! "
! #
$ % $
&
&
' (
)
(
)
$
*
#' !
*
'
#'
'(
#' (
'
' &
+ "
&(
,
+
, )$
*
= -
, $ %
) $...
25 downloads
433 Views
3MB Size
Report
This content was uploaded by our users and we assume good faith they have the permission to share this book. If you own the copyright to this book and it is wrongfully on our website, we offer a simple DMCA procedure to remove your content from our site. Start by pressing the button below!
Report copyright / DMCA form
! "
! #
$ % $
&
&
' (
)
(
)
$
*
#' !
*
'
#'
'(
#' (
'
' &
+ "
&(
,
+
, )$
*
= -
, $ %
) $
,
*
) $
*
1 . . / 2
0 )
+ *
2 23 2
$
4 $ $ 2
$ $ 0
&
,
+
5
, 2
. 6
$
)Th. de la curva cerrada de Jordan)
&
$ 0 2
2
+ ,
7 24
)8
*
+
= =
2
% !
% ,
4
'
(
, +
4
$ $
)1
*+
=
-
,
!
=
9
⋅
!
"!
+
4
'
4
(
+
)
$
,
+ +
= +
(
+
= →
< , +
4 $ 0 .
$
. $ 9
,
$ 0 $ 0
* +
%
+
$
+ . $ 0
:
;
< $ & &
, !
)
!
$
$
Actúan sobre Vértices
7+ *
,
,
,
< $ &9
.
!
$
Actúan sobre un Polígono completo
+ !
$
)
#'*
&
< $ & &
8 ,
#+
Actúan sobre 2 o más Polígonos
,
!
,
$
− 8
=' - !
)-
*
(
,
)-
*
#'
#' &
+ 3
&(
,
+
5
! ,
4
$ !
,
.
$
,
$
1 >
.
2
)
$
*
2< 23 0 4
$ 1
2
< !
$ $ 0 ,
1 :, 4
4
2
.
, ,
−
+
=
−
+
→ Número de Vértices
= = =
= =
= = =
= =
→ Número de Aristas → Número de Caras → Género del Poliedro → Número de agujeros en las Caras
:,
4
2
= = =
= =
= = =
= =
4
'
5
! ,
$
$ )
*
(
,
( -
3
, ,
.
=
=
4
'
4
+ , +
%
+ = (
+
+
=
+
+
=
→
,
"
+
"
+3 1
$
%
"
" ,
, + $ $ 0
$
$
:
; ?
&
" .
Actúan sobre Vértices, Aristas o Caras
7+
, !
3
. < $
&
.
,
$
,
,
$
!
< $ &9
!
&9
!
+
Actúan sobre un Poliedro completo
! !
+
&
< $ &
8
#+
Actúan sobre 2 o más Poliedros
(
'
'( $ &4
(
)
$
%
*
, ,
0
%
$
= &-
,
= = &9
!
$ !
9
$ , + $
" -
@" $
0
, + !
$
0
!
$ % )! &
,
%
(
*
+ 2
.
.
! 0.
2
$
2
,
2
,
,
2<
&
Tiempo de cálculo ≈ θ(n2)
)
:
. *
$ 2
$
8 %
2
$
+
2 <5(8 )<
25
+
7
$ $
!
(
82
*+
$
$ (
,
=
=
&4
)
*
+
+
+
+
+ ! "
$
.
,
#$%$%&$% ' % ' % ' % $% &5
0
= &-
8
+
+
+
!
$
&5
−
+
0
+
=
≡
−
−
+
!
−
+
=
8
+
≡
−
!
−
=
−
−
+
+
,
$
, $ Dados
.
donde
+
(abscisas) obtener
' ' ' % $% ($%#
%$un polinomio
!
! " tal que
! " )% %
(ordenadas) son
' ' ' % $% ($%#
%$también datos &
0
8
,
; +
= =
+
+
+
+ +
A7
+ + A7
+ ,
=
,
B8
⋅
&8
=
* =
+ 2
%
+ (
θ! +"
,
2-
* =
2!
.
$%#%$% ' ' ' % $% (%
! ! $
,
.
, &8
-
,
2-
− −
− =
,
+
−
=
B8
,
− −
=
%
−
−
−
−
+
−
+
≠
,
! "% )%( ,(%! "-%# ,# ! "% -% ' % ' % ' % -% , ! "%
2 2
=
−
8
+
θ! &"
2
+
-#
.
