Nichtkommutative harmonische Analysis 001

Scriptum zur Vorlesung Nichtkommutative harmonische Analysis Prof. W. Hoffmann

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Faltung und Fouriertransformation

Die Gruppenalgebra RG einer Gruppe G u ¨ber einem kommutativen Ring R besteht aus allen formalen (endlichen) Linearkombinationen X ax x x∈G

mit der Operation X y∈G

by y

X

cz z =

z∈G

wobei ax =

X

by cz yz =

y,z∈G

X

by c z =

X

ax x,

x∈G

X

by cy−1 x .

y∈G

y,z∈G yz=x

Jedem Gruppenhomomorphismus G → H ist ein Algebrenhomomorphismus RG → RH zugeordnet, und wir erhalten einen Funktor aus der Kategorie der Gruppen in die Kategorie der R-Algebren. Ein Element von RG ist eigentlich durch eine Funktion G → R, x 7→ ax , gegeben. F¨ ur gewisse topologische Gruppen kann man auch Funktionen betrachten, deren Tr¨ager unendlich ist, z. B. f¨ ur reelle Vektorr¨aume. Definition 1 F¨ ur Lebesgue-integrierbare Funktionen f , g : Rn → R oder C sei die Faltung f ∗ g : Rn → R oder C definiert durch Z f ∗ g (x) = f (y)g(x − y) dy f¨ ur alle x, f¨ ur die das Integral existiert.

1

Satz 1 Die Funktion f ∗ g ist eindeutig bestimmt in L1 (Rn ), und die Faltung verwandelt L1 (Rn ) in eine kommutative assoziative Algebra. Beweis. Nach dem Transformationssatz ist ZZ Z Z |f (y)g(x − y)| dx dy = |f (y)| |g(z)|dz dy = kf k1 kgk1 . Nach Tonnelli ist (x, y) → f (y)g(x − y) auf Rn × Rn integrierbar, nach Fubini existiert das Integral, das f ∗ g (x) definiert, f¨ ur fast alle x, und die linke Seite der letzten Gleichung ist gleich ¯ ZZ Z ¯Z ¯ ¯ |f (y)g(x − y)| dy dx ≥ ¯¯ f (y)g(x − y) dy ¯¯ dx = kf ∗ gk1 ,

also kf ∗ gk1 ≤ kf k1 kgk1 . Die Distributivit¨at der Faltung (f + g) ∗ h = f ∗h+g ∗h folgt aus der Linearit¨at des Integrals, Kommutativit¨at f ∗g = g ∗f und Assoziativit¨at (f ∗g)∗h = f ∗(g ∗h) folgen aus dem Transformationssatz. 2 Definition 2 F¨ ur a ∈ Rn definieren wir die Translation λ(a) : Lp (Rn ) → p n L (R ), 1 ≤ p ≤ ∞ durch λ(a)f (x) = f (x − a). Nach dem Satz von Riesz-Fischer ist Lp (Rn ) ein Banachraum, und wegen der Translationsinvarianz des Lebesgue-Maßes gilt kλ(a)f kp = kf kp , also ist λ(a) eine Isometrie und insbesondere stetig. Es gilt λ(a + b) = λ(a)λ(b),

λ(0) = id,

d. h. λ ist ein Homomorphismus von Rn in die Gruppe der beschr¨ankten invertierbaren Endomorphismen (“Operatoren”) in Lp (Rn ). Satz 2 F¨ ur f ∈ Lp (Rn ) und 1 ≤ p < ∞ h¨angt λ(a)f stetig von a ∈ Rn ab. Beweis. Da Cc (R) in L1 (Rn ) dicht ist, finden wir f¨ ur beliebiges ε > 0 ien g ∈ Cc (R) mit kf − gkp < ε. Wegen der Translationsinvarianz gilt kλ(a)f −f kp ≤ kλ(a)(f −g)k+kλ(a)g−gk+kf −gk = kλ(a)g−gk+2kf −gk. Nach dem Satz u ¨ber beschr¨ankte Konvergenz gilt lima→0 kλ(a)g − gkp = 0, also lima→0 kλ(a)f − f kp ≤ ε, und da ε > 0 beliebig war, lima→0 kλ(a)f − f kp = 0. Wegen der Translationsinvarianz folgt die Stetigkeit an allen Stellen. 2 2

Folgerung 1 Sind f , g ∈ L1 (Rn ) und ist f beschr¨ankt, so ist f ∗ g gleichm¨aßig stetig. In der Tat, |f ∗g (x)−f ∗g (y)| ≤ kf k∞

Z

|g(x−z)−g(y −z)| dz = kf k∞ kλ(x−y)g −gk1 .

Definition 3 Die Fouriertransformierte von f ∈ L1 (Rn ) ist die Funktion fˆ : Rn → C, Z ˆ f (y) = f (x)e−2πix·y dx, wobei · das Standardskalarprodukt bezeichnet.

Aus dem Satz u ¨ber beschr¨ankte Konvergenz folgt fˆ ∈ C(Rn ), offensichtlich gilt kfˆk∞ ≤ kf k1 . Lemma 1 (Riemann-Lebesgue) F¨ ur f ∈ L1 (Rn ) gilt limkyk→∞ fˆ(y) = 0. Beweis. Die Substitution x = z − fˆ(y) = −

Z

also

nach Satz 2. Satz 3

³ f z−

y 2y·y

1 y ´ −2πiz·y e dz = 2y · y 2

ergibt wegen x · y = z · y − 21 :

Z µ

³ f (x)−f x−

³ y ´ ° 1° ° ° f° → 0 |fˆ(z) ≤ °f − λ 2 2y · y 1

¶ y ´ −2πix·y e dx, 2y · y

f¨ ur kyk → ∞ 2

(i) F¨ ur f , g ∈ L1 (Rn ), a ∈ Rn gilt f[ ∗ g = fˆ ∗ gˆ,

\ (y) = e−2πia·y fˆ(y). λ(a)f

(ii) Ist (1 + kxk)k f (x) integrierbar, so ist fˆ ∈ C k (Rn ), und f¨ ur jedes Polynom p vom Grad k gilt ³ i ´ c pf = p ∇ fˆ. 2π

3

Beweis. (i) folgt aus der Transformationsformel und Fubini. (ii) folgt f¨ ur k = 1 und p(x) = xj aus dem Satz u ¨ber die Differentiation von parameterabh¨angigen Integralen: Z Z Z −2πix·y −2πix·y ∂j f (x)e dx = f (x)∂j e dx = − 2πixj f (x)e−2πix·y dx. Weiter durch Induktion nach k.

2

Beispiel. Ist h(x) = e−πx·x , so Z Z Z −π(x+iy)·(x+iy) −πx·(x+2iy) −πy·y ˆ e dx = h(y) h(y) = e dx = e

e−πz·z dz.

Im z=y

Nach dem Satz von Cauchy k¨onnen wir den Integrationsweg zu Im z = 0 verschieben (notfalls mittels Fubini auf n = 1 zur¨ uckf¨ uhren). Das resultierende ˆ = h. Integral ist gleich 1 (mittels Polarkoordinaten im Fall n = 2). Also h Setzen wir ³ x ´ ht = t−n/2 h √ = t−n/2 e−πx·x/t , t √ ˆ t = h( ˆ t y) = e−πty·y . so ist ht ∈ L1 (Rn ) f¨ ur t > 0 mit h Lemma 2 Die Algebra L1 (Rn ) hat kein Einselement, aber limt→0 ht ∗ f = f in L1 (Rn ). ˆ e = h, ˆ und Beweis. W¨are e ∈ L1 (Rn ) ein Einselement, so h ∗ e = h, also hˆ ˆ = h nullstellenfrei ist, eˆ = 1 konstant im Widerspruch zum Riemannda h Lebesgue-Lemma. Durch Substitution erhalten wir Z Z ³ y ´ √ −n/2 ht ∗ f (x) = t h √ f (x − y) dy = h(z)f (x − t z) dz, t also

kht ∗f −f k1 ≤

ZZ

√ ¯ ¯ h(z)¯f (x− t z)−f (x)¯dz dx =

Z

√ h(z)kλ( t z)f −f k1 dz,

√ wobei Fubini wegen kλ( t z)f − f k1 ≤ 2kf k1 anwendbar ist. Nun folgt die Behauptung durch beschr¨ankte Konvergenz und Satz 2. 2 Satz 4 (Umkehrformel) Ist f ∈ L1 (Rn ) derart, dass fˆ ∈ L1 (Rn ), so gilt ˆ fˆ(x) = f (−x), das heißt Z f (x) = fˆ(y)e2πix·y dy. 4

Dies kann man als Wellenpaket in Analogie zu Fourierreihen interpretieren. Insbesondere ist die Fouriertransformation injektiv. Beweis. Nach Fubini gilt ZZ Z Z −2πiz·y 2πix·y ˆ t (y)e2πi(x−z)·y dy dz. ˆ f (z)e dz ht (y)e dy = f (z) h Da die Behauptung f¨ ur f = ht bereits gilt, folgt Z Z 2πix·y ˆ ˆ f (y)ht (y)e dy = f (z)ht (x − z) dz = f ∗ ht (x). F¨ ur t → 0 konvergiert die linke Seite wegen beschr¨ankter Konvergenz, die rechte Seite nach Lemma 2. 2 Satz 5 (Plancherel, Parseval) Die Fouriertransformation setzt sich von dem Raum {f ∈ L1 (Rn ) | fˆ ∈ L1 (Rn )} zu einer unit¨aren Abbildung des Hilbertraums L2 (Rn ) auf sich selbst fort, und es gilt (f, g) = (fˆ, gˆ). Beweis. Es seien f , g ∈ L1 (Rn ) mit fˆ, gˆ ∈ L1 (Rn ). Dann gilt nach Fubini ZZ Z Z −2πix·y f (x)e dx gˆ(y) dy = f (x) gˆ(y)e2πix·y dy dx ≤ kf k1 kˆ g k1 . Mit dem Umkehrsatz folgt Z Z ˆ g (y) dy = f (x)g(y) dx, f (y)ˆ also die behauptete Formel von Parseval unter den obigen Einschr¨ankungen an f und g. Der Fall f = g zeigt kfˆk22 = kf k22 ≤ kf k1 kfˆk1 , also {f ∈ L1 (Rn ) | fˆ ∈ L1 (Rn )} ⊂ L2 (Rn ). Die Fouriertransformation bildet den dichten Unterraum1 nach dem Umkehrsatz bijektiv auf sich selbst ab und erh¨alt die Norm, setzt sich also nach dem Satz von Riesz-Fischer wie behauptet fort. 2 1

Die Dichtheit dieses Unterraums folgt aus der des Schwartzraums.

5

2

Die Poissonsche Summationsformel

Es sei F : R → C eine periodische stetige Funktion mit Periode 1. Ihr nter Fourierkoeffizient ist Z 1 an = F (x)e−2πinx dx, 0

und ihre Fourierreihe ist

∞ X

an e2πinx .

n=−∞

Wir rufen in Erinnerung, dass diese Reihe gegen F konvergiert. Satz 6 Ist f eine stetige Funktion auf R, so gilt ∞ X

∞ X

f (x + n) =

n=−∞

fˆ(m)e2πimx ,

m=−∞

vorausgesetzt, die Reihe auf der linken Seite konvergiert absolut gleichm¨aßig auf jedem beschr¨ankten Intervall. Beweis. Bezeichnen wir die linke Seite mit F (x), so ist F stetig und periodisch mit Periode 1, und ihr mter Fourierkoeffizient ist Z

1

∞ X

f (x + n)e−2πimx dx.

0 n=−∞

Ersetzen wir jeden Summanden durch seinen absoluten Betrag, so sind Summe und Integral nach Voraussetzung immer noch konvergent. Also k¨onnen wir nach dem Satz von Fubini Summation and Integration vertauschen. Substituieren wir x + n = u und benutzen, dass e2πimn = 1, so erhalten wir ∞ Z X

n=−∞

n

n+1

f (u)e

−2πimu

du =

Z

∞

f (u)e−2πimu du = fˆ(m).

−∞

Die absolute Konvergenz im Fall m = 0 zeigt insbesondere, dass f ∈ L1 (R). Nun folgt der Satz aus der Konvergenz der Fourierreihe von F . 2 Der Satz hat eine offensichtliche Verallgemeinerung auf Funktionen von mehreren Variablen.

6

3

Gruppencharaktere

Definition 4 Ein Charakter einer Gruppe G ist ein Homomorphismus χ : G → C× = C \ {0}. Der Charakter χ heißt unit¨ar, wenn |χ(g)| = 1 f¨ ur alle g ∈ G gilt. Bemerkung. Manche Autoren nennen Homomorphismen χ : G → C× Quasicharaktere und verlangen die Unitarit¨at, um von einem Charakter zu sprechen. Letztere Eigenschaft bedeutet, dass z 7→ χ(x)z f¨ ur alle x ein unit¨arer Endomorphismus von C ist, m.a.W., χ(x) ∈ U (1). Man kann allgemeiner Charaktere mit Werten in K × f¨ ur jeden K¨orper K definieren. Ist G eine topologische Gruppe, d. h. gleichzeitig ein topologischer Raum, so dass die Gruppenoperationen (Multiplikation und Inversenbildung) stetig sind, so kann man von stetigen Charakteren sprechen. Lemma 3 Jeder stetige Charakter von Rn ist von der Form χ(x) = es·x f¨ ur ein s ∈ Cn . Es ist klar, dass die Menge der Charaktere eine Gruppe unter der punktweisen Multiplikation ist und dass die Mengen der stetigen und der unit¨aren Charaktere Untergruppen bilden. Definition 5 Wir bezeichnen die Menge der stetigen unit¨aren Charaktere ˆ und versehen sie mit den einer lokal-kompakten abelschen Gruppe G mit G Pseudometriken dK (χ, η) = sup |χ(x) − η(x)| x∈K

f¨ ur alle kompakten Teilmengen K von G. ˆ Die Pseudometriken dK definieren eine Topologie auf G. Lemma 4 Definieren wir χy (x) = e2πix·y f¨ ur x, y ∈ Rn , so ist die durch y 7→ cn ein Isomorphismus topologischer Gruppen. χy gegebene Abbildung Rn → R

Beweis. Die besagte Abbildung ist bijektiv nach dem Lemma und offensichtlich ein Gruppenhomomorphismus. Aus der Lipschitzstetigkeit der Funktion t 7→ e2πit folgt |χy (x) − χz (x)| ≤ 2π |x · (y − z)| ≤ 2πkxkky − zk, also folgt f¨ ur die Kugel K mit Radius r > 0 dK (χy , χz ) ≤ 2πrky − zk, 7

und die fragliche Abbildung ist stetig. F¨ ur jedes ε > 0 gibt es ein δ > 0, so dass aus |e2πitu − 1| < δ

∀t ∈ [−1, 1]

folgt, dass |u| < ε. Ist nun K die Kugel vom Radius 1, so folgt aus dK (χy , χz ) < δ, dass f¨ ur alle x ∈ Rn mit kxk = 1 und alle t ∈ [−1, 1] gilt |e2πitx·y − e2πitx·z | < δ, also |x · (y − z)| < ε und, wenn wir x als Vielfaches von y − z w¨ahlen, ky − zk < ε. Somit ist die fragliche Abbildung offen. 2 Satz 7 (Pontrjagin) Es sei G eine lokal-kompakte abelsche Gruppe. Die ˆˆ ˆ zuordnet, Abbildung G → G, die jedem Element x ∈ G den Charakter von G ˆ den Wert χ(x) annimmt, ist ein Isomorphismus von der an der Stelle χ ∈ G topologischen Gruppen.

4

Das Haarsche Maß

Definition 6 Ein Maß µ auf der Borel-Algebra eines topologischen Raumes X heißt Radon-Maß, wenn es lokal-endlich und von innen regul¨ar ist, d. h. wenn jeder Punkt von X eine Umgebung von endlichem Mass hat und f¨ ur jede Borelmenge B ⊆ X gilt µ(B) = sup{µ(K) | K ⊆ B, K ist kompakt}. Satz 8 (Haar, Weil) Ist G eine lokal-kompakte Hausdorffsche topologische Gruppe, so gibt es ein linksinvariantes Radon-Maß µ auf G, d. h. µ(xB) = µ(B) f¨ ur alle Borel-Mengen B ⊆ G, und µ ist bis auf einen positiven Faktor eindeutig bestimmt. Bemerkung. Ein positives Vielfaches eines Haar-Maßes ist wieder ein HaarMaß, aber wenn wir eine kompakte Menge K0 mit nichtleerem Inneren fixieren und µ(K0 ) = 1 verlangen, so wird µ eindeutig. Beweisidee von Haar: Ist ∅ 6= U ⊆ G offen und K ⊆ G kompakt, so bezeichnen wir mit (K : U ) die minimale Anzahl von Elementen x1 , . . . , xn ∈ G, so dass K ⊆ x1 U ∪ · · · ∪ xn U.

8

Ist beispielsweise G = Rn , so gilt f¨ ur das Lebesgue-Maß, wenn Um einen W¨ urfel der Kantenl¨ange 1/m bezeichnet, µ(K) = lim

m→∞

(K : Um ) . (U¯1 : Um )

F¨ ur allgemeines G setzen wir µU (K) =

(K : U ) . (K0 : U )

Dann gilt nat¨ urlich µU (xK) = µU (K). Wegen (K : V ) ≤ (K : U )(U¯ : V ) f¨ ur relativ kompaktes U gilt 1 ˚ (K0 : K)

˚0 ) ≤ µU (K) ≤ (K : K

˚ 6= ∅). Haar betrachtet nur metrisierbare G (die linke Ungleichung f¨ ur K mit dichter abz¨ahlbarer Menge und l¨asst U eine Umgebungsbasis (Un )n≥1 durchlaufen. Wegen der Kompaktheit von ˚ (K : K ˚0 )] [1/(K0 : K), konvergiert eine Teilfolge von µUn (K) gegen einen Kandidaten f¨ ur µ(K). Um Eigenschaften zu beweisen, bei denen verschiedene K vorkommen, muss man wiederholt zu Teilfolgen u ¨bergehen, bei abz¨ahlbar vielen K ein Diagonalargument anwenden. A. Weil hat diese Schwierigkeit u ¨berwunden, indem er µU als Element von Y ˚ (K : K ˚0 )] [1/(K0 : K), K

betrachtet, was nach dem Satz von Alexandrow kompakt ist. F¨ ur jede Einsumgebung V sei F (V ) der Abschluss der Menge der µU mit U ⊆ V . Dann gilt F (V1 ) ⊆ F (V2 ) f¨ ur V1 ⊂ V2 , also hat das Systen der F (V ) die endliche Durchschnittseigenschaft. Somit ist der Durchschnitt aller Mengen F (V ) nicht leer, und darin w¨ahlt man das gesuchte µ. Um µ auf die Borel-Algebra forzusetzen, braucht man weitere Eigenschaften (Additivit¨at, Straffheit). Diese Fortsetzung ist ein Teilschritt im Beweis des folgenden Satzes: 9

Satz 9 (Riesz) Ist X ein lokal-kompakter Hausdorff-Raum und I : Cc (X) → R eine positive Linearform, d. h. f ≥0

I(f ) ≥ 0,

=⇒

dann existiert genau ein Radon-Maß µ auf X, so dass Z I(f ) = f µ, X

und zwar µ(K) = inf{I(f ) | f ∈ Cc (X), f ≥ 1K } f¨ ur alle kompakten K ⊆ X. I ist genau dann stetig bez¨ uglich der Supremumsnorm, wenn µ(K) < ∞. Ist X = G eine lokalkompakte Gruppe, so ist µ genau dann linksinvariant, wenn f¨ ur alle f ∈ Cc (G) und x ∈ G gilt I(λ(x)f ) = I(f ). Anstelle des Haar-Maßes µ konstruiert Weil gleich das Funktional I, aus dem man µ zur¨ uckgewinnen kann. F¨ ur nichtnegative f , g ∈ Cc (G) mit g 6= 0 existieren c1 , . . . , cn ≥ 0 und x1 , . . . , xn ∈ G derart, dass f ≤ c1 λ(x1 )g + · · · + cn λ(xn )g, und er bezeichnet mit (f : g) das Infimum von c1 + · · · + cn u ¨ber alle solche c1 , . . . , c n . Auf den weiteren Beweis gehen wir hier nicht ein. – Mit Hilfe des HaarMaßes k¨onnen wir den Plancherelsatz f¨ ur lokalkompakte abelsche Gruppen formulieren (ohne Beweis). Satz 10 Ist G eine lokal-kompakte abelsche Gruppe mit Haar-Maß µ und ˆ → C von f ∈ L1 (G) als definieren wir die Fourier-Transformierte fˆ : G Z ˆ f (χ) = f χµ, ¯ G

ˆ (genannt das Plancherel-Maß zu µ), so dass so gibt es ein Haar-Maß µ ˆ auf G ˆ gilt fˆˆ(x) = f (−x). Außerdem setzt sich f¨ ur alle f ∈ L1 (G) mit fˆ ∈ L1 (G) die Fourier-Transformation zu einem Isomorphismus von Hilbert-R¨aumen ˆ fort. L2 (G) → L2 (G) 10

Es ist unser Fernziel, diesen Satz auf gewisse nichtabelsche Gruppen zu u ¨bertragen. Das erste Problem besteht darin, dass ein linksinvariantes Haarsches Maß nicht rechtsinvariant zu sein braucht. Definition 7 Ist ϕ ein Automorphismus einer lokal-kompakten Gruppe G, so heißt die Zahl ∆(ϕ) mit µ ◦ ϕ = ∆(ϕ)µ der Modul von ϕ. Ist speziell ϕ(x) = axa−1 (innerer Automorphismus), so schreiben wir ∆(ϕ) = ∆(a) und nennen ∆ die modulare Funktion von G. Die Gruppe G heißt unimodular, wenn ihre modulare Funktion konstant gleich 1 ist. Die Funktion ∆ : G → R+ ist dann ein Homomorphismus, und f¨ ur a ∈ G gilt µ(K) = ∆(a)µ(Ka). Schreiben wir die Rechtstranslation als ρ(a)f (x) = f (xa), so gilt 1Ka = ρ(a−1 )1K , also Z Z 1K µ = ∆(a) ρ(a−1 )1K µ. G

