Métrologie dimensionnelle

Michel Dursapt

Aide-mémoire

Métrologie dimensionnelle

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Métrologie dimensionnelle

Pierre Bourdet, Fabien Schneider Spécification géométrique des produits 2007, 312 p.

Michel Dursapt

Aide-mémoire

Métrologie dimensionnelle

Illustration de couverture : © Guénhaël Le Quilliec - Fotolia.com

© Dunod, Paris, 2009 ISBN 978-2-10-053686-3

© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit.

PRÉFACE

Comme beaucoup de disciplines, la métrologie dimensionnelle à subit des pics d’évolutions dus, soit à des demandes de plus en plus pressantes des secteurs qui l’utilisaient, soit à des avancées technologiques qui lui ouvraient des perspectives interdites jusqu’alors. Pour illustrer ce propos évoquons la venue de la production en très grandes séries qui, accompagnée de la standardisation des pièces mécaniques, a obligé les métrologues à spécifier les pièces, à faire évoluer les matériels de mesure ainsi que les stratégies de contrôle. Parmi ces matériels, les machines à mesurer tridimensionnelles ont amené les métrologues à redéfinir l’approche conceptuelle de la métrologie. De nombreuses recherches ont abouti à des traitements informatiques de données s’appuyant sur des outils mathématiques qui, a priori, ne semblaient pas devoir intervenir dans ce type d’application. Loin d’être stérile, comme c’est parfois le cas, la conceptualisation de la métrologie dimensionnelle a conduit à clarifier de nombreux problèmes, notamment du point de vue tridimensionnel, à en apporter une bonne compréhension et à proposer des solutions. Pour s’en convaincre, il n’est qu’à évoquer l’évolution de la normalisation ces dernières années. L’ouvrage proposé traite, de façon concrète, un grand nombre des aspects qui viennent d’être évoqués. L’auteur, Michel DURSAPT, enseigne cette discipline depuis de nombreuses années à l’ENI de SaintÉtienne. Il en possède une profonde connaissance des aspects théoriques. Sa connaissance des matériels et de leur utilisation, qu’il pratique au quotidien au Laboratoire de métrologie de son établissement, n’est pas moins grande. Ceci, associé à une forte implication dans le monde industriel, en fait un auteur idéal. V

En bon pédagogue l’auteur commence par préciser le vocabulaire associé aux notions qui sont à la base du contrôle, mais qui souvent sont confuses dans les esprits. Ceux qui débutent dans cette discipline n’y trouveront que des avantages. La structuration du livre invite le lecteur à une approche progressive qui s’appuie sur une logique issue de la pratique. Ainsi, par exemple, l’auteur en évoquant la nécessité des spécifications en arrive-t-il naturellement à la normalisation de ces dernières, ensuite il pose la nécessité de leur contrôle le plus objectif possible, de façon à éviter les litiges entre fabricants et clients. Il applique ceci au contrôle des pièces mécaniques et aux machines outils. Concernant les pièces mécaniques, les aspects macro- et microgéométriques des surfaces sont développés. L’auteur s’appuie sur une démarche rigoureuse, mettant bien en évidence les outils mathématiques indispensables aux approches actuelles du contrôle dimensionnel. Toutefois, il sait n’en dire que ce qui est nécessaire, rendant ces outils très abordables pour quiconque, ce qui rassurera les lecteurs peu enclins aux mathématiques. Ces derniers, ainsi que les autres, trouveront agréable le propos de Michel DURSAPT qui mêle de façon harmonieuse théorie, technologie et pratique, ces trois éléments se complétant pour aboutir à un exposé clair et convaincant. Les nombreux exemples qui illustrent les différents chapitres, rendant concrets les concepts introduits, ne sont pas les derniers à fortement contribuer à cet objectif. Tous ceux qui pratiquent le Génie mécanique, les personnels de l’industrie, les enseignants, les étudiants, trouveront dans cet ouvrage un outil de qualité pour aborder le contrôle dimensionnel, que l’auteur en soit remercié. J.-P. CORDEBOIS Professeur honoraire du Conservatoire national des arts et métiers

VI

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TABLE DES MATIÈRES

Préface

V

Remerciements

XI

Avant-propos

1

1 • Généralités sur la métrologie dimensionnelle

3

1.1

Pourquoi la métrologie dimensionnelle en génie mécanique ?

1.2

Quelques notions de base concernant la caractérisation géométrique des produits

1.3

Mesure et contrôle

13

1.4

Bibliographie

15

2 • Mesure des longueurs

3 4

17

2.1

Le mètre étalon

2.2

Notion d’incertitude de mesure

27

2.3

Bibliographie

39

3 • Estimation des incertitudes

17

41

3.1

Rappels et notations

41

3.2

Estimation d’une incertitude de mesure simple

46

3.3

Estimation des incertitudes composées

51

3.4

Cas où les variables ne sont pas indépendantes

58 VII

3.5 3.6 3.7

Exemple de détermination d’incertitude Remarque importante Bibliographie

4 • Méthodes d’association 4.1 4.2 4.3 4.4 4.5

Rappels Métrologie de la droite Application à des surfaces simples Association d’une surface théorique quelconque à un nuage de points Bibliographie

5 • Spécifications géométriques 5.1 5.2 5.3 5.4 5.5 5.6

Caractéristiques d’une surface Tolérances dimensionnelles Tolérances de forme Tolérances de position Une spécification de position implique toujours une spécification de forme Bibliographie

6 • Mesure tridimensionnelle 6.1 6.2 6.3 6.4 6.5

Principe de la mesure tridimensionnelle Référentiel Saisie de points appartenant à l’élément réel Exemple de gamme de contrôle en mesure tridimensionnelle Bibliographie

7 • Mesure et caractérisation des états de surface 7.1 7.2 7.3 7.4 VIII

Généralités sur les défauts géométriques des surfaces Relevé d’un profil sur une surface réelle Observation et traitement du signal obtenu Critères principaux de chiffrage des défauts d’état de surface

62 68 69 71 71 71 77 80 95 97 97 99 103 106 114 115 117 117 118 123 137 143 145 145 149 155 159

7.5 7.6 7.7

Caractérisation tridimensionnelle des états de surface Indications d’états de surface sur les dessins Bibliographie

8 • La métrologie des machines-outils 8.1 8.2 8.3 8.4 8.5 8.6

Pourquoi la métrologie des machines-outils Mesure des défauts d’une liaison glissière Mesure des défauts angulaires des axes Le ballbar Les essais en charge Bibliographie

176 182 183 185 185 189 205 210 214 217 219

Index alphabétique

221

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Annexe

IX

REMERCIEMENTS

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Je ne saurais commencer cet ouvrage sans adresser mes remerciements les plus vifs et les plus sincères à Alain LOMBARD sans la disponibilité et le talent duquel je ne me serais jamais sorti du maquis que représentent pour moi les différentes structures de l’imagerie informatique, ainsi qu’à Bernard GUEYTE pour l’aide efficace qu’il m’a apporté dans la réalisation des différentes photographies dont la présence m’a semblé intéressante pour une meilleure présentation et une meilleure compréhension.

XI

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AVANT-PROPOS

Le génie mécanique, terme issu du verbe s’ingénier c'est-à-dire mettre en œuvre tous les moyens disponibles pour arriver à un but, est donc une discipline transversale qui à chaque étape de la vie d’un produit industriel (conception, fabrication, contrôle, utilisation) nécessite de maîtriser rigoureusement les caractéristiques des objets. Parmi ces caractéristiques, la géométrie (les formes et les dimensions) est d’une importance capitale puisque c’est l’un des deux seuls domaines, avec celui des matériaux, dans lesquels les mécaniciens vont pouvoir agir afin d’optimiser la fonctionnalité des produits. La métrologie dimensionnelle est l’outil qui va permettre la connaissance de cette géométrie, c’est pourquoi elle doit être maîtrisée par tous les acteurs (opérateurs, techniciens, ingénieurs) du génie mécanique. L’ouvrage proposé a été bâti à partir des cours de métrologie dimensionnelle dispensés aux étudiants de génie mécanique de l’École nationale d’ingénieurs de Saint-Étienne dans le but de les amener à comprendre que les moyens techniques mis en œuvre avec succès par les métrologues des différentes entreprises de la mécanique ont toujours comme point de départ, même si les habitudes et l’habileté professionnelle des opérateurs font que cela est très souvent inconscient, une modélisation géométrique d’éléments réels et que de la pertinence de cette modélisation dépendra la précision avec laquelle cette géométrie sera connue. L’objectif visé est de relier aussi simplement et aussi clairement que possible les pratiques de la mesure dimensionnelle avec les théories qui en sont à l’origine et qui les régissent, chacun pouvant aborder l’ouvrage 1

Avant-propos

par la notion qui lui est la plus familière. D’où les différentes parties proposées et la succession de celles-ci : Pourquoi la métrologie dimensionnelle ? La mesure des longueurs et l’incertitude sur cette mesure, l’écriture et la lecture des spécifications, les méthodes d’association, la métrologie tridimensionnelle, la caractérisation des états de surface et la métrologie des machines-outils. L’intérêt que pourrait présenter un tel ouvrage m’est apparu en constatant que les impératifs de la formation actuelle ne permettent plus aux étudiants, techniciens, techniciens supérieurs, ingénieurs et même à ceux de la formation continue, d’aborder leurs études avec une culture technologique suffisante pour comprendre le fonctionnement des moyens de mesure et de contrôle performants qu’ils sont appelés à mettre en œuvre. Naturellement, c’est avec plaisir que je verrais mes collègues enseignants intéressés utiliser cet ouvrage comme support à leurs cours si cela peut les aider dans leur travail. En espérant qu’au moins une partie de l’objectif envisagé sera atteinte, c’est avec beaucoup d’intérêt que je recevrai toutes les remarques et les suggestions que cet ouvrage fera apparaître.

2

1 • GÉNÉRALITÉS SUR LA MÉTROLOGIE DIMENSIONNELLE

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1.1 Pourquoi la métrologie dimensionnelle en génie mécanique ? Le génie industriel a pour objet la mise en œuvre de tous les moyens permettant l’obtention de produits dans un domaine industriel donné. Le génie mécanique a donc pour but la conception, la production et le contrôle de produits et de biens d’équipement dans le domaine de la mécanique au sens le plus large du terme (automobile, machines-outils, aéronautique, électroménager, instrumentation médicale, etc.) La métrologie étant la discipline qui consiste à mesurer des grandeurs physiques (toutes les grandeurs physiques sont mesurables), on rappelle que mesurer une grandeur c’est comparer cette grandeur avec une autre arbitrairement choisie comme étalon. La métrologie dimensionnelle est donc la discipline qui traite du domaine de la mesure des longueurs. Tout produit mécanique quel qu’il soit est constitué par l’assemblage d’un certain nombre d’objets élémentaires (vis, bille, carter, pignon…) que l’on appelle couramment pièces. Chacune de ces pièces est conçue de façon à remplir un certain nombre de fonctions et ceci dans des domaines extrêmement variés. – La mécanique : transmission d’efforts, résistance aux contraintes… – La physique : conductivité thermique ou électrique, masse, couleur… 3

1 • Généralités sur la métrologie dimensionnelle

– – – – –

1.2 Quelques notions de base concernant la caractérisation géométrique des produits

La chimie : comportement vis-à-vis de l’environnement… La production : contraintes de fabrication… L’économie : coût, disponibilité des matières premières… L’esthétique : aspect… L’usage : facilité d’utilisation…

Afin d’obtenir un objet capable de remplir au mieux ces différentes fonctions, le concepteur va pouvoir agir dans deux domaines principaux : – Les matériaux : en quoi sera réalisé l’objet (métal, polymère, céramique, matériau composite…) ? – La géométrie : quelles seront les formes et les dimensions à donner à cet objet ? Naturellement, les deux paramètres ne sont pas forcément indépendants. Par exemple si l’on doit concevoir un câble devant supporter une certaine charge, la section de ce câble dépendra directement du matériau choisi pour sa réalisation (chanvre, acier, nylon). Par contre sa longueur dépendra uniquement du déplacement que l’on doit faire subir à la charge. L’étude des matériaux fait partie intégrante de la formation des ingénieurs et des techniciens et elle ne sera pas abordée dans cet ouvrage. Par contre, nous imaginons sans difficulté le besoin pour l’ingénieur en mécanique d’être capable de définir, de caractériser, de réaliser et de mesurer la géométrie des produits fabriqués. La métrologie dimensionnelle va lui permettre de connaître et de mettre en œuvre les moyens d’assurer cette caractérisation et cette vérification.

1.2 Quelques notions de base concernant la caractérisation géométrique des produits Un objet quelconque est donc un volume de matière limité par une ou plusieurs surfaces. Cet objet ne nous est accessible, visuellement ou tactilement, que par l’intermédiaire de la ou des surfaces qui le limite. 4

1 • Généralités sur la métrologie dimensionnelle

1.2 Quelques notions de base concernant la caractérisation géométrique des produits

De même, ce sont les surfaces d’une pièce mécanique, et elles seules, qui sont le siège des transmissions de forces et de mouvements, ainsi que des transferts de flux électrique ou thermique, ce sont d’elles dont dépendent en grande partie les qualités optiques ou biomécaniques d’un objet. Enfin, c’est en générant des surfaces de géométries particulières, par formage ou par enlèvement de matière, que le fabriquant va donner naissance à l’objet désiré. On comprend donc bien la nécessité absolue pour le mécanicien de maîtriser parfaitement cet élément géométrique essentiel qu’est une surface.

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1.2.1 Définition d’une surface Une surface réelle, qui peut être définie comme étant la séparation entre deux milieux, la matière constituant l’objet considéré et son environnement, généralement de l’air, est en réalité une zone extrêmement complexe dans laquelle se déroulent un grand nombre de phénomènes physico-chimiques [1.1] qu’il est donc très difficile de détecter avec précision (voir figure 1.1). Prenons par exemple la surface constituée par le plateau d’une table en bois. Pour des raisons fonctionnelles, cette surface, donc la séparation entre le bois de la table et l’air ambiant, devrait être un plan. Dans la réalité, tous les points appartenant à cette surface réelle ne se situeront pas dans un plan, à grande échelle (déformations du plateau) ou à petite échelle, rappelons que le bois est un matériau composite formé de fibres de cellulose noyées dans une matrice de lignine et d’hémicellulose d’où la présence inévitable d’irrégularités aux jonctions entre ces différents constituants. De plus, le bois du plateau ne sera pas directement en contact avec l’air ambiant mais il sera revêtu, volontairement ou involontairement, de polluants, d’enduits de protection, de produits d’entretien, etc. On notera également que l’état de la surface va évoluer dans le temps (déformations, rayures, coupures, piqûres, poussières, salissures, taches, nettoyage, entretien…). Ainsi on imagine bien à travers cet exemple simple la complexité que va présenter l’étude des surfaces réelles et notamment en ce qui nous intéresse de leur géométrie. 5

1 • Généralités sur la métrologie dimensionnelle

3 nm 10 nm 10 µm

1.2 Quelques notions de base concernant la caractérisation géométrique des produits

Contaminants Oxydes, nitrures Couche écrouie Structure polycristalline

Figure 1.1 – Coupe imagée d’une surface métallique (échelle non respectée).

Dans ce qui va suivre, nous choisirons une définition purement géométrique pour caractériser une surface, celle-ci sera le lieu d’un point se déplaçant de façon continue dans l’espace. La trajectoire de ce point permettant de caractériser la forme de la surface. Par exemple, si le déplacement d’un point P dans un référentiel orthonormé est tel que ses coordonnées obéissent toujours à la fonction xP2 + yP2 + zP2 = R2, la surface décrite par ce point sera une sphère parfaite de rayon R centrée sur l’origine. On notera qu’une surface géométrique n’a pas d’existence réelle et qu’on peut simplement savoir si un point de l’espace se situe sur la surface théorique ou bien s’il se trouve d’un coté ou de l’autre et à quelle distance de celle-ci. Dans l’exemple considéré, un point M de coordonnées xM, yM, zM se situera du côté de la concavité de la sphère si xM2 + yM2 + zM2 < R2 ou du côté de sa convexité si xM2 + yM2 + zM2 > R2.

1.2.2 Surface théorique Pour des raisons fonctionnelles, le concepteur va déterminer la forme que devrait théoriquement présenter une surface pour que son comportement en service donne pleinement satisfaction à l’utilisateur. Cette forme théorique peut être simple (plane, sphérique, cylindrique, conique) plus ou moins complexe (torique, hélicoïdale, de révolution, surface réglée…) ou totalement quelconque (élément de carrosserie, pale d’hélice, 6

1 • Généralités sur la métrologie dimensionnelle

1.2 Quelques notions de base concernant la caractérisation géométrique des produits

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aube de turbine, objet d’art…). On a précédemment défini cette forme idéale comme le lieu géométrique sur lequel doit se trouver l’infinité des points qui constituent cette surface. Selon ce que l’on connaît de cette forme théorique, on pourra considérer deux cas généraux permettant de la définir. Les surfaces pour lesquelles il sera possible de trouver une fonction continue représentant le lieu théorique des points de la surface. Dans ce cas c’est l’expression de cette fonction qui caractérisera la géométrie idéale de la surface considérée. Par exemple si les coordonnées d’un point Mth appartenant à une surface S satisfont à une équation de la forme : a◊xMth + b◊yMth + c◊zMth – d = 0 dans un référentiel orthonormé (O,1x,1y,1z ) que l’on appellera référentiel de définition, le lieu de ce point Mth lors de la variation de x, y et z est un plan. Les surfaces à propos desquelles on connaîtra seulement la position d’un certain nombre de points particuliers. Dans ce cas, il s’agira de ce que l’on appelle des surfaces numérisées, c’est-à-dire que leur définition se présentera sous la forme du fichier d’un nombre fini n de points dont on exprimera les coordonnées dans le référentiel de définition. Très souvent, on ajoutera une information supplémentaire, l’orientation théorique de l’élément de surface entourant chacun des points définis. Cette orientation est généralement caractérisée par les cosinus directeurs de la normale extérieure à cet élément de surface (voir figure 1.2). z zi xi

ui ni = vi wi

Mth i O

yi

y

x Figure 1.2 – Numérisation d’un point Mthi d’une surface. 7

1 • Généralités sur la métrologie dimensionnelle

1.2 Quelques notions de base concernant la caractérisation géométrique des produits

Par exemple la définition numérique de la surface S dans (O,1x,1y,1z ) sera exprimée par : 1 x1 y1 z1 u1 v1 w1 2 x2 y2 z2 u2 v2 w2 · · · · · · · · · · · · · · i xi yi zi ui vi wi · · · · · · · · · · · · · · n xn yn zn un vn wn

(O,1x,1y,1z )

Le principal inconvénient que présente ce type de définition est que l’on ne connaît pas la position que devraient occuper des points appartenant à la surface et qui seraient situés entre les n points caractéristiques. On sait bien sûr qu’il existe des outils de lissage couramment employés en CAO [1.2] qui permettant d’obtenir une continuité de la surface. Le problème est que, suivant l’outil de lissage choisi, les surfaces théoriques seront légèrement différentes les unes des autres pour des mêmes points caractéristiques. Quoi qu’il en soit on voit que, d’une façon plus ou moins rigoureuse, il sera toujours possible d’indiquer quelle devrait être la géométrie théorique d’une surface donnée. m 1.2.3 Surface réelle

Le fabricant va s’efforcer de réaliser les surfaces théoriques demandées en utilisant des moyens appropriés ; ces moyens dépendront notamment, de la nature et des dimensions de la surface à obtenir, des matériaux qui supportent celle-ci, des équipements industriels disponibles, du savoirfaire local ou des conditions économiques du moment. Malgré tout le soin apporté par le fabricant, une surface réelle sera toujours une surface de forme quelconque qui se rapprochera plus ou moins de la surface théorique souhaitée. À ce stade il est très important d’introduire la notion 8

1 • Généralités sur la métrologie dimensionnelle

1.2 Quelques notions de base concernant la caractérisation géométrique des produits

d’échelle, c’est-à-dire que même si une surface réelle nous apparaît comme étant géométriquement parfaite, il existera toujours une échelle d’observation qui nous permettrait d’y déceler des irrégularités. Imaginons par exemple la surface limitant un monocristal de fer à température ambiante. Cette surface représente ce que l’on peut théoriquement réaliser de mieux sur ce métal même si sa réalisation pratique est extrêmement difficile. Si cette surface était scrupuleusement nettoyée, c’est-à-dire rigoureusement débarrassée de toute impureté ou polluant, elle semblerait à échelle humaine être un plan parfait. Un examen à échelle nanométrique la ferait pourtant apparaître comme une juxtaposition régulière de sphères (ces sphères modélisant les couches externes de circulation des électrons autour du noyau de l’atome de fer) positionnées aux sommets des mailles de cristallisation [1.3], figure 1.3. 0,287 nm

r = 0,126 nm

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Figure 1.3 – Aspect théorique de la surface d’un monocristal de fer.

Les mécaniciens ont l’habitude de ranger arbitrairement les irrégularités des surfaces réelles selon six ordres. Les quatre premiers sont purement géométriques, ce sont eux que la métrologie dimensionnelle nous permettra de quantifier. Les deux derniers ordres sont de type physicochimique (arrangements de grains, déformations cristallographiques…) et seront donc caractérisés par l’étude des matériaux [1.4].

1.2.4 Surface extraite Si l’on veut caractériser une surface réelle, il faut naturellement dans un premier temps récupérer une information relative à cette surface, c’est 9

1 • Généralités sur la métrologie dimensionnelle

1.2 Quelques notions de base concernant la caractérisation géométrique des produits

cette information que l’on appelle l’élément extrait. Dans la réalité l’information obtenue sera toujours partielle, ce qui veut dire que selon la nature et le volume de cette information on pourra avoir des connaissances différentes d’un même élément réel. C’est la raison pour laquelle il faudra choisir avec soin les moyens les mieux adaptés à ce que l’on veut savoir d’un élément géométrique réel. En pratique, une surface extraite se traduira par un certain nombre n de points Mr appartenant à la surface réelle et dont on connaîtra les coordonnées dans un référentiel appelé référentiel de mesure. Bien entendu, pour un même élément géométrique, plus n sera grand plus l’information dont on disposera sera complète. La figure 1.4 représente un élément extrait d’une surface théoriquement plane mesurée dans le référentiel (O,1x,1y,1z ). Cet élément extrait est un nuage de n points Mri appartenant à la surface réelle et dont on a mesuré les coordonnées dans le référentiel de mesure. z

Mr i = (x i , y i ,zi ) Mri

O

y

x

Figure 1.4 – Élément extrait d’une surface théoriquement plane.

1.2.5 Surface associée Après récupération de l’information il va être nécessaire de la traiter. À cet effet nous allons introduire un nouveau type d’élément géométrique : l’élément associé. On appelle élément associé à un élément réel (ou plus exactement à l’élément extrait qui est la seule information dont on 10

1 • Généralités sur la métrologie dimensionnelle

1.2 Quelques notions de base concernant la caractérisation géométrique des produits

dispose relativement à cet élément réel) un élément théorique, de la nature souhaitée, et qui est placé de telle façon qu’il rende compte le mieux possible de cet élément réel. Cette définition peut apparaître comme insatisfaisante mais nous nous en contenterons pour l’instant. Par la suite, nous verrons quelques méthodes pratiques permettant de réaliser cette association. La figure 1.5 montre un plan associé à l’élément extrait précédemment mesuré. Ce plan va traverser le nuage de points de façon à en modéliser la position le plus fidèlement possible. On pourrait alors connaître, si le besoin s’en faisait sentir, son équation dans le référentiel de mesure. z

Plan P associé au nuage de points Mr i

y

x

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O

Figure 1.5 – plan associé à un élément extrait.

1.2.6 Écarts et défauts Il devient alors possible de calculer la distance entre chacun des n points Mri constituant l’élément extrait et l’élément qui leur est associé, dans notre cas le plan P [1.6]. On appelle ces distances des écarts (figure 1.6). On relèvera donc le même nombre d’écarts que de points constituant l’élément extrait. Après avoir arbitrairement choisi un sens positif (conventionnellement on prend le sens positif sortant de la matière), on notera un certain nombre d’écarts positifs et un certain nombre d’écarts négatifs (figure 1.7). 11

1 • Généralités sur la métrologie dimensionnelle

1.2 Quelques notions de base concernant la caractérisation géométrique des produits

On appellera défaut de forme de l’élément considéré (ici un défaut de planéité) la grandeur égale à la somme de l’écart positif maximum et de la valeur absolue de l’écart négatif maximum. On voit qu’il est ainsi possible de chiffrer le défaut de forme d’une surface réelle par une valeur numérique analogue à une longueur. La métrologie dimensionnelle peut donc nous permettre de caractériser la forme géométrique des surfaces et bien sûr, plus le défaut de forme sera petit plus la surface réelle s’approchera de la surface théorique. Mr i = (x i , y i , z i )

n Mr i Hi

z d

Équation du plan P a.x + b.y +c.z + d = 0

e

n i , vecteur unitaire normal au plan P de composantes : a, b, c

P

y

e = (OMri . ni) – d

x

O

Figure 1.6 – Calcul de l’écart entre un point Mri et un plan P. z

Plan P Écart négatif point Mr i au dessous de P

y Écart positif point Mr i au-dessus de P

O

x

Figure 1.7 – Chaque point Mri possède un écart par rapport à l’élément associé. 12

1 • Généralités sur la métrologie dimensionnelle

1.3 Mesure et contrôle

1.2.7 Surface spécifiée Le concepteur, sachant que l’élément réel fabriqué sera différent de l’élément théorique souhaité, va déterminer expérimentalement ou par le calcul les valeurs maximales que pourront prendre les défauts de celui-ci afin que la surface réelle puisse tout de même remplir la fonction désirée. Ce sont ces valeurs maximales admissibles que l’on appelle les tolérances de forme [1.7] qui seront spécifiées sur les dessins de définition. 0,08

Figure 1.8 – Exemple de l’indication d’une spécification de forme.

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1.3 Mesure et contrôle Même si les termes mesure et contrôle sont souvent associés dans le milieu industriel, il devient maintenant important de bien préciser la différence entre les deux mots. Dans le cas de la mesure, on veut connaître avec une précision plus ou moins grande les valeurs numériques caractérisant un élément géométrique, son diamètre, sa longueur ou son épaisseur, son défaut de forme ou son défaut de position (voir figure 1.9). Dans le cas du contrôle de cet élément on ne cherche absolument pas à connaître les valeurs numériques caractérisant cet élément, on désire simplement savoir si celles-ci sont situées à l’intérieur des zones de tolérances prescrites par le concepteur. Pour cette opération on pourra se contenter d’utiliser des calibres à dimensions fixes (jauges, tampons lisses doubles, calibres à mâchoires, etc.) d’une utilisation simple et rapide, figure 1.10. 13

1 • Généralités sur la métrologie dimensionnelle

1.3 Mesure et contrôle

Figure 1.9 – Mesure du diamètre d’un cylindre à l’aide d’un micromètre.

Figure 1.10 – Contrôle du diamètre du cylindre à l’aide d’un calibre à mâchoires.

Bien entendu, il peut être nécessaire de réaliser des mesures en dehors de toute notion de contrôle : on veut connaître avec plus ou moins de précision les valeurs de certaines caractéristiques. Il peut également être nécessaire de contrôler des dimensions sans avoir besoin de connaître leurs grandeurs exactes, on veut simplement savoir si les « cotes sont bonnes ». Mais il peut également arriver que l’on pratique des mesures 14

1 • Généralités sur la métrologie dimensionnelle

1.4 Bibliographie

afin de s’assurer que les grandeurs mesurées sont comprises à l’intérieur des limites fixées par les spécifications demandées, c’est ce que l’on appelle le contrôle par mesures.

1.4 Bibliographie

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[1.1] Frottement usure et lubrification, J.-M. GEORGES, Eyrolles, CNRS Éditions, 2000, p. 133 à 152. [1.2] Fabrication par usinage, J.-P. CORDEBOIS et coll., Industrie et technologie, Dunod, 2003, p. 147 à 166. [1.3] Métallurgie. Tome 1 : alliages métalliques, C. Chaussin, G. HILLY, Dunod, 1978. [1.4] ISO 4287, Spécification géométrique des produits (GPS). État de surface : Méthode du profil. Termes, définitions et paramètres d’état de surface, AFNOR, 2002. [1.5] ISO 14660-1, Spécifications géométriques des produits (GPS). Éléments géométriques. Partie 1 : termes généraux et définitions, AFNOR 1999. [1.6] Mathématiques, géométrie cours et exercices, A. WARUSFEL, P. ATTALI, M. COLLET, C. GAUTIER, S. NICOLAS, Vuibert, 2002. [1.7] NF E 04-552, Tolérancement géométrique, Généralités, définitions, symboles, indications sur les dessins, AFNOR, 2002.

15

2 • MESURE DES LONGUEURS

2.1 Le mètre étalon

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2.1.1 Bref historique Comme nous l’avons rappelé dans le chapitre précédent, mesurer c’est comparer une grandeur physique avec une autre grandeur arbitrairement choisie comme étalon. Dans le système métrique, unanimement adopté dans le monde à l’exception de trois pays, les États-Unis, le Liberia et l’Union du Myanmar (ex-Birmanie), l’unité de longueur utilisée est le mètre. L’expérience douloureuse qu’a représentée pour les Américains en 1999 la perte de la sonde Mars Climate Orbiter suite à une incompréhension entre deux équipes d’ingénieurs, l’une ayant employé les unités anglaises l’autre les unités du système métrique, illustre de façon spectaculaire la nécessité de disposer d’un système d’étalons commun à tous les acteurs de la vie industrielle et commerciale. La longueur du mètre à été adoptée officiellement pour la première fois en 1795 par la Convention comme étant égale à la dix-millionième partie du quart du méridien terrestre. Cette définition comporte deux qualités fondamentales pour un étalon, son invariance dans le temps et son invariance dans l’espace. Avant cette date chaque pays, chaque province, chaque ville, voire chaque corporation, disposait de ses propres unités de mesure de longueur, perche, coudée, pied, toise… mais aussi de volume ou de masse [2.1] si bien que lors des transactions commerciales une des deux parties au moins avait la très nette impression d’avoir été flouée. On peut d’ailleurs rappeler que la création d’un système unique des poids et mesures était l’une des 17

2 • Mesure des longueurs

2.1 Le mètre étalon

principales revendications des fameux cahiers de doléances prélude à la révolution de 1789. Faute d’une base indiscutable, toutes les tentatives d’unification précédentes furent vouées à l’échec. C’est alors qu’en 1790, la Convention s’adressa à l’Académie royale des sciences de Paris afin d’établir le nouvel étalon de longueur sur une base rigoureusement scientifique, parfaitement reproductible et acceptable par tous. La longueur d’un pendule battant la seconde, la longueur de l’équateur ou celle d’un méridien terrestre furent les propositions le plus souvent évoquées. Le choix d’une fraction de méridien fut la solution choisie pour des raisons essentiellement scientifiques et pratiques. En effet la solution du pendule aurait nécessité de mesurer très rigoureusement la seconde et n’aurait pu satisfaire à la condition d’universalité dans l’espace (la fréquence d’oscillation d’un pendule dépend essentiellement de sa longueur et de l’attraction terrestre, or on sait que celle-ci varie en fonction de la latitude) quant à la mesure de l’équateur elle était très difficilement réalisable à l’époque. Ce sont là les deux principales raisons qui expliquent le choix du méridien. Contrairement aux idées reçues, à l’époque on savait depuis très longtemps que la terre était sphérique et on avait une bonne estimation de son périmètre. La première mesure connue fut réalisée en 250 avant JésusChrist par Érastostène à Alexandrie. Depuis le milieu du XVIIIe siècle, on connaissait le léger aplatissement du globe et des mesures plus précises avaient déjà été effectuées (Cassini, La Caille). La mesure officielle fut réalisée par deux éminents astronomes, Delambre et Méchain de 1792 à 1798 le long du méridien de Paris entre Dunkerque et Barcelone (la fameuse méridienne verte). La méthode employée fut la triangulation, méthode très couramment utilisée en topographie, qui est basée sur le principe géométrique bien connu selon lequel, dans un triangle quelconque si l’on connaît un côté et les trois angles au sommet on peut déterminer la longueur des deux autres cotés, figure 2.1. Après la construction d’une chaîne de triangles dont les sommets étaient des points géodésiques remarquables (dôme du Panthéon, tour de Montléry…) et la mesure des angles aux sommets de ces triangles, il suffit alors de mesurer le côté d’un seul des triangles (la base) pour pouvoir calculer les côtés de tous les autres triangles. Dans la réalité, deux 18

2 • Mesure des longueurs

2.1 Le mètre étalon

bases furent mesurées afin de permettre de corréler les résultats obtenus. Des calculs de géométrie sphérique permirent ensuite de relier les longueurs des côtés des triangles avec la longueur de l’arc du méridien mesuré [2.2] [2.3]. A a b c = = sinA sinB sinC

c

B

b

a

C

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Figure 2.1 – Relations trigonométriques dans le triangle quelconque.

En 1795, la Convention fit donc adopter la définition de la longueur du mètre étalon à partir de la mesure d’un méridien terrestre. En 1889, la conférence des poids et mesures de Paris le définit comme étant la distance entre deux traits gravés sur le prototype en platine iridié déposé au pavillon de Breteuil à Sèvres. La loi du 11 juillet 1903 précisa que le mètre était la distance moyenne entre les deux traits tracés sur l’étalon mesurée à une température de 0 oC. En 1960, le mètre fut défini comme étant égal à 1 650 763,73 fois la longueur d’onde dans le vide de la radiation correspondant à la transition entre les niveaux 2p10 et 5d5 de l’atome de krypton 86. Enfin, depuis 1983, la définition officielle est la suivante : le mètre est la longueur du trajet parcouru dans le vide par la lumière pendant une durée de 1/299 792 458 seconde. Cette dernière définition possède l’avantage de relier la longueur de l’étalon à une constante fondamentale de la physique, la vitesse de la lumière dans le vide. Elle nécessite cependant de savoir définir avec une très grande précision la durée de la seconde ce qui est actuellement réalisable par l’intermédiaire des horloges atomiques. À noter que les définitions légales successives de la longueur du mètre n’ont jamais altéré la valeur de celle-ci ; elles n’ont eu pour but que de rendre l’accessibilité à cette grandeur de référence plus sûre et plus précise. 19

2 • Mesure des longueurs

2.1 Le mètre étalon

2.1.2 Les étalons de longueur m L’étalon primaire

À partir du mètre théorique, dix millionième partie du quart du méridien terrestre, il fallut bien établir un mètre pratique de façon à ce que les utilisateurs puissent s’y référer. En 1799, le mètre étalon prit la forme d’une règle de platine (métal considéré à l’époque comme indestructible) de section rectangulaire (25,3 mm par 4 mm) dont les extrémités étaient distantes l’une de l’autre d’un mètre à 0,001 pour cent près. Ce premier étalon de longueur fut conservé aux Archives nationales et c’est à partir de cet étalon primaire que, pour généraliser l’emploi du système métrique, furent fabriqués les étalons de marbre que l’on scella en de nombreux endroits sur les murs de la ville de Paris et des villes de province (il reste un exemplaire de l’un d’entre eux rue de Vaugirard à Paris). Avec le développement des moyens de comparaison, la qualité du mètre étalon des archives se révéla insuffisante : on ne pouvait guère en espérer une précision meilleure que le centième de millimètre. Une commission internationale fut donc réunie en 1869 pour remédier à cet inconvénient. C’est suite aux travaux de cette commission que naquit en 1889 le fameux prototype en platine iridié déposé au pavillon des poids et mesures de Breteuil à Sèvres et qui fut en vigueur jusqu’en 1960. Ce prototype possédait une section en X, profil de Tresca, qui présentait l’avantage de conserver une rigidité optimale (figure 2.2). La distance comprise entre deux traits gravés sur deux petites aires soigneusement polies situées sur la fibre neutre près de chacune des extrémités, mesurée à une température de 0˚C, représentait la longueur exacte du mètre étalon.

Fibre neutre

Figure 2.2 – Profil du mètre étalon du pavillon de Breteuil. 20

2 • Mesure des longueurs

2.1 Le mètre étalon

La définition de 1889 présentait l’inconvénient de se rapporter à un objet unique susceptible d’être perdu ou endommagé, il apparut alors nécessaire de recourir à une longueur reproductible de façon rigoureuse à n’importe quel endroit (retour à la philosophie du départ qui avait conduit à rechercher une référence universelle et permanente). Le développement des connaissances en physique amena certains savants à émettre l’idée que la longueur d’onde λ d’une radiation lumineuse pouvait fournir un étalon de longueur d’une précision remarquable. C’est ainsi qu’on arriva à la définition de 1960 qui matérialisait la longueur du mètre étalon par l’intermédiaire de la mesure de la longueur d’une onde électromagnétique.

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La détermination de la vitesse de la lumière dans le vide c, considérée comme une constante universelle de la physique et l’apparition des lasers, excellentes sources de radiations monochromatiques, amenèrent les scientifiques à établir en 1983 la matérialisation de la longueur du mètre étalon à partir de cette vitesse de la lumière dans le vide. Un des avantages principaux de cette définition est qu’elle permet de matérialiser la longueur de l’étalon de longueur à partir de toute source lumineuse dont on peut connaître et stabiliser la fréquence d’émission f, (on c rappelle que λ = - ) [2.4]. f Le BNM (Bureau national de la métrologie) est l’organisme chargé en France de la conservation des étalons primaires et donc de celle du mètre étalon. Il utilise généralement pour reproduire celui-ci la radiation émise par un laser convenablement asservi en fréquence. m Multiples et sous-multiples du mètre

Par opposition aux nombreux systèmes préexistants, le système métrique présente l’avantage supplémentaire d’être un système décimal, c’est-àdire qu’il est toujours possible d’employer comme unités de mesure de longueur les multiples ou les sous-multiples du mètre d’une façon parfaitement légale tout en restant dans le système métrique, tableau 2.1 [2.5] [2.6]. 21

2 • Mesure des longueurs

2.1 Le mètre étalon

Tableau 2.1 – Principaux multiples et sous-multiples du mètre. 10n

Nom

Symbole

Nombre

En m

1015

Pétamètre

Pm

Billiard

1 000 000 000 000 000

1012

Téramètre

Tm

Billion

1 000 000 000 000

109

Gigamètre

Gm

Milliard

1 000 000 000

106

Mégamètre

Mm

Million

1 000 000

103

Kilomètre

km

Mille

1 000

102

Hectomètre

hm

Cent

100

101

Décamètre

dm

Dix

10

100

Mètre

m

Un

1

10 –1

Décimètre

dm

Dixième

0,1

10 –2

Centimètre

cm

Centième

0,01

10 –3

millimètre

mm

Millième

0,001

10 –6

micromètre

µm

Millionième

0,000 001

10 –9

nanomètre

nm

Milliardième

0,000 000 001

10 –12

picomètre

pm

Billionième

0,000 000 000 001

10 –15

femtomètre

fm

Billiardième

0,000 000 000 000 001

m Les étalons de travail

L’opérateur chargé d’effectuer une mesure dimensionnelle dans un atelier de production ou dans un laboratoire de métrologie va utiliser pour réaliser cette mesure des étalons de longueur dit étalons de travail. On distingue généralement les étalons de travail à traits (réglets, pieds à coulisse, micromètres, règles optiques…) et les étalons de travail à bouts (cales étalons, piges, bagues, broches…), figure 2.3. Ces étalons lors de leur acquisition doivent être accompagnés d’un certificat délivré par le BNM, ou par un organisme habilité, qui définit leurs caractéristiques exactes par rapport à l’étalon primaire. 22

2 • Mesure des longueurs

2.1 Le mètre étalon

Figure 2.3 – Étalons à bouts (à gauche) et étalons à traits (à droite).

