältige Weise bei der Bewältigung der Federberechnung. Neben einer allgemeinen Programmbeschreibung, die den Einstieg in die Bedienung erleichtert, werden zu vielen Eingabevariablen Text- oder Grafikhilfen zur Verfügung gestellt, die der Nutzer in dafür vorgesehenen Bereichen des Programmfensters anzeigen lassen kann. Diese Hilfen erläutern die Bedeutung und die Eigenschaften der betreffenden Eingabegröße und halten darüber hinaus Hinweise zur Wahl sinnvoller Werte bereit. Außerdem unterstützen sie den Nutzer bei der Einordnung einzelner Größen in den Berechnungsablauf und geben Auskunft über deren Einfluss auf das Ergebnis. Ebenso werden bei Unter- oder Überschreitung vorgegebener Grenzwerte bzw. bei nicht zweckmäßiger Auslegung der Feder entspre-

404

8 Rechnereinsatz zum Federentwurf

chende Kommentare mit Hinweisen für gezielte Veränderungen der Eingabedaten eingeblendet. Auch die anderen genannten Programmsysteme weisen ähnliche Hilfesysteme und Protokolle auf. Unterschiede bestehen weniger im Inhalt, da sie die gleichen Normen als Berechnungsgrundlage verwenden, als vielmehr in der Gestaltung der Dokumentation. Ebenso sind aufgrund der angewendeten unterschiedlichen Softwaretechnologien zwischen den genannten Programmsystemen zwangsläufig Unterschiede in Bedienerführung und Programmbeschreibung vorhanden. Generell lässt sich abschließend zu den kommerziellen Programmen feststellen, dass sie dem Konstrukteur den Federentwurf wesentlich erleichtern. Besonders der im Federentwurf ungeübte Konstrukteur erhält damit die Möglichkeit, in kurzer Zeit zu vorläufigen Problemlösungen zu gelangen. Diese sind dann im Kontakt mit dem Federhersteller zu fertigungsreifen Lösungen zu entwickeln. Eine derartige Abstimmung mit dem Hersteller ist ohnehin stets notwendig, da die Normen das unternehmensspezifische Know-how der komplizierten Federfertigung nicht repräsentieren und damit auch in den genannten Programmen nahezu das gesamte verfahrenstechnische Hintergrundwissen fehlt.

8.3 Programm zur Schraubendruckfederoptimierung Die Nutzung der verfügbaren kommerziellen Berechnungsprogramme erbringt gegenüber der Anwendung der früher üblichen manuellen Unterstützungsmittel, wie Nomogrammen und Rechenschiebern, zwar die gewünschte Erleichterung, jedoch sind die damit erzielten Ergebnisse nicht immer optimal. Das gilt insbesondere bei ihrer Anwendung durch einen im Federentwurf unerfahrenen Nutzer. Ursachen hierfür bestehen u.a. darin, dass der Nutzer den zugrundeliegenden programminternen Berechnungsgang zumeist nicht kennt und dass er durch die vorliegenden Programme in der für den Federentwurf typischen iterativen Vorgehensweise (s. Kap. 4) noch immer zu wenig zielführend unterstützt wird. Hinzu kommt, dass die Programme aufgrund ihrer Anwendungsbedingungen (Eingabedaten; Zielgrößen der Dimensionierung; Art, Umfang und Grenzen der Restriktionen u.a.m.) und des verwirklichten Berechnungsablaufs meist nicht das gesamte mögliche Lösungsfeld erschließen und dieses hinsichtlich seiner Brauchbarkeit analysieren. Eine Verbesserung dieser Problemsituation ist nur durch Verfügbarkeit und Anwendung einer Software zu erreichen, die so beschaffen ist, dass damit das gesamte mögliche Lösungsfeld erschlossen und hinsichtlich Ein-

8.3 Programm zur Schraubendruckfederoptimierung

405

haltung vorgegebener Funktionsanforderungen und Randbedingungen sowie ausgewählter Optimierungsziele analysiert werden kann. Diese Software sollte zugleich auch einen treffsicheren, realitätsnäheren Federentwurf ermöglichen, um den in relativ vielen Fällen notwendigen nachfolgenden Änderungsaufwand zu reduzieren. Letzteres kann nur durch Implementieren genauerer Berechnungsmodelle geschehen, die die Auswirkungen der vereinfachenden Annahmen der klassischen Berechnungsmodelle beseitigen. Hierfür kommen beispielsweise in Betracht [8.67]: x Verwenden einer realen, meist nichtlinearen Federkennlinie durch Berücksichtigen des Anlegens der Übergangswindungen nü bei Belastung der Feder [8.23][8.72][8.74] bis.[8.77][8.79][8.87][8.88][8.112][8.113] [8.115][8.116]; x Berücksichtigen aller in der Feder auftretenden Spannungsanteile bei gleichzeitig verbesserter Nachbildung der Spannungsverteilung im Drahtquerschnitt (s. Abschn. 4.3.2.3); x Verwenden der Torsionsfließgrenze WtF zur Bestimmung der zulässigen Torsionsspannung Wt zul anstelle der bisher üblichen Ermittlung aus der Zugfestigkeit Rm [8.23] bis [8.25] x Berücksichtigen des veränderlichen Steigungswinkels D bei Belastung und Verformung der Feder (s. Abschn. 4.3.2.3); x Berechnen aller Eigenfrequenzen (Längs-, Dreh- und Quer-Eigenfrequenzen) [8.74] bis [8.77][8.79][8.112][8.113]. Bei der optimalen Auslegung von Schraubendruckfedern sind die in Abschn. 6.3.3 genannten Zielstellungen und Bedingungen zu berücksichtigen. Da es dabei vorrangig um die Festlegung der geometrischen Parameter eines Objektes geht, sind zur Lösung der Aufgabe vor allem Verfahren zur Parameteroptimierung geeignet. Wie eine Analyse der Arbeiten zu dieser Thematik zeigt [8.67], wurden bisher zur Optimierung von Schraubendruckfedern hauptsächlich kontinuierliche Parameteroptimierungsverfahren genutzt. Wesentliche Ursachen dafür sind zum einen in der Komplexität der Aufgabenstellung und zum anderen im Entwicklungsstand der Rechentechnik zu sehen. Diese war zum Zeitpunkt der Veröffentlichung der Arbeiten [8.1][8.9][8.18][8.35] [8.36][8.65][8.86][8.89][8.101] für die Anwendung anderer Optimierungsverfahren noch nicht leistungsfähig genug. Das betrifft sowohl die Rechnergeschwindigkeit als auch die verfügbare Speicherkapazität. In den letzten Jahren hat die Rechentechnik jedoch große Fortschritte erzielt, so dass damit auch andere Ansätze und Algorithmen für die Federdimensionierung und -optimierung gewählt und umgesetzt werden können. So ist es jetzt möglich, das Verfahren der Parameteranalyse als Be-

406

8 Rechnereinsatz zum Federentwurf

rechnungsalgorithmus einzusetzen. Mit dessen Hilfe können alle Lösungen einer Lösungsmenge ermittelt und analysiert werden. Es wird deshalb auch als vollständige Enumeration [8.21][8.22] bezeichnet und zählt zu den Verfahren der diskreten Optimierung. Liegen bei Anwendung des Verfahrens alle Parameter für die Dimensionierung eines Objektes in kontinuierlicher Form vor, dann entsteht eine unendlich große Lösungsmenge. Existieren jedoch Parameter in diskreter Form – im Maschinenbau und speziell bei Federn ist das durch in Normen vorgegebene Größenstufungen der Fall – dann ergibt sich eine endliche Lösungsmenge. Damit wird auch die benötigte Rechenzeit in Grenzen gehalten. Außerdem eignet sich das Verfahren für eine weitgehende Automatisierung des Berechnungsablaufs. Bei Anwendung des Verfahrens der Parameteranalyse und Verwirklichung eines Algorithmus zur automatischen Parametervariation sind somit bessere Voraussetzungen für eine erfolgreiche Aufgabenlösung beim Federentwurf vorhanden als das mit dem bisher in den Federberechnungsprogrammen verwirklichten Lösungsansatz der Fall war. Ausgangspunkt für diese Vorgehensweise bilden auch hier die bekannten Beziehungen für die Schraubendruckfederberechnung nach Tabelle 4.18. Von besonderer Bedeutung ist dabei die Beziehung für die Federrate R

F s

G˜d4 8 ˜ n f ˜ Dm3

konst. ,

(8.1)

die als Grundlage für die Parametervariation und –analyse dient. Gemäß dieser Beziehung sind die Parameter Drahtdurchmesser d, mittlerer Windungsdurchmesser Dm und federnde Windungszahl nf so zu variieren und festzulegen, dass die problemlösenden Federn die vorgegebene Federrate R verwirklichen. Sie wird demzufolge als konstante Größe vorausgesetzt. Diese Bedingung ist durch die Forderung nach Schraubendruckfedern mit linearer Federkennlinie und die Vorgabe von Funktionswegen und -kräften erfüllt. Und auch der Gleitmodul G kann gemäß der geltenden Normen als konstante Größe vorausgesetzt werden. Er ist mit der Wahl des Drahtmaterials, die der Dimensionierung der Feder vorausgehen muss, festgelegt. Unter diesen Voraussetzungen können aus Gl. (8.1) drei mögliche Funktionen als Grundlage für die optimale Auslegung von Schraubendruckfedern nach dem Verfahren der Parameteranalyse abgeleitet werden (Tabelle 8.2). Um die Bedingungen der Anwendung des Verfahrens der Parameteranalyse zu erfüllen, darf der Term auf der rechten Seite des Gleichheitszeichens nur Konstanten oder diskrete Parameter beinhalten. Deshalb müssen in den Beziehungen nach Tabelle 8.2 jeweils zwei der

8.3 Programm zur Schraubendruckfederoptimierung

407

drei die Federrate beeinflussenden Geometrieparameter als diskrete Variationsparameter vorgegeben werden. Tabelle 8.2. Mögliche Funktionen für die Parameteranalyse zum Dimensionieren von Schraubendruckfedern (nach [8.67][8.70]) Vorgegebene, diskrete Parameter

Funktionen für Parameteranalyse

Variante 1

d, nf

Dm

Variante 2

d, Dm

nf

Variante 3

Dm, nf

d

3

G˜d4 8 ˜ nf ˜ R

G˜d4 8 ˜ R ˜ Dm3 4

8 ˜ nf ˜ Dm3 ˜ R G

(8.2)

(8.3)

(8.4)

Prinzipiell sind alle drei in Tabelle 8.2 angegebenen Varianten von Funktionen für die Parameteranalyse anwendbar. Eine nähere Betrachtung der Gegebenheiten bei der Dimensionierung von Schraubendruckfedern führt jedoch zum Präferieren der Variante 1, weil der Drahtdurchmesser d und die Anzahl der federnden Windungen nf sich besonders gut für die Vorgabe als diskrete Parameter eignen. Gründe hierfür sind: x Der Drahtdurchmesser d wird in genormten, diskreten Abstufungen hergestellt (s. DIN EN 10270). x Für die Anzahl der federnden Windungen nf werden im Regelfall nur gestufte Werte vorgegeben und gefertigt. So ist es in der Praxis üblich, Federn auf eine halbe Windung enden zu lassen (z.B. 6,5; 10,5), da dies nach [6][20] u.a. eine annähernd zentrische Krafteinleitung gewährleisten soll. Auch der Einsatz von Federn mit Windungszahlen, die auf einer Viertel- oder Dreiviertelwindung enden, wird bevorzugt. x Der Federaußendurchmesser De und damit auch der nach Gl. (8.2) berechnete mittlere Windungsdurchmesser Dm lässt sich an einer Windemaschine genauer einstellen und anschließend messtechnisch überprüfen als dies für die Anzahl der nach Gl. (8.3) berechnenden federnden Windungen nf möglich ist [8.72][8.87][8.116]. Das mathematische Modell für die Auslegungsrechnung auf der Grundlage der Parameteranalyse basiert somit auf der Berechnung des Windungsdurchmessers Dm nach Gl. (8.2), denn damit kann die Einhaltung der gewünschte Funktion (Federrate R) der Feder auch nach deren Fertigung

408

8 Rechnereinsatz zum Federentwurf

am besten gewährleistet werden. Somit ergibt sich für die Parameteranalyse, bei der der Drahtdurchmesser d und die federnde Windungszahl nf variiert werden, folgende Berechnungsgleichung: Dmij

3

G ˜ d i4 ; 8 ˜ nfj ˜ R

di

d1 ,, d m ,

nfj

nf1 ,, nfn .

(8.5)

Die beschriebene prinzipielle Vorgehensweise wird durch ein auf der Software MS EXCEL aufbauendes Programm umgesetzt, das unter der Programmbezeichnung FedPro bekannt geworden ist [8.67] bis [8.70]. Zu dem Zweck wurden die Standard-Menüleiste von MS EXCEL um eine Schaltfläche mit Feder-Icon zum Starten des Programms FedPro erweitert (Abb. 8.15, rechts) und eine federspezifische Menüleiste zum Bedienen des Programms geschaffen (Abb. 8.16). Über diese Menüleiste können die üblichen Funktionen wie beispielsweise Öffnen, Speichern, Drucken usw. – jetzt immer bezogen auf Federprojekte – aufgerufen werden. Außerdem enthält dieses Menü eine Schaltfläche zum Starten der Federauslegung, die erst nach vollständiger Eingabe aller funktionswichtigen Daten und der benötigten Angaben für die einzuhaltenden Restriktionen sowie für die Federfertigung aktiv wird. Darüber hinaus wird über diese Menüleiste die Steuerung von Variantenrechnungen eines Projektes, sog. Szenarien, ermöglicht (hier Szenario 1+). Deren Ergebnisse lassen sich dann nach Abschluss der Auslegungsrechnung miteinander vergleichen. Auf diese Weise werden die Flexibilität und die Wahlmöglichkeiten beim Federentwurf erhöht.

Abb. 8.15. Ergänzung der EXCEL-Symbolleiste Standard zum Starten des Programms FedPro

Abb. 8.16. Symbolleiste FedPro Dimensionierung

Durch Nutzung der Software MS EXCEL wird es außerdem möglich, die Eingabe- und Ausgabedaten der Federentwurfsrechnung in Tabellenblättern zu erfassen und abzulegen (Abb. 8.17) und diese übersichtlich in Textform bzw. grafisch darzustellen (s. Abb. 8.18).

8.3 Programm zur Schraubendruckfederoptimierung

409

Abb. 8.17. Verzeichnis der Tabellenblätter mit den Ein- und Ausgabedaten zur Federdimensionierung

Abb. 8.18. Tabellenblatt zum Eingeben der Funktionsgrößen

Der im Programm verwirklichte Algorithmus nach Abb. 8.19 ermittelt zunächst durch Variation von di und nfj innerhalb der für diese Größen geltenden oder gewählten Grenzen und unter der Berücksichtigung von Plausibilitäts- und Zulässigkeitskriterien alle Federn mit der vorgegebenen Federrate R. Daran schließt sich eine Überprüfung der vom Anwender vorge-

410

8 Rechnereinsatz zum Federentwurf Start Start

Eingeben der Funktionsgrößen (Festlegen der Kraft-Weg-Kennlinie) Eingeben der Funktionsgrößen (Festlegen der Kraft-Weg-Kennlinie) Auswahl des Drahtmaterials Auswahl des Drahtmaterials Eingeben der Randbedinungen (z. B. Einbaumaße, Knicksicherheit) Eingeben der Randbedinungen (z. B. Einbaumaße, Knicksicherheit)

Startwert für Drahtdurchmesser di und Startwert für Drahtdurchmesser di und federnde Windungszahl nfj festlegen, sowie federnde Windungszahl nfj festlegen, sowie die Diskretisierung für nfi festlegen die Diskretisierung für nfi festlegen

manuell (optional) / automatisch

Berechnen des Windungsdurchmessers Dmi und Berechnen des Windungsdurchmessers Dmi und aller anderen Federparameter aller anderen Federparameter

automatisch

Überprüfen aller Randbedingungen für die berechnete Feder Überprüfen aller Randbedingungen für die berechnete Feder und entfernen unzulässiger Federn aus der Lösungsmenge und entfernen unzulässiger Federn aus der Lösungsmenge

automatisch

Variieren des Drahtdurchmessers Variieren des Drahtdurchmessers und der federnden Windungszahl und der federnden Windungszahl di = di + 1 bzw. nfj = nfj + 1 di = di + 1 bzw. nfj = nfj + 1

nein

automatisch

Alle Federn Alle Federn aus den Kombinationen von aus den Kombinationen von di = d1, ... , dn und nfj = nf1, ... , nfm di = d1, ... , dn und nfj = nf1, ... , nfm berechnet ? berechnet ?

automatisch

ja

mindestens eine mindestens eine Feder zulässig ? Feder zulässig ?

nein

automatisch

ja

manuell (optional) / automatisch

Optimale Feder Optimale Feder suchen ? suchen ? ja

optimale Feder für optimale Feder für verschiedene verschiedene Zielfunktionen suchen Zielfunktionen suchen

automatisch

andere Feder andere Feder als die optimale als die optimale suchen ? suchen ?

nein

manuell (optional) / automatisch

ja andere Feder suchen andere Feder suchen

manuell (optional) / automatisch

nein

Feder Feder gefunden ? gefunden ?

nein

keine Feder gefunden keine Feder gefunden

ja

Feder gefunden Feder gefunden

Dimensionierung mit Dimensionierung mit veränderten Startwerten veränderten Startwerten wiederholen ? wiederholen ?

nein Stop Stop

Abb. 8.19. Algorithmus zur Berechnung und Optimierung von Schraubendruckfedern nach dem Verfahren der Parameteranalyse

8.3 Programm zur Schraubendruckfederoptimierung

411

gebenen Restriktionen an. Bei Verletzung von mindestens einer Restriktion wird die jeweilige Feder als nicht problemlösend eingestuft und von der weiteren Analyse erst einmal ausgeschlossen. Danach erfolgt dann die vollständige Berechnung aller Daten der problemlösenden Federn und das Ermitteln der optimalen Feder für die vorgegeben Optimierungsziele. All dies geschieht ohne Eingriff des Anwenders. Dazu wurde der bisher übliche iterative Berechnungsablauf vollständig der Software übertragen. Die Entscheidung über die Auswahl der zu fertigenden Feder verbleibt aber weiterhin beim Anwender, wofür das Programm diverse Entscheidungshilfen in bereitstellt. Als ein Ergebnis der Berechnung werden die Daten von Federn aufgelistet, die für ein bestimmtes Optimierungskriterium ein Maximum bzw. Minimum erreichen (Abb. 8.20). Derzeit sind das z.B. die Federn mit minimaler Masse oder mit minimalem Einbauvolumen. Prinzipiell kann aber auch für jedes andere, in Abb. 8.21 bzw. unter Abschn. 6.3.3 genannte Kriterium nach einer optimalen Feder gesucht werden. Es gibt nur eine Einschränkung: der zu optimierende Parameter selbst darf im verwendeten Berechnungsmodell kein Vorgabewert sein.

Abb. 8.20. Anzeige ausgewählter Parameter für optimal ausgelegte Schraubendruckfedern

Neben den dargelegten Möglichkeiten zur effizienten Federdimensionierung und –optimierung besitzt FedPro außerdem noch folgende wichtige Programmeigenschaften [8.67][8.68]: x Wahl verschiedener Kombinationen von vorzugebenden Funktionsgrößen; x Verwenden von zwei Datenbanken für Drahtmaterial, von denen die eine auf der Norm DIN EN 10270 aufbaut und in der anderen die ermittelten Kennwerte vorhandener Drähte abgelegt sind, vorzugsweise für die Torsionsfließgrenze WtF; x Rechnen mit Werten für die zulässige Torsionsspannung Wt zul, die aus Kennwerten des Torsionsversuches ermittelt wurden [8.23] bis [8.25];

412

8 Rechnereinsatz zum Federentwurf

x variables Festlegen der Grenzwerte für Parameter, für die Federn zulässig bzw. die für das anzustrebende Optimierungsziel zu beachten sind; x Berechnen der Eigenfrequenzen (Längs-, Quer- und Dreheigenfrequenz) [8.74] bis [8.76][8.78]; x wahlweise Berechnung der Feder für statische und dynamische Einsatzfälle; x Anzeigen der ausgewählten Feder in einer frei beweglichen 3D-Darstellung zur Veranschaulichung der Gestalt der Feder (Abb. 8.21); x Darstellung und Ausgabe eines Federdatenblattes nach DIN 2099-1 im DXF-Format; x Wahlweise Darstellung und Ausgabe von Diagrammen zu weiteren Federkennwerten und –eigenschaften, z.B. Knicksicherheitskurve und Dauerfestigkeitsdiagramm nach Goodman.

Abb. 8.21. Frei bewegliche 3D-Darstellung der ausgewählten Schraubendruckfeder in Seiten- bzw. in gedrehter Ansicht

Die eingangs genannten Verbesserungen des Berechnungsmodells sind in der derzeitigen Version von FedPro noch nicht enthalten, jedoch liegen die für eine Implementierung erforderlichen Voraussetzungen bereits vor [8.67] bis [8.69]. Auch für den beim Federentwurf häufig existierenden Wunsch nach Polyoptimierung gibt es schon entsprechende Lösungsvorschläge. Dabei geht

8.3 Programm zur Schraubendruckfederoptimierung

413

es um die Auswahl einer Feder, die zugleich mehrere Optimierungskriterien erfüllen soll bzw. diesen möglichst nahe kommt. Als zweckmäßige Variante zum Auffinden der in diesem Falle zumeist unumgänglichen Kompromisslösung für die auszuwählende Schraubendruckfeder bietet sich das Verfahren der Vektoroptimierung an. Für den Fall der Optimierung nach den beiden Kriterien minimale Federmasse mnf min und minimales Federeinbauvolumen VE min ist das Vorgehen in Abb. 8.22 dargestellt. Zu diesem Zweck wurden auf der Abszisse die Werte für die Federmasse mnf und auf der Ordinate die Werte für das Einbauvolumen VE aufgetragen (Abb.8.22b). Die Auswertung der durch Parameteranalyse bereitgestellten Federdaten für mf und VE (Abb. 8.22a) liefert in Abb. 8.22b eine Punktemenge, in der jeder Punkt jeweils einer aufgefundenen Feder entspricht. Zu jedem dieser Punkte kann ein Vektor eingezeichnet werden, dessen Betrag sich berechnen lässt. Aus der auf die Weise für die problemlösenden Federn berechneten Vektormenge kann dann schließlich mit Hilfe eines speziellen Suchalgorithmus der Vektor ermittelt werden, der den kleinsten und damit optimalen Betrag besitzt. Die dazugehörige Feder stellt die beste Kompromisslösung für die geforderten Optimalitätskriterien dar. a)

b) 140000

Oberer Grenzwert für das Einbauvolumen V E 207

3

Einbauvolumen V E [mm ]

120000 100000

182

80000 Oberer Grenzwert für die Masse m nf

60000 40000 20000 0 0

50

100

150

200

250

Masse der federnden Windungen m nf [g]

Abb. 8.22. Bestimmen des optimalen Betrages zweier Optimierungskriterien a) Daten der analysierten Federn (Ausschnitt); b) Diagramm zur Darstellung des Prinzips der Vektoroptimierung bei zweiparametriger Polyoptimierung

Der Anwendung dieses Verfahrens kommt zugute, das aufgrund der endlich großen Lösungsmenge von Federn, die durch die Parameteranalyse und das Rechnen mit diskreten Werten für den Drahtdurchmesser d und

414

8 Rechnereinsatz zum Federentwurf

die Anzahl der federnden Windungen nf bedingt ist, kein Vektorbetrag unendlich groß werden kann. Das vereinfacht den Algorithmus zur Polyoptimierung von Schraubendruckfedern nach diesem Verfahren. Unter Umständen ist es außerdem sinnvoll, das Verfahren der Vektoroptimierung zusätzlich mit einer Gewichtung der Optimalitätskriterien und damit der zuordenbaren Zielgrößen der Feder zu kombinieren. Als Möglichkeit zur Polyoptimierung kommt das Verfahren der Parameterwichtung aber auch allein in Betracht, also ohne eine Kombination mit der Vektoroptimierung. Es verwirklicht das einfachste Vorgehen. Nach diesem Verfahren wird für jedes Optimierungskriterium ein bestimmtes Gewicht vorgegeben, mit dem es bei der Gesamtbewertung der ermittelten Federn berücksichtigt werden soll, z.B. die minimale Masse mit 70 % und das Einbauvolumen mit 30 %. Beim Durchsuchen des Lösungsfeldes der Parameteranalyse ist dann die Feder auszuwählen, die diesen Bedingungen am nächsten kommt. Beide Verfahren zur Polyoptimierung sind jedoch nicht auf zwei Optimierungskriterien begrenzt. Bei Vorgabe von mehr als zwei Optimierungskriterien ist analog zur Polyoptimierung für zwei Kriterien vorzugehen. Eine Erweiterung des Programms FedPro um die beiden Polyoptimierungsverfahren ist durch Integration dafür notwendiger Programmschnittstellen bereits teilweise vorbereitet. Da durch die Parameteranalyse bereits alle Lösungen und damit auch alle denkbaren Kompromisslösungen bekannt sind, muss hierfür kein neues mathematisches Modell und kein neuer Lösungsalgorithmus entwickelt werden. Es genügt also, passende Suchalgorithmen in das Programm zu integrieren. Auch die Internetnutzung des Programms als Grundlage für die verteilte Entwicklung an verschiedenen Standorten bzw. den Aufbau und die Nutzung von Kompetenzzentren ist in Arbeit [8.46]. Das Programm wurde bereits erfolgreich angewendet. Beispiele hierfür sind die Dimensionierung von Schraubendruckfedern für einen Bremspedalaktuator (Abb. 8.23), bestehend aus einem Hydraulikservozylinder und einer Vorspannfeder, sowie für eine Drahttrennbaugruppe für einen Wickelautomaten zur Herstellung von Akupunkturnadelgriffen (Abb. 8.24). Bei der Bearbeitung dieser sehr unterschiedlich gelagerten Aufgabenstellungen hat sich FedPro als effektives Werkzeug bewährt. Zur Nutzung dieses Werkzeuges, dessen Anwendung im Folgenden am Beispiel der Dimensionierung der Schraubendruckfeder für die Drahttrennbaugruppe nach Abb. 8.24 im Überblick behandelt werden soll, muss zunächst das Programm über das Feder-Icon der modifizierten EXCELSymbolleiste im Abb. 8.15 aufgerufen werden. Danach erscheinen auf dem Bildschirm die in Abb. 8.16 dargestellte Symbolleiste und das in Abb. 8.17 enthaltene Tabellenblattmenü. Die in Abb. 8.16 wiedergegebene Symbol-

8.3 Programm zur Schraubendruckfederoptimierung

415

leiste enthält alle notwendigen Funktionen zum Anlegen, Bearbeiten und Abspeichern eines Federprojektes. Diese Funktionen können zusätzlich aber auch über das Menü Datei aktiviert werden. Das Tabellenblattmenü in Abb. 8.17 dient zum Aufrufen und Ausfüllen der Tabellenblätter einer Formulardatei, die alle zur Bearbeitung eines Federprojektes benötigten Angaben zusammenfasst. Die einzelnen Tabellenblätter sind dabei so angeordnet, dass der Anwender zweckmäßigerweise mit dem Ausfüllen des linken Tabellenblattes beginnt und sich dann nach rechts vorarbeitet.

Abb. 8.23. Bremspedalbaugruppe mit servohydraulischem Antrieb und Vorspannfeder [8.67] Abb. 8.24. Drahttrennbaugruppe eines Automaten zur Herstellung von Doppelwendelgriffen für Akupunkturnadeln [8.67]

In das Tabellenblatt Allgemeines sind die Angaben zum Projekt einzutragen. Dazu zählen beispielweise der Name des Auftraggebers oder des Bearbeiters. Das Tabellenblatt Vorgaben erfasst die Eingabewerte zu den Funktionsgrößen der Feder und damit auch zum Festlegen der gewünschten Federrate, wie dies in Abb. 8.18 zur Berechnung der Feder für die Drahttrennbaugruppe nach Abb. 8.24 geschehen ist. Danach kann aus den bereitgestellten Werkstoffdatenbanken im Tabellenblatt Draht das zu verwendende Drahtmaterial ausgewählt werden. Das Berücksichtigen von Randbedingungen, wie z.B. der Einbaumaße oder der Lagerungsbedingungen der Feder, erfolgt über die Tabellenblätter Restriktionen (Abb. 8.25) und Knicksicherheit (Abb. 8.26). Die Tabellenblätter Fertigung 1 (Abb. 8.27) und Fertigung 2 (Abb. 8.28) erfassen Vorgaben, die bei der Federherstellung zu berücksichtigen sind und sich z.T. auch aus den Anwendungsbedingungen ergeben. Dazu zählen unter anderem Angaben zur Ausführung der End- und Übergangswindungen oder zum Einsatztemperaturbereich der Feder.

416

8 Rechnereinsatz zum Federentwurf

Abb. 8.25. Tabellenblatt zur Eingabe von Restriktionen

Abb. 8.26. Tabellenblatt zum Festlegen des Lagerungsbeiwertes zur Überprüfung der Knicksicherheit, hier v = 0,5 (vgl. a. Abb. 4.33)

Wenn alle notwendigen Eingaben abgeschlossen sind – hierzu müssen alle auf dem Bildschirm mit roter Umrandung versehenen Zellen ausgefüllt sein – kann die automatische Dimensionierung mit dem nunmehr aktiv geschalteten Button Federauslegung (s. Abb. 8.16) gestartet werden. Nach Beendigung der Dimensionierung und Erfüllen der Bedingung, dass mindestens eine problemlösende Feder gefunden wurde, werden weitere Tabellenblätter sichtbar, die die Ergebnisse der Dimensionierung grafisch bzw. in Textform aufbereiten (s. Abb. 8.17, untere Zeile). So werden z.B. im vorliegenden Fall die Daten der Feder angezeigt, die bei Einhaltung aller Forderungen die kleinste Masse aufweist. Diese Feder wird auch immer zuerst in das 3D-Fenster eingeblendet (s. Abb. 8.22). Zugleich werden die Daten bzw. Eigenschaften der Feder dann in den Tabellenblättern Protokoll, Diagramme und Zeichnung wiedergegeben.

8.3 Programm zur Schraubendruckfederoptimierung

417

Abb. 8.27. Tabellenblatt zur Eingabe von Angaben für die Federfertigung - Teil 1

Abb. 8.28. Tabellenblatt zur Eingabe von Angaben für die Federfertigung - Teil 2

Das Tabellenblatt Protokoll enthält alle Daten der ausgewählten Federn in Textform. Das Tabellenblatt Diagramme dient der grafischen Darstellung wichtiger Eigenschaften dieser Feder. Dazu zählen die Federkennlinie, die Ergebnisse der Überprüfung der Knicksicherheit bei unterschiedlichen Funktionswegen (s. Abb. 8.29), die Eigenfrequenzen in Abhängigkeit

418

8 Rechnereinsatz zum Federentwurf

von der Belastung (bzw. der Einfederung) der Feder (Abb. 8.30) oder das Dauerfestigkeitsschaubild mit Angabe des vorhandenen Spannungshubs (Abb. 8.31).

Abb. 8.29. Diagramm zur Überprüfung der Knicksicherheit für verschiedene Funktionswege

Abb. 8.30. Diagramm zur Angabe der Eigenfrequenzen in Abhängigkeit von der Belastung der Feder

Abb. 8.31. Zeit- bzw. Dauerfestigkeitsdiagramm nach Goodman für kugelgestrahlte bzw. nichtkugelgestrahlte Federstahldrähte der Sorte DM nach DIN EN 10270-1

Das Tabellenblatt Zeichnung erstellt eine DXF-Datei nach DIN 2099-1 zur Ausgabe einer Federzeichnung mit vollständigen Maß- und Fertigungsangaben (Abb. 8.32). Im Tabellenblatt Alle Federn sind die Daten aller Federn erfasst, die bei der Bearbeitung der Dimensionierungsaufgabe untersucht worden sind. Das betrifft auch diejenigen Federn, die aufgrund der Verletzung mindestens einer Bedingung zunächst nicht als Lösung der Aufgabenstellung in Frage gekommen und daher nicht weiter untersucht worden sind.

8.3 Programm zur Schraubendruckfederoptimierung

11.10.2006

Abb. 8.32. Datenblatt nach DIN 2099-1 für die ausgewählte Feder

419

420

8 Rechnereinsatz zum Federentwurf

Falls sich nach Abschluss des Dimensionierungsablaufs herausstellen sollte, dass unter den gegebenen Bedingungen keine problemlösende Feder aufgefunden werden kann, dann muss noch einmal überprüft werden, ob bestimmte Vorgaben bzw. Restriktionen verändert werden können. Dabei hilft auch ein Blick auf die Daten der im Speicher verfügbaren Daten aller untersuchten und zunächst verworfenen Federn weiter, da in der Übersicht der Grund ihres Ausscheidens aus der Lösungsmenge markiert ist. Dadurch wird es möglich, sich relativ schnell einen Überblick zu verschaffen, wie groß die Differenz des jeweiligen Wertes einer Größe zum vorgegebenen Grenzwert der nicht eingehaltenen Restriktion ist, und abzuschätzen, ob diese Differenz toleriert werden kann.