G

Approximieren wir f ∈ Cc (G) durch Treppenfunktionen, so folgt I(ρ(a)f ) = ∆(a)I(f ). Satz 11 Die modulare Funktion ∆ einer lokalkompakten Gruppe G ist stetig. Ist I ein linkes Haarsches Integral und µ ein linkes Haarsches Maß, so ist J(f ) = I(∆f ) ein rechtes Haarsches Integral und ∆µ ein rechtes Haarsches Maß. Beweis der Rechtsinvarianz des linearen Funktionals J: J(ρ(a)f ) = I(∆ρ(a)f ) = ρ(a−1 )I(ρ(a)(∆f )) = I(∆f ) = J(f ). Wegen der Eindeutigkeit im Rieszschen Darstellungssatz ist das Maß ∆µ rechtsinvariant. Folgerung 2 Jede kompakte Gruppe ist unimodular. In der Tat ist das Bild von K unter ∆ eine kompakte Untergruppe von R+ und somit trivial, weil f¨ ur eine von 1 verschiedene positive Zahl c die n Folge c keinen H¨aufungspunkt in der Gruppe R+ hat. H¨aufig fixieren wir ein Haarsches Maß µ und schreiben (besonders wenn f noch von anderen Variablen abh¨angt) Z Z fµ = f (x) dx. G

G

11

Satz 12 Die Faltung f ∗ g(x) =

Z

f (y)g(y −1 x) dy

G

von Funktionen auf einer unimodularen Gruppe G verwandelt L1 (G) in eine assoziative Banachalgebra. Der Beweis ist wie bei Satz 1.1. F¨ ur Liesche Gruppen kann man das invariante Integral u ¨ber invariante Dichten konstruieren. Definition 8 Eine Liesche Gruppe ist eine Gruppe, die mit der Struktur einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit versehen ist, so dass die Abbildungen G × G → G, (x, y) 7→ xy,

G→G x 7→ x−1

differenzierbar sind. In diesem Fall sind die Links- und Rechtstranslation um ein Element a ∈ G, n¨amlich la : x 7→ ax und ra : x 7→ xa−1 , Diffeomorphismen von G. Definition 9 Eine Dichte auf einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit M ist eine Abbildung µ, die jedem a ∈ M ein translationsinvariantes Maß µa auf dem Tangentialraum Ta (M ) zuordnet. Die Dichte heißt stetig, wenn f¨ ur beliebige Vektorfelder X1 , . . . , Xn (n = dim M ), die an der Stelle a das Parallelepiped Pa ⊆ Ta (M ) aufspannen, der Wert µa (Pa ) stetig von a ∈ M abh¨angt. Ist ϕ : M → N ein Diffeomorphismus (oder eine offene Einbettung) und ν eine Dichte auf N , so definieren wir die Dichte ϕ∗ ν auf M (genannt pullback von ν unter ϕ) durch ϕ∗ νa (P ) = ν(ϕ′ (a)P ) f¨ ur jede messbare Menge P ⊆ Tϕ(a) (N ), wobei ϕ′ : Ta (M ) → Tϕ(a) (N ) die Ableitung (auch Differential genannt) von ϕ an der Stelle a bezeichnet. Satz 13 Man kann auf genau eine Weise jedem Tripel (M, A, µ) bestehend aus einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit M , einer relativ kompakten Borelmenge A ⊆ M und einer stetigen Dichte µ auf M eine reelle Zahl Z µ A

zuordnen, so dass gilt: 12

(i) Sind A und B disjunkte relativ kompakte Borelmengen in der Mannigfaltigkeit M , so ist Z Z Z µ= µ+ µ. A∪B

A

B

(ii) Ist ϕ : M → N eine offene Einbettung und ν eine stetige Dichte auf N , so ist Z Z ∗ ϕν= ν. A

ϕ(A)

(iii) Ist M eine offene Teilmenge von Rn , so ist Z Z µ= µa (E) da, A

A

wobei E ⊂ Ta (Rn ) ∼ urfel bezeichnet. = Rn den Einheitsw¨

Beweisidee. Man u ¨berdeckt M mit Karten ϕ : U → M und w¨ahlt in jedem U eine relativ kompakte offene Teilmenge V . Eine gegebene relativ kompakte Borelmenge A ⊂ M wird von endlich vielen der Mengen ϕ(V ) u ¨berdeckt, ist also disjunkte Vereinigung von endlich vielen Borelmengen der Form ϕ(B) mit B ⊂ V . Mittels (i) wird das Integral u ¨ber A auf Integrale u uckgef¨ uhrt, mittels (ii) auf Integrale u ¨ber die ϕ(B) zur¨ ¨ber B, und diese sind durch (iii) festgelegt. Die Korrektheit folgt aus der Transformationsformel. 2 Hat eine stetige Dichte kompakten Tr¨ager, so kann man sie u ¨ber jede Borelmenge integrieren. Punktweise Multiplikation mit stetigen Funktionen u uhrt stetigen Dichten in ebensolche. Ist G eine Liesche Gruppe, f ∈ ¨berf¨ Cc (G) und µ eine stetige Dichte auf G, so erhalten wir f¨ ur a ∈ G la∗ (f µ) = λ(a−1 )f · la∗ µ,

ra∗ (f µ) = ρ(a−1 )f · ra∗ µ.

Damit ergibt sich: R Satz 14 Ist µ eine stetige Dichte und I(f ) = G f µ, so ist I genau dann linksinvariant (bzw. rechtsinvariant), wenn f¨ ur alle a ∈ G gilt la∗ µ = µ (bzw. ra∗ µ = µ). Bezeichnen wir das Differential der Abbildung x 7→ axa−1 = la (ra (x)) = ra (la (x)) (innerer Automorphismus) an der Stelle e mit Ad(a), so ist ∆(a) = |det Ad(a)|. Eine links- bzw. rechtsinvariante Dichte µ ist durch µe festgelegt (also durch die Zahl µe (K) f¨ ur eine feste kompakte Menge K ⊆ Te (G)), n¨amlich µa = µe ◦ la′ −1

(bzw. µa = µe ◦ ra′ ). 13

5

Stetige Darstellungen

Definition 10 Eine Darstellung einer Gruppe G auf einem Vektorraum V ist ein Homomorphismus π der Gruppe G in die Gruppe der linearen Automorphismen von V . Die Darstellung π der topologischen Gruppe G in dem topologischen Vektorraum V heißt stetig, falls f¨ ur jedes v ∈ V die durch x 7→ π(x)v definierte Abbildung G → V stetig ist. Satz 15 Ist π eine stetige Darstellung der lokal-kompakten Gruppe G im Banachraum V , so ist die Abbildung G × V → V , welche (x, v) in π(x)v u uhrt, stetig. ¨berf¨ Lemma 5 In der Situation des Satzes ist π bez¨ uglich der Operatornorm lokal beschr¨ankt. Beweis. Da G lokal-kompakt ist, gen¨ ugt es zu zeigen, dass f¨ ur jede kompakte Teilmenge K von G das Bild π(K) beschr¨ankt ist. Jedenfalls ist f¨ ur jedes v ∈ V die Menge π(K)v als Bild von K unter einer stetigen Abbildung beschr¨ankt. Nun folgt die Behauptung aus dem Satz von der gleichm¨aßigen Beschr¨anktheit (Banach-Steinhaus). 2 Beweis des Satzes. Sind (x0 , v0 ) ∈ G × V und ε > 0 gegeben, so gibt es eine Umgebung U von x0 , so dass f¨ ur x ∈ U gilt ε kπ(x)v0 − π(x0 )v0 k < . 2

Nach dem Lemma gibt es, nach eventueller Verkleinerung von U , ein C > 0 mit kπ(x)k ≤ C f¨ ur x ∈ U . Nun gilt f¨ ur kv − v0 k < ε/2C: kπ(x)v − π(x0 )v0 k ≤ kπ(x)(v − v0 )k + kπ(x)v0 − π(x0 )v0 k < C ·

ε ε + = ε. 2C 2

Definition 11 F¨ ur eine unimodulare Gruppe G und eine stetige Darstellung π von G auf einem Banachraum H definieren wir f¨ ur jede Funktion f ∈ 1 Cc (G) einen stetigen Endomorphismus π (f ) von H durch Z 1 π (f )v = π(x)v dx. G

Ist π beschr¨ankt (z. B. unit¨ar), so gilt diese Definition sogar f¨ ur f ∈ L1 (G).

14

Hierf¨ ur braucht man die Integrationstheorie f¨ ur banachraumwertige Funktionen. Ist der Banachraum H reflexiv2 , d. h. H ′′ = H, so l¨asst sich das umgehen: Der Ausdruck Z l(π(x)v) dx

G

h¨angt stetig von dem Element l des Dualraums H ′ ab, ist also von der Form l(w) f¨ ur ein w ∈ H, und man setzt π 1 (f )v = w. Satz 16 Die Abbildung π 1 ist eine Darstellung, d. h. ein Algebrenhomomorphismus von Cc (G) bzw. (wenn π beschr¨ankt ist) L1 (G) in die Algebra End(H) der beschr¨ankten Endomorphismen von H. Insbesondere gilt π 1 (λ(a)f ) = π(a)π 1 (f ), π 1 (ρ(a)f ) = π 1 (f )π(a)−1 , π 1 (f ∗ g) = π 1 (f )π 1 (g). Ist kπ(x)k ≤ C f¨ ur alle x, so gilt kπ 1 (f )k ≤ Ckf k1 . ¨ Beweis als Ubung.

Definition 12 Eine Diracfolge f¨ ur eine lokal-kompakte Gruppe G ist eine Folge von Funktionen ϕn ∈ C(G) mit folgenden Eigenschaften: (i) ϕn ≥ 0 f¨ ur alle n. R ur alle n. (ii) G ϕn (x) dx = 1 f¨

(iii) Ist V eine Einsumgebung in G, so gilt supp ϕn ⊆ V f¨ ur gen¨ ugend großes n. Eine schwache Diracfolge ist eine Folge mit den Eigenschaften (i), (ii) und: (iii′ ) Ist V eine Einsumgebung in G und ε > 0, so gilt Z ϕn (x) dx < ε Vc

f¨ ur gen¨ ugend großes n, wobei V c das Komplement von V bezeichnet. Solche Folgen existieren auf jeder lokal-kompakten topologischen Gruppe. Satz 17 Es sei π eine stetige Darstellung einer unimodularen Gruppe G auf einem Banachraum H, ϕn eine Diracfolge und v ∈ H. Dann konvergiert π 1 (ϕn )v f¨ ur n → ∞ gegen v. Ist π beschr¨ankt, so gen¨ ugt auch eine schwache Diracfolge. 2

Dies ist nach dem Rieszschen Darstellungssatz insbesondere f¨ ur einen Hilbert-Raum H der Fall.

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Beweis. Wegen (ii) gilt 1

π (ϕn )v − v =

Z

G

ϕn (x)(π(x)v − v) dx.

Ist ε > 0 gegeben, so gibt es wegen der Stetigkeit von π eine Einsumgebung V , so dass kπ(x)v − vk < ε f¨ ur alle x ∈ V . Aus der Dreiecksungleichung f¨ ur Integrale folgt nun Z Z 1 ϕn (x)kπ(x)v − vk dx. kπ (ϕn )v − vk ≤ ε ϕn (x) dx + Vc

V

Das erste Integral ist wegen (i) und (ii) durch 1 beschr¨ankt. Ist ϕn eine Diracfolge, so verschwindet das zweite Integral f¨ ur gen¨ ugend großes n. Ist ϕn eine schwache Diracfolge und kπ(x)k ≤ C f¨ ur alle x ∈ G, so ist das zweite Integral f¨ ur große n durch (C + 1)kvkε beschr¨ankt. 2 Definition 13 Es sei π eine stetige Darstellung einer topologischen Gruppe G auf einem topologischen Vektorraum V . Ein abgeschlossener Unterraum U heißt invariant (bez¨ uglich π), wenn f¨ ur x ∈ G und u ∈ U auch π(x)u ∈ U ist. Die Darstellung π heißt irreduzibel, wenn V nicht der Nullraum ist und keinen nichttrivialen invarianten Unterraum hat. Nat¨ urlich gibt es immer die trivialen invarianten Unterr¨aume V und {0}. Definition 14 Ist U ein invarianter Unterraum der Darstellung π von G im Vektorraum V , so definieren die Einschr¨ankungen π ′ (x) der Operatoren π(x) auf U eine Darstellung π ′ von G auf U , genannt Teildarstellung. Andererseits wird durch π ′′ (x)(v + U ) = π(x)v + U eine Darstellung π ′′ von G auf V /U definiert, genannt Quotientendarstellung. Eine Teildarstellung einer Quotientendarstellung von π wird Subquotient von π genannt. Da wir topologische Verktorr¨aume u ¨blicherweise als Hausdorffsch voraussetzen, betrachten wir nur abgeschlossene Unterr¨aume U , damit V /U wieder Hausdorffsch ist. Die oben definierten Begriffe f¨ ur Gruppen haben ihre Analoga f¨ ur stetige Darstellungen von Algebren A auf einem topologischen Vektorraum V . H¨aufig ist A bereits als Teilalgebra von End V gegeben, so dass man kein besonderes Symbol wie π f¨ ur die Darstellung von A braucht, sondern einfach Av f¨ ur A ∈ A und v ∈ V schreibt. Einen Vektorraum mit einer A-Darstellung nennt man auch einen A-Modul, und man spricht von irreduziblen A-Moduln usw. 16

Satz 18 Es sei π eine stetige Darstellung einer unimodularen Gruppe G auf einem Banachraum V , und es sei A (ein dichter Unterraum von) Cc (G). Ein abgeschlossener Unterraum U von V ist genau dann π-invariant, wenn er π 1 (A)-invariant ist. Ist π beschr¨ankt, so kann man Cc (G) durch L1 (G) ersetzen. Beweis. Ist U invariant unter π, so liegen alle Werte des Integranden, der π 1 (f )u f¨ ur u ∈ U definiert, in U , also auch das Integral π 1 (f )u. Umgekehrt sei U invariant unter A. Ist u ∈ U und ε > 0 so finden wir nach Satz 17 eine Funktion ϕ ∈ Cc (G) mit kπ 1 (ϕ)u − uk < ε, und ist a ∈ G, so folgt kπ 1 (λ(a)ϕ)u − π(a)uk < ε. Nach Voraussetzung finden wir f ∈ A, so dass K = supp f ∪ supp(λ(a)ϕ) kompakt ist und kf − λ(a)ϕk µ(K) sup kπ(x)k < ε. x∈K

Es folgt kπ 1 (f )u − π(a)uk < ε.

2

Folgerung 3 In der Situation des Satzes ist π genau dann irreduzibel, wenn V als π 1 (A)-Modul irreduzibel ist. Definition 15 Es seien π und π ′ stetige Darstellungen einer topologischen Gruppe G auf topologischen Vektorr¨aumen V und V ′ . Ein Verkettungsoperator von π nach π ′ ist ein stetiger Homomorphismus J : V → V ′ , so dass f¨ ur alle x ∈ G gilt Jπ(x) = π ′ (x)J. Den Vektorraum der Verkettungsoperatoren von π nach π ′ bezeichnen wir mit Hom(π, π ′ ) oder (in Analogie zu Moduln) mit HomG (V, V ′ ), falls das unmissverst¨andlich ist. Die Darstellung π heißt Teildarstellung von π ′ , wenn es einen injektiven Verkettungsoperator mit abgeschlossenem Bild von π nach π ′ gibt. Zwei Darstellungen heißen ¨aquivalent, wenn es zueinander inverse Verkettungsoperatoren zwischen ihnen gibt. Auch dies l¨asst sich analog f¨ ur Darstellungen von Algebren (also Moduln) formulieren. Die bekannten S¨atze aus der Algebra (Homomorphiesatz, die zwei Isomorphies¨atze, Satz von Jordan-H¨older) u ¨bertragen sich auf stetige Darstellungen von Algebren und topologischen Gruppen. Definition 16 Die Vielfachheit des irreduziblen Moduls V in dem Modul W ist die maximale Anzahl der zu V ¨aquivalenten Subquotienten, die in einer Normalreihe von Untermoduln {0} = U0 ⊂ U1 ⊂ · · · ⊂ Un = V auftreten k¨onnen. 17

6

Kriterium der vollst¨ andigen Reduzibilit¨ at

Lemma 6 F¨ ur Funktionen f auf einer unimodularen Gruppe G definieren ∗ wir f (x) = f (x−1 ). Die Algebren Cc (G) und L1 (G) sind invariant unter der Operation ∗, und f¨ ur eine unit¨are Darstellung π von G gilt π 1 (f ∗ ) = π 1 (f )∗ . Definition 17 Eine Algebra A von Operatoren in einem Hilbertraum heißt ∗-Algebra, wenn f¨ ur jeden Operator A ∈ A auch der adjungierte Operator A∗ in A ist. Folgerung 4 Ist π eine unit¨are Darstellung einer unimodularen Gruppe, so sind die Mengen {π 1 (f ) | f ∈ Cc (G)} und {π 1 (f ) | f ∈ L1 (G)} ∗-Algebren von stetigen Operatoren. Bemerkung. Ist A eine ∗-Algebra von Operatoren in einem Hilbertraum und ist V ein (abgeschlossener) A-invarianter Unterraum, so ist auch das Orthogonalkomplement V ⊥ A-invariant. Ist π eine unit¨are Darstellung einer Gruppe in einem Hilbertraum und V ein π-invarianter Unterraum, so ist auch V ⊥ π-invariant. Insbesondere ist jeder Subquotient isomorph zu einer Teildarstellung. Satz 19 Es sei A eine ∗-Algebra kompakter Operatoren in einem HilbertRaum H. Dann ist H vollst¨andig reduzibel, und die Vielfachheit jeder von der Nulldarstellung verschiedenen irreduziblen Darstellung von A in H ist endlich. Lemma 7 Ist A eine ∗-Algebra stetiger Operatoren in einem Hilbert-Raum H und enth¨alt A einen von Null verschiedenen kompakten Operator, so enth¨alt H einen A-invarianten irreduziblen Unterraum. Beweis. Wegen

A + A∗ A − A∗ A= +i 2 2i muss einer der Summanden nicht Null sein. Wir k¨onnen also o. B. d. A. annehmen, dass A selbstadjungiert ist. Es sei λ 6= 0 ein Eigenwert von A, und f¨ ur jeden A-invarianten (abgeschlossenen) Unterraum M bezeichnen wir mit Mλ den Eigenunterraum von A zum Eigenwert λ. Wir w¨ahlen M so, dass Mλ minimale positive Dimension hat, und behaupten, dass f¨ ur einen von Null verschiedenen Vektor v ∈ Mλ der Unterraum V = Av invariant unter A und irreduzibel ist. Die Invarianz ist offensichtlich. 18

Es sei E ein invarianter Unterraum von V . Wegen der ∗-Abgeschlossenheit von A ist das Orthogonalkomplement F von E in V auch A-invariant. Wegen v = λ−1 Av ∈ V k¨onnen wir v = vE + vF mit vE ∈ E und vF ∈ F schreiben. Es gilt AvE + AvF = Av = λv = λvE + λvF , und wegen AvE ∈ E und AvF ∈ F folgt AvE = λvE , AvF = λvF . Es gilt Eλ ⊕ Fλ ⊆ Mλ (orthogonale Summe). W¨are sowohl vE 6= 0 als auch vF 6= 0, so w¨are dim Eλ ≥ 1 und dim Fλ ≥ 1, also h¨atte einer der Eigenunterr¨aume Eλ oder Fλ positive Dimension kleiner als die von Mλ im Widerspruch zur Minimalit¨at jener Dimension. Folglich muss einer der Vektoren vE , vF gleich Null sein. Ist vF = 0, so ist V = AvE ⊆ E, also V = E. Ist hingegen vE = 0, so folgt V = F , E = {0}. 2 Beweis des Satzes. Wir betrachten Familien V von (abgeschlossenen) Ainvarianten Unterr¨aumen V von H, so dass die Summe aller V ∈ V orthogonal ist. Aufgrund des Lemmas gibt es eine solche Familie {V }. Wir ordnen die Menge aller solcher Familien bez¨ uglich der Inklusion V ⊆ W. Jede aufsteigende Kette solcher Familien hat eine obere Schranke, n¨amlich die Vereinigung aller ihrer Familien. Nach dem Zornschen Lemma gibt es eine maximale Familie M. Es sei N das Orthogonalkomplement aller Unterr¨aume von M. Ist N 6= {0}, so muss A auf N entweder durch Null operieren, und dann ist N vollst¨andig reduzibel, oder N hat nach dem Lemma einen A-invarianten Unterraum. In beiden F¨allen w¨are M nicht maximal, also ist N = {0}. Ist V ein irreduzibler Unterraum, auf dem A nicht durch Null operiert, so gibt es einen selbstadjungierten Operator A ∈ A und ein λ 6= 0 mit Vλ 6= {0}. F¨ ur jeden zu V ¨aquivalenten irreduziblen Unterraum W ist dim Vλ = dim Wλ . Da A kompakt ist, ist dim Hλ endlich, also hat V endliche Vielfachheit. 2

7

Hilbert-Schmidt-Operatoren

Definition 18 Es seien V und W Hilbert-R¨aume. Ein Operator A : V → W heißt Hilbert-Schmidt-Operator, wenn f¨ ur eine Orthonormalbasis (vi ) von V gilt X kAk22 := kAvi k2 < ∞. i

19

Wir bezeichnen die Menge der Hilbert-Schmidt-Operatoren von V nach W mit L2 (V, W ). Ist auch B ∈ L2 (V, W ), so definieren wir X hA, Bi = hAvi , Bvi i. i

Die letzte Summe konvergiert dann wegen der Cauchy-Schwarz-Ungleichungen in W und l2 . Satz 20 (i) Die Definition h¨angt nicht von der Wahl der Orthonormalbasis ab, es gilt kAk ≤ kAk2 , und L2 (V, W ) ist ein Hilbert-Raum. (ii) Ist A ∈ L2 (V, W ), so ist A∗ ∈ L2 (W, V ). Ist außerdem B ∈ L2 (V, W ), so gilt hA, Bi = hB ∗ , A∗ i. (iii) Sind X : W → U und Y : U → V stetige lineare Operatoren, so ist XA ∈ L2 (V, U ), AY ∈ L2 (U, W ) und kXAk2 ≤ kXkkAk2 ,

kAY k2 ≤ kAk2 kY k.

