ﻣﺪﻳﺮ ﻣﺴﺌﻮل :ﻣﺤﻤﺪ ﻧﺎﺻﺮى ﺳﺮدﺑﻴﺮ :زﻫﺮا ﮔﻮﻳﺎ ﻣﺪﻳﺮ داﺧﻠﻰ :ﺳﭙﻴﺪه ﭼﻤﻦ آرا ﻫﻴﺌﺖ ﲢﺮﻳﺮﻳﻪ :اﺳﻤﺎﻋﻴﻞ ﺑﺎﺑﻠﻴﺎن ،ﻣﻴﺮزا ﺟﻠﻴﻠﻰ، ﺳﭙﻴﺪه ﭼﻤﻦ.آرا ،ﻣﻬﺪى رﺟﺒﻌﻠﻰ ﭘﻮر ،ﻣﺎﻧﻰ رﺿﺎﺋﻰ، ﺷﻴﻮا زﻣﺎﻧﻰ ،ﺑﻴﮋن ﻇﻬﻮرى زﻧﮕﻨﻪ ،ﺳﻬﻴﻼ ﻏﻼم آزاد و ﻣﺤﻤﺪ رﺿﺎ ﻓﺪاﺋﻰ ﻃﺮاح ﮔﺮاﻓﻴﻚ :ﻣﻬﺪى ﻛﺮﻳﻢ.ﺧﺎﻧﻰ
٩٩ دورهى ﺑﻴﺴﺖ و ﻫﻔﺘﻢ/ﺷﻤﺎرهى /٣ﺑﻬﺎر١٣٨٩
ﻓﺼﻠﻨﺎﻣﻪى آﻣﻮزﺷﻰ،ﲢﻠﻴﻠﻰ و اﻃﻼع رﺳﺎﻧﻰ
ﻓﻬﺮﺳﺖ
ﺳﺨﻦ ﺳﺮدﺑﻴﺮ ٢ داﺳﺘﺎن ﺟﺒﺮ ،ﻣﻨﺎﻓﻊ و دامﻫﺎى ﺷﻰءاﻧﮕﺎرى )ﻗﺴﻤﺖ اول( ٤ ﺑﺎزﻧﮕﺮى ﻳﻚ ﺗﺠﺮﺑﻪ؛ ﺿﺮورت ﺗﻠﻔﻴﻖ در ﺑﺮﻧﺎﻣﻪى درﺳﻰ درك داﻧﺶآﻣﻮزان از ﻣﻔﻬﻮم اﺻﻠﻰ ﺗﺎﺑﻊ رواﻳﺖ ﻣﻌﻠﻤﺎن :ﺑﺮرﺳﻰ وﻳﮋﮔﻰﻫﺎى ﭼﻬﺎرﺿﻠﻌﻰﻫﺎ ﭼﮕﻮﻧﮕﻰ اﻧﺘﺨﺎب ﺗﻜﺎﻟﻴ Mﺑﺮاى ﻛﻼس درس دﻳﺪﮔﺎه):(١ﺗﻌﻠﻢ وﺗﺮﺑﻴﺖ ﻗﺮون وﺳﻄﺎﻳﻰ ﺑﻪ ﺳﺒﻚ ﺟﺪﻳﺪ! دﻳﺪﮔﺎه):(٢درﺑـﺎره دﻳﺪﮔﺎه ﺗﺤﻠﻴـﻞ و روش ﺗﺪرﻳﺲ رﻳﺎﺿﻰ ٢ﻣﺘـﻮﺳﻄﻪ و... اﺛﺒﺎت ﻧﺎﻣﺴﺎوىﻫﺎ ﺑﻪ ﻛﻤﻚ ﺗﻮاﺑﻊ ﻣﺤﺪب )ﻗﺴﻤﺖ (٢ اﺳﺘﻔﺎده از ﻛﺘﺎبﻫﺎى ﻛﻤﻚآﻣﻮزﺷﻰ رﻳﺎﺿﻰ؛ آرى ﻳﺎ ﻧﻪ؟ ﺳﺮﮔﺮﻣﻰﻫﺎى ﺗﺎرﻳﺨﻰ در آﻣﻮزش رﻳﺎﺿﻰ ﻣﻌﺮﻓﻰ ﻧﺸﺮﻳﻪ
١٥ ٢٤ ٣٤ ٣٨ ٤٢ ٤٥ ٤٧ ٥٢ ٥٦ ٦٤
زﻫﺮا ﮔﻮﻳﺎ آﻧﺎ اﺳﻔﺎرد و ُﻟﻴﺮا ﻟﻴﻨﭽﻮﺳﻜﻰ ﺗﺮﺟﻤﻪ :زﻫﺮا ﻛﺎﻣﻴﺎب واﻣﻴﺮﺣﺴﻴﻦ اﺻﻐﺮى ﺳﭙﻴﺪه ﭼﻤﻦ.آرا ﺑﻰ.ﺑﻰ.زﻛﻴﻪ ﭘﺮﻫﻴﺰﮔﺎر و زﻫﺮا ﮔﻮﻳﺎ ﻧﻐﻤﻪ ﺣﺎﺟﻰ.ﺻﺎدﻗﻰ اﻓﺴﺎﻧﻪ ﺣﻴﺪرى ارﺟﻠﻮ ﻣﺮﻳﻢ ﮔﻮﻳﺎ ﻣﺆﻟﻔﺎن رﻳﺎﺿﻰ ٢ ﻋﻠﻰ ﻏﻼﻣﻴﺎن ﻣﺤﺴﻦ ﺗﻨﺪه ﻧﺮﮔﺲ ﻋﺼﺎرزادﮔﺎن
ﻋﻜﺲ روى ﺟﻠﺪ :رﺿﺎ ﺑﻬﺮاﻣﻰ ﻣﺠﻠﻪى رﺷﺪ آﻣﻮزش رﻳﺎﺿﻰ ﻧﻮﺷﺘﻪﻫﺎ و ﮔﺰارش ﺗﺤﻘﻴﻘﺎت ﭘﮋوﻫﺸﮕﺮان و ﻣﺘﺨﺼﺼﺎن ﺗﻌﻠﻴﻢ وﺗﺮﺑﻴﺖ ،ﺑﻪ وﻳﮋه ﻣﻌﻠّﻤﺎن دورهﻫﺎى ﺗﺤﺼﻴﻠﻰ ﻣﺨﺘﻠ Mرا در ﺻﻮرﺗﻰ ﻛﻪ در ﻧﺸﺮﻳﺎت ﻋﻤﻮﻣﻰ درج ﻧﺸﺪه و ﻣﺮﺗﺒﻂ ﺑﺎ ﻣﻮﺿﻮع ﻣﺠﻠﻪ ﺑﺎﺷﺪ ،ﻣﻰﭘﺬﻳﺮد .ﻻزم اﺳﺖ در ﻣﻄﺎﻟﺐ ارﺳﺎﻟﻰ ﻣﻮارد زﻳﺮ رﻋﺎﻳﺖ ﺷﻮد:
● ﻧﺸﺎﻧﻰ دﻓﺘﺮ ﻣﺠﻠﻪ :ﺗﻬﺮان ،اﻳﺮاﻧﺸﻬﺮ.ﺷﻤﺎﻟﻰ ،ﭘﻼك .٢٦٦ ﺻﻨﺪوق ﭘﺴﺘﻰ١٥٨٧٥/٦٥٨٥: ● ﺗﻠﻔﻦ ) ٨٨٨٣١١٦١-٩ :داﺧﻠﻰ ( ٣٧٤ ● ﻧﻤﺎﺑﺮ٨٨٣٠١٤٧٨ : ●ﭘﺎﻳﮕﺎه اﻳﻨﺘﺮﻧﺘﻰwww.roshdmag.ir : ● راﻳﺎﻧﺎﻣﻪ
[email protected] : ● ﺗﻠﻔﻦ ﭘﻴﺎمﮔﻴﺮ ﻧﺸﺮﻳﺎن رﺷﺪ٨٨٣٠١٤٨٢ : ● ﻛﺪ ﻣﺪﻳﺮﻣﺴﺌﻮل ● ١٠٢ :ﻛﺪ دﻓﺘﺮ ﻣﺠﻠﻪ● ١١٣: ﻛﺪ اﻣﻮر ﻣﺸﺘﺮﻛﻴﻦ١١٤ : ● ﻧﺸﺎﻧﻰ اﻣﻮر ﻣﺸﺘﺮﻛﻴﻦ:ﺗﻬﺮان،ﺻﻨﺪوق ﭘﺴﺘﻰ١٦٥٩٥ /١١١: ● ﺗﻠﻔﻦ اﻣﻮر ﻣﺸﺘﺮﻛﻴﻦ ٧٧٣٣٦٦٥٥-٧٧٣٣٦٦٥٦: ● ﭼﺎپ :ﺷﺮﻛﺖ اﻓﺴﺖ )ﺳﻬﺎﻣﻰ ﻋﺎم( ● ﺷﻤﺎرﮔﺎن١٢٠٠٠:
ﻣﻄﺎﻟﺐ ﻳﻚ ﺧﻂ در ﻣﻴﺎن و در ﻳﻚ روى ﻛﺎﻏﺬ ﻧﻮﺷﺘﻪ و در ﺻﻮرت اﻣﻜﺎن ﺗﺎﻳﭗ ﺷﻮد. ﺷﻜﻞ ﻗﺮار ﮔﺮﻓﺘﻦ ﺟﺪول ﻫﺎ ،ﻧﻤﻮدارﻫﺎ و ﺗﺼﺎوﻳﺮ ،ﭘﻴﻮﺳﺖ و در ﺣﺎﺷﻴﻪ.ى ﻣﻄﻠﺐ ﻧﻴﺰ ﻣﺸﺨﺺ ﺷﻮد. ﻧﺜﺮ ﻣﻘﺎﻟﻪ ،روان و از ﻧﻈﺮ دﺳﺘﻮر زﺑﺎن ﻓﺎرﺳﻰ درﺳﺖ ﺑﺎﺷﺪ و در اﻧﺘﺨﺎب واژه.ﻫﺎى ﻋﻠﻤﻰ و ﻓﻨﻰ دﻗﺖ ﺷﻮد. ﺑﺮاى ﺗﺮﺟﻤﻪ.ى ﻣﻘﺎﻟﻪ ،ﻧﺨﺴﺖ اﺻﻞ ﻣﻘﺎﻟﻪ و ﻣﻨﺒﻊ دﻗﻴﻖ آن ،ﺑﻪ ﻫﻤﺮاه ﺗﺮﺟﻤﻪ.ى ﻳﻚ ﺑﻨﺪ از آن ،ﺑﻪ دﻓﺘﺮ ﻣﺠﻠﻪ ارﺳﺎل ﺷﻮد ﺗﺎ ﻣﻮرد ﺑﺮرﺳﻰ ﻫﻴﺌﺖ ﺗﺤﺮﻳﺮﻳﻪ ﻗﺮار ﮔﻴﺮد و ﭘﺲ از ﺗﺼﻮﻳﺐ ﻣﻘﺎﻟﻪ و ﺗﺮﺟﻤﻪ.ى اراﻳﻪ ﺷﺪه ،ﺳﻔﺎرش ﺗﺮﺟﻤﻪ ﺑﻪ ﻓﺮﺳﺘﻨﺪه.ى ﻣﻘﺎﻟﻪ داده ﺧﻮاﻫﺪ ﺷﺪ .در ﻏﻴﺮ اﻳﻦ ﺻﻮرت،ﻣﺠﻠﻪ ﻣﻰ.ﺗﻮاﻧﺪ ﺳﻔﺎرش ﺗﺮﺟﻤﻪ.ى ﻣﻘﺎﻟﻪ را ﺑﻪ ﻣﺘﺮﺟﻢ دﻳﮕﺮى ﺑﺪﻫﺪ. در ﻣﺘﻦ ﻫﺎى ارﺳﺎﻟﻰ ﺗﺎ ﺣﺪ اﻣﻜﺎن از ﻣﻌﺎدل.ﻫﺎى ﻓﺎرﺳﻰ واژه.ﻫﺎ و اﺻﻄﻼﺣﺎت اﺳﺘﻔﺎده ﺷﻮد. ﭘﻰ.ﻧﻮﺷﺖ ﻫﺎ و ﻣﻨﺎﺑﻊ ،ﻛﺎﻣﻞ و ﺷﺎﻣﻞ ﻧﺎم اﺛﺮ ،ﻧـﺎم ﻧﻮﻳﺴﻨﺪه ،ﻧﺎم ﻣﺘﺮﺟﻢ ،ﻣﺤﻞ ﻧﺸﺮ ،ﻧﺎﺷﺮ ،ﺳﺎل اﻧﺘﺸﺎر و ﺷﻤﺎره.ى ﺻﻔﺤﻪ.ى ﻣﻮرد اﺳﺘﻔﺎده ﺑـﺎﺷﺪ. ﭼﻜﻴﺪه اى از اﺛﺮ و ﻣﻘﺎﻟﻪ.ى ارﺳﺎل ﺷﺪه در ﺣﺪ اﻛﺜﺮ ٢٥٠ﻛﻠﻤﻪ ،ﻫﻤﺮاه ﻣﻄﻠﺐ ارﺳﺎل ﺷﻮد. در ﻣﻘﺎﻟﻪ.ﻫﺎى ﺗﺤﻘﻴﻘﻰ ﻳﺎ ﺗﻮﺻﻴﻔﻰ ،واژه.ﻫﺎى ﻛﻠﻴﺪى در اﻧﺘﻬﺎى ﭼﻜﻴﺪه ،ذﻛﺮ ﺷﻮد. ﻫﻢﭼﻨﻴﻦ: ﻣﺠﻠﻪ در ﭘﺬﻳﺮش ،رد ،وﻳﺮاﻳﺶ ﻳﺎ ﺗﻠﺨﻴﺺ ﻣﻘﺎﻟﻪ.ﻫﺎى رﺳﻴﺪه ﻣﺠﺎز اﺳﺖ. ﻣﻄﺎﻟﺐ ﻣﻨﺪرج در ﻣﺠﻠﻪ ،اﻟﺰاﻣﺎ ﻣﺒﻴّﻦ ﻧﻈﺮ دﻓﺘﺮ اﻧﺘﺸﺎرات ﻛﻤﻚ آﻣﻮزﺷﻰ ﻧﻴﺴﺖ و ﻣﺴﺌﻮﻟﻴﺖ ﭘﺎﺳﺦ.ﮔﻮﻳﻰ ﺑﻪ ﭘﺮﺳﺶ ﻫﺎى ﺧﻮاﻧﻨﺪﮔﺎن ،ﺑﺎ ﺧﻮد ﻧﻮﻳﺴﻨﺪه ﻳﺎ ﻣﺘﺮﺟﻢ اﺳﺖ. ﻣﻘﺎﻟﻪ.ﻫﺎى درﻳﺎﻓﺘﻰ در .ﺻﻮرت ﭘﺬﻳﺮش ﻳﺎ رد ،ﺑﺎز.ﮔﺸﺖ داده ﻧﻤﻰ.ﺷﻮد.
١
دوره ى ﺑﻴﺴﺖ وﻫﻔﺘﻢ ﺷﻤﺎره ى٣ ﺑﻬﺎر ١٣٨٩
ﻣﺪرﺳﻪ :ﺣﻖ ﻳﺎ اﻣﺘﻴﺎز
ﻫﺮ ﻛﻪ در اﻳﻦ ﺳﺮا درآﻳﺪ ،ﻧﺎﻧﺶ دﻫﻴﺪ ﻧﺎﻧﺶ دﻫﻴﺪ و از ﻧﺎﻣﺶ ﻣﭙﺮﺳﻴﺪ ﭼﻪ آن ﻛﺲ ﻛﻪ ﺑﻪ درﮔﺎه ﺑﺎرى ﺗﻌﺎﻟﻰ ﺑﻪ ﺟﺎن ارزد، اﻟﺒﺘﻪ ﺑﺮ ﺧﻮان ﺑﻮاﻟﺤﺴﻦ ﺑﻪ ﻧﺎن ارزد. ﺷﻴﺦ اﺑﻮاﻟﺤﺴﻦ ﺧﺮﻗﺎﻧﻰ ﻛﺘﺎب ﻧﻮراﻟﻌﻠﻮم ﻗﺮن ﭼﻬﺎرم و اواﻳﻞ ﻗﺮن ﭘﻨﺠﻢ ﻫﺠﺮى ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○
از ﺷﺮوع ﻗﺮن ﺗﻤﺎم ﺷﺪه ،ﻣـﺪرﺳﻪ ﺟﺰو ﺣﻘـﻮق اوﻟﻴﻪ ى ﺑﺸـﺮى ﺷﺪ و ﺑﺪﻳﻦ ﺳﺒﺐ ،ﻧﻬﺎدى ﺑﻪ ﻧﺎم آﻣـﻮزش ﻋﻤﻮﻣﻰ و ﺟﺎﻳﮕﺎﻫﻰ ﺑـﻪ ﻧﺎم ﻣﺪرﺳﻪ ،ﺗﺄﺳﻴﺲ ﺷﺪ .ﻃﺒﻴﻌﻰ اﺳﺖ ﻛﻪ اﻳﻦ ﺣـﺮﻛﺖ در ﺗـﺪاوم ﺧﻮد ،ﺑﻴﺸﺘﺮ و ﺑﻴﺸـﺘـﺮ ﺑـﻪ وﻇﻴﻔﻪ ى اﺻﻠﻰ اش ﻛﻪ ﻫـﻤـﺎﻧـﺎ آﻣـﻮزش ﻫﻤﮕﺎﻧـﻰ ﺑـﺎﺷـﺪ ،ﻧـﺰدﻳﻚ ﺷﺪ .ﻣﻬﻢ ﺗـﺮﻳـﻦ ﻋـﻠـﺖ وﺟﻮدى ﺗـﻤـﺎم آﻣﻮزش ﻫﺎى ﻋﻤﻮﻣﻰ ،ﺗﺄﻣﻴﻦ اﻳﻦ ﺣﻘﻮق ـ ﻳﻌﻨﻰ ﺣﻖ آﻣﻮزش ـ ﺑﻴﺎن ﺷﺪه اﺳـﺖ و در ﻧـﺘـﻴـﺠـﻪ ،در ﺳـﺮاﺳﺮ ﺟـﻬـﺎن ،ﺗـﻤـﺎم دوﻟـﺖ ﻫـﺎ ﻣﻮﻇ Iاﻧﺪ ﻛﻪ ﻣـﺪرﺳﻪ رﻓﺘﻦ اﻓـﺮاد را ﺗﺴﻬﻴﻞ ﻛﻨﻨـﺪ .در واﻗﻊ ،ﺣـﻖ آﻣﻮزش ،وﻇﻴﻔﻪ ى ﻫـﺮ دوﻟﺘﻰ در ﻗﺒﺎل ﺟﺎﻣﻌﻪ ى ﺧـﻮد اﺳﺖ و اﻳﻦ ﺣﻘﻰ اﺳﺖ ﻛﻪ ﻫـﺮ ﺷـﻬـﺮوﻧﺪى ـ در ﻫﺮ ﺟﺎى دﻧﻴﺎ ـ از ﺟـﺎﻣـﻌـﻪ ى ﺧﻮﻳﺶ ﻃﻠﺐ ﻣﻰ ﻛﻨﺪ. دوره ى ﺑﻴﺴﺖ وﻫﻔﺘﻢ ﺷﻤﺎره ى٣ ﺑﻬﺎر ١٣٨٩
٢
اﻣﺎ در ﻋﺼﺮ ﺟﺪﻳﺪ ،ﻣﻮازﻧﻪ ﻫﺎ ﺑﻪ ﻫﻢ رﻳﺨﺘﻪ اﺳﺖ و ﺑﻪ ﺟﻬـﺖ ﺷﺄﻧﻴﺖ و ﺟﺎﻳﮕﺎه ،ﻣﺪرﺳﻪ ﺗﺪاوم آﻣﻮزش در ﮔﺬﺷﺘﻪ ﻧﻴﺴﺖ .ﺑﻪ ﻃﻮر ﻣﺜﺎل ،در اﻳﺮان ﻣـﺪارس ﻣﺘﻨﻮﻋﻰ ﺗﺄﺳﻴﺲ ﺷﺪه اﻧﺪ ﻛﻪ اﻓـﺮاد را ﺑﺮاى ﺑﻬﺮه ﻣﻨﺪى از ﺣﻖ ﻃﺒﻴﻌﻰ ﺧﻮد ﻳﻌﻨﻰ آﻣﻮزش دﻳﺪن ،ﺳََﺮﻧﺪ ﻣﻰ ﻛﻨﻨﺪ و ﺑﻪ ﺧﻴﺎل ﺧـﻮﻳـﺶ ،ﺳـﺮه را از ﻧﺎﺳـﺮه ﺟﺪا ﻣﻰ ﻛﻨـﻨـﺪ و ﺑـﺮاى آن، ﺗﻮﺟﻴﻬﺎت ﻣﺮدم ﭘﺴﻨﺪاﻧﻪ ﻣﻰ آورﻧﺪ .در ﺣﺎﻟﻰ ﻛﻪ از ﻣﻨﻈﺮ ﻋﻠﻢ ﺗﻌﻠﻴﻢ و ﺗﺮﺑﻴﺖ ـ ﻧﻪ ﺳﻠﻴﻘﻪ ﻫـﺎى آﻣـﻮزﺷﻰ ﻛﻪ اﻏﻠﺐ رﻳﺸـﻪ در آرﻣﺎن ﻫﺎى اﻓﺮاد دارد و ﺑﺴـﻴـﺎرى از آن ﻫﺎ از ﻧﻈﺮ ﻋﻠﻤﻰ ﻗﺎﺑﻞ دﻓﺎع ﻧـﻴـﺴـﺘـﻨـﺪ ـ روش ﻫﺎى ﻣﻮرد اﺳﺘﻔﺎده در ﺑﺴﻴﺎرى از اﻳﻦ ﻣﺪارس ﻣﺘﻨﻮع ،از ﭼﻨﺎن ﻳـﻜـﻨـﻮاﺧﺘـﻰ و ﻛـﻬـﻨـﮕـﻰ ﺑـﺮﺧﻮردارﻧـﺪ ﻛـﻪ ﺷـﮕـﻔـﺖ
آورﻧـﺪ و اﻳـﻦ ﻓﺮﺻﺖ ﺳﻮزى ﻏﺮﻳﺐ اﺳﺖ.
واﻗﻌﻴﺘﻰ ﻛﻪ در اﻳـﺮان اﺗﻔﺎق اﻓﺘﺎده اﻳﻦ اﺳﺖ ﻛﻪ ﺣﺘﻰ ﻣـﺪارﺳﻰ ﻛﻪ داراى اﻣﻜﺎﻧﺎت ﻓﺮاوانِ اﺟﺘﻤﺎﻋﻰ و اﻗﺘﺼﺎدى ﻫﺴﺘﻨﺪ ،ﺑﺎز ﻫﻢ از ﻧﻈﺮ اﺻـﻮل ﻋﻠﻤـﻰ ـ آﻣـﻮزﺷﻰ ،دﭼﺎر ﻣﺸـﻜـﻼت ﻓـﺮاوان اﻧﺪ زﻳـﺮا ﺑﺮﻧﺎﻣﻪ ﻫﺎى اﻳﻦ ﻣﺪارس ،از ﻛﻬﻨﮕﻰ دﻳﺪﮔﺎﻫﻰ رﻧﺞ ﻣﻰ ﺑﺮﻧﺪ. در ﺣﻘﻴﻘﺖ ،ﺑﻪ دﻟﻴﻞ ﻓﻘﺪان ﭼﺸﻢ اﻧﺪازﻫﺎى آﻣﻮزﺷﻰ ﭘﻴﺸﺮو، و ﻛﻤﺒﻮد داﻧﺶ ﺗﺨﺼﺼﻰ آﻣﻮزﺷﻰ ﻣﺒﺘﻨﻰ ﺑﺮ ﻣﺪرﺳﻪ ،ﺣﺘﻰ ﺑﺴﻴﺎرى از اﻓﺮاد ﺗﻮاﻧﻤﻨﺪ و ﺗﺤﺼﻴﻞ ﻛﺮده ﻧﻴﺰ ،ﺟﺰ ﺗﺠﺮﺑﻪ ﻫﺎى دوران ﺗﺤﺼﻴﻞ ﺧﻮد ،ﺑﻪ ﻧﺪرت اﻟﮕﻮى دﻳﮕﺮى دارﻧﺪ و در ﻧﺘﻴﺠﻪ ،ﺗﻌﺎﻟﻰ آﻣﻮزﺷﻰ را ﺑﺎ ﺗﻜﺮار آﻣﻮزش دوره ى ﺧﻮدﺷﺎن ،اﻧﺘﻈﺎر ﻣﻰ ﻛﺸﻨﺪ. ﮔﺎﻫـﻰ ﭘـﺪر و ﻣـﺎدرﻫﺎى ﺗﺤـﺼـﻴـﻞ ﻛـﺮده و آرﻣـﺎن ﺧـﻮاه ﻧﻴـﺰ، ﺗﺠﺮﺑﻪ ﻫﺎى آﻣﻮزﺷﻰ ﺧﻮد را ﺑﻪ ﻋﻨﻮان ﺑﻬﺘﺮﻳﻦ اﻟﮕﻮ ،ﺑﻪ ﻣﺪارس وﻳﮋه ﺗﺤﻤﻴﻞ ﻣﻰ ﻛﻨﻨﺪ؛ اﻟﮕـﻮﻫﺎﻳﻰ ﻛﻪ ﺑـﺪون ﻗﻀﺎوت و ﻧﻘﺪ ﻣﻨﺼﻔﺎﻧـﻪ، اﻧﮕﺎر ﻛﻪ ﺗﻨﻬﺎ اﻟﮕﻮﻫﺎى ﻣﻮﺟﻮد ﺑﻮده اﻧﺪ. ﺑﻪ ﮔﻔﺘﻪ ى ﮔـﺎردﻧﺮ ،اﮔﺮ ﻳﻚ ﻧﻔﺮ از ﻗـﺮن ﻧﻮزدﻫـﻢ وارد ﻣﺪارس ﻛﻨﻮﻧﻰ ﻣﺎ ﺷﻮد ،ﺑﻪ راﺣﺘﻰ ﺑﺎ اﻳﻦ ﻣﺪارس ﺳﺎزﮔﺎر ﻣﻰ ﮔﺮدد و اﺣﺴﺎس ﻏﺮﺑﺖ ﻧﻤﻰ ﻛﻨـﺪ و در واﻗﻊ ،اﺣﺴﺎس ﻣﻰ ﻛﻨﺪ ﻛﻪ ﻫﻴﭻ ﻣﺸﻜﻠﻰ ﺑـﺎ آن ﻫﺎ ﻧﺨﻮاﻫﺪ داﺷﺖ! زﻳـﺮا ﺑﻪ ﮔﻔﺘﻪ ى وى ،در ﻫﻤﻴﻦ ﻛﻼس ﻗـﺮن ﺑﻴﺴﺖ و ﻳﻜﻢ ،ﻫﻢ ﭼﻨﺎن ﻣﻌﻠﻢ ﭘﺎى ﺗﺎﺑﻠﻮ ﻣﺸـﻐـﻮل ﻧﻮﺷﺘﻦ اﺳﺖ، داﻧﺶ آﻣﻮز ﻳﺎدداﺷﺖ ﺑﺮﻣﻰ دارد ،درس ﮔﻔﺘﻪ ﻣﻰ ﺷﻮد ،آﻣﻮزه ﻫﺎ در ﺳﻜـﻮت ـ و ﮔﺎﻫﻰ ﺑﺎ ﭼﺎﺷﻨﻰ ﺗـﻨـﻮع در ﻗﺎﻟﺐ ﻛـﺎرى در ﮔﺮوه ﻫـﺎى ﻛﻮﭼﻚ ﻳﺎدﮔﻴﺮى! ـ درﻳﺎﻓﺖ ﻣﻰ ﺷﻮﻧﺪ! ﺗﻤﺮﻳﻦ داده ﻣﻰ ﺷﻮد ،ﺗﻜﺮار ﻣﻰ ﺷﻮد و داﺳﺘﺎن ﺑﺎ ﻫﻤﻴﻦ ﻳﻜﻨـﻮاﺧﺘﻰ ،اداﻣﻪ ﻣﻰ ﻳﺎﺑﺪ .ﮔﺎردﻧﺮ در اداﻣﻪ ﻣﻰ ﮔﻮﻳﺪ؛ اﻳﻦ در زﻣﺎﻧﻰ اﺳﺖ ﻛﻪ اﮔـﺮ آن ﻗـﺮن ﻧﻮزدﻫﻤـﻰ وارد ﺟﺎﻣﻌـﻪ ى واﻗﻌﻰ ﺷـﻮد ،وﺣﺸـﺖ زده ﻣﻰ ﮔـﺮدد و ﺑﻪ ﺷﺪت اﺣﺴﺎس ﻏـﺮﺑـﺖ ﻣﻰ ﻛﻨﺪ ،زﻳﺮا ﺗﻜﻨﻮﻟﻮژى آن ﭼﻨﺎن ﻣﻮازﻳﻦ ﺟﺎﻣﻌﻪ را زﻳﺮ و رو ﻛﺮده ﻛﻪ ﺑﻴﻦ اﻳﻦ دﻧﻴﺎ و دﻧﻴﺎى ﻗـﺮن ﻧـﻮزدﻫﻢ ﺧﻮد ،ﻫﻴﭻ ﻓﺼﻞ ﻣﺸﺘـﺮﻛﻰ ﻧﻤﻰ ﺑﻴﻨﺪ ،وﻟﻰ در ﻣﻮاﺟﻬﻪ ﺑﺎ ﻣﺪرﺳﻪ و درون ﺣﺼﺎر ﻣﺪرﺳﻪ ،ﻣﺜﻞ آن اﺳﺖ ﻛﻪ دوران ﺧﻮدش را ﺗﺠﺮﺑﻪ ﻣﻰ ﻛﻨﺪ! ﻣﺪرﺳﻪ در ﻣﻮاﺟﻬﻪ ﺑﺎ ﺗﻐﻴﻴـﺮات ،ﺑﻴﺸﺘﺮ ﻣﺎﻫﻴﺖ ﻣﺤﺎﻓﻈﻪ ﻛـﺎراﻧﻪ دارد و اﻳﻦ اﻣﺮ ،ﻣﻨﺤﺼﺮ ﺑﻪ اﻳﺮان ﻧﻴﺴﺖ ،اﻣﺎ ﺷﺪت و ﺿﻌ Iدارد. در ﺑﻌﻀﻰ از ﻣﻨﺎﻃﻖ دﻧﻴﺎ ،ﺧﻴﻠﻰ ﺷﺪﻳﺪﺗﺮ اﺳﺖ و در ﺑﻌﻀﻰ ﺟﺎﻫﺎ ﺿﻌﻴ Iﺗﺮ .ﺑﻪ اﻳﻦ ﻋﻠﺖ ،ﺗﻼش ﻫﺎى ﺑﺴﻴﺎرى ﻣﻰ ﺷﻮد ﺗﺎ ﻓﺎﺻﻠﻪ ى ﺑﻴﻦ ﻣﺪرﺳﻪ و دﻧﻴﺎى واﻗﻌﻰ ﻛﻤﺘﺮ ﺷﻮد. ﺑﺎ اﻳﻦ وﺟﻮد ،اﻧﺘﺨـﺎب روش آﻣﻮزﺷﻰ اﻏﻠﺐ ﭼﻨﻴﻦ اﺳﺖ ﻛـﻪ ﻣﻰ ﺷﻨﻮﻳﻢ و ﻣﻰ ﺑﻴﻨﻴﻢ ﻛـﻪ دﻳـﮕـﺮان ﭼﮕـﻮﻧﻪ ﻋﻤﻞ ﻛـﺮده اﻧﺪ! اﮔﺮ از ﻣﺤﺼﻮل آﻣﻮزش آن ﻫﺎ ﺧﻮﺷﻤﺎن آﻣﺪ ،آن روش ﻫﺎ را ﺻﺮف ﻧﻈﺮ از
ﺗﻨﺎﺳﺒﺸﺎن ﺑﺎ وﻳـﮋﮔﻰ ﻫﺎى داﻧﺶ آﻣـﻮزان ﺧﻮد ،ﺑﻪ ﻛﺎر ﻣﻰ ﺑﻨﺪﻳﻢ ﺗـﺎ ﻣﺤﺼﻮل ﻣﺸﺎﺑﻪ ﺗﻮﻟﻴﺪ ﻛﻨﻴﻢ! در ﻧﺘﻴﺠﻪ ،ﭼﻮن ﭼﺸﻢ اﻧﺪازﻫﺎى روﺷﻦ آﻣﻮزﺷﻰ و اﻟﮕﻮﻫﺎى ﻛﻼن و ﻣﻨﻌﻄ Iﻧﺪارﻳﻢ ،ﺗﻘﺮﻳﺒﺎَ ﺑﻪ روزﻣﺮﮔﻰ ﻣﻰ اﻓﺘﻴﻢ و ﻫﺮ اﻟﮕﻮى ﺟﺪﻳﺪى را ﻫﻢ ﻛﻪ ﺑﻪ ﺑﺪﻧﻪ ى آﻣﻮزﺷﻰ ﺗﺰرﻳﻖ ﻣﻰ ﻛﻨﻴﻢ ،ﻋﻤﻼً ﭘﺎﺳﺦ ﻧﻤﻰ ﮔﻴﺮﻳﻢ. اﻣﺎ ﺑﺎ وﺟﻮد اﻳﻦ ﻛﻬﻨﮕﻰ دﻳﺪﮔﺎﻫﻰ ﻛﻪ در ﺑﻄﻦ آﻣﻮزش ﻣﺎ وﺟﻮد دارد ،ﻣﺤﺼـﻮﻻت ﺧﻮﺑـﻰ ﺗـﻮﻟﻴﺪ ﻣـﻰ ﺷـﻮﻧﺪ زﻳـﺮا ﺟﺎﻣﻌﻪ ﺧـﺎرج از ﭼﺎرﭼﻮب ﻫﺎى ﺗﻨﮓ ﻣـﺪرﺳﻪ ،ﺑﻪ ﺣﻴﺎت ﻃﺒﻴﻌـﻰ ﺧـﻮد و رﺳﻴﺪن ﺑـﻪ ﺗﻌﺎﻟﻰ اداﻣﻪ ﻣﻰ دﻫﺪ .ﻫﻢ ﭼﻨﺎن ﻛﻪ اﻧﻜﺎر ﺗـﻜـﻨـﻮﻟـﻮژى ﻣﺎﻧﻨﺪ اﻧﻜـﺎر روﺷﻨﺎﻳﻰ روز اﺳﺖ ،ﻧـﺎدﻳـﺪه ﮔـﺮﻓﺘﻦ ﻇـﺮﻓﻴﺖ ﻫﺎى ﭘﻴـﺪا و ﭘـﻨـﻬـﺎن ﺟﻤﻌﻴﺖ ﻋﻈﻴﻢ داﻧﺶ آﻣﻮزان ﻓﻬﻴﻢ و ﻛﻢ ﺑﻬﺮه از آﻣﻮزش ﻫﺎى ﺧﻮب ﻓﻜﺮ ﺷﺪه اﻣﺎ ﺗﻮاﻧﻤﻨﺪ در ﺑﻬﺮه ﺑﺮدن از ﺣﺪاﻗﻞ ﻫﺎى ﻣﻮﺟﻮد و اﻣﻴﺪوار ﺑﻪ آﻳﻨﺪه اى ﻛﻪ ﻣﺘﻌﻠﻖ ﺑﻪ آن ﻫﺎﺳﺖ ،ﺧﻄﺎﻳﻰ ﺟـﺒـﺮان ﻧﺎﭘﺬﻳﺮ اﺳﺖ. ﺣﻴ Iاﺳﺖ ﻛﻪ ﺑﺎ ﺳﺮﻧﺪ ﻛﺮدن ﻫﺎى ﺑﻪ ﺟﺎ و ﻧﺎﺑﻪ ﺟﺎ ،ﺟﺎﻣﻌﻪ ى ﻛﻼن داﻧﺶ آﻣﻮزى را از ﻫﻢ ﺗﻔﻜﻴﻚ ﻛﻨﻴﻢ و ﺑـﺮاى ﺟﻤﻊ ﻗﻠﻴﻠﻰ از آن ﻫـﺎ، آﻣﻮزش ﻫﺎى ﺑﻪ اﺻﻄﻼح وﻳـﮋه ﺗـﺪارك ﺑﺒﻴﻨﻴﻢ .ﺣﻴ Iاﺳـﺖ ﻛـﻪ از ادﺑﻴﺎت و ﻓﺮﻫﻨﮓ ﻏﻨﻰ اﻳﺮاﻧﻰ ـ اﺳﻼﻣﻰ ﺧﻮد ﺑﻬﺮه ﻧﺒﺮﻳﻢ ﻛﻪ در ﻫﺰار ﺳﺎل ﭘﻴﺶ ﻧﻴﺰ ،ﺣﻘـﻮق ﻋﻤﻮﻣﻰ اﻓﺮاد را ﻣﺤﺘـﺮم ﻣﻰ ﺷﻤﺮد و از زﺑﺎن ﭘﻴﺮ داﻧﺎ ـ ﺷﻴﺦ اﺑﻮاﻟﺤﺴﻦ ﺧﺮﻗﺎﻧﻰ ،ﻧﻬﻴﺐ ﻣﻰ زد ﻛﻪ »ﭼﻪ آن ﻛﺲ ﻛﻪ ﺑﻪ درﮔﺎه ﺑﺎرى ﺗﻌﺎﻟﻰ ﺑﻪ ﺟـﺎن ارزد ،اﻟﺒﺘﻪ ﺑﺮ ﺧﻮان ﺑـﻮاﻟﺤﺴﻦ ﺑﻪ ﻧﺎن ارزد!« اﻳﻦ ﺳﺨـﻦ ﻧـﻐـﺰ ﺧـﺮﻗﺎﻧﻰ ،ﺗﻤـﺜـﻴـﻞ زﻳـﺒـﺎﻳـﻰ ﺑـﺮاى آﻣﻮزش ﻣﺪرﺳﻪ اى در اﻳـﺮان اﺳﺖ ﻛﻪ آﻣـﻮزش ﻋﻤﻮﻣﻰ ،ﺧـﻮان ﮔﺴﺘـﺮده اى اﺳﺖ ﻛﻪ ﻫﻤﻪ ى داﻧﺶ آﻣﻮزان ـ ﺗﻴﺰﻫﻮش و ﻣﻌﻤﻮﻟﻰ و دﻳﺮ ﻳﺎدﮔﻴﺮﻧﺪه ـ ﺣﻖ ﺑﻬـﺮه ﺑـﺮدن ﺟﻤﻌـﻰ از آن را دارﻧﺪ و ﺧـﻮﺷﺒﺨﺘﺎﻧﻪ ،ﻳـﺎﻓـﺘـﻪ ﻫـﺎى ﭘـﮋوﻫﺸـﻰ ﻓـﺮاواﻧﻰ ﺑﺮ اﻳـﻦ ﻧـﻈـﺮ ﺻـﺤّﻪ ﮔﺬاﺷﺘـﻪ اﻧـﺪ ﻛـﻪ ﺗـﻔـﻜـﻴـﻚ داﻧﺶ آﻣـﻮزان از ﻫﺮ ﻧﻈﺮ ـ اﺳﺘﻌـﺪاد ،ﻫـﻮش ،ﻗﺎﺑﻠﻴﺖ ﻳﺎدﮔـﻴـﺮى، ﺳﻄﺢ آﻣﻮزﺷﻰ و ﻧﻈﺎﻳﺮ آن ـ و اﻏﻠﺐ ﺑﺎ ﭘﺸﺘﻮاﻧﻪ ى ﻧﺘﺎﻳﺞ آزﻣﻮن ﻫﺎى ﻋﺪﻳﺪه و ﻛـﺜـﻴـﺮه ،ﺻﺪﻣﺎﺗـﻰ ﻛـﻪ در درازﻣﺪت ﺑﻪ آﻣـﻮزش ﻋﻤـﻮﻣـﻰ ﻣﻰ زﻧﺪ ،ﺑﻴﺶ از اﻧﺪك ﺑﺎرى اﺳﺖ ﻛﻪ ﻣﻤﻜﻦ اﺳﺖ از دوش آﻣﻮزش ﻋﻤﻮﻣﻰ ﺑﺮدارد. *** ﻫﺮ ﺳﺎل ﺟﺪﻳﺪ ،ﻫﻤﻴﺸﻪ ﻧﻮﻳﺪﺑﺨﺶ ﺗﺤﻮل در ﻗﻠﺐ ﻫﺎﺳﺖ ﻛﻪ ﻋﺎﺟﺰاﻧﻪ در ﻣﻮﻗﻊ ﺗﺤﻮﻳﻞ ﺳﺎل ،از ﻣﻘﻠﺐ اﻟﻘﻠﻮب ﻃﻠﺐ ﻣﻰ ﻧﻤﺎﺋﻴﻢ. اﻣﻴﺪوارم ﺳـﺎل ،١٣٨٩ﺳﺎﻟﻰ از ﻫﺮ ﻧﻈﺮ ﭘﺮ ﺑـﺮﻛﺖ و ﻧﺸـﺎط آور و ﻣﻮﻟﺪ ﺑﺎﺷﺪ .در ﺿﻤﻦ ،ﺑﻪ ﻣﻌﻠﻤـﺎن ﻋـﺰﻳـﺰ ﻫـﻢ ﻛـﻪ روزﺷﺎن را در ﻫﻤﻴﻦ ﻓﺼﻞ ﺟﺸﻦ ﻣﻰ ﮔـﻴـﺮﻧﺪ ﺗﺒﺮﻳﻚ ﻣﻀﺎﻋ Iﮔﻔﺘﻪ و ﺑـﺮاﻳﺸـﺎن، ﻣﻮﻓﻘﻴﺖ ﺑﻴﺸﺘﺮ را آرزو دارم. ٣
دوره ى ﺑﻴﺴﺖ وﻫﻔﺘﻢ ﺷﻤﺎره ى٣ ﺑﻬﺎر ١٣٨٩
ﻣﻨﺎﻓﻊ و دامﻫﺎى ﺷﻰءاﻧﮕﺎرى ﺑﺨﺶ اول ﻟﻴﺮا ﻟﻴﻨﭽِﻮﺳﻜﻰ ﻧﻮﻳﺴﻨﺪﮔﺎن :آﻧﺎ اﺳﻔﺎرد و ُ زﻫﺮا ﻛﺎﻣﻴﺎب ﻣﺘﺮﺟﻤﺎن: داﻧﺸﺠﻮى دﻛﺘﺮى آﻣﻮزش رﻳﺎﺿﻰ واﺣﺪ ﻋﻠﻮم و ﺗﺤﻘﻴﻘﺎت داﻧﺸﮕﺎه آزاد اﺳﻼﻣﻰ اﻣﻴﺮﺣﺴﻴﻦ اﺻﻐﺮى داﻧﺸﮕﺎه ﺷﻬﻴﺪ ﺑﻬﺸﺘﻰ
ﭼﻜﻴﺪه ﻧﻤﺎدﻫﺎى ﺟﺒﺮى ﺑﻪ ﺧﻮدى ﺧـﻮد ﺣﺮﻓﻰ ﺑﺮاى ﮔﻔﺘﻦ ﻧﺪارﻧﺪ .درﺣﻘﻴﻘﺖ ،آن ﭼﻪ از ﻧﻤﺎدﻫـﺎ درك ﻣﻰ ﺷﻮد ،واﺑﺴﺘﻪ ﺑﻪ ﺷﺮاﻳﻂ ﻣﺴﺌﻠﻪ اى اﺳﺖ ﻛﻪ ﻧﻤﺎدﻫﺎ ﺑﺮاى آن ﺑﻪ ﻛﺎر رﻓﺘﻪ اﻧﺪ .ﻋـﻼوه ﺑﺮ اﻳﻦ ،اﻳﻦ ﻣﺴﺌﻠﻪ ﺑﻪ آن ﭼﻪ ﻓﺮد ﻣﻰ ﺗﻮاﻧﺪ درك ﻛﻨﺪ و آﻣﺎدﮔﻰ ﺗﻮﺟﻪ ﻛـﺮدن ﺑﻪ آن را دارد، واﺑﺴﺘﻪ اﺳﺖ .آﺧﺮﻳﻦ ﻋـﺒـﺎرت ،ﻣـﻮﺿﻮع ﻣﻬﻢ اﻳﻦ ﻣﻘﺎﻟﻪ اﺳﺖ ،ﻳﻌﻨـﻰ ﺗـﻤـﺮﻛﺰ اﺻﻠﻰ ﺑﺮ ﺗﻐﻴﻴـﺮﭘـﺬﻳـﺮى ١و اﻧﻄﺒﺎق ﭘـﺬﻳـﺮى ٢داﻧﺶ ﺟﺒﺮى داﻧﺶ آﻣﻮزان اﺳﺖ. ﺗﺠﺰﻳﻪ و ﺗﺤﻠﻴﻞ ،در درون ﭼﺎرﭼﻮب ﻧﻈﺮﻳﻪ ى ﺷﻰء اﻧﮕﺎرى ﻣﻔﺎﻫﻴﻢ اﻧﺠﺎم ﺷﺪه اﺳﺖ .ﺑـﺮاﺳﺎس اﻳﻦ ﻧﻈﺮﻳﻪ ،ﻳﻚ دوﮔﺎﻧﮕﻰ ﻓﺮاﻳﻨﺪ ـ ﺷﻰء ذاﺗﻰ در ﺑﻴﺶ ﺗﺮ ﻣﻔﺎﻫﻴﻢ رﻳﺎﺿﻰ وﺟﻮد دارد .اﺳﺎس ﻧﻈﺮﻳﻪ اﻳﻦ اﺳﺖ ﻛﻪ در اﺑﺘﺪا ،ﻣﻔﻬﻮم ﻋﻤﻠﻴﺎﺗﻰ )ﻓﺮاﻳﻨﺪﻣﺤﻮر (٣اﻳﺠﺎد ﻣﻰ ﺷﻮد و ﭘﺲ از آن از ﻃﺮﻳﻖ ﺷﻰء اﻧﮕﺎرى ﻓﺮاﻳﻨﺪﻫﺎ ،اﺷﻴﺎى رﻳﺎﺿﻰ )ﻣﻔﺎﻫﻴﻢ ﺳﺎﺧﺘـﺎرى( اﻳﺠﺎد ﻣﻰ ﺷﻮﻧﺪ .ﺷﻮاﻫﺪ ﺑﺴﻴﺎرى وﺟﻮد دارد ﻛﻪ ﻧﺸﺎن ﻣﻰ دﻫﻨﺪ رﺳﻴﺪن ﺑﻪ ﺷﻰء اﻧﮕﺎرى ﻣﻔﺎﻫﻴﻢ ،دﺷﻮار اﺳﺖ. در اﻳﻦ ﻣﻘﺎﻟﻪ ،اﺑﺘﺪا ﻣﺎﻫـﻴـﺖ و رﺷﺪ ﺗﻔﻜﺮ ﺟﺒـﺮى از دﻳﺪﮔﺎه ﺷﻨﺎﺧﺖ ﺷﻨﺎﺳـﻰ ﻣـﻮرد ﺗﺠﺰﻳﻪ و ﺗﺤﻠﻴـﻞ ﻗـﺮار ﮔﺮﻓﺘﻪ اﺳﺖ .ﺣﺎﻣـﻰ اﻳـﻦ دﻳﺪﮔﺎه ،ﻣﺸﺎﻫﺪات ﺗﺎرﻳﺨﻰ اﺳﺖ .درﻧﻬﺎﻳﺖ ،رﺷﺪ ﺗﻔﻜﺮ ﺟﺒﺮى ﺑﻪ ﻋﻨﻮان دﻧﺒﺎﻟﻪ اى از اﻧﺘﻘﺎل ﻫﺎى ﻫﻤﻮاره رو ﺑﻪ ﭘﻴﺸﺮﻓﺖ ،از ﻧﮕﺎه ﻋﻤﻠﻴﺎﺗﻰ ﺑﻪ ﺳﺎﺧﺘﺎرى ﻣﻌﺮﻓﻰ ﺷﺪه اﺳﺖ .ﺳﭙﺲ ،اﻳﻦ ﻣﺪل ﺑﺮاى ﻳﺎدﮔﻴﺮى ﻓﺮدى ﺑﻪ ﻛﺎر رﻓﺘﻪ اﺳﺖ .ﺗﻤﺮﻛﺰ ﺑﺮ دو اﻧﺘﻘﺎل ﺗﻌﻴﻴﻦ ﻛﻨﻨﺪه اﺳﺖ :اﻧﺘﻘﺎل از ﺟﺒﺮ ﻋﻤﻠﻴﺎﺗﻰ ﻣﺤﺾ ﺑﻪ ﺟﺒﺮ ﺳﺎﺧﺘﺎرى از »ﻳﻚ ﻣﻘﺪار ﺛﺎﺑﺖ« )از ﻳﻚ ﻣﺠﻬﻮل( و ﺳﭙﺲ از اﻳﻦ ﺟﺎ ﺑﻪ ﺟﺒﺮ ﺗﺎﺑﻌﻰ )از ﻳﻚ ﻣﺘﻐﻴﺮ( .ﺑﻌﺪ از اﻳﻦ ،دﺷﻮارى ﻫﺎﻳﻰ ﻛﻪ ﻳﺎدﮔﻴﺮﻧﺪﮔﺎن در اﻳﻦ ﻧﻘﺎطِ اﺗﺼﺎل ﺗﺠﺮﺑﻪ ﻣﻰ ﻛﻨﻨﺪ ،ﺑﺎ اﺳﺘﻔﺎده از داده ﻫﺎى ﺗﺠﺮﺑﻰ ﺑﻴﺶ ﺗﺮى ﻛﻪ از داﻣﻨﻪ ى وﺳﻴﻌﻰ از ﻣﻨﺎﺑﻊ ﺑﻪ دﺳﺖ آﻣﺪه ،ﺷﺮح داده ﺷﺪه اﺳﺖ. ﻛﻠﻴﺪ واژهCﻫـﺎ :ﺟﺒﺮ ﻣﺪرﺳﻪ اى ،ﺷﻰء اﻧﮕـﺎرى ﻣﻔﺎﻫﻴﻢ ،ﺗﻔﻜـﺮ ﺟﺒﺮى. زﻣﺎﻧﻰ ﻛﻪ ﺑـﻪ ﻳـﻚ ﻋـﺒـﺎرت ﺟﺒـﺮى ﻣﺎﻧـﻨـﺪ 3(x + 5) +1ﻧـﮕـﺎه دوره ى ﺑﻴﺴﺖ وﻫﻔﺘﻢ ﺷﻤﺎره ى٣ ﺑﻬﺎر ١٣٨٩
٤
ﻣﻰ ﻛﻨﻴﺪ ،ﭼﻪ ﭼﻴﺰى ﻣﻰ ﺑﻴﻨﻴﺪ؟ ﺑﺴﺘﮕﻰ دارد. اﺣﺘﻤﺎﻻ در ﺑﻌﻀﻰ ﻣﻮﻗﻌﻴﺖ ﻫﺎ ﺧﻮاﻫﻴﺪ ﮔﻔﺖ ،اﻳﻦ ﺗﻮﺻﻴﻔﻰ ً ﻛﻮﺗـﺎه و رﺳﺎ از ﻳﻚ ﻓـﺮاﻳﻨﺪ ﻣﺤﺎﺳﺒـﺎﺗـﻰ اﺳـﺖ .در اﻳـﻦ ﺣـﺎﻟـﺖ
3(x + 5) +1ﻫﻢ ﭼﻮن دﻧﺒﺎﻟﻪ اى از دﺳﺘﻮراﻟﻌﻤﻞ ﻫﺎ اﺳﺖ ٥ :را ﺑﻪ ﻋﺪدى ﻛﻪ دارﻳﺪ اﺿﺎﻓﻪ ﻛﻨﻴﺪ ،ﻧﺘﻴﺠﻪ را در ٣ﺿﺮب و ﺳﭙﺲ ١ را اﺿﺎﻓﻪ ﻛﻨﻴﺪ .در ﻣﻮﻗﻌﻴﺘﻰ دﻳﮕﺮ ﻣﻤﻜﻦ اﺳﺖ اﻳﻦ ﻋﺒﺎرت ﺟﺒﺮى را ﻃﻮر دﻳﮕـﺮى ﺑﺒﻴـﻨـﻴـﺪ 3(x + 5) +1 :ﻋﺪد ﻣﻌﻴـﻨـﻰ را ﻧﻤـﺎﻳـﺶ ﻣﻰ دﻫﺪ .اﻳـﻦ ﻋـﺒـﺎرت ،ﻧﺘﻴﺠﻪ ى ﻣـﺤـﺎﺳـﺒـﺎت اﺳـﺖ ﻧـﻪ ﺧـﻮد ﻣﺤﺎﺳﺒﺎت .اﮔﺮﭼﻪ ﻋﺪد xﻣﺠﻬﻮل اﺳﺖ و در ﻫﺮ ﻟﺤﻈﻪ ﻧﻤﻰ ﺗﻮان ﻧﺘﻴﺠـﻪ را ﻣﺸﺨﺺ ﻛﺮد ،ﺑﺎ اﻳﻦ وﺟـﻮد ،اﻳﻦ ﻋﺒﺎرت ﺟﺒﺮى ﻫﻨـﻮز ﻳﻚ ﻋﺪد اﺳﺖ و اﻧﺘﻈﺎر ﻣـﻰ رود ﻛﻞ ﻋﺒـﺎرت ﺑﻪ ﻋﻨـﻮان ﻳﻚ ﻋﺪد ﻋﻤـﻞ ﻛـﻨـﺪ .ﺗـﻌـﺒـﻴـﺮ دﻳـﮕـﺮى ﻫـﻢ وﺟـﻮد دارد :ﻣﻤـﻜـﻦ اﺳـﺖ 3(x + 5) +1را ﺑﻪ ﻋـﻨـﻮان ﻳﻚ ﺗﺎﺑﻊ در ﻧﻈـﺮ ﺑـﮕـﻴـﺮﻳـﻢ .ﺗـﺎﺑـﻊ، ﻧﮕﺎﺷﺘﻰ اﺳﺖ ﻛﻪ ﻫـﺮ ﻋـﺪد xرا ﺑﻪ ﻋﺪد دﻳﮕﺮى ﻣﻰ ﺑـﺮد .در اﻳﻦ ﺣﺎﻟـﺖ ،ﻓـﺮﻣﻮل ﻫﻴﭻ ﻣﻘﺪار ﺛﺎﺑـﺘـﻰ )ﺣـﺘـﻰ ﻣـﺠـﻬـﻮل( را ﻧﺸـﺎن ﻧﻤﻰ دﻫﺪ .در ﻋﻮض ،ﻧﺸﺎن دﻫﻨﺪه ى ﻳﻚ ﺗﻐﻴﻴﺮ اﺳﺖ .اﮔﺮ در اﻳﻦ ﻋﺒﺎرت ﺟﺒﺮى ﺑﻪ ﺟﺎى ﻳﻜﻰ از ﺿﺮاﻳﺐ ﻋﺪدى )ﻣﺜﻼً (٣ﻳﻚ ﺣﺮف ﻗﺮار ﮔﻴﺮد )ﻣﺜﻼً ،(aﻋﺒﺎرت ﺟﺒﺮى ﺣﺎﺻﻞ ، a(x + 5) +1 ﭘﻴﭽﻴﺪه ﺗﺮ ﺑﻪ ﻧﻈﺮ ﻣـﻰ رﺳﺪ .در اﻳﻦ ﺣﺎﻟﺖ ﻣﻤﻜﻦ اﺳﺖ ﻋﺒـﺎرت ﺑﻪ ﻋﻨـﻮان ﺧﺎﻧﻮاده اى از ﺗـﻮاﺑﻊ از |Rﺑﻪ |Rدر ﻧﻈﺮ ﮔـﺮﻓﺘﻪ ﺷـﻮد. ﻋﻼوه ﺑﺮ اﻳﻦ ،ﺗﻌﺒﻴﺮ دﻳﮕﺮى ﻧﻴﺰ وﺟﻮد دارد :ﻣﻤﻜﻦ اﺳﺖ ﻓﺮدى ادﻋﺎ ﻛﻨﺪ آن ﭼﻪ در ﭘﺲ ﻧﻤﺎدﻫﺎ ﭘﻨﻬﺎن ﺷﺪه ،ﺗﺎﺑﻌﻰ از دو ﻣﺘﻐﻴﺮ، از |R 2ﺑﻪ |Rاﺳﺖ. اﻟﺒﺘﻪ ﺷﻴﻮه ى ﺳﺎده ﺗﺮى ﻧﻴﺰ ﺑﺮاى ﻣﺸﺎﻫﺪه ى 3(x + 5) +1وﺟﻮد دارد :ﻣﻤﻜﻦ اﺳﺖ اﻳﻦ ﻋﺒـﺎرت ،ﺑﺮاﺳﺎس ﺷﻜﻞ ﻇﺎﻫـﺮى آن ﺻﺮ ً ﻓﺎ ﺑﻪ ﻋﻨﻮان رﺷﺘﻪ اى از ﻧﻤﺎدﻫﺎ ﻛﻪ ﭼﻴﺰى را ﻧﻤﺎﻳﺶ ﻧﻤﻰ دﻫﻨﺪ ،در ﻧﻈﺮ ﮔﺮﻓﺘـﻪ ﺷـﻮد .اﻳﻦ ﻋﺒـﺎرت ﺟﺒـﺮى ﺑﻪ ﺧﻮدى
ﺧـﻮد ﻳﻚ ﺷﻰء ﺟﺒـﺮى اﺳﺖ .اﮔـﺮﭼﻪ اﻳﻦ ﻋﺒـﺎرت از ﻧﻈﺮ ﻣﻌﻨﺎﻳﻰ ﺗﻬﻰ اﺳﺖ ،اﻣـﺎ ﻫـﻨـﻮز ﻣﻤﻜﻦ اﺳﺖ ﺑﺎ آن دﺳﺖ ورزى ﺷﻮد و ﺑﺮاﺳﺎس ﻗﻮاﻋﺪ ﻣﺸﺨﺼﻰ ﻛﻪ ﺑﻪ ﺧﻮﺑﻰ ﺗﻌﺮﻳ Iﻧﺸﺪه اﻧﺪ ،ﺑﺎ ﺳﺎﻳﺮ ﻋﺒﺎراﺗﻰ از اﻳﻦ ﻧﻮع ﺗﺮﻛﻴﺐ ﺷﻮد. در اﻳﻦ ﺟﺎ ﻣﻰ ﺗﻮان ﭘﺮﺳﻴﺪ ﻛﻪ آﻳﺎ در ﻋﻤﻞ ﻧﻴﺰ ،ﻣﺸﺎﻫﺪات ﺑـﺎﻻ از ﻣﻌﺎﻧﻰ ﺟﺒﺮ ﻣﻬﻢ ﻫﺴﺘﻨﺪ؟ ﭘﺎﺳﺦ ﻣﺜﺒﺖ اﺳﺖ .ﺑﻪ ﻋـﻨـﻮان ﻣﺜﺎل، زﻣﺎﻧﻰ ﻛﻪ ﺑﺎ ﻣﻌﺎدﻻﺗﻰ از ﻗﺒﻴﻞ (p + 2q)x2 + x = 5x2 (3p − q)x ﻣﻮاﺟﻪ ﻣﻰ ﺷﻮﻳﻢ ،ﺑﺪون داﻧﺴﺘﻦ اﻳﻦ ﻛﻪ آﻳﺎ ﺗﺴﺎوى ﻣﺮﺑﻮط ،ﻋﺪدى ﻳﺎ ﺗﺎﺑﻌﻰ اﺳﺖ ،ﻧﻤﻰ ﺗﻮاﻧﻴﻢ ﻣﺴﺌﻠﻪ را ﺣﻞ ﻛﻨﻴﻢ .در اﻳﻦ ﺟﺎ اﻳﻦ ﺳﺆال ﻣـﻄـﺮح اﺳـﺖ ﻛـﻪ آﻳـﺎ ﻫـﺪف ،ﺑــﻪ دﺳــﺖ آوردن ﻣـﻘـﺪار xاﺳـﺖ ﺑﻪ ﻃﻮرى ﻛﻪ ﺗﺴـﺎوى ﺑﺮﻗـﺮار ﺑﺎﺷﺪ )اﻳﻦ ﻣﻘﺪار ﺑﺎﻳﺪ ﺑـﺮﺣﺴـﺐ pو q ﺑﻴﺎن ﺷـﻮد(؟ ﻳﺎ ﻫﺪف ،ﺑﻪ دﺳـﺖ آوردن ﻣﻘﺎدﻳﺮ ﭘﺎراﻣﺘـﺮﻫﺎى pو q اﺳﺖ ،ﺑﻪ ﻃﻮرى ﻛﻪ دو ﺗﺎﺑﻊ (p + 2q)x2 + xو 5x2 (3p − q)x ت درﮔﻴﺮ ﺷﺪن ﻣﺴﺎوى ﺑﺎﺷﻨﺪ؟ ﺗﻔﺎﺳﻴﺮ ﻣﺨﺘﻠ ،Iﺷﻴﻮه ﻫﺎى ﻣﺘﻔﺎو ِ
ﺑﺎ ﻣﺴﺌﻠﻪ و راه ﺣﻞ ﻫﺎى ﻣﺘﻔﺎوت را ﻧﺘﻴﺠﻪ ﻣﻰ دﻫﺪ :در ﺣﺎﻟﺖ اول، ﻓـــﺮد رﻳــﺸــﻪ ﻫــﺎى ﻣـــﻌـــﺎدﻟـــﻪ را ﺑــﺎ ﺑـــﻪ ﻛـــﺎر ﺑـــﺮدن ﻓــﺮﻣـــﻮل x1, x2 = (−b ± ∆ ) / 2aﭘﻴﺪا ﻣﻰ ﻛـﻨـﺪ و در ﺣـﺎﻟـﺖ دوم ،ﺑﺎ ﻣﺴـﺎوى ﻗـﺮار دادن ﺿـﺮاﻳﺐ ﺗـﻮان ﻫﺎى ﻳـﻜـﺴـﺎن xدر دو ﻋـﺒـﺎرت ) p + 2q = 5و ،( 3p − q = 1 ﻣﻘـﺎدﻳـﺮ ﭘـﺎراﻣـﺘـﺮﻫﺎى pو qﺑـﻪ دﺳـﺖ رﻳـــــــــﺎﺿـــــــــﻰدان ﻣﻰ آﻳﻨﺪ .ﺣﺎﻟﺖ دﻳﮕﺮى ﻫﻢ وﺟﻮد دارد ﻓﺮاﻧﺴﻮى ﻓـﺮﻧﻜﻮﺋﻴـﺰ ﻛﻪ ﻣـﻤـﻜـﻦ اﺳـﺖ ﻧـﻤـﺎدﻫـﺎ ﺑـﺮاى ﻓﺮد وﻳـــــــــــﺖ )-١٦٠٣ ﻣﻌﻨﺎﻳﻰ ﻧﺪاﺷﺘﻪ ﺑﺎﺷﻨﺪ .اﻳﻦ دﻳﺪﮔﺎه در (١٥٤٠اوﻟﻴﻦ ﻛﺴﻰ اﺑﺘﺪا ،ﻛﻤﻜﻰ ﺑﻪ ﺣﻞ ﻣﺴﺄﻟﻪ ﻧﻤﻰ ﻛﻨﺪ. ﺑﻮد ﻛﻪ ﻣﻘﺎدﻳﺮ ﻣﻌﻴـﻦ اﻣﺎ ﻣﻤﻜﻦ اﺳﺖ ﻓﺮد ﻳﻚ ﻋﻜﺲ اﻟﻌﻤﻞ ﻋـﺪدى را ﺑـﺎ ﻧـﻤـﺎدﻫـﺎ ﻏﻴـﺮ ارادى ﻧﺸﺎن دﻫـﺪ .او اﺣـﺘـﻤـﺎﻻً ﺟﺎﻳﮕﺰﻳـﻦ ﻛـﺮد .اﻳـﻦ ﺑـﻪ ﻃـﻮر ﻏـﻴــﺮ ارادى ﻛـﺎرى را اﻧـﺠــﺎم اﺑــﺪاع ،ﻣــﻨــﺠــﺮ ﺑــﻪ ﻣـﻰ دﻫـﺪ ﻛـﻪ ﺑــﺮاى آن ﺷــﺮﻃـﻰ ﺷـﺪه ﻣـﻰ ﺗﻐـﻴـﻴـﺮات ﻣﻔـﻬـﻮ ِ اﺳـﺖ ،ﻳـﻌـﻨـﻰ در ﻣــﻮاﺟـﻬـﻪ ﺑـﺎ ﻳــﻚ دور از دﺳﺘﺮس در ﻣﻌﺎدﻟﻪ ى درﺟﻪ ى دوم ،ﺑﺪون ﺗﻮﺟﻪ ﺑﻪ ﺟﺒﺮ ﺷﺪ ﺳـﺆاﻟﻰ ﻛﻪ ﭘـﺮﺳﻴﺪه ﺷـﺪه ،ﺑـﻪ ﻓـﺮﻣـﻮل رﻳﺸﻪ ﻫﺎ ﻣﺘﻮﺳﻞ ﻣﻰ ﺷﻮد. ﺗﻌﺪد دﻳﺪﮔﺎه ﻫﺎ ﻧﺴﺒـﺖ ﺑـﻪ ﺷـﻰ ﺣﻘﻴﻘﺘﺎ ﮔﻴﺞ ﻛﻨﻨﺪه اﺳﺖ. ً ﻇﺎﻫﺮًا ﺳﺎده اى ﻣﺎﻧﻨﺪ ، 3(x + 5) +1 در ﺑﺨﺶ ﻫﺎى ﺑﻌﺪى ﺧـﻮاﻫﻴﻢ ﮔﻔﺖ اﻳﻦ ﻣﺴﺌﻠﻪ ،ﻫﻢ ﭼـﻨـﻴـﻦ ﻣﻨﺸﺄ ﻗﺪرت ﺟﺒﺮ اﺳﺖ. .١ﻣﻘﺪﻣﺎت :ﺟﺒﺮ از ﻧﮕﺎه ﻧﻈﺮﻳﻪى ﺷﻰءاﻧﮕﺎرى ﻣﻔﺎﻫﻴﻢ ﻧﻤﺎدﻫـﺎى ﺟـﺒـﺮى ﺑﻪ ﺧـﻮدى ﺧـﻮد ﺣﺮﻓﻰ ﺑـﺮاى ﮔﻔـﺘـﻦ ﻧـﺪارﻧﺪ. درﺣﻘﻴﻘـﺖ ،آن ﭼـﻪ از ﻧـﻤـﺎدﻫـﺎ درك ﻣﻰ ﺷـﻮد ،واﺑﺴﺘـﻪ ﺑـﻪ ﺷـﺮاﻳـﻂ ﻣﺴﺌﻠﻪ اى اﺳﺖ ﻛﻪ ﻧﻤﺎدﻫﺎ ﺑﺮاى آن ﺑﻪ ﻛﺎر رﻓﺘﻪ اﻧﺪ .ﻫﻢ ﭼﻨﻴﻦ اﻳﻦ ﻣﺴﺌﻠﻪ ﺑﻪ ﻫـﺮﭼﻪ ﻛﻪ ﻓـﺮد ﻣﻰ ﺗـﻮاﻧﺪ درك ﻛﻨﺪ و آﻣﺎدﮔـﻰ ﺗـﻮﺟﻪ ﻛﺮدن ﺑـﻪ آن را دارد ،واﺑﺴﺘﻪ اﺳﺖ .آﺧﺮﻳﻦ ﻋﺒﺎرت ،ﻣﻮﺿﻮع ﻣﻬﻢ اﻳﻦ ﻣﻘﺎﻟﻪ اﺳﺖ. ﺗـﻤـﺮﻛﺰ اﺻﻠـﻰ ﺑـﺮ ﺗـﻐـﻴـﻴـﺮﭘـﺬﻳـﺮى و اﻧﻄـﺒـﺎق ﭘـﺬﻳـﺮى داﻧﺶ ﺟـﺒـﺮى داﻧﺶ آﻣﻮزان اﺳﺖ .ﺳﺆاﻟﻰ ﻛﻪ در اﻳﻦ ﺟﺎ ﻣﻄﺮح اﺳﺖ اﻳﻦ اﺳﺖ ﻛﻪ ﻳﺎدﮔـﻴـﺮﻧﺪه ﺗﺎ ﭼـﻪ اﻧـﺪازه ﻣﻰ ﺗـﻮاﻧﺪ ﺗﻔﺎﺳـﻴـﺮ ﮔـﻮﻧﺎﮔـﻮن ﻣﺤﺘـﻤـﻠـﻰ از ﺳﺎﺧﺖ ﻫﺎى ﺟﺒﺮى را درك ﻛﻨﺪ و ﺑﻪ ﻛﺎر ﺑﺮد .ﻗﺒـﻞ از درﮔﻴﺮ ﺷﺪن ﺑﺎ اﻳﻦ ﻣﺴﺌﻠﻪ ،ﺑﺮ ﻧﻮع ﺗﺠﺰﻳﻪ و ﺗﺤﻠﻴﻠﻰ ﻛﻪ در اﻳﻦ ﺟﺎ اﻧﺠﺎم ﺧﻮاﻫﺪ ﺷﺪ، ﺗﺄﻣﻞ ﻣﻰ ﻛﻨﻴﻢ. ﺗﻤﺎﻳﺰﻫﺎﻳﻰ ﻛﻪ در ﻣﺜﺎل ﻫﺎى اﺑﺘﺪاى ﻣﻘﺎﻟﻪ ﻣﻄﺮح ﻛﺮدﻳﻢ ،ﺑﺴﻴﺎر ﻇﺮﻳ Iﻫﺴﺘﻨﺪ و ﺑﻪ آن ﭼﻪ ﻛﻪ در ذﻫﻦ اﻓﺮاد رخ ﻣﻰ دﻫﺪ اﺷﺎره دارد، ٥
دوره ى ﺑﻴﺴﺖ وﻫﻔﺘﻢ ﺷﻤﺎره ى٣ ﺑﻬﺎر ١٣٨٩
ﻧﻪ ﺑﻪ آن ﭼﻪ ﻛﻪ روى ﻛﺎﻏﺬ ﻣﻰ ﻧﻮﻳﺴﻨﺪ و ﺑﻪ ﻣﻌﻠﻢ ﺗﺤﻮﻳﻞ ﻣﻰ دﻫﻨﺪ. درواﻗـﻊ ،ﺗــﻔــﺎوت ﺑـﻴـﻦ ﺗــﻔــﺎﺳــﻴــﺮ ﻣــﺨــﺘــﻠــ Iﻣــﻌــﺎدﻟــﻪ ى (p + 2q)x2 + x = 5x2 (3p − q)xﻫـﻤـﻴــﺸــﻪ در ﻳــﻚ آزﻣــﻮن اﺳﺘﺎﻧﺪارد ﻧﺸﺎن داده ﻧﻤﻰ ﺷـﻮد .ﻋﻠﺖ اﻳﻦ اﺳﺖ ﻛﻪ داﻧﺶ آﻣـﻮز، ﭼﻪ ﻋﺒﺎرت را ﻳﻚ ﺗﺴﺎوى ﻋﺪدى ﺗﺼﻮر ﻛﻨﺪ ،ﭼﻪ آن را ﻓﻘﻂ ﺑﻪ ﻋﻨﻮان رﺷﺘﻪ اى از ﻧﻤﺎدﻫﺎ در ﻧﻈﺮ ﺑﮕـﻴـﺮد ،اﺣﺘﻤـﺎﻻً ﻓﺮﻣﻮل ﻫﺎى ﻳﻜﺴﺎﻧـﻰ ﺑﻪ ﻛﺎر ﻣﻰ ﺑـﺮد و دﺳﺖ ورزى ﻫﺎى ﻳﻜﺴﺎﻧﻰ اﻧﺠﺎم ﻣـﻰ دﻫـﺪ .ﻳـﻚ ﺑـﺮرﺳﻰ ﺑﺴـﻴـﺎر دﻗـﻴـﻖ و ﺑـﺎ ﺟـﺰﺋﻴـﺎت از رﻓﺘﺎرﻫﺎ و اﻇﻬﺎرات داﻧﺶ آﻣﻮز ﻻزم اﺳﺖ ﺗﺎ ﺑﺘﻮاﻧﻴﻢ ﻧﺴﺒﺖ ﺑﻪ ﺗﻔﻜﺮ او ﺑﺼﻴﺮﺗﻰ ﭘﻴﺪا رﻳﺎﺿﻰ ﻳﻚ ﺳﺎﺧﺘـﺎر ٤ ﻛﻨﻴﻢ )ﺑﻪ ﻋﻨﻮان ﻣﺜﺎل ﺷﻮﻧﻔﻴﻠﺪ و ﻫﻤﻜﺎران ﭼﻨﺪﺳﻄـﺤـﻰ اﺳـﺖ، را ﺑﺒﻴﻨﻴﺪ١٩٩٣ ،؛ ﻧﻮﻳﺴﻨﺪﮔﺎن اﻳﻦ ﻧـﻮع ﻣـﻮﺿﻮﻋﻰ ﻛـﻪ در آن ٥ از ﺗﺠﺰﻳﻪ و ﺗـﺤـﻠـﻴـﻞ را ﻣﻴـﻜـﺮوژﻧﺘﻴـﻚ اﻳــﺪهﻫــﺎى اﺳــﺎﺳـــﺎً ﻣﻰ ﻧﺎﻣﻨﺪ(. ﻳـــﻜـــﺴـــﺎن اﮔــــﺮ از ﻣﺎ در اﻳﻦ ﺟﺎ ﺳﻌﻰ ﻣﻰ ﻛﻨﻴﻢ ﺗﺠﺰﻳﻪ و ﻣـــﻮﻗـــﻌـــﻴـــﺖﻫـــﺎى ﺗﺤﻠﻴﻞ دﻗﻴﻖ و ﻫﻤﺮاه ﺑﺎ ﺟﺰﺋﻴﺎت را ﺑﺎ اﺗﻜﺎ ﻣـﺨـﺘـﻠـ Oﻣـﺸـﺎﻫــﺪه ﺑﻪ ﻳﻚ ﭼـﺎرﭼـﻮب ﻧﻈﺮى ﻣﻌﻴـﻦ ﻛـﻪ آن را ﺷــﻮﻧــﺪ ،ﻣــﺘــﻔـــﺎوت ﻧﻈﺮﻳﻪ ى ﺷﻰء اﻧﮕﺎرى ﻣﻔﺎﻫﻴﻢ ﻣﻰ ﻧﺎﻣﻴﻢ، ﺧﻮاﻫﻨﺪ ﺑﻮد اﻧﺠﺎم دﻫﻴﻢ )ﻳﺎدآور ﻣﻰ ﺷﻮﻳﻢ ﻛﻪ ﻣﻤﻜﻦ اﺳﺖ ﺳﺎﻳﺮ ﻧﻮﻳﺴﻨﺪﮔﺎن ،اﺻﻄـﻼﺣـﺎت ﻋﻠﻤﻰ ﻣﺘﻔﺎوﺗﻰ ﺑﺮاى اﻳﺪه ﻫﺎى ﻣﺮﺗﺒﻂ ﻳﻜﺴﺎن ﻳﺎ ﺗﻘﺮﻳﺒﺎً ﻳﻜﺴﺎن ﺑﻪ ﻛﺎر ﺑﺮده ﺑﺎﺷﻨﺪ؛ ﻓـﻬـﺮﺳﺖ ﻧﺎم ﻫﺎى اﺣﺘﻤﺎﻟـﻰ را در ﻫـﺮل ٦و ﻛﺎﭘﻮت، ٧ ١٩٩١ﺑﺒﻴﻨﻴﺪ( .ﺑﺎ ﻛـﻤـﻚ اﻳـﻦ ﭼـﺎرﭼـﻮب ،ﺣﻘﺎﻳﻖ ﺑﻰ ﻗـﺎﻋـﺪه ى ﻓﺮاواﻧﻰ ﺗﺒﺪﻳﻞ ﺑﻪ ﻳﻚ ﻛﻞ ﻣﻌﻨﺎدار و ﻗﺎﺑﻞ ﻛﻨـﺘـﺮل ﻣﻰ ﺷﻮﻧﺪ .ﻣﺎﻧﻨـﺪ ﻫﺮ ﻣﺪل ﻧـﻈـﺮى دﻳﮕـﺮى ،اﻳﻦ ﻣﺪل ﻧﻴﺰ ﺑﺮ ﺟﻨـﺒـﻪ ﻫـﺎى ﺧـﺎﺻـﻰ از ﺣـﻮزه ى ﻣﻮرد ﺟﺴﺖ و ﺟﻮ ﺗـﺄﻛـﻴـﺪ دارد و ﺳﺎﻳﺮ ﺟـﻨـﺒـﻪ ﻫـﺎ را ﻛﻨـﺎر ﻣﻰ ﮔﺬارد .ﺑﺎ اﻳﻦ وﺟﻮد ،اﻳﻦ ﻣﺪل ﺑﻪ ﻋﻨـﻮان اﺑﺰارى ﺑﺮاى ﺗﺠﺰﻳﻪ و ﺗﺤﻠﻴﻞ ﺗـﻮﺳﻌﻪ ى ﻣﻔﺎﻫﻴﻢ ﮔـﻮﻧﺎﮔﻮن رﻳﺎﺿﻰ ،ﺑﻪ ﺧﺼـﻮص ﻣﻔﻬـﻮم ﺗﺎﺑﻊ ،ﻣﻮرد ﺗﻮﺟﻪ اﺳﺖ )اﺳﻔﺎرد ١٩٩٢ ،؛ ﺑﺮﻳﺪﻧﺒﺎخ ٨و ﻫﻤﻜﺎران، .(١٩٩٢ﻫﻢ ﭼﻨﻴـﻦ ،اﻳـﻦ ﻣـﺪل ﺑـﺮاى ﻧﻈﻢ ﺑﺨﺸـﻴـﺪن ﺑـﻪ ﺑـﺨـﺶ ﻋﻤﺪه اى از ﻳﺎﻓﺘﻪ ﻫﺎى روﺑـﻪ رﺷﺪ در ﻣﻮرد ﺗﻔﻜﺮ ﺟﺒـﺮى ﺑﻪ ﻛﺎر رﻓﺘـﻪ اﺳﺖ )ﻛـﻴـﻴِﺮن .(١٩٩٢ ، ٩در ﻗﺴﻤﺖ ﻫـﺎى ﺑـﻌـﺪى ،ﺟـﺒـﺮ را از درﻳﭽﻪ ى اﻳﻦ ﻣﺪل ﺧﻮاﻫﻴﻢ دﻳﺪ. در ﺑـﺎﻗـﻰ ﻣـﺎﻧـﺪه ى اﻳـﻦ ﺑـﺨـﺶ ،اﻳـﺪه ى اﺻـﻠـﻰ ﻧـﻈــﺮﻳــﻪ ى ﺷﻰء اﻧﮕﺎرى ﻣﻔﺎﻫﻴـﻢ را اراﺋﻪ ﺧﻮاﻫﻴﻢ ﻛـﺮد .ادﻋﺎﻫﺎﻳﻰ ﻛﻪ دارﻳـﻢ، ﻧﻈﺎﻣﻰ را ﺷﻜﻞ ﻣﻰ دﻫﻨﺪ .در ﺳﺮﺗﺎﺳﺮ اﻳﻦ ﻣﻘﺎﻟﻪ ،ﻋﻨﺎﺻﺮ ﻣﺨﺘﻠI دوره ى ﺑﻴﺴﺖ وﻫﻔﺘﻢ ﺷﻤﺎره ى٣ ﺑﻬﺎر ١٣٨٩
٦
اﻳﻦ ﻧﻈﺎم ،ﻣـﻮرد ﺑﺤـﺚ ﻗـﺮار ﺧﻮاﻫﻨﺪ ﮔـﺮﻓﺖ .ﺗـﻮﺻﻴﻪ ﻣﻰ ﺷـﻮد، ﺧﻮاﻧﻨـﺪه ﺑـﺮاى ﺷﻨﺎﺧﺖ ﺟﺎﻣﻊ ﺗﺮ اﻳﺪه ﻫﺎى اﺻـﻠـﻰ اﻳـﻦ ﻣـﺪل ،ﺑـﻪ اﺳﻔﺎرد ) (١٩٩١و ﻛﻴﻴِﺮن ) (١٩٩١ﻣـﺮاﺟﻌﻪ ﻛﻨﺪ .ﻋﻼوه ﺑﺮ اﻳﻦ، دوﺑﻴﻨﺴﻜـﻰ (١٩٩١) ١٠و ﻫﺮل و ﻛﺎﭘـﻮت ) ،(١٩٩١ﻣﺪل ﺗﻘﺮﻳﺒـﺎً ﻣﺸﺎﺑﻬﻰ را ﺗﻮﺻﻴ Iﻣﻰ ﻛﻨﻨﺪ .اﻳﺪه ﻫﺎى دوﺑﻴﻨﺴﻜﻰ ،ﺗﻌﻤﻴـﻤـﻰ از ﻧﻈﺮﻳﻪ ى ﺗﺠﺮﻳﺪ ﺑـﺎزﺗﺎﺑـﻰ ١١ﭘﻴﺎژه اﺳﺖ )ﺑﺖ ١٢و ﭘﻴـﺎژه.(١٩٦٦ ، ﻣﺸﺎﻫـﺪات ﻛـﺎﭘـﻮت و ﻫﺮل ﺑـﺮاﺳﺎس ﻣﻔـﻬـﻮم ﮔﺮﻳـﻨـﻮ ١٣از ﻫﺴﺘـﻰ ﻣﻔﻬـﻮﻣـﻰ ١٤اﺳﺖ )ﮔﺮﻳﻨـﻮ .(١٩٨٣ ،ﺧﺎﻃﺮ ﻧﺸﺎن ﻣـﻰ ﺳـﺎزﻳـﻢ، اﻳﺪه ى دوﻳﻴﺖ ﻓﺮاﻳﻨﺪ ـ ﺷﻰ اﺷﻴﺎى رﻳﺎﺿﻰ ﻛﻪ در اﻳﻦ ﻣﻘﺎﻟﻪ ﻧـﻘـﺶ اﺳﺎﺳـﻰ دارد ،دوﮔﺎﻧﮕﻰ اﺑـﺰار ـ ﺷﻰء دوآدى (١٩٨٥) ١٥را ﺑﻪ ﻳـﺎد ﻣﻰ آورد. در ﻣﺜﺎل اﺑﺘﺪاى ﻣﻘﺎﻟﻪ ،اﺷﻴـﺎى رﻳـﺎﺿـﻰ ﮔـﻮﻧﺎﮔﻮﻧﻰ ﺑﻪ ﻋـﻨـﻮان ﻣﺼﺪاق ﻫﺎى ﻋﺒﺎرت ﺟﺒﺮى ﻣﻌﺮﻓﻰ ﺷﺪه اﻧﺪ .ﻣﺜﻼً ﻳﻚ ﻋﺪد ،ﻳﻚ ﺗﺎﺑﻊ ،ﻳﻚ ﺧﺎﻧﻮاده )ﻣﺠﻤﻮﻋﻪ( از ﺗﻮاﺑﻊ ﻣﺼﺪاق ﻫﺎﻳﻰ از ﻋﺒﺎرت ﻫﺎى ﺟﺒﺮى ﻫﺴﺘﻨﺪ .اﻣﺎ ﻳﻜﻰ از ﺗﻌﺎﺑﻴﺮ ﻋـﺒـﺎرت ﺟﺒﺮى ﻣﺎﻫﻴﺖ ﻣﺘﻔـﺎوﺗﻰ داﺷﺖ؛ زﻣﺎﻧﻰ ﻛـﻪ 3(x + 5) +1ﺑﻪ ﻋﻨـﻮان ﻳﻚ ﺳﺮى از ﻋﻤﻠﻴـﺎت ﺧﻮاﻧﺪه ﺷﺪ ،اﻳﻦ ﻓﺮاﻳﻨﺪ ﻣﺤﺎﺳﺒﺎﺗﻰ ﺑـﻮد ﻛﻪ ﺑﻪ ﻧﻤﺎدﻫﺎ ﻣﻌﻨﺎ ﺑﺨﺸﻴﺪ ﻧﻪ ﻫﺮ ﺷﻰء ﻣﺠﺮد دﻳﮕﺮى )اﻟﺒﺘﻪ ﺻﺮف ﻧﻈﺮ از اﻋﺪادى ﻛﻪ در ﻓﺮاﻳﻨﺪ ﺑﻪ ﻛﺎر رﻓﺘﻪ اﻧﺪ( .ﭼﻴـﺰى ﻛﻪ در اﻳﻦ ﻣﺜﺎل ﻣﺸﺎﻫﺪه ﺷﺪ ،ﻇـﺎﻫـﺮًا در ﻛﻞ رﻳﺎﺿﻰ ﺷﺎﻳﻊ اﺳﺖ :ﻧﻤﺎﻳﺶ ﻳـﻜـﺴـﺎن و ﻣـﻔـﺎﻫـﻴـﻢ رﻳـﺎﺿـﻰ ﻳﻜﺴﺎن ،ﻣﻤﻜﻦ اﺳﺖ ﮔﺎﻫﻰ ﺑﻪ ﻋـﻨـﻮان ﻓﺮاﻳﻨﺪﻫﺎ و ﮔﺎﻫﻰ ﺑﻪ ﻋﻨـﻮان ﻣﻔﺎﻫﻴﻢ ﺗﻔﺴﻴﺮ ﺷﻮﻧﺪ؛ ﻳﺎ ،ﺑﻪ ﺑﻴﺎن اﺳﻔﺎرد ) ،(١٩٩١ﻣﻤﻜﻦ اﺳﺖ ﻫﻢ ﻋﻤﻠﻴﺎﺗﻰ و ﻫﻢ ﺳﺎﺧـﺘـﺎرى درك ﺷـﻮﻧﺪ .ﺑﻨﺎﺑﺮاﻳﻦ ،ﺷﻴـﻮه ﻫﺎى ﺑﻪ ﻇﺎﻫـﺮ ﻧـﺎﺳـﺎزﮔـﺎر در درك ﺳﺎﺧﺖ ﻫﺎى رﻳـﺎﺿـﻰ ،در ﻫـﺮ ﻧـﻮع ﻓﻌﺎﻟﻴﺖ رﻳﺎﺿﻰ ﺣﻀﻮر دارﻧﺪ و ﻣﻜﻤﻞ ﻳﻚ دﻳﮕﺮﻧﺪ .اﻳﻦ واﻗﻌﻴﺖ، ﻧﻘﻄﻪ ى ﺷﺮوع ﻣﺪل ﻳﺎدﮔﻴـﺮى و ﺣﻞ ﻣﺴﺌﻠﻪ ى رﻳﺎﺿﻰ ﻣـﺎ را ﺷﻜﻞ ﻣﻰ دﻫﺪ .ﻣﻔـﻬـﻮم ﻣﻜﻤﻞ ﺑﻪ ﻫﻤﺎن ﺷـﻴـﻮه اى ﻛﻪ در ﻓﻴﺰﻳﻚ ﺑـﻪ ﻛـﺎر ﻣﻰ رود )ﺑﺮاﺳﺎس اﻳﺪه ﻫﺎى ﻧﻴﻞ ﺑﻮﻫﺮ ،(١٦در اﻳﻦ ﺟﺎ ﻧﻴﺰ ﺑﻪ ﻛﺎر رﻓﺘﻪ اﺳﺖ .در ﻓﻴـﺰﻳـﻚ ﺑـﺮاى ﺗﻮﺟﻴـﻪ ﺑـﺮﺧﻰ ﻣﺸـﺎﻫـﺪات ،ﻣـﻮﺟﻮدات درون اﺗﻤﻰ را ﻫﻢ ﺑﻪ ﻋﻨـﻮان ذره ﻫﺎى ﻣﺎدى و ﻫﻢ ﺑﻪ ﻋـﻨـﻮان ﻣﻮج در ﻧﻈﺮ ﻣﻰ ﮔﻴﺮﻳﻢ. ﻣﺪل ﻫﺎى ﺗﻔﻜﺮ ﻋﻤﻠﻴﺎﺗﻰ و ﺳﺎﺧـﺘـﺎرى ،ﺗﻔـﺎوت ﻫﺎى ﻇﺮﻳﻔﻰ دارﻧﺪ و ﺗﻤﺎﻳﺰ ﻗﺎﺋﻞ ﺷﺪن ﺑﻴﻦ آن ﻫـﺎ ﺳـﺎده ﻧـﻴـﺴـﺖ .ﺗـﻮاﻧﺎﻳﻰ درك رﻳﺎﺿﻰ ﺑﻪ اﻳﻦ ﺷﻴﻮه ى دوﮔﺎﻧﻪ ،ﺟﻬﺎن اﻳﺪه ﻫﺎى ﻣﺠﺮد را ﺑﻪ ﺗﺼﻮﻳﺮى از ﺟﻬﺎن ﻣﺎدى ﺗﺒﺪﻳﻞ ﻣﻰ ﻛﻨﺪ :ﻣﺸﺎﺑﻪ ﺟﻬـﺎن واﻗﻌﻰ ،اﻋﻤﺎﻟﻰ ﻛـﻪ در اﻳﻦ ﺟﺎ اﻧﺠﺎم ﻣﻰ ﺷﻮﻧﺪ» ،ﻣﻮاد ﺧﺎم« و ﻣﺤﺼﻮﻻﺗﻰ دارﻧﺪ .اﻳﻦ
ﻣـــﻮاد ﺧــﺎم و ﻣـــﺤـــﺼـــﻮﻻت، ﻣﻔـﻬـﻮم ﺳﺎﺧﺘـﺎرى اﺳﺖ ،ﻣـﻰ ﺗـﻮان زﻣﺎﻧﻰ ﻛﻪ اﻳﺪهﻫﺎى ﺟﺒﺮى ﻓﻘـﻂ ﺑـﺎ ﻛـﻼم ﺑـﻴـﺎن ﻣـﻮﺟـﻮداﺗـﻰ ﻫـﺴـﺘـﻨـﺪ ﻛـﻪ ﺑـﺎ آن ﻫـﺎ ﺷـﺪهاﻧــﺪ ،ﺑــﻪ دﺷــﻮارى ﻣــﻰﺗــﻮان روﻳــﻜــﺮد ﺑﺤﺚ ﻫﺎى ﻧﻈـﺮى و ﺗﺠﺮﺑﻰ ﺑﺴﻴـﺎرى ﺑﻪ ﻋﻨﻮان اﺷﻴﺎى اﺻﻴﻞ و ﭘﺎﻳﺪار رﻓﺘﺎر ﺑـﻪ ﻛـﺎر ﺑـﺮد .آن ﭼـﻪ در ﻳـﻚ ﺳـﻄـﺢ ﺳﺎﺧـﺘـﺎرى ﭘـﻴـﺸـﺮﻓﺘـﻪﺗـﺮى را ﺗـﺼـﻮر ﻛـﺮد .در ﻣﻰ ﺷـﻮد .ﺑﺎ اﻳﻦ وﺟـﻮد ،ﺑﺮﺧﻼف ﺑﻪ ﻋﻨﻮان ﻳﻚ ﻓﺮاﻳﻨﺪ درك ﻣﻰ ﺷﻮد ،در روﻳﻜـﺮد ﺳﺎﺧـﺘـﺎرى ،ﻓـﺮاﻳﻨﺪﻫﺎى ﻣﺤـﺎﺳـﺒـﺎﺗـﻰ زﻧﺪﮔﻰ واﻗﻌﻰ ،ﻳﻚ ﻧﮕﺎه دﻗﻴﻖ ﺗﺮ ﺑﻪ ﺑﻪﻃﻮر ﻛﻠﻰ از دﻳﺪ ﺑﺎﻻﺗﺮى ﻣـﻮرد ﻣﻼﺣﻈﻪ ﻗﺮار ﺳﻄﺢ ﺑﺎﻻﺗﺮ ﺑﻪ ﻋﻨﻮان ﻳﻚ ﺷﻰء درك اﻳﻦ ﻣـﻮﺟﻮدات آﺷﻜﺎر ﻣﻰ ﻛﻨـﺪ ﻛـﻪ ﻣـﻰﮔـﻴــﺮﻧـﺪ ،اﻣـﺎ روﻳــﻜــﺮدﻫـﺎى ﻋـﻤـﻠـﻴــﺎﺗــﻰ و ﻣﻰ ﺷـﻮد )ﺑﻪ ﻋﻨـﻮان ﻣﺜﺎل؛ اﺳﻔـﺎرد، ﻧــﻤــﻰ ﺗــﻮان آن ﻫــﺎ را ﺑــﻪ ﻋــﻨــﻮان ﺳﺎﺧـﺘـﺎرى ،ﺑـﺎزﻧﻤـﺎﻳـﻰﻫـﺎى ﻳـﻜـﺴـﺎﻧـﻰ دارﻧـﺪ ١٩٩١ .و ١٩٩٢را ﺑﺒﻴﻨﻴﺪ( .ﺑﻪ ﻧـﻈـﺮ ﺑﻪﻋـﺒـﺎرت دﻳﮕـﺮ ،ﻛﻠﻤﺎت ،ﻣﺎﻧﻨـﺪ ﻧـﻤـﺎدﻫـﺎ ﻗـﺎﺑـﻞ ﻣﻰ رﺳﺪ زﻣﺎﻧﻰ ﻛﻪ ﻛﺎﭘـﻮت )(١٩٨٩ ﻣﻮﺟﻮدات ﻗﺎﺋﻢ ﺑﻪ ذات ١٧ﻛﻪ ﺑﺘﻮاﻧﻨﺪ دﺳﺖورزى ﻧﻴﺴﺘﻨﺪ .ﻗﺎﺑﻞ دﺳـﺖورزى ﺑـﻮدن ﺑﻴﺎن ﻣﻰ ﻛﻨﺪ ﻛﻪ »ﻣﻮﺟﻮدات ذﻫﻨﻰ ﻛﻪ از ﻓﺮاﻳﻨﺪﻫﺎ ﺟﺪا ﺑـﺎﺷـﻨـﺪ ،در ﻧـﻈـﺮ اﺳﺖ ﻛﻪ اﻳﻦ اﻣﻜﺎن را ﻓﺮاﻫﻢ ﻣﻰﻛﻨﺪ ﺗﺎ ﻣﻔﺎﻫﻴﻢ از ﻃﺮﻳﻖ ﺷﻰء اﻧﮕﺎرى ﻣﻔﺎﻫﻴﻢ )دﻳﺪن ﮔـﺮﻓﺖ .اﺷـﻴـﺎى ﻣـﺠـﺮدى ﻣـﺎﻧـﻨـﺪ ﺟﺒﺮى ،ﻛﻴﻔﻴﺖ ﺷﻰء ﻣﺎﻧﻨﺪى داﺷﺘـﻪ ﺑـﺎﺷـﻨـﺪ .اﻋﻤﺎل ،روﻳﻪ ﻫﺎ و ﻣﻔﺎﻫﻴﻢ ﺑﻪ ﻋـﻨـﻮان −1و -٢ﻳﺎ ﺗﺎﺑـﻊ 3(x + 5) +1 اﺷﻴـﺎى ﭘـﺪﻳـﺪارﺷﻨـﺎﺧـﺘـﻰ( ﺳـﺎﺧـﺘـﻪ ﻧﺘﻴـﺠـﻪ ى ﻧـﮕـﺎه ﻫـﺎى ﻣـﺘـﻔـﺎوت ﺑﻪ اﻣـﻜـﺎن اﻧـﺠـﺎم ﻓـﺮاﻳـﻨـﺪﻫـﺎى ﺳـﻄـﺢ ﺑـﺎﻻﺗـﺮ در روﻳﻪ ﻫﺎى ﺑﻪ دﺳـﺖ آوردن رﻳﺸﻪ ى ﺷـﺪه اﻧـﺪ ،ﻣــﻰ ﺗــﻮاﻧـﻨـﺪ ﺑـﻪ ﻋــﻨــﻮان ﻓﺮاﻳﻨﺪﻫﺎﻳﻰ ﻛﻪ ﺑﺎ ﻋﺒـﺎرات ﻓﺸﺮده ﻧﻤﺎﻳﺶ داده دوم از ،-١ﻣــﻨــﻔـــﻰ ﻛـــﺮدن ٢و ﭘﺎﻳﻪ ﻫﺎﻳـﻰ ﺑـﺮاى اﻋﻤﺎل ،روﻳـﻪ ﻫـﺎ و ﺷﺪهاﻧﺪ ،ﺗﻔﻜﺮ ﺳﺎﺧﺘﺎرى را ﺗﺮﻏﻴﺐ ﻣﻰﻛﻨﺪ ﻣﻔﺎﻫﻴﻢ ﺟﺪﻳﺪ در ﺳﻄﺢ ﺑـﺎﻻﺗـﺮى از ﻧـﮕـﺎﺷـﺖ اﻋـﺪاد ﺣـﻘــﻴــﻘــﻰ روى ﺧﻮدﺷﺎن از ﻃﺮﻳﻖ ﻳﻚ ﺗﺒﺪﻳﻞ ﺧـﻄـﻰ اﺳـﺖ .ﺑـﻨـﺎﺑـﺮاﻳﻦ ،اﺷـﻴـﺎى ﺳﺎزﻣﺎن دﻫﻰ ﺑـﻪ ﻛـﺎر روﻧﺪ« )ص ،(١٦٨ .ﻣﺸﺎﻫﺪات ﻣﺸـﺎﺑـﻬـﻰ رﻳﺎﺿﻰ ﻧﺘﻴﺠﻪ اى از ﺷـﻰ اﻧـﮕـﺎرى ﻣﻔﺎﻫﻴﻢ ﻫﺴﺘﻨﺪ و ﺷـﻰ اﻧـﮕـﺎرى داﺷﺘﻪ اﺳﺖ .ﻫﺮﭼﻨﺪ ﻣﻤﻜﻦ اﺳﺖ ﻧﻘﻄﻪ ى ﺷﺮوع ﺑﺮاى ﻣﺎ و ﻛﺎﭘﻮت ﻣﻔﺎﻫﻴﻢ ﺣﺎﺻـﻞ ﺗـﻮاﻧﺎﻳﻰ ذﻫﻨﻰ ﻣـﺎ ﺑـﺮاى دﻳﺪن ﻧﺘﻴﺠـﻪ ى ﻓـﺮاﻳﻨﺪﻫـﺎ ﻛﺎﻣﻼ ﻣﺘﻔـﺎوت ﺑﺎﺷﺪ )ﺑﻪ ﻧﻈـﺮ ﻣـﻰ رﺳﺪ اﻳﺪه ﻫﺎى ﻛﺎﭘـﻮت ﺑﺮاﺳﺎس ً ﻧﻈﺮﻳﻪ ى ﺗﺠﺮﻳﺪ ﺑـﺎزﺗﺎﺑﻰ ﭘﻴﺎژه ﺑﻮده اﺳﺖ( ،اﻣﺎ اﺗﻔﺎق ﻧﻈﺮ اﺳﺎﺳـﻰ ﺑﻪ ﻋﻨﻮان ﻣﻮﺟﻮدات ﭘﺎﻳﺪار ﻗﺎﺋﻢ ﺑﻪ ﺧﻮد اﺳﺖ. اﻳﻦ ﻣـﺸـﺎﻫـﺪه ى ﻫﺴﺘﻰ ﺷﻨـﺎﺳـﺎﻧـﻪ ،ﻧـﺘـﺎﻳـﺞ ﻧـﻈـﺮى ﻣﺘـﻌـﺪدى در ﻣﻮرد ﻧﻘﺶ ﻓﺮاﻳﻨﺪﻫﺎ و اﺷﻴﺎى رﻳﺎﺿﻰ و واﺑﺴﺘﮕﻰ ﻣﺘﻘﺎﺑﻞ آن ﻫـﺎ درﺑﺮدارد ،ﻧﻈﺎم ﻛﺎﻣﻠﻰ از ادﻋﺎﻫـﺎ در ﻣـﻮرد ﺣﻞ ﻣﺴﺌﻠﻪ ى رﻳﺎﺿـﻰ وﺟﻮد دارد .ﻓﺮودﻧﺘﺎل ﻳﻜﻰ از ﺻﺮﻳﺢ ﺗﺮﻳﻦ ﻃﺮﻓﺪاران ﺗﺼﻮر رﻳﺎﺿﻰ ﺗﺪارك ﻣﻰ ﺑﻴﻨﺪ و ﻣﺪﻟﻰ از ﺷﻜﻞ ﮔﻴﺮى ﻣﻔﺎﻫﻴﻢ را ﺑﻪ وﺟﻮد ﻣﻰ آورد .ﺑﻪ ﻋﻨﻮان ﺳﻠﺴﻠﻪ ﻣـﺮاﺗﺒﻰ از دﻳﺪﮔﺎه ﻫﺎى ﻣﺘﻨـﺎوب اﺳﺖ» :ﺗﺠﺰﻳﻪ و اﻳﻦ ﻣﺪل ،ﻫﻢ ﭼﻨﺎن ﻛﻪ ﺑـﺮاى درك ﺗﺤـﻮل ﺗﺎرﻳﺨﻰ ﻣﻔﺎﻫﻴﻢ ﺑﻪ ﻛـﺎر ﺗﺤﻠﻴﻞ ﻣﻦ از ﻓﺮاﻳﻨﺪ ﻳﺎدﮔﻴﺮى رﻳﺎﺿﻰ ﺳﻄﻮﺣﻰ را در ﻓﺮاﻳﻨﺪ ﻳﺎدﮔﻴﺮى ﻣﻰ رود ،ﺑـﺮاى ﻳﺎدﮔﻴـﺮى ﻓﺮدى ﻧﻴﺰ ﻣـﻮرد اﺳﺘﻔﺎده ﻗـﺮار ﻣﻰ ﮔﻴـﺮد و آﺷﻜﺎر ﺳﺎﺧﺘﻪ اﺳﺖ ،ﺟﺎﻳﻰ ﻛﻪ رﻳﺎﺿﻴﺎﺗﻰ ﻛﻪ در ﻳﻚ ﺳﻄﺢ اﻧﺠﺎم دﻻﻳﻠﻰ ﺑﺮاى دﺷﻮارى ﻫﺎﻳﻰ ﻛﻪ داﻧﺶ آﻣﻮز در ﻓﻬﻤﻴﺪن ﻳﻚ اﻳـﺪه ى ﻣـﻰ ﺷـﻮد ،رﻳﺎﺿﻰ ﻣﺸـﺎﻫـﺪه ﺷـﺪه در ﺳـﻄـﺢ ﺑـﻌـﺪى ﻣـﻰ ﺷـﻮد« رﻳﺎﺿﻰ ﺟﺪﻳﺪ ﺗﺠﺮﺑﻪ ﻣﻰ ﻛﻨـﺪ ،اراﺋﻪ ﻣﻰ دﻫﺪ .در اداﻣﻪ ،ﻫﻤـﻪ ى )ﻓﺮودﻧﺘﺎل ،١٩٧٨ ،ص .(٣٣ﻫﺮﭼﻨﺪ اﻳﻦ ادﻋﺎ ﺑﺮاﺳﺎس ﺗﺠﺰﻳﻪ اﻳﻦ ﻣﻮﺿﻮﻋﺎت را ﻣﻮرد ﺑﺤﺚ ﻗﺮار ﻣﻰ دﻫﻴﻢ .در ﺑﺨﺶ ،٢ﺑﺤﺚ و ﺗﺤﻠﻴﻞ ﻫﺎى ﻣﺘـﻔـﺎوﺗﻰ ﺑﻨﺎ ﺷﺪه اﺳﺖ ،اﻣﺎ ﻣﺎﻧﻨـﺪ ﻧـﻈـﺮﻳـﻪ ى ﻣـﺎ، را ﺑﺎ ﻳﻚ ﺗﺠﺰﻳﻪ و ﺗﺤﻠﻴﻞ ﻣـﻌـﺮﻓﺖ ﺷﻨﺎﺧﺘﻰ ﻛـﻪ ﺗـﻮﺳﻂ ﻣﺸﺎﻫﺪات ﺑﻪ وﻳﮋﮔﻰ ﻫﺎى اﺳﺎﺳﻰ ﻳﻜﺴﺎﻧﻰ از ﺳﺎﺧﺖ ﻫﺎى رﻳﺎﺿﻰ اﺷﺎره دارد؛ ﺗﺎرﻳﺨﻰ ﺣﻤﺎﻳـﺖ ﻣـﻰ ﺷـﻮد ،آﻏﺎز ﻣﻰ ﻛﻨﻴـﻢ .در ﺑـﺨـﺶ ،٣ﻳـﻚ ﻳﻌﻨﻰ ﺑﺮ اﻳﻦ ﺣﻘﻴﻘﺖ ﺗﺄﻛﻴﺪ دارد ﻛﻪ رﻳﺎﺿﻰ ﻳﻚ ﺳﺎﺧﺘﺎر ﭼﻨﺪﺳﻄﺤﻰ دﻳﺪﮔﺎه روان ﺷﻨﺎﺳﻰ ﻣﻄـﺮح ﻣﻰ ﻛﻨﻴﻢ و ﺗﻼش ﺧـﻮاﻫﻴﻢ ﻛـﺮد ﻧﺸﺎن اﺳـﺖ ،ﻣـﻮﺿـﻮﻋﻰ ﻛـﻪ در آن اﻳـﺪه ﻫـﺎى اﺳـﺎﺳـﺎً ﻳﻜـﺴـﺎن اﮔـﺮ از دﻫﻴﻢ ﻛﻪ ﻣﺪل ﺷﻜﻞ ﮔﻴﺮى ﺟﺒﺮ ﻛﻪ از ﻃﺮﻳﻖ ﺗﺠﺰﻳﻪ و ﺗﺤﻠﻴﻞ ﺗﺎرﻳﺨﻰ ﻣﻮﻗﻌﻴﺖ ﻫﺎى ﻣﺨﺘﻠ Iﻣﺸﺎﻫﺪه ﺷﻮﻧﺪ ،ﻣﺘﻔﺎوت ﺧﻮاﻫﻨﺪ ﺑﻮد. ﻫﻤﺎن ﻃﻮر ﻛﻪ ﻗﺒـﻼً ﮔﻔﺘﻴﻢ ،ﺳﺎﺧﺖ ﻫﺎى ﺟـﺒـﺮى ﺑﺎﻳﺪ دوﻳﻴﺖ و ﻣﻌـﺮﻓﺖ ﺷﻨﺎﺧﺘﻰ ﺳﺎﺧـﺘـﻪ ﺷـﺪه ،ﺗـﺎ ﺣـﺪود زﻳﺎدى ﻣﺘﻨـﺎﺳـﺐ ﺑـﺎ ﻓﺮاﻳﻨﺪ ـ ﺷﻰء را اﻧﺘﻘﺎل دﻫﻨﺪ .اﻣﺎ اﻧﻌﻄﺎف ﭘﺬﻳﺮى در ﻫﺴﺘﻰ ﺷﻨﺎﺳﻰ ﻓﺮاﻳﻨﺪﻫﺎﻳﻰ اﺳﺖ ﻛﻪ ﻫﻤﺮاه ﺑﺎ ﻳﺎدﮔﻴﺮى ﻓﺮد رخ ﻣﻰ دﻫﻨﺪ. ﻣﻮﺟﺐ ﻣﻰ ﺷﻮد ﺗﺎ رﺳﻴﺪن ﺑﻪ ﺗﻮاﻧﺎﻳﻰ درك ﺟﻨﺒﻪ ى ﺳﺎﺧﺘﺎرى ،ﺳﺎده ﻧﺒﺎﺷﺪ .ﺑﻨﺎﺑﺮاﻳﻦ ،ﻧﻘﺎط اﺗﺼـﺎلِ ﻣﻬﻢ در رﺷﺪ رﻳﺎﺿﻰ ﺟﺎﻳﻰ اﺳﺖ .٢ﺟﺒﺮ ﭼﻴﺴﺖ و ﭼﮕﻮﻧﻪ ﺗﻮﺳﻌﻪ ﻳﺎﻓﺘﻪ اﺳﺖ؟ ﺑﺮاى ﻧﺸﺎن دادن اﻳﻦ ﻛﻪ در رﻳﺎﺿﻰ ،ﻣﻔﻬﻮم ﻋﻤﻠﻴﺎﺗﻰ ﻣﻘﺪم ﺑﺮ ﻛﻪ اﻧﺘﻘﺎل از ﻳﻚ ﺳﻄﺢ ﺑﻪ ﺳﻄـﺢ دﻳـﮕـﺮ رخ ﻣﻰ دﻫﺪ .اﻳﻦ ﻧﻘـﺎط، ٧
دوره ى ﺑﻴﺴﺖ وﻫﻔﺘﻢ ﺷﻤﺎره ى٣ ﺑﻬﺎر ١٣٨٩
