Partielle Differentialgleichungen: Elliptische (und parabolische) Gleichungen

lost Partielle Differentialgleichungen

Springer

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JürgenJost

Partielle Differentialgleichungen Elliptische (und parabolische) Gleichungen

Mit 12 Abbildungen

' " Springer

Prof. Dr. lürgen lost Max-Planck-Institut für Mathematik in den Naturwissenschaften Inselstr.22-26 D-04103 Leipzig e-mail: [email protected]

Die Deutsche Bibliothek - CIP-Einheitsaufnahme

JOlt, Jllrgen:

Partielle Differentialgleichungen: elliptische (und parabolische) Gleichungen I Jürgen Jost.-Berlin; Heidelberg; New York; Barcelona; Budapest; Hongkong; London; Mailand; Paris; Santa Clara; Singapur; Tokio: Springer,l998 ISBN 3-540-64222-6

Mathematics Subjec:t Classific:ation (1991): 35-XX, 35-01, 35Jxx, 35Kxx

ISBN 3-540-64222-6 Springer-Verlag Berlin Heidelberg New York Dieses Werk ist urheberrechtlich geschützt. Die dadurch begründeten Rechte, insbesondere die der übersetzung, des Nachdrucks, des Vortrags, der Entnahme von Abbildungen und Tabellen, der Funksendung, der Mikroverfilmung oder der Vervielfliltigung auf anderen Wegen und der Speicherung in Datenverarbeitungsanlagen, bleiben, auch bei nur auszugsweiser Verwertung, vorbehalten. Eine VervielflIltigung dieses Werkes oder von Teilen dieses Werkes ist auch im Einzelfall nur in den Grenzen der gesetzlichen Bestimmungen des Urheberrechtsgesetzes der Bundesrepublik Deutschland vom 9. September 1965 in der jeweils geltenden Fassung zulässig. Sie ist grundsätzlich vergütungspflichtig. Zuwiderhandlungen unterliegen den Strafbestimmungen des Urheberrechtsgesetzes. CI Springer-Verlag Berlin Heidelberg 1998 Die Wiedergabe von Gebrauchsnamen, Handelsnamen. Warenbezeichnungen usw. in diesem Werk berechtigt auch ohne besondere Kennzeichnung nicht zu der Annahme, daß solche Namen im Sinne der Warenzeichen- und Markenschutz-Gesetzgebung als frei zu betrachten wären und daher von jedermann benutzt werden dürften. Einbandgestaltung: design lk production GmbH, Heidelberg Satz: Reproduktionsfertige Vorlage des Autors SPIN 10651722 W3143-5432 10 - Printedonacid-freepaper

Vorwort und Kurzbeschreibung

Das vorliegende Lehrwerk ist für Studentinnen und Studenten gedacht, die sich in die Theorie der elliptischen partiellen Differentialgleichungen einarbeiten wollen. Insofern bietet es keinen repräsentativen Überblick über das gesamte Gebiet der partiellen Differentialgleichungen, sondern versucht, zu den wichtigen Methoden und wesentlichen Aussagen im Bereich der elliptischen partiellen Differentialgleichungen hinzuführen. Ausgangspunkt ist die Laplacegleichung, deren Lösungen die harmonischen Funktionen sind. Das Gebiet der elliptischen partiellen Differentialgleichungen (PDGIn.) wird dann in natürlicher Weise als Verallgemeinerung der Laplacegleichung erschlossen, wobei verschiedene Aspekte eine Rolle spielen. Dabei werden sehr unterschiedliche Ansätze entwickelt, die dann auch wiederum den Ausgangspunkt der harmonischen Funktionen beleuchten können. Einer der wichtigen Ansätze ist hierbei derjenige der Wärmeleitungsgleichung, bei welchem Lösungen elliptischer Gleichungen als asymptotische Gleichgewichtszustände von Lösungen parabolischer PDGln. aufgefaßt werden. Unter diesem Gesichtspunkt behandelt ein Kapitel die Wärmeleitungsgleichung, so daß also das vorliegende Lehrbuch trotz des eingangs gesteckten Zieles nicht allein auf die Theorie der elliptischen Gleichungen beschränkt bleibt. Ein Exkurs stellt auch die Wellengleichung als Prototyp einer hyperbolischen PDGl. insbesondere in ihrer Beziehung zur Laplace- und Wärmeleitungsgleichung vor. Im Zusammenhang mit der Wärmeleitungsgleichung wird in einem weiteren Kapitel auch die Theorie der Halbgruppen entwickelt und die Beziehung zur Brownschen Bewegung skizziert. Andere Verfahren, um die Existenz von Lösungen elliptischer PDGln. nachzuweisen, wie das für die numerische Berechnung wichtige Differenzenverfahren, die Perronsche Methode oder das alternierende Verfahren von H.A. Schwarz, beruhen auf dem Maximumprinzip. Es werden verschiedene Versionen des Maximumprinzips vorgestellt, auch im Hinblick auf Anwendungen auf nichtlineare PDGln. Überhaupt ist ein wichtiger Leitgedanke dieses Lehrbuches, Methoden zu entwickeln, die sich auch für das Studium nicht linearer PDGln. eignen, denn in diesem Bereich liegen wohl die eigentlichen Aufgaben für die zukünftige Forschung. Die PDGln., die in den Anwendungen in Naturwissenschaft, Wirtschaft und Technik auftreten, sind zumeist von nicht linearer Gestalt.

VI

Vorwort und Kurzbeschreibung

Überdies ist aber auch zu bedenken, daß wegen der Vielfalt der vorkommenden Gleichungen und resultierenden Phänomene eine einheitliche Theorie der nichtlinearen (elliptischen) PDGln. nicht mehr möglich ist, im Gegensatz zur Situation im linearen Fall. Daher gibt es auch keine universell anwendbaren Methoden, sondern wir versuchen, diesem Phänomen der Vielfalt dadurch gerecht zu werden, daß wir möglichst verschiedenartige Methoden entwickeln. So treten dann nach Maximumprinzip und Wärmeleitungsgleichung die Variationsmethoden auf, deren Ansatz durch das Dirichletsche Prinzip beschrieben wird. Hierzu wird auch die Theorie der Sobolevräume entwickelt, einschließlich fundamentaler Einbettungssätze von Sobolev, Morrey und John-Nirenberg. Mit Hilfe derartiger Resultate läßt sich die Differenzierbarkeit der durch Variationsmethoden gewonnenen sog. schwachen Lösungen nachweisen. Wir behandeln aber auch die Regularitätstheorie der sog. starken Lösungen, ebenso wie die Regularitätstheorie von Schauder für Lösungen, die in Hölderräumen liegen, und führen in diesem Zusammenhang auch die Kontinuitätsmethode vor, die eine zu untersuchende Gleichung in stetiger Weise mit einer schon bekannten verbindet und dann mittels sog. a-prioriAbschätzungen aus der Lösbarkeit der letzteren auf diejenige der ersteren schließt. Den Abschluß bildet ein Kapitel über die für die Theorie der elliptischen PDGln. fundamentale Iterationstechnik von Moser, mit deren Hilfe sich viele für harmonische Funktionen bekannte Eigenschaften (Harnackungleichung, lokale Regularität, Maximumprinzip ) auf eine große Klasse von Lösungen allgemeinerer elliptischer PDGln. übertragen lassen. Die Moserschen Resultate ermöglichen uns auch den Beweis des grundlegenden Regularitätssatzes von de Giorgi und Nash für Minima von Variationsproblemen. Am Ende jedes Kapitels fassen wir die wesentlichen Resultate noch einmal kurz zusammen, wobei die Präzisierung der Voraussetzungen oftmals zugunsten der Prägnanz der Aussagen unterbleibt. Ich glaube, daß dies nützliche Orientierungspunkte für Leserinnen und Leser in einem Gebiet setzt, das im Unterschied zu anderen Gebieten der Mathematik keinen strukturell einheitlichen Zugang erlaubt, sondern seinen Reiz vielmehr aus der Vielfalt und Verschiedenartigkeit der Ansätze und Methoden bezieht und dadurch auch häufig der Gefahr ausgesetzt ist, sich in rein technischen Aspekten zu verlieren. Zur logischen Abhängigkeit der Kapitel untereinander: Die meisten Kapitel sind so aufgebaut, daß nur die ersten §§ für die nachfolgenden Kapitel wichtig sind. Allerdings ist das - elementare - erste Kapitel grundlegend für das Verständnis fast aller nachfolgender Kapitel. § 2.1 ist nützlich, wenn auch nicht unerläßlich für Kapitel 3. Die §§ 4.1, 4.2 sind wesentlich für die Kapitel 5 und 6. Die §§ 7.1-7.4 sind fundamental für die Kapitel 8 und 11, und § 8.1 wird für die Kapitel 9 und 11 benötigt. Abgesehen hiervon lassen sich die einzelnen Kapitel unabhängig voneinander lesen. Somit läßt sich auch

Vorwort und Kurzbeschreibung

VII

die Reihenfolge variieren, in welcher die einzelnen Kapitel gelesen werden. Beispielsweise wäre es durchaus sinnvoll, Kapitel 7 direkt nach Kapitel 1 zu lesen, um die variationellen Aspekte der Laplacegleichung kennenzulernen (insbesondere § 7.1) und die Transformationsformel für die Laplacegleichung bei einem Wechsel der unabhängigen Variablen zu sehen, durch welche man in natürlicher Weise auf eine allgemeine Klasse von elliptischen Differentialgleichungen geführt wird. Überhaupt ist es meist nicht besonders effizient, ein Mathematikbuch linear zu lesen, sondern man sollte lieber zuerst versuchen, die zentralen Aussagen zu verstehen. Wird das Buch einer zweisemestrigen Vorlesung zugrundegelegt, so kann bei Zeitdruck der Stoff durch Weglassen einzelner Abschnitte und Kapitel (z.B. des § 3.3 und des sich hierauf beziehenden ersten Teiles von § 3.4 und des Kapitels 9) gestrafft werden. Auch ist es vielleicht Ansichtssache des Dozenten, ob Kapitelll in eine Vorlesung über partielle Differentialgleichungen für Studenten mittlerer Semester einbezogen werden sollte. Das vorliegende Buch geht auf eine zweisemestrige Vorlesung zurück, die ich an der Ruhr-Universität Bochum gehalten habe, wobei ich an einigen Stellen von Knut Smoczyk unterstützt worden bin. Lutz Habermann danke ich für eine gründliche Durchsicht des Manuskriptes mit vielen wertvollen Verbesserungsvorschlägen und Michael Knebel und Micaela Krieger für das Erfassen des Textes in TEX, sowie Ralf Muno für Hilfe beim Korrekturlesen. Leipzig, im Mai 1998

Jürgen Jost

Inhaltsverzeichnis

Einleitung: Was sind partielle Differentialgleichungen? . . . . . . . .

1

1.

Die Laplacegleichung als Prototyp einer elliptischen partiellen Differentialgleichung zweiter Ordnung. . . . . . . . . . . . . . . 9 1.1 Harmonische Funktionen. Greensche Funktionen. Das Dirichletproblem für die Kugel .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.2 Mittelwerteigenschaften harmonischer Funktionen. Subharmonische Funktionen. Das Maximumprinzip ............... 17

2.

Das 2.1 2.2 2.3

3.

Existenzverfahren I: Methoden, die auf dem Maximumprinzip beruhen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 3.1 Differenzenverfahren: Diskretisierung von Differentialgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 3.2 Die Perronsche Methode ................................ 3.3 Das alternierende Verfahren von H. A. Schwarz. . . . . . . . . . . .. 3.4 Randregularität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..

4.

Maximumprinzip . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. Das Maximumprinzip von E. Hopf. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. Das Maximumprinzip von Alexandrov und Bakeiman ....... Maximumprinzipien für nichtlineare Differentialgleichungen..

33 33 39 44 53 53 62 66 71

Existenzverfahren 11: Parabolische Methoden. Die Wärmeleitungsgleichung ............................ . . . . . . . . . . . .. 79 4.1 Die Wärmeleitungsgleichung: Definition und Maximumprinzipien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . .. 79 4.2 Die Fundamentallösung der Wärmeleitungsgleichung. Beziehung zwischen Wärmeleitungsgleichung und Laplacegleichung 83 4.3 Das Anfangs-Randwertproblem für die Wärmeleitungsgleichung . .. .. . .. .. . . . .. . . . . . . . . .. . . . . . . . . .. .. . . . . . . . . .. .. .. 91 4.4 Diskrete Verfahren ...................................... 105

X

Inhaltsverzeichnis

5.

Exkurs: Die Wellengleichung und ihre Beziehungen zur Laplace- und Wärmeleitungsgleichung .................... 109 5.1 Die eindimensionale Wellengleichung ...................... 109 5.2 Die Mittelwertmethode: Lösung der Wellengleichung mittels der Darbouxschen Gleichung ............................. 111 5.3 Die Energieungleichung und der Zusammenhang mit der Wärmeleitungsgleichung .................................... 115

6.

Die Wärmeleitungsgleichung, Halbgruppen und Brownsche Bewegung ................................................ 121 6.1 Halbgruppen ........................................... 121 6.2 Infinitesimale Erzeuger von Halbgruppen .................. 123 6.3 Brownsche Bewegung ................................... 139

7.

Das Dirichletsche Prinzip. Variationsmethoden zur Lösung partieller Differentialgleichungen (Existenzverfahren 111) ................................... 151 7.1 Das Dirichletsche Prinzip ................................ 151 7.2 Der Sobolevraum W 1 ,2 .•••••.•.•••••.••.•••...••......•. 154 7.3 Schwache Lösungen der Poissongleichung .................. 161 7.4 Quadratische Variationsprobleme ......................... 164 7.5 Abstrakte Hilbertraumformulierung des Variationsproblems. Ausblick auf die Methode der finiten Elemente ............. 166

8.

Sobolevräume und die L 2 -Regularitätstheorie ............. 8.1 Allgemeine Sobolevräume. Einbettungssätze von Sobolev, Morrey und John-Nirenherg ..................... 8.2 Die L 2 -Regularitätstheorie: Innere Regularität schwacher Lösungen der Poissongleichung .................. 8.3 Regularität am Rande und Regularitätsaussagen für Lösungen allgemeiner linearer elliptischer Differentialgleichungen ...

9.

177 177 192 199

Starke Lösungen ............ , ............................. 209 9.1 Die Regularitätstheorie der starken Lösungen .............. 209 9.2 Ausblick auf die LP-Regularitätstheorie und Anwendungen auf Lösungen semilinearer elliptischer Gleichungen .......... 214

10. Die Schaudersche Regularitätstheorie und die Kontinuitätsmethode (Existenzverfahren IV) .......................... 221 10.1 Die CO<-Regularitätstheorie für die Poissongleichung ......... 221 10.2 Die Schauderschen Abschätzungen ........................ 229 10.3 Existenzverfahren IV: Die Kontinuitätsmethode ............ 235

Inhaltsverzeichnis

11. Die von 11.1 11.2 11.3

XI

Mosersche Iterationstechnik und der Regularitätssatz de Giorgi und Nash .................................. 241 Die Mosersche Harnackungleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241 Eigenschaften von Lösungen elliptischer Gleichungen ........ 253 Die Regularität von Minima von Variationsproblemen ....... 257

A. Banach-und Hilberträume. Die LP-Räume ................ 275 Notationsindex . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283 Sachverzeichnis ............................................... 287 Literaturverzeichnis .......................................... 291

Einleitung: Was sind partielle Differentialgleichungen?

Als erste Antwort auf diese Frage wollen wir eine Definition geben: Definition 1. Eine partielle Differentialgleichung (abgekürzt PDGL) ist eine Gleichung, welche Ableitungen einer gesuchten Funktion u : n -) ]R enthält, wobei n eine offene Teilmenge des ]Rd, d 2: 2, (oder allgemeiner einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit der Dimension d 2: 2) ist. Häufig betrachtet man auch allgemeiner Systeme von partiellen Differentialgleichungen für vektorwertige Funktionen u : n -) ]RN oder auch für Abbildungen mit Werten in einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit. Die vorstehende Definition ist jedoch insofern irreführend, als man in der Theorie der partiellen Differentialgleichungen keineswegs beliebige Gleichungen studiert, sondern sich auf solche Klassen von Gleichungen konzentriert, die in verschiedenen Anwendungen (Physik und andere Naturwissenschaften, Technik, Ökonomie etc.) oder in anderen mathematischen Zusammenhängen wichtig sind. Deswegen wollen wir als zweite Antwort auf die gestellte Frage einige typische Beispiele von partiellen Differentialgleichungen vorstellen. Dazu ist eine etwas abkürzende Notation nützlich: Wir werden eine partielle Ableitung meist durch ein Subskript beschreiben, also UXi

ou

:= ~ für i = 1, ... , d.

ux1

Im Falle d = 2 schreiben wir statt xl, x 2 meist x, y. Ansonsten ist x der Vektor x = (Xl, ... , x d ). Beispiele:

1) Die Laplacegleichung d

Llu :=

L

UXixi

= 0

(Ll heißt Laplaceoperator ),

i=l

oder allgemeiner die Poissongleichung Llu =

f

für eine vorgegebene Funktion f : [} -) :IR.

J. Jost, Partielle Differential-gleichungen © Springer-Verlag Berlin Heidelberg 1998

2

Einleitung Beispielsweise erfüllen Real- und Imaginärteil U und v einer holomorphen Funktion h : n - c, n offen in C, die Laplacegleichung, wie leicht aus den Cauchy-Riemannschen Gleichungen folgt: mit z = x

+ iy

impliziert nämlich U xx

+ U yy

= 0=

Vxx

+ Vyy •

Die Cauchy-Riemannschen Gleichungen stellen selbst ein System von PDGln dar. Die Laplacegleichung modelliert auch viele Gleichgewichtszustände in der Physik, und die Poissongleichung spielt in der Elektrizitätstheorie eine wichtige Rolle. 2) Die Wärmeleitungsgleichung: Hier zeichnen wir eine Koordinate t vor den anderen Koordinaten Xl, ... ,xd aus und betrachten U :

n x R,+ -

n offen in R,d,

R"

R,+:=

{t

ER.:

t > O}

und stellen die Gleichung d

Ut

= .du,

wobei wiederum .du :=

L

UXiXi.

i=l

t wird aus physikalischen Gründen als Zeitkoordinate bezeichnet, die Xl, ... ,xd als räumliche Koordinaten. Die Wärmeleitungsgleichung modelliert Wärme- und andere Ausbreitungsvorgänge. 3) Die Wellengleichung : Mit der gleichen Notation wie in 2) verlangen wir hier Utt

= .du.

Diese Gleichung beschreibt Wellen- und Schwingungsphänomene.

4) Die Korteweg-de Vries-Gleichung Ut -

6uu x

+ U xxx =

0

(Notation wie in 2), wobei wir hier aber nur eine räumliche Koordinate

x haben) beschreibt die Wellenausbreitung auf der Oberfläche flacher Gewässer.

5) Die Monge-Ampere-Gleichung UxxUyy -

U;y

=f

oder in höheren Dimensionen det (UXixi )i,i=l, ... ,d =

f

mit vorgegebenem f dient zur Bestimmung von Flächen (bzw. Hyperflächen) vorgeschriebener Krümmung.

Einleitung

3

6) Die Minimalflächengleichung

(1 + u~) U xx - 2uxuyuxy + (1 + u;) U yy = 0 beschreibt eine wichtige Klasse von Flächen im ]R3. 7) Die Maxwellgleichungen für die elektrische Feldstärke E = (EI, E 2 , E 3 ) und die magnetische Feldstärke B = (BI, B2, B 3 ) als Funktionen von (t,x l ,X 2 ,X3 ): (magnetostatisches Gesetz) (magnetodynamisches Gesetz) (elektrostatisches Gesetz, e = Ladungsdichte) (elektrodynamisches Gesetz, j = Stromdichte,)

div B = 0 + rotE = 0 div E = 471"e E t - rotB = -471"j

Bt

wobei div und rot die aus der Vektoranalysis bekannten Differentialoperatoren bezüglich der Variablen (xl, x 2 , x 3 ) E ]R3 sind. 8) Die Navier-Stokes-Gleichungen für die Geschwindigkeit v(x, t) und den Druck p(x, t) einer inkompressiblen Flüssigkeit der Dichte e und der Viskosität TJ: 3

(!Vi + eL

Viv~i - TJLl.v j =

-Px;

für j = 1,2,3,

i=l

divv = 0

(d = 3, v = (v l ,v2,V3)). 9) Die Einsteinschen Feldgleichungen der allgemeinen Relativitätstheorie für die Krümmung der Metrik (gij) des Raum-Zeit-Kontinuums: 1

für i,j = 0,1,2,3 (der Index 0 steht für die Zeitkoordinate t = x O).

R;j - -gijR = ",Tij

2

Hierbei ist '" eine Konstante, (Tij ) der als gegeben angesehene EnergieImpuls-Tensor, während

mit

r k 2l"kl(O ~ 3

ij :=

und sowie

9

oxi 9 jl

+

0

0)

oxj gil - ox l gij

4

Einleitung 3

R:=

L

gi j

~j

(SkalarkrÜßlmung).

i,j=O

R und ~j werden also aus ersten und zweiten Ableitungen der gesuchten Metrik gij gebildet. 10) Die Schrödingergleichung

(m = Masse, V = gegebenes Potential, u : n -+ C) aus der Quantenmechanik ähnelt formal der Wärmeleitungsgleichung, insbesondere im Falle V == O. Der Faktor i (= H) führt jedoch zu wesentlichen Unterschieden. n) Die Plattengleichung LlLlu = 0 enthält sogar Ableitungen vierter Ordnung der gesuchten Funktion. Nun haben wir eine Vielzahl sehr verschiedenartig aussehender Differentialgleichungen kennengelernt, und es scheint vielleicht aussichtslos zu sein, zu versuchen, eine Theorie zu entwickeln, welche alle diese verschiedenen Gleichungen behandeln kann. Dieser Eindruck ist im wesentlichen richtig, und um weiterzukommen, wollen wir daher Gesichtspunkte suchen, nach denen man PDGln klassifizieren könnte. Einige Möglichkeiten hierzu sind nachstehend aufgeführt: I) Algebraisch, d.h. nach dem Typ der Gleichung: a) Lineare Gleichungen, d.h. solche, in denen die gesuchte Funktion und ihre Ableitungen nur linear auftreten. Hierzu gehören die Beispiele 1), 2), 3), 7), 11) sowie 10), falls V linear in u ist. Ein wichtiger Untertyp sind die linearen Gleichungen mit konstanten Koeffizienten, zu denen die gerade genannten Beispiele ebenfalls gehören, 10) allerdings nur für V(x, u) = Vo . u mit konstantem vo. Eine lineare Gleichung mit nicht konstanten Koeffizienten wäre z.B. d

L

i,j=l

ä~i

d

(aij(x)uxj)

+ Lä~i (bi(x)u) +c(x)u=O i=l

mit nicht konstanten Funktionen a ij , bi , c. b) Nichtlineare Gleichungen Wichtige Untertypen: - Quasilineare Gleichungen, d.h. solche, die linear in den höchsten auftretenden Ableitungen von u sind. Hierzu gehören alle Beispiele mit Ausnahme von 5).

Einleitung

5

- Semilineare Gleichungen, d.h. quasilineare Gleichungen, bei denen der Term mit den höchsten auftretenden Ableitungen nicht mehr von U oder Ableitungen von U von niedrigerer Ordnung abhängt. 6) ist ein Beispiel einer quasilinearen Gleichung, die nicht semilinear ist. Naturgemäß sind lineare La. einfacher als nicht lineare Gleichungen. Wir werden daher zunächst einige lineare PDGln. untersuchen. II) Nach der Ordnung der höchsten auftretenden Ableitung der gesuchten Funktion. Die Cauchy-Riemann-Gleichungen und 7) sind von erster Ordnung, 1), 2), 3), 5), 6), 8), 9), 10) sind von zweiter Ordnung, 4) ist von dritter und 11) von vierter Ordnung. Gleichungen von noch höherer Ordnung treten selten auf, und die meisten wichtigen Differentialgleichungen sind von zweiter Ordnung. Wir werden uns in dieser Vorlesung daher fast ausschließlich mit PDGln zweiter Ordnung beschäftigen. III) Insbesondere bei Gleichungen zweiter Ordnung ist die folgende Typeneinteilung sehr nützlich:

sei eine PDGI zweiter Ordnung. Wir führen Platzhaltervariablen ein und untersuchen die Funktion

Die Gleichung heißt elliptisch in fl bei u(x), falls die Matrix Fpi; (x, u(x), Uxi (x), Uxi x ; (x))i,j=l, ... ,d

positiv definit für alle x E fl ist. (Falls die Matrix negativ definit sein sollte, wird die Gleichung elliptisch, wenn man F durch -F ersetzt.) Man beachte, daß dies noch von der unbekannten Funktion U abhängen kann. Ist z.B. in 5) f(x) > 0, so ist die Gleichung für jede Lösung U mit U xx > 0 elliptisch. (Zum Nachweis der Elliptizität sollte man statt 5) schreiben: UxxU yy - UxyU yx -

f

= 0,

was für zweimal stetig differenzierbares U äquivalent zu 5) ist.) 1),6) sind immer elliptisch. Die Gleichung heißt hyperbolisch , falls die obige Matrix gen au einen negativen und (d - 1) positive Eigenwerte hat (oder umgekehrt, je nach Wahl des Vorzeichens). 3) ist hyperbolisch, sowie auch 5), falls f(x) < 0, für eine Lösung mit U xx > O. 9) ist ebenfalls hyperbolisch, weil die Metrik (gij) die Signatur (-, +, +, +) haben soll. Schließlich heißt eine Gleichung vom Typ

6

Einleitung

mit elliptischem F parabolisch. Hierbei ist allerdings kein Vorzeichen mehr frei, so daß ein negativ definites (Fp ;;) nicht mehr erlaubt ist. 2) ist parabolisch. Es ist klar, daß durch diese Klassifikation nicht alle möglichen Typen erfaßt sind, aber es hat sich herausgestellt, daß andere Typen nur von untergeordneter Bedeutung sind. Elliptische, hyperbolische und parabolische PDGln erfordern sehr unterschiedliche Theorien, wobei die parabolischen Gleichungen allerdings in mancher Hinsicht eine Zwischenstellung einnehmen. IV) Nach der Lösbarkeit: Wir betrachten eine PDGl. zweiter Ordnung

und wollen an die Lösung u zusätzliche Bedingungen stellen, typischerweise eine Vorgabe der Werte von u oder erster Ableitungen von u auf dem Rande an oder einem Teil davon. Ein solches Randwertproblem genügt nun im idealen Fall den drei Forderungen von Hadamard für ein sinnvoll gestelltes Problem: - Existenz der Lösung u zu gegebenen Randwerten - Eindeutigkeit dieser Lösung - Stabilität, d.h. stetige Abhängigkeit von den Randwerten. Die letzte Forderung ist beispielsweise deswegen wichtig, weil in Anwendungen die Randwerte meist durch Messungen gewonnen werden müssen und daher mit einer gewissen Unschärfe behaftet sind und die Lösung durch solche kleinen Unschärfen nicht wesentlich beeinfiußt werden soll. Die Existenzfrage läßt sich verschieden konkretisieren: Die stärkste Forderung wäre, daß man zu gegebenen Randwerten die Lösung durch eine Formel in expliziter Weise darstellen kann. Diese Forderung ist jedoch nur in speziellen Fällen erfüllbar , und so begnügt man sich meist damit, die Existenz einer Lösung durch ein abstraktes Argument nachzuweisen, beispielsweise dadurch, daß man die Annahme, daß es keine Lösung gibt, zu einem Widerspruch führt. Hierbei werden oft nicht konstruktive Verfahren verwandt, d.h. ein Existenzsatz enthält nicht unbedingt auch eine Regel zur Konstruktion oder wenigstens Approximation der Lösung. Man kann deswegen die reine Existenzforderung dahingehend verschärfen, daß man verlangt, daß ein konstruktives Verfahren angegeben wird, mittels dessen man eine im Prinzip beliebig gute Näherungslösung berechnen kann. Dies ist insbesondere wichtig, wenn man eine Lösung numerisch approximieren will. Häufig ist jedoch die getrennte Behandlung der beiden Teilprobleme sinnvoll, d.h. man beweist zuerst einen abstrakten Existenzsatz und kann dann vielleicht die hierbei gewonnenen Einsichten verwenden, um im zweiten Schritt ein konstruktives und numerisch stabiles Verfahren zu entwickeln. Selbst wenn das numerische Verfahren nicht theoretisch abgesichert ist, erlaubt einem

Übungen

7

das Wissen über Existenz oder Nichtexistenz oft schon eine heuristische Abschätzung der Zuverlässigkeit der vom Rechner gelieferten Ergebnisse.

Übungen Finden Sie in der Literatur 5 Beispiele wichtiger Differentialgleichungen zusätzlich zu den im Text vorgestellten!

1. Die Laplacegleichung als Prototyp einer elliptischen partiellen Differentialgleichung zweiter Ordnung

1.1 Harmonische Funktionen. Greensche Funktionen. Das Dirichletproblem für die Kugel In diesem § sei n ein beschränktes Gebiet des ]Rd, für das der Divergenzsatz gilt; für jedes Vektorfeld V der Klasse CI(n) n COU}) soll also

f

in

divV(x)dx =

f

ian

V(z)· v(z)do(z)

(1.1.1)

sein, wobei der Punkt das euklidische Produkt von Vektoren bezeichnet und v die äußere Normale an an und do(z) das Oberfiächenelement von an ist. (Wir erinnern an die Definition der Divergenz eines Vektorfeldes V = (VI, ... , v d ) : n ____ ]Rd: div V(x) :=

L avi ax (x).) d

i

i=1

Z.B. reicht es für die Gültigkeit von (1.1.1) aus, zu verlangen, daß an von der Klasse Cl ist. Lemma 1.1.1. Es seien u, v E C 2 (ä). Dann gelten die erste Greensche Formel

f

in

v(x)Llu(x)dx +

f

in

V'u(x)· V'v(x)dx

=

f

ian

v(z) aau (z)do(z)

v

(1.1.2)

(hierbei ist V'u der Gradient von u) und die zweite Greensche Formel

l

{v(x)Llu(x) - u(x)Llv(x)} dx

=

fan {V(z) :~ (z) - u(z) :~ (Z)} do(z). (1.1.3)

Beweis. (1.1.2) folgt mit V(x) = v(x)V'u(x) aus (1.1.1). Vertauscht man in (1.1.2) die Rollen von u und v und subtrahiert das Ergebnis dann von der ursprünglichen Formel (1.1.2), so erhält man (1.1.3). q.e.d. J. Jost, Partielle Differential-gleichungen © Springer-Verlag Berlin Heidelberg 1998

1. Die Laplacegleichung

10

Im folgenden verwenden wir die Notation

B(x,r):=

{y E IR d : Ix - Yl :s; r}

(abgeschlossene Kugel)

{Y E IRd : Ix - Yl < r}

(offene Kugel)

und

B(x, r) := für r

> 0, xE IR d .

Definition 1.1.1. Eine Funktion u E C 2 (n) heißt harmonisch (in n), wenn

..1u =

°

in

n

gilt. Für Definition 1.1.1 kann [} eine beliebige offene Teilmenge des IR d sein. Wir beginnen mit der folgenden einfachen Beobachtung: Lemma 1.1.2. Die harmonischen Funktionen auf

n

bilden einen Vektor-

raum.

Beweis. Dies folgt einfach aus der Linearität des Differentialoperators ..1. q.e.d. Beispiele harmonischer Funktionen: 1) Auf dem IR d sind alle konstanten und allgemeiner alle affin linearen Funktionen harmonisch. 2) Es gibt auch harmonische Polynome höherer Ordnung; z.B.

für x = (xl, ... ,xd ) E IR d . 3) Für x, Y E IR d mit x =I- y setzen wir

r(x, y) wobei ist. Es ist

Wd

:=

r(lx - yl)

:= {

yl Ix _ 12- d

2~ log Ix I

d(2-d)Wd

Y

für d = 2 für d> 2 '

(1.1.4)

das Volumen der d-dimensionalen Einheitskugel B(O, 1) C IR d

82 1 { 8xi 8x j r(x, y) = dwd Ix -

... } d 2 yl 2 Oij - d(x'. - y')(xJ - yJ) Ix - yl- - .

r ist also als Funktion von x in IR d \ {y} harmonisch. Weil r symmetrisch in x und y ist, ist es daher auch als Funktion von y in IR d \ {x} harmonisch.

1. 1 Harmonische Funktionen. Greensche Funktionen. Das Dirichletproblem

11

Definition 1.1.2. raus (1.1.4) heißt Fundamentallösung der Laplacegleichung. Wie kommt man überhaupt auf die Lösung ]Rd \

{y}?

r

der Laplacegleichung in

Der Grund ist im wesentlichen die Rotationssymmetrie des Laplaceoperators. Die Gleichung Llu = 0 bleibt unter Rotationen mit beliebigem Zentrum y erhalten. (Ist also A E O(d) (orthogonale Gruppe), so ist mit u(x) auch u(A(x - y) + y) harmonisch.) Wegen der Invarianz des Operators versucht man dann auch invariante Lösungen zu finden, also solche der Form

u(x)

= cp(r)

= Ix -

mit r

yl.

Die Laplacegleichung transformiert sich zu der folgenden Gleichung für cp

d-l

+ --cp'(r) = O. r

cp"(r) Lösungen müssen

cp'(r) = cr 1-

d

mit konstantem c erfüllen. Nach Festlegung dieser Konstanten sowie einer weiteren additiven Konstante erhalten wir gerade unsere Fundamentallösung r(r).

Satz 1.1.1 (Greensehe Darstellungsformel). Für u E C 2 ({}) gilt für yE

n

u(y) =

lan {U(X) :~

(x, y) - r(x, y) ~~ (x) } do(x)

+

l

r(x, y)Llu(x)dx

(1.1.5) (hierbei deutet das Symbol 8~x natürlich an, daß die Ableitung in Richtung der äußeren Normalen bezüglich der Variablen x zu nehmen ist).

> 0 ist

Beweis. Für genügend kleines e

B(y,e) c

n,

weil n offen ist. Wir wenden (1.1.3) für v(x) = r(x, y) und n) an. Weil r harmonisch in n \ {y} ist, erhalten wir

1

n\B(y,e)

r(x,y)Llu(x)dx

1{ +1 {

=

an

n \ B(y, e) (statt

ou or(x,y)} r(x,y)F(x) - u(x) 0 do(x)

aB(y,e:)

Vx

v

ou or(x,y)} r(x, y)-;-(x) - u(x) 0 do(x). uV

Vx

(1.1.6)

12

1. Die Laplacegleichung

Im zweiten Randintegral ist 11 hierbei die äußere Normale von f1 \ B(y, e), also die innere Normale von B(y, e). Wir wollen nun die Grenzwerte der einzelnen Integrale für e -+ 0 bestimmen. Wegen u E C 2 (ii) ist Llu beschränkt. Weil r integrabel ist, strebt daher die linke Seite von (1.1.6) gegen

L

r(x, y)Llu(x)dx.

Auf aB(y,e) ist r(x,y)

f

J8B(y,E)

= r(e). Somit ist für e -+ 0

rex, y) aau (x)do(x) 11

~ dwded- 1r(e)

Weiterhin ist

-

1

8B(y,E)

u(x)

ar(x, y) a do(x) lIx

a = ar(e)

1

e

(weil

11

8B(y,E)

IV'ul -+ o.

u(x)do(x)

die innere Normale von B(y,e) ist)

= dw 1d-l de

sup

B(y,E)

f

J8B(y,E)

u(x)do(x)

-+

u(y). q.e.d.

Insgesamt folgt (1.1.5).

Bemerkung. Wenden wir die Greensche Darstellungsformel auf eine soge-

nannte Testfunktion cp E C8"(f1)

cp(y)

=

1

an, so erhalten wir

In r(x, y)Llcp(x)dx.

(1.1. 7)

Dies läßt sich auch symbolisch als

(1.1.8) schreiben, wobei Ll x der Laplaceoperator bezüglich x und Oy die Diracsche Deltadistribution ist, also für cp E C~(f1)

Oy[cp] := cp(y). Genauso ist Llr( . ,y) als Distribution definiert, also

Llr( . ,y)[cp]:=

1

In rex, y)Llcp(x)dx.

c8"(n) := {J E cOO(n), supp(f) := {x : f(x)

n}

=1=

O} ist kompakte Teilmenge von

1. 1 Harmonische FUnktionen. Greensehe Funktionen. Das Dirichletproblem

r

r.

13

Gleichung (1.1.8) begründet den Namen "Fundamentallösung", den wir gegeben haben, wie auch die Wahl der Konstanten in der Definition von

(Eine Distribution ist per def. ein lineares Funktional f[lP] auf C8"({}), das im folgenden Sinne stetig ist: (IPn)nEN C Cif({}) erfülle IPn = 0 auf {}\K für alle n und ein festes, kompaktes K C {} sowie limn --+ oo D"lPn(x) = 0 gleichmäßig in x für alle partiellen Ableitungen D" (beliebiger Ordnung). Dann muß lim f[lPnl = 0 n--+oo

gelten.) Aus der Greenschen Darstellungsformelläßt sich die folgende Konsequenz ziehen: Kennt man ..1u in {}, so ist u schon durch seine Werte und seine Normalenableitung auf a{} bestimmt. Insbesondere läßt sich also jede harmonische Funktion auf {} aus diesen Randdaten rekonstruieren. Man kann nun umgekehrt fragen, ob man zu beliebigen Vorgaben der Werte und der Normalenableitungen auf an schon eine harmonische Funktion in n konstruieren kann. Ganz abgesehen davon, daß man hierbei vielleicht gewisse Regularitätsforderungen (z.B. Stetigkeit) an die Daten stellen muß, werden wir jedoch feststellen, daß dies La. nicht möglich ist, sondern daß man im wesentlichen nur eine der beiden genannten Vorgaben machen kann. Ohnehin folgt aus dem Divergenzsatz (1.1.1) für V(x) = 'Vu(x), daß für harmonische u wegen ..1 = div grad

(

aau do(x)

lan v

= (

ln

..1u(x)dx

=0

(1.1.9)

gelten muß, so daß die Normalenableitung nicht völlig beliebig vorgegeben werden kann.

Definition 1.1.3. Eine Funktion G(x, y), welche für x, YEti, x niert ist, heißt Greensche Funktion von {}, falls 1) G(x,y) = 0 für xE a{} 2) h(x,y) := G(x,y) - r(x,y) ist harmonisch in xE auch im Punkte x = y).

n

-#

y, defi-

(d.h. insbesondere

Wir nehmen nun an, daß eine Greensche Funktion G(x, y) von {} existiert (was tatsächlich für alle hier betrachteten {}'s der Fall ist), und setzen v(x) = h(x, y) in (1.1.3) ein und addieren das Ergebnis zu (1.1.5), also

u(y) =

1 an

u(x)

aG(x,y) a do(x) Vx

+

1 n

G(x,y)..1u(x)dx.

(1.1.10)

Aus (1.1.10) folgt insbesondere, daß ein harmonisches u schon alleine durch die Vorgabe der Randwerte ulan bestimmt ist. Ist analog H(x, y) für x, YEti, x -# y, definiert mit

14

1. Die Laplacegleichung

a

-a H(x,y) = 1 für x E an IIx

und ebenfalls harmonischer Differenz H (x, y) - r( x, y), so folgt

U(y) =

r

ian

u(x)do(x) -

r

ian

H(x, y) aau (x)do(x) 11

+

1 n

H(x, y)Llu(x)dx. (1.1.11)

(Wir kümmern uns hier nicht um den Nachweis der Existenz eines solchen H.) Sind nun Ul und U2 zwei harmonische Funktionen mit

aUl = aU2

all

all

au

fan J&,

so folgt durch Anwendung von (1.1.11) auf die Differenz U =

Ul -

U2 (1.1.12)

Da die rechte Seite von (1.1.12) nicht mehr von y abhängt, ist Ul - U2 in n konstant. Mit anderen Worten ist also ein harmonisches U durch Vorgabe von ~~ auf an schon bis auf eine Konstante bestimmt. Wir wollen nun die Greensche Funktion einer Kugel B(O, R) bestimmen. Für y E IR d sei

y := {~y für

y#: °

für y = 0 (y ist der durch Spiegelung an aB(O,R) aus y gewonnene Punkt.) Wir setzen dann für x E B(O, R) 00

G(x,y) := {r(lx - yl) - r r(lxl) - r(R)

(W Ix - i/I)

für y # o. für y =

°

(1.1.13)

Für x # y ist G(x, y) harmonisch in x. Da für y E B(O, R) Y außerhalb von B(O, R) liegt, hat G(x, y) nur eine Singularität in B(O, R), nämlich bei x = y, und zwar die gleiche wie r(x, y). Aus der Formel

G(x,y) =

r ((lXI' + IYI' -2xyn -r ( CXI:~I' +R' -

n

2xy

(1.1.14) sehen wir, daß für x E aB(O, R), also

lxi =

G(x,y) =

R, tatsächlich

°

1. 1 Harmonische Funktionen. Greensche Funktionen. Das Dirichletproblem

15

ist. Daher ist die durch (1.1.13) definierte Funktion die Greensche Funktion von B(O,R). Aus (1.1.14) folgt auch die Symmetrie

G(x,y) = G(y,x). Außerdem ergibt sich aus (1.1.14), weil r(lx -

G(x, y) :::;

° für x, y

E

(1.1.15)

yl)

monoton in

Ix - yl

ist,

(1.1.16)

B(O, R).

Weil für x E oB(O, R)

Ixl2 + IYl2 _ 2x . y = Ixl~~12 + R 2 -

2x . Y

ist, folgt aus (1.1.14) weiter für x E oB(O, R)

o

oVx G(x, y)

=

0

olxl G(x, y) lxi 1 lxi IYl2 dwd Ix - Yld - dwd Ix _ yld R2 1 R2 -lyl2 ---::--';:-:- ----; dwdR Ix _ yld . 1

= =

Setzen wir dieses Ergebnis in (1.1.10) ein, so erhalten wir eine Darstellungsformel für ein harmonisches u E C 2 (B(0, R)) durch seine Randwerte auf oB(O, R): _ R2 u(x) d ( ) () u (y) d 0 X . 1.1.17 R dWd 8B(O,R) Ix - yl

,y,21

Die Regularitätsbedingung an u läßt sich hierbei noch abschwächen; es gilt nämlich

Satz 1.1.2 (Poissonsche Darstellungsformel; Lösung des Dirichletproblems auf der Kugel): cp: oB(O, R) - ? IR sei stetig. Dann ist u, definiert durch

u(y)

:= {

R2_IYI2 r dwdR J8B(O,R)

cp(y)

cp(x)

\X_y\d

d () f·· 0

x

Ba (0 R)

ur y E , , für y E oB(O, R)

(1.1.18)

harmonisch in B(O, R) und auf der abgeschlossenen Kugel B(O, R) stetig. Beweis. Weil G harmonisch in y ist, ist dies auch der "Kern" der Poissonschen Darstellungsformel

K(x, y)

:=

oG oVx (x, y)

=

R2 - IYl2 dwd R ·

Ix - yl

-d

.

16

1. Die Laplacegleichung

Daher ist auch u harmonisch. Wir müssen daher nur die Stetigkeit von u auf 8B(0, R) zeigen. Wir setzen zunächst die harmonische Funktion u == 1 in (1.1.17) ein, woraus

(

JaB(O,R)

K(x, y)do(x) = 1 für alle Y E B(O, R)

(1.1.19)

folgt. Wir betrachten nun Yo E 8B(0, R). Weil

mit c l
°

Mit f.L :=

ist für

Iy - Yol < 0 nach (1.1.18),

I

lu(y) - u(yo) =

sup

yE8B(O,R)

°ein

(1.1.20)

1
(1.1.19)

(

J8B(O,R)

: :; 1

K(x,y)(
I

K(x, y) l
1

IX-1I0196

+

c>

Ix-yol>26

I

K(x,y) l
:::; ~ + 2f.L (R 2 - lyl2) Rd - 1 •

(1.1.21)

(Zur Abschätzung des zweiten Integrals beachte man, daß wegen Iy - Yol < 0 für Ix - Yol > 20 auch Ix - Yl ~ 0 ist.) Weil IYol = R ist, ist für genügend kleines Iy - Yol dann auch der zweite Term auf der rechten Seite von (1.1.21) kleiner als ~, woraus die Stetigkeit von u in Yo folgt. q.e.d.

Korollar 1.1.1. Zu

°

..1u(x) = u(x) =
Lösung

für xE B(O, R) für x E 8B(0, R).

Beweis. Satz 1.1.2 beweist die Existenz. Die Eindeutigkeit folgt aus (1.1.10); allerdings besteht noch die Schwierigkeit, daß wir in (1.1.10) u E C 2 (B(0, R» gefordert haben, während wir hier allgemeiner stetige Randwerte betrachten. Diese Schwierigkeit läßt sich jedoch leicht überwinden: Weil u harmonisch in B(O, R) ist, ist es in B(O, R) von der Klasse C 2 , z.B. nach dem untenstehenden Korollar 1.1.2. Daher ist für lyl < r < R nach (1.1.17) für r statt R _ r 2u (Y) J..

IYI 2

UJ.JJd r

i

8B(O,r)

u(x) d d0 (X ) ,

Ix - Yl

1. 2 Mittelwerteigenschaft. Subharmonische Funktionen. Maximumprinzip

17

und weil u stetig auf B(O, R) ist, können wir r gegen R streben lassen, um die q.e.d. Darstellungsformel in der erforderlichen Allgemeinheit zu erhalten.

Korollar 1.1.2. Jede harmonische Funktion u : n lytisch.

c

Beweis. Es sei zEn und R so gewählt, daß B(z, R) y E B(z,R) nach (1.1.17)

2 ( ) _ R -d Iy Wd R

UY-

zl21

ist in n reell ana-

---> ]R

n. Dann ist für

u(x) d ( ) d Ox ,

Ix - Yl

8B(z,R)

was reell analytisch in Y E B(z, R) ist.

q.e.d.

1.2 Mittelwerteigenschaften harmonischer Funktionen. Subharmonische Funktionen. Das Maximumprinzip

n sei ein Gebiet im ]Rd, also insbesondere zusammenhängend. Satz 1.2.1 (Mittelwertformeln ). Ein stetiges u : n harmonisch, wenn für jede Kugel B(xo, r) c n u(xo)

=

S(u,xo,r)

:= dw

1d-1 (

dr

---> ]R

u(x)do(x)

ist genau dann

(1.2.1)

J 8B(xQ,r)

(sphärisches Mittel) oder äquivalent hierzu, wenn für jede solche Kugel u(xo) = K(u,xo,r)

:=

~

Wd r

u(x)dx

(

(1.2.2)

J B{xo,r)

(Kugelmittel). Beweis. "=}" u sei harmonisch. (1.2.1) folgt aus der Poissonschen Formel (1.1.17) (da wir (1.1.17) nur für die Kugel B(O,r) hingeschrieben haben, nehme man die harmonische Funktion v(x) := u(x + xo) und wende die Formel im Punkte x = an). Der Beweis kann aber auch aus der folgenden Beobachtung gewonnen werden: Es sei u E C 2 (B(y,r)), < g < r. Dann ist nach (1.1.1)

°

°

{ J B(Y,Il)

Llu(x)dx = ( J8B{Y,Il)

= {

J8B(0,1)

aau(x)dO(X) v aau (y g

+ gw)gd-1dw

in Polar koordinaten

W

=

7

18

1. Die Laplacegleichung

o [

= ,i-1 0

U 188(0,1)

= Ud- 1!..... oU

= dwdUd-1

(U

u(y + ew)dw

1- d [ 188(1/,(1)

:u

U(X)do(X»)

S(u, y, U)·

(1.2.3)

Ist u harmonisch, so folgt hieraus /QS(u,y,U) = 0, und S(u,y,U) ist daher konstant in u. Wegen u(y) = lim S(u,y,U) (1.2.4) (1-0

für stetiges u ergibt sich hieraus die sphärische Mittelwerteigenschaft. Wegen

l°

r (1.2.5) K(u,xo,r) = dd S(u,xo,U)Ud - 1 dU r folgt, wenn (1.2.1) für alle Radien U mit B(xo, U) c n gilt, auch (1.2.2).

"~" Wir haben gerade gesehen, daß die sphärische Mittelwerteigenschaft die Kugelmittelwerteigenschaft impliziert. Es gilt auch die Umkehrung: Ist K(u,xo,r) als Funktion von r konstant, also nach (1.2.5)

o d d 0= ~K(u,xo,r) = -S(u,xo,r) - -K(u,xo,r), r

ur

r

so ist auch S( u, xo, r) als Funktion von r konstant, und muß daher nach (1.2.4) immer gleich u(xo) sein. Es gelte nun (UU), sofern B(xo, r) c n. Wir wollen zunächst feststellen, daß u dann glatt ist. Hierzu betrachten wir die folgende allgemeine Konstruktion: Wir setzen {!(t) := {CdexP für 0 ~ t < 1, o sonst wobei die Konstante Cd so gewählt ist, daß

(t:2:1)

ist. u(lxl) ist bekanntlich unendlich oft nach x differenzierbar. Für I E L 1(n), B(y,r) c n, betrachten wir die Regularisierung

Ir(Y)

:=

r1d

In

{!

(IY ~ XI) I(x)dx.

Ir ist dann unendlich oft nach y differenzierbar. Gilt nun (1.2.1), so ist

(1.2.6)

1. 2 Mittelwerteigenschaft. Subharmonische Funktionen. Maximumprinzip

ur(y) = 1d r

r(

Jo J8B(y,s)

Jr

19

e (~) u(x)do(x)ds

(s)

r

= r1d o e ~ dwd Sd-l S(u, y, s)ds = u(y)

1 1

e(a)dwdad-lda

=u(y) (

JB(O,I)

e(lxl)dx

= u(y).

Für eine Funktion u, die die Mittelwerteigenschaft erfüllt, gilt also

ur(x) = u(x),

sofern B(x, r)

c n.

Daher ist mit Ur auch u unendlich oft differenzierbar. Wir können daher wieder (1.2.3) betrachten, also

(

JB(y,ll)

Llu(x)dx = dwded-laa S(u,y,e).

e

(1.2.7)

Gilt (1.2.1), so ist S(u, Xo, e) konstant in e, und daher verschwindet die rechte Seite von (1.2.7) für alle y und e mit B(y, e) c Q. Daher muß dann auch

Llu(y) = 0 für alle yEn gelten. Mithin ist u harmonisch.

q.e.d.

