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?,. En uti lisa nt ce théorème on montre que ct{X1o , X11} est un an n eau noethérien et factoriel. Notons encore que ct{X10 , X11} est un anneau régulier et q ue son complété par rapport à la topologie donnée par les puissances de l'idéal maximal s'identifie avec l'anneau des séries formelles ct UX1 , , X,]]. . . . . , Xn} -+ A. Comme dim A = n, il résultera du premier théorème de Cohen-Seiden berg ([96], III, prop. 3} que ce morphisme est injectif. On a donc montré comment on peut obtenir le lemme de normalisation : pour toute algèbre analytique A il existe un morphisme fini et injectif ct { X1 , , Xn} -+ A (n dim A). . En utilisant ce lemme de normalisation, démontrons un résultat plus précis. •
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b. Une ct-algèbre isomorphe à un qu otient =F 0 d'une algèbre ct{X1, X11} est appelée algèbre analytique (sur ct); elle est locale. Si A, B sont des algèbres analytiques, on entend par morphisme f: A _. B t out •
• •
morphisme de ct-algèbres; il n'est pas difficile de montrer qu'un tel mor phisme est local, i.e. J-1(m8) =m où m" et m8 so n t les idéaux maxi maux respectifs.
MÉTHODES ALGÉBRIQUES DANS LES ESPACES COMPLEXES
2
Pour toute algèbre analytique
fonctorielle:
A
et
tout ent i e r
n
Hom((J:{Xlo ..., X,}, A)=+ mA x . . . x
on a la bijection tn.4
n -fois ft-+ (/(Xx),
.
. . ,f(X,.))
Le m orphisme f: A -+ B est fini si B est un A-module de type fini. Le morphisme fest dit être quasi-fini si B/mAB est un espace vectoriel de dimension finie sur A /mA � (J: (ou bien, ce qui est équivalent, si l'idéal m.4B con tien t une puissance de l'idéal maximal mB). Une forme équiva lente remarquable du théorème de division est: «Un morphisme d'algèbres analytiq ues est fini si, et seulement si, il est quasi-fini». Comme conséquence on prouve qu•un morphisme f: A -+ B est sur jectif si et seulement si mAB = m B, si et seulement si l'application entre les espaces tangents de Zariski mA/m� - mB/m� est surjective. Une autre conséquence est le lemme de normalisation de E. N oether: «Si A est une algèbre analytique de dimension n, il existe un m orph isme fini et i njectif (J: { X1o ... , X,.} -+ A».
II. La catégorie des espaces complexes a. Rappelons qu'un espace annelé est une paire (X, él) dans laquelle X est un espace topologique et eJ un faisceau d'anneaux (que l'on supposera toujours commutatifs et unitaires). On notera Mod eJ la catégorie des él-modules unitaires. Si (X, eJx), (Y, élr) sont deux espaces annelés, un morphisme ent re ces espaces sera un couple .f = (fo,!t) avec /0 : X- Y une application continue et fx: élr -+ (fo).(élx) un morphisme de faisceaux d'anneaux. Si l'on donne l'application fo, alors donner !t est équivalent à donrier un morphisme de faisceaux d'anneaux f01(élr)-+ élx. On note d'habitude la composante fo par f Les propriétés de fonctorialité de l'image directe permettent de définir d'une manière évidente la composition des morphismes d'espaces annelés. On obtient une catégorie. Si � est un élx-module, au lieu d'écrire (fo). (�) on écrit fi�); alors f.(�) est un (.fo).(élx)-module donc aussi un ély-module par l'intermédiaire defx. Si qJ : � -+ �est un morphisme d� Mod élxon désigne (/0)(qJ):f.(� )-+ -+ f.(�) par f.(qJ); f.(qJ) est lJ n morphisme de ély-modules. On obtient ainsi un foncteur f.: Mod é!J x -+ Mod élr nommé l'image directe. Soit maintenant � un élr-module; /01(�) possède une structure de f01(é!Jr)-module, élx une structure naturelle de j-1(élr)-module et on note/*(�)= J-1(�)®!-'
RAPPEL SUR. LES ESPACES COMPLEXES
La
inverse
3
correspondance I!J ""'+ f*(I!J) se complète en un foncteur, l'image f*: Moder -+ Mod ex .
Les foncteurs cr .J.) sont adjoints au sens de la théorie des catégories, i.e. on a des isomorphismes fonctoriels Homex(f*(I!J), �)
�
HomerCI!J.f.(�)),
propriété résultant de la propriété correspondante pour la paire ((fo) . ,/01). Un espace annelé en anneaux locaux est un espace annelé (X, e) pour lequel les anneaux e.,, xe X, sont locaux. Un morphisme f= (fo,f,): (X, ex)-+ (Y, élr)
entre de tels espaces annelés est supposé toujours être local, i.e. les morphismes naturels er.t<x> -+ ex.x obtenus à partir de h sont locaux. On considérera aussi des espaces annelés en a;-algèbres, i.e. des espaces annelés pour lesquels les anneaux de sections sont des (J;-algèbres et les morphismes de restriction sont des morphismes de a;-algèbres. Les mor phismes entre de tels espaces annelés sont supposés compatibles avec la structure de a;-algèbres. b. Soit (X, e) un espace annelé et � un e-module. On dit que � est de typefini si pour tout x e X il existe un voisinage Ude x et un épimorphisme de la forme e"IU-+ �-lU-+ 0 (ou bien, ce qui est équivalent, que � est engendré localement par un nombre fini de sections). � est de présentation finie si pour tout xe X il existe un voisinage U 3 x et une suite exacte e"IU-+ e""IU-+ .-lU-+ O.� est cohérent s'il est de type fini et si le noyau de tout morphisme e"l U-+ � 1 U a vec U ouvert de X est encore de type fini. c. Considérons un espace numérique a;" avec la topologie usuelle. A l'aide du théorème de division on démontre le théorème de cohérence de Oka : «le faisceau e
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M:éTHODES ALG:éBRIQUES DANS LES ESPACES COMPLEXES
complexe est une variété complexe si, localement, il est isomorphe à un modèle de la forme (U, él�IU). Soit (X, élx) un espace complexe. 8xest un faisceau cohérent d'anneaux et Supp élz = X; les éléments de élx sont appelés sections holomorphes. Pour tout point x de X, on note 8x.x la fibre en x (appelée l'anneau local des germes de sections holomorphes de X en x); él,r,,. est une algèbre analytique et soit m,. son idéal maximal ete,.: élx,x-+ Cl: la surjection cano nique (Cl: � élx. ,./m,.). Pour une section fe r(X, élx) on note fx e él,. le germe de f au point x et f(x) le nombre complexe e,.(fx); l'application X-+ ([,x.. f(x), est une fonction continue sur X. On note dim élx.,. la dimension de Krull de l'anneau 8x,,. et on pose dim X = sup dim élx,x (la dimension de x eX
X).
On nomme sous-espace ouvert de (X, élx) un ouvert U avec le faisceau élxiU. Un sous-espace fermé de X est un espace annelé de la forme (Y=Supp (élx/�). élx/�1 Y) avec � c 8x un idéal cohérent. Un sous-espace de X est un sous-espace fermé d'un sous-espace ouvert de X (c'est encore
un espace complexe).
Un morphisme d'espaces complexes est justement un morphisme d'es paces annelés en ([-algèbres (qui est également local). On obtient ainsi une catégorie, la catégorie des espaces complexes. On a des bijections fonctorielles remarquables
(z�> ... , z. sont les coordonnées dans (J:n). Soient X-+ S, Y-+ S des morphismes d'espaces complexes. Pour tout espace complexe Z on note Hom(Z, X) x Hom(Z, S> Hom(Z, Y) le produit cartésien dans la catégorie des ensembles, i.e. l'ensemble des couples de morphismes Z-+ X, Z-+ Y qui rendent commutatif le diagramme x
z
s
�/ y
A l'aide des bijections ci-dessus on démontre l'existence du produit fwré: il y a (unique à un isomorphisme près) un espace complexe Xx5Y
RAPPEL SUR. LES ESPACES COMPLEXES
ainsi que deux morphismes X X s Y -+ X, X tatif le diagramme
x s Y -+
Y rendant commu
x
�/
s
y
et tel que l'application naturelle Hom (Z, XXsY)-+ Hom {Z, X)Xaom(z,S)H om(Z, Y) soit bijective, pour tout espace complexe Z. Topologiquement, Xx s Y est isomorphe au sous-espace fermé de X X Y formé par les couples (x, y) ayant la propriété que les éléments x et y ont la même image par les morphismes X -+ S, Y -+ S. Un exemp le remarquable est fourni par la construction des fibres d'un morphisme. Soit X� Y un morphisme d'espaces complexes et y un point de Y. On considère l'espace complexe {y, ([: � e,{m.,) et le morphisme naturel {y, e,{m,) -+ Y. Le produit fibré X x y{y, e,fm ) est appelé la fibre de fen y et elle est notée par X,; sa composante topo {ogique s'identifie à J-1{y) et son f�isceau structural à exfm,ex. où m,ex est le faisceau d'idéaux engendré par m., dans ex par l'intermédiaire de f. En général, si Y' est un sous-espace fermé de Y donné par un. er-idéal :J, alors (f- 1( Y' ), exfr(�)exlf-1(Y')) est un sous-espace fermé de X, isomorphe à Xx rY'. Un morphisme f: X-+ Y est une immersion (respectivement une immer sion ouverte, fermée) si elle est la composition d'un isomorphisme avec l'inclusion dans Y d'un sous-espace (respectivement d'un sous-espace ouvert, fermé) de Y. La définition d'une immersion locale en un point est maintenant claire. III. Germes d'espaces complexes
Soit X un espace complexe et x un p o int de X. On va identifier les couples (U, x) avec U voisinage de x et la classe d'équivalence obtenue ainsi sera appelée germe d'espace complexe et sera notée (X, x). On définit d'une manière naturelle la notion de morphisme entre les germes et on obtient ainsi une catégorie. Associons à chaque germe (X, x) l'algèbre analytique ex, x et à chaque m o rphisme (X, x) -+ (Y, y) le morphisme local er ., -+ ex. x· On obtient ainsi un foncteur contravariant et on démontre le résultat suivant : •
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M:é.TIODES ALG�BRIQUES DANS LES ESPACES COMPLEXES
«Le foncteur (X, x)� eJx,,. définit une équivalence entre la catégorie des germes d'espaces co mplexes et la catégorie duale de la catégorie des algèbres analytiques». Un point x d'un espace complexe (X, eJx) est régulier s'il admet un voisinage U tel que (U, eJxl U) soit une variété complexe. Dans la corres pondance établie ci-dessus le germe {X, x) est régulier (i.e. x est régulier dans X) si et seulement si l'algèbre analytique eJx,,. est un anneau régulier. De même, un morphisme (X, x) -+ (Y, y) est une immersion locale si et seulement si le morphisme associé er. ., -+ ex. x est surjectif. IV. Ensembles analytiques
Soit U un ouvert d'un espace numérique (J:". Un sous-ensemble fermé A de U est analytique si pour tout point x de A il y a un voisinage W et des fonctions holomorphes Ji., . . . ,f, dans W telles que An W = {xe Wlfi.(x) = . . . =,{q(x) = 0} .
Si � c eJu est un faisceau cohérent d'idéaux, on note par V(�) = Supp(eJu/�); V(�) est un ensemble analytique, l'ensemble des zéros de �. Réciproquement, si A est un ensemble analytique de U, on lui associe un faisceau d'idéaux �(A) de la manière suivante : �(A)(V)= {fec'3(V)If=O sur VnA}.
On a : <�(A) est un faisceau cohérent d'idéaux (le théorème d e cohérence de Cartan-Oka)». La relation suivante est immédiate : V(�(A)) =A . On a également (théorème des zéros de Hilbert-Rückert) : « Si � est un faisceau cohérent d'idéaux, alors �(V(�))= Vi (où Vi est l'idéal donné par les fonctions holomorphes dont, localement, des puissances convenables appartiennent à :7)». On utilisera souve nt le théorème des zéros sous les formes suivantes : - Si :1,) sont des faisceaux cohérents d'idéaux, alors V(:J) c: V('}) si et seulement si, localement, :1 contient une puissance de '}; - Si :J est un faisce:lU cohérent d'idéaux et � un faisceau analytique cohérent tel que Supp § c V(�) alors, localement, une puissance de :1 annule � . Lorsque A est un enseJD,ble analytique, i l définit un espace complexe (A, eJuf:I(A)IA); le faisceau structural e"' = eJuf:I(A)IA s'identifie au faisceau des germes de fl'nctions holomorphes sur A (une fonction définie sur A est holomorphe si, localement, elle est la restriction à A d'une fonction holomorphe au sens usuel).
7
RAPPEL SUR LES ESPACES COMPLEXES
On définit d'une manière évidente les notions de germe d'ensemble analytique, de sous-germe, ainsi que les opérations de réunion et d'inter section finie de tels germes. Un germe (A, x) est irréductible s'il ne peut pas être écrit comme réunion de deux sous-germes distincts de (A, x). Le germe (A, x) est irré ductible si, et seulement si, �(A)" est un idéal premier ou, ce qui est équivalent, si et seulement si l'algèbre analytique associée eJA."=eJ�; "f8J(A)" est intègre. Tout germe d'ensemble analytique (A, x) peut s'écrire uniquement (modulo l'ordre) comme une réunion finie réduite de sous-germes irré ductibles, i.e. on a une décomposition en composantes irréductibles. Cette décomposition correspond à la décomposition primaire de l'idéal :J(A)". On peut faire des considérations analogues en partant non d'un ouvert d'un espace numérique, mais d'un espace complexe ; en fait toutes les assertions dans ce cas peuvent se déduire du cas particulier considéré. Les ensembles analytiques (et donc les espaces complexes) possèdent la propriété remarquable d'être localement connexes. V. Espaces réduits et espaces normaux a. Un espace complexe (X, eJ) -esf réduit si les anneaux eJx." sont réduits, i.e. sans éléments nilpotents. On déduit du théorème des zéros que les espaces réduits sont exactement les espaces que l'on obtient en recollant des modèles du type suivant : (A, eJuf �(A)IA), U étant un ouvert d'un espace numérique et A c: U un sous-ensemble analytique fermé. Dans ce cas, les éléments de eJ sont des fonctions. Si X et Y sont des espaces réduits on montre que les morphismes entre ces espaces sont com plètement déterminés par leurs composantes topologiques. Plus préci sément, une application continue f: X-+ Y est holomorphe si pour toute fonction holomorphe définie sur un ouvert V de Y, la composition avec f donne une fonction holomorphe sur J- 1 ( V); alors, par f (/0 , ft)�-/0 , Hom (X, Y) � l'ensemble des fonctions holomorphes X-+ Y. Soit maintenant X= (X, eJ) un espace complexe quelconque. Notons 3J( le faisceau d'idéaux dont les fibres sont 3J("= l'idéal des éléments nilpotents de eJ", x e X. On montre (conséquence du théorème des zéros) que 3J( est cohérent. L'espace (X, eJf8n) est appelé l'espace réduit associé et il est noté Xrcd; l'espace Xred est un sous-espace de X et c'est le plus grand sous-espace réduit de X. =
b. Soit X un espace complexe réduit. On note S(X) le lieu singulier de X, c'est-à-dire le complémentaire des points réguliers de X. On a le fait remarquable suivant: « S(X) est un sous-ensemble analytique fermé de X». X" S(X) est une variété complexe, dense dans X. Soit (T1)1 la famille des composantes connexes de X" S(X). On montre que les adhérences
M�THODES ALGÉBRIQUES DANS LES ESPACES COMPLEXES
8
X1
=
T1 sont des sous-ensembles analytiques irréductibles de X (un sous ensemble analytique fermé de X est irréductible s'il ne peut pas s'écrire comme réunion de deux de ses sous-ensembles propres analytiques fermés). La famille (X1)1 est la famille des composantes irréductibles de X. On dé montre que cette dernière coïncide avec la fami11e des sous-ensembles irréductibles maximaux de X et qu'elf-e est localement finie. c. Un espace complexe (X, él) est normal si les fibres él"' sont des anneaux normaux (i.e. des anneaux intègres , intégralement clos dans leur corps de fonctions). Voici quelques propriétés remarquables des espaces n ormaux : -les composantes irréductibles coïncident avec les composantes connexes ; -les fonctions holomorphes sur X coïncident avec les fonctions holo morphes sur X"- S(X) ; - dim S(X) � dim X - 2. Soit X un espace complexe réduit. On démontre l'existence d'un espace normal X', le normalisé de X, ainsi que celle d'un morphisme fini et surjectif X' _: X possédant les propriétés suivantes : - 7t-1(X"- S(X)) est un ensemble dense dans X' et la restriction de n: n-1(X"'.S(X))-+ X"'- S(X) est un isomorphisme ; -pour tout x e X, 7t 1 (x) (c'est un ensemble fini) est en correspondance biunivoque avec l'ensemble des composantes irréductibles de (X, x); -les fonctions holomorphes sur X' s'identifient (parn) aux fonctions holomorphes sur X"- S(X), localement bornées sur S(X) (i.e. aux fonctions faiblement holomorphes sur X); -7t.(élx·) est une élx-algèbre cohérente et sa fibre en un point x e X s'identifie à la clôture intégrale de élx.x dans son anneau total de fractions.
VI. Espaces de Stein Un espace complexe (X, él), à topologie dénombrable, est un espace de Stein si les conditions suivantes sont remplies : (1) Pour chaque couple de points x '# y il existe fe T(X, él) telle que f(x) '# f(y). (2) Pour tout x e X il existe des sections Ji., . . . , IN e T(X, él) telles que le morphisme X-+
K = {xe Xllf(x)l � sup 1/(y)I,.(V)/e T(X, él)}
est un ensemble compact.
:Y EX
RAPPEL SUR LES ESPACES COMPLEXES
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Rappelons les théorèmes A et B de Cartan : «Soit X un espace de Stein, S: un faisceau analytique cohérent sur X. Alors: - pour tout xe X, l'é>.,-module a:x est engendré par les sections glo bales F(X, S:) (théorème A) ; - H9(X, S:) = 0 pour tout q � 1 (théorème B) ». Si (X, é>) est un espace de Stein, on peut construire des exhaustions de Runge: ce sont des familles (U")" telles que les U, soient des ouverts de Stein, U,c. c. u,+l et que é>(U,+l> -+ é>(U,) soit à image dense, n E [N. Rappelons aussi le théorème de plongement des espaces de Stein: « Soit X un espace de Stein tel que sup dim (m.x/mi) < ex:>. Il existe .x ex
alors une immersion fermée de la forme X-+ CI:N» (on utilisera souvent un fait plus élémentaire : tout ouvert de Stein relativement compact de X peut être plongé dans un espace numérique) . . Les domaines d'holomorphie (en particulier les ouverts convexes) sont des exemples d'espaces de Stein.
Pour
la
théorie générale des espaces complexes nous suivons surtout [1], [1 8],
[41], [46], [71].
CHAPITRE
1
La cohomologie à support compact sur les espaces de Stein Introduction Rappelons les deux théorèmes suivants de la théorie des fonctions de plu
sieurs variables complexes:
«Si D est un ouvert d'un espace numérique a:n, n � 2 et K c: D un ensemble compact tel que D ""-. K est connexe, alors toute fonction holo morphe sur D ""-. K se p ro longe en une fonction ho lom orphe sur D (théo rème de H artogs [50], Ch. II, §3)». «Si X est une variété de Stein de dimension supérieure ou ég ale à 3 et U c: X un ensemble ouver t de Stein relativement compact, alors le problème de Cousin add itif a une solution sur X""-. U; si on suppose de plus que H 2(X""-. U, 7l) = 0, alo rs aussi le problème multiplicatif de Cousin a une solution sur X""-. U (théorème de Serre [91])». Les généralisations suggérées par le premier théorème sont de la nature ,
suivante: - Remplacer D par une va riété
a n alytiq u e compl ex e ou, plus géné ralement , par un espace analytique complexe. - Remplacer les fonctions par des entités plus générales (section s dans un faisceau, classes de coh omologie , d i viseu r s , s ec ti ons méromorphe s , sous-espaces, faisceaux co hérents). Ces extensions rentrent dans un problème plus général, celui du pro longement des entités analytiq ues définies en dehors d'un ensemble
compact.
Le second théorème rentre aussi dans le cadre d'une problématique à savoir l 'étude des p rop ri é tés d u complé mentaire d'un ensemble compact ou d'un ouvert relativement compact d'un espace complexe . Soit X un espace topologique, K c: X un e ns e m bl e compact et fi un faisceau sur X de groupes abéliens. La suite exacte de co homol ogie
générale,
... -+ Hq(X, SF)-+ Hq(X""'K, SF)-+ Hft+1(X, SF)-+
•
.
.
montre que les éléments du groupe de cohomologie à support dans K, Hft+I(X, SF), représentent l ' obst ruc tion au prolongement à X des q-classes de cohomologie sur X""K, à coe ffic ients dans fi.
Si U
c:
X est un ouvert relativement compact ,
on a la suite exacte
12
MtTHODES ALGéBRIQUES DANS LES ESPACES COMPLEXES
Il en résulte que les éléments du groupe de cohomologie à support compact H!+l(U, �) représentent l'obstruction au prolongement à X des q-classes de cohomologie sur X"- U, à valeurs dans �. On voit ainsi le rôle des invariants H;, Hx dans l'étude des problèmes énoncés ci-dessus. Le but du présent chapitre e st d'étudier ces invariants sur les espaces de Stein et, en particulier, de trouver des théorèmes d'annu lation de H;, HK:. Le premier paragraphe contient les préliminaires nécessaires de la théorie des faisceaux, des espaces vectoriels topologiques et d'algèbre locale. Au second paragraphe on démontre deux théorèmes de dualité (th. 2.1 et 2.9) pour les variétés de Stein, qui permettent d'exprimer les invariants n;, HKen termes d'invariants globaux Ext'(X; . . . ), Ext'(K; . . . ) . Au paragraphe 3 on définit les notions algébriques de profondeur et de dimension po:u un faisceau analytique cohérent. Sous l'hypothèse que X est un espace de Stein et K un compact holomorphiquement convexe les Ext globaux déterminent complètement les Ext locaux ; ceci permettra, via la dualité prouvée au § 2, de réduire les invariants n;, HK: aux invariants Extê,. . . . (elx étant l'anneau local du point xe X). On fait ainsi la liaison avec la profondeur et la dimension et on obtient pour celles-ci les caracté risations cohomologiques 3.6 et 3. 7 : les groupes de cohomologie sont nuls en dehors de l'intervalle [prof, dim] et non nuls pour ses extrémités. Le quatrième paragraphe contient des applications (dans le contexte des problèmes rappelés au début) : résultats de type Hartogs et de type Cousin, propriétés de la frontière d'un espace de Stein, applications relatives aux espaces compacts. Par exemple, lorsque X est un espace de Stein et K eX un compact holomorphiquement convexe on démontre les assertions: -L'application de restriction r(X, el) -+ r(X"- K, el) est bijective si et seulement si prof 6,. ;;il: 2 pour tout point x de K (corollaire 4.4). - Si prof el,. ;;il: 3 pour tout x de K, alors le problème de Cousin additif a une solution sur X"- K; si en plus H2(X""'-K; 7l) = 0, alors aussi le problème de Cousin multiplicatif admet une solution sur X"- K (corollaire 4.5). -Si prof 6,. ;;il: 2 au p oints x de K, alors X est connexe si et seulement si �K est connexe (corollaire 4.8).
§ 1. Préliminaires (a) Rappelons quelques faits de la théorie des faisceaux [34], [43]. Soit X ·un espace topologique. Une famille cp de parties fermées de X est une famile de supports si tout sous-ensemble fermé d'un élément de cp appartient à cp et si la réunion de deux é!léments quelconques de cp est encore un élé ment de If>. Soit � un faisceau de groupes abéliens sur X (on écrira � e Ab( X)). On note r�(X, �) le sous-groupe de T(X, �) constitué par les sections dont le support appartient à If>. On obtient ainsi un foncteur additif, exact à gauche, � 1-+ r�(X, � ), de la catégorie Ab(X) dans la catégorie Ab des
LA COHOMOLOGIE SUR LES ESPACES DE STEIN
13
groupes abéliens. Les foncteurs dérivés à droite sont notés H;(X, • ) et on les nomme les groupes de cohomologie à supports dans tP. Ces invariants peuvent être calculés en utilisant des résolutions flasques ([34], Ch. II, § 4 ; [43], Ch. I II, § 3). On a H�(X, If) � rJ(X, If). En particulier, lorsque tP est la famille des sous-ensembles fermés de X, on obtient les groupes usuels de cohomologie n·cx, • ) . Dans la suite, on suppose que X est paracompact. Lorsque tP est la famille des sous-ensembles compacts on obtient les invariants H;(X, •) , qui sont les groupes de cohomologie à support compact. Pour les calculer on peut utiliser aussi les résolutions avec des faisceaux mous ([34], Ch. II, § 4). On a les isomorphismes naturels lim n;(u, W) =+ n;(x, If), u
où la limite inductive est prise suivant la famille des ouverts U de X (ou suivant une partie cofinale de celle-ci). Si tP est la famille des fermés d'un compact K c X, les invariants obtenus sont notés Hic(X, •) et sont appelés les groupes de cohomologie à support dans K. Pour tout voisinage ouvert U de K on a les isomorphismes canoniques Hi<:(U, If)=. HK:(X, If) On a
(la propriété d'excision !).
aussi les isomorphismes canoniques lim Hic(X,�)=+ H;(X, If), K
la limite inductive étant prise suivant la famille de sous-ensembles compacts de X (ou bien, ce qui revient au même, suivant une partie cofinale de celle-ci, par exemple les éléments d'une exhaustion compacte). Soit 0 -+ 1f -+ j" une résolution injective de 1f. On obtient une suite exacte o - rKcx. r> - rex. j) - rex"'-. K, r> -+ o
et, en passant à la cohomologie,
une
suite exacte
Cette suite montre que les invariants HK(X, 1f) représentent l'obstruction au prolongement à X des classes de cohomologie de X"'-. K. On obtient de la même manière la suite exacte
M�TIODES ALGÉBRIQUES DANS LES ESPACES COMPLEXES
14
En particulier, si X est compact et K on a la suite exacte • • •
-+
une
partie fermée quelconque de X,
H!(X""'-. K, 5) -+ Hq( X, 5) -+ H9(K, 5) -+ Hg+1(X""'-. K, §)
-+
. . .
.
Soit maintenant U un ouvert relativement compact de X. De la suite exacte
0-+ r,,(U, j") -+ r(X, j")--+ T(X""'-. V, j") -+ 0 on déduit la suite exacte de cohomologie
donc les invariants H;(U, 5) représentent l'obstruction au prolongement U. à X des classes de cohomologie définies sur deux é'-modules quel Soit maintenant (X, é') un espace annelé. conques § et c!J, on note Hom.,.,e(§,
v
fini, alors on tire des isomorphismes naturels 5 ®ec!i =+H orne(§, c!J) des isomorphismes v
Ext;,,e (5,
Home;(§,
où
LA COHOMOLOGIE SUR LBS ESPACES DE STEIN
lS
fibres de tout él-module injectif sont des modules injectifs relativement à ces anneaux. Avec ces conditions supplémentaires concernant éJ et � on déduit les isomorphismes naturels
x étant un point arbitraire de X et éj un él-module arbitraire. Rappelons aussi la propriété suivante : si éJ est un faisceau cohérent d'anneaux et si �, éj sont des él-modules cohérents, alors les él-modules Ext�(§, �) sont aussi cohérents. Ceci se vérifie aisément par récurrence sur q: le cas q = 0 est une propriété bien connue des faisceaux cohérents et, pour la récurrence, on utilise l'existence locale de suites exactes de la forme : 0 -+ �· -+ 0 -+ -+ fi -+ o. Pour plus de détails concernant les foncteurs Ext, Ext on peut consulter [34], Ch. II, § 7 ; [43], Ch. IV.
(b) Soient �1> rc2, "C8 des catégories abéliennes, rc1 et "C2 ayant suffisamment d'objets injectifs (pour tout objet M il y a un monomorphisme M -+ l, avec I objet injectif). Soient fC1 !. re2, rt2 !. CC3 des foncteurs additifs exacts à gauche. On suppose en plus que S transforme tout objet injectif en un objet T-acyclique (un objet M de fC2 est T-acyclique si KI T(M) = 0 pour q � 1 ). II existe alors une suite spectrale de terme initial E'· 9 = (R'T) (RIS) qui converge vers les foncteurs dérivés RP+ q du foncteur composé TS ([43], 2.4. 1). Rappelons la construction des morphismes latéraux :
Soit M un objet de fC1 et
J" une
résolution injective de M. L'exactitude
à gauche de T donne des isomorphismes
Ker ( TS( l") -+ TS(J��+ 1)) ::. T(Ker(S(f") -+ S(f" + l))). On déduit du diagramme commutatif TS(l" - 1) --+ TS(I")
� / T(B") où B" = Im(S(J"- 1) -+ S(J")), un morphisme (même un monomorphisme) Im(TS(J" - 1) -+ TS(l")) -+ T( lm(S(J"- 1 ) -+ S(J"))). On obtient alors des
morphismes
R"(TS)(M)
=
H"( TS(J")) -+ T( H"( S(J')))
=
T(R"S)(M ).
MÉTHODES ALGÉBRIQUES DANS LiES ESPACES COMPLEXES
16
On peut montrer que ces derniers so.nt indépendants du choix de la résolution r, et qu'ils sont fonctoriels en M. On procède de manière analogue pour les autres morphismes 1attéraux. On utilisera la propriété suivante : si, pour un objet M de tel> on a R'T(R:I S(M)) = 0 pour tout q et tout p � 1 , alors les morphismes natu rels R"(TS) (M) -+ T(R" S(M)) sont des isomorphismes pour tout entier n �0. Ce fait est une conséquence immédiate des prvpriétés générales des suites spec trales [19], [34], [43], mais il peut être proavé aisément par une voie directe : S
T
LEMME 1 . 1 . Soit (6'1 -+ te1 -+ f(/3 comme ci-dessus et M un objet de fi1• Si R'T(R:IS(M)) = 0 pour p � 1 et q ;;: 0, alors les morphismes naturels R"(TS)(M) -+ T(R"S(M)) sont des isomorphismes pour tout entier n � O. Démonstration. Soit 0 -+ M -+ 1° -+ 11 -+ . . une résolution injective de M. Les R" S(M) sont les objets de cohomologie: du complexe S(J") et R" ( TS)(M) ceux de TS(J"). Soit Z" = Ke r( S{r) -+ S(f" + 1)), B" = Im(S(J"- 1) -+ S(/")), 'Z" Ker(TS(J") -+ TS(J"+ 1)) et 'B" lm(TS(l" - 1) -+ TS(l")) . Evidem ment, zo = S(M). L'exactitude à gauche du foncteur T donne les isomorphismes 'Z" :: T(Z"). En utilisant les suites exactes (n � 0) 0 -+ Z" -+ S(l") -+ B" + 1 -+ 0 _
=
=
0 -+ B"-+ Z"-+ R"S(M)-+ 0
(n � 1 )
et la récurrence croissante suivant n, o n vérifie ensuite que R' T(Z")
=
R"T(B"+ 1)
=
0 (p ;;: 1 ) et ' B" + 1 :: T(B"+ 1).
La conclusion du lemme résulte alors du diagramme commutatif et exact suivant 0 -+ 'B" . -+ 'Z"-+ R"( TS)(M)-+ 0 l !! !1 0 -+ T(B")-+ T(Z") -+ T(R"S(M)) -+ O. Remarque. Avec le même raisonnement o n établit aussi le résultat suivant : si RPT(R:IS(M)) 0 pour p � 1 et 0 � q � n0, alors les morphismes naturels R"( TS) (M) -+ T(R"S(M)) sont des isomorphismes pour tout entier n, 0 � n � n0 + 1 . On utilise aussi le résultat qui suit, connu aussi sous le nom de «théo rème de De Rham abstrait». =
T
LEMME 1 .2. Soit fi -+
LA COHOMOLOGIE SUR LES ESPACES DE STEIN
17
Démonstration. On procède par récurrence suivant 11. Le cas 11 = 0 résulte de l'exactitude à gauche du foncteur T. Soit M' = Ker(Jl --+ /2). On dédu.it de la suite exacte 0 --+ M --+ /0 --+ M' --+ 0 la suite exacte 0 --+ T(M) --+ 0 n --+ T(l ) --+ T(M') --+ R1 T(M) --+ 0 et les isomorphismes R T(M') � Rn + 1 T(M), 11 � 1 . Mais on a aussi la suite exacte 0 --+ T(M') --+ T(Jl) --+ T(/2) et le passage de 11 à 11 + 1 résulte aisément. Nous allons considérer maintenant deux exemples. Soit (X, &) un espace annelé et iP une famille de supports sur X. On fixe un &-module ?i . Considérons �1 =�,=la catégorie de &-modules, �8 =Ab, S=Hom19(?i , •), T = r�(X, • ) . Le foncteur S transforme les objets injectifs en objets T-acycliques car pour tout &-module injectif j, le faisceau Home(?i, j) est flasque. On a l'égalité TS = H om�.19(?i, • ). Il existe donc une suite spectrale de terme initial E�· q H:(x, Ext�(?i, • )) convergeant vers Ext�:'"J(X; ?i , • ) . En particulier il existe une suite spectrale de terme Ef· q = = H'(X, Ext�(?i , • )) qui converge vers Ext�H(X; ?i, • ) . Dans ce cas, les morphismes latéraux =
Extë(X; ?i,
*)
--+
F(X, Ext'J(?i, * ))
coïncident avec les morphismes donnés par le passage d'un préfaisceau au faisceau associé. Soit maintenant (X, &x) !. ( Y, & y) un morphisme d'espaces annelés. On prend �1 = la catégorie des é:'x-modules, �' = la catégorie des & y-mo dules, �8 = Ab, S = f. (l'image directe de faisceaux) et T = r( Y, • ). Le foncteur S transforme les o bjets injectifs en objets T-acycliques, car tout faisceau injectif est flasque, e t l'image par f d'un faisceau flasque sur X est un faisceau flasque sur Y. D'autre part on a l'égalité TS = f(X, • ) . Ainsi il existe une suite spectrale de terme initial E�· q = HP( Y, �f. ( • )) con vergeant vers HP+ q(X, •). On peut montrer que dans ce cas les morphismes latéraux ont des interprétations remarquables. Si en p lus on suppose que X et Y sont des espaces p:uacompacts et que .f est propre, alors l'égalité des foncteurs rc( Y. .f.(•)) = F..(X, •) e ngendre une suite spectrale de terme E�· q= H%( Y, kif.(• )) laquelle converge vers H� H(X, • ) . Les suites spectrales associées au morphisme .f s'appellent les suites spectrales de Leray. Dans ces deux exemples considérés, on peut déduire du lemme 1 . 1 des conséquences remarquables. (c) Dans cette section on rappelle quelques faits généraux concernant les espaces vectoriels topologiques sur le corps a: des nombres complexes ([26], [42], [84]). Un espace vecto riel topologique, localement convexe, métrisable et complet s'appelle espa ce de Fréchet. Un tel espace sera dit de Schwartz si pour tout voisi nage U de l'origine il existe un voisinage V de l'origine tel que l'on ait : pour tout e > 0, il existe xh . . . , Xn e V ayant
18
M:êTHODES ALGDRIQUES DANS
LES
ESPACES COMPLEXES
"
la propriété que V c U (x1 + eU). On notera avec FS (respectivement i-1
DFS) les espaces de Fréchet-Schwartz (respectivement les duaux d e ces espaces, munis de la topologie forte de dual). Ces espaces sont réflexifs et possèdent des propriétés de stabilité remarquables : tout sous-espace fermé d'un espace FS est encore un FS, le quotient d'un espace FS par un sous espace fermé est aussi un espace FS et il en va de même pour les espaces de type DFS. On utilise constamment le théorème de Banach : une application ct-linéaire continue et surjective entre deux espaces FS(ou DFS) est ouverte. Rappelons qu'une application linéaire et continue u : E -+ F entre deux espaces vectoriels topologique est stricte (on dit aussi qu'elle est un homo morphisme topologique) si la topologie quotient sur u(E) coïncide avec la topologie induite par celle de F. Le résultat suivant, «le lemme de dualité de Serre» [92], sera utilisé souvent dans ce chapitre : u
•
LEMME 1 .3. Soient E _. F _. G des applications linéaires et continues
entre des espaces localement convexes, séparés, avec v stricte et vu O. Soit E' ::_ F' ::._ G' la suite qu ' on obtient en passant au dual (topologique) . JI y a alors un isomorphisme algébrique naturel =
Ker u'/lm v' =+ (Ker v/lm u)'. Démonstration. Soit Le Ker u' c F'. Si e e E, alors L(u(e)) (u ' (L))(e) = 0 donc L l lm u O. On notera avec i la fonctionnelle déterminée par L sur Ker v/lm u. Si L e lm v', alors LIKer v = 0 donc i O On a obtenu ainsi =
=
=
.
une application ct-linéaire
Ker u'/lm v' -+ (Ker v/l m u)' et nous allons montrer qu'elle est bijective. Soit L e Ker u' telle que i = O. Alors L se factorise par une fonctionnelle linéaire continue L' : F/Ker v -+ ct . L'application v étant stricte, la topologie de l'espace F/Ker v :: lm v coincide avec celle induite par G. D'après le théorème de Hahn-Banach, L' se prolonge en une fonctionnelle linéaire et continue L" : G -+ ct . On a v'(L") = L donc L e lm v'. Il faut encore prouver la surjectivité de l'application précédente. Soit Te (Ker v/lm u)'. En composant T avec l'application quotient Ker v -+ Ker v/lm u on obtient une fonctionnelle linéaire et continue sur Ker v; soit L : F -+ ct un prolongement de celle-ci. On a (u'(L)) (e) L(u(e)) = 1 T(u(e) mod lm u) = 0, avec e e E élément arbitraire, donc L e Ker u'. On vérifie immédiatement que L = T. =
•
CoROLLAIRE 1 .4. Si . . . -+ E1-1 -+ E1 -+ E1+ 1 -+ . . . est une suite exacte d'espaces FS (ou DFS), les applications étant linéaires et continues, alors la suite transposée . . . +- (E1-1)' +- (El)' +- (Ef+ 1)' +est encore exacte. • • •
LA COHOMOLOGIE SUR LES ESPACES DE STEIN
Démonstration. Puisque �m(E1- 1 -+ E1)
19
Ker (E1 -+ E1 + 1) est un sous� espace fermé dans e, les différentielles du complexe considéré sont strictes et la conclusion résulte alors du lemme. On utilisera aussi dans ce chapitre les faits 'Suivants : - Tout espace de Banach de dimension {algébrique) tout au plus dénombrable est de dimension finie (conséquence du théorème de Baire). - Tout espace vectoriel topologique localement convexe, limite inductive dénombrable d'espaces de Fréchet, tel que les applications du système induccif soient compactes et injectives, est séparé ([26], § 25. 1 ) (donc est u n DFS, e n vertu d e l'assertion qui suit.) - Tout espace topologique, localement CQnvexe, séparé, limite in ductive dénombrable d'espaces de Fréchet, tel que les applications du système inductif soient compactes, est un DFS ([26], § 26.2). (Rappelons qu'une application linéaire et continue u : E -+ F entre deux espaces locale ment convexes est compacte s'il y a un voisinage de l'origine dans E tel que son image par u soit relativement compacte dans F.) - Si E lim E,. est comme dans l'assertion précédente, alors tout =
=
--+-
sous-ensemble borné de E est l'image d'un borné d'un E,. (théorème de Raikov-Silva [26], § 25.2). On va finir cette section avec quelques considérations sur les variétés analytiques complexes. Soit X une variété complexe dénombrable à l'infini, n dim X. On note .S le faisceau des germes de fonctions différentiables de classe C'Xl sur X. L'espace ${X) r(X, .S), muni de la topologie de la convergence uniforme sur tous les compacts des fonctions ainsi que de toutes leurs dérivées, est un espace FS. On notera t$P· q (respectivement �P· q) le faisceau des germes de formes différenti:lles de type (p, q) à coef ficients dans �tl (respectivement distributions). La convergence des coef ficients des formes définit des topologies FS sur des espaces toP· q(X) r(X, f>P· q). L'espace r,(X, �P· q) coïncide avec le dual topologique de �n p, n q( X) et donc, muni de la topologie forte de dual, il devient un espace d" de type D FS. Par rapport à ces topologies la différentielle SP· q(X) -&P· q+ 1(X) est continue et sa transposée (modulo le signe) est la différentielle d" Tc(X, �n - p, n - q - l ) - Tc( X, �n - p, n - q) . On note e le faisceau des germes de fonctions holomorphes sur X. L'espace é>(X) r(X, é>), muni de la topologie de la convergence uniforme sur les compacts, est un espace FS, en fait même un sous-espace fermé de .S(X). Si U est un ensemble ouvert relativement compact dans X, alors l'application de restriction é>(X) -+ é>(U) est compacte. Soit K un ensemble compact de X et ( U,.),.;;- 0 un système fondamental de voisinages pour K, tel que U, + l c: c: U,. pour tout n ;; O. On suppose en outre que toute composante connexe de chaque U,. coupe K. Les applications de restriction é>(U,.) -+ é>(U,. + 1) sont compactes et injectives. Il résulte alors que l'espace é>(K) lim e(U,.), muni de la topologie limite inductive est =
=
=
=
=
=
--+
20
MÉTHODES ALGÉBRIQUES DANS LES ESPACES COMPLEXES
un DFS ; sa topologie est indépendante du système fondamental choisi. En particulier é>{K) est un espace de type LF (un espace vectoriel topo logique localement convexe, séparé, est de type LF s ' il est isomorphe à une limite inductive dénombrable d ' espaces de Fréchet). Tout ensemble borné de é>{K) est l'image d ' un borné dans un é>( U,.). On peut faire des considérations analogues concernant l ' espace D(K) F(K, D), où Q est le faisceau de germes de formes différentielles de type (n, 0) sur X, à coefficients analytiques. =
=
(d) Dans cette section on rappelle les propriétés élémentaires de la profon
deur et de la dimension d' un module ([1 3] ; [45], Ch. 0111 ; [96]). Soit A un anneau (commutatif, unitaire). Spec A désignera l'ensemble des idéaux premiers de A. Si a est un idéal de A alors on note V(a)
=
{P I P e Spec A, p
::
a}.
Les ensembles de la forrrie V(a) constituent les ensembles fermés d ' une topologie sur Spec A, nommée la topologie de Zariski. Les ensembles D(f) = {plp e Spec A, f � p }, fe A, forment une base d'ouverts. Soit M un A-module. L'ensemble S upp M {P IPe Spec A , Mp =1= 0} est appelé le support de M. On supposera dans la suite que A est un anneau noethérien et que M est un A-module de type fini. On a Supp M V (Ann M), où Ann M est l'annulateur de M. On dit qu'un idéal p e Spec A est associé à M s ' il y a un monomorphisme de A-modules Afp --+ M. La famille des idéaux pre miers associés à M est finie et est notée AssM. Evidemment AssM c SuppM. L' ensemble des diviseurs de zéro pour M coïncide avec U p. Les éléments =
=
p eAssM
minimaux de Ass M, Ass(AfAnn M) et Supp M coïncident et on a l'égalité dim M
=
dim (A/Ann M)
= sup dim p e AssM
(Afp).
Mentionnons encore le fait suivant, remarquable : il y a une suite de com position 0 M0 c M1 c . . . c M,. M tel que les quotients successifs M1 + 1 /M1 soient isomorphes à des modules de la forme Afp, avec p e Supp M. Pour ce genre de considérations on pourra consulter par exemple ([96], Ch. III). Une suite d'éléments xl> . . . , x, de A est une suite M-régulière si chaque / i-1 x 1 n 'est pas diviseur d e zéro dans M � x1M (la condition concernant ·
=
j
J-1
l'élément x1 revient à ce qu'JI ne soit pas un diviseur de zéro dans M). Supposons maintenant que A est un anneau local et soit m son idéal maximal, et k = Afm son corps résiduel. On a le résultat suivant : «Pour tout entier r � 0, Ext�(k, M) 0 pour i < r si et seulement s'il existe une suite M-régulière formée avec r éléments de m». On peut trouver la dé monstration dans [96] , Ch. IV, prop. 6 ; [45], Ch.01v, 1 6.4.4 ou bien dans le =
LA COHOMOLOGIE SUR LES ESPACES DE STEIN
21
chapitre suivant où nous allons considérer un cas plus général. Nous note rons prof M = sup {ri il existe une suite M-régulière formée avec r éléments de m } = inf {i 1 Ext� (k, M) ::/: 0} et ce nombre sera appelé la profondeur de M. Si M = 0 il résulte prof M = co . LEMME 1 .5. Si x e m est un élément M-régulier alors dim MfxM
=
dim M - 1 .
Démonstration. L'inégalité dim MfxM ';!I: dim M - 1 est vraie sans hypothèse
supplémentaire sur x et s'obtient en utilisant la définition de la dimension
à l'aide des systèmes de paramètres. Si x est M-régulier, alors il n'est contenu dans aucun idéal p e Ass M. L'inégalité dim M/xM � dim M - 1 en résulte maintenant facilement, en appliquant l'égalité dim N sup dim Afp à =
N = M et à N = MfxM.
P E AssN
m son idéal maximal A-module de type fini. Alors prof M = 0 si et seulement si m e Ass M. Si x e M est M-régulier, alors prof MfxM = prof M - 1 . Si M ::/: 0 , alors prof M � dim M; par conséquent prof M < co pour M ::/: O . (iv) Toutes les suites M-régulières, formées a�·ec des éléments apparte nant à m, ont le même nombre d'éléments, égal à prof M.
PROPOS ITION 1 .6. Soit A un anneau local noethérien,
et M un {i) {ii) (iii)
= 0 si et seulement si tout élément de m est un diviseur de zéro pour M, donc si et seulement si m c U p et la conclusion
Démonstration. (i) prof M
P E AssM
en résulte en utilisant [t 3], Ch. IV, § t , n° 1 , cor. 2, prop. 2. (ii) Si (xh . . . , x,) est une suite M/xM-régulière formée avec des élé ments appartenant à m, alors la suite (x, x�> . . . , x,) est encore M-régulière. Il en résulte que prof MfxM � prof M - 1 . Soit i un entier tel que Ext� (k , MfxM) ::/: 0. On montrera que i + 1 ';il: prof M ce qui achèvera la démonstration. Supposons que prof M > i + 1 . II en résulte que Ext�{k, M) = = Ext�+ 1 (k , M) = O . D e l a suite exacte x
0 -+ M -+ M -+ MfxM -+ 0 on obtient ta suite exacte . . . -+ Ext� (k, M) -+ Ext� (k , MfxM) -+ Ext�+ 1(k, M ) -+ . . . et donc une contradiction. (iii) Si prof M 0, l'inégalité est évidente. Soit donc prof M > 0 et x e m élément M-régulier. D'après le lemme 1 .5, dim MfxM = dim M 1 et ta conclusion résulte de (ii) en utilisant un raisonnement par récurrence. (iv) Résulte de (ii). =
-
22
MÉTHODES ALGÉBRI Q U ES DANS !.ES ESPACES COMPLEXES
PROPOSITION 1 .7. Soit A !. B un m orphism e local d'anneaux locaux noe· thériens. On suppose ce morphisme fini. A fers, si M est un B-module de type fini, on a
pro f.4 Mr p J
(Mr P l désigne M,
=
pcof8M
co n s idéré comme A -module par l ' i nte r méd ia i re de p).
= 0 la conclusion est évidente, et o n suppose prof,. MrP J et (x1)1< • (;• une suite M1p1-régulière maxi male, formée par des éléments appartenant à l' idéal maximal m.4 de A . Les éléments p(x1) se trouvent dans l'idéal maximal m 8 d e B e t constituent
Démonstration. Pour M
donc M::/=0. Soit n
=
une s ui te M-régulière. Soit N = M
pr o f8M -
n,
Nr Pl
1
=
n
� x1 Ml Pl
1-l
"'
:E p(x1) M.
i� 1
e t prof,. NIPI
Evidemment prof 8N =
=
O . On s'est rame n é
a u cas n = O. A lors m ,. e Ass,. M1 P 1 et donc il existe un m orp h i s me i njectif A/m,. .. MlPl· Soit M' l e sous-module de M e n ge n dré par l'image de ce mo rph is m e. Le morphisme p étant fini . une pui s san ce de l'idéal m8 est contenue dans m,.B et donc annule M'. Il résulte q u e m8 e Ass M' c Ass M e t donc prof8M O =
.
PROPOSITION 1 .8. Soit A un anneau local, noethérien, no rmal , de dimension � 2. A lors prof A � 2.
Démonstration. Soit m l 'i déa l maximal de A et x u n élément n on nul de m. L'anneau A étant intègre, x n'est pas d iviseur de zéro. Pour tout p E Ass(A/xA), on a ht p =l ([96], III, prop. 9). L'hypo t hè se dim A � 2 implique a l ors qu'il existe un é lé m ent yem et q ui n'appart i e n t à aucun idéal de Ass(A/xA). L'élément y sera d o n c un non diviseur de zéro dans A/xA et la démonstration es t te rm i née . Rappelons qu ;un module M (de type fini, sur un a nn e a u local noe t hé ri en) est un module de Cohen-Macauley s i prof M d im M. Un anneau local noethérien est di t être un anneau de Cohen-Macau/ey s'il est un A - mo dule de Cohen-Macauley, i.e. si prof A = d i m A . =
CoROLLAIRE 1 .9. Tout anneau local n o eth érien , normal, de dim ension 2 est un anneau de Cohen-Macauley.
Dans ce qui suit on donnera la caractérisation de l a profondeur des modules définis sur des anneaux réguliers. Rappelons d'abord quelques faits d'algèbre homologique ([ 1 9] ; [96], IV C ; [45], Ch. Om, 1 7.2). Soit A un anneau commutatif et un i ta i re et M un A-module. On appelle dim ension projective (ou homologique) de M le plus p e t i t n (en ti e r ou égal à + oo), n oté dim proj M ou encore dh M, t el qu'il existe une résolution proj ect ivè, à gauche, de M de lo n gueu r n. Ceci revient à ce que dh M est le plus peti t n tel que pour tout A-module N, on ai t Ext� (M, N) =0 pour i > n, ou seulement p o ur i = n + 1 . On appelle dimension cohomologique globale de l'a nnea u A, notée dimcoh A , le plus petit n (entier ou + oo) tel
LA COHOMOLOOlE SUR LES ESPACES DE STEIN
23
que dh M � n pour tout A-module M. I l résulte que n est le plus petit nombre tel que pour toute paire de A-modules M et N on ait Ext�(M, N) =O pour i > n, ou bien seulement pour i = n + 1 . Nous supposons maintenant que A est 1un anneau noethérien et que M est un A-module de type fini. On peut alors, dans la définition de dh M, considérer seulement des résolutions projectives avec des modules de type fini. Il en résulte que dh M � n si et seulement si Ext�(M, N) = 0 pour i ;; n + 1 (ou bien seulement pour i = n + 1 ) et pour tout A-module N de type fini (en utilisant la récurrence sur le nombre des générateurs on peut se restreindre en fait aux modules N monogènes). Comme tout tel module N a une suite de composition 0 = N0 c . . . c Nk = N telle que les quotients successifs NdN1 _ 1 soient isomorphes à des modules de la forme A fp , p e Spec A, on déduit : dh M � n si et seulement si Ext�(M, Afp) = 0 pour tout i ;; n + 1 (ou seulement pour i = n + 1) et pour tout idéal p e Spec A . O n va s e restreindre maintenant à u n cas encore plus particulier, lorsque A est local, noethérien, d'idéal maximal m. Alors, un A-module de type fini M est libre si et seulement s'il est projectif, si et seulement si Tort (M, A/m) = 0 ([1 3], Ch. II, § 3, n° 2, cor. 2, prop 5 ; [96] , IV, pro p. 20). De ce qui précède on déduit que dh..M � n si et seulement si Tor1+ 1(M, A fm) = 0 (M étant un A-module de type fini) et que dimcoh A �n si et seulement si Tor1+ 1(A/m, A/m) = 0 (pour la démonstration on utilise les définitions de dh et de dimcoh à l'aide des résolutions projectives ; pour plus de détails on peut consulter [96], Ch. IV). Rappelons qu'un anneau local noethérien A, d'idéal maximal m, ayant pour corps résiduel k = A/m est dit régulier si dim A = dimk m/m1 (en général la théorie de la dimension donne dim A � dimk m/m2). On utilisera essentiellement dans ce qui suit le résultat suivant («théorème de Hilbert-Serre» [96], Ch. IV, th. 9 ou [45], Ch. Om, 17.3. 1 ) : «Soit A un anneau local noethérien. Pour que A soit régulier il est nécessaire et suffisant que sa dimension cohomologique soit finie et on a alors dimcoh A = dim A». Dans ce qui suit on va donner quelques conséquences de ces faits, reliées à la notion de profondeur. LEMME 1 1 0 . Soit A un anneau local noethérien, m son idéal maximal, M un A-module de type fini et x un élément de m. Si x est M-régulier alors ·
.
dh MfxM = dh M + 1 . Démonstration. La suite exacte (induite par l'homothétie par x)
0 fournit la suite exacte Torf (M, A/m)
-+
M -+ M -+ MfxM -+ 0
-+
Torf(M, A/m)
-+
-+
Torf_ I (M, A/m)
Torf(MfxM, A/m)
-+
Torf_ 1 (M, Afm),
24
MÉTHODES ALGÉBRIQUES DANS LES ESPACES COMPLEXES
dans laquelle la première et la dernière flèche sont les homothéties par x. Mais comme x e m, ces deux morphismes sont nuls et donc on obtient la suite exacte 0 -+ Torf(M, A/m) -+ Torf(MjxM, A/m) -+ Tor;4_ 1 (M, A/m)
-+
0,
d'où la conclusion résulte aisément. PROPOSITION 1 . 1 1 . Soit A un anneau local, noethérien, régulier de dimension
n. Alors, pour tout A-module de type fini M, non nul, on a l'égalité
prof M + dh M
=
n.