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Par exemple une cale-étalon (étalon à bouts fréquemment utilisé par les mécaniciens) se présente sous la forme d’un prisme de bonne qualité géométrique réalisé dans un matériau dur résistant à l’usure (acier traité, carbure, quartz, céramique…) dont les deux faces fonctionnelles sont considérées comme étant parfaitement planes et parallèles entre elles. Ce qui signifie que tous les points appartenant à la face supérieure devraient être à égale distance de la face inférieure. Cette distance correspond à la valeur marquée sur la cale, 20 mm dans l’exemple représenté par la figure 2.4.

20

Figure 2.4 – Cale étalon de 20 mm.

Naturellement, la cale réelle n’est pas parfaite, c’est-à-dire que les faces inférieures et supérieures ne seront ni rigoureusement planes ni parfaitement parallèles, entre elles, et donc que les dimensions de la cale seront différentes selon l’endroit où elles seront mesurées. La normalisation actuellement en vigueur [2.7] range les cales étalons dans quatre classes d’étalonnage suivant les défauts mesurés sur celles-ci, la figure 2.5 et le 23

2 • Mesure des longueurs

2.1 Le mètre étalon

tableau correspondant 2.2 illustrent ce classement pour une cale-étalon de 20 mm. Tableau 2.2 – Exemple de classe d’étalonnage pour une cale-étalon de 20 mm. Classe K

Classe 0

Classe 1

Classe 2

Longueur nominale en mm

te µm

tv µm

te µm

tv µm

te µm

tv µm

te µm

tv µm

20

0,3

0,05

0,14

0,1

0,3

0,16

0,6

0,3

te te 20

tv lc

lc est la longueur mesurée au milieu de la cale

Figure 2.5 – Géométrie réelle d’une cale-étalon de 20 mm.

Normalement, tous les instruments et tous les étalons destinés à la mesure dimensionnelle sont pareillement classés par la normalisation, si bien que lorsque l’on fait l’acquisition de l’un d’entre eux, on sait exactement quelles sont ses caractéristiques et quelles performances on doit en attendre. m La chaîne d’étalonnage

Pour être recevable et pour pouvoir valablement être comparée à la même mesure effectuée sur un site différent, toute mesure doit donc se référer à l’étalon primaire du BNM. Les certificats établis par des organismes agréés ou habilités qui sont obligatoirement joints aux étalons et aux matériels de mesure attestent de la conformité de ceux-ci au moment de leur acquisition. Cependant, une utilisation plus ou moins 24

2 • Mesure des longueurs

2.1 Le mètre étalon

intensive dans des conditions plus ou moins bonnes peut provoquer une dégradation des caractéristiques géométriques des étalons de travail et donc de leurs dimensions, d’où une nécessaire requalification de ceuxci au cours de leur existence. C’est le rôle de la chaîne d’étalonnage qui permettra de relier n’importe quel étalon de travail à l’étalon universel par l’intermédiaire des services de métrologie habilités et des centres agréés par le BNM (figure 2.6). Conservation et amélioration des étalons

LABORATOIRE PRIMAIRE du BNM

Étalon

primaire

CENTRE D’ÉTALONNAGE AGRÉE

Diffusion de la métrologie

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Mesure et contrôle

Étalons

de transfert

SERVICES DE MÉTROLOGIE HABILITÉS

ENTREPRISES INDUSTRIELLES OU LABORATOIRES

Étalons

de travail

Figure 2.6 – Chaîne d’étalonnage.

2.1.3 Gestion des appareils de mesure et de contrôle Il est donc absolument indispensable pour toutes les entreprises industrielles de connaître à chaque instant l’état des appareils et des étalons utilisés dans leurs opérations de mesure ou de contrôle afin de pouvoir déterminer si leurs caractéristiques se sont dégradées dans le temps et comment leurs performances ont évolué. C’est pourquoi elles devront impérativement mettre en place un système de gestion de ceux-ci. 25

2 • Mesure des longueurs

2.1 Le mètre étalon

Quelles que soient les procédures en usage dans l’entreprise ce système comporte toujours les deux étapes suivantes : m Identification

À l’arrivée d’un nouvel équipement de mesure ou de contrôle dans l’entreprise on procédera aux opérations suivantes : – Vérification de la conformité à la commande. – Existence et validité du certificat d’étalonnage. – Identification de l’équipement (marquage indélébile suivant les règles en vigueur dans l’entreprise). – Introduction de l’appareillage dans l’inventaire des moyens métrologiques. – Établissement de la « fiche de vie de l’instrument ». Établissement d’une fiche de vie Les fiches de vie, qu’elles soient papier ou informatisées, permettent de réaliser la traçabilité des équipements utilisés dans l’entreprise lors des opérations de mesure et de contrôle, elles doivent obligatoirement comporter les éléments suivants : – Nom de l’entreprise. – Nom et caractéristiques de l’instrument. – Marque et type. – Identification de l’instrument. – Classe de l’instrument. – Identification du certificat d’étalonnage. – Date de mise en service. – Affectation de l’instrument. – Référence aux procédures d’entretien. – Périodicité des opérations d’entretien. – Références aux procédures d’étalonnage et de vérification. – Périodicité des opérations d’étalonnage ou de vérification. – Dates des interventions effectuées. 26

2 • Mesure des longueurs

2.2 Notion d’incertitude de mesure

– Résultats des interventions effectuées. – Dates des prochaines interventions à effectuer. m Périodicité des vérifications ou des étalonnages

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Selon le type d’appareil concerné, la normalisation en vigueur préconise un intervalle de temps entre deux étalonnages ou deux vérifications. Cet intervalle est donné en mois ou mieux en heures d’utilisation. Nous proposons plutôt de déterminer cet intervalle pour chaque appareil en fonction des conditions réelles d’utilisation de celui-ci, en considérant les paramètres suivants : – La précision du travail qui lui est demandé, en appliquant une pondération allant par exemple, de 1 pour la mesure la plus grossière à 5 pour la mesure la plus rigoureuse. – La fréquence de son utilisation, avec une pondération s’étendant de 1 pour une utilisation occasionnelle à 5 pour une utilisation très fréquente. – Les conditions dans lesquelles il est employé, en pondérant de 1 si les conditions sont idéales à 5 pour des conditions d’utilisation particulièrement contraignantes. En faisant la somme des valeurs affectées à chacun de ces trois paramètres, il est alors possible d’attribuer à chaque moyen de mesure ou de contrôle un poids P, poids qui pourrait varier dans les conditions de notre exemple entre 3 et 15. La valeur de ce poids permet de fixer la périodicité des étalonnages ou des vérifications, ce qui donne par exemple : – lorsque P < 7 : étalonnage tous les ans. – lorsque 7 ≤ P < 12 : étalonnage tout six mois. – lorsque P ≥ 12 : étalonnage tous les trois mois.

2.2 Notion d’incertitude de mesure 2.2.1 Erreur de mesure et incertitude Si l’on considère la mesure d’une grandeur réelle R, le résultat brut de cette mesure M (la valeur fournie par l’appareillage utilisé) sera toujours entachée d’une erreur e. Pour se convaincre de la validité de cette affirma27

2 • Mesure des longueurs

2.2 Notion d’incertitude de mesure

tion, il suffirait de demander à n personnes de mesurer de façon totalement indépendante une grandeur réelle R donnée, on constaterait alors que l’on obtiendrait n résultats Mi différents, ce qui signifie qu’aux moins n – 1 personnes ont commis une erreur en effectuant leur mesure. Les raisons de ces erreurs proviennent essentiellement de l’imperfection des processus mis en œuvre pour réaliser les mesures (figure 2.7). erreur e1 Résultat de la mesure 1, M 1 erreur e2 Résultat de la mesure 2, M 2 erreur e3

Résultat de la mesure 3, M 3 Grandeur réelle à mesurer R (inconnue)

Figure 2.7 – Représentation des erreurs de mesure.

Nous aurons donc pour chaque mesure R = Mi – ei. La valeur de l’erreur étant par définition inconnue, ceci entraîne que la valeur de la grandeur réelle R est rigoureusement inaccessible. Par contre l’analyse des causes de l’erreur de mesure et des résultats des différentes mesures réalisées peuvent nous permettre d’estimer une valeur d’étendue 2U, l’incertitude de la mesure (on appelle conventionnellement U l’incertitude élargie) telle que nous ayons : (M – U) ≤ R ≤ (M + U) (voir figure 2.8). Nous voyons donc que pour être exploitable, le résultat d’une mesure doit impérativement comprendre les trois composantes suivantes : – Une valeur numérique chiffrant le résultat de la mesure. – L’indication de l’unité dans laquelle est exprimé ce résultat. – L’étendue U de l’incertitude élargie sur le résultat exprimé. Il est donc fondamental de savoir d’où provient l’incertitude et comment évaluer son étendue, naturellement l’incertitude sera exprimée dans la même unité que la grandeur observée. 28

2 • Mesure des longueurs

2.2 Notion d’incertitude de mesure

U

U

Mesure 1 M 1 Mesure 2 M 2

U U

U U

Mesure 3 M 3 Grandeur réelle à mesurer R (inconnue)

Figure 2.8 – Illustration de la nécessité d’utiliser l’incertitude de mesure.

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2.2.2 Origine de l’incertitude de mesure Il ne faut surtout pas confondre les termes incertitude et erreur. Cependant, c’est parce qu’une mesure est toujours entachée d’une erreur que l’on doit faire intervenir la notion d’incertitude afin de prendre en compte les effets de cette erreur sur le résultat. L’étendue de l’incertitude de mesure est donc directement fonction des causes qui sont à l’origine des erreurs de mesure. Elle dépend donc d’un très grand nombre de paramètres, parmi ceux-ci nous retiendrons essentiellement : – L’environnement dans lequel la mesure a été réalisée (température ambiante, température des objets mesurés, degré hygrométrique de l’air, pression atmosphérique, vibrations mécaniques, champs électromagnétiques…). On pourra diminuer l’étendue de l’incertitude due aux conditions de mesure par filtrage (régulation de la température, isolement électromagnétique, filtration des vibrations…) ou (et) en réalisant les corrections nécessaires à partir de la mesure des perturbations qui affectent la mesure et des lois physiques qui régissent les effets dus à ces perturbations. – Le soin apporté par l’opérateur, souvent négligé volontairement ou involontairement ; il est pourtant évident que le facteur humain est particulièrement important lorsque l'on veut réaliser une mesure avec un bon niveau de confiance. On diminuera l’étendue de l’incer29

2 • Mesure des longueurs

2.2 Notion d’incertitude de mesure

titude due à l’opérateur par une bonne formation de celui-ci et par le respect des procédures de travail. – Les performances de l’appareillage utilisé : naturellement l’incertitude sur une mesure dépendra directement des moyens matériels mis en œuvre pour la réaliser, par exemple elle ne sera pas la même si l’on mesure le diamètre d’un objet cylindrique avec un réglet, un pied à coulisse ou un micromètre.

2.2.3 Part de l’incertitude résultant de l’appareillage utilisé La partie de l’incertitude résultant des performances de l’appareillage utilisé afin d’effectuer une opération de mesure dépend elle aussi de nombreux paramètres propres à la conception et à l’état de cet appareillage. Parmi ceux-ci, nous retiendrons essentiellement les trois suivants qui sont probablement les plus influents même si l’on pourrait en relever un grand nombre d’autres. m Résolution d’un appareil de mesure

Un appareil de mesure quel qu’il soit comporte toujours au moins un capteur, c’est-à-dire un moyen permettant de comparer la grandeur mesurée avec la grandeur choisie comme étalon, et un afficheur qui permet à l’utilisateur de connaître le résultat de cette comparaison, l’affichage pouvant se présenter sous une forme numérique ou sous une forme analogique. On appelle résolution d’un appareil de mesure la plus petite variation de la grandeur mesurée que l’afficheur et capable de faire apparaître. On conçoit facilement qu’il serait tout à fait impossible d’exprimer le résultat d’une mesure avec une incertitude inférieure à cette résolution. Bien sûr, dans le cas d’un affichage analogique, l’acuité visuelle de l’opérateur peut influencer le résultat de façon significative, mais pour des opérateurs aguerris ceci peut être considéré comme parfaitement négligeable. Prenons l’exemple d’un mesureur de longueur du type de celui qui est schématisé par la figure 2.9 : l’afficheur indique que la longueur à mesurer est comprise entre 16 mm et 17 mm, dans ce cas on peut dire que le résultat de la mesure serait : 30

2 • Mesure des longueurs

2.2 Notion d’incertitude de mesure

longueur = 16,5 mm avec une incertitude élargie U égale à 0,5 mm ; un opérateur plus expérimenté proposerait plutôt comme résultat une longueur de 16,75 mm avec une incertitude élargie U égale à 0,25 mm, naturellement on voit que les deux expressions ne sont absolument pas contradictoires. Afficheur

Capteur Longueur à mesurer l

Étalon à traits 0

20

10

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Figure 2.9 – Schéma d’un mesureur de longueur.

Le système du vernier utilisé depuis longtemps sur de nombreux appareils de mesure (pieds à coulisse, rapporteurs, tambours gradués…) permet de réduire sensiblement la valeur de l’étendue de l’incertitude élargie sur le résultat d’une mesure exprimée par l’intermédiaire d’un afficheur analogique. Le principe de fonctionnement d’un vernier consiste à découper l’intervalle compris entre deux traits de l’étalon en un certain nombre de parties égales, ce principe est rappelé sur les figures 2.10 et 2.11.

0

1

Vernier au 1/10 mm Pas de graduation = 0,9 mm Règle étalon graduée en mm

0

10

20

Figure 2.10 – Structure d’un vernier au 1/10 mm. 31

2 • Mesure des longueurs

2.2 Notion d’incertitude de mesure

0

10 A

10

20 B

30

M 0

C

M = A + B + C → M = 16 + 7 − 7 ⋅ (0,9) → M = 23 − 6,3 = 16,7

Figure 2.11 – Principe de la mesure à l’aide d’un vernier au 1/10 mm.

Très souvent, on interpose un système de traitement de l’information entre le capteur et l’afficheur. Le traitement que l’on va faire subir à l’information sera tout d’abord un filtrage, afin d’en éliminer les composantes parasites, mais surtout une amplification du signal reçu afin d’augmenter la résolution de l’appareil de mesure (figure 2.12). L’amplification d’une mesure permet donc d’améliorer parfois considérablement la résolution d’un appareil. Pendant longtemps, des technologies mécaniques (voir figure 2.13) ou pneumatiques ont été utilisées avec succès, aujourd’hui les technologies électroniques sont de loin les plus fréquemment employées à cet usage (voir figure 2.14).

Capteur

Prise de l’information

Filtrage Amplification

Affichage

Traitement de l’information

Figure 2.12 – Structure générale de la plupart des appareils de mesure. 32

2 • Mesure des longueurs

2.2 Notion d’incertitude de mesure

Afficheur

Capteur

Figure 2.13 – Appareil de mesure à amplification mécanique.

Circuit électrique Composant électrique variable

Afficheur

Capteur © Dunod – La photocopie non autorisée est un délit.

Figure 2.14 – Appareil de mesure à amplification électronique

m Justesse d’un appareil de mesure

Un appareil de mesure quel qu’il soit doit toujours être étalonné avant son utilisation. Concrètement, étalonner un appareil consiste à placer une grandeur étalon, c’est-à-dire une grandeur considérée comme rigoureusement exacte, connue sous son capteur et à lui faire afficher la valeur de cette grandeur. Un appareil de mesure correctement utilisé est donc parfaitement juste à son point d’étalonnage. Cependant les mesures sont réalisées sur un certain intervalle que l’on appelle plage d’utilisation ou course de l’appareil. Le problème consiste donc à savoir si l’équipement de mesure reste juste dans la totalité de sa plage d’utilisation. On 33

2 • Mesure des longueurs

2.2 Notion d’incertitude de mesure

définira l’erreur de justesse instantanée eji comme étant égale à la valeur affichée Mi moins la valeur vraie Ri de la grandeur mesurée eji = Mi – Ri Une façon simple et efficace permettant de mettre en évidence les erreurs de justesse d’un appareillage de mesure tout au long de sa course consiste à tracer sa courbe de justesse. La figure 2.15 représente la courbe de justesse d’un comparateur, elle indique en ordonnées les valeurs lues sur l’afficheur de l’appareil en fonction des valeurs réelles mesurées par celui-ci. Les valeurs réelles portées en abscisses ont été obtenues à partir de grandeurs étalons (par exemple des cales étalons s’il s’agit d’un comparateur de longueur) considérées comme étant de dimensions parfaites. On fera l’hypothèse que la variation de la justesse est linéaire entre deux points d’étalonnage successifs. 60

40

valeurs lues

20

0 – 60

– 40

– 20

0

20

40

– 20

– 40

Uj

– 60 valeurs réelles

Figure 2.15 – Courbe de justesse d’un comparateur. 34

60

2 • Mesure des longueurs

2.2 Notion d’incertitude de mesure

Cette courbe de justesse peut être utilisée pour corriger les résultats d’une mesure, pour choisir la partie de la plage d’utilisation dans laquelle l’erreur de justesse est la plus faible, ou pour déterminer l’incertitude globale Uj due à la non-justesse de l’appareil sur la totalité de la course étudiée. m Fidélité d’un appareil de mesure

On dit qu’un appareil de mesure est parfaitement fidèle si lorsque l’on mesure n fois la même grandeur il donne n fois exactement le même résultat. Si l’on veut mettre en évidence la non-fidélité d’un système de mesure on va mesurer n fois la même grandeur avec l’appareil étudié et examiner les résultats de ces n mesures. Soit : xi le résultat d’une mesure, on écrira : n

1 x = --- ∑ x i n 1

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x la moyenne arithmétique des n valeurs obtenues peut être considérée comme un très bon estimateur de la valeur vraie de la grandeur mesurée (surtout si le nombre de mesures n est grand) on posera alors : efi (erreur instantanée de fidélité pour une mesure i) = xi – x

On obtiendra ainsi n erreurs instantanées de fidélité xi que l’on pourra traiter afin de déterminer une valeur vraisemblable de Uf, incertitude propre de l’appareil due à sa non-fidélité. Il sera par exemple possible d’estimer cette incertitude par une des façons suivantes : n

1 Uf = --- ∑ ef i n 1

Uf = ef i max Uf = 3 σ = avec σ = écart type de la distribution des efi. 35

2 • Mesure des longueurs

2.2 Notion d’incertitude de mesure

Ces résultats sont bien entendu différents les uns des autres, mais chacun résulte d’hypothèses particulières, certes discutables comme toutes les hypothèses, mais tout aussi acceptables les unes que les autres. m Incertitude globale d’un appareil de mesure

À partir des remarques précédentes, nous voyons qu’il est possible de mettre en évidence de façon expérimentale les composantes principales de l’incertitude d’un appareil de mesure. L’incertitude globale sur toutes les mesures effectuées avec cet appareil sera une fonction de ces incertitudes partielles Uglobale = f(Uenvironnement, Uopérateur, Urésolution, Ujustesse, Ufidélité) La principale difficulté que présente cette écriture est la méconnaissance de la fonction qui relie les différentes composantes entre elles. Dans le chapitre 3 nous verrons de façon plus détaillée des moyens pratiques permettant d’estimer efficacement la valeur des incertitudes et de les combiner entre elles, ce qui pourra nous permettre de résoudre ce problème de façon satisfaisante. À noter que la normalisation en vigueur, les organismes certificateurs, ainsi que certains donneurs d’ordre concernés, proposent des méthodes expérimentales basées sur des outils statistiques et qui permettent d’estimer l’incertitude globale d’un instrument de mesure avec une très bonne crédibilité.

2.2.4 Capabilité des appareils de mesure et de contrôle m Capabilité d’un appareil de mesure

Un problème qui se pose fréquemment au responsable d’un laboratoire de métrologie ou d’un service de contrôle est de savoir si l’appareillage de mesure dont on envisage l’utilisation est apte à réaliser une mesure ou un contrôle donnés. Comme pour les équipements de production, il est possible de déterminer ce que l’on appelle la capabilité d’un appareil de mesure : cette capabilité s’obtient en comparant l’incertitude globale du système de mesure avec l’étendue de la tolérance sur la grandeur que l’on veut mesurer. Par exemple on voit clairement 36

2 • Mesure des longueurs

2.2 Notion d’incertitude de mesure

sur la figure 2.16 que l’appareillage de mesure en question sera capable de contrôler la grandeur considérée seulement si IT > 2 U. À partir de cette constatation il possible de calculer, pour un appareillage de mesure donné et pour une mesure particulière, ce que l’on appelle le coefficient de capabilité de l’appareil. Ce coefficient que l’on note Capp détermine IT son aptitude à réaliser cette mesure, on l’obtient en posant : Capp = ------- , 2U naturellement l’appareillage sera estimé capable si Capp > 1. Longtemps on a prétendu que cette valeur devait être égale à 10 (l’appareil de mesure doit être dix fois plus précis que la tolérance sur la grandeur à mesurer, disait-on alors). Les normes actuelles traitant du contrôle industriel préconisent de choisir une valeur de 4 comme coefficient de capabilité. Quoi qu’il en soit, la seule chose importante est de connaître la valeur de ce coefficient afin de pouvoir déterminer les valeurs limites d’acceptation de la grandeur mesurée à partir des grandeurs limites admissibles.

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Limite d’acceptation mini

Limite d’acceptation maxi

U

U

IT Intervalle de tolérance

Valeur mini admissible

Valeur maxi admissible

Figure 2.16 – Capabilité d’un appareil de mesure dont l’incertitude élargie est U. 37

2 • Mesure des longueurs

2.2 Notion d’incertitude de mesure

m Capabilité d’un appareil de contrôle

Ce qui vient d’être exposé à propos des appareils de mesure peut naturellement être appliqué au matériel utilisé lors des opérations de contrôle (calibres, tampons, jauges…). On conçoit aisément que si l’on considère, par exemple, le côté « n’entre pas » d’un calibre à mâchoires destiné à contrôler un arbre dont l’intervalle de tolérance est égal à IT, la tolérance IT¢ sur la dimension du calibre doit être nettement inférieure à IT (figure 2.17). La normalisation en vigueur préconise que pour un diamètre à contrôler de 60h7 (ce qui signifie une valeur de l’IT égale à 30 µm), l’intervalle de tolérance IT¢ sur la dimension « n’entre pas » du calibre soit de 4 µm, ce qui donne un coefficient de capabilité 30 égal à : ------ = 7,5. Bien entendu on tiendra le même raisonnement lors4 que l’on considérera le côté « entre » du calibre.

Valeur mini du diamètre à contrôler

Dimension Coté n’entre pas du calibre

Valeur maxi du diamètre à contrôler IT

Figure 2.17 – Capabilité d’un instrument de contrôle.

38

2 • Mesure des longueurs

2.3 Bibliographie

2.3 Bibliographie

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[2.1] Introduction à la métrologie historique, B. GARNIER, J.-C. HOCQUET, D. WORONOFF, Economica, 1989. [2.2] Le mètre du monde, D. GUEDJ, Le seuil, 2000. [2.3] Mesurer le monde, K. ALDER, Flammarion, 2005. [2.4] Optique instrumentale, P. BOUCHAREINE, Les éditions de la physique, 1997, p. 237 à 306. [2.5] Étalons et unités de mesure, BNM, 1996. [2.6] Étalons et grandeurs, B. DUPONT, J.-P. TROTIGNON, Nathan, 1994. [2.7] ISO 3650 :1998. Spécification géométrique des produits (GPS), Étalons de longueur, Cales étalons, AFNOR, 2002. [2.8] Métrologie dans l’entreprise, outil de la qualité, 2e édition, Mouvement francais pour la qualité – AFNOR, 2003. [2.9] Vérification des produits et calibres lisses, M. VIAUD, J. LASNIER, CETIM, 1992.

39

3 • ESTIMATION DES INCERTITUDES

3.1 Rappels et notations

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3.1.1 Généralités sur les incertitudes Nous avons vu précédemment que la connaissance exacte d’une grandeur réelle R était totalement impossible, et que pour s’en convaincre il suffisait de réaliser plusieurs fois la mesure de cette grandeur dans les mêmes conditions. Nous nous rendions compte alors que nous obtenions autant de résultats différents que nous avions réalisé de mesures. Pourquoi ces différences ? Parmi tous les résultats obtenus y en a-t-il un qui est le bon ? Si oui, lequel ? Si non, comment déterminer une valeur la plus proche possible de la réalité ? C’est à cet ensemble de questions que nous allons essayer de répondre dans la suite de ce chapitre. Un premier élément de réponse à toutes ces questions se trouve dans ce qui précède : nous avons suggéré que nous travaillions toujours dans les mêmes conditions, or en réalité les conditions ne sont jamais rigoureusement les mêmes. C’est ce que nous avons évoqué dans le chapitre 2 lorsque nous avons prétendu que l’étendue de l’erreur de mesure dépendait notamment de l’environnement dans lequel était réalisée la mesure ainsi que de l’opérateur qui effectuait celle-ci. Dans la même partie, nous avons également montré que les performances du matériel employé pour réaliser la mesure affectaient considérablement les résultats obtenus. Il faut aussi faire remarquer que la grandeur que l’on doit mesurer n’est pas toujours définie sans aucune ambiguïté ce qui va naturellement aussi se répercuter sur le résultat. 41

3 • Estimation des incertitudes

3.1 Rappels et notations

À partir de ces remarques, nous avions fait ressortir que pour être recevable le résultat d’une mesure M devait absolument être accompagné d’une grandeur que l’on appelle l’incertitude de mesure, incertitude que l’on note conventionnellement U, de telle façon que l’on ait : M–U
La difficulté que nous avions soulevée et que nous nous proposons de traiter dans ce chapitre, consiste à déterminer aussi vraisemblablement que possible la valeur de U. Pour la suite de ce travail nous adopterons les définitions et les notations suivantes : – R = valeur vraie de la grandeur à mesurer (inaccessible). – M = résultat brut issu de la mesure. – e = erreur de mesure avec e = R – M, R étant inconnue, e est toujours inconnue. – U = étendue de l’incertitude que l’on appelle conventionnellement incertitude élargie. – u = incertitude type, notation qui présente une analogie certaine avec l’écart type d’une distribution. On admettra que, dans les calculs, l’incertitude type se manipule comme un écart type. – k = facteur d’élargissement tel que l’on ait U = k◊u. U – -------- incertitude fractionnaire ou incertitude relative. M Comme nous l’avons déjà remarqué, c’est parce qu’on commet toujours une erreur de mesure, aussi minime soit-elle, qu’il y a nécessité d’introduire la notion d’incertitude, mais l’erreur commise étant par définition inconnue il n’est pas possible de calculer la valeur de l’incertitude à partir de l’examen d’hypothétiques grandeurs d’erreurs. La définition que nous retiendrons pour l’incertitude est celle proposée par la normalisation [3.1] : paramètre caractérisant la dispersion des valeurs pouvant raisonnablement être attribuées à une grandeur soumise à un mesurage (mesurande). C’est donc l’examen des résultats de différentes mesures réalisées qui nous permettra de donner une valeur vraisemblable à l’étendue de l’incertitude de mesure. 42

3 • Estimation des incertitudes

3.1 Rappels et notations

Le deuxième point délicat que soulèvent les définitions précédentes concerne la valeur de k, celle-ci doit être choisie de telle façon que l’on ait une certaine probabilité p pour que la valeur réelle de l’incertitude soit inférieure ou égale à U. Afin de réaliser efficacement ce choix, il serait nécessaire de connaître avec précision la loi de répartition des résultats des différentes mesures effectuées, ce qui est en réalité très rarement le cas ; dans la pratique les valeurs 1, 2 ou 3 préconisées par la normalisation sont très souvent choisies comme coefficient k. On rappelle ci-dessous quelques lois de distribution auxquelles on peut raisonnablement assimiler de nombreuses distributions réelles de résultats de mesure ainsi que les niveaux de probabilité qui leur sont associés. L’opportunité de l’emploi de ces lois ainsi que leurs propriétés peuvent donc permettre d’éventuellement proposer des valeurs réalistes pour k.

3.1.2 Quelques lois de distribution intéressantes m Loi de distribution rectangulaire

L’emploi de cette loi suppose que la variable x ait la même probabilité de prendre n’importe quelle valeur dans l’intervalle ]–U, + U[.

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f (x )

–U

x

+U

x

Figure 3.1 – Courbe de distribution d’une loi rectangulaire.

Les calculs donnent comme valeur de l’écart type d’une distribution I rectangulaire équiprobable dans un intervalle de largeur I, s = ---------- ; ce 2 3 43

3 • Estimation des incertitudes

3.1 Rappels et notations

2U qui appliqué à notre problème d’incertitude donnerait : u = ---------- soit u 2 3 U = ------- et donc U ª 1,73 u. 3 Dans notre cas l’interprétation que l’on peut faire de ce qui précède est la suivante : dans un intervalle ] x – u, x + u[ c’est-à-dire pour k = 1, il y aurait une probabilité p = 0,577 de trouver le résultat de la mesure xi, dans un intervalle ] x – 2u, x + 2u[ c’est-à-dire pour k = 2 cette probabilité serait bien entendu de 1. m Loi de distribution triangulaire

Les calculs donnent comme valeur de l’écart type d’une distribution I triangulaire symétrique dans un intervalle de largeur I, s = ---------- ; ce 2 6 2U qui, appliqué à notre problème d’incertitude donnerait u = ---------- soit 2 6 U u = ------- et donc U ª 2,45 u. 6

f(x)

–U

+U

x

Figure 3.2 – Courbe de distribution d’une loi triangulaire.

44

3 • Estimation des incertitudes

3.1 Rappels et notations

L’interprétation que l’on peut faire de ce qui précède est la suivante : dans un intervalle ] x – u, x + u[ c’est-à-dire pour k = 1, il y aurait une probabilité p = 0,65 de trouver le résultat de la mesure xi ; et dans un intervalle ] x – 2u, x + 2u[ c’est-à-dire pour k = 2 cette probabilité serait de 0,965 ; naturellement dans un intervalle. ] x – 3u, x + 3u[ c’est-à-dire pour k = 3 la probabilité serait de 1. m Loi de distribution normale

L’emploi de cette loi suppose que la variable x se distribue suivant une loi de Gauss, Laplace, appelée aussi loi normale ou loi du hasard. Cette loi de distribution se retrouvant dans de nombreux cas de la vie réelle, et donc de la vie scientifique et industrielle ; il est essentiel d’en connaître au moins les caractéristiques principales, celles-ci sont rappelées en annexe.

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f (x)

–U

x

+U

x

Figure 3.3 – Courbe de distribution d’une loi normale.

Dans ce cas nous savons que dans un intervalle ] x –u, x + u[, c’est-àdire pour k = 1, il y aura une probabilité p = 0,683 de trouver le résultat de la mesure xi ; dans un intervalle ] x – 2u, x + 2u[ , c’est-à-dire pour k = 2 cette probabilité sera de 0,954 ; et dans un intervalle ] x – 3u, x + 3u[ , c’est-à-dire pour k = 3 on trouvera xi avec une probabilité de 0,9973 c’est-à-dire pratiquement de 1. 45

3 • Estimation des incertitudes

3.2 Estimation d’une incertitude de mesure simple

3.2 Estimation d’une incertitude de mesure simple 3.2.1 Composantes de l’erreur de mesure En traitant de la mesure des longueurs et en faisant apparaître la nécessité d’introduire la notion d’incertitude, nous avons mis en cause la présence de l’erreur de mesure pour justifier l’existence de cette incertitude. Il est donc important de connaître la structure des erreurs de mesure si l’on veut déterminer la valeur de l’incertitude. Quelle que soit la grandeur d’une erreur de mesure et le nombre des paramètres qui en seront à l’origine, celle-ci comprendra toujours deux parties distinctes, voir figure 3.4. Zone d’erreur

mesures

Composante systématique évolutive

Composante aléatoire

Composante systématique constante Valeur vraie de la mesure temps instant t 1

instant t 2

Figure 3.4 – Composantes d’une erreur de mesure.

m Une partie systématique

Cette forme d’erreur se répétera toujours de la même façon et dans le même sens. Elle peut être constante, quand elle est due par exemple au défaut de dimension d’un étalon, ou évolutive, si elle provient par exemple de la dilatation thermique de la pièce mesurée. Elle peut être minimisée 46

3 • Estimation des incertitudes

3.2 Estimation d’une incertitude de mesure simple

lorsque l’on connaît avec précision ses origines en réalisant les corrections appropriées sur les résultats de la mesure. m Une partie aléatoire

C’est-à-dire que cette forme d’erreur se reproduira d’une façon et dans un sens totalement imprévisibles, elle provient de la multiplicité des paramètres indépendants qui interviennent lors de la réalisation de la mesure. De par sa nature aléatoire, elle est souvent régie par des lois de probabilité, notamment la loi normale, dont on peut estimer les paramètres en utilisant des méthodes statistiques afin de déterminer approximativement son étendue.

3.2.2 Méthodes d’évaluation d’une incertitude simple

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L’incertitude étant le moyen de prendre en compte les erreurs inévitables que l’on commet lors de la mesure, erreurs que l’on ne connaît pas (en effet si l’on connaissait ces erreurs il suffirait alors d’effectuer les corrections nécessaires pour obtenir la valeur vraie). En aucun cas on ne pourra calculer une valeur exacte de l’étendue de l’incertitude. On ne pourra qu’estimer une valeur plus ou moins proche de la réalité. Deux types de méthodes sont couramment utilisés afin d’estimer la grandeur d’une incertitude. m Les méthodes de type A

Les valeurs seront estimées à partir d’outils statistiques, c’est-à-dire en considérant les résultats de plusieurs mesures xi (échantillon) en faisant des hypothèses sur les lois de distribution de ces mesures, et en réalisant les calculs correspondants. En général, les résultats issus de cette méthode seront exprimés par une moyenne m(xi) et un écart type σ(xi). Naturellement, dans les calculs d’incertitudes par une méthode de type A on admettra que u(xi) est égale à σ(xi). Application : Voici un exemple de la détermination par une méthode de type A de l’incertitude accompagnant toutes les mesures de longueur effectuées avec un pied à coulisse. Afin de tenir compte de la justesse du 47

3 • Estimation des incertitudes

3.2 Estimation d’une incertitude de mesure simple

pied à coulisse sur toute sa plage d’utilisation on réalisera les mesures de n cales étalons (dans notre exemple 9) couvrant la totalité de sa course. Et pour tenir compte de sa fidélité on répétera chaque mesure m fois (dans notre exemple 8). Pour que la méthode soit valide toutes les mesures doivent être effectuées de façon totalement indépendante les unes des autres, le résultat de chaque mesure est noté xij, tableau 3.1. Tableau 3.1 – Résultats des mesures permettant l’estimation de l’incertitude. Cale i Mesure j

1

2

3

4

5

6

7

8

9

1

X11

X11

X11

X11

X11

X11

X11

X11

X11

2

X11

X11

X11

X11

X11

X11

X11

X11

X11

3

X11

X11

X11

X11

X11

X11

X11

X11

X11

4

X11

X11

X11

X11

X11

X11

X11

X11

X11

5

X11

X11

X11

X11

X11

X11

X11

X11

X11

6

X11

X11

X11

X11

X11

X11

X11

X11

X11

7

X11

X11

X11

X11

X11

X11

X11

X11

X11

8

X11

X11

X11

X11

X11

X11

X11

X11

X11

Xi

X1

X2

X3

X4

X5

X6

X7

X8

X9

Wi

W1

W2

W3

W4

W5

W6

W7

W8

W9

Ci

C1

C2

C3

C4

C5

C6

C7

C8

C9

Ri

R1

R2

R3

R4

R5

R6

R7

R8

R9

j=m x j=1 ij ----------------- . Elles repréLes grandeurs X i sont obtenues en faisant : X i = ∑ m sentent un bon estimateur de la longueur vraie de chacune des cales Ci

48

3 • Estimation des incertitudes

3.2 Estimation d’une incertitude de mesure simple

réellement mesurée par le pied à coulisse. Cet estimateur sera d’autant plus proche de la réalité que m sera grand. L’analyse de ces valeurs permettra de prendre en compte l’erreur de justesse de l’appareil de mesure. Les valeurs Wi sont obtenues en calculant pour chaque colonne l’étendue Wi = xij max – xij min. Elles indiquent l’étendue des m mesures de la même grandeur Ci, elles permettront de prendre en compte la fidélité de l’outil de mesure. L’écart type de l’erreur de fidélité se calculera i=n Wi W i=1 à partir de W i = ∑ ------------------ en faisant : σ F = -------i , b est déterminé à n b partir de la théorie concernant les petits échantillons, il dépend de la taille de l’échantillon c’est-à-dire du nombre n, pour n = 9 on prendra b = 2,97 [3.2]. Pour estimer le décalage J dû à la non-justesse du pied à coulisse, on calculera la moyenne des différences entre la mesure considérée comme bonne de chacune des cales mesurées X i et la longueur réelle de cette

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i=n ( Xi – Ci ) i=1 cale Ci en faisant : J = ∑ --------------------------------- . Attention de bien faire X i – C i n et non l’inverse afin de savoir si le moyen de mesure à tendance à augmenter la grandeur mesurée ou à la diminuer.

Ensuite, on calculera les valeurs R i = ( X i – C i ) qui nous permettront d’estimer une valeur vraisemblable de l’écart type de l’erreur de justesse Ri ∑i=n i=1 en faisant comme précédemment : R = ------------------- puis en calculant n R σ J = --- avec toujours pour b une valeur qui dépend de la taille de b l’échantillon n. Il sera alors possible de calculer l’écart type de l’erreur globale, c’est-àdire de l’erreur tenant compte à la fois de la justesse et de la fidélité de l’appareil, σG en utilisant un résultat issu de la théorie de l’analyse de la 49

3 • Estimation des incertitudes

3.2 Estimation d’une incertitude de mesure simple

2

2

variance en posant σ G = σ F + σ J , on admettra alors comme proposé précédemment que uG = σG, connaissant la valeur et le signe de J il sera possible de corriger toutes les mesures réalisées avec le pied à coulisse en écrivant : Grandeur mesurée = Résultat de la mesure – J, cette grandeur étant exprimée avec une incertitude élargie U = k◊uG. m Les méthodes de type B

Elles concernent tous les moyens autres que statistiques qui permettront l’estimation des caractéristiques de l’incertitude (expérience des opérateurs, examens de résultats précédents, documentations constructeurs…). Naturellement, la détermination de l’incertitude par des méthodes statistiques, c’est-à-dire les méthodes de type A, est la seule qui donne des résultats proches de la réalité, mais c’est une méthode qui demande un grand nombre de mesures et un traitement parfois délicat de ces mesures. C’est la raison pour laquelle il sera nécessaire d’employer les méthodes de type B chaque fois qu’il ne sera pas souhaitable, pour des raisons économiques ou techniques, d’utiliser une méthode statistique. Comme précédemment, les valeurs d’incertitude déterminées à partir d’une méthode type B seront exprimées par une valeur u(xi) qui est la notation d’une incertitude type. Application : Estimation de l’incertitude type correspondant à la résolution d’un appareil de mesure à affichage numérique. Un comparateur à amplification électronique et à affichage numérique indique comme résultat brut d’une mesure de longueur : 20,024 mm. En l’absence de toute information complémentaire sur le fonctionnement de cet appareil, on ne peut qu’affirmer que la grandeur affichée par le comparateur est comprise entre 20,023 mm et 20,025 mm, soit une étendue de la zone d’incertitude de 2 µm, ce qui donne U, incertitude élargie, égale à 1 µm. Dans ce cas, il est raisonnable d’assimiler la loi de distribution de l’incertitude de mesure à une loi rectangulaire, c’est-à-dire que toutes les valeurs à l’intérieur de U on la même probabilité de distribution, ce qui nous permettra d’estimer une valeur pour 50

3 • Estimation des incertitudes

3.3 Estimation des incertitudes composées

U l’incertitude type u, en posant : u = ------- , ce qui donnera : 3 1 u = ------- ≈ 0,577 , soit u = 0,577 µm. 3

3.3 Estimation des incertitudes composées

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Souvent la grandeur que l’on veut mesurer n’est accessible que par l’intermédiaire de la mesure d’un certain nombre d’autres grandeurs qui la composent : par exemple la surface d’un rectangle ne peut être connue qu’à partir des mesures de sa longueur et de sa largeur. Le problème consiste dans ce cas à déterminer l’incertitude sur la grandeur résultante à partir des incertitudes connues des grandeurs composantes. M (grandeur dont on veut connaître l’incertitude) est une fonction de plusieurs autres grandeurs X, Y, Z… qui, elles, sont mesurables directement et dont on a pu déterminer les incertitudes UX, UY, UZ… soit par des méthodes de type A soit par des méthodes de type B telles que nous les avons évoquées précédemment. M = f(X, Y, Z…)

3.3.1 Méthode du maximum et du minimum C’est une méthode qui présente les avantages d’être très simple et de convenir dans tous les cas, même lorsque les étendues des incertitudes sont très grandes. Elle consiste à se placer dans les cas limites, c’est-àdire que l’on calcule les valeurs maximales et minimales que prendrait la grandeur résultante M si toutes les mesures des variables composantes se trouvaient simultanément aux valeurs maxi et mini de façon à maximaliser ou à minimiser M. Exemple : Détermination de l’incertitude sur le volume d’un cylindre à partir des mesures directes de son diamètre et de sa hauteur. D, diamètre = 50mm, avec UD = 0,02 mm soit, Dmaxi = 50,02 mm et Dmini = 49,98 mm. 51

3 • Estimation des incertitudes

3.3 Estimation des incertitudes composées

h, hauteur = 60 mm, avec Uh = 0,05 mm soit, hmaxi = 60,05 mm et hmini = 59,95 mm. 2

π ⋅ D max i ⋅ h max i Volume maxi possible Vmaxi = ------------------------------------Æ Vmaxi 4 = 118 002 mm3 2

π ⋅ D min i ⋅ h min i - Æ Vmini = 117 617mm3 Volume mini possible Vmini = -----------------------------------4 Ce qui permet de déterminer l’incertitude sur V : 2UV = Vmaxi – Vmini, d’où 2UV = 385 mm3 ce qui donnera, UV = 192,5 mm3. Cette méthode que l’on pourra toujours employer sans crainte a pour principal inconvénient de maximaliser l’étendue de l’incertitude sur la mesure résultante M. En effet, elle fait l’hypothèse que toutes les variables sont simultanément aux valeurs maximales et minimales les plus perturbantes, ce qui est d’autant plus improbable que le nombre des variables est grand.

