Алгебра, и логика, 40, N 3 (2001), 309-329
УДК 512.554
п-АРНЫЕ АЛГЕБРЫ МАЛЬЦЕВА*) А. П. ПОЖИДАЕВ В ведение
Пусть V — конечномерное векторное пространство над полем Ф, на котором задана невырожденная симметрическая билинейная форма {•,•). Предположим, что на V определена п-арная полилинейная операция [•,... , •], удовлетворяющая соотношениям: 1) ( [ a i , . . . , a n ] 7 a,-) = 0 для любых ^ 6 V, % = 1 , . . . , щ 2) ( [ a i , . . . , a„], [a b . . . , an}) = det((al-, a,)) для любых a b ... , a n € V. Тогда У называется п-арной алгеброй векторного произведения. Согласно классификационной теореме n-арных алгебр векторного произведения, при п = 2 единственно возможными алгебрами векторно го произведения являются простая 3-мерная алгебра Ли si (2) и простая 7-мерная алгебра Мальцева Сч\ а при п ^ 3 — простые (п + 1)-мерные n-лиевы алгебры векторного произведения [1], являющиеся аналогами ал гебры 5/(2), и исключительные восьмимерные тернарные алгебры, возни кающие на композиционных алгебрах. В настоящей работе по аналогии с тг-лиевыми алгебрами, которые яв ляются естественным обобщением алгебр Ли на случай п-арной операции умножения, определяется понятие п-арной алгебры Мальцева и показы вается, что исключительные алгебры векторного произведения являются *> Работа выполнена при финансовой поддержке СО РАН, грант для коллективов молодых ученых (постановление Президиума СО РАН N 83 от 10.03.2000), а также Ми нистерства образования РФ (фундаментальные исследования в области естественных наук). ©
Сибирский фонд алгебры и логики, 2001
А. П.Пожидаев
310
тернарными центральными простыми алгебрами Мальцева, которые не будут: 3-лиевыми алгебрами, если характеристика основного поля отлична от 2 и 3. Класс n-арных алгебр Мальцева обладает также следующими интересными свойствами: 1) он является расширением класса п-лиевых алгебр, т. е. любая n-лиева алгебра является n-арной алгеброй Мальцева (ср. с алгебрами Мальцева, когда любая алгебра Ли является алгеброй Мальцева); 2) фиксируя любую компоненту в произведении, т. е. определяя но вую производную операцию на векторном пространстве п-арной алге бры Мальцева А правилом [хх,... , # n -i] = [ a , s i , . . . , #„_i], получаем (n — 1)-арную алгебру Мальцева. Таким образом, основной результат статьи можно сформулировать следующим образом: любая n-арная алгебра векторного произведения является
п-арной
центральной простой алгеброй Мальцева.
§ 1. Определения и предварительные результаты Пусть Ф — ассоциативное коммутативное кольцо с единицей; Qалгеброй над кольцом Ф называется унитарный Ф-модуль, на котором за дана система полилинейных алгебраических операций Q = {о;,- : \и>{\ = щ € € N, г Е / } , где символом |CJ3| обозначается арность операций а?;. В даль нейшем ради краткости fi-алгебру иногда будем просто называть алге брой. п-лиевой алгеброй над Ф называется fi-алгебра с одной n-арной опе рацией [#!,... , жп], удовлетворяющей тождествам [Ж1,...,з п ]
=
sgn(<j)[x<7(1),... ,2V(n)],
(1)
n
[[хь...
, а ? „ ] , у 2 , . . . ,уп]
=
Х ^ ^ 1 ' * * - ' [ ^ ' У 2 , . . . ,Уп],--
,«n]i
(2)
1=1
где а — произвольная подстановка из симметрической группы 5 n , a sgn(a) — знак подстановки а. Тождество (1) называют тождеством ан тикоммутативности, а тождество (2) - обобщенным тождеством Якоби.
n-аряые алгебры Мальцева
311
Назовем n-арным якобианом следующую функцию, заданную на некоторой n-арной алгебре и такую, что J(xu...
, ж п ; у 2 , . . . ,Уп) =
[[a?i,... ,ж п ],у 2 ,... ,уп] п
- ] Г [ я ь . . . ,[z t -,y 2 ,... ,tfn],... ,ж п ]. Заметим, что J(x\,...
, хп\ у 2 , . . . , уп) в п-лиевой алгебре кососимметричен
по каждому из наборов х 1 ? . . . , хп и у 2 , . . . , у п ,
н о н е ПО и х
совокупности.
Исходя из определения, легко видеть, что в любой п-лиевой алгебре А выполняется равенство J(xu... для любых xi,...
,ж п ;у 2 ,... ,у п )
= О
, хП) у 2 , . . . , уп б А.
Алгебры Мальцева, введенные впервые А.И.Мальцевым [2] (где ис пользовался термин муфанг-лиевы алгебры) как касательные алгебры ло кальных аналитических луп Муфанг, определяются тождествами х2 J(x,y,xz)
=
0,
(3)
=
J(x,y,z)x,
(4)
где J(x, у, г) — якобиан элементов ж, у, г. Возможно представить (4) также в следующем виде: (zx)(xy) + z(xy)x
=
zxxy — zyxx.