Ist außerdem B ∈ L2 (U, V ) und C ∈ L2 (W, U ), so gilt hXA, Bi = hA, X ∗ Bi,

hAY, Ci = hA, CY ∗ i.

(iv) Jeder Hilbert-Schmidt-Operator ist kompakt. Beweis. (i) Ist (wj ) eine Orthonormalbasis von W , so gilt (Konvergenz vorausgesetzt) X X hAvi , wj ihwj , Bvi i = hB ∗ wj , vi ihvi , A∗ wj i, i,j

also

i,j

X i

hAvi , Bvi i =

X j

hB ∗ wj , A∗ wj i.

Nach Voraussetzung liegt im Spezialfall A = B Konvergenz vor, es gilt kAk2 = kA∗ k2 , und die rechte Seite h¨angt nicht von der Wahl der Orthonormalbasis (vi ) ab. F¨ ur jedes v ∈ V gilt X X kAvk2 = |hAv, wj i|2 = |hv, A∗ wj i|2 ≤ kvk2 kA∗ k22 . j

j

Ist An eine Cauchy-Folge in L2 (V, W ), so konvergiert An v und definiert Av mit A ∈ L2 (V, W ). 20

(ii) In den Gleichungen im Beweis von (i) besteht Konvergenz nach CauchySchwarz. (iii) Dies folgt mit kXAvi k ≤ kXkkAvi k und (AY )∗ = Y ∗ A∗ . (iv) Ist Pk der Projektor auf die lineare H¨ ulle von v1 , . . . , vk , so gilt X kA − APk k2 ≤ kA − APk k22 = kAvi k2 → 0 i>k

f¨ ur k → ∞. Die Operatoren APk haben endlichen Rang, sind also kompakt. Somit ist A Grenzwert einer Folge kompakter Operatoren bez¨ uglich der Operatornorm, also auch kompakt. 2 Definition 19 Das Hilbertsche Tensorprodukt zweier Hilbert-R¨aume V und ˆ W versehen mit einer stetigen bilinearen AbbilW ist ein Hilbert-Raum V ⊗ ˆ W mit folgenden Eigenschaften: F¨ dung b0 : V × W → V ⊗ ur alle v1 , v2 ∈ V und w1 , w2 ∈ W gilt hb0 (v1 , w1 ), b0 (v2 , w2 )i = hv1 , v2 ihw1 , w2 i. Ist U ein weiterer Hilbert-Raum und b : V × W → U eine stetige bilineare ˆ W → U, Abbildung, so gibt es genau eine stetige lineare Abbildung X : V ⊗ so dass b = Xb0 . ¨ Ublicherweise schreibt man b0 (v, w) = v ⊗ w. Satz 21 Das Hilbertsche Tensorprodukt existiert. Sind (vi )i und (wj )j Orthonormalbasen von V und W , so ist (vi ⊗ wj )i,j eine Orthonormalbasis von ˆ W. V ⊗ Es sei V ∗ der Raum der stetigen linearen Funktionale auf dem Hilbert-Raum V . Nach dem Satz von Riesz ist die Abbildung u 7→ l mit l(v) = hv, ui ein antilinearer Isomorphismus V → V ∗ , wobei nach Cauchy-Schwarz die Operatornorm von l gleich der Norm von u ist. Auch V ∗ wird zu einem Hilbert-Raum, wenn wir hl, l′ i = hu′ , ui setzen, wobei u 7→ l und u′ 7→ l′ unter obigem Isomorphismus. Satz 22 Die Abbildung V ∗ × W → L2 (V, W ), die einem Paar (l, w) den Operator Al,w : v → 7 l(v)w

ˆ W → zuordnet, setzt sich zu einem Isomorphismus von Hilbert-R¨aumen V ∗ ⊗ 2 L (V, W ) fort.

21

Beweis. Ist (vi ) eine Orthonormalbasis von V , so gilt X hAl,w , Al′ ,w′ i = hl(vi )w, l′ (vi )w′ i i

=

X i

l(vi )l′ (vi )hw, w′ i = hl, l′ ihw, w′ i = hl ⊗ w, l′ ⊗ w′ i.

ˆ W → L2 (V, W ) ist Die nach Definition existierende stetige Abbildung V ∗ ⊗ also eine isometrische Einbettung. Ist umgekehrt A ∈ L2 (V, W ) gegeben und setzen wir aij = hAvi , wjP i (wobei (vi ) und (wj ) wie oben Orthonormalbasen bezeichnen), so ist A = i,j aij Ali ,wj (Konvergenz in L2 (V, W )) mit li (v) = hv, vi i. 2 Satz 23 Sind (X, µ) und (Y, ν) Maßr¨aume und µ ⊗ ν das Produktmaß auf X × Y , so ist ˆ L2 (Y, ν). L2 (X × Y, µ ⊗ ν) ∼ = L2 (X, µ) ⊗

Bilden wir L2 (X, µ) linear auf den eigenen Dualraum ab, indem wir der Funktion ϕ0 das durch l(ϕ) = hϕ, ϕ¯0 i definierte Funktional zuordnen, so haben wir jeder Funktion K ∈ L2 (X × Y, µ ⊗ ν) einen Hilbert-Schmidt-Operator A : L2 (X, µ) → L2 (Y, ν) zugeordnet, und es gilt Z Aϕ(y) = K(x, y)ϕ(x)µ(x) X

f¨ ur fast alle y ∈ Y . Die Funktion K heißt Integralkern des Operators A. Beweis. Die Isometrie der beiden Maßr¨aume folgt aus dem Satz von Fubini. Die Formel gilt f¨ ur K(x, y) = ϕ0 (x)ψ0 (y), denn wenn wir l(ϕ) = hϕ, ϕ¯0 i setzen, so folgt Z Z hAl,ψ0 ϕ, ψi = hhϕ, ϕ¯0 iψ0 , ψi = ϕ0 (x)ψ0 (y) ϕ(x)µ(x) ψ(y)ν(y). {z } Y X| K(x,y)

Weiter setzt sie sich nach Linearit¨at und Stetigkeit fort.

8

2

Das Schursche Lemma und die Orthogonalit¨ atsrelationen

Lemma 8 (Schur) Es sei A eine Menge von beschr¨ankten linearen Operatoren in einem Hilbertraum V und J ein beschr¨ankter linearer Operator, so 22

dass J und J ∗ mit allen Operatoren aus A kommutieren. Hat V keine nichttrivialen A-invarianten Unterr¨aume, so ist J = λI, wobei λ ∈ C und I den identischen Operator in V bezeichnet. Beweis. Da J sich als

J + J∗ J − J∗ +i 2 2i schreiben l¨asst, gen¨ ugt es, den Fall zu betrachten, dass J selbstadjungiert ist. Dann ordnet der Spektralsatz jeder Borel-Menge S ⊆ R einen abgeschlossenen J-invarianten Unterraum VS zu, so dass Folgendes gilt: J=

(i) VS∩T = VS ∩ VT , VS∪T = VS + VT , (ii) V∅ = {0}, VR = V , (iii) Ein beschr¨ankter linearer Operator kommutiert mit J genau dann, wenn er VS f¨ ur jedes S invariant l¨asst. (iv) Das Spektrum von J|VS ist gleich dem Durchschnitt von S mit dem Spektrum von J. Ist R die Vereinigung zweier disjunkter Mengen S und T , so ist V = VS ⊕VT eine A-invariante Zerlegung. Hat V keine A-invarianten Unterr¨aume, so folgt, dass das Spektrum von A entweder in S oder in T enthalten sein muss. Da dies f¨ ur alle komplement¨aren S und T gelten muss, kann das Spektrum von A nur aus einem Punkt λ ∈ R bestehen, und dann ist nach dem Spektralsatz A = λI. 2 Folgerung 5 Es seien π und σ unit¨are Darstellungen der unimodularen Gruppe G in Hilbertr¨aumen V und W , und σ sei irreduzibel. Dann ist die Vielfachheit von σ in π gleich dim HomG (V, W ) und gleich dim HomG (W, V ). ¨ Beweis als Ubung. Ist π eine Darstellung der Gruppe G auf Cn , also ein Homomorphismus von G nach GL(n, C), so kann man π(x) als Matrix auffassen. Dies l¨asst sich folgendermaßen auf unendlichdimensionale Darstellungen verallgemeinern. Definition 20 Es sei π eine stetige Darstellung der lokalkompakten Gruppe G auf dem Banachraum V . Ein Matrixkoeffizient von π ist eine Funktion auf G von der Form πl,v (x) = l(π(x)v) f¨ ur v ∈ V und l ∈ V ∗ . Beachte, dass πl,π(a)v = ρ(a)πl,v 23

ist. Definieren wir die kontragrediente Darstellung π ˇ auf V ∗ durch π ˇ (x)l = −1 l ◦ π(x ), so folgt ππˇ (a)l,v = λ(a)πl,v . Die Abbildungen v 7→ πl,v f¨ ur festes l bzw. l 7→ πl,v f¨ ur festes v sind also ∗ Verkettungsoperatoren V → C(G) bzw. V → C(G), wenn man C(G) mit der geeigneten Topologie versieht. Definition 21 Die Darstellung π der unimodularen Gruppe G auf dem Hilbertraum V heißt quadrat-integrierbar, wenn sie irreduzibel und unit¨ar ist und wenn (l, v) 7→ πl,v eine stetige Abbildung V ∗ × V → L2 (G) ist. Da V nun ein Hilbert-Raum ist, k¨onnen wir l als l(v) = hv, v ′ i f¨ ur ein v ′ ∈ V darstellen. Schreiben wir πv,v′ (x) = hπ(x)v, v ′ i, so erhalten wir eine stetige Sesquilinearform V × V → L2 (G). Satz 24 Es seien σ und π irreduzible quadrat-integrierbare Darstellungen von G auf Hilbertr¨aumen V und W . 1. Sind π und σ nicht¨aquivalent, so gilt f¨ ur alle v, v ′ ∈ V und w, w′ ∈ W Z σv,v′ (x)πw,w′ (x−1 ) dx = 0. G

2. Im Fall V = W und σ = π hingegen gibt es ein dπ > 0 (welches von der Wahl des Haar-Maßes abh¨angt), so dass f¨ ur alle v, v ′ , w und w′ gilt Z hv, w′ ihw, v ′ i πv,v′ (x)πw,w′ (x−1 ) dx = . dπ G ∗ ′ Beweis. (i) Da π unit¨ar ist, gilt πv,v ′ = πv ′ ,v . Im Fall V = W , σ = π, v = w und v ′ = w wird das Integral auf der linken Seite zu kπv,w k2 , was nach Voraussetzung stetig von v und w abh¨angt. Im allgemeinen Fall sieht man nun mit Hilfe der Cauchy-Schwarz-Ungleichung, dass das Integral stetig von v, v ′ w und w′ abh¨angt. Bezeichnen wir das Integral f¨ ur fixiertes w und v ′ mit b(v, w′ ), so erhalten wir eine stetige Sesquilinearform b : V × W → C, es gibt also ein C > 0, so dass f¨ ur v ∈ V und w′ ∈ W gilt |b(v, w′ )| ≤ kvkkw′ k. Nach dem Satz von Riesz ist jedes stetige antilineare Funktional auf W durch w′ 7→ hw0 , w′ i gegeben, wobei kw0 k gleich der Norm des Funktionals ist. Also gilt

b(v, w′ ) = hJv, w′ i 24

f¨ ur eine lineare Abbildung J : V → W mit kJvk ≤ Ckvk. Durch Substitution erhalten wir Z Z −1 σv,v′ (x)πw,w′ (x ) dx = σv,v′ (ya)πw,w′ (a−1 y −1 ) dy, G

G

und es folgt b(v, w′ ) = b(σ(a)v, π(a)w′ ), also Jσ(a) = π(a)J, ¨ d. h. J ist ein Verkettungsoperator von σ nach π. Ubrigens folgt durch Ad−1 jungierung und Ersetzung von a durch a , dass J ∗ π(a) = σ(a)J ∗ . Wir m¨ ussen zeigen, dass J = 0 ist. Der Kern von J ist ein abgeschlossener invarianter Unterraum von V , also wegen der Irreduzibilit¨at von σ entweder V oder {0}. Im ersten Fall sind wir fertig, im zweiten Fall ist J injektiv. Das Bild von J ist ein invarianter Unterraum von W . Um seine Abgeschlossenheit zu zeigen, bemerken wir, dass J ∗ J ein selbstadjungierter Selbstverkettungsoperator von π ist, also nach dem Schurschen Lemma J ∗ J = λI, und kJvk2 = hJ ∗ Jv, vi = λkvk2 . Ist λ = 0, so sind wir fertig. Andernfalls ist das Bild nicht {0} und abgeschlossen, denn jede konvergente Folge im Bild von J ist von der Form Jvn , und dann ist auch vn konvergent. Wegen der Irreduzibilit¨at von π ist das Bild von J gleich W , also ist J bijektiv und J −1 = λ−1 J ∗ stetig. Dann w¨aren aber σ und π ¨aquivalent im Widerspruch zur Voraussetzung. (ii) Ist σ = π, so folgt aus dem Schurschen Lemma, dass es ein µ gibt, so dass J = µI. Der Verkettungsoperator J und damit µ h¨angen aber von w und v ′ ab, genauer ist µ = b′ (w, v ′ ) f¨ ur eine stetige Sesquilinearform b′ . Wie oben sieht man, dass es einen Verkettungsoperator J ′ : V → W gibt, so dass b′ (w, v ′ ) = hJ ′ w, v ′ i. Aus dem Schurschen Lemma folgt wiederum J ′ = µ′ I. Wenn man weiß, dass µ′ > 0 ist, kann man dπ = 1/µ′ setzen. Im Falle v = w = v ′ = w′ wird die bewiesene Gleichung zu Z |πv,v (x)|2 dx = µ′ kvk4 . G

Der Integrand ist stetig und nichtnegativ, und f¨ ur v 6= 0 ist er an der Stelle 2 e gleich kvk > 0. Dann ist auch das Integral positiv, und es folgt µ′ > 0. 2 25

ˆ dis die Menge der Aquivalenzklassen ¨ Definition 22 Es sei G von quadratintegrierbaren Darstellungen der unimodularen Gruppe G und L2dis (G) die abgeschlossenen H¨ ulle aller Matrixkoeffizienten solcher Darstellungen. F¨ ur ˆ ¨ jede Aquivalenzklasse π ∈ Gdis bezeichnen wir mit demselben Buchstaben einen Repr¨asentanten, realisiert auf einem Hilbertraum Vπ , und wir setzen fˆ(π) = π ˇ 1 (f ). Folgerung 6 Die Abbildung f 7→ fˆ hat eine stetige Fortsetzung M d 2 ∗ L2 (G) → L (Vπ ), ˆ dis π∈G

welche die Darstellung β von G × G mit der Darstellung βˆ verkettet, wobei ˆ y)A)π = π (β(x, ˇ (x)Aπ π ˇ (y −1 ).

(β(x, y)f )(z) = f (x−1 zy),

Die Einschr¨ankung dieses Verkettungsoperators auf L2dis (G) ist ein unit¨arer Isomorphismus, wobei das Skalarprodukt auf der rechten Seite (und damit die Hilbertsche Summe) definiert ist durch X hA, Bi = dπ hAπ , Bπ i. ˆ dis π∈G

Die Verkettungseigenschaft folgt aus π 1 (β(x, y)f ) = π 1 (λ(x)ρ(y)f ) = π(x)π 1 (f )π(y −1 ). Mittels der dualen Basis li (v) = hv, vi i k¨onnen wir schreiben

hπ(x)vi , vj i = hπ(x−1 )vj , vi i = li (π(x−1 )vj ) = (ˇ π (x)li )(vj ) = hˇ π (x)li , lj i.

F¨ ur jedes A ∈ L2 (Vπ ) und jede Orthonormalbasis vi von Vπ gilt kAk22 = P 2 ur f ∈ L2 (G) haben wir i,j |hAvi , vj i| . F¨ Z 1 hˇ π (f )li , lj i = f (x)hˇ π (x)li , lj idx = hf, πvi ,vj i. G

Somit ist

kˇ π 1 (f )k22 =

X i,j

|hf, πvi ,vj i|2 .

√

Andererseits bilden die Funktionen dπ πvi ,vj nach dem Satz eine Orthonormalbasis von L2dis (G), so dass die Norm der Orthogonalprojektion fdis auf diesen Unterraum gegeben ist durch X X dπ |hf, πvi ,vj i|2 . ˆ π∈G

i,j

Nun folgt die Unitarit¨at der Abbildung fdis 7→ fˆ. 26

9

Darstellungstheorie kompakter Gruppen

Es sei G eine kompakte Gruppe. Dann ist G unimodular, und f¨ ur ein Haarsches Maß µ gilt 0 < µ(G) < ∞. Wir normieren µ, indem wir µ(G) = 1 verlangen. Satz 25 Jede stetige Hilbertraumdarstellung einer kompakten Gruppe ist unitarisierbar und endlichdimensional. Beweis. Wir definieren ein neues Skalarprodukt im Darstellungsraum V von π durch Z hv, wiπ = hπ(x)v, π(x)wi dx, G

bez¨ uglich dessen π unit¨ar ist. Setzen wir C = maxx∈G kπ(x)k, so gilt kvkπ ≤ Ckvk. Andererseits ist kvk = kπ(x−1 )π(x)vk ≤ Ckπ(x)vk, also kπ(x)vk ≥ C −1 kvk und kvkπ ≥ C −1 kvk. Somit sind beide Normen ¨aquivalent. Wir nehmen an, dass V das invariante Skalarprodukt tr¨agt. Ist P ein beschr¨ankter linearer Operator in V , so ist wegen der Rechtsinvarianz des Haarmaßes Z Qv = π(x)−1 P π(x)v dx G

ein beschr¨ankter G-invarianter Operator, also Q = λI nach dem Schurschen Lemma. Ist P selbstadjungiert, so folgt aus der Unitarit¨at von π, also π(x)∗ = π(x−1 ), und der Unimodularit¨at von G, dass auch Q selbstadjungiert ist, also λ ∈ R. Speziell sei P v = hv, uiu die Projektion auf den Einheitsvektor u und vi eine Orthonormalbasis von V . Dann gilt f¨ ur n ≤ dim V Z X n n X nλ = hQvi , vi i = hP π(x)vi , π(x)vi i dx. G i=1

i=1

P Der Integrand rechts ist gleich ni=1 kP π(x)vi k2 , also nichtnegativ und an der Stelle x = e positiv f¨ ur große n. Somit ist λ > 0. Andererseits ist auch ui = π(x)vi eine Orthonormalbasis, also ist der Integrand beschr¨ankt durch ∞ X i=1

hP ui , ui i =

∞ X i=1

Es folgt nλ ≤ 1 f¨ ur alle n ≤ dim V .

|hui , ui|2 = 1. 2

27

Satz 26 (Peter-Weyl) Ist G eine kompakte Gruppe, so gilt Folgerung 6 ˆ dis = G ˆ und L2 (G) = L2 (G). mit G dis

Beweis. Die Matrixkoeffizienten jeder (stetigen) irreduziblen Darstellung sind stetig, also u ¨ber die kompakte Gruppe G quadrat-integrierbar. F¨ ur h ∈ C(G × G) ist Z Z Z 1 −1 β (h)f (z) = h(x, y)f (x zy) d(x, y) = h(zx, y)f (x−1 y) dx dy ZG×G Z Z G G = h(zx, xy)f (y) dx dy = K(y, z)f (y) dy, G

G

G

wobei K(y, z) =

Z

h(zx, xy) dx.

G

Da K stetig auf dem kompakten Raum G × G, also bez¨ uglich des Haar1 Maßes quadrat-integrierbar ist, ist β (h) nach Satz 23 ein Hilbert-SchmidtOperator. Nach Satz 19 ist β vollst¨andig reduzibel mit endlichen Vielfachheiten. Die Nulldarstellung von C(G × G), die eventuell unendliche Vielfachheit haben k¨onnte, kommt wegen Satz 17 nicht vor. Es sei W ⊂ L2 (G) ein β-irreduzibler Unterraum. F¨ ur h ∈ C(G × G) und 1 f ∈ W ist β (h)f ∈ W ∩ C(G). Wegen Satz 17 ist dieser Unterraum dicht in W . Nach Satz 25 ist dim W < ∞, somit sind alle Funktionen in W stetig. Da W invariant unter λ (und ρ) ist, zerf¨allt λ|W in eine endliche Summe irreduzibler Darstellungen. Es sei π eine Darstellung von G auf einem endlichdimensionalen Hilbertraum V , die in λ|W vorkommt, also HomG (V, W ) = Hom(π, λ|W ) 6= 0. Jedem Verkettungsoperator J aus diesem Raum ordnen wir J˜ ∈ V ∗ durch ˜ = Jv(e) J(v) zu. Dann ist Jv(x) = λ(x−1 )Jv(e) = Jπ(x−1 )v(e), woraus folgt, dass

˜ (ρ(x) ◦ J)∼ = π ˇ (x)J.