Démonstration. Par récurrence suivant r = prof M. Si r 0, alors il existe un A-sous-module N de M isomorphe à A/nt ( I .6 (i)). De la suite exacte 0 -+ N -+ M -+ M/N -+ 0 on tire la suite exacte =
Tor1+ 1(M/N, A/m) -+ Tor:(N, A/m) -+ Tor:(M, A/m).
L'hypothèse < 0 et soit x un élément M-régulier, apparte nant à nt. On a prof MjxM = r - 1 ( 1 . 6 (ii)) et db MjxM dh M + 1 (1 . 1 0). Le pas général de la récurrence est maintenant évident. =
Remarque. Dans le cas des modules sur des anneaux réguliers la profondeur est nommée codimension cohomologique et elle est notée codh. La proposi tion que nous venons de démontrer montre que dh + codh = dim A , ce qui justifie cette terminologie. S i B !. A est un m orphisme surjectif d'anneaux locaux noethériens, B étant supposé régulier de dimension n, et si M est un A-module de type fini, non nul, alors profAM = n - dh8M1Pl · Ceci sera utilisé couramment. CoROLLAIRE 1 . 12. Tout anneau local noethérien régulier est un anneau de
Cohen-Macauley.
CoROLLAIRE 1 . 1 3. Soit A un anneau local noethérien régulier et 0 -+ N -+ L -+ M -+ 0 une suite exacte de A-modules de type fini, L étant supposé libre.
Alors, si M n'est pas libre,
prof M = prof N - 1 .
Démonstration. On remarque d'abord que M e t N sont des modules non nuls. L'hypothèse sur M entraîne que db M = d h N + 1 et on applique
la proposition. Nous allons donner maintenant une caractérisation de la profondeur à l'aide des Ext�(• , A), très utile dans les applications.
LEMME 1 . 1 4. Soient A un anneau local noethérien, régulier, M un A-module de type fini et q � 0 un entier. Alors db M � q si et seulement si Ext�(M, A) = 0
pour tout i > q.
LA COHOMOLOGIE SUR LES ESPACES DE STEIN
2S
Démonstration. Par récurrence décroissante suivant q, Comme dh M � = d im A, l'assertion du lemme est évidente lorsque q > dim A. Pour passer de q + 1 à q, supposons que Ext�(M, A) = 0 pour i > q et prouvons que dh M � q (l'autre implication est évidente). On a dh M � q + 1 et soit par absurde un module de type fini N tel que
dimcoh A
Ext?4+ 1(M, N) :F O. On obtient une contradiction à l'aide d'une suite exacte 0 -+ P -+ L -+ N -+ 0 , avec L libre de type fini.
CoROLLAIRE 1 . 1 5 . Soit A un anneau local noethérien, régulier et de dimension n. Pour tout A-module de type fini M et pour tout entier q, prof M > q si et seulement si Ext�(M, A) = 0 pour i � n - q. Donnons maintenant une caractérisation de la dimension à l'aide des
Ext�(•, A).
LEMME 1 . 1 6. Soit A un anneau local noethérien, m son idéal maximal, M et N deux A-modules de type fini, N ayant son support réduit à l'idéal maximal, et q un entier. Alors prof M � q + 1 est équivalent à Ext�(N, M) = 0 pour tout i � q.
Démonstration. Soit 0 = N0 c: N1 c: . . . c: N, = N une suite de compo.. sition telle que les quotients successifs soient de la forme Afp avec p e Supp N. Comme Supp N = {rn}, ces quotients sont en fait isomorphes à A /m . Si prof M � q + 1 alors Ext�(A/m, M) = 0 pour i � q et l'impli cation directe résulte en utilisant les suites exactes en �<Ext» associées aux suites exactes
Démontrons l'implication inverse. On procède encore par récurrence. Considérons d'abord Je cas q = 0 et supposons par absurde que prof M = O. Il existe alors un monomorphisme 0 -+ A/m -+ M et un monomorphisme 0 -+ Hom A/m) -+ Hom..c(N , M), do nc Hom..c(N, A/ m) = 0 ; mais ceci est absurde car il existe une surjection N = N, -+ N,/N, + 1 � A/m. Suppo sons maintenant q � 1 et que l'assertion est prouvée pour q - 1 . On a prof M � q � 1 et soit x e m un élément M-régulier. On tire de la suite exacte 0
-+
x
M-
M -+ MfxM -+ 0
que Ext�(N, Mfx M ) 0 pour i � q - 1 , donc prof(MfxM) � q. Donc = p r o f (Mf xM ) + 1 � q + 1 . Soit A u n anneau régulier et p u n idéal premier d e A . I l résulte du théorème de Hilbert-Serre que l'anneau Ap est encore régulier (car on a dimcoh Ap � di m A !). Dans la proposition suivante on utilise la relation p ro f M
=
dim A
=
dim Ap + d im Afp
26
MéTHODES ALGéBRIQUES DANS LES ESPACES COMPLEXES
dont on trouve une démonstration dans ([96], IV, th. 6), ou dans ([45], Ch. Om, 1 7. 1 .3 et 1 6.5. 10) ou enfin dans le chapitre 2, corollaire 1 .28, lorsque A est un anneau de séries convergentes, le seul cas où l'on applique la proposition 1 . 1 7. PROPOSITION 1 . 1 7 . Soit A un anneau local noethérien, régulier et de dimen sion n. Pour tout A-module de type fini M et pour tout entier q, l'inégalité dim M � q est équivalente à Ext�(M, A) = 0 pour i < n - q. Démonstration. Supposons que Ext� (M, A) = 0 pour i < n - q. Soit p un idéal appartenant à Supp M, minimal pour cette propriété. On a
L'anneau A p est régulier, donc de Cohen-Macauley et prof A p = dim A p = dim A - dim Afp. Il est aisé de vérifier que Supp M p (dans SpecA p) se réduit à l'idéal maximal p A p ; il résulte alors du lemme 1 . 1 6 que prof A p � n - q donc dim Afp � q, d'où il résulte que dim M � q. Démontrons maintenant l'implication inverse, par récurrence suivant q. Le cas q = 0 résulte du lemme 1 . 1 6, car Supp M contiendra tout au plus l'idéal maximal de A, et prof A = dim A = n. S oit maintenant q � 1 et supposons l'assertion prouvée pour q- 1 . On considère une suite de compo sition O =Mo c: M1 c: . . . c: M, = M telle que les quotients M1/M1 _ 1 soient de la forme Afp, p .e Spec A . Il suffit de montrer que Ext�(M1fM1 _ 1 , A) = 0 pour i < n - q et 0 � j � r et d onc on peut supposer que M est de la forme Afp (remarquons que dim M1/M1_ 1 � dim M � q). Si p = m , alors la conclusion résulte de la définition de la profondeur. Dans le cas contrairè, il y a un élément x M-régulier, appartenant à m . Il résulte de la suite exacte Ext�(M, A) _:. Ext� (M, A) -. Ext�+ 1 (MfxM, A), en utilisant l'hypothèse d'induction, que le premier morphisme est surjectif pour i < n - q. Orr finit la démonstration en appliquant le lemme de Nakayama. Nous finissons cette section en considérant une classe remarquable d'anneaux, construite à partir des anneaux réguliers. Un anneau est nommé intersection complète s'il est isomorphe à un anneau de la forme A
/±
1- 1
x1A,
avec A anneau local noethérien régulier et (xl> . . . , x,) une suite A-régulière. PROPOSITION 1 . 1 8 . Tout anneau intersection
Macauley.
Démonstration. Soit B = A
dim B = dim A
-
/±
complète est de Cohen
x1A comme ci-dessus. D'après 1 . 5 et 1 .6, 1- 1 r et prof B = prof A - r. La conclusion résulte de 1 . 12.
LA COHOMOLOGIE SUR LES ESPACES DE STEIN
27
(e) Soient X et Y deux espaces topologiques séparés. Rappelons qu'une application continue f: X -+ Y est finie si c'est une application fermée (T fermé dans X => f(T) fermé dans Y) et si ses fibres f- 1(y), y e Y, sont des . ensembles finis. LEMME 1 . 1 9. Soit f: X -+ Y une application finie et y un point de Y. Si Of est un système fondamental de voisinages pour y, alors f- 1(0fl) est un système fondamental de voisinages pour lafibre f- 1(y). La
démonstration est un simple exercice de topologie.
CoROLLAIRE 1 .20. Soit f: X -+ Y une application finie entre des espaces topologiques séparés. (i) Si � e Ab(X), alors le morphisme canonique
est bijectif pour tout y e Y. (ii) Le foncteur f. : Ab(X) -+ Ab( Y) est exact. (iii) Si cp est un morphisme de Ab(X) tel quef. (cp) soit un isomorphisme, alors cp est un isomorphisme. _
Démonstration. L'assertion (i) résulte immédiatement du lemme et de la définition de f. . Les assertions (ii) et (iii) sont des conséquences évidentes de (i). LEMME 1 .2 1 . Dans les conditions de 1 . 20 les morphismes canoniques n·( Y,f.(N')) -+ H"(X, �).
H;( Y, f.(!i)) -+ H;(X, �)
sont bijectifs. Démonstration. Soit g,• une résolution flasque pour �. Alors f.(81") est une réso lution flasque pour f.(N"). La conclusion résulte des égalités
§ 2. La dualité sur les variétés de Stein Le
premier résultat du paragraphe est le théorème suivant :
THÉORÈME 2. 1 . Soit (X, 6) une variété complexe de Stein de dimension n et U le faisceau de formes différentielles de type (n, 0) sur X à coefficients analytiques. Alors, pour tout faisceau analytique cohérent 5' sur X et pour tout entier q � 0, Ext'éJ- q(X; �. U) possède une structure naturelle d'espace de Fréchet-Schwartz et son dual topoloqique est algébriquement isomorphe à Ht(X, 5').
28
M ÉTHODES ALG ÉBRIQUES DANS LES ESPACES COMPLEXES
La démonstration nécessite quelques préparatifs. Soit (X, e) un espace complexe. Notons Coh(X) la catégorie des faisceaux analytiques cohérents sur X. Si :§' e Coh(X), alors r(X, �) possède une structure natu relle d'espace vectoriel topologique, laquelle est même FS lorsque X est à topologie dénombrable ([46], Ch. VII et Chapitre 7). Rappelons comment on la définit. Nous allons nous borner à considérer le cas de X à topologie dénombrable (c'est-à-dire possédant une base dénombrable d'ouverts). Soit 'tl un recouvrement de X avec une famille dénombrable d'ouverts de Stein «suffisamment petits». Pour chaque U e "t il existe une immersion 1 fermée U -+ V, où V est un ouvert de Stein d'un espace numériq ue. Supposons aussi que le faisceau i.(� 1 U) est le quotient d'un faisceau ey par un sous faisceau cohérent � c: et. Il résulte du théorème B que r(U, �) = r( V, i. (�)) � r( V, et)fr( V, �). Si l'on considère sur r( V, ey) la topologie de la convergence uniforme sur les compacts on obtient une structure d'espace FS. D'après un théorème de Cartan, r( V, �) est un sous espace fermé de r( V, en On a obtenu ainsi sur r( U, �) une structure d'espace FS. L'espace r(X, �) est un sous-espace fermé dans Il r( U, �) et avec la u
e 'lt
structure induite, r(X, �) aura même une structure d'espace FS. On montre que celle-ci est indépendante des différents choix qu'on a faits ; ainsi � devient un faisceau de Fr échet-Schwartz, c'est-à-dire un faisceau tel que pour tout ouvert U, l'espace r(U, �) a une structure FS et pour tout couple d'ouverts V c: U, l'application de restriction F(U, 5) -+ r( V, �) est conti nue. Si � -+ � est un morphisme de faisceaux analytiques cohérents sur X, l'application r(X, 5) -+ F(X, �) est continue pour les topologies que l'on vient d'introduire.
LEMME 2.2. Soient X un espace de Stein, 5 -+ cj un morphisme de faisceaux analytiques cohérents sur X. Alors l'application rex, �) -+ r(X, (j) est stricte.
= Coker (5 -+ cj). De la suite exacte 5 -+ cj -+ X on obtient, d'après le théorème B, la suite exacte d'applications linéaires et continues entre des espaces FS
Démonstration. Soit X
r(X, 5) -+ r(X, (j) -+ rex, X).
Il en résultera que l'image de F(X, 5) dans r(X, cj) est un sous-espace fermé,
d'où la conclusion en appliquant le théorème de Banach. On fera .la convention suivante. Si X est un espace analytique complexe, 1 K c: X un compact, 5 e Coh(X), U un voisinage de Stein de K, U -+ V une immersion fermée où V (;St un ouvert de Stein dans un espace numérique, L un compact de V tel que ;- 1 (L) = K et e� -+ ï.(5) un épimorphisme de faisceaux alors, en prenant le supremum sur L, on obtient une seminorme sur r(V, e�). Par l'intermédiaire de la surjection r(V, ey) -+ r( V, i. (5 )) = r(U, 5) on obtient une seminorme sur r(U, 5) ; la seminorme sur F(X, 5) déduite de celle-ci à l'aide de la restriction r(X, 5) -+ r(U, 5)
LA COHOMOLOGIE SUR LES ESPACES DB STEIN
29
sera nommée une seminorme du type «sup» sur r(X, S). Une telle semi K
norme a la propriété suivante : toute suite de Cauchy par rapport à «sup» K est encore suite de Cauchy pour la restricti dn à r(D, S), chaque fois que 0 D est un ouvert tel que D c K et i(D) c L. La famille <<Sup», pour K comK
pact dans X, est une famille de seminormes qui définit la topologie de r(X, .f"). LEMME 2.3. Soit X un espace de Stein, (U,),;;.1 une exhaustion de X avec des ouverts de Stein relativement compacts. On fait l'hypothèse que les appli cations r(X, é'x) -+ r(U,, é') sont à image dense, r � 1 . Alors, pour tout .f" e Coh(X), le morphisme canonique
lim (r( u,, .f"))' -+ r(x, S:)' r
est bijectif (l'accent indique, comme d'habitude, qu'il s'agit des duaux topo logiques) . Démonstration. Montrons d'abord que les applications de restriction
r(X, S:) -+ r(U,, S:) sont denses. Soit un entier r � 1 . D'après le théo
rème A, il existe un morphisme de faisceaux é'� -+ .f" surjectif sur U,. conclusion résulte aisément du diagramme commutatif suivant :
La
r(x, e_ç.) -+ r(x, .f")
.!.
.!.
r( u., e�) -+ r( u, .f")
dans lequel l'application r( U,, é'!t-) -+ r(U, .f") est surjective d'après le théorème B. Il résulte donc que les applications r(U, S:)' -+ r(X, .f") ' sont injectives, donc le morphisme de l'énoncé est injectif. Montrons la surjectivité. Soit L : r(X, .f") -+ ([: une fonctionnelle linéaire et continue. Il existe une constante IX > 0, un compact K c X et une semi norme Px du type «sup» sur r(X, S) telles que l'on ait IL(s)l � IX Px(s) K
pour tout s e r(X, S:). Pour r suffisamment grand on déduit que L se facto rise par chaque r(U, .f") (on utilise de nouveau le fait que les applications r(X, .f") -+ r(U,, S:) sont à image dense !). LEMME 2.4.
canonique
Soit X un espace de Stein et .f", I!J e Cob(X) . Alors le morphisme
Ext�(X;
�.
�) -+ r(X, Ext MS: , l!j))
est bijectif pour tout q � O. Démonstration. Il existe une suite spectrale qui converge vers Extë,(X; .f" ,
30
MÉTHODES ALGÉBRIQUES DANS LES ESPACES COMPLEXES
les el-modules Exté;,(!f, <j) sont cohérents, il résultera du théorème B que EC· 11 = 0 pour tout p � 1. La conclusion résultera alors des propriétés des suites spectrales. Remarquons que l'on pourrait éviter de faire intervenir la suite spectrale en appliquant directement le lemme 1 . 1 (d'après la section (b) du § 1 ). Le lemme permet de considérer des topologies FS sur les Ext�(X; �, <j) avec q � 0 entier arbitraire. En particulier on obtient les topologies qui interviennent dans le théorème. LEMME 2.5. Soit X une variété de Stein de dimension n et � e Coh(X). Alors H�(X, �) = 0 pour q > n. Démonstration. Soit ( U,),;; 1 une exhaustion de X avec des ouverts de Stein relativement compacts. On a H�(X, �) � lim H%( U,. .g;). Il suffira de mon,
�
trer que H�( U, •> = 0 pour q > n et U c c X ouvert de Stein. Le faisceau � a sur U une résolution finie avec des faisceaux localement libres de rang fini. En raisonnant par récurrence suivant la longueur de ces résolutions on peut se ramener au cas o ù � est de plus localement libre. Soit 0
-+
d" d" el -+ $ -+ $0ol -
•
,
•
-+
$0 •11
-+
O
la résolution de Dolbeault avec des formes différentielles de classe C"'. En appliquant à cette résolution ® e � on obtient une résolution pour � :
Les faisceaux � ® e�0• * sont mous (en tant que modules sur le faisceau des germes de fonctions C"' sur X). La conclusion résulte alors du fait que H;(X, �) sont les groupes de cohomologie du complexe rc(X, � ® e tl0· * ). LEMME 2.6. Soit (X, el) une variété de Stein de dimension n et f un faisceau libre de rang fini. Alors H�(X, f) = 0 pour q =!= n et H�(X, f) est isomorphe au dual topologique de Home (f, 0), ce dernier étant muni de la topologie FS qui a été définie sur le module des sections d'un faisceau analytique cohérent, Home(f, .Q) = r(X, Home(f, .Q)). On a aussi que les isomorphismes de dualité sont compatibles avec les el�morphismes entre faisceaux libres de rang fini. Démonstration. Soit
0 -+ et
.a
-+
d"
d"
tl'· 0 -+ 6"• 1 -+
•
•
d"
. -+ ,... Il
-+
0
LA COHOMOLOGIE SUR LES ESPACES DE STEIN
31
les résolutions d e Dolbeault-Grothendieck de 0 (respectivement d e e) avec des formes différentielles à coefficients C""(respectivement distributions). Le faisceau f étant de la forme eP on en déduit les résolutions
.
.
.
d"
__. Home( f , S"· ") -+ 0,
d"
0 -+ f -+ f ® e �o�o __. f ® e �o , 1
d"
__.
•
•
•
d"
-
f ® e�o . " -+ O.
Les faisceaux Home(f, S"· *) et f ® e �0• * sont mous (ce sont des modules sur le faisceau des germes de fonctions C"" sur X). Il en résultera que les invariants n·cx, Home(f, .Q)) sont les groupes de cohomologie du com plexe r(X, Home(f, S•· *)) = Hom e ( f , S"· *) et que les invariants H;(X, f) sont les groupes de cohomologie du complexe re(X, f ® e � 0• *). Le complexe r( X, $"• *) est FS et son dual topologique est isomorphe à rcCX, 81C0• *) (l'iso morphisme change le degré q en n - q). Comme f est de la forme eP, il en résulte facilement que Home(f, S"• *) est un complexe FS et que son d ual topologique est isomorphe à re<X, f ® e.;J{ 0 • *). La topologie FS que l'o n obtient sur Ho m e (f , .Q), co m m e noyau de l'application Hom e(f , :l"· 0) '!: H o m e(f , �"· 1), coïncide avec celle définie au début du paragraphe (il résulte imméd i at em e n t q u ' el le est plus fine que cette dernière et les deux sont des t opo l ogi es de Fréchet !). La conclusion du l e m :n e résulte alors aisément du théorème B et de 1 . 3 .
Démonstration du théorème 2. 1 . Nous allons munir les invariants Exté,(X; � , .Q) de la topologie F3 donnée par l e lemme 2.4 et nous allons montrer que celle-ci vérifie le théorème. On fait d'abord l'hypothèse supplémentai re : • a une résolution (non nécessairement fi ni e !) , , , -+ f2
-+
f l -+ fO -+ �
-+ 0
avec des faisceaux libres de rang fini. Considérons alors le complexe .
•
.
-+ 1/�(X, f2) -+ H;(X, f 1 ) -+ H;( X, f0) -+ O .
D'après le lemme 2.6, Hg(X, f1) 0 pour tout i et q :1: n, et do n c H�(X, �) s'identifie au groupe d'homologie en dimension n - q de ce complexe : cette assertion se justifie aisément par récurrence descendante suivant q en utilisant les faisceaux �1 = Coker (f1 + 1 -+ fi), i � O. Considérons maintenant le complexe =
( ** )
.
.
•
+-
Ho m e(f2 , .Q) +-_ Hom e(ft, 0) +- Hom e(f0 , Q}
+-
0.
MÉTHODES ALGÉBRIQUES DANS LES ESPACES COMPLEXES
32
Les groupes de cohomologie de ce complexe s'identifient à Extë, (X; f!i, .Q). Il résulte du lemme 2.6 que ( • • ) est un complexe FS et que son dual topo logique est algébriquement isomorphe à ( • ) . Du lemme 2.2 il résulte que les applications de (**) sont strictes. Il résulte alors de 1 .3 que H!(X, f!i) est algébriquement isomorphe au dual t opologique de Extê- q(X; f!i, .Q), ce dernier muni de la topologie FS déduite de ( * * ). Les faisceaux d'homologie du complexe .
•
•
+-
Home; (f.2, Q)
+-
Home(�1, .Q) +- Home;(f0, .Q)
+-
0
coïncident avec Ext"eJ(f!i, .Q). On en déduit facilement, en utilisant le lemme 2.2, que la topologie sur Ex tf,- q(X; S:, Q) déduite de ( **) est identique à celle déduite de ExtêJ- q(ft', Q) à l 'aide du lemme 2.4. Le théorème est donc démontré, sous l'hypothèse supplémentaire portant sur f!i . Passons maintenant au cas géné ral. Soit ( U,),.,. 1 une exhaustion de X avec des ouverts de Stein relativement compacts, tels que les applications de restriction rex. e>) __. r( u, e>) soient à image dense, pour tout r ;;<; 1 . O n a les isomorphismes naturels H!(X, ft') q ;;<; 0
�
lim
--
H!(U, f!i),
r
étant un entier arbitraire. D'après les lemmes 2.3 et 2.4, on a aussi les isomorphismes naturels ( Extê- q(X ; f!i, .Q))' =+ lim(Extë- q( U, ; f!i , !2))'. -· r
Chaque U, étant un ouvert de Stein relativement compact, t'il U, admet une résolution avec des faisceaux libres de rang fini. Pour conclure il suffira de montrer que les isomorphismes déjà construits
sont compatibles avec les morphismes d onnés par les inclusions u, c ur + l· Ceci sera démontré dès que l'on aura prouvé que les isomorphismes
construits sous l'hypothèse supplémentaire sur f!i, ne dépendent pas du choix de la résolution. Soient donc f' --. f!i et f'' --. f!i deux telles réso lutions. L'espace X étant de Stein on déduit aisément que f' et f" sont homotopes (au-dessus de f'i). La conclusion résulte alors du lemme 1 .3 et du lemme 2.6. Le théorème est démontré.
LA COHOMOLOGIE SUR LES ESPACES DE STEIN
33
COROLLAIRE 2.7. So it (X, 8) une variété de Stein de dimension n et g; un faisceau localement libre de rang fini sur X. Alors H�(X, §") =0 pour q =F n et H�(X, g;) est algébriquement isomorphe au dual topologique de Hom e(cf", Q) � y r(X, g; ® eQ). COROLLAIRE 2.8. Soit (X, 8) un espace de Stein et U c X un ouvert de Stein tel que l'application de restriction r(X, 8) .. r(U, 8) soit à image dense. Alors, pour tout l!f e Coh(X) et pour tout entier q � 0, les applications naturelles
Hg(U, g;) .. H%(X, g;) sont injectives. Démonstration. Soit (U,),;;.1 une exhaustion de U avec des ouverts de Stein relativement compacts, tels que les applications F( U, 8) .. F(U., 8), r � l , soient à image dense. Comme Hg(U, g;) � lim H�( U., l!f), il suffit de r
montrer que chaque application H%(U., g;) .. Hg(X, g;) est injective. Autrement dit on peut supposer dès le début que U est relativement compact. Soit maintenant (U,),;;. 1 une exhaustion de X avec des ouverts de Stein relativement compacts, tels que les applications r(X, 8) --. r(U., 8) soient à image dense, r � 1 , et avec U1 U. Il suffit de montrer que chaque application H%(U, g;) --. H%(U., g;) est injective. De cette façon on peut supposer de plus, dans l'énoncé du corollaire, qu'il existe une immersion 1 fermée X -+ Y, Y étant une variété de Stein. En utilisant à nouveau une exhaustion convenable pour U on peut supposer qu'il existe un ouvert de Stein relativement compact V dans Y tel que V ni(X) i( U) et que l'appli cation r( Y, 8r) --. r( V, 8 r) soit à image dense. On est donc ramené à prouver le corollaire sous l'hypothèse supplé mentaire que U c c X et que X est une variété de Stein. La conclusion résulte du théorème 2. 1 et du fait que les applications Ext"(X; 5 , .0) r(X, Ext " (l!f , .0)) --. Ex f( U; l!f, .0) T(U, Ext"(g;, .Q)) sont à image dense. =
=
=
=
Remarque. D'après la manière dont ils ont été construits, les isomorphismes du théorème sont fonctoriels en l!f, compatibles avec les suites exactes courtes et avec les restrictions données par les inclusions U c X, U ouvert de Stein. D'ailleurs au Ch. 7, dédié à la dualité analytique, on montrera que les isomorphismes de dualité se définissent naturellement à l'aide de l'application de Yoneda et celle de «trace». L'énoncé 2. 1 sera suffisant pour les applications que l'on donnera dans ce chapitre. Le résultat suivant améliore le théorème 2. 1 .
(X, 8) une variété complexe de dimension n, Kc X un ensemble compact de Stein, .Q le faisceau de germes de formes différentielles de type (n, 0) à coefficients analytiques. Alors, pour tout faisceau
THÉORÈME 2.9. Soit
34
MtTHODES ALO tlJUQUES DANS LES ESPACES COMPLEXES
analytique cohérent W et tout entier q � 0, l'espace Extë,- q(K; 8' , Q) a une structure naturelle d'espace DFS et son dual topologique est algébriquement isomorphe à H'k(X, W). (Par définition Extë(K; IF, Q) = Ext;ê 1x(K; a' I K, t21K).) Quelques préparatifs sont nécessaires pour la démonstration. Rappelons qu'un ensemble compact d'Un espace com plexe est dit être un compact de Stein s'il possède un système fondamental de voisinages . de Stein (par exemple tout compact holomorphiquement convexe d'un espace de Stein). Soit X un espace complexe, K c: X un compact de Stein et W e Cob( X). Il existe un système fondamental dénombrable de voisinages de Stein U, de K. Donc F(K, IF) = lim r( U., IF } et sur r(K, 8' ) on prendra la topologie -r
limite inductive dans la c::ttégorie des espaces vectoriels topologiques loca lement convexes. On introduit maintenant une autre t opolog ie de la manière suivante. On peut supposer, en remplaçant éventuellement X par un voisinage con' venable de K, qu'il existe une immersion fermée X -+ Y, où Y e st un ouvert de Stein d'un espace numérique, et aussi qu'il existe un épim orphisme de é>y-modules él� -+ i.(IF) -+ O. On déduit du théorème B une surjection F(i(K) , él�) -+ F(i(K), i.(W)) = r(K, W). Mais r(i(K), e�) a une structure naturelle d'espace DFS (§ 1 , (c)) e t on munit r(K, 8') de sa topologie quotient. On vérifie facilement que cette topologie coïncide avec la topologie limite inductive considérée ci-dessus en utilisant les définitions de ces topo logies et le fait que la topologie sur cha qu e F( Ur, IF) coïncide avec la topo logie quotient sur F( i( Ur) , é>y).
PROPOSITION 2. 10. Soit X un espace complexe, K c: X un compact de Stein et W e Coh(X). La topologie sur T(K, IF) construite ci-dessus est de type LF et DFS. Elle est aussi indépendante des différents choix que l'on
a faits.
Démonstration. Soit x e X un point arbitraire. Pour tout entier n � 0, Wxfm;w" est un élx/m� -module de type fini , donc un ct-espace vectoriel de dimension finie. On y considère la topologie séparée d'espace vectoriel topologique. Soit U un ouvert contenant le point x. Montrons que l'application composée
r(U, IF) -+ IF" -+ IFxfm ;IF"
est continue. On peut supposer que U est un ouvert de Stein et qu'il existe une immersion fermée U � V, o ù V est un ouvert de Stein d'un espace numérique , tel que i.(W I U) soit le quotient d'un faisceau ee. La conclusion résultera du diagramme commutatif r( V, é>t) -+ r( V, i.(IF I U)) ,J.
=
r(U, 8') -+ 0 ,J.
�. ltxl /mfcx> et , ltx l -+ W,./m;wx
LA COHOMOLOGIE SUR LES ESPACES DE STEIN
3S
car r( U, �) est muni de la topologie quotient de T( V, ee) et la première flèche verticale est évidemment continue. Si x e K on a donc montré que les applications T( U, �) --. §xfm 'i§ sont continues pour tout n � 1 et par con�équent il en est de même pour les applications r(K, §) --. §,cfmZ�x · Il résultera du théorème de Krull que l'application continue T(K,
§) - II err §x/m :�x) x e K n ;;. o
est injective et donc T(K, §) sera séparé. La topologie sur T(K. §) est maintenant LF et DFS d'après la manière dont elle a été définie. Son indé pendance des différents choix qui ont été faits s'obtient facilement en utili sant le théorème de l'application ouverte pour les espaces DFS (ou pour les espaces LF). La proposition est démontrée. Un cas remarquable est cel ui de K réduit à un point. La topologie ainsi obtenue est appelée la topologie canonique ou la topologie de la con vergence uniforme sur les voisinages [41], [52]. LEMME 2. 1 1 . Soient X un espace complexe, K c X un compact de Stein et § --. <'f un morphisme dans Cob( X). A lors l'application T(K, §) --. T(K, <'J) est continue et stricte. Démonstration. La continuité résulte facilement de celle des applications T( U, §) --. T( U, <'J), U voisinage de Stein de K. Pour montrer la seconde assertion on procède comme au lemme 2.2.
LEMME 2. 1 2. Soient (X, él) un espace complexe, K c X un compact de Stein et § , <'f e Cob(X). Alors pour tout q � 0 il existe un isomorphisme canonique Ext�(K;
�. <'J) -=+ T(K, Ext M�. <'J)).
Démonstration. Le morphisme canonique
est un isomorphisme ; ceci peut être prouvé, soit en passant aux fibres, soit en calculant les foncteurs Ext à l'aide d'une résolution avec des faisceaux libres de rang fini pour § au voisinage de K, dont l'existence est assurée par les hypothèses faites. Le morphisme de l'énoncé est donné par cet iso morphisme et par le morphisme
de passage des préfaisceaux aux faisceaux associés. Il y a une suite spectrale de terme Eft• q = H'(K, Ext$ K(§ I K,
36
MÉTHODES ALGÉBRIQUES DANS LES ESPACES COMPLEXES
le théorème B montre que la suite spectrale est dégénerée et la conclusion du lemme en résulte. Le lemme permet de définir une topologie DFS sur chaque Ext�(K; fi, �). LEMME 2. 13. Soit X un espace paracompact à base dénombrable, K c: X un compact et fi un faisceau de groupes abéliens sur X. Alors le morphisme canonique
Hq(X""-. K; tf) -+ lim Hq(X""-. U, fi ) U ::J K
est un épimorphisme pour tout q. Si on suppose en plus que les applications de restriction Hq - I(X, fi) -+ Hq 1(X""-. U, 5) sont surjectives pour tout ouvert U appartenant à un système fondamental de voisinages de K, alors ce morphisme est un isomorphisme. Démonstration. On considère une résolution 8!(.' de § IX""-.K avec des faisceaux injectifs (ou mous !), qui permet le calcul des invariants H'(X""-.K, tf) et H'(X""-. U, fi), U voisinage de K. On choisit un système fondamental dénombrable ( U,), .,. 1 pour K (respectivement un système vérifiant l'hypothèse supplémentaire ! ). Les applications F(X""-. U, + I> &>t')-+F(X""-. U, S!t') sont sur jectives, r � 1 . La conclusion du lemme résulte facilement d'un raisonne ment élémentaire sur les systèmes projectifs en utilisant un diagra mm e convenable. Démonstration du théorème 2.9. Le problème étant au voisinage de Kon peut supposer X de Stein. Nous allons considérer les invariants Exté,(K; fi, 0) munis des topologies DFS données par Je lemme 2. 1 2 et la proposition 2.10. Il existe un m orphisme canonique (donné par la restriction)
Hl(X, fi) -+ lim H:(U, fi), U ::J K
où q � 0 est un entier arbitraire. L'ensemble K étant un compact de Stein, la limite projective peut être supposée indexée suivant un système fonda mental dénombrable de voisinages de Stein relativement compacts U de K. D'après Je théorème 2. 1 , chaque «:-espace vectoriel Extê- q(U; fi, 0) possède une structure naturelle FS, pour laquelle Je dual topologique est algébri quement isomorphe à H�(U, §). De plus ces isomorphismes sont com patibles avec les applications induites par les inclusions U' c: U. On obtient ainsi un isomorphisme naturel lim H�( U, fi) � lim(Extë,- 9( U; fi, 0))' � (Extë,- q(K; fi, 0))',
-
U ::J K
,._
U ::J K
LA COHOMOLOGIE SUR LES ESPACES DE STEIN
37
le dernier isomorphisme étant une conséquence des lemmes 2.4, 2. 1 2 et des topologies considérées. On obtient par composition avec ( • ) Je mor phisme suivant ( n) pour tout entier q � O. Ces morphismes sont fonctoriels en � et compatibles avec les suites exactes courtes. Les applications (* *) sont bijectives si et seulement si les applications ( • ) sont bijectives. En utilisant ce fa i t on peut supposer dans la suite que X est un espace numérique. Montrons d'abord que ( u ) est un isomorphisme lorsque en plus � est supposé -localement libre. Pour cela il suffit de montrer que ( •) est un isomorphisme. Le cas q · 0 est évident. Pour q = 1 on utilisera les suites exactes o -+ rKcx, �> = o -+ rex. �> -+ T(X '\. x, g;> -+ nk(x, �>
-+ o
0 -+ r,(U, �) = 0 -+ r(X, �) -+ r(X""'U, �) -+ H�(U, � ) -+ 0
crK(X, �) et r,(U, �) sont des sous-espaces de r.,cx, �). qui est nul d'après le corollaire 2.7). En prenant la limite projective (que l'on peut supposer prise suivant une famille dénombrable d'indices) on obtient aisément la suite exacte
0 -+ r(X, �) -+ lim r(X""'U, �) -+ lim Hi(U, �) -+ O. U =:J K
U =:J K
L'application de restriction r(X""'K, �) -+ lim r(X""' U, �) étant bijective, -
U =:J K
la conclusion recherchée en résulte. Supposons maintenant q � 2. On a les suites exactes
. . . -+ H9- 1(X, �) -+ H9 - 1(X""'K, �) -+ H'l(X, �) -+ H9(X, g;) -+ . . . . . . -+ H9- 1(X, �) -+ H9 - 1(X""' U, �) -+ Hl(U, �) -+ H9(X, �) -+ . . .
La conclusion pour q ::/= n + 1 résulte du lemme 2 . 1 3 , en utilisant le corollaire 2. 7. Il nous reste à montrer que H�+ 1(X, �) = O. Pour cela il suffit de mon trer que l'espace nn(X'\.K, ê>) � H�+ 1(X, e>) est nul. Dans ce but on utilisera les propriétés du Laplacien [65]. Soit co = oc dz1 A . . . A dzn une forme de type (0, n) sur X".K à coefficients cao ; il existe une fonction p de classe cao sur X". K tel que _!_ L1P = � azp _ = oc, donc la forme ro égale à 4 ; ôz,ôz , ôP 1 dz1 A . . . A dz 1 A . . . A dzn vérifie d"ëô = ro . On peut donner � (- 1 )1+ ôz,
MÉTHODES ALGÉBRIQUES DANS LES ESPACES COMPLEXES
38
aussi un autre argument, utilisant les hyperfonctions (Schapira [85], Ch. IV), pour montrer que H"(X""'-K, él) O Prouvons maintenant que ( * *) est un isomorphisme dans le cas général 8' e Coh(X). En remplaçant X par un voisinage convenablement choisi de K (notons que les invariants considérés ne changent pas), on peut supposer que 8' admet une résolution finie avec des faisceaux localement libres de rang fini. En utilisant une récurrence porta nt sur la longueur de ces réso lutions, il reste pour finir la démonstration, à prouver l'affirmation suivante : Si =
.
est une suite exacte dans Cob(X) et si le morphisme ( * * ) est un isomorphisme pour tf et �. alors il en est de même aussi pour �. On a les suites exactes . . . -. H1(X, tf) --. Hl(X, <j) --. Hl(X, X) --. H7/ 1 (X, tf ) --. Hr 1(X, éj)-. . . . ,
. . . +-Extê-q(K; !f , Q)
+-
+- Extë-q- 1 (K; tf , Q)
Extê
+-
q (K; éJ, Q)
+-
ExtêJ- q(K;
Extë,- q- 1 (K; �. Q) +-
�.
Q)
+-
. . .
Les applications qui figurent dans la seconde suite sont strictes, d'après
2. 1 1 et 2. 1 2. E n utilisant 1 .4, en passant au dual (topologique) on obtient
une nouvelle suite exacte. On finit la démonstration en appliquant le «lemme des cinq» . Il ressort facilement de la démonstration que les dualités de 2. 1 et 2.9 sont compatibles avec les applications naturelles Hx(X, tf ) --+ H;(X, 8'), Ext8(K; tf, D)
+-
Extë(X, tf, Q).
Remarques. 1 ) On a utilisé le fait su ivant : si X est un ensemble analy tique dans un (1: ", alors tout compact de Stein de X est un compact de Stein dans (1: ". Ce fait n'est pas tout à fait fa c i le à prouver. Si l'on veut éviter ce résultat, on doit se borner à considérer seulement des couples (X, K), où X est un espace de Stein et K un compact holomor
phiquement convexe. 2) Si X = (1:" et si K = K1 x . . . x K, est un polycompact, alors il n'est pas nécessaire d'appliquer les propriétés de l'opérateur de Laplace. En effet, le fait que est nul résulte alors du fait que l'on peut recouvrir X". K par n ouverts de Stein, U1 {z e
Cette remarque sera utile par exemple dans le cas des coroll aires 2. 1 5,
2.2 1 , 3.3.
LA COHOMOLOOIE SUR LES ESPACES DE STEIN
39
Donnons maintenant quelques conséquences immédiates des théorèmes
2. 1 et 2.9.
CoROLLAIRE 2. 1 4. Soit X une variété comP.Iexe de dimension n, K c X
un ensemble compact de. Stein et � un faisceau localement libre de rang fini sur X. Alors Hj:(X, S:) 0 pour q :1= n et HR,X, S:) est isomorphe v (algébriquement) au dual topologique r(K, S: ® e .Q). =
CoROLLAIRE 2. 1 5. Soit (X, e>) une variété comp/exe de dimension n, S:e Cob(X) et x un point de X. Pour tout entier q � 0 le dual topologique du module analytique Extê: 9{S:.x , él%), muni de la topologie canonique, est isomorphe algébriquement à H1(X, S:) ; (ici H;(X, !f) = Ht'x}(X, !f) sont les groupes de
cohomologie de S: à support dans {x}).
CoROLLAIRE 2. 1 6. Soit X un espace complexe, Kc X un ensemble compact
de Stein et !f e Cob{X). Alors le morphisme canonique H1(X, !f) --+ lim H�(U, S:) +
U -:J K
est un isomorphisme, pour tout q � O.
Démonstration. Si X est une variété l e fai t a été prouvé a u cours de la démonstration de 2.9 (et résulte facilement a posteriori des dualités données par 2. 1 et 2.9). Comme nous pouvons remplacer X par un voisinage de K qui soit de Stein, on est ramené, par une immersion convenable, du cas général au cas des variétés. COROLLAIRE 2. 1 7. Soit X un espace de Stein , Kc X un compact holo morplziquement com•exe et Y e Cob(X). Alors les morphismes canoniques
H'J(X, Y ) --+ H�(X, Y ) sont injectifs pour q � O. Démonstration. Lorsque X est une variété de Stein, les théorèmes 2. 1 et 2.9 fournissent les isomorphismes
Mais ExtëJ- q(X; S: , .0) c: r(X, ExtêJ- q(Y , .Q)) et Ext;;-q (K; S: , .0) � r(K, ExtêJ 9(Y , .0)) et le corollaire résulte du fait que pour tout X e Cob{X) l'application r(X, X) --+ r(K, X) est à image dense. Dans le cas général, on considère une exhaustion (U,), > 1 de X avec des ouverts de Stein relativement compacts, contenant K et plongeables dans des espaces numériques. On a Hg(X, Y) � lim Hg(U,, !f) et il suffit -
40
M ÉTHODES ALGÉBRIQUES DANS LES ESPACES COMPLEXES
donc de démontrer le corollaire pour les ouverts U" et, dans ce cas, on peut se ramener, par des immersions, au cas des variétés. Soit maintenant X un espace complexe à base dénombrable et tf e Coh(X) . Rappelons comment on introduit des topologies sur les in variants H'(X, tf) ([46], ou bien Ch. 7). Soit 'lt un recouvrement dé nombrable de X par des ouverts de Stein. On a un isomorphisme canonique H'('tl, 9'")� H'(X, tf). Si l'on considère sur chaque r(U, tf) (avec U ouvert arbitraire de X) la topologie FS usuelle, alors C'('t, §) devient un complexe FS et donc, en passant à la cohomologie, on obtient une topologie (qui généralement n'est pas séparée) sur H'(X, tf). On montre que cette topologie est indépendante du recouvrement '\l. Pour U ouvert de X on montre que les applications H'(X, tf) -+ H '(U, tf), induites par les restrictions, sont continues. Si tf -+ <'J est un morphisme de faisceaux cohérents il en résulte que les applications H'(X, tf) -+ H' (X, <'J) sont continues. On peut aussi montrer que, pour toute suite exacte 0 -+ tf ' -+ tf -+ tf" -+ 0 dans Coh(X), les applications «cobord» Hq(X, §") -+ Hq+ 1(X, tf') sont continues (la démonstration est aisée si l'on utilise la suite exacte de complexes FS 0 -+ C'('ll, tf ') -+ C'('ll, tf) -+ C'('\t, § ") -+ 0 et la construction de l'application cobord , '\l étant un recouvrement dé nombrable de X avec des ouverts de Stein). LEMME 2. 1 8 . Soient X un espace complexe séparable, tf -+ � un morphisme dans Co b(X) et q � 0 un entier. Si l'application H q(X, tf ) -+ H q(X, <'J) est surjective, elle est stricte. Démonstration. Soit "tl un recouvrement dénombrable de X avec des ouverts de Stein. On considère le diagramme commutatif zq('l , tf) e c9- 1('l, �) .. zq('lt, �) J.
J.
Hq(X, tf) � Hq('ll, tf) -+ H q(tU , �) � Hq (X, �)
avec les notions usuelles et où les m orphismes s'obtiennent ainsi : la première flèche horizontale est donnée par la somme des applications canoniques zq('\t, tf) -+ zq('lt, � ) et C9- 1('ll, �)-+ Zq('lt, �). la première flèche verticale est la composition de la projection sur zq('\t, tf) aveè l'application de passage au quotient zq('ll, tf)-+Hq('l, tf) et les flèches zq('\t, �)-+ Hq('lt, éj) et Hq('l, tf) -+ Hq('lt, �) sont les morphismes canoniques. L'hypothèse montre que la première flèche horizontale est surjective (et évidemment continue !), donc stricte, d'après le théorème de Banach. La conclusion en résulte immédiatement.
THÉORÈME 2. 1 9. Soit X un espace de Stein, K c X un sous-ensemble compact de Stein et tf un faisceau analytique cohérent sur X. Alors les espaces topologiques H ' (X"". K, tf) sont séparés.
LA COHOMOLOGIE SUR LES ESPACES DE STEIN
41
Démonstration. r(X "" K, S') étant séparé, il faut démontrer seulement que les espaces H9(X"- K, S') le sont aussi, pour q � 1 . On a la suite exacte TI en résulte alors qu'il existe un isomorphisme canonique H9(X ""- K, S') � H'Jc+ l (X, S') quel que soit q � 1 . Soit U un voisinage de K qui soit de
Stein et relativement compact. On obtient aussi l'isomorphisme canonique H'( U ""-K, S') � Hf+ 1 (U, S') et, comme H 'Jc+ 1 (U, S') � Hf+ l (X, S'), on en déduit que l'application naturelle
est bijective, q � 1 . En plus cette application est continue. Si les espaces H9(V""-K, S') sont séparés, il en sera de même pour les espaces H9(X""-K, S'). Il suffira donc de prouver le théorème pour U. Par une immersion on se ramène au cas des variétés. On peut donc supposer X variété de Stein et soit n sa dimension. Alors. Extë,- 9- 1 (K; S', Q) a une structure DFS et son dual topologique est algé briquement isomorphe à H'k+ l (X, S'). On va considérer sur H'I/ 1 (X, S') la topologie forte de dual, qui est une topologie FS car les espaces FS sont réflexifs. Nous allons m ontrer que l'application canonique H9(X""- K, S') -+ Hf+ I(X, a') est continue pour tout q ; comme elle est bijective pour q � 1 et comme H'f/ 1 (X, S') est séparé, il en résultera que H9(X ""-K, a') l'est aussi, ce qui achèvera la démonstration. Considérons d'abord le cas où a> est localement libre. Dans un voisinage de Stein U de K on considère une suite exacte de la forme
L'application H 9 (X""- K, a') -+ H'f/ 1(X, a') est la composée des appli cations H9(X "" K, a') -+ H9( U"" K, a') -+ Hf/ 1 ( U, S') � H'Jc+ 1(X, S') . On peut donc remplacer X par U, donc supposer que la suite exacte considérée est définie sur X. Comme cette suite est scindée en chaque point, la suite 0 -+ Hom (� , (!])
-+
Hom(a' , cS') -+ Hom(a', S') -+ 0
est exacte. D'après le théorème B, on a H1(X, Hom (a', (!])) a la suite exacte 0 -+
H om(S' ,
=
0 et donc on
�) -+ Hom(S' , êP) -+ Hom(§ , S') -+ O.
Il existe donc un morphisme S' -+ cSP tel que, composé avec le morphisme eJP -+ a> , on obtienne l'identité. On est donc ramené à démontrer la conti nuité des applications H9(X""-K, S')-+H'Jc+ 1 (X, a') avec l'hypothèse supplé-
42
MÉTHODES ALGÉBRIQUES DANS LES ESPACES COMPLEXES
mentaire : le faisceau Sô est un facteur direct d'un O. Il en résulte facilement que H§+ 1(X, Sô) est un sous-espace fermé de Hj+ 1(X, él:P). En utilisant le diagramme commutatif Hq(X""-. K, Sô) �
-+
Hq(X""-. K, é')
H'/t 1( X, �) �
HJ+ l (X, é')
-+
donné par le morphisme § -+ él', on se ramène à montrer la continuité des applications Hq(X""-.K, �)-+ Ht-+1(X, 3') pour § é)P et donc, grâce à l'additivité, au cas § él. On a Hk(X, él) = 0 pour i ::;: n et H'K(X, e) est le dual topologique de l'espace Q( K). Il faut donc prouver la continuité de l'application =
=
H"- 1 (X""-.K, él )
-+
Hfc(X, él).
Rappelons que la topologie sur H" - 1(X ""-. K, él) coïncide avec· la topologie induite par le complexe de Dolbeault (cf., par exemple, ch. 7). •Pour U ouvert de Stein de X, on sait que H�( U, él) est isomorphe (algé briquement) au dual topologique de l'espace n u, .Q) ; muni de la topologie forte H;( U; él) devient un espace DFS. Soit ( U,),;; un systèm� fondamental de voisinages de Stein pour K, tels que U, + 1 c c U, pour tout r. O n a l'isomorphisme d'EVT localement convexes
r(K, .Q) � lim r( U, .Q). -
,
Par passage au dual fort topologique on obtient un isomorphisme topo logique Hi(.X, él):: Iim Hg( U, él), -E r
en utilisant le fait que chaque ensemble borné de r(K, .Q) est l'image d'un borné d'un r( U, .Q). Il suffit donc de montrer que, U étant un voisinage de Stein relativement compact de K, le morphisme canonique
est continu. Nous allons exvliciter ce morphisme à l'aide de la résolution de Dolbeault. Considérons deux ouverts U', U" tels que K c U' c: c U" c c U et choisissons fP e C""(X), fP étant identiquement nulle sur U' et identi quement égale à 1 sur X""-. U". Considérons une suite Ç, de cycles de vers un cycle e E r(X""-.K, $0 • " - 1). O n doit r(X""-.K, $0· " - 1") convergeant " montrer que c5(Ç,;) -+ c5(Ç), où «" » désigne la classe de cohomologie associée.
LA COHOMOLOGIE SUR. LES ESPACES DE STEIN
43
Les éléments d"(q>Ç,), d"(q>Ç) appartiennent à t(X, �o.n) et ont leurs supports dans l'adhérence de U" ; ce sont donc des éléments de rc< U, �04. Le mor phisme est le composé des morphismes H"- 1(X"'-.K, 8) -+ H"- 1(X"'-. U, 8)-+ n:(u, 8), la première flèche étant la restriction, et la seconde l'application «cobord». Cette dernière peut être construite à partir de la suite exacte de complexes 0 -+ rc(U, $0• *) -+ t(X, $0• *) -+ T(X"'-. U, &0• * ) -+ 0,
reliant les invariants H;(U, 8), n·(x, 8), n·cx"'-. U, 8). II en résultera que " ()(Ç,), ()(Ç) représentent les classes de cohomologie associées aux éléments d"(q>Ç,.), d"(q>Ç) et la conclusion en résulte aisément . Passons maintenant au cas général . Nous allons donc prouver que pour tout faisceau !1 e Coh(X) les applicatio ns Hq(X"'-.K, !1) -+ Hf+ l(X, !1)
sont continues. Nous allons utiliser la récurrence suivant prof !1 = inf (profe" !1"), le cas prof = n étant déjà traité . On peut supposer qu'il
.x ex
existe une suite exacte
0 -+ <j -+
8"o
-+ !1 -+ o .