دﺷﻮارﺗﺮﻳﻦ و ﺟﺎﻟﺐ ﺗﺮﻳﻦ ﻧﻘﺎط ﻫﺴﺘﻨﺪ .ﺑﺎر دﻳﮕﺮ ﻋﺒﺎرات ﻓﺮودﻧﺘﺎل را ﺑﻪ ﻛﺎر ﻣﻰ ﺑﺮﻳﻢ؛ »اﮔﺮ ﻓﺮاﻳﻨﺪ ﻳﺎدﮔﻴﺮى را ﻣﻮرد ﻣﺸﺎﻫﺪه ﻗﺮار دﻫﻴﻢ، ﻟﺤـﻈـﺎت ﻣـﻬـﻢ و ارزﺷﻤﻨـﺪ ،ﻧـﺎﭘـﻴـﻮﺳﺘﮕـﻰ ﻫـﺎ ﻫـﺴـﺘـﻨـﺪ .آن ﻫـﺎ ﺟﻬﺶ ﻫﺎﻳﻰ اﻧﺪ ﻛﻪ در ﻓـﺮاﻳﻨﺪ ﻳﺎدﮔﻴـﺮى رخ ﻣﻰ دﻫﻨـﺪ« )ص .(٧٨ ﺑﺪﻳﻦ ﺳﺒﺐ ،در ﺗﺠﺰﻳﻪ و ﺗﺤﻠﻴﻠﻰ ﻛﻪ در اداﻣﻪ ﻣﻰ آﻳﺪ ،ﺗـﻤـﺮﻛﺰ ﺑـﺮ ﻧﻘﺎط ﻣﻨﻔـﺮد در رﺷﺪ ﻣﻔﺎﻫﻴـﻢ ﺟـﺒـﺮى اﺳﺖ .ﺑﺮاى آن ﻛﻪ ﭘﻴﺸـﺮﻓـﺖ ﺑﻴﺶ ﺗﺮى ﺻﻮرت ﮔﻴﺮد ،دﻳﺪﮔﺎه ﻫﺴﺘﻰ ﺷﻨﺎﺳﻰ ﺑﺎﻳﺪ اﻧﻄﺒﺎق )ﻓﺮاﻳﻨﺪ ـ ﺷﻰء( را در اﻳﻦ ﻧﻘﺎط ﺑﭙﺬﻳﺮد. ﻗﺒﻞ از ﺗﻮﺿﻴﺢ رﺷﺪ ﺟﺒﺮ ،ﻣﺎﻫﻴﺖ ﺗﺤﻘﻴﻖ ﻣﺎن را ﻣﻮرد ﻣﻼﺣﻈﻪ ﻗﺮار ﻣﻰ دﻫﻴﻢ .ﻣﺎﻧﻨﺪ ﻫﺮ ﺣﻮزه ى دﻳﮕﺮى از داﻧﺶ ﺑﺸﺮى ،اﻣﻜﺎن دارد ﺳﺎﺧﺖ ﺟﺒﺮ ﮔـﺮوﻫـﻰ از ﺻــﻮرتﮔــﺮاﻳـﺎن از دﻳﺪﮔﺎه ﻫﺎى ﮔـﻮﻧﺎﮔـﻮﻧﻰ ﻣﻮرد ﺑـﺮرﺳﻰ اﻧـﮕـﻠـﻴـﺴـﻰ )اِى .دﻣـﻮرﮔـﺎن، ﻗﺮار ﮔﻴﺮد .ﻓـﺮد ﻣﻤﻜﻦ اﺳﺖ ﺑﺮ ﺳﺎﺧﺘـﺎر ﺟــﻰ .ﭘـــﻰﻛـــﺎت و دى.اِف. ﻣﻨﻄﻘﻰ ﻣـﻮﺿﻮع ﺗﻤﺮﻛﺰ ﻛﻨﺪ و ﺑﭙـﺮﺳﺪ ﻛـﻪ ﮔﺮﻳﮕﻮرى( ﭘﻴﺸﻨـﻬـﺎد ﻛـﺮدﻧﺪ ﭼﮕﻮﻧﻪ ﺑﺨﺶ ﻫﺎى ﻣﺨﺘﻠ Iداﻧﺶ ﺑﻪ ﻳﻚ ﻛﻪ ﺟﺒﺮ ﺑـﺎﻳـﺪ از ﺑـﺎر ﺗـﻔـﺴـﻴـﺮ ﻧﻈﺎم ﻣﻨﺴﺠﻢ ﻣـﺮﺗﺒﻂ ﻣﻰ ﺷﻮﻧﺪ؟ اﻳﻦ ﻧﻮع اوﻟﻴﻪاش رﻫﺎ ﺷﻮد .از اﻳﻦ ﺑﻪ ﺗﺠﺰﻳﻪ و ﺗﺤﻠﻴـﻞ را ﻣﻨﻄﻘﻰ ١٨ﻣﻰ ﻧﺎﻣﻴـﻢ. ﺑﻌﺪ ،ﺑﺎﻳﺪ ﺑﺎ ﻳﻚ ﻓﺮﻣﻮل ﺟﺒﺮى دﻳﺪﮔﺎه دﻳﮕﺮ ،روﻳﻜـﺮد ﺗﺎرﻳﺨﻰ اﺳﺖ. ﺑﻪ ﺧﻮدى ﺧﻮد ﺑﻪ ﻋﻨـﻮان ﻳﻚ اﻳﻦ روﻳﻜﺮد ﺗﻼش ﻫﺎى ﺟﻤﻌـﻰ را ﻛﻪ در ﺷﻰء رﻓﺘﺎر ﻛﺮد .ﺷﻴﺌﻰ ﻛﻪ ﺑﻪ ﻃﻮل زﻣﺎن ﺑـﺮاى ﺳﺎﺧﺖ ﻧﻈﺎم ﻣـﻔـﺮوض ﺷـﻴـﻮهﻫـﺎى ﻣـﺨـﺘـﻠـ Oﻗـﺎﺑــﻞ ﻣﻔﺎﻫﻴﻢ اﻧـﺠـﺎم ﺷـﺪه ،ﻣـﻮرد ﺗـﻮﺟﻪ ﻗـﺮار ﺗـﻔـﺴـﻴـﺮ اﺳـﺖ اﻣــﺎ ﺧــﻮدش ﻣﻰ دﻫـﺪ .درﻧﻬﺎﻳـﺖ ،ﻣـﻤـﻜـﻦ اﺳـﺖ، ﻣﻌﻨﺎﻳﻰ ﻧﺪارد ﻣﺤﻘﻖ ﻓـﺮاﻳﻨﺪﻫﺎى ﺷﻨﺎﺧﺘـﻰ را ﻛﻪ ﺑﺎﻋﺚ ﺷﻜﻞ ﮔﻴـﺮى ﻳﺎدﮔﻴـﺮى ﻓﺮدى ﻣﻰ ﺷـﻮﻧﺪ، ﻧﻤﺎدﻫﺎى ﺟﺒﺮى ﺑﻪ ﺧﻮدى ﻣﻮرد ﺑﺮرﺳﻰ ﻗﺮار دﻫﺪ .ﻓﺮد ﻗﻄﻌﺎً اﻧﺘﻈﺎر ﺧـﻮد ﺣـﺮﻓﻰ ﺑـﺮاى ﮔـﻔـﺘـﻦ ﻧﺪارد ﻛﻪ اﻳﻦ ﺳـﻪ ﻧـﻮع ﺗﺠﺰﻳﻪ و ﺗﺤـﻠـﻴـﻞ ﻧﺪارﻧﺪ .درﺣﻘﻴﻘﺖ ،آنﭼﻪ ﻧﺘـﺎﻳـﺞ ﻳـﻜـﺴـﺎﻧـﻰ درﺑـﺮداﺷﺘـﻪ ﺑـﺎﺷـﻨـﺪ. از ﻧﻤـﺎدﻫـﺎ درك ﻣﻰﺷـﻮد، ﻫﻤﺎن ﻃـﻮرى ﻛﻪ ﺑـﺮﺧﻰ از ﻧﻮﻳﺴـﻨـﺪﮔـﺎن واﺑــﺴــﺘـــﻪ ﺑـــﻪ ﺷـــﺮاﻳــﻂ ﻧﻮﺷﺘﻪ اﻧﺪ ،اﻳﻦ ،ﻳﻚ اﻓﺴـﺎﻧـﻪ اﺳـﺖ ﻛـﻪ ﻣﺴﺌﻠﻪاى اﺳﺖ ﻛﻪ ﻧﻤﺎدﻫﺎ »ﺳﺎﺧﺘﺎر ]ﻣﻨﻄﻘﻰ[ رﻳﺎﺿﻰ ﺑﻪ ﻃﻮر دﻗﻴﻖ ﺑﺮاى آن ﺑﻪﻛﺎر رﻓﺘﻪاﻧﺪ ﺗـﺎرﻳـﺦ آن را ﻣﻨﻌـﻜـﺲ ﻛـﻨـﺪ« )ﻛـﺮوِ، ١٩ .(١٩٨٨ﻋﻼوه ﺑﺮ اﻳﻦ ،ﻓـﺮد ﺑﺎﻳﺪ دﻗﺖ ﻛﻨﺪ ﻛـﻪ روان ﺷﻨﺎﺳﻰ ،ﻧﺴﺨـﻪ ى دوﺑـﺎره ﻧﻮﺷﺘﻪ ﺷﺪه اى از ﺗـﺎرﻳـﺦ ﻧﻴﺴﺖ .ﺑﻪ ﻋﺒـﺎرت دﻳﮕﺮ ،ﻓﺮاﻳﻨﺪ ﻫﺪاﻳﺖ ﻋﺎﻣﺪاﻧﻪ ى دوﺑـﺎره ﺳﺎزى ﻣﻔﺎﻫﻴﻢ ﺟﺒﺮى ﻫﻤﺎن ﻣﺴﻴﺮ ﭘﺮﭘﻴﭻ و ﺧـﻢ اوﻟﻴﻦ ﻧﻮﻳﺴﻨﺪﮔﺎﻧﻰ ﻛﻪ اﻳﻦ راه ﻧﺮﻓﺘﻪ را ﻃﻰ ﻛﺮده اﻧﺪ ،ﻧﻴﺴﺖ .ﺑﺎ اﻳـﻦ وﺟﻮد ،ﻓﺮد ﻣﻤﻜﻦ اﺳﺖ دوره ى ﺑﻴﺴﺖ وﻫﻔﺘﻢ ﺷﻤﺎره ى٣ ﺑﻬﺎر ١٣٨٩
٨
اﻧﺘﻈﺎر داﺷﺘﻪ ﺑﺎﺷﺪ ،ﺷﺒـﺎﻫـﺖ ﻫـﺎى ﺑـﺮﺟﺴﺘﻪ اى ﺑﻴﻦ ﻧﺘـﺎﻳـﺞ اﻧـﻮاع ﻣﺨﺘﻠ Iﺗﺠﺰﻳﻪ و ﺗﺤﻠﻴﻞ ﺑﺒﻴﻨﺪ .ﮔﺎرﺳﻴﺎ ٢٠و ﭘﻴﺎژه ) ،(١٩٨٩ﺑﺮاى ﻣﻘﺎﻳﺴـﻪ ى ﺗـﺤـﻮﻻت ﺗﺎرﻳﺨـﻰ و روان ﺷﻨﺎﺳـﻰ ،ﻣـﻮرد وﻳـﮋه اى را ﺑﺮرﺳﻰ ﻛﺮدﻧﺪ .ﺑﻬﺘﺮ اﺳﺖ اﺣﺘﻴﺎط ﻛﻨﻴﻢ ،اﻣﺎ ﻧﺒﺎﻳﺪ ﺗﺠﺰﻳﻪ و ﺗﺤﻠﻴﻞ ﻣﻨﻄﻘﻰ را ﻛﻨﺎر ﺑﮕﺬارﻳﻢ ،زﻳـﺮا ﻣﻨﻄﻖ ﻣﻰ ﺗـﻮاﻧﺪ ﻳﻚ ﻣﻨﺸﺄ ﺑﺎﻟﻘﻮه ى اﻳﺠﺎد ﺑﺼﻴﺮت در ﻣﻮرد ﻓﺮاﻳﻨﺪ ﻳﺎدﮔﻴﺮى رﻳﺎﺿﻰ اﺳﺖ .رﻳﺎﺿﻰ ﻳﻚ ﺳﺎﺧﺘﺎر ﺳﻠﺴﻠﻪ ﻣـﺮاﺗﺒﻰ اﺳﺖ ﻛﻪ در آن ،ﺑﻌﻀﻰ از ﻻﻳﻪ ﻫﺎ ﻗﺒـﻞ از ﻛﺎﻣﻞ ﺷﺪن ﺑﻘﻴﻪ ،ﺳﺎﺧﺘﻪ ﻧـﻤـﻰ ﺷـﻮﻧـﺪ .درﻧﺘﻴﺠﻪ ،ﺑﻌﺪ از اﻳـﻦ ﻛـﻪ ﺑﺮاﺳﺎس ﺗﺠﺰﻳﻪ و ﺗﺤﻠﻴﻞ ﻫﺎى ﻣﻨﻄﻘﻰ ،ﻫﺴﺘﻰ ﺷﻨﺎﺳﻰ و ﺗﺎرﻳﺨﻰ، ادﻋﺎﻫﺎﻳﻰ در راﺑﻄﻪ ﺑﺎ ﺗـﻮﺳﻌﻪ ى ﺟﺒـﺮ اراﺋﻪ ﻛﺮدﻳﻢ ،ﻧﺸﺎن ﺧـﻮاﻫﻴﻢ داد ﻛﻪ اﻳﻦ ﻣﺮاﺣﻞ ،در ﻳﺎدﮔﻴﺮى ﻓﺮدى ﻧﻴﺰ وﺟﻮد دارﻧﺪ. .١.٢ﺟﺒﺮ ﺑـﻪﻋـﻨـﻮان ﺣﺴﺎب ﺗﻌـﻤـﻴـﻢﻳـﺎﻓـﺘـﻪ :ﺟـﻨـﺒـﻪى ﻋﻤﻠﻴﺎﺗﻰ در ﺗﻤﺎم ﺗﺠﺰﻳﻪ و ﺗﺤﻠﻴﻞ ،ﻧـﻮﻋﻰ از ﺟﺒـﺮ را »ﻋﻤﻠﻴﺎﺗﻰ« و ﻧـﻮع دﻳﮕﺮ را »ﺳﺎﺧﺘﺎرى« ﻣﻰ ﻧﺎﻣﻴﻢ .اﻳﻦ ﺑﺪﻳﻦ ﻣﻌﻨﺎ ﻧﻴﺴﺖ ﻛﻪ در ﮔﺎم ﻫﺎى ﻣﺘﻔﺎوت ،در ﺗﻮﺳﻌﻪ ى ﺟﺒﺮ ،ﻓﻘﻂ ﻳﻜﻰ از اﻧﻮاع ﺟﺒﺮ )ﻋﻤﻠﻴﺎﺗﻰ ﻳـﺎ ﺳﺎﺧﺘـﺎرى( ﺣﻀﻮر دارد .ﻣﺎﻫﻴﺖ ﻣﻜﻤـﻞ ﻓـﺮاﻳﻨﺪﻫﺎ و اﺷﻴﺎ ﻧـﺸـﺎن ﻣﻰ دﻫﺪ ﻛﻪ ﺣﻀﻮر ﻳﻜـﻰ ﺑـﺪون دﻳﮕﺮى ﻣﻤﻜﻦ ﻧﻴﺴﺖ .ﻋـﻼوه ﺑـﺮ اﻳﻦ ،روﺷﻦ اﺳﺖ ﻛﻪ اﮔﺮ ﻓـﺮاﻳﻨﺪﻫﺎ )ﻣـﺆﻟﻔﻪ ﻫﺎى ﻋﻤﻠﻴﺎﺗـﻰ( ﻣـﻮرد ﺗﻮﺟﻪ ﻗـﺮار ﮔﻴﺮﻧﺪ ،ﺑﺎﻳﺪ اﺷﻴﺎى ﻣﻌﻴﻨـﻰ )ﻋـﻮاﻣﻞ ﺳﺎﺧﺘـﺎرى( وﺟـﻮد داﺷﺘﻪ ﺑﺎﺷﻨﺪ ﻛﻪ اﻳﻦ ﻓﺮاﻳﻨﺪﻫﺎ ﺑﺮاى آن ﻫﺎ ﺑﻪ ﻛﺎر روﻧﺪ .ادﻋﺎﻫﺎى ﻣﺎ ﻣﺒﻨﻰ ﺑﺮ اﻳﻦ ﻛﻪ اﻧﻮاع ﻣﻌﻴﻨﻰ از ﺟﺒﺮ وﻳﮋﮔﻰ ﻋﻤﻠﻴﺎﺗﻰ دارﻧﺪ درﺣﺎﻟﻰ ﻛﻪ اﻧﻮاع دﻳﮕﺮ ﺳﺎﺧﺘﺎرى ﻫﺴﺘﻨﺪ ،ﻧﺸﺎن ﻣﻰ دﻫﺪ ﺗﻤـﺮﻛﺰ اوﻟﻴﻪ ﺑﺮ ﻛﺪام ﻧﻮع ﺟﺒﺮ اﺳﺖ .ﺑﻪ ﻋﻨﻮان ﻣﺜﺎل ،اﻳﻦ ﻋﺒﺎرت ﻛﻪ »ﺟﺒﺮ در اﺑﺘﺪا وﻳﮋﮔﻰ ﻋﻤﻠﻴﺎﺗﻰ دارد« ﻳﻌﻨﻰ؛ ﭘﻴﺸﺮﻓﺘﻪ ﺗﺮﻳﻦ و اﺻﻠﻰ ﺗﺮﻳﻦ اﻳﺪه ﻫﺎﻳﻰ ﻛﻪ در اﻳﻦ ﻣـﺮﺣﻠﻪ ﻣـﻮرد ﺗـﻮﺟﻪ ﻗـﺮار ﻣﻰ ﮔﻴـﺮﻧﺪ ،ﺑﻪ ﻃﻮر ﻋﻤـﻠـﻴـﺎﺗـﻰ درك ﻣﻰ ﺷﻮﻧﺪ ﻧﻪ ﺳﺎﺧﺘﺎرى. ﺗﺎرﻳﺦ ﺟﺒﺮ ،ﺑﻴﺶ ﺗﺮ ﻣﺆﻳﺪ اﻳﻦ ﻓﺮﺿﻴﻪ اﺳﺖ ﻛﻪ روﻳﻜﺮد ﻋﻤﻠﻴﺎﺗﻰ ﻣﻘﺪم ﺑﺮ روﻳﻜـﺮد ﺳﺎﺧﺘﺎرى اﺳﺖ زﻳـﺮا ﻃﻰ ﭼﻨﺪ ﻫـﺰار ﺳﺎل ،ﺟﺒﺮ ﭼﻴﺰى ﺑﻴﺶ از ﻋﻠﻢ روﻳﻪ ﻫﺎى ﻣﺤﺎﺳﺒﺎﺗﻰ ﻧﺒﻮد. از ﻧﻘﻄﻪ ﻧﻈﺮ ﺗـﻮﺳﻌﻪ اى ،ﺟﺒﺮ اداﻣﻪ ى ﺣﺴﺎب اﺳﺖ .ﻣﺸـﺎﺑـﻪ ﺣﺴﺎب )ﺣﺪاﻗـﻞ در ﻣـﺮاﺣﻞ اوﻟﻴﻪ اش( ﺑﺎ اﻋﺪاد و ﺑﺎ ﻣﺤـﺎﺳـﺒـﺎت ﻋﺪدى ﻛﺎر ﻣﻰ ﻛﻨﺪ ،اﻣﺎ ﻧﻮع ﺳﺆاﻻﺗﻰ ﻛﻪ ﻣﻰ ﭘﺮﺳﺪ ﻣﺘﻔـﺎوت اﺳﺖ و اﻟﮕﻮرﻳﺘﻢ ﻫـﺎ را ﺑﻪ ﺷﻴـﻮه ى ﻋﻤـﻮﻣﻰ ﺗـﺮى ﻣﻮرد دﺳﺖ ورزى ﻗﺮار ﻣﻰ دﻫﺪ .آن ﻫﺎﻳﻰ ﻛﻪ ﻧﻤﺎﻳﺶ ﻧﻤﺎدﻳﻦ را ﺑﻪ ﻋﻨﻮان وﻳـﮋﮔﻰ ﻻزم ﺟﺒﺮ
ﻧﻤﻰ داﻧﻨﺪ ،اﺗﻔﺎق ﻧﻈﺮ دارﻧﺪ ﻛﻪ ﻫﻢ در ﺗﺎرﻳﺦ و ﻫﻢ در ﻓﺮاﻳﻨﺪ ﻳﺎدﮔﻴﺮى رﻳﺎﺿﻰ ،ﺗﻔﻜﺮ ﺟﺒﺮى ﺧﻴﻠﻰ زودﺗﺮ از ﻣﻌﺮﻓﻰ ﻫﺮ ﻧﻤﺎد ﺧﺎﺻﻰ ﻇﺎﻫﺮ ﻣﻰ ﺷﻮد .ﺑﻪ ﻋﻨﻮان ﻣﺜﺎل ،ﺗﻔﻜﺮ ﺟﺒﺮى ﺑﺎ اوﻟﻴﻦ ﺗﻼش ﺑﺮاى ﭘﻴﺪا ﻛﺮدن ﻋﺪد ﻣﺠﻬﻮل ﺷـﺮوع ﻣﻰ ﺷﻮد .ﻋﺪد ﻣﺠﻬﻮل ﻋﺪدى اﺳﺖ ﻛﻪ ﻳـﻚ ﻋﻤﻠﻴﺎت ﻣـﺸـﺨـﺺ روى آن اﻧﺠﺎم ﺷﺪه و ﻳﻚ ﻧﺘـﻴـﺠـﻪ ى ﻣـﻌـﻴـﻦ ﺑﻪ دﺳﺖ آﻣﺪه اﺳﺖ .در اﻳﻦ ﻧﻮع ﻓﻌﺎﻟﻴﺖ ،ﺷﻴﻮه ى ﻣﺘﺪاول ﺣﺴﺎب ﻛﻪ ﺑﻪ ﻛﺎر ﺑﺮدن ﻳﻚ اﻟﮕﻮرﻳﺘﻢ ﻣﺤﺎﺳﺒﺎﺗﻰ ﺑﺮاى ﻳﻚ ﻋﺪد ﻣﺤﺴـﻮس اﺳﺖ ،ﺑﺎﻳﺪ ﺑﻪ ﻃﻮر ﻣﻌﻜﻮس اﻧﺠﺎم ﺷﻮد :ﺑﻪ ﻋﻨﻮان ﻣﺜﺎل ،در ﻳﻚ
ﻣﻌﺎدﻻت درﺟﻪ ى دوم ﻫﺴﺘﻨﺪ )ﻳﺎ ﺣﺪاﻗﻞ ﻣﺴﺌﻠﻪ ﺣﻞ ﻛـﻦ اﻣـﺮوزى از ﭼﻨﻴـﻦ روﺷﻰ اﺳﺘﻔﺎده ﻣﻰ ﻛـﻨـﺪ( .در ﻫـﺮ دو ﻧـﻤـﻮﻧﻪ ،ﺑـﻪ ﺟـﺎى ﺿﺮاﻳﺐ ﻋﻤﻮﻣﻰ ،از اﻋﺪاد ﻣﺤﺴﻮس اﺳﺘﻔﺎده ﻣﻰ ﺷﻮد و راه ﺣﻞ ﺑﻪ ﺷﻜﻞ ﺗـﻮﺻﻴ Iﻛﻼﻣـﻰ ﺑـﺮاى ﭘﻴﺪا ﻛﺮدن ﻣﺠﻬـﻮل اراﺋﻪ ﻣﻰ ﮔـﺮدد. ﺑﻨﺎﺑﺮاﻳﻦ ،روﻳﻜـﺮدى ﻛﺎﻣﻼً ﻋﻤﻠﻴﺎﺗﻰ اﺳﺖ؛ ﺗﻤـﺮﻛﺰ ﺑﺮ ﻓﺮاﻳﻨﺪﻫـﺎى ﻋﺪدى اﺳﺖ و ﻫﻴﭻ اﺷﺎره اى ﺑﻪ اﺷﻴﺎ ﻣﺠﺮد ﻏﻴﺮ از اﻋﺪاد ﻧﻴﺴﺖ. از اوﻟﻴـﻦ دوران ﻫﺎ ﺗـﺎ ﻗـﺮن ﺷﺎﻧـﺰدﻫﻢ ،ﺟﺒﺮ ﻟـﻔـﻈـﻰ) ٢٤آن ﭼـﻪ ﻣﻮرﺧﻴﻦ ﺑﺮاى اﺷـﺎره ﺑﻪ ﺟﺒﺮ ﻛﻼﻣﻰ ﺑﻪ ﻛﺎر ﻣﻰ ﺑـﺮﻧﺪ( ﻣﻮرد اﺳﺘﻔﺎده
ﺟﺪول ١ ﺟﺒﺮ ﻟﻔﻈﻰCـ ﻣﺜﺎلCﻫﺎ .١ﺑﺎﺑﻠﻰCﻫﺎ ،دو )؟( ﻫﺰار ﺳﺎل ﻗﺒﻞ از ﻣﻴﻼد )ﺑﺮﮔﺮﻓﺘﻪ از ﺑﻮﻳﺮ ،١٩٨٥ ، ٢٢ص (٣٤ ﻣﺴﺌﻠﻪ :اﮔﺮ ﻣﺴﺎﺣﺖ ﻣﻨﻬﺎى ﺿﻠﻊ ﺑﺮاﺑﺮ ١٤:٣٠ﺑﺎﺷﺪ ،ﺿﻠﻊ ﻣﺮﺑﻊ را ﺑﻪ دﺳﺖ آورﻳﺪ )اﻋﺪاد در ﻣﺒﻨـﺎى ٦٠ﻧﻤﺎﻳﺶ داده ﺷﺪه اﻧﺪ(. راهCﺣﻞ :ﻧﺼ Iﻳﻚ را ﺑﮕﻴﺮﻳﺪ ﻛﻪ ٠:٣٠اﺳﺖ ،ﺳﭙﺲ ٠:٣٠را در ٠:٣٠ﺿﺮب ﻛﻨﻴﺪ ﻛﻪ ﻣﻰ ﺷﻮد ٠:١٥اﻳﻦ را ﺑﻪ ١٤:٣٠اﺿﺎﻓﻪ ﻛﻨﻴﺪ ﺗﺎ ١٤:٣٠:١٥را ﺑﻪ دﺳﺖ آورﻳﺪ .اﻳﻦ ﻋﺪد ﻣﺮﺑﻊ ٢٩:٣٠اﺳﺖ .ﺣﺎل ٠:٣٠را ﺑﻪ ٢٩:٣٠اﺿﺎﻓﻪ ﻛﻨﻴﺪ .ﻧﺘﻴﺠﻪ ٣٠اﺳﺖ ﻛﻪ ﻫﻤﺎن ﺿﻠﻊ ﻣﺮﺑﻊ اﺳﺖ. .٢ﺧﻮارزﻣﻰ ٨٢٥ ،ﺑﻌﺪ از ﻣﻴﻼد) ،ﺑﺮﮔﺮﻓﺘﻪ از اﺳﺘﺮوﺋﻴﻚ ،١٩٨٦ ، ٢٣ص (٥٨ ﻣﺴﺌﻠﻪ :ﻣﺠﺬورى ﻛﻪ اﮔﺮ ﺑﺎ ده ﺑﺮاﺑﺮ رﻳﺸﻪ اش ﺟﻤﻊ ﺷﻮد ﻋﺪد ٣٩ﺑﻪ دﺳﺖ آﻳﺪ ،ﭼﻨﺪ اﺳﺖ؟ راهCﺣﻞ … :ﻧﺼ ١٠ Iرا ﺑﮕﻴﺮﻳﺪ ٥ ،ﺑﻪ دﺳﺖ ﻣﻰ آﻳﺪ ﻛﻪ اﮔﺮ در ﺧﻮدش ﺿﺮب ﺷﻮد ٢٥ﻣﻰ ﺷﻮد ،ﻣﻘﺪارى ﻛﻪ اﮔﺮ ﺑﻪ ٣٩اﺿﺎﻓﻪ ﻛﻨﻴﺪ ٦٤ ،ﺑﻪ دﺳﺖ ﻣﻰ آﻳﺪ ٨ .رﻳﺸﻪ ى دوم ٦٤اﺳﺖ .ﻋﺪد ٥را از ٨ﻛﻢ ﻛﻨﻴﺪ ٣ ،ﺑﺎﻗﻰ ﻣﻰ ﻣﺎﻧﺪ. ﺑﻨﺎﺑﺮاﻳﻦ ،ﻋﺪد ﺳﻪ ﻳﻚ رﻳﺸﻪ از اﻳﻦ ﻣﺠﺬور اﺳﺖ .ﺑﻨﺎﺑﺮاﻳﻦ ،ﻣﺠﺬور ٩اﺳﺖ. ﻣﺴﺌﻠﻪ ،ﻓﺮد ﺑﺎﻳﺪ ﻗﻴﻤﺖ ﺗﻌﺪاد ﻣﻌﻴﻨﻰ ﻣﺪاد و ﻳﻚ دﻓﺘﺮ ﻳﺎدداﺷﺖ را ﺑﻪ دﺳـﺖ آورد ،در ﻣﺴﺌﻠﻪ اى دﻳﮕـﺮ ،ﻓـﺮد ﺑﺎﻳﺪ ﺗﻌﺪاد ﻣﺪادﻫـﺎ را ﺑـﺎ »ﻣﻌﻜﻮس اﻧﺠﺎم دادن« ٢١آن ﭼﻪ ﺑﺮاى ﻣﺤﺎﺳﺒﻪ ى ﻗﻴﻤﺖ ﻣﺪادﻫـﺎ و دﻓﺘﺮ اﻧﺠﺎم ﺷﺪه ،ﺑـﻪ دﺳـﺖ آورد .اﮔﺮﭼﻪ اﻳﻦ ﻣﻌﻜـﻮس ﺳﺎزى در اﺑﺘﺪا ﻛﺎﻣـﻼً ﺳﺎده و ﺷﻬﻮدى اﺳﺖ ،اﻣـﺎ زﻣﺎﻧﻰ ﻛﻪ ﻣﺴﺎﺋﻞ ﻛﻼﻣـﻰ ﻧﺴﺒﺘﺎ دﺷﻮار ﻇﺎﻫﺮ ﻣﻰ ﺷﻮﻧﺪ ،اﻳﻦ اﻣﺮ ﺑﺪﻳﻬﻰ ﻧﺨﻮاﻫﺪ ﺑﻮد. ً ﻣﺮاﺣﻞ اوﻟﻴﻪ در ﺗﻮﺳﻌﻪ ى ﺟﺒﺮ را ﻣﻮرد ﺗﻮﺟﻪ ﻗﺮار ﻣﻰ دﻫﻴﻢ .دو ﻧﻤـﻮﻧﻪ از ﺟﺒﺮ ﻛﻬﻦ و ﺟـﺒـﺮ ﻗـﺮون وﺳﻄـﺎﻳـﻰ را در ﻧﻈﺮ ﻣﻰ ﮔﻴـﺮﻳـﻢ )ﺟﺪول ١را ﺑﺒﻴﻨﻴﺪ(. ﻫﺮﭼﻨﺪ اﻳﻦ ﻧﻤﻮﻧﻪ ﻫﺎ از ﻟﺤﺎظ زﻣﺎﻧﻰ ﺳﻪ ﻫﺰار ﺳﺎل ﺑﺎ ﻫﻢ ﻓﺎﺻﻠﻪ دارﻧﺪ ،اﻣﺎ وﻳـﮋﮔﻰ ﻫﺎى اﺻﻠﻰ آن ﻫﺎ ﻳﻜـﺴـﺎن اﺳـﺖ زﻳـﺮا ﻫﺮ دو،
ﻗﺮار ﻣﻰ ﮔـﺮﻓﺖ .اﻳﻦ ﺟﺒﺮ ،ﻫﻤﺎن ﺟـﺒـﺮى اﺳﺖ ﻛﻪ داﻧـﺶ آﻣـﻮزان ﻣﺪرﺳﻪ اى اﻣﺮوز ،ﻗﺒﻞ از اﻳﻦ ﻛﻪ ﻫﺮ ﻧﻤﺎد ﺻـﻮرى ﺑﻪ آن ﻫﺎ ﻣﻌـﺮﻓﻰ ﮔﺮدد ،ﺑﺎ آن ﻣﻮاﺟﻪ ﻣﻰ ﺷﻮﻧﺪ .ﻃﺒﻴﻌﺘـﺎً آن ﭼﻪ داﻧﺶ آﻣﻮزان ﺑﻪ ﻃﻮر ﻟﻔﻈﻰ ﺣﻞ ﻣﻰ ﻛﻨـﻨـﺪ ،ﺳـﺎده ﺗـﺮ اﺳـﺖ و ﻋـﺒـﺎراﺗﻰ ﻛﻪ آن ﻫـﺎ ﺑـﺮاى راه ﺣﻞ ﻫﺎﻳﺸﺎن ﺑﻪ ﻛﺎر ﻣـﻰ ﺑـﺮﻧﺪ ،ﻛﺎﻣﻼً ﻣﺘﻔـﺎوت اﺳﺖ ،اﻣﺎ ﻫﻨـﻮز ﺑﻪ ﻃﻮر اﺳﺎﺳﻰ ﻧﻮع ﻳﻜﺴﺎﻧﻰ از رﻳﺎﺿﻴﺎت را ﻧﺸﺎن ﻣﻰ دﻫﻨﺪ :ﻛﻼﻣﻰ ﻳﺎ ﻋﻤﻠﻴﺎﺗﻰ. در اﻳﻦ ﺟﺎ ﺑﺎﻳﺪ ﺗﺄﻛﻴﺪ ﺷـﻮد ﻛﻪ وﻳـﮋﮔﻰ ﻋﻤﻠﻴﺎﺗﻰ ﺟﺒﺮ ،ﺟـﺪا از ﻛﻼﻣﻰ ﺑـﻮدن آن ﻧﻴﺴﺖ .زﻣﺎﻧﻰ ﻛﻪ اﻳﺪه ﻫﺎى ﺟـﺒـﺮى ﻓﻘﻂ ﺑﺎ ﻛـﻼم ﺑﻴﺎن ﺷﺪه اﻧﺪ ،ﺑﻪ دﺷﻮارى ﻣﻰ ﺗﻮان روﻳﻜﺮد ﺳﺎﺧﺘﺎرى ﭘﻴﺸﺮﻓﺘﻪ ﺗﺮى را ﺗﺼﻮر ﻛﺮد .در روﻳﻜﺮد ﺳﺎﺧﺘﺎرى ،ﻓﺮاﻳﻨﺪﻫﺎى ﻣﺤﺎﺳﺒﺎﺗﻰ ﺑﻪ ﻃﻮر
٩
دوره ى ﺑﻴﺴﺖ وﻫﻔﺘﻢ ﺷﻤﺎره ى٣ ﺑﻬﺎر ١٣٨٩
ﻛﻠﻰ از دﻳﺪ ﺑﺎﻻﺗﺮى ﻣﻮرد ﻣﻼﺣﻈﻪ ﻗﺮار ﻣﻰ ﮔﻴﺮﻧﺪ ،اﻣﺎ روﻳﻜﺮدﻫﺎى ﻋﻤﻠﻴﺎﺗﻰ و ﺳﺎﺧﺘـﺎرى ،ﺑـﺎزﻧﻤﺎﻳﻰ ﻫﺎى ﻳﻜﺴﺎﻧـﻰ دارﻧﺪ .ﺑﻪ ﻋﺒـﺎرت دﻳﮕﺮ ،ﻛﻠﻤﺎت ،ﻣﺎﻧﻨﺪ ﻧﻤﺎدﻫﺎ ﻗـﺎﺑـﻞ دﺳـﺖ ورزى ﻧﻴﺴﺘﻨﺪ .ﻗﺎﺑـﻞ دﺳﺖ ورزى ﺑﻮدن اﺳﺖ ﻛﻪ اﻳﻦ اﻣﻜﺎن را ﻓﺮاﻫﻢ ﻣﻰ ﻛﻨﺪ ﺗﺎ ﻣﻔﺎﻫﻴـﻢ ﺟﺒﺮى ،ﻛﻴﻔﻴﺖ ﺷﻰ ﻣﺎﻧﻨﺪى داﺷﺘﻪ ﺑﺎﺷﻨﺪ .اﻣﻜﺎن اﻧﺠﺎم ﻓﺮاﻳﻨﺪﻫﺎى ﺳﻄﺢ ﺑﺎﻻﺗـﺮ در ﻓـﺮاﻳﻨﺪﻫﺎﻳﻰ ﻛـﻪ ﺑـﺎ ﻋـﺒـﺎرات ﻓﺸـﺮده ﻧﻤﺎﻳـﺶ داده ﺷﺪه اﻧﺪ ،ﺗﻔﻜﺮ ﺳﺎﺧـﺘـﺎرى را ﺗـﺮﻏﻴﺐ ﻣﻰ ﻛﻨﺪ .ﺑﻨـﺎﺑـﺮاﻳﻦ ،ﺑﻪ ﻧﻈـﺮ ﻣﻰ رﺳﺪ ،ﻣﻌﺮﻓﻰ ﻳﻚ ﻧﻤﺎدﮔﺬارى ﺑﺮاى ﺷﻰء اﻧﮕﺎرى ﻣﻔﺎﻫﻴـﻢ ﻻزم ﺑﺎﺷﺪ .اﻣﺎ اﻳﻦ ﻧﻤﺎدﮔـﺬارى ﺑﺮاى اﻧﺘﻘﺎل ﺑﻪ ﺣﺎﻟﺖ ﺳﺎﺧﺘـﺎرى ﻛﺎﻓﻰ ﻧﻴﺴﺖ .ﻫﻤﺎن ﻃﻮر ﻛﻪ ﻗﺒﻼً در ﻣﺜﺎل اول ذﻛﺮ ﺷﺪ ،ﻣﻔﺎﻫﻴﻢ ﻋﻤﻠﻴﺎﺗﻰ از ﻃﺮﻳﻖ ﺑـﺎزﻧﻤﺎﻳﻰ ﻫﺎى ﻧﻤﺎدﻳـﻦ ﻫـﻢ ﮔﺮﻳﮕﻮرى ﻣﻰﻧﻮﻳﺴﺪ ،ﺟﺒﺮ اﻧﺘﻘـﺎل ﻣـﻰ ﻳـﺎﺑـﻨـﺪ .اﻣـﺎ ،اﺑـﺰارﻫـﺎى در ﺣـﺎل ﺗـﺒـﺪﻳـﻞ ﺷـﺪن ﺑـﻪ ﻛﻼﻣﻰ ،ﺗﻔﻜﺮ ﻋﻤـﻠـﻴـﺎﺗـﻰ را داﺋﻤـﻰ داﻧﺸﻰ ﺑـﻮد ﻛﻪ »ﻣـﻮﺿـﻮع ﻣﻰ ﺳﺎزﻧﺪ .ﺷﺎﻳﺪ اﻳﻦ ﻣﺴﺌﻠﻪ ،ﻳـﻜـﻰ آن ﺗﺮﻛﻴﺐ ﻋﻤﻠﻴﺎت اﺳـﺖ؛ از دﻻﻳﻠﻰ ﺑﺎﺷﺪ ﻛـﻪ ﺣـﻮزه ى ﺟﺒـﺮى در ﺣﺎﻟﻰﻛﻪ ،اﻳﻦ ﻋﻤﻠﻴﺎت ﺑﺎ ﻋﻤﻠﻴﺎﺗﻰ ﭼﻨﺪ ﻫﺰار ﺳﺎل ﻃﻮل ﻛﺸﻴﺪ. ﻣﺎﻫﻴـﺖ ﺧـﻮدﺷﺎن ،ﻳـﻌـﻨـﻰ آنﭼﻪ ﻫﺴﺘﻨﺪ ﻳـﺎ آنﭼـﻪ را .٢.٢ﺟﺒـﺮ ﺑـﻪ ﻋـﻨـﻮان ﺣﺴـﺎب ﻛــﻪ اﻧــﺠــﺎم ﻣــﻰدﻫــﻨــﺪ ،ﺗﻌﻤﻴﻢﻳﺎﻓﺘﻪ :ﺟﻨﺒﻪى ﺳﺎﺧﺘﺎرى ﻗﺒﻞ از اﻳﻦ ﻛﻪ ﮔﺎم ﻫﺎى ﺑﻴﺶ ﺗﺮى ﺗﻌﺮﻳ Oﻧـﺸـﺪهاﻧـﺪ ،ﺑـﻠـﻜـﻪ ﺗﻮﺳﻂ ﻗـﻮاﻋﺪ ﺗـﺮﻛﻴﺒﻰ ﻛـﻪ را در ﺗﺎرﻳﺦ ﺟﺒﺮ ﺑﺮدارﻳﻢ ،ﻻزم اﺳﺖ روى آنﻫﺎ اﻋﻤﺎل ﻣﻰﺷﻮد ﺑﻌﻀـﻰ ﻣـﻘـﺪﻣـﺎت ﻧـﻈـﺮى را روﺷـﻦ ﺳﺎزﻳﻢ. ﺗﻌﺮﻳ Oﺷﺪهاﻧﺪ« ﻻ ،ﻻزم اﺳﺖ ﺑﺮ آﺧﺮﻳﻦ ﺗﺬﻛﺮ او ً ﺑﺨﺶ ﻗﺒﻞ ﺗﺄﻛﻴﺪ ﻛﻨﻴﻢ ﻛﻪ ﺗﺎرﻳﺦ ﺟﺒﺮ ،ﺗﺎرﻳﺦ ﻧﻤﺎدﻫﺎ ﻧﻴﺴـﺖ ،ﻫـﺮ ﭼﻨﺪ از ﻣـﺮﺣﻠﻪ اى ﺑﻪ ﺑﻌﺪ ،ﻣﻔﺎﻫﻴـﻢ ﺟـﺒـﺮى از ﻧﻤﺎدﻫﺎ ﺟﺪاﻧﺎﭘـﺬﻳـﺮ ﺷﺪﻧﺪ .اﻳـﻦ درﺳﺖ ﻣﺎﻧﻨﺪ ﻣﻔﻬـﻮم ذﻫﻨﻰ ﻫﻨـﺮﻣﻨﺪ از ﻳﻚ ﺗﺼﻮﻳﺮ ﻳـﺎ ﻳﻚ ﻣﺠﺴﻤﻪ اﺳﺖ ﻛﻪ از آن ﻣﺠﺴﻤﻪ ﻳﺎ ﺗﺼﻮﻳﺮ ،ﺟﺪاﻧﺎﭘﺬﻳﺮ اﺳﺖ. در واﻗﻊ ،ﻣﻔﺎﻫﻴﻢ ﺟﺒﺮ ﺟﺪﻳﺪ را ﺑﻪ ﺳﺨﺘﻰ ﻣﻰ ﺗﻮان ﺑﺎ ﻫﺮ وﺳﻴﻠﻪ اى ﻏﻴﺮ از ﻧﻤﺎدﻫﺎى ﺟـﺒـﺮى اﻧﺘﻘﺎل داد .ﻋﻼوه ﺑﺮ اﻳﻦ ،داﻧﺶ ﺟﺒـﺮى ﺟﺪﻳﺪ از ﻃﺮﻳﻖ دﺳﺖ ورزى و ﺑﺮرﺳﻰ ﻋﺒﺎرات ﺻﻮرى ﺳﺎﺧﺘﻪ ﺷﺪه اﺳﺖ و ﺑﺪﻳﻦ ﺟﻬﺖ ،ﺗﻐﻴـﻴـﺮات در ﻧﻤﺎدﮔـﺬارى ﺑﻪ ﻣـﻮازات ﺗﻐﻴﻴـﺮ ﺷﻜﻞ ﻫﺎى ﻣﻔﻬﻮﻣﻰ ﻣﻰ ﺑﺎﺷﺪ .اﮔﺮﭼﻪ ﺗﺎرﻳﺦ ﺟﺒﺮ و ﺗﺎرﻳﺦ ﻧﻤﺎدﻫـﺎ ﻣﺠﺰا ﺑﻮدﻧﺪ ،اﻣﺎ از ﻟﺤﻈﻪ اى ﻛﻪ ﻧﻤﺎدﮔـﺬارى ﺟﺒﺮى ﺟﺪﻳﺪ ﻣﻌـﺮﻓﻰ ﺷﺪ ،ﺑﻪ ﻃﻮر ﻣـﺎﻫـﺮاﻧﻪ اى درﻫﻢ آﻣﻴﺨﺘﻨﺪ ،ﺑـﻪ ﻃـﻮرى ﻛﻪ از ﻟﺤـﺎظ ﻋﻤﻠﻰ ،ﺑﻴﺎن ﺗﺎرﻳﺦِ ﻳﻜﻰ از آن ﻫﺎ ﺑﺪون دﻳﮕﺮى ،ﻏﻴﺮﻣﻤﻜﻦ اﺳﺖ. دوره ى ﺑﻴﺴﺖ وﻫﻔﺘﻢ ﺷﻤﺎره ى٣ ﺑﻬﺎر ١٣٨٩
١٠
ﻣﻮﺿﻮع ﻣﻬﻢ دﻳﮕـﺮى ﻛﻪ در اﻳﻦ ﺟﺎ ﻣﻄـﺮح اﺳﺖ ،ارﺗﺒﺎط ﺑﻴـﻦ ﭘﻴﺸﺮﻓﺖ از ﺟﺒﺮ ﻋﻤﻠﻴﺎﺗﻰ ﺑﻪ ﺳﺎﺧـﺘـﺎرى و دﺷﻮارى ﻫﺎﻳﻰ اﺳﺖ ﻛـﻪ اﻳﺪه ﻫﺎى ﺟﺒﺮى ﺑﺮاى ﻓﺮد اﻳﺠﺎد ﻣﻰ ﻛﻨﻨﺪ .ﻧﻜﺘﻪ اى ﻛﻪ ﻣﻰ ﺧـﻮاﻫﻴﻢ ﺑﮕﻮﻳﻴﻢ اﻳﻦ اﺳﺖ ﻛﻪ ﺑﺎﻻ رﻓﺘﻦ از ﺳﻠﺴﻠﻪ ﻣﺮاﺗﺐ اﻳﺪه ﻫﺎى ﺟﺒﺮى، ﻣﺎ ﻣﻌﺎدل ﺑﺎ ﭘﻴﭽﻴﺪﮔﻰ ﺗﻔﻜﺮ ﻓﺮد ﻧﻴﺴﺖ .ﺣﺘﻰ ﻣﻤﻜﻦ اﺳﺖ ﻓﺮدى ﻟﺰو ً ﺑﮕﻮﻳﺪ ﻛﻪ اﻧﺘﻘﺎل از ﺟﺒﺮ ﻋﻤﻠﻴﺎﺗﻰ ﺑﻪ ﺟﺒﺮ ﺳﺎﺧـﺘـﺎرى ،اﮔـﺮﭼﻪ ﻳﻚ ﮔﺎم رو ﺑﻪ ﺟﻠﻮ در اﻓﺰاﻳﺶ درﺟﻪ ى ﺗﺠﺮﻳﺪ و ﺗﻌﻤﻴﻢ اﺳﺖ ،ﻧﻪ ﺗﻨﻬﺎ ﺑﺮ دﺷﻮارى ﻧﻤﻰ اﻓﺰاﻳﺪ ،ﺑﻠﻜﻪ ﺗﺴﻬﻴﻞ در ﻋﻤﻠﻜﺮد را ﻧﺘﻴﺠﻪ ﻣﻰ دﻫﺪ. ﻫﺮ ﭼﻨﺪ رﺳﻴﺪن ﺑﻪ ﺷﻰ اﻧﮕﺎرى ﻣﻔﺎﻫﻴﻢ دﺷﻮار اﺳﺖ ،اﻣﺎ زﻣﺎﻧﻰ ﻛﻪ رخ دﻫﺪ ،ﻣﻨﺎﻓﻊ آن ﻓﻮرًا آﺷﻜﺎر ﻣﻰ ﺷﻮد .ﺗﺎ ﺣﺪود زﻳﺎدى دﺷﻮارى ﻛﺎﻫﺶ ﻣﻰ ﻳﺎﺑﺪ و ﻗﺎﺑﻠﻴـﺖ دﺳـﺖ ورزى اﻓﺰاﻳﺶ ﻣﻰ ﻳﺎﺑﺪ .ﻣﻤـﻜـﻦ اﺳﺖ آن ﭼﻪ در ﭼﻨﻴﻦ اﻧﺘﻘـﺎﻟـﻰ رخ ﻣﻰ دﻫﺪ ،ﺑﺎ روﻳﺪادى ﻣﻘﺎﻳـﺴـﻪ ﺷﻮد ﻛﻪ در آن ،ﻓـﺮدى اﺷﻴﺎى ﻣﺘـﻔـﺎوت زﻳـﺎدى را ﺑﺎ دﺳﺖ ﺣﻤـﻞ ﻣﻰ ﻛﻨﺪ .او ﺗﺼﻤﻴﻢ ﻣﻰ ﮔﻴﺮد ﻫﻤﻪ ى آن ﻫﺎ را در ﻳﻚ ﻛﻴ Iﺑﮕﺬارد و ﻛﻴ Iرا ﺣﻤﻞ ﻛﻨﺪ .ﺑـﺮاى آن ﻛﻪ ﻛﺎﻣﻼً ﻗﺪردان اﺛﺮ ﺗﺴﻬﻴﻞ ﻛﻨﻨـﺪه ى ﺷﻰ اﻧﮕﺎرى ﻣﻔﺎﻫﻴﻢ ﺑﺎﺷﻴﻢ )ﻛﻪ از ﻃﺮﻳﻖ ﻳﻚ ﻧﻤﺎدﮔـﺬارى ﻣﻨﺎﺳﺐ ﺑﻪ دﺳﺖ آﻣﺪه اﺳﺖ( ﻛﺎﻓﻰ اﺳﺖ ﻧﮕﺎﻫﻰ اﺟﻤﺎﻟﻰ ﺑﻪ ﻧﻤﻮﻧﻪ ى ﺟﺒﺮ ﻟﻔﻈﻰ اراﺋﻪ ﺷﺪه در ﺟﺪول) (١داﺷﺘﻪ ﺑﺎﺷﻴﻢ .اﻟﮕﻮرﻳﺘﻢ ﻫﺎ ،زﻣﺎﻧﻰ ِ ﻛﻪ از ﻃﺮﻳﻖ دﺳﺖ ورزى ﻫﺎى ﺻﻮرى روى ﻓﺮﻣﻮل ﻫﺎى ﻛﻮﺗﺎه اﻧﺠﺎم ﻣﻰ ﺷﻮﻧﺪ ،ﺑﺴﻴﺎر ﺳﺎده و آﺷﻜﺎر ﺑﻪ ﻧﻈﺮ ﻣﻰ رﺳﻨﺪ ،اﻣﺎ زﻣﺎﻧﻰ ﻛﻪ ﺑﺎ اﻗﻌﺎ دﺷﻮارﻧﺪ. ﻓﺎ ﻋﻤﻠﻴﺎﺗﻰ ﺑﻪ ﻛﺎر ﻣﻰ روﻧﺪ ،و ً ﺑﺎزﻧﻤﺎﻳﻰ ﻛﻼﻣﻰ و ﺻﺮ ً ﺑﻨﺎﺑﺮاﻳﻦ ،رﻳﺎﺿﻰ داﻧﺎن ﻗﺮون وﺳﻄﻰ ﺳﺰاوار ﺑﻴﺶ ﺗﺮﻳﻦ ﻗﺪر و اﻋﺘﺒﺎر ﻫﺴﺘﻨﺪ زﻳﺮا اﻗﺪام ﺑﻪ ﺣﻞ ﻣﺴﺎﺋﻞ ﭘﻴﺸﺮﻓﺘﻪ و ﭘﻴﭽﻴﺪه اى ﻣﺎﻧﻨﺪ ﻣﻌﺎدﻻت درﺟﻪ دو و ﺳﻪ ﻣﻰ ﻛـﺮدﻧﺪ ،ﺑﺪون آن ﻛﻪ اﺑـﺰارﻫﺎى ﻣﺒﺘﻜـﺮاﻧﻪ ى ﺟﺒﺮ ﻧﻤﺎدﻳﻦ ﺳـﺎﺧـﺘـﺎرى را در اﺧﺘﻴﺎر داﺷﺘﻪ ﺑﺎﺷـﻨـﺪ )اﻟـﮕـﻮرﻳـﺘـﻢ ﻫـﺎى ٢٧ ﭘﻴﭽﻴﺪه اى ﻛﻪ در ﺣﺎﻟﺖ ﻟﻔﻈﻰ ﺑﻪ وﺳﻴﻠﻪ ﻛﺎردان ٢٦در اﺛﺮ ﻣﻌﺮوﻓﺶ در ﺳﺎل ١٥٤٥اراﺋﻪ ﺷﺪه اﺳﺖ( .ﺗﺎ آن ﺟﺎﻳﻰ ﻛﻪ ﺗﻮاﻧﺎﻳﻰ و ﺗﻜﺎﻣﻞ ﺗﻔـﻜـﺮ آن ﻫـﺎ ﻣـﻮرد ﺗـﻮﺟـﻪ اﺳـﺖ ،ﻣـﻰ ﺗـﻮان آن ﻫـﺎ را ﺑﻪ ﺑـﻬـﺘـﺮﻳـﻦ رﻳﺎﺿﻰ داﻧﺎن اﻣـﺮوزى ﻛﻪ ﺑﺎ ﭘﻴﺸـﺮﻓﺘﻪ ﺗﺮﻳﻦ ﻣﺴﺎﺋﻞ رﻳـﺎﺿـﻰ ﻣـﺪرن ﺳﺮوﻛﺎر دارﻧﺪ ،ﻣﻘﺎﻳﺴـﻪ ﻛـﺮد .زﻣﺎﻧﻰ ﻛﻪ ﺑﺮ ﺟﺮﻳﺎن ﻫﺎى ﻳﺎدﮔـﻴـﺮى ﻓﺮدى و ﺣﻞ ﻣﺴﺌﻠﻪ ﺗـﻤـﺮﻛﺰ دارﻳﻢ ،ﺑﺎﻳﺪ ﻫﻤﻪ ى اﻳﻦ ﺣﻘـﺎﻳـﻖ را در ذﻫﻦ داﺷﺘﻪ ﺑﺎﺷﻴﻢ. .١.C٢.C٢ﺟﺒﺮ ﻣﻘﺪار ﺛﺎﺑـﺖ) ٢٨از ﻳﻚ ﻣﺠﻬـﻮل( .ﻫﻤﺎن ﻃﻮر ﻗﺒﻼ ﮔﻔﺘﻪ ﺷﺪ ،ﻧﻤﺎدﮔﺬارى ﺟﺒﺮى در ﻗﺪرﺗﺶ ﺑﺮاى ﻣﺨﺘﺼﺮ ﻛﺮدن ﻛﻪ ً ٢٩ اﻳﺪه ﻫﺎى ﻋﻤﻠﻴﺎﺗﻰ و ﺗﺒﺪﻳﻞ ﻛﺮدن آن ﻫﺎ ﺑﻪ ﻗﻄﻌﻪ ﻫﺎى ﻓﺸﺮده و در
ﺗﻮاﻧﺎﻳﻰ ﺑﺎﻟﻘﻮه اش ﺑﺮاى ﺗﺴﻬﻴﻞ درك و اﻳﺪه ﻫﺎ و دﺳﺖ ورزى ﺑﺎ آن ﻫﺎ ﺑﻰ ﻧﻈﻴﺮ اﺳﺖ .اﮔﺮ ﺻﺮﻓﻪ ﺟﻮﻳﻰ ﻧﻤﺎدﻳـﻦ زودﺗﺮ ﻣﻌﺮﻓﻰ ﺷﺪه ﺑﻮد، ﻣﻰ ﺗﻮاﻧﺴﺖ ﻣﻴﺰان ﺗﻮﺳﻌﻪ ى ﺟﺒـﺮ را ﺗﻐﻴﻴﺮ دﻫﺪ و ﺑﻪ داﻧﺸﻤﻨﺪان در ﻣﺤﺎﺳﺒﺎت ﻛﻤﻚ ﻛﻨﺪ .در ﻣﻘﺎﻳﺴﻪ ﺑﺎ ﻫﻨﺪﺳﻪ ،ﺟﺎﻳﻰ ﻛﻪ اﺑـﺰارﻫﺎى ﺗﻔﻜﺮ ﺳﺎﺧـﺘـﺎرى ﺑﻪ ﺷﻜﻞ ﺑـﺎزﻧﻤﺎﻳﻰ ﻫﺎى ﺗﺼﻮﻳـﺮى ﺑﻪ ﺳﺎدﮔـﻰ در دﺳﺘﺮس ﻫﺴﺘﻨﺪ ،ﭘﻴﺸﺮﻓﺖ ﺟﺒﺮ ﺑﺴﻴﺎر ﻛﻨﺪ و ﺑﺎ ﺷﻚ و ﺗـﺮدﻳﺪ ﺑﻮد. ﺗﺎ آﺧﺮ ﻗﺮن ﺷﺎﻧﺰدﻫﻢ ،ﺟﺒﺮ ﺑﻪ درﺟﻪ اى از دﺷـﻮارى رﺳﻴﺪ ﻛﻪ ﺑﺪون اﻧﺘﻘﺎل ﺑﻪ ﺣﺎﻟﺖ ﺳـﺎﺧـﺘـﺎرى ،ﭘﻴﺸـﺮﻓﺖ ﺑﻴﺶ ﺗﺮ آن ﻣﻤﻜـﻦ ﻧـﺒـﻮد. ﻣﻮرﺧﺎن رﻳﺎﺿﻰ ﻏﺎﻟﺒﺎً ﺗﻌﺠﺐ ﻛﺮده اﻧﺪ ﻛﻪ ﭼﺮا ﻣﺘﻔﻜﺮان ﮔﺬﺷﺘﻪ ﻛﻪ اﻧﮕﻴﺰه ى ﻗﻮى ﺑﺮاى ﻳﻚ ﺗﻐﻴﻴﺮ ﺑﻨﻴﺎدﻳـﻦ در روش داﺷﺘﻪ اﻧﺪ ،زودﺗـﺮ از اﻳﻦ ﻫﺎ ﺑﻪ اﻳﺪه ى ﺑﺎزﻧﻤﺎﻳﻰ ﻫﺎى ﻏﻴﺮﻛﻼﻣﻰ دﺳﺖ ﻧﻴﺎﻓﺘﻨﺪ. اﮔﺮﭼﻪ ﻣﻔﻬـﻮم ﻋﻼﻣﺖ ﮔـﺬارى ﻧﻤﺎدﻳﻦ ﺑﺮاى ﻣﺎ ﺧﻴﻠﻰ ﻃﺒﻴـﻌـﻰ اﺳﺖ ،اﻣﺎ از ﻗﺮار ﻣﻌﻠـﻮم ،ﺑﺮاى آن ﻫﺎ اﺻﻼً آﺷﻜﺎر ﻧﺒـﻮده اﺳﺖ. ﻓﺎ ﻣﺮﺗﺒﻂ ﺑﺎ اﻳﺪه ى ﺑﻪ ﻛﺎر ﺑﺮدن ﺣﺮوف ﺑﻪ در ﺣﻘﻴﻘﺖ ،دﺷﻮارى ﺻﺮ ً ﺟﺎى اﻋﺪاد و ﻋﻼﻣﺖ ﻫﺎ ﻧﻴﺴﺖ )اﻳﻦ ﻣﻄـﻠـﺐ ،از زﻣﺎﻧﻰ ﺑـﻪ زﻣﺎن دﻳﮕﺮ در ﻧﻮﺷﺘﻪ ﻫﺎى ﻗﺪﻳﻤﻰ دﻳﺪه ﺷﺪه اﺳﺖ( ،ﺑﻠﻜﻪ ﻣﺮﺗﺒﻂ ﺑﺎ ﻧﻴﺎز ﺑﻪ ﻓﺮﻣﻮل ﻫﺎى ﻧﻤﺎدﻳﻦ ﺑﺎ دو ﻣﻌﻨﻰ روﻳﻪ ﻫﺎى ﻣﺤﺎﺳﺒﺎﺗﻰ و اﺷﻴﺎﺋـﻰ ﻛﻪ ﺗﻮﻟﻴﺪ ﺷﺪه اﻧﺪ ﻧﻴﺰ ﻣﻰ ﺑﺎﺷﺪ .در ﺣﺴﺎب ،ﺑﻪ ﺳﺎدﮔﻰ ﻣﻰ ﺗﻮاﻧﻴﻢ اﻳﻦ دو ﻣﻌـﻨـﻰ را ﺑﺎ اﺳﺘﻔﺎده از دو ﻋـﺒـﺎرت ،ﻣﺠـﺰا ﺳﺎزﻳﻢ٢+٣ : ﻋﻤﻠـﻴـﺎت را ﻧﺸﺎن ﻣـﻰ دﻫـﺪ و ٥ﻧﺘﻴﺠﻪ اﺳﺖ .در ﺟـﺒـﺮ ،ﭼـﻨـﻴـﻦ ﻣﺠـﺰاﺳﺎزى در ﻋﺒـﺎرﺗﻰ ﻣﺎﻧـﻨـﺪ a+bﻳﺎ 3(x + 5) +1اﻣﻜﺎن ﭘـﺬﻳـﺮ ﻧﻴﺴﺖ .در اﻳﻦ ﺟﺎ ،ﻓﺮاﻳﻨﺪ ﻧﻤﻰ ﺗﻮاﻧﺪ ﺑﻪ ﻃﻮر واﻗﻌﻰ ﺷﻜﻞ ﺑﮕﻴﺮد؛ از ﻋﻤﻠﻴﺎت ﻫﻴﭻ ﻣﻘﺪار دﻳﮕﺮى ﺑﻪ دﺳﺖ ﻧﻤﻰ آﻳﺪ .ﻓﺮﻣﻮل ﺑﺎ ﺟﻨﺒﻪ ى ﻋﻤﻠﻴﺎﺗﻰ ﺑﺮﺟﺴﺘﻪ )ﺷﺎﻣﻞ ﻋﻼﺋﻢ و ﻧﺸﺎﻧﻪ ﻫﺎﻳﻰ ٣٠ﺑﺮاى ﻋﻤﻞ ﺑﻪ ﺷﻜﻞ ﻋﻤﻠﮕﺮ اﺳﺖ( ،ﺑﺎﻳﺪ ﺑﻪ ﻋﻨﻮان ﻧﺘﻴﺠﻪ ى ﻓﺮاﻳﻨﺪى ﻛﻪ ﻧﻤﺎﻳﺶ ﻣﻰ دﻫﺪ ﻧﻴﺰ ﺗﻔﺴﻴﺮ ﺷﻮد .ﺣﺘﻰ ﻣﺠﺮدﺗﺮﻳﻦ ﺗﻔﻜﺮ ﻣﺎ ﺑﺎ اﺳﺘﻔﺎده از اﺳﺘﻌﺎره ﻫﺎﻳﻰ ٣١ ﺷﻜﻞ ﮔﺮﻓﺘﻪ اﻧﺪ ﻛﻪ ﺗﻮﺳﻂ ﺗﺠﺮﺑﻪ ى ﺣﺴﻰ اﻳﺠﺎد ﺷﺪه اﻧﺪ )ﻻﻛI و ﺟﺎﻧﺴﻦ .(١٩٨٠ ، ٣٢اﻳﻦ ﺗﺠﺎرب ﺣﺴﻰ ،ﺑﺮﺧﻼف اﻳﺪه ى ﻓﺮاﻳﻨﺪ اﺳﺖ ﻛﻪ ﻫﻴﭻ ﻣﻘﺪار دﻳﮕﺮى اﺿﺎﻓﻪ ﻧﻤﻰ ﻛﻨﺪ و ﻃﻮرى ﻋﻤﻞ ﻣﻰ ﻛﻨﺪ ﻣﺜﻞ اﻳﻦ ﻛﻪ ﺧﻮدش ﻧﺘﻴﺠﻪ اﺳﺖ .در واﻗﻊ ،ﻫﻴﭻ ﭼﻴﺰى ﻣﺎﻧﻨﺪ اﻳﻦ در زﻧﺪﮔﻰ واﻗﻌﻰ اﻣﻜﺎن ﭘﺬﻳﺮ ﻧﻴﺴﺖ :ﻣﺎ ﻧﻤﻰ ﺗـﻮاﻧﻴﻢ دﺳﺘﻮرﭘﺨﺖ ﻳﻚ ﻛﻴـﻚ را ﺑﺨﻮرﻳﻢ و ﺗﻈﺎﻫﺮ ﻛﻨﻴﻢ ﻛﻪ ﺧـﻮد ﻛﻴﻚ اﺳﺖ )اﮔـﺮﭼﻪ ﻣﻰ ﺗـﻮاﻧﻴﻢ ﻛﻴﻚ ﻳﺎ اﻳﻦ ﻛـﻪ ﻛـﻴـﻚ را ﻣﻰ ﺧـﻮرﻳـﻢ را ﺗﺼﻮر ﻛﻨـﻴـﻢ(! ﺑﻨﺎﺑﺮاﻳﻦ ،ﺣﺪاﻗﻞ در اﺑﺘﺪا ﺷﻬﻮد ﻣﺎ در ﻣﻘﺎﺑﻞ دوﮔﺎﻧﮕﻰ ﻋﻤﻠﻴﺎﺗﻰ ـ ﺳﺎﺧﺘﺎرى ﻧﻤﺎدﻫﺎى ﺟﺒـﺮى ﻣﻘﺎوﻣﺖ ﻣﻰ ﻛﻨﺪ) .اﻧﻮاع ﺟﺪﻳﺪ اﻋﺪاد ﻫﻤﻮاره در ﻃﻮل ﺗﺎرﻳﺦ ﺑﺎ ﻋﺪم ﺑﺎورﭘﺬﻳﺮى ﻣﻮاﺟﻪ ﺷﺪه اﻧﺪ .در اﻳﻦ ﺟﺎ
ﻣﺜﺎل دﻳـﮕـﺮى از ﭘﺪﻳﺪه اى ﻛـﻪ اﺣـﺘـﻤـﺎﻻَ ﺑﻪ ﻧﺎﻫﻤﺎﻫﻨـﮕـﻰ ﻫـﺴـﺘـﻰ ﺷﻨﺎﺳﺎﻧﻪ ى ﻳﻜﺴﺎﻧﻰ ﻧﺴﺒﺖ داده ﻣﻰ ﺷﻮد ،ﻣﻰ آورﻳﻢ :اﺷﻴﺎﻳﻰ ﻣﺎﻧﻨﺪ -٢ ، 3 4ﻳﺎ −1از ﻋﻤﻠﻴﺎت ﺗﻘﺴﻴﻢ ،ﺗﻔﺮﻳﻖ و ﺑﻪ دﺳﺖ آوردن رﻳﺸـﻪ ى دوم ﺑﻪ وﺟﻮد آﻣﺪﻧﺪ ،در ﺣﺎﻟﻰ ﻛﻪ ﺑﻪ ﻧﻈـﺮ ﻧـﻤـﻰ رﺳﻴﺪ اﻳـﻦ اﻋﻤﺎل ،ﻫﺮﮔﺰ ﭼﻴﺰى ﺗﻮﻟﻴﺪ ﻛﻨﻨﺪ(. درﺳﺖ اﺳﺖ ﻳﻚ ﺑﺎر ﻣـﻮﻓﻖ ﺷﺪﻳﻢ ﺑﺮ اﻳﻦ ﻣﺸﻜـﻞ )دوﮔﺎﻧﮕـﻰ ﻓﺮاﻳﻨﺪ ـ ﺷﻰء( ﻏﻠﺒﻪ ﻛﻨﻴﻢ ،اﻣﺎ ﺑﻪ ﺳﺮﻋﺖ آن را ﻓﺮاﻣﻮش ﻛﺮدﻳﻢ .ﺑﺮاى آن ﻫﺎﻳﻰ ﻛـﻪ در دﺳـﺖ ورزى ﻫﺎى ﺟﺒـﺮى ﺑﺴﻴﺎر ﻣـﺘـﺒـﺤـﺮﻧﺪ )ﻣﺜـﻼً ﻣﻌﻠﻤﺎن( ،اﻳﻦ ﻣﺴﺌﻠﻪ ﺧﻴﻠﻰ زود ﻋﺎدى ﻣﻰ ﺷﻮد .در واﻗﻊ ،ﻋﺎدت و ﺑﺎورﻫﺎى ﻫﺴﺘﻰ ﺷﻨﺎﺳﺎﻧﻪ ى ﻣـﺎ ﺑـﻪ ﺳـﺎدﮔـﻰ ﭼـﺸـﻤـﻤـﺎن را ﻛـﻮر ﻣﻰ ﻛﻨﺪ .ﺑﺎ اﻳﻦ ﺣﺎل ،ﻣﻤﻜﻦ اﺳﺖ در ﻛــﻼس ﻫــﺎى اﻣـــﺮوزى ،ﺷـــﻮاﻫــﺪ ﻣـــﺪلﻫـــﺎى ﺗـــﻔـــﻜـــﺮ ﺑﻴﺶ ﺗـﺮى ﺑـﺮاى دﺷﻮارى ﺷﻰ اﻧـﮕـﺎرى ﻋﻤﻠﻴﺎﺗﻰ و ﺳﺎﺧـﺘـﺎرى، ﻣﻔﺎﻫﻴﻢ ﻳﺎﻓﺖ ﺷﻮد ،ﻣﺸﺮوط ﺑﺮ اﻳﻦ ﻛﻪ ﺗـﻔـﺎوتﻫـﺎى ﻇـﺮﻳـﻔــﻰ ﻛـﺴـﺎﻧـﻰ ﻛـﻪ ﺑـﻪ داﻧـﺶ آﻣـﻮزان ﮔـﻮش دارﻧــــﺪ و ﺗـــــﻤـــــﺎﻳـــــﺰ ﻣﻰ دﻫﻨﺪ ،ﺑﻪ اﻧﺪازه ى ﻛﺎﻓﻰ ﺑﻰ ﺗﻌﺼﺐ ﻗﺎﺋﻞﺷﺪن ﺑﻴﻦ آنﻫﺎ ﺑﺎﺷـﻨـﺪ ﺗـﺎ ﺷـﻜـﺎف ﺑـﻴـﻦ ﺧـﻮدﺷـﺎن و ﺳﺎده ﻧﻴﺴﺖ ﻳﺎدﮔﻴﺮﻧﺪﮔﺎن ﻛﻢ ﺗﺠﺮﺑﻪ را درك ﻛﻨﻨﺪ. در ﺑﺨـﺶ ٢. ٣و )٣. ٣در ﺷﻤﺎره ى آﻳﻨﺪه ى ﻣﺠﻠﻪ( ،ﺑﺎ اﺳﺘﻔﺎده از ﻣـﺜـﺎل ﻫـﺎﻳـﻰ ،اﻳـﻦ ادﻋـﺎ را ﻣﺴﺘـﻨـﺪ ﻣﻰ ﺳﺎزﻳﻢ. ﺣﻘﺎﻳﻖ ﺗﺎرﻳﺨﻰ ﻧﺸﺎن ﻣﻰ دﻫﺪ ﻛﻪ اﻳﺪه ى دوﮔﺎﻧﮕﻰ ﻋﻤﻠﻴﺎﺗﻰ ـ ﺳﺎﺧـﺘـﺎرى ﺑـﺮاى ﻧﺴﻞ رﻳﺎﺿـﻰ داﻧـﺎن ﻧـﻴـﺰ دﺷـﻮار ﺑـﻮد .اﺣﺘـﻤـﺎﻻً دﻳﻮﻓﺎﻧﺘـﻮس) ٣٣ﺳﺎل ٢٥٠ﺑﻌﺪ از ﻣﻴـﻼد( اوﻟﻴﻦ ﮔﺎم ﻣﻌﻨـﺎدار را در ﺟﻬﺖ ﻳﻚ روﻳﻜﺮد ﺳﺎﺧﺘﺎرى ﺑﺮاى روﻳﻪ ﻫﺎى ﻣﺤﺎﺳﺒﺎﺗﻰ ﺑﺮداﺷﺖ. او ﺑﺎ ادﻏﺎم ﻧﻈﺎم ﻣﻨﺪ ﺣﺮوف ﺑﺎ ﻛﻠﻤﺎت ،ﺑﺮاى ﺧﻮدش ﻧﻮع ﺧﺎﺻﻰ از ﺟﺒﺮ اﺑﺪاع ﻛﺮد ﻛﻪ ﺑﻪ ﻋﻨﻮان »ﻣﺨﺘﺼﺮﻛﻨﻨﺪه ى واژه ﻫﺎ« ٣٤ﺷﻨﺎﺧﺘﻪ ﻣﻰ ﺷﻮد .در ﻫﻨﮕﺎم ﺣﻞ ﻣﺴﺌﻠﻪ ﻫﺎى ﻛﻼﻣﻰ ،دﻳﻮﻓﺎﻧﺘﻮس ﻋﺒﺎراﺗﻰ ﻣﺎﻧﻨﺪ 10− xو 10+ xﺳﺎﺧﺖ )اﻟﺒﺘﻪ ﺑﺎ اﺳﺘﻔﺎده از ﺣﺮوف ﻳﻮﻧﺎﻧﻰ ﻧﻮﺷﺖ( و ﻣﺎﻧﻨﺪ اﻋﺪاد واﻗﻌﻰ ،آن ﻫﺎ را ﻣﻮرد دﺳﺖ ورزى ﻗﺮار داد )ﺑﻪ ﻋﻨﻮان ﻣﺜﺎل ،او ﻋﺒﺎرت ﻫﺎ را ﺿﺮب ﻛﺮد و 100− x2را ﺑﻪ دﺳﺖ آورد )ﻓـﺎول ٣٥و ﮔـﺮى ،١٩٨٧ ، ٣٦ص (٢١٨را ﺑﺒـﻴـﻨـﻴـﺪ( .اﻳـﻦ ﺣﻘﻴﻘﺖ ﻛﻪ ﺳـﻴـﺰده ﻗﺮن ﭘﺲ از دﻳـﻮﻓﺎﻧﺘـﻮس ،رﻳﺎﺿﻰ داﻧﺎن ﻫﻨـﻮز ﻃﻮﻻﻧﻰ ﻧﻮﻳﺴﻰ ﺟﺒﺮ ﻟﻔﻈﻰ را ﺗﺮﺟﻴﺢ ﻣﻰ دادﻧﺪ ،ﺣﺎﻛﻰ از دﺷﻮارى ذاﺗﻰ ﺷﻴﻮه ى ﺗﻔﻜﺮ دﻳﻮﻓﺎﻧﺘﻮس اﺳﺖ. در ﻋﺒﺎرات ﺟﺒﺮى ﻛﻪ دﻳﻮﻓﺎﻧﺘﻮس ﺑﻪ ﻛﺎرﺑﺮد ،ﻳﻚ ﺣﺮف ﺑﻪ ﻋﻨﻮان ١١
دوره ى ﺑﻴﺴﺖ وﻫﻔﺘﻢ ﺷﻤﺎره ى٣ ﺑﻬﺎر ١٣٨٩
ﻳﻚ ﻣﺠـﻬـﻮل ﺑﺎ ﻣﻘﺪار ﺛﺎﺑـﺖ اﺳـﺖ .ﺑـﺮاى او ﻋﺒـﺎرات ﺣﺎﺻـﻞ، اﻋﺪادى ﻫﺴﺘﻨـﺪ ﻛـﻪ از ﺗـﺮﻛﻴﺐ ﻣﺠـﻬـﻮل ﺑﺎ ﺳﺎﻳﺮ اﻋـﺪاد ﺑـﻪ دﺳـﺖ آﻣﺪه اﻧﺪ .ﺧﻮاﻫﻴﻢ ﮔﻔﺖ آن ﭼﻪ ﺑﻪ وﺟﻮد آورد ،ﺟﺒﺮ ﻣﻘﺪار ﺛﺎﺑﺖ ﺑﻮد ﻛﻪ در ﻣﻘﺎﺑﻞ ﺟﺒـﺮ ﺗـﺎﺑـﻌـﻰ ٣٧ﻗـﺮار دارد .در ﺟﺒﺮ ﺗﺎﺑﻌـﻰ ،ﺣـﺮوف ﺗﻐﻴﻴﺮات را ﻧﺸﺎن ﻣﻰ دﻫﻨﺪ ﻧﻪ ﻣﻘﺎدﻳﺮ ﺛﺎﺑﺖ را .اﻳﺪه ى ﺣﺮف ﺑﻪ ﻋﻨﻮان ﻣﺘﻐﻴﺮ )ﺑﻪ ﻋﻨﻮان ﻧﻤﺎدى ﻛﻪ ﺑﻪ ﺟﺎى آن ﻫﺮ ﻋﺪدى ﻣﻤﻜﻦ اﺳﺖ ﻗﺮار ﮔﻴـﺮد( اﻣﺮوزه ﺑﺮاى ﻣﺎ ﺑﺴﻴـﺎر روﺷﻦ اﺳﺖ ،اﻣﺎ ﺑـﺮاى دﻳـﻮﻓﺎﻧﺘـﻮس آﺷﻜﺎر ﻧﺒﻮد .در اداﻣﻪ ،راه ﺣﻞ او را ﺑﺮاى ﻣﺴﺌﻠﻪ اى ﻣﺎﻧﻨﺪ »ﭘﻴﺪا ﻛﺮدن دو ﻋﺪد ﺑﺎ داﺷـﺘـﻦ ﺟـﻤـﻊ و ﺿـﺮب آن ﻫﺎ« ﻣـﻰ آورﻳـﻢ .او اﻋـﺪاد ﻣﺤﺴـﻮس را ﺑﻪ ﻋﻨـﻮان ﻣﻘﺎدﻳﺮ ﻣﻌﻴﻦ ﺑـﻪ ﻛـﺎر ﻣـﻰ ﺑُـﺮد .اﻳﺪه ى ﻳﻚ ﻋﺒـﺎرت ﺟﺒﺮى ﺑﻪ ﻋﻨـﻮان ﻳﻚ ﺑﺎزﻧﻤﺎﻳﻰ ﻛﻪ ﻧﺘﻴﺠﻪ ى ﻧﻬـﺎﻳـﻰ اﻳـﺪه ى ﺑﻪ ﻛﺎرﺑﺮدن ﻓﺮﻣﻮل ﻫﺎ ﺑﻪ ﻋﻨﻮان ﺑﺎزﻧﻤﺎﻳﻰ ﻫﺎى ﻣﻮﻗﺖ و دﺳﺖ ورزى ﻫﺎ روى ﻣﺠﻬﻮل اﺳﺖ ،ﻛﺎﻣﻼً ﻣﺘﻔﺎوت و ﭘﺬﻳﺮﻓﺘﻦ آن دﺷﻮارﺗﺮ اﺳﺖ. اﻳﻦ اﻳﺪه ـ اﻳﻦ ﺗﻮاﻧﺎﻳﻰ ﻛﻪ ﻓﺮﻣﻮل ﭘﺎراﻣﺘﺮى ﺑﺎﻻ ﺑﻪ ﺻﻮرت ﻳﻚ ﻋﺪد در ﻧﻈﺮ ﮔﺮﻓﺘﻪ ﺷﻮد و ﻧﻪ ﻋﺒﺎرﺗﻰ ﻛﻪ اﻣﻜﺎن اﻧﺠﺎم ﻋﻤﻠﻰ ﺑﺎ آن ﻧﻴﺴﺖ ـ ﻗﻄﻌﺎً ﻧﻴﺎز ﺑﻪ ﻳﻚ دﻳﺪﮔﺎه ﺳﺎﺧﺘﺎرى ﺗﻤﺎم و ﻛﻤﺎل ﻧﺴﺒﺖ ﺑﻪ ﻋﺒﺎرات ﺟﺒﺮى دارد. .٢.C٢.C٢ﺟ ـﺒــﺮ ﺗــﺎﺑـ ـﻌ ــﻰ )از ﻳ ــﻚ ﺟــﺒــﺮ ﻳــﻚ ﺳــﺎﺧــﺘـــﺎر ﺳﻠﺴﻠـﻪ ﻣـﺮاﺗﺒﻰ اﺳﺖ؛ ﻣـﺘـﻐـﻴـﺮ( .از ﻗـﺮن ﺷـﺎﻧـﺰدﻫـﻢ ﺑـﻪ ﺑـﻌـﺪ، آنﭼـﻪ در ﻳـﻚ ﺳــﻄــﺢ ﻋﺒﺎرات ﺟﺒﺮى ﺑﺮاى ﻧﺸﺎن دادن ﺗﻮاﺑﻊ ﺑﻪ ﺑﻪﻃﻮر ﻋﻤـﻠـﻴـﺎﺗـﻰ درك ﻛﺎر رﻓﺖ ﻧﻪ ﻣﻘﺎدﻳﺮ ﺛﺎﺑـﺖ .ﻛـﺸـﻔـﻴـﺎت ﻣــﻰﺷــﻮد ،در ﺳــﻄــﺢ ﻣﻬﻤﻰ در ﮔﺎم ﻫﺎى ﻣﺘﻌـﺪدى رخ داد ﻛﻪ ﺑـﺎﻻﺗـﺮ ﺑــﺎﻳــﺪ ﺑــﻪﻃــﻮر اوﻟﻴﻦ آن ﻫﺎ ،ﻣـﻌـﺮﻓﻰ ﻧﻤﺎدﻫﺎى ﺧـﺎص ﺳـﺎﺧـﺘـﺎرى درك ﺷﻮد .ﺑﺮاى ﻋﻤﻠﻴﺎت و رواﺑﻂ ﺑﻮد ﻛﻪ ﺑﺎ اﻳﺪه ى درك ﺗﻔـﺎﺳـﻴـﺮ ﻋـﺒـﺎرات ﻳﻚ ﺣـﺮف ﺑﻪ ﻋﻨـﻮان ﻳﻚ ﭘـﺎراﻣﺘﺮ )ﻳـﻚ ﺟـﺒــﺮى و ارﺗـﺒـﺎطﻫـﺎى ﻣﻘﺪار ﻣﻌﻴﻦ( دﻧﺒﺎل ﺷﺪ. رﻳﺎﺿـﻰ دان ﻓـﺮاﻧـﺴـﻮى ﻓـﺮﻧﻜـﻮﺋـﻴـﺰ ﻣﺘﻘﺎﺑﻞ آنﻫﺎ ﺑﺴﻴﺎر ٣٨ وﻳﺖ ) (١٥٤٠-١٦٠٣اوﻟﻴﻦ ﻛﺴـﻰ ﻣﻬﻢ اﺳﺖ ﺑﻮد ﻛﻪ ﻣﻘﺎدﻳﺮ ﻣﻌﻴﻦ ﻋﺪدى را ﺑﺎ ﻧﻤﺎدﻫـﺎ ﺟﺎﻳﮕﺰﻳـﻦ ﻛـﺮد .اﻳﻦ اﺑﺪاع ،ﻣﻨﺠﺮ ﺑﻪ ﺗـﻐـﻴـﻴـﺮات ﻣﻔﻬـﻮﻣﻰِ دور از ﻻ ،دوﮔﺎﻧﮕﻰ ﻓـﺮاﻳﻨﺪ ـ ﻧﺘﻴﺠﻪ ى ﻋـﺒـﺎرت دﺳﺘـﺮس در ﺟﺒﺮ ﺷﺪ :او ً ﺟﺒـﺮى ،ﻫﻢ زﻣﺎن ﺑﺎ اﻳﺪه ى ﺑـﻪ ﻛـﺎر ﺑـﺮدن ﺣـﺮوف ﺑﻪ ﻋﻨـﻮان اﻋـﺪاد ﻣﺜﻼ ﻧﺎﻣﻌﻴﻦ ،ﺑﻪ رﻳﺎﺿﻰ داﻧﺎن ﺗﺤﻤﻴﻞ ﺷﺪ )ﻋﻤﻠﻴﺎت روى ﺣﺮوفً ، ، 3(x + 5) +1ﻧﻤﻰ ﺗﻮاﻧﻨﺪ در ﻋﻤﻞ اﻧﺠﺎم ﺷﻮﻧﺪ ،ﭘﺲ ﺑﺮاى اﻳﻦ ﻛﻪ ﻓﺮد ﭘﻴﺶ رود و روى ﻋﺪد ﻧﻬﺎﻳﻰ ﻛﺎرى اﻧﺠﺎم دﻫﺪ ،اﻧﺘﺨﺎﺑﻰ ﻧﺪارد دوره ى ﺑﻴﺴﺖ وﻫﻔﺘﻢ ﺷﻤﺎره ى٣ ﺑﻬﺎر ١٣٨٩
١٢
ﻣﮕﺮ اﻳﻦ ﻛﻪ ﻓـﺮﻣﻮل را ﺑﻪ ﻋﻨﻮان ﻧﺘﻴﺠﻪ ى ﻣﺤﺎﺳﺒﻪ در ﻧﻈﺮ ﺑﮕـﻴـﺮد(. ﺛﺎﻧﻴﺎ ،زﻣﺎﻧﻰ ﻛﻪ ﻓﺮﻣﻮل ﻫﺎى ﺣﺮﻓﻰ ﺑﺮاى ﻧﻤﺎﻳﺶ اﺷﻴﺎى ﻣﻌﻴﻦ ﭘﺬﻳﺮﻓﺘﻪ ً ﺷﺪﻧﺪ ،ﻳﻚ ﺣـﺴـﺎب ﻧـﻤـﺎدﻳـﻦ ﺟـﺒـﺮى اﺑﺪاع ﺷﺪ ﻛـﻪ ﺷـﻴـﻮه ﻫـﺎى دﺳﺖ ورزى ﻣﻌـﺎدﻻت را ﻣﺸﺨﺺ ﻣﻰ ﻛـﺮد و ﻳﻚ ﺗﻐﻴﻴﺮ ﻣـﺆﺛـﺮ در ﻣﻘﺎﻳﺴﻪ ﺑـﺎ ﺟـﺒـﺮ ﻋـﻤـﻠـﻴـﺎﺗـﻰ ﺑـﻮد ،ﺟﺎﻳﻰ ﻛـﻪ ﻣـﺴـﺎﺋـﻞ ﻋـﻤـﺪﺗـﺎً ﺑﺎ ﻣﻌﻜﻮس ﻛﺮدن ﻓﺮاﻳﻨﺪﻫﺎى ﻣﺤﺎﺳﺒﺎﺗﻰ ﺣﻞ ﻣﻰ ﺷﻮﻧﺪ .ﺛﺎﻟﺜﺎً ،ﺑﻌﺪ از اﻳﻦ ﻛﻪ اﺧﺘﺮاع ﺟﺪﻳﺪ )ﻋﻤﺪﺗﺎً ﺗﻮﺳﻂ دﻛﺎرت و ﻓﺮﻣﺎ( ﺑﻪ ﻫﻨﺪﺳﻪ اﻧﺘﻘﺎل ﻳﺎﻓﺖ ﺗﺎ ﺑﻪ ﻋﻨﻮان ﻧﻮع دﻳﮕﺮى از ﺑﺎزﻧﻤﺎﻳﻰ ﻫﺎى ﺗﺼﻮﻳﺮى اﺳﺘﺎﻧـﺪارد ﺑﻪ ﻛﺎر رود و ﺳﭙﺲ در ﻋﻠـﻮم ،ﺑﺮاى ﻧﻤﺎﻳﺶ ﭘﺪﻳﺪه ﻫﺎى ﻃﺒﻴـﻌـﻰ، ﻣﻮرد اﺳﺘﻔﺎده ﻗﺮار ﮔﻴﺮﻧﺪ )ﺗﻮﺳﻂ ﮔﺎﻟﻴﻠﻪ ،ﻧﻴﻮﺗﻦ و ﻻﻳﺐ ﻧﻴﺘﺰ( ،ﺟﺒﺮ ﻧﻬﺎﻳﺘﺎ از ﻳﻚ ﻋﻠﻢ ﻣﻘﺎدﻳﺮ ﺛﺎﺑﺖ ﺑﻪ ﻋﻠﻢ اﻧﺪازه ﻫﺎى ﻣﺘﻐﻴﺮ ﺗﺒﺪﻳﻞ ﺷﺪ. ً از اﻳﻦ زﻣﺎن ﺑﻪ ﺑﻌﺪ ،ﺗـﻼش ﺑـﺮاى اﺻﻮل ﻣﻨﻄﻘﻰ ﺟﺒـﺮ آﻏـﺎز ﺷـﺪ. ﻣﻌﻨﺎى ﻋﺒﺎرات ﺟﺒﺮى و اﺟﺰاى ﻧﻤﺎدﻳﻦ آن ﻫﺎ ﺑﻪ ﮔـﻮﻧﻪ اى ﺑﻮد ﻛﻪ ﺑﻪ دﺳﺖ آوردن ﺗﻌﺮﻳ Iرﻳﺎﺿﻰ ﺑﺮاﻳﺸﺎن دﺷـﻮار ﺑﻮد .ﻧﺎم ﻫﺎﻳﻰ ﻣﺎﻧﻨﺪ »ﻋﺪد ﺗﻌﻤﻴﻢ ﻳﺎﻓﺘﻪ« ﻳﺎ »ﻋﺪد ﻣﺘﻐـﻴـﺮ« ﺑـﻪ زودى ﺑﻪ ﺧﺎﻃﺮ ﻋﺪم دﻗـﺖ ﻣﺮدود ﺷﺪﻧـﺪ )ﻓـﺮِﮔﻪ ١٩٧٠ ،را ﺑﺒﻴﻨـﻴـﺪ( .ﺳـﺮاﻧﺠﺎم ،ﻣﺴـﺌـﻠـﻪ ﺑـﺎ رﻫﺎﻛﺮدن ﺗﻌﺮﻳ Iاﻳﺪه ى ﻣﺘﻐـﻴـﺮ و اراﺋﻪ ى ﺗﻔﺴﻴـﺮى ﻛﻠﻰ ﺑـﺮاى ﻳﻚ ﻓﺮﻣﻮل ﺟﺒﺮى ،ﺣﻞ ﺷﺪ .ﺗﺎﺑﻊ ﺑﻪ ﻋﻨﻮان ﻧﻮع ﺟﺪﻳﺪى از ﺷﻰء رﻳﺎﺿﻰ ﻣﺠـﺮد ،اﺑﺪاع ﺷﺪ ﺗـﺎ ﺑـﻪ ﺻـﻮرت ﻣﺼﺪاﻗـﻰ ﺑـﺮاى ﻋﺒـﺎراﺗﻰ ﻣﺎﻧـﻨـﺪ 3(x + 5) +1ﻳﺎ x2 + 2y + 5ﺑﻪ ﻛﺎر رود. ﻣﺎﻫﻴﺖ دﺷﻮار ﻣﻔﻬﻮم ﺟﺪﻳﺪ ﻛﻪ ﺑﺎ ﺟـﺰﺋﻴﺎت ،ﻣﻮرد ﻣﻼﺣﻈﻪ و ﺗﺠﺰﻳﻪ و ﺗﺤﻠﻴـﻞ ﻣـﻮرﺧﺎن و روان ﺷﻨﺎﺳﺎن ﻗـﺮار ﮔـﺮﻓﺖ )ﺑﻪ ﻋﻨـﻮان ﻣﺜﺎل ،ﻛﻠﻴﻨﺮ١٩٨٩ ، ٣٩؛ دوﺑﻴﻨﺴﻜﻰ و ﻫﺮل ١٩٩٢ ،را ﺑﺒﻴﻨﻴﺪ(، ﻣﻮﺿـﻮع ﺟﺪاﮔﺎﻧﻪ اى اﺳﺖ و در اﻳﻦ ﻣﻘﺎﻟـﻪ ،ﺑـﻪ آن ﻧـﻤـﻰ ﭘـﺮدازﻳﻢ )ﻣﻘﺎﻟﻪ ى دﻳـﮕـﺮى ﻣﻨﺤﺼـﺮًا ﺑﻪ اﻳﻦ ﻣـﻮﺿﻮع اﺧﺘﺼـﺎص داده ﺷـﺪه اﺳﺖ( .ﺑﺎ اﻳﻦ وﺟﻮد ،درك دﺷـﻮارى ﻫﺎى ذاﺗﻰ ﻣﻔﻬﻮم ﺗﺎﺑﻊ ﺑـﺮاى آن ﻫﺎﻳﻰ ﻛﻪ ﻣﻰ ﺧﻮاﻫﻨﺪ ﺑﻴﻨﺶ ﻋﻤﻴﻘﻰ ﺳﺒﺐ ﺑﻪ ﻓﺮاﻳﻨﺪ ﻳﺎدﮔﻴﺮى داﺷﺘﻪ ﺑﺎﺷﻨﺪ ،ﻻزم اﺳﺖ. .٣.٢ﺟـﺒـﺮ ﻣــﺠــﺮد :ﺟـﺒـﺮ ﻋـﻤـﻠــﻴــﺎت ﺻــﻮرى و ﺟــﺒــﺮ ﺳﺎﺧﺘﺎرﻫﺎى ﻣﺠﺮد در ﻧﻘﺎط اﺗﺼﺎل رﺷﺪ داﻧﺶ رﻳﺎﺿﻰ ،ﺟﺎﻳﻰ ﻛﻪ ﺑﺮﺧﻰ ﻓﺮاﻳﻨﺪﻫﺎى ﺟﺪﻳﺪ ﻣﻌﺮﻓﻰ ﻣﻰ ﺷﻮﻧﺪ ،اﺷﻴﺎى ﻣﺠﺮد ﻣﺎﻧﻨﺪ اﻧﻮاع ﻣﺨﺘﻠ Iاﻋﺪاد و ﺗﻮاﺑﻊ ﭘﺪﻳﺪ ﻣﻰ آﻳﻨﺪ .اﻳـﻦ ﻓـﺮاﻳﻨﺪﻫﺎى ﺟﺪﻳﺪ ﺑﺎﻳﺪ ﺑـﺮاى ﻓـﺮاﻳﻨﺪﻫﺎى ﻣﻌﻴﻦ دﻳﮕـﺮى ﺑﻪ ﻛﺎر روﻧﺪ ﻛﻪ از ﻗﺒﻞ ﺷﻨﺎﺧﺘﻪ ﺷﺪه ﻫﺴﺘـﻨـﺪ .ﻳـﻚ ﺷﻰء ﻣﺠـﺮد ﺑﻴﻦ دو ﺗﺎى دﻳﮕـﺮ واﺳﻄﻪ ﻣﻰ ﺷـﻮد ،ﻣﻤﻜﻦ اﺳﺖ ﺑـﻪ
دﻣــﻮرﮔــﺎن ،ﺟــﻰ .ﭘـــﻰ ﻛـــﺎت ٤٣و دى.اِف. ﻋﻨﻮان ﻧﺘﻴﺠـﻪ اى از ﻓـﺮاﻳﻨﺪ ﺳﻄﺢ ﭘﺎﻳﻴﻦ ﺗﺮ در ﻧـﻈـﺮ ﮔﺮﻳﮕـﻮرى( ﭘﻴﺸﻨـﻬـﺎد ﻛـﺮدﻧﺪ ﻛﻪ ﺟﺒﺮ ﺑﺎﻳـﺪ از ﺑـﺎر ﮔﺮﻓﺘﻪ ﺷﻮد ﻛﻪ ﺑﺮاى دﺳﺖ ورزى ﻫﺎى ﺳﻄﺢ ﺑﺎﻻﺗﺮ اﮔﺮ ﻓﺮاﻳﻨﺪ ﻳﺎدﮔﻴﺮى را ﺗﻔﺴﻴﺮ اوﻟﻴـﻪ اش رﻫﺎ ﺷﻮد .از اﻳﻦ ﺑﻪ ﺑﻌﺪ ،ﺑﺎﻳﺪ ﺑﺎ ﺑﻪ ﻛﺎر ﻣـﻰ رود .ﺑﻨﺎﺑﺮاﻳﻦ ،در ارﺗﺒﺎط ﺑﺎ ﻳﻚ ﺷـﻰء ﻣـﻮرد ﻣـﺸـﺎﻫــﺪه ﻗــﺮار ﻳﻚ ﻓﺮﻣﻮل ﺟﺒﺮى ﺑﻪ ﺧﻮدى ﺧﻮد ﺑﻪ ﻋﻨﻮان ﻳﻚ ﺷﻰء ﻣﻔﺮوض ،ﻓﺮاﻳﻨﺪﻫﺎى ﺳﻄﺢ ﭘﺎﻳﻴﻦ ﺗﺮ و ﺑﺎﻻﺗﺮ را ﺑﻪ دﻫﻴﻢ ،ﻟﺤﻈﺎت ﻣﻬﻢ و رﻓﺘﺎر ﻛﺮد .ﺷﻴﺌﻰ ﻛﻪ ﺑﻪ ﺷـﻴـﻮه ﻫﺎى ﻣﺨﺘﻠ Iﻗﺎﺑـﻞ ﺗﺮﺗﻴﺐ اوﻟﻴﻪ ٤٠و ﺛﺎﻧﻮﻳﻪ ٤١ﻣﻰ ﻧﺎﻣﻴﻢ .ﺑﻪ ﻋﻨﻮان ﻣﺜﺎل، ارزﺷــــــــﻤــــــــﻨــــــــﺪ، ﺗﻔﺴﻴﺮ اﺳﺖ اﻣﺎ ﺑـﺮاى ﺧﻮدش ﻣﻌﻨﺎﻳﻰ ﻧـﺪارد .در اﻳﺪه ى اﻋﺪاد ﮔﻮﻳﺎ ،رﻳﺸﻪ در ﺗﻘﺴﻴﻢ اﻋﺪاد ﺻﺤﻴﺢ ﻧــﺎﭘــﻴـــﻮﺳــﺘــﮕــﻰﻫــﺎ واﻗﻊ ،ﻋﺒﺎرت ﺟﺒﺮى ﺗﺒﺪﻳﻞ ﺑﻪ ﻳﻚ وﺳﻴﻠﻪ ى ﻧﻘﻠﻴﻪ ى ﺑﺮ اﻋﺪاد ﺻﺤﻴﺢ دارد )ﻓﺮاﻳﻨﺪ اوﻟﻴﻪ( ،اﻣﺎ ﻣﻮﺟﻮدى ﻫـــﺴـــﺘـــﻨـــﺪ .آنﻫــــﺎ ﺗﻬﻰ ﺷﺪ ﻛﻪ ﻣﻨﺘﻈﺮ اﺳﺖ ﻳﻚ ﺑﺎر ﻣﻌﻨﺎﻳـﻰ را ﺣﻤﻞ ﻣـﺎﻧـﻨـﺪ 3 4ﺑﻪ ﺧـﻮدى ﺧـﻮد ﻳـﻚ ﻋـﺪد را ﺷـﻜـﻞ ﺟﻬﺶﻫﺎﻳﻰاﻧﺪ ﻛﻪ در ﻛﻨﺪ .ﻣﻜـﺘـﺐ ﺻـﻮرت ﮔـﺮاﻳﻰ ﺑﻪ اﻧـﺪازه اى ﻛﻪ ﺑـﻪ ﻣﻰ دﻫﺪ ﻛﻪ ﻣـﻮرد دﺳـﺖ ورزى ﻗﺮار ﻣﻰ ﮔﻴـﺮد و ﺑـﺎ ﻓﺮاﻳﻨﺪ ﻳﺎدﮔﻴﺮى رخ ﻗﻮاﻋﺪ ﺣﺎﻛـﻢ ﺑـﺮ ﺣـﺮﻛﺖ وﺳﻴﻠﻪ ى ﻧﻘﻠـﻴـﻪ ﻋـﻼﻗـﻪ ﺳﺎﻳﺮ اﻋﺪاد ﺗﺮﻛﻴﺐ ﻣﻰ ﺷﻮد )ﻓﺮاﻳﻨﺪﻫﺎى ﺛﺎﻧﻮﻳـﻪ(. ﻣﻰدﻫﻨﺪ داﺷﺖ ﺑﻪ »ﺑﺎر «٤٤ﺑﺎﻟﻘﻮه اﻧﺪ وﺳﻴﻠﻪ ﻋﻼﻗﻪ ﻧﺪاﺷﺖ. در ﺟﺒﺮ ،ﻓﺮاﻳﻨﺪﻫـﺎى اوﻟﻴﻪ ﻋﻤﻠﻴﺎت ﺣﺴﺎﺑـﻰ روى اﻋﺪادﻧﺪ و ﻓـﺮاﻳﻨﺪﻫﺎى ﺛﺎﻧﻮﻳﻪ آن ﻫﺎﻳﻰ ﻫﺴـﺘـﻨـﺪ ﻛـﻪ ورودى آن ﻫﺎ ،ﻫﻤﺎن ﻃﻮر ﻛﻪ ﮔﺮﻳﮕﻮرى ﻣﻰ ﻧﻮﻳﺴﺪ ،ﺟﺒﺮ در ﺣﺎل ﺗﺒﺪﻳﻞ ﺷﺪن ﺑﻪ ﻋﻤﻠﻴﺎت ﺣﺴﺎﺑﻰ اﺳﺖ .ﻓـﺮاﻳﻨﺪﻫﺎى ﺛﺎﻧﻮﻳﻪ در دﺳـﺖ ورزى روى داﻧﺸﻰ ﺑﻮد ﻛﻪ »ﻣﻮﺿﻮع آن ﺗﺮﻛﻴﺐ ﻋﻤﻠﻴﺎت اﺳﺖ؛ در ﺣﺎﻟﻰ ﻛـﻪ، ﻓﺮﻣﻮل ﻫﺎى ﺟﺒـﺮى ﺑﻪ ﻛﺎر ﻣﻰ روﻧﺪ .ﭘﺲ اﻳﺪه ى ﺗﺎﺑﻊ ،ﻳﻚ ﭘـﻴـﻮﻧﺪ اﻳﻦ ﻋﻤﻠﻴﺎت ﺑﺎ ﻣﺎﻫﻴﺖ ﺧـﻮدﺷﺎن ،ﻳﻌﻨﻰ آن ﭼﻪ ﻫﺴﺘﻨﺪ ﻳﺎ آن ﭼـﻪ را ﻣﻔﻬﻮﻣﻰ را ﺑﻴﻦ ﻣﺤﺎﺳﺒﺎت ﻋﺪدى و دﺳﺖ ورزى ﻫﺎى ﺟﺒﺮى ﻧﻤﺎدﻳﻦ ﻛﻪ اﻧﺠﺎم ﻣﻰ دﻫﻨﺪ ،ﺗﻌﺮﻳ Iﻧﺸﺪه اﻧﺪ ،ﺑﻠﻜﻪ ﺗﻮﺳﻂ ﻗﻮاﻋﺪ ﺗـﺮﻛﻴﺒﻰ ﺷﻜﻞ ﻣﻰ دﻫﺪ .اﻳﻦ اﻳﺪه ،ﺑـﻪ ﻋـﻨـﻮان اﺗﺼﺎﻟﻰ اﺳﺖ ﻛﻪ از ﻃـﺮﻳـﻖ ﻛـﻪ روى آن ﻫﺎ اﻋﻤﺎل ﻣـﻰ ﺷـﻮد ﺗﻌﺮﻳ Iﺷﺪه اﻧـﺪ« )ﮔـﺮﻳـﮕـﻮرى، آن ،داﻧﺶ ﺟﺒﺮى ﺟﺪﻳﺪ ﺑﻪ ﻧﻈﺎم ﻣﻔﺎﻫﻴﻢ ﺣﺴﺎﺑﻰ ﻣﺮﺗﺒﻂ ﻣﻰ ﺷﻮد١٨٤٠ .؛ ﻧﻘـﻞ ﻗـﻮل ﺷﺪه ﺗـﻮﺳﻂ ﻧـﻮى ،١٩٧٣ ،ص .(١٩٤در ﺑﻌﺪ از اﻳﻦ ﻛﻪ ﺟﺒﺮ وﻳﺖ ﺗﺒﺪﻳﻞ ﺑﻪ اﺑﺰار ﻣﻬﻤﻰ ﺑﺮاى اﻧﺠﺎم دادن اﻳﻦ ﺟﺎ ،ﻛﻠﻤﻪ ى ﻋﻤﻠﻴﺎت ﺑﺮاى ﻧﺸﺎن دادن ﻓﺮاﻳﻨﺪﻫﺎى اوﻟﻴﻪ ﺑﻪ ﻛﺎر رﻳﺎﺿﻰ ﺷﺪ ،ﻣﺮﺣﻠﻪ ى ﺑﻌﺪى ،ﺑﺎﻻ رﻓﺘﻦ ﺑﻪ ﻧﻘﻄﻪ ى ﺑﺎﻻﺗﺮى اﺳﺖ رﻓﺘﻪ اﺳﺖ در ﺣﺎﻟﻰ ﻛـﻪ ﺗـﺮﻛﻴﺐ ﻫﺎ ﺑـﻪ وﺿﻮح ،ﻓـﺮاﻳﻨﺪﻫﺎى ﺛﺎﻧﻮﻳـﻪ ﻛﻪ از آن ﺟﺎ ﺑﺘﻮان ﻋﻤﻠﻴﺎت ﺛﺎﻧﻮﻳﻪ اى را ﻛﻪ روى ﺗﻮاﺑﻊ اﺟﺮا ﻣﻰ ﺷﻮﻧﺪ ﻫﺴﺘﻨﺪ .ﺑﺪﻳﻦ دﻟﻴﻞ ،ﺻﻮرت ﮔﺮاﻳﺎن اﻧﮕﻠﻴﺴﻰ ،ﻣﺮﺣﻠﻪ ى ﻋﻤﻠﻴﺎﺗﻰ و ﺑﺮ دﺳﺖ ورزى ﻫﺎ روى ﻓﺮﻣﻮل ﻫﺎ دﻻﻟﺖ ﻣﻰ ﻛﻨﻨﺪ ،ﻣﻮرد ﻣﻄﺎﻟﻌﻪ ﺳﻄﺢ ﺑﺎﻻﺗﺮى را در ﺟﺒﺮ آﻏﺎز ﻛﺮدﻧﺪ .اﻳﻦ اوﻟﻴﻦ ﮔﺎم در رﺷﺪ ﺟﺒﺮ ﻗﺮار داد )ﻳﻚ ﻓﺮاﻳﻨﺪ ﻛﻪ در ﻳﻚ ﺳﻄﺢ ﻓﺮاﻳﻨﺪ ﺛﺎﻧﻮﻳﻪ اﺳﺖ ،در ﺳﻄﺢ ﻣﺠﺮد ﺑﻮد. اﮔﺮﭼﻪ داﺳﺘﺎن ﺟﺒﺮ در اﻳﻦ ﺟﺎ ﭘﺎﻳﺎن ﻧﻤﻰ ﻳﺎﺑﺪ ،اﻣﺎ ﺟﺎﻳﻰ اﺳﺖ ﺑﺎﻻﺗﺮ ،ﻓﺮاﻳﻨﺪ اوﻟﻴﻪ ﻣﻰ ﺷﻮد(. اﻳﻦ ﻣﺮﺣﻠﻪ از رﺷﺪ ﺟﺒﺮ در دﻫﻪ ى ﺳﻮم ﻗﺮن ﻧﻮزدﻫﻢ در اﻧﮕﻠﻴﺲ ﻛﻪ ﺗﻮﺿﻴﺤﺎت ﺗﺎرﻳﺨﻰ ﻣﺎ ﻣﺘﻮﻗ Iﻣﻰ ﺷﻮد .ﻋﻠﻢ اﺷﻴﺎى ﻣﺠﺮد ﻣﺎﻧﻨﺪ ﺷﺮوع ﺷﺪ .در اداﻣﻪ ،داﺳﺘـﺎﻧـﻰ را ﻣﻄﺮح ﻣﻰ ﻛﻨﻴﻢ ﻛﻪ ﺑﻪ دﻻﻳـﻠـﻰ ﮔﺮوه ﻫﺎ ،ﺣﻠﻘﻪ ﻫﺎ ،ﻣﻴﺪان ﻫﺎ ﻳﺎ اﻳﺪه آل ﻫﺎ ﻛﻪ در اﺑﺘﺪا در ﻗﺮن ﻧﻮزدﻫﻢ ارزش ﮔـﻔـﺘـﻦ دارد .اﻳـﻦ دﻻﻳـﻞ زﻣـﺎﻧـﻰ روﺷـﻦ ﺧـﻮاﻫـﺪ ﺷـﺪ ﻛـﻪ ﺗﻮﺳﻌﻪ ﻳﺎﻓﺖ ،ﺑﻪ ﻣﻮﺿﻮع ﻣﺎ ارﺗﺒﺎﻃﻰ ﻧﺪارد ،ﻫﻤﺎن ﻃﻮر ﻛﻪ در ﺳﻄﺢ دﻳﺪﮔﺎه ﻫﺎى اﻣﺮوزه ى داﻧﺶ آﻣﻮزان در ﻣﻮرد ﻓﺮﻣﻮل ﻫﺎ و ﻣﻌﺎدﻻت دﺑﻴﺮﺳﺘﺎن ﻧﻴﺰ ﺗﺪرﻳﺲ ﻧﻤﻰ ﺷﻮﻧﺪ .ﻓﻘﻂ ﺑﺮاى ﻛﺎﻣﻞ ﻛﺮدن اﻳﻦ ﺗﺼﻮﻳﺮ ﻳﺎدآور ﻣﻰ ﺷﻮﻳﻢ ﻛﻪ ﺑﺎ ﻇـﻬـﻮر ﻧـﻈـﺮﻳـﻪ ى ﮔـﺮوه ﻫﺎ ،ﻳﻚ ﺟـﻨـﺒـﻪ ى ﻧﻤﺎدﻳﻦ ،ﻣﻮرد ﺗﺠﺰﻳﻪ و ﺗﺤﻠﻴﻞ ﻗﺮار ﮔﻴﺮد )ﺑﺨﺶ .(٣. ٣ ﺗﺎ ﻗﺮن ﻧﻮزدﻫﻢ ،ﺟﺒﺮ ﺑﻪ ﻋﻨﻮان »ﺣﺴﺎب ﻛﻠﻰ «٤٢در ﻧﻈﺮ ﮔﺮﻓﺘﻪ ﺳﺎﺧﺘﺎرى آﻏﺎز ﻣﻰ ﺷـﻮد ﻛﻪ ﺟﺎﻧﺸﻴﻨﻰ ﻃﺒﻴﻌـﻰ ﺑـﺮاى ﺟﺒﺮ ﻋﻤﻠﻴﺎﺗـﻰ ﻣﻰ ﺷﺪ ،ﻣـﻮﺿﻮﻋﻰ ﻛﻪ ﻣﺨﺘﺺ ﺑـﻴـﺎن ﻗـﻮاﻋﺪ ﺣﺎﻛﻢ ﺑﺮ روﻳﻪ ﻫـﺎى ﺳﻄﺢ ﺑﺎﻻﺗﺮ ﺻﻮرت ﮔﺮاﻳﺎن اﻧﮕﻠﻴﺴﻰ اﺳﺖ. ﻣﺮاﺣﻞ ﮔﻮﻧﺎﮔﻮن در ﺗﻮﺳﻌﻪ ى ﺟﺒﺮ در ﺟﺪول) (٢ﺧﻼﺻﻪ ﺷﺪه ﺣﺴﺎب ﺑﻪ ﻳﻚ ﺷﻴﻮه ى ﻋﻤﻮﻣﻰ ﺑﻮد .اﻳﻦ ﺗﻔﺴﻴﺮ ﺗﺎ ﺣﺪ زﻳﺎدى ﻫﺪف و ﻛﺎراﻳﻰ ﻋﻤﻠﻴﺎت در ﻓﺮﻣﻮل ﻫﺎى ﺟﺒﺮى را ﻣﺤﺪود ﻣﻰ ﻛﻨﺪ )ﺑﻪ ﻋﻨﻮان اﺳﺖ و ادﻋـﺎى اوﻟﻴﻪ ى ﻣﺎ را ﺗﻘﻮﻳﺖ ﻣﻰ ﻛﻨﺪ :ﺟﺒﺮ ﻳﻚ ﺳـﺎﺧـﺘـﺎر ﺳﻠﺴﻠﻪ ﻣﺮاﺗﺒﻰ اﺳﺖ؛ آن ﭼﻪ در ﻳﻚ ﺳﻄﺢ ﺑﻪ ﻃﻮر ﻋﻤﻠﻴﺎﺗـﻰ درك ﻣﺜﺎل ،ﻣﺤﺪودﻳﺖ a > bﻳﻚ ﻣﻜﻤـﻞ ﻻزم ﺑﺮاى ﻋﺒﺎرت a − b اﺳﺖ (.ﺣﺎﻻ زﻣﺎﻧﻰ ﻛﻪ ﺗﻤﺮﻛﺰ ﺑﺮ دﺳـﺖ ورزى ﻫﺎى ﺻﻮرى ﺗﻐﻴﻴﺮ ﻣﻰ ﺷﻮد ،در ﺳﻄﺢ ﺑﺎﻻﺗﺮ ﺑﺎﻳﺪ ﺑﻪ ﻃﻮر ﺳﺎﺧﺘﺎرى درك ﺷﻮد .درك ﻛـﺮده اﺳﺖ ،رﻳﺎﺿـﻰ داﻧـﺎن اﺻـﺮار ﺑﺮ ﺗﻨﻈﻴـﻢ ﺟـﺒـﺮ ،ﺟـﺪا از ﻫـﺮ ﺗﻔﺎﺳﻴﺮ ﻋﺒﺎرات ﺟﺒﺮى و ارﺗﺒﺎط ﻫﺎى ﻣﺘﻘﺎﺑﻞ آن ﻫﺎ ﺑﺴﻴﺎر ﻣﻬﻢ اﺳﺖ. ﻣﺤـﺪودﻳﺘـﻰ دارﻧﺪ .ﮔـﺮوﻫﻰ از ﺻـﻮرت ﮔﺮاﻳﺎن اﻧﮕﻠـﻴـﺴـﻰ )اِى .در ﺑﺤﺚ ﻫﺎى ﺑﻌﺪى ،ﻳﺎدﮔﻴﺮى ﺟﺒﺮ ﺗﻮﺳﻂ داﻧﺶ آﻣﻮزان ﻣﺪرﺳﻪ اى ١٣
دوره ى ﺑﻴﺴﺖ وﻫﻔﺘﻢ ﺷﻤﺎره ى٣ ﺑﻬﺎر ١٣٨٩
ﻣﻮرد ﺗﺠﺰﻳﻪ و ﺗﺤﻠﻴﻞ ﻗﺮار ﺧﻮاﻫﺪ ﮔﺮﻓﺖ. )اداﻣﻪ ى ﻣﻄﻠﺐ در ﺷﻤﺎره ﻫﺎى آﻳﻨﺪه…(
ﺟﺪول ٢ ﻣﺮاﺣﻞ ﺗﻮﺳﻌﻪCى ﺟﺒﺮ ﻧﻮع
ﻣﺮﺣﻠﻪ
ﺗﻤﺮﻛﺰ ﺟﺪﻳﺪ
.١. ١ﻋﻤﻠﻴﺎﺗﻰ
.١ . ١. ١ﻣﺤﺎﺳﺒﺎت ﻋﺪدى
.١ﺣﺴﺎب ﺗﻌﻤﻴﻢ ﻳﺎﻓﺘﻪ
.٢. ١ﺳﺎﺧﺘﺎرى
.١. ٢ﻋﻤﻠﻴﺎﺗﻰ
ﺑﺎزﻧﻤﺎﻳﻰ
ﻧﻜﺎت ﺑﺮﺟﺴﺘﻪCى ﺗﺎرﻳﺨﻰ
ﻛﻼﻣﻰ )ﻟﻔﻈﻰ(
ﭘﺎﭘﻴﺮوس راﻳﻨﺪ ﺳﺎل ١٦٥٠ﻗﺒﻞ از ﻣﻴﻼد
ادﻏﺎم ﻛﻼﻣﻰ ـ ﻧﻤﺎدﻳﻦ )ﻣﺨﺘﺼﺮﻛﻨﻨﺪه ى واژه ﻫﺎ(
دﻳﻮﻓﺎﻧﺘﻮس ﺳﺎل ٢٥٠ﺑﻌﺪ از ﻣﻴﻼد
) .١. ٢. ١ﻋﺪدى( ﻧﺘﻴﺠﻪCى ﻣﺤﺎﺳﺒﺎت )ﺟﺒﺮ ﻣﻘﺪار ﺛﺎﺑﺖ(
ﻧﻤﺎدﻳﻦ )ﺣﺮف ﺑﻪ ﻋﻨﻮان ﻳﻚ ﻣﺠﻬﻮل(
) .٢. ٢. ١ﻋﺪدى( ﺗﺎﺑﻊ )ﺟﺒﺮ ﺗﺎﺑﻌﻰ(
ﻧﻤﺎدﻳﻦ )ﺣﺮف ﺑﻪ ﻋﻨﻮان ﻣﺘﻐﻴﺮ(
ﻓﺮاﻳﻨﺪﻫﺎ روى ﻧﻤﺎدﻫﺎ )ﺗﺮﻛﻴﺐ ﻋﻤﻠﻴﺎت(
ﻧﻤﺎدﻳﻦ )ﺣﺮف ﺑﺪون ﻫﻴﭻ ﻣﻌﻨﺎﻳﻰ(
.٢ﺟﺒﺮ ﻣﺠﺮد .٢. ٢ﺳﺎﺧﺘﺎرى
ﺳﺎﺧﺘﺎرﻫﺎى ﻣﺠﺮد
ﺗﻮﺿﻴﺤﺎت ﺗﻜﻤﻴﻠﻰ ﺑﺮاى ﺧﻮاﻧﻨﺪه ى اﻳﻦ ﻣﻘﺎﻟﻪ: .١ﻣﺘﻦ ﺣﺎﺿﺮ ﺗﺮﺟﻤﻪ ى دو ﺑﺨﺶ اول ﻣﻘﺎﻟﻪ اﺳﺖ ،دو ﺑﺨﺶ اﻧﺘﻬﺎﻳﻰ در ﺷﻤﺎره ﻫﺎى ﺑﻌﺪى ﺧﻮاﻫﺪ آﻣﺪ. .٢ﻣﺘﺮﺟﻤﺎن ﺑﻪ ﻣﺘﻦ اﺻﻠﻰ ﭘﺎى ﺑﻨﺪ ﺑﻮده اﻧﺪ وﻟﻰ ﻣﻘﺎﻟﻪ ،ﻣﻘﺎﻟﻪ ى اﺣﺘﻤﺎﻻ ﺑﺎﻳﺪ ﺑﻴﺸﺘﺮ از ﻳﻚ ﺑﺎر ﺧﻮاﻧﺪه ﺷﻮد. ً »ﺳﺨﺘﻰ« اﺳﺖ ﺑﻨﺎﺑﺮاﻳﻦ .٣اﻳﻦ ﻣﻘﺎﻟﻪ ﺑﻪ دﻟـﻴـﻞ ارﺗﺒﺎط ﺑﺎ ﻣﻘﺎﻻت دﻳﮕـﺮى ﻛﻪ در ﻣـﻮرد ﺟﺒﺮ ﻧﻮﺷﺘﻪ ﺷﺪه ،ﺗﺮﺟﻤﻪ ﺷﺪه اﺳﺖ .ﺑﻪ ﺧﺼﻮص ﺗﻮﺻﻴﻪ ﻣﻰ ﺷﻮد اﻳﻦ ﻣﻘﺎﻟﻪ در ﻛﻨﺎر » aﭼﻪ ﺳﺎﻛﺖ اﺳﺖ« ﺧﻮاﻧﺪه ﺷﻮد ﭼﺮا ﻛﻪ اﻳﻦ دو ﻣﻘﺎﻟﻪ ﺑﻪ دو ﺟﻨﺒﻪ ى ﻛﺎﻣﻼً ﻣﺘﻔﺎوت »ﺳﻜﻮت ﻧﻤﺎدﻫﺎ« اﺷﺎره دارﻧﺪ.