3.3.2 Méthodes adaptées à des fonctions particulières simples Ces méthodes donnent les mêmes résultats que la méthode précédente, mais elles évitent d’avoir à calculer les valeurs maximales et minimales de la grandeur résultante : elles dépendent de la nature de la fonction qui lie M avec les mesures composantes. Nous allons considérer les trois fonctions le plus souvent rencontrées. m Fonction somme

Si la fonction est une somme ou une différence, M = X + Y + Z, ou M = X – Y – Z, on écrira : UM = UX + UY + UZ ce résultat est facilement vérifiable à partir de la méthode précédente. m Fonction produit

Si la fonction est un produit ou un quotient, M = X◊Y◊Z, ou M = X◊Y/Z, on écrira : 52

3 • Estimation des incertitudes

3.3 Estimation des incertitudes composées

UM U U U ------- = ------X- + ------Y + ------ZM X Y Z Exemple : Nous allons vérifier cette proposition en recherchant l’incertitude US sur la surface d’un rectangle, dont nous avons mesuré la longueur L et la largeur l, avec L = 20mm (UL = 0,1mm) et l = 15 mm (Ul = 0,08mm) : Sth = L·l Æ Sth = 20◊15 = 300 mm2

U L 0,1 U U 0,08 ------ = ------- = 0,005, -----l = ---------- = 0,00533 Æ ------S = 0,01033 L l S 20 15 Æ US = 3,1 mm2 Vérification par la méthode du maximum et du minimum : S maxi possible, Smaxi = 20,1◊15,08 = 303,108 Æ Smaxi = 303,108 mm2. S mini possible, Smini = 19,9◊14,92 = 296,908 Æ Smini = 296,908mm2. Soit : 2US = 6,2 mm2 Æ US = 3,1 mm2. m Fonction puissance

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Si la fonction est une puissance, M = Xn par exemple, on peut écrire : UM U ------- = n ------X- . M X Exemple : Si nous appliquons cette relation en recherchant l’incertitude US de la surface S d’un cercle dont nous avons mesuré le diamètre D, D = 40 mm (UD = 0,15 mm). 2

2

π⋅D π ⋅ 40 Sth = -------------- Æ Sth = ---------------- Sth = 1 256,64 mm2 4 4 U U 0,15 ------D- = ---------- = 0,003 75 Æ ------S = 2◊0,003 75 = 0,007 5 D S 20 Æ US = 9,425 mm2 53

3 • Estimation des incertitudes

3.3 Estimation des incertitudes composées

Vérification par la méthode du maximum et du minimum : 2

40,15 ⋅ π S maxi possible, Smaxi = ----------------------- = 1 266,08 4 Æ Smaxi = 1 266,08 mm2. 2

39,85 ⋅ π S mini possible, Smini = ----------------------- = 1 247,23 4 Æ Smini = 1 247,23 mm2. Soit 2 US = 18,85 Æ US = 9,425 mm2.

3.3.3 Méthode de la différentielle totale Il est toujours possible de combiner les différentes propositions précédentes dans le cas où le résultat de la mesure le nécessiterait. Si nous considérions, par exemple, la détermination de l’incertitude de mesure sur le volume du cylindre que nous avons déjà calculée au paragraphe 3.3.1 en souhaitant employer la méthode relative aux fonctions particulières, cela donnerait : U U U 0,02 ------V- = 2 ⋅ ------D- + -----h- = 2 ⋅ ---------- + 0,05 ---------- = 0,00163 V D 50 h 60 Æ UV = 0,001 63 ◊ V = 192,5 Æ UV = 192,5mm3 Une méthode élégante et efficace, surtout dans le cas où les incertitudes sont faibles, consiste à faire appel au calcul différentiel, cette méthode qu’il faut absolument connaître nous sera très utile pour la suite de ce chapitre. m Rappel

Soit une fonction y = f(x), un accroissement dx de la variable x provoquera un accroissement dy de y tel que : dy = f(x + dx) – f(x). On sait que le principe de la différentielle consiste à linéariser la fonction y = f(x) sur un petit intervalle, c’est-à-dire d’approximer la valeur de dy en écrivant dy = y¢◊dx (voir figure 3.5). C’est cette approximation, 54

3 • Estimation des incertitudes

3.3 Estimation des incertitudes composées

très utilisée en physique, que l’on va employer dans ce mode de calcul de l’incertitude. y dy

y’.dx x x dx

Figure 3.5 – Rappel sur la différentielle.

m Principe

Dans le cas où M = f(X, Y, Z…) avec UX, UY, UZ… connues, on commencera par différencier M par rapport à chacune des variables qui la définissent.

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∂M ∂M ∂M dM = ⎛ --------⎞ dX + ⎛ --------⎞ dY + ⎛ --------⎞ dZ + … ⎝ ∂X ⎠ ⎝ ∂Y ⎠ ⎝ ∂Z ⎠ On prendra ensuite les valeurs absolues des différentielles calculées et on remplacera les dX, dY, dZ… par les incertitudes correspondantes UX, UY, UZ… ∂M ∂M UM = ∂M -------- U X + -------- U Y + -------- U Z + … ∂Y ∂Z ∂X Exemple : Application à la détermination de l’incertitude sur le volume d’un cylindre : Si D = 50 mm avec UD = 0,02 mm et h = 60 mm avec Uh = 0,05 mm : 2 π V = ⎛ --- ⋅ D ⋅ h⎞ ⎝4 ⎠

55

3 • Estimation des incertitudes

3.3 Estimation des incertitudes composées

2

π⋅D⋅h π⋅D ∂M Nous aurons : -------- = ⎛ --------------------⎞ dD et ∂M -------- = ⎛ --------------⎞ dh ⎝ 4 ⎠ ⎝ 2 ⎠ ∂D ∂h 2

⋅ D ⋅ h- U + ------------π ⋅ D- U = 94,3 + 98,2 = 192,5 D’où : U V = π ------------------D h 2 4 Soit UV = 192,5mm3. La figure 3.6 illustre l’application de ce calcul dans le cas de la détermination de l’incertitude sur le volume d’un cylindre, naturellement une telle illustration pourrait être utilisée dans n’importe quel cas. D U V1 = π ⋅ D ⋅ h ⋅

UV 2 =

UD /2

UD 2

π ⋅ D2 ⋅U h 4

h

Uh

UV = U V1 + U V2

Figure 3.6 – Visualisation de la détermination de l’incertitude.

3.3.4 Optimisation de l’incertitude composée Toutes les méthodes que nous avons exposées précédemment peuvent être utilisées sans risque, on a vu que leurs résultats sont équivalents et elles fournissent des valeurs tout à fait acceptables. Elles présentent cependant toutes l’inconvénient que nous avons déjà évoqué et qui consiste à considérer le cas très improbable où toutes les incertitudes sont simultanément aux conditions limites les plus perturbantes, ce qui comme nous l’avons vu, conduit à surestimer la valeur de l’incertitude résultante. Pour éliminer en partie cet inconvénient, nous allons faire appel à des outils issus du calcul des probabilités, et notamment à la théorie de l’analyse de la variance qui nous permettrait d’écrire dans le 56

3 • Estimation des incertitudes

3.3 Estimation des incertitudes composées

cas où une variable X serait fonction de plusieurs variables aléatoires X1, X2, X3… : d’écarts types respectifs σx1, σx2, σx3… 2

2

2

2

σ X = σ X1 + σ X2 + σ X3 + … Dans l’application de cette méthode, nous voyons tout l’intérêt qu’il y a de considérer l’incertitude type u qui, comme nous l’avons déjà remarqué, se comportera de la même façon qu’un écart type (rappelons que U = ku). Dans ce cas, la relation exprimée dans le paragraphe 3.3.3, pourrait s’écrire sous la forme suivante : 2 ∂M ∂M ∂M u M = ⎛ -------- ⋅ u X⎞ + ⎛ -------- ⋅ u Y⎞ + ⎛ -------- ⋅ u Z⎞ + … ⎝ ∂X ⎠ ⎝ ∂Y ⎠ ⎝ ∂Z ⎠ 2

2

2

Exemple : Application à la détermination de l’incertitude sur le volume du cylindre précédent, nous choisirons de prendre k = 2 : uD = 0,02/2 = 0,01 mm et uh = 0,05/2 = 0,025 mm 2

π⋅D⋅h π⋅D ∂M -------- = ⎛ --------------------⎞ dD et ∂M -------- = ⎛ --------------⎞ dh ⎝ 4 ⎠ ⎝ 2 ⎠ ∂D ∂h

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2

2 2 π⋅D⋅h π⋅D u V = ⎛ -------------------- ⋅ u D⎞ + ⎛ -------------- ⋅ u h⎞ ⎝ ⎠ ⎝ 4 ⎠ 2 2

2

2 2 π ⋅ 50 ⋅ 60 π ⋅ 50 u V = ⎛ ------------------------ ⋅ 0,01⎞ + ⎛ ---------------- ⋅ 0,025⎞ ⎝ ⎠ ⎝ 4 ⎠ 2 = 2 220,66 + 2 409,57 = 4 630 Æ uV = 68

2

Ce qui donne UV = k ◊ uV = 2 ◊ 68 = 136 Æ UV = 136 mm3. Ce type de calcul est celui qui donne l’estimation de UM la plus proche de la réalité et c’est celui que l’on devrait privilégier. Cependant, quel que soit le cas auquel on l’applique, il présente l’inconvénient de ne pas prendre en compte d’éventuelles interactions lorsque les mesures ne seraient pas indépendantes les unes des autres. 57

3 • Estimation des incertitudes

3.4 Cas où les variables ne sont pas indépendantes

3.4 Cas où les variables ne sont pas indépendantes S’il est facile d’imaginer que lorsque l’on mesure le diamètre puis la hauteur d’un cylindre les deux mesures sont totalement indépendantes l’une de l’autre, il peut exister des situations dans lesquelles il est fort possible qu’il y ait une influence relative quelconque entre les résultats de certaines mesures. Ce peut être le cas par exemple lorsque l’on mesure le courant et la tension dans un circuit électrique, ou lorsque l’on mesure la température et la pression dans une enceinte. Les corrélations entre plusieurs mesures peuvent présenter un grand nombre de formes, nous nous intéresserons exclusivement à la corrélation linéaire qui suppose que l’on ait entre deux variables X et Y une relation du type Y = aX + b. Cette corrélation peut être mise en évidence à partir de l’examen de la covariance entre X et Y.

3.4.1 Covariance et corrélation linéaire Soit deux variables aléatoires X et Y, on sait que [3.3] : n

∑1 xi

x (moyenne de la réalisation des n mesures xi de X) = ----------- et σx (écart n n

type de la distribution des n xi) =

∑1 ( xi – x )

2

-------------------------- et que : y (moyenne de la n

n

∑1 yi

réalisation des n mesures yi de Y) ----------- , et σy (écart type de la distribution n n

des n yi) = 58

∑1 ( yi – y )

2

-------------------------- . n

3 • Estimation des incertitudes

3.4 Cas où les variables ne sont pas indépendantes

On appelle covariance entre X et Y, que l’on note σxy, un nombre réel tel que : n

∑1 ( xi – x ) ⋅ ( yi – y )

σ xy = ---------------------------------------------n

On appelle coefficient de corrélation linéaire entre X et Y le nombre r tel que : σ XY r = ---------------σX ⋅ σY Si r = – 1 ou si r = 1, il existe une relation linéaire affine entre X et Y c’est-à-dire qu’il faudra tenir compte de l’influence réciproque des deux variables lors du calcul d’incertitude. Si r = 0, X et Y sont linéairement indépendantes (ce qui ne veut pas dire qu’il n’y a pas de relation d’un autre type entre elles).

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En réalité des valeurs de r proches de 1 ou de – 1 indiquent une forte probabilité de corrélation linéaire alors que des valeurs de r proches de 0 laissent supposer qu’il y a peu ou pas de corrélation linéaire entre les variables X et Y. Exemple : On réalise 8 mesures sur deux grandeurs X et Y et on voudrait savoir s’il existe une forte corrélation linéaire entre X et Y, tableau 3.2. 832 X = 528 --------- = 66 , Y = --------- = 104 , σ X = 8 8 σY =

66 ------ = 2,87 , 8

112 --------- = 3,74 , σ XY = 84 ------ = –10,5 8 8

10,5 10,5 Ce qui donnerait : r = – ------------------------ = – ------------ = – 0,98 . 2,87 ⋅ 3,74 10,73 59

3 • Estimation des incertitudes

3.4 Cas où les variables ne sont pas indépendantes

Tableau 3.2 – Résultats des mesures sur les variables X et Y. N˚ mesure

Xi

Yi

Xi – X

Yi – Y

(Xi – X ) ◊ (Yi – Y )

1

70

100

4

–4

–16

2

62

110

–4

6

–24

3

66

104

0

0

0

4

64

106

–2

2

–4

5

68

102

2

–2

–4

6

63

108

–3

4

–12

7

70

98

4

–6

–24

8

65

104

–1

0

0

sommes

528

832

–84

Il existe donc probablement une forte corrélation linéaire négative entre les variables X et Y dont il faudrait tenir compte dans le cas où ces variables entrent en ligne de compte dans un calcul d’incertitudes.

3.4.2 Calcul des incertitudes sur des variables corrélées Soit une grandeur M fonction de la mesure de deux variables aléatoires X et Y, éventuellement non indépendantes, dont les incertitudes types uX et uY ont put être estimées. L’incertitude type uM sur la grandeur M se déterminera alors de la façon suivante : 2 2 2 ∂M ∂M ∂M ∂M u M = ⎛ -------- ⋅ u X⎞ + ⎛ -------- ⋅ u Y⎞ + 2 -------- ⋅ -------- ⋅ u XY ⎝ ∂X ⎠ ⎝ ∂Y ⎠ ∂X ∂Y

On voit que s’il existe une corrélation linéaire entre X et Y, celle-ci sera prise en compte dans le dernier terme de l’équation. Naturellement, on voit que si la covariance est nulle (pas de corrélation), ce dernier terme sera nul et l’on reviendra à ce qui était écrit en 3.3.4. 60

3 • Estimation des incertitudes

3.4 Cas où les variables ne sont pas indépendantes

m Cas de plus de deux variables

Si une grandeur M est fonction de la mesure de plusieurs variables aléatoires X, Y, Z dont les incertitudes type uX, uY, uZ… ont pu être déterminées, l’incertitude type uM sur la grandeur M se calculera de la façon suivante : On commencera par rechercher les corrélations éventuelles deux à deux entre toutes les variables : n

1 u XY = --- ∑ ( X i – X ) ⋅ ( Y i – Y ) n 1

n

1 u XZ = --- ∑ ( X i – X ) ⋅ ( Z i – Z ) n 1

n

1 u ZY = --- ∑ ( Z i – Z ) ⋅ ( Y i – Y ) n 1

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Puis on écrira : 2 2 2 2 ∂M ∂M ∂M ∂M ∂M u M = ⎛ -------- ⋅ u X⎞ + ⎛ -------- ⋅ u Y⎞ + ⎛ -------- ⋅ u Z⎞ + 2 -------- ⋅ -------- ⋅ u XY ⎝ ∂X ⎠ ⎝ ∂Y ⎠ ⎝ ∂Z ⎠ ∂X ∂Y ∂M ∂M ∂M ∂M + 2 -------- ⋅ -------- ⋅ u XZ + 2 -------- ⋅ -------- ⋅ u ZY ∂Z ∂Y ∂X ∂Z

m Application

Soit une mesure M, fonction des deux variables corrélées X et Y dont les résultats des mesures sont inscrits dans le tableau 3.2, telle que M = X◊Y (fonction produit). Quelle est l’incertitude type uM sur la mesure M ? On calculera cette incertitude tout d’abord en ne tenant pas compte de la corrélation entre X et Y, puis en tenant compte de cette corrélation. Calcul sans prendre en compte la corrélation : 2 2 2 ∂M ∂M u M = ⎛ -------- ⋅ u X⎞ + ⎛ -------- ⋅ u Y⎞ ⎝ ∂X ⎠ ⎝ ∂Y ⎠

61

3 • Estimation des incertitudes

3.5 Exemple de détermination d’incertitude

∂M ∂M M = X ◊ Y Æ -------- = Y et -------- = X ∂X ∂Y 2

soit : u M = (Y ◊ uX)2 + (X ◊ uY)2 = (104 ◊ 2,87)2 + (66 ◊ 3,74)2 = 149 813 Æ uM = 387 Calcul en tenant compte de la corrélation entre X et Y : 2 2 2 ∂M ∂M ∂M ∂M u M = ⎛ -------- ⋅ u X⎞ + ⎛ -------- ⋅ u Y⎞ + 2 -------- ⋅ -------- ⋅ u XY ⎝ ∂X ⎠ ⎝ ∂Y ⎠ ∂X ∂Y 2

soit : u M = (Y ◊ uX)2 + (X ◊ uY)2 + 2(X ◊ Y ◊ uXY) 2

u M = 149 813 – 144 144 = 5 669 Æ uM = 75. Cet exemple montre que la prise en compte de l’interaction éventuelle entre les résultats de plusieurs mesures permettant la détermination d’une grandeur peut faire apparaître que l’incertitude réelle probable sur cette grandeur est en réalité plus faible que ce qui apparaîtrait si l’on négligeait cette interaction (cas notamment de la corrélation négative).

3.5 Exemple de détermination d’incertitude On désire mesurer l’angle α dont la valeur théorique est de 60˚ sur la pièce représentée par le dessin de la figure 3.8. Afin de réaliser cette mesure on utilise la méthode des piges, méthode bien connue des mécaniciens (on rappelle qu’une pige est un cylindre considéré comme géométriquement parfait, c’est-à-dire que ses défauts sont négligeables par rapport aux grandeurs que l’on veut mesurer, et que son diamètre est connu et donc rigoureusement constant). Le principe de la mesure est illustré par le dessin de la figure 3.8. 62

3 • Estimation des incertitudes

15

A

3.5 Exemple de détermination d’incertitude

60°

23,9 0+0,2

0,1 A 59,98 0+0,4

Figure 3.7 – Mesure d’un angle entre deux faces.

C O

H A

R B

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Figure 3.8 – Mesure d’un angle sur piges.

D’après la figure 3.8 nous voyons que l’on peut écrire : tg(α/2) = CH/OH avec : CH = R – r et OH = B + r-A-R d’où α = 2Arc tg(R – r/B – A – R + r). Nous admettrons les résultats de mesures suivants : D (diamètre de la pige de grand diamètre) = 20 mm avec une incertitude UD = 4 µm, soit R = 10 mm avec une incertitude UR = 2 µm. d (diamètre de la pige de petit diamètre) = 6 mm avec une incertitude Ud = 4 µm, soit r = 3 mm avec une incertitude Ur = 2 µm. A = 59,545mm avec une incertitude UA = 6 µm. B = 78,660 mm avec une incertitude UB = 6 µm. 63

3 • Estimation des incertitudes

3.5 Exemple de détermination d’incertitude

Soit la valeur mesurée de tg(α/2) = 7/12,115 = 0,577796. Ce qui donnerait α/2 = 30,019 155˚ soit a = 60,038 31˚.

3.5.1 Détermination de l’incertitude par la méthode du maxi-mini RM – rm 7,004 tg --α- M = ---------------------------------------------------- = --------------- = 0,578 890 8 2 Bm + rm – AM – RM 12,099 Rm – rM 7,004 tg --α- M = ----------------------------------------------------- = ---------------- = 0,576 704 3 2 BM + rM – Am – Rm 12,099 Ce qui donne : 2Utgα/2 = 0,0021865 soit Utgα/2 = 0,001 093 25.

3.5.2 Détermination de l’incertitude par la méthode des fonctions particulières UCH = UR + Ur = 0,002 + 0,002 = 0,004 mm. UOH = UB + Ur + UA + UR = 0,006 + 0,002 + 0,006 + 0,002 = 0,016 mm. U CH U OH U tgα On peut écrire : ---------- = ----------- + ------------ = 0,001 892 105. tg α CH OH Ce qui donnera : Utgα/2 = 0,001 892 105◊tgα/2 soit 0,001 093 25, ce qui est bien semblable à la valeur trouvée précédemment.

3.5.3 Détermination de l’incertitude par la méthode la différentielle U R–r U′V – UV′- on tg --α- = ------------------------------ de la forme y = ---- → y′ = -------------------------2 2 V B+r–A–R V aura donc : 64

3 • Estimation des incertitudes

3.5 Exemple de détermination d’incertitude

∂tg --αr–R –( R – r ) ⋅ ( 1 ) 2 ------------ = --------------------------------------2 dB = --------------------------------------2 dB ∂B (B + r – A – B) (B + r – A – B) ∂tg --αR–r –( R – r ) ⋅ ( 1 ) 2 ------------ = --------------------------------------2 dA = --------------------------------------2 dA ∂A (B + r – A – B) (B + r – A – B) ∂tg --α(B + r – A – R) – (r – R) B–A 2- dR = -------------------------------------2 dR ----------= ---------------------------------------------------------2 ∂R (B + r – A – B) (B + r – A – B) ∂tg --α(– B – r + A + R) – (R – r) A–B 2- dr = -------------------------------------2 dr ----------= --------------------------------------------------------------2 ∂R (B + r – A – B) (B + r – A – B) R – r⎞ A – B-⎞ B – A-⎞ r – R⎞ Soit : dtg --α- = ⎛ ----------dB + ⎛ ----------dA + ⎛ -----------dr + ⎛ -----------dR ⎝ V2 ⎠ ⎝ V2 ⎠ ⎝ V2 ⎠ ⎝ V2 ⎠ 2

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Et donc : U

α tg --2

–RU + R–rU + A–BU + B–AU = r-------------------------------- r ------------ R B A 2 2 2 2 V V V V

Application numérique : U

α tg --2

= 0,001 093 5 ce qui est toujours

conforme à ce qui avait été établi précédemment. Nous obtiendrons alors comme valeurs : tg --α- = 0,577 796 avec une incertitude de 0,001 093 5. 2 et donc tg --α- comprise entre 0,576 702 5 et 0,578 889 5. 2 d’où --α- compris entre : 29,972 16˚ et 30,066 01˚ 2 Ce qui donnera a compris entre : 59,944 31˚ et 60,132 02˚ 65

3 • Estimation des incertitudes

3.5 Exemple de détermination d’incertitude

3.5.4 Optimisation de l’incertitude Il est absolument certain que lorsque l’on mesure le diamètre de chacune des piges ou les longueurs A et B, les mesures sont totalement indépendantes les unes des autres et qu’il ne peut donc exister aucune interaction entre les différents résultats obtenus, nous utiliserons donc la relation suivante : 2 2 2 2 –R R–r A–B B–A ⎛ U ⎞ 2 = ⎛ r----------- ⋅ u r⎞ + ⎛ ------------ ⋅ u R⎞ ⋅ u B⎞ + ⎛ ----------⋅ u A⎞ + ⎛ -----------⎝ V2 ⎠ ⎝ V2 ⎠ ⎝ V2 ⎠ ⎝ V2 ⎠ ⎝ tg --α-⎠ 2

Application numérique : Nous choisirons une valeur de k (coefficient d’élargissement) égale à 2. Ce qui donnera : uA = 3 µm, uB = 3 µm, uR = 1 µm et ur = 1 µm, on obtient alors : u α = 0,000 27, en prenant tg --2

toujours k = 2 cela donnera : U

α tg --2

= 0,000 54.

Nous aurons alors : tg --α- = 0,577 796 avec une incertitude de 0,000 54. 2 et donc tg --α- comprise entre 0,577 256 et 0,578 336. 2 d’où --α- compris entre : 29,995 95˚ et 30,042 34˚. 2 Ce qui donnerait a compris entre : 59,991 9˚ et 60,084 68˚.

3.5.5 Capabilité du procédé de mesure L’analyse de la cotation de la pièce représentée sur la figure 3.9 conformément à la normalisation en vigueur [3.7] nous permet de calculer les valeurs maximale et minimale que peut prendre l’angle a sans affecter le fonctionnement de la pièce (tolérances angulaires). 66

3 • Estimation des incertitudes

3.5 Exemple de détermination d’incertitude

α maxi

α mini

24 0,1

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Figure 3.9 – Calcul des tolérances angulaires.

Les angles aigus des triangles grisés représentent les tolérances angulaires respectivement maximale et minimale admissibles sur l’angle théorique de 60˚ que nous souhaitons mesurer. Ces angles étant petits, on peut considérer que leur sinus et leur tangente sont égaux, soit : – sin tolérance angulaire maxi = tg tolérance angulaire maxi = 0,1◊cos 30˚/24 = 0,003 608 44, – tg tolérance angulaire mini = sin tolérance angulaire mini = 0,1◊cos 30˚/24 = 0,003 608 44, soit une tolérance angulaire de : ± 0,206 74˚ ce qui donne un intervalle de tolérance angulaire de 0,413 5˚. Nous pouvons ainsi calculer le coefficient de capabilité du processus de mesure : Sans optimisation de l’incertitude Cp = 0,413 5/0,18 = 2,29 Avec optimisation de l’incertitude, Cp = 0,413 5/0,092 78 = 4,45 Valeurs qui sont supérieures à 1 et qui indiquent donc que le procédé de mesure convient pour cette application quelle que soit la méthode de détermination des incertitudes que nous avons utilisée. Compte tenu de la tolérance angulaire que nous venons de calculer, pour être acceptable, l’angle théorique de 60˚ devrait être compris entre 59,5865˚ et 60,4135˚. Nous pouvons donc conclure également que, quelles que soient les hypothèses retenues pour effectuer nos calculs 67

3 • Estimation des incertitudes

3.6 Remarque importante

d’incertitudes, les résultats des mesures montrent que l’angle réel mesuré sur la pièce est acceptable.

3.6 Remarque importante Il arrive souvent que l’on soit amené à devoir représenter des résultats de mesures sur un graphique. Il est habituel dans ce cas de noter le résultat de chacune des mesures par un point ou par une croix, un exemple de ce type de représentation est illustré par la figure 3.10. Résultat de la mesure

Numéro de la mesure

Figure 3.10 – Représentation graphique de résultats de mesures.

D’après ce qui précède, nous nous rendons compte que cette façon de faire n’est pas satisfaisante puisqu’elle ne prend pas en compte l’inévitable incertitude qui doit accompagner chaque résultat de mesure. Une représentation beaucoup plus en accord avec la réalité, et que l’on devrait donc privilégier, consiste à remplacer les points par des barres verticales dont la hauteur correspond à l’incertitude qui affecte chaque résultat de mesure (figure 3.11). Dans les chapitres suivants il va nous arriver à de nombreuses reprises d’être amenés à devoir représenter graphiquement des résultats de mesures. Afin de faciliter la compréhension des problèmes exposés nous ferons souvent le mauvais choix d’utiliser une croix ou un point pour indiquer le résultat d’une mesure. Cette représentation simplifiée et incomplète ne peut être acceptable que si nous admettons qu’il s’agit d’un estimateur de la valeur la plus probable de la mesure et qu’à celle-ci 68

3 • Estimation des incertitudes

3.7 Bibliographie

Résultat de la mesure

Etendue de l’incertitude Numéro de la mesure

Figure 3.11 – Représentation graphique de l’incertitude de mesures.

doit être, dans la réalité, associée un intervalle correspondant à l’incertitude existante, même si cette incertitude est considérée comme négligeable pour la compréhension du problème traité.

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3.7 Bibliographie [3.1] ISO 14253-2, Spécification géométrique des produits (GPS), Vérification par la mesure des pièces et des équipements de mesure, Partie 2 : guide pour l’estimation de l’incertitude dans les mesures GPS, dans l’étalonnage des équipements de mesure et dans la vérification des produits, AFNOR, 1999. [3.2] Le contrôle statistique de la qualité, J. HUSSON, PYC ÉditionDesforges, 1979, page 124. [3.3] Probabilités, Statistique, F. DRESS, Dunod, 1998, p. 37 à 46. [3.4] Guide pour l’expression de l’incertitude de mesure, X 07-020, AFNOR, 1996. [3.5] Estimer l’incertitude, C. PERRUCHET, M. PRIEL, AFNOR, 2000. [3.6] Incertitudes et analyse des erreurs dans les mesures physiques, J. TAYLOR, Masson Sciences, Dunod, 2000 [3.7] NF E 04-552, Dessins techniques, Tolérancement géométrique, Généralités, définitions, symboles, indications sur les dessins, AFNOR, 2002. 69

4 • MÉTHODES D’ASSOCIATION

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4.1 Rappels Dans le premier chapitre, nous avons montré la nécessité de mettre en place ce que nous avons appelé les éléments associés que nous avons définis comme étant des éléments théoriques donnant la meilleure image possible de l’élément réel. Il est important de rappeler que très souvent la connaissance que l’on a de l’élément réel n’est que partielle (élément extrait) et donc que l’élément associé sera en réalité une image de l’élément extrait plutôt que de l’élément réel. La difficulté pour le métrologue sera de réaliser l’association de manière à ce que celle-ci constitue un modèle représentant la réalité de la façon la plus vraisemblable possible, cette association sera soit physique soit virtuelle, selon la technique et les moyens de mesure et de calcul utilisés.

4.2 Métrologie de la droite Pour évoquer différentes méthodes d’association possibles très souvent utilisées par les métrologues, nous proposons de traiter tout d’abord la mesure d’un défaut de rectitude, problème qui présente l’avantage d’être un problème plan simple dont les résultats sont facilement représentables et vérifiables. Dans la réalité, on peut trouver des lignes théoriquement droites, soit en les extrayant d’une surface prétendument plane ou d’une surface réglée, soit en considérant les génératrices de cônes ou de cylindres (qui sont des surfaces réglées particulières). Dans l’exemple 71

4 • Méthodes d’association

4.2 Métrologie de la droite

choisi, nous chercherons à caractériser la rectitude d’une règle (en métrologie une règle est une surface théoriquement plane dont la largeur est suffisamment petite devant la longueur pour que l’on puisse assimiler le plan à une droite), voir figure 4.1.

y

x

Règle

Figure 4.1 – Mesure du défaut de rectitude d’une règle.

4.2.1 Élément extrait Nous avons vu dans le chapitre 1 que l’élément extrait se présente suivant un nuage de points appartenant à l’élément réel mesuré, points dont on relèvera les coordonnées dans un référentiel appelé référentiel de mesure. Ce référentiel sera matérialisé par l’équipement utilisé pour réaliser la mesure, naturellement la qualité de la mesure dépendra en grande partie de la qualité du référentiel de mesure. Les éléments réels étant des éléments en trois dimensions, les référentiels de mesure seront des référentiels volumiques, le plus souvent on utilisera des référentiels orthonormés mais on pourra aussi choisir des référentiels cylindriques voire sphériques. Comme il est possible de passer sans grandes difficultés d’un type de repère à un autre [4.1], nous considérerons seulement le cas du référentiel de mesure orthonormé, mais quel que soit le repère employé la marche à suivre sera identique. Dans le cas de notre exemple, la règle est posée sur un marbre (en métrologie le marbre est une surface plane réalisée avec soin par usinage 72

4 • Méthodes d’association

4.2 Métrologie de la droite

puis polissage sur un bloc de fonte ou de granit et dont le défaut de planéité peut être considéré comme parfaitement négligeable) dans une direction approximativement parallèle à celui-ci. Puis l’on mesure à l’aide d’un comparateur la variation d’altitude par rapport à la surface du marbre de n points Mi appartenant à la règle mesurée (figure 4.1). Pour faciliter la visualisation du résultat obtenu on fera un changement d’origine en considérant le premier point mesuré M1 à 0, soit M 1( yx == 00 ) . Le profil de la règle sera alors connu par l’intermédiaire d’un nuage constitué de n points Mi. Dans notre cas, l’épaisseur de la règle étant négligée, nous nous trouvons ramenés à un problème plan. Le référentiel de mesure sera matérialisé par une droite parallèle au marbre (axe Ox) et par le déplacement de la touche du comparateur, lequel devra être installé de façon à ce que ce déplacement soit rigoureusement perpendiculaire au marbre (axe Oy), figure 4.2. y

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Mi x

O Figure 4.2 – Nuage de points représentant l’élément extrait dans le référentiel de mesure (les incertitudes de mesure sont négligées).

Chaque point Mi a pour abscisse x = (i – 1).p (p est le pas de la mesure, il dépend de la finesse avec laquelle on veut représenter le profil réel), et pour ordonnée y (y est la variation d’altitude lue par le comparateur). L’image du profil est généralement anamorphosée du fait du choix d’unités différentes sur chacun des axes, ceci permettant de visualiser de façon plus nette la forme réelle de la règle mesurée. 73

4 • Méthodes d’association

4.2 Métrologie de la droite

4.2.2 Association par la méthode de l’enveloppe On appelle élément enveloppe d’un élément géométrique réel l’élément théorique, géométriquement parfait, situé du coté libre de matière, et étant le plus près possible de l’élément réel sans jamais le couper (figure 4.3). y ei

D1

Mi O

x

Figure 4.3 – Association par une droite enveloppe.

La droite D1 est la droite associée selon le critère de l’enveloppe aux n points Mi représentant le profil extrait de la règle, il est alors possible de mesurer l’écart ei entre chaque point Mi et la droite associée D1. Comme nous l’avons défini dans le chapitre 1, le défaut de rectitude mesuré sera alors égal à : l’écart positif maxi moins la valeur absolue de l’écart négatif maxi, dans le cas de l’enveloppe l’écart positif maxi étant par définition toujours nul, le défaut de rectitude est égal à : | 0 – ei | maxi, soit drec = | ei maxi |. On peut remarquer que, dans le cas d’éléments réels convexes par exemple, il peut exister plusieurs modèles associés possibles. Dans ce cas la normalisation [4.2] nous propose de choisir la position de l’élément enveloppe qui minimisera le défaut de forme.

4.2.3 Association à partir de points particuliers En géométrie, les éléments théoriques peuvent être totalement définis par un nombre optimal de points, par exemple deux points pour une droite, trois points non alignés pour un cercle ou pour un plan, etc. C’est cette propriété qui est utilisée dans ce mode d’association. Dans la pratique, 74

4 • Méthodes d’association

4.2 Métrologie de la droite

on choisira des points éloignés le plus possible les uns des autres afin d’obtenir une stabilité maximale. Ce qui donnerait pour notre exemple le choix de la droite D2 passant par les points extrêmes de l’élément extrait comme étant une droite associée à cet élément (figure 4.4). y d rect Mi D2 O

x

Figure 4.4 – Association par une droite passant par les points extrêmes.

Il est ensuite facile de mesurer l’écart entre chacun des n points constituant l’élément extrait et la droite D2 pour pouvoir déterminer le défaut de rectitude drec de la règle concernée.

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4.2.4 Association selon le critère de Gauss On peut imaginer que l’on va mettre en place un élément théorique de telle façon que la somme des carrés des écarts de tous les points constituant l’élément extrait avec cet élément associé soit minimale, ce qui revient en fait à minimiser l’écart type de la distribution de ces écarts. Cet élément que l’on appelle également élément des moindres carrés donne une excellente image de l’élément réel (figure 4.5). y d rect Mi D3 O

x

Figure 4.5 – Association par la droite des moindres carrés. 75

4 • Méthodes d’association

4.2 Métrologie de la droite

On trouve les méthodes permettant de calculer les paramètres de l’équation de la droite des moindres carrés associée à n points Mi dans de nombreux ouvrages traitant de statistique [4.3]. Les programmes correspondants sont également présents dans la plupart des calculatrices de poche. Soit, équation de la droite D3 : y = a ◊ x + b, avec

∑ xi ⋅ ∑ yi – n ⋅ ∑ xi ⋅ y-i a = ----------------------------------------------------------2 2 ( ∑ xi ) – n ⋅ ∑ xi ∑ xi ⋅ ∑ xi ⋅ yi –∑ yi ⋅ ∑ x-i b = ----------------------------------------------------------------2 2 ( ∑ xi ) – n ∑ xi

2

Il ne reste plus alors qu’à calculer les écarts de chacun des points avec la droite D3 pour pouvoir déterminer le défaut de rectitude drec de la règle.

4.2.5 Association selon le critère de Tchebytchev Le critère du minimax, ou critère de Tchebytchev, utilise une méthode de calcul par itération dont l’application en métrologie permet de minimiser la distance entre deux éléments géométriques théoriques contenant l’ensemble des points constituant l’élément extrait. Dans le cadre de notre exemple, il s’agira de trouver la position de deux droites parallèles entre lesquels se situera la totalité des n points mesurés, de façon à ce que la distance entre les deux droites soit la plus petite possible, figure 4.6. L’association selon le critère de Tchebytchev est particulièrement intéressante car c’est celle qui se rapproche le plus des exigences de la norme. En effet, minimiser l’espace entre les deux éléments géométriques idéaux parallèles revient bien à optimiser la valeur du défaut de forme mesuré. Cependant l’utilisation de cette méthode nécessite de disposer de logiciels spécialisés afin d’effectuer les calculs nécessaires, c’est la raison pour laquelle elle est relativement peu employée. 76

4 • Méthodes d’association

4.3 Application à des surfaces simples

y Espace de Tchebytchev, plus petit espace contenant les n points mesurés Mi

O

d rec

x

Figure 4.6 – Association selon le critère de Tchebytchev.

© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit.

4.2.6 Remarque On voit que la détermination d’un défaut de forme à partir d’un élément extrait donné dépend en grande partie du mode d’association utilisé. Il reviendra donc au métrologue de choisir la technique la mieux adaptée en considérant la fonction de l’élément, sa cotation, ainsi que les moyens de mesure et de calcul dont il dispose. La normalisation précise à ce sujet qu’il faut choisir la méthode qui permet de minimiser la valeur du défaut mesuré. Il est cependant très important de bien remarquer que la valeur d’un défaut déterminée à partir d’une méthode d’association quelconque sera toujours supérieure à la valeur du défaut réel. Il n’y a donc aucun risque lorsque l’on réalise une mesure dans le but d’effectuer un contrôle d’être amené à accepter une pièce défectueuse, tout au plus pourrait-on être amené à devoir refuser une pièce correcte.