D'après 1 . 1 3 il en résulte que prof <j = prof !1 + 1 (pr o f !1 < n) . Le dia gramme suivant .•.
-+Hq(X"'-.K, 8"•) -+ Hq(X"'-.K, !1 ) -+ HH 1(X"'-.K, �)-+ HH 1(X"K, 8"•) -+ . . .
( •) • . •
--+
l
l
l
1
H'// 1 (X, 8"•) � Hfc+ 1 (X, !1) --+ H1+2(X, �) � H!/2(X, 6"•) �·
.• .
est commutatif (m od ul o le signe !). Les flèches horizontales y sont co n ti nues , et celles de la seconde ligne sont mêmes strictes (cette ligne é t ant une suite exacte d'espaces FS). Soit q "'- n - 2 ; on a Hj+ 1(X, ê"•) = 0 d ' ap rès 2. 1 4 et l'assertion à dé m ont rer résulte du diagramme ( • ) en appliquant l'hypothèse de récurrence. Si q � n - 1 , alors HH 1(X"'-.K, �) � Hfc+'l·(X, (j) = 0 et la conclusi o n résulte de n o u v ea u du diagram m e ( • ) , en utilisant 2. 1 8. Le théorème est démontré. CoROLLAIRE 2.20. Soit X compact de Stein et 0 -+ !1 Alors la suite
un
-+
espace
� -+ X
-+
de Stein, K c X un ensemble 0 une suite exacte dans Coh( X).
est exacte dans la catégorie des espaces vectoriels topologiques.
44
MÉTHODES ALG ÉBRIQUES DANS LES ESPACES COMPLEXES
Démonstration. Les applications de la suite considérée sont continues ; les espaces respectifs étant des FS, elles sont donc strictes.
COROLLAIRE 2 . 2 1 . Soit X un espace de Stein, x un point arbitraire de X et � e Cob(X). Alors les espaces topologiques H"(X"'-{x}, t§') sont séparés (donc de Fréchet-Schwartz) .
§
3. La dimension et la profondeur d' u n faisceau analytique cohérent
Soit (X, t'>) un espace complexe et � e Coh(X). On note, depuis Andreotti Grauert [3] prof � = inf profex�" xex
(on écrira prof �" au lieu de profe"�x>· Ce nombre est dénommé la profondeur du faisceau Fi . Rappelons quelques propriétés simples de la profondeur : - prof � oo si et seulement si � = O. - Si X .!. Y est une immersion fermée d'espaces complexes et si � e Coh{X), alors prof � = prof i.(FF) (ceci résulte de 1 .7). - Si X est une variété de dimension n et � e Cob {X), alors prof If = n - dhFf, où dh� = sup dhe" If" (ceci résulte de 1 . 1 1). =
JC E X
Rappelons qu'un espace complexe est appelé un espace parfait si les fibres du faisceau structural sont des anneaux de Cohen-Macauley. Des cas particuliers de tels espaces sont les espaces localement intersection complète, pour lesquels les fibres du faisceau structural sont des anneaux intersection complète. Si X est un espace parfait et si Fi e Coh{X) est locale ment libre de rang positif, alors les formules prof Fi" = prof e>., = dim e>", pour x point arbitraire de X, permettent de calculer prof If. THÉORÈME 3. 1 . Soit X un espace complexe, Kc. X un ensemble compact de Stein, If e Cob(X) et N � 0 un entier. Alors (a) prof Fi" � N + 1 pour tout x e K si et seulement si Hl(X, If) = 0 pour tout q � N; (b) il existe un voisinage U de K tel que prof (Ff i U"'-K) � N+ 1 si et seulement si les (!;-espaces vectoriels Hl(X, If ) sont de dimension finie pour tout q � N. Démonstration. (a) Supposons 1d'abord que X est une variété de dimension n. D'après le théorème 2.9, le l emme 2. 12 et le théorème A on a les équivalences : Hl(X, If) =0 � Ex tê- q( K ; Fi, Q)--:- 0� Extf; q(lf , .Q)IK=O � Extë-:q(lf"' .Q") = 0 pour tout point x e K � Extë-:q(lf"' t'>") = 0 pour tout point x e K. Les anneaux t'>x, " étant réguliers, la conclusion résulte du corollaire 1 . 1 5.
LA COHOMOLOGIE SUR LES ESPACES DE STEIN
4S
Dans le cas général, en remplaçant éventuellement X par un voisinage de Stein de K convenablement choisi, on peut supposer qu'il existe une 1 immersion fermée X - ([; ' pour un certain entier p. L'image K' de K par i est un ensemble compact de Stein dans ([!:'. Si nous notons �· = i. (� ) . alors HK(X, � ) � Hic.( ([; ", �·) et prof �" = prof ��", pour tout point x e X. On est ainsi ramené au cas des variétés. L'assertion (b) peut être prouvée de la même manière, en appliquant aux faisceaux Ext le lemme suivant : LEMME 3 .2. Soit X un espace de Stein, K c X un compact et X e Coh(X). Alors dima;T(K, X) < oo , si , et seulement si, il exist e un voisinage U de K tel que Xl U""-K = O.
Démonstrat(on. Soit U un voisinage de K et supposons que XI U""-K=O. Alors Supp (XI U) c K est un ensemble fini, disons {xl> . . . , x,.} . D'après le «NullstellensatZ>> chaque fibre X"' est annulée par une puissance de l'idéal p
maximal m" ' ' donc dim X"' < oo . Comme r(K, %) = II %" " il en résulte k-1 dima;T(K, X) < oo . Réciproquement, si m(x) est l'idéal maximal de r(X, 6) déterminé par x, point arbitraire de K, l'hypothèse dima;T(K, X) < oo implique l'existence d'un nombre r tel que m(x)' T(K, X) = m (x)' + 1 r(K, X) = . . . . Il résultera alors du théorème A que miXx = m�+ lX" = . . . et du théorème de Krull, m�X" = O. Il en découle que les points de K n Supp X sont isolés. On trouve alors un voisinage U de K tel que Xl U""-K = O.
CoROLLAIRE 3.3. Soit X un espace complexe, x e X, � e Cob(X) et N un
entier. Alors (a) prof �" � N + 1 si et seulement si H'j(X, � ) = 0 pour q � N; (b) il existe un voisinage U de x tel que prof(� 1 U""- {x}) � N + l si seulement si les espaces H'j(X, � ) sont de dimension finie pour q � N.
et
Remarque. Si U est un voisinage de K, alors Hi( U, � ) � Hk(X, if). En utilisant la suite exacte de cohomologie
. . . � H'k( U, S' ) � Hq(U, S') � Hq( U""-K, S') � H'k+l(U, �) �
. . .
on obtient une interprétation de l'assertion (a) de 3 . 1 en termes de prolon gements des classes de cohomologie. Pour le résultat suivant on aura besoin de deux lemmes. LEMME 3.4. Si X est un espace de Stein et X e Cob(X), alors d i ma;T(X, X) <: oo es t un ensemble fini. La démonstration se fait exactement comme pour le lemme 3.2.
si et seulement si Supp X
LEMME 3 . 5. Soit X un espace de Stein et X e Cob(X). Le dual topologique de l'espace de Fréchet r(X, X) est de dimension complexe tout au plus dé nombrable si et seulement si Supp X est un ensemble discret.
46
M�THODES ALGÉBRIQUES DANS LES ESPACES COMPLEXES
Démonstration. Soit ( U,),;I�: 1 une exhaustion de X par des ouverts de Stein relativement compacts, tel que les applications de restriction rex. 8) -+ r (U, él) soient d'images denses, r � 1 . Si Su pp X est discret alors Je lemme précédent montre que chaque re u, �C) est de dimension finie. Mais F(X, X)' � lim F(U, X)' et une des implications est déjà prouvée. Pour la � r
réciproque, notons, qu'en vertu du lemme 3.4, il suffit de m ontrer que dimccr{ U, X) < oo pour tout r. Fixons r et notons U, = U; soit K un compact holomorphiquement convexe contenant U. On va noter p une semi norme sur F(X, X) du type «sup» ayant la propriété que t o ute suite de K
Cauchy relativement à p est encore suite de Cauchy dans r( U, �C). N otons F(X, X) " Je complété de J 'espace 1(X, X)fp - 1 (O) par rapport à cette semi-norme. L'espace 1(X, X) " est de Banach et l'application rex, :TC) -+ F(X, X) " étant à image dense, l'application (r(X, �() " )' -+ 1(X, �l')' est injective. Mais (r(X, X) " )' a une structure d 'espace de Banach et confor mément à l'hypothèse il est de dimension au plus dénombrable. Il est donc de dimension finie et il en sera de même pour r(X, X). D'autre part, vu les choix de K et p, on voit aisément que l'application de restriction F(X, X) -+ r(U, X) se factorise par 1(X, �C) " -+ r( U, X) et que cette der nière est d' image dense. II en résulte que dimcc r(U, X) < oo et la démon stration du lemme est achevée.
THÉORÈME 3.6. Soit X un espace de Stein, §' un faisceau analytique cohér en t sur X et N � 0 un entier. A lors (a) prof g; � N + 1 si et seulement si H!(X, §') = 0 pour q � N; (b) il existe un ensemble fini A e X tel que prof (§' IX "'-A) � N + 1 si et seulement si les espaces H�(X, §') son t de dimension finie pour q � N; (c) il existe un ensemble discret A c X tel que prof (§' I X "'-A) � N + 1 si et seulement si les espaces H%(X, §') sont de dim ension au plus dénombrable
pour q � N.
Démonstration. (a) Le cas non singulier se traite exactement comme l'asser tion {a) de 3·. 1 , en utilisant le théorème de dualité 2. 1 . Le cas général se réduit à celui-ci par une exhaustion convenable et par des immersions dans des
variétés de Stein. (b) Considérons d'abord le cas spécial où X est une variété de dimension n . Soit A eX un ensemble fini tel que prof (§' IX"'-A) � N + 1 . II en résulte que Extê- q(g;"' .Q") =0 pour tout x r$ A et q � N. Par conséquent ExtêJ-q(FF, .Q)IX "'-A �0 (q � N) et donc Supp (ExtêJ-q(§', .Q)) est un ensemble fini. D'après 2.4 et 3.4, Extë-q(X; g; , .Q) est un espace «:-linéaire de dimen sion finie et la conclusion résulte de 2. 1 . L'implication réciproque se démontre de la même manière en utilisant de nouveau le lemme 3.4. Soit maintenant X un espace de Stein plongeable, c'est-à-dire ayant la propriété qu'il existe 1
une immersion fermée X -+ «:P pour un certain p. Si l'on note Fi * = i. (§') , alors H;(X, Fi) � H;( «:', Fi*) et, pour tout x de X, prof Fi" = prof g;�<x> et on est ainsi ramené au cas non singulier.
47
LA COHOMOLOGIE SUR LES ESPACES DE STEIN
Considérons enfin le cas général. Démontrons l'implication directe. Soit A e X un ensemble fini tel que prof(� I X "'-A) � N + I . Soit V un ouvert de Stein relativement compact contenant A et ayant la propriété que l'appli cation r(X , 8) -+ r(U, 8) est d'image den�e. Nous allons montrer que l'application H!(U, �) -+ H�(X, � ) est bijective (q � N) et la conclusion souhaitée résultera du cas déjà considéré des espaces de Stein plongeables. Il suft pour cela de montrer que si V est un ouvert de Stein relativement compact contenant U, alors l'application H!( V, �) -+ H�(V. �) est bijective. Soit V ..!. a:n une immersion fermée. On a Hcq( V, � ) -: H!(
xeA
«:", l(x)
d'où la conclusion. Démontrons maintenant l'implication réciproque. Notons A l'en semble {x e Xlprof �x � N} . Soit U un ouvert de Stein relativement compact de X tel que l'application r(X, 8) -+ r(U, 8) soit à image dense. Les applications H;(U, él) -+ H;(X, él) sont injectives. Il résulte alors du cas déjà considéré des espaces de Stein plongeables que A n U est un ensemble fini. Soit (U,),�1 une exhaustion de Runge de X avec des ouverts de Stein relativement compacts. On a H!(X, �) � lim Hl( U, �) et, exactement comme
� r
ci-dessus, A n U, = A n U, + 1 = . . . dès que les applications Hcq( V, � ) -+ sont bijectives, q � N. H!( Ur + to � ) . H!(U, + I> � ) -+ H�( U, + 2, �). Ainsi A est un ensemble fini. L'assertion (c) se démontre comme (b), en utilisant le lemme 3.5. •
•
•
Remarque. On peut donner une démonstration plus directe du théorème,
à l'aide de 3. 1 , qui est une conséquence du théorème de dualité 2.9. La démonstration donnée montre cependant que le théorème 3.6 est une con séquence du théorème 2. 1 . Nous allons donner quelques résultats concernant la dimension des faisceaux. Soit (X, él) un espace complexe et tf e Coh(X). O n va noter dim tf
=
sup dimextf,..
xex
Ce nombre sera nommé la dimension du faisceau tf. Si Ann tf est le faisceau d'idéaux annulateur de tf , al ors (Ann tf)x = An n �x• où Ann �x est l'annulateur de l'8x-module tfx . Il s'ensuit que dim tf = dim (Supp tf) . Si tf =1: 0, alors prof tf � dim � .
Remarque. Il est aisé d e construire d e s exemples pour lesquels l'inégalité est stricte. Un exemple moins trivial est le suivant [88]. Soit Xc
=
=
48
M ÉTHODES ALG�BRIQUES DANS LES ESPACES COMPLEXES
La classe de z1 - z3 dans A est un non diviseur de zéro car z1 - z3 n'appartient à aucun des idéaux premiers (z1, z2), (z3, z4). Il s'ensuit que prof A = prof (A/(z1 - z3)A ) + l . L'élément z1 est d'image non nulle dans B=A/(z1 -z3)A et i l est facile de vérifier que z1 z1 e ((zh z2) n (z3 , z4)) + (z1 - z3), pour i = 1 , 2, 3, 4. Donc tous les éléments de l'idéal maximal de B sont des diviseurs de zéro, d'où prof B = O. Il en résulte que prof A = 1 et donc prof 8x = 1 < 2 = dim 8x.
Soit X un espace de Stein, f'i e Coh(X) e t N ?; O un nombre conditions suil•antes sont équil•alentes : (i) dim 5 � N; ( ii) Hcq(X, 3') = 0 pour q > N; (iii) les espaces vectoriels complexes H1(X, 3') sont de dimension finie pour q > N; (iv) les espaces vectoriels complexes Hcq(X, t'i) sont de dimension au plus dénombrable pour q > N. Démonstration. Nous allons procéder exactement comme pour le thé THÉORÈME 3 . 7. entier. A lors les
orème 3. 6. II suffit de prouver les implications (i) � (ii) et (iv) � (i). (i) � (ii). Soit (U,),.� 1 une exhaustion de Runge de X avec des ouverts de Stein relativement compacts. Il résulte alors de 2 . 8 que les applications H;(u, f'i) -+ H ;(X, f'i) sont injectives. On a également des isomorphismes H;(X, f'i) � lim H;(U, t'i). I l suffira de démontrer l'implication pour --+
chaque U,. En utilisant des immersions dans des espaces numériques on se ramène au cas où X est en plus une variété. La conclusion en résulte alors en utilisant Je théorème de dualité 2. 1 , le lemme 2 . 4, le théorème A et la caractérisation de la dimension des modules de type fini sur les anneaux locaux noethériens réguliers, donnée au point 1 . 1 7 . (iv) � (i) Comme ci-dessus, o n peut se ramener au cas où X est une variété de Stein ; soit n dim X. Les duaux topologiques des espaces Ext'e q(X; f'i, .0) = F(X, ExtêJ - q(f'i , .Q)) sont de dimension complexe au plus dénombrable pour q > N. D'après 3 . 5, il existe un ensemble discret A c X tel que Extê- q(f'i , .Q)IX"-A =O pour q > N. Pour tout x � A, Extê-q(f'i", 8") = 0 " pour q > N, donc dim f'i" � N. Par conséquent dim (t'i iX'\ A) � N et A étant discret et N '";?; 0, il en résulte dim f'i � N. Les théorèmes 3 . 6 et 3 .7 montrent que les groupes de cohomologie à support compact pour les faisceaux analytiques cohérents sur les espaces de Stein sont nuls en dehors de l'intervalle [prof, dim]. En ce qui concerne ]es extrémités de cet i ntervalle on a les deux corollaires suivants : =
Soit x un espace de Stein et f'i E Coh(X). Alors n-gror g (X, �) est de dimension complexe finie (respectivement au plus dénombrable) si et seulement si l'ensemble {xlprof f'i" = prof f'i} est fini (respectivement discret) . . CoROLLAIR E 3.8.
Le corollaire résulte du théorème 3 .6.
LA COHOMOLOGIE SUR LES ESPACES DE STEIN
49
CoROLLAIRE 3.9. Soit X un espace de Stein et If e Coh(X). Alors n:im S(X, If) est de dimension (sur
Démonstration. Si dim If = 0, alors le support de If est discret et Hcdim S(X, If) = r.(X, If) et donc sa dimensi � n (sur
CoROLLAIRE 3. 10. Soit X un espace de Stein et If ::1: 0 un faisceau analytique
cohérent sur X. Alors (a) If est de Cohen-Macauley si, et seulement si, il existe un entier N ;;?; 0 tel que H�(X, If ) 0 pour tout q ::F N; (b) il existe un ensemble fini A c X tel que lf!X"'-.A soit de Cohen-Ma cauley si, et seulement si, il existe un entier N;;?; 0 tel que les espaces H�(X, If) soient de dimension finie pour q :f.: N; (c) assertion similaire à (b) en remplaçant seulement «A fini» par «A ensemble discret» et «finie» par <
Ce corollaire donne en particulier une caractérisation cohomologique des espaces parfaits.
§ 4. Applications (a) Interprétation de la profondeur en petites dimensions: résultats du type Hartogs et du type Cousin. Les deux premiers corollaires donnent une caractérisation des faisceaux analytiques cohérents (sur les espaces de Stein) de profondeur ;;?; 1 (respectivement ;;?; 2).
COROLLAIRE 4. 1 . Soit X un espace de Stein et If e Cob(X). Alors une condi tion nécessaire et suffisante pour que prof If ;;?; 1 est que toute section de
F(X, If) à support compact soit nulle.
La démonstration résulte de 3 . 6 (a) en prenant N
=
O.
If e Coh(X). Les assertions suivantes sont équivalentes : (i) prof If ;;?; 2 ; (ii) pour tout ouvert de Stein relatil•ement_ compact U c X, l'application de restriction r(X, If) -+ r(X"'-. U, If) est bijective; (iii) pour tout compact holomorphiquement convexe K c X, l'application de restriction F(X, If) -+ r(X"'-. K, If) est bijective.
CoROLLAIRE 4.2. Soit X un espace de Stein et
·
50
M ÉTHODES ALG ÉBRIQUES DANS LES ESPACES COM PLEXES
Démonstration. Il suffit d'appliquer 3 . 1 et 3 .6 pour N = 1 et d'utiliser les suites exactes
0 .. rc(U, S') .. r(X, S') .. F(X "" u, S') .. H�(U, 5) .. H 1 (X, 5) 0 -+ rxfX, 5 ) -+ r( X , .f) -+ F(X "" K, .f) -+ Hl(X, .f) -+ H 1 (X, 5 ).
L'hypothèse X espace de Stein n'est pas nécessaire pou r J'implication (i) � (ii). Les deux corollaires suivants sont des résultats de type Hartogs :
CoROLLA IRE 4.3. Soit X un espace de Stein, K c. X un compact holomorphi quement convexe et ff e Coh(X). A lors l'application de restriction r(X, SF) -+ r(X"'-K, SF) est bijective si et seulement si prof ffx �2 pour tout x e K. La démonstrati on se fait en appliquant 3. 1 avec N = 1 .
COROLLAIRE 4 .4 . Soit (X, él) un espace de Stein réduit et K un compact tel que X"'- K n'ait pas de composantes irréductibles relativement compactes dans X. Si prof élx � 2 pour tout x e K, alors l'application de restriction r(X, él) -+ r(X"'-K, él) est bijectil•e. Réciproquement, si X est un espace de Stein et K c. X un compact holomorphiquement convexe tel que l'application r(X, él)-+ r(X"'- K, él) soit bijective, alors prof élx � 2 pour tout point x de K.
Démonstration. La dernière assertion résulte du corollaire précédent. Démontrons la première assertion. S oit cp e r(X, él) nulle sur X"'-K. L'en semble des zéros de cp est un sous-ensemble analytique fermé dans X et, étant fermé dans K, il sera d onc fini. L'espace X étant réduit et de dimension positive il en découle cp = O. Considérons ensuite un compact holomorphi quement convexe K' contenant K. Soit cp ' e r(X "'- K, él). Il résulte du corollaire précédent qu'il existe cp e F(X, él) tel que cp IX"'-K' = cp ' I X "'-K '. La fonction cp - cp ' e r(X"'- K, él) est nulle sur X"'-K ' et donc, conformément à l'hypothèse, elle est nulle. Le corollaire est prouvé. Remarques. l) Les corollaires 4.2, 4.3, 4.4 (ainsi que d'autres des sections
suivantes) peuvent être appliqués au faisceau structural d'un espace normal de dimension � 2 (respectivement normal , de dimension � 2 aux points de K) car alors prof � 2 (d'après 1 .8). On peut aussi considérer le cas des faisceaux localement libres de rang fini sur des espaces parfaits (par exemple des espaces localement intersection complète) de dimension � 2. 2) Soit X un espace paracompact mais non compact. Un ouvert U est dit voisinage de la frontière de X si X"'- U est compact. Si ff est un faisceau de Ab(X) on notera r(âX, 5) = lim r(U, SF), la limite inductive étant --+ u
indexée suivant les voisinages U de la frontière ([46), Ch. VII, D). Supposons mai ntenant que X est un espace de Stein, 5 e Cob( X) et p rof § � 2. Pour tout compact K il existe un compact K' (on peut prendre, " par exemple, l'enveloppe holomorphiquement convexe K) tel que toute
LA COHOMOLOGIE S U R LES ESPACES DE STEIN
51
section s e r(X"'-. K, �) admette u n prolongement unique s ' e r(X, � ) avec s ' =s sur X"'-.K'. Ceci résulte de 4.3. On a ainsi prouvé l'affirmation suivante : si X est u n espace de Stein, � e Coh(X) e t prof � � 2, alors le m orphisme canonique r(x, �) -+ rea x, �) est bijecti f. . 3) Comme on vient de le voir, lorsqu'on généralise le théorème de Hartogs aux espaces complexes il faut remplacer la conditîon dim � 2 par prof � 2. L'exemple suivant, dû à Harvey [48], met m ieux en lumière ce phénomène. Soit X l'image du morphisme h : ([; 2 -+ ([;4, h(x, y) = (x2, r, y, xy). X est un sous-espace de dimension 2 dans ([;4, singulier seulement à l'origine et en plus X"'-. {0} est connexe. La fonctionf(z), z e X"'-. {O} , égale à z2/z1 si z1 =1= 0 et à z4/z3 si z3 =F O est holomorphe sur X"'-. { 0}. Elle ne peut pas se prolonger à X tout entier, car dans ce cas la fonction holomorphe X -+ ([; 2, z = (z1, z2, z3, z4) H- {f(z), z3), serait un inverse pour h : ([; 2 -+ X ce qui est absurde. Dans cet exemple, X est irréductible et 1 =prof élx < dimélx =2. Les applications suivantes concernent les problèmes de Cousin. Rappe lons tout d'abord la formulation de ces problèmes sur les espaces complexes (non nécessairement réduits). Soit (X, él) un espace complexe. Pour chaque ouvert U c: X on notera Su = {f e r(U, él x)lf.: est non diviseur de zéro dans él" pour tout x e U}. Su est u n système multiplicatif et on peut considérer le préfaisceau U �- r( U, él x>s u (l'anneau de fractions à dénominateurs appartenant à Su). Le faisceau associé dJL est nommé le fais ceau de germes de sections méromorphes sur X. Il est aisé de voir que l'on a une inclusion canonique de faisceaux él c: dJ. Soit x e X. Si sx e él" est un non diviseur de zéro, la multiplication par Sx définit un m orphisme injectif e" -+ ex. Soit s E re U, tl}, o ù u voisinage de x, une section dont le germe en x est s". s
Le morphisme éli U - él i U est injectif au poi nt x et, vu la cohérence de e, il existe un voisi nage V c: U de x tel que él i V -+ él i V soit injectif. Il en résul tera que si V e S., . Avec cette remarque i l est facile de montrer que .mtx s'identifie à l'anneau total de fractions de él". Lorsque X est réduit, les sys tèmes multiplicatifs Su peuvent être caractérisés ainsi : Su = { fe r(U, él ) l f ne s'annule identiquement sur aucun ouvert non vide de U } . Les problèmes de Cousin peuvent être formulés exactement comme dans le cas des variétés. Le problème additif (respectivement multiplicatif) consiste à donner des conditions de surjectivité pour l 'application r(X, dJ1L ) -+ r(X, .mtjél) (res p. r(X, dJ1L *) -+ r(X, .mt • /él*)). Comme c'est l'usage, e• (respectivement dJ*) représentent le sous-faisceau de e (respectivement de .mt) formé par les sections inversibles. CoROLLAIRE 4. 5. Soit X un espace de Stein et K c:X un compact holo m orphiquement convexe. Si profex � 3 pour tout x e K, alors le problème de Cousin a dditif peut être résolu sur X"'-. K. Si en plus H2(X"'-.K, il ) = 0, alors aussi le problème de Cousin multiplicat(f peut être résolu sur X "'-. K.
Démonstration. On a une suite exacte
52
MÉTHODES ALGÉBRIQUES DANS LES ESPACES COMPLEXES
En appl iquant 3 . 1 on déduit que HI(X"'-K, é>) = 0 et la première assertion résulte de la suite exacte
Pour la seconde partie du corollaire on considère la suite exacte
associée à la suite exacte 0 -+ 71. -+ e -+ e• -+ 0 (où 71. est le faisceau simple ayant pour fibre l'anneau des entiers et où le morphisme e -+ e• est donné par cp � e2ni"'). Il en résulte H 1 (X"'-K, e>*)=O et on achève la démonstration en utilisant la suite exacte
X un espace de Stein et U c X un ouvert de Stein relativement compact. Si prof (é>xl U) � 3 alors le problème de Cousin additif peut être résolu sur X"'- U. Si de plus on a H 2(X"'- U, 71. ) 0, il en est de même pour le problème de Cousin multiplicatif sur X"'- U. COROLLAIRE 4.6. Soit
=
La démonstration se fait exactement comme pour le corollàire pré cédent. (b) Quelques propriétés topologiques de la frontière d'un espace de Stein. Un espace compl exe (supposé paracompact mais pas compact) est connexe à la frontière si pour tout compact K c X le complémentaire dans X"'- K de la réunion des composantes connexes relativement compactes de X"' K est connexe ([46], Ch. VII, D). Rappel ons la notion de germe d'ensemble analytique autour de la fron tière : on considère les paires (U, S), avec U voisinage de la frontière et S un sous-ensemble analytique de U, et on identifie deux paires (U 1 > SI) et (U2, S2) s'il existe un voisinage U de la frontière, U c UI n U2, tel que si n u = s� n u. Soit ôX le germe défini par n'importe quel voisinage de la frontière. On dira qu'un espace complexe X (paracompact, mais non compact) est irréductible à la frontière si le germe ô X ne peut pas être écrit comme réunion de deux germes distincts de X (les réunions, les intersections, etc. de germes comme ceux de ci-dessus se définissent de manière naturelle). Tout tel espace est connexe à la frontière : en effet, pour tout compact K on a X = K U ( U V1) U ( U U,) où V" U,. sont les composantes connexes de ,.
X ""'-.K, les V, désignant celles qui sont relativement compactes et U,. les autres. Pour tout compact K' => K et pour tout cc:, on a U,. n (X"'- K') =1: 0 ; l'irré ductibilité implique que l'ensemble d'indices {cc:} est réduit à un seul élément COROLLAIRE 4.7. Soit (X, é>) un espace de Stein connexe tel que prof e> � 2.
Alors X est connexe à la frontière.
LA
COHOMOLOGIE SUR LES ESPACES DE STEIN
S3
Démonstration. Soit K un compact arbitrair.e et X = K U ( U V1) U ( U U,) « 1\ ; comme ci-dessus. Pour tout ex on a (X"'K) n U., =1= 0 et il suffira donc de montrer que X"'K est connexe (il en résultera1 q ue l'ensemble des indices {ex} est réduit à un seul élément et donc que X est connexe à la frontière). On a
l'assertion suivante.
CoROLLAIRE 4.8. Soit (X, e) un espace de Stein et K c: X un compact holomorphiquement convexe tel que prof ex � 2 pour tout x E K. A lors x est connexe si et seulement si X"' K est connexe.
Démonstration. D'après 4.4, l'application r(X, e)-. r(X"'K,e) est bijective. La conclusion résulte alors du lemme suivant :
LEMME 4.9. Un espace annelé en anneaux locaux (X, e) est connexe si et seulement si l'anneau r(X, é') ne peut pas s'écrire comme produit de deux anneaux (commutatifs, unitaires) non nuls. Démonstration. Si X = U U V avec U et V ouverts disjoints, alors r(X, e) = r(U, e) x r( V, él). Pour l'implication réciproque supposons r(X, e) = A x B (avec A, B anneaux commutatifs, unitaires). La section unité s'écrit 1 = e1 + e2, e1 e A, e2 e B. Soit U = {x E Xle1(x) =1= 0} -et V = {x e Xle2(x) =1= 0}. Comme d'habitude, pour une section fe r(X, e) on note f(x) son i mage par le morphisme composé : r(X, él) -+ ex --. él:x:lm:x: (mx étant l'idéal maximal de él"). La condition f(x) =1= 0 signifie que fx ; m", donc est équivalente à f inversible au · point x. Il en résultera alors que U et V sont ouverts. D'autre part, on a visiblement X = U U V et u n V = 0.
COROLLAIRE 4. 1 0. Soit X un espace de Stein irréduct ib le , de dimension � 2. Alors X est irrédu ctible à la frontière et en particulier connexe à la frontière .
Démonstration. I l suffit de montrer q ue, pour tout compact holomorphi quement convexe K c: X, l'esp1c! X"' K est i rréductible. Soit X' le normalisé de X et K' l'image i nverse de K par le morphisme de normalisation. L'espace X' vérifie les conditions du corollaire précédent et K' est holomorphiquement convexe. Il en résultera que X' "' K' est connexe. La conclusion résultera alors du fait que X' "'- K' est le normalisé de X"' K. Soit (X, ex) un espace complexe, pas nécessairement réduit. L'algèbre des sections r(X, élx) a une structure naturelle de a:-algèbre topologique. Si X est à base dénombrable, alors r(X, ex) est une algèbre de Fréchet. Si (X, ex) --. ( Y, er) est un morphisme d'espaces complexes, alors le morphisme correspondant r( Y, élr) --. r(X, élx) est un morphisme d'algè bres topologiques. Nous utiliserons le résultat suivant de Forster [27], la démonstration qu'on va lui donner appartenant aux auteurs.
M ÉTHODES ALGÉBRIQUES DANS LES ESPACES COMPLEXES
54
THÉORÈME 4. 1 1 . Si Y est un espace de Stein, alors l'application canonique
Hom(X, Y) -+ H om �a tg.top. ( r( Y, é' y} , r( X, é'x))
est bijectit'e, pour tout espace complexe X. Démonstration. Soit 0 l'application de l'énoncé. Nous distinguerons
deux cas. ( 1 ) Y est plongeable. Soit i: Y -+
=
=
0 -+ r(([: ", �)
-+
r( ([: " , é'a;.. ) -+ r( Y, é' r) -+ O.
L'application composée {3 : r(([:", ea:") -+ F( Y, é' r) -+ r(X, é'x) détermine éléments {3(z1} , , {1(z,) E r(X, é'x) , donc Un morphisme f: X -+ ([:". Le morphisme O(f) : r(
•
•
•
=
,
=
t
on déduit que r(([:", �) est d'image nulle dans é'x , x • d'où la conclusion. (2) Le cas général. Prouvons l'injectivité de 8. Soit f, g e Hom(X, Y) tels que O(f) = O(g) . Pour montrer que f g il suffit de trouver, pour tout x de X, un voisinage sur leqt,:el les deux morphismes coïncident. Soit x e X. Choisissons un ouvert de Stein V de Y, plongeable , contenant f(x} et g(x) et tel que l'application r( Y, é' y} -+ F( V, é'r) soit d'image dense. U J- 1( V) n g-1( V) est un voisinage de x et soit J', g' e H om ( U, V) les morphismes déduits de f et g. On déduit de O(f) = O{g) que O(f')= O(g'), donc /' = g ' d'après ( 1 ). =
=
ss
LA COHOMOLOGIE SUR LES ESPACES DE STI!IN
Prouvons la surjectivité de e. Soit oc e Homa; - alc .topere Y, t> y), re x e'x)). Fuisque (} est injective il suffit de trouver pour chaque point x de X un voisinage U et un m orphisme U-. Y tels que le morphisme correspondant reY, ely) -. re u, t'x) coïncide avec ,
reatr.
l'application composée r( Y, el y) -. r(X, <9x) -- re u, t'x). Soit x e X et K un compact contenant le point x comme point intérieur, et holomorphiquement convexe dans un voisinage de x. Désignons par I l · II K une seminorme convenablement choisie de type «sup» sur rex, t'x). K
Il résulte facilement de la manière dont o n a défini la topologie sur re Y, ely) que les seminormes Il
I l L du type «sup», où L est un compact holomorphiL
quement convexe de Y, constituent une famille cofinale. La continuité de oc implique donc l'existence d'une telle seminorme Il I l L , ainsi que d' une constante C > 0, telle que U oces) II K :: C · lls ii L pour tout s e re Y, el y).
Désignons par U l'intérieur K de K. Soit V un voisinage de Stein de L, plongeable, tel que l'application r( Y, el y) -. r( V, el y) soit d'image dense. Si (s")" est une suite d'éléments . de r{ Y, el y) qui converge dans r( V, el y). alors la suite eocesn))n d'éléments de rex. t'x) est une suite de Cauchy par rapport à la seminorme I l I I K. donc elle converge dans r e u. t' x). ll en résulte alors aisément une appli cation continue re v, el y) -. r( U, t'x) compatible avec oc. Le morphisme U -. V que l'on en déduit (en vertu du cas particulier considéré), composé avec l'inclusion V -. Y, vérifie l'assertion désirée et le théorème est démontré. "
CoROLLAIRE 4. 1 2. Soient X et Y deux espaces de Stein. Si prof t'x ;;i!: 1 erespectb•ement ;;i!: 2), alors l'application naturelle Hom (X, Y) -. Hom (8X, Y)
est injective (respectil•ement bijectil•e) . lei Hom(àX, Y) = lim Hom e u, Y), -u
où U est l'oisinage de la frontière de X.
Démonstration. Soit K un compact holomorphiquement convexe de X et U X "-. K. On a le diagramme commutatif =
Hom(X, Y)
�
--
Hom( U, Y)
t
H om(r( Y, ely) , r(X, t'x)) -. H om(r( Y, el y}, r(U, t'x)) . les flèches verticales étant bijectives conformément au théorème. Si prof t'x ;;i!: 1 (respectivement ;;i!: 2) alors, d'après 3 . 1 , la flèche horizontale d' en bas est injective (respectivement bijective). La conclusion résulte de ce que, dans un espace de Stein, les complémentaires des compacts holo morphi quement-convexes constituent un système cofinal de v oisinages de la frontière.
MÉTHODES ALGÉBRIQUES DANS LES ESPACES COMPLEXES
S6
(c) Applications aux espaces complexes compacts.
THtORÈME 4 . 1 3 . Soit X un espace complexe compact, Y c X un sous ensemble fermé tel que X"'- Y soit un ouvert de Stein et § e Cob{X). Alors prof (tfi X"'- Y) � N+ 1 si et seulement si l'application canonique Hq(X, tf)-+ Hq( Y, tf) est bijective pour q � N - 1 et injective pour q N. =
Démonstration. La conclusion résulte du théorème 3 . 6 en utilisant la suite exacte •
.
.
-+
H2(X"' Y, .f" ) -+ Hq(X, §") -+ H q( Y, ai) -+ H �+ 1(X "' Y, tf) -+
...
CoROLLAIRE 4. 14. Soit X un espace complexe compact et Y un sous-en semble fermé de X tel que X"'- Y soit de Stein. Si prof e,. � 2 pour tou t
point x de X"'- Y, alors X est connexe si et seulement si Y l'est aussi. La démonstration résulte du théorème et du lemme 4.9.
Remarque. Ces résultats peuvent s'appliquer au cas où X est une variété complexe projective et Y une hypersurface de X. On peut donner des résul tats analogues en remplaçant Y par un compact holomorphiquement con vexe dans un voisinage ; par exemple X = IP' et Y un compact holomorphi quement convexe dans une carte affine.
0
PROPOSITION 4. 1 5. Soit X un espace complexe possédant un recouvrement d + 1 ouverts de Stein, tf e Cob(X) et N � un entier. Si prof FJ � N + 1 , alors H�(X, tf) = pour tout q � N - d.
0
avec
La démonstration se fait par récurrence sur d, en utilisant 3.6 et le résultat suivant du type Mayer-Vietoris :
LEMME 4 . 1 6 . Soit X un espace paracompact et tf un faisceau sur X de groupes abéliens. Si X est la réunion de deux ouverts U et V alors on a une suite exacte de cohomologie •
•
.
-+ H�( U n V, ?J') -+ H�( U, tf ) œ H �( V, tf) -+ H �(X, ?J')
-+ Hg+1(U n V, ?J') -+ Démonstration. Pour tout faisceau � sur X on a une suite exacte .
•
.
où la seconde flèche est déduite de l'application diagonale et la troisième donnée par la formule 8(s, t) = s - t, s E Fi U, �) et t E rce v, �) (dans les deux flèches on a utilisé l'extension triviale des sections). Supposons maintenant que � est flasque. Soit v e Fc(X, �) et K = Supp v . Considérons les ensembles compacts Kt = K n (X"'- U) et K2=K n (X"'- V) qui sont disjoints, et soient U1 et U2 deux voisinages disjoints de K1 et de K2 respec tivement. Définissons sur (X"'- K) u U1 s= v sur u2.
{0
LA COHOMOLOGIE SUR LES ESPACES DE STEIN
51
On obtient ainsi une section de 13 sur l'ouvert (X""- K) U U1 U U2 et soit s' e r(X, �) un prolongement de s. On a s'l U e rc(U, 13) et, si nous désignons par s1 = s ' l U, s2 = (s' - v)l V, on vérifie aisément que s2 e re( V, 13) et s1 - s2 = v , donc (}(s1 , s2) = v. On a montré ainsi que (} est une application surjective. Soit g). une résolution fiasque pour tf. On obtient alors une suite exacte de complexes 0 -+ rc( U n V, 13•) -+ Tc(U, �1") (f) Tc( V, 13·) -+ rc(X, 13• ) -+ O. La conclusion du lemme s'obtient en passant à la suite exacte de coho mologie. Pour un espace complexe compact X on va noter, suivant Andreotti Vesentini [5], par d(X) le nombre minimum d'ouverts de Stein avec lesquels on peut recouvrir l'espace X. COROLLAIRE 4. 1 7. Soit (X, e>)
un
espace complexe compact. Alors d(X) � prof e> + 1 , donc X ne peut pas être recouvert avec moins de prof e> + 1 ouverts de Stein.
Démonstration. Dans le cas contraire on aura bien r(X, �) = rc(X, e>) = 0, ce qui est absurde. COROLLAIRE 4. 1 8 . Un espace complexe, compac t , normal, de dimension � 2, ne peut pas être recouvert par deux ouverts de Stein. L'assèrtion résulte du fait que la profondeur du faisceau structural est � 2 (d'après 1 .8). (d) Invariance de la profondeur relativement aux morphismes finis. Rappelons qu'un morphisme d'espaces complexes X � Y est fini si l'application topologique sous-jacente est finie.
PROPOSITION 4. 1 9. Soit et tf e Coh(X). A lors
X�
Y un morph ismes fini d'espaces complexes
prof tf
=
prof Cf.(tf )).
Démonstration. Le problème est de nature locale sur Y, donc on peut supposer Y de Stein. On tire du lemme 1 .2 1 et du théorème B que Hq(X,
étant des isomorphismes, la conclusion en résulte. Le cas particulier où f est le morphisme de normalisation est démontré sans méthodes cohomologiques dans [ 1 1 3].
S8
lndlcatloos
MÉTHODES ALGÉBRIQUES DANS LES ESPACES COMPLEXES
bibliographiques
L'idée d'utiliser la cohomologie à support complet dans l'étude des problèmes men· · tionnés au début de l'introduction, et d'obtenir des informations concernant cette coho mologie à l'aide de la dualité, apparait dans les articles de Serre [9 1 ] et [92 1 . Le théorème 2. 1 appartien� aux auteurs [ 1 0 ] e t constitue un cas particulier d e la dualité générale de Ramis-Ruget sur les espaces complexes [77 ]. Le t héorè m e 2.9 a été démontré par Frenkel pour X domaine d ' ho l omorp h ie, K polycompact (i.e. produit de compacts du plan compl � xe ) et 11 e , en utilisant le développement de Laurent [3 1 ]. Le cas général (pour les faisce:tux localement libres) a été prouvé par Martineau [69], en utilisant le résultat de Malgrange sur la trivialité de la cohomologie en dimension m1ximum sur les variétés non compactes . L'extension aux faisceaux cohérents a été faite par H:trvey [48 ] et par les auteurs [ 1 0 ] (la démonstra tion donnée ici est celle de [ 1 0 ] ; dans [48 ] le résultat est prouvé pour une classe plus large que celle des co m pac ts de Stein) . Le théorème de séparation a été prouvé par Trautmann dans [ I l l ] pour le cas où le compact se réduit à un point (2.21) ; la démons t ra t ion donnée, utilisant la dualité, appartient au premier auteur [7]. Dans [2] on démontre également la sépara tion des espaces H;(X"K, n Le théorème 3 . 1 est dû à H a rvey [48 ] et aux auteurs [10]. Son cas particulier 3.3 avait été démontré auparavant par Trautmann [ 1 08 ] . L'implication réciproque du théorème 3.6 (a) est un cas simple des théorèmes de finitude de Andreotti et Grauert [3 ]. L 'impl ication (i) - (ii) du théorème 3 .7 est un cas particulier d'un théorème de Reiffen [80]. Les caractérisations de la profondeur et de la dimension des faisceaux analytiques · cohérents sur les espaces de Stein en termes de cohomologie à support compact (l' implication directe de 3.6 (a) et l'implication (ii) - (i) de 3.7) ont ét� obtenues par Y. T. Siu dans [98 ] en utilisant les faisceaux lacunaires de Thim ; la caractérisation de la profondeur a été trouvée indépendamment aussi par les auteurs [10]. Les démonstrations données ici sont celles de [10], [48 ] . Les résultats de 3.6 et 3 .7 s'expriment d'une manière élégante à l'aide des faisceaux dualisants, in troduits par Andreotti et Kas ( [4] et Ch. 7, § S du présent volume). Le paragraphe 4 est conçu d'après les ouvrages [91 ], [10], [ 1 1 ] et [48 ], les résultats étant des conséquences directes du paragraphe précédent. =
CHAPITRE
2
Cohomologie locale analytique
Introduction Un problème important de la théorie des fonctions de plusieurs variables complexes est celui du prolongement des entités analytiques définies en dehors d'un ensemble analytique. Rappelons quelques résultats dans cet ordre d'idées : <<Soit Q un ouvert de «: " et A c Q un sous-ensemble analytique de codimension � 2. Alors toute fonction holomorphe sur Q""-A se pro longe uniquement en unè fonction holomorphe sur !2>> (dèr 2. Riemannsche Hebbarkeitssatz [71 ]). «Les données de Cousin additives sur «:3""-{0} se prolongent unique ment sur «: 8». Ce résultat dû à H. Cartan [1 6] a été généralisé en dimensions supé rieures par Rothstein [83], à savoir : «Si G est un ouvert d'un espace numérique et si A c G est un sous ensemble analytique de codimension � 3, alors les données de Cousin additives sur G""-A se prolongent sur G». On peut ajouter à ces exemples de prolongements de fonctions et de données de Cousin, d'autres concernant le prolongement de classes de cohomologie, d'ensembles analytiques, de faisceaux, . . . . Soit X un espace topologique, A c X une partie fermée de X et 1f un faisceau de groupes abéliens sur X. La suite exacte --+ Hq(X, !f) --+ Hq(X "'A , tf} -+ Hj+ 1(X, !f) --+ . . . •
•
•
montre que le groupe de cohomologie à supports dans A, Hj+ 1(X, !f} , représente l'obstruction au prolongement à X des q-classes de cohomologie définies sur X""-A. On peut ajouter aux invariants globaux n;.(X, !f) des invariants locaux : plus précisément, les faisceaux XÂ!f associés aux préfaisceaux U 1-+ n·A nu(U, !f}. Le présent chapitre est consacré à l'étude des invariants HÂ(X, !f} et '<:Â!f (X espace complexe, A sous-ensemble analytique, 1f e Coh{X)} et ainsi au prolongement des classes de cohomologie. Le premier paragraphe contient les préliminaires de cohomologie locale et d'algèbre (la profondeur d'un module par rapport à un idéal). Au second, on associe à chaque faisceau analytique cohérent une famille de sous-ensembles analytiques qui va jouer un rôle décisif dans la
60
MÉTHODES ALG ÉBRIQUES DANS LES ESPACES COMPLEXES
formulation et la démonstration des résultats qui suivent. Le troisième paragraphe introduit la notion de profondeur d'un faisceau cohérent par rapport à un ensemble analytique et on démontre le théorème d'annulation : X�� = 0 pour i � q si et seulement si prof..� ;;i1; q + 1 . Parmi les applica tions notons : - Si X est un espace complexe parfait et A un sous-ensemble analytique fermé de codimension ;;i1; 2, alors l'application de restriction r(X, é') -+ r(X"'-A , é') est bijective. - Soit X un espace complexe, réduit et parfait. Alors X est normal si et seulement si la codimension du lieu singulier est ;;i1; 2. - Si X est un espace complexe normal et A un sous-ensemble analytique de codimension ;;i1;2, alors l'application de restriction r(X, é') -+ F(X"'A, é') est bijective. Au paragraphe 4 on donne des conditions nécessaires et suffisantes pour la cohérence des faisceaux XA � . Au cinquième paragraphe on étudie les invariants cohomologiques locaux absolus : les faisceaux X� associés aux préfaisceaux U �-+- lim {H�(U, �)l dim A � d}. On y démontre des �
théorèmes d'annulation et de finitude pour ces invariants. Enfin, au dernier paragraphe on introduit des topologies sur les espaces H;.(X, �) et on y démontre le théorème de séparation : si X est un espace de Stein et si les faisceaux X�� sont cohérents pour i � q, alors les espaces H� (X, �) sont séparés pour i � q + 1 .
§ 1 . Préliminaires (a) Eléments de cohomologie locale ([44], SGA 2). Considérons un espace topologique X. Une partie A de X est localement fermée s'il existe un ouvert U de X tel que A soit un sous-ensemble fermé de U. Soit � e Ab(X) un faisceau de groupes abéliens sur X. On notera r..(x, �) le sous-groupe des éléments de F(U, �) dont les supports sont contenus dans A. Il est facile de vérifier que r..(X, �) ne dépend pas de U. Si � -+
COHOMOLOGIE LOCALE ANALY'l1QUE
61
La démonstration résulte des définitions et du fait que la restriction à un ouvert d'un faisceau injecti f est encore un faisceau injectif ([43], prop. 3. 1 .3.).
Il en résultera en particuJier que si A �st un ouvert de X, alors � H" (A , If).
0
H�(X, If)
LEMME 1 .2. Si 0 -+ If' -+ If -+ If" -+ est une suite exacte dans Ab(X) et si A est localement fermé dans X , alors on a la suite exacte de cohomologie
0 -+
H� (X, If') -+ Hj(X, If) -+ Hj(X, If") -+ Hj (X, If' ) -+ H]. (X, If) -+ . . . La
démonstration résulte des propriétés générales des foncteurs dérivés. Soit A u ne partie localement fermée de X et A' un sous ensemble fermé dans A ; alo rs A" = A"-A' est aussi une partie localement fermée de X. -
PROPOSITION
0 -+
1 .3. Pour tout faisceau If e Ab(X) on obtient une suite exacte __.
Hj. (X, If )
Hj(X, If)
-+
Hj.. (X, If) -+ H} (X, If) -+ . . .
fonctorielle en If et compatible avec les suites exactes courtes dans Ab(X), les applications H".4: (X, If) -+ HA,(X, If) et HA. (X, If) -+ HA. .. (X, If) étant celles naturellement induites, la première par l'inclusion A ' c: A et la seconde HA(X, If ) -+ HA.,...CX"-A', If) � n;. . (x, If) par la restriction. Démonstration. Si j est un faisceau sur X, on a une s ui te exacte donnée par l'inclusion A' c: A et par la restriction : .
Lorsque j est injectif (donc flasque !), l'application
est surjective ( U est un ouvert dans lequel A est un sous-ensemble fermé). Soit j " une résolution injective pour If. D'après ce qu'on vient de dire, on obtient une suite exacte
0 -+ r
..
·(X, j")
-+ r
..
ex, r>
-+ r
A"(X,
r > -+
0
et l'assertion de la proposition en résulte. CoROLLAIRE 1 .4. Si A est un sous-ensemble fermé de X et If e Ab(X), on
obtient une suite exacte naturelle
MÉTHODES ALGÉBRIQUES DANS LES ESPACES COMPLEXES
62
Cette suite exacte montre que les invariants H�+ 1(X, �) représentent les obstructions relatives à la surjectivité des applications de restriction H1(X, � ) -+ H1(X""'A , �). CoROLLAIRE 1 .5. Soit A un ensemble localement fermé de X et � un faisceau flasque sur X. Alors H�(X, �) = 0 pour tout i � 1 . Démonstration. Si U est un ouvert dans lequel A est fermé, alors le faisceau g- l U est flasque sur U. En remplaçant X par U on peut supposer que A est un fermé de X. L'application H0(X, �) -+ H0(X""'-A , �) est surjective et H1(X, �) = H 1(X""'-A , ti) = 0 pour i � 1 . La conclusion résulte alors du corollaire précédent.
Les groupes de cohomologie locale à support dans un ensemble localement fermé peuvent être calculés à l'aide de résolutions flasques. Il résulte du corollaire précédent, d'après une propriété générale des foncteurs dérivés («le théorème de De Rham abstrait», 1 . 1 .2.).
CoROLLAIRE 1 .6.
Remarque. Pour l'étude des invariants H�(X, • ) , ainsi que pour les autres invariants de ce chapitre, on peut éviter l'utilisation des faisceaux injectifs. Pour un faisceau � e Ab(X) on considère la résolution flasque de Godement ([34], Ch. II, 4.3.) 0 -+ � -+ eo -+ E: 1 -+ e• -+ •
.