8.4 Programme zum Entwurf von Federantrieben 8.4.1 Grundlagen und allgemeiner Aufbau Grundlage der Programme zum Entwurf von Federantrieben bilden die im Abschn. 5.4. dargelegten Berechnungsunterlagen und Methoden. Die Programme erlauben die dynamische Analyse und Dimensionierung von Schrauben- und Schenkelfederantrieben. Für Blattfederantriebe sind bisher noch keine Programme vorhanden. Trotz dieser Einschränkung kann mit den vorliegenden Programmen bereits eine Vielzahl antriebstechnischer Aufgabenstellungen gelöst werden, zumal Schraubenfedern und Schenkelfedern einen großen Teil aller Federanwendungen ausmachen. Mit den Programmen erhält der Konstrukteur die Möglichkeit, die überwiegend nichtlinearen Problemstellungen mit vertretbarem Aufwand und mit der erforderlichen Genauigkeit in kurzer Zeit zu lösen und die beschriebene funktionsorientierte Entwurfsmethode erfolgreich zu verwirklichen. Ursprünglich für Großrechner entwickelt und mit all den bekannten Problemen im Zugang zu diesen Anlagen und in der Handhabung der Programme infolge eingeschränkter Kommunikationsmöglichkeiten behaftet, liegen für Schraubenfedern heute Programme vor, die für den Einsatz von Personalcomputern vorgesehen und unter MS-Windows“ lauffähig sind. Durch diesen Übergang, der in mehreren Etappen erfolgte, verfügen die Programme über eine leicht überschaubare grafische Nutzeroberfläche und ermöglichen daher eine schnell erlernbare Bedienerführung. Beibehalten wurde die von Beginn an verfolgte Strukturierung des Programmsystems. Sie zielt darauf ab, überschaubare sowie effektiv und mehrfach anwendbare Programmmodule zu schaffen.

8.4 Programme zum Entwurf von Federantrieben

421

Die Struktur des Programmsystems orientiert sich an den unterschiedlichen Vorgehensweisen der zu behandelnden Anwendungsfälle und den Einsatzbedingungen. Mit der verwirklichten Modularität wird zugleich erreicht, dass das Programmsystem nicht von Beginn an vollständig vorhanden sein muss, um antriebstechnische Aufgabenstellungen lösen zu können. Es ist jederzeit durch Einfügen gleichstrukturierter Module für weitere Anwendungsfälle erweiterbar. Als Gesichtspunkte für eine Strukturierung werden herangezogen: x Bahn- und Belastungscharakteristik des Antriebes; x Verwendungszweck des Programmmoduls (Analyse oder Synthese); x Berechnung genormter oder nichtgenormter Schraubenzug- bzw. –druckfedern; x Anzahl der Stützstellen der Belastungsfunktionen – bei auf allgemeiner Bewegungsbahn geführter Koppelstelle K auch der Bahnfunktion – zur Ermittlung der dafür zutreffenden Näherungsfunktionen (zweckmäßigerweise Polynome 5. Grades [8.150]), die zur numerischen Lösung der in dem Fall stets nichtlinearen Bewegungsdifferentialgleichung benötigt werden und die rechnerische Ermittlung der Belastungswerte bzw. Bahnkoordinaten an beliebiger Stelle zulassen. Prinzipiell ist jeder Modul in der in Abb. 8.33 dargestellten Weise aufgebaut.

Abb. 8.33. Struktur der Programme zum Entwurf von Federantrieben, dargestellt am Beispiel des Programms zur Analyse und Synthese von Schraubendruckfederantrieben eing.for Eingabedaten zum Antrieb drue.for Eingabedaten zu Druckfedern drua.for Ausgabe der Antriebsdaten druf.for Ausgabe der Druckfederdaten zerkl.for Zeichenerklärung

422

8 Rechnereinsatz zum Federentwurf

Das Hauptprogramm beinhaltet die Kopplung und Steuerung der Unterprogramme zur x Analyse bzw. Synthese des Antriebs; x Berechnung der Polynomkoeffizienten der Belastungsfunktionen und erforderlichenfalls auch der Bahnfunktion [8.150]; x Aufbereitung der Bewegungsdifferentialgleichung für die numerische Lösung; x numerischen Lösung der Differentialgleichung nach dem MersonVerfahren [8.10]; x Integration der Bahnfunktion bei Antrieben mit auf allgemeiner Bahn geführter Koppelstelle mit Hilfe der Simpson-Regel [8.150]; x Eingabe der Werte der antriebstechnischen Aufgabenstellung; x Berücksichtigung zulässiger Toleranzen; x Ausgabe der eingegebenen und berechneten Werte, der toleranzbehafteten Größen und der Erklärung der verwendeten Bezeichnungen. Mit der Windows-Einbindung der Programme wurde eine weitere Strukturierung durch konsequente Trennung in Nutzeroberfläche, Steuerlogik und Berechnungsteil erreicht (Abb. 8.34). Dadurch wird auch die angestrebte Mehrfachnutzung von Programmmodulen möglich, die zuvor aufgrund des Fehlens grafischer Nutzeroberflächen und der damit notwendigen Verkopplung von Berechnungs- und anwendungsfalltypischen Ein-/ Ausgaberoutinen in einem Programmmodul prinzipiell nicht zu verwirklichen war [8.34].

Abb. 8.34. Programmstruktur der Windows-Anwendung Feder

8.4 Programme zum Entwurf von Federantrieben

423

8.4.2 Dateneingabe, Dialogbetrieb und Datenausgabe Das Programmsystem wird mit Hilfe des im Windows-ProgrammManager unter den im Abb. 8.35 dargestellten Icon einer stilisierten Feder durch Mausklick als Windows-Anwendung geladen.

Abb. 8.35. Aufruf der Windows-Anwendung Feder mit Hilfe des WindowsProgramm-Managers

Auf dem Bildschirm erscheint danach das Hauptfenster mit integrierter Menüleiste (Abb. 8.36).

Abb. 8.36. Hauptfenster mit integrierter Menüleiste und geöffnetem Datei-Fenster

Nach Aktivieren des Menüs unter dem Fenster Datei (Abb. 8.36) ist zuerst zu entscheiden, ob es sich bei der nachfolgenden Berechnung um die Lösung einer neuen Aufgabenstellung oder die wiederholte Bearbeitung einer Aufgabe handelt. Im ersten Fall muss über das Kommando Neu sowie die damit geöffnete zweite Menüspalte die Art der Aufgabe (Analyse oder Synthese, Form der Bewegungsbahn) bestimmt werden (Abb. 8.37).

Abb. 8.37. Menü Datei beim Lösen einer neuen antriebtechnischen Aufgabenstellung mit dem Kommando Neu

424

8 Rechnereinsatz zum Federentwurf

Bei wiederholter Aufgabenlösung ist über Öffnen und die dadurch aufgerufene Dialogbox in Abb. 8.38 die weiter zu bearbeitende antriebstechnische Aufgabe auszuwählen, hier die Analyse des rechten Jagdgewehrschlossantriebes nach Abb. 5.25 mit der zugehörigen Datei jagdrean.ana. Bei neuer Aufgabenbearbeitung werden automatisch alle Eingabedaten auf Null gesetzt, bei Weiterbearbeitung alle zwischengespeicherten Daten des letzten Bearbeitungsstandes der Aufgabe wieder aktiviert.

Abb. 8.38. Dialogbox zur Auswahl der Datei, mit der nach dem Kommando Öffnen die Bearbeitung einer antriebstechnischen Aufgabe fortgesetzt werden soll

Die Dateneingabe bei Neubearbeitung bzw. die Änderung der Daten während der Bearbeitung oder nach Wiederaufnahme der Arbeit an einer Aufgabenstellung erfolgt über das Menü Eingabe (Abb. 8.39). Es gliedert die Eingabedaten entsprechend der antriebstechnischen Aufgabenstellung (s. Tabellen 5.6, 5.7 und 8.3) nach konstruktiv-geometrischen Daten, Bewegungsforderungen, Belastungsfunktionen, Bahnfunktion und Toleranzen. Als Beispiele für die verschiedenartige Gestaltung der Dialoge sollen die Eingabe der konstruktiv-geometrischen Daten (Abb. 8.40) und die Eingabe der Bewegungsforderungen (Abb. 8.41) angeführt werden. Die Dialogbox zur Eingabe der konstruktiv-geometrischen Daten enthält zum einen die Darstellung der Prinzipskizze des zu behandelnden Antriebs mit den verwendeten Bezeichnungen. Zum anderen beinhaltet sie ein Feld, in das die Daten des zu analysierenden Antriebs eingetragen werden können. Hierbei sind einige Abweichungen gegenüber zu den im Abschn. 5.4. verwendeten Bezeichnungen zu beachten, die auf den unterschiedlichen zeitli-

8.4 Programme zum Entwurf von Federantrieben

425

chen Bearbeitungszustand zurückzuführen, aber durch die Ausgabe der im Programm verwendeten Zeichenerklärungen unproblematisch sind. Abb. 8.39. Menü Eingabe zur Auswahl der Art der einzugebenden Daten der antriebstechnischen Aufgabenstellung, hier der konstruktiv-geometrischen Daten

Abb. 8.40. Dialogbox für die Eingabe der konstruktiv-geometrischen Daten bei Antrieben mit gerade geführter Koppelstelle K

Im Vergleich zu dieser grafikorientierten Eingabebox ist die Dialogbox zur Eingabe der Bewegungsforderungen rein alphanumerisch, aber selbsterklärend gestaltet. Die Bezeichnungen der darin enthaltenen Geometriedaten gehen aus der Darstellung der Prinzipskizze in der Dialogbox zur Eingabe der konstruktiv-geometrischen Forderungen hervor. Analog zu der Dialogbox zur Eingabe der Bewegungsforderungen sind auch die zur Eingabe der Belastungsfunktionen, der Bahnfunktion und der Toleranzen rein alphanumerisch und selbsterklärend aufgebaut.

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8 Rechnereinsatz zum Federentwurf

Abb. 8.41. Dialogbox zur Eingabe der Bewegungsforderungen

Bevor mit der Rechnung begonnen werden kann, muss aber noch über Umfang und Art der gewünschten Ausgabedaten entschieden werden. Dies geschieht über das in Abb. 8.42 dargestellte Menü Ausgabe.

Abb. 8.42. Menü zur Auswahl des Umfangs der gewünschten Ausgabedaten bzw. Ausgabeform

Hierbei besteht die Wahl zwischen einer Minimalvariante Ausgabewerte, die nur Bewegungsgrößen und Festigkeitswerte enthält (Abb. 8.43) und der zusätzlichen Ausgabe der ermittelten Polynomkoeffizienten zur näherungsweisen Ermittlung der aktuellen Werte der Belastungs- und ggf. auch der Bahnfunktion einerseits sowie einer Tabelle mit der zeitabhängigen Darstellung von Bewegungs- und Belastungsgrößen, von kinetischer Energie und Spannungen andererseits (Abb. 8.44). Außerdem ist die Ausgabe des zeitlichen Verlaufs ausgewählter Größen per Diagramm vorbereitet, beispielsweise der Weg-Zeit-Funktion s(t), der Geschwindigkeitsfunktion v(t), der Beschleunigungsfunktion a(t). Die gewählte Struktur der Ausgabedaten wird dabei jeweils durch ein Häkchen angezeigt. Das Deaktivieren der einzelnen Ausgabemöglichkeiten erfolgt durch erneuten Mausklick.

8.4 Programme zum Entwurf von Federantrieben

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Abb. 8.43. Ausgabe der berechneten Bewegungsgrößen und Festigkeitswerte (Minimalvariante, d.h. ohne Polynomkoeffizienten)

Abb. 8.44. Ausgabe der Bewegungs- und Belastungsgrößen, der Festigkeitswerte und der kinetischen Energie in Abhängigkeit von der Zeit

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8 Rechnereinsatz zum Federentwurf

Außer den beschriebenen Menüs enthält die Menüleiste des Hauptfensters (Abb. 8.36) noch die Menüs Einstellungen, Fenster, Hilfe und Beenden. Über das Menü Einstellung können ein Gitter über das auszugebende Diagramm und die Bereichsgrenzen für dessen XY-Achsen festgelegt werden. Außerdem ist der Druck des Diagramms möglich. Das Menü Fenster verwirklicht die in Windows übliche Wahl der Fenster-Anordnung (überlappend, nebeneinander), und das Menü Hilfe ist für das Implementieren von Texten zur Unterstützung des Nutzers vorgesehen. Über Beenden kann die Bearbeitung der antriebstechnischen Aufgabenstellung abgeschlossen werden, wobei vorher ein Speichern der Daten unter dem Menü Datei (Abb. 8.36) zweckmäßig und in vielen Fällen auch notwendig ist. Eine Ausgabe der Federzeichnung an ein CAD-System ist vorbereitet, aber derzeit nicht realisiert. Als mögliche Schnittstellen kommen hierfür die Standardschnittstellen DXF, IGES sowie PostScript in Betracht. Im Anschluss an Dateneingabe und Wahl der Struktur der Ausgabedaten lässt sich schließlich die Berechnung über das Menü Berechnung starten (Abb. 8.45). Dabei ist noch die Entscheidung zu treffen, ob auch die Auswirkungen von Fertigungsabweichungen auf die Bewegungszeit innerhalb der zulässigen Toleranzen für die Feder und den Einbauraum einbezogen werden sollen oder nicht. Im Fall der Berücksichtigung der Fertigungstoleranzen werden neben den Daten des abweichungsfreien Antriebs auch die des schnellstmöglichen und des langsamsten Antriebs ermittelt.

Abb. 8.45. Menü zur Auswahl der Berechnung ohne bzw. mit Berücksichtigung der Fertigungstoleranzen

Die Programme liegen z.Z. in der Programmiersprache FORTRAN 77 vor. Ihre Übertragung in die Sprache C ist in Arbeit. Dabei erfolgt auch die Anpassung an zeitgemäße Benutzeroberflächen sowie die Berücksichtigung der Größenangaben im internationalen Einheitensystem. 8.4.3 Darstellung der Vorgehensweise an einem Beispiel Leistungsfähigkeit und Effektivität des beschriebenen Programmsystems zum Entwurf von Federantrieben sollen im Folgenden am Beispiel des Entwurfs des Schlagstückantriebes einer doppelläufigen Jagdsportwaffe nach Abb. 5.25 sowie dessen Optimierung dargelegt werden. Dabei wird

8.4 Programme zum Entwurf von Federantrieben

429

zugleich deutlich, welche Schwierigkeiten beim Lösen derartiger antriebstechnischer Aufgabenstellungen auftreten können und welchen Stellenwert der Federentwurf im Rahmen des Produktentwurfs besitzt. Bevor jedoch auf die Vorgehensweise bei der Behandlung der Aufgabe näher eingegangen werden soll, ist noch zu bemerken, dass Schraubenfedern erst in letzter Zeit als mögliche technische Lösungen für Jagdwaffenantriebe in den Mittelpunkt des Interesses gerückt sind. Traditionell wurden dafür bisher ausschließlich sog. Bugfedern (Abb. 8.46) verwendet. Dies hatte vor allem werkstoff- und fertigungstechnische Gründe. Abb. 8.46. Schlossmechanismus einer Jagdsportwaffe mit Bugfederantrieb. 1 Antriebsfeder (Bugfeder); 2 Verschlussstück; 3 Lauf; 4 Schlagstück; 5 Spannhebel K Koppelpunkt zwischen Bugfeder und Schlagstück

K

Bugfedern wurden in der Vergangenheit durch Schmieden handwerklich hergestellt. Das war zum damaligen Zeitpunkt einfacher und reproduzierbarer möglich als das Wickeln bzw. Winden von Schraubenfedern, wofür außer geeigneter Maschinentechnik auch lange Zeit funktionstaugliche Federstahldrähte fehlten. Bugfedern waren aufgrund des verwendeten Werkstoffes und seiner Behandlung daher besser als Schraubenfedern in der Lage, relativ hohe Belastungen zu ertragen und eine ausreichend große Menge mechanischer Energie zu speichern, die zum Erzielen kurzer Bewegungszeiten sowie der zum Auslösen des Schusses erforderlichen Schlagenergie notwendig ist. Mit der Entwicklung hoch beanspruchbarer Federstahldrähte und produktiver, genau arbeitender Federwindeautomaten wurde eine Ablösung der auch heute nur manuell und daher relativ teuer zu fertigenden Bugfedern durch die nunmehr viel kostengünstigeren Schraubendruckfedern notwendig. Diese Substitution geschah bei dem Jagdgewehrschlossmechanismus in Abb. 5.25, dessen technisches Prinzip sich wie in Abb. 8.47 gezeigt angeben lässt, in der bisher üblichen Weise. Die Feder wurde zunächst nach der in DIN EN 13906-1 enthaltenen statischen Berechnungsvorschrift ausgelegt (s.a. Tabelle 4.18). Anschließend wurde sie mit großem experimentellen Aufwand so verändert und an die dynamische Aufgabenstellung angepasst, dass keine wesentlichen Verschlechterungen gegenüber dem Bugfederantrieb aufgetreten sind, der in der Vergangenheit in vielen Entwicklungsschritten optimiert worden war.

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8 Rechnereinsatz zum Federentwurf

Abb. 8.47. Technisches Prinzip des Jagdgewehrschlossmechanismus nach Abb. 5.25 (linkes System) 1 Verschlussstück des Jagdgewehrschlosses (Festglied); 2 Schlagstück; 3 Führungsdorn; 4 Schleife (körperlich nicht vorhandenes Hilfsglied); 5 Antriebsfeder; 6 Spannhebel; 7 Schlagbolzen; 8 Zündhütchen; 9 Widerlager am Lauf (stilisiert); 10 Rückstellfeder; 11 Elastizitätswirkung des Spannhebels; S Schlagpunkt; (0) Zeitpunkt t = 0; (1) Zeitpunkt t = tB, K Koppelpunkt zwischen Schraubenfeder und Schlagstück zum Zeitpunkt t = 0 bzw. t = tB

Dennoch ergab die spätere rechnerische und experimentelle Analyse des Bug- und des Schraubenfederantriebs (Abb. 8.48), dass der Schraubenfederantrieb in seiner ursprünglichen Form für den jeweils zugrundegelegten Weg sB des Federkoppelpunktes K (Antriebswinkel des Schlagstücks jeweils ij = 36o; Schraubenfederantrieb: sBS = 12,36 mm; Bugfederantrieb sBB = 4,94 mm) beträchtlich längere Bewegungszeiten als der Bugfederantrieb benötigt. Für den Sportschützen bedeutete das eine wahrnehmbare Verschlechterung im Ziel- und Abschussverhalten. Das trifft insbesondere für den Antrieb des schwereren Schlagstücks zu (linker Lauf), bei dem eine Vergrößerung der rechnerischen Bewegungszeit tB th von 2,08 ms für den Bugfederantrieb auf 3,14 ms für den Schraubenfederantrieb (Näherung Kreisbahn durch eine gerade Bahn) und der experimentell ermittelten Bewegungszeit tB ex von 2,8 ms auf 3,3 ms festgestellt wurde. Erschwerend kam hinzu, dass die Schraubendruckfedern bereits nach 6 000 bis 7 000 Schüssen durch Ermüden bzw. Setzen (Relaxation) ausfielen und nicht, wie bei den Wirtschaftlichkeitsbetrachtungen angesetzt, erst nach 25 000 Schüssen. Ursache dafür bildete die zu hohe Materialbeanspruchung. Die Schubspannung änderte sich bei der eingesetzten Feder aus patentiert gezogenem Draht der Sorte DH nach DIN EN 10270-1 mit d = 1,2 mm; Da = 7,7 mm und

8.4 Programme zum Entwurf von Federantrieben

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Abb. 8.48. Weg-Zeit-Kurven des linken Schlagstückantriebs einer Jagdsportwaffe 1 gemessener Verlauf beim Bugfederantrieb; 2 berechneter Verlauf beim Bugfederantrieb; 3 gemessener Verlauf beim Schraubenfederantrieb, 4 berechneter Verlauf für das Modell mit Näherung der Kreisbahn für K durch eine gerade Bahn und der Vernachlässigung des Lastanstiegs infolge der Schlagbolzenbetätigung; 5 berechneter Verlauf für das Modell ohne Näherung sBS - Weg des Koppelpunktes K beim Schraubenfederantrieb in x-Richtung (s.a. Tabelle 8.3); sBB - Weg des Koppelpunktes K beim Bugfederantrieb

nf = 14,5 (nt = 16,5) während eines Arbeitshubes von IJk1 = 498 N/mm2 auf IJk2 = 1273 N/mm2, obwohl das Zeitfestigkeitsschaubild des Werkstoffs für die Schubspannung IJk1 = 498 N/mm2 nur eine maximale Schubspannung IJk2 max = 1020 N/ mm2 zulässt. Die verwendete Schraubendruckfeder wurde somit um ca. 25 % überlastetet. Es bestand daher die Notwendigkeit, den Federantrieb zu überarbeiten und ihn hinsichtlich seines Bewegungs- und Belastungsverhaltens erheblich zu verbessern. Für die notwendige Neudimensionierung der Antriebsfedern ergaben sich hauptsächlich folgende Forderungen: x Verringerung der aufgetretenen Schubspannungswerte, um die geforderten 25 000 Arbeitsspiele zu erreichen; x Einhaltung, möglichst aber Unterbietung der experimentell ermittelten Bewegungszeit, da deren Größe die Treffsicherheit beeinflusst; x Bereitstellen der erforderlichen Zündenergie Wkin = 0,7 Nm; x Berechnung knicksicherer Federn.

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8 Rechnereinsatz zum Federentwurf

Aus den Anforderungen leitet sich die in Tabelle 8.3 dargestellte Antriebsaufgabe ab. Sie geht davon aus, dass die kreisförmige Bahn von K durch eine geradlinige ersetzt und auf die Berücksichtigung der Gegenkraft infolge der Schlagbolzenbetätigung verzichtet werden kann. Dadurch verringert sich der Lösungsaufwand, ohne dass bei der rechnerischen Analyse des Bewegungsverhaltens des Antriebs wesentliche Fehler entstehen, wie es aus den für den vorhanden Antrieb ermittelten Bewegungskurven in Abb. 8.48 zu entnehmen ist (Kurven 4 und 5). Außerdem berücksichtigt die Aufgabenstellung, dass an der bereits existierenden Waffe vorerst keine gravierenden konstruktiven Veränderungen vorgenommen werden sollen, eine Forderung, vor der Konstrukteure und Federhersteller in Situationen, in denen eine nachträgliche Änderung der Feder notwendig wird, oft stehen. Somit gelten für die Versetzung y0 und sowie die Einbaulänge aF der Feder die gleichen Angaben wie für den vorhandenen Antrieb. Der Außendurchmesser der Feder darf aufgrund der bestehenden räumlichen Bedingungen hingegen zwischen 5 und 8 mm variieren. Ausgehend von den Vorgaben der antriebstechnischen Aufgabe, erfolgt die Berechnung möglicher Federn mit dem Programm zur Dimensionierung von Schraubendruckfedern für Antriebe mit auf gerader Bahn geführter Koppelstelle K. Dabei stellt sich heraus, dass unter den gegebenen konstruktiven Bedingungen keine knicksichere Feder ermittelt werden kann. Erst das Unwirksammachen des im Programm enthaltenen Knicksicherheitstests führt zu Federn, die sich zur Lösung der Antriebsaufgabe verwenden lassen. Beim Einsatz derartiger Federn müssen konstruktive Maßnahmen vorgesehen werden, die ein Ausknicken verhindern (Führen in Hülse oder auf Dorn). Da dies bei der bisherigen Lösung ohnehin notwendig und durch einen Führungsdorn auch verwirklicht war, entsteht kein zusätzlicher konstruktiver Aufwand. Allerdings beeinträchtigt das knickbedingte Gleiten der Feder auf dem Dorn deren Lebensdauer. Deshalb dürfen bei der Dimensionierung der Feder aufgrund der geforderten 25 000 Arbeitsspiele keine Schubspannungen zugelassen werden, die außerhalb des Zeitfestigkeitsbereiches des nach DIN EN 13906-1 geltenden Goodman-Diagramms mit 106 Lastspielen liegen. Wie die weitere Rechnung und die Zusammenstellung der Ergebnisse in Tabelle 8.4 zeigen, können auch unter diesen veränderten Bedingungen zunächst keine funktionserfüllenden Schraubendruckfedern gefunden werden. Man erhält zwar Federn, die sowohl die konstruktiven und die Festigkeitsforderungen erfüllen (s. Feder 1), doch sind diese nicht in der Lage, die geforderte Bewegungszeit zu verwirklichen. Erst wenn man Federn vorsieht, die nach dem Winden und Anlassen noch kugelgestrahlt werden, wodurch die zulässigen Festigkeitswerte noch einmal erhöht werden können, ergeben sich Federn (Feder 2), die aufgrund des damit erreichbaren höheren Energiespeichervermögens unter sonst

8.4 Programme zum Entwurf von Federantrieben

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gleichen konstruktiven Bedingungen höhere Antriebsgeschwindigkeiten und damit kürzere Bewegungszeiten ermöglichen. Tabelle 8.3. Antriebstechnische Aufgabenstellung zur Dimensionierung verbesserter Schraubendruckfedern für den Jagdschlossmechanismus nach Abb. 8.47 1. Bewegungsforderungen

ǻtB = + 0,20 ms ǻsx = ± 0,01 mm Wkin = 0,70 Nm

2. Belastungsforderungen:

Fst = 0 kSR = 0 kSN = 0

3. Konstruktive Forderungen:

y0 = 13 mm x0 = 47,3 mm 5 mm d Da d 8 mm 48 mm d aF d 50 mm 4. Festigkeitsforderungen: Patentiert gezogener Federdraht der Sorte DH nach DIN EN 10270 Zeitfestigkeit für 25 000 Arbeitsspiele 5. Fertigungstechnische Forderungen: Wickelverhältnis 4 d w d 10 Windungszahl nf = i + 0,5 und nt = nf + 2 Federenden parallel geschliffen Gütegrad 1 nach DIN 2095 Abstandstoleranzen in Gütegrad 1 nach DIN EN 2768

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8 Rechnereinsatz zum Federentwurf

Tabelle 8.4. Daten berechneter Schraubenfederantriebe für den Jagdgewehrschlossmechanismus nach Abb. 5.25 bzw. 8.47 Feder 1 ungestrahlt; Federn 2 und 3 kugelgestrahlt; tB Bewegungszeit bei Verwendung der Originalschlagstücke; t'B Bewegungszeit bei um 10 g reduzierter Schlagstückmasse Feder- bzw. Antriebsgrößen Drahtdurchmesser d in mm Federaußendurchmesser Da in mm federnde Windungszahl nf Gesamtwindungszahl nt Länge L0 der entspannten Feder in mm Länge L1 der vorgespannten Feder in mm Länge L2 der endgespannten Feder in mm Prüflänge Ln der Feder in mm Anfangsauslenkung sA1 der Feder in mm Auslenkung ssB bei Bewegungsabschluss in mm Federrate R1 der Antriebsfeder in N/mm Federeigenmasse mF in g Bewegungsweg sB in mm kinetische Energie Wkin in Nm Bewegungszeit tBr des rechten Antriebs in ms Bewegungszeit tBl des linken Antriebs in ms Bew.-Zeit t’Br des. geänderten re. Antriebs in ms Bew.-Zeit t’Bl des geänderten li. Antriebs in ms max. zulässige Schubspannung IJmax in N/mm2 Schubspannung IJk1 bei L1 in N/mm2 Schubspannung IJk2 bei L2 in N/mm2 vorhandene Hubspannung IJkh vorh in N/mm2 zulässige Hubspannung IJkH zul in N/mm2

Feder 1

Feder 2

Feder 3

1,1 8,0 26,5 28,5 77,88 49,55 37,5 34,05 40,38 28,33 1,75 4,29 12,36 0,722 3,511 3,779 1120,0 785,6 1119,7 334,1 335,0

1,2 8,0 22,5 24,5 66,83 49,55 37,5 31,86 29,33 17,28 3,04 4,27 12,36 0,853 3,154 3,395 2,606 2,893 1100,0 648,3 1100,5 452,1 452,0

1,4 8,0 2,5 24,5 61,61 49,53 39,43 37,17 22,17 12,06 6,16 5,64 10,36 1,067 2,359 2,537 1,956 2,167 1090,0 587,7 1080,8 493,1 503,0

Allerdings zeigen die für die Feder 2 erzielten Berechnungsergebnisse, dass selbst die in Betracht gezogene Nachbehandlung der einzusetzenden Federn nicht ausreicht, um die gestellte Antriebsaufgabe mit der erforderlichen Sicherheit zu lösen. Zwar sinkt die Abweichung zwischen geforderter und erzielter Bewegungszeit beträchtlich ab (vgl. dazu die Werte für tBr und tBl in den Tabellen 8.3 und 8.4 sowie Abb. 8.48), doch ist die Wahrscheinlichkeit des Entstehens von Zielfehlern immer noch größer als beim Bugfederantrieb. Wenn man eine weitere Verbesserung des Schraubenfederantriebs erreichen und im Hinblick auf Bewegungszeit und Trefferwahrscheinlichkeit ähnliche Verhältnisse wie beim Bugfederantrieb verwirklichen will, dann müssen außer der Nachbehandlung der Feder durch Kugelstrahlen zwangsläufig auch konstruktive Änderungen am Schlossmechanismus vorgenommen werden. Dafür kommen zunächst in Frage:

8.4 Programme zum Entwurf von Federantrieben

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x Erzielen einer günstigeren Federkraftwirkung durch Beseitigen oder Verringern der Versetzung y0; x Vergrößerung der Einbaulänge aF der Feder; x Verkleinerung des Bewegungsbereiches sB des Schlagstücks; x Verringerung des Betrages der anzutreibenden Masse mA (x). Von diesen Änderungsmöglichkeiten kann von vornherein auf die Beseitigung der Versetzung y0 verzichtet werden, da sich das kaum auf die Änderung der Bewegungszeit auswirkt. Aber auch eine Vergrößerung der Federeinbaulänge aF = L1 um 5 mm, die sich durch andere Gestaltung der Führung verwirklichen lässt, führt wiederum nur auf eine Feder, deren Daten mit Feder 2 übereinstimmen. Das liegt daran, dass sich Antriebe mit kürzerer Bewegungszeit erst für Federn mit einem Drahtdurchmesser d = 1,4 mm ergeben, deren minimale Einbaulänge Ln aber aufgrund der als notwendig berechneten Windungszahl selbst unter den geänderten räumlichen Bedingungen zu groß ist. Eine Verkürzung der Bewegungszeit kann daher nur durch Verringern der Antriebsmasse erreicht werden. So gelangt man beispielsweise beim Einsatz der Feder 2 durch Verringern der in den Punkt K reduzierten Schlagstückmasse um jeweils 10 g auf mA = 25 g beim linken System bzw. auf mA = 20 g beim rechten System zu Antrieben, die bei gleichem Weg sB eine um 9 bzw. 11 % kürzere Bewegungszeit als der bisherige Schraubenfederantrieb benötigen und damit eine höhere Treffsicherheit ermöglichen. Noch kürzere Bewegungszeiten ergeben sich bei kleineren Antriebswegen sB, da dann auch kugelgestrahlte Federn mit einem Drahtdurchmesser d = 1,4 mm für die Lösung der Antriebsaufgabe in Frage kommen (s. Feder 3). Optimale Ergebnisse hinsichtlich Bewegungszeit, Zündenergie und Festigkeitsverhalten bringt schließlich die Kombination der vorgeschlagenen Änderungsmöglichkeiten. Durch den Einsatz kugelgestrahlter Schraubendruckfedern, das Verkürzen des Hubes um 2 mm und das Verringern der Antriebsmasse um 10 g können Bewegungszeiten erreicht werden, die mit einer Verkürzung der Bewegungszeit um 33 bzw. 45 % deutlich schneller sind als der bisherige Schraubenfederantrieb. Die rechnerisch ermittelten Bewegungszeiten liegen damit in der Größenordnung der für den Bugfederantrieb geltenden Werte (vgl. Abb. 8.48). Bezieht man in den Vergleich von Bug- und Schraubenfederantrieb auch die gemessenen Bewegungszeiten mit ein und berücksichtigt die jeweils unterschiedlich großen Abweichungen zwischen Rechnung und Messung, dann ist davon auszugehen, dass sich mit den vorgeschlagenen Änderungen Schraubenfederantriebe ergeben, die ein besseres Bewegungsund Schussverhalten als Bugfederantriebe aufweisen.