4.3 Application à des surfaces simples 4.3.1 Association par la méthode de l’enveloppe Chaque fois que l’on pose une surface réelle sur une surface de même nature théorique dont le défaut est négligeable devant celui de la surface réelle, la surface considérée comme parfaite devient l’enveloppe de la surface réelle. Ceci est très souvent mis en pratique par les métrologues, notamment lors de la métrologie sur marbre : les surfaces enveloppes 77

4 • Méthodes d’association

4.3 Application à des surfaces simples

peuvent être alors matérialisées par des marbres, des mandrins expansibles, des piges ou des pinces. Naturellement, l’élément enveloppe peut également être virtuel, il est alors obtenu par des calculs géométriques à partir des n points Mi. La figure 4.7 montre l’application du principe de l’enveloppe à une surface prétendument plane, les figures 4.8 et 4.9 représentent l’application du principe de l’enveloppe à des éléments réels théoriquement cylindriques, dans ces cas le cylindre associé est le cylindre circonscrit ou le cylindre inscrit à la surface réelle.

Surface réelle Sr

Le plan du marbre est le plan associé à la surface réelle Sr par la méthode de l’enveloppe Figure 4.7 – Association d’un plan enveloppe à une surface réelle.

Arbre réel Axe du cylindre associé Cylindre circonscrit associé à l’arbre réel par la méthode de l’enveloppe Figure 4.8 – Association d’un cylindre enveloppe à un arbre réel. 78

4 • Méthodes d’association

Axe du cylindre associé

4.3 Application à des surfaces simples

Cylindre inscrit associé à l’alésage réel par la méthode de l’enveloppe

Alésage réel

Figure 4.9 – Association d’un cylindre enveloppe à un alésage réel.

4.3.2 Association par la méthode des points particuliers

© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit.

La mesure de la section droite d’un alésage à l’aide d’un micromètre d’intérieur revient à mesurer le diamètre du cercle associé passant par les points de contact des trois touches de l’alésomètre avec l’alésage, figure 4.10. Section de l’alésage réel Cercle associé passant par les trois points de contact. Touches de l’alésomètre

Figure 4.10 – Association à un alésage réel d’un cercle passant par trois points. 79

4 • Méthodes d’association

4.4 Association d’une surface théorique quelconque à un nuage de points

Une méthode couramment employée pour la mesure d’un défaut de planéité consiste à positionner la surface à mesurer sur un marbre par l’intermédiaire de trois appuis réglables (vérins VA, VB et VC). En jouant sur le réglage des vérins, on amène les trois points opposés aux contacts, A, B et C à égale distance du marbre (voir figure 4.11). Le plan ABC étant alors parallèle au marbre, l’exploration complète de la surface à mesurer par le comparateur permettra d’en mesurer le défaut de planéité (déviation totale lue par le comparateur) en choisissant le plan ABC comme plan associé à la surface réelle. SR

C B

A

VC VA

VB

Figure 4.11 – Association d’un plan par trois points.

4.4 Association d’une surface théorique quelconque à un nuage de points 4.4.1 Méthode employée m Surface théorique

Comme nous l’avons proposé dans le chapitre 1, nous caractériserons la forme d’une surface théorique par l’intermédiaire d’un certain nombre n de points Mthi lui appartenant et dont on donnera les coordonnées (xi, yi, zi) dans un repère de cotation orthonormé R(O, 1x, 1y, 1z) lié au solide qui supporte cette surface. Nous définirons également pour chacun 80

4 • Méthodes d’association

4.4 Association d’une surface théorique quelconque à un nuage de points

des n points les cosinus directeurs (ui, vi, wi) de la normale extérieure à l’élément de surface dsi entourant ce point. La surface théorique quelconque se présentera donc sous la forme de ce que nous avons appelé une surface numérisée, naturellement plus le nombre de points sera élevé plus, la définition de la surface théorique sera fine. M Surface mesurée

La mesure sera réalisée par l’intermédiaire d’un moyen disponible adapté (mesure sur marbre, mesureur de circularité, machine à mesurer tridimensionnelle…) et elle consistera à rechercher l’écart ai existant entre chacun des points Mthi et le point appartenant à la surface réelle Mri lui correspondant. Cette mesure se fera suivant la normale à l’élément 1 i (figure 4.12) ; de surface dsi entourant le point théorique considéré n nous obtiendrons alors : a = Mth i ,Mr i ⋅ n i . Bien entendu cette mesure sera effectuée dans le repère de mesure, repère qui dépend des moyens techniques utilisés, mais comme la position de la surface réelle, donc d’un référentiel qui lui serait attaché, par rapport au référentiel de mesure peut être connue, il sera tout à fait possible de passer d’un

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y ni Mr i

ds i

Mth i

O x

z

Figure 4.12 – Mesure d’un point Mri appartenant à une surface réelle. 81

4 • Méthodes d’association

4.4 Association d’une surface théorique quelconque à un nuage de points

repère à l’autre en utilisant les méthodes de calcul habituelles que nous avons évoquées précédemment, ce qui fait que dans la suite de ce chapitre nous ne distinguerons pas le repère de mesure du repère de cotation. M Surface associée

Afin de mettre en place une surface associée au nuage de points représentant la surface réelle nous allons déplacer une surface idéale initialement confondue avec la surface théorique de façon à l’amener à être le plus près possible de ces points. Le critère d’association que nous nous proposons de retenir est le critère des moindres carrés, cependant il serait tout à fait possible d’en choisir un autre si nous le désirions. Nous caractériserons le déplacement à effectuer par le déplacement d’un repère lié à la surface associée R¢ (O¢, x¢, y¢, z¢) (figure 4.13). y’

y

ni

ei Mth i

O

Mr i Mth’ i

O’ x

z’

x’

z

Figure 4.13 – Association d’une surface idéale au nuage de points Mri.

La surface réelle étant par définition très proche de la surface théorique nous pourrons employer dans nos calculs la méthode dite des petits déplacements [4.4], nous exprimerons donc le mouvement de R¢ par rapport à R sous la forme habituelle d’un torseur de petits déplacements : 82

4 • Méthodes d’association

{ D ( R′ ⁄ R ) } O

4.4 Association d’une surface théorique quelconque à un nuage de points

⎧ ⎪ = ⎨ W ( R′ ⁄ R ) ⎪ U(O ⁄ R) ⎩

⎫ ⎪ ⎬ ⎪ ⎭O

Nous rappelons que l’intérêt que présente cet outil dans l’étude de déplacement de solides est que dans le cas où les déplacements en rotation sont faibles (quelques degrés), le champ des vecteurs déplacements de tous les points du solide considéré peut se mettre sous la forme d’un torseur (torseur des petits déplacements). Il est ainsi possible lorsque l’on connaît l’expression des composantes de ce torseur en un point quelconque, de déterminer très facilement le déplacement de n’importe quel autre point du solide sans passer par des calculs fastidieux. Mth′ i position du point Mthi après optimisation, la méthode des petits déplacements nous permet d’écrire : Mthi,Mth¢i = O,O¢ + (Mthi,OŸW). Soit ei l’écart entre un point Mri et la surface associée : ei = ai – Mthi,Mth¢i ◊ ni Donc : ei = ai – [O,O¢ ◊ ni + (Mthi,OŸW)ni] © Dunod – La photocopie non autorisée est un délit.

avec :

ni =

ui dx dα x vi , O,O¢ = dy, W = dαy, Mthi,O = wi dz dα z

–xi –yi –zi d αy ◊ zi – d αz ◊ yi Mthi,OŸW = dαz ◊ xi – dαx ◊ zi d αx ◊ y i – d α y ◊ x i

ei = ai – [(dx ◊ ui + dy ◊ vi + dz ◊ wi)+(dαy ◊ zi – dαz ◊ yi) ◊ ui + (dαz ◊ xi – dαx ◊ zi) ◊ vi + (dαx ◊ yi – dαy ◊ xi)◊wi] ei = ai – [(dx + dαy ◊ zi – dαz ◊ yi) ◊ ui –(dy + dαz ◊ xi – dαx ◊ zi) ◊ vi –(dz + dαx ◊ yi – dαy ◊ xi) ◊ wi] 83

4 • Méthodes d’association

4.4 Association d’une surface théorique quelconque à un nuage de points

Nous arrivons ainsi à une forme générale : ei = ai – (dx + dαy◊zi – dαz◊yi)◊ui – (dy + dαz◊xi – dαx◊zi) ◊vi – (dz + dαx◊yi – dαy◊xi)◊wi

(1)

L’association sera considérée comme optimisée selon le critère de Gauss lorsque la somme des carrés de tous les écarts ei sera minimum, pour réaliser le calcul nous allons utiliser une fonction F telle que : i=n

F =

∑ ei

2

i=1

F sera donc une fonction de 6 variables, dx, dy, dz, dαx, dαy, dαz, elle passera par un minimum lorsque les dérivées partielles par rapport à chacune de ces variables s’annuleront, il nous faudra donc calculer successivement : ∂F - = 0, -----------∂F - = 0, -----------∂F - = 0, -------∂F- = 0, -------∂F- = 0, -------∂F- = 0 -----------∂dαx ∂dαy ∂dαz ∂dx ∂dy ∂dz Ceci nous donnera un système de 6 équations à 6 inconnues dont la résolution nous fournira la valeur à affecter aux composantes du torseur des petits déplacements (les variables du système) afin que le balançage soit optimisé. En reportant ces valeurs dans l’expression (1) il sera ainsi possible de calculer les différents écarts ei et d’en déterminer le défaut de forme de la surface mesurée.

4.4.2 Applications m Détermination du défaut de rectitude d’une règle

Nous nous proposons maintenant d’appliquer ce qui précède à la mesure de la rectitude d’une règle, le problème a déjà été traité en 4.2, cela nous permettra de valider les résultats obtenus. La règle est posée sur un marbre, elle est calée à ses deux extrémités de façon à être approximativement parallèle à la surface du marbre. La mesure des écarts se fait à l’aide d’un comparateur dans une direction perpendiculaire au marbre, 84

4 • Méthodes d’association

4.4 Association d’une surface théorique quelconque à un nuage de points

le profil de la règle sera donc connu par l’intermédiaire des 5 points Mri lui appartenant (figure 4.14). yi mm

0

50

100

150

200

ai µm

0

+2

+7

+5

+8

z

ni Mr i y

© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit.

Règle

y i mm

0

50

100

150

200

a i µm

0

+2

+7

+5

+8

Figure 4.14 – Mesure du défaut de rectitude d’une règle.

Le balançage se fera en déplaçant une droite initialement confondue avec l’axe Oy dans le plan y, O, z de façon à l’amener à être associée aux n points de l’élément extrait. da x 0 ui = 0 nous aurons : ni = vi = 0 et {D(R¢/R)}O = 0 dy wi = 0 0 dz O Les valeurs de ui et vi étant égale à 0, celle de wi étant égale à 1, dx, day et daz étant nulles (1n perpendiculaire au marbre et le problème est un problème plan) de (1) nous tirons alors : ei = ai – dz – dax ◊ yi. 85

4 • Méthodes d’association

4.4 Association d’une surface théorique quelconque à un nuage de points

Si le critère d’association est celui des moindres carrés nous écrirons : i=n

F =

∑ ei → F = 2

i=1

i=n

∑ ( ai – dz – d α x ⋅ yi ) . 2

i=1

∂F Pour que F passe par un minimum il faudrait que : --------- = 0 ∂dz ∂F = 0 et que : -----------∂d α x ∂F --------- = ∂dz

i=n

∂F ------------ = ∂d α x

i=n

2

i=1

i=1

2

i=n

∂e i = 2 ∑ ( a i – dz – d α x ⋅ y i ) ( – y i ) ∑ -----------∂d α x

i=1

i=1

∂F --------- = 0 → ∂dz ∂F ------------ = 0 → ∂d α x

86

i=n

∂e i - = 2 ∑ ( a i – dz – d α x ⋅ y i ) ( – 1 ) ∑ -------∂dz

i=n

i=n

i=n

i=1

i=1

i=1

∑ dz +

∑ d α x ⋅ yi –

i=n

i=n

i=1

i=1

∑ dz ⋅ yi +

∑ ai

∑ d α x ⋅ yi – 2

= 0

(2)

i=n

∑ ai ⋅ yi

= 0

(3)

i=1

1

2

3

4

5

S

yi

0

50

100

150

200

500

ai

0

+0,002

+0,007

+0,005

+0,008

0,022

ai ◊ yi

0

0,1

0,7

0,75

1,6

3,15

yi2

0

2 500

10 000

22 500

40 000

75 000

4 • Méthodes d’association

4.4 Association d’une surface théorique quelconque à un nuage de points

soit en reportant les valeurs numériques dans (2) et (3) : 5 dz + 500 dαx – 0,022 = 0 500 dz + 75 000 dαx – 3,15 = 0 d’où : dαx = 0,000 038 rd et dz = 0,6 µm Ce qui permet alors de calculer les différents écarts ei en utilisant : ei = ai – dz – dαx◊yi yi

0

50

100

150

200

ai µm

0

2

7

5

8

dz µm

0, 6

0,6

0,6

0,6

0,6

dαx ◊ yi µm

0

1,9

3,8

5,7

7,6

ei mm

–0,6

–0,5

2,6

–1,3

–0,2

Ce qui donnera un défaut de rectitude de : 2,6 ± 1,3 = 3,9 µm Défaut de rectitude

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z

Droite associée

dz O

0

50

10

15

20

y

Figure 4.15 – Représentation du défaut de rectitude de la règle.

m Détermination du défaut de circularité d’une section droite

d’un cylindre de révolution

Le cylindre est monté entre pointes sur un diviseur angulaire, la mesure des écarts se fait tous les 40 degrés dans la direction 1ni à l’aide d’un comparateur à touche plate (figure 4.16). 87

4 • Méthodes d’association

4.4 Association d’une surface théorique quelconque à un nuage de points

x

ni Mr i

θi O

y

Figure 4.16 – Mesure de la circularité d’une section droite d’un cylindre.

Résultats des mesures : θi

0

40

80

120

160

200

240

280

320

ai µm

0

+12

–25

–2

–11

–14

–14

+10

+15

Le balançage se fera en déplaçant un cercle initialement centré en O dans le plan x,O,y, ce cercle devenant le cercle associé selon le critère de Gauss. 0 dx ui = cos qi et {D(R¢/R)}O = 0 dy nous aurons : ni = vi = sin qi wi = 0 0 0 O Dans ce cas l’équation générale (1) s’écrira alors : ei = ai – dx◊cosθi – dy◊sinθi i=n

nous aurons donc : F =

∑ ( ai – dx ⋅ cos θi – dy ⋅ sin θi )

2

.

i=1

∂F ∂F Le balançage sera optimisé lorsque : -------- = 0 et -------- = 0. ∂dx ∂dy ∂F --------- = 2 ( a – dx ⋅ cos θ i – dy ⋅ sin θ i ) ( sin θ i ) ∂dx ∂F --------- = 2 ( a – dx ⋅ cos θ i – dy ⋅ sin θ i ) ( – cos θ i ) ∂dy 88

4 • Méthodes d’association

4.4 Association d’une surface théorique quelconque à un nuage de points

i=n

– ∑ dx ⋅ cos θ i ⋅ sin θ i – i=1

i=n

∑ dx ⋅ cos θi + 2

© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit.

i=1

i=n

∑ dy ⋅ sin θi + 2

i=1

i=n

∑ dy ⋅ sinθi ⋅ cos θi –

i=1

i=n

∑ ai ⋅ sin θi

= 0

(4)

= 0

(5)

i=1

i=n

∑ ai ⋅ cos θi

i=1

θi

cosθi

sinθi

cosθi ◊ sinθi

cos2θi

sin2θi

ai ◊ cosθi

ai ◊ sinθi

0

1

0

0

1

0

0

0

40

0,766

0,6428

0,49237

0,58675

0,4132

9,192

7,7136

80

0,1736

0,9848

0,17096

0,03013

0,96983

–4,34

–24,62

120

–0,5

0,866

–0,433

0,25

0,745

1

–1,732

160

–0,9397

0,3420

–0,32137

0,8830

0,117

10,3367

–3,762

200

–0,9397

–0,3420

0,32137

0,8830

0,117

13,1558

4,788

240

–0,5

–0,866

0,433

0,25

0,745

7

12,124

280

0,1736

–0,9848

–0,17096

0,03013

0,96983

1,736

–9,848

320

0,766

–0,6428

–0,49237

0,58675

0,4132

11,49

–9,642

S

0

0

0

4,5

4,5

49,57

–24,98

soit en reportant les valeurs numériques dans (4) et (5): 4,5dx – 49,57 = 0 – 4,5dy – 24,98 = 0 d’où : dx = 11,01 µm et dy = – 5,55 µm 89

4 • Méthodes d’association

4.4 Association d’une surface théorique quelconque à un nuage de points

Ce qui permet de calculer les différents ei en utilisant : ei = ai – dx◊cosθi – dy◊sin θi θi

0

40

80

120

160

200

240

280

320

ai

0

12

–25

–2

–11

–14

–14

10

15

dx ◊ cosθ

11,1

8,43

1,91

–5,50

–10,34

–10,34

–5,50

1,91

8,43

dy ◊ sinθi

0

–3,56

–5,46

–4,80

–1,90

1,90

4,80

5,46

3,56

ei

–11,11

7,13

–21,45

8,30

1,24

–5,56

–13,30

2,63

3,01

Ce qui donnera un défaut de circularité de : 8,30 ± 21,45 = 29,75 µm x 320°

40°

280° 80°

O

y

dx 240°

120° 160°

200° dy

Figure 4.17 – Représentation du défaut de circularité de la section mesurée.

m Détermination du défaut de planéité d’une surface

La surface à mesurer est posée sur un marbre et l’on mesure dans une direction 1ni perpendiculaire au marbre l’altitude ai de 15 points régulièrement répartis sur la surface (figure 4.18). Les résultats des mesures sont présentés dans le tableau 4.1. 90

4 • Méthodes d’association

4.4 Association d’une surface théorique quelconque à un nuage de points

Tableau 4.1 – Résultats des mesures. 6

7

xi 0 50 100 150 200 mm

1

2

3

4

5

0

50

yi 0 mm

8

9

10

11

12

13

100 150 200

0

50

100 150 200

0

0

0

0

50 50

50

50

50

ai 0 10 mm

10

40

30

10 –10

0

20

30

14

15

100 100 100 100 100 0

–20 –30 –10 –20

z

ni

y

11 6 1 O

2

7

12

13 8

3

9 4

15

14 10

5 x

Figure 4.18 – Mesure du défaut de planéité d’une surface.

© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit.

M Association par un plan passant par trois points

Pour les raisons de stabilité déjà évoquées nous choisissons de prendre le plan passant par les points 1, 5 et 15 comme plan associé. Cette association sera virtuelle c’est-à-dire que nous allons la réaliser en simulant deux rotations, une première autour de l’axe Oy puis une seconde autour de l’axe Ox, de façon à amener les points 5 et 15 à l’altitude du point 1, c’est-à-dire zéro. Première rotation autour de Oy On va imaginer que l’on fait tourner la surface autour de Oy jusqu’à ce que le point 5 se retrouve à l’altitude 0, on remarque que dans ce cas la rotation sera positive d’un angle dont la tangente sera 30/200 000 (l’angle étant petit on peut considérer que day = 3/20 000 rd). Il est facile de voir que les points 5, 10 et 15 descendront de 30 µm, que les 91

4 • Méthodes d’association

4.4 Association d’une surface théorique quelconque à un nuage de points

points 3, 8 et 13 descendront eux de 15 µm et ainsi de suite, alors qu’on peut raisonnablement estimer que les points 1,6 et 11 sont suffisamment proches de l’axe de rotation pour que leur déplacement soit négligeable. Les résultats de la simulation de la première rotation apparaissent dans le tableau 4.2. Tableau 4.2 – Coordonnées des points après une première rotation autour de Oy. 1

2

3

4

5

6

7

xi 0 50 100 150 200 mm

0

yi 0 mm

0

0

0

0

50

ai 0 mm

2

–5

17

0

8

9

10

11

12

13

14

15

50

100 150 200

0

50

100 150 200

50

50

50

50

10 –18 –15

–3

0

100 100 100 100 100

0

–28 –45 –33 –50

Seconde rotation autour de Ox De la même façon on va simuler une rotation autour de l’axe Ox afin d’amener le point 15 à l’altitude 0. Ici la rotation sera positive d’un angle dont la tangente sera égale à 50/100 000. Un raisonnement du même type que celui qui a été tenu lors de la rotation autour de Oy donnera les résultats du tableau 4.3. Tableau 4.3 – Coordonnées des points après une seconde rotation autour de Ox. 1

92

2

3

4

5

6

7

10

11

12

13

xi 0 50 100 150 200 mm

0

50 100 150 200

0

50

100 150 200

yi 0 mm

0

0

0

0

50 50

50

50

50

100 100 100 100 100

ai 0 mm

2

–5

17

0

33

8

20

23

50

5

8

9

22

5

14

17

15

0

4 • Méthodes d’association

4.4 Association d’une surface théorique quelconque à un nuage de points

Dans ce cas on calculerait un défaut de planéité égal à : 50 ± 5 = 55 soit : 55 µm. M Association par un plan des moindres carrés

Dans le cas traité ui = 0, vi = 0 et wi = 1 l’équation générale (1) devient : ei = ai – dz – dax ◊ yi + day ◊ xi n

Soit : F =

∑ ( ai – d α x ⋅ yi + d α x ⋅ xi )

2

1

n

∂F-------= 2 ∑ ( a i – dz – d α x ⋅ y i + d α y ⋅ x i ) ( – 1 ) = ∂dz 1

n

2 ∑ ( – a i + dz + d α x ⋅ y i + d α y ⋅ x i ) 1

n

∂F ------------ = 2 ∑ ( a i – dz – d α x ⋅ y i + d α y ⋅ x i ) ( – y i ) = ∂d α x 1

n

2 ∑ ( – a i ⋅ y i + dz ⋅ y i + d α x ⋅ y i – d α y ⋅ x i ⋅ y i ) © Dunod – La photocopie non autorisée est un délit.

2

1

n

∂F -----------= 2 ∑ ( a i – dz – d α x ⋅ y i + d α y ⋅ x i ) ( x i ) = ∂d α y 1

n

2 ∑ ( a i ⋅ x i – dz ⋅ x i – d α x ⋅ y i ⋅ x i + d α y ⋅ x i ) 2

1

D’où les trois équations suivantes : n

n

n

n

1

1

1

1

– ∑ a i + ∑ dz + ∑ d α x ⋅ y i – ∑ d α y ⋅ x i = 0 93

94

0

2

0

0

0,5

0

1

0

yi2

xi ◊ yi 0

ai ◊ xi 0

ai ◊ yi 0

0

0,01

1

0

0

0,01

3

0

6

0

0

0,04

4

0

6

0

0

0,03

0

50

100

8

0,03

50

200

10

–0,5

–0,5 0

0

2 500 5 000

1

3

7 500

2 500

0,03

5 0,01

6 –0,01

7

0

8

–0,03

100

100

13

–0,01

100

150

14

–0,02

100

200

15

0,06

750

1500

S

2 500 10 000 22 500 40 000 225 000

–0,02

100

50

12

1,5

6

1 000

0

0

0

0,02

9

0,03

10

0

11

–2

–1

12

–3

–3

–0,03

13

–1

14

–2

–4

–0,01

–1,5

–0,02

15

–5,5

12,5

1 000 15 000 20 000 75 000

–0,02

5 000

2 500 10000 10 000 10 000 10 000 10 000 62 500

0

0

100

0

11

Tableau 4.5 – Résultats du calcul des écarts.

0,5

0

0

0,02

50

150

9

2500 10 000 22 500 40 000

–0,01

50

50

7

2 500 2 500 2 500

0

0,01

50

0

6

ei –0,012 –0,006 –0,010 0,015 0,001 0,015 –0,010 –0,004 0,012 0,018 0,021 –0,003 –0,017 –0,001 –0,015

ai

0 2 500 10 000 22 500 40 000

0,04

0

xi2

0,01

0

0 0,01

0

200

ai

0

150

5

0

100

4

yi

50

3

0

2

xi

1

Tableau 4.4 – Tableau de calcul.

4 • Méthodes d’association 4.4 Association d’une surface théorique quelconque à un nuage de points

4 • Méthodes d’association

n

n

4.5 Bibliographie

n

n

– ∑ a i ⋅ y i + ∑ dz ⋅ y i + ∑ d α x ⋅ y i – ∑ d α y ⋅ x i ⋅ y i = 0 2

1 n

1 n

1 n

1

n

∑ ai ⋅ xi + ∑ dz ⋅ xi + ∑ d α x ⋅ yi ⋅ xi – ∑ d α y ⋅ xi = 0 2

1

1

1

1

Les valeurs contenues dans le tableau 4.4 vont permettre de numériser ces trois équations. Les équations précédentes deviennent : – 0,06 + 15 dz + 750 dax – 1 500 day = 0 5,5 + 750 dz + 62 500 dax – 75 000 day = 0 12,5 – 1 500 dx – 75 000 dax + 225 000 day = 0 La résolution de ce système permet d’obtenir : dz = 0,012, day = – 0,0000866 et dax = – 0,00034

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À partir de l’équation de départ ei = ai – dz – dax ◊ yi + day ◊ xi, il est possible en lui injectant les valeurs que l’on vient de calculer de trouver les écarts après optimisation, voir le tableau 4.5. D’où un défaut de planéité égal à : 0,021 ± 0,017 = 0,038 soit : 38 µm.

4.5 Bibliographie [4.1] Cours de physique, mathématiques pour la physique, Y. NOIROT, J.-P. PARISOT, N. BROUILLET, Dunod, 1997, p. 83 à 106. [4.2] NF E 10-105, Méthodes de mesurage dimensionnel, 6e partie : Établissent des références spécifiées, AFNOR 1990. [4.3] Cours de physique, mathématiques pour la physique, Y. NOIROT, J.-P. PARISOT, N. BROUILLET, Dunod, 1997, p. 151 à 158. [4.4] Liaisons, mécanismes et assemblages, P. AGATI, F. LEROUGE, M. ROSSETO, Dunod, 1994, p. 19 à 24. 95

5 • SPÉCIFICATIONS GÉOMÉTRIQUES

5.1 Caractéristiques d’une surface 5.1.1 Rappels et généralités Comme nous l’avons montré précédemment dans le chapitre 1, tout objet technique élémentaire (communément appelé pièce chez les mécaniciens) est un solide de matière limité par une ou plusieurs surfaces (exemple l’arbre porte-fraise représenté sur la photographie de la figure 5.1). Nous avons vu également que de la forme, des dimensions et des positions

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Cône

Plan

Cylindre

Figure 5.1 – Tout objet technique est un volume limité par des surfaces. 97

5 • Spécifications géométriques

5.1 Caractéristiques d’une surface

respectives de ces surfaces (figure 5.2) va dépendre directement la fonctionnalité de l’objet. Il est donc essentiel pour tous les acteurs du génie mécanique de pouvoir définir les caractéristiques de chacune des surfaces qui définissent la géométrie d’une pièce quelconque aussi rigoureusement que possible. Plan perpendiculaire à l’axe du cône

Cylindre de diamètre 22 mm Coaxial avec le cône

Cône de conicité 7/24

Figure 5.2 – Les surfaces doivent avoir des dimensions théoriques définies et occuper des positions particulières les unes par rapport aux autres.

La spécification géométrique des produits est donc un domaine important du génie mécanique qui concerne aussi bien les concepteurs (écriture) que les fabricants et les contrôleurs (lecture). L’expérience montre que de nombreux problèmes liés à la qualité des productions industrielles ont leur origine dans la confusion que peuvent faire les différents intervenants de la chaîne de réalisation d’un produit quant à la signification ou à l’interprétation des informations données. C’est pour tenter de remédier à cet état de fait que les responsables de la normalisation ont mis en place le système GPS (spécification géométrique des produits) [5.1]. Ce système est basé sur une matrice double entrée qui permet de retrouver de façon univoque les normes concernées lors des différentes étapes de la vie d’un produit industriel. Seule la lecture attentive des nombreuses normes existantes permettra aux différents utilisateurs de les écrire et de 98

5 • Spécifications géométriques

5.2 Tolérances dimensionnelles

les déchiffrer sans ambiguïté. Cette consultation est d’autant plus nécessaire que les normes sont amenées à évoluer constamment. Dans cet ouvrage nous n’expliquerons donc pas le pourquoi et le comment de la normalisation, nous nous contenterons de préciser certains points qui nous paraissent importants pour la lire et pour la comprendre dans le but d’essayer d’éviter les erreurs que nous avons le plus souvent cru relever chez de nombreux utilisateurs.

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5.1.2 Principe de l’indépendance Pour chaque surface il sera tout d’abord indispensable d’indiquer la nature théorique de celle-ci, c’est-à-dire la forme aussi bien à l’échelle macroscopique qu’à l’échelle microscopique, qu’elle doit présenter afin de remplir correctement la, ou les, fonctions qui lui sont dévolues (guidage, étanchéité, aspect, résistance à une pression mécanique…) ainsi que ses dimensions idéales. Il faudra ensuite définir la flexibilité acceptable sur ces informations, c’est-à-dire les tolérances que l’on pourra admettre sans perturber de façon inacceptable la fonction dévolue à cette surface. Enfin il sera nécessaire d’indiquer la position que devra occuper cette surface par rapport aux autres surfaces de la pièce. La normalisation actuelle [5.2] nous impose, sauf notation contradictoire (enveloppe, maximum de matière) sur lesquelles nous reviendrons par la suite, d’appliquer le principe de l’indépendance qui, comme son nom l’indique, précise que toutes les spécifications doivent être considérées indépendamment les unes des autres.

5.2 Tolérances dimensionnelles 5.2.1 Rappels Tout d’abord, il est essentiel de rappeler qu’une dimension est toujours une dimension locale, c’est-à-dire qu’elle correspond à la distance séparant deux points diamétralement opposés dans le cas de surfaces théoriquement de révolution ou deux points en vis-à-vis dans le cas d’éléments prismatiques. Autrement dit, le respect d’une condition 99

5 • Spécifications géométriques

5.2 Tolérances dimensionnelles

dimensionnelle dans le cas de l’indépendance ne préjuge absolument pas de la forme de l’élément considéré. Une spécification dimensionnelle comprend toujours, une longueur exprimée en unité de longueur, la valeur nominale, une information quant à la flexibilité admissible sur cette longueur, l’intervalle de tolérance, et la position de cet intervalle de tolérance par rapport à la valeur nominale, l’écart. L’ensemble des valeurs que peut prendre une dimension s’appelle la cote, la normalisation nous autorise un grand nombre de façons d’écrire ces informations, voir un exemple figure 5.3. Valeur nominale de la cote écart supérieur

écart inférieur IT Valeur minimale de la cote Valeur maximale de la cote

Figure 5.3 – représentation d’une cotation dimensionnelle

Par exemple si dans la représentation de la figure 5.3 la valeur nominale est 40 mm, l’écart supérieur +15 µm, l’écart inférieur –10 µm, l’intervalle de tolérance (IT) sera donc égal à 25 µm, la normalisation nous autorisera toutes les écritures ci-dessous, même si certaines d’entre elles sont plus souvent utilisées et plus pratiques que les autres : +0,015

40 –0,010,

0

40,015 –0,025,

+0,025

39,99 0

,

+0,0125

40,0025 –0,0125

5.2.2 Système ISO de tolérancement Depuis de nombreuses années, la normalisation a imaginé un système de tolérancement standard ; ce système initialement destiné à faciliter l’interchangeabilité entre les différents constituants d’un assemblage est utilisable dans tous les cas d’écriture de tolérances dimensionnelles [5.3]. On rappelle qu’un ajustement est un assemblage de deux pièces mécaniques, un contenant ou alésage et un contenu ou arbre. Le système de 100

5 • Spécifications géométriques

5.2 Tolérances dimensionnelles

dimensionnement ISO conçu également dans le but de limiter les outillages de fabrication (fraises, forets, alésoirs…) ou de contrôle (tampons, bagues…) comporte trois composantes. La première est un nombre exprimant la valeur nominale de la cote, ce nombre est de préférence à choisir parmi une série de nombres normalisés (séries Renard). La deuxième est une lettre, majuscule pour un alésage minuscule pour un arbre, cette lettre correspond à la position de l’intervalle de tolérance par rapport à la dimension nominale. La troisième composante de la cote est un nombre qui indique l’étendue de cet intervalle de tolérance. Par exemple en utilisant ce système d’écriture un arbre cylindrique dont la cotation serait celle de la figure 5.3 serait indiqué : ∆ 40 j 7. L’écriture 50H7 signifierait qu’il s’agit d’un alésage dont la dimension considérée doit présenter une valeur nominale de 50 mm, un écart supérieur de 0,025 mm et un écart inférieur de 0 mm. Alors que 32g6 signifierait qu’on parle d’un arbre dont la dimension considérée doit présenter une valeur nominale de 32 mm, un écart supérieur de – 0,009 mm et un écart inférieur de – 0,025 mm.

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5.2.3 Signification de l’indépendance La spécification de diamètre représentée sur la figure 5.4 précise que les résultats de toutes les mesures réalisées entre deux points diamétralement opposés appartenant à la surface cylindrique doivent être compris entre 19,9 mm et 20,2 mm, ceci n’impliquant aucune contrainte sur la forme réelle de la surface.

∅ 20+−00,,21

Figure 5.4 – Cotation du diamètre d’un cylindre.

Ce qui fait que la surface réelle peut, par exemple, présenter la forme que l’on voit sur la figure 5.5 et être tout à fait conforme à la spécification 101

5 • Spécifications géométriques

5.2 Tolérances dimensionnelles

dimensionnelle imposée, toutes les mesures entre deux points diamétralement opposés étant contenues dans l’espace spécifié. On constate donc à travers ce cas simple qu’il est très difficile de définir la valeur du diamètre d’un cylindre réel à partir d’une spécification purement dimensionnelle. S’agit-il, par exemple, de la valeur moyenne d’un grand nombre de mesures effectuées entre des points diamétralement opposés ? ce qui n’aurait pas beaucoup de sens si l’on considère la remarque précédente, il faudrait plutôt dire que le diamètre de l’élément réel est compris entre la plus grande valeur mesurée et la plus petite sans autre précision. Pour contraindre la surface réelle à se rapprocher d’un cylindre théorique il serait nécessaire de lui ajouter une spécification de forme.

Figure 5.5 – Ce que la cotation de la figure 5.4 peut permettre.

5.2.4 État de surface Indépendamment des défauts de forme sur lesquels nous allons revenir, les procédés de réalisation d’une surface réelle vont produire une certaine rugosité sur cette surface. Bien entendu cette rugosité correspond également à une différence entre la surface théorique et la surface réelle, c’est donc un défaut de forme, mais ce défaut se détecte à une échelle d’observation beaucoup plus fine c’est pourquoi il est rangé arbitrairement 102

5 • Spécifications géométriques

5.3 Tolérances de forme

dans ce que l’on appelle les défauts d’état de surface. Ce problème sera évoqué en détail dans le chapitre 7 qui traite de la mesure et de la caractérisation des états de surface et qui fera apparaître notamment la façon d’exprimer les tolérances de rugosité conformément à la normalisation en vigueur, nous ne nous étendrons donc pas davantage sur cette question maintenant.

5.3 Tolérances de forme 5.3.1 Principe de notation Les spécifications de formes se rapportent à des éléments géométriques qui peuvent être linéaires ou surfaciques. Elles indiquent un espace à l’intérieur duquel doit se trouver la totalité de l’élément réel concerné, cet espace peut être un espace plan (en deux dimensions) ou un espace volumique (en trois dimensions). L’information doit indiquer la largeur de cet espace et la forme de ses limites. La norme ISO 1101 [5.4] indique le code d’écriture utilisé pour préciser cette spécification.

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m Exemple 1

Si nous voulons contraindre le cylindre de la figure 5.4 à se rapprocher d’un cylindre théorique, nous pouvons tolérancer la rectitude de ses génératrices ou de son axe selon la fonction qu’il doit remplir, voir figures 5.6a et 5.6b. Le schéma de la figure 5.6a signifie que chaque génératrice de la surface réelle doit être contenue entre deux droites rigoureusement parallèles entre elles, distantes de 0,1mm l’une de l’autre et situées dans un plan passant par l’axe. Le schéma de la figure 5.6b signifie que les centres des cercles associés à toutes les sections droites de la surface réelle doivent être contenus à l’intérieur d’un cylindre théorique de diamètre 0,1 mm. 103

5 • Spécifications géométriques

5.3 Tolérances de forme

0,1

∅ 20+−00,,21 a ∅ 0,1

∅ 20+−00,,21 b

Figure 5.6 – a : Tolérances de rectitude ; b : Tolérances de rectitude.

m Exemple 2

La tolérance de circularité représentée sur la figure 5.7 signifie que tous les points appartenant à une section droite du cylindre réel concerné, donc quelconque, doivent se trouver dans l’espace compris entre deux cercles théoriques concentriques distants l’un de l’autre de 0,1 mm.

0,1

0,1

Figure 5.7 – Représentation d’une tolérance de circularité.

104

5 • Spécifications géométriques

5.3 Tolérances de forme

m Exemple 3

L’écriture de la tolérance de forme d’une surface théoriquement plane est représentée sur la figure 5.8. Elle signifie que tous les points appartenant à la surface réelle doivent se trouver entre deux plans parallèles distants de 0,08 mm l’un de l’autre. 0,08

0,08

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Figure 5.8 – Écriture d’une tolérance de planéité.

5.3.2 Exigence de l’enveloppe Ce principe se substitue au principe de l’indépendance lorsqu’il est nécessaire d’instituer une interdépendance entre la dimension et la géométrie de l’élément considéré. C’est naturellement le concepteur qui décidera pour des raisons fonctionnelles (souvent des conditions liées à l’assemblage) d’imposer ce type de cotation, on peut rappeler que le principe de l’enveloppe s’apparente au principe de Taylor qui a été utilisé préférentiellement pendant de nombreuses années. Cette exigence est indiquée, soit par une information concernant la norme utilisée dans le cartouche du dessin, soit par un symbole portant la lettre E inscrit à la suite de la cote concernée (voir figure 5.9). 105

5 • Spécifications géométriques

5.4 Tolérances de position

m Exemple pour un cylindre

∅ 40h8 E

∅ 40

Figure 5.9 – Cotation d’un cylindre selon l’exigence de l’enveloppe.

La surface réelle dont le diamètre ne doit jamais être inférieur à la valeur minimale admissible (ici 39,961 mm) doit être entièrement située à l’intérieur d’un cylindre parfait ayant le diamètre maximal admissible (ici 40 mm). On voit que dans l’exemple choisi l’exigence de l’enveloppe implique qu’en aucun cas le défaut de rectitude d’une génératrice ou le défaut de circularité d’une section droite ne puisse excéder une valeur de 0,039 mm. À noter que lorsque la surface réelle est à son diamètre maximum, ceci implique que son défaut de cylindricité admissible soit nul.

5.4 Tolérances de position Mis à part quelques rares produits (une bille de roulement par exemple), une pièce mécanique est toujours limitée par plusieurs surfaces élémentaires dont on a indiqué la forme théorique et les dimensions. Pour que la géométrie soit complètement définie, il sera nécessaire de préciser aussi les positions relatives que devraient théoriquement occuper 106

5 • Spécifications géométriques

5.4 Tolérances de position

ces surfaces. Naturellement, une surface ne peut être positionnée que par rapport à une ou plusieurs surfaces déjà définies et appartenant au même solide réel (surface(s) de référence).