.
et on définit H�(X, ti) comme étant les groupes de cohomologie du com plexe
A partir de cette définition on démontre les propriétés antérieures de la cohomologie locale. Il résultera du corollaire 1 .5 que, pour le calcul des invariants HA,(X, ti), on peut remplacer la résolution de Godement par n'importe quelle résolution flasque. Nous allons conclure les considérations cohomologiques globales en introduisant d'un nouvel invariant. Si � c 'P sont deux familles de supports dans X (non nécessairement paracompactifiantes), alors pour tout faisceau ti e Ab(X) on n otera
On obtient ainsi un foncteur dont les foncteurs dérivés à droite sont notés H;,1 �tX, • ) . En général r .,1� (X, �) n'est pas isomorphe à H3-1�(X, �). On déduit des propriétés des foncteurs dérivés le lemme suivant : LEMMA 1 .7. Sous
-+
naturelle 0
les conditions précédentes il existe une suite exacte
H�(X, S'") -+ H!i(X, �)
-+
H3-1�(X, lf) -+ H�(X, lf) -+ HJ,(X, lf) -+
.
•
.
63
COHOMOLOGIE LOCALE ANALYTIQUE
Passons maintenant à l'étude des invariants cohomologiques locaux, définis par Grothendieck et Sato. On garde les notations antérieures, donc X est un espace topologique, A c: X un ensemble localement fermé et !f 1e Ab(X). Pour i entier, on désignera par ��If le faisceau associé au préfaisceau U �o+ H�( U, !f), (U
c:
V) �- l'application naturelle H�(U, tf) <4- H�( V, tf)
(ici on entend par H�(U, tf) le groupe H� nu(U, !f l U) . . . ). On obtient ainsi une famille de foncteurs (�� ( • )) n •o et il est ai sé de vérifier qu'il s'agit de la famille des foncteurs dérivés du foncteur If �- ��If. Les invariants ��If sont par définition les faisceaux de cohomologie locale à supports dans A associés à If . Si A est un sous-ensemble fermé de X, alors X�!f est le sous faisceau de If formé par les sections à support dans A ; plus p r écisément , pour tout ouvert U de X, on a r( U, X�!f) rA(U, If) c: r( U, If). JI est aisé de vérifier que dans ce cas on a Supp 1f�!f c: A pour t out i. LEMME 1 .8 . Si 0 --+ Fi ' --+ ?i --+ If" -+ 0 est une suite exacte de faisceàux de Ab(X), on obtient alors la suite longue de cohom ologie =
La dém onst ra ti on résulte du lemme 1 .2.
En utilisant la proposition 1 .3 on obtient
PROPOSITION 1 .9. Si A est A " A�A' e t § e Ab ( X) , =
lo calem en t fermé dans X, alors on a la suit e exacte
A'
un
fermé de A,
qui 1•érijie les mêm?s propriétés que la suite de 1 . 3 .
Considérons maintenant le cas o ù A est fermé dans X. On désigne par Jil.�SF le fa iscea u de groupes abéliens définit par le pré faisceau U �- H1( U�A , SF). Les fai sceaux �:,.If sont no m més les faisceaux lacunaires de If relatifs à A. Avec les notations ci-dessus, �:,.If = Xx,Aif. Ces faisceaux coïncident aussi avec les faisceaux image directe donnés par l'inclusion X�A c: X. La limite inductive étant un foncteur exact et puisque, pour chaque point x e X, lim H1(U, If) = 0 (i � 1 ), on obtient de 1 .4 1e co r o l l ai re suivant --+
U3x
CoROLLA IRE 1 . 1 0. Si A
exacte
c:
X est un ferm é et If e Ab(X), alors on a la suite
COHOMOLOGIE LOCALE ANALYTIQUE
Les propriétés de la suite spéctrale donnent le ·
65
0
CoROLLAIRE 1 . 1 5 . Soit A un sous-ensemble fermé de l'espace topologique X et � un faisceau de groupes abéliens sur .J;. Soit q � un entier tel que H1(X, 1C��) 0 pour j � q et i � 1 . Alors le morphisme naturel =
est un isomorphisme pour tout i � q + 1 . Remarque. La suite spectrale de la proposition est utilisée seulement pour prouver ce corollaire. En appliquant 1. 1 . 1 . pour la composition ..(x, • ) rex, 1C�(•)) on obtient une démonstration directe du corollaire et on peut éviter ainsi les considérations de suite spectrale (on peut consulter aussi [ 1 0 1], lemme 0.6). On déduit du corollaire précédent et de 1 .4 le
r
=
CoROLLAIRE 1 . 16. Soit A un sous-ensemble fermé dans l'espace topologique X et � e Ab(X). Pour un entier q � 0 les trois conditions suivantes sont
équivalentes : (a) 1C�� 0 pour i � q. (b) Pour tout ouvert U de X, on a H�(U, �) = 0 pour i � (c) Pour tout ouvert U de X les applications de restriction =
q.
sont bijectives pour i < q et injectives pour i = q. Faisons encore la remarque suivante : si f:J est un faisceau d'anneaux sur X et � un f:J-module, alors les faisceaux 1C�� et dit�� possèdent une struc ture naturelle de f:J-modules. (b) La profondeur d'un module relative à un idéal ([44], SGA 2). THÉORÈME 1 . 1 7. Soit A un anneau noethérien, a un idéal de A, M un A-mo dule de type fini et q un nombre entier. Alors les trois conditions suivantes sont équivalentes :
(a) Ext�(N, M)
=
0
V(a) et pour tout i < q.
pour tout A-module N de type fini tel que Supp Ne
(b) Il existe un A-module de type fini N avec la propriété Supp N = = 0 pour i < q. (c) Il existe une suite M-régulière constituée de q éléments appartenant à l'idéal a. Pour la démonstration deux lemmes seront nécessaires. V(a), tel que Ext�(N, M)
66
M ÉTHODES ALG ÉBRIQUES DANS LES ESPACES COMPLEXES
LEMME 1 . 1 8. Soit A un anneau noethérien et M, N d(UX A-modules de M)) = Supp N n Ass M. type fini. A lors Ass(Hom
Démonstration. On a Ass ( H o mA (N, M)) c Supp (H om..(N, M)) Considérons
un épimorphisme A' -. 0 -.
H om A (
N -. O .
c
Supp N. On obtient alors la suite exacte
N, M) -. H om A ( A ' , M) � M'
et donc Ass ( H omA(N, M)) c Ass M' As s M. On a donc démontré ainsi l'inclusion Ass(H omA{N, M)) c Su pp N n Ass M. II est plus difficile de m ontrer l'inclusion contraire. Soit v e Su pp N. Montrons qu'il existe un mo rph i sm e non nul de A-modules N--. Afv. Ici NpfpNp est un A p /VA p -espace vectoriel non nul (conséquence du l emme de Nakayama) et de dimension finie. Soit v : Np/VNp -. A pfVA p un A p/VA p-morphisme non nul. II existe un élém e n t O # a e A/p c A pfVAp t el que l e morphisme av ait la propriété : =
av
Afp. Le m orphisme N -. Np -. NpfpNp --+ A/v es t un A morphisme n o n nul. Soit m a i n t en a nt v e S u pp N n Ass M. II existe un A-monom orphisme A /v -. M. Le composé de celui-ci avec un A-morphisme non nul N -. Afp est un morphisme u: N -+ M, et comme v = Ann u on aura v e Ass(H omA(N, M)).
av(Np/PNp)
c
LEM M E 1 . 1 9. Soit A un anneau noethérien, n un idéal de A et M un A -m odule de type fini. On a les assertions équiralentes .suivantes : (a) HomA (N, M) = 0 pour tout A-module de type fini N tel que
Supp N c V(a). (b) Il existe un A-module de typefini N possédan t la propriété Su pp N = V(a ) pour lequel HomA(N, M) = O. (c) L'idéal a n'est contenu dans aucun idéal appartenant à Ass M. (d) Il existe dans a un non diviseur de zéro pour M.
� (b) est évidente. Les implications (b) => (c) et (c) => (a) résultent aisément du lemme antérieur (l'ensemble Ass associé à un module de type fini est vide si et seulement si le m odule est nul !). L'équivalence (c) .- (d) résulte de ce que l'ensemble des diviseurs de zéro p ou r M coïncide avec la réunion des idéaux de Ass M et de [ 1 3], Ch. IV, § 1 , n°] , cor. 2, prop. 2. La démonstration du théorème. L'implication (a) => (b) est évidente. (b) => ( c) . Le cas q � 0 est évident, on peut donc supposer q > O. Hom (N, M) = 0 donne (d' ap rès 1 . 1 9) l ' e x i s t ence d'un élément fe a qui soit M-régulier. On a la suite exacte
Démonstration. L'implicatiop (a)
0
-.
1
M --+ M -. M/fM
-.
O.
En utilisant l 'hypothèse et la suite exacte donnée par les Ext il en résulte que Ext�(N, M/fM) = 0 pour i < q - 1 . D'ici , par induction suivant q, on déduit aisément l'assertion cherchée.
COHOMOLOG lE LOCALE ANALYTIQUE
67
(c) => (a). On utilise d e n ouveau la récurre nce s ui vant q. Le cas q � 0 est clair. S uppo s ons q > 0 et démontrons le passage de q - 1 à q. S oit ,/q) d onnée p ar (c) . On a la su ite exac te (f /1 , =
•
.
•
0
-+
f
M - M -+ M/fM -+ O.
D'après l'hypothèse de récurrence, o n déduit que Ext�(N, M/fM) = 0 pour tout A-module de type fini N ayant l a propriété que Supp N c V(a), p ou r tout i < q - 1 . Par conséquent, la multiplication donnée par f, Ext�(N, M) !. Ext�(N, M), est injective. L'élément/appartenant à a, une de ses p ui s sa nce s annule N, et donc au ss i Ext�(N, M). Il en résultera alors Ext� (N, M) 0 p our i < q et le t héo rèm e est dém ontré. Soient A, a et M comme dans l'énoncé du théorème. Le p l us grand entier q vé rifiant les assertions équiv al e ntes de 1 . 1 7 es t nommé la profon deur de M relative à a et est notée profa M. Lorsque A est local et a so n idéal maximal, on retrouve la notion usuelle de p r ofondeur. CoROLLAIRE 1 .20. Toutes les suites M-régulières formées avec des éléments de a et maximales pour cette propriété ont toutes le même nombre d'éléments, égal à profa M. =
CoROLLAIRE 1 .2 1 .
Si f e a est M-régulier, alors
prof0 M
=
prof0M/fM + 1 .
La démonstration se fait exactement comme pour 1 . 1 .6 (ii) .
COROLLAIRE 1 .22.
On a
prof0M = i nf (profA p Mp) . P E V< n l
Démonstration. Si les éléments f1, , fq de a cons t ituent une suite M-réguli è re , alors, pour tou t p de V(a), leu rs image s dans Ap appartiennent à p A, et elles cons tit u ent une suite Mp-régulière. Par conséquent profnM � � inf (prof Mp). •
•
•
P E V
Démontrons maintenant l' i négal i té contraire. On considère d'abord le cas prof4 M = O. Il en résulte que les élé me nts de a sont des diviseurs de zéro pour M. Par conséquent i l ex is te p e Ass A M tel que a c p. Comme pAP apparti e nt à Ass .. P Mp, on a profA p Mp =O (1. 1 .6), d'où la conclusion. Soit maintenant p r ofn M > O et soit fe a un élément M-régulier. D'après 1 .21 et 1. 1 .6 on a profn(M//M) = prof0M- 1 et prof (Mp/fMp) = prof Mp - 1 , p e V(a). On conclut la dé m ons t ra t io n à l ' ai d e d'une récurrence. 1 .23. prof M < co si et seulement si V(a) n Supp M =F 0. Ceci résulte de 1. 1 .6 (ii) et de 1 .22.
CoROLLAIRE
CoROLLAIRE 1 .24.
Alors prof0A � 2.
Soit A un anneau normal et a c A un idéal de hauteur
� 2.
68
M ÉTHODES ALGÉBRIQUES DANS LES ESPACES COMPLEXES
Démonstration. Soit p e V{a). L'anneau Ap est normal, de dimension � 2. D'après 1. 1 .8, prof Ap � 2 et la conclusion résulte de 1 .22. On pourait d'ailleurs donner une démonstration directe, comme dans 1. 1 .8. Nous finirons cette section avec le le mm e s ui vant : tp
LEMME 1 .25. Soit A -+ B un morphisme surjectif d'anneaux noethériens, a c A wz idéal et M un B-module de type fini. A lors prof
Démonstration. Soient .h, . . . , /q des éléments de a. Alors ils constituent une suite Mc'P1-régulière si et seulement si leurs images dans B forment une suite M-régulière. (c) Le lemme suivant sera utile par la suite :
LEMME 1 .26. Soit A un anneau local noethérien régulier, n M un A-module de type fini. A lors pour tout entier q
=
dim A et
dim ( Ext� (M, A)) � n - q. Démonstration. Soit p e Supp (Ext�(M, A)). Supposons que dim Afp >
n - q. L'annea u A étant rég ulier on a
dim A = n = dim Afp + dim Ap. L'anneau A p est régulier et dim Ap < q. En appliquant le théorème de Hilbert-Serre ([96], IV, th. 9 ) on obtient (Ext�(M, A)) p � Ext� p (Mp, Ap) = 0, ce qui est absurde. Remarque. No u s allons appliquer le lemme pour un anneau de séries con vergentes. La relation dim A = dim Ap + dim Afp est démontrée dans ce,.cas dans la section suivante (1 .28).
(d) Le lemme de normalisation pour les . algèbres analytiques. Rappelons quelques faits concernant les algèbres analytiques [ 1 8], [41], [71]. Une ([;-algèbre est nommée algèbre analytique si elle est isomorphe à un anneau . quotient (non nul) d'un anneau de séries convergentes. Les algèbres analytiques sont des anneaux locaux noethériens, à corps résiduel ([; (le corps des nombres complexes). Si A et B sont deux algèbres analytiques, alors tout morphisme de ([; -algèbres A -+ B est local. Nous utiliserons aussi le résultat suivant : pour toute algèbre analytique A et pour tout entier n, l'application Ho m ct- aJ1( ([; {X1, • • • , X,.}, A ) -+ (/) H-
(q> (XI))t,;i..,;,. est bijective (m.. est l'idéal maximal de A).
11-fois -m .. x . . . x m.. ,
69
COHOMOLOGIE LOCALE ANALYTIQUE
Considérons un morphisme de ct-algèbres analytiques
•
•
•
•
•
•
=
THÉORÈME 1 .27. Soit A une algèbre analytique et
une suite d'idéaux propres dans A. Il existe alors un morphisme fini et injectif de ct-algèbres ct {Xh . . . , Xn} -+ A et pour tout i, 1 � i � p, un nombre h(i}, 0 � h (i} � n, tel que pour i = 1 , . . . , p, . , Xn} = (Xb . . . , Xhw). ct {Xh · · . , X,} . Démonstration. O n procède comme dans le cas des polynômes ([96), II, th. 2). Il y a un morphisme fini et injectif ct { z1, , z,} -+ A. On est donc ramené à démontrer le théorème pour A = ct {zb . . , zn} . Considérons d'abord le cas p = 1 avec a 1 idéal principal non nul, a1 = x1A. L'algèbre A étant intègre, x1 n'est pas diviseur de zéro et on peut , x" pour A ([96], Ch. III). compléter en un système de paramètres x1 , x2, Le m orphisme ct {X} -+ A, X1 �-+- x1, X = (X1, Xn), est fini et injectif. Vérifions l'égalité a 1 n ct {X} = X1 ct {X}. Une inclusion est évidente. En ce qui concerne l'autre inclusion, soit a e a 1 n ct {X}, a = x1 S avec S dans A. L'élément S étant entier sur ct {X} et appartenant au corps de frac tions de celui-ci, il résulte que S e ct {X} (ct {X} est normal !) et donc a e X1 ct {X} . Le théorème est donc prouvé dans ce cas particulier en prenant h( 1 ) = 1 . On fait ensuite une récurrence suivant p. Pour le cas p = 1 on utilise une récurrence suivant n. Si n = 1 , a 1 sera un idéal principal et on est dans la situation déjà considérée. Pour le passage de n- 1 à n on fixe un élément non nul x1 appartenant à a 1 I l existe un morphisme fini injectif ct {X., Y2 , Yn} Yn} · -+ A tel que x1A n ct {X1, Y2, , Yn} = X1 ct {X1 , Y2, L'hypothèse d'induction appliquée à l'idéal a1 n ct { Y2, Yn} fournit un morphisme fini injectif ct {Xz, . . , Xn } -+ ct { Y2, , Yn}, ainsi qu'un a l n ct { Xh
·
·
•
•
•
.
•
•
•
•
•
• ,
•
•
•
•
•
•
•
.
•
•
•
•
• ,
•
•
• ,
•
MÉTHODES ALGÉBRIQUES DANS LES ESPACES COMPLEXES
70
, Xn} = (X2, nombre h tel que a 1 n ct (X2, , X11· ) ct {X2 . . . . , X, } . On vérifie a i sé m ent que le m orphisme a: { X } -+ a: {X1 , Y2, , Yn} est fini et injectif; il en est de même du m orp h i s m e obtenu par composition : •
•
•
•
•
•
•
a: {X} -+ a: {X11
Y2 ,
et donc le cas p
= 1
•
•
•
, Yn} -+ A. E n plus , a1
est
n
a: { X} = (X1,
•
•
•
•
•
, Xh) a: { X}
com plètement démontré. Supposons le théorème démontré pour p - 1 et démontrons-le pour p.
Il existe un morp h i s m e fini i njec ti f a: { Y1, Yn} ..: A et des nombres h(i), 1 � i � p - 1 , vérifiant l 'a sse r t i on du théorème pour la suite d'idéaux a1 c . . . c a p - l · Notons d = h(p- 1 ). Il existe un m orph i sm e fini inj ec t i f ct {Xd + � > . . . , Xn} _:. ct { Y., + h . . . , Y,} et un nombre r � d + 1 tels que aP n a: {x., + l . . . . , Xn} = (X4 u . . . . , X,) a: {Xd + 1, • • • , Xn}· Le m o rph ism e •
•
• •
X1 1-+ Y1 pour 1 � i � d et X1 H: v(X1) pour d + 1 � i � n, est fi n i et en le composant avec u on trouve un morphisme fini i nject i f a: { Xh . . . , Xn} -+ A. En posant h(p) = r o n conclut la démonstration.
Remarque. L' hyp o thèse suivant laquelle les algèbres an a ly t iques le sont sur le corps a: d es nombres c o mp lexes n'est pas essentielle ; on peut re m place r a: par un c orps valué complet arbitrai re.
CoROLLAIRE 1 .28. Soit A une algèbre analytique intègre et p un idéal premier de A. Alors dim A
= dim Afp + dim Ap.
Démonstration. Il existe un morphisme fini injectif ct { X} = ct {X�> . . . , X,} -+ A et un entier h, O �h �n, tels que p n ct { X} = (Xh . . . , X11) ct {X}. En appl iquant les théorèmes de Cohen-Seidenberg ([9 6], Ch. III) on trouve dim A = dim ct {X} = n, dim A /p = dim (
(e) Nous utiliserons le résultat suivant. «Si X !. Y est un m o rphism e fini d'espaces c om plexes et si § e Ceh(X), alors /. (� ) e Cob( Y)». On peut trouver des démonstrations dans [ 1 8] ; [7 1], Ch. IV, th. 7 ou bien au chapitre suivant où l'on c onsidère le cas général des morphismes propres.
71
COHOMOLOGIE LOCALE ANALYTIQUE
On utilisera aussi le résultat suivant : «Si X est un espace complexe et x un de ses points, alors il existe un voisinage U de x et un morphisme fini U -+ U', avec U' ouvert dans un espace numérique» ([1 8], exp. 1 9). 1 .30. Soit X un espace complexe et � e Coh{X). Alors toute suite ascendante de sous-faisceaux cohérents de � est localement stationnaire.
PROPOSITION
Démonstration. Le problème est de nature locale et donc on peut supposer que X est de dimension finie. On fera une récurrence suivant n dim X. Le cas n < 0 est évident, X étant vide. Supposons donc n � 0 et soit � 1 c tF1 c . . . une suite vérifiant les conditions de l'énoncé. Il faut montrer que tout point x e X admet un voisinage sur lequel notre suite est stationnaire. Soit x e X. Il y a un voisinage U de x, un ouvert V dans un espace numérique et un morphisme fini 1t : U -+ V. Les faisceaux 1t. (�). 1t . (� 1) sont cohérents. En plus 1t. {� 1) c 1t . (� 2) c . . . c 1t. {�) et si 1t. (�1) 1t.(lF1), alors � 1 lFj (d'après 1. 1 .20). On est donc ramené au cas X variété, que l'on peut supposer en plus connexe. � étant, localement, le quotient d'un faisceau de la forme é' on se ramène aisément au cas � éY et donc en fin de compte au cas � eJ. Dans ce cas �� seront des faisceaux cohérents d'idéaux. Si �� = eJ pour tout i, il n'y a rien à démontrer. Soit donc un indice i tel que � 1 :/= eJ. � 1 définit un sous-espace X, de X, différent de ce dernier et donc de dimen sion au plus n - 1 . Les faisceaux tF1, .i � i, correspondent à des faisceaux d'idéaux sur X1• La conclusion recherchée résulte alors de l'hypothèse de récurrence. La démonstration donnée est celle de [97] ; on peut en trouver une autre dans [37] , th. 8. =
=
=
=
=
§ 2. Les ensembles singuliers des faisceaux cohérents Soit X un espace complexe, eJ son faisceau structural. Pour un faisceau � e Cob(X) on utilisera les notations prof �
=
inf prof �x et dim �
xex
=
sup dim �x (
xeX
=
dim (Su pp S:)).
Pour un entier m, on notera S,. (�)
=
{x e X 1 prof �x � m}.
Ces ensembles sont dénommés les ensembles singuliers du faisceau �. Le résultat principal de ce paragraphe est le théorème suivant de Scheja [88] :
72
MÉTHODES ALGÉBRIQUES DANS LES ESPACES COMPLEXES
analytique cohérent sur X. Les ensembles singuliers S,.(�) sont des sous-ensembles analytiques fermés de X et dim S,.(�) � m pour tout entier m.
THÉORÈME 2. 1 . Soit X un espace complexe et � un faisceau
Démonstration. Le problème est de nature locale, donc on peut supposer 1 l'existence d'une immersion fermée X -+ V, V étant un ouvert d'un espace numérique. En appliquant 1. 1 .7, il en résulte S,.(�) = S,.(i. (�)) et on peut se ramener ainsi au cas X variété. Soit n = dim X. D'après 1 . 1 . 1 5 on a
S,.(�) =
U
r "'; n - m
Supp (Exté(tF, éJ)) .
Les faisceaux Ext' sont cohérents et nuls pour r > n et la première assertion est ainsi démontrée. En ce qui concerne la seconde assertion, il suffira de montrer que dim (Exté(tF , éJ)) � n - r pour tout entier r. Pour cela il faut montrer que dim (Exté(tF, éJ)x) � n - r pour tout point x de X. Mais on a l'iso morphisme Exté(� , éJ)x � Ext�(�x• éJ.x) et on applique le lemme 1 .26. Le théorème est donc démontré. Si A c X est un sous-ensemble analytique fermé, alors codim A = inf codim,xA, où codim.xA est la hauteur de l'idéal défini par A dans e.x .x e x
(si x ' A on pose codim.xA = oo ) . En général, pour x e A, codimxA :f: dim.xX - dim,xA. Cependant le fait suivant, remarquable, est vrai : il existe un voisinage U de x tel que codim,xA = inf (dim,X - dim,A) ([1 8]). yeu
Si A c B sont des sous-ensembles analytiques fermés, alors codim (A, B) est la codimension de A dans le sous-espace analytique réduit de X donné par B (la codimension de A dans X et dans Xred est la même, et la définition précédente est compatible avec celle donnée auparavant). On notera, pour un faisceau � e Cob(X) et pour un point x e X, def.x�
=
{
si �.x = 0 dim fF.x - prof �.x si �.x .;: O. 0
Pour un entier m on note
Ces ensembles sont dénommés les ensembles de défaut de � [1 8], [88]. Pour = {x e XIdim �.x :f: prof �.x} coincide avec l'ensemble des points de X dans lesquels la fibre du faisceau � n'est pas un module de Cohen-Macauley.
m � 1 , D,.(�) c Supp � . D1 (�)
COHOMOLOGIE LOCALE ANALYTIQUE
73
CoROLLAIRE 2.2. Les ensembles Dm(�) sont des sous-ensembles analytiques fermés dans X et, pour m � 1 , codim (Dm(�). Supp �) � m. Démonstration. Pour tout m � 0, Dm(�) =r X. En remplaçant X par (Supp �. eJfAnn �ISupp �) on peut supposer Supp � = X. Le problème est de nature locale et on peut donc supposer dim X = d < oo. Si m > d, Dm(�) est l'ensemble vide et les assertions sont évidentes. Soit donc 1 � m � d. On a la décomposition
Dm(�) = U At. avec A1 = {x e X l dim.,X � k} n St - m(� ) . m ,; k ,;d
Vu que {xldim..X � k} est la réunion des composantes irréductibles de X de dimension � k, il résulte du théorème que les ensembles Dm(�) sont analytiques fermés. En plus, dim..A1 � dim.. S1_ m(�) �k-m � dim..X-m pour tout k et tout x e A11 • Il en résulte que dim..Dm (�) � dim..X - m pour tout x e X. On en déduit l'inégalité codim Dm(�) �m et le corollaire est démontré. CoROLLAIRE 2 .3. Soit X un espace complexe et � e Cob(X). L'ensemble des points x e X pour lesquels �x n'est pas un eJ..-module de Cohen-Macauley est analytique et fermé. CoROLLAIRE 2.4. Soit X un espace complexe. L'ensemble des points où X
n'est pas parfait est analytique et fermé, de codimension � 1 .
§
3 . Le théorème d'annulation
Soit X un espace complexe, eJ son faisceau structural, A c X un sous ensemble analytique fermé et a: = �(A) le faisceau maximal d'idéaux définissant A . Pour tout faisceau ti e Coh(X) on notera profA,.x?f = profa;,.tfx (x = point de A) et profA� = i n f profA , .x ?f . D'après 1 .23, profA.� oo si =
x eA
et seulement si �x = O Le nombre profA.� est nommé la profondeur de �
par rapport à A.
.
LEMME 3. 1 . La fonction x � pro fA. , x� est semi-continue inférieurement
sur A .
Démonstration. Aux points x d e A o ù �.. = 0 l'assertion est évidente. Soit x e A tel que p rofA , x� = q < oo . Il existe donc des éléments (fi.).. , . . . . . . , ([q).. e a:.. constituant une suite �x-régulière. Soient fi., . . . , [q e r( U, d) des sections dans un voisinage U de x représentant ces germes. Les morphis mes de faisceaux sur U
j'�
jj� -+ �
j� '
jjti J-1 donnés par la multiplication avec f1 (1 � i � q) sont injectifs au point x, donc ils le sont encore sur un voisinage V de x. Pour tout y e V n A, (fJ1 ,
ti
J-1
•
•
•
74
MÉTHODES ALGÉBRIQUES DANS LES ESPACES COMPLEXES
. . . ' u;,), sont des éléments de a:, et constituent une suite /Y ,-régulière, donc prof.. , ,.f" � q . PROPOSITION 3.2. Soient X un espace complexe, A un sous-ensemble analyt ique fermé de X, of" e Coh(X). A lors le faisceau 'JC�.f" est cohérent et il est égal au sous-faisceau de of" constitué par toutes les sections de of" annulées locale ment par des puissances de l 'idéa l d = � (A ) .
Soit !Y <Xl le sous-faisceau de :'f constitué par les sections annulées localement par des puissances convenables de a:. Si l'on note tf, le sous-faisceau de tf formé par les sections annulées par clk on obtient une suite ascendante Démonstration.
!J 1 c tf2 c
. . . c � et /Y "' = U IY1• k�t
Chaque faisceau .f" k est cohérent, car c'est le noyau de l'application canoni que � -+ Home(dk , �) donnée par s 1-+ Cf �-+ fs). D'après 1 .30, cette suite sera donc localement stationnaire, donc of" 00 est cohérent. On montrera que X�!f = tf 00 et la proposition sera démontrée. L'inclusion tf 00 c 'Jt�.t" est immédiate, l'autre résulte du théorème des zéros de la manière suivante. Soit s e r.. ( u, tf) avec U ouvert de X. Notons JI> le noyau de l'appli cation �l U -+ tf i U, f�-+ fs ; � est le faisceau annulateur de s et Supp s est le sous-ensemble analytique associé V(�). Comme V(�) c A n U, la conclusion en résulte. PROPOSITION 3.3. Soient X un espace complexe ," A c X un sous-ensemble analytique fermé de X et tf e Cob(X). Pour un point x de A les deux conditions suivantes sont équivalentes : (a) profA,x.t" � 1 ; (b) (X��)x = O. Démonstration. (a) � (b). Soit /,. e a:x un non diviseur de zéro pour !f..{d = �(A)). Considérons un élément arbitraire sx e (X�.t")x. D'après la proposition précédente d�sx = 0 pour un certain entier k. Il résulte en particulier J1sx = 0 et donc s"' = O. (b) � (a). Supposons que profa; tf"' = O. Il en résultera que tous les " éléments de d"' sont des diviseurs de zéro pour of"x· Il existe donc un idéal p e Ass Ifx tel que d"' c p . L'idéal p est l'annulateur d'un certain élément s"' =F 0 de tfx· On a a:�"' = 0 et donc ds = 0 pour un représentant s de s"' dans un voisinage U de x, convenablement choisi. On en déduit que Supp s c A n U et donc s"' e (X� tf)"' = 0, ce qui est absurde. On utilisera Je cas particulier suivant du lemme de Fre rikel [3 1]. LEMME 3.4. Soient L1 c G: " un polydisque ouvert centré en 0, d � 0 un entier et A = L1 n {z4 + 1 = . . . = z, = 0}. L' application canonique H0(L1 , �) -+ H0(L1""-A , �) est injective pour d � n - 1 , b ijectil e pour d � n -- 2 et H1(L1""-A, �) = 0 pour 1 � i < n - d - 1 . ·
•
7S
COHOMOLOGIE LOCALE ANALYTIQUE
Démonstration [86]. Notons U1 = {z e Ll jz 1 :!= 0}, pour 1 = d + 1 , . . . , n , On obtient ainsi un recouvrement 'l de LI"'-A avec des ouverts de Stein, donc H•(LI"'A, él) � H•(tt, él).
Notons U = UH 1 n . . . n Un. Soit S c: {d + 1 , . . . , n}. Tout élément fe él( U) peut être développé en série de Laurent : f=
� .f.(z�o . . . , z4) z��+11 •
•
•
•
ex
z:",
= (cx4 + 1 ,
•
•
•
,
an) ,
les coefficients .f. étant holomorphes. On notera Os(f) la somme des termes dans lesquels l'ensemble des indices des variables ayant des exposants négatifs coïncide avec S. On obtient ainsi un endomorphisme Os : él(U) -+ él(U).
On vérifie aisément que la somme des Os est l'identité. Si fe él(U1• • • • ,) ; alors Os(/) e él( U1• • • • 1) et donc les Os p e uvent être prolongés aux cochaînes, Remarquons encore que si / ,P S et fe él(V,• . . . 11_ 1), alors Os(f) e él(U1• . . . 1 H). Soit maintenant 1 � i < n - d - 1 . Montrons que tout cocycle fe Z1("lt, él) est un cobord. Il suffit de montrer que tout Os(/) est un cobord. La condition i < n - d- l mont re que Os(/)= 0 pour S = {d + 1 , . . . n}. On peut donc supposer qu'il existe un indice 1 e { d + 1, . . . , n} n'app ar tenant pas à s. On définit g E c'- 1("\t, él) par les formu les On a (c5g),• . . . 1 , =
k�o (
- WKI, . . .Î,. . . . 1 , = Os
Cto (
- 1 )k J;l• . . .Î,. . . . 1 ,
)
= Os(fr• . . . 1 ,) .
R emarquons que, pou r obtenir la dernière égalité, on a utilisé le théorème d'identité pour les fonctions hol o morp hes . Donc H1(LI"'-A , él) = 0 po ur 1 � i < n - d - 1.
Les autres asse rt ions du lemme se démontrent facilement.
Remarque. Le lemme peut être déduit aisément aussi de l'étude de la coho mologie du complémentaire d'un point (1. 3.3) en uti l isant les produits t enso r iels topologiques (un raisonnement simple de type Künneth ! ).
PROPOSITION 3.5. Soient D c: a: n un domaine, A c: D un sous-ensemble analytique fermé de dimension d et Fi e Cob (D) . Si prof fi � d + q, alors x�� = 0 pour 0 � i < q.
Démonstration. N ous allons montrer tout d'abord que X�él = 0 pour 0 � i < n - d. C o n sidé rons en premier lieu le cas où A n'est pas sin-
MÉTHODES ALGÉBRIQUES DANS LES ESPACES COMPLEXES
76
gulier. Soit x un point arbitraire de A . Par une transformation biholo morphe au voisinage de x on peut supposer x = 0 et A n U = {z4 + 1 = =Zn = 0}, U étant un voisinage de x convenablement choisi. Pour tout polydisque ouvert ..1 contenu dans U et ayant 0 pour centre il en résultera, conformément au lemme de Frankel et au théorème B de Cartan, que H�(Ll , tl) = 0 pour i< n - d. Par conséquent (�C�tl).,. = 0 pour i < n - d. Considérons ensuite le cas où A est un sous-ensemble analytique quelconque. On procédera par récurrence suivant d = dim A. Le cas d = 0 résulte de ce qui a été dit ci-dessus. Pour le cas général, soit A' le lieu singu lier de A et A " = A""-A'. On a la suite exacte •
•
.
Mais dim A' � d - 1 , donc l'hypothèse de récurrence donne ��·tl = 0 pour i < n d + 1 . Soit D' = D""-A'. D'après ce qui a été déjà démontré, on a x� & = 0 sur D' pour i < n - d. Soit U c: D un ouvert arbitraire. D'après 1 . 1 et 1 . 1 6, H� (U, tl) = HJ·(D' n U, tl) = 0 pour i < n - d. Donc x� tJ = 0 pour i < n - d; il en résulte que X�tl = 0 pour i < n - d. Passons maintenant à la démonstration de l'assertion de la proposition dans le cas général ; pour cela on procédera par récurrence descendante par rapport à prof �. Si prof � > n, � est nul et l'assertion est évidente. Démontrons le pas général de récurrence. Soit x un point arbitraire de D. Si �"' est libre, alors � sera libre dans un voisinage de x; il en résultera q � n - d et donc (X��)"' = 0 pour 0 � i < q, d'après ce qui a été démontré ci-dessus. Supposons maintenant que �"' n'est pas un &"'-module libre. On aura alors l'inégalité n > d + q. Il existe une suite exacte de la forme -
..
..
..
0 -+ 'I U -+ � l U -+ 0
avec U vo1smage convenable de x. On en déduit l'inégalité prof
COHOMOLOGIE LOCALE ANALYTIQUE
77
Le résultat principal du paragraphe est le théorème suivant d'annulation de la cohomologie locale dû à Scheja et Trautmann [88], [108], [101].
THÉORÈME 3.6. Soit X un espace complexé, A c: X un sous-ensemble analytique fermé et � un faisceau cohérent sur X. Alors, pour tout entier q � 0, les conditions suivantes sont équivalentes: a) profA� � q + 1 . b) dim(A n SH q + l(�)) � k pour tout k. c) %�� 0 pour i � q. d) Pour tout ouvert U de X les applications de restriction
=
sont bijectives pour i < q et injectives pour i = q.
Démonstration. L'équivalence (c) <=> (d) résulte de 1 . 1 6. (a) � (b). Soit a: le faisceau d'idéaux déterminé par A et soit x un point arbitraire de A. Le fait que profa:x �x � q + 1 implique l'existence d'un voisinage U de x et des sections ft, . . . , f't + 1 appartenant à r(U, d) telles que, pour tout y e U n A, les germes (f1)7(1 � i � q + 1) forment une suite �,-régulière (conformément à la démonstration du lemme 3. 1). En appliquant 1 .21 on obtient : A n u n Su q + l<� >
=An
( j :t: f� }
u n s" �
En utilisant le théorème 2. 1 on en déduit que dim,x(A n Su11 + 1(�)) � k. (b) � (c). On utilise une récurrence suivant la dimension de A. Suppo et soit x un point arbitraire de A. On a dim (A n S11(�)) � - 1 , sons dim A donc l'intersection U n Sq(�) est vide pour un voisinage convena�le U de x. Il en résultera alors prof (� 1 U) � q + l. En utilisant la proposition 3.5 (et les assertions de 1 . 1 3 et 1 .25 !) on a X�� I U = 0 pour i � q. Démontrons le pas général de récurrence. Soit d = dim A et supposons que l'implication a été démontrée pour les sous-ensembles analytiques de dimension < d. On note A' = A n Sq + d(� ) et A" = A"'-A'. D'après 3.5, X� . . S" = 0 pour i � q. L'ensemble A' est de dimension � d - 1 et vérifie la condition (b), donc d'après l'hypothèse de récurrence x� . � = 0 pour i � q. La conclusion recherchée résulte alors de la suite exacte
=0
(c) => (a) . On va prouver le résultat plus précis : si (X��}x = 0 pour un point x appartenant à A et pour i � q, alors p rofA ,.x� � q + 1 . En uti lisant 3.3 on trouve un voisinage U pour x et un élément fe r( U, d) tel que la suite
78
M �THODES ALG�BRIQUES DANS LES ESPACES COMPLEXES
soit exacte, la flèche 11 1 U -+ 11 1 U étant la multiplication par f. On obtient la suite exacte sur U . . . -+ X�§ -+ X� (§ //11) -+ x�+ 1§ -+ • •
•
donc X�(§ //!f)x = 0 pour i � q - 1 . On conclut la démonstration par une récurrence suivant q et en utilisant le corollaire 1 .2 1 . Le théorème est démontré. Remarque. Pour q = 0 on obtient des conditions nécessaires et suffisantes pour que les applications H0( U, 11) -+ H0( V""-A, 11) soient injectives. Pour q 1 on trouve des conditions nécessaires et suffisantes pour que les appli cations H 0( U, 11 ) -+ H0(U""-A, 11) soient bijectives, et que H1{U, §) -+ -+ H1(U""-A, �) soient injectives. Donnons maintenant des conséquences du théorème d'annulation. et
=
COROLLAIRE 3.7. Soit x un point de A tel que (X�!f)x = 0 pour i � q. 1/ existe alors un voisinage U de x tel que X�!f l U = 0, i � q. Ceci résulte de la démonstration de l'implication (c) � (a), du lemme 3 . 1 et de l'équivalence (a)
un espace . complexe, fe r(X, é'), V(j) = Supp (é'//é') l'ensemble des zéros def et § e Coh(X) . Les deux conditions suivan tes sont équivalentes : (a) dim V(f) n SH 1(§) � k pour tout k ; (b) h est un non diviseur de zéro pour §x, quel que soit le point x de X. Démonstration. (a) � (b). On applique le théorème pour A = V(f) et q O Il en résulte profy(/)§ � 1 . Soit x un point de V(f). Il existe un élément gx e :J( V(f))x, non diviseur de zéro pour §x · Une certaine puissance de cet élément est de la forme fxh", h" e e". Il résulte alors que fx est un non diviseur de zéro pour §x · Si x n'est pas dans V(f), alors k est i nversible et (b) est e ncore vérifiée. L'implication inverse est une conséquence immédiate du théorème. Reformulons 3.5 pour les espaces complexes, comme une conséquence d u théorème. CoROLLAIRE 3.9. Soit X un espace complexe, A c X un sous-ensemble analytique fermé, � e Cob(X) et q un entier. Si prof § � dim A + q + 1 . alors X�§ 0 pour tout i � q. On obtient une autre conséquence en considérant l'ensemble analytique A du théNème de dimension zéro. CoROLLAIRE 3.8. Soit (X, é')
=
.
=
CoROLLAIRE 3 . 1 0. Soit X un ,espace complexe, x un point de X, ?F e Cob(X) et q un entier. Alors prof §x � q + 1 si et seulement si, pour tout voisinage
U de x, les applications canoniques
H1(U, §) -+ H1( U""'{x}, §) sont bijectives pour i < q et injectives pour i
=
q.
COHOMOLOGIE LOCALE ANALYTIQUE
79
CoROLLAIRE 3 . 1 1 . Soit (X, él) un espace complexe et soit A un sous-ensemble analytique fermé de X tel que profAé' ;;?; 2. Alors X est connexe û et seule
ment si �A est connexe. La démonstration résulte de 1.4.9. De ce qui a été démontré on déduit des résultats remarquables concer nant les espaces parfaits (en particulier pour les variétés, pour les espaces localement intersection complète, pour les sous-ensembles analytiques de dimension pure (n - 1) des variétés de dimension n). En particulier on obtient le résultat suivant de Thimm et Scheja, [106] et [87].
COROLLAIR E 3. 12. Soient (X, é') un espace complexe parfait et A un sous on de resensemble analytique fermé de codimension ;;?; 2. Alors l'applicati . triction F(X, él) -+ F(X"'A, é') est une bijection.
Pour le corollaire suivant on suppose que X est un espace complexe réduit et A un sous-ensemble analytique fermé de X. Une fonction holo morphe sur X"'-A est bornée aux points de A si pour tout point x de A il existe un voisinage U de x tel que fi U"'-A soit bornée.
CoROLLAIRE 3. 1 3. (Scheja [87]). Soit X un espace analytique réduit et parfait. Alors X est normal si et seulement si codim S(X) ;;?;2, où S(X) est le lieu singulier de X. Démonstration. L'assertion «X normal = codim S(X) ;;?; 2» est une pro priété générale des espaces complexes (1], [ 1 8], [7 1]. Supposons que codim S(X) ;;a-; 2. Soit xe X un point arbitraire et fx/g,. un élément de l'anneau total des fractions de él,., entier sur é'". Il existe un voisinage U de x et des fonctions holomorphes J, g, ai> , a, sur U telles que les germes de J, g au point x soient fx, g,. et que l'on ait l'égalité : .
•
.
(fig)' + al(f/g) ' - 1 + . . + a, = O. .
f/g est une fonction holomorphe sur U"'-A, A étant l'ensemble des zéros de g. En prenan t éventuellement pour U un voisinage plus petit on déduit que fig est bornée aux points de A. En appliquant le premier théorème de prolon gement de Riemann (7 1 ] il en résulte l'existence d'une fonction holomorphe h sur U"-._S(X) telle que h =flg sur ( U"-S(X))"-._A . On applique maintenant le corollaire précédent et on trouve que cette fonction se prolonge en une fonction holomorphe sur U. II en résultera alors que fx/g,. e é',., donc é',. est un anneau normal. Donnons maintenant un résultat plus général. CoROLLAIRE 3 . 1 4 . Soit (X, él) un espace complexe et S = {x e X I é',. n'est pa.s régulier} le lieu singulier. Alors {i) X est réduit si et seulement s i dim (S n S1(é')) � k - 1 pour tout k ; (ii) (Markoe [68]) X est normal si et seulement si dim (S n S"(é')) � k - 2 pour tout k.
80
MÉTHODES ALGÉBRIQUES DANS LES ESPACES COMPLEXES
Démonstration. (i) Il est évident que X est réduit si et seulement si, pour tout ouvert U de X, l'application r(U, 6) -+ r(U""'S, 6) est injective. La conclusion résulte alors du théorème ((b) *> (d)). (ii) X est normal si et seulement si, pour tout ouvert U de X, l'appli cation F(U, 6) -+ r(U""'S, 6) est bijective (ceci résulte des propriétés géné rales concernant la normalisation des espaces complexes [71]). On appli que le théorème ainsi que le : LEM ME 3. 1 5. Soit X un espace topologique, A un sous-ensemble fermé et 8l un faisceau de groupes abéliens sur X. Supposons que, pour tout ouvert U de X, l'application F(U, 8l)-+ r(U""'A, 8l) est bijective. Alors l'application H1(X, 8l) -+ H1(X""'A, 8l) est injectil'e.
Démonstration. Il résu l te de la suite exacte
que X�8l = X�8l = 0 et la conclusion résulte du corollaire 1 . 1 6. CoROLLAIRE 3. 1 6 (Scheja [87]). Soient (X, 6) un espace normal, A un sous ensemble analytique fermé de codimension ;;31: 2. Alors l'application de res triction F(X, 6) -+ F(X""'A, 6) est bijective. Ceci résulte du théorème, en utilisant 1 .24. Rappelons qu'un e-module � est dit être réflexif si le morphisme ca noni qu e � -+ (� v ) v = Home;(Home;(� . 6), 6) est un isomorphisme. 3. 1 7. (Serre [97]). Soit X un espace normal, A e X un sous ensemble analytique fermé de codimension ;;31: 2 et � e Coh(X) un faisceau réflexif. Alors profA� ;;31: 2. En particulier, l'application canonique CoROLLAIRE
F(X, �) -+ F(X""'A, �)
est bijective. Démonstration. On notera i l'inclusi on X""'A c X. Soit éj=Home;(� , 6), donc � � Home;(�, 6). On a i*� = Hom (i*�, ex,..t) et donc i.i· � = i.(Hom(i* (fj , 6x ,..))= Hom ((fj , i.ex,..t)=Hom ((fj, é',T) � � (la seconde égalité résulte du fait que i. et ;• sont adjoints, et l'égalité ;.ex,A = 6x du corollaire précédent). De la suite exacte
il résulte X� � = X�� = 0 et la conclusion recherchée résulte m aintenant du théorème.
81
COHOMOLOGIE LOCALE ANALYTIQUE
CoROLLAIRE 3 . 1 8. Soit (X, él) un espace de Stein et A c X un sous ensemble analytique tel que profAél � 3 (par exemple X variété et codim A � 3). Alors le problème de Cousin additif a une solution sur X"-A· Si en plus on suppose que H 2(X"-A Z) = 0, alor6 aussi le problème de Cousin multiplicatif a une solution sur X"-A. La démonstration est la même que celle de 1. 4.5. ,
CoROLLAIRE 3 . 19. (Rothstein [83]). Soit X une variété complexe et A c X un sous-ensemble analytique de codimensions � 3. Alors les données de
Cousin additives sur X"'-A se prolongent sur X.
Démonstration [87]. On considère le diagramme commutatif ayant les lignes exactes F(X, &m. ) --· F(X, &m.fél)
!
l
--
H1(X, fJ) -- H1(X, &m.)
l
1
F(X"'A, &m.) --· F(X"'A , g}[feJ) --· H1(X"'A, fJ) --· H1(X"'A , g}[) et la troisième flèche verticale bijective. Pour tout ouvert U, l appl ication de restriction F( U, &m.) -+ F(U"-A , &m.) est bijective [7 1]. On déduit du lemme 3 . 1 5 que la dernière flèche verticale est injective. Il en résulte aisément que l'application nx, g}[feJ) -+ -+ r(X'-'A, &m.fél) est surjective. '
§ 4. Le théorème de finitude On garde les notations des paragraphes précédents. On notera Sm(� IX"'-A) l'adhérence dans X de Sm(� IX"'-A). Il est facile de voir qu'il s'agit de la réunion des composantes irréductibles de Sm(�) qui ne sont pas contenues dans A. Le résultat principal du paragraphe est le théorème de finitude pour la cohomologie locale de Siu et Trautmann [100], [ I l l], [101], analogue à un théorème de Géométrie algébrique de Grothendieck. THÉORÈME 4 . 1 . Soit X un espace complexe, A c X un sous-ensemble analytique fermé et � e Coh(X). Pour tout entier q � 0 les deux conditions suivantes sont équivalentes : (a) dim A n Slt+ q+l(� IX"-A) � k pour tout k ; (b) Les faisceaux X�� sont cohérents pour 0 � i � q. La démonstration de l'impl ication (a) => (b) nécessite quelques pré liminaires qui permettrons de déduire que , lorsque la condition (a) est vérifiée, les faisceaux ��� (0 � i � q) sont annulés localement par des puissances convenables de tt 2(A). A l'aide de ce fait , en utilisant une récurrence suivant q, on pe ut démontrer sans difficultés l i m plication considé rée . =
'
82
MÉTHODES ALGÉBRIQUES DANS LES ESPACES COMPLEXES
LEMME 4.2. Soit D un domaine de ([", A c D 1111 sous-ensemble analy tique fermée de dimension � d et � e Coh(D). Pour 0 � q � n - d soit ��� le faisceau maximal d'idéaux définissant S9+11- 1(�). Alors, pour tout ourert X c c D dont l'adhérence est holomorphiquement convexe, il existe un en tier k tel que pour tout ouvert U de X et i < q on ait r(U, �,)" · H�(U, �)
= O.
Démonstration. On considère d'abord Je cas q = n - d. L'hypothèse faite sur X donne l'existence sur un voisinage de X d'une suite exacte de la forme e étant le faisceau de germes de fonctions holomorphes dans ([;" et �· le dual de � . E n appliquant le foncteur d e passage a u dual o n obtient l a suite de morphismes de <9-modules '1' - s
o�
(I)
�
9' - 1
--Jo
'1'1
.,,
e·· - es· -· . . . ,
où cp _ 1 est le morphisme composé � -+ � · · -+ <9'•. Sur D""' S, _ 1(g;) Je faisceau g; est localement libre et il en résulte alors que la suite (1) est exacte sur x""'s, _ l(g;). On définit pou r i � - 1 les faisceaux � � = l m cp 1 _ h �� = Ker cp1 et ! 1 = $d�1 • De ce qui a été dit, il résulte que Supp !1 c S, _1(g;), En appliquant le théorème des zéros on trouve un entier 1 tel que 8.1�!1 I X = O. On en déduit (II) pour tout ouvert U de X et tout k ;;1 O. Démontrons par récurrence descendante suivant j � 0 les deux asser..: tions suivantes : Il existe un entier 1 ;;1 0 tel que pour tout ouvert U de X r(u, :J,Y ·H�( U, �1) = 0 pour i < q - j. ( * * )J
{ {Il
existe un e ntier 1 � 0 tel que pour tout ouvert U de X . r(U, 8.1,Y ·H�( U, �1) , 0 pour i < q - j.
Pour j > q ces deux assertions sont automatiquement vérifiées. En utilisant la suite exacte 0 -+
g.,J -+ �J -+ �J
-+ 0
COHOMOLOGIE LOCALE ANALYTIQUE
83
on obtient la suite exacte H�- 1(U, �1) -+ H�(U, �1) -+ H�( U, S1).