)%
8 2.
! !
%)%
! $
!
,
, &8
< C
B8 =
+
=
−
−
−
2
%
* =
,
∏
−
≡
−
+
+ /−
)
+/
+ (
#
BBB
Diferencias Divididas
2
*+
=
+
θ! &"
,
BBB %
=
'$
#
≤
+
!
( −
≤
−
9
2( 24
'!
−
+/
−
+/
−
+ /−
=
,
B4
$ 8
+
⋅
8
=
-
,
=
,
=
,
=
,
=
=
−
= + −
+
+
−
− −
− − −
− − −
−
−
= ⋅,
+ ⋅,
+ ⋅,
+ ⋅,
, 8 9 .
< C '!
B4
+ '$
= − ⋅ + ⋅
−
+ ⋅
−
−
.
$
&
+
.
$ , +
&
, + 4
&< 4
$
)4!
(
*+
6
,
<
$
θ!
&"%01'
"
0
,
$
&"
+
$%( (%
'
$
$%# #%
$% ' % ' % ' % %
%$! "
.
22
+
3=
− =
%
0
,
!
!
&
$
:
+
40
8 *
! .
!
! ,
. !
! ,
) $
;
8
8
8
!
−
= ,
−
∈
$
8
E
= = =
D 8
E#
=
− −
= = =
− − −
8
8
&"
B
,
0
+
=
=
= &'
& &
=
=
$
= 0
′
′
=
′−
′
= ′
,
= ′
′
=
>
+ 5
=
= ′−
−
=
+
=−
$
=
=
′
=
=
∈ =
+ =
= ′ =− =
=
0 =
8
+
&
+
,
=
+
0
+
$%(
%$=
4
&9
0
′ ′
= =
− −
−
% )%
"
+
−
=
$%(
4
! "%
8
=
= −
−
ϕ =
ϕ
ϕ
−
ϕ
$%# % )%
−
0 &4 $ $
8
8
$ 0 +
=
λ
= =
=
λ ≥
λ =
−
−
=
&
!
+
=
+
+
+
+
=
+
+
+
+
− ∈
=
−
=
La máxima diferencia ocurre en el i-ésimo Pto. de control y decrece hacia los extremos
−
=
−
−
: = = =
+
+
+
+
+
− −
=
−
=
−
=
−
= Modificación de un coeficiente:
=
= −
∈
=
−
= −
=
⋅
−
⋅
( )=
−
⋅
<
−
40 5
, $
!
0
! .
$
1=
4
%$$
$
,
.
%$8
$
. +
− −
= =
=
1 +
=
− −
1= 1=
1 +
+ − −
+
+
1 = − −
+
+
=
⋅
− −
+
⋅
− −
− −
+
⋅
− −
0 &
,
=
&9
′
0
+
$%(
%$0
= =
∆= −
−
− −
$ % )%
"
+
− ∆
=
−
4
! "%
8
=
4
′
8
%$$
−
(
=
-∆ $
= − ∆
−
ϕ =
ϕ
ϕ
ϕ
−
#
% )%
+∆
−∆
$ $
.
$ $
.
)
-
#* ,
$
&
8 %
$ 5
%
&
$ $ 8 %
$ )
+
$ 8 ,
* ,
7F 8
+ $ %
F $ 8
$
8 %
)!
$
)
* *
$ @'
)
$
3=
*
$
∈
=
!
=
+
/
/
7F
/
1 +
1 +
27
+
1=
1
− + −
1
/
1
1
&
, +
&9
+
1
= =
∆
+
−
= +
=
∆
−
−
$
8 %
&
$
&
$ '!
=
+
′
. +
= ∆ E
∆
=
+
=
− ∆
−
−
− −
−
4
=
3 1 0
≡ 1
=
∆
=
+ −
.
.
1
−
− −
.
4
=
−
′−
=
∆
+∆
=
−
. +
≡
+
+
4
0
−
$
8 %
4
, $
%
8 %
=
1 −1 +
=
$
= −
− 8 %
=
1
− 1= ∆
6 #
+
+
1 ∆ =∆ ∀
G
7
.