5.4.1 Éléments de référence Une surface ne peut donc être positionnée que par rapport à une ou plusieurs autres surfaces appartenant au même solide, ces surfaces constituent le système de référence et elles doivent être très clairement précisées. La normalisation propose d’indiquer les surfaces choisies pour construire les systèmes de référence de la façon suivante (figure 5.10).

A

A

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Le plan associé à la surface quelconque A est utilisé comme élément de référence. L’axe du cylindre associé à la surface quelconque A est utilisé comme élément de référence. Figure 5.10 – Éléments de référence.

Les systèmes de référence seront construits à partir des surfaces réelles par l’intermédiaire d’éléments théoriques associés à ces surfaces réelles. Les méthodes d’association seront choisies bien sûr en fonction de la cotation, mais aussi en fonction des moyens techniques dont on disposera pour réaliser la fabrication ou la mesure. Les méthodes d’association par l’enveloppe ou par les moindres carrés sont le plus souvent employées. Les références choisies peuvent être simples, communes ou ordonnées. 107

5 • Spécifications géométriques

5.4 Tolérances de position

5.4.2 Références communes L’élément spécifié est positionné par rapport à une référence formée à partir de deux ou plusieurs éléments réels. L’ordre dans lequel on considérera ces éléments réels n’a aucune importance. ∅ 0,2

A

A-B

B

Figure 5.11 – Écriture d’une coaxialité par rapport à une référence commune.

Le cylindre associé à la surface réelle référencée doit être coaxial avec une tolérance de 0,2 mm à la droite passant par les centres de deux cercles A et B associés aux surfaces réelles repérées. Ce qui signifie que l’axe du cylindre associé à la surface référencée réelle doit être entièrement situé à l’intérieur d’un cylindre théorique, coaxial à la droite A-B et de diamètre 0,2 mm. Dans ce cas, le système de référence est construit à partir d’un ensemble d’éléments réels sans tenir compte de l’ordre d’écriture des éléments de référence dans la cotation (ceux-ci sont inscrits dans la même case et ils sont séparés par un tiret). On verra par la suite que ce type de spécification des éléments de référence peut prêter à confusion et qu’il vaut souvent mieux lui préférer le système de références ordonnées.

5.4.3 Références ordonnées m Intérêt d’utiliser un système de références ordonnées

Pour faire apparaître l’intérêt qu’il y a d’utiliser de préférence un système de références ordonnées, nous allons considérer un problème simple à 108

5 • Spécifications géométriques

5.4 Tolérances de position

savoir le positionnement d’un trou poinçonné dans une plaque mince. L’épaisseur de la plaque étant négligeable, nous traiterons le problème comme un problème plan à deux dimensions plus facile à visualiser, nous verrons par la suite que cette problématique peut être étendue à n’importe quel cas réel tridimensionnel.

+0,1

30−0,1

30 +0,1

20−0,1

20

© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit.

Figure 5.12 – Cotation dimensionnelle de la position du poinçonnage.

La cotation de la figure 5.12 est relativement habituelle, elle consiste à utiliser des spécifications dimensionnelles pour localiser le poinçonnage. Rappelons qu’il s’agit des dimensions locales et que ceci ne correspond peut-être pas tout à fait à ce que souhaitait exprimer le concepteur. La zone de tolérance à l’intérieur de laquelle doit se situer le centre du cercle associé au poinçonnage est un carré de 0,2 mm de côté centré sur la position nominale. La cotation de la figure 5.13 utilise une tolérance de localisation à partir d’un système de références communes. On voit bien sur la partie droite de la figure que du fait que les références réelles A et B ne sont ni géométriquement parfaites ni rigoureusement perpendiculaires entre elles, il existe une infinité de possibilités pour leur associer un référentiel orthonormé permettant de localiser le centre du poinçonnage. Une fois ce centre théorique trouvé (on rappelle que selon la normalisation, une dimension encadrée portée sur un dessin signifie qu’il s’agit d’une valeur théorique c’est-à-dire sans tolérance) la zone de tolérance à l’intérieur de laquelle doit se situer le centre du cercle associé au poinçonnage est un cercle de 0,2 mm de diamètre centré sur la position nominale. 109

5 • Spécifications géométriques

5.4 Tolérances de position

∅ 0,2

A-B

B

30

30 20

20

A

Figure 5.13 – Localisation de la position du poinçonnage, références communes.

L’utilisation d’un système de références ordonnées permet de lever toutes les ambiguïtés que présente le système des références communes exposé précédemment. Dans cette écriture, les éléments de référence sont inscrits dans des cases séparées et dans l’ordre de leur prise en compte (voir figures 5.14 et 5.15). Cet ordre imposé par le concepteur pour des raisons fonctionnelles doit être respecté lors de toutes les étapes de la production c’est-à-dire pendant la fabrication et pour le contrôle. Dans le cas de la figure 5.14 l’ordre est A-B, c’est-à-dire que l’on devra commencer par associer un axe du référentiel cartésien de ∅ 0,2 A

B

B

30

30 20

A

20

Figure 5.14 – Localisation du poinçonnage, références ordonnées A-B. 110

5 • Spécifications géométriques

5.4 Tolérances de position

∅ 0,2

B

A

B

30

30 20

A

20

Figure 5.15 – Localisation du poinçonnage, références ordonnées B-A.

positionnement à l’élément A puis le second à l’élément B. La zone de tolérance à l’intérieur de laquelle doit se situer le centre du cercle associé au poinçonnage est un cercle de 0, 2 mm de diamètre centré sur la position nominale. Par contre, dans le cas de la cotation de la figure 5.15 l’ordre exigé est B-A, c’est-à-dire que l’on devra commencer par associer un axe du référentiel de positionnement à l’élément B puis le second à l’élément A.

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m Utilisation d’un système de références ordonnées en trois dimensions

Le système de référence sera construit en considérant dans l’ordre les surfaces associées aux surfaces réelles A, B,C (figure 5.16). 1. Le plan associé à la surface réelle A déterminera le plan Ox, Oz, l’axe Oy sera donc normal au plan Ox, Oz. 2. Un plan normal au plan Ox, Oz associé à la surface réelle B déterminera le plan Ox, Oy ; son intersection avec le plan Ox, Oz permettra d’obtenir l’axe Ox. Le référentiel étant un référentiel orthonormé, l’axe Oz sera perpendiculaire aux deux autres axes Ox et Oy. 3. Un plan normal aux plans Ox, Oz et Ox, Oy associé à la surface réelle C déterminera le plan Oy, Oz ; son intersection avec l’axe Ox donnera l’origine du référentiel O. 111

5 • Spécifications géométriques

30

5.4 Tolérances de position

∅ 0,2

A

B

C

C 40 A

B Figure 5.16 – Localisation d’un alésage

Comme rappelé précédemment, les dimensions encadrées sont des valeurs théoriques, elles ne sont donc pas tolérancées, elles permettent de définir la position que devrait théoriquement occuper l’axe de l’alésage par rapport au système de référence construit. C’est la spécification de localisation, cylindre de diamètre 0,2 mm, qui déterminera l’espace de tolérance à l’intérieur duquel devra se situer la totalité de l’axe du cylindre associé à l’alésage.

5.4.4 Écriture des spécifications de position Comme en ce qui concerne les spécifications de forme, les spécifications de position détermineront un espace à l’intérieur duquel devront se trouver tous les points appartenant à l’élément référencé. L’élément référencé pouvant être réel (surface) ou virtuel (axe d’un cylindre associé à un alésage, plan de symétrie…). L’espace de tolérance sera mis en place à partir de la position théorique souhaitée par rapport au système de référence spécifié. Il est bon de rappeler que sauf indication contraire (par exemple dans le cas des tolérances projetées) on devra toujours considérer que c’est la totalité de l’élément spécifié qui doit se trouver à l’intérieur de l’espace de tolérance. 112

5 • Spécifications géométriques

5.4 Tolérances de position

La zone de tolérance dans laquelle doit se trouver l’axe de l’alésage référencé est un cylindre de diamètre 0,2 mm perpendiculaire au plan Ox,Oz et dont l’axe passe par le point de coordonnées x = 30 mm, y = 0 et z = 40 mm.

y

∅ 0,2

O

x

z 40 30

Figure 5.17 – Signification géométrique de la localisation d’un alésage.

m Exemple, tolérance d’inclinaison (figure 5.18)

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0,3

A 0,3 A 60°

60°

Figure 5.18 – Écriture et signification d’une inclinaison.

Dans le cas représenté sur la figure 5.18 tous les points appartenant à la surface inclinée doivent se trouver entre deux plans théoriques parallèles, 113

5 • Spécifications 5.5 Une spécification de position implique toujours une spécification de forme géométriques

distants l’un de l’autre de 0,3 mm, et formant un angle de 60˚ avec le plan associé à la surface A.

5.5 Une spécification de position implique toujours une spécification de forme Les exemples traités ci-dessus montrent qu’une spécification de position ou d’orientation d’un élément réel implique toujours un défaut de forme maximal admissible pour cet élément. La valeur de ce défaut de forme ne peut excéder la valeur de la tolérance de position spécifiée. Naturellement si des contraintes fonctionnelles exigent que le défaut de forme maximal admissible soit inférieur à la tolérance de forme, il sera nécessaire de le mentionner.

5.5.5 Exemple, tolérance de perpendicularité.

A 0,3

0,3

A

Figure 5.19 – Écriture et signification d’une perpendicularité.

Lorsque la spécification d’orientation est respectée le défaut de planéité de la surface spécifiée ne peut excéder 0,3 mm (figure 5.19), si pour des raisons fonctionnelles il doit être plus faible (par exemple 0,1 mm) il faudra rajouter une information supplémentaire (figure 5.20). 114

5 • Spécifications géométriques

5.6 Bibliographie

A

0,3 0,1

0,3

A Tous les points de la surface référencée sont situés entre deux plans parallèles distants de 0,1 mm, l’ensemble devant rester entre les deux plans perpendiculaires à A, distants de 0,3 mm.

Figure 5.20 – Écriture et signification d’une tolérance de planéité associée à une tolérance de perpendicularité.

5.6 Bibliographie © Dunod – La photocopie non autorisée est un délit.

[5.1] FD CR ISO/TR 14638, AFNOR, 1996. [5.2] Dessins techniques ; principe de tolérancement de base, ISO 8015 ( NF E 04-561), AFNOR, 1991. [5.3] Système ISO de tolérance et d’ajustement, ISO 286, AFNOR, 1993. [5.4] Dessins techniques, Tolérancement géométrique, Généralités, définitions, symboles ; Indications sur les dessins, ISO 1101 (NF E 04-552), AFNOR, 1983. [5.5] ISO/TR 17450-1, Spécification géométrique des produits (GPS), Concepts généraux, Partie 1 : Modèle pour la spécification et la vérification géométrique, AFNOR, 2000. [5.6] Cotation tridimensionnelle des systèmes mécaniques, A. CLÉMENT, A. RIVIÈRE, M. TEMERMAN, PYC Éditions, 1994. 115

5 • Spécifications géométriques

5.6 Bibliographie

[5.7] Tolérancement et métrologie dimensionnelle, P. BOURDET, L. MATHIEU, CETIM, 1998. [5.8] Comprendre et maîtriser la localisation, M. GEORGE, AFNOR Technique, 1991.

116

6 • MESURE TRIDIMENSIONNELLE

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6.1 Principe de la mesure tridimensionnelle Les appareils de métrologie dimensionnelle classiques ou évolués (pied à coulisse, comparateurs, micromètres, interféromètres linéaires…) permettent de mesurer des longueurs avec des incertitudes que l’on peut estimer assez rigoureusement. Cependant, les surfaces réelles sont toujours des éléments volumiques, d’où la nécessité de combiner les résultats de différentes mesures linéaires afin de déterminer leurs caractéristiques géométriques exactes. Ces combinaisons sont parfois délicates et vont naturellement constituer de nouvelles sources d’erreurs et donc augmenter les valeurs des incertitudes de mesure. Le développement des systèmes de calcul a permis la mise au point des machines à mesurer tridimensionnelles actuelles qui réalisent automatiquement les mesures ainsi que les traitements nécessaires, et qui sont donc d’une très grande utilité pour la mesure et le contrôle de la géométrie des produits industriels. Le principe de la mesure tridimensionnelle consiste à manipuler des modèles géométriques théoriques associés à des éléments extraits des surfaces réelles qui limitent les produits à mesurer (figure 6.1). Trois éléments sont nécessaires pour réaliser efficacement ce travail : un référentiel volumique, un système de saisie de points appartenant aux surfaces réelles, et enfin un outil permettant d’effectuer les calculs nécessaires (associations et combinaison d’éléments géométriques entre eux). 117

6 • Mesure tridimensionnelle

6.2 Référentiel

Élément associé aux n points M i

y Élément réel ⎧ xi ⎪ Mi ⎨ y i ⎪ ⎩ zi

Points appartenant à l’élément réel

O x

Référentiel de mesure

z

Figure 6.1 – Principe de la mesure tridimensionnelle.

L’élément associé va permettre dans un premier temps de déterminer le défaut de forme de l’élément réel après calcul des différents écarts. Puis il sera ensuite utilisé comme modèle de cet élément réel afin de pouvoir éventuellement déterminer sa position par rapport à d’autres éléments appartenant au produit à mesurer, construire des systèmes de référence, ou effectuer toutes les opérations nécessaires pour valider ou la géométrie du produit à partir de l’analyse de sa cotation.

6.2 Référentiel 6.2.1 Matérialisation du référentiel de mesure Le référentiel de mesure est matérialisé par la structure de la machine à mesurer tridimensionnelle. Il s’agira donc nécessairement d’un référentiel volumique. Généralement, on choisit d’utiliser un système de coordonnées 118

6 • Mesure tridimensionnelle

6.2 Référentiel

cartésiennes, mais on peut également construire un système de coordonnées cylindriques ou polaires ce qui ne présente aucune difficulté et ne nécessite pas de connaissances supplémentaires puisqu’il est possible, comme nous l’avons rappelé au chapitre 4 de passer d’un système de référence à un autre par les méthodes de calcul traditionnelles. La figure 6.2 représente schématiquement la structure d’une machine à mesurer à portique, qui est le type de machine le plus répandu actuellement. Les déplacements rectilignes des éléments mobiles matérialisent les directions des axes de mesure. – Le déplacement du portique par rapport au bâti matérialise la direction Oy. – Le déplacement du chariot sur le portique matérialise la direction Ox. – Le déplacement vertical du bras par rapport au chariot matérialise la direction Oz. z

z y

O

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x x P

y

Figure 6.2 – La structure d’une machine à mesurer tridimensionnelle réalise un référentiel spatial. 119

6 • Mesure tridimensionnelle

6.2 Référentiel

Un système de mesure plus ou moins évolué des déplacements le long de chacun des axes permet de déterminer la variation de la position de chaque élément mobile en grandeur et en sens. Il suffira alors de choisir arbitrairement un point zéro qui donnera l’origine du système de référence pour connaître à chaque instant les coordonnées d’un point P (point piloté) dans le référentiel de mesure O, 1x, 1y, 1z.

6.2.2 Qualité du référentiel de mesure Les calculs géométriques devant être effectués dans un référentiel idéal, la matérialisation de celui-ci doit être aussi parfaite que possible. Ceci va nécessiter une rectitude rigoureuse des directions de déplacement des différents mobiles, ainsi qu’une excellente orthogonalité entre elles. Sur une machine analogue à la machine à portique de la figure 6.2 on note vingt et un paramètres dépendants de la conception et de la construction de cette machine qui vont influencer la qualité des mesures réalisées avec celle-ci. m Quinze paramètres liés à la rectitude des liaisons

Sur chacun des axes on dénombre cinq paramètres qui vont permettre de caractériser la non-rectitude de la liaison glissière qui matérialise cet axe, par exemple pour l’axe Ox (figure 6.3) : – Deux petites translations Ty et Tz perpendiculaires à Ox. – Une petite rotation Rx autour de Ox (roulis de la liaison). – Une petite rotation Ry autour de Oy (lacet de la liaison). – Une petite rotation Rz autour de Oz (tangage de la liaison). C’est naturellement la qualité de la réalisation des liaisons glissières lors de la fabrication de la machine qui permettra de minimiser les valeurs de ces paramètres, soit pour les trois axes de la machine 3 ¥ 5 = 15 paramètres. La solution la plus souvent retenue pour la construction des machines de mesure est celles d’éléments mobiles équipés de patins aérostatiques se déplaçant sur des glissières prismatiques de géométrie rigoureuse, réalisées en granit, en alliage d’aluminium, en céramique ou parfois en matériaux composites (structures en polymères renforcées de 120

6 • Mesure tridimensionnelle

6.2 Référentiel

fibres de carbone). Le choix de ces matériaux s’explique par la nécessité d’obtenir des structures très rigides et peu sensibles aux perturbations extérieures comme des sollicitations mécaniques ou des variations de température. L’emploi d’éléments de guidage pneumatiques permet de réaliser des liaisons sans contacts et de limiter au maximum les efforts nécessaires aux déplacements, ainsi que les frottements et l’usure. y Ty Rx

Ry Rz z

O x

Tz

Figure 6.3 – Paramètres caractérisant les défauts d’une liaison glissière d’axe Ox.

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m Trois paramètres liés à l’orthogonalité des axes

Les perpendicularités respectives de Ox avec Oy, de Ox avec Oz et de Oz avec Oy correspondront à trois nouveaux paramètres qui vont naturellement aussi conditionner la qualité du référentiel de mesure (le référentiel doit être orthonormé). Dans la pratique c’est lors de la construction de la machine et au moment de son installation sur le site de travail que les défauts d’orthogonalité seront minimisés (voir figure 6.4). y

O x z

Figure 6.4 – Les défauts d’orthogonalités entre les trois axes du référentiel doivent être minimisés. 121

6 • Mesure tridimensionnelle

6.2 Référentiel

m Trois paramètres liés à la mesure de la position le long de chaque axe

Nous avons vu qu’il était nécessaire de pouvoir mesurer avec précision les déplacements sur chacun des axes de façon à connaître aussi rigoureusement que possible la position du point piloté. Si sur les machines à mesurer des premières générations on utilisait des systèmes vis-écrou et tambours gradués, actuellement on emploie le plus souvent des systèmes de mesure par règle optique ou par interférométrie laser sur des machines de grande précision. Quelle que soit la technologie employée, la mesure des déplacements se fera toujours avec une certaine incertitude. L’existence de cette incertitude sur chaque axe nous amènera à prendre en compte trois paramètres supplémentaires. Nous retrouvons donc bien les 15 + 3 + 3 = 21 paramètres mentionnés plus haut, paramètres qui conditionnent l’incertitude des mesures effectuées sur une machine à mesurer tridimensionnelle. m Incertitude totale sur les mesures réalisées par une machine à mesurer

tridimensionnelle

La normalisation traitant des machines à mesurer tridimensionnelles [6.1] propose aux fabricants de machines d’exprimer l’incertitude élargie U sur toutes les mesures réalisées dans le volume de travail de la machine de la façon suivante : U = A + L/K avec : U incertitude élargie en microns. A est une constante exprimée elle aussi en µm fournie par le constructeur de la machine (souvent comprise entre 1,5 et 2,5). K est une constante sans dimensions données elle aussi par le constructeur de la machine (généralement comprise entre 250 à 500). L est la longueur mesurée en mm. La normalisation définit également des procédures permettant de caractériser les incertitudes affectant les mesures effectuées sur une machine donnée. Ces procédures consistent à mesurer des étalons appropriés (souvent des cales étagées) placés dans des positions particulières ; toutes les mesures réalisées sur ces étalons devront présenter des erreurs inférieures 122

6 • Mesure tridimensionnelle

6.3 Saisie de points appartenant à l’élément réel

à l’incertitude déclarée de la machine U. Naturellement des vérifications périodiques doivent être prévues comme pour tous les appareils de mesure et de contrôle [6.2].

6.3 Saisie de points appartenant à l’élément réel

© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit.

La surface réelle, qui est donc une surface quelconque, sera toujours saisie par l’intermédiaire d’un nombre fini de points (élément extrait). Ce nombre de points peut varier de quelques-uns (le nombre minimum imposé par la géométrie, par exemple trois points non alignés pour définir un plan) à un très grand nombre ce qui peut parfois donner l’impression qu’elle est connue dans sa totalité. À noter qu’un trop faible nombre de points saisi, s’il peut suffire à caractériser l’orientation de la surface observée, ne permettra pas une bonne connaissance de sa géométrie réelle. La mesure peut se faire de façon tactile, par l’intermédiaire d’un palpeur à contact, ou sans contact, généralement au moyen d’un capteur optique. L’exploration peut être discontinue (mesure en point à point) ou continue (procédés de scanning).

6.3.1 Système de palpage tactile point à point Dans la méthode de palpage tactile point à point, une touche généralement sphérique vient successivement en contact avec des points Mri appartenant à la surface à explorer. Le double intérêt d’utiliser une touche sphérique est, d’une part que le contact sphère surface est un contact ponctuel, d’autre part qu’une sphère permet l’accès à une surface suivant une infinité de directions. Après chaque contact, la lecture des déplacements sur les différents axes de la machine permettra de connaître le vecteur 7OPi définissant la position Pi du point piloté P dans le référentiel de mesure. Nous appellerons Ci un point de la touche de mesure tel qu’au moment du contact, si il n’y a pas de glissement, Ci et Mri soient confondus. 123

6 • Mesure tridimensionnelle

6.3 Saisie de points appartenant à l’élément réel

Les coordonnées du point piloté Pi, c’est-à-dire les composantes du vecteur 7OPi, sont donc lues par la machine au moment exact du contact. Or ce qui intéresse l’opérateur ce sont les coordonnées du point Ci qui correspondent à celles du point Mi qui appartient à la surface réelle, nous pouvons alors écrire : 7OCi = 7OPi + 7PiCi (figure 6.5). Il est donc nécessaire de fournir à la machine les composantes du vecteur 6PCi afin de permettre à celle-ci d’effectuer le calcul. Si nous appelons Ti le centre de la bille de palpage au moment du contact, nous pourrons écrire : 7PiCi = 7PiTi + 8TiCi. y Pi

Surface réelle

Mr i

¥Ti

Ci

O x z

Figure 6.5 – Saisie tactile d’un point Mri appartenant à une surface réelle.

m Détermination du vecteur 6TC M Norme de 6TC

La norme du vecteur 7TC est naturellement égale au rayon de la bille de palpage. Bien entendu il sera indispensable que tous les rayons de celleci soient identiques c’est-à-dire qu’elle présente un défaut de sphéricité négligeable. En raison des différents éléments intermédiaires que l’on doit placer pour des raisons pratiques entre le point piloté et la touche de palpage (tête de mesure, support, corps du palpeur, rallonges…). Il est plus efficace de déterminer la valeur de la norme de 6TC réellement 124

6 • Mesure tridimensionnelle

6.3 Saisie de points appartenant à l’élément réel

prise en compte en mesurant un volume étalon, généralement une sphère de diamètre connu (figure 6.6) ou plus rarement un cube étalon considéré comme parfait. Rappelons que le but de l’opération est de connaître le diamètre de la bille de palpage d pris en compte par la machine, on fait tout d’abord l’hypothèse que ce diamètre est égal à une valeur d’avec d¢ = d + ε, ε étant l’erreur que l’on commet en approximant d par d’. On mesure ensuite une sphère étalon parfaite de diamètre D connu en n points, à chaque point de contact bille sphère Ci correspond une position du centre de la bille de palpage Ti. La machine détermine ensuite par calcul une sphère associée aux n points Ti, sphère dont le diamètre sera égal à M, il lui suffira alors de soustraire à ce diamètre M la grandeur d¢ pour obtenir la valeur d’un diamètre D¢ qui correspond au résultat de la mesure de la sphère étalon avec une touche sphérique de diamètre d’. Nous aurons alors : D¢ = M – d Æ D¢ = M –(d + e). Or en réalité D¢ devrait être égal à D = M – d (D, diamètre connu de la sphère étalon) d’où D – D¢ = e, ce qui permet de déterminer la valeur exacte de d que devra utiliser la machine dans ses calculs en faisant : d = d¢ – e.

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Touche de palpage de diamètre d

Ti Ci

Sphère étalon de diamètre D

Sphère de diamètre M associée aux n points Ti

Figure 6.6 – Détermination pratique du rayon de la bille de palpage. 125

6 • Mesure tridimensionnelle

6.3 Saisie de points appartenant à l’élément réel

M Direction et sens de 6TC

La direction et le sens de 6TC seront déterminés après association. Prenons comme exemple le cas de la mesure d’une ligne prétendument droite. Après la saisie de n points Ci appartenant à la ligne à mesurer, la machine va associer une droite aux n points Ti correspondants aux positions successives du centre de la bille de palpage ; elle déplacera ensuite cette droite vers l’élément réel (sens du déplacement) d’une distance égale au rayon de la bille dans une direction normale à l’élément associé. Cette direction sera assimilée à la direction du vecteur 6TC (figure 6.7), la droite déplacée étant assimilée à la droite associée aux n points de contact Ci. Droite associée aux n centre de bille Ti

Ti Ci

Direction deTC

Ligne réelle à mesurer

Droite associée aux n points C i appartenant à la ligne réelle

Figure 6.7 – Détermination de la direction du vecteur 6TC.

6 T m Détermination du vecteur P M Cas où l’on utilise un seul palpeur

Dans le cas où l’utilisation d’un seul palpeur est suffisante, c’est-à-dire dans le cas où le vecteur 6PT sera constant, il n’est pas nécessaire de tenir compte de ce vecteur. En effet quelle que soit la valeur de 6PT on constate que toutes les positions prises par les points Ti subiront une translation rectiligne égale à 6TP. L’exemple représenté par la figure 6.8 montre qu’une translation 6TP effectuée sur les points de mesure Ti des sommets d’un triangle quelconque ne modifie absolument pas la forme et les dimensions de celui-ci, et donc que le fait d’ignorer le vecteur 6PT ne perturbera absolument pas les résultats des mesures. 126

6 • Mesure tridimensionnelle

6.3 Saisie de points appartenant à l’élément réel

P2

P1

T2

P3

T1

T3

Figure 6.8 – Lorsque 6TP est constant l’élément mesuré subit une translation rectiligne.

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M Cas où il est nécessaire d’utiliser plusieurs palpeurs

Par contre il peut arriver que, notamment pour des raisons d’accessibilité aux différentes surfaces mesurées, il soit nécessaire d’utiliser plusieurs palpeurs pour réaliser la mesure d’un produit industriel. Par plusieurs palpeurs il faut entendre non seulement le cas où le changement du palpeur sera effectif (manuellement ou automatiquement) mais aussi lorsque l’on devra utiliser des palpeurs à touches multiples (touches étoiles – photo 6.9a), ou employer des systèmes permettant des mises en positions différentes pour un même palpeur (têtes orientables – photo 6.9b). C’est-à-dire toutes les situations dans lesquelles le vecteur 6TP ne restera pas constant pendant toutes les opérations de a

b

Figure 6.9 – Utilisation de palpeurs à touches multiples. 127

6 • Mesure tridimensionnelle

6.3 Saisie de points appartenant à l’élément réel

mesure. Naturellement, dans tous ces cas il ne sera plus possible d’ignorer les caractéristiques du vecteur 6TP (figure 6.10).

Point piloté P

Palpeur 2

Figure 6.10 – Qualification de deux touches différentes.

T2 Palpeur 1

PT1 ≠ PT2 T1

C’est lors de la qualification de chaque palpeur ou de chaque touche de palpeur que seront déterminées, en même temps que les diamètres réellement pris en compte, les caractéristiques d’un vecteur appelé 9On,O1 permettant de corriger toutes les mesures effectuées avec le palpeur Tn afin de les translater dans la zone de calcul du palpeur T1, considéré alors comme étant le palpeur de référence (figures 6.11 et 6.12) et de pouvoir manipuler entre eux les résultats obtenus en utilisant les différentes touches. m Détection du point de contact

Que les machines à mesurer point à point soient des machines à déplacements manuels ou automatisés, il est impératif de détecter avec le maximum de rigueur l’instant précis où la touche du palpeur entre en contact avec la surface à explorer. À cet instant, le système de lecture des déplacements relèvera les coordonnées du point piloté P afin de pouvoir calculer les coordonnées du point C (donc de Mr) dans le référentiel de mesure. Le signal reçu provoquera également l’arrêt des déplacements motorisés afin d’éviter la détérioration des organes de palpage. Dans la pratique on utilise deux types de palpeurs permettant de déceler l’instant exact du contact. 128

6 • Mesure tridimensionnelle

Ti1 lors

Lieu du point de la qualification du palpeur 1

6.3 Saisie de points appartenant à l’élément réel

Lieu du point Pi lors de la qualification du palpeur 1

1

O

Vecteur de correction O 2,O 1

O2

Lieu du point T j2 lors Lieu du point Pj lors de la

de la qualification du palpeur 2

qualification du palpeur 2 Sphère étalon fixe dans le référentiel de mesure

Figure 6.11 – Principe de qualification de deux touches T1 et T2.

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P21 P11

T11

P32corrigé T21

T32

Les points 1 et 2 sont mesurés avec le palpeur 1. P se trouve alors respectivement en P11 et en P21, le point 3 est mesuré avec le palpeur 2, au moment de la mesure P 2 2 se trouve en P 3 , en appliquant à P 3 une 2 1 correction O ,O ce point se retrouvera en P32corrigé ce qui permettra alors de reconstituer l’objet mesuré sans modification des formes et des dimensions de celui-ci.

P32

Figure 6.12 – Correction d’une mesure effectuée avec la touche 2.

129

6 • Mesure tridimensionnelle

6.3 Saisie de points appartenant à l’élément réel

M Palpeurs dynamiques

On appelle palpeur dynamique un palpeur qui se déplace à vitesse constante en direction de la surface à mesurer et qui déclenche à la volée un signal au moment précis où la touche entre en contact avec l’élément exploré (figure 6.13). Lorsque la machine reçoit ce signal, elle enregistre les coordonnées du point piloté P et stoppe le déplacement du palpeur afin d’éviter sa dégradation. Déplacement Corps

Contacts mécaniques et électriques

Capteur

Pièce

Touche sphérique

Figure 6.13 – Principe de fonctionnement d’un palpeur dynamique.

Concrètement, la solution la plus souvent mise en œuvre consiste à réaliser une liaison isostatique entre le capteur et le corps (généralement une liaison de BOYS, c’est-à-dire un tripode en appui sur six billes) dans laquelle un contact électrique de faible puissance est associé à chacun des six contacts mécaniques. Lorsque la touche vient au contact de la surface à mesurer, le capteur étant considéré comme rigoureusement indéformable, il se produit la rupture du contact sur au moins un point d’appui de la liaison isostatique ce qui entraîne alors l’apparition du signal électrique désiré. Les avantages de la mesure à la volée sont : le faible 130

6 • Mesure tridimensionnelle

6.3 Saisie de points appartenant à l’élément réel

encombrement du palpeur, la relativement grande vitesse d’acquisition possible (de l’ordre de 0,5 m/mn), le coût modéré de l’équipement et la robustesse de celui-ci. Par contre l’incertitude élargie due à la répétabilité du palpeur est de l’ordre de 4 µm. Des capteurs à technologie piézoélectrique à quartz présentent les mêmes avantages que le type de capteur décrit précédemment moins la robustesse mais avec une incertitude élargie inférieure à 2 µm. M Palpeurs statiques

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Toutes les têtes de mesure statique sont basées sur le même principe, à savoir un parallélogramme flexible qui réalise pour de faibles déplacements une liaison sans jeux ni frottements, voir figure 6.14. Un double système de mesure permet de réguler l’effort de contact et de mesurer le déplacement induit par celui-ci. Il suffit alors d’empiler trois équipements identiques perpendiculaires entre eux pour obtenir la mesure des déviations du palpeur suivant les trois axes de mesure. Selon le type de tête utilisé deux systèmes peuvent être envisagés : – Les têtes à point zéro : le capteur oscille jusqu’à atteindre une position d’équilibre au point zéro ; à ce moment la machine stoppe les déplacements et relève les coordonnées exactes du point P. Déplacement 0 Mesure du déplacement Contrôle de l’effort

Touche sphérique

Pièce

Figure 6.14 – Principe de fonctionnement d’un palpeur statique. 131

6 • Mesure tridimensionnelle

6.3 Saisie de points appartenant à l’élément réel

– Les têtes mesurantes : tant que les mouvements du palpeur restent dans les limites fixées (environ 2,5 mm) le calculateur ajoute les déplacements lus sur chaque axe de la tête à ceux lus sur chacun des axes de la machine afin de déterminer les coordonnées exactes du point P. L’intérêt que présente l’utilisation des têtes statiques est, d’une part une incertitude de mesure inférieure à celle que l’on observe sur les têtes dynamiques (U = 1 µm, voire moins) et d’autre part de pouvoir éventuellement réaliser des mesures en continu. Par contre, leur coût est élevé, elles sont relativement fragiles et dans le cas des têtes à point zéro le temps de réponse est allongé (recherche du point d’équilibre).

6.3.2 Système de palpage en continu par scanning Le procédé de scanning ou mesure en continu n’est possible, comme nous l’avons vu, qu’avec une tête de mesure statique. Il consiste à parcourir des lignes sur la surface à mesurer et à relever à intervalles, réguliers ou non (pas de digitalisation) les coordonnées du point de contact courant. C’est un moyen qui permet d’explorer des surfaces de formes complexes (aubes de turbines, pales d’hélice, éléments de carrosserie…) et d’en mesurer leur forme et leurs défauts avec une bonne résolution surtout lorsque le pas de mesure est faible. À noter que si l’exploration est linéairement continue, elle est forcément discontinue d’une ligne à l’autre (pas de mesure) et chaque ligne étant elle-même digitalisée, l’élément extrait obtenu se présente donc bien toujours sous la forme d’un nuage de n points (voir figure 6.15). Pas de digitalisation

Pas de mesure

Direction de scanning

Figure 6.15 – Acquisition d’une surface extraite par scanning. 132

6 • Mesure tridimensionnelle

6.3 Saisie de points appartenant à l’élément réel

6.3.3 Saisie par palpeurs sans contact Les capteurs optiques bien que moins universels que les capteurs à contact et donnant dans le cas de la mesure tridimensionnelle des résultats généralement affectés d’une incertitude plus importante, permettent toutefois d’obtenir une bonne connaissance de la macrogéométrie des surfaces. Ils sont indispensables pour mesurer des surfaces trop souples qui seraient susceptibles d’être déformées par un contact mécanique et présentent également l’avantage d’accepter des vitesses de balayage très importantes. Par contre, leur réponse varie en fonction des qualités optiques de la surface explorée. Les surfaces diffusantes donnent les meilleurs résultats, l’optimum étant une surface mate et blanche, alors qu’une surface très réfléchissante sera difficilement mesurable. Le dépôt d’une fine couche régulière d’un dépôt approprié peut grandement améliorer les résultats. On distingue principalement deux types de capteurs optiques. m Mesure de points par triangulation

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Un capteur optique par triangulation est formé d’un émetteur (généralement une diode laser) qui éclaire la surface à explorer par un rayon de lumière cohérente, et d’un récepteur linéaire (une barrette CCD) qui mesure la hauteur de la tache lumineuse (voir figures 6.16 et 6.17).

Figure 6.16 – Tête de mesure optique par triangulation. 133

6 • Mesure tridimensionnelle

6.3 Saisie de points appartenant à l’élément réel

Déviation angulaire α lue par le récepteur Récepteur Objectif h

Tête de mesure Emetteur

Etendue de mesure Référence angulaire ϕ

Mi Pièce

Distance mesurée d

Figure 6.17 – Principe de mesure de la tête de mesure optique par triangulation.

L’angle j et la hauteur h sont des constantes du capteur. La mesure de la déviation a permet de connaître la distance mesurée d à partir des propriétés du triangle rectangle. Naturellement un étalonnage préalable sur une sphère étalon est nécessaire afin de paramétrer le système et de retrouver les coordonnées de Mi dans le référentiel machine. Sur ce type de tête, l’étendue de mesure est de l’ordre de 50 mm et la résolution de quelques dizaines de microns en fonction des qualités optiques de la surface observée. La commande numérique de la machine permet d’explorer des surfaces de formes complexes et de grandes dimensions sans sortir de l’étendue de mesure. Ce modèle de capteur permet la mesure aussi bien en point à point qu’en scanning. m Mesure par digitalisation d’un profil optique

Ce procédé consiste à couper la surface à explorer par un plan optique matérialisé par un balayage laser, puis à relever les profils obtenus par caméra CCD (figure 6.18) et enfin à digitaliser ces profils. Généralement, les systèmes industriels comportent deux caméras qui combinent leurs résultats afin de visualiser des parties qui pourraient être cachées à l’une d’entre elle (concavité, contre-dépouille…). Naturellement, un étalonnage préalable sur une sphère est indispensable avant toute nouvelle utilisation. 134

6 • Mesure tridimensionnelle

6.3 Saisie de points appartenant à l’élément réel

Déplacement Caméra CCD A

Caméra CCD B

Plan laser Profondeur de champ

Profils obtenus

Largeur d’exploration Figure 6.18 – Principe de mesure par digitalisation d’un profil optique.

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On sait qu’une caméra CCD est une sorte de grille qui permet de repérer un point présent ou absent (pixel) sur une maille de la grille. La résolution du système sera donc directement fonction du nombre et de la taille des pixels de la caméra CCD utilisée (figure 6.19). Elle sera

Profil visualisé par une caméra CCD

Profil digitalisé par une caméra CCD Figure 6.19 – Principe de la digitalisation par une caméra CCD. 135

6 • Mesure tridimensionnelle

6.3 Saisie de points appartenant à l’élément réel

également fonction, comme nous l’avons déjà signalé, des qualités optiques de la surface mesurée sur les systèmes actuellement employés en mesure industrielle. L’incertitude relevée est de quelques dizaines de microns.

6.3.4 Détermination de la normale au point mesuré Lorsque l’on veut contrôler une surface (la forme théorique de cette surface étant connue), il est possible de donner à la machine les valeurs des cosinus directeurs de la normale à l’élément de surface entourant le point mesuré afin que le contact se fasse aussi rigoureusement que possible et avec un minimum de glissement. Il en va différemment lorsque l’on veut mesurer une surface totalement inconnue, dans ce cas on peut envisager deux hypothèses. m Surface digitalisée avec un pas de petite longueur

Lorsque le pas de digitalisation de la surface est faible, de l’ordre du millimètre, il est facile à la machine de déterminer un élément plan approchant l’élément de surface entourant chaque point mesuré à partir de trois points voisins (figure 6.20) puis de calculer la direction de la normale à ce plan. ni Mi

Figure 6.20 – Approximation de la normale locale pour une surface digitalisée.

m Surface saisie en point à point

Lorsque la surface à été saisie en point à point, que l’acquisition ait été tactile ou optique, un sous-programme présent sur la plupart des logiciels 136

6 • Mesure tridimensionnelle

6.4 Exemple de gamme de contrôle en mesure tridimensionnelle

de calcul permet de déterminer avec une assez bonne approximation une direction pour la normale recherchée. La machine détermine un triangle équilatéral centré sur le point mesuré Mi en effectuant le palpage de trois points équidistants autour de ce point (figure 6.21). La normale au plan défini par ce triangle est assimilée à la normale à l’élément de surface réel. ni Mi

Figure 6.21 – Détermination de la normale à l’élément de surface entourant un point mesuré.

