Springer-Lehrbuch
Karl-Heinz Goldhorn Hans-Peter Heinz Margarita Kraus
Moderne mathematische Methoden der Physik Band 1
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Dr. Karl-Heinz Goldhorn Johannes Gutenberg-Universität Mainz FB 08, Institut für Mathematik Staudingerweg 9 55099 Mainz Deutschland Prof. Dr. Hans-Peter Heinz Universität Mainz FB 08, Institut für Mathematik Staudingerweg 9 55099 Mainz Deutschland
[email protected] PD Dr. Margarita Kraus Universität Mainz FB 08, Institut für Mathematik Staudingerweg 9 55099 Mainz Deutschland
ISSN 0937-7433 ISBN 978-3-540-88543-6 e-ISBN 978-3-540-88544-3 DOI 10.1007/978-3-540-88544-3 Springer Dordrecht Heidelberg London New York Die Deutsche Nationalbibliothek verzeichnet diese Publikation in der Deutschen Nationalbibliografie; detaillierte bibliografische Daten sind im Internet über http://dnb.d-nb.de abrufbar. © Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2009 Dieses Werk ist urheberrechtlich geschützt. Die dadurch begründeten Rechte, insbesondere die der Übersetzung, des Nachdrucks, des Vortrags, der Entnahme von Abbildungen und Tabellen, der Funksendung, der Mikroverfilmung oder der Vervielfältigung auf anderen Wegen und der Speicherung in Datenverarbeitungsanlagen, bleiben, auch bei nur auszugsweiser Verwertung, vorbehalten. Eine Vervielfältigung dieses Werkes oder von Teilen dieses Werkes ist auch im Einzelfall nur in den Grenzen der gesetzlichen Bestimmungen des Urheberrechtsgesetzes der Bundesrepublik Deutschland vom 9. September 1965 in der jeweils geltenden Fassung zulässig. Sie ist grundsätzlich vergütungspflichtig. Zuwiderhandlungen unterliegen den Strafbestimmungen des Urheberrechtsgesetzes. Die Wiedergabe von Gebrauchsnamen, Handelsnamen, Warenbezeichnungen usw. in diesem Werk berechtigt auch ohne besondere Kennzeichnung nicht zu der Annahme, dass solche Namen im Sinne der Warenzeichen- und Markenschutz-Gesetzgebung als frei zu betrachten wären und daher von jedermann benutzt werden dürften. Satz und Herstellung: le-tex publishing services GmbH, Leipzig Einbandentwurf: WMXDesign GmbH, Heidelberg Gedruckt auf säurefreiem Papier Springer ist Teil der Fachverlagsgruppe Springer Science+Business Media (www.springer.de)
Für Christel und Lin und Bernhard, ohne deren Geduld und Unterstützung dies nicht möglich gewesen wäre.
Vorwort
In der Literatur über das mathematische Handwerkszeug des theoretischen Physikers scheint eine Lücke zu klaffen: Einerseits gibt es eine Reihe von hervorragenden Lehrbüchern zum Thema „Mathematik für Physiker“ für das Grundstudium, andererseits gibt es eine Fülle von ausgezeichneten Monographien über die mathematischen Grundlagen diverser physikalischer Theorien, meist verfasst von bekannten Fachvertretern aus der mathematischen Physik. Wir denken hier an Werke wie etwa [2,7,12,18,26,31,34,38,53,63–66,73–76,94,95] oder auch Klassiker wie [61,98] oder [105]. Was uns aber zu fehlen scheint, ist ein Verbindungsstück zwischen diesen beiden Extremen, also ein Aufbaukurs, der es Studierenden im Hauptstudium oder graduierten Theoretikern erlaubt, mit begrenztem Aufwand einen fundierten Einstieg in die mathematischen Grundlagen der fortgeschrittenen Theorien zu gewinnen. Das zweibändige Werk, dessen erster Band hier vorliegt, versucht, diese Lücke zu schließen. Es beruht zum größten Teil auf Vorlesungen, die die Autoren in Mainz und Regensburg für Studierende der Physik im Hauptstudium gehalten haben. Als potentiellen Leserkreis haben wir aber nicht nur diese im Auge, sondern auch Studierende von Master-, Aufbau-, Graduierten- und Promotionsstudiengängen im Bereich der Physik, außerdem angehende mathematische Physiker, die von der Physik herkommen und möglichst zügig den Einstieg in die rigoros mathematische Behandlung der Probleme gewinnen möchten, und nicht zuletzt alle diejenigen unter den aktiven theoretischen Physikern, die das Bedürfnis verspüren, ein tieferes und klareres Verständnis ihrer mathematischen Werkzeuge zu gewinnen, dabei aber (verständlicherweise!) weder Zeit noch Muße finden, sich mit der mathematischen Fachliteratur und all ihren Beweisdetails ausführlich auseinanderzusetzen. Bei der großen und ständig wachsenden Vielfalt mathematischer Hilfsmittel, die in der modernen Physik Verwendung finden, war es natürlich nicht möglich, alle wichtigen Themen vollständig abzudecken, und, wie immer, bleibt die Stoffauswahl etwas subjektiv geprägt und ist von den Interessen und der wissenschaftlichen Ausrichtung der Autoren mitbestimmt. So wurden z. B. die statistische Physik und die nichtlineare Dynamik zugegebenermaßen stiefmütterlich behandelt. Im ersten Teil geben wir eine Einführung in die Differentialgeometrie – und damit auch in die moderne Formulierung der Tensorrechnung – als mathematische Grundlage für die klassische Mechanik, die klassische Feldtheorie und vor allem für die Relativitätstheorie. Die Präsentation ist hier insofern elementar gehalten, als dass affine Zusammenhänge nur in Gestalt ihrer kovarianten Ableitungsoperatoren auftreten und vii
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Vorwort
dass allgemeine Bündeltheorie und Prinzipalzusammenhänge gänzlich außen vor bleiben. Trotzdem reicht diese Einführung aus, um darauf aufbauend einen zwanglosen Einstieg in die moderne Gravitationsphysik oder die aktuellen Eichtheorien zu ermöglichen. Der zweite Teil befasst sich mit mathematischen Grundlagen der Quantenmechanik, die der Funktionalanalysis, der Integrationstheorie und der Distributionstheorie entstammen. Wiederum sind wir überzeugt, dass die Beschäftigung mit den hier vorgestellten Grundlagen einen leichten Zugang zu verschiedenen weiterführenden Themen ermöglicht, z. B. zur algebraischen Quantenfeldtheorie, zur Theorie der Pfadintegrale oder zur Verwendung von C -Algebren in der statistischen Physik. Allerdings mussten zwei der wichtigsten funktionalanalytischen Themen aus Platzgründen in den zweiten Band verlegt werden, nämlich die unbeschränkten Operatoren und die Spektralzerlegung von H ERMITEschen Operatoren. Den Abschluss des zweiten Bandes wird dann eine gründliche, doch recht elementare Diskussion von Gruppen und ihren Darstellungen im Hinblick auf ihre Rolle als mathematische Beschreibung von Symmetrien und Invarianzen in der Quantenphysik bilden. Den Schluss dieses ersten Bandes bildet ein Anhang, den Prof. V. Bach (Mainz) dankenswerterweise beigesteuert hat und in dem an einem konkreten Beispiel aufgezeigt wird, wie gewisse weiterführende Konzepte der allgemeinen Maß- und Integrationstheorie in der statistischen Physik Verwendung finden. Ferner behandeln wir im ersten Teil als Anwendung des dort entwickelten differentialgeometrischen Kalküls koordinatenfreie Formulierungen der klassischen Mechanik, der M AXWELLgleichungen und der E INSTEINschen Feldgleichungen. In den Teilen II bis IV verzichten wir jedoch weitgehend auf konkrete physikalische Beispiele und beschränken uns hier auf Andeutungen. Wir gehen vielmehr davon aus, dass die behandelten mathematischen Themen dem Leser schon in irgendeiner Form bei seiner Beschäftigung mit Physik untergekommen sind (oder noch unterkommen werden) und betrachten es als unsere Aufgabe, die uns Mathematikern antrainierte rigorose Denkweise dazu zu nutzen, von den entsprechenden Begriffen und Resultaten ein klares, unzweideutiges Bild zu geben. Der Bezug zur Physik spiegelt sich hier vorwiegend in der Stoffauswahl wieder – so stehen z. B. bei unserer Einführung in die Funktionalanalysis die H ILBERTräume deutlich im Vordergrund, da sie in der Physik eine ungleich größere Rolle spielen als andere topologische Vektorräume, und in Teil IV werden wir uns selbstverständlich auf diejenigen konkreten Gruppen konzentrieren, die für die Betrachtung von Symmetrien und Invarianzen in der Physik relevant sind. Die gerade angesprochene streng mathematische Denkweise darf natürlich nicht dazu verleiten, alles detailliert beweisen zu wollen, wie man das bei einem Lehrbuch für angehende Mathematiker tun würde. Vielmehr haben wir uns – ähnlich wie bei unserem Grundkurs [36], in dem das hier vorliegende Buch auch schon angekündigt wurde – von dem Gedanken leiten lassen, dass ein mathematischer Beweis nur dann angebracht ist, wenn er gleichzeitig eine Rechentechnik demonstriert und einüben hilft, die bei den physikalischen Anwendungen wirklich vorkommt. Häufig ist die Beweistechnik, die für ein tieferliegendes mathematisches Resultat benötigt wird, jedoch von ganz anderem Charakter als die Technik seiner Anwendung, und in sol-
Vorwort
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chen Fällen beschränken wir uns auf eine bloße Skizze der maßgeblichen Ideen oder sogar auf ein Literaturzitat, das als Quellennachweis zu verstehen ist und nicht unbedingt als eine Aufforderung, sich mit der betreffenden Literatur aktiv auseinanderzusetzen. Auch im Übrigen verfolgen wir ähnliche didaktische Prinzipien wie sie schon in [36] zugrunde gelegt wurden, versuchen also, uns auf das Wesentliche zu konzentrieren, Langatmigkeit zu vermeiden und in wenigen wohlgesetzten Worten ein klares Bild von den Dingen zu vermitteln. Unterstützt wird dieses Bemühen durch eine große Zahl von Übungsaufgaben. Sie dienen teilweise dem Einüben von Rechentechniken, der Gewöhnung an abstrakte Begriffe, indem man diese an konkreten Beispielen diskutiert, und hier und da auch der kurzgefassten Behandlung von zusätzlichem Stoff. Zahlreiche Hinweise unterstützen die Lösung der Übungsaufgaben, so dass die erfolgreiche Behandlung einer Aufgabe nicht daran scheitern sollte, dass einem ein bestimmter raffinierter Trick gerade nicht eingefallen ist. Trotz der vielen verschiedenen mathematischen Sachgebiete (und trotz dreier verschiedener Autoren) haben wir versucht, generell einheitliche Notationen durchzuhalten, und die meisten dieser Bezeichnungen sind in einem vorbereitenden Abschnitt zusammengefasst und mit kurzen Erläuterungen versehen. Dies hat uns auch Gelegenheit gegeben, einige der benötigten Vorkenntnisse anzusprechen. Grundsätzlich sollte das Buch für alle zugänglich sein, die einen dreisemestrigen mathematischen Grundkurs für Physiker absolviert haben, wie er in Deutschland weitgehend üblich ist. Man wird uns nachsehen, dass wir bei Verweisen auf solche Vorkenntnisse unser eigenes Lehrbuch [36] zitieren, und wir sind überzeugt, dass niemandem, der seine Vorkenntnisse aus anderer Quelle bezieht, hieraus ein Nachteil erwächst. Schließlich möchten wir Professor Volker Bach unseren gebührenden Dank aussprechen, nicht nur für den von ihm beigesteuerten Artikel über unendliche Produkte von Maßen und statistische Mechanik, sondern auch für viele hilfreiche, interessante und bereichernde Gespräche. Unser Dank gilt überdies Professor Florian Scheck, der die Entstehung auch dieses Werkes mit Unterstützung und Ermutigung begleitet hat. Martin Huber hat kompetent und zuverlässig die Zeichnungen angefertigt, und das Umsetzen der Manuskripte in LaTeX-Quelltext wurde in ebenso kompetenter und zuverlässiger Weise von Renate Emerenziani und Ulrike Jacobi besorgt. Ihnen allen gilt unser aufrichtiger Dank. Mainz, Mai 2009
Karl-Heinz Goldhorn Hans-Peter Heinz Margarita Kraus
Inhaltsverzeichnis
Vorkenntnisse und generell verwendete Bezeichnungen . . . . . . . . . . . . . . . . . xvii Teil I Tensoranalysis und Differentialformen 1
Mannigfaltigkeiten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 A Grundlagen aus der Topologie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 B Mannigfaltigkeiten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 C Tangentialraum und Differential . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2
Multilineare Algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A Dualität bei endlich dimensionalen Vektorräumen . . . . . . . . . . . . . . . B Multilineare Abbildungen und Tensoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . C Alternierende und symmetrische Abbildungen und Tensoren . . . . . . Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33 33 37 42 51
3
Tensorfelder und Differentialformen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A Tensorfelder auf Mannigfaltigkeiten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . B Alternierende k-Formen und Orientierungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . C R IEMANNsche und L ORENTZsche Metriken . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . D Flüsse und L IE-Ableitungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
53 54 59 64 67 72
4
Integration und Differentiation von Differentialformen . . . . . . . . . . . . . 77 A Zerlegung der Einheit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 B Mannigfaltigkeiten mit Rand . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 C Integration auf Mannigfaltigkeiten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 D Die C ARTANsche Ableitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90 E C ARTAN-Kalkül auf R IEMANNschen Mannigfaltigkeiten und klassische Vektoranalysis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96 F Die M AXWELLschen Gleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99 G Der allgemeine Satz von S TOKES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105 xi
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Inhaltsverzeichnis
H Das P OINCARÉ Lemma. Potentiale und Vektorpotentiale . . . . . . . . . 110 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114 5
Geodätische und Krümmung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121 A Krümmung von Kurven in Untermannigfaltigkeiten des Rn . . . . . . . 121 B Krümmung von Hyperflächen des Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126 C Die kovariante Ableitung auf Untermannigfaltigkeiten des Rn . . . . . 129 D Die kovariante Ableitung auf Mannigfaltigkeiten . . . . . . . . . . . . . . . . 135 E Die kovariante Ableitung auf pseudo-R IEMANNschen Mannigfaltigkeiten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140 F Geodätische auf pseudo-R IEMANNschen Mannigfaltigkeiten . . . . . . 144 G Krümmung von pseudo-R IEMANNschen Mannigfaltigkeiten . . . . . . 150 H Die E INSTEINschen Gleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
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Koordinatenfreie Formulierungen der klassischen Mechanik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167 A Tangential- und Kotangentialbündel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168 B E ULER-L AGRANGEgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172 C Symplektische Mannigfaltigkeiten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175 D Der H AMILTONformalismus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183 E Der L AGRANGEformalismus und die L EGENDREtransformation . . . 188 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194
Teil II Funktionalanalysis und Integrationstheorie 7
BANACH- und H ILBERTräume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199 A Definitionen und Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200 B Endlich-dimensionale normierte lineare Räume . . . . . . . . . . . . . . . . . 210 C Orthogonales Komplement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212 D Vervollständigung von normierten linearen Räumen . . . . . . . . . . . . . . 215 E Tensorprodukt von H ILBERTräumen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221
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Beschränkte lineare Operatoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225 A Beschränkte lineare Operatoren und Funktionale . . . . . . . . . . . . . . . . 225 B Beschränkte lineare Funktionale auf normierten linearen Räumen . . 233 C Beschränkte Formen auf H ILBERTräumen und der adjungierte Operator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235 D H ERMITEsche und unitäre Operatoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239 E Projektionsoperatoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242 F Beispiel: F OURIERtransformation und F OURIER -P LANCHEREL-Operator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 250
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Einführung in die Spektraltheorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261 A Spektrum und Resolvente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262 B Spektrum beschränkter selbstadjungierter und unitärer Operatoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 268 C Kompakte Operatoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272 D Spektrum kompakter Operatoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 276 E F REDHOLMsche Integralgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293
10 Maß und Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 299 A Abstrakte Maßräume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 300 B Konstruktion von nichttrivialen Maßräumen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 305 C Messbare Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313 D Das Integral für nichtnegative messbare Funktionen . . . . . . . . . . . . . . 316 E Summierbare Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323 F Die Rolle der stetigen Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333 G Produktmaße und iterierte Integrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 338 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 344 11 Distributionen und temperierte Distributionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 349 A Testfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 350 B Distributionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 355 C Reguläre Distributionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 359 D Lokalisierung und Träger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 362 E Konvergente Folgen von Distributionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 365 F Substitution und Differentiation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 368 G F OURIERtransformation von Distributionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 372 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 377 12 Einige spezielle Distributionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 385 A Distributionen nullter Ordnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 386 B Schichten und mehrfache Schichten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 389 C Regularisierung divergenter Integrale und H ADAMARDscher Hauptwert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 401 D Der C AUCHYsche Hauptwert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 407 E Regularisierung mittels analytischer Fortsetzung . . . . . . . . . . . . . . . . 410 F Berechnung einiger F OURIERtransformierter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 418 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 425 13 Tensorprodukt und Faltung von Distributionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 429 A Tensorprodukt von Distributionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 429 B Faltung von Distributionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 433 C F OURIERtransformation von Tensor- und Faltungsprodukt . . . . . . . . 437 D Anwendungen auf lineare Differentialgleichungen . . . . . . . . . . . . . . 439 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 450
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Inhaltsverzeichnis
Unendliche Produkte von Maßen und Statistische Mechanik von V. Bach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 453 Literaturverzeichnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 463 Sachverzeichnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 467
Inhaltsverzeichnis
Inhalt des zweiten Bandes Teil III: Unbeschränkte Operatoren und Spektralzerlegung 14 15 16
Unbeschränkte Operatoren Spektralmaße Der Spektralsatz für selbstadjungierte Operatoren und die quantenmechanische Dynamik
Teil IV: Gruppen und Darstellungen 17 18 19 20 21 22 23 24
SO.3/ und L ORENTZgruppe Universelle Überlagerung von SO.3/ und L L IE-Gruppen und ihre L IE-Algebren Grundbegriffe der Darstellungstheorie Irreduzible Darstellungen kompakter Gruppen Darstellungen von L IE-Algebren Die irreduziblen Darstellungen von SU.2/ Anwendungen auf die Quantenmechanik
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Vorkenntnisse und generell verwendete Bezeichnungen
Wir erinnern hier an einige Begriffe Bezeichnungen und einfache Tatsachen, die Ihnen aus Ihrer bisherigen Beschäftigung mit Mathematik vertraut sein sollten und die im gesamten Buch durchweg benutzt werden. Die verwendeten Bezeichnungen stimmen mit der in unserem Lehrbuch [36] verwendeten Notation überein, sind jedoch auch sonst in der mathematischen Analysis und mathematischen Physik allgemein verbreitet.
Logische Verknüpfungen Für logische Zusammenhänge werden wir hier und da die gängigen Zeichen H), (H und ” benutzen. Sind A, B Aussagen, so bedeutet also A H) B A (H B A ” B
Aus A folgt B , A folgt aus B , A genau dann, wenn B.
Logische Quantoren Die Ausdrücke „für alle“ und „es gibt“, mit denen mathematische Aussagen häufig qualifiziert werden, nennt man logische Quantoren. Zuweilen werden wir für sie die abkürzenden Schreibweisen 8 9
statt „für alle“, verwenden. statt „es gibt“
Zahlbereiche Es bezeichnet N N0
die Menge der natürlichen Zahlen (ohne die Null) die Menge der natürlichen Zahlen mit Null xvii
xviii
Vorkenntnisse und generell verwendete Bezeichnungen
Z Q R C
die Menge der ganzen Zahlen die Menge der rationalen Zahlen die Menge der reellen Zahlen die Menge der komplexen Zahlen
Der Skalarbereich K Da wir zumeist Situationen betrachten, in denen reelle und komplexe Skalare gleichberechtigt nebeneinander stehen, verwenden wir die übliche Bezeichnung K für den Skalarenkörper. Es ist also K D R oder D C, und ein K-Vektorraum ist ein reeller oder ein komplexer Vektorraum.
Mengentheoretische Operationen Für Mengen A; B benutzen wir die üblichen Zeichen: A[B A\B AnB AB AB AB
Vereinigung Schnittmenge A ohne B kartesisches Produkt A ist Teilmenge von B A umfasst B
Hat man mehrere (eventuell unendlich viele) Mengen, so kann man diese als Familie .Ai /i 2I schreiben, wobei der Index i eine geeignete (endliche oder unendliche) Indexmenge durchläuft. Besonders beliebt sind die Indexmengen I D f1; 2; : : :; ng und I D N. Dann schreibt man [ i 2I
Ai
bzw.
n [
Ai
bzw.
i D1
1 [
Ai
i D1
für die Vereinigung von allen Mengen aus der Familie. Analog für den Durchschnitt oder das kartesische Produkt.
Intervalle Wir geben Intervalle auf der (erweiterten) reellen Geraden grundsätzlich mittels eckiger Klammern an. Für 1 a b C1 ist also Œa; b D fx j a x bg ; Œa; bŒ D fx j a x < bg ; a; b D fx j a < x bg ; a; bŒ D fx j a < x < bg :
Vorkenntnisse und generell verwendete Bezeichnungen
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Abbildungen Abbildungen – und damit auch Funktionen, Funktionale, Transformationen, Substitutionen, Operatoren usw., die ja eigentlich alle Abbildungen sind – werden durch Gleichungen der Gestalt y D f .x/ wiedergegeben oder auch in der Form f W A ! B W x 7! y oder f W A ! B ; x 7! y : Die Einschränkung einer Abbildung f W A ! B auf eine Teilmenge C A wird mit f jC bezeichnet. Die Komposition (D Zusammensetzung D Hintereinanderausführung) zweier Abbildungen f; g schreiben wir manchmal als g ıf . Dies bedeutet, dass man zuerst f ausführt und dann g auf das Ergebnis anwendet. Die identische Abbildung, die zur Menge A gehört, wird mit id idA bezeichnet, also idA W A ! A W x 7! x :
Inklusionen Für A B bezeichnen wir mit i W A ,! B oder j W A ,! B die Abbildung A ! B, die jedes x 2 A unverändert lässt und es nur als Element von B auffasst. Solche Abbildungen nennt man Inklusionen. Obwohl sie trivial sind, sind solche Inklusionen oft ein guter bezeichnungstechnischer Trick.
Abzählbare Mengen Man bezeichnet eine beliebige Menge M als abzählbar, wenn sie als Folge M D fx1 ; x2 ; : : :g D fxn j n 2 Ng geschrieben werden kann. Die Menge Q der rationalen Zahlen ist abzählbar, die Menge R aller reellen Zahlen jedoch nicht ( [36], Ergänzungen zu Kap. 28).
Fast überall Bei Aussagen, in denen ein Punkt x 2 Rn vorkommt, sagt man, die Aussage gelte fast überall (abgekürzt „f. ü.“), wenn die Menge der Punkte, wo sie nicht gilt, eine n-dimensionale L EBESGUEsche Nullmenge ist (vgl. etwa [36], Kap. 28). Zum Beispiel ist eine Funktion fast überall stetig, wenn die Menge ihrer Unstetigkeitsstellen eine Nullmenge ist.
xx
Vorkenntnisse und generell verwendete Bezeichnungen
Komplexe Zahlen Ein Querstrich über einer komplexen Zahl bezeichnet die konjugiert komplexe Größe: a C ib D a ib für a; b 2 R. Real- und Imaginärteil werden mit Re z
bzw. Im z
bezeichnet.
Die Standardbasis Die Standardbasis ( = kanonische Basis) von Rn oder Cn wird mit .e 1 ; : : :; e n / bezeichnet. Der Vektor e k ist also das n-Tupel, das an der k-ten Stelle eine Eins und sonst Nullen hat.
Lineare Hülle Ist B eine Teilmenge eines K-Vektorraums V , so bezeichnen wir mit LH.B/ die lineare Hülle von B, d. h. die Menge aller (endlichen) Linearkombinationen von Elementen von B. Ein Vektor x 2 V gehört also genau dann zu LH.B/, wenn er in der Form N X j b j xD j D1
geschrieben werden kann, wobei N 2 N, 1 ; : : :; N 2 K sind und wobei b1 ; : : :; bN 2 B sein müssen. Die lineare Hülle ist ein linearer Teilraum (D Teilvektorraum) von V , und man nennt sie auch das lineare Erzeugnis von B oder den von B aufgespannten linearen Teilraum. Sind die Elemente von B aufgelistet, etwa in der Form B D fb1 ; : : :; bm g ; so schreibt man auch LH.b1 ; : : :; bm / für die lineare Hülle von B.
Matrizen Mit Kmn bezeichnen wir den K-Vektorraum der Matrizen mit m Zeilen und n Spalten, deren Einträge Skalare aus K sind. Mit E oder En bezeichnen wir die n-reihige Einheitsmatrix.
Vorkenntnisse und generell verwendete Bezeichnungen
xxi
Lineare Abbildungen Sind V; W zwei K-Vektorräume, so bezeichnen wir die Menge der linearen Abbildungen (= linearen Operatoren = K-Homomorphismen) T W V ! W mit HomK .V; W / oder mit LK .V; W /. Bekanntlich bilden diese ebenfalls einen KVektorraum. Im Fall V D W schreiben wir auch EndK .V / oder LK .V / für HomK .V; V / und bezeichnen die linearen Abbildungen V ! V auch als Endomorphismen von V . Dazu gehört insbesondere die identische Abbildung I D idV . Der Index K wird normalerweise bei all dem entfallen. Nur wenn der Skalarbereich spezifiziert werden muss, wird R oder C als Index eingesetzt.
Normen und Skalarprodukte Skalarprodukte schreiben wir als hxjyi oder x y, das letztere aber P nur, wenn es sich um das euklidische Skalarprodukt in Rn handelt, also x y D nkD1 xk yk . Im komplexen Fall ist das Skalarprodukt in der rechten Variablen linear, in der linken antilinear, wie in der Physik üblich. Für die euklidische Norm schreiben wir jxj D .xx/1=2 , während andere (oder nicht näher spezifizierte) Normen mit kk bezeichnet werden.
Kugeln Die abgeschlossene Kugel um den Punkt a mit dem Radius r bezeichnen wir mit Br .a/ („Ball“), die offene mit Ur .a/ oder Ur .a/ („Umgebung“). Wir verwenden diese Bezeichnungen in jedem metrischen Raum, insbesondere in jedem normierten Raum. Speziell für Rn oder Cn beziehen sie sich, sofern nichts anderes gesagt ist, auf die euklidische Metrik.
Differential und J ACOBI-Matrix Sei U Rn offen und F D .f1 ; : : :; fn / W U ! Rm eine differenzierbare Abbildung. Wir schreiben @fj JF .x/ JF .x/ WD .x/ @xk jk für die JACOBImatrix an der Stelle x 2 U . Die durch diese Matrix vermittelte lineare Abbildung Rn ! Rm ist bekanntlich die totale Ableitung oder das totale Differential von F an der Stelle x und wird ebenfalls mit JF .x/ oder JF .x/ bezeichnet. Weitere Schreibweisen hierfür sind DF .x/ dF .x/ dFx :
Kapitel 1
Mannigfaltigkeiten
Die Anfangsgründe der Differentialgeometrie, die unter Physikern und Ingenieuren meist mit dem Etikett „Tensorrechnung“ oder „Tensoranalysis“ versehen werden, bilden eines der wichtigsten mathematischen Werkzeuge für die klassische Mechanik, die Kontinuumsmechanik (Elastizitätstheorie, Strömungsmechanik) und die klassische Feldtheorie. In der Allgemeinen Relativitätstheorie und der modernen Gravitationsphysik wird die Tensoranalysis sogar zum fundamentalen mathematischen Ausdrucksmittel der ganzen Theorie. Schließlich führen gewisse Weiterentwicklungen der Tensoranalysis zu den Eichtheorien, die für die heutige Elementarteilchenphysik eine zentrale Rolle spielen. Bei unserer Einführung in diese Thematik legen wir Wert auf saubere Begriffsbildungen in einer modernen koordinatenfreien Sprache, die von Physikern und Mathematikern gleichermaßen verstanden werden kann. Die Regeln für das explizite Rechnen in Koordinaten ergeben sich dann als leichte Folgerungen und werden keineswegs vernachlässigt werden, doch gilt auch hier der Grundsatz, dass man sich eine sichere Rechentechnik eher durch praktisches Üben erwirbt als durch langatmige Erörterungen. Im Übrigen werden Sie sehen, dass man in vielen Fällen sehr gut direkt mit den geometrisch definierten mathematischen Objekten rechnen kann, ohne auf Koordinaten zurückgreifen zu müssen, und dass dieses direkte Rechnen meist viel schneller und bequemer verläuft als der Weg durch den Koordinatendschungel. Der wichtigste Grund aber, warum man sich auch als Physiker auf die – zugegebenermaßen etwas abstrakten – Begriffe der modernen Differentialgeometrie einlassen sollte, besteht darin, dass sie die korrekten geometrischen und kinematischen Interpretationen unmittelbar einfangen, die für die physikalischen Anwendungen entscheidend sind. Als ersten Grundpfeiler der Differentialgeometrie benötigt man die Diskussion des Begriffs der Mannigfaltigkeit und die Klärung der Frage, wann und wie Funktionen auf Mannigfaltigkeiten bzw. Abbildungen zwischen Mannigfaltigkeiten differenziert werden können. Diese geometrischen Grundlagen sollen jetzt zur Sprache kommen. Eine differenzierbare Mannigfaltigkeit ist, grob gesprochen, ein geometrisches Gebilde, auf dem sich Differentialrechnung betreiben lässt, weil in der Nähe jedes
K.-H. Goldhorn, H.-P. Heinz, M. Kraus, Moderne mathematische Methoden der Physik DOI 10.1007/978-3-540-88544-3, © Springer 2009
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4
1 Mannigfaltigkeiten
beliebigen Punktes Koordinaten eingeführt werden können und weil die Ergebnisse von sinnvollen Rechnungen, die man mit diesen Koordinaten anstellt, beim Übergang zu einem anderen zugelassenen Koordinatensystem erhalten bleiben. Insbesondere muss auf einer Mannigfaltigkeit auch klar sein, wann eine Folge von Punkten konvergiert, welche Funktionen stetig sind, was der Rand einer Teilmenge ist usw. Die grundlegenden Begriffe und Resultate zu diesem Thema, die man für Mannigfaltigkeiten braucht, sind in Abschn. A zusammengefasst. Für den Mathematiker gehören sie in das Teilgebiet der Allgemeinen Topologie (D mengentheoretischen Topologie). In Abschn. B definieren wir dann die Mannigfaltigkeiten sowie die Differenzierbarkeit von Funktionen auf und Abbildungen zwischen ihnen, leiten einige ihrer Eigenschaften her und geben erste Beispiele. Im dritten und letzten Abschnitt schließlich wenden wir uns der Frage zu, wie man differenzierbare Funktionen und Abbildungen tatsächlich differenziert und wie ihre Ableitungen als eigenständige mathematische Objekte aufgefasst werden können, unabhängig von der Willkür, die durch die Wahl von lokalen Koordinatensystemen ins Spiel gebracht wird. Als Definitions- und Wertebereiche der Ableitungen werden hier die Tangentialräume eingeführt, die an die Punkte der Mannigfaltigkeit angehängt werden. Die Ableitung einer Abbildung F an einem Punkt p erscheint dann als linearer Operator, der den Tangentialraum an p in den Tangentialraum an F .p/ abbildet. Um den Zusammenhang dieser Konstruktion mit der vertrauten Differentialrechnung richtig zu verstehen, sollte man sich an den Begriff der totalen Ableitung einer Funktion F W U ! V erinnern, wo U Rn und V Rm offene Teilmengen der jeweiligen euklidischen Räume sind: Für p 2 U ist die (totale) Ableitung DF .p/ D dFp derjenige lineare Operator Rn ! Rm ; der die gegebene Funktion F in der Nähe von p gut approximiert in dem Sinne, dass F .p C h/ F .p/ D dFp h C o.jhj/
für h ! 0
ist. Die JACOBImatrix, die diese lineare Abbildung beschreibt, hängt vom gewählten Koordinatensystem ab, die lineare Abbildung selbst jedoch nicht. Das Problem besteht aber darin, dass sich die Vektoren h; auf die der Operator dFp wirkt, im Allgemeinen nicht innerhalb der Mannigfaltigkeit realisieren lassen, und um diesem Problem beizukommen, werden die Tangentialräume konstruiert, wie wir es in Abschn. C sehen werden.
A Grundlagen aus der Topologie Um über Konvergenz von Folgen in einer Menge X oder von Stetigkeit von Funktionen auf X sprechen zu können, ist es nach unseren bisherigen Kenntnissen erforderlich, dass definiert ist, was der „Abstand“ zwischen zwei Punkten in X ist. Mit anderen Worten: Auf X muss eine Metrik gegeben sein (vgl. [36], Kap. 13 und 14). Eine solche Metrik ist aber nicht immer in natürlicher Weise auf allen Räumen gegeben, die in der Physik von Interesse sind, beispielsweise auf Konfigurationsräu-
A Grundlagen aus der Topologie
5
men physikalischer Systeme, auch wenn es oft möglich ist eine Metrik zu wählen. Man stellt aber fest, dass es an vielen Stellen der Analysis bereits genügt, anstelle vom Abstand von einem Punkt von den Umgebungen eines Punktes zu sprechen. Um dies deutlich zu machen, erinnern wir zunächst an einige bekannte Definitionen und Sätze: Definitionen 1.1. Sei .X; d / ein metrischer Raum, x0 2 X und " > 0. a. Die Menge U" .x0 / WD fx 2 X j d.x; x0 / < "g heißt die "-Umgebung von x0 . b. Eine Teilmenge U X heißt Umgebung von x0 2 X; wenn es ein " > 0 gibt mit U" .x0 / U. c. Eine Teilmenge U X heißt offen, wenn U Umgebung von jedem x0 2 U ist. Mit Hilfe dieser Begriffe kann man nun vieles, was wir in metrischen Räumen kennen gelernt haben, auch ohne Metrik formulieren. Die folgenden Sätze geben zwei Beispiele. Satz 1.2. Sei .X; d / ein metrischer Raum und .xn /n2N eine Folge in X . Die Folge .xn /n2N konvergiert genau dann gegen a 2 X; wenn es zu jeder Umgebung U von a ein n0 2 N gibt mit xn 2 U für alle n n0 . Der Beweis ist eine leichte Übungsaufgabe. Ebenso leicht kann „Stetigkeit“ mit Hilfe der Begriffe in Definition 1.1 beschrieben werden: Satz 1.3. Eine Abbildung f W X ! Y zwischen metrischen Räumen X; Y ist genau dann stetig bei x0 2 X; wenn für jede Umgebung U von f .x0 / das Urbild f 1 .U/ eine Umgebung von x0 ist. Topologische Räume sind nun Räume, in denen zwar nicht vom Abstand zweier Punkte gesprochen werden kann, aber doch von Umgebungen eines Punktes. Definitionen 1.4. Sei X eine Menge und T eine Menge von Teilmengen von X . Dann heißt T eine Topologie auf X falls gilt: (i) (ii) (iii)
;; X 2 T . Ist U 2 T ; V 2 T ; so ist U \ V 2 T . S Ist .Ui /i 2I eine Familie von Teilmengen mit Ui 2 T ; so ist Ui 2 T . i 2I
Die Mengen U 2 T heißen dann die offenen Mengen in X; und .X; T / heißt topologischer Raum. Beispiele 1.5. a. Ist .X; d / ein metrischer Raum und Td P.X / definiert durch U 2 Td W , U ist offen bezüglich d; wie in 1.1 definiert, so ist durch Td eine Topologie auf .X; d / gegeben.
6
1 Mannigfaltigkeiten
b. Sei X eine Menge, TK D f;; X g. Dann ist TK eine Topologie. Wir werden sehen, dass diese Topologie nicht durch eine Metrik gegeben ist. TK heißt die Klumpentopologie auf X . c. Ist X eine Menge, T D P.X / die Menge aller Teilmengen von X; so heißt T die diskrete Topologie. d. Sind .X; TX / und .Y; TY / topologische Räume, so nennt man U X Y offen, falls für alle .x; y/ 2 U offene Umgebungen Ux von x in X und Uy von y in Y existieren mit Ux Uy U . In Aufgabe 1.2 wird gezeigt, dass auf diese Weise eine Topologie auf X Y gegeben ist, die Produkttopologie. Auch Teilmengen topologischer Räume sind topologische Räume: Definition 1.6. Ist .X; T / ein topologischer Raum, Y X eine Teilmenge, so heißt TY WD fV Y j 9U 2 T W V D U \ Y g die Teilraumtopologie auf Y . Die offenen Mengen im Sinne der Teilraumtopologie sind also einfach die Schnitte von Y mit den offenen Mengen des gegebenen topologischen Raums .X; T /. Dass durch die Teilraumtopologie eine Topologie auf Y gegeben ist, prüft man leicht nach. Weitere wichtige Beispiele sind durch Quotientenbildung gegeben (vgl. [49]). Wir gehen darauf nicht allgemein ein, sondern geben nur die beiden wichtigsten Beispiele an: Beispiele 1.7. a. Der reelle projektive Raum RPn ist die Menge aller Geraden in RnC1 durch den Ursprung. Jede dieser Geraden schneidet die n-dimensionale Sphäre ˚ Sn D .x0 ; : : :; xn / 2 RnC1 j x02 C C xn2 D 1 in zwei Punkten x und x. Man kann also den reellen projektiven Raum auch auffassen als RPn D ffx; xg j x 2 Sn g oder RPn D fRx j x 2 RnC1 n f0gg : Für x D .x0 ; : : :; xn / 2 RnC1 n f0g benutzt man auch die Notation Rx D Œx0 W : : : W xn D Œx 2 RPn : Die Abbildung W Sn ! RPn ;
x 7! Œx
A Grundlagen aus der Topologie
7
[x] [y]
x
y
−y
−x
Abb. 1.1 Projektiver Raum RP2 und zwei Punkte daraus
ist offenbar surjektiv, und es gilt 1 .Œx/ D
x x ; jxj jxj
für jedes Œx 2 RPn . Bisher ist RPn nur als Menge definiert. Jetzt wird diese Menge mit einer Topologie versehen: Eine Teilmenge U RPn heiße offen, wenn 1 .U / Sn offen ist. Man überprüft leicht, dass damit eine Topologie auf RPn wohldefiniert ist. b. Ebenso ist der komplexe projektive Raum CPn als Menge aller komplexen Geraden in CnC1 definiert. Ist also D .z0 ; : : :; zn / 2 CnC1 n f0g; so ist Œ D Œz0 W z1 W : : : W zn WD f j 2 Cg 2 CPn : Man erhält CPn aus S2nC1 D f.z0 ; : : :; zn / 2 CnC1 j jz0 j2 C C jzn j2 D 1g durch Identifizieren aller Punkte, die sich nur um einen Faktor ei 2 S1 unterscheiden. Die Abbildung W S2nC1 ! CPn ; ist surjektiv und
1
.Œz/ D
z 7! Œz
ˇ z ˇˇ e 2R : jzj ˇ i
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1 Mannigfaltigkeiten
Eine Teilmenge U CPn heißt offen, wenn 1 .U / S2nC1 offen ist. Damit ist CPn ein topologischer Raum. Dieser Raum tritt in der Quantenmechanik auf. Zustandsvektoren in der Quantenmechanik werden als Elemente der Norm 1 des Zustandsraumes – eines H ILBERTraumes – betrachtet, von denen alle, die sich nur um eine Phase ei unterscheiden, identifiziert werden. Meist ist der Zustandsraum unendlichdimensional. Die Zustandsvektoren sind also Elemente eines unendlichdimensionalen projektiven Raums. Lässt das System aber nur endlich viele Messwerte zu, so sind die Zustandsvektoren Elemente eines endlichdimensionalen komplexen projektiven Raums. Viele Begriffe, die man von metrischen Räumen her kennt, können auf topologische Räume übertragen werden. Definitionen 1.8. Sei .X; T / ein topologischer Raum. a. A X heißt abgeschlossen ” X n A offen ist. b. Ein Element p 2 X heißt innerer Punkt von A X; wenn es eine offene Teilmenge U X gibt mit p 2 U A. ı
A bezeichnet die Menge der inneren Punkte von A.
ı
c. Ist p 2 X; so heißt U X Umgebung von p; falls p 2 U ist. d. Ist A X; so heißt x 2 X Berührpunkt von A ” für jede Umgebung U von x gilt: U \ A 6D ;. e. Ist A X; so heißt x 2 X Randpunkt von A ” für jede Umgebung U von x gilt: U \ A 6D ; und U \ .X n A/ 6D ;. Die Menge der Randpunkte bezeichnet man mit @A D fx 2 X j x Randpunkt von Ag. A WD A[@A heißt der Abschluss von A. f. Eine Folge .xn /n1 in einem topologischen Raum .X; T / konvergiert gegen a 2 X ” für jede Umgebung U von a gibt es ein N 2 N; so dass xn 2 U für alle n > N . Ist .X; d / ein metrischer Raum und .X; Td / der dadurch definierte topologische Raum, so stimmen diese Begriffe für den metrischen und topologischen Raum überein. Viele Sätze, die man über Konvergenz von Folgen kennt, übertragen sich leicht von metrischen auf topologische Räume. Es gibt aber eine wichtige Ausnahme: Eine Folge in einem topologischen Raum kann gegen mehrere Grenzwerte konvergieren. Ist beispielsweise .X; TK / ein Klumpenraum, so konvergiert jede Folge in X gegen jedes x 2 X; da die einzige Umgebung von x 2 X ganz X ist. Wollen wir solche Phänomene ausschließen, so müssen wir eine Zusatzforderung an den topologischen Raum X stellen: Definition 1.9. Ein topologischer Raum .X; T / heißt hausdorffsch oder H AUS DORFF -Raum, wenn es zu x; y 2 X mit x 6D y stets Umgebungen U.x/ und U.y/ von x bzw. y gibt mit U.x/ \ U.y/ D ;. Jeder metrische Raum .X; d / ist hausdorffsch, denn ist d.x; y/ D r > 0; so folgt Ur=2 .x/ \ Ur=2 .y/ D ; wegen der Dreiecksungleichung. Teilräume von
A Grundlagen aus der Topologie
9
H AUSDORFF-Räumen sind wieder hausdorffsch und auch RPn und CPn sind hausdorffsch. Sind nämlich Œx 2 RPn und Œy 2 RPn ; Œx 6D Œy und x 2 1 .Œx/; y 2 1 .Œy/ Urbilder in Sn ; so gibt es offene Umgebungen Ux und Uy von x bzw. y in Sn ; so dass .Ux [ .Ux // \ .Uy [ .Uy // D ; ist. Dann sind .Ux / und .Uy / die gesuchten disjunkten offenen Umgebungen in RPn . Ebenso folgt, dass CPn ein H AUSDORFFraum ist. Bemerkung: In H AUSDORFFräumen ist der Grenzwert einer Folge (sofern er existiert) stets eindeutig. Beweis. Würde .xn /n2N sowohl gegen a 2 X als auch gegen b 2 X konvergieren, so gäbe es offene Umgebungen U.a/; U.b/ von a bzw. b mit U.a/ \ U.b/ D ;; so dass alle Folgenglieder bis auf endlich viele sowohl in U.a/ als auch in U.b/ wären, was offenbar ein Widerspruch ist. t u
Stetigkeit Stetigkeit wird für Abbildungen zwischen topologischen Räumen analog zu 1.3 definiert: Definition 1.10. Seien X und Y topologische Räume. Eine Abbildung f W X ! Y heißt stetig bei a 2 X; wenn für jede Umgebung U von f .a/ gilt: f 1 .U / ist Umgebung von a. Eine Abbildung f heißt stetig, falls f bei jedem a 2 X stetig ist. Meistens werden wir die folgende Charakterisierung stetiger Funktionen benutzen: Satz 1.11. f ist genau dann stetig, wenn für alle offenen Teilmengen U Y gilt: f 1 .U / ist offen in X . Beweis. „)“
„(“
Sei f stetig, U Y offen, x 2 f 1 .U / und y D f .x/ 2 U . Dann ist U Umgebung von y; also f 1 .U / Umgebung von x. Somit enthält f 1 .U / eine offene Teilmenge V X mit x 2 V f 1 .U /; d. h. x ist innerer Punkt von f 1 .U /. Dies zeigt, dass f 1 .U / offen ist. Sei f W X ! Y so, dass f 1 .U / X offen, falls U Y offen. Sei x 2 X; y D f .x/ und U Umgebung von y. Dann gibt es eine offene e U mit y 2 U e ; also ist f 1 .U e / offen und x 2 f 1 .U e /. Teilmenge U 1 e 1 1 Weiter ist f .U / f .U /; also ist f .U / eine Umgebung von x. Dies zeigt die Stetigkeit von f in dem beliebigen Punkt x. t u
Bemerkung: Sind .X; d1 / und .Y; d2 / metrische Räume, so ist f W X ! Y offenbar genau dann stetig als Abbildung zwischen den metrischen Räumen, wenn f als Abbildung zwischen den topologischen Räumen .X; Td1 / und .Y; Td2 / stetig ist.
10
1 Mannigfaltigkeiten
Beispiel: Sei Y ein beliebiger topologischer Raum. Nach Definition der Topologie auf RPn folgt, dass f W RPn ! Y genau dann stetig ist, wenn f ı W Sn ! Y stetig ist, analog für CPn . Ebenso wie für stetige Abbildungen auf metrischen Räumen folgt auch, dass Summe, Produkt und Komposition stetiger Abbildungen auf topologischen Räumen wieder stetig sind. Die Umkehrfunktion einer stetigen Abbildung muss aber nicht stetig sein, wie das Beispiel der Abbildung ˚ f W Œ0; 1Œ7! S1 D .x; y/ 2 R2 j x 2 C y 2 D 1 ; f .t/ D .cos 2 t sin 2 t/ zeigt, deren Umkehrabbildung am Punkt .1; 0/ 2 S1 nicht stetig ist. Darum definiert man: Definition 1.12. Eine stetige Bijektion zwischen topologischen Räumen, deren Umkehrung f 1 ebenfalls stetig ist, heißt ein Homöomorphismus.
Kompaktheit Eine beschränkte und abgeschlossene Teilmenge im Rn heißt auch eine kompakte Teilmenge, und diese Mengen sind für die Analysis von fundamentaler Bedeutung, z. B. weil jede in einer solchen Menge verlaufende Folge eine konvergente Teilfolge besitzt oder weil jede stetige Funktion darauf ihr Maximum und ihr Minimum annimmt. Grob gesprochen sind die kompakten Räume für die Topologie das, was die endlichen Mengen für die Mengenlehre sind. Aber schon in metrischen Räumen hat nicht jede abgeschlossene beschränkte Teilmenge diese erwünschten Eigenschaften, und in allgemeinen topologischen Räumen kann gar nicht von Beschränktheit gesprochen werden, weil man keine Abstände messen kann. Der klassische Überdeckungssatz von H EINE -B OREL liefert jedoch eine Beschreibung der Kompaktheit, die sich auch in allgemeinstem Rahmen als tragfähig erwiesen hat. Man definiert: Definition 1.13. Eine Teilmenge K eines topologischen Raums X heißt kompakt, wenn jede offene Überdeckung von K eine endliche Teilüberdeckung besitzt. Eine offene Überdeckung ist dabei ein System von offenen Teilmengen, dessen Vereinigung ganz K umfasst. [ Ui mit offenen Mengen Ui Ausführlich bedeutet diese Bedingung: Ist K i 2I
(wobei i eine beliebige Indexmenge I durchlaufen kann), so gibt es endlich viele dieser Mengen, etwa Ui1 ; : : :; UiN ; so dass diese schon für sich alleine eine Überdeckung bilden, so dass also K Ui1 [ : : :UiN ist. Für metrische Räume fällt dieser Kompaktheitsbegriff mit dem dort eingeführten zusammen. Insbesondere sind in metrischen Räumen kompakte Mengen stets beschränkt und abgeschlossen und im Rn und Cn mit der Standardtopologie gilt
B Mannigfaltigkeiten
11
auch, dass die beschränkten und abgeschlossenen Teilmengen im Sinne der obigen Definition kompakt sind. Das ist gerade die Aussage des Satzes von H EINE-B OREL. Wir überzeugen uns nun, dass kompakte Teilmengen von topologischen Räumen (oder zumindest von H AUSDORFFräumen) die aus der Analysis vertrauten Besonderheiten aufweisen: Lemma. Kompakte Teilmengen von H AUSDORFF-Räumen sind abgeschlossen. Beweis. Ist K X kompakt, y 2 X n K; so gibt es zu jedem x 2 K offene Umgebungen Ux von x und Vx von y mit Ux \Vx D ;. Da K kompakt nist, genügen n S T Uxi gilt. Also ist K \ Vxi D ;; endlich viele, etwa x1 ; : : :; xn ; so dass K und
n T
i D1
i D1
Vxi ist eine offene Umgebung von y. Das bedeutet, dass X n K offen ist, K
i D1
also abgeschlossen.
t u
Stetige Abbildungen auf kompakten topologischen Räumen haben nun die für Rn oder für metrische Räume bekannten Eigenschaften (vgl. etwa [36], Kap. 14). Sie lassen sich überraschend einfach aus Definition 1.13 herleiten, wofür wir jedoch auf die Lehrbuchliteratur über Allgemeine Topologie verweisen, etwa auf [49]. Dort wird u. a. bewiesen: Theorem 1.14. a. Ist X kompakt und f W X ! Y stetig, so ist das Bild f .X / kompakt. Insbesondere nimmt jede stetige reelle Funktion auf einem kompakten Raum ihr Maximum und ihr Minimum an. b. Eine stetige Bijektion eines kompakten Raums auf einen H AUSDORFFraum ist stets ein Homöomorphismus. Beispiel: Die Sphären Sn sind kompakt als beschränkte abgeschlossene Teilmengen von RnC1 . Die Projektiven Räume sind nach Theorem 1.14a. dann ebenfalls kompakt, denn RPn D .Sn / und CPn D .S2nC1 / ; und die jeweilige Abbildung ist stetig, wie sofort aus der Definition der Topologien auf den projektiven Räumen folgt.
B Mannigfaltigkeiten Mannigfaltigkeiten sind topologische Räume, die „lokal aussehen“ wie Rn . Global kann eine Mannigfaltigkeit jedoch ein ganz anderes Aussehen haben. So ist z. B. die Erdoberfläche ein gutes Beispiel für eine Mannigfaltigkeit. Kleine Gebiete können mittels Karten auf die Seiten eines Atlasses abgebildet werden, also auf Stücke aus der Ebene R2 . Will man aber die ganze Erdoberfläche abbilden, so ist dies nicht auf stetige Weise möglich.
12
1 Mannigfaltigkeiten
Sie kennen dies wahrscheinlich bereits von Untermannigfaltigkeiten des Rn ; wie sie z. B. in [36], Kap. 21 betrachtet werden. Mannigfaltigkeiten sind jedoch nicht notwendig Teilmengen eines euklidischen Raumes. Ein Beispiel ist etwa der Projektive Raum, dessen Punkte zwar Geraden im RnC1 sind, der als Menge jedoch keine Teilmenge des RnC1 ist. Ein Grund, allgemeine Mannigfaltigkeiten und nicht nur Teilmannigfaltigkeiten des Rn zu betrachten, liegt in der allgemeinen Relativitätstheorie. Die physikalische Raumzeit wird als 4-dimensionale Mannigfaltigkeit modelliert. Es macht aber keinen Sinn, sie als Teilmenge eines euklidischen Raumes aufzufassen, da sich alle physikalischen Beobachtungen nur auf Gegebenheiten innerhalb der Raumzeit beziehen. Insbesondere ist kein physikalischer Mechanismus denkbar, durch den die beobachtete Metrik von der Geometrie eines umgebenden euklidischen Raumes erzeugt würde. Eine abstraktere Definition ist daher unumgänglich. Definitionen 1.15. a. Ein topologischer Raum M heißt lokal euklidisch der Dimension n; wenn es zu jedem p 2 M eine offene Umgebung U M und einen Homöomorphismus h W U ! U 0 auf eine offene Teilmenge U 0 Rn gibt. b. Das Paar .U; h/ oder auch nur h heißt dann Karte, Kartenabbildung oder Koordinatenabbildung, ' D h1 lokale Parametrisierung um p. Der Definitionsbereich U der Karte heißt Kartengebiet oder Koordinatengebiet. Schreiben wir h in Komponenten h D .h1 ; : : :; hn /; so heißen x j D hj .q/ die Koordinaten des Punktes q 2 U in Bezug auf die betrachtete Karte. S U D M gilt. c. Eine Familie von Karten .U ; h /2 heißt Atlas für M; falls 2
Sind h1 und h2 Karten für M; so heißt der Homöomorphismus ˇ ˇ w12 D h2 ı h1 W h1 .U1 \ U2 / ! h2 .U1 \ U2 / 1 ˇ h1 .U1 \U2 /
der Kartenwechsel.
M U1
U2
h1
U1 Abb. 1.2 Kartenwechsel
h2 w12 U2
B Mannigfaltigkeiten
13
d. Ist M lokal euklidisch der Dimension n und sind .Ui ; hi / und .Uj ; hj / Karten für M; so sagt man hi und hj wechseln .C k -/differenzierbar, wenn der Kartenwechsel wij ein (C k -)Diffeomorphismus ist. e. Ein C k -differenzierbarer Atlas ist ein Atlas, dessen Karten alle C k -differenzierbar wechseln. f. Atlanten A und B heißen C k -äquivalent, wenn alle Kartenwechsel der Karten von A mit den Karten aus B wieder C k -Diffeomorphismen sind. Sind A und B C k -äquivalente Atlanten, so ist A [ B D f.U ; h / j .U ; h / 2 A oder .U ; h / 2 Bg wieder ein C k -differenzierbarer Atlas. Im Allgemeinen interessiert uns ein Atlas, in dem alle äquivalenten enthalten sind, und diesen benutzt man, um einem lokal euklidischen Raum die Struktur einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit zu verleihen. Genauer: Definitionen 1.16. a. Unter einer C k -differenzierbaren Struktur auf dem lokal euklidischen Raum M versteht man einen maximalen C k -differenzierbaren Atlas, d. h. einen Atlas, der schon alle Karten enthält, die mit den Karten des Atlasses C k differenzierbar wechseln. b. Unter einer n-dimensionalen C k -differenzierbaren Mannigfaltigkeit versteht man einen lokal euklidischen H AUSDORFF-Raum, der als Vereinigung von abzählbar vielen kompakten Teilmengen geschrieben werden kann, zusammen mit einer C k -differenzierbaren Struktur. Mit einer (differenzierbaren) Mannigfaltigkeit ist in diesem Buch stets eine C 1 differenzierbare Mannigfaltigkeit gemeint. Die topologischen Forderungen, dass M hausdorffsch ist und dass M D
1 [
Kj ;
Kj kompakt ;
(1.1)
j D1
ist für Teilmannigfaltigkeiten des Rn offenbar erfüllt, da man Rn selbst als Vereinigung der kompakten Kugeln Bm .0/; m 2 N; schreiben kann. Im Falle der allgemeinen Mannigfaltigkeiten folgen sie aber nicht etwa schon aus der Eigenschaft „lokal euklidisch“, sondern müssen gesondert gefordert werden. Über den Vorteil, wenn ein topologischer Raum hausdorffsch ist, wurde im letzten Abschnitt schon gesprochen. Die Eigenschaft (1.1) ist auch in den meisten Räumen, die wir betrachten, also z. B. Konfigurationsräumen, anschaulich ganz klar. Viele wichtige Mannigfaltigkeiten sind sogar selber kompakt, z. B. die Sphären Sn und die projektiven Räume, wie wir am Schluss des vorigen Abschnitts gesehen haben. Jedenfalls hat es große technische Vorteile, (1.1) zu fordern. So folgt aus dieser Eigenschaft zum Beispiel, dass jede Mannigfaltigkeit einen abzählbaren Atlas besitzt. Wir werden (1.1) sowie die H AUSDORFF-Eigenschaft oft benutzen aber selten explizit nachprüfen, und Sie können sich auf den Standpunkt stellen, dass die Räume, die Ihnen begegnen diese Eigenschaften haben.
14
1 Mannigfaltigkeiten
Beispiele 1.17. a. Als Wiederholung für ein Beispiel einer Untermannigfaltigkeit geben wir zuerst einen Atlas für Sn D fx 2 RnC1 j jxj2 D 1g an: Die Mengen .Ui;C ; Ui; /i D0;:::;n mit Ui;C D f.x0 ; : : :; xn / 2 Sn j xi > 0g ; Ui; D f.x0 ; : : :; xn / 2 Sn j xi < 0g bilden eine offene Überdeckung von Sn . Durch 1 x0 0 01 0 1 B :: C x1 x0 B:C B C B :: C B :: C C B ! U1 .0/; @ : A 7! B xO i C DW @ : A B :: C xn xn0 @:A 0
hi;˙ W Ui;˙
(1.2)
xn sind Kartenabbildungen gegeben. Die Kartenwechsel zwischen hi;C und hj;C sind für i < j durch 0
x10 :: :
1
B C B C B C 0 B C x Bp i C 0 01 0 2 B x1 jx j C B 1 C 0 B C B C x 0 D @ ::: A 7! B xi C1 C B C : :: B C xn0 B C B C 0 O xj B C B C : :: @ A 0 xn gegeben, und analog für die anderen auftretenden Fälle. Offenbar sind diese Abbildungen Diffeomorphismen. b. Ist M eine abzählbare Menge mit der diskreten Topologie, so ist M eine 0-dimensionale Mannigfaltigkeit. c. Der Raum Rn selbst ist natürlich eine n-dimensionale Mannigfaltigkeit. Dabei kommt man mit der einzigen Karte .Rn ; id/ aus. d. Ist M eine differenzierbare Mannigfaltigkeit der Dimension n; ˝ M eine offene Teilmenge, so ist ˝ ebenfalls eine differenzierbare Mannigfaltigkeit der Dimension n. Ist nämlich .U; h/ eine Karte um p 2 M von M; und ist p 2 ˝; so ist .U \ ˝; hjU \˝ / eine Karte für ˝ um p. e. Sind M und N Mannigfaltigkeiten der Dimension m bzw. n; so ist M N eine Mannigfaltigkeit der Dimension m C n.
B Mannigfaltigkeiten
15
Ist .p; q/ 2 M N; .U; h/ eine Karte von M um p; .V; k/ eine Karte von N um q; so ist U V M N eine offene Umgebung von .p; q/ und h k W U V ! U 0 V 0 ; .x; y/ 7! .h.x/; k.y// die gesuchte Kartenabbildung. Die entsprechenden Kartenwechsel sind offenbar differenzierbar. Zum Beispiel ist Sm Sn RmCnC2 eine Mannigfaltigkeit der Dimension m C n. f. RPn und CPn sind Mannigfaltigkeiten. Wir behandeln wieder nur den reellen Fall – der komplexe geht ganz analog. Eine offene Überdeckung von RPn ist durch Vi D fŒx0 W W xn 2 RPn j xi 6D 0g gegeben. Diese Teilmengen sind offen, denn 1 .Vi / D Ui;C [Ui; mit Ui;˙ Sn wie in a. Kartenabbildungen hi W Vi ! Vi0 D Rn sind dann durch hi W Œx0 W W xn 7!
x0 xi 1 xi C1 xn ; : : :; ; ; : : :; xi xi xi xi
(1.3)
gegeben. Sie sind wohldefinierte stetige Abbildungen mit der stetigen Umkehrung 0
0 0 0 0 0 h1 i W x1 ; ; xn 7! x1 W W xi W 1 W xi C1 W W xn : Damit ist der Kartenwechsel wij D hj ı h1 i für i < j durch f.x1 ; : : :; xn / 2 Rn j xj ¤ 0g ! f.x1 ; : : :; xn / 2 Rn j xi C1 ¤ 0g ; .x1 ; : : :; xn / 7!
x1 xi 1 xi xO j xn ; : : :; ; : : : ; : : :; xj xj xj xj xj
gegeben. Analog zu den Teilmannigfaltigkeiten des Rn kann man auch für beliebige Mannigfaltigkeiten M diejenigen Teilmengen charakterisieren, die innerhalb von M so glatt verlaufen, dass sie (mit der Teilraumtopologie) schon für sich Mannigfaltigkeiten bilden: Definition 1.18. Sei M eine n-dimensionale Mannigfaltigkeit. M0 M heißt eine k-dimensionale Untermannigfaltigkeit (= Teilmannigfaltigkeit) von M; wenn um jedes p 2 M0 eine Karte .W; H / von M existiert, so dass H.W \ M0 / D .Rk f0g/ \ W 0 Š
ist, wobei H W W ! W 0 . Das Paar .W; H / (oder auch H alleine) heißt dann Flachmacher oder Untermannigfaltigkeitskarte für M0 um p 2 M0 .
16
1 Mannigfaltigkeiten
W
H
W
’ pr
Abb. 1.3 Ein Flachmacher
Ist M0 M eine k-dimensionale Untermannigfaltigkeit von M; so ist M0 tatsächlich eine k-dimensionale Mannigfaltigkeit im Sinne unserer Definition 1.16b. Ist nämlich ˇ .W; H / eine Untermannigfaltigkeitskarte für M0 um p; so ist .W \ M0 ; prk ı H ˇW \M0 /; wobei prk W Rn ! Rk die Projektion auf die ersten k Koordinaten bezeichnet, eine Karte um p von M0 . Dass die entstehenden Kartenwechsel differenzierbar sind, rechnet man mühelos nach (Übung!). Teilmannigfaltigkeiten des Rn sind offenbar Untermannigfaltigkeiten im hier definierten Sinn, wenn man Rn wie in Bsp. 1.17c. als Mannigfaltigkeit betrachtet. Ferner sind Sn SnCm und RPn RPnC1 ebenfalls Untermannigfaltigkeiten. Ein wichtiges Hilfsmittel um Teilmengen von Rn als Teilmannigfaltigkeiten zu erkennen, ist der Satz vom regulären Wert. Damit ist die bekannte Folgerung aus dem Satz über implizite Funktionen gemeint, die besagt, dass die Lösungsmenge eines (nichtlinearen) Gleichungssystems fj .x1 ; : : :; xn / D pj ;
j D 1; : : :; m
eine Teilmannigfaltigkeit der Dimension n m von Rn bildet, wenn die JACO BImatrix .@fj =@xk /jk überall auf der Lösungsmenge den Höchstrang hat (vgl. etwa [36], Kap. 21). Der Satz gilt sinngemäß genauso für Untermannigfaltigkeiten beliebiger Mannigfaltigkeiten. Bevor er aber formuliert werden kann, muss zunächst geklärt werden, was man unter differenzierbaren Abbildungen auf einer Mannigfaltigkeit versteht.
B Mannigfaltigkeiten
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U
V
f
p h
f (p)
k
U’ h(p)
V’
~ f
k(P)
Abb. 1.4 Differenzierbarkeit einer Abbildung f
Definitionen 1.19. Sei r 0 r. 0
a. Sei M eine n-dimensionale C r -differenzierbare Mannigfaltigkeit. Eine stetige Abbildung f W M ! Rk heißt C r -differenzierbar bei p 2 M; wenn für eine (dann auch jede) Karte .U; h/ um p gilt: fQ D f ı h1 ist C r -differenzierbar bei h.p/. 0
b. Seien M und N zwei C r -differenzierbare Mannigfaltigkeiten. Eine stetige Abbildung f W M ! N heißt C r -differenzierbar bei p 2 M; wenn für ein (und dann jedes) Paar von Karten .U; h/ von M mit p 2 U und .V; k/ von N mit f .p/ 2 V und f .U / V die Abbildung fQ WD k ı f ı h1 C r -differenzierbar bei h.p/ ist (vgl. Abb. 1.4). c. Eine Abbildung f W M ! N heißt C r -Diffeomorphismus, falls f bijektiv und f sowie f 1 C r -differenzierbar sind. Falls ein C 1 -Diffeomorphismus f W M ! N existiert, so sagt man, M und N seien diffeomorph. Eine Abbildung f W M ! N heißt lokaler Diffeomorphismus bei p; falls es offene ˇ Teilmengen U M mit p 2 U und V N mit f .p/ 2 V gibt, so dass f ˇU W U ! V ein Diffeomorphismus ist. f heißt lokaler Diffeomorphismus, falls f bei jedem p 2 M ein lokaler Diffeomorphismus ist. d. Ist f W M ! N eine differenzierbare Abbildung zwischen differenzierbaren Mannigfaltigkeiten M und N; so ist für x 2 M der Rang von f bei x durch rangx f rang f .x/ WD rangJfQ .h.x// mit fQ D k ı f ı h1 wie in b. wohldefiniert, da die Kartenwechsel alle Diffeomorphismen, ihre JACOBImatrizen also regulär sind. Die Kartenabbildungen h W U ! U 0 einer C r -Mannigfaltigkeit sind damit also genau die Diffeomorphismen h W U ! U 0 . Mit diesen Definitionen kann nun die Analysis in mehreren Variablen auf Mannigfaltigkeiten übertragen werden. Die Komposition differenzierbarer Abbildungen
18
1 Mannigfaltigkeiten
zwischen Mannigfaltigkeiten ist wieder differenzierbar. Dies folgt daraus, dass die Komposition differenzierbarer Abbildungen auf Rn differenzierbar ist (Kettenregel!). Aus dem Satz über inverse Funktionen folgt sofort auch der entsprechende Satz für Mannigfaltigkeiten: Theorem 1.20. Ist f W M ! N eine differenzierbare Abbildung zwischen Mannigfaltigkeiten der Dimension n und ist rangp f D n; so ist f lokaler Diffeomorphismus bei p. Nun können wir auch den Satz vom regulären Wert für Mannigfaltigkeiten formulieren und beweisen: Theorem 1.21 (Satz vom regulären Wert). Seien M; N differenzierbare Mannigfaltigkeiten, f W M ! N differenzierbar, p 2 N regulärer Wert (d. h. für alle q 2 f 1 .p/ ist rangq f D dim N ). Dann ist f 1 .p/ M eine Untermannigfaltigkeit von M der Dimension dim M dim N . Beweis. Sei q 2 f 1 .p/; .W1 ; H1 / Karte um q und .W2 ; H2 / Karte um p mit f .W1 / W2 . Dann ist H2 .p/ regulärer Wert von fQ D H2 ı f ı H11 . Also existiert nach dem Satz vom regulären Wert im Rn ein Flachmacher K1 W H1 .W1 / ! W 0 von fQ1 .H2 .p//. Dann ist K1 ı H1 W W1 ! W 0 der gesuchte Flachmacher um q. t u Dieser Beweis ist ein typisches Beispiel dafür wie sich im Rn bekannte Sachverhalte auf Mannigfaltigkeiten übertragen. In Kurzform lautet der Beweis: Das Problem ist lokal, d. h. mittels Karten zu zeigen. Damit folgt der Satz aus der Rn Version, die wir vor Definition 1.19 besprochen haben. „Lokale“ Eigenschaften lassen sich immer nach diesem Schema vom Rn auf Mannigfaltigkeiten übertragen. Bald werden wir auch globale (d. h. nichtlokale) Fragestellungen kennen lernen. Die meisten Beispiele, die man konkret berechnet, sind Untermannigfaltigkeiten des Rn . Wir geben daher hier noch ein Beispiel an, wie der Satz vom regulären Wert dort angewandt wird. Beispiel: Die orthogonale Gruppe O.n/ D fA 2 End .Rn / D Rnn j AT A D En g 2
ist eine Untermannigfaltigkeit des Rn D Rnn der Dimension 12 n.n 1/. Beweis. Es sei Sym .n/ der Vektorraum aller symmetrischen reellen nn-Matrizen. Dann ist durch F W GL.n; R/ ! Sym .n/ A 7! AT A
(1.4)
eine differenzierbare Abbildung gegeben. Wegen O.n/ D F 1 .En / genügt es zu zeigen, dass En regulärer Wert von F ist. Die Gruppe GL .n; R/ Rnn der invertierbaren Matrizen ist eine offene Teilmenge. Wir können also für A 2 O.n/
C Tangentialraum und Differential
19
GL .n; R/ das Differential dFA mit Hilfe der Richtungsableitungen berechnen. Für X 2 Rnn ist d ˇˇ F .A C tX / dt t D0 d ˇˇ D .A C tX /T .A C tX / dt t D0 D AT X C X T A :
dFA .X / D
Sei B 2 Sym.n/; also B D A 2 O.n/
1 2
.B T C B/. Setze X D
dFA .X / D D
1 2 1 2
1 2
AB. Dann ist wegen
.AT AB C B T AT A/ .B C B T / D B :
Also ist für A 2 O.n/ das Differential dFA surjektiv, und damit ist En regulärer Wert von F; wie gewünscht. Die Dimension errechnet sich zu n2 dim Sym.n/ D t u n2 12 n.n C 1/ D 12 n.n 1/. Zu Beginn des Kapitels wurde argumentiert, dass wir uns nicht auf Untermannigfaltigkeiten des euklidischen Raums beschränken wollen. Der folgende Satz scheint unsere Argumentation zunächst einmal zunichte zu machen: Satz 1.22. Sei M eine n-dimensionale Mannigfaltigkeit. Dann gibt es für geeignetes m > n eine Untermannigfaltigkeit M 0 des Rm und einen Diffeomorphismus f W M ! M 0 . Die Abbildung f heißt dann eine Einbettung von M . Ein Beweis findet sich in [13]. In Satz 4.5 wird eine schwächere Version für kompakte Mannigfaltigkeiten bewiesen werden. Aufgrund dieses Satzes kann man sich auf den Standpunkt stellen, dass man statt einer Mannigfaltigkeit M stets eine dazu diffeomorphe Untermannigfaltigkeit M 0 des euklidischen Raums betrachten kann. Dies ist in gewissen Grenzen möglich, aber da die Einbettung f W M ! M 0 nicht eindeutig ist, muss dann bei jeder Aussage untersucht werden, wie sie von der Wahl von Einbettungen f abhängt. So kann man zum Beispiel den Abstand zwischen zwei Punkten p und q in M nicht etwa definieren als Abstand zwischen f .p/ und f .q/; denn dieser würde ja offenbar von der Wahl von f abhängen. Daher wird im nächsten Abschnitt auch der Tangentialraum für differenzierbare Mannigfaltigkeiten definiert, auch wenn dies etwas technischer ist als der Begriff des Tangentialraums an eine Untermannigfaltigkeit.
C Tangentialraum und Differential Ab jetzt bezeichnet M immer eine n-dimensionale C 1 -Mannigfaltigkeit, sofern nichts anderes gesagt wird. Bei glatten Kurven ˛ W "; "Œ! RN bezeichnen wir die Ableitung (= Geschwindigkeitsvektor) wahlweise mit
20
1 Mannigfaltigkeiten
d ˛.t/ D ˛.t/ P D ˛ 0 .t/ : dt (Den Strich 0 erlauben wir uns, wenn die Kurve eine komplizierte Bezeichnung hat.) Ist M RN eine n-dimensionale Untermannigfaltigkeit, so gibt es verschiedene Möglichkeiten, den Tangentialraum zu definieren (vgl. [36], Kap. 21). Eine Möglichkeit ist, den Untermannigfaltigkeitstangentialraum von M an der Stelle p durch Tpunt M WD f.0/ P j W "; "Œ! M; glatte Kurve mit .0/ D pg zu definieren. Dies ist ein n-dimensionaler Untervektorraum des RN . Offenbar ist es nicht möglich, diese Definition auf abstrakte Mannigfaltigkeiten zu übertragen, da für C 1 -Abbildungen W "; "Œ! M die Größe P .0/ nicht definiert ist, sondern nur für jede Karte .U; h/ um p die Größe .h ı /0 .0/ 2 Rn . Dieser Vektor ist aber abhängig von der Wahl der Karte. Wir können also .h ı /0 .0/ nicht als Tangentialvektor an M auffassen. Die Anschauung sagt aber, dass zwei Kurven mit Startpunkt p dieselbe Geschwindigkeit bei 0 haben, also denselben Tangentialvektor bei p definieren sollten, wenn ihre Geschwindigkeitsvektoren in Karten übereinstimmen. Dies ist die Motivation für die folgenden Definitionen: Definitionen 1.23. Sei p 2 M ein Punkt. a. Kp .M / sei die Menge aller differenzierbaren Abbildungen W "; "Œ! M mit .0/ D p. Zwei Kurven ˛; ˇ 2 Kp .M / heißen tangential äquivalent, wenn für eine – und dann für jede – Karte h W U ! U 0 mit p 2 U gilt .h ı ˛/0 .0/ D .h ı ˇ/0 .0/ : Wir schreiben dann ˛ p ˇ. b. Die Äquivalenzklasse Œ˛ WD f 2 Kp .M / j p ˛g
(1.5)
heißt Tangentialvektor von M an der Stelle p; Tp M D fŒ˛ j ˛ 2 Kp M g heißt Tangentialraum von M an der Stelle p. Ist vp D Œ˛ 2 Tp M so heißt ˛ eine den Vektor vp repräsentierende Kurve. Offenbar gibt es also zu einem Tangentialvektor mehrere repräsentierende Kurven, wie schon im Fall des Untermannigfaltigkeitstangentialraums. Die Ableitungen dieser Kurven in einer Karte stimmen jedoch alle überein. Die Definition (1.5) des Tangentialvektors als einer Menge ist dabei nur ein logischer Trick – eigentlich stellt man sich einen Tangentialvektor als einen Pfeil vor, der am Punkt p angehängt ist,
C Tangentialraum und Differential
21
Abb. 1.5 Tangential äquivalente Kurven
M
h
oder als die Geschwindigkeit eines Teilchens, das sich innerhalb der Mannigfaltigkeit bewegt und dabei zur Zeit t D 0 den Punkt p passiert. Aber für eine rigorose mathematische Theorie benötigt man eben ein konkretes Objekt, in dem diese Vorstellung kodiert ist, und dafür eignet sich hier die Menge aller Kurven, die gerade das, was kodiert werden soll, gemeinsam haben, und das ist die Menge (1.5). Anmerkung 1.24. Die Bildung von Äquivalenzklassen, die bei der Konstruktion der Tangentialräume eine entscheidende Rolle gespielt hat, kommt in der Mathematik in den unterschiedlichsten Zusammenhängen vor und gehört gewissermaßen zu den fundamentalen Prozeduren der modernen Mathematik. Es handelt sich dabei um die folgende Grundsituation: Gegeben ist eine Menge S sowie eine Relation „ “ zwischen den Elementen von S; d. h. für jedes Paar .x; y/ 2 S S muss eindeutig feststehen, ob die Aussage „x y“ wahr oder falsch ist. Was diese Aussage im Einzelnen bedeutet, ist natürlich von Fall zu Fall verschieden, doch sollen dabei die folgenden drei Bedingungen erfüllt sein: (A1) (A2) (A3)
x x; x y H) y x; x y und y z H) x z
für alle x; y; z 2 S . Dann bezeichnet man die betreffende Relation als eine Äquivalenzrelation, und man spricht „x y“ auch aus als „x äquivalent zu y“. Man kann sich vorstellen, dass zwei äquivalente Elemente von S sich nur in gewissen,
22
1 Mannigfaltigkeiten
für die gerade vorliegende Situation unwesentlichen Details unterscheiden, also im Wesentlichen als gleich betrachtet und daher miteinander identifiziert werden können. Um diese Identifikation mathematisch sauber durchzuführen, geht man über zur Menge SQ S= der Äquivalenzklassen Œx WD fy 2 S j x yg : Die Bedingungen (A1) – (A3) stellen sicher, dass x 2 Œx und x y ” Œx D Œy : Es ist sogar Œx \ Œy D ;; wenn x; y nicht äquivalent sind. (Beweise als Übung!) Die Elemente einer Äquivalenzklasse 2 S= werden wieder als deren Repräsentanten oder Vertreter bezeichnet, und man stellt sich solch eine Klasse meist nicht als Menge von Elementen von S vor, sondern als einen typischen Vertreter x 2 S; wobei aber der Übergang zu einem äquivalenten Element (also einem Vertreter derselben Klasse) eine vernachlässigbare Abänderung darstellt. Ist M RN eine Untermannigfaltigkeit, so ist die Abbildung Tp M ! Tpunt M; Œ˛ 7! ˛.0/ P
(1.6)
wohldefiniert und bijektiv, denn ist Œ˛ D Œˇ; so ist .h ı ˛/0 .0/ D .h ı ˇ/0 .0/ für jede Karte h um p; insbesondere für einen Flachmacher H . Anwenden von H 1 P ergibt mit der Kettenregel also ˛.0/ P D ˇ.0/. Wir werden vorläufig in der Notation Tpunt M und Tp M unterscheiden. Einen wichtigen Unterschied gibt es zwischen Tpunt M und Tp M : Für alle p; p 0 2 M mit p 6D p 0 ist Kp .M / 6D Kp0 .M /; also ist Tp M \ Tp0 M D ;. Jedoch unt unt 0 Tpunt M \ Tpunt 0 M f0g; und manchmal gilt sogar Tp M D Tp 0 M für p 6D p ; unt 1 unt 1 z. B. T.1;0/ S D T.1;0/ S D f0g R. Ist U Rn eine offene Teilmenge, so ist für p 2 U der Tangentialraum an der Stelle p durch Tpunt U D Rn gegeben. Eine repräsentierende Kurve für v 2 Rn ist v;p W "; "Œ! M ; v;p .t/ D p C tv
(1.7)
für " so klein, dass das Bild der Kurve in U enthalten ist. Kombiniert man das mit (1.6), so ist also für offenes U Rn Tp U Š Rn ; Œv;p 7! v eine bijektive Abbildung. Man betrachtet nun Tp U mit Hilfe dieser Abbildung als Vektorraum, d. h. für Œ˛; Œˇ 2 Tp U setzt man Œ˛ WD Œ˛.0/;p P
für 2 R ,
: Œ˛ C Œˇ WD Œ˛.0/C P ˇP .0/;p
C Tangentialraum und Differential
23
Entsprechend verfährt man auch für beliebige Mannigfaltigkeiten M; um Tp M als Vektorraum aufzufassen: Definition 1.25. Sei .U; h/ eine Karte von M um p und vp 2 Tp M ein Tangentialvektor. Man definiert hp .vp / als den gemeinsamen Wert von .h ı ˛/0 .0/; wenn ˛ die vp repräsentierenden Kurven durchläuft. Dies ergibt die Abbildung hp W Tp M ! Rn ; Œ˛ 7! .h ı ˛/0 .0/ :
(1.8)
Satz 1.26. Sei .U; h/ eine Karte von M um p. a. Die Abbildung hp ist bijektiv, und ihre Inverse ist gegeben durch 'p W Rn ! Tp M ; v 7! Œv;h ;
(1.9)
wobei v;h .t/ D h1 .v;h.p/ .t// mit v;h.p/ wie in (1.7) ist. Die Abbildung 'p hängt also nur von der Parametrisierung ' D h1 ab. b. Auf Tp M ist eine Vektorraum-Struktur durch Œ˛ C Œˇ WD 'p hp .Œ˛/ C hp .Œˇ/ definiert, für die hp und 'p Isomorphismen sind. Diese Struktur hängt nicht von der betrachteten Karte ab. Beweis. a. Man rechnet anhand der Definitionen sofort nach, dass hp .'p .v// D v für alle v 2 Rn und 'p .hp .vp // D vp für alle vp 2 Tp M . b. Nur die Unabhängigkeit von der betrachteten Karte ˇ ist nicht völlig trivial. Ist .V; k/ eine weitere Karte um p und w D k ı h1 ˇh.U \V / ; so ist d ˇˇ d ˇˇ .k ı ˛/ D .k ı h1 / ı .h ı ˛/ D Jw .h.p//hp .Œ˛/ : t D0 dt dt t D0 (1.10) Die Wohldefiniertheit der Vektorraumstruktur folgt nun sofort aus der Linearität von Jw .h.p//; denn ist p durch (1.9) definiert, jedoch mit k 1 statt h1 ; so folgt aus (1.10) kp .Œ˛/ D
p .v/
D 'p ..Jw .h.p///1 .v// D 'p .Jw 1 .k.p//.v//
t u
Ist M RN eine Untermannigfaltigkeit, ' W U 0 ! M RN eine lokale Parametrisierung mit '.p 0 / D p; so ergibt (1.6) kombiniert mit 'p das Differential Rn ! Tpunt M ; v 7! Pv;h .0/ D J' .p 0 /v : In analoger Weise erzeugt auch bei allgemeinen Mannigfaltigkeiten eine lokale Parametrisierung eine spezielle Basis für den Tangentialraum:
24
1 Mannigfaltigkeiten
U
p
k
h
h(p)
w
k(p)
Abb. 1.6 Wirkung eines Kartenwechsels auf den Tangentialraum
Definition 1.27. Ist .U; h/ eine Karte von M um p und ' D h1 ; so heißt .h/ .p/; : : :; @ .p/ mit @.h/ Dp.h/ D @.h/ n 1 j .p/ WD 'p .e j / und p 2 U die (durch .U; h/ gegebene) Koordinatenbasis von Tp M . Ist klar von welcher Karte die Rede ist, so schreibt man auch @j .p/ statt @.h/ j .p/. Man benutzt auch die Notation @i;p WD @i .p/. .h/
Da 'p ein Isomorphismus ist, bilden die Vektoren @j .p/ tatsächlich eine Basis von Tp M . Dass die Symbole für die Koordinatenbasis denen für die partiellen Ableitungen so ähnlich sehen, ist kein Zufall. Tangentialvektoren erlauben nämlich die Definition von entsprechenden Richtungsableitungen: Satz 1.28. Ist vp 2 Tp M; p 2 U M offen, f; g 2 C 1 .U / und ˛ eine vp repräsentierende Kurve, so ist vp f WD
d ˇˇ f ı˛ dt t D0
(1.11)
wohldefiniert (also unabhängig vom Repräsentanten ˛), und es gilt: (i) (ii)
.vp C wp /f D vp f C wp f sowie vp .f C g/ D vp f C vp g für vp ; wp 2 Tp M; ; 2 R (Linearität), vp .f g/ D .vp f /g.p/ C f .p/.vp g/ (Derivations-Eigenschaft).
Der Wert vp f heißt Richtungsableitung von f in Richtung vp .
C Tangentialraum und Differential
25
∂2
U ∂1
Abb. 1.7 Koordinatenbasis
Beweis (der Wohldefiniertheit). Ist Œ˛ D Œˇ; so ist .h ı ˇ/0 .0/ D .h ı ˛/0 .0/ für jede Karte um p D ˛.0/ D ˇ.0/; also d ˇˇ d ˇˇ .f ı ˛/ D .f ı h1 ı h ı ˛/ t D0 dt dt t D0 D Jf ıh1 .h.p//..h ı ˛/0 .0// D Jf ıh1 .h.p//.h ı ˇ/0 .0/ d ˇˇ D .f ı ˇ/ : dt t D0 t u Der Zusammenhang mit partiellen Ableitungen wird nun ganz deutlich, wenn .h/ man speziell vp D @i;p betrachtet. Ist nämlich .U; h/ Karte um p 2 M; so ist d ˇˇ f .h1 .h.p/ C te i // D dt t D0 @ D .f ı h1 /.h.p// : @xi
@.h/ i;p f D
.id/
Ist insbesondere M Rn offen, so ist @i;p f D
@f @xi
.p/.
Als Nächstes werden wir das Differential einer differenzierbaren Abbildung f W M ! N definieren. An jeder Stelle x 2 M wird dies eine lineare Approximation von f sein, also dfx 2 Hom .Tx M; Tf .x/ N /.
26
1 Mannigfaltigkeiten
Definitionen 1.29. a. Ist f W M ! N eine bei p 2 M differenzierbare Abbildung zwischen zwei differenzierbaren Mannigfaltigkeiten, so ist das Differential von f an der Stelle p durch die lineare Abbildung dfp W Tp M ! Tf .p/ N ; Œ˛ 7! Œf ı ˛ gegeben. b. Das Differential von f ist durch df W M ! Hom .TM; f T N / ; x 7! dfx S mit Hom .TM; f T N / WD Hom .Tx M; Tf .x/ N / definiert. x2M
Die Linearität des Differentials, die wir hier behauptet haben, wird erst in Korollar 1.31 gezeigt werden. Zuerst einmal wollen wir sehen, was diese Definition in den Spezialfällen bedeutet, wo N Rk eine Untermannigfaltigkeit oder M Rk eine offene Teilmenge ist. Ist N Rk ; so unterscheidet man nicht zwischen dfp W Tp M ! Tf .p/ N und der Zusammensetzung k 0 Tp M ! Tf .p/ N ! Tfunt .p/ N R ; Œ˛ 7! .f ı ˛/ .0/ ;
also gilt im Fall N D R
dfp .vp / D vp f :
(1.12)
Ist M R offen, so wird nicht zwischen dfp W Tp M ! Tf .p/ N und der Zusammensetzung k
Rk Š Tp M ! Tf .p/ N ; v 7! Œf .p C tv/ unterschieden. Damit erhalten die Abbildungen aus 1.25 und 1.26 eine neue Bedeutung: Für eine Karte h und die entsprechende Parametrisierung ' WD h1 ist 'p D d'p 2 Hom .Rn ; Tp M / ;
(1.13)
hp D dhp 2 Hom .Tp M; Rn / :
(1.14)
Nun überlegen wir uns, wie das Differential aussieht, wenn man die Abbildung f lokal durch Karten beschreibt: Satz 1.30. Sei f W M ! N eine differenzierbare Abbildung zwischen differenzierbaren Mannigfaltigkeiten. Sei p 2 M; .U; h/ eine Karte von M um p und .V; k/ eine Karte von N um f .p/ mit f .U / V . Sei D k 1 . Dann ist dfp .v/ D d k.f .p// JfQ .h.p// . dhp .v// für alle v 2 Tp M . Dabei bezeichnet wie üblich fQ die Beschreibung von f durch Karten: fQ WD k ı f ı h1 W U 0 ! V 0 .
C Tangentialraum und Differential
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Beweis. Sei v 2 Tp M; ˛ W "; "Œ! U eine v repräsentierende Kurve. Dann gilt nach der Kettenregel: d ˇˇ .k ı f ı ˛.t// dt t D0 d ˇˇ .fQ ı h ı ˛.t// D JfQ .h.p//.h ı ˛/0 .0/ D dt t D0 D JfQ .h.p// dhp .v/ :
dkf .p/ . dfp .v// D
t u Damit können nun leicht die wichtigsten Eigenschaften des Differentials einer Abbildung zwischen Mannigfaltigkeiten aus den Eigenschaften des Differentials einer Abbildung zwischen offenen Teilmengen des Rk hergeleitet werden. Korollar 1.31. a. Das Differential dfp ist linear für jedes p 2 M . b. Das Differential der Identität ist die Identität d.idM /p D idTp M . c. Es gilt die Kettenregel: Ist f W M ! N differenzierbar bei p und g W N ! L differenzierbar bei f .p/; so ist g ı f W M ! L differenzierbar bei p und es gilt: d.g ı f /p D dgf .p/ ı dfp : Für Untermannigfaltigkeiten, die als Urbilder eines regulären Wertes gegeben sind, ist der Tangentialraum mit Hilfe des Differentials leicht zu berechnen: Satz 1.32. Ist f W M ! N differenzierbar, p 2 N regulärer Wert und M0 D f 1 .p/; so ist für q 2 M0 Tq M0 D Kern dfq : Beweis. Aus Dimensionsgründen genügt es, Tq M0 Kern dfq zu zeigen. Ist aber v D Œ˛ 2 Tq M0 ; so ist dfq .v/ D Œf ı ˛ D 0 wegen .f ı ˛/.t/ p. t u Beispiele: a. Zur Berechnung des Tangentialraums der Sphäre benutzt man Tp Sn D Kern dFp ; wobei F W RnC1 ! R; x 7! jxj2 also dFp .v/ D 2hp j vi ist. Damit ist Tp Sn D fv 2 RnC1 j hp j vi D 0g. b. Für den Tangentialraum der orthogonalen Gruppe gilt Tid O.n/ D so.n/ WD fX 2 Rnn j X T D X g. Wir benutzen zum Beweis die Abbildung (1.4). Dann ist Tid O.n/ D Kern dFid mit F .A/ WD AT A; also dFA .X / D AT X C X T A. Damit ist dFid .X / D X C X T und folglich Kern dFid D so.n/.
28
1 Mannigfaltigkeiten
Aufgaben zu Kap. 1 1.1. a. Sei K der Doppelkegel K WD f.x; y; z/ 2 R3 j z 2 D x 2 C y 2 g R3 : Zeigen Sie, dass K nicht lokal euklidisch ist. (Hinweis: Man betrachte den Rand einer offenen Umgebung des Punktes .0; 0; 0/ in K.) b. Wir betrachten auf X WD R2 n f0g die Relation: .x; y/ .x; y 0 / falls x 6D 0; .0; y/ .0; y 0 / falls sign y D sign y 0 . (i)
Man zeige ist eine Äquivalenzrelation. Vermöge zerfällt X also in disjunkte Äquivalenzklassen [ XD K.v/; wobei K.v/ WD fv 0 j v 0 2 X; v 0 vg ; v2X
und wir haben eine Abbildung W X ! X= ; v 7! K.v/. Wir definieren U X ist offen ” 1 .U / ist offen in R2 . (ii)
und bezeichnen das zugehörige Mengensystem mit . Man zeige: .X; / ist ein topologischer Raum, der lokal euklidisch aber nicht H AUSDORFFsch ist. (Hinweis: Man mache sich klar, dass man sich X= vorstellen kann wie .Rnf0g/[f0C ; 0 g; wobei jede Umgebung von 0˙ eine Menge der Form ı; 0Œ[f0˙ g[0; ı Œ enthält.)
c. Ist die Oberfläche des Einheitswürfels lokal euklidisch? Ist sie eine Untermannigfaltigkeit des R3 ? 1.2. Seien X und Y topologische Räume. a. Verifizieren Sie, dass durch die in 1.5d gegebene Definition eine Topologie auf X Y definiert wird (die sogenannte Produkttopologie). b. Zeigen Sie: Sind X und Y H AUSDORFF-Räume, so ist auch X Y mit der Produkttopologie aus a. ein H AUSDORFF-Raum. c. Zeigen Sie: Genau dann ist ein topologischer Raum X ein H AUSDORFF-Raum, wenn die Diagonale 4X WD f.x; x/ W x 2 X g X X abgeschlossen in X X (bezüglich der Produkttopologie) ist. 1.3. a. Es sei PC D .0; : : :; 0; 1/T der „Nordpol“ und P D .0; : : :; 0; 1/T der „Südpol“ der n-Sphäre n S W D x D .x1 ; : : :; xnC1 / 2 RnC1 W jxj q 2 2 D x1 C C xnC1 D 1 RnC1 :
Aufgaben
29
Wir definieren eine Abbildung 'C W Sn n fPC g ! Rn wie folgt: für jeden Punkt P 2 Sn n fPC g sei 'C .P / derjenige Punkt in Rn ; so dass .'C .P /; 0/ 2 Rn f0g der Schnittpunkt der Geraden durch PC und P mit der Äquatorialebene f.x; 0/T j x 2 Rn g RnC1 ist. [Am besten veranschaulichen Sie sich die Definition zunächst anhand der S2 .] Ersetzt man in dieser Definition den Nordpol durch den Südpol P ; so erhält man analog eine Abbildung ' W Sn n fP g ! Rn . Die Abbildungen 'C und ' heißen stereographische Projektionen. Geben Sie explizite Formeln für sie an und zeigen Sie, dass durch die stereographischen Projektionen ein differenzierbarer Atlas gegeben ist. b. Gibt es einen Atlas für Sn ; der aus genau einer Karte besteht? c. (Kugelkoordinaten) Wir betrachten die Sphäre S2 . Sei U WD 0; 2Œ 0; Œ und 0 1 cos ' sin # W U ! S2 ; .'; #/ WD @ sin ' sin # A cos # Zeigen Sie, dass W U ! .U / ein Homöomorphismus ist. Folglich ist eine lokale Parametrisierung der S2 und . .U /; 1 / eine Karte. Was ist das Koordinatengebiet? Wie kann man diese Karte zu einem differenzierbaren Atlas der Sphäre ergänzen, der genau zwei Karten enthält? d. Bestimmen Sie den Tangentialraum am Punkt p D 12 ; 12 ; p1 für die Sphäre 2
S2 . 1.4. Seien R; r 2 R; 0 < r < R. Unter einem Rotationstorus Tr;R verstehen wir die 2-dimensionale Fläche im R3 ; die durch Rotation des Kreises f.x; y; z/ 2 R3 j .x R/2 C z 2 D r 2 ; y D 0g um die z-Achse entsteht. a. Beweisen Sie mit Hilfe des Satzes vom regulären Wert, dass Tr;R eine 2dimensionale Fläche ist. b. Geben Sie einen Atlas für Tr;R an, indem Sie zeigen, dass durch
W0; 2Œ0; 2Œ! Tr;R ; 1 0 .R C r cos #/ cos '
.'; #/ WD @ .R C r cos #/ sin ' A r sin # eine lokale Parametrisierung gegeben ist und die dadurch gegebene Kartenabbildung geeignet zu einem Atlas ergänzen. c. Zeigen Sie, dass S1 S1 diffeomorph zu Tr;R ist. d. Bestimmen Sie den Tangentialraum von Tr;R im Punkt p p ! p p 3R 6r R 2r 2r C ; C ; : 2 4 2 4 2
30
1 Mannigfaltigkeiten
1.5. Die beiden Endpunkte x und y eines Stabes der Länge l sollen sich auf der Einheitssphäre S2 in R3 befinden. Man zeige, dass die Menge Ml der möglichen Endpunkte .x; y/ des Stabes eine Untermannigfaltigkeit von R6 bildet. Was ist die Dimension von Ml ? Hinweis: Es ist hilfreich, die Fälle l 2 0; 2Œ und l D 2 zu unterscheiden. 1.6. Sei 2 R n Q; W R ! R4 ; t 7! .cos.t/; sin.t/; cos. t/; sin. t//. B WD f.t/ j t 2 Rg S1 S1 . Man zeige, dass stetig differenzierbar und injektiv ist und P .t/ 6D 0 für alle t 2 R. Ist B eine Untermannigfaltigkeit von R4 ? 1.7. Zeigen Sie: RP1 ist diffeomorph zu S1 . (Hinweis: Man betrachte die Abbildung f W RP1 ! S1, Œ.cos ; sin / 7! .cos 2; sin 2/.) 1.8. Es sei SL.n/ D fA 2 Rnn j det.A/ D 1g die Gruppe der reellen n n-Matrizen mit Determinante 1. Man zeige: a. SL.n/ ist eine .n2 1/-dimensionale Untermannigfaltigkeit von Rnn . b. Ist A 2 sl.n/ WD fA 2 Rnn j Spur .A/ D 0g eine Matrix mit Spur 0; so definiert .t/ WD etA ; t 2 R eine Kurve in SL.n/ mit .0/ D E und P .0/ D A. c. TE SL.n/ D sl.n/. 1.9. Seien M1 ; M2 differenzierbare Mannigfaltigkeiten und M WD M1 M2 die Produktmannigfaltigkeit, wie sie in Beispiel 1.17e. beschrieben wurde. Seien k W M ! Mk ; k D 1; 2 die kanonischen Projektionen. Zeigen Sie: a. Für p1 2 M1 ; p2 2 M2 ist die Abbildung T.p1 ;p2 / M ! Tp1 M1 Tp2 M2 ; v 7! . d1 /.p1 ;p2 / .v/; . d2 /.p1 ;p2 / .v/ stets ein Isomorphismus. In diesem Sinne kann also T.p1 ;p2 / M mit Tp1 M1 Tp2 M2 oder mit Tp1 M1 ˚ Tp2 M2 identifiziert werden. b. Sei N eine weitere Mannigfaltigkeit und f W M1 M2 ! N differenzierbar. Dann gilt mit der Identifizierung aus a. für v1 2 Tp1 M1 ; v2 2 Tp2 M2 df.p1 ;p2 / .v1 ; v2 / D d.1/ f.p1 ;p2 / .v1 / C d.2/ f.p1 ;p2 / .v2 / mit den „partiellen Differentialen“ d.1/ f.p1 ;p2 / WD df .; p2 /p1 W Tp1 M1 ! Tq N und d.2/ f.p1 ;p2 / WD df .p1 ; /p2 W Tp2 M2 ! Tq N (q WD f .p1 ; p2 /). 1.10. Unter einer L IEgruppe G versteht man eine differenzierbare Mannigfaltigkeit mit kompatibler Gruppenstruktur, d. h. G ist gleichzeitig eine Gruppe, und die Inversen-Abbildung i W G ! G; g 7! g 1 und die Multiplikationsabbildung m W G G ! G; .g1 ; g2 / 7! g1 g2
Aufgaben
31
sind differenzierbar. Zeigen Sie, dass die Differentiale von i und m an der Einheit 1 2 G durch . di /1 W T1 G ! T1 G; x 7! x und . dm/.1;1/ W T1 G ˚ T1 G ! T1 G; .x; y/ 7! x C y gegeben sind.
Kapitel 2
Multilineare Algebra
Um die angestrebte begriffliche Klarheit zu fördern, haben wir die algebraischen – also die rein rechnerischen – Aspekte der Differentialgeometrie von den geometrischen abgekoppelt und in diesem Kapitel versammelt. Dieses Kapitel ist damit eine Fortführung der linearen Algebra. Insbesondere wird der Begriff des Tensors eingeführt, der eine Verallgemeinerung sowohl des Begriffs des Vektors als auch der linearen Abbildung ist. Im letzten Abschnitt widmen wir zwei speziellen Typen, nämlich den symmetrischen und den alternierenden Tensoren, besondere Aufmerksamkeit. Die alternierenden Tensoren eröffnen insbesondere die Möglichkeit, die geometrischen Begriffe von Orientierung und orientiertem Volumen präzis zu definieren, was wir am Schluss kurz erläutern werden. Hier sollte vor einem Missverständnis gewarnt werden: Unter Physikern (teilweise auch unter Mathematikern) ist es üblich, die Begriffe „Tensor“ und „Tensorfeld“ synonym zu verwenden. Die in diesem Kapitel betrachteten Tensoren sind jedoch definitiv keine Tensorfelder. Vielmehr ist ein Tensorfeld eine Abbildung, die jedem Punkt einer Mannigfaltigkeit einen Tensor im Sinne dieses Kapitels zuordnet, und diese Felder werden uns ab dem nächsten Kapitel noch sehr beschäftigen. Die Bezeichnungen werden in diesem Kapitel leider etwas aufwendig, weil man für die Komponenten der betrachteten Tensoren beliebig viele obere und untere Indizes zulassen muss. Es mag ein Trost sein, dass in der Praxis nur selten mehr als vier Indizes gebraucht werden. Trotzdem müssen wir die grundlegenden Definitionen für den Fall beliebig vieler Indizes formulieren, da nur so ihre begriffliche Klarheit gewährleistet werden kann. In diesem Punkt müssen wir also auf Ihre Geduld vertrauen.
A Dualität bei endlich dimensionalen Vektorräumen Als Vorbereitung skizzieren wir in diesem Abschnitt die Dualitätstheorie für endlichdimensionale Vektorräume. Sie ist eigentlich nur eine Neuformulierung von ge-
K.-H. Goldhorn, H.-P. Heinz, M. Kraus, Moderne mathematische Methoden der Physik DOI 10.1007/978-3-540-88544-3, © Springer 2009
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34
2 Multilineare Algebra
wissen einfachen Resultaten über lineare Abbildungen in einem Spezialfall, und möglicherweise ist sie Ihnen wohlbekannt (vgl. etwa [36], Kap. 7 und 21). Stets sei V ein n-dimensionaler K-Vektorraum. Definitionen 2.1. Eine lineare Abbildung V ! K heißt ein lineares Funktional oder eine Linearform. Der Raum aller Linearformen auf V wird mit V bezeichnet und heißt der Dualraum zu V . Die Elemente von V werden auch als Kovektoren bezeichnet. Satz 2.2. a. Der Raum V der Linearformen auf V bildet zusammen mit der üblichen Addition von Abbildungen und Multiplikation mit Skalaren einen n-dimensionalen Vektorraum. b. Ist A D .a1 ; : : :; an / eine Basis von V; so ist A WD .˛ 1 ; : : :; ˛ n /; wobei ˛ i 2 V durch ˛ i .aj / D ıji ; 1 i; j n (2.1) gegeben ist, eine Basis von V . Diese Basis heißt die zu A duale Basis. Beweis. Wie aus der Linearen Algebra bekannt, ist dim HomK .V; W / D dim V dim W; insbesondere dim V D n. Es bleibt also nur die lineare Unabhängigkeit von f˛ 1 ; : : :; ˛ n g zu prüfen. Dies geschieht durch Einsetzen der Basis A in die Gleichung t u 1 ˛ 1 C C n ˛ n D 0. Ist in V eine Basis A gegeben, so kann man bekanntlich V mit K1n identifizieren, indem man jeder Linearform ' 2 V die Matrix 'A 2 K1n zuordnet (vgl. z. B. [36], Kap. 7). Insbesondere ist dann A D .˛ 1 ; : : :; ˛ n / durch 1 ˛A D .1; 0; : : :; 0/ ; :: : n D .0; : : :; 1/ ˛A
gegeben. Ist A D .a1 ; : : :; an / eine fest vorgegebene Basis von V; A D .˛ 1 ; : : :; ˛ n / die duale Basis, so kann man den Index A auch weglassen, schreibt also für v 2 V; ' 2V v D .v 1 ; : : :; v n / ' D .'1 ; : : :; 'n /
für v D für ' D
n X i D1 n X
v i ai ; 'i ˛ i :
i D1
Die Zahlen v i 2 K und 'i 2 K heißen die Komponenten von v und ' bezüglich A und A .
A Dualität bei endlich dimensionalen Vektorräumen
35
Es ist dann '.v/ D
n X
'i ˛ i .v/
i D1
D
n X
0 'i ˛ i @
i D1
D
n X
1 v j aj A
j D1
n X
'i v j ˛ i .aj / D
i;j D1
D
n X
n X
'i v j ıji
i;j D1
'i v i ;
i D1
insbesondere also auch '.ai / D 'i . Satz i 2.3. Sind A D .a1 ; : : :; an / und B D .b1 ; : : :; bn / Basen von V und C D ck k;i D1;:::;n die Transformationsmatrix, also bk D
n X
cki ai ;
i D1
so ist die Transformationsmatrix zwischen den dualen Basen A D .˛ 1 ; : : :; ˛ n / und B D .ˇ 1 ; : : :; ˇ n / durch die transponierte inverse Matrix, also durch ˛i D
n X
cki ˇ k
kD1
gegeben. Der Beweis ist eine leichte Übungsaufgabe. Ist .V; h j i/ ein endlich dimensionaler Prähilbertraum, also h j i ein Skalarprodukt auf V; so sind V und V nicht nur isomorph, sondern können sogar miteinander identifiziert werden, d. h. es existiert ein kanonischer Isomorphismus zwischen V und V : Satz 2.4. Ist .V; h j i/ ein Prähilbertraum, so ist durch V ! V ; v 7! v b mit v b W w 7! hv j wi ein Isomorphismus gegeben. Die Umkehrung bezeichnen wir mit V ! V ; ' 7! ' # : Beweis. Die angegebene Abbildung ist offenbar linear nach Definition eines Skalarprodukts. Sie ist injektiv, denn aus hv j wi D 0 für alle w 2 V; also insbesondere
36
2 Multilineare Algebra
für w D v; folgt auch v D 0. Damit folgt die Isomorphie aus Dimensionsgründen. t u Ist A D .a1 ; : : :; an / ; v D
n X
v i ai und hai j aj i D gij ;
i D1
*
so ist b
b
.v /i D v .ai / D hv j ai i D
n X
+ j
v aj j ai D
j D1
n X
v j gj i :
j D1
Die Matrix .gij / beschreibt also den Isomorphismus aus Satz 2.4 in Bezug auf die Basen A und A . Ist A D .a1 ; : : :; an/ speziell eine Orthonormalbasis von .V; h j i/; so ist offenbar A D a1b ; : : :; anb . Ist also auf V ein Skalarprodukt gegeben, so induziert dies einen Isomorphismus V ! V ; der unabhängig von der Wahl einer Basis ist. Im allgemeinen Fall eines K-Vektorraums ist ein Isomorphismus V ! V aber erst durch die Wahl einer Basis festgelegt. Da die Wahl einer Basis willkürlich ist – zum Beispiel im physikalischen Raum –, muss oft sorgfältig zwischen V und V unterschieden werden. Andererseits kann ein Vektor v 2 V durch das Einsetzen iv W V ! R; ' 7! '.v/ als Linearform auf V aufgefasst werden. Dies werden wir im weiteren Verlauf ausnutzen, um Dinge, die man mit Kovektoren (D Linearformen) leicht tun kann, auch mit Vektoren zu tun. Definition 2.5. .V / D V heißt der Bidualraum von V . Satz 2.6. Durch
j W V ! V ;
v 7! iv
(2.2)
ist ein kanonischer Isomorphismus gegeben. Ist A D .a1 ; : : :; an / eine Basis von V; so ist A D .ia1 ; : : :; ian / die duale Basis der dualen Basis. Wieder ist der Beweis eine leichte Übung. Bisher wurden Vektorräumen Dualräume zugeordnet. Auch Abbildungen A 2 HomK .V; W / zwischen Vektorräumen werden nun duale Abbildungen, jedoch in umgekehrter Richtung, zugeordnet. Definition 2.7. Sind V und W K-Vektorräume, A 2 HomK .V; W /; so ist die duale Abbildung A 2 HomK .W ; V / durch A .'/ WD ' ı A definiert. Man rechnet leicht nach, dass .idV / D idV gilt und .A ı B/ D B ı A für A 2 HomK .V; W / und B 2 HomK .U; V /. Ist schließlich C D .cji / die Matrix, die die lineare Abbildung A in Bezug auf die Basen A D fa1 ; : : :; an g von V; B D fb1 ; : : :; bm g von W beschreibt, so wird die duale Abbildung bzgl. der dualen Basen durch die transponierte Matrix C T D .cj i / beschrieben. Auch dies bestätigt man durch eine leichte Rechnung.
B Multilineare Abbildungen und Tensoren
37
B Multilineare Abbildungen und Tensoren j :::j
In der Physik werden Tensoren meist als Zahlensysteme ci11:::ipq mit unteren und oberen Indizes angesehen, die sich jedoch auf ein gegebenes Koordinatensystem beziehen und daher bei Koordinatenwechsel auf eine ganz bestimmte Art transformiert werden müssen. Diese Beschreibung lässt natürlich offen, was ein Tensor eigentlich ist, und außerdem verbaut sie von vornherein jede Möglichkeit, Rechnungen ohne den Rückgriff auf Koordinaten durchzuführen. Die multilineare Algebra, die wir jetzt erklären wollen, eröffnet die Möglichkeit, Ausdrücken der Form v1 ˝ v2 ˝ ˝ vq ˝ ' 1 ˝ ' 2 ˝ ˝ ' p
(2.3)
(und auch endlichem Summen von solchen Ausdrücken) einen konkreten mathematischen Sinn zu verleihen. Dabei sind v1 ; : : :; vq gegebene Vektoren aus einem Vektorraum V und ' 1 ; : : :; ' p 2 V entsprechende Kovektoren, und das Zeichen „˝“ (Tensorprodukt) soll sich wie eine Multiplikation verhalten, also insbesondere die üblichen Klammerregeln erfüllen. Die Festlegung eines Koordinatensystems entspricht der Wahl einer Basis fa1 ; : : :; an g von V und der dualen Basis ˛ 1 ; : : :; ˛ n in V . Entwickelt man nun die vj und die ' i nach diesen Basen, setzt die Entwicklungen in (2.3) ein und distribuiert alles aus, so ergibt sich eine Summe von Termen der Gestalt j :::j ci11:::ipq aj1 ˝ ˝ ajq ˝ ˛ i1 ˝ ˝ ˛ ip : j :::j
Auf diese Weise beschreibt das Zahlensystem der ci11:::ipq tatsächlich den Tensor (2.3), und es ist prinzipiell auch klar, wie man diese Koeffizienten beim Übergang zu einer anderen Basis von V – und damit auch zu einer neuen dualen Basis von V – umzurechnen hat, wenn das im Einzelnen auch kompliziert sein mag. Die Ausdehnung auf endliche Summen von Ausdrücken der Form (2.3) ist trivial. Wir werden mit dem Tensorprodukt von Kovektoren beginnen, da dieses am leichtesten mathematisch exakt eingeführt werden kann. Vektoren werden dann mittels (2.2) als Linearformen auf V aufgefasst, so dass man das vorher für Linearformen eingeführte Tensorprodukt auch für sie nutzbar machen kann. Am Schluss betrachten wir „gemischte Tensoren“, bei denen sowohl Vektoren als auch Kovektoren vorkommen. Im Folgenden seien V; V1 ; : : :; Vp R-Vektorräume der Dimensionen n; n1 ; : : :; np und W ein k-dimensionaler R-Vektorraum. Lineare Abbildungen und Linearformen werden nun verallgemeinert: Definitionen 2.8. a. Unter einer p-linearen oder multilinearen Abbildung auf V1 Vp mit Werten in W versteht man eine Abbildung ' W V1 Vp ! W; die in jeder Variablen bei Festhalten der übrigen linear ist, also '.v1 ; : : :; vj C vj0 ; : : :; vp / D '.v1 ; : : :; vj ; : : :; vp / C '.v1 ; : : :; vj0 ; : : :; vp /
38
2 Multilineare Algebra
für vk 2 Vk ; k D 1; : : :; p; vj0 2 Vj ; ; 2 R erfüllt. Ist W D K; so spricht man von einer Multilinearform. b. Den Raum der p-linearen Abbildungen auf V1 Vp mit Werten in W bezeichnet man mit Multp .V1 ; : : :; Vp I W /. Für V D V1 D D Vp schreibt man auch Multp .V I W / und für W D R auch Multp .V1 ; : : :; Vp / DW V1 ˝ ˝ Vp bzw. Multp .V / DW
p O
V:
V1 ˝ ˝ Vp heißt auch das Tensorprodukt von V1 ; : : :; Vp ; und Elemente aus V1 ˝ ˝ Vp heißen p-fach kovariante Tensoren. c. Statt von 2-linear spricht man auch von bilinear, statt von 3-linear von trilinear. Offenbar bildet Multp .V1 ; : : :; Vp I W / mit der üblichen Addition von Abbildungen und der skalaren Multiplikation einen Vektorraum. Ein Beispiel für eine nMultilinearform auf Rn ist die Determinante, für eine Bilinearform ein Skalarprodukt und für eine bilineare Abbildung auf R3 mit Werten in R3 das Vektorprodukt auf R3 . Sind in Vektorräumen V und W Basen gewählt, so werden lineare Abbildungen A 2 HomK R.V; W / bekanntlich durch Matrizen beschrieben. Ganz ähnlich kann man auch multilineare Abbildungen durch Systeme von Zahlen beschreiben: Definition 2.9. Ist ' 2 Multp .V1 ; : : :; Vp I W / .j / .j / A.j / D a1 ; : : :; anj ; j D 1; : : :; p Basen der Vj , B D .b1 ; : : :; bk / eine Basis von W ; so werden die Komponenten j 'i1 :::ip
von ' durch
;
1 ir nr ; 1 r p ; 1j k
k X .1/ .p/ j ' ai1 ; : : :; aip D 'i1 :::ip bj
(2.4)
j D1
definiert. Für W D R werden die Komponenten mit .'i1 :::ip /1i1 n1 ;:::;1ip np bezeichnet. Beispiele: (i)
Die Komponenten der Determinante im Rn sind durch ( 0 falls ir D is für ein r ¤ s .det/i1 :::in D sgn ./ sonst gegeben, wobei die Permutation ij abbildet.
1:::n i1 :::in
ist, d. h. die Permutation, die j auf
B Multilineare Abbildungen und Tensoren
(ii)
39
Die Komponenten des Kreuzprodukts auf R3 sind 8 ˆ < 1 ; falls .ij k/ eine zyklische Vertauschung von .1; 2; 3/ ist, k 'ij D 1 ; falls .ij k/ eine zyklische Vertauschung von .2; 1; 3/ ist, ˆ : 0 sonst.
Bemerkung: Das System der Komponenten des Kreuzprodukts wird in der Physik als der „Epsilon-Tensor“ bezeichnet und "kij geschrieben. Wir haben gerade einer gegebenen multilinearen Abbildung ein System von Komponenten zugeordnet. Umgekehrt ist bei gegebenen Basen von V1 ; : : :; Vp und W eine multilineare Abbildung durch n1 np k reelle Zahlen 'ij1 :::ip 2 R vermittels (2.4) definiert. Die Darstellung durch Komponenten gestattet es, die Dimension des Raums der multilinearen Abbildungen zu berechnen: Satz 2.10. Multp .V1 ; : : :; Vp ; W / ist ein reeller Vektorraum der Dimension n1 np k. Beweis. Sind A.j / und B Basen von Vj und W; so ist ein Isomorphismus Multp .V1 ; : : :; Vp I W / ! Rn1 np k durch die Abbildung auf die Komponenten gegeben. t u Wir definieren nun eine Art Multiplikation, durch die gegebenen Linearformen ein kovarianter Tensor zugeordnet wird. Ist nämlich ' j 2 Vj so ist durch .' 1 ˝ ˝ ' p /.v1 ; : : :; vp / WD ' 1 .v1 / ' p .vp / ; vj 2 Vj
(2.5)
eine multilineare Abbildung definiert, die man als das Tensorprodukt der ' j bezeichnet. Dabei gilt ˚ Multp .V1 ; : : :; Vp / D LH ' 1 ˝ ˝ ' p j ' j 2 Vj : Eine Basis von Multp .V1 ; : : :; Vp / ist durch ip i1 ; 1 ij nj ; j D 1; : : :; p ˝ ˝ ˛.p/ "i1 :::ip WD ˛.1/ nj 1 gegeben mit .A.j / / D ˛.j / ; : : :; ˛.j / Basis von Vj ; also ( ."
i1 :::ip
/j1 :::jp D
1 ; ir D jr ; r D 1; : : :; p 0 sonst.
Kovariante Tensoren stellen eine Verallgemeinerung der Linearformen dar. Vektoren werden jetzt durch kontravariante Tensoren verallgemeinert. Erinnert man sich daran, dass man mittels des Isomorphismus j aus Satz 2.6 die Elemente von V als Linearformen auf V auffassen kann, so liegt nahe, wie das Tensorprodukt von p Vektorräumen zu definieren ist:
40
2 Multilineare Algebra
Definitionen 2.11. a. Das Tensorprodukt von V1 ˝ ˝ Vp ist der Vektorraum der p-Linearformen auf V1 Vp . Elemente aus V1 ˝ ˝ Vp nennt man kontravariante Tensoren vom Rang p. ˝ ˝Vp ist der Vektorraum der b. Das Tensorprodukt von V1 ˝ ˝Vr ˝VrC1 p-Linearformen auf V1 Vr VrC1 Vp . Elemente aus V1 ˝ ˝ ˝ ˝ Vp nennt man r-fach kontra- und .p r/-fach kovariante Vr ˝ VrC1 Tensoren. c. Sind vr 2 Vr Vektoren, r D 1; : : :; p; so ist durch v1 ˝ ˝ vp W V1 Vp ! R .' .1/ ; : : :; ' .p/ / 7! ' .1/ .v1 / ' .p/ .vp / ein p-fach kontravarianter Tensor gegeben. Diesen bezeichnet man als das Tensorprodukt der Vektoren v1 ; : : :; vp . .r/ .r/ Insbesondere ist für Basen a1 ; : : :; anr D A.r/ von Vr ; r D 1; : : :; p durch .1/ .p/ ai1 ˝ ˝ aip 1i1 n1 ;:::;1ip np
eine Basis von V1 ˝ ˝ Vp gegeben, und durch irC1 ip .r/ ai.1/ ˝ ˝ a ˝ ˛ ˝ ˝ ˛ ir .rC1/ .p/ 1
1i1 n1 1ip np
ist eine Basis von V1 ˝ ˝ Vr ˝ VrC1 ˝ ˝ Vp gegeben, wobei A.r/ D 1 nr ˛.r/ ; : : :; ˛.r/ ist. Die Komponenten eines r-fach kontra- und .p r/-fach kovarianten Tensors ' sind durch .p/ i1 ir 1 :::ir D ' ˛.1/ ; : : :; ˛.r/ ; ai.rC1/ : : :a 'iirC1:::i ip rC1 p
gegeben. Natürlich sind auch Tensorprodukte wie V1 ˝V2 ˝V3 ˝ ˝Vp definiert, wobei die Komponenten eines Tensors aus diesem Raum dann als ' i1
i2
ir :::
ip
notiert werden. Offenbar kann dabei die Reihenfolge der Faktoren im Tensorprodukt nicht beliebig vertauscht werden, d. h. das Tensorprodukt ist nicht kommutativ. Es wurde bereits in (2.4) beschrieben wie die Anwendung einer Multilinearform auf Vektoren in Komponenten berechnet wird. Ähnlich kann man für r-fach ko- und p r-fach kontravariante Tensoren ' 2 V1 ˝ ˝ Vr ˝ VrC1 ˝ ˝ Vp vorgehen: Ist j D j1 ; : : :; jnj 2 Vj ; j D 1; : : :; r ; n vj D vj1 ; : : :; vj j 2 Vj ; j D r C 1; : : :; p ;
B Multilineare Abbildungen und Tensoren
41
so ist ' 1 ; : : :; r ; vrC1 ; : : :; vp D X ip 1 r irC1 1 :::ir 'iirC1 :::ip i1 : : :ir vrC1 : : :vp :
(2.6)
1i1 n1 ::: 1ip np
Die Stellung der Indizes oben und unten, wie sie hier benutzt wird, ist Teil des sogenannten R ICCI-Kalküls. Aus der Stellung der Indizes ersieht man das Transformationsverhalten bei Basiswechsel. Beschreibt eine Verknüpfung von Tensoren einen Skalar, wie z. B. in (2.6), so treten in der Beschreibung im R ICCI-Kalkül die Indizes jeweils paarweise oben und unten auf. In der physikalischen Literatur wird oft die E INSTEINsche Summenkonvention benutzt: Über gegenüberstehende gleiche Indizes wird immer summiert, das Summenzeichen wird weggelassen. Wir verwenden diese Konvention hier jedoch nicht. Das Verhalten der Komponenten bei Basiswechsel wird in Aufgabe 2.4 behandelt. Ist v 2 V; ' 2 Multp .V /; so wird als Verallgemeinerung von (2.2) das innere Produkt iv ' 2 Multp1 .V / von v und ' durch .iv '/.v1 ; : : :; vp1 / WD '.v; v1 ; : : :; vp1 /
für vj 2 V; j D 1; : : :; p 1 (2.7)
definiert. Ist bezüglich einer Basis A von V v D .v 1 ; : : :; v n / ; ' D .'i1 :::ip /ij D1:::n ; so ist .iv '/i1 :::ip1 D
n X
v j 'j i1 :::ip1 :
j D1
Lineare Abbildungen Aj 2 Hom .Vj ; Wj / und ihre dualen Aj 2 Hom .Wj ; Vj / setzen sich in natürlicher Weise fort zu linearen Abbildungen A1 ˝ ˝ Ar ˝ ArC1 ˝ ˝ Ap W V1 ˝ ˝ Vr ˝ WrC1 ˝ ˝ Wp ! ˝ ˝ Vp : W1 ˝ ˝ Wr ˝ VrC1
Diese Abbildung ist durch die Forderung .A1 ˝ ˝ Ar ˝ ArC1 ˝ ˝ Ap /.v1 ˝ ˝ vr ˝ ' rC1 ˝ ˝ ' p / D Av1 ˝ ˝ Avr ˝ A ' rC1 ˝ ˝ A ' p
(2.8)
eindeutig festgelegt, da jeder Tensor als Summe von Termen der Form v1 ˝ ˝ vr ˝ ' rC1 ˝ ˝ ' p geschrieben werden kann. Allerdings ist diese Darstellung nicht eindeutig, so dass man nachrechnen muss, dass (2.8) bei verschiedenen Darstellungen desselben Tensors immer den gleichen Wert liefert. Das ist aber nicht schwer und wird hier übergangen.
42
2 Multilineare Algebra
Ist r D 0 und Vj D V; Wj D W; Aj D A für j D 1; : : :; p; so schreibt man für diese Abbildung auch p O A Multp A Ap : Im nächsten Satz stellen wir die wichtigsten Rechenregeln für ko- und kontravariante Tensoren zusammen. Satz 2.12. a. b. c. d. e.
.V1 ˝ V2 / ˝ V3 D V1 ˝ .V2 ˝ V3 / ; .V1 ˚ V2 / ˝ V3 D .V1 ˝ V3 / ˚ .V2 ˝ V3 / ; V˝W ; HomR .V; W / D N p Mult .V; W / D p V ˝ W ; .V1 ˝ V2 / D V1 ˝ V2 :
Die Beweise sind jeweils leichte Übungsaufgaben. Wir geben hier nur die Identifizierung aus c. exemplarisch an: Ein A 2 HomR .V; W / fasst man als bilineare Abbildung ˛A auf, indem man ˛A .v; '/ WD '.A.v// setzt. Umgekehrt ist ˛ 2 Mult2 .V; W / als Homomorphismus A˛ 2 Hom .V; W / aufzufassen, indem man setzt: A˛ .v/ WD ˛.v; / 2 W W : Dem Tensor ˛ D ' ˝ w 2 V ˝ W entspricht dabei die lineare Abbildung A˛ v D '.v/w ;
v2V :
Bemerkung: Der Identifikation aus c. verdanken die Tensoren ihren Namen, der sich von dem lateinischen Wort für „spannen“ ableitet. Im 19. Jahrhundert bezeichnete man so nämlich u. a. die lineare Abbildung, die einem Verzerrungsvektor (in erster Näherung) den Kraftvektor zuordnet, den ein elastisches Material als Antwort auf die Verzerrung erzeugt. Erst E INSTEIN erkannte, dass diese Tensorrechnung aus der Elastizitätslehre zu dem R ICCI-Kalkül äquivalent ist, der kurz zuvor von italienischen Differentialgeometern eingeführt worden war.
C Alternierende und symmetrische Abbildungen und Tensoren Als besonders wichtig erweisen sich zwei spezielle Typen von multilinearen Abbildungen bzw. Tensoren, die sich dadurch auszeichnen, dass sie auf das Vertauschen von Argumenten entweder gar nicht oder durch Vorzeichenwechsel reagieren: Definitionen 2.13. a. Eine multilineare Abbildung ' 2 Multp .V I W / heißt symmetrisch, falls für 1 i; j p stets '.v1 ; : : :; vi ; : : :; vj ; : : :; vp / D '.v1 ; : : :; vj ; : : :; vi ; : : :; vp /
C Alternierende und symmetrische Abbildungen und Tensoren
43
gilt. Den Raum der symmetrischen p-linearen Abbildungen mit Werten in W bezeichnet man mit Symp .V I W /. Ferner schreibt man Symp .V I R/ DW Symp .V / DW S p V : b. Eine multilineare Abbildung ' 2 Multp .V I W / heißt antisymmetrisch oder alternierend, falls für 1 i < j p stets '.v1 ; : : :; vi ; : : :; vj ; : : :; vp / D '.v1 ; : : :; vj ; : : :; vi ; : : :; vp / gilt. Den Raum der p-linearen alternierenden Abbildungen mit Werten in W bezeichnet man mit Altp .V I W /. Ferner schreibt man p
p
Alt .V I R/ DW Alt .V / DW
p ^
V:
c. Den Vektorraum der p-linearen alternierenden Abbildungen auf V bezeichnet man mit p ^ V Altp .V / D und nennt ihn auch die p-te äußere Potenz von V . d. den Vektorraum der symmetrischen Abbildungen auf V bezeichnet man mit Symp .V / D S p V : Offenbar sind Symp .V / Multp .V / und Altp .V / Multp .V / Untervektorräume. Die Determinante im Rn ist ein Element in Altn .Rn /; Skalarprodukte auf einem reellen Vektorraum V sind Elemente in Sym2 .V / und das Vektorprodukt ist ein Element aus Alt2 .R3 I R3 /. In den nächsten Kapiteln werden für uns vor allem alternierende Multilinearformen wichtig werden. Der nun folgende Satz zeigt verschiedene äquivalente Möglichkeiten sie zu charakterisieren. Hier – und auch im weiteren Verlauf – bezeichnen wir mit S.p/ die Menge aller Permutationen der Zahlen .1; 2; : : :; p/. Satz 2.14. Für ' 2 Multp .V / sind äquivalent: (i) (ii) (iii) (iv)
' 2 Altp .V /; d. h. '.v1 ; : : :; vj ; : : :; vi ; : : :; vp / D '.v1 ; : : :; vi ; : : :; vj ; : : :; vp /; 1 i < j p. '.v1 ; : : :; vp / D sgn ./'.v.1/ ; : : :; v.p/ / für v1 ; : : :; vp 2 V und jede Permutation 2 S.p/. '.v1 ; : : :; vi ; : : :; vj ; : : :; vp / D 0; falls vi D vj für ein i 6D j . '.v1 ; : : :; vp / D 0; falls fv1 ; : : :; vp g linear abhängig sind.
Beweis. Wir führen hier nur den Beweis für die Folgerung .i i i / H) .i /; die übrigen folgen dem Muster von Rechnungen, die aus der Determinantentheorie wohl-
44
2 Multilineare Algebra
bekannt sind, und sie seien dem Leser als Übungsaufgabe überlassen: '.v1 ; : : :; vi ; : : :; vj ; : : :; vp / C '.v1 ; : : :; vj ; : : :; vi ; : : :; vp / D D '.v1 ; : : :; vi ; : : :; vj ; : : :; vp / C '.v1 ; : : :; vi ; : : :; vi ; : : :; vp / C '.v1 ; : : :; vj ; : : :; vi ; : : :; vp / C '.v1 ; : : :; vj ; : : :; vj ; : : :; vp / D D '.v1 ; : : :; vi ; : : :; vi C vj ; : : :; vp / C '.v1 ; : : :; vj ; : : :; vi C vj ; : : :; vp / D .i i i /
D '.v1 ; : : :; vi C vj ; : : :; vi C vj ; : : :; vp / D 0 : t u Aus der Charakterisierung .iv/ des Satzes ist auch sofort ersichtlich, dass Altp .V / D 0
für p > dim V
gilt. Die Komponenten der alternierenden Multilinearformen sind natürlich alternierend, d. h. für Multiindizes i D .i1 ; : : :; ip / 2 f1; : : :; ngp gilt 'i1 :::ir :::is :::ip D 'i1 :::is :::ir :::ip ; falls ' alternierend ist, und Analoges gilt für die symmetrischen Multilinearformen. Damit kann nun auch die Dimension der beiden Räume bestimmt werden: Satz 2.15. Ist .a1 ; : : :; an / eine Basis von V und bezeichnet 'i1 :::ip WD '.ai1 ; : : :; aip / ; 1 ij n die Komponenten von ' 2 Multp .V / bezüglich dieser Basis, so sind durch n
˚A W Altp .V / ! R.p/ W ' 7! .'i1 :::ip /1i1 <
p
Isomorphismen gegeben. Insbesondere ist also n dim Altp .V / D p
! ;
! nCp1 dim Sym .V / D : p p
C Alternierende und symmetrische Abbildungen und Tensoren
45
Beweis. Wir führen den Beweis hier nur für ˚A ; für ˚S folgt er völlig analog. Offenbar sind die Abbildungen ˚A und ˚S linear. ˚A ist injektiv, denn aus der Antisymmetrie von ' folgt sofort ˚A .'/ D 0 ” '.ai1 ; : : :; aip / D 0 für alle .i1 ; : : :; ip / 2 f1; : : :; ngp : Dies ist aber aufgrund der Multilinearität von ' gleichbedeutend mit ' 0. Die Abbildung ˚A ist surjektiv, denn ist n
! 2 R .p / ;
! D .!i1 ;:::;ip /1i1 <
so definiere für .j1 ; : : :; jp / 2 f1; : : :; ngp ( 0 falls jr D js !j1 :::jp D sgn ./!j .1/ j .p/
für ein r 6D s ; für j.1/ < < j.p/ .
Dann ist ' 2 Altp .V / mit ˚A1 .!/ D ' durch n X
'.v1 ; : : :; vp / WD
j
j
v1 1 vpp !j1 :::jp
j1 ;:::;jp D1 j
wohldefiniert. (Hier ist vr r natürlich die jr -te Komponente des Vektors vr ; nicht etwa eine Potenz!) t u Eine lineare Abbildung A 2 Hom .V; W / induziert, wie im letzten Abschnitt gezeigt, auch eine lineare Abbildung ˝p A W Multp .W / ! Multp .V / : Einschränkung dieser Abbildung ergibt lineare Abbildungen p ^
A W
p ^
W !
p ^
V ;
S p A W S p W ! S p V : Ebenso überträgt sich auch das innere Produkt (2.7) auf ^p V und S p V ; d. h. für v 2 V und ' 2 ^p V ist iv ' 2 ^p1 V ; und für 2 S p V ist p1 iv 2 S V wohldefiniert. Anders verhält es sich mit dem Produkt. Durch Multp .V / Multq .V / ! MultpCq .V / W .'; / 7! ' ˝ DW mit
v1 ; : : :; vpCq WD ' v1 ; : : :; vp vpC1 : : :vpCq
ist ein Produkt multilinearer Abbildungen, das Tensorprodukt der Abbildungen definiert. Das Tensorprodukt zweier alternierender bzw. symmetrischer Abbildungen
46
2 Multilineare Algebra
ist jedoch nicht alternierend bzw. symmetrisch, und daher muss das Produkt zweier alternierender Abbildungen auf andere Weise definiert werden: Definition 2.16. Ist ' 2 Altp .V /;
2 Altq .V /; so ist ' ^
2 AltpCq .V / durch
.' ^ /.v1 ; : : :; vpCq / WD X sgn./'.v.1/ ; : : :; v.p/ / .v.pC1/ ; : : :; v.pCq/ / 2S.pIq/
D
1 pŠqŠ
X
sgn ./'.v.1/ ; : : :; v.p/ / .v.pC1/ ; : : :; v.pCq/ /
2S.pCq/
definiert, wobei S.pI q/ S.p C q/ die Menge aller Permutationen ist, für die .1/ < .2/ < < .p/ und .p C 1/ < .p C 2/ < < .p C q/ gilt. Man nennt ^ das äußere Produkt von ' und . .
Hat also ' die Komponenten .'i1 :::ip /i1 <
j1 :::jq /j1 <<jq ;
X
.' ^ /i1 :::ipCq D
die Komponenten durch
sgn ./'i .1/ i .p/
i .pC1/ i .pCq/
2S.p;q/
gegeben. Beispiele: a. p D q D 1; also ' 2 V ; .' ^
2 V . Dann ist /.u; v/ D '.u/ .v/ '.v/ .u/ :
Sind also .'i /i D1;:::;n und . k /kD1;:::;n die Komponenten von ' und ; so sind .'i j 'j i /1i <j n die Komponenten von ' ^ . b. p D 2; q D 1; ' 2 Alt2 .V /; 2 Alt1 .V /. Dann ist .' ^
/.v1 ; v2 ; v3 / D '.v1 ; v2 / .v3 / C '.v2 ; v3 / .v1 / '.v1 ; v3 / .v2 / :
Sind also .'ij /1i <j n und . i /1i n die Komponenten von ' und ; so sind die Komponenten von ' ^ durch .'ij
k
C 'jk
i
'i k
j /1i <j
gegeben. Im folgenden Satz werden die wichtigsten Eigenschaften des äußeren Produkts zusammengestellt. Satz 2.17. Seien ';
2 Altr .V /; 2 Altp .V /; 2 Altq .V /. Dann gilt:
a. ^ ist schiefsymmetrisch, d. h. ' ^ D .1/pr ^ ' :
C Alternierende und symmetrische Abbildungen und Tensoren
47
b. ^ ist bilinear, also .' C / ^ D ' ^ C ^ ; .'/ ^ D .' ^ / für alle 2 R ; c. ^ ist assoziativ, d. h. .' ^ / ^ D ' ^ . ^ / ; d. ^ ist natürlich, d. h. A .' ^ / D A ' ^ A 2 AltrCp .W / für alle linearen Abbildungen A 2 Hom .W I V /. Beweis. b. und d. sind klar.
1 ::: p p C 1 ::: r C p r C 1 ::: r C p 1 ::: r gegeben. Dann ist sgn .r;p / D .1/rp . Also ist
a. Sei r;p 2 S.r C p/ durch D
.' ^ /.v1 ; : : :; vrCp / D
1 rŠpŠ
X
sgn ./'.v.1/ ; : : :; v.r/ /
2S.rCp/
.v.rC1/ ; : : :; v.rCp/ / X 1 sgn ./ v.ır;p /.1/ ; : : :; v.ır;p /.p/ D rŠpŠ 2S.rCp/
'.v.ır;p /.pC1/ ; : : :; v.ır;p /.pC/ / X 1 D .1/rp sgn ./.v Q Q .1/ ; : : :; vQ .p/ / rŠpŠ Q 2S.rCp/
'.vQ .pC1/ ; : : :; vQ .pCr/ / D .1/rp . ^ '/.v1 ; : : :; vrCp / : b. Eine ähnliche Rechnung wie in a. zeigt, dass X .' ^ / ^ D ' ^ . ^ / D
'.v.1/ ; : : :; v.p/ /
2S.r;p;q/
.v.pC1/ ; : : :; v.pCr/ / .v.pCrC1/ ; : : :; v.pCrCq/ / ; wobei S.r; p; q/ S.r C p C q/ die Menge aller Permutationen mit .1/ < < .r/ ; .r C 1/ < < .r C p/ ; .r C p C 1/ < < .r C p C q/ : Genauer findet man den Beweis in [17].
t u
48
2 Multilineare Algebra
Auf Grund der Assoziativität kann man mehrfache äußere Produkte '1 ^ ^ 'm bilden, ohne sich auf eine bestimmte Klammerung festzulegen. Diese mehrfachen Produkte sind besonders wichtig, wenn es sich bei den 'i um Linearformen handelt. Es gilt nämlich: Satz 2.18. a. Sind v1 ; : : :; vp 2 V und ' 1 ; : : :; ' p 2 V ; so gilt 0
1 ' 1 .v1 / ' p .v1 / : : :: A : .' 1 ^ ^ ' p /.v1 ; : : :; vp / D det @ :: 1 p ' .vp / ' .vp /
(2.9)
b. Ist A D .a1 ; : : :; an / eine Basis von V; A D .˛ 1 ; : : :; ˛ n / die dazu duale, so ist .˛ 1 ^ ^ ˛ p /.a1 ; : : :; ap / 8 ˆ falls f 1 ; : : :; p g 6D f 1 ; : : :; p g <0 D oder i D j für ein i 6D j ; ˆ : sgn ./ falls j D . j / für alle j 2 f1; : : :; pg :
(2.10)
Beweis. a. Die zur Behauptung äquivalente Gleichung .' 1 ^ ^ ' p /.v1 ; : : :; vp / D
X 2S.p/
sgn ./
p Y
' i .v.i / /
i D1
folgt sofort durch Induktion nach p; wenn man ' 1 ^ ^ ' p D .' 1 ^ ^ ' p1 / ^ ' p schreibt und die Definition des äußeren Produkts anwendet. b. folgt mittels Determinantentheorie aus a., kann aber auch leicht durch Induktion nach p direkt bewiesen werden: Da ˛ 1 ^ ^ ˛ p alternierend ist, genügt es, die Behauptung für 1 < < p und 1 < < p nachzuweisen. Es ist ..˛ 1 ^ ^ ˛ p / ^ ˛ pC1 /.a1 ; : : :; apC1 / D X sgn ./.˛ 1 ^ ^ ˛ p /.a .1/ ; : : :; a .p/ / ˛ pC1 .a .pC1/ / D 2S.p;1/
(
D
0 ; falls kein j mit j D pC1 existiert ; sign./.˛ 1 ^ ^ ˛ p /.a1 ; : : :; aO j ; : : :; apC1 / ; falls j D pC1 :
Dabei bedeutet aO j ; dass der Vektor aj in der Aufzählung ausgelassen ist. Die Behauptung folgt jetzt aus der Induktionsannahme. t u Satz 2.19. Sei A D .a1 ; : : :; an / eine Basis von V und A D .˛ 1 ; : : :; ˛ n / die duale Basis.