On en déduit à l'aide de (Il), que (•)1 suite exacte
=>
1
(u)1. Soit j � 1 . En utilisant la
ainsi que le fait que H�(U, é>) 0 pour i < q (q = n - d) , on déduit les isomorphismes H�-1(U, gr,1) � H�(U, $1_ 1) pour i < q- j + 1 . On a ainsi l'implication (u )1 => ( • )1 - � > j � 1 . Ainsi les assertions ( • ) et ( * * ) sont démontrées. On déduit de la suite exacte =
o - s _ 1 - tl'
la suite exacte
-
&)0 - o
. . . -+ H�( U, $ _ ) -+ H�(U, �) -+ H�(U, 8ù0) -+ . . . 1
On a $ _ 1 ! _ 1 et en utilisant (Il) et ( u )0 on obtient facilement la conclusion du lemme. Le lemme étant prouvé pour q = n - d, passons maintenant au cas général. On utilise une récurrence décroissante suivant q. Soit q < n - d. D'après l'hypothèse faite sur X il existe sur un voisinage de X une suite exacte 0 -+
Il en résulte l'égalité Sq +d- (tJ') S(q + I +d-l
r(U, �)1 H�(U, tl') = O. Démonstration. Notons, pour un entier k � 0, Ak A n Sk + q et Alc + l = Au 1""-Sk + q· On va démontrer, à l'aide d'une récurrence par rappor,t =
COHOMOLOGIE LOCALE ANALYTIQUE
Puisque St +.JW ffW)
c:
8S
s, +t + 1(s:-), on a
dim A n S
-+ �� � -+ s:- -+ .ji,� s:- -+ �� � -+
0,
où A�W est le faisceau U�-+F(U"'A, s:-) définit dans le § 1. �1W étant supposé cohérent, on déduit que A�s:- est cohérent. La conclusion résulte du théorème 3.6, parce que X�(A� s:- ) = 0 pour i = 0,1 et Sm(�IX"'A) c: Sm(.ji,� s:- ) . Le cas général q � 2 sera démontré par récurrence suivant q. Supposons l'implication démontrée pour les entiers inférieurs à q; on va la prou\rer aussi pour q. On a dim A n St +,C�IX"'A) �k pour tout k. Supposons par l'absurde qu'il existe un point x de A tel que d imxA n St+ 9 +1(W I X".A) = k + 1 pour un entier k. Il existe un point y e A n St + q u(W I X"'A) tel que y ri Sk + 4(s:- IX"'A) et (•)
dim, A n � + t + 1(s:- I X"':4) = k + 1 . Pour un voisinage convenable U de y o n a U n S� + 9(s:- I X"' A) = 0 . De (•) et du fait qu'aucune composante de s� + t + 1(s:- I X"'A) n'est contenue dans A résulte l'inégalité dim , Sk + q + l(s:- I X"'A) � k + 2. En prenant au besoin U plus petit on peut trouver un sous-ensemble analytique fermé B dans U n � + q + 1(s:- I X"'A) tel que dim B = k + 2, dim A n B = k + 1 et B = (B'\,A)- . Puisque q � 2, en prenant U encore plu s petit, on peut trouver f e r( U, 6') ayant la propriété que l'ensemble analytique V(f) des zéros de f contient B mais ne contient aucune composante irréductible de dimension 1 + q + 1 de s; + 4 u(W I X"'A) pour 1 � k. On a ainsi dim V (f) n sl + q + l(� I X"'A) � 1 + q pour 1 � k . Mais, comme U n St + ,(s:- 1 X"' A) = 0, on obtient dim V(f) n Sm + 1(W) n (U"'A) �m, pou r tout m. D'après 3.8, J. est non divi seur de zéro pour W, pour tout z e U "'A . On obtient ainsi une suite exacte sur U""-A o -+ w -+ s:- -+ s:-If� -+ o,
le morphisme s:- -+ W étant la multiplication par f En tenant compte de la définition des faisceaux AA(§ 1) on obtient une suite exacte sur U •
•
•
-+ A� W -+ A� W -+ .ji,�(W jfs:-) -+ A�+ l s:- -+
•
.
•
86
MÉTHODES ALGÉBRIQUES DANS LES ESPACES COMPLEXES
Vu qu e q � 2 et que les �� If sont cohérents pour i � q - 1 (d'après l' hypothèse et le corollaire 1 . 10}, il en résulte que les faisceaux ��(lf//lf) sont cohérents pour i � q - 2. En conséquence les faisceaux X�(If //If) sont c ohé re n ts pour i � q - 1. Conformément à l'hypothèse de récurrence, on a pour tout 1 dim A
n S�+ 4((/f //SF)I U "'A)
� /.
On a B""-A c Sk +q +l(/fiX""-A) et p rof,(/f //Sf ) = p rof:lf - 1 pour z e B""-A c V(f) et on en déduit B""-A c SH 4((/f //ff)l U""-A). Il en rés u l te donc que dim A n B � k et ceci cont redit le choix de B. L'implication (b) = (a) et donc le théorème de finitude sont démo n t rés . CoROLLA IRE 4.4. So it X un espace complexe, A c X un sous-ensemble analytique fermé et If e Coh (X) . Si pour to ut x e A il existe un l'oisinage U tel que prof (lf î U""-A) � q + di mx A + 1 , alors les faisceaux X�/f sont cohérents pour i � q. Si Fi est un faisceau analytique cohérent sur un espace complexe X et si Supp If est réduit tout au plu s à un p o int x, il résulte du théorème des zéros que dimcc lfx < oo. Comme Supp �C�/f c A , on déduit du théorème 4. 1 le corollaire su i vant :
CoROLLAIRE 4.5. Soit X un espace complexe, x un po int de X, If e Coh (X) et q un nombre entier. Alors les espaces H;(x, If) son t de dimension finie pour i � q si, et seulement si, il existe un voisinage U de x ayant la propriété
que prof (lf î U""-{x}) � q + 1 .
§ 5 . La cohomologie locale absolue Soit X un espace complexe, eJ son faisceau s t ruc tural et d � 0 un nombre entier. Pour un ouvert U de X on notera par 2li U) la famille des ensembles analytiques fermés de U de dimension i nférieure ou égale à d. Soit If un eJ-module. Si A c B sont des éléments de 21iU), alors H�(U, /f) c Hj(U, If). Ces inclusions sont fonctorielles et, en passant aux foncteurs dérivés, on ob t ient des applications naturelles H�(U, If) -+ Hi(U, If). Si U c V et A e �li V), al ors A n U e �,( U). La rest ri c tion définit des applications naturelles H�( V, If) -+ HÂ nu(U, If). On obtient ainsi les préfaisceaux U � lim {HÂ(U, lf)IA e �.,(U)}. -
Les faisceaux ass ociés sont dénommés les faisceaux de cohomologie locale d-absolue et sont notés 'Xd/f [101]. Si If e Coh(X), le faisceau X�lf s'identifie au sous-faisceau des sections de If dont les supports ont la dimension � d. Le faisceau X� est noté encore lf'[d], est nommé le d-faiscea u de Thim",n [107] et possède des propriétés remarquables ( pro p . 5.3).
COHOMOLOGIE LOCALE ANALYTIQUE
87
On définit de la même manière les faisceaux lacunaires d-absolus A;,� par les préfaisceaux U �- lim {H'(U""A , � )l A e 2l4( U)} --
[ 1 0 1].
Les faisceaux 'Xd � et Ad � possèdent une structure naturelle de el-modules. En utilisant l'exactitude de la limite inductive, on déduit de 1 . 10 la suite exacte o -+ x� � -+ � -+ &.� � -+ 'Xà � -+ o
et pour i � 1 les isomorphismes A�� � 'JC�+ t �.
Les résultats de ce paragraphe seront formulés dans le langage des faisceaux 'X;, � ; des résultats ci-dessus on peut alors déduire des résultats relatifs aux faisceaux &d�.
THÉORÈME 5. 1 . So it X un espace complexe, d� 0 un entier et � e Co�(X). Pour un entier q � 0 les conditions suivantes sont équivalentes: (a) dim Sk + q + l{5) � k pour tout k < d. (b) Pour tout ensemble analytique localement fermé A de dimension � d, on a 'X�5 = 0 pour i � q. (c) 'X� = 0 pour i � q.
Démonstration. L'implication (a) ::;. (b) résulte immédiatement de 3.6. Démontrons (b) ::;. (a). Supposons, par l'absurde, que l'assertion (a) n'est pas vraie pour un k < d. On peut trouver alors un ouve rt U et un sous ensemble analytique fermé A dans SH q + t(�) n U tels que dim A= k+ 1 � d. Conformément à l'assertion (b) et au théorème 3.6 on a k + 1 dim A = dim A n SH 1 + 1{� ) � k, d'où contradiction. L'implication (b) ::;. (c) résulte des définitions. Il rest e à démontrer l'implication (c) = (b) et pour cela on utilise une récurrence suivant q. Le cas q = 0 résulte de ce que si A et U sont comme dans (b), alors 'X�5 1 U est un sous-faisceau de 7!� 1 U. On suppose maintenant que l'assertion (b) est vérifiée pour les indices i, i � p � q, et on la vérifie pour l' ind i ce p + 1 . Soient U un ouvert de X et A e 2l4(U). On cqnsidère un point arbi trai re x de U. Nous allons montrer que ('JC!(+ 1�).., = O . Soit V u n voisi nage de x contenu en U et Ç e H�+ l(V, If ). Vu que ('JC� + 1� ).., = 0, il existe un voisinage W de x dans V et B e 2li W) ayant la propriété A n W c. B e t Ç est d'image nulle dans l a composition des applicat io ns naturelles Hf?.+ 1( V, 5 ) -+ Hf?.�M W, 5 )-+ H�+ 1( W, If ). Soit B' B""A. Comme 'JC�.5 = � pour i �p, on a H�· ( W, �) = H�( W""-A , 5) =0. Par conséquent l'appli cation H!?t�M W, 5) -+ H�+ 1 ( W, 5) est injective et donc l'image de Ç dans Hf?t'h1w( W, � ) est nulle. Le germe défini par Ç dans ('JC�+ 15).., est donc nul et ainsi la démonstration est terminée. =
=
88
M:é.mODES
ALGmJIUQUES DANS L ES ESPACES COMPLEXES
COROLLAIRE 5.2. Soit X un espace complexe, d"; 0 un entier et 5 e Coh(X). Les conditions .suivantes sont équivalentes: (a) dim sl +l(�) � k pour k < d. (b) X�� = 0 pour tout ensemble analytique localement fermé A, de dimension � d. (c) x� = o. (d) � ne possède pas de sections non nulles dont les supports soient de dimension � d. (e) Pour chaque point x de X, 1'6x·module �x ne possède pas d'idéaux premiers associés de dimension � d.
Démonstration. Les équivalences (a) <=> (b) - (c) sont des conséquences du théorème. L'équivalence (c) - (d) résulte de la définition du faisceau X� . Prouvons que (d) implique (e). Soit p un idéal de Ass SFx · II existe un voisinage U de x et une section non nulle s de r( U, �) telle que p = (0 : s..). Soit A l'ensemble analytique défini par p dans un voisinage V de x.
En prenant, si c'est nécessaire, V plus petit on peut supposer d im A � dim (eJ,Jp). On a Supp s c A et donc dim (eJxfP ) > d. II faut encore prouver (e)=>(d). Si 0 -:1: sx�x est le germe d'une section s, le faisceau annulateur ét de s est cohérent, et ét.., est contenu dans un idéal premier de Ass �x · Du fait que Supp s = V(ét), on déduit que dimx Supp s "; d + 1 . Passons maintenant à l'étude d e l a cohérence des faisceaux Xd. PRoPOSITION 5.3. Soit X un espace complexe. On considère un faisceau § e Coh(X) et un entier d "; O. Alors le faisceau X� est cohérent et égal à X�d(tf)�. En plus, les composantes irréductibles de dimension d de Supp X�§ et S4(§) sont les mêmes. Démonstration. Le fait que dim Si§) � d implique X�
d e dimension d est aussi composante irréductible de Supp X� § . Ceci sera une conséquence de l'inclusion S c Supp X� § . Il reste donc à démontrer cette dernière inclusion. Soit x un point arbitraire de S. Supposons par l'absurde que (X�)x = O. Le faisceau X�W étant cohérent, X� sera nul dans un voisinage U de x. L'application de 5.2 donne que d im (S4 (?i) n U) � d - 1 . Mais comme 0 -:1: S n U c Si?i) n U, on obtient une contradiction.
CoROLLAIRE 5.4. Supp (X�W /X�_ 1§) est la réunion des composantes irré
ductibles de dimension d de Si§). Si M est un sous-ensemble de X, on dira qu'il est de dimension � d si pour tout xeM il existe un voisinage U de x et A e �4(U) tel que M n U c A .
COHOMOLOGIE
LOCALE
89
ANALYTIQUE
LEMME 5.5. Si le faisceau 1C.� est de type fini, alors dim Supp %� � d.
Démonstration. Soit x E x, u un voisinage de x et sb . . . ' s, E r(U, %�) des sections qui engendrent %� l U. En prenant si nécessaire U plus petit on peut trouver A e m:d(U) et des éléments Ç1, . . . , Ç, e H�(U, If) repré sentant s1 , . . . , s,. Il en résultera (Supp X!,/f) n U c: A et le lemme est dé montré.
THÉORÈME 5.6. So it X un espace complexe, If e Cob (X) et d, q ;il: 0
deux entiers. Les conditions suivantes sont équivalentes: (a) dim Supp 1(� + 1/f � d pour i � q. (b) dim sd + q + 1(1f) � d. (c) X!,/f est cohérent et égal à X�H + l(�l (If) pour i � q + 1 . q (c') %� est cohérent pour i � q + 1 . (d) X� + Pif est cohérent et égal à %� pour i � q + 1 - p. (d') X�+ plf est cohérent pour i � q + 1 - p. q
Démonstration. (a) => (b). Soit S = U Supp X�+ 1g; . On a %� + 1 /f = 0 .
t- 1 sur X"'S pour i � q. D'après 5. 1 , dim (Sd+9 + l (g; ) n (X"' S)) � d. Comme dim S � d il en résulte que dim Sd + q + 1(g;) � d. (b) => (c). Soit S = Sd + 9 + 1(/f), donc dim S � d. Mais comme prof (g; IX"'-S) ;il:d+q +2 il résulte de 4.4 que Xi§ est cohérent pour i �q + 1 . Soit U u n ouvert arbitraire et A e m:iU). Il résulte d e 3.9 que X�lf l U"'-S=O donc Xi§ = X� u s g; sur U. Par conséquent X�lf = X� pour i � q + 1 . Démontrons l'implication (c') => (b). Soit S1 = Supp X�. Confor mément au lemme antérieur, S1 est analytique de dimension � d pour q+1
i � q + 1 . Notons S = U S1• Comme X � l X"'- S = 0 pour i � q + 1 , il 1-1
résulte d e 5.1 que l'on a dim Sd + q + 1(g; IX"'-S) � d - 1 < d. E t comme l'on a dim S � d on en déduit dim Sd + 9 + 1 (g; ) � d. L'implication (b) => (d) se démontre exactement comme l'implication (b) => (c), en écrivant sd + q + l(lf ) = s( d + p) + (q -p) + 1(1f). Les implications (d) => (d') => (c'), (d) => (a) sont évidentes. CoROLLAIRE 5.7. Les conditions suivantes sont équivalentes:
(a) (b) (c) (d)
dim Supp 1C�+ l(lf) � d. x�+ 1� = x� . dim sd+ 1(1f ) � d.
Il.� est cohérent.
La démonstration résulte de 5.6 et de la suite exacte
0
-+
1C�
-+
If
-+
��.�
-+
%�
-+
o.
APPLICATION. On va construire pour chaque espace analytique un com
plexe naturel de faisceaux. La construction sera faite en plusieurs étapes.
90
M�THODES ALG�BRIQUES DANS LES ESPACES COMPLEXES
(a) Soit V un ouvert d'un espace numérique G:". Pour un entier q et un ouvert U de V on notera iP9(U) �..-/U), donc iP9(U) est la famille des sous-ensembles fermés de U de codimension � q. Soit � un faisceau analytique sur V. On notera �:q(.f") (respecti vement �:q/!14 + 1 (�)) le faisceau associé au préfaisceau U �- H;•(U, �) (respectivement au préfaisceau U �- H;•f!l< + l(u>(U, of")), p et q étant =
des entiers arbitraires. Avec les notations antérieures, �:.(3') pour un entier p, la suite exacte
=
X� - 9�. On déduit de 1 .7,
Pour l'indice p + 1 on a la suite exacte . . . -+ �:t!l(3') -+ ��! ! . ,(jiP + •(3') -+ ��t!.(3') -+ . . .
On déduit de ces deux suites, par composition, un morphisme
Si l'on écrit les suites exactes ci-dessus pour p = 0, on obtiendra un morphisme � -+X�'J!I(�). Il est facile de voir qu'on a obtenu ainsi un complexe o -+ "�''!Il' (�) -+ x�.,(ji. (�) -+ x!.,(ji.(�) -+ . . . , ·
le complexe de Cousin associé au faisceau �. avec un morphisme d'aug:. mentation � -+ %!1'1!1' (�). Considérons maintenant le cas particulier � él. =
LEMMB 5.8 . Le complexe de Cousin associé au faisceau structural eJ est une résolution de eJ, autrement dit la suite est exacte. Démonstration. Montrons que ��.(él) 0 pour p #: q ; en utilisant seulement les définitions, le lemme se déduira alors aisément. L'assertion étant évidente pour q = 0, on supposera q � 1 . On a x:q {é>) �!- 9él. Si p < q, %�- 9é> = 0 d'après le théorème 5 . 1 . Considérons u n point arbitraire x d e V. Soit U u n voisinage d e x et A e �..-q( U). On va montrer (en choisissant si nécessaire U plus petit) qu'il existe B e �. -9(U) tel que A c: B et H'B(U, é>) = 0 pour p > q. Il en résultera alors que ��_9 (é>),. 0 pour p > q, ce qui finira la démons tration. En choisissant éventuellement U encore plus petit on trouvera un =
=
=
92
MÉTHODES ALGÉBRIQUES DANS LES ESPACES COMPLEXES
On établira, pour tout entier q, un isomorphisme
De la suite exacte écrite ci-dessus on déduit les suites exactes
X�wt<J�f.t t (eJ w)) -+ X�r.,t<Jif.t t (él w) � X!w tt�>f.t t(élw)
0 -+ Homew U.eJv,
•
. . . -+ x��ttZ>f.t l (eJ w) -+ x��ttl> l (f.eJv) -+ V
' Xq<JIWI <J�yt t (él -+ . . -+ xq<J�'/v t<JI?J" t (eJ w) -+ w) On a Xpt�>'/v (eJw)
=
,
0 pour p =1: q (la démonstration du lemme 5.8) ,
d'où il résulte X�� t<J�f.t l (eJw)
=
O. On en déduit un isomorphisme
q - 1 t<J1ft1 (/.eJv) � Homew (f•eJv , i:ff,). 1C<JI'fv
Si (D, f.�),
pour tout entier q et tout ouvert D de W. On en obtient sans difficulté les isomorphismes naturels "f�-� = "!��1 ,<JI�ceJv>
�
r x!r,<Jiv � ct.eJv>·
En utilisant ce qui a été fait, la construction de l'isomorphisme .11 est claire. On définit alors les isomorphismes ·
]q : ië� � f* HomewU.c.:Jv,
8Kw)
à l'aide de .1; et du morphisme naturel Dw -+ f. (D v) . lequel associe à la forme 1/1 " d t la forme 2nil/ll V. Si l'on remplace t par un autre paramètre t ' , alors .1,· = (tft'l V) .1,. On peut vérifier aisément que le morphisme Dw -+ f.(Dv) associé à t' diffère de celui associé à t par la multiplication par t'fti V. Il en résultera alors que les m o rphi sm es fq sont indépendants du paramètre t et que la famille ] = (Jq) est un isomorphisme de complexes. Lorsque l'immersion V .!. W se décompose en un nombre fini d'immer sions du type considéré, la construction de 1 se fait d'une manière récursive, par compositions successives.
COHOMOLOGIE LOCALE ANALYTIQUE
93
On peut montrer que 1 ne dépend pas de la décomposition considérée. fait permettra en particulier de construire 1 pour une immersion arbi traire (localement, cette dernière est du type ci-dessus ; les morphismes définis localement peuvent se recoller , . . . ) et de vérifier le caractère fonctoriel de la correspondance f 1-+ 1 Ce
(c) On passe maintenant au cas général d'un espace complexe X. Pour un ouvert U de X ayant la propriété qu'il existe une immersion U � V, avec V ouvert d'un espace numérique, on pose iëü = ({J• Home,.(({J.eJu, 81C�).
où ci� est le complexe défini auparavant. Si U' est un autre ouvert ayant la même propriété, les deux immersions pour U n U' obtenues de ({J et de ({J ' peuvent être raffinées à l'aide d'une troisième. Du lemme précédent résultera un isomorphisme -ru, u· :
•
U'
=:
81i'u! U n U' .
Considérons un recouvrement de X avec des ouverts comme ci-dessus. Les isomorphismes -r vérifient les relations usuelles de compatibilité (on applique de nouveau 5.9) et donc les complexes &lü se raccordent et défi nissent ainsi un complexe �.
§ 6. Le théorème de séparation On garde les notations des paragraphes antérieurs et on supposera en plus X à topologie dénombrable. On a la suite exacte cll - 1 .. . 1 1 -+ H• - (X"'A,.t") � H!A_(X. � ) - H (X, cf" ) -+ .
.
•
.
•
.
•
Les invariants n·(X,.t"), n·cx"'-A,.t") ont des structures vectorielles topo logiques naturelles, quotients d'espaces de Fréchet-Schwartz. Pour i ;;il= 1 on munit H�(X, cf") de la plus fine topologie qui rende l'application � i - l continue. L'application ex sera donc continue, car cx� 1 - 1 = O. L'invariant H�(X,.t") peut être muni de la topologie induite par r(X,cf") et devient alors un espace FS, en tant que noyau de l'application rfX,.t") -+ r(�A,.t"). Lorsque X est de Stein, l'espace H�(X, cf") a la même topologie que H1 1(X"'-A cf") pour i ;;il= 2, et H� (X, cf") a la topologie quotient -
,
F(X, cf")/r(X"'A, cf").
Le résultat principal du paragraphe est le théorème suivant de sépara tion pour la cohomologie locale, de Siu et Trautmann [101] :
THÉORÈME 6. 1 . Soit X un espace complexe. On considère un sous-ensemble analytique fermé A de X, un entier q et cf" un faisceau analytique cohérent sur X
' 94
MÉTHODES ALGÉBRIQUES DANS LES ESPACES COMPLEXES
tel que les faisceaux X�� soient cohérents pour i < q. Alors, pour tout ouvert de Stein Q de X, H�(Q, �) est un espace de Fréchet-Schwartz pour i � q. La démonstration nécessite quelques préparatifs.
LEMME 6.2. Soit Li le polydisque unité de G:" et A = Li n {zd + 1 = . . . = = 0} avec 0 � d � n - 1 . A lors H:J- d(LJ , él) est séparé.
z,.
Démonstration. Soit U1 = Li n {z; ::/= 0} pour d + 1 � i � n. Alors '\t = { Ud + 1 , , U,.} est un recouvrement de Stein pour Li"' A. Considérons le cas d � n - 2. Comme H:J - 4(Li , él) � nn - d - 1(Li"'A . , él), il faudra prouver que H " - 4- 1 ( 'H , él) est séparé. •
•
•
Il
Soit u• = n U1• Comme zn - d - 1 ('tt , él) = r(' u•, él), chaque cycle l - d+ l
Ç e zn- d- 1 (1\l , él) est une série de Laurent Ç=
00
�
Vrl + l• · · · • v,. - - co
avd
+
1,
. . . , Yn (zl >
. , , , ZtJ) z;�+ll , , • z:n ,
où les coefficients a...,. , . . .. . .." sont des fonctions holomorphes dans le poly disque unité de «: 4• On vérifie aisément que Ç e B"- 4- 1('\t, él) si et seulement si a.. d . . . . . . . .." = 0 pour vtJ+ 1 � - 1 , . . . , v, � - l. Il en résultera alors, d'après la formule intégrale de Cauchy, que B"- 4 - 1 ('lt, él) est un sous-espace fermé de nu•, él) (ce dernier muni , comme d'habitude, de la topologie de la convergence uniforme sur les compacts). Il en résulte que n n - d- 1('tt , él), et donc aussi n:,- 4(..1 , él), est séparé. Le cas d = n - 1 est semblable. Revenons à la situation générale (X, A, �). , Pour un ouvert U de X on notera N!c(U, �) l'adhérence de zéro dans H�(U, �). Si V est un ouvert de U, la restriction H�( U, �) .! H�( V, §) est continue. Il en résulte que ft(N�( U, �)) c N�( V, �). Notons &n �(� ) le faisceau associé au préfaisceau U � N�f U, �) . U::J v� l'application de resh iction N�(U, �) --+ N�( V, � ) donnée par p. LEMME 6.3. Soit D un domaine de G: " ; dans D on considère un sous-ensemble
analytique fermé A de dimension.d. Alors 8Jt�(él) = 0 pour i � n - d et
n:.-4(D, él) est séparé. Si en plus D est de Stein, alors n:, - 4(D , él) est même un espace de Fréchet-Schwartz. Démonstration. Comme X�él = O pour t < n - d, on a n:,-4(U, él) = r(U, x�- 48) pour tout ouvert U de D (v. le corollaire 1 . 1 5). Pour i < n - d l'égalité 8Jt�(él) = 0 est une conséquence de l'égalité ?C�él = O. Si on montre que m �- 4(8) = 0, du diagramme commutatif N':f- 4(D, él) --+ r(D , &Jt�-48)
+
+
n:. - 4(D, e) = r(D, x�- 4e) on .déduit l'égalité N':.- 4(D, él) = 0, donc nr4(D, él) est séparé.
MÉTHODES ALGÉBRIQUES DANS LES ESPACES COMPLEXES
96
et le fait que Supp � 1 c S,._ 1(�) (et donc que des puissances convenables de :19 = �(S,. - I(�)) annulent les faisceaux � 1• donc aussi les invariants coho mologiques associés) la conclusion du lemme en résulte aisément pour q=n d. Considérons maintenant le cas q < n - d. On a une suite exacte -
0
__.
Hj (U, �)
__.
H'!t+ 1(U, (!j)
et donc, l'application cobord étant continue, N'h(U, � ) c N�+ 1(U, � ). La conclusion résulte du cas q = n - d en utilisant une récurrence des cendante suivant q.
LEMME 6.5. Soient D c ([:" un domaine, un ensemble analytique fermé V dans D et � e Coh(D) tel que 11:� = O. Soit � le faisceau maximal d'idéaux de V. Pour tout compact holomorphiquement convexe K de D il y a un voisinage Y et des sections ft, . . . . [p de r( Y, :J) tels que chaque (i"i);, soit un non diviseur de zéro pour �" pour tout x de Y(l � i �p) et que pour un entier convenable m, :Jml K soit contenu dans le faisceau d'idéaux engendré sur K par ft , . . . , [p . Démonstration. Il existe un voisinage Y de K et des sections gi• · . . , g, e r( Y, :J) telles que KI> . . . , g, engendrent :JI Y. Comme XY,� = 0 , dim V n SH 1(�4 � k pour tout k . Notons SH I la réunion des composantes irréducti bles de dimension k + 1 de Y n SHI(�). On choisit un ensemble dénombrable A {xv}, dense dans u SH I" v et tel que A n SH I soit k
=
dense dans SH 1" V. Pour tout v , on a(gi(xv), . . . , g,(xv)) :;é O. Dans l'espace ([:9, ayant zi, . . . , z9 comme coordonnées, il existe une forme linéaire q
:E
a1z1(a1 e Cl:) telle que
q
:E
a1g1(xv) :;é 0 pour tout v. Soit ft =
q
:E
a1g1 de 1-1 1 -1 1 -I F( Y, :J) ;.ft(xv) :;é 0 pour tout v . Il e n résulte alors que dim V(JJ n SHi�) �k pour tout k . Conformément au corollaire 3.8, (.ft)x n'est pas d iviseur de zéro pour �" ' quel que soit x e Y. Si V(.ft) V le lemme résultera du théorème des zéros. Dans le cas contraire, en remplaçant A par un ensemble dénombrable dense B dans ((U SH 1) U V(.ft))""'-V dont l'inter=
k
section avec SH I est dense dans SH1"V et dont l ' intersection avec toute composante irréductible W de V(h)" V est dense dans W""'- V, on trouve un élément h e rf Y, :1) ayant la propriété que f2(x) :;é 0 pour tout xe B. En utilisant de nouveau 3.8 il résulte que (f,)x est un non diviseur de zéro pour �" ' quel que soit le point x de Y. On a aussi dim ( V(ft) n V(/1)" V) < dim( V(ft)" V).
Si V(J;.) n
V(fa) =
V, alors {ft, fa) vérifie le lemme.
98
MÉTHODES ALGÉBRIQUES DANS LES ESPACES COMPLEXES
Conformément à 4.3, en prenant éventuellement l'entier /1 plus grand, on peut supposer ( U, !') = O. F(U, <JY•. Comme dans la démonstration de 4.3 on prouvera, par récurrence suivant k, l'égalité F(U, 'J)1 N� ( U, !') = 0 k pour 1 suffisamment grand. Pour k 0, dim A 0 � 0 et l'égalité résulte du lemme 6.4 car S1 _ 1(!') c V dans un voisi n age de A 0 • Supposons maintenant qu'il existe un entier /1 � 0 tel que =
nu, :JY• Nlk( u, !') = o
pour tout ouvert de Stein U de X. On va démontrer l'égalité
pour les ouverts U. La récurrence sera complète et, comme pour k suffisamment grand on a At = A, le lemme sera démontré. On appliqu e le lemme antéri eur pour K = x- et soient Y, fr, . . . , f,, m les entités que l'on obtient. On peut supposer que :1 coïncide sur X avec le faisceau engendré par fr, . . . , !, car l 'annulation par des puissances convenables de r(U, 'J) est équivalente à l 'annu l ation par des puissances convenables de r(U, (,h, . . . , f,)fJ), U ouvert de X. Pour U de Stein on a les isomorphismes . ·
.
H�/ U, §) � F( l/'A" , !') / F(U, !'), Hjk( U, !') � H1 - 1( U""'A to §), q �2. Soit "tl un recouvrement de Stein pour U""'A" et "f un recouvrement de Stein pour U ""'At+ l > plus fin que la restriction de "tl à U""'AH1• Considérons l'application 1 e : zt- ("\.l, !') œ o 2{"'. §) .. zq- l("f, !') '1) = Ç 1 V + c5 , , où c- t ("f , !') = F(U, §) et où c- l("f, !')!Z0("f, §) est la restriction r(U, !') -+ r(U""' A ir.+ 1, !'). On désignera par }Jt- l("f, §) l 'adhé rence de ,Bf- l("f, §) dans zt- l("f, !'). Comme F(U, :tY•N'. k+ 1(U, §) c lm oc , on a gÏftl- 1 ("f, §) c lm (J pour tout g E F(U, :J)h. . Soit g = fi, . . . jj1 1 Alors, pour tout x e X, gx est un non diviseur de zéro pour §x et donc l 'application
définie par O(Ç
E9
•
COHOMOLOGIE LOCALE ANALYTIQUE
99
donnée par la mult i plicat ion par g est un monomorphisme strict. Par conséquent gB" - 1("f, � ) est un sous-espace fermé, donc de Fréchet Schwartz. D'après le théorème de Banach l'application 0- 1(g B"- 1("f, �)) gÏJq- 1("f, �). induite par 0, est ouverte. Soit Ç e B'�- 1("f, �) et { Çv} une suite de Bq - l(><e, �) convergeant vers Ç. On peut trouver une suite {CvEB 'lv} dans 0 - 1(g ii9- 1("f , §")) convergeant vers un élément c e ,, telle que O(Cv EB 'lv )=gÇ v e B9- 1("f, �) et 0({ EB 'l)=gÇ. Comme gÇv e Bq- 1(""1 , �) . il en résulte que h{v e B"- 1('\t, �) pour t out h e r(U, �i· ca r la classe définie par Cv dans H!k(U, � ) est dans l'image de {J, On en déduit que h{ e Bq- 1('\t, �) . Confo r mé ment à l'hypothèse d'induction, h' h{ e Bq- 1(1\t, �) pour tout h' e r( U, �Y·. On obtient donc que h'hgÇ est dans Bq- 1("f, �). Mais comme /1 1 U, . . . , J;, 1 U engendrent r( U, �) il en résultera que (pour U ouvert de Stein). r(u �)'•+2It!fJc ( U �) = o ·
'
k+ l
'
Ceci finit la démonstration du lemme. DémonStration du théorème 6. 1 . En vertu des isomorphismes H�(!2, �) =+ r(a, X�� ). i � q, l'application N!t(O, �) - r(!2, dn��) . i � q, est inj ective . Il suffit donc de montrer que dn�� = 0 pour i � q ; i l en résultera alors que les espaces H�(!2, �) sont séparés et, en utilisant les suites exactes . . .
_
H'- 1(!2, �) - Hi- 1(!2 "'- A, � ) - H�(!2, �) - . . . ,
qu'ils sont justement de type FS. Le problème est de nature locale. Grâce à un plongement convenable en un espace numérique (les topologies sur H':4(U, �) sont compatibles avec de tels plongements), on peut supposer que X est un ouvert relativement compact dans un domaine D c: ([;", tel que le compact x- soit ho lomo rp h iqueme nt convexe, que A c: D soit un sous-ensemble analytique fermé et que � e Coh(D). En vertu du théorème de finit ude ·
dim A n Sk + .,(� 1 D"'A) � k, pour tout k.
Soit 3J = 31 (A ) . On va prouver, par récurrence par rapport à q, l'assertion suivante : pour tout ouvert de Stein U de X, l'espace H�(U, �) est séparé pour i � q et tout r(U, él)-homomorphisme r( U, ey - HHU, �) ayant la propriété que son image est annulée par une certaine puissance de r(U, 31) est d'image fermée. La démonstration sera ainsi te rm i née . Pour q=O cette assertion s'obtient aisément. Soit q � 1 . E ffectuons le passage de q - 1 à q. Soit U un ouvert de Stein dans X. Co nfor mé ment aux lemmes 4.3 et 6.6, il existe u n entier 1 � 0 (dépendant de X) tel que r(U, 31)1 H� (U, � ) = 0 pour i < q e t r(U, 31)1 N?4_(U, �) = O . Pour le problème qui nous intéresse, en remplaçant � par �j'X��, on peut supposer que X�� = O. On applique 6.5 et on trouve un voisinage
100
MÉTIJODES ALGÉBRIQUES DANS LES ESPACES COMPLEXES
Y de x- ainsi que g e r( Y, :�y tels que g soit non diviseur de zéro pour §:., quel que soit x dans Y. On obtient ainsi la suite exacte
D'après l'hypothèse de récurrence, H<J.-1(U, g; fg5-) est un espace FS. Puisque X?4- 1g; est cohérent, on a un épimorphisme de faisceaux eJS
� X?4- 1 g;
sur X. Comme H'!f- 1(U, §) = T( U, X?4- 1§), r/J induit un T(U, é>)-épimor phisme
Conformément à l'hypothèse de récurrence, lm a.r/J * = Ima. étant annulée par T(U, :�y, il en résultera que lm a. est un sous-espace fermé. Comme g*N'ft(U, §) = 0, on obtient N'ft(U, g;) c lm 1>. En utilisant la cohomologie de C ech, exactement comme au cours de la démonstration du lemme 6.6, on en déduit que l'application o - 1(N'f4(U, §)) -+ N'f.( U, §)
est ouverte. Donc N'f4( U, g;) est isomorphe à l'espace {>- 1(N'f4(U, g;))/Ima. qui est de type FS. Il en résulte alors que N<J.( U, §) = 0 et donc H'f4(U, §) est séparé. La séparation des espaces H�( U, §) pour i < q résulte de l'hypothèse de récurrence. Soit maintenant cp :
F( U, é>)' -+ H'ft(U, §)
un T(U, é>)-morphisme tel que lmcp soit annulée par une puissance ·de r( U, �). Sans restreindre la généralité on peut supposer que r( U, :JY Imcp = 0, 1 étant l'entier qui apparaît dans les considérations précédentes. On obtient de (•) que m cp c lmf>. Il existe un T(U, é>)-morphisme
I
cp : T(U, é>)' -+ H'f.- 1(U, §jg§)
tel que cp = f>êp. On définit maintenant le morphisme
I
par la formule y\a Eab) = a.rjl •(a) + êp(b). Du fait que T(U, :1)1 o( mêp) = 0, il résulte que Imy est annulée par une puissance de T( U, :J) et conformé ment à l'hypothèse de récurrence, Imy est fermée. L'application IJ surjective H'f.-1(U, § /gg;) - lmf> est stricte (lmf> = Ker g* est FS) et
1 02
Mi;THODES ALGDR.IQUES DANS LES ESPACES COMPLEXES
Indications bibliographiques Ce chapitre a été conçu d'après le livre Gap sheaves and extension of coherent analytic subsheaves de Y. T. Siu et G. Trautmann.
La démonstration donnée du théorème 2.1 est celle de [104] ; on peut en trouve r d'autres dans [ 1 8 ], [101 ]. Une d ém onstratio n différente du corollaire 2.2 se trouve dans [18 ] et dans [62 ] . Dans l'art icle de Schej a [88 ] on montre le rô le j o ué par les ensembles de défaut Dm (11) dans les problèmes de prolongement des entités analytiques définies en dehors d u n ensemb le an a lytiq ue . '
Les d émonstrat ions des théorèmes d'annulation 3 .6, de finitude 4. 1 et de sépara ti o n
6. 1 , qu i représentent les résultats centraux du chapitre, sont celles de [ 1 0 1 ]. Le corollaire · 3.10 est démontré différemment (en utilisant la dualité) dans [10], [48 ] (cf. 1. 3 .3). La posi t ion des corollaires 3 . 1 2 et 3 . 1 3 d a ns le contexte de résultats d'Abhyankar, Oka, Rothstein, Thimm est montrée dans [87 ] . On trouvera des démonstrations du théorème de finitude dans [ l OO], [1 1 1 ]. Une démonstration directe du corollaire 4.4 se t rouve dans [109 ] . Le corollaire 4.5 es t démontré à l'aide de la dualité dans [10] (cf. 1. 3 . 3). Les rés ultats du § S, à l'exception de l'application qui en est donnée, sont du livre [101 ]. L'étude des faisceaux lacunaires relatifs, la relation avec les décompositions de Lasker-Noether, la position de ceux-ci par rapport à certains résultats de Thimm ainsi que d'autres résultats dans ce contexte peuvent être trouvés dans ce même livre.
Le complexe i• c ons tru it au § S est en analogie avec le cas a lgébrique [47] et avec le complexe dualisant de Ramis et Ru ge t [77 ) (cf. le chapitre 7). Récemment Fouché a montré [30] que les fibres des composantes de ce complexe sont des mo du les i njectifs et d onc i• est un nouveau complexe dualisant.
L'hypothèse de l'énoncé du théorème de séparation 6.1 fait que le problème est de nature locale et on peut ainsi utiliser les faisceau x 4Jl.A · Cette hyp othèse est seulement suffisante pour assurer que les invariants HA sont séparés, mais elle n'est nullement nécesaire (cf. 1 . 2.21).
CHAPITRE
3
Morphismes propres d'espaces complexes
Introduction Soit X une surface de Riemann compacte et D = On considère l'espace vectoriel complexe L(D) = {
=
:E n1P1 un diviseur sur X.
0 ou (
(8l(X) représente l'ensemblè des fonctions mérom orphes sur X et (
104
M�DIODES ALGÉBRIQUES DANS LES ESPACES COMPLEXES
R'lf.(�) et les changements de base Y' -+ Y (théorème de chan gement
de la base 3.4). On obtient en particulier des conditions pour que les appli cations naturelles
soient bijectives, pour que les faisceaux R'lf.(W) soient nul s , localement libres . . . Au § 4 on étudie les fonctions et y 1-+
� ( - 1 )9 dim H9(f- 1{y), w;m,w-> q
pour lesquelles on établit des résultats de semi-continuité et de continuité (théorème de Grauert, 4. 12), résultats généralisant ceux de Kodaira et Spencer (61].
§ 1. Préliminaires (a) Soit f: X -+ Y une application continue d'espaces topologiques et soit � un faisceau de groupes abéliens sur X. On notera R'lf.(W) le faisceau associé au préfaisceau sur Y
les applications de restrictions étant évidentes. Les faisceaux Mf.(�) sont dénommés les images directes généralisées de �. En particulier, �/.{�) coincide avec l'image directe f.(�). A tout morphisme � -+ (fj de Ab(X) correspondent naturellement des morphismes R'!f.(� ) -+ R'!f.((fj) et ces associations sont fonctorielles. Si 0 -+ � ' -+ � -+ �" -+ 0
est une suite exacte dans Ab(X), alors on obtient une suite exacte
Il est d'ailleurs aisé de démontrer que R"f. représentent les foncteurs dérivés du foncteur f. : Ab(X) -+ Ab( Y).
MORPHISMES PROPRES D'ESPACES COMPLEXES
lOS
Si V est un ouvert de Y et JY :f- 1(V) -+ V la restriction de f, on obtient évidemment des isomorphismes R.f.(�) 1 V � R·/�(� 1 J- 1 (V)).
On considère maintenant un morphisme d'espaces annelés f : (X, é>x) -+ ( Y, e>r) ·
Lorsque � est un e>rmodule, les faisceaux Rtif.(�) possèdent une structure naturelle de é>rmodules ; en particulier, si f est un morphisme d'espaces complexes et � un faisceau analytique sur X, alors les Rtif.(�) sont des faisceaux analytiques sur Y. Rappelons que � est f-plat ou plat relativement à Y si les e>1<x> ·modules �"' sont plats pour tout x e X (on trouvera des généralités concernant la platitude au chapitre 5, § 1 ). On supposera que X et Y sont paracompacts et soit � un é>x-module, 81 un é>rmodule. Pour tout ouvert V de Y on obtient, en utilisant la v cohomologie de Cech, les applications naturelles
On en déduit, en passant aux faisceaux associés, des morphismes Rqf.(� ) ®e r
81lt -+ Rqf.(� ® ex r (81lt)),
fonctoriels en � et 81. On considère maintenant un diagramme commutatif d'espaces annelés 1
x �, y r'
i
ir
X ' � · Y' /'
et un é>x-module �. Pour tout ouvert V de Y on a des morphismes naturels
On déduit de ces morphismes et des morphismes
106
MÉTHODES ALGÉBRIQUES PAN� LES ESPACES COMPLEXES
des morphismes de faisceaux Rq f.(a: ) -+ g. ( Rqf; (g' * (§ ))). On obtient par adjonction des m o rphismes naturels
Il est facile de vérifier leur caractère fonctoriel. Une application continue e ntre deux es paces topologiques séparés est propre si l'image inverse de tout sous-ensemble compact est un sousensemble compact. ·
LEMME 1 . 1 . To u te application propre entre deux espaces localement com pacts est fermée . "
"
Démonstration. Soit f: X -+ Y une telle · application. Si X et Y sont les compactifiés d' Alexandroff de X, respectivement de Y, f se prolonge en A A A A . une application continue f: X -+ Y. Soit T une partie fermée de X. . Si T A A A A est son adhérence dans X, alors f{T) = f( T) n Y. T étant compacte, la con clusion en résulte. CoROLLAIRE 1 .2. Soit f: X -+ Y une application propre. Si L est un ensemble fermé de Y et "1L un système fondamental de voisinages de L, alors f- 1("1L) est un système fondamental de voisinages pour f- 1(L). ,
Démonstration. Soit U un ouvert contenant f- 1 {L) . Alors est un ouvert contenant L, donc il existe V e "1L tel que V c On a f- 1( V) c f 1( Y"J(X"' U)) c U.
·
U).
LEMME 1 . 3 . Soit f: X -+ Y une application propre entre deux espaces localement compacts, paracompacts et soit a: e Ab( X). Pour tout point y de Yei tout q R9 f.(a: )1 � Hq{f- 1(y), §).
La démonstration résulte de 1 .2 et de [34], Ch. II, 4. 1 1 . 1 .
(b) Soit ( Y, e r) u n espace complexe e t soit d une er-algèbre cohérente. Dans [18] on démontre l'existence d'un espace complexe au-dessus de Y, Specan d -! Y, dénommé le spectre analytique de d et d'un morphisme d ._. q.(especan a:) possédant la propriété suivante d'universalité : pour tout espace complexe X au-dessus de Y, X --! Y, l'application naturelle H om r(X, Speci m d) -+ Homer-at1{d, p.(ex))
est bijective. On montre aussi que le morphisme structurel q est fini et morphisme d -+ q. (es pec&n a;) est un isomorphisme.
le
107
MORPHISMES PROPRES l>'ESPACES COMPLEXES
Si d -+ d' est un morphisme de élr-algèbres cohérentes on obtient un Y-morphisme Specan d' -+ Specan d. Cette association est fonctorielle ; e n plus, s i l e morphisme d -+ d ' est un épimorphisme, le morphisme associé est une immers ion fermée. Rappelons encore la propriété de changement de base : pour tout morphisme Y' !. Y il existe un isomorphisme canonique Specan g*(d) � Specan d X r Y'. (c} Soit A un anneau et M un A-module. Sur la somme directe A ED M on considère l'opération de multiplication
On c;>btient ainsi un anneau, denommé l'anneau de Nagata associé à M. A ED 0 devient un sous-anneau de A ED M, isomorphe à A et 0 ED M un idéal (de carré nul) dans A ED M, isomorphe (en tant que A ED 0-module) à M. Cette construction a des propriétés fonctorielles et peut être facile ment généralisée aux faisceaux. PROPOSITION 1 .4 [27]. Soit (X, d) un espace complexe et ffi e Coh(d).
Alors l'espace annelé (X, d ED .W.) est un espace complexe.
Démonstration. Le problème étant de nature locale on peut supposer que . X est un sous-ensemble analytique dans le polydisque unité ouvert P" et que d = élfll X, él étant le faisceau structural de P" et j un el-faisceau d'idéaux
tel que Supp (é>/j) X On peut encore supposer que m e._kf.!il., avec .lit un sous-mOdule cohérent de ttk. Montrons d'abord que l'espace annelé (X, d ED dk ) est un espace com plexe. Soit pour cela P" + k P" x pk le polydisque unité c�ntré en l'origine , y" les coordonnées. Soit de G; " +k et désignons par xh . . . , x, ; Yt> él' le faisceau de germes de fonctions holomorphes de P" + k et '}' l'idéal de él' engendré par j et par les fonctions Y.. Yp . 1 � a,p � k. Notons X' = Supp (él'/l') et d' = é>'/'}'IX'. On a X' = X X O. On définit un morphisme (qJ, * qJ) : (X, é1 ED dk ) -+ (X', d') =
.
=
=
•
•
•
·
•
de la manière suivante : qJ(a) = (a , 0) pour a e X. Tout élément fe e.;a, OJ peut être représenté par une série de él(a. OJ de la forme co
i1,
:E
• • .
, in - 0
C;,
. . . in (xl - al)11
•
•
•
(x, - a,)i" +
1 08
MÉTHODES ALGÉBRIQUES DANS LES ESPACES COMPLEXES
On notera avec g, respectivement Kœ• les éléments de étœ définis par les séries 00
L
Il• , . . , ln - 0
respectivement
00
Il•
et on posera
L, ln - 0
. • •
Cil •
• •
ln
(xl - al) l1
•
•
•
(x,. - a,)i" e ea,
c�:� . . l" <xl - a1Y' . . . (x, - a,)'" e ea
On vérifie aisément que l'on obtient ainsi un isomorphisme (({), * qJ) : (X, ét $ ttk) - (X', ét')
d'espaces annelés sur le corps complexe et donc (X, ét 9 ttk) est un espace complexe. Le faisceau elit détermine un idéal cohérent cl!l. * = 0 9 cl!l. c: ét El) ttk. L'ensemble des zéros de elit* coïncide avec X et donc (X, ét 9 étlcfelit*) est un espace complexe. Comme la démonstration
est terminée. Faisons encore la remarque qu'il y a un morphisme d'espaces com plexes (X, ét $ �) - (X, ét) obtenu à l'aide de l'application identique X - X et de l'inclusion ét tl $ �.
c:
(d) Soit (X, <9) un espace annelé en anneaux locaux. Pour un point x de X on note d'habitude m% l'idéal maximal de e% et k(x) = eJ%fm% le corps résiduel en x. Lorsque � est un $-module, on note �(x) = �%fm%�% � �% ® e.. k(x). Pour un morphisme ({) : � -
k(x)-espace vectoriel de dimension finie ; conformément au lemme de Naka yama, sa dimension est égale au nombre minimum de générateurs de § sur e%. LEMME 1 .5. (i) Pour chaque eJ-modu/e § de type fini, la fonction x �-+ diml(%) §(x) est semi-continue supérieurement.
MORPHISMES PROPRES D'ESPACES COMPLEXES
109
(ii) Pour tout morphisme de �-modules d: e' -+ .�q la fonction
x 1-+ rg«<.x> d(x) est semi-continue inférieurement. Démonstration. (i) Soit sf, . . . , s! un système minimal de générateurs de 1'�"-module �.x· Il existe un voisinage U de x ainsi que des sections sb . . . , s,. e r( U, �) ayant la propriété : (s1).x = sf, . . . , (s,.)" = s!. La conclu sion résulte du fait qu'en restreignant, si nécessaire, le voisinage U, les germes (s1)1 , , (s,.), engendrent 1'�1-module a> 1 pour tout y de U. (ii) De la suite exacte •
•
•
•
•
•
d
eJI' -+ �q
-+
Co ker d -+ 0
on déduit la suite exacte d(.x)
eJI'(x) � �f(x) -+ (Coker d) (x) -+ 0 et on applique (i). Rappelons qu'un espace annelé en anneaux locaux (X, �) est dit être réduit si pour tout ouvert U de X et toute section f e r(U, �). les relations f(x) = 0 pour tout x e U impliquent f = O. LEMME 1 .6. Soit (X, �) un espace annelé en anneaux locaux, réduit. (i) Si S est un �-module de type fini ayant la propriété que la fonction x 1-+ dimk<.x> a> (x) est localement constante, alors a' est localement libre. (ii) Si d: eJI' -+ �q est un �-morphisme tel que la fonction x 1-+ rgk(.x) d(x)
soit localement constante, alors Coker d est localement libre. Démonstration. (i) Soit x e X et soit n = dim�:<.x> �(x). Il existe un voisinage U de x eJ u n épimorphisme ({J : �"1 U -+ SO l U. En restreignant U on peut supposer n = dim�:< ,.> �(y) pour tout point y de U. Montrons que ({J est injectif. Soit V un ouvert de U et prenons f = (ft, , !,.) e r(V, Ker ({J) . Pour chaque y de V on a f1(y) = 0, 1 � i � n ; dans le cas contraire le nombre minimal de générateurs de S1 serait plus petit que n. Il en résulte donc f = O. (ii) On déduit des suites exactes .
�P(x)
-+
�f(x)
-+
.
•
Coker d(x) -+ 0
que la fonction x �-+- rg1<.x>Coker d(x) est localement constante.
MÉTHODES ALGDRIQUES DANS LES ESPACES COMPLEXES
1 10
PROPOSITION 1 .7. SoJt (X, el) un espace annelé en anneaux locaux. On considère un complexe f" de el-modules libres de rang fini. Alors (i) Pour chaque q la fonction
est semi-continue supérieurement. (ii) Si X est réduit et si pour un entier q la fonction
est localement constante, alors Coker d"- 1 et Coker d" sont des faisceaux localement libres. (iii) Si
f" est borné, alors la fonction x 1-+ � q
(- 1 )" dimk(.xl H'�(.f"(x))
est localement constante. Démonstration. On notera r., le rang de .f9. (i) On a dim H9(f." (x)) = dim (Ke r d9(x)) - dim (lm d9- 1(x)) = r9 rg d9(x) - rg d9 - 1(x) et . on applique 1 .5. {ii) On a d im H9(f"(x)) = r9 rg d9(x) rg d9- 1(x). Les fonctions x 1-+ rg d" 1(x) et x 1-+ rg d9(x) étant semi-continues inférieurement, l'hypo thèse impliquera qu'elles sont localement constantes. La conclusion résulte alors de 1 .6. .
-
-
-
( iii)
� {- 1)9 dim H'�(f" (x}) = � { -1)9 dim f9(x) q
Il
=
:E (- l}"r.,. q
(e) Soit u : A" -+ E un morphisme de complexes de groupes abéliens (ou de modules sur un anneau, ou de faisceaux . . . ). Le cône de l'application u sera par définition le complexe C"( = C" (u)) construit de la manière sui vante : C"= B" E9 A"+ 1 , les différentielles C" -+ C"+ 1 étant données par les formules (b, a) �- (ds.(b) + u(a), - dÂ. (a)) Les inclusions et les projec tions naturelles définissent une suite exac�e de complexes .
0 -+ B" -+ c· -+ A"[l] -+ 0,
où A"[l] est le complexe obtenu par la translation du complexe . A" avec un degré à gauche, les différentielles changeant de signe. On obtient la suite longue exacte . . . -+ H"(B") -+ H"(C") -+ H4+ 1(A") -+ HH l(B") -+
•
•
.
On vérifie facilement que le morphisme bord H9(A. [l]) = HH 1(A•) -+ -+ HH l(B") coincide avec le morphisme H"+ 1(u) induit par u.