6.4 Exemple de gamme de contrôle en mesure tridimensionnelle © Dunod – La photocopie non autorisée est un délit.

6.4.1 Structure d’une gamme de mesure Une gamme de mesure sur machine à mesurer tridimensionnelle comportera toujours trois parties distinctes. Ces parties ne se succédent pas forcément les unes aux autres mais peuvent être imbriquées entre elles. m 1re partie : saisie des éléments géométriques réels

Il sera tout d’abord nécessaire de faire connaître à la machine tous les éléments constituant l’objet observé dont elle aura besoin pour définir les caractéristiques géométriques à mesurer. Généralement, ces éléments réels sont des surfaces dont on connaît la forme théorique. Cette information se présentera toujours sous la forme d’un élément extrait, c’està-dire des coordonnées d’un certain nombre n de points appartenant à la surface réelle dans le référentiel de mesure. La position et le nombre 137

6 • Mesure tridimensionnelle

6.4 Exemple de gamme de contrôle en mesure tridimensionnelle

de ces points est choisie par le métrologue en fonction de la finesse avec laquelle il veut connaître l’élément ainsi que du temps et des moyens qu’il souhaite consacrer à la mesure. Le calculateur de la machine réalisera ensuite l’association de l’élément théorique souhaité au nuage de points obtenu. Le critère d’association retenu dépendra, soit de la cotation lorsqu’il s’agira d’un contrôle, soit de la fonction que doit remplir la surface mesurée si l’on ne possède pas d’autres informations particulières la concernant. L’élément réel est donc connu de la machine par l’intermédiaire de son élément associé qui sera le modèle géométrique que va utiliser le calculateur dans la suite des opérations. L’association permettra à la machine de calculer le défaut de forme de l’élément réel, le calculateur conservant en mémoire l’équation de l’élément associé dans le référentiel de mesure en vue d’utiliser cette information pour des traitements ultérieurs. m 2e partie : construction d’éléments géométriques virtuels

À partir des éléments géométriques déjà connus par la machine, il sera souvent nécessaire de construire d’autres éléments géométriques afin de permettre la caractérisation d’un objet réel. Ce pourra être par exemple la droite intersection de deux plans, le point intersection d’un axe avec un plan, ou la projection de ce point intersection sur un autre plan. Naturellement, ce sont les spécifications que l’on veut mesurer ou contrôler qui détermineront le nombre et la nature des différents éléments géométriques à construire. m 3e partie : les questions posées à la machine

Il ne restera plus alors qu’à demander à la machine de calculer les grandeurs que l’on veut connaître et qui permettront de définir la géométrie de l’objet mesuré. Ce seront par exemple des calculs d’angles entre différents éléments géométriques (droites ou plan) réels ou construits, ou bien des distances entre d’autres éléments géométriques (plans, centres de cercles, axes de cylindres ou de cônes…). Là encore, ce seront les informations que l’on veut connaître qui fourniront les questions à poser. 138

6 • Mesure tridimensionnelle

6.4 Exemple de gamme de contrôle en mesure tridimensionnelle

6.4.2 Exemple de mesure sur MMT Pour illustrer ce qui vient d’être exposé précédemment, nous proposons d’étudier brièvement la gamme de mesure, sur une machine à mesurer tridimensionnelle, des spécifications géométriques indiquées sur l’exemple représenté par la figure 6.22. Il s’agit de mesurer un alésage de diamètre spécifié 28 H8 dont la localisation est donnée à partir d’un système de références ordonnées A, B, C. 30

∅ 28 H8 E

∅ 0,2

A

B

C

C

40

A

© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit.

B

Figure 6.22 – Spécifications géométriques à contrôler.

m Saisie des éléments réels

L’examen de la cotation nous indique que quatre éléments réels doivent être impérativement connus par la machine, trois éléments prétendument plans, les faces A, B, et C, ainsi que l’alésage de diamètre 28 mm. L’ordre dans lequel ces éléments doivent être saisis est sans importance : l’opérateur choisira selon les critères qu’il jugera les mieux appropriés, en décidant peut-être d’optimiser les déplacements de la machine. On commencera par exemple par saisir un certain nombre de points appartenant à la surface A. L’élément géométrique devant être associé à ces 139

6 • Mesure tridimensionnelle

6.4 Exemple de gamme de contrôle en mesure tridimensionnelle

points étant un plan, la géométrie nous impose de connaître un minimum de trois points, suivant la connaissance de la géométrie réelle de l’élément que veut avoir l’opérateur. Suivant l’utilisation qu’il souhaite en faire par la suite, ce nombre de points sera plus ou moins important, le bon sens suggère de les choisir régulièrement répartis sur la surface réelle. Une fois cette opération réalisée on demandera à la machine d’associer un plan au nuage de points obtenu. Le critère d’association semblant le plus approprié à la cotation proposée nous paraît être l’enveloppe, mais une association selon les moindres carrés ne modifierait probablement pas les résultats ultérieurs de façon notable. La machine connaîtra alors la surface A par l’intermédiaire du plan 1 qui lui est associé. La même démarche sera utilisée en ce qui concerne les surfaces B et C qui seront connues par les plans qui leur seront respectivement associés 2 et 3. À noter que l’association peut, si besoin est, permettre de déterminer le défaut de planéité de chacune des surfaces réelles mesurées. Un certain nombre de points seront ensuite saisis dans l’alésage de diamètre 28 mm. Cinq points sont indispensables du point de vue géométrique, mais là encore un nombre de points important régulièrement répartis dans l’alésage nous en fournira une meilleure image. Un cylindre théorique sera ensuite associé au nuage de points mesurés (cylindre 1). Le critère de l’enveloppe (cylindre inscrit) devra être privilégié en raison de l’exigence du principe de l’enveloppe utilisé pour l’indication du diamètre (lettre E). Le cylindre associé possède un axe de révolution qui semble tout à fait convenir pour modéliser l’axe de l’alésage. On peut également considérer que le diamètre du cylindre associé peut être assimilé au diamètre de l’alésage surtout si le défaut de cylindricité de l’alésage est faible. Toutefois on notera bien qu’il s’agit d’une valeur moyenne du diamètre et que cela n’est pas conforme aux exigences imposées par la normalisation. Un examen un peu plus complet de la cotation fait ressortir que les caractéristiques de l’alésage, notamment sa position, doivent être mesurées sur sa longueur totale et qu’il serait donc nécessaire d’indiquer à la machine la position de la surface opposée à A de façon à pouvoir limiter le cylindre associé en longueur. Il faudrait donc saisir également cette surface qui serait alors modélisée par son plan associé, le plan 4. 140

6 • Mesure tridimensionnelle

6.4 Exemple de gamme de contrôle en mesure tridimensionnelle

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m Création d’éléments géométriques

La cotation de la position de l’alésage de diamètre 28 mm est donnée par rapport à un système de références ordonnées formé par les surfaces A, B et C. Dans ce cas, il serait opportun de construire un référentiel cartésien local à partir des trois plans associés à ces surfaces en respectant bien l’ordre imposé par la cotation. La direction de l’axe Oz serait prise normale au plan 1 (plan appui). On construirait ensuite la droite intersection du plan 2 avec le plan 1, ce qui fournirait alors la direction de l’axe Ox (orientation). La direction de l’axe Oy est alors automatiquement déterminée (pour un référentiel orthonormé Oy perpendiculaire à Ox et à Oz). L’origine du référentiel serait alors fournie par l’intersection de l’axe Oz avec le plan 1, l’intersection de l’axe Ox avec le plan 3 (butée) et l’intersection de l’axe Oy avec le plan 2. Le sens des axes sera généralement choisi de façon à ce que le trièdre formé par Ox, Oy, Oz soit un trièdre direct. On pourra ensuite construire dans ce référentiel le point de coordonnées (30, 40, 0) point 1, qui correspond à la position théorique de l’intersection de l’axe de l’alésage avec la surface A. Rappelons qu’une cote encadrée par un rectangle est une valeur théorique exacte et qu’elle ne comporte donc pas de tolérance. On établira alors la position réelle de l’axe de l’alésage en construisant : L’intersection de l’axe du cylindre 1 avec le plan 1 Æ Point 2. L’intersection de l’axe du cylindre 1 avec le plan 4 Æ Point 3. m Questions M Position de l’alésage

Pour que la position de l’alésage soit conforme aux exigences imposées par la cotation, son axe doit se situer à l’intérieur d’un cylindre de diamètre 0,2 mm, perpendiculaire à A et dont l’axe passe par le point 1 (voir spécification des éléments géométriques). Cette condition sera respectée si la distance entre le point 1 et le point 2 est inférieure ou égale à 0,1 mm, et si la distance entre le point 1 et la projection du 141

6 • Mesure tridimensionnelle

6.4 Exemple de gamme de contrôle en mesure tridimensionnelle

point 3 dans le plan 1 (point 4) est également inférieure ou égale à 0,1 mm (figure 6.23) dans ce cas aucun des points de l’axe du cylindre 1 ne sera à une distance supérieure à 0,1 mm de sa position théorique, la condition de localisation sera alors respectée. z

x

O Pt2

Pt4

y

Pt1 Axe du cylindre 1

Plan 4 Pt3

Figure 6.23 – Représentation géométrique de la mesure.

M Diamètre de l’alésage

La spécification du diamètre de l’alésage signifie que toutes les mesures entre deux points diamétralement opposés doivent être comprises entre 28 mm et 28,033 mm (28H8). L’exigence de l’enveloppe impose en plus que dans tous les cas, un cylindre parfait de diamètre 28 mm correspondant au maximum de matière puisse pénétrer dans l’alésage, ce qui conditionne donc son défaut de cylindricité. Ceci nous permet de compléter ce qui a été avancé précédemment : Le diamètre du cylindre associé (cylindre inscrit) doit impérativement être égal ou supérieur à 28 mm. 142

6 • Mesure tridimensionnelle

6.5 Bibliographie

Le diamètre du cylindre associé plus deux fois le défaut de cylindricité mesuré ne doit pas dépasser 28,033 mm. Cette dernière vérification peut être négligée lorsque le défaut de forme mesuré est faible devant la tolérance dimensionnelle.

6.5 Bibliographie

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[6.1] Métrologie par coordonnées, Partie 2 : Évaluation des performances des machines à mesurer tridimensionnelles, ISO 10 360-2, AFNOR, 1995. [6.2] Vérification périodique d’une machine à mesurer tridimensionnelle, J.-P. SENELAER, Club de la métrologie 1991. [6.3] Mesure sans contact, état de l’art, X. CARNIEL, J.-L. CHARRON, A. TROUVE, W. YOUSSEF, Éditions du CETIM. 1999. [6.4] Fabrication mécanique, partie 6 : La machine à mesurer tridimensionnelle, M. DURSAPT, Jeriko, Cours multimédia. 1995. [6.5] Informatique et métrologie, M. GONDRAN, Éducalivre.1990. [6.6] Techniques de mesure sur machines à mesurer tridimensionnelles, Groupe de travail métrologie du Grand Sud, Mouvement français pour la qualité. 1998.

143

7 • MESURE ET CARACTÉRISATION DES ÉTATS DE SURFACE

7.1 Généralités sur les défauts géométriques des surfaces

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7.1.1 Rappels et définitions Nous avons vu précédemment qu’une surface théorique était définie par le concepteur pour des raisons fonctionnelles et qu’elle correspondait à un modèle géométrique simple (plan, cylindre, sphère…), ou complexe. Nous avons rappelé également que la surface réelle obtenue en fabrication, quel que soit le procédé utilisé, est toujours une surface de forme quelconque qui va donc présenter un certain nombre d’irrégularités qui font que cette surface réelle s’écarte plus ou moins de sa forme théorique. L’observation attentive d’une surface réelle montre que ces irrégularités peuvent présenter des amplitudes et des pas très divers. La normalisation en vigueur classe arbitrairement les défauts géométriques des surfaces dans quatre ordres en fonction de leur importance : – Défauts du premier ordre : défauts de forme. – Défauts du deuxième ordre : défauts d’ondulation. – Défauts du troisième et du quatrième ordre : défauts de rugosité. Les défauts de forme proviennent généralement, soit des anomalies géométriques des machines et des outillages utilisés lors de la réalisation de la surface, soit des déformations de la pièce supportant la surface observée 145

7 • Mesure et caractérisation des états de surface

7.1 Généralités sur les défauts géométriques des surfaces

elle-même ; déformations qui peuvent être permanentes ou évolutives et qui sont causées notamment par des contraintes d’origine mécanique ou thermique. La mesure et la caractérisation de ce type de défauts ne seront pas étudiées dans ce chapitre puisque nous les avons évoqués précédemment et que nous sommes donc capables de les évaluer de façon plus ou moins satisfaisante. Les défauts d’ondulation sont eux le plus souvent générés par les phénomènes vibratoires qu’occasionnent toujours les procédés mis en œuvre lors de l’obtention de la surface. Ils peuvent également avoir pour origine des causes particulières liées à certains procédés de fabrication (avance par tour dans certains cas de fraisage par exemple). Ce sont des irrégularités périodiques que l’on qualifiera de basse fréquence. Les défauts de rugosité du troisième ordre sont eux directement issus du mode de réalisation de la surface (géométrie de la partie active de l’outil, vitesse d’avance, grosseur de grain d’abrasif…) ce sont des défauts pseudo-périodiques mais de fréquence plus élevée et d’amplitude généralement plus faible que ceux que l’on a classée parmi les ondulations. Les défauts de rugosité du quatrième ordre sont des petites irrégularités (piqûres, arrachements…) apparaissant en relief ou en creux sur une surface de façon totalement anarchique. Leurs causes sont accidentelles et peuvent se produire lors de la réalisation, des manipulations ou du fonctionnement des surfaces (chocs, rayures…). À noter que les irrégularités classées en ondulations et en rugosité sont bien entendu elles aussi des défauts de forme, mais qu’elles sont observées à une échelle beaucoup plus petite que les irrégularités classées dans le premier ordre. Ce sont ces ondulations et ces rugosités que l’on appelle en mécanique les défauts d’état de surface. m 7.1.2 Profil d’une surface

On appelle profil d’une surface l’intersection de cette surface avec un plan défini qui lui est généralement perpendiculaire ou qui est perpendiculaire au plan tangent à la surface à l’endroit considéré (figure 7.1). Suivant la forme théorique de la surface analysée on connaît la forme que devrait théoriquement présenter le profil (droite, cercle, ellipse…). L’analyse de l’un de ses profils peut nous aider à caractériser la géométrie 146

7 • Mesure et caractérisation des états de surface

7.1 Généralités sur les défauts géométriques des surfaces

locale d’une surface, de même que le réassemblage de plusieurs de ses profils peut nous permettre de reconstituer une surface. Plan de coupe

Profil

Surface

Support Figure 7.1 – Profil d’une surface.

m Profil brut

On appelle profil brut le profil tel qu’il apparaît dans la réalité. Il est constitué de la somme de sa composante de forme, de sa composante d’ondulation, et de sa composante de rugosité (voir figure 7.2).

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300 µm 200 µm 100 µm 0 0

2,5

5

7,5

10 mm

Figure 7.2 – Image d’un profil brut issu d’une surface théoriquement plane.

m Composante de forme

Des techniques sur lesquelles nous reviendrons par la suite permettent de faire un tri entre les différentes composantes d’un profil. La figure 7.3 représente la composante de forme du profil précédent, c’est-à-dire celle 147

7 • Mesure et caractérisation des états de surface

7.1 Généralités sur les défauts géométriques des surfaces

qui fait apparaître la différence entre la forme réelle du profil et sa forme théorique qui dans l’exemple choisi devrait être une droite. On observe un bombé d’environ quatre cents microns de hauteur. 300 µm 200 µm 100 µm 0 0

2,5

5

7,5

10 mm

Figure 7.3 – Composante de forme du profil observé.

m Composante d’ondulation

La figure 7.4 représente la composante d’ondulation du profil. Elle fait apparaître une succession de petites irrégularités d’une vingtaine de microns de hauteur et d’un pas d’environ 1,10 mm réparties à peu près régulièrement le long de la forme du profil. 300 µm 200 µm

pas

100 µm 0 0

2,5

5

7,5

10 mm

Figure 7.4 – Composante de l’ondulation du profil observé.

m Composante de rugosité

La figure 7.5 représente la composante de la rugosité du profil. Cette rugosité est constituée d’un grand nombre d’irrégularités de hauteurs variant de quelques microns à quelques dizaines de microns et dont les pas sont compris entre quelques dizaines et quelques centaines de microns. 148

7 • Mesure et caractérisation des états de surface

7.2 Relevé d’un profil sur une surface réelle

40 µm 30 µm 20 µm 10 µm 0 0

2,5

5

7,5

10 mm

Figure 7.5 – Composante de la rugosité du profil observé.

7.2 Relevé d’un profil sur une surface réelle Il existe des appareils appelés profilomètres qui permettent de récupérer, sous la forme d’un signal électrique, un profil appartenant à une surface quelconque. L’analyse du signal obtenu permettra par la suite de quantifier ce profil.

7.2.1 Saisie du profil d’une surface

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m Filtrage mécanique

La saisie du profil consiste à déplacer un palpeur le long de ce profil et d’en mesurer les déplacements verticaux en fonction de sa position horizontale. Elle se fait soit par un procédé tactile soit par un procédé optique. Quelle que soit la nature du palpeur employé il se produira toujours un effet de filtrage de l’information lors de l’acquisition de celle-ci, c’est-à-dire qu’une partie de l’information ne sera pas prise en compte par le capteur. Nous voyons sur la figure 7.6 un schéma représentant la saisie tactile d’un profil dont les irrégularités de rugosité périodiques ont une profondeur r de 15 microns et un pas p de 200 microns. Sur la partie gauche de la figure, nous observons que l’emploi d’un palpeur sphérique de rayon R nous donnerait une valeur de profondeur d’irrégularité mesurée u pour une profondeur réelle r, c’est-à-dire que le palpeur sphérique filtrerait l’information d’une valeur (r – u). Nous voyons que l’effet du filtrage sera d’autant plus important que R sera grand et que le pas des irrégularités sera petit, par exemple si R = 1 500 µm (le 149

7 • Mesure et caractérisation des états de surface

7.2 Relevé d’un profil sur une surface réelle

Palpeur sphérique De rayon R

u

r

Palpeur conique

p Figure 7.6 – Saisie tactile d’un profil de rugosité.

diamètre de la touche équipant habituellement la plupart des comparateurs est de 3 mm) nous aurons pour un pas p de 200 microns : 2 2 p 2 R = ⎛ ---⎞ + ( r – u ) ⎝ 2⎠

soit u = 3 µm environ, d’où un filtrage de près de quatre-vingts pour cent de l’information. Par contre nous observons dans la partie droite de la figure que l’utilisation d’un palpeur conique, quel que soit son angle au sommet, n’aurait quasiment pas provoqué de filtrage mécanique de la mesure. À noter que dans la réalité le palpeur n’est jamais un cône parfait, c’est-à-dire qu’il présentera toujours un léger rayon à son sommet et que ce rayon provoquera bien évidemment un filtrage mécanique, mais à une échelle beaucoup plus petite que celle représentée sur la figure. On admet en première approximation que les irrégularités dont le pas est inférieur au rayon de bec du palpeur ne sont pas prises en compte par celui-ci. Les palpeurs employés en profilométrie sont généralement des cônes à pointe de diamant dont le rayon de bec est compris entre 1 µm et 10 µm. Dans le cas de l’utilisation de méthodes optiques, l’altitude des points du profil est mesurée à partir de celle de la tache de focalisation d’un faisceau lumineux sur la surface explorée. Le faisceau va en réalité focaliser sur une altitude moyenne des aspérités de rugosité locales. On admet que les irrégularités dont le pas est inférieur au rayon de la tache de focalisation seront filtrées mécaniquement lors de l’acquisition. 150

7 • Mesure et caractérisation des états de surface

7.2 Relevé d’un profil sur une surface réelle

m Référence de mesure

L’exploration du profil se fait en déplaçant le palpeur dans la direction générale du profil, selon le type des appareils utilisés les écarts verticaux sont mesurés, soit par rapport à une référence externe idéale, soit à partir de l’enveloppe du profil mesuré. M Mesure par rapport à une référence externe

Le mieux est de réaliser la saisie des altitudes des points du profil à partir d’une référence linéaire parfaite (axe x). Cela permettra de connaître la totalité des défauts du profil. Cette configuration, dont une application est représentée par la figure 7.7, est celle que l’on trouve sur tous les appareils performants actuellement disponibles sur le marché. Elle a été rendue possible par la conception et la fabrication de palpeurs possédant à la fois Stylet

Bras

Mouvement d’avance

Profil

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Plan idéal matérialisant une référence linéaire parfaite

x

Figure 7.7 – Saisie d’un profil à partir d’une référence externe. 151

7 • Mesure et caractérisation des états de surface

7.2 Relevé d’un profil sur une surface réelle

une excellente résolution (quelques nanomètres) ainsi qu’une grande amplitude de mesure (plusieurs millimètres). M Mesure par rapport à l’enveloppe du profil

Compte tenu des faibles hauteurs des aspérités à mesurer, les capteurs employés pour la saisie des profils d’états de surface doivent avoir une très bonne résolution. Les défauts de forme des surfaces sur lesquelles sont mesurés ces profils peuvent être d’amplitudes bien supérieures. Pendant longtemps les fabricants concernés avaient beaucoup de difficultés pour proposer des palpeurs possédant à la fois une bonne résolution et une grande amplitude de mesure, c’est la raison qui nécessita la mise au point des capteurs à patin : la solution retenue consiste à faire glisser un patin solidaire du bras articulé supportant le palpeur le long du profil afin de mesurer les écarts verticaux à partir de ce patin (figure 7.8). Ce système Stylet

Bras

Patin Mouvement d’avance

x Profil

Figure 7.8 – Saisie d’un profil à partir d’une référence interne. 152

7 • Mesure et caractérisation des états de surface

7.2 Relevé d’un profil sur une surface réelle

permet de filtrer mécaniquement les défauts de forme et d’éviter ainsi la saturation du capteur, celui-ci ne prenant plus alors en compte que les écarts de faible amplitude et de pas réduits correspondants à l’ondulation et à la rugosité.

7.2.2 Amplification du signal Les écarts dus aux irrégularités d’un profil sont généralement très faibles (quelques microns, parfois moins). Le rôle du capteur sera de les transformer en signaux électriques afin de pouvoir les amplifier puis de pouvoir les traiter et d’être ainsi en mesure de calculer des paramètres permettant de caractériser ce profil. On retrouve les technologies d’amplification habituellement utilisées pour les mesures de longueurs dans les capteurs de mesure d’état de surface. m Capteur inductif

Les écarts verticaux du palpeur sont transformés en signaux électriques en utilisant le phénomène de variation d’induction électromagnétique provoqué par le déplacement d’un noyau de ferrite à l’intérieur d’une bobine. C’est le système le plus employé en raison de sa très bonne résolution et des grandes amplitudes de mesure possibles (figure 7.9).

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Bobine

Déplacement Profil

Figure 7.9 – Schéma de principe d’un capteur à amplification inductive.

m Capteur optoélectronique

Les déplacements verticaux du palpeur sont transformés en signaux électriques par l’intermédiaire d’une cellule photoélectrique dont 153

7 • Mesure et caractérisation des états de surface

7.2 Relevé d’un profil sur une surface réelle

l’orientation par rapport à l’axe d’un faisceau lumineux varie avec l’altitude du palpeur (figure 7.10). Cette variation d’inclinaison provoque la variation de la quantité de lumière reçue par la cellule et donc celle de l’intensité du courant produit. Rayon lumineux Cellule photoélectrique

Déplacement Profil

Figure 7.10 – Schéma de principe d’un capteur à amplification optoélectronique.

m Capteur piézo-électrique

Les contraintes induites dans un monocristal de quartz par les déplacements verticaux du palpeur provoquent un signal électrique dû au phénomène piézo-électrique (figure 7.11). L’intensité du courant produit dépend de l’intensité des contraintes donc de l’amplitude des déformations du monocristal. Elément piézo-électrique

Déplacement Profil Figure 7.11 – Schéma de principe d’un capteur à amplification piézo-électrique. 154

7 • Mesure et caractérisation des états de surface

7.3 Observation et traitement du signal obtenu

7.3 Observation et traitement du signal obtenu 7.3.1 Forme et composition du signal Le signal électrique obtenu correspond donc à une image du profil exploré. Il se présente sous la forme d’une fonction exprimant l’altitude z des différents points du profil réel en fonction de leur position x le long du profil théorique (voir figure 7.12). Sur les premiers profilomètres apparus en Angleterre vers 1940 le signal se présentait sous une forme analogique ; depuis 1980 la plupart des appareils fournissent les profils sous une forme numérique. z

Rugosité

λr

Forme Ondulation

λo

x

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λf Figure 7.12 – Composantes du signal issu d’un profilomètre.

Comme nous l’avons précisé précédemment, ce signal, directement issu de la mesure que l’on appelle profil brut, contient généralement toutes les composantes du profil. On voit sur la figure 7.12 qu’il est facile de distinguer ces différentes composantes entre elles en considérant leur longueur d’onde. Les petites longueurs d’onde lr correspondent à la rugosité, les longueurs d’onde moyennes lo à l’ondulation et les grandes longueurs d’onde lf caractérisent le défaut de forme du profil. Naturellement les termes petites, moyennes ou grandes longueurs d’onde ne signifient rien dans l’absolu, les valeurs numériques seront choisies en 155

7 • Mesure et caractérisation des états de surface

7.3 Observation et traitement du signal obtenu

fonction des dimensions des surfaces mesurées et des informations proposées par la normalisation en vigueur [7.1]. On peut néanmoins prendre comme ordre de grandeur en première approximation : lr < 0,5 mm, 0,5 mm < lo < 2,5 mm et lf > 2,5 mm.

7.3.2 Anamorphose du signal En profilométrie, il est souvent intéressant d’observer l’allure générale des graphiques traduisant la forme des profils mesurés pour se faire une idée des caractéristiques de la surface dont ils sont issus. La profondeur des irrégularités de rugosité étant très faible (souvent de l’ordre du micron, voire moins), il est nécessaire d’amplifier considérablement le signal correspondant afin de disposer d’une image exploitable. Cependant, si nous conservons la même amplification pour l’échelle horizontale que celle choisie pour l’échelle verticale, nous allons nous retrouver devant des graphiques d’une longueur considérable et qui seront visuellement totalement inexploitables. C’est la raison pour laquelle des échelles différentes sont utilisées sur chacun des axes, ce qui fait que nous serons amenés à examiner des graphiques fortement anamorphosés ; ainsi le tracé du profil ci-dessous dont les aspérités nous paraissent être très escarpées présente en réalité des irrégularités relativement peu accidentées aux pentes très douces (figure 7.13). Ceci n’affecte bien entendu pas les Profil anamorphosé issu de l’appareil enregistreur 10 µm 7,5 µm 5 µm 2,5 µm 0 µm

0

1

2

3

4

5 mm

Forme réelle de l’aspérité

Figure 7.13 – Visualisation de l’anamorphose d’un profil de rugosité. 156

7 • Mesure et caractérisation des états de surface

7.3 Observation et traitement du signal obtenu

résultats des calculs effectués, mais pourrait nous amener à faire des interprétations totalement erronées quant à la réalité du profil considéré (géométrie des outils de coupe, forme des abrasifs, comportement des aspérités, etc.).

7.3.3 Filtrage du profil Si nous désirons séparer les différents ordres des défauts présents sur un profil, il sera nécessaire de filtrer celui-ci. Nous avons vu que l’utilisation d’un palpeur à patin pouvait déjà permettre de réaliser un filtrage mécanique des défauts de forme, mais la plupart du temps les profils seront acquis sans aucun filtrage mécanique (mesure sans patin) et le traitement se fera sur le signal obtenu (signal brut). La première opération consistera à redresser le profil. Ce redressement aura pour but de ramener la direction générale du profil dans une direction parallèle à l’axe Ox. Les électroniciens et les automaticiens sont très souvent confrontés aux problèmes posés par le filtrage d’un signal électrique. Ils ont donc mis au point un grand nombre de méthodes pour aborder efficacement ce genre de problèmes, ce sont des méthodes du même type qui seront employées en profilométrie.

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m Méthodes de filtrage utilisées en profilométrie

On sait qu’un signal périodique peut toujours être décomposé en une somme de signaux sinusoïdaux de différentes fréquences (séries de Fourrier). De nombreuses solutions basées sur cette propriété permettent de trier les différentes harmoniques d’un signal. Sans entrer dans le détail nous dirons qu’un filtre, quel qu’il soit, est caractérisé par : – Sa technologie : quel est le procédé pratique utilisé pour réaliser le filtrage ? Ce procédé peut être : mécanique, électronique, numérique, graphique… – Sa nature : le filtrage peut être, passe-bas, seuls les défauts de grande longueur d’onde seront conservés ; passe-haut, seuls seront conservés les défauts de petite longueur d’onde ; passe-bande, on conservera les défauts dont la longueur d’onde est comprise entre deux limites (bande passante). 157

7 • Mesure et caractérisation des états de surface

7.3 Observation et traitement du signal obtenu

– Sa longueur de coupure λc, ou cut-off : c’est la longueur, arbitrairement choisie, qui sera prise pour frontière entre les basses fréquences et les hautes fréquences. Le cut-off s’exprimera en millimètres. Le terme longueur de base utilisé en profilométrie est identique au terme longueur de coupure. La normalisation propose des valeurs préférentielles pour le choix de cette longueur de base (0,08 mm, 0,25 mm, 0,8 mm, 2,5 mm ou 8 mm). En l’absence de spécifications particulières c’est la valeur de 0,8 mm qui sera utilisée. La norme ISO 4288 nous impose de choisir une longueur d’évaluation du profil égale à cinq fois la longueur de coupure. La normalisation en vigueur reconnaît deux techniques de filtrage à utiliser prioritairement : le filtrage RC ISO lorsque l’on utilise des appareils analogiques, et le filtrage gaussien lorsque l’on travaille avec des profils numérisés ce qui est pratiquement toujours le cas avec les appareils actuels. m Utilisation d’un filtre passe-haut

L’élimination de la composante de basse fréquence (forme et ondulation) par un filtrage passe-haut de longueur de coupure 0,8 mm (figure 7.14) 300 µm 200 µm 100 µm 0 0

2,5

5

7,5

10 mm

Profil redressé, acquis sans aucun filtrage ni mécanique ni électrique 40 µm 30 µm 20 µm 10 µm 0 0

2,5

5

7,5

10 mm

Après application d’un filtre passe-haut de longueur de coupure 0,8 mm

Figure 7.14 – Visualisation de l’utilisation d’un filtre passe-haut. 158

7 • Mesure et caractérisation des états de surface

7.4 Critères principaux de chiffrage des défauts d’état de surface

permet d’amplifier l’échelle verticale et de mettre en évidence seulement les irrégularités relatives à la haute fréquence (rugosité). m Utilisation d’un filtre passe-bas

L’élimination de la composante de haute fréquence (rugosité) par un filtrage passe-bas de longueur de coupure 0,8 mm (figure 7.15) permet de mettre en évidence la composante d’ondulation du profil. 10 µm 7,5 µm 5 µm 2,5 µm 0

0

1

2

3

4

5 mm

Profil redressé, acquis sans aucun filtrage ni mécanique ni électrique 3 µm 2 µm 1 µm 0 © Dunod – La photocopie non autorisée est un délit.

0

1

2

3

4 mm

Après application d’un filtre passe-haut de longueur de coupure 0,8 mm Figure 7.15 – Visualisation de l’utilisation d’un filtre passe-bas.

7.4 Critères principaux de chiffrage des défauts d’état de surface Du fait du grand nombre de fonctions que peut être amenée à remplir une surface, les critères permettant de caractériser son état de surface sont extrêmement nombreux et variés. Dans cette première partie nous 159

7 • Mesure et caractérisation des états de surface

7.4 Critères principaux de chiffrage des défauts d’état de surface

n’évoquerons que ceux qui sont les plus utilisés industriellement et qui sont naturellement conformes à la normalisation actuellement en usage [7.2]. Dans ce premier temps, nous distinguerons séparément les uns des autres : les paramètres de profil, les paramètres d’ondulation et les paramètres de rugosité.

7.4.1 Paramètres de profil

(µm)

Naturellement les critères de profil se déterminent à partir d’un profil obtenu sans aucun filtrage (figure 7.16). Ce profil aura toutefois été redressé afin d’éliminer les écarts dus à un éventuel mauvais positionnement de la surface lors du mesurage. Si nécessaire la composante du signal correspondant à la forme théorique du profil sera éliminée par une association appropriée (droite ou cercle des moindres carrés par exemple). Dans le système métrique, les paramètres de profil s’expriment en microns. Nous nous limiterons à définir les deux principaux critères suivants (voir figure 7.15) : – Le profil total Pt qui est égal à la différence d’altitude entre le point le plus haut et le point le plus bas pour la longueur totale du profil mesuré. – Le profil maximum Pz qui est égal à la différence d’altitude maximale entre le point le plus haut et le point le plus bas à l’intérieur d’une longueur de base (ici la longueur de base choisie est de 0,8 mm).

5

10

Pz

0

Pt 0

5

10

Figure 7.16 – Visualisation des paramètres de profil Pt et Pz. 160

15

(mm)

7 • Mesure et caractérisation des états de surface

7.4 Critères principaux de chiffrage des défauts d’état de surface

7.4.2 Paramètres d’ondulation Ces critères se déterminent à partir du profil précédent auquel on aura appliqué un filtrage passe-bas de façon à ne laisser subsister que la composante relative à l’ondulation(figure 7.17). Là encore nous nous limiterons aux critères les plus employés : – L’ondulation totale Wt qui est égale à la différence d’altitude entre le point le plus haut et le point le plus bas de la totalité du profil d’ondulation. – L’ondulation maximum Wz qui est égale à la différence d’altitude entre le point le plus haut et le point le plus bas d’une alternance d’ondulation. À noter que dans l’exemple représenté sur la figure 7.17, nous sommes dans un cas particulier où Wt est égale à Wz (le point le plus haut et le point le plus bas de la totalité du profil d’ondulation sont sur la même alternance). – Le pas moyen d’ondulation WSm qui est égal à la moyenne arithmétique des n pas instantanés d’ondulation WSmi mesurés sur la ligne moyenne : i=n

1 WSm = --- ∑ WSm i n 4 (µm) 2

Wt=Wz

WSmi 0

© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit.

i=1

0

5

6

7

8

9

10

11

12 (mm)

Figure 7.17 – Visualisation des paramètres d’ondulation Wt, Wz et WSm.

161

7 • Mesure et caractérisation des états de surface

7.4 Critères principaux de chiffrage des défauts d’état de surface

7.4.3 Paramètres de rugosité Les paramètres de caractérisation de la rugosité sont naturellement calculés à partir d’un profil filtré en passe haut. La normalisation ISO propose de mesurer un profil de rugosité sur une longueur d’évaluation égale à cinq fois la longueur de base. Dans l’exemple considéré, nous avons fort logiquement choisi une longueur de coupure (longueur de base) de 0,8 mm, c’est la raison pour laquelle le calcul des paramètres de rugosité se fera sur les cinq premières longueurs de base du profil précédent. On note deux types de critères de rugosité normalisés principaux, les critères géométriques et les critères statistiques. m Critères de rugosité géométriques

(µm)

– La rugosité totale Rt qui est égale à la différence d’altitude entre le point le plus haut et le point le plus bas du profil de rugosité. – La rugosité maximum Rz est égale à la différence d’altitude maximale entre le pic le plus haut et le creux le plus bas à l’intérieur d’une longueur de base. À noter que dans le cas du profil représenté sur la figure 7.18, nous sommes là encore dans un cas particulier où Rt = Rz (le point le plus haut et le point le plus bas du profil de rugosité sont à l’intérieur de la même longueur de base). – La rugosité Rp est égale à la différence d’altitude maximale entre le pic le plus haut et la ligne moyenne du profil à l’intérieur d’une longueur de base.

Longueur de base

Rt = Rz

2

4

6

Rp

0

Rv 0,5

1,0

1,5

2,0

2,5

3,0

3,5

4,0

Figure 7.18 – Visualisation des paramètres de rugosité Rt, Rz, Rp et Rv. 162

(mm)

7 • Mesure et caractérisation des états de surface

7.4 Critères principaux de chiffrage des défauts d’état de surface

– La rugosité Rv est égale à la différence d’altitude maximale entre le creux le plus bas et la ligne moyenne du profil à l’intérieur d’une longueur de base. m Critères de rugosité statistiques

Nous distinguerons également des critères statistiques et parmi ceux-ci : – La rugosité Ra qui est égale à la moyenne de la somme des valeurs absolues des altitudes, par rapport à la ligne moyenne, des différents points constituant le profil de rugosité à l’intérieur d’une longueur de base, soit : i=n

1 Ra = --- ∑ y i – Rv n i=1

– La rugosité Rq qui est égale à la racine carrée de la moyenne arithmétique de la somme des carrés des altitudes, par rapport à la ligne moyenne, des différents points constituant le profil de rugosité à l’intérieur d’une longueur de base. On notera que Rq correspond à l’écart type de la distribution des altitudes des points du profil. i=n

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∑ ( yi – Rv )

Rq =

2

i=1 ---------------------------------n

– Le pas moyen de rugosité RSm qui est égal à la moyenne des pas instantanés de rugosité mesurés sur la ligne moyenne à l’intérieur d’une longueur de base : i=n

1 RSm = --- ∑ RSm i n i=1

m Pourcentage de profil portant

Des profils peuvent posséder des critères Pt, Pz, Wt, Wz, WSm, Rt, Rz, Ra, Rq, et RSm, identiques tout en étant totalement différents 163

7.4 Critères principaux de chiffrage des défauts d’état de surface

6

(µm)

7 • Mesure et caractérisation des états de surface

Rq

2

4

Ra

0

RSm i 0,5

1,0

1,5

2,0

2,5

3,0

3,5

4,0

(mm)

Figure 7.19 – Visualisation des paramètres statistiques de rugosité Ra, Rq, et RSm.

(µm)

c

0

15

5

10

5

10 (µm)

d’un point de vue fonctionnel. C’est la raison pour laquelle des paramètres dits paramètres de forme sont parfois nécessaires pour les évaluer. Dans un premier temps comme paramètre de forme nous considérerons seulement la courbe de portance connue sous le nom de courbe d’Abbott et Firestone. Cette courbe consiste à représenter graphiquement l’évolution du pourcentage de la longueur de profil coupé Pmr(c) par rapport à la longueur totale du profil exploré en fonction de la profondeur de coupe c, cette profondeur de coupe variant naturellement de 0 à Pt (figure 7.20). L’examen de la courbe d’Abbott permet de se faire une bonne idée de la répartition des altitudes des différents points du profil.

0

5

10

15 (mm) 0

20

40

60

80

Pmr (c)

Figure 7.20 – Visualisation du paramètre Pmr(c) lié à la courbe d’Abbott. 164

(%)

7 • Mesure et caractérisation des états de surface

7.4 Critères principaux de chiffrage des défauts d’état de surface

Théoriquement cette courbe peut être obtenue à partir d’un profil filtré ou non. Dans la pratique, ce sont surtout les courbes de portance obtenues à partir d’un profil total ou d’un profil de rugosité qui sont intéressantes. La normalisation [7.2] propose d’appeler Pδc (ou Rδc, ou Wδc) la distance entre deux profondeurs de coupe c1 et c2 (Pδc = c2-c1) et Pmr(Pδc) le pourcentage de profil portant entre les altitudes c1 et c2.

7.4.4 Paramètres de forme m Généralités

6

(µm)

z

2

4

M i = (x i ,z i )

x

0

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Étant maintenant admis que les paramètres traditionnels caractérisant un profil de rugosité ne sont pas suffisants pour permettre la connaissance complète de celui-ci, il y a donc nécessité de considérer d’autres critères. Nous avons vu que la courbe de portance était l’un de ces critères, mais d’autres paramètres de forme sont eux aussi fréquemment utilisés. Nous allons essayer de définir les principaux d’entre eux ainsi que la manière de les évaluer aussi précisément que possible. Un profil de rugosité digitalisé peut être représenté par un nombre n de points Mi lui appartenant et dont les coordonnées xi, zi sont exprimées dans le repère de mesure. Le nombre de points n est fonction du pas de numérisation L . et de la longueur du profil exploré avec : n = ------pas

0,5

1,0

1,5

2,0

2,5

3,0

3,5

4,0

(mm)

Figure 7.21 – Profil numérisé 165

7 • Mesure et caractérisation des états de surface

7.4 Critères principaux de chiffrage des défauts d’état de surface

Il est alors possible de calculer l’ordonnée z de l’altitude moyenne des i=n

∑ zi

i=1

n points en posant : z = ----------- . Un changement d'origine approprié n fait que cette ligne moyenne sera prise comme axe des abscisses dans toute la partie qui va suivre. La totalité des points du profil est donc répartie de part et d'autre de la ligne moyenne dans un intervalle Rt s'étendant de –Rv à Rp (figure 7.22). 5

Rp 0 Rv –4 0,5

1,0

1,5

2,0

2,5

3,0

3,5

4,0

(mm)

Figure 7.22 – Profil numérisé exprimé à partir de la ligne moyenne.