(5)
(Здесь и далее, для удобства записи опускаем скобки в левонормированных произведениях xyzv = ((xy)z)u.) Пусть Rx : a н* ах — оператор правого умножения на х в алгебре Мальцева А и А* — алгебра умножений алгебры А, т.е. ассоциативная алгебра, порожденная операторами Rx. Тогда из (5) следует, что в алгебре А* имеет место соотношение
RxRxy + RxyRx — RxRy -~ RyRx*
(6)
Напомним, что тождество Якоби в алгебрах Ли можно записать в опера торной форме как
312
А. П.Пожидаев
а в случае 3-лиевых алгебр как Ry,zRu,v
где Ryz
~ Ru,vRy,z
=
R(yRu>v),z
+
Ry,(zRUtV)i
— оператор правого умножения в 3-лиевой алгебре, т. е. xRViZ =
= [я, У, г]. По аналогии, в случае алгебр Мальцева можно обобщить (6) на слу чай n-арных алгебр следующим образом: Rx
где Rx — RX2,...}xni zRx
J + (22 R X2,:.,xiR y ,...,x n ) R* = RlRy - RyRl,
[ A2RX*'-,*&У,-,*П
= [z,X2,...
Ry — Ry2,.-,yn ~ операторы правого умножения, т.е.
, xn].
На языке тождеств это записывается следующим образом: п
У] [|>, х2,...
, ж„], ж 2 , . . . , [а,-, у 2 , • • • , У»], • • • , ж„]
г'=2 п
+ ]Г) ^ '
Ж2
' *'' '^
2/2' * ' ' ' 2/п], • • • , Хп], Х2, • • • , Хп]
i=2
=
[[[*, а?2, • • • i »п], «2, • - • , я?п], У2, • - • , 2/п] - [[[*, У2, . . • , Уп], «2, - • - , Зп], Ж2, . . . , Хп].
(7)
Таким образом, можно ввести следующее определение: унитарный Фмодуль А с заданной на нем антикоммутативной n-арной n
[ # ! , . . . , xn] : A
операцией
h-> А, удовлетворяющей тождеству (7), будем называть
n-арной алгеброй Мальцева. Л Е М М А 1.1. Пусть А — произвольная п-лиева алгебра. Тогда А является n-арной алгеброй Мальцева. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Запишем (7), используя n-арные якобианы. Для этого перенесем первое слагаемое из правой части (7) в левую, вторую сумму левой части (7) перенесем вправо и добавим к обеим частям полу ченного тождества слагаемое [[[г, х2,...
, хп], у2,...
, у п ], х2,...
, жп]. Полу
чим -J(zRX2t„.tXn,x2,...
,a? n ;s/2,... ,2/n)
= «7(г,ж 2 ,... , ж „ ; у 2 » . . . ,Уп)Д Х27 ..., Хп .
(8)
313
п-арные алгебры Мальцева (Если,
используя
J(z,y,x)x
=
антикоммутативность,
—J(zx,y,x),
представить
(4)
в
виде
то легко заметить даже визуальное сход
ство между (2) и (8).) Из формул (2) и (8) следует требуемое. Лемма доказана. Пусть L — произвольная $7-алгебра над кольцом Ф. Для любой опе рации w E Si, |а;| = п, и любого a £ L определим на L новую про изводную операцию и;а, |а;а| = п - 1, по правилу: ua(x\y... = w(a}xi}...
a
, £ n -i)- Пусть Q, = {и
а
, zn-i)
=
: u; € Щ. Тогда Ф-модуль L ста
новится Па-алгеброй, которую будем обозначать через La и называть ре дуцированной алгеброй Q-алгебры L. Л Е М М А 1.2. Редуцированная алгебра п-арной алгебры Мальцева М является (п — 1)-арной алгеброй Мальцева. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Згьфиксируем а Е М и рассмотрим fi-алгебру Ма. Пусть [хи . . . , хп-г]а = [а, # ! , . . . , x n _i]. Положим в (7) # п — уп — а. Имеем п-1 У ^ [[*, Я?2, . . . , # n - l ] a 5 Х2, . . . , [Ж«, J/2» . • • 1 Уп-lLn • • • i 3 n - l ] a i=2
+ X ] И*> ж2» • • • i [я*> У2»• • • > Уп-l] t=2 =
[[[*» x2, • • • , # n - l ] a , «2, . . . , 3 „ _ i ] a , 2/2, • • • , J/n-l]a - [[[Я, У2, • • • ) Уп-1]а, Ж2, . . . , X n - l ] a , &2, • • • > ^ n ~ l ] a -
Поэтому относительно новой операции М становится (п — 1)-арной алге брой Мальцева. Лемма доказана. Из данной леммы, в частности, следует, что редуцированная алгебра тернарной алгебры Мальцева является алгеброй Мальцева.
§ 2. Тернарные алгебры Мальцева, определенные на композиционных алгебрах При классификации n-арных алгебр векторного произведения воз никает класс тернарных алгебр векторного произведения, построенных на
А. П.Пожидаев
314
композиционной алгебре с помощью задания тернарной операции умно жения, выраженной через бинарную операцию и симметрическую форму композиционной алгебры. В § 2 покажем, что любая тернарная алгебра, построенная на компо зиционной алгебре с помощью нового умножения (12), является тернарной алгеброй Мальцева. Далее предполагаем, что Ф — поле характеристики, отличной от 2 и через А обозначаем композиционную алгебру над Ф с инволюцией : а н-> а и единичным элементом е. Симметрическая билинейная форма (я, у) ~ \{ху] + ух), определенная на А, является невырожденной, и можно определить норму элемента а € А с помощью правила п(а) = (а, а). Нам понадобится следующая Л Е М М А 2.1. Для любых элементов а, 6, с композиционной алгебры А справедливы следующие равенства: 1) (аа)Ь = a(ab) — п(а)Ь = (Ьа)а = 6(аа); 2) aba = -n(a)b + 2{а, b)a; 3) (ab)c+ (ас)6 = 2(6, с)а; 4) a(bc) + b{ac) = 2(а, 6)c; 5) (аб, с) — (6, ас); 6) (аб, с) = (а,с6); 7) (а, 6) = (а, 6), (а, ft) = (а, 6). ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Утверждения п. 1, 2 и 7 следуют непосред ственно из определения формы (•,•). 3) Поскольку А — композиционная алгебра, то А является альтерна тивной. Как известно (см. [3]), в альтернативной алгебре ассоциатор яв ляется кососимметричной функцией своих аргументов, поэтому в А спра ведливо тождество abc — —acb + a(bc -f cb). Так как b — - 6 + 2(6, е), с = -с + 2(с, е), имеем —abc + 2(6, е)ас = асб — 2(с, е)а6 + а(-Ьс + 2(с, е)6 - cb + 2(6, е)с), откуда следует справедливость п. 3.