Die Forderung der Stetigkeit an u kann durch die Forderung ersetzt werden, daß u meßbar und lokal in n integrabel ist. Der vorstehende Satz und sein Beweis bleiben dann gültig, da wir bei der Rückrichtung die Stetigkeit von u nicht verwandt haben. Mit dieser Beobachtung erhalten wir leicht Korollar 1.2.1 (Weylsches Lemma). u : integrabel in n. Für alle rp E Cgo (n) gelte

in

n

-+

lR sei meßbar und lokal

u(x)Llrp(x)dx = O.

Dann ist u harmonisch und insbesondere glatt. Beweis. Wir betrachten wieder die Glättungen ur(x) = r1d Für rp

E

Cgo

in

e Cy ~

XI) u(y)dy.

und r < dist(supp(rp) , an) erhalten wir

20

1. Die Laplacegleichung

In Ur (x) L1
nach einer Vertauschung der Integrale und der Beobachtung, daß (L1
In L1ur (x)
nr

:=

{x

E

E

Co(nr ),

n: dist(x,ßn) > r}

also Ur ist also harmonisch in nr . Wir betrachten R > 0 und 0 < r ~ R. Dann erfüllt Ur die Mittelwerteigenschaft auf jeder Kugel mit Zentrum in nR und Radius ~ Da

!

!R.

Inr lur(y)1 dy ~ Inr r1d 1e (IX ~ YI) lu(x)1 dxdy ~ !nlu(x)ldX

nach einer Vertauschung der Integrale und Ausnutzung von JJR.!;f;r(} (IX~YI) dy = 1, sind die Ur gleichmäßig in L 1 (n) beschränkt, wenn U in L 1 (n) liegt. Wenn U nur lokal integrabel ist, so muß das vorstehende Argument auf lokalen Teilgebieten von n angewandt werden, um die lokale gleichmäßige Integrabilität der Ur zu erhalten. Da sich dies einfach bewerkstelligen läßt, nehmen wir der Einfachheit halber an, daß U schon in L 1 (n) liegt. Da Ur die Mittelwerteigenschaft auf Kugeln vom Radius! R erfüllt, folgt dann, daß die Ur auch gleichmäßig beschränkt sind (wir halten R fest und lassen r dagegen gegen Null streben). Außerdem ist wegen 1 X2 < 1Ur( X1) - Ur ()I - -Wd 1

~ Wd

(2)d -R J

B(xl,R/2)\B(x2,R/2) UB(X2,R/2)\B(Xl,R/2)

X dx 1Ur ()I

(2)d R sup lur l2Voi (B(x!, R/2) \ B(X2, R/2})

1. 2 Mittelwerteigenschaft. Subharmonische Funktionen. Maximumprinzip

21

dann auch die gleichgradige Stetigkeit der Ur gegeben. Daher konvergiert eine Teilfolge der Ur für r ---t 0 nach dem Satz von Arzela-Ascoli gleichmäßig gegen eine stetige Funktion v. Da nun aber, weil U (lokal) in L 1 (n) ist, u(x) für fast alle x E n der Limes von ur(x) für r ---t 0 ist (vgl. Lemma A.3), folgt v = u. Somit ist U stetig, und da alle Ur die Mittelwerteigenschaft erfüllen, tut dies q.e.d. auch u. Aus Satz 1.2.1 folgt nun die Behauptung. Definition 1.2.1. v : n ---t [-00, (0) sei oberhalbstetig und nicht identisch -00. v heißt subharmonisch, wenn für jedes Teilgebiet n' ce n und jede harmonische Funktion U : n' ---t IR (wir nehmen U E C°(il') an) mit

v ~u

auf an'

v~

auf n'

auch U

gilt. w : n ---t (-00,00], unterhalbstetig, w wenn -w subharmonisch ist.

t=

Satz 1.2.2. v : n ---t [-00, (0) (oberhalbstetig, harmonisch, wenn für jede Kugel B(xo, r) c n

v(xo)

~

00, heißt superharmonisch,

t= -(0)

ist genau dann sub-

S(v,xo,r)

(1.2.8)

gilt, oder, gleichwertig hierzu, wenn für alle solche Kugeln

v(xo)

~

K(v,xo,r)

(1.2.9)

gilt. Beweis. "=>" Weil v oberhalbstetig ist, existiert eine monoton fallende Folge stetiger Funktionen mit v = limnENvn . Nach Satz 1.1.2 existiert zu jedem n ein harmonisches (Vn)nEN

Un :

B(xo, r)

mit UnlaB(xo,r)

= VnlaB(xo,r)

--4

IR

(2: VlaB(xo,r»)

,

also insbesondere

S(un,xo,r) = S(vn,xo,r). Weil v subharmonisch und U n harmonisch ist, folgt

V(xo)

~

un(xo) = S(un,xo,r) = S(vn,xo,r).

Für n ---t 00 folgt (1.2.8). Die Kugelmittelwerteigenschaft folgt durch Integration aus der sphärischen Mittelwerteigenschaft (vgl. (1.2.5)).

22

1. Die Laplacegleichung

Zum Beweis der Umkehrung benutzen wir Lemma 1.2.1. verfülle die Mittelwertungleichung (1.2.8) oder (1.2.9) für alle B(xo,r) c n. Dann erfüllt v auch das Maximumprinzip, d.h. existiert ein Xo E n mit v(xo) = sup v(x), xEf2

so ist v konstant. Insbesondere gilt, falls

n beschränkt und v E G°(ii)

v(x) $ max v(y) für alle x E yEaf2

ist,

n.

Bemerkung. Da wir gleich zeigen werden, daß die Voraussetzung von Lemma 1.2.1 gleichwertig damit ist, daß v subharmonisch ist, gilt das Lemma also für subharmonische Funktionen. Beweis. Es gelte v(xo) = sup v(x) =: M. xEf2

Es ist also

nM

:= {y E

n : v(y) =

M} =10.

Es sei y E nM , B(y, r) C n. Da aus (1.2.8) (1.2.9) folgt (vgl. (1.2.5)), können wir in jedem Fall (1.2.9) anwenden und erhalten 0= v(y) - M $

~

Wd r

[ JB(y,r)

(v(x) - M)dx.

(1.2.10)

Weil M das Supremum von v ist, ist stets v(x) $ M, und wir erhalten daher v(x) = M für alle x E B(y, r). n M enthält also mit y auch jede Kugel B{y, r) C n und muß daher mit n übereinstimmen, weil n als Gebiet q.e.d. zusammenhängend ist. Daher gilt u{x) = M für alle x E n. Der Beweis von Satz 1.2.2 kann nun leicht vollendet werden: u sei wie in Definition 1.2.1. Dann erfüllt v - u ebenfalls die Mittelwertungleichung, also das Maximumprinzip, und mithin gilt

v $ u in n', falls v $ u auf an' gilt.

q.e.d.

Korollar 1.2.2. Eine Funktion der Klasse G2(n) ist subharmonisch genau dann, wenn ..dv ~ 0 in n gilt. Beweis. "=?" Es sei B{y, r) C

o$

(

JB(y,Q)

n, 0 < e < r. Dann ist nach (1.2.3)

..dv(x)dx = dJ..uded- 1: S(v, y, e).

e

1. 2 Mittelwerteigenschaft. Subharmonische Funktionen. Maximumprinzip

Integration dieser Ungleichung liefert für 0

23

< (! < r

S(v,y,(!):::; S(v,y,r), und da die linke Seite für

(! -+

0 gegen v(y) strebt, folgt

v(y):::; S(v,y,r). Nach Satz 1.2.2 ist v also subharmonisch. "=>" Wäre Llv(y) < 0, so gäbe es, weil v E C 2 (n), eine Kugel B(y, r) c n mit Llv < 0 auf B(y, r). Anwendung des ersten Teils des Beweises auf -v ergäbe v(y) > S(v,y,r), und v wäre daher nicht subharmonisch. q.e.d.

Beispiele subharmonischer Funktionen: 1) Es sei d ::::: 2. Wir berechnen

LllxlC> = 2)

(da

+ a(a - 2)) Ixlc>-2 : : : o.

IxlC> ist also für a ::::: 2 subharmonisch. n -+ R sei harmonisch und positiv, ß ::::: 1. Dann ist

u:

Llu ß =

d

L

(ßuß-1uxixi

+ ß(ß -

1)u ß- 2u xiu xi)

i=l d

=

Lß(ß -1)u ß- 2 u xiuxi, i=l

da U harmonisch ist. Da U als positiv vorausgesetzt und ß ::::: 1 ist, folgt, daß u ß subharmonisch ist. 3) u: n -+ R sei wieder harmonisch und positiv. Dann ist Al og U --

L.I

Ld i=l

(UXixi -U

-

UXiUXi) -u2

--

-

Ld UXiUxi

--

i=l

u2

'

da U harmonisch ist. log U ist also super harmonisch, und -log U ist dann subharmonisch. 4) Die vorstehenden Beispiele lassen sich folgendermaßen verallgemeinern: U : n -+ R sei harmonisch, f : u( n) -+ R sei konvex. Dann ist f 0 U subharmonisch. Wir nehmen zunächst an, daß f E C 2 ist. Dann gilt d

Llf(u(x)) =

L (f'(u(X))UXixi + f"(u(X))UxiUXi) i=l

d

= L f" (u( x)) (UXi )2 ,

weil U harmonisch ist

i=l

::::: 0, weil für eine konvexe C 2 -Funktion

f" : : : 0 ist.

24

1. Die Laplacegleichung

Ist die konvexe Funktion f nicht von der Klasse C 2 , so existiert eine Folge konvexer C 2-Funktionen (fn)nEN, die lokal gleichmäßig gegen f konvergiert. Dann ist f n° U nach dem Vorstehenden subharmonisch, erfüllt also die Mittelwertungleichung. Da fn 0 U lokal gleichmäßig gegen f 0 U konvergiert, erfüllt f 0 U ebenfalls die Mittelwertungleichung und ist daher nach Satz 1.2.2 subharmonisch. Wir kehren nun zu den harmonischen Funktionen zurück. Ist u harmonisch, so sind u und -u beide subharmonisch, und wir erhalten daher aus Lemma 1.2.1

Korollar 1.2.3 (Starkes Maximumprinzip). u sei harmonisch auf Existiert dann ein Xo E n mit u(xo)

= sup u(x) xEil

oder u(xo)

n.

= inf u(x), xEil

so ist u konstant. Eine Abschwächung von Korollar 1.2.3 ist

Korollar 1.2.4 (Schwaches Maximumprinzip). u E CO(n) sei harmonisch. Dann gilt für alle x E n

n

sei be-schränkt und

min u(y) ::; u(x) ::; max u(y).

yE8il

yE8il

Beweis. Andernfalls müßte u in einem inneren Punkt von n sein Supremum oder Infimum annehmen. Dann wäre u nach Korollar 1.2.3 konstant, und die Behauptung würde ebenfalls gelten. q.e.d. Korollar 1.2.5 (Eindeutigkeit von Lösungen der Poissongleichung): Es sei f E CO (!Z), {} beschränkt, Ul, U2 E CO(.!?) n C2({}) seien Lösungen der Poissongleichung

LlUi(X)

= fex)

Gilt Ul(Z) ::; U2(Z) für alle Z E

an,

für

xE {}

(i

= 1,2).

so auch

Ul(X) ::; U2(X) für alle x E

n.

Ist insbesondere so ist

Beweis. Wir wenden das Maximumprinzip auf die harmonische Funktion U2 an. q.e.d.

Ul -

1. 2 Mittelwerteigenschaft. Subharmonische Funktionen. Maximumprinzip

25

Insbesondere erhalten wir im Falle f = 0 wiederum die Eindeutigkeit harmonischer Funktionen zu gegebenen Randwerten.

Bemerkung. Die Rückrichtung von Satz 1.2.1 läßt sich auch folgendermaßen beweisen: Wir beobachten, daß das Maximumprinzip zum Beweis nur die Mittelwertformeln benötigt. Daher gilt auch die Eindeutigkeitsaussage von Korollar 1.2.5 für Funktionen, die den Mittelwertformeln genügen. Andererseits existiert nach Satz 1.1.2 zu stetigen Randwerten auf einer Kugel eine harmonische Fortsetzung, welche nach der Hinrichtung von Satz 1.2.1 ebenfalls die Mittelwertformeln erfüllt. Nach der Eindeutigkeit muß daher jede stetige Funktion mit der Mittelwerteigenschaft auf jeder Kugel in ihrem Definitionsbereich n und damit in ganz n harmonisch sein. Als Anwendung des schwachen Maximumprinzips können wir beweisen, daß isolierte Singularitäten harmonischer Funktionen hebbar sind.

Korollar 1.2.6. Es sei Xo E nC IRd(d ~ 2), u: n \ {xo} ---> IR harmonisch und beschränkt. Dann läßt sich u harmonisch auf ganz n fortsetzen, d.h. es gibt eine harmonische Funktion Ü :

die in

n \ {xo}

n ---> IR,

mit u übereinstimmt.

Beweis. Durch eine einfache Transformation können wir erreichen, daß Xo = und n die Kugel B(0,2) enthält. Nach Satz 1.1.2 läßt sich daher das folgende Dirichletproblem lösen

o ist

,dü = 0 in B(O,l)

ü = u auf 8B(0, 1). Wir betrachten auch die Greensche Funktion auf B(O, 1) für y = 0: flog G(x) = { 11' 1

lxi (lxi2-d _ 1)

d(2-d)w,1

Wir setzen jetzt für c:

>0

ue(x) := ü(x) - c:G(x) Zunächst gilt

für d = 2 für d >_ 3 .

(0

< lxi::; 1).

(1.2.11 ) = u(x) für lxi = 1. Weil einerseits u als glatte Funktion für lxi = 1 eine beschränkte Ableitung besitzt und andererseits (mit r = lxI) G(x) > 0 ist, ergibt sich für genügend

ue(x) = ü(x)

tr

großes c:

ue(x) Es gilt aber auch

> u(x)

für 0

< lxi< 1.

26

1. Die Laplacegleichung

lim ue(x) =

x-+O

Weil

U

00

für alle e

> o.

beschränkt ist, existiert daher zu jedem e

Ue(x) > u(x) für

> 0 ein r(G) > 0 mit

lxi< r(c).

(1.2.12)

Es existiert aufgrund dieser Überlegungen ein kleinstes

Ueo(x) ~ u(x) für

~ 0 mit

lxi ~ 1.

Wir wollen nun zeigen, daß GO = 0 ist. Wäre GO> 0, so gäbe es nach (1.2.11) und (1.2.12) ein mit U-il (zo)

GO

Zo, r(~)

< IZoI <

1,

< u(zo).

Dies ergäbe .

min

xEB(O,l)\B(O,r( -il»

(u
< 0,

während nach (1.2.11), (1.2.12) min

YE8B(O,1)u8B(0,r( -il»

(U-il(Y) - u(y)) = O.

Dies widerspricht Korollar 1.2.4, denn U.!ll - u ist in dem betrachteten Ring2 gebiet harmonisch. Somit muß GO = 0 sein, und es ergibt sich

u

~

Uo

=u

in B(O, 1) \ {O}.

Genauso erhält man die umgekehrte Ungleichung U

~

u in B(O, 1) \ {O}.

Daher stimmt u in B(O, 1) \ {O} mit u überein. Da nisch ist, erhalten wir die gesuchte Fortsetzung.

u in ganz B(O, 1) harmoq.e.d.

Aus Korollar 1.2.6 erkennen wir, daß nicht jedes Dirichletproblem für harmonische Funktionen lösbar ist. Beispielsweise existiert keine Lösung von

.1u(x) = 0 in13(O, 1) \ {O} u(x) = 0 für lxi = 1 u(O) = 1, denn eine Lösung u ließe sich nach Korollar 1.2.6 zu einer harmonischen funktion auf die ganze Kugel 13(0, 1) fortsetzen, welche dann nach Korollar 1.2.4 identisch verschwinden müßte, da sie auf aB(O, 1) verschwindet, und daher nicht für x = 0 den vorgeschriebenen Wert 1 annehmen könnte. Als weitere Folgerung aus dem Maximumprinzip für subharmonische Funktionen können wir eine Gradientenabschätzung für Lösungen der Poissongleichung gewinnen:

1. 2 Mittelwerteigenschaft. Subharmonische Funktionen. Maximumprinzip

Korollar 1.2.7. Es gelte in

27

n Llu(x) = f(x)

mit einer beschränkten Funktion Dann gilt d

R

IUxi (xo)1 ::;

sup

8B(xo,R)

lul

f. R

+ 2'

Beweis. Wir betrachten den Fall i

J.L := O.E. sei wieder Xo

sup

Es sei Xo E

8B(xo,R)

sup

B(xo,R)

n und R

:= dist(xo, an).

Ifl für i = 1, ... , d.

(1.2.13)

= 1. Es sei zur Abkürzung M:= sup Ifl·

lul,

B(Xo,R)

= 0. Die Hilfsfunktion

J.L Ixl 2 +x 1 ( R-x 1) (dJ.L v(x):= R2 R2

M) + '2

erfüllt in B(O, R)

Llv(x) = -M v(0,x 2, ... ,xd ) ~ für alle x 2, ... ,xd v(x) ~ J.L für lxi = R, Xl ~ 0.

°

Wir betrachten nun -( ) ._ 1 ( ( 1 ... ,xd) -u-x,x, ( 1 2 ... ,xd)) . uX'-'2ux,

Es gilt in B(O, R)

ILlü(x) I ::; M ü(O, x 2, ... , x d ) = für alle x 2, ... , x d lü(x)1 ::; J.L für alle lxi = R.

°

Wir betrachten jetzt die Halbkugel B+ := {lxi ::; R, vorstehenden Ungleichungen folgt

xl

> O}. Aus den

Ll(v ± ü) ::; 0 in iJ+ v ± ü ~ 0 auf aB+ . Das Maximumprinzip (Lemma 1.2.1) liefert nun lül ::; v

in B+.

Wir folgern

IU x (0)1 1

-

I'

1m

",1_0

x1>o

also (1.2.13).

IÜ(X ,o, ... ,O)1 l

X

1

::;

I'

1m

",1_0

x 1 >o

v(x l ,O, ... ,O) _ dJ.L R M 1 X R + 2 , q.e.d.

28

1. Die Laplacegleichung

Weitere Konsequenzen der Mittelwertformel sind

Korollar 1.2.8 (Satz von Liouville). beschränkt. Dann ist U konstant. Beweis. Für

Xl, X2 E ]Rd

U : ]Rd -+ ]R

ist nach (1.2.2) für alle r

sei harmonisch und

>0

Nun ist nach Voraussetzung

lu(x)1 $ M, und für r

-+ 00

gilt 1

- d Vol Wd T

(B(xt, r) \

B(X2, r» -+

Hieraus folgt, daß die rechte Seite von (1.2.14) für r Daher muß

O. -+ 00

gegen 0 strebt.

U(XI) = U(X2) sein. Mithin ist U konstant, da

Xl

und

X2

beliebig waren.

q.e.d.

Ein anderer Beweis von Korollar 1.2.8 folgt aus Korollar 1.2.7. Nach Korollar 1.2.7 gilt für alle Xo E ]Rd, R > 0, i = 1, ... ,d:

d

IUXi(Xo)1 $ -R sup lul· IR,I

Da U nach Voraussetzung beschränkt ist, strebt die rechte Seite für R -+ 00 gegen 0, und es folgt, daß U konstant ist. Dieser Beweis funktioniert auch unter der schwächeren Voraussetzung lim

R .... oo

1 -R

sup

B(Xo.R)

lul = o.

Diese Voraussetzung ist scharf, da affin lineare Funktionen auf dem ]Rd definierte, nicht konstante harmonische Funktionen sind.

Korollar 1.2.9 (Harnacksche Ungleichung). u: n -+ ]R sei harmonisch und nicht negativ. Dann existiert zu jedem Teilgebiet n' ce n eine Konstante e = e(d, n, n') mit supU $ einf u. n' n'

(1.2.15)

1. 2 Mittelwerteigenschaft. Subharmonische Funktionen. Maximumprinzip

29

Beweis. Wir betrachten zunächst den Spezialfall [}' = B(xQ, r) unter der Annahme B(xQ, 4r) C [}. Es seien Yt. Y2 E B(xQ, r). Nach (1.2.2) ist U(Yl)

=~ (

JB(Yl,r)

Wd r

1

u(y)dy

::; - 1d u(y)dy, Wd r B(xo,2r) weil u ~ 0 und B(Yl, r) =

::;

1

d

c

B(xQ, 2r) ist

u(y)dy 3 d wd(3r) B(xo,2r) d

1

u(y)dy, 3 d wd(3r) B(Y2,3r) weil u ~ 0 und B(xQ,2r) C B(Y2, 3r) ist = 3du(Y2)' also insbesondere sup u::; 3d inf u. B(xo,r) B(xo,r) Für ein allgemeines Teilgebiet [}'

ce [} wählen wir r > 0 mit

1 . r< '4d1st([}',8[}).

Weil Jl' beschränkt und zusammenhängend ist, existiert ein derartiges mE N, daß je zwei Punkte Yl, Y2 E [}' in Jl' durch einen Weg verbunden werden können, welcher durch höchstens m Kugeln vom Radius r mit Zentrum in Jl' überdeckt werden kann. Indem wir die vorstehenden Ungleichungen für alle diese Kugeln zusammenfügen, erhalten wir

Die Behauptung gilt also für c = 3md .

q.e.d.

Aus der Harnackschen Ungleichung folgt

Korollar 1.2.10 (Harnackscher Konvergenzsatz). Un : [} -+ lR sei eine monoton wachsende Folge harmonischer Funktionen. Gibt es ein yEn, für welches die Folge (un(Y»nEN beschränkt ist, so konvergiert Un auf jedem Teilgebiet Jl' ce n gleichmäßig gegen eine harmonische Funktion. Beweis. Aus der Monotonie und Beschränktheit folgt, daß un(y) für n -+ 00 konvergiert. Zu c > 0 existiert daher ein derartiges N E N, daß für n ~ m ~ N

30

1. Die Laplacegleichung

U n - Um ist eine nicht negative harmonische Funktion (wegen der Monotonie), und nach Korollar 1.2.9 ist

sup(un fl'

-

um) :::; ce,

(o.E. sei YEn'),

wobei c von d, n und n' abhängt. Daher konvergiert (Un)nEN gleichmäßig in ganz n'. Der gleichmäßige Limes harmonischer Funktionen erfüllt aber ebenfalls die Mittelwertformeln und ist daher nach Satz 1.2.1 wieder harmoq.e.d. nisch.

Zusammenfassung In diesem Kapitel haben wir einige wichtige Eigenschaften von harmonischen Funktionen, also Lösungen der Laplacegleichung Llu = 0

in

n

gesehen, gelegentlich auch von Lösungen der Poissongleichung Llu =

f

in

n

mit vorgegebenem f. Wir haben das Dirichletproblem auf der Kugel in eindeutiger Weise lösen können (Satz 1.1.2), haben gesehen, daß Lösungen glatt sind (Korollar 1.1.2) und sogar explizite Abschätzungen erfüllen (Korollar 1.2.7) und insbesondere dem Maximumprinzip genügen (Korollar 1.2.3, Korollar 1.2.4), welches übrigens auch für subharmonische Funktionen gilt (Lemma 1.2.1). All diese Aussagen sind typisch für Lösungen elliptischer partieller Differentialgleichungen. Die in diesem Kapitel vorgestellten Methoden sind dagegen nicht ohne weiteres verallgemeinerbar, da sie wesentlich auf der Rotationssymmetrie des Laplaceoperators beruht haben. In den nachfolgenden Kapiteln werden wir daher andere, allgemeinere Methoden entwickeln müssen, um Analoga der zitierten Aussagen für größere Klassen von elliptischen PDGln zu beweisen.

Übungen 1.1 Bestimmen Sie die Greensche Funktion des Halbraumes

{x = (xl, ... ,xd ) E]Rd: xl> O}. 1.2 Bestimmen Sie auf der Einheitskugel B(O,l) des ]Rd eine Funktion H(x, y), definiert für x f= y, mit

(i) kH(x, y) = 1 für x E äB(O, 1) (ii) Hlx, y) - r(x, y) ist eine harmonische Funktion von xE B(O, 1). (r(x, y) ist eine Fundamentallösung.)

Übungen

31

1.3 Wenden Sie das Ergebnis aus 2) an, um das Neumannproblem für die Laplacegleichung auf der Einheitskugel B(O, 1) des ]Rd zu untersuchen: 9 : aB(O, 1) ~ ]R mit faB(O,l) g(y) do(y) = 0 sei gegeben, Gesucht ist eine Lösung von o

..1u(x) = 0 für x E B (0,1)

8u 8v (x) = g(x) für

xE

8B(O, 1).

1.4 u: B(O, R) ~ ]R. sei harmonisch und nichtnegativ. Zeigen Sie die folgende Version der Harnackschen Ungleichung:

Rd- 2 (R - lxI) Rd-2(R + lxI) (R + Ixl)d-l u(O):::; u(x):::; (R -Ixl)d-l u(O)

für alle x E B(O, R). 1.5 u:]R.d ~ ]R. sei harmonisch und nichtnegativ. Zeigen Sie, daß u konstant ist! (Hinweis: Benutzen Sie das Ergebnis aus 4)). 1.6 Es sei nc ]R.3 \ {O}, u : n ~ ]R. harmonisch. Dann ist

v(x l , x 2 , x 3 ) harmonisch in dem Gebiete

1

x2

(Xl

x3

)

Ix12' Ix12' Ixl2

:= jXjU

n' := {x E ]R.3 : (~, ~, ~ ) E n} .

• Gibt es einen tieferen Grund hierfür? • Gilt ein analoges Resultat in beliebiger Dimension d?

1.7 n sei das unbeschränkte Gebiet {x E]R.d : erfülle .du = 0 in n. Weiter gelte lim u(x)

Ix 1""'00

lxi> I}. U E C2 (n) n CO(!1)

= O.

Dann ist sup lul = max lul·

n

an

1.8 (Schwarzsches Spiegelungsprinzip): Es sei n+ c {x d > O},

E := an+ n {x d = O} sei harmonisch in setzen

U

_( I

U

n+,

x , .. " x

d) ,_

Dann ist ü harmonisch in

n+},

stetig auf

,-

n+ u E,

# 0.

und es gelte u = 0 auf E. Wir

{U(X I , ... ,xd) für x d ~ 0 -u (X I , .. " -x d) f"ur x d < 0 ,

n+ U E u n-, mit n-

:= {x E ]R.d : (Xl, ... , _x d ) E

32

1. Die Laplacegleichung

1.9 [l C ]Rd sei ein beschränktes Gebiet, für das der Divergenzsatz gilt. Es sei u E C 2 (12), u = 0 auf an. Beweisen Sie, daß für jedes c > 0

2. Das Maximumprinzip

In diesem Kapitel sei il ein beschränktes Gebiet im ~d. Alle betrachteten Funktionen U seien aus C 2 (il).

2.1 Das Maximumprinzip von E. Hopf Wir wollen lineare elliptische Differentialoperatoren der Form d

d

Lu(x) = L aij(x)uxixj(X) i,j=1

+ Lbi(x)Uxi(X) + c(x)u(x) i=1

betrachten, wobei wir an die Koeffizienten die folgenden Forderungen stellen: (i) Symmetrie: aij(x) = aji(x) für alle i,j und x E [} (dies ist keine wesentliche Einschränkung). (ii) Elliptizität: Es gibt eine Konstante>. > 0 mit

Alel 2 ~

d

L

aij(x)eie j für alle x

E

a,e

E]Rd

i,j=l

(dies ist die entscheidende Bedingung). Die Matrix (a ij (X)kj=l, ... ,d ist also insbesondere für alle x positiv definit, und der kleinste Eigenwert ist ? A. (iii) Beschränktheit der Koeffizienten: Es gibt eine Konstante K mit

laij(x)l, W(x)1 ,jc(x)1 :::; K für alle i,j und x

E [}.

Der Laplaceoperator erfüllt offensichtlich alle diese Bedingungen. Ziel dieses Kapitels ist der Beweis von Maximumprinzipien für Lösungen von Lu = O. Allerdings müssen wir hierfür noch eine Bedingung an das Vorzeichen von c(x) stellen, da sonst kein Maximumprinzip gelten kann, wie das folgende einfache Beispiel zeigt. Das Dirichletproblem

U"(X)+U(X)=O u(O) = 0 = u(n) J. Jost, Partielle Differential-gleichungen © Springer-Verlag Berlin Heidelberg 1998

auf (O,n)

34

2. Das Maximumprinzip

hat die Lösungen u(x) = asinx

für beliebiges a E R, und diese Lösungen nehmen je nach Vorzeichen von a bei x = 7r /2 ein echtes inneres Maximum oder Minimum an. Dagegen hat das Dirichletproblem u"(x) - u(x) = 0

u(O) als einzige Lösung u ==

= 0 = u(7r)

o.

Zur Einstimmung wollen wir einen Beweis des schwachen Maximumprinzips für subharmonische Funktionen (Lemma 1.2.1) vorführen, der nicht auf den Mittelwertformeln beruht: Lemma 2.1.1. Es sei u E G 2 (n) n GOU]), .1u :::: 0 in n. Dann gilt supu = maxu. n an

(2.1.1 )

(Weil u stetig und n beschränkt und ii daher kompakt ist, ist das Supremum von u über n gleich dem Maximum von u auf ii.) Beweis. Wir betrachten zunächst den Fall, wo sogar .1u

gilt. Dann kann u im Innern von einem solchen Maximum wäre UxiXi

> 0 in n

n kein Maximum Xo

annehmen, denn in

(xo) :5 0 für i = 1, ... ,d,

also auch .1u(xo) ::; O.

Wir kehren nun zum allgemeinen Fall .1u :::: 0 zurück und betrachten die Hilfsfunktion 1 v(x) = eX , welche

.1v = v> 0 erfüllt. Für jedes e > 0 ist dann .1(u + eV)

> 0 in n,

und nach dem zuerst betrachteten Fall folgt sup(u + eV) = max(u + ev). n an Dann ist auch

sup u + e inf v::; maxu + e maxv, n n an an und da dies für jedes e > 0 gilt, folgt auch (2.1.1).

q.e.d.

2.1 Das Maximumprinzip von E. Hopf

Satz 2.1.1. Es gelte c(x) == 0; u erfülle in

Lu also

d

L

~

f}

0, d

aii(x)uxixi

i,i=1

35

+L

bi(x)UXi ~

i=1

o.

(2.1.2)

Dann gilt

sup u(x) = max u(x).

xEf1

(2.1.3)

xEßf1

Im Falle Lu ::; 0 gilt eine entsprechende Aussage für das Infimum. Beweis. Nach dem Vorgange des Beweises von Lemma 2.1.1 betrachten wir wieder zuerst den Fall

Lu> Da in einem inneren Maximum Xo von

o.

U

UXi(XO) = 0 für i = 1, ... ,d und

(UXiXi(XO))i,i=l, ... ,d

negativ semidefinit wäre,

und daher wegen der Elliptizitätsbedingung auch d

Lu(xo)

=L

aii(xo)Uxixi(XO) ::; 0

i,i=l

wäre, kann kein solches inneres Maximum auftreten. Wir betrachten nun, zum allgemeinen Fall Lu 2 0 zurückkehrend, die Hilfsfunktion I

v(x)

für

Cl

=

efY.X

> o. Dann ist

Da n und die Koeffizienten bi beschränkt sind und die Koeffizienten aii(x) 2 A sind, ist für genügend großes Cl

Lv> 0, und durch Anwendung des schon bewiesenen auf U

(L(u

+ cV

+ cV) > 0),

folgt die Behauptung wie im Beweis von Lemma 2.1.1. Der Fall Lu ::; 0 läßt sich durch Übergang zu -u auf den vorstehenden zurückführen. q.e.d.

36

2. Das Maximumprinzip

Korollar 2.1.1. L sei wie in Satz 2.1.1. Es seien f E C°(1]),

Lu(x) = f(x) für u(x) =
XE

n

xE

(2.1.4)

8n

höchstens eine Lösung. Beweis. Die Differenz v(x) = Ul(X) - U2(X) zweier Lösungen erfüllt Lv{x) = 0 v(x) = 0

in

n

auf 8n

und muß daher nach Satz 2.1.1 auf ganz

n verschwinden.

q.e.d.

Satz 2.1.1 hat die Voraussetzung, daß c{x) == 0 ist. Dies läßt sich folgendermaßen abschwächen:

Korollar 2.1.2. Es gelte c(x) ~ 0 in n. u E C2(n) n C°(i2) erfülle

Lu Mit

~

in

0

n.

u+(x) := max(u(x),O)

gilt dann

supu+ < maxu+. n - an

Beweis. Sei n+

:=

{x

E

n: u(x) > O}. Wegen c

d

d

i,j=l

i=l

(2.1.5) ~

0 gilt in n+

2:::: aii(x)uxixi + 2:::: bi (x)U i ~ 0, X

also nach Satz 2.1.1 supU n+ Es gilt

u = 0 auf 8n+ n n

~

maxu. an+

(2.1.6)

(wegen der Stetigkeit von u),

max u an+nan

~

maxu, an

und daher, weil 8n+ = (8n+ n n) U (8n+ n 8n),

Da auch

maxu < maxu+. an+ - an

(2.1. 7)

supu+ = supu n n+

(2.1.8)

ist, folgt (2.1.5) aus (2.1.6),(2.1.7).

q.e.d.

2.1 Das Maximumprinzip von E. Hopf

37

Wir kommen nun zum starken Maximumprinzip von E. Hopf.

Satz 2.1.2. Es gelte c(x) == 0, und u erfülle in n

Lu

(2.1.9)

~O.

Nimmt u dann ein Maximum im Innern von n an, so ist u konstant. Ist allgemeiner c(x) ~ 0, so muß u konstant sein, wenn es ein nichtnegatives inneres Maximum annimmt. Zum Beweis benötigen wir das Randwertlemma von E. Hopf:

Lemma 2.1.2. Es gelte c(x)

~

0 und

Lu ~ 0

in

n' C ]Rd,

und es sei Xo E an'. Ferner gelte (i) u ist stetig in Xo (ii) u(xo) ~ 0, falls c(x) ~ 0 (iii) u(xo) > u(x) für alle x E n' (iv) Es gebe eine Kugel B(y, R) c n' mit Xo E aB(y, R). Dann gilt mit r :=

Ix - yl

au ar (xo) > 0,

sofern diese Ableitung (in Richtung der äußeren Normalen von n') existiert. Beweis. Wir können annehmen, daß aB(y, R) n an' = {xo}. Für 0

< P < R betrachten wir auf dem Ringgebiet B(y, R) \ B(y, p)

die Hilfsfunktion Es ist

Lv(x) =

{4

72

-27

.t

aii (x) (Xi - yi) (xi -

yi)

',3=1

(t,

(aii(x)

+c(x) (e-'YIX-YI 2

+ bi(x) (xi _

e-'Y R2 )

•

yi))) }e-'YIX-YI 2

38

2. Das Maximumprinzip

Für genügend großes "{ ist dann wegen der vorausgesetzten Beschränktheit der Koeffizienten von L und der Elliptizitätsbedingung

Lv ~ 0 in B(y, R) \ B(y, p).

(2.1.10)

Nach (iii) und (iv) ist

u(x) - u(xo) < 0 für x E B(y, R). Daher findet sich ein e > 0 mit

u(x) - u(xo) Da v auch

=0

+ eV(x) ::; 0 für x E 8B(y, p).

(2.1.11)

auf 8B(y, R) ist, gilt (2.1.11) auch auf 8B(y, R). Andererseits gilt

L (u(x) - u(xo)

+ eV(x)) ~ -c(x)u(xo)

~ 0

(2.1.12)

nach (2.1.10) und (ii) und wegen c(x) ::; O. Wir können daher auf B(y, R) \B(y, p) Korollar 2.1.2 anwenden und erhalten

u(x) - u(xo)

+ eV(x) ::; 0 für x E B(y, R) \

B(y, p).

Es folgt, sofern diese Ableitung existiert, daß

ar8 (u(x) -

u(xo)

+ eV(x))

~ 0 an der Stelle

x = xo,

also für x = Xo, 8

8v(x)

2) > O.

(

8r u(x) ~ -e-a;:- = c 2"{Re-"f R

q.e.d. Beweis von Satz 2.1.2: Wir nehmen an, u wäre nichtkonstant, hätte aber ein Maximum m (~ 0 im Falle c ~ 0) in n. Dann wäre

sl' := {x E n : u(x) < m} =f. 0 und

an' n n =f. 0. Wir wählen ein YEn', welches näher an 8n' als an an liegt. B(y, R) sei die größte in n' enthaltene Kugel mit Zentrum y. Dann würde folgen u(xo) = m und Nach Lemma 2.1.2 wäre

für ein

Xo E

8B(y, R),

u(X) < u(xo) für x E

n'.

Du(xo) =f. 0,

was aber in einem inneren Maximum nicht möglich ist. Somit muß die Behauptung des Satzes doch richtig sein. q.e.d.

2.2 Das Maximumprinzip von Alexandrov und Bakeiman

39

2.2 Das Maximumprinzip von Alexandrov und Bakeiman In diesem § betrachten wir Differentialoperatoren L der gleichen Gestalt wie im vorigen §, nehmen aber der technischen Einfachheit halber an, daß die Koeffizienten c(x) und bi(x) alle verschwinden. Zwar gelten auch ähnliche Aussagen wie die hier vorgestellten für nichtverschwindende bi(x) und nicht positives c(x), aber wir wollen hier nur das Beweisprinzip in einem möglichst einfachen Fall erläutern. Satz 2.2.1. Es gelte für ein

U

E C 2 (il) n CO (51) d

Lu(x)

:=

L

aij(x)uxixi ~ fex),

(2.2.1)

i,j=l

wobei die Matrix (a ij (x)) für jedes x Eilpositiv definit und symmetrisch sei. Ferner sei

1

If(x)ld " ( )) dx < 00. n d et (a'3 x

(2.2.2)

Dann gilt

supu~maxu+ n an

diam(il) ( If(x)1 d ) lid lid l d dwd a'3 x n et (,,())dx

(2.2.3)

Im Gegensatz zu Abschätzungen, die aus dem Hopfschen Maximumprinzip folgen (vgl. z.B. Satz 2.3.2 infra), steht hier auf der rechten Seite nur eine Integralnorm von f, also eine schwächere Norm, statt der Supremumsnorm. In diesem Sinne ist das Maximumprinzip von Alexandrov und Bakeiman also stärker als das Hopfsche. Zum Beweis von Satz 2.2.1 benötigen wir einige geometrische Konstruktionen. Für v E CO (il) definieren wir die obere Kontaktmenge

T+(v)

:=

{y Eil: 3p E IR d "Ix Eil: v(x) ::; v(y) + p. (x - y)}.

(2.2.4)

Der Punkt "." bedeutet hierbei das euklidische Skalarprodukt des IR d . Das in der Definition auftretende p hängt normalerweise von y ab, p = p(y). T+ (v) ist diejenige Teilmenge von il, auf der der Graph von v unterhalb einer Hyperebene des IR d+1 liegt, welche den Graphen von v im Punkte (y,v(y)) berührt. Ist v differenzierbar im Punkte y E T+(v), so ist notwendigerweise p(y) = Dv(y). Schließlich ist v genau dann konkav, wenn T+(v) = il ist.

Lemma 2.2.1. Für v E C 2 (il) ist die Hessesehe

(vxix.i )i,j=l, ... ,d auf T+ (v) negativ semidejinit.

2. Das Maximumprinzip

40

Beweis. Für Y E T+(v) betrachten wir die Funktion w(x)

°

:=

v(x) - v(y) - p(y) . (x - y).

Dann gilt w(x) :::; auf [l, weil Y E T+(v) ist, und w(y) = 0. Daher hat W im Punkte y ein Maximum, weswegen (Wxixi(Y)) negativ semidefinit ist. Da Vxixi = Wxixi für alle i,j gilt, folgt die Behauptung. q.e.d. Wenn v im Punkte y E T+(v) nicht differenzierbar ist, braucht p = p(y) nicht eindeutig zu sein, sondern es kann mehrere p geben, welche der Bedingung in (2.2.4) genügen. Wir ordnen nun y E T+(v) die Menge aller dieser p zu, betrachten also die mengenwertige Abbildung

TV(Y)

:=

{p

E ]Rd : \Ix E [l :

Für y ~ T+(v) setzen wir Tv(Y) :=

v(x) :::; v(y) + p. (x - y)} .

0.

Beispiel 2.2.1. [} = B(O, 1), ß > 0, v(x) = ß(l - lxI). Der Graph von v ist also ein Kegel mit Spitze der Höhe ß im Nullpunkt und der Einheitskreislinie als Basis. Es ist dann T+(v) = B(O, 1) und Tv(Y) =

{

für y = { -ßGr} für Y #

B(O,ß)

°

°.

Für den Kegel mit Spitze der Höhe ß in Xo und Basis ßB(x o , R),

v(x) = ß und [}

(1 _Ix ~xOI)

= B(xo, R) gilt analog Tv

(B(xo, R)) = Tv(XO) = B(O,ß/R).

Wir betrachten nun das Bild von TV ([}) =

[l

unter

(2.2.5)

Tv ,

U Tv(Y) C ]Rd. yEn

Mit Ld bezeichnen wir das d-dimensionale Lebesguemaß. Dann gilt Lemma 2.2.2. Es sei v E C 2 ([}) n COUi). Dann gilt

(2.2.6)

2.2 Das Maximumprinzip von Alexandrov und BakeIman

41

Beweis. Zunächst ist TV(S?) = Tv(T+(v)) = Dv(T+(v)),

da v differenzierbar ist.

(2.2.7)

Nach Lemma 2.2.1 ist die Funktionalmatrix von Dv : n -> JRd, nämlich (Vxi xi), auf T+ (v) negativ semidefinit. Daher ist Dv - dd für c > 0 von maximalem Rang. Nach der Transformationsformel für mehrfache Integrale gilt dann

.cd (Dv-cId) (T+(v)))

~ lT+(v) r !det(vxixi(x)-COij)iJ'=I"d!dx. , "

(2.2.8)

Lassen wir nun c gegen Null streben, so folgt wegen (2.2.7) die Behauptung.

q.e.d. Wir können nun Satz 2.2.1 beweisen: Wir können annehmen, daß U ~

0 auf an

ist, indem wir gegebenenfalls u durch u - maxan u ersetzen. Es sei nun Xo E n, u(xo) > O. Wir betrachten die Funktion "'xQ auf B(xo, 0) mit 0 = diam(n), deren Graph der Kegel mit Spitze der Höhe u(xo) in Xo und Basis aB(xo, 0) ist. Nach Definition des Durchmessers 0 = diam n ist n c B(xo, 0). Da wir u ~ 0 auf an annehmen, muß für jede berührende Hyperebene dieses Kegels eine parallele Hyperebene existieren, die an den Graphen von u tangential ist. (Um dies einzusehen, bewegen wir einfach eine gegebene solche Hyperebene von oben an den Graphen von u, bis das erste Mal eine Berührung stattfindet. Weil der Graph von u mindestens die Höhe u(xo), also die Höhe des Kegels hat, und weil u ~ 0 auf an gilt und an c B(xo, 0) ist, kann diese erste Berührung nicht über einem Randpunkt von n stattfinden, sondern nur in einem inneren Punkt Xl. Damit liegt die entsprechende Hyperebene in Tv(XI).) Dies bedeutet (2.2.9) Nach (2.2.5) ist

Tl<xo (n)

=

B (0, u(xo)/o).

Aus (2.2.6), (2.2.9), (2.2.10) folgt

.cd (B (0, u(xo) / 0)) also

~

r

lT+(u)

Idet (Uxixi (x)) I dx,

(2.2.10)

42

2. Das Maximumprinzip

U(Xo):::;

~/d (r

Idet(Uxixi(X))ldX) lid

~/d (r

(-l)ddet (UXiXi(X))dX) lid

Wd

=

Wd

JT+(u)

JT+(u)

nach Lemma 2.2.1.

(2.2.11)

Befreien wir uns wieder von der Annahme U :::; 0 auf an, so erhalten wir einen zusätzlichen Term maxan U auf der rechten Seite von (2.2.11). Da die Formel für alle Xo E n gilt, ergibt sich also

Lemma 2.2.3. Für U E C 2 (n) supu :::; maxu +

n

an

diam(n)

lid

n c°(i'i)

(1

wd

T+(u)

gilt

d ) lid (-1) det (Uxixi(X)) dx

(2.2.12)

Um hieraus Satz 2.2.1 herleiten zu können, benutzen wir das elementare

Lemma 2.2.4. AufT+(u) ist

(-l)ddet(uxixi(x)):::; det(:ii(x))

(-~.t aii(X)UXiXi(X))d

(2.2.13)

',3-1

Beweis. Für symmetrische, positiv semidefinite Matrizen A, B gilt bekanntlich det A det B :::;

(~spur AB )

d ,

was man leicht einsieht, wenn man eine der beiden Matrizen diagonalisiert, was wegen der vorausgesetzten Symmetrie möglich ist. Setzen wir A = (-UXixi), B = (a ij ) ein (was wir nach Lemma 2.2.1 und der Elliptizitätsannahme dürfen), so folgt (2.2.13). q.e.d.

(1 (- ~t.i=l

Aus (2.2.12) und (2.2.13) folgt

supu < maxu + n - an

diam(il)

dwYd

T+(u)

aij(x)UXixi(X))d

.. t3

det (a (x))

dx

) lid

(2.2.14) Aus (2.2.14) wiederum ergibt sich nun unmittelbar Satz 2.2.1, da nach Voraussetzung - ~ aij Uxixi :::; - f und die linke Seite hiervon nach Lemma 2.2.1 auf T+(u) nicht negativ ist. q.e.d. Wir wollen Satz 2.2.1 auf eine nicht lineare Gleichung anwenden, nämlich die zweidimensionale Monge-Ampere-Gleichung.

2.2 Das Maximumprinzip von Alexandrov und Bakeiman

Es sei also fl offen in

]R2 = {(xl, x 2 )},

und

U

E

C 2 (fl) erfülle

Uxl xl(X)U x2x2(X) - U;l x2(X) = f(x)

mit gegebenem

43

in fl,

(2.2.15)

f. Damit (2.2.15) elliptisch ist, muß

(i) die Hessesche von U positiv definit und deswegen auch (ii) f(x) > 0 in fl sein. (i) bedeutet, daß u eine konvexe FUnktion ist. Dann kann U im Innern von kein Maximum annehmen, wohl aber ein Minimum. Um das Minimum kontrollieren zu können, beobachten wir, daß mit U auch (-u) eine Lösung von (2.2.15) ist. Allerdings ist die Gleichung (2.2.15) bei (-u) nicht mehr elliptisch, weil die Hessesche von ( -u) negativ statt positiv definit ist, so daß wir Satz 2.2.1 nicht direkt anwenden können. Wir beobachten jedoch, daß Lemma 2.2.3 ohne eine Elliptizitätsbedingung gilt und erhalten so

n

Korollar 2.2.1. Für eine Lösung u der Monge-Ampere-Gleichung {2.2.15} gilt unter den Voraussetzungen {i}, {ii}

inf u

n

~

min U

an

-

diam( fl) '2v~

(1n f{x)dx)!

q.e.d. Der wichtige Punkt hierbei ist, daß wir die nicht lineare Monge-AmpereGleichung für eine Lösung u formal als lineare Differentialgleichung schreiben können. Mit 11

1

22

1

a (x) = 2Ux2x2(X), a (x) = 2Uxlxl(X)

wird (2.2.15) nämlich zu

L aiiuxix;(X) = f(x), 2

i,j=l

hat also genau die betrachtete Gestalt. Wollen wir also Aussagen über eine Lösung U gewinnen, so müssen wir nur prüfen, ob die erforderlichen Bedingungen an die Koeffizienten aij (x) unter den an u gemachten Voraussetzungen erfüllt sind, um die gewünschten Sätze anwenden zu können. Allerdings sind oft diese Voraussetzungen für manche, aber nicht für alle Lösungen U erfüllt. Beispielsweise war (2.2.15) unter den Bedingungen (i), (ii) bei der Lösung (-u) nicht mehr elliptisch.

44

2. Das Maximumprinzip

2.3 Maximumprinzipien für nichtlineare Differentialgleichungen Wir betrachten nun eine allgemeine Differentialgleichung der Form F[u] = F(x, u, Du, D 2 u) = 0,

(2.3.1)

mit F : S := fJ x R X Rd x S(d,R) -+ R, wobei S(d,R) der Raum der symmetrischen reellwertigen d x d-Matrizen ist. Elemente aus S schreiben wir in der Form(x, Z,p, r)j hierbei ist P = (PI,'" ,Pd) ERd, r = (rijkj=l, ... ,d E S{d, R). Wir nehmen an, daß F nach den rij differenzierbar ist. Definition 2.3.1. Die Gleichung (2.3.1) heißt elliptisch bei u E e 2 (fJ), falls (::. (x, u{x), Du{x), D 2 U{X))) . . J

positiv definit

(2.3.2)

t,J=I, ... ,d

ist.

Unter den am Ende von § 2.2 formulierten Bedingungen (i), (ii) ist z.B. die Monge-Ampere-Gleichung (2.2.15) in diesem Sinne elliptisch bei u. Es ist nicht ganz klar, was die geeignete Verallgemeinerung des Maximumprinzips von linearen auf nichtlineare Gleichungen ist, da wir im linearen Fall immer Voraussetzungen über die Terme niederer Ordnung machen mußten. Eine Interpretation, die auf eine mögliche Verallgemeinerung hindeutet, ist jedoch, das Maximumprinzip als eine Vergleichsaussage einer Lösung mit einer Konstanten aufzufassen, die unter anderen Voraussetzungen eine Lösung von Lu ::::; 0 war. Wegen der linearen Struktur von L ergab sich hieraus unmittelbar ein Vergleichssatz für .beliebige Lösungen Ul, U2 von Lu = O. Wir beginnen daher im nicht linearen Fall ebenfalls mit einem Vergleichssatz. Satz 2.3.1. Es seien UD, Ul E e 2 (fJ) n CO(m. Es gelte

(i) FE el(s), (ii) F ist elliptisch bei allen Funktionen tUI + (1 - t)uo, 0 ::::; t ::::; 1, (iii) Für jedes feste (x, p, r) ist F monoton fallend in z. Gilt dann Ul ::::;

und so ist entweder oder Uo ==

Ul

in fJ.