On peut alors calculer et tracer la courbe W = f(z) représentant la distribution de l'ordonnée des n points du profil de rugosité dans l’intervalle [-Rv, Rp], Wc est la probabilité d'avoir c < z < (c + dz) quand dz Æ 0 (voir figure 7.23). L'examen de la forme de cette courbe de distribution peut présenter un grand intérêt en ce qui concerne la connaissance des caractéristiques morphologiques de la surface dont est extrait le profil observé, en effet : Une courbe de distribution dont l’allure est celle représentée dans la partie gauche de la figure 7.24 correspondra à un profil comportant plutôt des plateaux hauts avec quelques points bas. Une représentation schématisée de ce type de profil apparaît dans la partie droite de la figure. 166

7 • Mesure et caractérisation des états de surface

7.4 Critères principaux de chiffrage des défauts d’état de surface

W

Wc –Rv

c

Rp

z

dz

Figure 7.23 – Courbe de distribution des altitudes des points d’un profil. z Rp W

x

–Rv

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Figure 7.24 – Profil présentant plutôt des points hauts.

Une courbe de distribution dont l’allure est celle représentée dans la partie gauche de la figure 7.25 correspond au contraire à un profil comportant une majorité des plateaux bas et quelques points hauts (type de profil dont une image schématisée est représentée dans la partie droite de la figure). z Rp W

x –Rv

Figure 7.25 – Profil présentant plutôt des points bas. 167

7 • Mesure et caractérisation des états de surface

7.4 Critères principaux de chiffrage des défauts d’état de surface

m Le skewness

La dissymétrie de la courbe représentant la fonction distribution peut être mise en évidence par le coefficient d'asymétrie ou coefficient de Fischer que l’on nomme skewness en profilométrie. Celui-ci se calcule à partir des moments centrés de la distribution. On rappelle que si l’on note µq le moment centré d'ordre q d’une distribution de n points de poids z on aura : i=n

∑ zi i=1

q

µ q = ------------

n On notera que le moment centré d'ordre 2 correspond à la variance d’une distribution et que pour une distribution symétrique, tous les moments centrés d’ordre impair seront nuls. Dans la distribution de n points d’altitude z appartenant à un profil, le skewness sk se calcule à partir des moments centrés d’ordre 3 de la façon suivante : i=n

µ

µ

∑ zi i=1

3

3 sk = ----33- = --------3 = -----------------3 --Rq n ⋅ Rq 2

µ2

C'est le signe de sk qui caractérisera l'éventuelle dissymétrie de la distribution. On aura sk du même signe que m-t, avec m = abscisse de la moyenne et t = abscisse du maximum de probabilité. Dans notre cas : – sk = 0, la courbe est symétrique par rapport à la moyenne. – sk > 0, le maximum de probabilité se trouve à gauche de la moyenne. – sk < 0, le maximum de probabilité se trouve à droite de la moyenne. Ce qui montre (figure 7.26) qu’un skewness négatif est l’indication d’une prédominance de points hauts sur le profil comme cela apparaît sur les courbes représentées sur la figure 7.24, alors qu’un skewness positif indique au contraire la prédominance de points bas sur le profil comme on peut s’en rendre compte sur les courbes de la figure 7.25. 168

7 • Mesure et caractérisation des états de surface

7.4 Critères principaux de chiffrage des défauts d’état de surface

W

m=t

W

W

z

t

sk = 0

m

z

m

sk > 0

t

z

sk < 0

Figure 7.26 – Signification du skewness ou coefficient d’assymétrie.

m Le kurtosis

La finesse de la courbe représentant la distribution peut être mise en évidence et chiffrée par le coefficient de finesse ou coefficient de Pearson appelé kurtosis. En profilométrie, ce coefficient se calcule à partir des moments centrés d’ordre 4 de la façon suivante : i=n

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µ4

µ4

∑ zi i=1

4

ku = ----4- = ---------4 = -----------------4 --Rq n ⋅ Rq 2 µ2

Nous rappelons qu’il caractérise la finesse de la distribution du profil, c’està-dire le regroupement des points du profil de façon plus ou moins dispersée autour de la valeur moyenne et que pour une distribution gaussienne il est égal à 3. Les spécifications sk et ku sont respectivement précédées des lettres P, W ou R selon qu’ils correspondent au skewness ou au kurtosis calculé sur un profil non filtré, sur un profil d’ondulation ou sur un profil de rugosité.

169

7 • Mesure et caractérisation des états de surface

7.4 Critères principaux de chiffrage des défauts d’état de surface

W

ku = 3

W

z

W

ku > 3

z

ku < 3

z

Figure 7.27 – Signification du kurtosis ou coefficient de finesse

m Relation avec la courbe de portance

La fonction F(z) obtenue par l’intégration entre 0 et Rt de la fonction W = f(z) représentant la distribution des altitudes des points constituant Rt

un profil de rugosité, F ( z ) =

∫ f ( z ) dz donnera la probabilité de trouver 0

un point dont l’altitude est comprise entre 0 et z = c. La représentation graphique de cette fonction, ou courbe de répartition, correspond à la courbe de portance. On peut dire de façon plus pratique que la courbe de portance donne le pourcentage des n points (ou de la longueur de profil puisque le profil est défini par ces n points) compris entre l’altitude maximale et l’altitude z considérée. Il est facile de relier la forme générale de cette courbe avec le skewness (figure 7.29). 0

WA

0

P(0 < z < c)

c

Rt z

Rt

Courbe de distribution

Courbe de portance

z

Figure 7.28 – Courbe de distribution et courbe de portance d’un profil. 170

7 • Mesure et caractérisation des états de surface

Rsk = 0

7.4 Critères principaux de chiffrage des défauts d’état de surface

Rsk > 0

Rsk < 0

Figure 7.29 – Corrélation entre allure des courbes de portance et skewness

7.4.5 Méthode des motifs

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m Origine et principe

L’inconvénient principal que présentent les différentes techniques de filtrage que nous avons utilisées jusqu’ici provient de ce que dans toutes ces méthodes le filtrage s’effectue sur la ligne moyenne. Or on peut très bien imaginer un profil ne présentant pas d’ondulation sur sa ligne moyenne tout en étant fortement ondulé sur les sommets comme celui représenté sur la figure 7.30, ou à l’inverse, un profil fortement ondulé sur la ligne moyenne et pratiquement rectiligne sur la ligne des sommets comme celui représenté sur la figure 7.31. Les contacts entre deux surfaces se réalisant toujours, tout au moins dans un premier temps, sur les points hauts des aspérités, on conçoit que les méthodes traditionnelles de filtrage puissent se révéler insatisfaisantes lors de certaines analyses destinées à prévoir le comportement des surfaces observées. Partant de cette constatation, les principaux constructeurs automobile réunis au sein du CNOMO ont mis au point, dans les années 1970, la méthode des motifs qui a été depuis normalisée sous la référence ISO 12085.

Figure 7.30 – Profil rectiligne sur la ligne moyenne et ondulé sur les sommets. 171

7 • Mesure et caractérisation des états de surface

7.4 Critères principaux de chiffrage des défauts d’état de surface

Figure 7.31 – Profil ondulé sur la ligne moyenne et rectiligne sur les sommets.

L’objectif de cette méthode est de définir un mode de séparation des écarts géométriques de rugosité et d’ondulation qui n’altère ni ne modifie le profil réel analysé et qui offre une réjection maximale des composantes des ordres indésirés sur la zone étudiée. La méthode est empirique, elle est basée sur la reconnaissance des formes et permet d’identifier les motifs du profil en ne conservant que ceux qui seront jugés comme étant caractéristiques de celui-ci. Un motif élémentaire est la portion de profil comprise entre deux pics consécutifs (voir figure 7.32).

Hj+1 Hj

Ai Figure 7.32 – Constitution d’un motif de rugosité élémentaire.

Un motif est caractérisé par les hauteurs des deux pics Hj et Hj +1 qui l’encadrent ainsi que par sa largeur Ai (on appellera T la plus petite des deux hauteurs H). Un premier tri permet d’éliminer les pics de faible altitude et de corriger l’altitude des pics importants isolés.

172

7 • Mesure et caractérisation des états de surface

7.4 Critères principaux de chiffrage des défauts d’état de surface

m Combinaison des motifs

Cette opération à pour but de ne prendre en considération que les motifs réellement influents, elle consiste à les regrouper si quatre conditions sont respectées. M Condition 1, enveloppe

Deux motifs voisins ne peuvent être combinés si le pic qui leur est devenu commun est plus élevé que les deux autres (figure 7.33) :

Combinaison impossible

Combinaison possible

Figure 7.33 – Condition d’enveloppe.

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M Condition 2, largeur

Aucune combinaison n’est possible si la largeur du nouveau motif est supérieure à A (A est la limite arbitrairement choisie comme valeur maximum du pas de rugosité, on choisit généralement A = 500 µm, (figure 7.34).

500 µm Combinaison impossible

500 µ m Combinaison possible

Figure 7.34 – Condition de largeur. 173

7 • Mesure et caractérisation des états de surface

7.4 Critères principaux de chiffrage des défauts d’état de surface

M Condition 3, agrandissement

Aucune combinaison n’est possible si l’on diminue la plus petite hauteur T de l’un des deux motifs initiaux (figure 7.35).

Combinaison impossible

Combinaison possible

Figure 7.35 – Condition d’agrandissement.

M Condition 4, profondeur relative

Aucune combinaison n’est possible si les profondeurs de deux vallées adjacentes à l’intérieur du nouveau motif constitué sont supérieures à 60 % de la valeur T de ce nouveau motif (figure 7.36).

Combinaison impossible

Combinaison possible

Figure 7.36 – Condition de profondeur relative.

Lorsque plus aucune combinaison n’est possible, les motifs obtenus par tous les regroupements autorisés sont déclarés motifs caractéristiques de rugosité (figure 7.37). La ligne réunissant tous les sommets de ces motifs, appelée ligne enveloppe supérieure, constitue l’ondulation du profil (figure 7.38). 174

7 • Mesure et caractérisation des états de surface

7.4 Critères principaux de chiffrage des défauts d’état de surface

10 µm 7,5 µm 5 µm 2,5 µm 0

500

1 000

1 500

2 000

2 500 µm

Figure 7.37 – Motifs caractéristiques de rugosité. 10 µm 7,5 µm 5 µm 2,5 µm 0

500

1 000

1 500

2 000

2 500 µm

Figure 7.38 – Motifs caractéristiques d’ondulation.

M Calcul des paramètres de caractérisation du profil

On calculera : © Dunod – La photocopie non autorisée est un délit.

i=n

1 AR = --- ∑ AR i , pas moyen de rugosité. ni = 1 j=m

1 et R = ---- ∑ H j , rugosité moyenne. mj=1 On peut alors appliquer l’algorithme précédent sur la ligne enveloppe réunissant les sommets des motifs caractéristiques de rugosité afin de définir les motifs élémentaires d’ondulation. On regroupera ensuite ces motifs élémentaires d’ondulation en utilisant le même algorithme que précédemment. La seule différence se situe naturellement pour la condition de largeur dans laquelle R sera remplacée par W, avec généralement W = 2 500 µm, de façon à obtenir les motifs caractéristiques d’ondulation (figure 7.38). 175

7 • Mesure et caractérisation des états de surface

7.5 Caractérisation tridimensionnelle des états de surface

De même on calculera alors : i=n

1 AW = --- ∑ AW i, pas moyen d’ondulation ni = 1 j=m

1 et : W = ---- ∑ HW j , ondulation moyenne. mj=1

7.5 Caractérisation tridimensionnelle des états de surface 7.5.1 Hétérogénéité et anisotropie des surfaces Nous avons vu que la normalisation actuellement en vigueur définit un grand nombre de paramètres permettant de caractériser un état de surface. Nous avons évoqué dans la partie précédente les plus utilisés dans le monde industriel et nous savons comment les mesurer. Le principal inconvénient que présentent ces critères est qu’ils sont tous déterminés à partir de l’examen d’un profil extrait de la surface observée. Or une surface réelle peut présenter des profils très différents les uns des autres selon l’endroit où ils ont été mesurés ou suivant la direction dans laquelle ils ont été mesurés. La figure 7.39 représente l’aspect réel d’une surface théoriquement plane obtenue par fraisage de face. En réalité cette surface est constituée d’une succession de stries circulaires (plus exactement épicycloïdales) dont la géométrie et les dimensions dépendent des conditions d’usinage (diamètre de l’outil, géométrie de sa partie active, avance par dent…). Nous dirons que cette surface est anisotrope, c’est-à-dire qu’elle présente des profils différents en fonction de la direction dans laquelle ils seront mesurés. D’autres surfaces peuvent être hétérogènes, c’est-àdire que la forme d’un profil dépendra de l’endroit où celui-ci aura été saisi. Il est donc assez hasardeux de prétendre caractériser un état de surface à partir de l’examen d’un seul profil appartenant à cette surface. Dans le cas d’une surface anisotrope, lorsque la direction de mesure n’est pas spécifiée, 176

7 • Mesure et caractérisation des états de surface

7.5 Caractérisation tridimensionnelle des états de surface

© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit.

Figure 7.39 – Morphologie d’une surface fraisée théoriquement plane.

la normalisation demande de choisir la direction de palpage de façon à ce qu’elle corresponde aux valeurs maximales des paramètres caractérisant l’étalement vertical du profil. Dans le cas d’une surface hétérogène seule la mesure d’un certain nombre de profils et un traitement statistique des résultats obtenus peuvent donner une information satisfaisante.

7.5.2 Caractérisation tridimensionnelle des états de surface m Mesure tridimensionnelle des états de surface M Saisie tactile

La plupart des appareils de mesure tactile d’état de surface actuels permettent la caractérisation tridimensionnelle de ceux-ci (figure 7.40). La surface réelle est alors connue par l’intermédiaire d’un nuage de points dont les altitudes z dépendent de leur position dans le plan de référence de la mesure z = f(x, y). Il est alors facile d’imaginer que l’on 177

7 • Mesure et caractérisation des états de surface

7.5 Caractérisation tridimensionnelle des états de surface

pourra réaliser sur ce nuage de points toutes les opérations que l’on exécute habituellement sur les points des profils afin de déterminer des paramètres du même type. Les comités de normalisation travaillent actuellement sur la définition des critères de caractérisation tridimensionnels des états de surface. Aujourd’hui la préconisation de l’ISO est de faire précéder les critères correspondants aux critères de profil calculés à partir de mesures tridimensionnelles de la lettre S afin d’indiquer qu’ils sont relatifs à des surfaces et non à des lignes.

z

y

z

Figure 7.40 – Appareil tactile de mesure tridimensionnelle d’état de surface.

M Saisie optique

Des systèmes optiques peuvent également être employés pour la mesure des états de surface. Quelle que soit la technologie utilisée, il s’agit toujours de mesurer l’altitude zi de n points Mi appartenant à la surface explorée, les coordonnées xi et yi correspondantes étant fournies soit à partir d’un système de mesure des déplacements en x et en y, soit par l’intermédiaire d’une caméra CCD. Les deux technologies optiques les plus couramment employées sont : Focalisation d’un faisceau laser Un système mesure le déplacement vertical de l’objectif de focalisation d’un faisceau laser sur le point Mi de la surface dont on veut mesurer 178

7 • Mesure et caractérisation des états de surface

7.5 Caractérisation tridimensionnelle des états de surface

l’altitude zi. Les variations de déplacement de l’objectif correspondront aux variations d’altitude des différents points appartenant à la surface. Le choix d’un laser, donc d’une lumière monochromatique, permet la définition de la tache de focalisation d’une façon très rigoureuse. Microscopie confocale La microscopie confocale à champ étendu permet d’enregistrer l’altitude zi d’un point Mi appartenant à une surface sans devoir procéder à la recherche dynamique de la focalisation, c’est-à-dire sans aucun mouvement mécanique. Le principe consiste à créer à partir d’une lumière blanche une série d’images monochromatiques le long de l’axe optique du faisceau lumineux. Un filtre spatial sélectionne la longueur d’onde de l’image correspondant au point Mi mesuré afin de déterminer l’altitude de celui-ci après décodage. m Traitement des mesures

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M Surface brute redressée

La mesure fournie une image reconstituée de la surface explorée à partir des n points Mi (xi, yi, zi) saisis. Une image extraite d’une mesure effectuée sur une surface théoriquement plane obtenue par fraisage est représentée sur la figure 7.41. Cette image à été redressée par la méthode des moindres carrés afin d’éliminer son défaut d’orientation par rapport au référentiel de mesure. À partir des n points mesurés et des définitions exposées au paragraphe 7.4 il est possible de calculer les paramètres SPt = 17,75 µm, SPz = 16,70 µm, SPsk = 0,15, et Spku = 2,22. À noter que dans l’exemple choisi le nombre n de points Mi mesurés est de 640 000. M Surface brute filtrée en passe-bas

Des techniques de filtrage basées sur la décomposition en séries de Fourrier de la fonction z = f(x,y) et de son interaction avec l’effet du filtre utilisé g(x, y) [7.8] permettent d’obtenir le signal filtré en basse fréquence correspondant à l’ondulation de la surface (figure 7.42). La normalisation préconise l’emploi d’un filtre gaussien qui permet de séparer les différentes 179

7 • Mesure et caractérisation des états de surface

7.5 Caractérisation tridimensionnelle des états de surface

Figure 7.41 – Surface brute redressée.

Figure 7.42 – Surface filtrée en passe-bas, longueur de coupure 0,8 mm en x et en y. 180

7 • Mesure et caractérisation des états de surface

7.5 Caractérisation tridimensionnelle des états de surface

composantes d’un signal sans distorsion ni déphasage. Dans notre exemple, les longueurs de coupures choisies étaient de 0,8 mm en x et de 0,8 mm en y. Il est alors possible de calculer sur la surface filtrée les paramètres SWt = 5,60 µm et SWz = 5,60 µm. M Surface brute filtrée en passe-haut

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Par soustraction du signal filtré en passe bas au signal non filtré, on obtient la composante filtrée en haute fréquence qui correspond à la rugosité de la surface, figure 7.43. À partir de ce nouveau signal il est possible de calculer les paramètres habituels, SRt = 12,60 µm, SRz = 12 µm, Sra = 1,26 µm, SRq = 1,62 µm, SRsk = 0,473 et Srku = 3,38.

Figure 7.43 – Surface filtrée passe-haut, longueur de coupure 0,8 mm en x et en y.

181

7 • Mesure et caractérisation des états de surface

7.6 Indications d’états de surface sur les dessins

7.6 Indications d’états de surface sur les dessins La fonctionnalité des surfaces va leur imposer de présenter certaines caractéristiques quant à leur état de surface et va donc nécessiter de spécifier les critères correspondants sur les dessins de définition. La normalisation technique en vigueur indique les symboles permettant de porter ces informations.

Figure 7.44 – Symbole de base, mode de réalisation non précisé.

Figure 7.45 – Enlèvement de matière exigé pour l’obtention de la surface.

Figure 7.46 – Enlèvement de matière interdit pour l’obtention de la surface.

c a e

d b

a – valeur d’état de surface précédée du symbole correspondant. b – autres valeurs d’état de surface précédées du symbole correspondant. c – procédé de fabrication, si nécessaire. d – stries de surface et orientation possible. e – surépaisseur d’usinage. Figure 7.47 – Écriture de spécifications complémentaires. 182

7 • Mesure et caractérisation des états de surface

7.7 Bibliographie

Toutes les informations indispensables à la réalisation et à la mesure de l’état de surface demandé doivent figurer autour du symbole de base, en précisant bien le symbole normalisé du ou des critère(s) choisi(s) ainsi que sa (leurs) valeur(s) numérique(s), figure 7.48. Naturellement, on ne doit porter sur un dessin de définition que les indications absolument indispensables pour un bon fonctionnement de la surface spécifiée. Pour plus d’informations on se rapportera à la norme ISO 1302. Fraisé Ra 0,8 Rz 3,2

La surface doit être obtenue par fraisage La rugosité Ra ne doit pas excéder 0,8 μm La rugosité Rz ne doit pas excéder 3,2 μm Les stries d’usinage doivent être perpendiculaires au plan du dessin

Figure 7.48 – Exemple de spécification d’état de surface.

7.7 Bibliographie

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[7.1] Spécification géométrique des produits (GPS), État de surface : méthode du profil ; règles et procédures pour l’évaluation de l’état de surface, ISO 4288, AFNOR 1996. [7.2] Spécification géométrique des produits (GPS), État de surface : méthode du profil ; termes définitions et paramètres d’état de surface, ISO 4287, AFNOR 1998. [7.3] Spécification géométrique des produits (GPS), Indication des états de surface dans la documentation technique des produits, ISO 1302, AFNOR 2002. [7.4] Physique et ingénierie des surfaces, A. CORNET, J.-P. DEVILLE, EDP Sciences, 1998. [7.5] Rough surfaces, R. THOMAS, Imperial College Press, 1999. [7.6] Spécification géométrique des produits (GPS), État de surface : méthode du profil ; surfaces ayant des propriétés différentes suivant les niveaux, ISO 13565, AFNOR.1996. 183

7 • Mesure et caractérisation des états de surface

7.7 Bibliographie

[7.7] Spécification géométrique des produits (GPS), État de surface : méthode du profil ; paramètres liés aux motifs, ISO 12085, AFNOR 1996. [7.8] Filtrage tridimensionnel des surfaces rugueuses, H. ZAHOUANI, Bulletin de la société des sciences et des lettres de Lodz, vol. XX, Recherches sur les déformations, p.131-163, 1995. [7.9] The development of methods for the characterisation of roughness in three dimensions, Commission of the European communities ISBN 0 7044 1313 2, septembre 1993.

184

8 • LA MÉTROLOGIE DES MACHINES-OUTILS

8.1 Pourquoi la métrologie des machines-outils

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8.1.1 Généralités et rappels Une machine-outil a pour fonction de générer des surfaces en combinant des déplacements relatifs entre un outil et un bloc de matière sur lequel doit être réalisée la surface désirée (pièce). La plupart des machinesoutils possèdent une broche, c’est-à-dire qu’elles sont constituées d’une liaison pivot qui permet de mettre en rotation, soit un outil de coupe (fraise, foret, alésoir, meule…) soit la pièce à usiner elle-même (tournage, rectification cylindrique, taillage…) ainsi que d’un certain nombre d’autres liaisons (généralement pivots ou glissières) que l’on appelle les axes, et qui permettent l’obtention de géométries particulières en réalisant des déplacements relatifs contrôlés entre la pièce et la broche. Les commandes des déplacements, qu’elles soient manuelles mécaniques ou numériques, en direction, sens, vitesse et grandeur, permettent d’obtenir les formes les plus diverses tant à l’échelle macrogéométrique (forme) qu’à l’échelle microgéométrique (état de surface). Si les liaisons entre les différents solides constituant les organes mobiles des machines-outils étaient parfaites il n’y aurait aucun problème puisque les surfaces réelles obtenues seraient rigoureusement conformes aux 185

8 • La métrologie des machines-outils

8.1 Pourquoi la métrologie des machines-outils

surfaces théoriques programmées. Par exemple on sait que l’on peut obtenir par chariotage une surface cylindrique en combinant la rotation d’un solide autour d’un axe avec la translation rectiligne de la partie active d’un outil de coupe parallèlement à cet axe (figure 8.1). En réalité la surface théoriquement et réellement obtenue ne sera pas une surface cylindrique mais une rainure hélicoïdale dont le pas sera égal à l’avance par tour et dont le profil dépendra de la géométrie de la partie active de l’outil utilisé. L’opérateur fixera ces paramètres de façon à ce que leurs effets soient négligeables aussi bien à l’échelle macrogéométrique qu’à l’échelle microgéométrique : ils permettent l’obtention d’un état de surface compatible avec les spécifications exigées. y0

x0

y’0

(S1) O0

(D)

(G)

x’0

B

O’0 (S2)

z0

A z’0

Figure 8.1 – Génération d’une surface théoriquement cylindrique.

La broche supportant la solide pièce (S1) est mise en rotation par rapport au bâti (S0) par l’intermédiaire d’une liaison pivot d’axe z0. Le solide (S2) supportant l’outil, dont on assimilera la partie active au point B, est mobile en translation par rapport au bâti (S0) par l’intermédiaire d’une liaison glissière d’axe z¢0 parallèle à z0. On sait qu’à chaque liaison parfaite on peut associer deux torseurs : un torseur statique représentant les efforts transmissibles par la liaison ainsi qu’un torseur cinématique représentant les déplacements (degrés de liberté) permis par la liaison [8.1]. Or dans la réalité les liaisons ne sont jamais parfaites en raison notamment des jeux indispensables à leur fonctionnement ou bien des imperfections 186

8 • La métrologie des machines-outils

8.1 Pourquoi la métrologie des machines-outils

géométriques inévitables affectant les solides qui les constituent. Dans l’exemple représenté par la figure 8.1, les imperfections de la rotation de la broche entraîneront un défaut de circularité de la directrice (D) de la surface générée, et les imperfections de la translation du traînard entraîneront un défaut de rectitude de la génératrice (G) de cette même surface. D’où la nécessité de connaître les valeurs des défauts des liaisons qui constituent les machines-outils afin de pouvoir déterminer les possibilités de celles-ci.

8.1.2 Modélisation des défauts des liaisons Considérons une liaison glissière d’axe Ox permettant le déplacement d’un solide (S) par rapport à un bâti (0) (figure 8.2). Le torseur statique associé à cette liaison est de la forme : τ ( 0 → S )R

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cinématique est de la forme : C ( S → 0 )R

⎧ 0,L ⎫ ⎪ ⎪ = ⎨ Y,N ⎬ . Le torseur ⎪ Z,M ⎪ ⎩ ⎭A

⎧ 0,u ⎫ ⎪ ⎪ = ⎨ 0,0 ⎬ . ⎪ 0,0 ⎪ ⎩ ⎭A

y0 B2 (S2)

O0 z0

(S’2)

A2 B’ 2 A’2

B1 A1 (S1)

x0

Figure 8.2 – Modèlisation d’une liaison glissière d’axe Ox. 187

8 • La métrologie des machines-outils

8.1 Pourquoi la métrologie des machines-outils

Lorsque le solide passe de la position (S1) à la position (S¢2), ce déplacement se produit suivant une translation rectiligne de direction X0, et le point A qui se situait en A1 avant le déplacement devrait théoriquement se retrouver en A¢2 après ce déplacement. Les propriétés d’une translation rectiligne sont telles que les vecteurs déplacements de tous les points du solide en mouvement sont égaux ce qui signifie que : 9A1,A¢2 = 9B1,B¢2 et donc que le déplacement du point B (partie active de l’outil de coupe) qui matérialise la génératrice de la surface chariotée sera bien rectiligne et générera alors un cylindre théoriquement parfait. Or pour toutes les raisons ayant trait à l’imperfection des liaisons mécaniques déjà évoquées, on sait que le déplacement du solide (S) ne sera pas rigoureusement rectiligne, que la nouvelle position de (S) ne sera pas (S¢2) mais (S2), que le point A ne se trouvera donc pas comme espéré en A¢2 mais à une position réelle A2 légèrement différente de celle attendue. C’est-à-dire que le point A en plus de son déplacement rectiligne normal aura subi un petit déplacement parasite 6A¢2,A2 que l’on pourra éventuellement mesurer. Mais bien sûr, ce qui intéresse l’usineur ce n’est pas le déplacement du point A mais celui du point B. Or le déplacement réel du traînard n’étant plus une translation linéaire, les vecteurs déplacements des différents points du solide qui le constitue ne sont plus égaux. Il est alors beaucoup plus délicat de connaître le déplacement réel de B et donc la forme de la génératrice obtenue. Pour tenter de résoudre facilement ce problème il est commode de modéliser les déplacements dus aux imperfections de la liaison par un torseur des petits déplacements analogue à celui que nous avons déjà utilisé dans le chapitre 4, c’est-à-dire que nous associerons à chaque liaison un torseur supplémentaire [8.2] linéarisant les petits déplacements causés par les défauts de la liaison considérée. Dans le cas de notre exemple, pour une liaison glissière d’axe Ox, ce torseur sera de la forme : ⎧ d α x,0 ⎫ ⎪ ⎪ D ( S → 0 )R = ⎨ d α y,dy ⎬ . L’intérêt que présente cette modélisation est ⎪ d α z,dz ⎪ ⎩ ⎭ A

188

8 • La métrologie des machines-outils

8.2 Mesure des défauts d’une liaison glissière

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que si l’on connaît les composantes de ce torseur en un point quelconque du solide (S), par exemple au point A, on pourra facilement calculer le déplacement de n’importe quel autre point du solide, par exemple le point B. On appelle U 9 (A/0) le vecteur petit déplacement du point A/0, U 9 (B/0) le vecteur petit déplacement du point B/0 et 9W(S/0) le vecteur petite rotation du solide S/0, cela permet alors d’écrire : U 9 (B/0) = U 9 (A/0) = B AŸ9 W . La métrologie des machines-outils a pour but de permettre 6 (S/0) de mesurer les composantes des torseurs des petits déplacements qui caractérisent l’imperfection des différentes liaisons qui les constituent. Il faut cependant bien comprendre que ces composantes ne sont pas des constantes pour une liaison donnée, mais qu’elles sont continuellement variables en fonction de la position du mobile considéré au cours de son déplacement normal. La seule solution possible est de constituer pour chaque liaison un fichier exprimant la valeur de ces composantes pour un certain nombre de positions de ce mobile. Plus le nombre de positions retenues sera grand mieux le déplacement sera connu. Dans ce qui va suivre nous étudierons la mesure des défauts en un point A d’une liaison glissière d’axe Ox, une analyse analogue pouvant être réalisée pour n’importe quelle autre type de liaison.

8.2 Mesure des défauts d’une liaison glissière 8.2.1 Mesure du déplacement réel d’une glissière Le déplacement théorique du mobile peut être obtenu par un système visécrou, un entraînement pignon-crémaillère, un vérin pneumatique ou hydraulique, un moteur linéaire, voire par tout autre moyen. La valeur de ce déplacement est contrôlée à l’aide d’une commande pas à pas, de tambours gradués, de règles optiques ou d’autres procédés, et naturellement le système peut travailler en boucle ouverte ou en boucle fermée. Quoi qu’il en soit il est essentiel de savoir si le déplacement réel correspond au déplacement théorique souhaité et donc de pouvoir mesurer ce déplacement réel avec une précision satisfaisante. 189

8 • La métrologie des machines-outils

8.2 Mesure des défauts d’une liaison glissière

S’il est toujours possible d’employer les étalons de longueur classiques à bouts ou à traits et de déterminer les écarts entre les positions réelles obtenues et les positions théoriques programmées en utilisant des comparateurs de longueurs à technologie mécanique ou électrique, une méthode particulièrement efficace et actuellement très souvent mise en œuvre dans le contrôle des machines-outils consiste à mesurer ces écarts par interférométrie laser. m Interféromètre de Michelson

L’interféromètre de Michelson permet de mesurer avec une excellente précision la valeur du déplacement rectiligne d’un système optique. L’étalon de longueur employé est la longueur d’onde de la radiation d’une lumière monochromatique. Généralement on utilise la longueur d’onde du faisceau émis par un laser hélium-néon qui vaut 0,632 µm et qui correspond à une émission dans le rouge. Si le laser est correctement stabilisé en fréquence et si le milieu dans lequel le faisceau se propage (l’air ambiant) est parfaitement maîtrisé en température, pression et hygrométrie, cette longueur est rigoureusement constante et peut donc matérialiser un étalon de longueur de très bonne qualité. Le faisceau émis par la source laser E (figure 8.3) arrive sur un premier élément optique fixe, le séparateur, qui dévie la moitié du faisceau f1 vers un premier réflecteur 1 solidaire du séparateur, la moitié restante du faisceau f2 est envoyée sur un deuxième réflecteur 2 solidaire lui de l’élément mobile dont on veut mesurer le déplacement. Les deux faisceaux réfléchis respectivement par 1 et par 2 se recombinent dans le séparateur et sont récupérés par le récepteur R. En raison de la nature ondulatoire de la lumière le récepteur R va observer un faisceau qui est la somme de deux rayons : l’un de longueur constante f1 (faisceau de référence) et l’autre dont la longueur varie avec le déplacement du réflecteur 2 (donc du mobile considéré) f2. Ce qui fait qu’il va recevoir une quantité de lumière variant alternativement entre un maximum (f1 et f2 sont en phase) et 0 (f1 et f2 sont en opposition de phase) correspondant à des franges d’interférence espacées de l/2, soit dans notre cas de 0,316 µm. Un convertisseur analogique digital découpe ensuite le 190

8 • La métrologie des machines-outils

8.2 Mesure des défauts d’une liaison glissière

signal correspondant jusqu’à une résolution pouvant théoriquement aller jusqu’à 1/10 000 µm.

E

Séparateur fixe

f 1+f 2

f2

f 1+f 2

f2

Source récepteur

R

f1

f1

Réflecteur 2 (mobile)

Réflecteur 1 (fixe) Figure 8.3 – Schéma de principe d’un interféromètre de Michelson.

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Ce système de mesure extrêmement précis peut donc être employé pour la mesure des défauts de déplacement des organes d’une machine-outil, mais il peut également être utilisé pour mesurer les déplacements sur certaines machines à mesurer de grande précision ou pour procéder à la vérification des étalons de travail dans les laboratoires de métrologie.

8.2.2 Mesure des écarts angulaires Les déplacements angulaires autour de chacun des axes de la liaison correspondent aux composantes de la résultante (vecteur petite rotation 9W(S/0)) du torseur des petits déplacements associé à cette liaison. On sait que la résultante d’un torseur est constante en tout point du solide auquel il est associé ce qui fait qu’on peut mesurer indifféremment ses composantes en n’importe quel point de ce solide. Dans une glissière d’axe Ox, on appelle traditionnellement les composantes de la résultante : la rotation autour de Ox le roulis, la rotation autour de Oy le lacet et la rotation autour de Oz le tangage. Plusieurs méthodes pratiques peuvent être valablement envisagées afin de réaliser ces mesures. 191

8 • La métrologie des machines-outils

8.2 Mesure des défauts d’une liaison glissière

m Mesure différentielle

La référence linéaire est matérialisée, soit par la génératrice d’un cylindre étalon dont l’axe est parallèle à l’axe de la broche lorsqu’il s’agit de qualifier par exemple un tour ou une rectifieuse cylindrique, soit par une règle étalon bridée sur la table de la machine si l’on doit caractériser les déplacements d’une fraiseuse, d’une aléseuse ou d’un centre d’usinage. Deux comparateurs 1 et 2 espacés d’une longueur d sont fixés sur le mobile (S) dont on veut contrôler le déplacement (figure 8.4). Lors de la translation de (S) le long de l’axe Ox, les petites rotations de (S) autour de Oy entraîneront des déviations de sens opposés dz1 et dz2 mesurées par les comparateurs 1 et 2, telles que l’on pourra écrire : dz 1 + dz 2 tgd α y = --------------------------- , avec tgday > 0 si dz1 < dz2 et tgday < 0 si d dz1 > dz2. Les angles étant petits on admettra que l’on peut poser sans risque : tgday = day, day étant exprimé en radians. Cylindre étalon

d 2

1 y A S

z Figure 8.4 – Mesure du lacet d’une glissière par une méthode différentielle.

192

x

8 • La métrologie des machines-outils

8.2 Mesure des défauts d’une liaison glissière

m Mesure au niveau

Lorsque l’axe de rotation est dans une direction proche de l’horizontale, il est commode de mesurer les petites rotations autour de cet axe en utilisant un niveau à bulle (analogue au niveau de maçon) ou un clinomètre. Le niveau à bulle permet la mesure précise de petits angles par rapport à une référence horizontale (figure 8.5). La caractéristique importante qui conditionne la résolution d’un niveau est le rayon R de la fiole. Sur la figure 8.5 on peut remarquer que Oa = O¢a¢ = O¢a¢1 = R et que l’on peut écrire : arc a¢1a¢ = aR, avec a naturellement exprimé en radians. Si R = 40 m (40 000 mm) et a = 1/200˚ (soit 8,7266.10 –5 rd) on aura : arc a¢1a¢ = 3,49 mm facilement mesurable sur la fiole (graduations) ce qui donne une idée de l’excellente résolution du système de mesure angulaire ainsi réalisé.

a a’

a’1

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α

horizontale

R

α

O O’

Figure 8.5 – Principe de la mesure d’un angle au niveau. 193

8 • La métrologie des machines-outils

8.2 Mesure des défauts d’une liaison glissière

Pour mesurer les défauts de roulis ou de tangage de notre liaison (les défauts de lacet ne sont pas mesurables par ce procédé en raison de la non-horizontalité de l’axe Oy), il suffit de poser sur l’élément mobile (S) un niveau perpendiculairement à l’axe autour duquel se produit le défaut à mesurer puis de relever les variations angulaires successives en fonction de la position de (S) le long de l’axe Ox. m Mesure angulaire par interférométrie

Un équipement approprié permet de réaliser la mesure de faibles variations angulaires autour d’axes perpendiculaires à l’axe du faisceau (roulis ou tangage dans le cas de notre exemple) à l’aide d’un interféromètre laser. Cet équipement comprend (figure 8.6) : un premier élément optique fixe 1 qui divise le faisceau initial issu de l’émetteur E en deux faisceaux parallèles f1 et f2, et un second élément optique 2 lié à l’élément mobile constitué de deux réflecteurs, semblables à ceux déjà utilisés pour la mesure des déplacements, assemblés de façon à ce que la distance entre leurs axes optiques soit égale à d. Les rayons réfléchis f1 et f2 sont regroupés sur le premier élément optique afin d’être analysés par le récepteur R. Là encore le récepteur va recevoir un signal égal à f1 + f2. Si dans son déplacement rectiligne l’élément optique 2 conserve sa position angulaire initiale le déphasage entre les rayons f1 et f2 restera constant et le récepteur R ne distinguera pas de variation du signal récupéré. Par contre, si au cours du déplacement rectiligne il se produit un pivotement autour d’un axe vertical (lacet du mouvement), le récepteur R détectera la variation de la longueur li des faisceaux f1 et f2 et pourra en déduire les valeurs successives prises par l’angle a en faisant : l1 – l2 tg α = ------------. d Naturellement si l’on souhaitait mesurer la composante de 9W(S/0) autour d’un autre axe perpendiculaire au premier, il suffirait de faire pivoter l’ensemble des systèmes optiques 1 et 2 de 90˚ et de recommencer l’opération. À noter que cet appareillage ne permet pas de mesurer la composante de rotation autour de l’axe de déplacement de la liaison (roulis). 194

8 • La métrologie des machines-outils

8.2 Mesure des défauts d’une liaison glissière

Élément optique 1

Élément optique 2

f1

E

f2 R

fixe

l1

mobile

d l2

α

Figure 8.6 – Principe des mesures angulaires à l’aide d’un interféromètre.

© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit.