Die Abbildung J 7→ J˜ ist also ein injektiver Verkettungsoperator. Wegen der Irreduzibilit¨at von π ˇ ist er bijektiv. Bezeichnen wir J˜ = l, so ist Jv(x) = l(π(x)v) = πl,v (x). Der nat¨ urliche Isomorphismus ∼

HomG (V, W ) ⊗ V → W, 28

J ⊗ v 7→ Jv

(vgl. Aufgabe 17) wird zu

∼

V∗⊗V →W und ist gegeben durch (l, v) 7→ πl,v . Die irreduziblen Unterr¨aume von β werden also von Matrixkoeffizienten quadrat-integrierbarer Darstellungen aufgespannt, so dass L2dis (G) = L2 (G). 2 Lemma 9 Es sei π eine irreduzible Darstellung der kompakten Gruppe G in einem Vektorraum V . Wir halten u, u′ ∈ V fest und definieren P , Q ∈ End V durch Z ′ P v = hv, u iu, Q= π(x)P π(x−1 ) dx. G

′

Dann gilt dπ Q = hu, u iI.

Beweis. Aus Satz 24 folgt Z ′ hQv, v i = hπ(x)hπ(x−1 )v, u′ iu, v ′ i dx ZG hu, u′ ihv, v ′ i . = πu,v′ (x)πv,u′ (x−1 ) dx = dπ G 2 Definition 23 Der Charakter einer endlichdimensionalen Darstellung π von G ist die Funktion χπ (x) = tr π(x) auf G. Sind σ und π endlichdimensionale Darstellungen von G auf V bzw. W , so definieren wir Darstellungen σ ⊕ π auf V ⊕ W bzw. σ ⊗ π auf V ⊗ W durch σ ⊕ π(x)(v, w) = (σ(x)v, π(x)w),

σ ⊗ π(x) v ⊗ w = (σ(x)v) ⊗ (π(x)w).

Aufgabe 21 sichert die Korrektheit der letzten Definition. ¨ Folgerung 7 Aquivalente Darstellungen haben den gleichen Charakter. Es gilt dπ = dim V = χπ (e) (Grad der Darstellung) und χπ (xy) = χπ (yx) f¨ ur alle x, y ∈ G. Insbesondere ist χπ konstant auf jeder Konjugationsklasse {xyx−1 | x ∈ G}, ist also eine sogenannte Klassenfunktion. Schließlich ist χσ⊕π = χσ + χπ ,

χσ⊗π = χσ χπ .

¨ Die Menge aller Aquivalenzklassen endlichdimensionaler Darstellungen bildet einen Ring (den Darstellungsring von G).

29

Bekanntlich ist ja tr(AB) = tr(BA) f¨ ur alle A, B ∈ End V . Ist J ∈ GL(V ), so folgt tr(JAJ −1 ) = tr A. Die erste Behauptung ist nun klar. Außerdem ist tr Q = tr P und dπ hu, u′ i = hu, u′ i dim V . Da u und u′ beliebig waren, folgt die zweite Behauptung, und der Rest ist offensichtlich. Satz 27 Es seien π und σ irreduzible Darstellungen der kompakten Gruppe G. Dann gilt f¨ ur v, v ′ im Darstellungsraum V von σ: ( 0, falls σ 6∼ π, σv,v′ ∗ (dπ χπ ) = (dπ χπ ) ∗ σv,v′ = σv,v′ , falls σ ∼ π. Beweis. Laut Aufgabe 19 gilt dπ σv,v′ ∗ πw,w′

( 0, falls σ 6∼ π, = ′ hv, w iσw,v′ , falls σ = π.

Lassen wir w = w′ eine Basis von W durchlaufen und summieren, so folgt die Behauptung f¨ ur eine Reihenfolge der Faltung. Die andere zeigt man analog. 2 Lassen wir auch v = v ′ eine Basis durchlaufen und summieren, so erhalten wir Folgerung 8 Es gilt ( 0, (dσ χσ ) ∗ (dπ χπ ) = dσ χσ ,

falls σ 6∼ π, falls σ ∼ π,

das Element dπ χπ der Gruppenalgebra ist also idempotent. Werten wir die Formeln aus Satz 27 und seiner Folgerung an der Stelle e aus (oder benutzen wir direkt Satz 24), so ergibt sich Folgerung 9 Es gilt ( 0, falls σ ∼ 6 π, 1 1 σ 1 (dπ χ− ˇ χπ ˇ ) = σ (dπ χπ ) = π ) = σ (dπ I, falls σ ∼ π, ( 0, falls σ 6∼ π, hχσ , χπ i = 1, falls σ ∼ π. ¨ Eine irreduzible Darstellung ist also durch ihren Charakter bis auf Aquivalenz bestimmt. Die Abbildung π 7→ χπ ist ein Monomorphismus vom Darstellungsring von G in die Algebra der stetigen Klassenfunktionen auf G. 30

Satz 28 (Umkehrformel) Es sei G eine kompakte Gruppe. Ist f ∈ L2 (G) und A = fˆ, so ist X X f (x) = dπ hAπ , π ˇ (x)i = dπ χπ ∗ f (x), ˆ π∈G

ˆ π∈G

wobei die Reihe in L2 (G) konvergiert. Ist f ∈ C(G), so konvergiert die Reihe sogar gleichm¨aßig. Es gilt tr Aπ = hf, χπ i. Ist insbesondere f eine Klassenfunktion oder x im Zentrum von G, so gilt X f (x) = hf, χπ iχπ (x). ˆ π∈G

Die Behauptungen u ¨ber L2 (G) folgen unmittelbar aus den obigen Betrachtungen. Zum Beweis der gleichm¨aßigen Konvergenz brauchen wir folgenden Satz, den wir hier nicht beweisen. Satz 29 (Stone-Weierstraß) Es sei X ein kompakter topologischer Raum und A ⊆ C(X) eine Algebra, die 1. die konstanten Funktionen enth¨alt, 2. Punkte trennt (d. h. f¨ ur alle x1 , x2 ∈ X gibt es ein f ∈ A mit f (x1 ) 6= f (x2 )), 3. selbstadjungiert ist, d. h. aus f ∈ A folgt f¯ ∈ A. Dann ist A dicht in C(X). Beweis von Satz 28. Es sei A die Menge der Matrixkoeffizienten endlichdimensionaler Darstellungen von G. Sie ist ein linearer Unterraum und enth¨alt die Konstanten als Matrixkoeffizienten der trivialen Darstellung3 G 7→ {1} ⊂ GL(1, C). F¨ ur alle endlichdimensionalen Darstellungen σ, π von G gilt σl,v + πm,w = (σ ⊕ π)(l,m),(v,w) , σl,v πm,w = (σ ⊗ π)l⊗m,v⊗w , also ist A eine Algebra, und wegen der Unitarisierbarkeit von σ gilt σl,v = σ ˇv,l . 3 genauer, der Einsdarstellung. Der Darstellungsring hat sowohl ein Einselement als auch ein Nullelement.

31

Angenommen, es gibt x 6= y ∈ G mit f (x) = f (y) f¨ ur alle f ∈ A. Da A invariant unter der linksregul¨aren Darstellung λ ist, erhalten wir nacheinander f¨ ur alle f ∈ A und u ∈ G, wenn wir z = x−1 y 6= e schreiben: f (z) = λ(x)f (y) = λ(x)f (x) = f (e), ρ(z)f (u) = λ(u−1 )f (z) = λ(u−1 )f (e) = f (u). Nach Satz 26 ist A dicht in L2 (G), also gilt ρ(z)f = f f¨ ur alle f ∈ L2 (G) (Gleichheit fast u ¨berall). Insbesondere seien U und V disjunkte Umgebungen von x bzw. y und f = 1V . Wir k¨onnen annehmen, dass U z ⊆ V , so dass f¨ ur u ∈ U gilt ρ(z)1V (u) = 1V (uz) = 1, w¨ahrend 1V (u) = 0 (Widerspruch). Also trennt A die Punkte von G. Nach Satz 29 ist A dicht in C(G), und nach Aufgabe 24 konvergiert die Fourierreihe von f gleichm¨aßig gegen f . 2

10

Integration auf homogenen R¨ aumen

Definition 24 Gegeben sei eine stetige Wirkung einer lokalkompakten Gruppe G auf einem lokalkompakten Raum X, d. h. eine stetige Abbildung G × X → X, (g, x) 7→ gx, mit der Eigenschaft x(g1 g2 ) = (xg1 )g2 f¨ ur alle g, h ∈ G und x ∈ X. (Die topologischen R¨aume G und X seien Hausdorffsch mit einer abz¨ahlbaren Basis der Topologie.) Der Raum X mit dieser Grupenwirkung heißt homogener Raum, wenn die Wirkung transitiv ist, d. h. wenn es f¨ ur beliebige x, y ∈ X ein g ∈ G mit gx = y gibt. F¨ ur x ∈ X heißt Gx = {g ∈ G | gx = x} der Stabilisator oder die Isotropiegruppe von x. Satz 30 Ist X ein homogener G-Raum, so ist f¨ ur jedes x ∈ G die Gruppe Gx abgeschlossen in G und die Abbildung g 7→ gx induziert einen Hom¨oomorphismus G/Gx → X. Umgekehrt ist f¨ ur jede abgeschlossene Untergruppe H von G der Raum G/H mit der Quotiententopologie und der nat¨ urlichen GWirkung ein homogener Raum. Der entscheidende Schritt ist der Beweis, dass die Abbildung g 7→ gx offen ist. Dabei benutzt man, dass die Topologie von G eine abz¨ahlbare Basis hat und X als lokalkompakter Raum von der zweiten Baireschen Kategorie ist. Ist µ ein Radonmaß auf X, so sei µg das durch µg (B) = µ(gB) definierte Maß (also das Bildmaß unter der Abbildung x 7→ g −1 x). Satz 31 Es sei X ein homogener G-Raum. Auf X existiert ein quasiinvariantes Radonmaß µ, d. h. f¨ ur jedes g ∈ G sind µg und µ gegenseitig absolutstetig. Zwei quasiinvariante Radonmaße sind gegenseitig absolutstetig. 32

Erinnerung: Es seien µ und ν zwei auf der selben σ-Algebra definierte Maße. Das Maß ν heißt absolutstetig bez¨ uglich des Maßes µ, falls jede µNullmenge auch eine ν-Nullmenge ist. Nach dem Satz von Radon-Nikod´ ym gibt es dann eine R nichtnegative messbare Funktion a auf X, so dass ν = aµ, d. h. ν(B) = B aµ. Die Funktion a heißt Radon-Nikod´ ym-Ableitung von ν bez¨ uglich µ. Sind also µ und ν zwei quasiinvariante Maße auf (der Borel-Algebra von) X, so gibt es eine solche Funktion a auf X, die fast u ¨berall positiv ¨ ist. Ahnlich haben wir die Radon-Nikod´ ym-Ableitung bg von µg bez¨ uglich µ, g d. h. µ = bg µ oder Z Z ϕ(x)µ(x) = ϕ(gx)bg (x)µ(x) X

X

(man pr¨ ufe dies zun¨achst f¨ ur ϕ = 1B ). Die Funktion b : G × X → (0, ∞) ist ein Kozyklus, d. h. bg1 g2 (x) = bg1 (g2 x)bg2 (x) f. u ¨. Ist c der entsprechende Kozyklus f¨ ur ν, so gilt cg (x) = a(gx)bg (x)a(x)−1

f. u ¨.,

d. h. die Kozyklen b und c sind kohomolog. Somit ist dem homogenen Raum eindeutig eine Kohomologieklasse zugeordnet, und auf X existiert genau dann ein G-invariantes Maß, wenn diese Kohomologieklasse trivial ist. Zum Beweis von Satz 31 sei nur soviel gesagt, dass man µ als Bildmaß eines endlichen Maßes auf G gewinnt, das bez¨ uglich des Haarmaßes absolutstetig ist. Beispiel: Ist X der n-dimensionale projektive Raum u ¨ber R oder C, so haben wir eine stetige surjektive Abbildung der Einheitssph¨are in Rn bzw. Cn auf X. Das Bildmaß des rotationsinvarianten Maßes auf der Sph¨are ist quasiinvariant unter der Wirkung von G = GL(n + 1, R) bzw. GL(n + 1, C). Nat¨ urlich kann man alles auch f¨ ur rechte homogene R¨aume formulieren. Satz 32 (Weil) Auf X = G/H existiert genau dann ein G-invariantes Radonmaß µ, wenn ∆G |H = ∆H , und dann ist µ bis auf eine multiplikative Konstante eindeutig bestimmt. Zum Beweis betrachtet man die durch Z H f (g) ˙ = f (gh) dh H

33

gegebene Abbildung Cc (G) → Cc (G/H), wobei dh das linke Haar-Maß auf H und g˙ die Nebenklasse von g in X = G/H bezeichnet. Diese Abbildung ist surjektiv, und es gilt (λG (g)f )H = λX (g)f H ,

(ρG (h)f )H = ∆H (h)f H

f¨ ur g ∈ G und h ∈ H, wobei λX (g)ϕ(x) = ϕ(g −1 x). Angenommen, es existiert eine nichttriviale positive invariante Linearform I auf C(X), d. h. I(λX (g)ϕ) = I(ϕ) f¨ ur g ∈ G. Dann ist durch J(f ) = I(f H )

(1)

eine nichttriviale positive Linearform auf Cc (G) definiert, und es gilt J(λG (g)f ) = I(λX (g)f H ) = I(f H ) = J(f ), d. h., J ist ein linkes Haarsches Integral. Nun gilt aber J(ρ(g)f ) = ∆G (g)J(f ) f¨ ur g ∈ G, also insbesondere f¨ ur h ∈ H, d. h. I(∆H (h)f H ) = ∆G (h)I(f H ), und notwendigerweise ∆H (h) = ∆G (h). Ist umgekehrt letztere Bedingung erf¨ ullt, so kann man nachpr¨ ufen, dass dann durch (1) eine nichttriviale positive invariante Linearform I auf Cc (X) definiert wird. Das entsprechende Radonmaß µ auf X ist dann charakterisiert durch Z Z Z f (g) dg = f (gh) dh µ(g), ˙ G

G/H

H

wobei dg und dh linke Haar-Maße bezeichnen. Lemma 10 Es sei G eine unimodulare Gruppe und H, K ihre abgeschlossenen Untergruppen, wobei K unimodular und K ∩ H kompakt ist. Außerdem sei das Komplement von KH eine Nullmenge. Der Isomorphismus von homogenen K-R¨aumen K/K ∩ H → KH/H transportiert das invariante Maß von K/K ∩H zu einem quasiinvarianten Maß µ auf G/H, und der zugeh¨orige Kozyklus b hat die Eigenschaft bg′ (g) ˙ =

∆(g) ∆(g ′ g)

f. u ¨., wobei

f¨ ur alle g, g ′ ∈ G, h ∈ H und k ∈ K. 34

∆(kh) = ∆H (h)

Beweis. Nach dem Analogon von Satz 32 f¨ ur rechte homogene R¨aume gibt es ein H-invariantes Maß auf K ∩H\H, wof¨ ur wir nat¨ urlich das rechte Haarmaß ′ d h = ∆H (h)dh benutzen m¨ ussen. Mit dem nat¨ urlichen Isomorphismus K ∩ H\H → K\KH von H-R¨aumen erhalten wir Z Z Z Z Z f (g) dg = f (kg) dk dg˙ = f (kh) dk d′ h˙ G K\KH K K∩H\H K Z Z Z Z Z ′˙ ˙ ˙ = f (klh) dl dk d h = f (kh)∆H (h) dh dk. K∩H\H

K/K∩H

K∩H

Nach Definition von µ ist Z

K/K∩H

ϕ(x)µ(x) =

G/H

Z

H

˙ dk˙ ϕ(k)

K/K∩H

f¨ ur ϕ ∈ Cc (G/H). Setzen wir ϕ = f H wie im Beweis von Satz 32, dann ist Z Z Z Z ϕ(x)µ(x) = f (kh) dh dk˙ = f (g)∆(g)−1 dg. G/H

K/K∩H

H

G

Aus der Definition von b und der Linksinvarianz des Haarmaßes auf G folgt Z Z Z ′ −1 −1 f (g g)∆(g) bg′ (g) ˙ dg = f (g)∆(g) dg = f (g ′ g)∆(g ′ g)−1 dg. G

G

G

Da f ∈ Cc (G) beliebig war, folgt die Behauptung.

11

2

Induzierte Darstellungen

Man kann Darstellungen π einer Gruppe G studieren, indem man sie auf Untergruppen H einschr¨ankt (und damit das Problem auf ein einfacheres zur¨ uckf¨ uhrt). Die entstehende Darstellung von H bezeichnen wir mit resH π G oder auch resG H σ. Auf diese Weise erhalten wir einen Funktor resH aus der Kategorie der G-Darstellungen in die Kategorie der H-Darstellungen (¨ uber einem gegebenen K¨orper). Dies bedeutet, dass jedem Verkettungsoperator J von einer G-Darstellung π1 zu einer G-Darstellung π2 ein Verkettungsoperator resH J von resH π1 zu resH π2 zugeordnet ist (in diesem Fall dieselbe lineare Abbildung), so dass gilt resH (J1 ◦ J2 ) = resH J1 ◦ resH J2 . Der Funktor resG H hat einen rechts- bzw. linksadjungierten Funktor, genannt Induktion bzw. Koinduktion (mitunter Produktion genannt), der einer Darstellung von H eine Darstellung von G zuordnet. Diesen Sachverhalt nennt man Frobenius-Reziprozit¨at. 35

Ist G eine topologische Gruppe und H ihre abgeschlossene Untergruppe, so kann man resG H zu einem Funktor von der Kategorie der stetigen bzw. unit¨aren G-Dartsellungen in die Kategorie der stetigen bzw. unit¨aren HDarstellungen einschr¨anken. Leider existiert dann kein adjungierter Funktor. Mackey hat einen Funktor der unit¨aren Induktion definiert, der einen Teil der Eigenschaften eines adjungierten Funktors bewahrt. Die unit¨ar induzierte Darstellung ist eine Verallgemeinerung der Darstellung λX aus dem Beweis von Satz 32. Es sei G eine lokal-kompakte Gruppe mit endlicher Basis der Topologie und σ eine unit¨are Darstellung einer abgeschlossenen Untergruppe H auf einem Hilbertraum W . Wir w¨ahlen ein quasiinvariantes Maß µ auf X = G/H und betrachten messbare Abbildungen ϕ : G → W mit ϕ(gh) = σ(h−1 )ϕ(g) f¨ ur alle g ∈ G und h ∈ H. Wegen der Unitarit¨at von σ h¨angt kϕ(g)k2 nur von der Nebenklasse g˙ = gH ab. Es sei Hσ,µ der Raum aller Klassen4 von Abbildungen ϕ mit obiger Eigenschaft, f¨ ur die Z X

kϕ(g)k2 µ(g) ˙ <∞

ist. Dies ist ein Hilbertraum mit dem Skalarprodukt Z hϕ, ψi = hϕ(g), ψ(g)i µ(g). ˙ X

Lemma 11 Definieren wir −1 IndG ˙ 1/2 ϕ(g1 g) f¨ ur g1 , g ∈ G, µ σ(g1 )ϕ(g) = bg1 (g)

wobei bg1 die Radon-Nikodym-Ableitung von µg1 bez¨ uglich µ bezeichnet, so ist G Indµ σ eine unit¨are Darstellung von G auf Hσ,µ . Ist ν ein weiteres quasiinG variantes Maß auf X, so sind IndG aquivalent. µ σ und Indν σ ¨ Beweis. Es gilt Z Z Z G −1 2 2 k Indµ σ(g1 )ϕ(g)k µ(g) ˙ = kϕ(g1 g)k bg1 (g)µ( ˙ g) ˙ = kϕ(g)k2 µ(g), ˙ X

X

X

−1 alt man also ist IndG µ σ(g )ϕ ∈ Hσ,µ , und auf analoge Weise erh¨ G −1 −1 hIndG µ σ(g1 )ϕ, Indµ σ(g1 )ψi = hϕ, ψi. 4

bez¨ uglich Gleichheit fast u ¨berall

36

F¨ ur g1 , g2 ∈ G gilt, G −1 −1 −1 IndG ˙ 1/2 IndG µ σ(g2 ) Indµ σ(g1 )ϕ(g) = bg2 (g) µ σ(g1 )ϕ(g2 g)

¡ ¢ −1 = bg2 (g) ˙ 1/2 bg1 (g2 g) ˙ 1/2 ϕ(g1 g2 g) = bg1 g2 (g) ˙ 1/2 ϕ(g1 g2 g) = IndG ϕ(g), µ σ (g1 g2 )

da b ein Kozyklus ist (vgl. Satz 31). Die Stetigkeit von IndG µ σ bewiest man zun¨achst f¨ ur die Teilmenge von Funktionen der Art Z η(g1−1 )bg1 (g) ˙ 1/2 ϕ(g1 g) dg1 G

mit η ∈ Cc (G), die aufgrund eines Diracfolgen-Arguments dicht ist, und argumentiert dann wie im Beweis von Satz 2. Ist ν ein anderes quasiinvariantes Maß auf X und a seine Radon-Nikod´ ym1/2 Ableitung bez¨ uglich µ (vgl. Satz 31), so ist ϕ 7→ a ϕ ein Isomorphismus Hσ,ν → Hσ,µ , und da der Kozyklus c von ν mittels a zu b kohomolog ist, gilt −1 1/2 −1 IndG ϕ = a1/2 IndG 2 µ (g1 )a ν (g1 )ϕ. Bemerkung. H¨aufig halten wir µ fest und schreiben nur IndG σ oder auch IndG aren DarH σ. Ist J ∈ Hom(σ1 , σ2 ) ein Verkettungsoperator zwischen unit¨ G G G stellungen von H, so erhalten wir IndH J ∈ Hom(IndH σ1 , IndH σ2 ) durch IndG H (J)ϕ = J ◦ ϕ. Auf diese Weise wird IndG H zu einem Funktor. Hat z. B. σ eine Teildarstellung, so auch IndG σ, und direkte Summen werden in direkte Summen u uhrt. ¨berf¨ H Satz 33 (Frobenius-Reziprozit¨ at) Es seien π bzw. σ unit¨are Darstellungen der kompakten Grupe G bzw. ihrer abgeschlossenen Untergruppe H auf endlichdimensionalen Hilbertr¨aumen V bzw. W . Ist A ∈ Hom(π, IndG σ), so ist f¨ ur jedes v ∈ V die Funktion Av : G → W stetig, und setzen wir Bv = Av(e), so ist B ∈ Hom(resH π, σ). Auf diese Weise erhalten wir einen linearen Isomorphismus ∼ Hom(π, IndG σ) −→ Hom(resH π, σ). Im Fall eines endlichen Quotienten G/H stimmt IndG mit dem rechtsadjungierten Funktor von resH u ur ¨berein, der durch diesen Isomorphismus (f¨ beliebige Darstellungen π) definiert ist. Beweis. F¨ ur v ∈ V , g ∈ G und h ∈ H gilt wegen Av ∈ Hσ σ(h)Av(g) = Av(gh−1 ). 37

Definieren wir IndG σ mit Hilfe des invarianten Maßes auf G/H, so gilt IndG σ(g1 )Av(g) = Av(g1−1 g). Aus der Stetigkeit von IndG σ und der Endlichdimensionalit¨at von AV folgt die Stetigkeit von Av wie im Beweis von Satz 26. Weiter erhalten wir σ(h)Bv = σ(h)Av(e) = Av(h−1 ) = IndG σ(h)Av(e) = Aπ(h)v(e) = Bπ(h)v, ¨ also verkettet B die Darstellung resH π mit σ. Ubrigens gilt f¨ ur alle g ∈ G IndG σ(g −1 )Av(e) = Aπ(g −1 )v(e), also Av(g) = Bπ(g −1 )v. Ist nun umgekehrt B ∈ Hom(resH π, σ) gegeben und definieren wir Av : G → W durch die letzte Gleichung, so ist Av wegen der Stetigkeit von π stetig, und f¨ ur h ∈ H gilt Av(gh) = Bπ(h−1 )π(g −1 )v = σ(h−1 )Bπ(g −1 )v = σ(h−1 )Av(g), also ist Av ∈ Hσ . Somit ist die Abbildung A 7→ B invertierbar.