C Alternierende und symmetrische Abbildungen und Tensoren
49
a. Dann ist .˛ i1 ^ ^ ˛ ip /i1 <
wobei .'i1:::ip /1i1 <
Orientierung und orientiertes Volumen Die n-te äußere Potenz Altn .V / ist nach 2.15 ein eindimensionaler Vektorraum. Ist A D .a1 ; : : :; an / eine Basis von V; A D .˛ 1 ; : : :; ˛ n / die duale Basis, so ist die durch A gegebene Basis von Altn .V / ˛1 ^ ^ ˛n : In Aufgabe 2.3 wird gezeigt, dass für 2 Altn .V / und A 2 End .V / gilt A D det A : n
(2.12)
Ist also V D R und A die Standardbasis, d. h. ai D e i ; so ist ˛ ^ ^ ˛ n die Determinante. Wir erinnern daran, dass zwei Basen A und B eines Vektorraums gleichorientiert heißen, falls für die Transformationsmatrix C; die A D .a1 ; : : :; an / in B D .b1 ; : : :; bn / überführt, det C > 0 gilt. Aus (2.12) folgt nun, dass zwei Basen genau dann gleichorientiert sind, wenn für eine beliebige alternierende n-Form 6D 0 auf V sgn ..a1 ; : : :; an // D sgn ..b1 ; : : :; bn // 1
gilt. Ein Vektorraum V heißt orientiert, wenn eine seiner beiden möglichen Orientierungen „ausgezeichnet“ ist. Die Basen, die diese ausgezeichnete Orientierung repräsentieren, heißen positiv orientiert. Ist V ein orientierter Vektorraum, so heißt 2 Altn .V / positiv orientiert, falls .a1 ; : : :; an / > 0 für eine (und dann jede) positiv orientierte Basis von V . Bemerkung: Die beiden Orientierungen eines n-dimensionalen reellen Vektorraums V sind wieder ein Beispiel für Äquivalenzklassen im Sinne der Anmerkung 1.24. Hier ist S die Menge aller Basen von V (jede Basis als n-Tupel aufgefasst, nicht nur als Menge!), und die Äquivalenzrelation ist gegeben durch B1 B2 ” die Transformationsmatrix, die B1 in B2 überführt, hat positive Determinante.
50
2 Multilineare Algebra
Aber niemand stellt sich eine Orientierung wirklich als eine Menge von Basen vor, sondern als den „Drehsinn“ oder „Schraubsinn“, den gleichorientierte Basen gemeinsam haben. Ist V schließlich ein orientierter euklidischer Vektorraum, so heißt die eindeutig bestimmte alternierende n-Form 2 Altn .V / mit .e1 ; : : :; en / D 1 für eine (und dann jede) positiv orientierte Orthonormalbasis .e1 ; : : :; en / die Volumenform auf V . Wie wir noch sehen werden (vgl. 4.10 und die Bemerkung danach), ist die Zahl .a1 ; : : :; an / dann nämlich das orientierte Volumen des von den Vektoren a1 ; : : :; an aufgespannten Parallelepipeds, also das Volumen, versehen mit einem Vorzeichen, das angibt, ob das Vektorsystem .a1 ; : : :; an / positiv oder negativ orientiert ist. Die Volumenform führt zu wichtigen Isomorphismen: Satz 2.20. Sei die Volumenform auf dem n-dimensionalen euklidischen Raum V . a. Dann sind durch und
Altn .V / Š R ; V Š Altn1 .V / ;
c 7! c v 7! iv
(2.13)
kanonische Isomorphismen gegeben. b. Ist A D .a1 ; : : :; an / eine positiv orientierte Orthonormalbasis, so ist der Isomorphismus aus (2.13) durch n X i D1
v i ai 7!
n X
.1/i 1 v i ˛ 1 ^ ^ ˛Oi ^ ^ ˛ n
(2.14)
i D1
gegeben. Dabei ist wieder .˛ 1 ; : : :; ˛ n / die duale Basis, und ˛Oi bedeutet, dass dieser Faktor weggelassen wird. Beweis. a. Nur für die Abbildung aus (2.13) ist die Behauptung nicht trivial. Wegen ! n n1 .V / D dim Alt D n D dim Rn n1 genügt es aber, die Injektivität nachzuweisen. Ist nun v ¤ 0; so kann man den Einheitsvektor v=kvk zu einer positiv orientierten Orthonormalbasis ergänzen, etwa durch w2 ; : : :; wn ; und dann ist .iv /.w2 ; : : :; wn / D .v; w2 ; : : :; wn / D kvk ¤ 0 nach Definition der Volumenform.
Aufgaben
51
b. Es genügt, die Behauptung für die Basisvektoren v D ai zu beweisen. Dafür folgt sie aber direkt aus (2.10), wenn man beachtet, dass die Volumenform in der Gestalt D ˛1 ^ ^ ˛n geschrieben werden kann. t u
Aufgaben zu Kap. 2 2.1. Beweisen Sie Satz 2.3: Die Transformationsmatrix der dualen Basen ist die Transponierte der Transformationsmatrix. 2.2. Sei ˛ 2 Altk V . Zeigen Sie, dass dann gilt: Sind v1 ; : : :; vk linear abhängig, so ist ˛.v1 ; : : :; vk / D 0. 2.3. Zeigen Sie: Ist A 2 End .V / und 2 Altn V; so ist A D det A . Hinweis: Beweisen Sie dies zunächst für V D Rn und D det; indem Sie die Standardbasis auf beiden Seiten einsetzen. 2.4. Seien A.j / und B.j / Basen von Vj und .c .j /k i / die zugehörigen Transformatin P .j / c .j /k i bk . Sei onsmatrizen, also ai D kD1
˝ ˝ VrCs : ! 2 V1 ˝ ˝ Vr ˝ VrC1
Wie berechnet man die Komponenten von ! bezüglich der Basen A aus denen bezüglich der Basis B? (Hinweis: Benutzen Sie Satz 2.3.) 2.5. Sei V D R3 ; fe1 ; e2 ; e3 g eine positiv orientierte Orthonormalbasis und fı1 ; ı2 ; ı3 g die duale Basis von V D Alt1 V . a. Wir setzen 1 WD ı2 ^ ı3 ;
2 WD ı3 ^ ı1 ;
3 WD ı1 ^ ı2 :
Dann ist f 1 ; 2 ; 3 g eine Basis von Alt2 V . Seien nun ˛; ˇ 2 V 1-Formen, 3 3 P P ˛i ıi ; ˇ D ˇj ıj . Welcher Zusammenhang besteht dann zwischen ˛ D i D1
j D1
˛ ^ ˇ und dem Vektorprodukt der Vektoren .˛1 ; ˛2 ; ˛3 /T und .ˇ1 ; ˇ2 ; ˇ3 /T ? 3 3 P P !i ıi 2 V eine 1-Form und D k k 2 Alt2 V eine 2b. Seien nun ! D i D1
kD1
Form. Welcher Zusammenhang besteht zwischen ! ^ und dem Skalarprodukt der Vektoren .!1 ; !2 ; !3 /T und . 1 ; 2 ; 3 /T ?
52
2 Multilineare Algebra
2 3 2.6. Die lineare Abbildung 0 1 A W R ! R sei bezüglich der Standardbasen gegeben 47 durch die Matrix @2 1A. Sei (ı1 , ı2 , ı3 ) die Standardbasis von R3 . Berechnen Sie 78 A ! für
(i) (ii) (iii)
! WD ı1 C ı2 C ı3 ; ! WD ı1 ^ ı2 C ı2 ^ ı3 C ı3 ^ ı1 ; ! WD ı1 ^ ı2 ^ ı3 .
2.7. Zeigen Sie: Für die kanonische Volumenform vol auf einem orientierten euklidischen Vektorraum .V; hji/ der Dimension n gilt: 1 0 hv1 je1 i hv1 jen i B :: C :: vol.v1 ; : : :; vn / D det @ ::: : : A hvn je1 i hvn jen i wobei det die Determinante in Rn bezeichnet, und .e1 ; : : :; en / eine positiv orientierte Orthonormalbasis von V ist. 2.8. Zeigen Sie, dass k Linearformen 1 ; : : :; k 2 V genau dann linear unabhängig sind, wenn 1 ^ ^ k 6D 0 gilt. 2.9. Sei V ein n-dimensionaler Vektorraum. a. Zeigen Sie, dass es für jede 2-Form ! 2 Alt2 V eine Basis f1 ; : : :; n g von V gibt, so dass ! D 1 ^ 2 C C 2r1 ^ 2r : gilt. (Hinweis: Man imitiere das G RAM -S CHMIDT sche Orthogonalisierungsverfahren.) b. Zeigen Sie weiterhin, dass die Zahl r von der Wahl der Basis unabhängig ist und durch die Bedingung ! r 6D 0; ! rC1 D 0 charakterisiert wird.
Kapitel 3
Tensorfelder und Differentialformen
Analysis auf Mannigfaltigkeiten und Differentialgeometrie werden in der heutigen Physik immer wichtiger, beispielsweise in Eichtheorien oder auch in der allgemeinen Relativitätstheorie. Nach den algebraischen und topologischen Vorbereitungen aus den ersten beiden Kapiteln sind wir nun soweit, dass wir in diese Theorie einsteigen können, beginnend mit der Behandlung von Tensorfeldern – und speziell Vektorfeldern – auf einer Mannigfaltigkeit in Abschn. A. Besonders wichtig wird dabei der Spezialfall der Differentialformen. Das sind Abbildungen, die jedem Punkt der Mannigfaltigkeit eine alternierende k-Form zuordnen. Wir besprechen sie in Abschn. B und gehen dabei auch auf eine erste Anwendung ein, nämlich die Einführung einer Orientierung auf einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit. In Abschn. C geht es dann um einen weiteren Typ von speziellen Tensorfeldern, nämlich R IEMANNsche Metriken und ihre Varianten, besonders die L ORENTZschen Metriken. Ist eine R IEMANNsche Metrik gegeben, so kann man in jedem Tangentialraum Längen und Winkel messen, und zwar so, dass die Gesetze der euklidischen Geometrie erfüllt sind. Eine L ORENTZsche Metrik hingegen überträgt die Geometrie des M INKOWSKIraums der Speziellen Relativitätstheorie auf die Tangentialräume. Wie diese auf den Tangentialräumen gegebenen Geometrien schließlich dazu führen, dass man auf der Mannigfaltigkeit selbst zusätzliche geometrische Informationen hat, das wird uns allerdings erst später in Kap. 5 beschäftigen. Bei all dem betreiben wir aber noch keine echte Analysis, denn wir versehen eigentlich nur die aus Kap. 2 bekannten algebraischen Objekte mit einem zusätzlichen Parameter p; der in der Mannigfaltigkeit läuft und als Grundpunkt dient, an dem die betrachteten Objekte angeheftet sind. Alle Operationen, die wir bis dahin mit unseren Tensorfeldern vorgenommen haben, sind denn auch nichts anderes als die punktweise Durchführung der aus Kap. 2 bekannten algebraischen Operationen. Das wird sich erst in Abschn. D ändern, wo wir diskutieren, wie ein gegebenes Vektorfeld v einen Fluss sowie Differentialoperatoren Lv für Tensorfelder erzeugt, die man als L IE-Ableitungen bezeichnet und die die Richtungsableitung einer Funktion in geeigneter Weise verallgemeinern. Einen Fluss kann man sich als eine Strömung auf der Mannigfaltigkeit vorstellen, deren Geschwindigkeitsfeld gerade das gegebe-
K.-H. Goldhorn, H.-P. Heinz, M. Kraus, Moderne mathematische Methoden der Physik DOI 10.1007/978-3-540-88544-3, © Springer 2009
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54
3 Tensorfelder und Differentialformen
ne Vektorfeld ist. Die Flüsse bilden ein fundamentales Werkzeug für die moderne mathematische Beschreibung von nichtlinearen Phänomenen aller Art, doch können wir hierauf nicht näher eingehen. Wir verwenden sie lediglich zur Konstruktion der L IE-Ableitungen.
A Tensorfelder auf Mannigfaltigkeiten In diesem Abschnitt übertragen wir die lineare Algebra aus Kap. 2 auf Mannigfaltigkeiten. Da für jeden Punkt p einer Mannigfaltigkeit M der Tangentialraum aus Kap. 2 also sofort an jeder Stelle Tp M ein Vektorraum ist, können die Objekte N p 2 M definiert werden. Zum Beispiel ist r Tp M der Vektorraum der r Linearformen auf Tp M . Dabei ist Tp M WD .Tp M / . Ein kontra- bzw. kovariantes Tensorfeld wird dann eine Abbildung sein, die jedem Punkt p aus M einen kontrabzw. kovarianten Tensor in Tp M zuordnet, und zwar in einer „glatten“ Weise, die in diesem Abschnitt noch näher definiert werden muss. Für Vektorfelder, also einfach kontravariante Tensorfelder, kann man sich dabei gut von der Vorstellung, die man bei Untermannigfaltigkeiten gewonnen hat, leiten lassen, und wir werden unsere Diskussion der Einzelheiten mit Vektorfeldern beginnen. Für die allgemeineren Tensorfelder werden die Definitionen dann analog aussehen. Definition 3.1. Die disjunkte Vereinigung [ Tp M TM WD p2M
heißt das Tangentialbündel von M . Ist M RN eine Untermannigfaltigkeit und benützt man (1.6), um Tp M mit zu identifizieren, so ergibt sich die injektive Abbildung
Tpunt M
i W TM ,! M RN ; Œ 7! ..0/; .0// P : Sie erlaubt es, das Tangentialbündel von M als Teilmenge von M Rn aufzufassen. Ist M Rn offen, so ist i W TM ! M Rn sogar bijektiv. Die Einschränkung auf Tp M ist für jedes p 2 M ein Isomorphismus ˇ ˇ W Tp M ! fpg Rn . ip WD i ˇ Tp M
Analoge Schreibweisen benutzen wir auch für alle anderen in Kap. 2 eingeführten Vektorräume, die ausgehend von V D Tp M gebildet werden können: [ T M D Tp M ; p2M
A Tensorfelder auf Mannigfaltigkeiten r O
55
T M D
r [ O
Tp M ;
p2M
Alt TM D k
[
Altk Tp M :
p2M
Ist M Rn offen, so ist T M D M .Rn / ; r O
r O T M DM .Rn / und Altk TM D M Altk Rn :
Für allgemeine Mannigfaltigkeiten haben diese Räume keine Produktstruktur, jedoch sind sie alle von der Form [ Vp ; p2M
wobei Vp ein Vektorraum ist, der immer auf dieselbe Weise aus Tp M gebildet wird und den man sich gewissermaßen im Punkt p an M angeheftet denken kann. Daher gibt es stets eine ˇnatürliche surjektive Abbildung nach M; die wir mit bezeichnen ˇ p definiert ist. Für p 2 M heißt dann 1 .p/ die Faser und die durch ˇ Vp
über p. Also: Für W TM ! M ist die Faser über p durch Tp M gegeben, für W Altk TM ! M ist die Faser über p 2 M durch Altk Tp M gegeben usw. Definition 3.2. Unter einem Schnitt einer surjektiven Abbildung f W X ! Y versteht man eine Abbildung s W Y ! X mit f ı s D idX . Ein Schnitt von W TM ! M ist also eine Abbildung, die jedem p 2 M einen Tangentialvektor v.p/ 2 Tp M an der Stelle p 2 M zuordnet, ein Schnitt von W T M ! M ist eine Abbildung, die jedem p 2 M eine Linearform auf Tp M zuordnet, und ein Schnitt von Altk TM ordnet jedem p 2 M eine alternierende k-Form auf Tp M zu. Da TM; Altk TM etc. bisher keine Topologie und erst recht keine differenzierbare Struktur haben, kann man nicht davon sprechen, ob ein Schnitt stetig oder differenzierbar ist. Es ist möglich, auf all diesen Räumen eine differenzierbare Struktur einzuführen und dann zu definieren: Ein differenzierbares r-fach N ko- und s-fach kontravariantes Tensorfeld ist ein differenzierbarer Schnitt in rs TM . Wir werden aber einen etwas anschaulicheren und elementareren Weg gehen. Ist .U; h/ eine Karte von M; soist für jedes p 2 U eine Basis von Tp M .h/ durch Dp.h/ D @.h/ 1 .p/; : : :; @n .p/ gegeben. Ist also vp 2 Tp M; und bezeich-
net .v 1 .p/; : : :; v n .p// 2 Rn die Komponenten von vp bezüglich Dp.h/ ; so ist vp D
n X i D1
v i .p/@.h/ i .p/
Die Abbildungen v j W U ! R; j D 1; : : :; n bezeichnet man dann als Komponentenfunktionen bezüglich D.h/ oder h.
56
3 Tensorfelder und Differentialformen .h/
Sind .v 1 .p/; : : :; v n .p// die Komponenten von vp bezüglich Dp ; so ist dhp .vp / D .v 1 .p/; : : :; v n .p// ; .h/ da nach Definition der Koordinatenbasis dhp @i .p/ D e i gilt. Q eine weitere Karte um p; und w D hQ ı h1 ; so sind also nach (1.10) e ; h/ Ist .U Q
die Komponenten von vp bezüglich Dp.h/ durch .vQ 1 .p/; : : :; vQ n .p// mit vQ j .p/ D
n X
v i .p/
i D1
@w j .h.p// @xi
(3.1)
gegeben. Wir definieren nun: Definitionen 3.3. Ein Vektorfeld ist ein Schnitt in TM . Ein Vektorfeld v heißt stetig (bzw. C r -differenzierbar) bei p 2 M; wenn für eine (und dann jede) Karte .U; h/ mit p 2 U die Komponentenfunktionen v 1 ; : : :; v n W U ! R bezüglich D.h/ stetig (bzw. C r -differenzierbar) sind. Die Menge aller differenzierbaren Vektorfelder auf M bezeichnen wir mit TM . Dass diese Definition tatsächlich unabhängig von der Wahl der Karte ist, folgt sofort aus (3.1), denn die Kartenwechsel sind ja C 1 -Abbildungen. Zu beachten ist noch, dass man Vektorfelder punktweise linear kombinieren kann, da ihre Werte an einem Punkt p 2 M alle im Vektorraum Tp M liegen. Auf diese Weise wird TM selbst zu einem reellen Vektorraum. Ein Vektorfeld ist also genau dann differenzierbar, wenn seine Beschreibung bezüglich Karten differenzierbar ist. Ist nun .U; h/ eine Karte und v W h.U / ! Rn eine (differenzierbare) Abbildung, so ist durch U ! TM; p 7! . dhp /1 .v.h.p/// jedenfalls ein (differenzierbares) Vektorfeld auf U gegeben. Auf diese Weise können Vektorfelder auch auf ganz M definiert werden – es müssen nur die Beschreibungen bezüglich der Karten zusammenpassen: Satz 3.4. Sei f.U ; h / j 2 g ein Atlas für M; U0 WD h .U / Rn . Für jedes 2 sei eine (differenzierbare) Abbildung v WD v1 ; : : :; vn W U0 ! Rn gegeben. Dann definiert die Familie .v /2 genau dann ein (differenzierbares) Vektorfeld auf M; wenn für alle ; Q 2 gilt: j v .x/
ˇ ˇ mit wQ D h ı h1 Q ˇ
D
n X i D1
viQ .x/ Q
hQ .U \ UQ /
@w j Q
@xi
.x/ Q ; x 2 h .U \ UQ /
und xQ D w 1Q .x/.
Soviel zu den Vektorfeldern. Ebenso werden nun (differenzierbare) r-fach kontravariante Tensorfelder auf M definiert:
A Tensorfelder auf Mannigfaltigkeiten
57
Definitionen 3.5. a. Ein r-fach kontravariantes Tensorfeld ist ein Schnitt ˛ in TM ˝ ˝ TM . „ ƒ‚ … r-mal
b. Ist ˛ ein kontravariantes Tensorfeld, d. h. für p 2 M ist ˛.p/ 2 ˝r Tp M; und ist .U; h/ eine Karte von M; so gibt es nach (2.2) für jedes p 2 U Komponenten ˛ i1 :::ir .p/ 2 R; so dass n X
˛.p/ D
i1 :::ir D1
.h/ ˛ i1 :::ir .p/ @.h/ i1 .p/ ˝ ˝ @ir .p/ :
Die Funktionen ˛ i1 :::ir W U ! R heißen die Komponentenfunktionen von ˛ bezüglich h. c. ˛ heißt nun wieder stetig (bzw. differenzierbar) bei p 2 U falls alle Komponentenfunktionen ˛ i1 :::ir W U ! R bezüglich einer (und dann jeder) Karte stetig (bzw. differenzierbar) bei p sind. Die Wohldefiniertheit folgt wie in (3.1), vgl. Übungsaufgabe. Analog kann man mit kovarianten Tensorfeldern Ist p 2 M; .U; h/ ei verfahren. n .h/ .h/ .h/ ne Karte um p; so bezeichnet dx1;p ; : : :; dxn;p 2 Tp M die zu @1 .p/; : : :; 1 n i 1 @.n/ n .p/ duale Basis. Ist h D .h ; : : :; h / mit h 2 C .U /; so ist offenbar .h/ D dhpi ; denn mit ' WD h1 haben wir dxi;p
dhpi .@j .p// D dhpi . d'h.p/ .e j // D pri ı dhp . d'h.p/ .e j // D pri .e j / D ıij ; wobei e j 2 Rn ; wie immer, den j -ten Standardbasisvektor und pri die Projektion auf die i -te Koordinate bezeichnet. Definitionen 3.6. a. Unter einer differenzierbaren 1-Form ˛ auf M oder Differentialform versteht man einen Schnitt in T M; so dass für eine (und dann jede) Karte .U; h/ von M die durch n X .h/ ˛.p/ ˛p D ˛i .p/ dxi;p ; p2U i D1
definierten Abbildungen ˛i W U ! R; i D 1; : : :; n; die Komponentenfunktionen bezüglich h; differenzierbar sind. b. Unter einem stetigen (bzw. differenzierbaren) r-fach, ko- und s-fach kontravarianten Tensorfeld versteht man einen Schnitt in
T M ˝ ˝ T M ˝ TM ˝ ˝ TM DW ƒ‚ … „ ƒ‚ … „ r-mal
s-mal
r O s
T M ;
58
3 Tensorfelder und Differentialformen
so dass für eine (und dann jede) Karte .U; h/ von M die durch X j :::j ˛.p/ D ˛i11:::irs .p/ dxpi1 ˝ ˝ dxpir ˝ @j1 .p/ ˝ ˝ @js .p/ j :::j
definierten Funktionen ˛i11:::irs W U ! R stetig bzw. differenzierbar sind. Diese Funktionen heißen wieder Komponentenfunktionen von ˛ bezüglich h. Mit anderen Worten: Ein r-fach kovariantes Tensorfeld auf M ordnet r Vektorfeldern eine Funktion auf M zu, und diese Zuordnung ist an jedem Punkt von M multilinear. Ist ˛ ein r-fach kovariantes Tensorfeld auf M und sind v1 ; : : :; vr Vektorfelder auf M; so ist also ˛.v1 ; : : :; vr / eine Funktion auf M . Ist .U; h/ eine Karte für M und sind ˛i1 :::ir W U ! R und vji W U ! R ; j D 1; : : :; r ; i D 1; : : :; n die Komponenten von ˛ bzw. von vj ; j D 1; : : :; r bezüglich h; so ist für p 2 U n X
.˛.v1 ; : : :; vr //.p/ D
˛i1 :::ir .p/v1i1 .p/ vrir .p/ :
(3.2)
i1 :::ir D1
Insbesondere ist also auch auf U ˛i1 :::ir D ˛.@i1 ; : : :; @ir / :
(3.3)
Um die Unabhängigkeit der Definition der Differenzierbarkeit von der Wahl der Karte zu prüfen, rechnet man nach, wie sich die Komponentenfunktionen bei KarQ Karten für M; so gilt für die Kompoe ; h/ tenwechsel verhalten: Sind .U; h/; .U :::js j1 :::js und ˛ Q eines r-fach ko- und s-fach kontravarianten nentenfunktionen ˛ij11:::i i1 :::ir r e Tensorfeldes für jedes p 2 U \ U j :::j
aQ i11:::irs .p/ D
n X k1 ;:::;kr ; j1 ;:::;js D1
j
j
s wQ ik11 wQ ikrr wl11 wlss akl11:::l :::kr .p/
(3.4)
mit @.hQ ı h1 /j @.h ı hQ 1 /k Q .h.p// und wQ ik D .h.p// @xl @xi @xk Q @xQ j .h.p// D .h.p// : D @xl @xQ i
wlj D
(3.5)
Umgekehrt können ebenso wie Vektorfelder auch Tensorfelder nur durch ihre Komponenten bezüglich Karten beschrieben werden. Satz 3.7. Sei .U ; h /2 ein Atlas für M; und für jedes 2 seien :::js aij11:::i 2 C 1 .U / r
B Alternierende k-Formen und Orientierungen
59
gegeben. Dann beschreiben diese Funktionen ein differenzierbares Tensorfeld ˛ auf M mit ˇ X j :::j ˇ ˛i11:::irs dx i1 ˝ ˝ dx ir ˝ @j1 ˝ ˝ @js ; ˛ˇ D U
genau dann, wenn sie sich bei Kartenwechsel wie in (3.4) und (3.5) beschrieben verhalten.
B Alternierende k-Formen und Orientierungen Die kovarianten Tensorfelder, die an jedem Punkt p 2 M eine alternierende Multilinearform auf Tp M liefern, spielen eine besonders wichtige Rolle. Diesen wenden wir uns nun zu: Definitionen 3.8. a. Unter einer k-Form auf M versteht man einen Schnitt ! in Altk TM; also eine Abbildung M ! Altk TM mit !.p/ !p 2 Altk .Tp M /. b. Ist ! eine k-Form auf M; eine r-Form auf M; so ist eine .k C r/-Form auf M durch .! ^ /p WD !p ^ p gegeben. Sie heißt das äußere Produkt von ! und . Die Bilinearität, Assoziativität und Antikommutativität (D Schiefsymmetrie) des äußeren Produkts zwischen Formen auf Vektorräumen überträgt sich sofort auf das äußere Produkt zwischen Formen auf Mannigfaltigkeiten. Aus Satz 2.19a. wissen wir bereits, wie wir eine Basis von Altk Tp M erhalten. Satz 3.9. Ist .U; h/ eine Karte für M; . dxpi dhpi /i D1;:::;n ; die durch h gegebene Koordinatenbasis von Alt1 Tp M D Tp M für p 2 U; so ist . dxp1 ^ ^ d xpk /1 <<k eine Basis von Altk Tp M gegeben, die wir wieder die durch .U; h/ definierte Koordinatenbasis nennen. Ist also ! eine k-Form auf M; so gibt es eindeutig bestimmte Funktionen !1 ;:::;k W U ! R; so dass für p 2 U gilt !.p/ D
X
!1 ;:::;k .p/ dxp1 ^ ^ dxpk :
1 <<k
Die Funktionen !1 ;:::;k heißen die durch .U; h/ gegebenen Komponenten(-Funktionen) von !. Wieder wird die Differenzierbarkeit anhand dieser Komponentenfunktionen definiert:
60
3 Tensorfelder und Differentialformen
Definitionen 3.10. a. Eine k-Form ! heißt differenzierbar bei p 2 M; wenn für eine (und dann jede) Karte .U; h/ die durch .U; h/ gegebenen Komponentenfunktionen !1 ;:::;k bei p 2 M differenzierbar sind. b. Ist ! 2 Altk TM bei jedem p 2 M differenzierbar, so heißt ! (k-) Differentialform auf M . Den Vektorraum der k-Differentialformen bezeichnet man mit ˝ k .M /. Ferner setzt man n M
˝ k .M / DW ˝.M / :
kD0
Dabei ist ˝ 0 .M / D C 1 .M /; d. h. 0-Formen sind einfach skalarwertige Funktionen. Ist U Rn offen, also Tp U D Rn für jedes p 2 U und Altk U D U Altk Rn ; so kann jede Multilinearform ˛ 2 Altk Rn als konstante Differentialform auf U aufgefasst werden, nämlich ˛.x/ WD ˛ 2 Altk Tp U D Altk Rn
8x 2 U :
Insbesondere tun wir dies für die Kovektoren id dx j dxj;p DW ı j D .0; : : :; 1; : : :; 0/ 2 .Rn / ;
die die zur Standardbasis duale Basis bilden. Die kanonische Koordinatenbasis auf Altk T U ist also durch .ı i1 ^ ^ ı ik /i1 <
B Alternierende k-Formen und Orientierungen
61
Aus Satz 2.17d. folgt sofort, dass für ! 2 ˝ r M; 2 ˝ s M f ! ^ f D f .! ^ /
(3.6)
gilt. Diese Eigenschaft heißt die Natürlichkeit des äußeren Produkts. Beispiel: Sei W RC 0; 2Œ ! R2 n f.x; y/ j y D 0 ; x 0g DW U ; .r; '/ 7! .r cos ' ; r sin '/ die Polarkoordinatenabbildung, h D 1 . Die Karte h führt dann auf U die Koordinaten 1 D r; 2 D ' ein. Die durch h gegebene Koordinatenbasis auf U bezeichnen wir daher mit dr WD d 1 und d' WD d 2 : Da U R2 offen ist, können wir auf U auch die duale Standardbasis, bestehend aus dx D ı 1 D .1; 0/ und dy D ı 2 D .0; 1/; verwenden. Berechnet man die Komponentenfunktionen von dr und d' bezüglich der Standardbasis mittels @ @x @ dr.x;y/ .e 2 / D @y @ d'.x;y/ .e 1 / D @x @ d'.x;y/ .e 2 / D @y
dr.x;y/ .e 1 / D
p x x2 C y 2 D p ; 2 x C y2 p y x2 C y 2 D p ; 2 x C y2 x y arccot D 2 ; y x C y2 y x arctg D 2 ; x x C y2
So erhält man 1 dr.x;y/ D p .xı 1 C yı 2 / 2 ˝ 1 U ; 2 x C y2 1 .yı 1 C xı 2 / 2 ˝ 1 U : d'.x;y/ D 2 x C y2 Wir sehen also, dass dr und d' eine differenzierbare Fortsetzung auf R2 nf0g haben und dass r dr ^ d' D ı 1 ^ ı 2 D det 2 ˝ 2 .R2 / auf ganz U wohldefiniert ist.
Orientierungen von Mannigfaltigkeiten Mit Hilfe von (2.12) wurde gezeigt, dass in einem n-dimensionalen Vektorraum durch ! 2 Altn V mit ! 6D 0 eine Orientierung auf V definiert werden kann.
62
3 Tensorfelder und Differentialformen
Eine Orientierung für M ist durch Orientierungen der Tangentialräume gegeben, die stetig vom Punkt abhängen. Genauer: Definitionen 3.12. a. Eine Familie von Orientierungen or D forx gx2M ; wobei orx eine Orientierung von Tx M ist, heißt lokal verträglich, wenn es um jedes p 2 M eine Karte .U; h/ gibt, so dass dhx W Tx M ! Rn für jedes x 2 U orientierungserhaltend ist. Dabei nennt man einen Isomorphismus A W V ! W von orientierten Vektorräumen V; W orientierungserhaltend (D orientierungstreu), wenn die Matrix, die ihn bezüglich zweier positiv orientierter Basen beschreibt, positive Determinante hat. Anderenfalls heißt er orientierungsumkehrend. b. Eine Orientierung von M ist eine lokal verträgliche Familie von Orientierungen forx gx2M . Ist or D forx gx2M eine lokal verträgliche Familie auf M; so ist auch or WD forx gx2M eine lokal verträgliche Familie von Orientierungen auf M; denn ist Q dhx W Tx M ! Rn orientierungserhaltend für die Orientierung orx ; so ist .U; h/ mit hQ D .h1 ; h2 ; : : :; hn / orientierungserhaltend für die Orientierung orx . Bisher konnten wir einfach alle Definitionen direkt von den Vektorräumen auf Tangentialräume übertragen und zusätzlich fordern, dass die Objekte differenzierbar von den Punkten in M abhängen. Hier tritt nun eine neue Art Fragestellung auf, nämlich die, ob auf einer Mannigfaltigkeit überhaupt stets eine Orientierung existiert. Offenbar existiert auf jedem Koordinatengebiet eine Orientierung, jedoch gibt es Mannigfaltigkeiten, auf denen man keine Orientierung wählen kann (vgl. Aufgabe 3.6). Definition 3.13. Eine differenzierbare Mannigfaltigkeit heißt orientierbar, wenn eine der drei folgenden äquivalenten Bedingungen erfüllt ist: a. Auf M gibt es eine Orientierung. b. M besitzt einen Atlas, für dessen sämtliche Kartenwechsel wij gilt: det Jwij .x/ > 0. c. Auf M gibt es eine n-Form ! 2 ˝ n M mit !x 6D 0 für alle x 2 M . Beweis (der Äquivalenz). Die Äquivalenz von a. und b. ist eine leichte Übungsaufgabe. Wir zeigen noch c. ) a. – Die Implikation a. ) c. werden wir erst im nächsten Kapitel beweisen (vgl. Abschn. 4A). Sei ! 2 ˝ n M mit !.x/ 6D 0 für alle x 2 M gegeben. Definiere eine Basis .v1 ; : : :; vn / von Tx M als positiv orientiert genau dann, wenn !.x/.v1 ; : : :; vn / > 0. Dies definiert auf jedem Tx M eine Orientierung (vgl. (2.12)). Diese Familie von Orientierungen ist lokal verträglich, denn ist .U; h/ eine Karte mit zusammen hänˇ gendem Definitionsbereich U und ! ˇU D a dx 1 ^ ^ dx n mit a 2 C 1 .U / und dx 1 ; : : :; dx n die durch h gegebene Koordinatenbasis, so ist a.x/ > 0 für alle x 2 U; also h eine orientierungserhaltende Karte, oder a.x/ < 0 für alle x 2 U; t u also hQ D .h1 ; h2 ; : : :; hn / eine orientierungserhaltende Karte.
B Alternierende k-Formen und Orientierungen
63
Abb. 3.1 M ÖBIUSband
Eine nichtorientierbare Mannigfaltigkeit ist beispielsweise das M ÖBIUSband, das wir in Übungsaufgabe 3.6 behandeln werden (Abb. 3.1). Eine orientierbare Mannigfaltigkeit besitzt stets mindestens zwei mögliche Orientierungen. Ist sie zusammenhängend, so besitzt sie genau zwei mögliche Orientierungen. Eine Mannigfaltigkeit zusammen mit einer Orientierung auf ihr heißt orientierte Mannigfaltigkeit. Auf Rn ist eine kanonische Orientierung gegeben, nämlich die, bei der die Standardbasis .e 1 ; : : :; e n / positiv orientiert ist. Auf diese Weise betrachten wir Rn stets als orientierte Mannigfaltigkeit. Definitionen 3.14. Eine differenzierbare Abbildung f zwischen orientierten Mannigfaltigkeiten M und N heißt orientierungserhaltend, falls dfx W Tx M ! Tf .x/ N orientierungserhaltend ist für jedes x 2 M; orientierungsumkehrend, falls dfx orientierungsumkehrend ist für jedes x 2 M . Für n-dimensionale Untermannigfaltigkeiten des RnC1 gibt es noch eine anschaulichere Bedeutung von Orientierung: Ein stetiges Normalenfeld auf M RnC1 ist eine stetige Abbildung N W M ! RnC1 mit N.x/ 2 .Txunt M /? . Erfüllt N zugleich jN.x/j D 1 für alle x 2 M; so heißt N ein stetiges Normaleneinheitsfeld. Ist M D F 1 .p/ Urbild eines regulären Wertes, so ist durch N.x/ D
grad F .x/ jgradF .x/j
ein stetiges Normaleneinheitsfeld auf M gegeben. Satz 3.15. Eine n-dimensionale Untermannigfaltigkeit des RnC1 ist genau dann orientierbar, wenn es ein stetiges Normaleneinheitsfeld auf M gibt. Beweis. Wir zeigen hier nur die Richtung „(“, die andere ist dem Leser als Übungsaufgabe überlassen. Sei N ein stetiges Normaleneinheitsfeld. Eine Basis .v1 ; : : :; vn / 2 .Tx M /n heiße positiv orientiert, falls det.N.x/; v1 ; : : :; vn / > 0. Dadurch ist eine Orientierung auf Tx M wohldefiniert. Diese Orientierungen sind lokal verträglich, denn ist .U; h/ eine Karte und ist U so ist wegen der Stetigkeit der Determinante o. B. d. A. zusammenhängend, .h/ .h/ det N.x/; @1 .x/; : : :; @n .x/ > 0 für alle x 2 U oder det N.x/; @.h/ 1 .x/; : : :; .h/ @n .x/ < 0 für alle x 2 U . Im ersten Fall ist h orientierungserhaltend, im zweiten
64
3 Tensorfelder und Differentialformen
orientierungsumkehrend, und dann benutzt man auf U die Karte hQ wie in dem Beweis hinter Definition 3.13. t u Definitionen 3.16. Ist M eine n-dimensionale orientierte Untermannigfaltigkeit des RnC1 ; N W M ! RnC1 ein stetiges Normaleneinheitsfeld auf M mit det.N.x/; v1 ; : : :; vn / > 0 für jede positiv orientierte Basis von Tx M für jedes x 2 M; so heißt N orientierungsdefinierendes Normaleneinheitsfeld. Eine nichtverschwindende n-Form ! 2 ˝ n M für eine n-dimensionale orientierte Untermannigfaltigkeit M RnC1 mit orientierungsdefinierendem Normaleneinheitsfeld N ist durch (3.7) !M WD j .iN det/ gegeben, wobei j W M ! RnC1 ; x 7! x die Inklusion bezeichnet. Ausführlich heißt das !M;x .v1 ; : : :; vn / D det.N.x/; djx .v1 /; : : :; djx .vn // ; und dabei ist djx gerade der durch (1.6) gegebene Isomorphismus. Ist zum Beispiel M D Sn RnC1 ; so ist N.x/ D x ein stetiges Normaleneinheitsfeld auf Sn ; also nach Satz 2.20 iN.x/ det D
nC1 X
.1/j 1 xj ı 1 ^ ^ ıbj ^ ^ ı nC1 ;
j D1
denn D ı 1 ^ : : : ^ ı nC1 D det ist ja die Volumenform auf RnC1 . Dabei bezeichnet .ı 1 ; : : :; ı nC1 / die Standardbasis in RnC1 .
C R IEMANNsche und L ORENTZsche Metriken Nach den alternierenden Tensorfeldern betrachten wir nun noch einige spezielle symmetrische kovariante Tensorfelder. Erinnern wir uns dazu zuerst an einige Begriffe aus der linearen Algebra: Eine symmetrische Bilinearform g auf einem n-dimensionalen Vektorraum V heißt nichtentartet, falls gilt: g.v; w/ D 0 für alle w 2 V H) v D 0 : In diesem Fall folgt aus dem Trägheitssatz von S YLVESTER (vgl. z. B. [50]), dass es eine Basis .b1 ; : : :; bn / von V gibt, bezüglich der g von der Form g.x; y/ D 1 1 C C r r rC1 rC1 n n xD
n X j D1
j bj ;
yD
n X j D1
j bj
für
C R IEMANN sche und L ORENTZsche Metriken
65
ist. Die Zahl r ist dabei eindeutig bestimmt, und s WD n r heißt der Index von g. Ist s D 0; so ist g ein Skalarprodukt. Definitionen 3.17. Eine Pseudo-R IEMANNsche Metrik auf M ist ein differenzierbares zweifach kovariantes Tensorfeld g; so dass g.x/ für jedes x 2 M eine nichtentartete symmetrische Bilinearform auf Tx M ist. Ist g sogar ein Skalarprodukt auf Tx M; so heißt g eine R IEMANNsche Metrik auf M . Ist M eine Mannigfaltigkeit mit R IEMANNscher Metrik g und N M eine Untermannigfaltigkeit, so ist durch Einschränken des Skalarprodukts von Tx M auf Tx N ebenfalls eine Metrik auf N gegeben. Ist speziell M RN eine ndimensionale Untermannigfaltigkeit, h j i das Standardskalarprodukt auf RN ; so ist ˇ ˇ durch g.x/ WD h j i Tx M Tx M eine R IEMANNsche Metrik auf M gegeben, die sog. kanonische Metrik. (Hier wurde Tx M mittels des Isomorphismus aus (1.6) mit Txunt M identifiziert.) Wie durch eine R IEMANNsche Metrik auf einer Mannigfaltigkeit M tatsächlich eine Metrik auf M gegeben ist, d. h. der Abstand zwischen zwei Punkten auf M definiert wird, ist nicht offensichtlich. In Kap. 5F wird dies näher erörtert werden. Zunächst macht eine R IEMANNsche Metrik es möglich, von Geschwindigkeiten von Kurven in M zu sprechen: Ist W I ! M eine differenzierbare Kurve, so heißt .g.P .t/; P .t///1=2 D jP .t/j ihre Geschwindigkeit an der Stelle t. Auch was der Winkel ' zwischen zwei sich schneidenden Kurven auf einer Mannigfaltigkeit mit R IEMANNscher Metrik ist, ist P1 .t /;P2 .t // durch cos ' D g. jP1 .t /jjP2 .t /j wohldefiniert. In der allgemeinen Relativitätstheorie wird die Raumzeit als vierdimensionale Mannigfaltigkeit und das Gravitationspotential als ihre pseudo-R IEMANNsche Metrik interpretiert. Hier wird es sich um eine Metrik vom Index 1 handeln. Genauer: Definitionen 3.18. Eine L ORENTZmetrik auf einer Mannigfaltigkeit ist ein differenzierbares zweifach kovariantes Tensorfeld g; so dass g.x/ eine symmetrische Bilinearform auf Tx M vom Index 1 ist. Eine Mannigfaltigkeit zusammen mit einer (Pseudo-)R IEMANNschen Metrik heißt (Pseudo-)R IEMANNsche Mannigfaltigkeit, mit einer L ORENTZmetrik L OR ENTZ -Mannigfaltigkeit. Die Determinante det 2 Altn Rn ist die eindeutig bestimmte alternierende n-Form mit det.b1 ; : : :; bn / D 1 für jede positiv orientierte Orthonormalbasis. Dies wird nun auf Mannigfaltigkeiten übertragen. Definitionen 3.19. Ist M eine n-dimensionale orientierte R IEMANNsche Mannigfaltigkeit, so versteht man unter der Volumenform auf M die eindeutig bestimmte n-Form mit !M;x .v1 ; : : :; vn / D 1 für jede positiv orientierte Orthonormalbasis .v1 ; : : :; vn / von Tx M . Die hier behauptete Eindeutigkeit folgt aus der Tatsache, dass jede n-Form durch den Wert, den sie auf einer Basis annimmt, festgelegt ist. Beschreibt man die Volumenform mittels lokaler Karten, so erkennt man auch, dass sie differenzierbar ist.
66
3 Tensorfelder und Differentialformen
Wir betrachten dazu eine orientierungserhaltende Karte .U; h/. Wendet man auf die (positiv orientierte!) Koordinatenbasis Felder .@1 ; : : :; @n / an jedem Punkt p 2 U das G RAM-S CHMIDT -Orthonormalisierungsverfahren an, so erhält man für jedes p 2 U eine positiv orientierte Orthonormalbasis .e1 .p/; : : :; en .p//; so dass die Vektorfelder ej differenzierbar sind. Die durch !U WD
h
h det 2 ˝ nU det.e1 ; : : :; en /
definierte differenzierbare n-Form erfüllt offenbar die definierende Bedingung für eine Volumenform auf U; ist also nichts anderes als die Einschränkung der Volumenform auf U . Beispiele: a. Ist M Rn offen, so ist det D ı 1 ^ ^ ı n 2 ˝ n M die Volumenform auf M; wenn als R IEMANNsche Metrik an jedem x 2 M das Standard-Skalarprodukt genommen wird. b. Sei M RnC1 eine n-dimensionale Untermannigfaltigkeit mit der kanonischen Metrik, und sei N das orientierungsdefinierende Normaleneinheitsfeld auf M . Dann ist !M WD j .iN det/ mit j W M ,! RnC1 die kanonische Volumenform auf M; denn ist v1 ; : : :; vn eine positiv orientierte Orthonormalbasis von Tx M; so ist N.x/; v1 ; : : :; vn eine positiv orientierte Orthonormalbasis von RnC1 ; also det.N.x/; v1 ; : : :; vn / D 1. Satz 3.20. Sei .M; g/ eine orientierte R IEMANNsche Mannigfaltigkeit, .U; h/ eine orientierungserhaltende Karte, @1 .x/; : : :; @n .x/ die dadurch gegebene Koordinatenbasis von Tx M und dx 1 ; : : :; dx n 2 ˝ 1 U die dazu dualen 1-Formen. Dann gilt ˇ p ˇ !M ˇ D G dx 1 ^ ^ dx n ; U
wobei G WD det.g.@i ; @j //i;j die sog. G RAMsche Determinante der R IEMANNschen Metrik ist. Beweis. Sei X1 ; : : :; Xn eine positiv orientierte Orthonormalbasis von Tx M; A W Tx M ! Tx M der durch AXi D @i .x/ gegebene Endomorphismus. Nach (2.12) ist dann !M;x .@1 .x/; : : :; @n .x// D det A!M;x .X1 ; : : :; Xn / D det A ; also !M;x D det A dx 1 ^ ^ dx n :
D Flüsse und L IE-Ableitungen
67
Weiter ist C WD .g.@i ; @j //i;j D .g.AXi ; AXj //i;j D AT A ; da X1 ; : : :; Xn Orthonormalbasis ist. Also ist det C D .det A/2 ; und damit det A D p det C ; da A orientierungserhaltend ist. t u Die hier auftretende G RAMsche Determinante G ist für Untermannigfaltigkeiten des Rn ausführlich in [36], Kap. 22 behandelt worden, weil sie eine wichtige Rolle bei der Integration spielt. Beispiel: Sei M Rn offen, ˚ W U ! M ein orientierungstreuer Diffeomorphismus, @i D J˚ .e i /. Dann ist !M D det J˚ .x/ dx 1 ^ ^ dx n :
D Flüsse und L IE-Ableitungen Die L IE-Ableitung gibt die Änderung eines Tensors entlang eines Vektorfelds an. In gewisser Weise verallgemeinert sie damit den Begriff der Richtungsableitung in Richtung eines Vektors v. Um diese zu definieren, musste der Vektor durch eine Kurve repräsentiert werden. Nun steht man vor der Aufgabe, alle Vektoren eines Vektorfeldes „gleichzeitig“ durch Kurven zu repräsentieren. Dazu werden nun Integralkurven und Flüsse auf Mannigfaltigkeiten definiert. Definitionen 3.21. a. Sei M eine differenzierbare Mannigfaltigkeit und v ein differenzierbares Vektorfeld auf M; dann heißt Wa; bŒ! M eine Integralkurve von v zum Anfangspunkt x 2 M; falls gilt: (i) (ii)
.0/ D x; P .t/ D v..t// für alle t 2a; bŒ.
b. Eine Integralkurve ˛x Wax ; bx Œ! M von v zum Anfangspunkt x heißt maximal, falls für jede weitere Integralkurve Wa; bŒ! M von v zum Anfangspunkt x gilt a; bŒax ; bx Œ. Das Bild einer maximalen Integralkurve heißt Bahn. c. Die Abbildung [ ax ; bx Œfxg ! M ; .t; x/ 7! ˛x .t/ DW ˚ .v/ .t; x/ ˚ .v/ W x2M
heißt der Fluss zu v. Dabei bezeichnet ˛x die maximale Integralkurve zum Anfangspunkt x 2 M . d. Ist ax D 1 und bx D C1 für alle x 2 M; also RM der Definitionsbereich von ˚ .v/ ; so nennt man den Fluss global oder auch ein dynamisches System auf M .
68
3 Tensorfelder und Differentialformen
Abb. 3.2 Integralkurven und Fluss eines Vektorfelds. Dabei y D ˚.t; x/
x y
Natürlich stellt sich hier sofort die Frage nach der Existenz und Eindeutigkeit der maximalen Integralkurven sowie nach der Differenzierbarkeit des Flusses. Dies sind jedoch alles „lokale“ Fragestellungen, also mittels Karten im Rn zu beantworten. Für den Rn greift hier aber die klassische Theorie der gewöhnlichen Differentialgleichungen: Aus dem Existenz- und Eindeutigkeitssatz von P ICARD-L INDELÖF (vgl. z. B. [36], Kap. 20) und dem Satz über die differenzierbare Abhängigkeit der Lösungen vom Anfangswert folgt: Theorem 3.22. a. Ist v ein stetig differenzierbares Vektorfeld, so gibt es zu jedem x 2 M genau eine maximale Integralkurve mit Anfangspunkt x. b. Ist bx < 1 (bzw. ax > 1), so ist die positive Bahn ˛x .Œ0; bx Œ/ (bzw. die negative Bahn ˛x .ax ; 0/) in keiner kompakten Teilmenge von M enthalten. Insbesondere ist der Fluss eines differenzierbaren Vektorfelds auf einer kompakten Mannigfaltigkeit stets global. c. Der Definitionsbereich des Flusses ˚ eines stetig differenzierbaren Vektorfelds ist offen, und ˚ ist differenzierbar. Aus der Eindeutigkeit der maximalen Integralkurven folgt auch, dass die maximalen Integralkurven zu verschiedenen Anfangswerten, die auf einer Bahn liegen, nur durch Verschiebung des Definitionsbereichs auseinander hervorgehen, wie man das von Lösungen von autonomen Differentialgleichungen ja kennt. Genauer gilt: ˛x .t C t0 / D ˛y .t/
mit y D ˛x .t0 / ;
da beide Seiten für t D 0 den Wert ˛x .t0 / ergeben und d ˛x .t C t0 / D v.˛x .t C t0 // dt gilt. Also ist tatsächlich ˛y .t/ D ˛x .t C t0 / und ay ; by Œ D ax t0 ; bx t0 Œ : Das bedeutet für den Fluss: ˚.t; ˚.s; x// D ˚.t C s; x/ ;
(3.8)
D Flüsse und L IE-Ableitungen
69
falls .t C s; x/ im Definitionsbereich von ˚ liegt. Ist t2 ax ; bx Œ für jedes x 2 M; so ist durch (3.9) ˚t W M ! M ; x 7! ˚.t; x/ ein Diffeomorphismus gegeben, den man auch als einen Flussdiffeomorphismus zu v bezeichnet. Bei globalen Flüssen ist dies für alle t 2 R möglich, und dann bedeutet (3.8) einfach 8 s; t 2 R (3.10) ˚t ı ˚s D ˚t Cs und insbesondere
.˚t /1 D ˚t :
(3.11)
Die Eigenschaft (3.8) bzw. (3.10) ist für Flüsse charakteristisch, worauf wir jedoch nicht näher eingehen wollen. Nach Definition der Richtungsableitung einer Funktion f 2 C 1 .M / ist .vf /.x/ WD v.x/f D dfx .v.x// d ˇˇ D ˇ .f ı ˛x / dt t D0 f .˛x .t// f .x/ ; D lim t !0 t da ja ˛x insbesondere eine v.x/ repräsentierende Kurve ist. Dies ist der Ansatz, mit dem die L IE-Ableitung von kovarianten Tensorfeldern definiert wird. Allerdings genügt es dafür nicht, einzelne Integralkurven zu betrachten. Ist nämlich ! ein kovariantes Tensorfeld auf M; so kann man den Differenzenquotienten t 1 .!.˛x .t// !.x// – und erst recht die Ableitung dtd !.˛x .t// – gar nicht bilden, weil für verschiedene Punkte x1 D ˛x .t1 / ¤ ˛x .t2 / D x2 die Werte !.x1 /; !.x2 / Multilinearformen auf verschiedenen Vektorräumen sind, nämlich auf Tx1 M bzw. Tx2 M . Hier schafft der Einsatz von geeigneten (lokalen) Flussdiffeomorphismen Abhilfe. Sei also ˚ der Fluss eines differenzierbaren Vektorfeldes v. Da ja der Definitionsbereich eines Flusses stets offen ist, gibt es zu jedem x 2 M eine Umgebung Ux und ein ı > 0; so dass für alle x 0 2 Ux und alle jtj < ı jedenfalls .t; x 0 / im Definitionsbereich von ˚ liegt, also ˚t W Ux ! ˚t .Ux / ein Diffeomorphismus ist. Ist nun ! ein r-fach kovariantes Tensorfeld, so ist der Tensor .˚t !/x jedenfalls für kleine t und „geeignete“ x wieder wohldefiniert, und die L IE-Ableitung gibt nun an, wie sich ! „infinitesimal“ bei dieser Transformation verändert. Dies formulieren wir nun im Einzelnen: Definition 3.23. Ist ! ein r-fach kovariantes differenzierbares Tensorfeld und v ein differenzierbares Vektorfeld, so ist die L IE-Ableitung von ! längs v durch d ˇˇ ˚t.v/ ! Lv ! WD ˇ dt t D0
70
3 Tensorfelder und Differentialformen .v/
gegeben. Dabei bedeutet ˚t die in Definition 3.11b. eingeführte Operation der .v/ Abbildung f D ˚t auf kovarianten Tensorfeldern. Es gilt also .Lv !/x .w1 ; : : :; wr / WD (3.12) .v/ .v/ !˚ .v/ .t;x/ d˚t .w1 /; : : :; d˚t .wr / !x .w1 ; : : :; wr / x x lim t !0 t für w1 ; : : :; wr 2 Tx M . Dadurch ist offenbar wieder ein r-fach kovariantes Tensorfeld gegeben. Für ! 2 ˝ r M ist damit auch Lv ! 2 ˝ r M für jedes differenzierbare Vektorfeld. Da das äußere Produkt und die linearen Operationen natürlich sind (d. h. da (3.6) und die analoge Rechenregel für Linearkombinationen gilt), folgt sofort: Satz 3.24. Ist v ein differenzierbares Vektorfeld auf M; ! 2 ˝ r M; 2 ˝ s M und c1 ; c2 2 R; so gilt a. Lv .! ^ / D Lv .!/ ^ C ! ^ Lv ./; b. Lv .c1 ! C c2 / D c1 Lv ! C c2 Lv ; falls r D s. Ähnlich können wir nun für Vektorfelder die L IE-Ableitung längs eines gegebenen Vektorfeldes v definieren. Allerdings müssen wir zunächst klären, wie sich Vektorfelder unter Diffeomorphismen transformieren. Definition 3.25. Sei g W M ! N ein Diffeomorphismus. Zu jedem Vektorfeld v 2 TM definieren wir dann das transformierte Vektorfeld w g v 2 T N durch w.y/ WD dgx .v.x// mit x D g 1 .y/ ; y 2 N : Ist nun ˚t.v/ ein Flussdiffeomorphismus zu v; definiert in einer offenen Umgebung eines p 2 M; so ist für jedes Vektorfeld w und t klein genug durch Punktes .v/ w t WD ˚t w bzw. ausführlich: .v/ .w.y// mit y D ˚t.v/ .x/ (3.13) w t .x/ WD d˚t y
ein neues Vektorfeld w t gegeben, das ebenfalls in einer offenen Umgebung von p definiert ist (hier ist die lokale Version von (3.11) zu beachten!). Die L IE-Ableitung gibt nun wieder die infinitesimale Änderung des Vektorfeldes unter dieser Wirkung der Flussdiffeomorphismen an. Definition 3.26. Sind v und w differenzierbare Vektorfelder auf M; so heißt das durch d t ˇˇ .Lv w/.x/ WD w .x/ˇ t D0 dt wohldefinierte Vektorfeld die L IE-Ableitung von w längs v. Dabei ist w t .x/ durch (3.13) gegeben. Man schreibt auch Lv w DW Œv; w :
D Flüsse und L IE-Ableitungen
71
dΦt (w1 )
x1
w1 dΦt (w2 ) x2
w2
Abb. 3.3 Wirkung eines Flussdiffeomorphismus auf ein Vektorfeld
Das Vektorfeld Œv; w heißt auch die L IEklammer oder der Kommutator von v und w. Die L IEklammer zweier Vektorfelder v und w verschwindet also genau dann, wenn der Fluss von v das Vektorfeld w in sich überführt. Ganz ähnlich kann auch die L IE-Ableitung von r-fach kontravarianten Tensorfeldern definiert werden. In [54] ist dies ausgeführt. Dort, oder auch in [32], S. 126 wird auch der folgende Satz bewiesen, der für das praktische Rechnen mit der L IEklammer von Bedeutung ist. Satz 3.27. Sind v und w zwei Vektorfelder auf M; so gilt für f 2 C 1 .M / Œv; wf D v.wf / w.vf / :
(3.14)
Dabei ist .vf /.x/ D dfx .v.x// die in (1.11) und (1.12) beschriebene Richtungsableitung von f längs v. Wir werden in Satz 4.19 eine Verallgemeinerung dieser Formel sehen. Nun wollen wir die L IE-Klammer in lokalen Koordinaten beschreiben. Sind in (3.14) v und w Koordinatenbasis-Felder, etwa v D @i D d'.e i /; w D @j D d'.e j / für eine lokale Parametrisierung ' von U M; so folgt mit (3.14) @.f ı '/ @f ı ' @j Œ@i ; @j f D @i @xj @xi D
@2 .f ı '/ @2 .f ı '/ D0 @xi @xj @xj @xi
für jedes f 2 C 1 .U /. Allgemeiner gilt:
72
3 Tensorfelder und Differentialformen
Satz 3.28. Seien v; w Vektorfelder, .U; h/ eine Karte von M und .@1 ; : : :; @n / die ˇ ˇ n n P P ˇ ˇ v i @i ; w ˇ D w i @i ; dann ist entsprechende Koordinatenbasis. Sei v ˇ D U
i D1
0
Œv; wjU D
U
i D1
1
n n X X @w i @v i A @ @i : vj wj @xj @xj i D1
(3.15)
j D1
Beweis. Wir wenden (3.14) im Fall f D x i an. Dann ist dx i .ŒvjU ; wjU / D v. dx i .w// w. dx i .v// D v.w i / w.v i / n i i X j @w j @v D v : w @xj @xj j D1
t u Mit dieser Formel lassen sich nun auch leicht die folgenden Eigenschaften der L IEklammer nachrechnen. Satz 3.29. Seien u; v; w 2 TM; f 2 C 1 .M /. Dann gilt a. Œu C v; w D Œu; w C Œv; w b. Œv; w D Œw; v (Schiefsymmetrie) c. Œu; Œv; w C Œv; Œw; u C Œw; Œu; v D 0 (JACOBI-Identität) d. Œf v; w D f Œv; w .wf /v e. g .Œv; w/ D Œg v; g w für jeden Diffeomorphismus g W M ! N . Der Beweis des Satzes sei dem Leser als Übungsaufgabe überlassen. Die Eigenschaften a.–c. bedeuten, dass die differenzierbaren Vektorfelder auf M zusammen mit der L IEklammer eine L IEalgebra bilden. Auf den allgemeinen Begriff der L IEalgebra und seine Bedeutung für die Diskussion von Symmetrien und Invarianzen werden wir im zweiten Band eingehen.
Aufgaben zu Kap. 3 3.1. Seien .M; g/; .MQ ; g/ Q zwei pseudo-R IEMANNsche Mannigfaltigkeiten und F W M ! MQ eine differenzierbare Abbildung. Man nennt F eine lokale Isometrie, wenn für alle x 2 M und alle v; w 2 Tx M gilt: gQ F .x/ . dFx .v/; dFx .w// D gx .v; w/ : Zeigen Sie: Ist dim M D dim MQ und ist F eine lokale Isometrie, so ist F auch ein lokaler Diffeomorphismus.
Aufgaben
73
3.2. Sind die folgenden Abbildungen lokale Isometrien? Sind sie Diffeomorphismen? a. f W R2 ! S1 R .x; y/ 7! .cos x; sin x; y/ b. f W S1 S1 ! T1;2 ; . ei' ; ei# / 7! ..2 C cos '/ cos #; .2 C cos '/ sin #; sin '/ Dabei bezeichnet Tr;R den Rotationstorus wie in Aufgabe 1.4. 3.3. a. Sei ! D xy dx C x 2 dy; und sei ' W R3 ! R2 gegeben durch '.u; v; w/ WD .u2 ; v C w/ : Stellen Sie ' ! durch du; dv; dw dar. b. Für ˛ D x dz C 3xy dy und ˇ D sin z dx ^ dy berechnen Sie ˛ ^ ˇ. 3.4. Betrachten Sie auf U WD R3 n f.x; y; z/T 2 R3 j y D 0; x 0g die durch die Kugelkoordinaten gegebene Karte h D .r; '; #/ W U ! 0; 1Œ 0; 2Œ 0; Œ 0
1 r cos ' sin # h1 .r; '; #/ D @ r sin ' sin # A : r cos #
mit
a. Berechnen Sie die Komponentenfunktionen von dr; d' und d# bezüglich der Basis . dx; dy; dz/. Was ist der maximale Definitionsbereich von dr; d'; d#? b. Betrachten Sie nun die zur Karte aus a. gehörende Koordinatenbasis von Tp S2 und die zugehörige duale Basis von Alt1 .Tp S2 /. Geben Sie für die Inklusionsabbildung j W S2 ,! R3 die Differentialformen j dr;
j d';
j d#;
j dx;
j dy;
j dz;
j . dx ^ dy/
bezüglich dieser Basis an. c. Sei v.x/ D x. Drücken Sie iv det und !S2 WD j .iv det/ durch dr; d'; d# und durch dx; dy; dz aus. d. Zeigen Sie, dass die kanonische Volumenform auf Sn1 in kartesischen Koordinaten durch ! n X .1/i 1 x i dx 1 ^ ^ dx i ^ ^ dx n j
b
i D1
74
3 Tensorfelder und Differentialformen
gegeben ist, wobei j W Sn1 ! Rn die Inklusion ist. 3.5. Zeigen Sie: Ist ! 2 ˝ r M; 2 ˝ s M; so ist für v 2 TM iv .! ^ / D .iv !/ ^ C .1/r ! ^ iv : Hinweis: Man arbeite in lokalen Koordinaten und verwende (2.10). 3.6. Sei M WD f..cos 2'/.2Cu cos '/; .sin 2'/.2Cu cos '/; u sin '/ j
2 R; u 21; 1Œg
das M ÖBIUSband. Zeigen Sie: M ist eine nichtorientierbare Fläche. Hinweis: Geben Sie ein stetiges Normaleneinheitsfeld längs W0; Œ! M; .t/ WD .2 cos.2t/; 2 sin.2t/; 0/ an. Kann dies als stetiges Normalenfeld auf M fortgesetzt werden? 3.7. Betrachten Sie den Rotationstorus Tr;R mit der durch die Parametrisierung 0 1 .R C r cos #/ cos ' .'; #/ D @ .R C r cos #/ sin ' A r sin # induzierten Orientierung. a. Berechnen Sie das Normaleneinheitsfeld N W Tr;R ! R3 mit det.N .x/; @' .x/; @# .x// > 0 für alle x 2 Tr;R . b. Mit j W Tr;R ,! R3 ist !Tr;R WD j .iN det/ 2 ˝ 2 .Tr;R / : Geben Sie !Tr;R in der Basis d'; d# an. 3.8. Es sei M R3 eine orientierte Fläche, d. h. dim M D 2 und !M die Volumenform. Sei N das Normaleneinheitsfeld, das so gewählt ist, dass .N; u; v/ in R3 positiv orientiert ist für jede positiv orientierte Basis .u; v/ von Tp M . a. Zeigen Sie, dass die Gleichung !M .u; v/N.p/ D u v; für u; v 2 Tp M gilt. b. Sei U M eine offene Teilmenge mit einer orientierungserhaltenden Parametrisierung W R2 U 0 ! U :
Aufgaben
75
Folgern Sie aus a., dass die Gleichung ˇ ˇ ˇ @ ˇ @ ˇˇ dx ^ dy !M ˇU D ˇˇ @x @y ˇ gilt. Dabei ist f dx; dyg die durch gegebene Koordinatenbasis von T M . c. Berechnen Sie damit vol .Tr;R / für den Rotationstorus Tr;R der wie in Aufgabe 1.4 definiert wird. d. Sei f eine differenzierbare Funktion f D .f1 ; : : :; fk / W Rn ! Rk mit dem regulären Wert 0. Zeigen Sie, dass die Volumenform auf der Untermannigfaltigkeit M D f 1 .0/ Rn durch !M D
detn .grad .f1 /; : : :; grad .fk /; : : :/ .detk .hgrad .fi /j grad .fj /ii;j D1;:::;k //1=2
gegeben ist. Dabei ist detj die Determinante im Rj ; j D n; k. 3.9. Wir definieren drei R IEMANNsche Mannigfaltigkeiten wie folgt: a. 2-M INKOWSKIsche Sphäre S2M WD f.x; y; z/ 2 R3 j z 2 x 2 y 2 D 1; z < 0g mit der induzierten Metrik g1 von .R3 ; h j iM /. Dabei wird die M INKOWSKI Metrik h j iM auf R3 durch das M INKOWSKI-Skalarprodukt h.x; y; z/T j .x 0 ; y 0 ; z 0 /T iM WD xx 0 C yy 0 zz 0 definiert. b. Hyperbolische Ebene HC WD f.x; y/ 2 R2 j y > 0g 2 mit der Metrik g.x;y/ .u; v/ D c. P OINCARÉ Scheibe
1 y2
hujvi.
D WD f.x; y/ 2 R2 j x 2 C y 2 < 1g 3 mit der Metrik g.x;y/ .u; v/ D
4 .1x 2 y 2 /2
hujvi.
Zeigen Sie, dass .S2M ; g 1 /; .HC ; g 2 / und .D; g 3 / isometrisch zueinander sind und geben Sie die Volumenformen an. Dabei nennt man zwei pseudo-R IEMANNsche Mannigfaltigkeiten M; MQ isometrisch, wenn es einen Diffeomorphismus f W M ! MQ gibt, der gleichzeitig eine lokale Isometrie im Sinne von Aufgabe 3.1 ist.
76
3 Tensorfelder und Differentialformen
3.10. Sei M eine Pseudo-R IEMANNsche Mannigfaltigkeit. Zeigen Sie: Sind @1 ; : : :; @n und @Q 1 ; : : :; @Q n zwei Koordinatenbasisfelder auf U M , X @Q i D ak @k und gQ ij D g @Q i ; @Q j i
k
gij D g @i ; @j ;
so gilt gQ ij D
X
aik ajl gkl :
k;l
3.11. Sei M D R4 ; versehen mit dem M INKOWSKI-Skalarprodukt hxjyiM D x1 y1 C x2 y2 C x3 y3 x4 y4 : Für welche der folgenden Untermannigfaltigkeiten N ist durch die Einschränkung von h j iM auf N eine Metrik gegeben? Wenn ja, von welchem Index? a. N b. N c. N d. N
D R3 0; D 0 R3 ; D f.t; 0; 0; t/ j t 2 Rg; D fx 2 R4 j hxjxiM D 1g.
3.12 (DE S ITTER Raumzeit). Sie ist definiert durch S41 WD fx 2 R5 j hxjxiM D r 2 g mit hxjyiM D x1 y1 C C x4 y4 x5 y5 . Zeigen Sie: S41 ist eine 4-dimensionale L ORENTZ-Mannigfaltigkeit.
Kapitel 4
Integration und Differentiation von Differentialformen
Mit Hilfe von Differentialformen kann die Integration auf Mannigfaltigkeiten einfach und elegant definiert werden, und das bekannte Flächenintegral tritt dabei als Spezialfall wieder auf. Auch die G REENsche Formel, den Satz von G AUSS und den klassischen Satz von S TOKES kann man nun als Spezialfälle eines einzigen Satzes, des allgemeinen Satzes von S TOKES auffassen. Eine erste Anwendung in der Physik ist, dass die M AXWELLschen Gleichungen mit Hilfe der Differentialformen überraschend klar und einfach formuliert werden können. Wir beginnen dieses Kapitel mit zwei technischen Vorbereitungen: In Abschn. A besprechen wir ein wichtiges mathematisches Werkzeug aus der modernen Analysis, das nicht nur für die Integration auf Mannigfaltigkeiten, sondern später auch für die allgemeine Integrationstheorie und die Distributionstheorie gebraucht wird, und in Abschn. B führen wir berandete Mannigfaltigkeiten ein, da diese für die Formulierung des fundamentalen S TOKESschen Integralsatzes benötigt werden. Die Integration von Differentialformen ist das Thema von Abschn. C, und in den darauf folgenden drei Abschnitten besprechen wir den berühmten C ARTANschen Ableitungsoperator d; seine Beziehungen zur klassischen Vektoranalysis und seine Anwendung auf die geschlossene differentielle Formulierung der M AXWELLschen Gleichungen. Abschn. G stellt mit dem allgemeinen Satz von S TOKES dann den Höhepunkt des Kapitels dar. Wir beweisen den Satz, leiten seine wichtigsten Folgerungen ab und illustrieren ihn durch einige Anwendungen aus der Elektrodynamik. Im abschließenden Abschn. H schließlich zeigen wir, wie die klassischen Konzepte von Potentialen und Vektorpotentialen in der Sprache der Differentialformen neu formuliert und in fundamentaler Weise verallgemeinert werden können.
A Zerlegung der Einheit Zerlegungen der Einheit sind ein wichtiges Hilfsmittel, um Objekte, die „lokal“, also in einem Kartengebiet definiert sind, „zusammenzukleben“ zu Objekten, die auf der ganzen Mannigfaltigkeit definiert sind. Das „Zusammenkleben“ verschiedener Dinge, bei dem es oft sehr schwierig ist, die Grenzflächen, an denen verklebt werden K.-H. Goldhorn, H.-P. Heinz, M. Kraus, Moderne mathematische Methoden der Physik DOI 10.1007/978-3-540-88544-3, © Springer 2009
77
78
4 Integration und Differentiation von Differentialformen
kann, korrekt festzulegen, wird durch den „glatten Übergang“, den die Zerlegungen der Eins ermöglichen, ungemein erleichtert. Um dies besser zu verstehen, betrachten wir das Beispiel der nullstellenfreien nFormen: In Definition 3.13 wurde die Orientierbarkeit einer Mannigfaltigkeit durch drei äquivalente Bedingungen beschrieben, und wir hatten den Beweis, dass die Existenz einer nullstellenfreien n-Form auf der Mannigfaltigkeit aus einer der anderen Bedingungen folgt, auf später verschoben. Jetzt versuchen wir, diesen Beweis zu führen: Ist auf M eine Orientierung gegeben, so können wir lokal sofort nullstellenfreie n-Formen angeben: Ist .U; h/ eine orientierungserhaltende Karte auf M; so ist !U WD h det 2 ˝ n U jedenfalls eine n-Form, die auf U nicht verschwindet – sie liefert auf jeder positiv orientierten Basis von Tx M .x 2 U / nämlich einen positiven Wert. Dabei ist det die Determinante auf Rn . Die so auf verschiedenen Koordinatengebieten U1 und U2 konstruierten nullstellenfreien n-Formen stimmen auf dem Schnitt U1 \ U2 i. a. aber nicht überein. Sie können also nicht einfach zu einer differenzierbaren nullstellenfreien n-Form auf ganz M zusammengefügt werden. Hier kommen die Zerlegungen der Eins ins Spiel: Bevor wir sie definieren, erinnern wir an den Begriff des Trägers einer stetigen Funktion: Ist X ein topologischer Raum (insbes. eine Mannigfaltigkeit) und ' W X ! K stetig, so setzt man Tr ' WD N.'/ mit N.'/ WD fx 2 X j '.x/ ¤ 0g und nennt diese Menge den Träger von '. Man kann den Träger auch beschreiben als das Komplement der größten offenen Menge, in der ' verschwindet. Definitionen 4.1. Sei M eine Mannigfaltigkeit, .Ui /i 2I eine offene Überdeckung von M . Unter einer differenzierbaren, der Überdeckung .Ui /i 2I untergeordneten Zerlegung der Eins versteht man eine Familie f˛ g˛2A von C 1 -Funktionen ˛ W M ! Œ0; 1 mit den Eigenschaften a. Für jedes ˛ 2 A existiert ein i˛ 2 I mit Tr ˛ Ui˛ . b. Die Familie f˛ g ist lokal endlich, d. h. für jedes p aus M existiert eine offene Umgebung Vp und eine endliche Teilmenge A0 A; so dass ˛ .p 0 / D 0 für alle p 0 2 Vp und alleP ˛ 62 A0 . ˛ .p/ D 1. c. Für alle p 2 M gilt ˛2A
Man beachte hier, dass die Summe in c. auf Grund der Bedingung b. lokal immer nur endlich viele nichtverschwindende Terme hat. Theorem 4.2. Auf einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit gibt es zu jeder offenen Überdeckung eine untergeordnete abzählbare differenzierbare Zerlegung der Einheit. Den Beweis dieses Satzes kann man z. B. in [48] nachlesen. Wir werden ihn nur für kompakte Mannigfaltigkeiten führen. Zuvor aber fahren wir mit unserem Beispiel fort:
A Zerlegung der Einheit
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Ist .Ui /i 2I eine Überdeckung von M durch Kartengebiete, .˛ /˛2A eine untergeordnete Zerlegung der Einheit, so ist für jedes ˛ 2 A durch ( ˛ .p/!U˛ .p/ p 2 U˛ ; !˛ .p/ WD 0 sonst eine Differentialform !˛ 2 ˝ n M definiert, da Tr ˛ U˛ . Dabei ist !˛ .p/.v1 ; : : :; vn / > 0; wenn ˛ .p/ > 0 und wenn .v1 ; : : :; vn / eine positiv orientierte Basis von Tp M ist. Definiere jetzt X !0 WD !˛ : ˛2A
Die Summe ist an jeder Stelle p 2 M endlich, da die Familie .˛ /˛ lokal endlich ist. Ist p 2 M und .v1 ; : : :; vn / eine positiv orientierte Basis von Tp M; so folgt X !0;p .v1 ; : : :; vn / D ˛ .p/!U˛ ;p .v1 ; : : :; vn / > 0 : ˛2A
Damit haben wir für die Bedingungen aus Definition 3.13 die Implikation a. H) c. gezeigt. Ebenso zeigt man: Satz 4.3. Auf einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit gibt es stets eine R IEMANNsche Metrik. Der Beweis sei dem Leser als Übungsaufgabe überlassen. Im folgenden Lemma werden als Vorbereitung zum Beweis von Theorem 4.2 kleine „Buckelfunktionen“ auf M konstruiert, die ihren Träger in einer vorgegebenen offenen Menge haben. Lemma 4.4. Sei V M offen, p 2 V . Dann gibt es 2 C 1 .M; Œ0; 1/ mit .p/ > 0 und Tr V . Beweis. Sei .U; h/ eine Karte um p mit U V; h.p/ D 0 und B1 .0/ U 0 . Definiere Q 2 C 1 .U 0 / durch ( e1=t für t > 0 ; 2 .x/ Q WD .1 jxj / mit .t/ WD (4.1) 0 für t 0 : Dass und damit Q tatsächlich C 1 ist, folgt mit Methoden der Differentialrechnung in einer Variablen und wird meistens als Beispiel für eine Funktion behandelt, die lokal bei 0 nicht verschwindet, obwohl dort alle Ableitungen Null sind, und die daher nicht mit ihrer TAYLORentwicklung übereinstimmt (vgl. etwa [36], Kap. 17). Das gesuchte 2 C 1 .M / ist nun durch ( .h.x// Q x2U ; .x/ WD 0 sonst gegeben.
t u
80
4 Integration und Differentiation von Differentialformen
Beweis (von Theorem 4.2 für kompakte Mannigfaltigkeiten). Sei .Ui /i 2I eine offene Überdeckung von M . Für jedes p 2 M wähle eine offene Umgebung Ui.p/ von p; die zu dieser Überdeckung gehört, und ein p 2 C 1 .M; Œ0; 1/ mit p .p/ > 0 und Tr p Ui.p/ . Sei Vp Tr p M eine offene Umgebung von p (z. B. Vp WD fx j p .x/ > 12 p .p/g). Da M kompakt ist, gibt es endlich viele r S Punkte p1 ; : : :; pr mit Vpj D M . Setze j WD pj ; also j 2 C 1 .M; Œ0; 1Œ/ j D1
und Tr j Ui.pj / . Definiere j .x/ WD
j .x/ 2 C 1 .M; Œ0; 1Œ/ : 1 .x/ C C r .x/
Der Nenner ist tatsächlich nirgends null, denn für jedes x existiert mindestens ein j 2 f1; : : :; rg mit x 2 Vpj ; also j .x/ > 0. Ferner gilt Tr j D Tr j Ui.pj / und r P j .x/ D 1. t u
j D1
Die Beispiele, die wir für die Anwendung zur Zerlegung der Einheit angeführt haben, dürfen nicht dazu verleiten, anzunehmen, dass man ab jetzt stets argumentieren kann: Ein Objekt X existiert auf offenen Teilmengen des Rn und folglich auch auf Mannigfaltigkeiten, denn wir können es mittels Zerlegung der Einheit aus lokalen Teilen zusammenkleben. Manchmal gehen nämlich die interessanten Eigenschaften beim „Verkleben“ verloren. Um dies einzusehen, betrachten wir folgendes Beispiel: Auf einer offenen Teilmenge U Rn existiert stets ein differenzierbares 0 1 1 B0C B C Vektorfeld v W U ! Rn mit v.x/ 6D 0 für alle x 2 U; z. B. v.x/ D B : C für alle : @:A 0 x 2 U . Wir können nicht argumentieren: „Durch Zerlegung der Einheit ist folglich auf einer Mannigfaltigkeit stets ein Vektorfeld gegeben, das nirgends verschwindet“, denn sind U1 ; U2 M offen und ist vi ein nullstellenfreies Vektorfeld auf Ui ; so ist nicht notwendig 1 .x/v1 .x/ C 2 .x/v2 .x/ 6D 0 für alle x 2 U1 \ U2 . In der Tat existiert auch nicht auf jeder Mannigfaltigkeit ein Vektorfeld, das nirgends verschwindet, und die Frage, ob und wie viele punktweise linear unabhängige Vektorfelder auf einer Mannigfaltigkeit existieren, ist eine wichtige „globale“ Problemstellung, d. h. sie ist ein typisches Beispiel für ein Problem, das nicht durch Betrachtung von Koordinatengebieten alleine gelöst werden kann. In den Übungen werden wir sehen, dass die Fragestellung nach dem NichtVerschwinden von Vektorfeldern eng verknüpft ist mit der Frage, auf welchen Mannigfaltigkeiten es eine L ORENTZmetrik gibt. Für den Fall der Dimension n D 4 läuft dies auf das grundlegende Problem hinaus, welche Mannigfaltigkeiten als Modell für die physikalische Raumzeit in Frage kommen. Zum Abschluss des Abschnitts zeigen wir noch als eine weitere Anwendung der Zerlegung der Einheit eine schwächere Version des Einbettungssatzes 1.22.
B Mannigfaltigkeiten mit Rand
81
Satz 4.5. Ist M eine kompakte n-dimensionale Mannigfaltigkeit, so gibt es ein N 2 N; eine Untermanigfaltigkeit M 0 RN und einen Diffeomorphismus f W M ! M 0. Beweis. Sei A D f.Ui ; hi / j i 2 I g ein Atlas für M; fj j j D 1; : : :; mg eine .Ui /i 2I untergeordnete Zerlegung der Einheit mit Tr j Uij . Sei hQ j 2 C 1 .M; Rn / durch ( j .x/hij .x/ x 2 Uij ; hQ j .x/ WD 0 sonst für j D 1; : : :; m gegeben. Dann ist f W M ! RmCnm ; x 7! .1 .x/; : : :; m .x/ ; hQ 1 .x/; : : :; hQ m .x// die gesuchte Abbildung, wie wir jetzt nachprüfen: f ist injektiv, denn ist f .x/ D f .y/; so ist j .x/ D j .y/ für alle j; also gibt es ein j 2 f1; : : :; mg mit x; y 2 Tr j Uij . Also ist auch hj .x/ D hj .y/ und somit x D y. Nach Theorem 1.14b. ist f W M ! f .M / ein Homöomorphismus. Eine ähnliche Rechnung zeigt, dass dfx für alle x 2 M injektiv ist. Dann ist M 0 WD f .M / RN ; N WD m C nm; eine Untermannigfaltigkeit und f W M ! M 0 ein Diffeomorphismus. Ist nämlich y 2 M 0 beliebig, etwa y D f .x/; x 2 Uij ; so wählen wir linear unabhängige Vektoren vnC1 ; : : :; vN 2 RN ; die nicht in dem n-dimensionalen Raum dfx .Tx M / liegen, und betrachten die Abbildung 1 0 N X k vk A ; g.1 ; : : :; N / WD @f h1 ij .1 ; : : :; n / ; kDnC1
die eine offene Umgebung V RN von .hij .x/; 0/ auf eine offene Umgebung W RN von y abbildet. Sie ist nach dem Satz über inverse Funktionen ein Diffeomorphismus, und da f ein Homöomorphismus ist, ist W \ M 0 eine Umgebung von y in M 0 . Also ist H WD g 1 ein Flachmacher von M 0 bei y; und f ist bei x ein lokaler Diffeomorphismus. Hieraus folgen alle Behauptungen. t u
B Mannigfaltigkeiten mit Rand In diesem Abschnitt wollen wir den Begriff der Mannigfaltigkeit ein wenig erweitern. Die n-dimensionalen Teilmannigfaltigkeiten des Rn sind genau die offenen Teilmengen des Rn . So ist also z. B. die abgeschlossene Kugel Brn WD fx 2 Rn j jxj rg keine Mannigfaltigkeit, denn Brn ist nicht lokal diffeomorph zu Rn ; sondern sie sieht lokal aus wie eine Teilmenge des Halbraums Rn WD fx 2 Rn j x1 0g Rn :
82
4 Integration und Differentiation von Differentialformen
Wir wollen dies nun präzisieren. Definitionen 4.6. a. Sei U Rn offen in Rn . Eine stetige Abbildung f W U ! Rk e Rn heißt differenzierbar bei p 2 U; wenn es eine in Rn offene Teilmenge U e und eine differenzierbare Abbildung gibt mit p 2 U e ! Rk fQ W U ˇ ˇ mit fQˇU \e D f ˇU \e . U U b. Eine bijektive Abbildung f W U ! V zwischen offenen Teilmengen des Rn heißt Diffeomorphismus, falls f und f 1 differenzierbar sind. c. Ist U Rn ; so heißt @U WD f.x1 ; : : :; xn / 2 U j x1 D 0g der Rand von U. Diese Definition des Randes stimmt i. a. nicht mit der Definition des Randes überein, die in der Topologie benutzt wird (siehe Abschn. 1A). Die Abbildung fQ aus Definition 4.6 ist natürlich nicht eindeutig bestimmt, aber die partiellen Ableitungen von fQ bei p 2 U sind alle eindeutig durch f festgelegt, denn ! ! fQ.p C te 1 / fQ.p/ fQ.p C te 1 / fQ.p/ D lim ; lim t !0C t !0 t t da fQ differenzierbar ist. Lemma. Ist f W U ! V ein Diffeomorphismus zwischen Teilmengen des Rn ; so ist f .@U / D @V und es gilt @f1 @f1 .p/ > 0 ; .p/ D 0 für j D 2; : : :; n; p 2 @U : @x1 @xj Beweis. Die erste Behauptung folgt, da Diffeomorphismen zwischen offenen Teilmengen im Rn offene Teilmengen auf offene abbilden (Details etwa in [48]). Die Behauptung über die partiellen Ableitungen folgt aus der Tatsache, dass für p 2 @U gilt sign .f1 .p C te 1 // D sign .t/ und f1 .p C te j / D 0 für j 6D 1 : t u Definitionen 4.7. a. Unter einem differenzierbaren berandeten Atlas für einen topologischen Raum M verstehen wir eine offene Überdeckung .U /2 von M; zusammen mit
B Mannigfaltigkeiten mit Rand
h(P)
83
P
Abb. 4.1 Karte für eine berandete Mannigfaltigkeit
Homöomorphismen h W U ! U0 ; U0 Rn oder
U0 Rn offen ;
so dass alle Kartenwechsel ˇ ˇ w WD h ı h1 h .U
\U /
W h .U \ U / ! h .U \ U /
Diffeomorphismen sind. Die Paare .U ; h / heißen dann berandete Karten. Ist .U ; h /2^ so, dass [2^ U D M , so heißt .U ; h /2^ berandeter Atlas. Ein maximaler berandeter Atlas heißt eine differenzierbare Struktur. Ein topologischer H AUSDORFF-Raum, der als Vereinigung von abzählbar vielen kompakten Teilmengen geschrieben werden kann, zusammen mit einer berandeten differenzierbaren Struktur heißt eine berandete (differenzierbare) Mannigfaltigkeit. b. Ist M eine berandete Mannigfaltigkeit, so heißt p 2 M Randpunkt, falls für eine (und dann jede) Karte .U; h/ mit p 2 U gilt: h.p/ 2 @U 0 . Die Menge der Randpunkte von M bezeichnet man als Rand @M von M . Offenbar ist der Rand einer berandeten n-dimensionalen Mannigfaltigkeit eine unberandete Mannigfaltigkeit der Dimension n 1. Mannigfaltigkeiten sind oft als Nullstellen von Gleichungen durch den Satz vom regulären Wert gegeben. Berandete Mannigfaltigkeiten hingegen werden oft durch Ungleichungen beschrieben. Dies wird durch den folgenden Satz ermöglicht: Satz 4.8. Sei B Rn offen, F 2 C 1 .B; Rm / und f 2 C 1 .B; R/. Sei C 2 Rm regulärer Wert von F und .C; c/ 2 RmC1 regulärer Wert von .F; f /. Dann ist fx 2 B j F .x/ D C ; f .x/ cg eine .n m/-dimensionale berandete Untermannigfaltigkeit des Rn . Der Beweis ist völlig analog zum Beweis des Satzes vom regulären Wert. Natürlich bleibt die Aussage ebenso richtig, wenn statt f .x/ c die Ungleichung f .x/ c gegeben ist.
84
4 Integration und Differentiation von Differentialformen
Beispiel: M D f.x; y; z/ 2 R3 j x 2 C y 2 C z 2 D 1 ; z 0g ist eine berandete Mannigfaltigkeit und @M D f.x; y; z/ 2 R3 j x 2 C y 2 D 1 ; z D 0g Š S1 : Die meisten Begriffe lassen sich sofort von Mannigfaltigkeiten auf berandete Mannigfaltigkeiten übertragen. Differenzierbarkeit ist wieder mittels Karten definiert. Zur Definition des Tangentialraums setzen wir für p 2 @M Kp .M / WD
f W Œ0; "/ ! M ; differenzierbar .0/ D pg [ f W ."; 0 ! M ; differenzierbar .0/ D pg :
ˇ Für 2 Kp .M / und eine Karte .U; h/ um p sind h..0// 2 @U 0 und dtd ˇt D0 h ı 2 Rn wohldefiniert. Auf Kp .M / ist daher eine Äquivalenzrelation wie in Abschn. 1C definiert und wir setzen wieder Tp M D Kp .M /= ; d. h. die Elemente von Tp M sind die Äquivalenzklassen von Kurven aus Kp .M /. Die Abbildungen 'p ; hp sind wie in (1.8) bzw. (1.9) aus Abschn. 1C definiert. Damit ist Tp M auch für p 2 @M ein n-dimensionaler Vektorraum, und Tp .@M / Tp M ist ein .n 1/-dimensionaler Untervektorraum. Das Differential ist wieder mittels Karten wie in Definition 1.29 definiert und wir setzen für p 2 @M Tpinnen M WD d'h.p/ .Rn n @Rn / ; Tpaußen M
n
WD d'h.p/ .R n
Rn /
;
(4.2) (4.3)
wobei ' eine lokale Parametrisierung um p ist. Für p 2 @M ist Tp M also die disjunkte Vereinigung von Tpinnen M; Tpaußen M und Tp @M . Differentialformen und Metriken sind auf berandeten Mannigfaltigkeiten ebenso wie auf unberandeten definiert. Ist M R IEMANNsche Mannigfaltigkeit, so ist auch auf @M durch Einschränkung der Metrik auf T @M eine R IEMANNsche Metrik gegeben. Ist M nur pseudoR IEMANNsch (z. B. eine L ORENTZsche Mannigfaltigkeit), so ist die Bilinearform, die durch Einschränkung auf T @M entsteht, jedoch möglicherweise entartet, definiert also eventuell keine pseudo-R IEMANNsche Metrik auf @M . Ist M eine R IEMANNsche Mannigfaltigkeit, so heißt die durch N W @M ! TM ; N.p/ 2 Tpaußen M ; jN.p/j D 1
(4.4)
N.p/ 2 .Tp .@M //? eindeutig definierte Abbildung das nach außen weisende Normaleneinheitsfeld auf @M .
C Integration auf Mannigfaltigkeiten
85
Ist M orientierte berandete Mannigfaltigkeit, so ist @M ebenfalls orientiert, und zwar durch folgende Konvention. Definition 4.9. Eine Basis .v1 ; : : :; vn1 / von Tp @M heiße positiv orientiert, falls für jeden nach außen weisenden Vektor V 2 Tpaußen M die Basis .V; v1 ; : : :; vn1 / von Tp M positiv orientiert ist. Ist !M die Volumenform auf einer orientierten R IEMANNschen Mannigfaltigkeit und N das nach außen weisende Normaleneinheitsfeld, so ist die kanonische Volumenform auf @M durch (4.5) !@M WD iN !M gegeben. Offenbar ist sie die zu der in 4.9 definierten Orientierung passende Volumenform auf @M .
C Integration auf Mannigfaltigkeiten In diesem Abschnitt verstehen wir unter Mannigfaltigkeiten sowohl berandete als auch unberandete Mannigfaltigkeiten. Spricht man über Integration auf Mannigfaltigkeiten, so muss als erstes geklärt werden, welches Objekt denn integriert werden soll. Erinnern wir uns zunächst an die Integration über n-dimensionale Flächenstücke M RN .N n/ mit Parametrisierung ' W U 0 ! U M; wie sie z. B. in [36], Kap. 22, eingeführt wurde. Für stetiges f W M ! R ist Z Z p f d WD .f ı '/ G dn x ; (4.6) U0
U
wobei G WD det.gij / die G RAMsche Determinante ist, d. h. die Determinante des metrischen Tensors gij WD h@i '; @j 'i. Vergleicht man dies mit der in Satz 3.20 gegebenen Beschreibung der Volumenform !M ; so sieht man, dass auf der rechten Seite von (4.6) Z .' .f !M //.e 1 ; : : :; e n / dn x U0 n
steht, wobei d x die gewöhnliche Integration bezüglich des L EBESGUEmaßes im Rn bezeichnet. Für 2 ˝ n Rn und messbares M Rn liegt es daher nahe, Z Z WD .e 1 ; : : :; e n / dn x (4.7) M
M
zu setzen. Ist nämlich WD f ı ^ ^ ı n mit f 2 C 1 .Rn / (Bezeichnungen wie in Abschn. 3B), so ergibt sich aus dieser Definition Z Z D f dn x : 1
M
M
86
4 Integration und Differentiation von Differentialformen
Die rechte Seite von (4.6) ist dann gleichbedeutend mit
R U0
' .f !M /. Dies führt
zu dem Ansatz, dass man auf einer n-dimensionalen Mannigfaltigkeit die n-Formen integriert, und zwar mit der Definition, die in dem nachfolgenden Satz gerechtfertigt wird. Allerdings bekommt man dabei ein Vorzeichenproblem, da sich unter einem Kartenwechsel w die n-Formen gemäß 2.12 mit dem Faktor det Jw transformieren, die Integrale aber mit j det Jw j. Daher geht man von orientierten Mannigfaltigkeiten M aus und legt eine Orientierung fest, bevor man n-Formen auf M integriert. Satz und Definition 4.10. Sei M eine orientierte n-dimensionale Mannigfaltigkeit, 2 ˝ n M und Tr U kompakt, wobei .U; h/ eine orientierungserhaltende Karte von M ist. Dann ist Z Z Z WD ' .' /.e 1 ; : : :; e n / dn x M
U0
U0
mit ' D h1 W U 0 ! U unabhängig von der Wahl der Karte und daher wohldefiniert. Beweis. Sei .V; k/ eine weitere orientierungserhaltende Karte mit Tr V; und sei WD k 1 W V 0 ! V; w WD k ı ' W U 0 ! V 0 . Dann ist ' D .
ı k ı '/
D w Zu zeigen ist also, dass
Z w U0
:
Z D
:
(4.8)
V0
Nach (2.12) ist w . / D det Jw . /. Also folgt (4.8) aus der Transformationsformel für das L EBESGUE-Integral, denn da beide Karten orientierungserhaltend sind, ist überall det Jw > 0. t u Bemerkung: Ist ' D h1 mit einer orientierungsumkehrenden Karte .U; h/; so ergibt eine analoge Rechnung: Z Z D ' : M
U0
Um nun die Integration von beliebigen n-Formen zu definieren, verfährt man genauso wie bei Teilmannigfaltigkeiten des Rn : Die Mannigfaltigkeit wird in einzelne Stücke zerlegt, die jeweils in Kartengebieten enthalten sind, und die Integrale über diese einzelnen Stücke werden summiert. Dies könnte mittels einer Zerlegung der Einheit geschehen, doch ziehen wir eine Definition vor, die dem praktischen Vorgehen bei der Berechnung von Integralen entspricht.
C Integration auf Mannigfaltigkeiten
87
Definitionen 4.11. Eine Teilmenge A einer n-dimensionalen differenzierbaren Mannigfaltigkeit M heißt messbar (bzw. Nullmenge), falls für eine (und dann jede) Überdeckung von A durch Karten .Ui ; hi /i 2I die Teilmengen hi .Ui \ A/ Rn messbar (bzw. Nullmengen) sind für alle i 2 I . Lemma. Jede Mannigfaltigkeit M hat eine Zerlegung in abzählbar viele disjunkte messbare Teilmengen .Ai /i 2N ; so dass jedes Ai ganz in einem Kartengebiet enthalten ist, d. h. es gilt S a. Ai D M und Ai \ Aj D ; für i ¤ j; i 2N
b. für jedes i 2 N existiert eine Karte .Ui ; hi / mit Ai Ui . Beweis. Die Mannigfaltigkeit M besitzt einen abzählbaren Atlas .Ui ; hi /i 2N ; denn sie kann als Vereinigung von abzählbar vielen kompakten Teilmengen geschrieben werden (Definition 1.16b.), und jede dieser kompakten Teilmengen kann durch endlich viele Kartengebiete überdeckt werden. Man erreicht nun das Gewünschte, indem man setzt: A1 WD U1 ; A2 WD U2 n A1 ; : : :; Ai C1 D Ui C1 n
i [
Aj :
j D1
t u Satz und Definition 4.12. a. Eine n-Form ! auf einer orientierten n-dimensionalen Mannigfaltigkeit M heißt integrierbar, wenn für eine – und dann jede – Zerlegung .Ai /i 2N von M wie in obigem Lemma und eine – und dann jede – Folge .Ui ; hi /i 2N von orientierungserhaltenden Karten mit Ai Ui und 'i D h1 i gilt: Für jedes i ist die lokale Koeffizientenfunktion ai W Ui0 D hi .Ui / ! R W
x 7! !'i .x/ .@1 .x/; : : :; @n .x// D .'i !/.e 1 ; : : :; e n /
.hi /
mit @j .x/ WD @j
.x/ über hi .Ai / D A0i integrierbar, und es gilt 1 Z X i D1
jai .x/j dn x < 1 :
A0i
b. Das Integral von ! über M ist dann durch Z ! WD M
wohldefiniert.
1 X
Z
i D1 h .A / i i
ai .x/ dx
88
4 Integration und Differentiation von Differentialformen
c. Ist M eine kompakte orientierte R IEMANNsche Mannigfaltigkeit mit Volumenform !M ; so ist das Volumen von M durch Z vol M D !M M
definiert. S d. Für den Spezialfall einer nulldimensionalen Mannigfaltigkeit M D fpi g i 2I P 1 jf .pi /j < 1; und man schreibt dann heißt f 2 C .M / integrierbar, falls i 2I R P f D f .pi /. i 2I
M
Beweis. Es ist zu zeigen, dass die definierten Eigenschaften und Größen unabhängig von der Wahl der Zerlegungen und Karten sind. Seien also .Ai /i 2N und .Bj /j 2N Zerlegungen wie im Lemma und .Ui ; hi /i 2N ; .Vj ; kj /j 2N orientierungserhaltende Karten mit Ai Ui ; Bj Vj ; 'i D h1 i und 1 j D kj ; sowie ai D 'i ! .e 1 ; : : :; e n / bj D j ! .e 1 ; : : :; e n / : Dann gilt nach Definition Z ai .x/ dn x D hi .Ai \Bj /
Z
Z
n
bj .x/ d x D
! Ai \Bj
kj .Ai \Bj /
und analog für die Integranden jai j;jbj j. Also ist nach dem Satz über monotone Konvergenz Z Z Z 1 1 X X jai .x/j dx D jai .x/j dx D jbj .x/j dx hi .Ai /
und damit
j D1 h .A \B / i i j
P
R
ij
kj .Ai \Bj /
j D1 k .A \B / j i j
jbj .x/j dx < 1. Folglich sind jbj j und bj über kj .Bj /
integrierbar, und es gilt nach dem Satz von der dominierten Konvergenz Z Z Z 1 1 X X bj .x/ dx D bj .x/ dx D ai .x/ dx ; i D1
kj .Bj /
also 1 X
Z bj .x/ dx D
j D1 k .B / j j
i D1
kj .Ai \Bj /
1 X
Z
i;j D1 h .A \B / i i j
Z
D
hi .Ai \Bj /
ai .x/ dx D
1 X
Z ai .x/ dx
i D1 h .A / i i
!: M
t u
C Integration auf Mannigfaltigkeiten
89
Bemerkung: Für die Berechnung von Integralen genügt es, die zerlegenden Mengen Ai so zu wählen, dass Ai \ Aj für i ¤ j stets eine Nullmenge ist. Das ist meist leichter zu erreichen als die völlige Disjunktheit. Ein wichtiges Hilfsmittel, um Integrale auszurechnen, ist in der Analysis in mehreren Veränderlichen die Transformationsformel. Für die Integration auf Mannigfaltigkeiten hat sie eine besonders einfache Form: Korollar 4.13 (Transformationsformel). Ist f W N ! M ein orientierungserhaltender Diffeomorphismus zwischen orientierten Mannigfaltigkeiten der Dimension n und ist ! 2 ˝ n M integrierbar, so ist Z Z f !D !: N
M
Ist f orientierungsumkehrend, so ist Z Z f ! D ! : N
M
Beweis. Seien .Ai /i 2N disjunkte messbare Teilmengen von N mit
S
Ai D N und
i 2N
.Ui ; hi / Karten mit Ai Ui . Dann sind Bi WD f .Ai / f .Ui / DW Vi M messbare Teilmengen von M und .Vi ; hi ı f 1 / Karten für M . Sind hi und f orientierungserhaltend so auch ki D hi ı f 1 . Sei ! eine integrierbare n-Form, 1 1 i D ki ; 'i D hi . Dann ist i .!jBi /
D .f ı 'i / .!jBi / D D 'i .f .!jBi // D
D 'i .f !jf 1 .Bi / / D D 'i .f !jAi / :
Also ist
Z !D M
X Z i k .B / i i
i !
D
X Z i h .A / i i
'i .f !/
Z D
f ! :
N
t u Bemerkung: Wir haben hier nur die Integration über berandete Mannigfaltigkeiten definiert. In der Physik treten oft Mannigfaltigkeiten mit „Ecken“ und „Kanten“ auf, und oft ist es in der Praxis möglich, dort genauso zu rechnen wie mit Mannigfaltigkeiten. In [4] wird die hierbei verwendete „Integration über Zykel“ genauer behandelt.
90
4 Integration und Differentiation von Differentialformen
D Die C ARTANsche Ableitung Einer der wichtigsten Sätze der Analysis in einer Veränderlichen ist der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung: Zb
fP.t/ dt D f .b/ f .a/ :
(4.9)
a
Fasst man Œa; b als 1-dimensionale berandete Mannigfaltigkeit auf, so ist (4.9) auch zu lesen als Z Z df D f : (4.10) M
@M
Die C ARTANsche Ableitung ist nun eine Verallgemeinerung des Differentials zu einer linearen Abbildung d.j / W ˝ j M ! ˝ j C1 M ; so dass (4.10) auch für kompakte n-dimensionale Mannigfaltigkeiten und f 2 ˝ n1 .M / gültig bleibt. Satz und Definition 4.14. Sei M eine n-dimensionale Mannigfaltigkeit. Dann gibt es genau eine Möglichkeit eine Folge linearer Abbildungen d.j / d.0/
d.1/
d.2/
d.n1/
d.n/
˝ 0 M ! ˝ 1 M ! ˝ 2 M ! ! ˝ n M ! 0 zu definieren, so dass gilt a. d.0/ f D df für f 2 C 1 M; b. . d.j C1/ ı d.j / /! d.j C1/ d.j / ! d2 ! D 0 für ! 2 ˝ j M und j 2 f0; : : :; n 1g (Komplexeigenschaft), c. d.rCs/ .! ^ / D d.r/ ! ^ C .1/r ! ^ d.s/ für ! 2 ˝ r M; 2 ˝ s M (Produktregel) . Die Abbildung d.j / heißt C ARTANsche Ableitung oder äußere Ableitung. Wir werden im Weiteren meist d statt d.j / schreiben. Ist die Definition von d.j / durch (4.10) motiviert, so liegt es auch nahe Eigenschaft b. zu fordern, da für jede berandete Mannigfaltigkeit M auch @@M D ; gilt, also stets Z Z Z d d! D d! D !D0: M
@M
@@M
Die Produktregel ist eine natürliche Verallgemeinerung der bekannten Produktregel für !; 2 C 1 M . Das Vorzeichen dabei ist eine notwendige Folgerung aus der
D Die C ARTAN sche Ableitung
91
Antikommutativität des äußeren Produkts. Eine ausführliche und sehr anschauliche Motivation der Definition der C ARTANschen Ableitung findet sich in [48]. Beweis. (i) Wir behandeln zuerst den Fall, dass M Rn offen ist. In diesem Fall ist ! 2 ˝ j M durch X !1 ;:::;j dx 1 ^ ^ dx j (4.11) !D 1 <<j
gegeben. Wir zeigen zuerst, dass es höchstens eine Folge linearer Abbildungen d.j / ; j 2 f0; : : :; ng gibt, so dass a.–c. erfüllt sind. Sei also ! durch (4.11) gegeben und d.j / erfülle a.–c. Dann folgt aus der Linearität X d.j / .!1 ;:::;j dx 1 ^ ^ dx j / d! D 1 <<j
X
c.; rD0
D
1 <<j
X
d.0/ !1 ;:::;j ^ dx 1 ^ ^ dx j C !1 ;:::;j ^ d.j / . dx 1 ^ ^ dx j / :
1 <<j
Der zweite Summand verschwindet nach der Produktregel und b., da dx j D d.0/ prj ; wobei prj die Projektion auf die j -te Komponente ist, also d.1/ dx j D 0 für j D 1; : : :; n. Damit folgt nun aus a. d! D
n X @!1 ;:::;j
X
@xr
1 <<j rD1
dx r ^ dx 1 ^ ^ dx j :
(4.12)
Die Existenz ist nun leicht zu zeigen: Wir definieren für ! wie in (4.11) d.j / ! durch (4.12). Die so definierte Abbildung ˝ j M ! ˝ j C1 M ist offenbar linear und erfüllt a. Es bleibt zu zeigen, dass sie b. und c. erfüllt. Wegen der Linearität genügt es ! D f dx 1 ^ ^ dx j zu betrachten. Dann ist d.j / ! D
n X @f dx i ^ dx 1 ^ ^ dx j ; @x i i D1
also n X
d.j C1/ d.j / ! D
i;rD1
D
X 1i
D0:
@2 f dx r ^ dx i ^ dx 1 ^ ^ dx j @x i @x r
@2 f . dx r ^ dx i C dx i ^ dx r / ^ dx 1 ^ ^ dx j @x i @x r
92
4 Integration und Differentiation von Differentialformen
Das vorletzte Gleichheitszeichen folgt, da @2 f @2 f D @x i @x r @x r @x i für f 2 C 1 M gilt. Damit ist gezeigt, dass das durch (4.12) definierte d die Komplexeigenschaft hat. Zu zeigen bleibt noch, dass es der Produktregel genügt: Sei ! D f dx 1 ^ ^ dx r D g dx 1 ^ ^ dx s : Dann ist d.! ^ / D d.fg dx 1 ^ ^ dx r ^ dx 1 ^ ^ dx s / n X @.fg/ D dx j ^ dx 1 ^ ^ dx r ^ dx 1 ^ ^ dx s @xj j D1
n X @f D dx j ^ dx 1 ^ ^ dx r ^ g dx 1 ^ ^ dx s @xj j D1
Cf dx
1
^ ^ dx
r
n X @g ^ .1/ dx j ^ dx 1 ^ ^ dx s @xj r
j D1
D d! ^ C .1/r ! ^ d :
(ii)
Wegen der Linearität der C ARTANschen Ableitung ist also die Produktregel erfüllt. Damit ist der Satz für offene Teilmengen M Rn gezeigt. Jetzt kommen wir zum allgemeinen Fall einer n-dimensionalen Mannigfaltigkeit M . Sei ! 2 ˝ j M . Im Allgemeinen hat dann ! auf ganz M keine Darstellung der Form (4.11). Ist aber p 2 M und .U; h/ eine Karte mit p 2 U; so hat !jU eine Darstellung wie in (4.11) und man kann die C ARTANsche Ableitung dU auf U in Koordinaten durch (4.12) definieren. Setzt man dann / d.j / ! WD d.j ; U !jU p
p
so bleibt zu zeigen, dass diese Definition unabhängig von der Darstellung von ! in einer Koordinatenbasis ist. Dies folgt aber schon aus der unter 1. gezeigten Eindeutigkeit: Ist .V; k/ eine weitere Karte mit p 2 V; so folgt wie in 1. / .j / .j / !j D d !j D d !j : d.j U U \V V U U \V V p
p
p
D Die C ARTAN sche Ableitung
93
Damit ist also gezeigt, dass durch (4.12) in lokalen Koordinaten lineare Abbildungen ˝ j M ! ˝ j C1 M definiert sind, die a.–c. erfüllen. Es bleibt zu zeigen, dass es keine weitere solche Folge von Abbildungen gibt. Der Beweis aus 1. kann nicht ohne Weiteres übertragen werden, da ! 2 ˝ j M i. a. nicht von der Form (4.11) ist. Wir zeigen zuerst: Behauptung. Ist d.j / W ˝ j M ! ˝ j C1 M eine Familie linearer Abbildungen, .j / die a.–c. aus 4.14 erfüllen, so ˇ ist jedes ˇ d ein lokaler ˇ Operator, d. h. ˇ sind !; !Q 2 j ˇ ˇ ˝ M; U M offen und ! U D !Q U ; so gilt . d.j / !/ˇU D . d.j / !/ Q ˇU . ˇ Beweis (der der Linearität genügt es, zu zeigen: Ist ! ˇU D 0; ˇ Behauptung). Wegen so ist . d!/ˇU D 0. Sei f 2 C 1 .M /; p 2 U und f .p/ D 1; f .M n U / D f0g. Dann ist f ! D 0; also wegen der Linearität von d auch d.f !/ D 0. Andererseits folgt aus der Produktregel d.j / .f !/p D dfp ^ !p C f .p/ d.j / !p D 0 C . d.j / !/p ; also
d.j / !p D 0 : t u
Zurück zum Beweis der Eindeutigkeit! Sei p 2 M; .U; h/ eine Karte von M um p mit h.p/ D 0 und B2 .0/ h.U / DW U 0 . Sei 2 C 1 .U / eine Funktion mit ( 1 für x 2 h1 .B1 .0// ; .x/ D : 0 für x 2 U n h1 .U2 .0// Um solch eine Funktion zu gewinnen, betrachtet man die im Beweis von Lemma 4.4 angegebene Hilfsfunktion ; setzt .2 jxj2 / .2 jxj2 / C .jxj2 1/ ˇ ˇ für x 2 U 0 und schließlich ˇU WD Q ı h; ˇM nU 0. Q .x/ WD
Sei jetzt ! 2 ˝ j M und !jU in einer dualen Koordinatenbasis .dx .i / /iD1;:::;n durch 4.11) gegeben. Definiere !Q 2 ˝ j M durch X !Q 1 ;:::;j dxQ 1 ^ ^ dxQ j ; !Q WD 1 <<j
(
wobei !Q 1 ;:::;j .x/ WD
.x/!1 ;:::;j .x/ 0
für x 2 U ; sonst
94
4 Integration und Differentiation von Differentialformen
und wobei die Funktionen xQ j in analoger Weise aus den Koordinatenfunktionen x j gebildet werden. Dann folgt wie in (i), dass d!Q eindeutig durch a.–c. bestimmt ist, und aus der obigen Behauptung folgt, dass . d!/p D d!Q p ; also ebenfalls eindeutig bestimmt ist. t u Wie das äußere Produkt, so ist auch die C ARTANsche Ableitung natürlich: Theorem 4.15. Ist f W M ! N eine differenzierbare Abbildung zwischen Mannigfaltigkeiten und ! 2 ˝ r N; so ist d.f !/ D f d! : Beweis. Ist g 2 C 1 .N / D ˝ 0 N; so ist f g D g ı f ;
also d.f g/ D dgf .x/ ı dfx D f dg
nach der Kettenregel. Wegen der Linearität genügt es die Behauptung lokal für ! D g dx 1 ^ ^ dx r zu zeigen. Dazu rechnen wir: f . d!/ D f . dg ^ dx 1 ^ ^ dx r / D f dg ^ f . dx 1 ^ ^ dx r / D d.f g/ ^ f . dx 1 ^ ^ dx r / D d.f g/ ^ .f dx 1 / ^ ^ .f dx r / D df ! : t u In Abschn. 3D haben wir die L IE-Ableitung als geometrisch motivierte Möglichkeit der Ableitung einer Differentialform eingeführt. Verwenden wir nun die gerade ausgesprochene Natürlichkeit von d für einen Flussdiffeomorphismus ˚t.v/ als Abbildung f; so folgt aus der Definition der L IE-Ableitung sofort: Satz 4.16. Ist ! 2 ˝ r M und v ein differenzierbares Vektorfeld auf M; so ist Lv . d !/ D d .Lv !/ : Daraus ergibt sich die folgende Formel, die oft zur konkreten Berechnung der L IE-Ableitung benutzt wird. Korollar 4.17. Ist v 2 TM und ! 2 ˝ r M; so ist Lv ! D d.iv !/ C iv . d!/ : Insbesondere ist für ! 2 ˝ n M Lv ! D d.iv !/ : Beweis. Für ! 2 ˝ r M; 2 ˝ s M gilt nach Aufgabe 3.5 iv .! ^ / D .iv !/ ^ C .1/r ! ^ .iv / ;
(4.13)
D Die C ARTAN sche Ableitung
95
also d.iv .! ^ // C iv d.! ^ / D D d.iv !/ ^ C .iv d!/ ^ C .1/rC1 d! ^ .iv / C .1/r1 .iv !/ ^ d C .1/r d! ^ .iv / C ! ^ d.iv / C .1/r .iv !/ ^ d C ! ^ .iv d/ D .. div C iv d/!/ ^ C ! ^ . div C iv d/ ; d. h. der Operator div C iv d erfüllt dieselbe Produktregel wie Lv (vgl. Satz 3.24a.). Da nun Lv f D iv df nach Definition gilt und wegen Satz 4.16 d.iv df / C iv d df D d.iv df / D dLv f D Lv . df / ist, ist (4.13) richtig für alle ! D f dg1 ^ ^ dgr (Induktion nach r!), und damit folgt sie für beliebige ! 2 ˝ r M aus der Linearität beider Seiten der Gleichung mit Hilfe einer Zerlegung der Eins. t u Anmerkung 4.18. Sei v ein Vektorfeld auf der offenen Menge U M . Bei den Beweisen von Satz 3.24, Satz 4.16 und Korollar 4.17 wird die Flusseigenschaft (3.10) gar nicht benutzt. Geht man also von einer differenzierbaren Abbildung W"; "Œ U ! U aus, für die die Abbildungen t WD .t; / Diffeomorphismen sind und für die ˇ d ˇˇ 0 D id ; t D v dt ˇt D0 gilt, so wird durch ˇ d ˇˇ für 2 ˝ r .U / Lv WD dt ˇt D0 t ein Differentialoperator Lv definiert, für den die Aussagen dieser Sätze ebenfalls gelten. Dann ist aber insbesondere Lv D div C iv d D Lv ; d. h. Lv ist ebenfalls die L IE-Ableitung. Diese flexiblere Beschreibung der L IEAbleitung ist manchmal nützlich, und wir werden in Kapitel 6 darauf zurückkommen. In Satz 3.27 haben wir schon bemerkt, dass für f 2 C 1 .M / gilt df .Œv; w/ D v.w.f // w.v.f // : Dies kann nun auf beliebige Differentialformen verallgemeinert werden.
(4.14)
96
4 Integration und Differentiation von Differentialformen
Satz 4.19. Sei ! 2 ˝ r M und v0 ; : : :; vr Vektorfelder auf M . Dann gilt d!.v0 ; : : :; vr / D
r X
.1/i vi .!.v0 ; : : :;b v i ; : : :; vr //
(4.15)
i D0
X
C
.1/i Cj !.Œvi ; vj ; v0 ; : : :;b v i ; : : :;b v j ; : : :; vr / :
0i <j r
Der Beweis findet sich z. B. in [54], Kap. 1. Ein wichtiger Spezialfall von (4.15) ist der Fall r D 1; in dem (4.15) zu d!.v; w/ D v.!.w// w.!.v// !.Œv; w/
(4.16)
wird. Im Fall ! D df ergibt sich daraus dann auch schon oben zitierte Formel (4.14), wenn man d df D 0 beachtet.
E C ARTAN-Kalkül auf R IEMANNschen Mannigfaltigkeiten und klassische Vektoranalysis In diesem Abschnitt sei M stets eine n-dimensionale orientierte R IEMANNsche Mannigfaltigkeit und !M ihre Volumenform. Dann kann man Satz 2.4 auf jeden Tangentialraum Tp M anwenden und erhält so einen Isomorphismus Š
TM ! ˝ 1 M;
v 7! v b ;
(4.17)
dessen Umkehrabbildung wir wieder als ! 7! ! # schreiben. Ebenso stiften die in Satz 2.20 angegebenen Isomorphismen bijektive Korrespondenzen zwischen Funktionen und n-Formen sowie zwischen Vektorfeldern und .n 1/-Formen gemäß Š
C 1 .M / ! ˝ n M; Š
TM ! ˝ n1 M;
f 7! f !M ;
(4.18)
v 7! iv !M : .0/
(4.19)
Damit definiert die C ARTANsche Ableitung d W ˝ M ! ˝ M einen Differentialoperator grad W C 1 .M / ! TM; und d.n1/ W ˝ n1 M ! ˝ n M definiert einen Differentialoperator div W TM ! C 1 .M /. Genauer: 0
1
Definitionen 4.20. Sei M eine orientierte R IEMANNsche Mannigfaltigkeit mit Volumenform !M . a. Für jede Funktion f 2 C 1 .M / ist der Gradient grad f rf das durch rf .x/ WD . dfx /# definierte Vektorfeld. Der Gradient ist also durch die Forderung (4.20) hrf .x/jhi D dfx .h/ für alle x 2 M ; h 2 Tx M eindeutig festgelegt.
E C ARTAN -Kalkül auf R IEMANN schen Mannigfaltigkeiten und klassische Vektoranalysis
97
b. Für jedes Vektorfeld v 2 TM ist die Divergenz von v durch div v !M D d .iv !M /
(4.21)
definiert. In Koordinaten kann manP Gradient und Divergenz p leicht berechnen. Wir tun dies für die Divergenz. Ist v D j v j @j und !M D G dx 1 ^ ^ dx n (vgl. Satz 3.20), so ist nach Satz 2.20 1 0 n X j 1 p j 1 Gv dx ^ ^ dx j ^ ^ dx n A d .iv !M / D d @ .1
b
j D1
D
n X j D1
also
@ p j 1 Gv dx ^ ^ dx n ; @xj
n 1 X @ p j div .v/ D p Gv : G j D1 @xj
(4.22)
Ist M Rn offen, also G 1; so ergibt sich die bekannte Formel für die Divergenz von v D .v 1 ; : : :; v n /; nämlich div v D
n X @ j v : @xj
j D1
Aus Korollar 4.17 folgt dann auch die anschauliche Bedeutung der Divergenz als infinitesimale Änderung der Volumenform entlang des Flusses: Korollar 4.21. Ist !M die Volumenform einer orientierten R IEMANNschen Mannigfaltigkeit, so ist Lv !M D .div v/ !M : Ist M eine 3-dimensionale orientierte R IEMANNsche Mannigfaltigkeit, so kann man die Differentialformen aller vorkommenden Grade durch Vektorfelder ersetzen. Die C ARTANsche Ableitung d.1/ induziert dann einen Differentialoperator
TM ! TM; und dieser ist die aus der Physik bekannte Rotation: Definition 4.22. Ist M eine 3-dimensionale orientierte R IEMANNsche Mannigfaltigkeit, so ist die Rotation rot W TM ! TM durch d.v b / D irot v !M
(4.23)
definiert. Auch die Rotation kann leicht in lokalen Koordinaten berechnet werden: Ist v D 3 P v j @j ; so ist
j D1
98
4 Integration und Differentiation von Differentialformen
d.v b / D d
X
gij v j dx i D
i;j
3 X
@ @ j j D g3j v g2j v dx 2 ^ dx 3 @x2 @x3 j D1 @ @ g1j v j g3j v j dx 3 ^ dx 1 C @x3 @x1 @ @ g2j v j g1j v j dx 1 ^ dx 2 ; C @x1 @x2 also ist rot v D
P j
w j @j mit
w1 D w2 D w3 D
p1 G p1 G p1 G
3 P j D1 3 P j D1 3 P j D1
@ @x2 @ @x3 @ @x1
g3j v j
@ @x3
g1j v j
@ @x1
g2j v j
@ @x2
9 > g2j v j ;> > > > > > = j g3j v ; > > > > > > g1j v j :> ;
(4.24)
Für offenes M R3 ; also G 1; ergibt P sich wieder die übliche Formel für die Rotation. Für v D .v 1 ; v 2 ; v 3 / ist v b D 3i D1 v i dx i ; also dv b D w3 dx1 ^ dx2 C w2 dx3 ^ dx1 C w1 dx2 ^ dx3 mit w D rot v; wobei 1 0 @ v @x@ 3 v2 @x2 3 C B rot v D @ @x@ 3 v1 @x@ 1 v3 A : @ @x1
v2
@ @x2
v1
Aus der Komplexeigenschaft der C ARTANschen Ableitung folgt nun sofort auch für die Differentialoperatoren auf Vektorfeldern: rot grad f D 0 div rot v D 0 :
(4.25) (4.26)
Aus der Produktregel für d lassen sich auch entsprechende Produktregeln für rot; grad und div herleiten (vgl. Übungen). Ein weiterer wichtiger Differentialoperator, der mittels der C ARTANschen Ableitung definiert ist, ist der L APLACEoperator: Definition 4.23. Der L APLACEoperator auf einer orientierten R IEMANNschen Mannigfaltigkeit M ist durch f WD div grad f für f 2 C 2 .M / gegeben.
F Die M AXWELLschen Gleichungen
99
Da in lokalen Koordinaten grad f D
P i;j
g ij .@i f /@j gilt (vgl. die Diskussion
hinter Satz 2.4), ist 1 X p div grad f D p @j G g ij @i f G i;j
(4.27)
mit .g ij / D .gij /1 . Beispiel: In Kugelkoordinaten auf M WD R3 n f0g ist also @f 1 @ 2 r C f D r 2 sin sin
@r @r @f @ @ 1 @ sin @ C @' sin
@f @'
:
F Die M AXWELLschen Gleichungen Die M AXWELLschen Gleichungen beschreiben bekanntlich die Wechselwirkung zwischen elektrischem und magnetischem Feld. Sie werden in differentieller oder integraler Form angegeben, wobei die integrale Form leichter durch physikalische Interpretation motiviert werden kann, die differentielle Form hingegen leichter mathematisch zu handhaben ist. Im nächsten Abschnitt werden wir kurz auf die Beziehung zwischen beiden Formen eingehen. In diesem Abschnitt beschäftigen wir uns nur mit der differentiellen Form. Diese lautet in SI-Einheiten rot E D BP div B D 0 rot H D J C DP div D D D D "0 E ; 1 B H D 0
FARADAYsches Gesetz Nichtexistenz magnetischer Ladungen A MPÈREsches Gesetz G AUSSsches Gesetz
(4.28)
) Verknüpfungsregeln.
(4.29)
Dabei sind das elektrische Feld E; die magnetische Induktion B; die magnetische Feldstärke H; die dielektrische Verschiebung D; die Stromdichte J zeitabhängige Vektorfelder und die Ladungsdichte eine zeitabhängige skalare Funktion auf dem physikalischen Raum, den wir uns als 3-dimensionale Mannigfaltigkeit M vorstellen. Hier sind zeitabhängige Vektorfelder auf M als Abbildungen v W R ! TM zu verstehen. Die Beziehung zum G AUSSschen Einheitensystem ist z. B. in [84] dargestellt. Eine zeitabhängige Funktion auf M ist einfach eine Funktion auf R M . Die weiteren Größen sind Konstanten, nämlich die Dielektrizitätskonstante "0 und die magnetische Permeabilität 0 . Im Vakuum ist "0 D 10 . Wollen wir die M AX -
100
4 Integration und Differentiation von Differentialformen
WELL schen Gleichungen mit dem C ARTAN -Kalkül formulieren, so müssen wir zuerst definieren, was eine zeitabhängige Differentialform ist.
Definitionen 4.24. k .M / auf einer Manniga. Unter einer zeitabhängigen Differentialform ˛ 2 ˝Zeit faltigkeit M verstehen wir eine Abbildung
˛ W R ! ˝ k .M / ; so dass für jedes x 2 M die Abbildung ˛x W R ! Altk .Tx M / ; t 7! .˛.t//x beliebig oft differenzierbar ist. k k b. Ist ˛ 2 ˝Zeit .M /; so ist ˛P 2 ˝Zeit .M / durch ˛P x D
d dt
.˛x / definiert.
Offenbar ist eine zeitabhängige Differentialform ˛ in lokalen Koordinaten auf U M durch X ˛ WD ˛i1 ;:::;ik dx i1 dx ik mit ˛i1 ;:::;ik 2 C 1 .R U / gegeben. Ist M eine 3-dimensionale orientierte R IEMANNsche Mannigfaltigkeit mit Volumenform !M ; so können Vektorfelder als 1- bzw. 2-Formen interpretiert werden, wie wir im vorigen Abschnitt gesehen haben. Da die Rotation die „Übersetzung“ der C ARTANschen Ableitung von 1-Formen und die Divergenz die der von 2-Formen ist, betrachten wir die nach (4.17) und(4.19) durch E; B; H; D und J gegebenen 1 2 1 2 .M /; B 2 ˝Zeit .M /; H 2 ˝Zeit .M /; D 2 ˝Zeit .M /; Differentialformen E 2 ˝Zeit 2 j 2 ˝Zeit .M / und setzen schließlich r WD !M . Damit sind die ersten vier M AX WELL schen Gleichungen nach (4.21) und (4.23) durch dE D BP ; dB D 0 ; dH D DP C j ;
(4.30)
dD D r gegeben. Es bleibt die Frage, wie die Verknüpfungsregeln zu interpretieren sind. Dazu muss ein Zusammenhang zwischen 1- und 2-Formen hergestellt werden. Erinnert man sich daran wie beide nach (4.17) bzw. (4.19) als Vektorfelder interpretiert werden, so liegt nahe, wie dieser Isomorphismus zu definieren ist. Satz und Definition 4.25. Ist M eine 3-dimensionale orientierte R IEMANNsche Mannigfaltigkeit, so ist durch
W ˝ 1 M ! ˝ 2 M ; ˛ WD iv !M mit v WD ˛ # ein Isomorphismus gegeben.
F Die M AXWELLschen Gleichungen
101
Ist .e1 ; e2 ; e3 / eine positive Orthonormalbasis von Tx M; so ist . ˛/.e.1/ ; e.2/ / D .sign /˛.e.3/ / für jede Permutation von .1; 2; 3/. Damit entsprechen den Verknüpfungsregeln die Gleichungen D D "0 E ; (4.31) B D 0 H ; und die M AXWELLschen Gleichungen können als dB D 0 ; dE D BP ; 1 d 1 B D "0 EP C j ; 0 "0 d E D r gelesen werden. Wir werden jetzt sehen, dass die M AXWELLschen Gleichungen eine noch einfachere Gestalt erhalten, wenn man die darin enthaltenen Felder nicht als zeitabhängige Differentialformen auf dem 3-dimensionalen physikalischen Raum, sondern als gewöhnliche Differentialformen auf der 4-dimensionalen Raumzeit interpretiert. In der speziellen Relativitätstheorie geht man davon aus, dass die Raumzeit durch eine zu R4 diffeomorphe Mannigfaltigkeit X beschrieben wird. Genauer ist durch ein Inertialsystem I auf X eine Karte hI W X ! R4 gegeben. Ist I 0 ein weiteres Inertialsystem, so sind die Kartenwechsel 4 4 hI ı h1 I 0 W R ! R
durch eine P OINCARÉ-Transformation gegeben, d. h. 4 4 hI ı h1 I 0 W R ! R ; x 7! x C v
mit v 2 R4 ; 2 L"C ; wobei 0
mit I1;3
1 0 B0 1 DB @0 0 0 0
o n L D A 2 R44 j AT I1;3 A D I1;3 1
00 0 0C C die L ORENTZgruppe und 1 0A 01 "
LC WD fA 2 L j det A > 0 ; a11 > 0g ihre zeit- und raumorientierungserhaltende Komponente ist. Ist hxjyiM WD x T I1;3 y das M INKOWSKI Skalarprodukt auf R4 ; so ist durch g.v; w/ D h dhI .v/j dhI .w/iM eine L ORENTZmetrik auf X unabhängig von der Wahl des Inertialsystems, gegeben, das heißt eine symmetrische Bilinearform, die in geeigneten Koordinaten durch die
102
4 Integration und Differentiation von Differentialformen
Matrix I1;3 dargestellt ist (vgl. Definition 3.18). Ferner ist auf X eine Orientierung dadurch definiert, dass die Karten hI orientierungserhaltend sein sollen. Wir können zeitabhängige Differentialformen auf M nun als Differentialformen auf X D R M auffassen. Wir formulieren dies der größeren Übersichtlichkeit halber für allgemeines n; obwohl man es für die Zwecke der Relativitätstheorie nur im Fall n D 3 benötigt: Notationen: a. Ist X eine n C 1-dimensionale Mannigfaltigkeit und h W X ! R M ein Difk .M / als Teilmenge von ˝ k .X / aufzufassen durch feomorphismus, so ist ˝Zeit die Inklusion k ˝Zeit .M / ! ˝ k .X / ; ˛ 7! ˛Q (4.32) mit ˛Q h1 .t;p/ .v1 ; : : :; vk / WD ˛p .t/.prM dhh1 .p;t / .v1 /; : : :; prM dhh1 .p;t / .vk // mit der Projektion prM W T.t;p/ .R M / D R Tp M ! Tp M : b. Mit dt 2 ˝ 1 .X / bezeichnen wir die 1-Form dh0 mit h D .h0 ; h1 ; : : :; hn /. Damit können wir die k-Formen auf der 4-dimensionalen Raumzeit der speziellen Relativitätstheorie mit Hilfe eines Inertialsystems als zeitabhängige Differentialformen auf dem 3-dimensionalen physikalischen Raum lesen, genauer (und für allgemeines n): Lemma 4.26. Ist X eine nC1-dimensionale Mannigfaltigkeit und h W X ! R M ein Diffeomorphismus, so ist durch k1 k ˝Zeit .M / ˚ ˝Zeit .M / ! ˝ k .X / .ˇ; ˛/ 7! dt ^ ˇQ C ˛Q
ein Isomorphismus gegeben. Beweis. Lokale Koordinaten von M definieren via h auch lokale Koordinaten von X . In lokalen Koordinaten .x 1 ; : : :; x n / von M ist jede Differentialform 2 r .M / lokal von der Form ˝Zeit X .t;p/ D i1 ;:::;ir .t; p/ dx i1 ^ ^ dx ir und 2 ˝ r .X / lokal von der Form X .t;p/ D fi1 ;:::;ir1 .t; p/ dt ^ dx i1 ^ ^ dx ir1 C X C gi1 ;:::;ir .t; p/ ^ dx i1 ^ ^ dx ir DW dt ^ ˇQ.t;p/ C ˛Q .t;p/ : t u
F Die M AXWELLschen Gleichungen
103
Als letzten Schritt, bevor wir wieder zu den M AXWELL-Gleichungen zurückkehren, halten wir noch fest, wie sich die C ARTANsche Ableitung aufspaltet. Notation: .k/ Ist h W X ! R M; so bezeichnen wir mit d.k/ Raum und dZeit die durch die folgende Formel gegebene Aufspaltung der C ARTANschen Ableitung d.k/ auf X : ˇ k kC1 k M ! ˝Zeit M ˚ ˝Zeit M D ˝ kC1 X d.k/ ˇ˝ k M W ˝ k X ˝Zeit Zeit
Q 7! dRaum Q C dt ^ dZeit Q WD dQ k M ˝kX . für 2 ˝Zeit In Koordinaten sind diese beiden Anteile der C ARTANschen Ableitung also durch
dRaum .˛ dx i1 ^ ^ dx ik / D
n X @ ˛ dx j ^ dx i1 ^ ^ dx ik @xj
j D1
und
dZeit .˛ dx i1 ^ ^ dx ik / D ˛P ^ dx i1 ^ ^ dx ik
für ˛ 2 C 1 .R U / gegeben. Insgesamt ist also die C ARTANsche Ableitung auf ˝ k X die Summe kC1 k1 k k M ˚ ˝Zeit M ! ˝Zeit M ˚ ˝Zeit M d.k/ W ˝Zeit .k1/ .k/ .k/ ˇ C ˛ 7! dRaum ˇ C dZeit ˛ C dRaum ˛ ; k1 denn ist ˇ 2 ˝Zeit M; also dt ^ ˇQ 2 ˝ k X; so ist
Q D dt ^ d.k/ ˇQ D dt ^ d Q d.k/ . dt ^ ˇ/ Raum ˇ : .k1/
Dabei haben wir mit dem oberen Index d.j / ausnahmsweise angezeigt, dass die C ARTANsche Ableitung auf Differentialformen vom Grad j gemeint ist. Fassen wir jetzt die durch die magnetische Induktion und das elektrische Feld definierten Formen B und E mit der Notation (4.32) als eine einzige Form F 2 ˝ 2 .X / auf X Š R M; nämlich F D .E; B/ D dt ^ EQ C BQ also in lokalen Koordinaten F D
3 X
Ei dt ^ dx i C B1 dx 2 ^ dx 3 C B2 dx 3 ^ dx 1 C B3 dx 1 ^ dx 2
i D1
auf, dann ist dF D 0 gleichbedeutend mit den ersten beiden M AXWELLschen Gleichungen. Denn P d.1/ Raum E C dt ^ dZeit B D 0 ” dE D B sowie d.2/ Raum B D 0 ” dB D 0 :
104
4 Integration und Differentiation von Differentialformen
Die Matrixdarstellung der 2-Form F 0 1 0 E 1 E 2 E 3 BE 1 0 B 3 B 2 C C .F / D B @E 2 B 3 0 B 1 A E 3 B 2 B 1 0 wird als Feldstärketensor oder FARADAYtensor bezeichnet. Um die Verknüpfungsregeln zu vereinfachen, muss nun die Abbildung W ˝ 1 M ! ˝ 2 M für die 3-dimensionale R IEMANNsche Mannigfaltigkeit durch
W ˝ 2 X ! ˝ 2 X für die 4-dimensionale L ORENTZ-Mannigfaltigkeit X D R M ersetzt werden. In der Tat ist die hier definierte Abbildung nur ein Spezialfall des H OD GE schen Stern-Operators W ˝ k M ! ˝ nk M auf n-dimensionalen pseudoR IEMANNschen orientierten Mannigfaltigkeiten M . Dieser wird zum Beispiel in [48] ausführlich behandelt. Wir besprechen wieder nur den hier auftretenden Spezialfall: Definitionen 4.27. Ist M eine 3-dimensionale orientierte R IEMANNsche Mannigfaltigkeit und X D R M; versehen mit der durch die Produktstruktur gegebenen L ORENTZmetrik, so definieren wir 1 2
W ˝ 2 X D ˝Zeit M ˚ ˝Zeit M ! ˝ 2 X dt ^ ˇ C ˛ 7! dt ^ 1 M ˛ M ˇ :
Dabei ist M der in 4.25 definierte Stern-Operator auf M . Damit ist mit (4.31) im Vakuum
F D dt ^ 1 M B C M E D 0 . dt ^ H C D/ ; P C dRaum D/. also d F D 0 . dt ^ . dRaum H C D/ Die zweite Gruppe der M AXWELLschen Gleichungen ist also äquivalent zu d F DJ mit J D 0 .r dt ^ j /. Da d d D 0 gilt, folgt dann auch sofort dJ D 0; also rP C dRaum j D 0 ” .%P C div J /!M D 0 ; also die Kontinuitätsgleichung %P D div J :
(4.33)
G Der allgemeine Satz von S TOKES
105
Bisher haben wir stets eine feste Karte h W X ! R M benutzt. In einem anderen Inertialsystem hQ werden andere Werte für das elektrische Feld und die magnetische Induktion gemessen. Dies entspricht gerade der Tatsache, dass der FARA DAY tensor bezüglich einer anderen Karte durch andere Komponenten beschrieben wird. Der Kartenwechsel ist durch eine P OINCARÉtransformation C v gegeben, und der Tensor .F / transformiert sich gerade so, dass gemäß Satz 3.7 eine 2-Form auf der Raumzeit X wohldefiniert ist, also X F D F :
e
G Der allgemeine Satz von S TOKES In diesem Abschnitt formulieren wir die schon erwähnte Verallgemeinerung des Hauptsatzes der Differential- und Integralrechnung, den Satz von S TOKES, beweisen ihn und geben einige Anwendungen an. Theorem 4.28 (Integralsatz von S TOKES). Sei M eine orientierte Mannigfaltigkeit der Dimension n mit Rand @M; ! 2 ˝ n1 M eine .n 1/-Form mit kompaktem Träger, d. h. Tr .!/ D fx 2 M j!x ¤ 0g ist kompakt. Dann gilt
Z
Z d! D M
!: @M
Bevor wir zum Beweis des Satzes kommen, geben wir einige wichtige Anwendungen und Spezialfälle an. Offenbar ist für M D Œ0; 1 dieser Satz genau der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung. Aber auch weitere schon bekannte Integralsätze finden wir als Spezialfälle wieder. Korollar 4.29 (Satz von G AUSS). Sei M Rn eine kompakte n-dimensionale Untermannigfaltigkeit, N das nach außen weisende Normaleneinheitsfeld auf @M . Dann ist für jedes differenzierbare Vektorfeld v auf M Z Z div.v/ dn x D hvjN i dF ; M
@M
mit dF WD !@M („Flächenelement“). Beweis. Sei j W @M ! M die Inklusion. Für x 2 @M können wir v in eine zu @M normale Komponente hvjN iN D vn und eine zu @M tangentiale Komponente vt D v vn zerlegen. Wegen !@M D j .iN !M / (vgl. Gl. (4.5)) gilt dann j .iv !M /x D j .ivt !M C hvjN i!@M /x
für x 2 @M :
Es ist j .ivt !M / D 0; also j .iv !M / D hvjN i!@M
(4.34)
106
und damit
4 Integration und Differentiation von Differentialformen
Z
n
Z
Z
div .v/ d x D M
M
d.iv !M / D
hvjN i dF : @M
t u Anschaulich bedeutet dieser Satz, dass die „Durchflussrate“ durch die Oberfläche eines Bereichs durch die eingeschlossenen Quellen gegeben ist. Betrachten wir dazu ein aus der Physik bekanntes Beispiel. Beispiel 4.30. (Elektrisches Feld einer Punktladung) Sei M R3 kompakte 3-dimensionale Untermannigfaltigkeit mit 0 62 @M und x v.x/ WD jxj 3 für x ¤ 0. Dann ist Z 4 falls 0 2 M ; hvjN i!@M D : 0 sonst @M Beweis. Es ist div .v.x// D 0. Ist 0 62 M; dann ist v ein Vektorfeld auf M; also nach dem Satz von G AUSS Z Z hvjN i!@M D div .v/ d3 x D 0 : @M
M
Sei nun 0 2 M n@M . Da M nf0g nicht kompakt ist, ist der Satz von G AUSS nicht auf f D M n U" .0/ M n f0g anwendbar. Sei " > 0 so, dass B" .0/ M n @M . Dann ist M 2 2 f kompakt. Sei S" WD @B" .0/; also @M D @M [ S" . Folglich ist
Z Z Z ˇ ˇ x dF v ˇˇ 0 D hvjN i dF D hvjN i dF jxj e @M @M S"2 Z D hvjN i dF 4 : @M
Das Vorzeichen nach dem zweiten Gleichheitszeichen rührt davon her, dass das nach x M gerade jxj ist. t u außen weisende Normalenfeld auf S"2 @f Im nächsten Beispiel sehen wir, dass der Satz von G AUSS auch bei der praktischen Berechnung von Integralen oft hilfreich ist. Beispiel 4.31. Für die n-dimensionale Einheitskugel D n WD B1 .0/ Rn gilt vol.Sn1 / D nvol.D n /. Betrachte nämlich auf Rn das Vektorfeld v.x/ D x. Für x 2 Sn1 ist hv.x/jN i D 1. Außerdem gilt div v D n. Damit folgt aus dem Satz von G AUSS Z Z n1 vol.S / D hv.x/jN i!Sn1 D div v dn x D nvol.D n / : Sn1
Dn
Korollar 4.32 (klassischer Satz von S TOKES). a. Ist M R3 eine 2-dimensionale kompakte orientierte berandete Mannigfaltigkeit und v ein differenzierbares Vektorfeld auf einer offenen Umgebung von M; so ist
G Der allgemeine Satz von S TOKES
107
Z
Z M
hrot vjN i!M D
hvjT i ds ; @M
wobei ds D !@M ; N das orientierungsdefinierende Normaleneinheitsfeld auf M und T das positiv orientierte tangentiale Einheitsfeld an @M ist. b. Ist M eine geschlossene 2-dimensionale Fläche (d. h. @M D ;), so ist Z hrot vjN i!M D 0 : M
Beweis. Es ist irot v det D dv b . Ist j1 W M ! R3 die Inklusion, so ist j1 .irotv det/ D j1 ihrot vjN iN det C i.rot v/t det D hrot vjN i !M ; wobei .rot v/t D hrot vjN iN C rot v der tangentiale Anteil von rot v ist und damit j1 .i.rot v/t det/ D 0. Ferner ist iN det D !M die Volumenform auf M . Also ist hrot vjN i!M D j1 dv b D d j1 v b : Ist j2 W @M ! R3 die Inklusion, so ist j2 v b .T / D hvjT i ; also und damit
j2 v b D hvjT i!@M Z M
Z hrot vjN i!M D
Z@M
D @M
j2 v b hvjT i!@M : t u
Da @@M D ; ist für jede Mannigfaltigkeit M; folgt aus Teil b. des Korollars 4.6 und dem Beispiel 4.30 auch, dass es kein Vektorfeld w W R3 n f0g ! R3 gibt mit x rot w.x/ D jxj 3. Beispiel 4.33. (magnetisches Feld eines stromdurchflossenen Leiters) 0 1 x2 1 @ x1 A für .x1 ; x2 ; x3 / 2 R3 n .f0g f0g R/. Es ist rot v D 0. Sei v.x/ D x 2 Cx 2 1 2 0 3 Ist M R eine kompakte 2-dimensionale Fläche mit .f0g f0g R/ \ M D ;; so ist Z hvjT i ds D 0 : @M
108
4 Integration und Differentiation von Differentialformen
Nun sei M \ .f0g f0g R/ D .0; 0; a/ für ein a 2 R und .0; 0; a/ 62 @M . Ferner soll M die z-Achse in .0; 0; a/ transversal schneiden, d.h. der Vektor e 3 soll nicht zu T.0;0;a/ M gehören. Dann gilt mit demselben Argument wie in Beispiel (4.30) Z Z hvjT i ds D hvjT i ds D 2 : @M
S1
(Genau genommen, muss man, um das Argument aus Beispiel 4.30 anwenden zu können, die Fläche M zunächst so verbiegen, dass eine kleine Scheibe f.x; y; a/ j x 2 C y 2 "2 g in M liegt. Das ist aber wegen der angenommenen Transversalität möglich, ohne dass M in einer Umgebung von @M verändert wird.) Als Letztes behandeln wir noch den Spezialfall von eindimensionalen Untermannigfaltigkeiten. Korollar 4.34. Sei M Rn eine kompakte eindimensionale Mannigfaltigkeit und W Œ0; L ! M eine Parametrisierung von M . Sei f 2 C 1 .M /. Dann ist Z
L
hrf ..t//j.t/i P dt D f ..L// f ..0// :
0
Beweis. Dies folgt sofort aus Z
Z
L
df D M
hrf ..t//j.t/i P dt :
0
RL
t u
Insbesondere gilt: Ist M geschlossen, so ist 0 hgrad f ..t//jP .t/i dt D 0. Wieder folgt aus @@M D 0 mit Beispiel (4.33): Es gibt keine0differenzierbare Funktion 1 x2 1 @ x1 A ; d. h. es gibt kein f 2 C 1 .R3 n .f0g f0g R// mit grad f D x 2 Cx 2 1 2 0 Potential für das magnetische Feld. Korollar 4.35. Ist M eine kompakte n-dimensionale orientierte Riemannsche Mannigfaltigkeit und f 2 C 1 .M /; so ist Z Z f !M D hgrad f jN i!@M : M
@M
Beweis. Nach Definition ist f !M D d igrad f !M : Damit folgt die Behauptung aus dem Satz von S TOKES und j igrad f !M D hgrad f jN iiN !@M ; wobei j W @M ! M die Inklusion ist.
t u
G Der allgemeine Satz von S TOKES
109
Aus den Produktregeln für die klassischen Differentialoperatoren (vgl. Aufgabe 4.3) folgen nun auch die G REENschen Formeln für den L APLACEoperator auf einer R IE MANN schen Mannigfaltigkeit: Korollar 4.36. R R a. M .hgrad f jgrad gi C g f /!M D @M g hgrad f jN i!@M : b.