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8 Rechnereinsatz zum Federentwurf

Bei der Beurteilung der erzielten Ergebnisse ist zu beachten, dass die der Rechnung zugrunde gelegten geänderten Werte der Antriebsmasse und des Hubes willkürlich gewählt sind. Sie lassen sich jedoch bei der erforderlichen konstruktiven Überarbeitung des Jagdgewehrschlossmechanismus ohne größere Schwierigkeiten verwirklichen. Das Herabsetzen der Antriebsmasse kann entweder durch Verringerung der Masse der Schlagstücke selbst oder durch eine Vergrößerung des Abstandes zwischen Koppelstelle K und Schlagstückdrehpunkt A0 verwirklichen. Die Vergrößerung dieses Abstand fällt kaum ins Gewicht, da die Wirkung des Massenträgheitsmomentes des Schlagstückes auf die Feder in Form einer gedachten Endmasse bekanntlich quadratisch mit der Zunahme des Abstandes KA0 abnimmt. Die Verringerung des Weges sB bzw. das Beibehalten seines Betrages bei Vergrößerung des Abstandes KA0 erfordern neben der Verkleinerung des Bewegungsbereiches des Schlagstücks sowie weiterer damit zusammenhängender konstruktiver Änderungen stets auch die Veränderung der Übersetzung im Spannmechanismus (s. Abb. 8.47). Diese Forderung leitet sich aus der Doppelfunktion der Schwenkbewegung des Laufes ab. Sie soll zum einen das Patronenlager freigeben und das Zuführen der Patrone ermöglichen und zum anderen die Antriebsfedern spannen. Beide Funktionen müssen aufeinander abgestimmt sein. Einerseits muss der Schwenkwinkel des Laufes so groß sein, dass das Patronenlager für den Patronenwechsel gut zugänglich ist. Andererseits darf der erzeugte Spannhub aber nur geringfügig größer sein als der Bewegungsweg sB, damit eine Überlastung der hochbeanspruchten Antriebsfeder durch das Spannen vermieden wird. Diese Anpassung wird über den Spannhebel 6 in Abb. 8.47 erreicht, dessen Abmessungen in entsprechender Weise neu festzulegen sind. 8.4.4 Schlussfolgerungen für den rechnerunterstützten Federentwurf Aus den beispielhaften Darlegungen zum Entwurf bzw. zur Überarbeitung des Schlagstückantriebs des Jagdgewehrmechanismus wird zum einen deutlich, dass eine nach heute geltenden Kriterien erfolgreiche und effektive Bearbeitung einer derartigen Aufgabenstellung ohne Rechnereinsatz und die damit mögliche Simulation des Funktions- und Festigkeitsverhaltens nicht denkbar ist. Zur Lösung der gleichen Aufgabe wäre mit den herkömmlichen Methoden eines weitgehend experimentell gestützten Entwurfs ein beträchtlich höherer zeitlicher und materieller Aufwand notwendig, ohne dass damit ein entsprechender Erfolg gesichert wäre.

8.5 Anwendung der Finite Elemente Methode

437

Zum anderen wird aus der Komplexität der Aufgaben, die im Zusammenhang mit dem Entwurf der Antriebsfeder für die relativ gut überschaubare Jagdwaffenbaugruppe zu bearbeiten sind, aber auch sichtbar, dass hier in jedem Falle der Produktentwickler gefordert ist und dass eine derartige Aufgabe an sich nicht oder nur unter erhöhtem Kommunikations-, Zeitund Kostenaufwand zum Federnhersteller verlagert werden kann. Die derzeit in vielen Fällen feststellbare Tendenz, einen solchen Weg aus Mangel an geeigneten Berechnungswerkzeugen zu gehen, ist keine auf Dauer akzeptable Lösung für die derzeit in vielen kleinen und mittelständischen Firmen bestehenden Probleme beim Federentwurf. Zweckmäßiger und effektiver ist es, dem Konstrukteur leistungsfähige und handhabbare Software zum Federentwurf zur Verfügung zu stellen, die auch werkstoffund fertigungstechnisches Hintergrundwissen anbietet und ihn damit zum gleichwertigen Partner des Federherstellers werden lässt. Dessen frühzeitige Integration in den Entwurfsprozess bleibt deshalb unbestritten, und im Sinne des Simultaneous Engineering ist sie auch zwingend notwendig.

8.5 Anwendung der Finite Elemente Methode 8.5.1 Möglichkeiten und grundsätzliches Vorgehen Wie eingangs erwähnt, existieren bereits seit geraumer Zeit Beispiele für den Einsatz der Finite Elemente Methode zum Federentwurf. Sie betreffen vor allem zylindrische Schraubenfedern [8.32][8.39][8.45][8.91][8.92] [8.103][8.105][8.138] sowie Schraubenfedern mit veränderlicher Mantelform, speziell die im Fahrzeugbau verwendeten Tonnen- bzw. Miniblockfedern [8.32][8.91]. Auch geschlitzte sowie nichtgeschlitzte Tellerfedern waren bereits Gegenstand von FEM-Berechnungen [8.80][8.98][8.139]. Erst in jüngster Zeit sind vereinzelt auch Anwendungen auf andere Federformen wie Blattfedern- und Blattfederpakete, Schenkelfedern, Spiralfedern, Stabilisatoren und sog. Selfa-Federn (a. Schlangenfedern oder ZickZack-Federn) hinzu gekommen [8.7][8.8][8.30][8.43][8.44][8.61][8.133]. Für die große Gruppe der Band- und Drahtformfeder sind hingegen bisher kaum Anwendungsbeispiele bekannt [8.55][8.57] bis [8.59][119] bis [8.124]. Dabei wäre aber gerade hier der Einsatz der Finite Elemente Methode von Vorteil, da für diese vielgestaltigen Federarten, von denen einige in Abb. 4.14 beispielhaft dargestellt sind, in der Regel bisher entweder keine oder zumindest keine zufriedenstellenden Berechnungsgrundlagen existieren. Hinzu kommt, dass die Zahl der Anwendung und die Gestaltvielfalt derartiger Federformen steigt, weil mit der Erhöhung der Leistungsfähigkeit der Produkte und ihrer Miniaturisierung der Zwang zu spe-

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8 Rechnereinsatz zum Federentwurf

ziellen Federlösungen zunimmt. Diese müssen an den meist knappen Bauraum in Form und Größe optimal angepasst sein. Zweckmäßig und erfolgversprechend ist der FEM-Einsatz außer bei der Berechnung von Flach- und Drahtformfedern mit komplizierter, an das Produkt angepasster Federform beispielsweise aber auch dann, wenn x für den Federentwurf die Einflüsse an den Kraftein- und –ableitungsstellen zu berücksichtigen sind, d.h. wenn die Koppelstellen zur konstruktiven Umgebung in die Betrachtungen einbezogen werden müssen, die bei der herkömmlichen Berechnung der Feder kaum eine Rolle spielen, x veränderliche Belastungsbedingungen vorliegen, x die zu entwerfende Feder mehrere Funktionen (sog. Multifunktionsfeder) mit nicht vernachlässigbarer kombinierter Beanspruchung (z.B. Biegung und Torsion) erfüllen soll; x das Schwingungsverhalten der Feder bei Fremderregung und dessen Auswirkungen auf die Lebensdauer erfasst werden sollen. Zur Lösung von Aufgabenstellungen dieser Art, die überwiegend nichtlinear sind, können sowohl die klassischen statischen Modellvorstellungen als auch das für Federantriebe zugrunde gelegte Modell eines freischwingenden Feder-Masse-Systems nicht weiterhelfen, da sie stets von sehr weitgehenden Idealisierungen ausgehen (vgl. Kap. 4 und Abschn. 5.4). Demgegenüber ermöglicht die Anwendung der Finite Elemente Methode bei geeigneter Modellierung der Feder und ihrer Umgebung, das Verformungs- und Festigkeitsverhalten der Feder sowie ihr dynamisches Verhalten im Zusammenwirken mit anderen Bauteilen unter unterschiedlichsten Gestalt-, Belastungs- und Einspannbedingungen zu simulieren. Hierdurch können bereits im Entwurfsprozess die Funktion der Feder bzw. der gefederten Baugruppe überprüft (Analyse) und die gestaltbestimmenden Parameter der Feder und auch der anderen Bauteile so lange variiert werden, bis die Anforderungen der Aufgabenstellung erfüllt sind (Synthese). Die Finite Elemente Methode kommt überall dort in zunehmendem Maße zum Einsatz, wo Felder bzw. Kontinua hinsichtlich ihres Verhaltens unter Betriebsbedingungen zu untersuchen sind. Im Falle ihrer Anwendung auf mechanische Körper, also auch auf Federn und Federanordnungen, werden zur Darstellung materieller Bereiche eines zu beschreibenden Kontinuums finite Elemente verwendet, die durch x einen ebenen Spannungs- und Verzerrungszustand, x axialsymmetrisches bzw. dreidimensionales Verhalten oder x Platten- bzw. Schaleneigenschaften gekennzeichnet sind.

8.5 Anwendung der Finite Elemente Methode

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Die Vorgehensweise bei FEM-Berechnungen erfolgt im Wesentlichen immer nach den gleichen grundlegenden Verfahrensschritten [8.55][8.59]: x Präzisieren der Aufgabenstellung mit Definition des Untersuchungsziels, im Falle von Federn z.B. Festigkeits- und Schwingungsanalyse; x Idealisieren der zu untersuchenden Struktur (Feder) mit Eingrenzung auf funktionsrelevante Details, Berücksichtigung von Symmetrien und Erfassen der Koppelstellen zur Umgebung; x Auswahl geeigneter finiter Elemente zum Diskretisieren dieser Struktur sowie Festlegen ihrer geometrischen und stofflichen Eigenschaften; x Formulieren der jeweils geltenden Belastungsbedingungen, wie z.B. Punkt-, Linien-, Flächenkräfte, eingeprägte Verschiebungen, Eigenspannungen, Vorspannungen; x Definieren der Randbedingungen, wie z.B. feste Einspannung, Führung, elastische Randbedingungen; x Auswahl des Analysetyps (statische, transiente, harmonische oder Modalanalyse) und der gewünschten Optionen (Gleichungslöser, Berücksichtigung großer Verformungen, Spannungsversteifungen, Form der Ergebnisdokumentation u.a.) x numerisches Lösen der sich daraus ergebenden Finite-ElementeGleichungen und x Bewerten der Ergebnisse. Der Anwender der Methode und dafür verfügbarer kommerzieller Rechenprogramme hat somit stets die Aufgabe, eine passende Modellstruktur zu wählen, deren Aufteilung mit geeigneten finiten Elementen vorzunehmen, die Einspann- und Belastungsbedingungen möglichst realitätsnah zu definieren und den Rechnerlauf zu steuern. Für die Modellbildung bieten moderne FEM-Programme eine Vielzahl von Elementtypen an (ca. 200). Sie können in Strukturelemente (Linien-, Flächen-, Schalenelemente), Volumenelemente sowie spezielle Elemente (Kontaktelemente, Feder-Dämpfungselemente, Masseelemente, Koppelelemente zwischen verschiedenen Feldern) unterschieden werden. Mit ihrer Hilfe können heute prinzipiell alle Aufgaben der Federberechnung gelöst werden. Im Gegensatz zu den herkömmlichen Berechnungsmethoden können damit auch komplizierte Geometrien mit Diskontinuitäten hinsichtlich der Randbedingungen und der Belastungen einer Berechnung zugänglich gemacht werden. Dadurch wird es auch beim Vorliegen komplizierter Geometrie- und Belastungsverhältnisse möglich, das früher übliche und auch heute noch weit verbreitete Ausweichen auf experimentell gestützte Entwurfsmethoden künftig weitgehend zu vermeiden.

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8 Rechnereinsatz zum Federentwurf

Marktübliche FEM-Programmsysteme sind heute als Berechnungswerkzeuge ausgereift und haben eine große Robustheit (numerische Stabilität) erreicht. Damit ist es an sich bereits jetzt schon möglich, dass der Konstrukteur lineare statische Berechnungen selbst vornehmen kann. Voraussetzung dafür ist jedoch, dass er über ein ihm vertrautes Werkzeug Zugang zur Anwendung der Methode erhält. Derartige Werkzeuge stellen CADSysteme dar, in die FEM-Berechnungsprogramme integriert sind. Einschlägige Lösungen hierfür sind zwar bereits vorhanden [8.19][8.53] [8.146][8.165][8.176], sie besitzen aber nur eingeschränkte und insbesondere für die Federberechnung unzureichende Fähigkeiten. Bei ihrer Anwendung wird die komplette CAD-Struktur automatisch vernetzt, so dass auch für die Funktions- und Festigkeitsanalyse unwichtige Details mit der gleichen Wertigkeit wie wichtige Details in das FEM-Modell übernommen werden. Dies erfolgt mit Dreieck- oder Tetraeder-Elementen. Daraus resultieren neben einer großen Elementezahl ein zu steifes FEM-Netz, große Diskretisierungsfehler und ungenaue Ergebnisse sowie eine unnötige Verlängerung der Rechenzeit [8.156]. Zudem sind nur lineare Berechnungen bei kleinen Verformungen möglich. Diese Unzulänglichkeiten haben ihre Ursache hauptsächlich in den unterschiedlichen Zielstellungen und Lösungsansätzen von CAD- und FEM-Systemen. Das gilt insbesondere im Hinblick auf die Modellbildung, wie die Gegenüberstellung der Merkmale von CAD- und FEM-Modellen in Tabelle 8.5 zeigt [8.122][8.123]. Tabelle 8.5: Merkmale von CAD- und FEM-Modellen Modell

Merkmal CAD Detailtreue

sehr hoch

FEM niedrig

Verbund der Geometrieelemente nicht unbedingt erforderlich unbedingt erforderlich 3D-Modelle

Draht-, Flächen-, Volumenmodelle

Balken-, Schalen-, Volumenmodelle etc.

Modellgröße

zumeist sehr umfangreich

so einfach wie möglich

Informationen über:

Punkte, Kurven, Flächen, Topologieinformationen, Baugruppen, Farben, Bemaßung, etc.

diskrete Geometrie, Vernetzung, Werkstoff, Lasten, Lagerbedingungen, physikalische Gesetze, Analyseziel, etc.

Für einen effektiven FEM-Einsatz muss deshalb der Geometrieinhalt des CAD-Modells in geeigneter Weise reduziert und durch physikalische Daten, beispielsweise zu den Materialeigenschaften und den Belastungs-

8.5 Anwendung der Finite Elemente Methode

441

und Randbedingungen, ergänzt werden. Kommen zur Bearbeitung dieser bereits recht komplizierten Aufgabenstellung außerdem noch die Behandlung nichtlinearer Teilaufgaben hinzu, wie das z.B. bei Federn durch das Einbeziehen der Kontaktbedingungen zu anderen Bauteilen sowie die Berücksichtigung großer Verformungen und nichtlinearen Materialverhaltens der Fall ist, dann setzt eine erfolgreiche Lösung dieser Problemstellung Kenntnisse und Fähigkeiten eines im Umgang mit der Finite Elemente Methode geübten Berechnungsingenieurs voraus, der außerdem auf den Einsatz in der Federntechnik spezialisiert sein muss. Diese personellen Voraussetzungen sind ein Grund für die Vorbehalte, die trotz der Fortschritte bei den verfügbaren kommerziellen Berechnungssystemen [8.163][8.169][8.175] und der gestiegenen Leistungsfähigkeit der Rechnerhardware vielerorts immer noch gegen eine breitere Anwendung der Finite Elemente Methode für den Federentwurf bestehen. Hinzu kommen die relativ hohen Kosten für die Anschaffung der benötigten FEM-Software, die für die effektive Arbeit eines Berechnungsingenieurs ständig verfügbar sein muss und die für kleine und mittelständische Unternehmen als beträchtlicher Kostenfaktor ins Gewicht fällt. Ein weiterer Grund resultiert aus den im Einzelfall feststellbaren zu großen Differenzen zwischen rechnerisch und experimentell ermittelten Ergebnissen. Diese Abweichungen haben jedoch ihre Ursache weniger in der Leistungsfähigkeit der verfügbaren Programme und ihren Modellierungsmöglichkeiten, sondern zumeist in unzureichenden Kenntnissen zu den Parameter des zu modellierenden Objektes, in dem Fall der Feder. 8.5.2 Besonderheiten der Anwendung für den Federentwurf Bei der Wahl des geeigneten Elementetyps spielen die gesuchten Größen, die Geometrie des Modells, das verwendete Berechnungsverfahren, die Genauigkeitsanforderungen, der Modellierungs- und Rechenzeitaufwand, aber auch Hardware-Kompatibilitätsprobleme eine wichtige Rolle. Dies trifft für die Modellierung von Federn und Federanordnungen mit ihrer breiten Variation in Bezug auf Gestalt, Einspann-, Belastungs- und Einsatzbedingungen in besonderem Maße zu. So wäre beispielsweise die Modellierung von Blatt- und Bandformfedern grundsätzlich mit allen Elementetypen möglich. Wie jedoch die Gegenüberstellung von Berechnungsergebnissen nach verschiedenen Modellansätzen für die relativ einfache und auch mit Hilfe überschaubarer analytischer Beziehungen berechenbare Trapezfeder (s. Tabelle 4.3a2 und Abb. 4.10) in Tabelle 8.6 anschaulich zeigt, ist bei Flach- und Flachformfedern, bedingt durch deren Gestalt, eine Diskretisierung mit Strukturele-

442

8 Rechnereinsatz zum Federentwurf

menten in Form von Balken-, Platten- oder Schalenelementen zweckmäßig. Dabei muss die Modellierung der festen Einspannung der Feder durch Sperren aller sechs Freiheitsgrade des Randlinienelementes erfolgen. Tabelle 8.6. Vergleich der nach unterschiedlichen Modellansätzen berechneten Verformungen (Durchbiegungen) und Spannungen einer Trapezfeder mit b0 = 40 mm, b1 = 30 mm, l = 100 mm, h = 5 mm, E = 201 000 N/mm2, F = 1 000 N sowie der benötigten Rechenzeit (analytische Rechnung: s = 4,04 mm; ıb = 600 N/mm2) Berechnungsmodell Balkenmodell: 4 Elemente

Ergebnisse s

= 4,093 mm

Abweichungen

Rechenzeiteinheit

įs = 1,3 % 1

Schalenmodell: 4 Elemente

ıxx = 600 N/ mm2

įı = 0 %

s

įs = -2,10 %

= 3,955 mm

2

Schalenmodell: 18 Elemente

ıxx = 670 N/ mm2

įı = 11,6 %

s

įs = -2,7 %

= 3,931 mm

2 ıxx = 711 N/ mm2

įı = 18,5 %

s

įs = -1,9 %

= 3,964 mm

2

Volumenmodell: 18 Elemente

ıxx = 661 N/ mm2

įı = 10,2 %

s

įs = -3,4 %

= 3,903 mm

3 ıxx = 606 N/ mm2

įı = 1,03 %

Beim Vergleich der in Tabelle 8.6 für die Berechnung des jeweiligen Modells angegebenen Rechenzeiteinheit ist zu beachten, dass es sich dabei um eine Verhältniszahl handelt, die sich auf das einfache BalkenelementeModell bezieht. Die angegebenen Rechenzeiteinheiten (Verhältniszahlen) sind damit von der verwendeten Hardwarekonfiguration und von der Hardwareentwicklung weitgehend unabhängig. Die für diese einfachen Beispie-

8.5 Anwendung der Finite Elemente Methode

443

le benötigen Rechenzeiten bewegen sich beim heutigen Stand der Technik im Sekundenbereich. Im Ergebnis des Vergleichs am Beispiel dieser einfachen Feder lässt sich feststellen: x Die Ergebnisse des einfachen Balkenelemente-Modells stimmen sowohl bezüglich Durchbiegung als auch vorhandener Biegespannung am besten mit der im Allgemeinen angewendeten elementaren Balkentheorie überein. x Auch die Modellierung mit Schalenelementen führt bereits bei einer kleinen Elementezahl zu guter Übereinstimmung zwischen analytisch und numerisch berechneter Verformung. Hinsichtlich der Spannung ergeben sich größere Abweichungen. x Eine Netzverfeinerung erhöht die Ergebnisqualität, führt aber aufgrund der größeren Anzahl von Knotenfreiheitsgraden zum Anstieg der benötigten Rechenzeit, die aufgrund der Einfachheit des Beispiels allerdings hier kaum feststellbar waren. x Die Anwendung einer ähnlich großen Anzahl von Volumenelementen liefert für die Durchbiegung größere Abweichung zur analytischen Rechnung (įs = -3,45 %) und benötigt außerdem deutlich mehr Rechenzeit. Die Spannungswerte stimmen hingegen gut überein. Erst eine Netzverfeinerung und die Erhöhung der Anzahl der Volumenelemente auf 144 führt zu einer mit dem Strukturmodell aus 18 hintereinander angeordneten Schalenelementen vergleichbaren Durchbiegung. Die dafür benötigte Rechenzeit beträgt dann aber bereits das 6fache der Rechenzeit für das einfache Balkenmodell. Ähnliche Aussagen lassen sich auch für gekrümmte, aber mit herkömmlichen Methoden noch berechenbare Bandformfedern nach Abb. 8.49 treffen (vgl. Abb. 4.12). Auch hier ergibt die Anwendung überschaubarer Schalenmodelle aus 66 Elementen bereits vergleichbare Werte für Verformung und Spannung (Abweichung zur analytischen Rechnung: įs = 4,0 %; įı = 7,9 %). Dabei können auch unterschiedliche Arten der Krafteinleitung in die Feder berücksichtigt und gut nachgebildet werden. So erfolgte beispielweise im Fall 1 die Modellierung der Krafteinleitung bei Linienberührung zwischen Feder und benachbartem Bauteil in Form einer Linienkraft. Bei der konstruktiv oft verwirklichten definierten Zweipunktberührung nach Fall 2 kann die Krafteinleitung hingegen durch Kraftpfeile an beiden äußeren Rand-Linienelementen verwirklicht werden. Aus der Ergebnisdarstellung in Abb. 8.49 werden außerdem die Vorteile der FEM-Berechnung im Hinblick auf die Ergebnisauswertung sichtbar. Mit Hilfe der in FEM-Programmen enthalten Postprozessoren lassen sich der Verformungs- bzw. Spannungsverlauf über dem Bauteil, nach ihrer

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8 Rechnereinsatz zum Federentwurf

Größe farbig oder in Graustufen skaliert, anschaulich wiedergeben und schnell bewerten. Für dieses einfache Beispiel ist der dargestellte Verformungs- bzw. Spannungsverlauf allerdings bereits von der Anschauung her so zu erwarten. Für kompliziertere Federformen und Federanordnungen ist das hingegen oft erst nach längeren Überlegungen und meist nur überschlägig möglich. Hier hilft die mit dem Postprozessor vorgenommene Skalierung sehr schnell, Aussagen über die genaue Lage und Ausdehnung der am höchsten beanspruchten und damit am meisten gefährdeten Stelle zu treffen. Die Skalierung bezieht sich immer auf den berechneten Größtwert der jeweils analysierten Größe und ordnet dem Maximum stets die Farbe Schwarz (Grautonskala) bzw. Rot (Farbskala) zu. a)

b)

c)

d)

Abb. 8.49. FEM-Berechnungen an einer gekrümmten Blattfeder aus Federbandmaterial mit u = 50 mm, r = 10 mm, b = 30 mm, h = 2 mm, Į = 135o bei einer Belastung mit F = 300 N und unterschiedlicher Krafteinleitung (Ergebnisse der analytischen Rechnung: s = 8,34 mm; ıb max = 900 N/mm2) a) Verformung in mm bei linienförmiger Krafteinleitung (Fall 1); b) Vergleichspannung in N/mm2 bei Krafteinleitung nach Fall 1; c) Verformung in mm bei Krafteinleitung in zwei Punkten (Fall 2); d) Vergleichsspannung in N/mm2 bei Krafteinleitung nach Fall 2;

Besonders deutlich wird der Vorteil dieser Auswertemöglichkeit am Beispiel des ermittelten Spannungsverlaufs der in Abb. 8.50 dargestellten

8.5 Anwendung der Finite Elemente Methode

445

Bandformfeder mit komplizierterer Gestalt (s.a. Abb. 4.14a, rechtes Beispiel). Zugleich unterstreicht das Anwendungsbeispiel aber auch die Leistungsfähigkeit von FEM-Berechnungen; denn für diese Art von Federn, wie sie u.a. zur Fixierung von Bauteilen, beispielsweise von Verkleidungen, zum Einsatz kommen, sind bisher keine Berechnungsunterlagen bekannt. Ihr Entwurf erfolgte daher bislang auf rein experimentell gestützte Weise. Hierbei stellte sich der Belastungszustand als kritisch heraus, in dem die Feder während der Montage mit ihrem klammerförmigen unteren Teil in den Schlitz eines Bleches einrastet, an dem das vom bogenförmigen oberen Teil der Feder gehaltene Bauteil (Verkleidung) befestigt werden soll. Beim Durchstecken des unteren Teils der Bandformfeder durch den Schlitz des Bleches wird die Klammerweite um ca. 2 mm verkleinert.

Abb. 8.50. FEM-Berechnung an einer Bandformfeder aus Federstahl mit l1 = 17,5 mm (oberer Klammerteil) l2 = 16 mm (unterer Klammerteil), b = 10 mm, t = 1 mm zur Ermittlung des Vergleichsspannungszustandes an der Federoberfläche (in N/mm2 skaliert) beim Einrasten in einen Schlitz

Die dargestellten FEM-Ergebnisse zum Vergleichsspannungszustand beziehen sich auf diesen Fall. Er wird dadurch simuliert, dass im Anschluss an die Generierung der Federgeometrie und die FEM-Modellierung der Feder in einem zweiten Verfahrensschritt die beim Einrasten entstehende Verformung der Klammer als Verschiebung in den oberen Klammerteil eingeprägt wird. Während dieser Verschiebung kommt der obere Klammerteil an seinem freien Ende mit dem unteren Klammerteil in Berührung (Kontakt) und stützt sich beim weiteren Verformen dann auf diesem ab. Um die mit dem Zustand der Berührung eintretenden Steifigkeitsveränderungen in den weiteren Berechnungen berücksichtigen zu können, wird mit in FEM-Berechnungen üblichen Kontaktelementen, sog. GAPS, gearbeitet. Den Kontaktelementen kann durch Anwenden eines sog. StrafVerfahrens (Penalty-Verfahren) eine bestimmte Steifigkeit zugeordnet werden, die sich auf der Grundlage einer Verschiebungs-Steifigkeits-Beziehung in Abhängigkeit vom Verschiebezustand ergibt. Dazu wird der Abstand zwischen oberem und unterem Klammerteil während der Verformung überwacht. Erreicht er den Wert Null (Berührung), dann werden die

446

8 Rechnereinsatz zum Federentwurf

Kontaktelemente mit einer bestimmten Steifigkeit (Strafzahl) beaufschlagt. Sie muss so bemessen sein, dass die Klammerteile an der Berührungsstelle aufeinander gleiten, sich aber nicht durchdringen können. Auf der Grundlage der berechneten Verformungen wird schließlich der Spannungszustand analysiert. Aufgrund der Knotenzahl und der Analyseart – bei Einbeziehen von Kontaktproblemen sind nichtlineare Berechnungen erforderlich – steigt die Rechenzeit bei diesem Beispiel auf ca. das 1200fache der Rechenzeit der oben behandelten Trapezfeder an. Ein ähnlich schrittweises Vorgehen kann auch bei der Verformungs- und Spannungsanalyse von Kontaktpaaren angewendet werden, wie sie z.B. in Relais zu finden sind. Bei dem in Abb. 8.51 dargestellten Kontaktpaar handelt es sich um einen sog. Ruhekontakt, der beim Betätigen des Ankers geöffnet wird. Er wird deshalb auch als Öffnerkontakt bezeichnet. a)

b)

c)

Abb. 8.51. FEM-Berechnung an dem Öffnerkontakt eines Miniaturrelais a) FEM-Modell im un- bzw. vorgespannten Zustand; b) Verformungen in mm skaliert; c) Vergleichsspannungen in N/mm2 skaliert

8.5 Anwendung der Finite Elemente Methode

447

Bisher gebräuchliche Relaiskontaktfedersätze, beispielsweise in Kammrelais (s. Abb. 6.10), waren zumeist aus geraden Blattfedern aufgebaut, deren Berechnung mit den im Kapitel 4 angegebenen Beziehungen ohne Schwierigkeiten möglich ist. Der erwähnte Zwang zur Miniaturisierung führt bei Relais aber zunehmend zu Federsatzformen, die an den beengten und zum größten Teil vom Magneten eingenommenen Bauraum optimal angepasst sind und daher, wie in Abb. 8.51 für die sog. Umschaltfeder der Fall, meist mehrfach abgewinkelt sein müssen. Derartige Federn zeigen bei Belastung aufgrund der biegesteifen Ecken ein von gestreckten Blattfedern abweichendes Verformungs- und Spannungsverhalten und sind deshalb nur schwer berechenbar. Zur Lösung der Aufgabe, das Verformungs- und Spannungsverhalten im vorgespannten Funktionszustand (Schaltkontakt geschlossen) zu analysieren, wurden im vorliegenden Fall beide Federn mit insgesamt 51 Schalenelementen (Umschaltfeder: 30 Elemente; Öffnerfeder: 21 Elemente) und die Kontakte mit jeweils einem Volumenelement modelliert. Die Oberflächen der Schaltkontakte werden dabei als Kontaktflächen im Sinne der Finite Elemente Methode definiert, um den Oberflächenkontakt beim Vorspannen der Federn feststellen zu können. Das Vorspannen erfolgt auch hier wiederum nach dem Generieren der Federgeometrie und der FEM-Modellierung. Dazu wird in einem ersten Schritt zunächst die Einspannstelle der Umschaltfeder gegenüber der ortfest eingespannten Öffnerkontaktfeder bis zum Feststellen der Berührung der beiden Schaltkontakte schrittweise verschoben. Anschließend wird in einem zweiten Schritt durch weiteres Verschieben der Einspannstelle der Umschaltfeder die zur Erzeugung der Öffnerkraft erforderliche Verformung eingeprägt. Daraus wird dann in einem weiteren Schritt der Verformungs- und Spannungszustand des Kontaktfederpaares ermittelt. Prinzipiell ist dabei auch ein Vertauschen der Verschiebestelle möglich. Die Wahl zweckmäßiger finiter Elemente hängt aber nicht allein von der Form der Feder, sondern auch von der Art der Aufgabenstellung ab. So könnte beispielsweise im Falle zylindrischer Schraubenfedern angenommen werden, dass ihr Schwingungsverhalten aufgrund des räumlichen Krümmungszustandes des zugrundeliegenden Torsionsstabes nur durch die Modellierung mit Volumenelementen realitätsnah ermittelt werden kann. Untersuchungen haben aber gezeigt, dass hier auch eine Modellierung mit Strukturelementen zum Ziel führen kann, ohne dass wesentliche Genauigkeitsunterschiede zu Volumenmodellen festzustellen sind [8.74] bis [8.77] [8.79][8.113][8.114] (vgl. Abschn. 7.6). Die Einsparung an Rechenzeit ist dabei erheblich. So benötigt man z.B. zur Ermittlung der Quer-Eigenfrequenzen mit Hilfe eines Balkenmodells ca. 700 Rechenzeiteinheiten. Mit einem Volumenmodell dauert die Rechnung 60 bis 120 mal so lange.

448

8 Rechnereinsatz zum Federentwurf

Die teilweise mit der Verwendung von Strukturelementen einhergehenden Einschränkungen hinsichtlich des Leistungsumfangs der Simulation  bei der Modalanalyse sind beispielsweise in Abhängigkeit vom jeweils verwendeten Balkenelement (mit oder ohne Schubanteil) nicht alle Eigenformen und Eigenfrequenzen ermittelbar  werden in Anbetracht der damit verbundenen Zeiteinsparung vom Anwender oft akzeptiert. Auch in dem Fall läuft die Simulation unabhängig vom gewählten Modelltyp stets in den bereits genannten Schritten ab: 1. Schritt: 2. Schritt: 3. Schritt: 4. Schritt:

Generieren der Federgeometrie und des FEM-Modells, Herstellen des gespannten Zustandes, für den die Eigenfrequenzen vorspannungsabhängig ermittelt werden sollen. Durchführen der Schwingungsanalyse. Auswerten der Analyseergebnisse mit Hilfe des Postprozessors.

Schwierigkeiten bei der FEM-Modellierung von Schraubenfedern bereiten wiederum die Koppelstellen mit der Umgebung. Bei Schraubendruckfedern betrifft dies die Gestalt der Endwindungen von Schraubendruckfedern sowie deren Auflage bzw. Einspannung und bei Schraubenzugfedern die Ausführungsform und Befestigung der Ösen. Bei Zugfedern kommt noch das Problem des Erzeugens innerer Vorspannung hinzu. Hier zeigen Untersuchungen, dass es zweckmäßig ist, die Feder um den Betrag des „eingewundenen“ und geometrisch unwirksamen Federweges s0 = F0/ R verkürzt zu modellieren. Das ist ohne Probleme möglich, da im FEM-Modell die Windungen körperlich nicht vorhanden sind und sich daher in dem verkürzten Zustand im Gegensatz zur realen Feder durchdringen können. Das Erzeugen der Vorspannung im 2. Schritt bedeutet für Schraubendruckfedern ein Zusammendrücken der Feder um den Weg sv = Fv/ R, bei Schraubenzugfedern ein Strecken um den gleichen Weg, wobei im Regelfall Fv = F1 zu setzen ist. Bei Schraubendruckfedern legen sich beim Zusammendrücken die Übergangswindungen allmählich an (s.a. Abschn. 4.3.2.2 bzw. 7.8), wodurch die Anzahl der federnden Windungen ab- und die Steife zunimmt. Zur Steuerung der Federsteife wird wiederum das Penalty-Verfahren unter Verwendung spezieller GAP-Elemente eingesetzt. Die für die Spannungsbzw. Verformungsberechnungen erforderlichen Belastungen werden dabei als Kräfte oder Verschiebungen eingeprägt. Dies ist beispielweise in dem in Abb. 8.52 dargestellten Fall zur Berechnung der Querfederung einer Schraubendruckfeder geschehen. Sie wurde mit Hilfe von Volumenelementen modelliert. Mit dem Modell ist auch die Ermittlung des Querschwingverhaltens möglich. Sollen der Spannungszustand von Federn bei unterschiedlichen Beanspruchungen analysiert und Aussagen zur Spannungsausbreitung in der

8.5 Anwendung der Finite Elemente Methode

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Feder gewonnen werden, wie dies im Beispiel der Schlossfeder einer PkwTür nach Abb. 8.53 geschehen ist, dann kommt man bei der Modellierung der Feder ohne Volumenelemente nicht aus.