111
MORPHISMES PROPRES D'ESPACES COMPLEXES
Rappelons que u est dit. être un quasi-isomorphisme si tous les morphis mes Hq(u) : H9(A') -+ Hq(B') sont des isomorphismes. Le morphisme u est un n-quasi-isomorphisme si les morphismes Hq(u) : H9(A') -+ Hq(B') sont des isomorphis10es pour q > n et si H"(u) : H"(A' ) -+ H"(B') est tin épimorphisme. De ce qui précède on obtient : LEMME 1 .8. (i) Soit n un entier. Le morphi�me u est un n-quasi-isomor phisme si et seulement si Hq ( C') 0 pour q � n. (ii) Le morphisme u est un qu�i-isomorphisme si et seulement si Hq(C�)=O pour tout q (donc si et seulement si le cône de u est acyclique) . ·
=
Soient A' � B' ·� M' des morphismes de co.,plexes avec quasi-isomorphisme. Dans ces conditions le morphisme canonique , C' (u) -+ C'(lf'u) est un quasi-isomorphisme. Démonstration. Le lemme résulte du diagramme commutatif can onique LEMME i .9. lf'
. . . -+ Hq(A ' ) -+ Hq(B') -+ Hq(C'(u)) -+ HH 1(A') -+ HH 1(B') -+ . . .
� id
•
•
•
-+
��
�
� id
H9(A) -+ H9(M') -+ H9(C'(qJ u)) -+
et du· <
ll
HH 1(A') -+ HH 1(M') -+ . . .
1 . 1 0. Pour tout q, la somme des applications du diagramme z
�
� - 1(qJu) dc'(rpuJ Z9(C' qJu))
est surjective (Z désigne comme d'habitude le groupe des cycles). (f) PROPOSITION 1 . 1 1 . Soit A un anneau et q � 1, un système projectif de :.uites exactes de A-modules. Si les modules (M� )9;;1 sont artiniens, alors la suite o -+ lim M�
est exacte.
-+-
..
lim Mq -+ lim
-+-
-+-
Mr .. o
Démonstration. L'exactitude de la suite
0 -+ lim M� -+ lim M9 -+ l im -+-
-+-
-+-
M�'
résulte des propriétés générales de la limite projective. Il reste à prouver la surjectivité de l'application lim M9 -+ lim M�'. L'hypothèse concernant les +-
+-
MtTHODES ALGÉBRIQUES DANS LES ESPACES COMPLEXES
1 12
M� d'être des modules artiniens implique que pour tout q il existe un entier
n(q) tel que Im(M�1ql+l_. M�) = Im(M�1 9 1 -+ M�) . i � O. En passant si nécessaire à une sous-suite on peut supposer que pour tout i � 0, q � 1 , on a lm( M�+I -+ M�) = l m(M� + t -+ M�) .
Soit m" = (m�')9 un élément de lim M� '. Soit m2 e M2 tel que l/J2(m2) = m�' . � Notons m1 l'image de m2 dans M1• Il en résulte l/1 1(m 1) = m�'. Soit ex e M3 tel que l/13(cx) = m�'. Il existe P e M� tel que qJ2(P) = m2 - Imcx. Comme lm(M; -+ M{) = Im(M; -+ M�). on trouve y e M; tel que les images de p et de y dans M{ soient égales. On note m3 = qJ3{y) + a et soit m2 l'image de m3 dans M2• Il résulte aisément que l/J2(m2) = m�' et que l'image de m2 dans M1 coïncide avec m1• En répétant le raisonnement, on trouve un élément m = (m,), de lim M4 dont l'image dans lim M�' coïncide avec m". _,
�
+-
§ 2. Le théorème de finitude Le résultat principal de ce paragraphe est le théorème suivant de finitude de Grauert [37] : THÉORÈME 2. 1 . Soit
X !. Y un morphisme propre d'espaces complexes et soit tf un faisceau analytique cohérent sur X. Alors les faisceaux analytiques R9f.(lf ) sont cohérents (q � 0).
La démonstration sera faite en trois étapes. 1. La
construction d'une résolution libre. 1 . La construction d'un atlas. Considérons un espace complexe X, un ouvert Y dans un espace numérique
U -- D(r) x V v soit commutatif. Considérons un point arbitraire y0 de Y. L'application f étant propre il existe un voisinage de Stein v. pour y0 et un nombre fini de cartes relatives j" : u" -. D"(t) x v.. o � k � k.,
113
MORPHISMES PllOPRES D'ESPACES COMPLEXES
k.
vérifiant U U" k-o
= [- 1(V.).
On supposera que le polydisque unité D"(l) est
dans un espace numérique «:ll(k), Nous utiliserons les notations suivantes : pour r � 1 et V ouvert · de v• . 1 X( V) = J- 1( V) , U4(r, V) = j;; (D,.(r) x V) et 'U(r, V) = (U1(r, V))o E:; t <;k • · k.
L'application f étant propre, il existe r• < l tel que X( V) = U U"(r, V) k-o
pour tout r vérifiant r • � r � 1 et pour tout ouvert V c v• . Si V est un ouvert de Stein, alors ttt(r, V) sera un recouvrement de Stein de X(V) et donc, d'après le théorèm: de Leray, H'(X( V) , 8') � H'(C'(ttt(r, V), "')), v '• � r � 1 . Dans cette formule, C' ('U(r, V), "') désigne le complexe de Cech de cochaînes alternées du recouvrement 'U(r, V) à valeurs dans le faisceau 8'. 2. Systèmes à liaisons covariantes ( « Verbundene Garbensysteme») . On garde les notations antérieures. On désigne par , k,.) I O � k0 < . . . < k, � k.} et par Lf = U Lf, . Lf, = {(k0, •
•
Pour k = (k0,
•
•
•
n;>O
•
, k,) e Lf et P = (/0 , a c p
On définit ensuite
. . .
•
•
•
, lm) e Lf on convient d'écrire
, k,} c rio •
. . .
Il
, lm}· Il
U,.(r, V) = n u.. (r, V) et D,.(r) = II Dk. (r) . v-o
"
v-o
"
Le produit fibré des applications A détermine une immersion fermée "
j,. : U,.(r, V) -+ D,.(r) x V.
Pour a c p on notera
1t,.1
: D, (r) x V -+ D,.(r) x V
la projection canonique. Le diagramme U, (r, V) -+ U,.(r, V) Jp
�
J,.
t
D , (r) x V -+ D,.(r) x V,
dans lequel U1(r, V) -+ U,.(r, V) est l'inclusion canonique, est commutatif. On entend par un système à liaisons covariantes au-dessus de (D,.(r) x V, 1t,.,) : (i) une famille (lj,.),. e ..t de faisceaux analytiques lj,. sur D,.(r) x V;
M�THODES ALGtBIUQUES DANS LES ESPACES COMPLEXES
:1 14
(ii) une famille ((/), .).cp de morphismes de faisceau x (anal y tiques) (/)p. :
i!j. -+ (1t.,).i!j,
telle que l'on ait (/)«« ;_ id et ({) 7• = ((Tr.,).({)7p)({)p. pour ex c: p c: y. Si (i!j • • (/)p11) et (i!j�, ({)p.) sont deux tels systèmes, alors un morphisme entre eux sera par définition une famille (O..). e .<� de morphismes de faisceaux (/)p• • ({); • • On montre facilement o. : i!j. -+ éJ� compati bles avec une catégorie abélienne, la catégorie que l'on a obtenu de cette des systèmes à liaisons covariantes au-dessus de (D.(r) x V, Tr.,). L orsque g; est un faisceau analytique sur X, il défi nit naturellement un système à liaisons covariantes de faisceaux j.(!f ), où (j/i). = U.).(�). Un morphisme (/) : � -+ Pi ' de faisceaux analytiques sur X indu i t de manière naturelle un mo rphisme j. (({)) : j. (Pi) -+ j. (�J ' ) . Il est aisé de vér i fier que ces associations sont fonctorielles. 3. Le complexe de �ech associé à un système à liaisons covariantes. Soit i!j = (i!j., (/)p,.) 'un s y stème à lia i sons covariantes au-dessus de (D.(r) x V, rr.,) . Pour n ;;?; 0 on notera ·
C"(r, V; i!j) = II r(D.(r) x v, i!jJ. « E.d,.
C"(r, V; i!j) possède une structure de r( V, él y)-module. On définit les cobords
<5 : C"(r, V; i!j) -+ C" + 1(r, V; i!j)
à l'aide
n+l
:E
1-o • •
des
formules :
pour
( - I Y (/)pp1(Çp 1) , OÙ P = (lo,
' '
· · ·,
Ç = ( ÇJ. E.d,.
e
C"(r, V; i!j) , (<5Ç)i =
I,. + J E ..d n + l e t P1 = (/o,
•
•
·,
11 - 1• /1+ 1>
ln + l) .
On notera C"(r, i!j) le faisceau
V �-+ C"(r, V; i!j), V ouvert d ans C"(r, i!j) est un élr.-module.
Si � est uri faisceau analytique sur X on obtient
c omplexes
C" (�(r, V), �) =+ C"(r, V; j.(�)).
v
•.
un
i somorphisme de
MORPHISMES PROPRES D'ESPACES COMPLEXES
us
4. La construction d'une résolution libre. Un système à liaisons cova riantes Jit = (A.. , t/1,�) est dit être un système libre de rang fini si tous les e Der (•} x y-modules A.. sont libres de rang fini.
LEMME 2.2. Soit � = (
Démonstration. Pour chaque y e LI o n définit un système � , = (Ji�.�. qJ�.,) de la manière suivante : AY"
=
{
y tf. a 0 pour 7t�..(&,) pour y c: a .
Si y c: a c: P. alors qJ�� : 1t:,.C&,) � (7t,.,). 1t�p{!,) sera le morphisme asso• cié par l'adjonction à l'application identique (1t,.s)*(S7) � 1t:,B1t:.,\!7) -�o 7t�p{&7). Si y tf. a on pose qJ�., = O. Le morphisme e7 induit naturellement un morphisme oY : AY �
comme étant la somme des morphismes oY : JiY � �· Il est évident que lm 0,. => lm e,. pour tout <X e LI .
LEMME 2.3. Soit � e Coh(X). Pour chaque ouvert de Stein V ' c: v., relativement compact, et à chaque r', r. � r' < 1 , il existe une résolution au-dessus de (D,.(r') x V', 7t.,,), dans laquelle les systèmes &�,k sont libres de rang fini. (On dira d'une telle résolution, plus simplement, qu'elle est libre.) La démonstration résultera de l'assertion suivante, que l'on prouvera par une récurrence suivant k : «il existe un nombre r, r' < r < 1 , un ouvert de Stein V tel que V' c: c: V c: c: v. et une résolution avec des systèmes libres de rang fini au-dessus de (D,.(r) x V, 1r,.fl)
Pour tout r, r' < r< 1 , et pour tout ouvert de Stein V, V' c: c: V c: c: v• . il existe des morphismes surjectifs e,. : &,. � j.(�). les &,. étant des (!)v,.< n x r modules libres de rang fini. En appliquant le lemme antérieur on trouve un système libre A0 au-dessus de (D,.(r) x V, 1t,.,) et un morphisme surjectif &\.0 � j.(a:-). Pour le passage, en général, de k à k + 1 on procède de manière analogue, en remplaçant j.(a:-) par le système de faisceaux 5Pk = Ker (Ak � Jlk - 1) (on notera Jit - 1 = j.(a:-)).
MéTHODES
1 16
ALGÉBRIQUES DANS LES ESPACES COMPLEXES
5 . Le calcul des images directes. Soient � e Cob(X) et r •• un nombre tel que r. < '•• < 1 . En utilisant le lemme 2.3 et en notant V' toujours par v. on peut supposer qu'il existe au- dessus de (D"'(r..) x v., n.. �) une résolution libre •
•
•
-+ �k -+ �k - 1
-+
•
•
•
-+ �1 -+ �0 -+ j.(� ) -+ o .
Pour chaque ouvert V c: v. et pour chaque r, r• � r � '• • • on.,. considère le complexe double ( C1(r, V; �k)) 1, t· On notera c · (r, V) le complexe simple associé, donc C"(r , V) =
II C1(r, V; �k) .
1-k -n
Le e,.-module V�-+Cn(r, V), avec V ouvert de V:r sera noté C" (r) . Ainsi C" (r) est un complexe de e ,.-m odules . Comme C (r, V; �k) = 0 pour 1 > k., il en résulte cn(r) = 0 pour n > k •. Les morphi smes C"(r, V) -+ C"(r, V ; �0) -+ C"(r, V; j. (� )) définissent les morphismes de complexes c· (r, V) -+ C" (r , V; j.(� )) , c·(r) -+ c·(r, j.(�)) .
Si r' � r on aura les applications canoniques de restriction C"(r, V) -+ C"(r', V),
lesquelles induisent des morphismes de e,. -modules C"(r) -+ c·(r').
LEMME 2.4. Pour tout r, r. � r � r••• et pour tout ouvert de Stein V c: v., le morphisme canonique de complexes c·cr, V) -+ C"(r, V; j.(�))
est
un
quasi-isomorphisme. En particulier, le e,. -morphisme de complexes c·(r)
-+
c·cr, j.(�))
est un quasi-isomorphisme. Démonstration. Chaque D..(r) x V étant de Stein, il résulte du théorème B que H'(C1(r, V; �·)) = 0 pour q ;;ï!: 1 et H 0(C1(r, V; �·)) � C1(r, V; j. (� )) .
L'assertion du lemme résulte des propriétés des suites speciales associées au bicomplexe ( C1(r, V ; �k ))1 , t.
MOllPIUSMES PROPRES D'ESPACES COMPLEXES
1 17
CoROLLAIRE 2.5. Pour chaque r, r. � r � r• • • et quel que soit l'ouvert de
Stein Vc v., les morphismes canoniques
H"(C"(r, V)) -+ H"(X( V), If')
sont des isomorphismes pour chaque n. En particulier pour chaque n H"(C"(r)) � R"f.(lf') 1 v• .
CoROLLAIRE 2.6. Quels que soient les nombres r et r',
l'ouvert de Stein V de v., la restriction
r•
�
r'
� r � r• • • et
C"(r, V) -+ C" (r ', V) est un quasi-isomorphisme. En particulier, le e.,.-morphisme de restriction C"(r) -+ C"(r ' )
est un q�i-isomorphisme. .
ILLe schéma de récurrence.
1 . lA formulation des assertions de récurrence. Nous allons formuler deux lemmes que l'on démontrera par récurrence. Soit C"(r) le complexe de e.,. -modules construit ci-dessus, r. � r � r• • • et soit Q. un compact de v• .
LEMME A(n). JI existe un ouvert de Stein V, vérifiant Q. c V,. c v• . un nombre r, tel que r. < r, � r• • • un complexe f" de e.,"-modules libres de rang fini •
•
•
-+0 -+ f" �
f"+ l -+
•
•
•
� fk• -+ 0
et un morphisme de complexes f" � C"(r,) tels que pour tout ouvert de a( V)
Stein V de V., le morphisme f"( V) --.• C"(r,., V) soit un n-quasi-isomorphisme. En partic11lier u est un n-quasi-isomorphisme. D'après le corollaire 2.6, pour chaque r ayant la propriété r• � r � r,., le morphisme composé f" � C" (r,) -+ C"(r), que nous désignerons toujours par u, vérifie encore l'assertion du lemme A(n). Nous nous plaçons dans les hypothèses du lemme A(n) et on énonce le second lemme. On note K"(r) le cône du morphisme f" -+ C"{r), donc Km(r) = cm(r) EB fm + I pour m ;;li: n - 1 et Km(r) = cm(r) pour m < n - 1 . La différentielle d e K"(r) sera notée ô .
118
MÉTHODES ALGÉBRIQUES DANS LES ESPACES COMPLEXES
Pour tout ouvert V c V.. , on note. Km(r, V) = T( V, Km(r)). Si V est un ouvert de Stein, l'hypothèse de quasi-isomorphisme donnée par le lemme A(n) implique l'exactitude de la suite Soit Z" - 1 (r)
=
6
Ker(K" - 1(r) -+ K"(r)) et ,
Z"- 1(r, V) = Ker ( K" - 1 (r, V) -+ K"(r, V)) . LEMME B(n - l ) (la projection des cycles). Pour chaque ou1•ert de Stein V' c: c: V" et pour chaque paire de nombres réels r, r' vérifiant r• � r' < r � r" ' il existe au-dessus de V' un morphisme continu de é3 v·-modules -r :
Kll- t(r) _. zn- t(r')
tel que le diagramme xn-1 (r)
�
zn-1 (r')
� 1
rcstr.
soit commutatif. La signification de la continuité du morphisme de l'énoncé deviendra explicite après ce qui suit. Les lemmes énoncés seront démontrés dans la section III d'après le schéma suivant : - pour n > k. , A(n) et B(n) sont évidemment vrais, - A(n) et B(n) => B(n - 1), - A(n) et B(n - 1) => A(n - 1).
2. Préparatifs pour la récurrence. Soit V un ouvert de v. ; D(r) sera le polydisque de rayon r, ayant l'origine pour centre et situé dans l'espace cC"'. Soient t1 , , t11 les coordonnées de (tm. Chaque fe T(D(r) x V, é3r x v) peut être développé en une série convergentef = � a.t• avec a.. e T( V, é:Jy), •
•
•
v
v. = {vi> . . . , v,.) e IN"' et t'" = r;' . . . t'",'" . Pour un compact Q c V et pour tout nombre réel positif p < r on définit
où Il a. li a = sup la.CY)I et lv i = ' 1 + . . . + v ,. Ici Il · n ,a est une seminorme ye Q sur T(D(r) x V, é'èz:. x v). La famille de seminormes 11 - 11,0 , Q compact dans V et p < r, définit la topologie de Fréchet usuelle sur T(D(r) x V, é'r x y) .
MORPHISMES PROPRES D'ESPACES COMPLEXES
1 19
On considérera aussi I l IIPa pour p = r ou Q = V, mais alors on obtiendra une ps eud ono rme . P our p' � p et Q' c Q on a " p' Q' � Il
l i Pa .
Lorsque a E r( V., eJy) et fe r(D(r) x v, e�m x v) on a U afl iPa � U a ll a · II!II P!2 ·
LEMME 2.7. Si 0 <
r
'
< r" < r, la famille
r"
...
v
e INm, possède les
propriétés suivantes : (i) Chaque élément fe r(D(r) x V, eJ�m x v) s'écrit d'une manière unique sous la forme
avec Il a.. lia � llfll r" Q pour tout compact Q (ii)
1 (�)- 1
�1 v
r
..
r'V
c
V.
< oo .
Le lemme rés ulte directement des définitions. Considérons maintenant un nombre fini de polydisques D1(r) c a:m(lr) et notons
K(r, V) =
fl r(Dk(r) x V, ê'�m(" J x v). "
Pour f = (!,.) e K(r, V) o n pose 11/IIPa
=
max llh li Pa· k
On déduit aisément d u lemme antérieur le
LEMME 2.8. Soit 0 < r' < r" < r. Il existe une famille dénombrable (e 1); e r d'éléments de K(r, V) ayant les propriétés suivantes : (i) Paw tout ouvert V i c V, chaque élément fe K(r, V') se développe d'une manière unique en une série convergente f = a 1e 1 avec a1 e r( V' , eJy)
�
et U adla � llfllr"Q , Q compact arbitraire de V'. ( i i ) � u e , ll ,·v < 00 . i
Les r( V, eJv)-modules C1(r, V) et K1(r, V) définis dans la secti o n 1 sont d u type K(r, V); plus encore, ce sont mêmes des r(V, eJy)-modules topologiques. Remarquons aussi que les morphismes et les différentielles {J sont continus.
(J
du lemme A(n)
120
MÉTHODES ALODRIQUES DANS LES ESPACES COMPLEXES
Sous l'hypothèse du lemme A(n + 1) énonçons une forme du lemme B(n) . LEMME B•(n). Pour tout ouvert de Stein V' c c v, + l et toute paire de nombres réels r, r' vérifiant r. � r' < r � r, + 1 il existe sur V' un morphisme continu de ev-modules -r : K"(r) -+ Z"(r') tel que le diagramme K" (r) � Z" (r')
\ 1 Z"
rcstr .
(r)
soit commutatif et que l'assertion suivante soit vérifiée : JI existe une famile dénombrable (e 1)1 e r d'éléments de K"(r, V') et un nombre r , r' < r < r, tels que : (i) Pour tout ouvert V" c V', tout élément fe K"(r, V") se dél•eloppe d'une manière unique f = a1e 1 avec a, e T( V ", eJ v·) et ll a, lla < ll f ll;:-a (Q compact de V") .
�
(ii)
� Il -re, ll,· v· < <X> .
PROPŒITION 2.9. A(n + 1) et B(n)
=>
B•(n).
Démonstration. On choisit un ouvert de Stein V tel que V' c c V c c V,. + 1 ct des nombres réels r, p, p ' tels que r ' < p ' < p < r < r. D'après B(n) il existe une projection des cycles 'i : K"(p) -+ Z"(p') au-dessus de V. On considère le diagramme K"(r) !_. K"(p) � Z"(p') !:_. Z"(r')
l
l/
Z"(r) -+ Z"(p)
p et P' étant les applications de restriction. On va montrer que le morphisme = P'iP a au-dessus de V' Jes propriétés de B•(n). En effet, en appliquant le lemme 2.8 on trouve une famille (eJ,er d'éléments de K"(r, V) ayant la propriété � 11 Pe 1 II P;; < <X> et vérifiant la condition (i) de B•(n). Le -r
morphisme i : K"(p, M telle que
V) -+ Z"(p', V) étant continu, il existe une constante ll i g ll,·v· � Mll g llpv
p our tout g E K"(p, V). On ob .ient Il P'iPedlr'Y' d'où u -re, ll ,· y• < <X>.
=
Il iPe dl r'Y' � M IIPe , ll,;;
MORPHIS� PROPilES D'ESPACES· COMPLEXES
121
III. La démonstration des assertions d'induction et du théorème. 1 . A(n) et B (n) => B (n - 1). Soient r, r' des nombres réels vérifiant r. � r' < r � r, et V' un ouvert de Stein relativement compact de V, . On choisit un nombre réel r " , r' < r " < r, et un ouvert de Stein V", V' c: c: V" c: c: V,. Soit -r : K"(r) --+ Z"(r" ) et soient r, (e1)1e 1 les entités obtenues par l'appli cation du lemme B*(n}, t étant un morphisme de êlv"·modules et les e1 des éléments de K"(r, V"). On a � Il -re dlr"V" < oo. Conformément au lemme 6
A(n), l'application linéaire et continue K"- 1(r", V") - Z"(r", V") est surjective. En appliquant le théorème de Banach on trouve une constante M et des éléments Ç 1 e K"- 1(r", V" ) vérifiant c5Ç1 te1 et Il Ç dlr·v· � M U -re dl r"V'' • On obtient a 1e1 �-+ a 1Ç1 détermine un Il Ç1 11,·v· < oo. L'association êlv·-morphisme continu ( Il a1 11a � Il t a1e1 ll;a 1)
�
�
=
�
h : K"(r) -+ K"- 1(r')
qui rend commutatif le diagramme
6
K"- 1(r') - Z"(r').
On considère le diagramme K"- 1(r) -+ K"(r)
�l Y ! morphisme -r : K"- 1(r} -+ Z"- 1(r'), 't = p - M, vérifie B (n - 1}. 2. A(n) et B(n - 1) => A(n - 1 ). (a) Soit v._1 un ouvert de Stein ayant la propriété Q. c: v._ 1 c: c: v. et soit '• - 1 un nombre réel tel que '• < r, _ 1 < r• . D'après le lemme A(n) pour chaque p vérifiant r. _ 1 � p � r,. on a un diagramme
Le
,
a" *
8" - '
�
. . . -+ C"- 2(p) --+ C"- 1(p) -+ C"(p) -+ C"+ 1(p) --+
qui induit pour chaque ouvert de Stein V c: v. u� épimorphisme r( V, Ker a") -+ H"(C"(p, V)) .
1 22
M.tmODES ALGbRIQUES DANS LES ESPACES COMPLEXES
Il faut chercher au-dessus de V,._ 1 un faisceau libre de rang fini f"- 1 et des morphismes r:t'- 1 et a"- 1
ayant les propriétés suivantes : i) r:t'r:t' 1 = 0, a"r:t'- 1 = ô" - 1 a" - 1 , ii) Pour tout ouvert de Stein V c V, _ 1 le morphisme induit -
T( V, Ker r:t'/Im r:t'- 1) -+ H"(C.(r, _ 1 , V)) est un isomorphisme et
est un épimorphisme. Comme Z"- 1(r,. _ 1) = {('1, s) e C" - 1(r, _ 1) ES f" lr:t's = 0, a"s ceci revient à construire f"- 1 et un morphisme
=
- ô" - 1'7 } ,
tel que pour tout ouvert de Stein V c V, _ 1 la somme des morphismes du diagramme
est un morphisme surjectif. (b) Soit r', r,._ 1 < r' < r,.. Pour tout ouvert de Stein V c V,. l'application de restriction c·cr,., V) -+ c·(r', V) est un quasi-isomorphisme (corollaire 2.6). Il en résulte que la somme des applications du diagramme Z"- 1(r, , V)
t
C"- 1(r', V) -+ Z"- 1(r' , V)
est une application surjective (1 .10). (c) On considère un ouvert de Stein V', V, _ 1 c c V' c c V, et un nombre réel r, r' < r < r,. Du lemme B•(n - 1) on obtient une projection des cycles t : K"- 1(r) -+ Z"- 1(r') au-dessus de V', une famille (e1)1er d'éléments e, e K"- 1(r, V') et un nombre réel r vérifiant r' < r < r, tels que l'on ait
MORPHISMES PROPRES D'ESPACES COMPLEXES
la p rop ri été i) de développement de B•(n - 1) et
� 11 -re1 ll ,· v·
,.
fJ
123 < oo .
Comme
reatr.
Im(K" - 1(r11)-+ K"- 1(r) -+ Z"- l(r')) ;:, Im(Z"- l(r..) --+- Z"- 1(r')),
il en résulte que la somme des app1ications du diagramme K" - 1(r11 ,
V')
C"- B(r', V') � Z"- 1(r',
V')
�
"i - T{J
est surjective. Le t héorèm e de Banach nous fournit une constante M et des éléments Ç 1 e K"- 1(r,., V') , ,, e C"- 2(r', V') (i e /) tels que ïÇ1 + ârt1 = -re , e t max (Il Ç, ll , v" _ 1 , II '1 1 11," - 1Vn - ,) E; MU -re, ll ,·v· . On en déduit alors que :E1 II Ç1 llrvn - 1 < oo et :E1 ll rt. ll r" _ 1 v" _ 1 = M1 < oo . I l existe un ensemble fini . 1 J c: 1 tel que Il Ç, llrVn - 1 E; - • 2 Soient f"- 1 = �" - 1 et co : f"- l � z"- 1(r, _ ) le morphisme qui applique 1 les générateurs canoniques (g 1)1 e J de .f"- 1 sur les éléments (P'ïÇ1)i eJ· Ici P' : Z"- 1(r')
�
Z"- 1(r.. - 1) est la resttiction.
(d) On prouvera l'assertion suivante : pour tout ouvert V de v.. _ 1 et pour tout élément fe K" - 1(r , V) il y a des élém ents /1 E K"- 1{r, V), g E r( V, .f"-1) e t '1 e C"- 2(r, _ h V) tels que P'-r(f) = w(g) + â, + P '-r(j;)
et
Q étant un compact arbitraire de V.
Pour la démonstration on développe l'élément f en série convergente
f=
:E1 a �,
pour tout compact Q
c:
avec a, e r(V, é' y) et U a dl a E; 11/ll ra
V. On note
II K II a = max ll adl a t; 11/11-,a . 11'1 H ," - 1a t; I EJ
et l'assertion est démontrée.
:E
lE/
U a , ll a ll rt d1," -1
M1ll f ll,a
1 24
M�THODES ALG�BRIQUES DANS LES ESPACES COMPLEXES
(e) Vérifions maintenant qu e co est le morphisme cherché. Soit V un ouvert de Stein de V,. _ 1 et fe K"- 1(r, V). En itérant l'assertion de (d) on trouve des éléments g e r( V, f"- 1) et '7 e C"- 2(r,._ 1 , V) tels que P'-r(f) = co(g) +
b Yf .
L'application de restriction c·(r, V) __. C"(r11 _ 1 , V) étant un quasi isomorphisme, la somme des applications du diagramme
Z"- 1 (r, V)
�
est surjective ( l . lO). En utilisant ce fait, les égalités ( • ) et les égalités P'-r (f) = restr.(f) pour fe Z"- 1 (r, V) il en résulte que la somme des applications du diagramme
est surjective. Ainsi le lemme A(n - 1) est prouvé. 3. La démonstration du théorème. On peut se réduire au cas où Y est un ouvert d'un espace numérique (CN. Soit y0 e Y. D'après le lemme A( - 1) et le corollaire 2.5 il y a dans un voisinage V de y0 un complexe .t• de é>y-modules libres de rang fini Û
__.
f- 1
__.
fO
__.
fl
__.
...
__.
fk * _. Û
tel que Hq(f..) � R'/.(�)1 V, pour tout q e IN. Par conséquent chaque faisceau R'.f.(�) est cohérent e t l e théorème est démontré. Nous concluerons ce paragraphe avec quelques applications du théo rème 2. 1 . La première sera le théorème de finitude de Cartan-Serre [20].
THÉORÈME 2 . 1 0 . Soit X un espace analytique compact et on considère un faisceau analytique � cohérent sur X. Alors les espaces vectoriels complexes H"(X. �) sont de dimension finie pour tout n � O .
Démonstration. On considère l'espace complexe e = ( • ,
1 2S
MORPWSMES PROPRES D'ESPACES COMPLEXES
L'application suivante sera le théorème de projection de Remmert [8 1].
THÉORÈME 2. 1 1 . L'image d'lin ensemble analytique fermé par un morphisme propre est un ensemble analytique fermé.
Démonstration. Il suffira de montrer que si f: X -+ Y est un morphisme propre, alors f(X) est un sous-ensemble analytique fermé de Y. On a l'égalité f(X) = Supp (f.(eJx)) et la conclusion résulte de 2. 1 et du fait que le support d'un faisceau analytique cohérent est un ensemble analytique. La dernière application sera la factorisation de Stein. Soitf: X -+ Y un morphisme propre d'espaces complexes. On désignera sous le nom d'ensemble de niveau toute composante connexe d'une fibre f- 1{y), y e Y. On notera l'ensemble de celles-ci par Y' et par p : Y' -+ Y l'application naturelle correspondante. Associons à chaque point x de X la composante connexe de f 1(/(x)) à laquelle appartient x; on obtient ainsi une application!' : X -+ Y' vérifiant f = pf'. L'application !' est surjective et on munira Y' de la topologie quo tient. Il résultera que f' elit propre et p continue et finie. Sur Y' on consi dérera une structure d'espace annelé, en prenant comme faisceau structural f� (fJx) La décomposition topologique X -+ Y' -+ Y de f détermine naturelle ment une décomposition d'espaces annelés et le théorème suivant montrera qu'il s'agit d'une décomposition d'espaces complexes, dénomée la décompo -
.
sition de Stein du morphisme f [17], [ 1 03].
THÉORÈME 2 . 1 2. L'espace annelé ( Y'.J; (eJx)) est un espace complexe. Démonstration. D'après 2. 1 , l'fJx-algèbre f.(eJx) est cohérente. Notons Z = Specan (f.(fJx)) et q : Z -+ Y le morphisme structural. Le morphisme identité f.(eJx) -+ f. (eJx) détermine un morphisme g : X -+ Z tel que f = qg. On montrera que pour tout y e Y, les composantes connexes de J- 1{y) sont en correspondance biunivoque avec les points de q- 1(y) et que dans ces correspondances pour un point x de X, g(x) correspond à la composante connexe de f- 1(f(x)) à laquelle appartient x. Il résultera alors une corres pondance biunivoque 0 entre Z et Y ' , compatible avec g, f', p et q. L'appli cation g est propre et surjective, donc Z a la topologie quotient sur X.
On déduit alors que 0 est un isomorphisme topologique. Comme f. (eJx) � q. (eJz), il en résultera que l'image par le foncteur q. du morphisme eJz -+ g. (eJx) est un isomorp hisme ; par conséquent (!Jz -+ g. (eJ x) est un isomorphisme (g est fini !) et donc 0 se prolongera en un isomorphisme d'espaces annelés ( Y',f� (eJx))
�
Specanf. (eJx).
On va montrer que les fibres de g ne sont pas vides et sont connexes, les associations z e q- 1{y) �- g- 1(z), y e Y. vont établir les correspondances biunivoques désirées et la démonstration du théorème sera terminée.
MÉTHODES ALGÉBRIQUES DANS LES ESPACES COMPLEXES
1 26
Il faut donc prouver l'assertion relativ e aux fibres de g. Soit donc un morphisme propre f: X -+ Y tel que le morph isme e r -+ f. (ex) soi t un isomorph is me. L'application /sera donc surjective. Considérons un point
arbitraire y de Y et montrons queJ- 1(y) est un ensembl e connexe. Supposons que J- 1(y) = T1 IJ Ta où T1 et Ta sont des sous-ensembles fermés propres de j- 1(y), disj oi n ts . Il existe un voisinage U1 de T1 (i = 1 , 2) vérifiant U1 n U2 = 0. En restreignant , si nécessaire, on peut supposer que U1 u U2 est de la forme J- 1( V), V voisinage de y. U La section de ex, égale à l' u nité sur U1 et nulle sur Ut. dét'e rm i ne une section q> de er sur V; il en résultera alors q>(y) = 0, q>(y) = 1, d'où con tradiction. =
2. 1 3 . Soit f: X -+ Y un m orph isme propre d ' espaces complexes ; soit X' l'ensemble des points de X isolés dans la fibre (c'est un ensemble ouvert) . Alors la restriction def à X' se décompose en une immersion o uver t e
COROLLAIRE
l'
p
et un morphisme fini; plusprécisément, si X - Y' - Y e:. t la décompositio n de Stein de f, alors il existe un ouvert V' c Y ' tel que X' = J' - 1( V') et f ' 1 X' : X' -+ V' est un isomorphisme.
Démonstration. Pour un point x de X, f' - 1/'(x) est la composante connexe de J-1/(x) à laquelle appartient x, donc c'est un sous-ensemble ouvert
dans J- 1J(x). Il en résultera alors que le point x est isolé dans J- 1/(x) si, et seulement si, il est isolé dans j' - 1/'(x) . Soit x un point de X'. Les fibres de !' étant connexes, r - 1J'fx) = {x}. Il résulte donc que l ' i m age réciproque par /' d'un système fondamental de voisinages pour y' = .f'fx) est un système fondamental de vo i sinages pour x. Ce fait et l ' égalité ey· = J;(ex) impli qoent que le morphisme canonique eY',y' -+ ex.x est un isomorphisme. Il en rés u lte l'existence d'un voisinage v;. de y' tel que J' - 1( V;.) c X' et que /' 1/' - 1 ( V;,) : f'- 1( V;.) -+ v;. soit un isomorphisme. L'ensemble · V' U Vi•(x> vérifie l'assertion du corollaire. =
§
x eX'
3. Les théorèmes de comparaison et de changement de base
Soit f: X -+ Y u n morphisme d'espaces complexes et y un point de Y. On notera m 7 l'idéal maximal de e r ., et aussi le faisceau naturel d'idéaux sur Y qu'il définit. On notera m, le faisceau d'idéaux de e; en gendré par l'image inverse de m , . Considérons un faisceau analytique g; sur X et un entier q � O. Soit (R" f.(s;),)"
=
lim (R' /._(s;),/m�(R" f. (s;),)).
k
1 27
MORPHISMES PROPRES D'ESPACES COMPLEXES
Si R:lf.(� ) est e>rcohérent, alors ce module est le complété de re,-module de type fini R:lf.(�)1 dans la topologie m,-adique. On définit un morphisme naturel
(/Jq : (.R4 f.<�),)' .. lim H4(f- 1(y), �lm� �> k
de la manière suivante. Pour tout entier k ;il: 0, la suite exacte détermine une suite exacte
. . . .. .R4 f. <m� �) .. .R4 fi�) Les relations
..
.R4 f.(� ;rr.� �)
.. . . .
ainsi que
déterminent un morphisme naturel
On peut déduire aussi ce morphisme de ceux construits au § 1 , (a)
en prenant am. = e> r/m; e>y. La famille (({JZ)t est compatible avec les systèmes projectifs et on obtient ainsi le morphisme recherché qJ4• Le théorème suivant, connu sous le nom de «théorème de comparaison de Grauert ( Vergleichssatz)», constitue le résultat principal du paragraphe.
THÉORÈME 3. 1 . Soit f: X -+ Y un morphisme propre d' espaces complexes, y un point de Y, q ;il: 0 un entier et � un faisceau analytique cohérent sur X.
Alor.s (i) Il existe une fonction F: IN -+ [1'1.1 telle que lim F(k) = k -+
co
et vérifiant,
M:aTHODES ALG ÉBRIQ U ES DANS LES ESPACES COMPLEXES
128
(ii) le morphisme naturel défini ci-dessus
cpq : ( R!I f.(� ),) " -. J i m H q (f- 1 (y), � k
est un isom orphisme .
Ef/in� g;>
Avant d'aborder la démonstration, rappel ons le fai t suivant d'algèbre . X, u n é> x - m od u le � . une section dira que � est sans ftorsiotf au point
On considère un espace com plexe fe r(X, Bx) c t u n p o i n t x de X. On x si le m o r p h isme canoniqu e
est injectif.
Si � e Coh(X) alors pour tout compact K de X il existe un d � 0 tel que le faisceau fd5 est sans f-t orsion aux points de K.
LEM M E 3.2. entier
Démonstration. Soit x e X. La suite croissante de ex- sous-mod ules
(O : fx) c (O : f ) c . . . c 5x est station naire ; soit d tel que (O : f1) = (O : f1 + 1 ) = . . . Il en résulte que fd � est sans f t o rs i on au point x. Le morphisme
est i njectif au p o i n t x , donc il l'est encore d a n s un vo i si n ag e de x . Dans ce v o i si nage fd;f es t donc sans ftorsion, e tc . . . . Le pl u s petit
entier d du lemme sera noté d(f, � ; K).
La dém onstration de la première assertion du théorème. On peut supposer que Y est un ouvert d'un espace numérique
•
•
Si ct e IN"', m"' sera le fa isceau d'idéaux
Ï; tf1 ély
î -1
et 1n"'
désignera le
faisceau d' idéaux sur X engendré par l'i mage i nverse de m"'. Nous allons prouver l'assertion suivante : pou r chaque ct e IN"' i l existe un P e IN"' tel que
Pour
propriété :
u n entier k �
0, F(k) sera le p l us grand entier � 0 ayant la
(lorsque le membre gauche est nul on prend F(k) = k).
MORPHISMES PROPRES D'ESPACES COMPLEXES
1 29
y
e [Nm il e x i ste k � 0 tel que Im(R'lf.(mk§')0 -+ R!lf.(�)0) c I m (R!lf. ( m"§)0 -+ Ro/.(�)0) car mk§ c m"§ si k e st grand ; en plus,
Pour tout
où 1"11 =y1 + . . . +"'m• ca r 1Ît" �
c
iniri � . Il en résulte alors que l i m F(k) = co k-+
e t l e point (i) d u t héorèm e sera démontré. I l reste donc à prouver l ' as sertion énoncée ci-dessus. Pour cela soit a: e [Nm. On notera � [01 = 0, � roJ = � ;�ro1 = § . Pour 1 � r � m on définit par récurrence les entités § [r ) =
r
E
.j - 1
tf1 � .
d; = d(t., �(r - 1) ; j- 1(0)),
§(r] = §j�[r] , d, = d(t,, J?!l + lj. �(• - 1 1 ;
e t p, = «, + a: + d,. On a �<ml = � j1ÎtfJ � . S i V es t un voisinage suffisamme nt pe ti t d e l'origine d e sur J- 1( V) les suites e:\ac tes d'
d t" ,r + r
0)
a: m
o n obtient
r -1
'fr
0 -+ t, r 3'"(r - 1 ] -- 3'"(r - l ] - �(r ] -+ 0 ( 1 � r � m).
On a aussi les suites exactes sur X 0 -+ � (r - l ] -+
Sf
'r - 1
- §'[r - 1) -+ 0
(On a noté ·� - 1 , T,_ 1 les morphismes canoniques . . . ) On en déd u i t les suites e x act es ,. + d r r'
Il suffira de prouver le fait suivant : s i s e R!l/.(�)0 vér i fie T,(s) = 0( 1 � r � m), alors il existe s' e E'/.(�)0 tel que •, - tCs - t�r s') = O. Soit donc s e [(lj.(f'i )0 vérifiant T,(s) = O. On déduit, du fait que -r, - 1-r,_ 1 = •,, que T, _ 1(s ) e K er ·� - 1. D' après (*) il existe .r1 e [(1/.(f'ir, - tJ ) o tel q ue t�r � d,s1 = •, - 1 (s) . De (*•) on vo i t que t�, + d, J(s1) = J(r�, + d, s1) =
1 32
M �THODES ALG ÉBRIQUES DANS LES ESPACES COMPLEXES
THÉORÈME 3 .4. Soit f: X --. Y u11 morphisme propre d'espaces complexes, Fi un faisceau cohérent sur X, plat relatil'ement à f, y un point de Y et q un
entier. Les assertions suil•antes sont équira/entes : (a} Le foncteur M �-+- Rif. (� ® erM), est exact à droite. (a') Le foncteur M �-+- R:i + 1f.(� ® e r M), est exact à gauche. (a") Les morphismes canoniques Rlf.(�), ® e M __. Rif.(� ® e r M), , sont des isomorphismes pour tout eJ,-modu/e de type fini M. (b) L'application canonique Rif.(�), --. Rif. (� / tÎt/f), est �urjër:til·e. (c) Les applications canoniques Rif.(� /tÎt;+ 1 �}, --. R'1. (� /t�t1SF)7 sont surjectives, k � 0 étant un elltier arbitraire. (d} Pour tout changement de base g : Y' --. Y et tout y' e Y' l•éri.fiant g(y') = y conridérons le morphisme J' : X' = Xx r Y' --. Y' déduit de f et le faisceau § ' sur X', l'image inverse de S' sur X'. Le morphisme canonique g"(R!lf.(SF)) --. R!lf;(SF') est un isomorphisme au l'Oisinage de y'.
Démonstration. Soit
0 --. M' --. M --. M" --. 0
une suite exacte d e e,- m o d u les de type fini. Dans un voi sin a g e V d e y il existe une s uit e exacte de fa i s cea u x a n a ly t iq u es cohérents
0 - Jm.' - 8l[ - âm." - 0
laquelle induit en y la s u i te donnée. On déduit de la /-platitude de suite ex ac te sur f- 1( V) 0 __. S' ® e r âm.' ce qui donne la
__.
S'
® erâm.
__. S' ® er8l"
__.
SF
la
0
suite exacte
Avec c:tte remarq ue l'équivalence (a} -. (a') est évidente. L'implication (a"} :: (a) est aussi év i d e n te. En ce q ui concerne l'implication (a} :: (a"} on considère une s u i te exacte de la forme
commutatif convenable ainsi que le fait que le morphisme de (a") est un i so m o r p his m e pour tout e,-module libre de rang fini condui sent immédiatement à la conclusion. L'implication (a") :: (b) résu l t e en c o n s i dé ra nt M = eJ,fm , et l ' i m pli
un d i ag ram m e
cation (b}
::
(c) résulte de la
factorisation
R!lf. <">, - Rlf. <SF Jm; + l§),
- Rlf.<SF ;m,SF),.
MORPHISMES PROPRES D'ESPACES COMPLEXES
133
Démontrons (c) = (b). I l suffit de montrer que pa r passage aux corn· piétés dans la topologie m1-adique on obtient une s u rj ect io n . Conformément au théorème de comparaison,
Rllj. (Fi);
::
lim (R'lf.(Fi j{tt;+1§)1).
-
k
Comme R'lf.
La conclusion résulte alors de 1 . 1 1 car les noyaux des applications de {c) sont des modules de type fin� s u r les anneaux a rti n i e n s fJ,/m�+1, donc ce so n t des modules artiniens. Démontrons maintenant l'implication (b) = (a). Il fa u t montrer que pour t o ut ép i m o r p hi s m e M -+ M" de fJ1- mod u l e s de type fini l appli cation '
est surjective. En u t i li sa n t le d i a g r a mm e commutatif
�f.(Fi)1 ® e 1 M -+ �J.(FF), ® e,M " -+ 0
�
�
l'assertion (a) se ra démontrée lorsqu'on aura prouvé l asse rt i on suivante : ( • ) «pour tout m od ule M de type fini l appli ca ti o n '
'
est su rjective». Démontrons donc (• ) . Il suffira de montrer que par passa ge au com plété en topologie m7-adique, l'application de ( • ) devient surjective. On a
(�f.(!F),® e,M)"
=
lim (�f.(!i ), ® e,M®e,e,tm;+ 1) =
k
l im (�f.(!i),® e,MJm; +1M).
k
136
M tTHODES ALG :âRJQUES DANS LES ESPACES COMPLEXES
Il en résulte alors que le morphisme Klf.(�) ® er�Tt -+ Kif.(� ® erJm.) est un isomorphisme et, en passant à la fi bre en y, on ob tie nt l'isom orphisme de (a"). La démonstration du théorème du ch a n ge m ent de base est ainsi achevée. Considérons un ca s où l'on peut appliquer ce théorème.
CoROLLAIRE 3.5. Supposons, en plus des conditions du thébrème, que
Hq(X,. � ,) =O. Alors pour tout module de type.fini MsureJ1, KI/.(5f ® erM),= O ; en particulier KI/. (�) est nul en un voisinage de y. Par conséquent les conditions équil·alentes de 3.4 sont remplies pour l'entier q- 1 ,· en particulier, pour tout k ;;o?: 0 les applications canoniques J?� - IJ.(S: ),tm;(J?� - If. W),) -+ nq- I (J- l (y), s: /ln;�)
sont bijectives. Démonstration. Soit M un e,-module de type fini. En restreignant Y autour de y on peut supposer qu'il existe sm. e Cob( Y) tel que m, = M. Il faut montrer que Klf.(S: ® exr(ffi))1 = O. D'après 3.1 il suffira de montrer que, pour tout entier k ;;o?: 0, H q(X, , § ® exr<Jm.)fm;c� ® exr <m))) = o.
On démontrera ceci par récurrence suivant k. Pour k =
1
(on a identifié eJ1/m1 avec
H q (X,, m;(� ® exr(ffi))/ln; + 1(� ® exr(Jm.))) = O . En raisonnant sur les fibres et en utilisant la platitude de § au-dessus de on en déduit facilement l'isomorphisme
Y
et de nouveau la conclusion résulte de l'hypothèse et de l'additivité.
Remarque. Au cours de la démonstration on a identifié le corps com plexe avec le faisceau constant
MORPHISMES PROPRES D'EsPACES COMPLEXES
1 37
par l'inclusi on a: _. éJ xf tn 1éJ x et coïncide avec celle déduite d'une manière natu relle par l'identification éJ7/m7 -: CI: . Une conséquence d e 3 .5 est le
CoROLLAIR E 3.6. Soit f: X _. Y un morphism e propre et plat d' espaces complexes et soit y un point de Y tel que H1(X1, éJx/nt7éJx) = O. Si Fi et
Démonstration. On considère le faisceau X = Home (ri ,
X, -: 5;1 ®
" ex tm� x
D'après 3.5 , l'application canonique
f.("X),/m,({.(X)1) _. r(X,, "X7) est bijective. Soit Ç, : 5, _. é}, un isomorphisme ; il définit u n élément de T(X,, X7). Il en résulte alors qu'il existe sur un voisinage V de y un morphisme Ç : Fi l f- l ( V) _.
<}l{- 1( V) _. 5 1[- 1( V)
induisant l'isomorphisme ,,, inverse de Ç7• Soit x un point arbitrai re de la fibre f- 1(y). En identifiant §,. avec éJ,., le morp h isme 17.. Ç.. : Fi,. _. 5,. correspond à un élément IX de eJ.. . L'image de ce dernier dans e,./m,eJ.. correspond au morphisme ('77)..{Ç7),. = l'iden tité, donc c'est l'élément unité. Il en résulte que IX est i nversible, donc ,.. ç,. est un isomorphisme. On déduit de la même manière que Ç""" est un iso morphisme. Les morphismes composés Ç17 et 17Ç induisent donc des isomor phismes en tous les poi nts de f- 1(y). Ils possèdent d onc la même propriété sur u n v oisi nage de f- 1 {y) ; f étant propre on peut supposer ce voisinage de la forme f- 1(V). Une atitre conséquence du théorème de changement de base est le cr itère d'exactitude s uivant :
h
n
COROLL\IRE 3.7. Les hypot èses du théorème 3 . 4 é ta t suirantes sont équiralentes : (a) Le o ct eu r .M H- R:lf.(� ® er M)1 est exact. (b) Le� applications
vérifiées, les assertions
fn
R:lf.(SF), _. R:lf.(5 / tÎt75)7,
sont surjectil·e.\
Rq - tf. (SF ) 1 --+ [(l - 1f. (Sf /În ,Sf)7
M ÉTHODES ALGÉ BRIQUES DANS
1 38
(c) Pour
entier
tout
LES
ESPACES COMPLEXES
k � 0 les applications
R!'f. <� /t�t;+��>). - R�.w /1n,5 ), ,
J?!l - lf.(� /l�t�+ 1Sf ), --+ R!' - 1 f.(Sf /1Ît,Sf ),
sont surjectires. (d) L'application
R�.(Sf )7 --+
R!'f.(Si' /1Ît/i)1
est surjectil·e
et R1f.(5 )1 est un fJ1-module libre. La démonstration résulte directement de 3 .4 ( ra pp e l on s que si N est un eJ,-module de type fini e t s i le foncteu r M �- N® �)'tf est exact, alors N est un module libre !). Lorsqu'! les cond i t i o ns équ i valentes de ce critère sont rem p l ies on d i t que :§ est cohom?logiquement p la t en dimension q a u poin t y . On considérera u n càs où l'on peu t appliquer ce critère.
COROLLA IRE 3.8. Les hypothèses du théorème 3.4 étant rérifiées , on suppose en plus que Hq (X . � 1) = Hq - 2(X, . § 1) = O. A lors 7 un voisinage de y et les applications canoniques
som hijectil'es
pour k � 0
R!'- 1[. (§) est
libre dans
entier arbitraire.
la démonstration résulte i m méd i a tement de ticu l ier on ob t i e n t le corollaire suivant.
ce qui
p récède.
En
par
COROLLA IRE 3.9. Soit f; X -+ Y u n morphisme propre d'espaces complexes. Soit Sf un faisceau an aly tiq u e cohérent sur X, plat relatirement à f, et soit y E Y. Si H1 (X1 , § 1) = 0, alors f. W ) est libre dans 1111 roisinage de y et les applications
sont
bijecti1·es.
COROLLA IRE sont
3. 10. Sous les hypothèses du équil'alentes : (a) § est colzomologiquement plat
théorème 3.4 les assertions suil'antes
au point y en chaque dimens io n p, p � q. (b) R'[. (§)1 est un fJ1 module libre pour tout p � q. Démonstration. L i m p l i ca t i o n ( a) => (b) résulte d'une manière é v i d e n te d u c r i tè re d'exactitude. Pour l'implication i n verse on u t i l i s e une récurrence descendante par rapport à p et le fait que R'f.( )1 = 0 p o u r p suffi samment -
'
·
grand.
MORPHISMES PROPRES D'ESPACES COMPLEXES
1 39
CoROLLAIRE 3 . 1 1 . Sous les hypothèses du théorème 3.4 les assertions sui
vantes sont équivalentes:
(a) R 'f.(5 )1 = 0 pour tout p ;ï1; q. ( b) H '(X,J i 1) = 0 pour tout p ;ï1; q. La démonstra t i o n résulte de 3 . 5 et de 3 . 1 0. Nous allons considérer un exemple.