R
M .g f f g/!M f j@M D gj@M D 0
D
R
@M hggrad f
Z
f grad gjN i!@M ; also für Z
M
.g f / !M D
M
.f g/ !M :
Bevor wir zum Beweis des S TOKESschen Satzes kommen, zeigen wir noch an Hand der M AXWELLschen Gleichungen, wie mit Hilfe des Satzes von S TOKES „differentielle“ Gleichungen aus „integralen“ Gleichungen gewonnen werden können. Wir betrachten dazu eine 3-dimensionale Mannigfaltigkeit M und Differential1 2 M (das elektrische Feld) und B 2 ˝Zeit M (das magnetische Feld). formen E 2 ˝Zeit 2 Auf R M ist dann durch F WD EQ ^ dt C BQ 2 ˝ .R M / mit den Bezeichnungen aus 4F die Feldstärke-Form gegeben. Wir postulieren nun, dass für jede kompakte berandete 3-dimensionale Untermannigfaltigkeit N von R M gilt Z F D 0: (4.35) @N
Nach dem Satz von S TOKES ist dies gleichbedeutend damit, dass Z dF D 0 N
für jede kompakte 3-dimensionale Untermannigfaltigkeit gilt, also dF D 0 ; was bekanntlich den ersten beiden M AXWELLschen Gleichungen (4.30) entspricht. Umgekehrt folgt natürlich auch (4.35) aus dF D 0. Ebenso können die letzten beiden M AXWELLschen Gleichungen (4.30) aus der „Ladungserhaltung“ hergeleitet werden, nämlich aus Z Z
F D 4 J @N
N
mit den Bezeichnungen aus Abschn. F. Ebenso entsprechen die M AXWELLschen Gesetze in ihrer klassischen Form Integralgleichungen. Die Integralgleichungen haben den Vorteil, dass ihre physikalische Bedeutung klarer ist als die der entsprechenden Gleichungen in differentieller Form. Wir führen dies nur an einer der vier Gleichungen vor. Postuliert man, dass die gesamte Flussrate des magnetischen Feldes B durch die Oberfläche jedes kompakten 3-dimensionalen räumlichen Bereichs V null ist, so bedeutet dies Z hBjN i dF D 0 ; @V
110
4 Integration und Differentiation von Differentialformen
also mit dem Satz von G AUSS
Z div B dV D 0 V
und damit div B D 0; also die Quellenfreiheit des magnetischen Feldes. Kommen wir zum Schluss dieses Abschnittes noch zum Beweis des Satzes von S TOKES. Satz 4.37 (Spezialfall des Satzes von S TOKES). Sei .U; h/ eine berandete Karte für M; o.B.d.A. orientierungserhaltend. Ist Tr ! U kompakt, so gilt Z Z d! D !: M
@M
Beweis (des Spezialfalls). Z Z Z d! D d! D M
U
U0
' d! D
Z U0
d.' !/ ;
'
wobei h1 WD ' W U 0 ! U und Tr .' !/ U 0 . Mit Übungsaufgabe 4.12 gilt aber Z Z Z Z d.' !/ D ' ! D ! D !: @U 0
U0
@U
@M
t u Um den allgemeinen Fall zu beweisen benutzen wir eine Zerlegung der Einheit. Beweis (des Satzes von S TOKES). Sei ! 2 ˝ n1 M und Tr ! kompakt. Sei A D .Ui /i 2I ein Atlas für die berandete Mannigfaltigkeit M; .˛ /˛2A eine P untergeordnete Zerlegung der 1 mit Tr ˛ Ui˛ für ein i˛ 2 I . Dann ist ! D ˛2A ˛ !. Da Tr ! kompakt ist, kann A so gewählt werden, dass nur endlich viele Summanden nicht verschwinden. Auf jeden Summanden ist der Spezialfall anwendbar, also gilt Z Z Z X XZ XZ d! D d !˛ D d!˛ D !˛ D !: M
M
˛
˛
U i˛
˛
@Ui˛
@M
t u
H Das P OINCARÉ Lemma. Potentiale und Vektorpotentiale Kompakte Mannigfaltigkeiten ohne Rand werden auch als geschlossene Mannigfaltigkeiten bezeichnet (man denke nur an Sphären oder Tori). Ist M solch eine geschlossene n-dimensionale !; ! 0 2 ˝ n M mit ! D ! 0 C d für R Mannigfaltigkeit R n1 0 ein 2 ˝ M; so ist M ! D M ! nach dem Satz von S TOKES. Dies zeigt, dass man die Form ! um einen Term der Gestalt d abändern kann, sofern man
H Das P OINCARÉ Lemma. Potentiale und Vektorpotentiale
111
sich nur R für das Integral über ! interessiert. Ist insbesondere ! D d; so folgt dann M ! D 0. Dies legt nahe, für die Formen aus Kern und Bild der C ARTANAbleitung besondere Bezeichnungen einzuführen: Definitionen 4.38. Sei 0 k n und ! 2 ˝ k M . Ist d! D 0; so nennt man die Differentialform ! geschlossen oder einen Kozykel. Ist ! D d für ein 2 ˝ k1 ; so heißt ! exakt oder ein Korand.1 Da aus ! D d sofort d! D 0 folgt, führt dies zu der Frage, welche Kozykel zugleich Koränder sind. Da man auf 3-dimensionalen R IEMANNschen Mannigfaltigkeiten Differentialformen stets mit Vektorfeldern identifizieren kann, können wir auch diese Fragestellung in die Sprache der Vektorfelder übersetzen. Definitionen 4.39. Sei v ein differenzierbares Vektorfeld auf einer dreidimensionalen R IEMANNschen Mannigfaltigkeit M . Dann heißt ein Vektorfeld w auf M ein Vektorpotential von v; falls rot w D v gilt. Eine Funktion ' 2 C 1 .M / heißt Potential von v falls grad ' D v gilt. Die Frage: „Welche Kozykel sind Koränder?“ bedeutet in diesem Kontext: Welche rotationsfreien Vektorfelder besitzen ein Potential und welche divergenzfreien Vektorfelder ein Vektorpotential? Kommen wir zur allgemeineren Frage der Kozykel und Koränder auf einer Mannigfaltigkeit beliebiger Dimension zurück! In der mathematischen Literatur wird hierzu die „DE R HAM-Kohomologie“ studiert, auf die in dieser Einführung nicht näher eingegangen werden kann. Wir stellen hier nur einige einfache Resultate zusammen, deren Konsequenzen für Potentiale und Vektorpotentiale offensichtlich sind. Definition 4.40. Sind f; g W M ! N differenzierbare Abbildungen zwischen Mannigfaltigkeiten, so heißen f und g differenzierbar homotop, falls es eine (differenzierbare) Abbildung H W Œ0; 1 M ! N gibt mit H.0; x/ D f .x/ und H.1; x/ D g.x/. Man schreibt f ' g. Anschaulich bedeutet dies, dass f differenzierbar in g deformiert werden kann. Satz 4.41. Ist ! 2 ˝ k N ein Kozykel und sind f ' g W M ! N; so ist f ! g ! ein Korand. Insbesondere ist für geschlossene Mannigfaltigkeiten M im Fall k D dim M Z Z f ! D g ! : M
M
Beweis. Seien f; g W M ! N differenzierbare Abbildungen und f ' g. Sei ! 2 ˝ k N mit d! D 0. Zu zeigen ist: Es existiert ein ˛ 2 ˝ k1 M so, dass f ! g ! D d˛ : 1 Man spricht das wie „Ko-Rand“. In dem Teil der Topologie, den man als Homologietheorie bezeichnet, werden Zykel und Ränder eingeführt. Da die Differentialformen eine Art spiegelbildliche Variante einer Homologietheorie liefern, benutzt man dieselben Ausdrücke zusammen mit der Vorsilbe „Ko“.
112
4 Integration und Differentiation von Differentialformen
Sei H W Œ0; 1 M ! N eine Homotopie zwischen f und g; also H0 D f ; H1 D g; wobei Ht .x/ D H.t; x/. Auf der berandeten Mannigfaltigkeit Œ0; 1 M gibt es ein ausgezeichnetes Vektorfeld @t ; das am Punkt .t0 ; p0 / 2 Œ0; 1 M durch die Kurve 7! .t0 C ; p0 / repräsentiert wird. Sind .x 1 ; : : :; x n / lokale Koordinaten auf einer offenen Menge U M; so sind .x 0 D t; x 1 ; : : :; x n / lokale Koordinaten auf Œ0; 1 U; das entsprechende Koordinatenbasisfeld ist .@t ; @1 ; : : :; @n /; und das duale Basisfeld ist . dt; dx 1 ; : : :; dx n /. Wir zeigen nun, dass der Prismenoperator P W ˝ k .Œ0; 1 M / ! ˝ k1 M Z 1 7! i@t dt
(4.36)
P . d/ D j1 j0 dP ./
(4.37)
0
die Gleichung
erfüllt, wobei jt W M ! Œ0; 1 M ; x 7! .t; x/. Ist dies bewiesen, so folgt dP .H !/ D P . dH !/ C g ! f ! D g ! f ! ; da d! D 0. Also ist P .H !/ 2 ˝ k1 M die gesuchte Form ˛. Beweis von (4.37). Es genügt offenbar D a dx 1 ^ ^ dx k ; 0 1 < < k n zu betrachten, wobei .U; h/ eine Karte für M; . dx 0 ; dx 1 ; : : :; dx n / die dadurch gegebene Koordinatenbasis auf Œ0; 1 U ist und dx 0 dt. 1. Fall: 1 1. Dann ist P ./ D 0 sowie P . d/ D P
aP dt ^ dx
Z
1
D
1
^ ^ dx
a.t; P x/ dt
k
X @a C dx i ^ dx 1 ^ ^ dx k @x i
!
i
dx 1 ^ ^ dx k
0
D .a.1; x/ a.0; x// dx 1 ^ ^ dx k D j1 j0 : 2. Fall: Ist 1 D 0; so ist jt D 0; da jt dt D 0. Weiter ist P . d/ D
n Z X i D1
1 0
@a .t; x/ dt @xi
dx i ^ dx 1 ^ ^ dx k
und
Z 1 n X @ d.P .// D a.t; x/ dt dx i ^ dx 1 ^ ^ dx k : @xi 0 i D1
t u
H Das P OINCARÉ Lemma. Potentiale und Vektorpotentiale
113
Abb. 4.2 Zusammenziehbares Gebiet
p0
In manchen Fällen entscheidet nun schon das Aussehen von M darüber, ob geschlossene Differentialformen exakt sind: Korollar 4.42 (P OINCARÉ Lemma). a. Ist M zusammenziehbar, d.h. idM homotop zu einer konstanten Abbildung p W M ! M; p.x/ p0 für ein festes p0 2 M; so gibt es für jedes ! 2 ˝ k M mit d! D 0 ein ˛ 2 ˝ k1 M mit d˛ D !. b. Insbesondere gibt es auf jeder beliebigen Mannigfaltigkeit M zu jedem p 2 M eine offene Umgebung U; so dass für jeden Kozykel ! auf M gilt: !jU ist ein Korand auf U . So sichert die Bedingung dF D 0 für den Feldstärketensor F 2 ˝ 2 .X / lokal die Existenz von A 2 ˝ 1 .U / mit dA D F . Diese Differentialform entspricht dem Viererpotential. Wie wir in den Beispielen 4.31 und 4.33 in Abschnitt G gesehen haben, ist im Allgemeinen aber nicht jeder Kozykel ein Korand. Ist M Rn sogar sternförmig bezüglich p0 (d. h. für jedes p 2 M ist die Strecke pp0 WD ftpC.1t/p0 j t 2 Œ0; 1g M ), so kann die „Stammform“ dieses Korands explizit berechnet werden. Korollar 4.43 (Stammformel). Sei X Rn eine bezüglich x0 D 0 sternförmige Umgebung von 0; ! 2 ˝ k X ein Kozykel, also d! D 0. Dann ist ˛ 2 ˝ k1 mit d˛ D ! durch X
˛ WD
k X .1/i 1
1 <<k i D1
Z
1
t 0
k1
!1 ;:::;k .tx/ dt x
i
dx
1
1 ^ ^ dx
^ ^ dx
i
gegeben. Beweis. Für den Prismenoperator (4.36) gilt nach (4.37) stets P . d/ D dP ./ C j1 j0 :
(4.38) k
114
4 Integration und Differentiation von Differentialformen
Sei H.t; x/ WD tx und WD H !; also j1 D !; j0 D 0 und d D dH ! D H d! D 0. Folglich gilt dP ./ D ! : Zu zeigen bleibt also, dass ˛ WD P .H !/ durch (4.38) gegeben ist. Es genügt, dies für ! D !1 ;:::;k dx 1 ^ ^ dx k zu zeigen. Es ist .H dx /.t;x/ D t dx C x dt; also .H !/.t;x/ D !1 ;:::;k .tx/ t k dx 1 ^ ^ dx k ! k X i 1 k1 1 i k C .1/ t dt ^ dx ^ ^ dx ^ ^ dx
b
i D1
und damit i@t .H !/ D t k1 !1 ;:::;k .tx/
b
k X .1/i 1 dx 1 ^ ^ dx i ^ ^ dx k : i D1
Also erhält man (4.38) mittels Integration.
t u
Aufgaben zu Kap. 4 4.1. Berechnen Sie den Flächeninhalt des Rotationstorus Tr;R aus Aufgabe 1.4. 4.2. Sei M eine n-dimensionale Mannigfaltigkeit. a. Ist U Rn offen und f W U ! R eine differenzierbare Funktion, so ist der Graph von f Gf WD f.x; f .x//T jx 2 U g RnC1 eine n-dimensionale Untermannigfaltigkeit von RnC1 . Geben Sie eine Parametrisierung von Gf an und berechnen Sie die kanonische Volumenform !Gf sowie (unter der Voraussetzung, dass !Gf integrierbar ist) das Volumen vol .Gf / des Graphen. (Hinweis: Die Berechnung der auftretenden G RAMschen Determinante kann z. B. wie in [36], Ergänzungen zu Kapitel 22, erfolgen.) b. Berechnen Sie den Flächeninhalt des Graphen der Funktion n o F W .x; y/T 2 R2 jx 2 C y 2 < 1 ! R ; F .x; y/ D xy : 4.3. Es seien f 2 C 1 .R3 / und w und v Vektorfelder auf R3 . Leiten Sie aus d.! ^ / D d! ^ C .1/r ! ^ d Produktformeln für rot .f v/; div .f v/ und div .u v/ her.
Aufgaben
115
4.4. Betrachten Sie die Zweisphäre S2 WD fx 2 R3 W jxj D 1g in R3 . Auf S2 sei die reellwertige Funktion ( f .x; y; z/ WD
p
falls z > 0; x 2 C y 2 6D 0
0
sonst
1 x 2 Cy 2
definiert. Berechnen Sie das Integral
R
f dF von f über die Mannigfaltigkeit S2 .
S2
4.5. Wir betrachten auf R2 n f0g die Windungsform !D
x2
1 .y dx C x dy/ : C y2
a. Berechnen Sie für die Kurven n W Œ0; 2 ! R2 n f0g ; das Integral
R
! WD
n
2 R 0
n .t/ WD .cos.nt/; sin.nt//T ; n 2 N
n !.
b. Zeigen Sie, dass ! geschlossen, aber nicht exakt ist. c. Zeigen Sie, dass n nicht homotop zu m ist, falls n 6D m. 4.6. Sei .M; g/ eine R IEMANNsche Mannigfaltigkeit. Ist f W M !0; 1Œ eine differenzierbare nichtnegative Funktion, so definieren wir eine neue Metrik gQ auf M durch gQ p WD f 2 .p/ gp ; p 2 M: Drücken Sie die kanonische Volumenform !Q M bezüglich gQ durch die kanonische Volumenform !M bezüglich g aus. Wie ändert sich das Volumen von M beim Übergang von g zu g; Q wenn speziell f c konstant ist? 4.7. Sei ! die Volumenform auf der Sphäre Sn1 und f W Rn n f0g ! Sn1 ; x gegeben durch f .x/ WD jxj . Man definiert das n-dimensionale Raumwinkelelement durch WD f ! : a. Berechnen Sie d . b. Beweisen Sie, dass in kartesischen Koordinaten gegeben ist durch D
b
n 1 X .1/i 1 xi dx1 ^ ^ dxi ^ ^ dxn : jxjn i D1
4.8. Es sei f W R2 ! R3 gegeben durch f .u; v/ D .u2 ; uv; v 2 / :
116
4 Integration und Differentiation von Differentialformen
Wir bezeichnen die kartesischen Koordinaten in R2 durch .u; v/; in R3 durch .x; y; z/. Seien !1 D x dx C y dy C z dz; sowie
!2 D z dx C x dy C y dz
!3 D ex cos y dx ^ dy C sin.yz/ dy ^ dz
Differentialformen auf R3 . a. Berechnen Sie d!2 und d!3 . b. Berechnen Sie f .!1 ^ !2 C !2 ^ !3 / und f d.!1 ^ !2 C !2 ^ !3 /. c. Entscheiden Sie, ob es eine 1-Form gibt mit d D f .!1 ^ !2 C !2 ^ !3 / : Geben Sie eine solche gegebenenfalls an. 4.9. Seien M und N Mannigfaltigkeiten der Dimensionen m bzw. n. a. Seien ! eine integrierbare m-Form auf M; eine integrierbare n-Form auf N sowie pM bzw. pN die Projektionen von M N auf M bzw. N . Dann ist offenbar WD .pM !/ ^ .pN / eine .m C n/-Form auf M N . Zeigen Sie: ist integrierbar und Z Z Z D M N
! M
: N
b. (Satz von F UBINI für Mannigfaltigkeiten) Sei nun eine integrierbare .m C n/-Form auf M N . Für feste p 2 M und v1 ; : : :; vm 2 Tp M ist offenbar .ivm ivm1 iv1 /.p;q/ 2 Altn Tq N für jedes q 2 N; also ist die Abbildung q 7! .ivm ivm1 iv1 /.p;q/ eine (integrierbare) n-Form auf N . Wir setzen Z !p .v1 ; : : :; vm / WD .ivm ivm1 iv1 /.p;/ N
für p 2 M; v1 ; : : :; vm 2 Tp M . Zeigen Sie: ! ist eine integrierbare m-Form auf M; und es gilt Z Z D !: M N
M
c. Seien M und N Mannigfaltigkeiten der Dimensionen m bzw. n und W M ! N eine surjektive reguläre Abbildung. Seien ! 2 ˝ mn M und 2 ˝ n N Differentialformen Träger, und sei f 2 C 1 .M /. R mit kompaktem Sei F .x/ WD f j !; wobei j W 1 .x/ ! M die Inklusion bezeichnet. 1 .x/
Aufgaben
117
Dann gilt
Z
Z
f .! ^ / D
F :
M
N
(Hinweis: Zerlegung der Einheit und Satz von F UBINI in Rm .) 4.10. Sei f eine differenzierbare Funktion auf der Mannigfaltigkeit M und c ein regulärer Wert von f . Zeigen Sie, dass die Teilmenge fx 2 M j f .x/ cg in kanonischer Weise eine berandete Untermannigfaltigkeit ist. 4.11. Sei M eine berandete Mannigfaltigkeit. Zeigen Sie die folgenden Aussagen: a. Der Rand @M von M ist abgeschlossen in M . Was ist @.@M /; der Rand von @M ? b. Sei nun M kompakt mit Rand und f W M ! R eine überall reguläre differenzierbare Funktion. Dann nimmt f seine Extremwerte auf @M an. 4.12. Es seien Q Da1 ; b1 Œ an ; bn Œ Rn ein offener Quader in Rn und f eine positive differenzierbare Funktion auf Q. M.f / sei gegeben durch M.f / D f.x; xnC1 / 2 Rn R1 D RnC1 j x 2 Q; 0 xnC1 f .x/g : a. Zeigen Sie, dass M.f / eine berandete Mannigfaltigkeit ist und geben Sie @M.f / an. b. Sei ! 2 ˝ n .RnC1 /; so dass !.x;xnC1 / D 0 für x 62 Q; d. h. !D
nC1 X
b
!i dx1 ^ ^ dxi ^ ^ dxnC1
i D1
mit !i ..x1 ; : : :; xn /; xnC1 / D 0 für .x1 ; : : :; xn / 62 Q. Zeigen Sie, ohne den Satz von S TOKES zu benutzen, dass die Gleichung Z Z d! D j ! M.f /
@M.f /
gilt. Dabei ist j W @M ! M.f / die Inklusion. c. Schließen Sie aus b. (mit dem Spezialfall f R 1), dassRfür jedes offene U 0 0 RnC1 und ! 2 ˝ n .RnC1 d D j . / mit Tr U gilt: U0
@U 0
d. Benutzen Sie b., um zu zeigen: Ist ! 2 ˝ n RnC1 wie in b. und d! D 0; so ist Z Z i1 ! D i2 ! ; Q
Gf
118
4 Integration und Differentiation von Differentialformen
wobei i1 W Q ! RnC1 ; x 7! .x; 0/ und i2 W Gf ! RnC1 die kanonischen Inklusionen sind und Gf WD f.x; y/ 2 Rn R j y D f .x/g : 4.13. a. Es sei M eine kompakte berandete n-dimensionale Mannigfaltigkeit mit Rand @M . Sei f 2 C 1 .@M / eine differenzierbare Funktion auf @M . Zeigen 1 Q Sie, ˇ dass eine differenzierbare Funktion f 2 C .M / auf M existiert, so dass fQˇ@M D f gilt. (Hinweis: Betrachtet man statt M die (nichtkompakte) Mannigfaltigkeit Rn und ˇ f W @Rn ! R; so ist fQ W Rn ! R mit fQˇ@Rn D f durch fQ.x; y/ D f .0; y/ gegeben.) b. Sei f und fQ wie in a. und ! 2 ˝ n1 .M / eine geschlossene Differentialform (d. h. d! D 0). R Zeigen Sie, dass das Integral M . dfQ/ ^ ! nicht von der Wahl von fQ mit ˇ fQˇ@M D f abhängt. 4.14. Zeigen Sie: a. Auf jeder Mannigfaltigkeit gibt es eine R IEMANNsche Metrik (also Satz 4.3). b. Auf einer orientierbaren Mannigfaltigkeit M existiert genau dann eine L OR ENTZ metrik, wenn auf M ein nicht verschwindendes Vektorfeld v existiert. (Hinweis: Bedenken Sie, dass Sie auf M auf jeden Fall eine R IEMANNsche Metrik wählen können. Mit Hilfe von v kann daraus leicht eine L ORENTZmetrik konstruiert werden. Andererseits hat der Homomorphismus Tx M ! Tx M; der sich durch Kombination der Operatoren b und # zu einer gegebenen L OR ENTZ -Metrik und einer R IEMANN schen Metrik ergibt, für jedes x 2 M genau einen eindimensionalen Eigenraum zu negativem Eigenwert. Benutzen Sie diesen und eine Zerlegung der Einheit, um das gesuchte Vektorfeld zu konstruieren.) 4.15. Für eine R IEMANNsche Mannigfaltigkeit M ist bekanntlich der L APLACEoperator M W C 1 .M / ! C 1 .M / definiert durch M f WD div gradf . a. Sei M geschlossen (d. h. kompakt und ohne Rand, also @M D ;). Eine Funktion f 2 C 1 .M / heißt Eigenfunktion des L APLACEoperators zum Eigenwert 2 R; falls M f D f gilt. Zeigen Sie: SindR f1 und f2 Eigenfunktionen zu verschiedenen Eigenwerten 1 6D 2 ; so gilt f1 f2 dV D 0. (Hier ist dV D !M die Volumenform.) M
Hinweis: G REENsche Formeln. b. Sei P W R3 ! R homogen vom Grad m (d. h. P .tx/ D t m P .x/ für x 2 R3 ; R3 t 2 R) und harmonisch ˇ (d. h. P D 0). Zeigen Sie, dass P ˇS2 eine Eigenfunktion des L APLACEoperators von S2 ist, und bestimmen Sie den Eigenwert . Hinweis: Mittels (4.27) kann man die L APLACEoperatoren in R3 und auf S2 leicht vergleichen, wenn man Kugelkoordinaten einführt.
Aufgaben
119
4.16. Sei X R3 offen, und E; B zeitabhängige Vektorfelder auf X mit EP D rot B 2 X; also und BP D rot E. Sei E D E b und B D B b . Sei weiter S WD E ^ B 2 ˝Zeit # S WD S der P OYNTING-Vektor. Zeigen Sie: Ist M X eine 3-dimensionale kompakte berandete Untermannigfaltigkeit, so ist Z Z @ u !M S D @t @M
M
mit der Energiedichte u D 12 .jEj2 C jBj2 /.
Kapitel 5
Geodätische und Krümmung
Die Geraden in der Ebene haben zwei wichtige Eigenschaften: Einerseits sind sie dadurch charakterisiert, dass die kürzeste Verbindung zwischen zwei Punkten in der Ebene ein Geradenstück ist, andererseits sind Geraden genau die Bahnkurven von Massenpunkten, die sich ohne äußere Krafteinwirkung auf der Ebene bewegen. Wir werden sehen, dass geodätische Kurven auf R IEMANNschen Mannigfaltigkeiten auch diese beiden Eigenschaften haben, also in diesem Sinn die Verallgemeinerung der Geraden sind. Ihre physikalische Bedeutung liegt damit auf der Hand. Natürlich lassen sich nicht alle Eigenschaften von Geraden in der Ebene auf geodätische Kurven übertragen. Auf der Kugeloberfläche z. B. bilden die Großkreise die Geodätischen. Betrachtet man nun auf der Kugeloberfläche ein Dreieck, dessen Kanten aus Geodätischen bestehen (ein „geodätisches Dreieck“) so ist die Summe der Innenwinkel größer als . Diese Abweichung wird bewirkt durch die Krümmung der Fläche. Dies ist der zweite wichtige Begriff, den wir in diesem Kapitel behandeln werden. Genauer gesagt, geht es um verschiedene Krümmungsbegriffe, die wir erklären werden. Der wichtigste Krümmungsbegriff ist für Physiker sicher der des R IEMANNschen Krümmungstensors, der in der allgemeinen Relativitätstheorie eine fundamentale Rolle spielt.
A Krümmung von Kurven in Untermannigfaltigkeiten des Rn Um die anschauliche Bedeutung der Krümmungsbegriffe klarzumachen, werden in den Abschnitten A und B Untermannigfaltigkeiten des Rn behandelt. Wir beginnen mit eindimensionalen Untermannigfaltigkeiten oder, etwas allgemeiner, mit Kurven (vgl. [36], Kap. 9). Definitionen 5.1. a. Unter einer regulär parametrisierten Kurve versteht man eine C 1 -Abbildung Wa; bŒ! Rn
K.-H. Goldhorn, H.-P. Heinz, M. Kraus, Moderne mathematische Methoden der Physik DOI 10.1007/978-3-540-88544-3, © Springer 2009
121
122
5 Geodätische und Krümmung
mit P .t/ ¤ 0 für alle t 2a; bŒ. P ¤ 0 für alle t 2 b. Ist ' Wa0 ; b 0 Œ!a; bŒ eine bijektive C 1 -Abbildung mit '.t/ a0 ; b 0 Œ; so heißt Q WD ı ' Wa0 ; b 0 Œ! Rn eine Umparametrisierung von . Ist '.t/ P > 0; für alle t; so heißt ' orientierungserhaltend, sonst orientierungsumkehrend. Rb c. LŒ WD a jP .t/j dt heißt die Länge von . d. Ist Wa; bŒ! Rn eine regulär parametrisierte Kurve mit j.t/j P D 1 für alle t 2a; bŒ; so heißt auf Bogenlänge parametrisiert. e. Ist j.t/j P D c ¤ 0 konstant, so heißt proportional zur Bogenlänge parametrisiert. Ist Wa; bŒ! Rn auf Bogenlänge parametrisiert, so ist offenbar LŒ D b a. Wir werden uns hauptsächlich mit auf Bogenlänge parametrisierten Kurven beschäftigen. Lemma 5.2. Ist Wa; bŒ! Rn eine regulär parametrisierte Kurve, so gibt es eine Umparametrisierung von auf Bogenlänge, d. h. es gibt einen Diffeomorphismus ' Wa0 ; b 0 Œ!a; bŒ ; so dass ı ' auf Bogenlänge parametrisiert ist. Dabei ist a0 ; b 0 Œ R ein Intervall der Länge LŒ . Beweis. Für ein t0 2a; bŒ definieren wir Wa; bŒ!s0 ; s0 C LŒ Œ durch Z s .s/ D j.t/j P d t und insbesondere t0 Z a jP .t/j d t : s0 D t0
Dann ist 0 .s/ D jP .s/j > 0. Folglich ist Q D ı sierung auf Bogenlänge, denn Q 0 .s/ D ı
1 0
.s/ D P D
1
1
.s/
1 jP .
also jQ 0 .s/j D 1 für alle s 2s0 ; s0 C LŒ Œ.
1 .s//j
die gesuchte Umparametri1 0.
P .
1 .s// 1
.s// ; t u
Die Umparametrisierung einer regulär parametrisierten Kurve auf Bogenlänge ist bis auf Verschiebung eindeutig. Genauer gilt Lemma 5.3. Sind 1 und 2 zwei orientierungserhaltende Umparametrisierungen von auf Bogenlänge, so gibt es ein t0 2 R; so dass 2 .t/ D 1 .t C t0 / gilt.
A Krümmung von Kurven in Untermannigfaltigkeiten des Rn
123
Der Beweis ist eine leichte Übungsaufgabe. Die Krümmung einer regulär parametrisierten Kurve wird nun unabhängig von der Parametrisierung definiert. Definitionen 5.4. a. Ist eine auf Bogenlänge parametrisierte Kurve, so ist die Krümmung von an der Stelle t durch .t/ WD jR .t/j definiert. b. Ist Q eine regulär parametrisierte Kurve und WD Q ı' eine Umparametrisierung auf Bogenlänge, so ist die Krümmung von Q durch Q .t/ WD .' 1 .t// definiert. Wir wollen die Bedeutung der Krümmung an zwei Beispielen veranschaulichen: Beispiele 5.5. a. Ist eine auf Bogenlänge parametrisierte Kurve mit 0; so gibt es ein x0 2 Rn und ein v 2 Sn1 mit .t/ D x0 C tv; d. h. das Bild von ist eine Gerade. Denn ist R .t/ D 0 für alle t; so ist P konstant, also P .t/ D v 2 Sn1 ; da auf Bogenlänge cos t parametrisiert1ist. b. Ist Q .t/ D R R sin t ; so ist Q .t/ D R . Um dies zu errechnen, muss Q zuerst Bogenlänge parametrisiert werden. cos.tauf =R/ eine Parametrisierung von Q auf Wegen jQ 0 .t/j D R ist .t/ D R R sin.t =R/ 1 cos.t =R/ Bogenlänge. Damit ist R .t/ D R sin.t =R/ ; und die Behauptung folgt. Ist eine Kurve in der Ebene R2 ; so kann auch die „Richtung“ der Krümmung in die Definition mit einbezogen werden. Definition 5.6. Ist W I ! R2 auf Bogenlänge parametrisiert, so heißt .t/or WD hR .t/ j U.t/i mit U.t/ WD
0 1
1 0
P .t/ die orientierte Krümmung von .
Ist jP .t/j D 1; so ist hR .t/ j P .t/i D 0; also R .t/ D .t/or U.t/. Daher ist .t/ D j .t/or j. In obigem Beispiel b. wäre .t/or D .t/. Eine orientierungsumkehrende Umparametrisierung ändert offenbar das Vorzeichen der orientierten Krümmung. Beschreibt die Bahnkurve eines Massenpunktes, so ist nach dem N EWTONschen Gesetz R proportional zu der Kraft, die auf den Massenpunkt einwirkt. Bewegt sich der Punkt auf einer Fläche, so spielen die Zwangskräfte, die senkrecht zur Fläche stehen, eine besondere Rolle. Es liegt also nahe, in diesem Falle die Krümmung in zwei Anteile aufzuspalten.
124
5 Geodätische und Krümmung
Definitionen 5.7. Sei M Rn eine m-dimensionale Fläche (= Untermannigfaltigkeit), W I ! M eine auf Bogenlänge parametrisierte Kurve. Für jedes x 2 M bezeichne prM;x W Rn ! Tx M ; pr?;x W Rn ! Tx? M die beiden Orthogonalprojektionen. a. Dann heißt jprM;.t / R .t/j DW g .t/ die (absolute) geodätische Krümmung von an der Stelle t und jpr?;.t / R .t/j DW k .t/ die (absolute) Normalkrümmung von an der Stelle t. b. Ist g .t/ D 0 für alle t; so heißt geodätische Kurve oder kurz Geodätische. c. Ist m D n 1 und M durch ein Normaleneinheitsfeld U orientiert, so heißt k .t/ WD hR .t/ j U..t//i die (orientierte) Normalkrümmung von an der Stelle t. d. Ist dim M D 2 und M orientiert, so bezeichnet V W I ! Rn die Abbildung, für die .P .t/; V .t// eine positiv orientierte Orthonormalbasis von T.t /M für alle t 2 I ist. Die Größe g .t/ WD hR .t/ j V .t/i heißt dann die orientierte geodätische Krümmung von an der Stelle t. Eine auf Bogenlänge parametrisierte Kurve W I ! M ist also genau dann geodätische Kurve, wenn R .t/ ? T.t / M für alle t 2 I gilt. Denkt man sich wieder als Bahnkurve eines Teilchens, so heißt das, dass die Zwangskräfte, die das Teilchen auf der Fläche halten, die einzigen Kräfte sind, die auf das Teilchen wirken. Mit dem Satz von P YTHAGORAS folgt sofort, dass 2 .t/ D .g .t//2 C .k .t//2 : Wegen jP .t/j 1 folgt weiterhin hR .t/ j P .t/i D 0; also im Fall von dim M D 2 R .t/ D pr?;.t / R .t/ C hR .t/ j V .t/iV .t/ und damit g .t/ D jg .t/j :
A Krümmung von Kurven in Untermannigfaltigkeiten des Rn
125
U (γ1 (t)) γ¨1 (t)
γ¨2 (t)
U (γ2 (t))
Abb. 5.1 Breitenkreise auf der zweidimensionalen Sphäre
Ist dim M D n 1 und U ein Normaleneinheitsfeld auf M; so ist R j U..t//i U..t// ; pr?;.t / R .t/ D h.t/ also k .t/ D jk .t/j : Beispiel 5.8. Wir betrachten Kurven auf M D S2 ; die entlang der Breitenkreise verlaufen (vgl. Abb. 5.1), also 0 1 c cos.t=c/ .t/ D @ cpsin.t=c/ A für c 2 Œ0; 1 : 1 c2 Dann ist U..t// D .t/ und 0 1 cos.t=c/ 1 @ sin.t=c/ A ; R .t/ D c 0 r
also g .t/ D
1 c2 c2
und k .t/ D 1. Also ist nur der Äquator geodätisch. Ein beliebiger Kreis auf der Sphäre ist aber bezüglich eines gedrehten Koordinatensystems ein Breitenkreis, und die Krümmungen sind unter Drehungen invariant, wie man leicht nachrechnet (vgl. Aufgabe 5.3). Damit sind genau die Großkreise die Geodätischen auf S2 . Das folgende Lemma zeigt, dass die Normalkrümmung einer Kurve an einem Punkt auf einer Fläche von ihrer Geschwindigkeit an dieser Stelle und dem Normaleneinheitsfeld der Fläche abhängt.
126
5 Geodätische und Krümmung
Lemma 5.9. Ist M eine .n 1/-dimensionale orientierte Untermannigfaltigkeit des Rn mit orientierungsdefinierendem Normaleneinheitsfeld U und W I ! M eine auf Bogenlänge parametrisierte Kurve, so ist k .t/ D h dU.t /.P .t// j P .t/i :
(5.1)
Beweis. Wegen h.t/ P j U..t//i D 0 für alle t folgt mittels Ableiten hR .t/ j U..t//i D h dU.t / .P .t// j .t/i P : t u Im Fall n D 2 stimmt die Normalkrümmung natürlich mit der Krümmung der M parametrisierenden Kurve überein und (5.1) liefert eine Möglichkeit, die Krümmung zu berechnen. In diesem Fall ist 0 1 U..t// D P .t/ : 1 0
B Krümmung von Hyperflächen des Rn In diesem Abschnitt ist M stets eine orientierte .n 1/-dimensionale Teilmannigfaltigkeit des Rn ; also eine orientierte Hyperfläche. Das orientierungsdefinierende Normaleneinheitsfeld wird mit U bezeichnet. Gleichung (5.1) ist schon ein erster Hinweis darauf, dass die Krümmung einer Fläche durch die Änderung des Normaleneinheitsfeldes beschrieben wird. Offenbar ist dUp 2 End .Tp M / für jedes p 2 M; denn ist v 2 Tp M und repräsentierende Kurve, also dUp .v/ D
d jt D0 U..t// ; dt
so ist wegen jU..t//j2 D 1 auch 2h dUp .v/ j U.p/i D 0 ; also dUp .v/ 2 Tp M . Definition 5.10. Die lineare Abbildung Sp WD dUp 2 End .Tp M / heißt der W EINGARTENoperator von M an der Stelle p.
B Krümmung von Hyperflächen des Rn
127
Mit (5.1) kann jetzt die Normalkrümmung einer Kurve in M stets aus dem W EIN GARTEN operator berechnet werden. In lokalen Koordinaten ist der W EINGAR TEN operator leicht explizit zu bestimmen: Lemma 5.11. Ist .V; h/ eine Karte von M mit Parametrisierung h1 D ' W V 0 ! Rn und sind @1 ; : : : ; @n1 die zugehörigen Koordinatenbasisfelder, so ist ˇ ˇ @2 ' ˛ ˝ .h.p// : Sp .@i .p// ˇ @j .p/ D U.p/ ˇ @xi @xj Beweis. Die Koordinatenbasisfelder sind durch @i .p/ D gegeben. Wegen ˇ @' .p 0 / D 0 .U ı '/.p 0 / ˇ @xj für alle p 0 2 V 0 ist
ˇ @' @ .U ı '/ ˇ @xi @xj
also
ˇ D U ı'ˇ
@' @xi
@2 ' @xi @xj
.h.p// für p 2 V
;
ˇ @' @ ˇ .U ı '/.h.p// .h.p// @xi @xj ˇ @2 ' .h.p// : D U.p/ ˇ @xi @xj
ˇ ˛ ˝ Sp .@i .p// ˇ @j .p/ D
t u Wegen
@2 ' @xi @xj
D
@2 ' @xj @xi
folgt daraus sofort
Korollar 5.12. Der W EINGARTENoperator ist selbstadjungiert, d. h. es gilt hSp .v/jwi D hvjSp .w/i für alle v; w 2 Tp M . Aus der linearen Algebra ist bekannt, dass symmetrische Matrizen stets eine Orthogonalbasis von Eigenvektoren und reelle Eigenwerte besitzen. Dies ermöglicht die Einführung von wichtigen Krümmungsgrößen: Definitionen 5.13. a. Die symmetrische Bilinearform IIp W Tp M Tp M ! R .v; w/ 7! hSp .v/ j wi heißt die zweite Grundform auf M .1 1
Die erste Grundform ist der metrische Tensor g.v; w/ D hv j wi.
128
5 Geodätische und Krümmung
b. K.p/ WD det Sp heißt die G AUSSsche Krümmung von M an der Stelle p. 1 Spur Sp heißt die mittlere Krümmung von M an der Stelle p. c. H.p/ WD n1 d. Die Eigenwerte von Sp heißen die Hauptkrümmungen von M an der Stelle p; die Eigenvektoren heißen die Hauptkrümmungsrichtungen. Ist W I ! M eine auf Bogenlänge parametrisierte Kurve in M; so ist also k .t/ D II.P .t/; P .t// : Ist zusätzlich P .t/ Hauptkrümmungsrichtung zur Hauptkrümmung ; so ist k .t/ D : Bezüglich einer Karte .U; h/ mit zugehöriger Koordinatenbasis .@1 ; : : : ; @n1 / wird die zweite Grundform durch die .n 1/-reihige Matrix .hjk / mit hjk WD II.@j ; @k /
(5.2)
wiedergegeben. Bezeichnen wir mit . i j / die Matrix, die den W EINGARTENoperator bzgl. dieser Basis wiedergibt, also S @j D
n1 X
i j @i ;
i D1
P i so erhalten wir hjk .p/ D hSp @j .p/j@k .p/i D gp i j .p/@i .p/; @k .p/ D P i 2 U . Für die Determinanten ergibt sich daher i j .p/gi k .p/ für p det .hjk .p// D K.p/G.p/; wo G wieder die G RAMsche Determinante bezeichnet. So erhalten wir eine lokale Formel für die G AUSSsche Krümmung, nämlich K.p/ D
det.IIp .@j .p/; @k .p/// : G.p/
(5.3)
Betrachten wir nun einige Beispiele, um eine Vorstellung von den Krümmungsbegriffen zu bekommen. Beispiele 5.14.
0 1 0 a. Ist M D R2 f0g R3 ; so ist U.p/ D @0A ; also Sp D 0; und somit 1 verschwinden mittlere Krümmung und G AUSSsche Krümmung. b. Ist M D S2 R3 ; so ist U.p/ D p; also Sp D id und damit K.p/ D 1 sowie H.p/ D 1. c. Sei V R2 offen, f 2 C 1 .V / und M D f.x; f .x//jx 2 V g die Graphenfläche zu f . Eine Parametrisierung von M ist durch ' W V ! R03 ; x17! .x; f .x// 0 gegeben. Ist p 2 V mit grad f .p/ D 0; so ist U.p; f .p// D @0A D e 3 ; also 1
C Die kovariante Ableitung auf Untermannigfaltigkeiten des Rn
K=0
129
K<0 K>0
Abb. 5.2 G AUSSsche Krümmung beim Torus
ˇ 2 ˇ @ ' @2 f ˇ hS.p;f .p// .@i /j@j i D e 3 ˇ .p/ D .p/ : @xi @xj @xi @xj Hat die Graphenfläche also am Punkt .p; f .p// positive G AUSSsche Krümmung, so hat der Graph an der Stelle p ein lokales Extremum; hat sie negative G AUSSsche Krümmung, so hat der Graph an der Stelle p einen Sattelpunkt. Legt man die Koordinaten im R3 entsprechend, so sieht man daraus leicht, dass der in den R3 eingebettete Torus auf der äußeren Hälfte – wie in Abb. 5.2 gezeigt – positive Krümmung hat, am oberen und unteren Kreis die Krümmung 0 und innen negative Krümmung. Flächen mit verschwindender mittlerer Krümmung heißen Minimalflächen. Obwohl auch sie für die Physik eine wichtige Rolle spielen, ist hier nicht der Platz, näher darauf einzugehen. Eine erste Einführung ist in [9] oder auch [31] gegeben. Im Gegensatz zur mittleren Krümmung kann man zeigen, dass die G AUSSsche Krümmung allein durch die Metrik der Fläche, nicht durch ihre Lage im R3 bestimmt ist. Dies ist der Gegenstand des „Theorema egregium “ von G AUSS. In Abschn. C werden wir wieder darauf zurück kommen.
C Die kovariante Ableitung auf Untermannigfaltigkeiten des Rn In diesem Abschnitt sei M Rn wieder eine Teilmannigfaltigkeit beliebiger Dimension. In Abschn. A haben wir den tangentialen Anteil der Beschleunigung R .t/ D dtd P .t/ einer mit gleichförmiger Geschwindigkeit durchlaufenen Kurve in M als die geodätische Krümmung definiert. Es ist nun ein entscheidender Schritt, sich hier von den Geschwindigkeitsvektoren P .t/ zu lösen und auch für allgemeine Vektorfelder v auf M den tangentialen Anteil der Ableitung als eine wichtige Größe zu erkennen. Man nennt sie die kovariante Ableitung rv; und ihre systematische Untersuchung führt schließlich auch zu den relevanten Krümmungsgrößen für allgemeine Mannigfaltigkeiten beliebiger Dimension, die die Geometrie solch einer Mannigfaltigkeit wesentlich mitbestimmen und die physikalisch als Feldstärke interpretiert werden können (vgl. Abschn. G und H). Hierbei wird auch die Betrach-
130
5 Geodätische und Krümmung
tung des Normaleneinheitsfeldes oder anderer Größen, die den umgebenden Rn betreffen, vermieden, und es gelingt, alle entscheidenden Krümmungsgrößen aus der pseudo-R IEMANNschen Metrik g alleine zu berechnen. Erst dadurch wird es möglich, die Krümmungstheorie auch für allgemeine Mannigfaltigkeiten zu entwickeln, bei denen kein umgebender euklidischer Raum mehr vorhanden ist. Ein Vektorfeld v auf M Rn ist durch eine Abbildung v W M ! Rn gegeben, so dass v.x/ 2 Tx M für jedes x 2 M gilt. Damit ist dann dvx 2 Hom.Tx M; Rn /. Ist w ein weiteres Vektorfeld auf M; so ist dvx .w.x// 2 Rn ; aber im Allgemeinen kein Tangentialvektor an M . Wir haben in Abschn. 3D mit der L IE-Ableitung bereits eine Möglichkeit kennen gelernt, wie man ein Vektorfeld trotzdem differenzieren kann. Hier lernen wir nun eine weitere kennen. Wir verwenden dabei die schon in Definition 5.7 eingeführte Notation. Notation: Für x 2 M bezeichnen wir in diesem Abschnitt mit prM;x W Rn ! Tx M die Orthogonalprojektion. Die Notation TM für den Raum der differenzierbaren Vektorfelder wird jetzt etwas verallgemeinert. Ist M eine differenzierbare Mannigfaltigkeit, E D ˝rs TM oder E D Altr .TM; ˝s TM / [ D Altr .Tx M; ˝s Tx M / ; x2M
so bezeichnet man mit E den Raum der differenzierbaren Schnitte in E; d. h. den Raum der Schnitte in E; deren Komponentenfunktionen bezüglich gegebener Koordinatenbasen durch differenzierbare Abbildungen gegeben sind (vgl. Definition 3.2 und die darauf folgenden Erläuterungen). So ist z. B. durch f 2 End .TM / für jedes x 2 M ein Endomorphismus f .x/ 2 End .Tx M / gegeben. Ist U ein Kartengebiet, so ist f jU bezüglich der Koordinatenbasen .@1 ; : : : ; @n / in diesem Gebiet durch eine differenzierbare Abbildung U ! Rnn gegeben. Definitionen 5.15. a. Ist v ein differenzierbares Vektorfeld und w 2 Tx M; so heißt rw v WD prM;x dvx .w/ 2 Tx M die kovariante Ableitung von v in Richtung w an der Stelle x. Damit ist rv 2 End .TM / wohldefiniert. b. Ist W I ! M differenzierbar und v W I ! TM eine differenzierbare Abbildung mit v.t/ 2 T.t / M; so heißt r ˇˇ v WD prM;.t0/ v.t/ P ˇ dt t Dt0 die kovariante Ableitung von v in Richtung .
C Die kovariante Ableitung auf Untermannigfaltigkeiten des Rn
131
Abb. 5.3 Paralleles Vektorfeld längs Kurve
Ist vQ ein Vektorfeld in einer offenen Umgebung von .t0 /; so dass für " > 0 gilt v.t/ D v..t// Q für alle t 2t0 "; t0 C "Œ; so ist offenbar r ˇˇ v D rP .t0 / vQ : ˇ dt t Dt0 Insofern ist die Verwendung des selben Symbols und Namens gerechtfertigt. Eine auf Bogenlänge parametrisierte Kurve ist also genau dann geodätische Kurve, wenn r P D 0 gilt. dt Definitionen 5.16. a. Ein Vektorfeld v heißt horizontal oder parallel, falls rv D 0 gilt. b. Ist W Œ0; L ! M eine Kurve in M und v W I ! TM eine differenzierbare r Abbildung mit v.t/ 2 T.t / M und dt v 0; so heißt v ein paralleles Vektorfeld längs . Eine geodätische Kurve ist also eine auf Bogenlänge parametrisierte Kurve, bei der P ein paralleles Vektorfeld längs ist. Wir werden auf diesen Begriff in Abschn. E noch einmal in einem allgemeineren Zusammenhang zurück kommen. Im folgenden Satz halten wir die wichtigsten Eigenschaften der kovarianten Ableitung fest: Satz 5.17. Für die kovariante Ableitung r auf M Rn gilt: a. Für jedes v 2 TM ist rv 2 End.TM /; d. h. rw1 Cw2 v D rw1 v C rw2 v für alle x 2 M; w1 ; w2 2 Tx M und 2 R.
132
5 Geodätische und Krümmung
b. Die Abbildung r W TM ! End.TM / ist linear, also r.v1 C v2 / D rv1 C rv2 ; falls vi 2 TM; i D 1; 2 und 2 R. c. Ist f 2 C 1 .M / und v 2 TM; so gilt für jedes x 2 M ; w 2 Tx M rw .f v/ D dfx .w/ v.x/ C f .x/ rw v (Produktregel). d. Für v1 ; v2 2 TM sowie x 2 M ; w 2 Tx M gilt stets d.hv1 jv2 i/x .w/ D hrw v1 .x/jv2 .x/i C hv1 .x/jrw v2 .x/i (Isometrie). e. Für alle Vektorfelder v; w 2 TM gilt rv w rw v D Œv; w (Torsionsfreiheit der kovarianten Ableitung). Beweis. Die Eigenschaften a.–d. folgen unmittelbar aus der Definition. Die Formel aus e. folgt sofort für Koordinatenbasisfelder .@1 ; : : : ; @n / auf U M; denn r@i .x/ @j D prM;x
@2 ' @2 ' .x/ D prM;x D r@j .x/ @i @xi @xj @xj @xi
für jedes x 2 U; also r@i @j r@j @i D 0 D Œ@i ; @j : Damit folgt aus a.–c. für v D rv w rw v D
P i
v i @i und w D
P j
w j @j
X v i w j r@i @j r@j @i C v i @i w j @j w i @i v j @j i;j
D Œv; w : t u Wie wir im Beweis von Satz 5.17e gesehen haben, genügt es auf Grund der Linearität und der Produktregel, die kovariante Ableitung auf den Koordinatenbasisfeldern zu kennen. Dies motiviert die folgende Definition 5.18. Sind .@1 ; : : : ; @m / Koordinatenbasisfelder zur Karte .U; h/; so heißen die durch m X r@i @j D ij @ D1
ij
eindeutig bestimmten Funktionen auf U die C HRISTOFFELsymbole (bezüglich P i P j der Karte .U; h/). Sind v D v @i und w D w @j lokale Vektorfelder, so gilt dann X v i w j ij C .@i w / @ (5.4) rv w D i;j;
C Die kovariante Ableitung auf Untermannigfaltigkeiten des Rn
133
Diese Formel wird später hilfreich sein, wenn wir die kovariante Ableitung auf allgemeinen R IEMANNschen Mannigfaltigkeiten definieren. Die C HRISTOFFELsymbole lassen sich nämlich aus der Metrik alleine berechnen: Lemma 5.19. Ist .@1 ; : : : ; @m / eine Koordinatenbasis, gij D h@i j@j i und .g ij / die zu .gij / inverse Matrix, so gilt ! 1 X ` ij D g .@j gi ` C @i gj ` @` gij / : (5.5) 2 `
Beweis. Aus der Isometrie der kovarianten Ableitung folgt X @i gj D ij` g` C i` gj ` : `
Nutzt man die Beziehung ij D ji aus, die sofort aus der Torsionsfreiheit folgt, so erhält man daraus X @i gj ` C @j gi ` @` gij D 2 ijr gr` r
und daraus schließlich die Formel (5.5).
t u
Mit Hilfe von (5.4) und (5.5) können Geodätische und horizontale Vektoren aus der Metrik bestimmt werden. Dies werden wir im nächsten Abschnitt benutzen, um diese Begriffe auf allgemeine R IEMANNsche Mannigfaltigkeiten zu übertragen. Als nächstes soll auch die G AUSSsche Krümmung mit Hilfe der kovarianten Ableitung beschrieben werden. Ist M eine .n 1/-dimensionale Untermannigfaltigkeit des Rn und U das Normaleneinheitsfeld auf M; so ist wegen hwjU i 0 für alle Vektorfelder w auf M . dw/.v/ D rv w C h dw.v/jU iU D rv w C II.v; w/U :
(5.6)
Lemma 5.20. Ist M eine .n 1/-dimensionale Teilmannigfaltigkeit des Rn und .@1 ; : : : ; @n1 / eine lokale Koordinatenbasis, so gilt II.@i ; @j / II.@` ; @m / II.@i ; @` / II.@j ; @m / ˇ E D ˇ D r@` r@j @i r@j r@` @i ˇ @m : Beweis. Aus (5.6) folgt für die Koordinatenbasis zur Parametrisierung ' r@j @i D
@2 ' II.@i ; @j / U ; @xi @xj
(5.7)
134
5 Geodätische und Krümmung
also folgt aus hU j@m i D 0 ˇ E D ˇ r@` r@j @i ˇ @m D
ˇ @' ˇ @' ˇ ˇ II .@ ; @ / dU.@ / ˇ i j ` ˇ @xm @xm ˇ @' @3 ' ˇ C II.@i ; @j /II.@` ; @m / : D ˇ @xi @xj @x` @xm @3 ' @xi @xj @x`
Damit folgt die Gleichung, da die Parametrisierung eine C 1 -Abbildung ist.
t u
Formel (5.7) ist nur für Koordinatenbasisfelder richtig. Wir werden darauf in Abschn. E noch einmal zurück kommen. Im Augenblick kommt es uns darauf an, zu sehen, dass für Flächen im R3 die G AUSSsche Krümmung durch die kovariante Ableitung beschrieben und als Maß dafür verstanden werden kann, wie weit der Paralleltransport in Richtung verschiedener Koordinatenfelder vertauschbar ist. Insbesondere ist die G AUSSsche Krümmung durch den metrischen Tensor alleine bestimmt, wird also von der Art, wie die Fläche in den R3 eingebettet ist, nicht beeinflusst. Um genau zu formulieren, was das bedeutet, muss man allerdings die Abbildungen charakterisieren, die die R IEMANNsche Geometrie unverändert lassen. Dazu definieren wir (vgl. Aufgabe 3.1): Definitionen 5.21. Seien .M; g/; .MQ ; g/ Q zwei pseudo-R IEMANNsche Mannigfaltigkeiten und F W M ! MQ eine differenzierbare Abbildung. a. Man nennt F eine lokale Isometrie, wenn für alle x 2 M und alle v; w 2 Tx M gilt: gQ F .x/ . dFx .v/; dFx .w// D gx .v; w/ : b. Eine Isometrie ist eine lokale Isometrie, die gleichzeitig ein Diffeomorphismus M ! MQ ist. c. Die beiden pseudo-R IEMANNschen Mannigfaltigkeiten heißen isometrisch, wenn es eine Isometrie F W M ! MQ gibt. Man sieht leicht, dass eine lokale Isometrie zwischen Mannigfaltigkeiten gleicher Dimension auch ein lokaler Diffeomorphismus ist (vgl. Aufgabe 3.1). Eine Isometrie kann daher in diesem Fall auch beschrieben werden als eine bijektive lokale Isometrie. Die Isometrien des Rn sind die euklidischen Bewegungen, d. h. die Abbildungen der Form F .x/ WD Ax C b mit einem festen Vektor b 2 Rn und einer orthogonalen Transformation A 2 O.n/. Ist nun M Rn eine Untermannigfaltigkeit, F eine euklidische Bewegung und ˇ MQ WD F .M /; so ist offenbar F ˇM W M ! MQ eine Isometrie (alles in Bezug auf den metrischen Tensor g.v; w/ WD hvjwi). Eine lokale Isometrie, die kein Diffeomorphismus ist, entsteht z. B., wenn man die Ebene R2 auf den Zylinder R S1 abrollt (vgl. Aufgabe 5.11b.).
D Die kovariante Ableitung auf Mannigfaltigkeiten
135
Nun zu den angekündigten Eigenschaften der G AUSSschen Krümmung: Theorem 5.22 (Theorema egregium). Die G AUSSsche Krümmung einer Fläche ist eine Isometrie-Invariante. Ist .@1 ; @2 / eine Koordinatenbasis, so ist ˇ D E ˇ K.p/ D r@2 .p/ r@1 @1 r@1 .p/ r@2 @1 ˇ @2 .p/ = G.p/ (5.8) mit G D det .gij /. Beweis. Formel (5.8) folgt sofort aus der Definition von K; (5.7) und (5.3) in Abschn. B. Damit folgt aber auch, dass K invariant unter Isometrien ist, denn ist f W M ! MQ eine Isometrie und @1 ; : : : ; @n eine Koordinatenbasis für M; so ist @Q 1 D df .@1 /; : : : ; @Q n D df .@n / eine Koordinatenbasis für MQ ; und bezüglich dieser Koordinatenbasis werden die Metriken auf M und MQ und damit auch die kovarianten Ableitungen auf M und MQ durch die selben Matrizen beschrieben. Da auch die kovariante Ableitung nach (5.5) vollständig durch .gij / bestimmt ist, ist K invariant unter Isometrien. t u Die G AUSSsche Krümmung kann damit vollständig aus den Koeffizienten .gij / gewonnen werden. Wir werden dies etwas allgemeiner in den Übungen behandeln. Das Theorema egregium macht es in vielen Fällen leicht, zu entscheiden, ob es eine Isometrie zwischen Flächen geben kann. So sieht man sofort, dass es keine isometrische Karte (eines Teiles) der Erdoberfläche gibt, denn die G AUSSsche Krümmung der Sphäre ist 1, die G AUSSsche Krümmung der Ebene ist 0.
D Die kovariante Ableitung auf Mannigfaltigkeiten In diesem Abschnitt werden wir die Konzepte aus Abschn. A, B und C auf allgemeine Mannigfaltigkeiten übertragen. Bei einer Mannigfaltigkeit, die nicht als Untermannigfaltigkeit des Rn gegeben ist, können wir nicht von einem „Normalenfeld“ auf der Mannigfaltigkeit sprechen. Die Definitionen 5.7 und 5.13 können also nicht auf Mannigfaltigkeiten übertragen werden. Für die kovariante Ableitung wurde aber in (5.5) eine Formel angegeben, die nur von der Metrik abhängt, also auch auf R IEMANNschen Mannigfaltigkeiten einen Sinn hat. Ein möglicher Weg wäre, die kovariante Ableitung durch (5.4) und (5.5) zu definieren und dann die Unabhängigkeit von der Koordinatenwahl nachzuprüfen. Hier soll allerdings ein anderer Weg eingeschlagen werden. Zunächst fassen wir den Begriff der kovarianten Ableitung auf dem Tangentialbündel etwas allgemeiner als in Abschn. C. Definitionen 5.23. Sei M eine Mannigfaltigkeit. a. Unter einer allgemeinen kovarianten Ableitung auf M verstehen wir eine lineare Abbildung r W TM ! Hom .TM; TM / ;
136
5 Geodätische und Krümmung
für die die Produktregel r.f v/ D df ˝ v C f rv
(5.9)
für f 2 C 1 .M / und v 2 TM gilt. (Hier ist dfx ˝ v.x/ gemäß der Identifikation aus Satz 2.12c. als lineare Abbildung aufzufassen.) b. Statt .rv/.w/ schreibt man auch rw v und .rv/x .w.x// DW rw.x/ v 2 Tx M : c. Ein Vektorfeld v auf M heißt horizontal oder parallel (bezüglich der allgemeinen kovarianten Ableitung r), falls rv 0 gilt. Die Existenz von kovarianten Ableitungen auf beliebigen Mannigfaltigkeiten werden wir im nächsten Abschnitt nachweisen. Offenbar ist die im letzten Abschnitt für (n 1/-dimensionale Untermannigfaltigkeiten des Rn definierte kovariante Ableitung auch eine allgemeine kovariante Ableitung. Jedoch gibt es viele weitere allgemeine kovariante Ableitungen: Ist A 2 Mult2 .TM I TM / und r eine allgemeine kovariante Ableitung, so ist durch .r C A/.v/.w/ WD rw v C A.w; v/ eine weitere allgemeine kovariante Ableitung gegeben. Aus der Produktregel folgt, dass kovariante Ableitungen stets in folgendem Sinn lokal sind: Sind v1 und v2 differenzierbare Vektorfelder und ist v1 .x/ D v2 .x/ für alle x 2 U für eine offene Teilmenge U M; so ist für alle x 2 U auch .rv1 /x D .rv2 /x : Das beweist man genauso wie die entsprechende Aussage für den C ARTAN-Operator d; die im Verlaufe des Beweises von Theorem 4.14 hergeleitet wurde. Daher ist auch für lokale Vektorfelder die kovariante Ableitung wohldefiniert. Für allgemeine kovariante Ableitungen gilt damit – genauso wie für die kovariante Ableitung auf Hyperflächen –, dass sie bereits durch ihre Werte auf den lokalen Koordinatenbasisfeldern wohlbestimmt sind, d. h. ist X k aij @k ; r@i @j D k
so ist rw v D
X k w i v j aij C @i v k @k :
(5.10)
i;j;k
Sprechen wir vom Geschwindigkeitsfeld P einer Kurve W I ! M; so ist dies natürlich kein Vektorfeld auf der Mannigfaltigkeit M; nicht einmal ein Vektorfeld auf einer offenen Teilmenge von M . Wir müssen daher den Begriff des Vektorfelds jetzt etwas allgemeiner fassen.
D Die kovariante Ableitung auf Mannigfaltigkeiten
γ t1
t2
137
v(t1 ) p1 = p2v(t2 )
Abb. 5.4 Vektorfeld längs einer Kurve (pi WD .ti /)
Definition 5.24. Ist f W N ! M eine differenzierbare Abbildung, so versteht man unter einem Vektorfeld längs f eine Abbildung v W N ! TM mit v.x/ 2 Tf .x/ M . Ein Vektorfeld v längs f heißt differenzierbar (bei x 2 N ), falls gilt: Die in einer Umgebung U von x durch X v i .x 0 /@i .f .x 0 // v.x 0 / D i
durch eine Koordinatenbasis eindeutig definierten Funktionen v i W U ! R sind (bei x/ differenzierbar. Die allgemeine kovariante Ableitung von Vektorfeldern längs Kurven auf Mannigfaltigkeiten ist damit genauso wie die kovariante Ableitung von Kurven auf Hyperflächen definiert. Definition 5.25. Ist W I ! M eine regulär parametrisierte Kurve in M; v W I ! TM ein differenzierbares Vektorfeld längs ; t0 2 I und vQ ein auf einer offenen Umgebung von .t0 / definiertes Vektorfeld, so dass es ein " > 0 gibt mit v.t/ D v..t// Q
für alle t 2t0 "; t0 C "Œ ;
dann ist die kovariante Ableitung von v längs bei t0 durch r ˇˇ D rP .t0 / vQ ˇ dt t Dt0 wohldefiniert. Die Wohldefiniertheit, d. h. die Unabhängigkeit von der Wahl von vQ folgt sofort aus (5.10). Die Anwendung der kovarianten Ableitung auf Vektorfelder längs Kurven ist ganz analog zu der auf gewöhnlichen Vektorfeldern, wie der folgende Satz zeigt. Satz 5.26. Sei W I ! M eine regulär parametrisierte Kurve. Dann gilt: a. Sind v und w Vektorfelder längs ; so ist r r r .v C w/ D vC w: dt dt dt
138
5 Geodätische und Krümmung
b. Ist v ein Vektorfeld längs und f 2 C 1 .I /; so ist r r .f v/ D f v C fPv : dt dt c. Ist ' W J ! I ein Diffeomorphismus, so ist r ˇˇ r ˇˇ .v ı '/ D ' 0 .s0 / v: ˇ ˇ ds sDs0 dt t D'.s0 / Damit kann nun auch der Begriff der Parallelität eines Vektorfelds leicht von Hyperflächen auf Mannigfaltigkeiten übertragen werden. Definitionen 5.27. Sei M eine Mannigfaltigkeit, r eine allgemeine kovariante Ableitung auf M; W I ! M eine regulär parametrisierte Kurve. a. Dann heißt ein Vektorfeld längs r-parallel (längs ), falls r v D 0 dt gilt. b. Ein Vektorfeld auf M heißt r-parallel längs ; falls injektiv ist und rP .t / v D 0 gilt für alle t 2 I . Ist die kovariante Ableitung r lokal bezüglich Koordinaten durch r@i @j D Pn P i k i v .t/@i ..t// genau dann r-parallel längs kD1 aij @k gegeben, so ist v.t/ D ; wenn gilt (vgl. (5.10)): X k P i .t/v j .t/aij ..t// C vP k .t/ D 0 i;j
für k D 1; : : : ; n. Bei vorgegebener Kurve ist dies ein System linearer Differentialgleichungen 1. Ordnung für v. Damit folgt aus dem Existenz- und Eindeutigkeitssatz für Lösungen gewöhnlicher Differentialgleichungen Satz 5.28. Sei r eine kovariante Ableitung auf einer Mannigfaltigkeit M; W I ! M eine regulär parametrisierte Kurve, t0 2 I; v0 2 T.t0 / M . Dann existiert genau ein r-paralleles Vektorfeld v längs mit v.t0 / D v0 . Definition 5.29. Sei W I ! M eine regulär parametrisierte Kurve, t0 ; t1 2 I . Dann heißt die Abbildung Ptr0 ;t1 W T.t0 / M ! T.t1 / M ; die einem Vektor v0 2 T.t0 / M den Vektor v.t1 / zuordnet, wobei v das r-parallele Vektorfeld mit v.t0 / D v0 ist, die Parallelverschiebung längs .
D Die kovariante Ableitung auf Mannigfaltigkeiten
139
Dies ermöglicht bei vorgegebener kovarianter Ableitung, Vektoren an verschiedenen Stellen von M miteinander zu vergleichen. Darauf wird im nächsten Abschnitt noch einmal eingegangen. Schon im Abschn. 3D wurde mit der L IE-Ableitung eine Möglichkeit vorgestellt, ein Vektorfeld längs eines anderen abzuleiten. Zwischen kovarianter und L IE-Ableitung gibt es allerdings einen fundamentalen Unterschied. Denn ist f 2 C 1 .M /; so gilt (5.11) Lf v .w/ D f Lv .w/ w.f / v ; aber rf v .w/ D f rv w :
(5.12)
Gleichung (5.11) zeigt, dass bei gegebenem Vektorfeld w der Vektor .Lv w/.x/ nicht nur von v.x/; sondern auch von der „Änderung“ von v in x abhängt, d. h. für gegebenes Vektorfeld w ist die Abbildung TM ! TM; v 7! Lv w ein Differentialoperator erster Ordnung. Im Gegensatz dazu ist rw ein einfach ko- und einfach kontravariantes Tensorfeld, denn .rv w/x hängt (nach Definition) nur vom Wert v.x/ ab. Insbesondere ist rv.x/ w eine sinnvolle Schreibweise, Lv.x/ w hingegen nicht. In Abschn. C haben wir gesehen, dass für die kovariante Ableitung auf Hyperflächen gilt: rv w rw v D Œv; w : Für allgemeine kovariante Ableitungen gilt dies nicht immer, doch kann die Abweichung durch ein Tensorfeld gemessen werden: Definitionen 5.30. Ist r eine kovariante Ableitung auf TM; so heißt Txr 2 Alt2 .Tx M; Tx M / für x 2 M Txr .v; w/ WD rv w rw v Œv; w die Torsion von r. Eine kovariante Ableitung heißt torsionsfrei, falls T r D 0 gilt. Dass durch die Torsion ein Tensorfeld gegeben ist, kann gezeigt werden, indem man Tx .f v; w/ D f .x/Tx .v; w/ für f 2 C 1 .U / nachprüft (U offene Umgebung von x 2 M ). Sind nämlich v; vQ zwei Vektorfelder mit v.x/ D v.x/; Q so haben wir bezüglich einer lokalen Koordinatenbasis .@1 ; : : : ; @n / v vQ D f1 @1 C C fn @n mit f1 .x/ D D fn .x/ D 0; also folgt Tx .v v; Q w/ D 0 und somit Tx .v; w/ D Tx .v; Q w/; d. h. der Wert von Tx .v; w/ hängt nur von v.x/ ab, nicht vom gesamten Vektorfeld v. Wegen T .v; w/ D T .w; v/ trifft dasselbe auf w zu, also ist tatsächlich Tx 2 Mult2 .Tx M I Tx M /.
140
5 Geodätische und Krümmung
E Die kovariante Ableitung auf pseudo-R IEMANNschen Mannigfaltigkeiten Auf Mannigfaltigkeiten gibt es, wie im letzten Abschnitt beschrieben, viele Möglichkeiten, kovariante Ableitungen zu definieren. Für Untermannigfaltigkeiten des Rn ist eine Möglichkeit besonders naheliegend, wie wir in Abschn. C gesehen haben. In diesem Abschnitt wird gezeigt, dass auch auf pseudo-R IEMANNschen Mannigfaltigkeiten eine kovariante Ableitung besonders ausgezeichnet ist. Dazu werden die wichtigsten Eigenschaften, die die kovariante Ableitung auf Untermannigfaltigkeiten des Rn besitzt, für die kovariante Ableitung auf einer pseudo-R IEMANNschen Mannigfaltigkeit gefordert, nämlich ihre Verträglichkeit mit dem Skalarprodukt und ihre Torsionsfreiheit. Zunächst präzisieren wir die „Verträglichkeit mit dem Skalarprodukt“: Definition 5.31. Eine allgemeine kovariante Ableitung auf einer pseudo-R IEMANNschen Mannigfaltigkeit .M; g/ heißt isometrisch, falls für alle Vektorfelder v1 und v2 auf M und jeden Tangentialvektor wx 2 Tx M gilt d.g.v1 ; v2 //x .wx / D g .rwx v1 ; v2 / C g.v1 ; rwx v2 / : Eine allgemeine kovariante Ableitung auf einer Mannigfaltigkeit legt, wie im letzten Abschnitt gezeigt, einen Begriff von Parallelverschiebung fest. Die isometrischen kovarianten Ableitungen verdienen ihren Namen, weil die entsprechenden Parallelverschiebungen tatsächlich Längen und Winkel der verschobenen Vektoren erhalten: Lemma 5.32. Die Parallelverschiebung einer isometrischen kovarianten Ableitung ist eine Isometrie. Beweis. Ist W I ! M eine regulär parametrisierte Kurve und sind v und w Vektorfelder längs ; so ist für t0 2 I d ˇˇ g.v; w/ D dg.v; Q w/ Q .t0 / .P .t0 // ˇ dt t Dt0 D g.rP .t0 / v; Q w/ Q C g.v; Q rP .t0 / w/ Q ˇ r ˇˇ rˇ v; w C g v; ˇ w ; Dg ˇ dt t Dt0 dt t Dt0 wobei vQ und wQ lokal um .t0 / definierte Vektorfelder mit v..t// Q D v.t/ ; w..t// Q D w.t/ sind. Sind also v und w parallele Vektorfelder, so ist g.v.t/; w.t// D konst.
t u
Der eigentliche Ausgangspunkt der R IEMANNschen Geometrie ist nun der folgende fundamentale Satz:
E Die kovariante Ableitung auf pseudo-R IEMANN schen Mannigfaltigkeiten
141
Theorem 5.33. Sei .M; g/ eine pseudo-R IEMANNsche Mannigfaltigkeit. Dann gibt es auf M genau eine allgemeine kovariante Ableitung, die isometrisch und torsionsfrei ist. Diese ist durch die KOSZUL-Formel g.rv w; u/ D
1 vg.w; u/ C wg.u; v/ 2 ug.v; w/ C g.u; Œv; w/ C g.w; Œu; v/ g.v; Œw; u/
(5.13)
eindeutig gegeben. Beweis. Wir zeigen zuerst, dass jede isometrische torsionsfreie kovariante Ableitung (5.13) erfüllt. Damit ist die Eindeutigkeit gezeigt. Ist r isometrisch, so gilt ug.v; w/ D g.ru v; w/ C g.v; ru w/ : Also ist für jede isometrische kovariante Ableitung vg.w; u/ C wg.u; v/ ug.v; w/ D g.rv w; u/ C g.rv u; w/ C g.rw u; v/ C g.rw v; u/ g.ru v; w/ g.ru w; v/ : Ist r zusätzlich torsionsfrei, so ist dies gleich g.rv w; u/ C g.rw v; u/ g.Œu; w; v/ C g.Œv; u; w/ D 2g.rv w; u/ C g.Œw; v; u/ g.Œu; w; v/ C g.Œv; u; w/ und damit folgt sofort (5.13) für jede isometrische torsionsfreie kovariante Ableitung. Um die Existenz einer isometrischen torsionsfreien kovarianten Ableitung nachzuweisen, muss nun nachgeprüft werden, dass durch (5.13) tatsächlich eine solche definiert werden kann. Als erstes zeigen wir: Ist v0 2 Tx M; u0 2 Tx M und sind v und u Vektorfelder auf M mit v.x/ D v0 und u.x/ D u0 ; so ist hrv0 wju0 i WD
1 .vg.w; u/ C wg.u; v/ ug.v; w/ 2 C g.u; Œv; w/ C g.w; Œu; v/ g.v; Œw; u//.x/ DW .kŒu; v; w/.x/
wohldefiniert, also unabhängig von der Fortsetzung der Vektoren u0 und v0 zu Vektorfeldern u und v.
142
5 Geodätische und Krümmung
Offenbar ist die rechte Seite linear in u; v und w. Es genügt daher zu zeigen, dass kŒu; v; w.x/ verschwindet, falls v.x/ D 0 oder u.x/ D 0 ist. Dazu genügt es nachzuweisen, dass kŒf u; v; w D f kŒu; v; w D kŒu; f v; w für jedes f 2 C 1 .M / gilt. Wir zeigen hier nur die erste Gleichung. 2kŒf u; v; w D vg.w; f u/ C wg.f u; v/ .f u/g.v; w/ C g.f u; Œv; w/ C g.w; Œf u; v/ g.v; Œw; f u/ D .vf / g.w; u/ C f .vg.w; u// C .wf /g.u; v/ C f .wg.u; v// f .ug.v; w// C fg.u; Œv; w/ C fg.w; Œu; v/ .vf /g.w; u/ .wf /g.v; u/ fg.v; Œw; u/ D f 2kŒu; v; w : Ebenso folgt die zweite Gleichung. Damit ist durch (5.13) eine lineare Abbildung TM ! Hom .TM; TM / wohldefiniert. Die Produktregel g.rv f w; u/ D fg.rv w; u/ C df .v/g.w; u/ folgt durch eine ähnliche Rechnung wie die Wohldefiniertheit. Isometrie und Torsionsfreiheit sind eine einfache Übungsaufgabe, wenn man die Symmetrie bzw. Antisymmetrie der einzelnen Terme sorgfältig berücksichtigt. t u Definitionen 5.34. a. Die eindeutig definierte torsionsfreie isometrische allgemeine kovariante Ableitung auf einer pseudo-R IEMANNschen Mannigfaltigkeit heißt die L EVI-C IVITAAbleitung. Koordinatenbasis zur Karte .U; h/; so heißen die b. Ist .@1 ; : : : ; @n / eine P lokale durch r@i @j D ijk @k gegebenen Funktionen ijk 2 C 1 .U /; i; j; k D k
1; : : : ; n die C HRISTOFFEL-Symbole (bezüglich der Karte .U; h/). Aus Satz 5.17 in Abschn. C folgt sofort, dass die kovariante Ableitung, die für Untermannigfaltigkeiten des Rn definiert ist, die L EVI-C IVITA-Ableitung ist. Die in (5.4) angegebene lokale Formel für die kovariante Ableitung überträgt sich sofort auf die L EVI-C IVITA-Ableitung, und auch die Formel (5.5) für die Berechnung der C HRISTOFFEL-Symbole aus der Metrik bleibt im allgemeineren Fall der L EVIC IVITA-Ableitung richtig. Sprechen wir in Zukunft von einer kovarianten Ableitung r auf einer pseudoR IEMANNschen Mannigfaltigkeit, so ist immer die L EVI-C IVITA-Ableitung gemeint.
E Die kovariante Ableitung auf pseudo-R IEMANN schen Mannigfaltigkeiten
143
Beispiele: a. Wir berechnen die C HRISTOFFEL-Symbole der kovarianten Ableitung auf dem R3 in Zylinderkoordinaten, d. h. bezüglich der Koordinatenbasis 1 @1 D @r D p .x@x C y@y / x2 C y 2 @2 D @' D .y@x C x@y / @3 D @z :
0
1 1 0 0 Die Metrik ist bezüglich dieser Basis durch @0 r 2 0A gegeben, also 0 0 1 8 r i D j D 2; k D 1 ˆ ˆ ˆ <1=r i D 2; j D 1; k D 2 und ijk D ˆ i D 1; j D 2; k D 2 ˆ ˆ : 0 sonst, also r@' @' D r@r 1 @' r rX @z D 0 für X D @r ; @' ; @z
r@' @r D r@r @' D r@r @r D 0 :
b. Als zweites Beispiel betrachten wir eine L ORENTZmannigfaltigkeit, die uns später als Beispiel eines Modells einer 4-dimensionalen Raumzeit noch weiter beschäftigen wird, die sogenannte S CHWARZSCHILDmannigfaltigkeit zur Masse m > 0. Als differenzierbare Mannigfaltigkeit ist M D R .RC n f2mg/ S2 : Die Koordinate auf R bezeichnen wir mit t und die auf RC n f2mg mit r. Ferner ; also sei h.r/ WD 1 2m r h.r/ > 0 ” r > 2m : Statt dt ˝ dt schreibt man dt 2 ; ebenso dr ˝ dr D dr 2 . Die Metrik auf S2 wird mit gS2 bezeichnet. Dann ist die S CHWARZSCHILDmetrik auf M durch g D h dt 2 C gegeben.
1 2 dr C r 2 gS2 h
144
5 Geodätische und Krümmung
Diese Mannigfaltigkeit kann über die Singularität bei r D 2m isometrisch fortgesetzt werden, vgl. z. B. [80], S. 239. Die physikalische Interpretation, grob gesagt als Raumzeit, die nur einen einzigen kugelsymmetrischen Himmelskörper mit sehr kleiner Ausdehnung enthält, ist ausführlich in der physikalischen Literatur behandelt. Für die der S CHWARZSCHILDmetrik entsprechende L EVI -C IVITA-Ableitung ergibt sich: mh @r ; r2 m r@r @r D 2 @r ; r h r@t @t D
m @t ; r 2h r@t v D rv @t D 0 für v 2 T S2 ; 1 r@r v D rv @r D v : r
r@t @r D r@r @t D
(5.14)
Wir führen hier nur eine Rechnung exemplarisch aus: Da Œ@t ; @r D Œ@t ; @t D g.@r ; @t / D 0 ist, folgt aus der KOSZULformel 1 g.r@t @t ; @r / D @r g.@t ; @t / 2 m 1 D C @r h.r/ D 2 : 2 r Auch für jedes v 2 T S2 ist Œ@t ; v D g.@t ; v/ D 0 und auch vg.@t ; @t / D 0; also g.r@t @t ; v/ D 0 : Außerdem ist 0 D @t g.@t ; @t / D 2g.r@t @t ; @t /; also r@t @t D Die anderen Gleichungen sind eine leichte Übungsaufgabe.
mh r2
@r .
F Geodätische auf pseudo-R IEMANNschen Mannigfaltigkeiten Schon im Abschn. A wurde erläutert, dass Geodätische eine wichtige Rolle in der Physik spielen. Dies bleibt nicht auf den Fall von Untermannigfaltigkeiten des Rn beschränkt. Auch in der allgemeinen Relativitätstheorie werden Weltlinien von Teilchen, auf die keine Kräfte außer der Schwerkraft einwirken, durch Geodätische beschrieben.
F Geodätische auf pseudo-R IEMANN schen Mannigfaltigkeiten
145
In Abschn. A haben wir regulär parametrisierte Kurven auf Bogenlänge umparametrisiert. Dabei bedeutet „regulär parametrisierte Kurve“, dass g.P ; P / 6D 0 ist. Ist .M; g/ nicht R IEMANNSCH, so ist jedoch g.P ; P / < 0 möglich. Wir nennen solche Kurven zeitartig. Ist z. B. M die S CHWARZSCHILD-Mannigfaltigkeit, r > 2m und x 2 S2 ; so ist durch W R ! M; t 7! .t; r; x/ eine zeitartige Kurve definiert. Definitionen 5.35. Ist M eine L ORENTZmannigfaltigkeit, so heißt eine Kurve mit g.P ; P / D 1 auf Eigenzeit parametrisiert; g.P ; P / D 0 eine lichtartige Kurve; g.P ; P / D 1 auf Bogenlänge parametrisiert. Weltlinien von Teilchen werden in der allgemeinen Relativitätstheorie durch zeitartige Kurven beschrieben. Da wir also nicht mehr alle regulären Kurven auf Bogenlänge parametrisieren können, nutzen wir die vor Definition 5.16 gegebene Charakterisierung der Geodätischen, um den Begriff auch für L ORENTZ-Mannigfaltigkeiten zu definieren: Definition 5.36. Unter einer Geodätischen auf einer pseudo-R IEMANNschen Mannigfaltigkeit verstehen wir eine regulär parametrisierte Kurve mit r P D 0 : dt Geodätische Kurven sind immer proportional zur Bogenlänge parametrisiert, denn d r .jP .t/j2 / D 2 P ; P D 0 : dt dt Wir wollen in diesem Abschnitt auf ihre Rolle als Kurven „kleinster Länge“ und „kleinster Energie“ eingehen. Auf zusammenhängenden R IEMANNschen Mannigfaltigkeiten ist eine Metrik – also ein Abstandsbegriff im Sinne der metrischen Räume – durch .p; q/ WD inffLŒ j W Œ0; 1 ! M stückweise C 1 mit .0/ D p und .1/ D qg definiert. (Nachzuprüfen, dass dadurch wirklich eine Metrik gegeben ist, ist eine leichte Übungsaufgabe.) In Rn ist dies die euklidische Metrik. Das Infimum in der Definition ist in diesem Fall ein Minimum und es gilt .p; q/ D LŒp;q
mit p;q .t/ D tq C .1 t/p :
146
5 Geodätische und Krümmung
Im Allgemeinen ist nicht klar, dass eine Kurve minimaler Länge existiert. Existiert sie aber, so ist ihre Umparametrisierung auf Bogenlänge eine Geodätische. Auf pseudo-R IEMANNschen Mannigfaltigkeitenpist die Länge einer Kurve nicht notwendig definiert, da möglicherweise jP .t/j D g.P .t/; P .t// nicht mehr reell ist. Die Energie kann jedoch auch auf pseudo-R IEMANNschen Mannigfaltigkeiten definiert werden, und sie spielt in der allgemeinen Relativitätstheorie eine wichtige Rolle. Definition 5.37. Ist W Œa; b ! M eine differenzierbare Kurve, so heißt 1 EŒ WD 2
Zb jP .t/j2 dt a
die Energie der Kurve. Dabei steht jP .t/j2 für g.P .t/; P .t//. Aus der S CHWARZschen Ungleichung, angewandt auf die Funktion jP .t/j WD g.P .t/; P .t//1=2 ; erhält man im R IEMANNschen Fall sofort eine Abschätzung der Länge durch die Energie: Lemma 5.38. Für eine regulär parametrisierte Kurve W Œa; b ! M in einer R IEMANNschen Mannigfaltigkeit gilt stets LŒ 2 2.b a/EŒ ;
(5.15)
und Gleichheit gilt genau dann, falls jP .t/j D konst: ist. Im Gegensatz zur Länge ändert sich die Energie bei Umparametrisierung. Nimmt für p; q 2 M das Energiefunktional auf der Menge aller Verbindungskurven von p und q; also auf Cp;q .Œa; b/ WD f W Œa; b ! M j .a/ D p; .b/ D q ; regulär parametrisierte Kurveg ein Minimum an, so wird es von einer proportional zur Bogenlänge parametrisierten Kurve minimaler Länge angenommen, und es gilt EŒmin D
1 .LŒmin /2 : 2.b a/
Das lässt sich mit elementaren Mitteln beweisen, und es ist z. B. in [36] (erste Ergänzung zu Kap. 23) erläutert. Um nun ein lokales Extremum des Energie- oder Längenfunktionals zu bestimmen, muss zunächst definiert werden, was man unter einer Variation einer gegebenen Kurve versteht. Dazu führen wir zunächst für zwei Intervalle I; J R eine Notation für die partiellen Ableitungen einer differenzierbaren Abbildung f W I J ! M; .s; t/ ! f .s; t/ ein. Man bezeichnet mit @ f .s0 ; t0 / WD df.s0 ;t0 / .e 1 / 2 Tf .s0 ;t0 / M @s
F Geodätische auf pseudo-R IEMANN schen Mannigfaltigkeiten
147
den durch "; "Œ! M; s 7! f .s C s0 ; t0 / repräsentierten Vektor. Analog ist auch @t@ f .s0 ; t0 / 2 Tf .s0 ;t0 / M definiert. Man schreibt auch @ f .s; t/ D f 0 .s; t/ ; @s @ f .s; t/ D fP.s; t/ ; @t und beide Abbildungen sind offenbar Vektorfelder längs f . Definitionen 5.39. Sei M eine R IEMANNsche Mannigfaltigkeit, W Œa; b ! M eine regulär parametrisierte Kurve und X ein Vektorfeld längs . a. Unter einer Variation von in Richtung X versteht man eine differenzierbare Abbildung f W "; "ŒŒa; b ! M ; .s; t/ 7! f .s; t/ mit (i) (ii)
f .0; t/ D .t/ @ f .0; t/ D X.t/. @s
b. Eine Variation heißt endpunktfest, falls f .s; a/ D .a/ und f .s; b/ D .b/ für alle s 2 "; "Œ gilt. Jetzt soll untersucht werden, wie sich die Energie bei Variation der Kurve ändert. Satz 5.40. Sei f eine endpunktfeste Variation von in Richtung X . Dann gilt d ˇˇ ˇ EŒfs D ds sD0
Zb a
r P .t/ dt g X.t/; dt
(5.16)
mit fs W Œa; b ! M; fs .t/ WD f .s; t/ für s 2 "; "Œ. Beweis. Aufgrund der Torsionsfreiheit der L EVI-C IVITA-Ableitung ist r P r 0 f f D rf 0 fP rfP f 0 D Œf 0 ; fP : ds dt Die L IEklammer ist hier für die Vektorfelder längs f wie für Vektorfelder definiert. Die Details sind z. B. in [91] ausgeführt. Weiter gilt (auch wenn f kein Diffeomorphismus ist), wie man leicht nachrechnet, analog zu Œ@i ; @j D 0 auch Œf 0 ; fP D df Œe 1 ; e 2 D 0 ; also
r ds
fP D
r dt
f 0 . Damit folgt für die Ableitung des Energiefunktionals 1 d ˇˇ ˇ EŒfs D ds sD0 2
Zb a
d ˇˇ ˇ g fPs ; fPs dt ds sD0
148
5 Geodätische und Krümmung
Zb D
r ˇˇ ˇ fPs ; fP0 dt ds sD0
r 0 f .0; t/; P .t/ dt dt
r X.t/; P .t/ dt dt
g a
Zb D
g a
Zb D
g a
ˇt Db D g.X.t/; P .t//ˇt Da
Zb a
r P .t/ dt : g X.t/; dt
Dabei gilt das dritte Gleichheitszeichen aufgrund der Torsionsfreiheit, und das fünfte Gleichheitszeichen folgt durch partielle Integration. t u Aus (5.16) folgt sofort, dass für jede endpunktfeste Variation einer Geodätischen gilt: d ˇˇ ˇ EŒfs D 0 : ds sD0 Die Umkehrung ist genauso richtig. Um dies zu zeigen, muss man nachweisen, dass es zu vorgegebenem und vorgegebenem Vektorfeld X längs stets eine Variation in Richtung X gibt. Dies ist etwa in [10] ausgeführt. Dort findet sich auch der Beweis des folgenden Satzes: Theorem 5.41. Eine Kurve W Œa; b ! M in einer pseudo-R IEMANNschen Mannigfaltigkeit ist genau dann geodätisch, wenn für jede endpunktfeste Variation f von gilt d ˇˇ ˇ EŒfs D 0 : ds sD0 Insbesondere sind Kurven minimaler Energie stets Geodätische. Für R IEMANNsche Mannigfaltigkeiten folgt nun sofort, dass die kürzeste Verbindung zwischen zwei Punkten, falls sie existiert, eine Geodätische ist. Allerdings ist nicht jede geodätische Kurve die kürzeste Verbindung zwischen zwei Punkten. Man stelle sich nur vor, man wandert auf dem Äquator (also einer geodätischen Kurve) von einem Punkt p fast um die ganze Erde und stoppt kurz vor dem Punkt p am Punkt q. Dann hat man sicher nicht den kürzesten Weg von p nach q gewählt. Es existiert auch nicht immer eine Geodätische Kurve, die zwei Punkte p und q 2 einer Mannigfaltigkeit verbindet. Ein einfaches ist M D R n f0g; denn Beispiel nicht durch eine Gerade in dieser Mannigfaltigkeit können die Punkte 10 und 1 0 verbunden werden. Die „lokale“ Existenz von Geodätischen folgt aber sofort aus der Theorie der Differentialgleichungen. Die Gleichung für eine Geodätische ist ja eine (vektorielle) lineare Differentialgleichung zweiter Ordnung, nämlich nach (5.10)
F Geodätische auf pseudo-R IEMANN schen Mannigfaltigkeiten
X
149
ijk ..t//P j .t/P i .t/ C R k .t/ D 0
i;j
für k D 1; : : : ; n. Diese haben bekanntlich zu gegebenem Anfangspunkt und gegebener Anfangsgeschwindigkeit stets eine eindeutige maximale Lösung. Daher ist der folgende Satz nicht überraschend. Die Details sind z. B. in [10] ausgeführt. Theorem 5.42. Auf einer pseudo-R IEMANNschen Mannigfaltigkeit M gibt es zu jedem p 2 M und v 2 Tp M genau eine maximale Geodätische mit .0/ D p und P .0/ D v. Isometrien führen geodätische Kurven offenbar in geodätische Kurven über. Infinitesimal werden Isometrien durch K ILLING Vektorfelder beschrieben – genauer kann ein K ILLINGvektorfeld definiert werden als ein Vektorfeld dessen Fluss aus Isometrien besteht. Wir wählen hier eine äquivalente Definition, mit der sich besser rechnen lässt (vgl. z. B. [69]). Definition 5.43. Ein Vektorfeld v auf einer pseudo-R IEMANNschen Mannigfaltigkeit heißt K ILLING-Vektorfeld, falls für alle Paare .u; w/ von Vektorfeldern gilt: g.ru v; w/ C g.rw v; u/ D 0 : K ILLINGvektorfelder können oft hilfreich sein, um Geodätische zu bestimmen: Theorem 5.44. Ist v ein K ILLINGvektorfeld und eine Geodätische, so ist g.P ; v ı / D konst: Beweis.
d g.P ; v ı / D g.rP P ; v/ C g.P ; rP v/ D 0 : dt Der erste Term verschwindet da Geodätische, und der zweite, da v ein K IL LING vektorfeld ist. u t Beispiel: Auf der S CHWARZSCHILDmannigfaltigkeit M sind offenbar @t und @' K ILLINGvektorfelder. Dabei haben wir die Sphäre wie in Aufgabe 1.3c. durch Kugelkoordinaten .'; #/ beschrieben. Ist .s/ D .t.s/; r.s/; '.s/; #.s// eine Geodätische auf M; so ist also g. 0 .s/; @t ..s/// D t 0 .s/ h..s// DW E..s// und g. 0 .s/; @' ..s/// D ' 0 .s/ r 2 DW L..s// konstant. E heißt die Energie und L der Drehimpuls von . Ist lichtartige Geodätische und #.s/ 2 ; so gilt r 02 C r 2 ' 02 h r 02 L2 E2 C C 2 : D h h r
0 D g. 0 .s/; 0 .s// D t 02 h C
150
5 Geodätische und Krümmung
Also ist E 2 D r 02 C
L2 h r2
(Energiegleichung für Lichtteilchen). Ist auf Eigenzeit parametrisierte Geodätische und wieder #.s/ ebenso 2 L 2 02 C1 h E Dr C r2
2;
so folgt
(Energiegleichung für Masseteilchen).
G Krümmung von pseudo-R IEMANNschen Mannigfaltigkeiten In Abschn. C, Gl. (5.8), haben wir gesehen, dass die G AUSSsche Krümmung einer Fläche, die eine Invariante unter Isometrien ist, durch zweimaliges Anwenden der kovarianten Ableitung berechnet werden kann. Dieser Ansatz lässt sich auf höhere Dimensionen verallgemeinern. Die so definierte Krümmung einer pseudoR IEMANNschen Mannigfaltigkeit ist, grob gesagt, ein Maß dafür, inwieweit Paralleltransport in verschiedenen Richtungen kommutiert oder inwieweit die entsprechenden kovarianten Ableitungen vertauschbar sind. Zunächst wollen wir definieren, was die zweite kovariante Ableitung ist, denn für vp 2 Tp M; wp 2 Tp M ist rvp rwp keine wohldefinierte Abbildung. Satz und Definition 5.45. Die zweite kovariante Ableitung an der Stelle p ist durch rv2p wp u WD rvp rw u rrvp w u wohldefiniert, wobei w 2 TM ein beliebiges Vektorfeld mit w.p/ D wp ist. Beweis. Die Wohldefiniertheit folgt mit der Methode, die am Schluss von Abschn. D für den Torsionstensor vorgeführt wurde, aus der Linearität in w und aus rvp rf w u rrvp f w u D rvp .f rw u/ rf rvp w u rvp .f /w u D f .rvp rw u/ C vp .f / rw u f rrvp w u vp .f /rw u D f .rvp rw u rrvp w u/ : t u Für jede torsionsfreie, insbesondere die L EVI-C IVITA-Ableitung gilt also 2 2 u rw;v u D rv rw u rw rv u rŒv;w u : rv;w
Satz und Definition 5.46. a. Sei M eine Mannigfaltigkeit mit kovarianter Ableitung r. Dann ist die Krümmung von r an der Stelle p durch
G Krümmung von pseudo-R IEMANN schen Mannigfaltigkeiten
151
2 F r .vp ; wp /up WD rv2p ;wp u rw u C r u T r .vp ;wp / p ;vp D rvp rw u rwp rv u rŒv;w u
p
p
für vp ; wp ; up 2 Tp M und v; w; u Vektorfelder mit v.p/ D vp ; u.p/ D up ; w.p/ D wp wohldefiniert. b. Ist M eine pseudo-R IEMANNsche Mannigfaltigkeit und r die L EVI-C IVITAAbleitung, so heißt F r der R IEMANNsche Krümmungstensor. Dieser wird mit R WD F r bezeichnet. Zum Beweis, dass es sich wirklich um ein Tensorfeld handelt, rechnet man die Beziehung .F r .v; w/.f u//p D f .p/.F r .v; w/u/p für Vektorfelder u; v; w und skalare Funktionen f nach und verwendet dann wieder die schon für den Torsionstensor demonstrierte Schlussweise. Der R IEMANNsche Krümmungstensor ist also ein Schnitt in Alt2 .T M / ˝ End .TM / T M ˝ T M ˝ T M ˝ TM : Wie üblich werden bezüglich einer Koordinatenbasis .@1 ; : : : ; @n / von TM die Komponenten von R geschrieben als R.@i ; @j /@k D
n X
l Rijk @l ;
lD1
und aus der Antisymmetrie in den ersten beiden Variablen folgt sofort l Rijk D Rjl i k :
Diese Komponenten können aus den C HRISTOFFEL-Symbolen berechnet werden. Einsetzen in die Definitionen ergibt nämlich: Lemma 5.47. l l Rijk D @i kj @j kil C
X
l m l mi kj mj kim :
m
Die Differenzierbarkeit der Komponentenfunktionen folgt damit sofort aus der Differenzierbarkeit der C HRISTOFFEL-Symbole. Den Raum der im üblichen Sinn differenzierbaren Schnitte in Altr .TM / ˝ End .TM / bezeichnet man mit ˝ r .M; End .TM //; also gilt insbesondere R 2 ˝ 2 .M; End .TM //. Um den R IE MANN schen Krümmungstensor einer 4-dimensionalen pseudo-R IEMANN schen Mannigfaltigkeit zu berechnen, müsste man 256 Komponenten berechnen. Zum Glück besitzt er einige Symmetrieeigenschaften:
152
5 Geodätische und Krümmung
Satz 5.48. Für den R IEMANNschen Krümmungstensor gilt: a. b. c. d.
g.R.u; v/w; z/ D g.R.v; u/w; z/; g.R.u; v/w; z/ D g.R.u; v/z; w/; R.u; v/w C R.v; w/u C R.w; u/v D 0 (erste B IANCHI-Identität), g.R.u; v/w; z/ D g.R.w; z/u; v/ (Blocksymmetrie).
Beweis. a. folgt aus der Definition. b.–d. seien dem Leser als Übungsaufgabe überlassen. Es folgt b. aus der Isometrie, c. aus der Torsionsfreiheit von r; und d. durch geschickte Kombination von a.–c. t u Beispiel: Wir berechnen als Beispiel den R IEMANNschen Krümmungstensor der S CHWARZSCHILD-Mannigfaltigkeit Es ist mit (5.14) R.@t ; @r /@t D R.@r ; @t /@t
m mh.r/ @ r D r@t r@r @t r@r r@t @t D r@t @ t r @r r 2 h.r/ r2 m mh.r/ mh.r/ m mh.r/ @r D 2 @r @r @r r h.r/ r 2 r2 r2 r 2 h.r/ 2m2 2m 6m2 D 4 @r C 3 @r 4 @r r r r 2m D 3 h.r/@r : r Für v 2 T S2 ist
R.@t ; @r /v D r@t r@r v D r@t
1 v D0: r
(5.17)
Also ist g.R.@t ; @r /@r ; @t / D g.R.@t ; @r /@t ; @r / D g.R.@t ; @r /@r ; v/ D g.R.@t ; @r /v; @r / D 0 für v 2 T S2 und damit R.@t ; @r /@r D
2m @t : hr 3
Also haben wir insgesamt: 0
0
B 2mh j r3 R01i DB @ 0 0
2m hr 3
0 0 0 0 0 0 0
1 0 0C C : 0A 0
2m r3
G Krümmung von pseudo-R IEMANN schen Mannigfaltigkeiten
153
Dabei sind die Komponenten bezüglich der Koordinatenbasis @0 D @t ; @1 D @r , @2 D @' ; @3 D @# gegeben. Die übrigen Rechnungen sind dem Leser als Übungsaufgabe überlassen. Es ergibt sich 1 0 0 0 m r 0 B 0 0 0 0C j C ; R02i D B @ mh 0 0 0A r3 0 0 0 0 0 2 1 0 0 0 m sinr # B 0 00 0 C j C ; R03i D B @ 0 00 0 A
j
R12i
j R13i
j R13i
00 mh r3
0 1 0 0 0 0 B0 0 m 0C r C ; DB @0 m 0 0A r3h 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 B0 0 0 m sin2 # C C ; r DB @0 0 0 0 A 0 rm 0 3h 0 1 0 00 0 0 B0 0 0 0 C C DB @0 0 0 2m sin2 # A : 0
0 0 2m r
r
0
Mit Hilfe des R IEMANNschen Krümmungstensors werden nun weitere Krümmungsbegriffe definiert. Als Erstes führen wir die R IEMANNsche Schnittkrümmung ein, um eine Verbindung zur G AUSSschen Krümmung herzustellen. Die R IEMANNsche Schnittkrümmung an der Stelle p ist auf Ebenen (d. h. zweidimensionalen Teilvektorräumen) in Tp M definiert. Dazu nutzt man folgende Beobachtung aus: Sind E1 ; E2 orthonormale Vektoren und v D a1 E1 C b1 E2 ; w D a2 E1 C b2 E2 ; so ist g.R.v; w/v; w/ D .a1 b2 a2 b1 /2 g.R.E1 ; E2 /E1 ; E2 / D .g.v; v/g.w; w/ g.v; w/2 /g.R.E1 ; E2 /E1 ; E2 / ; also ist
g.R.v; w/v; w/ g.v; v/g.w; w/ .g.v; w//2
unabhängig von der Wahl der Basis .v; w/ in LH fE1 ; E2 g. Daher kann man definieren:
154
5 Geodätische und Krümmung
Definition 5.49. Ist M eine R IEMANNsche Mannigfaltigkeit und V Tp M ein 2-dimensionaler Untervektorraum mit Basis .v; w/; so ist die Schnittkrümmung, angewandt auf V durch K.V / WD
g.R.v; w/w; v/ g.v; v/g.w; w/ .g.v; w//2
wohldefiniert. Ist dim M D 2; also V D Tp M; so ist nach (5.8) K.Tp M / D K.p/ die G AUSSsche Krümmung. Der komplette R IEMANNsche Krümmungstensor kann aus der Schnittkrümmung wiedergewonnen werden, ähnlich wie eine bilineare Abbildung aus der zugehörigen quadratischen Form über die Polarisationsformel wieder gewonnen werden kann. Wir gehen darauf hier nicht näher ein, sondern führen noch zwei weitere Krümmungsbegriffe ein, die in der allgemeinen Relativitätstheorie eine wichtige Rolle spielen. Dazu müssen wir zuerst auf den Begriff der Spur eingehen: Die Spur einer Matrix ist als Summe der Diagonaleinträge definiert. Man zeigt leicht, dass sie ein Koeffizient des charakteristischen Polynoms, also für A 2 End .V / unabhängig von der Basis definiert ist, bezüglich der die Matrix zu A gebildet wird. Ist V ein Vektorraum mit (möglicherweise indefinitem) Skalarprodukt h j i und E1 ; : : : ; En eine Orthonormalbasis, also hEi j Ej i D "i ıij so ist Spur A D
X
mit "i D ˙1;
"i hAEi j Ei i :
N N Ist nun A 2 r V ˝ V; so ist für k r die k-te Spur Spurk A 2 r1 V als Spurbildung bezüglich des k-ten Faktors definiert, also X "i hA.: : : ; Ei ; : : :/jEi i ; Spurk A WD i
wobei Ei an der k-ten Stelle eingetragen ist. Wir schreiben Spur A WD Spur1 A : Ist V ein Vektorraum mit nichtentarteter symmetrischer Bilinearform, so ist durch die Zusammensetzung b˝id
Spur
V ˝ V ! V ˝ V D End .V / ! R eine Abbildung definiert, die ebenfalls als Spur bezeichnet wird. (Hier wurde das durch (2.8) definierte Tensorprodukt von linearen Abbildungen benutzt.) Für Tensorfelder ist die Spur punktweise an jeder Stelle p 2 M ebenso definiert.
G Krümmung von pseudo-R IEMANN schen Mannigfaltigkeiten
155
Definitionen 5.50. a. Die Abbildung ricp D Spur Rp W Tp M Tp M ! R ; also ricp .v; w/ D Spur .Rp . ; v/w/ D
X
"i gp .Rp .Ei ; v/w; Ei /
i
heißt R ICCI-Krümmung. Dabei ist E1 ; : : : ; En eine Orthonormalbasis von Tp M . b. Die R ICCI-Abbildung Ric 2 End.TM / ist durch gp .Ricp .v/; w/ D ricp .v; w/ gegeben. c. Die Skalarkrümmung ist die Spur der R ICCI-Abbildung, also s WD Spur Ric D Spur ric : Beispiel: Für die S CHWARZSCHILDmannigfaltigkeit ist ric D 0 und s D 0. Die Symmetrieeigenschaften des R IEMANNschen Krümmungstensors führen dazu, dass auch die R ICCI-Krümmung symmetrisch ist. Wir beweisen: Satz 5.51. Die R ICCI-Krümmung ist symmetrisch. Beweis. Wir wählen eine Orthonormalbasis .E1 ; : : : ; En / von Tp M und rechnen: ric .v; w/ D D D
n X i D1 n X i D1 n X
"i g.R.Ei ; v/w; Ei / "i g.R.w; Ei /Ei ; v/ "i g.R.Ei ; w/v; Ei /
i D1
D ric .w; v/ : t u Das folgende Lemma zeigt den Zusammenhang zwischen Schnittkrümmung und R ICCI-Krümmung auf: Lemma 5.52. Ist M eine R IEMANNsche Mannigfaltigkeit, .E1 ; : : : ; En / eine Orthonormalbasis von Tp M und Vj WD LH fE1 ; Ej g für j 2; so ist ric .E1 ; E1 / D
n X j D2
K.Vj / :
156
5 Geodätische und Krümmung
Insbesondere gilt: Ist die Schnittkrümmung K vom gewählten Unterraum V unabhängig, also als eine Funktion K 2 C 1 .M / aufzufassen, so ist ric D .n 1/K g und s D n .n 1/K. Beweis. ric .E1 ; E1 / D
n X
g.R.Ej ; E1 /E1 ; Ej /
j D1
D
n X
K.Vj /.g.Ej ; Ej /g.E1 ; E1 / g.E1 ; Ej /2 / :
j D2
t u Insbesondere ist damit für 2-dimensionale Flächen stets s D 2K : In Dimension 3 kann obige Überlegung auch umgekehrt werden: Gilt für die R ICCIKrümmung s ric D g ; 3 so folgt aus einer leichten linear-algebraischen Überlegung und obigem Lemma, dass die Schnittkrümmung K nur vom Punkt der Mannigfaltigkeit und nicht vom gewählten 2-dimensionalen Untervektorraum abhängt. Es gilt dann KD
s : 6
Im nächsten Abschnitt werden wir sehen, dass dann sogar s D konst. folgt. Die Komponentenfunktionen von R ICCI-Krümmung und -Abbildung sind wie üblich definiert und werden notiert als ricij WD ric .@i ; @j / ; n X j Ric .@i / DW Rici @j : j D1
Also haben wir: rici k D
X
Ricji gjk ;
j
sD
X
Ricjj
j
D
X j;k
ricjk g jk :
H Die E INSTEIN schen Gleichungen
157
H Die E INSTEINschen Gleichungen Die E INSTEINschen Gleichungen setzen die Materieverteilung in Beziehung zur Krümmung der Raumzeit. Die Materieverteilung wird dabei durch den EnergieImpulstensor T beschrieben. Sowohl Masse als auch Ladungsverteilung tragen zu T bei: Für das elektromagnetische Feld ist T aus dem FARADAYtensor zu berechnen, für ideale Strömungen geht der Strömungsvektor, Druck und Dichte der Strömung ein. In jedem Fall wird T durch eine symmetrische Bilinearform beschrieben und im Vakuum gilt T D 0. Die genauere Form von T in einigen Spezialfällen ist der physikalischen Literatur, z. B. [63] zu entnehmen. Die E INSTEINschen Gleichungen lauten nun ric
1 sg D T 2
(5.18)
Die S CHWARZSCHILDmannigfaltigkeit ist also eine Vakuumlösung, d. h. eine Lösung für T D 0 der E INSTEINschen Gleichungen. Die Gültigkeit von Gleichung (5.18) kann im mathematischen Sinn nicht bewiesen werden, es gibt aber viele Gründe, dass diese Gleichung die Wechselwirkung zwischen Materie und Krümmung der Raumzeit gut beschreibt. Sie kann auch aus einem Variationsprinzip hergeleitet werden, aber darauf kann hier nicht eingegangen werden. Wir werden hier einen anderen Aspekt besprechen, warum die Gleichung (5.18) plausibel ist und nicht etwa durch eine „einfachere“ Gleichung wie ric D T ersetzt werden kann. In Abschn. 4G haben wir gesehen, dass Erhaltungssätze aufgrund des S TOKESschen Satzes eine „infinitesimale“ Form wie z. B. div B D 0 haben. Aus physikalischen Gründen ist es daher sinnvoll anzunehmen, dass die Divergenz des Energieimpulstensors stets verschwindet, denn dies drückt eine Art „lokale Energieerhaltung“ aus. (Wie die Divergenz hier definiert ist, wird in diesem Abschnitt geklärt werden.) Die linke Seite ric 12 sg der E INSTEINschen Gleichung ist nun gerade so gewählt, dass ihre Divergenz ebenfalls verschwindet. Hingegen wird die Divergenz des R ICCItensors i. A. nicht verschwinden. Wir wollen zuerst erklären, was die Divergenz einer Bilinearform auf M bedeutet. Für die Divergenz eines Vektorfelds gilt nach Übungsaufgabe 5.15 X "i g.rEi v; Ei / div .v/ D i
D Spur rv für eine Orthonormalbasis .E1 ; : : : ; En / von Tx M; also g.Ei ; Ej / D "j ıij . Die Spur ist im letzten Abschnitt schon in geeigneter Weise verallgemeinert worden. Nun soll noch der Definitionsbereich der kovarianten Ableitung von Vektorfeldern auf andere Tensorfelder übertragen werden,und zwar so, dass r stets N linear ist und die Produktregel erfüllt. Dies ist ganz allgemein für Schnitte in rs TM möglich, aber wir geben nur die hier interessierenden Spezialfälle an.
158
5 Geodätische und Krümmung
Mit „Schnitten“ meinen wir dabei stets differenzierbare Schnitte, d. h. die Komponentenfunktionen bezüglich einer Koordinatenbasis sind stets als differenzierbar schreiben für den Raum der differenzierbaren Schnitte in Nr vorausgesetzt.NWir r TM dann TM . s s Für 2 End .TM / D .T M ˝ TM / ist durch r r End WD r ı ı r eine Abbildung r End W End .TM / ! Hom .TM; End .TM // definiert, die ebenso wie r linear ist und die Produktregel analog zu (5.9) r.f / D f r C df ˝
für f 2 C 1 .M / erfüllt. Für ˛ 2 .T M ˝ T M / ist durch .rX ˛/.Y; Z/ WD X.˛.Y; Z// ˛.rX Y; Z/ ˛.Y; rX Z/ wieder eine lineare Abbildung rX W .T M ˝ T M / ! .T M ˝ T M / definiert, die die Produktregel rX .f ˛/ D f rX ˛ C df .X / ˛ erfüllt. Offenbar ist r genau dann isometrisch für g; wenn rg D 0 gilt. Damit kann nun die Divergenz von Schnitten in T M ˝T M definiert werden. Definition 5.53. Die Divergenz von ˛ 2 .T M ˝ T M / bezüglich r ist durch divr ˛ D Spur r˛ 2 T M definiert, wobei .r˛/x 2 Tx M ˝ Tx M ˝ Tx M zu lesen ist. Ist r die L EVI-C IVITA-Ableitung, so schreibt man div statt divr . Der EnergieImpuls-Tensor wird stets als divergenzfrei vorausgesetzt. Im Gegensatz zur Divergenz von Vektorfeldern hat die Divergenz von zweifach kovarianten Tensorfeldern keine anschauliche Bedeutung. In der Anfangszeit der allgemeinen Relativitätstheorie war auch die Interpretation der Gleichung div T D 0
H Die E INSTEIN schen Gleichungen
159
damit zunächst nicht klar. Erst durch Einsetzen von K ILLING-Vektorfeldern kann divT D 0 als Erhaltungssatz interpretiert werden (vgl. [80]). Wir wenden uns aber jetzt der „geometrischen“ Seite ric 12 sg der E IN STEIN schen Gleichung zu, die ja nun ebenfalls divergenzfrei sein muss. Ihre Divergenzfreiheit folgt aus einer weiteren Symmetrie des R IEMANNschen Krümmungstensors. Um diese zu formulieren, definieren wir für Endomorphismen-wertige rFormen ˛ 2 ˝ r .M; End .TM // eine Verallgemeinerung der C ARTANschen Ableitung: Definition 5.54. Ist ! 2 ˝ r .M; End .TM //; so ist die äußere kovariante Ableitung von ! d r ! 2 ˝ rC1 .M; End .TM // durch . dr !/.X1 ; : : : ; XrC1 / WD
rC1 X End b i ; : : : ; XrC1 // .1/i 1 rX .!.X1 ; : : : ; X i i D1
C
X
bj ; : : : ; X b l ; : : : ; XrC1 / .1/j Cl !.ŒXj ; Xl ; X1 ; : : : ; X
j
definiert. Schreibt man dies für ! 2 ˝ 2 .M; End .TM // aus, so erhält man . dr !/.X1 ; X2 ; X3 /.Y / D rX1 .!.X2 ; X3 /Y / rX2 .!.X1 ; X3 /Y / C rX3 .!.X1 ; X2 /Y / !.X2 ; X3 /.rX1 Y / C !.X1 ; X3 /.rX2 Y / !.X1 ; X2 /.rX3 Y / !.ŒX1 ; X2 ; X3 /Y C !.ŒX1 ; X3 ; X2 /Y !.ŒX2 ; X3 ; X1 /Y : Eine längere Rechnung, die die Axiome der L EVI-C IVITA-Ableitung und die Symmetrieeigenschaften des R IEMANNschen Krümmungstensors benutzt, ergibt den folgenden, auch als zweite B IANCHI-Identität bezeichneten Satz. Der Beweis ist in jedem Buch über Differentialgeometrie zu finden, z. B. [54] oder [56]. Satz 5.55. Für den R IEMANNschen Krümmungstensor und die L EVI-C IVITA-Ableitung gilt (5.19) dr R D 0 : Aus Isometrie und Torsionsfreiheit der L EVI-C IVITA-Ableitung folgt, dass (5.19) gleichbedeutend mit .rX R/.Y; Z/ C .rY R/.Z; X / C .rZ R/.X; Y / D 0
160
5 Geodätische und Krümmung
ist, wobei .rX R/.Y; Z/V D rX .R.Y; Z/V / R.rX Y; Z/V R.Y; rX Z/V R.Y; Z/rX V ist. Nutzt man nun die Symmetrie des R IEMANNschen Krümmungstensors aus, so folgt durch längere Rechnung (vgl. [56] für den R IEMANNschen, [70] für den allgemeinen Fall). Satz 5.56.
1 div .sg/ : 2 Damit ist die linke Seite der E INSTEINschen Gleichungen, wie erwünscht, divergenzfrei. Da div g D 0 gilt, könnte man die E INSTEINschen Gleichungen auch durch div ric D
1 sg C g D T (5.20) 2 für jedes 2 R ersetzen. Dies sind die E INSTEINschen Gleichungen mit kosmologischer Konstante . Die Relevanz von (5.20) mit 6D 0 wird in der physikalischen Gemeinschaft immer wieder diskutiert. Zum Abschluss dieses Abschnitts zeigen wir noch, dass die R ICCI-Krümmung einer Mannigfaltigkeit, die Lösung von (5.18) ist, aus dem Energieimpulstensor berechnet werden kann. Insbesondere folgt dann, dass die R ICCI-Krümmung für Vakuumlösungen stets verschwindet. ric
Satz 5.57. Ist M eine pseudo-R IEMANNsche Mannigfaltigkeit der Dimension n > 2 mit ric 12 sg D T; so ist 1 Spur T g : dim M 2 Insbesondere gilt für jede Lösung der E INSTEIN-Gleichung: ric D T
ric D 0 ” T D 0 : Beweis. Gilt (5.18), so ist 1 s Spur g D 2 dim M dim M Ds s D 1 s : 2 2
Spur T D Spur ric
Also ist T
1 1 1 Spur T g D ric s g C s g dim M 2 2 2 D ric :
t u
Der R IEMANNsche Krümmungstensor einer Vakuumlösung muss jedoch nicht notwendig verschwinden, wie wir am Beispiel der S CHWARZSCHILDmannigfaltigkeit gesehen haben.
Aufgaben
161
Vakuumlösungen sind also R ICCI-flache Lösungen. Es liegt nahe, die Fragestellung etwas zu verallgemeinern, indem man anstelle von Mannigfaltigkeiten mit ric D 12 sg nach Mannigfaltigkeiten mit ric D f g für f 2 C 1 .M / sucht. Definition 5.58. Eine pseudo-R IEMANNsche Mannigfaltigkeit .M; g/ mit ric D f g 1
für ein f 2 C .M / heißt E INSTEIN-Mannigfaltigkeit. Offenbar ist dann f D dims M . Es stellt sich heraus, dass dies für dim M 3 eine sehr starke Forderung ist: Korollar 5.59. Ist M E INSTEIN-Mannigfaltigkeit der Dimension n 3; so ist die Skalarkrümmung konstant. Beweis. Nach Satz 5.56 ist div .ric/ D
1 1 div .sg/ D d s : 2 2
Andererseits ist
s 1 g D ds ; n n also ist für n > 2 tatsächlich d s D 0. div
Aufgaben zu Kap. 5 5.1. Kann eine (regulär) parametrisierte Kurve in R2 das Bild f.x; y/ 2 R2 j 1 < x < 1; y D jxjg haben? (Beispiel oder Gegenbeweis!) 5.2. a. Beweisen Sie die Krümmungsformel für reguläre Kurven ˛ in R3 : ˛ D
j˛P ˛j R : j˛P 3 j
b. Betrachten wir nun als Beispiel die Kurven i ; i D 1; 2. Wir parametrisieren 1 durch 0 1 R cos.t/ 1 W R ! R3 ; 1 .t/ D @ R sin.t/ A at und 2 durch
0 1 t 2 W R ! R3 ; 2 .t/ D @t 2 A : t3
Berechnen Sie die Krümmung .
162
5 Geodätische und Krümmung
5.3. Sei f W Rn ! Rn ; f .x/ D Ax C v mit A 2 SO.n/; v 2 Rn eine euklidische Bewegung. Sei M Rn eine .n 1/-dimensionale orientierte Untermannigfaltigkeit, W I ! M eine Kurve, MQ D f .M / und Q D f ı W I ! MQ . Zeigen Sie: Q D ; kQ D k und g D g Q . 5.4. Bestimmen Sie R ICCI- und Skalarkrümmung der n-dimensionalen Einheitssphäre. Hinweis: Benützen Sie Formel (5.7). Die Rechnungen können vereinfacht werden, wenn Sie berücksichtigen, dass die Schnittkrümmung aus Symmetriegründen konstant ist. 5.5. Sei I R ein offenes Intervall, f 2 C 1 .I / und W I ! R2 ; .t/ D .x.t/; f .x.t/// auf Bogenlänge parametrisiert. Ist x0 D x.t0 / so, dass f 0 .x0 / D 0; so ist k.t0 / D f 00 .x0 /. 5.6. Sei W I ! R2 eine auf Bogenlänge parametrisierte Kurve und # W I ! R so, dass P .t/ D .cos #.t/; sin #.t//. Dann ist P .t/or D #.t/ : 5.7. Sei Gf R3 eine Graphenfläche, also f 2 C 1 .U / für U R2 und Gf D f.x; f .x// j x 2 U g; x0 2 U ein lokales Extremum von f; also unt T.x G D R2 0 : 0 ;f .x0 // f
Sei # W"; "Œ! Gf eine regulär parametrisierte Kurve mit # .0/ D .x0 ; f .x0 //; P# .0/ D .cos #; sin #; 0/; deren Bild im Schnitt der Ebene E# D .x0 ; 0/ C f. cos #; sin #; / j ; 2 Rg mit Gf liegt. (Warum gibt es eine solche Kurve?) Es ist also etwa # .t/ D .x0 C .t cos #; t sin #/; f .x0 C .t cos #; t sin #//. Sei # .t/ WD # .t/. a. Zeigen Sie: # .0/ C #C 2 .0/ D
@2 f @2 f .x / C .x0 / : 0 @x12 @x22
Interpretieren Sie die linke Seite dieser Gleichung durch geeignete Wahl von # als das Doppelte der mittleren Krümmung. b. Folgern Sie: Z2 1 # .0/ d# D H.x0 ; f .x0 // 2 0
5.8. Berechnen Sie die G AUSSsche Krümmung des Rotationstorus Tr;R aus Aufgabe 1.3. Gibt es r; R; so dass Tr;R isometrisch zu S1 S1 ist? 5.9. a. Zeigen Sie: Ist f W M ! MQ eine lokale Isometrie zwischen R IE MANN schen Mannigfaltigkeiten, so ist Lg Œ D LgQ Œf ı für jede reguläre Kurve in M .
Aufgaben
163
b. Betrachten Sie den Rotationstorus Tr;R . Zeigen Sie mit Hilfe von a., dass f aus Aufgabe 3.2b. keine Isometrie ist. 5.10. Sei 0 < r < R und Tr;R der Rotationstorus mit der durch die Parametrisierung aus Aufgabe 1.4b. gegebenen Orientierung. a. Betrachten Sie die vier Kurven, die jeweils mit Einsgeschwindigkeit die Oberbzw. Außen- bzw. Innenseite bzw. einen Meridian des Torus entlanglaufen: 1 1 0 0 R cos.t=R/ .R C r/ cos.t=.R C r// 1 .t/ D @ R sin.t=R/ A ; 2 .t/ D @ .R C r/ sin.t=.R C r// A ; r 0 0 1 0 1 .R r/ cos.t=.R r// R C r cos.t=r/ A 0 3 .t/ D @ .R r/ sin.t=.R r// A ; 4 .t/ D @ 0 r sin.t=r/ mit t 2 R. Berechnen Sie für i ; i D 1; : : : ; 4; jeweils die orientierte geodätische und die orientierte Normalkrümmung sowie die Krümmung. Welche der Kurven sind Geodätische auf dem Torus? b. Berechnen Sie für p 2 Tr;R den W EINGARTENoperator Sp und damit die G AUSSsche Krümmung K.p/ sowie die mittlere Krümmung H.p/ im Punkt p. Für welche p ist die G AUSSsche Krümmung positiv bzw. negativ bzw. gleich Null? 5.11. a. Seien M; N orientierte (zweidimensionale) Flächen, W I ! M eine auf Bogenlänge parametrisierte Kurve und f W M ! N eine lokale Isometrie. Zeigen Sie, dass und f ı dieselbe orientierte geodätische Krümmung haben, d. h. g .t/ D gf ı .t/; t 2 I : b. Betrachten Sie den Zylinder Z WD S1 R R3 . Zeigen Sie, dass f W R2 ! Z; f .x; y/ WD .cos x; sin x; y/T eine lokale Isometrie ist. Was sind die Geodätischen auf R2 ? Schließen Sie mit Teil a., dass die Schraubenlinien .t/ WD .cos at; sin at; bt/T mit a2 C b 2 D 1 Geodätische auf Z sind. 5.12. Sei .M; g/ eine R IEMANNsche Mannigfaltigkeit. Sei 2 RC . Wie berechnet man die Krümmungsgrößen (R IEMANNscher Krümmungstensor, R ICCI- und Skalarkrümmung) von .M; g/ aus denen von .M; g/? 5.13. Sei S41 die DE -S ITTER-Raum-Zeit (vgl. Aufgabe 3.12). Zeigen Sie für die Krümmungsgrößen der DE -S ITTER-Raum-Zeit 3 g; r2 12 sD 2 : r
ric D
Die DE -S ITTER-Raum-Zeit ist also Vakuumlösung mit kosmologischer Konstante 3 . r2
164
5 Geodätische und Krümmung
Hinweis: Für 4-dimensionale Untermannigfaltigkeiten M des 5-dimensionalen M INKOWSKIraums, die mit der Einschränkung des M INKOWSKI-Skalarproduktes auf M wieder L ORENTZ-Mannigfaltigkeiten sind, gilt Formel (5.7) analog, also R.u; v/w D hS vjwiS u hS ujwiS v ; wobei S v D dN ist mit einem Normaleneinheitsfeld N . Diese Tatsache (vgl. etwa das Skript von Ch. Bär auf der Webseite geometrie.math.uni-potsdam.de/documents/ baer/skripte/skript-DiffGeo.pdf) dürfen Sie verwenden. 5.14. Sei M R3 eine 2-dimensionale orientierte Fläche, U W M ! S2 ; x 7! U.x/ die durch das Einheitsnormalenfeld gegebene Abbildung. a. Zeigen Sie
K !M D U !S2 :
Hinweis: Setzen Sie auf beiden Seiten eine Orthonormalbasis von Tx M ein. b. Sei jetzt V M und U W V ! V 0 S2 ein Diffeomorphismus. Dann ist Z K!M D Vol .V 0 / V
der Flächeninhalt von V 0 . 5.15. Sei .M; g/ eine Pseudo-R IEMANNsche Mannigfaltigkeit. Seien e1 ; : : : ; en lokale Vektorfelder auf U M; so dass für alle x 2 U gilt hei .x/jej .x/i D "i ıij mit "i D ˙1. Zeigen Sie: Für alle x 2 U ist X div .v/.x/ D "i g.rei v; ei / : i
5.16. Berechnen Sie die C HRISTOFFELsymbole für die Sphäre S2 in Kugelkoordinaten. 5.17. Zeigen Sie: In lokalen Koordinaten ist l l Rijk D @i kj @j kil C
n X l m l kj mj kim : mi mD1
5.18. Seien .M1 ; g1 / und .M2 ; g2 / R IEMANNsche Mannigfaltigkeiten mit R ICCIKrümmung ric1 und ric2 und Skalarkrümmung s1 und s2 . Sei M WD M1 M2 . Wir schreiben T.p1 ;p2 / M D Tp1 M1 ˚ Tp2 M2 gemäß Aufgabe 1.9. Sei nun eine Metrik g auf M1 M2 durch g..X1 ; X2 /; .Y1 ; Y2 // D g1 .X1 ; Y1 / C g2 .X2 ; Y2 /
Aufgaben
165
gegeben, und ric und s seien die R ICCI- und Skalarkrümmung von M . Zeigen Sie: a. ric ..X1 ; X2 /; .Y1 ; Y2 // D ric1 .X1 ; Y1 / C ric2 .X2 ; Y2 / : b. s.p1 ; p2 / D s1 .p1 / C s2 .p2 / : c. Sind M1 und M2 E INSTEIN-Mannigfaltigkeiten gleicher Dimension und Skalarkrümmung, so ist auch M1 M2 eine E INSTEIN-Mannigfaltigkeit. Hinweis: Man zeige zunächst, dass rX Y D rY X D 0 ist, falls X.p1 ; p2 / 2 Tp1 M1 f0g und Y .p1 ; p2 / 2 f0g Tp2 M2 für alle .p1 ; p2 / 2 M . Man überlege sich die Auswirkungen hiervon auf den Krümmungstensor und dann auf R ICCIund Skalarkrümmung. 5.19. Sei .M; g/ eine pseudo-R IEMANNsche Mannigfaltigkeit und ˛ 2 .T M ˝ T M /. Zeigen Sie: divr .f ˛/ D igrad f ˛ C f divr ˛ für f 2 C 1 .M /.