Abb. 8.52. Querfederung einer zylindrischen Schraubendruckfeder in mm skaliert mit d = 7 mm; Da = 48,5 mm; nt = 10,25; nf = 8,25 bei einer Querbelastung mit F = 600 N (verformte Struktur nicht dargestellt)

Abb. 8.53. Spannungsverteilung in der Drahtformfeder des Schließmechanismus einer Pkw-Tür, skaliert in N/mm2

Auch hier lässt sich das Verformungs- und Festigkeitsverhalten nur in mehreren Schritten nachbilden. Dabei kommt dem Schritt der Abstraktion vom realen Objekt zum physikalischen Modell, der in den bisherigen Beispielen nur eine untergeordnete Rolle gespielt hat und daher nicht hervorgehoben wurde, nunmehr große Bedeutung zu. Wie die nachfolgenden Ausführungen anschaulich zeigen, kann nur durch ausreichendes Klären der Funktion der Feder und ihrer Kopplungen mit den benachbarten Bauteilen eine realitätsnahe Modellierung erfolgen. Die dargestellte Feder wurde von ihrem Entwickler zunächst nur auf der Grundlage der Torsionsbeanspruchung dimensioniert, die beim Betätigen der Pkw-Tür und dem damit verbundenen Bewegen des oberen kurzen Federschenkels im langen geraden Teil der Feder entsteht. Dieser gerade Federteil ist an den durch Kraftpfeile (Lagerreaktionen) gekennzeichneten Stellen drehbar gelagert. Der untere kurze Federschenkel ist an der Tür fest eingespannt. Die Biege- und Torsionsbeanspruchungen, die sich an dem oberen gekrümmten Federteil infolge des versetzten Kraftangriffs ergeben, wurden hingegen vernachlässigt. Für diese stark vereinfachte analytische Berechnung wurden außerdem die Federschenkel als biegesteif angenommen.

450

8 Rechnereinsatz zum Federentwurf

Die nachfolgende experimentelle Erprobung der Feder ergab jedoch, dass bereits nach verhältnismäßig wenigen Arbeitsspielen Federbrüche auftraten. Sie entstanden an der Innenfaser des oberen gekrümmten Federteils. Um die Ursachen für diese Federbrüche aufzuzeigen, wurde eine FEMAnalyse durchgeführt. Sie zeigt, dass die Feder infolge der an der Bruchstelle auftretenden zusätzlichen Biege- und Torsionsbeanspruchung deutlich überlastet wird. Diese Beanspruchung entstehen beim Betätigen der Tür und durch die damit verbundene Krafteinleitung in den oberen kurzen Federschenkel. Sie wurden bei der Modellierung und Dimensionierung der Feder nach herkömmlichen Methoden nicht berücksichtigt. Wie die FEMAnalyse außerdem nachweist, dominiert diese Beanspruchung, während die zugrundegelegte Torsionsbeanspruchung unkritisch ist. Aus dem Beispiel in Abb. 8.53 geht damit anschaulich hervor, dass die FEM-Anwendung insbesondere bei kombiniert beanspruchten und von der Standardform abweichenden Federn sehr hilfreich sein kann. Eine rechtzeitige Simulation des Festigkeits- und Verformungsverhaltens auf der Grundlage eines realitätsnahen FEM-Modells oder die Berücksichtigung der Spannungsüberlagerung in der hier noch möglichen analytischen Berechnung hätten das Entwicklungsrisiko für die Feder und das davon betroffene Produkt deutlich reduzieren und zusätzliche Kosten für Schadensbegrenzung und notwendige konstruktive Änderungen vermeiden können. 8.5.3 FEM-Federprozessor – Grundidee, Aufbau, Umsetzung, Anwendung Wie die bisherigen Ausführungen und bereits die behandelten relativ einfachen Beispiele gezeigt haben, ist die Modellierungsphase im Falle von Federn und Federanordnungen besonders aufwändig und nur bei ausreichend großen Erfahrungen in der Anwendung der Finite Elemente Methode und auf dem Gebiet der Federntechnik erfolgreich zu beherrschen. Da im Regelfall nicht von diesen Voraussetzungen ausgegangen werden kann, sind Verbesserungen zur Handhabung der Finite Elemente Methode und der verfügbaren Programme dringend notwendig, um in Anbetracht der sich rasch verbessernden Hardwarebedingungen die Voraussetzungen für eine breitere Anwendung dieser leistungsfähigen Methode durch den Konstrukteur zu schaffen. Die Verbesserung in der Handhabung der FEM-Programme muss aufgrund der Spezifik des jeweiligen Anwendungsgebietes fachgebietsbezogen erfolgen. Für das Gebiet der Federntechnik bedeutet dies, die mögliche Vielfalt hinsichtlich der Form der Federn sowie deren Kopplungen mit der

8.5 Anwendung der Finite Elemente Methode

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Umgebung zu berücksichtigen. In Bezug auf Bedienkomfort muss erreicht werden, dass der Aufruf der Module zur weitgehend automatischen Modellierung der Feder mit Hilfe der Finite Elemente Methode in einer dem Konstrukteur vertrauten Form erfolgt. Diese Zielstellung wird durch einen Federprozessor verwirklicht, der auf dem kommerziellen FEM-Programmsystem ANSYS“ aufbaut und dieses durch federspezifische Pre- und Postprozessoren so ergänzt, dass eine leichte Handhabung und damit effektive Nutzung auch für Konstrukteure ohne Spezialkenntnisse zur Finite Elemente Methode möglich wird. Grundidee, prinzipieller Aufbau und Stand der Umsetzung des Federprozessors nach Abb. 8.54 sowie die Vorgehensweisen bei seiner Anwendung auf Beispiele sollen nachfolgend beschrieben werden. Federanwendung Abstraktion

Wissens repräsentation

Modellierungsweg

Preprozessor

Modellierungsweg 1

Modellierungsweg 2

Komplettmodule für typische Anwendungen

Typische Federn für spezielle Anwendungen

Komplizierte Federn

Geometrie u. Vernetzung v. - Schraubenfedern - Tellerfedern - Blattfedern

Geometrie u. Vernetzung v. Freiformfedern aus: - Federdraht - Federband

Berechnung der - Kennlinie - Eigenfrequenzen - Spannungen

Solver

an - Schraubenfedern - Tellerfedern - Wellfedern

Modellierungsweg 3

Rand- und Belastungsbedingungen

Materialdatenbank

Softwaremodule

- Einspannung, Lagerung, - Kräfte

Analyseziel Postprozessor

Ergebnisse: - Kennlinienplots - Eigenfrequenzen und Eigenformenformen - Spannungsplots

nein

- lineare oder nichtlineare Statik - Modalanalyse

Informationsdateien

Ergebnisdarstellung - Listings, Plots - Animationen

Ergebnisbewertung

FEDERPROZESSOR

ja

Optimiertes Produkt

Abb. 8.54. Struktur des FEM-Federprozessors [8.55][8.57][8.119] bis [8.124]

Grundidee. Das Konzept des Federprozessors geht davon aus, dass Federn als mechanische Bauteile stets durch eine Geometrie bestimmt sind, die vorrangig aus Band- und Drahthalbzeugen unter Einhaltung fertigungstechnischer Bedingungen entsteht,

452

8 Rechnereinsatz zum Federentwurf

x die den räumlichen Gegebenheiten ihrer Umgebung im Produkt angepasst sein muss und x die so bemessen ist, dass die geforderte Funktion sicher erfüllt wird. Daher liegt der Gedanke nahe [8.55][8.57] bis [8.59][8.95][8.96][8.119] bis [8.124], die Modellgenerierung durch Anwendung der FeatureTechnologie [8.31][8.83][8.145] vorzunehmen und zu dem Zweck Features zu definieren, mit denen auf die Federtechnik bezogene geometrische und funktionsorientierte Sachverhalte erfasst werden können (Tabelle 8.7). Dadurch wird es möglich, das komplexe FEM-Federmodell aus einzelnen geometrieorientierten Programmbausteinen (Features) zusammenzufügen und diese in geeigneter Weise mit funktionsorientierten Programmbausteinen zu Unterprogrammen (Modulen) zu verknüpfen. Tabelle 8.7: Beispiel für Features für den Federprozessor Geometrieorientierte Elemente

Funktionsorientierte Elemente

- Kontaktelemente - Gerade Federdraht- und Parameter: Federbandstücken mit über die Kontaktsteifigkeit, Länge konstantem oder Eindringtiefe, veränderlichem Querschnitt Kontaktradius, Parameter: Länge, Kontaktabstand, Querschnittsabmessungen Kontaktstatus, - gekrümmte Federdraht- und Reibung und Reibwert Federbandstücken mit über der - Feder-DämpferLänge konstantem oder verElemente änderlichem Querschnitt Parameter: Parameter: Federsteife, Querschnittsabmessungen, Dämpfungskonstante Radius, eingeschlossener Winkel - Federteller - Wickelkörper aus Federdraht oder Federband Parameter: Durchmesser, Steigung, Windungszahl, Querschnittsabmessungen - Spiralfederkörper aus Federdraht oder Federband Parameter: Innendurchmesser, Außendurchmesser, Windungszahl, Querschnittsabmessungen

Funktionsorientierte Eigenschaften - Materialparameter, wie z. B. Gleit- und Elastizitätsmodul, Dichte, Wöhlerlinien - Rand- und Belastungsbedingungen, wie z.B. Einspannung, Führung, Lagerung, Auflager, Kräfte, Lastkollektive, Verschiebungen, Eigengewicht - Analysetyp, wie z.B. lineare oder nichtlineare Strukturanalyse, Modalanalyse, Lebensdaueranalyse - Ergebnisauswertung, wie z. B. Federkennlinie, Verformungsplots, Spannungsplots, Listen, Animationen (Eigenformen u.a.)

Die geometrieorientierten Programmbausteine - beispielsweise für gerade bzw. für gekrümmte Federdraht- bzw. Federbandstücke mit über der Länge konstanten bzw. auch veränderlichen Eigenschaften oder für Gestaltvarianten der Federankopplung an die Umgebung (s. z.B. Abb. 4.28

8.5 Anwendung der Finite Elemente Methode

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und Abb. 4.38) - müssen deshalb so beschaffen sein, dass sie sich innerhalb verschiedener Programmmodule weiterverwenden und mit den jeweils aufgabenspezifischen funktionsorientierten Programmbausteinen, z.B. zur Dimensionierung und Analyse von Federungen (statisches oder dynamisches Verhalten, Festigkeitsverhalten u.a.) verknüpfen lassen. Diese Umsetzung und Verknüpfung der Programmbausteine (Features) geschieht mit Hilfe sogenannter Parametersprachen, über die ANSYS“ ebenso wie die anderen handelsüblichen FEM-Programmsysteme verfügt. Aus der Menge der auf diese Weise entstehenden Programmmodule müssen dann bei der FEM-Modellierung des jeweiligen Anwendungsfalls nur die betreffenden Module mit Hilfe der sie kennzeichnenden Parameter nach einer vorgegebenen, topologisch bedingten Reihenfolge aufgerufen und die notwendigen Parameter in einer, dem Konstrukteur gewohnten Weise eingegeben werden, um zu einem vollständigen, automatisch generierten FEM-Modell zu gelangen [8.55][8.57] bis [8.59][8.95][8.96][8.119] bis [8.124]. Dadurch wird die Finite Elemente Methode für den nicht speziell geschulten Konstrukteur handhabbar und auch für einen Berechnungsingenieur ist eine wesentliche Zeitersparnis und damit effektivere Aufgabenbearbeitung zu erwarten. Für potentielle FEM-Anwender in kleinen und mittelständischen Unternehmen kommt bei der Nutzung des Federprozessors ein weiterer wirtschaftlicher Vorteil hinzu. Da in diesen Unternehmen die FEM-Arbeitsmöglichkeiten zumeist nicht permanent, sondern immer nur zeitlich begrenzt vorhanden sein müssen, kann hier auf die o.g. kostenintensive Anschaffung der als Grundvoraussetzung für den Einsatz des Federprozessors notwendigen Standard-ANSYS-Software verzichtet und stattdessen auf das kostengünstigere Leasing einer Lizenz zurückgegriffen werden. Dabei kann das Leasing der Software-Lizenz stundenweise erfolgen und auf den Rechenzeitbedarf begrenzt werden, der zur Lösung einer Aufgabe gerade notwendig ist. Diese Vorgehensweise wird durch die leichte Handhabung des Federprozessors unterstützt, da sie auch nach größeren Anwendungspausen einen sicheren Umgang mit diesem Werkzeug ermöglicht. Aufbau des Federprozessors. Die Struktur des Federprozessors nach Abb. 8.54 orientiert sich an den drei grundsätzlichen Aufgabengruppen beim Federentwurf, die sich durch Analyse möglicher Aufgabenstellungen der Federntechnik klassifizieren lassen. Typische Aufgabenstellungen beim Federentwurf haben die Ermittlung der Federkennlinie, der auftretenden Beanspruchungen und Verformungen (Festigkeits- und Steifigkeitsverhalten) sowie der Eigenfrequenzen zum Inhalt. Dabei werden häufig Federn mit Standardformen (Standardfedern), d.h. mit typischer Gestalt, eingesetzt und in typischer Weise beansprucht.

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8 Rechnereinsatz zum Federentwurf

Beispiele hierfür sind u.a. Schraubendruckfedern, die längs ihrer Achse zusammengedrückt und dabei hauptsächlich auf Torsion beansprucht werden, oder Drehfedern, die um die Symmetrieachse des Federkörpers verdreht und so auf Biegung beansprucht werden. In allen diesen Fällen ist es sinnvoll, einen Programmteil mit abgeschlossenen Modulen auszuführen, in dem die geometrie- und funktionsorientierten Features bereits zu sog. Komplettmodulen verknüpft sind, die eine automatische Generierung des FEM-Federmodells und der Belastungsbedingungen sowie die Berechnung und die Ergebnisauswertung des jeweiligen Standardfederanwendung übernehmen. Dieser Programmteil wird im Folgenden als Modellierungsweg 1 bezeichnet (vgl. Abb. 8.54). In der Praxis werden diese Federn mit Standardgeometrie mitunter aber unter nichttypischen Belastungsbedingungen eingesetzt. Man denke hier nur an die querbelastete zylindrische Schraubendruckfeder in Abb. 8.52 oder an eine Drehfeder, die zusätzlich zur Verdrehung um ihre Achse noch längs dieser Achse belastet wird, wie das beispielsweise bei Riemenspannerfedern an Pkw-Lichtmaschinen häufig der Fall ist. Deshalb sieht der FEM-Federprozessor auch einen Modellierungsweg 2 vor, der die Behandlung von typischen Federn unter speziellen Anwendungsbedingungen vorsieht. Dieser Programmteil beruht auf FEM-Modulen zur automatischen Erstellung des jeweiligen FEM-Federgeometriemodells und aus Modulen zur separaten Beschreibung des speziellen Anwendungsfalles (Rand- und Belastungsbedingungen, Analyseziel) sowie für die Ergebnisauswertung. Zunehmend steht der Konstrukteur beim Federanwender aber auch vor der Aufgabe, Form- bzw. Freiformfedern aus Federdraht- oder Federbandmaterial zu entwerfen, da im Zuge der Erhöhung der Leistungsfähigkeit von Produkten und der Verwirklichung der Forderung nach Kompaktbauweise der Einsatz von optimal an den Bauraum angepassten Lösungen zunimmt. Beispiele hierfür liefern die Band- und Drahtformfedern in Abb. 8.50 bzw. 8.53 oder eine Drehfeder mit tangential verlaufenden langen und abgekröpften Schenkeln gemäß Abb. 8.66. Für derartige Freiformfedern existieren im Allgemeinen noch keine exakten Berechnungsunterlagen. Als Lösungsweg kommt hier deshalb nur ein überschlägiger Grobentwurf auf der Grundlage weitgehender Vereinfachungen in Betracht. Er dient als Ausgangspunkt für die anschließende experimentelle schrittweise Annäherung an die Forderungen der Aufgabenstellung. Den Entwurf von Federn für diese Anwendungsfälle unterstützt der Modellierungsweg 3. Er beruht ausschließlich auf der Anwendung der Methode der featurebasierten Modellierung. Voraussetzung hierfür ist die Verfügbarkeit einer Bausteinbibliothek auf der Grundlage der in Tabelle 8.7 enthaltenen Elemente. Neben den funktionellen Randbedingungen sind beim Federentwurf vor allem auch fertigungs- und werkstofftechnische Restriktionen zu berück-

8.5 Anwendung der Finite Elemente Methode

455

sichtigen. Sie betreffen bei Metallfedern im Wesentlichen fundierte Kenntnisse zur Kalt- und Warmformgebung von Draht- und Bandmaterial und zur Wärmebehandlung der Feder (z.B. Wickelverhältnis, Biegeradien, Rückfederung, Behandelungstemperaturen, usw.). Deshalb sieht der Federprozessor den Aufbau einer Datenbank vor, in dem Expertenwissen zur Verfügung gestellt wird (s. Abschn. 8.1.3). Umsetzung. Der Federprozessor als Pre- und Postprozessor zum GeneralPurpose-System ANSYS“ und als Kern des beschriebenen Entwurfssystems nach Abb. 8.3 ist realisiert. Für den Modellierungsweg 1 sind Module für die verschiedenen Schraubenfedertypen (zylindrische oder nichtzylindrische Mantelform, konstante oder veränderliche Steigung, runder oder rechteckförmiger Drahtquerschnitt) sowie für Dreh-, Well- und Tellerfedern vorhanden. Möglich sind die Berechnung der Kennlinie, der Eigenfrequenzen und Eigenformen sowie des Festigkeitsverhaltens (Spannungszustand). Zur Lösung von Aufgaben, die eine Nutzung des Modellierungsweges 2 erfordern, stehen darüber hinaus auch Module zum Generieren von FEMModellen für Blattfedern mit konstantem bzw. veränderlichem Querschnitt zur Verfügung. Für den Entwurf von Freiformfedern nach Modellierungsweg 3 bestehen hinsichtlich der Formenvielfalt kaum Einschränkungen, da sich diese Federn in der Regel immer aus Geraden- und Kreisbogenstücken bzw. Wickel- oder Spiralkörpern zusammensetzen lassen. Hierfür benötigte Module sind im derzeit verfügbaren Federprozessor enthalten. Die vorhandenen Module sind in der ANSYS- internen Sprache APDL (ANSYS Programming Design Language) abgefasst und über UIDL (User Interface Design Language) in die grafische Benutzeroberfläche des Systems (GUI – Grafical User Interface) integriert. Das ANSYS-GUI besteht aus Fenstern, Menüs, Dialogboxen und weiteren Komponenten und ermöglicht es, Daten einzugeben und ANSYS-Funktionen auszuführen. Auf diese Weise wird es möglich, alle von ANSYS“ bereitgestellten Funktionen zu nutzen, z.B. die Auswahl von Ansichten, das Ein- und Ausschalten der Darstellung der Randbedingungen oder den Start einer Druckroutine. Die Bedienerführung erfolgt menügesteuert. Hierfür werden vorrangig sog. Menüblöcke, Funktionsblöcke und Hilfeblöcke genutzt (Abb. 8.55). Die Menüstruktur (Abb. 8.56) orientiert sich am Konzept des Federprozessors. Sie unterscheidet deshalb in Komplettmodule (Modellierungsweg 1), in Geometriemodule für typische Federn und Formfedern (Modellierungsweg 2 und 3), sowie in die Menüzweige Material, Randbedingungen/ Lasten und Analyseart, die zur Vervollständigung der Modellierungsweges 2 und 3 notwendig sind. Ein zusätzlicher Postprozessorzweig ermöglicht die komfortable Darstellung von Ergebnissen, wie z.B. Kennlinien- und Spannungsplots.

456 a)

8 Rechnereinsatz zum Federentwurf b)

Abb. 8.55. Beispiele für Bestandteile des Bedienmenüs des Federprozessors a) Menüblock zur Auswahl der Berechnungsaufgabe; b) Funktionsblock zur Eingabe von Federdaten

Die Menüblocks übernehmen die Navigation bei der Bearbeitung einer Berechnungsaufgabe und die Auswahl der zu ihrer Lösung benötigten Funktionsblöcke. Die Funktionsblöcke als Hauptbestandteile des ANSYS-Menüs und damit des Federprozessors erzeugen die Eingabemasken für die zur Federberechnung benötigten Parameter, realisieren Pick- und Scroll-Funktionen und rufen im Hintergrund die erstellten Module des Federprozessors bzw. die ANSYS-Standard-Funktionen auf. Dabei sind die Eingabemasken in einer für den Konstrukteur verständlichen Form gestaltet, wie dies beispielweise Abb. 8.55b für eine Doppelkegelfeder zu entnehmen ist. Die Hilfeblöcke geben dem Nutzer Hinweise zur korrekten Anwendung des Federprozessors. Alle Bausteine des Federprozessors sind parametrisiert aufgebaut, so dass die Synthese und Analyse von typischen Federn und von Freiformfedern mit beliebigen Abmessungen gewährleistet ist. Ein Teil der vorhandenen Module kann auch bereits aus dem CADSystem Pro/ ENGINEER“ heraus aufgerufen werden (Abb. 8.57). Das betrifft bisher nur die Komplettmodule nach Modellierungsweg 1 und damit nur Standardfedern in typischen Anwendungen. Die Integration der FEM-Module für die Simulation von Standardfedern unter speziellen Belastungs- und Randbedingungen bzw. von Freiformfedern ist Gegenstand der gegenwärtigen Arbeiten am Federprozessor bzw.

8.5 Anwendung der Finite Elemente Methode

457

am Entwurfssystem nach Abb. 8.3. Probleme bereiten hierbei insbesondere die Schnittstellen für den bidirektionalen Datenaustausch [8.48][8.57] [8.123][8.127].

Abb. 8.56. Menüstruktur des Federprozessors [8.55]

458

8 Rechnereinsatz zum Federentwurf

Abb. 8.57. Federprozessor-angepasste Nutzeroberfläche des CAD-Systems Pro/ ENGINEER“ [8.48][8.127]

Anwendung und Beispiele. Beim Entwurf von Federn und Federanordnungen besteht für den Nutzer des Federprozessors nach der Analyse der Problemstellung die Aufgabe zunächst darin, einen der drei möglichen Modellierungswege zum Generieren des FEM-Modells auszuwählen. Entscheidet sich der Konstrukteur aufgrund der zu bearbeitenden Aufgabenstellung für den Modellierungsweg 1, dann sind nach Auswahl des entsprechenden Komplettmoduls nur die verlangten Geometrie-, Einbauund Werkstoffparameter über eine Eingabemaske zu spezifizieren. Die Übergabe der für die Generierung des vollständigen Berechnungsmodells erforderlichen Daten an das FEM-System und die Übernahme der Ergebnisse (z.B. Kennlinienplot und zugehörige Datenpaare) erfolgt in dem Fall vollkommen automatisch. Beispiele für diesen Modellierungsweg sind die Ermittlung der Kennlinie einer Doppelkegelfeder (Abb. 8.58) und die Ermittlung der Eigenfrequenzen einer Schraubenzugfeder (Abb. 8.59). Im ersten Beispiel handelt es sich um eine typische Aufgabenstellung, die beim Einsatz von Federn mit nichtlinearer Kennlinie zu lösen ist. Dies ist beispielsweise beim Entwurf von elastischen Kupplungen der Fall, bei denen sich die Eigenfrequenz der Kupplung in Abhängigkeit von der Größe des Drehmomentes und der Durchfederung (Verformung) ändern soll. Auch beim Entwurf von Fahrzeugtragfedern stellt sich diese Aufgabe relativ häufig. Hier soll durch Nutzung von Federn mit progressiver Kennlinie erreicht werden, dass sich die Lage des Schwerpunktes des Fahrzeugs bei Zuladung nur geringfügig ändert. Die Menüfolge zum Aufruf des Eingabe- und Berechnungsmoduls lautet für diesen Anwendungsfall (s. Abb. 8.58a): FEDERPROZESSOR > PREPROZESSOR > Komplettmodule > Schraubenfeder > Kennlinie > Druckfeder > DoppelKegel Nach Eingabe der Geometrie- und Materialdaten der Doppelkegelfeder erfolgen die automatische Generierung des FEM-Modells einschließlich Rand- und Belastungsbedingungen (Abb. 8.58b), die Übergabe an den ANSYS-Solver und die Berechnung der Federkennlinie. Dabei werden die

8.5 Anwendung der Finite Elemente Methode

459

sich ändernden Kontaktsituationen beim Einfedern automatisch berücksichtigt, die durch das allmähliche Anlegen und das damit verbundene Abschalten von Windungsteilen zustande kommen. Dies wiederum hat die progressive Federkennlinie bzw. die Zunahme der Federrate zur Folge. a)

b)

c)

Abb. 8.58. Berechnung der Kennlinie einer Doppelkegelfeder a) Menüführung; b) FEM- Modell; c) Ergebnisdarstellung (Kennlinienplot)

Die berechneten Kraft-Weg-Wertepaare werden in einem ASCIIDatenfile abgelegt und können in Form des Kennlinienplots nach Abb. 8.58c dargestellt werden. Ebenso kann die Kennlinie auch in verschiedenen Graphikdatenformaten exportiert werden und steht damit z. B. für die Einbindung in Entwicklungsdokumentationen u.ä. zur Verfügung.

460

8 Rechnereinsatz zum Federentwurf

Zur Berechnung der Kennlinie wird ein Strukturmodell verwendet, das aus dreidimensionalen Balkenelementen mit Schubanteil und sechs Knotenfreiheitsgraden aufgebaut ist und je Windung 32 Balkenelemente vorsieht. Dieses Modell liefert ähnlich genaue Ergebnisse wie ein Volumenmodell, benötigt aber wesentlich weniger Rechenzeit und Speicherplatzbedarf. Auf die gleiche Weise sind in dem Programmzweig auch die Eigenfrequenzen der Feder bei Längs-, Dreh- und Querschwingung berechenbar. Dies soll am Beispiel einer mit innerer Vorspannung gewundenen Schraubenzugfeder erfolgen, deren Ösen fest eingespannt sind (Abb.8.59).

Abb. 8.59. Berechnung der Eigenfrequenzen einer vorgespannten Zugfeder a) Menüfolge; b) Zugfedermodell

Auch in dem Fall kommen zur Modellierung der Feder dreidimensionale Balkenelemente zur Anwendung. Für die Befestigung der Ösen wird eine feste Einspannung vorgesehen. Dazu werden die sechs Freiheitsgrade einiger Ösenknoten gesperrt. Würde hingegen der für die Praxis ebenfalls interessante Modellierungsfall einer drehbar gelagerten Öse zugrunde gelegt, dann müssten alle Verschiebungsfreiheiten eines Knoten unterbunden sowie die Rotation um die Federlängsachse verhindert werden. Die Feder wird zur Modellierung der bauraumsparenden eingewundenen Vorspannung zunächst um den Vorspannweg verkürzt simuliert und anschließend in einem ersten Lastfall auf die tatsächlich vorhandene Länge L0 auseinandergezogen. Der Vorspannweg errechnet sich dabei aus

8.5 Anwendung der Finite Elemente Methode

s 0'

8F0 Dm n f G0 d 4

461

(8.5)

Um den Betrag der Verkürzung des Wickelkörpers möglichst klein zu halten, wird in diesem Lastschritt mit dem zehnfachen Wert des realen Gleitmoduls, d.h. mit G0 = 10 G gerechnet. Im zweiten Lastschritt wird dann die Federkraft in Einbaulänge berechnet und in einem dritten Lastfall schließlich die Modalanalyse an der so gespannten Feder vorgenommen. Sowohl im zweiten wie im dritten Lastschritt wird mit dem realen Gleitmodul G des Materials gerechnet. Zur Bearbeitung dieser Aufgabe muss folgende Menüfolge aufgerufen werden (Abb. 8.59a): FEDERPROZESSOR > PREPROZESSOR > Komplettmodule > Schraubenfeder > EigenFrequ > Zugfeder > Zylindrisch Auch hier wird das Modell nach Abschluss der Dateneingabe automatisch erstellt, in dem auch die Randbedingungen wie ausgewählt angetragen sind (Abb. 8.59b). Die sich anschließende Ermittlung der Eigenfrequenzen erfolgt durch Bestimmen der Eigenwerte der Steifigkeitsmatrix. Die ersten sechs Eigenfrequenzen werden im Textausgabefenster von ANSYS£ ausgewiesen (Abb. 8.60a). Zusätzlich kann man die verformte Geometrie einer jeden Eigenform darstellen (Abb. 8.60c) sowie über eine entsprechende Menüfolge animieren – hier FEDERPROZESSOR > POSTPROZESSOR > Animate > Animation Controller (Abb. 8.60b) - und als Film ablaufen lassen. Man erhält somit eine Aussage über die Form und Richtung der Schwingung. Für die Berechnung typischer Federformen unter speziellen Rand- und Belastungsbedingungen ist der Modellierungsweg 2 zu wählen. Die Modellierung erfordert in dem Fall die Auswahl der Materialdaten, das Erzeugen des FEM-Gestaltmodells, das Definieren der speziellen Randund Belastungsbedingungen und deren Platzierung im FEM-Modell sowie das Festlegen des Analyseziels. Dies alles erfolgt wiederum menüunterstützt. Zur Demonstration der prinzipiellen Vorgehensweise bei diesem Modellierungsweg soll die Spannungsanalyse an einer Doppelkegelfeder gewählt werden, die im vorgespannten Zustand quer schwingt. Abb. 8.65a zeigt das Modell der längs- und querbelasteten Doppelkegelfeder mit den eingetragenen Rand- und Belastungsbedingungen. Es ist als Kontinuummodell ausgeführt und bietet daher auch die Möglichkeit, den Spannungsverlauf über dem Drahtquerschnitt zu ermitteln. Es werden Volumenmodelle mit drei Knotenfreiheitsgraden verwendet.

462 a)

8 Rechnereinsatz zum Federentwurf b)

c)

Abb. 8.60. Darstellung der Ergebnisse der Eigenfrequenzanalyse an einer vorgespannten Schraubenzugfeder a) Tabellarische Ausgabe der Eigenfrequenzen; b) Menüfolge zur Darstellung der verformten Geometrie; c) Darstellung der ersten QuerEigenform

Abb. 8.61 gibt die Menüfolge zur Festlegung des Materials wieder. Sie lautet: FEDERPROZESSOR > PREPROZESSOR> Modellaufbau > Materialdaten >Federdraht

Abb. 8.61. Menüfolge zur Eingabe der Materialkennwerte.

Bei der Menügestaltung wurde auf Besonderheiten der unterschiedlichen Normung bei Federdraht und Federband Rücksicht genommen. Im vorliegenden Beispiel ist Draht einzusetzen. Hierfür wurde patentiert gezogener Federstahldraht nach DIN EN 10270-2 ausgewählt, für den die in der rechten Eingabemaske der Abb. 8.61 angegeben Standardwerte gelten.

8.5 Anwendung der Finite Elemente Methode

463

Abb. 8.62 zeigt die Menüfolge zum Erzeugen der Doppelkegelfedergeometrie, die sich hier wie folgt darstellt: FEDERPROZESSOR > PREPROZESSOR > -Modellaufbau > Geometrie > Standardfedern > Druckfeder > DoppelkegelF

Abb. 8.62. Menüfolge zum Erzeugen der Doppelkegelfeder-Geometrie

Das Definieren der Rand- und Belastungsbedingungen erfolgt über weitere Eingabemasken (Abb. 8.63), die wie folgt aktiviert werden: FEDERPROZESSOR > PREPROZESSOR > Modellaufbau > RandB/Lasten > Randbedingungen (Knoten zuweisen bzw. löschen) Beim Antragen der speziellen Rand- und Belastungsbedingungen werden Standard-ANSYS-Masken verwendet, um die entsprechenden Knoten auszuwählen und die in Betracht kommenden Felder für die Verschiebungen in Längs- und Querrichtung sowie für Verdrehungen, für die Kraftwirkungen und für die Beträge dieser Größen einzutragen (Abb. 8.63b). In dem gewählten Beispiel wurde ein Teil der unteren Endwindung durch Sperren aller Freiheitsgrade der betreffenden Knoten als fest eingespannt definiert und die obere Endwindung um einen bestimmten Betrag längs der Federachse verschoben (Abb. 8.65a, b). Zusätzlich werden Querkräfte eingeleitet, um die Auslenkung während des Schwingvorganges zu simulieren.

464 a)

8 Rechnereinsatz zum Federentwurf b)

c)

Abb. 8.63. Menüfolge zum Definieren und Antragen der Rand- und Belastungsbedingungen a) Menüfolge zur Wahl der Randbedingungen und Lasten; b) Menü zur Auswahl der Knoten; c) Menü zur Definition der Randbedingung (hier: Verschiebung des ausgewählten Knotens in x-Richtung)

Die Auswahl des Analyseart mit der Menüfolge FEDERPROZESSOR > PREPROZESSOR > Modellaufbau Analyseart > Strukturanalyse > Nichtlinear) beendet den Eingabezyklus (Abb. 8.64) und setzt die sich anschließende automatische Berechnung in Gang, die in mehreren Lastschritten erfolgt, in denen schrittweise das Anlegen von Windungsteilen überprüft und berücksichtigt wird.