Uo

auf afJ

2.3 Maximumprinzipien für nichtlineare Differentialgleichungen

45

Beweis. Wir setzen

v:=

Ul - Uo

+ (1 - t)uo 1 oF (

. 1 Ut :=

tU1

für 0 ::; t ::; 1

) dt ~ x, Ut(x), DUt(x), D2 Ut(x) o ur" 1 bi(x):= ooF (x, Ut(x), DUt(x), D2Ut(x)) dt

a"(x)

:=

r

10 Pt loF c(x) := 10r oz (x, Ut(X), DUt(X), D2Ut(x)) dt

(man beachte, daß hier eine totale Ableitung nach t integriert wird, nämlich 1tF(x, Ut(x), DUt(x), D2Ut(x)), so daß wir das Integral durch Randterme ausdrücken können, woraus unten die richtige Darstellung von Lv folgen wird, vgl. (2.3.3)) d

L

Lv:=

aij (X)VXixj (x)

i,j=l

d

+ L bi (X)VXi (x) + c(x)v(x). i=l

Dann ist

Lv = F[Ul]- F[uo] :::: 0 in n.

(2.3.3)

Wegen (ii) ist L elliptisch, und wegen (iii) gilt c(x) ::; O. Daher ist Satz 2.1.2 auf v anwendbar und liefert die Behauptung. q.e.d. Insbesondere gilt der Satz also für Lösungen von F[u] = O. Der entscheidende Punkt im Beweis von Satz 2.3.1 ist dann, daß, weil die Lösungen Uo und U1 der nichtlinearen Gleichung F[u] = 0 schon gegeben sind, wir Größen, die von Uo und Ul und deren Ableitungen abhängen, als Koeffizienten einer linearen Differentialgleichung für die Differenz auffassen können. Wir formulieren noch den folgenden Eindeutigkeitssatz für das Dirichletproblem für F[u] = f mit gegebenem f: Korollar 2.3.1. Unter den Voraussetzungen von Satz 2.3.1 gelte auf und F[uo] = F[U1] in n.

on

Dann ist

Uo

=

Ul

in

= U1

Uo

n.

Als Beispiel betrachten wir die Minimalflächengleichung: Es sei

q.e.d.

nc

JR2 =

{(x, y)}. Die Minimalflächengleichung ist dann die quasilineare Gleichung

(2.3.4) Aus Satz 2.3.1 folgt

46

2. Das Maximumprinzip

Korollar 2.3.2. Es seien uo, Ul E C2(il) zwei Lösungen der Minimalflächengleichung. Falls die Differenz Uo - Ul in einern inneren Punkt von il ein Maximum oder Minimum annimmt, so ist Uo -

Ul

== const.

in il. q.e.d.

Wir kommen nun zu dem folgenden Maximumprinzip: Satz 2.3.2. Es sei u E C 2 (il) n c°(ii). Es sei FE C 2 (8). Es gelte für ein >. > 0 die Elliptizitätsbedingung d

"ßF .. >'I~I ~ L..J ~(x,z,p,r)ee i,j=1 r l3 2

(2.3.5)

für alle ~ E IRd , (x, z,p, r) E 8. Ferner gebe es solche Konstanten J1.b J1.2, daß für alle (x,z,p) F(x,z,p,O)sign(z) I I J1.2 (2.3.6) >. ~ J1.1 P + T· Gilt dann F[u] = 0 so ist

in il,

sup lul ~ max lul n an

+ c~2 , A

(2.3.7)

wobei die Konstante c von /-LI und dem Durchmesser diam(il) abhängt.

(2.3.6) sollte hierbei als das Analogon der Vorzeichenbedingung c(x) ~ 0 sowie der Schranke für die bi(x) wie auch einer Schranke für die rechte Seite f bei der Gleichung Lu = f angesehen werden. Beweis. Wir verfolgen eine ähnliche Strategie wie im Beweis von Satz 2.3.1 und wollen die Aussage auf ein Maximumprinzip aus § 2.1 für lineare Gleichungen zurückführen. v sei eine noch zu bestimmende Hilfsfunktion, und W : = u - v. Wir betrachten den Operator d

Lw:=

L

i,j=1 mit

. 1°

al3 (x):=

1

aij(x)wxi x; +

d

L bi(x)wxi i=1

ßF ( 2 ßrij x,u(x), Du(x),tD u(x))dt,

(2.3.8)

während die Koeffizienten bi(x) durch die folgende Gleichung definiert sind:

2.3 Maximumprinzipien für nichtlineare Differentialgleichungen d

d

i=l

i,j=l

r (araF.. (x, u(x), Du(x), tD u(x))

io

L bi(x)Wxi = L -

47

1

2

0

:~

'J

(x, u(x), Dv(x), tD 2 u(x)) ) dt· Vxixi

+F (x, u(x), Du(x), 0) - F (x, u(x), Dv(x), 0). (2.3.9) (Daß dies möglich ist, folgt aus dem Mittelwertsatz und der Voraussetzung F E C 2 • Es reicht allerdings aus, wenn F nur bezüglich der Variablen r zweimal stetig differenzierbar ist.) L erfüllt dann die Voraussetzungen zu Satz 2.1.1. Nun ist

Lw = L(u - v)

~

,tl ([ ~

-L d

i,j=l

(rio 0

l

(x, u(x), Du(x), !D'u(x))

dt) u.,., + F(x, u(x), Du(x) , 0)

öF (x, u(x), Dv(x), tD 2 u(x)) dt ) Vxixi - F(x, u(x), Dv(x), 0) ör"

(tl

1J

~ F (x, u(x), Du(x) , D'u(x)) -

""(X)V"'"

+ F (x, u(x), Dv(x) ,

0)) ,

(2.3.10)

mit

"

r

l

a'J(x) = i o

aF (x,u(x),Dv(x),tDu(x) 2 ) dt

Örij

(2.3.11)

(dies entsteht wieder aus dem totalen Integral einer Ableitung nach t). Hierbei ist nach Voraussetzung

A IEI 2

d

::;

L

ah(x)EiEj

für alle

xE

n,E

E ]Rd.

(2.3.12)

i,j=l

Wir suchen nun eine geeignete Hilfsfunktion v mit

Mv:= Laij(x)vxixi Wir nehmen an, daß mit 8 liegt. Unser Ansatz ist

:=

+ F(x,u(x),Dv(x),O)::; 0. diam(n)

(2.3.13)

n in dem Streifen {O < xl

< 8}

(2.3.14)

(u+(x) = max(O,u(x))). Dann ist

48

2. Das Maximumprinzip

+ 1)2 a ll (x)e(1L1+1)X 1 + F(x, u(x), Dv(x),O) -/-L2 (/-LI + 1)2 e(1L1+1)X 1 + /-L2/-LI (/-LI + 1) e(1L1+1)X 1 + /-L2

Mv = -~ (/-LI

~

~O

nach (2.3.6), (2.3.12). Damit ist (2.3.13) nachgewiesen. Aus (2.3.10) folgt dann, sogar schon unter der Voraussetzung F[u] ~ 0 statt F[u] = 0, Lw

~O.

N ach Konstruktion von v haben wir auch w

=u- v

~

auf an.

0

Satz 2.1.1 impliziert daher

u

~

v in

n,

und (2.3.7) folgt daher mit c = e(lLl +1) diam(n) der Voraussetzung F[u] ~ 0 die Ungleichung

1. Genauer haben wir unter

-

c,

supu < maxu+ + /-L2

n

- an

A

(2.3.15)

bewiesen, aber die Ungleichung in der anderen Richtung folgt natürlich analog, also infu > minu- _ c/-L2 (2.3.16)

n

(u-(x)

:=

- an

A

min(O,u(x))).

q.e.d.

Satz 2.3.2 ist durchaus auch im linearen Fall von Interesse. Wir wollen noch einmal die simple Gleichung

!,,(x) + ",/(x) = 0 /(0) = /(1r) = 0

für x E (0,1r)

mit konstantem ", betrachten. Wir können dann Satz 2.3.2 mit A = 1, /-LI /-L2 = {

anwenden. Dann folgt sup

(0,11")

d.h. falls

",sup (0,11")

111

= 0, für", > 0

o

für",~O

I/I ::; c", sup I/I , (0,11")

1 c

",< -,

Übungen

49

=

so muß f 0 sein. Statt /'i, kann man auch allgemeiner eine Funktion c(x) mit c(x) ::; /'i, auf (0,1l') nehmen und f"(x) + c(x)f(x) = 0 betrachten, ohne die gezogene Folgerung zu beeinflussen. Wir können also insbesondere die Vorzeichenbedingung c(x) ::; 0 abschwächen. Die schärfstmögliche Aussage in 0 ist, sofern /'i, kleiner als der kleinste Eigenwert diesem Beispiel ist, daß f Al von auf (0, 1l'), also 1, ist. Dies überträgt sich analog auf andere lineare elliptische Gleichungen, z.B .

=

.fxr

.t1f(x) + /'i,f(x) = 0 in fl f(y) = 0 auf afl. Satz 2.3.2 impliziert auch hier eine solche Aussage, allerdings wiederum ohne die optimale Schranke Al zu erreichen. Eine Referenz für das vorliegende Kapitel ist Gilbarg-Trudinger[6].

Zusammenfassung und Ausblick Das Maximumprinzip liefert Beispiele sogenannter a-priori-Abschätzungen, d.h. Abschätzungen, die für jede Lösung einer bestimmten Differentialgleichung oder Klasse von Differentialgleichungen gelten, in Abhängigkeit von den gegebenen Daten (Randwerte, rechte Seite, etc.), ohne daß man die Lösung selber kennen müßte oder sogar ohne daß zuerst sichergestellt werden müßte, daß überhaupt eine Lösung existiert. Vielmehr sind solche a-prioriAbschätzungen oft umgekehrt ein wichtiges Hilfsmittel in vielen Existenzbeweisen. Maximumprinzipien sind charakteristisch für Lösungen elliptischer (und parabolischer) PDGln, und zwar keineswegs nur für Lösungen linearer Gleichungen. Maximumprinzipien sind sogar oft das wichtigste Hilfsmittel beim Studium nichtlinearer elliptischer PDGln.

Übungen 2.1 Es seien fl l , fl 2 C ]Rd disjunkte, offene Mengen, für die fl l n fl 2 eine glatte Hyperfläche T enthält, z.B.

fl l := {(xl, ... ,xd ): lxi< 1,x l > O} fl 2 := ({Xl, ... ,xd ) T

= {(Xl,

:

... ,xd ) :

lxi< 1,x l < O} lxi< 1,x l = O}.

E CO(fl l U fl 2) n C2(fld n C 2(fl 2) sei auf fl l und fl 2 harmonisch, es gelte also:

U

Ist u dann auch notwendigerweise auf fl l U fl 2 U T harmonisch?

50

2. Das Maximumprinzip

yn. Kann eine nichtkonstante Lösung

2.2 Es sei n offen in JR2 = {(x, C2(n) der Differentialgleichung

=

U xy

°

U

E

in G

n annehmen?

ein inneres Maximum in

2.3 Es sei G offen und beschränkt in JRd. Auf G x [0,00) C JRd+1 {(Xl, ... , x d, t)} betrachten wir die Wärmeleitungsgleichung

Ut

82

d

(.1 = ~ (8x i )2)'

= .1u

t=l

Zeigen Sie, daß für eine beschränkte Lösung U E C 2 (G x (0,00)) n CO(G x

[0,00)) sup

sup

U ~

nx[o,oo)

U

(nx{o})u(anx[o,oo))

gilt.

2.4 U : n - t lR. sei harmonisch, G' zwischen 1 und d

ce

G

2d s~? IUxi xi I:::; ( dist(G', 8G)

c JRd.

Dann gilt für alle i,j

)2 s~p lul·

Beweisen Sie diese Ungleichung! Formulieren und beweisen Sie auch eine analoge Abschätzung für Ableitungen beliebiger Ordnung! 2.5 GC]Rd sei offen und beschränkt. U E C 2 (G) n CO(G) erfülle

.1u = u3 , U

°

== 0,

xE

n

xE ßG.

Zeigen Sie, daß U == in G ! 2.6 Beweisen Sie eine Version des Maximumprinzips von Alexandrov und Bakeiman für einen Operator n

Lu =

L

aij(x)uxixj(X),

i,j=l

wobei Sie statt der Elliptizität nur voraussetzen, daß det(aij(x)) in G positiv ist. 2.7 Kontrollieren Sie das Maximum und Minimum der Lösung U einer elliptischen Monge-Ampere-Gleichung

in einem beschränkten Gebiet G.

Übungen

51

2.8 Es sei u E C 2 (.o) in dem Gebiet .0 eine Lösung der Monge-AmpereGleichung mit positivem f. Es gebe ein Xo E .0, in dem die Hessesche von u positiv definit ist. Zeigen Sie, daß die Gleichung dann bei u in ganz .0 elliptisch ist.

2.9 Es sei ]R2 := {(xl, x 2)},.o := B(O, R 2) \ B(O, Rt}, mit R 2 > R l > 0. cjJ(x l , x 2 ) := a+b log(jxj) ist für alle a, b harmonisch auf .0. u E C 2 (D)nCO(.ä) sei subharmonisch, also .du ~ 0, xE.o. Zeigen Sie

M(Rt}log(~)+M(R2)log(; )

M(r) <

log(~)

-

1

mit

M(r):= max u(x) 8B(O,r)

und R l :S r :S R 2 ·

2.10 Sei

Zeigen Sie, daß Ul, U2 die Monge-Ampere-Gleichung

erfüllen und daß Ul

= U2 = 1 auf aB(O, 1).

Wie verträgt sich dies mit der Eindeutigkeitsaussage für das Dirichletproblem nichtlinearer elliptischer Differentialgleichungen? 2.11 Es sei DT := D x (0, T), und Ut

= .du + u2

u(x, t) > c>

°

U E

C 2 (DT ) n CO(DT ) erfülle

in DT für (x, t) E (D x {O}) U (aD x [0, T)).

Zeigen Sie a) U > c für alle (x, t) E .oT . b) Gilt zusätzlich

u(x, t) so ist T

< 00.

= u(x, 0)

für alle x E aD und alle t,

3. Existenzverfahren I: Methoden, die auf dem Maximumprinzip beruhen

3.1 Differenzenverfahren: Diskretisierung von Differentialgleichungen Der Grundgedanke der Differenzenverfahren besteht darin, eine gegebene Differentialgleichung durch eine Differenzengleichung mit einer Schrittweite h zu ersetzen und zu versuchen, nachzuweisen, daß für h --t 0 die Lösungen der Differenzengleichung gegen eine Lösung der Differentialgleichung konvergieren. Es handelt sich hierbei um ein konstruktives Verfahren, welches insbesondere auch häufig zur numerischen (approximativen) Berechnung von Lösungen von Differentialgleichungen eingesetzt wird. Um die wesentlichen Aspekte dieses Verfahrens in möglichst einfacher Form darzustellen, beschränken wir uns auf die Laplacegleichung

..du = 0

(3.1.1)

in einem beschränkten Gebiet [l des ]Rd. Wir überziehen den ]Rd mit einem orthogonalen Punktgitter der Maschenweite h > 0, d.h. wir betrachten alle Punkte der Form (3.1.2) mit nl, ... , nd E Z. Die Menge aller dieser Punkte nennen wir ]Rt, und wir setzen (3.1.3) Wir nennen x = (nIh, ... , ndh) und y benachbart, wenn

= (mIh, ... , mdh)

(alle ni, mj E Z)

d

2: Ini - mil = 1,

(3.1.4)

i=1

oder gleichwertig hierzu,

Ix - Yl =

h.

(3.1.5)

Die geradlinigen Verbindungen zwischen Nachbarpunkten nennen wir Kanten. Eine zusammenhängende Vereinigung von Kanten, bei der jeder Gitterpunkt auf höchstens zwei Kanten liegt, heißt Kantenzug.

J. Jost, Partielle Differential-gleichungen © Springer-Verlag Berlin Heidelberg 1998

54

3. Exist.enzverfahren I

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'" "-----V

Abb. 3.1. x(Kreuz) und seine Nachbarn(offene Kreise) sowie ein Kantenzug in fl,,(verdickt.e Linie) und Punkte aus r" (dicke Punkte)

Als Randpunkte von Dh bezeichnen wir alle Gitterpunkte aus Dh , bei denen nicht sämtliche Nachbarn in Dh liegen. sei die Menge dieser Randpunkte. Punkte aus Dh, die keine Randpunkte sind, heißen innere Punkte. Die Menge der inneren Punkte nennen wir ah. Wir nehmen an, daß flh diskret zusammenhängend ist, d.h. daß je zwei Gitterpunkte in flh durch einen ganz in flh verlaufenden Kantenzug miteinemder verbunden werden können. Wir betrachten eine Funktion

rh

u:

und setzen für i = 1, ... , d, x = 1

1

1L i (x):=h(U(x,

Dh

~ lR

(Xl, ... , x d ) E

ah

i i+l d 1 d ... ,xi-I ,x+h,x , ... ,x)-u(x, ... ,x))

. _ h1 ( 1 d ) u,(x).u(x , ... ,xd )-u(x 1 , ... ,x;-1 ,xi -h,xi+1 , ... ,x).

(3.1.6) Ui und u, sind also vor- und rückwärtiger Differenzenquotient in der i-ten Koordinatenrichtung. Entsprechend bilden wir Differenzenquotienten höherer Ordnung, z.B.

u;,(x) = UIi(X) = (u,);{x) =

;2 (u(xl, ...

,Xi

+ h, ... ,xd ) -

2u(x 1 , ... ,xd )

3.1 Differenzenverfahren: Diskretisierung von Differentialgleichungen

55

+u(X 1 , ... , x i - h, . .. ,X d ) ) .

(3.1. 7) Wenn wir die Abhängigkeit von der Maschenweite h ausdrücken wollen, schreiben wir statt u, Ui, Ui, etc. u h , u~, u~ etc. Der wesentliche Grund für die Betrachtung von Differenzenquotienten ist natürlich, daß sie für entsprechend oft differenzierbare Funktionen für h ~ 0 gegen die entsprechenden Ableitungen streben, also z.B. für U E C 2 (fl) !im U7,(Xh)

h-O

wenn Xh E flh für h Laplacegleichung

~

82

= (8X"·)2 U(X),

(3.1.8)

0 gegen x E fl strebt. Wir approximieren daher die .du = 0

in fl

durch die Differenzengleichung d

.dh uh :=

L u~ = 0

in flh,

(3.1.9)

i=l

welche wir auch als diskrete Laplacegleichung bezeichnen. Unser Ziel ist nun, das Dirichletproblem für die diskrete Laplacegleichung .dhuh = 0 in fl h

u h = gh auf T h

(3.1.10)

zu lösen und dann zu zeigen, daß unter geeigneten Voraussetzungen die Lösungen u h für h ~ 0 gegen eine Lösung des Dirichletproblems .du = 0 in fl

u = 9 auf 8fl

(3.1.11)

konvergieren, wenn gh eine diskrete Approximation von 9 ist. Wenn wir die Werte von u h in den Punkten von flh als Unbekannte auffassen, so führt (3.1.10) aufein lineares Gleichungssystem mit ebensovielen Gleichungen wie Unbekannten. Diejenigen Gleichungen, die zu Gitterpunkten gehören, deren sämtliche Nachbarn ebenfalls innere Punkte sind, sind homogen, die anderen inhomogen. Es ist nun bemerkenswert und nützlich, daß sich viele Eigenschaften der Laplacegleichung auf die diskrete Gleichung übertragen. Wir beginnen mit dem diskreten Maximumprinzip:

Satz 3.1.1. Es gelte .dhuh ~ 0

in fl h ,

wobei fl h , wie stets, diskret zusammenhängend sein soll. Dann gilt

56

3. Existenzverfahren I

max u h = max u h . fi,•

r,.

(3.1.12)

Wird das Maximum in einem inneren Punkt angenommen, so ist u h konstant. Beweis. Es sei Xo ein innerer Punkt, und xl. ... ,X2d seien seine Nachbarn. Dann ist

LlhUh(X)

~ :'

(t,

uh(x a ) - 2dU h(XO») .

(3.1.13)

Gilt ßhuh(X) ~ 0, so ist also (3.1.14) d.h. uh(xo) ist nicht größer als das arithmetische Mittel der Werte von u h in den Nachbarn von xo. Hieraus folgt (3.1.15) wobei Gleichheit nur dann eintritt, wenn (3.1.16) ist. Nimmt also u h im Punkte Xo ein inneres Maximum an, so auch in allen Nachbarn von xo, und durch Wiederholung des Schlusses dann auch in allen Nachbarn von Nachbarn u.s.w. Da Qh diskret zusammenhängend ist, muß u h dann in tih konstant sein. Dies ist die starke Form des Maximumprinzips, welche wiederum das schwache Maximumprinzip (3.1.12) impliziert. q.e.d. Korollar 3.1.1. Das diskrete Dirichletproblem ßhuh = 0 in Qh u h = gh auf r h mit vorgegebenem gh hat höchstens eine Lösung. Beweis. Wie üblich durch Anwendung des Maximumprinzips auf die Differenz zweier Lösungen. q.e.d.

Es ist nun bemerkenswert, daß im diskreten Fall hieraus auch schon die Existenz einer Lösung folgt: Korollar 3.1.2. Das diskrete Dirichletproblem ßhuh = 0 in Qh u h = gh auf r h hat zu jedem gh : rh

-+

IR genau eine Lösung.

3.1 Differenzenverfahren: Diskretisierung von Differentialgleichungen

57

Beweis. Wie wir festgestellt haben, handelt es sich bei dem diskreten Problem um ein endliches lineares Gleichungssystem mit der gleichen Anzahl von Gleichungen und Unbekannten. Da nach Korollar 3.1.1 für eine homogene Randwertvorgabe gh = 0 die homogene Lösung u h = 0 die einzige Lösung ist, folgt aus einem grundlegenden Satz der linearen Algebra die Existenz q.e.d. einer Lösung zu beliebiger rechter Seite, also zu beliebigem gh.

Ähnlich leicht läßt sich auch die diskrete Poissongleichung lösen, also (3.1.17) mit vorgegebenem fh, wobei wir o.E. nur die homogene Randbedingung (3.1.18) betrachten, da wir eine inhomogene Randbedingung durch Hinzufügen einer Lösung der entsprechenden diskreten Laplacegleichung behandeln können. Zur Darstellung der Lösung konstruieren wir eine Greensche Funktion Qh(x, y). Hierzu betrachten wir ein spezielles fh in (3.1.17), nämlich

zu gegebenem y E {ho Qh(x, y) sei dann die Lösung von (3.1.17), (3.1.18) für dieses spezielle fh. Die zu einem beliebigen fh gehörende Lösung ist dann

uh(x) = h 2

E Qh(x, y)fh(y).

(3.1.19)

yEn"

Um zu zeigen, daß die Lösungen der diskreten Laplacegleichung L1 h u h = 0 in nh für h -+ 0 gegen eine Lösung der Laplacegleichung L1u = 0 in n konvergieren, benötigen wir Abschätzungen für die u h , die nicht von h abhängen. Es zeigt sich, daß solche Abschätzungen genau wie im kontinuierlichen Fall mittels des Maximumprinzips gewonnen werden können. Für den symmetrischen Differenzenquotienten 1 ( 1 d Ui(X):= 2h u(x , ... ,xi-I ,xi +h,x i+1 , ... ,x)

-u ( X 1 , ••. , x i - I ,xi - h ,xi+ 1 , ... ,xd)) (3.1.20) können wir nämlich in völliger Analogie zu Korollar 1.2.7 beweisen: Lemma 3.1.1. In

nh

gelte (3.1.21)

58

3. Existenzverfahren I

Es sei Xo E nh, und Xo und alle seine Nachbarn mögen einen Abstand von n haben. Dann gilt

~

R

(3.1.22) Beweis. O.E. sei i = 1, Xo = O. Wir setzen

Wir betrachten wieder die Hilfsfunktion h

v (x):=

J1. R2

lxi 2 + x 1 (R -

1

x)

(dJ1. M) R2 + 2"

.

Wegen Ll h Ixl 2 =

d

L ~2 ((Xi + h)2 + (Xi - h)2 - 2(x )2) = 2d i

i=l

gilt wiederum sowie V h (O,X 2 , ••.

,xd ) ~ 0

vh(x) ~

J1.

für alle x 2 , ••• ,xd für lxi ~ R, 0::;

Außerdem gilt für üh(x):= ~(uh(X1, ... ,xd) -

ILlhÜh(X) I ::; M

Xl ::;

R.

U h (_X 1,X2 , ...

,xd))

für diejenigen x E {}h, für die dieser Ausdruck definiert ist,

üh(O, x 2 , .•• ,xd) = 0 für alle x 2 , . .. ,xd , lüh(x)1 ::;

J1. für lxi

Auf der Diskretisierung daher sowie

Bt

~ R,

xl ~

der Halbkugel

o.

B+

:=

{lxi::;

v h ± ü h ~ 0 auf dem diskreten Rand von

R,:1;l

> O} gilt

Bt

(um genau zu sein, sollte man hier als diskreten Rand alle Gitterpunkte außerhalb von B+ nehmen, die mindestens einen Nachbarn in B+ haben). Das Maximumprinzip (Satz 3.1.1) ergibt

lühl ::; v h

in

Bt,

3.1 Differenzenverfahren: Diskretisierung von Differentialgleichungen also

lu~(O)1 =

59

*

luh(h,O, ... ,0)1

1 h ::; hV (h, 0, ... ,0) =

d/-L

R

R + 2M +

/-L

R2 (1 - d)h. q.e.d.

Für Lösungen der diskreten Laplacegleichung

L1 h u h =

°

in

fh

(3.1.23)

folgen hieraus iterativ Abschätzungen für Differenzenquotienten höherer Ordnung, denn mit u h sind auch alle Differenzenquotienten u~, u~, u~u~,,-, uf,,-, etc. Lösungen. Z.B. erhalten wir aus (3.1.22) für eine Lösung von (3.1.23), sofern Xo genügend weit vom Rand r h entfernt ist,

(3.1.24) Somit sind iterativ Differenzenquotienten beliebiger Ordnung beschränkt, und es folgt Satz 3.1.2. Sind die Lösungen u h von

luhl ::;

°

unabhängig von h beschränkt (d.h. maxrh /-L), so konvergiert in jedem Teilgebiet fi ce n eine Teilfolge von u h für h ~ gegen eine harmonische Funktion. Konvergenz läßt sich hierbei zunächst als Konvergenz in der Supremumsnorm fassen, also !im max lun(x) - u(x)1 = 0, n-->O xEnn

mit harmonischem u. Aufgrund der vorstehenden Überlegungen konvergieren aber auch die Differenzenquotienten von U n gegen die entsprechenden Ableitungen von u. q.e.d. Wir wollen noch kurz einige Aspekte von Differenzengleichungen diskutieren, die für die numerische Analysis wichtig sind. Hier geht man davon

60

3. Existenzverfahren I

aus, daß schon aus theoretischen Gründen sichergestellt ist, daß die untersuchte Differentialgleichung eine glatte Lösung besitzt, und man will dann diese Lösung durch Lösungen von Differenzengleichungen annähern. Hierzu sei L ein elliptischer Differentialoperator, welcher auf die Einschränkungen der Funktionen u auf das Gitter [}h angewandt wird. Definition 3.1.1. Das DiiJerenzenverfahren Lh heißt konsistent mit L, falls lim (Lu - LhU) = 0 h-+O

für alle u E C 2 (ti) gilt. Das Verfahren Lh heißt gegen L konvergent, falls für die Lösungen u, u h von in [}, u = c.p auf a[} in [}h, wobei fh die Einschränkung von f auf [}h ist auf r h , wobei c.ph die Einschränkung auf [}h einer stetigen Erweiterung von c.p ist, limh-+o maxxESJ,. luh(x) - u(x)1 = 0 gilt.

Lu = f LhUh = fh u h = c.ph

Um den Zusammenhang zwischen Konvergenz und Konsistenz herzustellen, betrachten wir den "globalen Fehler"

a(x) := uh(x) - u(x) und den "lohlen Fehler"

s(x) := LhU(X) - Lu(x) und berechnen für x E

[lh

Lha(X) = LhUh(X) - LhU(X) = fh(x) - Lu(x) - s(x) = -s(x), da fh(x) = f(x) = Lu(x). Da lim sup la(x)1 = 0,

h-+°xEr"

haben wir also im wesentlichen das Problem

Lha(X) = -s(x) in [}h a(x) = 0 auf rho Um dann aus der Konsistenz auf die Konvergenz des Verfahrens schließen zu können, muß man also zeigen, daß mit s(x) auch die Lösung a(x) dieses Problems gegen Null strebt, und zwar gleichmäßig in h. In einem hier nicht näher spezifizierten Sinne müssen also die Inversen Li. 1 beschränkt bleiben. Diese Eigenschaft bezeichnet man auch als Stabilität. Im Sinne dieser Begriffsbildungen beweisen wir noch die folgende einfache Konvergenzaussage.

3.1 Differenzenverfahren: Diskretisierung von Differentialgleichungen

61

Satz 3.1.3. Es sei u E C 2 (n) eine Lösung von t1u = f in n u = r.p auf an. u h sei die Lösung von t1 hu h = fh in nh u h = r.ph auf rh, wobei fh, r.ph wie oben definiert sind. Dann gilt max luh(x) - u(x)1 xE!],.

--+

0 für h

--+

O.

Beweis. Aus der Taylorschen Formel folgt für die (von der Schrittweite h abhängenden) zweiten Differenzenquotienten Uit () X

wobei -h ::; 8i su P

18;I:Sh

für h

--+

::;

a2u (

i-I

,x

i

ri i+ 1 d) +u,X , ... ,X ,

h ist. Da u E C 2 ( ii) ist, gilt

I i ( ( Jla2u i) 2 (x , ... , x uX

I

= (ax i )2 x , ... ,X

+ 8i , ... , x d ) -

a 2u

1

i

d )

(Jl i) 2 (x , ... , x , ... , x) uX

-t

0

0, und daher für den obigen lokalen Fehler sup Is(x)1

--+

0

für h

--+

o.

n sei nun in einer Kugel B(xo, R) enthalten, wobei o.E. Xo = 0 sei. Aus dem Maximumprinzip folgt dann durch Vergleich mit der Funktion R 2 - Ix1 2 , daß eine Lösung v von t1hv = 1] in nh v = 0 auf rh die Abschätzung Iv(x)1 ::;

su~J1]1

(R

2 _

Ix 12 )

erfüllt. Daher gilt für den globalen Fehler

R2

sup lu(x)1 ::; 2d sup Is(x)1 , also die gewünschte Konvergenz.

q.e.d.

62

3. Existenzverfahren I

3.2 Die Perronsehe Methode Wir wollen zunächst an den Begriff der subharmonischen Funktionen aus § 1.2 erinnern. Definition 3.2.1. Sei a c JRd, f : a - t [-00,00) oberhalbstetig in a, f -00. f heißt subharmonisch in a, falls für alle a' ce a gilt:

t=

Ist u harmonisch auf a' und gilt f $ u auf an', so auch f $ u auf a'. Die Aussagen des nachstehenden Lemmas ergeben sich ebenfalls aus §1.2: Lemma 3.2.1.

(i) Starkes Maximumprinzip: v sei subharmonisch in a. Falls ein Xo E a existiert mit v(xo) = sUPn v(x), so ist v konstant. Ist insbesondere v E c°(ii), so gilt v(x) $ maxan v(y) für alle x E JR. (ii) Sind Vl, ... , V n subharmonisch, so auch v := max( Vl, .•. , vn ). (iii) Ist v E c°(ii) subharmonisch und B(y, R) ce a, so ist die harmonische Ersetzung v von v, definiert durch v(x)

v(x):= { R2 -lx-vI 2 dWdR

subharmonisch in

n

für J8B(v,R)

v z

..

xE

IZ~}I'1 do(z) fur x

a \ B(y, R)

E B(y, R)

(und harmonisch in B(y, R)).

Beweis. (i) ist das starke Maximumprinzip für subharmonische Funktionen, welches wir zwar nicht explizit formuliert hatten, aber welches sich unmittelbar aus Satz 1.2.2 und Lemma 1.2.1 ergibt. (ii) Es sei n' ce a, u harmonisch auf n', v $ u auf aa'. Dann ist auch Vi

und somit, weil

Vi

$ u

auf aa'

für i = 1, ... , n,

subharmonisch ist, auch Vi

$ u

auf

a'.

Dann ist aber auch

Dies zeigt, daß v subharmonisch ist. (iii) Zunächst ist v $ v, weil v subharmonisch ist. Es sei a' ce a, u harmonisch auf a', und v $ u auf an'. Da v $ v ist, gilt somit auch v $ u auf aa' und somit, weil v subharmonisch ist, auch v $ u auf a' und daher v $ u auf a' \ B(y, R). Damit gilt auch v $ u auf a' n aB(y, R).

3.2 Die Perronsche Methode

63

Somit gilt insgesamt v:S u auf a(n' n B(y, R)). Weil v auf n' n B(y, R) harmonisch, mithin auch subharmonisch ist, folgt v:S u auf n' nB(y, R). Insgesamt ergibt sich v :S u auf n'. Dies zeigt, daß v subharmonisch ist. q.e.d. Im folgenden sei

für alle x E

an.

S

Der Inhalt der Perronschen Methode ist der nachfolgende

Satz 3.2.1. Es sei

u(x) := sup v(x). vES",

(3.2.1)

Dann ist u harmonisch.

Zunächst eine Bemerkung. Ist w E C2(n) n CO(s2) harmonisch in n und gilt w = r.p auf an, dann folgt aus dem Maximumprinzip für alle Subfunktionen v E S
w(x) = sup v(x). vES",

w erfüllt also eine Extremaleigenschaft. Die Idee bei der Perronschen Methode (und die Aussage von Satz 3.1.1) ist nun, daß umgekehrt jedes Supremum über S

64

3. Existenzverfahren I

!im vn(y) = v(y) = u(y),

n-oo

da u 2: un 2: V n und limn _ CXl vn(y) = u(y). Nach (3.2.1) gilt dann v B(y, R). Wir zeigen, daß v == u in B(y, R). Gilt nämlich v(z) < u(z)

für ein

Z

E

B(y, R),

(3.2.2) ~

u in

(3.2.3)

so existiert nach (3.2.1) ein ü E S", mit

v(Z) < ü(z).

(3.2.4)

Wn := max(vn , ü).

(3.2.5)

Sei dann Analog zu den obigen Überlegungen konvergiert wn nach dem Harnacksehen Konvergenzsatz(Korollar 1.2.10) auf B(y, R) gleichmäßig gegen ein auf B(y, R) harmonisches w. Da Wn 2: V n und Wn ES"" folgt aus dem Maximumprinzip v ~ W ~ u in B(y, R). (3.2.6) Wegen (3.2.2) gilt dann

W(y) = v(y)

(3.2.7)

und hieraus folgt mit dem starken Maximumprinzip für harmonische Funktionen (Korollar 1.2.3) W == v in B(y,R). (3.2.8) Dies ist ein Widerspruch, da nach (3.2.4)

w(z) = lim wn{z) n-oo

= n-too lim max{vn(z),ü(z)) 2: ü(z) > v(z) = w(z).

Deshalb ist u harmonisch in il.

q.e.d.

Satz 3.2.1 sagt aus, daß man eine harmonische Funktion erhält, wenn man das Supremum über alle Subfunktionen einer beschränkten Funktion

Zu diesem Zweck führen wir den Begriff der Barrieren ein.

3.2 Die Perronsehe Methode

65

Definition 3.2.3. a) Es sei { E an. Eine Funktion ß E CO(n) heißt Barriere in { bezüglich n, wenn (i) ß > 0 in {{li ß({) = 0 (ii) ß ist superharmonisch in n. b) { E an heißt regulär, wenn eine Barriere ß in { bezüglich n existiert.

n\

Bemerkung. Dies ist eine lokale Eigenschaft des Randes an: ß sei eine lokale Barriere in { E an, d.h. es existiere eine solche offene Umgebung U({), daß ß eine Barriere in { bezüglich U n n ist. Wenn dann B({, p) ce U und m := infu\B({,p) ß, so ist

- {m

min(m,ß(x»)

ß:=

eine Barriere in { bezüglich

jXEn\B({,p) xE n n B({,p)

j

n.

Lemma 3.2.2. Sei u(x) := SUPvES", v(x) in und ist cp stetig in~, so gilt

an

n.

Ist { ein regulärer Punkt von

lim u(x) = cp({).

(3.2.9)

x->{

Beweis. Sei M := sUPal1 Icpl. Da ~ regulär ist, existiert eine Barriere ß, und aus der Stetigkeit von cp im Punkte ~ folgt, daß es zu jedem c > 0 ein d > 0 und eine positive Konstante c = c(c) gibt mit

Icp(x) - cp({)1 < c

für Ix - {I


cß(x) ? 2M V Ix - ~I ? d (letzteres, weil tionen

inflx-m~6

(3.2.10) (3.2.11)

ß(x) =: m > 0 nach Definition von ß). Die Funk-

ep({) + c + cß(x) ep({) - c - cß(x)

sind dann wegen (3.2.10), (3.2.11) Super- bzw. Subfunktionen bezüglich ep. Nach Definition von u gilt daher cp(~)

- c - cß(x)

~

u(x),

und da Superfunktionen Subfunktionen dominieren, auch u(x) ~ cp({) also insgesamt Da limx.....{ ß(x)

+ c + cß(x),

lu(x) - ep({) I ~ c + cß(x).

= 0, folgt dann limx->e u(x) =
(3.2.12)

66

3. Existenzverfahren I

q.e.d.

Satz 3.2.2. Sei fl C

]Rd

beschränkt. Das Dirichletproblem .du = 0 u = cp

in fl auf afl

ist gen au dann lösbar für beliebige stetige Randwerte cp, wenn alle Punkte ~ E afl regulär sind. Beweis. Ist cp stetig und afl regulär, so löst u := sUPVES", v das Dirichletproblem nach Satz 3.2.1 und Lemma 3.2.2. Ist umgekehrt das Dirichletproblem für alle stetigen Randwerte lösbar, so wähle man ~ E afl und cp(x) := Ix - ~I. Die Lösung u des Dirichletproblems für dieses cp E CO(afl) ist dann eine Barriere in ~ bezüglich fl, denn u(O = 0 in fl, also ist ~ regulär. q.e.d.

3.3 Das alternierende Verfahren von H. A. Schwarz In seiner einfachsten Form besteht das alternierende Verfahren von H. A. Schwarz darin, aus der Lösbarkeit des Dirichletproblems für beliebige Randwerte für zwei beschränkte Gebiete fl l und fl 2 auf die Lösbarkeit auf der Vereinigung fl = fl l U fl 2 zu schließen. Natürlich ist hierbei nur der Fall fl l n fl 2 =I- 0 von Interesse. Um den Grundgedanken vorzuführen, nehmen wir zunächst an, daß wir auf fl l und fl2 das Dirichletproblem für beliebige stückweise stetige Randwerte lösen können, wobei wir insbesondere über die Annahme der Randwerte in deren möglichen Unstetigkeitsstellen zunächst keine Voraussetzungen oder Aussagen machen wollen. Wir benötigen die folgenden Beziehungen:

'Y2

'YI

afl l n fl 2

'Yl

:=

'Y2

:= afl2

r

:=

l

afl l

n fl l \ 'Yl

r 2 := afl2 \ 'Y2 fl* := fl l n fl 2 Abb.3.2.

Dann ist afl = r l U r 2 , und da wir nicht einander berührende, sondern überlappende Mengen fl 1 , fl 2 betrachten wollen, nehmen wir an, daß afl* =

3.3 Das alternierende Verfahren von H. A. Schwarz

67

'YIU'Y2u(r1nr2). Es seien nun also Randwerte

(i = 1,2)


m := inf an"'" M:= sup
Wir wollen hierbei den trivialen Fall

Ul :

(3.3.1) Sodann sei

U2 :

.02

-+

lR. harmonisch zu den Randwerten (3.3.2)

Sofern nun nicht
<M

also insbesondere

u21"Y2

in .01 ,1

<M

(3.3.3) (3.3.4)

und daher nach dem starken Maximumprinzip auch (3.3.5) und daher insbesondere (3.3.6) Ist
Iterativ sei nun für n

E

<

Ul

in .0*.

N U2n+1 :

.0 1

-+

lR.

U2n+2 :

.02

-+

lR.

harmonisch mit Randwerten (3.3.7) 1

Die Randwerte sind hierbei nicht stetig wie beim Maximumprinzip, aber sie können leicht durch stetige Randwerte mit den gleichen Schranken approximiert werden. Hieraus erkennt man unschwer, daß das Maximumprinzip in der vorliegenden Situation gültig bleibt.

68

3. Existenzverfahren I (3.3.8)

Wir sehen dann durch iterierte Anwendung des starken Maximumprinzips, daß U2n+3

< U2n+2 < U2n+1 auf n* U2n+3 < U2n+1 auf nl U2nH < U2n+2 auf n2 .

(3.3.9) (3.3.10) (3.3.11)

Unsere Funktionenfolgen sind daher monoton fallend. Da sie außerdem durch m nach unten beschränkt sind, streben sie einem Limes u:n-d~.

zu. Aus dem Harnackschen Konvergenzsatz (Kor. 1.2.10) folgt nun, daß U auf n l und n2 und daher auch auf n = n l Un2 harmonisch ist. Dies läßt sich aber auch direkt aus dem Maximumprinzip schließen, wie man folgendermaßen sieht: Wir setzen der Einfachheit halber U n auf ganz n fort, indem wir

U2n+2

=

U2n+1

auf n l

\

n*

setzen. Dann geht U2n+1 durch harmonische Ersetzung auf nl aus U2n hervor, und analog U2n+2 aus U2n+1 durch harmonische Ersetzung auf n2 . Wir schreiben hierfür symbolisch (3.3.12) U2n+2

= P2 U 2n+l.

(3.3.13)

Es gilt dann beispielsweise auf n1 U

= n-too lim U2n = n--+oo lim PI U2n.

(3.3.14)

Nach dem Maximumprinzip folgt aber aus der gleichmäßigen Konvergenz der Randwerte (für die Gleichmäßigkeit müssen wir uns u.U. auf ein beliebiges Teilgebiet ni ce n1 einschränken) die Konvergenz der harmonischen Fortsetzungen. Also ist die harmonische Fortsetzung des Limes der Randwerte gleich dem Limes der harmonischen Fortsetzungen, d.h. PI lim

n-+oo

U2n

= lim PI U2n· n-+oo

(3.3.15)

Aus (3.3.14) folgt daher (3.3.16) d.h. U stimmt auf n l mit der harmonischen Fortsetzung seiner Randwerte überein, ist also harmonisch. Aus dem gleichen Grund ist U auch auf n2

3.3 Das alternierende Verfahren von H. A. Schwarz

69

harmonisch. Wir wollen nun annehmen, daß die Randwerte

(Vn)nEN

ist dann monoton

< U n in n für alle n.

(3.3.18)

Nach der Voraussetzung der Regularität von on 1 und on2 und der Stetigkeit von

w=0

so gilt

auf Tl

Iwl

~ 1

auf 71,

Iwl

~q

auf 72,

und die entsprechende Aussage, falls die Rollen von werden.

(3.3.19)

n1

und

n2

vertauscht

Den Beweis werden wir unten in §3.4 nachholen. Mit diesem Lemma können wir nun das alternierende Verfahren leicht so modifizieren, daß wir auch die Stetigkeit in on 1 n on2 erhalten. Hierzu wählen wir eine beliebige stetige Fortsetzung

70

3. Existenzverfahren I

und führen ansonsten das Verfahren genauso wie oben durch. Wegen der vorausgesetzten Regularität der Ränder anl, an2 sind dann alle U n stetig bis zum Rande. Wir setzen nun M2n+l :=

max IU2n+l

- U2n-ll

M 2n+2 :=

max IU2n+2

- u2nl.

'Y2 'YI

Nun gilt auf "12 also U2n+2 - U2n = U2n+1 - U2n-l!

und entsprechend auf "11 U2n+3 - U2n+1

= U2n+2 -

Wenden wir daher das Lemma mit w =

U2n·

U2"ta- U 2,,±1

M2,,±2

an, so erhalten wir

und analog qM 2n+l' Daher konvergiert Mn mindestens so schnell wir eine geometrische Reihe mit Koeffizient q < 1 gegen Null. Dies impliziert aber die gleichmäßige Konvergenz der Reihe M 2n+2 ::;

00

U1

+ "" (U2n+l ~

- U2n-1)

n=l

= n--+oo tim U2n+l

auf n 1 , und ebenso die gleichmäßige Konvergenz der Reihe 00

U2

+ "" (U2n+2 ~ n=l

U2n) =

tim U2n

n--+oo

auf n2 • Die entsprechenden Grenzwerte stimmen wieder in n* überein und sind in n 1 bzw. n2 harmonisch, so daß wir wieder eine harmonische Funktion U auf n erhalten. Da alle U n stetig bis zum Rande sind und auf an die durch cp vorgegebenen Randwerte annehmen, erfüllt U dann ebenfalls diese Randbedingung in stetiger Weise. Wir haben also bewiesen: Satz 3.3.1. n1 und n2 seien beschränkte Gebiete, deren Randpunkte sämtlich regulär für das Dirichletproblem seien. Es gelte n1n n2 f. 0, und an1 und an2 seien in einer Umgebung von an1n an2 von der Klasse Cl und mögen sich unter einem nichtverschwindenden Winkel schneiden. Dann läßt sich auch auf n := n1U n2 das Dirichletproblem für die Laplacegleichung zu beliebigen stetigen Randwerten lösen.

3.4 Randregularität

71

3.4 Randregularität Wir tragen zunächst den Beweis von Lemma 3.3.1 nach: Im folgenden sei mit r := Ix - Yl =I 0 ln.! tP(r):=-dWdT(r)= { Ir

1

d-2T=2

Dann gilt für jedes

1/

;d=2 ',d>_3

(3.4.1)

E jRn

a 1 al/ P(r) = "VP· 1/ = - r d (x - y) . 1/.

(3.4.2)

Wir betrachten die folgende Situation:

o Abb.3.3.

also xE n 1 ; Y EIl, Randstück von 11.

Q

=I O,7r,an1,an2 E

Cl.

d11 (y) sei ein infinitesimales

11,

()

Abb.3.4.

72

3. Existenzverfahren I

dw sei der infinitesimale Raumwinkel, unter dem das Flächenstück d'YI (y) im Punkte x erscheint. Dann gilt (3.4.3) und cosß = v· It:::~I. Hiermit und mit (3.4.2) folgt h(x) :=

1: ')'1

V

4>(r)d'YI(Y) =

1

dw.

(3.4.4)

')'1

(3.4.4) bedeutet anschaulich, daß J,),1 ~~(r)d'Y1(Y) den Raumwinkel angibt, unter dem das Randstück "11 im Punkte x erscheint. Da Ableitungen harmonischer Funktionen auch harmonisch sind, liefert (3.4.4) eine in fh harmonische Funktion h, die auf an 1 \ (Tl n T2 ) stetig ist. Um den Beweis von Lemma 3.3.1 möglichst anschaulich zu gestalten, betrachten wir ab jetzt nur noch den Fall d = 2 und bemerken, daß für d ~ 3 der Beweis analog geführt werden kann.

t

Abb.3.5.

3.4 Randregularität

A und B seien die beiden Schnittpunkte von stetig in A und B, denn es gilt

r1

und

r2 . Dann ist

73

h nicht

=ß

(3.4.5)

= ß + 7r

(3.4.6)

+ ß.

(3.4.7)

lim h(x)

x-A

x€rl

lim h(x)

x--+A

lim h(x) = a

x_A xE"Y2

Sei

p(x)

für x E /1

:= 7r

und

r 1.

p(x) := 0 für x E Dann ist hlan l - p stetig auf ganz

afh, denn

lim (h(x) - p(x))

x-A

lim (h(x) - p(x))

x-A

=

lim h(x) - 0

x-A

= x_A lim h(x) -

7r

=ß

= ß + 7r -

7r

= ß.

Nach Voraussetzung gibt es dann eine Funktion u E C 2 (n 1 ) n CO (.!?1) mit

n1 auf an 1 .

.1u = 0 in u

Für

=

hlanl - p

v(x)

:=

h(x) - u(x) 7r

(3.4.8)

gilt in n1 .1v = 0 v(x) = 0 für xE r 1 v(x) = 1 für xE /1. Aus dem starken Maximumprinzip folgt daher

n1 ,

(3.4.9)

v(x) < 1 für alle x E /2.

(3.4.10)

v(x)

< 1 für

alle x E

insbesondere also auch

Nun gilt

74

3. Existenzverfahren I

lim v(x) =

x_A

.!.1f (lim h(x) x_A

xE"Y2

da Q: da

ß)

=

~ < 1,

(3.4.11)

7r

;,;E'Y2

< 'Ir nach Voraussetzung. Analog folgt auch limx_B v(x) < 1 und daher, ~;E"Y2

12 kompakt,

für ein q

v(x) < q

> O. Wir setzen m

< 1 für

alle x

E 12

(3.4.12)

:= v - w und erhalten

m(x) = 0 für x E r l m(x) 2:: 0 für x E /'1. Da m stetig in

a{lt \ (rl n r 2 )

und

anl

regulär, folgt

lim m(x) = m(xo) für alle Xo E

x-t-XQ

an l \ (rl n r 2).

Wegen des Maximumprinzips gilt m(x) 2:: 0 für alle x E

nI, und da außerdem

lim m(x) = lim v(x) - w(A)

x---+A

x---+A

= lim v(x) 2:: 0 (w ist stetig) , x---+A

gilt für alle x E

12

w(x) :S v(x) < q < l.

(3.4.13)

Ebenso liefert die Betrachtung für M := v + w die Ungleichung

-w(x) :S v(x) < q < 1, also insgesamt

(3.4.14)

Iw(x)1 < q < 1 für alle x E 12.

q.e.d. Wir wollen jetzt eine hinreichende Bedingung für die Regularität eines Randpunktes y E an angeben.

Definition 3.4.1. n erfüllt eine äußere Sphärenbedingung in y E ein p > 0 und ein Xo E lRn mit B(p, xo) n {} = {y} existieren.

an,

falls

Beispiele

a) Alle konvexen Gebiete und alle Gebiete der Klasse C 2 erfüllen in jedem Randpunkt eine äußere Sphärenbedingung. b) Bei einspringenden Spitzen ist die äußere Sphärenbedingung verletzt.