315
п-арные алгебры Мальцева 4) Доказывается аналогично. 5) Используя п. 3 и 4, получаем 2({а6, с) - (b,ac)) = abc + c(ba) — b(ca) — acb = -acb - 6(ca) - b(ca) - acb + 4{a, е)(Ь, с)
= - [ ( a + a)cb + b(c(a + a))] + 4{a, e)(b, c) = - ( a + a)(cb + 6c) + 4(a, е)(Ь, с) = -4(a, e)(6, c) + 4(a, e)(6, c) = 0. 6) Рассматривается аналогично п. 5. Лемма доказана. Далее будем иметь дело с ортонормированными базисами, поэтому удобно отдельно сформулировать С Л Е Д С Т В И Е 2,2. Если а, &, с — элементы
ортонормированного
базиса композиционной алгебры А) то 1) aba = —Ь; 2) (аЬ)с= -(ас)Ь; 3) о(6с) = -Ь(ас). Поскольку алгебра А альтернативна в А, выполняются тождества Муфанг: (yzy)x
=
у(,г(уж)) — левое тождество Муфанг,
(9)
(xy)(zx)
=
x(yz)x — центральное тождество Муфанг,
(10)
((жу)г)у
=
x(yzy) — правое тождество Муфанг.
(11)
ТЕОРЕМА 2.3, Пусть А —- композиционная алгебра с инволюцией ; а и а и единицей е. Определим на А тернарную операцию умножения [«,-,•] по правилу: [x,y,z]
=
ж у я - (y,2>s + (&,*)y- (ж, у)*.
(12)
Тогда относительно операции (12) А становится тернартюй алгеброй Мальцева (которую будем обозначать через
М(А)).
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Докажем сначала антикоммутативность опе рации (12). В силу леммы 2.1, для любых x,y,z £ М(А)
справедливы
316
А.П.Пожидаев
равенства [x,y,z]
=
xyz - (yyz)x+
=
~(yx)z + 2(s, y)z - (у, г)a? + (ж, г) у - (ж, у)г
=
-{yx)z+{x,y)z-
[ж, у, г] =
(x,z)y~
(x,y)z
(y,z)x + (x,z)y^
-[у, ж, я],
(ху)г - (у, z)z + (а:, ^>у - {х, y)z
=
- (ж£)у + 2(у, г)ж - (у, ф
+ (х, г) у - (х, y)z
=
-(я*)У + <У, *)я + (ж, z)y - {х, y)z = -[ж, г, у],
поэтому операция (12) антикоммутативна. Докажем, что в М(А) выполняется обобщенное тождество Мальцева. Запишем (7) в явном виде: [[я> У> *]» [У» ^> и], *] + [[*,У> *]> У> |>>w> *>]] +[|>, [у, u, v], г], у, z] + [[ж, у, [2, u, г;]], у, г] = [[[^» У> *L У> *]> ^ «] - [[[ж, г*, v], у, г], у, г].
(13)
Если на А х 5 = А х . . . х Л определить функцию f(x1 у, г, гг, г;) как разность между левой и правой частями (13), то легко заметить, что / симметрич на относительно у, г, кососимметрична относительно u, v и линейна по аргументам ж, w, v. Поэтому, если выбрать произвольные у, z, то достаточ но будет доказать (13) при ж, щ v, являющихся базисными элементами. Можно считать у и г линейно независимыми, поскольку в противном слу чае справедливость (13) очевидна. Предположим сначала, что п(у) ф 0. Можно считать, что у и z ортогональны, a n(z) ф 0, в противном слу чае вместо элемента z рассмотрим элемент у + az, где а £ Ф и у + c*z удовлетворяет требуемым предположениям. В силу антикоммутативности операции [•, •, •], симметрии / по у, z и из справедливости (13) для y,y + az получаем, что (13) справедливо для у, z. Далее, можно считать, что по ле Ф алгебраически замкнуто и, принимая во внимание невырожденность формы и линейность / по аргументам ж, iz, v, что ж, у, 2r, tt, v принадлежат ортонормированному базису £. Можно также считать, что х ф у, у ф z, х ф z, u ф v, так как в противном случае справедливость (13) очевидна. Докажем (13) при х = и. Тогда [xyz, [у, ж, и], *] + [жуг, у, [*, ж, v]] + [[я, [у, ж, v], z], у, z] + [[х, у, [г, х, v]], у, г
317
п-арные алгебры Мальцева =
[[xyz,y,z\,x,v\.
(14)
Рассмотрим случай, когда у = v. Тогда (14) принимает вид [xyz, у, [г, ж, у]] + [[х, У, [*, х, у]], у, г] = [[xyz, у, г], ж, у].