Abb. 8.64. Menüfolge zur Festlegen des Analyseart

Ebenfalls automatisch erfolgt die Darstellung der Ergebnisse. Dabei wird zuerst die unverformte und verformte Geometrie wiedergegeben

8.5 Anwendung der Finite Elemente Methode

465

(Abb. 8.65b). Alle weiteren Ergebnisse und Darstellungen, z.B. Spannungen (Abb. 8.65c), sind über den Postprozessorzweig des Federprozessors abzurufen. a)

b)

c)

Abb. 8.65. Spannungsanalyse einer querschwingenden Doppelkegelfeder a) FEM-Modell; b) unverformte und verformte Geometrie; c) Spannungsplot

Für die Berechnung von Draht- bzw. Flachformfedern ist der Modellierungsweg 3 anzuwenden. Er beruht auf der Verwendung von parametrisierten geometrieorientierten Bausteinen nach Tabelle 8.7. Zum Aufbau der Federgeometrie werden die benötigten parametrisierten Geometriebausteine in entsprechender Reihenfolge aus einer Bibliothek ausgewählt, durch Ausfüllen zugehöriger Eingabemasken auf die gewünschte Größe skaliert und automatisch im Konstruktionskontext angeordnet. Die Überführung der Geometrie in das FEM-Berechnungsmodell erfolgt daraufhin automatisch. Die physikalischen Eigenschaften der Feder- bzw. Federelemente, die Rand- und Belastungsbedingungen sowie das Analyseziel sind über entsprechende Eingabemasken gesondert auszuwählen. Ein anschauliches Beispiel für die Vorgehensweise nach diesem Modellierungsweg liefert die Spannungsanalyse an einer Drehfeder mit komplizierterer Schenkelform (Abb. 8.66). Sie besteht aus einem Wickelkörper mit Windungsabstand und langen, tangential an den Wickelkörper angreifenden Schenkeln mit abgekröpften Enden. Im Betriebsfall werden die Schenkel der Feder um den Weg s zusammengedrückt. Zur Geometrieerzeugung und -vernetzung wird die Feder zunächst in geometrieorientierte Bausteine zerlegt, im vorliegenden Fall vier gerade

466

8 Rechnereinsatz zum Federentwurf

Drahtstücken, zwei gebogene Drahtstücken und einen Wickelkörper. Diese Bausteine müssen je nach Anforderung der Aufgabenstellung als Balkenoder Volumenelemente ausgeführt werden. Bei Festigkeitsberechnungen mit Ermittlung des Spannungsverlaufs über den Drahtquerschnitt ist mit Volumenelementen zu arbeiten. Hierfür haben sich 20-Knoten-Solidelemente (Brick-Elemente) als zweckmäßig erwiesen. a)

b)

s

Abb. 8.66. Festigkeitsberechnung an einer Drehfeder (Schenkelfeder) a) Prinzipbild; b) Zerlegung der Federgeometrie

Zur Verwirklichung dieser Aufgabe muss der Konstrukteur die einzelnen Bausteine, von einem Federende beginnend, fortlaufend aus der Featurebibliothek auswählen und zur Feder zusammensetzen. Auch hierbei wird er über leicht verständliche Menüs geführt. Im Fall der Modellierung des Wickelkörpers lautet die Menüfolge (Abb. 8.67): FEDERPROZESSOR > PREPROZESSOR >Modellaufbau > Geometrie > Formfedern > Aus Draht > Wickelkp Nach diesen Vorarbeiten und der Definition der Materialdaten, die analog zum Modellierungsweg 2 erfolgt (s. Abb. 8.61), muss der Konstrukteur die einzuhaltenden Randbedingungen festlegen und auswählen. Da im vorliegenden Anwendungsfall die Auswirkungen beim Zusammendrücken der Federschenkel untersucht werden sollen, wird ein Schenkel am abgekröpften Ende als drehbar gelagert modelliert. Das andere Federende wird durch Einprägen eines definierten Weges s in Richtung des ersten Schenkels verschoben (Abb. 8.66a).

8.5 Anwendung der Finite Elemente Methode

467

Abb.8.67. Menüfolge zur Erzeugung der Federgeometrie des Wickelkörpers

Die Randbedingungen werden ebenfalls menüunterstützt eingegeben (Abb. 8.68). Zu dem Zweck müssen die jeweiligen Wirkstellen im FEMModell bestimmt und die zugehörigen Wirkknoten selektiert werden. Dafür steht eine Dialogbox mit Fangfunktionen zur Verfügung. a)

b)

Abb. 8.68. Menü (a) und Grafikbox (b) zum Antragen der Randbedingungen, hier der Zuweisung für einen Knoten

Als letztes wird die Analyseart ausgewählt, die wiederum analog zum Modellierungsweg 2 über die Menüfolge in Abb. 8.64 erfolgt. Die Berechnung der Verformungen und Spannungen geschieht danach automatisch.

468

8 Rechnereinsatz zum Federentwurf

Die Ergebnisse der Berechnung werden an den Postprozessor zur Auswertung übergeben. Der Plot der resultierenden Vergleichsspannungen ist in Abb. 8.69 dargestellt. Wie man erkennen kann, treten an den Übergängen der Schenkel zum Wickelkörper zu hohe Biegespannungen auf. Diese können nur durch Änderung der Federparameter auf das zulässige Maß vermindert werden. Hierzu ist jedoch eine erneute Modellierung und Analyse der Feder notwendig, u.U. auch mehrmals.

Abb. 8.69 Vergleichsspannungen nach von Mises

Ein zweites Beispiel zur Simulation von Freiformfedern durch Nutzung des Modellierungsweges 3 soll die Ermittlung der Eigenfrequenzen und Eigenformen einer Freiformbandfeder behandeln. Da bei dieser Art Federn auch räumliche Schwingungen der Struktur entstehen und demzufolge auch ermittelt werden können, ist das Anwenden von Modellen mit entsprechenden Freiheitsgraden erforderlich. Deshalb ist die Anwendung von Balken- bzw. Plattenmodellen nicht sinnvoll. Ebenfalls scheiden Volumenmodelle aufgrund des vorhandenen großen Breiten-/ Dickenverhältnisse des eingesetzten Federbands aus, wenn man den Modellumfang und damit auch die Rechenzeit in Grenzen halten will. Die Simulation erfolgt deshalb mit Schalenelementen. Der generelle Ablauf entspricht dem des vorangegangenen Beispiels mit dem Unterschied, dass anstelle von Federdraht nun Federband genutzt wird. Abb. 8.70 zeigt die Menüfolge für die Festlegung und Eingabe der Materialdaten. Beispielmenüs für die Geometrieerzeugung sind in Abb. 8.71 angegeben. Insgesamt setzt sich die zu simulierende Bandfeder aus neun Federbandstücken zusammen, die mit Hilfe derartiger Menüs zu erzeugen sind.

8.5 Anwendung der Finite Elemente Methode

469

Abb. 8.70 Menüfolge zur Festlegung der Materialdaten des verwendeten Bandmaterials a)

b)

Abb.8.71. Beispielmenüs zur Geometrieerzeugung einer Freiformbandfeder a) Eingabedaten zur Erzeugung der Geometrie eines geraden Bandstücks; b) Eingabedaten zur Erzeugung der Geometrie eines Bogenstücks

Das vollständige Modell mit allen Rand- und Belastungsbedingungen ist in Abb. 8.72 dargestellt, wobei die Dateneingabe zur Erzeugung des Modells auf dieselbe Weise wie bei den vorhergehenden Beispielen erfolgt. Die Randknoten sind bei diesem Modell fest eingespannt, besitzen also keinen Bewegungsfreiheitsgrad.

Abb. 8.72. Vollständiges FEMSchalenmodell der Freiformfeder aus Bandmaterial mit eingetragenen Rand- und Belastungsbedingungen

470

8 Rechnereinsatz zum Federentwurf

Das Ergebnis der Eigenfrequenzberechnung gibt Abb. 8.73 wieder.

Abb. 8.73. Ergebnisse der Eigenfrequenzberechnung an einer Freiformbandfeder a) Ausdruck der ersten sechs Eigenfrequenzen, b) Plot der ausgewählten Eigenform der Freiformfeder

Auch hier werden die ersten sechs Eigenfrequenzen alphanumerisch ausgegeben. Zusätzlich ist mit Hilfe der Postprozessor-Menüs die Ausgabe und Animation der deformierte Struktur und damit der jeweils ausgewählten Eigenschwingungsform möglich. Wie den Darlegungen zur prinzipiellen Vorgehensweise bei der Anwendung des Federprozessors zu entnehmen ist, sinkt der Automatisierungsgrad der FEM-Modellierung vom Modellierungsweg 1 hin zum Modellierungsweg 3. Für den Nutzer des Federprozessors ist damit eine Zunahme eigener Modellierungs- und Eingabeaktivitäten verbunden. Dies setzt voraus, dass er sich bei Aufgabenstellungen, die eine Anwendung der Modellierungswege 2 und 3 erfordern, mit den grundlegenden Bedingungen in der Handhabung des Programms ANSYS£, wie beispielsweise den Selektionsmöglichkeiten für Modellbereiche bzw. Knoten, in dem erforderlichen Umfang vertraut machen muss. Das gilt vor allem im Hinblick auf eine sichere Beherrschung der Eingabemodalitäten zur Einbringung von Lasten und zur Definition der Randbedingungen. Auch hier wird er aber durch den Federprozessor unterstützt, so dass die Anforderungen gegenüber der Bedienung des Standard-ANSYS-Systems deutlich reduziert bleiben.

8.6 Anwendung der Mehrkörpersimulation 8.6.1 Ausgangssituation und prinzipielle Möglichkeiten Trotz steigender Leistungsfähigkeit der FEM-Software sind dynamische Federmodelle auf Basis dieser Methode die Ausnahme [8.30]. Gerade die impliziten FEM-Ansätze sind eher für die Untersuchung der statischen Eigenschaften von Federn (statische Reaktionskräfte und –momente, Span-

8.6 Anwendung der Mehrkörpersimulation

471

nungsverteilung) und ihres Eigenschwingverhaltens (Eigenfrequenzen und -formen) prädestiniert. Hingegen bieten Mehrkörpersysteme die Möglichkeit zur umfassenden und effizienten Berechnung des dynamischen Verhaltens von Schraubenfedern. Schwerpunkte dieser Untersuchungen können u.a. sein: x statische und dynamische Reaktionskräfte und –momente; x Bewegungsverhalten der Feder als Ganzes und von Drahtpunkten; x dynamisches Verhalten der Feder im Zusammenwirken mit der gesamten Federbaugruppe; x Stoßantwort der Feder bei Stoßbeanspruchung. In Abhängigkeit von der Leistungsfähigkeit der verwendeten Federmodelle und der Kenntnis der Parameter der Feder bzw. der Federung wird hierbei auch die Behandlung nichtlinearer Effekte möglich, wie sie für Federanwendungen typisch sind. Diese können in geometrische, dynamische und andere physikalisch bedingte Nichtlinearitäten unterschieden werden. Geometrische Nichtlinearitäten äußern sich z.B. in der Änderung des Federdurchmessers und der federnden Windungszahl beim Einfedern durch Aufweiten der Windungen einerseits und das Anlegen und damit Abschalten von Windungsteilen infolge der veränderlichen Steigung andererseits, speziell im Bereich der Übergangswindungen [8.23][8.66][8.72] [8.74] bis [8.76][8.79][8.87][8.112][8.113][8.116]. Nichtlineare Federkennlinienverläufe und einfederungsabhängige Eigenfrequenzen sind die Folge. Außer diesen geometrisch verursachten, aber dynamisch wirksamen Nichtlinearitäten treten weitere nichtlineare Effekte bei dynamischem Betrieb auf. Hierzu gehören u.a. das sog. Windungsschlagen, das Abheben der Federendwindungen von den Anlageflächen und das Anschlagen der Feder an benachbarten Bauteilen. Das Windungsschlagen entsteht infolge Trägheitswirkung der massebehafteten Federwindungen bei unterschiedlicher Beschleunigung der einzelnen Federabschnitte. Das Abheben der Federendwindungen kommt bei Fremderregung dann zustande, wenn die Feder dem Bewegungsgesetz der Fremderregung nicht folgen kann. Zu den weiteren physikalisch bedingten Nichtlinearitäten zählt u.a. die kontinuierliche Veränderung der Kennlinie infolge von Verschleiß. Er wird vor allem durch Relativbewegungen zwischen den Federwindungen bzw. zwischen den Federwindungen und den federumgebenden Bauteilen sowie durch Flächenpressung bzw. Hertzsche Pressung an den Kontaktstellen verursacht [8.29][8.118]. Die daraus resultierende Verringerung des Drahtdurchmessers und der wirksamen Federlänge beeinflussen die Funktionssicherheit der Federung lange bevor der Bruch der Feder eintritt. Die

472

8 Rechnereinsatz zum Federentwurf

mit dem Verschleiß im Zusammenhang stehenden Kontaktkraftverläufe sind infolge der mitunter komplexen Geometrie der Kontaktstellen sowie der verschiedenen Kontaktdämpfungserscheinungen (Coulombsche Reibung, Dämpfung von Umgebungsmedien, Materialdämpfung) nichtlinear. Der Einsatz leistungsfähiger MKS-Programme ist an schnelle Rechner gebunden. Daher finden sich erst in den 1990er Jahren Hinweise auf Anwendungen in der Federntechnik. Zu dieser Zeit wird u.a. ein eindimensionales Mehrmassenmodell zur Optimierung von Ventilfedern entwickelt [8.134]. Das Modell ermöglicht somit nur die Simulation der Längsdynamik der Feder (Federlängskraft, Längseigenfrequenz), erfasst aber bereits das Windungsschlagen und das Abheben des Stößels von der Nockenwelle. Ventiltriebe und Fahrwerke waren auch in der Folgezeit Gegenstand weiterer Arbeiten, die auf speziell entwickelten [8.94] oder kommerziellen [8.14] [8.154] MKS-Modellen aufbauen. Aufgrund der raschen Steigerung der Leistungsfähigkeit der Rechentechnik hat die Komplexität verfügbarer Simulationsprogramme in den letzten Jahren ständig zugenommen. Darüber hinaus streben die Softwarehersteller in jüngster Zeit aus marktwirtschaftlichen Gründen eine Verschmelzung der beiden Simulationsmethoden FEM und MKS an. Dabei ist jedoch zu beachten, dass es sich hier zumeist um Kompromisslösungen handelt, da die oben genannten typischen Stärken und Schwächen der auf unterschiedlichen theoretischen Grundlagen basierenden Methoden weiter bestehen bleiben. Dieser Sachverhalt muss bei künftigen Programmentwicklungen und - anwendungen berücksichtigt werden. Insbesondere gilt das für den Bereich der Federntechnik. Hier müssen die verwendeten numerischen Federmodelle auch zur Vorhersage des Verhaltens von Federn in den frühen Phase des Produktentstehungsprozesses geeignet sein. Auf dieser Stufe hat die Ermittlung der dynamischen Federreaktionskräfte auf benachbarte Bauteile einer Federung bei der Modellentwicklung zumeist höhere Priorität als die detaillierte Berechnung von Spannungsverteilungen. Bedingt durch die hohen Rechenzeiten, die bei der Nutzung von FEM-Ansätzen im Zeitbereich und ihrer Kopplung mit MKS-Ansätzen entstehen, ist daher die Entwicklung und Anwendung reiner MKS-Federmodelle durchaus zweckmäßig. 8.6.2 MKS-Schraubenfedermodelle und ihre Leistungsfähigkeit Kommerzielle MKS-Schraubenfedermodelle. Für die Simulation von Schraubendruckfedern stehen heute verschiedene MKS-Modelle zur Verfügung, deren Leistungsfähigkeit und Komplexität an den jeweils vorgese-

8.6 Anwendung der Mehrkörpersimulation

473

henen Anwendungszweck angepasst sind. Wie aus Abb. 8.74 hervorgeht, umfasst das Modell-Spektrum x Kennlinienmodelle; x eindimensionale Mehrmassenmodelle; x komplexe, dreidimensionale hybride Modelle. a)

b)

c)

d)

Abb 8.74. Federmodelle für die MKS-Simulation a) Kennlinienmodell; b) eindimensionales; c) hybrides Modell nach ADAMS® (Flexible-Spring-Modul) [8.161], d) hybrides Modell nach [8.130][8.131];

Den geringsten Detaillierungsgrad weisen die sog. Kennlinienmodelle auf. Sie sind Grundbestandteil eines jeden Mehrkörpersimulationsprogramms, als deren wichtigste Vertreter ADAMS® [8.161], alaska® [8.162], LMS Virtual.Lab Motion® [8.170], RecurDyn• [8.177] und SimMechanics® [8.179] zu nennen sind. Das Kennlinienmodell beschreibt die Eigenschaften einer zwischen zwei Körpern angeordneten Feder durch ihre Kraft-Weg-Kennlinie und ihren Einbauraum. Die Feder ist dabei masselos, und die zwischen den Körpern erzeugten Kräfte sind entgegengesetzt gerichtet und proportional der Entfernung und der Relativgeschwindigkeit zweier Punkte auf beiden Körpern. Mit den Modellen können somit die Federlängskraft und auch eine geschwindigkeitsproportionale Dämpfungskraft simuliert werden: Eine Aussage über die innere Dynamik der Feder erlauben sie aber nicht. Sie eignen sich besonders für den Entwurf und die Analyse von Federungen auf dem Niveau des technischen Prinzips. Abb. 8.74a zeigt beispielhaft den in ADAMS® enthaltenen sog. Spring-Damper-Modul [8.99]. Für einfache Untersuchungen zur inneren Dynamik der Feder sind eindimensionale Mehrmassenmodelle geeignet. Diese bestehen aus mehreren

474

8 Rechnereinsatz zum Federentwurf

in Reihe geschalteten Massen, die durch Kennlinienmodelle miteinander gekoppelt sind. Das Modell erlaubt Aussagen zum Verhalten der Feder in Richtung der Federachse. Es erfasst jedoch keine querdynamischen Effekte, die in Schraubendruckfedern auch bei Belastung in Federlängsrichtung stets auftreten. Der relativ einfache Aufbau ermöglicht kurze Rechenzeiten. Damit eignet sich der Ansatz besonders für die Untersuchung des Federverhaltens im Zusammenspiel mit benachbarten Bauteilen einer Federung. Ein typisches Beispiel für diesen Ansatz stellt der ADAMS®-interne Multi-Mass-Spring-Modul nach Abb. 8.74b dar [8.99], der speziell für die Simulation des Verhaltens kompletter Ventiltriebe entwickelt wurde. Die höchste Leistungsfähigkeit aller kommerziellen Ansätze weisen derzeit die hybriden Modelle auf. Sie werden als Bestandteile der Programme ADAMS® (Abb. 8.74c), LMS Virtual.Lab Motion® und Recur Dyn• angeboten. Ein weiterer Ansatz wird in [8.130][8.131] vorgestellt (Abb. 8.74d), der sich aber noch in der Testphase befindet. Die verwendeten Ansätze bauen auf vergleichbaren Modelltheorien auf. Sie verbinden die beiden Modellansätze FEM und MKS und repräsentieren damit die Einbindung flexibler Körper in ein Mehrmassensystem. Das Modell besteht aus flexiblen Körpern, die im FEM-Programm erzeugt werden. Diese Körper werden in einer MKS-Umgebung miteinander gekoppelt und können im Zeitbereich simuliert werden. Durch die Reihenschaltung mehrer, an sich linearer flexibler Körper können auch Nichtlinearitäten erfasst werden. Das hybride Modell bietet so die Möglichkeit, flexible Elemente in komplette Federungen aus starren Körpern einzubinden. Auf diese Weise können die realen Bauteilbeanspruchungen in Federungen einfacher und schneller simuliert werden als mit den komplexeren FEM-Modellen. Die hybriden Modelle sind für die Untersuchung zahlreicher federspezifischer Phänomene in allen Raumrichtungen geeignet. Ihr Hauptnachteil besteht in den langen Rechenzeiten, die durch die Verwendung flexibler Körper bedingt sind. Ein weiterer Nachteil ergibt sich aus der idealisierten Modellierung der Federenden. Hierdurch wird die Nachbildung nichtlinearen Einfederungsverhaltens im Bereich der End- und Übergangswindungen und daraus resultierender Wirkungen erschwert. Die kommerziell erhältlichen MKS-Federmodelle sind somit nicht oder nur bedingt geeignet, weitere wichtige nichtlineare Einflüsse auf das Federverhalten, wie z.B. die Auswirkungen der Übergangswindungen, von nichtkreisförmigen Drahtquerschnitten oder von nichtzylindrischen Mantelformen, zu erfassen. Mit den steigenden Genauigkeits- und Funktionsanforderungen wird jedoch auch eine Berücksichtigung dieser Einflussgrößen bei der Simulation des Federverhaltens erforderlich. Außerdem wird derzeit das Potenzial von MKS-Modellen nicht voll ausgeschöpft. So wird die Spannungsberechnung an Federn bisher aus-

8.6 Anwendung der Mehrkörpersimulation

475

schließlich durch Einbindung flexibler Körper realisiert, obwohl auch MKS-Ansätze zumindest für Näherungslösungen gut geeignet sind. Dreidimensionales MKS-Federmodell und dessen Aufbau. Aus den genannten offenen Problemen ergibt sich die Zweckmäßigkeit für die Bereitstellung eines MKS-Ansatzes, der das komplexe Verhalten realer Schraubendruckfedern wiedergibt, ohne die mit der Implementierung flexibler Körper verbundenen Nachteile in Kauf nehmen zu müssen. Dabei sind sowohl die geometrischen als auch die dynamischen Nichtlinearitäten nachzubilden. Ebenso sollte eine Spannungsberechnung möglich sein. Zur Lösung dieser Aufgabe sind prinzipiell alle, insbesondere die oben aufgeführten kommerziellen Mehrkörpersimulationsprogramme geeignet. Ihre breiten Anwendungsspektren beinhalten alle für den Aufbau von Schraubenfedermodellen notwendigen Elemente und Funktionen, wie x x x x

die Möglichkeit zur dreidimensionalen Geometriemodellierung die Verfügbarkeit dreidimensionaler Feder- und Dämpferelemente, das Vorhandensein geometriebasierter Kontaktroutinen, umfangreiche Möglichkeiten zur Ergebnisauswertung.

Unter Nutzung dieser Gegebenheiten und der Grundlagen der Mehrkörpersystemtheorie (Abb. 8.75) ergibt sich daraus das MKS-Federmodell nach Abb. 8.76 [8.128] bis [8.131][8.147] bis [8.149]. Es besteht analog zum vereinfachten MKS-Grundmodell in Abb. 8.75 prinzipiell aus einer Reihenschaltung von massebehafteten starren Drahtstücken mit der Länge Lred, die gemäß der Mehrkörpersystemtheorie durch federnde Elemente mit der Drehsteifigkeit cr = (G˜Jz)/ Lred gekoppelt sind. a)

c)

b)

cr

cred

cr

G, Jz

G, Jz

L

G, Jr L

L

D

re

D

x

cr

d

L MT, f

re d

MT, f

L

D

L

MT, f

re d

Abb. 8.75. Grundlagen des Modellaufbaus [8.147] a) Kontinuummodell, b) Einmassenmodell; c) Mehrmassenmodell (hier: 3-Massenmodell)

Daraus abgeleitet, wird das dreidimensionale Verhalten der Schraubenfeder durch die räumliche Anordnung derartiger starrer Drahtstücke mit der Masse mi und dem Massenträgheitsmoment Jii wiedergegeben (Abb.

476

8 Rechnereinsatz zum Federentwurf

8.75a), die nicht zwangsläufig auf einer zylindrischen Schraubenlinie mit konstanter Steigung erfolgen muss. a) Abb. 8.76. Aufbau des MKS-Modells [8.147] a) Schematischer Modellaufbau; b) Modellaufbau mit komplettierter Geometrie, d.h. mit extrutiertem Drahtquerschnitt längs der Drahtmittellinie, angeschliffenen Endwindungen und angekoppelten Federtellern

b)

ctx, ktx cty, kty ctz, ktz m, Jii

crx, krx cry, kry crz, krz Fk

Zur Realisierung der dreidimensionalen Wirkung erfolgt die Kopplung zwischen diesen starren Körpern durch Federelemente, die alle sechs möglichen Belastungsrichtungen berücksichtigen. Zu dem Zweck werden die Torsionsfedern nach Abb. 8.75 jetzt durch räumlich wirkende Federelemente ersetzt. Diese erfassen außer der Torsionssteifigkeit crz auch die Biegesteifigkeiten crx und cry, die Zug-Druck-Steifigkeit ctz und die Schubsteifigkeiten ctx und cty des Drahtes. Auf diese Weise wird das Federmodell frei von Zwangsbedingungen. Außerdem sieht das Modell in jeder Verbindungsstelle und in jeder Belastungsrichtung Dämpfungen der Größe k vor. Das Anlegen der Windungen wird durch Kontaktroutinen zwischen übereinander liegenden Drahtstücken abgebildet und überwacht. Dies wird in Abb. 8.75a durch die Kontaktkräfte FK repräsentiert. Die Anbindung der Feder an die benachbarten Bauteile – in Abb. 8.75 die Federteller – erfolgt durch reibbehaftete Kontakte und damit kraftschlüssig, aber auch hier ohne das Wirken von Zwangsbedingungen. Die Federteller werden drehbar gelagert oder verdrehsicher geführt. Leistungsfähigkeit der MKS-Federmodelle. Der Leistungsumfang der einzelnen Modellansätze ist noch einmal in Tabelle 8.8 vergleichend zusammengefasst. Darin sind die mit dem jeweiligen Ansatz beschreibbaren Effekte mit einem Kreuz gekennzeichnet. Kreuze in Klammern stehen für eingeschränkt simulierbare Phänomene.

8.6 Anwendung der Mehrkörpersimulation

477

Tabelle 8.8. Leistungsumfang der verschiedenen MKS-Modellansätze Ansatz 1: Kennlinienmodell; Ansatz 2: Multi-Mass-Spring-Modul in ADAMS®; Ansatz 3: Flexible-Spring-Modul in ADAMS®; Ansatz 4: 3D-MKS-Modell nach Abb. 8.76 Parameter Fz (Federlägskraft) Fx, Fy (Querkräfte); Mz Federweg Fz Fx, Fy, Mz Windungskontakt Federbewegungen Eigenfrequenzen Eigenformen Spannungen End- und Übergangswindungsform nichtzylindrische Mantelform veränderliche Steigung nichtkreisförmiger Drahtquerschnitt

Zur Beschreibung von

Ansatz 1 X

2 X

3 X X X X X X X X X (X)

4 X Statik X X X X X X X Dynamik (X) X X (X) X (X) (X) X Eigenschwingverhalten (X) (X) X Beanspruchung (X) X X X nichtlinearem Federverhalten X X X X

Aus Tabelle 8.8 gehen die Vorteile des dreidimensionalen Federmodells, das allein auf der Anwendung der MKS-Theorie beruht, klar hervor. Dieser Vorteil wird noch deutlicher sichtbar, wenn man die mit den einzelnen Modellen erzielbaren Ergebnisse und die dafür benötigten Rechenzeiten gegenüberstellt. Dies soll anhand der Simulation des Verhaltens einer Ventilfeder erläutert werden, die zunächst statisch auf den Wert der Vorspannkraft F1 vorgespannt und danach über eine Nockenkurve mit einer Drehzahl von 1200 min-1 dynamisch angeregt wird. Die zur Nachbildung einer Nockenumdrehung benötigten Rechenzeiten sind in Abb. 8.78 zusammengestellt. Sie gelten nur für dieses Beispiel, geben aber aufgrund der vorgenommenen Normierung auf den Ansatz 3 die Relationen des Rechenzeitbedarfs der einzelnen Modelle wieder. Einen Ergebnisvergleich der berechneten Reaktionskräfte der Feder mit Messwerten enthalten die Abb. 8.79 und Abb. 8.80. In Abb. 8.79 werden die Simulationsergebnisse für Reaktionskraft Fz in Federlängsrichtung den Messdaten gegenübergestellt. Das Bild macht deutlich, dass das Kennlinienmodell keine dynamischen Effekte abbilden kann. Die Kraftänderung wird allein durch die lineare Kraft-Weg-Kennlinie der Feder beschrieben. Alle anderen Modellansätze zeichnen sich durch eine weitgehende Übereinstimmung mit den gemessenen Kraftverläufen aus. Am besten schneidet hier das MKS-Modell nach Abb. 8.76 ab, und das bei deutlich weniger Rechenzeit als bei Nutzung des kommerziellen hybriden Modells.

478

8 Rechnereinsatz zum Federentwurf

Ansatz 1

Ansatz 2

Ansatz 3

Ansatz 4 0,0001

0,0005 0,001

0,005 0,01

0,05 0,1 0,2

0,5

1

Simulation Messung

Ansatz 1

Reaktionskraft Fz [N]

Reaktionskraft Fz [N]

Abb. 8.78. Vergleich der Rechenzeiten in s, die zur Simulation einer Nockenumdrehung benötigt werden Simulation Messung

Ansatz 2

Zeit [s]

Simulation Messung

Ansatz 3

Zeit [s]

Reaktionskraft Fz [N]

Reaktionskraft Fz [N]

Zeit [s]

Simulation Messung

Ansatz 4

Zeit [s]

Abb. 8.79. Vergleich der Modelle hinsichtlich Federlängskraft, d.h. in z-Richtung

Für den Vergleich der berechneten dynamischen Querkräfte mit Messwerten kommen nur die Ergebnisse für die Ansätze 3 und 4 in Betracht (s. Abb.8.80). Die anderen scheiden aufgrund ihrer Eindimensionalität aus. Der Vergleich erfolgt für den resultierenden Querkraftvektor, der in Polarkoordinaten dargestellt ist. Beide Ansätze geben die Realität gut wieder. Außer der Untersuchung der Reaktionskräfte können mit MKS-Modellen auch die Bewegungsfunktionen s(t), v(t) und a(t) interessierender Punkte der Feder sehr gut berechnet werden. Dabei sind die Ergebnisse des Kennlinienmodells auf die beiden Anlenkpunke der Feder beschränkt. Das

8.6 Anwendung der Mehrkörpersimulation

479

eindimensionale Mehrmassenmodell liefert bereits die Bewegung der einzelnen Windungen in Längsrichtung.

Abb. 8.80. Vergleich der Modelle hinsichtlich der resultierenden Querkraft

Ansatz 4

Messung

Ansatz 3

Da Querbewegungen und Querkraftwirkungen der Feder mit diesem Ansatz nicht analysiert werden können, scheidet er für die Berechnung von Eingangsdaten für anschließende Geräusch-, Lebensdauer- oder Verschleißuntersuchungen aus. Auch Beeinträchtigungen der Funktion der Feder durch Querkontakt zu umgebenden Bauteilen und Querkraftwirkungen, die z.B. zum Verkanten und Blockieren von Führungsteilen führen können und die Feder trotz Einhaltung der geforderten Längskräfte für diesen Einsatzfall unbrauchbar machen, lassen sich mit dem eindimensionalen Mehrmassenmodell nicht vorhersagen [8.144]. Dies wird nur durch Anwendung dreidimensionaler MKS-Federmodelle möglich, wobei auch hier das Modell nach Abb. 8.76 (Ansatz 4) aufgrund des deutlich geringeren Rechenzeitbedarf eindeutig im Vorteil ist. Einordnung der MKS-Federmodelle in den Entwurfprozess. Trotz der geschilderten Unzulänglichkeiten haben auch die einfacheren MKSFedermodelle im Rahmen des Produktentstehungsprozesses, speziell in den frühen Phasen des konstruktiven Entwicklungsprozesses (KEP) [10], ihre Berechtigung. Dies wird in der Darstellung des Produktlebenszyklus von Schraubenfedern in Abb. 8.81 deutlich. Aus dem Bild geht außerdem hervor, dass auch jede andere funktionsrelevante Phase des Produktlebenszyklus von der Entwicklung über die Erprobung bis hin zum Einsatz der Feder durch Simulation mit jeweils dafür geeigneten MKS-Federmodellen unterstützt werden kann.