2

Folgerung 10 Sind die Darstellungen σ und π wie in Satz 33 und irreduzibel, so ist die Vielfachheit von π in IndG σ gleich der Vielfachheit von σ in resH π (vgl. Aufgabe 17). ˜ σ,µ der Raum aller ϕ(g) Bemerkung. Es sei H ˜ = bg (e) ˙ 1/2 ϕ(g) mit ϕ ∈ Hσ,µ . G f σ in H ˜ σ,µ , die durch die einDann geht IndG ¨ber in die Darstellung Ind µ σ u µ fachere Formel f G σ(g −1 )ϕ(g) ˜ = ϕ(g ˜ 1 g) Ind µ 1 definiert ist, denn

−1 bg (e) ˙ 1/2 IndG ˙ 1/2 bg1 (g) ˙ 1/2 ϕ(g1 g) = bg1 g (e) ˙ 1/2 ϕ(g1 g). µ (g1 )ϕ(g) = bg (e)

˜ σ,µ durch die komplizierteren Bedingungen Leider wird der Raum H Z 1/2 −1 2 ϕ(gh) ˜ = bh (e) ˙ σ(h )ϕ(g), ˜ kϕ(g)k ˜ bg (e) ˙ −1 µ(g) ˙ <∞ X

charakterisiert, denn bgh (e) ˙ = bg (e)b ˙ h (e). ˙ 38

Ist allerdings µ wie in Lemma 10 definiert, so vereinfachen sich diese Bedingungen zu Z −1/2 −1 2 ˙ ϕ(gh) ˜ = ∆H (h) σ(h )ϕ(g), ˜ kϕ(k)k ˜ dk < ∞. K/K∩H

Man beachte, dass wegen G = KH die Funktion ϕ˜ : G → W durch ihre Werte auf K bestimmt ist. Da wir K ∩ H als kompakt vorausgesetzt haben, kann man das Integral sogar u ¨ber ganz K erstrecken. Anwendung. Es sei {0} = V0 ⊂ V1 ⊂ · · · ⊂ Vr = Rn eine Flagge und P ihr Stabilisator in G = GL(n, R). Dies ist ein Beispiel einer parabolischen Untergruppe, die die Rolle der Gruppe H spielen kann. Nun sei N die Menge aller p ∈ P , die auf allen Quotienten Vi /Vi−1 trivial wirken. Dies ist eine normale Untergruppe von P . W¨ahlen wir ein Komplement Wi zu Vi−1 in Vi , so erhalten wir eine Zerlegung Rn = W1 + · · · + Wr in eine direkte Summe. Bezeichnen wir mit L den gleichzeitigen Stabilisator aller Wi , so ist P = LN = N L ein halbdirektes Produkt, die sogenannte Levi-Zerlegung von P . Ist σ eine Darstellung von L, so kann man sie als Darstellung von P betrachten, f¨ ur die resPN σ trivial ist. Genauer gesagt verkn¨ upfen wir σ mit dem nat¨ urlichen Homomorphismus P → L. Die Darstellung IndG P σ heißt dann parabolisch induzierte Darstellung. Aufgabe 27 zeigt, dass man hier K = O(n) w¨ahlen kann. Dies ergibt das sogenannte kompakte Bild der parabolisch induzierten Darstellung. Eine andere M¨oglichkeit ist wie folgt. Der Stabilisator P¯ der Flagge {0} = V¯0 ⊂ V¯1 ⊂ · · · ⊂ V¯r mit V¯i = Wr−1 + · · · + Wr−i heißt entgegengesetzte paraboli¯ . Unter sche Untergruppe bez¨ uglich L und hat eine Levi-Zerlegung P¯ = LN Verwendung von Aufgabe 31 kann man zeigen, dass das Komplement von ¯ P in G eine Nullmenge ist, und es gilt N ¯ ∩ P = {e}. Also kann auch N ¯ die N Rolle von K in Lemma 10 spielen. Dies ergibt das sogenannte nichtkompakte Bild der parabolisch induzierten Darstellung.

12

Darstellungen von Lieschen Algebren

Es sei G eine Liesche Gruppe (Hausdorffsch mit abz¨ahlbarer Basis der Topologie). Wir erinnern daran, dass eine Funktion f auf G genau dann glatt ist, wenn f¨ ur jede Karte η : U → G die Funktion f ◦ η glatt auf U ⊆ Rn ist. Ist X ein Tangentialvektor an der Stelle g ∈ G, so ist X(f ) definiert und h¨angt 39

linear von X ∈ Tg (G) ab. Die Ableitungen (auch Differentiale genannt) der Links- bzw. Rechtstranslation ra (g) = ga−1

la (g) = ag, definieren lineare Abbildungen la′ : Te (G) → Ta (G),

ra′ : Te (G) → Ta−1 (G).

Mit ihrer Hilfe erhalten wir f¨ ur jedes X ∈ Te (G) ein linksinvariantes Vektorfeld LX und ein rechtsinvariantes Vektorfeld RX , die an der Stelle e gerade den Wert X annehmen. Damit steht der Raum der links- bzw. rechtsinvarianten Vektorfelder in Bijektion zu Te (G). Nach Definition entsteht X ∈ Te (G) als Tangentialvektor einer differenzierbaren Kurve γ : I → G mit γ(0) = e, wobei I ein Intervall ist, also ¯ d ¯ X(f ) = f (γ(t))¯ . dt t=0 Nun folgt

¯ d ¯ LX f (g) = f (gγ(t))¯ , dt t=0

¯ d ¯ RX f (g) = f (γ(t)g)¯ . dt t=0

Wir erinnern, dass die adjungierte Darstellung Ad von G in Te (G) durch Ad(a)X = la′ ◦ ra′ (X) = ra′ ◦ la′ (X) definiert war. Wir erhalten ¯ d −1 ¯ Ad(a)X(f ) = f (aγ(t)a )¯ . dt t=0

Definition 25 Ist G eine Liesche Gruppe, so ist ihre Liesche Algebra der Vektorraum Te (G) mit der Operation [ , ], die durch L[X,Y ] = [LX , LY ] = LX LY − LY LX

definiert ist5 . Wir bezeichnen die Liesche Algebra einer Gruppe G mit dem entsprechenden kleinen Frakturbuchstaben g. Es ist offensichtlich, dass [X, Y ] + [Y, X] = 0,

[[X, Y ], Z] + [[Y, Z], X] + [[Z, X], Y ] = 0

(Antikommutativit¨at und Jacobi-Identit¨at). 5

Bekanntlich ist der Kommutator zweier Vektorfelder wieder ein Vektorfeld. Sind beide linksinvariant, so auch ihr Kommutator.

40

Definition 26 Es sei G eine Liesche Gruppe und π eine stetige Darstellung von G in einem Banachraum V . Ein Vektor v ∈ V heißt glatter Vektor, wenn die durch g 7→ π(g)v gegebene Abbildung G → V glatt (d. h. unendlich oft differenzierbar) ist. Wir bezeichnen die Menge der glatten Vektoren in V mit Vπ∞ (G˚ arding-Raum). Ist X ∈ g der Tangentialvektor einer Kurve γ : I → G mit γ(0) = e, so setzen wir ¯ d ¯ π ′ (X)v = π(γ(t))v ¯ . dt t=0

Satz 34 Die Definition von π ′ (X) ist unabh¨angig von der Wahl des Weges γ. Der Raum der glatten Vektoren von π ist invariant unter G und g (braucht aber nicht abgeschlossen zu sein). Die Abbildung π ′ : g → End Vπ∞ ist eine Darstellung der Lieschen Algebra, d. h. sie ist linear, und f¨ ur X, Y ∈ g gilt π ′ ([X, Y ]) = [π ′ (X), π ′ (Y )]. Außerdem gilt f¨ ur g ∈ G π ′ (Ad(g)X) = π(g)π ′ (X)π(g)−1 . Ist V ein komplexer Banachraum, so kann man π ′ u ¨brigens zu einer Darstellung der Komplexifizierung von g fortsetzen. Beweis. F¨ ur v ∈ Vπ∞ und g ∈ G sei Fv (g) = π(g)v. Dann gilt f¨ ur a ∈ G und X ∈ g Fπ(a)v (g) = Fv (ga),

Fπ′ (X)v = LX Fv .

Daraus folgt die Unabh¨angigkeit von γ und die Invarianz von Vπ∞ . Die Linearit¨at und die weiteren Behauptungen folgen daraus, dass die obigen Formeln f¨ ur Vektorfelder auch bei Anwendung auf V -wertige Funktionen gelten. 2 Beispiel. Es sei ρ die rechtsregul¨are6 Darstellung von G in Lp (G). Wir behaupten, dass die Funktionen ϕ ∈ Cc∞ (G) glatte Vektoren von ρ sind und dass gilt ρ′ (X)ϕ = LX ϕ. 6

F¨ ur die linksregul¨ are Darstellung λ gilt u ¨brigens λ′ (X) = −RX , also R[X,Y ] = RY RX − RX RY .

41

Wegen der ρ-Invarianz von Cc∞ (G) gen¨ ugt es zu beweisen, dass g 7→ ρ(g)ϕ an der Stelle e differenzierbar ist und die Richtungsableitungen wieder zu Cc∞ (G) geh¨oren, so dass man das Argument iterieren kann. Es sei also η : U → G eine glatte Karte mit η(0) = e. Dann ist η ′ (0) : Rn → g linear, und die Richtungsableitungen der glatten Funktion x 7→ ϕ(gη(x)) bei x = 0 sind ¯ d ¯ ϕ(gη(tx))¯ = Lη′ (0)x ϕ(g). dt t=0 Nach Definition der Ableitung ist ϕ(gη(x)) = ϕ(g) + Lη′ (0)x ϕ(g) + r(g, x), wobei r glatt auf G × U ist und f¨ ur jedes g ∈ G ein C > 0 existiert, so dass |r(g, x)| ≤ Ckxk2 . Da ϕ einen kompakten Tr¨ager hat, hat auch r(g, x) als Funktion von g einen kompakten Tr¨ager K, solange x in einer kompakten Teilmenge von U bleibt, und wir k¨onnen C unabh¨angig von g w¨ahlen. Es folgt µZ ¶1/p p kρ(η(x))ϕ − ϕ − Lη′ (0)x ϕkp = |r(g, x)| dg G

≤ Ckxk2 µ(K)1/p .

Beispiel. Die Ableitung ad = Ad′ der adjungierten Darstellung ist eine Darstellung von g auf sich selbst. Um ad(X)Y f¨ ur X, Y ∈ g zu berechnen, w¨ahlen wir glatte Wege γ und δ mit X bzw. Y als Tangentialvektoren an der Stelle 0. Nun gilt ¯ d ¯ Ad(γ(t))Y ¯ , ad(X)Y = dt t=0 ∞ und f¨ ur f ∈ C (G) ¯ d ¯ Ad(γ(t))Y (f ) = f (γ(t)δ(u)γ(t)−1 )¯ . du t=0 Nach der Kettenregel ergibt sich ¯ d d −1 ¯ ad(X)Y (f ) = f (γ(t)δ(u)γ(t) )¯ dt du t=0,u=0 ¯ ¯ d d d d ¯ ¯ = f (γ(t)δ(u))¯ f (δ(u)γ(t)−1 )¯ + du dt du dt t=0,u=0 t=0,u=0 = LX LY f (e) − LY LX f (e). Es folgt ad(X)Y = [X, Y ]. 42

Lemma 12 Ist f ∈ Cc∞ (G) und v ∈ V , so ist π 1 (f )v ∈ Vπ∞ und π 1 (RX f ) = π ′ (X)π 1 (f ),

π 1 (LX f ) = π 1 (f )π ′ (−X).

Der Raum Vπ∞ ist dicht in V . Ist V endlichdimensional, so ist Vπ∞ = V . Beweis. In den Bezeichnungen aus dem Beweis von Satz 34 ist Z Z Fπ1 (f ) (g) = f (x)F (gx) dx = f (g −1 x)π(x)v dx. G

G

Variiert g in einer kompakten Teilmenge von G, so bleibt der Tr¨ager des Integranden ebenfalls in einer kompakten Teilmenge, und dort ist π(x)v nach Lemma 5 beschr¨ankt. Nun folgt die Glattheit nach dem Satz u ¨ber die Differentiation von parameterabh¨angigen Integralen. (Man kann obige Formel auch als Fπ1 (f )v = Fv ∗ f − schreiben.) Die Dichtheit folgt mit Hilfe einer glatten Diracfolge, die letzte Behauptung mittels Approximation einer Basis von V durch glatte Vektoren. 2 Beispiel. Die Gruppe GL(n, R) hat eine tautologische Darstellung π auf dem R-Vektorraum Rn , d. h. π(g)v = gv. Wir identifizieren die Liesche Algebra gl(n, R) von GL(n, R), d. h. den Tangentialraum an der Stelle I (Einheitsmatrix), mit der Menge aller n × n-Matrizen, indem wir einem glatten Weg γ mit γ(0) = I die Matrix X = γ ′ (0) zuordnen. Dann ist offensichtlich π ′ (X)v = Xv. Es folgt aus Satz 34, dass die Operation in gl(n, R) mit dem Kommutator u ¨bereinstimmt, d. h. Ad(g)X = gXg −1 .

[X, Y ] = XY − Y X,

Nun sei G eine abgeschlossene Liesche Untergruppe von GL(n, R), also eine Untermannigfaltigkeit, die gleichzeitig eine Untergruppe ist. Dann ist g ⊂ gl(n, R). Indem wir die tautologische Darstellung von GL(n, R) auf G einschr¨anken, sehen wir, dass die obigen Formeln auch f¨ ur g ∈ G und X, Y ∈ g gelten. Beispiel. Es sei Vn der Raum der bin¨aren Formen (d. h. der homogenen Polynome in zwei Variablen) vom Grad n mit reellen Koeffizienten. Wir definieren eine Darstellung πn von GL(2, R) auf V durch πn (g)ϕ(x, y) = ϕ((x, y)g), wobei wir (x, y) als Zeilenvektor verstehen. F¨ ur ¶ µ a b ist also πn (g)ϕ(x, y) = ϕ(ax + cy, bx + dy). g= c d 43

Eine Basis von gl(2, R) ist z. B. ¶ ¶ µ µ 0 0 1 0 , , H2 = H1 = 0 1 0 0

X+ =

µ

¶ 0 1 , 0 0

¶ µ 0 0 . X− = 1 0

Wir behaupten, dass ∂ϕ , ∂x ∂ϕ πn′ (X+ )ϕ = x , ∂y

∂ϕ , ∂y ∂ϕ πn′ (X− )ϕ = y . ∂x

πn′ (H1 )ϕ = x

πn′ (H2 )ϕ = y

Dies findet man z. B. unter Benutzung der Wege ¶ µ µ t ¶ 1 t e 0 ... , γ+ (t) = γ1 (t) = 0 1 0 1 Wir w¨ahlen die Basis ϕ0 , . . . , ϕn von Vn mit ϕi (x, y) = xi y n−i . Dann gilt πn′ (H1 )ϕi = iϕi , πn′ (X+ )ϕi = (n − i)ϕi+1 ,

πn′ (H2 )ϕi = (n − i)ϕi , πn′ (X− )ϕi = iϕi−1

F¨ ur eine Diagonalmatrix ist πn (diag(a, d))ϕi = ai dn−i ϕi , also χπn (diag(a, a)) = (n + 1)an und f¨ ur a 6= d n X 1 − (a/d)n+1 an+1 − dn+1 χπn (diag(a, d)) = d (a/d)i = dn = , 1 − a/d a−d i=0 n

Da χπn invariant unter Konjugation ist, gilt dieselbe Formel f¨ ur jedes g ∈ GL(2, R) mit Eigenwerten a 6= d. Dieselben Formeln gelten auch f¨ ur die holomorphe Darstellung πn der komplexen Lieschen Gruppe GL(2, C) auf dem Vektorraum der bin¨aren Formen vom Grad n mit komplexen Koeffizienten. Schr¨anken wir diese auf SU(2) ein, so ergibt sich f¨ ur aθ = diag(eiθ , e−iθ ) χπn (aθ ) = 44

sin(nθ) . sin θ

Definition 27 Es sei g die Liesche Algebra einer Lieschen Gruppe G. Ist X ∈ g und γ : R → G die Integralkurve von LX mit γ(0) = e, so schreiben wir γ(1) = exp X. Satz 35 Die o. g. Integralkurve ist ein Homomorphismus γ : R → G, und γ(t) = exp(tX). Die Exponentialabbildung exp : g → G ist glatt und schr¨ankt sich zu einem Diffeomorphismus einer Umgebung von 0 ∈ g auf eine Umgebung von e ∈ G ein. Ist α : G → H ein Homomorphismus Liescher Gruppen, so gilt f¨ ur X ∈ g α(exp X) = exp(α′ (X)). Insbesondere gilt f¨ ur g ∈ G g exp(X)g −1 = exp(Ad(g)X). Beweis. Es sei γ : I → G eine Integralkurve von LX mit γ(0) = e. Ist g = γ(s) f¨ ur ein s ∈ I, so sind s + t 7→ gγ(t) und s + t 7→ γ(s + t) zwei Integralkurven von LX mit derselben Tangente f¨ ur t = 0, also stimmen sie auf dem Durchschnitt ihrer Definitionsbereiche u ¨berein. Somit ist γ global definiert und ein Homomorphismus. Die Integralkurve zu Y = sX ist t 7→ γ(st), also exp Y = γ(s). Die Glattheit von exp folgt aus dem Satz u ¨ber die Abh¨angigkeit der L¨osungen einer gew¨ohnlichen Differentialgleichung von den Anfangsbedingungen. Nach Definition ist die Ableitung von exp an der Stelle 0 die identische Abbildung von g, also ist der Satz u ¨ber die Umkehrfunktion anwendbar. Die Abbildung t 7→ α(γ(t)) ist eine Integralkurve von Lα′ (X) , die bei t = 0 den Wert e annimmt, also gleich exp(α′ (tX)). Wenden wir das Beweisene auf den inneren Automorphismus α(x) = gxg −1 an, so erhalten wir die letzte Behauptung. 2 Definition 28 Es sei G eine analytische Liesche Gruppe, d. h. eine analytische Mannigfaltigkeit, so dass die Gruppenoperationen analytische Abbildungen sind.7 Weiter sei π eine stetige Darstellung von G auf einem Banachraum V . Der Vektor v ∈ V heißt analytischer Vektor, wenn die Abbildung g 7→ π(g)v analytisch ist. Lemma 13 Der Raum Vπω der analytischen Vektoren einer stetigen Darstellung π einer analytischen Lieschen Gruppe G ist dicht im Raum V der Darstellung π. 7

Man kann zeigen, dass jede Liesche Gruppe eine analytische Struktur besitzt. Insbesondere definiert die Exponentialabbildung in einer Umgebung von 0 ∈ g eine analytische Karte.