(15)
В дальнейшем будем постоянно использовать (12), антикоммутативность тернарной операции, ортонормированность базы £, тождества Муфанг (9)—(11), лемму 2.1 и следствие 2.2, порой не оговаривая этого специально. Рассмотрим первое слагаемое левой части (15). Применяя последо вательно (12), (11), п. 5 и 6 леммы 2.1 и используя принадлежность ж, у, z к ортонормированной базе £, имеем [xyz, у, zxy]
=
(xyzy)(zxy)
- (у, zxy)xyz + {xyz, zxy)y - {xyz, y)zxy
=
~(xz)(zxy)
+ {xy, zxyz)y = (гж)(2жу) - (жу, xzyz)y
=
(гж,гж)у + (sy, жу)у = - у + у = 0.
Рассмотрим второе слагаемое левой части (15). Вначале обратимся к его первой компоненте: [ж, у, [г, ж, у]] =
[[z,x,y],x,y]
=
гжужу - (ж, у)гжу + (гжу, у)ж - {zxy, х)у
-
- z - {zx, ху)у = -z + {zx, ух)у =
-z.
Таким образом, второе слагаемое левой части (15) также равно нулю. Рассмотрим теперь первую компоненту первого слагаемого правой части (15): [xyz, у, z] = =
xyzyz - (у, z)xyz + {xyz, z)y - {xyz, y)z -ж - (жу, yz)z = -ж.
(16)
Таким образом, правая часть (15) равна нулю, что доказывает (13) в слу чае ж = и, у = v. Следовательно, далее будем считать, что у ф v в [14]. Пользуясь симметрией f по у и z, можно также полагать, что z ф v. По скольку [жуг,у,г] = —ж (см. (16)), то (14) приобретает вид: -[xyz, z, yxv] + [xyz, у, zxv] - [[ужг>, ж, z), у, г] + [[зжи, ж, у], у, г] = 0.
(17)
318
А. П. Пожидаев
Рассмотрим первое слагаемое левой части (17): — [xyz, z,yxv]
= =
~(xyzz)(yxv)
+ (z,yxv)xyz
— (xyz,yxv)z
+
(xyz,z)yxv
(yxyx)v + (zv, yx)xyz + (yxz, yxv)z
— -v + (zv, yx)xyz + (z, v)z — -v + (zv,
yx)xyz.
Теперь обратимся ко второму слагаемому левой части (17). Оно получается из предыдущего, если использовать п. 2 следствия 2.2 и замену у «-> z. Поэтому [xyz, у, zxv] — — v -f (yv, zx)xzy = —v + (zv,
yx)xyz.
Рассмотрим первую компоненту третьего слагаемого левой части (17): [yxv, х, z] = yxvxz - (х, z)yxv + (yxv, z)x — (yxv, x)z — —yvz + (yxv, z)x. Третье слагаемое левой части (17) запишется в виде [yvz, у, z] - (yxv, z)[x, у, z] = yvzyz - (у, z)yvz + (yvz, z)y - (yvz, y)z - (yx, zv)xyz = i; - (yx,
zv)xyz.
Как и выше, заметим, что четвертое слагаемое (17) получается из третьего перестановкой у <-> z, поэтому, как несложно заметить, оно будет совпадать с третьим. Таким образом, левая часть (17) равна нулю, что и требовалось доказать. В дальнейшем, воспользовавшись кососимметрией по и и v, можно считать, что х ф и, х ф v. Таким образом, достаточно доказать (13) при х ф у, х ф z, х ф и, х ф v, у ф z. Докажем (13) при у = и. Тогда: [xyz, у, [z, у, v]] + [[x, у, [z, у, v]], у, z] = -[x, у, v] - [[xyv, у, z], у, z].
(18)
Если z = v, то, принимая во внимание (16), (18) представимо как О = [х, у, z] + [[xyz, у,z],y, z] = [х, у, z) - [х, у, z] = 0. Итак, можно считать, что z ф v. Тогда (18) примет вид: [xyz, у, zyv] + [[х, у, zyv], у, z] = -[ж, у, v] - [[xyv, у, z), у, z].
(19)
п-арные алгебры Мальцева
319
Рассмотрим первое слагаемое левой части (19): [xyz, у, zyv] = (xyzy)(zyv) = (zx)(zyv) = z(x(yv))z
~ (у, zyv)xyz + (жуя, zyv)y - (жуя, y)^yv = —ж(у£) + 2(z, ж(уг)))2 = yi)x + 2(ж,г, yt;)z
= v^y + 2(xzv, y)z = — xvy + 2{гг;ж, у)г = ~~xvy — 2(иг, уж)^. Рассмотрим первую компоненту второго слагаемого левой части (19): [x,y,zyv]
=
~[zyv,y,x]
=
-zyvyx
+ {у, ж)гуг; - (zyv, x)y + {zyv, y)x
=
zvx — (гу, xv)y.
Второе слагаемое левой части (19) имеет следующий вид: [zvx,y}z]
=
[vzx,z,y]
=
vzxzy — (у, z)vzx + (?;гж, у)г — (г?гж, г)у
=
жг;у +
(vz,yx)z.
Заметим, что первая компонента второго слагаемого правой части (19) получается из первой компоненты второго слагаемого левой части (19) при помощи перестановки х <-> z, которая только меняет знак этой ком поненты, вследствие чего второе слагаемое правой части равно второму слагаемому левой части, взятому с обратным знаком. В итоге, суммируя полученные выражения, получаем —xvy — 2(vz, yx)z + 2(xvy + (vz} yx)z) = —xyv, значит, тождество (13) справедливо при у = и. Пользуясь симметрией по у, -г и кососимметрией по и, v, в дальней шем можно считать, что все переменные попарно различны. В этом случае (13) имеет вид: [xyz, yuv, z] + [xyz, у, zuv] + [[ж, yuv, z], у, z] + [[ж, у, ш ] , у, z]
= [ № , У, z]}u, v] - [[xuv, y, z],у,z].