PROPOSITION 3 . 1 2. Soit f: X --+ Y un morphisme propre et plat d'espaces complexes et soit y un point de Y. On suppose que la fibre analytique X., est un espace réduit. Alors ex est colzomologiquement plat en dimension zéro au point y ; en particulier f.(ex) est libre au voisinage de y et
J. ( ex).,/ m.,J.(fJx), :: H 0(X.,, eJxfm,ex).
Démonstration. D'après 3.7, il suffit de montrer que les applications /. (eJx/tn;+ t eJx)., = r (X, eJxfm�+ 1 eJx) --+ F (X,, exfm, eJx) sont s urj ect i ves p o u r tout k ;ï1; O. En effectuant le changement de base Y' = (y, e,;m;+ 1) --+ Y on est ramené à prouver que l'application cano nique r (x, ex) -.
r(X,, eJxf{n, ex) est surjective, les hypothèses étant celles de l'énoncé m a i s en plus Y étant
supposé réd uit à un point. Comme j- 1 (y) = X o n peut supposer X connexe. Conformément aux hypothèses faites, le m o rph i s me structural
ct -+ r (X.,, eJxfm., ex)
est un isomorphisme. La conclusion rés u l te alors de la composition d appl i ca t i ons naturelles '
-+ r{ Y, é' r) --+ r( X, ex) --+ r(X,, 8x/1tt 7ex).
CoROLLA IRE 3. 1 3. Sous les conditions de la proposition, si, en plus, X., est connexe, le morphisme canonique e r --+ f. (eJx) est un isomorphisme dans un l'oisinagt de y.
§ 4. Les théo rèmes de semi-continuité et de continu i té. L'i nvaria nce de la caractéristique d'E u l er-Poi ncaré u n m orphisme propre d'espaces complexes, § e Cob(X) et cil e Coh( Y). On notera, comme au paragraphe précédent, g; ® exr(SJTi.) pa r § ® �� r m. Si Jlest un ouvert de Y e t 5JTi. e Coh( V) on écrira , p o u r sim pliS oit .f: X --+ Y
142
M�THODES ALGÉBRIQUES l>ANS LES ESPACES COMPLEXES
Soit maintenant 8m. un faisceau analytique cohérent défini sur un ouvert de v• . On notera par c·cr, Bm.) le complexe d e faisceaux défini comme ci-dessus, mais en remplaçant §1: avec §l.· ® e y m. Donc, si V c v. est un ouvert contenu dans l'ouvert sur lequel est défini Bm., alors
r( V, C"(r, Bm.)) oà
C1(r, V; .lil.k ®e y8m.) LEMME
=
II
1 - k - 11
=
C1(r, V ; �k ® ey'mL),
Il T(D,.(r)
« E .dl
x V, §l!®eyi'R).
4.3 . JI existe un i!iomorphisme canonique de complexes
C(r) ®e y.9Jt -+ c·(r, .9lt)
fonctoriel en m .
La démonstration est aisée en utilisant les coaséquences du fai t suivant : si Y est un espace complexe, D un polydisque ouvert, X = D x Y, p : X -+ Y la projection, 8m. e Cob( Y) et §1. un faisceau libre de rang fini su r X, alors le morphisme naturel P.{.lil.) ® erm -+ P.(� ® ex P•(cmt)) est un isomorphisme. Démontrons cette dernière assertion. On peut supposer §1. = �x. donc il faut prouver que le morphisme P.((f)x) ®ey 8m. -+ P.p•(cmt)
est un isomorphisme. Si 8m. est un (f)rmodule libre de rang fini, ceci est évident. Pour le cas général, le problème étant local sur Y on peut supposer qu'il existe une suite exacte de la forme
� -+ � -+ 8m. -+ o.
La conclusion résulte alors d'un diagramme convenable, en utilisant le fait que le foncteur p. est exact sur les faisceaux cohérents. Le morphisme d'augmentation
§I.O ®e r 8m. -+ j. (� ® e yi'lt) induit de façon na tu relle un morphisme d'augmentation
c·(r, Bm.) -+ c·(r, j.(� ® e y cmL)) , le complexe co-source étant le complexe de C ech relatif au système j.( � ®ercmt) .
MORPHISMES PR.OPR.ES . D'ESPACES COMPLEXES
143
Pour V comme ci-dessus, on a :
II r( U� n J- l( V), § ®e r8JIL) . : e <�,.
Donc
coincide avec le complexe de Cech associé au recouvrement '\t(r, V) et au faisceau § ®e rsm.. LEMME 4.4. r.
:E:;
r :E:;
r ••
Si § est transversal à 8J, alors pour tout r vérifiant on a /e.s isomorphiJmes naturels
En particulier les applications de restriction C" (r, 8JIL) -+ C. (r', 3m.) sont des quasi-isomorphismes (même pour les ouverts de Stein) pour tout nombre réel r', r. :e:; r' :e:; r.
Démonstration. Soit V c: v. un ouvert de Stein, contenu dans l'ouvert sur lequel est défini 8JIL . Les faisceaux �!®e rm étant cohérents, on en déduit exactement comme dans 2.4 que les applications d'augmentation r ( V, c· (r, 8JIL)) -+ C" (r, V; j. (§ ®e r SJ!t))
sont des quasi-isomorphismes ; on obtient ainsi des isomorphismes
compatib1es avec les restrictions données par les inclusions V' obtient ainsi les isomorphismes du lemme.
c
V; on
(d) Sous les conditions et avec les notations ci-dessus on démontre pour
tout entier n le lemme suivant : LEMME C(n). Soit V,., r11, f· , f. -+ c· (r,.) les entités vérifiant le lemme A(n), construite.s au cours de la démonstration du théorème de finitude. Alors, pour tout voisinage de Stein V� de y0, V� c c V,., et pour tout nombre réel p,., r. < p,. < r,., l'assertion suivante est vérifiée:
144
MéTHODES ALGÉJJRIQUES DANS LES ESPACES COMPLEXES
«Pour chaque faisceau analytique cohérent d)Jt défini sur un ouvert de V� tel que � soit transversal sur d)Jt., le morphisme induit f" ® e .mt r
-+
C" (p,, m) = c· (p,) ® e rm
est un n-quasi-isomorphisme».
Dém'Jnstratlon. Rappelons que pour tout r, r. � r � r••• on a noté K" (r) le cône de l'application f" -+ C"(r). Soient V�, p,. et d)Jt comme dans l'énoncé. On notera K" (r, .mt) le cône de l'application f" ®e r.ml.-+ C"(r, m). On déduit facilement du lemme 4.3 un isomorphisme naturel K"(r) ®e 8JIL � K"(r, 8>1L). r
On va prouver l'exactitude du complexe K"(p,, m) en toutes les di mensions i ;il: n et le lemme sera démontré. Le problème est de nature locale, donc on peut supposer qu'il existe un épimorphisme � � m -+ 0 sur le domaine au-dessus duquel est défini m. Soit un entier i ;il: n. On notera ô l'opérateur bord et p les applica tions induites naturellement par les restrictions. On conviendra de noter toujours () les différentes applications induites de manière naturelle par 8. D'après la façon dont on a construit le complexe f" , il existe un e ....-morphisme continu de faisceaux h : K1 + 1 (r,) -+ K1(p,)
tel que le diagramme . K i+ 1 (r ,)
h�
Ki( p ,.)
�
Zi+1(K"(r,.))
�
•
�
! Zi+1(K�(p,.)J .
soit commutatif. On obtient alors d'une manière canonique des appli cations de e>v..-modules, notées encore h, K1+ I(r,, e>�) -+ K1(p,, e>�), K1 + l(r,, m) -+ K1(p,, m) , telles que le diagramme 0
K1 + 1(r,, e>�) -+' K1+ l(r,, d)Jt) h
!
�
h
xt(p,, ep �· K (p, , m) l
soit commutatif. En plus, les applications () sont des niveau d es sections au-dessus des ouverts de Stein.
épimorphismes
au
14S
MORPHISMES PROPRES D'ESPACES COMPLEXES
La commùtativité du diagramme ( • ) implique, grâce à l'additivité, la commutativité du diagramme K H l (r ,, él} ) � zH 1(K "(r,; êl1-))
(u)
hl
t�
K;(p,. ep !. znl(K"(p,. élf,)).
En utilisant les lemmes 4.4 et 1 . 9 il en résulte que l'application
K'(r ,, 8'1t) -+ K"(p,, &nt) est un quasi-isomorphisme. Démontrons maintenant
l'exactitude de la suite
Ki- l(p,, &m. ) -+ Ki(p,, &m.) -+ Ki + l(p,, &nt) .
Soit q1 e Z1(K"(p,, &nt)) (on omettra d'écrire le domaine de définition, supposé être toujours ouvert de Stein). Il existe tjJ e Z1(K" (r,, &nt)) tel que q1 = fJ(t/1) + cobord. Soit t/J' e K1(r,, ê�) tel que lJ (tjJ') = tjl . L'élément fJ(t/1') - h(8tjl' ) de K1(p,, êf,) est un cocycle, ce qui résulte du diagramme (u). La suite K1 - 1(p,, él�) -+ K1(p, , êf,) -+ K1 + l(p,, élf,) étant exacte, il existe q>' e K1 - 1(p,, é'ï-) tel que 8
t
-+ f" ® J7l:.
t
C"(p,, 8J) -+ C"(p,, &Jt), 0 -+ f" ® 8Jit' � f" ® 8J � f" ® 81Tt" -+ 0
t
0 -+ C"(p,, 8Jit')
-+
t
t
C"(p,, 81Tt) -+ C"(p,, .mt") -+ O.
La démonstration de la seconde assertion nécessite encore certains pré paratifs. On garde les notations.
{f) LEMME 4.5. Soient A un anneau local noethérien et de type fini possédant une résolution
M un
A-module
1 46
MtTHODES ALGtBRIQUES DANS LES ESPACES COMPLEXES
avec des modules libres. Dans ces conditions, si •
. .
-+ R 1 -+ RO -+ M -+ 0
est une résolution pour M avec des modules libres de rang fini, alors N = Ker (R��t - 1 -+ Rn• - 2) est un m odu le l ibre .
Démonstration. C'est un fait élémentaire d'algèbre homologique [ 1 9] : on déduit de la première résolution Ext�(M, • ) = 0 pour i > n�· et d e la seconde Ext�(N, •) � Ext� + '(M, •) donc N est projectif et donc libre.
PROPOSITION 4.6 [23]. Soit Y un espace complexe, U un ouvert d'un espace numérique et tf e Coh(U x Y), plat relatif à Y. Dans ce!> conditions, pour tout point (x0, y0) de U X Y, il existe sur un voisin age de (x0 , y0) une résolu tion finie de tf avec des faisceaux libres de rang fini.
Démonstration. Soit (x0 , y0) un point arbitraire de U X Y. Considérons l'immersion fermée U � U X Y, x �-+ (x, y0). Notons tf(y0) Je faisceau j• (tf) . Si p : U x Y -+ Y est la projection, alors j.{tf{y0)) est le faisceau tf /În,.tf. Il résulte du théorème de syszygies qu'il existe, sur un voisinage de x0, une résolution finie f0 • pour tf(y0) avec des faisceaux libres de rang fini. Notons 1�1 = tf{y0). Si ff est de la forme ed, posons f 1 = e�x y(i � 0). N otons encore
. d f! f. 1 = tf et �f = Ker (ff� ff _ 1). On construira dans un voisinage de (x0, y0) des morphismes d1 : f1 -+ f, 1 tels que j * (d1) = d1° et nous montre rons que les faisceaux 8JC 1 = Ker d1 sont Y-plats et que l'on a 8JC 1(y0) { =j•{8JC1}) = alf. On utilise une récurrence suivant i. On suppose que d1 a été déjà construit et que l'on a vérifié les propriétés relatives à 81{1 • On peut construire d1 + 1 : f1 + 1 -+ 81{ 1 tel que le diagramme
soit commutatif. Le lemme de Nakayama montrera que lm d1 + 1 = gj{1 au point (x0, y0), donc dans un voisinage de ce point. La suite exacte
dans laquelle :X1 et f1 + 1 sont Y-plats, montre que le faisceau 8JC 1 + 1 est Y-plat et que l'on a 8JC I + 1(y0) = �f + 1 • Le début de la récurrence se fait de la même manière, en utilisant l'hypothèse de platitude faite sur tf. On obtient ainsi la résolution recherchée (on peut remarquer que lm d1 + 1 = 8K 1 , par construction).
MORPHISMES PR.OPR.ES D'ESPACES COMPLEXES
1 47
(g) La démonstration de la dernière assertion du t h éor ème . Du fait que .d est fini, en utilisant le lemme 4.5 et la p roposition 4.6, il résulte que l'on peut supposer la résolution �.- de j.(§ ) bornée. Par conséquent les complexes C'(r) sont bornés et soit n0 tel que C"(r) = 0 pour n < n0• D'après la démonstration de 2. 1 il existe un voisinage de Stein V' de y0, un nombre r vérifiant r• < r � r ••' un complexe borné
de 6y·-modules libres de rang fini a ins i qu'un (n0 - 1 )-quasi-isomorphisme u : f' -. C' (r ) . Soit 8J[ = Ker(f"•-1 -. f"•) et K"(r ) Je cône de u. On a K"•-2 (r ) f"' - 1 et K"• - 1 (r ) f"•, donc Z "' - 2 ( K' (r )) = d't. =
=
Conformément au lemme B(n0-2), il existe un morphisme -r : f"• - 1 -+d't vérifiant t v = identité , où v: d't -+ f"' - 1 est l ' inc l us i on . Il en résulte donc que le fa i sceau d't est locale ment libre et, en restreignant si nécessaire V', on peut supposer d't libre. On considère le complexe A
Le mor p hisme u se pro l onge en un q uasi-iso m o rp his m e û : f' -+ C'(r). Le complexe i: et le morphisme Û satisfont les lemmes A (n) et B(n). La démonstration du théOTème s'achève en appliquant de nouveau le lemme C(n0 - 3) et le l e mm e 4.4.
Remarque. Le théorème 4. 1 permet de redémontre r le théorème de com paraison pour les faisceaux de la forme tf ® e v.î1, tf plat relati f à Y (E.G.A.
Ill, 7.4.8). Ainsi le théorème de changement de base est également une conséquence de 4. 1 . Nous nous bornerons à démontrer le complément suivant au théorème
de changement de base. THÉOR È M E
4.7. Les conditions équivalentes de 3.4 sont équi�·alentes avec les suivantes: (e) Si f' est un complexe de faisceaux, défini dans un \'Oisinage de y et vérifia!fl les assertions de 4 . 1 , le faisceau Z'q+ l(f' ) = C o k er (fq -+ fq + l ) est libre a u \'oisinage de y. (f) On peut trou1•er dans un voisinage de y un complexe f'' l'ét ifiant les assertions de 4 . 1 et tel que la différentielle f'q -+ f'q + l soit nulle. (g) Il existe un 61-module de type fini � 7 (unique à un isomorphisme près) tel que l'on ait l'isomorphisme fonctoriel R q + If. (§ ® erM),
M étan t un module de type fini sur 6,.
:: H orney (�,. M),
148
M�THODES ALG�BRIQUES DANS LES ESPACES COMPLEXES
Démonstration. (a') :: (e). Il suffit de montrer que Z'9+ 1(f"),. = Z'H 1(f;) est un é>,-module plat. Soit 0 --. M' --. M un monomorphisme de é>,-modules de type fini. De l'exactitude à droite du produit tensoriel on déduit aisément le diagramme commutatif et exact
0 --. RH 1f.(W ® erM '),. --. Z 'H 1 (f" ),.® e, M' --. .e: + 2 ® e, M '
!
!
!
0 --. Rq+ 1f.(W ®e;.,M)1 --. Z ' 9+ 1(f"), ® e, M --. f; + 2 ® e,M: d'où la conclusion. (e) :: (f). On a les suites exactes o
--.
zq(f') --. ,eq --. _Bq+ 1(f")
--.
o,
0 --. _B9+ 1(f") --. fq+ 1 --. Z'q+ l (f") --. 0,
où B9+ 1(f.") = lm (f9 --. fH 1) et Z9(f") = Ker (f9 --. f9+ 1). Il en résulte donc que zq(f"), et Bq+ 1(f;) sont des é>7-modules libres. En restreignant le voisinage V de l'énoncé du théorème 4. 1 on peut supposer que Z'H 1(f"), zq(f") et _Bq+ 1(f") sont des faisceaux libres. Considérons le complexe f'" de composantes f'1= f1 pour i :1: q, i :1: q + 1 et f'9 = Z9(f") , f'H 1 = Z'H 1(f"). Les différentielles d'1 sont ég:lles à d1 pour i ':1: q - 1 , q, q + 1 et d'9- 1 : f9 - 1 __. zq , d'q : zq __. Z' H l et d'H 1 : Z'q+ l --. f.H 1 sont déduites naturellement des différentielles de .e· . On a d'q = O. Il reste à prouver que f'" satisfait les assertions du théorème. Soit 8)1t. un faisceau analytique cohérent défini sur un ouvert de V. On en déduit les égalités Im(fq + 1 ® 8)lt. --. f9+1 1 ® 8)lt.) = Im(Z'q+ 1 ® 8)lt. --. fq+ t ® 8)lt.)
et les isomorphismes
On obtient ainsi un isomorphisme H"(f" ®8)1t. )� H"(f'" ® 8)lt.),
On vérifie canoniquement que cet isomorphisme est fonctoriel en 8)1t. et qu'il est compatible avec les suites exactes courtes. L'assertion de 4. 1 est ainsi vérifiée.
149
MORPHISMES PROPRES D'ESPACES COMPLEXES
(f) � (g). Soit V le voisinage sur lequel est defini f'" . On notera l'opération de passage au dual. S oit 6v le conoyau de l'application v v f'9+ 1 -+ f'9+ 1 et 6'7 sa fibre en y. 6., est un él7-module de type fini. Soit M un e,-module de type fini. On a la suite exacte «v»
v
v
0 -+ H om19,(6'7 , M) -+ Home,(f;9 + t, M) -+ Hom19,. (f;q+ 2, M).
D'autre part Rq+ 1 f.(� ® M), � (Hq+ 1(f '" ® cM)), � Hq+ l(f;• ®e,M) =
Ker(f? + 1 ® M -+ f?+2 ® M),
étant un faisceau analytique cohérent défini sur un voisinage de y tel que cM, = M. L'isomorphisme de (g) résulte de l'identification naturelle
cM
Sa fonctorialité peut être prouvée d'une manière canonique. L'unicité de (g) résulte de façon connue de la fonctorialité. L'implication (g) � (a') est évidente, et la démonstration du théorème s'achève. CoROLLAIRE 4.8. Soit X !. Y un morphisme propre d'espaces complexes, � un faisceau analytique cohérent sur X, plat relativement à Y et q un entier. Si le théorème de changement de base est vrai en un point y de Y (relativement
à � et q) , il est vrai aux points d'un voisinage de y.
La démonstration résulte de (e). En particulier , on a le
CoROLLAIRE 4 . 9 . Dans le's mêmes hypothèses, si If est cohomologie quement p lat de dimension q dans un point y E Y, alors la même propr iété est vraie dans un voisinage de y. On considérera maintenant le théorème de changement de base sous forme globale.
Comme d'habitude o n notera défini sur un ouvert de Y.
.f
u n faisceau analytique cohérent
THÉORÈMil 4. 10. Soitf: X -+ Y un morphisme propre d'espaces complexes, � un faisceau analytique cohérent sur X, plat relatif à Y, et q un entier. A lors les affirmations suivantes sont équivalentes: (a) Le foncteur .m �- Rq f. (� ® er.M) est exact à droite. (a') Le foncteur .m �- RH 1f.(� ® e r.M ) est exact à gauche. (a") Les morphismes canoniques
Rqf.(� ) ® er.m -+ Rqf.(� ® e v81rl.) sont des isomorphismes.
1 50
MÉTHODES ALG ÉBRIQUES DANS LES ESPACES COMPLEXES
(a"') Le foncteur 8J1t � R'1f.(5 ® e ..8Jlt) est isomorphe à un foncteur de la forme � �-+ 87C. ®e .. 8Jlt, 87C. E Cob( Y) (il en r ésultera que 87C. est isom orphe à Rqf.(5)). (b) Les morphismes can oniques R qf. (5 ) -+ Rqf. (51) sont des 'épim orphismes pour tout y e Y. (c) Les morphismes canoniques Rqf. (5 /1Î1�+ 1 � ) -+ Rqf. (� /1Ît75 )
sont des épimorphismes pour tout y e Y et p o ur tout k � O. (d) Po ur tout changement de base g : Y' -+ Y, en considérant le morph isme f' : X' = X® r Y' -+ Y' déduit de f et le fa isceau � ' sur X', l'image im•erse de � sur X', le morphisme canonique g * (Rqf.(� )) -+ Rq f�(5 ') est un isomorphisme. (e) Il existe g- e Cob( Y) (unique jusqu'à un isomorphisme) tel que l'on ait l'isomorphisme fonctoriel en 81JL Rq+ lf. (5 ® e Y 8JIL) =: llome r (g-, .mt).
Démonstration. Toutes les implications, en exceptant la construction de g-, résultent immédiatement des considérations antérieures. Pour la construction de g- on reprend la démonstration de l'implication (f) � (g) de 4.7. Le fais ceau g- v (défini sur V) a la propriété suivante : p our tout faisceaa analytique cohérent .mt défini sur un ouvert de V, il existe un isomorphisme Rq + l f.(5 ®e y 8J1L) � Home y (g-y, .mt)
et de plus ces isomorphismes sont fonctoriels en .mt et compatibles avec les restrictions. Si ( V1, g- v,) et ( V2 , g- v.) sont deux paires vérifiant les propriétés ci-dessus, il existe alors un isomorphisme e �: : g- v. l vl n v2 .: g-v, 1 vl n v•. On vérifie aisément les conditions de récollement et on obtient ainsi le faisceau recherché g- . COROLLAIRE 4. 1 1 . Soit f: X -+ Y un morphisme propre d'espaces com plexes et 5 un e>x-module coh érent , plat relativement à Y. Il existe alors un e> y-modu/e cohérent g- (unique à un isomorphisme près) ainsi qu'un iso morphisme fonctoriel en 8J1t f.(5 ® e y 8Jlt) -+ Hom e (6, 8Jlt). y
La démonstration résulte de l'équivalence (a') - (e), pour q = - 1 . O n dira que 5 est cohomologiquement plat en dimension q au-dessus de Y, si le foncteur .mt � R'1f.(5 ® e .. m) est exact. Ceci revient au fait que 5 est cohomologiquement plat en dimension q en tout point de Y. On en dé duit de 3.4, 3.7, 4.7 et 4. 10 des critères de platitude cohomologiques. Il résulte
MORPHISMES PROPRES D'ESPACES COMPLEXES
1S1
en particulier que � est cohomologiquement plat en dimension q au-dessus de Y si et seulement si les applications R1f.(� ),fm,(R1f. (� ),) -+ R1f.(�/m.,�), = H1(X1, � 7)
sont bijectives pour tout y e Y et i = q, q - 1 , est localement libre et les applications
si
et seulement si R'lf.(� )
sont bijectives pour tout y e Y. Le résultat principal du paragraphe est le théorème suivant de Grauert. THÉORÈME 4. 12. Soit f: X -+ Y un morphisme propre d'espaces com plexes et � un faisceau analytique cohérent sur X, plat relativement à Y. Alors (i) (Le théorème de semi-continuité). Pour tout entier q fixé, la fonction
est semi-continue supérieurement. (ii) (Le théorème de continuité). Considérons un entier q. Si � est cohomologiquement plat en dimension q au- dessus de Y, alors la fonction
est localement constante. Réciproquement, si cette fonction est localement constante et si Y est un espace réduit, alors � est cohomologiquement plat en dimension q au-dessus de Y,· en particulier le faisceau R'lf. (� ) est localement libre. (iii) ( L' i nvari ance de la carac téri stique de Euler-Poincaré). La fonction y
t-+
t ( - l ) qdim Hq(X1, � ) q
7
est localement constante (partout, dim signifie dimcc). Démonstrdlion. On applique le théorème 4. 1 et on considère des faisceaux am. de la fo rme é!Jyfm1é!J y. Les assertions du théorème étant de nature locale sur Y, on peut donc supposer qu'il existe un complexe borné f' de é!Jr-mo dules libres de rang fini tel que H'(f') � R'f.(� ) e t H'(f'/m,f') ':! H'(X,, � ,)
pour tout point de Y. Les assertions (i) et (iii) résultent directement de l . 7.
1 52
M:aTHODES ALGÉBRIQUES DANS LES ESPACES COMPLEXES
(ii) Si ?i est cohomologiquement plat en dimension alors Rqf.(?i) est localement libre et
q
au-dessus de Y,
Rqf.(?i)1/tn1(Rqf. (Pi)1) � Hq(X1, Pi 1). Par conséquent la fonction y Ho
dim Hq(X1, ?i1)
est localement constante. Démontrons l'assertion inverse. D'après 1 , 7 (ii), les faisceaux
sont localement libres. Il résulte alors de 4. 7 que Pi est cohomologiquement plat en dimension q au-dessus de Y. Remarques. 1 ) Le théorème de continuité est nommé aussi le critère d'exactitude de Grauert (E.G.A., III). L'énoncé «classique» (Y réduit, y Ho dim Hq(X1, Pi 1) localement constante => RllJ.(?i) localement libre) peut être obtenu directement de la suite exacte
2) Comme il résulte des démonstrations, les complémentaires des ensembles ouverts apparaissant dans les corollaires 4.8, 4.9 ainsi que les ensembles fermés {yldima;Hq(X1 , ?i1) � k} du théorème 4. 12 (i) (q et k entiers fixés) sont analytiques. 3) Avec la même méthode on peut obtenir des informations concernant la fonction longueur. On peut montrer par exemple que les fonctions
sont polynomiales. IDdlcatfoas blbllograpbfques La démonstration du théorème de finitude de Grauert est celle de l'article de Forster et Knorr [28 ] et a été reproduite sans aucune modification ! Une autre démonstration en dehors de celle «classique>> ( [37], [60], [73 ]) peut être trouvée dans l'article de Kiehl et Verdier [59] ; dans [6] on peut trouver une présentation de celle-ci. Pour un contexte plus général on peut consulter [25], [29], [5 1 ], [58 ] . L a démonstration originale du théor�me d e finitude d e Cartan-Serre, respecti vement du théorème de projection de Remmert, se trouve en [20], respectivement en [81] . Le théor�me de factorisation de Stein est presenté suivant le modèlè algébrique
·
153
MORPHISMES PROPRES D'ESPACES COMPLEXES
( [45], Ch. III, 4.3). La démonstration originale (pour le cas des variétés) est donnée dans [103 ]. Dans le mémoire (17] de Cartan et dans [114] on présente un théorème général
d'espaces quotients (dans la démonstration duquel l'argument principal est encore le théorème de finitude). La démonstration du théorème de comparaison 3 . 1 est celle du mémoire de Knorr [60]. Au chapitre 6 (cf. [8 ]) on démontrera un résultat plus général et plus précis; en particulier on obtiendra des informations supplémentaires sur les systèmes projectüs
Ak (Hq(X1 , 6/m?))k ';IJ>O ·
•
Le théorème de changement de base, ainsi que les autres faits du §
[18] ou bien sont transposés du cas algébrique ( [44], [45 ]).
3 sont pris de
Le théorème 4.1 est démontré pour les faisceaux de la forme &lit. = eJy/ m.,e y (situa tion qui suffit pour le théorème 4. 1 2) dans l'article de Schneider [89] et est énoncé sous la forme générale en [59], Bemerkung 4.4. 1 . La démonstration que l'on a donnée ici est d'après [89 ]. Rappelons aussi que ce théorème est l'analogue du théorème 6.10.5 de E.G.A., Ch. III, [45 ] . Une fois le théorème 4.1 prouvé, la démonstration des autres faits du § 4 se fait sans difficultés suivant le modèle algébrique (E.G .A. ni, S.G .A. 6). Pour une autre démonstration du théorème 4.12 on peut consulter [82]. Le cas des familles analytiques de variétés complexes compactes est traité dans le mémoire de Kodaira et Spencer [61 ].
CHAPITRE
4
Morphismes projectifs d'espaces complexes
Introduction Dans son mémoire «Faisceaux algébriques cohérents» [93], Serre démontre le théorème suivant : «Soit IP' l'espace projectif de dimen.Sion r sur un corps algébriquement clos et � un faisceau algébrique cohérent sur [P'. Il existe alors un entier m0 tel que (A) Les faisceaux �(m) = � ® el(m) sont engendrés par des sections globales pour tout m � m0• (B) Hq(IP', 3'(m)) = 0 pour tout q � 1 et m � m0». Dans [94] on considère le cas des faisceaux analytiques cohérents sur l'espace projectif complexe. Le but de ce chapitre est de présenter la géné ralisation de ce résultat dû à Grauert et Remmert . [40] aux morphismes projectifs d'espaces complexes. Le résultat principal est le théorème 2. 1 qui montre que les morphismes projectifs «vérifient à l'infini les théorèmes A et B». Comme cas particulier on retrouve le cas absolu des espaces projectifs. En utilisant le théorème de Serre rappelé ci-dessus on obtient comme application le théo rème de comparaison 2.7 entre les faisceaux algébriques cohérents et les faisceaux analytiques cohérents sur une variété projective [94]. Au § 3 on étudie, d'après Grothendieck [44] et Serre [93], le comporte ment à � oo des morphismes projectifs. Le résultat obtenu (le théorème 3.1) correspond à la caractérisation de la dimension et de la profondeur d'un faisceau analytique cohérent sur un espace de Stein et montre que les morphismes projectifs (sous des hypothèses convenables de platitude) «se comporteJl$. aussi à oo comme les morphismes affines». Dans ce paragraphe on utilisera certains résultats du chapitre suivant. Au § 4 on démontre deux critères d'amplitude. Le premier représente une réciproque du théorème 2. 1 . Dans le second on donne des conditions sous lesquelles un morphisme X !. Y est projectif au voisinage d'un point y e Y, si l'on sait que la fibre X, est une variété projective. Le premier paragraphe contient, comme d'habitude, les préliminaires : on y rappelle les notions de fibré projectif, de faisceau ample, de morphisme projectif . . . -
1 56
MÉTHODES ALG ÉBRIQUES DANS LES ESPACES COMPLEXES
§ 1 . Préliminaires (a) On considère l'espace projectif IP' sur le corps complexe, considér é comme variété complexe. Soit (!) son faisceau structural, donc le faiscentt des germes de fonctions holomorphes. On notera t0, , t, un système de coordonnées homogènes dan� IP'. Le recouvrement naturel de IP' avec des espaces affines donnés par ces coordonnées sera noté COLt = (U0, , U,), donc U1 =so l'ensembl(• des points dans lesquels t1 =F 0, 0 � i � r. Pour un {!}-module � on notera � 1 la restriction de � à U1 . 0 � i � r. Soit m un entier. La multiplication tj/t'!' définit un isomorphis me s u r U1 n U1 entre � 1 et � 1 Le faisceau obtenu par le recollement dei! faisceaux � 1 à l'aide de ces isomorphismes sera noté �(m). Lorsque � es l cohérent, les faisceaux �(m) sont évidemment cohérents. On a les isomorphismes canoniques •
•
•
•
•
•
•
(!)(m + m') � (!)(m) ® e (!) (m'), et aussi
�(rn) � � ®e(!)(m),
� (0 ) � � .
� (m + m') � � (m) (m')
Home(� , � (m)) � Home(� ( -m), �) � Home (�, �) (m),
� étant un autre {!}-module. En particulier, il en résulte que (!)(- m) esl isom orphe au dual de (!)(m). On rappelle que si (X, (!)) est un espace annelé et f un {!}-modu il" inversible , on note m-fols f ® e · . . ® ef , si m > 0
t•m
=
l
=
,
si
m
Home (t • - m , (!)),
si
m < O.
(!)
0
D'après ce qui vient d'être dit (!)(m) � e(l)•m et donc �(m) � � ®e(!)( l )• m . Soit t u n polynôme homogène de degré k en les c o ord onnées t0, , 1; . Si s = (s1)1 est une section de �(m) alors le système ((t/t�)s1)1 es t u ne sectio rt d e � (m + k). On obtient ainsi des morphismes naturels �(m) -+ � (m + kJ, dénommés les morphismes obtenus par la multiplica tion par t ; l'imagt d' une section s sera notée ts. On peut vérifier aisément qu'il existe un isomorphisme •
(!)( r -
-
1 ) � a,
a étant le faisceau de germes de formes différentielles de ficients analytiques.
•
•
type (r, 0) à coef.
1S1
MORPHISMES PROJECTIFS D'ESPACES COMPLEXES
On utilisera le lemme suivant. LEME 1 . 1 . H11(rP', él) = 0 pour tout q � 1. Démonstration [ 3 1 ] . On utilisera les isomorphismes n· (rP', él) � H· (�. él). Si q > r il en résulte que Hll(rP', él) = O . Soit 1t : <J:' + 1"'-0-+ rP' le morphisme naturel correspondant aux coor données homogènes t0, • • • , t,. Notons CU' = 1t 1(�) et él' le faisceau structu ral de ([: ' + 1. Soit q un entier, l � q � r - 1 . D'après le ' lemme 2.3.4, Hll(�', él') = O. Considérons un cocycle Ç = (Ç10 • • • 14) e Cll('U, él). Par composition avec 1t, on obtient un cocycle Ç' = (1rÇ1• • • • 19) e Cll('U', e>'). Il existe donc 'l ' e Cll- 1(�'. él') tel que � , · = Ç'. Chaque fonction holomorphe '71, . . . t4�1p ouvant être développée en série de Laurent, celle-ci peut être écrite d'une manière unique comme somme de ses composantes homogènes de degré entier donné. Notons '7 1, . . . 19 1 la composante de degré zéro de '7f• . . . t9_1• Les fonctions holomorphes sur un ouvert U de rP' c orrespondant aux fonctions holomorphes homogènes de degré zéro sur 1t- 1(U), '7 = ('7t• . . . t9_1 ) définit un élément de Cll - 1{�. él) et � '7 = Ç. Il faut encore prouver que H'(rP', él) = O . Remarquons d'abord que tout cocycle Ç' e C'('t', él') = él ' ( U� n . . . n u;) se développe en série de Laurent -
00
I;
«o· · · · · «,. -
•
•
•,
0!)
a,.t�· . . . ��·. a,. e
I l y a plus : Ç ' e B'('\f', él') si et seulement si a,. = 0 dès que o:0 � - 1 , . . o:, � - 1 . Par conséquent Ç' est cohomologue à une fonction holo .
morphe admettant un développement de Laurent de la forme «o ::; - 1 •
I; cr,. � - 1 a,.t�· . . . ��·.
. . . •
La composante homogène de degré zéro dans un tel développement étant nulle, la conclusion recherchée résulte aisément comme c i d e ssus. (b) Considérons maintenant l espace projectif rP' en tant que variété algébrique, donc son faisceau structural e> sera le faisceau de germes de fonctions rationnelles. Pour le théorème de comparaiso n 2. 7 on utilisera le résultat -
'
suivant [93] :
«Soit tF un faisceau algébrique cohérent sur rP'. Il existe alors un entier m0 = m0(�) tel que (A) Les faiscea u x :F(m) sont engendrés par les sections globales, pour m � m0• ( B) Hll(rP' , :F(m)) = 0 pour q � 1 et m � m0». Le fait suivant sera aussi utile par la suite :
«Les groupes de cohomologie Hll(rP', él) sont nuls pour tout q � 1 ». (c) Fixons un espace complexe Y et un faisceau e e Cob( Y). Soit 1 X-+ Y un espace complexe au-dessus de Y. On considère l'ensemble des
M ÉTHODES ALGÉBRIQUES DANS LES ESPACES COM PLEXES
1 58
couples (f, qJ), f étant un é:>x·module inversible et qJ : j * (S) -+ f un é:>x-morphisme surjectif. On dira que deux couples (f, ({J) e t (f', qJ') sont équivalents s'il existe un ex-isomo rphisme 't' : f -+ f' tel qu e qJ' = 7:(/J. r
Si X' -+ Y est un autre espace co m p lex e au-dessus de Y et g : X' -+ X un Y-morphisme (/' = fg), alors tout c o upl e (f, qJ) su r X définit un couple (g•(f), g * (qJ)) sur X' (on a identifié par commodité g*j * (f>) avec f' * (fJ)).
On vérifie facilement que l'on obtient ainsi un foncteu r de la catégorie des espaces complexes au-dessus de Y à val e urs dans la catégorie des ensembles. Dans [ 1 8] on montre qu'il existe un espace complexe, n oté P(f;,), dénommé le fibré projectif associé à g\, un morphisme p : P(�) -+ Y appelé le morphisme structural et un co uple (e( l), e) sur P(t>) représentant ce
foncteur. Ainsi, pour chaque espace complexe X !. Y au-dessu s de Y il y a une correspondance biunivoque entre les Y-morphismes d e X d an s P(&) et les classes d'équivalence de couples (f, qJ) sur X définis ci-dessus ; si i': X -+ P(8) est un Y-morphisme, le couple associé sera (f = r•(e( I )), cp = r•(e)). Le système (P(t;), p, él(I), e) est déterminé uniquement, à un iso m o rphism e près , pa r ce tte p r op ri été . Lo rsque 4> = él'y+ 1 o n montre que P{�) c oï ncid e (aux isomorphismes près) avec Y x IP', l e morphisme stru ct ura l p coïncide avec la projection , él{l ) avec l'image inverse de éJJP, ( l ) par la projection Y x [p' -+ [p', et e est dédui t , à l'aide d e cette projection d u m orphisme, é0,"!: 1 -+ éliP'( I ) défini
par la formul e (s0,
r
•
•
•
, s,) H- 1; t1s1• Dans ce cas on i-1
notera él(m)
l'image inverse d e éliP'(m) par l a projection Y x IP ' -+ [p' ; pou r u n élr x p -mod ul e § , o n écrira 5 (m) = if ®eél(m) (ces faisceaux peuvent s' obtenir aisément aussi par recollement, exactement comme en (a)). O n a l es mêmes propriétés que dans le cas absolu. Reformul ons la propriété d 'universal i t é de Y x [p' l o r s q u e Y se réduit à un point : «Soit X un espace complexe. Alors on a les correspondances biuni voques : H o m(X, [p') � {(f ; s0, • • • , s,)/ l 'équ i valence donnée par d es i s om or p hi s m es } , f étant un faisceau inversible sur X et s0, • • , s, des éléments de rex, f) t el s que, pour tout x e X, i l existe un si avec la propriété S;,x � mxfx». Si 0 : X -+ [p' est l e morphi sme associé à un système {f ; s0, • • • , s,), alors O(x) est le point de coordonnées homogènes s0(x), . . . , s,(x) (comme d'habitude, pour une section s de f, s(x) est son image dans fx/mxfx :: ct ) . De plus, si Pf(l est une fonction rationnelle définie au voisinage de O(x), P et Q étant des polynômes homogènes ayant le même degré et tels que Q(O(x)) =1: 0, alors le germe de foncti on holomorphe défini pa r elle au voisinage du point x e Xo<x> pa r (J est : P(u(s0, x), . . . , u(s,, x))/Q(u(s0,x), . . . , u(s,,x)), u étant un isomorphisme f� � él� (remarquons que l'élément Q(u(s0,x), . . . , u(s,,x)) est inv e rs i ble) . Rappelons encore les deux propriétés suivantes des fibres projec tives. Si Fi -+ 6 est un morphi sme surjectif dans Cob( Y), on obtient alors u ne im mersion fermée P(f>) -+ P(!i), compatible avec les morphismes •
MORPHISMES PROJEC1FS D'ESPACES COMPLEXES
l S9
structurels. Il en résulte en particulier que, localement sur Y, tout fibré projectif P(�) se plonge en un espace de la forme Y x IP', le plongement étant compatible avec les morphismes structurels. L'autre propriété s'énonce ainsi : si ( Y, �) est comme ci-dessus et si cp : Y -+ Y est un morphisme d'espaces complexes, il existe un isomorphisme naturel '
En particulier, pour tout point y de Y, la fibre analytique P($)7 (laquelle est isomorphe au produit fibré de P(�) avec {y, eJ1/m1) au-dessus de Y) s'identifie de manière naturelle avec l 'espace projectif associé à l'espace vect o ri el &7/m , 6, .
X .!. Y un morphisme propre d'espaces complexes et � un eJx-module inversible. Supposons que le morphisme canonique f*f. (f) -+ f soit surjectif. D'après (c) il définit un m orp hi sme X -+ P(f. (f)) compatible avec .f et avec le morphisme structural P{f.(f)) -+ Y. On dira que f est très ample relativement à Y (ou relativement à f) si le morphisme X -+ P(f.(f)) est une immersion fermée. Le faisceau f est ample relativement à Y si pour chaque point y de Y il existe un voisinage V et un entier n � 1 tels que le fa is ceau f*niJ- 1( V) soit très a m ple relati vement à V. Un morphisme f: X -+ Y d'esp::tces complexes est projectif s'il exis te s ur X un faisceau ample relat i ve m en t à Y. On considère en particul ier le cas o ù Y se réduit à l'objet final (• ,
très ample si les sections globales r (X, �) engendrent les fibres f,., x e X
et le morphisme canonique X -+ P(r(X, f)) est une i mmersion fermée . f sera ample si une puissance convenable fen (n � 1 ) es t très ample. Ces défi nitions sont compatibles avec les définitions données précédemment. {e) Rappelons quelques faits d 'algèbre l ocale.
LEMME 1 .2 . Soit A -+ B un morphisme local d'anneaux locaux noethé riens et M un B-module de type fini, plat au-dessus de A et tel que M/m,�.M soit un Bfm A B-module libre. Dans ces conditions M est u n B-module libre.
x1 o . . . , x, e M tels q ue leurs classes dans M/mAM constituént une base sur B/m,�.B. D'après le lemme de Nakayama, le mor phisme B' -+ M défini par ces éléments est surjectif et soit N so n noyau. On a donc la suite exacte de B-mod ules 0 -+ N -+ B' -+ M -+ O. En tenso risant avec ® ,�.A/m,�. on obtient la suite exacte
Démonstration. Soit
0 -+ NfmAN -+ (B/m,�.B)'
-+
MfmAM -+ 0.
Il en résulte alors que N/m,�.N O. Comme mAN = (mAB) N, en appliquant de nouveau le lemme de Nakayama il en résulte N = 0 , donc M e st B-libre. =
1 60
MÉTHODES
ALGÉBRIQUES DANS LES ESPACES
COMPLEXES
PROPOS ITION 1 .3. Soit A -+ B un morphisme local d'anneaux locaux noe thériens tel que Blm..tB soit régulier de dimension r. Soit M un B-module de type fini, plat au-dessus de A, et N un B-module arbitraire. Dans ces c onditions : (a) Ext�(M, N) = 0, pour i > r.
(b) Si de plus les modules N et Ext�(M,
N) sont
A-plats, alors
Extj,fM, N)lm.. Ext.B(M, N) � Ext�!tn .. M(Mim..tM, Nlm .. N). Démonstration. (a) Soit une suite exacte de B-modules L,_ 1
-+
. .
.
-+
L0 -+ M -+ 0,
les L; étant des modules libres de type fini, et soit P le noyau de l'application
L,_ 1 -+ L, _ 2• P est un B-module de type fini, plat sur A (on raisonne en
décomposant de droite à gauche la suite exacte considérée en suites exactes courtes). On obtient alors en tensorisant avec ® ..t Alm A la suite exacte On déduit de l'hypothèse faite sur Blm,.B que Plm.. P est un Blm,.B-module libre. Conformément au lemme précédent P est B-libre. La conclusion en résulte en calculant Ex t.B(M, N) à l'aide de la suite exacte 0
-+
L,
-+
L,_ 1
-+
. . . -+ L0 -+ M -+ 0,
où l'on note L, le module P. (b) Notons L. la résolution de M donnée par (•). En tensorisant avec ® .. AlmA on obtient une résolution Ljm.. L. pour Mlm..M. Alors Ext�1m ..B(Mim..M, Nlm.. N) sont les groupes de cohomologie du complexe HomB1m .. B(L./m..tL. , Nlm..N). Considérons le complexe K" = Hom8(L. , N). Ses composantes sont des A-modules plats et les groupes de cohomologie associés, étant isomorphes à Ext.Z,(M, N), le sont encore. On aura donc les isomorphismes (en considérant les suites exactes courtes données par les cocycles, les cofrontières et la cohomologie . . . )
Comme K " lm.. K" � HomBim ..s(L./m..tL . , Nfm.. N), la conclusion en résulte. Le lemme suivant nous sera aussi utile. LEMME 1 .4. Soit
A
-+
B un morphisme local d'anneaux locaux noethériens A
tel que le morphisme induit lorsqu'on passe aux complétés A Alors A -+ B est un morphisme plat.
-+
A
B soit plat.
161
MORPHISMES PROIECTIFS D'ESPACES COMPLEXES A
A
Démonstration. Les morphismes A � A et B � B sont plats. Soit 0 � M � N
un monomorphisme de A-modules de type fini et P=Ker (M® AB�N® :.B). On obtient la suite exacte 0
�
A
A
A
P ® 8B � (M® _.B) ® 8B � (N® _.B) ® 8B.
A.
A
A
A
A
1\
M ais (M® _.B) ® 8B � (M® _.A) ® � B, (N® _.B) ® 8B � (N® _.A)®� B. De l'hypothèse, il résulte P ® 8B = O . En utilisant le théorème de Krull on en déduit P = 0 et la conclusion en résulte.
(f) Pour un espace complexe (X, élx) on note m.x/mi l'espace tangent de Zariski, x étant un point de X. Si f: (X, élx) � ( Y, élr) est un morphisme d'espaces complexes, on
obtient alors naturellement un morphisme m1<x>fm}<x> � m.x/m! entre les espaces tangents associés. On utilisera le fait suivant : «/ est une immersion au voisinage de x si et seulement si le morphisme .l' est surjectif». En fait, la condition d'immer sion est équivalente au fait que le � orphisme élr,t<.x> � élx, .x soit surjectif ([1 8}, Exp. 1 2) et la condition pour fx d'être surjectif à l'égalité m1c.x>él.x = m.x ; l'assertion recherchée en résulte en utilisant le théorème de préparation de Weierstrass. § 2. Le comportement à + oo des faisceaux �(m) Le résultat principal de ce paragraphe est le théorème suivant de Grauert et Remmert [40} : THÉORÈME 2. 1 . Soient f: X � Y un morphisme projectif d'espaces complexes et f un faisceau inl'ersible sur X, ample re/atil'ement àf Pour tout élx-modu/e tf , on note !f(m) = If ®e f8m, m entier arbitraire. Alors pour tout faisceau "
analytique cohérent If sur X et pour tout compact K de Y il existe un entier m0 = m0(K, If ) tel que : (A) Le morphisme canonique rJ. (If (m))
�
�(m)
est surjectif aux points de K pour m � m0 ; (B) R�.(lf(m)) est nul sur K pour tout q � 1 , m � m0• Démonstration. Faisons d'abord la remarque que, si le théorème est vrai
lorsqu'on remplace f avec f 8 d, d � 1 entier, alors il est encore vrai sous la forme énoncée. Pour vérifier ceci on considère if e Coh(X). Pour tout entier m � 1 on peut écrire lf(m) = (If ® f 8 ') ® f8hd,
1 62
MÉTHODES ALGÉBRIQUES DANS LES ESPACES COMPLEXES
avec h, r entiers, h � 0, 0 � r < d; la conclusion en résulte en utilisant l'hypothèse pour les faisceaux cohérents tl' ®f8', 0 � r < d. Le théorème étant de nature locale sur Y, on peut donc supposer que f est très ample relativement à f Il existe donc un diagramme commutatif naturel x -- Y
�/ P(f. ( !))
où X-+ P([. (.f)) est une immersion fermée et où P(f (f) ) -+ Y est le morphisme structural. En utilisant de nouveau le fait que les. assertions du théorème sont de nature locale sur Y on peut supposer qu'il existe un morphisme surjectif é>'y+ 1 -+ f. (f) -+ �. On obtient donc une immersion fermée P(f .(f)) -+ P(��+ 1) = Y x [p', compatible avec les morphismes structuraux. On trouve ainsi une immersion fermée i : X-+ Y x [p' tel que le diagramme 1
x -- Y
Y x [p' soit commutatif; de plus on a un isomorphisme i • (ê�Y x !P'"0 )) � f. Pour tout élx-module W on obtient alors i. (tl' (m)) � ( i. (tl' )) (m) . On est ainsi ramené à démontrer le théorème lorsque X est de la form e Y X [p',fétant la projection canonique et f le faisceau �xO) l)'image inverse par la projection Yx [p ' -+ [p' du faisceau é'IP'(l )). On utilisera dans ce cas une récurrence suivant r. Pour r = 0 les assertions de l'énoncé sont évidemment vérifiées pour tout entier m. Supposons le théorème vrai pour r - 1 et démontrons-le pour r. Soit tl' e Coh(X) . L'existence d'un m0 vérifiant (A). On notera t0, , t, les coordon nées de [p'. Soit x un point de X et m un entier tel que le m orphisme rf. (tl'(m))x -+ tl'(m)x soit surjectif. M ontrons que ce fait a lieu aussi pour tout entier m', m' � m. Soit x = (y, z), y e Y, z e IP' et U1 une des cartes affines canoniques de [p' contenant z. On considère le morphisme •
0:
•
•
�IP'"(m) -+ �IJ1r(m')
donné par la multiplication par t;:r'-m (pour chaque carte U1 ceci revient à la multiplication par (11/t,r' -m). Ce morphisme est un isomorphisme sur U1• On en déduit alors d'une manière canonique un morphisme de �x-modules W(m)-+W(m'), lequel est un isomorphisme sur Yx Ut. en parti culier au point x. La conclusion désirée en résulte immédiatement. Remar quons encore que, si pour un entier m, le morphisme rf.(tl'(m))Jt: -+ tl' (m)Jt: est surjectif au point x, alors il résulte de la cohérence que cette propriété a lieu dans un voisinage de x.
163
MORPHISMES PROJECTIFS D'ESPACES COMPLEXES
Ces deux remarques ramènent l'existence de l'entier m0 à l'assertion suivante : (•) Pour chaque x e X il existe un entier m, dépendant de x ct d e �, tel que le morphisme rt.(�(m)) -+ tf(m)
soit surjectif au point x. Soit x = (y, z) , y e Y et z e [p'. On considère un hyperplan E passant par z, d'équation t = O. On notera avec eJE le faisceau structural de E, prolongé trivialement à IP'""-E. Ici Y x E est un sous-espace fermé de Y x IP' ct on notera é?Jrx E son faisceau structural, prolongé trivialement en dehors de Y x E. On a la suite exacte 0 -+ eJIPr(- 1) -+
é?Jœr -+ eJE -+ 0,
le morphisme eJIP.(- 1) -+ eJIP, étant donné par la multiplication par A l'aide de la projection Y x [p' -+ IP' on obtient une suite exacte
t.
En tensorisant avec ® e x� on obtient la suite exacte 0 -+ To r � x (tf , eJ r x E) -+ �( - 1 ) -+ tf -+ If ® erelr x E -+ O .
On notera, pour simplifier, .m = � ®exeJ Y x E �
et
e =
To r�x(tf, eJY x E) ;
et e sont des é?Jx-modules cohérents et, pour tout entier m, on a exacte 0 -+ Œ:{m) -+ �(m - 1 ) -+ �(m) -+ .m {m) -+ O.
la
suite
On note � .. = Ker (tf{m) -+ .m{m)). On obtient ainsi les suites exactes 0 -+ e (m) -+ tf (m - 1) -+ !,. -+ 0, 0 -+ !,. -+ tf (m) -+ .m(m) -+ o.