45

Es gen¨ ugt, eine Diracfolge zu finden, die aus analytischen Funktionen besteht. Dazu braucht man Ergebnisse, die den Rahmen dieser Vorlesung u ¨bersteigen. Man kann bespielsweise die Fundamentall¨osung ϕ : R+ ×G → R der W¨armeleitungsgleichung ∂ϕ = ∆ϕ ∂t benutzen, wobei ∆ der Laplace-Operator f¨ ur eine linksinvariante Metrik auf G ist. Oder man benutzt eine treue analytische Darstellung π von G auf einem endlichdimensionalen Vektorraum V und setzt ϕn (x) = cn ψn (π(g)−I), wobei ψn eine analytische Diracfolge der additiven Gruppe End V ist. Satz 36 Ist v ∈ Vπω , so gilt f¨ ur X in einer Umgebung von 0 in g π(exp X)v =

∞ X 1 ′ π (X)n v. n! n=0

Beweis. Setzen wir f (t) = π(exp(tX))v, so sieht man durch Induktion nach n, dass f (n) (t) = π ′ (tX)n f (t). Die rechte Seite der behaupteten Gleichung ist also die Taylor-Reihe der Abbildung X 7→ π(exp X)v. Diese Abbildung ist als Verkettung analytischer Abbildungen analytisch, also konvergiert die Taylorreihe in einer Umgebung von 0. 2

13

Zul¨ assige Darstellungen

Definition 29 Eine stetige Darstellung π einer topologischen Gruppe G auf einem Hilbertraum V heißt zul¨assig bez¨ uglich der kompakten Untergruppe K von G, wenn jede irreduzible Darstellung τ von K nur endlich oft in resK π vorkommt. ˆ ist die Summe aller Der τ -isotypische Unterraum Vπ (τ ) von V f¨ ur τ ∈ K resK π-irreduziblen Unterr¨aume W , f¨ ur die resK π|W ¨aquivalent zu τ ist. Ein Vektor v ∈ V heißt K-endlich, wenn die Menge {π(k)v | k ∈ K} einen endlichdimensionalen Unterraum aufspannt. Den Raum der Kendlichen Vektoren in V bezeichnen wir mit Vπ,K . Bemerkung. Ist τ eine irreduzible Darstrellung von K auf einem Hilbertraum W , so ist dieser nach Satz 25 endlichdimensional, und Vπ (τ ) ist das Bild der nat¨ urlichen Abbildung Hom(τ, resK π) ⊗ W → V, 46

J ⊗ w 7→ Jw,

und die Vielfachheit von τ in resK π ist gleich dim Hom(τ, resK π) (vgl Aufgabe 17). Satz 37 Ist π zul¨assig, so gilt M

Vπ,K =

Vπ (τ )

ˆ τ ∈K

(algebraische direkte Summe). Beweis. Wirkt die irreduzible Darstellung τ von K auf dem Raum W , so ist, und wegen der Zul¨assigkeit von π ist Vπ (τ ) endlichdimensional. Liegt v in der o. g. algebraischenL direkten Summe, dann gibt es eine endliche Teilmenge ˆ so dass v ∈ F ⊂ K, τ ∈F Vπ (τ ). Dieser Unterraum ist endlichdimensional und K-invariant, der Vektor v ist also K-endlich. Umgekehrt sei v ein K-endlicher Vektor und U der von {π(k)v | k ∈ K} aufgespannte Unterraum. Dann ist U invariant unter resK π und endlichdimensional, also eine direkte Summe von Unterr¨aumen U1 , . . . , Un auf denen K durch irreduzible Darstellungen τ1 , . . . , τn wirkt. Nun ist Ui ⊂ Vπ (τi ), und v liegt in der algebraischen direkten Summe der K-isotypischen Komponenten von V . 2 Bemerkung. Leider ist Vπ,K i. allg. nicht G-invariant. Man kann aber zeigen, dass Vπ,K ⊆ Vπ∞ gilt, falls K eine maximale kompakte Untergruppe einer halbeinfachen Lieschen Gruppe G ist, und sogar Vπ,K ⊆ Vπω , wenn G zudem analytisch ist. Aus Satz 35 folgt dann f¨ ur k ∈ K, X ∈ g und v ∈ Vπ,K , dass π(k)π ′ (X)v = π ′ (Ad(k)X)π(k)v,

(2)

so dass Vπ,K invariant unter g (und nat¨ urlich K) ist. Beispiel. Es sei G = SL(2, R). Wir w¨ahlen die Basis ¶ ¶ µ ¶ µ µ 0 0 0 1 1 0 , X− = , X+ = H= 1 0 0 0 0 −1 von g = sl(2, R). Diese ergibt sich aus der schon betrachteten Basis von gl(2, R) mit H = H1 − H2 , und es gilt [H, X± ] = ±2X± ,

[X+ , X− ] = H.

Die schon betrachtete (n + 1)-dimensionale Darstellung πn von GL(2, R) schr¨ankt sich auf SL(2, R) ein, wobei πn′ (H)ϕi = (2i − n)ϕi ,

πn′ (X+ )ϕi = (n − i)ϕi+1 , 47

πn′ (X− )ϕi = iϕi−1 .

Diese Basis spiegelt aber die Eigenschaft einer Darstellung, bez¨ uglich der kompakten Untergruppe K = SO(2) zul¨assig au sein, schlecht wieder. Deshalb betrachten wir die Komplexifizierung gC = sl(2, C) und gehen u ¨ber zu der Basis ¶ ¶ µ µ 1 ±i 0 1 , , E± = ±2i Ad(g0 )X± = W = i Ad(g0 )H = ±i −1 −1 0 wobei

1 g0 = √ 2

Nun gilt

µ

¶ 1 ±i . ±i 1

[W, E± ] = ±2iE± ,

[E+ , E− ] = −4iW,

und schreiben wir die Elemente von K als ¶ µ cos θ sin θ , kθ = − sin θ cos θ so ist kθ = exp(θW ) und k = RW . Die Darstellung πn l¨asst sich in der neuen Basis ebensogut beschreiben, wenn man die Basis πn (g0 )ϕi benutzt. Die irreduziblen Darstellungen von K sind die Charaktere τm , m ∈ Z, wobei τm (kθ ) = eimθ . Ist π eine zul¨assige Darstellung und v ∈ Vπ (τm ), also π(kθ )v = eimθ v, so gilt π ′ (W )v = imv und π(kθ )π ′ (E± )v = π ′ (Ad(kθ )E± )π(kθ )v = π ′ (e±2iθ E± )eimθ v = ei(m±2)θ π ′ (E± )v, also π ′ (E± )v ∈ Vπ (τm±2 ). Satz 38 Sind H und K abgeschlossene Untergruppen der unimodularen Gruppe G, so dass G = KH, ist K kompakt und ist die unit¨are Darstellung σ von H zul¨assig bez¨ uglich H ∩ K, so ist IndG assig bez¨ uglich K. H σ zul¨ Beweis. Ist ϕ ∈ HσG , so hat ϕ|K die Eigenschaft ϕ(kh) = σ(h−1 )ϕ(k) f¨ ur k ∈ K und h ∈ H ∩ K, und jede Funktion auf K mit dieser Eigenschaft setzt sich −1 zu einem Element von HσG fort. Außerdem h¨angt IndG H σ(k1 )ϕ(k) = ϕ(k1 k) nur von ϕ|K ab. Dies zeigt, dass G K H resG K IndH σ = IndH∩K (resH∩K σ).

48

ˆ Nach der Frobenius-Reziprozit¨at gilt f¨ ur τ ∈ K H H H Hom(τ, IndK H∩K (resH∩K σ)) ≡ Hom(resH∩K τ, resH∩K σ),

und die rechte Seite ist endlichdimensional nach Voraussetzung.

2

Beispiel. Es sei wieder G = SL(2, R) und P die Untergruppe der oberen Dreiecksmatrizen. Dann ist P = LN (halbdirektes Produkt), wobei ¶¯ ¾ ¶¯ ¾ ½µ ½µ 1 x ¯¯ a 0 ¯¯ × x∈R . , N= a∈R L= 0 1 ¯ 0 a−1 ¯ Die stetigen Darstellungen von L sind die Charaktere σs,± mit s ∈ C, wobei ¶ ¶ µ µ a 0 a 0 s = |a|s sgn a. = |a| , σs,− σs,+ 0 a−1 0 a−1

Da N ein Normalteiler von P ist, haben wir einen Homomorphismus P → P/N ∼ = L, den wir mit σs,± verketten, um letzteren als Charakter von P zu betrachten. Dieser Charakter ist genau dann unit¨ar, wenn s rein imagin¨ar ist, und dann wirkt πs,± = IndG P σs,± durch πs,± (g1 )ϕ(g) = ϕ(g1−1 g) auf dem Raum Hs,± der (Klassen von) Funktionen ϕ : G → C mit der Eigenschaft Z −1/2 −1 ϕ(gln) = ∆P (l) σs,± (l )ϕ(g), |ϕ(k)|2 dk < ∞, K

˜ σs,± .) f¨ ur l ∈ L, n ∈ N und fast alle g ∈ G. (Genaugenommen ist Hs,± = H 1/2 Man rechnet leicht nach, dass ∆P σs,± = σs+1,± . Außerdem ist P ∩ K = {±I}, und σs,± (−I) = ±1. Somit wird Hs,± im Sinne des vorangehenden Satzes durch Einschr¨ankung auf K zum Raum aller Funktionen ϕ ∈ L2 (K) mit ϕ(−k) = ±ϕ(k). Parametrisieren wir K mittels θ 7→ kθ , so lassen sich diese Funktionen durch Fourierreihen darstellen. Ein Vektor ϕm ∈ Hs,± (τm ) ist z. B. durch ϕm (kθ ) = e−imθ gegeben. Die Fourierzerlegung ist nun eine Zerlegung nach der Orthonormalbasis ϕm , wobei in Hs,+ nur gerade m und in Hs,− nur ungerade m vorkommen. Der Unterraum der K-endlichen Vektoren besteht aus den endlichen Linearkombinationen von Funktionen ϕm . Lemma 14

′ πs,∗ (W )ϕm = imϕm ,

′ πs,∗ (E± )ϕm = (s + 1 ± m)ϕm±2 .

49

Beweis. Die erste Formel ist ein Spezialfall der allgemeinen Aussage f¨ ur Vektoren vom Typ τm . Wegen dim Vπs,∗ (τm ) = 1 wissen wir bereits, dass ′ πs,± (E± )ϕm ein Vielfaches von ϕm±2 ist, und es gen¨ ugt, den Wert an der Stelle e zu berechnen. Da ϕm rechts N -invariant ist, gilt πs,± (X+ )ϕm (e) = 0. Außerdem ist ¶−1 µ t ¶ µ t e 0 e 0 ϕm (e) = e−(s+1) , = σs+1,± ϕm (exp(tH)) = ϕm 0 e−t 0 e−t und durch Ableitung nach t erhalten wir ′ πs,± (H)ϕm (e) = s + 1.

Wegen E± = H ± i(2X+ − W ) folgt ′ πs,∗ (E± )ϕm (e) = s + 1 ± m.

2 Definition 30 Es sei G eine Liesche Gruppe und K eine kompakte Untergruppe. Ein (g, K)-Modul ist ein C-Vektorraum V (ohne Topologie) mit einer Darstellung π ′ von g und einer Darstellung π von K, so dass jeder Vektor K-endlich ist, die Einschr¨ankung von π auf jeden K-invarianten endlichdimensionalen Unterraum stetig ist und beide Darstellungen vertr¨aglich sind, d. h. dass Gleichung (2) gilt. Ist π eine zul¨assige stetige Darstellung von G auf einem Banachraum V , so ist Vπ,K ein zul¨assiger (g, K)-Modul. Wegen Satz 36 ist die Einschr¨ankung von resG0 π|Vπω durch π ′ bestimmt, wobei G0 die Zusammenhangskomponente von e in G bezeichnet. Wegen der Stetigkeit ist damit auch resG0 π bestimmt. F¨ ur viele Liesche Gruppen (z. B. alle Zariski-zusammenh¨angenden reduktiven linearen algebraischen Gruppen u ¨ber R und K maximal) ist G = G0 K, so dass π eindeutig durch den (g, K)-Modul Vπ,K bestimmt ist. F¨ ur zusammenh¨angende Liesche Gruppen (wie z. B. SL(2, R), aber nicht GL(2, R) oder L im obigen Beispiel) gen¨ ugt sogar der g-Modul. Ein (g, K)-Modul ist ein rein algebraisches Objekt, denn die Einschr¨ankung von π auf K 0 ist durch π ′ bestimmt, so dass sich die Zusatzinformation der K-Wirkung durch die Endomorphismen π(k) f¨ ur endlich viele k ∈ K angeben l¨asst.

50

14

Differentialoperatoren

Ein Differentialoperator auf einer offenen Teilmenge U von Rn ist eine Abbildung D : C ∞ (U ) → C ∞ (U ), die sich formal als Df (x) = p(x, ∇)f (x)schreiben l¨asst mit einer glatten Funktion p(x, y) auf U × Cn , die f¨ ur jedes x ∈ U polynomial von y abh¨angt. Dabei wird anstelle von y = (y1 , . . . , yn ) der Vektor µ ¶ ∂ ∂ ∇= ,..., ∂x1 ∂xn eingesetzt, so dass aus y1k1 . . . ynkn die entsprechende h¨ohere partielle Ableitung wird. Die Funktion p heißt Symbol von D. F¨ ur f ∈ Cc∞ (U ) folgt aus Satz 3 (oder durch Differentiation unter dem Integralzeichen in der Umkehrformel), wenn wir C-wertige Funktionen zulassen, Z Df (x) = p(x, 2πiy)fˆ(y)e2πix·y dy. Rn

Ersetzen wir Rn durch einen abstrakten endlichdimensionalen reellen Vektorraum V , so liegt y nat¨ urlicherweise im Dualraum V ∗ , und das Standardskalarprodukt x · y ist durch y(x) zu ersetzen. Die Differentialoperatoren auf U bilden eine Algebra Diff(U ), die von den Vektorfeldern und den Multiplikationsoperatoren mit glatten Funktionen erzeugt wird. Das Symbol der Verkettung zweier Differentialoperatoren mit konstanten Koeffizienten ist das Produkt ihrer Symbole. Wir wollen eine Abschw¨achung dieser Aussage auf beliebige Differentialoperatoren verallgemeinern. Hat D ∈ Diff(U ) die Ordnung (h¨ochstens) k, d. h. hat das Symbol p als Polynom von y den Grad (h¨ochstens) k, so nennt man den homogenen Teil von p vom Grad k das Hauptsymbol von D. Wir schreiben Diff k (U ) f¨ ur die Differentialoperatoren auf U vom Grad k und σk : Diff k (U ) → C ∞ (U, V ∗ ) f¨ ur die (Haupt-)Symbolabbildung; also σk (D)(x, ty) = tk σk (D)(x, y). Lemma 15 Der Kern von σk ist Diff k−1 (U ), und f¨ ur D ∈ Diff k (U ) und E ∈ Diff l (U ) gilt σk+l (DE) = σk (D)σl (E). Die erste Behauptung folgt unmittelbar aus der Definition, die zweite aus der Produktregel: Alle Terme, in denen die Koeffizienten von E differenziert werden, sind von kleinerer Ordnung als k + l. Wir definieren Differentialoperatoren auf glatten Mannigfaltigkeiten M mit Hilfe von Karten. Es ist D ∈ Diff k (M ), wenn es f¨ ur jede glatte Karte ∗ ϕ : U → M ein Dϕ ∈ Diff k (U ) gibt, so dass ϕ (Df ) = Dϕ (ϕ∗ f ) f¨ ur jedes f ∈ C ∞ (M ) gilt. 51

Satz 39 Die Symbolabbildungen haben eindeutig bestimmte Verallgemeinerungen σk : Diff k (M ) → C ∞ (T ∗ M ) derart, dass f¨ ur jede offene Einbettung 8 ϕ : N → M gilt: Ist E ∈ Diff k (N ) definiert durch E(ϕ∗ f ) = ϕ∗ (Df ), so gilt σk (E)(y ◦ ϕ′ (x)) = σk (D)(y) ∗ f¨ ur x ∈ N und y ∈ Tϕ(x) (M ). Die Aussagen des Lemmas gelten analog.

Beweis. Man muss zeigen, dass die unter Benutzung von Kartenabbildungen ϕ von affinen Mengen U u ¨bertragenen Symbole nicht von der Wahl von ϕ abh¨angen. Dies ist offensichtlich f¨ ur a ∈ C ∞ (M ) ∼ = Diff 0 (M ) und ∗ Vektorfelder X ∈ Diff 1 (M ), denn f¨ ur y ∈ Tm (M ) ist σ0 (a)(y) = a(m) und σ1 (X)(y) = y(Xm ). Den allgemeinen Fall beweist man durch Induktion gleichzeitig mit der Produktformel f¨ ur Symbole, zun¨achst nur im Fall l = 1. Schließlich beweist man diese Formel f¨ ur alle l durch nochmalige Induktion: Ist sie bereits f¨ ur E ∈ Diff l (U ) bewiesen, so gilt f¨ ur D ∈ Diff k (U ) und ein Vektorfeld X σk+l+1 (DEX) = σk+l (DE)σ1 (X) = σk (D)σl (E)σ1 (X) = σk (D)σl+1 (EX). 2 Es sei G eine Liesche Gruppe und g ihre Liesche Algebra. Wir schreiben T l (g) = g ⊗ · · · ⊗ g, | {z } l

insbesondere T 0 (g) = R, und betrachten die Tensoralgebra T (g) =

∞ M

T l (g).

l=0

L l Wir versehen sie mit einer Graduierung, indem wir Tk (g) = l≤k T (g) setzen. Dann k¨onnen wir eine Abbildung σk von Tk (g) in die Algebra der Polynome auf g∗ vom Grad k definieren, indem wir σk |Tk−1 (g) = 0 und σk (X1 ⊗ · · · ⊗ Xk )(λ) = λ(X1 ) . . . λ(Xk ) setzen. Die Abbildung L : g → Diff 1 (G), die einem X ∈ g ∼ = Te (G) das linksinvariante Vektorfeld LX zuordnet, das an der Stelle e den Wert X hat, setzt sich zu einem Homomorphismus L : T (g) → Diff(G) fort, der offensichtlich mit den Graduierungen vertr¨aglich ist. 8

Es gen¨ ugt, E auf Funktionen aus Cc∞ (N ) zu definieren, und die sind von der Form ϕ f. ∗

52

Satz 40 F¨ ur E ∈ Tk (g) ist σk (LE )(e) = σk (E). Das Bild von L besteht aus der Algebra Diff L (G) der linksinvarianten Differentialoperatoren (mit reellen Koeffizienten). Der Kern des Homomorphismus L ist das zweiseitige Ideal I in T (g), das von den Elementen X ⊗ Y − Y ⊗ X − [X, Y ] erzeugt wird.9 Beweis. Die Behauptung u ur E ∈ T 0 (g) = ¨ber die Symbole gilt offensichtlich f¨ R und E ∈ T 1 (g) = g. Der Fall E ∈ T l (g) folgt durch Induktion. F¨ ur E ∈ Tk (g) ist LE ∈ Diff L,k (G). Umgekehrt sei D ∈ Diff L,k (G). Dann ist σk (D) linksinvariant, also vollst¨andig bestimmt durch σk (D)(e). W¨ahlen wir E ∈ T k (g) mit σk (E) = σk (D)(e), so ist D − LE ∈ Diff L,k (G) mit σk (D − LE ) = 0, folglich D − LE ∈ Diff L,k−1 (G), und durch Induktion folgt, dass D im Bild von L liegt. Das Ideal I liegt offensichtlich im Kern des Homomorphismus L. Nun sei E ∈ Tk (g) mit LE = 0. Dann ist σk (E) = 0. F¨ ur ein Induktionsargument gen¨ ugt es zu zeigen, dass E ∈ Ik + Tk−1 (g), wobei Ik = I ∩ Tk (g). W¨ahlen wir eine Basis X1 , . . . , Xn von g, so ist X E∈ aj Xj1 ⊗ · · · ⊗ Xjk + Tk−1 (g). j∈{1,...,n}k

Unter Benutzung von Xj ⊗ Xl ∈ Xl ⊗ Xj + I2 + T1 (g) k¨onnen wir schreiben X bi X1i1 ⊗ · · · ⊗ Xnin + Ik + Tk−1 (g), E∈ i∈Nn i1 +···+in =k

und dann ist σk (E)(λ) =

X

bi xi11 . . . xinn ,

i∈Nn i1 +···+in =k

wobei xj = λ(Xj ) die Koordinaten von λ ∈ g∗ sind. Wegen σk (E) = 0 verschwinden alle Koeffizienten bi . 2 Definition 31 Die assoziative Algebra U (g) = T (g)/I heißt universelle einh¨ ullende Algebra von g. Wir identifizieren g mit dem Bild in U (g) unter der nat¨ urlichen Einbettung. Die Multiplikation in U (g) wird mit dem Symbol · bezeichnet, das auch weggelassen werden kann. 9

Analoge Behauptungen gelten f¨ ur R, wenn wir g durch die entgegengesetzte Liesche Algebra ersetzen, deren Operation durch (X, Y ) 7→ [Y, X] gegeben ist.

53

Folgerung 11 Der Homomorphismus L definiert einen Isomorphismus von Algebren U (g) → Diff L (G). Satz 41 Ist A eine assoziative R-Algebra mit Einselement und σ : g → A eine lineare Abbildung mit σ([X, Y ]) = σ(X)σ(Y ) − σ(Y )σ(X), so setzt sich σ auf eindeutige Weise zu einem Homomorphismus σ : U (g) → A fort. Beweis. Es folgt aus der Universalit¨at des Tensorprodukts, dass sich σ auf eindeutige Weise zu einem Homomorphismus σ ˜ : T (g) → A fortsetzt. Aus der verlangten Eigenschaft von σ folgt, dass σ ˜ auf I trivial ist, somit h¨angt σ ˜ (E) nur vom Bild von E in U (g) ab. Die Eindeutigkeit der Fortsetzung folgt aus der Tatsache, dass U (g) als Algebra mit Einselement von g erzeugt wird. 2 Dies ist anwendbar, wenn σ eine Darstellung von g ist. Im Spezialfall σ = ρ , wobei ρ die rechtsregul¨are Darstellung ist, erhalten wir wieder ρ′ (X) = LX . ′

Folgerung 12 Die adjungierte Darstellung Ad von G auf g setzt sich zu einer Darstellung von G auf U (g) durch Automorphismen fort. Ist σ : G → H ein Homomorphismus Liescher Gruppen, so gilt σ ′ (Ad(g)u) = Ad(σ(g))σ ′ (u). Auf der Unteralgebra ZG (g) = {u ∈ U (g) | Ad(g)u = u f¨ ur alle g ∈ G} von g stimmen L und R u ¨berein, und das Bild ist die Algebra der biinvarianten Differentialoperatoren auf G. Die Unteralgebra ZG (g) ist enthalten im Zentrum Z(g) von U (g). Ist G zusammenh¨angend, so ist ZG (g) = Z(g). Satz 42 Es sei B eine nichtausgeartete10 symmetrische Ad-invariante Bilinearform auf g. Das Casimir-Element ω=

n X i=1

Xi Yi ∈ U (g)

(wobei Xi eine Basis von g und Yi die duale Basis bez¨ uglich B durchl¨auft) ist unabh¨angig von der Wahl der Basis und liegt in ZG (g). Beispiel. Es sei G = SL(2, R). Benutzen wir B(X, Y ) = so erhalten wir

1 8

tr(ad(X) ad(Y )),

1 ω = H 2 + 2X+ X− + 2X− X+ = −W 2 + (E+ E− + E− E+ ). 2 10

Dies ist f¨ ur die Killingform einer halbeinfachen Lieschen Algebra der Fall.