ﭘﻰﻧﻮﺷﺖ 1. Versatility 2. Adaptability 3. Process-Oriented
دوره ى ﺑﻴﺴﺖ وﻫﻔﺘﻢ ﺷﻤﺎره ى٣ ﺑﻬﺎر ١٣٨٩
١٤
ﻗﺮن ﺷﺎﻧﺰدﻫﻢ از ﻫﻤﻪ ﻣﻬﻢ ﺗﺮ وﻳﺖ )(١٥٤٠ -١٦٠٣ وﻳﺖ ،ﻻﻳﺐ ﻧﻴﺘﺰ )(١٦٤٦-١٧١٦ ﻧﻴﻮﺗﻦ )(١٦٤٢-١٧٢٧ ﻣﻜﺘﺐ ﺻﻮرت ﮔﺮاﻳﻰ اﻧﮕﻠﻴﺴﻰ )دﻣﻮرﮔﺎن ،ﭘﻰ ﻛﺎك ،ﮔﺮﻳﮕﻮرى( از ﺳﺎل ١٨٣٠
ﻧﻤﺎدﻳﻦ
25. Cardrn 26. Ars Magna 27. Algebra of a Fixed Value 28. Compact Chunks 29. Prompts 30. Lakeoff 31. Johnson 32. Diophantus 33. Syncopaed 34. Fauvel 35. Grey 36. Functional Algebra 37. Francois Viete 38. Kleiner 39. Primary 40. Secondary 41. Universal Arithmetic 42. Peacock 43. Cargo 44. Novy * ﻣﻨﺎﺑﻊ و ﻣﺮاﺟﻊ اﻳﻦ ﻣﻘﺎﻟﻪ را در ﺷﻤﺎره ى آﻳﻨﺪه ﺧﻮاﻫﻴﺪ دﻳﺪ.
ﻗﺮن ١٩و :٢٠ ﻧﻈﺮﻳﻪ ى ﮔﺮوه ﻫﺎ ،ﺣﻠﻘﻪ ﻫﺎ، ﻣﻴﺪان ﻫﺎ و ﻏﻴﺮه و ﺟﺒﺮ ﺧﻄﻰ
4. Schoenfeld 5. Microgenetic 6. Harel 7. Kaput 8. Breidenbach 9. Kieran 10. Dubinsky 11. Reflective Abstraction 12. Beth 13. Greeno 14. Conceptual Entity 15. Douady 16. Niels Bohr 17. Self-sustained 18. Logical 19. Crowe 20. Garcia 21. Undo 22. Boyer 23. Struik 24. Rhetoric Algebra
ﺑﺎزﻧﮕﺮى ﻳﻚ ﺗﺠﺮﺑﻪ
ﺿﺮورت ﺗﻠﻔﻴﻖ در ﺑﺮﻧﺎﻣﻪى درﺳﻰ ﺳﭙﻴﺪه ﭼﻤﻦآرا ﻛﺎرﺷﻨﺎس ارﺷﺪ آﻣﻮزش رﻳﺎﺿﻰ و ﻣﻌﻠﻢ رﻳﺎﺿﻰ راﻫﻨﻤﺎﻳﻰ ﻣﻨﻄﻘﻪ.ى ٢ﺗﻬﺮان ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○
ﻣﻘﺎﻟﻪى اراﺋﻪ ﺷﺪه در دﻫﻤﻴﻦ ﻛﻨﻔﺮاﻧﺲ آﻣﻮزش رﻳﺎﺿﻰ اﻳﺮان ،ﻳﺰد ،ﻣﺮداد ١٣٨٧
ﭼﻜﻴﺪه در ﻣـﻘـﺎﻟـﻪCى ﺣـﺎﺿـﺮ ،ﺿـﻤـﻦ ﻣــﺮورى ﺑـﺮ روﻳـﻜـﺮد ﺗـﻠـﻔـﻴـﻘــﻰ در ﺑﺮﻧﺎﻣﻪCى درﺳﻰ ،ﻳﻚ ﺗﺠﺮﺑﻪCى ﻋﻤﻠﻰ در ﺗﺪرﻳﺲ ﻣﺒﺤﺚ ﻣﻌﺎدﻟﻪCى ﺧـﻂ راﺳﺖ و ﻣـﻔـﻬـﻮم ﺷﻴـﺐ و ﻋـﺮض از ﻣﺒﺪأ ﺧـﻂ در ﭘـﺎﻳـﻪCى ﺳـﻮم راﻫﻨﻤﺎﻳﻰ اراﺋﻪ ﻣﻰCﺷﻮد. ﻛﻠـﻴـﺪ واژهCﻫـﺎ :ﺑـﺮﻧﺎﻣـﻪ ى درﺳﻰ ﺗﻠـﻔـﻴـﻘـﻰ ،ﺑـﺮﻧـﺎﻣـﻪ ى درﺳﻰ ﺑﻴـﻦ رﺷﺘﻪ اى ،ﺗﺪرﻳﺲ رﻳﺎﺿﻰ ،ﺗﺪرﻳﺲ ﻣﺒﺤﺚ ﻣﻌـﺎدﻟـﻪ ى ﺧـﻂ راﺳﺖ ،رﻳﺎﺿﻰ ﺳﻮم راﻫﻨﻤﺎﻳﻰ. ﻣﻘﺪﻣﻪ ﻫﻤﻮاره ﻳﻜﻰ از اﻫﺪاف آﻣﻮزش وﭘﺮورش ،ﺗﺮﺑﻴﺖ اﻓﺮادى ﺑﺮاى اﺣﺮاز ﺷﻐﻞ ﻫﺎى آﻳﻨﺪه ﺑـﻮده اﺳﺖ .در ﺳﺎل ﻫﺎى ﺧﻴﻠـﻰ دور ـ آن زﻣﺎن ﻛﻪ »آﻣـﻮزش« در »ﻣـﺪرﺳﻪ« ،اوﻟﻴﻦ ﺳـﺎل ﻫـﺎى ﺗـﻮﻟﺪ ﺧـﻮد را ﻣﻰ ﮔﺬراﻧﺪ ،ﺷﺎﻳﺪ ﺗﻨﻬﺎ ﻫﺪف از آن ،ﻫﻤﻴﻦ ﺗﺮﺑﻴﺖ ﺑﺮﮔﺰﻳﺪﮔﺎن ﺑﺮاى ﻣﻨﺎﺻﺐ و ﻣﺸﺎﻏﻞ ﺧﺎﺻﻰ ﺑﻮد ﻛﻪ در ﺟﻮاﻣﻊ آن زﻣﺎن ﺗﻌﺮﻳ Iﺷﺪه ﺑﻮدﻧﺪ .ﺑﻪ ﻣﺮور ﻛﻪ آﻣﻮزش رﺳﻤﻰ ﻋﻤﻮﻣﻰ ﺗﺮ ﺷﺪ و ﻃﻴ Iوﺳﻴﻊ ﺗﺮى
از اﻓﺮاد ﺟﺎﻣﻌﻪ را ﺗﺤﺖ ﭘﻮﺷﺶ ﺧﻮد ﻗﺮار داد ،اﻫﺪاف ﻋﻤﻮﻣﻰ ﺗﺮى ﻧﻴﺰ ﺑﻪ اﻳﻦ اﻫﺪاف ﺧﺎص اﺿﺎﻓﻪ ﺷﺪﻧﺪ و اﻣﺮوزه ﻛﻪ در ﺑﺴﻴﺎرى از ﻛﺸﻮرﻫﺎ ،آﻣﻮزش رﺳﻤﻰ ،اﺟﺒﺎرى اﺳﺖ و ﺟﺰو وﻇﺎﻳ Iدوﻟﺖ ﻫﺎ ﻣﺤﺴﻮب ﻣﻰ ﺷﻮد و ﺑﺎ ﺗﻮﺟﻪ ﺑﻪ ﺷﺮاﻳﻂ و وﻳﮋﮔﻰ ﻫﺎى ﻗﺮن ﺣﺎﺿﺮ ـ ﻛﻪ ﺣﺪود ﻳﻚ دﻫﻪ از آن را ﭘﺸﺖ ﺳﺮ ﮔﺬاﺷﺘﻪ اﻳﻢ ـ ﻋﻼوه ﺑﺮ ﺗﺮﺑﻴﺖ اﻓﺮادى ﺑـﺮاى ﻣﻬﺎرت ﻫﺎ و ﺷﻐﻞ ﻫﺎى آﻳﻨﺪه ،ﺗﺮﺑﻴـﺖ ﺷـﻬـﺮوﻧﺪاﻧـﻰ ﺗﻮاﻧﻤﻨﺪ ﺑﺮاى زﻧﺪﮔﻰ در ﻗﺮن ﺑﻴﺴﺖ وﻳﻜﻢ و ﻣﻮاﺟﻪ ﺷﺪن ﺑﺎ ﻣﺴﺎﺋﻞ و ﻣﺸﻜﻼت ﻣﺨﺘﺺ آن ﻧﻴﺰ ﻫﺪف ﻣﻬﻢ ﺗﺮى ﺑﺮاى آﻣﻮزش وﭘﺮورش اﺳﺖ. ﺳﺎزﻣﺎن ﻫﺎى ﺑﻴﻦ اﻟﻤـﻠـﻠـﻰ ،ﺑـﺮاى اﻧﺴﺎن ﻗـﺮن ﺑﻴﺴﺖ وﻳـﻜـﻢ، وﻳﮋﮔﻰ ﻫﺎﻳﻰ را ﺗﻌﺮﻳ Iو ﻣﺸﺨﺺ ﻛﺮده اﻧﺪ ﻛﻪ ﺑﺴﻴﺎر ﭘﻴﭽﻴﺪه ﺗـﺮ از وﻳﮋﮔﻰ ﻫﺎى ﻻزم ﺑﺮاى زﻧﺪﮔﻰ در ٣٠٠٠ﺳﺎل ﭘﻴﺶ اﺳﺖ ـ زﻣﺎﻧﻰ ﻛﻪ »ﻣﺪرﺳﻪ« ﺗﺎزه در ﺟﺎﻣﻌﻪ ﻣﻮﺟﻮدﻳﺖ ﻣﻰ ﻳﺎﻓﺖ. اﻳﻦ اﻣﺮ ،رﺳﺎﻟﺖ ﻣﺎ ﻣﻌﻠﻤـﺎن را ﺑﺴﻴﺎر ﺳﻨﮕﻴﻦ ﺗﺮ از ﺣﺘـﻰ ﻗـﺮن ﭘﻴﺶ از اﻳﻦ ﻣﻰ ﻛﻨﺪ .ﻣـﻌـﻠـﻤـﺎن اﻳـﻦ ﻧـﺴـﻞ ﺑـﺎﻳـﺪ ﺗـﻮﺟﻪ ﻛﻨﻨـﺪ ﻛـﻪ داﻧﺶ آﻣﻮزان اﻣﺮوز آن ﻫﺎ ،ﻧﺴﺒﺖ ﺑﻪ داﻧـﺶ آﻣـﻮزان ﺑﻴﺴﺖ ـ ﺳـﻰ ﺳﺎل ﭘﻴـﺶ ،ﺑـﺮاى زﻧﺪﮔﻰ آﻳـﻨـﺪه ى ﺧـﻮد در ﺟﺎﻣﻌﻪ ،ﺑـﺎ ﻣـﺴـﺎﺋـﻞ ١٥
دوره ى ﺑﻴﺴﺖ وﻫﻔﺘﻢ ﺷﻤﺎره ى٣ ﺑﻬﺎر ١٣٨٩
ﺑــــــﺮﻧــــــﺎﻣــــــﻪى درﺳــــــﻰ ﺑـﻴـﻦرﺷـﺘـﻪاى ،ﺑــﺮﻧـﺎﻣـﻪاى اﺳــﺖ ﻛــﻪ ﭼــﻨــﺪ ﻣــﻮﺿــﻮع ﻣـﺪرﺳـﻪاى را ﺑﺎﻫـﻢ ﺗـﺮﻛـﻴـﺐ ﻣﻰﻛﻨﺪ و ﻳﻚ ﭘﺮوژهى ﻓﻌﺎل از آنﻫــــﺎ ﻣــــﻰﺳــــﺎزد و در ﻧـﺘـﻴـﺠـﻪى آن ،ﭼـﮕــﻮﻧـﮕــﻰ ﺑــــﺮﺧــــﻮرد ﻛــــﻮدﻛــــﺎن ﺑــــﺎ ﻣﻮﺿﻮﻋﺎت دﻧﻴﺎى واﻗﻌﻰ ﺷﻜﻞ ﻣﻰﮔﻴﺮد
ﭘﻴﭽـﻴـﺪه ﺗـﺮى ﻣﻮاﺟﻪ ﺧـﻮاﻫﻨﺪ ﺷﺪ و ﻟـﺬا ﻧـﻘـﺶ ﺧﻮﻳﺶ در ﺗﺮﺑـﻴـﺖ و آﻣـﺎده ﺳـﺎزى اﻳﻦ ﻧﺴـﻞ را ﻫﺮﮔﺰ ﻧﺒﺎﻳﺪ از ﺧﺎﻃﺮ ﺑﺒﺮﻧﺪ. از ﺳﻮى دﻳﮕﺮ ﻧﻈﺮﻳﻪ ﻫﺎى ﺟﺪﻳﺪ ﻳﺎددﻫـﻰ ـ ﻳﺎدﮔﻴﺮى )ﺑﻪ وﻳﮋه ﻧﻈﺮﻳﻪ ى ﺳﺎﺧﺖ و ﺳﺎزﮔﺮاﻳﻰ( ﻛﻪ ﻣﺘﻨﺎﺳﺐ ﺑﺎ ﻧﻴﺎزﻫﺎى داﻧﺶ آﻣﻮزان و ﺟﺎﻣﻌﻪ، روش ﻫﺎى ﺟﺪﻳـﺪى ﺑـﺮاى ﻳﺎددﻫﻰ و ﻳﺎدﮔـﻴـﺮى ﭘﻴﺸﻨﻬﺎد ﻣﻰ ﻛﻨﻨﺪ و رو ش ﻫﺎى ﺳﻨﺘﻰ ﺗﺪرﻳﺲ را در رﺳـﻴـﺪن ﺑـﻪ اﻫــﺪاف آﻣــﻮزﺷـﻰ اﻳــﻦ دوره، ﻧﺎﻛـﺎرآﻣﺪ و ﻧﺎﻗﺺ ﻣﻰ داﻧﻨﺪ ،ﺿﻤـﻦ ﺗـﻜـﻴـﻪ ﺑـﺮ ﺗﺠﺮﺑﻪ ﻫﺎى ﺷﺨﺼﻰ و ﻋﻤﻠـﻰ داﻧـﺶ آﻣـﻮزان، ﻳﻜﻰ از ﺟﻨﺒﻪ ﻫﺎى ﻣﻬﻢ ﻳﺎدﮔﻴـﺮى ﻋﻤﻴﻖ و ﻣﻌﻨـﺎدار را اﻳﺠﺎد ارﺗﺒﺎط ﻣﻴﺎن ﻣﻔﺎﻫﻴﻢ ﻣﺨﺘﻠ Iـ اﻋﻢ از ﻳﻚ ﺣﻮزه ﻳﺎ از ﺣﻮزه ﻫﺎى ﻣﺨﺘﻠI ـ ﻣﻰ داﻧﻨﺪ.اﻳﻦ روﻳﻜﺮد درﺳﺖ در ﻧﻘﻄﻪ ى ﻣﻘﺎﺑﻞ ﺳﻨﺖ ﻫﺎى ﻋﻠﻤﻰ ـ آﻣﻮزﺷﻰ ﻗﺮون ﮔﺬﺷﺘﻪ اﺳﺖ ﻛﻪ ﺑﺎ ﺷﺘﺎب ﺑـﻪ ﺳـﻮى ﺷﺎﺧﻪ ﺷﺎﺧـﻪ ﺷﺪن ﻋﻠﻮم و ﺗﺨﺼﺼﻰ ﺷـﺪن رﺷﺘﻪ ﻫﺎى درﺳﻰ ﺣﺮﻛﺖ ﻣﻰ ﻛـﺮد. اﻣﺮوزه ﻋﻠﻮِم ﺑﻴﻦ رﺷﺘﻪ اى ،در ﺗﺤﻘﻴﻘﺎت و آﻣﻮزش ﻫﺎى دوره ﻫﺎى ﻋﺎﻟﻰ ،ﺣﺮف اول را ﻣﻰ زﻧﻨﺪ .ﻟﺬا اﻳﻦ ﺗﻠﻔﻴﻖ و ﻧﺰدﻳﻚ ﺷﺪن ﻣﺠﺪد ﻋﻠﻮم ﻣﺨﺘﻠ Iﺑﻪ ﻫﻢ ﺑﺎﻳﺪ ﺑﻪ دوره ﻫﺎى آﻣﻮزﺷﻰ ﭘﺎﻳﻴﻦ ﺗﺮ ـ از دوره ى ﭘﻴﺶ دﺑﺴﺘﺎن ﺗﺎ دﻳﭙﻠﻢ ـ ﻧﻴﺰ وارد ﺷﻮد. ﻋﻼوه ﺑﺮ اﻳﻦ ،ﺑﻪ ﻧـﻈـﺮ ﻣـﻰ رﺳﺪ ﺑﺎ ﭘﻴـﺸـﺮﻓﺖ روزاﻓـﺰون ﻋﻠـﻮم ﻣﺨﺘﻠ Iو وارد ﺷﺪن آن ﻫﺎ ﺑﻪ آﻣﻮزش ﻣﺪرﺳﻪ اى ،ﺑﺮﻧﺎﻣﻪ ى درﺳﻰ روز ﺑﻪ روز ﺳﻨﮕﻴﻦ ﺗﺮ ﻣﻰ ﺷﻮد و اﻳﻦ اﻣﺮ ،ﺿﺮورت ﺣﺮﻛﺖ ﺑﻪ ﺳﻮى ﻳﻚ ﺑـﺮﻧﺎﻣﻪ ى درﺳﻰ ﺗﻠﻔـﻴـﻘـﻰ را ﺑﻪ ﻣﻨﻈﻮر ﻛﺎﻫـﺶ ﻓـﺸـﺎر از دوش ﻣﻌﻠﻤﺎن و ﻣﺠﺮﻳﺎن اﻳﻦ ﺑﺮﻧﺎﻣﻪ ،دوﭼﻨﺪان ﻣﻰ ﻛﻨﺪ ]ﻧﻘﻞ ﺑﻪ ﻣﻀﻤﻮن از ﻟِﻴﻚ ) ، ١٩٩٤ ،(Kathy Lakeص [٥ ِﻟﻴﻚ ) (١٩٩٤ﺑﻪ ﻧﻘﻞ از ﺑﻨﺠﺎﻣﻴﻦ ) (Benjamin, 1989دﻻﻳﻞ ﺿـﺮورت ﺑـﺮﻧـﺎﻣـﻪ ى درﺳﻰ ﺗـﻠـﻔـﻴـﻘـﻰ و ﺑـﻴـﻦ رﺷـﺘـﻪ اى را ﭼـﻨـﻴـﻦ ﺑﺮﻣﻰ ﺷﻤﺎرد» :ﮔﺮاﻳﺶ ﺑﻪ واﺑﺴﺘﮕﻰ ١و درﻫﻢ ﺗﻨﻴﺪﮔﻰ ٢ﺳﺮاﺳﺮى در ﺳﻴـﺴـﺘـﻢ ﻫـﺎى ﭘـﻴـﭽـﻴـﺪه ،رﺷﺪ آﻫـﻨـﮕـﻴـﻦ ﻗـﺮن ﺑﻴـﺴـﺖ وﻳـﻜـﻢ و ﭘﻴﭽﻴﺪﮔﻰ ﻫﺎى آن ،ﺑﺪﻧﻪ ى در ﺣﺎل ﺗﻮﺳﻌﻪ ى داﻧﺶ و ﻧﻴﺎز ﺑﻪ اﻓﺮاد ﺷﺎﻏﻠﻰ ﻛﻪ در ﺑـﺴـﻴـﺎرى از ﺣﻮزه ﻫﺎ ﺗـﻮاﻧﻤﻨـﺪ ﺑـﻮده و ﺗﻮاﻧﺎﻳـﻰ ﺣـﻞ ﻣﺴﺌﻠﻪ ﻫﺎﻳﻰ را داﺷﺘﻪ ﺑﺎﺷﻨﺪ ﻛﻪ ﺷﺎﻣﻞ ﻋﻮاﻣﻞ ﻣﺘﻌﺪد ﻣﺮﺗﺒﻂ ﺑﺎﺷﺪ«. وى از ﭘﺮﻛﻴـﻨـﺰ ) (Perkins, 1991ﻧﻴﺰ ﻧﻘﻞ ﻣﻰ ﻛﻨﺪ ﻛﻪ »ﺗـﻤـﺎﻳـﻞ ﺑـﻪ ﻣﺮﺗﺒﻂ ﺳﺎﺧﺘﻦ اﺷﻴﺎ ﺑﺎﻫﻢ ،ﺗﻠﻔﻴﻖ اﻳﺪه ﻫﺎى ﻣﺮﺗﺒﻂ ﺑﺎ ﻳﻚ ﻣﻮﺿﻮع ﻳﺎ دوره ى ﺑﻴﺴﺖ وﻫﻔﺘﻢ ﺷﻤﺎره ى٣ ﺑﻬﺎر ١٣٨٩
١٦
ﻣـﻮﺿﻮﻋﺎت ﻣﺨﺘﻠ Iﺑـﺎ ﻳـﻜـﺪﻳـﮕـﺮ ،و ارﺗﺒـﺎط ﻋﻨـﺎﺻـﺮ زﻧﺪﮔـﻰ ﺧـﺎرج از ﻣﺪرﺳﻪ ،ﻓﻰ ﻧـﻔـﺴـﻪ ﻣﺘﻘﺎﺿﻰ درك و ﻓﻬﻢ وﺳﻴﻊ ﺗﺮ و ﻋﻤﻴﻖ ﺗﺮ اﺳﺖ. ﺑﻪ ﻋـﻼوه اﺗﺤﺎد ﻃﺒﻴﻌﻰ ﻣﻴﺎن ﻛﺴـﺎﻧـﻰ ﻛـﻪ ﺑـﺮاى ﺗﺪرﻳﺲ ﺑـﺮاى درك و ﻓﻬـﻢ ﺗﻼش ﻫـﺎى وﻳـﮋه اى ﻣﻰ ﻛﻨﻨﺪ ﺑﺎ ﻛﺴﺎﻧﻰ ﻛـﻪ ﺑـﺮاى آﻣﻮزش ﺗﻠﻔﻴﻘﻰ در ﺣﺎل ﺗﻼش ﻫﺴﺘﻨﺪ ،وﺟﻮد دارد« ].[٣ ﺑﺎ ﺗﻮﺟﻪ ﺑﻪ ﻫﻤﻪ ى اﻳﻦ ﺷﻮاﻫﺪ ،و ﺑﺎ ﺗﻮﺟﻪ ﺑﻪ اﻳﻦ ﻛﻪ در ﺣﺎل ﺣﺎﺿﺮ در ﺑﻌـﻀـﻰ از ﻛـﺸـﻮرﻫﺎ ﻣﺎﻧﻨﺪ آﻣﺮﻳﻜﺎ و ﻛﺎﻧﺎدا ،ﺑﺮﻧﺎﻣﻪ ﻫﺎ ى درﺳﻰ ﺗﻠﻔﻴﻘﻰ و ﺑﻴـﻦ رﺷﺘﻪ اى در ﺣﺎل ﺗﺪوﻳـﻦ و اﺟـﺮا اﺳﺖ، ﺿﺮورى اﺳﺖ ﻣﺎ ﻣﻌﻠﻤﺎن اﻳﺮاﻧﻰ ﻧﻴﺰ ﺑﺎ اﻳﻦ ﻣﻘﻮﻟﻪ آﺷﻨﺎ ﺷﻮﻳﻢ و ﺳﻌﻰ ﻛﻨﻴﻢ آن را در روش ﻫﺎى ﺗﺪرﻳﺲ ﺧﻮد وارد ﻛﻨﻴﻢ. ﭼﻴﺴﺘﻰ ﺗﻠﻔﻴﻖ »ﭘﺸﺘﻴﺒﺎﻧﻰ ﺣﺮﻛﺖ از روﻳﻜﺮدى ﻛﻪ ﻣﻮﺿﻮﻋﺎت را ﺟﺪا از ﻫﻢ ﻣﻰ ﺑﻴﻨﺪ ﺑﻪ ﺳﻤﺖ ﻳﻚ ﺑﺮﻧﺎﻣﻪ ى درﺳﻰ ﻛﻞ ﻧﮕﺮاﻧﻪ ،ﺳﻨﺘﻰ ﻃﻮﻻﻧﻰ دارد .اواﻳﻞ ﺳﺎل ١٨٩٩ﻣﻴﻼدى ،ﺑﺨﺶ ﺷﻴﻜﺎﮔﻮ در اﻧـﺠـﻤـﻦ رﻳﺎﺿﻰ آﻣﺮﻳﻜﺎ ٣از ﺑﺮﻧﺎﻣﻪ ى »ﻫﻤﺒﺴﺘﮕﻰ ﻛﺎرى «٤ﺑﻴﻦ ﻣﻮﺿﻮﻋﺎت ﺣﺴﺎب و ﻫﻨﺪﺳـﻪ و ﺟـﺒـﺮ ،ﺣـﻤـﺎﻳـﺖ ﻛـﺮد .در دﻫﻪ ى ١٩٢٠ س ﺗﺮﻛﻴﺒﻰ ،دروس ﻋﻤﻮﻣﻰ، ﻣﻴﻼدى ،ﺑﺎ ﻧﺎم ﻫﺎى ﻣﺨﺘﻠ Iدرو ِ ﻳﺎ دروس ﻳﻚ ﭘﺎرﭼﻪ ،ﺣﺮﻛﺖ ﺑﻪ ﺳﻮى رﻳﺎﺿﻰ ﺗﻠﻔﻴﻘﻰ ﺑﺎ ﻃﺮاﺣﻰ ﺳﺎل ﻫﺎى اوﻟﻴﻪ ى دﺑﻴﺮﺳﺘﺎن ،ﺷﺪت ﮔـﺮﻓﺖ .در اﺛﺮ اﺻﻼﺣﺎت در دوره ى راﻫﻨﻤﺎﻳﻰ در دﻫﻪ ﻫﺎى ١٩٧٠و ،١٩٨٠ﻣﻨﺎﺳﺐ ﺑﻮدن رﻳﺎﺿﻰ ﺗﻠﻔﻴﻘﻰ ﺑـﺮاى ﻳﺎدﮔﻴﺮﻧﺪﮔﺎن ﻧﻮﺟـﻮان ،ﭘﻴﺸﺮﻓﺖ ﺑﻴﺶ ﺗﺮى ﻛﺮد .روﻳﻜﺮد ﺗﻠﻔﻴﻘﻰ ﺑﻪ رﻳﺎﺿﻰ ﺑﻪ دو ﻣﺆﻟﻔﻪ در ﻓﻠﺴﻔﻪ ى آﻣﻮزش دوره ى راﻫﻨﻤﺎﻳﻰ واﺑﺴﺘﻪ اﺳﺖ :ﺗﺪرﻳﺲ ﺑﻴﻦ رﺷﺘﻪ اى و ﻳﺎدﮔﻴﺮى ﻣﺸﺎرﻛﺘﻰ« ].[٤ زﻣﺎﻧﻰ ﻛﻪ ﺑﻪ ﺗﻌﺮﻳ Iﺑﺮﻧﺎﻣﻪ ى درﺳﻰ ﺗﻠﻔﻴﻘﻰ ﻣﻰ ﭘﺮدازﻳﻢ ،ﻻزم اﺳﺖ ﺑـﻪ واژﮔﺎن واﺑﺴﺘﻪ ﺑﻪ آن ،ﻣﺎﻧـﻨـﺪ ﺗـﺪرﻳـﺲ ﺑـﻴـﻦ رﺷﺘـﻪ اى؛ ﺗﺪرﻳﺲ ﻣـﻮﺿـﻮﻋﻰ؛ آﻣﻮزش از ﻃﺮﻳﻖ ﻫـﻤـﻴـﺎرى؛… ﻧﻴﺰ ﺗـﻮﺟﻪ ﻛﻨﻴﻢ .ﻫﻢ ﭼﻨـﻴـﻦ آ ﮔﺎﻫﻰ از ﺗﻌﺎرﻳ Iاﻓـﺮاد ﻣﺨﺘﻠ Iاز ﺑـﺮﻧﺎﻣـﻪ ى درﺳﻰ ﺗﻠﻔﻴﻘﻰ ،ﺑﻪ ﻣﺎ ﻛﻤﻚ ﻣﻰ ﻛﻨﺪ از زاوﻳﻪ ﻫﺎى ﻣﺨﺘﻠ Iﺑﻪ اﻳﻦ ﻣﻮﺿﻮع ﺑﻨﮕﺮﻳﻢ و ﺟﻨﺒﻪ ﻫﺎى ﻣﺨﺘﻠ Iآن را درﻳﺎﺑﻴﻢ. ﻫﻤﻔـﺮى ،ﭘُﺴـﺖ و اِﻟﻴﺲ ،ﺗﻌﺮﻳ Iاﺳـﺎﺳـﻰ زﻳـﺮ را ﭘﻴﺸﻨـﻬـﺎد
ﻣﻄﺎﻟـﻌـﻪى ﺗـﻠـﻔـﻴـﻘـﻰ، ﻣﻄﺎﻟﻌﻪاى اﺳﺖ ﻛﻪ در آن داﻧـــــﺶآﻣـــــﻮزان ﺑﻪﻃﻮر وﺳﻴﻌﻰ داﻧﺶ را در ﻣــــﻮﺿــــﻮﻋــــﺎت ﻣـﺨـﺘـﻠــ Oﻣــﺮﺗـﺒـﻂ ﺑــﺎ ﺟﻨـﺒـﻪﻫـﺎﻳـﻰ ﺧـﺎص از ﻣﺤﻴﻂ اﻃﺮاف ﺧﻮد، ﻛﺸ Oﻣﻰﻛﻨﻨﺪ
ﻣﻰ ﻛﻨﻨﺪ: »ﻣﻄﺎﻟﻌﻪ ى ﺗﻠﻔﻴﻘﻰ ،ﻣﻄﺎﻟﻌﻪ اى اﺳﺖ ﻛﻪ در آن داﻧﺶ آﻣـﻮزان ﺑـﻪ ﻃـﻮر وﺳﻴـﻌـﻰ داﻧـﺶ را در ﻣﻮﺿﻮﻋﺎت ﻣﺨﺘﻠ Iﻣﺮﺗﺒﻂ ﺑﺎ ﺟﻨﺒﻪ ﻫﺎﻳﻰ ﺧﺎص از ﻣـﺤـﻴـﻂ اﻃـﺮاف ﺧـﻮد ،ﻛﺸـ Iﻣـﻰ ﻛـﻨـﻨـﺪ« )ﻫﻤﻔـﺮى ،ﭘُﺴﺖ و اِﻟﻴـﺲ ،١٩٨١،ﻧﻘﻞ ﺷﺪه در ﻟِﻴﻚ ](.[٣ ﻴﻜﺮ ) (١٩٨٩ﺑـﺮﻧﺎﻣﻪ ى درﺳﻰ ﺗﻠﻔﻴﻘﻰ ﺷﻮِﻣ ِ را ﭼﻨﻴﻦ ﺗﻌﺮﻳ Iﻣﻰ ﻛﻨﺪ: »آﻣﻮزش ﺗﻠﻔﻴـﻘـﻰ ،آﻣـﻮزﺷﻰ اﺳﺖ ﻛـﻪ ﺑـﻪ ﮔـﻮﻧﻪ اى ﺳـﺎزﻣﺎن دﻫﻰ ﺷﺪه اﺳﺖ ﻛـﻪ ﺧـﻄـﻮط ﻣﻮﺿﻮع ـ ﻣﺤﻮر را ﻗﻄﻊ ﻛﺮده ،ﺑﻪ ﻣﻨﻈﻮر ﺗﻤﺮﻛﺰ ﺑﺮ روى ﺣﻮزه ﻫﺎى وﺳﻴﻊ ﻣﻄﺎﻟﻌﻪ ،ﺟﻨﺒـﻪ ﻫـﺎى ﻣـﺨـﺘـﻠـ Iﺑـﺮﻧﺎﻣـﻪ ى درﺳﻰ را در ﻳـﻚ واﺑﺴﺘﮕﻰ ﻣﻌﻨﺎدار ،ﻛﻨﺎر ﻫـﻢ ﻗـﺮار ﻣﻰ دﻫﺪ« )ﺷﻮﻣﻴﻜـﺮ١٩٨٩ ،؛ ﻧﻘﻞ ﺷﺪه در ﻟِﻴﻚ ](.[٣ ﺳﻞ در ﺗﻌﺮﻳ Iﺧـﻮد ،از ﻣﺮﺗﺒﻂ ﻛﺮدن ﻣﻮﺿﻮﻋﺎت ﻣﺨﺘﻠـI ِدِر ِ ﺑﺮاى ﺗﻮﻟﻴﺪ ﻣﺪل ﻫﺎى ﺟﺪﻳﺪى از درك و ﻓﻬﻢ دﻧﻴﺎ ،ﻓﺮاﺗﺮ ﻣﻰ رود. وى ﻣﻌﺘﻘﺪ اﺳﺖ: »در ﺑﺮﻧﺎﻣﻪ ى درﺳﻰ ﺗﻠﻔﻴﻘﻰ ،ﺗﺠﺮﺑﻪ ﻫﺎى ﻳﺎدﮔﻴﺮى ﻃﺮاﺣﻰ ﺷﺪه ﻧﻪ ﺗﻨﻬﺎ )ﺑﺎ ﻳﺎدﮔﻴﺮى ﻣﺪل ﻫﺎ و ﺳﻴﺴﺘﻢ ﻫﺎ و ﺳﺎﺧﺘﺎرﻫﺎى ﻓﺮﻫﻨﮕﻰ( ﺑﻪ ﻳﺎدﮔﻴﺮﻧﺪﮔﺎن ﻳﻚ ﻧﮕﺎه ﻳﻚ ﭘـﺎرﭼﻪ ﺑﻪ داﻧﺶ ﻣﻰ دﻫﺪ ،ﺑﻠﻜﻪ ﺗﻮاﻧﺎﻳﻰ ﻳﺎدﮔﻴﺮﻧﺪه ﺑﺮاى درﻳﺎﻓﺖ ارﺗﺒﺎط ﻫﺎى ﺟﺪﻳﺪ و در ﻧﺘﻴﺠﻪ ﺧﻠﻖ ﻣﺪل ﻫﺎ و ﺳﻴﺴﺘﻢ ﻫﺎ و ﺳﺎﺧـﺘـﺎرﻫﺎى ﺟﺪﻳـﺪ را ﺗـﻮﺳﻌﻪ ﻣﻰ دﻫـﺪ« )درﺳﻞ، ١٩٥٨؛ ﻧﻘﻞ ﺷﺪه در ِﻟﻴﻚ ](.[٣ ِاِوِرت ﻧﻴﺰ ﻣﻌﺘﻘﺪ اﺳﺖ: »ﺑﺮﻧﺎﻣﻪ ى درﺳﻰ ﺑﻴﻦ رﺷﺘﻪ اى ،ﺑﺮﻧﺎﻣﻪ اى اﺳﺖ ﻛﻪ ﭼﻨﺪ ﻣﻮﺿﻮع ﻣﺪرﺳـﻪ اى را ﺑﺎﻫﻢ ﺗـﺮﻛﻴﺐ ﻣﻰ ﻛﻨﺪ و ﻳـﻚ ﭘـﺮوژه ى ﻓﻌﺎل از آن ﻫـﺎ ﻣﻰ ﺳﺎزد و در ﻧﺘﻴﺠﻪ ى آن ،ﭼﮕﻮﻧﮕﻰ ﺑﺮﺧﻮرد ﻛﻮدﻛﺎن ﺑﺎ ﻣﻮﺿﻮﻋﺎت دﻧﻴﺎى واﻗﻌﻰ ﺷﻜﻞ ﻣﻰ ﮔﻴﺮد« )اورت ،ﻧﻘﻞ ﺷﺪه در ﻟﻴﻚ ](.[٣ ﻟﻴـﻚ ﻳـﺎدآورى ﻣﻰ ﻛﻨﺪ ﻛﻪ ﻫﻤـﻪ ى ﺗـﻌـﺎرﻳـ Iاراﺋﻪ ﺷـﺪه ﺑـﺮاى ﺑﺮﻧﺎﻣﻪ ى درﺳﻰ ﺗﻠﻔﻴﻘﻰ ﻳﺎ ﺑﻴﻦ رﺷﺘﻪ اى ،ﺷﺎﻣﻞ ﻣﻮارد زﻳﺮ اﺳﺖ: ● ﺗﺮﻛﻴﺒﻰ از ﻣﻮﺿﻮﻋﺎت؛ ● ﺗﺄﻛﻴﺪ ﺑﺮ ﭘﺮوژه ﻫﺎ؛ ● ﻣﻨﺎﺑﻌﻰ ﻓﺮاﺗﺮ از ﻛﺘﺎب ﻫﺎى درﺳﻰ؛ ● ارﺗﺒﺎط ﻣﻴﺎن ﻣﻔﺎﻫﻴﻢ ﻣﺨﺘﻠI؛
● واﺣـﺪﻫـﺎى ﻣــﻮﺿـﻮﻋـﻰ ﺑـﻪ ﻋــﻨــﻮان اﺻـﻮل ﺳﺎزﻣﺎن دﻫﻨﺪه؛ ● ﺑﺮﻧﺎﻣﻪ ﻫﺎى اﻧﻌﻄﺎف ﭘﺬﻳﺮ؛ ● ﮔﺮوه ﺑﻨﺪى اﻧﻌﻄﺎف ﭘﺬﻳﺮ داﻧﺶ آﻣﻮزان ].[٣
ﻳﻚ ﺗﺠﺮﺑﻪ :ﺗﺪرﻳﺲ ﻣـﺒـﺤـﺚ ﻣـﻌـﺎدﻟـﻪى ﺧـﻂ راﺳـﺖ و ﻣﻔﻬﻮم ﺷﻴﺐ ﺧﻂ داﻧﺶ آﻣﻮزان اﻳﺮاﻧﻰ ﺑﺎ ﻣﻌﺎدﻟﻪ ى ﺧﻂ راﺳﺖ ﻧﺨﺴﺘﻴﻦ ﺑﺎر در ﻧﻴﻢ ﺳﺎل دوم ﭘﺎﻳﻪ ى ﺳـﻮم راﻫﻨﻤﺎﻳﻰ آﺷﻨﺎ ﻣـﻰ ﺷـﻮﻧﺪ .اﻳﻦ ﻣـﻮﺿﻮع در ﺻﻔﺤـﻪ ﻫـﺎى ١٠٤ﺗﺎ ١٢٠ﻛﺘﺎب رﻳـﺎﺿـﻰ ﺳـﻮم راﻫﻨﻤﺎﻳـﻰ آﻣـﺪه اﺳﺖ .در راﻫﻨﻤﺎى ﻣﻌﻠﻢ اﻳﻦ ﻛـﺘـﺎب ،ﻣﻮﺿﻮﻋﺎت اﻳﻦ ﺑﺨـﺶ در ﻳﻚ ﻧﮕﺎه ﭼﻨﻴﻦ ذﻛﺮ ﺷﺪه اﺳﺖ: »درس ﻣﻌﺎدﻟﻪ ى ﺧﻂ ﻣﻬﻢ ﺗﺮﻳﻦ درس در ﻛﻼس ﺳﻮم راﻫﻨﻤﺎﻳﻰ اﺳﺖ .داﻧﺶ آﻣﻮزان ﺑﺎ اﻳﻦ درس ﺑﺮاى اوﻟﻴﻦ ﺑﺎر ﻣﻮاﺟﻪ ﻣﻰ ﺷﻮﻧﺪ؛ ١٧
دوره ى ﺑﻴﺴﺖ وﻫﻔﺘﻢ ﺷﻤﺎره ى٣ ﺑﻬﺎر ١٣٨٩
ﮔـﺮاﻳـﺶ ﺑــﻪ واﺑـﺴـﺘـﮕــﻰ و درﻫﻢﺗﻨﻴﺪﮔﻰ ﺳﺮاﺳـﺮى در ﺳﻴﺴﺘﻢﻫﺎى ﭘﻴﭽﻴﺪه ،رﺷﺪ آﻫﻨﮕﻴﻦ ﻗﺮن ﺑﻴﺴﺖوﻳـﻜـﻢ و ﭘــﻴــﭽــﻴــﺪﮔــﻰﻫــﺎى آن، ﺑﺪﻧـﻪى در ﺣـﺎل ﺗـﻮﺳﻌـﻪى داﻧــﺶ و ﻧــﻴــﺎز ﺑـــﻪ اﻓـــﺮاد ﺷﺎﻏﻠﻰ ﻛـﻪ در ﺑـﺴـﻴـﺎرى از ﺣﻮزهﻫﺎ ﺗـﻮاﻧﻤﻨﺪ ﺑﺎﺷﻨـﺪ ،از ﺟــﻤــﻠـــﻪ دﻻﻳـــﻞ ﺿـــﺮورت ﺑﺮﻧﺎﻣﻪى درﺳﻰ ﺗﻠﻔﻴﻘﻰ و ﺑﻴﻦرﺷﺘﻪاى اﺳﺖ
ﺑﻨﺎﺑـﺮاﻳﻦ ﺗﻤـﺮﻛﺰ و ﺗﺄﻛﻴﺪ ﺑـﺮ آن ﺿـﺮورى ﺑﻪ ﻧﻈﺮ ﻣﻰ رﺳﺪ .در اﺑﺘﺪا ﺑﺎ ﺑﻴـﺎن راﺑﻄﻪ ى ﺑﻴـﻦ ﻃـﻮل و ﻋـﺮض ﻧﻘﺎط ﻣﻌـﺎدﻟـﻪ ى ﺧـﻂ ﻫـﺎى ﻣـﺒـﺪأ ﮔـﺬر ﻣﻌـﺮﻓﻰ و ﭼـﮕـﻮﻧﮕـﻰ رﺳﻢ آن ﻫـﺎ آﻣـﻮزش داده ﻣﻰ ﺷﻮد .ﭘﺲ ﺑﺎ ﺑﻴﺎن ﺧﻂ ﻫﺎى ﻏﻴﺮ ﻣﺒﺪأ ﮔﺬر، ﺷﻴﺐ و ﻋـﺮض از ﻣﺒﺪأ آﻣﻮزش داده ﻣﻰ ﺷـﻮد. در ﭘﺎﻳﺎن ﺑـﺎ ﻃـﺮح ﺷﻜﻞ ﻛﻠﻰ ﻣﻌـﺎدﻟـﻪ ى ﺧـﻂ، ﺧـﻂ ﻫـﺎى ﻣــﻮازى ﺑـﺎ ﻣـﺤــﻮرﻫـﺎ آﻣـﻮزش داده ﻣﻰ ﺷﻮﻧﺪ« ] [١ص .١٩٩ ﺑﺎ ﺗﻮﺟﻪ ﺑﻪ ﭘﺎراﮔﺮاف اﺧﻴﺮ و ﺑﺎ ﺑﺮرﺳﻰ ﻛﺘﺎب درﺳﻰ ،ﻣﺘﻮﺟﻪ ﻣﻰ ﺷﻮﻳﻢ ﻛﻪ ﻧﮕﺎه ﻣﺆﻟﻔﺎن ﺑﻪ اﻳﻦ ﻣﻮﺿﻮع ،ﺟﺰءﻧﮕﺮاﻧﻪ ﺑﻮده اﺳﺖ: اﺑﺘﺪا در ﻳﻚ ﻓﻌﺎﻟﻴﺖ و ﻛﺎر در ﻛـﻼسِ ﭘﺲ از آن ،داﻧـﺶ آﻣــﻮزان ﺑـﺎ ﺣـﺎﻟـﺖ ﺧــﺎﺻــﻰ از ﻣﺠﻤﻮﻋﻪ ﻧﻘﺎﻃﻰ ﻛﻪ روى ﻳﻚ ﺧﻂ راﺳﺖ ﻗﺮار دارﻧﺪ ،آﺷﻨﺎ ﻣﻰ ﺷﻮﻧﺪ ﻛﻪ در ﻫﻤﻪ ى آن ﻫﺎ ،ﻣﺨﺘـﺼـﻪ ى دوم ﻣﻀﺮﺑﻰ از ﻣﺨﺘـﺼـﻪ ى اول اﺳﺖ و اﻳـﻦ راﺑﻄﻪ ﻫﺎى ﺿﺮﺑـﻰ را ﺑﻪ ﻋﻨـﻮان ﻣﻌﺎدﻟﻪ ى ﺧـﻂ راﺳـﺖ ﻣﻰ ﺷﻨﺎﺳﻨـﺪ .ﭘـﺲ از آن ،رﺳﻢ ﺧﻄﻰ ﻛﻪ ﻣﻌﺎدﻟـﻪ ى آن داده ﺷـﺪه اﺳﺖ ﺑﺎ ﻣﺜﺎل ﻫﺎى ﺧﺎص )ﺑﻪ ﻗﻮل ﻛﺘﺎب؛ ﻓﻘﻂ ﺧﻄﻮط ﻣﺒﺪأ ﮔﺬر( آﻣﻮزش داده ﻣﻰ ﺷﻮد و ﺳﭙﺲ ﺑﺎ ﻧﻤﻮدار ﻣﺠﻤﻮﻋﻪ اى از ﻧﻘﺎط ﺻﻔﺤﻪ آﺷﻨﺎ ﻣﻰ ﺷﻮﻧﺪ .وﻟﻰ در اﻳﻦ ﻗﺴﻤﺖ ،ﺑﺎ ﻣﺠﻤﻮﻋﻪ ﻧﻘﺎط ﮔﺴﺴﺘـﻪ و ﻣﺘﻨﺎﻫﻰ در ﺻﻔﺤﻪ ﻣـﻮاﺟﻪ ﻣﻰ ﺷﻮﻧﺪ .ﻫﻴﭻ ﻓﻌﺎﻟﻴﺖ ﻳﺎ ﺗﻤﺮﻳﻨﻰ اﻳـﻦ دو ﻣﻮﺿﻮع را ﺑﻪ ﻫﻢ ﻣـﺮﺗﺒﻂ ﻧﻤﻰ ﻛﻨﺪ و ﻫﻴﭻ ﺟﺎ ﺑﻪ ﺗﻔـﺎوت ﺑﻴﻦ ﻳﻚ ﺧﻂ راﺳﺖ ﻛﻪ از ﺑﻰ ﻧﻬﺎﻳﺖ ﻧﻘﻄﻪ ﺗﺸﻜﻴﻞ ﺷﺪه اﺳﺖ و ﻣﺜﺎل ﻫـﺎى ﻣﺘﻨﺎﻫﻰ اراﺋﻪ ﺷﺪه ،اﺷﺎره ﻧﻤﻰ ﺷـﻮد؛ ﺣﺘﻰ ﻫﻴﭻ ﭘﺮﺳﺸﻰ ﻣﺒﺘﻨﻰ ﺑﺮ اﻳﻦ ﻛﻪ آﻳﺎ ﻧﻘﺎط ﻫﺮ ﻣﺠﻤﻮﻋﻪ روى ﻳﻚ ﺧﻂ راﺳﺖ ﻗﺮار دارﻧﺪ ﻳﺎ ﻧﻪ و اﮔﺮ ﭼﻨﻴﻦ اﺳﺖ ،ﺳﺎﻳﺮ ﻧﻘﺎط آن ﺧﻂ ﻛﺠﺎ ﻫﺴﺘﻨـﺪ و ﭼـﻪ راﺑﻄﻪ اى ﺑﻴﻦ xو yآن ﻧﻘﺎط وﺟﻮد دارد ،ﻧﻤﻰ ﺷﻮد. ﻣﻄﻠﺐ ﺑﻌﺪى ،ﺧﻂ ﻫﺎى ﻏﻴﺮ ﻣﺒﺪأ ﮔﺬر اﺳﺖ ﻛـﻪ ﺑـﺪون ﻫﻴﭻ ﻓﻌﺎﻟﻴـﺖ آﻣـﻮزﺷﻰ و ﺗﻨﻬﺎ ﺑﺎ دو ﻣﺜﺎل ﻣـﻌـﺮﻓﻰ ﻣﻰ ﺷـﻮد ﻛﻪ در ﻣﺜـﺎل ﻧﺨﺴﺖ ،ﺗﻌﺪادى ﻧﻘﻄﻪ روى ﻳﻚ ﺧﻂ راﺳﺖ ﻣﺸﺨﺺ ﺷﺪه و از داﻧﺶ آﻣﻮز ﺧـﻮاﺳﺘﻪ ﺷﺪه راﺑﻄﻪ ى ﺑﻴﻦ ﻣﺨﺘﺼـﺎت آن ﻫـﺎ را ﺑﻴﺎﺑﺪ و ﺑـﻼﻓـﺎﺻـﻠـﻪ ﺑـﻴـﺎن ﺷـﺪه» :ﻣـﻌـﺎدﻟـﻪ ى ﺧــﻂ lﻋـﺒـﺎرت اﺳـﺖ از ،[٢]« y = x +1ص .١١١در ﻣﺜﺎل دوم ،ﻣﻌﺎدﻟﻪ ى y = 2x + 4 دوره ى ﺑﻴﺴﺖ وﻫﻔﺘﻢ ﺷﻤﺎره ى٣ ﺑﻬﺎر ١٣٨٩
١٨
داده ﺷﺪه و ﺑﺎ اﺳﺘـﻔـﺎده از ﺟـﺪول ﻧﻘﻄﻪ ﻳـﺎﺑـﻰ، ﻧﻤﻮدار آن رﺳﻢ ﺷﺪه اﺳﺖ .ﺑﺴﻴﺎر ﻃﺒﻴﻌﻰ اﺳﺖ ﻛﻪ ﺑﺎ اﻳﻦ ﺷﻴﻮه ى ﺗﺪرﻳﺲ ،اﻏﻠﺐ داﻧﺶ آﻣﻮزان ﻧﺘﻮاﻧﻨﺪ ﺑﻴﻦ اﻳﻦ دو ﻧﻮع ﻣﻌﺎدﻟﻪ ى ﺧﻂ )ﻣﺒﺪأ ﮔﺬر و ﻏﻴﺮ ﻣﺒﺪأ ﮔﺬر( ارﺗﺒﺎط ﻣﻌﻨﺎدار ﺑﺮﻗﺮار ﺳﺎزﻧﺪ و اﺳﺎﺳﺎ ﻣﻔﻬﻮم ﻣﻌﺎدﻟﻪ ى ﺧﻂ را ﺑﻪ درﺳﺘﻰ و ﻋﻤﻴﻖ ً درك ﻧﻤﻰ ﻛﻨﻨﺪ! ﻣﻔﻬﻮم ﺷﻴﺐ ﺧﻂ ﻧﻴﺰ ﺑﺎ ﻫﻤﻴﻦ ﻧﮕﺮش ﻣﻌﺮﻓﻰ ﺷﺪه اﺳﺖ» :ﺑﻪ ﻃﻮر ﻛﻠﻰ اﮔﺮ ﻣﻌﺎدﻟـﻪ ى ﺧـﻄـﻰ ﺑﻪ ﺻﻮرت y = ax + bﻧﻮﺷﺘﻪ ﺷـﻮد ،ﺿﺮﻳﺐ x )ﻳﻌﻨﻰ (aﺷﻴﺐ ﺧﻂ ﻧﺎﻣﻴﺪه ﻣﻰ ﺷﻮد« ] ،[٢ص .١١٣ ﺑﺎﻻﺧـﺮه ﺷـﻴـﻮه ى ﻣﻌـﺮﻓـﻰ »ﺻـﻮرت دﻳﮕـﺮ ﻣﻌﺎدﻟﻪ ى ﺧـﻂ راﺳﺖ« و ﺑﺎز ﻫﻢ ﻓﻘـﺪان ارﺗﺒﺎط ﻣﻴﺎن ﻣﻄﻠﺐ ﺟﺪﻳﺪ ﺑﺎ آن ﭼﻪ از ﻣﻌﺎدﻟﻪ ى ﺧﻂ راﺳﺖ در ﺣﺎﻟﺖ ﻫﺎى ﻣﺨﺘﻠ Iﭘﻴﺶ از آن ﮔﻔﺘﻪ ﺷﺪه ،ﻣﺸﻜﻼت ﻣﻮﺟﻮد در اﻳﻦ ﺑﺨﺶ را ﺗﻜﻤﻴﻞ ﻣﻰ ﻛﻨﺪ! ﺑﻪ اﻋﺘﻘﺎد ﻣﻦ ،ﻣﺴﻴﺮ ﻣﻌﺮﻓﻰ ﻣﻌﺎدﻟﻪ ى ﺧﻂ راﺳﺖ در ﻛﺘـﺎب درﺳﻰ ،درﺳﺖ ﻋﻜﺲ ﻣـﺴـﻴـﺮى اﺳﺖ ﻛﻪ ﺑﺎ ﻳﻚ ﻧـﮕـﺎه ش اﻳﻦ ﻣﻮﺿﻮع ﻣﻰ ﺗﻮان ﻃﻰ ﻛﺮد .در ﺳﺎﺧﺖ و ﺳﺎزﮔﺮاﻳﺎﻧﻪ ﺑﻪ آﻣﻮز ِ واﻗﻊ داﻧﺶ آﻣﻮزان ﺑﺎﻳﺪ اﺑﺘﺪا ﺑﺎ ﻣﻔﺎﻫﻴﻢ ﻛﻠﻰ ،ﻳﻌﻨﻰ ﻣﻔﻬﻮم ﻣﻌﺎدﻟﻪ ى ﭼﻨﺪ ﻧﻘﻄﻪ ﻛﻪ ﺑﻴﻦ ﻣﺨﺘﺼﻪ ى اول و دوم ﺗﻚ ﺗﻚ آن ﻫﺎ ،ﻳﻚ راﺑﻄﻪ ى ﻣﺸﺘﺮك وﺟﻮد دارد ،آﺷﻨﺎ ﺷـﻮﻧﺪ .ﺳﭙﺲ ﺣﺎﻟﺖ ﺧﺎص آن ،ﻳﻌﻨـﻰ ﻣﻌﺎدﻟﻪ ى ﺧﻂ راﺳﺖ و وﻳﮋﮔﻰ ﻫﺎى آن و ﺷﻜﻞ ﻫﺎى ﻣﺨﺘﻠ Iآن را ﺑﺸﻨﺎﺳﻨﺪ و ﺑﻴﻦ اﻳﻦ ﺑﺎزﻧﻤﺎﻳﻰ ﻫﺎى ﺟﺒـﺮى ﺑﺎ ﺗﺼﻮﻳﺮ ﻫﻨﺪﺳﻰ ﺧﻂ، ارﺗﺒﺎط ﻣﻌﻨﺎدار ﺑـﺮﻗﺮار ﺳﺎزﻧﺪ .ﺑﺎﻻﺧـﺮه ﺑﺎ ﻣﻔﻬـﻮم ﺷﻴﺐ ﺑﻪ ﺻﻮرت ﻋﻴﻨﻰ و ﻓﻴﺰﻳﻜﻰ آﺷﻨﺎ ﺷﻮﻧﺪ و از ﻃﺮﻳﻖ ﻣﺤﺎﺳﺒﺎت ﺳﺎده ى ﺟﺒﺮى، ﻧﻘﺶ آن را در ﻣﻌﺎدﻟﻪ اى ﻛﻪ ﺑﻪ ﺻﻮرت y = ax + bاﺳﺖ ،ﺑﻴﺎﺑﻨﺪ. ﺑﺮاى دﺳﺖ ﻳﺎﺑﻰ ﺑﻪ اﻳﻦ روﻳﻜﺮد در ﺗﺪرﻳﺲ اﻳﻦ ﻣﺒﺤﺚ ،ﻋﻼوه ﺑﺮ ﺟﺎﺑﻪ ﺟﺎﻳﻰ در ﺗﺮﺗﻴﺐ ﻣﻄﺎﻟﺐ و ادﻏﺎم ﺑﺮﺧﻰ از آن ﻫﺎ ﺑﺮاى رﺳﻴﺪن ﺑﻪ دﻳﺪ ﻛﻠﻰ ﻧﺴﺒﺖ ﺑﻪ ﻣﻮﺿﻮع ،ﺑﻪ اﻋﻤﺎل زﻳﺮ ﻧﻴﺰ ﻣﺒﺎدرت ﻛﺮدم: ـ ﺑﺮاى آﻏﺎز ﻣﺒﺤﺚ ،ﻳﻚ ﻓﻌﺎﻟﻴﺖ ﻛﺘﺒﻰ ﮔﺮوﻫﻰ ﻃﺮاﺣﻰ ﻛﺮدم )ﭘﻴـﻮﺳﺖ .(١اﻳﺪه ى اﺻﻠـﻰ آن را از ﻓﻌﺎﻟﻴﺖ اﺑﺘﺪاى ﻣﺒـﺤـﺚ در ﻛﺘﺎب ﮔﺮﻓﺘﻢ ﻟﻴﻜﻦ آن را ﺗﻮﺳﻌﻪ دادم و ﺑﺎ ﺗﻐﻴﻴﺮ ﭘﺮﺳﺶ ﻫﺎ و دﻗﺖ در ﻛﻠﻤﺎت ﺑﻪ ﻛﺎر رﻓﺘﻪ در آن ﻫﺎ ،ﺳﻌﻰ ﻛﺮدم ﻣﻔﻬﻮم ﻣﻌﺎدﻟﻪ ى ﭼﻨﺪ ﻧﻘﻄﻪ
در ﺣﺎل ﺣﺎﺿﺮ در ﺑﻌﻀﻰ از ﻛﺸﻮرﻫﺎ ﻣﺎﻧﻨﺪ آﻣﺮﻳﻜـﺎ و ﻛـﺎﻧـﺎدا ،ﺑـﺮﻧـﺎﻣـﻪﻫــﺎى درﺳــﻰ ﺗــﻠــﻔـــﻴـــﻘـــﻰ و ﺑﻴﻦرﺷﺘﻪاى در ﺣﺎل ﺗﺪوﻳﻦ و اﺟﺮا اﺳﺖ
را ﺑﻪ ﻋﻨـﻮان ﻳﻚ راﺑﻄﻪ ى ﻣﺸـﺘـﺮك ﻣﻮﺟـﻮد ﺑﻴـﻦ ﻣﺨﺘﺼﻪ ى اول و دوم اﻳﻦ ﻧﻘﻄﻪ ﻫﺎ ﻣﻌـﺮﻓﻰ ﻛﻨﻢ و ﺿﻤﻨﺎً ﺑﺎ ﺗﻮﺳﻌﻪ ى ﻣﺜﺎل ﻫﺎ ،داﻧﺶ آﻣـﻮزان را ﺑﺎ اﻧـﻮاع ﺧﻂ )اﻋﻢ از ﻣﺒﺪأ ﮔﺬر ﻳـﺎ ﻏـﻴـﺮ ﻣـﺒـﺪأ ﮔـﺬر؛ ﺑـﻪ ﺟﺰ ﺧـﻄـﻮط ﻣـﻮازى ﻣـﺤـﻮرﻫﺎ( در ﺻﻔﺤﻪ ى ﻣﺨـﺘـﺼـﺎت ﻣـﻮاﺟﻪ ﺳـﺎزم .اﻏﻠـﺐ ﮔﺮوه ﻫﺎ در اﻧﺘﻬﺎى ﭘﺮﺳﺶ ٦در اﻳﻦ ﻓﻌﺎﻟﻴـﺖ، اﻳﻦ ﺗﺼﻮر ﻧـﺎدرﺳﺖ را دارﻧﺪ ﻛـﻪ وﺟﻮد ﻫﺮ ﻧﻮع راﺑﻄﻪ ى ﺟﺒﺮى ﺑﻴﻦ xو yﻣﺠﻤﻮﻋﻪ اى از ﻧﻘﺎط ،ﻣﺘﻀﻤﻦ اﻳﻦ اﺳﺖ ﻛﻪ آن ﻧﻘﺎط روى ﻳﻚ ﺧـﻂ راﺳﺖ ﺑﺎﺷﻨﺪ .از اﻳﻦ رو در ﭘـﺮﺳﺶ ٧ در اﻧﺘﻬﺎى ﻓﻌﺎﻟﻴﺖ ،ﺑﺎ اراﺋﻪ ى ﻣﺜﺎﻟﻰ از ﻧﻘﺎط روى ﺳﻬﻤﻰِ y = x2 )ﺑﺪون ذﻛﺮ ﻧﺎم ﺳﻬﻤﻰ( ،ﻣﻮﻗﻌﻴﺘﻰ اﻳﺠﺎد ﻛﺮدم ﻛﻪ ﺗﺠﺮﺑﻪ اى داﺷﺘﻪ ﺑﺎﺷﻨﺪ ﻛﻪ ﻣﺘﻮﺟﻪ اﻳﻦ ﺑﺪﻓﻬﻤﻰ ﻳﺎ ﺗﻌﻤﻴﻢ ﻧﺎدرﺳﺖ ﺧﻮد ﺑﺸﻮﻧﺪ و ﻧﻬﺎﻳﺘﺎً در ﺟﻤﻊ ﺑﻨﺪى ﻛﻼﺳﻰ ،ﺑﻪ اﻳﻦ ﻧﺘـﻴـﺠـﻪ ﺑـﺮﺳﻴﻢ ﻛﻪ ﻣﻌﺎدﻟـﻪ ى ﺧـﻂ راﺳﺖ ﺑﺎﻳﺪ داراى وﻳﮋﮔﻰ ﻫﺎﻳﻰ ﺑﺎﺷﺪ .ﭘﺲ از رﺳﻴﺪن ﺑﻪ اﻳﻦ ﻣﺮﺣﻠﻪ، وﻳﮋﮔﻰ ﻫﺎى ﻣﻌﺎدﻟـﻪ ى ﺧـﻂ راﺳﺖ را ﺑﻪ آن ﻫﺎ ﻣـﻌـﺮﻓﻰ ﻛﺮدم و ﻓـﺮم ﻛﻠﻰ آن را ﻛﻪ ﺑﻪ ﺻﻮرت ﻳﻚ ﻣﻌﺎدﻟﻪ ى دوﻣﺠﻬﻮﻟﻰ درﺟﻪ ﻳﻚ اﺳﺖ )داﻧﺶ آﻣﻮزان را ﺑﺎ اﻳﻦ واژه ﻫﺎ در ﻣﺒﺤﺚ ﻋﺒـﺎرات ﺟﺒﺮى ﺑﻪ ﺧﻮﺑـﻰ آﺷﻨﺎ ﻛـﺮده ام( و ﻧﻴﺰ ﺣﺎﻟﺖ ﺳﺎده ﺷﺪه ﻳـﺎ ﺑـﻪ ﻗـﻮﻟﻰ ،اﺳﺘـﺎﻧـﺪارد آن y = ax + bرا ﺑﻴﺎن ﻛﺮدم. ـ ﭘﺲ از اﻳﻦ ﻛﻪ ﻃﻰ اﻳﻦ ﻓﻌﺎﻟﻴـﺖ ،داﻧـﺶ آﻣـﻮزان ﺑﺎ ﺑﺎزﻧﻤﺎﻳـﻰ ﺟﺒﺮى ﺧﻂ راﺳﺖ )ﻳﻌﻨﻰ ﻣﻌﺎدﻟﻪ ى آن( آﺷﻨﺎ ﺷﺪﻧـﺪ ،روى ارﺗﺒـﺎط ﺑﻴﻦ ﺑـﺎزﻧﻤﺎﻳﻰ ﺟﺒـﺮى و ﺑـﺎزﻧﻤﺎﻳﻰ ﻫﻨﺪﺳﻰ )ﻳﻌﻨـﻰ ﻧـﻤـﻮدار ﺧﻂ در ﺻﻔﺤﻪ ى ﻣﺨـﺘـﺼـﺎت( ﺗـﻤـﺮﻳـﻦ ﻛـﺮدﻳﻢ و ﺿﻤﻦ اﻳـﻦ ﻣـﺜـﺎل ﻫـﺎ و ﺗﻤﺮﻳﻦ ﻫﺎ ،ﻋﺮض از ﻣﺒﺪأ و ﻃﻮل از ﻣﺒﺪأ ﺧﻂ را ﻧﻴﺰ روى ﻧﻤﻮدارﻫﺎ ﻣﻌـﺮﻓﻰ ﻛﺮدم و ارﺗﺒﺎط ﺑﻴﻦ ﻧﻘﺶ ﻫـﻨـﺪﺳـﻰ و ﻣـﻘـﺪارﻫﺎى آن ﻫﺎ در ﻣﻌﺎدﻟﻪ ى ﺟـﺒـﺮى ﺧﻂ ﺗـﻮﺳﻂ ﺧـﻮد داﻧﺶ آﻣـﻮزان در ﺗﻤﺮﻳﻦ ﻫـﺎى ﻣﺨﺘﻠ ،Iﻛﺸ Iﺷﺪ. ـ ﺑﺮاى درك ﺑﻴﺶ ﺗﺮ ﻣﻔﻬﻮم راﺑﻄﻪ ى ﺧﻄﻰ و ﻧﻴﺰ آﺷﻨﺎﻳﻰ ﺗﺠﺮﺑﻰ ﺑﺎ ﻣﻔﻬﻮم ﺷﻴﺐ ،ﺑﺎ ﻳﻜﻰ از ﻫﻤﻜﺎراﻧﻢ در ﺑﺨﺶ ﻋﻠﻮم ﻣﺸﻮرت ﻛﺮدم و ﺑﺎ ﻣﻄﺮح ﻛﺮدن اﻳﺪه ام ﻣﺒﻨﻰ ﺑﺮ اﺳﺘﻔﺎده از اﻋﺪاد واﻗﻌﻰ و ﻣﻠﻤﻮس ﺑﺮاى ﻧﻘﻄﻪ ﻫﺎى روى ﻳﻚ ﺧﻂ راﺳﺖ ،وى راﻫﻨﻤﺎﻳﻰ ام ﻛﺮد ﻛﻪ ﮔﺮم ﺷﺪن آب ،ﻳﻚ ﭘﺪﻳﺪه ى ﺧﻄﻰ اﺳﺖ ﻛﻪ ﺷﻴﺐ ﻣﺜﺒـﺖ دارد و اﻟﺒﺘﻪ ﻳﺎدآورى ﻛﺮد ﻛﻪ ﺳﺮد ﺷﺪن آن ﺗﻨﻬﺎ در ﻳﻚ ﻣﺤﺪوده ى دﻣﺎﻳﻰ ،ﺧﻄﻰ
)ﺑﺎ ﺷﻴﺐ ﻣﻨﻔﻰ( اﺳﺖ .ﻫﻢ ﭼـﻨـﻴـﻦ در ﻃـﺮاﺣﻰ آزﻣﺎﻳﺶ ﻫﺎﻳﻰ ﺑﺮاى ﻣﺸﺎﻫﺪه ى ﭘﺪﻳﺪه ﻫﺎى ﺧﻄﻰ ﺑﺎ ﺷﻴﺐ ﻫﺎى ﻣﺨﺘﻠ)Iدرواﻗﻊ ﺑﻪ زﺑﺎن دﻗﻴﻖ ﺗـﺮ؛ ﺑﺎﻧﺮخ ﺗﻐﻴﻴﺮ ﻣﺘﻔﺎوت( از وى ﻛﻤﻚ ﮔﺮﻓﺘﻢ.
ـ ﺑـﺮاى اداﻣﻪ ى ﺗﺪرﻳـﺲ ،داﻧـﺶ آﻣـﻮزان در ﻳﻚ ﻓﻌﺎﻟـﻴـﺖ ﮔـﺮوﻫﻰ ﻋﻤﻠـﻰ و ﺑـﺎ اﺳـﺘـﻔـﺎده از ﺗﺮﻣﻮﻣﺘﺮ دﻳﺠﻴﺘﺎﻟﻰ ،در ﺟﺪول ﻣﻨﺎﺳﺒﻰ )ﺷﻜﻞ (٢ دﻣـﺎى آب و زﻣﺎن را ﺑـﺮاى آﺑﻰ ﻛﻪ ﺑﺎ ﻳـﻚ ﮔـﺮم ﻛـﻦ ) (Heaterﮔـﺮم ﻣﻰ ﺷﺪ ،ﺛﺒﺖ ﻛـﺮده )ﺷﻜﻞ (١و آن ﻫﺎ را ﺑﻪ ﻋﻨﻮان ﻧﻘﺎط روى ﻳـﻚ ﺻﻔﺤﻪ ى ﻣﺨﺘﺼﺎت رﺳﻢ ﻛﺮدﻧﺪ و ﺧﻂ ﺑﺮازش آن ﻫﺎ را ﺗﺮﺳﻴﻢ ﻛﺮدﻧﺪ )ﺷﻜﻞ .(٣ ﺑﺤﺚ ﺧﻄﺎ در آزﻣﺎﻳﺶ و اﻧﻮاع آن ﺑﻪ ﻃﻮر ﻛﻠﻰ و ﺧﻄﺎﻫﺎى ﻣﺤﺘﻤﻞ در آزﻣﺎﻳﺸﻰ ﻛﻪ اﻧﺠﺎم ﺷﺪ؛ ﻫﻢ ﭼﻨﻴﻦ ﺗـﻜـﺮار آزﻣﺎﻳﺶ ﺑﺮاى ﮔـﺮوه ﻫﺎﻳﻰ ﻛﻪ داده ﻫﺎى ﭘـﺮﺧﻄﺎﻳﻰ داﺷﺘﻨﺪ ﻧـﻴـﺰ ﺻـﻮرت ﮔـــﺮﻓــﺖ .ﺑــﻌـــﻀـــﻰ از ﮔـــﺮوه ﻫــﺎ ﻛــﻪ داده ﻫـــﺎﻳـــﺸـــﺎن را ﻛﺎﻣﻼ ﻳﻚ ﺧﻂ راﺳﺖ درآوردﻧﺪ. ً ﺑﻪ دﻗﺖ ﺟﻤﻊ آورى ﻛﺮده ﺑﻮدﻧﺪ، ـ ﺑﺎ اﺳﺘﻔﺎده از اﻳﻦ ﺗﺠﺮﺑﻪ ى ﻋﻤﻠﻰ و از روى ﻧﻤﻮدار ﮔﺮوه ﻫﺎى ﻣﺨﺘﻠ ،Iﻣﻔﻬﻮم ﺷﻴﺐ ﺑﻪ ﻋﻨﻮان ﻧﺴﺒﺖ ﺗﻐﻴﻴﺮات دﻣﺎ ﺑﻪ ﺗﻐﻴﻴﺮات زﻣﺎن در اﻳﻦ آزﻣﺎﻳﺶ و ﺳﭙﺲ در ﺣﺎﻟﺖ ﻛﻠﻰ ﺑﺮاى دو ﻣﺘﻐﻴﺮ ،ﻣﻌﺮﻓﻰ ﺷﺪ و داﻧﺶ آﻣﻮزان ﻫﺮ ﮔﺮوه ،ﺷﻴﺐ ﺧﻂ ﻧﺸﺎن دﻫﻨﺪه ى آزﻣﺎﻳﺶ ﮔﺮوه ﺧﻮد را ﺑﻪ دﺳﺖ آوردﻧﺪ. ـ ﺑﺮاى ﺗﻌﻤﻴﻖ ﺑﻴﺶ ﺗﺮ ﻣﻔﻬﻮم ﺷﻴﺐ ،دو آزﻣﺎﻳﺶ دﻳﮕﺮ ﻧﻴﺰ اﻧﺠﺎم ﺷﺪ :ﮔﺮم ﻛﺮدن آب ﺑﺎ دو ﮔﺮم ﻛﻦ؛ ﮔﺮم ﻛﺮدن اﻟﻜﻞ )ﻳﺎ ﻣﺤﻠﻮل آب و اﻟﻜﻞ( ﺑـﺎ ﻳـﻚ ﮔـﺮم ﻛﻦ .ﻣﻘﺎﻳـﺴـﻪ ى داده ﻫـﺎى ﺣـﺎﺻـﻞ از اﻳـﻦ آزﻣﺎﻳﺶ ﻫﺎ و ﺷﻜﻞ ﺧﻂ ﻫﺎ و ﺷﻴﺐ آن ﻫﺎ ﺑﺎ ﻫـﻢ ،ﻣـﻮﺿﻮع را ﺑﺮاى داﻧﺶ آﻣﻮزان ﺑﻪ زﻳﺒﺎﻳﻰ روﺷﻦ ﻣﻰ ﻛﺮد. ـ ﭘﺲ از اﻳﻦ ﻛﻪ داﻧـﺶ آﻣـﻮزان ﺑﺎ ﻣﻔـﻬـﻮم ﺷﻴﺐ و ﻧﻘـﺶ آن در ﻧﻤﻮدار ﺧـﻂ راﺳﺖ آﺷﻨﺎ ﺷﺪﻧﺪ ،ﻧﻘﺶ ﻣﻘﺪار ﺷﻴﺐ در ﻣﻌـﺎدﻟـﻪ ى ﺧﻂ ﺑﻪ آن ﻫﺎ ﻣﻌﺮﻓﻰ ﺷﺪ )ﺿﺮﻳﺐ xدر ﻣﻌﺎدﻟـﻪ ى ( y = ax + bو ﺣﺘﻰ در ﻛﻼس ﻫﺎﻳﻰ ﻛﻪ داﻧﺶ آﻣـﻮزان آن از ﺗﻮان ذﻫﻨﻰ ﺑﻴﺶ ﺗـﺮى ﺑﺮﺧﻮردار ﺑﻮدﻧﺪ ،ﺑﺎ اﺳﺘﻔﺎده از ﻣﻔﻬﻮم ﺷﻴﺐ ،ﻣﻘﺪار آن از ﻣﻌﺎدﻟﻪ ى ) y = ax + bﻛﻪ ﻫﻤﺎن aﺑﻮد( ﺑﻪ دﺳﺖ آﻣﺪ .ﺳﭙﺲ دو ﺟﻠﺴﻪ ﺑـﻪ ﺗﻤﺮﻳﻦ ﻛﺘﺒﻰ و ﺣﻞ ﻣﺴﺌﻠﻪ ﺑﺮاى ﺗﺴﻠﻂ ﺑﻴﺶ ﺗﺮ ﺑﺮ ﻣﻮﺿﻮع و آﺷﻨﺎﻳﻰ ١٩
دوره ى ﺑﻴﺴﺖ وﻫﻔﺘﻢ ﺷﻤﺎره ى٣ ﺑﻬﺎر ١٣٨٩
ﮔﺮم ﻛﻦ ﺑﺮﻗﻰ ﺗﺮﻣﻮﻣﺘﺮ دﻳﺠﻴﺘﺎﻟﻰ
ﺣﺴﮕﺮ ﮔﺮﻣﺎ ِ
ﻛﺎﻟﺮى ﻣﺘﺮ ﺣﺎوى آب ﺷﻜﻞ .١آزﻣﺎﻳﺶ ﮔﺮم ﺷﺪن آب ﺑﺎ ﻳﻚ ﮔﺮم ﻛﻦ
)t(s
)T( o C
)m (gr
T o =L
ﺷﻜﻞ .٢ﺟﺪول ﻣﺮﺑﻮط ﺑﻪ آزﻣﺎﻳﺶ ﮔﺮم ﺷﺪن آب ﺑﺎ ﻳﻚ ﮔﺮم ﻛﻦ
)T( o C
ﺷﻜﻞ .٣ﻧﻤﻮدار ﺧﻂ ﺑﺮازش ﻣﺮﺑﻮط ﺑﻪ آزﻣﺎﻳﺶ ﮔﺮم ﺷﺪن آب ﺑﺎ ﻳﻚ ﮔﺮم ﻛﻦ
دوره ى ﺑﻴﺴﺖ وﻫﻔﺘﻢ ﺷﻤﺎره ى٣ ﺑﻬﺎر ١٣٨٩
٢٠
ﺑﺎ ﺧﻄﻮط ﻣﻮازى ﻣﺤﻮرﻫﺎ ،اﺧﺘﺼﺎص ﻳﺎﻓﺖ. ـ آﺧﺮﻳﻦ ﺟﻠﺴﻪ ى اﻳﻦ ﻣﺒـﺤـﺚ ،داﻧـﺶ آﻣـﻮزان ﻳﻚ ﺗﻜﻠـﻴـI ﮔﺮوﻫﻰ اﻧﺠﺎم دادﻧﺪ )ﭘﻴﻮﺳﺖ (٢ﻛﻪ ﻫﺪف آن ،ﺑﻪ ﻛﺎر ﺑﺴﺘﻦ داﻧﺶ و آﻣﺎدﮔﻰ ﺑﺮاى ﻣﻮﺿﻮع ﺑﻌﺪى )دﺳﺘﮕﺎه ﻣﻌﺎدﻟﻪ ﻫﺎى ﺧﻄﻰ و ﺣـﻞ آن ﻫﺎ( ﺑﻮد. ﻧﺘﻴﺠﻪﮔﻴﺮى در ﻳﻚ ﺟﻤﻊ ﺑﻨﺪى ﻛﻠﻰ ،ﻣﻰ ﺗـﻮان ﺗﺠﺮﺑﻪ ى ﺗﺪرﻳﺲ ﺗﻠﻔﻴـﻘـﻰ ﻣﺒﺤﺚ ﻣﻌﺎدﻟـﻪ ى ﺧـﻂ راﺳﺖ در ﭘﺎﻳﻪ ى ﺳﻮم راﻫﻨﻤﺎﻳـﻰ را در ١٠ ﺟﻠﺴﻪ ﺑﻪ ﺻﻮرت زﻳﺮ ﺧﻼﺻﻪ ﻛﺮد: ✓ ﺟﻠـﺴـﻪCﻫـﺎى ١و :٢ﻓﻌـﺎﻟـﻴـﺖ ﮔـﺮوﻫﻰ ﻛـﺘـﺒـﻰ؛ درك ﻣﻔـﻬـﻮم ﻣﻌﺎدﻟﻪ ى ﻣﺠﻤﻮﻋﻪ اى از ﻧﻘﺎط و ﻣﻌﺮﻓﻰ ﺷﻜﻞ ﻛﻠﻰ ﻣﻌﺎدﻟﻪ ى ﺧﻂ راﺳﺖ ) (y = ax + bو وﻳﮋﮔﻰ ﻫﺎى آن. ✓ ﺟﻠﺴـﻪCى :٣ﺗﺪرﻳﺲ رﺳﻢ ﺧـﻂ راﺳﺖ ﺑﺎ داﺷﺘﻦ ﻣﻌـﺎدﻟـﻪ ى آن ﺑﺮاى اﻳﺠﺎد ارﺗﺒﺎط ﺑﻴﻦ ﺑـﺎزﻧﻤﺎﻳﻰ ﺟﺒﺮى و ﺑﺎزﻧﻤﺎﻳﻰ ﻫﻨﺪﺳﻰ ﺧﻂ؛ ﻣﻌﺮﻓﻰ ﻋـﺮض از ﻣﺒﺪأ ﺧﻂ راﺳﺖ و ﻧﻘﺶ آن در ﻣﻌﺎدﻟـﻪ ى ﺧـﻂ. ﻣﻌﺮﻓﻰ ﻃﻮل از ﻣﺒﺪأ ﺧﻂ راﺳﺖ. ✓ ﺟﻠﺴﻪCى :٤ﻓﻌﺎﻟﻴﺖ ﮔـﺮوﻫﻰ ﻋﻤﻠﻰ :ﺑـﺮرﺳﻰ ﺗﻐﻴﻴـﺮات دﻣﺎى آب در ﺣﺎل ﮔﺮم ﺷﺪن ﺑﺎ ﻳﻚ ﮔﺮم ﻛﻦ؛ ﺑﺮداﺷﺖ داده ﻫﺎى واﻗﻌﻰ و رﺳﻢ ﻧﻤﻮدار ﺧﻂ ﺑﺮازش آن ﻫﺎ و ﺑﺮرﺳﻰ ﺧﻄﻰ ﺑﻮدن آن ﻫﺎ. ✓ ﺟﻠﺴﻪCى :٥اﺳﺘﻔﺎده از ﺗﺠﺮﺑﻪ و ﻧﺘﺎﻳﺞ آزﻣﺎﻳﺶ اﻧﺠﺎم ﺷﺪه ﺑﺮاى ﻣﻌﺮﻓﻰ ﺷﻴﺐ ﺧﻂ راﺳﺖ ﺑﻪ ﻋﻨﻮان ﻧﺴﺒﺖ ﺗﻐﻴﻴﺮات yﺑﻪ ﺗﻐﻴﻴﺮات xو ﻣﻌﺮﻓﻰ ﻧﻘﺶ آن در ﻣﻌﺎدﻟﻪ ى ﺧﻂ .ﻧﻮﺷﺘﻦ ﻣﻌﺎدﻟﻪ ى ﺧﻂ داده ﻫﺎى ﺑﺮداﺷﺖ ﺷـﺪه از آزﻣﺎﻳﺶ و ﻣﺸﺎﻫﺪه ى ﺷﻴﺐ در ﺗﻐﻴـﻴـﺮات داده ﻫﺎ ﻧﺴﺒﺖ ﺑﻪ ﻫﻢ. ✓ ﺟﻠﺴﻪCﻫﺎى ٦و :٧دو ﻓﻌﺎﻟﻴﺖ ﮔﺮوﻫﻰ ﻋﻤﻠﻰ :ﺑﺮرﺳﻰ ﺗﻐﻴﻴﺮات دﻣﺎى آب در ﺣﺎل ﮔﺮم ﺷﺪن ﺑﺎ دو ﮔﺮم ﻛﻦ؛ ﺑﺮرﺳﻰ ﺗﻐﻴﻴﺮات دﻣﺎى اﻟﻜﻞ در ﺣﺎل ﮔﺮم ﺷﺪن ﺑﺎ ﻳﻚ ﮔﺮم ﻛﻦ؛ ﺑﺮداﺷﺖ داده ﻫﺎى واﻗﻌﻰ و رﺳﻢ ﻧـﻤـﻮدار ﺧﻂ ﺑـﺮازش آن ﻫﺎ و ﺑـﺮرﺳﻰ ﺧﻄـﻰ ﺑـﻮدن آن ﻫـﺎ و ﻣﻘﺎﻳﺴﻪ ى ﺷﻴﺐ ﻫﺎ و ﻣﻌﺎدﻟﻪ ﻫﺎى ﺧﻄﻮط آن ﻫﺎ و ﻣﺸﺎﻫﺪه ى ﻋﻴﻨﻰ ﻧﻘﺶ ﺷﻴﺐ در داده ﻫﺎ. ✓ ﺟﻠﺴﻪCﻫـﺎى ٨و :٩آﺷﻨﺎﻳﻰ ﺑﻴﺶ ﺗـﺮ ﺑـﺎ ﺻـﻮرت ﻫﺎى ﻣﺨﺘﻠـI ﻣﻌﺎدﻟﻪ ى ﺧﻂ راﺳﺖ؛ ﻛﺴﺐ ﻣﻬـﺎرت ﺑﻴﺶ ﺗﺮ در اﻋﻤﺎل ﺟﺒـﺮى و آﺷﻨﺎﻳﻰ ﺑﺎ ﺧﻄﻮط ﻣﻮازى ﻣﺤﻮرﻫﺎ و ﺑﻪ دﺳﺖ آوردن ﺷﻴﺐ ﻫﺮﻳﻚ ﺑﺎ
اﺳﺘﻔﺎده از ﺗﻌﺮﻳ Iﺷﻴﺐ. ✓ ﺟﻠﺴﻪCى :١٠ﻓﻌﺎﻟﻴﺖ ﮔـﺮوﻫﻰ ﻛﺘﺒﻰ؛ ﺗﻌﻤﻴﻖ ﻣﻔﺎﻫﻴﻢ ﻗﺒﻠـﻰ و ورود ﺑﻪ ﻣﺒﺤﺚ ﺟﺪﻳﺪِ دﺳﺘﮕﺎه ﻣﻌﺎدﻻت و ﺣﻞ آن. ﻧﻜﺘﻪ ى ﻗﺎﺑﻞ ﺗﻮﺟﻪ اﻳﻦ اﺳﺖ ﻛﻪ در اﻳﻦ ﻃﺮح درس ،ﺑﻪ ﺟﺰ ﺗﻌﺮﻳI ﺷﻴﺐ و ﻣﺸﺎﻫﺪه ى ﺷﻬـﻮدى آن در ﭼﻨﺪ آزﻣﺎﻳﺶ ،ﻫﻴﭻ ﻓـﺮﻣﻮل ﻳﺎ راﺑﻄﻪ ى دﻳﮕﺮى ﺑﻪ داﻧﺶ آﻣﻮزان ﮔﻔﺘﻪ ﻧﻤﻰ ﺷﻮد و در ﻋﻴﻦ ﺣﺎل آن ﻫﺎ ﻣﻰ ﺗﻮاﻧﻨﺪ ﺑﻪ راﺣﺘﻰ ﺑﺎ اﺳﺘﻔﺎده از ﺗﻌﺮﻳ Iﺷﻴﺐ ،ﻫﻤﻪ ﻧﻮع ﻣﺴﺌﻠﻪ از اﻳﻦ ﻣﺒﺤﺚ را ﺑﺎ ﻫﺮ ﻧﻮع داده و ﻣﺠﻬﻮﻟﻰ ﺣﻞ ﻛﻨﻨﺪ .ﻣﻬﻢ ﺗﺮﻳﻦ ﻧﻜﺘﻪ اﻳـﻦ ﻛــﻪ ﻧــﻘــﺶ رﻳــﺎﺿــﻴــﺎت را در ﻣـﺪل ﺳــﺎزى ﭘــﺪﻳــﺪه ﻫــﺎى ﻓﻴﺰﻳﻜﻰ اﻃﺮاف ﺧﻮد ﻣﻰ ﺑﻴﻨﻨﺪ و ﺑﻴﺶ از ﭘﻴﺶ ،ﻗﺪردان رﻳﺎﺿﻰ و آن ﭼﻪ ﻳﺎد ﮔﺮﻓﺘﻪ اﻧﺪ ﻣﻰ ﺷﻮﻧﺪ. ﺳﺨﻦ آﺧﺮ اﻳﻦ ﻛﻪ: ﺑﻪ داﻧﺶ آﻣﻮزاﻧﻤﺎن ﻛﻤﻚ ﻛﻨﻴﻢ ﺑﺮاى زﻧﺪﮔﻰ در ﻗﺮن ﺑﻴﺴﺖ و ﻳﻜﻢ آﻣﺎده ﺗﺮ ﺷﻮﻧﺪ! ﺑﻪ آن ﻫﺎ ﻓﺮﺻﺖ دﻫﻴﻢ از ﻳﺎدﮔﻴﺮى رﻳﺎﺿﻰ ﻟﺬت ﺑﺒﺮﻧﺪ… ﺑﺮاى ﺗﺤﻘﻖ اﻳﻦ اﻫﺪاف و اﻫﺪاف ﻣﺸﺎﺑﻪ ،ﺑﺎ ﻣﻄﺎﻟﻌﻪ و اﺳﺘﻔﺎده از ﻧﻈﺮات آﻣﻮزﺷﻰ ﺟﺪﻳﺪ ،ﺑﺎ ﺗﻌﺪاد ﻛﻢ در ﻳﻚ ﺳﺎل ﺗﺤﺼﻴﻠﻰ آﻏﺎز ﻛﻨﻴﻢ و ﺿﻤﻦ ﺑﺎزﺧﻮرد ﮔﺮﻓﺘﻦ از آن ،ﺑﻪ ﻣﺮور آن را ﺗﻮﺳﻌﻪ دﻫﻴﻢ. ﺗﺸﻜﺮ و ﻗﺪرداﻧﻰ ﻻزم ﻣﻰ داﻧﻢ در اﻳﻦ ﺟﺎ از ﻫﻤﻜﺎرى ﻫﺎى ﻫﻤﻜـﺎراﻧﻢ در ﺑﺨﺶ ﻋﻠﻮِم ﻣﺪرﺳﻪ ،ﻛﻪ اﻳﺪه ﻫﺎى ﻣﻦ در ﺧﺼﻮص ﺟﻤﻊ آورى داده ﻫﺎى واﻗﻌﻰ ﺧﻄﻰ ﺑﺮاى ﻣﻠﻤﻮس ﺳﺎﺧﺘﻦ اﻳﻦ ﻣﺒﺤﺚ ﺑﺮاى داﻧﺶ آﻣﻮزان را ﺟﺎﻣﻪ ى ﻋﻤﻞ ﭘـﻮﺷﺎﻧﺪﻧـﺪ و آن را ﺑﻪ ﻳﻚ ﻓﻌﺎﻟﻴﺖ ﻋـﻤـﻠـﻰ واﻗﻌﻰ ﺗﺒﺪﻳﻞ ﻛﺮدﻧﺪ؛ ﻗﺪرداﻧﻰ ﻛﻨﻢ. ﻣﻨﺎﺑﻊ .١داودى ،ﺧﺴﺮو؛ ﭘﻨـﺪى ،زﻫﺮه؛ دﻟﺸﺎد ،ﻛﺒـﺮى؛ وزﻳﺮى ﺣﺎﻣﺎﻧﻪ ،ﺳﻴﺪ ﺣـﺎﻣـﺪ .ﻛﺘﺎب ﻣﻌﻠـﻢ )راﻫﻨﻤﺎى ﺗﺪرﻳﺲ( رﻳﺎﺿﻰ ﺳﺎل ﺳﻮم راﻫﻨﻤﺎﻳﻰ؛ ﺳﺎزﻣﺎن ﭘﮋوﻫﺶ و ﺑﺮﻧﺎﻣﻪ رﻳﺰى آﻣﻮزﺷﻰ ،وزارت آﻣﻮزش و ﭘﺮورش.١٣٨٤ ، .٢ﻓﺮزان ،ﻣﺴﻌﻮد؛ ﺑﺎﻫﻤﺖ ﺷﻴـﺮواﻧﻪ ده ،ﺻﻔﺮ؛ دﻳﺒﺎﻳﻰ ،ﻣﺤﻤﺪﺗﻘﻰ؛ ﻓـﺮﻫﻮدى ﻣﻘﺪم ،ﭘﺮوﻳـﺰ. ﻛﺘـﺎب درﺳﻰ رﻳـﺎﺿـﻰ ﺳـﺎل ﺳـﻮم راﻫﻨﻤـﺎﻳـﻰ؛ ﺳـﺎزﻣﺎن ﭘـﮋوﻫﺶ و ﺑـﺮﻧﺎﻣـﻪ رﻳـﺰى آﻣـﻮزﺷـﻰ ،وزارت آﻣﻮزش و ﭘﺮورش.١٣٨٤ ، 3. Lake, Kathy, Integrated Curriculum; available at: http:// www.nwrel.org/scpd.sirs/8/c016.html 4. Berlin; Danna F. Integrated Mathematics for Middle School: Internatinal Impressions, available at: http://www.nctm.org/resources/ content.aspx?id=1696.