Lemma 3.4.1. Erfüllt regulär.

n

in y die äußere Sphärenbedingung, so ist

an

in y

3.4 Randregularität

75

a)

b)

y

Beweis. Durch ß(x) := { i-2 -

Ix_x~ld-2

In Ix-xol p

d~3

d= 2

ist dann eine Barriere in y gegeben. Es ist nämlich ß(y) = 0, und ß ist harmonisch in Rn\ {xo}, insbesondere also in il. Da für xE 0\ {y} Ix - xol > e ist, ist auch ß(x) > 0 für alle x E 0 \ {y}. q.e.d. Wir wollen nun für d ~ 3 das Lebesguesche Beispiel eines nicht regulären Randpunktes vorstellen, indem wir ein Gebiet mit einer genügend scharfen einspringenden Spitze konstruieren. Sei R3 = {(x, y, x E [0,1], p2 := y2 + Z2,

zn,

u(x,y,z):=

1 1

Xo

o J(xo-x)2+ p2

dxo =v(x,p) -2xlnp

mit v(x,p) = J(l- X)2

+ p2 -

+x In 1(1 - x

Jx 2 + p2

+ J(l

- x)2

+ p2)

(x

+ Jx 2 + p2) I.

Es gilt lim v(x, p) = l.

(3.:,p)_O ",>0

Aber der Grenzwert von - 2x In p hängt wesentlich von der gegen Null konvergierenden Folge (x, p) ab. Ist zum Beispiel p = Ix In , so gilt

76

3. Existenzverfahren I

-2xlnp = -2nxlnlxl ~ O. Andererseits ist für p = e- fx , k, x

>0

lim (-2xlnp)=k>0.

(x,p)-+O

Die Fläche p

= e-fx hat im Nullpunkt eine "unendlich scharfe" Spitze: Faßt y,z

o

x

Abb.3.7.

man u als Potential auf, so folgt hieraus, daß alle Äquipotentialflächen von u zum Wert 1 + k im Nullpunkt zusammenlaufen, und zwar so, daß 1'(0) = 0, wenn die Äquipotentialfläche durch p = f(x) gegeben ist. Wählen wir fl nun als Äquipotentialfläche zu 1 + k, so löst u das äußere Randwertproblem und durch Spiegelung an der Kugel (x - !)2 + y2 + z2 = erhält man dann ein Gebiet fl' wie in Beispiel b).

t

o

Abb.3.8.

Übungen

77

Bei geeigneter Annäherung an die Spitze erhält man aber verschiedene Grenzwerte, was zeigt, daß die Lösung des Potentialproblems in (x, y, z) = (-!,O,O) nicht stetig sein kann, an' also nicht regulär in (-!,O,O) ist.

Zusammenfassung Das Maximumprinzip ist das entscheidende Hilfsmittel, um die Konvergenz verschiedener Approximationsverfahren für harmonische Funktionen zu zeigen. Bei den Differenzenverfahren wird die Laplacegleichung, also ein Differentialgleichung, durch eine Differenzengleichung auf einem diskreten Gitter ersetzt, also durch ein endlichdimensionales lineares Gleichungssystem. Das Maximumprinzip liefert die Eindeutigkeit, und weil es sich um ein endlichdimensionales Problem handelt, auch die Existenz von Lösungen, sowie eine Kontrolle der Lösungen durch ihre Randwerte. Bei der Perronschen Methode wird eine harmonische Funktion zu vorgegebenen Randwerten als Supremum aller subharmonischen Funktionen mit diesen Randwerten konstruiert. Ob die so gewonnene harmonische funktion ihre Randwerte stetig annimmt, hängt allerdings von der Geometrie des Randes ab. Das alternierende Verfahren von H. A. Schwarz gewinnt eine Lösung auf der Vereinigung zweier überlappender Gebiete durch abwechselndes Lösen des Dirichletproblems auf den beiden Gebieten, wobei im Überschneidungsbereich die Randwerte jeweils durch die Lösung des vorhergehenden Schrittes auf dem anderen Gebiet geliefert werden.

Übungen 3.1 In den Bezeichungen des Textes sei Xo E nh C lR~ mit Nachbarn seien die Punkte aus lR 2 , die Nachbarn von genau zweien der Punkte Xl, ... , X4 sind. Wir setzen Xl, ... , X4. X5, ... , Xs

fh:=

Für u : ti h

--+

lR, Xo E

Dh

{xo

E

nh : Xl, ... ,Xs E tih ).

setzen wir

Diskutieren Sie die Lösbarkeit des Dirichletproblems für die entsprechende Laplace- und Poissongleichung!

78

3. Existenzverfahren I

3.2 Es sei Xo E flh mit Nachbarn zenoperator Lu für u : flh -4 R.,

Xl. ... X2d.

Wir betrachten einen Differen-

2d

Lu(xo) =

L bou(x

a,)

0=0

mit den folgenden Voraussetzungen:

bo 2:

°

für

Cl:

2d

2d

0=1

0=0

= 1, ... , 2d,

L bo > 0, L bo ~ 0.

Beweisen Sie das schwache Maximumprinzip: Aus Lu 2: in fl h folgt

°

maxu < maxu. fJ,.

n,

-

3.3 Unter den Voraussetzungen von 2) sei zusätzlich

bo >

°

für

Cl:

= 1, ... ,2d

und flh sei diskret zusammenhängend. Nimmt eine Lösung von Lu 2: in einem Punkt aus fl h ein Maximum an, so ist u konstant.

°dann

3.4 Führen Sie die Einzelheiten des alternierenden Verfahrens von H.A. Schwarz für die Vereinigung dreier Gebiete durch. 3.5 u sei harmonisch in dem Gebiet fl,xo E fl,B(xo,R) R,p2 = rR. Dann gilt

r

J rJl=1 1

u(xo

+ rt9)u(xo + R7'J)d7'J =

r

J rJl=1

u 2 (xo

c fl,O

~

r

~

p

~

+ p7'J)d7'J.

1

Folgern Sie, daß, wenn u in einer Umgebung von Xo konstant ist, u dann schon überall konstant ist.

4. Existenzverfahren 11: Parabolische Methoden. Die Wärmeleitungsgleichung

4.1 Die Wärmeleitungsgleichung: Definition und Maximumprinzipien Sei fl E

]Rd

offen, (0, T)

c

]R

U {oo},

fl T

:=

fl x (0, T)

8*flT

:=

(n x {o}) U (8fl x (O,T)).

Für jedes feste t E (0, T) sei u(x, t) E C 2(fl) und für jedes feste x E fl sei u(x,t) E C 1((0,T)). Weiterhin sei f E CO(8*flT ), u E CO(nT ). Wir sagen, daß u die Wärmeleitungsgleichung mit Randwerten f löst, falls

Ut(x, t) = L1 x u(x, t) für (x, t) E flT u(x, t) = f(x, t) für (x, t) E 8* flT.

(4.1.1)

(4.1.1) ist eine lineare, parabolische Differentialgleichung zweiter Ordnung. Daß wir hier, anders als beim Dirichletproblem für harmonische Funktionen, nur Randwerte für den reduzierten Rand 8* fl T festlegen, liegt daran, daß bei Lösungen parabolischer Differentialgleichungen die Funktionswerte von u auf fl x {T} bereits durch die Funktionswerte von u auf fl T U 8* fl T bestimmt sind, wie wir im folgenden sehen werden.

T

n Abb.4.1.

Die Wärmeleitungsgleichung beschreibt die Änderung der Temperaturverteilung in Wärmeleitern und ist auch bei vielen Diffusionsprozessen von J. Jost, Partielle Differential-gleichungen © Springer-Verlag Berlin Heidelberg 1998

80

4.

Existenzverfahren 11

Bedeutung. Ist z.B. für einen Körper im ]R3 die Temperaturverteilung zum Zeitpunkt to = 0 gegeben und wird die Temperaturverteilung auf der Oberfläche des Körpers konstant gehalten, so ist hierdurch bereits die Temperaturverteilung im Körper für t > to eindeutig bestimmt. Dies ist eine heuristische Begründung dafür, daß wir in (4.1.1) nur Randwerte für den reduzierten Rand festlegen. Ersetzt man in (4.1.1) t durch -t, so wird die Wärmeleitungsgleichung nicht in sich selbst überführt. Es wird also zwischen "Vergangenheit" und "Zukunft" unterschieden. Auch dies ist heuristisch leicht verständlich. Für x, y E ]Rn, t, to E ]R; t "# to definieren wir den Wärmeleitungskern in (y, to) (auch oft Wärmequelle oder Wärmepol genannt (engl. heat kerneI)) A(x, y, t, to) :=

1

IX-!J1 2

,I

(47rlt-toI}2

e 4('0-') .

Es gilt dann: d

At(x, y, t, to) = - 2(t _ to) A(x, y, t, to) Xi _ yi

A Xi (x, y, t, to) = 2(

to - t

) A(x, y, t, to)

(Xi _ yi)2

A XiXi (x, y, t, to) = 4(

to - t

Ix _ Yl2

+ 4(to _ t)2 A(x, y, t, to)

)2 A(x, y, t, to)

1

+ 2( to - t ) A(x, y, t, to),

also .dxA(x, y, t, to)

Ix -

yl2

d

= 4(to _ t)2 A(x, y, t, to) + 2(to _ t) A(x, y, t, to)

= At(x, y, t, to). Der Wärmeleitungskern ist demnach eine Lösung von (4.1.1). Die Bedeutung von A für die Theorie der Wärmeleitungsgleichung ist ähnlich wie die Bedeutung der Fundamentallösung r für die Laplace-Gleichung. Die Maximumprinzipien für parabolische Differentialgleichungen sind im allgemeinen von denen für elliptische Gleichungen qualitativ verschieden. Es lassen sich nämlich oft schärfere Aussagen beweisen. Satz 4.1.1. Es sei u wie in den Voraussetzungen zu (4.1.1). [l E ]Rd sei beschränkt und (4.1.2) .du - Ut 2: 0 in [lT· Dann gilt supu = sup U. tiT a'nT

(Ist T

< 00,

so kann man auch max anstelle von sup schreiben.)

(4.1.3)

4.1 Die Wärmeleitungsgleichung: Definition und Maximumprinzipien

Beweis. O.E. T <

81

00.

I) Es sei zunächst

L1u - Ut > 0 in

nT .

Für 0 < € < T existiert dann wegen der Stetigkeit von paktheit von fi T - g ein (x, t) E fi T - g mit U(x, t)

=

(4.1.4) U

und der Kom(4.1.5)

IJlax u.

nr-.

Wäre (x, t) E nT - g , so würde aus L1ul(x,t) ::; 0, V'ul(x,t) = 0, utl(x,t) = 0 ein Widerspruch folgen, also gilt (x, t) E anT _ g • Für t = T - € und xE n würde man L1ul(x,t) ::; 0, utl(x,t) ;::: 0 erhalten, was ebenso (4.1.4) widerspricht. Daher gilt maxu = max u a*nr _.

(4.1.6)

ti r -.

und (4.1.6) liefert für € --+ 0 wegen der Stetigkeit von u die Behauptung. II) Ist nun allgemeiner L1u - Ut ;::: 0, so sei v := u - ci, € > O. Es gilt:

Vt

= Ut

-

€ ::;

L1u -

€

= L1v - € < L1v

und daher nach I) Il!ax u nr

=

Il!ax( v nr

+ ci)

< maxv +€T - ti r

= maxv+€T a*nr

< maxu+€T - a*nr

und

€ --+

0 liefert die Behauptung.

q.e.d. Satz 4.1.1 impliziert unmittelbar eine Eindeutigkeitsaussage. Korollar 4.1.1. Seien u, v zwei Lösungen von {4.1.1} mit u nc IR d beschränkt. Dann gilt u = v auf fiT.

= v auf a* nT ,

Beweis. Man wende Satz 4.1.1 auf u - v und v - u an.

q.e.d. Diese Eindeutigkeitsaussage gilt jedoch nur für beschränktes n. Ist z.B. n = IRd , so läßt sich eine Eindeutigkeitsaussage nur noch unter bestimmten zusätzlichen Bedingungen an u herleiten.

82

4. Existenzverfahren 11

Satz 4.1.2. Sei fl

=]Rd

und es gelte

Llu - Ut

in flT

~ 0

u(x, t) :s; M e·*1 u(x,O) = f(x)

2

Dann gilt

in flT für M,>. > 0 xE fl = ]Rd.

:s; sup f.

sup u

(4.1.8)

IR'!

fiT

(4.1. 7)

Bemerkung. Dieses Maximumprinzip impliziert dann die Eindeutigkeit von Lösungen der Differentialgleichung Llu U(x, 0)

= Ut =

auf fl T

f(x)

= IRd

(0, T)

X

für x E ]Rd

u(x, t) :s; MeAlxl2 für (x, t)

E

flT.

Die zusätzliche Bedingung (4.1.7) ist eine Bedingung an das Wachstum von u im Unendlichen. Ist diese Bedingung verletzt, so lassen sich leicht Gegen-

beispiele konstruieren. Man wähle z.B.

u(x, t)

n(t) L ~x2n (2n). 00

;=

n=O

mit

g(t)

;=

v(x,t)

;=

{

e~

t

> 0, für ein k > 1

o t=0 0 für alle (x,t) E IR x (0,00).

Dann sind u und v Lösungen von (4.1.1) mit f(x) = sei auf das Buch von Fritz John[7] verwiesen.

o. Für die Einzelheiten

Beweis von Satz 4.1.2. Da man das Intervall (0, T) in gleiche Teile der Länge zerlegen kann, genügt es, die Aussage für T < zu beweisen, denn dann gilt sup u < sup u:S; ... :s; sup f(x).

T<

A

A

IR
Sei also T

<

IR'! x [O,(k-l)T)

IR'!

4\. Dann gibt es ein c > 0 mit 1

T+c< 4>.. Für festes y E ]Rd und 8 > 0 betrachten wir

(4.1.9)

4.2 Die Fundamentallösung der Wärmeleitungsgleichung

v D(x, t) := u(x, t) - M(x, y, t, T

+ c), 0::; t

::; T.

83

(4.1.10)

Es ergibt sich (4.1.11) denn A ist eine Lösung der Wärmeleitungsgleichung. Für deshalb nach Satz 4.1.1

[lP :=

B(y, p) gilt (4.1.12)

Weiterhin (4.1.13) und für

Ix - yl = p vD(x t) < Me A/X / , -

2

-

0

< M eA(/Y/+p) 2 -

1

~

(471'(T+c-t))~ -

0

1 (41f(T

+ c))~

e 4 (T+<-')

e~ 4(T+<)

und wegen (4.1.9) hat der zweite Term für genügend großes p einen größeren Exponenten als der erste, und somit wird der Gesamtausdruck beliebig negativ, insbesondere nicht größer als SUPR
auf ß* [lP.

(4.1.14)

(4.1.12) und (4.1.14) ergeben somit vD(y, t) = u(y, t) - oA(y, y, t, T =

u(y, t) - b

1

(41f(T

+ c) d

+ c - t))2

$ supf·

Die Behauptung ergibt sich hieraus durch den Grenzübergang 0 -+ O. q.e.d.

4.2 Die Fundamentallösung der Wärmeleitungsgleichung. Beziehung zwischen Wärmeleitungsgleichung und Laplacegleichung Wir betrachten zunächst die sogenannte Fundamentallösung K(x,y,t) = A(x,y,t,O) =

1

--d

(41ft) 2

Ix-vl 2

4' - . e--

(4.2.1)

84

4. Existenzverfahren 11

Als erstes bemerken wir, daß für alle x E ]Rd, t

ImIRd K(x,y,t)dy =

1

--d

(4rrt) "2

dwd

>0

1

00

0

,.2 d 1 e-Ttr - dr

(4.2.2) Für beschränktes und stetiges

f : ]Rd ---t ]R betrachten wir nun die Faltung

u(x, t) = ( K(x, y, t)f(y)dy.

JlRd

Lemma 4.2.1. f:]Rd

---t

]R

(4.2.3)

sei stetig und beschränkt. Dann ist

u(x, t) = { K(x, y, t)f(y)dy JIR,j

von der Klasse C OO auf]Rd x (0, 00) und eine Lösung der Wärmeleitungsgleichung Ut = Llu. (4.2.4) Beweis. Die Coo-Eigenschaft folgt durch Differentiation unter dem Integralzeichen, was nach bekannten Sätzen erlaubt ist, aus der entsprechenden Eigenschaft von K(x, y, t). Es gilt daher auch 8 ( 8 8t u(x, t) = JlRd 8t K(x, y, t)f(y)dy

= ( LlxK(x, y, t)f(y)dy

JlRd

= Llxu(x, t).

q.e.d. Lemma 4.2.2. Unter den Voraussetzungen von Lemma 4.2.1 gilt für jedes xE ]Rd

lim u(x, t)

t--+O

= fex).

Beweis. If(x) - u(x, t)1 = If(X) -

=

kd K(x, y, t)f(y)dyl

Ikd K(x, y, t)(f(x) - f(y))dyl

nach (4.2.2)

4.2 Die Fundamentallösung der Wärmeleitungsgleichung

:::;

If(x) - f(y)1

sup

dw d + 2sup Ifl-d

YEB(x,2.;tM)

7r 2

IR'!

1

00

85

e- s 2 s d - 1ds

M

Wir wählen nun zu gegebenem c > 0 zunächst M so groß, daß der zweite Summand< c/2 ist und dann to > 0 so klein, daß für alle t mit 0 < t < to der erste Summand ebenfalls< c/2 wird. Hieraus folgt die Stetigkeit. q.e.d. Durch (4.2.3) haben wir also eine Lösung des Anfangswertproblems

Ut(x, t) - Llu(x, t) = 0 für x u(x,O) = f{x)

t >0

E IRd ,

für die Wärmeleitungsgleichung gefunden. Nach Satz 4.1.2 ist dies auch die einzige Lösung mit höchstens exponentiellem Wachstum. Physikalisch soll durch u(x, t) die zeitliche Entwicklung der Temperatur zu Anfangswerten f(x) beschrieben werden. Allerdings findet hier eine physikalisch nicht unbedingt akzeptable sofortige Wirkungsausbreitung statt, denn zu jeder beliebigen Zeit t > 0 wird die Temperatur u(x, t) im Punkte x von den Anfangswerten in allen - beliebig weit entfernten - Raumpunkten Y beeinflußt, wenn auch die Wirkung exponentiell mit dem Abstand Ix - Yl abnimmt.

= 0 für x 1. K, gilt

Im Falle, wo f kompakten Träger K hat, also f(x) für Funktionen aus (4.2.3) 1

lu(x, t)1 :::; - - d e(47rt) '2 --4

Für beliebiges beschränktes

0 für t

--4

dist(X,Kl2j

4'

K

If(y)1 dy

(4.2.5)

00.

f hat man auch

1 Im Ie -Ix-vl 4' lu(x, t) - u(z, t)1 :::; sup Ifl--
2 -

VI2

1%1 dy e----r.-

(4.2.6) --4

Wir folgern

0 für t

--4

00.

86

4. Existenzverfahren 11

Lemma 4.2.3. Für beschränktes f strebt 1 u(x, t) = - - , I

(47rt) '2

f e---f(y) dy 1."-uI 2 4t

für t --> 00 gegen eine Konstante. Diese Konstante ist Null, wenn f kompakten Träger hat. Bemerkung. Es ist bemerkenswert, daß man aus (4.2.5) auch eine explizite und zwar exponentielle Konvergenzrate erhält.

Allgemeiner interessiert das Anfangs-Randwertproblem für die Wärmeleit ungsgleichung: n C ]Rd sei ein Gebiet, f E C°(f~), g E CO(8n x (0,00» seien vorgegeben. Gesucht ist dann eine Lösung von 8u(x, t) 8t -

A

(

LlU X,

)

_

t -

0

u(x,O) = f(x)

in

nx

in

n

(0,00)

(4.2.7)

U(x, t) = g(x, t) für x E 8n,

tE (0,00).

Sinnvollerweise fordert man hierbei eine Verträglichkeitsbedingung zwischen den Anfangs- und Randwerten: fE CO(,Ö), g E CO(8n x [0,00» und f(x)

= g(x,O) für x

E 8n.

(4.2.8)

Wir wollen zunächst den Zusammenhang dieses Problems mit dem Dirichletproblem für die Laplacegleichung herstellen und betrachten hierzu den Fall, wo g(x, t) = g(x) von t unabhängig ist. Für die folgende motivierende Betrachtung nehmen wir an, daß u(x, t) bis zum Rande genügend oft differenzierbar ist. Wir berechnen dann

(4.2.9) d

= -

LU;it i=l

SO. Nach Satz 4.1.1 ist daher insbesondere 2

v(t)

:=

sup xEn

eine nichtwachsende Funktion von t.

8u x,t ( )1 8t

1

4.2 Die Fundamentallösung der Wärmeleitungsgleichung

87

Wir betrachten nun E(u(-, t)) =

L u;idx n

1 (

d

"2 Jr

i=l

und berechnen

o

7l E (u(·, t)) = vt

=

1L d

n

-in

UtxiUxidx

i=l

ut Lludx, da Ut(x, t)

= :t 9 (x) = 0 für x E on (4.2.10)

Hieraus folgt weiter mit (4.2.9)

02

ot2E(u(., t)) = -

(

0

2

Jn ot utdx

Da nun U; 2:: 0 in n, u; = 0 auf an ist, ist auf on

o

2

ov U t

~ O.

Daher folgt (4.2.11)

E(u(·, t)) ist also eine monoton fallende und konvexe Funktion von t. Insbesondere folgt

~E(u(.,t)) ~ a;= tlim ~ E(u(·,t)) ~ o. ..... oo vt

VL

(4.2.12)

Da aber E(u(-, t)) 2:: 0 für alle t ist, muß a = 0 sein, denn andernfalls wäre für geeignet großes T

l :t

+ T ~ E(u(·,O)) + aT < o.

E(u(·, T)) = E(u(·,O))

E(u(·, t))dt

88

4. Existenzverfahren 11

Es folgt also lim

t-+oo

1 n

u;dx =

o.

(4.2.13)

Um auch punktweise Konvergenz zu bekommen, müssen wir wieder das Maximumprinzip heranziehen. Wir betrachten eine nichtnegative stetige Fortsetzung 1 mit kompaktem Träger von u~(x, 0) von n auf den ganzen jRd und 1

v(x, t) := 1m - - , I eIR d (47l"t) ~

!x_v!2 4.

l(y)dy.

(4.2.14)

Dann gilt Llv = 0,

Vt -

und weil 1 ~ 0 ist, ist auch

v und daher insbesondere

v~ u;

w := u~ - verfüllt also auf

~

0,

auf

n

a at

-w - Llw auf an und für x E

an.

-< 0,

( 4.2.15)

w ::; 0

n, t = 0

w(x,O) = o.

Daher gilt nach Satz 4.1.1

w(x, t) ::; 0,

d.h.

u;(x, t) ::; v(x, t) für alle x E

n, t > O.

(4.2.16)

Da 1 kompakten Träger hat, gilt nach Lemma 4.2.2 lim v(x, t) = 0 für alle x E

t-+oo

und daher auch lim u;(x, t)

t-+oo

= 0 für alle x

E

n n.

(4.2.17)

Wir folgern somit, daß, sofern unsere Regularitätsannahmen gelten, die zeitliche Ableitung einer Lösung unseres Anfangs-Randwertproblems mit zeitlich konstanten Randwerten für t -+ 00 gegen Null strebt. Wenn man also zeigen kann, daß u(x, t) für t -+ 00 in C 2 bezüglich x konvergiert, so muß die Limesfunktion u oo

4.2 Die FundamentalJösung der Wärmeleitungsgleichung

89

erfüllen, also harmonisch sein. Wenn die Konvergenz auch bis zum -Rande nachgewiesen werden kann, erfüllt U oo die Dirichletbedingung

uoo(x) = g(x) für x E an. Aus der Bemerkung nach Lemma 4.2.2 erkennt man auch, daß Ut(x, t) sogar exponentiell in t gegen Null strebt. Wenn man schon weiß, daß das Dirichletproblem L1u oo U oo

=0 =9

in

n (4.2.18)

auf an

eine Lösung besitzt, läßt sich auch leicht zeigen, daß eine Lösung u(x, t) der Wärmeleitungsgleichung mit geeigneten Randwerten gegen U oo konvergiert. Es gilt nämlich sogar allgemeiner

Satz 4.2.1. n sei ein beschränktes Gebiet im JRd, g(x, t) sei stetig auf an x (0,00), und es gelte lim g(x, t) = g(x)

t-+oo

gleichmäßig in x E an.

(4.2.19)

F(x, t) sei stetig auf n x (0,00), und es gelte lim F(x, t) = F(x)

t-+oo

gleichmäßig in x E n.

(4.2.20)

u(x, t) sei eine Lösung von

a

L1u(x, t) - at u(x, t) = F(x, t) für xE n, u(x,t) = g(x,t) für x

E

an,

0

< t < 00

0< t < 00, (4.2.21 )

v(x) sei eine Lösung von L1v(x) = F(x) für x E n v(x) = g(x) für x E an.

(4.2.22)

Dann gilt lim u(x, t) = v(x)

t-+oo

gleichmäßig in x

E

n.

(4.2.23)

Beweis. Wir betrachten die Differenz w(x, t) = u(x, t) - v(x).

(4.2.24)

Dann gilt

a

L1w(x, t) - at w(x, t) = F(x, t) - F(x) w(x, t) = g(x, t) - g(x)

in n x (0,00) in an x (0,00), (4.2.25)

und die Behauptung folgt daher aus

90

4. Existenzverfahren 11

Lemma 4.2.4. Q sei ein beschränktes Gebiet im IRd , fjJ(x, t) sei stetig auf Q x (0,00), und es gelte lim fjJ{x, t) =

t-too

° gleichmäßig in x

E

Q.

(4.2.26)

"r(x, t) sei stetig auf aQ x (O,oo), und es gelte lim "r(x, t) = 0

t-too

gleichmäßig in x E aQ.

(4.2.27)

w(x, t) sei eine Lösung von Llw(x, t) -

o

{)t w{x, t) =

fjJ(x, t)

w(x, t) = "r(x, t) Dann gilt

in Q x (0,00) in aQ x (0,00).

= 0 gleichmäßig in x E Q.

lim w(x, t)

t-too

(4.2.28) (4.2.29)

Beweis. Wir wählen R > 0 derart, daß 2x 1 < R für alle x = (xl, ... ,xd ) E Q,

(4.2.30)

und betrachten (4.2.31)

Dann ist Mit

K.

:= infxE I1 e xl gilt also

Llk

(4.2.32)

~ -K..

Wir betrachten nun mit noch zu bestimmenden positiven Konstanten 1/, Co, r und K.o := inf k{x) , K.l:= sup k(x) xEI1

k{x)

m( x,) t := 1/-K.

xEI1

k(x) -...!!O.(t-r) + 1k(x) ] - - + Co--e K'I

K.o

K.o

(4.2.33)

in Q x [r,oo). Dann ist A

Llm

(

0 ( x, t ) - -m x,) t {)t

< -1] - 1 ]K.- K.o

<

K.

-...!!O.(t-r)

Co-e "I K.o

K.l K. -...!!O.(t-r) + eo--e "I

-1].

K.o K.I

(4.2.34)

Außerdem ist

m(x,r»eo für xEQ m(x, t) > 1/ für (x, t) E an x [r,oo).

(4.2.35) (4.2.36)

4.3 Das Anfangs-Randwertproblem für die Wärmeleitungsgleichung

91

Nach Voraussetzung (4.2.26), (4.2.27) existiert zu jedem TJ ein T = T(TJ) mit

IcfJ(x, t)1 < TJ für x E fl, t;::: T b(x, t)1 < TJ für x E äfl, t;::: T.

(4.2.37) (4.2.38)

Wir setzen nun in (4.2.33)

T = T(TJ),

Co =

sup IW(X,T)I·

xEn

Dann gilt

m(x, T)

(,1- !)

± w(x, T) ;::: 0 für

x E fl nach (4.2.35); m(x, t) ± w(x, t) ;::: 0 für x E äfl, t;::: T nach (4.2.36), (4.2.38), (4.2.28);

(m(x, t) ± w(x, t)) ::; 0 für x E fl,

t;:::

T

nach (4.2.34), (4.2.37), (4.2.28). Aus Satz 4.1.1 (man überlege sich, daß es keine Rolle spielt, daß unsere Funktionen nun auf flx [T, 00) statt auf flx [0, 00) definiert und Anfangswerte auf fl x {T} vorgegeben sind) folgt nun

Iw(x, t)1 ::; m(x, t) für x

E

t >T

fl,

K1 -~(t-T) < _ TJ ( -K1 + -K1) + eo-e "1 K

KO

KO

und dies wird kleiner als ein vorgegebenes c, wenn TJ > 0 aus (4.2.37), (4.2.38) q.e.d. genügend klein und t > T(TJ) genügend groß gewählt wird.

4.3 Das Anfangs-Randwertproblem für die Wärmeleitungsgleichung Wir wollen zunächst eine Darstellungsformel für die Lösungen der Wärmeleitungsgleichung herleiten, die es uns erlaubt, die Funktionswerte von U zu einem Zeitpunkt T aus den Funktionswerten von u und der Normalenableitung von u auf ä* flT zu berechnen. Hierzu nehmen wir zunächst an, daß u die Wärmeleitungsgleichung löst und daß fl C lR d beschränkt ist und so gewählt sei, daß der Divergenzsatz erfüllt ist. verfülle Vt = -,1v auf ilT . Dann

0= {

lnT

v(Ut - ,1u)dxdt

92

4. Existenzverfahren 11

L(l T

V(X,t)ut(X,t)dt) dx

=

_foT

(L

VLlUdX) dt

~ In [V(X,T)U(X,T) - v(x,O)u(x, O) - !.T V'(X")U(X")d'] dx _foT ULlVdx) dt T!an (v :: - :~) dodt

(L

f

=

JnX{T}

-l

vudx -

f

Jnx{o}

U

vudx - (

f

Jo Jan

av (v au a - u a ) dodt.

v

v

(4.3.1)

Für v(x, t) := A(x, y, T

f

Jnx{T} Für c

-+

Audx =

f

+ c, t)

Jnx{o}

mit festem y E IRd gilt also wegen Vt = -Llv

Audx +

r (fJan (A aauv - u aaAv ) dO) dt. T

Jo

(4.3.2)

0 wird der Term auf der linken Seite zu lim

E:--+O

r A(x, y, T + c, T)u(x, T)dx = u(y, T).

Jn

Außerdem ist A(x, y, T+c, t) gleichmäßig stetig in c,x, t fürc ~ 0, x E an, und 0 ::; t ::; T bzw. für x E n, t = o. Daher folgt aus (4.3.2) für c -+ 0 u(y, T) =

l (l T

in

A(x, y, T, O)u(x, O)dx

(A(

)aA(x,y,T,t»)d)d x, y, T ,t )au(x,t)_ a u (x, t a o t. (4.3.3) o an v v Diese Formel löst jedoch noch nicht das Anfangs-Randwertproblem, da in (4.3.3) zusätzlich zu u(x, t) für x E an, t > 0 und u(x,O) auch noch die Normalenableitung ~~ (x, t) für x E an, t > 0 eingeht. Daher sollte man versuchen, A(x,y,T,t) durch einen Kern zu ersetzen, der auf an x (0,00) verschwindet. Dieser Aufgabe wollen wir uns nun zuwenden. Wir benötigen einige Vorbereitungen. +

n ein beschränktes Gebiet der Klasse C 2 im IRd . Dann < ~ + 1, T> 0 eine Konstante c = c(a, T, d, n) mit der

Lemma 4.3.1. Es sei

existiert zu jedem a Eigenschaft, daß für alle Xo, x E an, 0 von an bezeichnet,

< t ::; T, wenn v die äußere Normale

aK( x, Xo, t )1 ::; ct- 01 x lav x

Xo l- d +2o .

4.3 Das Anfangs-Randwertproblem für die Wärmeleitungsgleichung

93

Beweis.

8 1 8 Ir-"oI2 -K(x, Xo, t) = - - , I - e - 4' 8vx (47rt)~ 8vx 1 (x - xo) . V x _ 1"_'01 2 =--e 4/. . (47rt)~ 2t Weil der Rand von [] nach Voraussetzung eine C 2-Mannigfaltigkeit ist und x, Xo E 8n, V x normal an 8n ist, gilt

für eine von der Geometrie von 8n abhängige Konstante

8 1" 1 I 8vx K(x,xo, t) ~ C2t- r mit einer Konstanten Funktion

Cl.

Ix - xol 2 e- 1"_"01 4/

Also gilt

2

(4.3.4)

Wir betrachten nun für einen Parameter ß > 0 die

C2.

1jJ(s) := sße-·

für s > O.

Diese Funktion nimmt ihr Maximum für s = ß an, und daher gilt für alle s > o.

sße-· ~ ßße-ß

Wir setzen nun s

= Ix~~uI2 , ß = %+ 1 e_

wobei

C3

1,,-roI 2

~ C3

4'

von ß, d.h. von d und

IX -

Cl!

(4.3.5)

und erhalten aus (4.3.5)

Xo l- d -

2+ 2 o< 4+1-0<

t2

,

(4.3.6)

abhängt. Einsetzen von (4.3.6) in (4.3.4) q.e.d.

Ü'

ergibt die Behauptung.

Lemma 4.3.2. n c ]Rd sei ein beschränktes Gebiet der Klasse C 2 mit äußerer Normalen v, "( E CO(8n x [O,T]) (I' > 0). Wir setzen

v(x, t)

:= -

l° l t

an

Dann gilt

8K (x, y, rh(y, t - r)do(y)dr. -8 vy

v E COO(n x [0, T]),

n

( 4.3.8)

8K (xo, y, rh(Y, t - r}do(y)dr. -8

(4.3.9)

v(x,O) = 0 für alle x E und für alle Xo E 8n, 0<

Um v(x, t) = "((xo, 2 t) X-+Xo

(4.3.7)

t

~ T

l° 1 t

an

vy

94

4. Existenzverfahren 11

Beweis. Zunächst folgt aus Lemma 4.3.1 für Q = 3/4, daß das Integral in (4.3.7) tatsächlich existiert. Die COO-Regularität von v bezüglich x folgt dann aus derjenigen des Kerns K, und die Regularität bezüglich t folgt ebenfalls aus derjenigen von K, wenn wir in (4.3.7) die Variablensubstitution (j = t-r vornehmen. (4.3.8) ist ebenfalls klar. Es bleibt also die Sprungrelation (4.3.9) nachzuweisen. Es reicht hierzu offensichtlich aus,

-

17"°1 o

oK

~(x,

annB(XQ,o) vl/y

y, T)r(y, t - T)do(y)dT

(4.3.10)

für beliebig kleine TO > 0, 8 > 0 zu studieren. Insbesondere können wir annehmen, daß TO und 8 so gewählt sind, daß zu vorgegebenem c > 0 für y E on, Iy - xol < 8, und 0 ~ T < TO

1'Y(xo, t) - 'Y(Y, t - T)I < c. Somit werden wir höchstens einen Fehler der Größenordnung c machen, wenn wir statt (4.3.10) das Integral

-

17"°1 o

oK

~(x,y,r)r(xo,t)do(y)dT

(4.3.11)

annB(xo,o) vl/y

auswerten. Indem wir dann den Faktor 'Y(xo, t) herausziehen, bleibt also nur zu zeigen, daß - lim

X-+Xo

17"°1 0

oK ~(x,

annB(xo,o) vl/y

y, r)do(y)dT = -21 + 0(<5).

(4.3.12)

Weiter bemerken wir noch, daß, weil 'Y stetig ist, es ausreicht, zu zeigen, daß (4.3.12) gleichmäßig in Xo gilt, wenn x sich in zu on normaler Richtung annähert, also x = Xo - IW(Xo), wenn I/(xo) der äußere Normalenvektor von on in Xo ist. In diesem Fall ist J.t2 = Ix - xol 2 und, weil on von der Klasse C 2 ist, auch für y E an

Der Term 0 (Iy - xol 2 1x - xol) ist ein Term höherer Ordnung, welcher die Gültigkeit der nachfolgenden Grenzübergänge nicht beeinflußt, so daß wir ihn der Einfachheit halber weglassen. Ebenso ist für y E on

(x - y) . I/y = (x - xo) . I/y =

-J.t

+ (xo -

+ 0 (Ixo _ Y1 2 )

y) . I/y ,

und der Term O(lxo - y12) ist wiederum vernachlässigbar. Wir approximieren also

4.3 Das Anfangs-Randwertproblem für die Wärmeleitungsgleichung

95

8K ( ) 1 (x - y) . vy _ 1"'-YI 2 X,y,7 = - - - d e ~ 8vy (41f7) 2 27 durch

1 (-J.1.) _l -----e (41fT)~

27

x o-YI2 4.,.

e

_~ 4.,.

Somit haben wir den folgenden Ausdruck abzuschätzen:

l1 TO

o

annB(xo,6)

1 1. -- -J.e - 1"'0-YI2 e- ~ do(y)d7. 4.,.

2(41f)~ 7~+1

4.,.

Wir führen Polarkoordinaten mit Zentrum Xo ein und setzen (j = \xo - y\. Wir erhalten dann (wiederum bis auf einen Fehlerterm höherer Ordnung)

wobei Sd-2 die Einheitssphäre des Rd -

1

ist

1 -(71 6tT!

d-2)

00

= Vol(S ,I

21f 2

1 e

po

-1

..e!. 4"'0

(j~

0

e _a

2

S

d- 2 d

S

d (j.

In diesem Integral kann man J.1. gegen Null streben lassen und erhält als Limes Vol(Sd-2) ,I 21f2

1 -(71 1

00

-1

0

(j2

e

0

00

e

_a 2

S

d- 2 d d _ 1 S

(j -

-.

2

(4.3.13)

Nach unseren vorstehenden Überlegungen ergibt sich hieraus (4.3.12). Der Beweis von (4.3.13) vollzieht sich mit Hilfe der Gammafunktion:

r(x) = Es gilt

1

00

e-ttX-1dt

für x

> o.

r(x + 1) = xr(x) für alle x > 0,

und wegen r(1)

= 1 daher r(n + 1) = n! für n E N.

Weiter ist

1

00

2

o sne-a ds

1 (n 1)

+ ="2 r -,-2-

für alle n E N.

96

4. Existenzverfahren II

Insbesondere ist 1 r( -)

2

und

1T~

=2

1

=

1R.t

1

00

0

e- s 2 ds

= ..[ii

e- 1x12 dx

= Vol(Sd-l)

1

00

e- r2 rd-1dr

~Vol(Sd-l)r (~) ,

= also

Vol(S

d-l

.t

)=

21T2

r

(~) .

Mit diesen Formeln wird das obige Integral (4.3.13) zu

q.e.d. Analog beweist man

Lemma 4.3.3. Unter den Voraussetzungen von Lemma 4.3.2 gilt für w(x, t):=

(x E

n,

t r K(x, y, rh(Y, t - r) do(y) dr

Jo Jan

0 ::; t ::; T)

wE

(4.3.14)

coo(n x [0, T]),

w(x,O) = 0 für x E

n.

w setzt sich stetig auf ti x [0, Tl fort, und für Xo E

(4.3.15)

an

ist

!im V' xW(x, t) . lI(xo)

x-+xo

= ,(xo, t) 2

+

11 t

0

an

aK ~(xo,y,rh(y,t-r)do(y)dr. UlI xo

(4.3.16) q.e.d.

Wir wollen nun zunächst versuchen, mittels Lemma 4.3.2 eine Lösung von

a at

n x (0,00) für x E n

Llu - -u = 0 in u(x,O) = 0 u(x, t)

= g(x, t) für x

E

an, t > 0

(4.3.17)

4.3 Das Anfangs-Randwertproblem für die Wärmeleitungsgleichung

97

zu finden. Wir machen dazu mit einer noch zu bestimmenden Funktion 1(X, t) den Ansatz

u(x, t) = -

l° la

aK y, t - r)"{(y, r) do(y) dr. !'l(x,

t

an

(4.3.18)

ul/y

(4.3.9) und (4.3.17) ergeben als Gleichung für 1 für Xo E an

l° la t

1 g(xo, t) = -1(Xo, t) -

an

2

also

l° la t

1(Xo, t) = 2g(xo, t) + 2

an

aK !'l(xo, y, t - r)"{(y, r) do(y) dr, ul/y

aK !'l(xo, y, t - r)"{(y, r) do(y) dr.

(4.3.19)

ul/y

Dies ist nun eine Fixpunktgleichung für 1, und man kann versuchen, sie durch eine Iteration zu lösen, also für alle Xo E an

1o(Xo, t) = 2 g(xo, t) 1n(XO, t) = 2g(xo, t)

+2

für n E N.

l° la t

an

Rekursiv erhält man

1n(XO, t) = 2g(xo, t)

+2

tr

aK !'l(xo, y, t - r)"{n-1(y, r) do(y)dr ul/y

t

Jo Jan v=l

Sv(xo, y, t - r)g(y, r) do(y)dr (4.3.20)

mit

aK

Sl(XO,y,t) = 2!'l(xo,y,t)

l° l

ul/y

Sv +1 (xo, y, t) = 2

t

an

aK y, r) do(z) dr. Sv(xo, z, t - r)!'l(z, ul/y

Um zu zeigen, daß diese Iteration tatsächlich eine Lösung liefert, müssen wir nachweisen, daß die Reihe

L Sv(xo, y, t) 00

S(xo, y, t) = konvergiert. Wenn wir in Lemma 4.3.1 wieder

Cl!

v=l

= 3/4 wählen, erhalten wir

98

4. Existenzverfahren II

Iterativ folgt ISn(xo, y, t)1 :S cnC1+* Ixo _ YI-(d-1)+~ .

Wir wählen n = max(4, 2(d - 1)), damit beide Exponenten positiv sind. Gilt nun ISm(xo, y, t)1 :S ßmt<~

für eine Konstante ßm und ein

so ist

ISm +1 (xo, y, t)1 :S cßOßm

l

t

(t -

7)0: 7 -3/4

0: ;:::

0,

d7,

mit c aus Lemma 4.3.1 und mit ßo := sup

r

YEanJan

Iz -

yl-(d-1)+! do(z).

Außerdem ist

wobei auf der rechten Seite die oben eingeführte Gammafunktion steht. Es gilt daher

ß(R) Isn+1I (Xo, y, t)1 < - n CfJO

Jl

tO:+ JI/ 4 rr" r(o: + 3/4 + J1-/4)r(1/4) r(a + 1 + /4) . ~=1 J1-

Da die Gammafunktion wie eine Fakultät des Argumentes wächst, impliziert dies, daß 00

11=1

absolut und gleichmäßig auf Es folgt also

a[}

x

a[}

x [0, TJ für jedes T

> 0 konvergiert.

Satz 4.3.1. Das Anfangs-Randwertproblem auf einem beschränkten Gebiet [} C ]Rd der Klasse C 2 ,

.1u(x, t) -

:t

u(x, t) = 0

in [} x (0, (0)

u(x,O) = 0 in [} u(x, t) = g(x, t) für x E a[},

t >0

mit vorgegebenem stetigem g hat eine eindeutige Lösung. Diese läßt sich darstellen als

u(x, t) = -

rt r

Jo Jan

E(x, y, t - 7)g(y, 7) do(y) d7

(4.3.21)

4.3 Das Anfangs-Randwertproblem für die Wärmeleitungsgleichung

99

mit öK E(x, y, t) = 2-;-(x, y, t)

l1

uV y

+2

t

o an

öK 00 a;;(x,z,t - T) LSv(z,y,T)do(z)dT. v=l

Z

( 4.3.22)

Beweis. Wegen der Konvergenz der Reihe E~l Sv ist

,(XO, t) = 2g(xo, t)

+

21 1 f: t

o an v=l

Sv(Xo, y, t - T)g(y, T) do(y) dT

eine Lösung von (4.3.19). Setzt man dies in (4.3.18) ein, so folgt (4.3.22). Hierbei ist zu beachten, daß

r

00

3/ 4

1y - xl-(d-l)+! L Sv(Xo, y, T) v=l

und damit auch E(x, y, t) absolut und gleichmäßig auf ön x ön x [0, Tl für jedes T > 0 konvergiert. Daher darf man auch gliedweise unter dem Integralzeichen differenzieren und nachweisen, daß u die Wärmeleitungsgleichung löst. Die Randwerte werden nach Konstruktion angenommen, und daß u für t = 0 verschwindet, ist klar. Die Eindeutigkeit folgt aus Satz 4.1.1. q.e.d.

Definition 4.3.1. n c ]Rd sei ein Gebiet. Eine Funktion q(x, y, t), definiert für x, y E V, t > 0, heißt Wärmeleitungskern von n, falls (i)

(Ll !) q(x,y,t) = 0 fürx,y E n, t > 0 x -

(ii) q(x, y, t) = 0 falls x E ön

(iii) lim

t-+O

1 n

q(x, y, t)f(x)dx = f(y)

für alle yEn und alle stetigen f : n

--+

IR.

Korollar 4.3.1. Jedes beschränkte Gebiet n c ]Rd der Klasse C 2 besitzt einen Wärmeleitungskern, welcher bezüglich der räumlichen Variablen x von der Klasse Cl auf V ist. Beweis. Für jedes yEn lösen wir mittels Satz 4.3.1 das Randwertproblem für die Wärmeleitungsgleichung mit Anfangswerten 0 und

100

4. Existenzverfahren II

g(x, t) = - K(x, y, t). Wir nennen die Lösung J1.(x, y, t) und setzen

q(x, y, t)

:=

K(x, y, t)

+ J1.(x, y, t).

(4.3.23)

q(x, y, t) erfüllt dann offensichtlich (i) und (H), und weil lim J1.(x, y, t) = 0

t-+O

gilt, und K(x, y, t) die Bedingung (iii) erfüllt, tut q(x, y, t) dies ebenfalls. Aus Lemma 4.3.3 folgt, daß sich q als bezüglich der räumlichen Variablen stetig differenzierbare Funktion auf ii fortsetzen läßt. q.e.d.

Lemma 4.3.4 (Prinzip von Duhamel). Für alle Funktionen u, v auf n x [0, TJ mit den erforderlichen Regularitätseigenschaften gilt

l In T

{v(x, t) (Llu(x, T - t)

+ Ut(x, T - t»)

-u(x, T - t) (Llv(x, t) - Vt(x, t» } dxdt

=

l

+

T

!an {~~ (y, T - t)v(y, t) - ~~ (y, t)u(y, T - t) } do(y) dt

In

{u(x, O)v(x, T) - u(x, T)v(x, On dx.

(4.3.24)

q.e.d.

Beweis. Wie derjenige von (4.3.1).

Korollar 4.3.2. Wenn der Wärmeleitungskern q(z, w, T) von n auf ii von der Klasse Cl bezüglich der räumlichen Variablen ist, so ist er symmetrisch in z und w, also

q(z,w,T) = q(w,z,T)

für alle z,w

E

n, T>

O.

(4.3.25)

Beweis. Wir setzen u(x, t) = q(x, z, t), v(x, t) = q(x, w, t) in (4.3.24) ein. Es folgt mit (Hi) aus Definition 4.3.1 v(z, T) = u(w, T), also die Behauptung. q.e.d.

n c IR d sei ein beschränktes Gebiet der Klasse C2 mit Wärmeleitungskern q(x, y, t) nach Korollar 4.3.1.

Satz 4.3.2.

gE CO(an x (0,00»,

fE cO(n).

Dann hat das Anfangs-Randwertproblem Llu(x, t) - Ut(x, t) = 0 für xE n, t > 0 u(x, t) = g(x, t) für x E an, u(x,O) = fex) für xE n

t >0 (4.3.26)

4.3 Das Anfangs-Randwertproblem für die Wärmeleitungsgleichung

101

eine eindeutige Lösung, welche auf ti x [0,00) \ an x {O} stetig ist und durch die Formel u(x, t)

=

In

(4.3.27)

q(x, y, t)f(y)dy

l Ja t

aq (x, y, t - r)g(y, r)do(y)dr -a o an vy

dargestellt wird.

Beweis. Die Eindeutigkeit folgt aus dem Maximumprinzip. Daß u die Wärmeleitungsgleichung löst und die Anfangsbedingung u(x, 0) = f(x) erfüllt, folgt aus den entsprechenden Eigenschaften von q. Es ist weiter q(x, y, t) = K(x, y, t) + J.L(x, y, t) mit J.L(x, y, t) aus dem Beweis von Korollar 4.3.1. Nach Satz 4.3.1 läßt sich dieses J.L darstellen als J.L(x, y, t) =

r r E(x, z, t - r)K(z, y, r)do(z) dr, t

Jo Jan

(4.3.28)

und nach Lemma 4.3.3 ist für y E an aJ.L (x,y,t) = E(x, y, t) + -a 2

vy

l1 t

0

an

aK (z,y,r)do(z)dr. (4.3.29) E(x,z,t-r)-a vy

Dies bedeutet, daß das zweite Integral auf der rechten Seite von (4.3.27) genau von der Form (4.3.21) ist und daher nach den Ausführungen von Satz 4.3.1 u tatsächlich auch die Randbedingung u(x, t) = g(x, t) für x E an erfüllt, weil nämlich das erste Integral am Rande verschwindet. q.e.d. Wir müssen uns nun kurz den bisher vernachlässigten Regularitätsfragen zuwenden. Wir erinnern uns zunächst an die Darstellungsformel (4.3.3) für eine Lösung der Wärmeleitungsgleichung auf n, u(x, t)

=

l

+

K(x, y, t)u(y, 0) dy

l Ja t

o an

K(x, y, t - r)

(4.3.30) au(y,r) aK a - -a (x, y, t - r)u(y, r) do(y) dr. v

vy

Wir setzen K(x, y, s) = 0 für s ~ 0 und können dann das zweite Integral durch ein Integral von 0 bis 00 statt von 0 bis t ersetzen. K(x, y, s) ist dann von der Klasse Coo für x, y E JRd, sE JR außer für x = y, s = O. Es folgt Satz 4.3.3. Jede Lösung u(x, t) der Wärmeleitungsgleichung in einem Gebiet n ist von der Klasse Coo bezüglich x E n, t > O.