480

8 Rechnereinsatz zum Federentwurf

Markt, Anforderungen Markt, Anforderungen

Produktlebenszyklus Produktlebenszyklus von von Schraubenfedern Schraubenfedern Aufgabe Aufgabe Konstruktiver Entwicklungsprozess (KEP) AufgabenAufgabenpräzisierung präzisierung - -Federrate Federrate - Einbaulänge - Einbaulänge

KonzeptKonzeptphase phase - -dd, D, mD, ,nnf D m f - Anregung - Anregung

GestaltungsGestaltungsphase phase -- Drahtsorte Drahtsorte -- Federentwurf Federentwurf

DokumentationsDokumentationsphase phase - -Zeichnungssatz Zeichnungssatz - Fert.-Unterlagen - Fert.-unterlagen

Produktions Produktionsphase phase -- Fertigung Fertigung - Prüfung - Prüfung

Produkt

Virtual Prototyping mit Federmodellen steigender Komplexität Nutzung Nutzung Kontrolle Kontrolle Recycling Recycling

Abb. 8.81. Simulationsmodelle für die einzelnen Phasen des Produktlebenszyklus von Schraubendruckfedern nach [8.147]

Für frühe Variantenvergleiche verschiedener Federungskonzepte sind die Kennlinienmodelle besonders geeignet. Auf der Stufe der Aufgabenpräzisierung als Reaktion auf Anforderungen des Marktes sind häufig nur Grundgrößen wie die Federrate oder die Einbaulänge bekannt. Hinzu kommt, dass in dieser Phase auch das Verhalten der anderen Bauteile der Baugruppe in den Variantenvergleich einbezogen und demzufolge simuliert und bewertet werden muss. Nicht zuletzt aufgrund der Anzahl der dadurch zu erfassenden Bauteile entsteht damit zusätzlicher Rechenzeitbedarf, der aber durch den geringen Rechenzeitaufwand für die Simulation der Feder selbst (s. Abb. 8.75) z.T. wieder kompensiert werden kann. Nach der Festlegung des optimalen technischen Prinzips erfolgt in der sich daran anschließenden Konzeptphase eine Erstauslegung (Grobdimensionierung) der Bauteile. Dabei sind über die derzeit übliche reine Festigkeits- und Verformungsberechnung der Feder hinaus (s.a. Kap. 4) oft auch erste Untersuchungen zu ihrem dynamischen Verhalten erforderlich. Hierfür ist das eindimensionale Mehrmassenmodell sehr gut geeignet, zumal sich dadurch die Bewertungsmöglichkeiten für das gewählte Prinzip durch Berücksichtigung nichtlinearer Federeffekte, z.B. durch Anlegen von Windungsteilen oder Windungsschlagen, deutlich erhöhen, ohne dass die

8.6 Anwendung der Mehrkörpersimulation

481

Rechenzeit erheblich ansteigt. Die für die Simulation mit diesem Modell benötigten Parameter umfassen im Wesentlichen die geometrischen Größen der Feder, wie d, Dm, nf, L0, L1 und L2 sowie die Art der Anregung. Mit der Konzeptphase schließt der funktionsorientierte Teil des konstruktiven Entwicklungsprozesses ab und es folgt die Gestaltungsphase. In deren Verlauf müssen die endgültige Federgeometrie sowie das zu verwendende Drahtmaterial festgelegt und als Voraussetzung für die Fertigung von Prototypen und schließlich von Serienprodukten dokumentiert werden. Während der Gestaltungsphase werden hohe Anforderungen an die Leistungsfähigkeit der Federmodelle gestellt, denn für die Produktfreigabe ist bereits meist die Kenntnis aller funktionsbestimmenden Eigenschaften (z.B. räumliches Schwingverhalten, räumliche dynamische Reaktionskräfte, Spannungen) notwendig. Da die Simulation dieser Modelle hohen Rechenzeitaufwand erfordert, ist in diesen Phasen eine Fokussierung auf das Bauteil Feder notwendig. Hier sind die dreidimensionalen MKS-Federmodelle im Vorteil. Mit ihrer Hilfe können, wie bereits erwähnt, fast alle bei realen Schraubendruckfedern im dynamischen Betrieb zu beobachtenden Effekte simuliert werden. Die verfügbaren kommerziellen dreidimensionalen hybriden Modellansätze erfüllen hingegen nicht alle Anforderungen der dynamischen Analyse von Federn. Außerdem benötigen sie dafür fast doppelt so viel Rechenzeit (s. Tabelle 8.8 u. Abb. 8.78). Mit den dreidimensionalen MKS- Federmodellen sind zugleich auch die Voraussetzungen für die Anwendung der Methoden des Virtual Prototyping für den Entwurf von Federn und Federungen in allen gestaltorientierten Phasen des konstruktiven Entwicklungsprozesses [8.49][8.136][8.137] erfüllt (s.a. Abb. 8.2). Darüber hinaus können diese Modelle aber auch in der Phase der Produktnutzung vorteilhaft angewendet werden. Das ist beispielsweise dann der Fall, wenn während des Einsatzes Schadensfälle auftreten und Simulationsbedarf entsteht, um die Ursachen des Versagens klären und ggf. bei noch laufender Serie konstruktive Maßnahmen zur Verbesserung der Produktzuverlässigkeit ableiten zu können. 8.6.3 MKS-Federprozessor – Aufbau, Leistungsumfang und Anwendung Grundidee und Aufbau. Ähnlich wie bei der Nutzung der FEM-GeneralPurpose-Programmsysteme ist auch die Anwendung der kommerziellen MKS-Programme mit hohem Einarbeitungsaufwand verbunden und im Regelfall nur der Nutzung durch speziell geschulte Berechnungsingenieuren vorbehalten. Daraus ergeben sich auch in dem Fall alle bereits im Abschn. 8.8 genannten Nachteile für den Entwurfsprozess: Trennung von

482

8 Rechnereinsatz zum Federentwurf

Bauteilgestaltung und -berechnung mit zwangsläufig bedingten Informationsverlusten, Erschweren der ganzheitlichen Bearbeitung einer Aufgabenstellung sowie Beschränkung der Nutzung der Vorteile dieser numerischen Simulationsmethode auf im Wesentlichen große Unternehmen. Deshalb ist auch hier die Verfügbarkeit eines speziellen Federprozessors angebracht, der das Entwurfssystems nach Abb. 8.3 ergänzt und sich in seinen prinzipiellen Zielstellungen an denen des FEM-Federprozessor orientiert: Bereitstellen eines Werkzeugs für Konstrukteure, das deren geometrieorientierte Denkweisen berücksichtigt und durch leicht verständliche federspezifische Eingabemasken die Nutzung der Methode der Mehrkörpersimulation für den Federentwurfprozess ohne tiefgreifendere Kenntnisse der dafür verfügbaren kommerziellen Programme ermöglicht. Der prinzipielle Aufbau des MKS-Federprozessor ist in Abb. 8.82 dargestellt [8.147]. Er ist in die MKS-Software ADAMS® implementiert, die relativ große Verbreitung gefunden hat. Dialogboxen

Arbeitschritte Voreinstellungen

Geometrie / Material

Marker erzeugen Anschliff

X_DBOX_GEOMETRIE

Hauptmenü X_DBOX_MKSFP

Koppelstellen

Polyline erzeugen Marker drehen Drahtquers. erzeugen

Kontakte

X_ DBOX _FEDERTELLER

Federteller

X_ DBOX _ANREGUNGEN

Anregungen

Modul PARAMETER

Parametervariation

Extrusion

Modellaufbau

Dialogbox

Part erzeugen

fest statisch kinematisch dynamisch frei Kombinationen

Programmablauf X_ DBOX _SIMULATION

Modul AUSWERTUNG

Simulation

Unterpunkte / Varianten

Messung

Eingabedaten

Auswertung

Iterativer Arbeitsschritt

Abb. 8.82. Schematischer Modellaufbau des MKS-Federprozessors [8.147]

8.6 Anwendung der Mehrkörpersimulation

483

Der MKS-Federprozessor beschränkt sich derzeit auf Schraubendruckfedern. Die prinzipielle Vorgehensweise ist aber auch auf andere Federarten übertragbar. Durch seine offene Struktur ist eine Erweiterung durch entsprechende Module jederzeit möglich. Wie aus Abb. 8.82 hervorgeht, sind Module zur Geometrieerzeugung der Feder, zur Einbindung der Federteller, zur Wahl der Anregungsart, zur Parametervariation, zur Simulation selbst und schließlich zur Auswertung der Simulationsergebnisse enthalten. Der Modellierungs- und Berechnungsablauf wird über ein Hauptmenü gesteuert, über das die genannten Module vom Nutzer aufgerufen werden können. Der Modul zur Geometrieerzeugung dient der Voreinstellung der Berechnung, der Geometriemodellierung der Feder (einschließlich Gestaltung der Federenden), der Wahl bzw. Eingabe der Materialdaten sowie der Festlegung der Koppelstellen mit der Umgebung und der Kontaktelemente. Dabei wird auf in ADAMS® verwendete Elemente und Definitionen zurückgegriffen. Davon ausgehend, wird jedes Drahtstück des Federmodells durch einen starren Körper mit den dazugehörigen Geometrieelementen (Abb. 8.83) modelliert. Die Anzahl der starren Körper je Windung wird durch die angestrebte Genauigkeit der Berechnungsergebnisse einerseits und die Rechenzeit andererseits bestimmt.

Schwerpunktmarker

ylo zgl ygl

xlo

Referenzmarker Polylinie

zlo

Mgl

rgl, xgl

Extrusion Querschnitt

Abb. 8.83. Beispiel eines starren Körpers mit den dazugehörigen Geometrieelementen

Abb. 8.84. Festlegung der Koordinatensysteme

Zur Modellierung der Feder und ihrer Umgebung werden gemäß Abb. 8.84 drei Arten von Koordinatensystemen definiert: x das globale Zylinderkoordinatensystem rgl, Mgl, zgl zur Beschreibung der Geometrie der Schraubenfeder; x das globale kartesische Koordinatensystem xgl, ygl, zgl zur Erfassung der Federlängskraft Fz sowie der Querkräfte Fx und Fz;

484

8 Rechnereinsatz zum Federentwurf

x die lokalen Koordinatensysteme xlo, ylo, zlo zur ortsabhängigen Beschreibung der Drahteigenschaften, wobei die z-Achse längs der Drahtachse verläuft, die mit der in Abb. 8.83 als Polylinie bezeichneten allgemeinen Kurve zusammenfällt und die bei Schraubenfedern als Schraubenlinie ausgeführt ist. Die effiziente Nutzung des MKS-Federprozessors wird durch übersichtliche Eingabemasken gewährleistet, von denen einige im Folgenden beispielhaft erläutert werden. Mit ihrer Hilfe können die zur Modellerstellung, Simulation und Ergebnisdarstellung notwendigen Arbeitsschritte automatisch abgearbeitet und die dafür benötigten Geometrie-, Material- oder Lastdaten eingegeben werden. Durch diese Automatisierung wird eine erhebliche Zeitersparnis erreicht. Umsetzung des MKS-Federprozessors. Der MKS-Federprozessor ermöglich in seiner derzeitigen Ausbaustufe die dynamische Analyse von zylindrischen Schraubendruckfedern mit konstanter und veränderlicher Steigung sowie von Kegel-, Tonnen- und Taillenfedern mit beliebiger Steigung (s.a. Abb. 4.39). In eingeschränktem Maße können auch Druckfedern mit rechteckförmigem Querschnitt, sog. Kaminfedern, analysiert werden. Die Federn können aus Drähten mit Kreisquerschnitt oder mit elliptischem Querschnitt hergestellt sein. Ebenso ist die Verwendung von Rohrmaterial möglich. Die Berücksichtigung von Drähten mit rechteckförmigem Querschnitt und von Drähten mit sog. Multiple-Arc-Profil - diese finden vor allem im Ventilfederbereich zunehmend Anwendung - ist vorbereitet. Der Einfluss der End- und Übergangswindungen der Federn ist erfasst. Zur Anwendung des MKS-Federprozessors muss zunächst unter der Bedienoberfläche von ADAMS® das Hauptmenü Federprozessor nach Abb. 8.85 aktiviert werden, unter dem dann die schrittweise Bearbeitung der jeweiligen Aufgabe erfolgen kann. Dies geschieht durch Auswahl des jeweiligen Eingabemenüs über ein speziell dafür vorgesehenes Icon. X_dbox_geometrie X_dbox_federteller

Abb. 8.85. Hauptmenü zum Aufruf des MKS-Federprozessor und seiner wesentlichen Module

X_dbox_anregung X_dbox_simulation Modul Auswertung

Modul Parameter

Die Eingabemaske zur Geometrieerzeugung ist in Abb. 8.86 dargestellt. Sie wird über das Feder-Icon im Hauptmenü des MKS-Federprozessors

8.6 Anwendung der Mehrkörpersimulation

485

aufgerufen. Wie aus Abb. 8.86 hervorgeht, erfordert die Geometrieerzeugung der Feder zunächst die Definition eines Modellnamens (hier: DEMO_MODELL) und die Voreinstellung der Zeiteinheit, in der die Berücksichtigung bzw. Berechnung der zeitabhängigen Größen erfolgen soll. Dem schließt sich die Eingabe aller zur vollständigen Geometriemodellierung benötigten Daten an. Diese umfassen: x x x x x x

Drahtkennwerte Gleitmodul G, Dichte U und Materialdämpfung \; Abmessungen des Drahtquerschnitts in der lokalen x-y-Ebene; Definition der Drahtmittellinie; Länge L0 der ungespannten Feder; Anzahl der Körper je Windung (Segmente); Reibung zwischen den Federwindungen (intern) bzw. gegenüber den federumgebenden Bauteilen, wie z.B. Federtellern (extern).

Abb. 8.87. Menü zur Einbindung der Federteller (oben) und deren zugrunde gelegte Geometrie (unten)

Aufstandsfläche

dD

Abb. 8.86. Menü zur Eingabe der Geometrie- und Materialdaten zwecks Erzeugung der Federgeometrie

0,75 dD

Federdraht

0,96 Di De

Zentrierdorn

486

8 Rechnereinsatz zum Federentwurf

Mit diesen Daten werden automatisch die einzelnen Koordinatensysteme festgelegt, die starren Körper und deren flexible Kopplungen generiert, die Volumenelemente erzeugt und die Kontaktelemente zwischen der Feder und Umgebung bzw. zwischen den Federwindungen modelliert. Für die Eingabe der einzelnen Größen sind unterschiedliche Optionen vorgesehen. So haben sich für die Definition der Drahtmittellinie die Berechnung idealer Daten mit Hilfe von Mathematikprogrammen oder aus Daten der optische Vermessung realer Schraubenfedern bewährt. In jedem Fall sind diese Daten als sog. Quelldatei im ASCII-Code bereitzustellen (hier DEMOGEOMETRIE.TXT), die in Form einer Punktetabelle {ri, Mi, zi} zur Beschreibung der gesamten Drahtmittellinie in globalen zylindrischen Koordinaten angelegt ist (Schrittweite 'M = 3o). Durch winkelabhängige Variation von ri und zi können auch nichtzylindrische Federn oder Federn mit veränderlicher Steigung modelliert werden. Die Anzahl der zu wählenden Segmente bzw. Körper je Windung hängt u.a. von der Gesamtwindungszahl der Feder ab. Die für den jeweiligen Anwendungsfall sinnvolle Segmentzahl kann über die Schaltfläche Information abgefragt und vom Nutzer ausgewählt werden. Die Drahtquerschnittsfläche als Voraussetzung für die Erzeugung des Federkörpers durch Extrusion längs der Drahtmittellinie wird vom Programm als Ellipse definiert. Deshalb sind Eingabewerte in horizontaler und vertikaler Richtung erforderlich. Werden übliche Drähte mit Kreisquerschnitt eingesetzt, sind beide Eingabewerte gleichgroß anzusetzen. Für die Eingabe der Länge der ungespannten Feder gibt es zwei Möglichkeiten: Sie kann entweder automatisch berechnet oder „manuell“ vorgegeben werden. Bei der automatischen Längenberechnung werden auch die Längenänderungen durch den Anschliff der Endwindungen und die Auswirkungen auf die Verschiebung der Koordinatensysteme erfasst. Schließlich muss noch entschieden werden, ob bei der Analyse der Feder auch die Reibung an den Kontaktstellen zu berücksichtigen ist. Dies geschieht über eine einfache ja/ nein-Entscheidung. Die voreingestellten Reibkoeffizienten können bei Bedarf durch experimentelle Werte aus Reibungsmessungen ersetzt werden. Die Einbindung der Federteller wird über das Federteller-Icon im Hauptmenü (s. Abb. 8.85) verwirklicht. Der dadurch angesprochene Programm-Modul öffnet die Eingabemaske Federteller nach Abb. 8.87. Die Geometrie der automatisch erzeugten Federteller ist vom Außen- und Innendurchmesser der Feder abhängig. Ihre Kopplung zur Feder erfolgt über Reibkontakte im Bereich der Aufstandsfläche sowie der Mantelfläche des Zentrierdorns. Die Federteller repräsentieren die von der Feder bewegten Massen der Federung, deren Berücksichtigung für dynamische Simulatio-

8.6 Anwendung der Mehrkörpersimulation

487

nen von entscheidender Bedeutung ist. Über das Eingabemenü wird beiden Federtellern eine Lastmasse zugewiesen. Ihr Massenträgheitsmoment um die Symmetrieachse wird automatisch berechnet, kann jedoch optional auch frei vorgegeben werden. Die Führung der Federteller gegenüber dem Gestell kann verdrehsicher oder drehbar erfolgen. In Abb. 8.89 wurde für beide Federteller eine verdrehgesicherte Führung gewählt. Je nach Anwendungsfall müssen den beiden Federtellern noch entsprechende Bewegungsgesetze zugeordnet werden. Dies geschieht durch den Programm-Modul Anregung, der über das Icon mit der symbolischen Darstellung der Anregungsfunktionen im Hauptmenü aufgerufen wird. Abb. 8.88 gibt die dafür zutreffende Eingabemaske wieder. Eine Übersicht über die verschiedenen Varianten der möglichen Anregungen sowie deren Kurzbeschreibungen stellt Tabelle 8.9 bereit. Hierbei wird nicht zwischen oberem und unterem Federteller unterschieden.

Abb. 8.88. Menü zur Eingabe der Bewegungsgesetze (Anregungsfunktionen) der beiden Federteller Abb. 8.89. Eingabemenü zur Einstellung der Solverparameter

Wie aus Tabelle 8.9 hervorgeht, sind von der festen Einspannung bis hin zur beliebigen kinematischen oder dynamischen Anregung mit frei definierbaren Bewegungsfunktionen s(t), v(t) und a(t) insgesamt acht ver-

488

8 Rechnereinsatz zum Federentwurf

schiedene Varianten programmiert, zwischen denen im jeweiligen Anwendungsfall gewählt werden kann. Tabelle 8.9: Bewegungsgesetze zur Simulation der Anregung der Federteller Variante

Bezeichnung

Kurzbeschreibung

1

feste Einspannung

Federteller wird fest mit dem Fundament verbunden

2

statische Vorspannung

quasistatische STEP-Funktion

3

kinematische Anregung

4

dynamische Anregung

5

kombinierte kinematische Anregung

6

kombinierte dynamische Anregung

7

beliebige kinematische Anregung

8

beliebige dynamische Anregung

Nockenanregung ohne Berücksichtigung der translatorisch bewegten Massen Nockenanregung mit Berücksichtigung der translatorisch bewegten Massen STEP-Fkt. mit nachgeschalteter Nockenanregung ohne Berücksichtigung der translatorisch bewegten Massen STEP-Fkt. mit nachgeschalteter Nockenanregung mit Berücksichtigung der translatorisch bewegten Massen frei definierbare s(t), v(t) oder a(t)-Kurve ohne Berücksichtigung der translatorisch bewegten Massen frei definierbare s(t), v(t) oder a(t)-Kurve mit Berücksichtigung der translatorisch bewegten Massen

Dabei stellt die feste Einspannung mit s = 0, v = 0, a = 0 einen Sonderfall dar, der allerdings in der Praxis häufig vorkommt. In dem Fall ist zu beachten, dass der betreffende Federteller gegenüber dem Bezugssystem den Freiheitsgrad Null besitzt. Deshalb wird hier die zuvor im Federtellermenü generierte Führung (Abb. 8.87) automatisch deaktiviert. Ferner ist bei der Wahl der Anregungsfunktionen zu berücksichtigen, dass die kinematische Anregung (Varianten 3, 5 und 7) nicht zur Simulation von Abhebevorgängen zwischen Nockenwelle und Stößel geeignet ist. Sie kommt nur dann zur Anwendung, wenn Nockenwelle und Stößel formschlüssig gekoppelt sind. Abhebevorgänge können nur durch Vorgabe dynamischer Bewegungsgesetze (Varianten 4, 6 und 8) nachgebildet werden, da hier auch die von der Feder bewegten Massen erfasst werden. Die korrekte Verteilung der Federeigenmasse ist durch die dem Modell zugrunde liegende Theorie bei jeder Variante nach Tabelle 8.9 berücksichtigt. Im Beispielmenü nach Abb. 8.88, das für Ventil- und Pumpenfederanwendungen typisch ist, wird für den oberen Federteller eine statische Anregung vorgegeben. Hierdurch wird im Federmodell der vorgespannte Einbauzustand eingestellt. Dies geschieht in dem Fall durch Vorgabe eines Vorspannweges von 2,6 mm, aus dem sich die Vorspannkraft F1 ergibt. Aus rechentechnischen Gründen ist aber auch die Vorgabe einer Vorspannzeit notwendig, für die 0,04 s gewählt wurde. Der untere Teller wird mit einer Drehzahl von 4500 U/ min dynamisch angeregt. Als Anregungs-

8.6 Anwendung der Mehrkörpersimulation

489

funktion muss die Nockenhubkurve s(M) (Eingabe: displacement), die Geschwindigkeitsfunktion v(M) (Eingabe: velocity) oder die Beschleunigungsfunktion a(M) (Eingabe: acceleration) als Datenfile bereitgestellt werden (hier: DEMOFUNKTION.TXT). Außerdem ist die Vorgabe des Simulationsbereiches notwendig. Im Beispiel sind 5 Umdrehungen gewählt. Nach Abschluss aller Eingaben kann schließlich vor Beginn der Simulation noch der Solver von ADAMS“ eingestellt werden. Dies geschieht wiederum über das Hauptmenü in Abb. 8.85. Mit dem durch das AbakusIcon aufgerufene Eingabemenü Simulation nach Abb. 8. 89 sind die notwendigen ADAMS“-spezifischen Einstellungen vorzunehmen, die mit der numerischen Integration der Bewegungsdifferentialgleichungen zusammenhängen. Sie erfassen den DGL-Typ (Formulation), die Intergrationsmethode (Integrator), den Grad der verwendeten Näherungspolynome (max. Ordnung), die Integrationsschrittweite (max. Solverschrittweite in s) und den zulässigen numerischen Integrationsfehler (Error) sowie die Art der Konvergenzüberwachung (Corrector). Einzelheiten hierzu werden in der einschlägigen Literatur [8.147][8.158][8.159] beschrieben und sollen daher nicht näher erläutert werden. Außer diesen Größen ist in dem Eingabemenü festzulegen, in wie vielen Schritten die Ausgabe der Simulationsdaten erfolgen soll (Ausgabeschritte). Ebenso ist vor Simulationsbeginn zu entscheiden, ob die Daten zwecks anderweitiger Verwendung oder Dokumentation abzuspeichern sind. Eine beispielhafte Einstellung des Solvers, die sich bei der Analyse von Ventilfedern bewährt hat, zeigt Abb. 8.89. Sie berücksichtigt, dass für die Simulationsphasen Vorspannung und Dynamische Anregung unterschiedliche Bedingungen gelten. Dies kommt in der Festlegung des Gleichungstyps, des Konvergenzkriteriums, des Restfehlerwertes, der maximalen Solverschrittweite sowie in der Wahl der Ausgabeschritte zum Ausdruck. Anwendung des MKS-Federprozessors und ausgewählte Ergebnisse. ADAMS® liefert eine Fülle von Daten, die vom MKS-Federprozessor entsprechend gefiltert und aufbereitet werden. Folgende Ausgabedaten werden in Form von Ergebniskurven, sog. plots, automatisch bereitgestellt: x x x x x

Federreaktionskräfte und -momente Fx (t), Fy (t), Fz (t), Mz (t), Torsionsspannungen, unkorrigiert IJt (ȗ,t) und korrigiert IJtk (ȗ,t), Biegespannungen vertikal ıbx (ȗ,t) und horizontal ıby (ȗ,t), Vergleichsspannung ıv (ȗ,t) nach von Mises, Betriebsfederlänge LF.

Die Auswertung der Spannungen erfolgt unter Bezugnahme auf die lokalen Koordinatensystem (s. Abb. 8.84) in Abhängigkeit von der Zeit t und der Drahtkoordinate ȗ, die als längs der Drahtmittellinie verlaufend defi-

490

8 Rechnereinsatz zum Federentwurf

niert ist. Es handelt sich dabei stets um Spannungen, die allein durch elastische Verformung des Drahtes entstehen. Eigenspannungen infolge der Federfertigung werden nicht erfasst. Die Spannungswerte gelten für die Randfaser des Drahtes. Die korrigierte Torsionsspannung berücksichtigt die durch die Krümmung des Drahtes hervorgerufene Spannungsüberhöhung am Federinnendurchmesser (s. Tabellen 4.18 und 4.19). Außer den Spannungen können auch die Bewegungsfunktionen eines jeden beliebigen Punktes X der Feder mit der Drahtkoordinate ȗx in Abhängigkeit von der Zeit in allen drei Raumrichtungen beschrieben und dargestellt werden. Damit wird neben der Ermittlung der Eigenfrequenz auch die Simulation der Eigenformen sowie des Schwingungsverhaltens der Feder bei Stoßanregung möglich. Die nachfolgenden Beispiele zeigen Leistungsfähigkeit des MKSFederprozessors auf. Das erste Beispiel behandelt die Ventilfederanwendung nach Abb. 8.90. Die eingesetzte Feder besitzt eine nichtlineare Kennlinie. Sie ist aus Draht mit elliptischem Querschnitt hergestellt. Ihre Parameter sind Abb. 8.90b zu entnehmen. Die Anregung erfolgt der Feder erfolgt gemäß Abb. 8.90c. b)

a) Feder

Zylinder Rollenstößel

x y

gemessen

Modell

dx; dy [mm]

3,8; 3,1

3,8; 3,1

Dm [mm]

19,6

19,6

L0 [mm]

ca. 45,6

45,6

nt [1]

8,17

8,15

s1 [mm]

4,0

4,0

G [N/ mm2]

81500

81500

m [g]

34,1

34,2

c) 12 Hub s [mm]

Nockenwelle z

Parameter

10 8 6 4

Abb. 8.90. Simulations- und Validierungsbeispiel Ventilfederanwendung a) Technisches Prinzip; b) Parameter der Beispielfeder; c) Nockenhubkurve

2 0

0

90 180 270 Nockenwinkel [Grad]

360

Zunächst wurde das Eigenschwingverhalten der Feder untersucht. Die Kenntnis der Eigenfrequenzen mit ihren zugehörigen Eigenmoden kann in

8.6 Anwendung der Mehrkörpersimulation

491

vielen Fällen für die Beurteilung der prinzipiellen Brauchbarkeit der Feder und auch für die Interpretation der dynamischen Simulationsergebnisse sehr hilfreich sein. Die Ergebnisse der rechnerischen und experimentellen Eigenfrequenzanalyse für die betrachtete Feder sind in den Abb. 8.91 bis Abb. 8.93 dargestellt. Sie gelten für einen Einfederungsweg von 15 mm. Aus Abb. 8.91 und Abb. 8.92 geht hervor, dass die berechneten und mittels Signalanalyse gemessen ersten sechs Eigenfrequenzen sehr gut übereinstimmen. Der Fehler zwischen Berechnung und Experiment bleibt unter 5 %.

Abb. 8.91. Gemessene Eigenschwingungen bei einer Einfederung von 15 mm L1,2 – erste bzw. zweite Längseigenfrequenz in zgl,-Richtung Q1,2 – erste bzw. zweite Quereigenfrequenz in der xgl-ygl-Ebene, Q’1 – erste Quereigenfrequenz in der xgl-ygl-Ebene, etwa senkrecht zu Q1 T1 - erste Dreheigenfrequenz um die zgl-Achse

Der MKS-Federprozessor ist somit aufgrund der gewählten Federmodelle sehr gut zur Eigenfrequenzanalyse geeignet. Darüber hinaus erleichtert er durch die Animation der Ergebnisse die Einordnung der ermittelten Eigenschwingungsform als Längs-, Quer- oder Drehschwingung bzw. als Überlagerung dieser Eigenformen zu sog. Mischformen. Abb. 8.92 gibt eine Momentaufnahme der verschiedenen Eigenformen wieder. Daraus werden auch Schwingungsformen zweiter Ordnung sichtbar. Eigenfrequenzen von Schraubendruckfedern sind einfederungsabhängig. Sie werden mit zunehmender Einfederung größer, da sich Windungen, vor

492

8 Rechnereinsatz zum Federentwurf

a)

Q1 (fQ1 = 840 Hz)

T1 (fT1 = 834 Hz) L2 (fL2 = 1177 Hz)

b) 950

950

900

900

Q‘ 1

850

850

800 750 T1

700

Q1

650 600

L1

550

Frequenz [Hz]

Frequenz [Hz]

Q2 (fQ2 = 1332 Hz)

L1 (fL1 = 605 Hz)

Abb. 8.92: Simulierte Eigenschwingungen bei einer Einfederung von 15 mm L1,2  erste bzw. zweite Längseigenfrequenz; Q1,2  erste bzw. zweite Quereigenfrequenz in der xgl-ygl-Ebene, Q’1  erste Quereigenfrequenz in der xgl-ygl-Ebene, etwa senkrecht zu Q1 T1  erste Dreheigenfrequenz um die zgl-Achse

Q‘1 (fQ‘1 = 917 Hz)

allem die Übergangswindungen, anlegen und die Federn dadurch steifer werden. Die Eigenfrequenzen verändern sich damit auch im dynamischen Betrieb. Wie Abb. 8.93a zeigt, lässt sich dieser Effekt durch die Simulation mit Hilfe des MKS-Prozessors sichtbar machen. Auch hier stimmen die Ergebnisse von Berechnung und Messung recht gut überein. Qualitative Übereinstimmung gibt es auch mit analytischen Berechnungen [8.74] bis [8.77], die allerdings eine Reihe vereinfachender Annahmen voraussetzen.

Q‘ 1

800 750 700

T1

650 600 L1

550

500

Q1

500

450 4

5

6

7

8

9 10 11 12 13 14 15

Federweg [mm]

450 4

5

6

7

8

9 10 11 12 13 14 15

Federweg [mm]

Abb. 8.93. Einfederungsabhängige Eigenfrequenzänderungen der Beispielfeder a) Ergebnisse der Simulation; b) Messergebnisse

Der Verlauf der Längskraft Fz für das behandelte Beispiel ist in Abb. 8.94 dargestellt. Die Abweichung zwischen Simulationsergebnis und Mes-

8.6 Anwendung der Mehrkörpersimulation

493

sung beträgt weniger als 2 %. Der MKS-Ansatz bildet somit die Federlängsdynamik sehr gut nach. Die im Bild erkennbaren Laständerungen nach Abschluss der Stößelhubbewegung zum Zeitpunkt t = 0,008 s stellen Auswirkungen von Längseigenschwingungen der Feder dar. Die Auswertung des Kraftverlaufs ergibt eine Längseigenfrequenz von fL1 = 498 Hz. Sie stimmt mit der bei der Eigenschwingungsanalyse ermittelten Frequenz von 494 Hz nahezu überein. Während der Stößelbewegungsphase erhöht sich die Frequenz dieser Eigenform auf bis zu 650 Hz.

Längskraft Fz [N]

500

Simulation Messung

400 300 200 100 0 0,000 0,005

Drehmoment Mz [Nmm]

500

600

400

Simulation Messung

300 200 100 0

-100 0,010 0,015 Zeit t [s]

0,020

Abb. 8.94. Längskraft Fz bei 2700 U/min

-200 0,000

0,005

0,015 0,010 Zeit t [s]

0,020

Abb. 8.95 Reaktionsmoment Mz bei 2700 U/min

Größere Abweichungen zwischen Simulation und Messung ergeben sich bei Untersuchungen zum dynamischen Querverhalten. Insbesondere bei schnell ablaufenden Bewegungen stellt dies die anspruchsvollste Aufgabe bei der Simulation von Schraubendruckfedern dar. Die größeren Abweichungen sind durch zwei Effekte bedingt: Zum einen verursachen die reibbehafteten Kontakte numerische, d.h. rechentechnische Probleme und zum anderen entstehen durch Führungsspiel und Schwingungen des Versuchsaufbaus Messfehler bei den experimentellen Untersuchungen. Diese größeren Differenzen zwischen Berechnung und Simulationsergebnissen lassen sich bereits im Verlauf des Reaktionsmoments Mz beobachten. Dennoch stimmen die ermittelten und in Abb. 8.95 dargestellten Kurven auch hier noch qualitativ recht gut überein. Problematischer zeigt sich der Vergleich der berechneten und gemessenen Querkräfte. In der Gegenüberstellung der Verläufe bei Nockenwellenumdrehungen von 100 U/ min und 2700 U/ min in Abb. 8.96 werden der Einfluss der Dynamik und die Auswirkungen der genannten Fehlerursachen besonders deutlich. Die Abweichungen, die bereits beim langsameren Lauf der Nockenwelle entstehen, sind vor allem durch Fehler bei der Er-

494

8 Rechnereinsatz zum Federentwurf

mittlung der Querkraftkomponente Fx bedingt. Sie werden durch Führungsspiel und Verkippen des Stößels infolge nichtzentrischen Krafteingriffs im Kurvengelenk hervorgerufen (s. Abb. 8.93a). Dagegen stimmen die berechneten und gemessenen Beträge für die Querkraftkomponente Fy bei 100 U/ min gut überein, da in y-Richtung kaum äußere Zwangskräfte entstehen, die das Messergebnis verfälschen. Bei schnellerem Lauf der Welle wirken sich die nicht erfassten äußeren Kraftwirkungen erheblich stärker auf die Abweichungen zwischen Rechnung und Messung aus. Eine Verbesserung der Übereinstimmung der Ergebnisse ist nur durch Einbeziehen der gesamten Federumgebung in das MKS-Modell zu erreichen. a)

b) 60 Querkraft Fxy [N]

Querkraft Fxy [N]

16 Simulation Messung

14 12 10 8 6

Simulation Messung

50 40 30 20

4 2 0

10

0,0

0,1

0,2

0,3 0,4 Zeit t [s]

0,5

0,6

0 0,000

0,005

0,010 0,015 Zeit t [s]

0,020

Abb. 8.96. Betrag der resultierenden Querkraft Fxy, bei Nockendrehzahlen von a) 100 U/min ; b) 2700 U/min

Wie bereits genannt, erlaubt der MKS-Federprozessor auch die Berechnung der in Schraubendruckfedern entstehenden Spannungen unter statischer und dynamischer Belastung. Über diese bisher von kommerziellen MKS-Federmodellen nicht genutzte Möglichkeit geben die Abb. 8.97 bis Abb. 8.99 Auskunft. Daraus geht hervor, dass die Torsionsspannung selbst bei statischer Beanspruchung über die Drahtlänge nicht konstant ist, wie das bei analytischen Berechnungsmodellen vorausgesetzt wird. Ursachen für das auch aus der Literatur bekannte Phänomen [8.39][8.66][8.102] sind in den vorhandenen geometrischen Nichtlinearitäten, z.B. infolge der Übergangswindungen, und in der nichtzentrischen Wirkung der resultierenden Federkraft zu suchen. Die von der Drahtkoordinate ȗ bzw. der Windungszahl n abhängige Spannungsverteilung wird im dynamischen Betrieb noch durch Spannungen infolge der Federschwingungen überlagert. Daraus resultiert die komplexe räumliche und zeitliche Spannungsverteilung in der Feder gemäß Abb. 8.99. In der Bildebene ist der zeitliche Verlauf der korrigierten Tor-

8.6 Anwendung der Mehrkörpersimulation

495

900 800 700 600 500 400 300 200 100

Torsionsspannung [N/mm²]

Torsionsspannung [N/mm²]

sionsspannung IJtk über dem Nockendrehwinkel ij wiedergegeben. Auf der senkrecht zur Bildebene liegenden Achse ist die laufende Windungszahl aufgetragen. Damit repräsentiert diese Richtung den Spannungsverlauf längs des Drahtes. Für ein besseres Verständnis der in Abb. 8.99 gewählten Darstellungsweise ist eine Schnittführung durch das Bild in zwei Ebenen zweckmäßig, wie z.B. in Abb. 8.98 für den Drehwinkel ij | 70o geschehen. Das entspricht bei einer Drehzahl von 2700 U/ min dem Zeitpunkt t | 0,005 s.

simuliert analytisch

0 0

1

2

3 4 5 6 Windungszahl n

7

1000 900 800 700 600 500 400 300 200 100 0

8

Abb. 8.97. Vergleich der analytisch und numerisch berechneten Verlaufs der korrigierten Torsionsspannung IJtk in Abhängigkeit vom Drahtort (hier: Windungszahl n) bei statischer Einfederung von 15mm

0

1

2

3 4 5 6 Windungszahl n

7

8

Abb. 8.98. Numerisch berechneter Verlauf der korrigierten Torsionsspannung IJtk in Abhängigkeit von Drahtort bei einer Nockenwellendrehzahl von 2700 U/ min zum Zeitpunkt des maximalen Nockenhubes

Wtk [N/mm2] 1000 750 7 500

g dun Win

6 5

250 4 3 2

0

S2

S

3S2

2S lM Nockenwinke

Abb. 8.99. Räumliche und zeitliche Verteilung der korrigierten Torsionsspannung IJtk im Draht bei 2700 U/min

496

8 Rechnereinsatz zum Federentwurf

t

y

Dass die Federmodelle des MKS-Federprozessors die Längsdynamik einer Schraubendruckfeder sehr gut nachbilden, wird vor allem bei der Stoßsimulation deutlich. Hierfür liefern das Beispiel in Abb. 8.100 und der Vergleich der Bilder von gemessenen und rechnerisch ermittelten Stoßantworten einer Feder in Abb. 8.101 einen überzeugenden Nachweis.