5. Integrated Curriculum Guide; available at: http:// www.archeworks.org/projects/tcsp/ic-guide.html.
ﭘﻴﻮﺳﺖ :١ﺑﺮﮔﻪى ﻓﻌﺎﻟﻴﺖ ﮔﺮوﻫﻰ )ﺟﻠﺴﻪى اول( ﺗﻮﺟﻪ :ﻫﻤﺮاه اﻳﻦ ﺑﺮﮔﻪ ﻫﺎ ،ﭼﻨﺪ ﺑﺮگ ﻛﺎﻏﺬ ﺷﻄﺮﻧﺠﻰ در اﺧﺘﻴﺎر ﺷﻤﺎ ﻗﺮار ﻣﻰ ﮔﻴﺮد .در ﺻﻮرت ﻟﺰوم ،از آن ﻫﺎ اﺳﺘﻔﺎده ﻛﻨﻴﺪ. ﺳﺎﻳـﺮ وﺳـﺎﻳـﻞ ﻻزم :ﺧﻂ ﻛﺶ ،ﻣﺎﺷـﻴـﻦ ﺣـﺴـﺎب ،ﻣـﺪاد ﻳـﺎ ﺧﻮدﻛﺎر رﻧﮕﻰ. ﻫﺪف از اﻧﺠﺎم اﻳﻦ ﻓﻌﺎﻟﻴـﺖ ،ﺑـﺮﻗﺮار ﻛﺮدن ارﺗﺒﺎط ﺑﻴﻦ ﻣﻔﻬـﻮم ﺧﻂ راﺳﺖ در ﻫﻨﺪﺳﻪ ،ﺑﺎ اﻋﺪاد و ﻣﺤﺎﺳﺒﺎت در ﺣﺴﺎب اﺳﺖ. ﭘﻴﺶ از اﻳﻦ ،ﺑﻴﻦ ﻧﻘﻄﻪ ﻫﺎى ﻳﻚ ﺻﻔﺤﻪ )در ﻫﻨﺪﺳﻪ( و ﻣﺨﺘﺼﺎت )ﻳﻌﻨﻰ ﻳﻚ ﺟﻔﺖ ﻋﺪد در ﺣﺴﺎب( ،ارﺗﺒﺎط ﺑﺮﻗﺮار ﻛﺮده اﻳﻢ. (١ﻧﻘﻄﻪ ﻫﺎى زﻳﺮ را )ﺑﺎدﻗﺖ( ،در ﻳﻚ دﺳﺘﮕﺎه ﻣﺨﺘﺼﺎت رﺳﻢ ﻛﻨﻴﺪ:
5 5
2 2
1 1
0 0
−1 −1
−2 1 2 −2 1 2
اﮔﺮ اﻳﻦ ﻧﻘﻄﻪ ﻫـﺎ را ﺑﻪ ﺗـﺮﺗﻴﺐ ﺑﻪ ﻫﻢ وﺻﻞ ﻛﻨﻴﻢ ،آﻳﺎ ﻳـﻚ ﺧـﻂ راﺳﺖ ﺑﻪ وﺟﻮد ﻣﻰ آﻳﺪ ﻳﺎ ﻳﻚ ﺧﻂ ﺷﻜﺴﺘﻪ؟ آﻳﺎ در اوﻟﻴﻦ ﻧﻘﻄﻪ ،راﺑﻄﻪ اى ﻣﻴﺎن ﻣﺨﺘﺼﻪ ى اول و ﻣﺨﺘﺼﻪ ى دوم وﺟﻮد دارد؟ آﻳﺎ اﻳﻦ راﺑﻄﻪ ،در ﺗﻚ ﺗﻚ ﻧﻘﺎط دﻳﮕﺮ ﻧﻴﺰ ﻣﻴﺎن ﻣﺨﺘﺼﻪ ى اول و ﻣﺨﺘﺼﻪ ى دوم وﺟﻮد دارد؟ اﮔﺮ ،xﺑﻪ ﺟﺎى ﻣﺨﺘﺼﻪ ى اول و yﺑﻪ ﺟﺎى ﻣﺨﺘﺼﻪ ى دوم اﻳﻦ ﻧﻘﻄﻪ ﻫﺎ ﺑﺎﺷﺪ ،آﻳﺎ ﻣـﻰ ﺗـﻮاﻧﻴﺪ راﺑﻄﻪ ى ﺑﻪ دﺳﺖ آﻣﺪه ﺑـﺮاى ﻫﻤﻪ ى ﻧﻘﺎط در ﻗﺴﻤﺖ ﻗﺒﻞ ]در ﺻﻮرت وﺟﻮد[ را ﺑﻪ ﺻﻮرت ﻳﻚ ﻋﺒﺎرت ﺟﺒﺮى ﺑﺎ اﺳﺘﻔﺎده از xو ،yﺑﻨﻮﻳﺴﻴﺪ؟ (٢ﻫﻤﺎن ﭘﺮﺳﺶ ﻫﺎ را ﺑﺮاى اﻳﻦ ﻧﻘﻄﻪ ﻫﺎ ،دوﺑﺎره ﭘﺎﺳﺦ دﻫﻴﺪ: −2 2
−1 1
− 2 3 2 3
0 0
1 −1
3 −3
(٣ﻫﻤﺎن ﭘﺮﺳﺶ ﻫﺎ را ﺑﺮاى اﻳﻦ ﻧﻘﻄﻪ ﻫﺎ ،دوﺑﺎره ﭘﺎﺳﺦ دﻫﻴﺪ: ٢١
دوره ى ﺑﻴﺴﺖ وﻫﻔﺘﻢ ﺷﻤﺎره ى٣ ﺑﻬﺎر ١٣٨٩
−1 −5
− 1 5 −1
0 0
1 5
1 5 1
(٤ﻫﻤﺎن ﭘﺮﺳﺶ ﻫﺎ را ﺑﺮاى اﻳﻦ ﻧﻘﻄﻪ ﻫﺎ ،دوﺑﺎره ﭘﺎﺳﺦ دﻫﻴﺪ: −3 −6
− 1 4 − 1 2
0 0
1 2 1
1 2
2 4
(٥ﻫﻤﺎن ﭘﺮﺳﺶ ﻫﺎ را ﺑﺮاى اﻳﻦ ﻧﻘﻄﻪ ﻫﺎ ،دوﺑﺎره ﭘﺎﺳﺦ دﻫﻴﺪ: −4 −2
−2 0
−1 1
0 2
1 3
2 4
3 5
(٦ﺑﻪ ﻧﻈﺮ ﺷﻤﺎ ،آﻳﺎ در ﻫﺮﻳﻚ از ﻣﻮارد ﺑﺎﻻ ﻣﻰ ﺗﻮاﻧﺴﺘﻴﻢ ﺑﺪون ﺗﺮﺳﻴﻢ ﻧﻘﻄﻪ ﻫﺎ ،در ﻳﻚ دﺳﺘﮕﺎه ﻣﺨﺘﺼﺎت ،و ﺗﻨﻬﺎ ﺑﺎ اﺳﺘﻔـﺎده از ﻋﺒﺎرت ﻫﺎى ﺟﺒﺮى ﻛﻪ ﻳﺎﻓﺘﻪ اﻳﻦ ،ﺑﻔﻬﻤﻴﻢ ﻛﻪ ﻧﻘﺎط ﻣـﻮرد ﻧﻈﺮ روى ﻳﻚ ﺧﻂ راﺳﺖ ﻫﺴﺘﻨﺪ ﻳﺎ ﻧﻪ؟ (٧اﮔﺮ ﭘﺎﺳﺦ ﺷﻤﺎ ﺑﻪ ﺳـﺆال ٦ﻣﺜﺒﺖ اﺳﺖ ،ﻧﻈﺮﻳﻪ ى ﺧﻮد را ﺑﺮاى ﻫﺮﻳﻚ از ﻣﺠﻤﻮﻋﻪ ﻧﻘﺎط زﻳﺮ اﻣﺘﺤﺎن ﻛﻨﻴﺪ: −1 0 3 1 2 2 , , , , 0 −3 −6 −9 1
−2 −1 , , 6 3
−2 −1 0 1 2 3 , , , , , −3 −2 −1 0 1 2
،٦درﺳﺖ ﺑﻮد؟ ﭼﺮا؟ (٩ﺑﺎ ﻣﺮور ﻣـﺮاﺣﻠﻰ ﻛﻪ ﻃﻰ ﺷﺪ ،اﻳﻦ ﻓﻌﺎﻟﻴـﺖ را ﺟﻤﻊ ﺑﻨـﺪى ﻛﻨﻴﺪ: ﭘﻴﻮﺳﺖ :٢ﺑﺮﮔﻪى ﺗﻜﻠﻴ Oﮔﺮوﻫﻰ )ﺟﻠﺴﻪى (١٠ .١داده ﻫﺎى ﺟﺪول ﻫﺎى زﻳﺮ ،ﻣﺮﺑـﻮط ﺑﻪ دو آزﻣﺎﻳﺶ ﻫﺴﺘﻨـﺪ ﻛﻪ ﻫﻢ زﻣﺎن ﺻـﻮرت ﮔﺮﻓﺘﻪ اﻧﺪ .در ﻫﺮ دو آزﻣﺎﻳﺶ ،ﻣﺎﻳﻌـﻰ درون ﻛﺎﻟـﺮى ﻣﺘﺮ ﺑـﺎ heaterﮔﺮم ﺷﺪه اﺳﺖ و دﻣﺎى ﻣﺎﻳـﻊ ،ﺑـﺎ ﮔـﺬﺷـﺖ زﻣﺎن ،در ﻓـﻮاﺻﻞ زﻣﺎﻧﻰ ﻣﻌﻴﻦ ،ﺛﺒﺖ ﺷـﺪه اﺳـﺖ .از آن ﺟـﺎ ﻛـﻪ ﻣﺎﻳﻊ ﻫﺎى درون دو ﻛﺎﻟـﺮى ﻣﺘﺮ ،ﻣﺘﻔﺎوت ﺑﻮده و دﻣﺎى ﻣﺎﻳﻊ ﻫـﺎ در آﻏﺎز آزﻣﺎﻳﺶ ﻳﻜﺴﺎن ﻧﺒﻮده اﺳﺖ ،داده ﻫﺎى دو آزﻣﺎﻳﺶ ،ﻣﺘﻔﺎوت اﺳﺖ. ﺑﺎ ﺗﻮﺟﻪ ﺑﻪ اﻳﻦ اﻃﻼﻋﺎت ،ﺑﻪ ﭘﺮﺳﺶ ﻫﺎى زﻳﺮ ﭘﺎﺳﺦ دﻫﻴﺪ: ـ در زﻣﺎن ١٥ﺛﺎﻧﻴﻪ ،دﻣﺎى ﻣﺎﻳﻊ دوم ﭼﻨﺪ درﺟﻪ ﺑﻮده اﺳﺖ؟ ـ در ﭼﻪ زﻣﺎﻧﻰ دﻣﺎى ﻣﺎﻳﻊ اول ٥٥ ،درﺟﻪ ﺑﻮده اﺳﺖ؟ ـ آﻳﺎ زﻣﺎﻧـﻰ وﺟﻮد داﺷﺘﻪ ﻛﻪ دﻣﺎى دو ﻣﺎﻳﻊ ،در آن ﻟـﺤـﻈـﻪ از زﻣﺎن ،ﺑﺮاﺑﺮ ﺑﻮده ﺑﺎﺷﺪ؟ ﭼﺮا؟
)t(s
)T(oC
٠
٤٠/٠
٤
٤٣/٢
٨
٤٦/٤
١٢
٤٩/٨
١٦
٥٣/٠
٢٠
٥٦/٢ ٥٩/٤
−1 0 +4 1 , , 0 2 2
−4 −2 , , −2 −1
0 0,
−2 , 4
٢٤
(٨ﭼﻪ ﻧﺘﻴﺠﻪ اى از ﺳﺆال ٧ﻣﻰ ﮔﻴﺮﻳﺪ؟ آﻳﺎ ﺣﺪس ﺷﻤﺎ در ﺳﺆال
٢٨
٦٢/٦
٣٢
٦٥/٨
٣٦
٦٩/٠
3 9
2 4,
1 1,
−1 1 ,
داده ﻫﺎى ﻣﺮﺑﻮط ﺑﻪ ﺗﻐﻴﻴﺮات دﻣﺎى ﻣﺎﻳﻊ اول
دوره ى ﺑﻴﺴﺖ وﻫﻔﺘﻢ ﺷﻤﺎره ى٣ ﺑﻬﺎر ١٣٨٩
٢٢
)t(s
)T(oC
٠
٢٥/٠
٤
٣٠/٦
٨
٣٦/٢
١٢
٤١/٨
١٦
٤٧/٤
٢٠
٥٣/٠
٢٤
٥٨/٦
٢٨
٦٤/٢
٣٢
٦٩/٨
ﺗﻜـﻠـﻴـ .٢ hداده ﻫـﺎى ﺟـﺪول ﻫﺎى زﻳﺮ ﻧـﻴـﺰ ،ﻣـﺮﺑـﻮط ﺑـﻪ دو آزﻣﺎﻳﺶ ﻫﺴﺘﻨﺪ ﻛﻪ ﻫﻢ زﻣﺎن ﺻﻮرت ﮔﺮﻓﺘﻪ اﻧﺪ .در ﻫﺮ دو آزﻣﺎﻳﺶ، ﻣﺎﻳﻌﻰ درون ﻛﺎﻟﺮى ﻣﺘﺮ ﺑﺎ heaterﮔﺮم ﺷﺪه اﺳﺖ و دﻣﺎى ﻣﺎﻳﻊ ،ﺑﺎ ﮔﺬﺷﺖ زﻣﺎن ،در ﻓﻮاﺻﻞ زﻣﺎﻧﻰ ﻣﻌﻴﻦ ،ﺛﺒﺖ ﺷﺪه اﺳﺖ .ﺑﺎ ﺗﻮﺟﻪ ﺑﻪ اﻳﻦ اﻃﻼﻋﺎت ،آﻳﺎ زﻣﺎﻧﻰ وﺟﻮد داﺷﺘﻪ ﻛﻪ دﻣﺎى دو ﻣﺎﻳﻊ ،در آن ﻟﺤﻈﻪ از زﻣﺎن ،ﺑﺮاﺑﺮ ﺑﻮده ﺑﺎﺷﺪ؟ ﭼﺮا؟
٧٥/٤ ٣٦ داده ﻫﺎى ﻣﺮﺑﻮط ﺑﻪ ﺗﻐﻴﻴﺮات دﻣﺎى ﻣﺎﻳﻊ دوم
ﭘﺲ از ﺟﻤﻊ ﺑﻨﺪى ﻓﻌﺎﻟﻴﺖ ﻓﻮق در ﻛﻼس ،ﺗﻜﺎﻟﻴ Iزﻳﺮ را در ﮔﺮوه اﻧﺠﺎم دﻫﻴﺪ: ﺗﻜـﻠـﻴـ .١ hداده ﻫـﺎى ﺟـﺪول ﻫﺎى زﻳﺮ ﻧـﻴـﺰ ،ﻣـﺮﺑـﻮط ﺑـﻪ دو آزﻣﺎﻳﺶ ﻫﺴﺘﻨﺪ ﻛﻪ ﻫﻢ زﻣﺎن ﺻﻮرت ﮔﺮﻓﺘﻪ اﻧﺪ .در ﻫﺮ دو آزﻣﺎﻳﺶ، ﻣﺎﻳﻌﻰ درون ﻛﺎﻟـﺮى ﻣﺘﺮ heaterﮔﺮم ﺷﺪه اﺳﺖ و دﻣﺎى ﻣﺎﻳﻊ ،ﺑـﺎ ﮔﺬﺷﺖ زﻣﺎن ،در ﻓﻮاﺻﻞ زﻣﺎﻧﻰ ﻣﻌﻴﻦ ،ﺛﺒﺖ ﺷﺪه اﺳﺖ. ﺑﺎ ﺗﻮﺟﻪ ﺑﻪ اﻳﻦ اﻃﻼﻋﺎت ،ﺑﻪ ﭘﺮﺳﺶ ﻫﺎى زﻳﺮ ﭘﺎﺳﺦ دﻫﻴﺪ: ـ در زﻣﺎن ١٠ﺛﺎﻧﻴﻪ ،دﻣﺎى ﻣﺎﻳﻊ دوم ﭼﻨﺪ درﺟﻪ ﺑﻮده اﺳﺖ؟ ـ در ﭼﻪ زﻣﺎﻧﻰ دﻣﺎى ﻣﺎﻳﻊ اول ٦٥ ،درﺟﻪ ﺑﻮده اﺳﺖ؟ ـ آﻳﺎ زﻣﺎﻧـﻰ وﺟﻮد داﺷﺘﻪ ﻛﻪ دﻣﺎى دو ﻣﺎﻳﻊ ،در آن ﻟـﺤـﻈـﻪ از زﻣﺎن ،ﺑﺮاﺑﺮ ﺑﻮده ﺑﺎﺷﺪ؟ ﭼﺮا؟ )t(s
)T(oC
٠
٤٠/٠
٤
٤٥/٦
٨
٥١/٢
١٢
٥٦/٨
١٦
٦٢/٤
٢٠
٦٨/٠
داده ﻫﺎى ﻣﺮﺑﻮط ﺑﻪ ﺗﻐﻴﻴﺮات دﻣﺎى ﻣﺎﻳﻊ اول
)t(s
)T(oC
٨
٥٣/٠
١٢
٥٧/٨
١٦
٦٢/٦
٢٠
٦٧/٤
٢٤
٧٢/٢
٢٨
٧٧/٠
٣٢
٨١/٨
داده ﻫﺎى ﻣﺮﺑﻮط ﺑﻪ ﺗﻐﻴﻴﺮات دﻣﺎى ﻣﺎﻳﻊ اول
)t(s
)T(oC
٨
٤٣/٢
١٢
٤٨/٠
١٦
٥٢/٨
٢٠
٥٧/٦
٢٤
٦٢/٤
)t(s
)T(oC
٢٨
٦٧/٢
٠
٢٥/٠
٣٢
٧٢/٠
٤
٢٨/٢
٨
٣١/٤٤
١٢
٣٤/٦
١٦
٣٧/٨
٢٠
٤١/٠
داده ﻫﺎى ﻣﺮﺑﻮط ﺑﻪ ﺗﻐﻴﻴﺮات دﻣﺎى ﻣﺎﻳﻊ دوم
داده ﻫﺎى ﻣﺮﺑﻮط ﺑﻪ ﺗﻐﻴﻴﺮات دﻣﺎى ﻣﺎﻳﻊ دوم
ﭘﻰﻧﻮﺷﺖ 1. Interdependence 2. Interconnectedness 3. American Mathematical Society 4. Correlation of Work
٢٣
دوره ى ﺑﻴﺴﺖ وﻫﻔﺘﻢ ﺷﻤﺎره ى٣ ﺑﻬﺎر ١٣٨٩
ﺗﺎﺑﻊ
درك داﻧﺶآﻣﻮزان از ﻣﻔﻬﻮم اﺻﻠﻰ
ﺑﻰﺑﻰ زﻛﻴﻪ ﭘﺮﻫﻴﺰﮔﺎر ﻛﺎرﺷﻨﺎس ارﺷﺪ آﻣﻮزش رﻳﺎﺿﻰ زﻫﺮا ﮔﻮﻳﺎ داﻧﺸﮕﺎه ﺷﻬﻴﺪ ﺑﻬﺸﺘﻰ
ﻣﻘﺪﻣﻪ دﻧﻴﺎ از ﻛﻬﻜﺸﺎن ﻫﺎ ،ﻛﻮه ﻫﺎ ،ﻣﺨﻠﻮﻗﺎت ،ﻣﺎﺷﻴﻦ ﻫﺎ و ﭼﻴﺰﻫﺎﻳﻰ ﺳﺎﺧﺘﻪ ﺷﺪه ﻛﻪ ﻫﺮ ﻳﻚ ﺑﻪ ﻧﻈﺮ ﻣﻨﺤﺼﺮ ﺑﻪ ﻓﺮد ﻣﻰ آﻳﻨﺪ .ﻫﻢ ﭼﻨﻴﻦ، دﻧﻴﺎ ﻳﻚ اﻣﺮ آﺷﻮﺑﻰ اﺳﺖ ﻛﻪ در آن ،ﻫﻤﻪ ى آن ﭼﻴـﺰﻫﺎ ﺑﻪ راه ﻫﺎى ﮔﻮﻧﺎﮔﻮن و اﻏﻠﺐ ﺑﻪ ﻃﻮر ﺧﺸـﻮﻧﺖ ﺑﺎر اﻣﺎ ﮔﺎﻫﻰ ﻫﻢ ﺑﺴﻴﺎر ﻧﺎﻓـﺬ، در ﻛﺎر ﻫﻢ دﺧﺎﻟﺖ ﻣﻰ ﻛﻨﻨﺪ .در ﭼﻨﻴﻦ اوﺿﺎﻋﻰ ،ﺑﺎﻳﺪ از رﻳﺎﺿﻰ ﻣﻤﻨﻮن ﺑﻮد ﻛﻪ ﻣﺮدم را ﻗﺎدر ﺳﺎﺧﺘﻪ اﺳﺖ ﺗﺎ درﺑﺎره ى دﻧﻴﺎى اﺷﻴﺎء و رﺧﺪادﻫﺎ ﻓﻜﺮ ﻛﻨﻨﺪ و ﺑﺎ آن اﻓﻜﺎر ،ﺑﻪ ﮔﻮﻧﻪ اى ﻛﻪ وﺣﺪت و ﻧﻈﻢ را آﺷﻜﺎر ﻣﻰ ﺳـﺎزد ،ارﺗﺒﺎط ﺑـﺮﻗﺮار ﻛﻨﻨـﺪ )ﭘـﺮوژه ى ﻋﻠﻮم ﺑـﺮاى ﺗﻤﺎم آﻣﺮﻳﻜﺎﻳـﻰ ﻫـﺎ ،١٩٩٧ ،ﺗـﺮﺟﻤﻪ ى ﮔﻮﻳـﺎ و ﻣـﺮﺗﺎﺿﻰ ﻣﻬـﺮﺑـﺎﻧـﻰ، ،١٣٨٣ص .(٤ اﻳﻦ ﭘﺮوژه در اداﻣﻪ ،ﺑﺎ ﺗﻮﺟﻪ ﺑﻪ ﻫﺪف ﻫﺎى ﺳﻮادآﻣﻮزى ﻋﻤﻮﻣﻰ ﻋﻠﻮم ،ﺗﺄﻛﻴﺪ ﻛﺮده اﺳﺖ ﻛﻪ ﺑﺮاى داﻧﺶ آﻣﻮزان ﻣﻬﻢ اﺳﺖ ﻛﻪ (١ﺑﻔﻬﻤﻨﺪ ﻛﻪ ﺑﻪ ﭼﻪ ﻣﻌﻨﺎ ،رﻳﺎﺿﻰ ﻣﻄﺎﻟﻌﻪ ى اﻟﮕﻮﻫﺎ و رواﺑﻂ اﺳﺖ؛ (٢ﺑﺎ ﺑﻌﻀﻰ از آن اﻟﮕﻮﻫﺎ و رواﺑﻂ آﺷﻨﺎ ﺷﻮﻧﺪ؛ دوره ى ﺑﻴﺴﺖ وﻫﻔﺘﻢ ﺷﻤﺎره ى٣ ﺑﻬﺎر ١٣٨٩
٢٤
(٣ﻳﺎد ﺑﮕﻴﺮﻧﺪ ﻛﻪ از آن ﻫﺎ در زﻧﺪﮔﻰ روزاﻧﻪ اﺳﺘﻔﺎده ﻛﻨﻨﺪ. ﻳﻚ راﺑﻄﻪ ،ﻋﺒﺎرﺗﻰ اﺳﺖ ﻛﻪ ﭼﮕﻮﻧﮕﻰ ارﺗﺒﺎط ﺑﻴﻦ دو ﺷﻰء ﻳﺎ ﺑﻴﺶ ﺗﺮ را ﻧﺸﺎن ﻣﻰ دﻫﺪ و ﺑﻪ ﺷﻜﻞ ﻫﺎى ﻣﺨﺘﻠﻔﻰ ﺑﻪ ﻧﻤﺎﻳﺶ ﮔﺬاﺷﺘﻪ ﻣﻰ ﺷﻮد ،ﻣﺎﻧﻨﺪ ﺟﺪول و ﻧﻤﻮدار و ﺗﺼﻮﻳﺮ .اﻟﮕﻮﻫﺎ ﻧﻴﺰ اﻳﻦ راﺑﻄﻪ ﻫﺎ را ﺑﻪ ﺧﻮﺑﻰ ﺗﻌﺮﻳ Iﻣﻰ ﻛﻨﻨﺪ ،راﺑﻄﻪ ﻫﺎﻳﻰ ﻛﻪ از ﺗﻐﻴﻴﺮ اﺷﻴﺎء ﺣﺎﺻﻞ ﻣﻰ ﺷﻮﻧﺪ. اﻣﺎ ﺗﺎﺑﻊ ﺑﻪ ﻋﻨﻮان ﻳﻜﻰ از ﻣﻔﺎﻫﻴﻢ اﺳﺎﺳﻰ رﻳﺎﺿﻴﺎت ،ﻣﻰ ﺗﻮاﻧﺪ اﻳﻦ اﻣﺮ را ﻛﻪ رﻳﺎﺿﻰ ﻋﻠﻢ اﻟﮕﻮﻫﺎ و رواﺑﻂ اﺳﺖ ﺗﻮﺟﻴﻪ ﻛﻨﺪ ،ﭼﺮا ﻛﻪ ﺗﺎﺑﻊ ،ﺧﻮد ﻳﻚ راﺑﻄﻪ اﺳﺖ و اﻟﮕﻮﻳﻰ اﺳﺖ ﻛﻪ ﺑﺴﻴﺎرى از رواﺑﻂ ﭘﻴﭽﻴﺪه ى ﭘﺪﻳﺪه ﻫﺎى ﺟﻬﺎن واﻗﻌﻰ را روﺷﻦ ﻣﻰ ﺳﺎزد. ﺑﻨﺎﺑﺮاﻳﻦ ،درك ﺻﺤﻴﺢ و ﻫﻤﻪ ﺟﺎﻧﺒﻪ ى داﻧﺶ آﻣﻮزان از ﻣﻔﻬﻮم ﺗﺎﺑﻊ ،ﻣﻰ ﺗﻮاﻧﺪ در ﺟﻬﺖ ﺗﺤﻘﻖ اﻫﺪاف ﺳﻮادآﻣﻮزى ﻋﻠﻮم ،ﺑﺴﻴﺎر ﻣﻬﻢ و اﺳﺎﺳﻰ ﺑﺎﺷﺪ. ﻛﻠﻴﺪ واژهCﻫﺎ :ﻣﻔﻬﻮم ﺗﺎﺑﻊ ،ﺑﺎزﻧﻤﺎﻳﻰ ﻫﺎى ﻣﺨﺘﻠ Iﺗﺎﺑﻊ ،درك داﻧﺶ آﻣﻮزان از ﺗﺎﺑﻊ ،ﻓﺮﻫﻮم.
اﺳﺘﻔﺎده از ﺑﺎزﻧﻤﺎﻳﻰﻫﺎى ﭼﻨﺪﮔﺎﻧﻪ در ﻳﺎدﮔﻴﺮى رﻳﺎﺿﻰ و ﺑﻪوﻳﮋه ﻳﺎدﮔﻴﺮى ﻣﻔﻬﻮم ﺗﺎﺑﻊ ،ﻳﻌﻨﻰ اﺗﺼﺎل ،ﻣﻘﺎﻳﺴﻪ و ﺗﺒﺪﻳﻞ از ﻳﻚ ﺣﺎﻟﺖ ﺑﺎزﻧﻤﺎﻳﻰ ﺑﻪ ﺣﺎﻟﺖ دﻳﮕﺮ ﺑﺎزﻧﻤﺎﻳﻰ ﺑﻪ داﻧﺶآﻣﻮزان ﻛﻤﻚ ﻣﻰﻛﻨﺪ ﺗﺎ ﺑﺘﻮاﻧﻨﺪ ﻣﻬﺎرتﻫﺎى ﻧﻤﺎﻳﺶ و ﺗﺸﺨﻴﺺ ﻣﻔﻬﻮم ﺗﺎﺑﻊ ر ا در ﺑﺎزﻧﻤﺎﻳﻰﻫﺎى ﻣﺨﺘﻠ Oﻛﺴﺐ ﻛﻨﻨﺪ و ﺑﺘﻮاﻧﻨﺪ ﺑﻴﻦ آنﻫﺎ ،اﺗﺼﺎل و ارﺗﺒﺎط ﺑﺮﻗﺮار ﻧﻤﺎﻳﻨﺪ
داﻧﺶآﻣﻮزان و ﻣﻔﻬﻮم ﺗﺎﺑﻊ ﻣﻔﻬـﻮم ﺗﺎﺑﻊ ﻳﻜﻰ از اﺳﺎﺳﻰ ﺗﺮﻳﻦ ﻣﻔﺎﻫﻴﻢ رﻳـﺎﺿـﻰ اﺳـﺖ ﻛـﻪ ﻳﺎدﮔﻴـﺮﻧﺪه ﻫﺎ از دوران اﺑﺘﺪاﻳﻰ ﺗﺎ داﻧﺸﮕﺎه ،ﺑﺎ آن ﺳـﺮوﻛـﺎر دارﻧﺪ. ﻻ ﺑﺎ ﻳﻚ ﺗﻌـﺮﻳـI آﻣﻮزش اﻳﻦ ﻣﻔﻬـﻮم ﻧﻴﺰ در ﺗﻤﺎم ﺳـﻄـﻮح ،ﻣﻌﻤﻮ ً رﺳﻤﻰ آﻏـﺎز ﻣـﻰ ﺷـﻮد و ﺳﭙـﺲ ،ﺑـﺮاى ﺑﻬﺘﺮ ﻓﻬـﻤـﻴـﺪن آن ﺗـﻮﺳـﻂ داﻧﺶ آﻣﻮزان ،ﻣﺜﺎل ﻫﺎﻳﻰ ﺑﺎ ﺑﺎزﻧﻤﺎﻳﻰ ﻫﺎى ﻣﺨﺘﻠ Iاراﺋﻪ ﻣﻰ ﺷﻮﻧﺪ ﻛﻪ از آن ﺟﻤﻠﻪ ،ﻣﻰ ﺗﻮان ﺑﻪ ﻧﻤﺎﻳﺶ ﺗﺼﻮﻳﺮى ﻣﺎﻧﻨﺪ اﺳﺘﻔﺎده از ﻧﻤﻮدار ون ،ﻣﺎﺷﻴﻦ ﺗﺎﺑﻊ ،ﺟﺪول ﻣﻘﺎدﻳﺮ ،ﻧﻤﻮدار ﻣﺨﺘﺼﺎﺗﻰ و ﻓﺮﻣﻮل اﺷﺎره ﻛﺮد ﻛﻪ ﻫﺮ ﻛﺪام از اﻳـﻦ ﺑـﺎزﻧﻤﺎﻳﻰ ﻫﺎ ،وﻳـﮋﮔﻰ ﻫﺎى ﺧﺎص ﺧـﻮد را دارﻧﺪ و ﺑﺮاى درك ﻋﻤﻴﻖ ﺗﺮ ﻣﻔﻬﻮم ﺗﺎﺑﻊ ﺗﻮﺳﻂ داﻧﺶ آﻣﻮزان ﺑﻪ ﻛﺎر ﻣﻰ روﻧﺪ .اﺳﺘﻔﺎده از ﺑﺎزﻧﻤﺎﻳﻰ ﻫﺎى ﭼﻨﺪﮔﺎﻧﻪ ﺑﺮاى ﻳﻚ اﻳﺪه ى ﻣﺸﺎﺑﻪ و اﻧﺘﻘﺎل از ﻳﻚ ﺑﺎزﻧﻤﺎﻳﻰ ﺑﻪ ﺑﺎزﻧﻤﺎﻳﻰ دﻳﮕﺮ ،ﺑﻪ درك ﻋﻤﻴﻖ ﺗﺮ ﻣﻔﻬﻮم ﻛﻤﻚ ﻣﻰ ﻛﻨﺪ ،ﭼﻮن زﻣﺎﻧﻰ ﻣﻰ ﺗﻮان ﻣﻄﻤﺌﻦ ﺷﺪ داﻧﺶ آﻣﻮز ﻣﻌﻨﺎى واﻗـﻌـﻰ راﺑـﻄـﻪ اى را درك ﻛـﺮده اﺳﺖ ﻛـﻪ ﺑـﺘـﻮاﻧـﺪ آن راﺑـﻄـﻪ را در ﺟﺪول ﻫﺎ ،ﻧﻤﻮدارﻫﺎ ،ﻧﻤﺎدﻫﺎ و ﻛﻠﻤﺎت ﻧﺸﺎن دﻫﺪ )ﭘﺮوژه ى ﻋﻠﻮم ﺑـﺮاى ﺗﻤﺎم آﻣﺮﻳﻜـﺎﻳـﻰ ﻫـﺎ ،١٩٩٧ ،ﺗـﺮﺟﻤﻪ ى ﮔـﻮﻳـﺎ و ﻣـﺮﺗﺎﺿـﻰ ﻣﻬﺮﺑﺎﻧﻰ ،١٣٨٣ ،ص .(٤از ﻃﺮف دﻳﮕﺮ ،ﻳﺎﻓﺘﻪ ﻫﺎى ﺗﺤﻘﻴﻘـﻰ ﻧﺸﺎن ﻣﻰ دﻫﻨﺪ ﻛﻪ داﻧﺶ آﻣﻮزان در دﻳﺪن ارﺗﺒﺎط ﺑﻴﻦ ﺑﺎزﻧﻤﺎﻳﻰ ﻫﺎى ﭼﻨﺪﮔـﺎﻧـﻪ ،ﻧـﺎﺗـﻮان ﻫﺴﺘـﻨـﺪ )ﻛـﺎرﻟﺴـﻮن .(١٩٩٩ ،ﻫﻢ ﭼﻨـﻴـﻦ، ﻗﺎﻋﺪه اى ﻛﻪ ﺗﻮﺳﻂ داﻧﺶ آﻣﻮزان ﺑﺮاى ﺗﻌﻴﻴﻦ ﻳﻚ ﺗﺎﺑﻊ ﺑﻪ ﻛﺎر ﻣﻰ رود ﺑﺎ ﺗﻌﺮﻳ Iرﺳﻤﻰ اﻳﻦ ﻣﻔﻬﻮم ـ ﺣﺘﻰ ﺑﺮاى داﻧﺶ آﻣﻮزاﻧﻰ ﻛﻪ ﻣﻰ ﺗﻮاﻧﻨﺪ اﻳﻦ ﺗﻌـﺮﻳـ Iرا ﺑﻪ ﻛـﺎر ﺑـﺮﻧﺪ ـ ﻣﺘـﻔـﺎوت اﺳﺖ )ﻣﺪﻗـﺎﻟـﭽـﻰ ٨٠ ،ـ ،١٣٧٩ص ٢٤ﺑﻪ ﻧﻘﻞ از وﻳﻨﺮ و درﻳﻔﻮس .(١٩٨٩ ،اﻳﻦ ﻳﺎﻓﺘﻪ ﻫﺎ ﻧﺸﺎن ﻣﻰ دﻫﻨﺪ ﻛﻪ آ ﮔﺎﻫﻰ از ﭼﮕﻮﻧﮕﻰ درك داﻧﺶ آﻣﻮزان از ﻣﻔﻬﻮم ﺗﺎﺑﻊ و ﻣﺸﻜﻼﺗﻰ ﻛﻪ ﺣﻴﻦ اﺳﺘﻔﺎده از ﺑﺎزﻧﻤﺎﻳﻰ ﻫﺎى ﭼﻨﺪﮔﺎﻧﻪ ﺑﺮاى ﻳﺎدﮔـﻴـﺮى ﺗﺎﺑـﻊ ﺑـﻪ
وﺟﻮد ﻣﻰ آﻳﺪ ،ﺣﺎﺋـﺰ اﻫـﻤـﻴـﺖ زﻳـﺎدى اﺳـﺖ. ﺑﻪ ﺧﺼﻮص ﺑﺎ ﺗـﻮﺟﻪ ﺑﻪ ﻛﺎرﺑﺮدﻫﺎى وﺳﻴﻌﻰ ﻛﻪ ﺗﺎﺑـﻊ در زﻣﻴﻨﻪ ﻫـﺎى ﻣﺨﺘﻠ Iرﻳﺎﺿﻰ دارد ،اﻧﺠﺎم ﺗﺤﻘﻴﻘﺎﺗﻰ ﻛﻪ ﺑﻪ ﻗﺼﺪ ﺑﻬﺒﻮد آﻣﻮزش اﻳﻦ ﻣﻔﻬﻮم اﻧﺠﺎم ﻣﻰ ﺷﻮﻧﺪ ،ﺿﺮورى اﻧﺪ.
اﻫﻤﻴﺖ ﻣﻔﻬﻮم ﺗﺎﺑﻊ در ﺑﺮﻧﺎﻣﻪرﻳﺰى درﺳﻰ رﻳﺎﺿﻰ ﻣﺪرﺳﻪاى
ﻳﻜﻰ از اوﻟﻴﻦ ﻛﺴﺎﻧﻰ ﻛﻪ ﺑﺮ اﻫﻤﻴﺖ و ﻧﻘﺶ اﺳﺎﺳﻰ ﻣﻔﻬﻮم ﺗﺎﺑﻊ در ﻛﻞ ﺑﺮﻧﺎﻣﻪ ى آﻣﻮزش رﻳﺎﺿﻴﺎت ﺗﺄﻛﻴﺪ زﻳﺎدى داﺷﺖ ،ﻓﻠﻴﻜـﺲ ﻛـﻼﻳـﻦ ﺑـﻮد )ﻫـﻤـﻠـﻰ .(١٩٣٤ ، ١وى در ﺳـﺎل ١٨٩٣در ﻳـﻚ ﺳﺨﻨـﺮاﻧﻰ ﻗﺒـﻞ از ﺷـﺮوع ﻛﻨﮕـﺮه ى ﺑﻴﻦ اﻟﻤﻠﻠﻰ رﻳـﺎﺿـﻴـﺎت ﻛـﻪ در ﺷﻴﻜﺎﮔﻮ ﺑـﺮﮔـﺰار ﺷﺪ ،ﺗﻮﺟﻪ ﺗﻤﺎم ﻣﻌﻠﻤـﺎن رﻳـﺎﺿـﻰ را ﺑﻪ اﻫﻤﻴـﺖ اﺳﺎﺳﻰ آن ﭼﻪ ﻛﻪ او آن را »ﺗﻔﻜﺮ ﺗﺎﺑﻌﻰ« ﻧﺎﻣﻴﺪه ﺑـﻮد ،ﺟﻠﺐ ﻛـﺮد. ﻛﻼﻳﻦ ﺑﺎرﻫﺎ در ﻛﻨﻔﺮاﻧﺲ ﻫﺎى ﺑﻴﻦ اﻟﻤﻠﻠﻰ اﻇﻬﺎر داﺷﺖ ﻛﻪ »ﻣﻔﻬﻮم ﺗﺎﺑﻊ« ﺑﺎﻳﺪ ﻳﻚ ﻣﻔﻬـﻮم ﻣﺤـﻮرى در آﻣﻮزش رﻳﺎﺿﻴﺎت ﺑﺎﺷـﺪ .وى ﻣﺠﺪداً در اراﺋﻪ ى ﮔﺰارﺷﻰ ﺑﻪ ﻛﻨﮕﺮه ى ﺑﻴﻦ اﻟﻤﻠﻠﻰ رﻳﺎﺿﻴﺎت ﻛﻪ در ﺳﺎل ١٩٠٨در رم ﺑﺮﮔﺰار ﺷﺪ ،دوﺑـﺎره ﺑﺮ روى ﻣﻔﻬﻮم ﺗﺎﺑﻊ ﺗﺄﻛﻴـﺪ ﻛﺮده و اﻋﻼم ﻧﻤﻮد ﻛﻪ »ﻧﻪ ﺗﻨﻬﺎ ﻣﻌﻠﻤﺎن ﺑﺎﻳﺪ اﻳﻦ ﻣﻔﻬـﻮم را ﺑﻪ ﻋﻨﻮان ﻳﻚ روش رﻳﺎﺿﻰ در ﻧﻈﺮ ﺑﮕﻴﺮﻧﺪ ،ﺑﻠﻜﻪ ﺑﺎﻳﺪ آن را ﺑﻪ ﻋﻨﻮان ﻗﻠﺐ و روح آﻣﻮزش رﻳﺎﺿﻰ ﺑﻪ ﺷﻤـﺎر آورﻧﺪ .وى در اداﻣﻪ اﻇﻬﺎر داﺷـﺖ ﻛﻪ »اﻳﻦ اﻋﺘﻘﺎد ﻣﻦ اﺳﺖ« ﻛﻪ ﻣـﻔـﻬـﻮم ﺗﺎﺑﻊ ،ﺑﺎﻳﺪ روح ﻣﻄﺎﻟﻌـﻪ ى رﻳﺎﺿﻴﺎت در ﻣـﺪارس ﺑﺎﺷﺪ« )ﻧﻘﻞ ﺷﺪه در ﻫﻤـﻠـﻰ ،١٩٣٤ص ١٧٠ـ.(١٦٩ ٢ ﺑﻪ ﮔﻔﺘﻪ ى ﻫﺪرﻳﻚ ) ،(١٩٣٨ﻣﻔﻬﻮم ﺗﺎﺑﻊ در ﻣﺮاﺣﻞ اﺑﺘﺪاﻳﻰ، ﺑﺎ اﻳﺪه ى ﺗﻨﺎﻇﺮ ﻣﺘﻐﻴـﺮﻫﺎ ﻣﺮﺗﺒﻂ ﻣﻰ ﺷـﻮد .وى ﺗﻮﺿﻴﺢ ﻣﻰ دﻫﺪ ﻛﻪ ﻣﺜﻼ در ﻣﺒﺤﺚ اﺛﺮ ﻣﻘﺎوﻣﺖ ﻫﻮا ﺑﺮ ﺣﺮﻛﺖ ﻳﻚ اﺗﻮﻣﺒﻴﻞ ،ﻫﻨﮕﺎﻣﻰ ً ﻛﻪ ﻣﻰ ﮔﻮﻳﻴﻢ ﻣﻘﺎوﻣﺖ ﺑﻪ ﺳﺮﻋﺖ ﺑﺴﺘﮕﻰ دارد ،ﺗﻔﻜﺮ ﺗﺎﺑﻌﻰ ﻇﺎﻫﺮ ﻣﻰ ﺷﻮد .ﺑﺮاى ﺗﻔﻜﺮ ﺗﺎﺑﻌﻰ ،اﻟﺰاﻣﺎً ﻧﻴﺎز ﺑﻪ داﺷﺘﻦ ﻳﻚ ﻓﺮﻣﻮل دﻗﻴﻖ ﻧﻴﺴﺖ .ﻫـﺮﮔﻮﻧﻪ ﻣﺸﺎﻫﺪه اى ﻣﺎﻧﻨﺪ اﻳﻦ ﻛـﻪ اﻓـﺰاﻳﺶ ﺳﺮﻋﺖ ﺑﺎﻋـﺚ اﻓﺰاﻳﺶ ﻣﻘﺎوﻣﺖ ﻣﻰ ﺷﻮد ،در ﺣﻮزه ى ﺗﻔﻜﺮ ﺗﺎﺑﻌﻰ ﻗﺮار ﻣﻰ ﮔﻴﺮد. ﻋﻼوه ﺑﺮ اﻳﻦ ،ﻫﺪرﻳﻚ اﻇﻬﺎر ﻣﻰ دارد ﻛﻪ ﺗﺤﻘﻴﻖ درﺑﺎره ى داده ﻫﺎى ﺗﺠﺮﺑﻰ ﻧﻴﺰ ،ﻳﻜﻰ دﻳﮕﺮ از ﻣﺮاﺣﻞ ﺗﻔﻜﺮ ﺗﺎﺑﻌﻰ اﺳﺖ .ﻣﺜﻼً ﺑﺮرﺳﻰ اﻃﻼﻋﺎت آﻣﺎرى ﻛﻪ ﺑﺮاى ﻣﻘﺎوﻣﺖ در ﺳﺮﻋﺖ ﻫﺎى ﻣﺨﺘﻠ Iﺑﻪ دﺳﺖ ﻣﻰ آﻳﺪ و ﻛﺸـﻴـﺪن ﻧـﻤـﻮدارى ﻛﻪ اﻃﻼﻋﺎت ﺻـﺮﻳـﺢ ﺗـﺮى درﺑﺎره ى ﻣﺎﻫـﻴـﺖ راﺑﻄـﻪ اراﺋﻪ ﻣﻰ دﻫﺪ ﻧﻴﺰ ﺟﺰو ﺗـﻔـﻜـﺮ ﺗـﺎﺑـﻌـﻰ ﻣـﺤـﺴـﻮب ٢٥
دوره ى ﺑﻴﺴﺖ وﻫﻔﺘﻢ ﺷﻤﺎره ى٣ ﺑﻬﺎر ١٣٨٩
ﻣﻰ ﺷﻮﻧﺪ .وى در اداﻣﻪ،ﺑﻴﺎن ﻣﻰ ﻛﻨﺪ ﻛﻪ ﺣﺘﻰ در ﻫﺮ ﻣﺮﺣﻠﻪ اى از ﺣﺴﺎب اﺑﺘﺪاﻳﻰ ،ﺗﻔﻜﺮ ﺗﺎﺑﻌﻰ ﻣﻤﻜﻦ اﺳﺖ ﻇﺎﻫﺮ ﺷﻮد؛ ﻣﺜﻞ وﻗﺘﻰ ﻛﻪ ﺑﺎ داﻧﺴﺘﻦ ﻗﻴﻤﺖ ﻳﻚ واﺣﺪ از ﻫﺮ ﺷﻰء ،ﻗﻴﻤﺖ ﭼﻨﺪ واﺣﺪ دﻳﮕﺮ را ﺑﻪ دﺳﺖ ﻣﻰ آورﻳﻢ ﻛﻪ ﺑﺎ ﭼﻨﻴﻦ ﻣﺤﺎﺳﺒﺎﺗﻰ ،اﻳﺪه ى راﺑﻄﻪ ى ﺑﻴـﻦ ﻣﺘﻐﻴﺮﻫﺎ ﻣﻰ ﺗﻮاﻧﺪ ﺑﻪ ذﻫﻦ داﻧﺶ آﻣﻮز ﺧﻄﻮر ﻛﻨﺪ .ﺑﻪ ﻫﻤﻴﻦ ﺗﺮﺗﻴﺐ، ﻣﻔﻬﻮم ﺗﺎﺑﻊ و ﺗﻔﻜﺮ ﺗﺎﺑﻌﻰ در ﺗﻤﺎم ﺣﻮزه ﻫﺎى رﻳﺎﺿﻴﺎت ﻣﺎﻧﻨﺪ ﺟﺒﺮ، ﻫﻨﺪﺳﻪ ،ﺣﺴﺎﺑﺎن ،ﻣﺜﻠﺜﺎت و رﻳﺎﺿﻴﺎت ﭘﻴﺸﺮﻓﺘﻪ ﻇﺎﻫﺮ ﻣﻰ ﺷﻮد ﻛﻪ ﻫﻤﻪ ى آن ﻫﺎ ،ﻧﻴﺎزﻣﻨﺪ درك ﺻﺤﻴﺤﻰ از ﻣﻔﻬﻮم ﺗﺎﺑﻊ ﻣﻰ ﺑﺎﺷﻨﺪ. ﺑﻨﺎﺑﺮاﻳﻦ ،ﺑﺎ ﻣﻔﻬﻮم ﺗﺎﺑﻊ در ﻛﻞ رﻳﺎﺿﻴﺎت ـ از اوﻟﻴﻦ ﮔﺎم ﻫﺎ در ﺣﺴﺎب اﺑﺘﺪاﻳﻰ ﮔﺮﻓﺘﻪ ﺗﺎ رﻳﺎﺿﻴﺎت ﭘﻴﺸﺮﻓﺘﻪ در ﺳﻄﺢ داﻧﺸﮕﺎﻫﻰ، ﺳﺮوﻛﺎر دارﻳﻢ زﻳـﺮا ﺑﻪ ﮔﻔﺘﻪ ى ﻫﺪرﻳـﻚ ) ،(١٩٣٨ﻣﻔﻬـﻮم ﺗﺎﺑﻊ، ﻣﻮﺿﻮﻋﻰ اﺳﺖ ﻛﻪ ﻣﺴﺘﻌﺪ ﻫﻤﺎﻫﻨﮓ ﻛﺮدن ﻛﻞ رﻳﺎﺿﻴﺎت اﺳـﺖ و رﻳﺎﺿﻴـﺎت را ﺑـﺎ زﻧﺪﮔﻰ و ﻋﻠﻢ ﺗﻠﻔﻴﻖ ﻣﻰ ﻛﻨـﺪ .در ﺗـﺄﻳـﻴـﺪ ﭼـﻨـﻴـﻦ دﻳﺪﮔﺎﻫﻰ ،آﻛﻮك و ﺗﺎل ) (٢٠٠٦ﺑﻪ ﻧﻘﻞ از اﺳﺘﺎﻧﺪاردﻫﺎى ﺷﻮراى ﻣﻠﻰ ﻣﻌﻠﻤﺎن رﻳﺎﺿﻰ ) (١٩٨٩) (NC TMﺑﻴﺎن ﻣﻰ دارﻧﺪ: ﻣﻔﻬﻮم ﺗﺎﺑﻊ ،ﻳﻚ اﻳﺪه ى ﻫﻤﺎﻫﻨﮓ ﻛﻨـﻨـﺪه ٣و ﻣﻬﻢ در رﻳﺎﺿﻰ اﺳﺖ .ﺗﻮاﺑﻊ ﻛﻪ ﺗﻨـﺎﻇـﺮﻫﺎى ﺧﺎصِ ﺑﻴﻦ دو ﻣﺠﻤـﻮﻋﻪ ﻫﺴﺘﻨـﺪ،در ﺳﺮاﺳﺮ ﺑـﺮﻧﺎﻣﻪ ى درﺳﻰ ﻣﺸﺘـﺮك اﻧﺪ .در ﺣﺴﺎب ،ﺗﻮاﺑﻊ ﺑﻪ ﻋﻨـﻮان ﻋﻤﻠﻴﺎت ﻣﻔﻴﺪ ﺑﺮ روى اﻋﺪاد ﻣﺎﻧﻨﺪ ﻣﺘﻨﺎﻇﺮ ﺷﺪن ﻳﻚ ﺟﻔﺖ ﻋﺪد ﺑﻪ ﻳﻚ ﻋﺪد ﺧﺎص و ﻣﺎﻧﻨﺪ ﺟﻤﻊ دو ﻋﺪد ﺑﻪ ﻧﻈﺮ ﻣﻰ رﺳﻨﺪ؛ در ﺟﺒﺮ، ﺗﻮاﺑﻊ رواﺑﻄﻰ ﺑﻴﻦ ﻣﺘﻐﻴـﺮﻫﺎ ﻫﺴﺘﻨﺪ ﻛﻪ اﻋـﺪاد را اراﺋﻪ ﻣﻰ دﻫﻨﺪ؛ در ﻫﻨﺪﺳـﻪ ،ﺗـﻮاﺑﻊ ﻣـﺠـﻤـﻮﻋﻪ اى از ﻧـﻘـﺎط را ﺑﻪ ﺗﺼـﻮﻳـﺮﺷﺎن ﺗـﺤـﺖ ﺣﺮﻛﺖ ﻫﺎﻳﻰ ﻣﺎﻧـﻨـﺪ ﺑـﺮﮔﺮداﻧﺪن ﻫـﺎ ،٤ﺳﺮﻳﺪن ﻫـﺎ ٥و ﭼـﺮﺧﺶ ﻫﺎ، ﻣﺮﺗﺒﻂ ﻣﻰ ﻛﻨﻨﺪ؛ و در اﺣﺘﻤﺎل ،ﺗﻮاﺑﻊ ،ﭘﻴﺸﺎﻣﺪﻫﺎ را ﺑﻪ اﺣﺘﻤﺎﻻت آن ﻫﺎ ﻣﺮﺑﻮط ﻣﻰ ﺳﺎزﻧﺪ .ﻫﻢ ﭼﻨﻴﻦ ،اﻫﻤﻴﺖ دﻳﮕﺮ ﺗﺎﺑﻊ اﻳﻦ اﺳـﺖ ﻛﻪ ﺗﺎﺑـﻊ ،راﺑﻄﻪ ى رﻳﺎﺿﻰ ﻣﺘـﺸـﻜـﻞ از ﻣـﻮﻗﻌﻴـﺖ ﻫـﺎى ورودى و ﺧﺮوﺟﻰ ﺟﻬﺎن واﻗﻌﻰ اﺳﺖ. ﻫﻢ ﭼﻨﻴﻦ ،ﻛـﺎرﻟﺴﻮن ) (١٩٩٩ﻣﻌﺘﻘﺪ اﺳﺖ ﻛﻪ داﺷـﺘـﻦ درك ﺑﺎﻻ و ﻗﻮى از ﻣﻔﻬﻮم ﺗﺎﺑﻊ ،ﺑﺮاى ﻫﺮ داﻧﺶ آﻣﻮزى ﺿﺮورى اﺳﺖ ﺗﺎ ﺑﺘﻮان اﻣﻴﺪوار ﺑﻮد ﻛﻪ وى ،ﺣﺴﺎﺑـﺎن را درك ﻛﻨﺪ .از ﻃﺮف دﻳﮕﺮ، ﺑﻪ ﮔﻔﺘﻪ ى ﺳﺎﺟﻜﺎ ) ،(٢٠٠٣ﺗﺎﺑﻊ ﻳﻜﻰ از ﻣﻔﺎﻫﻴﻢ اﺳﺎﺳﻰ رﻳﺎﺿﻰ اﺳﺖ ﻛﻪ در ﮔﻮﻧﺎﮔﻮﻧﻰ ﺗﻔﺴﻴﺮﻫﺎ و ﺑﺎزﻧﻤﺎﻳﻰ ﻫﺎﻳﺶ ﺷﮕﻔﺖ آور اﺳﺖ و ﺗﻮﺟـﻪ و زﻣﺎن زﻳﺎدى در ﻓﺮآﻳﻨﺪﻫﺎى آﻣـﻮزﺷﻰ ﺑـﺮ روى آن ﺻﺮف ﺷﺪه اﺳﺖ .ﺑﺎ اﻳﻦ ﺣﺎل ،ﺗﺎﺑﻊ ﻫﻢ ﭼﻨﺎن ﻣﻔﻬﻮﻣﻰ ﭘﻴﭽﻴﺪه و ﻣﺸﻜﻞ ﺑﺎﻗﻰ ﻣﺎﻧﺪه اﺳـﺖ ،زﻳـﺮا ﺑﺎ وﺟﻮدى ﻛـﻪ دوﮔﺎﻧﮕﻰ ﻓـﺮآﻳﻨﺪ ـ ﺷـﻰء و ﺑﺎزﻧﻤﺎﻳﻰ ﻫﺎى ﻣﺨﺘﻠ ،Iﻇـﺮاﻓﺖ و ﭘﻴﭽﻴﺪﮔﻰ ﻣﻔﻬﻮم ﺗﺎﺑﻊ را ﻧﺸﺎن ﻣﻰ دﻫﺪ ،داﻧﺶ آﻣﻮزان اﻏﻠﺐ ﺑﺮ اﻳﺪه ﻫﺎى ﺷﻬﻮدى و ﻏﻴﺮﻣﺘﻔﻜﺮاﻧﻪ دوره ى ﺑﻴﺴﺖ وﻫﻔﺘﻢ ﺷﻤﺎره ى٣ ﺑﻬﺎر ١٣٨٩
٢٦
از رواﺑﻂ ﺗﺎﺑﻌﻰ ﻣﺘﻜﻰ ﻫﺴﺘﻨﺪ .ﺑﺪﻳﻦ ﺳﺒﺐ و ﻫﻤﺎن ﻃﻮر ﻛﻪ دﻳﻮﻳﺲ و ﻣﻚ ﮔـﺎن ) ،(٢٠٠٢ﻣﺸﺎﻫﺪه ﻛـﺮده اﻧﺪ ،ﻣﻔﻬـﻮم ﺗﺎﺑﻊ ﺑﺎ ﻃـﻴـI وﺳﻴﻌﻰ از ﻧﻤﺎدﻫﺎﻳﺶ ﺑﺎ ﺑﺪﻓﻬﻤﻰ ﻫﺎى ﮔﺴﺘﺮده اى ﻫﻤﺮاه اﺳﺖ. ﺑﺎ ﺗﻮﺟﻪ ﺑﻪ اﻫﻤﻴﺖ ﻗﺎﺑﻞ ﻣﻼﺣﻈﻪ اى ﻛﻪ ﺗﺎﺑﻊ در رﻳﺎﺿﻰ و ﺣﺘﻰ ﺳﺎﻳﺮ ﻋﻠﻮم دارد ،ﺑﻪ ﻧﻈﺮ ﻣﻰ رﺳﺪ ﺗﺤﻘﻴﻘﺎت ﺑﺮ روى آﻣﻮزش و درك اﻳﻦ ﻣﻔﻬﻮم ﺿﺮورى اﺳﺖ .ﺑﻪ وﻳﮋه اﻳﻦ ﻛﻪ ﺗﺤﻘﻴﻘﺎت ﻧﺸﺎن ﻣﻰ دﻫﻨﺪ درك ﻣـﻔـﻬـﻮم ﺗـﺎﺑـﻊ ﺑـﺮاى داﻧـﺶ آﻣـﻮزان ﺳـﺨـﺖ اﺳـﺖ و ﺣـﺘــﻰ داﻧﺶ آﻣﻮزاﻧﻰ ﻛﻪ ﻧﻤﺮه ﻫﺎى ﺑﺎﻻﻳﻰ در ﺣﺴﺎﺑﺎن دارﻧﺪ ،درك ﺿﻌﻴﻔﻰ از اﻳﻦ ﻣﻔﻬﻮم دارﻧﺪ )ﺑﺮدﻧﺒﺎخ ،٦دوﺑﻴﻨﺴﻜﻰ ،ﻫـﺎوس ٧و ﻧﻴﻜﻮﻟﺰ، ٨ ١٩٩٢؛ ﻛﺎرﻟﺴﻮن.(١٩٩٩ ، ٩ ﻣﻌﺮﻓﻰ ﻳﻚ ﭘﮋوﻫﺶ ﺑﺎ ﺗـﻮﺟﻪ ﺑﻪ ﻧﻘﺶ و اﻫﻤﻴﺖ ﺗﺎﺑﻊ در رﻳﺎﺿﻰ و ﻣﺸـﻜـﻼﺗـﻰ ﻛـﻪ داﻧﺶ آﻣﻮزان در ﻳﺎدﮔﻴـﺮى اﻳﻦ ﻣﻔﻬـﻮم ﻣﺤﻮرى دارﻧﺪ ،ﺗﺤﻘﻴﻘﻰ ﺑـﺎ ﺗﺒﻴﻴﻦ اﻫﺪاف زﻳﺮ ﻃﺮاﺣﻰ ﺷﺪ: (١ﺷـﻨـﺎﺧـﺖ دﺷــﻮارى ﻫـﺎ و ﭘـﻴـﭽـﻴـﺪﮔـﻰ ﻫـﺎى اﺣـﺘـﻤـﺎﻟــﻰ داﻧﺶ آﻣﻮزان در ﺑﺮﺧﻮرد ﺑﺎ ﺑﺎزﻧﻤﺎﻳﻰ ﻫﺎى ﭼﻨﺪﮔﺎﻧﻪ ى ﺗﺎﺑﻊ؛ (٢ﺑﺮرﺳﻰ ﺗﺼﻮرات داﻧﺶ آﻣﻮزان ﻧﺴﺒﺖ ﺑﻪ ﻣﻔﻬﻮم ﺗﺎﺑﻊ؛ (٣ﺑﺮرﺳﻰ ﭼﮕﻮﻧﮕﻰ اﺳﺘﻔﺎده ى داﻧﺶ آﻣـﻮزان از وﻳﮋﮔﻰ ﻫﺎى ﺗﻌﺮﻳ Iﺗﺎﺑﻊ ﺑﺮاى ﺑﺎزﻧﻤﺎﻳﻰ ﻫﺎى ﻣﺨﺘﻠ.I ﺑﺎ ﺗﻮﺟﻪ ﺑﻪ اﻫﺪاف ﺑﺎﻻ ،ﻳﻜﻰ از ﺳﺆال ﻫﺎﻳﻰ ﻛﻪ در اﻳﻦ ﭘﮋوﻫﺶ ﻃﺮاﺣﻰ ﺷﺪ ،ﭼﻨﻴﻦ ﺑﻮد: داﻧﺶ آﻣﻮزان در ﺑﺮﺧﻮرد ﺑﺎ ﺑﺎزﻧﻤﺎﻳﻰ ﻫﺎى ﻣﺨﺘﻠ Iﺗﺎﺑﻊ ،ﭼﮕﻮﻧﻪ از ﺗﻌﺮﻳ Iﺗﺎﺑﻊ اﺳﺘﻔﺎده ﻣﻰ ﻛﻨﻨﺪ؟ ﭼﺎرﭼﻮب ﻧﻈﺮى اﻳﻦ ﺗﺤﻘﻴﻖ ،ﺑﺮاﺳﺎس دﻳﺪﮔﺎه ﺗﺎﻣﺴﻮن از ﻣﻔﻬﻮم اﺻﻠﻰ ﺗﺎﺑﻊ ﺷﻜﻞ ﮔﺮﻓﺖ. ﺗﺎﻣﺴﻮن ) (١٩٩٤اﻇﻬﺎر ﻣﻰ دارد ﻛﻪ ﻣﻔﻬﻮم اﺻﻠﻰ ﺗﺎﺑﻊ ،ﺗﻨﻬـﺎ از ﻃﺮﻳﻖ اراﺋﻪ ى ﺑﺎزﻧﻤﺎﻳﻰ ﻫﺎى ﭼﻨﺪﮔﺎﻧﻪ ﺣﺎﺻﻞ ﻧﻤﻰ ﺷﻮد ﺑﻠﻜﻪ ﻻزم اﺳﺖ ﻛﻪ ﺑﻪ ﺟﺎى ﺗﻤﺮﻛﺰ ﺑﺮ اﻳﻦ ﺑﺎزﻧﻤﺎﻳﻰ ﻫﺎى ﻣﺠﺮد ،اﺑﺘﺪا ﻳﻚ ﺣﺲ ذﻫﻨﻰ ﻏﻴﺮﻣﺘﺰﻟﺰل در داﻧﺶ آﻣﻮزان اﻳﺠﺎد ﻛﻨﻴﻢ. ﻫﻢ ﭼﻨﻴـﻦ ،آﻛـﻮك و ﺗﺎل ) ،(٢٠٠٣ﺑﺎ اﺳﺘﻨﺎد ﺑﻪ ﻳـﺎﻓـﺘـﻪ ﻫـﺎى ﺗﺎﻣﺴـﻮن ﺑﻴﺎن ﻣﻰ ﻛﻨﻨﺪ ﻛﻪ ﺿـﺮورى اﺳﺖ ﻛﻪ داﻧﺶ آﻣـﻮزان ﻫﻨﮕﺎم ﻛﺎر ﻛﺮدن ﺑﺎ ﺑﺎزﻧﻤﺎﻳﻰ ﻫﺎى ﻣﺨﺘﻠ Iﺗﺎﺑﻊ ،اﻳﺪه ﻫﺎى ﻧﻬﻔﺘﻪ در آن ﻫﺎ را درك ﻛﻨﻨﺪ .در ﻏﻴﺮ اﻳـﻦ ﺻـﻮرت ﺑﺮاى داﻧﺶ آﻣﻮزان ،ﺑﺎزﻧﻤﺎﻳـﻰ ﺗﺒﺪﻳﻞ ﺑﻪ ﻣﻮﺿﻮﻋﻰ ﻣﻰ ﺷﻮد ﻛﻪ ﺟﺪاﮔﺎﻧﻪ ﺑﺎﻳﺪ ﻳﺎد ﮔﺮﻓﺘﻪ ﺷﻮد. ﻣﻌﻠﻤـﺎن ،ﺑـﺮﻧﺎﻣﻪ رﻳﺰان درﺳﻰ و ﻣـﺆﻟﻔﺎن ﻛﺘﺎب ﻫﺎى رﻳـﺎﺿـﻰ ﻣﺨﺎﻃﺒﺎن اﺻﻠﻰ اﻳﻦ ﺗﺤﻘﻴﻖ ﻫﺴﺘﻨﺪ .ﻣﻌﻠﻤﺎن رﻳﺎﺿﻰ ﻣﻰ ﺗﻮاﻧﻨﺪ از
ﻧﺘﺎﻳﺞ ﺑﻪ دﺳﺖ آﻣﺪه در اﻳﻦ ﺗﺤﻘﻴﻖ ﺑـﺮاى ارﺗﻘﺎى ﻛﻴﻔﻴﺖ ﺗﺪرﻳﺲ و ﺑﻬﺒﻮد ﻳﺎدﮔﻴـﺮى داﻧﺶ آﻣﻮزان اﺳﺘﻔﺎده ﻛﻨﻨﺪ .ﺑـﺮﻧﺎﻣﻪ رﻳﺰان درﺳﻰ و ﻣﺆﻟﻔﺎن ﻛﺘﺎب ﻫـﺎى درﺳﻰ ﻧﻴﺰ ﻣﻰ ﺗﻮاﻧﻨﺪ ﺑﺎ ﺑﻬـﺮه ﮔﻴﺮى از ﻧﺘﺎﻳﺞ اﻳﻦ ﺗﺤﻘﻴﻖ ،ﻫﻢ در اﻧﺘﺨﺎب ﻣﺤﺘﻮاى ﻛﺘﺎب ﻫﺎى درﺳﻰ رﻳﺎﺿﻰ و ﻫﻢ در ﺳﺎزﻣﺎن ﻫﺎى ﺗﺄﻟﻴ ،Iاز ﺑـﻪ ﻛـﺎرﮔﻴﺮى آن ﭼﻪ ﻛﻪ ﺑﺎ ﺳﺎﺧﺘـﺎرﻫـﺎى ﺷﻨﺎﺧﺘﻰ داﻧﺶ آﻣﻮزان ﻣﻐﺎﻳﺮت دارد ،اﺟﺘﻨﺎب ورزﻧﺪ. اﻳﻦ ﺗﺤﻘـﻴـﻖ ﺗـﻤـﺮﻛﺰ ﺧـﻮد را ﺗﻨﻬـﺎ ﺑـﺮ روى درك داﻧﺶ آﻣـﻮزان ﭘﺎﻳﻪ ﻫﺎى دوم و ﺳﻮم دﺑﻴﺮﺳﺘﺎن از ﻣﻔﻬﻮم ﺗﺎﺑﻊ ﻗﺮارداد و ﻧﺘﺎﻳﺞ ﺑﻪ دﺳﺖ آﻣـﺪه درﺑـﺎره ى درك داﻧﺶ آﻣـﻮزان از ﻣﻔـﻬـﻮم ﺗـﺎﺑـﻊ ،ﻣـﺤـﺪود ﺑﻪ ﺷﺮﻛﺖ ﻛﻨﻨﺪﮔﺎنِ در اﻳﻦ ﺗﺤﻘﻴﻖ اﺳﺖ .ﻫﺮﭼﻨﺪ ﭘﮋوﻫﺸﮕﺮ ﺑﺮاى رﻓﻊ ﺑﻌﻀﻰ اﺑﻬﺎﻣﺎت و ﺳﺆاﻻت ذﻫﻨﻰ ،در ﻣﻨﻄﻘﻪ ى دﻳﮕﺮ از ﻛﺸﻮر، ﻫﻤﻴﻦ ﺗﺤﻘﻴﻖ را ﻋﻴﻨﺎً ﺗﻜﺮار ﻛﺮد و ﻧﺘﺎﻳﺞ ﺑﻪ دﺳﺖ آﻣﺪه ﺗﺎ ﺣﺪ زﻳﺎدى ﻣﺆﻳﺪ ﻳﻜﺪﻳﮕﺮ ﺑﻮدﻧﺪ. در اﻳـﻦ ﭘـﮋوﻫـﺶ ،واژه ﻫﺎى ﺗـﺎﺑـﻊ ،ﺑـﺎزﻧـﻤـﺎﻳـﻰ ،ﻓـﺮ ﻫـﻮم ﺑـﺎ ﺗﻌﺮﻳ Iﻫﺎى ﻋﻤﻠﻴﺎﺗﻰ زﻳﺮ اﺳﺘﻔﺎده ﺷﺪ: ﺗﺎﺑﻊ؛ ﻋﺒﺎرت اﺳﺖ از ﻳﻚ ﺗﻨﺎﻇﺮ ﺑﻴﻦ دو ﻣﺠﻤﻮﻋﻪ ى ﻧﺎﺗﻬﻰ ﻛﻪ ﺑﻪ ﻫﺮ ﻋﻨﺼـﺮ از ﻣـﺠـﻤـﻮﻋﻪ ى اول )داﻣﻨﻪ( دﻗـﻴـﻘـﺎً ﻳﻚ ﻋﻨـﺼـﺮ در ﻣﺠﻤﻮﻋﻪ ى دوم )ﻫﻢ داﻣﻨﻪ( ﻧﺴﺒﺖ داده ﻣﻰ ﺷﻮد )ﻣﻔﻬﻮم درﻳﻜﻠﻪ ـ ﺑﻮرﺑﺎﻛﻰ(. ﮔﺎﻫـﻰ اوﻗﺎت ،ﺑـﺮاى اﺟﺘﻨـﺎب ﻛـﺮدن از واژه ى ﺗﻨﺎﻇـﺮ ،ﺗـﺎﺑـﻊ ﺑﻪ ﺻﻮرت ﻣﺠﻤﻮﻋﻪ اى از زوج ﻫﺎى ﻣﺮﺗﺐ ﻛﻪ ﺷﺮاﻳﻂ ﺧﺎﺻﻰ دارﻧﺪ ﻣﻌﺮﻓﻰ ﻣﻰ ﺷﻮﻧﺪ )وﻳﻨﺮ و درﻳﻔﻮس.(١٩٨٩ ، ١٠ ﺑﺎزﻧﻤـﺎﻳـﻰ؛ روﺷﻰ ﺑـﺮاى اراﺋﻪ ى ﻳﻚ ﻣﻔـﻬـﻮم رﻳﺎﺿـﻰ اﺳـﺖ. ﻣﺜـﻼً ،ﺑﺎزﻧﻤﺎﻳﻰ ﻋﺪدى ،روﻳـﻪ اى ﻋـﺪدى ﺑـﺮاى ﻣﺤﺎﺳﺒـﻪ ى ﻳـﻚ ﻧﺘﻴﺠﻪ ى ﻋﺪدى اﺳﺖ؛ ﺑﺎزﻧﻤﺎﻳﻰ ﻧﻤﻮدارى وﻗﺘﻰ ﺑﻪ ﻛﺎر ﻣـﻰ رود ﻛﻪ ورودى و ﺧـﺮوﺟﻰ ﻣﺤـﺎﺳـﺒـﺎت ﺑـﺎ ﻧـﻤـﻮدار ﻧﻤﺎﻳـﺶ داده ﺷـﻮد و ﺑﺎزﻧﻤﺎﻳﻰ ﻧﻤﺎدﻳﻦ ﻫﻨﮕﺎﻣﻰ اﺳـﺖ ﻛـﻪ ﺑـﺮﺣﺴﺐ ﻧﻤﺎدﮔـﺬارى ﺟﺒـﺮى ﻧﻤﺎﻳﺶ داده ﺷﻮﻧﺪ )ﺳﺮﺷﺘﻰ.(١٣٨٤ ، ﻓﺮﻫﻮم١١؛ ﺗﺮﻛﻴﺒﻰ از ﻓﺮآﻳﻨﺪ ،ﻣﻔﻬﻮم و ﻧﻤﺎد اﺳﺖ ،ﺗﺎل ،١٩٩٧ ﺑﻪ ﻧﻘﻞ از ﮔﺮى و ﺗـﺎل ،١٩٩٤در ﺗﻮﺿﻴﺢ ﻓﺮﻫﻮم ﻣﺜﺎل زﻳﺮ را ﺑﻴـﺎن ﻛﺮده اﻧﺪ: ﻳﻚ ﻓﺮآﻳﻨﺪ )ﻣﺎﻧﻨﺪ ﺟﻤـﻊ ٣و ،(٤ﻳﻚ ﻣﻔﻬﻮم )ﻛﻪ ﺑـﻪ وﺳﻴﻠﻪ ى ﻓﺮآﻳﻨﺪ ﺗﻮﻟﻴﺪ ﻣﻰ ﺷﻮد ﻣﺎﻧﻨﺪ ﻋﻤﻞ ﺟﻤﻊ( و ﻳﻚ ﻧﻤﺎد ﻛﻪ ﻓﺮآﻳﻨﺪ ﻳﺎ ﻣﻔﻬﻮم را ﻓﺮاﻣﻰ ﺧﻮاﻧﺪ )ﻳﻌﻨﻰ .(٣+٤ در اﻳﻦ ﺑﺨﺶ ،ﺑﻌﻀﻰ از ﻧﺘﺎﻳﺞ اﻳﻦ ﭘﮋوﻫﺶ ﺑﻪ اﺟﻤﺎل ﺑﺮرﺳﻰ
آ ﺷﻨﺎﻳﻰ ﻣﻌﻠﻤﺎن ﺑﺎ ﺗ ﺼـ ﻮر ﻫﺎ ى د اﻧ ﺶ آ ﻣـﻮزان ﻧﺴﺒﺖ ﺑﻪ ﻣﻔﻬﻮم ﺗ ﺎﺑﻊ ،ﻣﻰﺗﻮاﻧﺪ ﺑﻪ ﺑﺮ ﻃﺮ ف ﻛﺮ د ن ﻣ ﺸ ﻜ ﻼت و ﭘﻴﭽﻴ ﺪﮔﻰﻫﺎﻳﻰ ﻛﻪ ﻣﻤﻜ ﻦ ا ﺳ ﺖ ﺑﺎ ﺗﻌ ﺮﻳ O رﺳﻤـﻰ ﻣﻔﻬﻮ م ﺗﺎﺑﻊ در ذﻫﻦ آن ﻫﺎ ﺷ ﻜ ﻞ ﮔ ﻴﺮ د، ﻛﻤﻚ ﻛﻨﺪ ﻣﻰ ﺷـﻮد .اﻳـﻦ ﺑـﺮرﺳﻰ ﺑـﺮاﺳﺎس وﻳـﮋﮔﻰ ﻫﺎى ﺗـﺎﺑـﻊ اﺳـﺖ ﻛـﻪ از ﻛﺘﺎب ﻫﺎى رﻳﺎﺿﻰ *٢و ﺣﺴﺎﺑﺎن اﺳﺘﺨﺮاج ﺷﺪه اﻧﺪ .اﻳﻦ وﻳﮋﮔﻰ ﻫﺎ ﻋﺒﺎرﺗﻨﺪ از: ﻓﺮض ﻛﻨﻴﺪ Aو Bﺑﻪ ﺗﺮﺗﻴﺐ ﻧﻤﺎﻳﺎﻧﮕﺮ داﻣﻨﻪ و ﻫﻢ داﻣﻨﻪ ﺗﺎﺑـﻊ f ﺑﺎﺷﺪ ،آن ﮔﺎه: .١ﺑﻪ ازى ﻫﺮ y ، x ∈Aاى ﻣﺘﻌﻠﻖ ﺑﻪ Bوﺟﻮد داﺷﺘﻪ ﺑﺎﺷﺪ ﺑﻪ ﻃﻮرى ﻛﻪ (x, y) ∈fﺑﺎﺷﺪ. .٢اﮔﺮ (x, y1 ) ∈fو (x, y2 ) ∈fﺑﺎﺷﻨـﺪ .آن ﮔـﺎه y1 = y2 اﺳﺖ. .٣ﻋﻀﻮﻫﺎى ﻣﺘﻔـﺎوت در Aﻣﻰ ﺗﻮاﻧﻨﺪ ﺑﻪ ﻳﻚ ﻋﻀﻮ ﻳﻜﺴـﺎن در Bﻧﺴﺒﺖ داده ﺷﻮﻧﺪ. .٤ﺑﺮﺧﻰ ﻋﻀﻮﻫﺎ در Bﻣﻤﻜﻦ اﺳﺖ ﻧﻈﻴﺮ ﻫﻴﭻ ﻋﻀـﻮى ازA ﻧﺸﻮﻧﺪ. ﺟﻤﻊﺑﻨﺪى ﭘﺎﺳﺦﻫﺎى ﻣﺮﺑﻮط ﺑﻪ ﻧﻤﻮدارﻫﺎى وِن ﺳﺆال .١آﻳﺎ ﻧﻤﻮدار وِن زﻳﺮ،ﺗﺎﺑﻊ اﺳﺖ؟ ﭘﺎﺳﺦ ﺧـﻮد را ﺷﺮح دﻫﻴﺪ.
ﻫﺪف اﻳﻦ ﺳـﺆال ،ﺑﺮرﺳـﻰ درك داﻧﺶ آﻣﻮزان از اﻳﻦ وﻳـﮋﮔـﻰ ﺗﺎﺑﻊ ﺑﻮد ﻛﻪ ﺑﻪ ﻫﺮ ﻋﻀﻮ در داﻣﻨﻪ ،ﺑﺎﻳﺪ ﻋﻀﻮى در ﻫﻢ داﻣﻨﻪ ﻧﺴﺒﺖ داده ﺷﻮد .ﻧﻤﻮﻧﻪ ﻫﺎى زﻳﺮ ﻣﻌﺮف ﭘﺎﺳﺦ ﻫﺎىِ داﻧﺶ آﻣﻮزان اﺳﺖ. ● ﺗﺎﺑﻊ اﺳﺖ ،ﭼﻮن ﻫﺮ xﺑﻪ ﻳﻚ yﻣﻰCرود. ● ﺗﺎﺑﻊ اﺳﺖ ،ﭼﻮن ﻣﺆﻟﻔﻪCﻫﺎى اول ﺑﺎ ﻳﻜﺪﻳﮕﺮ ﺑﺮاﺑﺮ ﻧﻴﺴﺘﻨﺪ و ﺑﻪ ﻫﺮ ﻳﻚ از ﻣﺆﻟﻔﻪCﻫﺎى اول ﻋﺪدى ﺧﺎص ﺗﻌﻠﻖ ﮔﺮﻓﺘﻪ اﺳﺖ. ٢٧
دوره ى ﺑﻴﺴﺖ وﻫﻔﺘﻢ ﺷﻤﺎره ى٣ ﺑﻬﺎر ١٣٨٩
ﺶآﻣـﻮزان ﻧﺸﺎن داد ﻠﻴﻞ ﭘﺎﺳﺦﻫﺎى داﻧ ﺗﺠﺰﻳﻪ و ﺗﺤ ن در ﺣﻴﻦ ﻛﺎر ﻛﺮدن ﻛﻤﻰ از داﻧﺶآﻣﻮزا ﻛﻪ ﺗﻨﻬﺎ ﺗﻌﺪاد روى وﻳـﮋﮔﻰﻫـﺎى ى ﻣﺨﺘﻠ Oﺗﺎﺑـﻊ ،ﺑـﺮ ﺑﺎ ﺑـﺎزﻧﻤﺎﻳﻰﻫﺎ ﺗﺎﺑﻊ ﻣﺘﻤﺮﻛﺰ ﺷﺪﻧﺪ ﺗﻌﺮﻳO ● ﺗﺎﺑﻊ ﻧﻴﺴـﺖ ،زﻳـﺮا ﺑﻪ ازاى ﻫﺮ ﻋﻀـﻮ در Bﻋﻀـﻮى در Bوﺟـﻮد ﻧﺪارد. ● ﺗﺎﺑﻊ ﻧﻴﺴﺖ ،زﻳﺮا ﺑﻪ ازاى ﻫﺮ ﻋﻀﻮ در Aﻋﻀﻮى در Bوﺟﻮد ﻧﺪارد. ﺳـﺆال .٢آﻳﺎ ﻧﻤـﻮدار زﻳﺮ،ﺗﺎﺑﻊ اﺳـﺖ؟ ﭘـﺎﺳـﺦ ﺧـﻮد را ﺷﺮح دﻫﻴﺪ.
ﻫﺪف اﻳﻦ ﺳﺆال ،ﺑﺮرﺳﻰ درك داﻧﺶ آﻣﻮزان از اﻳﻦ وﻳﮋﮔﻰ ﺗﺎﺑﻊ ﺑﻮد ﻛﻪ ﺑﺮﺧﻰ ﻋﻨﺎﺻﺮ در ﻫﻢ داﻣﻨﻪ ،ﻣﻤﻜﻦ اﺳﺖ ﻧﻈﻴﺮ ﻫﻴﭻ ﻋﻀﻮى از داﻣﻨﻪ ﻧﺸـﻮﻧﺪ .ﻧﻤﻮﻧﻪ ﻫﺎى زﻳﺮ ﻣﻌـﺮف ﭘﺎﺳﺦ ﻫـﺎىِ داﻧﺶ
آﻣﻮزان اﺳﺖ: ● ﺗﺎﺑﻊ اﺳﺖ ،ﭼﻮن دو xﻣﻰCﺗﻮاﻧﺪ ﺑﻪ ﻳﻚ yﺑﺮود. ● ﺗﺎﺑﻊ اﺳﺖ ،زﻳﺮا ﻣﺆﻟﻔﻪCﻫﺎﻳﺸﺎن ﻳﻜﻰ اﺳـﺖ و yﻫﺎﻳﺸﺎن ﻫﻢ ﺑﺎﻳـﺪ ﻳﻜﻰ ﺑﺎﺷﺪ ،وﻟﻰ اﻳﻦCﺟﺎ xﻫﺎ ﻣﺘﻔﺎوتCاﻧﺪ ،اﺷﻜﺎﻟﻰ ﻧﺪارد yﻫﺎﻳﺸﺎن ﻳﻜﻰ ﺑﺎﺷﺪ. ● ﺗﺎﺑﻊ ﻧﻴﺴـﺖ ،زﻳـﺮا ﺑﻪ ازاى ﻫﺮ ﻋﻀـﻮ در Bﻋﻀـﻮى در Aوﺟﻮد ﻧﺪارد. ● ﺗﺎﺑﻊ ﻧﻴﺴﺖ ،زﻳﺮا ﺑﻪ ازاى ﻫﺮ ﻋﻀﻮ در Aﻋﻀﻮى در Bوﺟﻮد ﻧﺪارد. ﺳﺆال .٣آﻳﺎ ﻧﻤﻮدار ون زﻳﺮ،ﺗﺎﺑﻊ اﺳﺖ؟ ﭘﺎﺳﺦ ﺧـﻮد را ﺷﺮح دﻫﻴﺪ.
ﻫﺪف اﻳﻦ ﺳـﺆال ،ﺑﺮرﺳـﻰ درك داﻧﺶ آﻣﻮزان از اﻳﻦ وﻳـﮋﮔـﻰ ﺗﺎﺑﻊ ﺑـﻮد ﻛﻪ ﻋﻀﻮﻫﺎى ﻣﺘﻔـﺎوت در داﻣﻨﻪ ﻣﻰ ﺗـﻮاﻧﻨﺪ ﺑﻪ ﻳﻚ ﻋـﻀـﻮ ﻳﻜﺴﺎن در ﻫﻢ داﻣﻨﻪ ﻧﺴﺒﺖ داده ﺷﻮﻧﺪ .ﻧﻤﻮﻧﻪ ﻫﺎى زﻳﺮ ﻣﻌﺮف ﺗﻨﻮع ﭘﺎﺳﺦ ﻫﺎىِ داﻧﺶ آﻣﻮزان ﺑﻪ اﻳﻦ ﺳﺆال اﺳﺖ: ● ﺗﺎﺑﻊ اﺳﺖ ،ﭼﻮن دو xﻣﻰCﺗﻮاﻧﺪ ﺑﻪ ﻳﻚ yﺑﺮودC. ● ﺗـﺎﺑـﻊ اﺳـﺖ ،ﭼــﻮن ﻣـﺆﻟـﻔـﻪCﻫــﺎى اول ﻫـﺮ ﻛـﺪام ﻓـﻘـﻂ ﺑـﻪ ﻳ ـﻜــﻰ از ﻣﺆﻟﻔﻪCﻫﺎى دوم وﺻﻞCاﻧﺪ ،ﻣﺎﻧﻨﺪ ﻣﻮرد ).(٢ ● ﺗﺎﺑﻊ اﺳـﺖ ،ﭼـﻮن ﻣـﺆﻟﻔﻪCﻫـﺎى xﺷﺎن ﻣﺘـﻔـﺎوت وﻟـﻰ yﻫﺎﻳـﺸـﺎن ﻳﻜﻰ اﺳﺖ ،اﺷﻜﺎﻟﻰ ﻧﺪارد. ﺳﺆال .٤آﻳﺎ ﻧﻤﻮدار وِن زﻳﺮ،ﺗﺎﺑﻊ اﺳﺖ؟ ﭘﺎﺳﺦ ﺧﻮد را ﺷﺮح دﻫﻴﺪ.
ﻫﺪف اﻳﻦ ﺳـﺆال ،ﺑﺮرﺳـﻰ درك داﻧﺶ آﻣﻮزان از اﻳﻦ وﻳـﮋﮔـﻰ ﺗﺎﺑﻊ ﺑﻮد ﻛﻪ ﺑﻪ ﻫﺮ ﻋﻀﻮ داﻣﻨﻪ ،ﻋﻀﻮ ﻣﻌﻴﻦ و ﻣﻨﺤﺼﺮ ﺑﻪ ﻓﺮدى از ﻫﻢ داﻣﻨﻪ ﻧﺴﺒﺖ داده ﻣﻰ ﺷـﻮد .ﻧﻤﻮﻧﻪ ﻫﺎى زﻳﺮ ﻣﻌـﺮف ﭘﺎﺳﺦ ﻫﺎىِ ﻣﺘﻨﻮع داﻧﺶ آﻣﻮزان اﺳﺖ: ● ﺗﺎﺑﻊ ﻧﻴﺴﺖ ،ﭼﻮن ﻳﻚ xﻧﻤﻰCﺗﻮاﻧﺪ ﺑﻪ دو yﺑﺮود. ● ﺗﺎﺑﻊ ﻧﻴﺴﺖ ،ﭼﻮن ﺑﻪ Aﻳﻚ دﻓﻌﻪ ١و ﻳﻚ دﻓﻌﻪ ٣داده اﺳﺖ. ● ﺗﺎﺑﻊ ﻧﻴﺴﺖ ،ﻣﺆﻟﻔﻪCﻫﺎى xﺷﺎن ﻳﻜﻰ اﺳـﺖy ،ﻫﺎﻳﺸﺎن ﻫﻢ ﺑﺎﻳﺪ ﻳﻜﻰ ﺑﺎﺷﺪ. ● ﻃﺒﻖ ﺗـﻌـﺮﻳـ hدر ﺗـﺎﺑـﻊ ﻧـﺒـﺎﻳـﺪ ﻫـﻴـﭻ دو زوج داراى ﻣـﺆﻟﻔـﻪCى )(x ﻳﻜﺴﺎن ﺑﺎﺷﻨﺪ. ﻧﺘﺎﻳﺞ ﺗﺠﺰﻳﻪ و ﺗﺤﻠﻴﻞ داده ﻫﺎى ﻣﺮﺑﻮط ﺑﻪ ﻧﻤﻮدارﻫﺎى وِن ﻧﺸﺎن داد ﻛﻪ %٦٢/٥و %٥٦/٢٥از داﻧﺶ آﻣﻮزان ﺑﻪ ﺗﺮﺗﻴﺐ ،ﺑﻪ ﺳﺆال ﻳﻚ و دو ﭘﺎﺳﺦ ﻧﺎدرﺳﺖ دادﻧﺪ و ﺗﻤﺎم داﻧﺶ آﻣﻮزان ،ﺑﻪ ﺳﺆال ﻫﺎى ٣و ٤ﭘﺎﺳﺦ درﺳﺖ دادﻧﺪ .در واﻗﻊ ،ﻣﻰ ﺗﻮان ﻋﻮاﻣﻞ ﻣﺤﺘﻤﻠﻰ ﻛﻪ ﺳﺒﺐ ﺷﺪ داﻧﺶ آﻣﻮزان ﺑﻪ ﻧﻤﺎﻳﺶ ﻫﺎى ﻧﻤﻮدار ون اول و دوم ﭘﺎﺳﺦ
دوره ى ﺑﻴﺴﺖ وﻫﻔﺘﻢ ﺷﻤﺎره ى٣ ﺑﻬﺎر ١٣٨٩
٢٨
درﺳﺖ دﻫﻨﺪ را ﺑﻪ ﺻﻮرت زﻳﺮ ﺟﻤﻊ آورى ﻧﻤﻮد. ● آ ﮔﺎﻫﻰ ﻧﺪاﺷﺘﻦ و ﻳﺎ ﺗﻮﺟﻪ ﻧﻜﺮدن ﺑﻪ اﻳﻦ ﻧﻜﺘﻪ ﻛﻪ ﺑﺎﻳﺪ ﺑﻪ ازاى ﻫﺮ ﻋﻀﻮ در داﻣﻨﻪ ،ﻳﻚ ﻋﻀﻮ در ﻫـﻢCداﻣـﻨـﻪ ﻧـﺴـﺒـﺖ داده ﺷـﻮد ،ﻳﻌـﻨـﻰ ﺗﺎﺑﻊ ﺑﺎﻳـﺪ ﺑـﻪ ازاى ﺗﻤﺎم اﻋﻀﺎى داﻣﻨﻪ ﺗﻌـﺮﻳـ hﺷـﺪه ﺑـﺎﺷـﺪ )وﻳـﮋﮔـﻰ ).((١ ● آ ﮔﺎﻫﻰ ﻧﺪاﺷﺘﻦ ﻧﺴﺒﺖ ﺑﻪ اﻳﻦ ﻧﻜﺘﻪ ﻛﻪ ﺑﺮﺧﻰ ﻋﻨﺎﺻﺮ در ﻫﻢCداﻣﻨﻪ ﻣﻤﻜﻦ اﺳﺖ ﻧﻈﻴﺮ ﻫﻴﭻ ﻋﻀﻮى از داﻣﻨﻪ ﻧﺸﻮﻧﺪ )وﻳﮋﮔﻰ ).((٤ ﻫﻢ ﭼﻨﻴﻦ ،داﻧﺶ آﻣﻮزان ﻧﺴﺒﺖ ﺑﻪ وﻳـﮋﮔﻰ ﻫﺎى ) (٣و ) (٢از ﺗﻌﺮﻳ Iﺗﺎﺑﻊ» ،ﻳﻌﻨﻰ ﻋﻨﺎﺻﺮ ﻣﺘﻔﺎوت در داﻣﻨﻪ ﻣﻰ ﺗﻮاﻧﻨﺪ ﺑﻪ ﻋﻨﺼﺮ ِ ﻳﻜﺴﺎﻧﻰ از ﺑُﺮد ﻧﺴﺒﺖ داده ﺷﻮﻧﺪ« و »اﮔﺮ دو زوج داراى ﻣﺆﻟﻔﻪ ﻫﺎى اول ﻳﻜﺴﺎن ﺑﺎﺷﻨﺪ ،آن ﮔﺎه ﻣﺆﻟﻔﻪ ﻫﺎى دوم آن ﻫﺎ ﻧﻴﺰ ﺑﺎﻳﺪ ﺑﺎﻫﻢ ﺑﺮاﺑﺮ ﺑﺎﺷﻨـﺪ« ،آ ﮔﺎﻫﻰ ﻛﺎﻓﻰ داﺷﺘﻨﺪ و ﺑﻪ ﺳﺎدﮔـﻰ ﺗـﻮاﻧﺴﺘﻨﺪ آن ﻫﺎ را در دﻳﺎﮔﺮام ﻫﺎ وِن ﺑﺒﻴﻨﻨﺪ. در ﻣﺠﻤـﻮع ،ﺗﺠﺰﻳﻪ و ﺗﺤﻠﻴﻞ ﭘﺎﺳﺦ ﻫـﺎى اﻳـﻦ ﻗـﺴـﻤـﺖ اﻳـﻦ ﺣﺪﺳﻴﻪ را ﺗﻘﻮﻳﺖ ﻛﺮدﻧﺪ ﻛﻪ آ ﮔﺎﻫﻰ ﻧﺪاﺷﺘﻦ ﻧﺴﺒﺖ ﺑﻪ وﻳـﮋﮔﻰ ﻫﺎى ) (١و ) ،(٤ﻣﻰ ﺗﻮاﻧﺪ ﻳﻚ ﻋﺎﻣﻞ ﺟﺪى ﺑﺮاى اﻳﺠﺎد ﭘﻴﭽﻴﺪﮔﻰ ﻫﺎى ﺷﻨﺎﺧﺘﻰ در ذﻫﻦ داﻧﺶ
آﻣﻮزان ﺷﻮد ﻛﻪ اﻳﻦ ﻋﺎﻣﻞ ،ﺣﺘﻰ ﻣﺎﻧﻊ ﺗﻮﺟﻪ داﻧﺶ آﻣﻮزان ﺑﻪ وﻳﮋﮔﻰ ﻫﺎﻳﻰ ﺷﺪ ﻛﻪ از آن ﻫﺎ آ ﮔﺎﻫﻰ داﺷﺘﻨﺪ. ﻳﺎﻓﺘﻪﻫﺎى ﺣـﺎﺻـﻞ از ﺗـﺠـﺰﻳـﻪ و ﺗـﺤـﻠـﻴـﻞ ﻣـﺠـﻤـﻮﻋـﻪى ﺟﻔﺖﻫﺎى ﻣﺮﺗﺐ ﺳﺆال :آﻳﺎ ﻧﻤﺎﻳﺶ زوج ﻣﺮﺗﺒﻰ زﻳﺮ ﺗﺎﺑﻊ اﺳﺖ؟ ﭘﺎﺳﺦ ﺧـﻮد را ﺷﺮح دﻫﻴﺪ. f: {1,2, 3, 7,9} →|R
})f = {(1, 3), (2,5), ( 3,2), ( 7, −1), (9,1
ﻫﺪف از ﻃﺮح اﻳﻦ ﺳﺆ ال ،ﺑﺮرﺳﻰ درك داﻧﺶ آﻣﻮزان از ﺗﻌﺮﻳI ﺗﺎﺑﻊ ﺑﻪ ﺻﻮرت ﺑﺎزﻧﻤﺎﻳﻰ زوج ﻣﺮﺗﺒﻰ ﺑﻮد .ﻧﻤﻮﻧﻪ ﻫﺎى زﻳﺮ ﻣﻌﺮف ﺗﻨﻮع ﭘﺎﺳﺦ ﻫﺎىِ ﻣﺘﻔﺎوت داﻧﺶ آﻣﻮزان ﺑﻪ اﻳﻦ ﺳﺆال اﺳﺖ: ● ﺗﺎﺑﻊ اﺳﺖ ،ﭼﻮن ﻫﻴﭻ زوج ﻣﺮﺗﺒﻰ را ﻧﻤﻰCﺗﻮان ﻳﺎﻓﺖ ﻛﻪ ﻣﺆﻟﻔﻪCﻫﺎى اول آن ﻳﻜﺴﺎن ﺑﺎﺷﺪ. ● ﺗﺎﺑﻊ اﺳﺖ ،ﭼﻮن اﻋﺪاد fﺑﺎﻫﻢ ﻳﻜﻰ ﻧﻴﺴﺖ و ﻣﺘﻔﺎوت اﺳﺖ. ● ﺗﺎﺑﻊ اﺳﺖ ،ﭼﻮن ﺑﻪ ازاى ﻫﺮ xﻳﻚ yوﺟﻮد دارد. ﺗﻤﺎم داﻧﺶ آﻣﻮزان ﻧﻴﺰ ﺑﻪ اﻳﻦ ﺳﺆال ،ﺑﺎ ﺗﻜﻴﻪ ﺑﺮ وﻳﮋﮔﻰ ) (٢ﭘﺎﺳﺦ ﺻﺤﻴﺢ اراﺋﻪ دادﻧﺪ .داﻧﺶ آﻣﻮزان ﻣﺼﺎﺣﺒﻪ ﺷﻮﻧﺪه ﻧﻴﺰ ،ﺑﺎ اﺳﺘﻔـﺎده از وﻳﮋﮔﻰ ) (٢اﺳﺘﺪﻻل ﻛﺮدﻧﺪ ﻛﻪ »اﮔﺮ ﻳﻚ داﺷﺘﻪ ﺑﺎﺷﻴﻢ ،دو ﻣﻘﺪار ﺑﺮاى ﻳﻚ ﻧﺪارﻳﻢ« .در ﻧﺘﻴﺠﻪ ،ﺑﻪ اﻳﻦ ﺳﺆال ﭘﺎﺳﺦ ﺻﺤﻴﺢ دادﻧﺪ.