102

4. Existenzverfahren II

Beweis. Da wir nicht wissen, ob die Normalenableitung ~~ auf on existiert und stetig ist, können wir (4.3.30) nicht direkt anwenden. Stattdessen betrachten wir zu gegebenem x E n eine Kugel B(x, r), die in n enthalten ist. Wir wenden (4.3.30) dann auf B(x,r) statt auf n an. Da oB(x,r) in n liegt und u als Lösung der Wärmeleitungsgleichung dort von der Klasse Cl ist, stellt die Normalenableitung ~~ auf oB(x,r) kein Problem dar, und die Behauptung folgt. q.e.d. Insbesondere ist der Wärmeleitungskern q(x, y, t) eines beschränkten C 2 _ Gebietes n von der Klasse Coo bezüglich x, yEn, t > O. Dies folgt auch direkt aus (4.3.23), (4.3.28), (4.3.22) und den im Beweis von Satz 4.3.1 nachgewiesenen Regularitätseigenschaften von E(x, y, t). Aus diesen Beziehungen folgt außerdem, daß .!!!L aaV y (x, y, t) für y E on von der Klasse Coo bezüglich x E n, t > 0 ist. Hiermit kann man dann auch die Darstellungsformel (4.3.27) zur Herleitung von Regularitätseigenschaften benutzen. Wenn wir q(x, y, s) = 0 für s < 0 setzen, können wir auch das zweite Integral in (4.3.27) wieder von 0 bis 00 erstrecken und erhalten dann nach einer partiellen Integration, wenn die Randwerte g(y, t) nach t differenzierbar sind,

10

o u(x, t) = n ot q(x, y, t)f(y)dy ot -

1 la 00

o

an

oq

~(x, UV

y

0 y, t - r)71g(y, r) do(y) dr ur

+ rlim r aOg (x,y,t ...... O Jan vy

r)g(y,r)do(y).

(4.3.31)

Da q(x,y,t) = 0 für x E on, yEn, t > 0 ist, ist t!l;(x,y,t - r) = 0 für x,y E an,r < t und auch

a

at q(x, y, t) = 0 für x E an, yEn, t

>0

(4.3.32)

(der erforderliche Grenzübergang läßt sich wieder mittels (4.3.28) rechtfertigen). Daher folgt aus (4.3.31), da das zweite Integral als Randwerte -itg(x, t) hat,

Lemma 4.3.5. u sei eine Lösung der Wärmeleitungsgleichung auf dem beschränkten C 2 -Gebiet n zu stetigen, nach t differenzierbaren Randwerten g(x, t). Dann ist u für x E an, t > 0 auch nach t differenzierbar, und es gilt

a

a

at u(x, t) = atg(x, t)

für x E an, t

> o.

(4.3.33)

q.e.d. Wir können nun den in 4.2 schon heuristisch hergeleiteten Zusammenhang der Wärmeleitungsgleichung mit der Laplacegleichung exakt begründen.

4.3 Das Anfangs-Randwertproblem für die Wärmeleitungsgleichung

103

Satz 4.3.4. n c ]Rd sei ein beschränktes Gebiet der Klasse C2, f E CO (n), gE CO(an). u sei nach Satz 4.3.2 die Lösung des Anfangs-Randwertproblems Llu(x,t) - Ut(x,t)

= 0 für x

n, t > 0

E

u(x,O) = f(x)

für xE

u(x, t) = g(x)

für x E

n

(4.3.34)

an,

Dann konvergiert u(x, t) für t -+ 00 gleichmäßig auf des Dirichletproblems für die Laplacegleichung Llu(x) = 0

t > O.

ti

gegen eine Lösung

n E an.

für x E

u(x) = g(x)

für x

(4.3.35)

Beweis. Wir schreiben u(x, t) = u1(x, t) +u2 (x, t), wobei u 1 und u 2 beide die

Wärmeleitungsgleichung lösen, und u 1 die richtigen Anfangswerte, also u1(x,0) = f(x)

für x E

an,

und u 2 die richtigen Randwerte hat, also u 2 (x, t)

= g(x) für x

E

an, t > 0,

sowie u1(x, t) = 0 u 2 (x, 0) = 0

für x E für x E

an, t > 0

n.

Nach Lemma 4.2.3 gilt nun lim u1(x, t)

t-+CXl

= O.

Die Anfangswerte f sind also irrelevant, und so können wir o.E. f = 0, also u = u 2 annehmen. Man sieht leicht, daß q(x, y, t) > 0 für x, yEn, t > 0 ist, denn es ist q(x, y, t) = 0 für alle x E an, und nach (iii) aus Definition 4.3.1 ist q(x, y, t) > o für x, yEn und genügend kleine t > O. Da q die Wärmeleitungsgleichung löst, ist q dann nach dem starken Maximumprinzip für alle t > 0 im Innern von n tatsächlich positiv. Deswegen ist dann immer

aq

~(x, ulJy

(4.3.36)

y, t) ::; O.

Weil q(x, y, t) die Wärmeleitungsgleichung mit Nullrandwerten löst, folgt aus Lemma 4.2.3 ebenfalls lim q(x, y, t) = 0 gleichmäßig in

t-+oo

nx n

(4.3.37)

104

4. Existenzverfahren 11

(wenn man noch die Symmetrie q(x, y, t) berücksichtigt). Es ist dann für t2 > tl

11t2 ianr aa

lu(x, t2) - u(x, tl)1 =

q(y, x, t) aus Korollar 4.3.2

=

q (x, z, t)9(Z)dO(Z)dtl

Vz

tl

::; maxlgllt2 an

r (-aaq (X,z,t)) do(z)dt

ian

tl

Vz

r L1 q(x, y, t)dydt = - max Igll t2 r qt(X, y, t)dydt in

= -

max Igll t2 tl

,g'1

y

in

tl

= - max ~

0

für h, t2

{q(x, y, t2) - q(x, y, td} dy nach (4.3.37).

~ 00

u(x, t) konvergiert also für t ~ 00 gleichmäßig gegen eine Grenzfunktion u(x), die dann auch die Randbedingung u(x) = g(x)

für x E

1 1 -aaq

an

erfüllt. Aus Satz 4.3.2 folgt auch

u(x) = -

00

o

an

Vz

(x, z, t)g(z)do(z)dt.

(4.3.38)

:t

Wir betrachten nun die Ableitungen u(x, t) =: v(x, t). v(x, t) löst dann ebenfalls die Wärmeleitungsgleichung, und zwar nach Lemma 4.3.5 mit Randwerten v(x, t) = 0 für x E an. Nach Lemma 4.2.3 konvergiert v dann gleichmäßig in ti für t ~ 00 gegen Null. Daher konvergiert auch Llu(x, t) gleichmäßig in ti für t ~ 00 gegen Null. Daher muß

Llu(x)

= 0

q.e.d.

sein.

Als Folgerung aus Satz 4.3.4 erhalten wir einen neuen Beweis für die Lösbarkeit des Dirichletproblems für die Laplacegleichung auf beschränkten C 2-Gebieten, also einen Spezialfall von Satz 3.2.2 (in Verbindung mit Lemma 3.4.1):

Korollar 4.3.3. n c R d sei ein beschränktes Gebiet der Klasse C 2 , 9 an ~ R sei stetig. Dann hat das Dirichletproblem

Llu(x) = 0 u(x) = g(x)

für x für x

E

E

n

an

eine (nach dem Maximumprinzip eindeutige) Lösung. Referenzen für diesen § sind : Chavel[3] und die dort angegebenen Quellen.

4.4

Diskrete Verfahren

105

4.4 Diskrete Verfahren Für heuristische sowie für numerische Zwecke kann es nützlich sein, die Wärmeleitungsgleichung zu diskretisieren. Wir wollen hierzu in übersichtlicher Weise wie in § 3.1 vorgehen und auch die dortige Notation beibehalten. Zusätzlich zu den räumlichen Variablen müssen wir nun auch die Zeitvariable t diskretisierenj die zugehörige Schrittweite heiße k. Es wird sich zeigen, daß es sinnvoll ist, k verschieden von der räumlichen Gitterkonstanten h zu wählen. Die Diskretisierung der Wärmeleitungsgleichung Ut(x, t) = .1u(x, t)

(4.4.1)

ist nun einfach.

k1 (uh,k(x,t+k)

_uh,k(x,t))

= .1 hu h,k(x, t)

(4.4.2)

d

1 '""'{ U' hk( X 1 , ... ,xi-l ,xi +h,x i+l , ... ,xd) = h2~ ,t i=l

_2u h,k

(Xl, ... ,xd , t) + uh,k (xl, ... ,Xi -

h, ... ,xd , t) }.

Für die Diskretisierung der zeitlichen Ableitung haben wir also einen vorwärtigen Differenzenquotienten gewählt. Zur Vereinfachung der Notation werden wir meist u statt uh,k schreiben. Wenn wir nun (4.4.3) wählen, so fällt der Term u(x, t) heraus, und (4.4.2) wird zu d

u(x,t+k) =

1 '"'" l d ) i d 2d~u(x , ... i ,x +h, ... ,x ,t +u(xl , ... ,x -h, ... ,x ,t). i=l

(4.4.4) In Worten bedeutet dies, daß u(x, t + k) das arithmetische Mittel der Werte in den 2d räumlichen Nachbargitterpunkten von (x, t) ist. Hieraus erkennt man, daß, wenn sich der Prozeß mit wachsender Zeit stabilisiert, man ganz analog zum kontinuierlichen Fall asymptotisch eine Lösung der diskreten Laplacegleichung erhält. Man kann ähnlich wie in §3.1 Konvergenzaussagen beweisen. Wir wollen dies hier jedoch nicht weiter ausführen. Die anhand von (4.4.4) beobachtete Mittelwerteigenschaft legt auch die folgende semidiskrete Approximation der Wärmeleitungsgleichung nahe: Gegeben sei ein beschränktes Gebiet fl C ]Rd. Es sei c > O. Wir setzen fl E := {x E fl : dist(x,afl) > c}. Eine gegebene stetige Funktion 9 : afl ----> ]R habe eine stetige Fortsetzung auf {} \ fl E , die wir ebenfalls mit 9 bezeichnen wollen. Schließlich seien noch Anfangswerte f : fl ----> ]R gegeben. Wir setzen iterativ

106

4. Existenzverfahren 11

u(x,O) = f(x) für x E n, u(x,O) = 0 für x E]Rd \ n, u(x, nk) =

~

Wd c

r

JB(x,e)

u(y, (n - l)k) dy

für x E n, n E N,

und

-( k) = {U(X,nk) u x, n g(x)

für x E ne für x E]Rd \ n e

nE

'

N

.

Im n-ten Schritt wird also der Funktionswert im Punkte x E ne als Mittelwert über die Kugel B(x, c) der Werte des vorhergehenden Schrittes gebildet. Eine zeitunabhängige Lösung erfüllt dann eine Mittelwerteigenschaft und ist daher nach der Bemerkung nach Korollar 1.2.5 in ne harmonisch.

Zusammenfassung In diesem Kapitel haben wir die Wärmeleitungsgleichung auf einem Gebiet nE ]Rd studiert,

a

atu(x,t) - Llu(x,t) = 0 für x E n,t

> o.

Wir haben hier Anfangswerte vorgegeben,

u(x, 0) = f(x)

für x E n,

und wenn n einen Rand an besitzt, auch Randwerte

u(y, t) = g(y, t)

für y E an, t

~

O.

Wir haben insbesondere die euklidische Fundamentallösung

1 !x_u!2 4t K(x,y,t) = ---,I e - -

(47Tt) 2

betrachtet und hieraus durch Faltung die Lösung

u(x, t) =

r K(x, y, t)f(y)dy

J.ntd

des Anfangswertproblems auf dem ]Rd konstruiert. Falls n ein beschränktes Gebiet der Klasse C 2 ist, haben wir auch den Wärmeleitungskern q(x, y, t) für n gefunden und das Anfangs-Randwertproblem durch

Übungen

u(x, t) =

1 n

q(x, y, t)f(y)dy -

t r

Jo Jan

~q (x, z, t -

ullz

107

T)g(Z, T)do(z)dT

gelöst. Insbesondere ist u(x, t) wegen der entsprechenden Regularitätseigenschaften des Kerns q(x,y,t) für xE {l, t > von der Klasse Coo. Die Lösungen erfüllen ein Maximumprinzip dergestalt, daß ein Maximum oder Minimum nur auf {l x {o} oder 8{l x [0,00) angenommen werden kann, und sind eindeutig. Im Falle, daß die Randwerte g(y) nicht von t abhängen, strebt u(x, t) für t --> 00 gegen eine Lösung des Dirichletproblems für die Laplacegleichung

°

°

.1u(x) = in {l u(x) = g(x) für x

E 8{l.

Dies liefert einen neuen Beweis für die Existenz einer Lösung dieses Problems, wenngleich unter stärkeren Einschränkungen an das Gebiet {l im Vergleich zu dem in Kapitel 3 gegebenen Existenzbeweis. Dafür ist der hier angegebene Beweis konstruktiver in dem Sinne, daß er eine explizite Vorschrift angibt, wie man von einem gegebenen Zustand f zu dem gewünschten harmonischen Zustand gelangt.

Übungen 4.1 Es sei

{l C ]Rd

beschränkt

{lT := {l

x (0, T)

d" 82 d, 8 L:= ' " a'l(x, t)~ + '" b'(x, t)!'l" 6 ux'ux1 6 ux' i,j=l

sei für alle (x, t)

E {lT

i=l

ellitptisch, und es gelte Ut ::;

wobei CO({lT) bezüglich x E stetig differenzierbar sei. Dann gilt

{l

zweimal und bezüglich t E (0, T) einmal

supu

nT

Lu,

= sup

a*nT

u.

4.2 Leiten Sie unter Verwendung des Wärmeleitungskerns A(x, y, t, 0) = K(x, y, t) eine Darstellungsformel für Lösungen der Wärmeleitungsgleichung auf {lT mit beschränktem {l C ]Rd und T < 00 her. 4.3 Man zeige für K wie in 2)

° °

K(x,O,s+t)

a) falls s, t > b) falls < t < -so

=

r K(x,y,t)K(y,O,s)dy

J[{d

108

4. Existenzverfahren 11

4.4 Sei E das Gitter aus Punkten (x, t) der Form x = nh, t = mk, (n, mE Z, m ~ 0) und v die Lösung der diskretisierten Wärmeleitungsgleichung v(x, t + k) - v(x, t) _ v(x k

+ h, t) -

2v(x, t) h2

+ v(x -

h, t) = 0

mit v(x,O) = I(x) E CO (lR.). Man zeige, daß für =

-b ! gilt:

v(nh, mk) = Tm

f: (rr:) j=O

Folgern Sie hieraus, daß

J

I((n - m

sup lvi ~ sup 1/1. E

R

+ 2j)h).

5. Exkurs: Die Wellengleichung und ihre Beziehungen zur Laplace- und Wärmeleitungsgleichung

5.1 Die eindimensionale Wellengleichung Die Wellengleichung ist die partielle Differentialgleichung {)2 {)t 2u(x, t)

- Llu(x, t) = 0 für x E fl C JRd, t E (0,00) oder tE IR.

(5.1.1)

t wird wie bei der Wärmeleitungsgleichung als zeitliche, x als räumliche Variable betrachtet. Wir wollen zunächst zur Veranschaulichung den Fall betrachten, wo die "räumliche" Variable x eindimensional ist. Wir schreiben die Wellengleichung dann als Utt(x, t) - uxx(x, t) = O.

(5.1.2)

Es seien 'P, 'l/J E C 2 (JR). Dann ist offensichtlich u(x, t) = 'P(x

+ t) + 'l/J(x -

t)

(5.1.3)

eine Lösung von (5.1.2). Hieraus kann man schon die wichtige Beobachtung vornehmen, daß im Gegensatz zur Wärmeleitungsgleichung Lösungen der Wellengleichung nicht unbedingt für t > 0 regulärer als zur Zeit t = 0 sein müssen, insbesondere nicht von der Klasse Coo. Wir werden hierzu noch Näheres sagen können, wollen aber zunächst den Ansatz (5.1.3) plausibler machen: 'P(x + t) löst (5.1.4) 'Pt - 'Px = 0, 'l/J(x - t) löst

'l/Jt + 'l/Jx = 0,

(5.1.5)

und der Wellenoperator (5.1.6) läßt sich schreiben als (5.1.7) J. Jost, Partielle Differential-gleichungen © Springer-Verlag Berlin Heidelberg 1998

110

5. Die Wellengleichung

also als Produkt der beiden Operatoren, die in (5.1.4), (5.1.5) auftreten. Dies legt es auch nahe, die Variablentransformation ~=x+t,

TJ=x-t

(5.1.8)

vorzunehmen. Dann wird die Wellengleichung (5.1.2) zu (5.1.9) und für eine Lösung muß ue unabhängig von TJ sein, also

Ue = cp' (~) (wobei,,'" wie üblich eine Ableitung bedeutet) und daher

U=

Jcp'(~)

+ 'lj;(TJ) = cp(~) + 'lj;(TJ)·

(5.1.10)

Daher ist durch (5.1.3) sogar die allgemeine Lösung der Wellengleichung (5.1.2) gegeben. Da diese Lösung zwei willkürliche Funktionen enthält, lassen sich für t = 0 zwei Daten vorgeben, nämlich Anfangswerte und Anfangsableitungen, wiederum im Gegensatz zur Wärmeleitungsgleichung, wo wir nur Anfangswerte wählen konnten. Wir bekommen aus den Vorgaben

also

f(x) cp(x) = -2-

1

(5.1.11)

cp(x) + 'lj;(x) = f(x) cp'(x) - 'lj;'(x) = g(x)

(5.1.12)

r

(5.1.13)

+ "2 10 g(y)dy + c

11

'lj;(x) = -f(x) - 2

U(x,O) = f(x) Ut(x,O) = g(x)

2

0

x

g(y)dy - c mit einer Konstanten c.

Also

Satz 5.1.1. Die Lösung des Anjangswertproblems

Utt(x, t) - uxx(x, t) = 0 für u(x,O) = j(x), Ut(x,O) = g(x) ist durch

xE

R., t > 0

5.2. Die Mittelwertmethode

u(x, t) = cp(x + t)

+ 1jJ(x -

t)

1 {J(x + t) + f(x =2

tn + -211 + g(y) dy x t

x-t

gegeben. (Damit u E C 2 ist, müssen wir hierbei f E C 2 , 9 E Cl fordern.)

111

(5.1.14)

q.e.d.

Die Darstellungsformel (5.1.14) beleuchtet noch einen weiteren Unterschied zwischen der Wellengleichung und der Wärmeleitungsgleichung. Für letztere hatten wir nämlich eine unendliche Ausbreitungsgeschwindigkeit festgestellt, daß nämlich eine Änderung der Anfangswerte in einem lokalisierten Bereich die Lösung für beliebig kleines t > 0 sofort überall in ihrem ganzen Definitionsbereich beeinflußt. u aus (5.1.14) ist dagegen im Punkte (x, t) schon durch die Werte von fund 9 in dem Intervall [x - t, x + tJ bestimmt, d.h. für den Wert u(x, t) spielt es überhaupt keine Rolle, wie die Anfangswerte fund 9 außerhalb dieses Intervalls gewählt sind. Umgekehrt beeinflussen diese Anfangswerte im Punkte (y,O) auf der x-Achse den Wert von u(x, t) nur in dem Kegel y - t ~ x ~ y + t. Da die diesen Bereich begrenzenden Strahlen die Steigung 1 haben, ist die Ausbreitungsgeschwindigkeit für Störungen in den Anfangswerten für die Wellengleichung also 1.

5.2 Die Mittelwertmethode: Lösung der Wellengleichung mittels der Darbouxschen Gleichung Es sei v E C°(lR d), xE JRd, r

> O. Wie in § 1.2 betrachten wir den sphärischen

Mittelwert

S(v,x,r) = dw 1d-l dr

(

JaB(x,r)

v(y)do(y).

(5.2.1)

Wir setzen für r > 0 S(v,x,-r) = S(v,x,r) und haben S(v,x,r) so als gerade Funktion von rE JR definiert. Da trS(v,x,r)lr=o = 0 ist, bleibt die so fortgesetzte Funktion auch genügend oft differenzierbar.

Satz 5.2.1 (Gleichung von Darboux). Es gilt für v

E

C 2(JRd)

8 d-18) ( ßr 2 + -r-8r S(v,x,r) = L1 x S(v,x,r). Beweis. Es ist

S(v, x, r) = dw1

(

d

und daher

JI~I=1

v(x + r~) do(~),

(5.2.2)

112

5. Die Wellengleichung

: S(v, x, T) = T

~

d

1

wobei

1

1{1=1 i=l

= dw 1Td d

d

L

1

1/

:Vi (x X

+ Te)e i do(e)

8 V(Y) do(y), 8I/ 8B(x,r) die äußere Normale von B(x, T) ist

r

= dw 1d-l Llv(z) dz J B(x,r) dT nach dem Gaußschen Integralsatz. Hieraus folgt nun

1

(5.2.3)

d -1d 88 2S(v,X,T)=-dw Llv(z)dz+dw 1d-l Ja Llv(y)do(y) T dT B(x,r) dT 8B(x,r) 2

d-18 1 = ----8 S(V,X,T) + dw d-l Llx T

dT

T

1

8B(x,r)

v(y)do(y), (5.2.4)

denn es ist

Ll x

r

J8B(x,r)

v(y) do(y) = Ll x

r

JaB(xQ,r)

v(x - Xo

+ y) do(y)

r Llxv(x - Xo + y) do(y) = r Llv(y) do(y). JaB(x,r)

=

JaB(xQ,r)

q.e.d.

(5.2.4) ist gleichwertig zu (5.2.2).

Korollar 5.2.1. u(x, t) sei eine Lösung des Anfangswertproblems für die

Wellengleichung Utt(x, t) - Ll(x, t) = 0 fÜT X E JRd, t > 0 u(x,O) = f(x) Ut(x,O) = g(x). Wir setzen M(U,X,T,t):= dw

Id_l

dT

r

J8B(x,r)

u(y,t)do(y)

(5.2.5)

(5.2.6)

als Täumlichen Mittelwert. Dann gilt

8 2

at2M(u,X,T,t) =

(88T2 + -T-8T d-18) M(U,X,T,t). 2

(5.2.7)

5.2. Die Mittelwertmethode

113

Beweis. Es ist nach der ersten Zeile von (5.2.4) 82 ( 8r2

d-18) + -r-8r

I! dwd~d-l !

M(u,x,r,t) = dwd rd - 1

L\yu(y,t)do(y)

8B(x,r)

=

:t22 u(y, t) do(y),

8B(x,r)

da u die Wellengleichung löst,

82

= 8t 2M (u,x,r,t).

q.e.d.

Zur Abkürzung setzen wir w(r, t) := M( u, x, r, t).

(5.2.8)

w löst also die Differentialgleichung Wtt

= W rr

d-1

+ - -r W r

(5.2.9)

mit Anfangsdaten w(r,O) = 8(f, x, r)

= 8(g, x, r). Raumdimension d = 3 löst für

(5.2.10)

wt(r,O)

Im Falle der eine Lösung dann v := rw die eindimensionale Wellengleichung Vtt

W

von (5.2.9) (5.2.11)

= Vrr

mit Anfangsdaten v(r,O) = r8(f,x,r)

(5.2.12)

vt(r,O) = r8(g, x, r).

Nach Satz 5.1.1 folgt hieraus rM(u,x, r, t) =

1

"2 {(r + t)8(f, x, r + t) + (r -

11

+"2

r t

r-t+ p8(g,x,p)dp,

also, da 8(f,x,r) und 8(g,x,r) gerade in r sind,

t)8(f,x, r - t)}

(5.2.13)

114

5. Die Wellengleichung

1

M(u,x,r,t) = 2r {(t + r)S(f,x,r + t) - (t - r)S(f,x,t - r)} 1 +-2 r

l

t r

+ pS(g,x,p)dp. t-r

(5.2.14)

°

Wir wollen in dieser Formel r gegen streben lassen. Wegen der Stetigkeit von u gilt M(u, x, 0, t) = u(x, t), (5.2.15) und wir erhalten

o

u(x, t) = tS(g, x, t) + Ot (tS(f, x, t)).

(5.2.16)

Nach unseren vorstehenden Schlußweisen muß sich jede C 2-Lösung des Anfangswertproblems (5.2.5) der Wellengleichung auf diese Weise darstellen lassen, und wir erhalten

Satz 5.2.2. Die eindeutige Lösung des Anfangswertproblems für die Wellengleichung in 3 Dimensionen,

°

Utt(x, t) - Llu(x, t) = für u(x,O) = f(x) Ut(x,O) = g(x) für gegebene f

>

°

(5.2.17)

C 3 (]R3), gE C 2 (]R3) läßt sich darstellen' als

E

u(x, t) = 4:t 2

xE ]R3, t

r

J 8B(x,t)

(tg(y)

+ f(y) + tfYi(y)(yi i=l

Xi)) do(y).

(5.2.18)

Beweis. Zunächst liefert (5.2.16) u(x, t) =

41t r 7f

J8B(x,t)

g(y)do(y)

+ ~t v

(41t r 7f

JaB(x,t)

f(y)dO(y)),

(5.2.19)

Um die Differentiation unter dem Integralzeichen auszuführen, muß man den Mittelwert von f wieder auf die Einheitssphäre zurücktransformieren, also 1 -4 7ft

r

J8B(x,t)

f(y)do(y) = 4t

7f

1

Izl=l

f(x

+ tz)do(z)

schreiben. Aus der Darbouxschen Gleichung folgt, daß u aus (5.2.19) die Wellengleichung erfüllt, und die korrekten Anfangsdaten ergeben sich aus den Beziehungen

S(w,x,O) = w(x) , für jedes stetige w.

o

arS(w,x,r)lr=o = 0 q.e.d.

5.3 Die Energieungleichung

115

Eine wichtige Beobachtung, die sich aus (5.2.18) ergibt, ist, daß in der Dimension 3 (und daher auch in höheren Dimensionen) eine Lösung der Wellengleichung sogar weniger regulär als die Anfangswerte sein kann. Wenn nämlich u(x,O) ECk, Ut(x,O) E C k- 1 ist, so impliziert dies nur u(x,t) E ck-l, Ut(x, t) E C k - 2 für positives t. Außerdem können wir ähnlich wie im Falle d = 1 die Abhängigkeitsgebiete und Einflußbereiche der Anfangsdaten bestimmen. Bemerkenswerterweise hängt der Wert von U im Punkte (x, t) sogar nur von den Anfangsdaten auf der Sphäre 8B(x, t) ab, nicht aber von den Werten im Innern der Kugel B(x, t). Dies ist das sogenannte Huygenssche Prinzip. Dieses Prinzip gilt jedoch nur in ungeraden Dimensionen > 1, nicht aber in geraden Dimensionen. Wir wollen uns dies für den Fall d = 2 klarmachen. Eine Lösung der Wellengleichung für d = 2 kann offensichtlich als eine von der dritten Raumkoordinate x 3 unabhängige Lösung für d = 3 angesehen werden. Wir setzen daher x 3 = in (5.2.19) und erhalten dann durch Integration auf der Sphäre 8B(x, t) = {y E ]R3 : (yl - x l )2 + (y2 _ x 2)2 + (y3)2 = t 2} mit dem Oberflächenelement

°

do(y) =

lyt3 1dy 1dy 2 ,

da die Punkte (yl, y2, y3) und (yl, y2, _y3) den gleichen Beitrag liefern,

U(X 1 ,x2,t) =

~

r

g(y)

dy

27f } B(x,t) Jt2 -Ix _ Yl2

+~ (~ r 8t

f(y)

211' JB(x,t) Jt2 _

Ix _ Yl2

dY)

'

wobei x = (Xl, x 2), Y = (yl, y2) und die Kugel B(x, t) jetzt zweidimensional zu verstehen sind. Als Abhängigkeitsgebiet für den Wert von u im Punkte (x, t) ergibt sich jetzt also die ganze Kreisscheibe B(x, t) und nicht nur ihr Rand 8B(x, t). Referenz für 5.1, 5.2: F. John[7].

5.3 Die Energieungleichung und der Zusammenhang mit der Wärmeleitungsgleichung Es sei

U

eine Lösung der Wellengleichung

Utt(x, t) - Llu(x, t) = Wir definieren die Energienorm von

U

°

als

für x E

]Rd,

t > O.

(5.3.1)

116

5. Die Wellengleichung

(5.3.2) Es gilt

(5.3.3) falls u(x, t) = 0 für genügend großes lxi (wobei dies von t abhängen darf, so daß diese Rechnung auf Lösungen von (5.3.1) mit Anfangswerten mit kompaktem Träger angewandt werden darf). Auf diese Weise läßt sich auch leicht die folgende Aussage über das Abhängigkeitsgebiet einer Lösung von (5.3.1) beweisen, welche die diesbezüglichen Überlegungen aus § 5.2 für beliebige Raumdimensionen partiell verallgemeinert:

Satz 5.3.1.

U

löse {5.3.1} mit u(x,O)

K

= f(x)

,

Ut(x,O)

= O.

:= supp f (:= {x E ]Rd : f(x) :I O})

Dann gilt

(5.3.4)

sei kompakt.

U(x, t) = 0 für dist(x, K) > t.

(5.3.5)

Beweis. Wir zeigen, daß aus f(y) = 0 für alle y E B(x, T) u(x, T) = 0 folgt, was zur Behauptung gleichwertig ist. Wir setzen (5.3.6) und erhalten wie in (5.3.3) (vgl. (1.1.1))

ddE = t

=

r r

J B(x,T-t)

{utUtt

JaB(x,T-t)

+ L UyiUyit } dy -

U {Ut Ö ö v

1 -2

1 -2

r

JaB(x,T-t)

{U~ + L U~i} do(y)

(U~+ LU~i)}dO(Y).

Nach der Schwarzsehen Ungleichung ist der Integrand nicht positiv, und es folgt dE Ti :::; 0 für t > O.

5.3 Die Energieungleichung

117

Da nach Annahme E(O) = 0 und E nicht negativ ist, ist

E(t) = 0 für alle t und daher

u(y, t) = 0 für

::;

T

Ix - yl ::; T

- t,

also insbesondere wie gewünscht

u(x,T) =

o. q.e.d.

Satz 5.3.2. Wie in Satz 5.3.1 sei u eine Lösung der Wellengleichung mit Anfangswerten

u(x, 0) = f(x)

mit kompaktem Träger

und Ut(x,O) = O. Dann liefert v(x, t) :=

/00 e~U(X, s)ds -00 y47ft

eine Lösung der Wärmeleitungsgleichung

Vt(x, t) - Llv(x, t) = 0 für xE JRd, t > 0 mit Anfangswerten v(x,O) = f(x). Beweis. Daß v die Wärmeleitungsgleichung löst, folgt durch Differentiation unter dem Integralzeichen:

8 -;:lv(x, t) = ut

=

/00-00 8 (e-?) u(x, s)ds v - ; : l . r;c;.

ut

47ft

J (e-?) oo

-00

82 !l"2 uS

r;c;.

v 47ft

u(x, s)ds,

da der Kern die Wärmeleitungsgleichung löst, 00 e-f.. 8 2 r;c;.!l"2u(x, s)ds

-00 y47ft = /00 e~Llxu(X,S)dS, v 47ft

=

/

uS

-00

da u die Wellengleichung löst, = Llv(x, t), wobei wir uns hier die detaillierte Rechtfertigung der auftretenden Vertauschungen von Differentiation und Integration schenken. Daß v(x,O) = u(x,O) = f(x) gilt, folgt wie in § 4.1. q.e.d.

118

5. Die Wellengleichung

Zusammenfassung In diesem Kapitel haben wir die Wellengleichung

82 8t 2 u(x, t) - Llu(x, t) = 0 für x

E

JRd, t > 0

mit Anfangsdaten u(x,O) = f(x)

8 8t u(x, 0) = g(x) studiert.. Im Gegensatz zur Wärmeleitungsgleichung sind Lösungen nun nicht mehr regulärer als die Anfangsdaten, es kann sogar im Falle d > 1 ein Regularitätsverlust eintreten. Wie bei der Laplacegleichung spielen auch für die Wellengleichung Mittelwertbildungen eine große Rolle und erlauben es hier, die Wellengleichung für d > 1 auf die Darbouxsche Gleichung für die Mittelwerte zu reduzieren, welche ebenfalls hyperbolisch ist, aber nur noch eine räumliche Variable enthält. Die Ausbreitungsgeschwindigkeit ist im Gegensatz zur Wärmeleitungsgleichung endlich. Störungen setzen scharf ein, und im Falle ungerader Raumdimensionen setzen sie auch scharf wieder aus (Huygenssches Prinzip). Die Energie

ist zeitlich konstant. Durch geeignete Mittelung erhält man aus einer Lösung der Wellengleichung eine Lösung der Wärmeleitungsgleichung.

Übungen 5.1 Wir betrachten die räumlich eindimensionale Wellengleichung Utt -

U xx

= 0

für 0 < x < 7r, t > 0 mit Anfangsdaten

=L 00

u(x,O)

n=l

und Randwerten

=L 00

an sin nx,

Ut(x, 0)

n=l

ßn sin nx

Übungen

u(O, t)

119

= U(1I', t) = 0 für alle t > O.

Man stelle die Lösung als Fourierreihe

= I: 'Yn(t) sin nx 00

u(x, t)

n=l

dar und berechne die Koeffizienten 'Yn(t). 5.2 Wir betrachten die Gleichung Ut

+ CU x = 0

für eine Funktion u(x, t), x, t E IR, wobei c eine Konstante ist. Zeigen Sie, daß längs jeder Geraden der Form x - ct

=

const.

=e

u konstant ist, und daher die allgemeine Lösung durch u(x, t)

= I(e) =

I(x - ct)

gegeben ist, wobei die Anfangswerte u(x, 0) rentialgleichung das Huygenssche Prinzip?

= I(x) sind. Gilt für diese Diffe-

5.3 Wir betrachten die allgemeine quasilineare Differentialgleichung für eine Funktion u(x, y) von zw~i Veränderli~hen

+ 2buxy + CU yy = d,

au xx

wobei a, b, c, d von x, y, u, U x und u y abhängen dürfen. Wir betrachten eine Kurve 'Y(s) = (
= I(s),

u'"

= g(s),

uy

= h(s)

für x

=
Zeigen Sie, daß hierfür die Beziehung I'(s)

= g(s)
erforderlich ist. Leiten Sie weiter für die Werte von Gleichungen ,

./,1

u"'x, U",y, U yy

längs 'Y die

,

her. Folgern Sie, daß die Werte von u"'''', u xy und U yy längs 'Y eindeutig durch die Differentialgleichung und die (den obigen Verträglichkeits bedingungen genügenden) Vorgaben von I, g, h bestimmt sind, sofern nicht

120

5. Die Wellengleichung

auf,. Falls diese letzte Gleichung erfüllt ist, heißt 1 charakteristische Kurve für die Lösungen u unserer Differentialgleichung au xx + 2buxy + CU yy = d. (Da a, b, C, d von u und U x , uy abhängen dürfen, hängt es La. nicht nur von der Differentialgleichung als solcher, sondern auch von der untersuchten Lösung ab, welche Kurven charakteristisch sind.) Wie hängt die Existenz von charakteristischen Kurven mit der in der Einleitung diskutierten Typeneinteilung in elliptische, hyperbolische und parabolische Differentialgleichungen zusammen? Welches sind die charakteristischen Kurven der Wellengleichung Utt - U xx = O?

6. Die Wärmeleitungsgleichung, Halbgruppen und Brownsche Bewegung

6.1 Halbgruppen Wir wollen zunächst einige Aussagen, die wir über Lösungen der Wärmeleitungsgleichung bewiesen haben, neu interpretieren. Wir betrachten hierzu zunächst wieder den Wärmeleitungskern des JRd, den wir nun mit p(x, y, t) bezeichnen wollen, 1 1,,-,,1 2 (6.1.1) p(x,y,t) = (47rt) 4e-~. Zu beschränktem und stetigem

f : JRd -+ JR ist dann

u(x, t) = ( p(x, y, t)f(y)dy

JIR,I

(6.1.2)

nach Lemma 4.2.1 eine Lösung der Wärmeleitungsgleichung

Llu(x, t) - Ut(x, t)

= O.

(6.1.3)

Wir definieren nun für t > 0 einen Operator

wobei c~ die Klasse der stetigen und beschränkten Funktionen bezeichnet, durch (Pd)(x) = u(x, t) (6.1.4) mit u aus (6.1.2). Nach Lemma 4.2.2 gilt

Pof := !im Pd = f,

(6.1.5)

t-o

d.h. Po ist der Identitätsoperator. Bemerkenswerterweise gilt nun auch für t l , t2

~

0 (6.1.6)

Ausgeschrieben bedeutet dies, daß für alle

1 IRd

1

-----.,1

(47r (tl

+ t2)) '2"

J. Jost, Partielle Differential-gleichungen © Springer-Verlag Berlin Heidelberg 1998

f

E

1~-uI2

cg(lR d )

e- 4 ('t+t2) f(y)dy =

122

6. Die Wärmeleitungsgleichung, Halbgruppen und Brownsche Bewegung

{

1

JJRd

d

(411"t2)~

e-

1"'«;1

2

1

(

JJRd

d

(411"td~

e - l-i,~12 I(y) dy dz.

(6.1. 7)

Dies folgt aus der Formel

1 1",_,,1 2 - - - - -...... e- 4('1+'2)

(411" (tl

+ t2))~

-

111m

- (411"t2)~ (411"td~

e-

l"'i ol2 '2

1_-111 2

e--:rtt dz

JRd

'

(6.1.8) die man durch Rechnung nachweisen kann (vgl. auch Aufgabe 3 von Kapitel 4). Es gibt jedoch noch einen allgemeineren und tieferen Grund für die Gültigkeit von (6.1.6): Pt1 +t2 1(x) ist die Lösung der Wärmeleitungsgleichung mit Anfangswerten 1 zur Zeit tl +t2. Zur Zeit tl hat diese Lösung den Wert ptJ(x). Pt2 (Pt J)(x) dagegen ist die Lösung der Wärmeleitungsgleichung zur Zeit t2 mit Anfangswerten Pt} f. Da die Lösung der Wärmeleitungsgleichung in der Klasse der beschränkten Funktionen nach Satz 4.1.2 eindeutig ist, und die Wärmeleitungsgleichung invariant unter Zeittranslationen ist, muß es dasselbe Resultat ergeben, wenn man zur Zeit 0 mit den Anfangswerten Pt1 1 startet und die Lösung zur Zeit t2 betrachtet, oder wenn man zur Zeit tl mit den Werten Pt! 1 startet und die Lösung zur Zeit tl + t2 betrachtet, denn der Zeiturtterschied ist in beiden Fällen der gleiche. Dieses Argument überträgt sich auch auf das Anfangswertproblem, da nach Korollar 4.1.1 auch hier die Lösungen eindeutig sind. Es gilt also auch: Satz 6.1.1. D C ]Rd sei beschränkt und von der Klasse C 2 , g : aD stetig. Für jedes 1 E cg (D) sei dann

-4

IR

Pn,g,d(x) die Lösung u(x, t) des Anlangswertproblems Llu -

Ut

= 0

in

D x (0,00)

u(x, t) = g(x)

für x E aD

u(x, 0) = I(x)

für xE D.

(6.1.9)

Dann gilt Pn ,9,01

= t'\.o' !im Pn 9 ,tl = 1

für alle

Pn,9,t1 +t2 = Pn,g,t2

0

1 E CO(D)

Pn,g,t}.

(6.1.10) (6.1.11) q.e.d.

Korollar 6.1.1. Unter den Voraussetzungen von Satz 6.1.1 gilt für alle t o 2:

o und für alle 1 E Cg(D)

6.2 Infinitesimale Erzeuger von Halbgruppen

123

Pngtof lim Pngt/. • • = t'-to' • q.e.d. Wir fassen das gerade explizierte Phänomen in eine allgemeine Definition:

Definition 6.1.1. B sei ein Banachraum, Tt : B lineare Operatoren mit

-t

B seien für t

~

0 stetige

(i) To = Id (ii) T t1 +t2 = T t2 0 Tt1 für alle tl, t2 ~ 0 (iii) limt-+to Ttv = T to v für alle to ~ 0 und alle v E B. Dann heißt die Familie {Ttlt~o eine stetige Halbgruppe (von Operatoren). Ein anderes, einfacheres Beispiel einer Halbgruppe ist das folgende: Es sei B der Banachraum der beschränkten und gleichmäßig stetigen Funktionen auf [0,00). Wir setzen für t ~ 0

Td(x) := f(x

+ t).

(6.1.12)

Dann sind alle Bedingungen aus Definition 6.1.1 erfüllt. Diese Halbgruppe wie auch aufgrund des Maximumprinzips die Wärmeleitungshalbgruppe erfüllen auch die folgende

Definition 6.1.2. Eine stetige Halbgruppe {Ttlt>o von stetigen linearen Operatoren eines Banachraumes B mit Norm 11·11 heißt kontrahierend, falls für alle v E B und alle t ~ 0 liTtvII ::; Ilvll·

(6.1.13)

6.2 Infinitesimale Erzeuger von Halbgruppen Wenn die Anfangswerte f(x) = u(x, 0) einer Lösung der Wärmeleitungsgleichung Ut(x, t) - Llu(x, t) = 0 (6.2.1) von der Klasse C 2 sind, so erwarten wir

Um u(x, t) - u(x, 0) = Ut(x, 0) = Llu(x, O) = Llf(x), t

t'-O

oder in der Notation

u(x, t)

(6.2.2)

= Pt/(u)

des vorigen §,

lim ~(Pt - Id)f = Llf·

t,-O t

Wir wollen dies nun abstrakter fassen und verifizieren

(6.2.3)

124

6. Die Wärmeleitungsgleichung, Halbgruppen und Brownsche Bewegung

Definition 6.2.1. {Ttlt~o sei eine stetige Halbgruppe auf einem Banachraum B. Wir setzen D(A) := {v E B : lim

~(Tt -

t"'O t

Id)v existiert} C B

(6.2.4)

und nennen den linearen Operator A: D(A)

-+

B,

definiert durch - Id)v, "'0 ~(Tt t

(6.2.5)

Av := Um t

den infinitesimalen Erzeuger der Halbgruppe {Ttl.

Da 0 in D(A) liegt, ist D(A) nicht leer.

Lemma 6.2.1. Für alle v E D(A) und alle t 2: 0 gilt

(6.2.6) A vertauscht also mit allen T t . Beweis. Für v E D(A) gilt TtAv = T t lim

~(Tr -

r"'OT

Id)v

1 = lim -(TtTr - Tt)v, r'"O T

1

= lim -(TrTt - Tt)v, r'"O T

.

1

= hm -(Tr r'"OT

-

da Tt stetig und linear ist wegen der Halbgruppeneigenschaft

Id)Ttv

= ATtv. q.e.d.

Insbesondere ist also mit v auch Ttv E D(A). Insofern findet kein Regularitätsverlust von Ttv gegenüber v( = Tov) statt. Wir benötigen im folgenden die Notation J>.v:=

fooo >..e->,sTsvds

für>..

>0

(6.2.7)

für eine kontrahierende Halbgruppe {Tt}. Das Integral kann hierbei im Riemannschen Sinne verstanden werden, für eine banachraumwertige Funktion. Die übliche Definition durch Grenzwerte von Treppenfunktionen überträgt

6.2 Infinitesimale Erzeuger von Halbgruppen

125

sich leicht auf den banachraumwertigen Fall. Die Konvergenz des uneigel1tlichen Integrals folgt aus der aufgrund der Kontraktionsannahme gültigen Abschätzung

und der Vollständigkeit von B. Da (6.2.8) stellt J>.v ein gewichtetes Mittel der auf v angewandten Halbgruppe {Ttl dar. Da

1!J>.vll :$1

00

:$ II v

>.e->'SIITsvll ds

ll1

00

>.e->'Sds

wegen der Kontraktionseigenschaft :$ nach (6.2.8) ist, ist J>. : B I!J>.II :$ 1.

IIvll -+

(6.2.9)

B ein beschränkter linearer Operator mit Norm

Lemma 6.2.2. Für alle v E B gilt

(6.2.10)

Beweis. Wegen (6.2.8) gilt

Es sei für §

Es sei nun > 0, daß

§

>0

€

>

°

gegeben. Da Tsv stetig in s ist, existiert dann ein solches IITsv -

€

vII < 2"

für

°

:$ s :$ §

126

6. Die Wärmeleitungsgleichung, Halbgruppen und Brownsche Bewegung

und daher auch C {5

11 ~ 2 io Für jedes fJ

>..e->'Sds <

C

2

nach (6.2.8).

> 0 existiert nun aber auch ein solches >"0 E lR, daß für alle >.. ~ >"0

I~ ~

1

00

>..e->'s (lITsvll + IlvII) ds

~ 2 \Iv \I

1

00

>..e->'Sds wegen der Kontraktionseigenschaft

c

< 2' q.e.d.

Hieraus folgt leicht (6.2.10).

Satz 6.2.1. {Tth>o sei eine kontrahierende Halbgruppe mit infinitesimalem Erzeuger A. Dann-ist D{A) dicht in B. Beweis. Wir zeigen, daß für alle>.. > 0 und alle v E B

J>.v E D{A}.

{6.2.11}

Da aus Lemma 6.2.2 folgt, daß

dicht in B liegt, liefert dies die Behauptung. Es gilt

~{Tt t

Id}J>.v =

~ {oo >..e->,sTt+svds _ ~ {oo >..e->,sTsvds, t

io

t

io

da T t stetig und linear ist,

11

= -

t

00

e>.t-- 1 =-

t

=

11

>..e>.te->.uT. vdu - -

1

t U t

e>.t - 1

00

0

>..e->'uT. v du - -1

t U t

00

>..e->'sT. vds

1 t

0

s

>..e->'sT v ds s

({tio >..e->'uTuvdu) - t1 iot >..e->,sTsvds.

--t- hv -

Der letzte Term strebt, weil der Integrand stetig in s ist, für t -+ 0 gegen ->"Tov = ->..v, während der erste Term in der letzten Zeile gegen >"J>.v strebt. Dies impliziert die Formel

Ahv = >"{h -Id)v für alle v E B, die zeigt, daß {6.2.11} gilt.

{6.2.12}

q.e.d.

6.2 Infinitesimale Erzeuger von Halbgruppen

127

Wir definieren nun für eine kontrahierende Halbgruppe {Tth>o Operatoren durch

DtTtv := h_O lim -h1 (Tt+h - Tt) v,

(6.2.13)

wobei D(DtTt ) der Unterraum von B ist, wo dieser Limes existiert. Lemma 6.2.3. v E D(A) impliziert v E D(DtTt ), und es gilt (6.2.14)

Beweis. Die zweite Gleichung wurde schon in Lemma 6.2.1 bewiesen. Daher ist für v E D(A) (6.2.15) (6.2.15) bedeutet, daß die rechtsseitige Ableitung bezüglich t von Ttv für alle v E D(A) existiert und stetig in t ist. Dies impliziert aber bekanntlich, daß dann auch die linksseitige Ableitung existiert und mit der rechten übereinstimmt, woraus die gewünschte Differenzierbarkeit und (6.2.14) folgt. (Der Beweis der Aussage über die beidseitige Differenzierbarkeit verläuft so: f : [0,00) ~ B sei stetig und für alle t 2: 0 existiere die rechtsseitige Ableitung d+ f(t) := limh'-,.o k(f(t + h) - f(t)) und sei stetig. Dann folgert man aus der Stetigkeit von d+ f, daß auf jedem Intervall [0, Tl diese Limesbeziehung sogar gleichmäßig in t gilt. Um zu zeigen, daß f differenzierbar mit Ableitung d+ f ist, schließt man nun

~~ II~ (J(t) -

f(t - h)) - d+ f{t)

: : ; l~ Ilx(J«t - h) + h) -

11

f{t - h)) - d+ f{t -

h)1I +

lim Ild+f(t - h) -d+f(t)11

h'-,.O

= o. ) q.e.d. Satz 6.2.2. Für A > 0 ist der Operator (AId - A) : D(A) ~ B invertierbar (A infinitesimaler Erzeuger einer kontrahierenden Halbgruppe), und es gilt (6.2.16)

also (6.2.17)

128

6. Die Wärmeleitungsgleichung, Halbgruppen und Brownsche Bewegung

Beweis. Damit (.\Id - A) invertierbar ist, müssen wir zunächst zeigen, daß (Ald - A) injektiv ist, also ausschließen, daß ein Vo E D(A), Vo ::I 0, mit .\Vo = Avo

(6.2.18)

existiert. Für ein solches Vo würde nach (6.2.14) DtTtvo = TtAvQ = .\TtvQ

(6.2.19)

sein, und daher (6.2.20) Da .\ > 0 ist, verletzte dies aber im Falle Vo

::I 0 die Kontraktionseigenschaft

Daher ist (.\Id - A) invertierbar für .\ > O. Um nun die Formel (6.2.16) zu erhalten, gehen wir von (6.2.12) aus, also

und erhalten (6.2.21) Daher bildet (.\Id-A) das Bild von JA in bijektiver Weise auf B ab. Da dieses Bild nach (6.2.11) in D(A) liegt und (.\Id - A) injektiv ist, muß (.\Id - A) dann auch D(A) in bijektiver Weise auf B abbilden. Daher muß D(A) mit dem Bild von JA übereinstimmen, und aus (6.2.21) folgt dann (6.2.16). q.e.d. Lemma 6.2.4 (Resolventengleichung). Unter den Voraussetzungen von Satz 6.2.2 gilt für A, Jl > 0

R(.\, A) - R(Jl, A)

= (p, -

.\)R(.\, A)R(p" A).

(6.2.22)

Beweis. R(.\, A) = R(.\, A)(p,Id - A)R(Jl, A)

+ (.\Id - A))R(JL, A) .\)R(.\, A)R(JL, A) + R(JL, A)

= R(.\, A)((JL - .\)Id = (JL -

q.e.d. Wir wollen nun in den beiden von uns betrachteten Beispielen mittels des vorstehenden Formalismus die infinitesimalen Erzeuger ausrechnen. Wir beginnen mit der Translationshalbgruppe: B sei also der Banachraum der beschränkten, gleichmäßig stetigen Funktionen auf [0, 00), Td(x) = f(x+ t) für f E B, x, t ~ O. Dann ist

6.2 Infinitesimale Erzeuger von Halbgruppen

129

(6.2.23) und daher

d dx (J).. f) (x) = ->"f(x)

+ >"(J)..f)(x).