Kapitel 6
Koordinatenfreie Formulierungen der klassischen Mechanik
Der Konfigurationsraum K eines mechanischen Systems, also der Raum der möglichen Positionen seiner Bestandteile, wird oft durch eine Mannigfaltigkeit beschrieben. So ist z. B. die eindimensionale Sphäre S1 ein Modell für den Konfigurationsraum des ebenen Pendels. Allgemeiner wird ein System von N Massenpunkten, die r unabhängigen holonomen Zwangsbedingungen unterworfen sind, durch eine 3N r-dimensionale Untermannigfaltigkeit des R3N beschrieben. Ein weiteres Beispiel ist die spezielle orthogonale Gruppe SO.3/ WD fA 2 O.3/ j det A D 1g (vgl. Abschn. 1B) als Konfigurationsraum eines starren Körpers im Schwerpunktsystem, wobei die Position P des Körpers im Raum mathematisch durch die Drehung A 2 SO.3/ beschrieben wird, die ihn aus einer festen Ausgangsposition P0 in die Position P überführt. Die tatsächliche Bewegung entspricht dann einer Kurve im Konfigurationsraum. Der physikalische Zustand eines mechanischen Systems wird durch Ort und Geschwindigkeit, also durch einen Punkt im Tangentialbündel TK; oder durch Ort und Impuls, d. h. einen Punkt im Kotangentialbündel T K beschrieben. Der L AGRANGEformalismus der klassischen Mechanik kann koordinatenfrei formuliert werden, indem man die L AGRANGEfunktion als Funktion auf TK auffasst. Die Bewegungen des Systems werden dann durch ihre Geschwindigkeitskurven P W I ! TK beschrieben, die Lösungen gewisser Differentialgleichungen sind (vgl. Abschn. B und E). Analog kann der H AMILTONsche Formalismus koordinatenfrei formuliert werden, indem man die H AMILTON-Funktion als Funktion auf T K auffasst. Das Kotangentialbündel T K ist allerdings nur ein Spezialfall einer sog. symplektischen Mannigfaltigkeit, deren Einführung es erlaubt, die gesamte H A MILTONsche Mechanik als eine Art modifizierte Geometrie zu deuten (Abschn. C und D). Die Übersetzung der beiden Formalismen ineinander geschieht durch die L EGENDREtransformation, die am Schluss des Kapitels besprochen wird.
K.-H. Goldhorn, H.-P. Heinz, M. Kraus, Moderne mathematische Methoden der Physik DOI 10.1007/978-3-540-88544-3, © Springer 2009
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6 Koordinatenfreie Formulierungen der klassischen Mechanik
A Tangential- und Kotangentialbündel In diesem Abschnitt sollen die dem L AGRANGE- und H AMILTONformalismus zugrunde liegenden Räume mit einer Mannigfaltigkeitsstruktur versehen werden. Zunächst sind ja Tangential- und Kotangentialbündel, wie in Abschn. 3A erläutert, die disjunkte Vereinigung von Vektorräumen [ [ Tx M und T M D Tx M : TM D x2M
x2M
Auf beiden Räumen ist eine Projektion nach M definiert, die wir in beiden Fällen mit bezeichnen. Ist M eine n-dimensionale Mannigfaltigkeit und .U; h/ eine Karte für M; so ist hQ W 1 .U / ! U Rn ; v D
n X i D1
1 n v i @.h/ i .x/ 7! .x; .v ; : : :; v //
(6.1)
ˇ eine bijektive Abbildung und hQ x WD pr2 ı hˇ 1 .x/ W 1 .x/ ! Rn ist für jedes x 2 U ein Isomorphismus, nämlich der in (1.8) definierte Isomorphismus hx W T x M ! Rn . Die Mannigfaltigkeitsstruktur auf TM soll nun so erklärt werden, dass die Abbildungen hı hQ W 1 .U / ! U 0 Rn mit b h W U Rn ! U 0 Rn ; .x; v/ 7! .h.x/; v/ HT WD b (6.2) einen Atlas für TM bilden. Bisher ist keine Topologie auf TM definiert, also kann noch nicht die Rede davon sein, dass durch (6.2) ein Homöomorphismus gegeben ist. Nun definieren wir aber die Topologie auf TM in geeigneter Weise: Definition 6.1. Eine Teilmenge V TM heißt offen, falls für jede Karte .U˛ ; h˛ / von M und hQ ˛ wie in (6.1) 0 hQ ˛ @V \
[
1 T x M A U ˛ Rn
x2U˛
offen in U˛ Rn ist. Es ist leicht nachzurechnen, dass auf diese Weise eine Topologie auf TM definiert ist und dass die durch (6.2) gegebenen Abbildungen Homöomorphismen sind. Nun ist noch zu prüfen, dass durch (6.2) eine differenzierbare Struktur gegeben ist. Sind h˛ W U˛ ! U˛0 und hˇ W Uˇ ! Uˇ0 zwei Karten für M und w˛ˇ WD hˇ ı h1 ˛ ; so ist nach (1.10)
A Tangential- und Kotangentialbündel
HT;ˇ
169
ˇ ı H 1 ˇ
T;˛ .h˛ .U˛ \Uˇ /Rn / h˛ .U˛ \ Uˇ / Rn !
W hˇ .U˛ \ Uˇ / Rn
.x; v/ 7! .w˛ˇ .x/; Jw˛ˇ .x/v/ also ein Diffeomorphismus. Insgesamt erhalten wir: Satz 6.2. Das Tangentialbündel TM ist zusammen mit der durch (6.2) definierten differenzierbaren Struktur eine differenzierbare Mannigfaltigkeit der Dimension 2 dim M . Die Bündelprojektion W TM ! M ist differenzierbar und die differenzierbaren Schnitte in TM sind genau die differenzierbaren Vektorfelder. Beweis. Es bleiben nur die Aussagen über die differenzierbaren Abbildungen zu beweisen. Diese sind aber sofort klar, wenn man sich erinnert, dass eine Abbildung auf einer Mannigfaltigkeit nach Definition differenzierbar bei x ist, wenn f ı h für eine Karte .U; h/ mit x 2 U differenzierbar ist. t u Die durch (6.2) gegebenen Koordinaten von 1 .U / TM werden üblicherweise mit .q1 ; : : :; qn ; qP1 ; : : :; qPn / bezeichnet. Bezeichnen @1 ; : : :; @2n die zugehörigen Koordinatenbasisfelder, so schreibt man für f 2 C 1 .TM / und 1 k n @ f ; @qk @ @nCk f D f : @qPk @k f D
(6.3)
Die Mannigfaltigkeitsstruktur auf T M wird ganz analog konstruiert. Ist .U; h/ eine Karte für M; so definiere h W 1 .U / ! U Rn n X ˛D ai .x/ dx i 7! ..˛/; a1 .x/; : : :; an .x// ;
(6.4)
i D1
HT W 1 .U / ! U 0 Rn X ˛D ai .x/ dx i 7! .h.x/; a1 .x/; : : :; an .x// :
(6.5)
i
Die Topologie auf T M ist wie die von TM definiert: Definition 6.3. Eine Teilmenge V T M heißt offen, wenn für jede Karte .U; h/ von M h.V \ 1 .U // U Rn offen in U Rn ist. Die Kartenwechsel der Karten HT werden durch Satz 2.3 beschrieben, und zwar mit der JACOBImatrix als Transformationsmatrix C .
170
6 Koordinatenfreie Formulierungen der klassischen Mechanik
Satz 6.4. Das Kotangentialbündel T M bildet zusammen mit der durch (6.5) definierten differenzierbaren Struktur eine 2n-dimensionale Mannigfaltigkeit. Der Raum der differenzierbaren Schnitte in T M ist genau ˝ 1 M . Die Koordinaten in T M werden mit .q1 ; : : :; qn ; p1 ; : : :; pn / bezeichnet, und (6.3) wird sinngemäß ebenso verwendet. Durch eine Metrik auf M sind die bijektiven Abbildungen b und # gegeben, die in Satz 2.4 und Abschn. 4E betrachtet wurden. Für sie gilt: Satz 6.5. Ist M eine pseudo-R IEMANNsche Mannigfaltigkeit, so sind die Abbildungen b W TM ! T M und # W T M ! TM fasertreue Diffeomorphismen, d. h. es sind Diffeomorphismen, für die gilt b.Tx M / D Tx M
#.Tx M /
und
D Tx M :
Für uns wird ein weiterer Typ von Abbildungen zwischen TM und T M interessant werden, die zwischen H AMILTONschem und L AGRANGEschem Formalismus vermitteln. Um sie zu definieren, beachten ˇ wir, dass für eine Funktion f 2 C 1 .TM / und x 2 M die Ableitung von f ˇTx M an einer Stelle v 2 Tx M eine Linearform auf dem Vektorraum Tx M und somit ein Element von Tx M ist. In Zeichen heißt das ˇ d.f ˇTx M /v 2 Tx M ; und wir können definieren: Definition 6.6. Ist f 2 C 1 .TM /; so heißt ˇ d0 f W TM ! T M ; v 7! d.f ˇT
.v/ M
/v
die Faserableitung von f . In lokalen Koordinaten ist die Faserableitung durch
@f d f W TM ! T M ; .q; q/ P 7! q; @qP 0
oder, ausführlicher: @f @f .q1 ; : : :; qn ; qP1 ; : : :; qPn / 7! q1 ; : : :; qn ; ; : : :; @qP1 @qPn gegeben. Offenbar ist die Faserableitung einer Funktion stets differenzierbar, aber nicht notwendig injektiv oder surjektiv. Man definiert: Definitionen 6.7. Eine Funktion f W TM ! R heißt regulär, wenn ihre Faserableitung d0 f W TM ! T M ein lokaler Diffeomorphismus ist, hyperregulär, wenn sie ein Diffeomorphismus ist.
A Tangential- und Kotangentialbündel
171
Eine Abbildung f 2 C 1 .TM / ist also genau dann regulär, wenn in lokalen Koordinaten die Matrix 2 @f @qPi @qPj i;j D1;:::;n regulär ist. Beispiel: Es sei .M; g/ eine R IEMANNsche Mannigfaltigkeit, U 2 C 1 .M / und m > 0. Dann ist durch L.v/ WD
1 mg.v; v/ U..v// 2
mit der Projektion W TM ! M eine hyperreguläre Funktion gegeben, denn 1 d ˇˇ mg.v C tw; v C tw/ U..v C tw// D mg.v; w/ ; . d0 L/.v/.w/ D ˇ dt t D0 2 also d0 L.v/ D mv b . In lokalen Koordinaten ist L durch 1 X m gij qP i qP j U.q/ 2 i;j
gegeben, also d0 L durch 0 @q 1 ; : : :; q n ; m
n X
g1j qP j ; : : :; m
j D1
und
n X
1 gnj qP j A
j D1
@2 L D mgij : @qPi @qPj
Für Funktionen f 2 C 1 .T M / kann man ganz analog vorgehen, denn dann ist für ˛ 2 Tx M ˇ d.f ˇT M /˛ 2 .Tx M / D Tx M ; x
und dann heißt d0 f W T M ! TM ˇ . d0 f /.˛/ WD d.f ˇT
.˛/ M
/˛
die Faserableitung von f . Die Funktion f heißt regulär, falls d0 f ein lokaler Diffeomorphismus und hyperregulär, falls d0 f ein Diffeomorphismus ist.
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6 Koordinatenfreie Formulierungen der klassischen Mechanik
B E ULER-L AGRANGEgleichungen Die L AGRANGEfunktion eines mechanischen Systems ist durch eine (möglicherweise zeitabhängige) Funktion auf dem „Geschwindigkeitsraum“ TM gegeben. Wir gehen dabei davon aus, dass der Konfigurationsraum M zeitunabhängig ist (in [2, 47] z. B. wird auch der zeitabhängige Fall behandelt). So wird beispielsweise die Bewegung eines Teilchens der Masse m > 0 auf einer R IEMANNschen Mannigfaltigkeit, auf das keine äußeren Kräfte wirken, durch L.v/ D 12 mjvj2 beschrieben. Ist U W M ! R eine weitere Funktion, die physikalisch als potentielle Energie interpretiert wird, so ist die L AGRANGEfunktion durch 1 L.v/ D mjvj2 U..v// 2 definiert. Die Bewegungsgleichungen ergeben sich dann aus dem H AMILTONschen Prinzip der kleinsten Wirkung, d. h. man ermittelt die Bewegungsgleichungen durch Variation des Wirkungsfunktionals Zt1 L.P .t// dt ;
W ΠWD t0
d. h. durch die Forderung, dass d ˇˇ ˇ ds sD0
Zt1 L t0
d f .s; t/ dt
dt D 0
(6.6)
sein möge, wobei f W "; "ŒŒt0 ; t1 ! M .s; t/ 7! f .s; t/ D fs .t/ eine beliebige Variation von D f0 W Œt0 ; t1 ! M ist, für die die Endpunkte fs .t0 /; fs .t1 / fest bleiben. In [36], Kapitel 23, wurden Variationsprobleme im Fall, dass M Rn offen, also TM Rn Rn ist, ausführlich behandelt. Auch in Kap. 5 haben wir bereits ein Variationsproblem gesehen. Dort haben wir festgestellt (Satz 5.41), dass (6.6) mit LŒ D 12 jP j2 genau dann für jede endpunktfeste Variation erfüllt ist, wenn f0 D eine Geodätische ist. In [36], Band 2, wurde schon bewiesen, dass jedes lokale Minimum des Wirkungsfunktionals Zt1 P dt I Œ' D L.t; '; '/ t0
B E ULER -L AGRANGEgleichungen
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für ' 2 C 1 .Œt0 ; t1 / das System von E ULER-L AGRANGE-Gleichungen d @L @L D ; dt @qPi @qi
i D 1; : : :; n
(6.7)
erfüllt. Dieselben Gleichungen gelten auch in lokalen Koordinaten, falls ' eine Kurve auf einer Mannigfaltigkeit und L 2 C 1 .R TM / ist. Im Folgenden verstehen wir unter einer L AGRANGEfunktion stets eine differenzierbare Funktion auf R TM . In den späteren Abschnitten werden wir dann die explizite Zeitabhängigkeit ausschließen und L 2 C 1 .TM / voraussetzen. Um (6.7) auf Mannigfaltigkeiten anwenden zu können, darf sich die Variation nur in einem Kartengebiet abspielen. Die folgende Definition dient dazu, dies präzise auszudrücken: Definition 6.8. Ist f eine Variation von f0 W Œt0 ; t1 ! M; so heißt Tf WD ft 2 Œt0 ; t1 j f .s; t/ 6D f .0; t/ für ein s 2 "; "Œg der Träger der Variation. Damit kann aus (6.7) und klassischen Methoden der Variationsrechnung (wie etwa den in [36], Band 2, entwickelten) sofort gefolgert werden: Lemma 6.9. Ist L 2 C 1 .TM R/ und d ˇˇ ˇ ds sD0
Zt1
L.t; fPs .t// dt D 0
t0
für jede Variation von f; so dass f . "; "ŒTf / ganz in einem Kartengebiet enthalten ist, so erfüllt f in lokalen Koordinaten die E ULER-L AGRANGEgleichung (6.7). Um aber zu beliebigen Variationen übergehen zu können, müssen wir die Bedeutung der E ULER-L AGRANGEgleichungen etwas besser verstehen. Dazu benötigen wir die Ableitung unserer Variationen in Bezug auf die s-Variable und verwenden in diesem Zusammenhang die in Definition 5.39 eingeführte Sprechweise. Satz 6.10. Ist L eine L AGRANGEfunktion und I WD Œt0 ; t1 ; so gibt es zu jedem W I ! M genau eine stetige Abbildung !EUL W I ! T M mit !EUL .t/ 2 T.t /M ;
so dass für jedes Vektorfeld X längs und jede Variation f mit kompaktem Träger von in Richtung X gilt d ˇˇ ˇ ds sD0
Zt1 t0
LŒfPs dt D
Zt1 !EUL .t/.X.t// dt : t0
(6.8)
174
6 Koordinatenfreie Formulierungen der klassischen Mechanik
Diese Abbildung nennt man die E ULERform zu L längs . In lokalen Koordinaten ist d @L @L i !EUL .t/ D .t; f0 .t/; fP0 .t// .t; f0 .t/; fP0 .t// : (6.9) @qi dt @qPi Haben wir Satz 6.10 bewiesen, so folgt sofort, dass obiges Lemma für beliebige Variationen richtig bleibt. Satz 6.11. Ist L eine L AGRANGEfunktion, so ist W I ! M genau dann extremal Rt1 P dt; falls in lokalen Koordinaten für i D 1; : : :; n für W D L.t; q; q/ t0
@L d @L .t; .t/; P .t// D .t; .t/; P .t// @qi dt @qPi gilt. Beweis (des Satzes 6.10). Die Eindeutigkeit ist klar, denn wären !EUL und !Q EUL zwei Formen wie im Satz, so wäre Zt1 .!EUL .t/ !Q EUL .t//.X.t// dt D 0 t0
für alle Vektorfelder längs ; und daraus folgt mit dem „Fundamentallemma der Variationsrechnung“ (z. B. Theorem 23.16, in [36], Band 2), dass !EUL .t/ D !Q EUL .t/ : Um die Existenz der E ULERform zu zeigen, wollen wir die „lokalen“ E U durch (6.8) gegeben sind, zusammenfügen. Die Zerlegung der Eins ist sicher ein geeignetes Hilfsmittel hierfür. Um sie anzuwenden, müssen allerdings erst einige Vorarbeiten geleistet werden. Sind U und UQ Kartengebiete für M; so sind nach Lemma 6.9 durch (6.9) jedenfalls auf U und UQ entsprechende E ULERformen !EUL und !Q EUL gegeben, deren Einschränkungen auf U \ UQ wieder E ULERformen auf U \ UQ sind, also dort übereinstimmen. Damit ist also durch (6.9) eine differenzierbare Abbildung loc W I ! T M gegeben, so dass (6.8) für jede Variation gilt, für die das Bild !EUL ihres Trägers ganz in einem Kartengebiet liegt. Ist jetzt aber f eine beliebige endpunktfeste Variation in Richtung X.t/; so zeigt die lokale Rechnung wie im Rn (vgl. [36], Band 2, Satz 23.12) jedenfalls, dass LERformen, die
d ˇˇ ˇ ds sD0
Zt1 t0
nur von X.t/ abhängt, und zwar linear.
L.t; fP.t// dt
C Symplektische Mannigfaltigkeiten
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Mittels einer Zerlegung der Eins schreiben wir jetzt X.t/ D X1 .t/ C C Xn .t/; wobei der Träger von Xi .t/ so gewählt ist, dass sich die Variation in Richtung Xi für genügend kleines " ganz in einem Kartengebiet abspielt. loc Ist !EUL die entsprechende lokale E ULERFORM, so ist d ˇˇ ˇ ds sD0
Zt1
n Z X
t1
L.t; fPs .t// dt D
loc !EUL .t/.Xi .t// dt
i D1 t0
t0
Zt1 D
loc !EUL .t/.X.t// dt ; t0
loc also hat die oben konstruierte E ULERform !EUL tatsächlich die geforderte Eigenschaft, und wir können loc D !EUL !EUL
t u
setzen.
C Symplektische Mannigfaltigkeiten Der Zugang zur klassischen Mechanik über die H AMILTONfunktion beruht darauf, dass der Zustand eines mechanischen Systems durch Ort und Impuls festgelegt ist und dass die Angabe von Ort und Impuls einem Punkt des Kotangentialbündels (= Phasenraum) T M entspricht, wobei M der Konfigurationsraum des Systems ist. Die H AMILTONfunktion erscheint hierbei als eine Funktion H auf T M . Vom mathematischen Standpunkt aus gesehen, ist der H AMILTONformalismus besonders klar, da er von einer Funktion ausgeht, die auf T M definiert ist, und auf T M ist eine natürliche 2-Form wohldefiniert, die den Phasenraum zu einer symplektischen Mannigfaltigkeit macht. Diesen Begriff wollen wir nun diskutieren. In Kap. 5 haben wir Mannigfaltigkeiten mit einer Metrik, also einer nichtentarteten symmetrischen Bilinearform, untersucht. Hier haben wir es hingegen mit einer Mannigfaltigkeit zu tun, die eine nichtentartete antisymmetrische Bilinearform trägt. Definitionen 6.12. a. Unter einer symplektischen Form auf einer Mannigfaltigkeit Q versteht man eine Differentialform ! 2 ˝ 2 Q; für die gilt (i) (ii)
! ist nichtentartet, d. h. zu jedem q 2 Q und jedem v 2 Tq Q gibt es ein w 2 Tq Q mit !q .v; w/ 6D 0; ! ist geschlossen, d. h. d! D 0.
b. Eine Mannigfaltigkeit mit einer symplektischen Form heißt symplektische Mannigfaltigkeit.
176
6 Koordinatenfreie Formulierungen der klassischen Mechanik
Eine symplektische Form kann ähnlich wie eine Metrik benutzt werden, um Tangential- und Kotangentialbündel miteinander zu identifizieren. Lemma 6.13. Ist ! eine symplektische Form auf Q; so ist für jedes q 2 Q Iq W Tq Q ! Tq Q; v 7! !q .v; / D iv ! ein Isomorphismus. Damit ist auch I W TQ ! ˝ 1 Q ein Isomorphismus. Beweis. Dass ! nichtentartet ist, bedeutet gerade, dass Iq injektiv ist, und damit ist Iq aus Dimensionsgründen ein Isomorphismus. t u Beispiel 1: Ist Q D R2n und bezeichnen wir die Koordinaten mit .x1 ; : : :; xn ; y1 ; : : :; yn /; so ist n X !D dxi ^ dyi i D1
eine symplektische Form auf R
2n
und
I.x;y/ W R2n ! R2n ;
v w
! 7! .w T ; v T / ;
denn i. v / ! D v1 dy1 C w1 dx1 C w
vn dyn C wn dxn :
Beispiel 2: Das Kotangentialbündel Um eine symplektische Form auf T M; also an jeder Stelle ˛ 2 T M ein Element !˛ 2 Alt2 .T˛ T M /; zu definieren, nützt man aus, dass das Differential der Projektion W T M ! M an jeder Stelle ˛ 2 T M eine Abbildung d˛ W T˛ T M ! T.˛/ M definiert. Definition 6.14. Die 1-Form 2 ˝ 1 .T M /; die durch ˛ .v/ WD ˛.d ˛ .v// definiert ist, heißt kanonische 1-Form auf T M . Bezeichnen wir lokale Koordinaten in T M wieder mit .q; p/; so ist eine 1-Form ˇ 2 ˝ 1 .T M / lokal durch n X
ˇi .p; q/ dpi C
i D1
mit C 1 -Funktionen ˇi ; bi gegeben.
n X i D1
bi .p; q/ dqi
C Symplektische Mannigfaltigkeiten
177
Damit haben die Differentiale dqi eine Doppelbedeutung: Einerseits ist dqi eine lokale 1-Form auf M; andererseits eine lokale 1-Form auf T M . Wir wollen hierfür nur für einen Moment unterschiedliche Notationen einführen, nämlich dqiM und dqiT M . Dann ist dqiT M .w/ D dqiM . d˛ .w// ˛
.˛/
für w 2 T˛ .T M /. Im Folgenden benutzen wir wieder die Bezeichnung dqi in der Doppelbedeutung wie oben angekündigt. Dann ist die kanonische 1-Form lokal D
n X
pi dqi :
(6.10)
i D1
Denn wenn ˛ 2 Tq M lokal gegeben ist durch ˛ D .q; p/; so ist X .q;p/ .w/ D pi dqi . d.q;p/ .w// i
D
X
pi d.qi ı /.w/
i
D
X
pi dqi .w/ :
i
Beim letzten Gleichheitszeichen wurde Gebrauch von der Doppelbenutzung der Koordinaten qi gemacht. Satz 6.15. Ist die kanonische Form auf T M; so ist ! WD d eine symplektische Form auf T M . Beweis. Es ist d! D d d D 0. In lokalen Koordinaten ist !D
n X
dqi ^ dpi ;
i D1
t u
also ist ! offenbar nicht entartet.
Sprechen wir von der symplektischen Mannigfaltigkeit T M; so bezieht sich das stets auf diese symplektische Form auf T M . Dass die symplektische Form auf T M in lokalen Koordinaten dieselbe Form hat wie die symplektische Form aus Beispiel 1, ist kein Zufall. Vielmehr gilt: Theorem 6.16 (Satz von DARBOUX). Ist ! eine symplektische Form auf M; dann hat M gerade Dimension 2n; und um jeden Punkt x 2 M gibt es lokale Koordinaten .U; .q1 ; : : :; qn ; p1 ; : : :; pn //; so dass n X ˇ ! ˇU D dqi ^ dpi i D1
gilt.
178
6 Koordinatenfreie Formulierungen der klassischen Mechanik
Beweis. Die Behauptung über die Dimension m D 2n der Mannigfaltigkeit folgt mit linear-algebraischen Mitteln: Ist x 2 M und .@1 ; : : :; @m / eine Koordinatenbasis um x; so ist ˝ WD .!ij /i;j D1;:::;m
mit !ij D !x .@i .x/; @j .x//
(6.11)
eine schiefsymmetrische Matrix. Da ! nicht entartet ist, ist diese Matrix regulär, also ist 0 6D det ˝ D det.˝ T / D det.˝/ D .1/m det.˝/ : Also ist .1/m D 1 und somit m D 2n gerade. Sei nun x 2 M und .U; h/ eine Karte um x mit h.x/ D 0. Weiter sei .h/ @.h/ 1 ; : : :; @2n die Koordinatenbasis zu h. Sei ˝ durch (6.11) gegeben. Dann gibt 0 En 0 0 2n es eine Basis .e1 ; : : :; e2n / von R ; bezüglich der ˝ von der Gestalt En 0 ist. Auch dieser Teil des Beweises geschieht mit Mitteln der linearen Algebra. Zu 0 existiert mit zeigen ist, dass eine Basis e10 ; : : :; e2n ( 1 ; falls s D r C n ; 0T 0 er ˝es D (6.12) 0 ; falls r < s und s 6D r C n : Wir zeigen durch Induktion, dass eine solche Basis existiert. 0 Sei 0 ¤ e10 2 R2n beliebig und v1 so, dass e1T ˝v1 6D 0. Setze 0 enC1 WD
v1 : e1 ˝v1 0T
0 Dann ist e10 ˝enC1 D 1. 0 Angenommen, es sind 2k linear unabhängige Vektoren fe10 ; : : :; ek0 ; enC1 ; : : :; 0 enCk g schon konstruiert, die (6.12) erfüllen. Sei 0 0 Wk WD LH fe10 ; : : :; ek0 ; enC1 ; : : :; enCk g;
Vk WD fv 2 R2n j v T ˝w D 0 für alle w 2 Wk g : Dann ist Wk \ Vk D 0 und Vk ˚ Wk D R2n ; denn jedes x 2 R2n kann in der Form x D .x y/ C y geschrieben werden, wobei y 2 Wk definiert ist durch 0 0 0 e10 C y WD x T ˝e10 enC1 x T ˝ek0 enCk C x T ˝enC1 0 ek0 ; C x T ˝enCk
C Symplektische Mannigfaltigkeiten
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und dann ist x y 2 Vk ; denn x T ˝ej0 D y T ˝ej0
für 1 j k und n C 1 j n C k :
Im Falle k D n ist man also fertig. Für k < n aber folgt dim Vk D 2n 2k > 2k D 0 dim Wk ; und man wählt ekC1 2 Vk n Wk . Dann existiert ein Vektor vkC1 2 Vk 0T v 0 mit ekC1 ˝vkC1 6D 0. Setze enCkC1 WD 0 T kC1 ; und der Induktionsschritt ist ekC1 ˝vkC1
vollzogen. 0 / ist also ˝ durch Bezüglich .e10 ; : : :; e2n 0 En En 0
(6.13)
gegeben. Sei A 2 R2n2n die Matrix, die die Standardbasis auf diese Basis abbildet, 0 also A1 D .e10 ; : : :; e2n / und hQ D A ı h. Dann hat !x in der durch hQ gegebenen Koordinatenbasis die Matrixdarstellung (6.13). Nun muss noch gezeigt werden, dass ! in einer ganzen Umgebung U von x in geeigneten Koordinaten durch (6.13) beschrieben wird. Sei !0 2 ˝ 2 U durch !0 WD hQ . dx1 ^ dxnC1 C C dxn ^ dx2n / definiert und ˇ !Q WD ! ˇU !0 ; insbesondere !Q x D 0 ;
!t WD !0 C t !Q ; ˇ also !1 D ! ˇU und .!t /x D .!0 /x für alle t. Sei ˝t .x 0 / WD .!t .@1 .x 0 /; @j .x 0 //i;j /; also 0 En : ˝t .x/ D En 0
0 En 6D 0; also existiert eine Umgebung U En 0 von x mit det ˝t .x 0 / 6D 0 für alle x 0 2 U; 1 t 1. In U sind dann alle diese !t nichtentartet. O.B.d.A. sei U D hQ 1 .U" .0// für ein " > 0. Sei Es ist daher det ˝t .x/ D det
Š
It W ˝ 1 .U / ! T U der durch !t gegebene Isomorphismus. Wegen d!Q D 0 existiert nach dem Lemma von P OINCARÉ ein ˛ 2 ˝ 1 U mit d˛ D !Q und ˛x D 0. Setze Xt WD It .˛/. Dann ist Xt .x/ D 0 und nach Korollar 4.17 LXt !t D d˛ C iXt d!t D !Q :
(6.14)
180
6 Koordinatenfreie Formulierungen der klassischen Mechanik
Wir betrachten nun die nichtautonome Differentialgleichung ˛.t/ P D Xt .˛.t//. Nach der Theorie der Anfangswertprobleme für solche Differentialgleichungen (vgl. etwa [36], Kapitel 20) gibt es eine differenzierbare Abbildung W
[
ax ; bx ŒU ! U mit
x2U
und
d ˇˇ .t; x 0 / D Xt0 . .t0 ; x 0 // ˇ dt t Dt0
.0; x 0 / D x 0 :
Wir schreiben wieder t W U ! M; t .x 0 / WD .t; x 0 /. Da Xt .x/ D 0 gilt, kann (nach etwaiger Verkleinerung von U ) angenommen werden, dass ax 0 < 1 und bx0 > 1 für alle x 0 2 U und dass alle t ; 1 t 1 Diffeomorphismen sind. Nach Anmerkung 4.18, angewandt auf die Diffeomorphismenscharen 7! Q WD t C ı t1 ; ist für jedes t 2 Œ0; 1 d D t LXt für 2 ˝ r M ; dt t also ist mit (6.14) d ˇˇ !t D t0 !Q C t0 LXt0 !t0 ˇ dt t Dt0 t D t0 !Q t0 !Q D 0 ; also
t !t D 0 !0 D !0 D 1 ! :
Damit ist
hQ ı 11
die gesuchte Karte, denn .hQ ı 11 / . dx1 ^ dxnC1 C C dxn ^ dx2n / D .11 / hQ . dx1 ^ dxnC1 C C dxn ^ dx2n / D .11 / !0 D ! : t u Definition 6.17. Koordinaten wie im Satz von DARBOUX heißen symplektische Normalkoordinaten. Im Fall der pseudo-R IEMANNschen Mannigfaltigkeiten existiert eine nirgends verschwindende n-Form – die Volumenform – nicht in jedem Fall, sondern nur, falls M orientierbar ist. Im Fall einer symplektischen Mannigfaltigkeit der Dimension m D 2n hingegen existiert stets eine nirgends verschwindende m-Form: Satz 6.18. Ist .M; !/ eine symplektische Mannigfaltigkeit der Dimension 2n; so ist ! n .x/ 6D 0 für alle x 2 M . Insbesondere ist M orientierbar.
C Symplektische Mannigfaltigkeiten
181
Beweis. In symplektischen Normalkoordinaten ist lokal ! n D .1/n . dq1 ^ dp1 C C dqn ^ dpn /n D .1/n nŠ dq1 ^ dp1 ^ dq2 ^ dp2 ^ ^ dqn ^ dpn h
D .1/
nC1 2
i
nŠ dq1 ^ ^ dqn ^ dp1 ^ ^ dpn : t u
Definitionen 6.19. a. Ist .M; !/ symplektische Mannigfaltigkeit, so heißt h
nC1 2
.1/ nŠ die kanonische Volumenform auf M . b. Ist M kompakt, so heißt Z
i
!n
!n
M
das symplektische Volumen von M . Im Falle R IEMANNscher Mannigfaltigkeiten spielten Isometrien, also Diffeomorphismen, die die Metrik erhalten, eine wichtige Rolle. Diese Rolle übernehmen jetzt Abbildungen, die die symplektische Form erhalten. Definition 6.20. Seien .M; !/ und .N; / symplektische Mannigfaltigkeiten. Eine differenzierbare Abbildung f W M ! N heißt symplektisch oder auch kanonische Transformation, falls f D ! gilt. Symplektische Transformationen haben zwar stets injektives Differential (sonst wäre f ja entartet), aber sie sind nicht notwendig regulär, wie man an folgendem Beispiel sieht: Beispiel: f W .R2 ; dx1 ^ dx2 / ! .R4 ; dy1 ^ dy3 C dy2 ^ dy4 / ; f .x1 ; x2 / D .x1 ; 0; x2 ; 0/ ist eine symplektische Transformation, denn f . dy1 ^ dy3 C dy2 ^ dy4 /.e 1 ; e 2 /
00 1 1 BB0C B C D . dy1 ^ dy3 C dy2 ^ dy4 / B @@0A ; 0 D 1 D . dx1 ^ dx2 /.e 1 ; e 2 /
0 11 0 B0CC B CC @1AA 0
182
6 Koordinatenfreie Formulierungen der klassischen Mechanik
Isometrien erhalten das Volumen kompakter Mengen, und für kanonische Transformationen folgt ebenso, dass das symplektische Volumen erhalten bleibt. Satz 6.21. Ist f W M ! N eine injektive kanonische Transformation zwischen symplektischen Mannigfaltigkeiten .M; !/ und .N; /; und ist K M eine 2mdimensionale kompakte Untermannigfaltigkeit, so ist Z Z !m D m : K
f .K/
Beweis. Da f kanonische Transformation ist, gilt .f m / D ! m für alle m. Da f injektives Differential hat und K kompakt ist, ist f W K ! f .K/ ein Diffeomorphismus (Beweis ähnlich wie im Beweis von Satz 4.5). Also folgt die Behauptung aus der Transformationsformel (vgl. Korollar 4.13). t u Symplektische Diffeomorphismen des Kotangentialbündels treten in natürlicher Weise auf: Satz 6.22. Ist f W M ! N ein Diffeomorphismus, so ist fQ W T N ! T M; ˛ 7! ˛ ı dff 1 ..˛// ein symplektischer Diffeomorphismus zwischen den Kotangentialbündeln mit den kanonischen symplektischen Formen. Eine Koordinatentransformation des Konfigurationsraums erzeugt also eine kanonische Transformation des Phasenraums. Es gilt sogar fQ M D N für die kanonischen 1-Formen M und N auf T M bzw. T N . Beweis. Sei ˛ 2 Tx N und v 2 T˛ .T N /. Dann ist .fQ M /˛ .v/ D .M /fQ.˛/ . dfQ˛ .v// D fQ.˛/. dfQ.˛/ . dfQ˛ .v// D fQ.˛/. d. ı fQ/˛ .v// D fQ.˛/. d.f 1 ı /˛ .v// 1 ı d˛ .v// D ˛ ı dff 1 ..˛// . df.˛/
D ˛. d˛ .v// D .N /˛ .v/ : Dabei gilt das vierte Gleichheitszeichen, da
. ı fQ/.˛/ D .˛ ı dff 1 ..˛// / D D .f 1 ı /.˛/ : t u
D Der H AMILTON formalismus
183
D Der H AMILTONformalismus Im H AMILTONformalismus wird ein physikalisches System durch eine Funktion H auf dem Kotangentialbündel beschrieben. Die Bewegungsgleichungen sind dann als Integralkurven eines Vektorfelds gegeben. Um dieses Vektorfeld zu definieren, nutzt man die kanonische symplektische Struktur, die auf T M gegeben ist. Auf R IEMANNschen Mannigfaltigkeiten haben wir mittels des Isomorphismus # das Differential einer Funktion in ein Vektorfeld übersetzt. Ähnlich können wir bei symplektischen Mannigfaltigkeiten verfahren, indem wir den Isomorphismus I aus Lemma 6.13 benutzen. Definitionen 6.23. Ist .M; !/ eine symplektische Mannigfaltigkeit und H 2 C 1 .M /; so heißt I 1 dH DW s-grad H der symplektische Gradient oder das H AMILTONsche Vektorfeld zu H . Beispiel: Ist H 2 C 1 .R2n / und bezeichnen .q1 ; : : :; qn ; p1 ; : : :; pn / die Koordinaten in R2n ; so ist bezüglich der kanonischen symplektischen Form ! D P 2n der symplektische Gradient von H durch i dpi ^ dqi auf R 1 0 @H
B @p: 1 C B : C B : C B @H C B @p C B n C s-grad H D B C B @H C B @q1 C B : C B : C @ : A @H @q n gegeben. Ist H.q; p/ D
(6.15)
jpj2 C U.q/ für U 2 C 1 .Rn / 2m
so ist s-grad H D
p m
grad U
:
Die Integralkurven dieses Vektorfelds erfüllen also die Gleichung p ; m pP D grad U : qP D
Dies ist äquivalent zur Differentialgleichung zweiter Ordnung mqR D grad U.q/ ; was gerade die N EWTONsche Bewegungsgleichung ist.
184
6 Koordinatenfreie Formulierungen der klassischen Mechanik
Nach dem Satz von DARBOUX können wir auf jeder symplektischen Mannigfaln ˇ P dpi ^ dqi ist, tigkeit lokale Koordinaten .U; q; p/ einführen, so dass ! ˇ D U
und damit s-grad H D
n X @H i D1
@pi
@qi
n X @H i D1
@qi
i D1
@pi
gilt. Korollar 6.24. Ist ˛ W R ! M Integralkurve des symplektischen Gradienten s-grad H; so gilt in kanonischen Koordinaten @H .p; q/ ; @qi @H .p; q/ : qPi D @pi
pPi D
Der Gradient einer Funktion steht immer senkrecht auf den Niveauflächen der Funktion. Der symplektische Gradient verhält sich hier allerdings ganz anders. Satz 6.25. Ist H eine differenzierbare Funktion auf einer symplektischen Mannigfaltigkeit M; so lässt der Fluss des Vektorfelds s-grad H die Funktion H invariant, d.h. H ist längs der Integralkurven von s-grad H konstant. Beweis. Für jedes ˛ 2 ˝ 1 M ist ˛.I 1 ˛/ D !.I 1 ˛; I 1 ˛/ D 0 : Also ist
dH.s-grad H / D dH.I 1 dH / D 0 :
Ist nun eine Integralkurve, so ergibt die Kettenregel . d= dt/ .H ı / 0 und damit die Behauptung. t u Eine Funktion, die längs der Integralkurven konstant ist, wird auch als Erhaltungsgröße oder Konstante der Bewegung bezeichnet, wenn klar ist, auf welchen Fluss sich das bezieht. Also ist H selbst eine Konstante der Bewegung in Bezug auf den Fluss ihres symplektischen Gradienten. Ebenso wie man sich die Frage stellt, wann ein Vektorfeld ein Potential hat, stellt man auch die Frage, wann – zumindest lokal – ein Vektorfeld ein H AMILTONsches Vektorfeld ist. Definition 6.26. Ein Vektorfeld v auf einer symplektischen Mannigfaltigkeit heißt lokal H AMILTONsch, falls d.I v/ D 0 gilt. Ein H AMILTONsches Vektorfeld ist natürlich lokal H AMILTONsch, denn dI.I 1 dH / D d dH D 0. Wieder ermöglicht das P OINCARÉ-Lemma die lokale Umkehrung dieser Aussage:
D Der H AMILTON formalismus
185
Lemma 6.27. Ist v ein lokal H AMILTONsches Vektorfeld, so gibt es um jedes x 2 M eine Umgebung U sowie eine Funktion H 2 C 1 .U / mit ˇ v ˇU D s-grad H : Beweis. Aufgrund des ˇP OINCARÉ Lemmas gibt es eine Umgebung U sowie H 2 C 1 .U / mit dH D I v ˇU ; also ˇ v ˇU D I 1 dH :
t u Damit lässt sich die Frage beantworten, für welche Vektorfelder die entsprechenden Flussdiffeomorphismen kanonische Transformationen sind: Theorem 6.28. Sei .M; !/ eine symplektische Mannigfaltigkeit und v ein Vektorfeld auf M . Dann sind die Flussdiffeomorphismen ˚t W M ! M zu v genau dann symplektisch, wenn v lokal H AMILTONSCH ist. Insbesondere erhält der Fluss eines H AMILTONschen Vektorfeldes das symplektische Volumen. Beweis. Sei v ein lokal H AMILTONsches Vektorfeld. Dann ist Lv ! D iv d! C div ! D dI v D 0 : Also gilt nach (3.8) und Definition 3.23 für den Fluss zu v ˇ d d ˇˇ ˚t ! D ˚ ! D ˚t Lv ! D 0 dt d ˇD0 t C und somit ˚t ! D ˚0 ! D !; für alle t; für die ˚t definiert ist. Ist umgekehrt ˚t ! D ! für alle t; so ist Lv ! D 0; also div ! D dI v D 0. Die Invarianz des symplektischen Volumens ergibt sich nun aus Satz 6.21. u t Bemerkung: Die Tatsache, dass der Fluss eines H AMILTONschen Vektorfelds das symplektische Volumen erhält, ist von grundlegender Bedeutung für die statistische Mechanik. Hier werden Systeme betrachtet, bei denen die Dimension des Konfigurationsraums K in der Größenordnung der L OSCHMIDTschen Zahl liegt, und es ist in dieser Situation ein hoffnungsloses Unterfangen, die Bahnen einzelner Teilchen verfolgen zu wollen. Stattdessen betrachtet man die Wahrscheinlichkeit dafür, dass der Zustand des Systems im Phasenraum T K in einer gegebenen Region B liegt, sowie die zeitliche Entwicklung dieser Wahrscheinlichkeitsverteilungen. Zum Beipspiel ist diese Wahrscheinlichkeit im thermischen Gleichgewicht bei der Temperatur T > 0 gegeben durch Z P.B/ WD Z 1
eˇH ! n
B
186
6 Koordinatenfreie Formulierungen der klassischen Mechanik
Z
mit Z WD
eˇH ! n ;
wobei H die H AMILTONfunktion ist und ˇ WD 1=kT (k D B OLTZMANNkonstante). Da das System den H AMILTONschen Bewegungsgleichungen folgt, ist seine Dynamik durch den Fluss eines H AMILTONschen Vektorfeldes auf T K gegeben, und Theorem 6.28 zusammen mit Satz 6.25 sorgen also dafür, dass diese Wahrscheinlichkeiten unter der Dynamik invariant bleiben. Anders ausgedrückt: Die Flussdiffeomorphismen ˚t sind in Bezug auf das Wahrscheinlichkeitsmaß P maßtreue Abbildungen, und daher kann man Methoden und Resultate der Ergodentheorie für die statistische Mechanik nutzbar machen (vgl. etwa [26, 62]).
P OISSONklammern In Abschn. 3D haben wir gesehen, dass durch die L IEklammer eine schiefsymmetrische bilineare Abbildung auf dem Raum der Vektorfelder gegeben ist. Eine ähnliche Abbildung ist nun auch auf dem Raum der C 1 Funktionen auf einer symplektischen Mannigfaltigkeit gegeben: Definition 6.29. Ist .M; !/ eine symplektische Mannigfaltigkeit, so heißt die Abbildung C 1 .M / C 1 .M / ! C 1 .M / ; .f; g/ 7! ff; gg mit
ff; gg WD !.I 1 dg ; I 1 df / D df .s-grad g/
die P OISSONklammer. Nach Definition ist also eine Funktion f genau dann konstant entlang des Flusses von s-grad H (also eine Erhaltungsgröße), wenn ff; H g D 0 ist. Satz 6.30. Durch die P OISSONklammer ist eine schiefsymmetrische bilineare Abbildung auf C 1 .M / gegeben. Genauer gilt für alle f1 ; f2 ; f; g 2 C 1 .M / und 2 R a. b.
ff; gg D fg; f g; f f1 C f2 ; gg D ff1 ; gg C ff2 ; gg.
Beweis. a. folgt aus der Schiefsymmetrie von !. b. folgt aus der Linearität des Differentials. t u In kanonischen Koordinaten ist wegen (6.15) ff; gg D df .s-grad g/ n X @f @g @f @g D ; C @pi @qi @qi @pi i D1
(6.16)
D Der H AMILTON formalismus
187
also insbesondere fqi ; qj g D fpi ; pj g D 0 für alle i; j 2 f1; : : :; ng ; fqi ; pj g D 0 für i 6D j ; fqi ; pi g D C1 ; @H fqi ; H g D C @pi
fpi ; H g D
@H : @qi
Die P OISSONklammer zweier Funktionen steht tatsächlich in enger Beziehung zur L IEklammer der entsprechenden H AMILTONschen Vektorfelder. Lemma 6.31. Sind f; g 2 C 1 .M /; so ist Œs-grad f ; s-grad g D s-grad fg; f g :
(6.17)
Beweis. Die Gleichung d! D 0 ist nach (4.15) gleichbedeutend damit, dass für beliebige Vektorfelder u; v; w gilt: u.!.v; w// C v.!.w; u// C w.!.u; v// C!.u; Œv; w/ C !.v; Œw; u/ C !.w; Œu; v/ D 0 : Ist nun v D s-grad g; w D s-grad f; so folgt 0 D uff; gg .s-grad g/u.f / C .s-grad f /u.g/ C!.u; Œs-grad g; s-grad f / dg.Œw; u df .Œu; v/ D uff; gg C .u.s-grad f //.g/ .u.s-grad g//.f / C!.u; Œs-grad g; s-grad f / D uff; gg C !.u; Œs-grad g; s-grad f / ; also s-grad ff; gg D Œs-grad g; s-grad f .
t u
Damit folgt sofort, dass die P OISSONklammer C 1 .M / zu einer L IEalgebra macht: Korollar 6.32. Für die P OISSONklammer gilt die JACOBI-Identität ff; fg; hgg C fg; fh; f gg C fh; ff; ggg D 0 : Den Beweis kann man in lokalen Koordinaten führen, indem man (6.16) benutzt, oder (was eleganter ist) man führt mittels (6.17) die JACOBI-Identität der P OIS SON klammer auf die schon bekannte JACOBI-Identität für die L IE klammer zurück. Die Ausführung ist dem Leser als Übungsaufgabe überlassen.
188
6 Koordinatenfreie Formulierungen der klassischen Mechanik
E Der L AGRANGEformalismus und die L EGENDREtransformation Im L AGRANGEformalismus wird das physikalische System durch eine Funktion L 2 C 1 .TM / beschrieben. In Abschn. B wurden schon die Bewegungsgleichungen aus dem Prinzip der kleinsten Wirkung hergeleitet. Hier wollen wir die Lösungen dieser Gleichung wieder als Integralkurven eines Vektorfeldes beschreiben und über die L EGENDREtransformation den Zusammenhang zum H AMIL TON formalismus herstellen. Mittels des Faserdifferentials von L können wir die symplektische Struktur von T M auf TM zurück holen: Definitionen 6.33. Sei die kanonische 1-Form auf T M und L 2 C 1 .TM /. a. Die 1-Form
L WD . d0 L/ 2 ˝ 1 .TM /
heißt L AGRANGE 1-Form. b. Die 2-Form !L D dL heißt L AGRANGE 2-Form. Die L AGRANGE-2-Form ist offenbar geschlossen. Ist L regulär, so ist sie auch nichtentartet, da sie ja von der kanonischen symplektischen Form auf T M induziert ist. Für v 2 TM und w 2 Tv .TM / ist .L /v .w/ D . d0 L/.v/ . d. d0 L/v .w// D . d0 L/.v/. d. ı d0 L/v .w//
(6.18)
0
D . d L/.v/. dv .w// ; wobei einmal die Projektion in T M und einmal in TM bedeutet. Damit können L und !L leicht in lokalen Koordinaten berechnet werden. Lemma 6.34. Bezeichnet man die Koordinaten auf U TM mit .q1 ; : : :; qn ; qP1 ; : : :; qPn /; so gilt X @L ˇ a. L ˇU D dqi ; @qPi i X ˇ @2 L @2 L ˇ dqj ^ dqi C dqPj ^ dqi . b. !L U D @qPi @qj @qPi @qPj i;j
Beweis. a. liest man sofort von (6.18) ab, und b. folgt dann aus der Formel für die t u C ARTANsche Ableitung. Beispiel: Ist L.v/ D
1 mjvj2 U..v// ; 2
E Der L AGRANGEformalismus und die L EGENDREtransformation
189
auf einer R IEMANNschen Mannigfaltigkeit .M; g/; so ist .L /v .w/ D mg.v; dv .w// : In lokalen Koordinaten ist L also m
X
qPj gij dqi :
i;j
Die L AGRANGE-2-Form ist damit X @ X m gi s qPs dqj ^ dqi C m gij dqPj ^ dqi : @qj i;j;s
i;j
Ist eine L AGRANGEfunktion gegeben, so kann man auch von der Energie sprechen: Definitionen 6.35. Sei L W TM ! R eine gegebene L AGRANGEfunktion. Dann heißt A 2 C 1 .TM /; A.v/ WD d0 L.v/.v/ die Wirkung von L und E D A L die Energie. In lokalen Koordinaten ist X @L ˇ A W TM ˇU ! R; .q; q/ P 7! qP i ; @qPi X @L ˇ E W TM ˇU ! R; .q; q/ P 7! qP i L.q; q/ P : @qPi Beispiel: Sind M und L wie im vorigen Beispiel, so ist A.v/ D mjvj2 m E D U..v// C jvj2 ; 2 wobei offensichtlich der erste Term als potentielle, der zweite als kinetische Energie zu interpretieren ist.
und
Definition 6.36. Sei L 2 C 1 .TM / und E D A L die Energiefunktion zu L. Ein Vektorfeld XE 2 .T TM / heißt ein L AGRANGE Vektorfeld, falls iXE !L D dE gilt. Ist L hyperreguläre L AGRANGEfunktion, so ist also XE D s-grad E : Wir werden jetzt das L AGRANGE Vektorfeld im Fall einer regulären L AGRAN lokalen Koordinaten berechnen.
GE funktion in
190
6 Koordinatenfreie Formulierungen der klassischen Mechanik
Ein Vektorfeld X auf TM wird in lokalen Koordinaten durch eine Abbildung U Rn ! .U Rn / .Rn Rn / beschrieben, also X.q; q/ P DW .q; q; P x1 .q; q/; P x2 .q; q// P ; und damit gilt lokal iX !L D
X
i dqi C
X
i
mit i D
i dqPi
i
X @2 L X @2 L j @2 L x1j C x ; @qPi @qj @qPj @qi @qPi @qPj 2 j
i D C
(6.19)
j
X @2 L xj : @qPi @qPj 1
(6.20)
j
Lokal ist E W T U ! R durch n X @L .q; q/ P qPi L.q; q/ P @qPi i D1
gegeben. Damit ist dE D
n X @E i D1
@E dqi C dqPi @qi @qPi
DW Eq dq C EqP dqP mit n X @2 L @L @E D qPj ; @qi @qPj @qi @qi
(6.21)
j D1
n X @E @2 L D qPj : @qPi @qPi @qPj
(6.22)
j D1
Ist D
@2 L @qP i @qP j
dass XE durch
i;j
invertierbar, so folgt aus dE D iXE !L mit (6.20) und (6.22), .q; q; P q; P x.q; q// P
gegeben ist. Aus (6.21) und (6.19) folgt dann @L B qP x.q; q/ P D 1 @qi i
(6.23)
(6.24)
E Der L AGRANGEformalismus und die L EGENDREtransformation
wobei
B WD
@2 L @qj @qPi
191
i;j D1;:::;n
ist. Beispiel: Wir betrachten
1 mg.v; v/ U..v// : 2 Dann ist in lokalen Koordinaten das Vektorfeld s-grad E durch .q; q; P q; P x/ mit L.v/ D
x j .q; q/ P D
n
1 X ij @U X j s r g rs qP qP m @qi r;s i D1
gegeben, wie in denP Übungen nachgerechnet wird. Dabei sind rsj die C HRIS TOFFEL symbole und g ij gjk D ıi k . j
Der symplektische Gradient von E ist also die Summe zweier Vektorfelder X1 und X2 ; wobei X1 .v/ 2 Tv .TM / der Vektor ist, der durch v C t m1 grad U repräsentiert wird, und X2 das Vektorfeld, dessen Integralkurven gerade Geschwindigkeitskurven von Geodätischen sind. Die Integralkurven ˛ von XE sind stets Kurven in TM; längs denen E konstant ist. Es stellt sich nun die Frage, ob eine Integralkurve ˛ von XE stets eine „Geschwindigkeitskurve“ ist, ob es also eine Kurve W I ! M mit ˛ D P gibt, also R .t/ D X..t// P : (6.25) Vektorfelder auf TM; deren Integralkurven diese Eigenschaft haben, werden jetzt eingeführt: Definitionen 6.37. a. Eine Differentialgleichung zweiter Ordnung auf einer Mannigfaltigkeit M ist ein Vektorfeld X auf TM; so dass dv .X.v// D v :
(6.26)
Dabei ist W TM ! M die kanonische Projektion. b. Ist X eine Differentialgleichung zweiter Ordnung auf M; so heißt W I ! M eine Lösungskurve von X; wenn P Integralkurve von X ist. Der folgende Satz zeigt, dass Lösungskurven von Gleichungen zweiter Ordnung tatsächlich die Eigenschaft (6.25) haben. Satz 6.38. Sei X ein Vektorfeld auf TM . Dann ist X genau dann Differentialgleichung zweiter Ordnung auf M; wenn für jede Integralkurve ˛ W I ! TM von X gilt (6.27) . ı ˛/0 D ˛ :
192
6 Koordinatenfreie Formulierungen der klassischen Mechanik
Beweis. Ist X Vektorfeld auf TM; ˛ Integralkurve von X; so gilt . ı ˛/0 D ˛ ” d˛.t / .˛.t// P D ˛.t/ ” d˛.t / .X.˛.t// D ˛.t/ : Da es durch jeden Punkt von TM eine Integralkurve gibt, folgt hieraus die Behauptung. t u Ob ein Vektorfeld auf TM eine Differentialgleichung zweiter Ordnung ist, ist in lokalen Koordinaten leicht zu entscheiden. Ist U M ein Kartengebiet, so ist T U Š U Rn TM offen und T T U Š .U Rn / .Rn Rn /. Nun gilt: Lemma 6.39. Ein Vektorfeld X auf TM sei in lokalen Koordinaten durch X.q; v/ D .q; v; w1 .q; v/; w2 .q; v// gegeben. Dann ist X genau dann Differentialgleichung zweiter Ordnung auf U; wenn w1 .q; v/ D v. Beweis. In lokalen Koordinaten ist W T U ! U durch .q; v/ 7! q gegeben, also d.q;v/ W T.q;v/ T U D f.q; v/g Rn Rn ! Tq U D fqg Rn ..q; v/; .w1 ; w2 // 7! .q; w1 / ; also d.q;v/ ..q; v/; .w1 ; w2 // D .q; v/ ” w1 D v.
t u
Korollar 6.40. Sei X eine Differentialgleichung zweiter Ordnung auf M . Dann ist genau dann Integralkurve von X; wenn in lokalen Koordinaten gilt X.q; q/ P D .q; q; P q; P v.q; q// P und Ri .t/ D vi ..t/; P .t// : Die letzte Gleichung stellt offenbar ein System von n Differentialgleichungen zweiter Ordnung im üblichen Sinn dar, woraus die Terminologie sich erklärt. Aus (6.23) folgt damit sofort: Satz 6.41. a. Ist L eine reguläre L AGRANGEfunktion, so ist das L AGRANGE-Vektorfeld XE eine Differentialgleichung zweiter Ordnung. b. Ist W I ! M Lösungskurve von XE ; so ist Lösung der E ULERL AGRANGE-Gleichung, d. h. in lokalen Koordinaten ist @L d @L .q; q/ P .q; q/ P D0: dt @qPi @qi
E Der L AGRANGEformalismus und die L EGENDREtransformation
193
Beweis. Nach (6.24) ist ˛ W I ! U genau dann Lösungskurve von XE ; wenn ! @L.˛; ˛/ P 1 B ˛P ˛R D @qi i D1;:::;n gilt. Nach Multiplikation beider Seiten mit ist dies gleichbedeutend zu n 2 X @L @ L.˛; ˛/ P P @2 L.˛; ˛/ .˛; ˛/ P D ˛R j C ˛P j @qi @qPi @qPj @qj @qPi j D1
D
d @L .˛; ˛/ P : dt @qPi t u
Im Fall dass L.v/ D 12 mg.v; v/ U..v// ist, sind die Lösungskurven also lokal Lösungen der Differentialgleichungen qR j C
X r;s
rsj qP r qP s D
1 X ij @U g m @qi
j D 1; : : :; n :
i
Im Fall U D 0 sind das die Gleichungen für die geodätischen Kurven. Zum Abschluss stellen wir nun noch den Zusammenhang zum H AMILTONschen Formalismus her. Satz und Definition 6.42. Sei M eine Mannigfaltigkeit und L 2 C 1 .TM / eine hyperreguläre L AGRANGEfunktion. Die Funktion H D E ı. d0 L/1 auf T M heißt dann die L EGENDREtransformierte von L. Für sie ist . d0 L/ s-grad E D s-grad H ; wobei der symplektische Gradient in T M bezüglich der kanonischen 2-Form ! 2 ˝ 2 .T M / und der in TM bezüglich der 2-Form !L D . d0 L/ ! 2 ˝ 2 .TM / gebildet wurde. Beweis. Es ist
dE D is-grad E . d0 L/ ! ;
also i. d. d0 L/.s-grad E // ! D dE ı d.. d0 L/1 / D dH ; also s-grad H D d. d0 L/.s-grad E/.
t u
194
6 Koordinatenfreie Formulierungen der klassischen Mechanik
Korollar 6.43. Sei L hyperreguläre L AGRANGEfunktion mit Energie E und H D E ı . d0 L/1 ihre L EGENDREtransformierte. Sei W I ! M Integralkurve des L AGRANGEschen Vektorfelds XE und ˇ W I ! T M Integralkurve von s-grad H . Dann ist .t/ D ı ˇ.t/ :
Aufgaben zu Kap. 6 6.1. Sei .M; g/ eine R IEMANNsche Mannigfaltigkeit. L 2 C 1 .TM / durch L.v/ D
1 g.v; v/ 2
gegeben. Sei E die dadurch definierte Energie. Zeigen Sie: a. Die L AGRANGE-2-Form ist in lokalen Koordinaten durch X X k .gi k js C gjk iks / dqi ^ dqj C gij dqPs ^ dqi i;j;s
i;j
gegeben. Hinweis: Benutzen Sie dazu lokale Koordinaten, insbesondere auch Formel (5.5) zur Berechnung der C HRISTOFFEL-Symbole. b. Die Flusslinien von s-grad E sind genau die Geodätischen auf M . Hinweis: Formel (5.10). 6.2. Sei H 2 C 1 .M / und ˚ der Fluss von s-grad H . Zeigen Sie: d f ı ˚t D ff; H g dt 6.3. Sei f W M ! N ein Diffeomorphismus zwischen symplektischen Mannigfaltigkeiten. Zeigen Sie: Für f ist äquivalent (i) (ii) (iii)
f ist kanonische Transformation. Für alle H 2 C 1 .M / ist df 1 .s-grad H / D s-grad .H ı f /. Für alle g; h 2 C 1 .M / ist ff g; f hg D f fg; hg.
6.4. Sei .M; !/ symplektische Mannigfaltigkeit, X D s-grad f D s-grad g. Zeigen Sie: f g D konst: 6.5. Sei .M; !/ eine symplektische Mannigfaltigkeit und G eine L IEgruppe (s. Aufgabe 1.10). Sei ferner eine G-Aktion auf M gegeben, d. h. eine differenzierbare Abbildung m W G M ! M mit m.1; x/ D x und m.g1 ; m.g2 ; x// D m.g1 g2 ; x/. Zu X 2 T1 G ist dann ein Vektorfeld XQ 2 TM durch XQ .p/ WD d.Rp /1 .X / mit Rp W G ! M; g 7! gp definiert. Sei ! D d und 2 ˝ 1 M G-invariant, also Lg D für Lg W M ! M; x 7! gx für alle g 2 G. Sei '.X / 2 C 1 .M / Q durch .'.X //.p/ WD ..X//.p/ gegeben. Zeigen Sie:
Aufgaben
195
a. s-grad .'.X // D XQ . b. '.ŒX; Y / D f'.Y /; '.X /g. c. Ist H 2 C 1 .M / G-invariant, d. h. Lg H D H für alle g 2 G; so ist fH; '.X /g D 0; und damit ist '.X / eine Konstante der Bewegung. 6.6. Sei M D T K; wobei der Konfigurationsraum K eine n-dimensionale Mannigfaltigkeit ist, und sei G eine L IEgruppe, die aus Diffeomorphismen g W K ! K besteht. Zeigen Sie: a. Mit den Bezeichnungen aus Satz 6.22 ist durch
e
m.g; ˛/ WD g 1 .˛/ ;
g 2 G; ˛ 2 T K
eine G-Aktion auf M definiert, die in Bezug auf die kanonische symplektische Form die Voraussetzungen aus der vorigen Aufgabe erfüllt. Zu X 2 T1 G ist also eine Funktion '.X / definiert, die die dort gezeigten Eigenschaften hat. b. Ist H eine G-invariante H AMILTONfunktion auf M (d. h. H ı gQ D H für alle g 2 G), so definiert jedes X 2 T1 G eine Konstante der Bewegung für den Fluss des symplektischen Gradienten von H . 6.7. Wir verwenden die Bezeichnungen aus den letzten beiden Aufgaben. Sei aber K nun speziell die 3N -dimensionale Mannigfaltigkeit K WD f.q1 ; : : :; qN / 2 R3N j qj ¤ qk für j ¤ kg ; und seien .q1 ; : : :; qN ; p1 ; : : :; pN / die kartesischen Koordinaten in M D T K D K .R3N / ; wobei qk D .xk ; yk ; zk / und pk D . k ; k ; k / gesetzt wurde. Ferner sei G die L IEgruppe der linearen Transformationen von K; die durch die Blockdiagonalmatrizen 1 0 R 0 0 B0 R 0C C B mit R 2 SO.3/ RN D B : : : :: C @ :: : :A 0 0 R gegeben sind. Bekanntlich kann man TE SO.3/ mit dem Vektorraum so.3/ WD fA 2 R33 j AT D Ag identifizieren (vgl. Beispiel in 1B). Daher kann man T1 G mit dem Raum der .3N 3N /-Blockdiagonalmatrizen A.N / identifizieren, die einen sich wiederholenden Block A 2 so.3/ in der Diagonale haben. Für jedes A 2 so.3/ (also jede „infinitesimale Drehung“) ist daher eine Funktion LA WD '.A.N / / wie in Aufgabe 6.6 definiert.
196
6 Koordinatenfreie Formulierungen der klassischen Mechanik
a. Zeigen Sie: Eine Funktion H 2 C 1 .T K/ ist genau dann G-invariant, wenn H.Rq1 ; : : :; RqN ; Rp1 ; : : :; RpN / D H.q1 ; : : :; qN ; p1 ; : : :; pN /
8 R 2 SO.3/ :
(drehinvariante H AMILTONfunktion) b. Beweisen Sie, dass für alle A 2 so.3/ gilt: LA .q1 ; : : :; qN ; p1 ; : : :; pN / D
N X
hqk jApk i :
kD1
c. Fassen Sie K als den Konfigurationsraum für ein System von N Massenpunkten auf und überzeugen Sie sich an Hand von Beispielen, dass LA D L eA ist. Dabei ist L der Gesamtdrehimpuls des Systems und eA ein Einheitsvektor, der die gemeinsame Achse der Drehungen RA .t/ WD exp tA aufspannt.
Kapitel 7
BANACH- und H ILBERTräume
In den ersten drei Kapiteln dieses Teils werden lineare Operatoren im Vordergrund stehen, also lineare Abbildungen zwischen reellen oder komplexen Vektorräumen, die im Allgemeinen unendliche Dimension besitzen. Konkret handelt es sich dabei zumeist um Vektorräume, deren Elemente reelle oder komplexe Funktionen auf einem gemeinsamen Definitionsbereich sind (Funktionenräume), und die betrachteten Operatoren entstehen durch Anwendung von gängigen Prozeduren aus der Analysis auf diese Funktionen: Differenzieren, Integrieren, Multiplizieren mit einer festen Funktion, Einsetzen einer Koordinatentransformation usw. Die Bedeutung solcher Operatoren für die Physik rührt in erster Linie von den folgenden beiden Tatsachen her: Erstens sind sie das fundamentale begriffliche und rechnerische Hilfsmittel für die mathematische Formulierung der Quantenmechanik, und zweitens liefern sie die wichtigsten und kraftvollsten Werkzeuge für die tiefer gehende Behandlung von linearen partiellen Differentialgleichungen, wie sie überall in der Physik vorkommen. Es ist daher für den angehenden theoretischen Physiker wichtig, sich ein möglichst gründliches Verständnis für die Natur solcher Operatoren und möglichst weitgehende Fertigkeiten im Umgang mit ihnen anzueignen. Dabei handelt es sich nicht nur um rein algebraische Manipulationen, sondern auch um unterschiedliche Arten von Grenzübergängen. Daher ist auf den Vektorräumen, zwischen denen die Operatoren wirken, praktisch immer ein Konvergenzbegriff vorgegeben, der zumeist durch eine Norm gestiftet wird (vgl. Abschn. A). Diese Situation müssen wir also zuerst diskutieren, obwohl die Vektorräume selbst eigentlich nicht im Zentrum unseres Interesses stehen, sondern lediglich als Definitionsund Wertebereiche für die Operatoren dienen. So gesehen, hat dieses Kapitel vorbereitenden Charakter: Wir definieren BANACH- und H ILBERTräume, diskutieren die wichtigsten Beispiele und machen in den Abschn. B–D einige theoretische Aussagen, die später immer wieder benötigt werden. Im Abschn. E schließlich besprechen wir das sog. Tensorprodukt von H ILBERTRÄUMEN. Tensorprodukte von H IL BERT räumen und linearen Operatoren werden nämlich in der Quantenmechanik zur Beschreibung von zusammengesetzten Systemen benötigt. Die eigentliche Diskussion linearer Operatoren wird dann in Kap. 8 beginnen.
K.-H. Goldhorn, H.-P. Heinz, M. Kraus, Moderne mathematische Methoden der Physik DOI 10.1007/978-3-540-88544-3, © Springer 2009
199
200
7 BANACH - und H ILBERTräume
A Definitionen und Beispiele Die folgenden Definitionen sind für Sie höchstwahrscheinlich eine Wiederholung (vgl. etwa [36], Kap. 6): Definitionen 7.1. Sei V ein K-Vektorraum. Eine Abbildung V V 3 .x; y/ 7! hx j yi 2 K heißt ein Skalarprodukt und V ein Prähilbertraum (PHR), wenn gilt a.
hx j ˛yi D ˛ hx j yi ;
b.
hx j y C zi D hx j yi C hx j zi ;
c.
hy j xi D hx j yi ;
d.
hx j xi > 0 für x 6D 0
für alle x; y; z 2 V; ˛ 2 K. Im Fall K D R bedeutet Forderung c. die Symmetrie hy j xi D hx j yi. Satz 7.2. Sei V ein Prähilbertraum und sei p kxk WD hx j xi
für x 2 V .
(7.1)
Dann gilt a. die S CHWARZsche Ungleichung jhx j yij kxk kyk
für x; y 2 V .
(7.2)
b. V ist ein normierter linearer Raum (NLR) und k k ist eine Norm auf V; d. h. für beliebige x; y 2 V; ˛ 2 K gilt (N1)
k˛ xk D j˛j kxk;
(N2)
kx C yk kxk C kyk;
(N3)
kxk > 0
für x 6D 0.
c. die Parallelogramm-Gleichung kx C yk2 C kx yk2 D 2kxk2 C 2kyk2 ;
x; y 2 V :
(7.3)
Beweis. Wir setzen die Teile a. und b. als bekannt voraus. Teil c. rechnet man nach, indem man die Normquadrate auf der linken Seite ausdistribuiert und erkennt, dass die gemischten Terme einander wegheben. t u
A Definitionen und Beispiele
201
Aus Teil b. geht auch hervor, was die allgemeine Definition eines normierten linearen Raumes ist: Ein NLR ist ein (reeller oder komplexer) Vektorraum V; auf dem eine Norm gegeben ist, d. h. eine reelle Funktion x 7! kxk; für die (N1)– (N3) gelten. Die Parallelogrammgleichung hingegen gilt für allgemeinere normierte lineare Räume nicht – sie ist charakteristisch für Normen, die von einem Skalarprodukt herrühren. Definitionen 7.3. Sei V ein NLR und .xn / eine Folge in V . a. .xn / heißt stark konvergent (oder einfach konvergent) gegen x 2 V; wenn lim kxn xk D 0 :
n!1
(7.4)
b. .xn / heißt eine starke C AUCHYfolge (oder einfach eine C AUCHYfolge), wenn es zu jedem " > 0 ein n0 2 N gibt, so dass kxn xm k < "
für alle n; m n0 :
(7.5)
c. V heißt vollständig, wenn jede starke C AUCHYfolge in V stark konvergiert. Ein vollständiger NLR heißt BANACHraum. Ein vollständiger PHR heißt H ILBERTraum. Für die Physik sind ohne Zweifel die H ILBERTräume der bei weitem wichtigste Typus von solchen abstrakten Räumen. Doch treten im Zusammenhang mit H IL BERT räumen immer wieder auch andere Arten von normierten linearen Räumen auf, so dass man diese nicht völlig ignorieren kann. Für eine Teilmenge A eines normierten linearen Raumes V bezeichnen wir, wie üblich, mit AN (Abschluss von A) die Menge aller Punkte von V; die sich als (starker) Grenzwert einer in A verlaufenden Folge darstellen lassen. Es ist also x 2 AN genau dann, wenn x D lim an ist für eine Folge .an / A. Das ist äquivalent zu der n!1
Forderung, dass es zu jedem " > 0 ein a 2 A mit kx ak < " gibt. Mit anderen Worten, der Abschluss AN besteht aus denjenigen x 2 V; die sich beliebig genau durch Elemente von A approximieren lassen. (Mehr darüber z. B. in [36], Kap. 13 und 14.) Damit können wir definieren: Definitionen 7.4. Sei V ein NLR. a. Eine Teilmenge S V heißt dicht in V; wenn S D V; wenn sich also jedes Element x 2 V beliebig genau durch Elemente von S approximieren lässt. b. Enthält V eine (endliche oder unendliche) Folge B D fb1 ; b2 ; : : :g; deren lineare Hülle LH.B/ dicht ist, so heißt V separabel. c. Eine Teilmenge K V heißt kompakt, wenn jede Folge .xn / K eine konvergente Teilfolge xnj ! x0 2 K enthält. Bemerkung: In der mathematischen Literatur wird die Separabilität eines NLR häufig durch die Forderung definiert, dass er eine abzählbare dichte Teilmenge ent-
202
7 BANACH - und H ILBERTräume
halten soll. Dies ist aber zu unserer Definition äquivalent, wie man sich (durch Betrachtung von Linearkombinationen mit rationalen Koeffizienten) leicht überlegen kann. Am wichtigsten ist die Separabilität im Zusammenhang mit Prähilberträumen. Wie üblich, bezeichnen wir eine abzählbare Teilmenge B D fe1 ; e2 ; : : :g eines Prähilbertraums H als Orthonormalsystem, wenn hej j ek i D ıjk ;
j; k D 1; 2; : : : ;
(7.6)
und in Bezug auf ein gegebenes Orthonormalsystem hat dann jedes x 2 H die (formale) F OURIERreihe 1 X x hek j xiek : (7.7) kD1
Das System B wird als Orthonormalbasis von H bezeichnet, wenn jedes x 2 H die Summe seiner F OURIERreihe ist, d. h. wenn für alle x 2 H xD
1 X
hek j xiek D lim
N !1
kD1
N X
hek j xiek
(7.8)
kD1
im Sinne der starken Konvergenz der Partialsummen. All dies sollte aus der Theorie der F OURIERreihen bekannt sein (vgl. z. B. [36], Kap. 29). Nun gilt: Satz 7.5. Ein unendlichdimensionaler PHR ist genau dann separabel, wenn er eine abzählbare Orthonormalbasis besitzt. Beweis. Eine abzählbare Orthonormalbasis ist offensichtlich eine Folge, die die für die Separabilität geforderte Bedingung erfüllt. Sei umgekehrt fb1 ; b2 ; : : :g eine Folge in dem gegebenen PHR H; deren lineare Hülle D dicht ist. Wir streichen aus dieser Folge jedes bm ; das in LH.b1 ; : : : ; bm1 / enthalten ist, und erhalten so eine Teilfolge, die aus linear unabhängigen Vektoren besteht und immer noch die lineare Hülle D hat. Auf diese Teilfolge (die wir wieder mit fb1 ; b2 ; : : :g bezeichnen, indem wir neu nummerieren) wenden wir rekursiv das bekannte G RAM -S CHMIDT sche Orthogonalisierungsverfahren an ([36], Kap. 6). Das ergibt ein Orthonormalsystem fe1 ; e2 ; : : :g mit der Eigenschaft LH.e1 ; : : : ; eN / D LH.b1 ; : : : ; bN /
für alle N 1
und insbesondere LH.e1 ; e2 ; : : :/ D D. Zu jedem x 2 H und jedem " > 0 gibt es dann N 1 sowie Skalare 1 ; : : : ; N so, dass N X k e k < " x kD1
ist. Wie man aus der Theorie der F OURIERreihen weiß, wird der Ausdruck auf der linken Seite (bei festem N ) aber minimal, wenn man für die k gerade die
A Definitionen und Beispiele
203
F OURIER koeffizienten k D hek j xi wählt. Also ist erst recht N X hek j xiek < " : x kD1
Somit gilt (7.8) für unser beliebiges x; d. h. die ek ; k 2 N bilden eine Orthonormalbasis. t u Beispiele 7.6. a. Der BANACHraum C 0 .K/: Sei K Rn eine kompakte Menge (oder allgemeiner irgendein kompakter metrischer Raum), und sei C.K/ C 0 .K/ der K-Vektorraum der stetigen Funktionen f W K ! K. Mit kf k1 WD sup jf .x/j D max jf .x/j x2K
x2K
(7.9)
wird C 0 .K/ zu einem BANACHraum, denn die starke Konvergenz in diesem Raum ist gerade die gleichmäßige Konvergenz auf K; und es ist bekannt, dass eine gleichmäßige C AUCHYfolge von stetigen Funktionen auch gleichmäßig gegen eine stetige Funktion konvergiert ([36], Kap. 14). b. Der Prähilbertraum LQ 2 .Œa; b/: Sei Œa; b R ein kompaktes Intervall und sei LQ 2 .Œa; b/ der K-Vektorraum der stetigen Funktionen ' W Œa; b ! K. Mit dem Skalarprodukt Zb h' j
i WD
'.x/ .x/ dx
(7.10)
a
wird LQ 2 .Œa; b/ zu einem Prähilbertraum, der allerdings nicht vollständig ist. Um zu einem H ILBERTraum zu kommen, benötigt man das L EBESGUE-Integral, wie etwa in [36], Kap. 28, erläutert. Wir wollen die Konstruktion jedoch kurz rekapitulieren: c. Der H ILBERTraum L2 .Œa; b/ Zunächst betrachtet man die Menge L2 .Œa; b/ der messbaren Funktionen f W Œa; b ! K; für die Z N2 .f / WD
b
jf .x/j2 dx < 1
a
ist (quadratsummierbare Funktionen). Wegen jf .x/ C g.x/j2 2jj2 jf .x/j2 C 2jj2 jg.x/j2 (; 2 K) ist L2 .Œa; b/ ein K-Vektorraum, und in Analogie zum vorigen Beispiel sollte N2 .f / das Normquadrat darstellen. Das Normaxiom (N3) ist
204
7 BANACH - und H ILBERTräume
dann aber verletzt, denn wenn f fast überall, jedoch nicht überall verschwindet, so ist N2 .f / D 0. Überhaupt sind alle auftretenden Integrale unempfindlich gegenüber Abänderungen der Funktionen auf einer Menge vom Maß Null. Daher geht man über zu einem Vektorraum L2 .Œa; b/; dessen Elemente durch Funktionen f 2 L2 .Œa; b/ repräsentiert werden, wobei zwei Funktionen f; g 2 L2 .Œa; b/ genau dann ein und dasselbe Element von L2 .Œa; b/ repräsentieren, wenn f .x/ D g.x/ f.ü. Dazu geht man vor wie in Definition 1.23 und Anmerkung 1.24: Für jedes f 2 L2 .Œa; b/ bildet man die Menge Œf aller Funktionen g 2 L2 .Œa; b/; die zu f äquivalent sind in dem Sinne, dass f .x/ D g.x/ f.ü. Diese Menge nennt man die von f repräsentierte Äquivalenzklasse, und diese Äquivalenzklassen sind die Elemente von L2 .Œa; b/. Genau genommen, ist ein Vektor v 2 L2 .Œa; b/ also eine Menge von Funktionen, nämlich der Funktionen, die die Äquivalenzklasse v repräsentieren. In Wirklichkeit stellt sich aber niemand v 2 L2 .Œa; b/ als Menge von Funktionen vor, sondern vielmehr als eine Funktion f; der es nichts ausmacht, auf einer Nullmenge abgeändert zu werden. Nun müssen wir für die Elemente von L2 .Œa; b/ noch Summen, skalare Vielfache und das Skalarprodukt definieren. Dazu repräsentiert man die einzelnen Elemente durch entsprechende Funktionen und setzt: Œf C Œg WD Œf C g ; Œf WD Œf ; Z b hŒf j Œgi WD f .x/g.x/ dx
(7.11) (7.12) (7.13)
a
für f; g 2 L2 .Œa; b/; 2 K. Dies sind sinnvolle Definitionen, da der Übergang zu anderen Repräsentanten für dieselben Äquivalenzklassen auf der rechten Seite nichts Neues liefert: Ist z. B. Œf D Œf1 und Œg D Œg1 ; so bedeutet dies, dass f .x/ D f1 .x/ f.ü. und g.x/ D g1 .x/ f.ü., also auch f .x/ C g.x/ D f1 .x/ C g1 .x/ f.ü. und damit Œf C g D Œf1 C g1 . Noch einfacher sieht man bei (7.12) und (7.13), dass der Wert der rechten Seite nicht von den gewählten Repräsentanten abhängt. Es ist auch eine triviale Übung, nachzurechnen, dass nun alle Axiome für einen PHR erfüllt sind. Insbesondere bedeutet Œf ¤ 0; dass die Menge der Punkte, wo f .x/ nicht verschwindet, positives Maß hat, und dann ist tatsächlich hŒf j Œf i D N2 .f / > 0. Dieser PHR ist tatsächlich vollständig. Das ist der wesentliche Inhalt des Satzes von R IESZ -F ISCHER (vgl. [36], Kap. 28 oder beliebige Lehrbücher der Funktionalanalysis, Integrationstheorie oder höheren Analysis wie etwa [5,44,51,55, 59, 78, 96, 104, 106]). Um den Zusammenhang zum vorhergehenden Beispiel herzustellen, machen wir uns noch Folgendes klar: Ist ' W Œa; b ! K stetig, so ist auf jeden Fall ' 2 L2 .Œa; b/; und seine Äquivalenzklasse Œ' gehört daher zu L2 .Œa; b/. Diese Klasse enthält aber nur einen stetigen Repräsentanten. Sind nämlich '; zwei stetige Funktionen auf Œa; b und gibt es einen Punkt x0 2 Œa; b; wo ' und verschiedene Werte annehmen, so ist '.x/ ¤ .x/ auf einem Intervall der
A Definitionen und Beispiele
205
Form x0 ı; x0 C ıŒ\Œa; b mit ı > 0; und solch ein Intervall hat positives Maß. Es gilt also: ';
stetig, '.x/ D
.x/ f.ü. H) '
:
Somit können wir LQ 2 .Œa; b/ als einen linearen Teilraum von L2 .Œa; b/ auffassen, indem wir für jedes ' 2 LQ 2 .Œa; b/ die Klasse Œ' mit ihrem eindeutig bestimmten stetigen Repräsentanten ' identifizieren. Schließlich wollen wir ab jetzt, wie es allgemein üblich ist, die umständliche Bezeichnung Œf fallenlassen und dafür einfach nur f schreiben. Man spricht auch davon, dass eine „Funktion“ f zu L2 gehört etc. Das ist, genau genommen, zwar nicht ganz korrekt, führt aber nicht zu Problemen, solange man sich immer darüber im klaren ist, dass damit eigentlich die Klasse Œf gemeint ist. d. Die H ILBERTräume L2 .S /: Für jede messbare Teilmenge S Rn – insbesondere also für jede offene und jede abgeschlossene Teilmenge – lässt sich der H ILBERTraum L2 .S / der quadratsummierbaren Funktionen auf S ganz genauso aufbauen wie es eben für den Spezialfall S D Œa; b R1 geschildert wurde. Allerdings wird dabei natürlich das n-dimensionale L EBESGUEsche Maß zu Grunde gelegt. Insbesondere definieren zwei quadratsummierbare Funktionen f; g auf S genau dann ein und dasselbe Element von L2 .S /; wenn die Menge fx 2 S j f .x/ ¤ g.x/g das ndimensionale L EBESGUE-Maß Null hat. Das Skalarprodukt ist gegeben durch Z f .x/g.x/ dn x : (7.14) hf j gi WD S
H ILBERTräume dieses Typs werden häufig in der Quantenmechanik benutzt. Zum Beispiel ist L2 .R3 / der H ILBERTraum der Einteilchen-Wellenfunktionen. Ist S selbst eine Nullmenge, so ist L2 .S / D f0g (wieso?) und daher uninteressant. e. Der BANACHraum l 1 : Mit l 1 bezeichnen wir die Menge aller beschränkten Zahlenfolgen x D .1 ; 2 ; : : :/; y D .1 ; 2 ; : : :/ usw. Mit x C y WD .1 C 1 ; 2 C 2 ; : : :/ ;
(7.15)
˛x WD .˛1 ; ˛2 ; : : :/ ;
(7.16)
kxk1 WD sup jn j
(7.17)
n
wird l 1 zu einem NLR. Wir zeigen, dass l 1 sogar vollständig, d. h. ein BA NACH raum ist. Sei dazu .x m /m2N mit x m D .1m ; 2m ; : : :/ 2 l 1 eine C AUCHYfolge in l 1 ; d. h. zu " > 0 existiert ein m0 2 N; so dass kx m x p k1 D sup jnm np j < " für m; p m0 : n
206
7 BANACH - und H ILBERTräume
Dann gilt für jedes feste n 2 N jnm np j < "
8 m; p > m0 ;
(7.18)
d. h. .nm /m2N ist eine C AUCHYfolge in K. Da K bekanntlich vollständig ist (für Zahlenfolgen gilt das C AUCHYsche Konvergenzkriterium!), haben wir also Grenzwerte 8n 2 N : lim nm DW n 2 K m!1
Setzen wir x WD .1 ; 2 ; : : :/; so folgt aus (7.18) für p ! 1: jnm n j " und daraus
für m m0 ;
(7.19)
jn j jnm0 j C jn nm0 j kx m0 k1 C " :
für alle n und damit x 2 l 1 . Aus (7.19) und (7.17) folgt dann kx m xk1 "
für m m0 ;
d. h. x m ! x in l 1 ; was die Vollständigkeit beweist. f. Der H ILBERTraum l 2 : Mit l 2 bezeichnen wir die Menge aller Folgen x D .n /; für die 1 X
jn j2 < 1 :
t u
(7.20)
nD1
Diese wird mit (7.15), (7.16) und hx j yi WD
1 X
n n
(7.21)
nD1
zu einem Prähilbertraum. l 2 ist sogar ein H ILBERTraum, wobei die Vollständigkeit ähnlich wie für l 1 bewiesen wird. Die Norm von l 2 ist nach (7.1) gegeben durch !1=2 1 X 2 jn j : (7.22) kxk2 D nD1 2
l ist separabel, denn man überlegt sich leicht (Übung!), dass die Menge der endlichen Folgen x D .1 ; : : : ; n ; 0; : : :/ ; k 2 K dicht in l 2 liegt. Diese Menge ist aber die lineare Hülle der Folge der „Einheitsvektoren“ e1 WD .1; 0; 0; 0; : : :/ ; e2 WD .0; 1; 0; 0; : : :/ ;
A Definitionen und Beispiele
207
e3 WD .0; 0; 1; 0; : : :/ ; :: : Auch bei Funktionenräumen lässt sich häufig Separabilität nachweisen: Satz 7.7. Die Räume C.K/ und L2 .S / aus 7.6 sind separabel. Beweis. Wir beweisen das nur für K D S D Œa; b R und verweisen für den allgemeinen Fall auf Lehrbücher der Funktionalanalysis. Aus der Theorie der F OURIERreihen ist bekannt (vgl. etwa [36], Kap. 29), dass jede stetige Funktion auf Œa; b gleichmäßig durch Linearkombinationen der Funktionen 2 k.x a/ '2k .x/ WD cos ba
und '2kC1 .x/ WD sin
2 k.x a/ ba
approximiert werden kann (k 2 N0 ). Die Folge .'k / leistet also für V D C 0 .Œa; b/ das in der Definition der Separabilität Geforderte. – Ebenso bekannt ist es, dass jedes f 2 L2 .Œa; b/ in Bezug auf die L2 -Norm Summe seiner F OURIERreihe ist, d. h. es lässt sich im quadratischen Mittel beliebig genau durch die Partialsummen seiner F OURIERreihe approximieren. Daher ist die lineare Hülle der abzählbaren t u Menge f'k j k 2 N0 g dicht in L2 .Œa; b/. Bemerkung: l 1 ist nicht separabel, d. h. keine abzählbare Menge liegt dicht in l . Um dies einzusehen, betrachten wir die Menge T der Folgen 1
y D .1 ; 2 ; : : :/
mit j 2 f0; 1g :
Für zwei verschiedene Elemente x; y 2 T ist dann kx yk1 D 1 ; und daher haben die Kugeln U.x/ WD fz 2 l 1 j kz xk1 < 1=2g; x 2 T keine gemeinsamen Punkte. Hätte l 1 nun eine abzählbare dichte Teilmenge S D fsn j n 2 Ng; so könnten wir auch T als Folge schreiben. Für jedes x 2 T enthält nämlich die offene Kugel U.x/ ein Element von S; weil S dicht ist. Wir wählen solch ein Element sn 2 S \ U.x/ und erteilen x die Nummer n. Zwei verschiedene Elemente x; y 2 T bekommen auf diese Weise stets verschiedene Nummern, da die Kugeln U.x/; U.y/ disjunkt sind. Damit ist T als abzählbar erwiesen. Andererseits können wir jedem y 2 T die reelle Zahl yO WD
1 X k 2 Œ0; 1 2k
kD1
für y D .1 ; 2 ; : : :/
(7.23)
208
7 BANACH - und H ILBERTräume
zuordnen. Da jedes ˛ 2 Œ0; 1 eine Dualdarstellung ˛D
1 X ˛m 2m mD1
mit ˛m 2 f0; 1g
hat, hätten wir damit auch das Intervall Œ0; 1 als abzählbar erwiesen. Aber dieses Intervall ist bekanntlich überabzählbar. t u
Weitere Beispiele von BANACHräumen. Die im Folgenden eingeführten Räume werden im weiteren Verlauf des Buches kaum oder gar nicht benötigt. Sie dienen hauptsächlich zur Abrundung des Bildes. a. Die Räume Lp .S /: Sei p 1 eine reelle Zahl und S Rn eine messbare Teilmenge. Für messbare Funktionen f W S ! K definieren wir Z Np .f / WD jf .x/jp dn x ; (7.24) S
wobei der Wert C1 zugelassen ist. Für diese Größen gilt die sog. M INKOWSKIsche Ungleichung Np .f C g/1=p Np .f /1=p C Np .g/1=p :
(7.25)
Ist Np .f / < 1; so nennen wir f p-summierbar. Die M INKOWSKIsche Ungleichung zeigt nun, dass die Menge Lp .S / der p-summierbaren Funktionen f W S ! K einen K-Vektorraum bildet. Dabei ist Np .f / D 0 ” f .x/ D 0 f.ü. Deshalb gehen wir wieder über zu den Äquivalenzklassen Œf ; wobei zwei Funktionen genau dann dieselbe Klasse repräsentieren, wenn sie fast überall übereinstimmen. Die Menge dieser Äquivalenzklassen (für f 2 Lp .S /) ist der Raum Lp .S /. Man definiert Summen und skalare Vielfache wieder durch (7.11), (7.12), und durch kf kp WD Np .f /1=p
(7.26)
führt man auf dem so entstandenen Vektorraum eine Norm ein. Es ist nicht schwer, die Gültigkeit der Normaxiome nachzuprüfen – insbesondere ist die Dreiecksungleichung gerade die M INKOWSKIsche Ungleichung. Eine entsprechende Version des Satzes von R IESZ -F ISCHER besagt, dass alle diese Räume vollständig sind, und man kann auch beweisen, dass sie separabel sind (s. u. Satz 10.39). Für p D 1 ergibt sich offenbar der aus der Integrationstheorie bekannte Raum L1 .S / der über S L EBESGUE-integrierbaren Funktio-
A Definitionen und Beispiele
209
nen, und für p D 2 haben wir wieder den aus 7.6d. bekannten H ILBERTraum. Bemerkung: Die M INKOWSKIsche Ungleichung ist für p D 1 trivial und wird für p > 1 aus der berühmten H ÖLDERschen Ungleichung Z jf .x/g.x/j dn x Np .f /1=p Nq .g/1=q ; für q WD p=.p 1/ (7.27) S
hergeleitet. Beweise für beide Ungleichungen finden sich in der in 7.6c. angegebenen Literatur. Für p D 2 reduziert sich die H ÖLDERsche Ungleichung offenbar auf die S CHWARZsche Ungleichung, die dem durch (7.14) definierten Skalarprodukt entspricht. b. Der Raum L1 .S /: Wieder sei S Rn messbar, und f W S ! K sei eine messbare Funktion. Eine reelle Zahl C heißt eine wesentliche Schranke für f; wenn jf .x/j C
f.ü.
Die Funktion f heißt wesentlich beschränkt, wenn sie eine wesentliche Schranke besitzt.1 Wie man sich leicht überlegt, gibt es für eine wesentlich beschränkte Funktion f stets die kleinste wesentliche Schranke (hier muss man zur Kontrolle der Ausnahmemengen beachten, dass die Vereinigung von abzählbar vielen Nullmengen wieder eine Nullmenge ist!), und diese bezeichnet man als das wesentliche Supremum von jf j und schreibt dafür N1 .f / ess sup jf .x/j :
(7.28)
x2S
Die Menge L1 .S / aller wesentlich beschränkten messbaren Funktionen f W S ! K bildet offensichtlich einen K-Vektorraum, und wenn wir wieder zu den bekannten Äquivalenzklassen Œf übergehen, so erhalten wir den NLR L1 .S / mit der Norm (7.29) kf k1 kŒf k1 WD N1 .f / : Auch dieser Raum ist vollständig, und der Beweis hierfür ist nur eine Variante des obigen Beweises für l 1 (Übung!). Jedoch ist L1 .S / nicht separabel, wenn S positives Maß hat. c. Die Räume l p : Die Räume l p ; p 1 sind für Reihen das, was die Lp .S / für Integrale sind. Wir betrachten also Zahlenfolgen x D .1 ; 2 ; : : :/; y D .1 ; 2 ; : : :/ usw. und setzen 1 X Np .x/ WD jk jp : (7.30) kD1 1
Eigentlich müsste es „im Wesentlichen beschränkt“ heißen – zumindest würde das besser wiedergeben, was gemeint ist. Die grammatisch fehlerhafte Ausdrucksweise „wesentlich beschränkt“ hat sich aber trotzdem durchgesetzt.
210
7 BANACH - und H ILBERTräume
(Reihen mit nichtnegativen Gliedern wird dabei im Falle ihrer Divergenz grundsätzlich der Wert C1 zugeschrieben.) Für solche Reihen gelten die Ungleichungen von H ÖLDER und M INKOWSKI in der Form 1 X
jk k j Np .x/1=p Nq .y/1=q
mit q WD p=.p 1/
(7.31)
kD1
bzw. Np .x C y/1=p Np .x/1=p C Np .y/1=p : Somit ist
(7.32)
l p WD fx j Np .x/ < 1g
ein Vektorraum (wobei Summen und skalare Vielfache wie bei l 1 komponentenweise gebildet werden), und durch kxkp WD Np .x/1=p ist auf diesem Vektorraum eine Norm definiert. Für p D 2 erhält man natürlich wieder den H ILBERTraum l 2 ; der in 7.6f. besprochen wurde, und auch für allgemeines p 1 kann man ohne große Mühe beweisen, dass l p vollständig und separabel ist.
B Endlich-dimensionale normierte lineare Räume Obwohl wir uns hauptsächlich mit unendlich-dimensionalen Räumen beschäftigen, ist es nützlich, einige Eigenschaften von endlich-dimensionalen NLR kennen zu lernen. Ausgangspunkt ist der folgende Satz: Lemma 7.8. Sei V ein NLR und sei fe 1 ; : : : ; e n g eine linear unabhängige Menge von Vektoren e i 2 V . Dann gibt es eine Konstante C > 0; so dass für alle ˛1 ; : : : ; ˛n 2 K gilt n n X X ˛k e k C j˛k j : (7.33) kD1
kD1
Beweis. Es ist zu zeigen: 8 < Es gibt ein C > 0; so dass n n P P . / ˇk e k mit jˇk j D 1. : kyk C für alle y D kD1
Für xD
n X kD1
˛k e k
mit s WD
kD1
n X kD1
j˛k j 6D 0
B Endlich-dimensionale normierte lineare Räume
211
setzt man dann nämlich ˇk D
so dass also
n P kD1
˛k ; s
yD
n X
ˇk e k ;
kD1
jˇk j D 1 ist, und wendet hierauf ( ) an. Das ergibt die Behauptung
(7.33). Angenommen, ( ) ist falsch. Dann gibt es ym D
n X
ˇkm e k
kD1
mit
n X
jˇkm j D 1 und y m ! 0:
(7.34)
kD1
Nun bilden die b m WD .ˇ1m ; : : : ; ˇnm / eine beschränkte Folge in Kn ; die nach dem Satz von B OLZANO -W EIERSTRASS (vgl. etwa [36], Kap. 13) eine konvergente Teilfolge n X b mj ! b D .ˇ1 ; : : : ; ˇn / mit jˇk j D 1 (7.35) kD1
enthält. Daraus folgt aber y
mj
! y D
n X
ˇk e k ;
kD1
was wegen (7.35) und (7.34) offenbar ein Widerspruch zur linearen Unabhängigkeit t u der Vektoren e 1 ; : : : ; e n ist. Wir wollen nun hieraus Konsequenzen ziehen. Zunächst definieren wir: Definitionen 7.9. Eine Teilmenge U eines NLR V heißt ein abgeschlossener Unterraum von V; wenn gilt: a. U ist ein linearer Teilraum von V; also mit der Norm von V selbst ein NLR. b. U ist eine abgeschlossene Teilmenge von V; d. h. U D U. Satz 7.10. a. Jeder abgeschlossene Unterraum U eines BANACHraumes ist vollständig, d. h. ebenfalls ein BANACHraum. b. Jeder endlich-dimensionale Unterraum U eines beliebigen NLR ist vollständig und damit abgeschlossen. c. Jeder endlich-dimensionale NLR ist ein BANACHraum. Beweis. a. Sei V vollständig, U V ein abgeschlossener Unterraum und sei .xn / U eine C AUCHYfolge. Dann gilt xn ! x 2 V; und damit gehört x zum Abschluss von U; also x 2 U.
212
7 BANACH - und H ILBERTräume
b. Sei V ein NLR, U V ein endlich-dimensionaler linearer Teilraum und sei fe 1 ; : : : ; e n g eine Basis von U. Sei ym D
n X
˛km e k 2 U
kD1
eine C AUCHYfolge. Nach Lemma 7.8 gibt es dann ein C > 0; so dass n n X X p p m p m ˛k ˛k e k C ky y k D j˛km ˛k j ; kD1
kD1
d. h. die am D .˛1m ; : : : ; ˛nm / bilden eine C AUCHYfolge in Kn . Da Kn bekanntlich vollständig ist ([36], Kap. 13), gilt daher am ! a D .˛1 ; : : : ; ˛n / 2 Kn : Daraus folgt dann y m ! y WD
n X
˛k e k 2 U ;
kD1
wie gewünscht. c. folgt direkt aus b. t u Auf ähnliche Weise beweist man: Satz 7.11. a. In einem NLR V ist jede kompakte Menge abgeschlossen und beschränkt. b. Ist dim V < 1; so ist jede abgeschlossene beschränkte Menge kompakt.
C Orthogonales Komplement Die folgende Definition ist sicher schon aus der linearen Algebra bekannt: Ist H ein PHR, M H eine Teilmenge, so heißt M ? D fx 2 H j hx j mi D 0
8m 2 Mg
(7.36)
das orthogonale Komplement von M . Seine grundlegenden Eigenschaften bilden den Ausgangspunkt für das Studium der H ILBERTräume, und sie sind in nachstehendem Theorem zusammengefasst. Wir notieren jedoch zunächst zwei einfache Eigenschaften, deren Beweise leichte Übungen sind: Lemma 7.12. Sei H ein PHR und M eine beliebige Teilmenge von H . a. M ? ist ein abgeschlossener Unterraum von H . b. .LH.M //? D M ? .
C Orthogonales Komplement
213
Theorem 7.13. Sei H ein H ILBERTraum und U H ein abgeschlossener Unterraum von H . Dann gilt: a. Zu jedem x0 2 H existiert ein eindeutiges u0 2 U mit kx0 u0 k D ı WD inf kx0 uk : u2U
(7.37)
b. Jedes x 2 H kann eindeutig in der Form x DuCv
mit u 2 U; v 2 U ?
(7.38)
und daher U ?? D U :
(7.39)
zerlegt werden, d. h. es gilt H D U ˚ U? Beweis. a. Wir zeigen zunächst die Existenz eines u0 2 U; das (7.37) erfüllt. Nach Definition des Infimums gibt es eine Folge .un / in U; so dass kx0 un k ! ı
für n ! 1 :
(7.40)
Um zu zeigen, dass .un / gegen ein u0 2 U konvergiert, genügt es, nachzuweisen, dass .un / eine C AUCHYfolge ist, weil U als abgeschlossener Unterraum eines H ILBERTraums nach Satz 7.10a. vollständig ist. Mit der Parallelogrammgleichung in Satz 7.2c. folgt: kun um k2 D k.x0 un / .x0 um /k2 D k.x0 un / C .x0 C um /k2 C 2kx0 un k2 C 2kx0 um k2 D 4kx0 12 .un C um /k2 C 2kx0 un k2 C 2kx0 um k2 4ı 2 C 2kx0 un k2 C 2kx0 um k2 ! 0 für m; n ! 1 wegen (7.40) und
x0 1 .un C um / ı : 2
Die letzte Ungleichung gilt nach Definition von ı; weil .un C um /=2 2 U ist. Also gilt un ! u0 2 U; und es folgt kx0 u0 k D ı. Um die Eindeutigkeit von u0 in (7.37) zu zeigen, nimmt man an, es gäbe u1 ; u2 2 U mit kx0 u1 k D ı D kx0 u2 k und zeigt wieder mit der Parallelogrammgleichung ku1 u2 k2 D k.x0 u1 / .x0 u2 /k2 D 4kx0 12 .u1 C u2 /k2 C 2kx0 u1 k2 C 2kx0 u2 k2 4ı 2 C 2ı 2 C 2ı 2 D 0 ; womit a. gezeigt ist.
214
7 BANACH - und H ILBERTräume
b. Es bleibt die eindeutige Zerlegung (7.38) zu zeigen. Zu x0 2 H bestimmen wir das eindeutige u0 2 U; das (7.37) erfüllt und setzen x0 D u0 C .x0 u0 / ;
(7.41)
wobei wir zeigen müssen, dass v0 WD x0 u0 2 U ?
(7.42)
gilt. Für beliebiges 0 ¤ u 2 U betrachten wir hierzu den Vektor uO D u0 C
hu j v0 i u2U : kuk2
Wegen (7.37) gilt dann ı 2 kx0 uk O 2 jhu j v0 ij2 jhu j v0 ij2 2 D kv0 k2 D ı : kuk2 kuk2 Dies kann aber nur gelten, wenn hu j v0 i D 0 ist. Zur Eindeutigkeit: Ist x0 D u1 C v1 noch eine Zerlegung in u1 2 U; v1 2 U ? ; so folgt u0 C v0 D u1 C v1 ; also w WD u0 u1 D v1 v0 2 U \ U ? und damit hwjwi D 0. Daher muss w D 0 sein, also u0 D u1 und v0 D v1 .
t u
Folgende Konsequenz wird häufig benötigt: Satz 7.14. In einem H ILBERTraum H gilt: a. Liegt eine Teilmenge M H dicht in H; so ist M ? D f0g. b. Ist W ein linearer Teilraum von H; so ist W genau dann dicht in H; wenn W ? D f0g. Beweis. a. Nach Lemma 7.12b. ist M ? D .M /? D H ? D f0g. b. Sei W ein linearer Teilraum mit W ? D f0g. Wir wenden Theorem 7.13b. auf den abgeschlossenen Unterraum U WD W an und erhalten ?
U D U ?? D .W /? D .W ? /? D f0g? D H ; also W D H; wie behauptet. t u
D Vervollständigung von normierten linearen Räumen
215
D Vervollständigung von normierten linearen Räumen In den Anwendungen benötigt man in der Regel vollständige Räume – BANACHoder H ILBERTräume. Vielfach sind aber die passenden Funktionenräume zunächst als unvollständige Räume gegeben. Man benötigt daher ein allgemeines Prinzip, um unvollständige Räume zu vervollständigen. Um dieses zu formulieren, müssen wir den Begriff der Isometrie einführen: Definition 7.15. Seien V; W zwei normierte lineare Räume. Eine Isometrie von V in W ist eine lineare Abbildung T W V ! W; für die gilt: kT xk D kxk
8x 2 V :
Wegen der Linearität folgt hieraus kT x T yk D kT .x y/k D kx yk für alle x; y 2 V; d. h. eine Isometrie lässt die Abstände der Vektoren unverändert. Theorem 7.16. Zu jedem NLR (bzw. PHR) V gibt es einen BANACHraum (bzw. H IL BERT raum) E und eine Isometrie T W V ! E; so dass T .V / dicht in E ist. Man sagt: Jeder NLR (PHR) V lässt sich dicht in einen BANACHraum (H ILBERTraum) E einbetten. Man nennt E die Vervollständigung von V und identifiziert T .V / und V; so dass V ein dichter Teilraum von E ist. Die verschiedenen möglichen Beweise dieses Theorems haben alle einen sehr theoretischen Charakter, und wir verweisen dafür auf Lehrbücher der Funktionalanalysis. Im nächsten Kapitel werden wir allerdings einen Beweis skizzieren (vgl. Anmerkung 8.15). Bemerkung: Die verschiedenen Beweise für Theorem 7.16 liefern durchaus unterschiedliche Objekte als Elemente des BANACHraums E; der den gegebenen Raum V vervollständigt. Man kann aber alle diese Konstrukte miteinander identifizieren und infolgedessen von „der“ Vervollständigung sprechen, als sei sie eindeutig bestimmt. Das hat folgenden Grund: Angenommen, V ist durch die Isometrien Ti W V ! Ei dicht in die BANACHräume Ei .i D 1; 2/ eingebettet. Auf den dichten Teilräumen T1 .V / bzw. T2 .V / sind dann die Isometrien S12 WD T2 ı T11 bzw. S21 WD T1 ı T21 definiert, und ihre Werte liegen in den vollständigen Räumen E2 bzw. E1 . Wir werden im nächsten Kapitel (vgl. Theorem 8.7) sehen, dass man in einer solchen Situation eindeutige isometrische lineare Fortsetzungen SO12 W E1 ! E2
bzw. SO21 W E2 ! E1
von S12 bzw. S21 hat. Offensichtlich sind S12 ; S21 zueinander inverse Bijektionen, und das überträgt sich (wegen (8.6)) sofort auf SO12 und SO21 . Wir identifizieren nun Elemente 2 E1 ; 2 E2 miteinander, wenn die äquivalenten Bedingungen D SO12 ;
D SO21
216
7 BANACH - und H ILBERTräume
erfüllt sind. Bei dieser Identifikation benutzen wir keinerlei externe Zusatzinformation, sondern nur die gegebenen Daten E1 ; E2 ; T1 ; T2 . Deshalb ist es für jede mögliche Anwendung der Vervollständigung völlig gleichgültig, ob man die Elemente von E1 oder die von E2 benutzt – man kann mit Hilfe der Isomorphismen SO12 ; SO21 immer die einen durch die anderen ersetzen. Der Mathematiker sagt, die Vervollständigung sei „eindeutig bestimmt bis auf natürlichen Isomorphismus“. Beispiel 7.17. Der Raum V WD LQ 2 .Œa; b/ aus Beispiel 7.6b. kann als dichter Teilraum des H ILBERTraums H WD L2 .Œa; b/ aufgefasst werden, denn jedes f 2 H kann im quadratischen Mittel beliebig genau durch die Partialsummen seiner F OU RIERreihe approximiert werden, und diese Partialsummen sind stetige Funktionen, gehören also zu V . Daher kann man H als die Vervollständigung von V ansehen. Im Prinzip könnte man also den H ILBERTraum L2 .Œa; b/ auch ohne das L EBES Q 2 .Œa; b/ anwendet. DieGUE -Integral konstruieren, indem man Theorem 7.16 auf L ses Vorgehen ist jedoch auf lange Sicht unbefriedigend, da man so keine konkrete Vorstellung von den Elementen des H ILBERTraums gewinnt. Anmerkung 7.18. Das gerade besprochene Phänomen, dass stetige Funktionen in Räumen summierbarer Funktionen dicht liegen, ist weit verbreitet und für die moderne Analysis von eminenter Bedeutung. Betrachten wir etwa eine offene Teilmenge ˝ Rn und bezeichnen mit Cc .˝/ den Vektorraum aller stetigen Funktionen ' W ˝ ! K; die außerhalb einer kompakten Teilmenge von ˝ verschwinden. Dann ist offenbar Cc .˝/ Lp .˝/ für 1 p 1. Somit kann man Cc .˝/ auch als Teilraum von Lp .˝/ auffassen, indem man jedes ' 2 Cc .˝/ mit seiner Äquivalenzklasse Œ' identifiziert, wie in 7.6c. erläutert. In der Integrationstheorie wird gezeigt (vgl. etwa Satz 10.39), dass für p < 1 sogar Cc .˝/ dicht in Lp .˝/ ist. (In [36] werden im Rahmen der Ergänzungen zu Kap. 29 Beispiele angegeben, die diese Aussage auch ohne detaillierten Beweis plausibel machen.) Somit kann man Lp .˝/ für p < 1 als die Vervollständigung des normierten linearen Raums Vp auffassen, der entsteht, wenn man den Vektorraum Cc .˝/ mit der Norm Z k'kp WD
j'.x/jp dn x
1=p
˝
versieht.
E Tensorprodukt von H ILBERTräumen Wir modifizieren jetzt das in Abschn. 2B eingeführte Tensorprodukt so, dass auch komplexe Räume sowie Räume unendlicher Dimension mit einbezogen werden. Anders als in Abschn. 2B beschränken wir uns jedoch auf H ILBERTräume und machen uns das Vorhandensein eines Skalarproduktes von vornherein zu Nutze. Im
E Tensorprodukt von H ILBERTräumen
217
Fall eines endlichdimensionalen reellen H ILBERTraums stimmen die beiden Konstruktionen jedoch überein (vgl. Aufg. 7.10). Seien H1 ; H2 also zwei K-H ILBERTräume. Bei beiden Räumen bezeichnen wir das Skalarprodukt mit h j i; so dass man immer an den eingesetzten Vektoren ablesen muss, welches Skalarprodukt gerade gemeint ist. Auf dem kartesischen Produkt H1 H2 D f.x1 ; x2 / j xi 2 Hi ; i D 1; 2g betrachten wir Bilinearformen, d. h. Funktionen B W H1 H2 ! K; die sich in jedem ihrer beiden Argumente reell-linear verhalten: B.˛x1 C ˇy1 ; x2 / D ˛B.x1 ; x2 / C ˇB.y1 ; x2 /
(7.43)
B.x1 ; ˛x2 C ˇy2 / D ˛B.x1 ; x2 / C ˇB.x1 ; y2 /
(7.44)
für x1 ; y1 2 H1 ; x2 ; y2 2 H2 ; ˛; ˇ 2 R. Zu jedem Vektorpaar .y1 ; y2 / 2 H1 H2 definieren wir eine spezielle Bilinearform B y1 ˝ y2 durch .y1 ˝ y2 /.x1 ; x2 / WD hx1 j y1 ihx2 j y2 i :
(7.45)
Wie immer bei Funktionen, bilden die Bilinearformen auf H1 H2 einen Vektorraum, indem man sie argumentweise addiert und mit Skalaren multipliziert. So können wir auch beliebige (endliche) Linearkombinationen unserer speziellen Formen y1 ˝ y2 bilden, also den linearen Teilraum H1 ˝ H2 WD LH.fy1 ˝ y2 j y1 2 H1 ; y2 2 H2 g/
(7.46)
betrachten, den man das algebraische Tensorprodukt der H ILBERTräume H1 ; H2 nennt. Seine Elemente nennt man Tensoren (genauer: Tensoren zweiter Stufe). Der in (7.45) definierte spezielle Tensor wird als das Tensorprodukt der Vektoren y1 und y2 bezeichnet, und, wie unmittelbar aus der Definition hervorgeht, verhält sich dieses Produkt als Funktion von y1 ; y2 bilinear, d. h. für B.y1 ; y2 / WD y1 ˝y2 gelten sinngemäß die Gleichungen (7.43) und (7.44), und zwar für alle ˛; ˇ 2 K; also auch für komplexe Skalare, wenn K D C. Den Vektorraum H1 ˝ H2 machen wir zu einem Prähilbertraum, indem wir ein Skalarprodukt definieren: Satz 7.19. Setzt man für die speziellen Elemente der Form y1 ˝ y2 ;
z1 ˝ z2 2 H1 ˝ H2
hy1 ˝ y2 j z1 ˝ z2 i WD hy1 j z1 ihy2 j z2 i
(7.47)
und für Linearkombinationen ˇ m * n + ˇX X ˇ ˛i .y1i ˝ y2i /ˇ ˇk .z1k ˝ z2k / WD ˇ i D1
D
kD1
m n X X
˛ i ˇk hy1i
(7.48) ˝
y2i
j
z1k
˝
z2k i
;
i D1 kD1
so wird durch (7.48) ein Skalarprodukt wohldefiniert, so dass H1 ˝ H2 zu einem Prähilbertraum wird.
218
7 BANACH - und H ILBERTräume
Beweis. Die Darstellung von Tensoren in der Form BD
n X
˛i y1i ˝ y2i ;
C D
i D1
m X
ˇk z1k ˝ z2k
kD1
ist nicht eindeutig, und daher muss gezeigt werden, dass das Skalarprodukt hB j C i nur von den Tensoren B; C selbst abhängt, nicht von der in (7.48) verwendeten Darstellung. Nach (7.45) ist aber E X D ED E D B j z1k ˝ z2k D ˛i y1i j z1k y2i j z2k D B z1k ; z2k i
und somit hB j C i D
X
ˇk B z1k ; z2k :
k
Also hängt das Skalarprodukt nur von B selbst ab, nicht von der für den linken Faktor benutzten Darstellung. Ebenso ergibt sich ˝ i ˛ X D i kE D i kE y1 ˝ y2i j C D ˇk y1 j z1 y2 j z2 D C y1i ; y2i k
und somit hB j C i D
X
˛i C y1i ; y2i ;
i
woran man erkennt, dass das Skalarprodukt auch nicht von der für C gewählten speziellen Darstellung abhängt. Die Rechenregeln 7.1a., b., c. sind P durch triviale Rechnung nachzuprüfen. Für i i d. betrachten wir einen Tensor B D i x1 ˝ x2 und müssen zeigen, dass hB j Bi > 0; falls B ¤ 0. Dazu führen wir in dem von den x1i aufgespannten (endlichdimensionalen) linearen Teilraum von H1 eine Orthonormalbasis fe 1 ; : : : ; e r g ein, ebenso eine Orthonormalbasis ff 1 ; : : : ; f s g in dem von den x2i aufgespannten linearen Teilraum von H2 . Entwickelt man die x1i bzw. die x2i nach diesen Basen und setzt diese Entwicklungen in die Darstellung für B ein, so ergibt sich die neue Darstellung s r X X jk e j ˝ f k : BD j D1 kD1
Diese verwenden wir, um das Skalarprodukt zu berechnen: X hB j Bi D jk lm he j ˝ f k j e l ˝ f m i j;k;l;m
D
X
jk lm ıjl ıkm D
j;k;l;m
außer wenn alle jk verschwinden.
X
j jk j2 > 0 ;
j;k
t u
E Tensorprodukt von H ILBERTräumen
219
Dieser Prozess lässt sich verallgemeinern: Definitionen 7.20. Seien H1 ; : : : ; Hn C-H ILBERTräume. a. Eine Multilinearform (oder ein multilineares Funktional) auf H1 Hn ist eine Abbildung M W H1 Hn ! C; die sich in jedem ihrer n Argumente linear verhält. b. Für yi 2 Hi definiert man auf H1 Hn multilineare Funktionale y1 ˝ ˝ yn W H1 Hn ! C durch .y1 ˝ ˝ yn /.x1 ; : : : ; xn / WD
n Y
hyi j xi i :
.7:45/
i D1
c. Der C-Vektorraum LH.fy1 ˝ ˝ yn j yi 2 Hi ; i D 1; : : : ; ng/ ; versehen mit dem Skalarprodukt hy1 ˝ ˝ yn j z1 ˝ ˝ zn i WD hy1 j z1 i hyn j zn i
.7:47/
und lineare Fortsetzung auf Linearkombinationen wird zu einem Prähilbertraum H1 ˝ ˝ Hn ; den man als das algebraische Tensorprodukt von H1 ; : : : ; Hn bezeichnet. Seine Elemente werden als Tensoren n-ter Stufe bezeichnet. O ˝H O n gemäß Theorem 7.16 von H1 ˝ ˝ Hn d. Die Vervollständigung H1 ˝ heißt das H ILBERT-Tensorprodukt von H1 ˝ ˝ Hn . Solche mehrfachen Tensorprodukte werden z. B. für die Konstruktion des F OCKraums der Quantenfeldtheorie benötigt (vgl. etwa [38, 73]). Das H ILBERT-Tensorprodukt von separablen H ILBERTräumen ist ebenfalls separabel, wie z. B. aus folgendem Satz hervorgeht: Satz 7.21. Seien Hi separable H ILBERTräume mit Orthonormalbasen fe ik j k 2 Ng; i D 1; : : : ; n. Dann ist ˚ 1 e i1 ˝ ˝ e nin j ik 2 N ; 1 k n O ˝H O n. eine Orthonormalbasis von H1 ˝ Beweis. Zunächst erinnern wir an den aus der Theorie der F OURIERreihen bekannten Ausdruck für den Fehler bei der F OURIERentwicklung (vgl. etwa [36], Kap. 29): Ist H ein beliebiger H ILBERTraum, fvk j k 2 Ng ein Orthonormalsystem in H; n X z 2 H ein beliebiger Vektor, so gilt für die Partialsummen sn D hvk j zivk : kD1
kz sn k2 D kzk2
n X kD1
jhvk j zij2 :
(7.49)
220
7 BANACH - und H ILBERTräume
Nun zum eigentlichen Beweis! Es genügt, ihn für n D 2 zu führen. Seien also fe k j k 2 Ng eine Orthonormalbasis von H1 ; ff j j j 2 Ng eine Orthonormalbasis von H2 . Dann ist natürlich e k ˝ f j 2 H1 ˝ H2 . Weiter folgt mit (7.47) he k ˝ f i j e l ˝ f j i D he k j e l ihf i j f j i D ıkl ıij ;
(7.50)
O 2 ; so dass nur d. h. B WD fe k ˝ f i j i; k 2 Ng ist ein Orthonormalsystem in H1 ˝H noch die Vollständigkeit von B zu zeigen bleibt. Dazu betrachten wir S WD LH.B/ ;
(7.51)
b H2 zeigen müssen. Hierfür genügt es aber H1 ˝ H2 S zu so dass wir S D H1 ˝ zeigen, weil (nach Definition der Vervollständigung) O 2 H1 ˝ H2 D H1 ˝H ist. Sei also x ˝ y 2 H1 ˝ H2 ; x 2 H1 ; y 2 H2 ; beliebig. Dann gilt X X k e k mit jk j2 D kxk2 ; xD k
yD
X
k
i f i
mit
i
X
ji j2 D kyk2 :
i
Daher ist nach (7.47) und den Rechenregeln für absolut konvergente Reihen X jk i j2 : kx ˝ yk2 D kxk2 kyk2 D i;k
Die Zahlen k i sind auch die F OURIERkoeffizienten von x ˝ y in Bezug auf das Orthonormalsystem B; wie man wieder mit (7.47) bestätigt. Setzt man also sn;m WD
n X m X
k i e k ˝ f i ;
kD1 i D1
so folgt aus (7.49) lim
m;n!1
kx ˝ y sm;n k D 2
lim
n;m!1
kx ˝ yk 2
n X m X
! jk i j
2
D0;
kD1 i D1
also x ˝ y 2 S . Damit ergibt sich H1 ˝ H2 S; also die Behauptung.
t u
Der letzte Satz zeigt, wie man sich des praktischerPdie Elemente P Tensorprodukts 1 2 1 2 D a e ; v D b e werden neue Vektoren weise vorstellt: Aus Vektoren v k k k l l l P 1 2 c e ˝ e gebildet, wobei das Tensorkreuz ˝ sich rechnerisch wie ein Prok;l kl k l dukt verhält. Die Bilinearformen, mit denen das Tensorprodukt anfangs definiert wurde, sind – ähnlich wie die Äquivalenzklassen bei der Bildung der Lp -Räume –
Aufgaben
221
nur ein logischer Trick, der dafür sorgt, dass ein konkretes mathematisches Objekt aufgewiesen wird, das die gewünschten rechnerischen Eigenschaften besitzt. Das Tensorprodukt von Funktionenräumen kann meist mit einem Funktionenraum desselben Typs identifiziert werden, wobei sich allerdings die Anzahl der Variablen entsprechend erhöht, von denen die Funktionen abhängen. Wir formulieren dies jetzt präzis für den Fall der Räume vom Typ L2 .S /; der für die physikalischen Anwendungen besonders wichtig ist. Der Beweis wird im Rahmen der Integrationstheorie in einem etwas allgemeineren Zusammenhang geführt (Satz 10.47). Satz 7.22. Seien S1 Rn ; S2 Rm messbare Teilmengen. a. Dann existiert ein eindeutig bestimmter isometrischer Isomorphismus O 2 .S2 / ! L2 .S1 S2 / U W L2 .S1 /˝L mit U.f ˝ g/ D h wo h.x; y/ WD f .x/g.y/
(7.52)
für f 2 L .S1 /; g 2 L .S2 /. Wir schreiben daher f ˝ g für die Funktion h D U.f ˝ g/. b. Ist .e m / eine Orthonormalbasis von L2 .S1 /; .f n / eine Orthonormalbasis von L2 .S2 /; so ist fe m ˝ f n j m; n 2 Ng (7.53) 2
2
eine Orthonormalbasis von L2 .S1 S2 /.
Aufgaben zu Kap. 7 7.1. Man zeige: Ist U ein linearer Teilraum eines normierten linearen Raums V; so ist der Abschluss U ebenfalls ein linearer Teilraum. 7.2. Für p 1 und Punkte x D .x1 ; : : : ; xn /; y D .y1 ; : : : ; yn / 2 Kn gilt stets n X
!1=p jxk C yk j
p
kD1
n X
!1=p jxk j
p
C
kD1
n X
!1=p jyk j
p
(7.54)
kD1
(M INKOWSKIsche Ungleichung für endliche Summen). Dies sei als bekannt vorausgesetzt. a. Man zeige, dass die Formel kxkp WD
n X
!1=p jxk j
p
kD1
eine Norm auf Kn definiert. b. Für welche Werte von p gilt dabei die Parallelogrammgleichung?
(7.55)
222
7 BANACH - und H ILBERTräume
c. Man beweise: lim kxkp D kxk1 WD max jxk j
p!1
(7.56)
1kn
für alle x D .x1 ; : : : ; xn / 2 Kn . (Hinweis: Man nehme zunächst an, es ist kxk1 D 1. Für diesen Fall betrachte man die Terme mit jxk j D 1 und die mit jxk j < 1 getrennt.) 7.3. a. Es sei X Rn eine beliebige nichtleere Teilmenge (oder allgemeiner: ein beliebiger metrischer Raum). Mit BC.X / bezeichnen wir den K-Vektorraum der stetigen beschränkten Funktionen f W X ! K; versehen mit der Norm kf k1 WD sup jf .x/j : x2X
Man zeige, dass BC.X / ein BANACHraum ist. b. Es sei Cc .Rn / die Menge der stetigen Funktionen u W Rn ! K; die außerhalb einer kompakten Menge verschwinden. Man zeige, dass dies ein linearer Teilraum von BC.Rn / ist. c. Man zeige: Der Abschluss von Cc .Rn / in BC.Rn / ist der Raum C0 .Rn / der stetigen Funktionen u W Rn ! K; für die gilt: lim u.x/ D 0 :
jxj!1
d. Man folgere, dass C0 .Rn / ein BANACHraum ist. 7.4. Es sei Œa; b R ein kompaktes Intervall (a < b), und C 1 .Œa; b/ sei der Vektorraum der einmal stetig differenzierbaren Funktionen auf Œa; b. Man zeige: a. Mit der Norm kf k1;0 WD max jf .x/j axb
1
ist C .Œa; b/ nicht vollständig. b. Mit der Norm kf k1;1 WD max.kf k1;0 ; kf 0 k1;0 / ist C 1 .Œa; b/ vollständig, also ein BANACHraum. c. Auf dem Raum C n .Œa; b/ der n-mal stetig differenzierbaren Funktionen auf Œa; b hat man die Normen kf k1;m WD max.kf k1;0 ; kf 0 k1;0 ; : : : ; kf .m/ k1;0 / für 0 m n. Mit k k1;n ist C n .Œa; b/ ein BANACHraum, mit k k1;m für m < n jedoch ein unvollständiger NLR. 7.5. Zwei Normen k k1 und k k2 auf einem K-Vektorraum E heißen äquivalent, wenn es Konstanten c2 c1 > 0 gibt, so dass c1 kxk1 kxk2 c2 kxk1
für alle x 2 E.
Mit Hilfe von Lemma 7.8 zeige man: Auf einem endlich-dimensionalen K-Vektorraum sind alle Normen äquivalent.
Aufgaben
223
7.6. In einem unendlich-dimensionalen K-Vektorraum sind nicht alle Normen äquivalent. Sei dazu E der R-Vektorraum der stetigen Funktionen f W Œ1; 1 ! R mit den beiden Normen Z1 kf k1 WD sup jf .t/j ; 1t 1
kf k1 WD
jf .t/j dt : 1
Man zeige an einem Beispiel, dass diese Normen nicht äquivalent sind. 7.7. Seien k k1 ; k k2 äquivalente Normen auf einem K-Vektorraum E; und seien E1 ; E2 die entsprechenden normierten linearen Räume. Man zeige: a. Eine Folge .xn / aus E ist genau dann konvergent (bzw. C AUCHYfolge) in E1 ; wenn .xn / konvergent (bzw. C AUCHYfolge) in E2 ist. b. E1 ist genau dann ein BANACHraum, wenn E2 ein BANACHraum ist. 7.8. Sei l 2 der H ILBERTraum aus Beispiel 7.6f, und sei B WD fej j j 2 Ng die Menge seiner kanonischen Einheitsvektoren ej WD .ıjk /k1 : Man zeige:
p a. kei ej k D 2ıij . b. B ist abgeschlossen und beschränkt. c. B ist nicht kompakt.
7.9. Sei H ein reeller PHR, und sei G H eine (affine) Gerade in H; d. h. G D fa C th j t 2 Rg mit einem gegebenen Punkt a 2 H und einem gegebenen Vektor 0 ¤ h 2 H . Man zeige: Für x 2 H und z 2 G ist die Bedingung kx zk D min kx vk v2G
äquivalent zu x z ? z a. (Hinweis: Die Funktion g.t/ WD kx a thk2 ist beliebig oft differenzierbar (wieso?), erlaubt also Kurvendiskussion.) 7.10. Seien H1 ; H2 H ILBERTräume der endlichen Dimensionen n1 bzw. n2 . Man zeige: O 2; H1 ˝ H2 D H1 ˝H und dieser H ILBERTraum hat die Dimension n1 n2 . (Hinweis: Man betrachte Orthonormalbasen!)
Kapitel 8
Beschränkte lineare Operatoren
In diesem Kapitel betrachten wir lineare Abbildungen T W E ! F zwischen normierten linearen Räumen E und F; wobei dem Fall der H ILBERTräume besondere Aufmerksamkeit geschenkt wird. Sind die Räume unendlich-dimensional, so gibt es Besonderheiten, die in der elementaren linearen Algebra keine Rolle gespielt haben. Entsprechende Begriffe und Resultate werden in den Abschn. A–E in einem abstrakten Rahmen entwickelt, denn es ist – besonders für die Quantenmechanik – wichtig, mitzuerleben, dass man mit Operatoren ähnlich wie mit Zahlen rechnen und dabei zu tragfähigen Ergebnissen gelangen kann, auch wenn eine konkrete Bedeutung der Operatoren nicht spezifiziert ist. Die Aufgaben enthalten jedoch auch eine Reihe von illustrierenden Beispielen. Überdies beschließen wir das Kapitel in Abschn. F damit, dass wir die F OURI ERtransformation als linearen Operator behandeln und einige ihrer wichtigsten Eigenschaften in der Sprache der Funktionalanalysis formulieren.
A Beschränkte lineare Operatoren und Funktionale Wir beginnen mit der Wiederholung einiger Grundbegriffe: Definitionen 8.1. Seien E; F normierte lineare Räume über demselben Körper K und sei D.A/ E ein linearer Teilraum. Dann heißt eine lineare Abbildung A W D.A/ ! F
(auch A W E D.A/ ! F geschrieben)
ein linearer Operator aus E nach F mit – –
Definitionsbereich D.A/ E ; Wertebereich oder Bild R.A/ WD fy 2 F j y D Ax
für ein x 2 D.A/g F ;
K.-H. Goldhorn, H.-P. Heinz, M. Kraus, Moderne mathematische Methoden der Physik DOI 10.1007/978-3-540-88544-3, © Springer 2009
225
226
–
8 Beschränkte lineare Operatoren
Graph G.A/ WD f.x; Ax/ j x 2 D.A/g E F ;
–
Kern oder Nullraum N.A/ WD fx 2 D.A/ j Ax D 0g E : Im Falle F D K heißt ein linearer Operator f W D.f / ! K ;
D.f / E ;
ein lineares Funktional oder eine Linearform. Die folgenden Aussagen werden im Rahmen der elementaren linearen Algebra bewiesen (vgl. z. B. [36], Kap. 7). Ob die beteiligten Vektorräume endliche oder unendliche Dimension haben, spielt für diese Aussagen absolut keine Rolle. Satz 8.2. Für jeden linearen Operator A W E D.A/ ! F gilt: a. Der Wertebereich R.A/ ist ein linearer Teilraum von F . b. Der Nullraum (Kern) N.A/ ist ein linearer Teilraum von E. c. A ist injektiv genau dann, wenn N.A/ D f0g. In diesem Fall existiert der inverse Operator A1 W F D.A1 / ! E mit
D.A1 / D R.A/
und R.A1 / D D.A/ ;
und er ist ebenfalls ein linearer Operator. Lineare Abbildungen zwischen endlich-dimensionalen Räumen sind einleuchtenderweise stetige Funktionen (s. u. Korollar 8.5). In unendlich-dimensionalen normierten linearen Räumen ist dies i. A. nicht der Fall. Vielmehr bilden die stetigen linearen Operatoren eine Teilklasse. Satz 8.3. a. Für lineare Operatoren A W E D.A/ ! F sind die folgenden vier Bedingungen äquivalent: (i) (ii)
A bildet beschränkte Mengen aus D.A/ in beschränkte Mengen aus F ab. Die Größe kAk WD
sup x2D.A/ x¤0
(iii)
kAxk D kxk
sup kAxk D x2D.A/ kxk1
sup kAxk
(8.1)
x2D.A/ kxkD1
ist endlich. Es gibt eine Konstante C 0; so dass kAxk C kxk für alle x 2 D.A/.
(8.2)
A Beschränkte lineare Operatoren und Funktionale
(iv)
227
A ist in ganz D.A/ stetig.
b. Die durch (8.1) definierte Größe kAk erfüllt auf dem Vektorraum B.E; F / der stetigen linearen Operatoren A W E ! F die Normaxiome, macht diesen also zu einem NLR. Ferner gilt kAxk kAk kxk
(8.3)
für alle x 2 E; A 2 B.E; F /. Beweis. a. Zunächst macht man sich klar, dass die drei in (8.1) angegebenen Suprema gleich sind. Das beruht auf der Beziehung A.x/ D Ax ;
2K
und ist eine leichte Übung. Damit sind die Implikationen (iii) H) (i) H) (ii) aber trivial. Gilt (ii), so erhalten wir sofort (iii), indem wir setzen: C WD sup x2D.A/ x¤0
kAxk : kxk
Somit sind (i)–(iii) äquivalent. Aus (iii) folgt für x0 ; x 2 D.A/ aber kAx Ax0 k D kA.x x0 /k C kx x0 k ; woraus die Stetigkeit folgt (sogar gleichmäßige Stetigkeit!). Ist schließlich (iv) vorausgesetzt, so können wir zu x0 D 0 und " D 1 ein ı > 0 finden, für das gilt: kx 0k < ı H) kAx A0k < 1 ; d. h. kxk < ı H) kAxk < 1 : Wegen der Linearität von A folgt hieraus sup kAxk x2D.A/ kxk1
1 <1 ı
und damit (ii). b. ist ebenfalls eine leichte Übung. t u Dieser Satz legt die folgende, allgemein übliche Terminologie nahe: Definitionen 8.4. a. Ein linearer Operator A W E D.A/ ! F heißt beschränkt, wenn für ihn die äquivalenten Bedingungen aus Satz 8.3a. erfüllt sind. Die durch (8.1) definierte Zahl kAk heißt dann seine Operatornorm oder kurz seine Norm.
228
8 Beschränkte lineare Operatoren
b. Ein lineares Funktional f W E D.f / ! K heißt beschränkt, wenn f als linearer Operator aus E in K beschränkt ist. In diesem Fall heißt kf k WD
jf .x/j D sup jf .x/j 06Dx2D.f / kxk x2D.f / sup
(8.4)
kxkD1
die Norm des linearen Funktionals f . Korollar 8.5. Jeder lineare Operator, dessen Definitionsbereich endliche Dimension hat, ist stetig. Beweis. Wir wählen eine Basis fe 1 ; : : : ; e n g des Definitionsbereichs D.A/ und bestimmen dann eine Konstante C > 0 gemäß Lemma 7.8. Ferner setzen wir M WD max kAe k k : 1kn
Für beliebiges x D ˛1 e 1 C C ˛n e n 2 D.A/ ist dann n X
j˛k j
kD1
und daher
1 kxk C
n n X X kAxk D ˛k Ae k j˛k j kAe k k kD1 n X
M
kD1
j˛k j
kD1
M kxk : C
Also ist A beschränkt und damit stetig.
t u
Die Übungen enthalten verschiedene Beispiele von beschränkten und unbeschränkten linearen Operatoren. Die Verkettung von zwei linearen Abbildungen ist bekanntlich wieder linear, und die Verkettung von zwei stetigen Abbildungen ist stetig. Für stetige lineare Operatoren A; B ergibt die Verkettung BA B ı A also wieder einen stetigen linearen Operator. Genauer haben wir: Korollar 8.6. Sind E; F; G normierte lineare Räume, A 2 B.E; F /; B 2 B.F; G/ beschränkte lineare Operatoren, so ist die Verkettung BA 2 B.E; G/ und für ihre Operatornorm gilt kBAk kBk kAk : (8.5)
A Beschränkte lineare Operatoren und Funktionale
229
Dies folgt unmittelbar aus (8.1) und (8.3), wird jedoch als Rechenregel bei Abschätzungen oft benötigt. In den Anwendungen hat man häufig den Fall, dass ein linearer Operator A aus einem BANACHraum E in einen BANACHraum F zunächst nur auf einem dichten Teilraum D.A/ E; D.A/ D E; definiert ist. Ist A beschränkt, so kann A als beschränkter Operator auf ganz E fortgesetzt werden. Theorem 8.7 (BLE-Theorem). Sei E ein NLR, F ein BANACHraum, und sei T W E D.T / ! F
mit D.T / D E
ein dicht definierter beschränkter linearer Operator. Dann existiert eine eindeutige lineare Fortsetzung TO W E ! F von T; d. h. TO x D T x
für x 2 D.T /;
und für ihre Operatornorm gilt kTO k D kT k. Beweis. Der Beweis besteht darin, T auf die Häufungspunkte von D.T / fortzusetzen. Sei also x 2 D.T / D E : Dann gibt es xn 2 D.T /
mit xn ! x :
Da T linear und stetig ist, gilt kT xn T xm k D kT .xn xm /k kT k kxn xm k ; d. h. .T xn / ist eine C AUCHYfolge in F und daher konvergent, weil F nach Voraussetzung vollständig ist. Wir definieren TO x WD
lim T xn
n!1
für xn ! x :
(8.6)
Wir müssen zeigen, dass dadurch ein beschränkter linearer Operator TO auf ganz E wohldefiniert wird. a. TO ist wohldefiniert: Seien xn ; zn 2 D.T / mit xn ! x
und zn ! x
gegeben. Dann setzen wir vn WD xn zn . Es folgt lim vn D lim xn lim zn D 0 ;
n!1
n!1
n!1
also wegen der Stetigkeit von T auch limn!1 T vn D 0 und damit lim T xn D lim T zn ;
n!1
n!1
230
8 Beschränkte lineare Operatoren
d. h. der Grenzwert in (8.6) ist unabhängig von der approximierenden Folge .xn /. Daher ist durchˇ (8.6) eindeutig eine Abbildung TO W E ! F definiert. ˇ D T; denn für x 2 D.T / kann man als approximieDiese erfüllt auch TO ˇ D.t /
rende Folge die konstante Folge xn x wählen. b. TO ist linear: Gelte dazu: xn ! x ;
zn ! z
mit xn ; zn 2 D.T /; x; z 2 E
und seien ˛; ˇ 2 K. Dann gilt ˛xn C ˇzn ! ˛x C ˇz und daher nach (8.6) TO .˛x C ˇz/ D lim T .˛xn C ˇzn / n!1
D ˛ lim T xn C ˇ lim T zn D ˛ TO x C ˇ TO z : n!1
n!1
c. TO ist beschränkt: Gelte dazu xn ! x ; Dann gilt wegen
also
T xn ! TO x :
kT xn k ! kTO xk j kTO xk kT xn k j kTO x T xn k ! 0 :
Aus kT xn k kT k kxn k ! kT k kxk folgt also kTO xk kT k kxk für beliebiges x 2 E. Somit ist TO beschränkt und kTO k kT k nach Definition der Operatornorm. Aber kTO k kT k ist klar, weil TO eine Fortsetzung von T ist. d. Zur Eindeutigkeit: Ist TQ irgendeine stetige Fortsetzung von T auf ganz E und ist x D limn!1 xn mit xn 2 D.T /; so haben wir wegen der Stetigkeit TQ x D lim TQ xn D lim T xn ; n!1
n!1
d. h. auch TQ ist durch (8.6) gegeben. Das ist also die einzige Möglichkeit.
t u
Auf Grund dieses Satzes kann man immer annehmen, dass ein dicht definierter beschränkter linearer Operator A aus E in F schon auf ganz E definiert ist. Das unterstreicht die Bedeutung des in Satz 8.3b. eingeführten normierten linearen Raums B.E; F /. Wichtig ist, dass dieser Raum selbst ein BANACHraum ist, wenn F ein BANACHraum ist. Satz 8.8. Sei E ein beliebiger NLR. Ist F ein BANACHraum, so ist B.E; F / ebenfalls ein BANACHraum.