Motor

Lichtquelle

Filmtrommel Zylinderlinse Objektiv mit Verschluss Abzug Stoßmasse Versuchsfeder Federende A

Pufferfeder

m Spannfeder

Hub s

Federende Z

Federteller

Abb. 8.100. Versuchsanordnung zur Ermittlung der Stoßbelastung einer Schraubendruckfeder nach Maier [8.81]

Die Messergebnisse in Abb. 8.101a wurden von Maier [8.81] mit einer Versuchsanordnung nach Abb. 8.100 gewonnen. Mit ihrer Hilfe werden die Bewegungen der Windungen der Versuchsfeder, die über eine Zylinderlinse punktförmig abgebildet werden, auf einem mit konstanter Geschwindigkeit bewegten Film als Linien aufzeichnet. Der Verlauf der Linien gibt damit die Weg-Zeit-Funktionen der einzelnen Windungen wieder. Bei dem untersuchten Beispiel, dessen prinzipielle Modellstruktur in Abb. 8.100 eingerahmt dargestellt ist, besitzt die Versuchsfeder aus Draht mit Kreisquerschnitt folgende Abmessungen: d = 3,05 mm, Dm = 29,7 mm, L0 = 470 mm, nt = 28. Die Stoßbelastung erfolgt durch eine Masse m von 1,35 kg, die von einer Spannfeder beschleunigt wird und zum Zeitpunkt t = 0 mit einer Geschwindigkeit v = 13,6 m/s auf die Feder auftrifft. Die Versuche wurden von Maier zum Nachweis der Richtigkeit der Berechnungsunterlagen durchgeführt, die von ihm auf der Grundlage der Wanderwellentheorie entwickelt wurden (s.a. Kap. 5 und 7). Wie aus Abb. 8.101 sehr gut zu erkennen ist, werden die sog. Wanderwellen durch die Stoßbelastung des freien Federendes A ausgelöst. Sie bewegen sich mit der

8.6 Anwendung der Mehrkörpersimulation

497

a)

t = 26 ms =2 4,3 m/ s v

E

Ende A y=0 + y, Weg

vB =

6, 1

m /s

Windungen

L0 = 470 mm

28 26 24 22 20 18 16 14 12 10 8 6 4 2 0 Ende Z 0

t = 23 ms

/s

t = 16 ms

m

m/ s

=1 3, 6

40,9

0

t = 8,5 ms

vA =

V

t = 11,2 ms

b)

5

10

15

20

25

30 35 40 Zeit t [ms]

45

50

55

60

65

70

Abb. 8.101. Untersuchung der Windungsbewegungen einer stoßbelasteten Schraubendruckfeder a) Messung mittels Zeitlupenkamera [8.81]; b) MKS-Simulationsergebnisse [8.147][8.148]

498

8 Rechnereinsatz zum Federentwurf

Fortpflanzungsgeschwindigkeit vw (s.a. Gl. 5.39) entlang des Federdrahtes durch die Feder hindurch. Beim Eintreffen am anderen Federende Z werden sie reflektiert und laufen längs des Drahtes wieder zum Federende A zurück, um beim Auftreffen auf die Stoßmasse m erneut reflektiert und wiederum in Richtung des Federendes Z gelenkt zu werden. Auch diese Vorgänge sind in Abb. 101 nachvollziehbar zu erkennen. Sie wiederholen sich bis zum Ausschwingen der Feder infolge der Energieverluste durch Reibung bzw. Dämpfung. Außerdem kann dem Bild entnommen werden, dass bei der Reflexion der Stoßwelle an einem Federende der Zustand des jeweils anderen Federende näherungsweise lastfrei ist. Die Linien besitzen dann den gleichen Abstand wie bei der ungespannten Feder vor Beginn der Stoßbelastung. Die genannten Phänome werden durch die MKS-Federmodelle sehr gut erfasst. Die in Abb. 8.101a und Abb. 8.101b eingezeichneten Zeitlinien, die charaktristische Bewegungsphasen der Feder wiedergeben [8.81], stimmen weitgehend überein, und die experimentell und numerisch ermittelten Weg-Zeit-Kurvenscharen für die Windungsbewegungen sind nahezu deckungsgleich Auch die in den beiden Bildern enthaltenen Geschwindigkeitsangaben sind nahezu identisch. Aufgrund der erzielten guten Übereinstimmung zwischen Experiment und Simulation können die mit dem MKS-Federprozessor ermittelten Berechnungsergebnisse auch zur Bestimmung weiterer Kennwerte stoßbelasteter Schraubendruckfedern genutzt werden. Hierfür stellt Maier umfangreiche Berechnungsgrundlagen bereit [8.81].

8.7 Ausblick Wie die vorausgegangenen Darlegungen gezeigt haben, existieren bereits vielfältige Möglichkeiten für den rechnerunterstützten Entwurf von Federn und Federnanordnungen auf unterschiedlichem Modellierungsniveau. Dieses reicht von Programmen zur Umsetzung der klassischen analytischen Berechnungsmodelle auf der Grundlage weitgehender linearisierender Vereinfachungen bis hin zu den umfassenden numerischen Berechnungsmöglichkeiten unter Nutzung der Finite Elemente Methode und der Mehrkörpersystemtheorie. Ebenso wurden aber auch die offenen Probleme deutlich, die im Zuge der weiteren Entwicklung von Berechnungswerkzeugen für den effektiven Federentwurf noch zu lösen sind. Sie lassen sich wie folgt zusammenfassen:

8.7 Ausblick

499

x Ausbau der Berechnungsmöglichkeiten zur Analyse und Dimensionierung von Federn für den Einsatz als Antriebselemente; x Entwicklung und Nutzung neutraler Schnittstellen für den bidirektionalen Datenaustausch zwischen CAD-Systemen und Berechnungsprogrammen auf der Grundlage eines einheitlichen Produktmodells; x Vervollständigung des FEM-Federprozessors durch z.Z. noch fehlende Module, wie z.B. Blattfederkomplettmodule; x Erweiterung des MKS-Federprozessors auf andere Federarten; x Weitere Vervollständigung des Entwurfssystems für Federn und Federungen gemäß Abb. 8.3, insbesondere durch Entwicklung und Implementierung von Modulen zur Lebensdauervorhersage von Federn und die Erweiterung der vorgesehenen Datenbank. Ein Schwerpunkt liegt dabei auf der Entwicklung und Implementierung von Modulen zur Lebensdauervorhersage. Ihre Bedeutung nimmt mit dem Zwang zur weiteren Verkürzung und Straffung der Produktentwicklungsund -erprobungszeiten einerseits [8.46][8.47][8.48][8.78] und der Zunahme der Komplexität und Intensität der Nachweisführungen im Hinblick auf Qualitätssicherung und Produkthaftung andererseits deutlich zu. Das gilt insbesondere für den Anwendungsbereich die Automobilindustrie, die als bedeutender Abnehmer von Federn, speziell für Trag-, Ventil- und Kupplungsfedern trotz immer kürzer werdender Modellentwicklungszeiten umfangreiche Lebensdauertests fordert. Der Zeitbedarf hierfür ist hoch, vor allem für Kupplungs- bzw. Ventilfedern, für die schon jetzt extrem hohe Prüflastwechselzahlen zwischen 2,5 ˜108 und 109 im Gespräch sind [8.3]. Daher gewinnt die numerische, aber auch die experimentelle Simulation des Lebensdauerverhaltens von Federn, vor allem von Schraubendruckfedern große Bedeutung [8.78][8.131][8.134]. Sie soll den Aufwand für die Lebensdauertests senken und bereits im Entwicklungsprozess das Ausfallverhalten ermitteln sowie Ort und Ursache des Versagens prognostizieren [8.27], um kostensparend notwendige Änderungen einleiten zu können. Diese Erweiterungsmöglichkeit ist in dem dargestellten Entwurfssystem nach Abb. 8.3 zwar vorgesehen, bisher aber aufgrund der nachfolgend genannten Probleme noch nicht vollständig verwirklicht [8.15]. Die numerische Simulation des Lebensdauerverhaltens von Schraubendruckfedern setzt zunächst die möglichst realitätsnahe FEM-Modellierung der Feder und die weitgehend exakte Ermittlung ihres Spannungszustandes sowie die Validierung der Modelle durch Abgleich der Berechnungsergebnisse mit Messungen voraus. Erst danach werden Aussagen zur Lebensdauer möglich. Zur Lebensdauervorhersage sind Erkenntnisse der Literatur nutzbar [16][8.4][8.33][8.105][8.153][8.157]. Diese beruhen jedoch zumeist auf der Analyse von Bauteilen mit relativ einfacher Gestalt und auf

500

8 Rechnereinsatz zum Federentwurf

umfangreichen experimentellen Lebensdaueruntersuchungen an meist genormten Probekörpern sowie daraus abgeleiteten Berechnungsbeiwerten. Sie sind auf Federn aufgrund der nachfolgend beschriebenen Besonderheiten nicht ohne weitere objektorientierte Anpassung übertragbar. Für Schraubendruckfedern ist eine Lebensdauerabschätzung derzeit ohne umfangreiche, zeit- und kostenintensive experimentelle Untersuchungen kaum möglich, weil sich der exakte Spannungszustand des räumlich gekrümmten Drahtes mit herkömmlichen Mitteln nur schwer berechnen lässt. Das betrifft insbesondere Schraubendruckfedern mit nichtzylindrischer Mantelform und nichtparalleler Einfederung, wie beispielsweise Fahrzeugtragfedern. Erschwerend kommt hinzu, dass der Eigenspannungszustand der Federn bei Simulationsrechnungen bis auf erste, firmeninterne Ansätze [8.40][8.42][8.43] bislang nicht berücksichtigt wird [8.28][8.114]. Der Eigenspannungszustand ergibt sich aus der Überlagerung der verschiedenen eigenspannungsbeeinflussenden Fertigungsschritte der Feder (Winden, Anlassen, Vorsetzen, Kugelstrahlen) und ist von den jeweils gewählten Verfahrensparametern abhängig. Ebenso werden die lebensdauersenkenden Auswirkungen tribologischer Belastungen und des damit verbundenen Verschleißes [8.29][8.118] sowie der Korrosion auf den Spannungszustand der Feder gegenwärtig rechnerisch noch nicht erfasst. Nur die Spannungen infolge der elastischen Verformung finden derzeit in Entwurfs- und Nachweisrechnungen Berücksichtigung, so dass örtliche Spannungsspitzen durch Überlagerung mit Eigenspannungen als Ursache für Überlastungen und vorzeitige Ausfälle nicht erkannt werden können. Fortschritte in der Berechnung können nur durch Anwendung des Modells des räumlich gekrümmten Stabes und den Einsatz numerischer Berechnungsmethoden erreicht werden [8.55][8.57] bis [8.60][8.119] bis [8.127]. Dabei hängt die Genauigkeit der numerischen Simulation von zahlreichen Faktoren ab. Sie betreffen vor allem die Güte der Nachbildung der Feder und ihrer Umgebung sowie die Leistungsfähigkeit der eingesetzten FEM-Software, z.B. die Erfassung der Geometrie der Feder und sie umgebender Bauteile, Typ und Anzahl der Elemente zur Diskretisierung der Feder und der Bauteile, Modellierung der Kontaktstellen zwischen Feder und Federauflage, Einfederungskinematik, Belastungsart (harmonisch oder stochastisch), Eigenspannungszustand. Die zweckmäßige Modellbildung und die Validierung der FEM-Modelle anhand von Experimenten setzen umfangreiche Untersuchungen voraus. Erste Arbeiten [8.114] zur Vergleichbarkeit der Ergebnisse von Spannungsberechnungen mit unterschiedlichen Berechnungswerkzeugen und Modellierungsansätzen ergaben bei den Vergleichs- und Torsionsspannungen Abweichungen von max. 10 % zwischen den einzelnen Rechnungen (s. Abb. 8.102). Größere Abweichungen entstanden bei der Ermittlung der

8.7 Ausblick

501

Kräfte und der Normalspannungen. Die Spannungsmessungen bestätigten die Berechnung grundsätzlich, jedoch waren die Abweichungen insgesamt noch zu groß. Torsionsspannung in N/ mm2

1300 1200 1100 1000 900 800 700 600 500 400 300 200 100 0

0,0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

1,0

Drahtlänge (normiert)

Abb. 102. Torsionsspannungsermittlung an einer Tragfeder, mit unterschiedlichen FEM-Programmen und FEM-Modellen ermittelt [8.114]

Die festgestellten Abweichungen zwischen den einzelnen Rechnungen sind zwar für die Spannungsermittlung und den prinzipiellen Festigkeitsnachweis tolerabel, für die Weiterverwendung zur Lebensdauerberechnung sind sie aber noch zu groß, da Abweichungen in der Spannungsrechnung erhebliche Auswirkungen auf die berechnete Lebensdauer haben können. So gilt unter Zugrundelegung der Wöhler-Theorie die Regel, dass 10 % Spannungsunterschied die Lebensdauer eines Bauteils um den Faktor 2 verändern und je nach Lage der Abweichung nach oben oder unten halbieren oder verdoppeln können. Daher muss in künftigen Untersuchungen eine weitere Annäherung der Berechnungsergebnisse untereinander und an die Spannungsmessungen erreicht werden. Dazu sind die Verbesserung der Modelle und die Verwendung realitätsnaher Modellparameter notwendig. Ebenso müssen aber auch die Ursachen der festgestellten Schwankungen der gemessenen Spannungswerte geklärt werden. Für die Lebensdauerermittlung stehen eine ganze Reihe kommerzieller und wissenschaftlicher Programmsysteme am Markt zur Verfügung [8.111][8.114]. Das Spektrum reicht von einfacher Software zur Berechnung von Werkstoffkennwerten für den Vergleich zwischen vorhandenen und ertragbaren Spannungen bzw. Lastwechselzahlen bis hin zu Pro-

502

8 Rechnereinsatz zum Federentwurf

grammsystemen (z.B. ANSYS Fatigue• [8.164], FEMFAT“ [8.166], LMS Durability“ [8.171], MSC.Fatigue“ [8.174], RIFESTPLUS“ [8.178], WinLife“ [8.180]), die einen Aufsatz zu kommerziellen FEM-Programmen bilden und somit auf FEM-Daten und -Ergebnisse zugreifen. Weiterhin ist bei den Lebensdauerberechnungsprogrammen eine starke Objektorientierung festzustellen. Vergleichende Aussagen zur Leistungsfähigkeit der verschiedenen Programme, insbesondere im Hinblick auf ihre Anwendbarkeit auf die Lebensdauerberechnung von Federn und Federungen, liegen bisher nur teilweise vor. Ein wichtiger Arbeitsschritt muss daher die Erprobung am Markt verfügbarer Programme zur Lebensdauerberechnung und die Bewertung ihrer Anwendbarkeit auf Federn und Federungssysteme sein. Aus der dargelegten Problemsituation ergibt sich die Notwendigkeit, die komplexen Zusammenhänge zwischen Berechnungsmodell und Simulationsergebnis hinsichtlich der Spannungsermittlung einerseits sowie deren Auswirkungen auf die Prognose der Lebensdauer und des Schadensortes andererseits systematisch zu untersuchen [8.111]. Dazu ist die Validierung verfügbarer FEM- und Lebensdauersoftware mit Hilfe zuverlässiger und zeitraffender Mess- und Prüfmethoden zwingend erforderlich [8.135]. Ebenso wichtig ist die Anpassung der Software-Werkzeuge an die Erfordernisse eines effektiven Federentwurfs. Entsprechende Arbeiten hierzu sind eingeleitet [8.56][8.111].

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Ergänzungen und weiterführende Literatur zu Kapitel 2: [2.74] [2.75] [2.76] [2.77] [2.78] [2.79] [2.80] [2.81]

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Literaturverzeichnis

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Sachverzeichnis

A Abschrecken 28 Abwälzfedern s. Tragfedern 307 Achsfederungen 157 Achskinematik 296 Alterung 57 Aluminiumlegierungen 65 Andruckfedern 287, 288 Anfangsauslenkung 225 Anfangsbiegespannung 250 Anfangsverschiebung 216 Ankerrückstellfeder 124 Anlassen 29, 32, 35 Anlasstemperaturen 32 Antiblockiersystem 315 Antriebe diskontinuierlich arbeitende 209 kontinuierlich arbeitende 208 Antriebe mit gestreckter Blattfeder 252 Anfangsauslenkung 256 Beispiel Kontaktfedersatz 252 Bewegungsgesetz 252 Dimensionierung 256 Dimensionierungsgleichuung normierte 256 Dimensionierungsschritte 256 dynamische Modelle 252 mit Federeigenmasse 252 ohne Federeigenmasse 253 Federmaterialdicke 256 Grenzmassenverhältnis 256 Antriebe, Anforderungen an Belastungsforderungen 211 Antriebsmasse 211 statische Gegenkraft 211 Bewegungsforderungen Bewegungsweg 211 Bewegungszeit 211 Endbeschleunigung 211 Endgeschwindigkeit 211 fertigungstechnische Forderung 211 Festigkeitsforderungen 211 konstruktive Forderungen 211

Antriebe, Beispiele Jagdgewehrschlossmechanismus 213 Lamellenschlitzverschluss 209 Transformatorschalter 209 Antriebsaufgabe 432 Antriebsfedern 208 Dimensionierung 212, 224 Dimensionierungsschritte 227 Leistungsgrenzen 229 Antriebswinkel 248, 430 Arbeitspunkt 226, 235, 250, 256, 257 Arbeitstemperatur 76, 80 Einflüsse erhöhter 76 Verhalten bei tiefer 80 Archimedische Spirale 253 Artnutzwert 90, 328 Aufbaufeder s. Tragfedern 295 Aufgabenstellung antriebstechnische 209 Analyse 210, 211 Dimensionierung der Antriebsfeder 211, 212, 433 Präzisieren der 278 Aufnehmer piezoelektrischer 366 seismischer 292 Aushärten 34 Auslegung 267 Auswahlbox 400 B Backenbremsen 317 Simplex-Backenbremse 317 Baureihe 275 Baureihenentwicklung 275 Ähnlichkeitsgesetze 275 Beanspruchung 11 dynamische 14, 17 instationäre 14 quasistationäre 12 schwellende 12 sinusförmige 12 stationäre 12 stochastische 12

542

Sachverzeichnis

stoßartige 12 wechselnde 12 Beanspruchungsgrenzen 13 Dauerschwingfestigkeit 14 Federbiegegrenze 14 Torsions-Elastizitätsgrenze 14 Zeitfestigkeit 14 Zugfestigkeit 14 Bedienerführung 390, 394, 420, 455 Belastungsbedingungen 212 Belastungsfunktionen 211 Belastungsspannungen 26, 27 Benutzeroberfläche grafische 455 Berechnungsbeispiele Ankerrückstellfeder 124 Anwendung des MKS-Federprozessors Stoßsimulation Schraubendruckfeder 496 Ventilfederanwendung 490 Anwendung FedPro-Programm 414, 415 Anwendung FEM-Federprozessor 458 Bandformfeder 468 Doppelkegefeder 458 Drehfeder 465 Schraubenzugfeder 458 Dimensionierung eines Blattfederantriebes 263 eines Schraubenfederantriebs 258 Drehfeder 127 Druckfeder mit progessiver Kennlinie 178 schwingend belastet 173 stationär belastet 168, 170 Entwurf eines Schlagstückantriebs 428 Kegeldruckfeder konstanter Windungsabstand 181 Ringfedersäule 97 Schwingungsanalyse 367 Druckfeder 369 stoßbelastete Druckfeder 374 Spiralfeder mit Windungsabstand 126 Tellerfedersäule 129 Ventilfedern 321 Zugfeder stationär belastet 176 Berechnungsgrundlagen für Einzelfedern 89 Berechnungshilfen Federrechenschieber 382 Leitertafeln 21 Nomogramme 21, 382 Berechnungsmodelle Implementieren genauerer 405 klassische 382, 405 Bernoulli-Ansatz 221, 351 Berylliumbronze 34 Betätigungseinrichtungen s. Bremsen 310

Bewegungdifferentialgleichungen partielle 252 Bewegungsanalyse 211 Bewegungszeit 211 stoßbelasteter Schraubenfedern 221 zurückgelegter Weg 211 Bewegungsdifferentialgleichung 210, 211 Belastungsbedingungen 211 zeitabhängig 212 zeitunabhängig 212, 213 Bewegungsgeometrie 211 Bahn der Federkoppelstellen 211 Ersatzmodelle 219 Federanordnung 211 Federgeometrie 211 Federkennwerte 211 Bewegungsdifferentialgleichungen lineare 214 nichtlineare 214 partielle 220 Bewegungsforderungen 257 Bewegungsfunktionen 478 Bewegungsgesetz 210 des Antriebs 216 des Drehfederantriebs 243 Bewegungsgleichung Lösungskurven 226 Bewegungsgleichungen 224 Lösungsfunktion 229 Bewegungszeit 211, 237, 248 Bewertungsfunktionen 330 Biegefedern 99 gekrümmte 104 gerade 100 gewundene 108 Spannungsbeiwerte 111 räumlich gewundene 112 scheibenförmige 115 Biegestabfeder 100 Berechnung 100 Einschränkungen 100 Voraussetzungen 100 Berechnungsbeispiel 124 Berechnungsbeziehungen 101 mit Unterstützung 103 mit veränderlichem Querschnitt 102 Bistabilität Beispiele Mikrotaster-Schalter 274 Schnellschlussbolzen 274 Prinzip der 273 Blattfederantriebe 252 Berechnungsbeispiel 263 mit gestreckter Blattfeder s. Antriebe mit gestreckter Blattfeder 252 mit gewundener Blattfeder s. Spiralfederantriebe 252, 253

Sachverzeichnis Blattfedern 99, 441 Dreieck-Blattfeder 102 gekrümmte 104 Berechnungsbeziehungen 106 Korrekturfaktoren 106 geschichtete 183 Berechnungsgrundlagen 187 Berechnungsmodell 185 Dauerfestigkeit 186 Federaugen 185 Federkennlinien 185 Federlagen 183 Federschrauben 185 Reibung 184, 185 Schichtung 183 Verschleiß 185 vorhandene Biegespannung 186 Werkstoffe 186 zulässige Spannungen 186 mit Trapezform 102 Rechteck-Blattfeder 100 unterstützte 104 Berechnungsbeziehungen 105 Bogenelement 245, 357 Bourdon-Feder 290, 291 Bremsen 310 Bremskraftbegrenzer 311 Bremskraftminderer 312, 313 Bremskraftverstärker 311 Bremskraftverteilung 311

Inhalt 391 Struktur 391 Datenblätter 21 Schraubendruckfedern 23 Schraubenzugfedern 23 Datenverarbeitung 381 Dauerfestigkeit Dauerfestigkeitsschaubild 15 Dauerfestigkeitswerte 15 Dauerhubfestigkeit 320, 321 Dauerschwingfestigkeit 14, 83 Einfluss der Eigenspannungen 85 Einfluss der Korrosion 85 Einfluss der Oberflächengüte 84 Einfluss von Längsrissen 84 Einfluss von Versprödungen 85 Einfluss von Verunreinigungen 83 Dehngrenze 13 Dehnmessstreifen 292 Dehnungsmesstechnik 290 Dialogbox 424, 467 Dimensionierung von Antriebsfedern 211 Diskretisierungsfehler 440 Doppeldrehfedern 113 Drahtziehen 57 Drehfederantrieb Bewegungsgesetz 243 Drehfederantriebe 241, 242 Anfangsauslenkung 251 Festigkeitsbedingung 251 konstruktive Bedingung 251 C Arbeitspunkt 250 CAD-Modelle Bedingung für Windungszahl 249 Merkmale 440 Dimensionierung 248 CAD-Systeme 386, 440 gekrümmter Stab 251 Datenaustausch 386, 388 Hohlzylindermodell 249 Pro/ENGINEER® 392 Dimensionierungsgleichung 248 Schnittstellen, standardisierte 386 normierte 250 CAD-Umgebung 388 dynamische Modelle 241 CAS-Software 389 eben gekrümmter Stab 245 CAx-Software 388 Hohlzylindermodell 243 mit linearer Bewegungs-DGL 242 mit nichtlinearer Bewegungs-DGL 243 D räumlich gekrümmter Stab 245 Dämpfungselement 3 Eigenkreisfrequenz 244 Dämpfungskräfte 214 Federschenkeleinfluss 244 Dämpfungsverhalten 326 Leistungsgrenzen Darstellung von Federn 335 Grenzkurven 250 Darstellungsarten 335 Grenzmassenträgheitsverhältnis 250 Darstellungsbeispiele 337 Drehfedern 112 Sachmerkmal-Leisten 338 Berechnung 113 Schraubendruckfeder mit Federdiagramm 336 Berechnungsbeispiel 127 Vordrucke 335 Berechnungsbeziehungen 114 Datenaustausch 386, 391 Dauerfestigkeitsschaubilder 115 Schema des 392 Drehfederformen 112 Datenbank 389, 391, 394, 499 Einfluss der Drahtkrümmung 113 Drahtmaterial 411

543

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Sachverzeichnis

Führung auf Dorn 113 kleinster Abbiegeradius 128 Schenkelabbiegung 113 zulässige Spannungen 114 zulässiges Wickelverhältnis 112 Drehfederrate 20, 243, 254 Drehschwingungen 241, 340, 359 Berechnungsbeispiele 369 Differentialgleichung 359 Drehfederrate 359, 360 Eigenfrequenzen 360 Frequenzverhältnis 361 Modelle 360 mit Endmasse 361 ohne Endmasse 360 Spannungsvergrößerungsfaktor 361 Drehstabfeder 40 Drehstabfedern 131, 304 Artnutzwert 133 Berechnung 132 Dauerfestigkeitsschaubilder 135 Formen von 132 Hohlkehlenlänge 133 Hohlkehlenradius 134 Kopfdurchmesser 134 Kopflänge 134 mit Hohlquerschnitt 133 mit Rechteckquerschnitt 135 Berechnungsfaktoren 135 zulässige Spannungen 135 Druckfedern 137 aus Profildraht 144 Berechnung 144 Berechnung Näherungen 138 Biegebeanspruchung 140, 141 Biegeeigenspannungen 142 Bruchursachen Scheuerstellen 147 Dauerfestigkeitsschaubilder 145 Durchmesseraufweitung 140 Eigenkreisfrequenz 146 Hubspannung 146 Knickung 147 Grenzkurven 148 Knicksicherheit 147 Lagerungsbeiwerte 148 Korrekturfaktor federnde Windungszahl 139 Steigungswinkel 139 Kräfte an einer 141 mit progressiver Kennlinie 156 Berechnungsbeispiel 178 mit rechteckigem Drahtprofil 142 mit veränderlichem Stabdurchmesser 157 Berechnung 157 mit veränderlicher Windungssteigung 156, 158

schrittweise Berechnung 159 Teilfederwege 159 Windungsabstände 159 nichtkreiszylindrische 164 Korrekturfaktor 165 nichtzylindrischer Form 160 Kegelstumpffedern 160 Korrekturfaktoren 163 Mantelkurvenformen 161, 163 Taillenfedern 163 Tonnenfedern 163 Variation des Durchmessers 160 Querfederung 148 Querfederrate 149 Querfederweg 149 Querschwingungen 149 Querschwingungsverhalten 149 Schlankheitsgrad 149 Schubspannungsverteilung 142 schwingend belastet Berechnung 145 Berechnungsbeispiel 173 Grenzlastspielzahl 146 Lebensdauer 145 Überlebenswahrscheinlichkeit 146 Sonderformen 156 Spannungskorrekturfaktoren 145 stationär belastet Berechnung 141, 143 Berechnungsbeispiel 168, 170 Steigungswinkel 137, 158 Torsionsbeanspruchung 140, 141 Wickeldorndurchmesser 140 zulässige Spannungen 142 zylindrischer Form 137 Druckfedern s.a. Schraubendruckfedern 137 Drucklast 357 E Eigenformen 468 Eigenfrequenzanalyse 491 Eigenfrequenzen 375, 405, 460, 468, 491 Berechnungsbeziehungen 368, 376 Eigenkreisfrequenz 216, 225, 251, 253, 254, 351 Eigenschwingungsform 491 Eigenschwingungsformen 365 Eigenschwingverhalten 490 Eigenspannungen 27, 37, 71 Arten von 70 Druckeigenspannungen 38 durch Kugelstrahlen 37 Eigenspannungsabbau 32 Messen von (RöntgendiffraktometerVerfahren) 71 Wickeleigenspannungen 30 Zugeigenspannungen 38

Sachverzeichnis Eigenspannungsverteilung bei Tellerfedern 72 Eigenspannungszustand 500 von Drehfedern 72 von Drehstabfedern 73 von Druckfedern 72 von Spiralfedern 72 von Tellerfedern 73 von Zugfedern 72 Eigenwert 222, 232, 248, 253, 254, 352, 461 der Grundwelle 224 Eigenwertfehler 223 Eigenwertgleichung 253 Eigenwertgleichung 223, 245 Lösung der Eigenwertgleichung 223 grafisch 223 numerisch 223 Potenzreihe 224 Einzelradaufhängung 306 Einzelradaufhängungen 302 Federbeine 303 Lenker 303 Eisenmetalle 54 Elastizität 53 Elastizitätsgrenze 13, 27 Elastizitätsmodul 49, 50, 53, 243 Entwicklungsprozess konstruktiver 385 Entwurfssystems Umsetzung des Konzeptes 392 Entwurfsystem für Federungen Konzept 389 Ersatzmodellbildung 220 F Fahrzeugaufbau 293, 294 Abfederung des 293 Bewegungen des Nicken 295 Wanken 296 Fahrzeugfedern s. Tragfedern 293 Fahrzeugfederung 293 Fahrkomfort 293 Fahrsicherheit 293 Hauptfeder 299 Kennlinie 293 Zusatzfeder 293, 299 Fahrzeugschwingungen Achs-Eigenfrequenz 294 Achsschwingungen 294 Aufbau-Eigenfrequenz 294 Einfluss Fahrbahnprofil 294 Erregeramplitude 294 Rad-Eigenfrequenz 294 Radschwingungen 294 Schwingungen des Fahrzeugaufbaus 294