(6.2.24)

Nach (6.2.12) gilt aber für den infinitesimalen Erzeuger

AJ)..f(x) = >"(J),f - f)(x),

(6.2.25)

und somit ist (6.2.26) Wir haben am Ende des Beweises von Satz 6.2.2 gezeigt, daß das Bild von J).. mit D(A) übereinstimmt, und daher gilt also

Ag

d dx g für alle 9

=

E

D(A).

(6.2.27)

Wir wollen nun zeigen, daß D(A) genau diejenigen gE B enthält, für die ebenfalls zu B gehört. Für ein solches 9 definieren wir f E B durch

d

/x g

dxg(x) - >..g(x) = ->..J(x).

(6.2.28)

dx (J)..f)(x) - >..J)..f(x) = ->..J(x).

(6.2.29)

Nach (6.2.24) gilt auch

d

d

cp(x) := g(x) - J)..f(x) erfüllt daher dx cp(x) = >..cp(x),

(6.2.30)

somit cp(x) = ce)..x, und da cp E B ist, muß c = 0 sein, also 9 = J)..f. Damit ist gezeigt, daß der infinitesimale Erzeuger A durch (6.2.27) gegeben ist, mit denjenigen 9 E B als Definitionsbereich D(A), für die auch

/xg E Bist.

Wir wollen nun nach dem gleichen Muster die Wärmeleitungshalbgruppe betrachten. B sei der Banachraum der gleichmäßig stetigen und beschränkten Funktionen auf dem Rd,

Pd(x) = Es ist nun

J),f(x) =

1

--d

(411"t) 2"

11

00

IR,j

Wir berechnen

J

0

2

> O.

(6.2.31)

dtf(y)dy.

(6.2.32)

Ix-yl 4 t -f(y)dy efür t

>..

--d

(411"t) 2"

e-

)..~ t-

4t

130

6. Die Wärmeleitungsgleichung, Halbgruppen und Brownsche Bewegung

LlJ.xf(x)

= =

11 ll Rd

IR,I

00

0

OO

.x

A

8(1 11

Ae- .x t8

--01

(41rt) ~

t

0

1"-lJI 2

- - , I Llxe- t-~dtf(y)dy (41rt)~

= -Af(x) -

00

IR d

0

1~-lJI2) 4t e-dtf(y)dy

8 ( .xt) 1 1~-!l12 -8 Ae- - 0 1 e4t dtf(y)dy

= -Aj(x) + AJ.xf(x).

t

(41rt)~

Wie vorher folgt

AJ.xf = LlJ.xf, und daher

Ag

= Llg

(6.2.33)

für alle 9 E D(A).

(6.2.34)

Wir wollen nun zeigen, daß jetzt D(A) alle 9 E B umfaßt, für die Llg ebenfalls in B ist. Für ein solches 9 definieren wir f E B durch

Llg(x) - Ag(X)

= -Af(x)

(6.2.35)

und vergleichen dies mit

LlJ.xf(x) - AJ.xf(x) = -Af(x).

(6.2.36)

cp := 9 - J.xf ist also beschränkt und erfüllt Llcp - AI{) = 0 für ein A > O.

(6.2.37)

Aus dem untenstehenden Lemma 6.2.5 folgt nun cp == 0, also wie gewünscht 9 =

J>.f·

Lemma 6.2.5. Es sei A > o. Dann gibt es kein beschränktes cp;t 0 mit (6.2.38)

Beweis. Wir berechnen für eine Lösung von (6.2.38)

Llcp2 = 21'Vcp12 + 2cpLlcp = 21'Vcp12

+ 2Acp2

(mit 'Vcp =

(8~1 cp, . .. , 8~dCP) )

nach (6.3.38).

(6.2.39)

Es sei Xo E ]Rd. Wir wählen dann C 2 -Funktionen TJR für R ~ 1 mit

o ~ TJR(X) ~ 1 TJR(X) = 0 TJR(X) = 1 I'VTJR(X)I + ILlTJR(X)1 :5 Co

für alle x E ]Rd

(6.2.40)

für Ix - xol ~ R + 1

(6.2.41)

für Ix -

xol :5 R

für eine von x und R unabhängige Konstante Co.

(6.2.42) (6.2.43)

6.2 Infinitesimale Erzeuger von Halbgruppen

131

Wir berechnen

+ 'P2Ll17~ + 817R'P\117R' \1'1' 217~ 1\1'1'12 + 2)..1J~'P2 + (Ll1J~) '1'2 - 217~ 1\1'1'12 -

Ll (17~<{}) = 17~Ll'P2

~

81\117RI 2 '1'2 nach (6.2.39) und der Schwarzsehen Ungleichung

= 2)..17~'P2 + (Ll17~ - 81\117RI 2 ) '1'2.

(6.2.44)

Hieraus folgt mit (6.2.40)-(6.2.43) 0= (

Ll

} B(xo,R+I)

(1J~'P2) ~ 2)"

{

'1'2 -

} B(xo,R)

Cl

{

'1'2 (6.2.45)

} B(xo.R+l)\B(xo,R)

für eine von R unabhängige Konstante

Cl'

Nach Voraussetzung ist 'I' beschränkt, also (6.2.46) Daher liefert (6.2.45) { } B(Xo,R)

'1'2 ::; C2)..K R d- l

mit einer wieder von Runabhängigen (6.2.47) Konstanten C2.

Aus (6.2.39) folgt, daß '1'2 subharmonisch ist. Die Mittelwertgleichung (vgl. Satz 1.2.2) impliziert daher 'P 2(xo) ::;

~

{ '1'2 } B(xo,R)

Wd R

C2 K

nach (6.2.47)

::; wd)..R ->

0 für R

-> 00.

(6.2.48)

Also ist 'P(xo) = O. Da dieses Argument für alle Xo E IR d gültig ist, muß 'I' identisch verschwinden. q.e.d. Lemma 6.2.6. B sei ein Banachraum, L : B -> B ein stetiger linearer Operator mit IILII ::; 1. Dann konvergiert für jedes t ~ 0 und alle x E B die Reihe

exp(tL)x :=

L 00

1

,(tL)"x ,,=0 v.

und definiert eine stetige Halbgruppe mit infinitesimalem Erzeuger L. Beweis. Wegen IILII ::; 1 gilt auch

IILnl1 ::; 1 für alle n E N.

(6.2.49)

132

6. Die Wärmeleitungsgleichung, Halbgruppen und Brownsche Bewegung

Daher ist (6.2.50) Wegen der Cauchyfolgeneigenschaft der reellen Exponentialreihe wird letzterer Ausdruck für genügend große m, n beliebig klein, und somit erfüllt auch unsere banachraumwertige Exponentialreihe die Cauchyfolgeneigenschaft und konvergiert daher wegen der Vollständigkeit von B. Der Limes exp(tL) ist beschränkt, denn nach (6.2.50) ist

und daher auch Ilexp(tL)xll $ e t Ilxll·

(6.2.51)

Es gilt wie bei der reellen Exponentialreihe (6.2.52) also

exp((t + s)L) = exptL 0 expsL

(6.2.53)

und somit die Halbgruppeneigenschaft. Weiter ist 11

1

h (exp(hL)

11 00 h"-l 00 h"-l - Id) x - Lx $ ~ ~ IIL"xll $ Ilxll ~~.

Da letzterer Ausdruck für h --t 0 gegen 0 strebt, ist L infinitesimaler Erzeuger q.e.d. der Halbgruppe {exp(tL)h~o. Genauso wie (6.2.53) beweist man auch (vgl. (6.2.52))

Lemma 6.2.7. L,M: B --t B seien stetige lineare Operatoren, die die Voraussetzung von Lemma 6.2.6 erfüllen, und es gelte

Dann ist

LM=ML.

(6.2.54)

exp(t(M + L)) = exp(tM) . exp(tL).

(6.2.55) q.e.d.

6.2 Infinitesimale Erzeuger von Halbgruppen

133

Satz 6.2.3 (Hille-Yosida). A : D(A} -+ B sei ein linearer Operator mit in dem Banachraum B dichtem Dejinitionsbereich D(A}. Die Resolvente R(n, A} = (nId - A}-l existiere für alle n E N, und es gelte 1 ( Id - ~A

)-1

:5 1 für alle n

E N.

(6.2.56)

Dann erzeugt A eine eindeutig bestimmte kontrahierende Halbgruppe. Beweis. Wir setzen wieder 1 Jn := ( Id - ~A

)-1

für n E N (vgl. Satz 6.2.2).

Der Beweis wird aus mehreren Schritten bestehen. I} Wir behaupten lim Jnx = x für alle x E B,

(6.2.57)

n ...... oo

sowie

Jnx E D(A)

für alle x E B.

(6.2.58)

Zunächst gilt nämlich für x E D(A)

AJnx = JnAx = Jn(A - nId)x + nJnx = n(Jn - Id)x, und weil nach Voraussetzung \\JnAx\\ 1

Jnx - x = -JnAx n

(6.2.59)

:5 \\Ax\\, folgt -+

0 für n

-+ 00.

Weil D(A) dicht in B ist und die Operatoren Jn nach Voraussetzung gleichgradig stetig sind, folgt (6.2.57). Aus (6.2.59) folgt auch (6.2.58). 2) Nach Lemma 6.2.6 existiert (wegen (6.2.56» die Halbgruppe

{exp(sJn)}s~o, Setzen wir s = tn, so erhalten wir die Halbgruppe

und ebenso auch die Halbgruppe

1t(n) := exp(tAJn ) = exp(tn(Jn - Id»

(t ~ 0)

(vgl. (6.2.59» .

Nach Lemma 6.2.7 ist dann (6.2.60)

134

6. Die Wärmeleitungsgleichung, Halbgruppen und Brownsche Bewegung

Weil wegen (6.2.56)

lIexp(tnJn )xll :::;

t)V L~ IIJ~xll :::; exp(nt) IIxll , v. 00

(

v=o

folgt (6.2.61) und die Operatoren sind daher insbesondere gleichgradig stetig in t nE N. 3) Es gilt für alle m, nE N

~

0 und

(6.2.62) Weil nach (6.2.60) Jn mit Tt(n) kommutiert, kommutiert deswegen auch Jm mit Tt(n) für alle n, m E N, t ~ o. Nach den Lemmata 6.2.3, 6.2.6 gilt für xEB (6.2.63) und daher

\ \Tt(n) X

-

lifo Ds (Tt~;T;n)x) dsll = lifo Tt:;T;n) (AJn - AJm)XdSII t

Tt(m) x \ \ =

t

:::; t

II(AJn

-

AJm)xll

mit (6.2.61).

(6.2.64)

Für x E D(A) ist nach (6.2.59)

(AJn - AJm ) x = (Jn - J m ) Ax.

(6.2.65)

Aus (6.2.64), (6.2.65), (6.2.57) folgt daher, daß für x E D(A)

eine Cauchyfolge ist, und zwar gleichmäßig in 0 :::; t :::; to für jedes to. Weil die Operatoren Tt(n) nach (6.2.61) gleichgradig stetig sind und D(A) nach Voraussetzung dicht in B ist, ist

daher sogar für alle x E Beine Cauchyfolge, wiederum lokal gleichmäßig in t. Daher existiert auch der Limes

Ttx:= lim Tt(n) x n ..... oo

6.2 Infinitesimale Erzeuger von Halbgruppen

135

lokal gleichmäßig in t, und Tt ist ein stetiger linearer Operator mit

liTtli:::; 1

(6.2.66)

(vgl. (6.2.61)).

4) Wir behaupten, daß (Tdt~O eine Halbgruppe ist. Weil {Tt(n)h~o für alle n E N eine Halbgruppe ist, ist nämlich unter Ausnutzung von (6.2.61)

IITt+sx - TtTsxl1 :::; IITt+sX -

Tt~~XII + IITt~~X - Tt(n)Tsxll

+ IITt(n)Tsx - TtTsXl1 :::; IITt+sX -

Tt~~XII + IIT;n)x -

Tsxll

+ 1I (Tt(n) - Tt) Tsxll ' und dies strebt für n --+ 00 gegen O. 5) Nach 4) und (6.2.66) bildet {Tt}t~o eine kontrahierende Halbgruppe. Wir wollen nun zeigen, daß A der infinitesimale Erzeuger dieser Halbgruppe ist. Es sei A der infinitesimale Erzeuger, und wir behaupten somit

A=A.

(6.2.67)

Es sei x E D(A). Aus (6.2.57) und (6.2.59) erhält man leicht

TtAx = lim Tt(n) AJnx,

(6.2.68)

n-+DO

wiederum lokal gleichmäßig in t. Daher ist für x E D(A) lim

t'-,.O

~t (Ttx -

x) = lim ~ lim (Tt(n)x - x) t'-,.O

t

n-+DO

= lim -1 lim t'-,.O

t

I1°

= lim t'-,.O

=

Ax.

n-+DO

t

t

l

0

t

T~n) AJnxds

nach (6.2.63)

TsAxds

Daher gilt für x E D(A) auch x E D(A) und Ax = Ax. Es bleibt also nur D(A) = D(A) zu zeigen. Nach dem Beweis von Satz 6.2.2 bildet (nld - A) D(A) in bijektiver Weise auf B ab. Da (nld - A) aber nach Voraussetzung schon D(A) bijektiv auf B abbildet, muß wie gewünscht D(A) = D(Ä) sein, also A = Ä. 6) Es bleibt nur noch die Eindeutigkeit der von A erzeugten Halbgruppe {Tth~o zu zeigen. {Tt}t~o sei eine andere von A erzeugte kontrahierende Halbgruppe. Weil A dann mit Tt kommutiert, tun dies auch AJn und Tt(n). Daher erhält man wie in (6.2.64) für x E D(A)

136

6. Die Wärmeleitungsgleichung, Halbgruppen und Brownsche Bewegung

\ \Tt(n) X

-

Ttx\\ = =

Aus (6.2.57) folgt dann

JJfot D. (Tt_sT;n)x ) dSJJ JJfot (-Tt_sT;n)(A -

AJn)x)

dsJJ.

Ttx = lim Tt(n) n ..... oo

für alle x E D(A) und dann wie üblich auch für alle x E B, also Tt = Tt . q.e.d. Wir wollen nun nachweisen, daß die Voraussetzungen des Satzes von HilleYosida in den beiden von uns betrachteten Beispielen erfüllt sind. Wir beginnen wieder mit der Translationshalbgruppe und verwenden die bisherige Notation weiter. Als infinitesimalen Erzeuger hatten wir

A

=!!.. dx

(6.2.69)

identifiziert, und wir wollen zeigen, daß dieses A die Bedingung (6.2.56) erfüllt. Es gelte also

d)-l f

1 ( Id - - -

= 9

(6.2.70)

sup Ig(x)1 ::; sup If(x)1

(6.2.71)

ndx

und wir müssen zeigen, daß x~o

x~o

gilt. (6.2.70) ist äquivalent zu 1

f(x) = g(x) - -g'(x). n

(6.2.72)

Wir betrachten zunächst den Fall, wo 9 sein Supremum in einem Xo E [0,00) annimmt. Dann gilt dort

g'(xo) ::; 0 (= 0, falls Xo > 0). Und daher

supg(x) = g(xo) ::; g(xo) x

~g'(xo) = n

f(xo) ::; supf(x). x

(6.2.73)

Wenn 9 sein Supremum nicht annimmt, existiert zumindest eine Folge C [0,00) mit g(X V ) -+ supg(x). (6.2.74)

(XV)VEN

x

6.2 Infinitesimale Erzeuger von Halbgruppen

> 0 ein derartiges

Wir behaupten, daß es zu jedem co alle v ;::: Vo

137

Vo E N gibt, daß für

(6.2.75) Wäre nämlich (6.2.76) für ein co und fast alle v, so gäbe es wegen der gleichmäßigen Stetigkeit von g', welche sich aus (6.2.72) ergibt, da f,g E B sind, auch ein derartiges 6> 0, daß co g'(x) ;::: 2' falls Ix - xIII ~ 6 für alle v mit (6.2.76). Daher wäre

g(x il

+ 6) = g(x + ll )

1'5 g'(x

il

+ t)dt

co6 ;::: g(x lI ) + 2'

(6.2.77)

Wegen (6.2.74) können wir aber andererseits

annehmen, woraus dann mit (6.2.77) der Widerspruch

g(X Il

+ 6) > sup g(x)

folgt. Daher gilt (6.2.75). Wie in (6.2.73) erhalten wir nun für jedes c supg(x) x

= !im

1.1-+00

~

>0

g(x v )

!im (g(xlI) - .!.g'(xlI)) n . c = 1.1-+00 hm f(x lI ) +n c ~ supf(x) +-. x n 11-+00

+ ~n

Da der Fall des Infimums analog behandelt werden kann erhält man (6.2.71). Wir wollen nun die entsprechende Analysis für die Wärmeleitungshalbgruppe durchführen, wobei wir uns wiederum an die schon eingeführten Bezeichungen halten wollen. In diesem Fall ist der infinitesimale Erzeuger

A =..1, der Laplaceoperator. Wir betrachten wieder die Gleichung

(6.2.78)

138

6. Die Wärmeleitungsgleichung, Halbgruppen und Brownsche Bewegung

1 ( Id -~.1

)-1 f

(6.2.79)

= g,

oder in äquivalenter Form 1

f(x) = g(x) - -.1g(x), n

(6.2.80)

und wir wollen wieder (6.2.56) nachweisen, also sup Ig(x)1 ~ sup If(x)l.

xElRd

(6.2.81)

xElRd

Wir betrachten wieder zuerst den Fall, wo 9 sein Supremum in einem Xo annimmt. Dann ist .1g(xo) ~ 0,

E ]Rd

und somit 1 sup g(x) = g(xo) ~ g(xo) - -.1g(xo) = f(xo) ~ sup f(x).

n

x

x

(6.2.82)

Falls 9 sein Supremum nicht annimmt, so wählen wir ein beliebiges Xo E Rd und betrachten zu jedem 'fJ > 0 die Funktion

gf/(x) := g(x) - 'fJ Ix Da

lim gf/(x) =

Ixl-+oo

xol 2 .

-00,

nimmt gf/ sein Supremum in einem xf/ E lR d an. Es gilt dann

also Wir erhalten dann für y E Rd

Da 'fJ > 0 beliebig klein gewählt werden kann, gilt somit für jedes y E R d

6.3 Brownsche Bewegung

139

g(y) :::; sup f(x), xEIR,l

also (6.2.81), wenn man das Infimum entsprechend behandelt. Die Lösbarkeit von (6.2.80) nach 9 für ein gegebenes f ist nun nicht mehr so leicht direkt nachzuweisen. Nach unseren vorherigen Betrachtungen wissen wir jedoch schon, daß Ll eine kontrahierende Halbgruppe erzeugt, nämlich die Wärmeleitungshalbgruppe, und die Lösbarkeit von (6.2.80) folgt daher aus Satz 6.2.2. Natürlich hätten wir auch (6.2.56) auf diese Weise folgern können, denn es ist leicht zu sehen, daß (6.2.56) auch eine notwendige Bedingung für die Erzeugung einer kontrahierenden Halbgruppe ist. Der gerade gegebene direkte Beweis war jedoch einfach und instruktiv genug, um ihn hier vorführen zu können.

6.3 Brownsche Bewegung Wir betrachten ein Teilchen, welches sich in einer Menge S, welche wir der Einfachheit halber als meßbare Teilmenge des !Rn annehmen wollen, nach folgenden Regeln bewegt: Die Wahrscheinlichkeit dafür, daß es sich, wenn es sich zur Zeit t im Punkte x befindet, zur Zeit s ~ t in der Menge E C S befindet, sei P(t,xi s, E). Hierbei gilt insbesondere

P(t,XiS,S) =1 P(t, Xi s, 0) = o. Diese Wahrscheinlichkeit soll nicht von den Positionen des Teilchens für Zeiten < t abhängen. Das Teilchen habe also kein Gedächtnis, oder, wie man auch sagt, der Prozeß habe die Markoveigenschaft. Dies bedeutet, daß für t < T :::; s die Chapman-Kolmogorov-Gleichung

P(t,XiS,E) =

fs P(T,YiS,E)P(t,xiT,y)dy

(6.3.1)

gilt. Hierbei ist P(t, Xi T, y) als Wahrscheinlichkeitsdichte aufzufassen, also P(t, Xi T, y) ~ 0 und J8 P(t, Xi T, y)dy = 1 für alle x, t, T. Wir wollen annehmen, daß der Prozeß zeitlich homogen ist, daß also P(t, Xi s, E) nur von (s-t) abhängt. Es ist dann also

P(t, Xi s, E)

=

P(O, Xi s - t, E)

=:

P(s - t, x, E)

und (6.3.1) wird zu

P(t + T, X, E) Wir formalisieren dies als

:=

fs P(T, y, E)P(t, x, y)dy.

(6.3.2)

140

6. Die Wärmeleitungsgleichung, Halbgruppen und Brownsche Bewegung

Definition 6.3.1. B sei eine a-additive Menge von Teilmengen von 8 mit 8 E B. Zu t > 0, xE 8 und E E B sei jeweils P(t, x, E) definiert mit

(i) P(t,x,E) ~ 0, P(t,x,8) = 1 (ii) P(t, x, E) ist a-additiv in E E B für alle t, x (iii) P(t, x, E) ist B-meßbar in x für alle t, E (iv) P(t+r,x,E) = JsP(r,y,E)P(t,x,y)dy (Chapman-Kolmogorov-Gleichung) für alle t, r > 0, x, E.

Dann heißt P(t, x, E) ein Markovprozeß auf (8, B). LOO(8) sei der Raum der beschränkten Funktionen auf 8. Für fE LOO(8),

t

> 0 setzen wir

(Td)(x) =

1s P(t,x, y)f(y)dy.

(6.3.3)

Aus der Chapman-Kolmogorov-Gleichung folgt die Halbgruppeneigenschaft

Tt +s = Tt oTs für t,s > O. Da nach (i) P(t, x, y)

~

(6.3.4)

0 und

1s P(t, x, y)dy = 1,

(6.3.5)

sup ITd(x)1 :::; sup If(x)1 ,

(6.3.6)

folgt auch xES

xES

also die Kontraktionseigenschaft. Damit Tt stetige Funktionen in ebensolche abbildet und damit {Tth~o eine stetige Halbgruppe definiert, müssen wir noch zusätzliche Annahmen machen. Wir betrachten der Einfachheit halber nur den Fall 8 = IR d .

Definition 6.3.2. Der Markovprozeß P(t, x, E) heißt räumlich homogen, falls für alle Translationen i : IR d -+ IR d

P(t,i(x),i(E)) = P(t,x,E).

(6.3.7)

Ein räumlich homogener Markovprozeß heißt Brownsche Bewegung, falls für alle f2 > 0 und alle x E IR d

. 11

11m t"..O

t

Ix-Yl > l!

P(t,x,y)dy = O.

(6.3.8)

Satz 6.3.1. B sei der Banachraum der beschränkten und gleichmäßig stetigen Funktionen auf dem IR d , versehen mit der 8upremumsnorm. P(t, x, E) sei eine Brownsche Bewegung. Wir setzen

(Td)(x):= { P(t,x, y)f(y)dy für t > 0

JR.t

Tof = f. Dann bildet

{Tt}t~o

eine kontrahierende Halbgruppe auf B.

6.3 Brownsche Bewegung

141

Beweis. Aus P(t, x, E) ~ 0, P(t, X, ]Rd) = 1 folgt, wie schon erläutert, die Kontraktionseigenschaft sup I(Td)(x)1 $ sup If(x)1

:z:EJRd

:z:ERd

für alle f

E

B, t

~

o.

(6.3.9)

Die Halbgruppeneigenschaft folgt, wie ebenfalls schon erläutert, aus der Chapman-Kolmogorov-Gleichung. i sei eine Translation des euklidischen Raumes. Wir definieren if(x) := f(ix) und erhalten

iTd(x) = Td(ix) = =

r P(t, ix, y)f(y)dy r P(t, ix, iy)f(iy)dy, JRd

JRd

weil d(iy) = dy für eine Translation, =

r P(t, x, y)f(iy)dy,

JRd

weil der Prozeß räumlich homogen ist, =Ttif(x), also

iTt = Tti.

Zu x, y

E ]Rd

existiert nun eine Translation i : ]Rd

(6.3.10) --+

IR d

ix = y. Es gilt dann

I(Td)(x) - (Td)(y)1 = I(Td)(x) - (iTd)(x)1 = 11t(f - if)(x)l· Weil f gleichmäßig stetig ist, folgt hieraus, daß Td ebenfalls gleichmäßig stetig ist, denn

!Tt(f - if)(x)1 =

11

$ sup z

P(t,x,z)(f(z) - f(iz»dzl If(z) - f(iz)1 ,

und wenn Ix - yl < 8, so ist auch Iz - izl < 8 für alle z E ]Rd, und 8 kann so gewählt werden, daß dieser Ausdruck kleiner als ein vorgegebenes c > 0 wird. Man beachte, daß diese Abschätzung nicht von tabhängt. Es bleibt die Stetigkeit in t zu zeigen. Es sei t ~ s. Wir betrachten für fEB

142

6. Die Wärmeleitungsgleichung, Halbgruppen und Brownsche Bewegung

ITd(x) - Tsf(x)1

für r := t - s,g:= Tsf

= IT'Tg(x) - g(x)1

= lid P(r,x,y)(g(y) - g(x))dyl

wegen ( P(t, x, y)dy = 1

S

1 1

JlRd

P(r,x,y)(g(y) - g(x))dy

Ix-yl~e

+

Ix-yl>e

S {

Jlx-YI~e

P(r,x,y)(g(y) - g(x))dy

P(r,x,y)(g(y)-g(x))dy

+2 sup If(z)ll zElRd

Ix-yl>e

P(r, x, y)dy

nach (6.3.9). Da wir schon gesehen haben, daß 9 = Tsf die gleichen Stetigkeitsabschätzungen wie f erfüllt, können wir zu gegebenem € > (J > so klein wählen, daß der erste Term kleiner als ~ wird. Für dieses (J können wir dann r so klein wählen, daß der zweite Term ebenfalls kleiner als ~ wird. Man beachte, daß r wegen der räumlichen Homogenität des Prozesses hierbei unabhängig von x und y gewählt werden kann. Damit ist gezeigt, daß {Tth>o eine stetige Halbgruppe bildet, und Satz 6.3.1 ist vollständig bewiesen. q.e.d.

° °

Ein Beispiel für eine Brownsche Bewegung wird durch den Wärmeleitungskern 1 jx_ yj 2 P(t,x,y) = - - - d e---U(6.3.11) (41l"t) ~ gegeben. Wir werden nun sehen, daß eine Brownsche Bewegung typischerweise so dargestellt werden kann.

Satz 6.3.2. P(t, x, E) sei eine Brownsche Bewegung, welche unter allen Isometrien i : IR d ~ IR d des euklidischen Raumes invariant ist, also P(t,i(x),i(E)) = P(t,x,E)

(6.3.12)

für alle euklidischen Isometrien i. Dann ist der infinitesimale Erzeuger der hierdurch definierten kontrahierenden Halbgruppe

A = c..1,

(6.3.13)

c = const. > 0, ..1 =Laplaceoperator, und diese Halbgruppe stimmt daher noch der Eindeutigkeitsaussage von Satz 6.2.3 bis auf eine Umparametrisierung von t mit der Wärmeleitungshalbgruppe überein. Genauer gilt

6.3 Brownsche Bewegung

P(t,x,y) =

1

1"-vI 2

143

(6.3.14)

de---rct.

(41l"ct) 2

Beweis. 1) B sei wieder der Banachraum der beschränkten, gleichmäßig stetigen Funktionen auf dem IRd , versehen mit der Supremumsnorm. Unsere Halbgruppe operiert nach Satz 6.3.1 auf B. Nach Satz 6.2.1 hat der infinitesimale Erzeuger einen in B dichten Definitionsbereich D(A). 2) Wir behaupten, daß auch D(A)nCoo(lR d ) dicht in B liegt. Hierzu betrachten wir wie in §1.2 Faltungen mit einem glatten Kern, also für f E D(A)

fr(x) = 1d r

= (

{

lad

J.a,j

(}

(IX -r YI) f(y)dy

wie in (1.2.6)

p(lzDf(x - Tz)dz.

(6.3.15)

Wegen der angenommenen 'franslationsinvarianz liegt mit f(x) auch die Funktion (irzf)(x) = f(x - TZ) für alle T > 0, z E IR d in D(A), und das entsprechende Kriterium, nämlich lim ~ ({ P(t, x, y)f(y - TZ) - f(x - TZ)) = 0, o t lJRd

t .....

gilt gleichmäßig in T, z. Indem man das vorstehende Integral durch Treppenfunktionen der Gestalt Lv cvf(x - TZ v ) approximiert (wobei wegen der Kompaktheit des 'frägers von p nur endlich viele Summanden auftreten), sieht man, daß mit fauch fr limt ..... otUJRdP(t,x,Y}fr(y}dy-fr(x)) = 0 erfüllt, also in D(A} liegt. Da fr für T > 0 in COO(lRd } liegt und für T ---7 0 gleichmäßig gegen f strebt, folgt die obige Behauptung. 3} Wir behaupten, daß eine Funktion

d

xix k 8xi :x k (O) 2 ~)xi)2 für alle x

E IR d .

(6.3.16)

i=l

Hierzu wählen wir 1/J E B mit ( 8'k J

und nach 2} eine Folge

1/J konvergiert. Dann ist

(f(v)}VEN

= {I für j = 0 sonst

k)

C D(A) n COO (lR d ), die gleichmäßig gegen

144

6. Die Wärmeleitungsgleichung, Halbgruppen und Brownsche Bewegung

=

:d f

p (IY

~ XI) ox~;xk 1/J(y) dy

durch Ersetzung der Ableitungen von p nach x durch solche nach y und anschließender partieller Integration

02

--+

oxjox k1/J(0)

für r

--+

°

= 28j k. Wir können daher cp = f~v) für geeignete v E N, r > 0 setzen, um (6.3.16) zu erreichen. Wegen der euklidischen Invarianz existiert dann auch zu jedem Xo E ]Rd eine Funktion aus D(A) n coo(]Rd), der Einfachheit halber wieder mit cp bezeichnet, mit . . k k 02cp "'.. 2 (x J - x~)(x - xo) oxjox k (xo) ?: ~(xJ - x~) für alle x

4) Es ist für alle Xo

{

Jlx-xol~r

E ]Rd,

j = 1, ... ,d, r

(x j - Xb)P(t,xo,x)dx

> 0, t >

= 0,

(xo

d

E]R .

(6.3.17)

°

= (x~, ... ,xg))

(6.3.18)

denn es sei die durch

i(x j - xb) = _(xi - xb) i(x k - x~) = x k - x~ für k

#- j

(6.3.19)

definierte euklidische Isometrie (Spiegelung an der durch Xo laufenden, zur j-ten Koordinatenachse senkrechten Hyperebene ). Dann ist

f

(xi - Xb)P(t, xo, x)dx =

Ix-xol~r

f

i(x j - xb)P(t,ixo,ix)dx

f

Ix-xol~r

(x j - Xb)P(t, xo, x)dx

Ix-xol~r

wegen (6.3.19) und der vorausgesetzten Invarianz von P, und hieraus folgt tatsächlich (6.3.18). Ebenso erhält man aus der Invarianz von P unter Drehungen des

{

Jlx-xol~r

(xi - xb)2 P(t, Xo, x)dx = {

Jlx-xol~r

(x k -

]Rd

X~)2 P(t, Xo, x)dx

6.3 Brownsche Bewegung

für alle Xo E JRd, r > 0, t > 0, j, k = 1, ... ,d

145

(6.3.20)

und schließlich auch wie (6.3.18)

1

(xi - xb)(x k

Ixo-xl:Sr

x~)P(t,xo,x)dx = 0

-

für j

f= k,

(6.3.21)

falls Xo E JRd, r > 0, t > 0, j,k E {l, ... ,d}. 5) Es sei cp E D(A) n C 2 (lR d ). Dann existiert

. 11 ~1 ~1 ~1

Acp(xo) = hm t'"O

= !im

t'"O

= lim

t'"O

t

lR,l

P(t,xo, x) (cp(x) - cp(xo))dx

t Ix-xol:Se t

P(t,xo,x)(cp(x) - cp(xo))dx nach (6.3.8) d

2)xi - Xb)

Ix-xol:Se i=l

+ lim

t'"O t

~ I)x i -

Ix-xol:Se 2 i,k

8 2 cp . 8xi 8x k (xo

+ T(X -

~(P (xo)P(t, Xo, x)dx

ux J

Xb)(x k

-

x~)

xo))P(t, Xo, x)dx

durch Taylorentwicklung für ein TE [0,1), da cp E C2(lRd). Der erste Term auf der rechten Seite verschwindet nach (6.3.18). Daher existiert der Limes t \, 0 des zweiten Terms, und aus (6.3.17) und pet, Xo, x) 2': 0 folgt, daß limsup ~ t'"O

t

1

Ix-xol:Se

2:(xi - Xb)2 pet, Xo, x)dx <

00.

(6.3.22)

Nach (6.3.8) hängt dieser Limes superior nicht von c > 0 ab, und ebensowenig der entsprechende Limes inferior. 6) Es sei nun I E D(A) n C 2 (lR d). Wie in 5) erhalten wir durch Taylorentwicklung von I um Xo 1

t

=~ t

=

~ t

(Td(xo) - I(xo))

r (f(x) - l(xo))P(t, Xo, x)dx

JJRd

1

(f(x) - l(xo))P(t,xo,x)dx

11 ",.. 81 Ix-xol>e

+t

~(xJ Ix-xol:se i

xf,)!l i (xo)P(t, Xo, x)dx uX

146

6. Die Wärmeleitungsgleichung, Halbgruppen und Brownsche Bewegung

11

1", · k k 82 f - L)x3 -.~)(x - xo) a ia k (xo)P(t, xo, x)dx Ix-xol$e 2 i,k X X

+t

+~ {

L(xi - :r{)(xk

t J1x-xol$e i,k

-

X~)O"ii(e)P(t, xo, x)dx

(wobei wir in der Notation die x-Abhängigkeit des Restterms O"ii(e) unterdrücken, da dieser für e -+ 0 gleichmäßig in x gegen 0 strebt, da fE C 2 (lRd )) =

1 '" +-11 +~ 1 ~ t

Ix-xol>e

(J(x) - f(xo))P(t, Xo, x)dx

.. j2 (882i)2(x f O)P(t,xo,x)dx L)Xi -XO) t Ix-xol$e i x

t

L(xi - :r{)(xk

Ix-xol$e j,k

-

X~)O"ii(e)P(t, Xo, x)dx

nach (6.3.18), (6.3.21).

(6.3.23)

Der erste Term auf der rechten Seite strebt nach (6.3.8) für jedes e > 0 für -+ 0 gegen O. Wegen (6.3.22) und lime ..... oO"ii(e) = 0 (da f E C 2 ) strebt dagegen der letzte Term für e -+ 0 und jedes t > 0 gegen O. Da wir aber am Ende von 5) beobachtet haben, daß wir beim zweiten Term auf der rechten Seite Grenzübergänge unabhängig von e vollziehen können, erhalten wir für alle e > 0 die Existenz von

t

. -1 hm

t~O t

1 "'. Ix-xol$e

~(X3

i 2 (>18 2i)2 f (xo)P(t, xo, x)dx = Af(xo), - xo) uX

(6.3.24 )

wenn wir auch auf der linken Seite von (6.3.23) den Grenzübergang t durchführen. Da wir mit dem Argument aus 3) sehen, daß

-+

0

82 f

(8X i )2 (xo)

für f E D(A) beliebige Werte approximieren kann, folgt insbesondere die Existenz von lim

t~O

~

{

t J1x-xol$e

L(xj

-

x~)2 P(t, Xo, x)dx

unabhängig von e. Nach (6.3.20) existiert dann auch für jedes j = 1, ... ,d

11

.'

lim (x 3 - x~)2p(t,xo,x)dx t Ix-xol$e

t~O

und dieser Limes ist unabhängig von j und wegen der Translationsinvarianz auch unabhängig von Xo. Wir bezeichnen ihn daher mit c. Nach (6.3.24) gilt dann

6.3 Brownsche Bewegung

147

Af(xo) = cLlf(xo). Der Rest ergibt sich aus Satz 6.2.3.

q.e.d.

Bemerkung. Falls man nur die räumliche Homogenität, also die Translationsinvarianz, nicht aber die Invarianz unter Spiegelungen und Drehungen voraussetzt, so ist der infinitesimale Erzeuger immer noch ein Differentialoperator zweiter Ordnung, und zwar gilt

mit

also insbesondere ajk

und

= a kj , a jj ~ 0 für alle j, k

iJi(x)=lim~l t'-,O t

ly-xl:5e

(yj-xj)P(t,x,y)dy,

wobei die Limites wiederum unabhängig von c > 0 sind. Der Beweis folgt mit den gleichen Methoden wie derjenige von Satz 6.3.2. Eine Referenz für dieses Kapitel ist Yosida[12].

Zusammenfasssung Die Wärmeleitungsgleichung erfüllt eine Markoveigenschaft in dem Sinne, daß die Lösung u(x, t) zur Zeit tl +t2 mit Anfangswerten u(x, 0) = f(x) gleich der Lösung der Wärmeleitungsgleichung zur Zeit t2 mit Anfangswerten u(x, tl) ist. Setzt man (Pd)(x) := u(x, t), so gilt also

(Pt1 +t2 f)(X) = Pt2 (Pt J)(x), d.h. Pt erfüllt die Halbgruppeneigenschaft

{Pdt~o ist auch stetig auf dem Raum

CO in dem Sinne, daß

148

6. Die Wärmeleitungsgleichung, Halbgruppen und Brownsche Bewegung

für alle to ~ 0 (insbesondere auch für to = 0 mit Po = I d) gilt. Weiterhin ist Pt wegen des Maximumprinzips kontrahierend, d.h.

IlPdlleo ::; II/lleo

für t ~ 0, / E Co.

Der infinitesimale Erzeuger der Halbgruppe Pt ist der Laplaceoperator, d.h. Ll

= lim ~(Pt - Id). t""O

t

Auf diesen Eigenschaften läßt sich eine abstrakte Theorie von Halbgruppen in Banachräumen begründen. Der Satz von Hille-Yosida besagt, daß ein linearer Operator A : D(A) --+ B mit in dem Banachraum B dicht liegendem Definitionsbereich D(A) und der Voraussetzung, daß Id - ~A für alle n E N invertierbar ist und !I(Id - .!.A)-l!l ::; 1 n gilt, eine eindeutig bestimmte kontrahierende Halbgruppe von Abbildungen T t : B --+ B (t ? 0) erzeugt. In einer stochastischen Interpretation betrachtet man die Wahrscheinlichkeitsdichte P(t, x, y) dafür, daß sich ein Teilchen, welches sich bei einer Irrfahrt zu einem bestimmten Zeitpunkt im Punkte x befunden hat, zu einer um t späteren Zeit im Punkte y befindet. Dies begründet einen Markovprozeß, insofern als diese Wahrscheinlichkeitsdichte nur von der Zeitdifferenz zwischen den beiden Zeitpunkten abhängt, nicht aber von den absoluten Werten der jeweiligen Zeitpunkte. Insbesondere 'hängt P(t, x, y) auch nicht davon ab, in welchen Punkten sich das Teilchen vor dem Erreichen von x aufgehalten hat (Irrfahrt ohne Gedächtnis). Eine solche Irrfahrt auf der Menge S erfüllt dann die Chapman-Kolmogorov-Gleichung

und konstituiert somit eine Halbgruppe. Ein solcher Prozeß auf dem lRn , welcher räumlich homogen ist und

~

r

t J1x-yl>p

P(t,x,y)dy=O

für alle p > 0 und alle x E lR d erfüllt, heißt Brownsche Bewegung. Man zeigt dann, daß eine solche Brownsche Bewegung bis auf einen Skalierungsfaktor c durch unseren Wärmeleitungsprozeß gegeben ist, also

Übungen

149

Übungen 6.1 Es sei gleichung

f E C°(lRd) beschränkt, u(x, t) die Lösung der WärmeleitungsUt(x, t) = Llu(x, t) u(x,O) = f(x).

für x E JRd, t

>

°

Dann gilt für die Ableitungen von u

a

laxju(x,t)1

s const.suplfl·r l / 2 .

(Hinweis: Benutzen Sie die Darstellungsformel (4.2.3) aus § 4.2.) 6.2 Wie in § 6.2 betrachten wir eine stetige Halbgruppe exp(tA) : B

-+

(t 2:: 0), B Banachraum.

B

BI sei ein weiterer Banachraum, und für t

exp(tA) : BI

°

> sei -+

B

definiert, und es gelte für 0 < t S 1 und alle cp E BI

Schließlich sei eine Lipschitzstetige Abbildung. Zeigen Sie, daß dann für jedes f existiert, daß die Evolutionsgleichung

av at

E

Bein T > 0 mit der Eigenschaft

= Av + p(v(t)) v(O)

für t > 0

=f

eine eindeutige, stetige Lösung v : [0, Tl -+ B besitzt. (Hinweis: Wandeln Sie das Problem um in die Integralgleichung

v(t) = exp(tA)f +

l

t

exp((t - s)A)p(v(s)) ds

und verwenden Sie (wie beim üblichen Beweis des Satzes von Picard-Lindelöf über gewöhnliche Differentialgleichungen) den Banachschen Fixpunktsatz, um eine Lösung dieser Integralgleichung zu bekommen.)

150

6. Die Wärmeleitungsgleichung, Halbgruppen und Brownsche Bewegung

6.3 Wenden Sie die Resultate der Aufgaben 1), 2) auf das Anfangswertproblem für die folgende semilineare parabolische Differentialgleichung an: au(x, t)

ot

= Llu(x, t)

+ F(t, x, u(x), Du(x))

d

für x E lR ,t

>0

u(x,O) = f(x), für f E CO(lR d ) mit kompaktem Träger. F sei hierbei glatt in allen Argumentell. 6.4 I\lan beweise die in der Bemerkung am Ende von § 6.3 angesprochene Aussage.

7. Das Dirichletsche Prinzip. Variationsmethoden zur Lösung partieller Differentialgleichungen (Existenzverfahren 111)

7.1 Das Dirichletsche Prinzip Wir betrachten wieder das Dirichletproblem für harmonische Funktionen u : n ---+ IR, n E IR d Gebiet:

du = 0 in n u = f auf an

(7.1.1)

mit vorgegebenem f. Das Dirichletsche Prinzip beruht auf der folgenden Beobachtung: Es sei u E C 2 (n) eine Funktion mit u = f auf an und

!n 1'Vu(x)1 2 dx

= min {!nI'VV(X)1 2 dx : v : n ---+ IR mit v = f

auf an}

.

(7.1.2) Dann, so behaupten wir nun, ist u eine Lösung von (7.1.1). Zum Beweis sei

und nach (7.1.2) hat die Funktion

a(t) := 11'V(u + t1])(x)1 2 dx ein Minimum bei t = 0, denn u + t1] = Ausgeschrieben ist

a(t) = !n 1'Vu(x)1 2 dx

f auf an, da 1] auf an verschwindet.

+ 2t !n 'Vu(x) . 'V1](x)dx + t 2 !n1'V 1J (x)1 2 dx.

(7.1.3)

a ist also insbesondere differenzierbar in t, und die obige Minimalität bei = 0 impliziert a(O) = O. (7.1.4)

t

Nach (7.1.3) folgt hieraus 1

CO"(A) := {

J. Jost, Partielle Differential-gleichungen © Springer-Verlag Berlin Heidelberg 1998

152

7. Existenzverfahren III

In V1u{x)· V1.,,{x)dx = 0

(7.1.5)

und zwar für alle." E C~ (S"l). Integrieren wir nun (7.1.5) partiell, so erhalten wir

In

Llu{x).,,(x)dx = 0 für alle."

E

C~{n).

(7.1.6)

Wir erinnern nun an das folgende wohlbekannte und einfach zu beweisende

Lemma 7.1.1. gE cO{n) erfülle

In g{x).,,{x)dx = 0 für alle."

E

Dann ist 9 == 0 in fl.

co{n). q.e.d.

Wenden wir Lemma 7.1.1 auf (7.1.6) an (was wir dürfen, da wegen unserer Annahme, daß u E C 2 {fl) ist, Llu E CO(fl) ist), so folgt also tatsächlich

Llu{x) = 0 in fl, wie behauptet. N ach dieser Beobachtung liegt es nun nahe, zu versuchen, das sogenannte Dirichletintegral

D{u)

:=

InIV1u{x)1 2 dx

(7.1. 7)

in der Klasse aller Funktionen u : {} -+ IR mit u = j auf an zu minimieren. Dies ist das Dirichletsche Prinzip. Nun ist es aber keineswegs evident, daß das Dirichletintegral überhaupt in der genannten Funktionsklasse sein Infimum annimmt. Hierin liegt die wesentliche Schwierigkeit des Dirichletschen Prinzips. Überhaupt haben wir auch noch gar nicht näher spezifiziert, welche Funktionen u : {} -+ IR (mit den vorgegebenen Randwerten) wir überhaupt zulassen wollen, z.B. Funktionen der Klasse COO, was insofern naheliegen würde, als, wie schon in Kapitel 1 bewiesen, jede Lösung von (7.1.1) automatisch von der Klasse Coo{fl) ist, der Klasse C2, was natürlich wäre, weil dann die Differentialgleichung Llu{x) = 0 vernünftig gestellt ist, oder der Klasse Cl, weil dann wenigstens (zumindest bei beschränktem fl und genügend regulärem j, z.B. j E Cl) das Dirichletintegral D{u) endlich ist. Sollen wir überhaupt versuchen, D{u) in einem möglichst großen Funktionenraum zu minimieren, damit die Chance, daß eine Minimalfolge einen Limes in diesem Raum besitzt, der dann ein guter Kandidat für ein Minimum ist, möglichst groß ist, oder sollen wir besser einen möglichst kleinen Funktionenraum verwenden, damit der Nachweis der Minimalität eines Kandidaten leichter fällt? Um diese Frage zu klären, betrachten wir eine Minimalfolge {Un)nEN für D, also

7.1 Das Dirichletsche Prinzip

lim D(u n ) = inf {D(v): v: D ~ lR,v =

n ..... oo

f

auf öD} =:

K,

153

(7.1.8)

wobei wir selbstverständlich U n = f auf öD für alle U n voraussetzen. Um Eigenschaften einer solchen Minimalfolge aufzufinden, werden wir das folgende einfache Lemma benutzen:

Lemma 7.1.2. Das Dirichletintegral D ist konvex, d.h.

D(tu + (1 - t)v) S tD(u) + (1 - t)D(v)

(7.1.9)

für alle u,v und alle tE [O,lj.

Beweis.

In S In

D(tu + (1 - t)v) =

ItV'u + (1 - t)V'vI 2 {t lV'ul 2

+ (1 -

t) lV' v I2 }

wegen der Konvexität von w = tD(u)

I->

Iwl 2

+ (1 - t)Dv q.e.d.

Es sei also nun (Un)nEN eine Minimalfolge. Dann ist

D(u n

-

um)

r

= Jn 1V'(un - um)1 2' = 2

In

lV'unl2

+2

In

lV'uml2

-

4

In

IV'( u n

~ um)

2

1

(7.1.10) Nun gilt v n,

S D

(u

n

+2 um)

1 S iD(u n ) ~ K

nach Definition von

1

+ iD(um)

für n, m ~

00

K

c( 7.1.8 ))

nach Lemma 7.1.2 nach Wahl von (un)als Minimalfolge. (7.1.11)

Hieraus folgt nun, daß die rechte Seite von (7.1.10) für n, m ~ 00 gegen 0 strebt, mithin auch die linke Seite. Dies bedeutet, daß (V'Un)nEN eine Cauchyfolge in der Topologie des Raumes L 2 (D) ist. (Da V'u n d Komponenten hat, also vektorwertig ist, ist das so zu verstehen, daß W;t für i = 1, ... , deine

154

7. Existenzverfahren III

Cauchyfolge in L 2 (il) bildet.) Weil L 2 (il) ein Hilbertraum und daher insbesondere vollständig ist, strebt V'u n also gegen ein w E L 2 (il). Es stellt sich nun die Frage, ob wals Gradient V'u einer Funktion u : il -+ lR dargestellt werden kann. Da wir aber im Moment nur wissen, daß w E L 2 ( il) ist, ist also auch nicht klar, welche Regularitätseigenschaften u besitzen könnte. Jedenfalls legt die vorstehende Überlegung es aber nahe, zunächst ein Minimum von D in dem Raum derjenigen Funktionen v : il -+ lR, deren Gradient in L2(il) liegt, zu suchen. In einem nachfolgenden Schritt wäre dann die Regularität eines Minimums u zu klären. In diesem Schritt wäre als Grundlage die unverändert gültige Beziehung (7.1.5), also

In

V'u(x) . V''Tl(x)dx

= 0 für alle 'Tl E Co(il)

(7.1.12)

zu nehmen. Nach Korollar 1.2.1 folgt hieraus schon, daß u E COO(il) ist. Wir werden im vorliegenden Kapitel das Problem jedoch allgemeiner aufrollen. Die gerade skizzierte Aufspaltung des Problems in zwei Teilschritte, nämlich zuerst der Beweis der Existenz eines Minimums und dann der Nachweis von dessen Regularität, erweist sich in der Tat als fruchtbarer Ansatz, wie nachfolgend detailliert werden soll. Hierzu ist zunächst der vorstehend beschriebene Funktionenraum genauer zu studieren. Dies soll im nächsten § geschehen.

7.2 Der Sobolevraum W Definition 7.2.1. Es sei u von u in Richtung xi (x

E

1 ,2

Lloc(il). v

= (xl, ... ,xd )

r
in

= _

E

Lloc(il) heißt schwache Ableitung

E IR d ), falls

ru axta
in

dx

(7.2.1)

für alle

u heißt schwach differenzierbar, falls u für jedes i E {I, ... ,d} eine schwache Ableitung in Richtung xi besitzt. Offensichtlich ist jedes u E Cl (il) schwach differenzierbar, und die schwachen Ableitungen sind gerade die gewöhnlichen Ableitungen. (7.2.1) ist dann die Regel für partielle Integration. Die Möglichkeit der partiellen Integration ist also die Grundlage des Begriffs der schwachen Ableitung. Lemma 7.2.1.