اﻳﻦ ﭘﺎﺳﺦ ﻫﺎ ﻧﺸﺎن دادﻧﺪ ﻛﻪ داﻧـﺶ آﻣـﻮزان ،ﺑﺎزﻧﻤﺎﻳـﻰ زوج ﻣﺮﺗﺒـﻰ ﺗﺎﺑﻊ را ﺑﻪ ﺧﻮﺑﻰ ﻣﻰ ﺷﻨﺎﺧﺘﻨﺪ و ﺗﻮاﻧﺎﻳﻰ اﺳﺘﻔﺎده از آن را داﺷﺘﻨﺪ. ِﻳﺎﻓﺘﻪﻫﺎى ﺣﺎﺻﻞ از ﺗﺠﺰﻳﻪ و ﺗﺤﻠﻴﻞ ﺳﺆاﻻت ﻣﺮﺑﻮط ﺑﻪ ﺑﺎزﻧﻤﺎﻳﻰ ﻧﻤﻮدارى ﺳﺆال .١آﻳﺎ ﻧﻤﻮدار زﻳﺮ ﺗﺎﺑﻊ اﺳﺖ؟ ﭘﺎﺳﺦ ﺧﻮد را ﺷﺮح دﻫﻴﺪ.
ﻫﺪف اﻳﻦ ﺳﺆال ،ﺑﺮرﺳﻰ درك داﻧﺶ آﻣﻮزان از ﻣﻔﻬﻮم ﺗﺎﺑﻊ در ﺑﺎزﻧﻤﺎﻳﻰ ﻧﻤﻮدارى و ﺑﻪ ﺧﺼﻮص ﻣﻔﻬﻮم داﻣﻨﻪ ﺑﻮد .اﻟﺒﺘﻪ ،اﻳﻦ ﻧﻤﻮدار ﺑﺎ ﻣﺜﺎل ﻫﺎﻳﻰ ﻛﻪ داﻧـﺶ آﻣـﻮزان ﺑﻪ ﻋﻨﻮان ﺗﺎﺑﻊ ﺑﺎ آن ﻫﺎ آﺷﻨـﺎ ﺑـﻮدﻧﺪ، ﻣﺘـﻔـﺎوت ﺑﻮد و ﻫﻤﻴﻦ ،ﻋـﺎﻣـﻠـﻰ ﺑـﺮاى اﻧﺘﺨـﺎب اﻳـﻦ ﺳـﺆال ﺑﻮد. ﻧﻤﻮﻧﻪ ﻫﺎى زﻳﺮ ﻣﻌﺮف ﺗﻨﻮع ﭘﺎﺳﺦ ﻫﺎىِ ﻣﺘﻔﺎوت داﻧﺶ آﻣﻮزان ﺑﻪ اﻳﻦ ﺳﺆال اﺳﺖ: ● ﺗﺎﺑﻊ اﺳﺖ ،زﻳﺮا داﻣﻨﻪ ﺗﻤﺎم اﻋﺪاد ﺣﻘﻴﻘﻰ اﺳﺖ. ● ﺗﺎﺑﻊ اﺳﺖ ،زﻳﺮا در اﻳﻦ داﻣﻨﻪ ﻫﺮ ﺧﻂ ﻣﻮازى ﻣﺤﻮر yﻫﺎ ،آن را در ﻳﻚ ﻧﻘﻄﻪ ﻗﻄﻊ ﺧﻮاﻫﺪ ﻛﺮد. ● ﺗﺎﺑﻊ اﺳﺖ ،ﭼﻮن داﻣﻨﻪCى ﻧﻤﻮدار آن ﺗﻤﺎم اﻋﺪاد ﺣﻘﻴﻘﻰ اﺳﺖ و در ﻧﺘﻴﺠﻪ ﻫﺮ ﺧﻂ ﻣﻮازى ﻣﺤﻮر yﻫﺎ آن را در ﻳﻚ ﻧﻘﻄﻪ ﻗﻄﻊ ﺧﻮاﻫﺪ ﻛﺮد. اﻳﻦ ﭘﺎﺳﺦ ﻫﺎ ﻧﺸﺎن ﻣﻰ دﻫﻨﺪ ﻛﻪ اﻛﺜﺮ داﻧﺶ آﻣﻮزان در ﭘﺎﺳﺦ ﺑﻪ اﻳﻦ ﺳـﺆال ،ﻣﻮﻓﻖ ﻧﺒـﻮدﻧﺪ .ﻳﻜﻰ از داﻧـﺶ آﻣـﻮزان ،ﺑﺎ ﻣﻘﺎﻳﺴـﻪ ى ﻧﻤﻮدار ﺷﻤﺎره ى ) (١و ﻧﻤﻮدار ﺷﻤﺎره ى ) (٢ﺑﺎﻫﻢ ،ﺑﻪ اﻳﻦ ﻧﺘﻴﺠـﻪ رﺳﻴﺪ ﻛﻪ »ﺗﺎﺑﻊ ﻧـﻤـﻰ ﺗـﻮاﻧﺪ داﻣﻨﻪ ﻫﺎى ﻗﻄﻌﻪ ﻗﻄﻌﻪ داﺷـﺘـﻪ ﺑـﺎﺷـﺪ، ﺑﻨﺎﺑﺮاﻳﻦ ،ﭼﻮن داﻣﻨﻪ ى اﻳﻦ ﻧﻤﻮدار ﺗﻤﺎم اﻋﺪاد ﺣﻘﻴﻘﻰ اﺳﺖ ،ﭘﺲ ﺑﺎﻳﺪ اﻳﻦ ﻧﻤﻮدار ﺗﺎﺑﻊ ﺑﺎﺷﺪ« )اﻟﺒﺘﻪ داﻣﻨﻪ ﺗﻤﺎم اﻋﺪاد ﺣﻘﻴﻘﻰ ﻧﻴﺴﺖ(. ﺑﻌﻀﻰ از داﻧﺶ آﻣﻮزان ،ﺑﻪ اﺳﺘﻨﺎد ﻣﻼك ﺗﺸﺨﻴﺺ ﺗﺎﺑﻊ از روى ﻧﻤﻮدار ﺑﻪ راﺣﺘﻰ ﻧﺘﻴﺠﻪ ﮔـﺮﻓﺘﻨﺪ ﻛﻪ اﻳﻦ ﻧﻤﻮدار ﺗﺎﺑﻊ اﺳﺖ .در ﺣﺎﻟﻰ ﻛﻪ ﻣﺴﺌﻠﻪ ى ﻣﻬﻤﻰ ﻛﻪ در اﻳﻦ ﺳـﺆال ﻣﻄـﺮح ﺑﻮد ،ﺗﻮﺟﻪ ﺑﻪ ﻧﻘﺎﻃﻰ از داﻣﻨﻪ ﺑﻮد ﻛﻪ ﻫﻴﭻ yاى ﺑﺮاى آن ﻫﺎ ﺗﻌﺮﻳ Iﻧﺸﺪه ﺑـﻮد و داﻧﺶ آﻣﻮزان ﺑﻪ اﻳﻦ ﺷﺮط ﻣﻬﻢ ﺗﻮﺟﻪ ﻧﻜﺮده ﺑﻮدﻧﺪ ﻛﻪ »ﻣﻼك ﺗﺸﺨﻴﺺ ﺗﺎﺑﻊ از روى ﻧﻤﻮدار« در داﻣﻨﻪ ى ﺗﻌﺮﻳ Iﺷﺪه ﻣﻌﻨﺎ دارد ﻧﻪ ﻫﺮ ﻧﻘﻄﻪ ى دﻟﺨﻮاه. ٢٩
دوره ى ﺑﻴﺴﺖ وﻫﻔﺘﻢ ﺷﻤﺎره ى٣ ﺑﻬﺎر ١٣٨٩
از اﻳﻦ ﮔﺬﺷﺘﻪ ١٢ ،ﻧﻔـﺮ ) (%٧٥از داﻧﺶ آﻣﻮزان ،دو دﻟﻴﻞ ﺑﺮاى ﺗﺎﺑﻊ ﺑـﻮدن اراﺋﻪ دادﻧﺪ و دﻟـﻴـﻞ دوم را ﻧﺘﻴﺠﻪ ى دﻟـﻴـﻞ اول، ﻣﻌﺮﻓﻰ ﻛـﺮدﻧﺪ .از اﻳﻦ دو دﻟﻴﻞ ،دو ﺑـﺮداﺷﺖ ﻣﺘﻔـﺎوت ﻣﻰ ﺗﻮان داﺷﺖ؛ ﻳﻜﻰ اﻳﻦ ﻛﻪ از ﻃﺮﻳﻖ ﻣﻘﺎﻳﺴﻪ ى دو ﻧـﻤـﻮدار ﺣﺪس زده ﺑﻮدﻧﺪ ﻛﻪ اﮔﺮ داﻣﻨﻪ ﺗﻤﺎم اﻋﺪاد ﺣﻘﻴﻘﻰ ﺑﺎﺷﺪ ،اﻣﻜﺎن آن ﺑﻴﺶ ﺗـﺮ اﺳـﺖ ﻛـﻪ آن ﻧـﻤـﻮدار ،ﺗﺎﺑـﻊ ﺑـﺎﺷـﺪ و ﺑـﺮداﺷـﺖ دﻳـﮕـﺮ اﻳـﻦ ﻛـﻪ داﻧﺶ آﻣﻮزان ،ﺧﻂ ﻣـﻮازى ﻣﺤﻮر yﻫـﺎ را در ﻧﻘﺎﻃﻰ ﻛﻪ ﺗﺎﺑـﻊ در آن ﻫﺎ ﺗﻌﺮﻳ Iﻧﺸﺪه ﺑﻮد ﻧﻴﺰ رﺳﻢ ﻛﺮدﻧﺪ ﻛﻪ اﻳﻦ ﺧﻂ ،در ﻫﺮ ﺻﻮرت داﻣﻨﻪ را در ﻳﻚ ﻧﻘﻄﻪ ﻗﻄﻊ ﻣﻰ ﻛـﺮد و ﺑﺪﻳﻦ ﺳﺒﺐ ،ﻧﺘﻴﺠﻪ ﮔـﺮﻓﺘﻨﺪ ﻛﻪ اﻳﻦ ﻧﻤـﻮدار ،در ﺗﻤﺎم ﻧﻘﺎط داﻣﻨﻪ ﺗﺎﺑﻊ اﺳﺖ .اﻳﻦ ﺣـﺪس از آن ﺟﺎ ﺗﻘﻮﻳﺖ ﻣﻰ ﺷـﻮد ﻛﻪ اﻛﺜﺮ داﻧﺶ آﻣـﻮزان ،ﺑﺪون اﻳﻦ ﻛﻪ اﻳـﻦ ﺧﻂ را رﺳﻢ ﻛﻨﻨﺪ ،ﭼﻨﻴﻦ اﺳﺘـﺪﻻﻟـﻰ اراﺋﻪ ﻛﺮدﻧﺪ .اﻳﻦ ﭘﺎﺳﺦ ﻫـﺎ ﻧﺸﺎن ﻣﻰ دﻫﻨﺪ ﻛﻪ داﻧﺶ آﻣـﻮزان درﻛﻰ ﻋﻤﻴﻖ از ﻣﻔﻬـﻮم داﻣﻨـﻪ ى ﺗﺎﺑﻊ ﻧﺪاﺷﺘﻨﺪ. ﺳﺆال .٢آﻳﺎ ﻧﻤﻮدار زﻳﺮ،ﺗﺎﺑﻊ اﺳﺖ؟ ﭘﺎﺳﺦ ﺧﻮد را ﺷﺮح دﻫﻴﺪ.
اﮔﺮﭼﻪ اﻳﻦ ﺳﺆال ،ﻫﻤﺎن اﻫﺪاف ﺳﺆال ﻗﺒﻞ را دﻧﺒﺎل ﻣﻰ ﻛﺮد، اﻣﺎ اﻳﻦ ﺗﻔﺎوت را داﺷﺖ ﻛﻪ اﻳﻦ ﻧﻤﻮدار ،ﻳﻚ ﺗﺎﺑﻊ ﺑﻮد و ﺑﻪ ﺑﺮرﺳﻰ ﻋﻤﻴﻖ ﺗﺮ درك داﻧﺶ آﻣﻮزان از ﻣﻔﻬﻮم داﻣﻨﻪ ﻣﻰ ﭘﺮداﺧﺖ .ﭘﻴﺶ ﺑﻴﻨﻰ ﭘﮋوﻫﺸﮕﺮ اﻳﻦ ﺑﻮد ﻛﻪ داﻧﺶ آﻣﻮزان ،از ﺗﻜﻨﻴﻚ ﺧﻂ ﻣﻮازى ﻣﺤﻮر yﻫﺎ اﺳﺘﻔﺎده ﻛﻨﻨﺪ و ﻧﺴﺒﺖ ﺑﻪ داﻣﻨـﻪ ﺗـﻮﺟﻪ ﻛﻤﺘـﺮى داﺷﺘﻪ ﺑﺎﺷﻨـﺪ. ﻧﻤـﻮﻧﻪ ﻫﺎى زﻳﺮ ﻣﻌـﺮف ﭘﺎﺳﺦ ﻫـﺎىِ ﮔﻮﻧﺎﮔـﻮن داﻧﺶ آﻣـﻮزان ﺑﻪ اﻳﻦ ﺳﺆال اﺳﺖ: ● ﺗﺎﺑﻊ ﻧﻴﺴﺖ ،ﭼﻮن داﻣﻨﻪCى اﻋﺪاد ﺣﻘﻴﻘﻰ ﻣﺤﺪود اﺳﺖ و ﻗﺴﻤﺘﻰ از اﻋﺪاد xﻣﻰCﺑﺎﺷﺪ. ● ﺗﺎﺑﻊ ﻧﻴﺴﺖ ،زﻳﺮا داراى داﻣﻨﻪCﻫﺎى ﻣﺘﻔﺎوﺗﻰ اﺳﺖ. ● ﺗﺎﺑﻊ ﻧﻴﺴـﺖ ،ﭼـﻮن داﻣﻨﻪCى ﻧـﻤـﻮدار آن ﻣﺤـﺪود اﺳﺖ و ﻣﻰCﺗـﻮان دوره ى ﺑﻴﺴﺖ وﻫﻔﺘﻢ ﺷﻤﺎره ى٣ ﺑﻬﺎر ١٣٨٩
٣٠
ﺧﻄﻰ ﻣﻮازى ﻣﺤﻮر yﻫﺎ رﺳﻢ ﻛﺮد ﻛﻪ ﺗﺎﺑﻊ را در ﻫﻴﭻ ﻧﻘﻄﻪCاى ﻗﻄﻊ ﻧﻜﻨﺪ و آن ﺧﻂ ﺗﺎﺑﻊ را ﺑﺎﻳﺪ ﺣﺪاﻛﺜﺮ در ﻳﻚ ﻧﻘﻄﻪ ﻗﻄﻊ ﻛﻨﺪ. ● ﻧﻤﻰCداﻧﻴﻢ ،ﭼﻮن ﺗﺸﺨﻴﺺ ﺗﺎﺑﻊ در ﺻﻮرﺗﻰ ﻛﻪ داﻣﻨﻪCﻫﺎى ﻣﺘﻔﺎوت داﺷﺘﻪ ﺑﺎﺷﺪ در ﺣﻮزهCى ﺗﻌﻠﻴﻤﺎت ﻣﺎ ﻧﻤﻰCﺑﺎﺷﺪ. و ﺗﻨﻬﺎ ﭘﺎﺳﺦ ﺻﺤﻴﺢ ﺑﻪ اﻳﻦ ﺳﺆال اﻳﻦ ﺑﻮد ﻛﻪ: ● ﺗﺎﺑﻊ اﺳﺖ ،ﭼﻮن ﻫﺮ ﺧﻄﻰ ﻛﻪ ﻣﻮازى ﻣﺤﻮر yﻫﺎ ﺑﻜﺸﻴﻢ ،ﺗﺎﺑﻊ را ﻓﻘﻂ در ﻳﻚ ﻧﻘﻄﻪ ﻗﻄﻊ ﺧﻮاﻫﺪ ﻛﺮد. در ﻣﺠﻤـﻮع ،از ﺑـﺮرﺳﻰ ﭘﺎﺳﺦ ﻫﺎى داﻧـﺶ آﻣـﻮزان اﺳﺘﻨـﺒـﺎط ﻣـﻰ ﺷـﻮد ﻛـﻪ اﻏـﻠـﺐ آن ﻫـﺎ ،ﻧـﻤـﻮدارى را ﻛـﻪ داراى داﻣـﻨـﻪ ﻫـﺎى ﻗﻄﻌﻪ ﻗﻄﻌـﻪ ﺑـﺎﺷـﺪ ،ﺗـﺎﺑـﻊ ﻧـﻤـﻰ داﻧـﺴـﺘـﻨـﺪ .ﻫـﻢ ﭼـﻨـﻴـﻦ ،اﻛـﺜـﺮ داﻧﺶ
آﻣـﻮزان از ﺗﻜﻨﻴﻚ ﺧـﻂ ﻣـﻮازى ﻣﺤـﻮر yﻫﺎ ﺑـﺮاى ﻗﻀـﺎوت دن ﺗﺎﺑﻊ اﺳﺘﻔﺎده ﻛﺮدﻧﺪ و ﻧﺘﻴﺠﻪ ﮔﺮﻓﺘﻨﺪ ﻛﻪ راﺟﻊ ﺑﻪ ﺗﺎﺑﻊ ﺑﻮدن ﻳﺎ ﻧﺒﻮ ِ »اﻳﻦ ﻧﻤﻮدار ﻧﻤﻰ ﺗـﻮاﻧﺪ ﺗﺎﺑﻊ ﺑﺎﺷـﺪ« .در واﻗﻊ ،آن ﻫﺎ ﺧﻂ ﻣﻮازى ﻣﺤﻮر yﻫﺎ را در ﺑﻴﻦ ﻗﻄﻌﻪ ﻫﺎى ﻣﺨﺘﻠ Iﻧﻤﻮدار رﺳﻢ ﻛﺮدﻧﺪ و ﭼﻮن ﻧﻤﻮدار را در ﻫﻴﭻ ﻧﻘﻄﻪ اى ﻗﻄﻊ ﻧﻜـﺮد ،آن را دﻟﻴﻞ ﻣﺤﻜﻤﻰ ﺑـﺮاى ﺗﺎﺑﻊ ﻧﺒﻮدن داﻧﺴﺘﻨﺪ .ﺷﺎﻳﺪ ﻋﻠﺖ اﻳﻦ ﻧﻮع اﺳﺘﻔﺎده از ﺗﻜﻨﻴﻚ ﺧـﻂ ﻣﻮازى ﻣﺤﻮر yﻫﺎ ،اﻳﻦ ﺗﻮﺻﻴﻪ ى ﻛﺘﺎب رﻳﺎﺿﻰ ﺳﺎل دوم ،ص٢٤ ﺑﺎﺷﺪ ﻛﻪ: »از ﻧﻈﺮ ﻧـﻤـﻮدارى ،راﺑﻄﻪ اى ﺗﺎﺑﻊ اﺳﺖ ﻛـﻪ ﻫـﺮ ﺧـﻂ ﻣـﻮازى ﻣﺤﻮرyﻫﺎ ﺑﻪ ﺻﻮرت ،x=aﻧﻤﻮدار آن را ﺣﺪاﻛﺜﺮ در ﻳﻚ ﻧﻘﻄﻪ ﻗﻄﻊ ﻛﻨﺪ«. در ﻧﺘﻴﺠﻪ ،داﻧﺶ آﻣـﻮزان ﺑﻴﺶ ﺗﺮ ﺑﻪ دﻧﺒﺎل اﻳـﻦ ﺑـﻮدﻧﺪ ﻛﻪ ﺧـﻂ ﻣﻮازى ﻣﺤﻮر yﻫﺎ ،ﺗﺎﺑﻊ را در ﺑﻴﺶ ﺗﺮ از ﻳﻚ ﻧﻘﻄﻪ ﻗﻄﻊ ﻧﻜﻨﺪ .در ﺣﺎﻟﻰ ﻛﻪ اﻛﺜﺮ آن ﻫﺎ ،ﺑﻪ اﻳﻦ ﻧﻜﺘـﻪ ﺗـﻮﺟﻬﻰ ﻧﺪاﺷﺘﻨﺪ ﻛﻪ اﻳﻦ ﺧـﻂ، ﺑﺎﻳﺪ در ﻣﺤﺪودهCى ﻧﻤﻮدار رﺳﻢ ﺷﻮد. اﮔﺮﭼﻪ داﻧﺶ آﻣﻮزان،ﻇﺎﻫﺮًا از ﺗﻜﻨﻴﻚ ﺧﻂ ﻣﻮازى ﻣﺤﻮر yﻫﺎ اﺳﺘﻔﺎده ﻛﺮدﻧﺪ ،وﻟﻰ ﭼﻮن اﻳﻦ ﻧﻤﻮدارﻫﺎ را ﺑﺎ ﻧﻤﻮﻧﻪ ﻫﺎ و ﻣﺜﺎل ﻫﺎﻳﻰ ﻛـﻪ ﻗـﺒـﻼً ﺗـﺠـﺮﺑـﻪ ﻛـﺮده ﺑـﻮدﻧـﺪ ﻣـﻘـﺎﻳـﺴـﻪ ﻣـﻰ ﻛـﺮدﻧـﺪ ،ﭼـﻨـﻴـﻦ اﺳﺘﺪﻻل ﻫﺎﻳﻰ را اراﺋﻪ ﻛﺮدﻧﺪ .ﺷﺎﻳﺪ ﻋﺪم ﺳﺎزﮔﺎرى داﻧﺶ ﻣﻮﺟﻮد ﺑﺎ ﺗﺠﺮﺑﻪ ﻫﺎى ﻗﺒﻠـﻰ ،ﻳـﻜـﻰ از دﻻﻳـﻠـﻰ ﺑـﻮد ﻛﻪ داﻧﺶ آﻣـﻮزان، »ﻣﺤـﺪود ﺑﻮدن داﻣﻨـﻪ« را »دﻟﻴﻠﻰ ﺑـﺮاى ﺗﺎﺑﻊ ﻧـﺒـﻮدن« ﺑﻪ ﺣﺴـﺎب آوردﻧﺪ. ﺑﻪ ﻃﻮر ﻣﺜﺎل ،ﻳﻜﻰ از داﻧﺶ آﻣﻮزان ﭘﺎﻳﻪ ى دوم ،ﺑﻪ ﻋﺪم آﺷﻨﺎﻳﻰ ﺑﺎ ﻧﻤﻮدارى ﻛﻪ داراى داﻣﻨﻪ ﻫﺎى ﻣﺠﺰاﺳﺖ ،اﺷﺎره ﻧﻤﻮد .در ﺣﺎﻟﻰ ﻛﻪ در ﺻﻔﺤﻪ ى ٢٤ﻛﺘﺎب رﻳﺎﺿـﻰ ،٢ﻧﻤﻮدارى اراﺋﻪ ﺷﺪه اﺳﺖ ﻛﻪ ﻧﻤﻮدار ﻧﻘﻄﻪ اى اﺳﺖ.
ﻗﺎ ﻋﺪهاى ﻛﻪ ﺗﻮﺳﻂ داﻧ ﺶ آﻣ ﻮز ا ن ﺑﺮ ا ى ﺗﻌﻴﻴﻦ ﻳﻚ ﺗﺎﺑﻊ ﺑﻪﻛﺎر ﻣﻰرود ﺑﺎ ﺗﻌﺮﻳـ Oر ﺳﻤ ﻰ اﻳ ﻦ ﻣﻔ ﻬﻮ م ـ ﺣﺘﻰ ﺑﺮا ى داﻧﺶآﻣﻮزاﻧﻰ ﻛﻪ ﻣ ﻰ ﺗﻮ اﻧ ﻨﺪ اﻳ ﻦ ﺗﻌ ﺮﻳO را ﺑﻪﻛﺎر ﺑﺮﻧﺪ ـ ﻣﺘﻔﺎوت اﺳﺖ
ﺑﻨﺎﺑﺮاﻳﻦ اﺳﺘﺪﻻل اﻳﻦ داﻧﺶ آﻣـﻮزان ﻣﻰ ﺗـﻮاﻧﺪ ﭼﻨﺪ ﭘﻴﺎم داﺷﺘـﻪ ﺑﺎﺷﺪ ﻛﻪ ﻳﻜﻰ ﻋـﺪم ﺗـﻮﺟﻪ و دﻗـﺖ وى ﺑﻪ ﻣﺜﺎل ﻫـﺎى اراﺋﻪ ﺷـﺪه در ﻛﺘﺎب درﺳﻰ و دﻳﮕﺮى ﻋﺪم اﺳﺘﻔﺎده ى ﻣﻌﻠﻢ از ﻛﺘﺎب ﻫﺎى درﺳﻰ ﻳﺎ ﻋﺪم ﺗﺄﻛﻴﺪ ﻣﻌﻠﻢ ﺑﻪ ﻣﺜﺎل ﻫﺎى ﺧﺎص اﺳﺖ ﻛﻪ ﻣﻨﺠﺪ ﺑﻪ ﻧﺎﺳﺎزﮔﺎرى داﻧﺶ ﻣﻮﺟﻮد ﺑﺎ ﺗﺠﺮﺑﻪ ﻫﺎى ﻗﺒﻠﻰ داﻧﺶ آﻣﻮز ﺷﺪه اﺳﺖ .ﻫﻤـﻪ
ى اﻳﻦ دﻻﻳﻞ و دﻻﻳﻞ دﻳﮕـﺮى ﻛﻪ ﺷﺎﻳـﺪ وﺟﻮد داﺷﺘﻪ ﺑﺎﺷﻨﺪ و ﻫـﻨـﻮز ﺑﺮاى ﭘﮋوﻫﺸﮕﺮ ﻧﺎﺷﻨﺎﺧﺘﻪ ﻫﺴﺘﻨﺪ ،ﺑﺎﻋﺚ ﺷﺪ ﺗﺎ ﻫﻤﻪ ى داﻧﺶ آﻣﻮزان ﺑﻪ ﺟﺰ ﻳﻚ ﻧﻔﺮ ،ﻧﺘﻮاﻧﻨﺪ در ﺑﺮﺧﻮرد ﺑﻪ اﻳﻦ ﺳﺆال ﭘﺎﺳﺦ درﺳﺖ دﻫﻨﺪ. ﺗﻨﻬﺎ ﻓﺮدى ﻫﻢ ﻛﻪ ﺑﻪ اﻳﻦ ﺳﺆال ﭘﺎﺳﺦ درﺳﺖ داد ،ﺑﻪ ﻗﻄﻌﻪ ﻗﻄﻌﻪ ﺑﻮدن داﻣﻨﻪ ى ﻧﻤﻮدار ﺗﻮﺟﻬﻰ ﻧﻜـﺮده ﺑﻮد .ﺑﺎ اﻳﻦ ﺣﺎل ،اﻳﻦ ﻓﺮد در ﭘﺎﺳﺦ ﺑﻪ ﻧﻤﻮدار ﺷﻤﺎره ى ) (١دﭼﺎر اﺷﺘﺒﺎه ﺷﺪ .ﻳﻌﻨﻰ ﺑﺎ وﺟـﻮدى ﻛﻪ وى ﺑﻪ اﻳﻦ ﺳﺆال ﭘﺎﺳـﺦ داد ،وﻟﻰ ﭘﺎﺳﺦ ﻧﺎدرﺳﺖ او ﺑﻪ ﻧﻤﻮدار ﺷﻤﺎره ى ﻳﻚ ،ﻋﺪم ﺗﻮﺟﻪ و درك داﻣﻨﻪ را ﻧﺸﺎن ﻣﻰ دﻫﺪ .ﻛﻪ اﻳـﻦ ﻗﻀﺎوت ،ﻧﻴﺎزﻣﻨﺪ ﺑﺮرﺳﻰ ﻫﺎى ﻋﻤﻴﻖ ﺗﺮ ﻣﻰ ﺑﺎﺷﺪ. ﭼﻬﺎر داﻧﺶ آﻣﻮز ﺷﺮﻛﺖ ﻛﻨﻨﺪه در ﻣﺼﺎﺣﺒﻪ ﻧﻴﺰ ،اﻳﻦ دو ﻧﻤﻮدار را ﺗﺎﺑﻊ داﻧﺴﺘﻨﺪ .آن ﻫﺎ ﺑﺎ اﺳﺘﻔﺎده از ﺗﻜﻨﻴﻚ ﺧﻂ ﻣﻮازى ﻣﺤﻮر yﻫﺎ، اﺳﺘﺪﻻل ﻛﺮدﻧﺪ ﻛﻪ اﻳﻦ ﺧﻂ ،ﻧﻤﻮدار را در دو ﻧﻘﻄﻪ ﻗﻄﻊ ﻧﻤﻰ ﻛﻨﺪ. ﻫﻢ ﭼﻨﻴـﻦ ،وﻗﺘﻰ از آن ﻫﺎ در ﻣﻮرد ﻧﻘﺎﻃﻰ از داﻣﻨﻪ ى ﻧـﻤـﻮدارِ )(١ ﺳﺆال ﺷﺪ ،ﭘﺎﺳﺦ دادﻧﺪ ﻛﻪ »ﻫﻴﭻ ﻣﻘﺪارى ﺑﺮاى آن ﻫﺎ وﺟﻮد ﻧﺪارد« وﻟﻰ در ﻧﻬﺎﻳﺖ ﮔﻔﺘﻨﺪ ﻛﻪ »ﻧـﻤـﻮدارﻫﺎ ﻫﺮ دو ﺗﺎﺑﻊ اﻧﺪ« .ﺷﺎﻳﺪ دﻟﻴـﻞ اﻳﻦ اﻣﺮ ،اﻳﻦ ﺑﺎﺷﺪ ﻛﻪ آن ﻫـﺎ در ﻣـﻮاﺟﻪ ﺷﺪن ﺑﺎ ﻧﻤـﻮدار ،ﺗﻌﺮﻳـI ﺗﺎﺑـﻊ را ﻓﺮاﻣﻮش ﻛـﺮدﻧﺪ و ﻓﻘﻂ ﺳﻌـﻰ ﻛـﺮدﻧﺪ ﻛﻪ ﺑﺎ اﺳﺘﻔـﺎده از اﻳـﻦ ﺗﻜﻨﻴﻚ ،ﺗﺎﺑﻊ ﺑﻮدن ﻧﻤﻮدارﻫﺎ را ﺗﺸﺨﻴﺺ دﻫﻨﺪ. ﻳﺎﻓﺘﻪ ﻫﺎى اﻳﻦ ﺑﺨﺶ ﻧﺸﺎن داد ﻛﻪ ﻧـﻤـﻮدارﻫﺎ ﺑﻪ ﻋﻨـﻮان ﻳﻜﻰ از ﻣﻬﻢ ﺗﺮﻳﻦ ﺑﺎزﻧﻤﺎﻳﻰ ﻫﺎى ﺗﺎﺑﻊ ،ﻫﻤﻴﺸﻪ ﺑﻪ ﻃﻮر ﻣﺴﺘﻘﻴﻢ ﺑﺎ اﻳﺪه ى ﺗﺎﺑﻊ در ذﻫﻦ داﻧﺶ آﻣﻮزان ﻣـﺮﺗﺒﻂ ﻧﻤﻰ ﺷﻮﻧﺪ .داﻧﺶ آﻣـﻮزان در ﺗﻔﺴﻴﺮ ﻣﻔﻬﻮم ﺗﺎﺑﻊ ﺑﺎ اﺳﺘﻔﺎده از ﺑﺎزﻧﻤﺎﻳﻰ ﻧﻤﻮدارى ،ﺑﻪ ﺷﻜﻞ ﺟﺪى ﻣﺸﻜﻞ
دارﻧﺪ .از ﻃـﺮف دﻳﮕﺮ ،ﺗﻌﺒﻴﺮ و ﺗﻔـﺴـﻴـﺮ درﺳﺖ ﻧﻤـﻮدارﻫﺎ ﺗـﻮﺳﻂ داﻧﺶ آﻣـﻮزان ،ﺑـﻪ درك آن ﻫﺎ از ﻣﻔـﻬـﻮم ﺗﺎﺑـﻊ واﺑﺴﺘـﻪ اﺳـﺖ .در ﻣﺠﻤﻮع ،ﻳﺎﻓﺘﻪ ﻫﺎى اﻳﻦ ﺑﺨـﺶ را ﻣﻰ ﺗﻮان ﺑﻪ ﺻﻮرت زﻳﺮ ﺧﻼﺻـﻪ ﻛﺮد ﻛﻪ داﻧﺶ آﻣﻮزان: ـ ﺑﻪ ﻧﻘﺎﻃﻰ از داﻣﻨـﻪ ﻛـﻪ yاى ﺑﺮاى آن ﻫﺎ ﺗﻌﺮﻳ Iﻧﺸـﺪه ﺑـﻮد، ﺗﻮﺟﻬﻰ ﻧﻜﺮدﻧﺪ. ـ ﺗﻜﻨﻴﻚ ﺧﻂ ﻣﻮازى ﻣﺤﻮر yﻫﺎ را ﺑﻪ راﺣﺘﻰ ﺑﻪ ﻛﺎر ﻣﻰ ﺑﺮدﻧﺪ، وﻟﻰ از اﻳﻦ ﻧﻜﺘﻪ ﻏﺎﻓﻞ ﺑﻮدﻧﺪ ﻛﻪ ﺧﻂ ﻣﻮازى ﻣﺤﻮر yﻫﺎ ،ﺑﺎﻳﺪ ﻧﻤﻮدار را ﺣﺪاﻛﺜﺮ در ﻳﻚ ﻧﻘﻄﻪ ﻗـﻄـﻊ ﻛـﻨـﺪ .در واﻗﻊ داﻧـﺶ آﻣـﻮزان درك ﺻﺤﻴﺤﻰ از داﻣﻨﻪ ﻧﺪاﺷﺘﻨﺪ. ـ ﻧﻤﻮدارى ﻛﻪ داراى داﻣﻨﻪ ى ﻣﺤﺪود ﻳﺎ ﻗﻄﻌﻪ ﻗﻄﻌﻪ ﺑﺎﺷﺪ را ﺗﺎﺑﻊ ﻧﻤﻰ داﻧﺴﺘﻨﺪ. ـ ﺑﻪ ﻃﻮر ﻛﻠﻰ ،آن ﻫـﺎ اﺳـﺘـﺪﻻل ﻫـﺎى ﻗـﺎﻧـﻊ ﻛـﻨـﻨـﺪه اى ﺑـﺮاى ﭘﺎﺳﺦ ﻫﺎﻳﺸﺎن اراﺋﻪ ﻧﻜﺮدﻧﺪ و اﻳﻦ ﻧﺎﺗﻮاﻧﻰ ﺗﺎ ﺣﺪى ،ﻣﺮﺑﻮط ﺑﻪ درك ﺿﻌﻴ Iداﻧﺶ آﻣﻮزان از ﻣﻔﻬﻮم داﻣﻨﻪ و ﻋﺪم ﺳﺎزﮔﺎرى اﻳﻦ داﻧﺶ ﺑﺎ ﺗﺠﺮﺑﻪ ﻫﺎى ﻗﺒﻠﻰ آن ﻫﺎ ﺑﻮد. اﻳﻦ ﻳﺎﻓﺘﻪ ﻫﺎ ﺑﻴﺎﻧﮕﺮ اﻳﻦ ﺣﻘﻴـﻘـﺖ ﺑـﻮدﻧﺪ ﻛﻪ ﺑـﺮاى درك ﻣﻔﻬـﻮم ﺗﺎﺑﻊ ،داﻧﺶ آﻣـﻮزان ﻧﻴﺎزﻣﻨﺪ ﻓﻬﻢ ﻋﻤﻴﻖ ﺗـﺮى از ﺑﺎزﻧﻤﺎﻳﻰ ﻧﻤـﻮدارى ﻫﺴﺘﻨﺪ. ﻳﺎﻓﺘﻪﻫﺎى ﺣﺎﺻﻞ از ﺗﺠﺰﻳﻪ و ﺗﺤﻠﻴﻞ ﺳﺆاﻻت ﻣﺮﺑﻮط ﺑﻪ ﻓﺮﻣﻮلﻫﺎ ﺳﺆال .١آﻳﺎ ﻓﺮﻣﻮل زﻳﺮ،ﺗﺎﺑﻊ اﺳﺖ؟ ﭘﺎﺳﺦ ﺧﻮد را ﺷﺮح دﻫﻴﺪ. f:R → R 1 = )f (x x
ﻫﺪف اﻳﻦ ﺳﺆال ،ﺑﺮرﺳﻰ درك داﻧﺶ آﻣﻮزان از ﻣﻔﻬﻮم ﺗﺎﺑﻊ در ﺑﺎزﻧﻤﺎﻳﻰ ﻓﺮﻣﻮﻟﻰ ﺑﻮد و ﺳﻌﻰ ﺷﺪ اﻳﻦ ﺳـﺆال ﺟﺰو ﻣﺜﺎل ﻫﺎﻳﻰ ﺑﺎﺷﺪ ﻛﻪ ﺑﺮاى داﻧﺶ آﻣﻮزان آﺷﻨﺎ اﺳﺖ .ﻧﻤﻮﻧﻪ ﻫﺎى زﻳﺮ ﻣﻌﺮف ﭘﺎﺳﺦ ﻫﺎىِ ٣١
دوره ى ﺑﻴﺴﺖ وﻫﻔﺘﻢ ﺷﻤﺎره ى٣ ﺑﻬﺎر ١٣٨٩
داﻧﺶ آﻣﻮزان ،روش ﻫﺎى ﻣﺨﺘﻠﻔﻰ را ﻣﻰ داﻧﺴﺘﻨﺪ و آن ﻫﺎ را ﺑﻪ ﻛﺎر ﻣﻰ ﺑﺮدﻧﺪ ،وﻟﻰ ﺳﺮاﻧﺠﺎم در اراﺋﻪ ى درﺳﺖ ﻧﺎﻣﻮﻓﻖ ﻣﺎﻧﺪﻧﺪ.
ى اﻳﺠﺎد ﺗﺼـﻮرات ﺗﺎ ﻓـﺮﺻﺖ ﻛﺎﻓﻰ ﺑـﺮا ﻻزم اﺳﺖ ﺗﺎﺑﻊ و زﻣﻴﻨﻪﺳﺎزى ن ﻧﺴﺒﺖ ﺑﻪ ﻣﻔﻬﻮم داﻧﺶآﻣﻮزا ﻰ ﺗﺎﺑﻊ اﻳﺠﺎد ﺷﻮد ى درك ﻣﻔﻬﻮم اﺻﻠ ﺑﺮا
ﻳﺎﻓﺘﻪﻫﺎى ﺣﺎﺻﻞ از ﺗﺠﺰﻳﻪ و ﺗﺤﻠﻴﻞ ﺳﺆاﻻت ﻣﺮﺑﻮط ﺑﻪ ﺗﺎﺑﻊ ﺛﺎﺑﺚ ﺳﺆال :آﻳﺎ ﻋﺒﺎرت ﻫﺎى زﻳﺮ ﺗﺎﺑﻊ ﻫﺴﺘﻨﺪ؟ دﻻﻳﻞ ﺧـﻮد را ﺷﺮح دﻫﻴﺪ. y=4
داﻧﺶ آﻣﻮزان ﺑﻪ اﻳﻦ ﺳﺆال اﺳﺖ: ● ﺗﺎﺑﻊ ﻧﻴﺴﺖ ،ﭼﻮن ﺗﻌﺮﻳ hﻧﺸﺪه ،ﺑﻰCﻣﻌﻨﻰ اﺳﺖ .ﺑﻪ ازاى x =0 ﻣـﻘـﺪارى ﺑﺮاى yﺑﻪ دﺳـﺖ ﻧـﻤـﻰCآﻳـﺪ ) ، f (0اﮔﺮ داﻣـﻨـﻪ Cﺑـﻪ ﺻـﻮرت → f:R >0ﺑﺎﺷﺪ ،ﺗﺎﺑﻊ اﺳﺖ. ● ﺗﺎﺑﻊ ﻧﻴﺴﺖ. x =0 ، R − {0} ، ● ﺗـﺎﺑـﻊ اﺳـﺖ ،زﻳـﺮا ﻃﺒـﻖ ﺗـﻌـﺮﻳـ hو ﻫـﻢ از روى ﻧـﻤـﻮدار و ﻫـﻢ از داﻣﻨﻪCى آن ﺗﺎﺑﻊ ﻣﺤﺴﻮب ﻣﻰCﺷﻮد. ● ﺗﺎﺑﻊ اﺳﺖ، f (x) = 2 f (x) = 1 1 و 1 =y =y 1 2
.
ﺳﺆال .٢آﻳﺎ ﻓﺮﻣﻮل زﻳﺮ ﺗﺎﺑﻊ اﺳﺖ؟ ﭘﺎﺳﺦ ﺧﻮد را ﺷﺮح دﻫﻴﺪ.
f:R → R f (x) = x
ـ اﻛﺜﺮ داﻧﺶ آﻣﻮزاﻧﻰ ﻛﻪ ﺑﻪ ﺳﺆاﻻت ﺑﺎزﻧﻤﺎﻳﻰ ﻣﺮﺑﻮط ﺑﻪ ﻓﺮﻣﻮل، ﭘﺎﺳﺦ درﺳﺖ دادﻧﺪ ،ﺑﻪ راﺣﺘﻰ ﺗﻮاﻧﺴﺘﻨﺪ اﻋﻀﺎﻳﻰ از داﻣﻨﻪ ى داده ﺷﺪه را ﻛﻪ ﺗﺎﺑﻊ در آن ﺗﻌﺮﻳ Iﻧﺸﺪه ﺑﻮد ،ﺑﺒﻴﻨﻨﺪ. ـ ﻳﻜﻰ از دﻻﻳﻠﻰ ﻛﻪ ﺑﺎﻋﺚ ﺷـﺪ ﺑـﺮﺧﻰ از داﻧﺶ آﻣﻮزان ﭘﺎﺳـﺦ ﻧﺎدرﺳﺖ دﻫﻨﺪ ،ﻋﺪم ﺗﻮﺟﻪ آن ﻫﺎ ﺑﻪ ﻧﻤﺎد ﻣﻌﺮﻓﻰ ﺗﺎﺑﻊ )(f:R → R ﺑﻮد .در واﻗﻊ ،ﺑﻌﻀـﻰ از داﻧـﺶ آﻣـﻮزان ،ﻗﺒـﻼً ﺑﺎ اﻳـﻦ دو ﻓـﺮﻣﻮل ﺑﻪ ﻋﻨﻮان ﻣﺜﺎل ﻫﺎى اوﻟﻴﻪ از ﺗﺎﺑﻊ ﻛﻪ داﻣﻨﻪ ﻫﺎى ﺻﺤﻴﺢ داﺷﺘﻨﺪ ،آﺷﻨﺎ ﺷﺪه ﺑـﻮدﻧﺪ و ﺑﺪﻳﻦ ﺟﻬـﺖ ،اﻳـﻦ ﻫـﺎ را ﺗﺎﺑﻊ داﻧﺴﺘـﻨـﺪ .ﻣـﺜـﻼً اﻳـﻦ داﻧﺶ آﻣﻮزان ،ﺑﺎ رﺳﻢ ﻧﻤﻮدار ﺗﺎﺑﻊ xﺑﺮاى x ≥0و ﺑﺎ اﺳﺘﻔﺎده از ﺗﻜﻨﻴﻚ ﺧﻂ ﻣﻮازى ﻣﺤﻮر yﻫﺎ ،اﺳﺘﺪﻻل ﻛﺮدﻧﺪ ﻛﻪ اﻳﻦ ﻓﺮﻣﻮل ﺗﺎﺑﻊ اﺳﺖ. ـ ﻋﻼوه ﺑﺮ اﻳﻦ ﻫﺎ ،ﻫﻴﭻ ﻳﻚ از ﭼﻬﺎر ﻣﺼﺎﺣﺒﻪ ﺷﻮﻧﺪه ،ﺑﻪ اﻳﻦ ﺳﺆال ﭘﺎﺳـﺦ درﺳﺘﻰ ﻧﺪادﻧﺪ و اﻳﻦ ﻧﻜـﺘـﻪ ﻗـﺎﺑـﻞ ﺗـﻮﺟﻪ ﺑـﻮد ﻛﻪ اﻳـﻦ دوره ى ﺑﻴﺴﺖ وﻫﻔﺘﻢ ﺷﻤﺎره ى٣ ﺑﻬﺎر ١٣٨٩
٣٢
)ﺑﺮاى ﻫﻤﻪ ى ﻣﻘﺎدﻳﺮ y = 4 (x )y = 4(x ≥ 2
ﻫﺪف اﻳﻦ ﺳـﺆال ،ﺑﺮرﺳﻰ درك داﻧﺶ آﻣـﻮزان از ﻣﻔﻬـﻮم ﺗﺎﺑﻊ ﺛﺎﺑﺖ در ﻋﺒﺎرت ﻫﺎى ﻣﺨﺘﻠ Iو ﺷﻨﺎﺳﺎﻳﻰ ﻣﺸﻜﻼت اﺣﺘﻤﺎﻟﻰ آن ﻫﺎ در ﺣﺮﻛﺖ از ﻳﻚ ﺣﺎﻟﺖ ﺑﺎزﻧﻤﺎﻳﻰ ﺑﻪ ﺣﺎﻟﺖ دﻳﮕﺮ ﺑﻮد. ﭘﺎﺳﺦ ﺑﻪ ﺳﺆال اﺻﻠﻰ ﺗﺤﻘﻴﻖ ﻳﻜﻰ از اﻫﺪاف اﻳﻦ ﺗﺤﻘـﻴـﻖ ،ﺑـﺮرﺳﻰ و ﺗﺤﻠﻴـﻞ ﭼـﮕـﻮﻧﮕـﻰ اﺳﺘﻔﺎده ى داﻧﺶ آﻣﻮزان از ﺗﻌﺮﻳ Iﻫﺎى رﺳﻤﻰ ﺗﺎﺑﻊ و ﺗﺼﻮرﻫﺎى ﻣﻔﻬﻮم ﺷﻜﻞ ﮔﺮﻓﺘﻪ در ذﻫﻦ آن ﻫﺎ ﺑﻮد .ﺗﺠﺰﻳﻪ و ﺗﺤﻠﻴﻞ ﭘﺎﺳﺦ ﻫﺎى داﻧﺶ آﻣﻮزان ﻧﺸﺎن داد ﻛﻪ ﺗﻨﻬﺎ ﺗﻌﺪاد ﻛﻤﻰ از داﻧﺶ آﻣﻮزان در ﺣﻴﻦ ﻛﺎر ﻛـﺮدن ﺑﺎ ﺑﺎزﻧﻤﺎﻳﻰ ﻫﺎى ﻣﺨﺘﻠ Iﺗـﺎﺑـﻊ ،ﺑـﺮ روى وﻳﮋﮔﻰ ﻫـﺎى ﺗﻌﺮﻳ Iﺗﺎﺑﻊ ﻣﺘﻤﺮﻛﺰ ﺷﺪﻧﺪ .ﺑﻪ ﻃﻮر ﻛﻠﻰ ،ﻣﻰ ﺗﻮان ﮔﻔﺖ ﻛﻪ اﻛﺜﺮ داﻧﺶ آﻣﻮزان در ﺑﺮﺧﻮرد ﺑﺎ ﻧﻤﺎﻳﺶ ﻧﻤـﻮدارﻫﺎى ون و ﻧﻤﺎﻳﺶ زوج ﻣﺮﺗﺒﻰ ،ﺗـﻮاﻧﺴﺘﻨﺪ وﻳـﮋﮔﻰ ﻫﺎى ﺗﻌﺮﻳ Iﺗﺎﺑـﻊ را ﺑﻪ وﺿﻮح ﺑﺒﻴﻨﻨـﺪ. داﻧﺶ آﻣـﻮزان در ﺑـﺮﺧﻮرد ﺑﺎ ﺑـﺎزﻧﻤﺎﻳﻰ ﻫـﺎى ﻧـﻤـﻮدارى و ﻓـﺮﻣﻮل، ﺗﻌﺮﻳ Iﺗﺎﺑﻊ را ﻛﻨﺎر ﮔﺬاﺷﺘﻨﺪ و ﺑﺎ اﺳﺘﻔﺎده از ﺗﻜﻨﻴﻚ ﻫﺎﻳـﻰ ﻛـﻪ در دﺳﺖ داﺷﺘﻨﺪ ﺑﻪ اﺳﺘﺪﻻل ﺗﺸﺨﻴﺺ ﺗﺎﺑﻊ ﺑـﻮدن ﭘﺮداﺧﺘﻨﺪ .ﻫﻤﻴﻦ اﻣﺮ ،ﭘﻴﭽﻴﺪﮔﻰ ﻫـﺎى ﻣـﺘـﻔـﺎوﺗـﻰ را در ﺑﺮﺧﻮرد ﺑﺎ ﻫﺮ ﻛـﺪام از اﻳـﻦ ﺑﺎزﻧﻤﺎﻳﻰ ﻫـﺎ ﺑـﺮاى آن ﻫﺎ ﺑﻪ وﺟﻮد آورد .ﻋﻠﺖ اﻳﻦ اﻣﺮ اﻳـﻦ ﺑـﻮد ﻛﻪ داﻧﺶ آﻣﻮزان ﺑﻴﺶ ﺗﺮ ﺑﻪ ﺗﺠﺎرب ﻗﺒﻠﻰ ﺧﻮد ﺗﻜﻴﻪ داﺷﺘﻨﺪ ﺗﺎ ﺗﻌﺮﻳI ﺗﺎﺑﻊ ،ﺑﻪ ﻃﻮرى ﻛﻪ در ﺑـﺮﺧﻮرد ﺑﺎ ﻳﻚ ﻧﻤﻮدار ﻧﺎآﺷﻨﺎ دﭼﺎر ﻣﺸﻜـﻞ ﻣﻰ ﺷﺪﻧﺪ و ﺑﺎ ﺗﻮﺟﻪ ﺑﻪ ﺧﻮاص ﻣﺜﺎل ﻫﺎى اوﻟﻴﻪ و ﻧﻤﻮﻧﻪ ﻫﺎى آﺷﻨﺎ ﺑﻪ اﻳﻦ ﻧﻮع ﺳﺆال ﻫﺎ ﭘﺎﺳﺦ دادﻧﺪ .ﺑﻪ ﻃﻮر ﻛﻠﻰ ،ﻣﻰ ﺗـﻮان ﭼﮕﻮﻧﮕـﻰ اﺳﺘﻔﺎده ى داﻧﺶ آﻣﻮزان از ﺗﻌﺮﻳ Iﺗﺎﺑﻊ را ﺑﻪ ﺻﻮرت زﻳﺮ ﺧﻼﺻﻪ ﻛﺮد: ● ﺑـﻴـﺶ ﺗـﺮ داﻧـﺶ آﻣــﻮزان ﻗـﺎدر ﺑـﻮدﻧـﺪ ﺗـﻌـﺮﻳـ Iﺗـﺎﺑــﻊ را ﺑــﺮاى ﺑﺎزﻧﻤﺎﻳﻰ ﻫﺎى ﺳﺎده از ﺟﻤﻠﻪ ﻧﻤﺎﻳﺶ ﺗﺎﺑﻊ ﺑﻪ ﺻﻮرت زوج ﻣﺮﺗﺐ ﻳﺎ ﻧﻤﺎﻳﺶ آن ﺑﻪ ﺻـﻮرت ﻧﻤـﻮدارﻫﺎى ون ﻛﻪ ﺟﺰو ﻧﻤـﻮﻧﻪ ﻫﺎى اوﻟﻴﻪ ى
ﻧﻤﺎﻳﺶ ﺗﺎﺑﻊ ﻫﺴﺘﻨﺪ اراﺋﻪ دﻫﻨﺪ؛ ● زﻣﺎﻧﻰ ﻛﻪ داﻧـﺶ آﻣـﻮزان از وﻳﮋﮔﻰ ﻫﺎى ﺗﻌﺮﻳ Iﺗﺎﺑﻊ اﺳـﺘـﻔـﺎده ﻧﻤﻰ ﻛﺮدﻧﺪ ،ﺑﻴﺶ ﺗﺮ ﺑﻪ ﻣﺜﺎل ﻫﺎﻳﻰ ﻛﻪ ﻗﺒﻼً ﺗﺠﺮﺑﻪ ﻛـﺮده ﺑﻮدﻧﺪ ﺗﻜﻴﻪ داﺷﺘﻨﺪ و ﺑﻪ ﻃـﻮر ﻛـﻠـﻰ ،درك ﻛﻠﻰ و ﻣﺒﻬﻤـﻰ از ﺗـﻌـﺮﻳـ Iﺗـﺎﺑـﻊ داﺷﺘﻨﺪ. ﺳﺨﻦ ﭘﺎﻳﺎﻧﻰ :ﭼﻨﺪ ﺗﻮﺻﻴﻪى آﻣﻮزﺷﻰ ﺑﺮاﺳﺎس ﻳﺎﻓﺘﻪ ﻫﺎى اﻳﻦ ﻣﻄﺎﻟﻌﻪ ،ﺗﻮﺻﻴﻪ ﻫﺎى آﻣﻮزﺷﻰ زﻳﺮ اراﺋﻪ ﻣﻰ ﺷﻮد: ● ﻻزم اﺳﺖ ﺗﺎ ﻓﺮﺻﺖ ﻛﺎﻓﻰ ﺑـﺮاى اﻳﺠﺎد ﺗﺼﻮرات داﻧﺶ آﻣﻮزان ﻧﺴﺒﺖ ﺑﻪ ﻣﻔﻬـﻮم ﺗﺎﺑﻊ و زﻣﻴﻨﻪ ﺳﺎزى ﺑﺮاى درك ﻣﻔﻬـﻮم اﺻﻠﻰ ﺗﺎﺑﻊ اﻳﺠﺎد ﺷﻮد. ● آﺷﻨﺎﻳﻰ ﻣﻌﻠﻤﺎن ﺑﺎ ﺗﺼﻮرﻫﺎى داﻧﺶ آﻣﻮزان ﻧﺴﺒﺖ ﺑﻪ ﻣﻔﻬﻮم ﺗﺎﺑﻊ، ﻣﻰ ﺗﻮاﻧﺪ ﺑﻪ ﺑـﺮﻃﺮف ﻛﺮدن ﻣﺸﻜﻼت و ﭘﻴﭽﻴﺪﮔﻰ ﻫﺎﻳﻰ ﻛﻪ ﻣﻤـﻜـﻦ اﺳﺖ ﺑﺎ ﺗﻌﺮﻳ Iرﺳﻤﻰ ﻣﻔﻬﻮم ﺗﺎﺑﻊ در ذﻫﻦ آن ﻫﺎ ﺷﻜﻞ ﮔﻴﺮد ،ﻛﻤﻚ ﻛﻨﺪ. ● ﻓـﺮاﻫﻢ آوردن ﻣﺠـﻤـﻮﻋﻪ اى از ﻣﺜﺎل ﻫـﺎى ﻣـﺘـﻨـﻮع از ﺗﺎﺑـﻊ ﻫـﺎى ﻣﺨﺘﻠ Iﺗﻮﺳﻂ ﻣﻌﻠﻤﺎن ،ﺑﺮاى ﺗﻘﻮﻳﺖ ﺗﺼﻮرات داﻧﺶ آﻣﻮزان ﻣﻔﻴﺪ اﺳﺖ. ● اﺳﺘﻔﺎده از ﺑﺎزﻧﻤﺎﻳﻰ ﻫﺎى ﭼﻨﺪﮔﺎﻧﻪ در ﻳﺎدﮔﻴﺮى رﻳﺎﺿﻰ و ﺑﻪ وﻳﮋه ﻳﺎدﮔﻴﺮى ﻣﻔﻬﻮم ﺗﺎﺑﻊ ،ﻳﻌﻨﻰ اﺗﺼﺎل ،ﻣﻘﺎﻳﺴﻪ و ﺗﺒﺪﻳﻞ از ﻳﻚ ﺣﺎﻟﺖ ﺑﺎزﻧﻤﺎﻳﻰ ﺑﻪ ﺣﺎﻟﺖ دﻳﮕﺮ ﺑﺎزﻧﻤﺎﻳﻰ ﺑﻪ داﻧﺶ آﻣﻮزان ﻛﻤﻚ ﻣﻰ ﻛﻨﺪ ﺗﺎ ﺑﺘـﻮاﻧﻨـﺪ ﻣـﻬـﺎرت ﻫﺎى ﻧﻤﺎﻳﺶ و ﺗـﺸـﺨـﻴـﺺ ﻣـﻔـﻬـﻮم ﺗـﺎﺑـﻊ ر ا در ﺑﺎزﻧﻤﺎﻳﻰ ﻫﺎى ﻣﺨﺘﻠ Iﻛﺴﺐ ﻛﻨﻨﺪ و ﺑﺘـﻮاﻧﻨﺪ ﺑﻴﻦ آن ﻫﺎ ،اﺗﺼﺎل و ارﺗﺒﺎط ﺑﺮﻗﺮار ﻧﻤﺎﻳﻨﺪ. ﭘﻰﻧﻮﺷﺖ 1. Hamley 2. Hedrick 3. Unifying 4. Flips 5. Slides 6. Bredenbach 7. Hawks 8. Nichols 9. Carlson 10. Dreyfus *11. Procept * ﻓﺮﻫﻮم از دو ﻛﻠﻤﻪ ى processﺑﻪ ﻣﻌﻨﻰ ﻓﺮآﻳﻨﺪ و conceptﺑﻪ ﻣﻌﻨﻰ ﻣﻔﻬﻮم ﺳﺎﺧﺘﻪ ﺷﺪه اﺳ ﺖ .
ﻣﻔﻬﻮم ﺗﺎﺑﻊ ﻳ ﻜﻰ از اﺳﺎﺳﻰﺗﺮﻳ ﻦ ﻣﻔﺎﻫﻴﻢ رﻳﺎﺿﻰ اﺳﺖ ﻛﻪ ﻳﺎد ﮔﻴﺮﻧﺪهﻫﺎ از دوران ا ﺑﺘ ﺪ اﻳ ﻰ ﺗﺎ د اﻧ ﺸ ﮕﺎه، ﺑﺎ آن ﺳﺮوﻛﺎر دارﻧﺪ ﻣﻨﺎﺑﻊ اﻟ (Oﻓﺎرﺳﻰ .١ﺳﺮﺷﺘﻰ ،ﺣﻤﻴـﺪه .(١٣٨٤) .ﻧﻘﺶ ﺗﻜﻨﻮﻟﻮژى در ارﺗﻘﺎء ﻣﻔﺎﻫﻴﻢ رﻳﺎﺿﻰ ﻋـﻤـﻮﻣﻰ ،ﭘﺎﻳﺎن ﻧﺎﻣﻪ ﺑﺮاى درﻳﺎﻓﺖ درﺟﻪ ﻛﺎرﺷﻨﺎﺳﻰ ارﺷﺪ در آﻣﻮزش رﻳﺎﺿﻰ ،داﻧﺸﮕﺎه ﺷﻬﻴﺪ ﺑﻬﺸﺘﻰ. .٢ﮔﻮﻳﺎ ،زﻫﺮا؛ ﻣﺮﺗﺎﺿﻰ ﻣﻬﺮﺑﺎﻧﻰ ،ﻧـﺮﮔﺲ .(١٣٨٣) .ﻣﺎﻫﻴﺖ رﻳﺎﺿﻰ .ﻣﺠﻠﻪCى رﺷﺪ آﻣﻮزش رﻳﺎﺿـﻰ ،ﺷﻤـﺎره ى ،٧٦ﺻﺺ ٣٦ـ ،٢٨دﻓﺘﺮ اﻧﺘـﺸـﺎرات ﻛﻤـﻚ آﻣـﻮزﺷﻰ ،ﺳـﺎزﻣﺎن ﭘﮋوﻫـﺶ و ﺑﺮﻧﺎﻣﻪ رﻳﺰى آﻣﻮزﺷﻰ ،وزارت آﻣﻮزش وﭘﺮورش. .٣ﻣﺪﻗﺎﻟﭽﻰ ،ﻋﻠـﻴـﺮﺿﺎ ٨٠) .ـ ،(١٣٧٩ﭼﺎﻟﺶ ﻫـﺎى آﻣـﻮزش رﻳﺎﺿﻰ در ﺣـﻮزه ى ﺣﺴﺎﺑﺎن. ﻣﺠﻠـﻪCى رﺷﺪ آﻣـﻮزش رﻳﺎﺿـﻰ ،ﺷﻤـﺎره ى ،٦١ﺻﺺ ١٠ـ ،٤دﻓﺘﺮ اﻧﺘـﺸـﺎرات ﻛﻤﻚ آﻣـﻮزﺷﻰ، ﺳﺎزﻣﺎن ﭘﮋوﻫﺶ و ﺑﺮﻧﺎﻣﻪ رﻳﺰى آﻣﻮزﺷﻰ ،وزارت آﻣﻮزش وﭘﺮورش.
ب( اﻧﮕﻠﻴﺴﻰ 4. Akkoc, H. & Tall, D. (2006). AMismatch Between Curriculum Design and Student Learning: The Case of the Function Concept, Proceedings of the sixth British Congress of Mathematics Education held at University of Warwick, pp.1-8. 5. Breidenbach, D., Dubinsky, E., Hawks, J. & Nichols, D. (1992). Development of the process Conception of Function, Educational Studies in Mathematics, 23, (3), pp. 247-285. '6. Carlson, M. (1999). A Study of Second Semester Calculus Students Function Conceptions. Published in Proceeding of PME 23. 7. Davis, Gray E; Mc Gowen, Mercedes A. (2002). Function Machines & Flexible Algebraic Thought. Proceeding of the 26th International Group for the psychology of Mathematics Education, University of East Anglia, Norwich, U.K. 8. Hamley, H. R. (1934). The Function Concept in School Mathematics. The Mathematical Gazette, Vol. 18, No. 229. pp. 169-179. 9. Hedrick, E.R. (1938). The Function Concept in Dlementary Teaching and in Advanced Mathematics, The American Mathematical Monthly, Vol. 45, No. 7. pp. 448-455. 10. Sajka, M. (2003). A Secondary School Students' Understanding of the Concept of Function: A Case Study, Educational Studies in Mathematics, 53, (3), pp. 229-254. 11. Tall, D. (1997). Function and Calculus, In A. J. Bishop et al (Eds), International Handbook of Mathematics Education, pp. 289-325. 12. Tall, D. & Vinner, S. (1981). Concept Image and Concept Defintion in Mathematics with Particular Reference to Limit and Continuity. Educational Studies in Mathematics, 12, pp. 151-169. 13. Vinner, S. & Dreyfus, T. (1989). Images and Definitions for the Concept of Function. Journal for Research in Mathematics Education, 20. (4), pp. 356-366.
٣٣
دوره ى ﺑﻴﺴﺖ وﻫﻔﺘﻢ ﺷﻤﺎره ى٣ ﺑﻬﺎر ١٣٨٩
ﻧﻐﻤﻪ ﺣﺎﺟﻰ ﺻﺎدﻗﻰ ﻛﺎرﺷﻨﺎس رﻳﺎﺿﻰ و ﻣﻌﻠﻢ رﻳﺎﺿﻰ اﺑﺘﺪاﻳﻰ ،ﻣﻨﻄﻘﻪى ٢ﺗﻬﺮان
ﺑﺮرﺳﻰ وﻳﮋﮔﻰﻫﺎى
ﻫﺎ ﭼﻬﺎرﺿﻠﻌﻰ
دورهى ﺑﻴﺴﺖ ﻫﻔﺘﻢ
ﺑﻬﺎرﺷﻤﺎره٨٩ى٣٤ ٣١٣
ﺑﻪدﻟﻴﻞ اﻫﻤﻴﺖ ﻧﻘﺶ ﻣﻌﻠﻢ ،ﺑـﺮﻧﺎﻣﻪﻫﺎى آﻣـﻮزش ﻣﻌﻠﻤﺎن
ﺗﺪرﻳـﺲ ﻛـﻪ از دل ﻛـﻼس درس و ﻋﻤﻞ ﻣـﻌـﻠـﻢ ﻣـﻰﺟـﻮﺷـﺪ،
از اﻫﻤﻴـﺖ وﻳـﮋهاى ﺑـﺮﺧـﻮردار اﺳﺖ .ﻣﺠـﻠـﻪى رﺷﺪ آﻣـﻮزش
ﺑﭙﺮدازﻧﺪ .آنﮔﺎه ﻧﻈﺮﻳﻪﻫﺎ ﺑﻪ ﻋـﻤـﻞ درﻣﻰآﻳﻨﺪ و ﻣﺠـﺪداً ﻋﻤﻞ
رﻳﺎﺿﻰ در ﻧﻈﺮ دارد ﻛﻪ اﻳﻦ ﻣﻬـﻢ را ﺑﻪﻋﻨﻮان ﻳﻜﻰ از وﻇﺎﻳ2
ﺑﻪ ﻧﻈﺮﻳﻪ ﻛﺸﺎﻧﺪه ﻣﻰﺷﻮد و اﻳﻦ ﻓﺮآﻳﻨﺪ ﻫﻢﭼﻨﺎن اداﻣﻪ ﭘﻴﺪا
اﺻﻠﻰ ﺧﻮﻳﺶ ﺑﺪاﻧﺪ .ﺑﻪﻫﻤﻴـﻦﻣـﻨـﻈـﻮر ،ﺳﺘـﻮﻧﻰ در ﻣﺠﻠـﻪ ﺑـﺎ
ﻣﻰﻛﻨﺪ.
ﻋﻨﻮان رواﻳﺖﻫﺎى ﻣﻌﻠﻤﺎن رﻳﺎﺿﻰ ﺑﺎز ﺷﺪه اﺳﺖ ﺗﺎ از ﻃﺮﻳﻖ
از ﻫﻤﻜـﺎران ﮔﺮاﻣﻰ اﻧﺘﻈـﺎر ﻣـﻰرود ﻛـﻪ رواﻳﺖﻫﺎى ﺧـﻮد را ﺑﺮاى ﻣﺎ
آن ،ﺑﺘـﻮاﻧﻴﻢ راﺑﻄﻪى ﻧـﺰدﻳﻚﺗﺮى ﺑﺎ ﻣﻌﻠﻤﺎن رﻳـﺎﺿـﻰ ﺑـﺮﻗﺮار
ﺑﻔﺮﺳﺘﻨﺪ .ﻋﻠﻢ زﻣﺎﻧﻰ ارزﺷﻤﻨﺪ اﺳﺖ ﻛﻪ در اﺧﺘﻴﺎر ﻋﻤﻮم ﻗﺮار ﮔﻴﺮد ،زﻳﺮا
ﻛﻨﻴﻢ .اﻳﻦ رواﻳﺖﻫﺎ ﺑـﺮاى ﻣﺤﻘﻘﺎن و ﻣﻌﻠﻤﺎن ﻣﺤﻘﻖ ﻓﺮﺻﺖ
ﻛﻪ زﻛﺎت ﻋﻠﻢ ﻧﺸﺮ آن اﺳﺖ .ﻣﻌﻠﻤﺎن ﻋﺰﻳﺰ ﺑﺎﻳﺪ ﺑﻪ اﻫﻤﻴﺖ ﺗﺠﺮﺑﻪﻫـﺎى
ارزﻧﺪهاى ﺑﻪوﺟﻮد ﻣﻰآورد ﺗﺎ ﺑﻪ ﺗﺒﻴﻴﻦ ﻧﻈﺮﻳﻪﻫﺎى آﻣﻮزﺷﻰ و
ﺧﻮد واﻗ 2ﺷﻮﻧﺪ و ﺑﺎ ﭘﻮﻳﺎﻳﻰ ﺑﻪ ﻏﻨﻰﺗﺮ ﻛﺮدن آنﻫﺎ ﺑﭙﺮدازﻧﺪ.
ﻣﻘﺪﻣﻪ رواﻳﺘﻰ ﻛﻪ ﺑﻪ دﻧﺒﺎل ﻣﻰآﻳﺪ ،ﺗﺠﺮﺑﻪى ﺟﺪﻳﺪى را در اﻳﺮان ﻣﻄﺮح ﻣﻰﻛﻨﺪ؛ ﺗﺠﺮﺑﻪاى ﻛﻪ ﺑﺎ وﺟﻮد ﻗﺪﻣﺘﺶ در ﺧﺎرج از اﻳﺮان و رواﺟﺶ در ﻣﺠﺎﻣﻊ ﺗﺤﻘﻴﻘـﻰ ،در ﺣـﻮزهى آﻣﻮزش ﻣﻌﻠﻤﺎن در اﻳـﺮان ،ﻣﻮرد ﻛﻢﺗـﻮﺟﻬـﻰ ﻗـﺮار ﮔـﺮﻓﺘﻪ اﺳﺖ .اﻳﻦ ﺗﺠـﺮﺑـﻪ ،ﻓـﻴـﻠـﻢﺑـﺮدارى ﺗﺪرﻳـﺲ ﻛﻼس درﺳﻰ ﺗـﻮﺳﻂ ﺧﻮد ﻣﻌﻠﻢ ،و ﺑﻪ ﻣﻨﻈﻮر آﻣـﻮزش وى اﺳﺖ. از ﻃـﺮف ﻫﻴﺄت ﺗﺤﺮﻳﺮﻳﻪى ﻣﺠـﻠـﻪ ﺑـﻪ اﻳـﺸـﺎن ﺗـﺒـﺮﻳـﻚ ﻣـﻰﮔـﻮﻳـﻢ ﻛـﻪ ﺟﺴﺎرت ﺧﻮدﻧﻘﺪى را ﻛﻪ ﻣﻘﺪﻣﻪاى ﺑﺮ ﻳﺎدﮔﻴﺮىﻫﺎى ﻋﻤﻴﻖﺗﺮ اﺳﺖ، در ﺧﻮد اﻳﺠﺎد ﻧﻤﻮدهاﻧﺪ. اﻣـﻴـﺪوارﻳﻢ ﻛﻪ اﻳﻦ ﺗـﺠـﺮﺑـﻪﻫـﺎ ،ﺑـﻪ ﺗـﺪرﻳـﺞ ﻣـﻮﺿـﻮع ﺗﺤـﻘـﻴـﻘـﺎت اﺛﺮﺑﺨﺶ و ﻣﺘﻨﻮﻋﻰ در اﻳﻦ ﺣﻮزه ﮔﺮدد. ﺳﺮدﺑﻴﺮ
ﻗﺴﻤﺘﻰ از ﺑـﺮﻧﺎﻣﻪى آﻣﻮزش درس ﻫﻨﺪﺳﻪ در ﺳﺎل ﭼﻬـﺎرم دورهى اﺑﺘﺪاﻳﻰ ﺑﺮ ﻣﺒـﻨـﺎى ﻳـﺎدﮔـﻴـﺮى ﻓـﻬـﺮﺳﺘﻰ از ﺗﻌـﺎرﻳـ; و وﻳﮋﮔﻰﻫﺎى ﭼﻬﺎرﺿﻠﻌﻰﻫﺎ ﺗﻮﺳﻂ داﻧﺶآﻣﻮزان اﺳﺖ .ﺑﺮرﺳﻰ و اﺛﺒﺎت وﻳﮋﮔﻰﻫﺎى ﭼﻬﺎرﺿﻠﻌﻰﻫﺎ در ﺳﺎل دوم راﻫﻨﻤﺎﻳﻰ ﻫﻢ ﻣﻮرد ﺑﺤﺚ و ﺑﺮرﺳﻰ ﻗﺮار ﻣﻰﮔﻴﺮد .زﻣﺎﻧﻰ ﻛﻪ دورهى ﻛﺎرآﻣﻮزى ﺧﻮد را در ﺳﺎل دوم راﻫﻨﻤﺎﻳﻰ ﻣﻰﮔﺬراﻧﺪم ،ﻣﺘﻮﺟﻪ ﺷﺪم ﻛﻪ ﺑﻪ ﺧﺎﻃﺮ ﺳـﭙـﺮدن اﻳـﻦ وﻳـﮋﮔﻰﻫﺎ و ﺗﻌﺎرﻳـ; ،ﺑـﻴـﺶﺗـﺮ ﻣـﻮﺟﺐ ﮔﻤﺮاﻫﻰ داﻧﺶآﻣﻮزان ﺷﺪه و ﭼﻪ ﺑﺴﺎ ﺗﻌﺪاد زﻳﺎدى از آنﻫﺎ اﻳﻦ ﺧﻮاص را ﻓـﺮاﻣﻮش ﻛﺮده ﺑـﻮدﻧﺪ .در ﺣﻘﻴﻘـﺖ ،ﺷـﻮاﻫﺪ ﻧﺸـﺎن ﻣﻰدادﻧﺪ ﻛـﻪ اﮔـﺮ داﻧـﺶآﻣـﻮزان ،ﻓﻘﻂ ﺑـﺎ ﺗـﻜـﺮار و ﺑﻪ ﺷـﻜـﻞ ﻃﻮﻃـﻰوار ﺑﺨﻮاﻫﻨﺪ ﺑﻪ ﺣﻔـﻆ ﻛـﺮدن اﻳﻦ وﻳـﮋﮔﻰﻫﺎ ﺑﭙـﺮدازﻧﺪ، ﺑﺮاﻳﺸﺎن ﻣﺸﻜﻞ ﺧﻮاﻫﺪ ﺑﻮد ﻛﻪ ﺷﺒﺎﻫﺖﻫﺎ و ﺗﻔﺎوتﻫﺎى ﭼﻬﺎر ﺿﻠﻌﻰﻫـﺎ را ﺑﻴﺎن ﻛﻨﻨﺪ و در ﺳـﺎل دوم راﻫﻨﻤﺎﻳﻰ ﻫﻢ ﺑﻪ ﺧﻮﺑـﻰ ﻧﻤﻰﺗﻮاﻧﻨﺪ دوﺑﺎره ﺑﻪ اﻳﻦ ﻣﻔﺎﻫﻴﻢ ﺑـﺮﮔﺸﺘﻪ و درك ﻋﻤﻴﻖﺗﺮى از اﻳﻦ ﻣﻔﺎﻫﻴﻢ ﭘﻴﺪا ﻛﻨﻨﺪ. ﺑﺎ ﺗﻮﺟﻪ ﺑﻪ اﻳﻦ ﻧﻜﺘﻪ ﻛﻪ ﻣﺸﺎﻫﺪه و ﻣﻘﺎﻳﺴﻪى دﻗﻴـﻖ اﺷـﻜـﺎل، وﺳﻴﻠﻪى ﺑﺴﻴﺎر ﻣـﻨـﺎﺳـﺒـﻰ ﺑـﺮاى ﻛﺸـ; و درك ﺣﻘـﺎﻳـﻖ و رواﺑﻂ ﻫﻨﺪﺳﻰ اﺳﺖ ،ﭘﺲ از ﺑﺮرﺳﻰ ﻓﻌﺎﻟﻴﺖﻫﺎى ﻣﺮﺑـﻮط ﺑﻪ آﺷﻨﺎﻳﻰ ﺑﺎ ﺧـﻮاص ﭼـﻬـﺎرﺿـﻠـﻌـﻰﻫـﺎ در ﻛـﺘــﺎب درﺳـﻰ ﺑـﺎ اﻳـﻦ ﻫـﺪف ﻛـﻪ
داﻧﺶآﻣﻮزان ﺑﻪﻃﻮر ﺷﻬﻮدى ﺑﺎ اﻧﺪازهﮔﻴﺮى و ﺗﺠﺮﺑﻪ ،ﺑﻪ ﺧﻮاص ﻣﻮﺟﻮد در ﭼﻬﺎرﺿﻠﻌﻰﻫﺎ ﭘﻰ ﺑﺒﺮﻧﺪ و از آن ﺧﻮاص ﺑﺮاى رﺳﻢ ﺷﻜﻞ آنﻫﺎ اﺳﺘﻔﺎده ﻛﻨﻨﺪ ،ﻓﻌﺎﻟﻴﺘﻰ را ﺑﺮاى ﭘﺎﻳﻪى ﭼﻬﺎرم اﺑﺘﺪاﻳﻰ ﻃﺮاﺣﻰ ﻛﺮدم. در ﻛﻼس ﻣﻦ ،ﻓﻌﺎﻟﻴﺖﻫﺎى ﮔﺮوﻫﻰ ﻣﺨﺘﻠﻔﻰ از اﺑﺘﺪاى ﺳﺎل اﺟﺮا ﺷﺪه ﺑﻮد ،داﻧﺶآﻣﻮزان ﺑﺎ ﻛﺎر ﮔﺮوﻫﻰ آﺷﻨﺎ ﺑﻮدﻧﺪ و از آﻧﺠﺎ ﻛﻪ ﻧﻘﺶ ﻣﻦ در ﻛﻼس ﺑﻪ ﻋﻨـﻮان ﻫﺪاﻳﺖﻛﻨﻨﺪهى داﻧﺶآﻣـﻮزان ﺑﻮد ،اﻧﺘﻈﺎر ﻧﺪاﺷﺘﻨﺪ ﻛﻪ در ﻓﻌﺎﻟﻴﺖ آنﻫﺎ دﺧﺎﻟﺖ ﻣﺴﺘﻘﻴﻢ ﻛﻨﻢ و ﻣﻦ را ﺑﻪ ﻋﻨﻮان ﻣﻌﻠﻤﻰ ﻛﻪ ﻓﻘﻂ ﻣﻮﺿﻮﻋﻰ را ﺗﺪرﻳﺲ و ﺗﻤﺮﻳﻦﻫﺎى ﻣﺮﺑـﻮط ﺑﻪ آن ﻣـﻮﺿﻮع را ﺣﻞ ﻛﻨﻢ ﻧﻤﻰﺷﻨﺎﺧـﺘـﻨـﺪ .ﺑـﻨـﺎﺑـﺮاﻳﻦ، داﻧﺶآﻣـﻮزان درﮔﻴﺮ ﻓﻌـﺎﻟـﻴـﺖﻫـﺎ ﻣـﻰﺷـﺪﻧـﺪ و ﺑـﻪ ﻛـﻤـﻚ ﻫـﻢ ﮔﺮوهﻫﺎى ﺧﻮد ،ﻓﻌﺎﻟﻴﺖﻫﺎ را ﭘﻴﺶ ﺑﺮده و اﮔﺮ ﺑﺎ ﻣﺸﻜﻠﻰ روﺑﻪرو ﻣﻰﺷﺪﻧﺪ ،ﺗﻼش ﻣﻰﻛﺮدﻧﺪ ﺧﻮدﺷﺎن در ﮔﺮوه آن را ﺣﻞ ﻛﻨﻨﺪ. ﻃﺒﻖ ﺑﺮﻧﺎﻣﻪى ﻗﺒﻠﻰ،ﻗﺮار ﺑﻮد ﻳﻜﻰ از ﻫﻤﻜﺎران ﺑﺮاى ﻓﻴﻠﻢﺑﺮدارى ﺑﻪ ﻛﻼس ﻣﻦ ﺑﻴﺎﻳﻨﺪ .از اﻳﻦﻛﻪ ﻣﻰﺧﻮاﺳﺘﻢ در ﻣﻘﺎﺑﻞ دورﺑﻴﻦ ﻛﻼس را اداره و ﻓﻌﺎﻟﻴﺘﻰ را ﻛﻪ ﺗﺎ ﺑﻪ ﺣﺎل ﺗﺠﺮﺑﻪ ﻧﻜﺮده ﺑﻮدم ﺑﺮاى اوﻟﻴﻦ ﺑﺎر اﺟﺮا ﻛﻨﻢ ،ﺑﺎ ﻫﻴﺠﺎن و ﺗﭙﺶ ﻗﻠﺐ وارد ﻛﻼس ﺷﺪه و ﻣﺮاﺣﻞ زﻳﺮ را ﺑﺮاى اﺟﺮاى ﻓﻌﺎﻟﻴﺖ اﻧﺠﺎم دادم. اﺑﺘﺪا داﻧﺶآﻣـﻮزان در ﮔﺮوهﻫﺎى ٥ﻳﺎ ٦ﻧﻔﺮى ﺧﻮد ﻧﺸﺴﺘﻨـﺪ. ﺳﭙﺲ ﻳﻚ ﭘﺎﻛﺖ ﺷﺎﻣﻞ ﺷﻜـﻞﻫـﺎى ﻣـﻘـﻮاﻳﻰ ﻣـﺘـﻮازىاﻻﺿﻼع، ﻣﺴﺘﻄﻴﻞ ،ﻟـﻮزى و ﻣﺮﺑﻊ ،ﮔـﻮﻧﻴﺎ و ﺧﻂﻛﺶ در اﺧﺘﻴﺎر ﻫـﺮ ﮔـﺮوه ﮔﺬاﺷﺘﻢ. اﺳﺎﻣﻰ ﺷﻜﻞﻫﺎى ﻫﻨﺪﺳـﻰ اﮔـﺮﭼﻪ ﺑﺎ ﺗـﻮﺟﻪ ﺑﻪ ﺻﻔﺎت ﺷﻜـﻞ اﻧﺘﺨﺎب ﺷﺪهاﻧﺪ ،وﻟﻰ ﺑﻴﺸﺘﺮ ﺟﻨﺒﻪى ﻗﺮاردادى داﺷﺘﻪ و در ﺟﻠﺴﺎت ﻗﺒﻞ ﺑﺎ ﻧﺸﺎن دادن ﺷﻜﻞﻫﺎ ،ﻧﺎم آنﻫـﺎ را ﺑﻪ داﻧﺶآﻣﻮزان ﻣﻌﺮﻓﻰ و ﻳﺎدآورى ﻛﺮده ﺑﻮدم. داﻧﺶآﻣـﻮزان ﻓﻌﺎﻟﻴﺖ ﺧـﻮد را آﻏﺎز ﻛـﺮده و از آنﻫﺎ ﺧﻮاﺳﺘـﻢ اﺑﺘـﺪا درﺳﺘﻰ ﻳﺎ ﻧـﺎدرﺳﺘﻰ ﺧﺎﺻﻴﺖ ﻧـﻮﺷﺘﻪ ﺷـﺪه را ﺣﺪس ﺑﺰﻧﻨـﺪ. ﺳﭙﺲ ﺑﺎ اﺳﺘﻔﺎده از اﺑـﺰار ﻣﻮﺟﻮد ،درﺳﺘﻰ ﺣﺪس ﺧـﻮد را ﺑﺮرﺳﻰ ﻛﻨﻨﺪ. ﺟﺪوﻟﻰ ﻣﺎﻧﻨﺪ ﺟﺪول ﻛﺸﻴﺪه ﺷﺪه در ﺑﺮﮔﻪى ﻓﻌﺎﻟﻴﺖ را در ﭘﺎى ﺗﺨﺘﻪ ﻛﺸﻴﺪم .ﻧﻤﻮﻧﻪاى از ﺑﺮﮔﻪى ﻓﻌﺎﻟﻴﺖ در زﻳﺮ آﻣﺪه اﺳﺖ. ٣٥
دورهى ﺑﻴﺴﺖ وﻫﻔﺘﻢ ﺷﻤﺎرهى٣ ﺑﻬﺎر ١٣٨٩
ﺑﻪﻧﺎم ﺧﺪا درس :رﻳﺎﺿﻰ ﻓﻌﺎﻟﻴﺖ ﭼﻬﺎر ﺿﻠﻌﻰﻫﺎ
ﻛﻼس :ﭼﻬﺎرم
ﺗﺎرﻳﺦ:
ﻧﺎم اﻋﻀﺎى ﮔﺮوه: در ﺟﺪول زﻳﺮ ،وﻳﮋﮔﻰﻫﺎى ﭼﻬﺎر ﺿﻠﻌﻰﻫﺎ ﻧﻮﺷﺘﻪ ﺷﺪه اﺳﺖ. ﺑﺮاى ﻫﺮ ﺷﻜﻞ ،وﻳﮋﮔﻰ را ﺑﺮرﺳﻰ ﻛﻦ و آن را ﻋﻼﻣﺖ ﺑﺰن. وﻳﮋﮔﻰﻫﺎ
ﻣﺘﻮازىاﻻﺿﻼع ﻣﺴﺘﻄﻴﻞ ﻟﻮزى ﻣﺮﺑﻊ
ﺿﻠﻊﻫﺎى روﺑﻪرو ﺑﺎ ﻫﻢ ﻣﺴﺎوى ﻫﺴﺘﻨﺪ. ﺿﻠﻊﻫﺎى روﺑﻪرو ﺑﺎ ﻫﻢ ﻣﻮازى ﻫﺴﺘﻨﺪ. زاوﻳﻪﻫﺎى روﺑﻪرو ﺑﺎ ﻫﻢ ﻣﺴﺎوى ﻫﺴﺘﻨﺪ. ﻗﻄﺮﻫﺎ ﻫﻤﺪﻳﮕﺮ را ﻧﺼ; ﻣﻰﻛﻨﻨﺪ. اﻧﺪازهى دو ﻗﻄﺮ ﺑﺎ ﻫﻢ ﻣﺴﺎوﻳﻨﺪ.
ﺗﺎ ﻛﻤﺘﺮﻳﻦ ﺧﻄﺎى اﻧﺪازهﮔﻴﺮى را داﺷﺘﻪ ﺑﺎﺷﺪ .ﮔﺎﻫﻰ ﮔﺮوهﻫﺎ ﺑﺮاى اﻃﻤﻴﻨﺎن ﺑﻴﺸﺘﺮ ،از دو ﻳﺎ ﺳﻪ ﺧﻂﻛﺶ ﻣﺨﺘﻠـ; اﺳـﺘـﻔـﺎده ﻛـﺮده و درﺳﺘﻰ ﺣﺪس ﺧﻮد را ﺑـﺮرﺳﻰ ﻣﻰﻛﺮدﻧﺪ .ﭘﺲ از ٢٠دﻗﻴﻘﻪ ،ﻛـﺎر ﮔﺮوهﻫﺎ ﭘﺎﻳﺎن ﻳﺎﻓﺖ و ﺟﺪول ﻛﺸﻴﺪه ﺷﺪه روى ﺗﺨﺘﻪ ﺗﻮﺳﻂ ﻳﻜﻰ از اﻋﻀﺎى ﻫﺮ ﮔﺮوه ﻛﺎﻣﻞ ﺷﺪ ،و ﺿﻤﻦ آن ،داﻧﺶآﻣﻮز ﻣﺮاﺣﻞ ﻛﺎر و ﺣﺪس ﮔﺮوه ﺧﻮد را ﺑﻴﺎن ﻣﻰﻛﺮد. در اﻳﻦ ﻣﺮﺣﻠﻪ ،از داﻧﺶآﻣـﻮزان ﻫﺮ ﮔـﺮوه ﺧﻮاﺳﺘﻢ ﺗﺎ ﺑﺎ ﻣـﺪاد رﻧﮕﻰ ،دور ﻋﻼﻣﺖﻫﺎى ﻣﺮﺑﻮط ﺑﻪ ﻫﺮ وﻳﮋﮔﻰ را ﻛﻪ ﺑﺎ ﺷﻜﻞ دﻳﮕﺮى ﺷﺒﺎﻫﺖ دارﻧﺪ ،ﺧﻂ ﺑﻜﺸﻨـﺪ و ﻫـﻢزﻣﺎن ،ﻫﻤﺎنﻛﺎر روى ﺗﺨﺘـﻪ، ﺗـﻮﺳﻂ ﻳﻜـﻰ از داﻧـﺶآﻣـﻮزان در ﺟـﺪول ﻣﺸﺎﺑﻪ ،ﺑـﺎ اﺳـﺘـﻔـﺎده از ﮔﭻﻫﺎى رﻧﮕﻰ اﻧﺠﺎم ﺷﺪ. در زﻳﺮ ،ﻧﻤـﻮﻧﻪاى از ﺟـﺪول ﻛﺎﻣﻞ ﺷﺪه ﺗـﻮﺳﻂ ﮔﺮوهﻫـﺎ اراﻳﻪ ﻣﻰﺷﻮد: راﻫـﻨـﻤـﺎى ﺟــﺪول ← ❍:رﻧـﮓ ﻗــﺮﻣـﺰ ← ❐ ،رﻧـﮓ آﺑــﻰ، ∆ ← رﻧﮓ ﺳﺒﺰ
ﻫﻤﻪى زاوﻳﻪﻫﺎ ﻗﺎﺋﻤﻪ ﻫﺴﺘﻨﺪ. ﻗﻄﺮﻫﺎ ﺑﺮﻫﻢ ﻋﻤﻮد ﻫﺴﺘﻨﺪ. ﻫﻤﻪى ﺿﻠﻊﻫﺎ ﻫﻢ اﻧﺪازه ﻫﺴﺘﻨﺪ. از اﻧﺠﺎم اﻳﻦ ﻓﻌﺎﻟﻴﺖ ﺑﻪ ﭼﻪ ﻧﺘﻴﺠﻪ ﻳﺎ ﻧﺘﺎﻳﺠﻰ ﻣﻰرﺳﻴﺪ؟ ﺗﻮﺿﻴﺢ دﻫﻴﺪ.
در ﺣﻴﻦ اﻧﺠﺎم ﻓﻌﺎﻟﻴﺖ ،ﺑﻪ ﮔﺮوهﻫﺎ ﺳﺮزده و ﻣﺸﺎﻫﺪه ﻛﺮدم ﻛﻪ ﺑﺮﺧﻰ از ﮔﺮوهﻫﺎ ،وﻳﮋﮔﻰ اول )ﺗﺴﺎوى ﺿﻠﻊﻫﺎى روﺑﻪرو( را ﺑﺮاى ﻫﺮ ﭼﻬﺎر ﺷﻜﻞ ﺑﺮرﺳﻰ ﻣﻰﻛﺮدﻧﺪ و ﺑﺮﺧﻰ دﻳﮕﺮ ،ﻫﻤﻪى وﻳﮋﮔﻰﻫﺎ را ﺑﺮاى ﻳﻚ ﺷﻜﻞ )ﺳﺘﻮن اول( ﺑﺮرﺳﻰ ﻛﺮده و ﺳﭙﺲ ﺷﻜﻞ ﺑﻌـﺪى را ﻣﻮرد ﻣﻄﺎﻟﻌـﻪ ﻗـﺮار ﻣﻰدادﻧﺪ .ﻳﻚ ﺳـﺆال ﻣﻮﺟﺐ ﺗﻌﺠﺐ اﻛـﺜـﺮ ﮔﺮوهﻫﺎ ﺷﺪه ﺑﻮد ﻛﻪ ﭼﺮا ﺑﺮﺧﻰ از وﻳﮋﮔﻰﻫﺎ را ﻫﺮ ﭼﻬﺎر ﺷﻜﻞ دارا ﻫﺴﺘﻨﺪ؟ ﺑﺎ ﻣﻄـﺮح ﻛﺮدن اﻳﻦ ﭘﺮﺳﺶ ،ﺑﻪ ﻧﻈﺮ ﻣـﻰرﺳﻴﺪ ﻛﻪ ﮔﺮوهﻫﺎ در ﺟﻬﺖ ﻣﻨﺎﺳﺒﻰ ﺣﺮﻛﺖ ﻣﻰﻛﻨﻨﺪ .داﻧﺶآﻣﻮزان ﺑﺎ ﻫﻢ ﺗﺒﺎدلﻧﻈﺮ ﻛﺮده و از اﺑـﺰار ﻣﺮﺑـﻮﻃﻪ اﺳﺘﻔـﺎده ﻣـﻰﻛـﺮدﻧﺪ و ﺑﺎ اﻓـﺰاﻳﺶ ﻣﻬـﺎرت اﻧﺪازهﮔﻴﺮى ﻛﻪ ﻳﻜﻰ از اﻫﺪاف اﻳﻦ ﻓﻌﺎﻟﻴﺖ ﺑﻮد ،درﮔﻴﺮ ﺷﺪه ﺑﻮدﻧﺪ دورهى ﺑﻴﺴﺖ ﻫﻔﺘﻢ
ﺑﻬﺎرﺷﻤﺎره٨٩ى٣٦ ٣١٣
وﻳﮋﮔﻰﻫﺎ
ﻣﺘﻮازىاﻻﺿﻼع ﻣﺴﺘﻄﻴﻞ ﻟﻮزى ﻣﺮﺑﻊ
ﺿﻠﻊﻫﺎى روﺑﻪرو ﺑﺎ ﻫﻢ ﻣﺴﺎوى ﻫﺴﺘﻨﺪ.
×
×
×
×
ﺿﻠﻊﻫﺎى روﺑﻪرو ﺑﺎ ﻫﻢ ﻣﻮازى ﻫﺴﺘﻨﺪ.
×
×
×
×
زاوﻳﻪﻫﺎى روﺑﻪرو ﺑﺎ ﻫﻢ ﻣﺴﺎوى ﻫﺴﺘﻨﺪ.
×
×
×
×
ﻗﻄﺮﻫﺎ ﻫﻤﺪﻳﮕﺮ را ﻧﺼ; ﻣﻰﻛﻨﻨﺪ.
×
×
×
×
اﻧﺪازهى دو ﻗﻄﺮ ﺑﺎ ﻫﻢ ﻣﺴﺎوﻳﻨﺪ.
×
×
ﻫﻤﻪى زاوﻳﻪﻫﺎ ﻗﺎﺋﻤﻪ ﻫﺴﺘﻨﺪ.
×
×
ﻗﻄﺮﻫﺎ ﺑﺮﻫﻢ ﻋﻤﻮد ﻫﺴﺘﻨﺪ.
×
×
ﻫﻤﻪى ﺿﻠﻊﻫﺎ ﻫﻢ اﻧﺪازه ﻫﺴﺘﻨﺪ.
×
×
ﭘﺲ از ﺗﻜﻤﻴﻞ ﺟﺪول ،اﻳﻦ ﺳﺆال ﺗﻮﺳﻂ ﻳﻚ داﻧﺶآﻣﻮز ﭘﺮﺳﻴﺪه ﺷﺪ ﻛﻪ ﺑﺎ ﺗﻮﺟﻪ ﺑﻪ اﻳﻦ ﺟﺪول ،آﻳﺎ درﺳﺖ اﺳﺖ ﻛﻪ ﻣﺮﺑﻊ ،ﻫﻤـﻪى وﻳﮋﮔﻰﻫﺎى ﻟﻮزى ،ﻣﺴﺘﻄﻴﻞ و ﻣﺘـﻮازىاﻻﺿﻼع را دارد؟ ﺑﺎ ﻃﺮح
اﻳﻦ ﭘـﺮﺳﺶ ،داﻧﺶآﻣـﻮزان ﺑﺎ ﺗﻮﺟﻪ ﺑﻴﺸـﺘـﺮى ﺑـﻪ راﺑﻄﻪى ﺧﻂﻫﺎﻳﻰ ﻛﻪ ﺑﺎ ﻣﺪاد رﻧﮕﻰ ﻛﺸﻴﺪه ﺑﻮدﻧﺪ ﭘﻰ ﺑﺮدﻧﺪ و دﺳﺖﻫﺎى زﻳﺎدى ﺑـﺮاى ﻃﺮح ﺳـﺆال ﺑﺎﻻ رﻓﺖ .آنﮔﺎه ،ﺑﻪ ﮔﺮوهﻫﺎ ﻓﺮﺻﺖ دادم ﺗﺎ ﺑﺎ ﻳﻜﺪﻳﮕﺮ ﺑﺤﺚ ﻛﻨﻨﺪ و ﻧﺘﺎﻳﺞ ﺑﻪ دﺳﺖ آﻣﺪه از اﻳﻦ ﻓﻌﺎﻟﻴﺖ را در ﺑﺮﮔﻪى ﻓﻌﺎﻟﻴﺖ ﺧﻮد ،ﺛﺒﺖ ﻧﻤﺎﻳﻨﺪ. در ﭘﺎﻳﺎن ،ﻧﺘﻴﺠﻪﮔﻴﺮى و ﺳﺆالﻫﺎى ﻫﺮ ﮔﺮوه ﻣـﻄــﺮح ﺷـﺪ .ﺳـﺆالﻫـﺎﻳـﻰ از ﻗـﺒـﻴــﻞ اﻳــﻦﻛــﻪ وﻳﮋﮔﻰﻫﺎى ﻫﺮ ﺷﻜﻞ ﻛﺪاﻣﻨﺪ؟ ـ ﺷﺒﺎﻫﺖﻫﺎ و ﺗﻔﺎوتﻫﺎى ﭼﻬﺎر ﺿﻠﻌﻰﻫـﺎ ﭼﻴﺴﺖ؟ ـ آﻳـﺎ ﻣـﺮﺑـﻊ ،ﻟـﻮزى و ﻣﺴـﺘـﻄـﻴـﻞ ،ﻧـﻮﻋـﻰ ﻣﺘﻮازىاﻻﺿﻼع ﻫﺴﺘﻨﺪ ﻳﺎ ﺧﻴﺮ؟ ـ آﻳﺎ ﻣﻰﺗﻮان ذوزﻧﻘﻪ را ﻧﻴﺰ ﻧﻮﻋﻰ ﻣﺘﻮازىاﻻﺿﻼع ﻧﺎﻣﻴﺪ؟ آﻳﺎ ﻣﺮﺑﻊ ﻧﻮﻋﻰ ﻣﺴﺘﻄﻴﻞ اﺳﺖ ﻳﺎ ﻣﺮﺑﻊ ﻧﻮﻋﻰ ﻟﻮزى اﺳﺖ؟ و… ﻫﻤﻪى اﻳﻦ ﺳﺆالﻫﺎ ﻣﻮرد ﺑﺤﺚ ﻗـﺮار ﮔﺮﻓﺘﻨﺪ و ﺑﻪ ﭘﺮﺳﺶﻫﺎى ﻣﻄﺮح ﺷﺪه در ﻛﻼس ،ﺑﺎ ﻣﺸﺎرﻛﺖ ﻫﻤﻪى داﻧﺶآﻣـﻮزان ،ﭘﺎﺳﺦ داده ﺷﺪ. ﺑﺎﻻﺧﺮه ،ﺟﻤﻊﺑﻨﺪى ﻧﻬﺎﻳﻰ ﺗـﻮﺳﻂ ﻳﻜﻰ از داﻧﺶآﻣـﻮزان و ﺑﺎ ﻛﻤﻚ ﻣﻦ اﻧﺠﺎم ﺷﺪ و اﻳﻦ ﻓﻌﺎﻟﻴﺖ ﺑﻪ ﭘﺎﻳﺎن رﺳﻴﺪ. اﻳﻦ ﻓﻌﺎﻟﻴﺖ ﺑـﺮاى ﻳﻚ ﺟﻠﺴﻪ ﺗﻨﻈﻴـﻢ ﺷـﺪه ﺑـﻮد و در ﺟﻠﺴـﻪى ﺑﻌﺪى ،ﻣﻄﺎﻟﺐ ﻣـﺮﺑـﻮط ﺑﻪ ﭼﻬﺎر ﺿﻠﻌﻰﻫﺎ ﻛـﻪ در ﻛـﺘـﺎب درﺳﻰ آﻣﺪه ،ﻣﺮور ﺷﺪ .ﭼـﻮن داﻧﺶآﻣـﻮزان ﺧﻮد ﺿﻤﻦ اﻧـﺪازهﮔﻴﺮى و ﺗﺠﺮﺑﻪى ﻋﻤﻠﻰ ﺑـﻪ ﺧـﻮاص ﭘﻰ ﺑـﺮده ﺑﻮدﻧﺪ ،ﻓﻌﺎﻟﻴﺖﻫـﺎى ﻛـﺘـﺎب درﺳـﻰ را ﻛﺎﻣﻞ و ﺑـﺪون ﻣﺸﻜﻞ اﻧﺠـﺎم ﻣـﻰدادﻧـﺪ و ﻫـﻨـﮕـﺎم رﺳﻢ ﭼﻬﺎرﺿﻠﻌﻰﻫﺎ ،ﺑﻪ ﺧﻮﺑﻰ از ﺗﺠﺮﺑﻪﻫﺎى ﺧﻮد اﺳﺘﻔﺎده ﻣﻰﻛﺮدﻧﺪ. ﺑﺎ ﺑﺎزﺑﻴﻨﻰ در ﺑﺮﻧﺎﻣﻪى اﻳﻦ ﻓﻌﺎﻟﻴﺖ ،ﺑﻪ ﻧﻈﺮ ﻣﻰرﺳﺪ اﮔﺮ زﻣـﺎن ﺑﻴﺸﺘـﺮى ﺑـﺮاى اﻧﺠﺎم ﻓﻌﺎﻟﻴـﺖ ﺗـﻮﺳﻂ داﻧﺶآﻣـﻮزان در ﻧﻈﺮ ﮔـﺮﻓﺘﻪ ﻣﻰﺷﺪ ،ﺑـﺎ ﺗـﻮﺟﻪ ﺑﻪ ﮔﻔـﺘـﮕـﻮﻫﺎى ﭘـﺮﭼﺎﻟﺸـﻰ ﻛـﻪ ﺑـﺮاى ﭘﺎﺳـﺦ ﺑـﻪ ﺳﺆالﻫﺎى داﻧﺶآﻣﻮزان در ﻛﻼس و ﻫﻨﮕﺎم ﻧﺘﻴﺠﻪﮔﻴﺮى اﻧﺠﺎم ﺷﺪ، ﻣﻰﺗﻮاﻧﺴﺘﻴﻢ ﺣﺘﻰ ﭼﻬـﺎرﺿﻠﻌﻰﻫﺎ )ﻣﺘﻮازىاﻻﺿﻼع ،ﻣﺴﺘﻄﻴـﻞ،
ﺷﻮاﻫﺪ ﻧﺸﺎن ﻣﻰدﻫﺪ ﻛﻪ اﮔﺮ داﻧﺶآﻣﻮزان ﺑﺨﻮاﻫﻨﺪ ﺑﺎ ﺗﻜﺮار و ﺑﻪ ﺷﻜﻞ ﻃﻮﻃﻰوار ﺑﻪ ﺣﻔﻆ ﻛﺮدن وﻳﮋﮔﻰﻫﺎى ﭼﻬﺎرﺿﻠﻌﻰﻫﺎ ﺑﭙﺮدازﻧﺪ، ﻣﺸﻜﻞ ﺧﻮاﻫﺪ ﺑﻮد ﻛﻪ ﺑﺘﻮاﻧﻨﺪ ﺷﺒﺎﻫﺖ و ﺗﻔﺎوتﻫﺎى ﭼﻬﺎرﺿﻠﻌﻰﻫﺎ را ﺑﻴﺎن ﻛﻨﻨﺪ
ﻣﺮﺑـﻊ و ﻟـﻮزى( را ﺑﻪ ﻛﻤـﻚ ﺧـﻮد داﻧﺶآﻣـﻮزان ﺗﻌﺮﻳ Rﻛﻨﻴﻢ. در ﭘﺎﻳﺎن ﻓﻌﺎﻟﻴﺖ و ﺧﺎﺗﻤﻪى ﻓﻴﻠـﻢﺑـﺮدارى، ﺧﻮﺷﺤﺎل ﺑﻮدم .ﻫﺮ ﭼﻨﺪ اﻳﻦ ﻛﻼس ﺑﺪون ﻧﻘﺺ ﻧﺒـﻮد ،وﻟﻰ ﺣﺪاﻗﻞ ﺑﺎ دﻳﺪن ﻓﻴـﻠـﻢ ﻣـﻰﺗـﻮاﻧﺴـﺘـﻢ ﻋﻴﺐﻫﺎى ﻓﻌﺎﻟﻴﺖ و ﻛﻼﺳﻢ را ﻣﺸﺎﻫﺪه ﻛﻨﻢ و از آن ﺑـﻪ ﻋـﻨـﻮان ﺗﺠـﺮﺑـﻪاى در ﺳـﺎلﻫـﺎى ﺑـﻌـﺪى ﺗﺪرﻳﺴﻢ اﺳﺘﻔﺎده ﻛﻨﻢ.