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Schwingungsamplituden 293 vertikales Schwingverhalten 293 Auswirkungen der Konstruktionsgrößen 295 Zweimassen-Modell 294 Features 390 Feder 1, 269 Feder, parameteroptimierte 327 Federanordnungen Analyse, iterative 392 Auslegung 389 Entwurf von 183 für konstante Kräfte und Momente 204 Feinzeiger 204 Garagentor-Gewichtsausgleich 206 Prinzipielle Beipiele 205 Vetikalpendel 204 für konstante Kräfte und Momente 204 Simulation 389 Federantriebe 208 Programme zum Entwurf von 420 Federarbeit 9 spezifische Arbeitsaufnahme 303 Federart, optimale 328, 329 Bewertungsfunktionen 330 Grundbeziehungen 329 Federauswahl 5 Federband 62 Federberechnung 11 Federbiegegrenze 50 Federcharakteristik 46 Federeigenmasse 220, 243, 252, 319, 333, 344 Einfluss der 220 Federeigenmasseanteil 380 Federentwurf 4, 7, 335, 381 Ablauf 278, 279 Entwicklungstendenzen 385 rechnerunterstützter 386 Federentwurf, rechnerunterstützter Einsatz Finite Elemente Methode 437 Programme Finite Elemente Methode s FEM-Programme 388 für Federantriebe s. Programme für Federantriebe 387 kommerzielle 387 HEXAGON-Programm 394 MABAU-Programm 394 MDESIGN-Programm s. MDESIGN-Programm 394 Mehrkörpersimulation s. MKS-Programme 387 zur Schraubendruckfederoptimierung s. FedPro-Programm 404 Federführungen 289 Federgelenke 288 Biegefedergelenke 289 Uhrentechnik 289

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Sachverzeichnis

Waagenbau 289 Federgestalt 2, 4 Anforderungen an 327 Federgestaltparameter 328 Federkennlinien 7 Kennlinienformen 325 Zuordnung von Federarten 326 Möglichkeiten ihrer Näherung 325 typische 325 Verlauf der 7, 8 Federkontrolle 47 Federkörper 25 Federlängsdynamik 493 Feder-Masse-System 17, 342 Feder-Modell 22 Federn 2 als Antriebselemente 208 biegebeanspruchte 99 Darstellungsarten von 335 für konstante Kräfte und Momente 198 in Bremssystemen 310 mit Gleichkraftverhalten 198 s. Federscheiben 198 s. querbelastete Schraubenzugfedern 198 s. Rollfedern 198 s. Schraubenknickfedern 198 torsionsbeanspruchte 131 Viertaktmotoren s. Ventilfedern 318 zug- und druckbeanspruchte 89 zur Bewegungserzeugung 208 Federnfertigung 1 Federntechnik 1 Federoptimierung 24, 327 Federprüfung 47, 280 dynamische 47 statische 47 Federprüfwaagen 48 Federquerdynamik 493 Federrate 9, 47 Toleranz der 47 Federratenverhältnis 222, 294 Federsätze 197 Aufbau 197 Berechnung 197 Druckfedersatz 197 Einsatz 197 Gestaltung 198 Federscheiben 121, 203 Berechnung 121 Scheibenformen 121, 203 Spielausgleich 203 Federstahldraht nichtrostend 59, 61 ölschlussvergütet 58, 59 patentiert gezogen 55 Federstähle 57

Chrom-Nickel-Stähle 60 Chromstähle 60 nichtrostende 59, 61 unlegiert 55 Vergütungsstähle 55 Federsystem 18 Federteller 309 Federungen s. Federanordnungen 389 Federungsverhalten Anforderungen an das 325 Federwerkstoffe 53 Federwinden 25 FedPro-Programm 408 Ausgabedaten 3D-Federdarstellung 412 Diagramme 412 Eigenfrequenzen 418 Goodman-Diagramm 412, 418 Knicksicherheitskurve 412, 418 Federdatenblatt Bestellformular 412, 419 Protokoll 416 Basissoftware MS EXCEL 408 federspezifische Menüleiste 408 Standard-Menüleiste 408 Tabellenblätter 408 Ausgabedaten 408 Eingabedaten 408 Berechnung Eigenfrequenzen 412 Berechnungsbeispiel Drahttrennbaugruppe 414, 415 Datenbanken für Drahtmaterial 411 Eingabedaten Fertigungsvorgaben 408, 415 Funktionsgrößen 408, 409 Restriktionen 408, 415, 416 Ermitteln optimaler Federn 411 minimale Masse 411 minimales Einbauvolumen 411 Internetnutzung 414 Polyoptimierung 412 Verfahren der Parameterwichtung 414 Verfahren der Vektoroptierung 413 Tabellenblätter 415 Variantenberechnung 408 Verfahren der Parmeteranalyse 408 FEM-Analyse 388 FEM-Anwendung 388 Besonderheiten bei Federn 441 Kosten 441 personelle Voraussetzungen 441 FEM-Berechnungen Abweichungen 441 Berührungskontrolle 445 Kontaktelemente (GAPS) 445 Penalty-Verfahren 445

Sachverzeichnis

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Steifigkeitszuordnung 445 Merkmale 440 Verschiebungs-Steifigkeits-Beziehung 445 FEM-Modellierung 453 Ergebnisse FEM-Modellierung der Feder dynamisches Verhalten 438 Bandformfedern 441, 468 Eigenformen 438 gekrümmt 443 Eigenfrequenzen 438 Blattfedern 441 Festigkeitsverhalten 438 Diskretisierung mit Verformungsverhalten 438 Strukturelementen 442 Erzeugen von Vorspannungen 447 Balkenelemente 442 Generierung der Federgeometrie 445 Plattenelemente 442 Modalanalyse 448 Schalenelemente 442 Modellierung der Feder 438, 441 Volumenelementen 443 Modellierung der Federanordnung 441 Doppelkegelfeder 458 Modellierung der Krafteinleitung 443 Drehfeder 465 Modellierung der Umgebung 438 Kontaktblattfedern 446 Verfahrensschritte 439 Schlossfeder Pkw-Tür 449 Vorgehensweise 439 Schraubenfedern 448 Wahl geeigneter Elementtypen Erzeugen der Vorspannung 448 Gesichtspunkte 441 Koppelstellen mit Umgebung 448 FEM-Elementezahl 440 Schraubendruckfedern FEM-Federprozessor 391, 451 Auflage bzw. Einspannung 448 Anwendung 458 Gestalt der Endwindungen 448 Anwendungsbeispiele 458 Gestalt der Übergangswindungen 448 Aufbau 453 Schraubendruckfedern, querbelastet 448 Schraubenzugfedern 458 Basissoftware ANSYS“ 451 Ausführungsform der Ösen 448 Benutzeroberfläche 455 Befestigung der Ösen 448, 460 federspezifischer Postprozessor 451 Erzeugen innerer Vorspannung 448, 460 federspezifischer Preprozessor 451 Trapezfeder 441 Konzept 451 FEM-Netz 440 Anwendung der Feature-Technik 452 FEM-Programme 439 funktionsorintierte Module 452 Elementtypen 439 geometrieorintierte Module 452 spezielle Elemente 439 modularer Aufbau 452 Dämpfungselemente 439 Menüstruktur 457 Kontaktelemente 439 Eingabemasken 456 Koppelelemente 439 Funktionsblöcke 455 Masseelemente 439 Hilfeblöcke 455 Strukturelemente 439 Menüblöcke 455 Volumenelemente 439 Menüfolge 458 Postprozessoren Modellierungsweg 1 Ergebnisdarstellung 443 Komplettmodule für Spannungsverlauf 443 typische Anwendungen 454 Verformungsverlauf 443 typische Federn 454 Solver 458 Modellierungsweg 2 Fertigungsausgleich 46, 47 Module für typische Federn 454 Fertigungstoleranzen 46 nichttypische Anwendungen 454 Auswirkungen auf Bewegungszeit 236 Modellierungsweg 3 Festigkeitsnachweis 11 featurebasierte Modellierung 454 Finite Elemente Methode 22, 245, 437 Featurebibliothek 466 Formfedern 107 Freiformfedern Bandformfedern 107, 441 Federband 454 Drahtformfedern 107 Freiformferdern Flachformfedern 25, 62, 107 Federdraht 454 Mindestbiegeradien 107 parametrisierte Geometriebausteine 465 Formgedächtnis-Effekt 67 Umsetzung 455 Fortpflanzungsgeschwindigkeit 220, 244, 253, FEM-Modelle 440 351, 355 Knotenfreiheitsgrad 443

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Sachverzeichnis

Fourieranalyse 366 s. Schwingungsanalyse 366 Frequenzverhältnis 361 Funktion 267 Funktionen 2 Funktionenintegration 271 Funktionserfüllung optimale 332 Funktionsmerkmal 11 Funktionsnachweis 11, 16 G Gefügeumwandlung 33 Geometriemodelle der Federn 392 Gerechtheiten 268 Gesamtsystem 19 Gestalten 267 Grundregeln 268 Eindeutigkeit 269 Einfachheit 269 Sicherheit 269 Gestaltfestigkeit 15 Prinzip der gleichen 271 Gestaltung 5 der Federenden 307 Gestaltungsmerkmale 3 Gestaltungsphase 481 Gestaltungsprinzipien 268 Gewichtsausgleich Beispiel Garagentor 206 Kräfteermitllung, grafisch 207 Gleitmodul 14, 49, 50, 53 Goodman-Diagramm 394 Grenzmassenverhältnis 230 Grenztemperatur 79 Grobdimensionierung 480 Grundwelle s. Grundschwingung Grundwelleneinflussfaktor 222 Gütevorschriften 394 H Haigh-Diagramm 394 Härten 29, 35 Härteverfahren 35 Austenitformhärten 35 Bainitisieren 35 normale Härtung 35 Härteverzug 29 Hauptbremszylinder 314, 315 Druckkolben 314 Schwimmkolben 314 hifo®-Zugfedern 151, 154 Hilfsgrößen 21 Hohlzylindermodell 243 Hookesches Gesetz 2, 8, 69 Hubverhältnis 222

Hystereseschleife 10 I Impulshammer 366 Internetnutzung 414 K Kaltformgebung 24 Kaltsetzen 42 Kaminfedern 164 Kegeldruckfedern 161 Korrekturfaktoren zur Berechnung 164 mit konstantem Windungsabstand Berechnungsbeispiel 181 Kegelstumpffedern 160 aus Federband 166 Einsatz bei Stoßbelastung 167 Federkraft 167 Federweg 167 Korrekturfaktoren 167 maximale Schubspannung 167 Berechnung 160 Konstruktionen mit Federn 267 Konstruktionen, feinwerktechnische 287 Konstruktionsdokumentation 280, 336 Konstruktionsmethodik 267 Konstruktionsprozess 381 Konstruktionsunterlagen 335 Kontaktblattfedern 103 Stützfedern 103 Kontaktelemente 364 Kontaktfeder gefiederte 286 Kontaktfederanordnungen 252 Kontaktfederformen 286 Kontaktfedern 281 Anforderungen 282 Kontinuummodell 223, 364, 461 Konzeptphase 268, 480 Koppelstellen 363 Kosten 441 Kraft- und Momentenausgleich 204 Kraftausgleich Prinzip des 271 Kraftleitung Prinzipe der 270 Kraftmesstechnik 290 Kraftwirkung 4 Kreuzfedergelenk 289 Kriechen 10, 39, 74 Kriechkurve 74 Kriechversuch 74 Kugelstrahlen 36 Fehler beim 38 Überstrahlen 39

Sachverzeichnis Kupfer 64 Kupfereinsatz 281 Kupferlegierungen 64 L Lagerelement 3 Längsschwingungen 340 Amplituden 342 Berechnungsbeispiele 369 Eigenfrequenzen 342 Berechnungsbeziehungen 368 erzwungene 347 Amplitudenüberhöhung 348 Dämpfungsmaß 348 Differentialgleichung 347 Kraftanregung 347 Phasenverschiebung 348 freie gedämpfte 345 Differentialgleichung 346 Eigenfrequenzen 346 Widerstandskräfte 345 geschwindigkeitsabhängig 346 geschwindigkeitsunabhängig 346 freie ungedämpfte 343 massebehaftete Feder 344 Differentialgleichung 344 Eigenfrequenzen 344 Federeigenmasseanteil 345 masselose Feder 343 Differentialgleichung 343 Eigenkreisfrequenz 343 Modellbildung 342 Spannungen 342, 353 unter Stoßbelastung 349 Berechnungsbeispiel 374 Differentialgleichung lineare 350 partielle 350 Eigenfrequenzen 351, 352, 353 Einfluss Einspannbedingungen 351 Endmasse 351 Federeigenmasse 353 Modelle 349, 351 Wanderwellentheorie 350 Lebensdauernachweis 11 Lebensdauertests 499 Lebensdaueruntersuchungen 49 Lebensdauervorhersage Ausfallverhalten 499 Module zur 499 Ort des Versagens 499 Simulation des Lebensdauerverhaltens experimentell 499 Grundlagen 501 numerisch 499

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verfügbare Software 502 Voraussetzungen Erfassen der Eigenspannungen 500 realitätsnahe FEM-Modellierung 499 Validierung der FEM-Modelle 500 Software für die 389 Ursache des Versagens 499 Leitfähigkeit, elektrische 64, 65 Lösungsansatz nach d'Alembert 221, 350 Lösungsglühen 32, 34 Lösungssuche 278 M Magnetismus 61 Massenkräfte 321 Massenträgheitsmoment 359 Massenträgheitsmomentenverhältnis 245, 361 Massenverhältnis 222, 232 Materialprüfeinrichtung 51 McPherson-Federbein 305 MDESIGN-Programm 395 Auswahlbox Belastungsfall 399 Federdurchmesser-Restriktionen 400 Federendenform 401 Festlegung Lagerungsart 401 Bauraumanpassung 400 Belastungsfälle mit dynamischer Überhöhung 395 schwingend 395 statisch 395 Korrektur federnde Windungszahl 395 optimale Spannungsauslastung 401 Protokollausdruck 395, 403 Schraubendruckfedern Auslegung 395, 402 Nachrechnung 395, 403 Setzlängenberechnung 395 Spannungskorrekturfaktor nach Bergsträsser 395 nach Kloos/ Kaiser 395 spezielle Blocklängenberechnung 395 Überprüfung der Dauerfestigkeit Goodman-Diagramm 395 Haigh-Diagramm 395 Werkstoffdatenbank 399 Mehrdrahtfedern Berechnung der Federrate 166 Dämpfung durch Reibung 166 Mehrdrahtschraubenfedern 165 Memory-Legierung 68 Menüleiste 423 Menüstruktur 390, 455 Menütechnik 394 Messeinrichtungen 48 Messelement 3

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Sachverzeichnis

Mini-bloc-Feder“ 308 Miniblockfeder 437 MKS-Analyse 388 MKS-Anwendung 388 MKS-Federmodelle 472 MKS-Federprozessor 391 Anwendungsbeispiele stoßbeanspruchte Schraubendruckfeder Messergebnisse 497 Simulationergebnisse 497 Versuchsstand 496 Ventilfeder 490 Eigenformen 491 Eigenfrequenzanalyse 491 Eigenschwingungsverhalten 490 Federlängsdynamik 493 Federquerdynamik 493 Spannungsanalyse 494 Aufbau 482 Ausgabedaten 489 Bewegungsfunktioen der Drahtpunkte 490 Biegespannungen 489 Eigenformen 490 Eigenfrequenzen 490 Reaktionskräfte 489 Reaktionsmomente 489 Torsionsspannungen 489 Vergleichsspannungen 489 Basissoftware ADAMS“ 482 federspezifische Eingabemasken 484 Einbindung Federteller 485 Geometrieerzeugung 484, 485 Definition Drahtmittellinie 486 Extrusion des Drahtquerschnitts 486 Solvereinstellung 487 Wahl der Anregungsfunktion 487 Grundidee 481 Menütechnik 483 Module zur Einbindung der Federteller 483 Ergebnisauswertung 483 Geometrieerzeugung der Feder 483 Voreinstellung der Simulation 483 Wahl der Anregungsart 483 Umsetzung 484 Drahtmaterial mit elliptischem Querschnitt 484 Kreisquerschnitt 484 Kegeldruckfedern 484 Rohrmaterial 484 Taillenfedern 484 Tonnenfedern 484 zylindrische Schraubendruckfedern 484 MKS-Programme 472 dreidimensionale Geometriemodellierung 475 Ergebnisauswertung 475 Solver

numerische Integration der BewegungsDGL 489 Standardelemente Dämpferelemente 475 Federelemente 475 Kontaktroutinen 475 MKS-Schraubenfedermodell, dreidimensional Anbindung der Feder 476 Anlegen der Windungen 476 dreidimensionales Federverhalten 475 Federteller 476 Koordinatensysteme 483 Modellaufbau 476 MKS-Schraubenfedermodelle Einordnung in Entwurfprozess 479 Kennlinienmodelle 473 kommerzielle 472 Leistungsfähigkeit 476 Mehrmassenmodelle dreidimensional s. MKS-Federprozessor 475 s. MKS-Schraubenfedermodell, dreidimensional 475 dreidimensional, hybrid 474 eindimensional 472, 473 Modalanalyse 448, 461 Modell der diskretisierten Federersatzmasse 224, 230, 232 der exakten Federeigenmasse 223 der Feder 388 der Federanordnung 388 der massebehafteten Drehfeder 243 der masselosen Drehfeder 242 der masselosen Feder 223 Modellbildung 245, 439 Modellerzeugung 390 automatisierte 390 Modellierung 255, 257 featurebasierte 454 Modellierung der Krafteinleitung 443 Modellstruktur 439 Momentengleichgewicht 242 Multifunktionsfeder 438 Mustererprobung 382 Musterfertigung 280 N Nichteisenmetalle 54 Nickellegierungen 65 Normen 51 Normzahlen dezimalgeometrische 275 Nutzeroberfläche, grafische 420 Nutzwerte 10

Sachverzeichnis O Oberflächenbehandlung 44 galvanische 44 nichtgalvanische 44, 45 Oberflächenzustand 29 Ö Ölschlussvergüten 58 O Optimierung der Feder 324 Optimierung einer Federung 327 Optimierung von Federn 327 Optimierungsbedingungen federartspezifische 331 Optimierungsrechnungen 333 Optimierungsstrategie 333 Beispiel Ventilfeder 333 Optimierungsverfahren s. Parameteroptimierung 405 Optimierungsziele 331, 405, 411 P Parallelschaltung 18, 19 kraftmomentbelastet 20 Parameterdateien, neutrale 392 Parameteroptimierung 329, 331, 405 kontinuierliche Verfahren 405 Verfahren der diskreten Optimierung 406 Verfahren der Parameteranalyse 405, 406 automatische Parametervariation 406 Algorithmus 410 gewählte Berechnungsgleichung 408 mögliche Funtionen 407 vollständige Enumeration 406 Parametersprachen 453 Penalty-Verfahren 445 Permeabilität 62 Piezoaktor 290 Plastizieren 39 Polyoptimierung 332 Verfahren der Parameterwichtung 414 Verfahren der Vektoroptierung 413 Produkteigenschaften 385 Produktentwicklung 381 Entwicklungstendenzen 383 Methoden der integrierten 384 rechnerunterstützte 383 Produktfreigabe 481 Produktlebenszyklus 384, 385 von Schraubendruckfedern 480 Produktmodell parametrisiertes 390 Produktmodelldaten 391

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Produktmodelle rechnerinterne 385 Produktzuverlässigkeit 481 Programme kommerzielle s. MDESIGN-Programm 383 unternehmensspezifische 383 Programme für Federantriebe 420 Schenkelfederantriebe 420 Schraubenfederantriebe s. Programme für Schraubenfederantriebe 420 Programme für Schraubenfederantriebe Analyse 420 Anwendungsbeispiel Antriebsfeder für Jagdwaffe 428 Ausgabedaten Bewegungsgrößen 426 Beschleunigungsfunktion 426 Geschwindigkeitsfunktion 426 Weg-Zeit-Funktion 426 Diagramme 426 Festigkeitswerte u. Spannungen 426 Polynomkoeffizienten Bahnfunktion 426 Belastungsfunktion 426 Tabelle 426 Auswirkungen von Fertigungsabweichungen 428 Dimensionierung 420 Eingabedaten Bahnfunktion 424 Belastungsforderungen 424 Bewegungsforderungen 424 konstruktiv-geometrische Daten 424 Toleranzen 424 MS-Windows 420 Programmstruktur 421, 422 Windows-Anwendung Feder 423 Programme, kommerzielle Datenbank Angaben zu Normfedern 394 Auswahl des Lagerungsbeiwertes 394 Gestaltvarianten für Federenden 394 Materialkennwerte 394 DXF- bzw. IGES-Schnittstelle 395 Eingabe in Menüform 394 Ergebnisausgabe alphanumerisch 394 grafisch 394 Bestellformular 395 Federkennlinie 394 Federzeichnung 395 Programmmodule 390, 420

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Sachverzeichnis

Q Qualitätssicherung 6, 49 Querbewegungen 479 Quereigenfrequenzen 358, 376, 378 Berechnungsbeziehungen 376 Querfederrate 358 Querfederung 357 Querkraftwirkungen 479 Querschwingungen 340 Berechnungsbeispiele 369 Berechnungsbeziehungen 367 Einflüsse federnde Windungszahl 359 Lagerung 359 Masseverteilung 359 Vorspannung 358 Einspannbedingungen 357 Modelle gerader Stab 356 Biegesteifigkeit 356, 367 Schubsteifigkeit 356, 367 räumlich gekrümmter Stab 357 Quereigenfrequenzen 358 Querfederrate 358 Querfederung 357 Querschwingungsverhalten 376 R Randschichten 45 Randschichtverfestigung 5, 36, 38 durch Kugelstrahlen 36, 38 durch Spannungsstrahlen 36 Verfahren zur 5 Rechentechnik 22, 381 Rechenzeit 440, 441, 442, 447, 472, 477 Rechnerdialog 390 Rechnereinsatz 381 Reckalterung 31 Recken 39 Reibkraft 10 Reibung Coulombesche 213, 346 Newtonsche 214 Stokesche 214 Reihe Bereichszahl 276 dezimalgeometrische 275 Größenstufen 275 Stufensprung 276 Beispiel Druckfeder 277 Reihenschaltung 18, 19 Relais 283, 446 Justieren 283 Relaxation 10, 39, 43, 71, 74 Relaxationskurve 75 Relaxationsversuch 75

Relaxations-Zeit-Verlauf 76 von Druckfedern 77, 78 Resonanzen 269, 319 Richtwerte 21 Ringfeder 89, 90, 188 Außenringe 92 Berechnung 91 Dämpfung 99 Federkraft 98 Gesamtfederweg 98 geschlitzte Ringe 94 Gleitschichten, Einbau von 96 Innenringe 92 Kegelwinkel E 95 Konstruktion 95 Reibungswinkel U 95 Ringdurchmesser 98 Ringfederanwendung s. Spannelemente Ringfederelement 92, 188 Aufbau 188 Einsatz 188 Kegelflächen 188 Normalkraft 188 Reibkraft 188 Schmierung 95 Vorspannungsverlust 96 Ringfedersäule 91, 97 Berechnungsbeispiel 97 Rohrfeder 290 Rollfedern 109, 198 A-Motor 199 Aufbau 198 Bandkrümmung 199 Berechnung Biegespannung 200 Drehmoment 200 Einsatz 199 Federkennlinie 199 Lebensdauer 200 Rückfederung 40, 70 Rückschlagventil 316 Ruheelement 3 Runge-Kutta-Verfahren 335 S Schenkelfederantriebe s. Drehfederantriebe 241 Schenkelfedern 112 Schlagenergie 211 Schlagstückantrieb 428 Schleifkontakte 285 Schnittstellen Standardschnittstelle STEP® 391 Schraubendruckfeder stoßbelastete 349 Schraubendruckfedern 137

Sachverzeichnis

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Aufbau 137 Schraubenzugfeder, querbelastet 202 Eigenschaften 137 Federkennlinie 202 Einflüsse der Federgeometrie 138 Gleichkraftfeder 202 Federenden 137, 138 Querkraftwirkung 202 Führen von 140 Schraubenzugfedern 150 Korrekturfaktoren 139 Aufbau 150 mit ungleichförmiger Steigung 147 Eigenschaften 150 optimalen Auslegung von 405, 406 mit innerer Vorspannung 150 Programm zur Optimierung von Ösenformen 152 s. FedProProgamm 404 zylindrischer Form 150 Schraubenfederwindung Schubelastizitätsgrenze 30 Kräfte und Momente 142 Schubspannungs-Schiebungs-Schaubild 30, 41 zylindrischer Form 137 Schubspannungsverteilung 40 Schraubenfederantrieb 430 Schwingtisch 366 Schraubenfederantriebe 212 Schwingungen Arbeitspunkt 226 erzwungene 339 Diagramm zur Bestimmung 235 freie gedämpfte 339 Auswahl genormter Schraubendruckfedern 235 freie ungedämpfte 339 Berechnungsbeispiel 258 gedämpfte 346 Dimensionierung harmonische 221 Lösungsbereich Drahtdurchmesser 234 reibungsgedämpfte 346 Lösungsbereich Massenverhältnis 234 von Schraubenfedern 339 Dimensionierungsgleichung 225 Drehschwingungen normierte 226, 229 s. Drehschwingungen 340 normierte, Lösung 226 Längsschwingungen Dimensionierungsschritte 227 s. Längsschwingungen 340 dynamische Modelle 215 Querschwingungen mit linearer Bewegungs-DGL 215 s. Querschwingungen 340 mit nichtlinearer Bewegungs-DGL 217 Schwingungsanalyse 364 elementarer 216 Berechnungsbeispiele 367 Ersatzmodelle 218 experimentelle 365 Näherungansätze 219 numerische 364 Fertigungstoleranzen Finite Elemente Methode 364 Auswirkungen auf Bewegungszeit 236 Signalanalyse 366 Zeitfehlerausgleichsfaktor 239 Schwingungsmesstechnik 291 Leistungsgrenzen 229 Schwingungssystem 341 erreichbare Geschwindigkeit 231 Modellbildung 341 Grenzkurven 230 Finite-Elemente-Modell 341 Grenzmassenverhältnis 230 Kontinuummodell 341 größte Beschleunigung 233 Lagerung der Feder 342 mit partieller Bewegungs-DGL 220 Mehrkörpersystem 341 Programme für Prinzipbild 341 s. Programme für Schraubenfederantriebe Schwingungsverhalten 362 420 Einflüsse 362 Synthese 212 Federgestalt 362 Schraubenfedern 24 konstruktive Anordnung 362 Schwingungsverhalten von einleitbare Querkraft 363 s. Schwingungsverhalten 339 einseitige Abstützung 363 Schraubenfedersonderformen 155 feste Einspannung 362 Aufbau 155 gelenkige Lagerung 362 Eigenschaften 155 Kraftein-/ -ableitung 362 nichtlineare Federkennlinie 155 Koppelstellen 363 Schraubenknickfeder 201 Selbsthilfe Berechnung 201 Hilfswirkung 273 Federkennlinie 202 Prinzip der 272 Schraubenzugfeder selbstschützende Funktionen 273 Federenden 151 Federbeispiele 274

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Sachverzeichnis

selbstverstärkende Lösung 272 Ursprungswirkung 272 Selfa-Federn 437 Setzbeanspruchung 43 Setzbetrag 41 Setzen 39, 73 Setzmaß 31 Setzwerkzeug 43 Sicherheitswindungsabstand 228 Simulation von Federanordnugen 389 von Federn 389 Simultaneous Engineering 384 Softwarekopplung 389 Sollsicherheit 13 Sonderwerkstoffe 66 Spannelement 90 Spannelemente 188 Aufbau 188 Berechnung 189 Axialkraft 190 Flächenpressung 191 Normalkraft 190 übertragbares Drehmoment 190 zulässige Flächenpressung 191 Festigkeitswerte 192 Konstruktionsbeispiele 191 Druckflansch 192 Spannschrauben 191 Zentrierung der Nabe 191 Reibverluste 190 Wellen-Naben-Verbindung 189 Spannungen ertragbare 13 Nennspannung 15, 16 zulässige 13, 16 Spannungs-Dehnungs-Diagramm 13 Spannungsnachweis 16 Spannungsstrahlen 36 Spannungsüberhöhungen 228, 321, 354 dynamische 324 Spannungsvergrößerungsfaktor 228, 361 Speicherelement 3 Spielausgleich 203 Spiralfederantriebe mit Federhaus 255 Einflussfaktoren 255 ohne Federhaus 253 Anfangsauslenkung 257 Dimensionierung 257 Dimensionierungsgleichung normierte 257 Spiralfederdicke 257 Spiralfedern 62, 63, 108, 437 Krümmungsformen von 111 mit Windungsabstand 109 Berechnungsbeispiel 126

Berechnungsbeziehungen 109 ohne Windungsabstand 111 Berechnungsbeziehungen 110 Richtwerte für Lebensdauer 111 Sprödbrüche 82 Stabilisatoren 131, 132, 296, 437 Achsstabilisatoren 296 Beanspruchungen Biegung 297 Torsion 297 Berechnung 136 Rahmenstabilisatoren 296 Rohrstabilisatoren 296 Ausführungsformen der Augen 297 Stabilität Prinzip der 273 Steckverbinder 283 Auswirkungen von Toleranzen 285 Beispiele 284 Steifigkeitsmatrix 461 STEP-Prozessoren 391 Steuerventil 316 Steuerventile 311 Stoßgeschwindigkeit 355 Stoßwellentheorie s Wanderwellentheorie 350 Strukturmodell 364, 460 Suchraum 331 T Taillenfedern 163 Korrekturfaktoren zur Berechnung 164 Tellerfederformen 116 Tellerfedern 115 Berechnung des Einzeltellers 115 Berechnungsbeiwerte 117 Berechnungsbeziehungen 118 Dauerfestigkeitsschaubilder 120 Federkennlinie 116 geschlitzte 121 Herstellung 117 Kennlinien 117 Kugelstrahlen von 121 mit Trapezquerschnitt 121 Werkstoffe 120 Tellerfedersäulen 117, 193 Aufbau 193 kombinierte Schichtung 193 Parallelschaltung 193 Reihenschaltung 193 Berechnungsbeispiel 129 Einsatz 193 Federkennlinien 194 Federpakete 119 Federsäulen 119 Gesamtfederweg 119

Sachverzeichnis Gesamtkraft 119 Gestaltung 195 Auflageflächen 196 Beispiele 196 empfohlenes Führungsspiel 196 Führungselemente 195 Schmierung 196 Zentrierung 196 Schichtungsvarianten 119 Temperaturabhängigkeit der Kerbschlagzähigkeit 80, 81 des Elastizitätsmoduls 79, 292 des Gleitmoduls 79 Temperaturkoeffizient 67 Tendenzen 386 Texturfederband 63 Thermobimetalle 69 Titan-Legierungen 65 Toleranzen 47, 331 Tonnenfedern 163 Korrekturfaktoren zur Berechnung 164 Torsionsbänder 286 Messgerätelagerung 287 Torsionsfließgrenze 405 Tragfedern 293, 298 Kennlinie 294, 296 Nutzkraftfahrzeugbau 298 Führungsfedern 300 Längsblattfedern 298 Parabelfedern 298, 299 Parabellenker 300 Spalt-Trapezfedern 298, 301 Stützblattfedern 298, 301 Trapezfederpakete 298 Personenkraftwagen 302 Drehstabfedern 304 Drehstabkombinationen 304 Elastomer-Zusatzfedern 305, 306 Federenden-Gestaltung 307 Schraubendruckfedern 305 nichtzylindrisch 309 progressiv 308 zylindrisch 307 Trägheitskräfte 214 Trapezfeder 441 Ü Übergangswindungen 405, 492 Übertragungsmatrizen 245 Bogenelement 245 Koeffizientendeterminante 247 Restwert 248 Matrizenmultiplikation 247 Randbedingungen 247 Übertragungsmatrix Drehfederantrieb 246 Zustandsgrößen 245

Zustandsvektor 246 V Ventilbaugruppe 319 Ventilbeschleunigung 318, 321 Ventilfeder 333, 335 Ventilfederantrieb 320 Ventilfederdraht 58 Ventilfedern 318, 321 Belastungsfrequenzen 321 Berechnungsbeispiel 321 dynamische Spannungsüberhöhung 324 Eigenfrequenz 319 Eigenfrequenzen 324 Entwurf von 318, 319 Erregerfrequenzen 321 Federeigenmasse 319 mit progressiver Kennlinie 319 Kegelstumpffedern 320 veränderliche Steigung 320 Nennspannungen 320 Ventilfedersatzes 322 Ventilmasse 321 Verbundlenkerachse 304 Verformungskörper 290 Vergleichsspannungen 468 Verschiebungs-Steifigkeits-Beziehung s. FEM-Berechnungen 445 Verschleiß 185 Virtual Prototyping 381, 481 Methoden des 385 Vorgehen, methodisches 270 Vorsetzen 39, 71 Vorspannkraft 33 W Walzdraht 58 Wanderwelle 221, 355 Wanderwellentheorie 221, 350 Warmauslagern 34 Warmformgebung 24, 27 Warmsetzen 42 Warmsetztemperatur 42 Wasserstoffversprödung 44 Weg-Zeit-Funktion 210, 216, 253 Wellfedern 122 axiale 122 Berechnung 122 radiale 123 Werkstoff 5, 53 federhart 5 hochelastisch 5 weich 5 Werkstoffauswahl 35, 55, 56 Werkstoffbeanspruchung 4 Werkstoffdaten 85

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Sachverzeichnis

Werkstoffeigenschaften 3, 53 Werkstofffehler 33 Wickelkörper 318, 378 Winkelverhältnis 249 Wirkkörper 3 Wirkprinzip 267 Wirkprinzipe 2 Z Zeitabweichung relative 237 Zeitfehlerausgleichsfaktor 239 Zeitfestigkeit 14

Zeitfunktion 17 Zugfeder 33 Zugfedern 150 Berechnung schwingend belasteter 152 Berechnung stationär belasteter 152, 153 Dauerfestigkeit 155 Kennlinie 153 Spannungsbeiwert 154 stationär belastet Berechnungsbeispiel 176 Zugfedern s. a. Schraubenzugfedern 150 Zugstabfedern 89 Zusatzfeder 213, 217, 293