A Beschränkte lineare Operatoren und Funktionale
231
Beweis. Sei .Tn / eine C AUCHYfolge in B.E; F /; d. h. zu " > 0 gibt es ein n0 2 N; so dass für alle n; m n0 : kTn Tm k < " Wegen kTn x Tm xk kTn Tm k kxk < "kxk
(8.7)
für jedes x 2 E ist dann .Tn x/ eine C AUCHYfolge in F und daher konvergent, weil F vollständig ist. Zu jedem x 2 E gibt es also ein y 2 F; so dass T x WD y D
lim Tn x :
n!1
(8.8)
Da der Limes eindeutig ist, definiert (8.8) einen linearen Operator T W E ! F . Ferner folgt aus (8.8), wenn wir in (8.7) mit m ! 1 gehen: kTn x T xk " kxk
für n n0 :
(8.9)
Daraus bekommen wir dann kT xk kTn0 xk C kT x Tn0 xk < .kTn0 k C "/ kxk ; d. h. T ist ein beschränkter linearer Operator. Bilden wir in (8.9) außerdem das Supremum über alle x 2 E; kxk D 1; so folgt aus (8.1) in Satz 8.3: kTn T k "
für alle n n0 ;
d. h. es gilt Tn ! T
in B.E; F / : t u
Ist T W E ! F beschränkt und injektiv, so existiert der inverse Operator T 1 W F R.T / ! E; ist jedoch i. A. kein beschränkter Operator. Das folgende einfache Kriterium sichert die Stetigkeit von T 1 : Satz 8.9. Genau dann besitzt T W E ! F einen beschränkten inversen Operator T 1 W R.T / ! E; wenn es eine Konstante c > 0 gibt, so dass kT xk c kxk
für alle x 2 E :
(8.10)
Beweis. Aus (8.10) folgt sofort: T x D 0 H) x D 0 ; d. h. T ist injektiv und damit existiert T 1 W R.T / ! E. Um zu zeigen, dass T 1 beschränkt ist, betrachten wir y 2 R.T / und wenden (8.10) auf x WD T 1 y an. Das ergibt: 1 1 kT xk D kyk ; kT 1 yk D kxk c c
232
8 Beschränkte lineare Operatoren
also ist T 1 in der Tat beschränkt. Die Umkehrung folgt direkt durch Anwendung t u von (8.2) auf den Operator T 1 . Der folgende Satz verallgemeinert die geometrische Reihe. Er wird später – in der Spektraltheorie – eine fundamentale Rolle spielen. Es geht dabei um Operatoren, die nicht zu sehr vom identischen Operator I W E ! E ;
Ix D x
(8.11)
abweichen. Bevor wir ihn formulieren, müssen wir aber ein Wort über unendliche einschieben: Reihen in BANACHräumen P Bei einer Reihe k xk von Vektoren xk eines normierten linearen Raums sagt man, wie üblich, dass die Reihe konvergiert, wenn der Limes n X
s WD lim
n!1
xk
kD1
im Sinne der starken Konvergenz existiert, und man bezeichnet diesen Limes dann als die Summe 1 X xk : sD kD1
Außerdem sagt man, die Reihe konvergiert absolut, wenn 1 X
kxk k < 1 :
kD1
Lemma 8.10. In einem BANACHraum ist jede absolut konvergente Reihe auch konvergent. Dabei gilt: 1 1 X X xk kxk k : (8.12) kD1
kD1
Der aus der elementaren Analysis bekannte Beweis, der auf dem C AUCHYschen Konvergenzkriterium beruht, lässt sich wörtlich auf diese Situation übertragen. Nun zu dem angekündigten Satz: Theorem 8.11. Sei T 2 B.E/ B.E; E/ und kT k < 1. Dann existiert .I T /1 als beschränkter Operator auf ganz E und es gilt die Darstellung durch die N EU MANN sche Reihe .I T /1 D
1 X
T j WD
j D0
lim
n!1
n X
Tj
(8.13)
j D0
im Sinne der Operatornorm auf B.E/. Dabei ist k.I T /1 k
1 : 1 kT k
(8.14)
B Beschränkte lineare Funktionale auf normierten linearen Räumen
233
Beweis. Setze q WD kT k. Wegen (8.5) ist kT j k kT kj D q j
8j ;
d. h. diePgeometrische Reihe ist eine konvergente Majorante für die N EUMANNsche Reihe j T j . Nach Satz 8.8 ist B.E/ ein BANACHraum, und auf diesen BA NACH raum können wir Lemma 8.10 anwenden. Daher existiert die Reihensumme S WD
1 X
Tj :
(8.15)
j D0
Für die Partialsummen Sn WD
n X
T j folgt
j D0
Sn .I T / D I CT C T 2 C T 3 C C T n T T 2 T 3 T nC1 D I T nC1 und ebenso .I T /Sn D I T nC1 . Für n ! 1 liefert das S.I T / D .I T /S D I ; also S D .I T /1 . Abschätzung (8.14) folgt nun aus (8.12) und der Summenformel für die geometrische Reihe. t u
B Beschränkte lineare Funktionale auf normierten linearen Räumen Wir gehen kurz auf einige Besonderheiten der stetigen linearen Funktionale ein, die für das tiefere Verständnis der normierten linearen Räume von grundlegender Bedeutung sind. Definition 8.12. Sei E ein NLR. Der topologische Dualraum (kurz: Dualraum)1 von E ist der BANACHraum E 0 D B.E; K/ der beschränkten linearen Funktionale f W E ! K. Die hier behauptete Vollständigkeit von E 0 folgt sofort aus Satz 8.8. Das Wichtigste am topologischen Dualraum ist, dass er stets genug Elemente enthält, um die Punkte von E voneinander zu unterscheiden. Genauer: Im Gegensatz dazu ist der algebraische Dualraum E definiert als der Vektorraum aller linearen Abbildungen E ! K. Er spielt jedoch nur eine untergeordnete Rolle.
1
234
8 Beschränkte lineare Operatoren
Satz 8.13. Zu zwei verschiedenen Punkten x1 ; x2 2 E gibt es immer eine stetige Linearform f 2 E 0 mit f .x1 / ¤ f .x2 / : Zum Beweis wendet man auf x0 WD x1 x2 den folgenden fundamentalen Satz an: Theorem 8.14 (Satz von H AHN -BANACH). Sei E ein beliebiger NLR ¤ f0g. Zu jedem x0 2 E gibt es ein f 2 E 0 mit f .x0 / D kx0 k
und kf k D 1 :
Der Beweis beginnt mit der Setzung f0 .x0 / WD kx0 k für 2 K. Damit ist auf U0 WD LH.x0 / ein lineares Funktional f0 definiert, das die geforderten Eigenschaften besitzt. Dieses setzt man nun unter Erhaltung der Operatornorm auf immer größere lineare Teilräume fort, bis der Gesamtraum E als Definitionsbereich erreicht ist. Für Einzelheiten verweisen wir auf die Lehrbücher der Funktionalanalysis. Anmerkung 8.15. Der Satz von H AHN -BANACH gestattet es, einen einfachen Beweis für die Existenz der Vervollständigung (Thm. 7.16) zu geben. Dazu beachten wir, dass der Dualraum V 0 des gegebenen NLR V selbst auch ein NLR ist, also wieder einen Dualraum V 00 WD .V 0 /0 D B.V 0 ; K/ hat. Man nennt V 00 den Bidual von V; und er ist, wie in 8.12 festgestellt, ein BA NACH raum. Jeder Vektor x 2 V definiert nun in natürlicher Weise eine Abbildung 'x W V 0 ! K; nämlich die Auswertung der Linearformen f 2 V 0 an der Stelle x: 'x .f / WD f .x/ ;
f 2 V0 :
Diese Abbildung gehört zu V 00 ; denn erstens ist sie linear: 'x .f C g/ D .f C g/.x/ D f .x/ C g.x/ D 'x .f / C 'x .g/ ; und weiter ist sie dann nach Satz 8.3a. auch stetig, und zwar mit k'x k kxk; denn für alle f 2 V 0 ist j'x .f /j D jf .x/j kxk kf k : Ordnen wir nun jedem x 2 V die entsprechende Auswertungsabbildung 'x zu, so definiert dies eine Abbildung T W V ! V 00 W x 7! T x D 'x : Die Linearität der Funktionen f hat zur Folge, dass auch die Abbildung T linear ist. Für x; y 2 V; ; 2 K ist nämlich T .x C y/ D T x C T y ;
C Beschränkte Formen und adjungierter Operator
235
denn für jedes beliebige f 2 V 0 ergibt die Linearform auf der linken Seite den Wert f .x C y/; die auf der rechten Seite aber den Wert f .x/ C f .y/; und diese beiden Werte stimmen überein, weil f linear ist. Somit ist T eine stetige lineare Abbildung V ! V 00 . Der Satz von H AHN -BANACH liefert nun aber zu jedem x 2 V ein f 2 V 0 mit kf k D 1 und 'x .f / D f .x/ D kxk. Daher ist kT xk D sup j'x .f /j kxk f 2V 0 kf kD1
und somit kT xk D kxk. Das heißt die Abbildung T ist sogar eine lineare Isometrie und insbesondere injektiv. Wir definieren nun die Vervollständigung E von V als den Abschluss von T .V / in dem vollständigen Raum V 00 . Dann ist E als abgeschlossener Unterraum eines BANACHraums vollständig und T .V / dicht in E; wie verlangt. t u
C Beschränkte Formen auf H ILBERTräumen und der adjungierte Operator Im Folgenden seien immer H; H1 ; H2 H ILBERTräume über demselben Skalarbereich K. Wir schreiben aber alles für K D C auf – im reellen Fall vereinfachen sich die Dinge in offensichtlicher Weise, da das komplexe Konjugieren entfällt. Offenbar ist für jedes feste z 2 H durch fz .x/ WD hz j xi ein beschränktes lineares Funktional auf H definiert, wie sofort mit der S CHWARZschen Ungleichung folgt. Es gilt sogar die Umkehrung: Theorem 8.16 (R IESZscher Darstellungssatz). Zu jedem beschränkten linearen Funktional f W H ! K (also f 2 H 0 ) gibt es ein eindeutiges z 2 H; so dass f .x/ D hz j xi
für alle x 2 H :
(8.16)
Dabei gilt kf k D kzk ;
(8.17)
0
d. h. H und H sind isometrisch isomorph. Beweis. Da f stetig ist, ist U WD N.f / ein abgeschlossener Unterraum von H . Wir haben daher die durch Thm. 7.13a. gegebene Zerlegung H D N.f / ˚ N.f /? : Ist N.f /? D f0g; so ist f D 0; und dann gilt (8.16) mit z D 0. Anderenfalls aber gibt es z0 2 N.f /? mit f .z0 / 6D 0 :
236
8 Beschränkte lineare Operatoren
Zu gegebenem x 2 H betrachten wir den Vektor v WD f .x/z0 f .z0 /x : Er gehört zu N.f /; denn f .v/ D f .x/f .z0 /f .z0 /f .x/ D 0. Wegen z0 2 N.f /? gilt also (8.18) 0 D hz0 j vi D f .x/ kz0 k2 f .z0 / hz0 j xi : Lösen wir (8.18) nach f .x/ auf, so folgt: f .x/ D
f .z0 / hz0 j xi D kz0 k2
f .z0 /
ˇ z0 ˇˇ x ; kz0 k2 ˇ
was die Existenz eines z zeigt, das (8.16) erfüllt, nämlich z0 z WD f .z0 / : kz0 k2
(8.19)
Gäbe es z1 ; z2 2 H; so dass hz1 j xi D f .x/ D hz2 j xi
für alle x 2 H;
so folgte z1 z2 2 H ? D f0g; also z1 D z2 . Das zeigt die Eindeutigkeit von z in (8.16). Um (8.17) zu zeigen, bemerken wir zunächst, dass aus (8.16) mit der S CHWARZschen Ungleichung jf .x/j D jhz j xij kzk kxk
für alle x 2 H;
also kf k kzk folgt. Andererseits ist kzk2 D hzjzi D f .z/ kf k kzk ; woraus kf k kzk folgt.
t u
Bemerkung: Kombiniert man (8.17) mit der Definition der Norm in H 0 (vgl. (8.4)), so erhält man kzk D sup jhzjxij D sup jhzjxij : kxkD1
(8.20)
kxk1
Diese Formel für die Norm in einem H ILBERTraum ist zwar trivial, wird jedoch oft benötigt. Ein Skalarprodukt ist ein Spezialfall einer sogenannten Sesquilinearform. Definitionen 8.17. Eine Abbildung h W H1 H2 ! C heißt eine beschränkte Sesquilinearform, wenn h.x; ˛1 y1 C ˛2 y2 / D ˛1 h.x; y1 / C ˛2 h.x; y2 / ;
(8.21)
h.˛1 x1 C ˛2 x2 ; y/ D ˛ 1 h.x1 ; y/ C ˛2 h.x2 ; y/
(8.22)
C Beschränkte Formen und adjungierter Operator
237
und wenn es eine Konstante C 0 gibt, so dass jh.x; y/j C kxk1 kyk2 für alle x; x1 ; x2 2 H1 ; y; y1 ; y2 2 H2 und ˛1 ; ˛2 2 C. Dann heißt ˇ jh.x; y/j ˇˇ ; 0 D 6 y 2 H khk WD sup 0 D 6 x 2 H 1 2 kxk1 kyk2 ˇ
(8.23)
(8.24)
die Norm von h. Die Wichtigkeit der Sesquilinearformen rührt davon her, dass zwischen den beschränkten linearen Operatoren S 2 B.H2 ; H1 / einerseits und den beschränkten Sesquilinearformen auf H1 H2 andererseits eine bijektive Korrespondenz besteht, so dass man bei Bedarf immer einen Operator durch seine Sesquilinearform ersetzen kann und umgekehrt. Für S 2 B.H2 ; H1 / ist nämlich durch h.x; y/ D hx j Syi1
für alle x 2 H1 ; y 2 H2
(8.25)
eine beschränkte Sesquilinearform definiert, wie man mühelos nachrechnet (Übung!). Dass hierdurch eine bijektive Abbildung gestiftet wird, ist der Inhalt des folgenden Theorems. Theorem 8.18 (Allgemeiner Darstellungssatz). Zu jeder beschränkten Sesquilinearform h W H1 H2 ! C existiert ein eindeutiger beschränkter linearer Operator S W H2 ! H1 ; so dass Gl. (8.25) besteht. Dabei gilt kS k D khk : (8.26) Beweis. Für festes y 2 H2 ist fy .x/ WD h.x; y/ ;
x 2 H1
ein beschränktes lineares Funktional auf H1 . Nach Thm. 8.16 gibt es dann ein eindeutiges z 2 H1 ; so dass h.x; y/ D hz j xi
für alle x 2 H1 .
Die Zuordnung y 7! z DW Sy definiert also eine wohlbestimmte Abbildung S W H2 ! H1 . Diese hat alle geforderten Eigenschaften und ist hierdurch auch eindeutig bestimmt, wie man nachrechnet (Übung!). t u Die adjungierte lineare Abbildung, die für endlichdimensionale H ILBERT-Räume aus der linearen Algebra bekannt ist (z. B. aus [36], Kap. 7), lässt sich auch in beliebigen H ILBERTräumen einführen, und unser Allgemeiner Darstellungssatz gestattet hierfür eine besonders bequeme Formulierung:
238
8 Beschränkte lineare Operatoren
Theorem 8.19. Jeder beschränkte lineare Operator T W H ! H besitzt einen eindeutig bestimmten adjungierten Operator T W H ! H mit hT x j yi D hx j T yi Dabei ist
für alle x; y 2 H .
kT k D kT k :
(8.27) (8.28)
Beweis. Durch h.x; y/ D hT x j yi ;
x; y 2 H
ist eine beschränkte Sesquilinearform auf H H definiert mit khk D kT k : Nach Thm. 8.18 gibt es dann einen eindeutig bestimmten Operator T W H ! H mit h.x; y/ D hx j T yi ; und für diesen gilt kT k D khk.
t u
Aus der Definitionsgleichung (8.27) für den adjungierten Operator sowie der Eindeutigkeitsaussage von Thm. 8.19 ergeben sich wie in der Linearen Algebra die folgenden Eigenschaften (Übung): Satz 8.20. Seien S; T 2 B.H / und ˛ 2 C. Dann gilt: a.
.S C T / D S C T ;
.˛T / D ˛T ;
b.
.T / D T ;
c.
kT T k D kT T k D kT k2
.S T / D T S
Wichtig ist außerdem, dass man Kern und Bild (= Nullraum und Wertebereich) des adjungierten Operators mit Kern und Bild des ursprünglichen Operators in Beziehung setzen kann: Satz 8.21. Für jedes T 2 B.H / ist N.T / D R.T /? ;
N.T / D R.T /? ;
(8.29)
R.T / D N.T /? ;
R.T / D N.T /? :
(8.30)
Insbesondere ist H D N.T / ˚ R.T /. Beweis. y 2 N.T / H) für jedes z D T x 2 R.T / ist hz j yi D hx j T yi D 0 H) y 2 R.T /? . Umgekehrt: y 2 R.T /? H) für alle x 2 H ist hx j T yi D hT x j yi D 0 H) T y 2 H ? D f0g H) T y D 0 H) y 2 N.T /. Damit ist die erste Gleichung in (8.29) erwiesen. Die erste Gleichung aus (8.30) folgt daraus mittels Thm. 7.13b., angewandt auf den abgeschlossenen Unterraum U WD R.T /. Wegen Lemma 7.12b. ist nämlich N.T /? D .R.T /? /? D U ?? D U :
D H ERMITEsche und unitäre Operatoren
239
Die jeweils zweite Gleichung in (8.29), (8.30) folgt wegen T D T durch Anwent u dung der ersten auf T statt T . Bemerkung: Wahrscheinlich ist Ihnen auch dieser Satz für den Fall endlichdimensionaler H ILBERTräume bekannt, allerdings mit R.T / statt R.T /; R.T / statt R.T /. Das liegt daran, dass jeder endlich-dimensionale Teilraum sowieso abgeschlossen ist (Satz 7.10b.), so dass das Bilden der Abschlüsse entfallen kann. Die Räume N.T / und N.T / sind auch im Fall unendlicher Dimension stets abgeschlossen, weil T; T stetig sind, aber die Wertebereiche müssen es nicht sein und sind es in der Praxis häufig auch nicht.
D H ERMITEsche und unitäre Operatoren Sei H ein C-H ILBERTraum. Die folgenden Begriffe entsprechen ebenfalls bekannten Begriffen aus der Linearen Algebra: Definitionen 8.22. Ein Operator T 2 B.H / heißt a. – normal, wenn
T T D T T ;
b. – selbstadjungiert (= H ERMITEsch), wenn T D T ; c. – isometrisch, wenn hT x j T yi D hx j yi
für alle x; y 2 H;
d. – unitär, wenn T bijektiv und T D T 1 ist. Für selbstadjungierte Operatoren hat man dann folgende Aussagen: Satz 8.23. a. Ist T 2 B.H / selbstadjungiert, so ist hx j T xi reell für alle x 2 H; und es gilt kT k D sup jhx j T xij D sup jhx j T xij : kxkD1
(8.31)
kxk1
b. Sind S; T 2 B.H / selbstadjungiert, so ist S T genau dann selbstadjungiert, wenn S T D T S . c. Sind Tn 2 B.H / selbstadjungiert und gilt Tn ! T in B.H /; so ist T selbstadjungiert.
240
8 Beschränkte lineare Operatoren
Beweis. a. Ist T selbstadjungiert, so ist hx j T yi D hT y j xi D hy j T xi ;
x; y 2 H ;
d. h. hx j T yi C hy j T xi D 2Re hx j T yi ;
hx j T yi hy j T xi D 2iIm hx j T yi (8.32) und insbesondere hx j T xi 2 R. Um (8.31) zu beweisen, setzen wir WD sup jhx j T xij D sup jhx j T xij : kxkD1
kxk1
(Dass die beiden Suprema gleich sind, ist trivial.) Wegen jhx j T xij kxk kT xk kT k kxk2 ist klar, dass kT k gilt. Umgekehrt ist nach (8.20) kT k D sup kT yk D sup jhx j T yij : kykD1
kykD1 kxkD1
Wir haben also zu zeigen, dass kxk D kyk D 1 H) jhx j T yij :
. /
Zunächst einmal ergibt (8.32) durch Ausdistribuieren hx C y j T x C T yi D hx j T xi C 2Re hx j T yi C hy j T yi und daher hx C y j T x C T yi hx y j T x T yi D 4Re hx j T yi : Ferner beachten wir, dass für 0 ¤ v 2 H der Vektor w WD v=kvk die Norm 1 hat. Daher ist jhw j T wij ; also jhv j T vij kvk2 :
.
/
Nun betrachten wir beliebige x; y 2 H mit kxk D kyk D 1. Wir schreiben hx j T yi D jhx j T yij ei ; also jhx j T yij D hz j T yi ; wobei z WD e x ebenfalls die Norm 1 hat. Das ergibt i
4jhx j T yij D 4Re hz j T yi D hz C y j T z C T yi hz y j T z T yi
D H ERMITEsche und unitäre Operatoren
241
jhz C y j T .z C y/ij C jhz y j T .z y/ij ./
kz C yk2 C kz yk2 .7:3/ D 2kzk2 C 2kyk2 D 4 ; woraus . / folgt. b. Es ist nach Satz 8.20b. .S T / D S T ” T S D S T ” T S D S T : c. Für alle x; y 2 H und alle n 2 N haben wir hTn x j yi D hx j Tn yi : Wegen kT Tn k ! 0 ist aber T x D limn!1 Tn x und ebenso für y. Daher folgt hT x j yi D hx j T yi ; also T D T . t u Bemerkungen: (i) Für komplexe H ILBERTräume gilt auch die Umkehrung von Teil a.: Wenn hx j T xi für jedes x 2 H reell ist, so ist T selbstadjungiert. Das kann man durch ein paar geschickte Rechnungen beweisen, bei denen man zusammen mit zwei Vektoren x; y 2 H auch die Vektoren ix; iy betrachtet. Für reelle Räume ist es aber falsch. Schon in der Ebene H D R2 ist ein Gegenbeispiel gegeben durch die Drehung R um den Winkel =2. Es ist hx j Rxi D 0; also reell, für alle x 2 R2 . Aber R ist nicht selbstadjungiert, sondern orthogonal, d. h. R D RT ist die Drehung um =2. (ii) Bei Teil c. wurde eigentlich noch mehr bewiesen: Ist T x D lim Tn x n!1
8x 2 H
(„ starke Operatorkonvergenz“) und sind die Tn selbstadjungiert, so ist auch T selbstadjungiert. Für unitäre Operatoren hat man folgende Aussagen: Satz 8.24. a. U 2 B.H / ist genau dann unitär, wenn U isometrisch und surjektiv ist. b. Sind U; V 2 B.H / unitär, so auch U 1 und U V . Die unitären Operatoren von H bilden also eine Gruppe. c. Ist T 2 B.H / selbstadjungiert, U 2 B.H / unitär, so ist auch S D U T U D U T U 1 selbstadjungiert.
242
8 Beschränkte lineare Operatoren
Beweis. a. Ist U isometrisch und surjektiv, so ist U bijektiv sowie kUxk D kxk
für alle x 2 H;
und U 1 W H ! H existiert daher als beschränkter Operator nach Satz 8.9. Ferner ist hUx j yi D hUx j U.U 1 y/i D hx j U 1 yi für alle x; y 2 H; also U D U 1 . Umgekehrt: Ist U unitär, so auch surjektiv, und es gilt U U D U U D I . Es folgt 8 x; y ; hUx j Uyi D hx j U Uyi D hx j yi d. h. U ist isometrisch. b. und c. sind eine leichte Übung. t u
E Projektionsoperatoren Sei H ein H ILBERTraum, U ein abgeschlossener Unterraum von H . Nach Thm. 7.13 gibt es dann die direkte Zerlegung H D U ˚ U? ; d. h. jedes x 2 H kann eindeutig in der Form mit u 2 U; w 2 U ?
x D uCw
(8.33)
geschrieben werden. Dadurch werden lineare Operatoren P W H ! H mit P x D u ; R.P / D U ;
N.P / D U ? ;
Q W H ! H mit Qx D w ; R.Q/ D U ? ;
N.Q/ D U
(8.34)
(8.35)
definiert. Wegen (8.33) kann man dann schreiben x D P x C Qx ;
(8.36)
d. h. es ist Q DI P ;
P DI Q :
Aus (8.36) und P x ? Qx folgt kxk2 D kP xk2 C kQxk2 ;
(8.37)
E Projektionsoperatoren
243
also kP xk; kQxk kxk. Daher sind P; Q beschränkte lineare Operatoren und kP k; kQk 1. Definition 8.25. Der durch (8.33), (8.34) definierte beschränkte lineare Operator P heißt die orthogonale Projektion oder der orthogonale Projektor auf den abgeschlossenen Unterraum U. Bemerkung: Wie man sieht, handelt es sich bei P und Q einfach um die Projektionen, die im Sinne der linearen Algebra zu der direkten Zerlegung H D U ˚ U ? gehören (vgl. etwa [36], Ergänzungen zu Kap. 7). Das Besondere ist, dass Kern und Bild der Projektoren hier orthogonal zueinander sind. Ob ein gegebener Operator P 2 B.H / ein orthogonaler Projektor ist, kann durch den folgenden Test entschieden werden: Satz 8.26. Ein beschränkter linearer Operator P W H ! H ist genau dann eine orthogonale Projektion, wenn er die Bedingung P2 D P D P
(8.38)
erfüllt. In diesem Fall gilt auch hx j P xi D kP xk2
für alle x 2 H :
(8.39)
Beweis. Sei P der orthogonale Projektor auf den abgeschlossenen Unterraum U und Q WD I P der auf U ? . Für jedes x 2 H folgt dann P x 2 R.P / D U D N.Q/; also P x P 2 x D .I P /P x D QP x D 0 und somit P 2 x D P x. Für x; y 2 H ist P x ? Qy; P y ? Qx und daher hP x j yi D hP x j P y C Qyi D hP x j P yi sowie hx j P yi D hP x C Qx j P yi D hP x j P yi : Es folgt hP x j yi D hx j P yi; also P D P . Damit haben wir (8.38) gezeigt. Für x D y ergibt die gerade durchgeführte Rechnung auch (8.39). Umgekehrt sei nun P 2 B.H / ein Operator, für den (8.38) gilt. Es sei Q WD I P und U WD R.P /. Dann ist Qz D 0 ” z D P z ” z 2 R.P / ; wobei für die letzte Äquivalenz P 2 D P zu beachten ist. Also ist U D N.Q/ und damit ein abgeschlossener Unterraum, da Q stetig ist. Nach (8.29) aus Satz 8.21 ist ferner N.P / D N.P / D R.P /? D U ? : Für jedes x 2 H ist aber PQx D P x P 2 x D 0; also Qx 2 N.P / D U ? . Wir haben daher x D P x C Qx mit P x 2 U und Qx 2 U ? ; d. h. P ist tatsächlich der orthogonale Projektor auf U. t u
244
8 Beschränkte lineare Operatoren
Die folgenden Rechenregeln für Projektoren werden häufig benötigt: Satz 8.27. Seien P1 ; P2 W H ! H orthogonale Projektoren mit R.Pk / D Uk ; k D 1; 2. Dann gilt: a. P WD P1 P2 ist genau dann ein orthogonaler Projektor, wenn P1 P2 D P2 P1 . Dann ist (8.40) R.P / D U1 \ U2 : b. P WD P1 C P2 ist genau dann ein orthogonaler Projektor, wenn U1 ? U2 ; d. h. P1 P2 D P2 P1 D 0. Dann ist R.P / D U1 ˚ U2 :
(8.41)
c. P WD P2 P1 ist genau dann ein orthogonaler Projektor, wenn U1 U2 ; d. h. P1 P2 D P2 P1 D P1 . Dann ist R.P / D U2 \ U1? :
(8.42)
Beweis. a. Die Vertauschbarkeit P1 P2 D P2 P1 ist nach Satz 8.23b. notwendig und hinreichend für P D P; aber auch hinreichend für P 2 D P; wie man sofort nachrechnet. Auch (8.40) wird durch einfaches Nachrechnen bestätigt. b. P D P1 C P2 ist selbstadjungiert. Wegen P 2 D P12 C P1 P2 C P2 P1 C P22 D P1 C P1 P2 C P2 P1 C P2 folgt P 2 D P ” P1 P2 C P2 P1 D 0 : Aus P1 P2 C P2 P1 D 0 folgt einerseits P2 P1 D P1 P2 und andererseits (indem man von links und von rechts mit P2 multipliziert): 2P2 P1 P2 D 0 ; also 0 D P2 .P1 P2 / D P2 .P2 P1 / D P2 P1 D P1 P2 : Die Umkehrung P1 P2 D P2 P1 D 0 H) P1 P2 C P2 P1 D 0 ist aber trivial. Die Aussage (8.41) ist eine leichte Übung. c. P D P2 P1 ist selbstadjungiert. Wegen P 2 D P22 P2 P1 P1 P2 C P12 D P2 P2 P1 P1 P2 C P1 folgt P 2 D P ” 2P1 D P1 P2 C P2 P1 :
F Beispiel: F OURIER transformation und F OURIER -P LANCHEREL-Operator
245
Multiplikation der Gleichung 2P1 D P1 P2 C P2 P1 mit P2 von links führt zu 2P2 P1 D P2 P1 P2 C P2 P1 ;
also
P2 P1 D P2 P1 P2 :
Multiplikation mit P2 von rechts hingegen führt auf 2P1 P2 D P1 P2 C P2 P1 P2 ;
also
P1 P2 D P2 P1 P2 :
Insgesamt ergibt sich P2 P1 P2 D P1 P2 D P2 P1 und damit P1 D
1 .P1 P2 C P2 P1 / D P1 P2 D P2 P1 ; 2
wie behauptet. Die Umkehrung P1 P2 D P2 P1 D P1 H) 2P1 D P1 P2 C P2 P1 ist wieder trivial. Die Aussage (8.42) kann ebenfalls als Übung bewiesen werden. t u
F Beispiel: F OURIERtransformation und F OURIER -P LANCHEREL-Operator Einer der bedeutsamsten linearen Operatoren überhaupt ist ohne Zweifel die F OU RIERtransformation. Für f 2 L1 WD L1 .Rn / definiert man die Fouriertransformierte fO D F f durch Z fO./ WD .2/n=2 f .x/ eihjxi dn x ; D .1 ; : : : ; n / 2 Rn (8.43) wobei auf Rn das euklidische Skalarprodukt h j xi WD
n X
k xk
kD1
verwendet wird. (Der Integrationsbereich ist hier und im Folgenden stets der ganze Rn und wird daher nicht eigens angegeben.) Außerdem definiert man Z fL./ WD fO./ D .2/n=2 f .x/ eihjxi dn x ; (8.44) und man schreibt fL D F f . Es ist klar, dass fO und fL in linearer Weise von f abhängen, und damit erweisen sich F ; F als lineare Operatoren mit dem Definitionsbereich L1 . Die Grundeigenschaften dieser Operatoren, wie sie in Lehrbüchern
246
8 Beschränkte lineare Operatoren
der F OURIERanalysis, der Funktionalanalysis oder auch in den meisten modernen Büchern über partielle Differentialgleichungen erläutert und bewiesen werden, werden wir jetzt freizügig benutzen (vgl. etwa [59, 74, 78, 79, 96, 106] oder auch [36], Kap. 33). Wegen j eit j D 1 für t 2 R folgt sofort Z .2/n=2 jfO./j jf .x/j dn x DW kf k1 8 2 Rn (8.45) und ebenso für jfL./j. Mit dem Satz von der dominierten Konvergenz aus der L E BESGUE schen Integrationstheorie kann man daher leicht zeigen, dass fO und fL stetige Funktionen sind. Die Wertebereiche R.F /; R.F/ liegen also in dem BA NACH raum BC.Rn / WD C.Rn / \ L1 .Rn / der stetigen beschränkten Funktionen auf Rn ; versehen mit der Supremumsnorm k k1 (vgl. Aufgabe 7.3). Das sog. R IEMANN -L EBESGUE-Lemma besagt, dass die F OURIERtransformierte einer integrierbaren Funktion stets im Unendlichen verschwindet, und damit liegen R.F / und R.F/ sogar in dem abgeschlossenen Teilraum C0 WD C0 .Rn /; der ebenfalls in Aufgabe 7.3 eingeführt wurde. Geht man in (8.45) links zum Supremum über die 2 Rn über, so erhält man die äquivalente Formulierung kF f k1 .2/n=2 kf k1
8 f 2 L1 ;
(8.46)
und analog für F . Nach Satz 8.3a. haben wir es also mit beschränkten linearen Operatoren F ; F W L1 ! C0 zu tun, denn der in (8.45) definierte Ausdruck kf k1 ist ja nichts anderes als die übliche Norm auf L1 (vgl. (7.24), (7.26)). Zugleich liefert (8.46) eine obere Abschätzung für die Operatornorm, nämlich kF k .2/n=2 . Eine untere Abschätzung gewinnt man durch Einsetzen einer geschickt gewählten Probefunktion '; denn nach (8.1) ist kF 'k1 für 0 ¤ ' 2 L1 : kF k k'k1 Eine geschickte Wahl ist '.x/ WD exp.jxj2 =2/ mit jxj2 D hx j xi D x12 C C xn2 ; denn bekanntlich stimmt diese Funktion mit ihrer F OURIERtransformierten überein, und daher können wir die Normen, um die es geht, leicht berechnen: Einerseits ist kF 'k1 D sup ejj
2 =2
2Rn
D 1 D '.0/ O ;
und andererseits erhält man durch Einsetzen von D 0 in (8.43) Z n=2 '.x/ dn x D .2/n=2 k'k1 ; '.0/ O D .2/
F Beispiel: F OURIER transformation und F OURIER -P LANCHEREL-Operator
247
also k'k1 D .2/n=2 . Daher ist .2/n=2 auch eine untere Schranke für die Operatornorm, und insgesamt folgt kF k D .2/n=2 : Abgesehen vom R IEMANN -L EBESGUE-Lemma sind alle diese Überlegungen recht trivial und illustrieren einfach, wie man mit vielen konkret gegebenen Operatoren umgehen kann. Von zentraler Bedeutung ist jedoch der folgende Satz: Theorem 8.28 (F OURIERsche Umkehrformel). Ist f 2 L1 und auch fO 2 L1 ; so gilt (8.47) f D F fO D F Ff : Hieraus kann man sofort eine Reihe wichtiger Folgerungen ableiten: Es ist N.F / D f0g; denn fO D 0 gehört sicherlich zu L1 . Also ist F injektiv, d. h. die Äquivalenzklasse Œf 2 L1 ist durch die stetige Funktion fO eindeutig festgelegt. Wegen R.F/ C0 muss die Klasse von f im Falle fO 2 L1 einen stetigen Vertreter haben, und wenn wir diesen als unsere Funktion f wählen, so gilt für jedes x 2 Rn nach (8.44) Z n=2 fO./ eihxji dn : (8.48) f .x/ D .2/ Die Substitution 7! im Integral führt dann auf Z f .x/ D .2/n=2 fL./ eihxji dn ; d. h. unter denselben Voraussetzungen gilt auch f D F fL D F F f :
(8.49)
Bemerkung: Wir werden sehen, dass der Wertebereich von F dicht in C0 ist (vgl. Theorem 11.32). Andererseits kann man beweisen, dass nicht jede Funktion aus C0 die F OURIERtransformierte einer L1 -Funktion ist, d. h. der Operator F ist nicht surjektiv. Insbesondere ist R.F / nicht abgeschlossen in C0 . Der inverse Operator F 1 W C0 R.F / ! L1 muss daher unbeschränkt sein, d. h. eine Ungleichung der Form kf k1 C kfOk1
. /
mit einer von f unabhängigen Konstanten C kann nicht für alle f 2 L1 bestehen. Anderenfalls könnte man nämlich aus der Vollständigkeit von L1 die Vollständigkeit von R.F / bzgl. der Supremumsnorm herleiten, und dann müsste R.F / in C0 abgeschlossen sein. Auf L1 \ R.F / stimmt F 1 nach der F OURIERschen Umkehrformel aber mit F überein, und dieser Operator ist beschränkt. Seine Beschränktheit
248
8 Beschränkte lineare Operatoren
bedeutet aber das Bestehen einer Ungleichung der Form kf k1 C kfOk1 ;
.
/
wann immer f 2 L1 und fO 2 L1 . In dieser Ungleichung sind die Normen k k1 und k k1 gegenüber ( ) vertauscht, was den scheinbaren Widerspruch erklärt. Man sieht hier, dass es bei der Frage, ob ein Operator beschränkt oder unbeschränkt ist, sehr genau darauf ankommt, welche Normen auf seinem Definitions- und seinem Wertebereich betrachtet werden. Der Operator F wird oft als die inverse F OURIERtransformation bezeichnet, was durch die Beziehungen (8.47) und (8.49) gerechtfertigt ist. Die gerade diskutierten Schwierigkeiten mit den Definitions- und Wertebereichen sowie deren Normen zeigen aber, dass dieser Ausdruck nicht wörtlich zu nehmen ist – im strengen Sinne ist F nicht die inverse Abbildung zu F . Mit Hilfe des BLE-Theorems kann man F und F jedoch zu Operatoren L2 ! L2 fortsetzen, und diese erweisen sich als zueinander inverse Bijektionen. (Wir schreiben überall kurz L2 statt L2 .Rn /.) Ausgangspunkt ist der bekannte Satz Satz 8.29. Sind f; g 2 L1 \ L2 ; so sind fO; gO 2 C0 \ L2 ; und es gilt die PARSE VAL sche Gleichung Z Z fO./g./ O dn D f .x/g.x/ dn x : (8.50) Hieraus folgern wir: Theorem 8.30 (Satz von P LANCHEREL). Im H ILBERTraum L2 D L2 .Rn / gibt es genau einen beschränkten linearen Operator U; der auf L1 \ L2 mit der F OU RIERtransformation F übereinstimmt. Dieser Operator ist unitär, und U 1 D U stimmt auf L1 \ L2 mit F überein. Man nennt U den F OURIER -P LANCHERELOperator. Beweis. Zunächst zeigen wir, dass D WD L1 \ L2 dicht in H WD L2 ist. Dazu betrachten wir eine Folge Rk ! 1 von positiven Zahlen Rk sowie die Funktionen ( 1 für jxj Rk ; k .x/ WD 0 für jxj > Rk : R R Für beliebiges f 2 H ist dann jk f j2 dn x jf j2 dn x < 1 und nach der S CHWARZschen Ungleichung auch Z jk f j dn x kk k2 kf k2 < 1 ; also k f 2 D. Nach dem Satz über dominierte Konvergenz haben wir außerdem Z kf k f k22 D .1 k .x//jf .x/j2 dn x ! 0
F Beispiel: F OURIER transformation und F OURIER -P LANCHEREL-Operator
249
für k ! 1. Also ist jedes f 2 H der Grenzwert einer in D verlaufenden Folge, d. h. D D H; wie behauptet. Nach dem BLE-Theorem (Theorem 8.7) hat F jD also eine eindeutige stetige Fortsetzung U W H ! H; und diese ist gemäß (8.6) gegeben durch den starken Grenzwert (8.51) Uf D lim F .k f / : k!1
Die PARSEVALsche Gleichung hUf j Ugi D hf j gi gilt nach Satz 8.29 zunächst für alle f; g 2 D; überträgt sich aber durch diesen Grenzübergang sofort auf alle f; g 2 H . Somit ist U eine Isometrie. Wegen fL./ D fO./ gilt (8.50) auch für F statt F ; und wir können F jD ganz genauso zu einer Isometrie V W H ! H fortsetzen. Wir werden zeigen, dass V D U ist. Dann folgt mit (8.30) R.U / D N.V /? D f0g? D H : Da H vollständig und U isometrisch ist, ist auch R.U / vollständig, folglich abgeschlossen in H; also R.U / D R.U / D H . Satz 8.24a. sagt uns nun, dass U unitär ist, und zwar mit U 1 D U D V . Wir müssen also nur noch U D V nachweisen. Dazu betrachten wir zunächst f; g 2 D und beachten die Sätze von F UBINI und T ONELLI aus der Integrationstheorie ( [36], Kap. 28). Wegen “ jf .x/g./j d2n .x; / D kf k1 kgk1 < 1 ist f .x/g./ über R2n integrierbar, und deswegen darf bei der nachstehenden Rechnung die Integrationsreihenfolge vertauscht werden. Wir haben Z O hUf j gi D hf j gi D fO./g./ dn “ n=2 D .2/ f .x/ eihjxi g./ dn x dn “ n=2 f .x/g./ eihjxi dn dn x D .2/ Z D f .x/g.x/ L dn x D hf j Vgi : Wegen (8.51) (und seiner Entsprechung für V ) überträgt sich die Gleichung hUf j gi D hf j Vgi durch Grenzübergang aber auf alle f; g 2 H . Wegen der Eindeutigkeit des adjungierten Operators ist damit V D U nachgewiesen. t u
250
8 Beschränkte lineare Operatoren
Bemerkung: In der Quantenmechanik vermittelt der F OURIER -P LANCHERELOperator die Äquivalenz zwischen der Ortsdarstellung und der Impulsdarstellung. Manchmal schreibt man wieder fO statt Uf und gibt Formel (8.51) in der Gestalt Z fO./ D .2/n=2 lim f .x/ eihjxi dn x (8.52) R!1 jxjR
wieder. Dabei ist aber zu beachten, dass diese Gleichung i. A. nicht punktweise richtig ist, sondern nur in dem Sinne, dass die rechten Seiten, aufgefasst als Funktionen von ; für R ! 1 im quadratischen Mittel gegen die Klasse fO 2 L2 konvergieren.
Aufgaben zu Kap. 8 8.1. Bei den folgenden Beispielen von linearen Funktionalen f W E ! K beweise man die Beschränktheit und berechne die Operatornorm: P a. E WD l 1 ist der Raum aller Folgen x D .1 ; 2 ; : : :/; für die die Reihe k k absolut konvergent ist, versehen mit der Norm kxk1 WD
1 X
jk j;
kD1
und f ist definiert durch f .x/ WD
1 X
k k ;
kD1
wobei . 1 ; 2 ; : : :/ eine fest vorgegebene beschränkte Folge ist. b. E WD LQ 1R .Œa; b/ aller stetigen reellen Funktionen u auf dem kompakten Intervall Œa; b .a < b/; versehen mit der Norm Z b kuk1 WD ju.x/j dx ; a
und f ist definiert durch Z
b
f .u/ WD
h.x/u.x/ dx ; a
wobei h W Œa; b ! R eine fest vorgegebene stetige Funktion ist. c. E WD C.Œa; b/ ist der Raum aller stetigen Funktionen auf dem kompakten Intervall Œa; b; versehen mit der Norm kuk1 WD maxaxb ju.x/j ; und f ist definiert durch f .u/ WD u.x0 / ; wo x0 2 Œa; b ein fest vorgegebener Punkt ist.
Aufgaben
251
8.2. Eine Folge x D .1 ; 2 ; : : :/ in K heißt abbrechend, wenn k ¤ 0 nur für endlich viele Indizes k gilt. Die abbrechenden Folgen bilden offenbar einen KVektorraum V . Man zeige: a. Ist y D . 1 ; 2 ; : : :/ eine beliebige Folge in K; so ist durch fy .x/ WD
1 X
k k
kD1
eine lineare Abbildung fy W V ! K gegeben. b. Es sei E1 der Raum V; versehen mit der Norm k k1 von l 1 (vgl. Aufgabe 8.1a.). Dann ist fy als lineares Funktional auf E1 genau dann beschränkt, wenn die Folge y beschränkt ist. c. Es sei E1 der Raum V; versehen mit der Norm kxk1 WD sup jk j k1
für x D .k /k :
Dann ist fy als lineares Funktional auf E1 genau dann beschränkt, wenn 1 X
j k j < 1
kD1
ist. 8.3. Bei den folgenden Beispielen von linearen Operatoren A W E ! F beweise man jeweils die Beschränktheit und berechne eine (möglichst genaue) obere Schranke für die Operatornorm: a. E D l 1 ; F D l 1 (vgl. Aufgabe 8.1a. und Beispiel 7.6e.), und A ist gegeben durch eine doppelt unendliche Matrix .˛jk /; für die gilt: M WD sup j˛jk j < 1 : j;k2N
Dabei ist für x D .k /k1 2 l 1 der Vektor Ax D . 1 ; 2 ; : : :/ gegeben durch j WD
1 X
˛jk k ;
j 1:
(8.53)
kD1
(Wieso sind diese Reihen überhaupt konvergent, und wieso liefert (8.53) ein Element von l 1 ?) b. E D F D l 2 (vgl. 7.6f.), und A ist wieder durch (8.53) definiert, doch diesmal erfüllt die gegebene Matrix die Bedingung C WD
1 X j;kD1
j˛jk j2 < 1 :
252
8 Beschränkte lineare Operatoren
c. E D F D C.Œa; b/; und für u 2 E ist v D Au definiert durch Z b v.x/ WD K.x; y/ u.y/ dy ;
(8.54)
a
wobei K eine gegebene stetige Funktion auf Œa; bŒa; b ist. (Wieso ist v wieder stetig?) d. E D F D L2 .Œa; b/; und A ist wieder durch eine stetige Funktion K auf Œa; b Œa; b gegeben, indem v D Au durch (8.54) definiert wird. e. E D F D L2 .S /; wo S Rn eine messbare (z. B. eine offene oder eine abgeschlossene) Teilmenge ist, und A ist der Multiplikationsoperator zu einer gegebenen beschränkten messbaren Funktion ' W S ! K; d. h. für u 2 L2 .S / ist Au definiert durch .Au/.x/ WD '.x/u.x/ ;
x2S:
f. E D F D BC.R/; der Raum aller stetigen beschränkten Funktionen auf der reellen Geraden, versehen mit der Supremumsnorm, und A definiert durch .Au/.x/ WD u.x x0 / ;
x2R;
wobei x0 2 R eine fest vorgegebene Zahl ist. g. E D F D L2 .Rn /; und A definiert durch .Au/.x/ WD u.Bx/ ;
x 2 Rn ;
wobei B W Rn ! Rn eine fest vorgegebene lineare Abbildung ist (etwa durch eine n n-Matrix gegeben). h. E D C.Œa; b/; F D L2 .Œa; b/; und A ist der sog. Einbettungsoperator Au WD u. Hier ist Au also nichts anderes als das gegebene Element u 2 E; doch wird es jetzt als Element von F aufgefasst. 8.4. Sei a < b und E WD C.Œa; b/; versehen mit der Maximumsnorm. Wir definieren einen linearen Operator T W E D.T / ! E durch D.T / D C 1 .Œa; b/ ;
T u WD u0 du= dx :
Man zeige: a. Als linearer Operator in E ist T unbeschränkt. (Hinweis: Man betrachte z. B. das Verhalten von T entlang der Funktionenfolge um .x/ WD sin mx; m 1.) b. Es sei E1 der Raum D.T /; versehen mit der Norm k k1;1 aus Aufgabe 7.4. Dann ist T 2 B.E1 ; E/. 8.5. Sei E ein BANACHraum und B.E/ der BANACHraum der beschränkten linearen Operatoren A W E ! E. Man zeige: a. Für jedes A 2 B.E/ ist durch exp A eA WD
1 X Ak kD0
kŠ
(8.55)
Aufgaben
253
ein Element exp A 2 B.E/ definiert. Die Reihe ist dabei absolut konvergent, und es gilt (8.56) k exp Ak ekAk : b. exp A besitzt stets einen inversen Operator in B.E/; nämlich .exp A/1 D exp .A/ :
(8.57)
c. Wenn für S 2 B.E/ der inverse Operator S 1 2 B.E/ existiert, so gilt S 1 eA S D exp .S 1 AS / :
(8.58)
d. Sind A; B 2 B.E/ vertauschbar, d. h. AB D BA; so gilt eACB D eA eB D eB eA
(8.59)
sowie auch e B D B e . (Hinweis: Zunächst überzeuge man sich, dass für vertauschbare Operatoren die binomische Formel ! k X k k .A C B/ D Akm B m m mD0 A
A
gültig ist. Dann beachte man, dass man mit absolut konvergenten Reihen im BANACHraum B.E/ genauso rechnen kann wie mit solchen in K – die Beweise aus der elementaren Analysis übertragen sich Wort für Wort.) 8.6. Es sei E ein BANACHraum und J R ein Intervall. Man sagt, eine Funktion u W J ! E sei (stark) differenzierbar in t0 2 J; wenn der Differentialquotient u0 .t0 /
u.t0 C h/ u.t0 / du .t0 / WD lim h!0 dt h h¤0
im Sinne der starken Konvergenz existiert. Für u0 .t0 / gilt also 0 u.t0 C h/ u.t0 / D 0: .t / lim u 0 h!0 h h¤0 Damit ist auch klar, was eine differenzierbare bzw. eine stetig differenzierbare Ewertige Funktion auf J ist. Man zeige: a. Sind u; v W J ! E sowie ' W J ! K differenzierbar, so sind es auch u C v und 'u; und es gilt .u C v/0 D u0 C v 0 ;
.'u/0 D ' 0 u C 'u0 :
b. Ist F ein weiterer BANACHraum, A 2 B.E; F / und w WD A ı u; so ist auch w differenzierbar, und es gilt w 0 .t/ D Au0 .t/
für alle t 2 J :
Insbesondere ist für jedes f 2 E 0 die skalare Funktion f ı u differenzierbar.
254
8 Beschränkte lineare Operatoren
c. u ist genau dann konstant, wenn u0 0 auf J . (Hinweis: Man wende den Satz von H AHN -BANACH auf x0 D u.t1 / u.t2 / an (t1 ; t2 2 J beliebig).) 8.7. Seien E und J wie in der vorigen Aufgabe. Man zeige: a. Sind S; T W J ! B.E/ zwei differenzierbare operatorwertige Funktionen, so ist auch ihr punktweises Produkt S T W t 7! S.t/T .t/ differenzierbar, und es gilt .S T /0 D S 0 T C S T 0 . b. Sei A 2 B.E/ beliebig, und sei T .t/ WD etA (vgl. Aufgabe 8.5). Diese Funktion ist auf ganz R differenzierbar, und es gilt T 0 .t/ D AT .t/ D T .t/A ;
t 2R:
(Hinweis: Man schreibe T .t0 C h/ T .t0 / D T .t0 /.T .h/ I / D T .t0 /
1 X hk Ak : kŠ
kD1
Wieso sind diese Umformungen gerechtfertigt?) 8.8. Sei E ein BANACHraum und K Rn eine kompakte Teilmenge. Mit C.KI E/ bezeichnen wir den Raum der stetigen Funktionen u W K ! E; versehen mit der Norm kuk1 WD max ku.x/k ; x2K
wobei auf der rechten Seite die Norm von E gemeint ist. Man zeige: a. Zu u 2 C.KI E/ gibt es höchstens ein x0 2 E mit der Eigenschaft Z f .x0 / D f .u.x// dn x für alle f 2 E 0 :
(8.60)
K
(Hinweis: Satz 8.13.) Wenn solch ein Vektor x0 existiert, bezeichnet man ihn als das Integral und schreibt Z u.x/ dn x : x0 D K
b. Für das Integral gilt stets Z Z u.x/ dn x ku.x/k dn x : K
(8.61)
K
R (Hinweis: Man wende den Satz von H AHN -BANACH auf x0 D K u.x/ dn x an.) c. Es sei C.K/ ˝ E der lineare Teilraum der u 2 C.KI E/; die sich in der Form u.x/ D
m X kD1
'k .x/vk
(8.62)
Aufgaben
255
mit endlich vielen skalaren stetigen Funktionen '1 ; : : : ; 'm und endlich vielen Vektoren v1 ; : : : ; vm 2 E schreiben lassen. Für jedes derartige u existiert das Integral und ist gegeben durch Z u.x/ d x D n
K
m Z X
n
K
kD1
'k .x/ d x
vk :
(8.63)
Insbesondere ist die rechte Seite von (8.63) durch u eindeutig festgelegt, obwohl die Darstellung von uR in der Form (8.62) nicht eindeutig ist. d. Wir setzen J0 u WD K u.x/ dn x für u 2 C.K/ ˝ E. Hierdurch ist ein beschränkter linearer Operator J0 W C.K/ ˝ E ! E definiert, und seine Operatornorm ist das n-dimensionale Volumen (= L EBESGUE-Maß) von K. (Hier sei E ¤ f0g.) e. C.K/ ˝ E ist dicht in C.KI E/. (Hinweise: Hier muss man die gleichmäßige Stetigkeit von u 2 C.KI E/ verwenden. Für den Spezialfall K D Œa; b R1 ist die Aufgabe wesentlich leichter als für den allgemeinen Fall. Die Bearbeitung dieses Spezialfalls sei besonders empfohlen.) R f. Für jedes u 2 C.KI E/ existiert das Integral J u WD K u.x/ dn x. Die so definierte Abbildung J W C.KI E/ ! E ist ein beschränkter linearer Operator, und seine Operatornorm ist (für E ¤ f0g) gleich dem Volumen von K. (Hinweis: BLE-Theorem!) g. Sei F ein weiterer BANACHraum und T W E ! F ein beschränkter linearer Operator. Für jedes u 2 C.KI E/ ist dann Z Z T u.x/ dn x D T u.x/ dn x : K
K
8.9. Sei E ein BANACHraum und Œa; b R ein kompaktes Intervall. Für jede stetig differenzierbare Funktion u W Œa; b ! E gilt dann Z
b
u.b/ u.a/ D
u0 .t/ dt :
a
(Hinweis: Mittels (8.61) und Aufgabe 8.6c. kann man den aus der elementaren Analysis bekannten Beweis imitieren. Weitaus bequemer ist es aber, die Aussagen der Aufgaben 8.8a. und 8.6b. auszunutzen.) 8.10. Man beweise den Satz von H AHN -BANACH (Theorem 8.14) für Prähilberträume. Dabei gebe man das gesuchte Funktional in der Form f .x/ D hz j xi an. 8.11. Sei H ein H ILBERTraum und S 2 B.H /. Angenommen, es gibt c > 0 so, dass 8x 2 H : Re hx j S xi ckxk2 Man zeige, dass S dann bijektiv sein muss und eine beschränkte Inverse S 1 2 B.H / besitzt. (Hinweis: Das Schwierigste ist die Surjektivität. Dazu zeige man, dass R.S / sowohl dicht als auch vollständig ist. )
256
8 Beschränkte lineare Operatoren
8.12. a. Sei H D l 2 ; und sei A 2 B.H / der Operator aus Aufgabe 8.3b. Man zeige, dass A auf dieselbe Weise durch die Matrix .ˇjk / mit ˇjk WD ˛ kj ;
j; k 2 N
gegeben ist. b. Sei H D L2 .Œa; b/; und sei A der Operator aus Aufgabe 8.3d. Man zeige, dass A auf dieselbe Weise durch die Funktion K mit K .x; y/ WD K.y; x/ ;
x; y 2 Œa; b
gegeben ist. c. Es sei A der Multiplikationsoperator aus Aufgabe 8.3e. in H D L2 .S /. Man zeige, dass A dann der Multiplikationsoperator mit der konjugiert komplexen Funktion ' ist. Insbesondere ist der Multiplikationsoperator zur Funktion ' genau dann selbstadjungiert, wenn ' reellwertig ist. 8.13. In H D l 2 definiert man sog. Verschiebeoperatoren durch Vr .1 ; 2 ; : : :/ WD .0; 1 ; 2 ; : : :/ und Vl .1 ; 2 ; 3 ; : : :/ WD .2 ; 3 ; : : :/ : Vr
a. Man zeige, dass D Vl ; Vl D Vr . Ferner bestimme man den Nullraum und den Wertebereich von Vr und Vl und prüfe an diesem expliziten Beispiel die Gültigkeit von Satz 8.20a. b. Man zeige, dass Vr eine Isometrie ist und berechne Vr Vr und Vr Vr . Man folgere, dass Vr nicht unitär ist. 8.14. Sei H ein komplexer H ILBERTraum. Man zeige: a. Für jedes T 2 B.H / sind die Operatoren T CT;
i.T T / ;
T T ;
TT
alle selbstadjungiert. b. Jedes T 2 B.H / lässt sich eindeutig in der Form T D A C iB mit selbstadjungierten Operatoren A; B schreiben. Dabei ist T D A iB. Der Operator T ist genau dann normal, wenn AB D BA. c. Ist V 2 B.H / eine Isometrie, so ist V V D I; und V V ist eine orthogonale Projektion. d. Ist A 2 B.H / normal, so ist kA xk D kAxk für alle x 2 H . 8.15. Sei H ein H ILBERTraum, T W H ! H ein beschränkter linearer Operator. Man zeige: a. Ist T bijektiv und T 1 beschränkt, so existiert .T /1 und es gilt .T /1 D .T 1 / :
Aufgaben
257
b. Der Operator S D I C T T ist bijektiv und seine Inverse S 1 ist beschränkt. (Hinweis: Aufgabe 8.11.) 8.16. Sei H ein H ILBERTRAUM, A W H ! H ein beschränkter linearer Operator. Man zeige: a. Sind M1 ; M2 H Teilmengen mit A.M1 / M2 ; so gilt A M2? M1? : b. Sind U; V abgeschlossene Unterräume von H; so gilt A.U / V ” A .V ? / U ? : 8.17. Sei H ein H ILBERTraum, U H ein abgeschlossener Unterraum, A 2 B.H / ein beschränkter Operator und P die orthogonale Projektion auf U. Man zeige: a. b.
A.U/ U ” AP D PAP; A.U/ und A.U ? / U ? ” PA D AP .
8.18. Sei H ein H ILBERTraum, A W H ! H ein beschränkter linearer Operator. Man zeige: N.A/ D N.A A/ und R.A/ D R.AA / : 8.19. Sei H ein H ILBERTraum und A 2 B.H /. Man zeige, dass für die in Aufgabe 8.5 eingeführte Exponentialfunktion von Operatoren Folgendes gilt: a. exp A D .exp A/ . b. Ist A H ERMITEsch, so ist exp.iA/ unitär. c. Ist exp.itA/ unitär für alle t 2 R; so ist A H ERMITEsch. (Hinweis: Man verwende Aufgabe 8.7b. in t D 0.) 8.20. Sei H ein H ILBERTraum. Der Raum l 2 .H / ist definiert als der Vektorraum aller Folgen v D .v1 ; v2 ; : : :/ von Elementen von H; für die kvk2 WD
1 X
kvj k2 < 1
j D1
ist. Damit ist zugleich die Norm auf l 2 .H / gegeben. l 2 .H / ist ein H ILBERTraum mit dem Skalarprodukt 1 X hvj j wj i hv j wi WD j D1
für v D .vj /; w D .wj /; wobei rechts das Skalarprodukt von H gemeint ist. (All das kann genauso bewiesen werden wie für l 2 ; kann also hier akzeptiert werden.) Man zeige:
258
8 Beschränkte lineare Operatoren
a. Ist fbj j j 2 Ng eine Orthonormalbasis von H; so bilden die Vektoren ejk WD .0; : : : ; 0;
bk ; 0; : : :/ ; „ƒ‚…
j; k 2 N
j -te Stelle
eine Orthonormalbasis von l 2 .H /. b. Angenommen, H ist separabel. Dann gibt es einen isometrischen IsomorphisO mus U W l 2 ˝H ! l 2 .H / mit U.y ˝ v/ D . 1 v; 2 v; : : :/ für alle v 2 H und y D . j / 2 l 2 . (Hinweis: Man arbeite mit einer Orthonormalbasis von der in a. beschriebenen Art.) 8.21. Man beweise: Jeder abgeschlossene Unterraum eines separablen H ILBERTraums ist selbst ein separabler H ILBERTraum. (Hinweis: Man arbeite mit dem orthogonalen Projektor auf den Unterraum.) 8.22. Sei H ein beliebiger H ILBERTraum, U H ein abgeschlossener Unterraum und P der orthogonale Projektor auf U. Man zeige: a. Ist U endlich-dimensional, so gilt für jede Orthonormalbasis fe1 ; : : : ; em g von U m X Px D hek j xiek für alle x 2 H : kD1
b. Ist U separabel und fe1 ; e2 ; : : :g eine abzählbare Orthonormalbasis von U (vgl. Satz 7.5), so gilt Px D
1 X
hek j xiek
für alle x 2 H ;
kD1
wobei die Reihe in H stark konvergent ist. 8.23. Sei H ein H ILBERTraum, seien M; N abgeschlossene Unterräume von H und seien PM ; PN die orthogonalen Projektionen von H auf M bzw. N . Man zeige, dass folgende Aussagen äquivalent sind: a. hx j PM xi hx j PN xi für alle x 2 H; b. M N; c. PN PM D PM ; d. PM PN D PM . 8.24. Wir wollen beweisen, dass die kanonischen Vertauschungsrelationen der Quantenmechanik durch beschränkte lineare Operatoren in einem NLR E nicht erfüllt werden können. Wir nehmen also an, für zwei Operatoren P; Q 2 B.E/ gilt PQ QP D I
Aufgaben
259
mit einem Skalar 2 K. Zu zeigen ist, dass dann D 0 sein muss. Hierzu beweise man nacheinander: a. Für alle n 2 N ist
n Qn1 D PQn Qn P :
b. Für alle n ist nj j kQn1 k 2kP k kQk kQn1 k : c. Wenn Qn ¤ 0 ist für alle n 1; so folgt D 0. d. Wenn es n 2 N gibt, für das Qn D 0 ist, so muss ebenfalls D 0 sein. (Hinweis: Man betrachte das kleinste derartige n und verwende die Gleichung aus Teil a.)
Kapitel 9
Einführung in die Spektraltheorie
Das Thema dieses Kapitels ist die Verallgemeinerung der Eigenwerttheorie der komplexen n n-Matrizen auf beschränkte lineare Operatoren in einem BANACHraum. Eigenwerte und Eigenvektoren von linearen Operatoren – etwa von Differentialoperatoren – spielen schon in der klassischen Physik eine fundamentale Rolle, z. B. bei der Beschreibung von Schwingungsvorgängen aller Art. Die Eigenwerte bestimmen dann die möglichen Frequenzen der Schwingung, und die entsprechenden Eigenfunktionen beschreiben die Schwingungsform. In der Quantenmechanik werden Observable (D physikalische Messgrößen) durch lineare Operatoren in einem H ILBERTraum wiedergegeben, dessen (normierte) Vektoren den möglichen Zuständen des betrachteten Systems entsprechen. Ein Eigenvektor entspricht dabei einem Zustand, in dem die betreffende Observable einen scharfen Wert besitzt, also beliebig genau gemessen werden kann, und dieser Wert ist nichts anderes als der zugehörige Eigenwert. Genauso real sind jedoch physikalische Zustände, in denen die Observable keinen scharfen Wert besitzt, und dann kann nur noch die Wahrscheinlichkeit dafür angegeben werden, dass der Messwert in einem gegebenen Bereich gefunden wird. Schon diese physikalische Erwägung legt die Vermutung nahe, dass bei Operatoren in unendlich-dimensionalen Räumen neben den Eigenwerten selbst auch gewisse Typen von „verallgemeinerten Eigenwerten“ betrachtet werden müssen, und dies geschieht in der Spektraltheorie auf eine einfache Weise, die eine große Breite möglicher Situationen abdeckt. Die entsprechenden Grundbegriffe und ihre einfachsten Eigenschaften stellen wir in Abschn. A zusammen, und obwohl uns in erster Linie der Fall der H ILBERTräume interessiert, tun wir das im Rahmen eines allgemeinen BANACHraums, weil die zusätzlichen Strukturmerkmale der H ILBERTräume hierfür nicht benötigt werden. Im weiteren Verlauf jedoch beschränken wir uns auf H IL BERT räume und bemühen uns in Abschn. B zunächst, die aus der linearen Algebra bekannten Besonderheiten der unitären und der H ERMITEschen Matrizen zu verallgemeinern. Als Beispiel betrachten wir den F OURIER -P LANCHEREL-Operator, dessen Spektraltheorie sich als verblüffend einfach erweist. Wie wir in Abschn. D sehen werden, ist die Spektraltheorie der in Abschn C eingeführten kompakten Operatoren dem Fall der Matrizen besonders ähnlich, und
K.-H. Goldhorn, H.-P. Heinz, M. Kraus, Moderne mathematische Methoden der Physik DOI 10.1007/978-3-540-88544-3, © Springer 2009
261
262
9 Einführung in die Spektraltheorie
insbesondere ist hier jeder Spektralwert ¤ 0 schon ein Eigenwert und besitzt einen endlich-dimensionalen Raum von Eigenvektoren. In Abschn. C erörtern wir auch kurz den Begriff der schwachen Konvergenz in einem H ILBERTraum, doch dient uns dies nur als ein Hilfsmittel zur Vermeidung von allzu viel mengentheoretischer Topologie bei der Behandlung der kompakten Operatoren, und deswegen vertiefen wir ihn auch nicht weiter. Wie im vorigen Kapitel werden auch hier die abstrakten Operatoren als selbständige Rechengrößen ernst genommen, wie es ja auch im abstrakten Formalismus der Quantenmechanik geschieht. Dazu bedarf es keiner konkreten Interpretation der Operatoren. Ebenso wichtig ist jedoch, dass die Funktionalanalysis kraftvolle Werkzeuge für die Behandlung von ganz konkreten Problemen bereitstellt. Ein Paradebeispiel hierfür ist die Anwendung der Spektraltheorie der kompakten Operatoren auf F REDHOLMsche Integralgleichungen und auf Randwertprobleme für verallgemeinerte Schwingungsgleichungen, die wir im letzten Abschnitt dieses Kapitels darstellen.
A Spektrum und Resolvente Im Folgenden sei E immer ein komplexer BANACHraum. Für einen beschränkten linearen Operator A W E ! E und ein 2 C betrachten wir den Operator A I . Der Ausgangspunkt der Spektraltheorie besteht darin, die Werte des Parameters in Bezug auf die Abbildungseigenschaften von A I zu klassifizieren: Definitionen 9.1. Für A 2 B.E/ und 2 C gibt es folgende Möglichkeiten: a. A I ist nicht injektiv, d. h. N.A I / 6D f0g : Dann heißt ein Eigenwert von A mit Eigenraum N.A I / und Vielfachheit dim N.AI /. Jedes 0 6D x 2 N.AI / heißt ein Eigenvektor zum Eigenwert . Man nennt P .A/ D f 2 C j N.A I / 6D f0gg das Punktspektrum von A. b. A I ist injektiv, d. h. N.A I / D f0g. Dann existiert der Resolventenoperator (= Resolvente) RA ./ WD .A I /1 ; wobei folgende Fälle auftreten können: 1. 2.
RA ./ ist auf ganz E definiert und beschränkt. Dann heißt ein regulärer Wert von A. Die regulären Werte bilden die Resolventenmenge .A/. RA ./ ist auf einem dichten Teilraum definiert, aber unbeschränkt. Dann heißt ein verallgemeinerter Eigenwert von A. Diese bilden das kontinuierliche Spektrum C .A/.
A Spektrum und Resolvente
3.
263
Der Definitionsbereich von RA ./ ist nicht dicht. Diese bilden das Residualspektrum R .A/.
c. Man hat also disjunkte Zerlegungen C
D .A/ [ .A/ ;
.A/ D P .A/ [ C .A/ [ R .A/ ; und man nennt .A/ das Spektrum, 2 .A/ einen Spektralwert von A. Bemerkung: Damit sind wirklich alle auftretenden Fälle abgedeckt. Ist nämlich RA ./ beschränkt, so kann man leicht beweisen, dass sein Definitionsbereich D.RA .// D R.A I / vollständig ist (Übung!). Ist dieser Raum gleichzeitig dicht, so muss er mit E übereinstimmen, und ist ein regulärer Wert. Dass umgekehrt RA ./ auf ganz E definiert, aber gleichzeitig unbeschränkt ist, kann ebenfalls nicht vorkommen. Das liegt am sog. Satz von der offenen Abbildung, einem fundamentalen Theorem der Funktionalanalysis, das aber hier zu weit führen würde. Allerdings ist die Vollständigkeit von E für dieses Theorem eine entscheidende Voraussetzung. Warnung. In vielen Büchern wird die Resolvente als RA ./ WD .I A/1 definiert, unterscheidet sich also von unserer Resolvente um ein Vorzeichen! Beispiele 9.2. a. Sei E endlich-dimensional, etwa dim E D n. Man weiß aus der elementaren linearen Algebra, dass dann dim R.A I / D n dim N.A I / ist, und insbesondere gilt A I injektiv ” A I surjektiv ” A I bijektiv : Ist aber A I bijektiv, so ist RA ./ automatisch beschränkt (Korollar 8.5). In diesem Fall gibt es also nur die beiden Möglichkeiten, dass ein regulärer Wert oder ein Eigenwert ist, d. h. das Spektrum ist einfach die Menge der Eigenwerte, und man kann sagen, dass die Spektraltheorie für endlich-dimensionale Räume die Eigenwerttheorie ist. Im unendlich-dimensionalen Fall ist das aber nicht so, wie wir jetzt sehen werden. b. Sei E D L2 .Œa; b/; a < b; und sei A der Multiplikationsoperator mit einer gegebenen stetigen Funktion ' W Œa; b ! C (vgl. Aufgabe 8.3e.). Der Wertebereich W WD '.Œa; b/ von ' ist dann kompakt. Wir beweisen:
264
9 Einführung in die Spektraltheorie
Behauptung. (i) .A/ D W ; und (ii) ein 2 W gehört genau dann zu C .A/; wenn die Menge ' 1 .fg/ das L EBESGUE-Maß Null hat (also z. B. wenn ' den Wert nur an endlich vielen Punkten annimmt), (iii) ist genau dann ein Eigenwert, wenn die Menge ' 1 .fg/ positives Maß hat (also z. B. wenn ' auf einem Teilintervall Œ˛; ˇ Œa; b mit ˛ < ˇ konstant den Wert hat), (iv) R .A/ D ;. Beweis. Ist 62 W; so ist r WD d.; W / D min j j > 0 ; 2W
da W kompakt ist. Die Funktion .x/ WD 1=.'.x/ / ist dann beschränkt, denn j .x/j r 1 8 x. Sie definiert daher einen Multiplikationsoperator M 2 B.E/ durch .M u/.x/ WD .x/u.x/. Damit folgt M.A I /u D .A I /M u D u
für alle u 2 E :
Somit ist M D RA ./; also ein regulärer Wert. Für 2 W zeigen wir nun mittels Satz 8.9, dass A I keine beschränkte Inverse besitzen kann. Dazu nehmen wir an, es gäbe ein c > 0; mit dem (8.10) für den Operator T WD A I gilt. Wir wählen x0 2 ' 1 .fg/ und dazu ı > 0 mit jx x0 j < ı ; x 2 Œa; b H) j'.x/ j < c=2 ; was wegen der Stetigkeit von ' möglich ist. Schließlich wählen wir a ˛ < ˇ b so, dass Œ˛; ˇ x0 ı; x0 C ıŒ; und wir betrachten die Funktion u 2 E p mit u 1 auf Œ˛; ˇ und u 0 sonst. Es ist kuk2 D ˇ ˛ > 0 sowie Zˇ c
2
kuk22
k.A
I /uk22
D
j'.x/ j2 dx <
c2 kuk22 ; 4
˛
und das ergibt die absurde Folgerung c 2 < c 2 =4. Somit war unsere Annahme falsch, und es folgt 2 .A/. Für 2 W setzen wir nun Z WD ' 1 .fg/ und bestimmen N.A I /. Dazu sollte man sich daran erinnern, dass die Elemente von E D L2 .Œa; b/ eigentlich Äquivalenzklassen sind, die die Abänderung der Funktionen auf einer Nullmenge gestatten. Die Gleichung A I u D 0 bedeutet also im Klartext: .'.x/ /u.x/ D 0 f.ü. Das tritt genau dann ein, wenn u.x/ D 0 f.ü. auf Œa; b n Z. Hat Z positives Maß, so definiert also z. B. die charakteristische Funktion Z ein nichtverschwindendes Element ŒZ 2 N.A I /; also einen Eigenvektor
A Spektrum und Resolvente
265
zum Eigenwert . Ist aber Z eine Nullmenge, so führt .A I /u D 0 zu der Folgerung u.x/ D 0 f.ü., also ist dann N.AI / D f0g; und AI ist injektiv. Um nun festzustellen, ob zu C .A/ oder R .A/ gehört, müssen wir den Wertebereich R.A I / untersuchen, und das tun wir mit Hilfe von Satz 8.21. Man prüft leicht nach, dass der adjungierte Operator A der Multiplikationsoperator mit der konjugiert komplexen Funktion ' ist (Aufgabe 8.12b.). Daher ergibt die N / D f0g; denn ' 1 .fg/ N D Z ist gerade durchgeführte Überlegung N.A I eine Nullmenge. Nun folgt mit (8.30) N //? D f0g? D E ; R.A I / D N..A I / /? D N..A I d. h. der Definitionsbereich R.A I / der Resolvente RA ./ ist dicht. Somit t u ist 2 C .A/; und das Residualspektrum ist leer. Bemerkung: Häufig wird der Multiplikationsoperator A also überhaupt keine Eigenwerte haben, sondern nur verallgemeinerte Eigenwerte (z. B. wenn ' injektiv ist). Tritt aber ein Eigenwert auf, so hat er unendliche Vielfachheit. Man kann den Eigenraum N.A I / nämlich mit L2 .Z/ identifizieren (Z WD ' 1 .fg/), indem man jedes u 2 L2 .Z/ durch die Konstante Null auf ganz Œa; b fortsetzt. Wenn Z positives Maß hat, so hat der H ILBERTraum L2 .Z/ aber unendliche Dimension, wie man sich leicht überlegen kann. c. Eigenwerte endlicher Vielfachheit können auch im Falle dim E D 1 ohne weiteres auftreten. Sei z. B. E ein unendlich-dimensionaler H ILBERTraum und P 2 B.E/ die orthogonale Projektion auf einen Unterraum U der endlichen Dimension m. Dann ist U D R.P / D N.I P / D N.P I /; also ist D 1 ein Eigenwert von P der endlichen Vielfachheit m. d. Sei E D l 2 und A D Vr der Rechts-Verschiebeoperator aus Aufgabe 8.13. Dieser Operator ist injektiv (sogar isometrisch!), aber D.A1 / D R.A/ ist der echte abgeschlossene Unterraum U WD f.1 ; 2 ; : : :/ 2 l 2 j 1 D 0g : Somit gehört D 0 zum Residualspektrum von A. Wir wollen im Folgenden die Eigenschaften von Spektrum und Resolventen für beschränkte Operatoren untersuchen. Die ersten Aussagen sind eine leichte Übung. Satz 9.3. Seien A; B 2 B.E/ beschränkte Operatoren a. Sind A und B bijektiv, so gilt B 1 A1 D B 1 .A B/A1 D A1 .A B/B 1 : b. Für ; 2 .A/ gilt die erste Resolventengleichung RA ./ RA . / D . /RA ./RA . / D . /RA . /RA ./ :
266
9 Einführung in die Spektraltheorie
c. Für 2 .A/ \ .B/ gilt die zweite Resolventengleichung: RB ./ RA ./ D RA ./.A B/RB ./ D RB ./.A B/RA ./ : Der folgende Satz ist Grundlage für die elementaren Eigenschaften von Spektrum und Resolvente. Dabei ist die Bijektivität der betrachteten Operatoren so zu verstehen, dass die inversen Operatoren ebenfalls beschränkt sind. Das muss aber nicht explizit gefordert werden, weil es durch den schon erwähnten „Satz von der offenen Abbildung“ garantiert wird. Satz 9.4. Seien L; S 2 B.E/; sei L bijektiv, und es gelte kS L1 k < 1 und kL1 S k < 1 :
(9.1)
Dann ist L C S beschränkt und bijektiv, und es gilt .L C S /1 D D
1 X
.1/n L1 .SL1 /n
nD0 1 X
.1/n .L1 S /n L1 :
(9.2)
nD0
Beweis. Nach Theorem 8.11 gilt für einen Operator T 2 B.E/ mit kT k < 1 .I T /1 D
1 X
Tn :
(9.3)
nD0
Wegen (9.1) sind die Voraussetzungen für T D SL1
bzw. T D L1 S
erfüllt, so dass (9.2) wegen .L C S /1 D L1 .I C SL1 /1 D .I C L1 S /1 L1 t u
direkt aus (9.3) folgt. Theorem 9.5. Für jeden beschränkten Operator A 2 B.E/ gilt:
a. Die Resolventenmenge .A/ ist offen. Mit 0 2 .A/ gehört die Kreisscheibe der 2 C mit 1 (9.4) j 0 j < kRA .0 /k zu .A/; und in dieser Kreisscheibe gilt RA ./ D
1 X
. 0 /n RA .0 /nC1 :
nD0
(9.5)
A Spektrum und Resolvente
267
b. Das Spektrum .A/ ist kompakt, und .A/ f 2 C j jj kAkg : Ferner gilt RA ./ D
1 X nD0
1
An
nC1
für jj > kAk :
(9.6)
(9.7)
Beweis. a. Sei 0 2 .A/ und sei 2 C gemäß (9.4) gewählt. Setzen wir dann in Satz 9.4 L WD A 0 I ; so ist
S WD .0 /I ;
.L C S /1 D .A I /1 D RA ./ ;
und (9.1) ist dann wegen (9.4) erfüllt, so dass (9.5) aus (9.2) folgt. b. Gleichung (9.7) folgt ebenfalls aus (9.2), wenn man L WD I ;
S WD A
setzt. t u Satz 9.6. Für jeden beschränkten Operator A 2 B.E/ ist .A/ 6D ; : Beweis. Angenommen, es ist .A/ D ; und damit .A/ D C. Für feste x 2 E; f 2 E 0 ist dann die Funktion h./ WD f .RA ./x/ auf ganz C analytisch nach Theorem 9.5a., denn (9.5) liefert an jedem Punkt 0 2 C eine konvergente Potenzreihenentwicklung für h./. Da außerdem für jj > kAk k.A I /xk .jj kAk/ kxk gilt, folgt aus Satz 8.9. kRA ./k
1 jj kAk
für jj > kAk ;
so dass h./ auf ganz C beschränkt ist. Nach dem bekannten Satz von L IOUVILLE aus der komplexen Analysis (vgl. z. B. [36], Kap. 16) ist dann aber h./ konstant. Da f 2 E 0 beliebig war, folgt mit Satz 8.13, dass RA ./ als Funktion von konstant ist, was offenbar ein Widerspruch zur ersten Resolventengleichung aus Satz 9.3b. ist. t u
268
9 Einführung in die Spektraltheorie
B Spektrum beschränkter selbstadjungierter und unitärer Operatoren Ab jetzt betrachten wir stets einen komplexen H ILBERTraum H . Die folgende Aussage über unitäre Operatoren ist eine direkte Verallgemeinerung einer bekannten Aussage aus der Linearen Algebra. Satz 9.7. Für jeden unitären Operator U W H ! H gilt .U / f 2 C j jj D 1g : Beweis. Nach Definition 8.22d. ist ein unitärer Operator U bijektiv und isometrisch, und das Gleiche gilt für U 1 . Daher ist kU k D kU 1 k D 1 : Nach Theorem 9.5b. sind also D 0 und alle 2 C mit jj > 1 reguläre Werte von U . Für 0 < jj < 1 ist j1 j > 1; also 1 ein regulärer Wert von U 1 ; d. h. U 1 1 I hat eine beschränkte Inverse. Wegen U I D U.U 1 1 I / hat dann aber auch U I eine beschränkte Inverse, d. h. Spektralwerte von U können höchstens auf dem Einheitskreis liegen. u t 9.8 Beispiel: Das Spektrum des F OURIER -P LANCHEREL-Operators. In der Quantenmechanik spielen die H ERMITE-Funktionen eine wichtige Rolle als „Eigenfunktionen des harmonischen Oszillators“. Man kann sie auch verwenden, um die Spektraltheorie des F OURIER -P LANCHEREL-Operators (vgl. Abschn. 8F) vollständig zu klären. Die H ERMITE-Funktionen hn W R ! R können rekursiv definiert werden durch h0 .x/ WD ex =2 ; d hn1 .x/ ; hn .x/ WD x dx 2
n1:
(9.8)
Man sieht, dass sie die Form hn .x/ D Hn .x/ ex
2 =2
(9.9)
mit Polynomen Hn haben. Also sind sie von der Klasse C 1 und fallen im Unendlichen exponentiell ab. Daher gehören sie zu L2 .R/; und die bekannten Rechenregeln über die F OURIERtransformation lassen sich unbegrenzt auf sie anwenden, z. B. die Regeln d b b ./ ; F f 0 .x/ ./ D i f f ./ D iF Œxf .x/ ./ : (9.10) d
B Spektrum beschränkter selbstadjungierter und unitärer Operatoren
Daraus folgt
b 0 ./ f b.// : F Œxf .x/ f 0 .x/./ D i.f
269
(9.11)
Wegen hb0 D h0 folgt aus (9.8) und (9.11) durch Induktion hbn ./ D .i/n hn ./ :
(9.12)
Mit Hilfe des F OURIER -P LANCHEREL-Operators U können wir das kurz in der Form n0 U hn D .i/n hn ; schreiben, d. h. die hn sind Eigenvektoren zu den Eigenwerten .i/n . Bei diesen Eigenwerten handelt es sich natürlich nur um die vier Zahlen ˙1 und ˙i. Durch Linearkombination und Grenzwertbildung gewinnt man weitere Eigenfunktionen. Wir bezeichnen mit Uj den Abschluss der linearen Hülle von fh4kCj jk 2 N0 g (j D 0; 1; 2; 3) in L2 .R/ und haben dann Uf D .i/j f
für f 2 Uj :
Man weiß, dass die normierten H ERMITE-Funktionen 1 'n .x/ D p p hn .x/; n D 0; 1; 2; : : : n 2 nŠ
(9.13)
ein vollständiges Orthonormalsystem (d. h. eine Orthonormalbasis) im H ILBERTraum L2 .R/ bilden (vgl. etwa [96]). Jedes f 2 L2 .R/ hat also eine eindeutige, in der L2 -Norm konvergente F OURIER -H ERMITE-Entwicklung 1 X
f D
h'n j f i'n ;
nD0
und da U linear und stetig ist, ergibt sich hieraus b D Uf D f
1 X
.i/n h'n j f i'n :
(9.14)
nD0
Der Operator U ist also durch die Einführung des Systems .'n / auf eine einfache Form gebracht, die der Diagonalisierung einer normalen Matrix analog ist. Anders ausgedrückt: Der H ILBERTraum H D L2 .R/ hat die orthogonale Zerlegung H D U0 ˚ U1 ˚ U2 ˚ U3 in U -invariante abgeschlossene Teilräume Uj ; auf denen U mit .i/j I übereinstimmt. Hieraus folgt auch, dass die vier Eigenwerte D 1; i; 1; i das gesamte Spektrum von U ausmachen. Ist nämlich 2 C n f1; 1; i; ig; so haben wir für alle f 2 H .U I /f D .1 /P0 f C .i /P1 f C .1 /P2 f C .i /P3 f ;
270
9 Einführung in die Spektraltheorie
wobei die Pj die orthogonalen Projektoren auf Uj sind. Dann wird aber offensichtlich durch R./g WD
1 1 1 1 P0 g C P1 g C P2 g C P3 g 1 i 1 i
die Resolvente definiert, und es folgt 62 .U /. Ähnlich erkennt man auch, dass N.U .i/j I / D Uj für j D 0; 1; 2; 3 ist, dass es also außer den Elementen von Uj keine weiteren Eigenvektoren zu .i/j gibt (Übung!). Bemerkung: Für H D L2 .RN / sieht das Spektrum des entsprechenden F OU RIER -P LANCHEREL -Operators genauso aus. Man erkennt das durch Betrachtung der Orthonormalbasis, die aus den Funktionen '˛ .x1 ; : : : ; xN / WD
N Y
'˛k .xk /
kD1
besteht, wobei ˛ D .˛1 ; : : : ; ˛N / alle N -stelligen Multiindizes durchläuft. Das Spektrum von H ERMITEschen Operatoren lässt sich mit dem folgenden Lemma gut untersuchen: Lemma 9.9. Für einen H ERMITEschen Operator T 2 B.H / und ein 2 C sind folgende Aussagen äquivalent: a. 2 .T /. b. Es gibt ein c > 0; so dass k.T I /xk ckxk
8x 2 H :
(9.15)
Beweis. a. H) b. ist klar nach Satz 8.9. Gelte b., also (9.15) für geeignetes c > 0. Dann ist N.T I / D f0g. Wie in der elementaren linearen Algebra rechnet man N / D f0g. Nach nach, dass T D T H) P .T / R. Also ist auch N.T I Satz 8.21 folgt daraus R.T I / D H . Mit (9.15) sieht man direkt, dass R.T I / vollständig, also auch abgeschlossen ist. Daher ist T I surjektiv, also (wieder nach (9.15) und Satz 8.9) stetig invertierbar. t u In dem folgenden Theorem sind nun die wichtigsten Eigenschaften zusammengefasst, die das Spektrum von selbstadjungierten beschränkten Operatoren auszeichnen. Theorem 9.10. Für jeden H ERMITEschen Operator T 2 B.H / gilt: a. Das Spektrum .T / ist reell, d. h. R. b. Das residuale Spektrum R .T / ist leer.
B Spektrum beschränkter selbstadjungierter und unitärer Operatoren
271
c. Mit den Bezeichnungen m WD inf hx j T xi ; kxkD1
mC WD sup hx j T xi kxkD1
gilt kT k D max fjm j ; jmC jg : d. .T / Œm ; mC und m ; mC 2 .T /. Beweis. a. Sei D ˛ C iˇ mit ˛; ˇ 2 R. Dann ist S WD T ˛I ebenfalls selbstadjungiert. Für x 2 H gilt daher: k.T I /xk2 D kS x iˇxk2 D kS xk2 iˇhS x j xi C iˇhx j S xi C ˇ 2 kxk2 D kS xk2 C ˇ 2 kxk2 ˇ 2 kxk2 und damit k.T I /xk jˇj kxk. Nach Lemma 9.9 muss also 2 .T / sein, falls ˇ 6D 0. b. Sei 2 R und sei R.T I / nicht dicht in N . Dann gibt es 0 6D x0 2 ?
R.T I / D R.T I /? D N..T I / / D N.T I /; d. h. 2 P .T / mit Eigenvektor x0 . c. Folgt sofort aus Satz 8.23a. d. Wir führen den Beweis für mC und nehmen o.B.d.A. an, dass 0 m mC und damit kT k D mC . Die restlichen Fälle werden auf diesen Fall zurückgeführt, indem man Operatoren der Form ˙T C ˛I ; ˛ 2 R betrachtet. Zunächst folgt sofort aus Theorem 9.5b., dass jedes D mC C" für " > 0 zu .T / gehört. Wegen mC D sup hx j T xi D kT k kxkD1
gibt es nach Definition des Supremums eine Folge .xn / H mit kxn k D 1 ;
hxn j T xn i D mC ın ;
ın 0 ; ın ! 0 :
Aus kT xn k kT k kxn k D mC folgt daher k.T mC I /xn k2 D kT xn k2 2mC hxn j T xn i C m2C kxn k2 m2C 2mC .mC ın / C m2C ; also k.T mC I /xn k2 2mC ın ! 0 ;
n ! 1 :
Daher existiert keine Konstante c > 0; so dass k.T mC I /xk ckxk
für alle x 2 H .
Das bedeutet aber nach Lemma 9.9, dass mC 62 .T /.
t u
272
9 Einführung in die Spektraltheorie
C Kompakte Operatoren Wir betrachten nun eine wichtige Klasse von Operatoren, die praktisch nur ein Punktspektrum besitzen. Dazu führen wir folgenden Begriff ein: Definition 9.11. Eine Folge .xn / in einem H ILBERTraum H konvergiert schwach gegen ein x0 2 H (geschrieben xn + x0 ), wenn für jedes z 2 H lim hz j xn i D hz j x0 i :
n!1
Durch diese Forderung ist x eindeutig bestimmt (Übung!), und man nennt x den schwachen Limes der Folge .xn /. Wir stellen nun die wichtigsten Eigenschaften dieses Konvergenzbegriffes zusammen: Theorem 9.12. a. Aus starker Konvergenz xn ! x0 folgt schwache Konvergenz xn + x0 ; aber nicht umgekehrt. b. Aus xn + x0 und kxn k ! kx0 k folgt die starke Konvergenz xn ! x0 . c. Jede schwach konvergente Folge ist beschränkt. d. Jede beschränkte Folge enthält eine schwach konvergente Teilfolge. Beweis. a. Aus der starken Konvergenz xn ! x folgt für jedes z 2 H : jhz j xi hz j xn ij D jhz j x xn ij kzk kx xn k ! 0 ; also die schwache Konvergenz xn + x. – Dass die Umkehrung nicht gilt, sieht man z. B. an einem Orthonormalsystem .en / H . Für jedes z 2 H gilt dann bekanntlich die B ESSELsche Ungleichung 1 X
jhz j en ij2 kzk2 < 1
nD1
und damit limn!1 hz j en i D 0. Dies bedeutet en + 0; aber wegen ken k D 1 konvergiert diese Folge natürlich nicht stark gegen Null. (Sie hat noch p nicht einmal eine konvergente Teilfolge, weil für n ¤ m stets ken em k D 2 ist!) b. Für alle n ist kx xn k2 D kxk2 2Re hx j xn i C kxn k2 ; und unter den gegebenen Voraussetzungen liefert das lim kx xn k2 D kxk2 2Re hx j xi C kxk2 D kxk2 2kxk2 C kxk2 D 0 ;
n!1
also die behauptete starke Konvergenz.
C Kompakte Operatoren
273
c. und d. sind schwieriger zu beweisen und werden meist aus allgemeinen Prinzipien der Funktionalanalysis hergeleitet (c. aus dem Prinzip von der gleichmäßigen Beschränktheit, d. aus dem Satz von A LAOGLU), die in jedem Lehrbuch der Funktionalanalysis bewiesen werden. Für spezielle H ILBERTräume gibt es auch elementare Beweise – etwa für Räume vom Typ L2 .S / sind solche direkten Beweise in [59] angegeben. t u Satz 9.13. a. Für einen linearen Operator T W H ! H sind die folgenden Bedingungen äquivalent: (i) T bildet abgeschlossene beschränkte Mengen in kompakte Mengen ab, d. h. für jede beschränkte Folge .xn / in H hat die Folge .T xn / eine konvergente Teilfolge. (ii) T bildet schwach konvergente Folgen in stark konvergente Folgen ab, d. h. xn + x H) T xn ! T x. T heißt kompakt oder vollstetig, wenn eine dieser äquivalenten Bedingungen gilt. b. Jeder kompakte Operator ist beschränkt. Beweis. Angenommen, T erfüllt Bedingung (i). Dann muss T beschränkt sein, denn anderenfalls gäbe es eine Folge .xn / mit kxn k D 1 8 n und kT xn k % C1
für n ! 1 ;
und solch eine Folge kann keine konvergente Teilfolge haben. Damit ist schon b. gezeigt. Außerdem folgern wir xn + x H) T xn + T x ;
. /
denn für alle z 2 H haben wir hz j T .xn x/i D hT z j xn xi ! 0 : Dass sogar T xn ! T x gelten muss, zeigen wir durch Widerspruch. Wäre dies für eine gewisse Folge xn + x nicht der Fall, so gäbe es " > 0 und eine Teilfolge .xnj / mit kT xnj T xk " 8 j : Nach Theorem 9.12c. ist .xn / beschränkt, also enthält .T xnj / eine stark konvergente Teilfolge, etwa T xnj ! y für ! 1 : Dann ist kT x yk "; insbesondere y ¤ T x. Wegen 9.12a. ist y auch der schwache Limes der Folge .T xnj /; und wegen ( ) ist dieser schwache Limes gleich T x im Widerspruch zur Eindeutigkeit des schwachen Limes. Die Implikation (ii) H) (i) folgt unmittelbar aus Theorem 9.12d. t u
274
9 Einführung in die Spektraltheorie
Unterwirft man kompakte Operatoren einer der gängigen Prozeduren zur Gewinnung neuer Operatoren, so entstehen i. A. wieder kompakte Operatoren. Genauer: Theorem 9.14. a. Linearkombinationen von kompakten Operatoren sind kompakt. b. Sind Tn W H ! H kompakt und gilt Tn ! T in B.H /; so ist T kompakt. c. Ist T kompakt, S beschränkt, so sind T S und S T kompakt. d. Mit T ist auch T kompakt. Beweis. a. Ist eine leichte Übung. b. Wir weisen Bedingung (ii) für T nach. Sei also xm + x in H . Nach Definition der Operatornorm bedeutet die Konvergenz Tn ! T die gleichmäßige Konvergenz auf beschränkten Teilmengen von H; insbesondere auf der beschränkten Menge fxm j m 2 Ng. Daher darf man die Grenzprozesse vertauschen und erhält lim T xm D lim lim Tn xm D lim lim Tn xm D lim Tn x D T x ;
m!1
m!1 n!1
n!1 m!1
n!1
wie gewünscht. c. Ist T kompakt, S beschränkt und ist .xn / H eine beschränkte Folge, so ist .S xn / eine beschränkte Folge nach Satz 8.3a. Daher enthält .T .S.xn // eine stark konvergente Teilfolge. Also ist T S kompakt. Andererseits hat auch T xn eine konvergente Teilfolge, etwa T xnj ! y für j ! 1. Daraus folgt S.T xnj / ! Sy; weil S stetig ist. Also ist S T kompakt. d. Wird am Schluss dieses Abschnitts bewiesen. t u Die genauere Untersuchung der kompakten Operatoren und ihrer spektralen Eigenschaften werden wir auf den folgenden interessanten Approximationssatz gründen: Satz 9.15. a. Jeder beschränkte lineare Operator T W H ! H von endlichem Rang, d. h. mit dim R.T / < 1; ist kompakt. b. Zu jedem kompakten Operator T W H ! H existiert eine Folge .Tn / von beschränkten Operatoren von endlichem Rang, so dass lim kT Tn k D 0 :
n!1
Beweis. a. Ist dim R.T / < 1; so sind abgeschlossene beschränkte Mengen M R.T / kompakt (Satz 7.11b.), was nach Satz 9.13a. die erste Behauptung liefert.
C Kompakte Operatoren
275
b. Beweisen wir nur für separable H ILBERTräume (andere kommen in den physikalischen Anwendungen auch kaum vor). Sei also fe1 ; e2 ; : : :g eine abzählbare Orthonormalbasis von H (Satz 7.5), und sei T W H ! H kompakt. Wir betrachten die orthogonalen Projektoren Pm x WD
m X
hek j xiek :
kD1
Da jedes x 2 H die Summe seiner F OURIERreihe ist, haben wir Pm x ! x
für alle x 2 H .
(9.16)
Setzen wir Tm WD T Pm ; so gilt Tm x D
m X
hek j xi T ek
(9.17)
für alle x 2 H;
kD1
d. h. Tm ist von endlichem Rang. Nach Definition der Operatornorm gibt es nun zu jedem m 2 N ein xm 2 H mit kxm k D 1 und k.T Tm /xm k
1 kT Tm k : 2
(9.18)
Wegen (9.16) gilt dann für jedes y 2 H h.I Pm /xm j yi D hxm j .I Pm /yi ! 0 ; also .I Pm /xm + 0 : Da T kompakt ist, folgt hieraus .T Tm /xm D T .I Pm /xm ! 0 : Dies liefert mit (9.18) kT Tm k ! 0 :
t u
Beweis: von 9.14d.: Sei K 2 B.H / ein Operator von endlichem Rang. Die Einschränkung KjN.K/? ist ein Isomorphismus N.K/? ! R.K/; also folgt dim R.K / dim R.K / D dim N.K/? D dim R.K/ < 1 : Somit ist K ebenfalls von endlichem Rang.
276
9 Einführung in die Spektraltheorie
Nun sei T kompakt. Nach Satz 9.15b. ist T D limm!1 Tm mit Operatoren Tm von endlichem Rang. Wegen k.T Tm / k D kT Tm k ist dann auch T D limm!1 Tm . Kompaktheit von T folgt nun aus Theorem 9.14b., Satz 9.15a. und der gerade bewiesenen Tatsache, dass die Tm ebenfalls von endlichem Rang sind. t u
D Spektrum kompakter Operatoren Das Spektrum kompakter Operatoren ist ähnlich dem Spektrum von linearen Abbildungen in endlich-dimensionalen Räumen, wie wir jetzt sehen werden. Zunächst benötigen wir jedoch einige technische Vorbereitungen: Lemma 9.16. Für jeden kompakten Operator T W H ! H gilt: a. Ist H unendlich-dimensional, so ist T nicht stetig invertierbar. b. Die Einschränkung des Operators S WD I T auf den abgeschlossenen Unterraum U WD N.S /? ist immer stetig invertierbar. c. Der Wertebereich R.I T / ist abgeschlossen in H . Beweis. a. In einem unendlich-dimensionalen H ILBERTraum gibt es nach dem S CHMIDT schen Orthogonalisierungsverfahren immer ein abzählbares Orthonormalsystem .en /n1 ; und, wie wir im Beweis von Theorem 9.12a. gesehen haben, konvergiert solch eine Folge schwach gegen Null. Da T kompakt ist, konvergiert .T en / stark gegen Null. Wäre nun T stetig invertierbar, so hätten wir en D T 1 T en ! 0 im Widerspruch zu ken k D 1. b. Angenommen, die Einschränkung S jU ist nicht stetig invertierbar. Dann ist die Bedingung aus Satz 8.9 verletzt, und daher gibt es eine Folge .xn / U; für die kxn k D 1; aber kS xn k D kxn T xn k ! 0 gilt. Nach Übergang zu einer Teilfolge können wir annehmen, dass der Grenzwert z WD lim T xn existiert. Dann folgt n!1
xn D S xn C T xn ! z und daher Tz D T
für n ! 1
lim xn D lim T xn D z :
n!1
n!1
Also ist S z D z T z D 0; d. h. z 2 N.S /. Wegen xn 2 U ist aber auch z 2 U D U D N.S /? ; und folglich muss z D 0 sein. Wegen kxn k D 1 hat z aber die Norm 1; ein Widerspruch.
D Spektrum kompakter Operatoren
277
c. R.S / ist auch der Wertebereich der Einschränkung S jU . Da diese stetig invertierbar ist und U vollständig ist, folgert man leicht die Vollständigkeit von R.S /. Folglich ist R.S / auch abgeschlossen. t u Nun kommen wir zu dem angekündigten Hauptresultat über das Spektrum von kompakten Operatoren. Wir erinnern daran, dass man eine Punktmenge diskret nennt, wenn jeder ihrer Punkte isoliert ist, also eine Umgebung besitzt, die keinen weiteren Punkt der Menge enthält (vgl. etwa [36], Kap. 13). Theorem 9.17 (R IESZ -S CHAUDER). Für jeden kompakten Operator T W H ! H gilt: a. Das Spektrum .T / ist eine diskrete Punktmenge mit einzig möglichem Häufungspunkt D 0. b. Jedes 2 .T /; 6D 0; ist ein Eigenwert endlicher Vielfachheit. Beweis. a. Anstelle der Eigenwerte von T ist es praktisch, die sogenannten singulären Werte von T mit T x D x für ein x 6D 0 (9.19) zu betrachten und zu zeigen, dass diese in C eine Punktmenge ohne Häufungspunkte bilden. Ist nämlich kein singulärer Wert von T; so ist T I D .I T / injektiv, also stetig invertierbar nach Lemma 9.16b., und daher ist .T 1 I /1 D . T I /1 ein beschränkter, auf H definierter Operator, d. h. es ist 1 2 .T /. Um die Behauptung über die singulären Werte zu beweisen, betrachten wir für beliebiges 0 2 C die Kreisscheibe DW
j 0 j < R WD
1 2kT k
(9.20)
und zeigen, dass für 0 < ı < R die Scheibe D0 W
j 0 j R ı
nur endlich viele singuläre Werte von T enthält. Dies beweisen wir, indem wir T gemäß Satz 9.15 durch Operatoren von endlichem Rang approximieren. Es existiert also ein Operator Q W H ! H; Qx D
N X
hzi j xi yi
i D1
von endlichem Rang mit k 0 T Qk <
1 : 2
(9.21)
278
9 Einführung in die Spektraltheorie
(Die Darstellung (9.21) von Q erhält man, indem man fy1 ; : : : ; yN g als Basis von R.Q/ wählt und dann die Linearform 'i ; die jedem x 2 H die i -te Komponente in der Entwicklung des Vektors Qx nach dieser Basis zuordnet, gemäß Theorem 8.16 durch einen Vektor zi 2 H darstellt .i D 1; : : : ; N /.) Wegen (9.20) folgt: k T Qk j 0 j kT k C k 0 T Qk < 1 ;
(9.22)
falls 2 D. Nach Theorem 8.11 existiert dann der Operator .I . T Q//1 D .I T C Q/1 und ist beschränkt. Daher ist der Operator K WD Q.I T C Q/1
(9.23)
ebenfalls beschränkt und von endlichem Rang, und er hat die Form K x D
N X
hzi . / j xi yi ;
(9.24)
i D1
wenn man
zi . / WD .I T C Q/1 zi
(9.25)
setzt. Ferner gilt, wie man einfach nachrechnet I T D .I K /.I T C Q/ :
(9.26)
Diese Gleichung liefert nun die folgenden Aussagen: (i)
.I T /1 existiert für ein 2 D genau dann, wenn .I K /1 existiert.
(ii)
Die Gleichung T x D x ist genau dann nicht trivial lösbar, wenn K x D x nicht trivial lösbar ist.
Es genügt daher zu zeigen, dass die Menge ˚ M D 2 D j N.I K / ¤ f0g eine diskrete Punktmenge ist. Nach (9.24) ist R.K / D LH.y1 ; : : : ; yN / : Daher hat jedes x 2 R.K / die Form x D
N X j D1
ˇj yj :
(9.27)
D Spektrum kompakter Operatoren
279
Setzen wir dies in (9.24) ein, so ergibt sich aus (9.27) das homogene lineare Gleichungssystem N X ˇj D hzj . / j yi i ˇi ; (9.28) i D1
welches genau dann eine nicht triviale Lösung hat, wenn d. / WD det .ıj i hzj . / j yi i/ D 0
(9.29)
ist. Aber nach (9.25) sind die hzj . / j yi i D hyj j .I T C Q/1 yi i analytische Funktionen von 2 D; denn wenn j j klein genug ist, so kann man .I T C Q/1 in eine Reihe der Form (9.2) entwickeln (und zwar mit L WD I T C Q; S D . /I ), und diese Reihe ist eine Potenzreihe in . /. Damit ist auch D. / analytisch in D; und für 0 < ı < R hat sie daher in der Scheibe j 0 j R ı nur endlich viele Nullstellen, wie aus der komplexen Funktionentheorie bekannt ist (vgl. z. B. [36], Kap. 17). Das aber beweist unsere Behauptung über die singulären Werte. b. Folgt sofort aus Lemma 9.16a., denn die Einschränkung von T auf den Eigenraum N.T I / ist ein kompakter Operator im H ILBERTraum N.T I /; der mit I übereinstimmt. Im Falle ¤ 0 ist dieser kompakte Operator stetig invertierbar, und daher muss N.T I / endliche Dimension haben, d. h. der Eigenwert hat endliche Vielfachheit. Ein direkterer Beweis ergibt sich aus der Konstruktion, die zum Beweis von Teil a. verwendet wurde: Wir haben dort gesehen, dass die Transformation y D .I T C Q/x
(9.30)
die Lösungen der Gleichung x D T x bijektiv in die Lösungen der Gleichung y D K y überführt, also einen Isomorphismus zwischen den Räumen N.T 1 I / und N.I K / vermittelt. Aber N.I K / R.K /; und da die K endlichen Rang haben, folgt dim N.T 1 I / D dim N.I K / dim R.K / < 1 :
t u
Wir schließen noch eine Bemerkung über den möglichen Häufungspunkt D 0 des Spektrums eines kompakten Operators an: Satz 9.18. Für jeden kompakten Operator T W H ! H in einem unendlichdimensionalen H ILBERTraum ist 0 2 .T /. Das ist einfach eine Neuformulierung von Lemma 9.16a. Dabei ist aber jeder der Fälle 0 2 P .T / oder 0 2 C .T / oder 0 2 R .T / möglich. Entsprechende Beispiele finden sich in den Übungen. Für kompakte selbstadjungierte Operatoren tritt eine besonders einfache Situation ein, die gleichzeitig von besonderer Wichtigkeit für die Anwendungen ist:
280
9 Einführung in die Spektraltheorie
Theorem 9.19 (H ILBERT-S CHMIDT). Sei T W H ! H ein kompakter selbstadjungierter Operator, dim R.T / D 1. Dann gibt es eine unendliche Folge von Eigenwerten n 2 R mit jn j ! 0 und eine Orthonormalbasis von zugehörigen Eigenvektoren fen g von R.T /; so dass T e n D n e n und Tx D
1 X
n hen j xi en ;
(9.31)
nD1
wobei jeder Eigenwert 2 R nur endlich oft in der Folge .n / vorkommt. (Die Anzahl der n; für die n D ist, ist gerade die Vielfachheit des Eigenwerts .) Beweis. Nach Theorem 9.17 sind alle Spektralwerte 6D 0 von T Eigenwerte endlicher Vielfachheit, und sie haben nur den Häufungspunkt 0. Da T H ERMITEsch ist, sind die Eigenwerte von T nach Satz 9.10a. reell. Da sie eine diskrete Menge bilden, kann man sie nach absteigendem Betrag in eine Folge .n / anordnen, wobei jeder Eigenwert so oft wiederholt wird, wie seine endliche Vielfachheit angibt. Diese Folge konvergiert gegen Null, da anderenfalls weitere Häufungspunkte vorhanden wären. In jedem der Eigenräume N.T I /; 2 .T /; ¤ 0 wählen wir mit Hilfe des S CHMIDT schen Orthogonalisierungsverfahrens eine Orthonormalbasis. Insgesamt erhalten wir dann ein Orthonormalsystem .en / mit T en D n en für alle n. Um zu zeigen, dass dieses eine Orthonormalbasis für R.T / ist, betrachten wir L WD LH .e1 ; e2 ; : : :/ : Wegen T en 2 L und T D T gilt T .L/ L und T .L? / L? : Daher ist die Einschränkung
ˇ ˇ T0 WD T ˇ
L?
W L? ! L?
ebenfalls ein kompakter selbstadjungierter Operator im H ILBERTraum L? . Wäre kT0 k > 0; so wäre D kT0 k oder D kT0 k ein Spektralwert und damit ein Eigenwert von T0 (Theoreme 9.10c., d. und 9.17a.). Jeder Eigenvektor x von T0 zu einem Eigenwert 6D 0 wäre auch ein Eigenvektor von T und würde daher in L liegen. Daher ist T0 der Nulloperator und folglich L? D N.T / und damit
L D N.T /? D R.T / :
Die Gleichung (9.19) folgt dann sofort.
t u
D Spektrum kompakter Operatoren
281
In den Anwendungen muss man häufig inhomogene Gleichungen der Form x T x D y untersuchen und fragt, für welche y 2 H solche Gleichungen (eindeutig) lösbar sind. Das bedeutet die Untersuchung der Räume R.I T / und N.I T /. Für kompaktes T liefert Satz 8.21 zusammen mit Lemma 9.16c. die Aussagen R.I T / D N.I T N /? ;
R.I T N / D N.I T /? :
(9.32)
Ist kein singulärer Wert von T; also S D I T stetig invertierbar, so ist auch S D I T N stetig invertierbar, wobei .S /1 D .S 1 / (Aufgabe 8.15a.). Allgemein kann man sogar beweisen, dass dim N.I T / D dim N.I T N / :
(9.33)
Je nachdem, ob ein singulärer Wert von T ist oder nicht, erhält man also zwei Fälle. In der Sprache der Gleichungen ausgedrückt, lautet das Ergebnis: Satz 9.20. Sei T W H ! H ein kompakter Operator. Gegeben seien die linearen Gleichungen: .I / x T x D y ; .H / x T x D 0 und die zugehörigen adjungierten Gleichungen .I /
u T u D v ;
.H / u T u D 0
Dann gilt die F REDHOLMsche Alternative a. Entweder ist die inhomogene Gleichung (I) für jedes y 2 H eindeutig lösbar. Dann ist auch (I*) für jedes v 2 H eindeutig lösbar und die beiden homogenen Gleichungen (H) und (H*) haben nur die triviale Lösung. b. Oder die homogenen Gleichungen haben die gleiche endliche Anzahl von linear unabhängigen Lösungen x1 ; : : : ; xN von (H) ; u1 ; : : : ; uN von (H*) : In diesem Fall ist (I) nur für solche y 2 H lösbar, für die huj j yi D 0 ; d. h. für
j D 1; : : : ; N
y 2 N.I T /? D R.I T /
und (I*) ist nur für solche v 2 H lösbar, für die hxj j vi D 0 ;
j D 1; : : : ; N
282
9 Einführung in die Spektraltheorie
d. h. für
v 2 N.I T /? D R.I T / :
Anmerkung 9.21. Die Beziehung (9.33) ist wegen (9.32) äquivalent zu dim N.S / D dim R.S /?
(9.34)
für S WD I T . Allgemein wird S 2 B.H / als F REDHOLM-Operator bezeichnet, wenn N.S / und R.S /? endliche Dimension haben, und dann heißt die Zahl ind S WD dim N.S / dim R.S /? der Index von S . Diese Größe hat äußerst interessante Eigenschaften und kann für konkrete Operatoren S häufig geometrisch interpretiert werden („Indexsätze“). Gleichung (9.34) besagt also, dass S D I T für kompaktes T ein F REDHOLMOperator vom Index Null ist. Um (9.34) – und damit auch (9.33) – zu beweisen, führen wir die Transformation (9.30) durch und beachten, dass wegen (9.26) und der Invertierbarkeit von I T C Q R.I T / D R.I K /
und
dim N.I T / D dim N.I K /
ist. Daher genügt es, (9.34) für S D I K zu beweisen, wo K 2 B.H / ein Operator von endlichem Rang ist. Dazu betrachten wir den Unterraum U WD R.K/ C N.K/? fv C w j v 2 R.K/ ; w 2 N.K/?g : Die Einschränkung von K auf N.K/? ist ein Isomorphismus N.K/? ! R.K/; also ist auch dim N.K/? < 1. Damit hat U endliche Dimension, etwa dim U D m.ˇ Wegen R.K/ U ist S.U/ U; also können wir die Einschränkung S0 WD ˇ S ˇˇ als Operator im endlich-dimensionalen H ILBERTraum U betrachten. Nach der U Dimensionsformel aus der linearen Algebra (vgl. etwa [36], Kap. 7) ist dim N.S0 / D m dim R.S0 / ; und das ist auch die Dimension von R.S0 /? \ U; dem orthogonalen Komplement von R.S0 / im H ILBERTraum U. Aber x Kx D 0 H) x D Kx 2 R.K/; d. h. wir haben N.S / R.K/ U und damit N.S / D N.S0 /. Ferner sieht man, dass Kx D 0 H) S x D x H) x 2 R.S /; also N.K/ R.S / und damit R.S /? N.K/? U. Es folgt R.S0 /? \ U D R.S /? ; also schließlich dim N.S / D m dim R.S0 / D dim R.S /? ; wie behauptet.
t u
E F REDHOLMsche Integralgleichungen
283
E F REDHOLMsche Integralgleichungen Wir wollen nun unsere Ergebnisse über lineare Operatoren auf spezielle Typen von Integralgleichungen anwenden. Dies dient einmal zur Illustration der abstrakten Theorie, doch spielen die Ergebnisse, die wir jetzt herleiten werden, auch eine bedeutende Rolle in der klassischen theoretischen Physik bei der mathematischen Behandlung von Schwingungs- und Ausbreitungsvorgängen. Definitionen 9.22. Sei ˝ Rn ein Gebiet, sei k D k.x; y/ W ˝ ˝ ! C eine summierbare (= integrierbare) Funktion und sei k .x; y/ WD k.y; x/ : a. Dann heißt eine Gleichung
(9.35)
Z k.x; y/'.y/ dy C f .x/
'.x/ D
(9.36)
˝
eine F REDHOLMsche Integralgleichung 2. Art mit dem Kern k.x; y/; und zwar inhomogen, falls f 6D 0; homogen, falls f D 0 ist. Dabei sind k und f gegebene Daten, ' ist gesucht, und 2 C ist ein Parameter. b. Die Gleichung Z k .x; y/ .y/ dy C g.x/
.x/ D
(9.37)
˝
heißt die zu (9.36) adjungierte Integralgleichung. c. Ist k.x; y/ auf ˝ ˝ stetig, so heißen (9.36) und (9.37) Integralgleichungen mit stetigem Kern. Bei der Behandlung von Integralgleichungen oder anderen konkreten Funktionalgleichungen ist meist nicht unmittelbar klar, in welchem Funktionenraum die Gleichung betrachtet werden soll. Die Wahl eines geeigneten Funktionenraums wird von der Fragestellung und von der Natur der gegebenen Daten beeinflusst, und oft ist sie ein entscheidender Faktor für den Erfolg der Theorie. Hier betrachten wir als Beispiele nur die beiden Räume E D C 0 .˝/ und H D L2 .˝/ (vgl. 7.6). Die folgenden Tatsachen können leicht als Übung bewiesen werden. Satz 9.23. Sei ˝ Rn ein beschränktes Gebiet und j˝j sein Volumen (= L EBES GUE sches Maß). Sei k W ˝ ˝ ! C ein stetiger Kern und M D max jk.x; y/j :
(9.38)
x;y2˝
Definiert man den Integraloperator K durch Z k.x; y/f .y/ dy ; .Kf /.x/ WD ˝
(9.39)
284
9 Einführung in die Spektraltheorie
so gilt a. K ist genau dann der Nulloperator in L2 .˝/ bzw. C 0 .˝/; wenn k.x; y/ 0
in ˝ ˝.
b. K W L2 .˝/ ! C 0 .˝/ ist ein stetiger linearer Operator mit kKf k1 M j˝j1=2kf k2 ;
f 2 L2 .˝/ :
(9.40)
c. K W C 0 .˝/ ! C 0 .˝/ ist ein stetiger linearer Operator mit kKf k1 M j˝j kf k1 ;
f 2 C 0 .˝/ :
(9.41)
d. K W L2 .˝/ ! L2 .˝/ ist ein stetiger linearer Operator mit kKf k2 M j˝j kf k2 ;
f 2 L2 .˝/ :
(9.42)
Wir untersuchen nun zunächst die inhomogene Integralgleichung (9.36) im BA 2 C 0 .˝/ Gl. (9.36) eindeutig lösbar ist. Mit (9.39) schreibt sich (9.36) als Operatorgleichung in der Form NACH -Raum C 0 .˝/ und fragen, für welche f
' D K' C f oder, äquivalent umgeformt, .I K/' D f ;
(9.43)
so dass die eindeutige Lösbarkeit in C 0 .˝/ gesichert ist, wenn .I K/1 als beschränkter Operator in C 0 .˝/ existiert. Nach Satz 8.11 ist dies der Fall, wenn kKk < 1
(9.44)
ist, weil wir dann .I K/1 als N EUMANNsche Reihe .I K/1 D
1 X
j K j
(9.45)
j D0
ansetzen können. Bei der in (9.44) auftretenden Norm handelt es sich um die Operatornorm in B.C 0.˝//. Daher folgt aus (9.41), dass kKk M j˝j
(9.46)
ist, so dass wir folgendes Ergebnis bekommen: Satz 9.24. Die F REDHOLMsche Integralgleichung Z '.x/ D k.x; y/'.y/ dy C f .x/ ˝
.9:36/
E F REDHOLMsche Integralgleichungen
285
mit stetigem Kern k.x; y/ hat für jedes f 2 C 0 .˝/ eine eindeutige Lösung ' 2 C 0 .˝/; falls 1 : (9.47) jj < M j˝j Diese Lösung kann durch die in ˝ gleichmäßig konvergente N EUMANNsche Reihe 1 X
'.x/ D
j .K j f /.x/
(9.48)
j D0
dargestellt werden und erfüllt die Abschätzung k'k1
kf k1 : 1 M jj j˝j
(9.49)
Für praktische Zwecke ist es nützlich zu wissen, wie sich die Operatorpotenzen K j in (9.48) konkret berechnen. Dazu benötigen wir folgenden Hilfssatz: Lemma 9.25. Sind Ki Integraloperatoren mit stetigen Kernen ki .x; y/ ;
i D 1; 2 ;
(9.50)
so ist auch K3 WD K2 K1 ein Integraloperator, und zwar mit dem stetigen Kern Z k3 .x; y/ D k2 .x; u/ k1 .u; y/ du : (9.51) ˝
Beweis. Für f 2 C 0 .˝/ ist .K3 f /.x/ D .K2 .K1 f //.x/ Z Z D k2 .x; u/ k1 .u; y/f .y/ dy du ˝
D
R ˝
(
R
˝
)
k2 .x; u/ k1 .u; y/ du
f .y/ dy
˝
nach dem Satz von F UBINI. Aus (9.51) ersieht man, dass k3 .x; y/ ein stetiger Kern ist, durch den der Operator K3 gegeben ist. t u Wendet man dieses Ergebnis auf die Reihe (9.48) an, so bekommt man: Satz 9.26. Sei K ein Integraloperator mit stetigem Kern k.x; y/. Dann gilt: a. Die Operatorpotenzen K p sind Integraloperatoren mit den iterierten Kernen R kp .x; y/ D k.x; u/ kp1 .u; y/ du ˝ R (9.52) D kp1 .x; u/ k.u; y/ du : ˝
286
9 Einführung in die Spektraltheorie
b. Ist M jj j˝j < 1; so existiert der Resolventenkern R.x; yI / WD
1 X
j kj C1 .x; y/ :
(9.53)
j D0
als gleichmäßig konvergente Reihe. c. Ist M jj j˝j < 1; so ist die Lösung ' der Integralgleichung (9.36) gegeben durch Z (9.54) '.x/ D f .x/ C R.x; yI / f .y/ dy ; ˝
d. h. es gilt die Operatorgleichung .I K/1 D I C R ;
(9.55)
wobei R der von R erzeugte Integraloperator ist. Bemerkung: Reihen der Form (9.53) treten auch in der Quantenmechanik auf und werden dort als DYSONreihen bezeichnet. Nun wollen wir die etwas tiefer gehenden Untersuchungen aus den Abschnitten C und D auf F REDHOLMsche Integralgleichungen anwenden. Ermöglicht wird dies durch das folgende Resultat: Satz 9.27. Das Grundgebiet ˝ Rn sei beschränkt. Integraloperatoren mit stetigem Kern können dann in C 0 .˝/ und in L2 .˝/ durch Integraloperatoren von endlichem Rang approximiert werden und sind daher kompakte Operatoren. Zum Beweis benötigen wir das Lemma 9.28. Sei C Rn kompakt und k W C C ! K stetig. Zu jedem " > 0 gibt es dann ein endliches System g1 ; : : : ; gN ; h1 ; : : : ; hN von stetigen Funktionen gi ; hj W C ! K so, dass ˇ ˇ ˇ ˇ N X ˇ ˇ ˇ sup ˇk.x; y/ gj .x/hj .y/ˇˇ < " : x;y2C ˇ ˇ j D1 Beweis. Wir verwenden den bekannten W EIERSTRASSschen Approximationssatz, der besagt, dass jede stetige Funktion auf einer kompakten Teilmenge von Rq in der Supremumsnorm beliebig genau durch Polynome in q Variablen approximiert werden kann. Dieser Satz wird in vielen Büchern über Analysis zumindest für q D 1 und ein kompaktes Intervall bewiesen (vgl. auch [36], Kap. 29), aber er gilt auch in der hier beschriebenen Form. Wir verwenden ihn für q D 2n und die kompakte Menge C C R2n und erhalten somit zu " > 0 ein Polynom X c˛ˇ x ˛ y ˇ P .x; y/ D j˛j;jˇ jm
E F REDHOLMsche Integralgleichungen
287
in 2n Variablen, für das sup jk.x; y/ P .x; y/j < " x;y2C
gilt. Dann folgt die Behauptung, indem wir z. B. setzen: X g˛ .x/ WD x ˛ ; h˛ .y/ WD c˛ˇ y ˇ : jˇ jm
Hier ist N die Anzahl der Multiindizes ˛ mit j˛j m; und der Laufindex j zählt einfach alle diese Terme ohne Verwendung von Multiindizes durch. t u Beweis (von Satz 9.27). Sei k W ˝ ˝ ! C ein stetiger Kern. Zu " > 0 wählen wir dann N X l.x; y/ D gj .x/hj .y/ j D1
gemäß dem Lemma. Die entsprechenden Integraloperatoren bezeichnen wir wieder mit K bzw. L. Für jede Funktion ' 2 L2 .˝/ haben wir dann .L'/.x/ D
Z X N
gj .x/hj .y/'.y/ dy
˝ j D1
D
N X j D1
d. h. L' D
N P j D1
Z
gj .x/
hj .y/'.y/ dy ; ˝
„
ƒ‚
DWaj
…
aj gj mit Skalaren a1 ; : : : ; aN . Dies zeigt, dass der Wertebereich
R.L/ von den festen Funktionen g1 ; : : : ; gN aufgespannt wird, und somit ist L von endlichem Rang. Schließlich sehen wir mit (9.41), (9.42) aus Satz 9.23, dass kK Lk < "j˝j ist, egal ob wir C 0 .˝/ oder L2 .˝/ zu Grunde legen. Insbesondere folgt nun aus Satz 9.15a., dass K 2 B.H / für H D L2 .˝/ ein kompakter Operator ist. u t Der Satz 9.17 von R IESZ -S CHAUDER lässt sich also auf F REDHOLMsche Integralgleichungen anwenden. Wir betrachten dazu ein beschränktes Gebiet ˝ Rn . Hat die homogene Integralgleichung Z '.x/ D k.x; y/ '.y/ dy (9.56) ˝
mit stetigem Kern k.x; y/ für ein 2 C eine nicht triviale Lösung ' 2 L2 .˝/; so heißt ein singulärer Wert von k.x; y/ und ' eine zugehörige Eigenfunktion.
288
9 Einführung in die Spektraltheorie
Satz 9.23b. zeigt, dass jede Eigenfunktion ' automatisch zu C 0 .˝/ gehört. Aus dem Satz von R IESZ -S CHAUDER folgt nun: Theorem 9.29. Sei ˝ ein beschränktes Gebiet und k.x; y/ ein stetiger Kern auf ˝. Dann gilt: a. In jedem Kreis j j < R liegen nur endlich viele singuläre Werte von k. b. Die Menge der singulären Werte von k ist abzählbar, hat im Endlichen keine Häufungspunkte und kann gemäß j 1 j j 2 j angeordnet werden. c. Die Vielfachheit der singulären Werte ist endlich. Es ist klar, dass wir für die Untersuchung der Lösbarkeit von inhomogenen Integralgleichungen Z k.x; y/ '.y/ dy C f .x/
'.x/ D
.9:36/
˝
mit stetigem Kern die F REDHOLMsche Alternative aus Satz 9.20 anwenden können. Dabei ist zu beachten, dass der adjungierte Operator K durch den adjungierten Kern .9:35/ k .x; y/ WD k.y; x/ gegeben ist (Aufgabe 8.12b.). Die adjungierte Integralgleichung (9.37) spielt also tatsächlich die Rolle der adjungierten Gleichung in Satz 9.20. Für den Fall k D k ergibt sich: Satz 9.30. Ein Integraloperator
Z
.K'/.x/ D
k.x; y/ '.y/ dy ˝
mit stetigem, hermiteschen Kern, d. h. mit k.x; y/ D k .x; y/ k.y; x/ ;
(9.57)
ist ein kompakter selbstadjungierter Operator in L2 .˝/; wenn ˝ beschränkt ist. Auf solche Operatoren können wir den Satz 9.19 von H ILBERT-S CHMIDT anwenden, der historisch zuerst für Integralgleichungen formuliert und bewiesen wurde. Theorem 9.31 (H ILBERT-S CHMIDT). Sei K ein Integraloperator mit stetigem hermiteschen Kern k.x; y/ auf dem beschränkten Gebiet ˝ Rn . a. Die singulären Werte von k bilden eine Folge . j / von reellen Zahlen, die so angeordnet werden kann, dass j 1 j j 2 j
E F REDHOLMsche Integralgleichungen
289
und lim j j j D 1 :
j !1
Dabei wird jeder singuläre Wert so oft in der Folge wiederholt, wie seine (endliche) Vielfachheit angibt. Dazu gibt es ein Orthonormalsystem .'j / von Eigenfunktionen 'j 2 C 0 .˝/; wobei 'j Eigenfunktion zu j ist (j D 1; 2; : : :). b. Wird die Funktion f .x/ quellenmäßig durch den Kern k.x; y/ dargestellt, d. h. Z f .x/ D k.x; y/h.y/ dy für ein h 2 L2 .˝/ ; (9.58) ˝
(d. h. f 2 R.K/), dann konvergiert die F OURIERreihe von f bezüglich der Eigenfunktionen 'j des Kerns auf ˝ nicht nur in der L2 -Norm, sondern sogar gleichmäßig gegen f; d. h. ˛ 1 1 ˝ X X ˝ ˛ 'j j h f .x/ D 'j j f 'j .x/ D 'j .x/ : (9.59) j j D1
j D1
Beim Beweis wendet man außer Satz 9.30 und Theorem 9.19 noch Satz 9.23b. an. Das liefert die Begründung dafür, dass die Eigenfunktionen stetig und die Reihe (9.59) gleichmäßig konvergent ist. 9.32 Beispiel: Reguläre S TURM -L IOUVILLE-Probleme. Wenn Probleme aus Kontinuumsmechanik oder Feldtheorie durch Symmetriebetrachtungen oder Separationsansätze auf einen einzigen Freiheitsgrad reduziert werden können, so führen sie häufig auf sog. reguläre S TURM -L IOUVILLE-Probleme. Das sind spezielle Randwertprobleme für gewöhnliche lineare Differentialgleichungen zweiter Ordnung auf einem kompakten Intervall I D Œa; b; und sie haben die Form .p.x/u0 /0 C q.x/u D r.x/u ; u.a/ cos a C u0 .a/ sin a D 0 ;
u.b/ cos b C u0 .b/ sin b D 0 :
(9.60) (9.61)
Dabei sind p; q; r gegebene stetige Funktionen auf I; 2 C ist ein Parameter, und a ; b 2 Œ0; 2 Œ sind gegebene Winkel. Von den Datenfunktionen p und r wird zusätzlich verlangt, dass p 2 C 1 .Œa; b/ ist sowie p.x/ > 0 und r.x/ > 0
für a x b :
Gesucht sind Funktionen u 2 C 2 .Œa; b/; die für geeignete Werte des Parameters die Gleichungen (9.60), (9.61) erfüllen. Eine Lösung u 6 0 heißt Eigenfunktion, und der entsprechende Parameterwert Eigenwert des Problems. Ein gutes Beispiel für das Auftreten von S TURM -L IOUVILLE-Problemen ist die schwingende Saite mit inhomogener Verteilung von Massendichte und Elastizitätsmodul. Dabei ist u.x/ die Amplitude der Schwingung am Punkt x 2 I . Die Eigenfunktionen beschreiben die Schwingungsformen, die die Saite unter Einhaltung der gegebenen Randbedingungen (9.61) annehmen kann.
290
9 Einführung in die Spektraltheorie
Zunächst vermerken wir die folgende wichtige Tatsache: Behauptung. Es gibt 2 R so, dass das Intervall 1; keine Eigenwerte enthält. Für den Spezialfall der D IRICHLETschen Randbedingungen u.a/ D u.b/ D 0 ; die den Winkeln a D b D 0 entsprechen, kann man das besonders leicht beRb weisen: Ist u eine Eigenfunktion zum Eigenwert 2 R; so ist R2 WD a r.x/ ju.x/j2 dx > 0; und mittels partieller Integration ergibt sich Zb
Zb R D
. ru/uN dx D
2
a
a
Zb D
.pu0 /0 uN dx C
a
Zb D
D
Zb qjuj2 dx a
pu0 uN 0 dx C
a
Zb
.pu0 /0 C qu uN dx
Zb qjuj2 dx a
0 2
Zb
pju j dx C a
q.x/ r.x/ju.x/j2 dx q0 R2 r.x/
a
mit q0 WD min q.x/=r.x/. Mit irgendeinem < q0 gilt also die Behauptung. u t axb
In Gl. (9.60) kann man nun q.x/ durch q.x/ ersetzen und den neuen Eigenwertparameter Q D betrachten. Dann ist Q D 0 kein Eigenwert. Wir denken uns diese äquivalente Umformung von vornherein vorgenommen und nehmen daher von jetzt ab o. B. d. A. an, dass D 0 kein Eigenwert ist. Um das Problem mit Integralgleichungen in Verbindung zu bringen, betrachten wir die inhomogene Gleichung .p.x/u0 /0 C q.x/u D f .x/
(9.62)
mit gegebenem f 2 C 0 .Œa; b/. Diese ist offenbar äquivalent zu der expliziten Differentialgleichung f .x/ p 0 .x/ 0 q.x/ u u D p.x/ p.x/ p.x/
(9.63)
u.x/ D c1 v1 .x/ C c2 v2 .x/ C us .x/ ;
(9.64)
u00 C mit der allgemeinen Lösung
E F REDHOLMsche Integralgleichungen
291
wobei v1 ; v2 ein Fundamentalsystem von Lösungen der zugehörigen homogenen Gleichung bilden und us eine spezielle Lösung der inhomogenen Gleichung ist. Solch eine Lösung us kann man z. B. mit der Methode der Variation der Konstanten bestimmen. Danach setzt man (9.64) in die Randbedingungen ein und erhält ein lineares Gleichungssystem für die unbekannten Koeffizienten c1 ; c2 . Dieses ist eindeutig lösbar, denn anderenfalls hätte die homogene Differentialgleichung eine Lösung u 6 0; die die Randbedingungen erfüllt, und dann wäre D 0 ein Eigenwert im Widerspruch zu unserer Annahme. Daher besitzt (9.62) genau eine Lösung, die auch die Randbedingungen erfüllt. Bestimmt man c1 und c2 etwa mittels der C RAMERschen Regel, so erhält man nach Einsetzen in (9.64) sogar eine explizite Formel für die Lösung u. Diese hat die Gestalt Zb u.x/ D
G.x; y/f .y/ dy
(9.65)
a
mit einer festen stetigen Funktion G W Œa; b Œa; b ! R. Man nennt G die G REENsche Funktion des gegebenen S TURM -L IOUVILLE-Problems, und der entsprechende F REDHOLMsche Integraloperator heißt der G REENsche Operator G. Man kann ihn als einen Lösungsoperator auffassen, denn für jede stetige rechte Seite f ist u D Gf die eindeutige Lösung der Randwertaufgabe (9.62), (9.61). Als Beispiel betrachten wir noch einmal die D IRICHLETschen Randbedingungen und legen das Fundamentalsystem fv1 ; v2 g durch die Forderungen v1 .a/ D 1 ; v2 .a/ D 0 v10 .a/ D 0 ; v20 .a/ D 1 fest. Die oben beschriebene Rechenprozedur führt dann (vgl. Aufgabe 9.21) auf die G REENsche Funktion ( 1 v1 .x/v2 .y/ für a x y b G.x; y/ D (9.66) p.a/ v2 .x/v1 .y/ für a y x b : Hier fällt die Symmetrie G.y; x/ D G.x; y/ auf, und tatsächlich handelt es sich bei der G REENschen Funktion eines S TURM L IOUVILLE-Problems immer um einen H ERMITEschen Kern. Das ergibt sich nicht nur rein rechnerisch, sondern hat systematische Gründe, auf die wir allerdings nicht näher eingehen können. Um nun den Satz von H ILBERT-S CHMIDT ins Feld führen zu können, setzen wir f .x/ D r.x/u.x/ in (9.62). Dies zeigt, dass (9.60), (9.61) äquivalent sind zu der Integralgleichung Zb u.x/ D
G.x; y/r.y/u.y/ dy ; a
axb;
(9.67)
292
9 Einführung in die Spektraltheorie
und mit der Substitution w.x/ D
p r.x/ u.x/
(9.68)
erweist sich diese als äquivalent zu Zb w.x/ D
k.x; y/ w.y/ dy ;
axb;
(9.69)
a
wobei k.x; y/ WD
p p r.x/G.x; y/ r.y/
(9.70)
gesetzt wurde. Offenbar ist k.x; y/ ebenfalls ein stetiger H ERMITEscher Kern und erzeugt daher einen kompakten selbstadjungierten F REDHOLMschen Integraloperator K in L2 .Œa; b/. Dabei ist die Gleichung w D Kw äquivalent zu dem gegebenen Problem (9.60), (9.61), wenn die Unbekannten u und w durch die Substitution (9.68) verknüpft werden. Die Eigenwerte des S TURM L IOUVILLE-Problems stimmen also mit den singulären Werten von K überein, und u 2 C 0 .Œa; b/pist genau dann eine Eigenfunktion von (9.60), (9.61) zum Eigenwert ; wenn ' D r u eine Eigenfunktion von K zum Eigenwert D 1= ist. Weil k reellwertig ist, gibt es zu jedem Eigenwert auch reelle Eigenfunktionen. Das S TURM -L IOUVILLE-Problem hat also nach Theorem 9.31a. nur reelle Eigenwerte, und wir wissen schon, dass diese eine untere Schranke besitzen. Außerdem kann man mittels der elementaren Theorie der linearen Differentialgleichungen zweiter Ordnung leicht nachweisen, dass die Eigenwerte sämtlich einfach sein müssen (vgl. z. B. [36], Kap. 31). Theorem 9.31 führt daher auf eine Folge 1 < 2 < 3 < : : : von einfachen Eigenwerten, für die limm!1 m D C1 ist, und eine Folge p von zugehörigen reellen Eigenfunktionen .um /; für die die Funktionen 'm WD rum eine Orthonormalbasis von L2 .Œa; b/ bilden. Die um erfüllen daher die Orthogonalitätsrelationen Zb um .x/un .x/r.x/ dx D ımn ; (9.71) a
und jedes
2 L .Œa; b/ hat eine F OURIERentwicklung der Form 2
D
1 X p h r um j mD1
die in L2 .Œa; b/ gegen
konvergiert.
p i r um ;
(9.72)
Aufgaben
293
Hier ist es praktisch, in L2 .Œa; b/ das gewichtete Skalarprodukt Zb hf j gir WD
f .x/g.x/ r.x/ dx
(9.73)
a
einzuführen, das wegen 0 < r0 r.x/ r1 < 1 denselben Konvergenzbegriff definiert wie das übliche Skalarprodukt. Damit schreibt sich (9.71) kurz hum j un ir D ımn : p Wenn man (9.72) für r statt so erhält man die Entwicklung
aufschreibt und anschließend durch
D
1 X
hum j
ir um ;
p r dividiert,
(9.74)
mD1
die ebenfalls im quadratischen Mittel gegen konvergiert. Für eine Funktion 2 C 2 .Œa; b/; die die Randbedingungen (9.61) erfüllt, erhalten wir D Gf mit f WD .p 0 /0 C q ; p p und es folgt r D K.r 1=2 f / 2 R.K/. Nach Theorem 9.31b. hat r also die gleichmäßig konvergente Entwicklung (9.59), und diese führt nach Division durch p r wieder zu (9.74), jedoch nun sogar mit gleichmäßiger Konvergenz. Bemerkung: Mehr über S TURM -L IOUVILLE-Probleme findet man in den meisten einschlägigen Lehrbüchern über gewöhnliche Differentialgleichungen. Dazu zählen auch Beweise für die Fakten, die hier unbewiesen blieben. Auch allgemeinere Randwertprobleme für lineare Differentialgleichungen höherer Ordnung können in F REDHOLMsche Integralgleichungen umgewandelt werden und besitzen daher eine ganz ähnliche Spektraltheorie. Erlaubt man jedoch unbeschränkte Intervalle oder singuläres Verhalten der Datenfunktionen am Rand des Intervalls, so sind die entstehenden Integraloperatoren i. A. nicht mehr kompakt, und es kann kontinuierliches Spektrum auftreten. Aber auch diese Fälle sind sehr gut untersucht und gestatten eine äußerst elegante und reichhaltige Theorie, die sog. W EYL -KODAIRATheorie (vgl. [24]).