(20)
320
А. П. Пожидаев
Рассмотрим первое слагаемое левой части (20): [xyz, yuv, z] = - [xyz, z, yuv] — ~(xyzz)(yuv)
+ (z,yuv)xyz
- (xyz,yuv)z
+
(xyz,z)yuv
= (yx)(uvy) + (zy, uv)xyz + (xz, uv)z = —vux -f 2(y, x(uv))y + (zy, uv)xyz + (xz, uv)z — —vux + 2(xy, wu)y — (yz, uv)xyz + (я£, w£)2. Второе слагаемое левой части (20) получается из первого при помощи пе рестановки у <-» z. Поэтому оно равно —vux + 2(xz, uv)z — (yz, uv)xyz + (xy, uv)y. Суммируя первое и второе слагаемые (20), получаем ~2vux + 3{ху, uv)y + Z(xz, uv)z — 2(yz, uv)xyz.
(21)
Рассмотрим первую компоненту третьего слагаемого левой части (20): [x,yuv,z]
=
-[yuv,x,z]
— —yuvxz + (х, z)yuv — {yuv, z)x + {yuv, x)z =
vuyxz + (yz,uv)x + (xy, uv)z.
(22)
Третье слагаемое равно [vuyxz, у, z] + (yz, uv)xyz — vuyxzyz — (y, z)vuyxz + (vuyxz, z)y — (vuyxz, y)z + (yz, uv)xyz = —vuyxy + (xy, vv)y — (vuy, yzx)z + (yz, uv)xyz — vux — (xy, uv)y — (xz, uv)z + (yz, uv)xyz. Четвертое слагаемое получается из третьего заменой у <-» z, поэтому сумма третьего и четвертого слагаемых равна 2vux - 2(ху, uv)y — 2(xz, uv)z + 2(yz, uv)xyz.
(23)
321
п-арные алгебры Мальцева Суммируя (21) и (23), получаем, что левая часть (20) равна (ху, uv)y + (xz, uv)z,
(24)
Используя (16), легко заметить, что первое слагаемое правой части (20) равно vux. Рассмотрим первую» компоненту второго слагаемого правой ча сти (20). Она получается из (22) при помощи замены ж н р
перемены
знака. Таким образом, [xuv, у, z] = xuvyz — (xz, uv)y + (xy, uv)z. Поэтому второе слагаемое правой части равно — [xuvyz, у, z] = —xuvyzyz + (у, z)xuvyz — (xuvyz, z)y -f (xuvyz, y)z = xui> — (хгш, у) у — (xuv, Z)Z = —vux + (ху, гш)у + (хг, uv)z. Таким образом, правая часть (20) равна (xy,uv)y + (xz,uv)z.
Сравнивая
последнее равенство с (24), убеждаемся в справедливости (13) при п(у) ф В силу симметрии по у и z остался случай, когда п(у) = 0 и n(z) = 0. Если (у, z) ф 0, то, как и выше, рассмотрим вместо у элемент y + az, норма которого уже не равна нулю. Из справедливости тождества для у + az и z будет следовать справедливость и для у, г. Заметим, что при a £ Ф справедливо следующее равенство: /(ж,г/ + ааг,2г,и,и) = f(x,y,z,u,v)
-
af(y,x,z,u,v),
которое непосредственно следует из определения функции / . Поэтому, вы бирая х 6 А и a G Ф так, что гс(х) ^ 0, п(у+ах) имеем f(x,y-\-ax,z,
u,v) = 0, f(y,x,z,u,v)
ф 0, по доказанному ранее
= 0. Отсюда следует равенство
/ ( х , у, z, W ' , и) = 0, что и требовалось доказать. Таким образом, тождество (13) выполняется для любых элементов х, у, z, и, v 6 А. Теорема доказана.
322
А. П. Пожидаев § 3, Центральная простота алгебр М(А) Хорошо известно, что проблема классификации простых бинарных
алгебр из некоторого многообразия сводится к классификации таких ал гебр, которые остаются простыми при любом расширении основного по ля. При этом ключевую роль играют понятия центроида и центральной простой алгебры (см., например, [4, гл.10, §1; 5, 6]). В §3 докажем, что алгебры М(А) являются центральными простыми тернарными алгебрами Мальцева. Пусть L — произвольная £1-алгебра над кольцом Ф. Для любой опе рации и 6 f2, \u\ = п, для любого j = 1 , . . . , п и любых a?i,... , х 3 , . . . , хп из L определим оператор умножения Mj(x\,...
, Xj,...
, хп) как линейное
отображение у »-» а?(ж1,... , #j_i, у, # j + i , . . . , хп). Подалгебру М =
M(L)
алгебры линейных преобразований Епс1ф(£) пространства L, порожден ную всеми умножениями и тождественным отображением, назовем алге брой умножений
алгебры L.
Подпространство I Q-алгебры L, инвариантное относительно алге бры умножений M(L), назовем идеалом. Пусть L2 = {МЬ)ф — квадрат алгебры L; fi-алгебра L называется простой, если L2 ф 0 и в L нет иде алов, отличных от 0 и L. Отсюда следует, что алгебра L будет простой тогда и только тогда, когда M(L) — неприводимая алгебра линейных пре образований. Центроидом T(L) fi-алгебры L называется следующая подалгебра алгебры Епс1ф(£): T(L) = {фе Епс1ф(£) : ф(и{{аи...