54

Wenden wir den vorigen Satz auf die induzierte Darstellung πs,± an, so erhalten wir ¢ ¡ ′ πs,± (ω)ϕm = m2 + 12 (s − 1 + m)(s + 1 − m) + 21 (s − 1 − m)(s + 1 + m) ϕm = (s2 − 1)ϕm ,

′ also πs,± (ω) = (s2 − 1)I.

Satz 43 Es sei A eine assoziative C-Algebra von abz¨ahlbarer Dimension mit Einselement und V ein irreduzibler A-Modul. Dann ist jeder Endomorphismus von V , der mit A kommutiert, ein Vielfaches der Identit¨at. Beweis. Es sei A′ die Algebra der Endomorphismen von V , die mit A kommutieren. Ist b ∈ A′ , b 6= 0, so folgt aus der Irreduzibilit¨at von V , dass b invertierbar ist und b−1 ∈ A′ . Ist p 6= 0 ein Polynom mit p(b) = 0 und λ eine Wurzel von p, so ist λ ein Eigenwert von b, also b − λI nicht invertierbar, und b = λI, wie verlangt. Gibt es aber kein solches Polynom, so erzeugt b u ¨ber C einen kommutativen Teilk¨orper von End V , der isomorph zum K¨orper der rationalen Funktionen in einer Variablen ist. Dieser K¨orper hat u ¨berabz¨ahlbare Dimension, 1 denn die Funktionen f (z) = z−λ , λ ∈ C, sind linear unabh¨angig. W¨ahlen wir v ∈ V , v 6= 0, so ist Av invariant und v = 1 · x ∈ Av, also Av = V , und V hat abz¨ahlbare Dimension. Da A′ eine Divisionsalgebra ist, ist b 7→ bv eine injektive Abbildung A′ → V , also hat auch A′ abz¨ahlbare Dimension – Widerspruch. 2 Folgerung 13 Ist V ein irreduzibler (g, K)-Modul und G = G0 K, so gibt es einen Homomorphismus χ : ZG (gC ) → C, so dass zv = χ(z)v f¨ ur alle z ∈ ZG (gC ). Man kann ZG (gC ) f¨ ur halbeinfache Liesche Gruppen G explizit beschreiben. F¨ ur SL(2, R) ist z. B. die Abbildung p 7→ p(ω) ein Isomorphismus der Algebra der Polynome in einer Ver¨anderlichen auf ZG (gC ), und der zentrale Charakter ist durch seinen Wert auf ω bestimmt. Analytizit¨ at K-endlicher Vektoren. Wir wollen noch andeuten, wie man die Bemerkung nach Satz 37 beweisen kann. Dazu brauchen wir den Begriff eines Vektorb¨ undels. Definition 32 Ein Faserb¨ undel u ¨ber einer Mannigfaltigkeit M ist eine Mannigfaltigkeit E mit einer surjektiven stetigen Abbildung p : E → M mit folgender Eigenschaft: Jeder Punkt in m ∈ M hat eine Umgebung U , so dass p−1 (U ) hom¨ oomorph zu p−1 (m) × U ist, wobei der Hom¨ oomorphismus vertraglich mit den Projektionen nach U ist. Ein Schnitt ist eine Abbildung s : M → E mit p ◦ s = id. Hat jede Faser p−1 (m) die Struktur eines Vektorraums und kann man die Hom¨ oomorphismen vertr¨ aglich mit dieser Struktur w¨ ahlen, so spricht man von einem Vektorb¨ undel. Man definiert glatte bzw. analytische B¨ undel auf offensichtliche Weise.

55

Das Tangentialb¨ undel einer glatten bzw. analytischen Mannigfaltigkeit ist ein glattes bzw. analytisches Vektorb¨ undel, und seine Schnitte sind Vektorfelder. Sind p : E → M und q : F → M glatte Vektorb¨ undel u ¨ber derselben Mannigfaltigkeit M , so kann man Differentialoperatoren D ∈ Diff k (E, F ) definieren, die glatte Schnitte ∗ (M ) ist σk (D)(y) dann eine lineavon E auf glatte Schnitte von F abbilden. F¨ ur y ∈ Tm −1 −1 re Abbildung p (m) → q (m). Ist σk (D)(y) f¨ ur alle y 6= 0 invertierbar, so heißt D elliptisch. Satz 44 Ist D elliptisch, Df = h und h glatt, so ist auch f glatt. Sind außerdem M , E, F , D und h analytisch, so ist auch f analytisch. Anwendung: Es sei G eine Liesche Gruppe, K ihre kompakte Liesche Untergruppe, B eine nichtausgeartete Ad-invariante Bilinearform auf g, so dass k ein maximaler negativdefiniter Unterraum ist. Weiter sei π eine stetige Darstellung von G auf einem Hilbertraum V , l ein lineares Funktional auf V und W ein endlichdimensionaler K-invarianter Unterraum. Wir definieren f : G → W ∗ durch f (g)w = l(π(g)w). Dann gilt f (gk) = f (g)π(k),

Lω f = χπ (ω)f.

Nach der erste Gleichung definiert f einen stetigen Schnitt in einem Vektorb¨ undel u ¨ber ∗ G/K mit Faser W , und nach der zweiten liegt dieser Schnitt im Kern des von Lω − χπ (ω) definierten Differentialoperators.Dieser ist elliptisch, deshalb ist f glatt, und bez¨ uglich der ω analytischen Struktur von G sogar analytisch. Es folgt Vπ,K ⊂ Vπ .

15

Klassifikation der Darstellungen von SL(2,R)

Zun¨achst bestimmen wir die Subquotienten der parabolisch induzierten Darstellung πs,± von G = SL(2, R). Diese ist nur f¨ ur rein imagin¨are s als unit¨are Darstellung definiert. Ersetzen wir in der Definition die L2 -Bedingung durch die Forderung, dass die Funktionen glatt seien, so kann man beliebige s ∈ C zulassen. Die Formel Z [ϕ, ψ] = ϕ(g)ψ(g)µ(g) ˙ G/P

∞ definiert nun eine nichtausgeartete G-invariante Paarung zwischen Hs,± und ∞ H−s,± . Leider ist die entstehende Darstellung hochgradig reduzibel; sie enth¨alt z. B. den invarianten Unterraum der analytischen Vektoren. Beschr¨anken wir uns aber auf K-endliche Vektoren, so erhalten wir den induzierten (g, K)-Modul im Sinne von Aufgabe 38, den wir mit Vs,± bezeichnen. Da G zusammenh¨angend ist, enth¨alt die Struktur als g-Modul bereits die gesamte Information. Er ist f¨ ur die meisten Werte von s irreduzibel, wie wir gleich sehen werden.

56

Die Formeln ′ πs,∗ (W )ϕm = imϕm ,

′ πs,∗ (E± )ϕm = (s + 1 ± m)ϕm±2

gelten auch f¨ ur komplexe s. Es sei W ein invarianter Unterraum von Vs,± . Aus der Invarianz unter K folgt, dass W auch invariant unter unter der Projektion auf jeden K-isotypischen Unterraum ist, und da diese eindimensional sind, ist M W = Rϕm m∈M

f¨ ur eine Menge M ⊂ 2Z oder M ⊂ 2Z + 1. Ist m ∈ M mit s + 1 ± m 6= 0, so ist auch m ± 2 ∈ M . Umgekehrt gilt: Ist m ∈ M und m ± 2 ∈ / M , so ist s + 1 ± m = 0. ′ ′ (E+ )ϕ−n−1 = 0, wobei (E− )ϕn+1 = 0 und πn,ε Ist s = n ∈ Z, so ist πn,ε n n n+1 ¯ n von Vn,εn mit εn = (−1) , also gibt es invariante Unterr¨aume Wn und W ¯ = {−n − 1, −n − 3, −n − 5, . . . }. M = {n + 1, n + 3, n + 5, . . . } bzw. M Es folgt: Lemma 16 Die einzigen echten g-invarianten Unterr¨aume von Vn,εn f¨ ur n ∈ ¯ ¯ ¯ Z sind Wn , Wn , Wn ∪ Wn (falls n ≥ 0) und Wn ∩ Wn (falls n < 0). In allen anderen F¨allen ist der g-Modul Vs,± irreduzibel. Unter der Paarung von Vn,εn ¯ −n . und V−n,εn annullieren einander Wn und W

Die endlichdimensionalen Darstellungen von G der Dimension n findet ¯ −n mit kontragredienter Darstellung auf dem man in diese Liste als W−n ∩ W ¯ n ). Dualraum Vn,εn /(Wn + W Bei der Definition von πs,± = πP,s,± als induzierte Darstellung haben wir σs,± als Darstellung der Gruppe P = LN der oberen Dreiecksmatrizen auf¯ der unteren Dreiecksmatrizen gefasst. Man kann ebenso die Grupe P¯ = LN benutzen, die Elemente im entsprechenden Darstellungsraum HP∞ ¯ ,s,± haben dann die Eigenschaft ψ(gl¯ n) = σs+1,± (l−1 )ψ(g). Lemma 17 F¨ ur ϕ ∈ VP,s,± = (HP,s,± )K mit Re s > 0 konvergiert das Integral Z Js,± ϕ(g) =

¯ N

ϕ(g¯ n) d¯ n

und definiert den Standard-Verkettungsoperator Js,± : VP,s,± → VP¯ ,s,± . Bei ¯ gilt geeigneter Normierung des Haarmaßes auf N √ π Γ( s )Γ( s+1 ) 2 Js,± ϕm = s+1+m2 s+1−m ϕm . Γ( 2 )Γ( 2 ) 57

Beweis. Ersetzen wir g durch gl, so zeigt die Variablensubstitution l¯ nl−1 = n ¯′ −1 ′ mit d¯ n = ∆P (l )d¯ n , dass Js,± ϕ ∈ VP¯ ,s,± . Die Verkettungseigenschaft ist offensichtlich, insbesondere auch f¨ ur resK πs,± . Darum gen¨ ugt es, die explizite 1 0 Formel an der Stelle e zu beweisen. Mit n ¯ = ( x 1 ) ist laut Aufgabe 42 ¶m µ 1 − ix 2 2 − s+1 ϕm (¯ n) = (1 + x ) 2 1 + ix (stetiger Zweig mit Wert 1 bei x = 0), folglich Z ∞ s+1−m s+1+m Js,± ϕm (e) = (1 + ix)− 2 (1 − ix)− 2 dx −∞ √ π Γ( s )Γ( s+1 ) 2 = s+1+m2 s+1−m . Γ( 2 )Γ( 2 ) 2 Es gibt einen sehr einfachen Verkettungsoperator HP¯ ,s,± → HP,−s,± , n¨am0 1 lich ψ 7→ ϕ, ϕ(g) = ψ(gw), wobei w = ( −1 allig mit 0 ) ∈ G (was als Matrix zuf¨ W ∈gu ¨bereinstimmt). Kombinieren wir dies mit dem Standard-Verkettungsoperator, so erhalten wir den Verkettungsoperator Z Z Jw,s,± ϕ(g) = ϕ(gw¯ n) d¯ n= ϕ(gnw) dn ¯ N

N

von Vs,± nach V−s,± , zun¨achst nur f¨ ur Re s > 0. Er setzt sich zu einer meromorphen Operatorfamilie fort, wenn wir die R¨aume durch Einschr¨ankung auf K unabh¨angig von s machen. Der normierte Verkettungsoperator Rw,s,+

Γ( s+1 ) 2 √ = s Jw,s,+ , π Γ( 2 )

Rw,s,−

) Γ( s+2 = √ 2s+1 Jw,s,− π Γ( 2 )

wird ebenfalls durch die Basis ϕm diagonalisiert, also Rw,s,± ϕm = rs,m ϕm , wobei rs,0 = 1, rs,±1 = ±i, und aus der Funktionalgleichung der GammaFunktion folgt m+1−s rs,m+2 = rs,m . m+1+s F¨ ur Re s = 0 haben die normierten Verkettungsoperatoren offensichtlich keine Polstellen und sind unit¨ar, setzen sich also stetig auf Hs,± fort, und πs,± ∼ ur gerades m und reelles −1 < s < 1 = π−s,± . Außerdem sind die rs,m f¨ positiv, also ist ¯ hϕ, ψis = hϕ, Rw,s,+ ψi = [ϕ, Rw,s,+ ψ] eine positiv-definite symmetrische g-invariante Bilinearform auf Vs,+ . F¨ ur s = n ∈ Z, n ≥ 0 k¨onnen wir die entsprechende Bilinearform auf Vn,εn so umnormieren, dass hϕ±(n+1) , ϕ±(n+1) i = 1 gilt, und sie ist dann ebenfalls ¯ n. positiv definit auf Wn bzw. W 58

Satz 45 Jeder irreduzible zul¨assige (g, K)-Modul ist isomorph zu einem der folgenden Moduln: • einem irreduziblen Vs,± mit s ∈ C, ¯ n mit n ≥ 0, • Wn oder W ¯ −n mit n ≥ 0. • W−n ∩ W Die einzigen Paare ¨aquivalenter Moduln in dieser Liste sind Vs,± ∼ = V−s,± . Beweis. Es sei V ein zul¨assiger irreduzibler (g, K)-Modul, also M V = V (τm ) m∈Z

mit endlichdimensionalen K-isotypischen Komponenten V (τm ). Nach Satz 43 hat V einen infinitesimalen Charakter, also wirkt ω durch Multiplikation mit einem λ ∈ C. W¨ahle vm ∈ V (τm ), v 6= 0. F¨ ur n = 1, 2, . . . setzen wir vm+2k = k E+ vm , solange dies nicht Null ergibt. Dann ist W ϕm+2k = (m + 2n)ivm+2k . Wegen ω = −W 2 − 2iW + E− E+ ist E− vm+2k+2 ein Vielfaches von vm+2k . Auf a¨hnliche Weise definieren wir vm−2k = E−k vm . Die von Null verschiedenen Vektoren vm±2k spannen dann einen g-invarianten Unterraum auf, der wegen der Irreduzibilit¨at gleich V ist. Kommen alle Gewichte aus m + 2Z vor, so w¨ahlen wir s ∈ C mit s2 − 1 = λ und definieren J : Vs,± → V durch J(E±k ϕm ) = E±k vm . Gibt es einen Vektor kleinsten Gewichts, das o. B. d. A. gleich m ist, so definieren wir J : Wm−1 → V durch J(E+k ϕm ) = E+k vm , und analog f¨ ur den Fall, dass es einen Vektor gr¨oßten Gewichts gibt. Man pr¨ uft leicht nach, dass J ein bijektiver Verkettungoperator ist. Sind zwei g-Moduln isomorph, so m¨ ussen sie denselben infinitesimalen Charakter haben. Hat einer von ihnen einen Vektor kleinsten Gewichts, so ¨ auch der andere. Also gibt es keine Aquivalenzen außer den angegebenen. 2 Um unit¨are Hilbertraum-Darstellungen zu konstruieren, m¨ uß]te man auf den Vervollst¨andigungen der (g, K)-Moduln mit invariantem Skalarprodukt eine G-Wirkung konstruieren. Es gibt auch eine direkte Konstruktion von quadrat-integrierbaren Darstellungen. Dazu betrachten wir das Maß µm = (Im z)m−2 µ auf der oberen Halbebene H und die Darstellung πm aus Aufgabe 37.

59

Satz 46 Es sei Hm der Unterraum aller holomorphen Funktionen in L2 (H, µm ). Dann ist Hm abgeschlossen, invariant unter πm und genau dann von {0} verschieden, wenn m ≥ 2. Der Raum der K-endlichen Vektoren ist als (g, K)¯ m−1 . Analoges gilt f¨ ¯ m der antiholoModul isomorph zu W ur den Raum H morphen Funktionen und den (g, K)-Modul Wm−1 . Diese Darstellungen sind quadrat-integrierbar. Beweis. Aus der Cauchyschen Integralformel erhalten wir Z 2π Z δ Z 2π 1 1 iθ ϕ(z) = ϕ(z + δe ) dθ = 2 ϕ(z + reiθ ) dθ r dr 2π 0 πδ 0 0 f¨ ur gen¨ ugend kleines δ in Abh¨angigkeit von z. Mit der Cauchy-SchwarzUngleichung folgt, dass es f¨ ur jede kompakte Teilmenge B von H eine kompakte Umgebung B ′ ⊂ H und Konstanten C1 , C2 gibt, so dass f¨ ur jede Funktion ϕ ∈ Hm gilt kϕ|B k∞ ≤ C1 kϕ|B ′ k1 ≤ C2 kϕ|B ′ k2 . Die rechte Seite ist schließlich beschr¨ankt durch die L2 -Norm von ϕ bez¨ uglich des Maßes µm , und die Abgeschlossenheit von Hm folgt aus dem Weierstraßschen Konvergenzsatz. Die Invarianz unter πm ist klar wegen der Holomorphie von j(g, z). Wir betrachten die Cayley-Transformation T : H → D,

T (z) =

z−i , z+i

T −1 (w) = i

1+w , 1−w

die man als M¨obiustransformation mit der Matrix ¶ µ 1 −i ∈ GL(2, C) T = 1 i darstellen kann. Die Wirkung von SL(2, R) auf H durch M¨obiustransformationen geht dann u ¨ber in die Wirkung der Martrizen ¶ µ ¶µ ¶ ¶ µ µ ¶ µ a b 1 1 1 1 −i a b α β −1 , T = T = ¯ c d 2 i −i 1 i β α ¯ c d wobei α=

a + d + i(b − c) , 2

β=

a − d − i(b + c) . 2

Es folgt (a + d)2 + (b − c)2 − (a − d)2 − (b + c)2 = 1. αα ¯ − β β¯ = 4 60

Genauer kann man pr¨ ufen, dass f¨ ur g ∈ SL(2, C) gilt g ∈ SL(2, R)

T gT −1 ∈ SU(1, 1),

⇔

wobei letztere Gruppe aus allen g˜ ∈ SL(2, C) mit der Eigenschaft ¶ ¶ µ µ 1 0 1 0 ∗ g˜ = g˜ 0 −1 0 −1 besteht. Mit der Wirkung durch M¨obiustransformationen ist u ¨brigens ein Isomorphismus von SL(2, R)/{±I} bzw. SU(1, 1)/{±I} auf die Gruppe aller biholomorphen Transformationen von H bzw. D gegeben. In Aufgabe 37 hat man gepr¨ uft, dass die M¨obiustransformation mittels g ∈ SL(2, R) die komplexe Jacobimatrix (vom Rang eins) j(g, z)−2 hat und Im z −2 dass gilt Im(gz) = |j(g,z)| µ auf H invariant 2 , so dass das Maß µ0 = (Im z) ist. Die komplexe Jacobimatrix von T −1 ist darum ist T (µ) =

4 µ, |1 − w|4

2i , (1−w)2

T (µ0 ) = ν0 :=

und Im T −1 (w) =

1−|w|2 , |1−w|2

4 µ, (1 − |w|2 )2

und das Maß ν0 auf D ist SU(1, 1)-invariant. Wir u ¨bertragen Funktionen ϕ ∈ L2 (H, µm ) auf D mittels à √ !m 2 Tm ϕ(w) = ϕ(T −1 w). 1−w ³

1−|w|2 2

´m−2

Definieren wir νm = µ in Analogie zu µm , so gilt nach der Transformationsformel µ ¶m Z Z 1 − |w|2 2 −1 2 |Tm ϕ(w)| νm (w) = |ϕ(T w)| ν0 (w) |1 − w|2 D D Z Z m = |ϕ(z)(Im z) µ0 (z) = |ϕ(z)µm (z). H

H

˜ m der holomorphen Somit ist Tm eine Isometrie von Hm auf den Raum H 2 Funktionen in L (D, νm ). Außerdem pr¨ uft man leicht nach, dass π ˜m (T gT −1 )Tm ϕ = Tm πm (g)ϕ, wobei π ˜m durch dieselbe Formel wie πm gegeben ist, so dass die unit¨aren Darstellungen πm |Hm und π ˜m |H˜ m ¨aquivalent sind. 61

Jede holomorphe Funktion ϕ˜ auf D ist durch eine konvergente Potenzreihe ϕ(w) ˜ =

∞ X

ap w p

p=0

˜ m f¨ darstellbar. Die Funktionen wp mit p ≥ 0 geh¨oren zu H ur m ≥ 2 und bilden eine Orthogonalbasis, denn ¶m−2 µ Z Z 2π Z 1 1 − r2 p q i(p−q)θ p+q+1 dr, w w¯ νm (w) = e dθ r 2 D 0 0 ˜ m = {0} f¨ w¨ahrend H ur m ≤ 1, weil dann Z 2 lim |ϕ(w)| ˜ νm (w) r→1−

|w|≤r

f¨ ur ϕ˜ 6= 0 divergiert. ˜ ˜ aus den Matrizen k˜θ = T kθ T −1 = Vektoren wp sind K-endlich, wobei K ¡ eiθDie ¢ 0 besteht, es gilt n¨amlich 0 e−iθ π ˜m (k˜θ−1 )wp = j(k˜θ , w)−m (k˜θ w)p = eimθ (e2iθ w)p = e(m+2p)iθ wp .