٣٧
دورهى ﺑﻴﺴﺖ وﻫﻔﺘﻢ ﺷﻤﺎرهى٣ ﺑﻬﺎر ١٣٨٩
ﭼﮕﻮﻧﮕﻰ اﻧﺘﺨﺎب ﺗﻜﺎﻟﻴ ﺑﺮاى ﻛﻼس درس
درﺟﺴﺘﺠﻮى راﻫﻰ ﺑﺮاى ﻛﺸ اﻳﺪه ﻫﺎى ﺑﺰرگ ﺑﺎﺷﻴﻢ اﻓﺴﺎﻧﻪ ﺣﻴﺪرى ارﺟﻠﻮ داﻧﺸﺠﻮى ﻛﺎرﺷﻨﺎﺳﻰ ارﺷﺪ آﻣﻮزش رﻳﺎﺿﻰ و دﺑﻴﺮ رﻳﺎﺿﻰ
ﺑﺸﺮ ﺑﺮاى اﻳﻦ ﻧﻴﺎﻣﺪه ﻛﻪ ﻛﻮرﻛﻮراﻧﻪ و از روى ﻧﺎداﻧﻰ ﻛﺎر ﻛﻨﺪ، ﺑـﻠـﻜـﻪ ﺑـﺎﻳـﺪ ﭘـﻴـﻮﺳـﺘـﻪ ﺑـﺎ آنﭼـﻪ ﻧـﺎدرﺳـﺖ اﺳـﺖ در ﺟـﺪال و ﺑـﺎ آنﭼـﻪ ﻧﺎرواﺳﺖ در ﺟﻨﮓ ﺑﺎﺷﺪ. »ژوزف ارﻧﺴﺖ رﻧﺎن« ﻣﻘﺪﻣﻪ ﻣﻄﺎﻟﻌﻪى ﭼـﮕـﻮﻧﮕﻰ ﺗﻮﺳﻌﻪى ﺣـﺮﻓﻪاى ﻣﻌﻠﻤﺎن رﻳﺎﺿـﻰ ﻳـﻚ ﻫﺪف ﺗﺤﻘﻴﻘﻰ ﻣﻬﻢ در آﻣﻮزش رﻳﺎﺿﻰ ﺑﻴﺎن ﺷﺪه و در اﻳﻦ راﺳﺘﺎ، ﺗ ـﺤ ـﻠ ـﻴــﻞ اﻧــﻮاع ﻧ ـﮕ ــﺮشﻫــﺎ و ﻣ ـﻄــﺎﻟ ـﻌ ـﻪى روشﻫــﺎى ﺗــﺪرﻳــﺲ، ﺳﺎزﻣﺎﻧﺪﻫﻰ ﮔﻔﺘﻤﺎن ﻛﻼﺳﻰ و ﻓﻌﺎﻟﻴﺖﻫﺎى داﻧﺶآﻣﻮزان از اﻫﻤﻴﺖ وﻳﮋهاى ﺑـﺮﺧﻮردار اﺳﺖ .ﻳﻜﻰ از ﻧﺘﺎﻳﺞ اﻳﻦ ﻣﻄـﺎﻟـﻌـﺎت اﻳـﻦ اﺳـﺖ ﻛﻪ ﺑﻪ ﻣﻌﻠﻤﺎن رﻳﺎﺿﻰ ﻛﻤﻚ ﻛﻨﻴﻢ ﺗﺎ در ﻃﺮح و اﻧﺘﺨﺎب ﻳﻚ ﺗﻜﻠﻴR ﺧﻮب ،ﻣﺎﻫﻴﺖ اﻳﻦ ﮔﻔﺘﻤﺎنﻫﺎ و ﻣﻬﺎرتﻫﺎى اﻳﺠﺎد آن را ﺑﻪﺧﻮﺑﻰ درﻳﺎﺑﻨﺪ .ﻟﺬا ﺗﻮﺻﻴﻪ ﻣﻰﺷـﻮد ﻛﻪ اﻳﻦ ﺗﻮﺳﻌﻪ ،از ﻃﺮﻳﻖ ﺑﺮﻧﺎﻣﻪﻫﺎى آﻣـﻮزش ﺿﻤﻦﺧﺪﻣﺖ و ﻗـﺒـﻞ از ﺧـﺪﻣـﺖ ﺻـﻮرت ﭘﺬﻳـﺮد .در اﻳـﻦ ﻧﻮﺷﺘﻪ ،ﻧﻤﻮﻧﻪاى از روش ﺗﺪرﻳﺲ ﻳﻚ ﺗﻜﻠﻴ Rدر ﻳﻚ ﻛﻼس درس رﻳﺎﺿﻰ اراﺋﻪ ﻣﻰﺷﻮد. ﻃﺒﻖ ﺗﻌـﺮﻳـ ،RﺗـﻜـﻠـﻴـRﻫـﺎى آﻣـﻮزﺷﻰ ﺗـﻮﺳﻂ ﻛـﺴـﻰ ﻃـﺮاﺣـﻰ دورهى ﺑﻴﺴﺖ ﻫﻔﺘﻢ
ﺑﻬﺎرﺷﻤﺎره٨٩ى٣٨ ٣١٣
ﻣﻰﺷﻮد ﺗﺎ ﺗﻮﺳﻂ ﻛﺲ دﻳﮕﺮى ،اﺟﺮا ﺷﻮد؛ آنﻫﺎ ﺑﺮاى ﻫﺪﻓﻰ ﺑﺎ اﺛﺮ ﻗﺼﺪ ﺷﺪه ،ﻃﺮاﺣﻰ ﻣﻰﺷﻮﻧﺪ« )ﺗﺎﻣﭙﺴﻮن و ﻫﻤﻜﺎران.(٢٠٠٧ ، ﻛﻠﻴﺪ واژهﻫﺎ :ﺗﻜﻠﻴ; رﻳﺎﺿﻰ. ﻻ ،ﺗﻜﻠﻴ; ﺑﻪﻋـﻨـﻮان ﻛـﺎرى ﺗﻜﻤﻴﻠﻰ از ﺳـﻮى ﻣـﺆﻟﻔﺎن ﻣﻌﻤـﻮ ً ﻛﺘﺎبﻫﺎى درﺳﻰ ﻳﺎ ﻣﻌﻠﻤﺎن ،ﺑـﺮاى داﻧﺶآﻣﻮزان ﺗﻬﻴﻪ ﻣﻰﺷـﻮد ﺗﺎ آﻧﺎن در ﻛﻼس ﻳﺎ در ﺧﺎﻧﻪ ،ﺑﻪ اﻧـﺠـﺎم آنﻫـﺎ ﺑـﭙـﺮدازﻧﺪ .ﻃﺮاﺣـﻰ، اﻧﺘﺨﺎب و اﻧﺠﺎم ﺗﻜﻠﻴـ; ،وﻗﺖ زﻳﺎدى از داﻧﺶآﻣﻮز و ﻣﻌﻠﻢ راـ ﭼﻪ در ﺧﺎﻧﻪ و ﭼـﻪ در ﻣـﺪرﺳﻪـ ﺑﻪ ﺧـﻮد اﺧﺘﺼﺎص ﻣـﻰدﻫـﺪ و در ﺻﻮرت اﺳﺘﻔﺎدهى ﻣﻨﺎﺳﺐ ،ﻣﻰﺗﻮاﻧﺪ ﺑﺎﻋﺚ ﺗﻮﺳﻌﻪى ﻓﻜﺮ و ﺗﻌﻤﻴﻖ ﻳﺎدﮔﻴﺮى داﻧﺶآﻣﻮزان ﺷﻮد .ﻟﺬا ﺿﺮورت آﻣﻮزش ﻣﻌﻠﻤﺎن در اﻳﻦ زﻣﻴﻨﻪ ،اﻣـﺮى اﺟﺘﻨﺎبﻧﺎﭘﺬﻳﺮ اﺳـﺖ .آﻣـﻮزﺷﮕﺮان رﻳﺎﺿﻰ ﺗـﻮﺻﻴﻪ ﻣﻰﻛﻨﻨﺪ ﻛﻪ ﺗﻜﺎﻟﻴ; ﻳﺎ ﻣﺴﺎﺋﻞ ﺑﻪ ﮔﻮﻧﻪاى ﻃﺮاﺣﻰ ﺷﻮﻧﺪ ﺗﺎ داﻧﺶآﻣﻮز را درﮔﻴﺮ ﻣﻔﺎﻫﻴﻢ ﭘﻴﺶﺑﻴﻨﻰﺷﺪه در ﻛﺘﺎبﻫﺎى درﺳﻰ رﻳﺎﺿﻰاﺷﺎن ﻛﻨﻨﺪ )ﻧﻘﻞ ﺑﻪ ﻣﻀﻤﻮن از ﭼﻤﻦآرا.(١٣٨٢ ، ﭼﻨﻴﻦ ﺗﻜﺎﻟـﻴـﻔـﻰ ﻣـﻰﺗـﻮاﻧﻨﺪ داﻧﺶآﻣﻮز و ﻣـﻌـﻠـﻢ را ﻧﺴﺒـﺖﺑـﻪ ﻫﻤﺎﻫﻨﮕﻰ رﻳﺎﺿﻰ آ ﮔﺎهﺗﺮ ﻛﻨﻨﺪ ،زﻳﺮا ﻫﻤﺎﻧﻄﻮر ﻛﻪ ﮔﻮﻳﺎ )(١٣٨٤ ﺑﻪ ﻧﻘﻞ از ﻫﻮو ) (٢٠٠١اﻇﻬﺎر داﺷﺘﻪ اﺳﺖ» ،ﻣﻌﻠﻤﻰ ﻛﻪ ﻧﺴﺒﺖﺑﻪ
ﻫﻤﺎﻫﻨﮕﻰ رﻳﺎﺿﻴﺎت ﻧﺎﺑﻴﻨﺎ اﺳﺖ ،ﻧﻤﻰﺗﻮاﻧﺪ ﺑﻪ داﻧﺶآﻣﻮزان ﻛﻤﻚ ﻛﻨﺪ ﺗﺎ آن را ﺑﺒﻴﻨﻨﺪ «.ﺑﺮاى اﻳﺠﺎد ﭼﻨﻴﻦ ﺑﺼﻴـﺮﺗﻰ در ﻣﻌﻠﻤﺎن ،ﻻزم اﺳﺖ ﻛﻪ داﻧﺶ رﻳﺎﺿﻰ ﻣﻮرد ﻧﻴﺎز ﺗﺪرﻳﺲ ﺷﻨﺎﺧﺘﻪ ﺷﺪه و ﺑﻪدﻧﺒﺎل آن ،ﺑﺮﻧﺎﻣﻪﻫﺎى آﻣﻮزشﻫﺎى ﻗﺒﻞ و ﺑﻌﺪ از ﺧﺪﻣﺖ ﻣﻌﻠﻤﺎن ﻃﺮاﺣﻰ و اﺟﺮا ﮔﺮدﻧﺪ .ﻳﺎدﮔﻴـﺮى رﻳﺎﺿﻰ داﻧﺶآﻣﻮزان ،در ﮔﺮو ﻳﺎدﮔﻴﺮى ﻣﻌﻠﻤﺎن اﺳﺖ و اﻳﻦ ﻫﺮ دو ﻳﺎدﮔﻴﺮى ،از ﻇﺮاﻓﺖﻫﺎ و ﭘﻴﭽﻴﺪﮔﻰﻫﺎى ژرﻓﻰ ﺑﺮﺧﻮردار اﺳﺖ .ﺗﺎﻣﭙﺴـﻮن و ﻫﻤﻜﺎران ) ،(٢٠٠٧ﺑﺮاى ﻫﺮ ﺗﻜﻠﻴ; ،ﻳﻜﻰ از ﺳﻪ ﻫﺪف زﻳﺮ را در ﻧﻈﺮ ﻣﻰﮔﻴﺮﻧﺪ: .١ﻳﺎدﮔﻴﺮﻧﺪﮔﺎن را ﻣﺸﻐﻮل ﻓﻌﺎﻟﻴﺖﻫﺎى ﺗﻜﺮارى ﻣﻰﻛﻨﺪ) ١ﻛﻪ ﮔﺎﻫﻰ ﺑﻪﻋﻨﻮان ﺗﻤﺮﻳﻦ ﺷﻨﺎﺧﺘﻪ ﻣﻰﺷﻮﻧﺪ(. ٢ .٢ﻳﺎدﮔﻴﺮﻧﺪﮔﺎن را درﮔﻴﺮ ﺑﺎزﺗﺎب اﻧﺘﺰاﻋﻰ ﻣﻰﻛﻨﺪ. .٣ﺗﻤﺎﻳﻼت ٣ﻣﺪرﺳﺎن ﺑﺮاى اﻳﺠﺎد ﺑﺤﺚﻫﺎﻳﻰ ﻛﻪ ﻳﺎدﮔﻴﺮﻧﺪﮔﺎن و ﻣﻌﻠﻤﺎن ،ﻓﻌﺎﻟﻴﺖ در ﺣﺎل اﻧﺠـﺎم ﺧـﻮد را ﺑﻪﻋﻨـﻮان ﻫﺪف ﮔﻔﺘﻤﺎن در ٤ ﻧﻈﺮ ﻣﻰﮔﻴﺮﻧﺪ ،ﺣﻤﺎﻳﺖ ﻣﻰﻛﻨﻨﺪ .اﮔﺮﭼﻪ اﻳﻦ ﺳﻪ ﻫﺪف در ﻃﻮل زﻣﺎن درﻫﻢ ﺗﻨﻴﺪه ﻣﻰﺷﻮﻧﺪ ٥اﻣﺎ در ﻫﺮ ﻟﺤﻈﻪ ﻗﺎﺑﻞ ﺗﻤﻴﺰ ﻫﺴﺘﻨﺪ« )ص .(٤١٦ آنﻫﺎ در اداﻣﻪ ،ﺑﺎ اﺷﺎره ﺑﻪ ﺿﺮورت آﻣﻮزش ﻃﺮاﺣﻰ و اﻧﺘﺨﺎب ﺗﻜﻠﻴ; ﺑﻪ ﻣﻌﻠﻤﺎن رﻳﺎﺿﻰ ٩ ،ﺗﻜﻠﻴ; را از دو ﺟﻨﺒﻪ ،در ﺗﻮﺳﻌﻪى ﺣﺮﻓﻪاى ﻣﻌﻠﻤﺎن رﻳﺎﺿﻰ ﻣﻬﻢ ﻣﻰداﻧﻨﺪ: اﻟ;( ﺑﻪ داﻧﺸﺠﻮـ ﻣﻌﻠﻤﺎن و ﻣﻌﻠﻤﺎن رﻳﺎﺿﻰ ﻛﻤﻚ ﻣﻰﻛﻨﻨـﺪ ﺗﺎ ﺑﺘﻮاﻧﻨﺪ ﺑﻪ ﻣﻔﺎﻫﻴﻢ رﻳﺎﺿﻴﺎﺗﺘﻰ ﻛﻪ ﻳﺎد ﮔﺮﻓﺘﻪاﻧﺪ ،اﻧﺴﺠﺎم ﺑﺨﺸﻨﺪ؛ ب( ﻣﻰﺗﻮاﻧﻨﺪ زﻣﻴﻨﻪاى اﻳﺠﺎد ﻛﻨﻨﺪ ﻛﻪ در آنﻫﺎ ،ﻓﺮﺻﺖ ﺑﺤﺚ و ﺑﻪﻛﺎرﮔﻴﺮى و اﺳﺘﻔﺎده از ﻓﻬﻢ و درك ﻣﻨﺴﺠﻤﻰ ﻛﻪ در داﻧﺶآﻣﻮزان اﻳﺠﺎد ﺷﺪه ﻓﺮاﻫﻢ ﺷﻮد )ﺗﺎﻣﭙﺴﻮن ،ﻛﺎرﻟﺴﻦ و ﺳﻴﻠﻮرﻣﻦ.(٢٠٠٧ ، ﺗﺤﻠﻴﻞ اﻧـﻮاع ﺗﻜﺎﻟﻴ; رﻳﺎﺿﻰ و ﺳـﺎزﻣﺎﻧﺪﻫـﻰ درﺳﺖ آنﻫﺎ و ﻣﻄﺎﻟﻌـﻪى ارﺗﺒﺎط ﺑﻴﻦ آن ﺗﻜﺎﻟﻴ; و ﻓﻌﺎﻟﻴﺖﻫـﺎى داﻧـﺶآﻣـﻮزان، اﺳﺎس ﻃﺮح و اﻧﺘﺨﺎب ﻫﺮ ﺗﻜﻠﻴ; رﻳـﺎﺿـﻰ را ﺗﺸﻜﻴﻞ ﻣﻰدﻫـﺪ و ﺑﺮاى اﻳﻦﻛﻪ اﻧﺘﺨﺎب ﻣﻨﺎﺳﺒﻰ اﻳﺠﺎد ﺷﻮد ،ﻻزم اﺳﺖ ﻛﻪ ﻣﻌﻠﻤﺎن، اﻳﻦ ارﺗﺒﺎط را اﻳﺠﺎد ﻛﻨﻨﺪ. ﺑﻪ اﻳﻦ ﻣﻨﻈﻮر در ﺳﺎلﻫﺎى اﺧﻴﺮ ،ﻣﻘﺎﻟﻪﻫﺎى زﻳـﺎدى در زﻣﻴﻨﻪى ﻃﺮح ﺗﻜﺎﻟﻴ; رﻳﺎﺿﻰ در ﺳﻄﺢ ﺟﻬﺎﻧﻰ ﻣﻨﺘﺸﺮ ﺷﺪه اﺳﺖ ﻛﻪ ﻫﺮﻳـﻚ ﺑﻪ ﻧﺤﻮى ،ﻣﻰﺗﻮاﻧـﺪ راﻫﻨﻤﺎﻳﻰ ﻣﻔﻴﺪى ﺑﺮاى ﻣﻌﻠﻤﺎن رﻳﺎﺿﻰ ﺑﺎﺷـﺪ. ﺑﻪﻋﻨﻮان ﻣﺜﺎل ،ﭘﺮسﺗﻴﺞ و ﭘﺮﻛﺰ (٢٠٠٧) ٦ﻣﺪﻟﻰ در زﻣﻴﻨﻪى ﻃﺮاﺣﻰ ﺗﻜﺎﻟﻴ; در ﻛـﻼس درس رﻳﺎﺿـﻰ اراﺋﻪ دادهاﻧﺪ و ﺑﻴﺎن داﺷﺘﻪاﻧـﺪ ﻛـﻪ ﺳﺎﺧﺘﺎر آن ﺑـﺮاى آﻣﻮزش ﻣﻌﻠﻤﺎن ﻣﻰﺗـﻮاﻧﺪ ﻣـﺆﺛﺮ ﺑﺎﺷﺪ .اﻳﻦ ﻣـﺪل، ﻣﻄﺎﺑﻖ ﻧﻘـﺸـﻪاى ﺑـﺮاﺳﺎس ﻣـﻮﺿﻮع اﺻﻠﻰ ﺗﺸﻜﻴـﻞدﻫـﻨـﺪهى داﻧـﺶِ
ﻣﻌﻠﻤﺎن ﻛﻪ ﻣﺮﺗﺒﻂ ﺑﺎ اﺗﻔﺎﻗﺎت ﻛﻼس درس ﻫﺴﺘﻨﺪ ،ﻣﻄﺮح ﺷﺪه اﺳﺖ: .١ﺧﺮد ﻋﻤﻠﻰ :٧ﺧﺮدى ﻛﻪ در اﺛﺮ ﺑﻮدن و ﺣﻀﻮر در ﻛﻼس درس ﻛﺴﺐ ﻣﻰﺷﻮد؛ ٨ .٢ﺳﻨﺖﻫـﺎى ﺣـﺮﻓـﻪاى :داﻧﺸﻰ ﻛـﻪ از ﺑـﺮﻧﺎﻣـﻪﻫـﺎى درﺳﻰ ﻣﻮﺟﻮد ﻣﺪارس و ﺗﺠﺮﺑﻪﻫﺎ و ﺗﺤﻘﻴﻘﺎت ﺣﺎﺻﻞ ﻣﻰﺷﻮد؛ ٩ .٣داﻧ ــﺶِﺧ ــﻮد داﻧ ــﺶآﻣ ــﻮزازرﻳ ــﺎﺿ ــﻰ داﻧ ــﺶ ﻳ ــﺎدﮔـ ـﻴـ ــﺮﻧ ــﺪه )ص .(٣٨٢
ﻧﻤﻮﻧﻪاى از ﻃﺮاﺣﻰ ﻳﻚ ﺗﻜﻠﻴ 2ﺑﺮاى آﻣﻮزش ﻣﻌﻠﻤﺎن رﻳﺎﺿﻰ ﺗﺎﻣﭙﺴﻮن و ﻫﻤﻜﺎران ) ،(٢٠٠٧درﺳﻰ را ﺑﺮاى آﻣﻮزش ﻣﻌﻠﻤﺎن ﻃﺮاﺣﻰ ﻛﺮدﻧﺪ و در آن از ﻓﻌﺎﻟﻴﺖﻫﺎﻳﻰ اﺳﺘﻔﺎده ﻛﺮدﻧﺪ ﻛﻪ ﻣﻌﻠﻤﺎن، ﺑﺎ ﺗﺠﺮﺑﻪﻫﺎى ﺷﺨﺼﻰ ﺧﻮد ،ﻧﻴﺎز ﺑﻪ اﻧﺠﺎم ﺗﻜﻠﻴ; را درك ﻛﻨﻨﺪ. ﺑﻪﻃﻮر ﻣﺜﺎل ،آنﻫﺎ ﺗﺎﺑﻊ modرا ﻃﺮاﺣﻰ ﻛﺮدﻧﺪ ﻛﻪ ﺣﺪس ﻣﻰزدﻧﺪ ﻣﻌﻠﻤﺎن ،راهﻫﺎى ﺣﺎ ﺿﺮ و آﻣﺎدهاى ﺑﺮاى ﻓﻜﺮ ﻛﺮدن ﺑﻪ آن ﻧﺪارﻧﺪ. آنﭼﻪ ﻛﻪ درﭘﻰ ﻣﻰآﻳﺪ ،ﺧﻼﺻﻪاى از اﻧﺠﺎم اﻳﻦ ﺗﻜﻠﻴـ; ﺗـﻮﺳـﻂ آﻧﺎن اﺳﺖ ﻛﻪ در آن ﻣﻘﺎﻟﻪ ﺑﻪ آن اﺷﺎره ﺷﺪه اﺳﺖ. ﻻ ﻓﻜﺮ ﻣﻰﻛﻨﻴﻢ ﻛﻪ aو bدر ﺗﻌﺮﻳ; ﺑﻪ ﮔﻔﺘﻪى آن ﻫﺎ» ،ﻣﻌﻤﻮ ً » « a mod bﺑﺮاى اﻋﺪاد ﺣﺴﺎﺑﻰ ﺑـﺮﻗـﺮار اﺳﺖ .ﻣﺜﻼً 27 mod 3 ﺻﻔﺮ اﺳﺖ زﻳﺮا اﮔﺮ ٢٧را ﺑﺮ ٣ﺗﻘﺴﻴﻢ ﻛﻨﻴﻢ ،ﺑﺎﻗﻴﻤﺎﻧﺪهاش ﺻﻔـﺮ ﻣﻰﺷﻮد و ٢ ، 27 mod 5اﺳﺖ زﻳﺮا اﮔﺮ ٢٧را ﺑﺮ ٥ﺗﻘﺴﻴﻢ ﻛﻨﻴـﻢ ﺑﺎﻗﻴﻤﺎﻧـﺪهى آن ٢اﺳﺖ .اﻣﺎ ﻣﻰﺗﻮاﻧﻴﻢ اﻳﻦ اﻳـﺪه را ﺑﺮاى ﻛﺴﺮﻫﺎ و اﻋﺪاد ﮔﻨﮓ ﻧﻴﺰ ﺗﻌﻤﻴﻢ دﻫﻴﻢ .ﺗﻌﺮﻳ; » « a mod bﻛﻪ اﺟﺎزهى اﻳﻦ ﺗﻌﻤﻴﻢ را ﻣﻰدﻫﺪ اﻳﻦ اﺳـﺖ a mod b .ﺑﺎﻗﻴﻤﺎﻧﺪهاى اﺳﺖ ﻛﻪ از ﻛﻢﻛﺮدن mbاز aﺑﻪدﺳﺖ ﻣﻰآﻳﺪ .وﻗﺘﻰ ﻛﻪ ،mﺑﺰرگﺗﺮﻳﻦ ﻋﺪد ﺻـﺤـﻴـﺢ ﻛـﻮﭼـﻚﺗـﺮ ﻳـﺎ ﻣـﺴـﺎوى aاﺳﺖ .ﺑـﺎ اﻳـﻦ ﺗـﻌـﺮﻳـ;، b
6 / 5 mod2 / 1= 0/ 2زﻳــﺮا ،٣ﺑـﺰرگﺗـﺮﻳـﻦ ﻋــﺪد ﺻــﺤــﻴــﺢ ﻛـﻮﭼﻚﺗﺮ ﻳـﺎ ﻣـﺴـﺎوى 6 / 5اﺳـﺖ و . 6 / 5 − 3(2 / 1) = 0/ 2 2 /1
ﺑﻪﻃﻮر ﻣﺸﺎﺑﻪ 6 / 5 mod(−2 / 1) = −1/ 9 ،زﻳﺮا -٤ﺑﺰرگﺗﺮﻳﻦ ﻋـــﺪد ﺻـــﺤـــﻴــــﺢ ﻛــــﻮﭼـــﻚﺗـــﺮ ﻳـــﺎ ﻣــــﺴــــﺎوى 6 / 5و −2 / 1
6 / 5 − (−4)(−2 / 1) = −1/ 9اﺳﺖ) «.ص ١١و (١٢ در ﻛﻼس ،ﺗﻤﺮﻳﻦ ﻛﺮدﻳﻢ ﻛﻪ ﭼﮕﻮﻧﻪ a mod bرا ﺑﺮاى ﻣﻘﺎدﻳﺮ ﻣﺨﺘﻠ; aو bﻣﺤﺎﺳﺒﻪ ﻛﻨﻴﻢ .ﻣﻌﻠﻤﺎن ١٧دﻗﻴﻘﻪ ٦ﻣﻘﺎدﻳﺮ ﻣﺨﺘﻠ; ﻛﺎر ﻛﺮدﻧﺪ ﺗﺎ ﺑﺎﻻﺧـﺮه ﻳﻚ ﺗﺼﻮﻳﺮ ذﻫﻨﻰ ﭘـﻴـﺪا ﻛـﺮدﻧﺪ ﻛﻪ ﻓﺮد ﻣـﻮﻗﻊ ٣٩
دورهى ﺑﻴﺴﺖ وﻫﻔﺘﻢ ﺷﻤﺎرهى٣ ﺑﻬﺎر ١٣٨٩
ﻣﺤﺎﺳﺒﻪى ، a mod bاﺑﺘﺪا ﺑﺰرگﺗﺮﻳﻦ ﻋﺪد ﺻﺤﻴﺢ ﻛﻮﭼﻚﺗﺮ ﻳﺎ ﻣﺴﺎوى
aرا ﻣﺤﺎﺳﺒﻪ ﻣﻰﻛﻨﺪ )آن را gﺑﻨﺎﻣﻴﺪ( و ﺳﭙﺲa − gb ، b
را ﻣﺤﺎﺳﺒﻪ ﻣﻰﻛﻨﺪ .درﺿﻤﻦ اﻳﻦ ١٧دﻗﻴﻘﻪ ،ﻣﻌﻠﻤﺎن ﺑﺎ ﻣﺤﺎﺳﺒﺎت ﻣﺨﺘﻠ; ،اول ﺗﻌﺮﻳ; modرا ﺑﺮاى ﻣﻘﺎدﻳﺮ ﻏﻴﺮﺻﺤﻴﺢ a, bدروﻧﻰ ﻛﺮدﻧﺪ و در ﭘﺎﻳﺎن ،ﺑﺮاى ﺗﻌﻤﻴﻢﻫﺎى ﺧـﻮد ،ﺑﻪﻃﻮر ﻛﻠﻰ اﺳﺘﺪﻻل ﻛﺮدﻧﺪ ﻛﻪ a mod b ≤ 0وﻗﺘﻰ ﻛـﻪ b < 0و a mod b ≥ 0وﻗﺘﻰ ﻛﻪ b > 0ﺑﺎﺷﺪ .آنﻫﺎ اﻳﻦ ﻓﻌﺎﻟﻴﺖ را ﺑﺎ اﻳﻦ ﺳـﺆال اداﻣﻪ دادﻧﺪ ﻛﻪ »ﺑﺎ داﺷﺘﻦ اﻳﻦ ﺗﻌﺮﻳ; از modدر ذﻫﻦ ،ﻧﻤﻮدار ) y = mod(x2 ,2را
y = x2و ﺑـﺮاى ، 2 < x < 2ﻧﻤـﻮدار ﺗﺎﺑﻊ ﻣﺎﻧـﻨـﺪ ﻧـﻤـﻮدار ﺗﺎﺑـﻊ y = x2 − 2و ﺑﺮاى ، 2 < x < 6ﻧﻤﻮدار ﺗﺎﺑﻊ ﻣﺎﻧﻨﺪ ﻧﻤﻮدار ﺗﺎﺑﻊ y = x − 6ﺧﻮاﻫﺪ ﺷﺪ و ﺑﻪﻫﻤﻴﻦ ﺗﺮﺗﻴﺐ ،ﻣﻰﺗﻮاﻧﻴﻢ اداﻣﻪ دﻫﻴﻢ. 2
ﺣﺪس ﺑـﺰﻧﻴﺪ «.ﻫﻨﮕﺎﻣﻰ ﻛـﻪ ﻣـﻌـﻠـﻮم ﺷﺪ ﺗﻜﻠﻴـ; درﺑـﺎرهى ﺗﺎﺑـﻊ اﻗﻌﺎ ﻓﺮاﻳﻨﺪ درك modرا ﻣﻰﺳﺎﺧﺘﻨﺪ ) mod(x2 ,2اﺳﺖ ،ﻣﻌﻠﻤﺎن و ً ﺑﻪ ﮔـﻮﻧﻪاى ﻛﻪ ﻓـﺮد ،ﻫﻢزﻣﺎن ﺑﺘـﻮاﻧﺪ ﺗﻐﻴـﻴـﺮات ) x, mod(x2 ,2را ﺗﺼﻮر ﻛﻨﺪ .ﺳﭙﺲ ﺑﺤﺚ ﻛـﺮدﻳﻢ ﻛﻪ ﻧﻤﻮدار ) mod(a 2 ,2ﺑﺎ ﺗﻐﻴﻴﺮ ﺟﺰﻳﻰ ﻣﻘﺪار aﭼﻪ ﺷﻜﻠﻰ ﺧـﻮاﻫﺪ ﺑﻮد .ﻣﻌﻠﻤﺎن ﺑﺎﻳﺪ ﻫﻢﭼﻨﻴﻦ ﺑـﺎ 2 ﭘﻴﭽﻴﺪﮔﻰ ﻣﺮﺑﻊ ﻛﺮدن xآﺷﻨﺎ ﺷﻮﻧﺪ ﺗﺎ ﺑﺘﻮاﻧﻨﺪ ﻣﻘﺪار )mod(x2 ,2
را ﻣﺤﺎﺳﺒﻪ ﻛﻨﻨﺪ .ﻣﺎ ﻫﻢﭼﻨﻴﻦ ،ﺑﺤـﺚ ﻛـﺮدﻳﻢ ﻛﻪ ﭼﺮا و ﻛﺠﺎ ﺗﺎﺑـﻊ ﺷﻜﺴﺘﻪ ﻣﻰﺷﻮد ،ﺑﻌﺪ از ﻣﺪﺗﻰ ،آنﻫﺎ اﺳﺘﺪﻻل ﻛﺮدﻧﺪ ﻛﻪ ﻫﺮوﻗﺖ x2ﻋﺪدى زوج ،ﺑﺎﺷﺪ ،ﻣﻘﺪار ﺗﺎﺑﻊ ﺻﻔﺮ ﺧﻮاﻫﺪ ﺷﺪ .ﺑﻨﺎﺑﺮاﻳﻦ، ﺑﺮاى ، 0< x < 2رﻓﺘﺎر ﻛﻠـﻰ ﻧـﻤـﻮدار ﺗﺎﺑﻊ ﻣﺎﻧﻨـﺪ ﻧـﻤـﻮدار ﺗﺎﺑـﻊ
ﺷـﻜــﻞ :٢ﻧـﻤـﻮدار ﺗـﻮاﺑــﻊ ))، y = mod(x2 , cos(x ﺷﻜﻞ :١ﻧﻤﻮدار ) y = mod(x2 ,2و
) y = mod(x2 , xو )y = mod(x 3 ,2
y = x2 − a, a = 0,2.4L
در ﻫﺮ ﻣﺮﺣﻠﻪ ،از ﻣﻌﻠﻤﺎن درﺧﻮاﺳﺖ ﻛﺮدﻳﻢ ﻛﻪ ﺷﺮح دﻫﻨﺪ ﻛﻪ در ﻫـﺮ ﻣـﻮرد ،ﻧﻤـﻮدارﻫـﺎ ﭼـﻪ رﻓـﺘـﺎرى دارﻧﺪ و اﺻـﺮار داﺷـﺘـﻴـﻢ از دورهى ﺑﻴﺴﺖ ﻫﻔﺘﻢ
ﺑﻬﺎرﺷﻤﺎره٨٩ى٤٠ ٣١٣
ﺗﻮﺿﻴﺤﺎﺗﺸﺎن ،رﻳﺸﻪ در درك آنﻫﺎ از ﻣﻔﻬﻮم ) mod(a, bو اﻳﻦﻛﻪ ﻣﻘﺪار ) mod(x2 ,2ﺑﺎ ﺗﻐﻴﻴﺮ ﻣﻘـﺪار xﺗﻐﻴﻴﺮ ﻣﻰﻛﻨﺪ داﺷﺘﻪ ﺑﺎﺷـﺪ. ﺑﺪﻳﻦﺗﺮﺗﻴﺐ ،ﻓﺮﺻﺘﻰ ﺑﺮاى ﻣﻌﻠﻤﺎن ﻓﺮاﻫﻢ ﻛﺮدﻳﻢ ﺗﺎ ﺗﺼﻮرﺷﺎن را از ﺗﺎﺑﻊ modﻋﻤﻴﻖﺗﺮ ﻛﻨﻨﺪ .ﺳﭙﺲ ﺗﻜﻠﻴﻔﻰ ﺑﻪ آنﻫﺎ دادﻳﻢ و از اﻳﺸﺎن ﺧـﻮاﺳـﺘـﻴـﻢ ﻛـﻪ رﻓـﺘـﺎرﻫﺎى ﺗـﺎﺑـﻊﻫـﺎى ))، y = mod(x2 , cos(x ) y = mod(x2 , xو ) y = mod(x 3 ,2را اﺑـﺘــﺪا ﺑــﺎ ﺣــﺪسزدن ﻧﻤﻮدار آن ﻣﺸﺨﺺ ﻛﻨﻨﺪ و ﺳﭙﺲ ،ﺗﻮﺿﻴﺤﺎﺗﺸﺎن را ﺑﺎ دﻳﺪن ﻧﻤﻮدار، دﻗﻴﻖﺗﺮ ﻛﻨﻨﺪ .ﺑﺎﻻﺧﺮه ،از آنﻫﺎ ﺧﻮاﺳﺘﻴﻢ ﻛﻪ رﻓﺘﺎر ﻧﻤﻮدار را ﺷﺮح دﻫﻨﺪ و ﺑﮕﻮﻳﻨﺪ ﻧﻤﻮدار ﭼﺮا و در ﻛﺠﺎ ﺷﻜﺴﺘﻪ ﻣﻰﺷﻮد) .ﺷﻜﻞ (٢ ﻫﻤـﻪى ﻣـﻌـﻠـﻤـﺎن ﺑـﻪﺟـﺰ ﻳـﻚ ﻧـﻔـﺮ ،درﺑـﺎرهى دو ﺗـﺎﺑـﻊ اول ﺗﻮﺿﻴﺤـﺎت رﺿﺎﻳﺖﺑﺨﺸﻰ دادﻧﺪ ،اﻣﺎ ﻓﻘﻂ ﻳﻜـﻰ از ﺗـﻮﺿﻴﺤـﺎت درﺑﺎرهى ﺗﺎﺑﻊ ﺳﻮم رﺿﺎﻳﺘﺒﺨﺶ ﺑﻮد .در اﻳﻦ ﺗﻮﺿﻴﺤﺎت ،ﻫﻢ ﻣﻔﻬﻮم ﺗﺎﺑﻊ modﺑﻪﻛﺎر ﺑﺮده ﺷﺪه ﺑﻮد و ﻫﻢ ﻣﻔﻬﻮم ﻫﻢﺗﻐﻴﻴﺮى ١١ﻧﺸﺎن داده ﺷﺪه ﺑـﻮد ،اﮔﺮﭼﻪ ﻫﻤﻪى ﻣﻌﻠﻤﺎن ،ﺑﻪﻃـﻮر ﺻـﺮﻳـﺢ ،از ﻣـﻔـﻬـﻮم ﻫﻢﺗﻐﻴﻴﺮى اﺳﺘﻔﺎده ﻧﻜﺮده ﺑﻮدﻧﺪ. اﻟﺒﺘﻪ اﻣﻴـﺪوارﻳﻢ ﻛﻪ ﻣﻌﻠﻤﺎن ﺑﺎ در ﻧﻈﺮ ﮔـﺮﻓﺘﻦ ﺗﺠﺮﺑﻪ ﺷﺨﺼـﻰ ﺧﻮد از اﻳﻦ ﺗﻜﺎﻟﻴ; ،اﺑـﺘـﺪا داﻧـﺶآﻣـﻮزان را در ﻣـﺮﺣﻠﻪى اﻧﺠـﺎم ﺗﻜﻠﻴ; و ﺗﻤﺮﻳـﻦ ﻗـﺮار دﻫﻨﺪ و ﺳﭙﺲ آنﻫـﺎ را ﺑﻪ ﻣﺮﺣﻠﻪى ﺗﺠﺮﻳـﺪ ﺳﻮق دﻫﻨﺪ. اﻟﺒﺘﻪ ﺗـﻮﺿﻴﺢ اﻳﻦ ﻧﻤـﻮدارﻫﺎ ،ﺗﻨﻬﺎ ﭘﺎﻳﺎﻧـﻰ ﺑـﺮاى ﻳﻚ ﻣـﺮﺣﻠﻪى اﻗﻌﺎ ﻣﻰﺧﻮاﺳﺘﻴﻢ ﻣﻌﻠﻤﺎن آن را در آﻣﺎدهﺳﺎزى ﺑﺮاى ﺳﺆاﻟﻰ ﺑﻮد ﻛﻪ و ً ﻧﻈﺮ ﺑﮕﻴﺮﻧﺪ و آن ﺳﺆال اﻳﻦ ﺑﻮد ﻛﻪ: از اﻳﻦ ﺗﻜﻠﻴ; ،ﺑﺮاى اﻳﻦﻛﻪ ﭼﮕﻮﻧﻪ ﻣﻤﻜﻦ اﺳﺖ ﺑﻪ داﻧﺶآﻣﻮزان ﻛﻤﻚ ﻛﻨﻴﺪ ﺗﺎ ﻓـﺮاﻳﻨﺪ ﺗﺼﻮرات ﺧﻮد را از ﺗﻌﺮﻳ;ﻫﺎى ﺗﺎﺑـﻊ و درك ﻫﻢﺗﻐﻴﻴﺮى ﺗﻮﺳﻌﻪ دﻫﻨﺪ ،ﭼﻪ ﻳﺎد ﮔﺮﻓﺘﻴﺪ؟ )ﺧﻼﺻﻪاى از ﺻﻔﺤﺎت ٤٢٥ﺗﺎ ٤٢٧ﻣﻘﺎﻟﻪﻫﺎى ﺗﺎﻣﭙﺴﻮن و ﻫﻤﻜﺎران.(٢٠٠٧ ، ﺑﺤﺚ و ﻧﺘﻴﺠﻪﮔﻴﺮى زﻣﺎﻧﻰ ﻛﻪ ﺗﻜﻠﻴﻔـﻰ را ﺑﺮاى داﻧﺶآﻣـﻮزان ﻣﻄﺮح ﻣﻰﻛﻨﻴـﻢ، ﺑﺎﻳﺪ ﺑـﻪ داﻧـﺶآﻣـﻮزان ﻓﺮﺻﺖ دﻫﻴﻢ ﺗﺎ ﻫـﻢ ﺑـﺎ اﻳـﻦ ﺗـﻜـﺎﻟـﻴـ; ﺑﻪﺻـﻮرت اﻧﻔـﺮادى ﻳﺎ ﮔﺮوﻫﻰ دﺳﺖوﭘﻨـﺠـﻪ ﻧـﺮم ﻛﻨﻨﺪ و ﻫـﻢ راهﺣﻞﻫﺎ و اﺳﺘﺮاﺗﮋىﻫﺎى ﺧﻮد را ﺑﺎ ﺗﻤﺎم ﻛﻼس درﻣﻴﺎن ﺑﮕﺬارﻧﺪ و درﺑﺎرهى آنﻫﺎ ﺑﺤﺚ ﻛﻨﻨﺪ .اﻧﺘﺨﺎب ﺗﻜﺎﻟﻴ; ﺧﻮب ﻣﺴﺘﻠﺰم
آن اﺳﺖ ﻛﻪ ﻣـﻌـﻠـﻤـﺎن ،ﻫـﺮ روز ﺑـﻪ ﺷـﻴـﻮهﻫﺎى ﻓـﻜـﺮ ﻛـﺮدن داﻧﺶآﻣﻮزان درﺑﺎرهى رﻳﺎﺿﻴﺎﺗﻰ ﻛﻪ در ﺣﺎل ﺑﺤﺚ ﻛﺮدن روى آن ﻫﺴﺘﻨﺪ ،ﮔـﻮش ﻓﺮادﻫﻨﺪ .اﻧﺘﺨﺎب ﺗﻜﻠﻴ; ﺑـﺮاى روز ﺑﻌـﺪ ﺑﺎﻳﺪ ﭼﻨـﺎن ﺻـﻮرت ﮔﻴﺮد ،ﻛﻪ ﺑﻪ داﻧـﺶآﻣـﻮزان در ﺑﺎزﺗﺎب ﺑـﺮ آنﭼﻪ ﻛﻪ ﺷﻤﺎ ﻗﺼﺪ اﻳﺠـﺎد و ﺗـﻮﺳﻌﻪى آنﻫـﺎ را دارﻳﺪ ﻛﻤـﻚ ﻛﻨﺪ .ﺳﻌـﻰ ﻛـﻨـﻴـﺪ ،در ﺟـﺴـﺖوﺟـﻮى راﻫـﻰ ﺑـﺮاى ﻛﺸـ; اﻳﺪهﻫﺎى ﺑﺰرگ ﺑﺎﺷﻴﺪ .در ﻳﻚ ﺗﻜﻠﻴ; ﺧﻮب ،داﻧﺶآﻣﻮزان ﺑﻪ درون رﻳﺎﺿﻴﺎت ﻣﻬﻤﻰ ﻛﻪ ﻗﺼﺪ دارﻳﺪ آنﻫﺎ ﻳﺎد ﺑـﮕـﻴـﺮﻧـﺪ، ﺧﻮاﻫﻨﺪ اﻓﺘﺎد )ﻻﭘﺎن و ﺑﺮاﻳﻮز ،١٩٩٥ ،ﻧﻘﻞ ﺷﺪه در ﭼﻤﻦآرا زﻣﺴﺘﺎن .(١٣٨٢ اﻟﺒﺘﻪ ﻻزم اﺳﺖ ﻛﻪ ﻣﻌﻠﻤﺎن ،ﻣﺤﺘﻮاى رﻳﺎﺿﻰ درﺳﻰ را ﻛﻪ ﺗﺪرﻳﺲ ﻣﻰﻛﻨﻨﺪ ﻛﺎﻣﻞ ﺑﺪاﻧﻨﺪ ﺗﺎ ﺑـﺘـﻮاﻧﻨﺪ آن را ﺑﻪﻃﻮر واﺿﺢ ﺑﻪ داﻧﺶآﻣﻮزان اراﺋﻪ دﻫﻨﺪ و اﻳﺪهﻫﺎى رﻳﺎﺿﻰ را ﺑﺮاى ﻃﻴ; وﺳﻴﻌﻰ از داﻧﺶآﻣﻮزان ،ﻗﺎﺑﻞ دﺳﺘﺮﺳﻰ ﻧﻤﺎﻳﻨﺪ و داﻧﺶآﻣﻮزان را درﮔﻴﺮ ﻓﻌﺎﻟﻴﺖﻫﺎى ﭼﺎﻟﺶآور رﻳﺎﺿﻰ ﻛﻨﻨﺪ )ﮔﻮﻳﺎ ،ﺗﺎﺑﺴﺘﺎن .(٨٤ ﭘﻰﻧﻮﺷﺖ 1. Repetitive 2. Reflective Abstraction 3. Intention 4. Overtime 5. Intertwined 6. Prestage and Perks 7. Practical Wisdom 8. Professional Traditions 9. Learner Knowledge 10. Adaptation 11. Covariation
ﻣﻨﺎﺑﻊ .١ﮔﻮﻳﺎ ،زﻫﺮا .(١٣٨٣) .داﻧﺶ رﻳﺎﺿﻰ ﻣﻮرد ﻧﻴﺎز ﺑﺮاى ﺗﺪرﻳﺲ در دورهﻫﺎى اﺑﺘﺪاﻳﻰ .ﻣﺠﻠﻪى رﺷﺪ آﻣﻮزش رﻳﺎﺿﻰ .ﺷﻤﺎرهى .٨٠ﺗﺎﺑﺴﺘﺎن .٨٤اراﺋﻪ ﺷﺪه در ﻫﻔﺘﻤﻴﻦ ﻛﻨﻔﺮاﻧﺲ آﻣﻮزش رﻳﺎﺿﻰ. .٢ﻫﻴﺒﺮت و ﻫﻤﻜﺎران .(١٩٩٦) .ﺗﻮﺳﻌﻪ و ﻓﻬﻢ درك رﻳﺎﺿﻰ .ﺗﺮﺟﻤﻪى ﺳﭙﻴﺪه ﭼﻤﻦآرا .ﻣﺠﻠﻪى رﺷﺪ آﻣﻮزش رﻳﺎﺿﻰ .ﺷﻤﺎرهى .٧٤زﻣﺴﺘﺎن .٨٢ 3. Prestage. S., & Perks. P. (2007). Developing teacher knowledge using a tool for creating tasks for the classroom. Journal of Math ematics Teacher Education, 10: 381-390. Springer. 4. Thompson, P. W.; Carlson, M. P.; Silverman, J. (2007). The design of tasks in support of teachers’ development of coherent mathematied meanings. Journal of Mathematics Teacher Education. 10: 415432. Springer.
٤١
دورهى ﺑﻴﺴﺖ وﻫﻔﺘﻢ ﺷﻤﺎرهى٣ ﺑﻬﺎر ١٣٨٩
ﺗﻌﻠﻴﻢ و ﺗﺮﺑﻴﺖ ﻗﺮون وﺳﻄﺎﻳﻰ ﺑﻪ ﺳﺒﻚ ﺟﺪﻳﺪ!!
ﭼﻪﻛﺴﻰ ﭘﺎﺳﺦﮔﻮى اﻳﻦ رﻓﺘﺎرﻫﺎدرﻣﺪارساﺳﺖ؟ ﻣﺮﻳﻢ ﮔﻮﻳﺎ دﺑﻴﺮ ﺑﺎزﻧﺸﺴﺘﻪ ى رﻳﺎﺿﻰ
اﺷﺎره ﻣﺠﻠﻪى رﺷﺪ آﻣﻮزش رﻳﺎﺿﻰ ،ﺗـﺪاوم ﻣﻌﻨﺎدار ﺧﻮد را ﻣﺪﻳﻮن ﺗﻌﺎﻣـﻞ و ﺗـﺒـﺎدلﻧـﻈـﺮ داﺋـﻤـﻰ ﺑـﺎ ﻣـﺨـﺎﻃـﺒـﺎن اﺻـﻠــﻰ ﺧــﻮد ﻛـﻪ ﻣـﻌـﻠـﻤـﺎن رﻳـﺎﺿــﻰ و دﺳﺖاﻧـﺪرﻛﺎران آﻣـﻮزش ﻣﻌﻠﻤﺎن رﻳﺎﺿﻰ ﻫﺴﺘﻨـﺪ ،ﻣـﻰداﻧـﺪ .ﺑـﻪ ﻫـﻤـﻴـﻦ دﻟﻴﻞ ،ﺑﻴﺶﺗﺮﻳﻦ ﺗﻼش اﻋﻀﺎى ﻫﻴﺌﺖ ﺗﺤﺮﻳﺮﻳﻪى ﻣﺠﻠﻪ ،ﺟﺴﺖوﺟـﻮ ﺑﺮاى ﭘﻴﺪا ﻛـﺮدن راهﻫﺎى ﻣﺨﺘﻠ Rاﻳﺠﺎد ﭼﻨﻴﻦ ﺗﻌﺎﻣﻞ و ﺗـﺒـﺎدلﻧـﻈـﺮى ﺑـﻮده اﺳﺖ .ﺧـﻮﺷﺒﺨﺘﺎﻧـﻪ از ﺳـﺎل ١٣٨١ﻛﻪ ﺑﻪ ﻫﻤﺖ ﻣـﺴـﺌـﻮﻻن ﻣﺤﺘـﺮم دﻓﺘـﺮ اﻧﺘﺸﺎرات ﻛﻤﻚآﻣـﻮزﺷﻰ ،ﺗﻮﻟﻴﺪ و ﺗﻮزﻳﻊ ﻣﺠﻠﻪ ،ﻧﻈﻢ ﺑﻴﺶﺗـﺮى ﻳﺎﻓﺘﻪ و ﺗﻴﺮاژ آن ﻧﻴﺰ ﺑﺎﻻﺗﺮ رﻓﺘﻪ اﺳﺖ ،ﻣﻌﻠﻤﺎن ﻣﺤﺘﺮم ارﺗﺒﺎط ﺑﻴﺶﺗﺮى ﺑﺎ ﻣﺠﻠﻪى ﺧﻮدﺷﺎن ﺑـﺮﻗﺮار ﻛﺮدهاﻧﺪ و ﺑﻴﺶﺗﺮ از ﮔﺬﺷﺘﻪ ،دﻳﺪﮔـﺎهﻫـﺎى ﺧـﻮد را ﺑﺮاى ﭼﺎپ ،ارﺳـﺎل دارﻧﺪ .ﺑﻪ ﻫﻤﻴـﻦ دﻟـﻴـﻞ ،آرزوى دﻳﺮﻳﻨﻪى دﻓﺘﺮ اﻧـﺘـﺸـﺎرات ﻛﻤﻚآﻣﻮزﺷﻰ و ﻫﻴﺌﺖ ﺗﺤﺮﻳﺮﻳﻪى ﻣﺠﻠﻪى رﺷﺪ آﻣﻮزش رﻳﺎﺿﻰ ﻣﻰرود ﺗﺎ ﺗﺤﻘﻖ ﻳـﺎﺑـﺪ .درﻧﺘﻴﺠﻪ ،ﺑﺎ ﻧﻈﺮ ﻫﻴﺌﺖ ﺗﺤـﺮﻳـﺮﻳـﻪى ﻣـﺠـﻠـﻪ ،ﻗـﺮار ﺷﺪ ﺗﺎ دﻳﺪﮔـﺎهﻫـﺎى ارﺳﺎﻟـﻰ ﻋـﻴـﻨـﺎً و ﺑـﺪون وﻳﺮاﻳـﺶ ﭼـﺎپ ﺷـﻮﻧﺪ .درﺿـﻤـﻦ ،از ﺧﻮاﻧﻨﺪﮔﺎن ﻣﺤﺘﺮم اﺳﺘﺪﻋﺎ دارﻳﻢ ﻛﻪ ﭘﺎﺳﺦﮔﻮ و ﻣﻨﺘﻘﺪ دﻳﺪﮔﺎهﻫﺎ ﺑﺎﺷﻨﺪ و ﺗﻌﺎﻣﻞ و ﺗﺒﺎدلﻧﻈﺮ را از ﻃﺮﻳﻖ ﺑﺎزﺗﺎب ﺑﺮ آنﻫﺎ ،ﻣﻌﻨﺎدارﺗﺮ و ﻛﺎرآﺗﺮ ﻛﻨﻨﺪ. اﻣﺎ ﻫﻢﺳﻮ اﻟﺒﺘﻪ ﻻزم ﺑﻪ ﺗﻮﺿﻴﺢ اﺳﺖ ﻛﻪ دﻳﺪﮔﺎهﻫﺎى ﻣﻄﺮحﺷﺪه ،اﻟﺰ ً ﺑﺎ ﺳﻴﺎﺳـﺖﻫـﺎ و دﻳـﺪﮔـﺎهﻫـﺎى دﻓـﺘـﺮ اﻧـﺘـﺸـﺎرات ﻛﻤـﻚآﻣـﻮزﺷﻰ و ﻫـﻴـﺌـﺖ ﺗﺤﺮﻳﺮﻳﻪى ﻣﺠﻠﻪى رﺷﺪ آﻣﻮزش رﻳﺎﺿﻰ ﻧﻴﺴﺘﻨﺪ.
اﻳﻦ روزﻫﺎ ﺑﺎزار اﻧﻮاع و اﻗﺴﺎم ﻧـﻮآورىﻫﺎ در زﻣﻴﻨﻪﻫﺎى ﻣﺨﺘﻠ; ﮔـﺮم اﺳـﺖ و اﺧـﺘـﺮاع و اﺑﺘـﻜـﺎر و… رواج ﻓـﺮاوان دارد؛ ﺑـﻪوﻳـﮋه در آﻣﻮزشوﭘـﺮورش ﻛﻪ ﻇﺎﻫـﺮًا دﻳـﻮارش از ﻫﻤﻪ ﻛـﻮﺗﺎهﺗﺮ اﺳﺖ و ﻫـﻤـﻪ ﻣﻰﺗـﻮاﻧﻨﺪ ﺑـﻪ ﻧـﻮﻋﻰ از آن ﺑﺎﻻ ﺑـﺮوﻧﺪ .ﻃﺒﻴﻌﻰ اﺳـﺖ ﺑـﻴـﺶ از ﻫـﻤـﻪ ﻗﺪﻛـﻮﺗﺎﻫﺎن ﻣﺸﺘـﺎق ﭘـﻴـﻤـﻮدن ﭼﻨﻴـﻦ دﻳـﻮارﻫﺎﻳﻰ ﻫﺴﺘـﻨـﺪ،ﭼـﻮن ﻫـﻢ ﻣﻰﺗﻮاﻧﻨﺪ و ﻫﻢ ﭘﺲ از ﺑـﺎﻻ رﻓﺘﻦ اﺣﺴﺎس ﺑﻠﻨﺪى و ﺑﺮﺗﺮى ﻣﻰﻛﻨﻨـﺪ. دورهى ﺑﻴﺴﺖ ﻫﻔﺘﻢ
ﺑﻬﺎرﺷﻤﺎره٨٩ى٤٢ ٣١٣
ﻣﺘﺄﺳﻔﺎﻧﻪ ﻧﻴﺮوﻫﺎى ﻧﻈﺎرﺗﻰ ﻳﺎ ﻧﻤﻰﺑﻴﻨﻨﺪ ﻳﺎ ﻧﻤﻰﺧﻮاﻫﻨﺪ ﺑﺒﻴﻨﻨﺪ .ﭼﺮا ﻛﻪ ﮔﺬر از ارﺗﻔﺎﻋﻰ ﭼﻨﻴـﻦ ﻛـﻮﺗﺎه ﺟﺮم ﻣﺤﺴـﻮب ﻧﻤﻰﺷﻮد و در ﺻـﻮرت ﻣﺸﺎﻫﺪه ،ﻛﺴﺮ ﺷﺄن ﻧﺎﻇﺮﻳﻦ اﺳﺖ ﻛﻪ ﺑﻪ اﻳﻦﮔﻮﻧﻪ ﺗﺨﻠﻔﺎت ﺑﻬﺎ ﺑﺪﻫﻨﺪ. ﺑﮕﺬرﻳﻢ ﻛﻪ ﻗﺼﻪ ﻓﺮاوان اﺳﺖ و ﻫﺮ روز ﻣﺎﺟﺮاﻳﻰ ﺗﺎزه ـ آن ﻫﻢ از ﻧﻮع اﺑﺘﻜﺎرى و ﺷﻜﻮﻓﺎ ﺷﺪهاش! ـ در اﻳﻦ دﻳﺎر ﺑﻪ وﻗﻮع ﻣﻰﭘﻴﻮﻧﺪد .ﺑﻪ ﻧﻤـﻮﻧﻪاى از روشﻫﺎى ﺧﻼق! و در ﻋﻴﻦ ﺣﺎل ﻣﻔـﻴـﺪ!! ﻛـﻪ ﻧـﺘـﺎﻳـﺞ درﺧﺸﺎﻧﻰ در اﻣﺮ ﻳﺎدﮔﻴﺮى داﺷﺘﻪ و ﺑﺎﻋﺚ رﺗﺒﻪﻫﺎى دورﻗﻤﻰ در ﻛﻨﻜﻮر ﺳﺮاﺳﺮى و ﻧﺨﺒﻪﭘـﺮورى و رﺷﺪ و ﺷﻜـﻮﻓﺎﻳﻰ و ﺧﻼﻗﻴﺖ! و… ﺷـﺪه اﺳﺖ اﺷﺎره ﻣﻰﻛﻨﻢ. و اﻣﺎ ﺑﺸﻨﻮﻳﺪ ـ ﺑﺒﺨﺸﻴﺪ؛ ﺑﺨﻮاﻧﻴﺪ ـ ﻗﺼﻪى اﻣﺮوز را: ﺑﺨﺶ ﻧﺨﺴﺖ )ﺳﺎل :(١٣٨٧ﻳﻜﻰ ﺑﻮد ،ﻳﻜﻰ ﻧﺒﻮد .ﻏﻴﺮ از ﺧﺪا ﻫﻴﭻﻛﺲ ﻧﺒﻮد .در ﺷﻬﺮ رﻧﮕﺎرﻧﮓ و ﭘﺮدود و ﻏﺒﺎرآﻟﻮد و ﭘﺮﺳﺮوﺻﺪاى ﻣﺎ؛ ﻗﺮار ﺷﺪ ﺑﺮاى ﻛﻤﻚ ﺑﻪ ﺑﻮدﺟﻪى دوﻟﺖ ،ﺑﺨﺶ ﺧﺼﻮﺻﻰ ﻓﻌﺎل ﺷﻮد و ﻫﻤﺎنﻃﻮر ﻛﻪ ﻣﻰداﻧﻴﺪ ﺑﻬﺘﺮﻳﻦ ﺟﺎ و ﭘﺮﺑﺎزدهﺗﺮﻳﻦ ﺣﻮزهﻫﺎ در زﻣﻴـﻨـﻪى ﺳـﻮددﻫـﻰ ،آﻣـﻮزشوﭘـﺮورش ﺑﻮد .ﺑﻪ ﻫـﻤـﻴـﻦ ﺟـﻬـﺖ ﺑـﺎ ﺣﻤﺎﻳﺖﻫﺎى ﺑﻰدرﻳـﻎ ﻣـﺴـﺌـﻮﻻن و ﻛﺎرﺷﻨﺎﺳﺎن از ﺟﻨﺒـﻪى ﻣـﺎﻟـﻰ و ﻏﻴﺮﻣﺎﻟﻰ؛ ﻣﺪارس ﻏﻴﺮاﻧﺘﻔﺎﻋﻰ ـ ﻏﻴﺮاﻧﺘﻔﺎﻋﻰ ﺑﺮاى ﻛﺎرﺑﺮان ﻧﻪ ﻣﺆﺳﺴﺎن ـ ﻳﻜﻰ ﭘﺲ از دﻳﮕﺮى ﺑﻪ ﺛﺒﺖ رﺳﻴﺪﻧﺪ و ﺻﺎﺣﺐ اﻣﺘﻴﺎزان آنﻫﺎ ﺑﺎ ﻫﺪف ﭘﺮورش ﻧﺴﻠﻰ ﺧـﻼق و زﺑـﺪه و ﺑـﺎ ﻓـﺮﻫﻨﮓ و ﺑﺎ… و ﺑﺎ… و ﺑـﺎ… ﺑـﻪ اراﺋﻪى اﻳﺪهﻫﺎى ﻣﺒﺘﻜﺮاﻧﻪى ﺧﻮد ﭘﺮداﺧﺘﻨﺪ .اﺑﺘﻜﺎرات ﻫﻢ در ﺗﺮﺑﻴﺖ ﺑﻮد و ﻫﻢ در ﺗﻌﻠﻴﻢ و در اﻳﻦ ﻣﻮرد ﻫﺮ ﻛﺲ ﺳﻌﻰ ﻣﻰﻛﺮد ﮔﻮى ﺳﺒﻘﺖ را از دﻳﮕﺮى ﺑﺮﺑﺎﻳﺪ و روى دﺳﺖ دﻳﮕﺮان ﺑﻠﻨﺪ ﺷﻮد .ﻣﺪرﺳﻪى »اﻟ;«، ﻛﻼس ﺗﺴﺖ ﻣـﻰﮔـﺬاﺷـﺖ ،ﻣـﺪرﺳﻪى »ب« ﻋـﻼوه ﺑـﺮ آن ،اردوى آﻣﻮزﺷﻰ ﺑﺮﮔﺰار ﻣﻰﻛﺮد. ﻣﺪرﺳﻪى »پ« ﺑﻪ ﻏﻴﺮ از ﻣﻮارد ﻓﻮق ،ﺑﻪ اﻳﺠﺎد ﻛﻼسﻫﺎى ﻫﻮش ﻫﻴﺠﺎﻧﻰ و ﻣﺪﻳﺮﻳـﺖ زﻣﺎن ،ﻫـﻮش اﺟﺘﻤﺎﻋﻰ و… ﻣﺒـﺎدرت ﻣﻰﻛﺮد.
ﻣﺪرﺳﻪى ﺗﺎزهﺗﺄﺳﻴﺲ دﻳﮕﺮى ﺑﻪ ﻏﻴﺮ از ﺑﻬﺮهﮔﻴﺮى از اﺑﺘﻜﺎرات دﻳﮕﺮان، ﺑﺮﻧﺎﻣﻪى زﻣﺎنﺑﻨﺪى در ﺧﺎﻧﻪ و ﺧﺎرج از ﻣﺪرﺳﻪ ﺑﺮاى داﻧﺶآﻣﻮزان در ﻧﻈﺮ ﻣﻰﮔـﺮﻓﺖ ﻛﻪ ﺑﺘﻮاﻧﺪ ﻫﻤﻪى ﺳﺎﻋﺎت ﺷﺒﺎﻧﻪروز داﻧـﺶآﻣـﻮزان را ﺗﺤﺖ ﻛﻨﺘﺮل داﺷﺘﻪ ﺑﺎﺷﺪ و ﻣﻄﻤﺌﻦ ﺑﺎﺷﺪ ﻛﻪ ﻣﻌﺠﻮﻧﻰ ﻛﻪ ﺗﺪارك دﻳﺪه ﺣﺘﻤﺎ ﭘﺨﺘﻪ ﻣﻰﺷﻮد و ﻃﺮﺣﻰ ﻧﻮ درﻣﻰاﻧﺪازد .ﺑﻪ ﻫﺮ ﺣﺎل روزﻫﺎ ﻳﻜﻰ ً ﭘﺲ از دﻳﮕﺮى اﻣﺎ ﺑﺎ ﺷﺘﺎب ﻣﻰﮔﺬﺷﺖ و روزﺑﻪروز ،ﻫﻢ ﺑﻪ ﺗﻌﺪاد و ﻫﻢ ﺑﻪ اﺑﺘﻜﺎرات ﭼﻨﻴﻦ ﻣﺪارﺳﻰ اﻓﺰوده ﻣﻰﮔﺸﺖ .ﻧﻤﻰﺧﻮاﻫﻢ ﺳﺮﺗﺎن را درد ﺑـﻴــﺎورم ﻛـﻪ ﭘـﻴــﻪ اﻳــﻦ ﻃــﺮح و ﻻﻳـﺤـﻪ و ﻗــﺎﻧــﻮنﻫـﺎ در اﻣــﺮ ﺗﻘﺮﻳﺒـﺎ ﺑﻪ ﺗﻦ ﻫﻤﻪ ﺧـﻮرده اﺳﺖ و ﻫﻤﻪ ﺑﻪ ﻧﻮﻋﻰ از ً آﻣﻮزشوﭘﺮورش ﻣﺰاﻳﺎى ﺑﻰﺷـﻤـﺎر روشﻫﺎى ﺧـﻮدﺳﺮاﻧﻪ و ﻣﺒﺘـﻜـﺮاﻧﻪ و ﭼـﻪ و ﭼـﻪ در ﺗﻌﻠﻴﻢوﺗﺮﺑﻴﺖ ﺑﻬﺮهﻣﻨﺪ ﺷﺪهاﻧﺪ و ﻧﺘﺎﻳﺞ درﺧﺸﺎن ﭼﻨﻴﻦ اﻗﺪاﻣﺎﺗﻰ را در ادﺑﻴﺎت ﻛﻼﻣﻰ و رﻓﺘﺎر و ﻛﺮدار ﻧﺴﻞ ﺟﻮان ﻣﺸﺎﻫﺪه ﻣﻰﻛﻨﻨﺪ .ﺑﮕﺬرﻳﻢ از ﭘﺸﺖ ﺻﺤﻨﻪى اﻳـﻦ روشﻫﺎ و آﻣـﻮزشﻫﺎ ﻛﻪ ﺑﺎ اﻧﺪﻛﻰ ﺗﺤـﻤـﻞ و ﺗﻌﻘﻞ ـ آن ﻫﻢ ﺗﻨﻬﺎ اﻧﺪﻛﻰ و ﻧﻪ ﺑﻴـﺸـﺘـﺮ! ـ ﻣﻰﺗﻮان اﻧﻮاع ﺑﻴﻤـﺎرىﻫﺎى
رواﻧﻰ ،اﻓﺴﺮدﮔﻰﻫﺎ ،ﭘﺸﺖ ﭘﺎ زدن ﺑﻪ ﻫﻤﻪى اﺻﻮل و ﺗﻌﺎﻟﻴﻢ و… را در ﮔﺮوﻫﻰ از ﻧﺴﻞ ﺟـﻮان ﻣﺸﺎﻫﺪه ﻛـﺮد .در ﻫﻤﻴﻦ آﺷﻔﺘﻪﺑـﺎزارى ﻛـﻪ ذﻛﺮ آن رﻓﺖ؛ ﭘﺪر و ﻣﺎدر ﻋﺰﻳﺰى ﻛﻪ ﺧﻮاﻫﺎن ﻗﺒﻮﻟﻰ ﻓﻮرى و ﺑﻰﻗﻴﺪ و ﺷﺮط ﻓﺮزﻧﺪ ﻧـﺎزﻧﻴﻨﺸﺎن در ﻛﻨﻜﻮر ﺳـﺮاﺳﺮى ﺑﻮدﻧﺪ و ﻣﻰﺧﻮاﺳﺘﻨﺪ ﻫـﺮ آنﭼﻪ از دﺳﺘﺸﺎن ﺑﺮﻣﻰآﻳﺪ اﻧﺠﺎم دﻫﻨﺪ ﺗﺎ ﺑﻪ وﻇﺎﻳ; ﺷﺮﻋﻰ و ﻗﺎﻧﻮﻧﻰ و ﻋﺮﻓﻰ و… ﺧـﻮد ﻋﻤﻞ ﻛﺮده ﺑﺎﺷﻨﺪ و ﻛﻢ ﻧﮕﺬاﺷﺘﻪ ﺑﺎﺷـﻨـﺪ؛ ﭘـﺲ از ﻣﺎهﻫﺎ ﺟﺴﺖوﺟﻮ و ﭘﻰﮔﻴـﺮى و ﭘﺮﺳﺶ از اﻓﺮاد ﻣﺨﺘﻠ; ﺑﺎﻻﺧﺮه ﻧﺎم او را در ﻳﻜﻰ از ﻣـﺪارس ﻏﻴـﺮاﻧﺘﻔﺎﻋﻰ ﺑـﺮاى دورهى ﭘﻴﺶداﻧﺸﮕـﺎﻫـﻰ ﻧﻮﺷﺘﻨﺪ و ﻧﻔﺲ راﺣﺘﻰ ﻛﺸﻴﺪﻧﺪ .ﻋﻠﺖ اﻳﻦﻫﻤﻪ ﺗﻼش ﻫﻢ در ﻇﺎﻫﺮ ﺑﻪ ﺧﺎﻃﺮ ﻧﺎﻛﺎﻣﻰ ﻓـﺮزﻧﺪﺷﺎن در ﺳﻪ ﺳـﺎل دورهى دﺑﻴﺮﺳﺘـﺎن دوﻟﺘﻰ ﺑﻮد ﻛﻪ ﻧﺘﻴﺠﻪى ﻣﻄﻠﻮﺑﻰ ﻋﺎﻳﺪﺷﺎن ﻧﺸـﺪه ﺑـﻮد .اﻳﻦ ﻣﺮﻛﺰ از ﻫﻤﺎن اﺑﺘﺪا ﺑﻪ آنﻫﺎ اﻃﻤﻴﻨﺎن داد ﻛﻪ ﻓﺮزﻧﺪﺷﺎن ﺑﺴﻴﺎر ﺑﻬﺘﺮ از ﺗﺼﻮر آنﻫﺎ
اﺳﺖ و ﺑﺎ ﺑﺮﻧﺎﻣﻪﻫﺎى وﻳﮋهى ﻣﺪرﺳﻪ ﺣﺘﻤﺎً در ﻛﻨﻜﻮر ﺳﺮاﺳﺮى ﻗﺒﻮل ﻣﻰﺷﻮد؛ ﺑﻪ ﺷﺮط آنﻛﻪ ﻧﻌﻞ ﺑﻪ ﻧﻌﻞ ﻣﻄﺎﺑﻖ روشﻫﺎ و ﺑﺮﻧﺎﻣﻪﻫﺎى ﻣـﺪرﺳـﻪ ﻋـﻤـﻞ ﻛــﻨــﺪ .ﻛــﻼس و درس ﻣـﻄـﺎﺑـﻖ ﺳـﺎﻳــﺮ ﻣــﺮاﻛـﺰ ﭘﻴﺶداﻧﺸﮕﺎﻫﻰ ﻏﻴﺮاﻧﺘﻔﺎﻋﻰ از ﺗﺎﺑﺴﺘﺎن ﺷﺮوع ﺷﺪ و رﻓﺖ و آﻣﺪ در روزﻫﺎى ﮔﺮم اداﻣﻪ داﺷﺖ .اﻳﻦ ﻣﺮﻛﺰ ﻧﻴﺰ ﻧﺘﻮاﻧﺴﺖ در داﻧﺶآﻣـﻮز ﻣﺬﻛﻮر رﺿﺎﻳﺖ ﺧﺎﻃـﺮى اﻳﺠﺎد ﻛﻨﺪ زﻳﺮا ﺗﺤﻤﻞ ﻗـﻮاﻧﻴﻦ و ﻣﻘﺮرات ﻣﺪرﺳﻪ ـ ﻣﻨﻈﻮر ﻫﻤﺎن ﻣﺮﻛﺰ ﭘﻴﺶداﻧﺸﮕﺎﻫﻰ اﺳﺖ ـ و ﺑﺮﻧﺎﻣﻪﻫﺎى ﺗﺤﻤﻴﻠﻰ و اﻃﺎﻋﺖ ﻛﻮرﻛﻮراﻧﻪ و ﺑﻰﻗﻴﺪ و ﺷﺮط از اوﻟﻴﺎء ﻣﺪرﺳﻪ را ﻧﺪاﺷﺖ و ﻫـﺮ روز دلزدهﺗﺮ و ﻧﺎراﺿﻰﺗﺮ ﻣﻰﺷﺪ ـ ﺷﺎﻳﺪ دﻟﻴـﻠـﺶ ﺗﺸﺎﺑﻪ او ﺑﺎ ﺑﻘﻴﻪ اﻓـﺮاد ﺧﺎﻧـﻮادهى ﺑﺰرگ ﭘﺪرى و ﻣﺎدرىاش ﺑﻮد ﻛﻪ ﺗـﻘـﺮﻳـﺒـﺎ ﻏﻴـﺮﻣـﺘـﻌـﺎرف ﺑﻮدﻧـﺪ و در ﻗـﺎﻟـﺐ ﻋـﺮف ﺗﺤﻤـﻴـﻠـﻰ ً ﻫﻤـﻪ ﻧﻤﻰﮔﻨﺠﻴﺪﻧﺪ و رﻓﺘﺎرﻫﺎى ﻏﻴﺮﻣﻌﻘـﻮل ـ از ﻧﻈﺮ ﺗﻌﺮﻳ; اﺟﺘﻤﺎﻋﻰ ـ داﺷﺘﻨﺪ .در ﭼﻨﻴﻦ ﺣﺎل و ﻫﻮاﻳﻰ از ﺑﺪ ﺣﺎدﺛﻪ ﻳﻚ روز ﺻﺒﺢ ﻛﻪ ﺑـﺎﻳـﺪ ﺑـﻪ ﻣـﻮﻗﻊ ﺑﻪ ﻣـﺪرﺳﻪ در ﻋﺼﺮ ﭘﺮﺷﺘﺎب اﻣﺮوز ﻣﻰرﺳﻴﺪ و ﺳﺮ ﻛﻼس ﺣﺎﺿﺮ ﻣﻰﺷﺪ و اﺗﻔﺎﻗﺎً در ﻛــــﺠــــﺎى دﻧــــﻴــــﺎ، از روزﻫﺎى ﺑﺴﻴﺎر ﺧﺴﺘﻪﻛﻨﻨﺪه ﻫﻢ ﺑﻮد ـ از ﻧﻈﺮ ﺳـﺎﻋــﺖﻫــﺎ ﺟــﻮاﻧـﻰ را ﺧﻮدش ـ ﺣﺎل ﺑﺴﻴﺎر ﺑﺪى داﺷﺖ و ﺑﺪﻧﺶ ﺑﻪ ﺳﺮﭘﺎ ﻧـﮕـﻪ ﻣـﻰدارﻧـﺪ و ﺷﺪت درد ﻣﻰﻛـﺮد .ﺑﻪ اﻳـﻦ درد آن ﺑﻴـﺰارى و ﺗـﺤـﻘـﻴـﺮ ﻣـﻰﻛـﻨـﻨـﺪ ﺗــﺎ دلزدﮔﻰ از ﭼﻨﻴﻦ روزى ﻧﻴﺰ اﺿﺎﻓﻪ ﺷﺪه ﺑﻮد آنﻛﻪ ﻣﺘﻨﺒﻪ ﺷﻮد و ﺑﺎ ﺑﻰﻣﻴﻠﻰ و ﺳﺨﺘـﻰ و درد و… ﻫﻤﺮاه ﭘﺪر ﻣـــــــﺸــــــــﻜــــــــﻼت و ﺧﻮد راﻫﻰ ﻣﺪرﺳﻪ ﺷﺪ زﻳﺮا اﻧﺪﻛﻰ از ﺳﺎﻋـﺖ ﮔـﺮﻓﺘﺎرىﻫـﺎى روﺣـﻰ، ﻛﻼس ﮔﺬﺷﺘﻪ ﺑﻮد و اﺟﺎزهى ورود ﺑﻪ ﻣﺪرﺳﻪ رواﻧﻰ و رﻓﺘﺎرى ﺟﻮاﻧﺎن را ﺑـﺪون وﻟـﻰ ﺧـﻮد ﻧـﺪاﺷـﺖ .ﭼـﻮن دﻳـﺮ ﺑـﻪ ﻛـﻢ اﺳـﺖ ﻛـﻪ ﭼـﻨــﻴــﻦ ﻛﻼس رﺳﻴﺪه ﺑﻮد ،ﻣﺸﻤﻮل ﻗﺎﻧﻮِن ﺧﺎﻧﻢ دﺑﻴﺮ ﻣـﺸـﻜـﻼﺗــﻰ را ﻫـﻢ ﺑــﻪ ﺷﺪ )ﻗـﺎﻧـﻮﻧﻰ ﻛﻪ ﻃﺒﻖ ﮔـﻔـﺘـﻪى ﺧـﻮد دﺑﻴـﺮ و آنﻫﺎ اﺿﺎﻓﻪ ﻣﻰﻛﻨﻴﻢ؟ ﻣﺴﺌﻮﻟﻴﻦ ﻣﺪرﺳﻪ در ﻣﺪارس دﻳﮕﺮ ﻫﻢ ،ﺑﺎﻋﺚ ﺷﺪه داﻧﺶآﻣﻮزان اﻳﺸﺎن ﺑﺎ رﺗﺒﻪﻫﺎى دورﻗﻤﻰ ﺑﻪ داﻧﺸﮕﺎهﻫﺎى ﻣﻌﺘﺒﺮ راه ﭘﻴﺪا ﻛﻨﻨﺪ( و اﻣﺎ ﻗﺎﻧﻮن اﻳﻦ دﺑﻴﺮ ﮔﺮاﻣﻰ ﻛﻪ ﻇﺎﻫﺮًا ﺧﻮدﺷﺎن ﻃﺮﺣﺶ را داده و ﺧﻮدﺷﺎن در ذﻫﻦِ ﺧﻮدﺷﺎن ﺗﺼﻮﻳﺒﺶ ﻛﺮدهاﻧﺪ؛ اﻳﻦ اﺳﺖ ﻛﻪ ﻫﺮ ﻛﺲ دﻳﺮ ﺑﻪ ﻛﻼس ﺑﻴﺎﻳﺪ ﺗﺎ آﺧﺮ ﺳﺎﻋﺖ ﺑﺎﻳﺪ ﺳﺮﭘﺎ ﺑﺎﻳﺴﺘـﺪ و ﺣﻖ ﻧﺸﺴﺘﻦ روى ﺻﻨﺪﻟﻰ ﻳﺎ ﻧﻴﻤﻜﺖ را ﻧﺪارد .ﻣﻮﺿﻮع ﺑﻪ ﻫﻤﻴﻦﺟﺎ ﺧﺘﻢ ﻧﺸﺪ .ﻫﻤﺎنﻃـﻮر ﻛـﻪ ذﻛـﺮ ﺷـﺪ اﻳـﻦ روز از روزﻫﺎى ﺑﺴﻴـﺎر ﺧﺴﺘﻪﻛﻨﻨﺪه ﺑﻮد زﻳﺮا از ٧:٣٠اﻟﻰ ١٦:٣٠ﻻﻳﻨﻘﻄﻊ رﻳﺎﺿﻰ درس داده ﻣﻰﺷـﻮد آن ﻫﻢ ﺑﺎ ﻫﻤﺎن دﺑﻴﺮ و ﻫـﺮ ﺳـﻪ درس رﻳﺎﺿﻰ )اﻟﺒـﺘـﻪ ﺑﺮﻧﺎﻣﻪﻫﺎى ﻣـﺪرﺳﻪ از ﻧﻈﺮ ﻣﺴﺌﻮﻟﻴﻦ از ﭘﺸﺘـﻮاﻧﻪى ﻏﻨﻰ آﻣﻮزﺷﻰ و اﺳﺘﺤﻜﺎم ﻛﺎﻓﻰ ﺑﺮﺧﻮردار ﻣﻰﺑﺎﺷﺪ( .ﺣﺎل ﺗﺼﻮر ﻛﻨﻴﺪ دﺧﺘﺮى ﻛﻪ ﻣﺮﻳﺾ اﺳﺖ و ﺑﻪ ﻫﻤﻴﻦ دﻟﻴﻞ دﻳﺮ ﺑـﻪ ﻛـﻼس رﺳﻴﺪه ،در ﻃـﻮل ٨ ٤٣
دورهى ﺑﻴﺴﺖ وﻫﻔﺘﻢ ﺷﻤﺎرهى٣ ﺑﻬﺎر ١٣٨٩
ﺳﺎﻋﺖ ﺳﺮﭘﺎ ﺑﺎﻳﺴﺘﺪ و ﻫﺮ ﻟﺤﻈﻪ ﺑﻪ ﻣﻴﺰان درد و ﺑﻴﺰارىاش اﻓﺰوده ﺷﻮد .ﻣﺴﺄﻟﻪى ﺟﺪىﺗﺮ اﻳﻦﻛﻪ ﺑﻘﻴﻪى داﻧﺶآﻣﻮزان ﻫﻴﭻ اﻋﺘﺮاﺿﻰ ﻧﻤﻰﻛﻨـﻨـﺪ و از روش ﺗﺮﺑﻴﺘﻰ و ﺗﺪرﻳﺲ ﺧﺎﻧﻢ دﺑﻴﺮ ﺑﺴﻴـﺎر اﺳـﺘـﻘـﺒـﺎل ﻣﻰﻛﻨﻨﺪ و ﻣﻌﺘﻘﺪﻧﺪ ﻛﻪ ﭼﻨﻴﻦ روشﻫﺎﻳﻰ ﺑﺎﻋﺚ ﻣﻰﺷﻮد آنﻫﺎ ﻣﻨﻀﺒﻂ ﺷﺪه و وﻗﺘﺸﺎن ﺑﻴﻬﻮده ﺗﻠ; ﻧﺸﻮد. اﻳﻦ داﻧﺶآﻣﻮز ﻋﺰﻳـﺰ آن روز را ﺑﺎ ﻫـﺮ زﺣﻤﺖ و ﻣﺸﻘﺘﻰ ﻛـﻪ ﺑـﻮد ﺗﺤﻤﻞ ﻣﻰﻛﻨﺪ و وﻗﺘﻰ ﻧﺎﻻن و اﺷﻚرﻳﺰان ﺑﻪ ﺧﺎﻧﻪ ﻣﻰرﺳﺪ ،ﭘﺎﻫﺎﻳﺶ دﻳﮕﺮ ﺗﺤﻤﻞ ﻛﺸﻴﺪن ﺑﺪﻧﺶ را ﻧﺪارد و ﺑﻪ زﻣﻴﻦ ﻣﻰاﻓﺘﺪ و از درد ﺟﺴﻤﻰ و ﺑﻴﺸﺘﺮ از آن درد روﺣﻰ و ﺗﺤﻘﻴﺮى ﻛﻪ ﺷﺪه و دﻳﮕـﺮان ﺣﺘﻰ ﻛَﻜﺸﺎن ﻫﻢ ﻧﮕﺰﻳﺪه اﺳﺖ ،ﺳﺎﻋـﺖﻫـﺎ ﺑـﻪ ﺧـﻮد ﻣﻰﭘﻴﭽﺪ و ﻣﺴـﺌـﻮل ﻫﻤـﻪى ﻛﺞرﻓﺘﺎرىﻫﺎى دﻳﮕﺮان و ﻧﺎﻛﺎﻣﻰ و درد ﺧﻮد را ﭘﺪر و ﻣﺎدرش ﻣﻰداﻧﺪ ﻛﻪ ﺑﻪ ﺧﻮاﺳﺘﻪﻫﺎ و ﺣﺮفﻫﺎى او ﺗﻮﺟﻬﻰ ﻧﻜﺮده و ﻋﻠﻰرﻏﻢ ﻧﻖزدنﻫﺎ و ﻧﺎﻟﻴﺪنﻫﺎ و اﻋﺘﺮاضﻫﺎى او در ﻣـﻮرد ﻣﺪرﺳﻪ ،ﺣﺎﺿﺮ ﻧﺸﺪه ﺑﻮدﻧﺪ ﻣﺪرﺳـﻪى او را ﺗﻐﻴﻴﺮ دﻫـﻨـﺪ و او را از اﻳﻦ ﻫﻤـﻪ ﻋﺪهاى از ﭼﻨﻴﻦ ﺟﻮاﻧﺎن ،ﻣﺼﻴﺒﺖ ﻧﺠﺎت دﻫﻨﺪ. ﭼﻨﺪ روزى از اﻳﻦ ﻣﺎﺟﺮا ﮔﺬﺷﺖ و اﻳﻦ ﻧﺎزﻧﻴﻦ ﻳـﺎ ﺳــﺮﻛـﺶ و ﻋــﺎﺻــﻰ و ﻟـــﺠــــﻮج و ﺧــــﻮدﺧــــﻮاه ﺳﺮﺧﻮرده و دﻟﺨﻮر ﺣﺘﻰ اﺟﺎزه ﻧﺪاد ﻫﻴﭻﻛﺲ از ﻣـﻰﺷــﻮﻧـﺪ ﻳـﺎ ﻣــﻄــﻴــﻊ و ﻣﺪرﺳﻪ و دﺑﻴﺮ و ﭼﻨﻴﻦ روشﻫﺎﻳﻰ ﺷﻜﺎﻳﺖ ﻛﻨﺪ ﻳﺎ ﺑـﻠـﻪﻗـﺮﺑـﺎنﮔـﻮ و ﺧــﻮار و ﺑﺎ آنﻫﺎ ﺣـﺮف ﺑـﺰﻧﺪ .در ﻧﻬﺎﻳـﺖ ﺧـﻮد را ﻣﻘـﺼـﺮ ذﻟﻴﻞ؛ ﻛﺴﺎﻧﻰ ﻛﻪ ﭼﺸﻢ ﺑﻪ داﻧﺴﺖ و ﻧﺘﻴﺠﻪ ﮔـﺮﻓﺖ ﻛﻪ اﺷﻜﺎل از او اﺳـﺖ. ﺑـﺰرگﺗـﺮﻫـﺎ و ﺗــﻮاﻧـﮕـﺮﻫـﺎ ﭼﻮن دﻳﮕﺮان ﻫﻢ درس را ﺧﻮب ﻣﻰﻓﻬﻤﻨﺪ و ﻫـﻢ ﻣـﻰدوزﻧـﺪ ﺗــﺎ ﺑــﺮاﻳـﺸــﺎن از دﺑﻴﺮ و روﺷـﺶ راﺿﻰ ﻫﺴﺘﻨﺪ و او ﻛﻪ ﺗﺤـﻤـﻞ ﭼـﻨـﻴـﻦ روش ﻳـﺎ روشﻫـﺎﻳـﻰ را ﻧـﺪارد و درس را ﺗﺼﻤﻴﻢ ﺑﮕﻴﺮﻧﺪ آنﻫـﺎ ﻛـﻪ آﮔـﺎﻫــﺎﻧــﻪ و ﻳــﺎ ﻧﻤﻰﻓﻬﻤﺪ ﺣﺘﻤﺎً ﻏﻴﺮﻋﺎدى و ﻏﻴﺮﻣﺘﻌﺎرف و ﺧِﻨﮓ ﻧــﺎآﮔــﺎﻫــﺎﻧــﻪ در ﺟـــﻬـــﺖ و ﺿﻌﻴ; اﺳﺖ! و ﻣﺪرﺳﻪ و ﻣﻌﻠﻢ و… ﺗﻘﺼﻴﺮى ﺗـﺨــﺮﻳــﺐ ﻧــﺴــﻞ ﺟــﻮان ﻧﺪارﻧﺪ. ﻗﺼﻪى ﻣﺎ در ﻫﻤﻴﻦ ﺣﺪ ﺑﺎﻗﻰ ﻣﺎﻧﺪه اﻣﺎ ﺗﻤﺎم ﻣﻰﻛﻮﺷﻨﺪ ﺑﺎﻳﺪ در دﻧﻴـﺎ و ﻧﺸﺪه اﺳﺖ .ﺑﻘﻴـﻪى داﺳـﺘـﺎن و ﺳـﺮاﻧﺠـﺎم اﻳـﻦ آﺧﺮت ﭘﺎﺳﺦﮔﻮ ﺑﺎﺷﻨﺪ ﻗﺼﻪى ﭘﺮﻏﺼﻪ ،ﺑﺎﺷﺪ ﺑـﺮاى ﺳﺎل ﺑﻌﺪ ﻛﻪ ﻧﺘﺎﻳﺞ ﻛﻨﻜﻮر اﻋﻼم ﻣﻰﺷﻮد. در ﺣﺎل ﺣﺎﺿـﺮ روى ﺳﺨﻨﻢ ﺑﺎ ﭘـﺪرﻫﺎ و ﻣﺎدرﻫﺎ ،ﺑﺎ ﻣﺴﺌـﻮﻟﻴـﻦ و دﺳﺖاﻧﺪرﻛﺎران وﺑﺎ ﻫﻤﻪى ﻛﺴﺎﻧﻰ اﺳﺖ ﻛﻪ ﻫﻨﻮز داراى ﺧﺮد و ﺗﻌﻘﻞ و اﺣﺴﺎس و ﻋﺎﻃﻔﻪاﻧﺪ .ﭼـﺮا ﺑﻪ ﺧـﻮد ﻧﻤﻰآﻳﻴﻢ؟ ﭼـﺮا ﺗﻔﻜﺮ و ﺗﻌﻘـﻞ ﺟﺎى ﺧـﻮد را ﺑﻪ روشﻫﺎى ﺧﻠﻖاﻟـﺴّﺎﻋﻪ و ﻗـﺮون وﺳﻄﺎﻳـﻰ داده؟ در زﻣﺎن ﺣﺎﺿﺮ ،در ﻋﺼﺮ ﭘـﺮﺷﺘﺎب اﻣﺮوز در ﻛﺠﺎى دﻧﻴﺎ ،ﺳـﺎﻋـﺖﻫـﺎ ﺟﻮاﻧﻰ را ﺳﺮﭘﺎ ﻧﮕﻪ ﻣـﻰدارﻧﺪ و ﺗﺤﻘﻴﺮ ﻣﻰﻛﻨﻨﺪ ﺗﺎ آنﻛﻪ ﻣﺘﻨﺒـﻪ ﺷـﻮد ﺗﺎ ﭘﺲ از اﻳﻦ ،ﭼﻨﻴﻦ ﻋـﻤـﻞ ﺑـﺪ و زﺷﺘﻰ!! ـ دﻳﺮ آﻣﺪن ﺑـﻪ ﻛـﻼس! ـ را دورهى ﺑﻴﺴﺖ ﻫﻔﺘﻢ
ﺑﻬﺎرﺷﻤﺎره٨٩ى٤٤ ٣١٣
اﻧﺠﺎم ﻧﺪﻫﺪ .اﮔﺮ ﺑﺎ ﻧﻴﻢﺳـﺎﻋـﺖ دﻳـﺮﻛـﺮد ﺑﺨﺶ ﻛـﻮﭼﻜﻰ از درس را ﻣﺘﻮﺟﻪ ﻧﻤﻰﺷﺪ ،ﺑﺎ اﻳـﻦ روش ﺗﻤﺎم ﻫﺸﺖ ﺳﺎﻋﺖ ﻛﻼس ﻳﻌﻨﻰ ﻳـﻚ روز ﻛﺎﻣﻞ درﺳﻰ را از دﺳﺖ داد. اﻗﻌﺎ ﭼﻪ ﻛﺴﻰ ﭘﺎﺳﺦﮔﻮ اﺳﺖ؟ ﭼﻪ ﻛﺴﻰ ﻣﺴﺌﻮل ﭼﻨﻴﻦ اﻗﺪاﻣﺎت و ً ﺧﻮدﺳﺮاﻧﻪاى اﺳﺖ؟ ﭼﻪ ﻛﺴﻰ ﻣﺴﺌﻮﻟﻴﺖ ﻧﺎﺷﻰ از ﻋﻮاﻗﺐ ﭼﻨﻴﻦ روش ﻳﺎ روشﻫﺎﻳﻰ از اﻳﻦ دﺳـﺖ را ﺑﻪﻋﻬﺪه ﻣﻰﮔﻴـﺮد؟ ﻣﺸﻜـﻼت و ﮔـﺮﻓﺘﺎرىﻫـﺎى روﺣﻰ، رواﻧﻰ و رﻓﺘـﺎرى ﺟﻮاﻧﺎن ﻛﻢ اﺳﺖ ﻛﻪ ﭼﻨﻴﻦ ﻣﺸﻜـﻼﺗـﻰ را ﻫﻢ ﺑﻪ آنﻫﺎ اﺿﺎﻓﻪ ﻣﻰﻛﻨﻴﻢ؟ ﺑﺎ اﻳﻦ روشﻫﺎ ﺑﻪ ﻛﺠﺎ ﻣﻰﺧﻮاﻫﻴﻢ ﺑﺮﺳﻴﻢ؟ اﻳﻦ ﻋﺰﻳﺰان در ﻛﺠﺎ ﺑﺎﻳﺪ آﻣﻮزش زﻧﺪﮔﻰ ﺑﺒﻴﻨﻨﺪ؟ ﭼﻨﺪ درﺻﺪ آنﻫﺎ ﭘﺲ از ورود ﺑﻪ دﻧﻴﺎى واﻗﻌﻰ ،ﻛﺎر ،ازدواج و… از ﭘﺲ ﻣﺸﻜﻼت واﻗﻌﻰ ﺑﺮﻣﻰآﻳﻨﺪ و ﺗﻮان ﺣﻞ ﻣﺴﺎﺋﻞ و ﺗﻄﺒـﻴـﻖ دادن ﺧـﻮد ﺑﺎ ﺷﺮاﻳﻂ ﻧﺎﻫﻤﺎﻫـﻨـﮓ را دارﻧﺪ؟ ﻋﺪهاى از ﭼﻨﻴـﻦ ﺟـﻮاﻧﺎن ،ﻳﺎ ﺳﺮﻛﺶ و ﻋﺎﺻﻰ و ﻟـﺠـﻮج و ﺧﻮدﺧـﻮاه ﻣﻰﺷﻮﻧﺪ ﻳﺎ ﻣﻄﻴﻊ و ﺑﻠﻪﻗﺮﺑﺎنﮔﻮ و ﺧـﻮار و ذﻟﻴﻞ؛ ﻛﺴﺎﻧﻰ ﻛﻪ ﭼﺸﻢ ﺑﻪ ﺑﺰرگﺗـﺮﻫﺎ و ﺗﻮاﻧﮕـﺮﻫﺎ ﻣـﻰدوزﻧﺪ ﺗﺎ ﺑـﺮاﻳﺸﺎن ﺗﺼﻤﻴﻢ ﺑـﮕـﻴـﺮﻧـﺪ .زﻣﺎن ﻣﻰﮔـﺬرد و ﻣﺎ ﺑﺎﻳﺪ ﭘـﺎﺳـﺦﮔـﻮى آﻳﻨﺪﮔﺎن ﺑﺎﺷـﻴـﻢ و درﺑـﺎرهى ﻋـﻮاﻗﺐ ﺗﺼﻤﻴﻤﺎﺗﻰ ﻛﻪ ﻣﻰﮔﻴﺮﻳﻢ ،ﺑﻴﻨﺪﻳﺸﻴﻢ.ﺑﺎﻳﺪ ﺑﺪاﻧﻴﻢ ﻫﻴﭻ ﻋﻤﻠﻰ از ذﻫـﻦ ﺗﺎرﻳﺦ ﭘﺎك ﻧﻤﻰﺷﻮد و ﻫﻤﻪى ﺗﺼﻤﻴﻢﻫﺎ و ﺑﺮﻧﺎﻣﻪرﻳﺰىﻫﺎ ،ﭼﻪ ﺧﻮب و ﭼﻪ ﺑﺪ ،در ﺳﺎﺑﻘﻪى ﺗﺎرﻳﺨﻰ ﻳﻚ ﻣﻠﺖ ﺛـﺒـﺖ ﻣـﻰﺷـﻮد .ﺑﻪوﻳـﮋه در دﻧﻴﺎى اﻣﺮوز ﻛﻪ ﻫﻴـﭻ ﺣـﺮف و ﺣـﺮﻛﺘﻰ در ﻫﻴﭻ ﻛﺠﺎى دﻧﻴـﺎ از ﭼـﺸـﻢ دﻳﮕﺮان ﭘﻮﺷﻴﺪه ﻧﻤﻰﻣﺎﻧﺪ و ﺑـﺮاى اﺑﺪ ﺛﺒﺖ و ﺿﺒﻂ ﺧـﻮاﻫﺪ ﺷﺪ .آنﻫﺎ ﻛﻪ آ ﮔﺎﻫﺎﻧﻪ و ﻳﺎ ﻧﺎآ ﮔﺎﻫﺎﻧﻪ در ﺟﻬﺖ ﺗﺨﺮﻳﺐ ﻧﺴﻞ ﺟﻮان ﻣﻰﻛﻮﺷﻨﺪ ﺑﺎﻳﺪ در دﻧﻴﺎ و آﺧﺮت ﭘﺎﺳﺦﮔﻮ ﺑﺎﺷﻨﺪ .ﺑـﻪ ﺧـﻮد آﻳﻴﻢ و ﺑﻴﺶ از اﻳﻦ ﻋﺎﻗﺒـﺖ ﺧﻮد را ﺗﺒﺎه ﻧﺴﺎزﻳﻢ .زﻣﺴﺘﺎن ﻣﻰﮔﺬرد و ﻣﺎ ﻣﻰﻣﺎﻧﻴﻢ و روﺳﻴﺎﻫﻰ زﻏﺎل. ﺑﻬﺎر :١٣٨٨ﺳﺎل ﺟﺪﻳﺪ ) (١٣٨٨آﻏﺎز ﻣﻰﺷﻮد .ﻣﺪرﺳﻪ دﺳﺖ ﺑﻪ اﺑﺘﻜﺎر ﺗـﺎزهاى ﻣﻰزﻧﺪ .ﺑﺮاى داﻧﺶآﻣﻮزان ﻛﻼسﻫﺎى ﺟﻤﻊﺑﻨـﺪى در ﺗﺎﻻرِ … ﺑﺮﮔﺰار ﻣﻰﻛﻨﺪ و ﻫﺮ داﻧﺶآﻣﻮز ﺑﺮاى ﺷﺮﻛﺖ در ﻛﻼسﻫﺎ ﺑﺎﻳﺪ ﻣﺒﻠﻐﻰ ﺑﭙـﺮدازد .اﻳﻦ ﻛﻼسﻫﺎ ﺑﻨﺎ ﺑﻪ اﻇـﻬـﺎرﻧﻈﺮ ﻣﺴﺌـﻮﻻن ﻣﺪرﺳﻪ ﺗﻮﺳﻂ ﺑﻬﺘﺮﻳﻦ دﺑـﻴـﺮان اداره ﻣﻰﺷﻮد ﺑﻪ اﻳﻦ ﺗـﺮﺗﻴﺐ ﻛﻪ ﻛﻞ ﻣﻄﺎﻟـﺐ ﻫـﺮ درس از اﺑﺘـﺪا ﺗـﺎ ﭘـﺎﻳـﺎن دورهى ﭘﻴـﺶداﻧـﺸـﮕـﺎﻫـﻰ ،در ﻳـﻚ روز )٨ ﺳﺎﻋﺖ( ،ﻣﺮور و ﺟﻤﻊﺑﻨﺪى ﻣﻰﺷﻮد .اﻳﻦ اﺑﺘﻜﺎر ،ﻫﻢ ﻣﺮورى اﺳﺖ ﺑـﺮ درسﻫـﺎى ﮔـﺬﺷـﺘـﻪ و ﻫـﻢ در اﻳـﺎم ﻋـﻴـﺪ و دﻳـﺪ و ﺑـﺎزدﻳـﺪ ﺣـﻮاس داﻧﺶآﻣﻮزان ﭘﺮت ﻧﻤﻰﺷﻮد و وﻗﺘﺸﺎن ﺑﻴﻬﻮده ﺗﻠ; ﻧﻤﻰﮔﺮدد و… اﻣﺎ ﺑﺸﻨﻮﻳﺪ ﭘﺎﻳﺎن ﻣﺎﺟﺮا را… . ﺷﻬﺮﻳﻮر :٨٨ﻗﺼﻪى ﻣﺎ ﺑﻪ ﺳـﺮ رﺳﻴﺪ وﻟﻰ دﺧﺘﺮ ﻋﺰﻳﺰ ﻣﺎ ﻧﻪ ﺗﻨـﻬـﺎ رﺗﺒﻪى دورﻗﻤﻰ ﻧﻴﺎورد ﻛﻪ ﺑﺎ رﺗﺒﻪى ﭘﻨﺞرﻗﻤﻰ در ﻫﻴﭻ رﺷﺘﻪاى در ﻛﻨﻜﻮر ﺳﺮاﺳﺮى ﻣﻮﻓﻖ ﻧﺸﺪ و اﻳﻦ ﻗﺼﻪﻫﺎ ﻫﻢﭼﻨﺎن اداﻣﻪ دارد و ﻗﺮﺑﺎﻧﻰ ﻣﻰﮔﻴﺮد.