Aufgaben zu Kap. 9 9.1. Sei E ein BANACHraum. Für einen beschränkten linearen Operator T W E ! E zeige man: kRT ./k ! 0 für jj ! 1 in C.
294
9 Einführung in die Spektraltheorie
9.2. Sei E ein BANACHraum. Ein Operator A 2 B.E/ wird quasinilpotent genannt, wenn p lim m kAm k D 0 m!1
ist. Man zeige: Ist A quasinilpotent, so ist .A/ D f0g. (Hinweis: Man überlege sich, dass die Reihe (9.7) für alle ¤ 0 konvergiert und die Resolvente liefert.) 9.3. Sei E ein BANACHraum und A 2 B.E/. Wir verwenden die Begriffe und Bezeichnungen aus den Aufgaben 8.5–8.9. Man zeige: Ist Re > kAk; so ist Z1 RA ./ D
et etA dt :
0
(Hinweis: Bezeichnen wir die rechte Seite mit J; so gilt .A I /J D I D J.A I / : Das rechnet man nach, wobei man zur Rechtfertigung der Umformungen Ergebnisse aus den zitierten Aufgaben benutzt.) 9.4. Seien E und A wie in Aufgabe 9.3. Man zeige: a. Ist S W E ! E ein beschränkter linearer Operator mit beschränkter Inverser S 1 ; so gilt .S 1 AS / D .A/ ; P .S 1 AS / D P .A/ ; C .S 1 AS / D C .A/ ; R .S 1 AS / D R .A/ : b. Ist U ein abgeschlossener Unterraum von E (also selbst ein BANACHraum) und ist A.U / U; so gewinnen wir durch Einschränken von A auf U einen linearen Operator A0 2 B.U /. Für diesen gilt: .A0 / .A/. 9.5. Man zeige: Jede nichtleere kompakte Teilmenge von C ist das Spektrum eines beschränkten linearen Operators A in einem H ILBERTraum (sogar eines normalen Operators in einem separablen H ILBERTraum). (Hinweis: Ist K C die gegebene Teilmenge, so wähle man H WD L2 .K/ und A als den Multiplikationsoperator mit der Funktion './ WD ; 2 K.) 9.6. Sei H WD L2 .S /; wo S Rn eine messbare Teilmenge mit positivem L E BESGUE -Maß ist. Sei ' W S ! C eine beschränkte messbare Funktion und M W H ! H der entsprechende Multiplikationsoperator. Man definiert den wesentlichen Wertebereich W von ' als die Menge der z 2 C; für die die Urbildmenge ' 1 .fzg/ positives Maß hat. Man zeige: a. Wenn ' auf einer Nullmenge abgeändert wird, so ändern sich M und W nicht. Sie hängen also nur von der Äquivalenzklasse Œ' 2 L1 .S / ab. b. .M / D W .
Aufgaben
295
9.7. Sei H ein komplexer H ILBERTraum und A 2 B.H /. Man zeige: a. 2 .A/ ” N 2 .A /. (Hinweis: Aufgabe 8.15a.) b. 2 P .A/ H) N 2 R .A / [ P .A / und 2 R .A/ H) N 2 P .A /. (Hinweis: Satz 8.21.) c. 2 C .A/ ” N 2 C .A /. d. Ist A normal, so gilt auch 2 P .A/ ” N 2 P .A /. (Hinweis: Aufgabe 8.14d.) e. Ist A normal, so ist R .A/ D ;. 9.8. Sei H ein H ILBERTraum und f0g ¤ U ¤ H ein abgeschlossener Unterraum, P der orthogonale Projektor auf U . Man zeige: .P / D P .P / D f0; 1g. Anders gesagt: Das Spektrum von P besteht nur aus den Eigenwerten 0 und 1. 9.9. Sei l 2 der in 7.6f. definierte H ILBERTraum der quadratsummierbaren Folgen x D .n / mit dem Skalarprodukt hx j yi D
1 X
n n :
nD1
In diesem H ILBERTraum betrachten wir die Verschiebeoperatoren Vl ; Vr aus Aufgabe 8.13. Man zeige: a. jj > 1 H) 2 .Vr / \ .Vl /. b. Vr hat keine Eigenwerte. c. jj < 1 ” 2 P .Vl /. (Hinweis: Man betrachte direkt die Eigenwertgleichung Vl x D x und versuche, die Komponenten von x rekursiv zu berechnen.) d. R .Vl / D ; und R .Vr / D f j jj < 1g. e. C .Vr / D C .Vl / D f j jj D 1g. 9.10. Sei l 2 wieder der H ILBERTraum aus 7.6f. a. Für den linearen Operator T W l 2 ! l 2 ; definiert durch 1 1 T x WD 2 ; 3 ; 4 ; : : : ; x D .1 ; 2 ; : : :/ 2 l 2 ; 2 3 zeige man: .T / D P .T / D f0g. b. Für den linearen Operator T W l 2 ! l 2 ; definiert durch 1 1 T x WD 0; 1 ; 2 ; 3 ; : : : für x D .1 ; 2 ; : : :/ 2 l 2 ; 2 3 zeige man: .T / D R .T / D f0g. Hinweis: Man zeige, dass T in a. und b. ein kompakter Operator ist. 9.11. Für x D .1 ; 2 ; : : :/ 2 l 2 sei y D T x D .1 ; 2 ; : : :/ definiert durch k WD k k k ;
k1:
296
9 Einführung in die Spektraltheorie
Hierdurch ist offenbar ein stetiger linearer Operator T W l 2 ! l 2 definiert. a. Man zeige: T ist kompakt, selbstadjungiert, injektiv und quasinilpotent. b. Man folgere: .T / D C .T / D f0g. 9.12. Sei H ein H ILBERTraum, fen j n 2 Ng eine Orthonormalbasis von H; und sei T W H ! H der beschränkte lineare Operator mit T en D enC1
für n 2 N :
(Wieso ist er eindeutig bestimmt?) a. Man bestimme lineare Teilräume Y H; die unter T invariant sind, d. h. mit T .Y / Y . b. Man zeige: P .T / D ;. 9.13. Sei H ein H ILBERTraum. Man zeige: Die orthogonale Projektion P von H auf einen abgeschlossenen Unterraum U ist genau dann kompakt, wenn dim U < 1 ist. 9.14. Wir betrachten eine Kernfunktion der Form k.x; y/ D
N X
gj .x/hj .y/
j D1
mit gegebenen stetigen Funktionen gj ; hj W ˝ ! K; j D 1; : : : ; N . Man zeige: Für solch einen Kern ist die F REDHOLMsche Integralgleichung (9.36) zu einem linearen Gleichungssystem von N Gleichungen mit N Unbekannten äquivalent. (Hinweis: Man multipliziere (9.36) mit hk .x/ und integriere.) 9.15. Für die Integralgleichung Z1 '.t/ dt D 1 ;
'.s/
0s1
0
bestimme man die Lösung direkt und mit Hilfe der N EUMANNschen Reihe. 9.16. Für den Kern k.x; y/ WD a1 sin x sin 2y C a2 sin 2x sin 3y ;
0 x; y
bestimme man die iterierten Kerne und den Resolventenkern. (Hinweis: Man beachte, dass die Funktionen sin kx; k 2 N0 auf Œ0; ein orthogonales System bilden!) 9.17. Man löse die inhomogene Integralgleichung Z1 esCt '.t/ dt C es ;
'.s/ D
0s1
0
mit der Methode der iterierten Kerne und der Resolvente und überprüfe die Lösung.
Aufgaben
297
9.18. Man bestimme die Lösung der Integralgleichung aus Aufgabe 9.17 mit der Methode aus Aufgabe 9.14. Ferner bestimme man die Eigenwerte und Eigenfunktionen des Integraloperators. 9.19. Sei I D Œ˛; ˇ R ein Intervall, und seien a0 2 C 2 .I / ;
a1 2 C 1 .I / ;
a2 2 C 0 .I /
gegebene R-wertige Funktionen. Auf C 2 .I / betrachte den linearen Differentialoperator L Œu D a0 .t/u00 C a1 .t/u0 C a2 .t/u und den dazu formal adjungierten Operator LC Œu WD .a0 .t/u/00 .a1 .t/u/0 C a2 .t/u Man zeige: Für alle u; v 2 C 2 .I / und ˛ t1 < t2 ˇ gilt die G REENsche Formel Zt2 fv.t/L Œu .t/ u.t/L Œv .t/g dt D t1
D
˚
ˇˇt2 a0 .t/W .t/ C a1 .t/ a00 .t/ u.t/v.t/ ˇ ;
wobei
t1
W .t/ WD .uv 0 vu0 /.t/
die W RONSKI-Determinante von u; v ist. 9.20. Unter den Voraussetzungen von Aufgabe 9.19 zeige man a. L ist formal selbstadjungiert, d. h. L Œu D LC Œu genau dann, wenn
für u 2 C 2 .I /
a00 .t/ D a1 .t/
auf I .
Welche Form hat L in diesem Fall? b. Wenn L formal selbstadjungiert ist, dann gilt für alle u; v 2 C 2 .I / und ˛ t1 t2 ˇ Zt2
ˇ t2 ˇ fv.t/L Œu .t/ u.t/L Œv .t/g dt D a0 .t/W .t/ˇ : t1
t1
9.21. Gegeben sei die inhomogene lineare Differentialgleichung .p.x/u0 /0 C q.x/u D f .x/ ;
axb
298
9 Einführung in die Spektraltheorie
mit stetigen reellen Funktionen p; q; f auf I D Œa; b. Dabei sei p 2 C 1 .I /; p.x/ > 0 vorausgesetzt. a. Man zeige: Ist fv1 ; v2 g ein Fundamentalsystem für die entsprechende homogene Gleichung, so ist der Ausdruck
p.x/ v1 .x/v20 .x/ v10 .x/v2 .x/ auf I konstant. (Hinweis: Man differenziere und eliminiere die auftretenden Ausdrücke der Form .pvi0 /0 mittels der Differentialgleichung.) b. Man beweise nun Formel (9.66) für die G REENsche Funktion des D IRICHLETProblems. (Man beachte, das (9.66) sich auf ein speziell gewähltes Fundamentalsystem bezieht!)
Kapitel 10
Maß und Integral
Wir setzen im Folgenden – wie schon bisher – Kenntnisse über das elementare L E BESGUE -Integral auf dem Rn voraus (vgl. z. B. [36], Kap. 28), verwenden diese Kenntnisse aber nur als motivierendes Beispiel für eine allgemeinere Maß- und Integrationstheorie, deren Entwicklung der Zweck dieses Kapitels ist. Diese dient als mathematische Grundlage der gesamten statistischen Physik und wird überdies für den Ausbau der Spektraltheorie benötigt, den wir im dritten Teil (Band II) beschreiben werden und der zum korrekten mathematischen Verständnis z. B. der Streuzustände in der Quantenmechanik notwendig ist. Um für die zu entwickelnde Theorie einen geeigneten Rahmen abzustecken, stellen wir uns die Aufgabe, eine nichtnegative Funktion f W X ! Œ0; 1Œ zu integrieren, die auf einer beliebigen Menge X definiert ist. Folgt man dem von L EBESGUEIntegral her bekannten Vorgehen, so würde man das Intervall 0; 1Œ etwa in kleine Teilintervalle k1 k ; k2N ; Jm;k WD m m einteilen und Näherungssummen der Form Sm .f / WD
1 X k f 1 .Jm;k / m
kD1
betrachten. Dabei bedeutet .E/ für Teilmengen E von X die „Größe“ von E in irgendeinem vernünftigen Sinn, und man bezeichnet .E/ als das Maß von E. Das kann ein verallgemeinertes Volumen sein wie beim L EBESGUE-Maß, es kann aber auch etwas ganz anderes bedeuten, z. B. die in E enthaltene Gesamtmasse, wenn man sich vorstellt, auf X sei irgendeine Massenverteilung gegeben. Oder es bedeutet die Wahrscheinlichkeit, dass das Ergebnis eines Zufallsexperiments in E liegt, wenn wir uns die Punkte von X als mathematisches Modell für die möglichen Ergebnisse dieses Zufallsexperiments denken. In dieser Weise kann die Maßtheorie als Grundlage der Wahrscheinlichkeitstheorie dienen, aber auch für viele geometrische oder dynamische Fragen relevant sein.
K.-H. Goldhorn, H.-P. Heinz, M. Kraus, Moderne mathematische Methoden der Physik DOI 10.1007/978-3-540-88544-3, © Springer 2009
299
300
10 Maß und Integral
Schaut man sich den Aufbau der Integrationstheorie genauer an, so zeigt es sich, dass die Maßfunktion gewisse einfache Rechenregeln erfüllen muss, die auch von den anschaulichen Interpretationen nahe gelegt werden (vgl. Def. 10.1). Will man nun .E/ für alle Teilmengen E X so definieren, dass diese Rechenregeln gelten, so kommt man leider nicht über einige recht triviale Beispiele hinaus. Gerade für wirklich wichtige Maße wie das L EBESGUE-Maß ist es nicht möglich, .E/ für alle E X sinnvoll zu definieren (es würde zu weit führen, die Gründe dafür hier näher zu erläutern), und deswegen muss man als Definitionsbereiche von Maßen geeignete Mengensysteme wählen, die sog. -Algebren, die das Thema der ersten beiden Abschnitte bilden. Dies ergibt aber eine Einschränkung für die Funktionen, die man integrieren kann, denn für die Bildung der obigen Näherungssummen muss gesichert sein, dass die Mengen f 1 .Jm;k / -messbar sind, d. h. zum Definitionsbereich des Maßes gehören. So kommt man zum Begriff der -messbaren Funktion, und dieser wird in Abschn. C näher betrachtet. In den Abschn. D, E und G wird dann, ausgehend von einem gegebenen Maß ; die Integration von -messbaren Funktionen behandelt, und es werden die wichtigsten Eigenschaften des Integrals hergeleitet, insbesondere die berühmten Konvergenzsätze, auf denen die große Flexibilität der modernen Integrationstheorie beruht, sowie die Sätze von F UBINI und T ONELLI, durch die die Behandlung von mehrfachen Integralen geregelt wird. Dazwischen besprechen wir in Abschn. F einen besonderen Typus von Maßen auf offenen Teilmengen von Rn ; die sog. R ADONmaße, die in der Analysis eine zentrale Stellung einnehmen, weil das Verhalten der stetigen Funktionen bei ihnen die vom L EBESGUEmaß her vertrauten Züge aufweist. Auf diese Maße werden wir im Zusammenhang mit der Distributionstheorie noch einmal zurückkommen. Die hier zu besprechenden Eigenschaften des Integrals laufen darauf hinaus, dass die Integralrechnung, wie man sie vom Rn her kennt, auf einen allgemeineren Rahmen ausgedehnt werden kann, wenn man nur die Grundbegriffe in der richtigen Weise anpasst. So gesehen, bieten sie keine großen Überraschungen. Die eigentliche Überraschung besteht darin, wie groß und vielfältig dieser Rahmen ist, in dem man eine vernünftige Integralrechnung nach gewohnten Regeln betreiben kann. Dies wird durch einige der eingestreuten Beispiele illustriert werden. Andere Beispiele jedoch sind mehr als eine Illustration – vor allem die Besprechung der Maße auf der reellen Geraden in den Abschnitten B und E wird sich später bei der Behandlung der Spektralzerlegung von selbstadjungierten Operatoren als sehr nützlich erweisen.
A Abstrakte Maßräume Die wesentlichen Eigenschaften der L EBESGUE-messbaren Teilmengen des Rn geben Anlass zu folgender Definition, die Grundlage für allgemeine Integral-Konstruktionen ist.
A Abstrakte Maßräume
301
Definitionen 10.1. Sei X 6D ; eine beliebige Menge. a. Ein System A von Teilmengen E X heißt eine -Algebra von X; wenn (A1) (A2) (A3)
; 2 A; E 2 A H) X n E 2 A; 1 S Em 2 A 8 m 2 N H) Em 2 A. mD1
Die Mengen E 2 A heißen .A-/messbar. b. Eine Funktion W A ! Œ0; 1 heißt ein Maß auf A; wenn (M1) (M2)
.;/ D 0; ist -additiv, d. h. für jede Folge .Em / von disjunkten Teilmengen Em 2 A gilt ! 1 1 [ X Em D .Em / : mD1
mD1
Der gesamte Datensatz .X; A; / heißt dann ein Maßraum, und die Mengen E 2 A heißen -messbar. Da hier der Wert .E/ D C1 ausdrücklich erlaubt ist, muss an die Regeln für den Umgang mit den Symbolen ˙1 erinnert werden. Insbesondere wird der unendlichen Reihe in Axiom (M2) der Wert C1 zugeschrieben, wenn sie divergent ist oder wenn mindestens einer ihrer Terme den Wert C1 hat. Aus den obigen Axiomen kann man einige unmittelbare Folgerungen ziehen, die für ein korrektes Verständnis der definierten Objekte genauso wichtig sind wie die Axiome selber. Aus (A1), (A2) folgt zunächst einmal X 2A;
(A4)
denn X D X n ;; und aus (A2), (A3) folgt (A5)
Em 2 A 8 m 2 N H)
1 \
Em 2 A ;
mD1
denn es gilt generell \
Em D X n
m
[
! .X n Em /
:
(10.1)
m
Des Weiteren gelten (A3) und (A5) natürlich auch für endliche Vereinigungen N N [ \ Em bzw. Durchschnitte Em ; denn für m > N kann man ja Em D ; mD1
mD1
bzw. Em D X setzen. Aus dem gleichen Grund folgt aus (M2) auch die analoge Aussage ! N N [ X Em D .Em / (10.2) mD1
mD1
für endlich viele disjunkte Mengen E1 ; : : : ; EN 2 A („endliche Additivität“ von ).
302
10 Maß und Integral
Bemerkung: Die Anschauung legt vielleicht zunächst nur die endliche Additivität (10.2) nahe. Dass man diese Forderung sogar für abzählbar unendlich viele Mengen stellt, ist jedoch der entscheidende Durchbruch gegenüber der klassischen Integrationstheorie. Beispiele 10.2. Die einfachste -Algebra auf einer beliebigen Menge X ist sicherlich das System fX; ;g; aber das ist uninteressant. Wichtiger ist die größtmögliche -Algebra, nämlich das System aller Teilmengen von X; das man auch als die Potenzmenge P.X / bezeichnet. Wir geben zunächst Beispiele von Maßen, die auf ganz P.X / definiert sind. a. Das Zählmaß ordnet jeder Teilmenge E X die Anzahl ihrer Elemente zu. b. Für einen fest gewählten Punkt a 2 X setzen wir .E/ WD E .a/ ;
(10.3)
d. h. .E/ D 1; falls a 2 E ist, und .E/ D 0 anderenfalls. Dies ist das im Punkt a konzentrierte D IRACmaß. c. Als Verallgemeinerung des D IRACmaßes geben wir N verschiedene Punkte a1 ; : : : ; aN 2 X sowie N positive Zahlen m1 ; : : : ; mN vor und setzen .E/ WD m1 E .a1 / C C mN E .aN / :
(10.4)
Man kann sich vorstellen, dass an den Punkten a1 ; : : : ; aN jeweils die Massen m1 ; : : : ; mN konzentriert sind. Dann ist .E/ die in der Menge E enthaltene P Gesamtmasse. Ist N j D1 mj D 1; so können wir mj auch als die Wahrscheinlichkeit deuten, mit der bei einem bestimmten Zufallsexperiment das Ergebnis aj eintritt (hier ist auch angenommen, dass kein Punkt von X n fa1 ; : : : ; aN g als Ergebnis des Zufallsexperiments in Frage kommt). Dann ist .E/ die Wahrscheinlichkeit dafür, dass das Ergebnis in der Menge E liegen wird. d. In einer unendlichen Menge X können wir auch abzählbar unendlich viele Punkte a1 ; a2 ; : : : und abzählbar unendlich viele positive Zahlen m1 ; m2 ; : : : wählen und 1 X .E/ WD mj E .aj / (10.5) j D1
setzen (mit der üblichen Konvention über den Wert C1). Um hier die Gültigkeit von (M2) nachzuprüfen, muss man natürlich die Regeln für den Umgang mit absolut konvergenten Reihen beachten. Auch hier sind die konkreten Interpretationen möglich, die im vorigen Beispiel angegeben wurden. e. Ist ein Maßraum .X; A; / gegeben und ist Y 2 A eine feste messbare Teilmenge, so entsteht ein neuer Maßraum .X; A; 0 /; indem man setzt: 0 .E/ WD .E \ Y / :
(10.6)
Man nennt 0 die Einschränkung von auf die Teilmenge Y . Der Übergang von zu 0 bedeutet offenbar, dass alles ignoriert wird, was außerhalb der Teilmenge Y liegt.
A Abstrakte Maßräume
303
Weitere einfache Konsequenzen der Axiome sind in dem folgenden Satz zusammengefasst: Satz 10.3. In jedem Maßraum .X; A; / gilt: A; B 2 A; A B H) .A/ .B/. 1 [ Em mit -messbaren Mengen Em ; m 2 N H) ED
a. b.
mD1
.E/
1 X
.Em / :
mD1
c. Für jede aufsteigende Folge E1 E2 von -messbaren Mengen Em ist ! 1 [ Em D lim .Em / : m!1
mD1
d. Für jede absteigende Folge E1 E2 von -messbaren Mengen Em mit .E1 / < 1 ist ! 1 \ Em D lim .Em / : m!1
mD1
Beweis. a. B ist disjunkte Vereinigung von A 2 A und B n A 2 A; also nach (10.2) .B/ D .A/ C .B n A/ .A/ : b. Wir definieren disjunkte messbare Mengen Cm Em durch Cm WD Em n
m1 [
Ek ;
kD1
speziell C1 D E1 . Zu jedem x 2 E betrachten wir die kleinste Zahl m; für die x 2 Em gilt. Dann ist sogar x 2 Cm ; und dies zeigt, dass ED
1 [
Cm
mD1
ist. Mit (M2) folgt nun .E/ D
1 X mD1
.Cm /
1 X
.Em / :
mD1
c. Hier setzen wir Dm WD Em n Em1 ; speziell D S1 WD E1 . Die Dm sind disjunkte messbare Mengen, ihre Vereinigung ist E WD 1 mD1 Em ; und Em D D1 [ : : : [
304
10 Maß und Integral
Dm . Es folgt .E/ D
1 X
.Dk / D lim
kD1
m!1
m X
.Dk / D lim .Em / :
kD1
m!1
d. Folgt durch Anwendung von c. auf die Mengen Cm WD E1 n Em ; m 2 N. Man beachte (10.1) und die Tatsache, dass für messbare Mengen A B stets .B n A/ D .B/ .A/ ist, sobald .B/ < 1 ist. t u Der letzte Beweis gibt einen kleinen Eindruck davon, wie in der Maßtheorie argumentiert wird. Vom Standpunkt der Physik aus ist dieses Manipulieren mit Mengen und Mengensystemen sicher etwas fremd, und wir werden auch im weiteren Verlauf mit Beweisen zurückhaltend sein. In jedem Maßraum .X; A; / sind die Mengen vom Maß Null von besonderem Interesse. Ist E 2 A und .E/ D 0 und ist A E messbar, so ist nach Satz 10.3a. auch .A/ D 0. Doch ist etwas Sorgfalt geboten, denn eine Teilmenge A einer Menge E 2 A mit .E/ D 0 muss nicht immer zu A gehören. Wir verwenden die folgende Terminologie: Definitionen 10.4. Sei .X; A; / ein Maßraum. a. Die Teilmengen der Mengen E 2 A mit .E/ D 0 heißen (-)Nullmengen. b. Eine Aussage über die Elemente x 2 X gilt -fast überall (kurz: -f. ü.), wenn die Menge der x; für die sie nicht gilt, eine -Nullmenge ist. c. Der Maßraum heißt vollständig, wenn jede seiner Nullmengen messbar ist. Tatsächlich kann man die -Algebra A durch Hinzunahme der Nullmengen immer so vergrößern, dass ein vollständiger Maßraum entsteht (Vervollständigung von Maßräumen). Darauf gehen wir jedoch nicht näher ein. Wir notieren noch eine vom L EBESGUE-Maß her vertraute Eigenschaft der Nullmengen: Satz 10.5. In jedem Maßraum gilt: Die Vereinigung von abzählbar vielen Nullmengen ist eine Nullmenge. Beweis. Seien Nm ; m 2 N abzählbar viele Nullmengen im Maßraum .X; A; /. Nach Definition gibt es dann messbare Mengen Em mit Em Nm und .Em / D 0. 1 [ Für N WD Nm folgt einerseits mD1
N
1 [ mD1
Em
B Konstruktion von nichttrivialen Maßräumen
und andererseits
1 [
0
mD1
305
! Em
1 X
.Em / D 0 :
mD1
t u
Somit ist N eine Nullmenge.
B Konstruktion von nichttrivialen Maßräumen Um das L EBESGUE-Maß und verwandte Maße sauber zu definieren, geht man von Mengenfunktionen aus, die statt (M2) nur eine schwächere Bedingung erfüllen, dafür aber für alle Teilmengen E X definiert werden können. Das gesuchte Maß erhält man dann durch Einschränken einer solchen Mengenfunktion auf eine geschickt gewählte -Algebra. Genauer: Definitionen 10.6. Sei X eine Menge und P.X / ihre Potenzmenge. a. Ein äußeres Maß1 auf X ist eine Funktion W P.X / ! Œ0; 1 ; für die gilt: (M1) .;/ D 0; und (M20 ) für E; E1 ; E2 ; : : : X gilt stets E
1 [
Em H) .E/
mD1
1 X
.Em / :
mD1
b. Ist ein äußeres Maß auf X gegeben, so nennt man eine Teilmenge E X -messbar, wenn gilt: .B/ D .B \ E/ C .B n E/
für alle B X :
(10.7)
Man kann sich ein äußeres Maß so vorstellen, dass eine sehr kompliziert gebaute Menge E dadurch gemessen wird, dass man sie „von außen“ durch eine einfacher Q zugegebaute Menge EQ E approximiert, der ein vernünftiger „Inhalt“ .E/ Q Durch das „Aufdicken“ schrieben werden kann. Dann setzt man .E/ WD .E/. von komplizierten Mengen Em zu einfacheren Mengen EQ m kann die Gleichheit aus (M2) zerstört werden, und es bleibt nur noch die Ungleichung aus (M20 ) übrig. Eine messbare Menge E ist aber so harmlos, dass sie es nicht schafft, eine beliebige Menge B in zwei wesentlich komplexere Teile B \ E und B n E zu zerlegen, für die der Aufdickungseffekt die Gleichheit in (10.7) verhindern würde. Dies mag 1
Diese Bezeichnung ist ein typisches Beispiel dafür, dass die Mathematiker keine Rücksicht auf Grammatik nehmen. Der Grammatik nach müsste ein äußeres Maß ja eine spezielle Art von Maß sein. In Wirklichkeit ist aber ein Maß eine spezielle Sorte von äußerem Maß.
306
10 Maß und Integral
als Rechtfertigung für die etwas geheimnisvolle Definition 10.6b. dienen. Die beste Rechtfertigung ist aber der folgende fundamentale Satz: Theorem 10.7 (Satz von C ARATHÉODORY). Sei ein äußeres Maß auf X . a. Das System A. / aller -messbaren Teilmengen von X ist eine -Algebra. b. Auf A. / erfüllt die Funktion die Bedingung (M2), ist also ein Maß. Der Beweis arbeitet mit Manipulationen von Mengen und Mengensystemen ähnlich wie bei Satz 10.3 oder Satz 10.5, allerdings wesentlich raffinierter. Man kann ihn in praktisch jedem Buch über Maßtheorie nachlesen. Wegen der gleichzeitig straffen und detaillierten Darstellung verweisen wir insbesondere auf [27] und [59]. Aus einem äußeren Maß auf X gewinnt man also einen Maßraum .X; A; /; indem man (10.8) .E/ WD .E/ für E 2 A WD A. / setzt. Man nennt ihn den von erzeugten Maßraum. Er ist sogar vollständig, denn wie man sich leicht als Übung überlegen kann, gilt .E/ D 0 H) E 2 A. / :
(10.9)
Wir müssen noch eine weitere Konstruktion besprechen, die zu nichttrivialen Algebren führt. Ist X 6D ; und ist J ein System von Teilmengen von X; so kann man die kleinste -Algebra einführen, die alle Mengen aus J enthält. Es gibt auf jeden Fall -Algebren A J – z. B. die volle Potenzmenge P.X / – und man bestätigt durch triviale Rechnungen, dass der Durchschnitt von -Algebren wieder eine -Algebra ist. Daher kann man definieren: Definitionen 10.8. a. Sei J ein System von Teilmengen von X ¤ ;. Die von J erzeugte -Al-gebra A.J / ist der Durchschnitt aller -Algebren in X; die J umfassen. Damit ist A.J / die kleinste J umfassende -Algebra. b. Die vom System J der offenen Teilmengen von X D Rn erzeugte -Algebra heißt B OREL-Algebra B n ; und ihre Elemente E 2 B n heißen B ORELmengen oder B ORELmessbare Mengen. Bekanntlich sind die Komplemente der offenen Mengen in Rn gerade die abgeschlossenen Teilmengen. Neben den offenen Mengen sind also auch die abgeschlossenen Mengen B ORELmengen, und darüber hinaus alle Mengen, die sich durch Schneiden und Vereinigen von je abzählbar vielen offenen oder abgeschlossenen Mengen bilden lassen. Hat man alle diese B ORELmengen konstruiert, so kann man aus ihnen durch erneute Bildung von abzählbaren Vereinigungen und Durchschnitten sowie Komplementen weitere B ORELmengen gewinnen. So kann man induktiv fortfahren, und es stellt sich heraus, dass bei jedem derartigen Schritt neue Mengen dazukommen. Ist nun etwa die Menge Bm im m-ten Schritt hinzugekommen, so bilden wir 1 [ Bm : B WD mD1
B Konstruktion von nichttrivialen Maßräumen
307
Auch B ist eine B ORELMENGE, aber nicht mehr in endlich vielen Schritten aus offenen Mengen konstruierbar. Dies zeigt, dass es nicht möglich ist, die B ORELalgebra B n zu definieren, indem man sagt, sie bestehe aus allen Mengen, die sich so und so schreiben lassen. Die in Definition 10.8 gewählte etwas indirekte Art, die B O REL algebra – und allgemeiner die von einem System J erzeugte -Algebra – zu definieren, ist aus diesem Grunde unumgänglich. Ist eine Menge ganz konkret gegeben, z. B. als geometrische Figur oder als Lösungsmenge eines Systems von Gleichungen und Ungleichungen, so gelingt es zumeist, sie in endlich vielen Schritten der oben beschriebenen Art aus offenen Mengen aufzubauen, und dann ist klar, dass es sich um einenB ORELmenge handelt. Häufig steht man aber vor der Aufgabe, zu zeigen, dass alle B ORELmengen eine gewisse Eigenschaft besitzen. Dazu geht man i. A. nach der folgenden Strategie vor: • Man zeigt, dass alle offenen Mengen (oder alle abgeschlossenen Mengen) die Eigenschaft besitzen. • Man zeigt, dass das System S aller Mengen, die die Eigenschaft besitzen, die Axiome (A1)–(A3) einer -Algebra erfüllen. Dann ist S eine -Algebra, die das System der offenen Mengen umfasst, also S B n nach Definition 10.8. So umgeht man die Schwierigkeit, dass man so etwas wie eine „typische B ORELmenge“ nicht anschreiben kann. Wir werden im nächsten Abschnitt noch Beispiele für dieses Vorgehen kennen lernen. Die wirklich wichtigen Maße in Rn (oder in allgemeineren BANACHräumen) sind nun diejenigen, für die alle B ORELmengen messbar sind. Wir definieren: Definition 10.9. Ein B ORELmaß in Rn ist ein Maß ; dessen Definitionsbereich A die B ORELalgebra umfasst, für das also jede B ORELmenge des Rn -messbar ist. Der folgende Satz zeigt uns, welche äußeren Maße zu B ORELmaßen führen. Satz 10.10 (Kriterium von C ARATHÉODORY). Sei ein äußeres Maß auf Rn mit der folgenden Eigenschaft: Für beliebige Teilmengen A; B Rn mit dist .A; B/ WD inf kx yk > 0 x2A y2B
ist .A [ B/ D .A/ C .B/. Dann sind alle B ORELmengen von Rn messbar, d. h. das von erzeugte Maß ist ein B ORELmaß. Beim Beweis verfolgt man die oben skizzierte Strategie und weist nach, dass alle abgeschlossenen Mengen E die Bedingung (10.7) erfüllen. Details findet man wieder in [27]. Das L EBESGUE-Maß haben wir bis jetzt nur als Beispiel benutzt, hätten die Theorie also auch aufbauen können, ohne es je zu erwähnen. Jetzt führen wir es offiziell ein, und zwar durch den folgenden Existenz- und Eindeutigkeitssatz: Theorem 10.11. Auf X D Rn gibt es genau ein B ORELmaß n ; das die folgenden Eigenschaften hat:
308
(L1)
(L2) (L3)
10 Maß und Integral
ist translationsinvariant, d. h. für jede -messbare Menge E Rn und jeden festen Vektor v 2 Rn ist E C v WD fx C v j x 2 Eg ebenfalls -messbar, und es ist .E C v/ D .E/. .W / D 1 für den Einheitswürfel W WD Œ0; 1Œn . Eine Teilmenge E Rn ist genau dann -messbar, wenn es zwei B O REL mengen B0 ; B1 gibt, für die gilt: B0 E B1
und .B1 n B0 / D 0 :
Dieses Maß D n heißt das (n-dimensionale) L EBESGUE-Maß, und die Mengen aus seinem Definitionsbereich heißen L EBESGUE-messbar. Beweise für diesen Satz finden sich in Lehrbüchern der Maßtheorie oder der höheren Analysis. Wir skizzieren hier die wesentlichen Schritte, wobei wir mehr oder weniger dem Vorgehen aus [78] folgen: Beweisskizze: (i) Wir beginnen damit, den offenen Teilmengen U von Rn ein ndimensionales Volumen .U / zuzuschreiben. Am bequemsten geht das, wenn man mit dem R IEMANN-Integral von stetigen Funktionen arbeitet. Es sei also Cc der Vektorraum der stetigen reellen Funktionen u auf Rn ; deren Träger Tr u kompakt ist. Dabei ist der Träger einer stetigen Funktion u definiert als der Abschluss der Menge fx j u.x/ ¤ 0g (vgl. Abschn. 4A). Für u 2 Cc existiert das R IEMANNIntegral Z .u/ WD
u.x/ dn x ;
(10.10)
denn man kann ja als Integrationsbereich einen großen Würfel wählen, der den Träger von u umfasst (vgl. etwa [36], Kap. 11). Zu offenem U Rn betrachten wir die Menge H.U / WD fh 2 Cc j 0 h 1 ; Tr h U g : Für das Volumen .U / erwartet man nun, dass Z 8 h 2 H.U / : h.x/ dn x .U / Man kann das Integral auch beliebig nahe an .U / heranbringen, indem man h so wählt, dass es auf dem größten Teil von U konstant 1 ist und nur in einer schmalen Umgebung des Randes (und außerhalb einer großen Kugel, falls U unbeschränkt ist) schnell auf Null herabsinkt. Daher ist es vernünftig, das Volumen durch .U / WD supf.H / j h 2 H.U /g
(10.11)
zu definieren. S (ii) Wir betrachten nun offene Mengen U; U1 ; U2 ; : : : mit U 1 mD1 Um und wollen nachweisen, dass 1 X .U / .Um / : (10.12) mD1
B Konstruktion von nichttrivialen Maßräumen
309
Zu gegebenem h 2 H.U / konstruiert man mittels einer Zerlegung der Eins (vgl. Def. 4.1 und Theorem 4.2 sowie Abb. 10.1) endlich viele Funktionen h1 2 H.U1 / ; h2 2 H.U2 / ; : : : ; hN 2 H.UN /; für die gilt: x 2 Rn
h.x/ h1 .x/ C C hN .x/ ; und findet dann durch Integration .H /
N X
.Hm /
mD1
N X
.Um /
mD1
1 X
.Um / ;
mD1
woraus (10.12) folgt, weil h beliebig war. (iii) Für beliebiges E Rn definiert man nun .E/ WD inff.U / j U offen; U Eg
(10.13)
und weist nach, dass dies S ein äußeres Maß ist. Da (M1) trivial ist, betrachten wir E; E1 ; E2 ; : : : mit E 1 mD1 Em und wählen zu gegebenem " > 0 offene Mengen Um Em mit .Um / .Em /C2m "; was nach Definition von .Em / möglich S1 ist. Dann ist U WD mD1 Um offen und umfasst E. Also gilt
.E/ .U /
1 X
X 1 1 X m .Em / C 2 " D .Um / .Em / C " :
mD1
mD1
mD1
Da " > 0 beliebig war, ist hiermit (M20 ) erwiesen. Der Satz von C ARATHÉODORY (Theorem 10.7) sagt uns nun, dass durch .E/ WD .E/ für -messbare Mengen E ein Maß definiert ist, und dies ist das L EBES GUE -Maß auf Rn . Nach Satz 10.10 ist es ein B OREL maß. Ist nämlich dist.A; B/ DW ı > 0; so kann man zu jedem offenen U A [ B die beiden disjunkten offenen Mengen V WD U \ Uı=2 .A/ A und W WD U \ Uı=2 .B/ B bilden, und das Volumen verhält sich dann additiv, d. h. .V [W / D .V /C.W /. Mittels dieser Bemerkung weist man leicht nach (Übung!), dass .A [ B/ D .A/ C .B/ ist, wie in Satz 10.10 verlangt. (iv) Zu den Eigenschaften (L1)–(L3): Dass der Einheitswürfel das L EBESGUEMaß 1 hat, kann auf Grund unserer Definitionen leicht nachgerechnet werden. Eben-
b
1
1 [
Abb. 10.1a Typisches h 2 H.U /
]
]
U1
]
U
]
]
U2
]
a
U3
U Abb. 10.1b h durch die hj 2 H.Uj / aufgeteilt
310
10 Maß und Integral
so führt die Translationsinvarianz des R IEMANN-Integrals zunächst zur Translationsinvarianz des Volumens ; dann zur Translationsinvarianz des äußeren Maßes und schließlich zu der des L EBESGUE-Maßes. Ist nun B0 E B1 mit B0 ; B1 2 B n und .B1 n B0 / D 0; so ist E messbar (mit .E/ D .B0 / D .B1 /), da der Satz von C ARATHÉODORY einen vollständigen Maßraum liefert (vgl. (10.9)). Nach Konstruktion gilt andererseits für jede L EBESGUE-messbare Menge E .E/ D inff.U / j U offen; U Eg
(10.14)
(äußere Regularität). Außerdem kann man beweisen, dass auch die innere Regularität .E/ D supf.K/ j K kompakt ; K Eg (10.15) gilt (vgl. 10.40). Zu -messbarem E mit WD .E/ < 1 gibt es daher offene Mengen Um und kompakte Mengen Km ; m 2 N; für die gilt: Km E Um
und
1 1 < .Km / .Um / < C m m
und somit .Um n Km / < 2=m ! 0. Die B ORELmengen B0 WD
1 [
Km
und B1 WD
mD1
1 \
Um
mD1
haben dann die in (L3) geforderte Eigenschaft, dass B0 S E B1 und .B1 nB0 / D 0 (Übung!). Im Falle .E/ D 1 schreibt man E D 1 mD1 Em mit beschränkten messbaren Mengen Em (z. B. Em WD fx 2 Ejkxk mg) und verwendet die für die Em gefundenen B ORELMENGEN, um welche für E zu konstruieren. b
a
U
Abb. 10.2a Qm approximiert U von innen
U
Abb. 10.2b QmC1 approximiert besser
B Konstruktion von nichttrivialen Maßräumen
311
(v) Zur Eindeutigkeit: Sei ein weiteres B ORELmaß auf Rn ; das die Eigenschaften (L1)–(L3) hat. Um und miteinander zu vergleichen, betrachten wir Würfel der Form kn kn C 1 k1 k1 C 1 ; W .m; k/ WD m ; 2 2m 2m 2m für k D .k1 ; : : : ; kn / 2 Zn . Bei festem m gehen die verschiedenen W .m; k/ durch Translation auseinander hervor, haben also alle das gleiche -Maß. Der Einheitswürfel ist die disjunkte Vereinigung von .2m /n Würfeln der Form W .m; k/; also ist 1 D .W / D 2mn .W .m; k// und somit .W .m; k// D 2mn D .W .m; k//. Für eine beliebige offene Menge U Rn und beliebiges m 2 N bilden wir nun die Vereinigung Qm aller derjenigen W .m; k/; die in U enthalten sind. Jedes Qm ist eine endliche oder abzählbar unendliche Vereinigung von disjunkten Würfeln W .m; k/; also muss .Qm / D .Qm / sein (der gemeinsame Wert ist 2mn mal die Anzahl der Würfel, aus denen Qm besteht). Man überzeugt sich leicht, dass Qm QmC1
und U D
1 [
Qm
mD1
(vgl. Abb. 10.2). Mit Satz 10.3c. ergibt sich also .U / D lim .Qm / D lim .Qm / D .U / ; m!1
m!1
d. h. und stimmen auf offenen Mengen überein. Dann stimmen sie aber auch auf kompakten Mengen überein. Ist nämlich K kompakt, so ist K U für eine beschränkte offene Menge U (z. B. eine große offene Kugel), und dann ist .U / D .U / < 1; und U n K ist offen, also .K/ D .U / .U n K/ D .U / .U n K/ D .K/ : Nun sei E eine beliebige B ORELmenge, und es sei .E/ < 1 (der Fall .E/ D 1 ist einfacher, und wir übergehen ihn). Zu beliebigem " > 0 gibt es nach (10.14), (10.15) ein offenes U E und ein kompaktes K E so, dass .E/ " < .K/ .E/ .U / < .E/ C " : Wegen K E U ist aber auch .K/ D .K/ .E/ .U / D .U / ; also .E/ 2 Œ.K/; .U / .E/ "; .E/ C "Œ und somit j.E/ .E/j < 2". Da " hier beliebig klein gewählt werden kann, folgt .E/ D .E/. Die beiden Maße stimmen also auf B ORELmengen überein. Da sie beide (L3) erfüllen, muss D sein (einschl. Übereinstimmung der Definitionsbereiche). t u
312
10 Maß und Integral
Bemerkungen: (i) Die -Algebra Ln WD A. / der L EBESGUE-messbaren Mengen des Rn entsteht aus der B ORELalgebra B n durch Hinzunahme der L EBES GUE schen Nullmengen, wie (L3) zeigt. Der Maßraum .Rn ; Ln ; / ist daher die Vervollständigung des Maßraums .Rn ; B n ; /. (ii) Man kann zeigen (vgl. etwa [78]), dass B n ¦ Ln ¦ P.Rn / gilt. Allerdings ist B n immer noch ungeheuer groß, so dass man oft .Rn ; B n ; / als Maßraum für das Integral wählt und nicht .Rn ; Ln ; /. 10.12 Beispiel: L EBESGUE -S TIELTJES-Maße auf der Geraden. Gegeben sei eine monoton nichtfallende Funktion v W R ! R und ein kompaktes Intervall Œa; b. Für stetige Funktionen f W Œa; b ! C betrachtet man dann zu einer Zerlegung Z W a D t0 < t1 < < tm D b Summen der Form S.f; vI Z/ WD
m X
f .sk /.v.tk / v.tk1 //
(10.16)
kD1
mit Stützstellen sk 2 Œtk1 ; tk . Lässt man die Feinheit ı WD max1km jtk tk1 j gegen Null streben, so häufen sich diese Summen wegen der gleichmäßigen Stetigkeit von f gegen einen festen Wert, und diesen nennt man das R IEMANN S TIELTJES-Integral Zb Zb f dv f .x/ dv.x/ a
a
mit dem Integranden f und dem Integrator v. (Die Details unterscheiden sich kaum von der üblichen Konstruktion des R IEMANN-Integrals.) Es ist auch klar, dass dieses Integral sich in f linear verhält und dass Ungleichungen beim Integrieren erhalten bleiben. Für u 2 Cc .R/ setzen wir nun Zb v .u/ WD
u dv ;
(10.17)
a
wo Œa; b irgendein kompaktes Intervall ist, außerhalb dessen u verschwindet. Ausgehend von v können wir nun die Konstruktion des L EBESGUE-Maßes imitieren: Wir definieren zunächst für offene Mengen U R eine „modifizierte Länge“ durch (10.11) (mit v statt ), dann ein äußeres Maß durch (10.13), und schließlich liefert der Satz von C ARATHÉODORY wieder einen vollständigen Maßraum .R; A; /; dessen -Algebra A die B ORELalgebra B 1 umfasst. Das so konstruierte Maß heißt das von v erzeugte L EBESGUE -S TIELTJES-Maß. Auf diese Weise erhält man auf der reellen Geraden eine Vielzahl von Maßen, die teilweise sehr unterschiedlichen Charakter haben. Explizite Beispiele finden sich in den Aufgaben 10.4, 10.5.
C Messbare Funktionen
313
C Messbare Funktionen Sei im Folgenden .X; A; / ein fest gewählter Maßraum. Wir betrachten Funktionen f W X ! R WD Œ1; C1. Eine B ORELmenge von R ist definitionsgemäß eine Menge E R; für die E \ R D E n fC1; 1g zu B 1 gehört. Definition 10.13. Eine Funktion f W X ! R heißt messbar, wenn eine der folgenden äquivalenten Bedingungen erfüllt ist: a. Für jedes ˛ 2 R ist die Menge fx 2 X j f .x/ > ˛g 2 A (A-messbar) :
(10.18)
b. Für jede B ORELmenge B von R gehört das Urbild f 1 .B/ D fx 2 X j f .x/ 2 Bg zum System A. Wir schreiben M D M.A/ für die Menge der messbaren Funktionen sowie MC D ff 2 M j f 0g :
(10.19)
Dass hier die Bedingung b. aus der – scheinbar viel schwächeren – Bedingung a. folgt, beweist man mittels der im Anschluss an 10.8 geschilderten Strategie: Das System S der B R; für die f 1 .B/ 2 A ist, bildet eine -Algebra, und wenn a. erfüllt ist, so enthält es alle offenen Teilmengen von R sowie fC1g und f1g. Also ist B 1 S; und nun folgt, dass jede B ORELmenge von R zu S gehört, d. h. es gilt b. Aus Definition 10.13 folgen sofort einige elementare Eigenschaften der messbaren Funktionen, die leicht als Übung bewiesen werden können: Satz 10.14. a. Ist f eine messbare Funktion, g.x/ D f .x/ -f. ü., und ist der Maßraum vollständig, so ist auch g messbar. b. Die charakteristische Funktion E einer messbaren Menge E ist messbar und umgekehrt. c. Ist f messbar, p > 0 und c 2 R; so sind jf jp ; cf ; c C f messbare Funktionen. Es ist leicht, aus endlich oder abzählbar unendlich vielen messbaren Funktionen neue messbare Funktionen zu gewinnen, wie die nächsten beiden Sätze zeigen. Diese Flexibilität der Theorie führt dazu, dass der Nachweis der Messbarkeit in konkreten Anwendungen zumeist kein gravierendes Problem darstellt. Für den nächsten Satz (sowie später für Satz 10.26) benötigen wir einige Begriffe und Tatsachen aus der elementaren Theorie der reellen Zahlenfolgen, die wir hier kurz wiederholen:
314
10 Maß und Integral
10.15 Limes superior und Limes inferior. Für jede nach unten beschränkte reelle Zahlenfolge .ak / ist die Folge der Zahlen bk WD inf aj j k
offenbar monoton wachsend, konvergiert also gegen ihr Supremum (wobei wieder C1 zugelassen ist). Dieses Supremum wird als der Limes inferior der Folge bezeichnet, und man schreibt lim inf ak WD sup inf aj D lim inf aj : k
k
j k
k!1
j k
Der Limes inferior ist auch der kleinstmögliche Grenzwert einer konvergenten Teilfolge von .ak /; wie man sich leicht überlegen kann (Übung!). Vertauscht man in seiner Definition die Rollen von Supremum und Infimum, so ergibt sich die Definition des Limes superior lim supk ak ; der auch als der größtmögliche Grenzwert einer konvergenten Teilfolge beschrieben werden kann. Ist die Folge konvergent, so haben alle konvergenten Teilfolgen ein und denselben Grenzwert, und daher ist dann lim ak D lim inf ak D lim sup ak :
k!1
k
(10.20)
k
Man überlegt sich auch leicht, dass umgekehrt gilt: lim sup ak D a D lim inf ak H) a D lim ak : k
k!1
(10.21)
Satz 10.16. Sei .fn / eine Folge von messbaren Funktionen. a. Dann sind die folgenden Funktionen messbar: f .x/ WD sup fn .x/ ; f .x/ WD inf fn .x/ ;
n
n
f .x/ WD lim sup fn .x/ ; f .x/ WD lim inf fn .x/ : n
n
b. Konvergiert .fn / punktweise gegen eine Funktion f; so ist f messbar. Beweis. a. Die Behauptungen folgen aus Definition 10.13, den Eigenschaften (A1)–(A3) einer -Algebra aus Definition 10.1a. und den folgenden Relationen: fx j f .x/ > ˛g D fx j f .x/ ˛g D
1 [
fx j fn .x/ > ˛g ;
nD1 1 \
fx j fn .x/ ˛g
nD1
C Messbare Funktionen
315
und
f .x/ D inf
n1
sup fm .x/
;
mn
f .x/ D sup n1
inf fm .x/
mn
:
b. Ist ein Spezialfall von a. t u Bemerkung: Satz 10.16a. schließt auch Supremum und Infimum von endlich vielen Funktionen ein, da man in der Folge .fn / ja auch unendlich oftmalige Wiederholungen zulassen kann. Satz 10.17. Seien f; g messbare Funktionen a. Setzt man E1 D fx j f .x/ D C1 ; g.x/ D 1g ; E2 D fx j f .x/ D 1 ; g.x/ D C1g ; so ist die Summe ( .f C g/.x/ WD
f .x/ C g.x/ 0
; ;
x2 6 E1 [ E2 ; x 2 E1 [ E2
messbar. b. Das Produkt .f g/.x/ WD f .x/ g.x/ ist messbar. Dabei ist 0 .˙1/ D ˙1 0 D 0
(10.22)
zu setzen. Beweis. a. Setzt man für q 2 Q und ˛ 2 R M.q/ D fx j f .x/ > qg \ fx j g.x/ > ˛ qg ; so ist M.q/ messbar, weil Q abzählbar ist, und G.˛/ WD fx 2 X n .E1 [ E2 / j f .x/ C g.x/ > ˛g D
[
M.q/ ;
q2Q
weil Q dicht in R ist. Somit ist G.˛/ messbar. Da auch E1 ; E2 messbar sind, folgt a. aus Definition 10.13a. b. Sind f und g beide R-wertig, so folgt die Messbarkeit von f g aus der Gleichung 1 .f C g/2 .f g/2 f g D 4
316
10 Maß und Integral
a
b
Abb. 10.3a Flächenberechnung mittels senkrechter Querschnitte
Abb. 10.3b Flächenberechnung mittels waagrechter Querschnitte
und den schon bewiesenen Aussagen. Im Falle von R-wertigen Funktionen definieren wir für m 2 N: 8 ˆ ; f .x/ > m ; <m fm .x/ D f .x/ ; m f .x/ m ; ˆ : m ; f .x/ < m und analog gm .x/. Dann sind die fm gm messbar. Nach Satz 10.16b. ist dann auch f .x/ g.x/ WD lim fm .x/gm .x/ m!1
messbar. t u
D Das Integral für nichtnegative messbare Funktionen Sei im Folgenden wieder .X; A; / ein fest gewählter Maßraum, z. B. der Maßraum .Rn ; B n ; n / oder .Rn ; Ln ; n /. Jeder nichtnegativen Funktion f 2 MC ordnen wir dann ein Integral zu. Dabei verwenden wir die Methode aus [59], die es erlaubt, das Integral ohne weitere Approximationsprozeduren durch eine einzige geschlossene Formel zu definieren, aus der sich seine wesentlichen Eigenschaften leicht herleiten lassen. Zur Motivation betrachten wir für einen Moment eine nichtnegative Funktion auf einem kompakten Intervall Œa; b und erinnern uns daran, dass das Integral Rb a f .x/ dx oft als die „Fläche unter der Kurve“ interpretiert wird, also als das Maß 2 .F / mit F WD f.x; y/ j a x b ; 0 y < f .x/g. Rechnet man ganz naiv – also ohne hier auf die genaue Rechtfertigung der Umformungen Rücksicht zu nehmen –, so ergibt sich in der Tat (vgl. Abb. 10.3a) Z1 Zb 2 .F / D
Zb Z1 F .x; y/ dx dy D
0
a
Zb F .x; y/ dy dx D
a
0
„
ƒ‚
Df .x/
…
f .x/ dx : a
D Das Integral für nichtnegative messbare Funktionen
317
Aber man könnte auf das Vertauschen der Integrationen ja auch verzichten. Mit der Abkürzung Zb mf .y/ WD
F .x; y/ dx D 1 fx 2 Œa; b j f .x/ > yg
a
ergibt das (vgl. Abb. 10.3b) Zb
Z1 f .x/ dx D 2 .F / D
a
mf .y/ dy : 0
Das letzte Integral kann aber stets als elementares R IEMANN-Integral aufgefasst werden. Die Definition von mf zeigt nämlich sofort, dass diese Funktion monoton fallend ist, und es gilt das elementare Lemma 10.18. Jede monotone Funktion m W Œ˛; ˇ ! R ist R IEMANN-integrierbar. Beweis. Wir führen den Beweis für eine monoton fallende Funktion m (für monoton wachsende verläuft er analog). Zu einer Zerlegung Z W ˛ D t0 < t1 < < tN D ˇ mit Feinheit ı WD max1kN jtk tk1 j betrachten wir die Ober- und Untersummen S .mI Z/ WD
N X
m.tk1 /.tk tk1 /
bzw. S .mI Z/ WD
kD1
N X
m.tk /.tk tk1 / :
kD1
Es ergibt sich 0 S .mI Z/ S .mI Z/ D
N X kD1
ı
N X
.m.tk1 / m.tk //.tk tk1 / „ ƒ‚ … 0
.m.tk1 / m.tk // D ı.m.˛/ m.ˇ// ! 0
kD1
für ı ! 0.
t u
Da mRf .y/ 0 ist, existiert in jedem Fall auch das uneigentliche R IEMANN1 Integral 0 mf .y/ dy (mit dem Wert C1 im Falle der Divergenz). Dieses Integral können wir auch im allgemeinen Fall betrachten, und daher definieren wir: Definition 10.19. Sei f W D ! Œ0; 1 eine messbare Funktion mit Definitionsbereich D X; und sei E D eine messbare Teilmenge. Dann ist das Integral von f über E bzgl. des Maßes definiert durch Z
Z f d E
Z1 f .x/ d.x/ WD
E
mf;E .y/ dy ; 0
318
10 Maß und Integral
wobei mf;E .y/ das Maß der Menge Sf;E .y/ WD fx 2 E j f .x/ > yg bezeichnet. Das rechts stehende Integral ist dabei das uneigentliche R IEMANN-Integral der nichtnegativen, monoton fallenden Funktion mf;E . Speziell für E D X schreiben wir Z Z f d D f d : X
Ist X D R und D n das L EBESGUEsche Maß, so schreibt man kurz dx oder dn x statt dn .x/. n
Aus dieser Definition liest man ohne weiteres die folgenden elementaren Eigenschaften des Integrals ab, indem man sich jedes Mal den Verlauf der Funktion mf;E klarmacht (Übung!): Satz 10.20. Seien f; g 2 MC und E 2 A. R R a. f R E f d E g d. Ebenso mit D statt . R .x/ g.x/ -f. ü. H) b. RE ˛f .x/ d.x/ D ˛ E f .x/ d.x/ für ˛ 0. c. R f d D 0 ” f .x/ D 0 -f. ü. d. R f d < 1 H) f .x/ < 1 -f. ü. e. R E d D R.E/. f. f E d. E f d D g. Sind A; B zwei disjunkte messbare Teilmengen, so ist Z Z Z f d D f d C f d : A[B
A
B
Auch der folgende fundamentale Satz der Integrationstheorie lässt sich ohne große Mühe aus unserer Definition folgern: Theorem 10.21 (Satz von der monotonen Konvergenz). Sei .fj / eine monoton wachsende Folge von messbaren Funktionen fj 2 M C ; und sei f .x/ WD sup fj .x/ D lim fj .x/ ; Dann gilt
Z
Z
Z . lim fj / d D lim
f d
x2X :
j !1
j 1
j !1
j !1
fj d ;
(10.23)
d. h. Limes und Integral können vertauscht werden. Beweis. (i) Wir zeigen zunächst die analoge Aussage für R IEMANN-Integrale von monoton fallenden Funktionen mj W Œ0; 1Œ! Œ0; 1. Es sei also mj .t/ mj C1 .t/ für alle t; j und m.t/ WD limj !1 mj .t/. Die Ungleichung Z1
Z1 mj .t/ dt WD
lim
j !1 0
m.t/ dt 0
D Das Integral für nichtnegative messbare Funktionen
319
ist dann trivial. Sei < 1 und " > 0 gegeben. Wählen wir b > 0 groß genug und die Zerlegung Z des Intervalls Œ0; b fein genug, so gilt für die entsprechende Untersumme Zb " < S .mI Z/ m.t/ dt : 0
Da die mj monoton fallend sind, werden sie bei der Bildung der Untersummen S .mj I Z/ stets am rechten Endpunkt des jeweiligen Teilintervalls ausgewertet. Daher ist S .mI Z/ D lim S .mj I Z/ j !1
und wegen Zb S .mj I Z/
Z1 mj .t/ dt
0
mj .t/ dt 0
R1 folgt hieraus, dass 0 mj .t/ dt für alle genügend großen j im Intervall "; liegt. Da " beliebig war, ergibt dies die gewünschte Relation Z1
Z1 m.t/ dt D lim
mj .t/ dt :
j !1
0
(10.24)
0
Im Falle D 1 verläuft der Beweis analog. (ii) Nun betrachten wir die gegebene Folge fj .x/ % f .x/. Es sei mj .y/ bzw. m.y/ das Maß der Menge Sj .y/ WD fx j fj .x/ > yg
bzw. S.y/ WD fx j f .x/ > yg S (j 2 N; y 0). Dann ist offenbar Sj .y/ Sj C1 .y/ und S.y/ D 1 j D1 Sj .y/; also m.y/ D limj !1 mj .y/ nach Satz 10.3c. Aus (10.24) und der Definition des Integrals folgt somit die Behauptung. t u Anmerkung 10.22. Es genügt hier, wenn die Monotonie fj .x/ fj C1 .x/
(10.25)
nur -f. ü. gefordert wird. Nehmen wir S an, (10.25) gilt außerhalb einer Menge Nj mit .Nj / D 0. Dann hat auch N WD 1 j D1 Nj das Maß Null, und für die messbare Funktion f .x/ WD sup fj .x/ j 1
gilt immer noch f .x/ D lim fj .x/ j !1
320
10 Maß und Integral
für alle x 2 X n N . Nun betrachten wir die abgeänderten Funktionen fQj ; fQ mit fQj fj auf X n N; fQj 0 auf N; und ebenso für fQ. Nach Theorem 10.21 ist dann Z Z Q fQj d ; f d D lim R
R
j !1
R R und nach Satz 10.20a. ist fQj d D f d sowie fQ d D f d. Somit gilt (10.23) auch in diesem Fall. Durch diesen Abänderungstrick gelingt es in vielen Fällen, nachzuweisen, dass punktweise Voraussetzungen bei Sätzen der Integrationstheorie nur f. ü. erfüllt sein müssen, um die Behauptung zu garantieren. R Es bleibt R noch dieRAdditivität des Integrals zu zeigen, also die Gleichung .f C g/ d D f d C g d. An dieser Stelle geht es leider nicht ganz ohne Approximationsargument, und wir benötigen das (auch sonst nützliche) Lemma 10.23. Für jede nicht negative messbare Funktion f 2 MC existiert eine Reihenentwicklung 1 X 1 E (10.26) f D k k kD1
mit messbaren Mengen E1 ; E2 ; : : : Insbesondere existiert eine monoton wachsende Folge von messbaren Funktionen 'n 0; die nur endlich viele Werte annehmen, so dass für alle x 2 X f .x/ D lim 'n .x/ n!1
. Beweis. Die zweite Aussage folgt aus der ersten, indem man für die 'n die Partialsummen der Reihe (10.26) wählt. Um geeignete Mengen E1 ; E2 ; : : : zu finden, versucht man, die Werte y D f .x/ als Summen von Stammbrüchen zu schreiben, indem man Stammbrüche aufsummiert, solange die Summe y bleibt. Wenn sie beim Hinzufügen von 1=n den Wert y übertrifft, so verzichtet man auf diesen Stammbruch, und dann ist x 62 En . Anderenfalls nimmt man ihn tatsächlich hinzu, und dann ist x 2 En . Man definiert die Mengen En also rekursiv durch E1 WD fx j f .x/ 1g ; ( ˇ ) n1 ˇ 1 X1 ˇ E .x/ ; En WD x ˇf .x/ C ˇ n k k
n2:
kD1
Aus dieser Definition ergibt sich 'n .x/ WD
n X 1 E .x/ f .x/ k k
kD1
für alle n
P1 und somit '.x/ WD kD1 .1=k/Ek .x/ f .x/. Im Falle f .x/ D 0 sind alle En leer, also '.x/ D 0. Im Falle f .x/ D 1 ist En D X für alle n; also auch '.x/ D 1 (Divergenz der harmonischen Reihe!). Ist schließlich 0 < f .x/ < 1,
D Das Integral für nichtnegative messbare Funktionen
321
so muss (wieder wegen der Divergenz der harmonischen Reihe) der Fall x 62 En für unendlich viele n eintreten, etwa für n1 < n2 < . Für jedes j ist dann 1 C 'nj 1 .x/ ; nj
'nj 1 .x/ f .x/ <
also 0 f .x/ 'nj 1 .x/ < 1=nj . Grenzübergang j ! 1 liefert nun '.x/ D f .x/; d. h. (10.26) gilt in allen Fällen. t u Satz 10.24. Für f; g 2 MC und messbare Mengen E X gilt stets Z Z Z .f C g/ d D f d C g d : E
E
(10.27)
E
Beweis. Wir halten g 2 MC fest und beweisen (10.27) schrittweise für immer größere Klassen von Funktionen f . Stets schreiben wir dabei h WD f C g. (i) Sei f D ˛E mit ˛ > 0. Für 0 y < ˛ ist dann h.x/ ˛ > y für alle x 2 E und somit mh;E .y/ D .E/. Für y ˛ haben wir ˛ C g.x/ > y ” g.x/ > y ˛ ; also mh;E .y/ D mg;E .y ˛/. Dies ergibt Z˛
Z h d D E
Z1 mh;E .y/ dy C
mh;E .y/ dy ˛
0
Z1 D ˛.E/ C Z D
mg;E .y ˛/ dy ˛
Z1
f d C E
mg;E .z/ dz 0
Z
Z f d C
D E
g d ; E
wobei wir noch Satz 10.20b., e. verwendet haben. Für ˛ D 1 ist die Aussage trivial. (ii) Nun betrachten wir messbare Funktionen f; die nur endlich viele Werte annehmen, und beweisen (10.27) durch Induktion nach der Anzahl N der verschiedenen Werte von f auf E. Der Induktionsanfang N D 1 ist gerade Teil (i). Sei die Aussage für Funktionen mit N 1 verschiedenen Werten schon bekannt, und sei f eine Funktion mit N verschiedenen Werten auf E (N 2). Sei ˛ einer dieser Werte und A WD fx 2 E j f .x/ D ˛g; B WD E n A. Dann nimmt f auf B nur N 1 verschiedene Werte an, also ist nach Induktionsvoraussetzung Z Z Z h d D f d C g d : B
B
B
322
10 Maß und Integral
Aber auf A stimmt f mit ˛A überein, also ist nach Teil (i) Z Z Z h d D f d C g d : A
A
A
Addition dieser beiden Gleichungen liefert wegen Satz 10.20g. wieder (10.27) für f. (iii) Ein beliebiges f 2 MC repräsentieren wir nun gemäß Lemma 10.23 als punktweiser Limes f D limn!1 'n ; wobei jedes 'n nur endlich viele Werte annimmt. Nach Teil (ii) gilt dann Z Z Z .'n C g/ d D 'n d C g d 8n : E
E
E
Dann folgt (10.27) nach dem Satz von der monotonen Konvergenz durch Grenzübergang n ! 1. t u Es ist klar, dass man diesen Satz durch Induktion sofort auf Summen aus endlich vielen Termen ausdehnen kann. Dann gilt er aber auch für unendliche Reihen, denn die Partialsummen einer Reihe von nichtnegativen Funktionen bilden ja eine monoton wachsende Funktionenfolge, so dass beim Grenzübergang der Satz über monotone Konvergenz herangezogen werden kann. Es ergibt sich: Korollar 10.25 (Satz von B EPPO L EVI). Für jede Folge .gn / 2 M C gilt: ! Z X 1 1 Z X gn d ; gn d D (10.28) nD1
nD1
wobei auf beiden Seiten der Wert C1 erlaubt ist. Wir ziehen schließlich aus dem Satz über monotone Konvergenz noch eine weitere Folgerung, die für die Behandlung von Integralen reell- oder komplexwertiger Funktionen im nächsten Abschnitt von entscheidender Bedeutung sein wird. Dabei verwenden wir die Begriffe und Schreibweisen aus 10.15. Satz 10.26 (Lemma von FATOU). Für jede Folge .fn / von Funktionen aus MC gilt Z Z (10.29) .lim inf fn / d lim inf fn d : n
n
Beweis. Für m 2 N setzen wir gm .x/ WD inf fn .x/ : nm
Dann ist .gm / monoton wachsend und es gilt gm fn
für n m
(10.30)
E Summierbare Funktionen
323
Z
Z
und daher
gm d
fn d für n m ; Z
Z
also weiter
gm d lim inf
fn d :
n
Wegen
lim gm D sup gm D sup
m!1
m
m1
folgt mit Theorem 10.21 aus (10.31) Z Z .lim inf fn / d D
(10.31)
inf fn
nm
D lim inf fn n
lim gm d Z D lim gm d m!1 Z lim inf fn d : m!1
n
t u Bemerkung: Wenn der Grenzwert f .x/ D lim fn .x/ n!1
-fast überall existiert, so ergibt das Lemma von FATOU die Abschätzung Z Z (10.32) f d lim inf fn d : n
Es kann leicht geschehen, dass hier eine echte Ungleichung vorliegt. RBetrachtet man z. B. auf der reellen Geraden die Funktionen fn WD n1 Œ0;n ; so ist fn .t/ dt D 1 für alle n; aber limn!1 fn .t/ D 0 für alle t.
E Summierbare Funktionen Wir betrachten immer noch den beliebigen, aber fest gewählten Maßraum .X; A; /. Bisher haben wir das Integral nur für nichtnegative -messbare Funktionen definiert, wobei C1 als Wert bei Integrand und Integral zugelassen war. Um zu einem endlichen Integral für R-wertige und C-wertige Funktionen zu kommen, definieren wir: Definitionen 10.27. a. Sei f W X ! R beliebig. Dann nennt man die Funktionen f C .x/ WD supff .x/; 0g ; f .x/ WD supff .x/; 0g den positiven bzw. den negativen Teil von f .
(10.33)
324
10 Maß und Integral
b. Eine Funktion f W X ! C heißt messbar, wenn u WD Re f und v WD Im f messbar sind. Wir bezeichnen die Menge aller dieser Funktionen wieder mit M.X / oder MC .X /. Für R-wertiges f gilt offenbar: f D fCf;
jf j D f C C f :
(10.34)
Ist f messbar, so sind nach Satz 10.16a. f C ; f 2 MC . Für komplexwertige messbare Funktionen f D u C iv zeigen Satz 10.14c. und Satz 10.17a., dass jf j D .u2 C v 2 /1=2 messbar ist. Definitionen 10.28. a. Eine messbare reelle Funktion f 2 M heißt -summierbar oder -integrierbar, wenn Z Z f d < 1 ; (10.35) f C d < 1 und und man nennt
Z
Z f d WD
f
C
Z d
f d
das Integral von f bezüglich . Für E 2 A setzt man Z Z Z Z f d WD f E d D f C d f d : E
E
(10.36)
(10.37)
E
b. Eine komplexe messbare Funktion f heißt -summierbar oder -integrierbar, wenn ihr Realteil u und ihr Imaginärteil v -summierbar sind, und dann setzt man Z Z Z f d WD u d C i v d (10.38) und analog für die Integrale über messbare Teilmengen. c. Die Menge der -summierbaren Funktionen auf X wird mit L1 .X / L1 .X; A; / L1 ./ bezeichnet, und wenn erforderlich, wird der Wertebereich durch untere Indizes R oder C gekennzeichnet. Die folgenden elementaren Eigenschaften der summierbaren Funktionen und des Integrals überzeugen uns, dass man mit dem allgemeinen Integral so umgehen kann, wie man es von einem Integral erwartet. Sie ergeben sich mehr oder weniger leicht aus den zuvor bewiesenen Fakten, insbes. aus Satz 10.20 und Satz 10.24: Theorem 10.29. Sei E X eine messbare Menge. Dann gilt: a. L1K .E/ ist ein K-Vektorraum und das Integral ist ein K-lineares Funktional auf L1K .E/.
E Summierbare Funktionen
325
b. Sind f; g R-wertige summierbare Funktionen und ist f .x/ g.x/ -f. ü. auf E; so ist Z Z f d g d : E
E
c. f 2 M.E/ ist genau dann summierbar, wenn jf j summierbar ist, und dann gilt ˇ ˇ ˇZ ˇ Z ˇ ˇ ˇ f dˇ jf j d : (10.39) ˇ ˇ ˇ ˇ E
E
C Insbesondere R ist f summierbar, wenn ein h 2 M existiert mit jf .x/j h.x/ -f. ü. und h d < 1. d. Sind f; g messbar und f .x/ D g.x/ -f. ü., so ist f summierbarRgenau dann, wenn g summierbar ist, und im Falle der Summierbarkeit ist E f d D R g d. E
Beweis. a. Wir beweisen die Additivität Z Z Z .f C g/ d D f d C g d E
E
(10.40)
E
für reelle Funktionen f; g 2 L .E/. Alles Weitere kann als Übung erledigt werden. Wir schreiben also f D f C f ; g D g C g und h WD f C g D hC h und setzen außerdem ˙ hf WD f ˙ C g ˙ : 1
Z
Dann ist
˙ hf d D
E
Z f
˙
Z d C
E
g ˙ d
(10.41)
E
nach Satz 10.24. Aus C f hC h D h D f C f C g C g D hf h
folgt
C f hC C h D hf C h ;
und da hier nur nichtnegative Summanden stehen, kann Satz 10.24 angewendet werden und ergibt Z Z Z Z C f hC d C h d D hf d C h d ; E
also
Z
E
Z h d D
E
C
h E
E
Z d
E
Z
h d D E
Einsetzen von (10.41) ergibt nun (10.40).
E
C d hf
Z E
f d : h
326
10 Maß und Integral
b. Man beachte f C f gC g ” f C C g gC C f und wende Satz 10.20a. an. R c. Die Äquivalenz f 2 L1 .E/ ” E jf j d < 1 geht sofort aus den Beziehungen 0 f ˙ jf j D f C C f für reelles f und juj; jvj jf j juj C jvj für komplexes fR D u C iv hervor. Um (10.39) zu beweisen, schreiben wir die komplexe Zahl E f d in Polarkoordinaten als r ei und setzen g.x/ WD ei f .x/ I u WD Re g ; v WD Im g : R R Dann ist E g d D r reell, also E v d D 0; und außerdem u juj jgj D jf j punktweise. Mit Teil b. folgt nun ˇ ˇ ˇZ ˇ Z Z ˇ ˇ ˇ f dˇ D r D u d jf j d ; ˇ ˇ ˇ ˇ E
E
E
also (10.39). d. Ist eine leichte Übung. t u Wir weisen noch auf einige weitere leicht zu beweisende Eigenschaften hin: Satz 10.30. a. Ist f 2 L1 .E/; so ist N D fx 2 E j f .x/ D ˙1g eine -Nullmenge. b. Ist f 2 L1 .E/; F E messbar, so ist f 2 L1 .F /. c. Ist f 2 L1 .E/ und .Am / eine disjunkte Mengenfolge, Am 2 A; Am E; so gilt Z 1 Z X f d D f d (10.42) mD1A m
A
für A WD
1 [
Am .
mD1
d. Sind f; g 2 L1 .X / und Z Z f d D g d E
so ist f .x/ D g.x/ -f. ü.
E
für alle E 2 A ;
E Summierbare Funktionen
327
Teile a., b. und d. beruhen auf Aussagen aus Satz 10.20, Teil c. auf dem Satz von B EPPO L EVI. Beispiele 10.31. a. Bei den einfachen Beispielen aus 10.2 waren alle Teilmengen von X messbar. Dann sind auch alle Funktionen f W X ! R bzw. f W X ! C messbar. Für die Integrale ergibt sich durch Betrachten der Definitionen folgendes: (i)
(ii)
(iii)
Für das Zählmaß aus Beispiel 10.2a. ist f genau dann integrierbar, wenn f außerhalb einer (von f abhängigen) Pabzählbaren Teilmenge A D fx1 ; x2 ; : : :g verschwindet und die Reihe 1 kD1 f .xk / absolut konvergiert. Die Summe dieser Reihe ist dann das Integral. Bei dem Maß (10.4) ist jede Funktion f summierbar, und der Wert des P Integrals ist N kD1 mk f .ak /. Die Integration bezüglich des D IRACmaßes im Punkt a ist insbesondere einfach die Auswertung der Funktion in diesem Punkt. Für das Maß (10.5) ist die Integrierbarkeit von f äquivalent mit der absoP luten Konvergenz der Reihe 1 kD1 mk f .ak /; und der Wert des Integrals ist dann die Summe dieser Reihe.
b. Nun seien ein Maßraum .X; A; / sowie eine „Gewichtsfunktion“ w 2 MC .X / gegeben. Wie Satz 10.30c. zeigt, definiert die Formel Z .A/ WD w d (10.43) A
dann wieder ein Maß auf derselben -Algebra A. Man schreibt D w oder d D w d und nennt w die Dichte von in Bezug auf oder auch die Ableitung w D d= d. Man überlegt sich leicht (Übung!), dass w1 D w2 ” w1 .x/ D w2 .x/ -f. ü. ; also ist die Dichte eindeutig bestimmt bis auf Änderungen auf einer -Nullmenge. Für die Summierbarkeit gilt Z 1 f 2 L ./ ” jf jw d < 1 ” f w 2 L1 ./ ; und im Fall der Summierbarkeit ist Z Z f d D f w d : E
(10.44)
E
Geht man vom L EBESGUE-Maß D n aus, so entstehen auf diese Weise viele wichtige Maße auf Rn . Bemerkung: Jede -Nullmenge ist offenbar auch eine -Nullmenge, wenn D w. Der sog. Satz von R ADON -N IKODYM besagt, dass – jedenfalls für
328
10 Maß und Integral
-endliche Maße im Sinne von Def. 10.43 – hiervon auch die Umkehrung gilt: Ist jede -Nullmenge auch eine -Nullmenge, so ist D w für ein geeignetes w 2 MC .A/. c. Für das L EBESGUE -S TIELTJES-Maß v ; das durch den Integrator v definiert wird (vgl. 10.12), gilt Z Z f dv D
f dv
(10.45)
für alle stetigen f; die außerhalb eines kompakten Intervalls verschwinden. Aus der Konstruktionsvorschrift für v kann man nämlich entnehmen, dass v .a; b/ D v.b C 0/ v.a C 0/
(10.46)
ist (rechtsseitige Grenzwerte!), und da man die stetige Funktion f gleichmäßig durch stückweise konstante Funktionen approximieren kann, erhält man hieraus Z Z f dv D f dvQ mit dem leicht abgeänderten Integrator v.x/ Q WD v.x C 0/. Dass aber v und vQ ein und dasselbe S TIELTJES-Integral liefern, folgt mittels der Stetigkeit von f leicht durch Betrachtung der Summen (10.16). Wir verzichten auf Details. Einer der Hauptgründe für die Einführung des L EBESGUE-Integrals sind seine besseren Konvergenzeigenschaften. Theorem 10.32 (Satz von L EBESGUE über dominierte Konvergenz). Sei E X messbar, f eine Funktion auf E; und seien fn 2 L1 .E/; n 2 N so, dass gilt: a. f .x/ D lim fn .x/ für fast alle x 2 E. n!1
b. Es existiert ein g 2 L1 .E/; so dass für alle n 2 N jfn .x/j g.x/
für fast alle x 2 E.
Dann ist f 2 L1 .E/; und es gilt Z Z lim fn d D f d : n!1
E
(10.47)
E
Beweis. Wegen Satz 10.29d. dürfen wir die Funktionen fn auf einer Nullmenge so abändern, dass 8x2E ; (10.48) f .x/ D lim fn .x/ n!1
jfn .x/j g.x/
8x 2E; 8n2N:
(10.49)
Dann gilt aber auch f 2 M.E/ nach Satz 10.16b., und jf .x/j g.x/ so dass f 2 L1 .E/ aus Satz 10.29c. folgt.
8x2E ;
(10.50)
E Summierbare Funktionen
329
Nun nehmen wir an, f sei R-wertig, denn der Fall eines komplexwertigen f kann durch Zerlegung in Real- und Imaginärteil leicht auf den reellen Fall zurückgeführt werden. Da nach (10.49) g C fn 0
auf E
können wir Satz 10.26 (FATOU) anwenden und bekommen: Z Z Z Z g d C f d D .g C f / d lim inf .g C fn / d E
E
E
g d C lim inf
D E
Daraus folgt dann
E
Z
Z
fn d : E
Z
Z f d lim inf
fn d :
n
E
(10.51)
E
Da andererseits nach (10.49) auch g fn 0 auf E ist, folgt wieder mit dem Lemma von FATOU Z Z Z g d f d D .g f / d E
E
E
Z
Z
.g fn / d D
lim inf E
Z g d lim sup
E
E
Z
Z
woraus dann
fn d
lim sup n
fn d ;
E
f d
(10.52)
E
folgt. Die Ungleichungen (10.51) und (10.52) liefern dann die behauptete Gleichung (10.47). t u Anwendung dieses Satzes auf die Partialsummen einer unendlichen Reihe ergibt das folgende Korollar: Korollar 10.33. Sei E X messbar und seien fn 2 L1 .E/ so, dass 1 Z X
jfn j d < 1 :
(10.53)
nD1 E
Dann existiert f. ü. auf E die Summe f .x/ WD
1 X nD1
fn .x/ :
(10.54)
330
10 Maß und Integral
Es ist f 2 L1 .E/ und
Z f d D
1 Z X
fn d :
(10.55)
nD1 E
E
Beweis. Wegen (10.53) und dem Satz von B EPPO L EVI (Kor. 10.25) ist die Funktion 1 X jfn .x/j g.x/ WD nD1
summierbar, also auch g.x/ < 1 f. ü. (Satz 10.20c. oder 10.30a.). Also ist die Reihe in (10.54) f. ü. absolut konvergent. Nun wende man 10.32 auf die Folge der Partialsummen dieser Reihe an, wobei g als integrierbare Majorante dient. t u 10.34 Räume p-summierbarer Funktionen. In Abschn. 7A haben wir für L EBES GUE -messbare Teilmengen S Rn die BANACH räume Lp .S; 1 p 1/ besprochen. Dabei stand der H ILBERTraum L2 .S / im Vordergrund, der für die Physik von entscheidender Bedeutung ist. Auch für einen beliebigen Maßraum .X; A; / lassen sich entsprechende Räume Lp .X; A; / in völliger Analogie hierzu konstruieren, und es genügt daher, wenn wir diese Konstruktion hier nur kurz rekapitulieren. Ist f W X ! K messbar, so ist jf j 2 MC .A/; also können wir definieren: Z (10.56) Np .f / WD jf .x/jp d für 1 p < 1 sowie N1 .f / W D ess sup jf .x/j
(10.57)
x2S
D inffs 0 j jf .x/j s -f. ü.g (vgl. (7.24) und (7.28)). Nun setzt man Lp LpK .X; A; / WD ff 2 MK j Np .f / < 1g :
(10.58)
Für p D 1 stimmt das mit der in 10.28c. getroffenen Definition von L1 überein. Da unser allgemeines Integral alle Eigenschaften besitzt, die man zum Beweis der Ungleichungen von H ÖLDER und M INKOWSKI benötigt, gelten diese Ungleichungen auch hier. Ist also p > 1; q WD p=.p 1/ und ist f 2 Lp ; g 2 Lq ; so ist fg 2 L1 und Z jfgj d Np .f /1=p Nq .g/1=q
(10.59)
(H ÖLDERsche Ungleichung). Für p D 1; q D 1 hat man stattdessen die Ungleichung Z jfgj d N1 .f /N1 .g/ ;
(10.60)
die unmittelbar aus Satz 10.20a.,b. folgt. Die M INKOWSKIsche Ungleichung lautet wieder Np .f C g/1=p Np .f /1=p C Np .g/1=p ; (10.61)
E Summierbare Funktionen
331
wobei 1 p < 1; und sie zeigt, dass Lp ein Vektorraum ist (was für p D 1 trivial ist). Aus Satz 10.20c. geht hervor, dass Np .f / D 0 ” f .x/ D 0 -f. ü. Um also zu einem normierten Raum zu gelangen, bildet man wieder die Äquivalenzklassen (vgl. Anmerkung 1.24) in Bezug auf die Äquivalenzrelation def
f g ” f .x/ D g.x/ -f. ü.
(10.62)
Der Raum Lp Lp .X; A; / ist definiert als die Menge dieser Äquivalenzklassen Œf mit f 2 Lp .X; A; / (1 p 1). Für diese Klassen definiert man Addition, Multiplikation mit Skalaren und eine Norm durch Œf C Œg WD Œf C g ;
˛Œf WD Œ˛f ;
kŒf kp WD Np .f /1=p
für p < 1 bzw. kŒf k1 WD N1 .f /; und in jedem Fall kann man durch triviale Rechnungen nachprüfen, dass diese Definitionen nicht von den gewählten Repräsentanten der Klassen abhängen, sondern nur von den Klassen selbst. Außerdem sind die Vektorraumaxiome und wegen (10.61) auch die Normaxiome erfüllt. Schließlich gilt – mit unverändertem Beweis – der Satz von R IESZ -F ISCHER, und damit handelt es sich um BANACHräume, und bei L2 .X; A; / handelt es sich sogar um einen H ILBERTraum. Sein Skalarprodukt ist gegeben durch Z hŒf j Œgi WD f .x/g.x/ d.x/ ; (10.63) was wieder von den gewählten Repräsentanten unabhängig ist. Die H ÖLDERsche Ungleichung für den Fall p D q D 2 ist nichts anderes als die S CHWARZsche Ungleichung für dieses Skalarprodukt. In der Praxis schreibt man f statt Œf und überlässt es dem mitdenkenden Leser, zu entscheiden, ob gerade die Funktion f selbst oder die durch sie festgelegte Äquivalenzklasse Œf gemeint ist. Bemerkung: Wählt man X D N und für das Zählmaß, so ergibt sich Lp .X; P.X /; / D l p in der Schreibweise aus Abschn. 7A (vgl. die Beispiele aus 10.31a.). Fasst man Folgen also als Funktionen auf, die auf N definiert sind, so sind die p-summierbaren Folgen gerade die p-summierbaren Funktionen in Bezug auf das Zählmaß. 10.35 Anwendung auf die Stochastik. Die Maßtheorie liefert, wie sich im Laufe des 20. Jahrhunderts herausgestellt hat, mit Abstand den besten Apparat für die mathematische Modellierung des Zufalls, d. h. für die Stochastik. Wir können hier nicht auf den mathematischen Gehalt der Stochastik eingehen – das würde ein eigenes Lehrbuch ergeben –, aber wir können an Hand von etwas grundlegender Terminologie erläutern, wie die abstrakte Integrationstheorie für die Behandlung des Zufalls eingesetzt wird. Als Wahrscheinlichkeitsraum bezeichnet man einen Maßraum .˝; A; P/; für den P.˝/ D 1
(10.64)
332
10 Maß und Integral
gilt. Die Mengen E 2 A modellieren zufällige Ereignisse und werden auch so genannt, und das Maß P.E/ ist die Wahrscheinlichkeit, mit der das Ereignis E eintritt. Für die Modellierung einfacher Glücksspiele ist natürlich keine allgemeine Maßund Integrationstheorie vonnöten, denn hier ist der entsprechende Wahrscheinlichkeitsraum eine endliche Menge ˝ D f!1 ; : : : ; !N g (etwa mit N D 6 für einen Würfel, N D 37 für ein Rouletterad), und das Maß P ist durch die Zahlen pk WD P.f!k g/ ;
k D 1; : : : ; N
vollständig festgelegt. Aber sobald das System kontinuierlich schwankende Parameter enthält, sieht die Sache anders aus. Zum Beispiel in der statistischen Mechanik ist ˝ der Phasenraum eines Systems aus sehr vielen Teilchen, also eine Mannigfaltigkeit von sehr hoher Dimension. Die Ergebnisse von Zufallsexperimenten werden i. A. durch reelle Zahlen ausgedrückt. Deshalb werden die messbaren Funktionen W ˝ ! R auf einem Wahrscheinlichkeitsraum .˝; A; P/ als Zufallsgrößen oder zufällige Variable bezeichnet. Für eine B ORELmenge B R ist dann E WD 1 .B/ ein Ereignis, und P. 1 .B// ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass das Ergebnis des durch beschriebenen Zufallsexperiments in der Menge B liegt. Daher nennt man Z h i WD .!/ dP.!/ (10.65) den Erwartungswert oder Mittelwert von ; und Z WD
1=2 . .!/ h i/2 dP.!/
(10.66)
nennt man die Streuung oder Standardabweichung von . Solange man es nur mit einer einzigen Zufallsvariablen x D .!/ zu tun hat, benötigt man den Raum ˝ eigentlich nicht. Man transportiert das Maß P nämlich auf die reelle Gerade, indem man setzt .B/ WD P. 1 .B// ;
B 2 B1 :
(10.67)
Damit ist ein B ORELmaß auf R definiert, das man als die Verteilung von bezeichnet, und man kann leicht beweisen, dass Z Z f .x/ d.x/ D f . .!// dP.!/ (10.68) gilt (was auch einschließt, dass f 2 L1 ./ ” f ı 2 L1 .P/). Damit nehmen insbesondere die Formeln für Erwartungswert und Streuung die Gestalt Z Z hxi D x d ; 2 D .x hxi/2 d an.
F Die Rolle der stetigen Funktionen
333
Statt des Maßes selbst betrachtet man in der Stochastik häufig die monotone Funktion v.x/ WD .1; x/ ; x2R; (10.69) die ebenfalls als Verteilung oder Verteilungsfunktion bezeichnet wird. Sie legt das Maß eindeutig fest, denn, wie man sich leicht überlegen kann, erzeugt das System aller Intervalle 1; x; x 2 R die gesamte B ORELalgebra B 1 (vgl. Aufg. 10.7). Die entsprechenden Integrale – und insbesondere Erwartungswert und Streuung – können nach Beispiel 10.31c. also als L EBESGUE -S TIELTJES-Integrale mit dem Integrator v ausgedrückt werden. Bemerkung: Bei der statistischen Deutung der Quantenmechanik wird durch den physikalischen Zustand des Systems für jede Observable (= Messgröße) eine Wahrscheinlichkeitsverteilung festgelegt, also ein B ORELmaß auf R mit .R/ D 1 (oder, äquivalent, eine Verteilungsfunktion v W R ! R mit limx!1 v.x/ D 0; limx!1 v.x/ D 1), und dabei ist – ähnlich wie in der Stochastik – .B/ als die Wahrscheinlichkeit dafür anzusprechen, dass eine Messung der betreffenden Observablen in dem betreffenden Zustand einen Wert x 2 B ergeben wird. Trotzdem sind diese Observablen keine Zufallsvariablen auf irgendeinem Wahrscheinlichkeitsraum, sondern ihre Wahrscheinlichkeitsverteilungen kommen auf eine ganz andere Art zustande (vgl. Kap. 16 (Band II)). Die genauen logischen und mathematischen Unterschiede zwischen klassischer statistischer Physik und Quantenmechanik sind z. B. in [26, 53, 61, 97, 98] erläutert.
F Die Rolle der stetigen Funktionen Im Rn – oder allgemeiner in einem metrischen Raum – wird man in erster Linie solche Maße betrachten wollen, bei denen sich stetige Funktionen so verhalten, wie man es vom L EBESGUE-Maß her gewöhnt ist. Zumindest muss es sich also um B ORELmaße handeln. Dann sind die stetigen Funktionen jedenfalls messbar, denn das Urbild einer offenen Menge unter einer stetigen Funktion ist offen und damit eine B ORELmenge. Aber das alleine reicht noch nicht. Wir beschränken uns auf offene Teilmengen ˝ Rn und definieren: Definition 10.36. Sei ˝ offen in Rn . Ein R ADONmaß auf ˝ ist ein Maß auf ˝; für das alle in ˝ enthaltenen B ORELmengen messbar sind und das die folgenden zusätzlichen Eigenschaften hat: (i)
Äußere Regularität: Für alle -messbaren Mengen E ˝ ist .E/ D inff.U / j U offen; U Eg :
(ii)
Innere Regularität: Für alle -messbaren E ist .E/ D supf.K/ j K kompakt ; K Eg :
(iii)
Für jedes kompakte K Rn ist .K/ < 1.
334
10 Maß und Integral
Das L EBESGUEmaß und die L EBESGUE -S TIELTJES-Maße haben diese Eigenschaft, ebenso die Maße d D jf j dx; wo f eine lokal integrable Funktion auf ˝ ist, d. h. eine messbare Funktion, für die Z jf j dx < 1 K
für alle kompakten K ˝ ist. Bemerkung: Eigentlich braucht man nur Bedingung (iii) zu fordern – die beiden anderen lassen sich dann beweisen, jedenfalls im Kontext offener Teilmengen des Rn (vgl. [78]). Es ist aber wichtig, festzuhalten, dass diese beiden Regularitätsbedingungen für R ADONmaße gelten, und bei Ausdehnung der Theorie auf allgemeinere Grundräume muss man sie auch gesondert fordern. Wie zu erwarten, gilt: Satz 10.37. Für jedes R ADONmaß auf ˝; jede kompakte R Teilmenge K ˝ und jede stetige Funktion f W ˝ ! C existiert das Integral K f d. Beweis. Sei M WD max jf .x/j. Dann ist jf jk Mk punktweise sowie x2K
Z Mk d D m.K/ < 1 :
Nun wende man Theorem 10.29c. an.
t u
Bemerkung: Unter den Voraussetzungen des letzten Satzes definiert f also eine Äquivalenzklasse Œf 2 L1 .K; d/. Die Funktion f muss jedoch nicht unbedingt der einzige stetige Repräsentant dieser Klasse sein. Ist z. B. D ıa das D IRACmaß im Punkt a 2 ˝ (offensichtlich ein R ADONmaß!), so ist f g ” f .a/ D g.a/ ; also gibt es sehr viele verschiedene stetige Funktionen, die ein und dieselbe Klasse repräsentieren. Unter der Voraussetzung (T)
Die einzige offene -Nullmenge ist die leere Menge
jedoch sind zwei stetige Funktionen gleich, wenn sie -f. ü. übereinstimmen (Beweis als Übung!) In diesem Fall kann man also, wie beim L EBESGUE-Maß (vgl. Anmerkung 7.18), die stetigen Funktionen auf K als Elemente von L1 .K; d/ auffassen. Wir hatten es schon öfter mit stetigen Funktionen zu tun, die außerhalb einer kompakten Menge verschwinden. Für diese führen wir jetzt eine systematische Sprechweise ein, die ansatzweise schon bei unserer Beweisskizze für Theorem 10.6d. verwendet worden war: Definitionen 10.38. a. Der Träger Tr f einer stetigen Funktion f ist der Abschluss der Menge fx j f .x/ ¤ 0g. Anders ausgedrückt: Ein Punkt x 2 ˝ gehört genau dann nicht zum Träger von f; wenn f in einer Umgebung von x verschwindet.
F Die Rolle der stetigen Funktionen
335
b. Mit Cc .˝/ bezeichnen wir den Vektorraum aller stetigen Funktionen auf ˝; deren Träger eine kompakte Teilmenge von ˝ ist. Bei Teil b. ist die Formulierung „kompakte Teilmenge von ˝“ zu beachten. Ist @˝ \ Tr f ¤ ;; so gehört f nicht zu Cc .˝/; auch wenn Tr f kompakt ist. Für viele Zwecke ist es wichtig, dass man p-summierbare Funktionen durch stetige Funktionen mit kompaktem Träger approximieren kann (besonders für p D 1 und p D 2). Daher beweisen wir: Satz 10.39. Sei ein R ADONmaß in ˝ und 1 p < 1. Die Klassen der h 2 Cc .˝/ bilden dann eine dichte Teilmenge von Lp .˝; d/. Insbesondere ist Lp .˝/ separabel. Beweis. Nach Satz 10.37 ist klar, dass Cc .˝/ Lp .˝; d/. Nun versuchen wir, f 2 Lp .˝; d/ durch h 2 Cc .˝/ zu approximieren, wobei wir mit speziellen Funktionen f beginnen und dann zu immer allgemeineren Fällen fortschreiten. (i) Sei f D E die charakteristische Funktion einer -messbaren Menge E ˝ mit .E/ < 1. Zu " > 0 finden wir auf Grund der Regularität von ein offenes U und ein kompaktes K mit K E U ˝; .E/ .K/ < "=2 und .U / .E/ < "=2. Dann ist .U n K/ D .U / .K/ < " : Der wesentliche Punkt ist nun die folgende Behauptung (Existenz einer „Abschmierfunktion“): Es gibt ein h 2 Cc .˝/ mit 0 h 1 in ganz ˝; hjK 1
Behauptung. (A) und Tr h U .
Für solch eine Funktion h (genauer: für ihre Äquivalenzklasse) ist Z Z d D .U n K/ < " kE hkpp D jE hjp d D U nK
˝
und somit kE hkp < "1=p ! 0 für " ! 0. Um Behauptung (A) zu beweisen, betrachten wir für abgeschlossene A Rn die Funktion d.x; A/ WD inf kx yk y2A
(mit irgendeiner Norm auf R ). Dann ist n
jd.x1 ; A/ d.x2 ; A/j kx1 x2 k ; wie man leicht aus der Dreiecksungleichung für die Norm herleitet. Dies zeigt, dass d.x; A/ eine stetige Funktion von x ist. Ferner ist offenbar d.x; A/ D 0 ” x 2 AN D A :
336
10 Maß und Integral
Für die abgeschlossene Menge B WD Rn n U ist B \ K D ;; und da K kompakt ist, folgt ı WD min d.x; B/ > 0 : x2K
Dann ist L WD Uı=2 .K/ eine kompakte Teilmenge von U . Mit A WD Rn n Uı=2 .K/ setzen wir d.x; A/ ; x2˝: h.x/ WD d.x; A/ C d.x; K/ Dann ist Tr h L U und hjK 1; also leistet h das Gewünschte. (ii) Nun sei f D ' eine Funktion aus Lp .˝; d/; die nur endlich viele Werte annimmt („simple Funktion“), und ˛1 ; : : : ; ˛m seien ihre verschiedenen Werte ¤ 0. Mit Ej WD ' 1 .˛j / haben wir dann 'D
m X
˛j Ej :
j D1
Z
Ferner ist k'kpp
j'jp d D j˛j jp .Ej /
Ej
und daher .Ej / j˛j jp k'kpp < 1 für alle j . Nach Teil (i) kann man also jedes Ej beliebig genau durch Funktionen aus Cc .˝/ approximieren, und durch Bildung der entsprechenden Linearkombinationen wird dann auch ' approximiert. (iii) Nun sei f 2 Lp .˝; d/ und f 0. Nach Lemma 10.23 gibt es eine Folge .'k / von simplen Funktionen mit 0 'k f und f .x/ D limk!1 'k .x/ für alle x. Dann ist 0 .f 'k /p f p ; also f 'k 2 Lp .˝; d/ und damit auch 'k 2 Lp .˝; d/ für alle k. Nach dem Satz von der dominierten Konvergenz (mit g D f p als Majorante) ergibt sich also Z lim kf 'k kpp D lim jf 'k jp d D 0 : k!1
k!1
˝
Zu " > 0 findet man daher ' D 'k mit kf 'kp < "=2 und dann nach Teil (ii) ein h 2 Cc .˝/ mit k' hkp < "=2. Es folgt kf hkp < "; wie gewünscht. (iv) Ein beliebiges f 2 Lp .˝; d/ wird in Real- und Imaginärteil zerlegt, und diese werden in positiven und negativen Teil zerlegt. Anwendung von (iii) auf alle vier Summanden und Linearkombination der entsprechenden Approximanden liefert dann das Ergebnis für das gegebene f . Die Separabilität von Lp .˝/ ergibt sich nun, indem man ˝ als Vereinigung einer aufsteigenden Folge .Km / von kompakten Teilmengen darstellt und die Separabilität der Räume C.Km / (Satz 7.7) ausnutzt. Wir übergehen die Details. t u
F Die Rolle der stetigen Funktionen
337
Der Vektorraum Cc .˝/ wird mit der Supremumsnorm k k1 zu einem normierten linearen Raum. Jedes R ADONmaß führt über das entsprechende Integral zu einem linearen Funktional auf Cc .˝/; nämlich Z .h/ WD h d ; h 2 Cc .˝/ : (10.70) ˝
Für dieses Funktional gilt offenbar j.h/j khk1 .Tr h/
8 h 2 Cc .˝/
(10.71)
sowie die Monotonieeigenschaft h1 h2 H) .h1 / .h2 / :
(10.72)
Man bezeichnet als ein positives lineares Funktional, denn die Monotonieeigenschaft ist offenbar äquivalent zu der Forderung .h/ 0
für alle h 0 :
Bei unserer Konstruktion des L EBESGUEschen Maßes (vgl. die Beweisskizze zu Theorem 10.11) waren wir vom R IEMANN-Integral für stetige Funktionen mit kompaktem Träger ausgegangen. Verwenden wir stattdessen ein beliebiges vorgegebenes positives lineares Funktional auf Cc .˝/; so führen im wesentlichen dieselben Argumente auf das folgende fundamentale Ergebnis: Theorem 10.40 (R IESZscher Darstellungssatz). Zu jedem linearen Funktional W Cc .˝/ ! C; das auf reellwertigen Funktionen reell ist und die Monotonieeigenschaft (10.72) besitzt, gibt es genau ein vollständiges R ADONmaß auf ˝; für das (10.73) gilt. Ein detaillierter Beweis hierfür ist in fast jedem Lehrbuch der Funktionalanalysis, Integrationstheorie oder höheren Analysis nachzulesen, z. B. in [27, 59] oder [78]. Die in 10.12 diskutierte Konstruktion der L EBESGUE -S TIELTJES-Maße ist natürlich ebenfalls ein Spezialfall von Theorem 10.40. Bemerkung: Der Satz sollte nicht mit dem gleichnamigen Theorem 8.16 verwechselt werden. Beide Ergebnisse verdienen die Bezeichnung „Darstellungssatz“, weil in beiden Fällen gewisse lineare Funktionale auf einem NLR durch konkrete Objekte der Analysis dargestellt werden, nämlich durch Vektoren des H IL BERT raums im Fall von Theorem 8.16 und durch R ADON maße hier. Ersetzt man das Gebiet ˝ Rn durch eine differenzierbare Mannigfaltigkeit M; so kann man Def. 10.36 sinnvoll formulieren und alle Ergebnisse dieses Abschnitts beweisen, insbesondere auch den R IESZschen Darstellungssatz. (Dies geschieht z. B. in [78] in noch allgemeinerem Kontext.) Ist M orientiert, dim M D n; so definiert jede positive n-Form ! 2 ˝ n .M / also ein R ADONmaß ! durch Anwenden des R IESZschen Darstellungssatzes auf das Funktional Z .'/ WD '! ; ' 2 Cc .M / : M
338
10 Maß und Integral
Dann ist f 2 L1 .M; M / genau dann, wenn die n-Form f ! im Sinne von 4.12 integrierbar ist. – Ist speziell .M; g/ eine orientierte R IEMANNsche Mannigfaltigkeit, so wählt man für ! die kanonische Volumenform !M und erhält so ein R ADONmaß M auf M; das als die korrekte Entsprechung des L EBESGUEschen Maßes gelten kann. Für jede B ORELmenge B M ist dann M .B/ das „euklidische Volumen“ von B. Auf einer symplektischen Mannigfaltigkeit .M; / der Dimension 2n erhält man entsprechend das symplektische Volumen der B ORELmengen von M; indem man die symplektische Volumenform h
nC1 2
.1/ ! WD nŠ
i
n
verwendet.
G Produktmaße und iterierte Integrale Mit Hilfe des Satzes von C ARATHÉODORY definieren wir Produktmaße und skizzieren Beweise für die Sätze von F UBINI und T ONELLI. Dabei verzichten wir weitgehend auf die – teilweise etwas aufwendigen – Einzelheiten der Beweise und verweisen hierzu auf die Fachliteratur, hauptsächlich auf [27] und [59], da wir dem in diesen Werken gewählten modernen Aufbau der Theorie folgen. Seien .X; A; /; .Y; B; / zwei Maßräume und Z D X Y das kartesische Produkt der zu Grunde liegenden Mengen. Unser Ziel ist, auf Z ein Maß einzuführen, für das A B messbar ist, sofern A 2 A und B 2 B ist, und zwar mit dem Wert .A B/ D .A/.B/ :
(10.73)
Wenn dies gelingt, so folgt für jede -messbare Menge S Z .S /
1 X
.Ak /.Bk /
kD1
für je zwei Folgen .Ak /; .Bk / von -messbaren Mengen Ak X und -messbaren Mengen Bk Y; für die 1 [ .Ak Bk / S kD1
ist. Daher definieren wir ˇ ( 1 ) 1 ˇ X [ ˇ .Ak /.Bk / ˇAk 2 A; Bk 2 B; S .Ak Bk / .S / WD inf ˇ kD1
kD1
(10.74)
G Produktmaße und iterierte Integrale
339
für jedes S Z. Man rechnet mühelos nach, dass diese Mengenfunktion ein äußeres Maß ist. Wir können hierauf den Satz von C ARATHÉODORY (Theorem 10.7) anwenden und erhalten so auf der -Algebra A. / der -messbaren Mengen ein Maß . Definition 10.41. Das Maß ; welches von dem durch (10.74) definierten äußeren Maß erzeugt wird, heißt das Produktmaß von und und wird mit oder ˝ bezeichnet. Die -Algebra der . ˝ /-messbaren Mengen wird mit A ˝ B bezeichnet. Damit ist das gesetzte Ziel erreicht, denn es gilt: Satz 10.42. Sei D ˝ das Produktmaß. a. Ist A 2 A und B 2 B; so ist A B -messbar, und es gilt (10.73). Insbesondere umfasst A ˝ B die von System der „Rechtecke“ A B; A 2 A; B 2 B erzeugte -Algebra. b. Zu beliebigem S X Y gibt es ein -messbares T S mit .S / D .T /. Die Berechnung des Maßes von komplizierteren Teilmengen S X Y kann, wie gewohnt, mit Hilfe des Prinzips von C AVALIERI erfolgen. Allerdings benötigt man dazu eine harmlose Zusatzvoraussetzung, die wir zunächst einführen müssen. Definition 10.43. Ein Maßraum .Z; C; / (oder auch das Maß ) heißt -endlich, wenn es abzählbar viele -messbare Mengen E1 ; E2 ; : : : gibt, für die .Em / < 1 sowie 1 [ ZD Em mD1
ist. Kurz: ist -endlich, wenn sich Z als abzählbare Vereinigung von Mengen mit endlichem Maß schreiben lässt. Wenn und beide -endlich sind, so ist auch ˝ -endlich. Das liegt an (10.73) und der Tatsache, dass N N abzählbar ist (Beweis als Übung!) Theorem 10.44 (Prinzip von C AVALIERI). Wenn D ˝ -endlich ist (also insbesondere, wenn und beide -endlich sind), so gilt für jedes -messbare S X Y: a. Der „Querschnitt“ S.x/ WD fy 2 Y j .x; y/ 2 S g ist -messbar für -fast alle x 2 X . b. Der „Querschnitt“ S.y/ WD fx 2 X j .x; y/ 2 S g ist -messbar Y. Z für -fast alle y 2 Z .S.x// d.x/ D .S.y// d.y/ ; c. .S / D X
Y
wobei die Integranden auf den Nullmengen, wo sie nicht definiert sind, in beliebiger Weise ergänzt werden. Die Behauptung schließt die Messbarkeit der auftretenden Integranden ein.
340
10 Maß und Integral
Bemerkung: Mit Hilfe dieses Satzes kann man die Rechnung rigoros durchführen, mit der am Beginn von Abschn. 10D unsere Definition des Integrals motiviert wurde. Sei nämlich .X; A; / ein -endlicher Maßraum, und sei f 2 MC .A/ gegeben. Wir schreiben wieder Sf .y/ WD fx 2 X j f .x/ > yg für y 0. Die Menge G WD f.x; y/ 2 X R j 0 y < f .x/g ist dann ˝ 1 -messbar, denn sie ist die abzählbare Vereinigung der „Rechtecke“ Sf .r/ Œ0; r; wobei r die positiven rationalen Zahlen durchläuft. Die Querschnitte sind G.x/ D Œ0; f .x/Œ für x 2 X bzw. G.y/ D Sf .y/
für y 0 :
Das C AVALIERIsche Prinzip liefert also Z1
Z f .x/ d.x/ D . ˝ 1 /.G/ D X
.Sf .y// dy : 0
Wenn man das Integral auf irgendeine andere Art einführt, kann man die Formel also wieder herleiten, die in 10.19 zu seiner Definition herangezogen wurde. Wir können nun leicht die grundlegenden Resultate über den Umgang mit mehrfachen Integralen ableiten. Wir formulieren sie nur für zwei Variable, aber sie gelten sinngemäß auch für eine beliebige (endliche) Anzahl von Variablen. Dies kann man z. B. durch Induktion beweisen, und auf jeden Fall ist es eine rein technische Angelegenheit, für die keine neuen Ideen erforderlich sind. Theorem 10.45. Seien .X; A; / und .Y; B; / zwei -endliche Maßräume, und sei D ˝ . a. (F UBINI) Für f 2 MC .A ˝ B/ gilt 0 0 1 1 Z Z Z Z Z f d D @ f .x; y/ d.y/A d.x/ D @ f .x; y/ d.x/A d.y/ ; XY
X
Y
Y
X
wobei überall der Wert C1 möglich ist. Insbesondere ist f -summierbar genau dann, wenn eines der iterierten Integrale (und dann auch das andere!) endlich ausfällt. b. (F UBINI) Ist f W X Y ! C eine -summierbare Funktion, so gilt 0 0 1 1 Z Z Z Z Z @ f .x; y/ d.y/A d.x/ D f d D @ f .x; y/ d.x/A d.y/ : X
Y
XY
Y
X
G Produktmaße und iterierte Integrale
341
Die Behauptung schließt die Existenz der iterierten Integrale rechts und links ein. c. (T ONELLI) Sei f W X Y ! C eine A ˝ B-messbare Funktion. Wenn eines der iterierten Integrale 1 1 0 0 Z Z Z Z @ jf .x; y/j d.y/A d.x/ oder @ jf .x; y/j d.x/A d.y/ X
Y
Y
X
endlich ausfällt, so ist f 2 L1 .X Y; d / und damit Teil b. auf f und jf j anwendbar. Beweis. a. Ist f D E die charakteristische Funktion einer A ˝ B-messbaren Menge E; so ergibt sich die Behauptung direkt aus Theorem 10.44c., denn für die Querschnitte ist offenbar E.x/ .y/ D E .x; y/ D E.y/ .x/ : Für allgemeines f folgt sie dann aus der Reihenentwicklung (10.26) zusammen mit dem Satz von B EPPO L EVI (Korollar 10.25). b. und c. folgen mit Theorem 10.29c. durch Anwendung von Teil a. auf die Summanden der Zerlegung f D uC u C iv C iv . t u Bemerkung: Bei Teil b. dieses Theorems sollte man sich sorgfältig klarmachen, was die Formulierung „Existenz eines iterierten Genau genomR R Integrals“ bedeutet. men, bedeutet z. B. die Existenz von X Y f .x; y/ d.y/ d.x/ nämlich die folgenden beiden Dinge: • Für -fast alle x 2 X ist die Funktion f .x; R / -summierbar (insbes. -messbar). • Die -f. ü. definierte Funktion g.x/ WD Y f .x; y/ d.y/ ist (bei beliebiger Ergänzung auf der Nullmenge, wo sie nicht definiert ist) -summierbar. Bei genauem Hinsehen erkennt man aber, dass der skizzierte Beweis tatsächlich alle diese Aussagen liefert. Wir betrachten kurz noch den Spezialfall, wo und auf offenen Teilmengen ˝1 von Rn bzw. ˝2 von Rm gegeben sind. Offenbar ist ˝ dann ein Maß auf der offenen Teilmenge ˝1 ˝2 von RnCm . Satz 10.46. a. Das Produkt zweier B ORELmaße ist ein B ORELmaß. b. Das Produkt zweier R ADONmaße ist ein R ADONmaß. c. Das Produkt der L EBESGUEmaße ist das entsprechende L EBESGUEmaß, d. h. n ˝ m D nCm .
342
10 Maß und Integral
Beweis. a. Jede offene Teilmenge U von RnCm kann als Vereinigung von abzählbar vielen „Rechtecken“ U1 U2 dargestellt werden, wo U1 offen in Rn und U2 offen in Rm ist. Zum Beispiel kann man um jeden Punkt a D .a1 ; : : : ; an ; anC1 ; : : : ; anCm / 2 U; dessen sämtliche Koordinaten rationale Zahlen sind, den offenen Würfel W .a; ıa / WD fx j jxk ak j < ıa für k D 1; : : : ; n C mg mit ıa WD
inf
y2RnCm nU
kx ak1 legen. Das sind nur abzählbar viele Würfel, ihre
Vereinigung ist genau U; und jeder Würfel ist im obigen Sinne ein „Rechteck“. Die -Algebra B n ˝ B m enthält also alle offenen Mengen von RnCm und damit auch alle B ORELmengen. b. Ist ein R ADONmaß auf ˝1 Rn ; ein R ADONmaß auf ˝2 Rm ; so ist WD ˝ nach a. jedenfalls ein B ORELmaß auf ˝1 ˝2 RnCm . Seien pn ; pm die Projektionen RnCm ! Rn bzw. RnCm ! Rm (d. h. pn .x/ besteht aus den ersten n Komponenten, pm .x/ aus den letzten m Komponenten des Vektors x 2 RnCm ). Ist K ˝1 ˝2 kompakt, so sind auch K1 WD pn .K/ ˝1 und K2 WD pm .K/ ˝2 kompakt, und es ist K K1 K2 . Mit (10.73) folgt .K/ .K1 K2 / D .K1 /.K2 / < 1 : Somit hat die Eigenschaft (iii) aus Def. 10.36. Wir haben aber im Anschluss an diese Definition bemerkt, dass dies schon ausreicht, um als R ADONmaß zu erweisen. c. Das Maß n ˝ m hat die Eigenschaften (L1)–(L3), die nach Theorem 10.11 das L EBESGUE-Maß charakterisieren. Bedingung (L1) ergibt sich aus Theorem 10.44c., und (L2) ist klar nach (10.73). Für (L3) beachte man, dass n ˝ m jedenfalls ein R ADONmaß ist, so dass man die äußere und innere Regularität heranziehen kann. t u Schließlich geben wir mit Hilfe des Produktmaßes eine nahe liegende Verallgemeinerung von Satz 7.22 an, bei dem das Tensorprodukt von H ILBERTräumen vom Typ L2 konkret beschrieben wird. Wir führen den Beweis unter der Voraussetzung, dass die beteiligten H ILBERTräume separabel sind, was für die Anwendungen ausreicht (vgl. die Sätze 7.7 und 10.39). Teil a. des folgenden Satzes gilt zwar auch im nichtseparablen Fall, doch ist dies für uns von untergeordnetem Interesse. Satz 10.47. Seien .Mi ; Ai ; i /; i D 1; 2; -endliche Maßräume. a. Dann existiert ein eindeutig bestimmter isometrischer Isomorphismus O 2 .M2 ; 2 / ! L2 .M1 M2 ; 1 ˝ 2 / U W L2 .M1 ; 1 /˝L mit U.f ˝ g/ D h ;
wo h.x; y/ WD f .x/g.y/
(10.75)
G Produktmaße und iterierte Integrale
343
für f 2 L2 .M1 ; 1 /; g 2 L2 .M2 ; 2 /. Wir schreiben daher f ˝ g für die Funktion h D U.f ˝ g/. b. Ist .e m / eine Orthonormalbasis von L2 .M1 ; 1 /; .f n / eine Orthonormalbasis von L2 .M2 ; 2 /; so ist (10.76) fe m ˝ f n j m; n 2 Ng eine Orthonormalbasis von L2 .M1 M2 ; 1 ˝ 2 /. Beweis. b. Sei M D M1 M2 ; WD 1 ˝ 2 . Für zwei Funktionen f 2 L2 .M1 ; 1 / ;
g 2 L2 .M2 ; 2 /
gehört das Produkt h.x; y/ WD f .x/ g.y/
(10.77)
zu L2 .M; /; wie sofort aus dem Satz von F UBINI folgt. Ebenso folgt für Orthonormalbasen .e m / von L2 .M1 ; 1 / bzw. .f n / von L2 .M2 ; 2 /; dass hmn .x; y/ D e m .x/f n .y/ ;
m; n 2 N
(10.78)
ein Orthonormalsystem in L2 .M; / bilden. Wir bezeichnen es mit B und zeigen seine Vollständigkeit, indem wir zeigen, dass es maximal orthogonal ist, d. h. dass kein Vektor außer dem Nullvektor zu allen Elementen von B orthogo?
nal ist. Dann folgt nämlich LH.B/ D B? D f0g und somit LH.B/ D f0g? D L2 .M; /; wie gewünscht (Theorem 7.13b. und Lemma 7.12b.). Gelte also “ g.x; y/e m .x/f n .y/ d.1 ˝ 2 / D 0 8 m; n (10.79) M1 M2
für ein g 2 L2 .M; /. Dann müssen wir zeigen: g.x; y/ D 0
für -fast alle .x; y/ 2 M :
(10.80)
Aus (10.79) und dem Satz von F UBINI folgt zunächst für jedes feste m Z Z g.x; y/e m .x/ d1 .x/ f n .y/ d2 .y/ D 0 8n : M2
Da
R M1 2
M1
g.x; /e m .x/ d1 .x/ 2 L2 .M2 ; 2 / ist und da .f n / maximal orthogonal
in L .M2 ; 2 / ist, folgt Z g.x; y/e m .x/ d1 .x/ D 0 M1
für alle y 2 M2 n Nm00
(10.81)
344
10 Maß und Integral
00
wobei 2 Nm D 0 ist. Setzen wir N 00 D
[
Nm00 ;
m
so ist 2 .N 00 / D 0. Daher gilt (10.81) für alle y 2 M2 nN 00 und alle m 2 N. Nun ist auch .e m / maximal orthogonal in L2 .M1 ; 1 /. Also gibt es nach derselben Überlegung eine 1 -Nullmenge N 0 M1 ; so dass g.x; y/ D 0 für alle x 2 M1 n N 0 ;
y 2 M2 n N 00 ;
d. h. es gilt g.x; y/ D 0
für -fast alle .x; y/ 2 M;
was die Vollständigkeit des Orthonormalsystems B in L2 .M; / beweist. a. Wir nehmen nun an, dass L2 .M1 ; 1 / und L2 .M2 ; 2 / separabel sind, so dass sie entsprechende Orthonormalbasen fe m j m 2 Ng bzw. ff n j n 2 Ng besitzen (Satz 7.5). Für den Moment schreiben wir f g für die Funktion f .x/g.y/ auf M1 M2 . Setzen wir nun E WD LH.fe m ˝ f n j m; n 2 Ng/ ;
F WD LH.fe m f n j m; n 2 Ng/ ;
O 2 .M2 ; 2 / und so ist E nach Satz 7.21 ein dichter Teilraum von L2 .M1 ; 1 /˝L 2 F ist, wie oben gezeigt, ein dichter Teilraum von L .M; /. Definieren wir daher einen linearen Operator U W E ! F durch U.e m ˝ f n / WD e m f n ;
m; n 2 N ;
so ist U ein linearer isometrischer Operator, der nach Theorem 8.7 (BLETheorem) zu einem isometrischen Isomorphismus O 2 .M2 ; 2 / ! L2 .M; / U W L2 .M1 ; 1 /˝L fortgesetzt werden kann. Für U gilt Gl. (10.75), wie man durch Einsetzen der F OURIERentwicklungen von f und g nach den jeweiligen Orthonormalsystemen bestätigt. t u
Aufgaben zu Kap. 10 10.1. Sei X eine beliebige Menge. Welche der im Folgenden angegebenen Systeme J von Teilmengen von X sind -Algebren, welche nicht? Bestimmen Sie in jedem Fall auch die von J erzeugte -Algebra. a. b.
J D fX; ;g. J D fX; E; X n E; ;g; wobei E eine feste Teilmenge mit ; ¤ E ¤ X ist.
Aufgaben
345
c. X habe mindestens zwei Elemente, und ein festes Element a 2 X sei vorgegeben. Dann sei J das System aller Teilmengen, die a enthalten. 10.2. Sei .X; A; / ein Maßraum, und f; g W X ! R seien messbare Funktionen. Man zeige, dass die folgenden Mengen messbar sind: fx j f .x/ < g.x/g ; fx j f .x/ g.x/g ; fx j f .x/ D g.x/g ; fx j f .x/ ¤ g.x/g : 10.3. Jede offene Teilmenge U der reellen Geraden kann eindeutig als endliche oder abzählbar unendliche Vereinigung von disjunkten offenen Intervallen dargestellt werden, nämlich ihren Zusammenhangskomponenten. Wir bezeichnen mit `.U / die Gesamtlänge von U; d. h. die Summe der Längen der disjunkten Intervalle, aus denen U besteht. Für beliebige Mengen E R setzen wir nun .E/ WD inff`.U / j U offen ; U Eg : Man zeige: a. ist ein äußeres Maß auf R. b. Das von erzeugte Maß ist das L EBESGUEsche Maß 1 . 10.4. Es sei v 2 C 1 .R/ und v 0 0; so dass v als Integrator dienen kann. Man zeige: a. Für jedes stetige f auf einem kompakten Intervall Œa; b ist Zb
Zb f dv D
a
f .x/v 0 .x/ dx :
a
b. Das von v erzeugte L EBESGUE -S TIELTJES-Maß ist dv D v 0 dx; d. h. für jede B ORELmenge E 2 B 1 gilt Z v .E/ D v 0 .x/ dx : E
10.5. a. Es sei v.x/ D 0 für x < 0; v.x/ D 1 für x > 0 und v.0/ D y0 mit irgendeinem y0 2 Œ0; 1. Man zeige, dass v dann das D IRACmaß im Nullpunkt ist. b. Nun sei v W R ! R eine monoton wachsende stückweise glatte Funktion mit endlich vielen Sprungstellen. Das heißt es gibt endlich viele Punkte 1 D 0 < 1 < 2 < < m < mC1 D C1; für die hk WD v.k C 0/ v.k 0/ > 0 ist (1 k m), und in den offenen Intervallen k ; kC1 Œ; k D 0; 1; : : : ; m ist v stetig differenzierbar. Man beschreibe das entsprechende L EBESGUE S TIELTJES-Maß v .
346
10 Maß und Integral
10.6. Es seien v; w W Œa; b ! R zwei stetige und monoton wachsende Funktionen. Man zeige: Zb Zb w dv D v.b/w.b/ v.a/w.a/ v dw : a
a
(Hinweis: Man betrachte für beide Integrale die approximierenden Summen (10.16) in Bezug auf dieselben Teilpunkte tk ; aber bei der einen mit den Stützstellen sk D tk ; bei der anderen mit sk D tk1 . Was passiert bei Addition dieser Summen?) 10.7. Es sei J das System aller Intervalle 1; x; x 2 R. Man zeige: a. Jedes offene Intervall und sogar jede offene Teilmenge von R lässt sich durch Bildung von Komplementen, abzählbaren Vereinigungen und abzählbaren Durchschnitten aus Mengen des Systems J konstruieren. Man beachte dabei: Jede offene Menge ist abzählbare Vereinigung von offenen Intervallen, nämlich ihren Zusammenhangskomponenten. b. Die von J erzeugte -Algebra ist B 1 . c. Zwei B ORELmaße 1 ; 2 auf R stimmen überein, wenn 1 .1; x/ D 2 .1; x/
8x 2 R
ist. 10.8. Wir wollen in unserem allgemeinen Rahmen die gängigen Rechenregeln über Integrale mit Parameter herleiten. Dazu betrachten wir einen Maßraum .X; A; /; einen metrischen Raum P (z. B. eine Teilmenge eines normierten linearen Raums) und eine Funktion f W X P ! K ; bei der die Funktionen f .; / für jedes feste 2 P messbar sind. Wir setzen Z J. / WD f .x; / d.x/ für jedes 2 P; für das das Integral existiert. Man zeige: a. Angenommen, es gilt: (i) (ii)
Für -fast alle x 2 X ist die Funktion f .x; / stetig in P; und zu jedem Punkt 0 2 P gibt es eine Umgebung U. 0 / und eine summierbare Funktion g 0 so, dass jf .x; /j g.x/
-f. ü.
für alle 2 U. 0 /. Dann ist J auf ganz P definiert und stetig. (Hinweis: Für eine Folge k ! 0 betrachte man die Funktionen fk .x/ WD f .x; k /.)
Aufgaben
347
b. Speziell sei P ein offenes Intervall. Angenommen, es gilt: (i) (ii)
Für -fast alle x 2 X ist die Funktion f .x; / stetig differenzierbar in P; und zu jedem Punkt 0 2 P gibt es eine Umgebung U. 0 / und zwei summierbare Funktionen g 0; h 0 so, dass ˇ ˇ ˇ ˇ@ ˇ -f. ü. jf .x; /j g.x/ ; ˇ f .x; /ˇˇ h.x/ @
für alle 2 U. 0 /.
Dann ist J auf ganz P stetig differenzierbar, und es gilt Z @f 0 .x; / d.x/ 8 2 P : J . / D @
(Hinweis: Man benutze das Produktmaß ˝ 1 sowie die für stetiges gültige R Formel dd 0 . / d D . /.) c. Speziell sei P nun ein Gebiet in Rn ; ferner m 2 N. Angenommen, es gilt: (i) (ii)
Für -fast alle x 2 X ist die Funktion f .x; / m-mal stetig differenzierbar in P; und zu jedem Punkt 0 2 P gibt es eine Umgebung U. 0 / und -summierbare Funktionen g˛ 0; j˛j m; so, dass jD˛ f .x; /j g˛ .x/
-f. ü.
für alle 2 U. 0 /. Dann ist J 2 C m .P /; und für jeden Multiindex ˛ mit j˛j m gilt Z ˛ D J. / D D˛ f .x; / d.x/ : (Hinweis: Man benutze b. und Induktion nach m.) d. Speziell sei P nun ein Gebiet in der komplexen Ebene C. Angenommen, es gilt: (i) (ii)
Für -fast alle x 2 X ist die Funktion f .x; / holomorph in P; und zu jedem Punkt 0 2 P gibt es eine Umgebung U. 0 / und eine summierbare Funktion g 0 so, dass jf .x; /j g.x/
-f. ü.
für alle 2 U. 0 /. Dann ist J auf ganz P holomorph, und für alle m 2 N0 gilt Z m @ J .m/ . / D f .x; / d.x/ : @ m
348
10 Maß und Integral
(Hinweis: Man arbeite wie in Teil b. mit iterierten Integralen, benutze dazu aber die C AUCHYschen Integralformeln für die Funktionen f .x; / und deren Ableitungen.) 10.9. Sei .X; A; / ein Maßraum und H ein separabler H ILBERTraum. Wir betrachten H -wertige Funktionen auf X; also Abbildungen f W X ! H . Solch eine Funktion heißt schwach messbar, wenn für jedes v 2 H die skalare Funktion hf .x/jvi messbar ist. Zwei schwach messbare Funktionen f; g gelten als äquivalent, wenn f .x/ D g.x/ -f. ü. Man zeige: a. Ist f schwach messbar, so ist die Funktion ˛.x/ WD kf .x/k messbar. (Hinweis: PARSEVALsche Gleichung!) b. Die Äquivalenzklassen Œf der schwach messbaren Funktionen f; für die Z kf .x/k2 d.x/ < 1 ist, bilden mit dem Skalarprodukt Z hf j gi WD
hf .x/ j g.x/i d.x/
einen H ILBERTraum. (Die Vollständigkeit darf dabei ohne Beweis akzeptiert werden.) Man bezeichnet ihn mit L2H ./. c. Durch ! m m X X U0 'i ˝ vi D 'i vi i D1
i D1
ist eine isometrische lineare Abbildung U0 W L2 ./ ˝ H ! L2H ./ definiert. Dabei ist mit 'i vi die Funktion x 7! 'i .x/vi gemeint. Das Bild R.U0 / ist der Raum aller f 2 L2H ./; deren Wertebereich in einem endlich-dimensionalen Unterraum von H enthalten ist. (Hinweis: Wir schreiben L0 WD ff 2 L2H ./ j dim LH.f .X // < 1g und ordnen jedem f 2 L0 die reell bilineare Form Z Bf .g; w/ WD g.x/hw j f .x/i d.x/ ; g 2 L2 ./ ; w 2 H zu. Man zeige, dass durch V0 f D Bf dann eine lineare Bijektion V0 W L0 ! L2 ./ ˝ H gegeben ist. Man betrachte U0 WD V01 .) d. U0 lässt sich eindeutig fortsetzen zu einem isometrischen Isomorphismus O ! L2H ./ : U W L2 ./˝H
Kapitel 11
Distributionen und temperierte Distributionen
Die von P. A. M. D IRAC eingeführte „Delta-Funktion“ ı W Rn ! R sollte folgende Eigenschaften haben: ( Z 0 für x 6D 0; ı.x/ D ı.x/'.x/ dn x D '.0/ (11.1) ; C1 für x D 0 Rn
für jede stetige Funktion ' W Rn ! R. Nach der L EBESGUEschen Theorie ist aber ı.x/ fast überall D 0; und daher ist auch ı.x/'.x/ eine Nullfunktion, so dass nach Satz 10.20c. Z ı.x/'.x/ dn x D 0 Rn
für alle ' 2 L .R / sein muss. Selbst wenn man nur die Integraleigenschaft haben will, funktioniert dies nicht (vgl. Satz 11.2 unten). ı kann daher nicht sinnvoll als Funktion auf dem Rn aufgefasst werden, sondern ist eine „verallgemeinerte Funktion“ oder Distribution. Solche Distributionen sind stetige lineare Funktionale auf gewissen Funktionenräumen, deren Elemente man Testfunktionen nennt (Abschn. A). Die Idee ist, dass zur Beschreibung der Verteilung (= distribution) einer physikalischen Größe wie etwa Masse oder Ladung nicht nur Dichtefunktionen .x/ herangezogen R werden können, sondern auch allgemeinere Objekte, für die Integrale der Form .x/'.x/ dn x sinnvoll sind, obwohl die Werte .x/ an einzelnen Punkten nicht wohldefiniert sind. Genau genommen, sind die Äquivalenzklassen, aus denen die Lp -Räume bestehen, schon solche Objekte, aber es gibt noch viele andere, wie das Beispiel der Deltafunktion zeigt. Um eine mathematisch rigorose Theorie aufzubauen, die diesen Gedankengang realisiert, betrachtet man RAbbildungen ' 7! T .'/; die sich in vieler Hinsicht so verhalten wie T .'/ WD .x/'.x/ dn x es tut, wenn eine echte Funktion ist. Solche Funktionale T sind Distributionen, und man kann sich eine Testfunktion ' als ein Messgerät oder eine Sonde vorstellen, mit der die betreffende Verteilung einer physikalischen Gegebenheit untersucht wird und den Wert T .'/ als das Messergebnis. Zumeist möchte man dabei natürlich Auskunft über die physikalischen 1
n
K.-H. Goldhorn, H.-P. Heinz, M. Kraus, Moderne mathematische Methoden der Physik DOI 10.1007/978-3-540-88544-3, © Springer 2009
349
350
11 Distributionen und temperierte Distributionen
Gegebenheiten in einem u. U. sehr eng begrenzten räumlichen oder zeitlichen Bereich bekommen und benötigt daher Sonden, die nur in solch einem kleinen Bereich mit dem System wechselwirken. Daher ist es nicht verwunderlich, dass die brauchbaren Testfunktionen außerhalb einer kompakten Menge verschwinden oder doch im Unendlichen sehr schnell abklingen. Räume von brauchbaren Testfunktionen sowie dazu passende Konvergenzbegriffe werden wir in Abschn. A diskutieren. In Abschn. B werden dann Distributionen und sog. temperierte Distributionen systematisch eingeführt – das sind Distributionen, die im Unendlichen nicht allzu schnell anwachsen, und sie spielen eine Sonderrolle, weil man die F OURIERtransformation nur für diesen Typ von Distributionen sinnvoll erklären kann. In den weiteren Abschnitten werden dann Distributionen und temperierte Distributionen weitgehend parallel diskutiert: Wir klären die Beziehung zwischen Distributionen und punktweise (oder doch fast überall) definierten Funktionen genau, wir untersuchen, inwieweit Distributionen lokalisiert werden können, diskutieren kurz Distributionen mit kompaktem Träger, besprechen geeignete Konvergenzbegriffe für Folgen und Reihen von (temperierten) Distributionen und übertragen schließlich eine Reihe von wichtigen Rechenoperationen wie Variablensubstitution, Differentiation und F OURIERtransformation auf Distributionen. Weitere wichtige Rechenoperationen wie das Tensorprodukt und die Faltung von Distributionen werden wir im übernächsten Kapitel behandeln, während das nächste Kapitel in erster Linie expliziten Beispielen gewidmet sein wird.