,a n .)) = w t -(ai,... ,<£(a,),... ,а п .)
для любых а;. 6 Q, a i , . . . , ащ € L, j e
Nni}.
Очевидно, что T(L) является ассоциативной алгеброй с единицей над по лем Ф. Т Е О Р Е М А [6]. Центроид простой Q-алгебры является
полем.
Напомним, что fi-алгебра L называется центральной, если Г(Ь) = Ф. Т Е О Р Е М А 3.1. Пусть А — композиционная алгебра с инволюцией ~ : а у-* а и единицей е. Предположим, что dim Л ^ 4. Тогда М(А)
яв-
323
п-арные аягебры Мальцева,
ляется г^ентральной простой тернарной алгеброй Мальцева. При этом М(А) будет S-лиевой алгеброй только в том случае, когда dim A = 4 или сЬагФ = 3. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть / - идеал алгебры М(А) и а - нену левой элемент из J. Можно считать, что п(а) ф О, поскольку в противном случае при 6,сЕ М(А) таких, что (а,Ь) ф О, (а,с) = 0 и (6, с) = 0, имеем [а, 6, с] G / и п([а, 6, с]) ^ 0. Выберем в М(А) ортогональный базис а,а\,...
, а„. Тогда при г ф j
справедливы следующие включения: [а, а и «j] = аа,а^ G / , [аа»а^, а, а^] = auiajaaj — (а, aj)auiaj + (аа,а^, а^)а — (аа,а^, а)а 7 = -n(aj)auia
= тг(а)тг(а7)а; G / .
Таким образом, / = М(А), что и доказывает первую часть теоремы. Покажем, что алгебра М(А)
является центральной. Пусть ф G
G Т(М(А)) и a — произвольный элемент алгебры М(А) такой, что п(а) ф 0. Предположим, что ф(а) $ (а)ф. (Здесь и далее через (Т)ф обозначается линейное пространство над полем Ф, порожденное семейством векторов {Т}.) Выберем b 6 М{А) таким, что (а, 6) = 0, (0(a), 6) = 0 и п(Ь) ф 0. Тогда 0 = 0([a,a,6]) = [0(a), а, 6] = ф(а)аЬ — (0(a), а)Ь. Отсюда, домножив сначала на 6, а потом на а, получаем п{а)ф(а) - (0(a), a)a = 0, что противо речит предположению. Следовательно, ф(а) G (а)ф для любого a G М(А) такого, что п(а) ф 0. Далее, пусть элементы а, 6, е принадлежат некото рой ортогональной базе £ алгебры М(А) и 0(a) = aa, 0(6) = /36. Тогда 0([а,6, с]) = [0(a), 6, с] = [а, 0(6), с] = /3[а,6, с] = а?[а,6, с], значит, выпол няется равенство (а - j5)abc = 0 и, следовательно, а = /3. Отсюда, в силу линейности ф и произвола при выборе элементов а, 6, с G £, 0 — умножение на элемент поля и алгебра М(А) является центральной. Осталось доказать, что М(А)
является 3-лиевой алгеброй, если
dim А = 4 или char Ф = 3. Если dim A = 8, то М(А) заведомо не мо жет быть 3-лиевой алгеброй в случае, когда Ф — алгебраически замкнутое поле характеристики 0, поскольку все простые 3-лиевы алгебры будут то-
324
А. П.Пожидгьев
гда исчерпываться четырехмерными [7], В дальнейшем можно считать, что основное поле Ф алгебраически замкнуто. Итак, пусть dim A — 4. В силу полилинейности тождества (2) и кососимметрии по каждому из наборов переменных это тождество достаточно доказать для случая [[ж, у, z\ х, v] = где x,y,z,v
[[ж, ж, v], у, z] + [ж, [у, х, v], z] + [ж, у, [z, ж, v]],
(25)
— элементы некоторого ортонормированного базиса. Тогда (2)
эквивалентно следующему равенству: [xyz, x, v] = -[ужи, ж, г] + [zxv, ж, у]. Далее, пользуясь определением тернарной операции и ортогональностью элементов ж, у, г, и, получаем цепочку равенств xyzxv + (xyz, v)x — (xyz, x)v — —y'xvxz — (ужи, z)x + (yxv, x)z + zxvxy + (zxv, y)x — (zxv, ж)у, —yxzxv + (yzx, v)x + (zyx, x)v = yvz + (yvx, z)x — (yvx, ж),г — гиу — (vxz, y)x + (zvx, x)y, yzv + (yz, vx)x — —yzv + (yv, zx)x — yzv — (г;ж, yz)x, Zyzv — (yz, xv)x — —(yv, xz)x + (xv, yz)x, Zyzv — (yzv, x)x = —(yvz, x)x + (ж, yzv)x, Zyzv — (ж, yzv)x = (yzv, x)x + (yzv, x)x, Zyzv — Z(yzv, x)x, которая эквивалентна равенству (yzv,x)x
=
yzv.
(26)
(Можно считать, что сЬагФ ф 3, так как в противном случае все доказа но.) Заметим, что если у, z, v ортонормированы, то можно выбрать ортонормированный базис у, z,v,x 6 М(А), для которого yzv — ж: достаточно положить ж = yzv. Поскольку (26) эквивалентно (2), то алгебра М(А) в случае dim A = 4 является 3-лиевой.