#
−1 +
1 −1 +
= =
8 %
6
−1 +
=
$
= −
−
+
−1 +
1
1
1=
− ∆
+
1 ∆ =∆ ∀
G
.
$
8 %
B4
+
=
⋅
−1 +
1 −1 +
⋅1
=
⋅
−1 +
1 −1 +
=
− ⋅
=
⋅
−1 +
1 −1 +
−1 +
= ⋅
−
= ⋅
− −
= ⋅
−
1 −1 +
∈
− ⋅1
1= −
∈
⋅1
1= −
∈
1= −
∈
⋅1
−
+ $
1=
;
.
+
$
8 %
B4
+
!
.
=
−
=
−
$
8 %
B4
+
#
=
⋅
−1 +
1 −1 +
1
−1 +
⋅1
=
⋅
−1 +
1 −1 +
1
−1 +
− ⋅1
1= −
=
− ⋅
⋅1
1= −
=
⋅
−1 +
1 −1 +
−1 +
1 −1 +
= ⋅
−
= ⋅
− −
= ⋅
−
1 1
−1 +
⋅1
1= −
−
+ $
−1 +
1=
H
.
$
8 %
&
!
B +
Si se modifica un punto de interpolación o un punto de control, la curva sólo cambia en 2 tramos (3er grado)
&
.
!
+
En cada tramo, la curva está contenida en la envolvente convexa de los puntos de control
&
.
+
La evaluación de la curva en un valor de requiere determinar el tramo al que afecta y evaluar un polinomio de 3er grado
$
8 %
,
-
9
:
B
)#
*
$
8 % -
:
:
;. $
8 %
# ,
! $
9
= =
+
=
+
=
+
∆ −
∆ +
> ,
;. =
=
=
=
= =
+ −
= =
= =
+ −
= =
= =
+ −
= =
= =
+ −
= =
> =
−
=
B4 =
−
= =
− −
=
2( ;.
[
=
+
−
>
+
−
$
]=
−
+
−
−
=
+
+
−
-
−
−
0 .
9
,
4
9
8 I
, +
=
1
−τ
J
+
−
−
=
≤τ ≤ =
Para τ )% (% % Interpolante de Catmull-Rom
% % los módulos de las tangentes decrecen Para τ → #%
9 8
, +
=
8 −
−
−
+
+ +
−
− ≤ ≤
Para
)% (% % Interpolante de Catmull-Rom
Para
2% (% % la cuerda entrante tiene más peso que la saliente > (% % la cuerda entrante tiene menos peso que la saliente
Para
−
+
+
= =
− +
− −
−
−
+ +
+ +
−
+
−
−
Para
)% (% % Las tangentes entrante y saliente coinciden
Para
% Discontinuidad de la tangente ≠ (%
− ≤ ≤
$ $ $ • Pueden considerarse interpolantes de Hermite (curva de Bezier) en el que las tangentes no son dadas ni precalculadas en función de las cuerdas, sino para alcanzar continuidad de la derivada segunda
=
=
−
−
• Son las curvas más lisas entre las que interpolan puntos dados
[
= +
=
+
[−
− +
− −
+ +
+
+
] +
]
;. +
−
−
Estas
+
=−
+
−
−
+
+
−
=
−
ecuaciones relacionan 3 vectores tangentes consecutivos −
+
Sistema de • Spline Natural:
+
+
=
ecuaciones con
=
+
−
=
−
−
incógnitas
−
+
= −
=
+
− =
−
Sistema de n ecuaciones con n incógnitas
• Spline Completo de Interpolación: Sistema de n-2 ecuaciones con n-2 incógnitas
1
1
−
< !
,
$
0
&
9
,
⋅
⋅ ⋅
⋅ ⋅ ⋅
⋅ ⋅
⋅
⋅ ⋅ ⋅
− − − ⋅ ⋅ ⋅ − −
= −
%
+
,
;
− −
;.
,
!
, 0
&
$
#%
9
,
− ⋅
⋅ ⋅
⋅ ⋅ ⋅
⋅ ⋅
⋅
⋅ ⋅ ⋅
= −
−
−
%
+
,
−
− − − ⋅ ⋅ ⋅ − −
;
−
−
82 $ $
&
!
,
82
3
=
+ =
⋅
8
1
+
8 &
82
, + 25 2 #
&
! -
!
+
,
,
.