A Testfunktionen In diesem Kapitel sei ˝ stets eine offene Teilmenge von Rn ; typischerweise ein Gebiet. Wir beginnen R mit der Einführung der größten Funktionenklasse, für die Integrale der Form ˝ f .x/'.x/ dx sinnvoll gebildet werden können, wenn ' eine stetige Funktion mit kompaktem Träger ist: Definition 11.1. Eine Funktion f W Rn ! C heißt lokal integrierbar, geschrieben f 2 L1loc .˝/; wenn Z jf .x/j dn x < 1 für jede kompakte Menge K Rn : (11.2) K
Der Vektorraum L1loc .˝/ besteht aus den Äquivalenzklassen Œf von lokal integrierbaren Funktionen f; wobei zwei derartige Funktionen f; g als äquivalent gelten, wenn f .x/ D g.x/ f. ü. in ˝. Wir können nun das Argument präzisieren, mit dem in der Einleitung begründet wurde, dass eine echte Funktion mit den Eigenschaften der Deltafunktion nicht existieren kann:
A Testfunktionen
351
Satz 11.2. Es gibt keine lokal integrierbare Funktion ı 2 L1loc .Rn / mit Z ı.x/'.x/ dn x D '.0/
.11:1/
Rn
für alle C 1 -Funktionen ' mit kompaktem Träger. Beweis. Sei ' eine C 1 -Funktion, die für jxj > R verschwindet, und sei M WD maxjxjR j'.x/j. Wir betrachten die Funktionenfolge .'k /; wobei 'k .x/ WD '.kx/. Alle 'k verschwinden außerhalb von K WD BR .0/; es ist limk!1 'k .x/ D 0 für alle x ¤ 0; und wir haben die integrierbare Majorante M jıjK . Der Satz über dominierte Konvergenz ergibt daher Z ı.x/'k .x/ dn x ! 0 für k ! 1 : R Nach (11.1) ist aber ı.x/'k .x/ dn x D 'k .0/ D '.0/ für alle k. Es folgt '.0/ D 0. Aus der Existenz einer lokal integrierbaren Funktion ı mit der angegebenen Eigenschaft würde also folgen, dass alle C 1 -Funktionen mit kompaktem Träger im Nullpunkt verschwinden müssen, was absurd ist. t u Man sieht also, dass es angebracht ist, den Bereich der lokal integrierbaren Funktionen in der Weise zu erweitern, die in der Einleitung angedeutet wurde. Es folgt die Definition der wichtigsten Räume von Testfunktionen und die Beschreibung der zugehörigen Konvergenzbegriffe. Für differenzierbare Funktionen auf ˝ verwenden wir durchweg die bekannte Multiindex-Schreibweise: @j˛j f D f D ˛1 ˛2 D @x1 @x2 @xn˛n
˛
@ @x1
˛1
@ @xn
˛n f
(11.3)
für ˛ D .˛1 ; : : : ; ˛n / 2 Nn0 ; wobei j˛j WD ˛1 C C ˛n ; x˛ D
n Y
˛
xj j ;
x D .x1 ; : : : ; xn / 2 Rn ;
(11.4) (11.5)
j D1
˛Š D
n Y
˛j Š :
(11.6)
j D1
Schließlich bezeichnen wir mit j j immer die euklidische Norm auf Rn ; also jxj WD
n X kD1
!1=2 xk2
für x D .x1 ; : : : ; xn / 2 Rn :
(11.7)
352
11 Distributionen und temperierte Distributionen
Definitionen 11.3. a. D.˝/ D Cc1 .˝/ ist der C-Vektorraum der finiten Testfunktionen in ˝; d. h. der C 1 -Funktionen ' in ˝; deren Träger Tr ' eine kompakte Teilmenge von ˝ ist. (Man beachte Def. 10.38 und die daran anschließende Erläuterung!) D.˝/ ist versehen mit folgendem Konvergenzbegriff: 'm ! ' ;
m ! 1
D
(11.8)
wenn es eine kompakte Menge K Rn gibt, so dass 1 Tr 'm K für alle m 2 N sowie 2 D ˛ 'm ! D ˛ ' gleichmäßig auf ˝ für alle Multiindizes ˛. b. S Sn ist der C-Vektorraum der schnell fallenden Testfunktionen, d. h. der C 1 -Funktionen ' auf ganz Rn ; bei denen die Funktion x ˛ D ˇ '.x/ für zwei beliebige Multiindizes ˛; ˇ beschränkt bleibt. Er ist versehen mit folgendem Konvergenzbegriff (11.9) 'm ! ' ; m ! 1 S
genau dann, wenn für alle Multiindizes ˛; ˇ x ˛ D ˇ 'm .x/ ! x ˛ D ˇ '.x/
(11.10)
gleichmäßig auf ganz Rn . In a. sichert die Bedingung 1 ; dass die Grenzfunktion ' wieder kompakten Träger hat, während 2 sichert, dass ' 2 C 1 .Rn / ist. In b. kann man die Gewichtsfunktionen x ˛ auch durch beliebige Polynome P .x/ in n Variablen ersetzen oder auch – was meist besonders bequem ist – durch Polynome von beliebig hohem Grad, die überall 1 sind. Wir formulieren dies genauer: Lemma 11.4. Folgende Bedingungen sind äquivalent: a. 'm ! ' ; S
m ! 1 ;
.11:9/
b. Für jedes k 2 N0 und jeden Multiindex ˛ gilt .1 C jxj2 /k D ˛ 'm .x/ ! .1 C jxj2 /k D ˛ '.x/ : glm:
(11.11)
Der Beweis dieser Aussage ist eine leichte Übung. In dem folgenden Satz sind für ˝ D Rn einige Beziehungen zwischen den beiden Arten von Testfunktionen zusammengefasst. Satz 11.5. a. D.Rn / ¤ Sn .
A Testfunktionen
353
b. Gilt 'm ! '; so gilt 'm ! '. D
S
c. D.Rn / liegt dicht in Sn ; d. h. zu jedem ' 2 Sn gibt es eine Folge von Funktionen 'm 2 D.Rn / mit 'm ! ' : S
Die Beweise für a. und b. sind leichte Übungen. Den etwas technischen Beweis von c. werden wir im Anschluss an Lemma 11.8 skizzieren. Zunächst müssen wir jedoch untersuchen, in welchem Umfang überhaupt geeignete Testfunktionen zur Verfügung stehen. Dazu erinnern wir an das Faltungsprodukt von Funktionen auf Rn (vgl. etwa [36], Kap. 33): Definition 11.6. Zwei messbare Funktionen f; g W Rn ! C heißen faltbar, wenn Z H.x/ WD jf .x y/g.y/j dn y Rn
fast überall endlich ist. In diesem Fall ist Z Z h.x/ WD f .x y/g.y/ dn y D f .y/g.x y/ dn y Rn
(11.12)
Rn
f. ü. definiert, und diese Funktion heißt das Faltungsprodukt f g oder kurz die Faltung von f und g. Eigenschaften und Anwendungen des Faltungsprodukts bilden ein hochinteressantes Thema der Analysis (vgl. z. B. [78, 79, 106]), von dem wir jetzt nur das zusammenstellen, was wir unmittelbar benötigen: Theorem 11.7. a. Ist f 2 L1loc .Rn / und ' 2 Cc .Rn /; so sind f; ' faltbar und ' f ist stetig. b. Ist f 2 L1loc .Rn / und sogar ' 2 D.Rn /; so ist ' f 2 C 1 ; und für alle Multiindizes ˛ gilt D ˛ .' f / D D ˛ ' f : R c. Sei f W Rn ! C stetig und ' 2 L1 .Rn / mit Rn ' dn x D 1 und ' 0 außerhalb einer Kugel BR .0/. Dann sind '; f faltbar, und für '" .x/ WD "n '.x="/ gilt f .x/ D lim .'" f /.x/ "!0C
gleichmäßig auf kompakten Mengen.
354
11 Distributionen und temperierte Distributionen
Beweis. a. und b. folgen sofort aus den bekannten Rechenregeln für Integrale mit Parameter (vgl. etwa [36], Kap. 28 oder auch unsere Aufgabe 10.8). c. Die Faltbarkeit ist klar. Seien x0 2 Rn und > 0 gegeben. Dann wähle ı > 0 so klein, dass jf .x/ f .x0 /j < =k'k1 für x 2 Uı .x0 / : R R Offenbar ist '" dn x D 1 und j'" j dn x D k'k1 für alle " (Substitution y D x=" !). Für 0 < " ı=R ergibt sich daher ˇZ ˇ Z ˇ ˇ n n ˇ ˇ j.'" f /.x0 / f .x0 /j D ˇ '" .y/f .x0 y/ d y '" .y/f .x0 / d y ˇ ˇ ˇ ˇ Z ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ Dˇ '" .y/Œf .x0 y/ f .x0 / dn y ˇ ˇ ˇ ˇ jyj"R ˇ Z Z n j'" .y/j jf .x0 y/ f .x0 /j d y < j'" j dn y D ; k'k1 jyj"R
und dies bedeutet f .x0 / D lim"!0C .'" f /.x0 /. Die gleichmäßige Stetigkeit von f auf kompakten Mengen sorgt dafür, dass diese Konvergenz auf kompakten Mengen gleichmäßig ist. t u Mit Hilfe der Faltung kann man sozusagen maßgeschneiderte Testfunktionen konstruieren. Dabei geht man meist von der schon aus (4.1) bekannten speziellen Testfunktion aus, die nur um einen skalaren Faktor abgeändert wird. Wir betrachten nämlich ( e1=t für t > 0 ; 1 2 (11.13) .x/ WD C h0 .1 jxj / mit h0 .t/ WD 0 für t 0 ; Z
wobei C WD
h0 .1 jxj2 / dn x :
(11.14)
Man sieht, dass .x/ > 0 für jxj < 1; .x/ D 0 für jxj 1. Insbesondere ist Tr D B1 .0/ :
(11.15)
Die Wahl von C sorgt schließlich dafür, dass Z dn x D 1 :
(11.16)
B Distributionen
355
Lemma 11.8. Zu kompaktem K ˝ gibt es 2 D.˝/ mit 1 auf K und 0 1 auf ganz ˝. (Man bezeichnet solch ein als „glatte Abschmierfunktion“.) Beweis. Wir verwenden die Bezeichnungen aus dem Beweis von Satz 10.39 und setzen ı WD min d.x; Rn n ˝/ ; L WD Uı=2 .K/ : x2K
Mit der Funktion aus (11.13) und 0 < " < ı=2 setzen wir WD " L mit
" .x/ WD "n .x="/ :
Wir haben also 2 C
(11.17)
1
nach Theorem 11.7, und die explizite Darstellung Z n .x/ D " .y="/L .x y/ dn y jyj"
lässt wegen (11.16) erkennen, dass 0 .x/ 1 für alle x; dass 1 auf K und dass 0 auf der offenen Menge fx j d.x; L/ > "g. Wegen " < ı=2 folgt hieraus t u Tr Uı=2 .L/ ˝. Bemerkung: Um Satz 11.5c. zu beweisen, wählt man eine glatte Abschmierfunktion 2 D.Rn / mit 1 auf B1 .0/ und betrachtet bei gegebenem f 2 Sn die Folge 'm .x/ WD .x=m/f .x/ : Offenbar ist 'm 2 D.Rn /; und wir haben die punktweise Konvergenz 'm .x/ ! f .x/ für m ! 1. Um nachzuweisen, dass sogar die Konvergenz 'm ! f im S
Sinne von (11.10) besteht, bedarf es einiger technischer Abschätzungen, die wir übergehen. Der folgende Satz ist von fundamentaler Bedeutung: Theorem 11.9. Für 1 p < 1 ist D.˝/ dicht in Lp .˝/. Beweis. Der Beweis verläuft exakt wie der Beweis von Satz 10.39, außer dass Lemma 11.8 die Stelle der dortigen Behauptung (A) einnimmt. t u
B Distributionen Die Räume D.˝/ und Sn sind sogenannte topologische Vektorräume, d. h. Vektorräume mit einem Konvergenzbegriff. Man beachte, dass D.˝/ und Sn weder normierte Räume noch metrische Räume sind. Trotzdem kann man die Stetigkeit von linearen Funktionalen, die auf diesen Räumen definiert sind, durch das Folgenkriterium beschreiben. Deshalb definieren wir:
356
11 Distributionen und temperierte Distributionen
Definition 11.10. Sei V ein topologischer Vektorraum über K. Eine Abbildung T W V ! K heißt ein stetiges lineares Funktional auf V; wenn a. T .c1 '1 C c2 '2 / D c1 T .'1 / C c2 T .'2 / für alle 'i 2 V; ci 2 K; b. 'm ! ' H) T .'m / ! T .'/ : V
0
Der K-Vektorraum V der stetigen linearen Funktionale auf V (punktweise Addition und Skalarmultiplikation!) heißt der topologische Dualraum zu V . Bemerkung: In der mathematischen Literatur wird Eigenschaft 11.10b. als Folgenstetigkeit bezeichnet, und für allgemeine topologische Vektorräume ist dies eine schwächere Forderung als die Stetigkeit selbst. Wir erlauben uns hier eine Abweichung von der üblichen Sprechweise, weil es bei den uns interessierenden Räumen keinen Unterschied macht. Distributionen sind nun einfach die Elemente von .D.˝//0 D0 .˝/ bzw. Sn0 ; d. h. stetige lineare Funktionale auf Räumen von Testfunktionen. Definitionen 11.11. a. Die Elemente T 2 D0 .˝/; d. h. die stetigen linearen Funktionale T W D.˝/ ! C heißen Distributionen in ˝. b. Die Elemente T 2 Sn0 ; d. h. die stetigen linearen Funktionale T W Sn ! C heißen temperierte Distributionen. c. Eine (temperierte) Distribution T heißt regulär, wenn es ein f 2 L1loc .˝/ gibt, so dass Z T .'/ D f .x/ '.x/ dn x (11.18) ˝
für alle ' 2 D.˝/ (bzw. ' 2 Sn ). Man nennt dann T die von f erzeugte reguläre (temperierte) Distribution und schreibt T Œf :
(11.19)
Gibt es kein solches f 2 L1loc .˝/; so dass (11.18) gilt, so heißt T eine singuläre Distribution. d. Schreibweise: hT; 'i D T .'/ ; T 2 D0 .˝/ ; ' 2 D.˝/
(11.20) T 2 Sn0 ; ' 2 Sn : R Bemerkungen: (i) Zuweilen schreibt man auch ˝ T .x/'.x/ dn x; auch wenn es sich um eine singuläre Distribution handelt. Das ist natürlich nur eine symbolische Schreibweise für hT; 'i. Sie ist hauptsächlich dann praktisch, wenn mehrere Variable im Spiel sind, da aus ihr hervorgeht, auf welche Variable die Distribution T wirkt bzw.
B Distributionen
357
(d. h. von welcher Variablen die Testfunktionen abhängen, auf die T wirkt). Diese Situation werden wir hauptsächlich in Abschn. G und später in Kap. 13 antreffen. (ii) Jede temperierte Distribution T ist tatsächlich eine Distribution im Sinne von Def. 11.11a., denn nach Einschränkung auf D.Rn / ergibt T ein stetiges lineares Funktional auf D.Rn /; wie Satz 11.5b. zeigt. Wegen Satz 11.5c. ist T 2 Sn0 durch seine Einschränkung auf D.Rn / auch eindeutig bestimmt, d. h. verschiedene stetige lineare Funktionale auf Sn ergeben auch verschiedene Distributionen. Beim Nachweis, dass ein gegebener Ausdruck eine (temperierte) Distribution definiert, ist die Linearität i. A. kein Problem. Um die Stetigkeit nachzuprüfen, ist es meist praktisch, die folgenden Abschätzungen zu verwenden: Satz 11.12. a. Für ' 2 D.˝/; m 2 N0 und eine kompakte Teilmenge K ˝ sei pm;K .'/ WD max max jD ˛ '.x/j : j˛jm x2K
(11.21)
Dann gilt: Ein lineares Funktional T W D.˝/ ! C ist genau dann eine Distribution, wenn es zu jeder kompakten Teilmenge K ˝ ein C 0 und ein m 2 N0 gibt, so dass jhT; 'ij Cpm;K .'/ 8 ' 2 D.˝/ mit Tr ' K :
(11.22)
b. Für ' 2 Sn und m 2 N0 sei qm .'/ WD max sup .1 C jxj2 /m jD ˛ '.x/j : j˛jm x2Rn
(11.23)
Dann gilt: Ein lineares Funktional T W Sn ! C ist genau dann eine temperierte Distribution, wenn es ein C 0 und ein m 2 N0 gibt, so dass jhT; 'ij C qm .'/
8 ' 2 Sn :
(11.24)
Beweis. Wir führen nur den Nachweis, dass die angegebenen Bedingungen für die Stetigkeit der linearen Funktionale hinreichend sind. Dass die Bedingungen auch notwendig sind, beweist man durch Widerspruch. Da die Notwendigkeit aber für uns von untergeordnetem Interesse ist, verzichten wir diesbezüglich auf Einzelheiten. a. Angenommen, 'k ! ' für k ! 1. Dann gibt es ein kompaktes K ˝ so, D
dass Tr 'k ; Tr ' K. Zu K wählen wir C; m gemäß der Bedingung aus a. Es ist auch Tr .'k '/ K für alle k; also nach (11.22) jhT; 'k i hT; 'ij D jhT; 'k 'ij Cpm;K .'k '/ ; und wegen der gleichmäßigen Konvergenz aller Ableitungen (vgl. 11.3a.) geht das für k ! 1 gegen Null. Also ist hT; 'i D limk!1 hT; 'k i; wie verlangt. b. Sei nun T W Sn ! C ein lineares Funktional, welches (11.24) für ein C 0 und ein m 2 N0 erfüllt. Gelte 'k ! ' ; S
k ! 1 :
358
11 Distributionen und temperierte Distributionen
Nach 11.3b. und (11.23) gilt dann qm .'k '/ ! 0
für k ! 1 ;
und daraus folgt nach (11.24) jhT; 'k i hT; 'ij C qm .'k '/ ! 0
für k ! 1 .
Das bedeutet aber, dass T stetig bezüglich der S-Konvergenz ist, d. h. T 2 Sn0 . t u Beispiel: Für x0 2 ˝ ist ıx0 W D.˝/ ! C mit hıx0 ; 'i WD '.x0 /
(11.25)
eine singuläre Distribution, die sogenannte Delta-Distribution am Punkt x0 . Denn ıx0 ist sicher ein lineares Funktional, und wegen jhıx0 ; 'ij max j'.x/j x2˝
haben wir für jedes kompakte K auch (11.22) mit m D 0 ; C D 1. Also ist ıx0 eine Distribution. Dass diese Distribution nicht regulär ist, ist gerade die Aussage von Satz 11.2. Die Distributionsmengen D0 .˝/ und Sn0 sind Vektorräume, d. h. Linearkombinationen von (temperierten) Distributionen sind wieder (temperierte) Distributionen. Die Analogie zwischen Funktionen und Distributionen hat aber ihre Grenzen. Insbesondere können Produkte von Distributionen i. A. nicht sinnvoll definiert werden. Jedoch ist Folgendes möglich: Satz 11.13. Ist T 2 D0 .˝/ und f 2 C 1 .˝/; so wird durch hf T; 'i WD hT; f 'i ;
' 2 D.˝/
(11.26)
eine Distribution f T 2 D0 .˝/ definiert. Beweis. Ist ' 2 D.˝/; so ist auch f ' 2 D.˝/; also definiert (11.26) auf jeden Fall ein lineares Funktional auf D.˝/. Seine Stetigkeit folgt sofort aus der von T; sobald gezeigt ist, dass 'k ! ' H) f 'k ! f ' : D
D
./
Hierzu benötigt man die L EIBNIZ-Regel (also die Produktregel für höhere Ableitungen – vgl. etwa [36], Ergänzungen zu Kap. 9). Sie besagt D ˛ .f '/ D
X ˇ C D˛
˛Š ˇ D f D ' : ˇŠ Š
(11.27)
Nun sei 'k ! ' für k ! 1. Dann liegen Tr ' und die Träger aller 'k in einer D
kompakten Menge K ˝; und für alle m ist limk!1 pm;K .'k '/ D 0; wobei
C Reguläre Distributionen
359
pm;K durch (11.21) definiert ist. Offenbar ist Tr f 'k Tr 'k K und ebenso Tr f ' K. Da die D ˇ f stetig sind, haben wir endliche Maxima Mˇ WD max jD ˇ f .x/j < 1 ; x2K
und damit ergibt die L EIBNIZ-Regel für jeden Multiindex ˛: X ˛Š Mˇ max jD .'k .x/ '.x//j max jD ˛ .f 'k f '/j x2K x2K ˇŠ Š ˇ C D˛
C˛ pmK .'k '/ t u
mit festem C˛ > 0. Damit ergibt sich ./.
Um eine analoge Aussage für temperierte Distributionen machen zu können, benötigen wir weitere Funktionenklassen: Definitionen 11.14. a. Eine L EBESGUE-messbare Funktion f W Rn ! C heißt von polynomialem Wachstum, wenn es Konstanten C 0 und m 2 N0 gibt, so dass jf .x/j C.1 C jxj2 /m
8 x 2 Rn :
(11.28)
Wir schreiben dann: f 2 Pn . b. Die Klasse Pn1 besteht aus allen f 2 C 1 .Rn /; so dass zu jedem Multiindex ˛ Konstanten C D C.˛/ 0; m D m.˛/ 2 N0 existieren mit jD ˛ f .x/j C.1 C jxj2 /m
8 x 2 Rn ;
(11.29)
d. h. die Funktion f und alle ihre Ableitungen sind von polynomialem Wachstum. Satz 11.15. Ist T 2 Sn0 und f 2 Pn1 ; so wird durch hf T; 'i WD hT; f 'i ;
' 2 Sn
(11.30)
eine temperierte Distribution f T 2 Sn0 definiert. Der Beweis verläuft ganz ähnlich wie beim vorigen Satz. Insbesondere spielt die L EIBNIZregel wieder die entscheidende Rolle (Übung!).
C Reguläre Distributionen Zunächst untersuchen wir, welche Funktionen f auf die in Def. 11.11c. beschriebene Weise zu Distributionen bzw. zu temperierten Distributionen führen.
360
11 Distributionen und temperierte Distributionen
Satz 11.16. a. Für jede Funktion f 2 L1loc .˝/ wird durch Z hŒf ; 'i WD f .x/'.x/ dn x ;
' 2 D.˝/
(11.31)
˝
eine Distribution Œf 2 D0 .˝/ definiert. b. Jede Funktion f 2 Pn ; d. h. von polynomialem Wachstum, erzeugt gemäß Z hŒf ; 'i WD f .x/'.x/ dn x ; ' 2 Sn (11.32) Rn
eine reguläre temperierte Distribution Œf 2 Sn0 . Beweis. a. Dass das Integral in (11.31) für jedes ' 2 D.˝/ existiert und ein lineares Funktional definiert, ist nach Def. 11.1 klar, weil jedes ' 2 D.˝/ kompakten Träger hat. Ist K ˝ kompakt und Tr ' K; so folgt Z jf .x/j dn x D Cp0;K .'/ jhŒf ; 'ij max j'.x/j x2K
K
R
mit C WD K jf j dn x < 1. Nach Satz 11.12a. ist Œf also eine Distribution. b. Wenn f 2 Pn ist, so gibt es nach Definition 11.14a. Konstanten C 0; m 2 N0 ; so dass jf .x/j C.1 C jxj2 /m ; x 2 Rn : R Nun ist bekanntlich Rn .1 C jxj2 /k dn x < 1 für k > n=2; wie man durch Transformation auf Polarkoordinaten erkennt (vgl. etwa [36], Kap. 15), und daher Z jf .x/j .1 C jxj2 /mk dn x < 1 : Rn
Daraus folgt dann für ' 2 Sn : Z jhŒf ; 'ij jf .x/j j'.x/j dn x
Z n
Rn
jf .x/j.1 C jxj2 /mk
on
o .1 C jxj2 /mCk j'.x/j dn x
Rn
konst: qmCk .'/ ; was mit Satz 11.12b. die Behauptung ergibt.
t u
C Reguläre Distributionen
361
Bemerkung: Funktionen mit exponentiellem Wachstum ergeben keine temperier2 ten Distributionen. Zum Beispiel kann die reguläre Distribution zu ex nicht tempe2 riert sein, da ex zu S1 gehört (vgl. auch Aufgabe 11.2). Der Vorrat an Testfunktionen ist reichhaltig genug, um eine lokal integrierbare Funktion so weit festzulegen, wie Integrale es irgend könnnen, nämlich bis auf Übereinstimmung fast überall. Dies wird durch den folgenden fundamentalen Satz ausgedrückt: Theorem 11.17 (Fundamentallemma der Variationsrechnung). Ist f 2 L1loc .˝/ und Z f .x/'.x/ dn x D 0 für alle ' 2 D.˝/ ; ˝
so ist f .x/ D 0 f. ü. Bemerkung: Den Beweis hierfür in voller Allgemeinheit zu führen, ist technisch etwas aufwendig, und wir erleichtern uns die Sache, indem wir den Bereich der zugelassenen Funktionen f etwas einschränken. Es sei L2loc .˝/ der Raum der messbaren f W ˝ ! C; bei denen für jedes kompakte K ˝ Z jf j2 dn x < 1 K
ist. Jedes solche f ist lokal integrierbar, denn wir haben 0 11=2 Z Z p jf j dn x n .K/ @ jf j2 dn x A <1: K
K
Das sieht man, wenn man sich im Integranden einen Faktor 1 dazudenkt und dann die C AUCHY-S CHWARZsche Ungleichung anwendet. Es gibt aber lokal integrierbare Funktionen, die nicht zu L2loc gehören, z. B. die Funktion f .x/ WD jxj1=2 auf ˝ D R1 . Da in der Physik zumeist H ILBERTräume benötigt werden, reicht der Bereich L2loc aber für die meisten Anwendungen aus, die in der Physik Bedeutung haben. Beweis (des Theorems für f 2 L2loc .˝/). Sei ˝1 ein beschränktes Teilgebiet mit ˝1 DW K ˝. Dann ist Z Z jf j2 dn x jf j2 dn x < 1 ; ˝1
K 2
also definiert f ein Element von L .˝1 /; das wir ebenfalls mit f bezeichnen. Nach Theorem 11.9 ist D.˝1 / dicht in L2 .˝1 /; also gibt es eine Folge von Testfunktionen 'k 2 D.˝1 / mit fN D limk!1 'k in der Norm von L2 .˝1 /. Diese Testfunktionen denken wir uns durch Null auf ganz ˝ fortgesetzt. Dann folgt aus der Voraussetzung Z Z Z jf j2 dn x D lim f 'k dn x D lim f .x/'k .x/ dn x D 0 : ˝1
k!1 ˝1
k!1
˝
362
11 Distributionen und temperierte Distributionen
Also ist f .x/ D 0 f. ü. auf ˝1 . Aber ganz ˝ kann als abzählbare Vereinigung von derartigen Teilgebieten ˝1 dargestellt werden, z. B. als Vereinigung der ˝m WD fx 2 ˝ j d.x; Rn n ˝/ > 1=m ; jxj < mg : Daher ist sogar f .x/ D 0 f. ü. auf ˝.
t u
Sind also f1 ; f2 zwei lokal integrierbare Funktionen, für die die entsprechenden regulären Distributionen übereinstimmen, so erfüllt f WD f1 f2 die Voraussetzungen von Theorem 11.17, und daher muss f1 .x/ D f2 .x/ f. ü. auf ˝ sein. Jede reguläre Distribution aus D0 .˝/ stammt also von einer eindeutigen Äquivalenzklasse Œf 2 L1loc .˝/; und daher bezeichnen wir mit Œf einmal die besagte Äquivalenzklasse und ein anderes Mal die entsprechende reguläre Distribution. In etwas abstrakterer Form lautet diese Eindeutigkeitsaussage: Korollar 11.18. Wird jeder Funktion f 2 L1loc .˝/ die entsprechende reguläre Distribution Œf gemäß (11.18) zugeordnet, so ergibt sich eine Einbettung, d. h. eine injektive lineare Abbildung L1loc .˝/ ,! D0 .˝/ : Ebenso ergibt sich eine Einbettung Pn ,! Sn0 ; wobei Pn den Vektorraum der Äquivalenzklassen von Funktionen mit polynomialem Wachstum bezeichnet. Bemerkung: Wenn die Äquivalenzklasse Œf eine stetige Funktion enthält, so ist diese, wie wir wissen, eindeutig bestimmt und wird als bevorzugter Repräsentant gewählt. Die entsprechende reguläre Distribution wird dann ebenfalls mit dem stetigen Repräsentanten identifiziert, und man sagt, die Distribution „ist“ diese Funktion.
D Lokalisierung und Träger Wir diskutieren zunächst das lokale Verhalten von Distributionen. Wie schon erläutert, hat es i. A. keinen Sinn, bei einer Distribution T von dem Wert T .x/; x 2 ˝ zu sprechen. Trotzdem kann man Distributionen ganz ähnlich wie Funktionen auf Teilmengen von ˝ einschränken, jedenfalls, wenn diese Teilmengen offen sind: Definitionen 11.19. a. Sei U eine offene Teilmenge von ˝; und sei T 2 D0 .˝/ eine Distribution. Man sagt, T verschwindet in U; wenn hT; 'i D 0
für alle ' 2 D.˝/ mit Tr ' U :
D Lokalisierung und Träger
363
b. Man sagt, dass zwei Distributionen T1 ; T2 2 D0 .˝/ in der offenen Teilmenge U von ˝ übereinstimmen (geschrieben: „T1 T2 in U “ oder „T1 jU D T2 jU “), wenn T1 T2 in U verschwindet, wenn also hT1 ; 'i D hT2 ; 'i für alle Testfunktionen ' 2 D.˝/; deren Träger in U liegen. c. Der Träger der Distribution T 2 D0 .˝/ ist die Menge Tr T; die folgendermaßen definiert ist: Ein Punkt x 2 ˝ gehört genau dann zu Tr T; wenn x keine offene Umgebung besitzt, in der T verschwindet. d. Ist Tr T kompakt, so heißt T eine finite Distribution. Bemerkungen: (i) Alle diese Sprechweisen können auch auf temperierte Distributionen angewendet werden, da man temperierte Distributionen ja als Distributionen aus D0 .Rn / auffassen kann, wie im Anschluss an 11.11 erläutert. (ii) Ist T D Œf die reguläre Distribution zu einer stetigen Funktion f; so ist Tr T D Tr f : Der Beweis sei als Übung empfohlen. Wenn zwei Distributionen in offenen Mengen U1 ; U2 ; : : : übereinstimmen, so stimmen sie auch in der Vereinigung U D U1 [ U2 [ überein. Diese Tatsache ist für Funktionen absolut trivial, für Distributionen aber keineswegs selbstverständlich. Andererseits ist sie eine entscheidende Voraussetzung dafür, dass die hier definierten Objekte als Mathematische Modelle für raumzeitlich lokalisierte physikalische Sachverhalte tauglich sind. Beim Beweis spielen die schon in Kap. 4 diskutierten Zerlegungen der Eins eine entscheidende Rolle. Die dabei betrachtete Mannigfaltigkeit ist einfach das Gebiet ˝. Die lokale Übereinstimmung von Distributionen kann natürlich durch das lokale Verschwinden ihrer Differenz getestet werden. Darum genügt es für unsere Zwecke, die größte offene Menge zu beschreiben, in der eine Distribution verschwindet: Satz 11.20. Sei T 2 D0 .˝/. Dann verschwindet T in einer offenen Teilmenge U ˝ genau dann, wenn U \ Tr T D ; ist. Insbesondere ist ˝ n Tr T die größte offene Menge, in der T verschwindet. Beweis. Ist U \ Tr T ¤ ;; so kann T nicht in U verschwinden, wie unmittelbar aus der Definition von Tr T folgt. Um die umgekehrte Richtung zu zeigen, betrachten wir eine beliebige Testfunktion ' 2 D.˝/; deren Träger K disjunkt von Tr T ist, und zeigen, dass hT; 'i D 0 sein muss. Wegen K \ Tr T D ; hat jeder Punkt x 2 K eine offene Umgebung Ux ; in der T verschwindet. Gemäß der in Def. 1.13 gegebenen Beschreibung der Kompaktheit durch die H EINE -B ORELsche Überdeckungseigenschaft kann man nun endlich viele Punkte x1 ; : : : ; xm 2 K wählen, für die K Ux1 [ : : : [ Uxm ist. Zusammen mit U0 WD ˝ n K bilden die Uj WD Uxj eine endliche offene Überdeckung von ˝.
364
11 Distributionen und temperierte Distributionen
Nach Theorem 4.2 gibt es auf ˝ eine dieser Überdeckung untergeordnete Zerlegung h0 ; h1 ; : : : ; hm der Eins. Da T für j 1 in Uj verschwindet, folgt hT; hj 'i D 0 für alle j 1. Da ' außerhalb von K verschwindet, folgt überdies m X
hj ' D '
j D1
m X
hj h0 ' D ' „ƒ‚… D0 „ƒ‚… j D0
D1
und daher hT; 'i D
Pm
j D1 hT; hj 'i
D 0 ; wie behauptet.
t u
Daraus ergibt sich sofort die Aussage, um die es uns ging: Korollar 11.21. Es sei .Ui /i 2I ein beliebiges System von offenen Teilmengen von ˝. Wenn zwei Distributionen T1 ; T2 2 D0 .˝/ in jedem Ui übereinstimmen, so stimmen sie auch in [ Ui U WD i 2I
überein. Beweis. Jedes Ui ist disjunkt von S WD Tr .T1 T2 /; also ist auch U disjunkt von S. t u Zum Schluss dieses Abschnitts gehen wir noch kurz auf die besondere Rolle der finiten Distributionen ein. Temperierte Distributionen zeichnen sich dadurch aus, dass sie im Unendlichen nicht schneller anwachsen als ein Polynom. Diese Faustregel wird zumindest durch die Sätze 11.15 und 11.16b. nahegelegt. Dazu passt es auch, dass die Distributionen mit kompaktem Träger sich als temperierte Distributionen auffassen lassen: Satz 11.22. Jede finite Distribution T 2 D0 .˝/ kann eindeutig zu einer temperierten Distribution T1 2 Sn0 fortgesetzt werden, d. h. genau: Ist T 2 D0 .˝/ finit, so gibt es genau eine temperierte Distribution T1 ; die auf ˝ mit T übereinstimmt und auf Rn n Tr T verschwindet. Ist 2 D.˝/ mit D 1 in einer Umgebung von Tr T; so ist T1 durch (11.33) hT1 ; 'i WD hT; 'i für ' 2 Sn gegeben. Beweis. Es ist zunächst zu zeigen, dass durch (11.33) ein stetiges lineares Funktional auf Sn definiert ist. Die Linearität ist dabei klar. Gelte also 'm ! ' ; S
m ! 1 :
Da Tr 'm K WD Tr für alle m und ebenso Tr ' K; folgt 'm ! ' ; D
m ! 1 :
E Konvergente Folgen von Distributionen
365
Da T auf D.˝/ stetig ist, gilt also mit (11.33) hT1 ; 'm i hT; 'm i ! hT; 'i hT1 ; 'i : Um zu zeigen, dass T1 in ˝ mit T übereinstimmt, betrachten wir ' 2 D.Rn / mit Tr ' ˝; so dass man ' auch als eine Testfunktion in ˝ auffassen kann. Nach Voraussetzung verschwindet 1 in einer Umgebung von Tr T; also ist Tr .1 /' \ Tr T D ; und daher nach Satz 11.20 hT; 'i hT1 ; 'i D hT; .1 /'i D 0 : Somit ist in der Tat hT1 ; 'i D hT; 'i. Ist hingegen Tr ' Rn n Tr T; so ist Tr ' \ Tr T D ;; also hT1 ; 'i D 0. Somit verschwindet T1 in Rn n Tr T . Die Eindeutigkeit von T1 folgt sofort aus Kor. 11.21, denn Rn D ˝ [ .Rn n Tr T / : t u
E Konvergente Folgen von Distributionen Als nächstes betrachten wir Folgen von Distributionen. Dabei definieren wir Konvergenz einfach als punktweise Konvergenz der Funktionale: Definition 11.23. Eine Folge von Distributionen Tm 2 D0 .˝/ (bzw. temperierten Distributionen Tm 2 Sn0 ) konvergiert gegen eine Distribution T 2 D0 .˝/ (bzw. gegen eine temperierte Distribution T 2 Sn0 ), wenn lim hTm ; 'i D hT; 'i 8 ' 2 D.˝/ bzw. alle ' 2 Sn :
m!1
Man schreibt: SD
1 X
Tm ”
mD1
lim
M !1
M X
Tm D S :
(11.34)
(11.35)
mD1
Beispiele 11.24. a. Sei f D limm!1 fm in L1loc .˝/; d. h. für jedes kompakte K ˝ soll Z lim jf .x/ fm .x/j dn x D 0 m!1
K
sein. Für die entsprechenden regulären Distributionen gilt dann auch Œf D limm!1 Œfm . Denn für ' 2 D.˝/; K WD Tr ' haben wir Z jhŒf ; 'i hŒfm ; 'ij jf .x/ fm .x/j j'.x/j dn x K
366
11 Distributionen und temperierte Distributionen
0 @
Z
1
A jf .x/ fm .x/j d x max j'.x/j ! 0 : n
x2K
K
b. Die Situation aus a. liegt insbesondere dann vor, wenn f D limm!1 fm im Raum Lp .˝/ ist (1 p 1). Für p D 1 oder p D 1 ist das trivial. Im Fall 1 < p < 1 setze man q WD p=.p 1/ und wende die H ÖLDERsche Ungleichung an. Das ergibt für kompaktes K ˝ Z
1=q jf fm j dn x n .K/ kf fm kp ! 0
K
für m ! 1. c. Wir wählen in Theorem 11.7c. die stetige Funktion f speziell als schnell fallende Testfunktion f 2 Sn und setzen fL.x/ WD f .x/. Betrachten wir dann für eine Nullfolge "m & 0 die Distributionen Tm WD Œ'"m (mit den Bezeichnungen und Voraussetzungen aus 11.7c.), so ergibt dieses Theorem Z hTm ; f i D '"m .y/f .y/ dn y D .'"m fL/.0/ ! fL.0/ D f .0/ D hı; f i : Das bedeutet, dass ı D limm!1 Tm in Sn0 und insbesondere in D0 .Rn /. Die manchmal – z. B. in [36] – verwendete Sprechweise, dass das System .'" / „die Deltafunktion approximiert“, ist hierdurch gerechtfertigt. d. Sei .ak / eine Folge von Punkten von ˝; die in ˝ keinen Häufungspunkt besitzt. Dann ist für jede beliebige Zahlenfolge .k / durch T WD
1 X
k ıak
kD1
eine Distribution T 2 D0 .˝/ definiert. Denn für jede Testfunktion ' 2 D.˝/ enthält die kompakte Menge Tr ' nur endlich viele Punkte aus der Folge .ak /; also besteht die Summe hT; 'i D
1 X
k '.ak /
kD1
in Wirklichkeit nur aus endlich vielen Termen. Es ist hierdurch daher ein lineares Funktional auf D.˝/ gegeben, und seine Stetigkeit nachzuprüfen, ist eine leichte Übung, die aber auch durch Zitieren des nächsten Satzes ersetzt werden kann. Sei nun .Tm / eine Folge in D0 .˝/ und nehmen wir an, dass für jedes ' 2 D.˝/ der punktweise Limes (11.36) T .'/ WD lim hTm ; 'i m!1
E Konvergente Folgen von Distributionen
367
existiert. Dann wird durch (11.36) eine Abbildung T W D.˝/ ! C definiert, die offenbar linear ist. Tatsächlich ist T sogar stetig und damit eine Distribution. Da C AUCHYfolgen in C konvergent sind, folgt daraus sogar (in gewissem Sinne) die Vollständigkeit der Räume D0 .˝/ und Sn0 . Satz 11.25. Sind Tm 2 D0 .˝/ (bzw. Sn0 ) und existiert T .'/ WD lim hTm ; 'i
.11:36/
m!1
für alle ' 2 D.˝/ (bzw. ' 2 Sn ), so ist T 2 D0 .˝/ (bzw. 2 Sn0 ). Beweis. Wir führen den Beweis für D 0 .Rn /. Sei also T .'/ durch (11.36) definiert. Da T linear ist, genügt es die Stetigkeit in ' D 0 zu zeigen, d. h. 'i ! 0 ; D
i ! 1 H) T .'i / ! 0 ;
i ! 1 :
(11.37)
Angenommen (11.37) ist falsch. Dann können wir eine D-Nullfolge .'i / so wählen, dass jT .'i /j ı > 0 für alle i ist. Nach Multiplikation der 'i mit einer festen komplexen Zahl erreichen wir sogar, dass Re T .'i / 2 für alle i :
(11.38)
Weil D-Konvergenz gegen 0 nach Definition 11.3a. bedeutet, dass alle partiellen Ableitungen gleichmäßig gegen 0 gehen, kann man durch Übergang zu einer Teilfolge auch erreichen dass jD ˛ 'i .x/j < 2i
für j˛j < i ;
x2˝:
Nun wählen wir aus den beiden Folgen .Tm /; .'i / Teilfolgen .Sm /; . gendem Schema aus: 1
2
i/
nach fol-
WD '1 ;
S1 WD Tm1 ; sodann
(11.39)
WD 'i2
so dass Re hS1 ;
so, dass jhS1 ;
S2 WD Tm2
2 ij
so, dass Re hS2 ;
1i
>1;
<
1 4
ji
> 1; j D 1; 2
;
usw. Allgemein lautet die Vorschrift: k
D 'ik so, dass jhSj ;
k ij
Sk D Tmk so, dass Re hSk ;
< 2k ;
ji
> 1;
j D 1; : : : ; k 1 ; j D 1; : : : ; k 1 :
Diese Auswahl ist möglich, weil einerseits lim hTm ; 'i i D 0
i !1
für alle m
(11.40)
368
11 Distributionen und temperierte Distributionen
wegen Tm 2 D0 .˝/ und 'i ! 0; und weil andererseits D
lim hTm ; 'i i D T .'i / 2
m!1
nach der Annahme (11.38). Nun definieren wir 'D
1 X k
WD D lim
m X
m!1
kD1
k
:
(11.41)
kD1
Der Limes, der ' definiert, existiert wegen (11.39) und dem Majorantenkriterium, angewandt auf alle Ableitungen. Daher existiert nach Voraussetzung lim hSk ; 'i D T .'/ 2 C ;
(11.42)
k!1
weil .Sk / eine Teilfolge von .Tm / ist. Aus (11.40) und (11.41) folgt andererseits Re hSk ; 'i D
k P j D1
> k
Re hSk ; 1 P
ji
1 P
C
j DkC1
Re hSk ;
ji
2j k 1 ;
j DkC1
woraus hSk ; 'i ! C1 t u
im Widerspruch zu (11.42) folgt.
F Substitution und Differentiation Die Nützlichkeit der Distributionen als „verallgemeinerte Funktionen“ rührt u. a. davon her, dass man mit ihnen viele der Rechenoperationen durchführen kann, die man von (glatten) Funktionen her gewohnt ist. Dies geschieht jedesmal so, dass die betreffende Rechenoperation auf eine analoge Operation mit den Testfunktionen zurückgespielt wird. Wie dies genau vonstatten geht, kann man erkennen, wenn man den Fall regulärer Distributionen betrachtet. Auf diese Weise überlegen wir uns nun, wie man Variablensubstitution und Differentiation auf Distributionen übertragen kann, und im nächsten Abschnitt werden wir dasselbe für die F OURI ERtransformation tun. Sei also Œf 2 D0 .˝/ eine reguläre Distribution, die von einer stetigen Funktion f 2 C 0 .˝/ erzeugt wird: Z hŒf ; 'i D f .x/'.x/ dn x ; (11.43) ˝
F Substitution und Differentiation
369
sei G Rn eine weitere offene Menge, und sei x D g.y/; g W G ! ˝ eine C 1 -Koordinatentransformation, d. h. eine bijektive C 1 -Abbildung mit JACOBIDeterminante ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ @x ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ D j det g 0 .y/j 6D 0 ; ˇ @y ˇ D j det.g 1 /0 .x/j : (11.44) ˇ @y ˇ ˇ @x ˇ Dann gilt für ' 2 D.G/ nach der Transformationsformel für n-dimensionale Integrale ˇ ˇ Z Z ˇ @y ˇ f .g.y// '.y/ dn y D f .x/'.g 1 .x// ˇˇ ˇˇ dn x : (11.45) @x G
˝
Diese Formel übertragen wir auf beliebige Distributionen: Definition 11.26. Seien G; ˝ offene Teilmengen von Rn ; und sei x D g.y/ ;
y D g 1 .x/ ;
x 2˝; y 2G
eine C 1 -Koordinatentransformation. Für ' 2 D.G/ sei ˇ ˇ ˇ @y ˇ 1 .x/ WD '.g .x// ˇˇ ˇˇ ; @x was offenbar eine Testfunktion
(11.46)
2 D.˝/ definiert. Für T 2 D0 .˝/ wird durch hS; 'i WD hT; i
(11.47)
eine Distribution S 2 D0 .G/ definiert. Man schreibt S D T ı g g T; und es ist also (11.48) hT ı g; 'i D hT; .' ı g 1 / j det Dg 1 ji oder, wenn man sich die etwas inkorrekte, aber dafür suggestive Schreibweise mit Nennung der Variablen erlaubt: ˇ ˇ ˇ @y ˇ 1 hT .g.y//; '.y/i D T .x/; '.g .x/ ˇˇ ˇˇ : (11.49) @x Man nennt T ı g die aus T durch Substitution erzeugte Distribution. Man überlegt sich sofort, dass durch (11.48) ein stetiges lineares Funktional auf D.G/ definiert wird. Wir listen einige Spezialfälle auf: Beispiele 11.27. Sei T 2 D0 .˝/. a. Affine Substitution: Hier ist A 2 Rnn eine reguläre quadratische Matrix, b 2 Rn D R1n ein Spaltenvektor, x D g.y/ WD Ay C b ;
y D A1 .x b/ :
370
11 Distributionen und temperierte Distributionen
Das ergibt: hT .Ay C b/; '.y/i D
1 hT .x/; '.A1 .x b//i : j det Aj
(11.50)
b. Die Translation x D y C b; y D x b führt zu: hT .y C b/; '.y/i D hT .x/; '.x b/i :
(11.51)
c. Orthogonale Transformation x D Ay mit AAT D E führt zu hT .Ay/; '.y/i D hT .x/; '.AT x/i :
(11.52)
Diese Klasse von Transformationen umfasst bekanntlich die Drehungen (= Rotationen) und die Spiegelungen. d. Die Streckung (= Homothetie) X D y; > 0 führt zu hT .y/; '.y/i D
1 hT .x/; '.x=/i : n
(11.53)
Man nennt eine Distribution invariant unter der Transformation g W ˝ ! ˝; wenn T ıg DT : (11.54) Solch eine Invarianz wird häufig als Symmetrie gedeutet. So spricht man z. B. von rotationssymmetrischen Distributionen etc. In den Räumen D0 .˝/ und Sn0 lässt sich sinnvoll eine Differentiation einführen, so dass Distributionen unendlich oft differenzierbare Objekte werden. Wir überlegen uns das zunächst wieder durch Betrachtung des regulären Falls. Sei also f 2 C 1 .˝/ und damit @i f fxi 2 C 0 .˝/; so dass f und @i f reguläre Distributionen erzeugen. Mit dem G AUSSschen Satz (oder einfach durch partielle Integration in der i -ten Variablen) ergibt sich für ' 2 D.˝/: R hŒ@i f ; 'i D fxi .x/'.x/ dn x ˝ R D f .x/'xi .x/ dn x D hŒf ; @i 'i : ˝
Diese Rechnung ist auch für ˝ D Rn und ' 2 Sn korrekt, wenn etwa f 2 Pn1 ist. Da die rechte Seite für ganz beliebige Distributionen sinnvoll ist, gibt dies Anlass zu definieren: Definitionen 11.28. a. Für T 2 D0 .˝/ (bzw. Sn0 ) definiert man die partielle Distributionsableitung @i T 2 D0 .˝/ (bzw. Sn0 ) durch h@i T; 'i WD hT; @i 'i ;
' 2 D.˝/ bzw. 2 Sn :
(11.55)
F Substitution und Differentiation
371
b. Höhere Ableitungen werden durch Multiindizes angegeben. Für jeden Multiindex ˛ gilt (11.56) hD ˛ T; 'i D .1/j˛j hT; D ˛ 'i : c. Ist f 2 L1loc .˝/ (bzw. f 2 Pn ), so nennt man die Distributionsableitung D ˛ Œf der von f erzeugten regulären Distribution Œf die ˛-te schwache Ableitung von f . Das durch (11.55) tatsächlich eine Distribution definiert wird, sieht man sofort, denn hT; @i 'i ist sicher linear in ' und die Stetigkeit folgt wegen D
D
S
S
'm ! ' H) @i 'm ! @i ' : Beispiel: Die H EAVISIDEsche Sprungfunktion ( 0 für t < 0; .t/ D 1 für t 0 ist lokal integrierbar auf R und erzeugt daher eine reguläre Distribution Œ . Für ' 2 D.R/ folgt 0
Z1
hD Π; 'i D hΠ; ' i D
' 0 .t/ dt D '.0/ ;
0
Also D Œ D ı0 : Für die Ableitungen der Deltafunktion ergibt sich (' 2 D.Rn /) h@i ı0 ; 'i D hı0 ; 'xi i D 'xi .0/ : Physikalisch gesehen, ist @i ı ein Dipol im Nullpunkt, der in xi -Richtung orientiert ist (vgl. Aufgabe 11.13). Die höheren Ableitungen der Deltafunktion sind Multipole. Aufgrund der Ableitungsdefinition mit Hilfe von Testfunktionen ist klar, dass sich die Differentiationsregeln von Funktionen auf Distributionen übertragen: Satz 11.29. a. Die Differentiation in D0 und S 0 ist eine lineare Operation, d. h. für S; T 2 D0 .˝/ (bzw. 2 Sn0 ) und ; 2 C gilt: @i .S C T / D @i S C @i T :
(11.57)
b. Für f 2 C 1 .˝/ (bzw. f 2 Pn1 ) und T 2 D0 .˝/ (bzw. T 2 Sn0 ) gilt die Produktregel (11.58) @i .f T / D .@i f /T C f @i T :
372
11 Distributionen und temperierte Distributionen
Ebenso kann man eine Kettenregel beweisen, die wir jedoch im Folgenden nicht benötigen (vgl. jedoch Aufgabe 13.8). Während die gliedweise Differentiation von Funktionenfolgen und -reihen starke Voraussetzungen benötigt, sind solche bei Distributionen überflüssig. Satz 11.30. Konvergente Folgen und Reihen von Distributionen dürfen beliebig oft gliedweise differenziert werden, d. h. sind Tm 2 D0 .˝/ und gilt T D D0 .˝/ lim Tm
S D D0 .˝/
bzw.
1 X
Tm ;
(11.59)
D ˛ Tm :
(11.60)
mD1
so gilt ˛
˛
D T D lim D Tm m!1
1 X
˛
und D S D
mD1
Entsprechendes gilt in Sn0 . Beweis. Für Tm ! T in D0 .˝/ und ' 2 D.˝/ folgt aus (11.56) hD ˛ Tm ; 'i D .1/j˛j hTm ; D ˛ 'i ! .1/j˛j hT; D ˛ 'i D hD ˛ T; 'i : t u
G F OURIERtransformation von Distributionen In Anlehnung an Definition 11.28 für die Ableitung könnte man die F OURIER transformation durch folgende Gleichung definieren: hF ŒT ; 'i WD hT; F Œ'i :
(11.61)
Für Distributionen T 2 D0 .Rn / hat dies jedoch keinen Sinn, denn auf der rechten Seite ist F Œ' 62 D.Rn /; wenn ' 2 D.Rn / und ' 6 0. Um dies einzusehen, betrachten wir die definierende Formel (8.43), also Z (11.62) '. / O D .2 /n=2 '.x/ eihjxi dn x : Rn
Die Funktionen Ex . / WD eihjxi sind aber analytisch, und der Integrationsbereich erstreckt sich eigentlich nur über die kompakte Menge Tr '. Ein bekannter Satz über Integrale mit Parametern (Aufgabe 10.8d. oder [36], Ergänzungen zu Kap. 28) zeigt daher, dass 'O ebenfalls analytisch ist, und nach dem Prinzip der analytischen Fortsetzung ( [36], Kap. 17) kann 'O daher keinen kompakten Träger haben, außer wenn 'O 0; also auch ' 0 ist. Dies ist der Hauptgrund, weshalb temperierte Distributionen betrachtet werden. Für schnell fallende Testfunktionen ist der Ansatz (11.61) sinnvoll und erfolgreich,
G F OURIER transformation von Distributionen
373
denn der Funktionenbereich Sn ist so gestaltet, dass Differentiation, Multiplikation und F OURIERtransformation innerhalb dieses Bereichs unbeschränkt durchgeführt werden können und alle vertrauten Rechenregeln (vgl. etwa [36], Kap. 33) ohne weiteres anwendbar sind. Um dies genauer auszuführen, halten wir fest: Sn L1 .Rn / :
(11.63)
Das ergibt sich, wenn man in Satz 11.16b. f 1 wählt, denn es wurde dort bewiesen, dass das Integral auf der rechten Seite von (11.32) als L EBESGUE-Integral existiert, wenn f 2 Pn ist. Mit '.x/ gehören aber auch die Funktionen x ˛ '.x/ und D ˇ '.x/ zu Sn ; wie aus der Definition des Raums Sn hervorgeht. Alle diese Funktionen sind daher integrierbar. Sie haben also auch F OURIERtransformierte, und alle Umformungen, die zum Beweis der einschlägigen Rechenregeln durchgeführt werden, sind gerechtfertigt. Daher gilt z. B. Satz 11.31. Für ' 2 Sn und beliebige Multiindizes ˛; ˇ 2 Nn0 gilt: a. Dp˛ F Œ'.x/ .p/ D F Œ.ix/˛ '.x/ .p/; h i b. F Dxˇ '.x/ .p/ D .ip/˛ F Œ'.x/ .p/; h i c. p ˇ Dp˛ F Œ'.x/ .p/ D ij˛jCjˇ j F Dxˇ .x ˛ '.x// .p/. Dabei ist c. eine Kombination von a. und b. Wir haben nun die äußerst wichtige Konsequenz: Theorem 11.32. Die F OURIERtransformation ist eine bijektive, L2 .Rn /-isometrische lineare Abbildung von Sn auf Sn . Beweis. Nach Definition von Sn ist, wie erwähnt, D ˇ .x ˛ '.x// 2 Sn ;
wenn ' 2 Sn :
Daher folgt aus Satz 11.31c. ˇ ˇ ˇ ˇ ˛ O ˇ ˇp Dp f .p/ˇ D jF Œx ˛ f .x/ .p/j Z n=2 .2 / jD ˇ .x ˛ f .x//j dn x konst: < 1 ; Rn
was bedeutet, dass 'O 2 Sn ; falls ' 2 Sn ist. Insbesondere ist 'O 2 L1 .Rn /; die F OURIERsche Umkehrformel also anwendbar. Damit gilt (mit den Bezeichnungen aus Abschn. 8F) F Œ' O D ' und F Œ L D für alle '; 2 Sn . Dies zeigt, dass F W Sn ! Sn ein Vektorraum-Isomorphismus mit der Inversen F ist. Mit ' ist auch ' 2 2 Sn ; also ' 2 L2 .Rn /. Die L2 .Rn /-Isometrie von F ergibt sich daher sofort aus Satz 8.29. t u
374
11 Distributionen und temperierte Distributionen
Bemerkung: Wegen Sn D.Rn / und Theorem 11.9 ist Sn dicht in L2 .Rn /. Man könnte den F OURIER -P LANCHEREL-Operator U aus Theorem 8.30 und seine Inverse U 1 also auch so gewinnen, dass man F W Sn ! Sn bzw. F 1 W Sn ! Sn nach dem BLE-Theorem stetig fortsetzt. Nun können wir die F OURIERtransformation von temperierten Distributionen definieren und stellen fest, dass sich alle wichtigen Rechenregeln durch völlig triviale Rechnungen von Sn auf Sn0 übertragen lassen: Theorem 11.33. a. Für T 2 Sn0 wird durch (11.61) die F OURIERtransformation T 7! F ŒT definiert, welche einen linearen Isomorphismus von Sn0 auf sich mit der Inversen hF 1 ŒT ; '.x/i D hF ŒT ; '.x/i
(11.64)
darstellt. Kurzschreibweise: TO D F ŒT ; TL D F 1 ŒT . b. F und F 1 sind stetig in dem Sinne, dass Tm !0 T H) F ŒTm ! F ŒT 0 S
S
und ebenso für F 1 . c. Es gelten die folgenden Rechenregeln: D ˛ F ŒT D F Œ.ix/˛ T .x/ ;
(11.65)
F ŒD ˛ T D .i /˛ F ŒT . / ;
(11.66)
und für eine reguläre Matrix A 2 Rnn und einen Spaltenvektor b 2 R gelten: n
F ŒT .A C b/ D
h i 1 1 F eihA bjxi T .A1 /T x . / ; j det Aj
F ŒT .Ax C b/ . / D
1 1 eihjA bi F ŒT .A1 /T : j det Aj
(11.67)
(11.68)
Bemerkung: Jedes f 2 L1 .Rn / erzeugt nach Satz 11.12b. eine temperierte Distribution Œf ; denn für ' 2 Sn haben wir Z jhŒf ; 'ij jf .x/j j'.x/j dn x kf k1 q0 .'/ : Die F OURIERtransformierte von f ist daher auf zwei Arten definiert, nämlich durch (8.43) und durch (11.61). Beide Definitionen führen aber zu demselben Ergebnis, d. h. es gilt Z Z fO' dn x D f 'O dn x für alle ' 2 Sn : (11.69)
G F OURIER transformation von Distributionen
375
Da L1 \ L2 dicht in L1 ist, brauchen wir das nur für f 2 L1 \ L2 zu beweisen. Für diesen Fall folgt es aber aus der PARSEVALschen Gleichung Z Z f gN dn x D fOgO dn x (vgl. Satz 8.29), wenn man g D F Œ' D F 1 Œ' N wählt. Ebenso erzeugt jedes f 2 L2 .Rn / eine temperierte Distribution Œf ; und F Œf ist dann die von der F OURIER -P LANCHEREL-Transformierten Uf erzeugte reguläre Distribution (vgl. Theorem 8.30). Dies wird in völlig analoger Weise begründet wie für L1 (Übung!). Allgemein kann – wie schon erläutert – die F OURIERtransformation für Distributionen T 2 D0 .Rn / nicht definiert werden. Eine Ausnahme bilden die finiten Distributionen, weil man diese nach Satz 11.22 über die Gleichung hT; 'i WD hT; 'i ;
' 2 Sn
(11.70)
( 2 D.Rn / mit D 1 auf einer Umgebung von Tr T ) als temperierte Distributionen auffassen kann. Satz 11.34. Ist T 2 D 0 .Rn / eine finite Distribution, so ist F ŒT eine reguläre temperierte Distribution, die von einer Pn1 -Funktion TO erzeugt wird. Dabei gilt TO . / D .2 /n=2 hT .x/; .x/ eihjxi i ;
(11.71)
wobei 2 D.Rn / mit D 1 auf einer Umgebung von Tr T . Ferner gilt für jeden Multiindex ˛ D ˛ TO . / D .2 /n=2 hT .x/; .x/.ix/˛ eihjxi i :
(11.72)
Beweis. Für jeden Multiindex ˛ setzen wir f˛ . / WD hT .x/; .x/.ix/˛ eihjxi i
(11.73)
und zeigen, dass f˛ 2 Pn1 ist. Ist D limk!1 k ; so streben die Funktionen .x/.ix/˛ eihk jxi im Sinne der D-Konvergenz gegen .x/.ix/˛ eihjxi ; und damit folgt Stetigkeit der f˛ aus der Stetigkeit von T . Ebenso überzeugt man sich durch leichte Abschätzungen, dass die Ableitung von .x/.ix/˛ eihjxi nach der Limes der entsprechenden Differenzenquotienten im Sinne der D-Konvergenz ist, und daraus folgt, dass f˛ überall partiell differenzierbar ist, und zwar mit @j f˛ D f˛C"j ; ˛ C "j D .˛1 ; : : : ; ˛j C 1; : : : ; ˛n /. Also ist f0 2 C 1 .Rn /; f˛ D D ˛ f0 . Es bleibt zu zeigen, dass f˛ . / von polynomialem Wachstum ist. Nach Satz 11.12b. existieren Konstanten C 0 und m 2 N0 ; so dass jhT; 'ij C sup max .1 C jxj2 /m jD ˛ '.x/j : x2Rn j˛jm
(11.74)
376
11 Distributionen und temperierte Distributionen
Wenden wir dies auf (11.73) an, so folgt mit (11.27) ˇ˝ ˛ˇ jf˛ . /j D ˇ T .x/; .x/.ix/˛ eihjxi ˇ ˇ ˇˇ ˇ C 0 sup max .1 C jxj2 /m ˇ@ˇx .x/x ˛ eihjxi ˇ x2Rn jˇ jm P C sup max .1 C jxj2 /m j ˇ jjD ..x/x ˛ /j x2Rn jˇ jm
j jjˇ j
C˛ .1 C j j2 /m ;
was zu zeigen war. Schließlich zeigen wir (11.71), also dass .2 /n=2 f0 wirklich die F OURIERtransformierte von T ist. Aus (11.70) folgt: hF ŒT ; 'i D hT; F Œ'i D hT; 'i O + * Z D T .x/; .2 /n=2 .x/'. / eihjxi dn : Rn
Nun beachten wir, dass die Funktion .x/'. / eihjxi der 2n Variablen .x; / zu folgert man durch leichte Abschätzungen, dass das Integral RS2n gehört. Daraus .x/'. / eihjxi dn im Sinne der S-Konvergenz der Limes der entsprechenden R IEMANNschen Summen ist. Da das Funktional T linear ist, vertauscht es mit diesen R IEMANN-Summen, und da es stetig auf Sn ist, vertauscht es auch mit dem Grenzübergang, der zum Integral führt. Man darf die Anwendung von T daher mit der Integration vertauschen, und es folgt Z D E T .x/; .x/ eihjxi '. / dn D .2 /n=2 hŒf0 ; 'i hF ŒT ; 'i D .2 /n=2 Rn
für alle ' 2 Sn ; was gerade die Gleichung (11.71) ist.
t u
Als Anwendung berechnen wir die F OURIERtransformierte von ıx0 .x/ D ı.x x0 / : Aus (11.71) folgt F Œı.x x0 / . / D .2 /n=2 hı.x x0 /; .x/ eihjxi i D .2 /n=2 .x0 / eihjx0 i D .2 /n=2 eihjx0 i wegen .x0 / D 1. Insbesondere haben wir für x0 D 0 F Œı.x/ . / D .2 /n=2 1 ; wobei 1 die von der konstanten Funktion f . / 1 erzeugte reguläre Distribution bezeichnet. Wir fassen zusammen:
Aufgaben
377
Beispiel 11.35. h i F Œı.x x0 / . / D .2 /n=2 eihjx0 i ;
(11.75)
F Œı . / D .2 /n=2 1 :
(11.76)
Aufgaben zu Kap. 11 11.1. Sei 2 D.R/ eine finite Testfunktion mit 1 auf Œ1; 1. Man zeige: Die Folge 'k .x/ WD ek .x=k/ konvergiert in S1 gegen Null, nicht aber in D.R1 /. 11.2. Man zeige, dass die reguläre Distribution zu f .x/ WD ex nicht temperiert ist. (Hinweis: Es sei 2 D.R/ eine Funktion mit 1 auf Œ1; 1. Man zeige zunächst, dass durch '.x/ WD . ex / ex eine schnell fallende Testfunktion ' 2 S1 gegeben ist.) 11.3. Man zeige: Für f 2 L1loc .˝/ und x0 2 ˝ gilt x0 2 Tr Œf ” x0 hat keine offene Umgebung, in der f .x/ D 0 f. ü. 11.4. Seien T1 ; T2 2 D0 .˝/; und seien f1 ; : : : ; fm C 1 -Funktionen, die auf dem Träger von T1 T2 keine gemeinsame Nullstelle haben. Man zeige: Ist dann fj T1 D fj T2 für j D 1; : : : ; m; so ist T1 D T2 . (Hinweis: Kor. 11.21.) 11.5. a. Seien f1 ; f2 ; : : : lokal integrierbare Funktionen auf ˝; für die f .x/ D limm!1 fm .x/ f. ü. existiert. Man zeige: Wenn g 2 L1loc .˝/ existiert, für das für alle m jfm .x/j g.x/ f. ü. ; so ist Œf D limm!1 Œfm in D0 .˝/. b. Sei fm WD m0;1=m ; m 2 N; also fm 2 L1loc .R/. Man zeige: Punktweise ist limm!1 fm .x/ D 0; aber in D0 .R/ ist limm!1 Œfm D ı0 . 11.6. Sei .Tm / eine Folge in D0 .˝/; von der Folgendes bekannt ist: Jeder Punkt x0 2 ˝ hat eine offene Umgebung U.x0 / ˝ so, dass der Limes SU.x0 / .'/ D lim hTm ; 'i m!1
für alle ' 2 D.˝/ existiert, deren Träger in U.x0 / liegt. Man zeige: Dann existiert der Grenzwert in D0 .˝/ ; S WD lim Tm m!1
378
11 Distributionen und temperierte Distributionen
und auf jedem U.x0 / stimmt S mit SU.x0 / überein. (Hinweis: Zerlegungen der Eins und Satz 11.25!) 11.7. Man zeige: Jede Distribution T 2 D0 .Rn / ist der D0 -Limes von finiten Distributionen. (Hinweis: Man wähle ein 2 D.Rn / mit .x/ D 1 für jxj 1 und setze m .x/ WD .x=m/; Tm WD m T .) 11.8. Die Elemente von H D L2 .˝/ sind lokal integrierbar, entsprechen also regulären Distributionen. Wir vergleichen die Konvergenz im Sinne der Distributionen mit der schwachen Konvergenz im H ILBERTraum H (vgl. 9.11). Man zeige: a. Aus fm + f folgt fm ! f. 0 D
b. Aus fm ! f und sup kfm k2 < 1 folgt fm + f . (Hinweis: Man benutze, 0 D
m1
dass D.˝/ in L2 .˝/ dicht ist!) c. Die Bedingung in b., dass die Normen kfm k2 beschränkt bleiben sollen, ist nicht entbehrlich. 11.9. Es sei g W G ! ˝ eine C 1 -Koordinatentransformation. Man zeige: Für jedes T 2 D0 .˝/ ist Tr .T ı g/ D g 1 .Tr T / : 11.10. Seien G0 ; G1 ; ˝ offene Teilmengen von Rn und g W G1 ! ˝; h W G0 ! G1 C 1 -Diffeomorphismen, also Koordinatentransformationen. Man zeige: Für T 2 D0 .˝/ gilt T ı .g ı h/ D .T ı g/ ı h : 11.11. Es seien G; ˝ offene Teilmengen von Rn und g W G ! ˝ eine C 1 Abbildung. Wir setzen voraus, dass ˝ den Nullpunkt enthält und dass gilt: g.y/ D 0 H) det Dg.y/ ¤ 0 : Wir schreiben N WD g 1 .0/ D fy 2 G j g.y/ D 0g. Man zeige: a. Jedes y 2 N hat eine offene Umgebung U.y/ G; in der y der einzige Punkt von N ist. (Hinweis: Satz über inverse Funktionen!) b. Jede kompakte Teilmenge K G enthält nur endlich viele Punkte von N . c. Durch X '.y/ ; ' 2 D.G/ hı.g.y//; '.y/i WD j det Dg.y/j y2N
ist in G eine Distribution ı.g.y// definiert. d. Ist g bijektiv, also eine Koordinatentransformation, so ist ı.g.y// gerade die Distribution ı ı g im Sinne von Def. 11.26. e. Sei .'"m / eine Folge wie in Beispiel 11.24c., also insbesondere ı D limm!1 Œ'"m in D0 .˝/. Dann ist ı.g.y// D lim Œ'"m ı g m!1
in D0 .G/ :
Aufgaben
379
(Hinweis: Ist 2 D.G/ und sind y1 ; : : : ; yr die endlich vielen Punkte von N \ Tr ; so besteht für alle genügend großen m die Menge g1 .Tr '"m / aus r disjunkten kompakten Mengen Kj so, dass yj 2 Kj ; j D 1; : : : ; r (wieso?) R Dann kann man '"m .g.y// .y/ dn y in Integrale über die Kj aufspalten und in jedem einzelnen dieser Integrale die Transformationsformel anwenden.) 11.12. Es sei ih die Translation um den Vektor he i in Rn ; also ih .x/ WD x C he i für h 2 R. Man zeige, dass die distributionelle Ableitung in folgendem Sinn ein Limes von Differenzenquotienten ist: 1 T ı ih T : @i T D lim h!0 h h¤0 11.13. Es sei v D .v1 ; : : : ; vn / 2 Rn ein fester Vektor. Man zeige, dass im Sinne der Konvergenz in D0 .Rn / Folgendes gilt: X ı.x hv/ ı.x C hv/ D vj @j ı.x/ : 2h n
lim
h!0 h¤0
j D1
Bemerkung: Dies ist der Grund dafür, dass man die ersten Ableitungen der Deltafunktion als mathematische Beschreibung von Dipolen auffassen kann. 11.14. Man zeige: Ist T 2 Sn ; so sind auch alle Ableitungen D ˛ T temperiert. 11.15. Sei f .x/ WD sin ex ; x 2 R. Man zeige: a. T D Œf und T 0 D Œf 0 sind temperiert. b. f 0 ist nicht von polynomialem Wachstum. c. Die Formel Z1 0 f 0 .x/'.x/ dx hT ; 'i D 1
gilt für alle ' 2 S1 ; wenn man das Integral als bedingt konvergentes uneigentliches Integral auffasst. Für gewisse Testfunktionen (z. B. die aus Aufgabe 11.2) ist es aber kein L EBESGUE-Integral. 11.16. Sei ˝ D a; bŒ ein offenes Intervall (1 a < b C1), sei 1 2 D0 .˝/ die von der konstanten Funktion 1 erzeugte reguläre Distribution, also Zb h1; 'i D
'.x/ dx ; a
und sei W WD f
2 D.˝/ j h1; i D 0g :
380
11 Distributionen und temperierte Distributionen
Man zeige nacheinander: a. Für Testfunktionen 2 D.˝/ gilt: 2 W ” ' 2 D.˝/. b. Ist '0 2 D.˝/ so, dass h1; '0 i ¤ 0; so ist
D ' 0 für eine Testfunktion
D.˝/ D LH.'0 / ˚ W ; d. h. jedes ' 2 D.˝/ hat eine eindeutige Zerlegung in der Form ' D c'0 C mit c 2 C und 2 W . c. Ist T 2 D0 .˝/ eine Distribution, deren Distributionsableitung verschwindet, so ist T eine Konstante, genauer T D c1 für ein c 2 C. (Hinweis: Man betrachte die Distributionen der Form S D T c1 und verwende die Zerlegung aus b., um c geschickt zu wählen.) d. Sei S 2 D0 .R/. Ist S 0 D 0 in ˝; so stimmt S in ˝ mit einer Konstanten überein. 11.17. Auf ˝ Da; bŒ sei ein System von homogenen linearen Differentialgleichungen 1. Ordnung y 0 D A.x/y ./ gegeben. Die Koeffizientenmatrix A.x/ D .ajk .x// bestehe dabei aus C 1 -Funktionen ajk auf ˝. Wir sagen, die Funktionen u1 ; : : : ; un bilden eine klassische Lösung von ./; wenn für alle x 2 ˝ die Gleichungen n X
u0j .x/ D
ajk .x/uk .x/
j D 1; : : : ; n
kD1
erfüllt sind (was die Existenz der auftretenden Ableitungen einschließt!). Die Distributionen T1 ; : : : ; Tn 2 D0 .˝/ bilden eine Distributionslösung, wenn die Gleichungen n X Tj0 D ajk Tk ; j D 1; : : : ; n kD1 0
in D .˝/ gelten. Man zeige: a. Ist u D .u1 ; : : : ; un / eine klassische Lösung von ./; so sind die Funktionen uj 2 C 1 .˝/ für j D 1; : : : ; n. (Hinweis: Durch Induktion nach m zeigt man, dass uj 2 C m .˝/ für alle m.) b. Ist T D .T1 ; : : : ; Tn / eine Distributionslösung von ./; so sind alle Tj reguläre Distributionen Tj D Œuj mit C 1 -Funktionen uj ; die eine klassische Lösung bilden. Der Übergang zu Distributionen führt also nicht zu zusätzlichen Lösungen. (Hinweis: Sei ˚.x/ D fjk .x/ eine Fundamentalmatrix für ./ (vgl. etwa [36], Kap. 8), und sei ˚.x/1 D .gjk .x//. Die gjk sind dann C 1 Funktionen (wieso?), also kann man Distributionen Sj WD
n X kD1
gjk Tk ;
j D 1; : : : ; n
Aufgaben
381
oder kurz: S WD ˚ 1 T bilden. Man folgere T D ˚S ; differenziere diese Gleichung, verwende ./ und dann Aufgabe 11.16c.) c. Man folgere: Jede Distributionslösung der Differentialgleichung y .n/ C a1 .x/y .n1/ C C an1 .x/y 0 C an .x/y D 0 mit Koeffizienten a1 ; : : : ; an 2 C 1 .˝/ ist schon eine klassische Lösung und gehört zu C 1 .˝/. d. Man bestimme alle Lösungen T 2 D0 .R/ der inhomogenen Differentialgleichung y 00 C y D ı.x/ : (Hinweis: Eine spezielle Lösung gewinnt man durch intelligentes Raten oder durch „Variation der Konstanten“.) 11.18. a. Man zeige: 1 X
cos.2k 1/x D
kD1
1 X .1/k ı.x k / 2 kD1
im Sinne der Konvergenz in D0 .R/. (Hinweis: Die 2 -periodische Funktion f; die in Œ ; mit f .x/ D . =4/jxj übereinstimmt, kann leicht in eine F OURI ERreihe entwickelt werden. Diese differenziere man zweimal.) b. Ebenso zeige man 1 1 X 1 X ikx e D ı.x C 2k / : 2 kD1
kD1
(Hinweis: Hier gehe man aus von der periodisch fortgesetzten Funktion, die auf Œ0; 2 Œ mit 16 .3x 2 6 x C 2 2 / übereinstimmt.) 11.19. Eine doppelt unendliche Folge .ck /k2Z heißt von polynomialem Wachstum, wenn es Zahlen C 0; m 2 N0 gibt so, dass jck j C.1 C k 2 /m
8k 2 Z :
Man zeige: a. Wenn .ck /k2Z von polynomialem Wachstum ist, so konvergiert die Reihe T D
1 X
ck eikx
kD1
in S10 gegen eine temperierte Distribution (Hinweis: Man benutze ProdukP T . 2 tintegration sowie die Tatsache, dass 1 k < 1 ist. Außerdem hilft Satz kD1 11.25.)
382
11 Distributionen und temperierte Distributionen
b. Diese Distribution ist 2 -periodisch, d. h. für die Translationen j .y/ WD y C 2 j gilt T ı j D T . 1 X c. F ŒT D ck ı.x k/ : kD1
11.20. Für jede 2 -periodische Distribution T 2 D0 .R/ definiert man die F OURI ERkoeffizienten durch D E k2Z; (11.77) ck WD .2 /1 T .x/; ˛.x/ eikx ; wobei ˛ 2 D.R/ eine fest gewählte Testfunktion ist, für die 1 X
˛.x C 2k / 1
(11.78)
kD1
ist. Man zeige nacheinander: a. Ist ' 2 D.R/; so ist ' .x/ WD
1 X
'.x C 2k /
kD1
eine 2 -periodische C 1 -Funktion. (Hinweis: Auf jedem beschränkten Teilintervall besteht die Summe nur aus endlich vielen nichtverschwindenden Gliedern!) b. Sei ' 2 D.R/ eine nichtnegative Testfunktion so, dass '.x/ ı > 0 für jxj . Dann ist ˛ WD '=' eine Testfunktion, die (11.78) erfüllt. Bemerkung: Es gibt also solche Testfunktionen, und daher kann man die F OU RIERkoeffizienten von periodischen Distributionen definieren. Sie hängen auch nicht davon ab, welche derartige Funktion ˛ man bei der Definition heranzieht. Das werden wir in Aufgabe 13.9 sehen. c. Ist T D Œf mit einer lokal integrierbaren 2 -periodischen Funktion f; so ist 1 ck D 2
Z2
f .x/ eikx dx
8k ;
0
der klassische F OURIERkoeffizient. ikx i D 2 ıjk für alle j; k 2 Z. d. h eijx ; ˛.x/ P e imx e. Ist T D 1 b ; wobei die Reihe in D0 .R/ konvergiert, so ist bm D mD1 m e cm für alle m; d. h. die Koeffizienten in solch einer Reihenentwicklung müssen die F OURIERkoeffizienten sein. f. Die doppelt unendliche Folge .ck /k der F OURIERkoeffizienten einer 2 -periodischen Distribution T ist stets von polynomialem Wachstum (vgl. Aufgabe 11.19). (Hinweis: Man verwende Satz 11.12a. sowie die L EIBNIZregel.)
Aufgaben
383
Bemerkung: Nach Aufgabe 11.19b. existiert also in S10 die Summe SD
1 X
ck eikx :
kD1
Man kann beweisen, dass stets S D T ist (vgl. etwa [101]). Also ist jede periodische Distribution temperiert und im Sinne von S10 die Summe ihrer F OURI ERreihe. P 11.21. Jedes Polynom j˛jN c˛ x ˛ ; c˛ 2 C definiert eine temperierte Distribution ŒP (wieso?). Man berechne ihre F OURIERtransformierte F ŒP und zeige insbesondere, dass F ŒP außerhalb des Nullpunkts verschwindet. (Hinweis: Man kombiniere die Informationen aus Theorem 11.33a., c. mit Beispiel 11.35.) 11.22. Man zeige: Die F OURIERtransformierte einer rotationssymmetrischen temperierten Distribution ist wieder rotationssymmetrisch. 11.23. Für > 0 sei S .y/ WD y die Streckung um den Faktor . Man nennt eine Distribution T homogen vom Grad . 2 R/; wenn T ı S D T
8 > 0 :
Man zeige: a. Die Deltafunktion ı0 2 D0 .Rn / ist rotationssymmetrisch und homogen vom Grad D n. b. Ist T homogen vom Grad ; so ist D ˛ T homogen vom Grad j˛j für jeden Multiindex ˛. c. Ist T 2 Sn0 homogen vom Grad ; so ist F ŒT homogen vom Grad n.
Kapitel 12
Einige spezielle Distributionen
Bei den physikalischen Anwendungen der Distributionstheorie stehen verschiedene Typen von konkret gegebenen Distributionen im Vordergrund, und wir wollen in diesem Kapitel einige dieser Typen und ihre rechnerischen Beziehungen untereinander vorstellen. Wir beginnen mit einer Klasse von Distributionen T; bei denen die Ableitungen einer Testfunktion ' in die Berechnung des Wertes hT; 'i nicht explizit eingehen, und klären die Beziehung dieser Distributionen zu dem Maßen. Im weiteren Verlauf besprechen wir dann Distributionen, die die Ableitungen der Testfunktionen (bis zu einer gewissen Ordnung) tatsächlich „spüren“. Hierzu zählen die in Abschn. B zu besprechenden mehrfachen Schichten, die man sich als Verteilungen von Multipolmomenten auf einer Fläche im Raum (oder allgemeiner: auf einer Untermannigfaltigkeit des Rn ) vorstellen kann. In den Abschn. C–E geht es dann um verschiedene Konstruktionen von Regularisierungen divergenter Integrale, d. h. um singuläre Distributionen, welche aus Funktionen entstehen, die in gewissen Punkten nicht lokal integrabel sind, so dass man, um diese Singularitäten auszugleichen, gewissermaßen unendliche Beträge geschickt abziehen muss. Hier zeigt es sich, dass die Distributionstheorie der richtige begriffliche Rahmen für die verschiedensten Typen von bedingt konvergenten uneigentlichen Integralen ist. Im letzten Abschnitt führen wir schließlich die Berechnung von F OURIER transformierten von temperierten Distributionen in einigen wichtigen Fällen vor. Dabei konzentrieren wir uns auf eine Rechentechnik, bei der das Prinzip der analytischen Fortsetzung dazu ausgenutzt wird, Formeln rigoros herzuleiten, bei denen auf beiden Seiten Regularisierungen von divergenten Integralen stehen, so dass die formal dort auftretenden Integrale nicht mehr wörtlich genommen werden dürfen. Wir müssen uns bei all dem aus Platzgründen auf einige wenige Andeutungen beschränken und verweisen für ausführlicheres Beispielmaterial auf die Fachliteratur, vor allem auf [33].
K.-H. Goldhorn, H.-P. Heinz, M. Kraus, Moderne mathematische Methoden der Physik DOI 10.1007/978-3-540-88544-3, © Springer 2009
385
386
12 Einige spezielle Distributionen
A Distributionen nullter Ordnung Zunächst wollen wir präzisieren, was es heißt, dass eine Distribution die Ableitungen bis zur m-ten Ordnung „spürt“. Dazu erinnern wir uns an die Stetigkeitsbedingung aus Satz 11.12a. Dort wurde für jede kompakte Teilmenge K ˝ die Gültigkeit einer Abschätzung der Form (11.22) für alle ' mit Tr ' K verlangt. Die dabei auftretende Zahl m gibt an, wie viele Ableitungen von ' an der Beschränkung des Wertes hT; 'i beteiligt sind. Sie hängt von K ab, und man wird bestrebt sein, sie möglichst klein zu wählen, damit auf der rechten Seite nicht Ableitungen erscheinen, die in Wirklichkeit keine Rolle spielen. Daher definiert man: Definition 12.1. Sei T 2 D0 .˝/; wo ˝ Rn offen ist. Für kompaktes K ˝ sei o.KI T / die kleinste Zahl m; zu der es C 0 gibt so, dass (11.22) für alle ' 2 D.˝/ mit Tr ' K gilt. Die Ordnung ist dann definiert als o.T / WD supfo.KI T / j K ˝ kompaktg : Die Ordnung kann also den Wert C1 annehmen, z. B. für ˝ D R1 und T WD
1 X
ı .k/ .x k/ :
kD0
Aber lokal ist sie immer endlich. Ist nämlich T 2 D0 .˝/ beliebig, und ist ˝1 eine beschränkte offene Teilmenge mit ˝1 ˝; so wähle man K D ˝1 in Satz 11.12a., um zu erkennen, dass die Ordnung von T in ˝1 endlich ist. Für m D 0 lautet (11.22) jhT; 'ij C.K/ max j'.x/j D C.K/k'k1 x2˝
8 ' 2 D.˝/ mit Tr ' K ;
(12.1) und das erinnert an unsere Diskussion der R ADON-Maße in Abschn. 10F (insbes. 10.71). Tatsächlich hat man Beispiel 12.2. Sei ein R ADONmaß in ˝ und f 2 L1 .˝; /. Dann ist durch Z hT; 'i WD f ' d ; ' 2 D.˝/ (12.2) ˝
eine Distribution nullter Ordnung definiert, denn offenbar ist jhT; 'ij C.K/k'k1
mit C.K/ WD kf k1 .Tr0 / :
Von diesem Typ sind alle regulären Distributionen, denn für g 2 L1loc .˝/ betrachten wir das R ADONmaß WD jgjn (vgl. Beispiel 10.31b. sowie die Ausführungen im Anschluss an Def. 10.36) und haben dann Z hŒg; 'i D f ' d
A Distributionen nullter Ordnung
387
(
mit f .x/ WD
g.x/=jg.x/j ; 0
falls g.x/ ¤ 0 ; sonst :
Weiter gehören Deltafunktionen an verschiedenen Punkten dazu sowie deren (endliche oder unendliche) Linearkombinationen (vgl. Beispiel 11.24d.). Auf der reellen Geraden wird durch die L EBESGUE -S TIELTJES-Maße eine Fülle von Beispielen geliefert. Besonders bemerkenswert ist die Tatsache, dass mit Beispiel 12.2 alle Distributionen nullter Ordnung erschöpft sind. Das liegt am R IESZschen Darstellungssatz in der folgenden, allgemeineren Version, für deren Beweis wir auf [27] oder [78] verweisen: Theorem 12.3 (R IESZscher Darstellungssatz). Sei W Cc .˝/ ! K ein lineares Funktional, das die folgende Stetigkeitsbedingung erfüllt: Zu jedem kompakten K ˝ gibt es eine Konstante C D C.K/ so, dass j.h/j C.K/khk1
für alle h 2 Cc .˝/ mit Tr h K :
Dann gibt es genau ein vollständiges R ADONmaß in ˝ und eine – bis auf Übereinstimmung -f. ü. eindeutig bestimmte – Funktion f 2 L1 .˝; / so, dass Z .h/ D f .x/h.x/ d.x/ 8h 2 Cc .˝/ : ˝
Dabei ist jf .x/j D 1 -f. ü. Uns geht es hauptsächlich um die folgende Konsequenz: Korollar 12.4. Jede Distribution nullter Ordnung ist von der in Beispiel 12.2 beschriebenen Form. Beweis. Zu kompaktem K ˝ betrachten wir die beiden normierten linearen Räume D.˝I K/ WD f' 2 D.˝/ j Tr ' Kg ; Cc .˝I K/ WD fh 2 Cc .˝/ j Tr h Kg ; beide mit der Maximumsnorm k k1 . Wie wir aus Theorem 11.7c. wissen, kann jedes h 2 Cc .˝I K/ durch Funktionen der Form '" h gleichmäßig approximiert werden ('" wie im zitierten Theorem!), und für genügend kleines " > 0 gehört '" h zu D.˝I K/. Daher ist D.˝I K/ dicht in Cc .˝I K/. Nun sei T 2 D0 .˝/ eine beliebige Distribution nullter Ordnung. Zu unserer kompakten Teilmenge K gibt es dann eine Konstante C.K/ so, dass (12.1) gilt. Das bedeutet aber, dass T ein beschränktes lineares Funktional auf D.˝I K/ ist. Nach dem BLE-Theorem (Theorem 8.7) kann T also eindeutig zu einem beschränkten linearen Funktional auf Cc .˝I K/ fortgesetzt werden, das durch die Formel .h/ WD lim hT; 'm i m!1
(12.3)
388
12 Einige spezielle Distributionen
gegeben ist, und zwar mit einer Folge .'m / D.˝I K/; die gleichmäßig gegen h konvergiert. Man überlegt sich aber leicht, dass diese Fortsetzung gar nicht von der betrachteten kompakten Menge K abhängt. Vielmehr ist durch (12.3) eine eindeutige Fortsetzung von T zu einem linearen Funktional auf Cc .˝/ definiert, wobei man allerdings zu gegebenem h 2 Cc .˝/ die approximierende Folge .'m / D.˝/ so wählen muss, dass die Träger der 'm alle in einer gemeinsamen kompakten Teilmenge von ˝ liegen. Die Behauptung folgt nun durch Anwendung von Theorem 12.3 auf . t u Bemerkungen: (i) Der Beweis zeigt, dass die Funktion f in (12.2) so gewählt werden kann, dass jf .x/j D 1 -f. ü. ist (und dass hierdurch die Klasse Œf 2 L1 .˝; / eindeutig bestimmt ist). Bei dieser Darstellung kann der Träger von T als das Komplement der größten offenen -Nullmenge beschrieben werden, wie man sich leicht überlegt (Übung!). Man bezeichnet Tr T daher auch als den Träger des R ADONmaßes . Insbesondere bedeutet Bedingung (T) aus Abschn. 10F (vgl. die Bemerkung im Anschluss an Satz 10.37), dass der Träger von ganz ˝ ist. (ii) Eine Distribution T von nullter Ordnung kann nicht nur – wie in Satz 11.13 – mit C 1 -Funktionen multipliziert werden, sondern mit beliebigen stetigen Funktionen h W ˝ ! C. Man setzt einfach hhT; 'i WD .h'/ ;
' 2 D.˝/ ;
(12.4)
wobei die durch (12.3) gegebene Fortsetzung von T auf Cc .˝/ ist. Zu guter Letzt wollen wir noch festhalten, dass die Monotoniebedingung (10.72) ganz automatisch sicherstellt, dass man es mit einer Distribution nullter Ordnung, also mit einem R ADONmaß, zu tun hat. Satz 12.5. Sei T W D.˝/ ! C ein lineares Funktional, das auf reellen Testfunktionen reelle Werte annimmt und die Monotoniebedingung '1 '2 H) T .'1 / T .'2 /
für '1 ; '2 2 D.˝/ reellwertig
erfüllt. Dann ist T eine Distribution nullter Ordnung, gegeben durch Z T .'/ D ' d
(12.5)
(12.6)
˝
mit einem eindeutigen vollständigen R ADONmaß . Beweis. Wir zeigen zunächst, dass T eine Distribution nullter Ordnung ist. Dazu betrachten wir ein kompaktes K ˝ und wählen gemäß Lemma 11.8 ein 2 D.˝/ mit 1 auf K und 0 1 auf ganz ˝. Für reellwertiges ' 2 D.˝I K/ (Bezeichnungen wie im Beweis von Kor. 12.4!) haben wir dann punktweise k'k1 ' k'k1 ; also wegen (12.5) auch k'k1 T ./ T .'/ k'k1 T ./ :
B Schichten und mehrfache Schichten
389
Das bedeutet, dass jT .'/j C k'k1 für alle reellwertigen Testfunktionen, wobei C WD T ./ 0 ist. Für komplexwertige Testfunktionen ergibt sich daraus durch Zerlegung in Real- und Imaginärteil eine analoge Abschätzung (mit der doppelten Konstanten). Jedenfalls erfüllt T die Stetigkeitsbedingung (12.1), die eine Distribution nullter Ordnung charakterisiert. Diese ermöglicht es auch, T zu einem linearen Funktional auf Cc .˝/ fortzusetzen, und nach (12.3) ist klar, dass die Monotoniebedingung (10.72) erfüllt. Der R IESZsche Darstellungssatz in der Form 10.40 liefert daher das gesuchte R A DON maß . t u
B Schichten und mehrfache Schichten Häufig trifft man auf Distributionen, die auf eine Teilmannigfaltigkeit M von Rn konzentriert sind, d. h. die außerhalb von M verschwinden. Ist z. B. eine stetige Funktion W M ! R gegeben und ist dk das k-dimensionale Flächenelement auf der k-dimensionalen Teilmannigfaltigkeit M; so können wir definieren Z hS; 'i WD ' dk (12.7) M
und erhalten so eine Distribution, die die Verteilung einer physikalischen Größe beschreibt, wenn diese Größe auf M konzentriert ist und dort die k-dimensionale Flächendichte hat. Solche Distributionen werden – zumindest im Fall k D n 1 – als Schichten bezeichnet. Man kann aber die Differentialform dk auch durch eine ganz beliebige (stetige) k-Form ! auf M ersetzen und erhält dann Z hT; 'i WD '! : (12.8) M
Man überlegt sich leicht, dass beide Formeln Distributionen nullter Ordnung definieren (Übung!). In der Physik ist es jedoch üblich, solche Situationen mit Hilfe der Deltafunktion zu beschreiben. Um dies näher zu erläutern, beschränken wir uns auf den Fall k D n 1; also auf Hyperflächen, und nehmen überdies an, M sei als die Lösungsmenge einer Gleichung P .x/ D 0 gegeben. Dabei sei P eine reelle C 1 -Funktion der Variablen x D .x1 ; : : : ; xn / 2 Rn ; für die die Regularitätsbedingung P .x/ D 0 H) rP .x/ ¤ 0
(12.9)
390
12 Einige spezielle Distributionen
erfüllt ist, so dass M D P 1 .0/ tatsächlich eine reguläre Hyperfläche ist. Nun sei ı D ı0 2 D0 .R/ die eindimensionale Deltafunktion im Nullpunkt. Man versucht, der „zusammengesetzten Funktion“ ı ı P einen vernünftigen Sinn zu verleihen. In Def. 11.26 haben wir zwar T ı g für einen Diffeomorphismus g definiert, aber dies kann nicht auf allgemeine differenzierbare Abbildungen ausgedehnt werden. Für unseren Spezialfall gehen wir von der Beziehung ı D 0 aus (vgl. das Beispiel zwischen Def. 11.28 und Satz 11.29) und stellen uns auf den Standpunkt, dass die Kettenregel die Beziehungen @P @ .P .x// D ı.P .x// ; @xj @xj
j D 1; : : : ; n
(12.10)
liefern würde, wenn die H EAVISIDEsche Sprungfunktion glatt wäre. Wir versuchen daher, ı.P .x// so zu definieren, dass dies richtig bleibt. Die Distributionsableitungen von ı P können mit Hilfe des G AUSSschen Integralsatzes leicht berechnet werden. Dazu setzen wir G WD fx j P .x/ > 0g und beachten, dass @G D P 1 .0/ D M wegen (12.9). Der äußere Normaleneinheitsvektor ist im Punkt x 2 @G offenbar gegeben durch rP .x/ ; (12.11) .x/ D jrP .x/j und diese Formel definiert sogar ein Vektorfeld in einer offenen Umgebung U von @G. Zur Testfunktion ' betrachten wir die Vektorfelder K j .x/ WD 'xj e j ; j D 1; : : : ; n und erhalten mit dem G AUSSschen Integralsatz Z @ .P .x//; '.x/ D @j '.x/ dn x @xj G Z Z ' j dn1 D K dn1 D Z D
M
@G
@j P dn1 : ' jrP j
M
Wir können also (12.10) erfüllen, indem wir setzen Z hı ı P; 'i WD P 1 .0/
'.x/ dn1 .x/ : jrP .x/j
(12.12)
In der Praxis ist es nicht immer einfach, das Flächenelement dn1 auf M explizit zu bestimmen. Daher ist die folgende alternative Beschreibung von ı.P .x// vorteilhaft, die eine größere rechnerische Flexibilität gestattet:
B Schichten und mehrfache Schichten
391
Satz 12.6. Sei (12.9) erfüllt, und sei U eine offene Umgebung von M WD P 1 .0/. Ist ! irgendeine glatte .n 1/-Form, für die dP ^ ! D dn x dx1 ^ ^ dxn gilt, so ist für jede Testfunktion ' 2 D.U /
(12.13)
Z
hı.P .x//; '.x/i D
'! :
(12.14)
M
Beweis. Setze !0 WD iX dn x mit X WD rP .x/=jrP .x/j2 . Diese .n 1/-Form ist in einer offenen Umgebung von M definiert, und ihre Einschränkung auf M ist bekanntlich hX j i dn1 (vgl. (4.34)). Also ist nach (12.11) Z Z Z Z ' hrP j rP i dn1 '!0 D 'hX j i dn1 D ' dn1 D jrP j3 jrP j M
M
M
M
D hı.P .x//; '.x/i : Außerdem ist dP ^ !0 D dP .X / dn x D
hrP j rP i n d x D dn x ; jrP j2
d. h. !0 erfüllt (12.13). Nun sei ! eine weitere n1-Form, die (12.13) erfüllt. Dann ist dP ^.! !0 / D 0. Wie wir unten in Lemma 12.7 zeigen werden, gibt es dann eine .n 2/-Form ˇ mit ! !0 D dP ^ ˇ. Wegen dP jM D 0 ist also !jM D !0 jM und somit Z Z '! D '!0 D hı.P .x//; '.x/i : M
M
t u Hier noch das im letzten Beweis benötigte Lemma (das wir auch unten bei der Behandlung von mehrfachen Schichten noch brauchen werden): Lemma 12.7. In einer offenen Menge U Rn seien eine glatte 1-Form ˛ und eine glatte .n 1/-Form gegeben, wobei ˛x ¤ 0 für alle x 2 U sein möge. Ist ˛ ^ D 0; so ist D ˛ ^ ˇ mit einer glatten .n 2/-Form ˇ. Hat kompakten Träger, so kann man auch ˇ mit kompaktem Träger wählen. Beweis. Sei x0 2 U . Den Kovektor ˛x0 ¤ 0 können wir durch Kovektoren ˇ2 ; : : : ˇn zu einer Basis von .Rn / ergänzen. Für alle x aus einer gewissen offenen Umgebung U.x0 / bilden f˛x ; ˇ2 ; : : : ; ˇn g dann immer noch eine Basis von .Rn / . Dann hat in U.x0 / die Form D c1 .x/ˇ2 ^ ^ ˇn C
n X kD2
ck .x/˛ ^ ˇ2 ^ ^ ˇOk ^ ^ ˇn
392
12 Einige spezielle Distributionen
mit C 1 -Funktionen c1 ; : : : ; cn . Die Voraussetzung ergibt daher 0 D ˛ ^ D c1 .x/˛ ^ ˇ2 ^ ^ ˇn und somit D
n X
ck .x/˛ ^ ˇ2 ^ ^ ˇOk ^ ^ ˇn D ˛ ^ ˇ
kD2
mit ˇ WD
n X
ck .x/ˇ2 ^ ^ ˇOk ^ ^ ˇn :
kD2
Jeder Punkt x0 2 U hat also eine offene Umgebung, in der die Behauptung richtig ist. Nun nehmen wir an, hat den kompakten Träger K. Dann kann man K mit endlich vielen offenen Mengen U1 ; : : : ; Um überdecken, in denen die Behauptung gilt. Wir haben also D ˛ ^ ˇ`
in U` ;
` D 1; : : : ; m :
Sei h1 ; : : : ; hm eine dieser Überdeckung untergeordnete glatte Zerlegung der Eins (vgl. Theorem 4.2). Dann hat m X h` ˇ` ˇ WD `D1
ebenfalls kompakten Träger, und es ist ˛^ˇ D
m X `D1
h` .˛ ^ ˇ` / D
m X
! h` D :
`D1
„ ƒ‚ … D1 in K
Auch wenn der Träger von nicht kompakt ist, kann man durch Betrachtung geeigneter Überdeckungen und entsprechender Teilungen der Eins die Behauptung für ganz U beweisen. Gegenüber dem, was in Theorem 4.2 gesagt wurde, muss die Theorie der Teilungen der Eins hierfür allerdings noch etwas verfeinert werden, aber das wollen wir übergehen, zumal diese Verfeinerung in den meisten praktisch vorkommenden Fällen gar nicht nötig ist. t u Beispiel: In der relativistischen Quantenmechanik wird die Bewegung eines Teilchens der Masse m 0 im Impulsraum durch eine Wellenfunktion beschrieben, die auf die „Massenschale“ ˚ M WD .p0 ; p/ D .p0 ; p1 ; p2 ; p3 / 2 R4 j p02 D m2 C jpj2 konzentriert ist. Solch eine Wellenfunktion ist also, genau genommen, eine Distribution, und zwar eine Schicht auf der Teilmannigfaltigkeit M D P 1 .0/; wobei P .p0 ; p1 ; p2 ; p3 / WD m2 C jpj2 p02
B Schichten und mehrfache Schichten
393
gesetzt wurde. Im Falle massiver Teilchen (m > 0) ist (12.9) erfüllt, und die Schicht hat die Form .p0 ; p/ı m2 C jpj2 p02 : Im Falle masseloser Teilchen (m D 0) hingegen ist (12.9) im Nullpunkt nicht erfüllt. Dann ist M nur eine Teilmannigfaltigkeit von R4 n f0g; aber nicht von ganz R4 . Im Nullpunkt müssen die Wellenfunktionen daher auf geeignete Weise „regularisiert“ werden (vgl. z. B. [33]).
Mehrfache Schichten Häufig benötigt man auch Distributionen der Gestalt ı 0 ıP; ı 00 ıP usw., die ebenfalls die Hyperfläche M D P 1 .0/ als Träger haben und die Kettenregel erfüllen, d. h. @ .k/ @P .kC1/ ı .P .x// D ı .P .x// ; @xj @xj
j D 1; : : : ; n
(12.15)
sowie ı .0/ .P .x// D ı.P .x//. Für die Konstruktion dieser Distributionen müssen wir allerdings etwas weiter ausholen. Wir bezeichnen Differentialformen mit kompaktem Träger dabei als finite Formen. Lemma 12.8. Seien P; U; M wie in Satz 12.6, aber rP .x/ ¤ 0 8 x 2 U . Sei ' 2 D.U / gegeben. a. Es gibt in U eine Folge !0 ; !1 ; !2 ; : : : von finiten glatten .n 1/-Formen, für die gilt: k D 0; 1; 2; : : : (12.16) d!k D dP ^ !kC1 ; sowie !0 D '!; wo ! die Gleichung (12.13) löst. b. Sei 1 j n. Angenommen, in der offenen Menge U0 U können durch uj D P .x1 ; : : : ; xn / ;
ui D xi
für i ¤ j
(12.17)
neue Koordinaten eingeführt werden, wobei die inverse Koordinatentransformation durch x D Q.u/ gegeben ist. Dann können die !k ; k 0 so gewählt werden, dass sie in U0 die Gestalt ! k 'ıQ j 1 @ du1 ^ ^ duj ^ ^ dun !k D .1/ (12.18) @ukj Pxj ı Q
b
haben. R c. Die Zahlen Ak WD M !k hängen nicht von der gewählten Lösungsfolge .!k / des Gleichungssystems (12.16) ab, sondern nur von ' und P . Beweis. (i) Sei U0 wie in Teil b. Wir zeigen zunächst, dass !0 D '! in der Form (12.18) gewählt werden kann. Für die Funktionaldeterminante der Koordinatentransformation (12.17) gilt offenbar @P @.u1 ; : : : ; un / D D Pxj @.x1 ; : : : ; xn / @xj
394
12 Einige spezielle Distributionen
und insbesondere Pxj ¤ 0. Also ist dn x D
1 du1 ^ ^ dun : Pxj .Q.u//
(12.19)
Die Gleichung (12.13) lautet daher in den u-Koordinaten: duj ^ ! D
1 du1 ^ ^ dun : Pxj .Q.u//
Gleichung (12.13) wird daher gelöst durch ! D .1/j 1
1 O j ^ ^ dun ; du1 ^ ^ du Pxj ı Q
und dann hat !0 D '! die Gestalt (12.18). Es bleibt nachzurechnen, dass die Formen (12.18) für alle k die Beziehung (12.16) erfüllen. Diese Rechnung ist wegen dP D duj aber trivial. Somit ist b. bewiesen. (ii) Nun zeigen wir a. Der Träger K von ' ist eine kompakte Teilmenge von U; und in jedem x0 2 K ist rP .x0 / ¤ 0; also Pxj .x0 / ¤ 0 für mindestens ein j . Nach dem Satz über inverse Funktionen ist daher die Koordinatentransformation (12.17) in einer gewissen offenen Umgebung U0 von x0 möglich, Teil b. also anwendbar. In U0 existieren somit Formen !k0 ; die (12.16) erfüllen. Nach den Sätzen aus Abschn. 11D kann man K durch endlich viele derartige offene Mengen überdecken und hierzu eine glatte Zerlegung der Eins wählen. Damit gewinnt man die Formen !k nun genauso wie im Beweis von Lemma 12.7. Die Konstruktion zeigt auch, dass die so gebildeten Formen finit sind. (iii) Zum Beweis von c. benötigen wir die Behauptung. Sind .!k /; .!Q k / zwei Folgen von Formen mit den in b. geforderten Eigenschaften, so ist für alle k 0 !k !Q k D d˛k C ˇk ^ dP
(12.20)
mit glatten finiten .n 2/-Formen ˛k ; ˇk . Dies beweisen wir durch Induktion nach k. Aus (12.13) folgt zunächst dP ^ .! !/ Q D dn x dn x D 0 ; also ! !Q D dP ^ ˇ mit einer finiten .n 2/-Form ˇ (Lemma 12.7). Das ergibt !0 !Q 0 D ' dP ^ ˇ ; also (12.20) mit ˛0 D 0; ˇ0 D 'ˇ. Nun sei (12.20) für k bewiesen. Mit (12.16) folgt dann dP ^ .!kC1 !Q kC1 / D d!k d!Q k D d. d˛k C ˇk ^ dP / D dˇk ^ dP D .1/n1 dP ^ dˇk ; folglich dP ^ Œ!kC1 !Q kC1 .1/n1 dˇk D 0 :
B Schichten und mehrfache Schichten
395
Alle auftretenden Formen sind finit. Erneute Anwendung von Lemma 12.7 liefert daher eine finite Form so, dass !kC1 !Q kC1 D .1/n1 dˇk C dP ^ : Mit ˛kC1 WD .1/n1 ˇk und ˇkC1 WD haben wir also (12.20) für k C 1. (iv) Wir leiten Teil c. aus der obigen Behauptung her. Mit (12.20) und dem allgemeinen S TOKESschen Satz (Theorem 4.28) ergibt sich Z Z Z .!k !Q k / D d˛k D ˛k ; M
M
@M
denn dP verschwindet ja auf M D P 1 .0/. Ist M kompakt, so hat M keinen Rand wegen (12.9) und dem Satz über implizite Funktionen. Ist M hingegen nicht kompakt, so betrachten wir eine offene Menge V; die den Träger von ' (und damit die Träger aller auftretenden Formen!) umfasst und deren Rand glatt ist und M transversal schneidet. Dann ist @.M \ V / D M \ @V; also ˛k 0 auf @.M \ V /. Der S TOKESsche Satz, angewandt auf die Mannigfaltigkeit M \ V ; ergibt dann Z Z Z d˛k D d˛k D ˛k D 0 : M \V
M
In beiden Fällen folgt
R M
!k D
R M
@.M \V /
!Q k ; wie behauptet.
t u
Nun können wir die Distributionen ı .k/ .P .x// einführen. Neben der direkten Definition durch Integration von geeigneten Differentialformen beschreiben wir sie auch durch den Grenzübergang h i in D0 .Rn / ; (12.21) ı .k/ ı P D lim h.k/ m ıP m!1
wo .hm / eine beliebige Folge von Testfunktionen ist, die die (eindimensionale) Deltafunktion approximiert (vgl. Beispiel 11.24c.). Diese Beschreibung vermittelt vielleicht am ehesten einen anschaulichen Eindruck davon, was man sich unter ı .k/ .P .x// vorzustellen hat. Satz 12.9. Sei P eine C 1 -Funktion, die (12.9) erfüllt, und sei M WD P 1 .0/; U WD fx j rP .x/ ¤ 0g. a. In D0 .Rn / gibt es genau eine Folge von Distributionen Tk DW ı .k/ ı P ı .k/ .P .x//; k D 0; 1; 2; : : : ; für die gilt: (i) (ii)
Tk 0 in Rn n M; und In U ist hTk ; 'i D .1/
Z k
!k .'/ ; M
k0:
(12.22)
396
12 Einige spezielle Distributionen
Dabei sind !k D !k .'/ Differentialformen von der in Lemma 12.8a. beschriebenen Art. b. Ist .hm / eine Folge in D.R/ mit hm + ı; so gilt (12.21) für alle k. c. ı .0/ .P .x// D ı.P .x//; und für alle k 0 gilt (12.15). Beweis. a. Der Beweis ist nicht schwer, aber seine präzise Formulierung ist recht umständlich, und darum beschränken wir uns auf die folgenden Andeutungen: In der offenen Menge U definiert man die Tk durch (12.22). Dabei zeigt Lemma 12.8c., dass es nicht auf die genaue Wahl der Formen !k .'/ ankommt, solange sie nur die Eigenschaften aus Teil a. dieses Lemmas haben. Um nachzuweisen, dass hTk ; 'i linear und stetig von ' 2 D.U / abhängt, zieht man sich mittels geeigneter Teilungen der Eins auf den Fall zurück, wo Tr ' U0 für eine Teilmenge U0 U; wie sie in Lemma 12.8b. betrachtet wird. Definiert man dann die !k .'/ in U0 durch Gl. (12.18), so sind Linearität und Stetigkeit klar. Ferner ist klar, dass die so definierten Tk in der offenen Menge U n M verschwinden. Daher können sie durch Null auf ganz Rn fortgesetzt werden. b. Wegen Aufg. 11.6 genügt es, die Gültigkeit von (12.21) lokal nachzuprüfen, d. h. in einer geeigneten offenen Umgebung U0 eines beliebigen Punktes. Wir wählen U0 so, dass die Voraussetzungen von Lemma 12.8b. gegeben sind. Dann gilt (12.19), also auch dn x D
.1/j 1 O j ^ ^ dun : duj ^ du1 ^ ^ du Pxj .Q.u//
Sei ' eine Testfunktion mit Tr ' U0 . Integrieren der Form h.k/ m .P .x//'.x/ dx1 ^ ^ dxn liefert nun Dh i E h.k/ ı P ;' D m Z '.Q.u// duj ^ du1 ^ ^ duj ^ ^ dun D .1/j 1 h.k/ m .uj / Pxj .Q.u// 0 1 Z Z '.Q.u ; : : : ; u // 1 n @ h.k/ duj A D .1/j 1 m .uj / Pxj .Q.u1 ; : : : ; un //
b
Rn1
R
du1 duj 1 duj C1 dun : Wir betrachten für einen Moment feste Werte der Variablen ui ; i ¤ j und setzen .t/ WD
'.u1 ; : : : ; uj 1 ; t; uj C1 ; : : : ; un / ; Pxj .u1 ; : : : ; uj 1 ; t; uj C1 ; : : : ; un /
B Schichten und mehrfache Schichten
397
wobei wir diese Testfunktion durch Null auf ganz R fortsetzen. Produktintegration und die Voraussetzung über die Folge .hm / ergeben dann Z Z k h.k/ .t/ .t/ dt D .1/ hm .t/ .k/ .t/ dt ! .1/k .k/ .0/ m R
R
für m ! 1. Dies kann über die Variablen ui ; i ¤ j integriert werden, denn da die Integranden stetig mit kompaktem Träger sind, ist die Vertauschung der Grenzprozesse völlig unproblematisch. Unter Verwendung von (12.18), (12.22) findet man also lim hŒhm ı P ; 'i D
m!1
D .1/
kCj 1
Z
Rn1
@k @ukj
'.u1 ; : : : ; uj 1 ; 0; uj C1 ; : : : ; un / Pxj .u1 ; : : : ; uj 1 ; 0; uj C1 ; : : : ; un /
!
du1 duj 1 duj C1 dun Z D .1/k !k .'/ D hı .k/ ı P; 'i ; P 1 .0/
d. h. für unsere lokale Situation ist (12.21) erwiesen. c. Wegen !0 .'/ D '! folgt die Beziehung ı .0/ .P .x// D ı.P .x// unmittelbar aus den Definitionen. Zum Beweis der Rechenregel (12.15) schreiben wir ı D limm!1 hm mit geeigneten Testfunktionen hm und bemerken, dass nach der klassischen Kettenregel @P .kC1/ @ .k/ hm .P .x// D h .P .x// ; @xj @xj m
j D 1; : : : ; n
ist. Für m ! 1 ergibt sich hieraus (12.15) wegen Teil b. und Satz 11.30. t u An einigen Beispielen soll nun gezeigt werden, dass diese Konstruktion in konkreten Fällen das liefert, was man erwartet: Beispiele 12.10. a. Das einfachste Beispiel ist die Koordinatenhyperebene xj D 0. Dann ist P .x/ D xj ; also rP .x/ D e j . In den Bezeichnungen von Lemma 12.8b. kann man also U0 D Rn und ui D xi ; i D 1; : : : ; n wählen und daher (12.18) global für die Definition von ı .k/ .P .x// heranziehen. Das Ergebnis ist Z @k ' dx1 ^ ^ dxj ^ ^ dxn hı .k/ .xj /; 'i D .1/kCj 1 @xjk xj D0 Z D .1/k @kj '.x1 ; : : : ; xj 1 ; 0; xj C1 ; : : : ; xn /
b
Rn1
dx1 dxj 1 dxj C1 dxn :
398
12 Einige spezielle Distributionen
Das Vorzeichen .1/j 1 sorgt dafür, dass die Orientierung auf der Koordinatenhyperebene die vom Normaleneinheitsvektor e j induzierte ist. Deshalb verschwindet es in der zweiten Zeile. b. Wir beschreiben die Sphäre vom Radius R > 0 in der Form P .x/ WD jxj R D 0. In Rn n f0g ist dann (12.9) erfüllt. Um ı .k/ .jxj R/ zu bestimmen, transformieren wir auf Polarkoordinaten, was in der Sprache der Differentialformen so aussieht: (12.23) dn x D r n1 dr ^ : Dabei ist r D jxj; und
b
n 1 X WD n .1/j 1 xj dx1 ^ ^ dxj ^ ^ dxn r j D1
ist das n-dimensionale Raumwinkelelement, dessen Einschränkung auf die Einheitssphäre Sn1 gerade deren .n 1/-dimensionales Flächenelement ist (vgl. Aufg. 3.4d.). Wegen dP D dr lässt ein Vergleich von (12.23) und (12.13) sofort erkennen, dass man ! WD r n1 wählen kann, also !0 .'/ D 'r n1 für ' 2 D.Rn n f0g/. Da bekanntlich eine geschlossene Form ist (vgl. Aufg. 4.7), ergibt sich d!0 .'/ D d.'r n1 / ^ D
@ .'r n1 / dr ^ : @r
Also wird (12.16) mit k D 0 durch @ .'r n1 / @r gelöst. So kann man fortfahren und findet durch Induktion !1 .'/ D
!k .'/ D
@k .'r n1 / @r k
für alle k. Da das Flächenelement auf der Sphäre r D R gerade dn1 D Rn1 ist, bekommen wir also das einleuchtende Ergebnis Z @k .1/k hı .k/ .jxj R/; 'i D n1 .'r n1 / dn1 : (12.24) R @r k rDR
Dies gilt sogar für alle ' 2 D.R /; da die Distribution außerhalb der Sphäre r D R verschwindet. Um die Formel noch etwas expliziter zu gestalten, schreiben wir x D r ; wo die Einheitssphäre Sn1 durchläuft, und erhalten ˇˇ Z @k .k/ k n1 ˇ '.r /r hı .jxj R/; 'i D .1/ dn1 . / : ˇ ˇ @r k n
Sn1
rDR
(12.25)
B Schichten und mehrfache Schichten
399
c. Nun beschreiben wir dieselbe Sphäre durch P .x/ WD jxj2 R2 D 0. Dann ist dP D 2r dr; also ergibt (12.23) dn x D
1 n2 r dP ^ ; 2
d. h. man kann (12.13) durch ! WD 12 r n2 erfüllen. Analoge Rechnungen wie im vorigen Beispiel – allerdings unter Beachtung von dr D 2r1 dP – führen nun zu 1 1 @ k n2 'r !k .'/ D 2 2r @r und damit zu hı
.k/
.1/k .jxj R /; 'i D 2 2
Z
2
Sn1
1 @ 2r @r
k ˇˇ n2 ˇ '.r /r ˇ ˇ
dn1 . / : rDR
(12.26) Die letzten beiden Beispiele werfen die Frage auf, wie sich generell die Deltafunktionen und ihre Ableitungen voneinander unterscheiden, wenn man ein und dieselbe Hyperfläche M durch zwei verschiedene Gleichungen P .x/ D 0; Q.x/ D 0 beschreibt. Beide Funktionen P und Q sollen natürlich (12.9) erfüllen. Ist ein Normaleneinheitsvektor an M; so haben wir nach DE L’H OSPITAL rQ.x/ .x/ jrQ.x/j Q.x C t.x// D D ¤0 t !0 P .x C t.x// rP .x/ .x/ jrP .x/j lim
für alle x 2 M; und daher kann man den Quotienten A.x/ WD Q.x/=P .x/ stetig auf M fortsetzen. Mittels TAYLORentwicklung überzeugt man sich leicht, dass auf diese Weise sogar eine C 1 -Funktion A in einer offenen Umgebung U von M definiert ist. Es gilt also Q D AP mit A.x/ ¤ 0 in U : (12.27) Daher wird unsere Frage durch den folgenden Satz vollständig beantwortet: Satz 12.11. Seien P; A 2 C 1 .U /; wobei (12.9) gilt und wobei A.x/ in U keine Nullstelle hat. Dann gilt für alle k 0: ı .k/ .A.x/P .x// D A.kC1/ ı .k/ .P .x// : Beweis. (i) Zur Behandlung des Falles k D 0 wählen wir .n 1/-Formen !; !A mit dn x D dP ^ ! bzw. dn x D d.AP / ^ !A D .A dP C P dA/ ^ !A . Auf M D P 1 .0/ gilt dann dP ^ ! D A dP ^ !A ; also dP ^ .A1 ! !A / D 0 Wie im Beweis von Satz 12.6 schließt man hieraus mittels Lemma 12.7, dass !A und A1 ! auf M übereinstimmen. (Genau genommen, benötigt man eine Variante von
400
12 Einige spezielle Distributionen
Lemma 12.7, bei der die Voraussetzung nicht auf einer offenen Menge U; sondern nur auf M erfüllt ist. Diese lässt sich aber durch fast denselben Beweis herleiten.) Nach (12.14) ergibt das aber ı.A.x/P .x// D A1 ı.P .x// ; also die Behauptung für k D 0. (ii) Nun beweisen wir die (auch sonst nützliche) Formel P .x/ı .k/ .P .x// C kı .k1/ .P .x// D 0 ;
k1:
(12.28)
R Da P 0 auf M ist, haben wir hP .ı ı P /; 'i D M P '! D 0 für alle '; also P .ı ı P / D 0. Mit (12.15) und der Produktregel (11.58) folgt daraus Pxj .ı ı P / C PPxj .ı 0 ı P / D 0 ;
j D 1; : : : ; n :
Lokal findet man aber immer ein j mit Pxj ¤ 0; und deshalb kann man hier die Faktoren Pxj kürzen (Aufg. 11.4). Das ergibt (12.28) für k D 1. Mit einer analogen Rechnung erledigt man auch den Induktionsschritt von k auf k C 1 (Übung!). (iii) Nun betrachten wir k 2 und nehmen an, die Behauptung sei für k 1 schon nachgewiesen, also ı .k1/ .A.x/P .x// D A.x/k ı .k1/ .P .x// :
(12.29)
Differenzieren ergibt dann (wenn wir die Variable x für den Augenblick weglassen) für j D 1; : : : ; n .APxj C Axj P /ı .k/ .AP / D Ak Pxj ı .k/ .P / kA.kC1/ Axj ı .k1/ .P / : Wir stellen die Terme um und beachten erneut die Induktionsvoraussetzung (12.29) sowie schließlich (12.28) für AP statt P . Das ergibt: APxj ı .k/ .AP / Ak Pxj ı .k/ .P / D Axj .P ı .k/ .AP / C kA.kC1/ ı .k1/ .P // D Axj A1 .AP ı .k/ .AP / C kAk ı .k1/ .P // D Axj A1 .AP ı .k/ .AP / C kı .k1/ .AP // D0: Kürzen durch APxj ergibt also die Behauptung für k. Da man lokal immer ein geeignetes j findet, für das A.x/Pxj .x/ ¤ 0 ist, liefert Aufg. 11.4 tatsächlich den Nachweis, dass die Behauptung für k in ganz U gilt. t u Beispiel: Wir greifen noch einmal die beiden Darstellungen der Sphäre vom Radius R > 0 aus 12.10 auf. Mit P .x/ WD jxj R und A.x/ WD jxj C R hat man jxj2 R2 D A.x/P .x/; also ergibt der letzte Satz ı .k/ .jxj2 R2 / D
1 ı .k/ .jxj R/ : .jxj C R/kC1
(12.30)
Diese Beziehung lässt sich aus den expliziten Darstellungen (12.25), (12.26) nicht ohne weiteres ablesen.
C Regularisierung divergenter Integrale und H ADAMARD scher Hauptwert
401
Definition 12.12. Sei M Rn eine reguläre Hyperfläche. Eine k-fache Schicht auf M ist eine Distribution der Form T .x/ D .x/ı .k1/ .P .x// ; wobei eine glatte Funktion ist und die Gleichung P .x/ D 0 die Hyperfläche M beschreibt. Bemerkungen: (i) Man kann als die .n 1/-dimensionale Dichte der Schicht auffassen. Jedoch ist zu bedenken, dass von der gewählten Beschreibung der Hyperfläche abhängt. Satz 12.11 besagt gerade, dass man beim Übergang von der Beschreibung P D 0 zur Beschreibung AP D 0 die Dichte durch die Dichte Ak ersetzen muss. Dies zeigt aber auch, dass die Hyperfläche selbst und nicht ihre jeweilige Beschreibung durch eine konkrete Gleichung festlegt, welche Distributionen k-fache Schichten auf ihr sind. (ii) Physikalisch sollte man sich eine k-fache Schicht auf M als eine durch die Intensität .x/ gewichtete Verteilung von 2k -Multipolen auf M vorstellen. Zum Beispiel besteht eine Doppelschicht aus Dipolen, die in Normalenrichtung orientiert sind. Um sich dies plausibel zu machen, sollte man entweder (12.21) oder die durch (12.18) und (12.22) gegebene lokale Beschreibung heranziehen.
C Regularisierung divergenter Integrale und H ADAMARDscher Hauptwert Bei manchen Anwendungen – z. B. bei Lösungsformeln für die Wellengleichung und verwandte partielle Differentialgleichungen – liegt folgende Situation vor: Man hat im Gebiet ˝ Rn eine stetige Funktion P; die auf einer gewissen Teilmenge M ˝ verschwindet, sowie eine „harmlose“ Funktion g (z. B. messbar und beschränkt). Durch Z g.x/'.x/ n hŒg=P ; 'i WD d x ; ' 2 D.˝ n M / (12.31) P .x/ ˝nM
ist dann in ˝ n M eine reguläre Distribution definiert. Aber i. A. ist g=P nicht in ganz ˝ lokal integrierbar (z. B. ist schon 1=x nicht mehr lokal integrierbar, sobald das Grundintervall die Null im Inneren enthält!), und dann ist nicht klar, wie das R Integral ˝ .g'=P / dn x für beliebiges ' 2 D.˝/ aufzufassen ist. Genau genommen, existiert es zumeist gar nicht, sobald Tr ' \ M ¤ ;. Trotzdem kann man in vielen Fällen solche „divergenten Integrale“ erfolgreich betrachten, indem man eine Distribution T 2 D0 .˝/ findet, die auf ˝ n M mit Œg=P übereinstimmt. Solche Distributionen sind meist von höherer Ordnung, und sie sind auch nicht eindeutig bestimmt, doch sie leisten – etwa als Lösungsansatz für eineRpartielle Differentialgleichung – das, was man sich von dem divergenten Integral .g'=P / dn x erhofft hatte. Allgemein definieren wir:
402
12 Einige spezielle Distributionen
Definition 12.13. Sei M ˝ abgeschlossen und f 2 L1loc .˝ n M /. Eine R Regularisierung des divergenten Integrals ˝ f .x/'.x/ dn x ist eine Distribution T 2 D0 .˝/; die auf der offenen Teilmenge ˝ n M mit der regulären Distribution Œf übereinstimmt. Bemerkung: Zwei Regularisierungen T1 ; T2 von ein und demselben divergenten Integral stimmen auf ˝ n M überein, und daher verschwindet T1 T2 in ˝ n M . Es folgt also Tr .T1 T2 / M : Für die explizite Konstruktion von Regularisierungen beschränken wir uns auf den Fall, wo M aus einem einzigen Punkt besteht, und wir beginnen mit einem einfachen eindimensionalen Beispiel: Für ' 2 D.R/ betrachten wir das Integral Zb .t a/˛k '.t/ dt ;
a < b;
1 < ˛ 0 ;
k2N:
(12.32)
a
Wegen der Singularität der Ordnung ˛ k k 1 bei t D a existiert das Integral nicht als uneigentliches Integral, d. h. f .t/ WD Œa;b .t/.t a/˛k
(12.33)
ist nicht lokal integrierbar und erzeugt damit keine reguläre Distribution. Wir wollen zeigen, dass man das divergente Integral noch als singuläre Distribution interpretieren kann. Dazu entwickeln wir die Testfunktion '.t/ nach TAYLOR um t D a: '.t/ D
k1 .j / X ' .a/ .t a/j C .t a/k .t/ jŠ
(12.34)
j D0
mit dem TAYLORschen Restglied 1 .t/ D .k 1/Š
Z1 .1 s/k1 ' .k/ .a C s.t a// ds : 0
Einsetzen von (12.34) in das Integral (12.32) ergibt für " > 0 Zb .t a/˛k '.t/ dt D aC"
Zb D
.t a/ aC"
˛
.t/ dt C
Zb k1 .j / X ' .a/ j D0
jŠ aC"
.t a/˛kCj dt :
(12.35)
C Regularisierung divergenter Integrale und H ADAMARD scher Hauptwert
403
Im Fall 1 < ˛ < 0 folgt daraus Zb .t a/˛k '.t/ dt C
k1 X j D0
aC"
' .j / .a/ "˛kCj C1 j Š.˛ k C j C 1/
Zb .t a/˛ .t/ dt C
D
k1 X j D0
aC"
' .j / .a/ .b a/˛kCj C1 ; j Š.˛ k C j C 1/ (12.36)
und im Fall ˛ D 0 ergibt sich Zb
.t a/k '.t/ dt C
k2 X j D0
aC"
Zb D
.t/ dt C
k2 X j D0
aC"
' .j / .a/ ' .k1/ .a/ "j kC1 C ln " j Š.j k C 1/ .k 1/Š
' .k1/ .a/ ln.b a/ ' .j / .a/.b a/j kC1 C : j Š.j k C 1/ .k 1/Š
(12.37) Für die einzelnen Summanden auf der linken Seite von (12.36) und (12.37) existieren die Grenzwerte für " ! 0 allesamt nicht. Jedoch existieren die entsprechenden Grenzwerte der rechten Seite von (12.36) und (12.37) beide, weil .t/ nach (12.35) eine stetige Funktion ist. Folglich existieren die Grenzwerte der gesamten linken Seiten von (12.36) und (12.37). Man definiert: Definitionen 12.14. Seien a < b in R und k 2 N; ' 2 D.R/. a. Für 1 < ˛ < 0 nennt man1 0 b 1 Z Pf @ .t a/˛k '.t/ dt A WD a
D lim
8 b
"!0 : aC" Zb
9 k1 .j / ˛kCj C1 = X ' .a/" .t a/˛k '.t/ dt C j Š.˛ k C j C 1/ ;
.t a/˛ .t/ dt C
D a
(12.38)
j D0
k1 .j / X ' .a/.b a/˛kCj C1 j D0
j Š.˛ k C j C 1/
den H ADAMARDschen Hauptwert des divergenten uneigentlichen Integrals Rb ˛k '.t/ dt. a .t a/
1
Die Bezeichnung Pf stammt von H ADAMARD und bedeutet „Partie finie“, also „endlicher Teil“.
404
12 Einige spezielle Distributionen
b. Ebenso nennt man 0 b 1 Z Pf @ .t a/k '.t/ dt A WD a
D lim
8 b
"!0 : aC" Zb
D
.t a/k '.t/ dt C
j D0
.t/ dt C a
9 = ' .k1/ .a/ C ln " ; j Š.j k C 1/ .k 1/Š
k2 .j / X ' .a/"j kC1
k2 .j / X ' .a/.b a/j kC1 j D0
j Š.j k C 1/
C
' .k1/ .a/ ln.b a/ .k 1/Š
(12.39) den H ADAMARDschen Hauptwert des divergenten uneigentlichen Integrals Rb k '.t/ dt. a .t a/ Da die rechten Seiten von (12.38), (12.39) linear und stetig von der Testfunktion ' abhängen, definieren die H ADAMARDschen Hauptwerte stetige lineare Funktionale auf D.R/; also Distributionen, allerdings singuläre Distributionen. Für feste Werte von R ˛ und k handelt es sich um eine Regularisierung des divergenten Integrals f .t/'.t/ dt mit der Funktion f aus (12.33), denn wenn a 62 Tr ' ist, so verschwinden die Beiträge aus dem TAYLORpolynom, und die TAYLORformel (12.34) ergibt .t a/k .t/ RD '.t/. Daher stimmen die rechten Seiten von (12.38), (12.39) in diesem Fall mit f .t/'.t/ dt überein. Im nachstehenden Satz werden diese Überlegungen (ohne detaillierten Beweis) zusammengefasst. Dabei schreiben wir, wie es üblich ist, die Funktion f mit Hilfe der H EAVISIDEschen Sprungfunktion in der Form f .t/ D .t a/ .b t/.t a/˛k : Satz 12.15. a. Für a < b; 1 < ˛ < 0; k 2 N wird durch hP..t a/˛k .t a/ .b t//; '.t/i WD 0 b 1 Z D Pf @ .t a/˛k '.t/ dt A a
eine singuläre Distribution P..t a/˛k .t a/ .b t// 2 D0 .R/ mit Träger Œa; b R definiert. Ihre Ordnung ist k.
(12.40)
C Regularisierung divergenter Integrale und H ADAMARD scher Hauptwert
405
b. Für a < b; k 2 N wird durch hP..t a/k .t a/ .b t//; '.t/i WD 0 b 1 Z D Pf @ .t a/k '.t/ dt A
(12.41)
a
eine singuläre Distribution P..t a/k .t a/ .b t// 2 D0 .R/ mit Träger Œa; b R definiert. Ihre Ordnung ist k. Als Distributionen sind die H ADAMARDschen Hauptwerte natürlich differenzierbar. Man bekommt für die Ableitungen: Satz 12.16. a. Für die Ableitung der durch (12.40) definierten Distribution gilt Dt P..t a/˛k .t a/ .b t// D D .˛ k/P..t a/˛k1 .t a/ .b t//
(12.42)
.b a/˛k ı.t b/ : b. Für die Ableitung der durch (12.41) definierten Distribution gilt: Dt P..t a/k .t a/ .b t// D D kP..t a/k1 .t a/ .b t// C
(12.43)
.1/k .k/ ı .t a/ C .b a/k ı.t b/ : kŠ
Der Beweis erfolgt durch Nachrechnen und sei als Übung empfohlen. Die Einführung des kompakten Intervalls .a; b/ als Träger ist bei diesem Verfahren eigentlich nur eine Verzierung, die dafür sorgt, dass der Hauptwert eindeutig definiert werden kann. Verzichtet man auf diese Eindeutigkeit und lässt bei der Behandlung der TAYLORpolynome eine gewisse Willkür zu, so kann die Grundidee des Verfahrens leicht auf allgemeinere Situationen ausgedehnt werden. Wir zeigen dies an folgendem Satz: Satz 12.17. Sei ˝ Rn offen, a 2 ˝ und k 2 N. Sei ferner f eine fast überall in ˝ definierte messbare Funktion, für die f .x/jx ajk in ˝ lokal integrierbar ist (also insbes. f 2 L1loc .˝ n fag/). Schließlich sei eine beschränkte messbare Funktion, die in einer Umgebung von a mit 1 übereinstimmt und außerhalb
406
12 Einige spezielle Distributionen
einer Rkompakten Menge verschwindet. Eine Regularisierung des divergenten Integrals ˝ f .x/'.x/ dn x ist dann gegeben durch 1 0 Z X D ˛ '.a/ hT; 'i WD f .x/ @'.x/ .x/ .x a/˛ A dn x : (12.44) ˛Š j˛jk1
˝
Die Ordnung von T ist k. Beweis. Sei K ˝ kompakt. Für ein beliebiges ' 2 D.˝/ mit Tr ' K setzen wir X D ˛ '.a/ .x/ WD '.x/ .x/ .x a/˛ : ˛Š j˛jk1
Ferner sei S ˝ eine kompakte Teilmenge mit j˝nS 0; L WD S [ K; und U sei eine offene Umgebung von a mit jU 1. Nach Voraussetzung ist Z jf j dn x < 1 ; LnU
denn L n U ist eine kompakte Teilmenge von ˝ n fag. Das ergibt Z X jfj dn x C0 max j.x/j C1 max jD ˛ '.x/j x2LnU
j˛jk1
LnU
x2K
mit Konstanten C0 ; C1 0. Andererseits ist auch U S eine kompakte Teilmenge von ˝; also ist nach Voraussetzung Z jf .x/j jx ajk dn x < 1 : U
Die TAYLORformel ergibt aber .x/ D
X
.x a/ˇ
ˇ .x/
;
jˇ jDk
wobei die
ˇ
durch konst: maxx2K jD ˇ '.x/j beschränkt sind. Also ist j.x/j C2 jx ajk
X jˇ jDk
und somit
Z jfj dn x C3 U
X jˇ jDk
max jD ˇ '.x/j x2K
max jD ˇ '.x/j : x2K
D Der C AUCHY sche Hauptwert
407
Insgesamt sehen wir, dass das Integral in (12.44) tatsächlich existiert, und dass wir die Abschätzung jhT; 'ij C4 pk;K .'/ haben, wobei pk;K .'/ durch (11.21) definiert ist und wobei die Konstante C4 nur von K abhängt. Nach Satz 11.12a. und Def. 12.1 ist T daher eine Distribution mit o.T / k. Ist nun Tr ' ˝ n fag; so verschwinden alle D ˛ '.a/; und (12.44) reduziert sich auf Z hT; 'i D f .x/'.x/ dn x ; ˝
und damit ist T eine Regularisierung, wie behauptet.
t u
Bemerkung: Für verschiedene Wahlen von entstehen hier natürlich verschiedene Regularisierungen. Der Träger ihrer Differenz ist also fag (vgl. die Bemerkung nach Def. 12.13). Nun gilt der folgende interessante Satz, der in jedem mathematischen Lehrbuch der Distributionstheorie bewiesen wird: Satz 12.18. Die Distributionen mit dem Träger fag sind genau die endlichen Linearkombinationen von Ableitungen der Deltafunktion ı.x a/ (einschließlich ı.x a/ selbst!). Für Regularisierungen T1 ; T2 von der Form (12.44) kann man direkt nachrechnen, dass T1 T2 solch eine Linearkombination ist (Übung!).
D Der C AUCHYsche Hauptwert Sei a < c < b in R und sei f .t/ eine auf Œa; b n fcg definierte Funktion. Dann definiert man bekanntlich das uneigentliche Integral Zb
Zc" Zb f .t/ dt WD lim f .t/ dt C lim f .t/ dt ; "!0
a
"!0 cC"
a
(12.45)
falls beide rechts stehenden Grenzwerte existieren. Ist dies der Fall, so gilt 8 c" 9 Zb Zb
a
cC"
Der Grenzwert (12.46) existiert in vielen Fällen auch dann, wenn die Grenzwerte aus (12.45) und damit das uneigentliche Integral nicht existieren. Man definiert:
408
12 Einige spezielle Distributionen
Definition 12.19. Sei 1 a < c < b C1 und sei f .t/ summierbar über a; c " und Œc C "; bŒ für jedes " > 0. Dann heißt der Limes 8 c" 9 1 0 b Z Zb
a
cC"
der C AUCHYsche Hauptwert des Integrals
Rb a
f .t/ dt.
Wie erwähnt, kann der C AUCHYsche Hauptwert existieren, auch wenn das Integral nicht existiert. Wir wollen ihn nun als Distribution deuten. Dabei beschränken wir uns auf einen wichtigen Spezialfall und betrachten für ' 2 D.R/
mit Tr ' Œc; c
den C AUCHYschen Hauptwert des bei t D 0 divergenten uneigentlichen Integrals Z1 1
'.t/ dt : t
Mit der TAYLORentwicklung '.t/ D '.0/ C t .t/
(12.48)
können wir schreiben: Z"
C1 Z '.t/ '.t/ dt C dt t t 1 " 8 " 9 8 " Zc Zc
c
"
Beachten wir nun, dass 0 CH @
Zc
c
9 = .t/ dt
"
;
8 " 9 1 Zc
wie man nachrechnet, und dass Zc .t/ dt D lim
8 "
"!0 : c Zc
c
D c
(12.49) :
(12.50)
"
9 =
Zc .t/ dt C
'.t/ '.0/ dt t
.t/ dt "
; (12.51)
D Der C AUCHY sche Hauptwert
409
als uneigentliches Integral existiert, so folgt aus (12.49) 1 0 1 Z Zc '.t/ '.t/ '.0/ A @ dt D dt : CH t t 1
(12.52)
c
Jedes der beiden auf der linken Seite von (12.49) stehenden Integrale können wir nach Grenzübergang " ! 0 mit Hilfe von Def. 12.14 als H ADAMARDschen Hauptwert ausdrücken. Schreiben wir dazu Z" Z1 '.t/ '.t/ dt C dt t t 1
D
"
81
"
9 8 " 9 = < Z '.t/ = '.t/ dt C '.0/ ln " dt C '.0/ ln " ; ; : ; t t 1
so folgt aus Satz 12.15 für k D 1 0 1 1 Z '.t/ A CH @ dt D hP.t 1 .t//; '.t/i t 1
(12.53)
hP.jtj1 .t//; '.t/i : Damit haben wir: Satz 12.20. Für ' 2 D.R/ wird durch
0 1 1 Z 1 '.t/ A P ; '.t/ WD CH @ dt t t
(12.54)
1
eine Distribution P.t 1 / 2 D0 .R/ definiert und für diese gilt .t/ .t/ 1 DP P : P t t t
(12.55)
Als Anwendung betrachten wir Z1 lim
"!0 1
'.x/ dx ; x C i"
wobei das Integral für " > 0 im üblichen Sinne existiert. Nehmen wir wieder Tr ' Œc; c an und benutzen (12.48), so können wir schreiben Z1 1
'.x/ dx D x C i"
Zc c
x i" '.x/ dx x 2 C "2
410
12 Einige spezielle Distributionen
Zc D '.0/ c
x i" dx C x 2 C "2
D 2i'.0/ arctan
c C "
Zc c
Zc c
x 2 i"x x 2 C "2
x 2 i"x x 2 C "2
.x/ dx
.x/ dx :
Für " ! 0 strebt der erste Summand gegen i'.0/ und der zweite Summand nach (12.52) gegen 1 0 1 Zc Z '.x/ dx A : .x/ dx D CH @ x c
1
Damit haben wir: Satz 12.21. Für ' 2 D gilt Z1 lim
"!0 1
'.x/ 1 ;' ; dx D ihı0 ; 'i C P x C i" x
(12.56)
'.x/ 1 ;' : dx D ihı0 ; 'i C P x i" x
(12.57)
Z1 lim
"!0 1
Für diese Gleichungen benutzt man die als Formeln von S OCHOZKI bekannte Kurzschreibweise 1 1 D iı0 C P ; x C i0 x in D0 .R/ (12.58) 1 1 D iı0 C P : x i0 x
E Regularisierung mittels analytischer Fortsetzung In diesem und dem nächsten Abschnitt arbeiten wir mit Scharen von Distributionen, die analytisch von einem Parameter abhängen. Das Prinzip der analytischen Fortsetzung (vgl. etwa [36], Kap. 17) eröffnet dann die Möglichkeit, Relationen, die zunächst nur für einen eingeschränkten Parameterbereich nachgewiesen werden konnten, auf einen weit größeren Bereich auszudehnen.