Dies kann man auf die urspr¨ ungliche Gruppe SL(2, R) u ¨bertragen, und der ¯ m−1 isomorph (g, K)-Modul Hm kann aufgrund seiner Gewichte nur zu W sein, was sich auch direkt nachpr¨ ufen l¨aßt. ¯ m der antiholomorphen Funktionen Analog verf¨ahrt man mit dem Raum H 2 ϕ ∈ L (H, µm ), wo π ¯m mittels des komplex konjugierten Kozyklus definiert ist. Man kann statt dessen auch die holomorphen Funktionen ϕ(¯ z ) auf der unteren Halbebene betrachten. Man kann zeigen, dass der Matrixkoeffizient h˜ πm (˜ g )wp , wq i bis auf ei−m−p−q q−p ne Konstante gleich α β ist und dass diese Funktion auf SU(1, 1) quadrat-integrierbar ist. 2 Satz 47 (Bargmann-Klassifikation) Jede irreduzible unit¨are Darstellung von G ist isomorph zu einer der folgenden: • πs,± mit Re s = 0, (s, ±) 6= (0, −) (Hauptreihe), • der Unitarisierung von πs,+ mit −1 < s < 1, s 6= 0 (Nebenreihe),

¯ n mit n ≥ 0 (diskrete • der Unitarisierung δn von Wn oder δ¯n von W Reihe und ihre Grenzwerte n = 0),

• der trivialen Darstellung.

Die einzigen Paare ¨aquivalenter Darstellungen in dieser Liste sind πs,± ∼ = π−s,± . 62

16

Nukleare Operatoren

Definition 33 Es seien V und W Hilbert-R¨aume. Ein linearer Operator A : V → W heißt nuklear, wenn er als Komposition zweier Hilbert-SchmidtOperatoren dargestellt werden kann. Wir bezeichnen die Menge der nuklearen Operatoren von V nach W mit L1 (V, W ). Ist V = W , so definieren die Spur X tr A = hAvi , vi i, i

wobei vi eine Orthonormalbasis von V durchl¨auft. Ist A = BC, wobei B : U → V und C : V → U Hilbert-SchmidtOperatoren sind, so l¨asst sich die Spur durch das Hilbert-Schmidt-Skalarprodukt darstellen: X tr A = hCvi , B ∗ vi i = hC, B ∗ i. i

Die Konvergenz der Reihe und die Unabh¨angigkeit von der Wahl der Basis folgen also aus Satz 20. Satz 48 Die Menge L1 (V, W ) ist ein Vektorraum. Ist A ∈ L1 (V, W ) und sind X : W → U und Y : U → V stetige lineare Operatoren, so ist A∗ ∈ L1 (W, V ), XA ∈ L1 (V, U ) und AY ∈ L1 (U, W ). Ist außerdem U = V , so gilt tr(XA) = tr(AX). Beweis. Ist A1 = B1 C1 und A2 = B2 C2 mit Bi ∈ L2 (Ui , W ) und Ci ∈ L2 (V, Ui ), so definieren wir B ∈ L2 (U1 ⊕ U2 , W ) und C ∈ L2 (V, U1 ⊕ U2 ) durch B(u1 , u2 ) = (B1 u1 , B2 u2 ), Cv = (C1 v, C2 v), so dass A1 + A2 = BC ∈ L1 (V, W ). Die u ¨brigen Behauptungen folgen unmittelbar aus Satz 20. 2 Man kann u uhren, so dass die¨brigens eine Norm k . k1 auf L1 (V, W ) einf¨ ser Raum ein Banachraum wird und dass gilt kAk1 = kA∗ k1 , kXAk1 ≤ kXkkAk1 , kAY k1 ≤ kAk1 kY k. Der Raum der Operatoren endlichen Ranges ist dann dicht in L1 (V, W ). Satz 49 Ist (X, µ) ein Maßraum, A ein nuklearer Operator in L2 (X, µ) und K ∈ L2 (X × X, µ ⊗ µ) sein Integralkern im Sinne von Satz 23, so ist Z tr A = K(x, x)µ(x). X

63

Beweis. Es sei A = BC mit B ∈ L2 (U, V ) und C ∈ L2 (V, U ), wobei V = L2 (X, µ). Wir k¨onnen annehmen, dass U = L2 (Z, η), z. B. indem wir Z als Indexmenge einer Orthonormalbasis mit dem Z¨ahlmaß η w¨ahlen. Bezeichnen wir die Integralkerne von B und C mit KB und KC , so zeigt man mit Hilfe des Satzes von Fubini, dass fast u ¨berall folgende Identit¨aten gelten: Z K(x, y) = KC (x, z)KB (z, y)η(z), X

KB ∗ (x, z) = KB (z, x), Z Z hC, B ∗ i = KC (x, z)KB (z, x)η(z)µ(x). X

Z

Nun folgt die behauptete Formel aus tr A = hC, B ∗ i.

2

Satz 50 Es seien X und Y glatte Mannigfaltigkeiten mit glatten Dichten µ bzw. ν, und es sei K ∈ Cc∞ (X × Y ). Dann definiert die Gleichung Z Aϕ(y) = K(x, y)ϕ(x)µ(x) X

einen nuklearen Operator A : L2 (X, µ) → L2 (Y, ν).

Beweis. Wir betrachten zun¨achst den Fall, dass X = Rm /Zm und Y = Rn /Zn Tori mit den u ¨blichen translationsinvarianten Dichten sind. Dann bilden die Funktionen ϕk (x) = exp(2πik · x) mit k ∈ Zm eine Orthonormalbasis von L2 (X), und die Funktionen ψl (y) = exp(2πil · y) mit l ∈ Zn eine von L2 (Y ). Ist ∆ der Laplace-Operator auf X, so gilt ∆ϕk = −k2πkk2 ϕk . Darum ist C = (I − ∆)−m ein Hilbert-Schmidt-Operator mit X (1 + k2πkk2 )−m . kCk22 = k∈Zm

Setzen wir B = A ◦ (I − ∆)m , so ist B ein Integraloperator mit Integralkern ∞ 2 (I − ∆)m 1 K ∈ Cc (X × Y ) ⊂ L (X × Y, µ ⊗ ν),

wobei der Index 1 andeutet, dass (I − ∆)m auf das erste Argument von K wirkt. Nach Satz 23 ist auch B ein Hilbert-Schmidt-Operator, somit ist A nuklear. Der allgemeine Fall l¨asst sich mit Hilfe einer glatten Zerlegung der Einheit leicht auf den betrachteten zur¨ uckf¨ uhren.11 2 11

Obiger Ansatz von B und C funktioniert u ¨brigens auch im allgemeinen Fall, aber der Beweis erfordert die Konstruktion einer Parametrix f¨ ur (I − ∆)m .

64

17

Globale Charaktere

Ist M eine glatte Mannigfaltigkeit, so kann man den Raum Cc∞ (M ) mit einer Topologie versehen, so dass folgende Abbildungen stetig sind: • alle Differentialoperatoren Cc∞ (M ) → Cc∞ (M ), • die nat¨ urliche Fortsetzung Cc∞ (M ) → Cc∞ (N ) f¨ ur offene Einbettungen M → N, R • das lineare Funktional f 7→ M f µ, wobei µ ein Radonmaß ist.

Wir werden diese Topologie nicht explizit beschreiben. Die stetigen linearen Funktionale auf Cc∞ (M ) nennt man Distributionen auf M .

Definition 34 Es sei π eine stetige Darstellung der Lieschen Gruppe in einem Hilbertraum V . Angenommen, f¨ ur jedes f ∈ Cc∞ (G) ist π 1 (f ) nuklear, und die Abbildung f 7→ tr π 1 (f ) ist eine Distribution. Dann heißt sie globaler Charakter von π. Beispiel. Ist π endlichdimensional, so gilt Z 1 tr π (f ) = f (g)χπ (g) dg. G

Satz 51 Es sei G eine unimodulare Liesche Gruppe, σ ein stetiger Charakter ihrer abgeschlossenen Lieschen Untergruppe H und K eine kompakte Liesche Untergruppe, so dass G = KP . Dann besitzt π = IndG H σ einen globalen Charakter, und f¨ ur f ∈ Cc∞ (G) gilt Z Z 1 ˙ tr π (f ) = f (khk −1 )∆H (h)1/2 σ(h) dh dk. K/K∩H

H

Bisher hatten wir IndG ur unit¨ares σ definiert, aber wir k¨onnen das P σ nur f¨ Bild des invarianten Maßes unter K/K ∩ H → G/H auch im allgemeinen Fall benutzen. Da der zugeh¨orige Kozyklus auf G × G/H stetig, also lokal beschr¨ankt ist, ist π stetig, wenn auch abh¨angig von der Wahl von K und i. allg. nicht unit¨ar. f G σ, so gilt Beweis. Benutzen wir die Realisierung von π als Ind H Z Z π 1 (f )ϕ(y) = f (g)ϕ(g −1 y) dg = f (yx−1 )ϕ(x) dx. G

G

65

Wir zerlegen das Integral wie im Beweis von Lemma 10: Z Z ˙ f (yh−1 k −1 )ϕ(kh)∆H (h) dh dk, K/K∩H

H

˜ σ wird dies zu und wegen ϕ ∈ H Z Z ˙ f (yh−1 k −1 )∆H (h)1/2 σ(h−1 )ϕ(k) dh dk. K/K∩H

H

Es folgt 1

π (f )ϕ(y) =

Z

Kf (k, y)ϕ(k) dk˙

K/K∩H

mit Kf (x, y) =

Z

f (yhx−1 )∆H (h)1/2 σ(h) dh.

H

Dieser Integralkern ist glatt, und wir brauchen nur seine Einschr¨ankung auf (K/K ∩ H)2 zu betrachten. Nun folgt die Behauptung aus Satz 50. 2 Folgerung 14 Es sei G = SL(2, R) und πs,± wie u ¨blich die von der Untergruppe der oberen Dreiecksmatrizen P = LN induzierte Darstellung. Dann ist Z Z 1 tr πs,± (f ) = f (glg −1 ) dg˙ |D(l)|1/2 σs,± (l) dl, L

G/L

wobei D(l) = detg/l(Ad(l) − id).

Beweis. Unter Benutzung der Integrationsformel Z Z Z h(p) dp = h(ln) dn dl P

erhalten wir

Kf (x, y) =

L

Z Z L

′

N

f (ylnx−1 ) dn ∆P (l)1/2 σs,± (l) dl.

N

′−1

Wir substitutieren ln = n ln , also ¡a 0 ¢ 1 x ¡ a 0 ¢ ¡ 1 −x′ ¢ 1 x′ , 0 a−1 ( 0 1 ) = ( 0 1 ) 0 a−1 0 1

so dass x = (a−2 − 1)x′ . Wegen D(l) = (a2 − 1)(a−2 − 1), |D(l)|1/2 = |a − a−1 | und ∆P (l)1/2 dn = |a| · |a−2 − 1| dn′ ergibt sich die Behauptung zun¨achst mit einem Integral u ¨ber (K/K ∩ P ) × N statt G/L, was aber wegen Z Z Z Z f (g) dg = f (knl) dl dn dk˙ G

K/K∩P

gleichwertig ist.

N

L

2 66

Lemma 18 Jede irreduzible unit¨are Darstellung von SL(2, R) besitzt einen globalen Charakter. Ist σn die n-dimensionale irreduzible Darstellung und sind δn und δ¯n die quadrat-integrierbaren Darstellungen mit demselben infinitesimalem Charakter, so gilt 1 (f ) = tr δn1 (f ) + δ¯n1 (f ) + tr σn1 (f ). tr πs,ε n

Beweis. Es sei π eine irreduzible unit¨are Darstellung von G im Hilbertraum V . Dann hat V nach Satz 47 eine Orthonormalbasis aus Vektoren vm mit π ′ (W )vm = imvm . Ist h = L(1−W 2 )n R(1−W 2 )n f, wobei n eine beliebige nat¨ urliche Zahl ist, so gilt

π 1 (h) = π ′ (1 − W 2 )n π 1 (f )π ′ (1 − W 2 )n , also |hπ 1 (f )vl , vm i| = (1 + l2 )−n (1 + m2 )−n khk1 ,

und man findet leicht eine Darstellung als Produkt von zwei Hilbert-SchmidtOperatoren (von denen einer z. B. (1−W 2 )−n/2 sein k¨onnte). Außerdem h¨angt khk1 und somit tr π 1 (f ) stetig von f ∈ Cc∞ (G) ab. Die Funktionen ϕm bilden eine Orthonormalbasis von Hs,± . P Die Spur der 1 ¯ Einschr¨ankung von πs,εn (f ) auf den Abschluss von Wn ⊕ Wn ist m∈Mn amm , wobei 1 (f )ϕl , ϕm i, alm = hπs,ε n

Mn = {. . . , −n−3, −n−1}∪{n+1, n+3, . . . }. Ersetzen wir das Skalarprodukt durch h , in , um δn und δ¯n unit¨ar zu machen, so bilden die ϕm immer noch eine Orthogonalbasis, und die diagonalen Matrixkoeffizienten amm′ bleiben unver¨andert. 2

18

Die Weylsche Integrationsformel

Wir betrachten der Einfachheit halber nur G = SL(2, R). Lemma 19 Es sei G′ die Menge aller Elemente von G mit verschiedenen Eigenwerten, L′ = L ∩ G′ , K ′ = K ∩ G′ . Die durch αL (x, ˙ l) = xlx−1 ,

αK (x, ˙ k) = xkx−1

gegebenen Abbildungen αL : (G/L) × L′ → G′ ,

αK : (G/K) × K ′ → G′ 67

sind offene Einbettungen, und G′ ist die disjunkte Vereinigung ihrer Bilder. Die Abbildung αK ist injektiv, w¨ahrend jeder Punkt im Bild von αL genau zwei Urbilder hat. Beweis. Es sei g ∈ G′ mit Eigenwerten a 6= a−1 , also a 6= ±1. Da g reell ist, ist auch a ¯ ein Eigenwert. ¡a 0 ¢ Ist a ¡ −1 ¢ reell, so ist g in G zu genau zwei Diagonalmatrizen 0 a−1 und a 0 konjugiert, wobei die konjugierende Matrix in jedem Fall eindeutig 0 a bestimmt ist. Ist hingegen a nicht reell, so ist a = eiθ f¨ ur θ ∈ R, θ ∈ / πZ, und g ist zu kθ konjugiert. Man pr¨ uft leicht, dass kein Element von G mit kθ kommutiert, also ist die konjugierende Matrix eindeutig bestimmt. Es bleibt zu zeigen, dass die Ableitungen von αL und αK bijektiv zwischen den jeweiligen Tangentialr¨aumen sind, was aus dem n¨achsten Lemma folgt. 2 Lemma 20 Es sei H ∈ {L, K} und m ein Ad(H)-invarianter komplement¨arer Unterrraum zu h in g. Identifizieren wir den Tangentialraum an (G/H)× H ′ im Punkt (x, ˙ h) mittels Linkstranslation durch (x, h) mit m ⊕ h, und den an G im Punkt αH (x, h) mittels Linkstranslation mit g, so gilt ′ αH (x, h)(X, Y ) = Ad(x)(Ad(h−1 )X − X + Y ).

Beweis. Wir w¨ahlen glatte Wege γ in G und δ in H mit γ ′ (0) = X und δ ′ (0) = Y . Dann gilt d2 ∗ α f ((xγ(s))˙, hδ(t))|s=t=0 ds dt H d2 = f (xγ(s)hδ(t)(xγ(s))−1 )|s=t=0 ds dt d d d = f (xγ(s)hx−1 )|s=0 + f (xhδ(t)x−1 )|t=0 + f (xhγ(s)−1 x−1 )|s=0 ds dt ds −1 −1 = LAd(xh−1 )X f (xhx ) + LAd(x)Y f (xhx ) − LAd(x)X f (xhx−1 ) ∗ = αH (LAd(x)(Ad(h−1 )X−X+Y ) f )(x, ˙ h).

∗ L(X,Y ) αH f (x, ˙ h) =

2 Satz 52 F¨ ur f ∈ L1 (G) gilt Z Z Z Z Z 1 −1 f (xlx ) dx|D(l)|dl ˙ + f (xkx−1 ) dx|D(k)|dk, ˙ f (g) dg = 2 L G/L K G/K G wobei D(k) = detg/k(Ad(k) − id) und die invarianten Maße auf den Untergruppen und Quotienten aufeinander abgestimmt sind. 68

Beweis. Das Komplement von G′ ist die Nullstellenmenge der Diskriminante des charakteristischen Polynoms, also eine Nullmenge bez¨ uglich des Haar′ maßes. Darum brauchen wir nur das Integral u ¨ber G zu betrachten. Wir zerlegen den Integrationsbereich in zwei Teile und wenden die Transformationsformel auf αH mit H = L bzw. H = K an. Da wir linksinvariante ′ Dichten benutzen, k¨onnen wir αH mittels Linkstranslationen als Abbildung m ⊕ h → g betrachten. Die Maße sollen aufeinander abgestimmt sein, d. h. die Dichten auf m und h ergeben kombiniert die Dichte auf g. darum ist die ′ Jacobideterminante in der Transformationsformel gleich det αH . Wegen der Unimodularit¨at von G ist | det Ad(x)| = 1, also ′ | det αH (x, ˙ h)| = |D(h−1 )| = |D(h)|.

Da die Abbildung αL ihr Bild doppelt u ¨berdeckt, haben wir den Faktor 1/2 einzuf¨ ugen. 2 Satz 53 F¨ ur f ∈ Cc∞ (G), s ∈ C und n ∈ Z mit n ≥ 1 gilt Z Z 1 1 ¯ f (g)(χn (g)+χ¯n (g)) dg, f (g)χs,± (g) dg, tr(δn ⊕δn ) (f ) = tr πs,± (f ) = G′

G′

wobei die Funktionen χs,± und χn invariant unter inneren Automorphismen, also durch folgende Formeln f¨ ur k ∈ K ′ und l ∈ L′ festgelegt sind: χs,± (k) = 0, χn (kθ ) = − sgn(n)

σs,± (l) + σs,± (l−1 ) , |D(l)|1/2 σn,εn (lεl ) χn (l) = . |D(l)|1/2

χs,± (l) = einθ , eiθ − e−iθ

Dabei ist εl ∈ {1, −1} so zu w¨ahlen, dass |σn,εn (lεl )| < 1. Beweis. Nach der Weylschen Integrationsformel ist Z Z Z σs,± (l) + σs,± (l−1 ) f (g)χs,± (g) dg = dl. f (xlx−1 ) dx˙ |D(l)|1/2 2 G′ L′ G/L Zerlegen wir das Integral in zwei Summanden und substituieren im zweiten 1 (x, l−1 ) durch (xw, l), so erhalten wir genau die Formel f¨ ur tr πs,± (f ) aus ¯ Folgerung 14. Die Formel f¨ ur die Spur von δn ⊕ δn folgt aus Lemma 18 und der Formel f¨ ur tr σn aus dem Beispiel nach Lemma 12. 2 Die Spur von δn allein ist u ¨brigens durch χn gegeben, aber das ist weitaus schwerer zu beweisen. 69

19

Die Plancherelformel fu ¨ r SL(2,R)

Satz 54 (Umkehrformel) F¨ ur alle f ∈ Cc∞ (G) gilt bei geeigneter Normierung des Haarmaßes f (e) =

∞ X

n tr δn1 (f )

n=1

+

Z

0

+

∞ X

n tr δ¯n1 (f )

n=1

∞

1 tr πir,+ (f )

πr r tanh dr + 2 2

Z

0

∞ 1 tr πir,− (f )

r πr coth dr. 2 2

ˆ der Aquivalenzklassen ¨ Die rechte Seite ist ein Integral u ¨ber die Menge G irreduzibler unit¨arer Darstellungen bez¨ uglich eines Maßes µ, das man Plancherelmaß nennt. Beachte, dass die Nebenreihe, die Grenzwerte der diskreten Reihe und die triviale Darstellung eine Nullmenge bez¨ uglich des Plancherelmaßes bilden. 1 Folgerung 15 (Plancherelformel) Ist f ∈ L2 (G), so sind πir,± (f ), δn1 (f ), δ¯n1 (f ) f¨ ur fast alle r ∈ R und alle n ≥ 1 Hilbert-Schmidt-Operatoren, und f¨ ur f1 , f2 ∈ L2 (G) gilt

hf1 , f2 i =

Z +

0

∞

∞ X n=1

nhδn1 (f1 ), δn1 (f2 )i

+

∞ X

nhδ¯n1 (f1 ), δ¯n1 (f2 )i

n=1

Z ∞ πr r πr 1 1 tanh dr+ hπir,− (f1 ), πir,− (f2 )i coth dr. 2 2 2 2 0

r 1 1 (f2 )i hπir,+ (f1 ), πir,+

Dies folgt zun¨achst f¨ ur f1 , f2 ∈ Cc∞ (G), indem wir f = f1 ∗ f2∗ in die Umkehrformel einsetzen. Setzen wir dann f1 = f2 und approximieren damit eine beliebige Funktion f ∈ L2 (G), so konvergiert die linke Seite gegen kf k22 , also konvergiert auch die rechte Seite, deshalb liegt die Grenzfunktion ˆ µ). Schließlich folgt die Konπ 7→ kπ 1 (f )k2 (Hilbert-Schmidt-Norm) in L2 (G, vergenz der allgemeinen Formel aus der Cauchy-Schwarz-Ungleichung f¨ ur das ˆ Hilbert-Schmidt-Skalarprodukt und das Integral u ¨ber G. Die quadrat-integrierbaren Darstellungen von G sind die Darstellungen δn und δ¯n der diskreten Reihe. F¨ ur f ∈ L2dis (G) bleibt auf der rechten Seite nur ihr Beitrag zur¨ uck, und wir erhalten Folgerung 6 zur¨ uck. Dabei ist µ({δn }) = ¯ µ({δn }) = n die formale Dimension bez¨ uglich des gew¨ahlten Haar-Maßes.

70