п-арные алгебры Мальцева
325
Пусть теперь dim Л > 4. Выберем x,y,z,u,v
из некоторого орто-
нормированного базиса алгебры М(А). Предположим, что М(А) является 3~лиевой алгеброй. Тогда (2) запишется в виде [xyz,u,v\
=
[xuv,y,z]+[x,yuv,z]
+ [x,y,zuv],
(27)
который эквивалентен [xyz, и, v] = [xuv, у, z] - [yuv, х, z] + [zuv, x, у], xyzuv + (xyz, V)M — (xyz, w)v = xuvyz + ( x w , z)y — (xut>, y)z —yuvxz — (угш, z)x + (угш, x)z + zuvxy + (zuu, y)x - (zuu, x)y.
(28)
Заметим, что xyzuv — xuvyz = —yuvxz = zuvxy. Домножив (28) скалярно на ti, получаем (xyz, и) = 2(xyzui;,/u), откуда (xyz, г?) = -2(xyzvu,
и) =
= ~2(xyz,t;) и 3(xyz,t>) = 0. Если сЬагФ ф 3, то (xyz, г?) = 0, получаем противоречие с тем, что можно выбрать х, у, z, г? из четырехмерной подал гебры, а в этом случае, как показано выше, xyz = v. Итак, если char Ф ф 3 и dim А > 4, то алгебра М(А) не является 3-лиевой. Покажем, что при сЬагФ = 3 алгебра М(А) будет 3-лиевой. Справедливы равенства (жгш, z) = (uvx, z) =• (uv, zx) = -~(uv, xz) = — (uvz, x) = — (zuv, x), откуда следуют равенства (жгш, z) = — (zuv, ж), (жгш, у) = — (yuv, x), (yw, z) = —{zuv, у).
(29)
Тогда при сЬагФ = 3 равенство (28) эквивалентно следующему: xyzuv = -(жг/z, v)u + (ху^, ^)и + (yuv, z)x + (zuv, x)y + (xuv, y)z.
(30)
Как известно, можно выбрать ортонормированную базу £ алгебры М(А) так, что £ = {е, а, Ь, с, аЬ, Ьс, а(Ьс), ас}. Тогда х = — х для любого ж G £' = = £ \ { е } . Докажем, что xyzuv Е L = (х, y,z, гг,г?)ф для любых х,у, z,u,v G G £. Для этого покажем, что 2(xyzuv, w) = xyz^t;tt) + w;(xyz/wt;) = xyz , ufu;+ + w(u(u(z(yx)))) = 0 при любом it? G £\X.
326
А. П. Пожидаев Известно, что множеству £' соответствует плоскость Фано — наи
меньшая конечная проективная плоскость порядка 2. При этом соответ ствии прямыми являются в точности следующие подмножества множества £': {а,Ь, ab}, {а, с,ас}, {a,bc,a(bc)},
{b,c,bc}, {b,a(bc),ac},
{с, ab,a(bc)},
{ай,Ьс,ас}. Заметим, что среди любых пяти элементов из £' существуют три, которые лежат на одной прямой. Действительно, если xf, у1 £ £' не содержатся среди этих пяти, то найдется прямая, проходящая через х1, у1 и некоторый У. Тогда любая другая прямая, проходящая через z*', является искомой. Возможны два случая: 1) е Е {я,у,2, tx,u} и 2) x,y,z,u,v
6 £'.
Рассмотрим произведения xyzuvw и u;(i;(u(i:(yx)))) (а точнее, их знаки, поскольку эти произведения всегда дают один и тот же базисный элемент, с точностью до знака). Используя п. 3 и 4 леммы 2.1 и приведенное выше замечание, можно считать, что х, y,z лежат на одной прямой. 1) Без ограничения общности можно положить v = е. Тогда xyzuw = = —xyzuw = auw и w(u(z(yx)))
— —w(u(z(xy)))
= aww для некоторого
a € Ф, откуда, в силу антикоммутативности различных базисных элемен тов, получаем требуемое. 2)
Выполняются
w(v(u(z(yx))))
следующие равенства: xyzuvw
— w(v(u(z(xy))))
нашему выбору элементы w,v,u
=
auvw
и
= -аги(гш) для некоторого а е Ф. По не могут лежать на одной прямой, по
скольку в противном случае пересекались бы прямые {w,v,u}
и
{x,y,z}.
Следовательно, гги — базисный элемент, отличный отш, и если w ф е, то знаки элементов [uv)w и ги(гш) противоположны, что и требовалось. Если же и; = е, то требуемое очевидно. Итак, пусть xyzuv = о^я + o?yy + а* г + auu + avv. Домножив это равенство скалярно на х, у, z, гц г;, соответственно имеем а ж = (xyzuv, х) = (г/гги,г), а у = (xyzuv, у) = (,гш;,а:), а* = (xyzuv, z) = (#uv, у), a u = (xyzuv, u) = — (xyz, v), av — (xyzuv, v) — (xyz, u). Таким образом, для базиса £ выполняется (30), которое, как показано вы ше, при char Ф = 3 эквивалентно (2). Следовательно, для сЬагФ = 3 ал-
327
п-арные алгебры Мальцева
гебра М(А) является центральной простой 3-лиевой алгеброй, и теорема доказана. С Л Е Д С Т В И Е 3.2. Пусть А — композиционная алгебра с делением над полем характеристики 3 с инволюцией ~ : а ь* а и единицей е. Тогда М(А) является новой центральной простой 3-лиевой алгеброй. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Достаточно доказать, что М(А) не изоморф на ни одной алгебре из класса £7(3, £), поскольку все известные восьмимер ные 3-лиевы алгебры лежат только в этом классе (см. [8]). Как известно [8], для любого t алгебра £7(3, £) параметрически изоморфна алгебре 1?(3,0). Покажем, что если А — композиционная алгебра с делением, то М{А) не изоморфна £7(3, 0). Доказательство будем вести от противного. Как
известно, можно выбрать в £7(3,0) канонический
базис
{/ъ— >/в} так, что [ Л , / 2 , / з ] = /з- Покажем, что в М(А) нет элемен тов ах,а2,аз, для которых [а\,а2)а^
= ^з- Предположим противное. Без
ограничения общности можно считать элементы «2*^3 ортогональными. Тогда [a\)a2la3] = а\а2а3 - {а2,а3)а\ + {ai,a3)a2 - (ai,a2)a3 = азДомножая это равенство последовательно на оз и а2, а также учитывая (®2, ^з) = 0, получаем п(аз)а1а2 + (а\,а3)а2а3 п(а2)п(а3)а1
- n(a3)(ai,a2)e
= п(а3)е,
+ {аъ а3)а2а3а2 - п(а3)(аи а2)а2 =
п(а3)а2.