En appliquant le foncteur /. , on en dédu,it les suites exactes R1J. (tf (m - 1)) -+ R 1f.(!,.) -+ R2f.(rE(m)) , Rlf.(!,.) -+ RlJ.(tf (m)) -+ Rlf.($ (m)) .
Si ;J(Y x E) est le faisceau maximal d'idéaux associé au sous-espace Y X E c Y x [p', alors �(Y x E).m = 0 et ;J( Y x E)e = O.
1 64
M�THODES ALG�BRIQUES DANS LES ESPACES COMPLEXES
Il en résulte donc que � et e peuvent être considérés comme des eJ y x E -modu les, et donc ce sont des e r x E-modules cohérents. En appliquant l'hypothèse d'induction pour le morphisme Y x E-+ Y et pour ces faisceaux il en résulte l'existence d'un entie r m0 tel que R2f. (rE(m)) et R1f.(�(m)) soient nuls dans un voisinage de y pour tout m ;il: m0• Il en résultera que les applications de faisceaux sont surjectives au point y, pour tout m entiers m, les applications composées
;il:
m0• On en déduit que, pour ces
sont surjectives. Le faisceau Rlf.(!i(m0 - 1)) est eJ y-cohérent d'après le théorème de finitude. La noethérianité de l'eJ,-module R1f.(!i(m0 - 1 ))7 assu re l'existence d un entier m1 ;il: m0 tel que les applications '
soient bijectives pour tout m
;il:
m1• Il en résulte alors que les applications
sont bijectives au point y pour m
;il:
m1• De la suite exacte
on déduit que les applications f.(!i(m)), -+ /. (�(m)),
sont surjectives pour m
;il:
m1• Comme conséquence, les applications
sont surjectives pour m ;il: m1• Conformément à l'hypothèse de récurrence il existe un entier m2 tel que l'application rf.($,(m))x -+ &(m)x
soit surjective pour tout m ;il: m1• Ainsi, pour m suffisamm ent grand, les applications rJ.(!i (m))x -+ rf.(�(m))x et rf.(&{m))x -+ �m)x sont surjectives. On a &(m)x = !i(m)xf;Jx(Y X E)!i(m)".
MORPHISMES PROJECTIFS D'ESPACES COMPLEXES
1 6S
L'assertion (•) résultera de ces faits, en utilisant le diagramme com mutatif f*f.(�(m)),. -+ f*f. (�(m)),.
l
l
� (m),. --+ �(m),.
et Je lemme de Nakayama.
L'existence d'un m0 vérifian t (B). On utilisera une récurrence décroissante suivant q. Pour q suffisamment grand, Je foncteur R!lf. est nul. Supposons maintenant que pour un entier q � 2 et pour tout triplet ( Y, K, �). il existe un entier m0 vérifiant (B). On prouvera l'assertion corres . pondante pour l'entier q - 1 . Soit ( Y, K, �) comme dans l'énoncé du théorème (rappelons que l'on s'est ramené au cas X - Yx [p r, f = él(l ) et f la projection). Soit y e Y un point arbitraire. Il suffit de trouver un voi sinage V pour y tel que R!l - lf.(� (m)) soit nul sur V pour m suffisamment grand . Soit V un voisinage de Stein relati vement compact de y. Considé rons un entier m0 tel que le morphisme f*f. (�(mo)) -+ �(mo )
soit surjectif sur J- 1(V). Il existe sur V un morphisme surjectif e>� -+
f. (�(m0)). On en déduit , en appliquant f•, un morphisme surjectif e>� -+ f•J. (5-(m0)) sur j- 1( V) et par composition un morphisme surjectif
e� -+ � (mo)
sur j- 1(V). Soit é>H - m0) -+ � Je morphisme déduit de celui-ci, et soit t!J son noyau ; t!J e Coh((- 1( V)). Pour tout entier m on a, sur J- 1( V), la suite exacte 0 -+ t!j (m) -+ éJP (m - m 0) -+ g;(m) -+ O. On notera toujours f i e morphisme j- 1( V) -+ V déduit de f. On. obt ie n t sur V la suite exacte R!l - lf.(e>Hm - m0) ) -+ R!l - 1/�(g; (m)) -+ R!lf.(éj(m)) .
Conformément à l'hypothèse de récurrence, en restreignant si nécessaire Je voisinage V de y, on a R!lf.(éj (m)) = 0 pour m suffisamment grand. La démonstration du théorème s'achève alors aisément à l'aide du lemme suivant :
LEMME 2.2. Soit Y un espace complexe, X = Yx [p r l'espace projectif de dimension r au-dessus de Y et f: X -+ Y la projection. A lors
pour tout m � 0, q � 1 .
R!lf.(élx(m)) = 0
Démonstration. Si V est u n ouvert d e Stein suffisamment petit de Y, alors H9(Vx [p', élx) = 0 pour q � 1 ; ceci se démontre exactement comme
166
MÉTHODES ALGËJRIQUES DANS LES ESPACES COMPLEXES
dans le cas du lemme 1 . 1 , ou bien peut être déduit de ce dernier par une formule simple de type Küneth. Il en résulte ainsi que R!'f. (ex) = O. On démontrera l'assertion du lemme par récurrence suivant m. Le cas rn = 0 est déjà prouvé. Pour le pas général de récurrence on utilisera en plus une récurrence suivant r. A l'aide d'un hyperplan arbitraire E de IP' on déduit (comme on l'a déjà fait au cours de la démonstration du théorème) une suite exacte
0 -+ ex (
1 ) -+ eX -+ é} Y x E -+ 0 .
La conclusion en résulte alors facilement en utilisant les suites exactes
0 -+ ex(m
1) -+ ex(m) -+ ê> y x E (m) -+ O .
Remarque. Le théorème peut s'appliquer au cas particulier où X est l'espace projectif à r dimensions au-dessus de Y, .f = ê>x( l) et f la projection. Comme on a vu au cours de la démonstration, le théorème se déduit d'ailleurs aisément de ce cas. CoROLLAIRE 2.3. Sous les hypothèses du théorème, soit � -+ c!J -+ % une suite exacte de ê>:x-modules cohérents. Alors, pour tout compact K de Y, il
existe un entier m0 tel que la suite
f.(�(m)) -+ f. (c!J(m)) -+ f. (X (m))
soit exacte sur K, quel que soit rn � m0• Démonstration. Soit � '. c!J ' , c!J" le noyau, l'image et le conoyau du mor phisme Fi -+ c!J. Ici c!J' est le noyau et I!J" l'image du morphisme c!J -+ % ; soit X " le conoyau de ce morphisme. Tous ces ex-modules sont cohérents. Le foncteur � -+ �(rn) étant exact, il suffit de montrer que, pour rn suffi samment grand, chacune des suites
0 � �.(� '(rn))· -+ f.(� (m)) -+ f. (c!J'(m)) -+ 0 , 0 -+ f. (c!J'(m)) -+ f.(c!J(m)) -+ f.(� " (m)) -+ 0, 0 -+ f.(� " (m)) -+ f.(% (m)) -+ f.(X "(m)) -+ 0 ,
est exacte sur K. Autrement dit, on peut supposer que la suite
o-�-�-x-o est exacte. La conclusion résulte alors du théorème et des suites exactes :
0 -+ f.(�(m)) -+ f.(c!J(m)) -+ f.("JC(m)) -+ R1f.(�(m)) -+ . . . COROLLAIRE 2.4. Sous les hypothèses du théorème, si � est un faisceau analytique cohérent sur X, plat au-dessus de Y, et K un compact de Y, alors il existe un entier mo = m0(K, �) ayant la propriété que les faisceaux f.(� (rn)) . sont localement libres sur K, pour rn � mo.
MORPIDSMES PROIECTIFS D'ESPACES COMPLBXES
1 67
La démonstration résulte de
3. 3.9 et 3. 3.1 1 . En considérant dans le théorème Y l'espace complexe réduit à un point, ayant pour fibre le corps complexe, et X = Dl' on obtient les théorèmes A et B de Serre pour l'espace projectif [94] :
THÉORÈME 2.5. Soit [p' l'espace projectif complexe de dimension r et soit eJ le faisceau de germes de fonctions holomorphes sur IP'. Pour tout eJ-module cohérent � il existe un entier m0 = m0(� ) tel que (A) Les faisceaux �(m) = � ® eeJ(m) sont engendrés par les sectio113 globales pour m � m0 ;
(B) Hq(Ql', � (m))
ca
0 pour q � 1 et m � m0•
COROLLAIRE 2.6. Tout faisceau analytique cohérent sur IP' admet une résolu t ion finie avec des faisceaux localement libres de rang fini.
Démonstration. En utilisant l'hypothèse de régularité des anneaux locaux de Dl', il suffit de montrer que tout faisceau � e Coh([p') est le quotient d'un faisceau localement libre de rang fini. Pour m suffisament grand on déduit du théorème un épimorphisme de la forme ej.. -+�(m) -+ 0, donc u n épimorphisme ej..( - m) -+ � -+ 0 et la conclusion en résulte. On conclura ce paragraphe le théorème de comparaison de Serre [94]. On notera X l'espace projectif IP' considéré comme variété algé
brique et X" le même espace considéré comme variété complexe. Tout ouvert de Zariski étant ouvert dans la topologie usuelle et toute fonction rationnelle étant holomorphe, on obtient naturellement un morphisme d'espaces annelés X" -+ X. Pour un point x E x, le morphisme e,. -+ � devient isomorphisme par A A passage au complété (les «: -algèbres e,. et eJ� sont isomorphes à l'algèbre G: [[zb . . . , z,]] des séries formelles en r indéterminés). En appliquant le lemme 1 .4 il en résulte que le morphisme X11 -+ X est plat. Si ::f est un faisceau algébrique cohérent sur X, son image inverse par ce morp hisme est un faisceau analytique cohérent sur X", que l'on notera �". On obtient alors un foncteur exact de la catégorie Coh(X) dans la catégorie Cob(Xh). On a eJ(m)h = &(m), pour rn entier arbitraire. Soit � e Coh(X), tt un recouvrement affine fini de X et ttfh son image inverse sur X". Tout ouvert affine de Zariski étant un ouvert de Stein, '\th sera donc un recou vrement de Stein. On en déduit naturellement un morphisme entre les complexes de Cecb associés C'(tt, � ) -+ C'(tt", �") et donc un morphisme entre les groupes de cohomologie Ir(X, �) -+ H' (X", �") (en fait, l'existence de ce dernier est une propriété générale des espaces annelés). Il est facile de vérifier que ces morphismes sont fonctoriels et compa tibles avec les suites exactes courtes.
·
168
MmlODES ALGIDlRIQUES D ANS LES ESPACES COMPLEXES
THÉORÈME 2. 7. Le foncteur § -+ §11 de la catégorie des faisceaux algébriques
cohérents sur l'espace projectif X = IP' dans la catégorie des faisceaux analytiques cohérents sur cet espace est une équivalence de catégories. De plus les morphismes canoniques H9(X, §) -+ H9(X11, §")
sont des isomorphismes pour q entier arbitraire.
Démonstration. On utilisera les résultats du § l (b) et l'analogue algébrique du corollai re 2.6 (ces faits peuvent être démontrés exactement comme dans le
cas analytique). On vérifie d'abord la dernière assertion. Pou r § = é!J, H0(X, é!J) = H0(X11, &) = CC et H9(X,. é!J) et fl9(X11, &) sont nuls pour q � l. Considérons maintenant le cas des faisceaux é!J(m). On fera une ré currence suivant r. Le cas r = 0 é ta nt évident, démontrons le pas général de récurrence. Soit E un hyperplan d'équation homogène t = O. On a la suite exacte
dans laquelle le morphisme é!J( - 1 ) -+ é!J est celui obtenu par la multipli cation p ar t et où é!JB est le faisceau structural de E = [p•- 1 prolongé trivi alement à [p'"- E. On obtient pour tout entier m la suite exacte
ct
0 -+ é!J(m - 1) -+ é!J(m) -+ é!JB(m) -+ 0
de manière analogue les suites exactes 0 -+ &(m - 1) -+ &(m)
On a un diagramme
� •••
• •
-+
é!JB._(m) -+ O.
commutatif
-+H9(X, é!J(m - 1))-+ H9(X, é!J(m))-+H9(E, é!JB(m)) -+HH 1(X, é!J(m- l))-+
t
t
�
. • •
�
-+H9(X11, é!J(m-l)")-+H9(X", é!J(m)11)-+ H9(E", é!JB(m)")-+HH 1(X11, é!J(m- 1}")-+ D'après
l'hypothèse de récurrence les morphismes
isomorphismes. «Le lemme des cinq» montre que les morphismes du théorème sont des isomorphismes p o u r § = é!J(m) si, et seulement si, il le sont pour 1J = é!J(m - 1). Comme p our m = 0 ce fait a été vérifié, l'assertion cherchée en résulte. sont des
• • •
MORPHISMES
PR01ECTIFS
D'ESPACES COMPLEXES
169
Considérons maintenant le cas des faisceaux algébriques cohérents arbitraires. On utilise une récurrence décroissante suivant q. Pour q suf fisamment grand , Hfl(X, S') et Hfl(Xh, S'11) sont nuls (on utilise la cohomologie de Cech !) et il reste donc à prouver le pas général de récurrence. D'après le § l(b), on a une suite exacte 0 -. .jl. -. .f! -. 8' -. 0
dans laquelle .f! est une somme directe de faisceaux de la forme él(m) . On a le diagramme commutatif • • .
--.
Hfl(X, .jt) --. Hfl(X, .f!) --. H'(X, S') -+ HH 1(X, .jt) --. HH l(X, f) --. . . . �
i
..
�
..
i
.,
!
"*
...:-.H'(X", .jl.h)-. Hfl(X11 , f11)-.Hfl(X11, 8'11)-.HH l(X11, .j�.h)-. Hfl+ l(X11, .f!11)-. ...
Le morphisme s 2 est un isomorphisme ; d'après l'hypothèse de récurrence les m orphismes s, et s5 le sont aussi. Le lemme des cinq montre alors que Ba est surjectif. Ceci étant vrai pour tout S' e Coh(X}, ce le sera aussi pour A et donc s1 est surjectif. En appliquant encore une fois le .lemme des cinq on en déduit que s8 est bijectif et ainsi la démonstration de la seconde assertion du théorème est achevée. Démontrons maintenant la· première assertion du théorème. Soit S' , (!} e Coh(X}. Il existe un morphisme naturel ·
Home(S', (!})11 --. H�m&o(S"11, (!}11).
Montrons qu'il s'agit d'un isomorphisme. Le problème étant local sur X, on peut donc supposer qu'il existe une suite exacte
La conclusion résulte alors facilement de J'exactitude du foncteur <
=
H0(X, Home(S' . (!}))
..
H0 (X11 • Home(S' ' (!})")
11 H0(X", Hom&-(8"11 , �11)) = H omer-(8' , (!}11)
est bijectif. Pour finir il reste donc à prouver que, pour tout S'' e Coh(X11), il existe un faisceau algébrique cohérent S' e Coh(X) tel que S' ' � 8'11• D'après 2.5, pour m suffisamment grand, S''(m) est isomorphe au quotient d'un faisceau de la fo rme (&)" et d o nc S' ' est isomorphe à un quotient d'un faisceau de la forme &(- m)". En notant .f!0 le faisceau él(- m)" on obtient une suite exacte 0
..
(!} ' .. � -+ S' '
..
o.
170
MmiODl!S ALGtmRIQUES DANS LES ESPACES COMPLEXES
En répétant le raisonnement on trouve ainsi une suite exacte
avec f0 et f1 isomorphes à des sommes directes finies de faisceaux de type e>(m). Conformément à ce qui précède, il existe lf' e Home(f1 , f0) tel que qi' = lf' ' · Si l'on note � le conoyau de lf' on en déduit que �· z. ��� et le théorème est démontré. Comme application notons le théorème suivant de Cho� : «Tout sous-ensemble analytique fermé de l espace projectif [p' est algébrique». Soit en effet A c [p' un tel ensemble. On considère un faisceau analytique cohérent 81 sur [p' tel que A = Supp 81 . D'après le théorème 2.7 il existe un faisceau algébrique cohérent � tel que � �� z. 81lt . Pour un point x e IP', le ex-module �x est nul si et seulement si le module �� = �.x ®e,.e>! est nul (conséquence du théorème de Krull ainsi que du fait que e>x et e>� ont le même complété). Donc Supp � = Supp �" = A et la conclusion en résulte. '
Remarque. Les résultats de 2.5, 2.6 et 2. 7 peuvent être énoncés en fait pour une variété projective arbitraire X (dans 2.6 on suppose en plus X
non singulière). Les démonstrations se déduisent aisément du par des plongements convenables X -+ IP'.
§
3. Le comportement à
-
oo
cas
considéré
des faisceaux �(m)
Soit f: X -+ Y un morphisme arbitraire d'espaces complexes ; on considère un e>rmodule � et y un point de Y. Notons comme d'habitude X., la fibre f- 1(y) munie de la restriction correspondante du faisceau e>x, = e>x.Jm.,e>x et par �., le faisceau � /m.,� (m étant l'idéal maximal de e>r, 7 et « A » désignant le faisceau engendré par fui dans e>x). � 7 est un ex,-module et on note prof �7 sa profondeur, prof �., = inf profex" .x<�-,).x = inf profe.xtm.,e>x(�xfm.,�.x) . x. Jtx)-y x. /(x)-Y De même on notera dim �7 = sup dimex j� .,)" = sup dim ex ttn1ex(�xlm.,�") , x. Jtx)-Y x. Jtx)-y et on utilisera aussi les notations : prof�
=
inf prof �7, la profondeur de � relative à Y,
YEY
dim r � = sup dim � 7, la dimension de � relative à Y. yeY
MOlU'HISMES PROJECriFS D'ESPACES COMPLEXES
On a l'inégalité (pour �
171
+ 0) profr� � dim�.
Le résultat principal du paragraphe est le théorème suivant de Grothen dieck. THÉORÈME 3.1. Soit f: X-+ Y un morphisme projectif, f un ex-module inversible très ample relativement à Y, � un er-module cohérent plat sur Y et q ;;:, 0 un entier. (a) Si prof� � q + l, alors pour tout compact K de Y il existe un entier m0 m0(K, �) tel que R1[.(�( -m))IK 0 pour tout i � q et m � m0; (b) dim� � q si et seulement si, pour tout compact K de Y, il existe un entier mo mo(K, �) tel que R'l".(�(-m))IK 0 pour tout i> q et =
=
=
=
m ;;mo.
Démonstration. Les assertions du théorème sont de nature locale sur Y. On peut supposer donc qu'il existe un morphisme surjectif de faisceaux Yx IP' telle -+ f.(f). Ceci induit une immersion fermée X-+ X' que f soit induit par er {1) et que le diagramme
8'/1
=
1
X--: y
X' soit commutatif. Si �'est l'image de � par l'immersion X-+ X', alors ex·-module cohérent, plat au-dessus de Y. On a
Il en résulte alors que pour prouver le théorème X IP', f ex(l) etfla projection.
forme Y
�' est un
on peut supposer X de la
=
Pour un ensemble analytique Z de Y (localement fermé) et pour Z x yX}, �z un entier j ;;:, 0 on notera Xz le produit Z X IP'( l'image in-yerse de � par le morphisme Xz -+ X et Sl(Z) le faisceau =
Extbxz<� z, exz(-r-1)). a:z
est plat au-dessus de Z; 81
(Z)
est un exz
module cohérent, égal à zéro si j n'appartient pas à l'intervalle [0, r], ce qu'on peut voir en passant aux fibres et en appliquant la proposition 1.3. En particulier, pour les ensembles Z {y}, y e Y, on obtient une famille =
de faisceaux analytiques cohérents S'{y)
=
Extbx, (�7, ex,( -r-I))
sur les
X1, y e Y. On prouvera l'assertion suivante: (• ) Pour chaque compact K de Y il existe un entier m0 tel que H1(X,, SJ(y)(m)) 0 pour i;;:, l,j;;:, 0, m � m0, y e K.
fibres
=
1 72
MÉTHODES ALG�BRIQUES DANS LES ESPACES COMPLEXES
Il suffira de considérer les compacts de Stein semi-analytiques ([32] ou Ch. 5, § 1 ) . Soit K un tel compact. L'anneau é?J(K) de germes de fonctions holomorphes sur K est noethérien ([32] ou 5, § 3). Soit a: e Spec é?J(K) ; on note Z,. le germe d'ensemble analytique défini par a: au voisinage de K et on utilise la même notation pour n'importe quel représentant de ce germe. Soit X,. = Xz,. et &i(a:) = &i(Z,.). On applique 5. 4.3 au morphisme X,. -+ Z,. et au faisceau $l(a) : il existe un ouvert dense V,. de Z,. tel que Z,.""'- V,. soit un ensemble analytique et que &l(a:) soit plat au-dessus de V,.. Les faisceaux Sl(a:) étant nuls à l'exception d'un nombre fini d'indices j, on peut supposer l'ouvert V,. «hom> pour tous les indices j. L'ensemble analytique Z,."'- V,. détermine un fermé dans {a:} c: Spec é?J(K) ; soit D. son complémentaire dans {a} ; c'est un ouvert non vide de {a} (dans le cas contraire, en restreignant autour de K, si nécessaire, le représentant Z,. , on trouverait V,. = cp, absurde), en particulier a: e D,.. On va démontrer, en utilisant la récurrence noethérienne, qu'il existe un reco uvrement fini de Spec é?J(K) avec des ensembles (localement fermés) de la forme D,.. Considérons l'ensemble des fermés de Spec é?J(K) n'ayant pas cette propriété. On montrera que cet ensemble est vide, d'où la conclusion. Supposons que cet ensemble n'est pas vide du fait que é?J(K) est noethérien il résulte qu'il p ossède un élément minimal T. Le fait d'être minimal entraîne que l'ensemble T est irréductible, donc est de la forme T -:- {a: }, a: e Spec é?J(K). Soit D,. l'ouvert de {a} = T construit comme ci-dessus ; la minimalité de T et l'égalité T = D.. U (�D..) conduisent immédiatement à une contradiction. Soît (D..),. un tel recouvement finie de Spec é?J(K). Des constructions faites on déduit que les ensembles correspondants V,. recouvrent le compact K (si x e K et m,. e D,., alors x e V,. !). Appliquons le théorème 2. 1 aux morphismes !. : X" -+ z. déduits de f et aux faisceaux &'(a:) : il existe (en restreignant si besoin autour de K les ensembles Z..) un entier m0 tel que R%,(&1(a:)(m)) = 0 pour i ;;:, 1 , j ;;:, 0, m ;;:, m0 et a: un indice de la partition considérée. Les faisëeaux $l(a:)(m) étant plats au-dessus de V,., il résultera alors de 3. 3 . 1 1 que H1(X7, &1 (a:)(m)7) = 0 pour i ;;:, 1 , j ;;:, 0, m ;;i m0, y e V,.. . En utilisant la proposition 1.3 on en déduit des isomorphismes
$l(cx)(m)7 � &l(y)(m), pour tout j ;; 0, m entier arbitraire , y e V,. et l'assertion (•) en résulte. On dédu it de (• ) l'assertion suivante : (• •) Pour chaque compact K de Y il existe un entier m0 tel que
H1(X7, tf 7( - m))' � F(X7,
(tf 7, DxJ(m))
pour tout m ;;:, m0, y e K et i ;;:, 0 (l'accent indique le dual algébrique sur
CC et !2 est comme d'habitude le faisceau de germes de formes holomorphes de degré maximum). Soit K un compact quelconque de Y et m0 un entier
MORPHISMES PROJECTIFS D'ESPACES COMPLEXES
1 73
vérifiant (• ). Pour tout entier m et pour tout point y de Y il existe une suite spectrale convergeant vers Extë (X., ; g;'1, Ux"(m)) pour laquelle x, E4·l(y, m) = Hl(X, , Extbx (g: ., , Dx,(m))) . , On a Extëx,(g;' ,, Dx,(m)) � Extêx (�,. Ux)(m). ., Pour l'espace projectif [p', e,.(-r- 1 ) � !211 L'assertion (•) montre que les suites spectrales E1•l(y, m) sont dégénérées et donc ••
Extëx.,(X, ; g: , , !lx"(m)) � r(X,, Extëx,(g;- 1. , Dx,)(m)), pour tout y e K et m � m0• L'assertion (u) résultera alors du théorème de dualité pour J'espace projectif {7, § 4) et des isomorphismes Exte,x,(X,; g: 1(- m) , Ux") � Exte, (X,; �., , D.x,(m)). x., Démontrons maintenant les assertions du théorème. (a) Soit K un compact de Y et soit m0 un entier vérifiant (u) . Soit y un point de K. On a prof g: 1 � q + 1 . En passant aux fibres et en appli quant 1. 1 . 1 5 il en résulte Exté-1 (g;'1 , Dx)(m) x,
=
0
pour tout i � q et quel que soit m. En utilisant (* * ) on en déduit que H1(X,, � 1( -m)) = 0 pour tout i � q, m � m0 et y e K. En appliquant 3.3.5 il résulte Rf[.(�( -m))lK = 0 pour tout i � q et m � m0• {b) L'implication directe se démontre de la même manière. Démontrons l'implication inverse. Soit y e K. Par hypothèse les faisceaux RfJ.(tf(- m)) sont nuls dans un voisinage de y, pour i > q et m suffisamment grand. D'après 3.3. 1 1 , H1(X1, � ,(-m)) = 0 pour i > q et m grand. Pour m suffisamment grand les faisceaux Extêx (g: 1, Dx)(m) sont engendrés par les , sections globales. En appliquant l'assertion (• •) (pour le compact K = {y} , cas dans lequel l'utilisation de (•) n'est plus nécessaire !) on en déduit que Exth (�,. !lx")=0 pour i< r- q. Conformément à 1 . 1 . 1 7 il en résulte x, que dim tf1 � q. Par conséquent dimr� � q et le théorème est prouvé Remarques. (i) La démonstration de (b) peut être faite sans utiliser l'assertion (• ) . Pour l'implication contraire on a remarqué déjà ce fait. En ce qui concerne l'implication directe il suffit de montrer que pour tout � e Coh(X), plat au-dessus de Y et tel que dimr� � q, on a Rlj.(g;' ) = 0 pour i > q. Pour tout y e Y, on a H1(X1 , g: .,) 0 pou r i > q � dim tf.,, [80] ; la conclu sion résultera de 3.3.1 1 . =
1 74
ManiODES ALOaBRIQUES DANS LES ESPACES COMPLEXES
(ii) Au cours de la démonstration on a appliqué le théorème de dualité sur l'espace projectif [p' pour les faisceaux analytiques cohérents. En utili .sant 2.6, cette dualité peut se déduire du cas classique [92] des faisceaux localement libres, de rang fini. CoROLLAIRE 3.2. Soit f: X -+ Y un morph isme propre, plat, pour lequel les fibres X1 sont des espaces parfaits de dimension r ; considérot�s un ex-module inversible f, très ample relativement à Y, et � e Cob(X) localement libre. Alors, pour chaque compact K de Y, il existe un entier m 0 :; m0(K, tf) tel que R'f.(�(-m))IK = 0 pour tout i #: r et m � m0• Deplus, R'i.(tf( -m))IK est localement libre pour m � m0• Démonstration. Pour chaque point y de Y, le faisceau � 7 est localement libre de rang fini au-dessus de X,, donc prof tf 7 = dim � 7 = r (on peut supposer que tous les faisceaux � 7 sont non nuls !). Par conséquent profrf" = dim rf" = r et on applique le théorème. La dernière asser tion résulte de 3.3.8 et du fait que la démonstration du théorème donne le résultat plus précis : H1(X1 , � 1(-m)) = O, i #: r, y e K, m � m0(K, tf). On peut appliquer le corollaire dans la situation suivante : Y espace complexe arbitraire, X = Yx IP', / la projection et f = ex(l). Reformulons maintenant le théorème 3.1 dans le cas absolu. THÉORÈME 3.3. Soit X une variété projective, f un faisceau très ample sur X, tf e Coh{X) et q un entier. On note tf(m) = � ®
arbitraire. (a) prof � � q + 1 si et seulement si H1(X, tf ( -m)) = 0 pour i � q et m suffisamment grand; (b) dim � � q si et seulement si H1(X, tf( -m)) = 0 pour i > q et m suffisamment grand. Démonstration. Il faut vérifier seulement l'implication inverse de (a). On se ramène par un plongement convenable au cas X = [p' et f = eiP.(l). La conclusion résulte alors de l'assertion (* *) (laquelle se vérifie facilement dans le cas absolu), exactement comme dans le cas de l'assertion (b) de 3 . 1 . COROLLAIRE 3.4 [6 8 ] . Sous les hypothèses du théorème on suppose de plus que X est normal de dimension � 2 et que tf est localement libre. Alors H1(X, tf(-m)) = 0 pour m suffisamment grand. En effet, en utilisant 1.1 .8, prof � � 2. COROLLAIRE 3.5. Soit X une variété projective, f un faisceau très ample et � e Coh(X). Alors � est Cohen-Macaulay (prof tf =dim tf ) si, et seulement si, il existe un entier q tel que H1(X, tf( -m)) = 0 pour i #: q et m suffi samment grand. En particulier on a le COROLLAIRE 3.6. Sous les conditions du théorème, X est un espace parfait si, et seulement si, il existe un entier q ayant la propriété suivante:
H1(X, ex(-m))
=
0 pour i #: q et m suffisamment grand
MORPHISMES PROJECTIFS D'ESPACES COMPLEXES
1 75
Remarque. On peut remplacer dans 3.3 -3.6 les faisceaux très amples .f par des faisceaux de la forme j• (e>(l)), où j: X --. [pN sont des immersions fermées arbitraires. Les résultats correspondants se déduisent de ceux du cas projectif. On conclut ce paragraphe avec le résultat suivant dQ à Grauert. THÉORÈME 3 .7. Soit f: X --. Y un morphisme projectif d'espaces com plexes, .f un élx-module ample relativement à Y, t une section globale de .f, i le faisceau maximal d'idéaux associé au sous-espace des zéros de t, � e Cob(X) et q un entier. Supposons que � est plat au-dessus de Y, que la section t est �-régulière et que profy5 � q + 1 . Alors le morphisme cano nique
m
est un isomorphisme pour i < q e.t un monomorphisme pour i = q. ( Rappelons qu'un point x est un zéro de t si (" e m"f". )
Démonstration. Le problème est de nature locale sur Y et on peut rempla cer i par tout faisceau cohérent d ' idéaux ayant les mêmes zéros. En rem plaçant si nécessaire f par une puissance tensorielle et la section t par une de ses puissances, on peut supposer que f est très ample relativement à Y. En appliquant 3 . 1 on peut supposer en plus qu'il existe un e ntier m0 tel que RfJ.(!f( -m)) = 0 pour i � q et m � m0 • Pour démontrer le théorème il suffira de prouver que si, de pl us , on suppose que Y est un espace de 'S tein, alors le morphisme canonique m
est un isomorphisme pour i < q �t un monomorphisme pour i = q. On a les isomorphismes H1(X, � ( -m)) � r(X, Rlj.(!f(- m))) = 0 pour i � q et m � m0• D ' autre part, la multiplication par tm, considérée comme morphisme de �( -m) dans � , fournit une suite exacte (m � 0). 0 __. �( -m) __. Fi __. Fi rr!f __. 0 On déduit de la suite exacte de cohomologie associée que le morphisme can oniqu e'' H 1(X, Fi) --. H 1(X, Fi /jm!f) est bijectif pour i < q et injectif p our i = q. Ainsi s'achève la démonstration. § 4. Deux critères d'amplitude Le premier critère représente une réciproque du théorème 2. 1 .
THÉORÈME 4. 1 . Soit f: X --. Y un morphisme propre d' espaces complexes
et .f
un
faisceau inversible sur X l'érifiant la condition suivante : pour tout
176
MtniODES ALGéBIUQUES . DANS LES ESPACES COMPLEXES
compact K de Y et pour tout � e Coh(X) il existe un entier n0 = n0(K, s; ) tel que Rttf.(� ®f•")IK = 0 pour q ;l!l 1 et n ;l!l n0• Soua cea conditions, f est ample relativement à Y.
·
Démonstration. Le problème est de nature locale sur Y. Fixons un point Yo e Y. Soit x e X,, = j-1(y0). On démontrera, pour commencer, l'assertion
suivante : (• ) Pour tout faisceau inversible f sur X, si le morphisme canonique rJ.(f) -+ f est surjectif au point x, alors il en est de même pou• les mor phismes rf.(f•") -+ f•", n ;l!l 1 entier arbitraire. En effet, l'hypothêsc montre que tout élément de fx est une combi naison linéaire à coefficients dans �x de germes au point x d'éléments appartenant à f.(f),, = r(X,,, f) ; il en résultera alors que tout élément de (f•")x C! (fx)•" est une combinaison linéaire à coefficients dans �x d'élé ments de la forme s!® . . . ®S: avec s1 e r(Xy,, f) et la conclusion en résulte. On notera m.x l'idéal maximal de �x et aussi le faisceau cohérent d'idéaux sur X qu'il définit. On dé duit de la suite exacte les suites exactes
0 -+ m�®f • "
-+
f•" -+ f•"/m.xf •" -+ O
••
Pour n suffisamment grand, R'f.{mx®f8"),, = 0, donc l es morphismes f.(f•"),, -+ f.{f • "/m.xf • "),,
sont surectifs.
Les faisceaux f•"/mxf•" sont concentrés au point x et leurs fibres sont à .t:"lm.xf:". Ainsi donc les morphismes r(x, . f•") -+ f:"/mxf:" sont surjectifs pour n sufment grand. Conformé:nent au lemme de
égales
Nakayama, les morphismes rf.(f•")x -+ .t:" sont surj ectifs -
.•
D existe un voisinage U:r de x et un entier nx tels que le morphisme · rf.(.t • "-,) -+ . .t •"" soit surj�sur U:r. La fibre X,. étant compacte, on trouve un recouvrement fini {U1)1 < t
u" donc surjectif sur un ouvert de rf.(f •") -+ !• " est surjectif sur u 1 la fomiej-l(Y), V voisinage de y0• En remplaçant f par f•" et Y par V on peut_donc supposer que le morphisme rJ.<.t> .. .t est surjectif. D'après (• ) les morphism<:s
rf.<.t•"> .. .t •", n > 1 entier arbitraire, ont la même propriété. On notera 0 : X -+ P(f.(f)) le morphisme au-dessus de Y que l'on déduit de l'épimorphisme r(f.(f)) -+ f. Explicitons cc morphisme lorsqu'on passe aux fibres. La
MORPHISMES PROJECTIFS D'ESPACES COMPLEXES
177
fibre en y0 du morphisme structural P(f. (f)) -+ Y s'id�ntifie P(/.(f)yjmyj'.(f)y,). On a un diagramme commutatif naturel
à
Soit t', . . . , r e f.(f)Y, = r(X)', , f) ayant la propriété que leurs images dans l'espace vect�riel (sur' f.(f)1jmyj'.(f)y constituent regardé comme point de une base. Si x est un point de X)', , alors P(f.(f)1,/m1.J.(f),J , a les co o'rdonnées homogènes t'(x), . . , s"(x). P(t', · · · ' s") est une fonction rationnelle définie au voisinage de 6(x), P Si .
Q(so, . . . ' .s')
et Q étant des polynômes homogènes ayant le même degré et avec Q(t', . . . . . , s') (6(x)) :f: 0, alors le germe de fonction holomorphe qu'elle définit P(u(s�). : ' u(sm ·· au point x e X1 par 6 est u étant un isomorphisme .
�
Q(u(s�), . . . , u(�))
'
(remarquons que l'élément Q(u(s�)• . . . , u(sm est inversible). On notera 6•• le morphisme X -+ P(f.(f•")) et on montrera que c'est une immersion fermée pour n suffisamment grand, quitte à restreindre Y autour de y0• Ainsi f•" sera trè� ample relativement à Y et le théorème sera démontré. On prouvera d'abord que pour n suffisamment grand 6•" est une immersion locale en chaque point. Pour cela on utilisera la caractérisation des immersions loëales à l'aide des espaces tangents de Zariski. Considérons un point x e X1 • Démontrons l'assertion suivante : ( • • ) Pour iout faisceau inversible f ayant la propriété que le morphisme f*f.(f) -+ f est surjectif, si le morphisme induit X -+ P(f.(f)) est une immersion locale au point x, alors les morphismes X -+ P(f.(f.•")) possèdent la même propriété, n � 1 entier arbitraire. Pour cela considérons de nouveau des sections s0, , s' e r(X1,, f) telles que leurs images dans f.(f)1 /m,J.(f)y constituent une base. Le morphisme x,. -+ P(f.(f.)y,/m,j'.(f)yj est une i�mersion enx. Considérons fx
é!Jx
·
• • •
n - 1 fols
une section s e r(X1, f) vérifiant s(x) :f: 0 et soit s"- 1 = s ® . . . ® s ; les éléments s"-1 ®1', . . , s"- 1 ®s' appartiennent à r(Xy,, f®") et le mor phisme dans IP' induit dans un voisinage de x en Xy• par leurs images dans .
r(Xy,, f•"/m, f•") colncide avec le morphisme indu1t par 6. On en déduit alors que 6•" • est une immersion au point x et l'assertion ( • •) est verifiée.
On déduit de la sui.te exacte
MtniODEs ALODiuQUES
1 78
DANS LES ESPACES COMPLEXES
les suites exactes 0 -+ m!® f•" -+ f•" -+ f®"/m!f • " -+ O. Lorsque n est assez grand, le morphisme f•(f•")Ye -+ f,• (f• "fm2f•") · x >o est un épimorphisme. Le faisceau f•"/m�f®" est concentré au pf>int x et sa fibre en ce point coincide avec f:"/m!f:". On en déduit ainsi que les morphismes r(Xy,, f•") -+ f:"/m!f:" sont surjectifs. Il en résulte alors que les morphismes induits par O•" entre les espaces tangents de Zariski aux points x et O•"(x) sont surjectifs. Par conséquent, pour un entier n comme ci-dessus, le morphisme 0•" est une immersion locale au point x ( § 1 , f). On trouve ainsi des ouverts U., : , U" qui recouvrent Xy. et des entiers , , n�, . . . , nk tels que des morphismes o•"1 : X-+ P(f.(f . "1 )) soient des immer sions sur U1• Soit n' = n� n/c. D'après (!n) le morphisme O•"' : X -+ P(f. (f®"')) est une immersion locale en chaque point de U U1• En pre•
•
•
.
•
1
nant Y plus petit autour de Yo on peut supposer que X = U U1• 1
On montrera ensuite que pour n suffisamment grand 0•" est une appli cation injective. Soient x et x' des points de X tels que f{x) = f(x'). On démontre l'assertion suivante : (• • •) Pour tout faisceau inversible f sur X ayant la propriété q1,1e le morphisme f*/.(f) -+ f est surjectif, si l'application 0 : X -+ P(f.(f)) possède la propriété que O(x) :F O(x'), alors il en est de même aus�i pour les applications 0•", p o�r .tout � ;; 1 . Soit y = f(x) = f(x') · et soient sO, , s' e r(X7, f) comme dans la démonstration de ( .. ). L'hypothèse montre que les points (s«'(x), . . . , s'(x)), (aD(x'), ' s'(x')) difèrent dans l'espace projectif [p'. Soit s E rex,, f) tel que .s(x) ::/: 0 et s(x') ::/: O. Les éléments s" -1®s0, . . . , s" - 1®.s' appartien:. nent à r(X7, f®ll) et séparent les points x et x'. On en déduit alors que O®n(x) ::/: O®"(x')et (• • •) est démontré. . ·
•
•
•
•
• .
k
· soit K un voisinage coinpact de y0 Notons U = U U1 x 1 U1• Consi. •
dérons un point (x, x') e (XX 1X)" U tel que y une suite exacte
=
1 -1
f(x) = f{x1) e K. On a
On ' en déduit, exactement COID.lpe dans les. raisonnements précédents, que pour n assez grand le morphisme canonique
. MORPHISMES I'R.OJECTIFS D'ESPACES COMPLEXES
179
est surjectif. Il en résulte alors facilement que B•li(x) � 8 • " (x') . Puisque 8®" est une application propre, il en résulte qu'il y · a un voisinage W dans Xx 7X pour (x, x') tel que 8®"(x) � 8®11(x') pour tout (x, x') de W. Il existe donc un nombre fini d'ouverts W1 recouvrant ((X x
.,X), U)
n (fx 7f)- 1(K) et des entiers ni' tels que les applications 8®" ;· séparent les points de W1• S oit n" le produit de ces entiers. L'application 88"" sépare les points de ((X x .,X) ""- U) n (/ x 7[)- l(K). En restreignant, si nécessaire, Y autour de Yo on peut supposer que l'application 8•"" sépare les points de (X x .,X), U. Soit n = n'n". Montrons que l'application 8 • " est injective. S oit x � x' tels que f(x)= f(x') (8 • 11 étant un morphisme au�essus de Y, il suffit de se restreindre aux couples de points de ce type). Lorsque x et x' appartiennent à un ouvert U, la conclusion résulte du fait que n est un multiple ' de n;. Si (x, x') e (X x 7X) U, alors 88"(x) � 88"(x') car n est multiple de n". Le morphisme 8 • " est donc injectif, propre et c'est une immersion locale en chacun des points de X. Par conséquent 8�" est une immersion fermée et le théorème est démontré. Le second critère d'amplitude est une conséquence des résultats_ du chapitre 3. .
""-
.
THÉORÈME 4.2. Soit f: X --. Y un morphi:Jme propre et plat d'espaces complexes, f ·un faisceau inversible sur X et y un point de Y. On suppose que 1!7 est un faisceau très ample sur X7 et que H1(X , 1!7) = O. Il exi:Jte
alors un voisinage V de y tel que fiJ- l(V) soit très ample relativement à V; de plus, lefaisceauf.(!!) est libre dans un voisinage de y.
Démonstration. Notons S = f.(f) : · D'après 3.3 .9, S est libre dans un voisinage de y et S.Jm7!7 = r(X,, 1!7). Du fait que le faisceau 1!7 = f/tn7f est très ample il résulte que les éléments de r (X7, 1!7) engendrent les fibres (1!7),. = f,./m7 !!,., x ef- 1(y), De ceci et du lemme de Nakayama on déduit aisément que le morphisme naturel de faisceaux
est surjectif aux points de la fibre f- 1(y). Il en résulte qu'il est surjectif dans un voisinage de f- l(y). En prenant Y plus petit autour de y on peut donc supposer que le morphisme r($) --. f est surjectif et soit i: X --. P(S) = P le morphisme au�essas de Y qu'il fournit. Le morphisme induit par i sur la f bre analytique au-dessus de y est le morphisme X1 --. P1 = P(S(y)), S(y) = S7/m7!7 = HO(X7, 1!7), défini par le faisceau très ample 1!7 sur X7 donc c'est une immersion fermée. La conclusion du théorème résultera alors de la
,
PROPOSITION 4.3. Spit Z un espace complexe, X et Y deux espaces complexes
au-dessus de Z tels que les morphismes structurels g : X --. Z, h : Y --. Z soient propres et que f: X --. Y soii un Z-morphisme. Soit z e Z et!: : X., __. Y, l'application induite par f.
MORPHISMES
PROJECTiFS
D'ESPACES COMPLEXES
181
Rappelons qu'un morphisme d'espaces complexes f: X -+ Y est lisse tout point x e X il existe des voisinages U,. (respective ment V,) pour x (respectivement pour y = f(x)) ainsi qu' un ouvert D,. d'un espace numérique, tels que f( U,.) c V,, U,. � v, x D:JÇ et fi U,. : U:JÇ -+ V, soit obtenu à l'aide de la p roj ecti on ·v, x D,. -+ V,. Le morphisme f est, en particulier, plat. Si f est de plus propre et si ses fibres sont des surfaces de Riemann de genre g, alors X est appelée une courbe. de genre g au-dessus de Y. Dans ce cas le faisceau a}1y des différentielles relatives est un �.rmodule inversible [ 1 8].
(ou
simple) si pour
CoROLLAIRE 4.4. Soit X une «courbe de genre g au-dessUJ de Y» et soit D = a}1y le faisceau des différentielles relatives. (a) Si g = 0 alors a• -n est très ample relativement à Y, pour tout
n � I. (b) Si g = 1 et si s est la section marquée de X au-dessus de Y corres pondant donc à un �x-idéal i .sur X, alors j• - n est très ample relativement à Y pour tout n � 3. (c) Si g = 2, alors a•n est très ample relativement à Y pour n � 3. (d) Lorsque g � 3, alors o•n est très ample relativement à Y pour n
� 2. La
démonstration résulte du théorème, les conditions à vérifier étant des conséquences du théorème de Riemann-Roch [95]. Le corollaire 3.2 peut être appliqué lorsque X est une «courbe de genre g au-dessus de Y» : du corollaire précédent on peut obtenir des faisceaux très amples � à l'aide de a}1 y. Par exemple :
CoROLLAIRE 4.5. Soit f; X -+ Y une «courbe de genre zéro au-dessus de Y», a = a}1y le faisceau des formes différentielles holomorphes relatives et � e Cob(X), localement libre. Alors, localement sur Y, f.(� ® .O•m) = 0 et Rlf.(� ® .o•m) est libre, pour m suffisamment grand. En effet , � = a• - 1 est très ample relativement à Y et la conclusion résulte
de
3.2.
lndlcatloas bibliographiques
La démonstration initiale du théorème de Graucrt-Rcmmcrt dans le cas X Y x l"', f 19x(l). / =- la projection, sc trouve dans [40] ; dans le cadre de celle-ci on prouvait aussi la cohérence des faisceaux R.
=
Index
anneau de Cohcn-Macaulcy 22 anneau intersection complète 26 anneau de Nagata asié à un module 107 anneau régulier 23 applications bilinéaires de Yoncda 291 application finie d'espaces topologiques 27 application linb.irc contipuc stricte (homomorphisme topologique) 18 application linb.irc continue compacte 19 application propre 106 application trace d'un espace complexe 306,31 1
carte relative d'une application analytique
1 12 complété formel d'un espace complexe 237 complexe acyclique 286
complexe de &ch asé à un système à liaisons covariantes 1 14 complexe de Cousin asé à un faisceau 90, 275, 284 complexe dualisant de Ramis ct Rugct 306 complexe d'EVT 296. complexe de Koszul 277, 278 complexe injectif 286 condition Mittag-Lcmcr 233 cône d'une application de complexes 1 10, . 286 courbe de genre g au-dessus d'un espace181 critères d �amplitudc 175, 179 critère d'cxaètitudc 137 critère de platitude de Kerner 215 critères de séparation 40, 93, 320 décomposition de Stein d'un morphisme 125. d imension cohomologique globale d'un
anneau 22
dimension d'un faisceau ct la �ri sation de la dimension 47, 48, 343 dimension projective · (ou homologique) d'un module 22 dualité topologique pour EVT 294 ensemble analytique négligeable 223 ensemble compact de Stein 34, 230
ensemble de défaut d'un faisceau 72 ensemble localement de Stein 340 ensemble de niveau d'un morphisme 125 ensemble semi-analytiquc 205 ensembles singuliers d'un faisceau 7 1 enveloppe injective 282 espace analytique connexe à la frontière 52 espace analytique irréductible à la frontière 52
espace analytique localement intersection complète 44 espace analytique parfait 44 espace topologique irréductible 273 espace t opologique noethérien · 1 98, 273 espace topologique sobre 273 faisceau ample 1 59 faisceau analytique au voisinage de la frontière 358
faisceau de Cohcn-Macaulcy 49 faisceau de cohomologie locale 63 faisceau de cohomologie locale absolue 86 faisceau conomologiqucment plat 1 38, 1 50 faisceau dualisant d'Andreotti-Kas 342 faisceau de Fréchet-Schwartz 28 faisceau � (m) sur un espace projectif 156 faisceau des gerotes de sections méro morphes 51 ".
faisceau gradué, gradué libre 243, 245 faisceau lacunaire 63 faisceau lacunaire absolu 87
faisceau .f-plat 1 05, 200 faisceau prolongeable 361 faisceau réflexif 80 faisceau sans /-torsion 128 faisceau de Thim 86 faisceau transversal à un autre faisceau 140 faisceau très ample 159 famille de supports 12 fibre analytique d'un faisceau 131 fibre analytique d'un morphisme 131 fibré projectif asié à un faisceau 1 58
fonction holomorphe bornée aux points d'un ensemble analytique 79
INDBX foncteurs déri\'Q sur complexes 288
germe d'ensemble analytique autour de la
frontibrc S2
germe d'ensemble analytique au voisinage ·
d'un compact 300 groupes de cohomologie à support donné 1 3 groupes de cohomologie locale 60
idéal de définition 237 images directes généralisées d'un faisceau 104 lemme de Frenkcl 74 lemme de normalisation 69 module de Cohcn-Macaulcy 22 module plat dans un idéal 198 morphisme fini d'algèbres analytiques 69 morphisme quasifini d'algèbres analytiques 69 morphisme fini d'espaces complexes S7 morphisme homogène 24S, 246 morphisme lisse (ou simple) d 'espaces complexes 181 morphisme plat 200 , morphisme projectif d'espaces complexes 1 S9 morphisme entre systèmes gradués 249
ouvert principal de Zariski 276 partie de torsion 348 point générique d'un espace 273 précofaiscea u 312 profondeur d'un faisceau ct la caractéri sation de la profondeur 44, 46, 343 profondeur d'un faisceau par rapport à un ensemble analytique 73 profondeur d'un module 21 profondeur d'un module par rapport à un idéal 67 problèmes de Cousin S1
quasi-isomorphisme de complexes 1 1 1 rang d'un résolution résolution résolution
module 348 de Dolbeault 30, 3 1 injective d'un complexe 286 injective minimale 282
spécialisat �n d'un point 274 spectre analytique d'un algèbre 106 suite exacte de Mayer-Vietoris S6' 291 suite régulière d'éléments 20 suites spectrales de Leray 1 7 support d'un module 20 système gradué, système gradué libre 249 système à liaisons covariantes 1 1 3 système libre à liaisons covariantes 1 1S
théorèmes A ct B de Graucrt-Rcmmcr t ct Grothendieck pour les morphisme s projectifs 161, 171
183
théorèmes A ct B de Serre pour l'espace projectif 1 67 théorème d'annulation de la cohomologie . Jocalc de Schcja-Trautmann 77 théorème de changement de base de Grothendieck 1 3 1 , 147, 149 théorème de Chow 170 théorème de compa,raison de Grauert 127 théorème de comparaison de Serre 1 68 théorème de comparaison entre la théorie analytique ct celle formelle �63, 269 théorème de comportation des fibres d'un morphisme plat 21 1 théorème de Dc .Rham abstrait 16, 28 9 théorème de Douady 214 théorèmes de dualité absolue de Ramis . Ruget 3 1 1 , 3 14 th&>rèmc de dualité de Golovinc 338 théorèri de dualité sur les variétés complexes de Serre ct. Malgrange 321 1héorèmc de dualité pour les sous-ensem bles localement de Stein 340 théorème de dualité sur les ·variétés com pactes 322 théorème de dualité sur les variétés de Stein 27, 33, 322 théorème de finitude de Cartan-Serre 124 théorème de finitude de Grauert 1 12 théorème de finitude pour la cohomologie locale de Siu.Trautmann 8 1 théorème de finitude pour les faisceaux gradués cohérents 243 théorème de Forster S4 théorèmes de Graucrt de scmi-continuité, de cOntinuité ct d'invariance de la caractéristique de Euler-Poincaré lSl théorème de Kichl-Vcrdicr-Schncidcr 140 théorème de nocthérianité de FrischGrothendicck-Siu 216 théorème de platitude de Frisch 224 théorème de projection de Rcmmert 12S théorème de prolongement des faisceaux cohérents de Serre 3S9 théorème de prolongement des faisceaux cohérents de Trautmann 3SS théorème de Scheja pour les ensembles singuliers 72 théorème de séparation pour la cohomo logie locale de Siu-Trautmann 93 topologie canonique (de la convergence uniforme des germes) 3S topologie de Zariski 20 ·
'
voisinage de la frontière d'un espace complexe SO
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