U

E

Lloc(il), v = Diu existiere. Ist dist(x, ail) > h, so gilt Di(Uh(X)) = (Diu)h(X).

2

c~(!]) := {f E Ck(fl) : der Abschluß von {x : f(x) '" O} ist eine kompakte Teilmenge von fl} (k = 1,2, ... ).

7.2 Der Sobolevraum W 1,2

155

Beweis. Durch Differentiation unter dem Integralzeichen

nach (7.2.1)

q.e.d. Aus den Lemmata A.3 und 7.2.1 sowie (7.2.1) folgt

Satz 7.2.1. Es seien u,v

E L 2(n). Dann ist

v = Diu genau dann, wenn es ein Folge (u n ) C COO(n) mit Un

-t

u, 88 Un xt

-t

v in L 2(n) gibt.

q.e.d. Definition 7.2.2. Der Sobolevraum W 1 ,2(n) ist definiert als der Raum derjenigen u E L 2(n), die in jeder Richtung Xi (i = 1, ... , d) schwache Ableitungen aus L 2(n) besitzen. In W 1 ,2(n) definieren wir durch

und

1

Ilullwl.2(!J) := (u,u)~!1.2(!J)

ein Skalarprodukt und eine Norm. Wir definieren auch Hl,2(n~ als den Abschluß von COO(n) n W 1 ,2(n) bezüglich der W 1,2-Norm, und H O,2(n) als den Abschluß von CIf(n) bezüglich dieser Norm.

Korollar 7.2.1. Wl,2(n) ist vollständig bezüglich 11·ll w l.2, also ein Hilbertraum. Wl,2(n) = Hl,2(n). Beweis. Es sei (Un)nEN eine Cauchyfolge in Wl,2(n). Dann sind (Un)nEN, (Diun)nEN (i = 1, ... ,d) Cauchyfolgen in L2(n). Weil L2(n) vollständig ist, existieren u, Vi E L 2 (n) mit U n - t U,

Nun ist für 4J E

cJ(n)

Diun

-t

Vi

in L 2 (n)

(i = 1, ... ,d).

156

7. Existenzverfahren III

f

f

Diun · 4J = -

un Di 4J,

und die linke Seite konvergiert gegen JVi . 4J, die rechte gegen - Ju . D i 4J. Also ist Diu = Vi und daher u E W I ,2(n). Dies beweist die Vollständigkeit. q.e.d. Die Gleichheit HI,2(D) = WI,2(D) folgt direkt aus Satz 7.2.1. Korollar 7.2.1 beantwortet insbesondere eine der in § 7.1 aufgeworfenen Fragen, daß nämlich die dortige Funktion wals Gradient einer L2-Funktion dargestellt werden kann. Beispiele: D = (-1,1) C lR.

(i) u(x) := lxi Dann ist u E W I ,2((_I, 1)) und Du(x) denn es ist für jedes 4J E

1 0 -1

I

fürO<x<1 für -1 < x< 0,

= { -1

CJ«

-1,1))

-4J(x)dx + (I 4J(x)dx

Jo

=

-11

4J'(x) ·Ixl dx.

-1

(ii) u(x) := {I für 0 ~ x < 1 o für-l<x
jl 4J(x). Odx

= _

-1

ji 4J'(x)u(x)dx

= _

-1

(I 4J'(x)dx = 4J(O).

Jo

Bemerkung. Jedes u E Lloc(il) definiert eine Distribution (vgL §1.1) I,. durch

I,.[c,o] :=

In

u(x)c,o(x)dx für c,o E Co(il).

Jede Distribution I besitzt nun distributionelle Ableitungen Dil, i definiert durch

Ist

'U

= Diu E Lloc(il) die schwache Ableitung von u, so ist

Dil,. = Lv, denn lv[c,o) = ( DiU(X)c,o(x)dx = - [ u(x) 88c,o. (x)dx = Dil,.[c,o)

~

für alle c,o E Co(D).

~

~

= j .•• ,

d,

7.2 Der Sobolevraum W 1,2

157

Während aber die distributionelle Ableitung Dil u stets existiert, braucht die schwache Ableitung Diu nicht zu existieren. Daher ist La. die distributionelle Ableitung Dil u nicht von der Form Iv für ein v E Lfoc(il), d.h. nicht durch eine lokal integrierbare Funktion repräsentiert. Dies ist auch die Sachlage in Beispiel 2. Hier ist Dl u = 80 , die Deltadistribution im Nullpunkt, denn es ist

Dlu[cp] = -lu[cp']

= -

Jl

-1

cp'(x)dx

=

-11 0

cp'(x)dx

=

cp(O).

Die Deltadistribution ist aber nicht durch eine lokal integrierbare Funktion v darstellbar, denn es gibt, wie man sich leicht überlegt, keine Funktion v E L[oc(( -1,1)) mit

[lI v(x)cp(x)dx = cp(O)

für alle cp E Cgo(il).

Dies erklärt gerade, warum U aus Beispiel 2) nicht schwach differenzierbar ist. Wir beweisen nun ein Ersetzungslemma, welches eine typische Eigenschaft von Sobolevfunktionen zum Ausdruck bringt.

Lemma 7.2.2. Es sei ilo ce il, 9 E W 1,2(il), U E W1. 2(ilo), U - 9 E HJ,2(ilo). Dann ist v x ._ {u(x) x E ilo ( ).- g(x) x E fl \ flo

in W 1,2(fl) und D.v(x) _ {DiU(X) t Dig(x)

xE flo

xEil\flo '

Beweis. Nach Korollar 7.2.1 existieren gn gn

---+

E

COO(fl), Un E COO(flo) mit

9 in W 1,2(fl)

Un ---+ U in W 1 ,2(flo) Un - gn

= 0

auf 8flo·

Wir setzen

i( ).={D;Un(X) xEflo wnx. Dign(x) xEil\ilo '

un(x) vn(x):= { gn(x) i( )._ {DiU(X) w X.- Dig(x) Dann ist für cp E CJ(fl):

xE XE

flo

fl \ flo

X E flo xE fl\il o '

(7.2.2)

158

7. Existenzverfahren III

r ipW~ JnroipW~ + Jn\n r oipW~

Jn

=

= =

r ipDiun +1n\noipDign

Jno

-1

no

unDiip

-1

n\no

gnDiip

weil die aus den beiden Integralen durch partielle Integration entstehenden Randterme engegengesetztes Vorzeichen haben und sich daher wegen gn = U n auf ano wegheben = -L vnDiip

Nun gilt für n

~

00

wegen (7.2.2) .

1ipW~ ~ 1

L n

vnDiip

~

ipDiu +

L no

1

n\no

ipDig

vDiip,

und die Behauptung folgt.

q.e.d.

Das nächste Lemma ist eine Version der Kettenregel für Sobolevfunktionen. Lemma 7.2.3. Es sei U E

w 1•2 (n), f

E

Cl(lR),

supl!'(y)1 < 00. yEIR

Dann ist f f'(u)Du.

0 U

E W 1 •2 (n), und für die schwachen Ableitungen gilt DU 0 u) =

Beweis. Es sei U n E COO(n), U n ~ u in

w 1•2 (n) für n ~ 00. Dann

und LI!' (un)Dun - f' (u)DuI 2 dx S 2 sup 1f'1 2 LIDun - Dul 2 dx +2LI!'(un ) - !,(u)1 2 IDuI 2 dx.

Nach einem bekannten Satz über L2-Funktionen konvergiert nach Auswahl einer Teilfolge U n punktweise fast überall in n gegen u. Weil f' stetig

7.2 Der Sobolevraum W 1 ,2

159

ist, konvergiert auch f'(u n ) punktweise fast überall gegen f'(u), und weil f' auch beschränkt ist, strebt das letzte Integral daher nach dem Lebesgueschen Satz über dominierte Konvergenz für n -+ 00 gegen Null. Also und und daher f

D(f(u n )) = !,(un)Du n -+ f'(u)Du in L2(n) 0

u

E

W 1 ,2(n) und D(f 0 u) = f'(u)Du.

q.e.d.

Wir beweisen nun die Poincare-Ungleichung:

Satz 7.2.2. Für u E Ht,2(n) gilt (7.2.3)

wobei Inl das (Lebesguesche) Maß von n und Wd das Maß der Einheitskugel im IR d ist. Insbesondere ist also für u E H~,2(n) die Wl,2_Norm durch die L 2-Norm von Du kontrolliert:

Beweis. Es sei zunächst u E cJ(n)j wir setzen u(x) = 0 für x E IRd \ n. Für w E IR d mit Iwl = 1 gilt dann nach dem Fundamentalsatz der Differentialund Integralrechnung durch Integration längs des Strahles {rw : 0 $ r < oo} u(x) = -

1

00

0

0

8r u(x + rw)dr.

Durch Integration bezüglich w folgt hieraus wie im Beweis von Satz 1.2.1

u(x) = -dw 1

11 11 00

d

= -dw1

d

-8 8 u(x+rw)dwdr

Iwl=l r

0

00

8B(x,r)

0

r

1 (1 = - dwd Ix _ yld-l

in

1 -8 8u (z)dO"(z)dr d-l

v

d

~

..

8 x· - y' oyiU(Y) Ix _ yl dy

(7.2.4)

und daher mit der Schwarzsehen Ungleichung

11nix - 1

lu(x)1 $ dw Wir benötigen nun

d

yl

d-l 'IDu(y)1 dy.

(7.2.5)

7. Existenzverfahren III

160

Lemma 7.2.4. Für fE U(n), 0< J.L S 1 sei

(VJ.lf)(x) := !nIX - yld(J.I-l) f(y)dy. Dann ist

IIVJ.lfll L2 (n) S .!.w~-J.llnIJ.lllfllL2(n) . J.L

Beweis. B(x, R) := {y E IR d : Ix - Yl SR}. R sei so gewählt, daß Inl = IB(x, R)I = wdRd ist. Weil dann

In \ (n n B(x, R))I =

IB(x, R) \ (n

n B(x, R))I

ist und

Ix - Yld(J.I-I) S Rd(J.I-l) für Ix - Yl 2: R, Ix - yld(J.I-I) 2: Rd(J.I-I) für Ix - yl

s Rist,

folgt

(7.2.6) Wir schreiben nun

Ix - Yld(J.I-l) If(y)1 = (Ix - YI~(J.I-l») (Ix - YI~(J.I-l) If(Y)I) und erhalten durch Anwendung der Cauchy-Schwarz-Ungleichung

I(VJ.lf)(x) I S

!nIx - yld(J.I-l) If(y)1 dy 1

S (!nIx - Yld(J.I-l) dY) :'I (!nIx _ yld(J.I-l) If(y)1 2 dY)

1

:'I

und daher

{ IVJ.lf(x)1 2 dx

in

s .!.w~-J.llnIJ.l J.L

{

( Ix - yl d(J.I-l)lf(y)1 2 dydx

in in

durch Abschätzung des ersten Integrals der vorhergehenden Ungleichung mit (7.2.6)

s (lw~-J.l,n,J.l) 2!n lf (Y)1 2dy durch Vertauschung der Integrationen bzgl. x und Y und abermalige Anwendung von (7.2.6), woraus dann die Behauptung folgt.

q.e.d.

7.3 Schwache Lösungen der Poissongleichung

161

Wir können nun den Beweis von Satz 7.2.2 vollenden: Wenden wir auf die rechte Seite von (7.2.5) Lemma 7.2.4 mit J.L = ~ und f = IDul an, so erhalten wir (7.2.3) für U E CJ(D). Da nun nach Definition von H~,2(D) CJ(D) dicht in diesem Raum liegt, können wir U in der H 1 ,2_ Norm durch eine Folge (Un)nEN C CJ(D) approximieren. U n konvergiert also in L 2 gegen u, und DUn gegen Du. Daher überträgt sich die schon für alle U n als gültig nachgewiesene Ungleichung (7.2.3) auf u. q.e.d.

Bemerkung. Die Voraussetzung, daß U E H~,2(D) und nicht nur aus H 1 ,2(D) ist, ist wesentlich für Satz 7.2.2, da die Konstanten =f. 0 sonst ein Gegenbeispiel bilden würden. Man kann allerdings die Voraussetzung U E H~,2(D) durch eine andere Voraussetzung ersetzen, die Konstanten =f. 0 ausschließt, u(x)dx = O. z.B.

In

7.3 Schwache Lösungen der Poissongleichung Es sei D wie vorher eine offene und beschränkte Teilmenge des IRd , 9 E Hl,2(D). Mit den im vorigen Kapitel eingeführten Begriffsbildungen betrachten wir nun die folgende Fassung des Dirichletschen Prinzips. Man suche eine Lösung von

.du = 0 in D u = 9 auf aD

(im Sinne u - 9 E H~,2(D))

auf, indem man das Dirichletintegral

unter allen v E H 1 ,2(D) mit v - 9 E H~,2(D) minimiert. Wir wollen uns kurz überlegen, daß dies Verfahren tatsächlich funktioniert. Es sei

und

(Un)nEN

sei eine Minimalfolge, also U n - 9 E H~,2(D),

Wir hatten uns schon in § 7.1 überlegt, daß für eine Minimalfolge (Un)nEJII die Folge der (schwachen) Ableitungen (DUn) eine Cauchyfolge in L 2 (D) ist. Aus Satz 7.2.2 folgt

lIun - um llL2(n)

::;

const·IIDun - Du m llL2(n)

.

162

7. Exist.enzverfahren III

Daher bildet (u n ) auch eine Cauchyfolge in L 2 (ft). Insgesamt konvergiert (U l1 )nEflI also in W 1 ,2(ft) gegen ein u. U erfüllt dann

sowie

u - g E H~,2(ft), da H~,2(ft) ein abgeschlossener Unterraum von W 1 ,2(ft) ist. Außerdem ist für jedes v E H~,2(ft), t E IR mit Du· Dv := 2::1=1 Diu . Div Il.

s;

in

jD(u

+ tv)j2 =

in

jDuj2

+ 2t

in

Du· Dv + t 2

in

jDvj2

und durch Differentiation nach t an der Stelle t = 0 folgt 0=

~

in

jD(u + tv)j2 jt=o = 2

in

Du· Dv

für alle v E

H~,2(ft).

Definition 7.3.1. u E H 1,2(ft) heißt schwach harmonisch oder schwache Lösung der Laplacegleichung, lalls

in

Du· Dv = 0 lür alle v E

H~,2(ft)

ist.

(7.3.1)

Offensichtlich erfüllt eine harmonische Funktion (7.3.1). Um durch Anwendung des Dirichletschen Prinzips eine harmonische Funktion gewinnen zu können, hat man nun umgekehrt zu zeigen, daß eine Lösung von (7.3.1) zweimal stetig differenzierbar und daher insbesondere harmonisch ist. Im vorliegenden Fall folgt dies direkt aus Korollar 1.2.1:

Korollar 7.3.1. Jede schwach harmonische Funktion ist harmonisch und glatt. Insbesondere erhält man also durch Anwendung des Dirichletschen Prinzips eine harmonische Funktion. Der Beweis von Korollar 1.2.1 beruht auf der Rotationsinvarianz des Laplaceoperators und ist daher nicht verallgemeinerungsfähig. Wir wollen daher Lf. einen allgemeineren Zugang zur Regularitätstheorie entwickeln. Bevor wir uns aber dieser Regularitätstheorie zuwenden, wollen wir im Rahmen der hier skizzierten Theorie eine allgemeinere Situation behandeln:

Definition 7.3.2. Es sei I E L 2(ft). u E H 1 ,2(ft} heißt schwache Lösung der Poissongleichung..1u = I, lalls lür alle v E H~,2(ft)

in

Du . Dv +

in

Iv = 0

ist.

(7.3.2)

7.3 Schwache Lösungen der Poissongleichung

163

Bemerkung. Für vorgegebene Randwerte g (im Sinne von u - g E H~·2(Sl)) kann eine Lösung durch Minimieren von

~

2

r IDwl

in

2

+

r Jw

in

in der Klasse aller w E H 1 ,2(Sl) mit w - g E H~,2(Sl) gewonnen werden. Man beachte, daß dieser Ausdruck wegen der Poincare-Ungleichung (Satz 7.2.2) nach unten beschränkt ist, weil wir feste Randwerte g vorausgesetzt haben.

Lemma 7.3.1 (Stabilitätslemma). Es seien von .dui = Ii mit Ul - U2 E H~,2(Sl). Dann gilt

Insbesondere ist eine schwache Lösung von.du bestimmt.

Ui=l,2,

schwache Lös1L1tgen

= J, u-g E HJ·2(Sl) eindeutig

Beweis. Es gilt

daher insbesondere

In

D(Ul - u2)D(Ul - U2) =

-In

(h - h)(Ul - U2)

:s Ilh - hllu(n) Ilul - u21l u (fll :s const·llh - hllu(n) IIDul - D1L21Iu(n) nach Satz 7.2.2 und folglich

Die Behauptung folgt dann durch erneute Anwendung von Satz 7.2.2.

q.e.d.

Wir haben also die Existenz und Eindeutigkeit schwacher Lösungen der Poissongleichung auf sehr einfache Weise erhalten. Die Aufgabe der Regularitätstheorie besteht dann darin, zu zeigen, daß (für genügend gutes f) eine schwache Lösung schon von der Klasse C2, also auch eine klassische Lösung von .d1L = fist. Wir werden drei verschiedene Methoden vorstellen, und zwar die sogenannte L 2 _Theorie, die Theorie der starken Lösungen und die CCt_ Theorie. Die L 2 _Theorie findet sich in Kapitel 8, die zweite Theorie in Kapitel 9 und die CCt-Theorie in Kapitel 10.

164

7. Existenzverfahren III

1.4 Quadratische Variationsprobleme Es stellt sich die Frage, ob sich das Dirichletsche Prinzip auch verallgemeinern läßt, um Lösungen von anderen Differentialgleichungen zu bekommen. Allgemein muß natürlich ein Minimum u eines Variationsintegrals die zugehörigen Euler-Lagrangeschen Gleichungen erfüllen, zunächst im schwachen Sinne, und wenn u regulär ist, auch im gewöhnlichen Sinne. Allerdings ergeben sich im allgemeinen Fall bei der Regularitätstheorie Schwierigkeiten, und schwache Lösungen von Euler-Lagrange-Gleichungen brauchen La. nicht regulär zu sein. Wir beschränken uns daher auf quadratische Variationsprobleme und betrachten

I(u),~ In

Lt,

+2

t,

,,;,(x)D,u(x)D,u(x) b,(x)D,u(x)u(x) + c(x)u(x)' } dx.

(7.4.1)

Wir fordern hierbei die Symmetrie aij = aji für alle i, j. Außerdem sollen die Koeffizienten aij(x), bj(x), c(x) alle beschränkt sein. Dann ist I(u) für u E H 1,2(il)definiert. Wir berechnen wie vorher für ep E H~,2(il)

I(u + tep) = I(u)

+2t

J{L.

n +t 2 I( ep).

'J

aijDiuDjep +

L bjuDjep + ( ~ bjDju + cu)

J

(7.4.2)

Ein Minimum u erfüllt also wieder

(7.4.3) also

für alle ep E H~,2(il). Ist u E C 2 (il) und sind aij,bj E C1(il), so impliziert (7.4.4) das Bestehen der Differentialgleichung

(7.4.5)

7.4 Quadratische Variationsprobleme

165

Wir erhalten also als Euler-Lagrange-Gleichung eines quadratischen Variationsintegrals eine lineare partielle Differentialgleichung zweiter Ordnung. Diese ist elliptisch, wenn wir voraussetzen, daß die Matrix (aij(x))i,j=I, ... ,d in jedem x E n positiv definit ist. Wir werden im nächsten Kapitel sehen, daß schwache Lösungen von (7.4.5) (d.h. Lösungen von (7.4.4)) unter geeigneten Voraussetzungen an die Koeffizienten aij, bj , c regulär sind. Die direkten Methoden der Variationsrechnung als Verallgemeinerung des Dirichletschen Prinzips bestehen darin, durch Minimieren von I(u) eine schwache Lösung von (7.4.5) zu finden und dann deren Regularität nachzuweisen. Wir wollen nun noch kurz das Transformationsverhalten des Dirichletintegrals und des Laplaceoperators bei einem Wechsel der unabhängigen Veränderlichen studieren. Dieses Transformationsverhalten werden wir bei der Untersuchung der Randregularität im nächsten Kapitel benötigen. Es sei also ein Diffeomorphismus von

n' auf n. Wir setzen (7.4.6)

(7.4.7) also

L ghg d

k=1

. kj _

-

.. _

o'J -

{I

0

f'"ur

2

für i

= J. f. j ,

sowie 9 := det (gij) 1.,J.-1 , ... ,d .

(7.4.8)

(7.4.9) Das Dirichletintegral transformiert sich also mittels (7.4.10) Die zu dem rechten Variationsintegral gehörigen Euler-Lagrange-Gleichungen sind nach (7.4.5)

166

7. Existenzverfahren 111

(7.4.11)

wobei wir den Faktor 1/.;g aus Normierungsgründen hinzugefügt haben. Dies bedeutet, daß nach unserer Variablentransformation x = x(e) sich die Laplacegleichung, also die Euler-Lagrange-Gleichung des Dirichletintegrals, in die Form (7.4.11) transformiert. Entsprechend transformiert sich (7.4.5) zu

(7.4.12)

wobei man natürlich x = x(e) einsetzen muß.

1.5 Abstrakte Hilbertraumformulierung des Variationsproblems. Ausblick auf die Methode der finiten Elemente Dieser § stellt im wesentlichen eine Abstraktion des in § 7.3 dargestellten Verfahrens dar, zusammen mit einem Ansatz zu einer konstruktiven approximativen Lösung. Wir werden auf diesen § später nicht mehr zurückgreifen. Wir gehen wieder von einem Modellproblem, der Poissongleichung mit homogenen Randwerten

=f u=0

Llu

in n auf an

(7.5.1)

aus. Wir hatten in Def. 7.3.2 die sog. schwache Variante dieses Problems 2 (n) aufgestellt, nämlich das Problem, eine Lösung u in dem Hilbertraum von

Ht·

(7.5.2)

zu finden. Dieses Problem läßt sich zu einem abstrakten Hilbertraumproblem verallgemeinern, welches wir nun vorstellen wollen. Definition 7.5.1. (H, (., .)) sei ein Hilbertraum mit zugehöriger Norm 11,11, A : H x H -+ lR eine stetige, symmetrische Bilinearform. Die Stetigkeit

7.5 Abstrakte Hilbertraumformulierung des Variationsproblems

167

bedeutet hierbei, daß eine derartige Konstante C existiert, daß für alle u, v E H A(u, v) ~

Gilullllvil

gilt. Die Symmetrie bedeutet, daß für alle u, v E H A(u,v) = A(v,u) ist. A heißt elliptisch oder koerziv, falls ein derartiges positives A existiert, daß für alle v E H A(v,v) ~ A IIvl12

(7.5.3)

ist.

In unserem Beispiel wäre H = H~,2(O) und A(u,v) =

~

2

in( Du· Dv.

(7.5.4)

Die Symmetrie ist offensichtlich, die Stetigkeit folgt aus der Hölderschen Ungleichung, und die Elliptizität folgt aus

1 2

J

1 2 Du· Du = 21IDullL2(n)

und der Poincareschen Ungleichung (Satz 7.2.2), welche für u E H~,2(O) IluIIH~,2(n) ~ const, IIDulb(n)

impliziert. Weiterhin liefert für f E L2(Q)

L : H~,2(O)

-+

v

f-+

lR

l

fv

eine H~,2(O) (sogar auf L 2(O)) definierte stetige lineare Abbildung. Es ist nämlich ILvl

IILII := sup 11 11 v'lO v W1,2(n)

~

IlfII L 2(n) ,

denn nach der Hölderschen Ungleichung ist

l

fv

~ IlfII L 2(n) Il vllL2(n) ~

IlfII L 2(n) Il vll w1 ,2(n)'

168

7. Existenzverfahren III

Satz 7.5.1. (H, (.,.)) sei ein Hilbertraum mit Norm 11,11, V c H konvex und abgeschlossen, A : H x H -+ IR eine stetige, symmetrische, elliptische Bilinearform, L : H -+ IR eine stetige lineare Abbildung. Dann wird J(v) := A(v, v)

+ L(v)

in V durch genau ein u minimiert. Bemerkung. Natürlich hängt die Lösung u nicht nur von A und L, sondern auch von V ab, denn u löst das Problem J(u) = inf J(v). vEV

Beweis. Wegen der Elliptizität von A ist J nach unten beschränkt; es ist nämlich

Wir setzen K,

Es sei nun

(Un)nEN

:=

inf J(v).

vEV

C V eine Minimalfolge, also lim J(u n ) =

n-+oo

K,.

(7.5.5)

Wir behaupten, daß (Un)nEN eine Cauchyfolge ist, woraus dann wegen der Abgeschlossenheit von V die Existenz eines Grenzwertes

u= lim

n ..... oo

UnEV

folgt. Zum Nachweis der Cauchyfolgeneigenschaft: Nach Definition von K, ist

(Hierbei haben wir benutzt, daß wegen der Konvexität von V mit U n und Um auch Uv~Um in V liegt.) Weil J( u n ) und J( um) nach (7.4.5) beide für n, m -+ 00 gegen K, streben folgt, daß

für n, m

Ilun

-

Um

-+ 00

gegen 0 strebt. Aus der Elliptizität folgt dann, daß auch

11 gegen 0 strebt, also die Cauchyfolgeneigenschaft.

Weil J stetig ist, erfüllt der Limes

U

7.5 Abstrakte Hilbertraumformulierung des Variationsproblems

J(U)

169

= n-+oo lim J(u n ) = inf J(v) vEV

nach Wahl der Folge (Un)nEf\!. Der vorstehende Beweis impliziert auch die Eindeutigkeit von u. Es ist aber nützlich, sich dies noch einmal anhand der Konvexität von J klarzumachen: Es seien Ul, U2 also zwei Minima, d.h.

Da mit

Ul

und U2 auch ihr Mittel

/'i ::;

J(

Ul

+ U2 2

)=

= also A(UI - U2, Ul folgt.

-

U2)

u\ ~U2

1

in der konvexen Menge V liegt, ist

1

2J (ud + 2J (U2) 1

/l, -

= 0,

4A(Ul - U2, Ul

1 4 A (Ul - U2, Ul -

-

U2)

U2),

woraus wegen der Elliptizität von A

Ul

= U2 q.e.d

Bemerkung. Satz 7.5.1 bleibt auch ohne die Voraussetzung der Symmetrie von A richtig. Dies ist die Aussage des im Anhang A bewiesenen Satzes von Lax-Milgram. Korollar 7.5.1. Unter den sonstigen Voraussetzungen des Satzes sei nun V ein abgeschlossener linearer (mithin insbesondere konvexer) Unterraum von H. Dann existiert genau ein u E V, welches die Gleichung

2A(u, r.p)

+ L(r.p)

für alle r.p

= 0

E

V löst.

(7.5.6)

Beweis. U ist genau dann ein kritischer Punkt (z.B. ein Minimum) des Funktionals

J(v) = A(v,v)

+ L(v)

in V, wenn

2A(v, r.p) Daß

U

+ L(r.p) =

0 für alle r.p E V ist.

ein kritischer Punkt ist, bedeutet hierbei nämlich, daß d

d/(u + tr.p)lt=o = 0

für alle r.p E V ist.

Dies ist aber gleichwertig mit d

0= dt (A(u =

+ tr.p, U + tr.p) + L(u + tr.p))lt=o

2A(u,r.p) + L(r.p).

170

7. Existenzverfahren III

Gilt umgekehrt diese Gleichung, so ist

J(u + tep) = J(u) ~ J(u)

+ t(2A(u, ep) + L(ep)) + t 2 A(ep, ep)

für alle ep E V, und somit ist u ein Minimum. Die im Satz etablierte Existenz und Eindeutigkeit eines Minimums liefern also die Behauptung.

q.e.d In unserem Beispiel A(v, v) = ~ J Du· Dv, L(v) = J Iv mit I E L 2 (D) liefert Kor. 7.5.1 also die Existenz eines u E H~·2(D) mit (7.5.7) also eine schwache Lösung der Poissongleichung im Sinne von Def. 7.3.2. Wir wollen nun die Lösung unseres Variationsproblems J(v) -+ min. in H mit derjenigen in einem Unterraum V von H vergleichen. Lemma 7.5.1. A : H x H -+ IR sei eine stetige, symmetrische, elliptische Bilinearlorm im Sinne von Def. 7.5.1, L : H -+ IR linear und stetig. Wir

betrachten wieder das Problem J(v) := A(v, v)

+ L(v) -+ min.

(7.5.8)

u sei die Lösung in H, Uv die Lösung in dem abgeschlossenen linearen Unterraum V. Dann gilt

Ilu - uvll :5 ~A vEV inf lIu - vii

(7.5.9)

mit der Konstanten C aus Definition 7.5.1. Beweis. Nach Korollar 7.5.1 ist 2A(u, ep) + L(ep) = 0 2A(uv,ep) +L(epv) = 0

für alle ep E H für alle ep E V

und somit auch

2A(u-uv,ep) =0

füralleepEV.

(7.5.10)

Für v E Verhalten wir daher

Ilu - Uv 11 2 ::; :x A( u - Uv, u - uv) wegen der Elliptizität von A 1

1

= :xA(u - uv,u - v)

1

+ :xA(u -

uv,v - uv)

1 . = :xA(u - uv, u - v) aus (7.5.10) mlt ep

C

::; "I Ilu -

uvlill u -

vii,

= v - Uv E V

7.5 Abstrakte Hilbertraumformulierung des Variationsproblems

171

und da diese Ungleichung für beliebiges v E V gilt, folgt (7.5.9). q.e.d. Dieses Lemma bildet die Grundlage für ein in der numerischen Mathematik wichtiges Verfahren für die approximative Lösung von Variationsproblemen. Da man in der Numerik nur mit endlichdimensionalen Problemen fertigwerden kann, ist man gezwungen, Probleme in unendlichdimensionalen Räumen durch solche in endlichdimensionalen Räumen zu approximieren. Man kann also J(v) -+ min. nicht in einem unendlichdimensionalen Hilbertraum wie H = Ht,2(fl) lösen, sondern man muß H durch einen endlichdimensionalen Unterraurn Versetzen und löst dann J(v) -+ min. in V statt in H. Das vorstehende Lemma schätzt dann den Fehler, den man hierbei macht, dadurch ab, wie gut man die tatsächliche Lösung u in dem Unterraum V - in welchem u typischerweise nicht liegt - approximieren kann. Es kommt also darauf an, endlichdimensionale Unterräume V von H zu finden, die einerseits rechentechnich gut handhab bar sind und andererseits gute Approximationseigenschaften besitzen. Diese Eigenschaften werden gut von den Räumen finiter Elemente erfüllt. Hierbei wird das Gebiet fl in möglichst gleichmäßige Polyeder, z.B. Dreiecke oder Quadrate im zweidimensionalen Fall, zerlegt (bzw. durch eine solche Zerlegung approximiert, wenn der Rand von fl gekrümmt ist.) Finite Elemente sind dann stückweise polynomiale Funktionen von vorgegebenem Grad. Dies bedeutet, daß die Einschränkung einer solchen Funktion 'IjJ auf jedes Polyeder der Zerlegung ein Polynom ist. Außerdem wird La. verlangt, daß 'IjJ dort, wo zwei solche solche Polyeder zusammenstoßen, zumindest stetig ist oder sogar noch gewisse Differenzierbarkeitseigenschaften besitzt. Die einfachsten derartigen finiten Elemente sind stückweise lineare Funktionen auf Dreiecken, wobei bei der Stetigkeitsforderung die Koeffizienten auf benachbarten Dreiecken jeweils so gewählt werden müssen, daß die Funktionen längs der gemeinsamen Kante der beiden Dreiecke stetig bleiben. In der theoretischen Numerik werden dann verschiedene Approximationssätze der skizzierten Form gezeigt. Dies ist nicht besonders schwierig, sondern recht elementar, aber dafür länglich und soll deswegen hier unterbleiben. Wir verweisen statt dessen auf entsprechende Lehrbücher, z.B. Strang und Fix[ll] oder Braess[2]. Die Approximationsgüte hängt natürlich nicht nur von der Polynomordnung, sondern vor allem auch von der Feinheit der gewählten Gebietszerlegung ab. Meist ist es sinnvoll, die Polynomordnung festzuhalten, also z.B. nur stückweise lineare oder quadratische Elemente zuzulassen, und dafür die Zerlegung genügend zu verfeinern. In der geschilderten Form beruht die Methode der finiten Elemente also darauf, daß man nach einem abstrakten Satz die Existenz (und Eindeutigkeit) einer Lösung des untersuchten Variationsproblems kennt und diese dann durch Elemente aus geschickt gewählten endlichdimensionalen Unterräumen approximiert. Auch wenn dies für die theoretische Analyse des Verfahrens nicht erforderlich ist, ist es vielleicht aus Gründen der inneren mathemati-

172

7. Existenzverfahren III

sehen Konsistenz schöner, den Rückgriff auf das abstrakte Existenzresultat zu vermeiden und stattdessen aus den endlichdimensionalen Approximationen einen konstruktiven Existenzbeweis zu entwickeln. Dies wollen wir nun durchführen. Satz 7.5.2. A: H x H -+ IR sei eine stetige, symmetrische, elliptische Bilinearform auf dem Hilbertraum (H, (., .)) mit Norm 11·11, L : H -+ IR sei linear

und stetig. Wir betrachten das Variationsproblem J(v) = A(v, v)

+ L(v) -+ min.

Es sei (Vn)nEN C H eine aufsteigende (d.h. Vn C Vn+l für alle n) Folge von abgeschlossenen linearen Unterräumen, welche H in dem Sinne ausschöpfen, daß zu jedem v E Hund § > 0 ein n E N und ein V n E Vn mit

Ilv-vnll<§ existieren. Es sei U n nach Satz 7.5.1 die Lösung des Problems J(v) Dann konvergiert (Un)nEN für n J(v)

-+

min. in Vn .

-+ 00 -+

gegen eine Lösung von

min. in H.

Beweis. Es sei

"':= vEH inf J(v). Wir wollen zeigen, daß lim J(u n ) = "'.

n-+oo

Dann ist (Un)nEN nämlich eine Minimalfolge für J in H und strebt daher nach dem Beweis von Satz 7.5.1 gegen ein Minimum von J in H. Wir führen den Beweis durch Widerspruch und nehmen daher an, daß für ein c > 0 und alle n E N J(u n )

;:::: '"

+c

(7.5.11)

gilt (da Vn C Vn+l ist, folgt übrigens J(un+d ~ J(u n ) für alle n). Nach Definition von", existiert ein Uo E H mit J(uo) < '" + c/2.

Zu jedem § > 0 existieren nach Voraussetzung ein n E N und ein mit

(7.5.12) Vn E

Vn

7.5 Abstrakte Hilbertraumformulierung des Variationsproblems

173

Iluo - vnll < Ö. Dann ist mit

Wn

IJ(vn) -

:= V n -

Uo

J(uo)1 ::;

IA(vn,vn) - A(uo,uo)1 + IL(v n ) - L(uo)1 ::; A(wn, wn) + 2IA(wn, uo)1 + IILllllwnl1 ::; C

IIwnl1 2 + 2C Ilwnlllluoll + IILllllwnl1

< c:/2 für eine geeignete Wahl von Ö. Daher ist

J(V n ) < J(uo) + c:/2 < /); + c: nach (7.5.12) < J(u n ) nach (7.5.11), im Widerspruch zur Minimaleigenschaft von u n . Dieser Widerspruch zeigt uns, daß (Un)nEN tatsächlich eine Minimalfolge bildet, woraus, wie erläutert, die Konvergenz gegen ein Minimum folgt. q.e.d. Auf diese Weise erhalten wir also eine konstruktive Methode zur (approximativen) Lösung unseres Variationsproblems, wenn wir die Vn alle als geeignete endlichdimensionale Unterräume von H wählen. In jedem Vn hat man dann nach Kor. 7.5.1 nur ein lineares Gleichungssystem mit dirn Vn Gleichungen zu lösen; es sei nämlich el, ... , eN eine Basis von Vn . Dann ist (7.5.6) äquivalent zu den N linearen Gleichungen für U n E Vn

2A(un , ej)

+ L(ej) =

0 für j = 1, ... , N.

(7.5.13)

Selbstverständlich lassen sich auch allgemeiner die in § 7.4 dargestellten quadratischen Variationsprobleme mit der in diesem § vorgestellten Hilbertraummethode erfassen; dies überlassen wir der Leserin oder dem Leser zur Übung.

Zusammenfassung Das Dirichletsche Prinzip besteht darin, Lösungen des Dirichletproblems

..1u = 0 in n u = 9 auf an durch Minimieren des Dirichletintegrals

LIDu(xWdX

174

7. Existenzverfahren III

unter allen Funtionen u mit Randwerten 9 in dem hierfür geeigneten Funktionenraum W 1,2(n) (Sobolevraum) zu suchen. Allgemeiner läßt sich auch die Poissongleichung .du =

f in

n

so behandeln, und zwar durch Minimieren von

In

IDu(xW dx + 2

In

f(x)u(x) dx.

Ein Minimum erfüllt dann die Gleichung

In

J{]

Du(x) D
J

(bzw. Du(x)D
Übungen 7.1 Man zeige, daß die Norm

Illulll := II ullL2({]) + II Du llL2({]) zu der Norm lIullw1,2({]) äquivalent ist (d.h. es gibt Konstanten 0< a ~ 00 mit

ailluill

~ IIullwl,2({]) ~

ßliluill

ß<

für alle u E W 1,2(n)).

Warum ist die Norm IIullw1,2({]) trotzdem vorzuziehen?

7.2 Wie sähe eine natürliche Definition der k-maligen schwachen Differenzierbarkeit (k = 2,3, ... ) aus? (Die Antwort findet sich im nächsten Kapitel, aber Leser und Leserinnen können trotzdem schon jetzt versuchen, Sobolevräume W k ,2(n) von k-mal schwach differenzierbaren Funktionen, die mit allen ihren schwachen Ableitungen in L2(n) liegen, zu definieren und Aussagen vom Typ von Satz 7.2.1 und Kor. 7.2.1 hierfür zu beweisen.)

Übungen

175

7.3 Betrachten Sie ein Variationsproblem der Form

I(u) =

in

mit einer glatten Funktion F : ]Rd

F(Du(x)) dx

--t

n,

welche eine Ungleichung der Form

Leiten Sie die zugehörigen Euler-Lagrange-Gleichungen für ein Minima her (im schwachen Sinne, vgl. (7.4.4)). Versuchen Sie auch, Bedingungen an allgemeinere Integranden F(x, u(x), Du(x)) zu finden, unter denen Sie für Minima die Euler-Lagrange-Gleichungen herleiten können.

7.4 Als Modellproblem für finite Elemente betrachten wir (nach R. Courant) die Poissongleichung Llu

= f in

u=

°

n

auf an

im Einheitsquadrat n = [0,1] x [0,1] C ]R2. Wir zerlegen für h = 2~ (n E N) n in (= 22n ) Unterquadrate der Seitenlänge h, und jedes dieser Quadrate wird weiter durch eine Diagonale vom linken oberen zum rechten unteren Eckpunkt in zwei rechtwinklige, gleichschenklige Dreiecke zerlegt.

-b

Wir erhalten also Dreiecke Llf, i = 1, ... , 2 2n +1. Wie groß ist die Anzahl N der inneren Gitterpunkte Pj dieser Zerlegung?

Wir betrachten den Raum der stetigen Dreieckselemente Sh:= {

Die Dreieckselemente

°auf

an}.

176

7. Existenzverfahren III

Man berechne

aij :=

In

Dcpi . Dcpj für alle Paare i,j

und stelle das lineare Gleichungssystem für die approximative Lösung der Poissongleichung in Sh auf, also für das Minimum cph von

für cp E Sh, bzgl. der obigen Basis CPj von Sh (zu diesem Zweck haben Sie gerade die Koeffizienten aij berechnet!).

8. Sobolevräume und die L 2 -Regularitätstheorie

8.1 Allgemeine Sobolevräume. Einbettungssätze von Sobolev, Morrey und John-Nirenberg Definition 8.1.1. Es sei u: D

(i = 1, ... ,d),

10:1 := 'L-t=l ai,

Do:cP:=

cpvdx

lR integrabel,

( 8) (8) a1

8x l

8x d

."

Eine integrable Funktion v : n in Zeichen v = Do:u, falls

In

~

In

= (_1)1 0 1

~

a,J

cP

0::=

(ab .. ,ad), ai ~ 0

für cP E C IOI (n).

lR heißt o-te schwache Ableitung von u,

uDo:cpdx für alle cp E CbOI(D).

Wir definieren für k E N, 1 :::; p

(8.1.1)

< 00, den Sobolevraum

Wk,P(D) := {u E LP(n) : Dou

existiere und sei aus LP(n) für alle 101 :::; k} 1

IluIIWk,"(D)

:= (

L

lIDou,P)

p

100ISk D

Hk,p(D) und H~,P(D) seien die Abschlüsse von COO(n) bzw. cO'(n) bezüglich 11·llwk,"(D)· Wir werden gelegentlich die Abkürzung 11·ll p = 11·1 b(D) benutzen.

Zur Notation: Die Multiindex-Schreibweise werden wir nur in diesem § benötigen. Später schreiben wir für u E Wl,p(n) für erste schwache Ableitungen Diu, i = 1, ... , d, wie in Def. 7.2.1 und bezeichnen den Vektor (Dlu, ... , DdU) mit Du. Entsprechend schreiben wir für u E W 2 ,p(n) zweite schwache Ableitungen als Diju, i, j = 1, ... , d, und bezeichnen die Matrix der zweiten schwachen Ableitungen mit D 2 u. Wie in § 7.2 beweist man Lemma 8.1.1. Wk,p(n) = Hk,p(n). Wk,p(n) ist vollständig bezüglich 11'llwk,"(D)' also ein Banachraum. q.e.d. J. Jost, Partielle Differential-gleichungen © Springer-Verlag Berlin Heidelberg 1998

178

8. Sobolevräume und die L 2 -Regularitätstheorie

Der Sobolevsche Einbettungssatz lautet nun: Satz 8.1.1.

H,l.P(il)

C

°

{L"ErJil)

für p für p

CO(il)

d.

Außerdem gilt für u E H~,P(il) lIull~ ~

cllDullp

fürp

clill r " ·IIDulip 1

sup lul ~

n

1


für p

(8.1.2)

> d,

(8.1.3)

wobei die Konstante c nur von p und d abhängt.

Zum Verständnis dieses Satzes betrachten wir zunächst die Beziehung zwischen Skalierung und den Exponenten des Sobolevschen Einbettungssatzes: Es sei f E H1.P(JRd) n Lq(JR d). Wir betrachten die Skalierung y = AX (mit A > 0) und

y f>..(y) := f(").) = f(x). Dann ist mit y = AX

(man beachte hierzu, daß links die Ableitung bzgl. y, rechts bzgl. x genommen wird; hierdurch kommt -p in den Exponenten) und

Im Limes A -+ 0 wird also

11f>..IILq

durch

liD fAlb

kontrolliert, falls

!!=.E

cl

Aq::;A" fürA
d

d-p

q> - -q- , d.h. q

~

ddP

-p

im Falle p < d.

Wir haben hierbei stillschweigend IIDfll v. > 0 vorausgesetzt, aber die Leserin/der Leser wird sich leicht davon überzeugen, daß dies der wesentliche

8.1 Allgemeine Sobolevräume. Einbettungssätze

179

Fall des Sobolevschen Einbettungssatzes ist. (Wir betrachten nur den Limes .A -+ 0, weil nur für .A :::; 1 (für f E Ht,P(]Rd)) supp f>...

c

supp f

und der Sobolevsche Einbettungssatz nur den Fall beinhaltet, wo die Funktionen ihren 'fräger in einer festen, beschränkten Menge D haben. Man erkennt hieraus allerdings aus den Skalierungseigenschaften für .A -+ 00, daß diese Voraussetzung über den 'fräger für die Gültigkeit des Satzes erforderlich ist.) Die Skalierungseigenschaften im Falle P > d werden im Anschluß an Korollar 8.1.5 untersucht. Beweis (von Satz 8.1.1). Wir beweisen die Ungleichungen (8.1.2) und (8.1.3) zunächst für u E CJ(D). Wir setzen wieder u = 0 auf]Rd \ D. Es gilt wie im Beweis von Satz 7.2.2 lu(x)1 :::;

lX~ IDiu(X I , .. , Xi-I, e, x i +!, .. , xd)1 de mit x = (Xl, .. , x d) für 1 :::; i :::; d,

und daher

und

Es folgt

wobei wir (A.6) für PI = ... = Pd-l = d - 1 ausgenutzt haben. Iterativ folgt

r

also

Ilull"" .-;

(n

: :; ~1

n

fu!V,u l
'tIDiUldX, i=l

180

8. Sobolevräume und die L 2 -Regularitätstheorie

weil das geometrische nicht größer als das arithmetische Mittel ist, also 1

:::; d IIDuI11,

Ilull~

(8.1.4)

welches (8.1.2) für p = 1 ist. Wendet man (8.104) auf lul'Y (-y> 1) an( lul'Y liegt zwar nicht unbedingt mit u in CJ (n), aber wie am Ende dieses Beweises erläutert, gilt (8.1.4) durch ein Approximationsargument, nachdem es für cJ(n) nachgewiesen ist, auch für Ht,l, und wir werden 'Y so wählen, daß für u E Ht,p(n) lul'Y E Ht,l(n) ist), so erhält man

Illuell~ :::; ~ !nlul'Y-1IDul dx 1 1 für-+-=1 p q mittels der Hölderschen Ungleichung (AA).

:::; ~ Illul'Y-11I q ·IIDull p

(8.1.5)

Ist P < d, so erfüllt 'Y = (dd~~P

(-y - 1)p

'Yd d-1

p-1'

und (8.1.5) ergibt, wenn man q = ~ berücksichtigt,

also welches (8.1.2) ist. Zum Beweis von (8.1.3) benötigen wir die folgende Verschärfung von Lemma 7.2.4:

Lemma 8.1.2. Für J.L E (0,1], fE L1(n) sei

(VI-'J)(x) := !nIX - yld(l-'-l) f(y)dy. Es sei 1 :::; p :::; q :::;

00,

0:::; 8 =

1

1 < J.L. q

- - -

P

r-

Dann bildet VI-' LP(n) stetig nach Lq(n) ab, und es gilt für fE LP(n):

IIVI-'fll q :::;

(:

=!

ow!-I-' Inll-'-ollfll

p .

(8.1.6)

8.1 Allgemeine Sobolevräume. Einbettungssätze

Beweis. Es gelte

1

1

- := 1 + r q

Dann ist

f(x - y)

:=

1 = 1 - ö. p

- -

Ix - yld(JL-1)

E

U(D),

und wie im Beweis von Lemma 7.2.4 wählen wir R derart, daß IB(x, R)I = wdRd ist, und schätzen wie folgt ab:

Wir schreiben

f

I/I =

181

f T (l-l/p)

IDI

W I/ni 1/I P8

und erhalten aus der verallgemeinerten Hölderschen Ungleichung (A.6)

JVJLf(x) I

~ ( l fT(x -

y) 1/(y)I PdY)

i ( l fT(X -

Y)dY)

1-~

.

(ll/(Y)IP dY) 8,

also durch Integration über x und Vertauschung der Integrationsreihenfolge im ersten Integral,

IJVJLfll q

~ s~p (J fT(x -

1

Y)dY) ;: Ilfll p

~ (~ =~) 1-8 w!-JL IDI JL - 8 1Ifll

p

nach der obigen Abschätzung für IlfiIT.

q.e.d. Um den Beweis von Satz 8.1.1 zu vervollständigen, benutzen wir (7.2.4), wiederum zunächst u E CJ(D) annehmend, also

1L d

1

u(x) = dw d

.

.

(x' - y')

n i=l Ix - Yl

d Diu(y)dy

(8.1. 7)

182

8. Sobolevräume und die L 2 -Regularitätstheorie

für x E [}. Hieraus folgt

lul :S

1

(8.1.8)

dw d VI;z (IDI).

Aus (8.1.6) für q = 00, I.L = lid folgt dann (8.1.3), wiederum zunächst für u E CJ([}). Ist nun u E Hci'p([}) , so approximieren wir u in der W1'P-Norm durch C(f'Funktionen U n und wenden (8.1.2) und (8.1.3) auf die Differenzen U n - Um an. Es folgt, daß (u n ) eine Cauchyfolge in Ldp/(d- p )([}) (für p < d) bzw. C°(.Q) (für p > d) ist. Daher liegt auch u in dem entsprechenden Raum und erfüllt (8.1.2) bzw. (8.1.3). q.e.d. Korollar 8.1.1.

Hk,P([})

°

c {L/!.'k" ([}) cm([})

für kp


für 0 '5: m < k - ~

Beweis. Die erste Einbettung folgt iterativ aus Satz 8.1.1, die zweite dann q.e.d. aus der ersten und dem Fall p > d in Satz 8.1.1. Korollar 8.1.2. Ist u E H;'P([}) für ein festes p und alle k E N, so ist U

E COO([}).

q.e.d.

Die nachfolgenden Einbettungssätze werden wir erst in Kapitel 11 benötigen. Als erstes bringen wir eine weitere Variante des Sobolevschen Einbettungssatzes. Für eine Funktion v E L 1 ([}) definieren wir das Mittelintegral von v über [} als

In v(x)dx

:=

1~ll v(x)dx,

wobei I[}I das Lebesguesche Maß von [} bezeichnet. Dann gilt Korollar 8.1.3. Es sei 1 :S p < d und u E Hl,p(B(xo, R)). Dann gilt

(8.1.9) Co

hängt hierbei nur von p und d ab.

Beweis. Wir können o.E. Xo = 0 annehmen. Ebenso können wir auch o.E. R = 1 annehmen, indem wir andernfalls die Funktion ü(x) = u(Rx) betrachten und verifizieren, daß sich die Ausdrücke in (8.1.9) richtig skalieren. Es sei also u E Hl,P(B(O, 1)). Wir setzen u auf die Kugel B(0,2) fort, indem wir für lxi> 1 x u(x) = u(-2)

lxi

setzen. Diese Fortsetzung erfüllt

8.1 Allgemeine Sobolevräume. Einbettungssätze

Il u II H l"'(B(O,2» ~

clll u Il H l,"(B(O,I»'

183

(8.1.10)

Nun sei ry E COO(B(O, 2)) mit

ry

~

ry == 1 auf B(O, 1),

0,

IDryl

~

2.