Заметим, что [а2, а3, а2] = а2а3а2 + п(а2)а3 = 0, поэтому n(a2)n(a3)ai
- п(а2)(аиа3)а3
- n(a3){ai} а2)а2 - п(а3)а2 = 0,
получили противоречие. Следствие доказано. Как известно, алгебры векторного произведения, найденные при помощи "звездной операции" (ее определение см. ниже), являются плиевыми. Ради полноты изложения дадим набросок доказательства. Пусть V — (п+ 1)-мерное векторное пространство с заданной на нем симметрической невырожденной билинейной формой (•,•).. Пусть f\V —
328
А. П. Пожидаев п+1 t
внешняя алгебра над V, Д V = ^Z /\V,
•
где Д V состоит из элементов
степени г. Продолжим {•,•) на Д V по линейности и формуле л
LA
ALV
J det «ал, Ь/>), если i = j ,
( a i Л . . . Л а г , &i Л . . . Л bj) = <
I 0,
если гф j
для всех a i , . . . , a,, b i , . . . , bj G V. Такое продолжение будет симметрическим и невырожденным. Проп+1
странство Д V является одномерным, зафиксируем некоторый его базисп+1
ный элемент u> Е Д V". "Звездная" операция * : Д V ь-> Д V (соответству ющая форме (•, •) и элементу ы) определяется следующим образом. Пусть а Е Д V, тогда *aG Д V находим по формуле (*a, 6) = (а Л &, и) для всех b E Д
V.
Далее операция * продолжается на Д V по линейности. Т Е О Р Е М А [9]. Пространство V с определенной на нем симмет рической билинейной формой (•, •) является п-арной алгеброй векторного произведения тогда и только тогда, когда дискриминант формы (•, •) ра вен 1. При этом п-арное векторное произведение [•,... , •] задается следующим образом: существует LJ Е Д V такой, что (и^ш) = 1 и длл всех а 1 ? . . . , a n E V выполняется [ai,...,a„]
=
*(aiA...Aan).
(31)
Легко заметить, что данная конструкция в точности совпадает с конструкцией, предложенной в [7, пример 1.1.1], где значением операции [ a i , . . . , a n ] полагается элемент v £ V такой, что для любого х Е V имеем \а\,...
, аП1 х | = (г>,я), где | а ь . . . ,а п ,ж| — определитель, построенный на
векторах a i , . . . , an? # € V. Как доказано в [7, пример 1.1.1], данная алге бра является п-лиевой. Теперь основной результат можно сформулировать следующим образом. Т Е О Р Е М А 3.3. Пусть А — произвольная п-арная алгебра вектор ного произведения. Тогда А является центральной простой п-арной ал геброй Мальцева.
п-арные алгебры
329
Мальцева
В заключение отметим, что идея рассматривать алгебры из теоремы 2.3 как некоторые обобщения алгебр Мальцева была высказана Ф. Лейте. Автор благодарен Ф. Лейте, П.Сарайва и рецензенту за внимание к дан ной работе, тщательное изучение рукописи и полезные замечания, которые позволили исправить некоторые неточности.
ЛИТЕРАТУРА 1. В. Т. Филиппов, n-Лиевы алгебры, Сиб. матем. ж., 26, N 6 (1985), 126—140. 2. А. И. Мальцев, Аналитические лупы, Матем. сб., 36(78), N 3 (1955) 569— 576. 3. К. А. Жевлаков,
A.M. Слинъко, И.П.Шестаков,
А.И.Ширшов,
Кольца,
близкие к ассоциативным, М., Наука, 1976. 4. Н.Джекобсон, Алгебры Ли, М., Мир, 1964. 5. Ю. П. Размыслов, Тождества алгебр и их представлений, М., Наука, 1989. 6. А. П. Пожидаев, Два класса центральных простых п-лиевых алгебр, Сиб. матем. ж., 40, N 6 (1999), 1313-1322. 7. Ling Wuxue, On the structure of n-Lie algebras, Thesis. Siegen Univ.-GHSSiegen, 1993. 8. A, П. Пожидаев, О простых п-лиевых алгебрах, Алгебра и логика, 38, N 3 (1999), 334-353. 9. R. В. Brown, A. Gray, Vector cross products, Comment. Math. Helv., 42, N 3 (1967), 222-236.
Адрес автора: П О Ж И Д А Е В Александр Петрович, РОССИЯ, 630090, г. Новосибирск, пр. Ак. Коптюга 4, Институт математики СО РАН. e-mail:
[email protected]
Поступило 4 ф е в р а л я 2000 г.