درﺑﺎرهى دﻳﺪ ِ ﮔﺎه
»دورهى ﺗﺤﻠﻴﻞ و روش ﺗﺪرﻳﺲ رﻳﺎﺿﻰ٢ﻣﺘﻮﺳﻄﻪ و ﺑﺎزآﻣﻮزى ﻋﻠﻤﻰآن« ﻣﺆﻟﻔﺎن ﻛﺘﺎبِ رﻳﺎﺿﻰ )(٢
در ﺑﺨﺶ دﻳﺪﮔﺎه ﻣﺠﻠﻪى رﺷﺪ ﺷﻤـﺎرهى ،٩٨ﻣﻘﺎﻟﻪاى ﺑﺎ ﻧﺎم ﺑﺎﻻ ﺑﻪ ﭼﺎپ رﺳﻴﺪه اﺳﺖ ﻛﻪ ﻣﺆﻟﻔﺎن ﻛﺘﺎب رﻳﺎﺿﻰ ٢را ﺑﺮ آن داﺷﺖ ﻛﻪ ﺗﻮﺿﻴﺤﺎﺗﻰ را اراﺋﻪ ﻛﻨﻨﺪ. اﺑﺘﺪا ﺑﺎﻳﺪ ﺑﮕﻮﻳﻴﻢ ﻛﻪ ﻧﻘﺪ ﻳﻜﺪﻳﮕﺮ ،ﻋﻤﻠﻰ ﻧﻴﻜﻮ و ﭘـﺴـﻨـﺪﻳـﺪه اﺳﺖ ﺑﻪ ﺷﺮط آنﻛﻪ در ﺟﻬﺖ رﻓﻊ ﻧﻘﺺﻫﺎ و رﺷﺪ ﻳﻜﺪﻳﮕﺮ ﺑﺎﺷﺪ و اﻳﻦ ﻧﻤـﻮﻧﻪاى از ﻫﻤﺎن ﻓﺮﻳﻀﻪى اﻣﺮ ﺑﻪ ﻣـﻌـﺮوف و ﻧﻬﻰ از ﻣﻨـﻜـﺮ اﺳﺖ .ﻣﺎ ﺑﺎ ﻫﻤﻴﻦ ﻧﮕﺎه ،ﻧﻘﺪﻫـﺎى اﻧـﺠـﺎم ﺷـﺪه در آن ﻣـﻘـﺎﻟـﻪ را ﺧﻮاﻧﺪﻳﻢ و اﻣﻴﺪوارﻳﻢ ﺧﻮاﻧﻨﺪﮔﺎن ﻧﻴﺰ ﺑﺎ ﻫﻤﻴﻦ ﻧﮕﺎه ،ﻧﻘﺪﻫﺎى ﻣﺎ را ﺑﺨﻮاﻧﻨﺪ. ﺑﺨﺸﻰ از ﻧﻘﺪﻫﺎى اﻧﺠﺎم ﺷﺪه در آن ﻣﻘﺎﻟﻪ ،ﻣﺮﺑﻮط ﺑﻪ دورهى ﺗﺄﻣﻴﻦ ﻣﺪرﺳﻰ ﺑﻮد ﻛﻪ ﻧﻴـﺎزى ﺑﻪ ﺳﺨﻦ ﮔﻔﺘﻦ درﺑﺎرهى آن ﻧﻴﺴﺖ و ﺑﺨﺶ دﻳﮕﺮ اﻳﻦ ﻧﻘﺪﻫﺎ ،ﻣـﺮﺑـﻮط ﺑﻪ ﻛﺘﺎب ﺑﻮد ﻛﻪ ﻧﻴـﺎزﻣﻨﺪ ﺑﺮرﺳﻰ اﺳﺖ. ﭘﻴﺸﺎﭘﻴﺶ ،ﮔﺮوه ﻣﺆﻟﻔﺎن اذﻋﺎن ﻣﻰدارﻧﺪ ﻛﻪ اﻳﻦ ﻛﺘﺎب داراى ﻧﻘﺎﻳﺺ ﻓﺮاواﻧﻰ اﺳﺖ ﻛﻪ ﺑﺨﺸﻰ از آن ﺑﻪ ﻃﻮر ﻃﺒﻴﻌﻰ در ﻫﺮ ﺗﺄﻟﻴ; ﺟﺪﻳـﺪى رخ ﻣﻰدﻫﺪ و ﺑﺨﺶ دﻳـﮕـﺮى ﻧﻴﺰ ﻣـﺮﺑـﻮط ﺑﻪ ﻣﺸﻜـﻼت ﻓﺮاواﻧﻰ ﺑﻮد ﻛﻪ ﺑﻪﻃﻮر ﻏﻴﺮﻃﺒﻴﻌﻰ ﺑﺮ ﻣﺆﻟﻔﺎن ﺗﺤﻤﻴﻞ ﺷﺪ .اﻧﺘﻈﺎر ﻣﺎ از ﻫﻤﻪى ﻣﻌﻠﻤﺎن و ﻛﺎرﺷﻨﺎﺳﺎن آﻣﻮزﺷﻰ آن اﺳﺖ ﻛﻪ ﺑﺎ ﻣﻄﺎﻟﻌﻪى ﺳﻨﺠﻴﺪهى ﻛﺘﺎب ،ﻣﺎ را ﺑﺎ اﻳﻦ ﻧﻘﻴﺼﻪﻫﺎ آﺷﻨﺎ ﻛﻨﻨﺪ ﺗﺎ اﺻﻼﺣـﺎت ﻻزم در آن ﺻﻮرت ﺑﮕﻴﺮد. اﻣﺎ ﻣﻨﺎﺳﺐ اﺳﺖ ﻧﻘﺪﻫﺎى ﻧﺎﻗﺪ ﻣﺤـﺘـﺮم را ﻳﻚﺑﻪ ﻳﻚ ﺑـﺮرﺳﻰ ﻛﻨﻴﻢ. .١ﻧﺎﻗﺪ :در ﻓﺼﻞ »ﻫﻨﺮ ﺷﻤﺎرش« ،ﻣﻘﺪﻣﻪاى ﻃﻮﻻﻧﻰ ﺑﺮاى ﻣﻔﻬـﻮم ﺳﺎدهى اﺻﻞ ﺿـﺮب آﻣﺪه اﺳﺖ و ﻧﻬـﺎﻳـﺘـﺎً ،ﺑﺎ ﻣﺜﺎلﻫـﺎى اﺑﺘﺪاﻳﻰ اﻳﻦ ﻣﻔﻬﻮم ﺗﻮﺿﻴﺢ داده ﺷﺪه اﺳﺖ.
ﻳﻜﻰ از ﻣﺸﻜﻼت ﻛﺘﺎبﻫﺎى ﻓﻌﻠﻰ ﻣﺎ آن اﺳﺖ ﻛﻪ ﻣﻔﺎﻫﻴﻢ در زﻣﻴﻨﻪﻫﺎى ﻣﻨﺎﺳﺐ و ﻃﺒﻴﻌﻰ ﻋـﺮﺿﻪ ﻧﻤﻰﺷﻮﻧﺪ و داﻧﺶآﻣﻮزان در ﻣﺮﺗﺒـﻂﻛـﺮدن ﻣﻔﺎﻫﻴﻢ رﻳـﺎﺿـﻰ ﺑـﺎ زﻧﺪﮔـﻰ روزﻣﺮهى ﺧـﻮد ،دﭼﺎر ﻣﺸﻜﻞ ﻣﻰﺷﻮﻧﺪ .ﻋﺮﺿﻪى ﻣﻔﺎﻫﻴﻢ در زﻣﻴﻨﻪﻫﺎى ﻃﺒﻴﻌﻰ از اﺻﻮل آﻣﻮزش اﺳﺖ و اﺗﻔـﺎﻗـﺎً ﺑﺎ ﻧﺸﺴﺖﻫﺎﻳﻰ ﻛﻪ ﺑﺎ ﻣﻌـﻠـﻤـﺎن در ﻧـﻘـﺎط ﻣﺨﺘﻠ; ﻛﺸﻮر داﺷﺘﻪاﻳﻢ ،ﻫﻤﮕﻰ از اﻳﻦ ﻓﺼﻞ اﺣﺴﺎس رﺿﺎﻳﺖ ﻣﻰﻛﺮدﻧﺪ .ﻧﺎﮔﻔﺘﻪ ﻧﻤﺎﻧﺪ ﻛﻪ در ﻧﺴﺨﻪى ﻧﻬﺎﻳﻰ ﻛﺘﺎب ،ﻋﻨﻮان »ﻫﻨﺮ ﺷﻤﺎرش« وﺟﻮد ﻧﺪارد و ﻇﺎﻫﺮًا ﻧﺎﻗﺪ ﻣﺤﺘـﺮم ،ﻧﻘﺪ ﺧﻮد را ﺑﺮ ﻣﺒﻨﺎى ﻧﺴﺨـﻪى ﻋـﺮﺿﻪ ﺷـﺪه در دورهى ﺗﺄﻣﻴـﻦ ﻣـﺪرﺳﻰ ﮔﺬاﺷـﺘـﻪاﻧـﺪ. ﻫﻢﭼﻨﻴﻦ ،ﻧﺎﻗﺪ ﻣﺤﺘﺮم ﻧﻘﺪﻫﺎﻳﻰ ﻫﻢ در ﻣﻮرد »ﺑﺮدار« اﻧﺠﺎم دادهاﻧﺪ ﻛﻪ آن ﻧﻴﺰ در ﻧﺴﺨﻪى ﻧﻬﺎﻳﻰ وﺟﻮد ﻧﺪارد. .٢ﻧﺎﻗﺪ :ﻣﺆﻟﻔﺎن ﺑﺮ ﺧﻮدآﻣﻮز ﻧﺒﻮدن ﻛﺘﺎب ﺗﺄﻛﻴﺪ داﺷﺘﻪاﻧﺪ در ﺣﺎﻟﻰ ﻛﻪ ﻗﺴﻤﺖﻫﺎى ﺑﺴﻴﺎرى از ﻛﺘﺎب ﺧﻮدآﻣﻮز اﺳﺖ. آنﭼﻪ ﻛﻪ ﻣﺆﻟﻔﺎن ﺗﺄﻛﻴﺪ داﺷﺘﻪاﻧﺪ اﻳﻦ اﺳﺖ ﻛﻪ ﻛﺘﺎب درﺳﻰ ﺑﻪ ﺻﻮرت ﻛﺘﺎب ﺧـﻮدآﻣﻮز ﻧﻮﺷﺘﻪ ﻧﻤـﻰﺷـﻮد و اﮔﺮ اﺣﻴﺎﻧﺎً در ﺑـﺮﺧﻰ ﻣﻮارد ﻛﺘﺎب ﺗﻮاﻧﺴﺘﻪ ﺑﺎﺷﺪ ﻣﻄﻠﺒـﻰ را ﺧﻮب ﭘـﺮورش داده ﺑﺎﺷﺪ ﻛﻪ ﺑﺪون ﻫﺪاﻳﺖ و ﻛﻤﻚ ﻣﻌﻠﻢ ﻣﻔﻬﻮم ﻳﺎد ﮔﺮﻓﺘﻪ ﺷﻮد ،اﺗﻔﺎق ﻣﺒﺎرﻛﻰ اﺳﺖ و آن را ﺑﺎﻳﺪ ﺣُﺴﻦ ﻛﺘﺎب ﻣﺤﺴﻮب ﻛﺮد. .٣ﻧﺎﻗﺪ :ﻣﺆﻟﻔﺎن ﮔﻔﺘﻪاﻧﺪ روﻳﻜﺮد ﺣﻞ ﻣﺴﺌﻠﻪ را در ﻛﺘﺎب ﭘﻴﺎده ﻛﺮدهاﻧﺪ .در ﺣﺎﻟﻰ ﻛﻪ ﺑﺎ ﻣﺮورى ﺑﺮ ﻛﺘﺎب ،اﻳﻦ ادﻋﺎ رﻧﮓ ﻣﻰﺑﺎزد. روﻳﻜﺮد ﺣﻞ ﻣﺴﺌﻠﻪ ﻳﻜﻰ از روشﻫﺎى ﻧﻮﻳﻦ آﻣﻮزﺷﻰ اﺳﺖ و ﻣﺤﻮر اﺻﻠﻰ ﺗﺄﻟﻴ; ﻛﺘﺎبﻫـﺎى درﺳﻰ ﺧﻮاﻫﺪ ﺑﻮد .اﻣﺎ اﻳﻦﻛﻪ ﺗـﺎ ﭼﻪ ﺣﺪ در اﻳـﻦ ﻛـﺎر ﻣـﻮﻓﻖ ﺑﺎﺷﻴـﻢ ،ﺑـﺴـﺘـﮕـﻰ ﺑـﻪ ﻣـﻮﺿﻮﻋـﺎت و ﺗﻮاﻧﺎﻳﻰﻫﺎى آﻣﻮزﺷﻰ ﻣـﺎ دارد .روﻳﻜﺮد ﺣﻞ ﻣﺴﺌﻠﻪ ﻣﻮرد ﺗﻮﺟﻪ ﻣـﺎ ٤٥
دورهى ﺑﻴﺴﺖ وﻫﻔﺘﻢ ﺷﻤﺎرهى٣ ﺑﻬﺎر ١٣٨٩
ﺑﻮده اﺳﺖ و ﻫﺮ ﻛﺠﺎ ﺗﻮاﻧﺴﺘﻪاﻳﻢ آن را ﭘﻴﺎده ﻛﺮدهاﻳﻢ و رﮔﻪﻫﺎى آن در ﻛﺘﺎب ﻗﺎﺑﻞ ﻣﺸﺎﻫـﺪه اﺳـﺖ .وﻟﻰ ﻗﺒـﻮل ﻣﻰﻛﻨﻴﻢ ﻛﻪ ﻫـﻨـﻮز در ﭘﻴﺎدهﺳﺎزى اﻳﻦ روش ،در اول راه ﻗﺮار دارﻳﻢ. .٤ﻧﺎﻗﺪ :ﺑﺮﺧﻰ ﺗﻌﺮﻳ;ﻫﺎ ﻏﻴﺮدﻗﻴﻖ ،در ﺑﺮﺧﻰ ﻣﻮارد ﻏﻴﺮﻋﻠﻤﻰ اﺳﺖ. ﻛﺴﺎﻧﻰ ﻛﻪ ﺑـﺎ آﻣـﻮزش رﻳﺎﺿﻰ ﺑﻪ ﻃﻮر ﺟـﺪى ﺳـﺮوﻛـﺎر دارﻧﺪ ﻣﻰداﻧﻨﺪ ﻛﻪ ﻳﺎدﮔﻴﺮى ﻳﻚ ﻣﻔﻬﻮم ﺑﺎ ﺗﻌﺮﻳ; دﻗﻴﻖ و ﻣﻨﻄﻘﻰ آن آﻏﺎز ﻧﻤﻰﺷﻮد ،ﺑﻠﻜﻪ اﺑﺘﺪا دركﻫﺎى ﺷﻬﻮدى رخ ﻣﻰدﻫﻨﺪ ﺑﻌﺪ ارﺗﺒﺎﻃﺎت ﻛﺸ; ﻣﻰﺷﻮﻧﺪ و ﺑﻌﺪ در زﻣﻴﻨﻪﻫﺎى ﻣﺨﺘﻠ; ﻣﺸﺎﻫﺪه ﻣﻰﺷﻮﻧﺪ و ﺗﻌﺮﻳ; دﻗﻴﻖ ﻣﻔﻬـﻮم آﺧﺮﻳﻦ ﻣـﺮﺣﻠﻪى آﻣﻮزش اﺳﺖ .ﺑﻨﺎﺑـﺮاﻳﻦ، ﻫﺮﺟﺎ ﻛﻪ ﻗﺮار اﺳﺖ داﻧﺶآﻣﻮزان را ﺑﺎ ﻣﻔﻬﻮم ﺟﺪﻳﺪى آﺷﻨﺎ ﻛﻨﻴﻢ، آن ﺳﺨﻦﻫﺎى ﻏﻴﺮدﻗﻴﻖ و ﺗـﻮﺻﻴ;ﻫﺎى ﻏﻴﺮدﻗﻴﻖ رخ ﻣﻰدﻫﻨﺪ ﻛﻪ دﻗﻴﻖﺷﺪن آنﻫﺎ ﺷﺎﻳﺪ ﺑﻪ ﺳﺎلﻫﺎى ﺑﻌـﺪ ﻫـﻢ ﻣـﻮﻛـﻮل ﺷﻮد .اﻟﺒﺘـﻪ رﻋﺎﻳﺖ دﻗﺖ در ﺗﻌﺎرﻳ; ﺗﺎ ﺣﺪ اﻣﻜـﺎن ﻛـﻪ ﻣـﻮﺟﺐ ﻏﺎﻣﺾﺷﺪن ﻛﺎﻣﻼ ﺿﺮورى اﺳﺖ و ﺣﺘﻤﺎً ً ﻣﻔﻬﻮم ﻧﺸﻮد و آﻣﻮزش را ﻣﺨﺘﻞ ﻧﺴﺎزد اﻧﺠﺎم ﺷﺪه اﺳﺖ و اﮔـﺮ ﻣـﻮارد ﺧﺎﺻﻰ ﺧﻼف آن ﺑـﺎﺷـﺪ ﻣـﺆﻟﻔﺎن ﺧﻮﺷﺤﺎل ﻣﻰﺷﻮﻧﺪ ﻛﻪ اﻳﻦ ﻣﻮارد ﺑﺮاى ﮔﺮوه ﺗﺄﻟﻴ; ﻓﺮﺳﺘﺎده ﺷﻮﻧﺪ. .٥ﻧﺎﻗﺪ :ﺑﺮﺧﻰ ﻣﻄﺎﻟﺐ از ﻣﻨﺎﺑﻌﻰ آﻣﺪه اﺳﺖ و ﻫﻴﭻ ارﺟﺎﻋﻰ ﺑﻪ آنﻫﺎ ﻧﺸﺪه اﺳﺖ. در ﻛﺘﺎبﻫﺎى درﺳﻰ رﺳﻢ ﺑﺮ آن ﻧﻴﺴﺖ ﻛﻪ ﻣـﺮﺟﻊ ﻫﺮ ﻣﻄﻠﺒـﻰ ﻻ در آﺧﺮ ﻛﺘﺎب اﻳﻦ ﻣﺮاﺟﻊ ﻣﻰآﻳﻨﺪ و ﺑﻼﻓﺎﺻﻠﻪ ذﻛﺮ ﺷﻮد و ﻣﻌﻤﻮ ً در اﻳﻦ ﻛﺘﺎب ﻧﻴﺰ ﻫﻤﻴـﻦ ﻋـﻤـﻞ اﻧـﺠـﺎم ﺷـﺪ وﻟﻰ ﺑﻪ ﺧﺎﻃـﺮ ﺑـﺮﺧـﻰ ﻣﻼﺣﻈﺎت در ﺗﻌﺪاد ﺻﻔﺤﺎت ﻛﻪ ﺑﺎﻳﺪ ﻣـﻀـﺮب ٨ﺑﺎﺷﻨﺪ ﺻﻔﺤـﻪ ﻣﺮاﺟﻊ ﺣﺬف ﺷﺪه اﺳﺖ .ﻣﻄﻤﺌﻨﺎً ﻫﻴﭻ ﻋﻤﺪى در ﻛﺎر ﻧﺒﻮده اﺳﺖ دورهى ﺑﻴﺴﺖ ﻫﻔﺘﻢ
ﺑﻬﺎرﺷﻤﺎره٨٩ى٤٦ ٣١٣
و ﺑﺪﻳﻬﻰ اﺳﺖ ﻛﻪ در ﻧﻮﺷﺘﻦ ﺑﺴﻴﺎرى از ﻣﻄﺎﻟﺐ از ﻣﺮاﺟﻊ ﻣﺨﺘﻠ; اﺳﺘﻔﺎده ﺷﺪه اﺳﺖ.
.٦ﻧﺎﻗـﺪ :ﻛﺘﺎبﻫﺎى رﻳـﺎﺿـﻰ ١و ٢ﻗﺒﻠﻰ ﺗﺠﺮﻳـﺪ ﺑـﺎﻻﻳـﻰ داﺷﺘﻨﺪ و ﻛﺘﺎبﻫﺎى ﻓﻌﻠـﻰ ﺷـﻬـﻮد زﻳـﺎدى دارﻧﺪ و داﻧﺶآﻣﻮزان داﻧﺸﻤﻨﺪ ﻓﺮدا را از ﺟﺬاﺑﻴﺖﻫﺎى رﻳﺎﺿﻰ ﻣﺤﺮوم ﻣﻰﻛﻨﻨﺪ. ﮔﺰﻳﻨﺶ ﻣـﻮاد درﺳﻰ و ﺷﻴـﻮهﻫﺎى اراﻳﻪ و اﻫﺪاف ﻛﺘﺎبﻫـﺎى درﺳﻰ ،در ﺑﺮﻧﺎﻣﻪى درﺳﻰ ﺗﻌﻴﻴﻦ ﻣﻰﺷﻮﻧﺪ و ﻣﺎ ﻧﻤﻰﺗﻮاﻧﻴﻢ از ﭘﻴﺶ ﺧﻮد ﻫﺪفﻫﺎى ﺳﻠﻴﻘﻪاى ﺑـﺮاى ﺧﻮد اﻧﺘﺨﺎب ﻛﻨﻴﻢ و ﻛﺘﺎبﻫـﺎ را ﻃﺒﻖ ذوق و ﺳﻠﻴﻘﻪى ﺧﻮد ﺗﺄﻟﻴ; ﻛﻨﻴﻢ .ﻛﺘﺎبﻫـﺎى درﺳﻰ ﺑﺮاى ﻛﻞ داﻧﺶآﻣﻮزان ﻛﺸﻮر و ﺗﺤﺖ اﻫﺪاف ﻣﺸﺨﺺ ﻧﻮﺷﺘﻪ ﻣﻰﺷﻮﻧﺪ و ﻣﺨﺼﻮص ﻗﺸﺮ ﻧﺨﺒﻪى داﻧﺶآﻣـﻮزان ﻧﻴﺴﺘﻨﺪ .ﺑﻨﺎﺑـﺮاﻳﻦ ،اﮔـﺮ ﻗـﺮار اﺳﺖ در ﻣـﻮرد ﻣـﻮاد و روشﻫـﺎى اراﺋﻪ و ﻫـﺪفﻫـﺎ ﻧـﻘـﺪى ﺻﻮرت ﺑﭙﺬﻳـﺮد ﺑﺎﻳﺪ راﻫﻨﻤﺎى ﺑـﺮﻧﺎﻣﻪى درﺳـﻰ را ﻧﻘﺪ ﻛﺮد .ﺷﺎﻳـﺪ ﻗﺒﻼً در ﺗﺄﻟﻴ; ﻛﺘﺎبﻫـﺎى درﺳﻰ ذوق و ﺳﻠﻴﻘﻪى ﻣـﺆﻟﻔﻴﻦ ﻧﻘـﺶ اﺻﻠﻰ را در ﺗﺄﻟﻴ; ﻛﺘﺎب ﺑﺎزى ﻣﻰﻛﺮده اﺳﺖ و ﻓﺮض ﺷﺪه اﺳﺖ ﻣﺆﻟﻔﻴﻦ ﺟﺪﻳﺪ ﻫﻢ ﺑﻪ ﺧﺎﻃﺮ ﺳﻠﻴﻘﻪﻫﺎى ﺷﺨـﺼـﻰ ﺧـﻮد ﺑﻪ ﭼﻨﻴـﻦ روﻧﺪﻫﺎﻳﻰ در ﺗﺄﻟﻴـ; روى آوردهاﻧﺪ .اﻣﺎ ﻣﺴﺌﻠﻪ ﻋﻤﻴﻖﺗـﺮ از اﻳـﻦ ﺣﺮفﻫﺎ اﺳﺖ. .٧ﻧﺎﻗﺪ :ﺗﺄﻟﻴ; ﻛﺘﺎبﻫـﺎى درﺳﻰ ﺣﺴﺎﺳﻴﺖﻫﺎى ﺑﺎﻻﺗـﺮى را ﻣﻰﻃﻠﺒﺪ و ﻧﺒﺎﻳﺪ ﻛﻮﭼﻚﺗﺮﻳﻦ اﺷﻜﺎﻟﻰ در آنﻫﺎ ﺑﺎﺷﺪ. در اﻳﻦ ﻣﻮرد ﻛﺎﻣﻼً ﺑﺎ ﻧﺎﻗﺪ ﻣﺤﺘﺮم ﻫﻢ ﻋﻘﻴﺪهاﻳﻢ وﻟﻰ ﻛﺠﺎﺳﺖ آن ﺷﺮاﻳﻂ و ﻣﺤﻴﻂ ﻣﻄﻠﻮﺑﻰ ﻛﻪ ﭼﻨﻴﻦ اﻣﻜـﺎﻧـﻰ را ﺑﻪ ﻣﺎ ﺑﺪﻫﺪ .در ﺣﺎل ﺣﺎﺿﺮ ﺗﺄﻟﻴﻔـﺎت ﺟـﺪﻳـﺪ در ﺷـﺮاﻳﻄﻰ ﺳﺨﺖ و ﺑﺎ ﻛـﻤـﺘـﺮﻳـﻦ اﻣﻜﺎﻧﺎت ﺻﻮرت ﻣﻰﮔﻴﺮد و ﻣﺎ ﻧﻴﺰ ﻣﺘﺄﺳﻔﻴﻢ.
○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○
● ﻋﻠﻰ ﻏﻼﻣﻴﺎن ﻛﺎرﺷﻨﺎس ارﺷﺪ رﻳﺎﺿﻰ ﻣﺤﺾ و دﺑﻴﺮ رﻳﺎﺿﻰ ﺑﺠﺴﺘﺎن
اﺛﺒﺎت ﻧﺎﻣﺴﺎوىﻫﺎﺑﻪﻛﻤﻚ )(٢ اﺷﺎره در ﻗﺴﻤـﺖ اول اﻳﻦ ﻣﻘﺎﻟﻪ ﺑﻪ ﻣـﻌـﺮﻓﻰ ﺗﻮاﺑﻊ ﻣﺤﺪب و ﻫﻢﭼﻨـﻴـﻦ ﺑﻴﺎن و اﺛﺒﺎت ﻧﺎﻣﺴﺎوى ﻳﻨﺴﻦ ﭘﺮداﺧﺘﻴﻢ .ﻧﺎﻣﺴﺎوى ﻳﻨﺴﻦ ﻛﺎرﺑﺮدﻫﺎى ﻣﺘﻨﻮﻋﻰ دارد و از آن ﻣﻰﺗﻮان در اﺛﺒﺎت ﺗﻌﺪاد زﻳﺎدى از ﻧﺎﻣﺴﺎوىﻫﺎى ﻛﻼﺳﻴﻚ و ﻣﻬﻢ اﺳﺘﻔﺎده ﻛﺮد .در اﻳﻦ ﻣﻘﺎﻟﻪ ،ﻗﺼﺪ دارﻳﻢ دﻧﺒﺎﻟﻪاى از ﻧﺎﻣﺴﺎوىﻫﺎى ﻛﻼﺳﻴﻚ و ﻣﺸﻬﻮر را ﺑﻪدﺳﺖ آورﻳﻢ. ﻳﺎدآورى ﺗﺎﺑﻊ ﻣﺤﺪب .ﺗﺎﺑﻊ ﺣﻘﻴﻘـﻰ ﻣـﻘـﺪار fروى ﺑﺎزهى Iﻣﺤـﺪب اﺳﺖ ﻫﺮﮔﺎه ﺑﺮاى ﻫﺮ y ∈ Iو xو ] λ ∈[0,1؛
● اﮔﺮ fﻳﻚ ﺗﺎﺑﻊ ﻣﻘﻌﺮ ﺑﺎﺷﺪ ،آنﮔﺎه )(٢ ) f (λ1x1 +...+λ n x n ) ≥ λ1f (x1 )+...+λ n f (x n ● اﮔﺮ fﻳﻚ ﺗﺎﺑﻊ اﻛﻴﺪاً ﻣﺤﺪب )اﻛﻴﺪاً ﻣﻘﻌﺮ( ﺑﺎﺷﺪ ،آنﮔﺎه وﻗﺘﻰ x1 =...= x nﺗﺴﺎوى در ) (١و ) (٢ﺑﺮﻗﺮار اﺳﺖ. دى ﻣﻴﺎﻧﮕﻴﻦ ﺗﻮاﻧﻰ وزندار ،دو ﻗﺒﻞ از ﺑﻴﺎن ﻧﺎﻣﺴﺎوى ﻣﻬﻢ و ﻛﺎرﺑﺮ ِ ﻧﺎﻣﺴﺎوى ﻛﻼﺳﻴﻚ را ﺑﻴﺎن و اﺛﺒﺎت ﻣﻰﻛﻨﻴﻢ.
١
)f (λx + (1− λ)y) ≤ λf (x) + (1− λ)f (y
ﺗﺎﺑﻊ fاﻛﻴﺪاً ﻣﺤﺪب ﻧﺎﻣﻴﺪه ﻣﻰﺷﻮد ﻫﺮﮔﺎه ﺑﺮاى ﻫﺮ x ≠ y ، x, y ∈Iو ) λ ∈(0,1؛
ﻧﺎﻣﺴﺎوى ﻣﻴﺎﻧﮕﻴﻦ ﺣﺴﺎﺑﻰ ـ ﻣﻴﺎﻧﮕﻴﻦ ﻫﻨﺪﺳﻰ وزندار ﻓـﺮض ﻛـﻨـﻴـﺪ x1,..., x n ≥0و w1,..., w n >0ﺑـﺎﺷـﻨـﺪ .در اﻳﻦﺻﻮرت؛ ٥
1
)(٣
)f (x + (1− λ)y) < f (x) + (1− λ)f (y
ﺗﻮﺟﻪ f .ﻣﻘﻌﺮ )اﻛﻴـﺪاً ﻣﻘﻌـﺮ( روى Iﻧﺎﻣﻴﺪه ﻣﻰﺷـﻮد اﮔﺮ روى Iﻣﺤﺪب )اﻛﻴﺪاً ﻣﺤﺪب( ﺑﺎﺷﺪ. ﻧﺎﻣﺴـﺎوى ﻳﻨﺴـﻦ .٤ﻓﺮض ﻛﻨﻴـﺪ f:I → IRﻳﻚ ﺗﺎﺑﻊ ﻣـﺤـﺪب ﺑﺎﺷﺪ .ﻫﻢﭼـﻨـﻴـﻦ ﻓـﺮض ﻛﻨـﻴـﺪ x1..., x n ∈Iو λ1,..., λ n ≥ 0 ﺑﻪﻃﻮرى ﻛﻪ . λ1 + λ 2 +... +λ n = 1در اﻳﻦﺻﻮرت )(١ ) f (λ1x1 +...+λ n x n ) ≤ λ1f (x1 )+...+λ n f (x n -f
w1x1 +...+w n x n ≥ (x1w1 x2w2 ...x wn n ) w1 +...+w n w1 +...+w n
ﺣﺎﻟﺖ ﺗﺴﺎوى ﺑﺮﻗﺮار اﺳﺖ اﮔﺮ و ﺗﻨﻬﺎ اﮔﺮ . x1 = x2 =...= x n اﺛﺒـﺎت .ﻓـﺮض ﻛﻨـﻴـﻢ ) x1,..., x n >0در ﻏﻴـﺮ اﻳـﻦﺻـﻮرت، ﻧﺎﻣﺴﺎوى ﺑﻪوﺿـﻮح ﺑﺮﻗﺮار اﺳﺖ (.در اﻳﻦﺻﻮرت ،ﺑﺎ اﺳﺘﻔـﺎده از اﻛـﻴـﺪا ﻣﻘﻌـﺮ f (x) = Lnxروى )∞ (0,ﺑـﺎ ً ﻧﺎﻣـﺴـﺎوى ) (٢ﺑﺎ ﺗﺎﺑـﻊ اﻧﺘﺨﺎب
wi w1 +...+w n
= (1≤ i ≤ n)λ iدارﻳﻢ
○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○
٤٧
دورهى ﺑﻴﺴﺖ وﻫﻔﺘﻢ ﺷﻤﺎرهى٣ ﺑﻬﺎر ١٣٨٩
○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○
w1x1 +...+w n x n w Lnx1 +...+w n Lnx n )≥ 1 w1 +...+w n w1 +...+w n
(Ln
ﻳﺎ 1
w1x1 +...+w n x n ) ≥ Ln(x1w1 ...x wn n ) w1 +...+w n w1 +...+w n
، x n ,..., x1ﻧﺎﻣﺴﺎوى ﻣﻮردﻧﻈﺮ ﺑﻪدﺳﺖ ﻣﻰآﻳﺪ. ❐ ﺑـﺎ ﻗــﺮار دادن w1 = w2 =... = w n = 1در ﻧـﺎﻣـﺴــﺎوى )(٥ دارﻳﻢ:
(Ln
ﭼـﻮن f (x) = Lnxﻳﻚ ﺗـﺎﺑـﻊ اﻛـﻴـﺪاً اﻓـﺰاﻳـﺸـﻰ روى ) ∞ (0, اﺳﺖ .از اﻳﻦرو
ﻧﺎﻣﺴﺎوى ﻣﻴﺎﻧﮕﻴﻦ ﻫﻨﺪﺳﻰ ـ ﻣﻴﺎﻧﮕﻴﻦ ﻫﺎرﻣﻮﻧﻴﻚ ) :(GM-HM اﮔﺮ ، x1,..., x n > 0آنﮔﺎه )(٦
1
w1x1 +...+w n x n ≥ (x1w1 ...x wn n ) w1 +...+w n w1 +...+w n
ﺗﺴﺎوى ﺑﺮﻗﺮار اﺳﺖ اﮔﺮ و ﺗﻨﻬﺎ اﮔﺮ . x1 = x2 =... = x n
❐ ﺑﺎ ﻗﺮار دادن w1 =...= w n = 1در ﻧﺎﻣﺴﺎوى ) (٣دارﻳﻢ ﻧﺎﻣﺴﺎوى ﻣﻴﺎﻧﮕﻴﻦ ﺣﺴﺎﺑﻰ ـ ﻣﻴﺎﻧﮕﻴﻦ ﻫﻨﺪﺳﻰ ) :(AM-GM اﮔﺮ ، x1,..., x n ≥0آنﮔﺎه x1 +...+x n n ≥ x1...x n n
)(٤
ﻣﻴﺎﻧﮕﻴﻦ ﺗﻮاﻧﻰ وزندار ﻓﺮض ﻛﻨﻴﺪ x1, x2 ,..., x nو w1,..., w nاﻋﺪاد ﺣﻘﻴﻘﻰ ﻣﺜﺒﺖ ﺑﺎﺷﻨﺪ .در اﻳﻦﺻﻮرت ﺑﺮاى ﻫﺮ ﻋﺪد ﺣﻘﻴﻘﻰ ، t ≠ 0ﻣﻴﺎﻧﮕﻴﻦ ﺗﻮاﻧﻰ وزندار از ﻣﺮﺗﺒﻪى tرا ﺑﻪﺻﻮرت زﻳﺮ ﺗﻌﺮﻳ; ﻣﻰﻛﻨﻴﻢ: ٧
ﺗﺴﺎوى ﺑﺮﻗﺮار اﺳﺖ اﮔﺮ و ﺗﻨﻬﺎ اﮔﺮ . x1 =...= x n
1
)(٥
w1 +...+w n ≤ (x1w1 ...x wn n ) w1 +...+w n wn w1 +...+ x1 xn
ﺗﺴﺎوى ﺑﺮﻗﺮار اﺳﺖ اﮔﺮ و ﺗﻨﻬﺎ اﮔﺮ . x1 =...= x n اﺛﺒﺎت. راه اول .ﺑﻪﻃﻮر ﻣﺴﺘﻘﻴﻢ از ﻧﺎﻣﺴﺎوى ) (١ﺑﺎ ﺗﺎﺑﻊ اﻛﻴﺪاً ﻣﺤﺪب 1 x
f (x) = Lnروى )∞ (0,ﺑـﺎ اﻧــﺘــﺨــﺎب
wi w1 +... +w n
= λi
) ، (1≤ i ≤ nﻧﺎﻣﺴﺎوى ﻣﻮردﻧﻈﺮ ﺣﺎﺻﻞ ﻣﻰﺷﻮد. راه دوم .ﺑﺎ ﺟﺎىﮔﺬارى 1 ,..., 1در ﻧﺎﻣﺴﺎوى ) (٣ﺑﻪ ﺟﺎى x1
دورهى ﺑﻴﺴﺖ ﻫﻔﺘﻢ
ﺑﻬﺎرﺷﻤﺎره٨٩ى٤٨ ٣١٣
xn
1 w x t +... +w n x tn t ( 1 1 )
)(٧
ﻧﺎﻣﺴﺎوى ﻣﻴﺎﻧﮕﻴـﻦ ﻫـﻨـﺪﺳـﻰ ـ ﻣـﻴـﺎﻧـﮕـﻴـﻦ ﻫـﺎرﻣﻮﻧﻴـﻚ ٦ وزندار ﻓـﺮض ﻛﻨﻴـﺪ x1,..., x nو w1,..., w nاﻋﺪاد ﺣﻘﻴﻘـﻰ ﻣـﺜـﺒـﺖ ﺑﺎﺷﻨﺪ .در اﻳﻦﺻﻮرت؛
n ≤ n x1x2 ...x n 1 1 +...+ xn x1
w1 +... +w n
= ) M t (x1,..., x n
ﺑﻌﻀﻰ از ﻣﻴﺎﻧﮕﻴﻦﻫﺎى وزندار اﺳﺎﻣﻰ ﺧﺎص دارﻧﺪ: w1x1 +... +w n x n ● w1 +... +w n
= ) M1(x1,..., x nﻣﻴـﺎﻧـﮕـﻴـﻦ ﺣـﺴـﺎﺑـﻰ
وزندار(WHM) ٨ w +... +w n ● w +... + n x1 xn
M −1(x1,..., x n ) = w 1ﻣﻴﺎﻧـﮕـﻴـﻦ ﻫـﺎرﻣـﻮﻧـﻴـﻚ 1
وزندار(WHM) ٩ ●
w1x12 +... +w n x2n w1 +... +w n
= ) M2 (x1,..., x nﺟـﺬر ﻣـﻴـﺎﻧـﮕـﻴــﻦ
ﻣﺮﺑﻌﺎت وزندار )(WRMS ١٠
● اﮔـﺮ ﻗــﺮار دﻫـﻴــﻢ ) M t (x1,..., x n ، M0(x1,..., x n ) = lim t→0
آنﮔﺎه ﺑﺎ اﺳﺘﻔﺎده از ﺧﻮاص ﺗﺎﺑﻊ ﻟﮕﺎرﻳﺘﻢ و ﻗﺎﻋﺪهى ﻫﻮﭘﻴﺘﺎل دارﻳﻢ: w1x1t +... +w n x tn ) w1 +... +w n t
(Ln LnM0(x1,..., x n ) = lim
t→0
○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○
ﻫـ
○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○
w1x1t Lnx1 +... +w n x tn Lnx n w1 +... +w n = lim t→0 w1x1t +... +w n x tn w1 +... +w n 1
w Lnx1 +... +w n Lnx n = 1 = Ln(x1w1 ... x wn n ) w1+...+ wn w1 +... +w n 1 w1 w n w1 +...+ w n ) (x1 ... x n
= ) M0(x1,..., x nاﺳـﺖ از اﻳـﻦرو ﻛﻪ ﻣﻴﺎﻧﮕﻴﻦ ﻫﻨﺪﺳﻰ وزﻧﻰ (WAM) ١١ﻧﺎﻣﻴﺪه ﻣﻰﺷﻮد. ● اﮔـﺮ ﻗـﺮار دﻫـﻴــﻢ ) lim M t (x1,..., x n ∞→، M ∞ (x1,..., x n ) = t
ﻣﺮﺗﺒـﻪ tو M2 ، M −1 ، M1و M0را ﺑﻪ ﺗﺮﺗﻴﺐ ﻣﻴﺎﻧﮕﻴﻦ ﺣﺴـﺎﺑـﻰ ) ،(AMﻣﻴﺎﻧﮕﻴـﻦ ﻫـﺎرﻣﻮﻧﻴـﻚ ) ،(HMﺟﺬر ﻣﻴﺎﻧﮕﻴﻦ ﻣﺮﺑـﻌـﺎت ) (RMSو ﻣﻴﺎﻧﮕﻴﻦ ﻫﻨﺪﺳﻰ ) (EMﻣﻰﻧﺎﻣﻴﻢ. ﺣﺎل ﻣﻰﺧﻮاﻫﻴﻢ ارﺗﺒﺎط ﺑﻴﻦ ﻣﻴﺎﻧﮕﻴﻦﻫﺎى ﻛﻼﺳﻴﻚ را ﺑﻪدﺳﺖ ﻣﻰآورﻳﻢ. ﻧﺎﻣﺴﺎوى ﻣﻴﺎﻧﮕﻴﻦ ﺗﻮاﻧﻰ وزندار ﻓﺮض ﻛﻨﻴﺪ x n ,..., x2 , x1و w n ,..., w1اﻋﺪاد ﺣﻘﻴﻘﻰ ﻣﺜﺒﺖ ﺑﺎﺷﻨﺪ .در اﻳـﻦﺻـﻮرت اﮔﺮ sو tاﻋﺪاد ﺣﻘﻴﻘﻰ ﻣﺨﺎﻟـ; ﺻـﻔـﺮ ﺑﺎﺷﻨﺪ ،ﺑﻪﻃﻮرى ﻛﻪ ، s < tآنﮔﺎه
آنﮔﺎه،
)(٨ 1
w1x1t +... +w n x tn t ) w1 +... +w n
∞ t→ −
ﺑﺎ ﺗﻮﺟﻪ ﺑﻪ اﻳﻦﻛﻪ xi t ١ﻳﺎ ) = 0 xj
((1≤ i ≤ n) lim
ﻛﺎﻣﻼ ﻣﺤﺪب ً
(x tj [w1
= ) f (xدارﻳﻢ:
x1 x )+...+w n ( n ) t xj xj w1 +...+w n
t s s )
∞→t
(w1 ( = x j lim
≤
w1 +L+w n
∞→t
1
آنﮔﺎه ﻣﻰﺗﻮان ﺛﺎﺑﺖ ﻛﺮد } M − ∞ (x1,..., x n ) = min{x1,..., x n
ﺗﺒﺼﺮه .اﮔﺮ در ﺗﻌﺮﻳـ; ) (٧ﻗﺮار دﻫﻴﻢ ، w1 =... = w n = 1 آنﮔﺎه M t (x1,..., x n ) = ( x1 +... +x n ) tرا ﻣﻴﺎﻧﮕـﻴـﻦ ﺗـﻮاﻧﻰ از
1
ﺣﺎﻟـﺖ دوم .اﮔﺮ s < t < 0آنﮔـﺎه . 0< −t < −sﺣﺎل ﻃﺒـﻖ
∞t→−
n
+L+w n (x n w1 +L+w n
w x s +Lw n x n s s w x t +Lw n x n t t ( 1 1 ) ≤( 1 1 ) w1 +L+w n w1 +L+w n
ﺑﻪ ﻫﻤـﻴـﻦﺗـﺮﺗﻴـﺐ اﮔـﺮ ) ، M −∞ (x1,..., x n ) = lim M t (x1,..., x n
t
t w1(x1s ) s
t w x s +Lw n x n s s ( 1 1 )
از اﻳﻦرو
از اﻳﻦرو } . M ∞ (x1,..., x n ) = max{x1,..., x n
t
(f
ﻳﺎ
( M ∞ (x1,..., x n ) = lim
w1 +... +w n
1
t xs
= 1≤ i ≤ n λ iو ﺑﺎ ﺗﺎﺑﻊ
) w f (x s )+... +w n f (x sn w1x1s +... +w n x sn )≤ 1 1 w1 +... +w n w1 +... +w n
x1 t x ] ) +... +w n ( n ) t xj xj
1
wi n
ﻧﺎﻣﺴـﺎوى ) (١ﺑﺮاى x sn ,..., x1sو
دارﻳﻢ:
) t = xj
w1 +... +w n
≤
w1 +... +w n
اﺛﺒﺎت. ﺣﺎﻟـﺖ اول .اﮔﺮ 0< s < tﻳـﺎ s < 0< tآنﮔﺎه ﺑﺎ ﺑﻪﻛـﺎرﺑـﺮدن
( M ∞ = lim
ﺣﺎل وﺟﻮد دارد jاﻳﻰ ) (1≤ j ≤ nﻛﻪ } . x j = max{x1,..., x n
1 )t
1 w x t +... +w n x tn t ( 1 1 )
1 w x s +... +w n x sn s ( 1 1 )
ﺣﺎﻟﺖ اول ﺑﺮاى 1و 1و … و 1دارﻳﻢ: x1
1 s
−
x2
w ( 1 ) −s +L+w ( 1 ) −s n 1 x xn 1 ≤ w +L+w 1 n
xn
1 t
−
w ( 1 ) − t +L+w ( 1 ) − t n 1 x xn 1 w +L+w 1 n
○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○
٤٩
دورهى ﺑﻴﺴﺖ وﻫﻔﺘﻢ ﺷﻤﺎرهى٣ ﺑﻬﺎر ١٣٨٩
○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○
ﻳﺎ 1
1
w x t +Lw n x n t t w1x1s +Lw n x n s s ) ≤( 1 1 ) w1 +L+w n w1 +L+w n
(
ﺗﺒﺼـﺮه .ﺑﺎ ﺗﻮﺟﻪ ﺑﻪ ﻧﺎﻣﺴـﺎوىﻫﺎى ) (٣و ) (٥و ) (٨ﺑﻪوﺿـﻮح دﻧﺒﺎﻟﻪى ﻧﺎﻣﺴﺎوى ﻛﻼﺳﻴﻚ زﻳﺮ را دارﻳﻢ: 1
w +L+w n ≤ (x1w1Lx n wn ) w1+L+ wn min{x1,..., x n } ≤ 1 w1 wn +L+ x1 xn w1x12 +L+w n x2n } ≤ max{x1,K, x n w1 +L+w n
w1x1 +L+w n x n ≤ w1 +L+w n
ﻣﺜـﺎل .٢اﮔﺮ rﻳﻚ ﻋﺪد ﺣﻘﻴـﻘـﻰ و nﻳﻚ ﻋﺪد ﻃﺒﻴﻌﻰ ﺑـﺎﺷـﺪ، آنﮔﺎه (1r + 2r +L+n r ) n ≥ n n (n!) r
ﺣﻞ .ﺑﺎ اﺳﺘﻔﺎده از ﻧﺎﻣﺴﺎوى )) (٤ﻧﺎﻣﺴﺎوى (AM-GMدارﻳﻢ: 1r + 2r +L+n r n r r ≥ 1 .2 Ln r n
ﻳﺎ 1r + 2r +L+n r ≥ n n (n!) r
و از اﻳﻦرو ≤
ﻧﺘﻴﺠﻪ .اﮔﺮ (1≤ i ≤ n) x1 >0آنﮔﺎه 1
ﺣـﻞ .ﺑﺎ اﺳـﺘـﻔـﺎده از ﻧـﺎﻣـﺴـﺎوى ) (٣و اﻧﺘـﺨـﺎب ، w1 = α x1 = α ، w2 = βو x2 = βدر ﺣــﺎﻟــﺖ ، n=٢ﻧـﺎﻣــﺴــﺎوى ﺑﻪوﺿﻮح ﺑﺮﻗﺮار اﺳﺖ.
≤ } min{x1,..., x n
x12 +L+x2n } ≤ max{x1,K, x n n
)(١٠
a α b β ≤ αa + βb
≤
)(٩ اﮔﺮ در دﻧﺒﺎﻟﻪى ﻧﺎﻣﺴﺎوى ﺑﺎﻻ w1 = w2 =L= w n = 1ﻗﺮار دﻫﻴﻢ ،آنﮔﺎه x +L+x n n ≤ x1Lx n ≤ 1 1 1 n +L+ xn x1
ﻣﺜﺎلﻫﺎ ﻣﺜﺎل .١اﮔﺮ α,β > 0 ، α + β = 1و a, b ≥ 0آنﮔﺎه
1
2 ). (x1 +L+x n )( x +L+ x ) ≥ n (١١ 1 n
(1r + 2r +L+n r ) n ≥ n n (n!) r
ﻣﺜﺎل .٣اﮔﺮ a1a 2La n = 1آنﮔﺎه (1+ a1 )(1+ a 2 )L(1+ a n ) ≥ 2n
ﺣﻞ .ﺑﺎ اﺳﺘﻔﺎده از ﻧﺎﻣﺴﺎوى ) (٤دارﻳﻢ:
اﺛﺒﺎت .ﺑﺎ ﺗﻮﺟﻪ ﺑﻪ دﻧﺒﺎﻟﻪى ﻧﺎﻣﺴﺎوى )(١٠ﺑﻪوﺿﻮحﺑﺮﻗﺮاراﺳﺖ.
1+ a1 ≥ 2 a1 1+ a 2 ≥ 2 a 2
ﻧﻤﻮدار زﻳﺮ ،دﻧﺒﺎﻟﻪى ﻧﺎﻣﺴﺎوى ) (١٠را ﺑﺮاى ﺣﺎﻟﺖ n=٢ﻧﺸﺎن ﻣﻰدﻫﺪ.
M 1+ a n ≥ 2 a n
ﺣﺎل ﺑﺎ ﺿﺮب دو ﻃﺮف ﻧﺎﻣﺴﺎوى درﻫﻢ دارﻳﻢ: (1+ a1 )(1+ a 2 )L(1+ a n ) ≥ 2n a1a 2La n
ﺑﺎ ﺗﻮﺟﻪ ﺑﻪ اﻳﻦﻛﻪ a1a 2La n = 1ﻧﺎﻣﺴﺎوى ﺑﺮﻗﺮار اﺳﺖ. ﻣﺜﺎل .٤اﮔﺮ a, b, c, > 0آنﮔﺎه 1 1 1 9 + + ≥) a+b b+c a+c 2
HM ≤ GM ≤ AM ≤ RMS دورهى ﺑﻴﺴﺖ ﻫﻔﺘﻢ
ﺑﻬﺎرﺷﻤﺎره٨٩ى٥٠ ٣١٣
()(a + b + c
ﺣﻞ .ﺑﺎ اﻧﺘﺨﺎب x2 = b + c ، x1 = a + bو x 3 = a + cدر
○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○
○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○
:( دارﻳﻢ١١) ﻧﺎﻣﺴﺎوى
آنﮔﺎه،ﻫﺮ دو ﺗﺎى آنﻫﺎ ﺑﺰرگﺗﺮ از ﺳﻮﻣﻰ ﺑﺎﺷﺪ (1+
، x1 = 1+
[(a + b) + (b + c) + (a + c)](
b−c a c−a c a−b c ) (1+ ) (1+ ) ≤1 a b c
b−c a
2(a + b + c)(
( ﺑﺎ اﻧـﺘـﺨـﺎب٣) از ﻧﺎﻣـﺴـﺎوى:راﻫﻨـﻤـﺎﻳـﻰ
w 3 = c، w2 = b، w1 = a، x 3 = 1+
a−b c−a ، x2 = 1+ c b
.ﻛﻤﻚ ﺑﮕﻴﺮﻳﺪ aوb و…وa, b,..., L(n > 1)
ﻋﺪد ﻣﺜﺒـﺖn اﮔﺮ ﻣﺠـﻤـﻮع.٤ آن ﮔﺎه، ﻓﺮض ﺷﻮدs ﺑﺮاﺑﺮ ﺑﺎ
s s n2 s + +L+ ≥ s − L n −1 s−a s−b
1 1 1 + + )≥9 a+b b+c a+c
1 1 1 + + )≥9 a+b b+c a+c
و از اﻳﻦرو (a + b + c)(
1 1 1 + + )≥9 a+b b+c a+c
ﺛﺎﺑﺖ ﻛﻨﻴﺪx, y > 0 ( ﺑﺮاى ﻫﺮ١٩٩٥ )روﺳﻴﻪ.٥ﻣﺜﺎل y 1 x 2 + 4 2 ≤ xy y +x x +y 4
:( دارﻳﻢGM-HM ( )ﻧﺎﻣﺴﺎوى٦) ﺑﺎ اﺳﺘﻔﺎده از ﻧﺎﻣﺴﺎوى.ﺣﻞ
.( اﺳﺘﻔﺎده ﻛﻨﻴﺪ١١) از ﻧﺎﻣﺴﺎوى:راﻫﻨﻤﺎﻳﻰ
1 1 x x 1 x ≤ 2 = 1 4 . 2 = 1 2 x y 2xy x +y + x x x4 y2 4
: ﻧﺸﺎن دﻫﻴﺪa وb وc ﺑﺮاى اﻋﺪاد ﺣﻘﻴﻘﻰ ﻣﺜﺒﺖ.٥ (a 2b + b2c + c2a)(ab2 + bc2 + ca 2 ) ≥ 9a 2b2c2
.( اﺳﺘﻔﺎده ﻛﻨﻴﺪ٤) از ﻧﺎﻣﺴﺎوى:راﻫﻨﻤﺎﻳﻰ
1 1 y y 1 y ≤ 2 = 1 4 . 2 = 1 2 y x 2xy y +x + y y y4 x2 4
ﭘﻰ ﻧﻮﺷﺖ 1.Jensen Inequality 2. Weighted AM-GM Inequality 3. Weighted GM-HM Inequality 4.Weighted Power Mean 5.Weighted Arithmetic Mean 6.Weighted Harmonic Mean 7.weighted Root Mean Square 8.Weighted Geometric Mean
. ﻧﺎﻣﺴﺎوى ﻣﻮرد ﻧﻈﺮ ﺑﻪدﺳﺖ ﻣﻰآﻳﺪ،ﺣﺎل ﺑﺎ ﺟﻤﻊ دو ﻃﺮف ﻣﺴﺎﺋﻠﻰ ﺑﺮاى ﺣﻞ 1
ﻣﻨﺎﺑﻊ ، ﺗﺮﺟﻤﻪى دﻛﺘﺮ ﻋﻠﻰاﻛﺒﺮ ﻋﺎﻟـﻢ زاده، اﺻـﻮل آﻧﺎﻟﻴﺰ رﻳﺎﺿﻰ.( )ﺳﺎل اﺻﻞ اﺛﺮ، واﻟﺘﺮ، رودﻳﻦ.١ .١٢٦ ﺻﻔﺤﻪى،١٣٦٢ ،اﻧﺘﺸﺎرات ﻋﻠﻤﻰ و ﻓﻨﻰ 2. Hrimiuc Dragos, (2001). Inequalities for Convex Functions (Part I), " π in the Sky". PIMS 3. Kedlaya Kiran, A
٥١
1
آنﮔﺎهa, b ≥ 0 ، p, q > 0 ، p + q = 1 اﮔﺮ.١ ab ≤
a p bq + p q
. ﻣﺎﻧﻨﺪ ﻣﺜﺎل ﻳﻚ ﻋﻤﻞ ﻛﻨﻴﺪ:راﻫﻨﻤﺎﻳﻰ آنﮔﺎهa, b, c > 0 اﮔﺮ.٢ (a + b)(a + c)(c + a) ≥ 8abc
( اﺳﺘﻔـﺎدهAM-GM( )ﻧﺎﻣﺴـﺎوى٤) از ﻧـﺎﻣـﺴـﺎوى:راﻫﻨﻤﺎﻳﻰ .ﻛﻨﻴﺪ اﻋﺪاد ﻣﺜﺒﺘـﻰ ﺑـﺎﺷـﻨـﺪ ﺑـﻪﻃـﻮرىﻛﻪ ﻣـﺠـﻤـﻮعc وb وa اﮔـﺮ.٣
○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○
ﻣﺤﺴﻦ ﺗﻨﺪه ،ﻛﺎرﺷﻨﺎس ارﺷﺪ آﻣﻮزش رﻳﺎﺿﻰ
ا ﺳ ﺘ ﻔ ﺎ د ه ا ز ﻛ ﺘ ﺎ ب ﻛﻤﻚ آﻣﻮزﺷ ﻫﺎى ﻰ رﻳﺎﺿﻰ
ﻣﻘﺪﻣﻪ ﻳﻜﻰ از اﻫﺪاف اﺻﻠﻰ ﻛﺘﺎبﻫﺎى درﺳﻰ ،اﻧﺘﻘﺎل ﻣﻄﺎﻟﺐ ﻋﻠﻤﻰ روز ﺑﻪ داﻧﺶآﻣـﻮزان اﺳﺖ .اﻣﺎ ﻫﺪف ﺟﻨﺒﻰ دﻳﮕـﺮ اﻳـﻦ اﺳـﺖ ﺗـﺎ ﻟﺬت ﻛﺘﺎبﺧﻮاﻧﻰ را در ﻛﺎم داﻧﺶآﻣﻮزان ﺷﻴﺮﻳﻦ ﻛﻨﺪ و ﺧـﻮدﺷﺎن ﻛﻨﺠﻜﺎواﻧﻪ ﺑﻪ ﺳﺮاغ ﻛﺘﺎبﻫﺎى ﻋﻠﻤﻰ و ادﺑﻰ و ﻫﻨﺮى ﺑﺮوﻧﺪ و ﻋﻼوه ﺑﺮ ﺗﻜﻤﻴﻞ آﻣﻮزش ﻋﻠﻢ روز ،ﺑﻪ زﻳﻮر ادب و ﻫﻨﺮ ﻧﻴﺰ آراﺳﺘﻪ ﺷﻮﻧﺪ. اﻣﺎ در ﻧﻈﺎم آﻣـﻮزشوﭘﺮورش ،ﮔﺎﻫﻰ ﺟﺮﻳﺎﻧﻰ ﺟﺎﻳﮕـﺰﻳـﻦ اﻳـﻦ ﻫﺪف اﺻـﻠـﻰ ﻣـﻰﺷـﻮد ﻛـﻪ ﻧـﻪ ﺗـﻨـﻬـﺎ داﻧـﺶآﻣـﻮزان را ﺑﻪ ﻛـﺘـﺎب و ﻛﺘﺎبﺧﻮاﻧﻰ ﻧﺰدﻳﻚ ﻧﻤﻰﺳﺎزد ،ﺑﻠﻜﻪ ﺑﺎ اﺷﺘﺒﺎﻫﺎت ﺑﺮﺧﻰ از ﻣﻌﻠﻤﺎن و اوﻟﻴﺎ ،داﻧﺶآﻣﻮز از ﻛﺘﺎب و ﻣﻄﺎﻟﻌـﻪ ،ﺑـﻴـﺰار ﻫﻢ ﻣﻰﺷـﻮد و اﻳﻦ ﺗﻨﻔﺮ ﺗﺎ آنﺟﺎ اداﻣﻪ ﻣﻰﻳـﺎﺑـﺪ ﻛـﻪ ﺑـﺎ وﺟﻮد ﺣﻀﻮر در ﻣـﻌـﺮوفﺗﺮﻳـﻦ ﻣﺪارس ،داﻧﺶآﻣﻮز ﻧﻪ ﺗﻨﻬﺎ ﻧﺘﻴﺠﻪى دﻟﺨﻮاه اوﻟﻴﺎ در ﻛﺴﺐ رﺗﺒﻪﻫﺎى ﺑﺮﺗﺮ آزﻣﻮنﻫﺎى ورودى ﺑﻪ داﻧﺸﮕﺎهﻫـﺎ را ﺑﻪ دﺳﺖ ﻧﻤـﻰآورد ،ﺑﻠﻜﻪ ﮔﺎﻫﻰ رﺗﺒﻪى او از داﻧﺶآﻣﻮزان ﻣﻌﻤﻮﻟﻰ در ﻳﻚ ﻣﺪرﺳﻪى ﻣﺘـﻮﺳﻂ ﻫﻢ ﭘﺎﻳﻴﻦﺗﺮ ﻣﻰآﻳﺪ؛ ﭼﺮا ﻛﻪ ﭼﻨﻴﻦ داﻧﺶآﻣـﻮزى ،ﺣﺪاﻗﻞ در ﭼﻬﺎر دورهى ﺑﻴﺴﺖ ﻫﻔﺘﻢ
ﺑﻬﺎرﺷﻤﺎره٨٩ى٥٢ ٣١٣
آ ر ى ﻳ ﺎ ﻧ ﻪ؟
ﺳﺎل دورهى دﺑﻴﺮﺳﺘﺎن و ﭘﻴﺶداﻧﺸﮕﺎﻫﻰ و ﺳﻪ ﺳﺎل دورهى راﻫﻨﻤﺎﻳﻰ ﺗﺤﺼﻴﻠﻰ ،ﺗﺤﺖ ﻓﺸﺎر و ﺑﻤـﺒـﺎران ﻛﺘﺎبﻫﺎى ﻛﻤﻚآﻣـﻮزﺷﻰ ﻗﺮار داﺷﺘﻪ ﻛﻪ او را از ﻫﺪف اﺻﻠﻰ درس و ﻣﺪرﺳﻪ دور ﺳﺎﺧﺘﻪ اﺳﺖ. ﻓﺎ از ﻃﺮﻳﻖ ارزﻳﺎﺑﻰ دﻗﻴﻖ و اﻟﺒﺘﻪ ﺧﻮب ﻳﺎ ﺑﺪ اﻳﻦ ﻛﺘﺎبﻫﺎ ،ﺻﺮ ً ﻛﺎرﺷﻨﺎﺳﻰ ﺷﺪه اﻣﻜﺎنﭘﺬﻳﺮ اﺳﺖ .اﻣﺎ آنﭼﻪ واﻗﻌﻴﺖ دارد ،وﺟﻮد ﭘـﺮﺣﺠﻢ اﻳﻦ ﻛﺘﺎبﻫﺎ در ﻧﻈﺎم ﺗﻌـﻠـﻴـﻢ و ﺗـﺮﺑـﻴـﺖ ﻓـﻌـﻠـﻰ اﺳـﺖ؛ ﻛـﺘـﺎبﻫـﺎﻳـﻰ ﻛـﻪ ﺑـﺎ ﻃـﺮح ﺳـﺆاﻻت و ﺗـﺴـﺖﻫـﺎى ﻣـﺨـﺘـﻠــ;، داﻧﺶآﻣﻮزان را ﺑﻪ دﺳﺘﮕﺎهﻫﺎى زﻧﺪهى ﺗﺴﺖزن ﺗﺒﺪﻳﻞ ﻛﺮدهاﻧﺪ! اﻗﻌﺎ اﻳﻦ در ﭼﻨﻴﻦ ﺷـﺮاﻳﻄﻰ ،ﺳﺆال اﺳﺎﺳﻰ اﻳﻦ اﺳﺖ ﻛﻪ آﻳـﺎ و ً ﻛﺘﺎب ﻫﺎى ﻛﻤﻚدرﺳﻰ ﻣﻰﺗـﻮاﻧﻨﺪ ﺟﺎﻳﮕﺰﻳﻦ ﻛﺘﺎبﻫﺎى درﺳﻰ ﻳﺎ
ﻣﻜﻤﻞ آنﻫﺎ ﺷﻮﻧﺪ؟ آﻳﺎ ﻣﻌﻠﻢ ،داﻧﺶآﻣـﻮز و اوﻟﻴﺎ از ﺗﺄﺛﻴﺮ ﻣﻔﻴـﺪ و ﻣـﺆﺛـﺮ و ﻳـﺎ اﺣـﻴـﺎﻧـﺎً ﻣـﺨــﺮب اﻳـﻦ ﻛـﺘـﺎبﻫـﺎ آ ﮔـﺎه ﻫـﺴـﺘـﻨـﺪ؟ آﻳـﺎ آﻣﻮزشوﭘـﺮورش ﺑﻪ ﻋﻨﻮان ﻧﻬﺎد ﻣﺘـﻮﻟﻰ آﻣـﻮزش ،اﻳﻦ ﻛﺘﺎبﻫـﺎ را آﻓﺖزداﻳﻰ و آﺳﻴﺐﺷﻨﺎﺳـﻰ ﻛـﺮده اﺳﺖ؟ آﻳﺎ اﻳﻦ ﻛﺘﺎبﻫـﺎ ﺳـﺒـﺐ ﻧﻤﻰﺷﻮﻧﺪ ﻛﻪ داﻧﺶآﻣـﻮزان ﻧﻪ ﺗﻨﻬﺎ از ﻛﺘﺎبﻫﺎى ﻏﻴـﺮ درﺳﻰ ،ﻛﻪ ﺣﺘﻰ از ﻛﺘﺎبﻫﺎى درﺳﻰ ﻫﻢ ﻣﺘﻨﻔﺮ و ﻓﺮارى ﺷﻮﻧﺪ؟ در ﻛﻨﺎر آن ،اﻳﻦ ﺳـﺆال اﺳﺎﺳﻰ ﻫﻢ ﻣﻄـﺮح اﺳﺖ ﻛﻪ آﻳﺎ واﻗﻌـﺎً ﻓﻘﻂ ﻛﺘﺎبﻫﺎى درﺳﻰ وزارت آﻣﻮزشوﭘﺮورش ﺑﺎﻳﺪ ﻣﻼك آﻣﻮزش ﻋﻠﻢ و ﭘـﺮورش ﻓﻀﺎﺋﻞ اﺧﻼﻗﻰ ﺗﻠﻘـﻰ ﺷـﻮد؟ ﺑﻪﻋﻨﻮان ﻧﻤـﻮﻧﻪ ،آﻳﺎ ﻛﺘﺎب درﺳﻰ ﻛﺎﻣﭙﻴﻮﺗﺮ ﻣﻰﺗﻮاﻧﺪ ﺑﺎ اﻃﻼﻋﺎت ﺑﻪ روز ،داﻧﺶآﻣﻮز را در رﺷﺘﻪى ﻛﺎﻣـﭙـﻴـﻮﺗﺮ ،ﺑـﻪ ﻓـﺮدى ﻛـﺎرآﻣﺪ ﺗﺒـﺪﻳـﻞ ﺳـﺎزد؟ ﺷﻴـﻮهى ﻛﺸﻮرﻫﺎى ﺗﻮﺳﻌﻪ ﻳﺎﻓﺘﻪ در اﻳﻦ زﻣﻴﻨﻪ ﭼﻴﺴﺖ؟ آﻳﺎ ﻧﻤﻰﺗﻮان ﻫﻤﺎﻧﻨﺪ ﺑﺴﻴﺎرى از ﻛﺸﻮرﻫﺎ ،از ﻣﻨﺎﺑﻊ ﻣﺨﺘﻠ; و آزاد ﺑﺮاى ﻳﻚ درس اﺳﺘﻔﺎده ﻛﺮد و دﺳﺖ ﻣﻌﻠﻢ و داﻧﺶآﻣـﻮز را ﺑﺎ رﻋﺎﻳﺖ اﺳﺘﺎﻧـﺪاردﻫﺎى ﻣﻮرد ﺗﺄﻳﻴﺪ ﻧﻈﺎم آﻣﻮزش و ﭘﺮورش آزاد ﮔﺬاﺷﺖ؟ در اﻛﺜﺮ ﻧﻈﺎمﻫﺎى آﻣﻮزشوﭘﺮورش ﻣﻮﻓﻖ ،ﭼﻪ از ﻧﻮع ﻣﺘﻤﺮﻛﺰ آن ﻣﺜﻞ ژاﭘﻦ و ﭼﻪ از ﻧﻮع ﻏﻴـﺮﻣﺘﻤﺮﻛﺰ آن ﻣﺎﻧﻨﺪ ﻛﺎﻧﺎدا و اﺳﺘﺮاﻟﻴﺎ در دورهﻫﺎى ﻣﺨﺘﻠ; ﺗﺤﺼﻴﻠﻰ ،ﺳﻴﺎﺳﺖﻫﺎى آﻣﻮزﺷﻰ ،رﺋﻮس ﻣﻮاد و ﺳﺮﻓﺼﻞﻫﺎى ﺑـﺮﻧﺎﻣـﻪى درﺳﻰ و ﺳﻴﺎﺳﺖﻫﺎى ﻛﻠـﻰ ﺗـﺪرﻳـﺲ، ﺗﻮﺳﻂ ﺑﺨﺶﻫﺎى دوﻟﺘﻰ آﻣﻮزشوﭘﺮورش )اﻳﺎﻟﺘﻰ،ﻓﺪرال ،ﻣﻨﻄﻘﻪ ﻳﺎ ﻛﺸﻮر( ﺗﻬﻴﻪ و ﺗﻨﻈﻴﻢ و ﺑﻪ ﺟﺎﻣﻌﻪى آﻣﻮزﺷﻰ اﺑﻼغ ﻣﻰﺷﻮد .اﻣﺎ در ﻣﻜﺎنﻫﺎى ﮔﻮﻧﺎﮔﻮن آﻣﻮزﺷﻰ ﻣﺜﻞ ﻣﺪرﺳﻪ ،ﻧﺎﺣﻴﻪ ،ﻣﻨﻄﻘﻪﻫﺎى آﻣﻮزشوﭘـﺮورش؛ داﻧﺸﮕﺎهﻫﺎ و ﻣـﺆﺳﺴﺎت ﺗﺤﻘﻴﻘﺎت ﺗﺮﺑـﻴـﺘـﻰ، ﻧﺎﺷﺮان ﺧﺼﻮﺻﻰ و ﮔﺮوهﻫﺎى ﻣﺆﻟﻔﺎن ،دﺳﺖاﻧﺪرﻛﺎران ﻃﺮاﺣﻰ و ﺗﻮﻟﻴﺪ ﻛﺘﺎبﻫﺎى درﺳﻰ و آﻣﻮزﺷﻰ ﻫﺴﺘﻨﺪ ﻛﻪ ﺑﺎ داﺷﺘﻦ اﺳﺘﻘﻼل ﻧﺴﺒﻰ و اﻗﺘﺪار در زﻣﻴﻨﻪى ﻛﺎر ﺧﻮد و در ﻧﻈﺮ ﮔﺮﻓﺘﻦ ﭼﺎرﭼﻮبﻫﺎى ﺗﻌﻴﻴـﻦ ﺷـﺪه در ﺑـﺮﻧـﺎﻣـﻪ و رﺋﻮس ﺗﻌﻴﻴـﻦ ﺷـﺪه و ﻣـﺤـﺘـﻮاى دروس دورهﻫﺎى ﺗﺤﺼﻴﻠﻰ و از ﺟـﻤـﻠـﻪ دورهى ﻣﺘـﻮﺳﻄﻪ ،ﺑـﻪ ﻃـﺮاﺣﻰ، ﺗﺪوﻳـﻦ و ﺗـﻮﻟﻴـﺪ ﻛـﺘـﺎبﻫـﺎى آﻣـﻮزﺷﻰ ،ﺑـﺎ ﻃـﺮحﻫﺎى ﻣـﺘـﻔـﺎوت ﻣﻰﭘﺮدازﻧﺪ .اﻟﺒﺘﻪ اﻳﻦ ﻛﺘﺎبﻫﺎ ﻗﺒﻞ از ﭼﺎپ ﺳﭙـﺎرى )ﺑﻪﺧﺼﻮص در ﻣﻮرد ﻛﺘﺎبﻫﺎى درﺳﻰ( ﺑﺎﻳﺪ ﺑﻪ ﻧﻮﻋﻰ ﺑﺎ ﺗﻮﺟﻪ ﺑﻪ درﺟﻪى ﺗﻤﺮﻛﺰ ﻧﻈﺎم آﻣـﻮزﺷﻰ ،ﻣـﺮاﺣﻞ ﮔـﺮﻓﺘﻦ ﻣﺠﻮز و ﺗـﺄﻳـﻴـﺪﻳـﻪ را از ﻛﻤﻴـﺘـﻪى ﺗﺨﺼﺼﻰ و دﻓﺎﺗﺮ ﻣﺮﺑﻮﻃﻪ در ﺳﻄﺢ ﻣﺤﻠﻰ ،ﻣﻨﻄﻘﻪاى ﻳـﺎ وزارت آﻣﻮزشوﭘﺮورش ﻃﻰ ﻛﻨﻨﺪ ]ﺳﺮﻛﺎرآراﻧﻰ.[١٣٧٩ ، در اﻳﺮان ،ﻛﺘﺎبﻫﺎى درﺳﻰ ﺑﻪﺻـﻮرت ﻣﺘﻤﺮﻛﺰ و ﺗﻮﺳﻂ دﻓﺘﺮ ﺑﺮﻧﺎﻣﻪرﻳـﺰى و ﺗﺄﻟﻴ; ﻛﺘﺐ درﺳﻰ ﺗﻬﻴﻪ ﻣﻰﺷـﻮﻧﺪ .اﻣﺎ ﻛﺘﺎبﻫـﺎى ﻛﻤﻚ آﻣﻮزﺷﻰ ﺗﻮﺳﻂ ﻧﺎﺷﺮاﻧﻰ ﻛﻪ ﺑﻌﻀﻰ از آنﻫﺎ واﺑﺴﺘﻪ ﺑﻪ ﺑﺨﺶ
دوﻟﺘﻰ و ﺑﻌﻀﻰ ﺧﺼﻮﺻﻰ ﻫﺴﺘﻨﺪ ﭼﺎپ و اﻧﺘﺸﺎر ﻣﻰﻳﺎﺑﺪ و ﺗﻮﺳﻂ ﺑـﺨـﺶ دوﻟـﺘـﻰ ﺑـﺮ آنﻫـﺎ ﻧـﻈـﺎرت ﻋـﺎم )ﺗـﻮﺳـﻂ وزارت ارﺷﺎد ﻧـﻪ آﻣﻮزشوﭘﺮورش( اﻧﺠﺎم ﻣﻰﮔﻴﺮد.
اﻧﻮاع ﻛﺘﺎبﻫﺎى آﻣﻮزﺷﻰ ﻛﺘﺎبﻫﺎى ﻛﻤﻚآﻣﻮزﺷﻰ ﺑﻪﻃﻮر ﮔﺴﺘﺮدهاى در ﻧﻈﺎم آﻣﻮزﺷﻰ ﻓﻌﻠﻰ اﻳـﺮان ﻣـﻮرد اﺳﺘﻔﺎده ﻣﻰﺑﺎﺷـﺪ .از ﻃـﺮف دﻳﮕﺮ ،ﺟﺎﻣـﻌـﻪى آﻣﻮزش رﻳﺎﺿﻰ ﻛﺸﻮر ﻧﻴﺰ اﻫﺪاﻓﻰ را ﺑﺮاى آﻣﻮزش رﻳﺎﺿﻰ در ﻧﻈﺮ ﮔﺮﻓﺘﻪ اﺳﺖ ﻛﻪ ﺑﺮاى اﻃﻼع از اﻳﻦ اﻫﺪاف ،ﻣﻰﺗﻮان ﺑﻪ ﻛﺘﺎبﻫﺎى ﻣﻌـﻠـﻢ )راﻫﻨﻤﺎى ﺗﺪرﻳﺲ( ﻛﻪ ﺑـﻪﻃـﻮر ﺧـﻼﺻـﻪ اﻫـﺪاف آﻣـﻮزش رﻳﺎﺿﻰ را در ﻫﺮ ﭘﺎﻳﻪ ﻣﺸﺨﺺ ﻛﺮده اﺳﺖ ،ﻳﺎ ﺑﻪ ﺳﻨﺪﻫﺎى ﺑﺎﻻدﺳﺘﻰ ﻛﻪ ﺗﻮﺳﻂ دﻓﺘﺮ اﻧﺘﺸـﺎرات ﻛﻤﻚآﻣـﻮزﺷﻰ ﺗﻬﻴﻪ ﺷﺪه ،ﻣﺮاﺟﻌﻪ ﻛـﺮد )ﺣﺎﺟﻴﺎنزاده. (١٣٧٩ ، دﻓﺘﺮ اﻧﺘﺸﺎرات ﻛﻤﻚآﻣﻮزﺷﻰ ،اﻧﻮاع ﻛﺘﺎبﻫﺎى آﻣﻮزﺷﻰ را ﺑﻪ ﺷﺶ دﺳﺘﻪ ﺗﻘﺴﻴﻢﺑﻨﺪى ﻛﺮده و ﺑﺮاى ﻫﺮ ﻛﺪام ﺗﻌﺮﻳﻔﻰ داده اﺳـﺖ ﻛﻪ در اﻳﻦﺟﺎ ﻣﻰآورﻳﻢ: اﻟ (2ﻛﺘﺎبﻫﺎى داﻧﺶاﻓﺰاﻳﻰ دﺑﻴﺮان ﻛﺘﺎبﻫﺎﻳﻰ ﻫﺴﺘﻨﺪ ﻛﻪ ﺑﻪ اﻓﺰاﻳﺶ و ارﺗﻘﺎى داﻧﺶ ﭘﺎﻳﻪى رﻳﺎﺿﻰ ﻳﺎ ﺗـﻮﺳﻌﻪى ﺗـﻮاﻧﺎﻳﻰﻫـﺎى ﺣـﺮﻓﻪاى آنﻫـﺎ در زﻣﻴﻨـﻪى روشﻫـﺎى ﺗﺪرﻳﺲ ،ﻳﺎدﮔﻴﺮى و آﻣﻮزش رﻳﺎﺿﻰ ﻣﻰﭘﺮدازﻧﺪ. از آنﺟﺎ ﻛﻪ در دورهى ﻣﺘﻮﺳﻄﻪ ،درسﻫﺎى رﻳﺎﺿﻰ ﺗﺎ ﺣـﺪود زﻳﺎدى ﺗﺨﺼﺼﻰ ﻣﻰﺷﻮﻧﺪ )ﺟﺒﺮ ،ﻫﻨﺪﺳﻪ ،ﻫﻨﺪﺳﻪ ﺗﺤﻠﻴﻠﻰ ،آﻣﺎر و اﺣﺘﻤﺎل ،ﺣﺴﺎﺑﺎن و رﻳﺎﺿﻴﺎت ﮔﺴﺴﺘﻪ( ،ارﺗﻘﺎى ﺗـﻮاﻧﺎﻳﻰﻫﺎ در زﻣﻴﻨﻪى داﻧـﺶ ﻣـﻮﺿﻮﻋﻰ رﻳﺎﺿﻰ ،از ﻧـﻴـﺎزﻫﺎى ﺿـﺮورى دﺑﻴـﺮان رﻳﺎﺿﻰ ﺑﺮاى آﻣﻮزش ﻣﻄﻠﻮبﺗﺮ اﺳﺖ .از ﻃﺮف دﻳﮕﺮ ،ﻳﻚ دﺑﻴﺮ ﺑﺮاى ﻣﻮﻓﻘﻴﺖ در ﺗﺪرﻳﺲ و آﻣـﻮزش ،ﺑﺎﻳﺪ داﻧﺶ ﺣـﺮﻓﻪاى ﺧﻮد را در زﻣﻴﻨﻪﻫﺎﻳﻰ ﻣﺜـﻞ روانﺷﻨﺎﺳﻰ ﻳﺎدﮔـﻴـﺮى ،ﺑﺮﻧﺎﻣﻪرﻳﺰى درﺳﻰ، ﺷـﻴـﻮهﻫـﺎى ارزﺷﻴـﺎﺑـﻰ و ﻧـﻈـﺎﻳـﺮ آن اﻓـﺰاﻳﺶ دﻫـﺪ .ﻛـﺘـﺎبﻫـﺎى داﻧﺶاﻓﺰاﻳﻰ دﺑﻴﺮان رﻳﺎﺿﻰ دورهى ﻣﺘﻮﺳﻄﻪ ،ﺑﺮاى ﭘﺎﺳﺦﮔﻮﻳﻰ ﺑﻪ اﻳﻦ دو ﻧﻴﺎز دﺑﻴﺮان ﺗﻮﻟﻴﺪ ﻣﻰﺷﻮﻧﺪ. ب( ﻛﺘﺎبﻫﺎى ﺟﻨﺒﻰ و ﺳﺮﮔﺮﻣﻰ ﻛﺘﺎبﻫﺎﻳﻰ ﻫﺴﺘﻨﺪ ﻛﻪ ﺷﮕﻔﺘﻰﻫﺎ و زﻳﺒﺎﻳﻰﻫﺎى رﻳﺎﺿـﻴـﺎت را ﻗﺎﺑﻞ ﻣﺸﺎﻫﺪه ﻣﻰﻛﻨﻨﺪ ،داﻧـﺶآﻣـﻮزان را ﺑﺎ ﺟﻨﺒﻪﻫﺎى ﻣﺘـﻔـﺎوت و ﻣﺨﺘﻠ; رﻳﺎﺿﻰ ـ ﻛﻪ در ﺑﺮﻧﺎﻣﻪى درﺳﻰ ﻓﺮﺻﺖﻫﺎى ﻛﻤﺘﺮى ﺑﺮاى ﺑﺮوز و ﻇﻬﻮر داﺷﺘﻪاﻧﺪ ـ آﺷﻨﺎ ﻣﻰﺳﺎزﻧﺪ و ﺗﺎرﻳﺦ ﻛﺸ; ،ﺑﺴﻂ و ٥٣
دورهى ﺑﻴﺴﺖ وﻫﻔﺘﻢ ﺷﻤﺎرهى٣ ﺑﻬﺎر ١٣٨٩
ﻳـﻜـﻰ از اﻫـﺪاف »ﻃـﺮح ﺳـﺎﻣـﺎنﺑـﺨـﺸـﻰ ﻛﺘﺎبﻫﺎى آﻣـﻮزﺷﻰ« ،ﺗﺸﻮﻳـﻖ ﻣـﺆﻟﻔﺎن و ﻧـﺎﺷـﺮان ﺑـﻪ ﺗـﻮﻟﻴـﺪ ﻛـﺘـﺎبﻫـﺎى آﻣـﻮزﺷـﻰ ﻣﻄﻠـﻮب و ﻣﻨﻄﺒﻖ ﺑـﺎ ﻣـﻌـﻴـﺎرﻫﺎﻳﻰ ﻋﻠـﻤـﻰ و ﺗﺮﺑﻴﺘﻰ اﺳﺖ
ﮔﺴﺘﺮش ﻣﻔﺎﻫﻴﻢ ﮔـﻮﻧﺎﮔﻮن رﻳﺎﺿﻰ را ﺑﺎ آﻧﺎن در ﻣﻴﺎن ﻣﻰﮔـﺬارﻧﺪ. اﻳﻦ ﻧﻮع ﻛﺘﺎبﻫﺎ ﺑﻪﻃﻮر ﻣﻌﻤﻮل ﻣﺴﺘﻘﻞ از ﻛﺘﺎبﻫﺎى درﺳﻰ ﻫﺴﺘﻨﺪ و در ﺻﻮرت ﺗﻐﻴﻴﺮ ﻣﺤﺘـﻮاى ﺑـﺮﻧﺎﻣﻪى درﺳﻰ ،ﻣﻮﺟـﻮدﻳﺖ ﺧﻮد را ﺣﻔﻆ ﻣﻰﻛﻨﻨﺪ و ﻛﻤﺘﺮ دﺳﺖﺧﻮش ﺗﻐﻴﻴﺮ ﻣﻰﺷﻮﻧﺪ. پ( ﻛﺘﺎبﻫﺎى ﺳﻨﺠﺶ و ارزﺷﻴﺎﺑﻰ ﭘﻴﺸﺮﻓﺖ ﺗﺤﺼﻴﻠﻰ ﻛﺘﺎبﻫﺎﻳﻰ ﻫﺴﺘﻨﺪ ﻛﻪ ﺑﻪﻣﻨﻈـﻮر آﺷـﻨـﺎ ﻛـﺮدن داﻧﺶآﻣـﻮزان ﺑﺎ ارزﺷﻴﺎﺑﻰﻫﺎى ﭘﺎﻳﺎﻧﻰ از ﺟﻤـﻠـﻪ آزﻣﻮنﻫﺎى ورود ﺑﻪ داﻧﺸﮕﺎهﻫـﺎ و آﻣﺎده ﻛﺮدن آﻧﺎن ﺑﺮاى ﺷﺮﻛﺖ در ﭼﻨﻴﻦ آزﻣﻮنﻫﺎﻳﻰ ﺗﻮﻟﻴﺪ ﻣﻰﺷﻮﻧﺪ. اﻳﻦ ﻛﺘﺎبﻫﺎ در ﭼﺎرﭼﻮب ﺑﺮﻧﺎﻣﻪى درﺳﻰ ﻣﺼﻮب ،ﺑﺮاى ﻳﻚ دوره ﻳﺎ ﻳـﻚ واﺣﺪ درﺳﻰ ،ﺑﻪ ﻣـﻨـﻈـﻮر ارزﺷﻴﺎﺑﻰ ﭘﻴـﺸـﺮﻓﺖ ﺗﺤﺼـﻴـﻠـﻰ داﻧﺶآﻣﻮزان ﻣﻨﺘﺸﺮ ﻣﻰﺷﻮﻧﺪ. ت( ﻛﺘﺎبﻫﺎى ﻛﻤﻚدرﺳﻰ ﻛﺘﺎبﻫﺎﻳـﻰ ﻛـﻪ در ﭼـﺎرﭼـﻮب ﺑﺮﻧﺎﻣـﻪى درﺳﻰ ﻣـﺼـﻮب ،ﺑـﻪ ﺗﻜﻤﻴﻞ ،ﺗﻌﻤﻴﻖ و ﺗﻮﺳﻌﻪى آﻣﻮزش ﻣﺤﺘﻮاى ﻣﻮرد ﻧﻈﺮ ﻣﻰﭘﺮدازﻧﺪ و ﻛﺎﺳﺘﻰﻫﺎ و ﻛﻤﺒﻮدﻫﺎى ﻛﺘﺎب درﺳﻰ را رﻓﻊ ﻣﻰﻛﻨﻨﺪ و ﺑﻪ ﺗﻔﺼﻴﻞ ﺗﻮﺿﻴﺢ ﻣﻰدﻫﻨﺪ .ﻫﻢﭼﻨـﻴـﻦ ،ﻓـﺮﺻﺖﻫﺎى ﺗﺎزهاى ﺑﺮاى ﺗﻤﺮﻳـﻦ ﻓﺮاﻫﻢ ﻣﻰآورﻧﺪ .ﻗﺎﻟﺐ اﺻﻠﻰ اﻳﻦ ﻧـﻮع ﻛﺘﺎبﻫﺎ را ﺑﺨﺶ آﻣﻮزش ﺗﺸﻜﻴﻞ ﻣﻰدﻫﺪ .اﻳﻦ ﻛﺘﺎبﻫﺎ ﻛﻪ ﺑﺮاى ﻳﻚ ﻣﻮﺿﻮع و ﻳﺎ ﻳﻚ واﺣﺪ درﺳﻰ ﻣﻌﻴﻦ ﻣﻨﺘﺸﺮ ﻣـﻰﺷـﻮﻧﺪ ،اﺑﺘﺪا ﺑﻪ ﺷـﺮح ،ﺑﺴﻂ ،ﺗـﻮﺿﻴﺢ و آﻣﻮزش ﻣﻔﺎﻫﻴﻢ و ﻣﺤﺘـﻮاى ﻣﻮرد ﻧﻈﺮ ﻣﻰﭘﺮدازﻧﺪ و ﺳﭙﺲ ،ﻧﻤـﻮﻧﻪ ﺳﺆالﻫﺎ و ﺗﻤﺮﻳﻦﻫﺎ ،،ﻣﺜﺎلﻫﺎى ﺣﻞ ﺷﺪه و ﻣﻄﺎﻟﺐ ﺟﻨﺒﻰ را ذﻛﺮ ﻣﻰﻛﻨﻨﺪ .در ﻫﺮ ﺻﻮرت ،ﺳﺎﺧﺘﺎر ﻏﺎﻟﺐ ﻛﺘﺎبﻫﺎى ﻛﻤﻚ درﺳﻰ را ﻣﺤﺘﻮاى ﻛﺘﺎبﻫﺎى درﺳﻰ ﺷﻜﻞ ﻣﻰد ﻫﻨﺪ. ث( ﻛﺘﺎبﻫﺎى داﻧﺶاﻓﺰاﻳﻰ داﻧﺶآﻣﻮزان ﻛﺘﺎبﻫﺎﻳﻰ ﻫﺴﺘﻨﺪ ﻛﻪ ﺑـﻪ ﻣـﻨـﻈـﻮر اراﺋﻪى ﻣﻄﺎﻟﺐ و ﻣﻔﺎﻫـﻴـﻢ دورهى ﺑﻴﺴﺖ ﻫﻔﺘﻢ
ﺑﻬﺎرﺷﻤﺎره٨٩ى٥٤ ٣١٣
رﻳﺎﺿﻰ ـ ﻛﻪ در ﺑﺮﻧﺎﻣﻪى ﻣﺼﻮب درﺳﻰ ﺑﻪ آنﻫﺎ ﻛﻤﺘﺮ ﭘﺮداﺧﺘﻪ ﺷﺪه اﺳﺖ ﻳﺎ ﺑﻪﻃﻮر ﻛﻠﻰ در ﺑـﺮﻧﺎﻣﻪى درﺳﻰ ﻣﺼﻮب وﺟﻮد ﻧﺪارﻧﺪ ـ ﺑﻪ داﻧﺶآﻣﻮزان ﻣﺴﺘﻌﺪ و ﻋﻼﻗﻪﻣﻨﺪ ،ﺗﻬـﻴـﻪ و ﺗـﻮﻟﻴﺪ ﻣﻰﺷـﻮﻧﺪ .اﻳﻦ ﻛﺘﺎبﻫﺎ ﻓﺎرغ از ﺑﺮﻧﺎﻣﻪى درﺳﻰ ،آﻣﻮزشﻫﺎى رﺳﻤﻰ ،اﻣﺘﺤﺎﻧﺎت و آزﻣﻮنﻫﺎى ﭘﺎﻳﺎﻧﻰ و ﻛﻨﻜﻮر ،ﺑﻪ ﻃﺮح ﻣﻄﺎﻟﺐ رﻳﺎﺿﻰ ﻣﻰﭘﺮدازﻧﺪ و ﺧﻮاﻧﺪن آنﻫﺎ ﺑـﻪ درك ﺑﻬﺘﺮ و ﻋﻤﻴﻖﺗﺮ ﻣﻄﺎﻟـﺐ ﺑـﺮﻧﺎﻣﻪى درﺳﻰ ﻛﻤﻚ ﻣﻰﻛﻨﺪ. ج( ﻛﺘﺎبﻫﺎى داﻳﺮةاﻟﻤﻌﺎرف و ﻓﺮﻫﻨﮓ ﻛﺘﺎبﻫﺎﻳﻰ ﻫﺴﺘﻨﺪ ﻛﻪ ﺟﻨﺒﻪى ﻣﺮﺟﻊ دارﻧﺪ و در ﭼﺎرﭼﻮب ﺑﺮﻧﺎﻣﻪى درﺳﻰ ،ﺑـﻪ اراﺋﻪى اﻃﻼﻋﺎت و داﻧﺶﻫـﺎى ﻣـﻮرد ﻧﻴﺎز داﻧﺶآﻣـﻮزان ﺑﻪﺻـﻮرت ﻃﺒﻘﻪﺑﻨﺪى ﺷـﺪه ﻣـﻰﭘـﺮدازﻧﺪ .اﻳﻦ آﺛﺎر ،ﻣﻨـﺒـﻊ و ﻣـﺮﺟـﻊ داﻧﺶآﻣـﻮزان و دﺑﻴـﺮان ﺑﺮاى دﺳﺖﻳﺎﺑﻰ ﺑﻪ ﺗﻌـﺮﻳـ;ﻫـﺎ ،اﻃـﻼﻋـﺎت ﻓـﺮﻫﻨـﮓ و داﻳـﺮةاﻟﻤـﻌـﺎرﻓـﻰ ،ﻓـﺮﻣـﻮلﻫـﺎ و رواﺑﻂ ،زﻧﺪﮔـﻰﻧـﺎﻣـﻪى داﻧﺸﻤﻨﺪان و ﻣﺎﻧﻨﺪ اﻳﻦﻫﺎ در ﺣﻮزهى داﻧﺶ رﻳﺎﺿﻰ ﻫﺴﺘﻨﺪ. ﺳﺎﻣﺎﻧﻪ ﺑﺨﺶ ﻛﺘﺎبﻫﺎى آﻣﻮزﺷﻰ وﺿﻌﻴﺖ ﻧﺸﺮ ﻛﺘﺎبﻫﺎى آﻣﻮزﺷﻰ ﺗﺎ ﭘﻴﺶ از ﺳﺎل ،١٣٧٨ﺑﻪ ﻟﺤﺎظ ﻋﺪم ﺗﻮﺟﻪ ﺑﻪ اﺻﻮل ﻋﻠﻤﻰ و آﻣﻮزﺷﻰ در ﺗﺄﻟﻴ; و ﭼﺎپ اﻳﻦ
ﻛﺘﺎبﻫﺎى آﻣﻮزﺷﻰ؛ ﻧﻮع ﻛﺘﺎبﻫﺎ و ﻫﻢﺳﻮﻳﻰ ﻧﺎﭼﻴـﺰ ﺑـﺎ ﻫـﺪفﻫـﺎى ﺑﺮﻧﺎﻣـﻪ درﺳﻰ ،ﻣﻮﺟﺐ ﺑﺮوز اﻧﺘﻘﺎداﺗﻰ از ﺳـﻮى در اﻛــﺜـــﺮ ﻧـــﻈـــﺎمﻫـــﺎى .٥ﺷﻨﺎﺧﺖ ﻣﺸﻜﻼت و ﺗﺒـﻴـﻴـﻦ راﻫﺒﺮدﻫﺎﻳـﻰ رﺳﺎﻧﻪﻫـﺎى ﺟـﻤـﻌـﻰ ،ﻣـﺪﻳـﺮان ،ﻣﺘﺨـﺼـﺼـﺎن آﻣـــﻮزش و ﭘـــﺮورﺷــﺶ ﺑﺮاى اﻧﺘﺸﺎر ﻛﺘﺎبﻫﺎى آﻣﻮزﺷﻰ؛ آﻣـﻮزﺷـﻰ و ﻣـﻌـﻠـﻤـﺎن ﺷـﺪ .اﻳــﻦ ﻣــﻄــﻠــﺐ ،ﻣـﻮﻓـﻖ ،ﺳـﻴـﺎﺳــﺖﻫــﺎى .٦ﭘـﺸـﺘـﻴـﺒــﺎﻧــﻰ و ﺗــﺸــﻮﻳــﻖ آن دﺳــﺘــﻪ از ﻋﻼﻗـﻪﻣـﻨـﺪان و دﻟـﺴـﻮزان آﻣﻮزشوﭘـﺮورش را آﻣــــﻮزﺷــــﻰ ﺗـــــﻮﺳـــــﻂ ﭘﺪﻳﺪآورﻧﺪﮔﺎن ﻛﺘﺎبﻫﺎى آﻣـﻮزﺷﻰ ﻛﻪ در راﺳﺘﺎى واداﺷﺖ ﻛﻪ از »ﺳﺎزﻣﺎن ﭘـﮋوﻫﺶ و ﺑﺮﻧﺎﻣﻪرﻳـﺰى ﺑﺨﺶﻫﺎى دوﻟﺘﻰ ﺗﻬﻴﻪ و ﺗﺤﻘﻖ ﻫﺪفﻫﺎى ﺑـﺮﻧﺎﻣﻪﻫﺎى آﻣـﻮزﺷﻰ ﺑﻴﺶﺗﺮﻳﻦ آﻣﻮزﺷﻰ« ﺑﺨـﻮاﻫﻨﺪ در اﻳـﻦ زﻣﻴﻨﻪ ﭼـﺎرهاﻧﺪﻳﺸـﻰ ﺗـﻨـﻈـﻴـﻢ و ﺑـﻪ ﺟـﺎﻣـﻌـﻪى ﻧﻘﺶ را داﺷﺘﻪاﻧﺪ. ﻛﻨﺪ .ﺳـﺎزﻣﺎن ﭘـﮋوﻫﺶ ﻧﻴﺰ ﺑـﺎ ﺗـﻮﺟﻪ ﺑﻪ رﺳﺎﻟـﺖ آﻣﻮزﺷﻰ اﺑﻼغ ﻣﻰﺷﻮد ﺑﺎ ﺗـﻮﺟﻪ ﺑﻪ اﻳﻦ اﻫﺪاف ،ﺟﺎﻳﮕﺎه ﻛـﺘـﺎبﻫـﺎى ﻛﻤـﻚآﻣـﻮزﺷﻰ ﺷـﺎﻣـﻞ ﻛـﺘـﺎبﻫـﺎى ﺳـﻨـﺠـﺶ و ﺧﻄﻴﺮ ﺧـﻮد در ﻫﺪاﻳﺖ و ﺳﻤﺖدﻫﻰ ﺑـﺎزار ﻧﺸﺮ ارزﺷﻴـﺎﺑـﻰ ﭘـﻴـﺸـﺮﻓﺖ ﺗﺤـﺼـﻴـﻠـﻰ و ﻛـﺘـﺎبﻫـﺎى ﻛﺘـﺎبﻫـﺎى آﻣـﻮزﺷﻰ ،ﺗﺼـﻤـﻴـﻢ ﮔـﺮﻓـﺖ ﻃـﺮح ﺳﺎﻣﺎنﺑﺨﺸﻰ ﻛﺘﺎبﻫﺎى آﻣـﻮزﺷﻰ را ﺑﻪ اﺟﺮا در آورد.در ﻧﺘﻴﺠﻪ ،ﻛﻤﻚدرﺳﻰ ﻣﻮرد ﺑﺮرﺳﻰ ﻗﺮار ﮔﺮﻓﺖ. اﻳـﻦ ﺑـﺮرﺳﻰ ﻧـﺸـﺎن داد ﻛـﻪ ﻫـﺮ دوى ﻛـﺘـﺎبدرﺳـﻰ و ﻛـﺘـﺎب »ﻃﺮح ﺳﺎﻣﺎنﺑﺨﺸﻰ ﻛـﺘـﺎبﻫـﺎى آﻣـﻮزﺷﻰ« از ﺳـﺎل ١٣٧٨و ﺑﺎ ﻛﻤﻚآﻣﻮزﺷﻰ ،ﺟﺎﻳﮕﺎه و ﻧﻘﺶ ﺑﺎﻻﻳﻰ در ﻓﺮاﻳﻨﺪ آﻣﻮزش ﻣﺪرﺳﻪاى ﻫﺪف دﺳﺖﻳﺎﺑﻰ ﺑﻪ ﻣﻘﺎﺻﺪ زﻳﺮ ﺑﻪ اﺟﺮا ﮔﺬاﺷﺘﻪ ﺷﺪ: .١ﻫﺪاﻳﺖ ﻧﺎﺷﺮان و ﺗﻮﻟﻴﺪ ﻛﻨﻨﺪﮔﺎن ﻛﺘﺎبﻫﺎى آﻣﻮزﺷﻰ ﻣﻮرد در اﻳﺮان دارﻧﺪ. اﻳﻦ ﻛﺘﺎبﻫﺎ ﺑـﻪ وﻓﻮر در آﻣـﻮزش ﻣﺪرﺳـﻪاى وﺟﻮد دارﻧﺪ و ﺑﺎ ﻧﻴﺎز ﻣﻌﻠﻤﺎن و داﻧـﺶآﻣـﻮزان ،ﺑﻪ ﺳﻤﺖ ﺗﻮﻟﻴﺪ و ﻧﺸﺮ ﻛﺘـﺎبﻫـﺎى ﻛﻤﻚآﻣـﻮزﺷﻰ و ﻛـﻤـﻚدرﺳﻰ ﻣﻨﺎﺳﺐ و ﻣﻨﻄﺒـﻖ ﺑـﺎ ﻣـﻌـﻴـﺎرﻫـﺎ و وﺟﻮد ﺑﺴﻴﺎرى از ﺗﺼﻮراﺗﻰ ﻛﻪ ﻛﺘﺎبﻫﺎى ﻛﻤﻚآﻣﻮزﺷﻰ را در ﻓﺮاﻳﻨﺪ آﻣﻮزش رﻳﺎﺿﻰ ـ آنﮔﻮﻧﻪ ﻛﻪ ﻣـﻮرد اﺳﺘﻔﺎده ﻗﺮار ﻣﻰﮔﻴﺮد ـ ﻣﺆﺛـﺮ و اﺳﺘﺎﻧﺪاردﻫﺎى آﻣﻮزﺷﻰ؛ .٢ﺗﺸﻮﻳﻖ ﻣـﺆﻟﻔﺎن و ﻧـﺎﺷـﺮان ﺑﻪ ﺗـﻮﻟﻴﺪ ﻛﺘﺎبﻫـﺎى آﻣـﻮزﺷﻰ ﻣﻔﻴﺪ ﻓﺎﻳﺪه ﻧﻤﻰداﻧﻨﺪ ،ﺑﺎز ﻫﻢ ﺑﻌﻀﻰ از ﻣﻌﻠﻤـﺎن ﻣـﻌـﺘـﻘـﺪﻧـﺪ ﻛـﻪ ﻛﺘﺎبﻫﺎى ﻛﻤﻚآﻣﻮزﺷﻰ ،ﺗﺄﺛﻴﺮ زﻳﺎدى در ﺑﻬﺒﻮد وﺿﻌﻴﺖ آﻣﻮزش ﻣﻄﻠﻮب و ﻣﻨﻄﺒﻖ ﺑﺎ ﻣﻌﻴﺎرﻫﺎى ﻋﻠﻤﻰ و ﺗﺮﺑﻴﺘﻰ؛ رﻳﺎﺿﻰ ﻣـﺪرﺳـﻪاى دارﻧﺪ و اﻳﻦ ﺗﺼـﻮرات ،اﻳﻦ ﺳـﺆال را ﺑﻪ ذﻫـﻦ .٣ﺷﻨﺎﺳﺎﻳﻰ و ﻣﻌﺮﻓﻰ آﺛﺎر ﺑﺮﺗﺮ. ﻳﻜﻰ از ﻓﻌﺎﻟﻴﺖﻫﺎى ﻣﻬﻤﻰ ﻛﻪ در راﺳﺘﺎى »ﻃﺮح ﺳﺎﻣﺎنﺑﺨﺸﻰ ﻣـﻰآورد ﻛﻪ ﺑـﺎ اﻳـﻦ اوﺻﺎف ،ﺟﺎﻳـﮕـﺎه ﻛـﺘـﺎب درﺳﻰ در آﻣـﻮزش ﻛـﺘـﺎبﻫـﺎى آﻣـﻮزﺷﻰ« اﻧـﺠـﺎم ﮔـﺮﻓـﺘـﻪ اﺳـﺖ ،ﺑـﺮﮔـﺰارى ﻫـﻔـﺖ ﻣﺪرﺳﻪاى ﻛﺠﺎ ﻗﺮار دارد؟ و ﺑﺎ ﺗﻮﺟﻪ ﺑﻪ اﻳﻦﻛﻪ ﻣﺠﻮز اﻛﺜﺮ ﻛﺘﺎبﻫﺎى ﺟﺸﻨـﻮارهى ﻛﺘﺎبﻫـﺎى آﻣـﻮزﺷﻰ ﺑﻪ ﺗـﺮﺗﻴﺐ در ﺳﺎلﻫـﺎى ١٣٧٩ﻛﻤﻚآﻣﻮزﺷﻰ از ﺳﻮى ﻣﺮاﻛﺰ ﻣﺮﺗﺒﻂ وزارت آﻣﻮزشوﭘﺮورش ﺻﺎدر )دورهى اﺑﺘﺪاﻳﻰ() ١٣٨٠ ،دورهى راﻫﻨﻤﺎﻳﻰ() ١٣٨١ ،دورهى ﻣﻰﺷﻮد ،آﻳﺎ اﻳﻦ ﺑﻪ ﻣـﻨـﺰﻟﻪى ﺧﻔﻴ; ﻛـﺮدن ﻧﻘﺶ ﻛﺘﺎب درﺳـﻰ در ﻣﺘـﻮﺳﻄﻪ ﻧﻈـﺮى و ﻓﻨـﻰ و ﺣـﺮﻓﻪاى() ١٣٨٣ ،دورهﻫﺎى آﻣـﻮزش ﻓﺮاﻳﻨﺪ آﻣﻮزش ﻣﺪرﺳﻪاى ﺗﻮﺳﻂ ﺧﻮد آﻣﻮزشوﭘﺮورش ﻧﻴﺴﺖ؟ اﺑﺘﺪاﻳﻰ و راﻫﻨﻤﺎﻳـﻰ() ١٣٨٤ ،دورهى آﻣﻮزش ﻣﺘﻮﺳﻄﻪ ﻧﻈـﺮى، ﭘﻴﺶداﻧﺸﮕﺎﻫﻰ ،ﻓﻨﻰ و ﺣـﺮﻓﻪاى و ﻛﺎرداﻧﺶ() ١٣٨٦ ،دورهى آﻣﻮزش اﺑﺘﺪاﻳﻰ و راﻫﻨﻤﺎﻳﻰ( و ﺑﺎﻻﺧﺮه) ١٣٨٧ ،دورهى ﻣﺘﻮﺳﻄﻪ ﻧﻈﺮى ،ﭘﻴﺶداﻧﺸﮕﺎﻫﻰ و ﻓﻨـﻰ و ﺣـﺮﻓﻪاى و ﻛﺎرداﻧﺶ( اﺳﺖ ﻛـﻪ در آن ،ﺑﻪ دﻧﺒﺎل رﺳﻴﺪن ﺑﻪ اﻫﺪاف زﻳﺮ ﺑﻮدهاﻧﺪ: .١ﺗﺒﺒﻴﻦ و اﻧﺘـﻘـﺎل ﺳـﻴـﺎﺳـﺖﻫـﺎ ،ﻫـﺪفﻫـﺎ و ﺑـﺮﻧﺎﻣـﻪﻫـﺎى ﻣﻨﺎﺑﻊ آﻣﻮزشوﭘﺮورش در ﺣﻮزهى اﻧﺘﺸﺎر ﻛﺘﺎبﻫﺎى آﻣﻮزﺷﻰ؛ .١ﺑﻴﺎﻧﻴﻪى ﻫـﻴـﺄت داوران ﭼﻬـﺎرﻣﻴـﻦ دوره ﺟﺸﻨـﻮارهى ﻛﺘﺎبﻫﺎى آﻣـﻮزﺷـﻰ رﺷﺪ ،دﻓﺘﺮ اﻧﺘـﺸـﺎرات ﻛﻤﻚآﻣﻮزﺷﻰ. .٢ارزﺷﻴﺎﺑﻰ ﻛﺘﺎبﻫﺎى آﻣﻮزﺷﻰ ﻣﻮﺟﻮد ،ﺑﻪ ﻣﻨﻈﻮر ﺑـﺮرﺳﻰ .٢ﺣﺎﺟﻴﺎنزاده ﻋﻠﻴﺮﺿﺎ )(١٣٨٧؛ اﻓﻘﻰ ﻧﻮ در ﺳﺎﻣﺎن ﻣﻠﻰ ﻛﺘﺎبﻫﺎى آﻣﻮزﺷﻰ ،ﺟﻮاﻧﻪ ،ﺷﻤﺎره .٢٤ ﻛﻴﻔﻴﺖ ،اﻧﺘﺨﺎب و ﻣﻌﺮﻓﻰ ﻛﺘﺎبﻫﺎى ﺑﺮﮔﺰﻳﺪه؛ .٣ﺳﻮﻣﻴﻦ ﺟﺸﻨﻮاره ﻛﺘﺎبﻫﺎى آﻣﻮزﺷﻰ رﺷﺪ ،دورهى آﻣﻮزش ﻣﺘﻮﺳﻄﻪ ،١٣٨١ ،دﻓﺘﺮ اﻧﺘﺸﺎرات .٣اﻧﺘﺨﺎب ﻣـﺆﻟﻔﺎن و ﻧﺎﺷﺮان ﺑﺮﺗﺮ در ﺣـﻮزهى ﺗﺄﻟﻴ; و ﻧﺸـﺮ ﻛﻤﻚآﻣﻮزﺷﻰ ،دﺑﻴﺮﺧﺎﻧﻪى ﻛﺘﺎبﻫﺎى آﻣﻮزﺷﻰ. .٤دﻓﺘﺮ اﻧﺘﺸﺎرات ﻛﻤﻚآﻣﻮزﺷﻰ ).(www.roshdmag.org ﻛﺘﺎبﻫﺎى آﻣﻮزﺷﻰ؛ .٥دﻓﺘﺮ ﺗﺄﻟﻴ; و ﺑﺮﻧﺎﻣﻪرﻳﺰى درﺳﻰ ).(www.talif.net .٤ﻓﺮاﻫﻢ آوردن اﻣﻜﺎﻧﻰ ﺑﺮاى ﺗﺒﺎدل ﻧﻈﺮ ﻣﻴﺎن ﭘﺪﻳـﺪآورﻧﺪﮔﺎن .٦ﺷﺒﻜﻪى ﻣﻠﻰ ﻣﺪارس اﻳﺮان ).(www.roshd.ir ٥٥
دورهى ﺑﻴﺴﺖ وﻫﻔﺘﻢ ﺷﻤﺎرهى٣ ﺑﻬﺎر ١٣٨٩
ﻰﻫﺎى ﺳﺮﮔﺮﻣ
درآﻣﻮزش
ﭼﻜﻴﺪه در ﻧﻮﺷﺘﻪاى ﻛﻪ ﭘﻴﺶرو دارﻳﺪ ،ﭼﻨﺪﻳﻦ ﻣﺴﺌﻠﻪى ﻛﻼﻣﻰ از ﺳﻪ ﻣﻨﺒﻊ ﺗﺎرﻳـﺨـﻰ اراﺋﻪ ﺷﺪه اﺳﺖ .اﻳﻦ ﻣﺴﺎﻳـﻞ از ﺳـﻪ وﺟﻪ ﻗﺎﺑﻞ ﺗﺄﻣـﻞ ﻫﺴﺘـﻨـﺪ .١ :ﺑﻴﺎن ﻣـﻌـﻤـﺎﮔـﻮﻧﻪ و ﺳـﺮﮔـﺮمﻛﻨﻨﺪهى اﻳﻦ ﻣـﺴـﺎﻳـﻞ ﺑـﺮاى داﻧﺶآﻣﻮزان ﺟﺬاب اﺳﺖ .٢ ،از آنﺟﺎ ﻛﻪ ﻣﺴﺎﻳﻞ از ﻧﺴﺨﻪﻫﺎى ﺗﺎرﻳﺨﻰ ﻣﺮﺑﻮط ﺑﻪ ﺳﺪهﻫﺎى ٥و ٦ﻫﺠﺮى ﮔﺮدآورى ﺷﺪهاﻧﺪ ﺑﻪ اﻳﻦ وﺳﻴﻠﻪ ﻣﻰﺗـﻮان ﺑﻪ ﻫﻨﮕﺎم آﻣـﻮزش ،ﻧﮕﺎﻫﻰ ﺑﻪ ﻓـﺮﻫﻨﮓ ﮔﺬﺷﺘﮕـﺎن و ﺗــﺎرﻳــﺦ ﻋ ـﻠــﻢ رﻳــﺎﺿــﻰ داﺷ ــﺖ .٣ ،از ﻟ ـﺤــﺎظ آﻣ ــﻮزش رﻳــﺎﺿــﻰ داﻧـﺶآﻣـﻮزان ﻳﺎد ﻣـﻰﮔـﻴـﺮﻧﺪ ﻛـﻪ ﭼـﮕـﻮﻧﻪ ﻣـﺴـﺎﻳـﻞ ﻛـﻼﻣـﻰ را ﺑﻪ زﺑـﺎن رﻳﺎﺿـﻰ ﺑـﺮﮔﺮداﻧﻨـﺪ و روشﻫﺎى ﻣﻨﺎﺳﺐ ﺣـﻞ ﻣـﺴـﺌـﻠـﻪ را ﺑﺮاى آنﻫـﺎ ﺑﻪﻛﺎر ﮔﻴﺮﻧﺪ. ﻛﻠﻴﺪ واژهﻫﺎ :ﺗﺎرﻳﺦ رﻳﺎﺿﻰ ،ﻣﺴﺎﺋﻞ ﺗﺎرﻳﺨﻰ رﻳﺎﺿﻰ. ﭘﻴﺶﮔﻔﺘﺎر ﺳﺮﮔﺮﻣﻰﻫﺎ و ﻣﻌﻤﺎﻫﺎى رﻳﺎﺿﻰ از اﺑﻌﺎد ﺟﺬاب و آﻣـﻮزﻧﺪهى دورهى ﺑﻴﺴﺖ ﻫﻔﺘﻢ
ﺑﻬﺎرﺷﻤﺎره٨٩ى٥٦ ٣١٣
ﻧﺮﮔﺲ ﻋﺼﺎرزادﮔﺎن دﺑﻴﺮ رﻳﺎﺿﻰ ،ﻛﺎرﺷﻨﺎس ارﺷﺪ ﻣﺪﻳﺮﻳﺖ آﻣﻮزﺷﻰ، ﺳﺮﮔﺮوه رﻳﺎﺿﻰ آﻣﻮزش و ﭘﺮورش ﻣﻨﻄﻘﻪ&ى ﺑﺮﺧﻮار اﺳﺘﺎن اﺻﻔﻬﺎن
رﻳﺎﺿﻴﺎت ﻫﺴﺘﻨﺪ ﻛﻪ در ﺟﻠﺐ ﺗﻮﺟﻪ ﻧﻮآﻣﻮزان و ﻏﻴﺮﺣﺮﻓﻪاىﻫﺎ ﻧﻘﺶ زﻳﺎدى دارﻧﺪ .ﺳﺮﮔﺮﻣﻰﻫﺎى رﻳﺎﺿﻰ اﻏﻠﺐ در ﻗﺎﻟﺐ ﻋﻨﺎﺻـﺮى از زﻧﺪﮔﻰ روزﻣﺮه ﺣﺘﻰ ﺑﻪﻃﻮر ﻏﻴـﺮواﻗﻌﻰ ﺑﻴﺎن ﻣﻰﺷـﻮﻧﺪ ﺑﻪ ﮔـﻮﻧﻪاى ﻛﻪ ﻏﻴﺮ رﻳﺎﺿﻴﺪاﻧﺎن ﻫﻢ ﻣﺠﺬوب آنﻫﺎ ﻣﻰﺷﻮﻧﺪ و ﺑﺮاى ﺣﻞ آنﻫﺎ ﺗﻼش ﻣﻰﻛﻨﻨﺪ .اﻳﻦ ﻧﻜﺘﻪ ﺑﺮاى ﺑﺮاﻧﮕﻴﺨﺘﻦ ﻋﻼﻗﻪى داﻧﺶآﻣـﻮزان ﺑﻪ رﻳﺎﺿﻴﺎت ﺑﺴﻴﺎر ﻣﻬﻢ اﺳﺖ و آنﻫﺎ را ﺑﻪ ﺳﻮى ﻗﻠﻤﺮوﻫﺎى ﺗﺎزهﺗﺮى ﺳﻮق ﻣﻰدﻫﺪ .از دﻳﮕﺮ ﺳﻮ ،ﺑـﺎ ﺑـﺮرﺳﻰ رﻳﺸﻪﻫﺎى ﺗﺎرﻳﺨﻰ اﻳـﻦ ﻧـﻮع ﺳﺮﮔـﺮﻣﻰﻫـﺎ ،ﻣـﻰﺗـﻮان ﺑﻪ رواج ﺟﻬـﺎﻧـﻰ ﺑـﺮﺧﻰ از آنﻫـﺎ در ﻣﺤﻴﻂﻫﺎ و زﻣﺎنﻫﺎى ﮔﻮﻧﺎﮔﻮن دﺳﺖ ﻳﺎﻓﺖ ﻛﻪ ﺗﺒﺎدلﻫﺎى ﻓﺮﻫﻨﮕﻰ را ﻧﺸﺎن ﻣﻰدﻫﺪ .ﻫﻢﭼﻨﻴﻦ ،ﭘﺮداﺧﺘﻦ ﺑﻪ رﻳﺎﺿﻴﺎت ﻗﻮﻣﻰ و اﺳﺘﻔﺎده از ﻣﺴﺎﻳﻠﻰ ﻛﻪ رﻳـﺸـﻪ در ﻓـﺮﻫﻨﮓ و ﺗﺎرﻳـﺦ ﻣـﺎ دارﻧﺪ ،ﻣﻰﺗـﻮاﻧﺪ ﺑﻪ ﻓﺮاﮔﻴﺮﻧﺪﮔﺎن ﻛﻤﻚ ﻛﻨﺪ ﺗﺎ درك ﺑﻬﺘﺮى از ﮔﺬﺷﺘﻪ داﺷﺘﻪ ﺑﺎﺷﻨﺪ .ﻣﺎ ﺑﻪ ﺗﺎرﻳﺦ ﻋﻼﻗﻪﻣﻨﺪﻳﻢ ﻧﻪ ﺑﻪ اﻳﻦ دﻟﻴﻞ ﻛﻪ اﺣﺴﺎس ﻣﻰﻛﻨﻴﻢ ﺑﻪ ﮔﺬﺷﺘﻪ ﺗﻌﻠﻖ دارﻳﻢ ،ﺑﻠﻜﻪ ﻣﻰﺧﻮاﻫﻴﻢ درك ﺑﻬﺘﺮى از اﻛﻨﻮن داﺷﺘﻪ ﺑﺎﺷﻴﻢ و آﻳﻨـﺪه را ﭘﻴﺶﺑﻴﻨﻰ ﻛﻨﻴـﻢ .ﺗـﺎرﻳـﺦ رﻳـﺎﺿـﻰ اﺑـﺰار ﻣﻨﺎﺳﺒـﻰ ﺑـﺮاى ﻣﺸﺎﻫﺪهى رﻳﺎﺿﻴﺎت اﺳﺖ ،ﻧﻪﺗﻨﻬﺎ ﺑﻪﻃﻮر ﻣﺴـﺘـﻘـﻞ و در ﻗـﺎﻟـﺐ داﻧﺶ ﻛﻼﺳﻴﻚ ،ﺑﻠﻜﻪ ﺑﻪﻋـﻨـﻮان ﻳﻚ ﻓﻌﺎﻟﻴﺖ ﺑﺸـﺮى ﻣﺪاوم ﻛﻪ ﺑﻪ
ﻋﺮاﻗﻰ ﺑﻮده اﺳﺖ .ﺑﻐﺪادى در ﺑﻐﺪاد ﺑﻪ دﻧﻴﺎ آﻣـﺪ .ﭘـﺪرش او را ﺑﻪ ﻧﻴﺸﺎﺑﻮر ﺑﺮد ﺗﺎ اداﻣﻪ ﺗﺤﺼﻴﻞ دﻫﺪ و در آنﺟﺎ ﻣﻘﻴﻢ ﺷﺪ .ﮔﺮوﻫﻰ از ﻋﻠﻤﺎى ﺧﺮاﺳﺎن از ﺷﺎﮔﺮدان وى ﺑﻮدﻧﺪ زﻳﺮا او ﻫﻔﺪه ﻓﻦ ﻣﺨﺘﻠ; و ﺑﻪﺧﺼﻮص ﺣﺴﺎب و ﻓﻘﻪ و ﻓﺮاﻳﺾ را ﺗﺪرﻳﺲ ﻣﻰﻛﺮد .وى ﺑﻪ ﻋﻠﺖ ﻓﺘﻨﻪى ﺗﺮﻛﻤﺎنﻫﺎ ﻧﻴﺸﺎﺑـﻮر را ﺗﺮك ﻛﺮد و ﺑﻪ اﺳﻔﺮاﻳﻦ رﻓﺖ و اﻧﺪﻛﻰ ﺑﻌﺪ در ﺳﺎل ٤٢٩در آنﺟﺎ درﮔﺬﺷﺖ .ﻛﺘﺎب اﻟﺘﻜﻤﻠﻪ ﻓﻰ اﻟﺤﺴﺎب ﺑﺴﻴﺎر ﻣﻌﺮوف ﺑـﻮده و ﺗﺤﺼﻴﻞ آن ﺑﺮاى ﻣﺤﺼﻼن رﻳﺎﺿﻰ واﺟﺐ ﺑﻮده اﺳﺖ .اﻟﺘﻜﻤﻠﻪ ﻓﻰ اﻟﺤﺴـﺎب ﺑـﻪ زﺑـﺎن ﻋـﺮﺑـﻰ اﺳـﺖ و ﻳـﻚ ﻧﺴﺨﻪى ﻧﻔﻴﺲ آن در ﻛﺘﺎﺑﺨﺎﻧـﻪى ﻣـﺮﻛﺰى داﻧﺸﮕﺎه ﺗﻬـﺮان ﻣﻮﺟـﻮد اﺳﺖ .از ﺑﻐﺪادى ،آﺛﺎر دﻳﮕﺮى ﻧﻴﺰ ﻣـﻮﺟﻮد اﺳﺖ :اﻻﻳﻀﺎح ﻋﻦ اﺻﻮل ﺻﻨﺎﻋﻪ اﻟـﻤـﺴّﺎح و ﻛﺘﺎب ﻓﻰ اﻟﻤﺴـﺎﺣـﺖ .در اﻳـﻦ ﻧـﻮﺷﺘﻪ ﺗﺮﺟﻤﻪى ﺑﺮﺧﻰ ﻣﺴﺎﻳﻞ ﺑﻪ زﺑﺎن ﻓﺎرﺳﻰ آورده ﻣﻰﺷﻮد.