8.2.3 Mesure des écarts linéaires Les écarts linéaires du déplacement de la glissière correspondent aux composantes du moment du torseur des petits déplacements associé à cette glissière. On sait que le moment d’un torseur est fonction du point où ce torseur est exprimé. Nous avons choisi le point A dans notre exemple : ce moment correspond alors au petit déplacement de A/0 que nous avons noté : 9U(A/0). Si nous décidons de caractériser les défauts de notre glissière par un torseur des petits déplacements exprimé au point A, il faudra donc bien prendre garde de corriger les résultats des mesures obtenus en fonction du point où celles-ci auront été réalisées. Pratiquement deux méthodes peuvent être couramment employées pour effectuer ces mesures. m Mesure des écarts linéaires au comparateur

La référence linéaire est, comme pour les mesures angulaires, matérialisée 195

8 • La métrologie des machines-outils

8.2 Mesure des défauts d’une liaison glissière

par un cylindre ou une règle étalon. On positionnera cette référence dans une direction parallèle au déplacement de la glissière, l’axe Ox dans notre exemple (figure 8.7). Si ce n’est pas rigoureusement le cas, il faudra effectuer les corrections nécessaires de façon à ne conserver que les informations relatives aux écarts de linéarité. Cette correction sera évoquée dans l’exemple qui sera traité par la suite. On fixe un comparateur sur l’élément mobile de la liaison et on relève les écarts dy au point de contact entre la touche du comparateur et la référence linéaire (ici le point B) suivant l’axe considéré (ici l’axe Oy) en fonction de la position du mobile le long de l’axe Ox. y

D

Cylindre étalon B

A z

x

Figure 8.7 – Mesure des écarts de rectitude au comparateur.

La déviation du comparateur va nous indiquer les valeurs successives prises par la composante dyB. Comme nous souhaitons exprimer cette composante au point A il faudra faire la correction suivante : 9U(A/0) = 9U(B/0) + 6ABŸ9W(S/0)

6ABŸ9W(S/0)

196

YAB ◊ daz – ZAB ◊ day = ZAB ◊ dax – XAB ◊ daz XAB ◊ day – YAB ◊ dax

8 • La métrologie des machines-outils

8.2 Mesure des défauts d’une liaison glissière

Ce qui donnera pour la valeur recherchée : dyA = dyB + ZAB ◊ dax – XAB ◊ daz. Pour mesurer la composante suivant Oz, on positionnera le comparateur de façon à ce que la mesure soit effectuée dans une direction verticale en utilisant un support adapté. Le contact se fera alors sur la génératrice supérieure du cylindre étalon par exemple au point D, et l’on obtiendra ainsi la composante dzD il suffira alors d’écrire : dzA = dzD + XAD ◊ day – YAD ◊ dax. m Mesure des écarts linéaires par interférométrie

L’équipement nécessaire pour mesurer les écarts linéaires à l’aide d’un interféromètre est un peu plus complexe que ceux utilisés dans les cas précédemment évoqués (figure 8.8). Il comprend : – Un premier élément optique appelé interféromètre de Woolaston solidaire de l’élément mobile dont on veut caractériser le déplacement. Cet élément optique divise le faisceau issu de l’émetteur E en deux z

f 1 + f2 a

f 1 + f2 a

E

A

R © Dunod – La photocopie non autorisée est un délit.

y

ER

x

f1 + f2 r

f 1 + f2 r

f1 a + f1 r A

ϕ

x

f 1 + f2 a et r f 2 a + f2 r Interféromètre de Woolaston (mobile)

Réflecteur de rectitude (fixe)

Figure 8.8 – Équipement pour mesure des écarts linéaires par interférométrie. 197

8 • La métrologie des machines-outils

8.2 Mesure des défauts d’une liaison glissière

demi-faisceaux f1 et f2 formant entre eux un angle j dont la bissectrice est l’axe optique du faisceau initial. – Un deuxième élément optique fixe par rapport au bâti de la machine : cet élément en forme de toit à quatre pentes est un double réflecteur qui renvoie les faisceaux f1 et f2 se recombiner sur le premier élément optique. Le récepteur R reçoit donc un faisceau constitué par la somme de f1 et de f2 réfléchis par l’élément optique 2. On remarquera que la largeur de ce réflecteur limite la course du mobile dont on analyse le déplacement. Si pendant son déplacement normal parallèle à l’axe du rayon de référence l’interféromètre de Woolaston subit un petit déplacement dyA horizontal perpendiculaire à cet axe (figure 8.9), on verra apparaître un raccourcissement du demi-faisceau f ¢1 ainsi qu’un allongement de l’autre demi-faisceau f ¢2. La variation de longueur relative entre f ¢1 et f ¢2 sera détectée par le récepteur R qui sera capable après étalonnage d’en déduire la valeur de dyA. Naturellement lorsque l’on souhaitera faire la mesure des écarts linéaires dans la direction Oz il suffira de faire pivoter l’ensemble de l’équipement optique de 90˚ pour pouvoir effectuer les mesures. f’1 a + f’1 r dyA δ

f’1 < f’2

f’2 + f’2 a

Figure 8.9 – Principe de la mesure des écarts linéaires par interférométrie.

8.2.4 Présentation et exploitation des résultats m Présentation des résultats

Comme nous l’avons précisé au paragraphe 8.1.2, les composantes du torseur des petits déplacements caractérisant les défauts d’une liaison ne 198

8 • La métrologie des machines-outils

8.2 Mesure des défauts d’une liaison glissière

sont pas des constantes pour cette liaison mais sont des fonctions qui dépendent de la position du mobile concerné par cette liaison. Dans l’exemple que nous avons analysé, les composantes seront donc des fonctions de x. Dans la pratique, il est commode de les exprimer sous la forme d’un fichier ou de les représenter comme indiqué sur la figure 8.10. dyA µm

x mm

dαy rd

x mm

© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit.

Figure 8.10 – Représentation graphique des résultats des mesures de dyA et day

m Exploitation des résultats

Si nous reprenons le problème du chariotage d’un cylindre sur un tour parallèle évoqué en début de chapitre, la métrologie du déplacement du traînard va nous permettre de connaître les composantes du torseur des petits déplacements associé à sa liaison glissière exprimées au point A (voir paragraphes précédents). Pour usiner le cylindre, un outil à charioter sera monté sur la tourelle tel que le bec de l’outil, sa partie active se trouve au point B. Les calculs vont nous permettre, à partir de la connaissance du vecteur 6BA et du torseur associé, de déterminer les positions successives de B en fonction du déplacement du traînard le long de Oz. On peut ainsi identifier un petit parallélépipède entourant la position théorique que devrait occuper le point B, et dont les côtés sont égaux aux valeurs 199

8 • La métrologie des machines-outils

8.2 Mesure des défauts d’une liaison glissière

maximales que peuvent prendre dxB, dyB et dzB, ce qui correspond à l’espace que va réellement occuper la partie active de l’outil du fait des défauts de la liaison glissière de la machine. Naturellement ces variations autour de la position théoriques ne vont pas avoir des conséquences identiques sur la qualité géométrique de la surface obtenue. La valeur de dzB sera sans influence sur la cylindricité de la surface usinée, la valeur de dyB aura très peu d’effet puisqu’elle n’entraînera qu’une très faible variation de la hauteur de pointe de l’outil. Par contre la valeur de dxB va directement correspondre à la valeur du défaut de rectitude de la génératrice de la surface obtenue. dyB

x

dzB dxB

B

y

A

z

Figure 8.11 – Exemple d’exploitation des résultats de la métrologie de la glissière d’un traînard sur la génération d’un cylindre.

8.2.3 Exemple d’application L’exemple choisi consiste à réaliser la métrologie de la liaison glissière assurant le déplacement du chariot transversal d’un tour, puis d’en déduire la qualité de l’usinage obtenu en dressant la face d’un disque (figure 8.12). Par des processus de mesure semblables à ceux étudiés précédemment, il sera possible de déterminer les valeurs des composantes du torseur des petits déplacements associé à la liaison glissière étudiée. Ces composantes seront exprimées au point T dans le référentiel (O0,x4 0,y4 0,z4 0) lié au bâti de la machine dont l’axe Oz est rigoureusement parallèle à l’axe de la broche. Les valeurs correspondantes, fonctions de la position du chariot le long de l’axe Ox, sont retranscrites dans le tableau 8.1. 200

8 • La métrologie des machines-outils

8.2 Mesure des défauts d’une liaison glissière

y0

x0 A

O0

z0

T

Figure 8.12 – Métrologie du chariot transversal d’un tour.

La partie active de l’outil de dressage se trouvant au point A il est nécessaire de déterminer les positions successives de A afin de connaître la forme réelle de la surface théoriquement plane générée par l’opération de dressage. On a vu que pour cela on posait : 9U(A/0) = 9U(T/0) + 6ATŸ9W(S/0), avec : 9U(T/0) = (04x0 + dyT ◊ y4 0 + dzT ◊ z4 0), W 9 (S/0) = (dax ◊ x4 0 + day ◊ y4 0 + daz ◊ z4 0) et A 6 T = (–120 ◊ x4 0 + 0 ◊ 4y0 – 80 ◊ 4z0).

© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit.

Et donc : A 6 TŸ9W(S/0) = (80 day ◊ x4 0 + (–80 dax + 120 daz) ◊ 4y0 – 120 day ◊ z4 0). Lors du dressage de la face du disque nous voyons que la variation de la position du point A le long de l’axe 4x0 sera sans effet sur la qualité de la géométrie de la surface réalisée, que la variation de A le long de l’axe 4y0 aura un effet négligeable (légère modification de la hauteur de pointe) mais que par contre la variation de la position de A suivant l’axe 4z0 va directement influencer la forme de la surface usinée. C’est la raison pour laquelle nous calculerons seulement cette composante là, le calcul donne : dzA ◊ 4z0 = (dzT – 120 ◊ day) ◊ 4z0

Bien entendu on passe de xT à xA en faisant xA = xT – 6AT 4x0 Æ xA = xT +120. 201

202

0

–330

0

–330

0

xT

day

xT

daz

0

dzT

dax

–330

xT

–330

0

dyT

xT

–330

xT

6

13

–310

–1

–310 –1

0

2

1

–2

2

3

0

–4

–2

1

1

19

27

31

35

40

46

52

66

75

88

95

101

–2

3

–4

5

0

–2

1

3

–1

–4

4

5

0

5

–1

5

2

–2

4

3

0

–4

1

3

–3

–2

5

2

–2

1

3

–3

–4

5

2

0

5

–1

1

–4

–310 –300 –290 –280 –270 –260 –250 –240 –230 –220 –210 –200 –190 –180

1

–310 –300 –290 –280 –270 –260 –250 –240 –230 –220 –210 –200 –190 –180

3

–310 –300 –290 –280 –270 –260 –250 –240 –230 –220 –210 –200 –190 –180

80

–300 –290 –280 –270 –260 –250 –240 –230 –220 –210 –200 –190 –180

3

–300 –290 –280 –270 –260 –250 –240 –230 –220 –210 –200 –190 –180

Les écarts angulaires dax, day et daz sont exprimés en radians 10–5

–320

4

–320

5

–320

–1

–320

–2

–320

Les écarts linéaires dyT et dzT sont exprimés en microns

Tableaux 8.1 – Composantes du torseur des petits déplacements en fonction de x.

8 • La métrologie des machines-outils 8.2 Mesure des défauts d’une liaison glissière

0

120 ◊ day

dzA

4,8

6

1,2

13 6

19 –1,2

27 6

31

0

1,2

11,8

13

28,2

25

–150 –140 –130 –120 –110 –100

0

xA

Tableau 8.2 – Résultats des calculs.

32,6

–90

2,4

35

42,4

–80

–2,4

40

41,2

–70

4,8

46

48,4

–60

3,6

52

66

–50

0

66

79,8

–40

–4,8

75

78,8

–30

1,2

80

84,4

–20

3,6

88

0

–2,4

101

–180

98,6 103,4

–10

–3,6

95

–330 –320 –310 –300 –290 –280 –270 –260 –250 –240 –230 –220 –210 –200 –190

dzT

xT

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8 • La métrologie des machines-outils 8.2 Mesure des défauts d’une liaison glissière

203

8 • La métrologie des machines-outils

8.2 Mesure des défauts d’une liaison glissière

Le tableau 8.2 donne les résultats des calculs permettant de déterminer les valeurs successives prises par dzA en fonction de xA. Une représentation graphique de ces résultats est visible sur la figure 8.13. L’examen de ce graphique fait apparaître : – Le défaut angulaire j entre la direction réelle du déplacement du chariot transversal et l’axe Ox qui est la direction théorique que devrait présenter ce déplacement pour être rigoureusement perpendiculaire à l’axe de la broche. – Le défaut de rectitude du déplacement c’est-à-dire la valeur de dzA maxi, en ce qui concerne la mesure de ce défaut l’angle j étant naturellement petit, il est indifférent d’exprimer la mesure normalement à la direction du déplacement ou parallèlement à l’axe Oz. –150

–100

–50 ϕ

O0

x0

Direction réelle du déplacement

Défaut de rectitude du déplacement du pointA dz A Figure 8.13 – Représentation graphique des résultats.

Cette représentation graphique nous donne une bonne idée de l’aspect que présentera la surface réellement générée par le dressage. Il s’agira d’un cône dont la conicité sera fonction du défaut d’orthogonalité entre le déplacement de la partie active de l’outil (point A) et l’axe de la broche de la machine Oz, et dont le défaut de rectitude des génératrices dépendra directement du défaut de rectitude du déplacement de A le long de l’axe de la glissière (figure 8.14). Lors de la mesure précédente, nous avons admis que les mesures des écarts dzT étaient effectuées à partir d’une référence rectiligne (règle étalon) rigoureusement perpendiculaire à l’axe de la broche Oz. Dans la 204

8 • La métrologie des machines-outils

8.3 Mesure des défauts angulaires des axes

Oo xo

zo Figure 8.14 – Forme de la surface réellement obtenue.

pratique, on n’est pas toujours certain que cette condition soit respectée ; il faudra donc toujours vérifier si cette condition est satisfaite, si ce n’est pas le cas il faudra alors mesurer le défaut de position de l’élément de référence, puis réaliser les corrections nécessaires.

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8.3 Mesure des défauts angulaires des axes La mesure des défauts angulaires entre les différents axes d’une machine-outil est donc d’une importance capitale dans la connaissance de leur géométrie. Dans ce qui suit, nous nous contenterons d’évoquer la mesure des défauts de parallélisme et d’orthogonalité qui sont les cas les plus fréquents. Les mesures d’angles quelconques s’effectueront à partir des mêmes principes en employant des étalons appropriés.

8.3.1 Principe de la mesure Le principe employé pour réaliser les mesures des défauts angulaires consiste à rechercher la direction de l’axe étudié par rapport à la droite de référence (génératrice de cylindre étalon, règle étalon, rayon laser…) j, puis de rechercher l’écart angulaire q entre cette droite de référence et l’axe théorique afin de pouvoir déterminer l’écart angulaire entre l’axe étudié et la direction théorique qu’il devrait occuper (figure 8.15). 205

8 • La métrologie des machines-outils

8.3 Mesure des défauts angulaires des axes

dyA µm

ϕ

Référence linéaire θ

Axe théorique

x0

Figure 8.15 – Principe de la mesure du défaut angulaire d’un axe de machine-outil.

8.3.2 Mesure de parallélisme Lorsque nous voulions caractériser le défaut de parallélisme entre l’axe de la broche d’un tour et l’axe de la liaison glissière permettant le déplacement du traînard (paragraphe 8.1.2), le choix d’une référence linéaire matérialisée par la génératrice d’un cylindre étalon (c’est-à-dire considéré comme géométriquement parfait) positionné par rapport à l’axe de la broche fait que, dans ce cas, l’angle q peut être considéré comme négligeable. Faire attention cependant à ce que dans ce problème, le défaut angulaire entre l’axe z¢0 (axe de la liaison) et l’axe z0 (axe de référence) possède deux composantes : l’une autour de x0, l’autre autour de y0 ; c’est-à-dire qu’il faudra faire une mesure dans le plan horizontal z0, O0, x0 puis une autre mesure dans le plan vertical y0, O0, z0.

8.3.4 Mesure de perpendicularité m Perpendicularité d’axes sur un tour

Reprenons le cas exposé dans le paragraphe 8.2.3 à savoir la mesure du défaut d’orthogonalité entre l’axe de la broche d’un tour et le déplacement de son chariot transversal. Nous avions alors fait l’hypothèse que les mesures étaient réalisées à partir d’une référence (règle étalon) parfaitement parallèle à l’axe Ox0, c’est-à-dire rigoureusement perpendiculaire à l’axe de la broche Oz0 (dans ce cas naturellement q vaudrait 0). Dans la réalité il est fort probable que ce ne sera pas le cas, mais que la règle 206

8 • La métrologie des machines-outils

8.3 Mesure des défauts angulaires des axes

étalon sera montée de telle façon qu’elle fasse un angle q (inconnu) avec Ox0. Une méthode très simple peut nous permettre de résoudre facilement le problème ; il suffit alors de réaliser deux mesures : – Une première mesure de la rectitude du déplacement suivant l’axe de la glissière x1 (figure 8.16) permet de déterminer, en plus du défaut de rectitude, un angle j1 compris entre l’axe x1 et la référence linéaire solidaire de la broche. x0 x1 Référence linéaire

O0

z0 Axe de la liaison

θ

dαy = ϕ1 + θ

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Figure 8.16 – Première mesure de rectitude de l’axe Ox1.

– Une seconde mesure de rectitude du déplacement de la glissière x1 identique à la précédente mais réalisée après avoir fait effectuer à la broche une rotation de 180˚ autour de l’axe Oz. Cette rotation de la broche a pour effet d’amener la règle étalon qui lui est liée dans la position représentée sur la figure 8.17. Aux incertitudes de mesure près, les écarts de rectitude calculés sont identiques à ceux constatés lors de la première mesure. La mesure permet de déterminer en outre un angle j2 entre l’axe x1 et la référence linéaire. À partir de day = j1 + q obtenu à partir de la première mesure et de day = j2 – q obtenu à partir de la deuxième mesure, on peut écrire : 2 day = (j1 + q) + (j2 – q) ce qui donnerait : 2 day = j1 + j2 et qui permet de déterminer day sans avoir à connaître la valeur de l’angle q en faisant tout simplement day = (j1 + j2)/2. 207

8 • La métrologie des machines-outils

x1

8.3 Mesure des défauts angulaires des axes

x0 Référence linéaire

O0

z0 ϕ2 Axe de la liaison

θ

dαy = ϕ2 – θ

Figure 8.17 – Seconde mesure de rectitude de l’axe Ox1.

m Mesure de perpendicularité par interférométrie

Ce type de mesure nécessite l’utilisation d’un nouvel élément, une équerre optique qui permet d’obtenir une déviation de 90˚ du faisceau. La précision obtenue sur l’angle de déviation dépend de la qualité de réalisation de l’équerre, elle est de l’ordre de 0,5 seconde d’arc pour les matériels habituellement utilisés. Si l’on souhaite déterminer la mesure de l’équerrage entre deux axes z et x on réalise tout d’abord la mesure de rectitude de l’axe x par la méthode déjà exposée au paragraphe 8.2.3. Cette mesure nous permet de connaître, en plus du défaut de rectitude du déplacement le long de l’axe x, un angle jx entre la direction réelle de l’axe mesuré et l’étalon de rectitude, dans ce cas le faisceau de référence de l’interféromètre. On réalise ensuite le montage représenté schématiquement par la figure 8.18. Ce montage consiste d’abord à ne surtout pas déplacer l’émetteur récepteur qui permet de matérialiser l’axe de référence, puis à placer au bon endroit l’équerre optique qui déviera cet axe optique de 90˚ et permettra ensuite de réaliser la mesure du déplacement de l’axe z. Cette seconde mesure donne naturellement le défaut de rectitude de la liaison portée par cet axe ainsi que la valeur d’un angle jz, compris entre le rayon de référence et la direction réelle du déplacement. Il sera alors facile de déterminer le défaut d’orthogonalité entre x et z à partir de jx et jz, (voir figure 8.19). 208

8 • La métrologie des machines-outils

8.3 Mesure des défauts angulaires des axes

x

Équerre optique Fixe

A

ϕ

z

Woolaston Fixe Réflecteur Mobile ER

Émetteur récepteur Fixe

Figure 8.18 – Équipement pour une mesure d’orthogonalité par interférométrie.

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Équerre optique

Direction de l’axe z

ϕz Réflecteur mobile

Direction de l’axe x Axe optique de référence

ϕx Émetteur récepteur

Angle (x,y) = 90°+ ϕ x°+ ϕ x°

Figure 8.19 – Mesure d’orthogonalité entre deux axes z et x par interférométrie. 209

8 • La métrologie des machines-outils

8.4 Le ballbar

8.4 Le ballbar Le ballbar est un système imaginé, mis au point et commercialisé par la société Renishaw, société spécialisée dans les équipements de métrologie industrielle. Cet outil est destiné à caractériser les machines-outils à commande numérique et particulièrement les centres d’usinage. La qualité des usinages réalisés sur les machines-outils à commande numérique dépend principalement de deux familles de paramètres : des paramètres relatifs au système de commande et de contrôle des déplacements sur les différents axes, et des paramètres liés à la géométrie de la structure de la machine elle-même. L’analyse des résultats des mesures effectuées par le processus du ballbar permet la détection et la mesure des défauts d’usinage liés à ces deux familles de paramètres. Dans ce qui suit, nous nous contenterons d’étudier la détection de quelques défauts géométriques mis en évidence par ce système. Une étude approfondie de la documentation relative au ballbar ainsi que des tests sur machine permettront de se familiariser avec la méthode et d’en apprécier toutes les possibilités.

8.4.1 Structure et principe du ballbar Le ballbar est constitué de deux cupules coniques. La première est montée, généralement par l’intermédiaire d’une pince, dans la broche de la machine, la seconde est fixée sur la table de la machine-outil à l’aide d’un support magnétique. Les deux cupules sont reliées entre elles par une biellette extensible possédant une sphère à chacune de ses extrémités et dont on peut mesurer l’allongement de façon très précise grâce à un capteur de type inductif. Les liaisons cupules sphères sont des liaisons rotules parfaites sans jeu obtenues par un maintien magnétique du contact (figure 8.20). Un système informatique recueille les informations fournies par le capteur d’élongation de la biellette et procède à l’analyse et au dépouillement de ces données. Pour qualifier un centre d’usinage, l’opérateur va programmer la réalisation d’un cercle successivement dans les plans xOy, xOz et yOz. Si la machine était parfaite, le rayon des cercles réellement parcourus serait constant et le capteur ne détecterait pas de variation de longueur de la 210

8 • La métrologie des machines-outils

8.4 Le ballbar

z Broche de la machine Capteur de mesure d’élongation de la biellette

O

x Contacts magnétiques

Table de la machine Figure 8.20 – Schéma d’un ballbar monté sur un centre d’usinage.

biellette. L’analyse de la variation du rayon de la figure obtenue peut permettre la mise en évidence et l’évaluation d’un certain nombre d’imperfections de la machine ou de son système de commande.

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8.4.2 Défaut d’orthogonalité d’axes m Mise en évidence d’un défaut d’orthogonalité

Imaginons que les axes x et y possèdent un défaut d’orthogonalité j, l’examen de la courbe obtenue après programmation d’une interpolation circulaire de centre O autour de l’axe Oz dans le plan xOy va nous permettre de mettre en évidence ce défaut d’équerrage (figure 8.21). Soit P un point du cercle de rayon R programmé, ses coordonnées théoriques sont : X = R◊cosq et Y = R◊sinq, l’angle j étant petit on peut écrire que le décalage entre le point P programmé et le point P¢ obtenu est égal à PP¢ = Y ◊ j, soit PP¢ = R ◊ sinq ◊ j. La variation DR entre le rayon programmé R et le rayon obtenu est égale à PP¢ ◊ cosq, d’où DR = j ◊ R◊sinq◊cosq. Or on sait que : sinq ◊ cosq = (sin2q)/2, on aura donc : DR = j ◊ R ◊ (sin2q)/2. 211

8 • La métrologie des machines-outils

8.4 Le ballbar

y

y’

ϕ

P

P’

R O

θ

x

Figure 8.21 – Détection d’un défaut d’orthogonalité par le tracé du ballbar.

Recherchons la valeur de q pour laquelle DR sera maximale (le rayon sera alors le plus grand possible). Ce sera lorsque dDR/dq = 0 donc pour 2 ◊ j ◊ R ◊(cos2q)/2 = 0, c’est-à-dire lorsque cos2q = P/2 ou 3P/2, soit lorsque q = P/4 ou lorsque q = 3P/4. Conclusion : Un défaut d’orthogonalité entre les axes x et y se traduira par le tracé d’une ellipse inclinée à 45˚ ou à 135˚ et ceci quelle que soit la valeur du défaut angulaire. Cependant la mesure des dimensions de l’ellipse obtenue peut nous permettre de calculer la valeur de ce défaut d’orthogonalité j. m Détermination du défaut d’orthogonalité

Comparons la différence de longueur entre les rayons de l’ellipse et le rayon R du cercle programmé en fonction de la valeur de l’angle j qui chiffre le défaut d’orthogonalité entre les axes x et y de la machine (figure 8.22). DGR (variation de longueur du grand axe de l’ellipse) = PP¢ ◊ sinP/4 = Y ◊ j ◊ sinP/4, or Y = R ◊ sinP/4 Soit : DGR = j ◊ R.(sinP/4)2 et donc : DGR = j ◊ R/2 212

8 • La métrologie des machines-outils

8.4 Le ballbar

On pourrait de la même façon montrer que l’on a : DPR = j ◊ R/2 Et l’on peut donc écrire DPR + DGR = j ◊ R et donc : j = (GR-PR)/R. y

y’ ∆ GR P’ P

ϕ O

x

∆ PR

Figure 8.22 – Détermination du défaut d’orthogonalité par le tracé du ballbar.

© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit.

8.4.3 Autres possibilités du ballbar On imagine que tous les autres défauts relatifs aux imperfections de la géométrie (rectitude des axes par exemple) de la machine ou à l’efficacité des organes de commande (erreurs d’asservissement, justesse des déplacements ou jeux d’inversion) vont affecter la forme de la courbe obtenue, certains défauts pouvant compenser les écarts dus à d’autres défauts. Il est donc nécessaire de dépouiller les résultats des mesures effectuées avec le ballbar et de les analyser avec soin si l’on veut connaître précisément les capacités d’une machine. Des logiciels particulièrement performants sont fournis avec l’appareil et permettent de trier les différentes informations contenues dans la courbe afin d’informer l’utilisateur sur les paramètres concernés. 213

8 • La métrologie des machines-outils

8.5 Les essais en charge

Une mesure au ballbar étant une opération très rapide lorsque l’appareil a été pris en main, une application intéressante consiste à l’utiliser pour la surveillance des machines-outil. Une machine étant parfaitement connue sur le plan de sa géométrie par les méthodes de mesure habituelles proposées par la normalisation et dont le principe a été exposé précédemment, un contrôle périodique avec le ballbar (par exemple chaque début de semaine lors de la remise en route de la fabrication) permet, en comparant les résultats des mesures successives, d’observer la dérive éventuelle des performances et de programmer si nécessaire une métrologie complète de la machine par les moyens traditionnels.

8.5 Les essais en charge 8.5.1 Présentation Tous les procédés de métrologie des machines-outils qui viennent d’être évoqués ont malgré leurs performances indéniables l’inconvénient d’être utilisés sur des machines à vide. Or il est probable que les charges statiques et surtout dynamiques induites par les opérations d’usinage vont provoquer des déformations élastiques des différents éléments constitutifs des machines et par conséquent modifier sensiblement la géométrie de celles-ci. Il serait donc opportun de pouvoir réaliser les mesures lorsque les machines fonctionnent, et éventuellement d’intervenir en temps réel dans les informations fournies au directeur de commande afin d’apporter les corrections nécessaires mais cela, bien que théoriquement faisable, présente de grosses difficultés sur le plan pratique. Une solution facile à mettre en œuvre et particulièrement efficace consiste à réaliser l’usinage d’une pièce type, puis à faire la métrologie de cette pièce type afin d’en déduire les principaux défauts géométriques de la machine. Par exemple dans le paragraphe 8.2.3, nous avons remarqué que l’observation de la surface dressée, théoriquement un plan mais en réalité un cône, nous donnait de précieuses informations concernant l’axe de déplacement du chariot transversal d’un tour parallèle. 214

8 • La métrologie des machines-outils

8.5 Les essais en charge

8.5.2 Géométrie de l’axe de déplacement du traînard Reprenons le problème présenté en début de chapitre à savoir l’examen de l’axe de déplacement du traînard d’un tour parallèle afin de s’assurer de la bonne cylindricité d’une pièce chariotée. Pour cette analyse on propose d’usiner une pièce type semblable à celle représentée sur la figure 8.23. Cette pièce comporte trois portées cylindriques de faible largeur afin de minimiser la variation de rayon due au recul de l’arête coupante de l’outil provoqué par l’usure en dépouille de celui-ci.

∅A

∅B

∅C

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Figure 8.23 – Pièce type permettant la qualification d’une machine de tournage.

Les portées A, B et C ont théoriquement le même diamètre et sont obtenues à partir d’un réglage unique de la machine, comme si l’on devait usiner un cylindre continu. Après le chariotage, on mesure avec soin le diamètre de chaque portée. Pour une meilleure qualité de l’information, on réalisera plusieurs mesures sur chacune des portées et l’on prendra comme valeur supposée vraie la moyenne arithmétique des différents résultats. On imaginera quatre types de résultats possibles (naturellement chaque type correspondrait aux résultats obtenus avec une machine virtuelle dont le numéro varie d’un à quatre). Les résultats supposés sont portés dans le tableau 8.3. Tableau 8.3 – Résultats des mesures observées sur quatre machines différentes. A

B

C

Machine 1

60, 005

60, 002

60,004

Machine 2

60,001

60,0072

60,156

Machine 3

60,003

59,793

60,005

Machine 4

60, 004

60,021

60,232 215

8 • La métrologie des machines-outils

8.5 Les essais en charge

m Analyse des résultats

L’analyse des résultats du tableau 8.3 montre que la forme générale des solides de révolution obtenus avec chacune des machines correspond aux schémas représentés sur la figure 8.24. Machine 1 : cylindre

Machine 2 : cône

Machine 3 : hyperboloïde

Machine 4 : hyperboloïde conique

Figure 8.24 – Solide obtenu sur chacune des machines testées.

Une rapide analyse géométrique nous montre que la forme des différents solides obtenus dépend directement de la position angulaire entre les axes Oz (axe de la broche) et O¢z¢ (axe de la glissière du traînard), figure 8.25. L’obtention d’un cylindre (machine 1) correspond à deux axes parfaitement parallèles, les trois autres cas résultent d’un défaut de parallélisme entre les deux axes. L’obtention d’un cône (machine 2) correspond à un défaut angulaire jy dans le plan z, O, x. L’obtention d’un hyperboloïde (machine 3) correspond à un défaut angulaire jx dans le plan y, O,z. L’obtention d’un hyperboloïde conique (machine 4) correspond à la fois à un défaut angulaire jy dans le plan z, O,x et à un défaut angulaire jx dans le plan y, O,z. 216

8 • La métrologie des machines-outils

8.6 Bibliographie

y y x

ϕx

z

x

z’ x

O z’

y

ϕy

z z’

z

Figure 8.25 – Origines probables des différents défauts constatés.

© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit.

8.6 Bibliographie [8.1] Liaisons, mécanismes et assemblages, P. AGATI, F. LEROUGE, M. ROSSETTO, Dunod, 2001, p. 19 à 24. [8.2] Systèmes mécaniques, M. AUBLIN, R. BONCOMPAIN, M. BOULATON, D. CARON, E. JEAY, B. LACAGNE, J. RÉA, Dunod 1992, p. 33 à 48. [8.3] E 60-08, Machines-outils, Code d’essai des machines-outils à commande numériques-Dispositions générales pour le contrôle des erreurs, AFNOR, 1988. [8.4] E 60-101, Machines-outils, Conditions de réception des tours parallèles d’usage général, contrôle de la réception, AFNOR, 1997. [8.5] E 60 116, Machines-outils, Conditions de réception des machines à aléser et à fraiser à broche horizontale, Contrôle de la précision, AFNOR, 1988. [8.6] Fabrication par usinage, J.-P. CORDEBOIS, Dunod, 2003, p. 311 à 329.

217

ANNEXE

m Valeurs de la table de la loi normale réduite

© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit.

Le tableau donne la probabilité pour qu’une variable x soit comprise entre –• et µ (on rappelle que dans le cas de la loi réduite σ vaut 1 donc µ◊ σ = µ) cette probabilité correspond à l’aire grisée de la courbe, la symétrie de la fonction par rapport à la moyenne (donc 0 dans le cas de la loi réduite) fait que l’on se contentera de faire varier µ dans ses valeurs positives. m

0

0,01

0,02

0,03

0,04

0

0,5

0,504

0,508

0,512

0,516

0,05

0,06

0,07

0,08

0,09

0,5199 0,5239 0,5279 0,5319 0,5359

0,1 0,5398 0,5438 0,5478 0,5517 0,5557 0,5696 0,5636 0,5675 0,5714 0,5753 0,2 0,5793 0,5832 0,5871 0,5910 0,5948 0,5987 0,6026 0,6064 0,6103 0,6141 0,3 0,6179 0,6217 0,6255 0,6293 0,6331 0,6368 0,6406 0,6443 0,6480 0,6517 0,4 0,6554 0,6591 0,6628 0,6664 0,5 0,6915

0,695

0,67

0,6736 0,6772 0,6808 0,6844 0,6879

0,6985 0,7019 0,7054 0,7088 0,7123 0,7157

0,719

0,7224

0,6 0,7257 0,7290 0,7324 0,7357 0,7389 0,7422 0,7454 0,7486 0,7517 0,7549 0,7 0,7580 0,7611 0,7642 0,7673 0,7704 0,7734 0,7764 0,7794 0,7823 0,7852 0,8 0,7881 0,7910 0,7939 0,7967 0,7995 0,8023 0,8051 0,8078 0,8106 0,8133 0,9 0,8159 0,8186 0,8212 0,8238 0,8264 0,8289 0,8315 0,8340 0,8365 0,8389

219

Annexe

m 1

0

0,01

0,02

0,03

0,04

0,05

0,06

0,07

0,08

0,09

0,8413 0,8438 0,8461 0,8485 0,8508 0,8531 0,8554 0,8577 0,8599 0,8621

1,1 0,8643 0,8665 0,8686 0,8708 0,8729 0,8749

0,877

0,879

0,8810

0,883

1,2 0,8849 0,8869 0,8888 0,8907 0,8925 0,8944 0,8962

0,898

0,8997 0,9015

1,3 0,9032 0,9049 0,9066 0,9082 0,9099 0,9115 0,9131 0,9147 0,9162 0,9177 1,4 0,9192 0,9207 0,9222 0,9236 0,9251 0,9265 0,9279 0,9292 0,9306 0,9319 1,5 0,9332 0,9345 0,9357

0,937

0,9382 0,9394 0,9406 0,9418 0,9429 0,9441

1,6 0,9452 0,9463 0,9474 0,9484 0,9495 0,9505 0,9515 0,9525 0,9535 0,9545 1,7 0,9554 0,9564 0,9573 0,9582 0,9591 0,9599 0,9608 0,9616 0,9625 0,9633 1,8 0,9641 0,9649 0,9656 0,9664 0,9671 0,9678 0,9686 0,9693 0,9699 0,9706 1,9 0,9713 0,9719 0,9726 0,9732 0,9738 0,9744 2

0,975

0,9756 0,9761 0,9767

0,9772 0,9779 0,9783 0,9788 0,9793 0,9798 0,9803 0,9808 0,9812 0,9817

2,1 0,9821 0,9826 0,9830 0,9834 0,9838 0,9842 0,9846 0,9850 0,9854 0,9857 2,2 0,9861 0,9864 0,9868 0,9871 0,9875 0,9878 0,9881 0,9884 0,9887

0,989

2,3 0,9893 0,9896 0,9898 0,9901 0,9904 0,9906 0,9909 0,9911 0,9913 0,9916 2,4 0.9918 0,9920 0,9922 0,9925 0,9927 0,9929 0,9931 0,9932 0,9934 0,9936 2,5 0,9938 0,9940 0,9941 0,9943 0,9945 0,9946 0,9948 0,9949 0,9951 0,9952 2,6 0,9953 0,9955 0,9956 0,9957 0,9959 0,9960 0,9961 0,9962 0,9963 0,9964 2,7 0,9965 0,9966 0,9967 0,9968 0,9969

0,997

0,9971 0,9972 0,9973 0,9974

2,8 0,9974 0,9975 0,9976 0,9977 0,9977 0,9978 0,9979 0,9979

0,998

0,9981

2,9 0,9981 0,9982 0,9982 0,9983 0,9984 0,9984 0,9985 0,9985 0,9986 0,9986 3

0,9987

3,5 0,9998 4

220

0,9999

INDEX ALPHABÉTIQUE

A

acceptation 37 alésage 100, 112 amplification 32 arbre 100 B

ballbar 210

défaut 12 d’état de surface 146 d’ondulation 145 de forme 145 de rugosité 145 diamètre 101 E

C

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D

cale-étalon 23 caméra CCD 135 capabilité 36 capteur à contact 133 optique 123, 133 circularité 104 clinomètre 193 coefficient de corrélation linéaire 59 contrôle 13 cosinus directeurs 7 cote 100 covariance 58 critère de Gauss 75 de Tchebytchev 76 cut-off 158 cylindricité 106

écart 11, 100 type 43 échantillon 47 échelle macroscopique 99 microscopique 99 élément associé 10 des moindres carrés 75 enveloppe 74, 105 erreur 27 étalon de travail 22 primaire 20 F

facteur d’élargissement 42 fiche de vie 26 221

M

fidélité 35 filtrage 149 gaussien 158 RC ISO 158 forme 102 I

incertitude 27, 28, 41 composée 56 élargie 42 fractionnaire 42 type 42 inclinaison 113 indépendance 99 interféromètre 190 intervalle de tolérance 100 J

justesse 34 L

lacet 120, 191 laser 190 liaison de BOYS 130 lissage 8 localisation 109 loi de distribution triangulaire 44 normale 45 longueur de base 158 de coupure 158 222

machine à mesurer tridimensionnelle 117 marbre 72 mesure en continu 132 méthode d’incertitude de type A 47 de type B 50 des motifs 171 mètre étalon 17

N

niveau 193 P

palpeur dynamique 130 statique 131 passe-bande 157 passe-bas 157 passe-haut 157 petits déplacements 82 piges 62 planéité 105 portance 164 profil 146 brut 147 R

rectitude 103, 204 référence 107 commune 108 ordonnée 108 référentiel de mesure 118

règle 72 résolution 30 roulis 120, 191

système métrique 21 T S

V

valeur nominale 100 vernier 31

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scanning 123, 132 skewness 168 spécification géométrique des produits 98 statistiques 47 surface réelle 5, 9 réglée 6

tactile 123 tangage 120, 191 tolérance de forme 13 traçabilité 26

223

aide-mémoire de l’ingénieur Michel Dursapt

Métrologie dimensionnelle Cet aide-mémoire regroupe les connaissances de base relatives à la caractérisation géométrique des produits industriels du domaine de la mécanique. Après un rappel sur les notions nécessaires à la compréhension des spécifications géométriques et aux processus de mesure, il aborde successivement : • la caractérisation des éléments déterminant la géométrie (formes et dimensions) d’un produit, • l’évaluation des incertitudes sur les résultats des mesures, • les principales méthodes d’association, • le code de lecture des spécifications géométriques des produits, • la mesure tridimensionnelle, • la caractérisation et la mesure des états de surface, • la métrologie des machines-outils. Cet ouvrage est un outil de travail indispensable pour les acteurs de la production mécanique, opérateurs, techniciens ou ingénieurs. Il s’adresse également aux enseignants et formateurs dans le domaine du génie mécanique.

ISBN 978-2-10-053686-3

www.dunod.com

Michel Dursapt est maître de conférences à l’École Nationale d’Ingénieurs de SaintEtienne où il est chargé des cours de métrologie dimensionnelle. Il a été longtemps enseignant au centre régional du Conservatoire National des Arts et Métiers de Saint-Étienne. Il est également membre du CNRS au sein du laboratoire de tribologie et dynamique des systèmes (LTDS), école Centrale de Lyon.