K
&
,
3! %"
9
+
$ .#%
.
&
. -
$
,
,
$
$ %
+ K
-#
8 • No interpolación de Puntos de Control • Inclusión en triángulo de 3 puntos
82 • Modificación de un Punto de Control
$
(
$
0
.
,
=
+
+
+ 1
1 & &4
0 , <5(8
,
$ (Non-Uniform Rational B-Spline)
(
#'
( ! &4
#' (
)
, ,
0
%
%
=
&4
$
= = = 9
*
!
4 4 4 $
$ $
!
≡
= = =
4 4 4
4=
1
$
4 ≡
= = =
4 4 4
=
1
3 -
% $
,
! % 0
,
9
$
& $
$ !
)
$
$ %
*
&
, 2
,
2
,
)
* )
$
*
&
!
&
!
&
!
&
!
&
!
&
!
(
( $
.
,
)
*
!
(
"
$
#!
"$
&!
"
!
, $
3
4 =
−4
+4
! 4
8
! K
&(
=
−
+
=
−
+
!
8
&(
&
3
4 =
−4
−
+
+4
−
+
! ! $
(
,
= =
3
4 = −4
+
+4
+
=
+4
!
( $ $ 8
)
L*
$ 8 (
≡
+
= = =
, +
!" 4 − "# 4 !" 4 = "# 4
3
4 ≡
=
!" 4 "# 4
, %
!
( $
.
>
. 7>
,
>
9
. >
! %
3
4 ≡
!
= = =
4 14
5 4
$
≡
,
= = =
5 4 ≡
= 4 =1 4 =
! %
!
4
$ !
6
4 = 3
,
4 +
⋅
3 ⊗ 34 4 = 3 ⊗ 34 ! $4"
" !
!!
%
4
<
! ' $ %
8
%
$ $
!
$ !
)40
, *
9 +5 4
6
8
5 4
7
3
4 =
4
+5 4
4
×
8 -
9 $ 8
4 =:
$ 8
!
3
4 =
? ,
+5 4
8 -
4 $ 8
4 =
; !
04 ;4 4
0 4 =; 4 =
4 =
4
+
4
8 -
(
, )7*
$ 8
4 =
!" ϕ 4 −1
ϕ 4
!
,
1
ϕ 4 !" ϕ 4
4
8 (
(
, ) *
,
$ $
(
!
, 9
( !
-
( !
-
.
$
Eje X Local: Tangente a la trayectoria en cada punto
4 =
5 4 5 4
4 4
Eje Z Local: Perpendicular al Eje X
4
• Define la “vertical” sobre el plano
4
4 =
4
=
Eje Y Local:
4 = 9
4 ⊗ :
4 = +
5 4 ⊗5 4 = 5 4 ⊗5
4 4
8
%
5 4 ⊗5
• •
3 5 4
1<
9
4 =θ
:
1< 0
4 78
4 =
, &
, <
!
'
+
.
. (
&
, , •
!
•
"!
9
, 9
!
+
$
$ (1 Familia de Curvas Isoparamétricas) (2 Familias de Curvas Isoparamétricas)
,
'
,
, !
⋅⋅⋅⋅⋅ ⋅⋅⋅⋅⋅ ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ ⋅⋅⋅⋅⋅
/
, + ∆ ≡ !
3
≡
/
{
/
/
}× { 4
, +
4
;
3
4/ =
/
∀ /
4
4
}
,
'
,
9
!
2 $
!
32- ! ,
!
$
$
)
*
+
4+
, 4/ = δ /
+
: !
$2- !
4 <4 <
+
4 =
3
, 4 =
3
4/ =
/
<4
32- ! 32- !
3
4 =
%
-
4 − 4+
+
−4
+ 4 +
+
4 − 4
32- ! 5
%
$ $
532- ! , 9
!
$
.
! %
K
$
.
4
4
4
, !
! $
,
+
$
,
4+
32- !
$
4
$
;
/=
/
4
(
4 =
;
, )
! $ 4"
/
4
4( 2 4# 2% % ' ' ' 2% 4
4/ =
52- !
4
/
;
4
4
4
2
2% % ' ' ' 2%
=
*
! $4 / " =
#
, /
=
/=
! !
532- !
3! $ 4" =
+
#
! $ 4" +
&
! $ 4" − ! $ 4"