ﺳﺎﻳﺮ ﺣﻮزهﻫﺎ ﭘﻴﻮﻧﺪ ﺧﻮرده ،و ﺑﺮاى ﻛﻤﻚ ﺑﻪ ﺣﻞ ﺑﺴﻴﺎرى از اﻧﻮاع ﻣﺴﺎﻳﻞ در زﻧﺪﮔﻰ واﻗﻌﻰ اﻧﺴﺎن اﺑﺪاع ﺷﺪه اﺳﺖ. ﻣﺴﺌﻠﻪﻫﺎى ﻛﻼﻣﻰ ﺑﺮاى آﻣﻮزش روش ﺣﻞ ﻣﺴﺌﻠﻪ ﺑﺴﻴﺎر ﻣﻔﻴﺪ ﻫﺴﺘﻨﺪ .داﻧﺶآﻣﻮز در اﻳﻦ ﻣﺴﺎﻳﻞ ﻳﺎد ﻣﻰﮔﻴﺮد ﻛﻪ ﭼﮕﻮﻧﻪ ﻣﻰﺗﻮان ﻣﺴﺌﻠﻪاى را ﺑﻪ زﺑﺎن ﻋﺎدى داده ﺷﺪه اﺳﺖ ،ﺑﺎ ﻧﺸﺎﻧﻪﻫﺎى رﻳﺎﺿﻰ و ﺑﻪ زﺑﺎن ﺟﺒﺮى ﺗﺮﺟﻤﻪ ﻛﺮد .در ﻣﻮاردى اﻳﻦ ﺗﺮﺟﻤﻪ روﺷﻦ اﺳﺖ، وﻟﻰ ﻣـﻮاردى وﺟـﻮد دارد ﻛﻪ ،ﺑـﺮاى ﺗﺒﺪﻳـﻞ ﺷـﺮطﻫﺎى ﻣﺴـﺌـﻠـﻪ ﺑـﻪ ﻣﻌﺎدﻻت ﻳﺎ دﺳﺘﮕﺎه ﻣﻌﺎدﻻت ،ﺑﻪ ﺗﺠﺮﺑﻪاى ﺑﻴﺸـﺘـﺮ ،ﻳـﺎ ﻧـﻴـﺮوى ﺧﻼﻗﺎﻧﻪاى ﺑﻴﺸﺘـﺮ و ﻳـﺎ ﺻـﺮف وﻗﺖ ﺑﻴﺸـﺘـﺮى ﻧﻴﺎز دارد .اﻳﻦ ﻧـﻮع ﻣﺴﺎﻳـﻞ را ﻣﻰﺗﻮان ﺑـﺮﺣﺴﺐ ﺷـﺮاﻳﻂ ﻓﺮاﮔﻴـﺮﻧﺪﮔﺎن در ﻛﻼسﻫـﺎى دورهى راﻫﻨﻤﺎﻳﻰ ﺑﻪ ﻫﻨـﮕـﺎم آﻣـﻮزش راﻫﺒﺮدﻫﺎى ﺣﻞ ﻣﺴﺌـﻠـﻪ و ﻳـﺎ ﻛﻼس اول دﺑﻴﺮﺳﺘﺎن ﺑﻪﻛﺎر ﺑﺮد. در اﻳﻦ ﻣﻘﺎﻟﻪ ،ﻧﻤﻮﻧﻪﻫﺎﻳﻰ از ﻣﺴﺎﻳﻞ ﺳـﺮﮔﺮمﻛﻨﻨﺪهى ﻣﺸﺎﺑﻪ از ﻛﺘﺎبﻫﺎى ﻟﺐاﻟﺤﺴﺎب ﺗﺄﻟﻴ; ﻋﻠـﻰﺑـﻦ ﻳـﻮﺳ;ﺑﻦ ﻋﻠﻰ ﻣﻨـﺸـﻰ ﺳﺪهى ﺷﺸﻢ ﻫﺠﺮى ﻗﻤﺮى ،ﻣﻔﺘﺎحاﻟﻤﻌﺎﻣﻼت اﺑﻮﺟﻌﻔﺮ ﻣﺤﻤﺪﺑﻦ اﻳﻮب ﺣﺎﺳﺐ ﻃﺒـﺮى رﻳﺎﺿﻰدان ﺳﺪهى ﭘﻨﺠﻢ ﻫﺠـﺮى ﻗﻤﺮى ،و اﻟﺘﻜﻤﻠﻪ ﻓﻰاﻟﺤﺴﺎب اﺑﻮﻣﻨﺼﻮر ﺑﻐﺪادى ﺳﺪهى ﭘﻨﺠﻢ ﻫﺠﺮى ﻗﻤﺮى ﺑﺮرﺳﻰ ﻣﻰﺷﻮد. ﻣﻌﺮﻓﻰ ﻛﻮﺗﺎه ﻧﺴﺨﻪﻫﺎى ﻣﻨﺒﻊ و ﻣﺆﻟﻔﺎن آنﻫﺎ .١اﻟﺘﻜﻤﻠﻪ ﻓﻰاﻟﺤﺴﺎب اﺑﻮﻣﻨﺼﻮر ﺑﻐﺪادى اﻟﺘﻜﻤﻠﻪ ﻓﻰ اﻟﺤـﺴـﺎب ﺗـﺄﻟـﻴـ; اﺑـﻮﻣﻨﺼﻮر ﺑـﻐـﺪادى اﺳـﺖ. اﺑﻮﻣﻨﺼﻮر ﺑﻐﺪادى )ﻋﺒﺪاﻟﻘﺎﻫﺮ ﺑﻐﺪادى( ﻓﻘﻴﻪ ﺷﺎﻓﻌﻰ و رﻳﺎﺿﻴﺪان
.٢ﻣﻔﺘﺎح اﻟﻤﻌﺎﻣﻼت ﺣﺎﺳﺐ ﻃﺒﺮى رﺳﺎﻟﻪى ﻓﺎرﺳﻰ ﻣﻔﺘﺎح اﻟﻤﻌﺎﻣﻼت ﺗﺄﻟﻴ; اﺑـﻮﺟﻌﻔﺮ ﻣﺤﻤﺪﺑﻦ اﻳﻮب ﻃﺒﺮى ﻣﻌﺮوف ﺑﻪ ﺣﺎﺳﺐ ﻃﺒﺮى ،رﻳﺎﺿﻰدان و اﺧﺘﺮﺷﻨﺎس اﻳﺮاﻧﻰ اﻫﻞ ﻃﺒـﺮﺳﺘﺎن )ﻣﺎزﻧﺪران ﻛﻨـﻮﻧﻰ( اﺳﺖ .ﻃﺒﺮى در ﻧﻴﻤـﻪى دوم ﻗﺮن ﭘﻨﺠﻢ ﻓﻌﺎﻟﻴﺖ ﻋﻠﻤﻰ داﺷﺘﻪ اﺳﺖ .ﺷـﻤـﺎرﻧﺎﻣﻪ ﻋﻨـﻮان اﺛﺮ دﻳﮕﺮ اوﺳﺖ ﻛﻪ ﻗﺪﻳﻤﻰﺗﺮﻳﻦ ﻣﺘﻦ ﻓﺎرﺳﻰ ﻣﻮﺟﻮد درﺑﺎرهى ﺣﺴﺎب ﻫﻨﺪى اﺳﺖ ﻣﻔﺘﺎحاﻟﻤﻌﺎﻣﻼت ﺑﺮاى ﻏﻴﺮ رﻳﺎﺿﻴﺪانﻫﺎ ﻧﮕﺎﺷﺘﻪ ﺷﺪه اﺳﺖ .ﻧﻤﻮﻧﻪﻫﺎﻳﻰ از ﻣﺴﺎﻳﻞ ﺟﺎﻟﺐ ﺑﺎ ﻋﻨﻮان ﻧﻮادر و ﻣﻀﻤﺮات در ﻓﺼﻞ ﭼﻬـﺎرم ﻛﺘﺎب ﻣﻔﺘﺎح اﻟﻤﻌـﺎﻣـﻼت وﺟﻮد دارد ﻛﻪ ﺣـﺎوى ٥٤ ﻣﺴﺌﻠﻪ اﺳﺖ .ﻧـﻤـﻮﻧﻪﻫﺎﻳﻰ از اﻳﻦ ﻣﺴﺎﻳﻞ رﻳﺸﻪ در آﺛـﺎر ﺗـﺎرﻳـﺨـﻰ ﻛﻬﻦﺗﺮ دارد ﻛﻪ ﻧﺰد اﻗﻮام ﻣﺨﺘﻠ; ﻧﻴﺰ ﺑﻴﺎن ﻣﻰﺷﻮد. .٣ﻟﺐاﻟﺤﺴﺎب ﻟﺐاﻟﺤﺴﺎب ﺗﺼﻨـﻴـ; ﻋـﻠـﻰﺑـﻦ ﻳـﻮﺳ;ﺑﻦ ﻋﻠﻰ )ﻣـﻨـﺸـﻰ، ﻣﺴﺘﻮﻓﻰ ﻳﺎ ﻣﺤﺎﺳﺐ( ﻣﺘﻌﻠﻖ ﺑﻪ ﺳﺪهى ﭘﻨﺠﻢ و ﺷﺸﻢ ﻫﺠﺮى ﻗﻤﺮى ات .اﻳﻦ ﻧﺴﺨﻪى ﻣﻨﺤﺼﺮﺑﻪﻓﺮد ﻓﺎرﺳﻰ ﺷﺎﻣﻞ ٢٧٤ﺻﻔﺤﻪ اﺳﺖ و در ﻛﺘﺎﺑﺨﺎﻧﻪى ﻣﺮﻛﺰى داﻧﺸﮕﺎه ﺗﻬﺮان ﺑﻪ ﺷﻤﺎره ٥٢١٣ﻧﮕﻬﺪارى ﻣﻰﺷﻮد .از آنﺟﺎ ﻛﻪ ﻟﺐاﻟﺤﺴﺎب ﺷﺎﻣﻞ ﻫﻤﻪى ﻣـﻮﺿﻮﻋﺎﺗﻰ ﻛﻪ در ﺣﻮزهى ﺣﺴﺎب و ﻫﻨـﺪﺳـﻪى آن زﻣﺎن وﺟﻮد داﺷﺘﻪ ﻣﻰﺷـﻮد، ﺑﻪواﻗﻊ داﻳـﺮةاﻟﻤﻌـﺎرف ﺑﻰﻧﻈﻴـﺮى از ﺣﺴﺎب و ﻫﻨﺪﺳـﻪ اﺳـﺖ .از ﻧﻮﻳﺴﻨﺪهى ﻟﺐاﻟﺤﺴﺎب اﻃﻼﻋﻰ در دﺳﺖ ﻧﻴﺴﺖ .آﻗـﺎى ادﻳـﺐ ﺑﺮوﻣﻨﺪ در ﻛﺘﺎب ﺧـﺮدﻧﺎﻣﻪ ﺗﺄﻟﻴ; و ﻧﮕـﺎرش اﺑﻮاﻟﻔﻀﻞ ﻳـﻮﺳ;ﺑﻦ ﻋﻠﻰ ﻣﺴـﺘـﻮﻓﻰ )از اواﺋﻞ ﺳﺪه ﺷﺸﻢ ﻫـﺠـﺮى( از اﺣﻮال و ﻫﻮﻳـﺖ ﻧﻮﻳﺴﻨﺪه ﻛﻪ ﺑﻪ اﺣﺘﻤـﺎﻟـﻰ اﻫـﻞ ﺧـﺮاﺳﺎن اﺳﺖ اﻇﻬﺎر ﺑﻰاﻃـﻼﻋـﻰ ٥٧
دورهى ﺑﻴﺴﺖ وﻫﻔﺘﻢ ﺷﻤﺎرهى٣ ﺑﻬﺎر ١٣٨٩
ﻛﺮدهاﻧﺪ و در زﻳـﺮﻧﻮﻳﺲ ﻛﺘﺎب ﻋـﻨـﻮان ﻛﺮدهاﻧﺪ ﻛﻪ ﻣﺤﺘﻤـﻞ اﺳـﺖ ﺻﺎﺣﺐ ﻟﺐاﻟﺤﺴﺎب ﻓﺮزﻧﺪ ﻧﻮﻳﺴﻨﺪه ﺧﺮدﻧﺎﻣﻪ ﺑﺎﺷﺪ. ﻣﻨﺸﻰ در ﻟﺐاﻟﺤﺴﺎب از ﺑﻐﺪادى ﺑﻪﻋـﻨـﻮان اﺳﺘﺎد ﻣﻌﻈﻢ ﻧـﺎم ﺑﺮده اﺳﺖ .اﺣﺘﻤـﺎل ﻣـﻰرود ﻛﻪ وى در ﻧﻴﺸﺎﺑﻮر ﺷـﺎﮔـﺮد ﺑﻐﺪادى ﺑﻮده اﺳﺖ .در ﺑﺴﻴﺎرى از ﻣﻮارد ﻣﺴﺌﻠﻪ ﺑﺎ ﻧﮕﺎرش اﺻﻠﻰ ﻗﺎﺑﻞ درك اﺳﺖ ،از اﻳﻦرو ﺑﺮاى ﺣﻔﻆ ﺷﻴـﻮهى ﺑﻴﺎن اﺻﻠﻰ ،ﻓﻘﻂ در ﺑﺮﺧـﻰ ﻣﻮارد ﺑﻪ زﺑﺎن ﻓﺎرﺳﻰ ﺟﺪﻳﺪ ﺑﺮﮔﺮداﻧﺪه ﺷﺪه اﺳﺖ. ﺳﺮﮔﺮﻣﻰﻫﺎى رﻳﺎﺿﻰ ﻣـﻮﺟﻮد در ﺳﻪ ﻧﺴﺨﻪى اﻟﺘﻜﻤـﻠـﻪ ﻓﻰاﻟﺤﺴﺎب ،ﻣﻔﺘﺎحاﻟﻤﻌﺎﻣﻼت و ﻟﺐاﻟﺤﺴﺎب
(
» .٢اﮔﺮ ﭘـﺮﺳﻨﺪ ﻣـﺎ را از درﺧﺘﻰ ﻛﻪ ﺑﺎﻻى او ﺳـﻪ ﻳـﻚ در آب اﺳﺖ ،و ﭼﻬﺎر ﻳﻚ او در ﮔﻞ ،ﺑﺮ ﻫـﻮا ﺷﺪه اﺳﺖ ده ﮔﺰ .ﺟﻤﻠـﻪ ﭼﻨﺪ ﮔﺰ ﺑﺎﺷﺪ ﺑﺎﻻى درﺧﺖ؟« )ﻧﮕﺮ :ﻣﻔﺘﺎحاﻟﻤﻌﺎﻣﻼت ﺣﺎﺳـﺐ ﻃﺒﺮى ،ﻣﺴﺌﻠﻪى (١٨ ﻛﻪ ﭘﺎﺳﺦ ﺑﻪﺻﻮرت زﻳﺮ اﺳﺖ. x x + +10 = x ⇒ x = 24 3 4
.٣ﻫﻤﻴﻦ ﻣﺴﺌﻠـﻪ در ﺑـﺎب ٣٨ﻛﺘﺎب آﻣﺪه ﻛﻪ در آن ﻳﻚﺳـﻮم درﺧﺖ در آب ،ﻳﻚﭼﻬﺎرم در ﮔﻞ ،ﻳﻚﭘﻨﺠﻢ در رﻳﮓ ،و ١٠ﮔﺰ در ﻫﻮاﺳﺖ .ﻫﻤﻴﻦ دادهﻫﺎ در ﻣﺴﺌﻠﻪى ٣١ﺑﺎ ﺳﺎﺧﺘﺎرى ﻣﺘﻔـﺎوت ﻇﺎﻫـﺮ ﻣـﻰﺷـﻮد ﻛﻪ در آنﺟـﺎ از ارﺗﻔـﺎع درﺧﺘـﻰ ﻳـﻚدوم در آب، ﻳﻚﺳﻮم در ﮔﻞ و ﺟﺬرش در ﻫﻮاﺳﺖ ،ﻛﻪ ﺣﻞ آن ﺑﻪﺻﻮرت زﻳﺮ اﺳﺖ: x x + + x ⇒ x = 36 2 3
=x
» .٤اﮔﺮ ﺑﭙـﺮﺳﻨﺪ ﻣـﺎ را از ﻣﺎﻫﻴﻰ ﻛـﻪ ﺳـﺮش ﺳﻪﻳـﻚ اوﺳﺖ و دﻧﺒﺶ ﭘﻨﺞﻳﻚ او ،ﻣﻴﺎﻧﺶ ﺑﻰﺳﺮ و دﻧﺐ ده ﻣﻦ .ﺟﻤﻠﻪ ﭼﻨﺪ ﻣـﻦ ﺑﺎﺷﺪ؟« )ﻧﮕﺮ :ﻣﻔﺘﺎحاﻟﻤﻌﺎﻣﻼت ﺣﺎﺳﺐ ﻃﺒﺮى ،ﻣﺴﺌﻠﻪى (٣٧ x x 7 150 ⇒ + +10 = x = x = 10⇒ x 15 7 3 5
.٥ﺣﻮﺿﻰ ٣ﻣﺠﺮا دارد ،ﻳﻜﻰ از آنﻫﺎ ﺣﻮض را در ﺳﻪ روز، و دﻳﮕﺮى در ﭼﻬﺎر روز ،و ﺳﻮﻣﻰ در ﭘﻨﺞ روز ﭘﺮ ﻣﻰﻛﻨﺪ .اﻳﻦ ﺳﻪ دورهى ﺑﻴﺴﺖ ﻫﻔﺘﻢ
ﺑﻬﺎرﺷﻤﺎره٨٩ى٥٨ ٣١٣
1 1 1 60 60 =) + + = 3 4 5 20+15 +12 47
( ÷1
.٦ﺣﻮﺿﻰ ٣ﻣﺠﺮا دارد ،ﻳﻜﻰ از آنﻫﺎ ﺣﻮض را در ﻳﻚ روز، دوﻣﻰ در دو روز ،و ﺳﻮﻣﻰ در ﺳﻪ روز ﭘﺮ ﻣﻰﻛﻨﺪ ،ﻫﺮ ﺳﻪ را ﺑﺎز ﻣﻰﻛﻨﻴﻢ ،ﺣـﻮض ﭘﺲ از ﭼﻪ ﻣﺪﺗﻰ ﭘﺮ ﻣﻰﺷـﻮد؟ )ﻧﮕﺮ :اﻟﺘﻜﻤﻠـﻪ ﻓﻰ اﻟﺤﺴﺎب ﺑﺎب ،١١ص (٢٨٩ 1 1 6 =) + 2 3 11
.١درﺧﺘﻰ اﺳﺖ ﻛﻪ ﺛﻠﺚ آن در ﺧﺎك ،رﺑﻌﺶ در آب ،و ٣ذرع آن ﺑﻴﺮون اﺳﺖ ،ﻃﻮﻟﺶ ﭼﻘﺪر اﺳﺖ؟ )ﻧﮕﺮ :اﻟﺘﻜﻤﻠﻪ ﻓﻰاﻟﺤﺴﺎب: ﺑﺎب ١١ﻓﻰ ﻧﻮادر اﻟﺤﺴﺎب ﻣﻦ ﻓﻨﻮن ﻣﺨﺘﻠﻔﻪ ،ص (٢٨٩ 1 1 5 36 ⇒ + )x + 3 = x =x= 3⇒x 3 4 12 5
ﻣﺠﺮا را در ﻳﻚ ﺳﺎﻋﺖِ واﺣﺪ ﺑﺎز ﻣﻰﻛﻨﻴﻢ .ﭼﻪ ﻣﺪﺗﻰ ﻃﻮل ﻣﻰﻛﺸﺪ ﺗﺎ ﺣﻮض ﭘﺮ ﺷﻮد؟ )ﻧﮕﺮ :اﻟﺘﻜﻤﻠﻪ ﻓﻰاﻟﺤﺴﺎب ﺑﺎب ١١ﻓﻰ ﻧﻮادر اﻟﺤﺴﺎب ﻣﻦ ﻓﻨﻮن ﻣﺨﺘﻠﻔﻪ ص (٢٨٩
1÷ (1+
ﺟﻮرج ﭘﻮﻟﻴﺎ ﻧﻴﺰ ﻣﺴﺌﻠﻪاى از ﻫﻤﻴﻦ ﻧﻮع ﻋﻨﻮان ﻛﺮده اﺳﺖ :ﻳﻚ ﻟﻮﻟﻪى آب ،ﺣﻮض را در ١٥دﻗﻴﻘﻪ ،ﻟـﻮﻟﻪى دوم در ٢٠دﻗﻴﻘـﻪ و ﻟﻮﻟﻪى ﺳﻮم در ٣٠دﻗﻴﻘﻪ ﭘﺮ ﻣﻰﻛﻨﻨﺪ .اﮔﺮ ﻫﺮ ﺳﻪ ﻟﻮﻟﻪ ﺑﺎز ﺑﺎﺷﻨﺪ، در ﭼﻪ ﻣﺪت ﺣﻮض ﭘﺮ ﻣﻰﺷـﻮد؟ )ﻧﮕﺮ :ﺧﻼﻗﻴﺖ رﻳﺎﺿـﻰ ،ص (٧٠ ﮔﻨﺠﺎﻳﺶ ﺣﻮض را aﻟﻴﺘﺮ ﻣﻰﮔﻴﺮﻳﻢ .در اﻳﻦ ﺻﻮرت ﺳﺮﻋﺖ ﺟﺮﻳﺎن آب ،از ﻟﻮﻟﻪى اول ،ﺑﺮاﺑﺮ اﺳﺖ ﺑﺎ aﻟﻴﺘﺮ در دﻗﻴﻘﻪ .ﭼﻮن 15
ﮔﻨﺠﺎﻳﺶ ﺑﺮاﺑﺮ اﺳﺖ ﺑﺎ ﺳﺮﻋﺖ ﺿﺮب در زﻣﺎن ﭘﺲ ،ﻣﻘﺪار آﺑﻰ ﻛﻪ در tدﻗﻴﻘﻪ ،از ﻟﻮﻟﻪ ﺟﺎرى ﻣﻰﺷﻮد ،ﺑﺮاﺑﺮ اﺳﺖ ﺑﺎ a tﻟﻴﺘﺮ .اﮔﺮ 15
ﺑﺎ ﺑﺎز ﺑﻮدن ﻫﺮ ﺳﻪ ﻟﻮﻟﻪ ،ﺣﻮض در tدﻗﻴﻘﻪ ﭘﺮ ﺷﻮد ،ﻣﻘﺪار آب وارد ﺑﻪ ﺣﻮض را ،ﺑﻪ دو ﻃﺮﻳﻖ ﻣﻰﺗﻮان ﺑﻴﺎن ﻛﺮد: a a a t+ t+ t=a 15 20 30
ﺳﻤﺖ ﭼﭗ ﺑـﺮاﺑﺮى ،ﻣﻘﺪار آﺑـﻰ را ﻛﻪ از ﻫﺮ ﻟﻮﻟﻪ وارد ﺣـﻮض ﻣـﻰﺷـﻮد ،ﺑﻴﺎن ﻣـﻰﻛـﻨـﺪ؛ و ﺳـﻤـﺖ راﺳﺖ ،ﻣـﺠـﻤـﻮع آﺑـﻰ ﻛـﻪ ﺑﻪوﺳﻴﻠﻪى ﺳﻪ ﻟﻮﻟﻪ وارد ﺣﻮض ﺷﺪه اﺳﺖ .اﮔﺮ دو ﻃـﺮف ﺑﺮاﺑﺮى را ﺑﺮ aﺗﻘﺴﻴﻢ ﻛﻨﻴﻢ ،ﺑﻪ اﻳﻦ ﻣﻌﺎدﻟﻪ ﻣﻰرﺳﻴﻢ: t t t + + =1 15 20 30
ﻛﻪ از روى آن ﻣﻰﺗﻮان ﻣﺠﻬﻮل tرا ﺑﻪدﺳﺖ آورد. » .٧ﭼﻮن ﺣﻮﺿﻰ ﻫﺴﺖ و او را ﭼﻬﺎر ﻣﺠﺮا آب ﻫﺴﺖ از ﻳﻚ ﻣﺠﺮا ﺣﻮض ﭘﺮ ﻣﻰﺷﻮد ﺑﻪ ﻳﻚ روز ﺷﺒﺎن و ﺑﻪ دﻳﮕﺮ ﺑﻪ ﻧﺼ; روز ﺷﺒﺎن و ﺑﻪ دﻳﮕﺮ ﺑﻪ رﺑﻊ و ﺑﻪ دﻳﮕﺮ ﺑﻪ ﺛﻠﺚ ،اﻳﻦ زﻣﺎن اﮔﺮ ﻫﺮ ﭼﻬﺎر ﻣﺠﺮا ﺑﮕﺸﺎﻳﻨﺪ ﺑﻪ ﭼﻨﺪ ﺳﺎﻋﺖ ﭘﺮ ﻣﻰﺷﻮد؟« )ﻧﮕﺮ :ﻟﺐاﻟﺤﺴﺎب، ص (٥٧
1+ 2 + 3 + 4 = 10
ﭘﺎﻧﺰده روز ﭘﺮ ﺷﻮد) «.ﻧﮕﺮ :ﻟﺐاﻟﺤﺴﺎب ،ص (٢٦٢
1 x = 10 24
1 2 = ) 1÷ (2 + 5 + 2 15
x =2/ 4=2
2 x 2 == ⇒x 15 1 15
ﺟﺎﻟﺐ اﺳﺖ ﺑﺪاﻧـﻴـﺪ ﻣـﺆﻟ; ﻟﺐاﻟﺤﺴـﺎب ،ﻧـﻤـﻮدارى ﺷﺒﻴـﻪ ﻧﻤﻮدار زﻳﺮ در اﻧﺘﻬﺎى ﺣﻞ ﻣﺴﺌﻠﻪ رﺳﻢ ﻛﺮده اﺳﺖ.
» .١٠دﻳﮕﺮ اﮔﺮ ﺳـﺆال ﻛﻨﻨﺪ ﻛﻪ ﻳﻜﻰ در رﺑـﻊ روزى و ﻳﻜﻰ در ﺳُـﺪس )ﻳـﻚﺷـﺸـﻢ( روزى ﭘـﺮ ﻣـﻰﻛـﻨـﺪ و ﻳـﻜـﻰ در ﺳُـﺒـﻊ )ﻳﻚﻫﻔﺘﻢ( روزى و اﻳﻦ ﺣﻮض ﻳﻚ ﻣﺠﺮى دارد ﻛﻪ اﮔﺮ ﺣﻮض ﭘﺮ ﺑﺎﺷﺪ در ُﺗﺴﻊ )ﻳﻚﻧﻬﻢ( روزى ﺧﺎﻟﻰ ﻣﻰﺷﻮد ﻫﺮ ٣ﭼﺸﻤﻪ را ﮔﺸﻮدﻧﺪ ﺑﻪ ﭼﻨﺪ ﭘﺮ ﻣﻰﺷﻮد ﺑﺎ ﻣﺠﺮى ﺣﻮض ﻛﻪ ﺧﺎﻟﻰ ﻣﻰﺷﻮد؟ از ﺳﺆال ﻣﻌﻠﻮم ﻣﻰﺷﻮد ﻛﻪ ﻫﺮ ٣ﭼﺸﻤﻪ در ﻳﻚ روز ﻫﻔﺪهﺑﺎر ﭘﺮ ﻣﻰﻛﻨﻨـﺪ و ﻣـﺠـﺮى ٩ﺑﺎر ﺗﻬﻰ ﻣﻰﻛﻨـﺪ ﭘـﺲ ﻓـﺼـﻞ ١ﭘﺮﺷﺪن ﺑـﺮ ﺗﻬﻰﺷﺪن در ﻳـﻚ روز ﺑـﻪ ﻫـﺸـﺖ ﻧـﻮﺑـﺖ ﺑـﺎﺷـﺪ ﭘـﺲ در ﺛُـﻤـﻦ )ﻳـﻚﻫــﺸــﺘــﻢ( روزى ﭘـﺮ ﻣــﻰﺷــﻮد ،واﻟـﺴــﻼم) «.ﻧــﮕــﺮ: ﻟﺐاﻟﺤﺴﺎب ،ص (٢٦٢
2 5
آن ﻛﻪ ﺑﻪ ﻳ ﻚ روز ﺷﺒﺎن ﭘ ﺮ ﻣ ﻰ ﻛﻨ ﺪ ؛ ٠٫١ آن ﻛﻪ ﺑﻪ ﻧﺼ; روز ﺷﺒﺎن ﭘﺮ ﻣﻰﻛﻨﺪ؛ ٠٫٢
آن ﻛﻪ
ﺑﻪ ﺛﻠﺚ روز
ﺷﺒﺎن ﭘﺮ ﻣ ﻰﻛﻨﺪ٠٫٣ :
آن ﻛﻪ ﺑﻪ رﺑﻊ روز ﺷﺒﺎن ﭘﺮ ﻣﻰﻛﻨﺪ؛ ٠٫٤
1 x 1 8 = 1 ⇒ x = 8و 4+ 6+ 7 −9 = 8
ﻣﺴﺌﻠﻪى ﻣﺸﺎﺑﻬﻰ ﺑﺎ ﻋـﻨـﻮان ﺷﺴﺘﻦ ﻇﺮفﻫﺎ در ﻛﺘﺎبﻗﺪﻳﻤـﻰ ﭼﻴﻨﻰ )ﻛﺘﺎب رﻳﺎﺿﻰ ٢٠٠ ،Sun Chiﺳﺎل ﭘﻴﺶ از ﻣﻴﻼد( وﺟﻮد دارد :ﭘﻴﺮزﻧﻰ در ﺣﺎل ﺷﺴﺖوﺷـﻮى ٦٥ﻇﺮف ﻏﺬا اﺳﺖ ،از او ﻣﻰﭘﺮﺳﻨﺪ ﭼﻨﺪ ﻧﻔﺮ ﻣﻬﻤﺎن داﺷﺘﻪاى ﻣﻰﮔﻮﻳـﺪ :ﻫـﺮ ٢ﻧﻔﺮ در ﻳﻚ ﻇﺮف ﺳﺒﺰى ،ﻫﺮ ٣ﻧﻔﺮ در ﻳﻚ ﻇﺮف ﻣﺎﻫﻰ ،و ﻫﺮ ٤ﻧﻔﺮ در ﻳﻚ ﻇﺮف ﻣﺮغ ﺷﺮﻳﻚ ﺑﻮدهاﻧﺪ .ﺗﻌﺪاد ﻣﻬﻤﺎنﻫﺎ را ﭘﻴﺪا ﻛﻨﻴﺪ. 1 1 1 65 ÷ ( + + ) = 60 2 3 4
» .٨ﺣﻮﺿﻰ ٣ﭼﺸﻤﻪ آب ﺑﻪ اﻳﻦ ﺣﻮض ﻣﻰرود ،ﻳﻚ ﭼﺸﻤﻪ در ﻳﻚ روز ﭘﺮ ﻣﻰﻛﻨﺪ و ﻳﻜﻰ در دو روز و ﻳﻜﻰ در ﺳﻪ روز .اﻳﻦ ٣ﭼﺸﻤـﻪ را ﺑﻪ ﻳﻚﺑﺎر در آن ﺣـﻮض ﮔﺸﻮدﻧﺪ در ﭼﻨﺪ ﺳﺎﻋـﺖ ﭘـﺮ ﻛﻨﺪ .از ﺳـﺆال ﻣﻌﻠﻮم ﻣﻰﺷـﻮد ﻛﻪ در ٦روز ﻳﺎزدهﺑﺎر ﭘﺮ ﻣﻰﺷـﻮد ﭘﺲ ﻧﺴﺒﺖ ٦ﺑﺎ ﻳﺎزده ﻫﻢﭼﻨﺎن ﺑﺎﺷﺪ ﻛﻪ ﻧﺴﺒﺖ ﻣﻄﻠﻮب ﺑﺎ ﻳﻜﻰ ﭘﺲ ﺑﻪ ﺷﺶ ﺟﺰو از ﻳـﺎزده روز ﭘﺮ ﺷﻮد «.اﻳﻦ ﻣﺴﺌﻠﻪ در اﻟﺘﻜﻤﻠـﻪ ﻧـﻴـﺰ ﻋﻨﻮان ﺷﺪه اﺳﺖ) .ﻧﮕﺮ :ﻟﺐاﻟﺤﺴﺎب ،ص (٢٦٢ 6 x 6 == ⇒x 11 1 11
» .٩در اﻳﻦ ﻣﺴﺌﻠﻪ اﮔﺮ ﺳﺆال ﻛﻨﻨﺪ ﻛﻪ ﻳﻜﻰ در ﻧﺼ; روزى ﭘﺮ ﻣﻰﻛﻨﺪ و ﻳﻜﻰ در ﺧﻤﺴﻰ و ﻳﻜﻰ در دو روز ،از ﺳﺆال اﻳﻀﺎً ﻣﻌﻠﻮم ﻣﻰﺷﻮد ﻛﻪ ﻫﺮ ٣اﻳﻦ را در دو روز ﭘﺎﻧﺰدهﺑﺎر ﭘﺮ ﻣﻰﻛﻨﻨﺪ ﭘﺲ ﻧﺴﺒﺖ دو ﺑﺎ ﭘﺎﻧـﺰده ﭼﻮن ﻧﺴﺒﺖ ﻣﻄـﻠـﻮب ﺑﻮد ﺑﺎ ﻳﻜﻰ ﭘﺲ در دو ﺟـﺰو از
.١١دو ﻧﻔـﺮ ٨ﻗﺮص ﻧﺎن دارﻧﺪ ،ﻳـﻜـﻰ ٣ﻗﺮص و دﻳﮕـﺮى ٥ ﻓﺮص :ﻣﻬﻤﺎﻧﻰ ﺑﺮاى آنﻫﺎ ﻣﻰرﺳﺪ ،آنﻫﺎ ﻧﺎنﻫﺎ را ﺑﻴﻦ ٣ﻧﻔﺮﺷﺎن ﺑﻪ ﺗﺴﺎوى ﺗﻘﺴﻴﻢ ﻣﻰﻛﻨﻨﺪ ،ﻣﻬﻤﺎن ﺑﻪازاى ﻧﺎﻧﻰ ﻛﻪ ﺧﻮرده ٨دﻳﻨﺎر ﻣﻰﭘﺮدازد ،ﺑﻪ ﻧﻔﺮ اول و دوم ﻫﺮﻛﺪام ﭼﻨﺪ دﻳﻨﺎر ﻣﻰرﺳﺪ؟ دارﻧﺪهى ٣ﻧﺎن ١دﻳﻨﺎر و ﺻـﺎﺣـﺐ ٥ﻧـﺎن ٧دﻳﻨﺎر ،ﭼـﺮا ﻛﻪ اﮔﺮ ﻫـﺮ ﻛـﺪام ﻧﺎنﻫﺎ را ﺑﻪ ٣ﻗﺴﻤﺖ ﺗﻘﺴﻴﻢ ﻛﻨﻨﺪ ،ﻣﻰﺷﻮد ٢٤ﻗﺴﻤﺖ ﻧﺎن ﻛﻪ ﺑﻴﻦ ٣ﻧﻔﺮ ﺗﻘﺴﻴﻢ ﻣﻰﺷـﻮد و ﻫﺮ ﻛـﺪام ٨ﻗﺴﻤﺖ ﻣﻰﮔﻴـﺮد .اﻣﺎ ﻧﻔﺮ او ١٥ﻗﺴﻤﺖ داﺷﺘﻪ و ٧ﻗﺴﻤﺖ داده ،و ﻧﻔﺮ دوم ٩ﻗﺴﻤﺖ داﺷﺘﻪ و ١ﻗﺴﻤﺖ داده ﭘﺲ ﺑﻪ ﻧﻔﺮ اول ٧دﻳﻨﺎر و ﺑﻪ ﻧﻔﺮ دوم ١دﻳﻨﺎر ﻣﻰرﺳﺪ. )ﻧﮕﺮ :اﻟﺘﻜﻤﻠﻪ ﻓﻰاﻟﺤﺴﺎب ﺑﺎب ١١ﻓﻰ ﻧﻮادر اﻟﺤﺴﺎب ﻣﻦ ﻓﻨﻮن ﻣﺨﺘﻠﻔﻪ ،ص (٢٩٠ 8 7 = 3 3
5−
8 1 = 3 3
3−
ﻣﺸﺎﺑﻪ اﻳﻦ ﻣﺴﺌﻠﻪ در ﻣﻔﺘﺎحاﻟﻤﻌﺎﻣﻼت ﻋﻨﻮان ﺷﺪه اﺳﺖ: .١٢ﺳﻪ ﻧﻔﺮ ﻣﻘـﺪارى ﻧﺎن ﺑﺎ ﻫﻢ ﺑﻪ ﺗﺴﺎوى ﺧﻮردﻧﺪ .ﻳﻜـﻰ از آﻧﺎن ٣ﻗﺮص ﻧﺎن و دﻳﮕـﺮى ٢ﻗﺮص ﻧﺎن آورده ﺑﻮد .ﻧﻔﺮ ﺳﻮم ﻧﺎﻧﻰ ﻧﻴﺎورده ﺑﻮد ﺑﻨﺎﺑﺮاﻳﻦ ٥درم داد ﺗﺎ آنﻫﺎ ﺑﻴﻦ ﺧـﻮد ﺗﻘﺴﻴﻢ ﻛﻨﻨﺪ اﻳﻦ ٥ درم ﭼﮕﻮﻧﻪ ﺑﺎﻳﺪ ﺑﻴﻦ دو ﻧﻔﺮ ﺗﻘﺴﻴﻢ ﺷﻮد؟ )ﻧﮕﺮ :ﻣﻔﺘﺎحاﻟﻤﻌﺎﻣﻼت، ﻣﺴﺌﻠﻪى (٥٤ ٥٩
دورهى ﺑﻴﺴﺖ وﻫﻔﺘﻢ ﺷﻤﺎرهى٣ ﺑﻬﺎر ١٣٨٩
5 3
= 3 + 2 = 5, 5 ÷ 3
5 4 5 1 = = , 2− 3 3 3 3
3−
» .١٣ﺣﻴﻮاﻧﻰ ﻫﺮ روز از ﺳﻮراخ ﺧﻤﺴﻰ از ﺑﺪن ﺑﻴﺮون ﻣﻰآورد و ﺳُﺪﺳﻰ )ﻳﻚﺷﺸﻢ( ﺑﺎزﭘﺲ ﻣـﻰرود ﺑﻪ ﭼﻨﺪ روز از اﻳﻦ ﺳﻮراخ ﺑﻴﺮون آﻳﺪ؟« )ﻧﮕﺮ :ﻟﺐ اﻟﺤﺴﺎب ،ص (٢٦٣ 1 1 1 24 1 = − , + =1 5 6 30 30 5
» .١٤دو ﺑﺮﻳﺪ ٢ﻳﻜﻰ از ﻳـﺰد ﺗﺎ ﻛـﺮﻣﺎن و ﻳﻜﻰ از ﻛـﺮﻣﺎن ﺗﺎ ﻳﺰد دواﻧﻴﺪﻧﺪ ﺑﻪ ﺷﺮط آنﻛﻪ ﻳﻜﻰ ﻫﺮ روز ﺛﻠﺚ راه ﻗﻄﻊ ﻛﻨﺪ و آﺧﺮ رﺑﻊ راه ﺑﻪ ﭼﻨﺪ ﺑﻪ ﻫﻢ رﺳﻨﺪ؟« )ﻧﮕﺮ :ﻟﺐ اﻟﺤﺴﺎب ،ص (٢٦٣ 1 1 7 = + 3 4 12 7 1 12 5 == ⇒x =1 12 x 7 7
» .١٥ﺑﺮﻳـﺪى را ﻓﺮﺳﺘﺎدﻧﺪ ﺑﻪ ﺟﺎﻳـﻰ ﺑـﺮ وﺟﻬﻰ ﻛﻪ ﻫـﺮ روز ٣ ﻓﺮﺳﻨﮓ ﺑـﺮود ،ﺑﻴﺴـﺖ روز رﻓﺖ ،ﺑﺮﻳﺪى دﻳـﮕـﺮ را در ﻋﻘـﺐ وى ﻓﺮﺳﺘﺎدﻧﺪ ﺑﺮ وﺟﻬﻰ ﻛﻪ ﻫﺮ روز ﻫﻔﺖ ﻓﺮﺳﻨﮓ ﺑـﺮود ﺑﻪ ﭼﻨﺪ روز ﺑﻪ وى رﺳﺪ؟« )ﻧﮕﺮ :ﻟﺐاﻟﺤﺴﺎب ،ص (٢٦٣ 60+ 3n = 7n n = 15
ﺟﺪول زﻳﺮ را ﻣﺆﻟ; در ﭘﺎﻳﺎن ﺣﻞ ﻣﺴﺄﻟﻪ اراﺋﻪ داده اﺳﺖ.
دﻧﺒﺎﻟﻪى 3, 3, 3,...ﺑﻪ دﺳﺖ ﻣﻰآﻳﺪ ،ﻳﻌﻨﻰ اﮔﺮ ﺑﺮ رﺑﻊ ﻟﺸـﻜـﺮ ﺗﻘﺴﻴﻢ ﻛﻨﻴﻢ ﺑﻪ ﻫﺮ ﻳﻜﻰ ١٢درﻫﻢ ﻣﻰرﺳﺪ .ﭘﺲ ﺑﺎﻳﺪ ﺑﺒﻴﻨﻴـﻢ دو دﻧﺒﺎﻟـﻪى 1,2, 3,4,...و 12,12,12,...ﭼﻪ وﻗﺖ ﺑﺎ ﻫﻢ ﻣﺴـﺎوى ﻣﻰﺷﻮﻧﺪ. )n(n +1 = 12n ⇒ n = 23 2 ﻟﺸﻜﺮ ﻏﻨﻴﻤﺖ رﺑﻊ ﻟﺸﻜﺮ ٩٢
٢٧٦
٢٣
» .١٧اﮔﺮ ﺳﺆال ﻛﻨﻨﺪ ﻛﻪ ﻣﺮﺑـﻊ را ﭼﻬﺎر ﺿﻠﻊ او ﺑﺎ ﻣﺴﺎﺣـﺖ ١٤٠اﺳﺖ ﻳﻚ ﺿﻠﻊ ﭼﻨﺪ ﺑﻮد؟« )ﻧﮕﺮ :ﻟﺐاﻟﺤﺴﺎب ،ص (٢٦٥ x2 + 4x = 140⇒ x = 10
»و اﮔﺮ ﺳﺆال ﻛﻨﺪ ﻛﻪ از ﻣﺴﺎﺣﺖ ﻣﺮﺑﻊ ﭼﻮن ﭼﻬﺎر ﺿﻠﻊ وى از وى اﺳﻘﺎط ﻣﻰﻛﻨﻰ ٣ﺑﺎﻗﻰ ٦٠ﻣﻰﺑﻮد ﺿﻠﻊ ﭼﻨﺪ ﺑﻮد؟« x2 − 4x = 60⇒ x = 10
»اﮔﺮ ﮔﻮﻳﻨﺪ اﻳﻦ ﻣﺮﺑﻊ ﻣﺜﻞ ﻣﺴﺎﺣﺖ اﺳﺖ ﺿﻠﻌﺶ ﭼﻨﺪ ﺑﻮد؟« x2 = 4x
»اﮔﺮ ﮔﻮﻳﻨﺪ اﺿﻼع ﻣﺮﺑﻊ دو ﻣﺜﻞ ﻳﺎ ٣ﻣﺜﻞ ﻣﺴﺎﺣﺖ اﺳﺖ ﻋﺪد اﺿﻼع را ﺑﺮ ﻋﺪد اﻣﺜﺎل ﻗﺴﻤﺖ ﺑﺎﻳﺪ ﻛﺮد آﻧﭽﻪ ﺧﺎرج ﺷﻮد ﻗﺪر ﺿﻠﻊ ﺑﺎﺷﺪ«. 2 2
اوﻟﻰ
دوﻣﻰ
روز
١٥+٢٠=٣٥
١٥
ﻓﺮﺳﺦ
٧×١٥=١٠٥ ٣×٣٥=١٠٥
4x = 2x
4x = 3x
»اﮔﺮ ﻣﺴﺎﺣﺖ ﻣﺴﺘﻄﻴﻞ ٤٨ﺑﺎﺷﺪ و ﺗﻔﺎﺿﻞ ﻣﻴﺎن ﻃﻮل و ﻋﺮض ،٢ﻃﻮل ﭼﻨﺪ ﺑﻮد؟« ab = 48 a − b = 2
?=a
»اﮔﺮ ﻗﻄﺮ ﻣﺴﺘﻄﻴﻞ ﻋﺸﺮه ﺑﻮد و ﻣﺴﺎﺣﺖ ٤٨ﻃﻮﻟﺶ ﭼﻨﺪ ﺑﻮد؟« .١٦ﻟﺸﻜﺮى ﻏﻨﻴﻤﺘﻰ ﮔﺮﻓﺘﻨﺪ اﮔﺮ اﻳﻦ ﻏﻨﻴﻤﺖ را ﺑﻴﻦ ﻳﻚ ﭼﻬﺎرم ﻟﺸﻜﺮ ﺗﻘﺴﻴﻢ ﻛﻨﻨﺪ ﺑﻪ اوﻟﻰ ،١دوﻣﻰ ،٢ﺳﻮﻣﻰ ٣درﻫﻢ و ﺑﻪ ﺑﻘﻴﻪ ﻧﻴﺰ ﺑﻪ ﻫﻤﻴﻦ ﺗـﺮﺗﻴﺐ ﺗﻌﻠﻖ ﻣﻰﮔـﻴـﺮد ،ﺣﺎل اﮔﺮ اﻳﻦ ﻏﻨﻴﻤـﺖ را ﺑﻴﻦ ﻫﻤﻪ )ﻛﻞ ﻟﺸﻜﺮ( ﺑﻪﻃﻮر ﻣﺴﺎوى ﺗﻘﺴﻴﻢ ﻛﻨﻨﺪ ﺑﻪ ﻫﺮ ﻳﻜـﻰ ٣درﻫﻢ ﻣﻰرﺳﺪ ،اﺻﻞ ﻏﻨﻴﻤﺖ ﭼﻘﺪر ﺑﻮده اﺳﺖ؟ )ﻧﮕﺮ :ﻟﺐاﻟﺤﺴﺎب، ص (٢٦٣ ﻃﺒﻖ دادهﻫﺎى ﻣﺴﺄﻟﻪ اﮔﺮ ﻏﻨﻴـﻤـﺖ را ﺑﺮ رﺑﻊ ﻟﺸﻜﺮ ﺗﻘﺴـﻴـﻢ ﻛﻨﻴﻢ دﻧﺒﺎﻟـﻪى 1,2, 3,4,...و اﮔﺮ ﺑﺮ ﻫﻤﻪى ﻟﺸﻜﺮ ﺗﻘﺴﻴﻢ ﻛﻨﻴـﻢ دورهى ﺑﻴﺴﺖ ﻫﻔﺘﻢ
ﺑﻬﺎرﺷﻤﺎره٨٩ى٦٠ ٣١٣
ab = 48 2 a + b2 = 10
»اﮔﺮ ﻗﻄﺮ ﻣﺴﺘﻄﻴﻞ ﻋﺸﺮه ﺑـﻮد و ﺗﻔﺎﺿﻞ ﻣﻴﺎن ﻃﻮل و ﻋﺮض ٢ ﻣﺴﺎﺣﺖ ﭼﻨﺪ ﺑﻮد؟« a 2 + b2 = 10 a − b = 2 ?=S
» .١٨ﻳﻜﻰ آﻣﺪ و ﻃﺒﻘﻰ ﻓﻨﺪق آورد و ده داﻧﻪ از آن ﺑﻪ ﺳﻪ ﻛﺲ داد ﻛﻪ ﻫﺮ ﻳﻜﻰ ﭼﻨﺪى ﺑﺮﮔﻴﺮﻧﺪ ،و ﺻﺪ داﻧﻪ دﻳﮕﺮ در ﻃﺒﻘﻰ ﻛﺮد ،ﺑﻪ اول ﻣﻰﮔﻮﻳﺪ آﻧﭽﻪ ﺗﻮ دارى دو ﭼﻨﺪان از اﻳﻦ ﻃﺒﻖ ﺑﺮﮔﻴﺮ و ﺑﻪ ﺛﺎﻧﻰ ﻣﻰﮔﻮﻳﺪ ٩ﭼﻨﺪان ﻛﻪ دارى از اﻳﻦ ﻃﺒﻖ ﺑﺮﮔﻴﺮ و ﺑﻪ ﺛﺎﻟﺚ ﻣﻰﮔﻮﻳﺪ ده ﭼﻨـﺪان ﺑـﺮﮔﻴﺮ ،ﺑﺎﻗﻰ ﻛﻪ ﺑﻤﺎﻧﺪ ﺑﺮ ﻫـﺸـﺖ ﻗـﺴـﻤـﺖ ﻛـﻦ آﻧـﭽـﻪ ﺻﺤﻴﺢﺑﻴﺮون آﻳﺪ از آن اول ﺑﻮد ،و ﺑﺎﻗﻰ ﻛﻪ ﻗﺴﻤﺖﭘﺬﻳﺮ ﻧﺒﻮد از آن اﻟﺴﻼم«)ﻧﮕﺮ :ﻟﺐاﻟﺤﺴﺎب ،ص آن ﺛﺎﻟﺚ ،و ّ وﺑﺎﻗﻰ ﻋﺸﺮه از ِ ِ ﺛﺎﻧﻰ (٢٦٦ x + y + z = 10 100− (2x + 9y +10z) y ]− 8 8
اوﻟﻰx :
اوﻟﻰ٢x :
دوﻣﻰy :
دوﻣﻰ٩y :
ﺳﻮﻣﻰz :
ﺳﻮﻣﻰ١٠z :
ﻃﺒﻖ اول
ﻃﺒﻖ دوم
[= x
ﺑﺮاى ﻫﺮ دو ١٢٠ﻓﺮﺳﺦ اﺳﺖ:
ﻣﺴﺎﻓﺖ
اول ٢٠
ﺛﺎﻧﻰ ١٥
١٢٠
١٢٠
٢» .٢٠رﺳﻮل را ﻓﺮﺳﺘﺎدﻧﺪ از دو ﺑﻠﺪ ﻣﺨﺘﻠ; در ﻳـﻚ روز و ﺷﺮط ﻛﺮدﻧﺪ ﻳﻜﻰ را ﻛﻪ ﻫﺮ روز َﺛﻤﻦ )ﻳﻚ ﻫﺸﺘﻢ( ﻃﺮﻳﻖ ﻗﻄﻊ ﻛﻨﺪ و ﺸﺮ )ﻳﻚ دﻫﻢ( ﻃﺮﻳﻖ ﺧـﻮاﺳﺘﻴﻢ ﻛﻪ ﻣﺪت اﻟﺤﺎق ﺑﺪاﻧـﻴـﻢ و ﺛﺎﻧﻰ ﻋَ َ َﺑﻌﺪ ﺑﻴﻦ اﻟﺒﻠﺪﻳـﻦ و ﺳـﻴـﺮ ﻫـﺮ ﻳـﻜـﻰ ﺗـﺎ ﻣـﺪت اﻟـﺤـﺎق) «.ﻧـﮕـﺮ: ﻟﺐاﻟﺤﺴﺎب ،ص (٢٧٠ ﻣﺆﻟ; راهﺣﻞ زﻳﺮ را ﺑﻴﺎن داﺷﺘﻪ اﺳﺖ: زﻣﺎن رﺳﻴﺪن دو ﻓﺮد ﺑﻪ ﻫﻢ ﻋﺒﺎرت اﺳﺖ از: 1 1 40 4 = ) 1÷ ( + =4 8 10 9 9
ﻣﺴﺎﻓﺖﻫﺎى ﻃﻰ ﺷﺪه ﺗـﻮﺳﻂ ﻧﻔﺮ اول و دوم ﻋﺒﺎرت اﺳﺖ از ٢٠٠و .١٦٠ 1 1 x1 = ( 40)(40) = 200, x2 = ( 40)(40) = 160 8 10
x1 + x2 = 360 1 360 = 45 8
» .١٩رﺳﻮﻟﻰ را ﻓﺮﺳﺘﺎدﻧﺪ و ﺷﺮط ﻛﺮدﻧﺪ ﻛﻪ ﻫﺮ روز ٦ﻓﺮﺳـﺦ ﺑﺮود و رﺳـﻮﻟﻰ دﻳﮕـﺮ را ﻓﺮﺳﺘﺎدﻧﺪ ﺑـﻌـﺪ از وى در ﭘﻨﺞ ﻳـﻮم و ﺷﺮط ﻛﺮدﻧﺪ ﻛﻪ در روز اول ﻳﻚ ﻓﺮﺳﺦ ﺑﻮد و در روز دوم دو ﻓﺮﺳﺦ و در روز ﺳﻮم ٣ﻓﺮﺳﺦ و ﻋﻠﻰ ﻫﺬا ﺑﺮ ﻧﻈﻢ ﻃﺒﻴﻌﻰ ﺗﺎ اﻳﻦ زﻣﺎن ﻛﻪ ﺑﻪ وى رﺳﺪ ﺧﻮاﺳﺘﻴﻢ ﻛﻪ ﻣﺪت اﻟﺤﺎق ﺑﺪاﻧﻴﻢ؟« )ﻧﮕﺮ :ﻟﺐاﻟـﺤـﺴـﺎب، ص (٢٧٠ ﺑﺮاى ﻧﻔـﺮ اول دﻧﺒـﺎﻟـﻪى … و ٦و ٦و ٦و ٦و ﺑﺮاى ﻧﻔـﺮ دوم دﻧﺒﺎﻟﻪى … و ٥و ٤و ٣و ٢و ١را در ﻧﻈﺮ ﻣﻰﮔﻴﺮﻳﻢ ،از آنﺟﺎ ﻛﻪ ﻧﻔﺮ دوم ٥روز دﻳﺮﺗﺮ از ﻧﻔﺮ اول آﻏﺎز ﻛﺮده اﺳﺖ ﭘﺲ دارﻳﻢ: )n(n +1 )= 6n + 5(6 2 n 2 + n = 12n + 60 n 2 −11n − 60 = 0 (n −15)(n + 4) = 0
n = 15, n = −4
ﭘﺲ ﺑﻌﺪ از ١٥روز ﺑﻪ ﻫﻢ ﻣﻰرﺳﻨﺪ ،و ﻣﺴﺎﻓﺘﻰ ﻛﻪ ﭘﻴﻤﻮدهاﻧﺪ
1 360 = 36 10
ﻧﻔﺮ اول ﻫﺮ روز ٤٥و ﻧﻔﺮ دوم ﻫﺮ روز ٣٦ﻓﺮﺳﺦ ﻃﻰ ﻣﻰﻛﻨﻨﺪ ﺗﺎ ﺑﻪ ﻫﻢ ﺑﺮﺳﻨﺪ. » .٢١دو ﻛﺲ ﻫﺮ ﻳﻜﻰ ﻣﺎﻟﻰ دارﻧﺪ اوﻟﻰ ﺑﻪ ﺛﺎﻧﻰ ﻣﻰﮔﻮﻳﺪ اﮔﺮ ﺗﻮ ٢ﺧﻤﺲ آﻧﭽﻪ دارى ﺑﻪ ﻣﻦ دﻫﻰ ﺑﻬﺎ ﺟﺎﻣﻪ ﺑـﻮد و ﺛﺎﻧﻰ ﻣﻰﮔﻮﻳﺪ اﮔﺮ ﺗﻮ ٣ﺳﺒﻊ آﻧﭽـﻪ دارى ﺑﻪ ﻣﻦ دﻫﻰ ﺑﻬﺎ ﺟﺎﻣـﻪ ﺑـﻮد؛ ﻓـﺮا ﮔﺮﻓﺘﻴـﻢ ﻣﺨﺮج ﺧﻤﺲ ٥و ﻣﺨﺮج ﺳﺒﻊ ﻫﻔﺖ ﭘﺲ اﺳﻘﺎط ﻛـﺮدﻳﻢ از ﻣﺨﺮج ﺧﻤﺲ ٢ﺑﺎﻗﻰ ﻣﺎﻧﺪ ٣ﺿﺮب ﻛﺮدﻳﻢ در ﻣﺨﺮج ﺳﺒﻊ ﺷﺪ ٢١اﻳﻦ از آن ﺻﺎﺣﺐ ﺳﺒﻊ ﺑﻮد و ﻧﻘﺼﺎن ﻛﺮدﻳﻢ از ﻣﺨﺮج ﺳﺒﻊ ٣ﺑﺎﻗﻰ ﻣﺎﻧﺪ ٤ ﺿﺮب ﻛﺮدﻳﻢ در ﻣﺨﺮج ﺧﻤﺲ ﺷـﺪ ٢٠اﻳﻦ از آن ﺻﺎﺣﺐ ﺧﻤﺲ ﺑﻮد) «.ﻧﮕﺮ :ﻟﺐاﻟﺤﺴﺎب ،ص (٢٧٢ x + 2 y = z 5 ⇒ x = 21, y = 20 3 x+7 = z 7
٦١
دورهى ﺑﻴﺴﺖ وﻫﻔﺘﻢ ﺷﻤﺎرهى٣ ﺑﻬﺎر ١٣٨٩
)x2 + y2 + 2xy − x2 − xy −10y y(x + y −10 = =y x + y −10 )(x + y −10
=
x = 13 − y
اﺳﺘﺨﺮاج اﻋﺪاد ﻣﻀﻤـﺮ :اﺳﺘﺨﺮاج اﻋﺪاد ﻣﻀﻤﺮ ﻳﻌﻨﻰ ﻳﺎﻓـﺘـﻦ ﻋﺪدى ﻛﻪ ﻛﺴﻰ در ذﻫﻦ ﺧﻮد اﻧﺘﺨﺎب ﻛﺮده اﺳﺖ از ﻃﺮﻳﻖ ﮔﺮﻓﺘﻦ اﻃﻼﻋﺎت ﺟﺎﻧﺒﻰ از او .در ﻫﺮ ﺳﻪ ﻛﺘﺎب ﻣـﻨـﺒـﻊ اﻳـﻦ ﻣـﻘـﺎﻟـﻪ ،در ﺑﺨﺶﻫﺎﻳﻰ ﺑﻪ اﻳﻦ ﻣﻮﺿﻮع ﭘﺮداﺧﺘﻪ ﺷﺪه اﺳﺖ .در ﻟﻐﺖ ﻣُﻀﻤﺮ ﺑﻪ ﻣﻌﻨﻰ آنﭼﻪ ﭘﻮﺷﻴﺪه و ﭘﻨﻬﺎن اﺳﺖ و در ﺿﻤﻴﺮ ﻧﮕﻪ داﺷﺘﻪ و در دل ﭘﻨﻬﺎن ﺷﺪه ﻣﻰﺑﺎﺷﺪ. » .٢٢ﻳﻜـﻰ ٦و ٧در دل ﮔـﺮﻓﺖ از ﻣﺠـﻤـﻮع ﻫـﺮ دو ﻛـﻪ ١٣ اﺳﺖ ﺧﺒﺮ ﺑﺎﻳﺪ داد و آن ١٣ﻣﺮﺑﻊ ﻛﻨﺪ ﺑﺎﺷﺪ ١٦٩ﺑﻌﺪ از آن ﻳﻜﻰ از ﻣﺜﻼ ﻫﻔﺖ را در ﻣﺠﻤﻮع ﻛﻪ ١٣اﺳﺖ ﺿﺮب ﻛﻨﺪ ﻧﻮد و ﻳﻚ آن ﻋﺪد ً ﺑﺎﺷﺪ ﺑﻌﺪ از آن ﻋﺪد دﻳﮕﺮ را ﻛﻪ ٦اﺳﺖ در ﻋﺪدى ﻛﻪ ﻛﻤﺘﺮ از ١٣ ﺑﻮد ﺿﺮب ﻛﻨﺪ ﻣﺜـﻼً ﻋﺸﺮه ٦٠ﺑﺎﺷﺪ اﻳﻦ دو ﻣﺒﻠﻎ ﺟﻤﻊ ﻛﻨﺪ ﺑﺎﺷـﺪ ١٥١اﻳﻦ از ﻣﺮﺑﻊ ١٣ﺑﺮود .ﺑﺎﻗﻰ ﻣﺎﻧﺪه ﻫﺠﺪه ﻗﺴﻤﺖ ﻛﻨﺪ ﺑﺮ ﻓﺼﻞ ﻣﻴﺎن ١٣و ﻋﺸﺮه و آن ٣اﺳﺖ ﺧﺎرج آﻳﺪ ٦از ١٣ﺑﺮود ﺑﺎﻗﻰ ﻣﺎﻧﺪ ) «.٧ﻧﮕﺮ :ﻟﺐاﻟﺤﺴﺎب ،ص (٢٦٤ ? = x + y = 13, x = ?, y
](x + y)2 − [x(x + y) +10y x + y −10 دورهى ﺑﻴﺴﺖ ﻫﻔﺘﻢ
ﺑﻬﺎرﺷﻤﺎره٨٩ى٦٢ ٣١٣
.٢٣اﺳﺘﺨﺮاج ﻧﺎمﻫـﺎ» :از ﻣﻀﻤﺮ ﺳـﺆال ﻛـﺮدﻳﻢ ﻛﻪ اﻳـﻦ ﻧـﺎم ﭼـﻨـﺪ ﺣـﺮف اﺳـﺖ .او را ﺑﮕﻮﻳـﺪ ﺗـﺎ ﺣـﺮف اول را ﺗـﺮك ﻛﻨﺪ و ﺑـﺎﻗـﻰ ﺑـﻪ ﺣﺴﺎب ﺟﻤﻞ ﺑﺮﮔﻴﺮد ،و ﺑﮕﻮﻳﺪ ﻛﻪ ﭼﻨﺪ اﺳﺖ ﺑﻌﺪ از آن ﺣﺮف دوم را ﺗﺮك ﻛﻨﺪ و ﺑﺎﻗﻰ ﺑﺮﮔﻴﺮد و ﺑﮕﻮﻳﺪ ﻛﻪ ﭼﻨﺪ اﺳﺖ و ﻋﻠﻰ ﻫﺬا ﺗﻌﺪاد اﻳـﻦ ﺟﻤﻊ ﻛﻨﺪ و ﺑﺮ ﻋﺪد ﺣﺮوف ّاﻟﺎ واﺣﺪى ﻗﺴﻤﺖ ﻛﻨﺪ آﻧﭽـﻪ ﺧـﺎرج ﺷـﻮد ﻋﺪد ﺣـﺮوف ﺑﺎﺷﺪ ﺑـﻪ ﺣﺴﺎب ﺟَﻤﻞ ﭼـﻮن ﺟﻤﻠﻪ اول از اﻳﻦ اﺳﻘـﺎط ﻛﻨﺪ ﺑﺎﻗـﻰ ﺣـﺮف اول ﺑﻮد و ﻋﻠﻰ ﻫﺬا ﻣـﺜـﻼً او ﮔﻔﺖ اﻳﻦ ﻧﺎم ٣ﺣﺮف اﺳﺖ ﮔﻔﺘﻴﻢ ﻛـﻪ اول از اﻳﻦ ﻃـﺮح ﻛﻦ و ﺑﺎﻗﻰ ﺑـﺮﻫﻢ ﮔﻴﺮ ﮔﻔـﺖ ﭼـﻬـﻞ اﺳﺖ دﻳﮕﺮ ﮔﻔﺘﻴﻢ ﺛﺎﻧﻰ ﻃﺮح ﻛﻦ ﮔﻔﺖ ﻫﺸﺘﺎد اﺳﺖ دﻳﮕﺮ ﮔﻔﺘﻴﻢ ﺛﺎﻟﺚ ﻃـﺮح ﻛﻦ ﮔﻔﺖ ﺻـﺪ اﺳﺖ ﺑﺮ ﻫﻢ اﻓﺰودﻳﻢ ﺷﺪ ٢٢٠ﺑﺮ دو ﻗﺴﻤـﺖ ﻛﺮدﻳﻢ ﺧـﺎرج آﻣﺪ ﺻﺪ و ده اﻳﻦ ﻋـﺪد ﺣـﺮوف اﺳﺖ ﺟﻤـﻠـﻪ اول از وى ﺑﺮﻓﺘﻴﻢ ﺑﻤﺎﻧﺪ ﻫـﻔـﺘـﺎر ﺟﻤﻠﻪ ﺛﺎﻧﻰ از وى ﺑﺮﻓﺘﻴﻢ ﺑﻤﺎﻧﺪ ٣٠ﺟﻤﻠﻪ ﺛﺎﻟﺚ از وى ﺑﺮﻓﺘﻴﻢ ﺑﻤﺎﻧﺪ ده ﭘـﺲ ﻣـﻌــﻠــﻮم ﺷـﺪ ﻛـﻪ اﻳـﻦ اﺳـﻢ ﻋـﻠــﻰ اﺳــﺖ) «.ﻧــﮕــﺮ: ﻟﺐاﻟﺤﺴﺎب ،ص (٢٦٤ ﺑﺮاى ﻣﺜﺎل ﺑﻪ ﻛﺴﻰ ﻛﻪ اﺳـﻢ ﻋـﻠـﻰ را ﻧـﺰد ﺧﻮد در ﻧﻈﺮ ﮔـﺮﻓﺘـﻪ ﻣﻰﮔﻮﻳﻴﻢ ﺣﺮف اول آن را ﺣﺬف ﻛﻨﺪ و ﺟﻤﻊ ﺑﻘﻴﻪ را ﺑﺎزﮔﻮ ﻛﻨﺪ، ﻣﻰداﻧﻴﺪ ﻛﻪ در ﺣﺴﺎب ﺟﻤﻞ ع ﻣﻌﺎدل ،٧٠ل ﻣﻌﺎدل ،٣٠و ى ﻣﻌﺎدل ١٠اﺳﺖ ،ﭘﺲ اﮔﺮ ﺑﺨﻮاﻫﻴﻢ ﻛﻪ ﺑﺎر اول ع ،ﺑﺎر دوم ل ،و ﺑﺎر ﺳﻮم ى را ﺣﺬف ﻛﻨﺪ و ﺟﻤﻊ ﺑﻘﻴﻪ را ﺑﮕﻮﻳﺪ دارﻳﻢ: y + z = 40
x + z = 80 x + y = 100
ﺣﺎل اﮔﺮ ﻣﻌﺎدﻻت ﻓﻮق را ﺑﺎ ﻫﻢ ﺟﻤﻊ ﻛﻨﻴﻢ دارﻳﻢ: 2(x + y + z) = 220
x + y + z = 110
ﺗﺎ اﻳﻨﺠﺎ ﺟﻤﻊ ﺣﺮوف ﻣﻌﻠﻮم ﻣﻰﺷﻮد ،اﻳﻨﻚ ﻣﻌﺎدﻟﻪى
y + z = 40را در آﺧﺮﻳﻦ راﺑﻄﻪ ﺟﺎﻳﮕﺰﻳﻦ ﻛﺮده ﻛﻪ ﺑﺮاى xﻋﺪد ٧٠ ﻛﻪ ﻣﺘﻨﺎﻇﺮ ﺑﺎ ع اﺳﺖ ﺑﻪ دﺳﺖ ﻣﻰآﻳﺪ ،و ﺑﻘﻴﻪ ﻧﻴﺰ ﺑﻪ ﻫﻤﻴﻦ ﺗـﺮﺗﻴﺐ ﻣﺤﺎﺳﺒﻪ ﻣﻰﺷﻮد .ﭘﺲ ﻧﺎم ﭘﻨﻬﺎن ﺷﺪه ﻋﻠﻰ ﺑﻮده اﺳﺖ. » .٢٤اﺳﺘﺨـﺮاج ﺧﺎﺗـﻢ ﻫـﺮﮔﻪ ﻛﻪ ﺷﺨﺼـﻰ ﺧـﺎﺗـﻤـﻰ از زر در دﺳﺘﻰ ﻧﻬﺪ و ﺧﺎﺗﻤﻰ از ﻧﻘـﺮه در دﺳﺘﻰ دﻳﮕﺮ ﻛﻪ ﺧﻮاﻫﻨﺪ ﻛﻪ ﺑﺪاﻧﻨﺪ ﻛﻪ ﺧﺎﺗﻢ زر در ﻛﺪام دﺳﺖ اﺳﺖ و ﻧﻘﺮه در ﻛﺪام ﻃﺮﻳﻖ آن ﺑﺎﺷﺪ ﻛﻪ در آن دﺳﺖ ﻛﻪ ﺧﺎﺗﻢ زر اﺳﺖ ﻋﺪدى زوج ﺑﺮﮔﻴﺮد و آن ﻧﻘﺮه ﻋﺪدى ﻓﺮد آن ﻋﺪد ﻛﻪ در دﺳﺖ راﺳﺖ اﺳﺖ ﺿﺮب ﻛﻨﺪ در ﻋﺪد زوج ،و آﻧﭽﻪ در دﺳﺖ ﭼﭗ اﺳﺖ ﺿﺮب ﻛﻨﺪ در ﻋﺪد ﻓﺮد ،و ﻫﺮ دو ﻣﺒﻠﻎ ﺑﺮﻫﻢ ﮔﻴـﺮد اﮔﺮ ﺑﻌﺪ از ﺗﻨﺼﻴـ; ﻛـﺴـﺮى ﺑﺎﺷﺪ ﺧﺎﺗـﻢ زر در دﺳـﺖ راﺳﺖ ﺑـﻮد و اﮔﺮ ﻛـﺴـﺮى ﻧﺒﺎﺷـﺪ در دﺳـﺖ ﭼـﭗ ﺑـﻮد) «.ﻧـﮕـﺮ: ﻟﺐاﻟﺤﺴﺎب ،ص (٢٦٥ ﻣﺸﺎﺑﻪ اﻳﻦ ﻣﺴﺌﻠﻪ در ﻣﻔﺘﺎحاﻟﻤﻌﺎﻣﻼت و اﻟﺘﻜﻤـﻠـﻪ ﻧـﻴـﺰ آﻣـﺪه اﺳﺖ .ﻓﺮض ﻣﻰﻛﻨﻴﻢ ﺧﺎﺗﻢ زر در دﺳﺖ راﺳﺖ و ﻧﻘﺮه در دﺳﺖ ﭼﭗ ﺑﺎﺷﺪ ،ﭘﺲ در دﺳﺖ راﺳﺖ ﻋﺪد 2k1در ﻧﻈﺮ ﻣﻰﮔﻴﺮﻳﻢ و در دﺳﺖ ﭼﭗ ، 2k 3 +1آن ﮔﺎه ﻃﺒﻖ راهﺣﻞ ﻣﺆﻟ; دارﻳﻢ: )2k1.2k 2 + (2k 3 +1)(2k 4 +1 2 4k1k 2 + 4k 3 k 4 + 2k 3 + 2k 4 +1 2k 5 +1 = 2 2
=
ﭼﻮن ﻋﺪد ﻛﺴـﺮى )ﻧﺎﺻﺤﻴﺢ( ﺑﻪ دﺳﺖ آﻣﺪ ﭘﺲ ﺧﺎﺗـﻢ زر در دﺳﺖ راﺳﺖ اﺳﺖ. ﺣﺎل اﮔﺮ ﺧﺎﺗﻢ زر در دﺳﺖ ﭼﭗ و ﻧﻘﺮه در دﺳﺖ راﺳﺖ ﺑﺎﺷﺪ دارﻳﻢ: 2k1(2k 2 +1)(2k 3 +1).2k 4 2k 5 = = k5 2 2
ﻋﺪد ﺻﺤﻴﺢ ﺑﻪ دﺳﺖ آﻣﺪ ﭘﺲ ﺧﺎﺗﻢ زر در دﺳﺖ ﭼﭗ اﺳﺖ و ﻧﻘﺮه در دﺳﺖ راﺳﺖ. » .٢٥دو ﻛﺲ ﻣﻰﮔﻮﻳﻨﺪ ﻣﻴﺎن ﻣﺎ ده ﻋﺪد ﭘﻨﻬﺎن اﺳﺖ ﻫﺮ ﻳﻜﻰ ﭼﻨﺪ دارﻳﻢ ﺑﻪ ﻳﻜﻰ ﮔﻮ آﻧﭽـﻪ ﺗـﻮ دارى ﻣﻀﺎﻋ; ﻛﻦ و ﺑﻪ آﺧـﺮ ﮔـﻮ آﻧﭽﻪ ﺗـﻮ دارى ﻳﻜﻰ ده ﮔـﺮدان ﭘﺲ ﻣﺠﻤـﻮع آن ﺑﺎزﭘﺮس و از ﻣﺮﺑـﻊ ﻋﺸﺮه اﺳﻘﺎط ﻛﻦ آﻧﭽﻪ ﺑﻤﺎﻧﺪ ﺑﺮ ﻫﺸﺖ ﻗﺴﻤﺖ ﻛﻦ آﻧﭽﻪ ﺧﺎرج آﻳﺪ از آن اول ﺑﻮد) «.ﻧﮕﺮ :ﻟﺐاﻟﺤﺴﺎب ،ص (٢٦٦ )100− (2x +10y ⇔ 8
=x
⇔ 8x = 100− 2x −10y ⇔8x + 2x +10y = 100
x + y = 10
ﺳﺨﻦ آﺧﺮ ﻫﻨﺮ ﻣﻌﻠﻢ رﻳﺎﺿﻰ اﻳﻦ اﺳﺖ ﻛﻪ ﺑﺘﻮاﻧﺪ زﻣﻴﻨﻪى ﻳﺎدﮔﻴﺮى ﻓﻌﺎل را ﺑﺮاى داﻧﺶآﻣـﻮزان ﻓﺮاﻫﻢ ﻛﻨﺪ ،در آنﻫﺎ ﺑﻬﺘﺮﻳﻦ اﻧـﮕـﻴـﺰهﻫﺎ را اﻳﺠﺎد ﻛﻨﺪ و آنﻫﺎ را ﺑﻪ ﺗﻔﻜﺮ و اﻧﺪﻳﺸﻴﺪن وا دارد و ﭼﻪﻗﺪر ﻟﺤﻈﺎت ﻛﻼس درس دﻟﭙﺬﻳـﺮ اﺳـﺖ وﻗﺘﻰ ﻣﻌﻠـﻢ ﺑـﺘـﻮاﻧﺪ ﻋـﻼوه ﺑﺮ ﻣـﻮارد ﻣﺬﻛﻮر ﺑﻪ ﺗﺎرﻳﺦ و ﻓﺮﻫﻨﮓ و رﻳﺎﺿﻴﺎت ﻗﻮﻣﻰ ﻧﻴﺰ ﺑﭙﺮدازد و ﺑﻪ اﻳﻦ وﺳﻴﻠﻪ ﻓﻀﺎى ﺳﺮﺷﺎر از ﺷﺎداﺑﻰ ﺑﻪ ﺷﺎﮔﺮدان درس رﻳﺎﺿﻰ ﻫﺪﻳﻪ ﻛﻨﺪ. ﭘﻰﻧﻮﺷﺖ .١ﺗﻔﺎﺿﻞ .٢ﭘﻴﻚ ،ﻗﺎﺻﺪ .٣ﻛﻢ ﻛﻦ ﻣﻨﺎﺑﻊ 1. HPM newsletter. No. 69. July 2008. Available: http:// www.clab.edu. uoc.gr/hpm .٢اﻟﺘﻜﻤﻠﻪ ﻓﻰ اﻟﺤﺴﺎب ،ﻋﺒﺪاﻟﻘﺎﻫﺮ ﺑﻦ ﻃﺎﻫﺮ ﺑﻐﺪادى .ﺑﺎ ﺗﺤﻘﻴﻖ و ﻣﻘﺪﻣﻪ دﻛﺘﺮ اﺣﻤﺪ ﺳﻠﻴﻢ ﺳﻌﻴﺪان .ﭼﺎپ اول .ﻛﻮﻳﺖ ١٤٠٦.ﻫﺠﺮى. .٣ﭼﺎپ ﻋﻜﺴﻰ ﻟﺐاﻟﺤﺴـﺎب ،ﻣـﻘـﺪﻣـﻪ و ﻓـﻬـﺮﺳﺖ ﺟﻤﺎلاﻟﺪﻳـﻦ ﺷـﻴـﺮازﻳﺎن .ﺑﻨﻴـﺎد داﻳﺮةاﻟﻤﻌﺎرف اﺳﻼﻣﻰ .ﻣﺮﻛﺰ اﻧﺘﺸﺎرات ﻧﺴﺦ ﺧﻄﻰ.١٣٦٨ . .٤ﺧﺮدﻧﺎﻣﻪ .اﺑﻮاﻟﻔﻀﻞ ﻳﻮﺳ; ﺑﻦ ﻋﻠﻰ ﻣﺴﺘﻮﻓﻰ .ﺑﻪ ﺗﺼﺤﻴﺢ و ﻛﻮﺷﺶ ادﻳﺐ ﺑﺮوﻣﻨﺪ. اﻧﺘﺸﺎرات اﻧﺠﻤﻦ آﺛﺎر ﻣﻠﻰ .ﺗﻬﺮان.١٣٤٧ . .٥ﺧﻼﻗﻴﺖ رﻳﺎﺿﻰ .ﺟﻮرج ﭘﻮﻟﻴﺎ .ﻣﺘﺮﺟﻢ :ﭘﺮوﻳﺰ ﺷﻬﺮﻳﺎرى .اﻧﺘﺸﺎرات ﻓﺎﻃﻤﻰ .ﭼﺎپ ﺳﻮم .ﺗﻬﺮان.١٣٧٥ . .٦دﻫـﻤـﻴـﻦ ﻛـﻨـﻔـﺮاﻧـﺲ آﻣــﻮزش رﻳـﺎﺿـﻰChenge Chun Chor. Problem. . Solving through Pattern Recognition Litwinﻳﺰد .ﻣﺮداد .٨٧ .٧زﻧﺪﮔﻰﻧﺎﻣـﻪى رﻳـﺎﺿـﻰداﻧـﺎن دورهى اﺳﻼﻣـﻰ .اﺑـﻮاﻟﻘﺎﺳﻢ ﻗـﺮﺑـﺎﻧـﻰ .ﻣـﺮﻛﺰ ﻧـﺸـﺮ داﻧﺸﮕﺎﻫﻰ .ﭼﺎپ اول .١٣٦٥ .٨ﺷﻤﺎرهﻧﺎﻣﻪ .ﻣﺤﻤﺪ اﻳـﻮب ﻃﺒﺮى )ﺣﺎﺳﺐ ﻃﺒﺮى( .ﻣﻘﺪﻣﻪ ﺗﻘﻰ ﺑﻴﻨﺶ .ﭼﺎپ ﺑﻨﻴـﺎد ﻓﺮﻫﻨﮓ اﻳﺮان.١٣٤٥ . .٩ﻛﻨﺰاﻟﺤﺴﺎب .ﺷﻴﺦ ﺑﻬﺎﻳﻰ .ﺗﺮﺟﻤﻪ اﻋﺘﻤﺎد اﻟﺴﻠﻄﻨﻪ .ﭼﺎپ اﺻﻔﻬﺎن.١٢٨٣ . .١٠ﮔﻮﺷﻪﻫﺎﻳﻰ از رﻳﺎﺿﻴﺎت دورهى اﺳﻼﻣﻰ .ﺟﻰ ال ﺑﺮﮔﻦ .ﺗﺮﺟﻤﻪى ﻣﺤﻤﺪ ﻗﺎﺳﻢ وﺣﻴﺪى و ﻋﻠﻴﺮﺿﺎ ﺟﻤﺎﻟﻰ .اﻧﺘﺸﺎرات ﻓﺎﻃﻤﻰ.١٣٧٤ . .١١ﻣﺠـﻤـﻮﻋﻪ ﻣﻘـﺎﻻت ﺳـﻮﻣﻴﻦ ﻫﻤﺎﻳـﺶ ﺗـﺎرﻳـﺦ رﻳـﺎﺿـﻰ .داورى و ﺗﺪوﻳـﻦ اﺣـﻤـﺪ ﺷﺮفاﻟﺪﻳﻦ .داﻧﺸﮕﺎه ﻫﺮﻣﺰﮔﺎن .ﭼﺎپ اول.١٣٨٠ . .١٢ﻣﻔﺘﺎحاﻟﻤﻌﺎﻣﻼت .ﻣﺤﻤـﺪ ﺑـﻦ اﻳـﻮب ﻃﺒـﺮى ،ﺑﻪ ﻛﻮﺷﺶ ﻣﺤﻤﺪ اﻣﻴﻦ رﻳـﺎﺣـﻰ، ﺗﻬﺮان.١٣٤٩ ، .١٣ﻣﻮزه آن ﻻﻳﻦ ﺗﺎرﻳﺦ ﻋﻠﻢ آﻛﺴﻔﻮردwww.mhs.ox.ac.uk/exhibits/ :
٦٣
دورهى ﺑﻴﺴﺖ وﻫﻔﺘﻢ ﺷﻤﺎرهى٣ ﺑﻬﺎر ١٣٨٩
OF GOD THE NAofME INMinistry Education Organization of Research& Educational Planning Teaching-Aids Publications Office
Roshd
Mathematics 99 Education Journal V o l. 27 N o. 3
2 0 10
ISSN: 1606 - 9188
2. Editor's Note 4. The Story of Algebra (part1) by: Ana Esfard & Lyora Linchovski trans: Z. Kamyab & A. H. Asgari 15. Review of an Experience; The Nessecity of Curriculum Integration by: S.Chamanara 24. Students’ Understanding of the Basic Concept of Function by: B. Parhizkar & Z. Gooya 34. Teachers’ Narative by: N. Hajisadegi 38. How to Choose Tasks For Classroom by: A. H. Orgloo 42. View point(1) by: M.Gooya 45. View point (2) by: Autors of Math(2) 47. Prooving Inequalities by Convex Functions (Part 2) by: A. Golamian 52. Using Books As Teaching Aides; Yes or No?! by: M. Tandeh 56. Historical Amusements in Mathematics Education by: N. Assarzadegan 64.Journal Presentation ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ Managing Editor : Mohammad Naseri Editor : Zahra Gooya Executive Director : Sepideh Chamanara Editorial Board : Esmaiel Babolian, Mirza Jalili Sepideh Chamanara , Mehdi Radjabalipour Mani Rezaie,Shiva Zamani,Bijan Zangeneh Mohammad Reza Fadaie and Soheila Gholamazad Graphic Designer : M. Karimkhani P.O.Bax : Tehran 15875 - 6585 E-mail:
[email protected]
○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○
ﻪى رﻳﺎﺿﻰ ﭘﻴﺎمدﺑﻴﺮﺧﺎﻧ
ﭘـﻴـﺎم دﺑــﻴــﺮﺧـﺎﻧــﻪ ى رﻳــﺎﺿــﻰ٢ و١ ﺷـﻤــﺎره ﻫــﺎى و ﺑﻬﺎر و ﺗﺎﺑﺴﺘﺎن١٣٨٧ ﺑﻪ ﺗﺮﺗﻴﺐ در ﭘﺎﻳﻴﺰ و زﻣﺴﺘﺎن ، اﻳﻦ ﻓﺼﻞ ﻧﺎﻣﻪ ى ﻋﻠﻤﻰ. ﺑﻪ ﭼﺎپ رﺳﻴﺪه اﺳﺖ١٣٨٨ اﻃﻼع رﺳﺎﻧﻰ ﻛﻪ ﺗﻮﺳﻂ دﺑﻴﺮﺧﺎﻧﻪ ى راﻫﺒﺮى،آﻣﻮزﺷﻰ ﺷﺎﻣﻞ اﺧﺒﺎر ﻣـﺮﺗﺒﻂ،رﻳﺎﺿﻰ ﻛﺸﻮر ﺑﻪ ﭼﺎپ ﻣـﻰ رﺳﺪ ﺑﺎ اﻳﻦ ﻧﻬﺎد و ﻧﻴﺰ ﻣﻘﺎﻟﻪ ﻫﺎﻳﻰ در ﺣﻮزه ﻫﺎى رﻳﺎﺿﻰ و از آن ﺟــﻤــﻠــﻪ.ﻣـﺮﺗـﺒـﻂ ﺑــﺎ آﻣــﻮزش رﻳـﺎﺿـﻰ ﻣـﻰ ﺑـﺎﺷـﺪ :ﻣﻰ ﺗﻮان ﺑﻪ اﻳﻦ ﻣﻄﺎﻟﺐ اﺷﺎره ﻛﺮد (؛٢ ـ ﻫﻨﺮﻫﺎى اﺳﻼﻣﻰ و درك ﻣﻔﺎﻫﻴﻢ ﻫﻨﺪﺳﻰ )در ﺷﻤﺎرهى (؛٢ ـ اﻟﮕﻮﻫﺎى ﻛﺎوشﮔﺮى )در ﺷﻤﺎرهى ﺑﺮاى درك ﺑﻬﺘﺮ ﺣﺪ ﻳـﻚExcel ـ ﻛﺎرﺑﺮد ﺻﻔﺤﻪ ﮔﺴﺘﺮدهى (؛٢ دﻧﺒﺎﻟﻪ )در ﺷﻤﺎرهى (؛٢ ـ ﺑﺮرﺳﻰ ﻋﻮاﻣﻞ ﻣﺆﺛﺮ در ﭘﻴﺸﺮﻓﺖ ﺗﺤﺼﻴﻠﻰ )در ﺷﻤﺎرهى (؛١ ـ ﺗﺎرﻳﺨﭽﻪى ﻋﺪد ﺻﻔﺮ )در ﺷﻤﺎرهى (؛١ ـ زﻳﺮﻣﺠﻤﻮﻋﻪﻫﺎى ﻓﺎرﺳﻰ )در ﺷﻤﺎرهى (؛١ ـ رﻳﺎﺿﻴﺎت در زﻧﺪﮔﻰ )در ﺷﻤﺎرهى (؛١ ـ اﻟﮕﻮﻫﺎى ﻳﺎدﮔﻴﺮى )در ﺷﻤﺎرهى …ـ و
math.teo.ir ﺑﻪ ﻧﺸﺎﻧﻰ،ﺟﻬﺖ آﺷﻨﺎﻳﻰ و اﻃﻼﻋﺎت ﺑﻴﺶﺗﺮ
[email protected] ﻣﺮاﺟﻌﻪ ﻛﻨﻴﺪ ﻳﺎ ﺑﺮاى ﻧﺸﺎﻧﻰ
.ﻧﺎﻣﻪى اﻟﻜﺘﺮوﻧﻴﻜﻰ ﺑﻔﺮﺳﺘﻴﺪ دورهى ﺑﻴﺴﺖ ﻫﻔﺘﻢ
٦٤ ٣١٣ى٨٩ﺑﻬﺎرﺷﻤﺎره