E Regularisierung mittels analytischer Fortsetzung
411
Wir beginnen mit der präzisen Definition der analytischen Scharen: Definition 12.22. Seien ˝ Rn und D C offen, und für jedes 2 D sei eine Distribution T 2 D0 .˝/ gegeben. Man sagt, die Schar .T /2D sei analytisch oder holomorph, wenn für jedes ' 2 D.˝/ die Funktion h' ./ WD hT ; 'i in D holomorph ist. Bemerkung: Völlig analog kann man auch Scharen der Klasse C r ; 0 r 1 definieren, und dabei kann man D als offene Menge in einem m-dimensionalen euklidischen Raum oder sogar als differenzierbare Mannigfaltigkeit wählen, im Falle der Stetigkeit (r D 0) sogar als beliebigen topologischen Raum. Solche Scharen werden auch tatsächlich betrachtet. Etwa bei Evolutionsgleichungen – d. h. partiellen Differentialgleichungen, die die zeitliche Entwicklung eines räumlich ausgedehnten Systems beschreiben – sucht man die Lösungen manchmal in Gestalt von Scharen von Distributionen in den räumlichen Variablen, die von der Zeit als Parameter abhängen (vgl. Abschn. 13D). All das ist jetzt aber nicht unser Thema. Das Prinzip der analytischen Fortsetzung hat die folgende offensichtliche Konsequenz: Satz 12.23. Sei D C ein Gebiet (also offen und zusammenhängend), und seien .S /2D ; .T /2D zwei analytische Scharen von Distributionen. Angenommen, für eine nichtleere offene Teilmenge D0 D gilt S D T
8 2 D0 :
Dann ist sogar S D T für alle 2 D. Dieser Satz liegt allen nun folgenden Überlegungen zu Grunde.
Beispiel I: Potenzfunktionen auf der Geraden Sei a 2 R fest gewählt. Wieder bezeichnen wir mit die H EAVISIDEsche Sprungfunktion, und wir setzen .t a/C WD .t a/ .t a/ ;
t 2R:
(12.59)
Für jedes 2 C haben wir dann die fast überall in R (nämlich in R n fag) definierte Funktion ( .t a/ D exp. ln .t a// für t > a ; .t a/C WD (12.60) 0 für t < a : Im Fall Re > 1 ist diese Funktion in ganz R lokal integrierbar, und die Schar der regulären Distributionen Œ.t a/C ist analytisch, wie man mittels
412
12 Einige spezielle Distributionen
Aufg. 10.8d. leicht beweisen kann (vgl. auch [36], Ergänzungen zu Kap. 28). Doch im Fall Re 1 sind die .t a/C nur noch in R n fag lokal integrierbar, und man interessiert sich dann wieder für geeignete Regularisierungen. Man erhält sogar eine analytische Schar von solchen Regularisierungen, indem man die schon bekannte Schar .t a/C ; Re > 1 analytisch auf einen größeren Bereich der komplexen -Ebene fortsetzt. Um diese Fortsetzung durchzuführen, betrachten wir ein beliebiges b > a sowie k 2 N und setzen D ˛ k in (12.38). Das ergibt wegen (12.34) 0 b 1 Z Zb k1 .j / X ' .a/.b a/Cj C1 Pf @ .t a/ '.t/ dt A WD .t a/Ck .t/ dt C j Š. C j C 1/ j D0 a a 0 1 Zb k1 .j / X ' .a/ @ jA .t a/ D .t a/ '.t/ dt jŠ j D0
a
C
k1 X j D0
' .j / .a/.b a/Cj C1 : j Š. C j C 1/
(12.61)
Wie wir aus Abschn. C wissen, definiert dies eine Regularisierung des divergenRb ten Integrals a .t a/ '.t/ dt; wenn D ˛ k eine reelle Zahl zwischen k 1 und k ist. Aber diese Voraussetzungen werden offensichtlich gar nicht benötigt. Vielmehr genügt es, anzunehmen, dass Re > k 1 und dass keine negative ganze Zahl ist. Dann ist nämlich stets C j C 1 ¤ 0; und nun ist es eine leichte Übung, nachzuweisen, dass durch (12.61) auf dem komplexen Gebiet Dk WD f 2 C j Re > k 1; ¤ m für m 2 Ng eine analytische Schar von Distributionen definiert ist, die die divergenten IntegraRb le a .t a/ '.t/ dt regularisieren. Auch diese Ausdrücke werden natürlich als H ADAMARDsche Hauptwerte bezeichnet, und wir schreiben wieder 0
Zb
1
hP..t a/ .t a/ .b t//; '.t/i WD Pf @ .t a/ '.t/ dt A
(12.62)
a
wie in (12.40). Ist sogar Re > 1; so kann man das in der zweiten Zeile von (12.61) auftreP .j / tende Integral über .t a/ k1 .a/=j Š/.t a/j explizit berechnen, und man j D0 .' stellt dann fest, dass 1 0 b Z Zb (12.63) Pf @ .t a/ '.t/ dt A D .t a/ '.t/ dt : a
a
E Regularisierung mittels analytischer Fortsetzung
413
Die analytische Schar der Distributionen S WD P..t a/ .t a/ .b t// ist also tatsächlich eine analytische Fortsetzung der auf D0 definierten analytischen Schar Œ.t a/ .t a/ .b t/ von regulären Distributionen. Sie ist auf Dk definiert, wobei k 1 beliebig war. Machen wir aber dieselbe Konstruktion mit einer natürlichen Zahl k 0 > k; was zu der Schar T ; 2 Dk 0 führt, so ist S D T für 2 D0 ; weil (12.63) für beide Scharen gilt. Nach Satz 12.23 ist also S D T sogar für alle 2 Dk . Wir haben daher sogar eine analytische Schar von Distributionen P..t a/ .t a/ .b t//; die auf D WD
1 [
Dk D C n fm j m 2 Ng
kD1
definiert ist: Um für ein beliebiges 2 D und ' 2 D.R/ den WerthP..t a/ .t a/ .b t//; 'i zu berechnen, wählt man irgendein k 2 N mit k > Re 1 und ermittelt den gesuchten Wert dann aus (12.61), (12.62). Welchen Wert von k man dabei verwendet, spielt eben keine Rolle, wie wir gerade gesehen haben. Ursprünglich hatten wir uns allerdings vorgenommen, die ScharŒ.t a/C ; 2 0 analytisch so fortzusetzen, dass Regularisierungen der divergenten Integrale RD1 1 .t a/C '.t/ dt entstehen. Das ist nun aber ganz einfach, denn offenbar ist für 2 D0 Zb h.t
a/C ; 'i
D
Z1 .t a/ '.t/ dt C .t a/ '.t/ dt ;
a
b
und der zweite Term auf der rechten Seite existiert für alle 2 C. Wir definieren daher 0 b 1 Z Z1 @ A hP..t a/C /; 'i WD Pf .t a/ '.t/ dt C .t a/ '.t/ dt (12.64) a
b
und erkennen sofort, dass diese Distributionsschar, die auf D D C n fm j m 2 Ng definiert ist, alle gestellten Forderungen erfüllt. Auf den Wert von b > a kommt es dabei nicht an – verschiedene Wahlen von b führen zu dem gleichen Ergebnis, was man entweder durch direktes Nachrechnen oder durch eine erneute Anwendung von Satz 12.23 bestätigt. Bemerkungen: a. Was geschieht nun mit den P..t a/C / bei Annäherung von an eine negative ganze Zahl m? Die Formeln (12.61) und (12.64) zeigen sofort, dass die analytische Fortsetzung von hP..t a/C /; 'i in den Punkt D m hinein nur durch einen einzigen Term verhindert wird, nämlich den Term
' .j / .a/ j Š.Cj C1/ .b
a/Cj C1
414
12 Einige spezielle Distributionen
mit j D m 1. Das heißt wir haben
E D P .t a/C ; ' D h./ C
' .m1/ .a/ .b a/Cm .m 1/Š. C m/
mit einer Funktion h; die in einer Umgebung von D m holomorph ist. Also haben wir bei D m einen Pol erster Ordnung (vgl. z. B. [36], Kap. 18) mit dem Residuum
E D E ' .m1/ .a/ .1/m1 D .m1/ lim .Cm/ P .t a/C ; ' D D ı .t a/; ' : !m .m 1/Š .m 1/Š Man sagt daher, die analytische Schar P .t a/C habe in den negativen ganzen Zahlen Pole erster Ordnung mit den Residuen
.1/m1 .m1/ ı res P .t a/C D .t a/ ; .m 1/Š Dm
m D 1; 2; : : :
(12.65)
b. Trotz dieser Pole hat .t a/m C Regularisierungen, nämlich z. B. 0 b 1 Z Z1 m @ A hP..t a/m /; 'i WD Pf .t a/ '.t/ dt C .t a/m '.t/ dt C a
b
mit einem willkürlich gewählten b > a; wobei der H ADAMARDsche Hauptwert auf der rechten Seite in Def. 12.14b. definiert diese Regularisierun wurde. Aber gen passen nicht in die analytische Schar P .t a/C ; 2 D. c. Da die distributionelle Ableitung einer regulären Distribution mit der klassischen Ableitung übereinstimmt, sofern letztere existiert und lokal integrierbar ist, haben wir für Re > 0 d .t a/C D .t a/1 : C dt Außerdem folgt sofort aus den Definitionen, dass die distributionellen Ableitungen einer analytischen Schar wieder analytisch vom Parameter abhängen. Mit (12.63), (12.64) und Satz 12.23 folgt also
d ; 2D: (12.66) P .t a/C D P .t a/1 C dt Dies kann man auch durch direkte Rechnung aus den Definitionen folgern, aber das ist viel aufwendiger (vgl. Satz 12.16). Wir diskutieren noch kurz einige mit P.t a/C verwandte Distributionen, beschränken uns dabei der Einfachheit halber aber auf den Fall a D 0. Zunächst einmal entsteht die Funktion ( .t/ ; t < 0 ; t WD (12.67) 0; t >0
E Regularisierung mittels analytischer Fortsetzung
415
aus tC durch Spiegelung am Ursprung, d. h. durch Anwenden der Transformation R.t/ WD t. Daher ergibt
P t WD P tC ıR ; 2D (12.68)
eine analytische Schar von Regularisierungen, die auf D0 mit der Schar der regulären Distributionen Œt übereinstimmt. Offenbar ist C t jtj WD tC
und daher setzt man
P.jtj / WD P tC C P t ;
und jtj sgn t WD tC t ;
P.jtj sgn t/ WD P tC P t ; (12.69)
zunächst für 2 D. Analog zu (12.65) kann man aber leicht berechnen, dass
1 res P t D ı .m1/ m D 1; 2; : : : (12.70) .m 1/Š Dm (Übung!), und daher hat P.jtj / (bzw. P.jtj sgn t/) in D 2m (bzw. in D .2m 1/) eine hebbare Singularität, und man kann die Distributionenscharen daher in diese Punkte analytisch fortsetzen. Sowohl für gerades als auch R 1für ungerades m ergibt sich dabei eine Regularisierung des divergenten Integrals 1 t m '.t/ dt; und man bezeichnet diese durch analytische Fortsetzung in D m entstandenen Distributionen daher auch mit P.t m /. Insbesondere ist jtj1 sgn t D t 1 ; und ein Vergleich unserer Definitionen mit (12.55) zeigt, dass P.jtj1 sgn t/ mit der in Satz 12.20 betrachteten Distribution P.1=t/ übereinstimmt, die durch den C AUCHYschen Hauptwert definiert ist. Schließlich betrachten wir noch die Funktionen (12.71) .x ˙ i0/ WD lim exp ln.x ˙ iy/ ; y!0C
die zunächst einmal für 2 D0 und x ¤ 0 definiert sind. Hierbei wird der Zweig des komplexen Logarithmus verwendet, bei dem der Imaginärteil in ; Œ liegt, also < arg.x ˙ iy/ < : Für x > 0 ist somit .x ˙ i0/ D x ; für x < 0 aber ergibt sich .x ˙ i0/ D .x/ e˙i : Auf ganz R n f0g haben wir daher C e˙i x ; .x ˙ io/ D xC
und dies sagt uns, wie wir die beiden Scharen auf ganz D analytisch fortsetzen können, nämlich durch
C e˙i P x : (12.72) P.x ˙ i0/ WD P xC
416
12 Einige spezielle Distributionen
Für D m; m 2 N ist e˙i D .1/m . Wegen (12.65) und dies, (12.70) zeigt / beim und P.x dass sich die Hauptteile der L AURENTentwicklungen von P xC Einsetzen in (12.72) wegheben. Daher sind die Punkte D m für die Scharen P.x ˙ i0/ hebbare Singularitäten, und infolgedessen können wir diese beiden Scharen sogar auf ganz C analytisch fortsetzen. Man kann die P.x ˙ i0/ also als ganze Funktionen mit Werten in D0 .R/ auffassen. Man kann beweisen (vgl. [33]), dass P.x ˙ i0/m D P.x m / ˙ i
.1/m .m1/ ı .m 1/Š
(12.73)
für alle m 2 N gilt. Für m D 1 ergeben sich daraus wieder die Formeln (12.58) von S OCHOZKI. Beispiel II: Die Potenzen des euklidischen Abstands in Rn . 1=2 Wie üblich, sei r.x/ D jxj D x12 C C xn2 die euklidische Norm in Rn . Transformation auf Kugelkoordinaten zeigt sofort, dass die Funktion r.x/ für Re > n lokal integrierbar ist, für Re n aber nicht. Wieder überzeugt man sich leicht (z. B. mit Hilfe des Ergebnisses von Aufg. 10.8d.), dass .Œr /; Re > n eine analytische Schar von Distributionen ist, und wir werden nun diese analytisch so fortsetzen, dass Regularisierungen der divergenten Integrale R Schar r '.x/ dn x entstehen. Rn Zu diesem Zweck führen wir den sphärischen Mittelwert Sf einer stetigen Funktion f W Rn ! K ein. Er ist definiert durch Z 1 Sf ./ WD f . / d. / 1< < 1; (12.74) !n Sn1
wobei !n die Oberfläche2 der Einheitssphäre Sn1 D fx 2 Rn j r.x/ D 1g ist und d das euklidische Flächenelement auf ihr. Offenbar ist Sf stetig (Aufg. 10.8a.), und es gilt Sf ./ D Sf ./ ; Sf .0/ D f .0/ : (12.75) Hier benötigen wir diese Mittelbildung jedoch nur für Testfunktionen. Für diese gilt: Lemma 12.24. a. Ist ' 2 D.Rn /; so ist S ' 2 D.R/. Alle Ableitungen ungerader Ordnung von S ' verschwinden im Nullpunkt. b. Der Operator S verhält sich bzgl. der Konvergenz in D stetig, d. h. für Folgen .'j / in D.Rn / gilt stets 'j ! ' H) S 'j ! S ' : D
2
D
Eine explizite Formel für !n wird z. B. in [36], Ergänzungen zu Kap. 15, hergeleitet.
E Regularisierung mittels analytischer Fortsetzung
417
Beweis. a. Ist R > 0 so groß, dass Tr ' UR .0/; so ist S './ D 0 für jj R. Also hat S ' kompakten Träger. Mit Aufg. 10.8c. erkennt man auch sofort, dass S ' in R n f0g beliebig oft differenzierbar ist. Um die Differenzierbarkeit im Nullpunkt zu prüfen, betrachten wir für ein beliebiges m 2 N die TAYLORentwicklung X D ˛ '.0/ x ˛ C m .x/ '.x/ D ˛Š j˛jm
und bilden auf beiden Seiten den sphärischen Mittelwert. Das ergibt S './ D
m X
ak k C S
m ./
kD0
mit
Z 1 X D ˛ '.0/ ˛ d. / ; ak WD !n ˛Š j˛jDk
Wegen
m
2 C 1 .Rn / ist auch S dk S dk
m ./
k D 0; 1; : : : ; m :
Sn1
D D
1 !n 1 !n
m
Z
Sn1
Z
2 C 1 .R n f0g/; und wir haben für ¤ 0 @k @k X
m . /
Dˇ
d. /
m . /
ˇ
d. / ;
Sn1 jˇ jDk
wie man durch Induktion nach k sofort bestätigt. Aber für jˇj m ist D ˇ m das Restglied in der TAYLORentwicklung .m jˇj/-ter Ordnung der Funktion D ˇ ' 2 C 1 . Nach der TAYLORformel ist also D ˇ m .x/ D O.jxjmC1jˇ j / für x ! 0 und damit auch
.S m /.k/ ./ D O jjmC1k für ! 0 ; solange k m. Durch Induktion nach k folgt nun, dass die Ableitungen .S m /.k/ .0/ für 0 k m existieren und den Wert Null haben. Damit existieren auch die Ableitungen .S '/.k/ .0/ und haben die Werte kŠak . Da m beliebig war, zeigt dies, dass S ' 2 C 1 .R/ ist, also eine finite Testfunktion. Aus (12.75) folgt schließlich durch Ableiten .S '/.k/ ./ D .1/k .S '/.k/ ./ für alle k und alle . Ist k ungerade, so muss also .S '/.k/ .0/ D 0 sein. b. Das ergibt sich sofort aus den Definitionen und der Tatsache, dass man in (12.74) unter dem Integralzeichen differenzieren darf. t u Für ' 2 D.Rn / und Re > n haben wir nun nach Transformation auf Kugelkoordinaten Z1 Dh i E n1C ; S' : hŒr ; 'i D !n r n1C .S '/.r/ dr D !n rC 0
418
12 Einige spezielle Distributionen
Damit ist klar, dass die gewünschte analytische Fortsetzung durch die folgende Formel geliefert wird: D
E n1C ; S' ; (12.76) hP.r /; 'i WD !n P rC was möglich ist, sofern nur ¤ m n C 1 ist für m 2 N. Dass hierdurch wirklich Distributionen definiert werden, folgt sofort aus Lemma 12.24b. Aus (12.65) und (12.76) ergeben sich die Residuen res
DmnC1
hP.r /; 'i D !n
.1/m1 .S '/.m1/ .0/ : .m 1/Š
Da dies für gerades m verschwindet, haben wir in den Punkten D 2k n C 1; k 1 in Wirklichkeit hebbare Singularitäten, und nur in den Punkten D 2k n; k 0 verbleiben noch Pole erster Ordnung, und zwar mit den Residuen !n .S '/.2k/ .0/ : (12.77) res hP.r /; 'i D .2k/Š D2kn Für k D 0 reduziert sich dies wegen S '.0/ D '.0/ auf res P.r / D !n ı :
Dn
(12.78)
F Berechnung einiger F OURIERtransformierter Ist .T /; 2 D eine analytische Schar von temperierten Distributionen, so bilden die F OURIERtransformierten F ŒT wiederum eine analytische Schar. Dies folgt sofort aus den Definitionen, und es ergibt zusammen mit Satz 12.23 das Korollar 12.25. Es seien .S /; 2 D und .T /; 2 D zwei analytische Scharen von temperierten Distributionen, und für eine nichtleere offene Teilmenge D0 D sei bekannt, dass 8 2 D0 : S D F ŒT Dann gilt diese Beziehung sogar für alle 2 D. Dies erleichtert die Berechnung von F OURIERtransformierten in vielen Fällen wesentlich, da man sich auf Parameterbereiche D0 zurückziehen kann, in denen die betrachteten Objekte sich gut verhalten, so dass die benötigten Rechenoperationen leicht gerechtfertigt werden können. Mittels Theorem 11.33b. und Korollar 12.25 gelingt es daher häufig, die F OURIERtransformierte einer temperierten Distribution zu berechnen, ohne auf die Betrachtung von Testfunktionen zurückzugreifen. Beispiel I: Die F OURIERtransformierte von P xC . Zunächst betrachten wir den Bereich 1 < Re < 0. Dann ist xC lokal integrierbar, also P xC D xC ; und mit dem Satz über dominierte Konvergenz ergibt sich
F Berechnung einiger F OURIER transformierter
h
sofort
419
i h i D lim .x/x ex xC
in S10 ;
!0C
also nach Theorem 11.33b. i h h i D lim F .x/x ex : F xC !0C
(12.79)
Für > 0 ist f .x/ WD .x/x ex eine L1 -Funktion, ihre F OURIERtransformierte also punktweise gegeben durch 1 fO . / D p 2
Z1 f .x/ e 1
ix
1 dx D p 2
Z1
x e.Ci/x dx :
0
Für feste Werte von 2 R und > 0 betrachten wir nun den Strahl LW
z D . C i /x ;
0<x<1 R und berechnen das komplexe Kurvenintegral J. ; / WD L z ez dz. Einsetzen der Parameterdarstellung von L ergibt Z1 p J. ; / D . C i / x e.Ci/x . C i / dx D . C i /C1 2 fO . / : 0
Aber C i D i. C i/ D ei=2 . C i/; also folgt e.i=2/.C1/ fO . / D p . C i/1 J. ; / : 2
(12.80)
Man kann den Integrationsweg L aber auch auf die positive reelle Achse legen, ohne das Integral zu ändern. Um uns hiervon zu überzeugen, wählen wir 0 < " < R < 1 und betrachten den in Abb. 12.1 skizzierten Weg. Da z ez in der rechten Halbebene holomorph ist, verschwindet das Kurvenintegral längs dieses Weges (C AUCHYscher Integralsatz!). Aber das Integral über den Kreisbogen vom Radius " ist O." / für " ! 0; verschwindet also im Limes, da Re > 1 vorausgesetzt ist. Das Integral über den Kreisbogen vom Radius R hingegen verschwindet für R ! 1; da der Integrand für Re z ! 1 exponentiell abklingt. Demzufolge ist Z1 J. ; / D
x ex dx D . C 1/ ;
0
wobei rechts die E ULERsche Gammafunktion steht (vgl. etwa [36], Kap. 15 und 31). Einsetzen in (12.80) liefert also e.i=2/.C1/ fO . / D . C 1/. C i/1 ; p 2
(12.81)
420
12 Einige spezielle Distributionen
ξ
ε
R
η
Abb. 12.1 Integrationsweg für die Berechnung von J.; /
und nun können wir den Grenzübergang & 0 durchführen. Mit hat auch 1 seinen Realteil im Intervall 1; 0Œ; und somit ist im Sinne von S10 lim Œ. C i/1 D Œ. C i0/1 ;
!0C
also nach (12.79) h i e.i=2/.C1/ F xC . C 1/. C i0/1 . / D p 2 für 1 < Re < 0. Aus Kor. 12.25 folgt dann aber sofort, dass wir in ganz D WD C n fm j m 2 Ng die Beziehung h i e.i=2/.C1/ D p F P xC . C 1/P.. C i0/1 / 2
(12.82)
haben. Bekanntlich hat die komplexe Gammafunktion Pole erster Ordnung in den Punkten D m; m D 0; 1; 2; : : : und ansonsten keine Singularitäten. Bei Division heben sich die Pole also weg, und daher gilt die Beziehung F P xC e.i=2/.C1/ D p (12.83) P.. C i0/1 / . C 1/ 2 sogar für alle 2 C.
F Berechnung einiger F OURIER transformierter
421
Bemerkung: In physikalischen Anwendungen wird man (12.82) i. A. in der Form Z1
x eix dx D e.i=2/.C1/ . C 1/. C i0/1
0
anschreiben. Unsere Diskussion zeigt, in welchem Sinne diese Formel zu verstehen ist: Das Integral auf der linken Seite existiert niemals als L EBESGUE-Integral, aber für 1 < Re < 0 kann es als eine Art von bedingt konvergentem uneigentlichem Integral aufgefasst werden, und dann ist die Formel auch korrekt. Ist aber Re 0; so muss zusätzlich auf der rechten Seite der Übergang zum Hauptwert beachtet werden, d. h. man darf nicht übersehen, dass der „unendliche Beitrag“, den die Singularität in D 0 liefert, hier abgezogen wird. Analoges geschieht stillschweigend mit dem Ausdruck x im Integranden, wenn Re 1 ist. Beispiel II: Die F OURIERtransformierten der Distributionen P.r / 2 Sn0 . Auch hier beginnen wir mit dem Fall, wo r D jxj und seine F OURIER transformierte als reguläre Distributionen aufgefasst werden können, also im Prinzip als Funktionen. Daher verlangen wir zunächst Re > n und schreiben dann r D r K C r Rn nK ; wobei K die abgeschlossene Einheitskugel um den Nullpunkt bezeichnet. Dann ist r K 2 L1 .Rn /; also h0 WD F Œr K eine beschränkte stetige Funktion der Variablen . Verlangen wir zusätzlich noch Re < n=2; so ist r Rn nK 2 L2 .Rn /; wie man wieder durch Transformation auf Kugelkoordinaten erkennt. Also hat r Rn nK eine F OURIER -P LANCHEREL-Transformierte h1 2 L2 .Rn /; und die entsprechende reguläre Distribution ist dann auch die F OURIERtransformierte im Sinne der temperierten Distributionen (vgl. die Bemerkung hinter Theorem 11.33). Insgesamt haben wir f. ü. in Rn ; F Œr . / D h0 . / C h1 . / falls n < Re < n=2. Für diesen -Bereich ist F Œr also eine reguläre Distribution, und wir können mit ihr wie mit einer Funktion rechnen. Wählt man in (11.67) den Vektor b D 0 und eine beliebige orthogonale Matrix A; so erkennt man, dass F Œr unter allen orthogonalen Transformationen invariant und folglich kugelsymmetrisch ist. Wir können also F Œr D g .j j/ ;
2 Rn
schreiben. Nun wählen wir für A eine Streckung A WD t mit festem t > 0. Dann ergibt (11.67) wegen .t 1 r/ D t r die Beziehung g .t/ D t n g ./ ;
0:
422
12 Einige spezielle Distributionen
Man kann also g ./ mit c./ WD g .1/ vergleichen, indem man um den Faktor t D streckt, d. h. wir haben g ./ D c./n ; und es bleibt nur noch die Zahl c./ zu bestimmen. Dazu verwenden wir die spezielle Testfunktion '.x/ WD exp.jxj2 =2/; für die bekanntlich 'O D ' ist. Es ergibt sich c./hŒn ; 'i D hF Œr ; 'i D hŒr ; 'i ; also nach Transformation auf Polarkoordinaten Z1 c./!n
n1 n 2 =2
e
Z1 d D !n
0
r n1 r er
2 =2
dr
0
und somit
R1 c./ D
r Cn1 er
0 R1
2 =2
dr :
1 e2 =2 d
0
Aber für Re > 1 ist Z1
r 2 =2
r e 0
Z1 dr D
p es . 2s/1 ds D 2.1/=2
C1 2
;
0
und damit bekommen wir schließlich n
c./ D 2C 2
.. C n/=2/ : .=2/
Insgesamt haben wir das Ergebnis n
F Œr . / D 2C 2
.. C n/=2/ n j j ; .=2/
(12.84)
gültig für n < Re < 0. Wir haben dies zwar nur unter der Zusatzvoraussetzung Re < n=2 hergeleitet, aber da für n < Re < 0 beide Seiten lokal integrabel und von polynomialem Wachstum sind, gilt (12.84) nach Satz 11.16b. und Kor. 12.25 sogar für diesen größeren -Bereich. Durch (12.76) haben wir aber die analytische Schar .Œr / auf die Menge aller komplexen mit Ausnahme der D n 2k; k 2 N0 analytisch fortgesetzt. Daher liefert eine erneute Anwendung von Kor. 12.25 nun n
F ŒP.r / D 2C 2
.. C n/=2/ P.j jn / .=2/
(12.85)
F Berechnung einiger F OURIER transformierter
423
in der offenen Menge DQ 0 WD f 2 C j ¤ n 2k und ¤ 2k für k 2 N0 g : Die linke Seite ist aber sogar in DQ WD f 2 C j ¤ n 2k ; k 2 N0 g definiert und analytisch, und die Werte in den Punkten D 2k können leicht direkt berechnet werden: Wegen k r 2k D x12 C C xn2 folgt mit (11.64), (11.65) und (11.76) sofort F Œr 2k D ./k F Œ1 D ./k F 1 Œ1 D .2/n=2 .1/k k ı ; wobei WD durch
Pn
@2 j D1 @x 2 j
den L APLACE-Operator bezeichnet. Man hat (12.85) also F Œr 2k D .2/n=2 .1/k k ı
(12.86)
zu ergänzen. Bemerkungen: (i) Die linke Seite von (12.85) bzw. (12.86) wird man in Anwendungen meist in der Form Z 1 jxj eix dn x .2/n=2 notieren. Aber auch dieses Integral existiert nie als L EBESGUE-Integral und muss als „singuläres Integral“ sorgfältig interpretiert werden. Auch muss im Fall Re 0 die Bildung des Hauptwerts auf der rechten Seite von (12.86) berücksichtigt werden, durch die die bei D 0 auftretende Singularität beseitigt wird. (ii) Zähler und Nenner von (12.85) haben in D 2k einen Pol erster Ordnung, und somit lässt sich der Wert der analytischen Fortsetzung F Œr 2k auch als Quotient der entsprechenden Residuen ermitteln. Für die Gammafunktion gilt bekanntlich res .z/ D
zDk
.1/k ; kŠ
k D 0; 1; 2; : : :
Zusammen mit (12.77) ergibt das für jedes ' 2 Sn : n
hF Œr 2k ; 'i D lim 2C 2 .. C n/=2/ !2k
. 2k/hP.j jn /; 'i . 2k/ .=2/
n n .!n =.2k/Š/.S '/.2k/ .0/ D 22kC 2 k C 2 2.1/k =kŠ
n kŠ n .1/k !n .S '/.2k/ .0/ : D 22k1C 2 k C 2 .2k/Š
424
12 Einige spezielle Distributionen
Einsetzen der bekannten Beziehung !n D 2 n=2 = .n=2/ und Vergleich mit (12.86) liefert nun die interessante Formel .n=2/ .2k/Š k '.0/ kŠ .k C .n=2// 1 0 k1 .2k/Š Y 1 A k '.0/ ; D k @ 2 kŠ j D0 n C 2j
.S '/.2k/ .0/ D 22k
(12.87)
durch die die Ableitungen gerader Ordnung des sphärischen Mittelwerts im Nullpunkt explizit berechnet werden.
Beispiel III: G AUSS-Verteilungen mit komplexer Varianz Die Funktionen g .x/ WD exp.jxj2 =2/ ;
x 2 Rn
sind für Re 0 von polynomialem Wachstum (sogar beschränkt!), definieren also temperierte Distributionen Œg ; und diese bilden in der Halbebene H C WD f j Re > 0g eine analytische Schar. Diese Schar ist sogar auf H C noch stetig, d. h. für jede Testfunktion ' 2 Sn ist Z ˚./ WD g .x/'.x/ dn x eine stetige Funktion auf H C . Beides folgt sofort aus den Sätzen über Integrale mit Parameter. Um F Œg zu berechnen, beschränken wir uns zunächst auf reelle > p 0 und beachten, dass g aus g1 durch Anwenden der Streckung um den Faktor hervorgeht. Wegen gb1 D g1 ergibt sich also mit (11.68): F Œg . / D n=2 g1 .1=2 / D n=2 g1= . / : Nach Kor. 12.25 gilt also sogar für alle 2 H C
2 F exp.jxj =2/ . / D n=2 exp.j j2 =2/ ;
2 Rn ;
(12.88)
wobei die Potenzen von mit dem Hauptzweig des komplexen Logarithmus berechnet werden, also mit < arg < : Ist nun 0 D i0 mit 0 ¤ 0 2 R; so verhalten sich beide Seiten von (12.88) beim Grenzübergang ! 0 stetig (im Sinne der Konvergenz in Sn0 ), und folglich
Aufgaben
425
gilt (12.88) auch noch auf der imaginären Achse mit Ausnahme des Nullpunkts. Dies erlaubt es, das Anfangswertproblem für die S CHRÖDINGERgleichung des freien Teilchens explizit zu lösen (vgl. Beispiel 13.26).
Aufgaben zu Kap. 12 12.1. Man zeige: a. Die Ordnung von D ˛ ı.x a/ ist j˛j. Dabei ist ˛ ein beliebiger Multiindex und a 2 Rn ein beliebiger Punkt. b. Durch 1 X 1 T WD ı .k/ x k kD1
ist auf ˝ WD0; 1Œ eine Distribution unendlicher Ordnung definiert. c. T lässt sich nicht über den Nullpunkt hinaus fortsetzen, d. h. es gibt für ı > 0 keine Distribution S 2 D0 . ı; 1Œ/; die auf 0; 1Œ mit T übereinstimmt. 12.2. Man zeige: o.D ˛ T / o.T / C j˛j für beliebige T 2 D0 .˝/; ˛ 2 Nn0 . Man gebe Beispiele von Distributionen an, deren Ordnung sich beim differenzieren nicht erhöht. 12.3. Sei v W R ! R eine monoton wachsende Funktion. Man zeige: a. v ist lokal integrierbar, erzeugt also eine reguläre Distribution Œv. b. Durch Z hTv ; 'i WD ' dv ; ' 2 D.R/ ist auf R eine Distribution nullter Ordnung definiert. Was hat sie mit dem L EBESGUE -S TIELTJES-Maß v zu tun? c. Tv ist die Distributionsableitung von Œv. Hinweis: Zunächst leite man mittels der Aufgaben 10.4 und 10.6 her, dass Zb
Zb w dv D v.b/w.b/ v.a/w.a/
a
für w 2 betrachte
CR1 .Œa; b/;
w 0 v dx
a 0
w 0. Ist nun ' 2 D.R/ reellwertig, Tr ' Œa; b; so
w.x/ WD '.x/ mx
mit m WD min ' 0 .x/ : axb
Man vergleiche dies mit dem Ergebnis von Aufg. 10.5. 12.4. Sei ˝ offen in Rn und U offen in Rn1 . Wir betrachten eine C 1 -Funktion f W U ! R; deren Graph M WD f.x 0 ; xn / j x 0 D .x1 ; : : : ; xn1 / 2 U ; xn D f .x 0 /g
426
12 Einige spezielle Distributionen
in ˝ liegt. Dann ist M D P 1 .0/ mit P .x 0 ; xn / WD xn f .x 0 / ; und M ist eine reguläre Hyperfläche (wieso?). Man zeige: Z hı.P .x//; '.x/i D '.x 0 ; f .x 0 // dn1 x 0 U
für alle ' 2 D.˝/. (Hinweis: Bekanntlich ist dn1 D vgl. etwa [36], Kap. 22.)
p
1 C jrf .x 0 /j2 dn1 x 0 –
12.5. a. Sei g W G ! ˝ ein Diffeomorphismus und P 2 C 1 .˝/ eine Funktion, die (12.9) erfüllt. Man zeige: ı .k/ ı .P ı g/ D .ı .k/ ı P / ı g ;
k0:
(Hinweis: Am bequemsten ist es, (12.21) zu verwenden.) b. Man berechne ı .k/ .a1 x1 C C an xn / explizit, wenn a D .a1 ; : : : ; an / ein Einheitsvektor in Rn ist. (Hinweis: Durch eine geeignete Drehung kann man die Hyperebene a1 x1 C C an xn D 0 in eine Koordinatenhyperebene überführen. Für diesen Fall kennt man die Lösung aus Beispiel 12.10a.) 12.6. Sei c 2 R gegeben. Man berechne ı .k/ .xy c/ 2 D0 .R2 / für k 0 explizit, d. h. man ermittle eine Integralformel für die Ausdrücke hı .k/ .xy c/; '.x; y/i für ' 2 D.R2 /. 12.7. Man zeige: Im vierdimensionalen Raum mit den Koordinaten x; y; z; t ist u D ı.x 2 C y 2 C z 2 t 2 / eine Lösung der Wellengleichung @2 u @2 u @2 u @2 u C C 2 D0: @x 2 @y 2 @z 2 @t (Hinweis: Man verwende (12.28.)) 12.8. Man zeige, dass der C AUCHYsche Hauptwert P.1=t/ von erster, aber nicht von nullter Ordnung ist. Insbesondere ist er eine singuläre Distribution. (Hinweis: Um nullte Ordnung auszuschließen, betrachte man Testfunktionen der Form 'm .t/ WD .t/ arctan mt ; wobei 1 auf Œ1; 1.) 12.9. Man beweise die folgenden Formeln: .i=2/.C1/ a. F P x D e p . C 1/P.. i0/1 / für alle 2 C; die 2
aus xC durch keine negative ganze Zahl sind. (Hinweis: Man beachte, dass x Anwenden der Spiegelung Rx WD x hervorgeht.)
Aufgaben
427
.C1/ ˙i=2 1 1 D ˙i p e ei=2 P. C b. F P x˙ P / für 2 62 Z.
.C1/ sin P j j1 . c. F P jxj D 2 p 2 2
.C1/ d. F jxj sgn x D 2i p cos P j j1 sgn : 2 2
Für welche Werte von gelten die letzten beiden Formeln? 12.10. Aus (12.73) folgere man r 1 F Œ .x/. / D p P.1= / C ı. / ; 2 i 2 r 0 1 F ŒxC D p P. 2 / i ı . / : 2 2
(12.89) (12.90)
12.11. Es sei r r.x/ D jxj für x D .x1 ; : : : ; xn / 2 Rn ; und sei der L APLACEOperator in Rn . a. Man zeige: P.r C2 / D . C 2/. C n/P.r / für alle 2 C n f2k n j k 2 N0 g. (Hinweis: Für die Funktion r C2 in Rn n f0g kann man das durch explizite Rechnung bestätigen.) b. Man folgere eine analoge Formel für m P.r C2m /; m 1. c. Nun gebe man mittels (12.77) und (12.78) einen neuen Beweis für (12.87). 12.12. Sei f eine rotationssymmetrische stetige Funktion auf R3 ; für die f .x/jxj2 beschränkt bleibt. Man zeige: Dann ist die F OURIERtransformierte fO eine rotationssymmetrische L2 -Funktion, fast überall gegeben durch das (uneigentliche!) Integral r fO. / D
2
Z1 rf0 .r/
sin j jr dr ; j j
0
wobei f .x/ D f0 .jxj/ geschrieben wurde. (Hinweis: Wegen der Rotationssymmetrie hat man fO. / D fO.j je 3 /.) 12.13. Es sei D WD C n f 2 R j 0g : Für 2 D wollen wir die F OURIERtransformierte der Funktion f .x/ WD
1 ;
jxj2
x D .x1 ; x2 ; x3 / 2 R3
berechnen. a. Man zeige, dass Aufg. 12.12 auf die f ; 2 D anwendbar ist. b. Sei ! 2 C mit Im ! > 0 gegeben, und sei > 0 beliebig. Mittels Residuenkalkül (vgl. etwa [36], Kap. 18) beweise man:
428
12 Einige spezielle Distributionen
Z1 s2
1
s e˙is ds D ˙i ei! : !2
(Hinweis: Nach dem Satz über dominierte Konvergenz gilt Z lim
R!1
eR sin t dt D 0 :
0
Das sollte benutzt werden.) c. Nun folgere man, dass für alle 2 D fast überall in R3 gilt: fO . / D wobei für die Wurzel
p
r
p
eijj 2 j j
;
der Wert in der oberen Halbebene gewählt wird.
12.14. Sei 0. Man zeige: a. In S30 existiert der Limes 1 T WD lim "&0 2
1 1 C 2 2 2 jxj . C i"/ jxj .2 i"/
und er hat die F OURIERtransformierte r cos j j ; F ŒT . / D 2 j j
D . 1 ; 2 ; 3 / 2 R3 f. ü.
;
(12.91)
(Hinweis: Am besten definiert man T durch (12.91) und verwendet dann das Ergebnis von Aufg. 12.13c.) Z '.x/ d3 x. b. T ist eine Regularisierung des divergenten Integrals 2 2 3 jxj R
Kapitel 13
Tensorprodukt und Faltung von Distributionen
Keine Einführung in den Kalkül der Distributionen wäre vollständig ohne eine Diskussion des Faltungsprodukts, dem wir uns hier in den Abschn. B und C zuwenden. In Abschn. D werden wir dann einige Anwendungen auf lineare partielle Differentialgleichungen besprechen, die zeigen, wie nützlich das Faltungsprodukt ist. Insbesondere werden sich dabei etliche wohlbekannte klassische Formeln für geschlossene Lösungen als Spezialfälle der Faltung entpuppen. Als Vorbereitung auf die Faltung besprechen wir jedoch zunächst in Abschn. A das Tensorprodukt von Distributionen. Diese Produktbildung gestattet es, aus einer Distribution in m Variablen und einer Distribution in n Variablen eine neue Distribution zusammenzusetzen, die auf Testfunktionen in m C n Variablen wirkt.
A Tensorprodukt von Distributionen Wir betrachten Distributionen in der offenen Menge ˝ D ˝x ˝y RmCn . Dabei verwenden wir die folgenden Bezeichnungen: ˝x Rm mit x D .x1 ; : : : ; xm / ; ˝y Rn mit y D .y1 ; : : : ; yn / ; ˝z D ˝x ˝y RmCn mit z D .z1 ; : : : ; zmCn / D .x1 ; : : : ; xm ; y1 ; : : : ; yn / : Sind f D f .x/; g D g.y/ lokal integrierbare Funktionen auf ˝x bzw. ˝y ; so nennt man die Funktion h.z/ mit h.z/ h.x; y/ D .f ˝ g/.x; y/ WD f .x/ g.y/
(13.1)
das Tensorprodukt von f mit g (vgl. Satz 7.22). Nun liegt es nahe, das Tensorprodukt der entsprechenden Distributionen durch Œf ˝ Œg WD Œf ˝ g
K.-H. Goldhorn, H.-P. Heinz, M. Kraus, Moderne mathematische Methoden der Physik DOI 10.1007/978-3-540-88544-3, © Springer 2009
429
430
13 Tensorprodukt und Faltung von Distributionen
zu definieren. Für eine Testfunktion .z/ D .x; y/ 2 D.˝z / erhält man dann nach dem Satz von F UBINI hŒf ˝ Œg ;i hŒh ;i Z D .f ˝ g/.z/.z/ dmCn z ˝z
8 ˆ
Z D
f .x/ ˝x
ˆ :
g.y/.x; y/ dn y
˝y
9 > = > ;
dm x
D hŒf .x/; hŒg .y/; .x; y/ii 8 9 ˆ > Z
: ;
(13.2)
D hŒg .y/; hŒf .x/; .x; y/ii :
(13.3)
˝y
˝x
Wir wollen dies auf beliebige Distributionen übertragen. Wir formulieren alles für D und D0 ; obwohl alle Definitionen und Sätze wörtlich in S und S 0 gelten. Ziel ist es, folgende Definitionsgleichung zu rechtfertigen: hS ˝ T; 'i WD hS.x/; hT .y/; '.x; y/ii ;
(13.4)
wobei S 2 D0 .˝x /; T 2 D0 .˝y /; ' 2 D.˝z / ist. Damit die rechte Seite von (13.4) sinnvoll ist, muss gezeigt werden, dass .x/ D hT .y/; '.x; y/i 2 D.˝x / ist. Dies zeigen wir zunächst: Satz 13.1. Sei T .y/ 2 D0 .˝y /; '.x; y/ 2 D.˝z / und sei .x/ WD hT .y/; '.x; y/i
für x 2 ˝x
(13.5)
Dann gilt: a.
2 D.˝x /; und für jeden Multiindex ˛ ist D ˛ .x/ D hT .y/; Dx˛ '.x; y/i :
b. Gilt 'k ! ' in D.˝z /; so gilt k .x/
k
!
(13.6)
in D.˝x /; wobei
WD hT .y/; 'k .x; y/i :
Beweis. a. Im ersten Schritt zeigen wir, dass .x/ stetig ist. Seien dazu x D .x1 ; : : : ; x m / 2 ˝x mit x ! x0 gewählt. Dann gilt nach Definition der
A Tensorprodukt von Distributionen
D-Konvergenz
431
'.x ; / ! '.x0 ; /
in D.˝y / :
Da T auf D.˝y / stetig ist, folgt .x / D hT; '.x ; /i ! hT; '.x0 ; /i D
.x0 / ;
d. h. ist stetig in x0 2 ˝x . b. Im zweiten Schritt beweisen wir (13.6), woraus dann a. folgt, weil natürlich kompakten Träger in ˝x hat. Es genügt, (13.6) für eine partielle Ableitung zu zeigen. Der Rest folgt dann durch Induktion. Sei hi D .0; : : : ; 0; h; 0; : : : ; 0/ D he i und
1 Œ'.x C hi ; y/ '.x; y/ ; x 2 ˝x fest h der Differenzenquotient der i -ten partiellen Ableitung. Dann ist sicher h 2 D.˝y / und es gilt gleichmäßig auf ˝y : h .y/ D
Dyˇ h .y/ ! Dyˇ @xi '.x; y/ h!0
wegen ' 2 D.˝z / :
Somit gilt h ! 'xi
in D.˝y / für h ! 0 :
Wegen der Stetigkeit von T auf D.˝y / folgt dann 1 . h
.x C hi ; y/
.x// D hT .y/; h .y/i ! hT .y/; 'xi .x; y/i D h!0
xi .y/
;
woraus (13.6) und damit 2 C 1 .˝x / folgt. c. Es bleibt noch die Konvergenzaussage in b. zu zeigen. Gelte also 'm ! '
in D.˝z /; m ! 1 :
Dann liegen alle Träger Tr .'m / in einer kompakten Menge Kz D Kx Ky ˝z und daher liegen die Träger der m alle in Kx . Ferner gilt Dx˛ Dyˇ 'm .x; y/ ! Dx˛ Dyˇ '.x; y/ gleichmäßig auf ˝z für alle ˛; ˇ. Nun wendet man Satz 11.12a. mit K D Ky an und beachtet (13.6). Das ergibt sofort die gleichmäßige Konvergenz D˛
m .x/
Damit sind folgende Aussagen klar:
! D ˛ .x/
auf ˝x .
t u
432
13 Tensorprodukt und Faltung von Distributionen
Satz 13.2. a. Für S 2 D0 .˝x /; T 2 D0 .˝y / wird durch hS ˝ T; 'i WD hS.x/; hT .y/; '.x; y/ii
.13:4/
eine Distribution S ˝ T 2 D0 .˝x ˝y /; das Tensorprodukt von S und T; definiert. b. Für ˛.x/ 2 D.˝x /; ˇ.y/ 2 D.˝y / gilt: hS ˝ T; ˛ ˝ ˇi hS.x/ ˝ T .y/; ˛.x/ ˇ.y/i D hS; ˛i hT; ˇi :
(13.7)
c. Für die Träger gilt Tr .S ˝ T / D Tr S Tr T :
(13.8)
ı.x/ ˝ ı.y/ D ı.x; y/ :
(13.9)
Beispiel: Es gilt Denn für '.x; y/ 2 D.˝z / folgt hı.x/ ˝ ı.y/; '.x; y/i D hı.x/; hı.y/; '.x; y/ii D hı.x/; '.x; 0/i D '.0; 0/ : Ferner bekommt man für Funktionen f 2 L1loc .˝x /; g 2 L1loc .˝y /: Z hı.x/ ˝ Œg .y/; '.x; y/i D g.y/'.0; y/ dn y ;
(13.10)
˝y
Z
hŒf .x/ ˝ ı.y/; '.x; y/i D
f .x/'.x; 0/ dm x :
(13.11)
˝x
Wir führen nun ohne Beweis eine Tatsache an, die wegen ihrer Analogie zu Satz 7.22 zumindest plausibel ist: Satz 13.3. Der Vektorraum D.˝x / ˝ D.˝y / WD LH
˚ ˛ ˝ ˇ j ˛ 2 D.˝x /; ˇ 2 D.˝y /
liegt dicht in D.˝x ˝y /. Hieraus ergeben sich sofort folgende Rechenregeln: Satz 13.4. a. hS.x/; hT .y/; '.x; y/ii D hT .y/; hS.x/; '.x; y/ii für alle ' 2 D.˝z /. b. Das Tensorprodukt ist in jedem Faktor stetig, d. h. Sk ! S in D0 .˝x / H) Sk ˝ T ! S ˝ T in D0 .˝z / ; Tk ! T in D0 .˝y / H) S ˝ Tk ! S ˝ T in D0 .˝z / :
(13.12)
B Faltung von Distributionen
433
c. Das Tensorprodukt ist assoziativ, d. h. R ˝ .S ˝ T / D .R ˝ S / ˝ T
(13.13)
für R 2 D0 .˝u /; S 2 D0 .˝x /; T 2 D0 .˝y / (wobei ˝u Rp eine offene Teilmenge eines weiteren euklidischen Raums ist). d. Für die Ableitungen gilt: Dx˛ Dyˇ .S.x/ ˝ T .y// D .D ˛ S / ˝ .D ˇ T / :
(13.14)
e. Sind f 2 C 1 .˝x /; g 2 C 1 .˝y /; so gilt .f ˝ g/.S ˝ T / D .f S / ˝ .gT / :
(13.15)
B Faltung von Distributionen Für Funktionen f; g 2 L1 .Rn / existiert bekanntlich das Faltungsprodukt Z h.x/ .f g/.x/ WD f .y/g.x y/ dn y ;
(13.16)
Rn
und diese Produktbildung verhält sich kommutativ, assoziativ und distributiv (vgl. Theorem 11.7 sowie etwa [36], Kap. 33). Die insbesondere lokal-integrierbaren Funktionen f; g; h erzeugen reguläre Distributionen, die wir hier mit F; G; H 2 D0 .Rn / bezeichnen. Für ' 2 D.Rn / folgt aus (13.16): Z hH; 'i D .f g/./'./ dn Rn
D
8 Z
Rn
g.y/f . y/ dn y
:
Rn
Z D
g.y/
: Rn 8
g.y/
:
Rn
Z
D Rn
8
Rn
9 = ;
'./ dn
f . y/'./ dn
9 =
dn y ; 9 = f .x/'.x C y/ dn x dn y : ;
Rein formal könnten wir also schreiben hF G; 'i hH; 'i D hG.y/; hF .x/; '.x C y/ii
(13.17)
D hF .x/ ˝ G.y/; '.x C y/i nach der Definition des Tensorprodukts in Satz 13.2. Anschließend könnte man diese Gleichung als Definition der Faltung von beliebigen Distributionen benutzen. Das
434
13 Tensorprodukt und Faltung von Distributionen
Problem besteht jedoch darin, dass die Funktion .x; y/ WD '.x C y/
für ' 2 D.Rn /
keinen kompakten Träger im R2n hat, denn ist z. B. 0 2 Tr '; so ist f.x; y/ j y D xg Tr
:
Man kann daher nur solche Distributionen miteinander falten, für die diese Schwierigkeit umgangen werden kann. Um dies zu tun, ersetzen wir '.x C y/ durch Testfunktionen der Form m .x; y/'.x C y/; wobei die Folge der Hilfsfunktionen m eine gewisse technische Bedingung erfüllen muss. Genauer: Definitionen 13.5. a. Eine Folge .m /; m 2 D.RN /; heißt eine 1-Folge in D; wenn für jedes Kompaktum K RN und jeden Multiindex ˛ Konstanten C 0 und m0 2 N existieren, so dass m .z/ D 1 für z 2 K und m m0
(13.18)
und jD ˛ m .z/j C 0
8 z 2 RN ; m 2 N :
(13.19)
b. Seien S; T 2 D .R /. Angenommen, für jede 1-Folge .m / in D.R / existiert der Limes n
2n
hS T; 'i WD lim hS.x/ ˝ T .y/; m .x; y/'.x C y/i m!1
D lim hS.x/; hT .y/; m .x; y/'.x C y/ii
(13.20)
m!1
für alle ' 2 D.Rn / und ist unabhängig von .m /. Dann bezeichnen wir die Distributionen S; T als faltbar, und die Faltung S T 2 D0 .Rn / ist nun durch (13.20) definiert. Dass durch (13.20) wirklich eine Distribution definiert ist, folgt aus Satz 11.25, denn hS.x/; hT .y/; m .x; y/'.x C y/ii ist für jedes m ein stetiges lineares Funktional auf D.Rn /; weil m .x; y/'.x C y/ 2 D.R2n / ist, so dass Satz 13.2 anwendbar ist. Auf der Grundlage dieser Definition ist es natürlich schwierig, die Faltbarkeit von Distributionen zu beurteilen. Hier hilft z. B. der folgende Satz: Satz 13.6. Sind S; T 2 D0 .Rn / und ist S oder T finit, so existiert S T 2 D0 .Rn / und ist – bei finitem T – gegeben durch hS T; 'i D hS.x/ ˝ T .y/; .y/'.x C y/i
(13.21)
B Faltung von Distributionen
435
für alle ' 2 D.Rn /. Dabei ist 2 D.Rn / eine fest gewählte Testfunktion mit 1 auf Tr T . Ist S finit, so wählt man mit 1 auf Tr S und ersetzt .y/ durch .x/ in (13.21). Beweis. Wegen Satz 13.4a. können wir o. B. d. A. annehmen, dass T
finit mit Tr T UR :
(Hier ist UR die offene Kugel vom Radius R um den Nullpunkt.) Dann wählen wir gemäß Lemma 11.8 ein 2 D.Rn / mit Tr UR
und D 1 auf Tr T :
Sei nun ' 2 D.Rn / mit Tr ' UR0 beliebig. Dann ist .x; y/ D .y/'.x C y/ 2 D.R2n /; Tr . / URCR0 UR ;
(13.22)
wie man sofort nachrechnet. Nun wählen wir eine beliebige 1-Folge .m / in D.R2n /. Nach Definition 13.5 ist dann .y/m .x; y/'.x C y/ D .y/'.x C y/
(13.23)
für hinreichend großes m m0 . Wegen T D T folgt dann hS T; 'i D lim hS.x/ ˝ T .y/; m .x; y/'.x C y/i m!1
D lim hS.x/ ˝ ..y/T .y//; m .x; y/'.x C y/i m!1
D lim hS.x/ ˝ T .y/; .y/m .x; y/'.x C y/i m!1
D hS.x/ ˝ T .y/; .y/'.x C y/i wobei der Limes wegen (13.23) existiert und unabhängig von der Folge .m / ist. Daher ist auch durch (13.21) ein stetiges lineares Funktional auf D.Rn / definiert. t u Aus den Eigenschaften des Tensorprodukts in Satz 13.4 a.,b. folgt nun: Satz 13.7. a. Für Distributionen S; T 2 D0 .Rn / existiert S T genau dann, wenn T S existiert, und die beiden Faltungsprodukte sind dann gleich. b. Seien S; Sm ; T; Tm 2 D0 .Rn / mit Sm ! S ;
Tm ! T
in D0 .
Ist dann T finit oder sind S und alle Sm finit, so gilt Sm T ! S T
in D0 .
(13.24)
in D0 .
(13.25)
Ist S finit oder sind T und alle Tm finit, so gilt S Tm ! S T
Für das Differenzieren eines Faltungsprodukts gilt die Rechenregel, die von Funktionen her vertraut ist:
436
13 Tensorprodukt und Faltung von Distributionen
Satz 13.8. Wenn für S; T 2 D0 .Rn / das Faltungsprodukt S T existiert, so existieren für jeden Multiindex ˛ die Faltungsprodukte .D ˛ S / T und S .D ˛ T / und es gilt (13.26) D ˛ .S T / D .D ˛ S / T D S .D ˛ T / : Beweis. Es genügt, die Behauptung für eine erste Ableitung zu zeigen. Sei also ' 2 D.Rn / und sei .m / eine 1-Folge in D.R2n /. Dann ist .m C @i m /; 1 i n; ebenfalls eine 1-Folge, denn nach Definition 13.5a. ist m D 1 auf K; also @i m D 0 auf K für m m0 ; wobei m0 von der kompakten Menge K abhängt. Da S T nach Voraussetzung existiert, folgt aus Definition 13.5b.: h@i .S T /; 'i D hS T; @i 'i D hS.x/ ˝ T .y/; 'xi .x C y/i D lim hS.x/ ˝ T .y/; m .x; y/'xi .x C y/i m!1
D lim hS.x/ ˝ T .y/; @xi .m .x; y/'.x C y// m!1
m;xi .x; y/'.x C y/i D lim h.@i S /.x/ ˝ T .y/; m .x; y/'.x C y/i m!1
C lim hS.x/ ˝ T .y/; .m C @xi m /.x; y/'.x C y/i m!1
lim hS.x/ ˝ T .y/; m .x; y/'.x C y/i m!1
D h@i S T; 'i C hS T; 'i hS T; 'i ; t u
womit alles gezeigt ist. Als Übung zeigt man leicht: Beispiel 13.9. Für jedes T 2 D0 .Rn / gilt: T ı0 D ı0 T D T
(13.27)
D ˛ T D D ˛ ı0 T D ı0 D ˛ T :
(13.28)
und daher auch Es sollte noch bemerkt werden, dass aus der Existenz von D ˛ S T und S .D ˛ T / i. A. nicht die Existenz von S T folgt, wie man an Beispielen zeigen kann (vgl. Aufg. 13.5). Die Faltung ist ein gutes Werkzeug für Approximationen, wie wir schon in Kap. 11 für Funktionen gesehen haben. Mit Hilfe von Faltungen sowie Multiplikation mit Abschmierfunktionen kann man den folgenden wichtigen Satz beweisen. (Für einfache Fälle ist die verwendete Beweistechnik in den Aufgaben 11.7 und 13.4 demonstriert.)
C F OURIER transformation von Tensor- und Faltungsprodukt
437
Theorem 13.10. Jede Distribution T 2 D0 .˝/ ist der D0 -Limes einer Folge von regulären Distributionen, die von Testfunktionen m 2 D.˝/ erzeugt werden. Mit anderen Worten: D.˝/ ist dicht in D0 .˝/.
C F OURIERtransformation von Tensor- und Faltungsprodukt Wir wollen nun die F OURIERtransformation aus Theorem 11.33 auf Tensor- und Faltungsprodukte anwenden. Dabei legen wir ausschließlich temperierte Distributionen zu Grunde. Für diese gelten alle bisherigen Sätze über Tensorprodukt und Faltung wörtlich, wie man sich leicht überzeugt. Wir bezeichnen die Variablen wieder mit x D .x1 ; : : : ; xm / 2 Rm x; y D .y1 ; : : : ; yn / 2 Rny und z D .x1 ; : : : ; xm ; y1 ; : : : ; yn / 2 RmCn . Die „dualen“ Variaz blen, von denen die F OURIERtransformierten abhängen, bezeichnen wir analog mit n mCn . 2 Rm x ; 2 Ry bzw. 2 Rz Für Testfunktionen ' 2 SmCn kann man dann folgende F OURIERtransformationen definieren: Z m=2n=2 Fz Œ'.; / .x; y/ D .2/ '.; / ei.xCy/ dm dn ; Fx Œ'.; / .x; / D .2/m=2
Z
RmCn z
'.; / eix dm ;
(13.29)
Rm x
Fy Œ'.; / .; y/ D .2/n=2
Z
'.; / eiy dn :
Rn y
Diese partiellen F OURIERtransformationen übertragen sich mittels Theorem 11.33 auf temperierte Distributionen, z. B. hFz ŒT .; / .x; y/; '.x; y/i D hT .x; y/; Fz Œ'.; / .x; y/i ; hFx ŒT .; / .x; /; '.x; /i D hT .x; /; Fx Œ'.; / .x; /i
(13.30)
usw. Beachtet man außerdem noch die Definitionsgleichung für das Tensorprodukt aus Satz 13.2, also hS.x/ ˝ T .y/; '.x; y/i D hS.x/; hT .y/; '.x; y/ii ;
(13.31)
so bekommen wir sofort die folgenden Rechenregeln: 0 Satz 13.11. Für S.x/ 2 Sm ; T .y/ 2 Sn0 gilt:
Fz ŒS./ ˝ T ./ D D Fx S./ ˝ Fy ŒT ./ .y/ D Fy ŒFx ŒS./ ˝ T ./ D Fx ŒS./ ˝ Fy ŒT ./
(13.32)
438
13 Tensorprodukt und Faltung von Distributionen
Kurz: F ŒS ˝ T D F ŒS ˝ F ŒT
(13.33)
0 und sei T .y/ 2 D0 .Rn / eine finite Distribution, wobei aber Sei nun S.x/ 2 Sm m D n sein soll. Nach Satz 13.6 existiert dann das Faltungsprodukt S T 2 Sn0 gemäß hS T; 'i D hS.x/; hT .y/; .y/'.x C y/ii (13.34)
für alle ' 2 Sn ; wobei 2 D.Rn / mit D 1 auf Tr T . Auf S T können wir die F OURIERtransformation anwenden: hF ŒS T ; 'i D hS T; F Œ'i D hS.x/; hT .y/; .y/F Œ'./ .x C y/i
(13.35)
Da T linear und stetig ist, folgt (wie im Beweis von Satz 11.34): hT .y/; .y/F Œ'./ .x C y/i D D.2/
n=2
Z D
E T .y/; .y/ ei.xCy/ './ dn :
(13.36)
Rn
Da T eine finite Distribution ist, ist nach Satz 11.34 D E T .y/; .y/ ei.xCy/ D eix .2/n=2 F ŒT .y/ ./ D .2/n=2 eix TO ./ (13.37) eine Funktion aus Pn1 . Mit (13.35) und (13.36) folgt daher hF ŒS T ; 'i D * + R ix D S.x/; e './TO ./ dn n R D h i E D S.x/; .2 n=2 /F ' TO .x/ D E D .2/n=2 F ŒS ; ' TO D .2/n=2 hF ŒT F ŒS ; 'i ; wobei das Produkt F ŒT F ŒS das Produkt der temperierten Distribution F ŒS mit der P 1 -Funktion F ŒT ist. Also haben wir gezeigt: Satz 13.12. Ist S 2 Sn0 ; und ist T 2 D0 .Rn / finit, so gilt F ŒS T D .2/n=2 F ŒS F ŒT :
(13.38)
D Anwendungen auf lineare Differentialgleichungen
439
D Anwendungen auf lineare Differentialgleichungen Im Folgenden wollen wir die hier und in Kap. 11 zusammen gestellten Eigenschaften der Distributionen aus D0 und S 0 anwenden, um Aussagen über die Lösbarkeit linearer partieller Differentialgleichungen zu gewinnen. Definitionen 13.13. Sei ˝ Rn ein Gebiet. a. Für Multiindices j˛j m seien a˛ .x/ 2 C 1 .˝/ gegebene Funktionen. Dann definiert man den linearen Differentialoperator mit den Koeffizienten a˛ durch X @ @ : (13.39) L.x; D/ WD a˛ .x/D ˛ ; D D ;:::; @x1 @xn j˛jm
b. Ist f 2 D0 .˝/ eine gegebene Distribution, so heißt eine Distribution u 2 D0 .˝/ eine verallgemeinerte Lösung der Differentialgleichung L.x; D/u D f
(13.40)
in einem Gebiet ˝0 ˝; wenn hL.x; D/u; 'i D hf; 'i
(13.41)
für alle ' 2 D mit Tr ' ˝0 gilt. Folgende Umformulierung leitet man sofort als Übung her: Satz 13.14. Bezeichnet L .x; D/' WD
X
.1/j˛j D ˛ .a˛ '/
(13.42)
j˛jm
den zum Differentialoperator L.x; D/ transponierten Operator, so ist u 2 D0 .˝/ genau dann eine verallgemeinerte Lösung in ˝0 ; wenn hu; L .x; D/'i D hf; 'i
(13.43)
für alle ' 2 D mit Tr ' ˝0 . In der Regel interessiert einen die Differentialgleichung (13.40), wenn die rechte Seite f 2 C 0 .˝/ ist (bzw. die davon erzeugte reguläre Distribution) und man fragt nach klassischen Lösungen u 2 C m .˝/ von (13.40). Klar ist dabei, dass jede klassische Lösung auch eine verallgemeinerte Lösung ist (Produktintegration!). Umgekehrt hat man: Satz 13.15. Ist die verallgemeinerte Lösung u 2 D0 der Differentialgleichung L.x; D/u D f
in ˝
.13:40/
440
13 Tensorprodukt und Faltung von Distributionen
eine reguläre Distribution, die von einer Funktion u 2 C m .˝/ erzeugt wird und ist f 2 D0 .˝/ eine reguläre Distribution, die von einer Funktion f .x/ 2 C 0 .˝/ erzeugt wird, so ist u.x/ auch klassische Lösung der Differentialgleichung (13.40). Beweis. Da u 2 D0 .˝/ \ C m .˝/ ist, stimmen nach Abschn. 11F die klassischen und schwachen Ableitungen von u überein und zwar bis zur Ordnung m (vgl. insbesondere die Motivation für die Definitionen aus 11.28). Weil u eine verallgemeinerte Lösung von (13.40) ist, gilt L.x; D/u f D 0
in ˝
im Sinne von Definition 13.13b., d. h. hL.x; D/u f; 'i D 0
für ' 2 D.˝/ ;
also, ausführlich geschrieben: Z L.x; D/u.x/ f .x/ '.x/ dn x D 0 : ˝
Die Funktion L.x; D/u.x/ f .x/ ist nach Voraussetzung aber stetig. Das Fundamentallemma der Variationsrechnung (Theorem 11.17) ergibt daher also L.x; D/u.x/ D f .x/
für alle x 2 ˝.
Das bedeutet aber, dass u klassische Lösung ist.
t u
Fundamentallösungen Bei klassischen partiellen Differentialgleichungen wie der Potentialgleichung oder der Wärmeleitungsgleichung werden Lösungen bekanntlich aus einer sog. Fundamentallösung gewonnen (vgl. etwa [36], Kap. 25 und 26). Die Distributionstheorie ermöglicht es, das allgemeine Prinzip dahinter klar herauszuschälen und auch Berechnungsmethoden für Fundamentallösungen anderer Differentialgleichungen zu entwickeln. Allerdings geht es dabei stets um lineare Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten. Definition 13.16. Es sei L.D/ D
X
a˛ D ˛
(13.44)
j˛jm
ein linearer Differentialoperator in Rn mit konstanten Koeffizienten a˛ 2 C. Dann nennt man eine Distribution E 2 D0 D0 .Rn /; welche die Gleichung L.D/E D ı.x/ in D0 erfüllt, eine Fundamentallösung von L.D/.
(13.45)
D Anwendungen auf lineare Differentialgleichungen
441
Eine Fundamentallösung ist i. A. nicht eindeutig bestimmt, denn ist E0 2 D0 eine Lösung der homogenen Gleichung L.D/E0 D 0 ; so ist E C E0 ebenfalls eine Fundamentallösung von L.D/. Pn 2 n gilt nach Beispiel: Für den L APLACE-Operator D j D1 @j in R Aufg. 12.11a.: P.r C2 / D . C 2/. C n/P.r / für ¤ n 2k ; k 2 N0 . Grenzübergang ! n liefert wegen (12.78) r 2n D .2 n/!n ı : Also ist für alle n ¤ 2 E WD
1 r 2n !n .2 n/
(13.46)
eine Fundamentallösung für den L APLACE-Operator. Mit derselben Methode (vgl. Aufg. 12.11b.) kann man auch für die Potenzen m Fundamentallösungen bestimmen. Bei linearen Differentialoperatoren L.D/ mit konstanten Koeffizienten kann man die F OURIERtransformation zur Bestimmung einer Fundamentallösung verwenden, wobei man jedoch beachten muss, dass diese nur für temperierte Distributionen T 2 Sn0 definiert ist. Satz 13.17. Eine temperierte Distribution E 2 Sn0 ist genau dann eine Fundamentallösung des Operators L.D/; wenn ihre F OURIERtransformierte F ŒE die Gleichung L.i/F ŒE D .2/n=2 1 (13.47) mit
X
L./ D
a˛ ˛
(13.48)
j˛jm
erfüllt. Beweis. Es sei zunächst E 2 Sn0 eine Fundamentallösung von L.D/. Dann wenden wir auf (13.45) die F OURIERtransformation an und verwenden auf der rechten Seite (11.76): F ŒL.D/E D F Œı D .2/n=2 1 : Auf der linken Seite ergibt sich nach den Rechenregeln für die F OURIERtransformation in Theorem 11.33c. 3 2 X a˛ D ˛ E 5 F ŒL.D/E D F 4 j˛jm
D
X
j˛jm
a˛ F ŒD ˛ E
442
13 Tensorprodukt und Faltung von Distributionen
D
X
a˛ .i/˛ F ŒE D L.i/F ŒE ;
j˛jm
woraus (13.47) folgt. Die Umkehrung wird ebenso nachgerechnet.
t u
Wie man am Beweis von Satz 13.17 sieht, überführt die F OURIERtransformation einen linearen Differentialoperator L.D/ m-ter Ordnung mit konstanten Koeffizienten in ein Polynom P ./ m-ten Grades. Die Bestimmung von Fundamentallösungen E 2 S 0 führt nach 13.17 auf das Lösen von algebraischen Gleichungen der Form P ./X D 1 in Sn0 ;
(13.49)
wobei P ein beliebiges Polynom ist. Es ist klar, dass jede mögliche Lösung von (13.49) auf dem Komplement der Nullstellenmenge NP D f j P ./ D 0g mit Œ1=P ./ übereinstimmen muss. Jede solche Lösung ist also eine RegulaR n risierung des (möglicherweise divergenten) Integrals P'./ ./ d im Sinne von Def. 12.13. Dies bedeutet insbesondere, dass im Falle von NP 6D ; die Lösung von (13.49) nicht eindeutig ist, da man Distributionen mit Träger auf NP addieren kann. Beispiele 13.18. (i) Für den L APLACE-Operator ist L.i/ D jj2 ; also 1=L.i/ D jj2 lokal integrierbar, falls n 3. Da es sich um eine gerade Funktion handelt, ist F 1 Œjj2 D F Œjj2 ; also finden wir mit (13.47) und (12.84) die Fundamentallösung
n2 F 1 Œjj2 2 ED D jxj2n : .2/n=2 4 n=2 Das stimmt mit (13.46) überein, denn !n D (ii)
2 n=2 4 n=2 n D :
2 .n 2/ n2 1
Die sog. H ELMHOLTZ-Gleichung u C 2 u D 0 ;
2 R; ¤ 0
beschreibt stehende Wellen im dreidimensionalen Raum. Hier ist L.i/ D jj2 C 2 ; und in Aufg. 12.14 haben wir eine spezielle Regularisierung von 1=.jj2 2 / kennengelernt, nämlich 1 2 2 1 2 2 1 .jj C i"/ C .jj i"/ T D lim T ."/ mit T ."/ WD "&0 2 jj2 2 D : .jj2 2 /2 C "2
D Anwendungen auf lineare Differentialgleichungen
Also ist .jj2 2 /T ."/ D
443
.jj2 2 /2 ; .jj2 2 /2 C "2
und der Betrag des letzten Bruches ist unabhängig von " > 0 durch 1 beschränkt. Nach dem Satz über dominierte Konvergenz haben wir daher lim .jj2 2 /T ."/ D 1
"&0
in L1loc .R3 / und insbesondere in S30 . Es folgt .jj2 C 2 /T D 1 ; also ist nach Satz 13.17 eine Fundamentallösung der H ELMHOLTZ-Gleichung durch E WD .2/3=2 F 1 ŒT gegeben. Nun ist F 1 ŒT .x/ D F ŒT .x/ D F ŒT .x/ aus Aufg. 12.14a. bekannt, und damit finden wir schließlich als Fundamentallösung die reguläre temperierte Distribution 1 cos jxj : E.x/ D 4 jxj Nun zurück zum allgemeinen Fall! Ist die Funktion 1 D X./ P ./ in Rn lokal integrierbar, so ist die davon erzeugte reguläre Distribution offenbar eine Lösung von (13.49), und sie ist auch temperiert, wie man direkt mittels Integration beweisen kann. Ist 1=P ./ jedoch nicht lokal integrierbar, was der Fall sein kann, wenn P ./ in gewissen Punkten von NP mit zu hoher Ordnung verschwindet, so muss 1=P ./ regularisiert werden, und man hat in diesem Fall das relativ schwierige Problem, dennoch eine temperierte Lösung X 2 Sn0 von (13.49) zu konstruieren. Dies funktioniert, was wir ohne Beweis angeben: Theorem 13.19 (L. H ÖRMANDER). Für jedes Polynom P ./ auf Rn ist die Gleichung P ./X D 1 .13:49/ in Sn0 lösbar. Kombinieren wir diese hier nicht bewiesene Aussage mit Satz 13.17, so haben wir folgendes Ergebnis, bei dem wir mit reg 1=P ./ die durch das Theorem gegebene Lösung von (13.49) bezeichnen: Korollar 13.20 (Satz von M ALGRANGE -E HRENPREIS). Jeder lineare Differentialoperator L.D/ mit konstanten Koeffizienten besitzt eine temperierte Fundamentallösung E 2 S 0 und diese wird durch die Formel
1 (13.50) E D .2/n=2 F 1 reg L.i/ gegeben.
444
13 Tensorprodukt und Faltung von Distributionen
Bemerkung: Diese Aussage ist hauptsächlich von theoretischem Nutzen. Für Operatoren aus speziellen Klassen können Fundamentallösungen jedoch explizit berechnet werden, indem man ähnlich wie in den Beispielen 13.18 vorgeht. Ausführliche Berechnungen dieser Art findet man z. B. in [33].
Inhomogene Gleichungen Nun wollen wir die im vorhergehenden Abschnitt definierte Fundamentallösung E benutzen, um damit inhomogene Differentialgleichungen zu lösen. Der Ausgangspunkt hierfür ist der folgende Satz: X
Satz 13.21. Sei L.D/ D
a˛ D ˛
(13.51)
j˛jm
ein linearer Differentialoperator m-ter Ordnung mit konstanten Koeffizienten, und sei E 2 D0 eine Fundamentallösung, d. h. L.D/E D ı :
(13.52)
Sei ferner f 2 D0 derart, dass die Faltung E f in D0 existiert (z. B. wenn E oder f finit ist). Dann hat die inhomogene Differentialgleichung
in D0 die Lösung
L.D/u D f
(13.53)
uDEf :
(13.54)
Diese Lösung ist in der Klasse der Distributionen aus D0 eindeutig bestimmt, für die die Faltung mit E existiert. Beweis. Es sei also E 2 D0 eine Fundamentallösung von L.D/; d. h. es gilt (13.52) und es sei f 2 D0 derart, dass die Faltung E f existiert. Dann wenden wir L.D/ auf E f an, wobei wir Satz 13.8 und Beispiel 13.9 benutzen: X L.D/.E f / D a˛ D ˛ .E f / j˛jm
D
X
! a˛ D E f ˛
˛
D .L.D/E/ f D ı f D f ; d. h. es gilt in der Tat L.D/.E f / D f ; so dass u D E f die inhomogene Differentialgleichung (13.53) löst.
D Anwendungen auf lineare Differentialgleichungen
445
Um die Eindeutigkeit in der Klasse der Distributionen aus D0 zu zeigen, für welche die Faltung mit E existiert, müssen wir nur zeigen, dass die zugehörige homogene Differentialgleichung L.D/u D 0 (13.55) in dieser Klasse nur die triviale Lösung hat. Dazu beachten wir, dass aus 13.8 und (13.52) für eine Lösung u von (13.55) folgt: u D u ı D u L.D/E D L.D/.u E/ D L.D/u E D 0 ; t u
womit alles gezeigt ist.
Die letzte Umformung beim Beweis der Eindeutigkeit halten wir als Ergebnis fest: Korollar 13.22. Ist E eine Fundamentallösung von L.D/ und ist u 2 D0 derart, dass u E existiert, so gilt u D L.D/u E : (13.56) Die physikalische Bedeutung der Lösung u D E f ist nichts anderes als das Superpositionsprinzip. Dabei zerlegt man die Quelle f .x/ auf der rechten Seite von (13.53) in Punktquellen f ./ı.x / ; Z
d. h. f .x/ D ı f
f ./ı.x / dn :
Wegen (13.52) bestimmt jede Punktquelle die Einflussfunktion f ./E.x / : Daher ist die Lösung die Superposition dieser Einflussfunktionen Z u.x/ D E f f ./E.x / dn :
Propagatoren Viele partielle Differentialgleichungen beschreiben die zeitliche Entwicklung eines räumlich ausgedehnten Systems und handeln daher von Funktionen von n C 1 Variablen x0 D t; x1 ; : : : ; xn ; wobei t die Rolle der Zeit spielt. Man bezeichnet sie als Evolutionsgleichungen, und meist sind sie von erster oder zweiter Ordnung in der Zeitvariablen, haben also die Form @u L.x; Dx /u D f .t; x/ @t
(13.57)
446
13 Tensorprodukt und Faltung von Distributionen
bzw.
@2 u L.x; Dx /u D f .t; x/ ; (13.58) @t 2 wobei x D .x1 ; : : : ; xn / und Dx D @x@ 1 ; : : : ; @x@n ist. Der Fall zweiter Ordnung umfasst so wichtige Beispiele wie die Wellengleichung oder die K LEIN -G ORDONGleichung, aber er lässt sich ähnlich behandeln wie der Fall erster Ordnung, und darum beschränken wir uns hier auf die Diskussion von (13.57). Wir wollen Lösungen als klassische Funktionen der Zeit betrachten, die aber in den räumlichen Variablen Distributionscharakter haben dürfen. Innerhalb weiter Bereiche gilt dann der Satz, dass die Lösung durch eine Anfangsbedingung eindeutig festgelegt wird, so wie man es von gewöhnlichen Differentialgleichungen her kennt. Deshalb definiert man: Definitionen 13.23. a. Sei S 2 D0 .Rn / eine gegebene Distribution. Eine Lösung des C AUCHYProblems @u L.x; Dx /u D 0 ; u.0; x/ D S.x/ (13.59) @t ist eine Schar .Tt /t 0 von Distributionen Tt 2 D0 Rnx ; für die gilt: d hTt ; 'i hL.x; Dx /Tt ; 'i D 0 dt sowie T0 D S : b. Nun sei L.x; Dx / D L.Dx / ein Operator mit konstanten Koeffizienten. Eine Fundamentallösung des C AUCHY-Problems oder ein Propagator ist eine Lösung des C AUCHY-Problems für die Anfangsbedingung S D ı0 . Der Sinn dieser Fundamentallösungen wird aus dem folgenden Satz klar: Satz 13.24. Sei .Et /t 0 eine Fundamentallösung für das C AUCHY-Problem (13.59). Ist S 2 D0 .Rnx / finit, so ist durch Tt WD Et S ;
t 0
(13.60)
eine Lösung des C AUCHY-Problems mit der Anfangsbedingung S gegeben. Beweis. Offenbar ist T0 D E0 S D ı S D S . Außerdem gilt d d .Et S / D Et S : (13.61) dt dt Um dies einzusehen, schreibt man die Ableitungen als Grenzwerte von Differenzenquotienten und beachtet Satz 13.7b. Nun ergibt sich d Tt D L.Dx /Et S D L.Dx /.Et S / D L.Dx /Tt ; dt also die Gültigkeit der Differentialgleichung im Sinne der Def. 13.23a.
t u
D Anwendungen auf lineare Differentialgleichungen
447
Bemerkungen: (i) Die Aussage dieses Satzes gilt nicht nur für finite Distributionen S; sondern immer dann, wenn die Faltung Et S existiert und sich als Funktion des linken Faktors stetig verhält. (ii) Die Bedeutung des Wortes „Propagator“ wird in der mathematischen und physikalischen Literatur nicht ganz einheitlich gehandhabt. Manche Autoren verstehen darunter auch die Schar von Abbildungen U.t/; t 0 mit U.t/S WD Et S . Die Abbildung U.t/ ordnet also jeder Anfangsbedingung S den Wert zu, den die Lösung des entsprechenden C AUCHY-Problems zur Zeit t annimmt, d. h. den Zustand, in dem sich das betreffende System zur Zeit t befindet, wenn es sich zur Zeit t0 D 0 im Zustand S befunden hat. Die F OURIERtransformation (bzgl. der x-Variablen) überführt die Evolutionsgleichung (13.57) in eine gewöhnliche Differentialgleichung erster Ordnung, und dies ergibt eine einfache Methode, mit der man sich Fundamentallösungen des C AUCHY-Problems beschaffen kann: Satz 13.25. Sei L D L.Dx / ein Differentialoperator mit konstanten Koeffizienten in Rnx . Er besitzt einen temperierten Propagator genau dann, wenn für jedes t > 0 die Funktion Gt ./ WD exp.tL.i// ; 2 Rn eine temperierte Distribution definiert. In diesem Fall ist er (unter den Scharen temperierter Distributionen) eindeutig bestimmt und durch Et WD .2/n=2 F 1 ŒGt
(13.62)
gegeben. Beweis. Angenommen, die Schar der Et 2 Sn0 bildet einen Propagator. Es gilt
d d F ŒEt D F Et ; (13.63) dt dt was man wieder mittels Approximation durch Differenzenquotienten bestätigt (Theorem 11.33b.). Anwenden des Operators F auf die Differentialgleichung .@=@t/Et L.Dx /Et D 0 liefert wegen (11.66) d F ŒEt D L.i/Et ; dt und die Anfangsbedingung E0 D ı liefert F ŒE0 D .2/n=2 1 : Für jedes 2 Rn hat dieses Anfangswertproblem die eindeutige Lösung y.t/ D .2/n=2 exp.tL.i// D .2/n=2 Gt ./ :
448
13 Tensorprodukt und Faltung von Distributionen
(Diese Lösung ist auch im Bereich der Distributionen eindeutig, wie man durch Anwenden auf beliebige Testfunktionen erkennen kann.) Also ist Gt D F ŒEt 2 Sn0 für alle t 0; und wir haben (13.62). Die Umkehrung ist nun trivial. t u Beispiel 13.26. Für L D haben wir im Falle > 0 die Wärmeleitungsgleichung und bei rein-imaginärem die S CHRÖDINGERgleichung für ein freies Teilchen. Hier ist L.i/ D jj2 ; also Gt ./ D et jj ; 2
und das definiert genau dann für t > 0 eine temperierte Distribution, wenn Re 0 ist. Da es sich um gerade Funktionen handelt, erhalten wir mit (13.62) und (12.88) für diese den Propagator jxj2 n=2 ; (13.64) exp Et .x/ D .4 t/ 4 t falls ¤ 0 ; Re 0. Dabei ist für die Wurzel 1=2 der Zweig zu nehmen, der in der rechten Halbebene liegt. Kombiniert man dies mit Satz 13.24, so erhält man explizite Lösungsformeln für das C AUCHY-Problem, aus denen sich im Fall > 0 viele Eigenschaften von Diffusionen, im Fall D i„=2m viele Eigenschaften von Materiewwellen ablesen lassen. In [72] ist eine rigorose mathematische Behandlung dieses Themas mit ausführlicher Diskussion der physikalischen Interpretationen verbunden.
Inhomogene Evolutionsgleichungen Um das C AUCHY-Problem für eine inhomogene Evolutionsgleichung – etwa für (13.57) – zu lösen, addiert man die Lösung der entsprechenden homogenen Gleichung, die die gegebene Anfangsbedingung erfüllt, zu einer Lösung der inhomogenen Gleichung, die die triviale Anfangsbedingung u.0; x/ D 0 erfüllt. Letztere gewinnt man in der elementaren Theorie der Evolutionsgleichungen mit konstanten Koeffizienten (vgl. z. B. [36], Ergänzungen zu Kap. 26 und 27) aus der Formel von D UHAMEL Zt u.t; x/ D
U.t s/f .s; x/ ds ; 0
wobei U.t s/ den Propagator im Sinne der obigen Bemerkung (ii) bezeichnet. Setzt man hier (rein formal!) f D ı 2 D0 .RnC1 /; so ergibt sich Zt u.t; x/ D
U.t s/ı.s; x/ ds D U.t/ı.0; x/ D Et ı D Et ; 0
D Anwendungen auf lineare Differentialgleichungen
449
d. h. solange es sich um reguläre Distributionen handelt, ist durch ( Et .x/ ; t 0 ; E.t; x/ WD 0; t <0 eine Fundamentallösung für den Differentialoperator @=@t L.Dx / gegeben. Als Distribution ist E offenbar definiert durch Z1 hE; 'i D hEt ; '.t; /i dt
für ' 2 D Rt Rnx ;
(13.65)
0
und dies können wir als Definition von E wählen, auch wenn die Et singulär sein sollten. Diese heuristische Überlegung wird durch den folgenden Satz bestätigt. Er zeigt, wie man eine Fundamentallösung für den vollen Differentialoperator im .t; x/Raum gewinnen kann, wenn ein Propagator bekannt ist. Satz 13.27. Sei .Et /t 0 ein Propagator für die Differentialgleichung @u L.Dx /u D 0 : @t Dann ist durch (13.65) eine Fundamentallösung für den Differentialoperator P D @=@t L.Dx / in RnC1 D Rt Rnx gegeben. Beweis. Sei L .Dx / der transponierte Differentialoperator (vgl. Satz 13.14). Dann ist
@ @' L.Dx / E; ' D E; L .Dx /' @t @t für ' 2 D.Rt Rnx /. Wir haben also zu zeigen, dass
@' C L .Dx /' D '.0; 0/ E; @t
(13.66)
für jede Testfunktion ' D '.t; x/. Dazu betrachten wir zunächst die speziellen Testfunktionen ' D ˝ ; also '.t; x/ D .t/ .x/; mit 2 D.R/; 2 D.Rn /. Für diese ergibt sich mittels (13.65) und Produktintegration Z1 Z1 0 hE; @'=@ti D hEt ; .t/ i dt D 0 .t/hEt ; i dt 0
0
Z1 D .0/hE0 ; i 0
d Et ; .t/ dt
dt
450
13 Tensorprodukt und Faltung von Distributionen
Z1 D .0/ .0/
.t/hL.Dx /Et ; i dt 0
D '.0; 0/ hE; L .Dx /'i ; denn .t/hL.Dx /Et ; i D hEt ; .t/L .Dx / i D hEt ; L .Dx /'.t; /i. Also ist (13.66) für die ' D ˝ korrekt. Aber auf beiden Seiten dieser Gleichung stehen stetige lineare Funktionale, und nach Satz 13.3 sind die Linearkombinationen der Testfunktionen vom Typ ˝ dicht in D.Rt Rnx /. Daher stimmt (13.66) auf allen Testfunktionen, wie gewünscht. t u Bemerkung: Verwendet man zum Lösen einer inhomogenen Evolutionsgleichung nun Satz 13.21 mit der durch (13.65) gegebenen Fundamentallösung, so ergibt sich offenbar eine distributionstheoretische Version der Formel von D UHAMEL.
Aufgaben zu Kap. 13 13.1. Es sei T D f d die in Beispiel 12.2 angegebene Distribution nullter Ord1 nung, wo ein R ADON-Maß in ˝x Rm x und f 2 L .˝x ; / ist. Analog sei in n ˝y Ry eine Distribution S D g d gegeben. Man zeige, dass dann T ˝ S D .f ˝ g/ d. ˝ / ist. Werden also R ADON-Maße als Distributionen aufgefasst, so entspricht das Tensorprodukt dieser Distributionen gerade dem Produktmaß. 13.2. Man zeige: Für T 2 D0 .Rn / und 2 D.Rn / ist die Faltung T Œ D Œ T gegeben durch hT Œ; 'i D hT; L 'i ;
' 2 D.Rn / ;
wobei .x/ L WD .x/ die am Ursprung gespiegelte Funktion ist. 13.3. Seien wieder T 2 D0 .Rn / und 2 D.Rn /. Man zeige: T Œ ist eine reguläre Distribution, erzeugt von der C 1 -Funktion
.x/ WD hT; .x /i D hT .y/; .x y/i : (Hinweis: Man imitiere den Beweis von Satz 11.34.) 13.4. a. Sei ." /">0 die durch (11.17) gegebene Schar von Testfunktionen. Man beweise, dass für alle T 2 D0 .Rn / gilt: T Œ" ! T 0 D
(Hinweis. Man beachte Beispiel 11.24c.)
für " ! 0 :
Aufgaben
451
b. Nun folgere man aus Aufg. 13.3, dass jede Distribution in Rn als D0 -Limes einer Folge von regulären Distributionen Œ m geschrieben werden kann, wobei
m 2 C 1 .Rn / ist. 13.5. Betrachte S D T D 1 in Rn sowie einen Multiindex ˛ ¤ .0; : : : ; 0/. Welche der Faltungen @˛ S T; S @˛ T und S T existieren, welche nicht? 13.6. Seien S; T 2 D0 .Rn / zwei finite Distributionen. Man zeige: a. Tr .S ˝ T / D Tr S Tr T; b. Tr .S T / Tr S C Tr T WD fx C y j x 2 Tr S; y 2 Tr T g. 13.7. Seien S; T 2 D0 .Rn /. Man zeige: a. S und T sind faltbar, wenn für jedes r 0 die Menge M.r/ WD f.x; y/ 2 Tr S Tr T j jx C yj rg in R2n beschränkt ist. b. Die Träger der Distributionen S; T seien in RnC WD fx D .x1 ; : : : ; xn / j xk 0 ; k D 1; : : : ; ng enthalten. Dann sind S und T faltbar, und es ist auch Tr .S T / RnC . 13.8. Seien G; ˝ Rn offene Teilmengen und g W G ! ˝ eine C 1 Koordinatentransformation. Wir schreiben x D g.y/ wie in Def. 11.26. Man zeige, dass für jedes T 2 D0 .˝/ die Kettenregel X @gk @ .T ı g/ D @yj @yj n
kD1
@T ıg @xk
;
j D 1; : : : ; n
gilt. (Hinweis: Man verwende Theorem 13.10.) 13.9. Seien ˛; ˇ 2 D.R/ zwei Testfunktionen, die (11.78) aus Aufgabe 11.20 erfüllen. Man zeige: Für jedes k 2 Z und jede 2-periodische Distribution T 2 D0 .R/ ist dann hT .x/; ˛.x/ eikx i D hT .x/; ˇ.x/ eikx i : (Hinweis: Man verwende Aufgabe 11.20c. und Theorem 13.10.) P ˛ 13.10. Sei ˝ Rn offen und L.x; D/ D j˛jm a˛ .x/D ein linearer Dif1 ferentialoperator P mit C -Koeffizienten in ˝. Analog zu (13.48) schreiben wir L.x; / WD j˛jm a˛ .x/ ˛ für D .1 ; : : : ; n / 2 Rn . a. Man zeige: a˛ .x/ D
ˇ ˇ 1 ˛ D L.x; /ˇˇ : ˛Š D0
452
13 Tensorprodukt und Faltung von Distributionen
b. Sei x0 2 ˝; und sei 2 D.˝/ so gewählt, dass 1 in einer Umgebung U ˝ von x0 . Man zeige, dass für alle x 2 U gilt: L.x; / D exp. x/ L.x; D/' .x/ mit der Testfunktion ' .x/ WD .x/ exp. x/ : c. Man folgere, dass ein linearer Differentialoperator durch seine Wirkung auf Testfunktionen eindeutig bestimmt ist. Das heißt wenn L1 ' D L2 ' für alle ' 2 D.˝/; so müssen L1 und L2 die gleiche Ordnung und die gleichen Koeffizienten haben. d. Man folgere: Sind L1 ; L2 zwei lineare Differentialoperatoren in ˝; für die gilt hL1 '; i D hL2 '; i
8 ';
2˝;
so müssen L1 und L2 übereinstimmen. e. Man folgere: L .x; D/ D L.x; D/ für jeden linearen Differentialoperator. 13.11. Sei wieder .x/ die H EAVISIDEsche Sprungfunktion. a. Sei v 2 C 1 .R/ eine Funktion mit v.0/ D v 0 .0/ D D v .m2/ .0/ D 0 ; v .m1/ .0/ D 1 ; und sei w WD v. Man zeige: ( v .k/ w .k/ D v .m/ C ı0 b. Sei
(13.67)
für 0 k < m ; für k D m :
Ly WD y .m/ C a1 y .m1/ C C am1 y 0 C am y
ein gewöhnlicher linearer Differentialoperator mit konstanten Koeffizienten. Man zeige: Ist v die Lösung der Differentialgleichung Ly D 0; die die Anfangsbedingungen (13.67) erfüllt, so ist E WD v eine Fundamentallösung für L. c. Man gebe eine Fundamentallösung für die Schwingungsgleichung y 00 C ! 2 y D 0 an. Man vergleiche mit dem Ergebnis von Aufgabe 11.17d.
Anhang
Unendliche Produkte von Maßen und Statistische Mechanik von V. Bach
Satz 10.46 besitzt eine natürliche Verallgemeinerung auf das Produkt endlich vieler -Algebren. Sind .Mi ; Ai ; i / für i D 1; 2; 3 drei -endliche Maßräume, so gilt .1 ˝ 2 / ˝ 3 D 1 ˝ .2 ˝ 3 / ; denn für Ai 2 Ai ist .1 ˝ 2 / ˝ 3 .A1 A2 A3 / D 1 .A1 / 2 .A2 / 3 .A3 / D 1 ˝ .2 ˝ 3 / .A1 A2 A3 / ;
(A.1)
(A.2)
und daraus kann man leicht schließen, dass .12/3 .S / D 1.23/ .S / für jede Menge S M1 M2 M3 gilt, wobei .12/3 und 1.23/ die jeweils zugehörigen äußeren Maße bezeichnen. Gleichung (A.1) sagt, dass die Produktbildung von Maßen assoziativ ist und die Klammerung keine Rolle spielt, weswegen wir sie auch einfach weglassen dürfen:
1 ˝ 2 ˝ 3 WD .1 ˝ 2 / ˝ 3 D 1 ˝ .2 ˝ 3 / :
(A.3)
Dies kann man induktiv leicht auf endlich viele Faktoren verallgemeinern und gelangt so für n -endliche Maßräume .Mi ; Ai ; i /niD1 zum Produktmaß n O
i WD 1 ˝ 2 ˝ ˝ n WD
.1 ˝ 2 / ˝ 3 ˝ n ; (A.4)
i D1
das auf M D M1 M2 Mn mit der -Algebra n O
Ai WD A1 ˝ A2 ˝ ˝ An WD
.A1 ˝ A2 / ˝ A3 ˝ An (A.5)
i D1
definiert ist. Weiterhin zeigt man mit Induktion leicht die folgende Verallgemeinerung des Satzes von F UBINI und T ONELLI.
453
454
Unendliche Produkte von Maßen und Statistische Mechanik
n Theorem Nn A.1 (F UBINI/T ONELLI). Seien .Mi ; Ai ; i /i D1 -endliche Maßräume, D i D1 i das N Produktmaß und f W M1 M2 Mn ! C eine messbare Funktion bzgl. niD1 Ai .
a. Die Funktion f ist genau dann -summierbar, wenn es eine Permutation 2 Sn gibt, so dass Z Z Z jf .x1 ; : : : ; xn /j d.1/ .x.1/ / d.2/ .x.2/ / M.n/
M.2/
M.1/
d.n/ .x.n/ / < 1
(A.6)
b. Ist f -summierbar, so gilt Z f .x1 ; : : : ; xn / d.1 ˝ ˝ n /.x1 ; : : : ; xn / M1 Mn
Z
Z D
Z
M.n/
jf .x1 ; : : : ; xn /j d.1/ .x.1/ / d.2/ .x.2/ / M.2/
M.1/
d.n/ x.n/
(A.7)
für jede Permutation 2 Sn . Wir bemerken, dass insbesondere das n-dimensionale Lebesguemaß als n-faches Produkt des 1-dimensionalen Lebesguemaßes aufgefasst werden kann, n D
n O
1 :
(A.8)
i D1
Nach dieser Verallgemeinerung des Satzes 10.46 auf Produkte endlich vieler Maße stellt sich natürlich sofort die Frage, ob sich das Produkt (A.4) auch auf unendlich viele Faktoren erweitern lässt. Diese Frage und ihre Beantwortung durch KOLMO GOROV kann man als Ausgangspunkt der Stochastik ansehen, und sie ist von fundamentaler mathematischer, als auch physikalischer Bedeutung - wie wir später sehen werden. Zunächst bemerken wir aber, dass es kein unendliches Produkt des Lebesguemaßes 1 gibt, dass also ein Limes n ! 1 in (A.8) nicht existiert, sofern wir als natürliche Eigenschaft die Translationsinvarianz des Maßes fordern (s. z. B. [8]). Es N überhaupt nur sinnvoll definieren lässt, stellt sich sogar heraus, dass sich 1 i i D1 wenn alle Maße i Wahrscheinlichkeitsmaße (W-Maße) sind, also i .Mi / D 1 für alle i 2 N gilt. (Dies soll hier nicht näher begründet werden.) Andererseits ist die Abzählbarkeit der Faktoren unerheblich, also ob man eine abzählbare Familie .˝i ; Ai ; Pi /1 i D1 von W-Räumen oder allgemeiner eine Familie .˝i ; Ai ; Pi /i 2I
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455
betrachtet, wobei I irgendeine, möglicherweise überabzählbare Indexmenge ist. Da die Abzählbarkeit in der Maßtheorie eine zentrale Rolle spielt, ist dies etwas überraschend. Weiterhin müssen die W-Räume .˝i ; Ai ; Pi / und .˝j ; Aj ; Pj / für i ¤ j nichts miteinander gemein haben; weder muss Pi D Pj noch muss ˝i D ˝j gelten. Es geht hier jedoch um eine möglichst konzise und transparente Darstellung der zentralen Ideen, und deswegen wollen wir für das Weitere I D Zd mit d 2 N und .˝i ; Ai / D .R; B/ festlegen, d. h. wir wollen W-Maße auf ˇ ˚
d ˝ D RZ D .'x /x2Zd ˇ 8 x 2 Zd W 'x 2 R (A.9) konstruieren. Dies hat den Vorteil, dass ˝ der Raum der Funktionen Zd ! R ist, der uns schon öfter begegnet ist. Sind ; Zd nichtleere Teilmengen mit ; so definieren wir die kano nischen Projektionen W R ! R durch Œ.'x /x2 WD .'x /x2 ;
(A.10)
d. h. durch Weglassen aller Komponenten 'y von .'x /x2 ; für die y 2 n . Für Zd D Zd schreiben wir DW . Wir erinnern daran, dass P.Zd / die Potenzd menge von Z ist und führen mit ˇ
˚ (A.11) Pfin .Zd / WD 2 P.Zd / ˇ #Œ < 1 d das System aller endlichen Teilmengen von ZN ein. Seien nun 2 Pfin .Zd / und 1 ŒA ergänzt A R eine Borelmenge, also A 2 ˝ B WD x2 B. Das Urbild dann sozusagen alle Faktoren im kartesischen Produkt, d. h. 1 ŒA D A RZ
d n
:
(A.12)
Beispielsweise ist 1 ŒA1 A2 A5 D R R A1 A2 R R A5 R R (A.13)
für d D 1; D f1; 2; 5g und A D A1 A2 A5 . Mit ˇ n o ˇ 1 Z WD ŒA ˇ 2 Pfin .Zd /; A 2 ˝ B P.˝/
(A.14)
definieren wir dann das System der Zylindermengen. Die Zylindermengen bilden ein Teilsystem von P.˝/. Die von ihnen erzeugte -Algebra A.Z/ soll das zu konstruierende W-Maß P tragen. Unser Ziel ist also die Konstruktion eines W-Maßes P; sodass .˝; A.Z/; P / der zugehörige W-Raum ist. Seien nun .R; B; Px /x2Zd eine Familie von W-Maßen auf R. Für jede endliche Teilmenge 2 Pfin .Zd / ist dann nach (A.4) und (A.5) O P WD Px (A.15) x2
ein W-Maß auf .R ; ˝ B/. Insbesondere ist h i Y P x2 Ax D Px ŒAx ; x2
(A.16)
456
Unendliche Produkte von Maßen und Statistische Mechanik
analog zur Forderung, dass das Volumen eines d -dimensionalen Quaders durch das 1 ŒA 2 Z setzen Produkt seiner Kantenlängen gegeben ist. Für Zylindermengen wir nun 1 ŒA WD P ŒA : (A.17) P Im obigen Beispiel wäre also P R R A1 A2 R R A5 R R D P1 ŒA1 P2 ŒA2 P5 ŒA5 :
(A.18)
Es verbleibt die Wohldefiniertheit von (A.17) zu prüfen, denn die Darstellung der 1 Zylindermenge ŒA ist nicht eindeutig; für jede endliche Obermenge 2 d Pfin .Z / von ist nämlich 1 (A.19) ŒA D 1 A R n : Glücklicherweise ist jedoch Y Y Y P AR n D Px ŒAx Px ŒR D Px ŒAx D P ŒA ; (A.20) x2
x2
x2 n
da Px ŒR D 1 für alle x 2 Zd . (Hier erkennt man, warum die Forderung essentiell ist, dass Px für alle x W-Maße sind.) Daher ist auch 1 D P A R n D P ŒA D P ŒA ; (A.21) P 1 A R n 1 1 und P ŒA ist unabhängig von der Darstellung der Zylindermenge ŒA . Es gilt also h i Y Px ŒAx ; (A.22) P x2Zd Ax D x2Zd
sofern wir Ax WD R für x 2 Zd n setzen, und formal lässt sich dies durch die Merkhilfe Y Y 1 D Px ŒR
(A.23) 1 D x2Zd n
x2Zd n
begründen. Wir definieren nun eine Abbildung P W P.˝/ ! RC 0 durch ( 1 ) ˇ 1 X [ ˇ 1 N ˇ P ŒA WD inf P ŒAk ˇ .Ak /kD1 2 Z ; A Ak : kD1
(A.24)
kD1
ˇ Es stellt sich heraus, dass die Restriktion PQ D P ˇA.Z/ von P auf A.Z/ ein W-
Maß bildet, das P W Z ! RC 0 von den Zylindermengen auf die von ihnen erzeugte -Algebra A.Z/ fortsetzt – weswegen wir auch im Weiteren P statt PQ schreiben. Genauer gilt Folgendes
Unendliche Produkte von Maßen und Statistische Mechanik
457
Theorem A.2. Ist .R; B; Px /x2Zd eine Familie von W-Borelmaßen auf R; so gibt es d genau ein W-Maß P auf ˝ D RZ ; A.Z/ ; sodass i h Y d P x2 Ax RZ n D Px ŒAx
(A.25) x2
für alle endlichen Teilmengen 2 Pfin .Zd / und Ax 2 B; mit x 2 ; gilt. Statt eines Beweises beleuchten wir die physikalische Interpretation des Satzes A.2 im Lichte der klassischen statistischen Mechanik. Die Verbindung der statistischen Mechanik zur Stochastik wird über das kanonische Ensemble hergestellt: Allgemein wird ein physikalisches System durch einen Konfigurationsraum ˝ dargestellt. Sind E.!/ 2 R die Energie einer Konfiguration ! 2 ˝ und ˇ D .kB T /1 > 0 die inverse Temperatur1 des Systems, so gibt Z 1 eˇ E.!/ die Wahrscheinlichkeit an, mit der das System die Konfiguration annimmt. Dabei ist Z ein Normierungsfaktor, der in der Physik als Zustandssumme2 bezeichnet wird. Das für große Energiewerte rasch abnehmende Gewicht eˇ E.!/ trägt dem physikalischen Prinzip Rechnung, dass Konfigurationen mit großer Energie nur mit kleiner Wahrscheinlichkeit eingenommen werden (etwas platter formuliert, fallen die Dinge eben herunter und nicht herauf). Stellen wir uns als konkretes Beispiel ein Atom am Raumpunkt x vor, dessen Zustände wir mit nur einer einzigen reellen Zahl 'x 2 R parametrisieren können, die als Spinvariable bezeichnet wird. (Hier bleibt die atomare Struktur mit Elektronen und Atomkern völlig unberücksichtigt.) Sei weiterhin die Energie des Atoms durch die H AMILTONfunktion vx .'x / WD .'x2 1/2 gegeben, die in diesem Kontext Selbstenergie des Atoms genannt wird. Dann definiert Z expŒˇ vx .'x / d'x dPx .'x / WD ; wobei Zx WD expŒˇ vx .'x / d'x ; Zx R
(A.26) ein W-Maß auf R; das G IBBS-Maß, mit Dichte Zx1 e ˇ vx .'x / . Die Selbstenergie verschwindet bei 'x D ˙1 und ist sonst überall positiv. Die physikalisch wahrscheinlichsten Konfigurationen sind deshalb 'x D ˙1. Weiterhin ist die Selbstenergie invariant unter 'x 7! 'x ; d. h. es gibt also a priori keine Präferenz für eine positive oder eine negative Magnetisierung. Nun stellen wir uns Zd als d -dimensionales Kristallgitter vor. An jedem Gitterpunkt x 2 Zd sitzt ein Atom des obigen Typs, an das eine reelle Spinvariable d 'x 2 R geheftet ist, die seine Magnetisierung parametrisiert. Somit ist ˝ D RZ die Menge der Spinkonfigurationen ' D .'x /x2Zd 2 ˝ auf dem Gitter. Eine H A C MILTONfunktion vx 2 C.RI R0 / (die wir der Einfachheit halber als stetig und nichtnegativ annehmen) gibt durch ihren Wert vx .'x / für jeden Gitterpunkt x den Beitrag der Spinvariablen 'x zur Gesamtenergie an. d. h. T > 0 ist die uns vertraute absolute Temperatur, die in Kelvin gemessen wird und kB ist eine Naturkonstante, die Boltzmannkonstante 2 engl.: “Partition Function” 1
458
Unendliche Produkte von Maßen und Statistische Mechanik
Für einen endlichen Teil des Kristallgitters 2 Pfin .Zd / ist die Energie der Konfiguration ' D .'x /x2 2 R durch die H AMILTONfunktion X vx .'x / (A.27) H Œ' D x2
gegeben. Das zugehörige W-Maß bzw. die W-Verteilungsdichte für .'x /x2 bei inverser Temperatur ˇ > 0 ist somit gegeben durch Y Y 1 exp ˇ H Œ'
d'x D dPx .'x /; (A.28) dP Œ' D Z x2
x2
N
d. h. P D x2 Px ; wie in (A.15). Analog zur Konstruktion von Produktmaßen mit unendlich vielen Faktoren stellt sich in der Physik die Frage, wie man Betrachtungen eines endlichen Teilstücks 2 Pfin .Zd / des Kristallgitters auf ganz Zd ausdehnt. Die Schwierigkeit, unendlich viele Faktoren in ein Produkt von Maßen einzubringen spiegelt sich in der Beobachtung wider, dass z. B. für von x unabhängige Selbstenergien vx .'x / D 2 2 'x 1 die formale H AMILTONfunktion X 2 'x2 1 H ' D
(A.29)
x2Zd d
für beliebig herausgegriffene Spinkonfigurationen ' D .'x /x2Zd 2 RZ fast immer divergiert und man demzufolge ' keine Energie zuordnen kann. Nach Satz A.2 wissen wir aber, dass es eine mathematisch vernünftige -Algebra A.Z/ gibt, auf der ein W-Maß P definiert ist, das die Verteilung der Spinkonfigurationen von endlichen Teilen des Gitters 2 Pfin .Zd / auf die Spinkonfigurationen auf ganz Zd fortsetzt. Diese Fortsetzung mit Hilfe eines Grenzprozesses nennt man in der Physik den thermodynamischen Limes. Freilich ist das so fortgesetzte Produktmaß physikalisch völlig uninteressant. Um dies einzusehen führen wir mit Hilfe des W-Maßes P den Erwartungswert EŒu
einer Zufallsvariablen (hier synonym mit Observablen) u 2 L1 .˝; dP / durch Z EŒu WD u.'/ dP .'/ (A.30) ˝
ein, wobei ' D .'x /x2Zd 2 ˝. Speziell für 2 Pfin .Zd / und das Produkt u.'/ D Q x2 ux .'x / erhalten wir dann Y Y Z Y ux D ux .'x / dPx .'x / D EŒux ; (A.31) E x2
x2
R
x2
was man als Unabhängigkeit der Zufallsvariablen ' 7! ux .'x / x2Zd bezeichnet. Die Bezeichnung „Unabhängigkeit“ ist sehr treffend, denn etwa für u.'/ D
Unendliche Produkte von Maßen und Statistische Mechanik
459
ux .'x /uy .'y / und x ¤ y ist EŒux uy D EŒux EŒuy ; d. h. die Spinvariable 'x am Gitterpunkt x beeinflusst die Verteilung der Spinvariable 'y am Gitterpunkt y überhaupt nicht – sie treten nicht in Wechselwirkung. Es stellt sich die physikalische Frage, ob nichtwechselwirkende Spinsysteme wie in (A.27) die einzig möglichen sind bzw. stellt sich die mathematische Frage, ob sich d die Konstruktion von W-Maßen auf RZ in dem in (A.15) vorgestellten Produktmaß mit unendlich vielen Faktoren erschöpft. Die Erkenntnis, dass dem nicht so ist und dass im Gegenteil eine geradezu d unüberschaubare Vielfalt an W-Maßen auf RZ ; A.Z/ existiert, verdanken wir wesentlich dem russischen Mathematiker KOLMOGOROV. Dazu wiederholen wir ein Stück der anfänglichen Diskussion und betrachten eine Familie von W-Maßen .P /2Pfin .Zd / ; die durch die endlichen Teilmengen des Gitters Zd indiziert sind und jeweils auf dem Messraum .R ; ˝ B/ definiert sind. Damit diese W-Maße überhaupt etwas miteinander zu tun haben, müssen wir die Konsistenzbedingung (A.20), (A.32) P A R n D P ŒA ; für alle ; 2 Pfin .Zd / mit und alle A 2 ˝x2 B fordern, sodass zumindest die Wohldefiniertheit von P W Z ! Œ0; 1 ; 1 P ŒA WD P ŒA
(A.33) 1 für Zylindermengen ŒA gesichert ist. KOLMOGOROV hat gezeigt, dass (A.32) auch die einzige Forderung ist, die man an die Familie .P /2Pfin .Zd / stellen muss.
Theorem A.3. Ist .R ; ˝ B; P /2Pfin .Zd / eine Familie von W-Borelmaßen, die der Konsistenzbedingung (A.32) genügt, so gibt es genau ein W-Maß P auf Zd R ; A.Z/ ; das (A.33) fortsetzt, d. h. sodass 1 P ŒA D P ŒA
(A.34)
für alle endlichen Teilmengen 2 Pfin .Zd / und A 2 ˝ B gilt. Satz A.3 stellt die Vielfalt der Möglichkeiten dar; er gibt aber noch keinen Hinweis auf die Konstruktion solcher konsistenter Familien .P /2Pfin .Zd / von W-Maßen. Der folgende Satz löst dieses Problem auf überraschend einfache Weise. Dazu notieren wir mit (A.35) lim F . / WD lim F . ` /; `!1
%Zd
wobei ` WD f`; ` C 1; : : : ; ` 1; `gd 2 Pfin .Zd / die um den Ursprung zentrierten Würfel der Kantenlänge 2` C 1 bezeichnen und ` 2 N als genügend groß vorausgesetzt wird. Theorem A.4. Sei .R ; ˝ B; PQ / 2P .Zd / eine Familie von W-Borelmaßen, sofin
dass für alle endlichen Teilmengen 2 Pfin .Zd / und A 2 ˝ B der Limes P .A/ WD
lim PQ .A R n / 2 Œ0; 1
%Zd
(A.36)
460
Unendliche Produkte von Maßen und Statistische Mechanik
existiert. Dann definiert .R ; ˝ B; P /2Pfin .Zd / eine Familie von W-Borelmaßen, die der Konsistenzbedingung (A.32) genügt. Der Beweis des Satzes A.4 ist einfach: Sind ; Q 2 Pfin .Zd / mit Q und A 2 ˝x2 B; sowie ` 2 N so groß, dass Q ` ; so ist offensichtlich h i h i Q Q (A.37) PQ` A R` n D PQ` A Rn R` n : Bilden wir auf beiden Seiten den Limes ` ! 1; so erhalten wir h i Q Q P ŒA D lim PQ .A R n / D lim PQ` A Rn R` n %Zd
D PQ A R
Q n
%Zd
;
(A.38)
also die behauptete Konsistenzbedingung. Die Sätze A.3 und A.4 bilden die Grundlage der allgemeinen Theorie des thermodynamischen Limes in der statistischen Mechanik. Wir starten dazu von einer Familie .H /2Pfin .Zd / von H AMILTONfunktionen, wobei H 2 C R I RC 0 als stetig und genügend schnell wachsend angenommen wird, sodass Z Y Z WD exp.ˇ H Œ' / d'x < 1: (A.39) x2
R
Analog zu (A.30) definieren wir den Erwartungswert einer beschränkten Zufallsvariablen u 2 L1 ŒR durch Z Y QE Œu WD Z 1 u Œ' exp ˇ H Œ' ; ' n
d'x ; (A.40) x2
R
wobei ; 2 Pfin .Zd / endlich sind und gilt. Die Existenz des Limes (A.36) ist offenbar äquivalent zur Existenz von EŒu WD
Q Œu
lim E
%Zd
(A.41)
für alle 2 Pfin .Zd / und alle u 2 L1 ŒR . Die Gleichungen (A.40) und (A.41) stellen also die Vorgehensweise zur Etablierung des thermodynamischen Limes klar: Aus physikalischen Überlegungen erhält man die H AMILTONfunktionen H für endliche Teile des unendlich ausgedehnten Kristallgitters Zd ; und zur d Existenz des zugehörigen W-Maßes auf RZ muss also nur (A.40) gezeigt werden. Wir wollen dies an Hand eines weiteren konkreten Beispiels, das selbst von großer Bedeutung ist, belegen, nämlich der G AUSSschen W-Maße. Seien .A /2Pfin .Zd / eine Familie reeller, symmetrischer, strikt positiv definiter Matrizen. Mit anderen Worten, die Matrixelemente A .x; y/ erfüllen A .x; y/ D A .y; x/ 2 R; für alle x; y 2 ; und alle Eigenwerte von A sind strikt positiv. Wir definieren die H AMILTONfunktion H durch die von A induzierte quadrati-
Unendliche Produkte von Maßen und Statistische Mechanik
461
sche Form, X ˛ ˝ ˇ H Œ' WD ' ˇ A ' WD 'x A .x; y/ 'y ;
(A.42)
x;y2
und anschließend den speziellen Erwartungswert Z ˛ Y ˝ ˇ 1 exp ih . / j ' i exp ˇ ' ˇ A ' d'x ; (A.43) F Œ WD Z x2
R d
für alle 2 RZ . Für diese W-Maße ist (A.36) bzw. (A.41) sogar schon äquivalent zur Existenz von (A.44) F Œ WD lim F Œ
%Zd
d
für alle 2 RZ ; die nur endlich viele nichtverschwindende Komponenten besitzen. Die rechte Seite in (A.43) ist jedoch ein G AUSSsches Integral, das wir durch quadratische Ergänzung leicht lösen können, 1 ˝ ˇˇ 1 ˛ A F Œ D exp 4ˇ ˇ Y Z i 1 1 ˇˇ i 1 Z exp ' ˇ A ˇˇA ' d'x 2 2 x2 R 1 ˝ ˇˇ 1 ˛ A : (A.45) D exp 4ˇ Somit folgt (A.44) und damit (A.36) für solche Familien quadratischer H AMIL TON funktionen bereits aus der Existenz des Limes ˇ ˝ ˛ lim . / ˇ A1 (A.46) . / %Zd
d
für alle 2 RZ ; die nur endlich viele nichtverschwindende Komponenten besitzen. Man kann sich nun leicht davon überzeugen, dass (A.46) durch uniforme Positivität der Matrizen A ; d. h. der Existenz einer Zahl > 0, sodass A 1; und Konvergenz der Matrixelemente AZd .x; y/ WD lim%Zd A .x; y/ für alle x; y 2 Zd gesichert ist. Wir schließen mit der Bemerkung, dass die Existenz des thermodynamischen Limes und die Untersuchung seiner Eigenschaften hinsichtlich der Abhängigkeit von 'x und 'y für weit voneinander entfernte Gitterpunkte x und y schon für die Summe der H AMILTONfunktionen (A.29) und (A.42), etwa X X 2 'x2 1 C J .'x 'y /2 ; (A.47) H Œ' WD x2
x;y2IjxyjD1
462
Unendliche Produkte von Maßen und Statistische Mechanik
mit J > 0; ein nicht mehr explizit lösbares, schwieriges und empfindlich von der Raumdimension d abhängiges Problem darstellt. Diese H AMILTONfunktion gehört zu den bekannten I SING-Modellen (für kontinuierliche Spins), die selbst schon eine große Vielfalt von Phänomenen beschreiben. Literatur: [8, 62].
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Sachverzeichnis
A
B
Abbildung C r -differenzierbare 17 multilineare 37 symplektische 181 abbrechende Folge 251 abgeschlossen 8 abgeschlossener Unterraum 211 Ableitung äußere kovariante 159 allgemeine kovariante 135 C ARTAN sche 90 eines Maßes 327 kovariante 130, 157 schwache 371 Abschluss 8 absolute Konvergenz 232 abzählbar xix adjungierter Operator 238 äquivalente Normen 222 Äquivalenzklasse 22, 204 Äquivalenzrelation 21 äußere Ableitung 90 äußere Potenz 43 äußere Regularität 310, 333 äußere kovariante Ableitung 159 äußeres Maß 305 äußeres Produkt 46 algebraisches Tensorprodukt 217, 219 Allgemeiner Darstellungssatz 237 alternierend 43 analytische Schar von Distributionen 411 antisymmetrisch 43 Atlas 12 Atlas, berandeter 82
Bahn 67 BANACH raum 201 Berührpunkt 8 berandete (differenzierbare) Mannigfaltigkeit 83 berandete Karten 83 berandeter Atlas 82 beschränkte Sesquilinearform 236 beschränkter linearer Operator 227 beschränktes lineares Funktional 228 B IANCHI -Identität erste 152 zweite 159 Bidual 234 Bidualraum 36 Bild 225 bilinear 38 Bilinearform nichtentartete 64 Bilinearformen 217 BLE-Theorem 229 Bogenlänge 145 B OREL-Algebra 306 B ORELmaß 307 B ORELmenge 306 von R 313 B OREL-messbar 306 C C ARATHÉODORY Kriterium von 307 Satz von 306 C ARTAN sche Ableitung 90 C AUCHY scher Hauptwert 408
467
468
Sachverzeichnis
C HRISTOFFEL-Symbole 132, 142 C k -differenzierbarer Atlas 13 C k -differenzierbare Struktur 13 D Definitionsbereich 225 Delta-Distribution 358 Derivations-Eigenschaft 24 D E S ITTER -Raumzeit 76 dicht 201 Dichte 327 diffeomorph 17 Diffeomorphismus 17, 82 Differential 26 Differentialform 57, 60 exakte 111 geschlossene 111 Differentialgleichung zweiter Ordnung 191 Differentialoperator, linearer 439 differenzierbar 17, 158 differenzierbare Mannigfaltigkeit 337 differenzierbare Struktur 83 D IRAC maß 302 D IRICHLETsche Randbedingungen 290 diskret 277 diskrete Topologie 6 Distribution 356 finite 363 homogene 383 singuläre 356 Distributionen reguläre 356 temperierte 356 Distributionsableitung, partielle 370 Divergenz 97, 158 duale Abbildung 36 duale Basis 34 Dualraum 34 topologischer 233, 356 Durchflussrate 106 dynamisches System 67 DYSON reihe 286 E Ebene hyperbolische 75 Eigenfunktion 118, 287 eines S TURM -L IOUVILLE-Problems Eigenraum 262 Eigenvektor 262 Eigenwert 262 eines S TURM -L IOUVILLE-Problems
289
289
Eigenzeit 145 Einbettung 19 Einbettungsoperator 252 Einschränkung einer Abbildung xix eines Maßes 302 E INSTEIN -Mannigfaltigkeit 161 E INSTEIN sche Summenkonvention 41 Endomorphismen xxi endpunktfest 147 Energie 146, 189 Energie-Impulstensor 157 Energiegleichung für Lichtteilchen 150 Energiegleichung für Masseteilchen 150 "-Umgebung 5 Erhaltungsgröße 184 erste B IANCHI -Identität 152 erste Resolventengleichung 265 Erwartungswert 332 erzeugte -Algebra 306 E ULER form 174 Evolutionsgleichungen 445 exakte Differentialform 111 F faltbar 353, 434 Faltung von Funktionen 353 FARADAY tensor 104 Faser 55 Faserableitung 170, 171 fast überall xix, 304 Feldstärketensor 104 finite Distribution 363 finite Form 393 finite Testfunktion 352 Flachmacher 15 Fluss 67 globaler 67 Flussdiffeomorphismus 69 Folgenstetigkeit 356 Form symplektische 175 Formel von D UHAMEL 448 Formeln von S OCHOZKI 410 F OURIER koeffizienten (einer periodischen Distribution) 382 F OURIER -P LANCHEREL-Operator 248 F OURIER reihe 202 F OURIER sche Umkehrformel 247 F OURIER transformation 245 F REDHOLM-Operator 282 F REDHOLMsche Alternative 281
Sachverzeichnis Fundamentallösung 440 des C AUCHY problems 446 Fundamentallemma der Variationsrechnung 361 Funktion harmonische 118 integrierbare 324 messbare 313 p-summierbare 208 quadratsummierbare 203 schwach messbare 348 summierbare 324 wesentlich beschränkte 209 Funktional beschränktes lineares 228 multilineares 219 stetiges lineares 356 G G AUSSsche Krümmung 128, 153 Geodätische 124, 172 geodätische Krümmung 124 geodätische Kurve 124 geschlossene Differentialform 111 geschlossene Mannigfaltigkeit 110 Geschwindigkeit 65 gleichorientiert 49 Gradient 96 symplektischer 183 Graph 114, 226 Graphenfläche 128 G REEN sche Formel 297 G REEN sche Funktion 291 G REEN scher Operator 291 G REEN sche Formel 109 H H ADAMARD scher Hauptwert 403, 412 H AMILTON funktion drehinvariante 196 H AMILTON sches Vektorfeld 183 harmonisch 118 Hauptkrümmungen 128 Hauptkrümmungsrichtungen 128 Hauptwert C AUCHY scher 408 H ADAMARD scher 403, 412 hausdorffsch 8 hermitescher Kern 288 H ILBERTraum 201 H ILBERT-Tensorprodukt 219 H ÖLDER sche Ungleichung 209, 330
469 Homöomorphismus 10 homogen 383 horizontal 131, 136 hyperbolische Ebene 75 hyperregulär 170, 171 I identische Abbildung xxi identischer Operator 232 Index (einer nichtentarteten Bilinearform) 65 Index (eines F REDHOLM-Operators) 282 innere Regularität 310, 333 innerer Punkt 8 inneres Produkt 41 Integral 317, 324 einer vektorwertigen Funktion 254 Integralgleichung adjungierte 283 F REDHOLMsche zweiter Art 283 mit stetigem Kern 283 Integralkurve 67 Integraloperator 283 Integrator 312 integrierbar 87, 324 invariant 370 inverse F OURIER transformation 248 inverser Operator 226 isolierter Punkt 277 Isometrie 134, 215 isometrisch 75, 134, 140, 141, 239 iterierter Kern 285 K kanonische 1-Form 176 kanonische Metrik 65 kanonische Transformation 181 kanonische Volumenform 85, 181 Karte 12 Karten, berandete 83 Kartenabbildung 12 Kartengebiet 12 Kartenwechsel 12 Kern 226 einer Integralgleichung 283 hermitescher 288 iterierter 285 Kettenregel für Distributionen 451 K ILLING -Vektorfeld 149 Klumpentopologie 6 Kommutator 71
470 kompakt 10, 201 kompakter Operator 273 Komplexeigenschaft 90 komplexer projektiver Raum 7 Komponenten 34, 38, 59 Komponentenfunktion 55 einer 1-Form 57 eines Tensorfelds 57, 58 Konstante der Bewegung 184, 195 Konstante, kosmologische 160 kontinuierliches Spektrum 262 Kontinuitätsgleichung 104 kontravariant 40 kontravariantes Tensorfeld 57 Konvergenz schwache 272 von Reihen 232 konvergiert 8 Koordinaten 12 Koordinatenabbildung 12 Koordinatenbasis 24, 59 Koordinatengebiet 12 Korand 111 kosmologische Konstante 160 KOSZUL-Formel 141 kovariante Ableitung 130, 157 allgemeine 135 kovariante Tensoren 38 Kovektoren 34 Kozykel 111 Krümmung 123, 150 G AUSSsche 128, 153 geodätische 124 mittlere 128 orientierte 123 orientierte geodätische 124 Krümmungsformel 161 Krümmungstensor 151 Kurve regulär parametrisierte 121 repräsentierende 20 L Länge 122 Lösungskurve 191 L AGRANGE Vektorfeld 189 L AGRANGEfunktion 172, 173 L EBESGUE-Maß 308 L EBESGUE -S TIELTJES-Maß 312 L EGENDREtransformierte 193 Lemma von FATOU 322 L EVI -C IVITA -Ableitung 142 lichtartig 145
Sachverzeichnis L IEalgebra 72 L IEklammer 71 L IE-Ableitung 69 L IE-Gruppe 30 Limes inferior 314 Limes superior 314 linearer Differentialoperator 439 linearer Operator 225 lineares Funktional 34, 226 Linearform 34, 226 Lösung des C AUCHY problems 446 logische Quantoren xvii lokal 18 lokal H AMILTON sches Vektorfeld 184 lokal euklidisch 12 lokal integrierbar 350 lokal verträglich 62 lokale Isometrie 72, 134 lokale Parametrisierung 12 lokaler Diffeomorphismus 17 L ORENTZmetrik 65 M Maß 301 Maßraum 301 vollständiger 304 Mannigfaltigkeit 13 symplektische 181 berandete 83 geschlossene 110 symplektische 175 maximal 67 Menge kompakte 10 messbare 301, 305 offene 5 messbar 87, 301, 305, 313, 324 L EBESGUE- 308 Minimalflächen 129 M INKOWSKI -Skalarprodukt 75 M INKOWSKI sche Sphäre 75 M INKOWSKI sche Ungleichung 208, 330 Mittelwert 332 sphärischer 416 mittlere Krümmung 128 multilineare Abbildung 37 multilineares Funktional 219 Multilinearform 38, 219 Multiplikationsoperator 252, 263 N Natürlichkeit des äußeren Produkts
61
Sachverzeichnis
471
negativer Teil (einer Funktion) 323 N EUMANN sche Reihe 232 n-Form integrierbare 87 nichtentartete Bilinearform 64 Norm 200 einer Sesquilinearform 237 eines linearen Funktionals 228 normal 239 Normaleneinheitsfeld 63, 84 orientierungsdefinierendes 64 Normalenfeld 63 Normalkoordinaten symplektische 180 Normalkrümmung 124 normierter linearer Raum 200 Nullmenge 87, 304 Nullraum 226 O offen 5, 168 offene Menge 5 Operator adjungierter 238 beschränkter H ERMITEscher 239 beschränkter linearer 227 beschränkter selbstadjungierter 239 identischer 232 inverser 226 isometrischer 239 kompakter 273 linearer 225 normaler 239 quasinilpotenter 294 unitärer 239 Operatornorm 227 Ordnung einer Distribution 386 orientierbar 62 orientiert 49 orientierte 63 orientierte geodätische Krümmung 124 Orientierung 62 orientierungserhaltend 62, 63, 122 orientierungsumkehrend 62, 63, 122 orthogonale Gruppe 18 orthogonale Projektion 243 Orthonormalbasis 202 Orthonormalsystem 202 P p-summierbare Funktion
208
parallel 131, 136 r- 138 Parallelogramm-Gleichung 200 Parallelverschiebung 138 PARSEVALsche Gleichung 248 partielle Distributionsableitung 370 P OINCARÉ Lemma 113 P OINCARÉ Scheibe 75 P OINCARÉ-Transformation 101 P OISSON klammer 186 polynomiales Wachstum 359 positiv orientiert 85 positiver Teil (einer Funktion) 323 positives lineares Funktional 337 Potential 111 Potenzmenge 302 Prähilbertraum 200 Prinzip von C AVALIERI 339 Prismenoperator 112 Produkt äußeres 46 inneres 41 Produktmaß 339 Produktregel 90 Produkttopologie 6, 28 Projektion orthogonale 243 stereographische 29 Propagator 446 Pseudo-R IEMANN sche Metrik 65 Punktspektrum 262 Q quadratsummierbare Funktionen quasinilpotent 294 quellenmäßig 289
203
R R ADON maß 333 Rand 82, 83 Randpunkt 8, 83 Rang 17 Raum hausdorffscher 8 komplexer projektiver 7 reeller projektiver 6 topologischer 5 Raumwinkelelement 115, 398 reeller projektiver Raum 6 regulär 170, 171 regulär parametrisierte Kurve 121 regulärer Wert 18, 262
472 Regularisierung 402 Regularität äußere 310, 333 innere 310, 333 repräsentierende Kurve 20 Residualspektrum 263 Resolvente 262 Resolventengleichung erste 265 zweite 266 Resolventenkern 286 Resolventenmenge 262 R ICCI -Kalkül 41 R ICCI -Abbildung 155 R ICCI -Krümmung 155 Richtungsableitung 24 R IEMANN -L EBESGUE-Lemma 246 R IEMANN scher Krümmungstensor 151 R IEMANN sche Metrik 65 R IEMANN sche Schnittkrümmung 153 R IEMANN -S TIELTJES-Integral 312 R IESZscher Darstellungssatz 235, 337, 387 Rotation 97 S Satz von B EPPO L EVI 322 von H AHN -BANACH 234 von M ALGRANGE -E HRENPREIS 443 von P LANCHEREL 248 von C ARATHÉODORY 306 von F UBINI 340 von F UBINI für Mannigfaltigkeiten 116 von H ILBERT-S CHMIDT 280, 288 von R ADON -N IKODYM 327 von R IESZ -F ISCHER 204 von R IESZ -S CHAUDER 277 von T ONELLI 341 von der dominierten Konvergenz 328 von der monotonen Konvergenz 318 von der offenen Abbildung 263 Schicht k-fache 401 Schichten 389 schnell fallende Testfunktionen 352 Schnitt 55 Schnittkrümmung 153, 154 schwach messbar 348 schwache Ableitung 371 schwache Konvergenz 272 schwacher Limes 272 S CHWARZsche Ungleichung 200
Sachverzeichnis S CHWARZSCHILD -Mannigfaltigkeit 152, 157 selbstadjungiert (= H ERMITEsch) 239 separabel 201 Sesquilinearform 236 beschränkte 236 -additiv 301 -Algebra 301 -endlich 339 singuläre Distribution 356 singulärer Wert 277, 287 Skalarkrümmung 155 Skalarprodukt 200 gewichtetes 293 S OCHOZKI , Formeln von 410 Spektralwert 263 Spektrum 263 kontinuierliches 262 Sphäre 28 M INKOWSKI sche 75 sphärischer Mittelwert 416 Spur 154 Stammformel 113 Standardabweichung 332 stark differenzierbar 253 stark konvergent 201 starke C AUCHY folge 201 starke Operatorkonvergenz 241 stereographische Projektion 29 sternförmig 113 stetig 9 stetiges lineares Funktional 356 Stochastik 331 Streuung 332 Struktur, differenzierbare 83 S TURM -L IOUVILLE-Probleme 289 Summe (einer Reihe) 232 summierbar 324 symmetrisch 42 symplektisch 181 symplektische Form 175 symplektische Mannigfaltigkeit 175, 181 symplektische Normalkoordinaten 180 symplektischer Gradient 183 symplektisches Volumen 181 T tangential äquivalent 20 Tangentialbündel 54 Tangentialraum 20 Tangentialvektor 20 Teilmannigfaltigkeit 15 Teilraumtopologie 6
Sachverzeichnis temperierte Distributionen 356 Tensor 217, 219 kontravarianter 40 kovarianter 38 Tensorfeld 57 differenzierbares 57 kontravariantes 57 stetiges 57 Tensorprodukt 38, 39, 45, 217 algebraisches 217, 219 von Distributionen 432 von Funktionen 429 von Vektoren 40 Testfunktion 349 finite 352 schnell fallende 352 Theorema egregium 135 Topologie 5 topologische Vektorräume 355 topologischer Dualraum 356 topologischer Raum 5 Torsion 139 torsionsfrei 139, 141 Träger 173, 308, 334, 388 einer Distribution 363 einer stetigen Funktion 78 Transformation kanonische 181 translationsinvariant 308 transponierter Differentialoperator trilinear 38 U Überdeckung 10 Umgebung 5, 8 Umparametrisierung 122 Ungleichung H ÖLDER sche 209, 330 M INKOWSKI sche 208, 330 Schwarzsche 200 unitär 239 Untermannigfaltigkeit 15 Untermannigfaltigkeitskarte 15 V Vakuumlösung 157 Variation 147
473 Vektorfeld 56 H AMILTON sches 183 differenzierbares 56 längs einer Abbildung 137 lokal H AMILTON sches 184 stetiges 56 Vektorpotential 111 Vektorräume, topologische 355 verallgemeinerte Lösung 439 verallgemeinerter Eigenwert 262 Verschiebeoperatoren 256 Verteilung 332 Verteilungsfunktion 333 Vervollständigung 215 von Maßräumen 304 Vielfachheit 262 vollständig 201 vollstetig 273 Volumen 88 symplektisches 181 Volumenform 50, 65 kanonische 181 W
439
Wachstum, polynomiales 359 Wahrscheinlichkeitsraum 331 W EINGARTEN operator 126 Wertebereich 225 wesentlich beschränkt 209 wesentliche Schranke 209 wesentlicher Wertebereich 294 wesentliches Supremum 209 Windungsform 115 Wirkung 189 Wirkungsfunktional 172 Z Zählmaß 302 zeitartig 145 Zerlegung der Eins 78, 309, 363 zufällige Variable 332 Zufallsgröße 332 zusammenziehbar 113 zweite B IANCHI -Identität 159 zweite Grundform 127 zweite Resolventengleichung 266