Dann ist v = ryu E H~,P(B(O, 2)), und nach (8.1.2) ist

(r

lVI;#;;)

} B(0,2)

~~

r

C2 (

IDV IP)

} B(0,2)

Da nun

Dv = ryDu

~

(8.1.11)

+ uDry,

ist nach den Eigenschaften von ry

IDvl P ~

(IDul P + lul P) ,

C3

(8.1.12)

mit (8.1.10) also

r

} B(0,2)

IDvl P

~ C4 (

1

Da andererseits

r

} B(O,I)

IDul P +

~ ~ lul =r;

B(O,I)

r

IU IP ) .

~ lvi =r;

,

} B(O,I)

1

(8.1.13)

B(0,2)

folgt (8.1.9) aus (8.1.11) und (8.1.13).

q.e.d.

Später werden wir auch den folgenden Satz von John und Nirenberg benötigen: Satz 8.1.2. Sei B(yo, R o) eine Kugel im U E

]Rd,

W1,1(B(yo, R o)) und es gelte für alle Kugeln B(y, R) C ~d

[

IDul

} B(y,R)nB(yo,Ro )

Dann existieren a

>0

und ßo <

1

00

~ Rd-

(8.1.14)

1.

derart, daß

ecrlu-uol

B(yo,Ra)

< ß Rd

(8.1.15)

- °°

ist, mit

uo=~

r

WdRo } B(yo,Ro)

u

(Mittelintegral von u über B(yo, R o)) .

Insbesondere ist dann also

r

} B(Yo,Ro)

ecru

r

} B(yo,Ro )

e- cru _

r } B(Yo,Ro )

~ ß5R5d.

ecr(u-uo)

r

e-cr(u-uo)

} B(yo,Ro )

(8.1.16)

184

8. Sobolevräume und die L 2 -Regularitätstheorie

Allgemeiner definieren wir für eine meßbare Menge B C JRd, U E Ll(B), das Mittelintegral

UB

1~ll u(y)dy,

:=

(8.1.17)

wobei IBI das Lebesguesche Maß von B bezeichnet. Zur Vorbereitung des Beweises von Satz 8.1.2 bringen wir

Lemma 8.1.3. Es sei il C JRd konvex, Beil meßbar mit IBI > 0, u E Wl,l(il). Dann ist für fast alle x E il

lu(x) - uBI

s

(diamil)d

d IBI

r

in Ix -

zl

I-d

IDu(z)1 dz.

(8.1.18)

Beweis. Wir üblich reicht es, den Beweis für u E C1(il) zu führen. Da il konvex ist, ist für x, y Eilauch die geradlinige Verbindung von x und y in il enthalten, und es gilt

y

r!x- ! 8

u(x) - u(y) = - io

( 8r u x

x) dr

y

+ r Iy _ xl

und daher

1~ll (u(x) -

u(x) - UB =

=

1

r

u(y))dy

r!X- Y! 8

( y- x ) 8r u x+r ly _ xl drdy.

-TB! iBio

Hieraus folgt

lu(x) - uBI S

1 (diamil)d

TBT

d

1Ix~";.':il1 ior!x- ! 8r8 u(x + rw)dr®.; 1, (8.1.19) y

indem wir statt über B über die Kugel B(x, diam il)) n fl integrieren, dy = ed-1®';de in Polarkoordinaten schreiben und die Integration bezüglich e durchführen. Also, wie im Beweis von Satz 1.2.1 und Satz 7.2.2,

Iu (x ) -

J J J L !x-Y!

1 (diam fl)d UB I S TBT d

1 8u rd-1 8v (z)da(z)dr

o 8B(x,r)nn

1 (diam il)d

-IBI S

d

(diam fl)d

d IBI

1

J n

n

Ix - zl

d-l

d

i=l

8 Xi - zi -8,u(z)-I- I dz z' x- z

1

Ix _ zld-l IDu(z)1 dz. q.e.d.

8.1 Allgemeine Sobolevräume. Einbettungssätze

185

Wir benötigen auch die folgende Variante von Lemma 8.1.2: Lemma 8.1.4. Es sei I E L1(D), und es gelte lür alle Kugeln B(xo, R) IR d

1

III ~ KRd(l-~)

c

(8.1.20)

J?nB(xQ,R)

mit einem lesten K. Ferner sei p > 1, 11p < IL. Dann ist I(v. J)(x)1 /l

Beweis. Wir setzen I IV/lI(x) I ~ =

~

p- 1

--(diam D) ILP - 1

= 0 außerhalb von D.

L

rd(/l-l)

Mit

1) /l-,. K

(8.1.21)

r = Ix - Yl

ist

II(y)1 dy

r

rdiamJ? rd(/l-l)

Jo

=

d(

II(z)1 dzdr

JaB(x,r)

(~r

rdiamJ? rd(/l-l)

8r

Jo

= (diam D)d(/l-l)

+d(l - IL)

l°

r

JB(x,diam J?)

diam

II(y)1 dY) dr

J B(x,r)

II(y)1 dy

J? rd(/l-l)-l

::;; K(diam JI)d(/l-1)+d(1-1/p) rdiam J?

+Kd(l - IL) J o

r

JB(x,r)

II(y)1 dydr

r d (/l-l)-1+d(l-l/p)dr

nach (8.1.20) 1-! = K --f(diam D)d(/l-l/p). J.L-

p

q.e.d. Beweis von Satz 8.1.2: Wegen (8.1.14) erfüllt I = IDul die Ungleichung (8.1.20) mit K = 1 und P = d. Also ist nach Lemma 8.1.4 für J.L > lid

Insbesondere ist für s ;::: 1 und J.L = ~

+ 18

186

8. Sobolevräume und die L2 -Regularitätstheorie

V~+;/;(J) ~ (d - 1)s(2Ro)~. Nach Lemma 8.1.2 ist auch für s

[

JB(yo,Ro)

v.};(J)

~

(8.1.23)

1, J.I. = lIds, p = q = 1

~ dsw~-l/dsIB(Yo,Ro)I;/; IlfIIL1(B(Yo,Ro» 1

~ dSWdRJ Rg-l (8.1.24) nach (8.1.20), was, wie bemerkt, mit K = 1 und p = d gilt. (8.1.25)

Nun ist

Ix - Y1 1- d = Ix _ yld(;/;-lH Ix _ Yld(;/;+~-l)(l-~)

und nach der Hälderschen Ungleichung dann

V~ (J)

=

!

(Ix - yld(;/;-lH

If(Y)I~)

(8.1.26)

. (Ix - Yld(;/;+~-l)(l-~) If(Y)ll-~) dy ~ V;r.1 (J)~Vl+ 1 (J)l-~. ;z ;r. Mit (8.1.23) und (8.1.24) folgt hieraus dann

[

JB(yo,Ro)

V~(J)S ~ dSWd~-l+~ (d _1)8-1 S S-1(2Ro) .~1 ~

2d(d - l)s-lsswdRg d

= 2 d _ 1 wd((d - 1)s)8 Rg. Daher ist

1

Vl(J)n

2d

d

~;z < --wdRö~ B(yo,Ro) 'Ynn ! - d - 1 00

f::o

~

[

f::o

(d-l)nnn -- 'Y n!

d-1

d

eRo,

falls - 'Y

also

JB(yo,Ro)

00

exp (VI/d(J)) 'Y

1

< -,

~ eRg.

e

(8.1.27)

Nun gilt aber nach Lemma 8.1.3

uol ~ const.V~ (IDu!), IDul hergeleitet haben, folgt

lu(x) -

(8.1.28)

und da wir (8.1.27) für f = (8.1.15). q.e.d. Zum Abschluß dieses Kapitels bringen wir noch einige weitere Anwendungen der vorstehenden Lemmata, darunter auch die folgende Version der Poincareschen Ungleichung:

8.1 Allgemeine Sobolevräume. Einbettungssätze

187

Korollar 8.1.4. n c IRd sei konvex, u E Wl,p(n). Dann ist für jedes meßbare Ben mit jBj > 0

(L

ju - UBjP)

~ s Wj~t [nj~ (diam n)d (L jDU[p) ~

(8.1.29)

Beweis. Nach Lemma 8.1.3 ist

und nach Lemma 8.1.2 ist

und aus diesen beiden Ungleichungen folgt die Behauptung.

q.e.d.

Der nächste Satz stammt von Morrey.

Satz 8.1.3. Es sei U E Wl,l(n), nc IR d, und es gebe derartige Konstanten K < 00, 0< a < 1, daß für alle Kugeln B(xo, R) C IR d

1

nnB(xQ,R)

Dann gilt für jede Kugel B(z, r) osc

nnB(z,r)

u:=

C

sup

jDuj S KRd -1+O<.

(8.1.30)

IR d

x,yEB(z,r)nn

ju(x) - u(y)j S cKrO<,

(8.1.31)

wobei c = c( d, a) ist.

Beweis. Es ist ose

nnB(z,r)

uS2

S

sup

xEB(z,r)nn

Cl

r

} B(z,r)

lu(x) - uB(z,r)

jx - yjl-d

I

jDu(y)j dy

nach Lemma 8.1.3, wobei Cl nur von d abhängt und wir Du einfach = 0 auf IR d \ n setzen

=

Cl Vj

(jDu)j (x)

mit der Notation aus Lemma 8.1.4. Mit

d

p=--,

l-a

und

d also a = 1--, p

188

8. Sobolevräume und die L2 -Regularitätstheorie

1

1

J.L=d>p

erfüllt f = IDul dann die Voraussetzungen von Lemma 8.1.4, und wir erhalten daher aus der vorstehenden Abschätzung und Lemma 8.1.4 (angewandt auf B(z,r) statt n) osc

1

ilnB(z,r)

,I

u::; c2K(diamB(z,r)) -;; = cKrO:. q.e.d.

Definition 8.1.2. Eine auf n definierte Funktion u heißt er-hölderstetig in n für 0 < er < 1, falls für alle zEn sup

xEil

lu(x) - u(z)1 1 10: < X - Z

00.

(8.1.32)

Im Zeichen: u E C"(n). Für u E CO:(il) setzen wir

Ilullc.'(il) := Ilullco(il) + x~~fil

lu(x) - u(y)1

Ix _ ylO: .

(Im Falle er = 1 heißt eine Funktion, die (8.1.32) erfüllt, lipschitzstetig, und man bezeichnet den entsprechenden Raum mit CO,l(n).) Unter den Voraussetzungen von Satz 8.1.3 ist u also er-hölderstetig auf n; dies folgt direkt, wenn man in Satz 8.1.3 r = dist(z, an) setzt. Das Konzept der hölderstetigen Funktion wird in den Kapiteln 10 und 11 eine wesentliche Rolle spielen. Aus Satz 8.1.3 folgt die folgende, von Morrey stammende Verschärfung des Sobolevschen Einbettungssatzes im Falle p > d Korollar 8.1.5. Es sei u E H~'P(il) mit p > d. Dann ist

u E C1-~ (sl). Genauer gilt für jede Kugel B(z, r) osc

ilnB(z,r)

U ::;

C

er

]Rd 1- !! I'

IIDuIIU'(n)'

(8.1.33)

wobei c nur von d und p abhängt. An dieser Stelle ist wiederum eine Darstellung der Skalierungseigenschaften der verschiedenen Normen nützlich für das Verständnis: Es sei f E H1,P(]Rd) n C"(]Rd) mit 0 < er < 1. Wir betrachten wieder die Skalierung y = AI (A > 0) und

f>..(y) = f(Ax).

8.1 Allgemeine Sobolevräume. Einbettungssätze

189

Dann ist

1f>.(YI) - f>.(Y2)1 IYI - Y21 d

= .x-",If(xd - f(x2)1

lXI -

(Yi

x21 a

= .xXi, i = 1,2)

und daher

und wie oben berechnet,

Im Limes

.x -> 0 wird also Ilhl\c.,

durch

IIDhlb

kontrolliert, falls

also 0: :::;

d. 1 - - 1m Falle p

> d.

p

Beweis (von Kor. 8.1.5). Nach der Hölderschen Ungleichung ist 1

{

IDul:::; IB(xQ, R)II-f,

} nnB(xo,R)

( (

IDU IV );;

(8.1.34)

} nnB(xo,R)

:::; c3I\ Du lb(n) Rd(I-f;) =

C3

liDU II v'(n) Rd-l+(l-!!) " ,

(8.1.35) (8.1.36)

wobei C3 nur von p und d abhängt. Somit sind die Voraussetzungen von Satz 8.1.3 erfüllt. q.e.d. Die folgende Variante von Satz 8.1.3 heißt auf englisch "Morrey's Dirichlet growth theorem" und wird häufig beim Nachweis der Regularität von Minima von Variationsproblemen angewandt: Korollar 8.1.6. Es sei u E W 1,2(Q), und es gelte mit Konstanten K' < o < 0: < 1, für alle Kugeln B(xQ, R) c ]Rd

(

IDul 2

:::;

K' Rd - 2+2"'.

00,

(8.1.37)

JnnB(xo,R)

Dann ist u E C"'(fl), und es gilt für alle Kugeln B(z, r) osc

B(z,r)nn

wobei c nur von d und

0:

abhängt.

1

u:::; c(K')2r"',

(8.1.38)

190

8. Sobolevräume und die L2-Regularitätstheorie

Beweis. Nach der Hölderschen Ungleichung ist 1

[

} nnB(zo,R)

IDul

~ IB(xo,R)I! ( }[nnB(zo,R) IDUI ~ 2)

~ c4(K')!Rd -1+ a

nach (8.1.37),

wobei C4 nur von d abhängt. Somit sind wiederum die Voraussetzungen von q.e.d. Satz 8.1.3 erfüllt. Schließlich benötigen wir später noch den folgenden Satz von Campanato, der Hölderstetigkeit durch Approximierbarkeit im V-Sinne durch Mittelintegrale über Kugeln charakterisiert. Satz 8.1.4. Es seip ~ 1, d< A ~ d+p. fl C IRd sei ein beschränktes Gebiet

mit der Eigenschaft, daß es ein 0 > 0 mit IB(xo,r)

n fll

~ or d

für alle Xo

E

fl,r > 0

(8.1.39)

gibt. Dann ist U E V(fl) genau dann aus Ca(fl) mit a = >';d (bzw. aus CO,l(fl) im Falle A = d + p), wenn eine Konstante K < 00 existiert mit

r

} B(zo,r)nn

Iu(x) - UB(zo,rl dx

~ KVr >'

für alle xo E fl, r > 0

(wobei in der Definition von UB(zo,r) U durch Null auf IRd

\

(8.1.40)

fl fortgesetzt

wird).

Beweis. Es sei U E Ca(fl), x

E fl

n B(xo, r). Dann ist

Iu(x) - UB(zo,R) I ~ (2r)a lIullca(n) und daher

womit (8.1.40) erfüllt ist. Zum Beweis der Umkehrung starten wir mit der folgenden Abschätzung

fürO
IUB(zo,R) - UB(zo,r) IV ~

2;-dr

1

(

r

} B(zo,r)nn

Iu - UB(zo,R) IV + }[B(zo,r)nn Iu - UB(zo,r) IV) .

8.1 Allgemeine Sobolevräume. Einbettungssätze

191

Hieraus folgt (8.1.41) Wir setzen R i = ~ und erhalten aus (8.1.41) 1UB(xo,R i

·,1-},

) -

},-d

UB(xo,Ri+tl 1 ~ c7 K2t --p R-p-.

(8.1.42)

Für i < j folgt hieraus ;\.-11

IUB(xo,R;) - UB(xo,R j ) 1

~

(8.1.43)

c8 KR;".

Daher bildet (UB(xo,R;J)iEN

eine Cauchyfolge. Da aus (8.1.41) mit

Ti

= ~ auch

für i

--+ 00

wegen A > d folgt, ist der Limes dieser Cauchyfolge unabhängig von der Wahl von R. Weil UB(x,r) nach Lemma A.4 für r --+ 0 in L l gegen u(x) konvergiert, folgt durch Grenzübergang j --+ 00 in (8.1.43) 1UB(xQ,R) - u(xo) 1 ~

},-d

(8.1.44)

cgKR-p-.

konvergiert also nicht nur in Ll, sondern auch gleichmäßig gegen U für R --+ o. Da für R > 0 uB(x,R) stetig in x ist, ist daher auch U stetig. Es bleibt nachzuweisen, daß U a-hälderstetig ist. Hierzu seien x, yEn, R:= Ix - yl. Dann ist

UB(xo,R)

Iu(x) - u(y)1

~

IUB(x,2R) - u(x)1

+ IUB(x,2R)

- UB(y,2R) 1

+ Iu(y)

- uB(y,2R) I·

(8.1.45)

Nun ist IUB(x,2R) - UB(y,2R) 1

~

IUB(x,2R) - u(z)1

+ Iu(z) -

UB(y,2R) 1

und daher durch .Integration bezüglich z über 2R) n B(y, 2R) n n

B(x,

IUB(x,2R) - UB(y,2R) 1

~

IB(x

,

+ ( <

2R) n !(y , 2R) n ill

JB(y,2R)nn

( J(B(x,2R)nn) Iu(z) -

UB(x,2R) 1 dz

Iu(z) - UB(y,2R) 1dZ)

Cg KR}';d+d 2R) n B(y, 2R) n ill durch Anwendung der Hälderschen Ungleichung.

IB(x,

192

8. Sobolevräume und die L 2 -Regularitätstheorie

Da wegen R =

Ix - yl

B(x, R)

c B(y, 2R),

ist nach (8.1.39)

IB(x,2R) n B(y, 2R) n nl ~ IB(x, R) n nl ~ ÖRd . Es folgt somit IUB(x,2R) - UB(y,2R)

I :::; clOK R >';,1.

(8.1.46)

Verwenden wir (8.1.44) und (8.1.46), so folgt >'-,1

Iu(x) - u(y)1 :::; cllK Ix -

yl-" ,

(8.1.47)

A;d.

also Hölderstetigkeit zum Exponenten a =

q.e.d.

Wir werden später die folgende lokale Fassung anwenden:

Korollar 8.1.7. Gilt für 0< r :::; Ro und für alle xE

r

JB(xo,r)

I

Iu - uB(xo,r) P :::;

no

'Yrd+POt.

mit Konstanten 'Y und 0 < a < 1, so ist u lokal a-hölderstetig in a-hölderstetig in jedem n 1 ce no).

no

(d.h. q.e.d.

Referenzen: Gilbarg-Trudinger[6] und Giaquinta[4].

8.2 Die L 2 -Regularitätstheorie: Innere Regularität schwacher Lösungen der Poissongleichung Für u :

n -+ IR definieren wir den Differenzenquotienten Ah ( )

"-I, U X

'= u(x

.

+ hei) - u(x) (h # 0), h

wobei ei der i-te Einheitsvektor des]Rd ist (i E {1, ... ,d}).

Lemma 8.2.1. Es sei u E W 1 ,2(n), n' ~~u E L 2 (n') und

ce n,lhl < dist(n', an). Dann ist (8.2.1)

Beweis. Durch ein Approximationsargument können wir uns wieder auf den Fall u E Cl(n) n Wl,2(n) beschränken. Dann ist

8.2 L 2 -Regularitätstheorie

193

Ll~u(x) = u(x + he~) - u(x) 1 t D~u(x . 1 , ... ,xi-I ,Xi +e,xi+l , ... ,xd )~, -_ hl o mit der Hölderschen Ungleichung dann

und weiter

L, ILl~u(x)12

dx S =

~

lL h

L

IDiul 2 dxde

ID i ul 2 dx. q.e.d.

Umgekehrt gilt:

Lemma 8.2.2. Es sei u E L 2(!1), und es existiere ein K < L2(!1') und

00

mit Ll?u E (8.2.2)

für alle h > 0 und !1' ce !1 mit h < dist(!1', iW). Dann existiert die schwache Ableitung Diu, und es ist (8.2.3)

Beweis. Für

LLl~u

uLl;h

für h

-+

-

L

uDi
O. Daher gilt auch

IL

UDi
11
Weil CÖ(!1) dicht in L 2 (n) ist, können wir daher

-

L

uDi
zu einem beschränkten linearen Funktional auf L2(n) erweitern. Nach dem im Anhang A zitierten Rieszschen Darstellungssatz existiert dann ein v E L2(!1) mit

L L
uDi

E CJ(!1).

Da dies die definierende Gleichung für Diu ist, muß v = Diu sein.

q.e.d.

194

8. Sobolevräume und die L 2 -Regularitätstheorie

Satz 8.2.1. u E W i ,2(n) sei schwache Lösung von Llu = f mit f E L2(n). Für jedes .0' ce .0 ist dann u E W 2,2(n'), und es gilt (8.2.4)

wobei die Konstante nur von 15 := dist(il', an) abhängt. Außerdem gilt Llu = f fast überall in il. Die Aussage von Satz 8.2.1 beinhaltet zweierlei, und zwar erstens eine Regularitätsaussage, daß eine schwache Lösung der Poissongleichung nämlich im Innern von der Klasse W 2,2 ist, und zweitens eine Abschätzung für die W 2,2_ Norm. Der Beweis wird beide Aussagen gleichzeitig liefern. Wenn jedoch die Regularitätsaussage schon bekannt ist, läßt sich die Abschätzung einfacher erhalten. Dieser einfachere Beweis der Abschätzung enthält aber trotzdem den wesentlichen Beweisgedanken, weshalb wir diesen Beweis zunächst vorstellen wollen. Zuallererst beweisen wir allerdings ein Lemma. Der Beweis dieses Lemmas ist typisch für Argumente der Regularitätstheorie schwacher Lösungen, und viele nachfolgende Abschätzungen werden Varianten dieses Beweises sein. Wir empfehlen daher der Leserin oder dem Leser, sich die nachfolgende Abschätzung sehr sorgfältig anzuschauen. Wir gehen von der Beziehung

In

Du· Dv = -

in

fv

für alle v E

H~,2(il)

(8.2.5)

aus. (Hierbei ist Du der Vektor (Diu, ... , Ddu).) Wir benötigen eine technische Vorbereitung: Wir konstruieren ein "I E CJ(il) mit 0 ::; "I ::; 1, TJ(x) = 1 für xE il' und IDTJI ::; j. Ein solches "I läßt sich durch Glättung, also durch Faltung mit einem glatten Kern in der im Anhang A beschriebenen Weise aus der folgenden Funktion 'Tlo erhalten. I

'Tlo(x):= { 0 16 - ..!. dist(x ' il') 30

für dist(x, .0') ::; ~ für dist(x, .0') ~ ~o für ~8 < dist(x , il') < -

70 8

Im wesentlichen interpoliert "10 also als (stückweise) lineare Funktion von dist(x, .0') zwischen .0', wo sie 1 sein soll, und dem Komplement von .0, wo sie 0 sein soll. Dies ist auch die Funktion der Abschneidefunktion 'Tl. Wenn man auf die (nicht wesentliche) Forderung der stetigen Differenzierbarkeit verzichtet, kann man auch einfacher I 'Tl(x):= { 0

1-

i dist(x, .0')

für x E .0' für dist(x, .0') ~ 15 für 0 ::; dist(x, il') ::; 15

setzen (man beachte dist(n', ail) ~ 15). Es ist nicht allzu schwer, nachzuweisen, daß "I E H~,2(il) ist, was für die folgenden Zwecke ausreicht. Nun setzen wir in (8.2.5) die Testfunktion

8.2 L2 -Regularitätstheorie

195

v = r?u ein, mit einem T/ der gerade vorgestellten Art. Dies liefert (8.2.6)

und hieraus folgt mittels der sogenannten Youngschen Ungleichung

c 1 ±ab ~ 2"a 2 + 2c b2 für a, b E lR, c > 0

!

(8.2.7)

für a = T/ IDu\, b = u IDT/I, c = beim zweiten Integral und für a b = T/U, c = 62 bei dem Integral auf der rechten Seite

{ T/ 2 1Du1 2 ~

Jn

~

{ T/ 21Du1 2 2 Jn

+ 2 { IDT/1 2 u2 +

Jn

Wenn wir noch 0 ~ T/ ~ 1, 17 = 1 auf hieraus

:2

Jn

~

j

2u

n', IDT/I

{

= T/f,

T/2 U 2 + 62 ( T/2 f2. 2 Jn (8.2.8) beachten, ergibt sich

also Lemma 8.2.3. u sei schwache Lösung von Llu = f mit f E L2(n). Dann gilt für jedes n' ce n 2

17

2

2

2

IIDulb(n') ~ 62 lIulb(n) + 6 Ilflb(n)' mit 6:= dist(n',an).

(8.2.9)

q.e.d.

Bis jetzt haben wir noch nicht ausgenutzt, daß wir u E W 2,2(n') für jedes {}' ce n annehmen wollen. Jetzt kommen wir aber zur Abschätzung der W 2,2-Norm und benötigen daher diese Annahme. U E W2,2(n')nW 1 ,2(n) erfülle wiederum

l

Du· Dv =

-l

fv

für alle v E

H~,2(n).

(8.2.10)

Gilt suppv ce n'(d.h. v E H~,2(n") für ein n" ce n'), so können wir, weil wir u E W2,2(n') voraussetzen, in (8.2.10) partiell integrieren und erhalten (8.2.11)

196

8. Sobolevräume und die L 2-Regularitätstheorie

o({}'),

o({}')

Dies gilt also insbesondere für alle v E C und da C dicht in L 2 ({}') liegt, gilt (8.2.11) dann auch für v E L 2 ({}'), wobei wir v = 0 in {} \ {}' setzen. Wir betrachten die Matrix D2u der zweiten schwachen Avleitungen von U und erhalten

d

=

d

DD LDjDju 1,L n iU '

i

i=l

i=2

+ Randterme,

die wir im Moment vernachlässigen und später mittels Abschneidefunktionen in innere Terme überführen (damit die erforderliche partielle Integration möglich ist, müssen wir sogar U E W 3,2({},) annehmen) d

=

1,ILD Dj n j

U

i=l

:s;

(l, 12) ! (l, ID2u1 2) !

(8.2.12)

nach der Hölderschen Ungleichung und hieraus (8.2.13) also

"D2U"~2(n') :s; 11/11~2(n)'

(8.2.14)

(8.2.9) und (8.2.14) ergeben zusammen

Ilull~!2,2(n') :s; (Cl(J) + 1) Ilull~2(n) + 211/11~2(n)'

(8.2.15)

Wir kommen nun zum richtigen Beweis von Satz 8.2.1: Es sei

n' ce n" ce n,

dist(n", an)

:::: ~ ,

dist(n' , an") > -4~.

Wir benutzen wieder

l Du .Dv = -lI' v für alle vE H~,2(n). Im folgenden betrachten wir v mit suppv

ce n"

(8.2.16)

8.2 L2 -Regularitätstheorie

197

und wählen immer h > 0 mit

2h< dist(suppv,aa"). Wir können dann in (8.2.16) auch L1fv (i E {1, ... ,d}) einsetzen. Es folgt

r

i{lll

DL1?u. Dv =

r

i{lll

L1?(Du). Dv

r

= -

i{lll

=-

Du . L1? Dv

r Du.D(L1?v)

i{lll

=

1

~

IlfII L 2({l) ·IIDvlb({lIl)

{l"

fL1?v (8.2.17)

nach Lemma 8.2.1 und Wahl von h. Es sei nun wie oben beschrieben Tl E cJ(a"), 0 ~ Tl ~ 1, Tl(x) = 1 für x E a', ID7J1 ~ 8/8. Wir setzen

Es ergibt sich mittels (8.2.17)

1 [lll

ITlDL1?uI2 =

~

1

[}"

DL1?u· Dv -

21

{}"

TlDL1?u.

L1~uD7J

IlfII L 2({l) IID (7J 2L1fu) 11 L2 ({lll) +21 ""DL1~ullL2({lIl) 11L1~uDTlIIL2({lIl) .

Mittels der Youngschen Ungleichung (8.2.7) und unter Verwendung von Lemma 8.2.1 (man beachte die Wahl von h) erhalten wir hieraus

Der wichtige Trick bei der Anwendung der Youngschen Ungleichung besteht hierbei darin, daß der Ausdruck II7JDL1full~2({lIl) auf der rechten Seite mit einem kleineren Faktor als auf der linken Seite auftritt und deswegen der Beitrag der rechten Seite auf der linken Seite absorbiert werden kann. Wir bekommen daher wegen Tl == 1 auf G' und (a 2 + b2 )! ~ a + b für h -+ 0 mit Lemma 8.2.2 (8.2.18)

198

8. Sobolevräume und die L 2-Regularitätstheorie

Aus Lemma 8.2.3 folgt nun (mit il" statt il')

II DuII L 2(n"> ::; Cl

(J IluII

L2

(n) + 81IfllL2(n»)

(8.2.19)

mit einer Konstanten Cl. (8.2.4) folgt aus (8.2.18) und (8.2.19). q.e.d. I Ist nun f sogar aus W ,2(il), so kann man in (8.2.5) statt v Div einsetzen und erhält

In

D(Diu) . Dv =

-In

Dd . v.

Satz 8.2.1 ergibt damit DiU E W 2,2(il'), also u E W 3,2(il'). Iterativ erhält man so

Satz 8.2.2. u E W I,2(il) sei schwache Lösung von Llu = f, f E Wk,2(il). Dann ist für jedes il' ce il u E Wk+ 2,2(il'), und

Il u ll wk+2.2(n

l )

::;

const.

(iluII L2 (n) + Ilfllw k •2 (n») ,

wobei die Konstante von d, kund dist(il', ail) abhängt.

Korollar 8.2.1. Ist u E WI,2(il) schwache Lösung von Llu GOO(il), so ist auch u E GOO(il). Beweis. Dies folgt aus Satz 8.2.2 und Korollar 8.1.2.

=f

mit

f

E

q.e.d.

Zum Abschluß dieses § wollen wir noch einmal eine grundlegende Bemerkung zur sog. elliptischen Regularitätstheorie machen, wie sie uns in diesem § zum ersten Mal begegnet ist und in nachfolgenden §§ noch häufig wiederbegegnen wird. Trivialerweise hat man für jedes u aus beispielsweise dem Sobolevraum W2,2(il) eine Abschätzung der Form

(wobei Llu hier als Summe der schwachen reinen Ableitungen von u verstanden werden kann). Die elliptische Regularitätstheorie liefert uns nun eine Abschätzung in umgekehrter Richtung; nach Satz 8.2.1 ist nämlich

Llu und ein Term niedrigerer Ordnung kontrollieren also schon alle zweiten Ableitungen von u. In diesem Sinne läßt sich auch Lemma 8.2.3 verstehen. Die Poincareungleichung besagt für jedes u E H~,2(il)

während für ein harmonisches u

E

W 1,2(n) die umgekehrte Abschätzung

8.3 Regularität am Rande; allgemeinere elliptische Gleichungen

199

(für n' ce n) gilt. In diesem Sinne hat man also in der elliptischen Regularitätstheorie Abschätzungen in beiden Richtungen, wobei sich die eine Richtung aus allgemeinen Einbettungssätzen und die andere aus dem Bestehen einer elliptischen Differentialgleichung ergibt. Aus der Kombination der beiden Richtungen lassen sich häufig Iterationsargumente zum Beweis immer höherer Regularität gewinnen, wie wir in diesem § gesehen haben und in nachfolgenden §§ noch oft sehen werden.

8.3 Regularität am Rande und Regularitätsaussagen für Lösungen allgemeiner linearer elliptischer Differentialgleichungen Durch das Dirichletsche Prinzip haben wir schwache Lösungen von

Llu = mit

1

in

n

u - 9 E H~,2(n)

zu vorgegebenen 1 E L2(n), gE Hl,2(n) gefunden. Im vorigen Kapitel haben wir gesehen, daß u im Innern von n so regulär ist, wie es 1 zuläßt. Es stellt sich nun die Frage, ob u auch auf an regulär ist, sofern 9 und an geeignete Bedingungen erfüllen. Als Vorüberlegung stellen wir zunächst fest, daß eine Lösung des obigen Dirichletproblems eine globale Schranke besitzt, die nur von 1 und gabhängt: Lemma 8.3.1. u sei schwache Lösung von.du =

beschränkten Gebiet

n.

J, u-g E Hci,2(.!?) in dem

Dann ist

Il ull w .2(n) S c(ilgllw 2(n) + Ilflb(n)), 1

(8.3.1)

1•

wobei die Konstante c nur von

Inl und d abhängt.

Beweis. In die schwache Differentialgleichung

in Du· Dv = -in Jv für alle v E H~,2(n) setzen wir die Testfunktion v = u - 9 ein und erhalten

J <~J

inlDul2 =

J J +~ J + ~ J1 + ~ J

Du·Dg-

Ju+

Jg

J

2 2 IDul 2 2 IDgl 2 c: -2 2 u + ~2 g2 für jedes c: > 0 mittels der Youngschen Ungleichung

200

8. Sobolevräume und die L 2 -Regularitätstheorie

und somit

also

Nun ist aber

(8.3.3)

Ilulb ::; Ilu - gllp + Ilglb ,

und nach der Poincareschen Ungleichung ist

(8.3.4) Insgesamt ergibt sich

IIDullL' :<: y€ (~I) liIDuIl L .+

(1+ y€ (~I) ') IIDglIL'

+2v'€llglIL2 + {!llfIIL2. Wenn wir nun

also

wählen, so erhalten wir

Wd)~ Ilgll p + V2. 4 (IDI)~ IIDullL2 ::; 311 Dgllp + 2 ( jnj Wd Ilf11 L2. (8.3.5) Aus (8.3.3)-(8.3.5) ergibt sich dann auch eine Abschätzung für (8.3.1) folgt.

Ilullp,

und q.e.d.

Wir wollen uns auch überlegen, daß wir die Betrachtung auf den Fall reduzieren können. Wir betrachten nämlich einfach ü := u - 9 E H~,2(n). ü erfüllt im schwachen Sinne

u

E H~,2 (D)

Llü

= Llu -

Llg

=f -

Llg

= f.

(8.3.6)

Wir setzen hierbei 9 E W 2,2(D) voraus und erhalten somit für ü E H~,2(D) die Gleichung

8.3 Regularität am Rande; allgemeinere elliptische Gleichungen

tlü =

!

201 (8.3.7)

mit! E L2(n) in schwacher Form. Da sich die W 2,2_Norm von U durch diejenigen von ü und 9 abschätzen läßt, reicht es also aus, Nullrandwerte zu betrachten. Wir nehmen an, daß U E Ht,2(n) schwache Lösung von tlu = f in n ist. Wir betrachten nun eine spezielle Situation; und zwar nehmen wir an, daß in der Nähe eines gegebenen Punktes Xo E an an ein Stück einer Hyperebene enthält, z.B. o.E. Xo = und

°

o l } nB(O,R) annB(O,R) = {(xI , ... ,xd -,0) 0

(B(O, R) = {x R> 0. Es sei

E ]Rd :

lxi <

R} ist das Innere der Kugel B(O, R) ) für ein

B+(O,R):= {(Xl, ... ,xd )

E

B(O,R): x d >

O} c n.

Ist nun", E CJ(B(O, R)), so ist

",2 u

Ht,2(B+(0, R)),

E

da wir annehmen, daß u im Sobolevschen Sinne auf an n B(O, R) verschwindet. Ist nun 1 ::; i::; d -1 und Ihl < dist(supp"" aB(O,R)), so ist auch

",2 tl7u

E

Ht,2(B+(0, R)).

Daher können wir wie im Beweis von Satz 8.2.1 vorgehen, um (8.3.8)

mit einer entsprechenden Abschätzung zu beweisen, sofern nicht i und j heide gleich d sind. Da aber aufgrund des Bestehens der Differentialgleichung d-l Ddd U

=f -

LDjju

(8.3.9)

j=l

ist, ist dann auch DddU E

L2

(B (0, ~)),

und wir erhalten die gewünschte Regularitätsaussage

wie auch die entsprechende Abschätzung. Für den allgemeinen Fall müssen wir geeignete Voraussetzungen an an fordern.

202

8. Sobolevräume und die L2 -Regularitätstheorie

Definition 8.3.1. Eine offene, beschränkte Menge n c ]Rd heißt von der Klasse C k (k = 0,1,2, ... ,00), falls zu jedem Xo E an ein r > 0 und eine bijektive Abbildung 4J : B(xo, r) -+ 4J(B(xo, r)) C ]Rd (B(xo, r) = {y E ]Rd :

Ixo - yl < r}) mit den folgenden Eigenschaften existieren: d d (z) 4J(nnB(xo,r)) c {(x 1 , ... ,x):x >O} •

0

(ii) 4J(an n B(xo, r)) C {(x\ ... , x d ) : x d = O} (iii) 4J und 4J- 1 sind von der Klasse C k •

Bemerkung. Dies bedeutet, daß an eine (d - 1)-dimensionale Untermannigfaltigkeit des ]Rd der Differenzierbarkeitsklasse C k ist. Definition 8.3.2. n C ]Rd sei von der Klasse C k , wie in Definition 8.3.1

beschrieben. Wir sagen, daß g : ii -+ ]R von der Klasse Cl (ii) für l ~ k ist, falls 9 E Cl (n) ist und für jedes Xo E an und jedes 4J von der in Definition 8.3.1 beschriebenen Art go4J-1 : {(xl, ... ,xd ) : x d 2::

O}

-+ ]R

von der Klasse Cl ist. Der wesentliche Gedanke der Randregularität besteht nun darin, statt u lokal Funktionen u 0 4J- 1 mit 4J aus Definition 8.3.1 zu betrachten. Wie am Anfang dieses Kapitels allgemein überlegt, können wir voraussetzen, daß die vorgeschriebenen Randwerte g = 0 sind. u 0 4J- 1 ist dann auf einer Halbkugel definiert, und wir können daher, wie vorstehend erläutert, die innere Regularitätstheorie übertragen. Allerdings erfüllt u 0 4J- 1 La. nicht mehr die Laplacegleichung. Es stellt sich aber heraus, daß u 0 4J- 1 eine allgemeinere Differentialgleichung erfüllt, die strukturell von ähnlichem Typ wie die Laplacegleichung ist und für die man die innere Regularitätstheorie auch ähnlich durchführen kann. Wir haben die entsprechende Transformationsformel schon in Kapitel 7.4 hergeleitet. w = u 0 4J- 1 erfüllt also eine Differentialgleichung (7.4.11), also

~ t (a~j (..j§tlj:~)) = 0,

V:J J=1

(8.3.10)

,=1

wobei sich die positiv definite Matrix gi j aus 4J und seinen Ableitungen berechnet (vgl. (7.4.7)). Wir wollen direkt eine noch allgemeinere Klasse von elliptischen Differentialgleichungen betrachten:

Lu

:=

d

d

',)=1

)=1

,L a:j (aij(x) a~i U(X)) + L a:j (bi(x)u(x)) a

+ L ci(x) axi u(x) + d(x)u(x) d

i=1

= f(x).

(8.3.11)

8.3 Regularität am Rande; allgemeinere elliptische Gleichungen

203

Wir müssen hierbei zwei wesentliche Annahmen machen: (Al) (Elliptizität) Es gibt ein ,\ > 0 mit d

L

aij(X)eiej ~

,\lel 2

für alle x E n,e E IR d .

i,j=l

(A2) (Beschränktheit) Es gibt ein M < sup (laij(x)l, jbi(x)

xEfl,i,j,

00

mit

I' Ic(x)l, Id(x) I) :::; M.

u heißt schwache Lösung des Dirichletproblems Lu = f in n (f E L 2 (n) gegeben) u - 9 E H~,2(n) , falls für alle v E H~,2(n)

in {L:

aij(x)Diu(x)Djv(x) +

tJ

- (

L lJl(x)u(x)Djv(x) J

~ c'(x )D,u(x) + d(X)U(X)) v(x) }dx =

-in

(8.3.12)

f(x)v(x)dx.

Um uns mit (8.3.12) ein wenig vertraut zu machen, probieren wir zunächst aus, was sich ergibt, wenn wir unsere bei der Betrachtung der schwachen Poissongleichung erfolgreichen Testfunktionen v = 1PU und v = u - 9 einsetzen. TJ sei hierbei eine Abschneidefunktion der in Kapitel 8.2 diskutierten Art bezüglich n' ce n. Mit v = TJ2 U wird (8.3.12) dann zu

in {L 2

TJ2ai j DiuDju + 2

L TJaijuDiuDjTJ + L TJ2lJluD u +

L u2b'~D;~ - L ~2c'uD,u - d~2U2 } ~ - Jf~2u.

j

(8.3.13)

Hieraus erhält man analog zu (8.2.8) mittels der Youngschen Ungleichung, diesmal in der Form (8.3.14) für c: > 0, (al, ... ,ad),(b1, ... ,bd) E IR d und einer positiv definiten Matrix (aijkj=l, ... ,d, die folgende Ungleichung

204

8. Sobolevräume und die L2 -Regularitätstheorie

J

T/ 2

1Du1 2

::;

::;

JL e~ J

~

T/2

aij DiuDju

IDul 2 T/2

+C2(!5, >..,

M, d)

+ cI(e, >.., M, d)

J

u2 1D1/1 2

+ 15;

J J

T/2 U2

1/ 2 /

2

(8.3.15)

mit noch zu wählendem e > 0 und 15 = dist( a', aa) mit Konstanten Cl, C2, die nur von den angegebenen Größen abhängen. Hierbei haben wir natürlich (Al) und (A2) benutzt. Für e = folgt

21

( IDuI 2

Ja

::; C3(!5,

>.., M, d) { u 2 +15 2

k

{

k

12,

(8.3.16)

wobei auch die Eigenschaften von T/ eingegangen sind. Dies ist das Analogon zu Lemma 8.2.3. Die globale Schranke aus Lemma 8.3.1 läßt sich dagegen nicht vollständig verallgemeinern. Wenn wir in (8.3.12) die Testfunktion u-g einsetzen, so erhalten wir nur (in der üblichen Weise unter geeigneter Verwendung der Youngschen Ungleichung, um alle Terme mit Ableitungen von u in den positiv definiten Hauptterm zu absorbieren)

J( IDul 2 ::; ~1 [J

J" .

~ a'J DiuDju

::; C4(>", M, d, laI)

(lIgll~f1.2 + II/lIi2([J) + lIulli2([J») . (8.3.17)

Es tritt also zusätzlich lIulli2([J) auf der rechten Seite auf. Daß dies La. wirklich erforderlich ist, erkennt man schon an der Differentialgleichung

u"(t) + K2U(t) = 0 für 0 < t < 7r u(O) = u(7r) = 0 mit

K

> O.

Für

K

E

(8.3.18)

N hat man nämlich die Lösungen

u(t) = bsin(Kt) mit beliebigem b E IR, und diese Lösungen lassen sich offensichtlich nicht allein durch die rechte Seite des Differentialgleichung und die Randwerte kontrollieren, weil diese Daten hier nämlich alle gleich 0 sind. Die lokale oder innere Regularitätstheorie aus Kapitel 8.2 läßt sich dagegen vollständig übertragen. Es gilt nämlich

Satz 8.3.1. u E W I ,2(il) sei schwache Lösung von Lu = I, d.h. es gelte (8.3.12). Es möge die Elliptizitätsvoraussetzung (Al) gelten. Außerdem seien alle K oejjizienten aij (x), ... , d( x) wie auch 1(x) von der Klasse Coo. Dann ist u E COO(il).

8.3 Regularität am Rande; allgemeinere elliptische Gleichungen

205

Bemerkung. Die Regularität ist eine lokale Aussage. Da wir voraussetzen, daß die Koeffizienten COO sind, gilt insbesondere auf jedem il' ce il eine Schranke der Form (A2), wobei die Konstante M allerdings von il' abhängen kann.

Zum Beweis von Satz 8.3.1: Wir reduzieren den Beweis zuerst auf den Fall bi, Ci, d = 0, d.h. auf die Regularität von schwachen Lösungen von

" 8x 8 j (.. 8 ) = f(x). Mu:= '~ a'J(x) 8xiU(x)

(8.3.19)

',J

Wir schreiben nämlich

Lu= f

einfach um als ",8.

",.8

Mu = - ~ 8x j (b1 (x)u(x)) - ~ c'(x) 8x i u(x) - d(x)u(x) + f(x). (8.3.20) Wir zeigen dann Satz 8.3.2. u E W 1,2(il) sei schwache Lösung von Mu = f mit f E Wk,2(il). Es gelte (Al), und die Koeffizienten aij(x) von M seien aus Ck+l(il). Dann ist für jedes il' ce il

u E Wk+2,k(il'). Gilt

(8.3.21 ) so ist

Il ull w k+2,k(n') ::; c (1I ullL2(n) + Ilfll w k,2(n»)

(8.3.22)

mit c = c(d, A, k, M k , dist(il', 8il)).

Mit dem Sobolevschen Einbettungssatz folgt dann, daß, falls a ij , f E Coo, eine Lösung von Mu = f ebenfalls aus C oo ist. Die entsprechende Regularität von Lösungen von Lu = f, wie in Satz 8.3.1 behauptet, erhalten wir nun durch das folgende wichtige Iterationsargument: Da wir u E W 1,2(il) voraussetzen, ist die rechte Seite von (8.3.20) aus L 2(il). Nach Satz 8.3.2 für k = 0 ist dann u E W2,2(il). Dies impliziert, daß die rechte Seite von (8.3.20) aus Wl,2(il) ist. Wir können daher Satz 8.3.2 für k = 1 anwenden und erhalten u E W3,2(il). Dann ist die rechte Seite aus W2,2(il), also u E W 4,2(il) usw. So erhält man, daß u E wm,2(il) für alle m E N und daher nach dem Sobolevschen Einbettungssatz auch aus COO(il) ist.

206

8. Sobolevräume und die L 2 -Regularitätstheorie

Den Beweis von Satz 8.3.2 werden wir nun nicht in allen Einzelheiten darstellen, da es sich um eine Verallgemeinerung der entsprechenden Argumente aus Kapitel 8.2 handelt, die nur eine umständlichere Notation, aber keine wesentlichen neuen Ideen erfordert. Wie diese Verallgemeinerung funktioniert, haben wir uns schon klargemacht, als wir die Testfunktion ry2 u in (8.3.12) eingesetzt haben. Das einzige, was noch hinzukommt, sind Regeln für das Rechnen mit Differenzenquotienten, z.B. die Produktregel

Llr(ab)(x) =

1

h (a(x + hel)b(x + heL) -

= a(x

a(x)b(x))

+ hedLl?b(x) + (Ll?a(x)) b(x).

(8.3.23)

Z.B. ist also

Llr (t, a'i (X)D,U(X)) ~ ~ (a;; (x + he/)Llr D,a(x) + LIra" (x )D,u(x)) .

(8.3.24) Man setzt wie vorher als Testfunktion Ll1hv statt v ein und erhält im Falle suppv ce flll, 2h < dist(suppv,8fl")

l,,2::

Ll? (aij(x)Diu(x)) Djv(x)dx =

J

f(x)Ll1hv(x)dx.

(8.3.25)

t,)

Mit (8.3.23) und Lemma 8.2.1 folgt hieraus

i" L.

aij(x + hel)Di.::1?u(x)Djv(x)dx

t,)

~ c5(d,Md (1IuIIW1,2(!]") + Ilfllp(!]») IIDvllp(!],,) ,

(8.3.26)

also ein Analogon zu (8.2.17). Da man wegen der Elliptizitätsbedingung (Al) die Abschätzung

A

l

IryDLl?u(x) 12 dx

~

l

ry2

2:: aij(x + hel).::1? Diu(x)Ll? Dju(x)dx t,}

hat, kann man nun wie im Beweis von Satz 8.2.1 und Satz 8.2.2 fortfahren. Willige Leser und Leserinnen sollten die Einzelheiten ohne prinzipielle Schwierigkeiten ausführen können. Wir kehren nun zur Frage der Randregularität zurück und formulieren Satz 8.3.3. Es sei u schwache Lösung von M u = f in fl mit u - g E Ht,2(fl). Wie immer gelte (Al). Es sei f E W k ,2(fl), g E Wk+2,2(fl). fl sei von der Klasse Ck+2, und die Koeffizienten aij von M seien von der Klasse Ck+l(.f?) (im Sinne von Definition 8.3.2). Dann ist U E

W k +2,2(fl),

Übungen

207

und es gilt

wobei c von A, d und

n

und CHi-Schranken für die a ij abhängt.

Beweis. Wie am Anfang dieses Kapitels ausgeführt, können wir annehmen, lokal eine Hyperebene ist, indem wir statt u die Komposition uorjJ-i daß betrachten, wobei rjJ ein Diffeomorphismus der in Definition 8.3.1 beschriebenen Art ist. Nach (7.4.12) transformiert sich unsere Gleichung Mu = f dabei in eine Gleichung

an

!VIü=j

vom gleichen Typ, wobei die Abschätzungen für die Koeffizienten von !VI sich jetzt aus denjenigen für die a ij und Abschätzungen für die Ableitungen von rjJ ergeben. Wie man nun Abschätzungen für u in dieser speziellen geometrischen Situation bekommt, haben wir oben schon erklärt, und mit diesem Hinweis wollen wir uns wieder begnügen, statt in längliche Einzelheiten ohne neue Ideen einzusteigen. q.e.d. Bemerkung. Als Referenz zur Regularitätstheorie der schwachen Lösungen empfehlen wir Gilbarg-Trudinger[6].

Zusammenfassung In diesem Kapitel werden zunächst Sobolevräume als Räume integrierbarer Funktionen eingeführt, welche nicht notwendig im klassischen Sinne differenzierbar sind, aber doch sog. verallgemeinerte oder schwache Ableitungen besitzen, für welche die Regeln der partiellen Integration gelten. Einbettungssätze setzen Sobolevräume in Beziehung zu LV-Räumen oder Räumen stetiger, hölderstetiger oder differenzierbarer Funktionen. Die schwachen Lösungen der Laplace- oder Poissongleichung, die im Kap. 7 mittels des Dirichletschen Prinzips gewonnen worden waren, liegen in solchen Sobolevräumen. In diesem Kapitel wird mit Hilfe der Einbettungssätze gezeigt, daß schwache Lösungen regulär, d.h. beliebig oft differenzierbar und somit auch Lösungen im klassischen Sinne sind.

Übungen 8.1 Es sei u : n -+ IR integrabel, 0, ß Multiindices. Zeigen Sie, daß, falls zwei der schwachen Ableitungen Do:+ßu, Do:(Dßu), Dß(Do:u) existieren, auch die dritte existiert und alle drei übereinstimmen.

208

8. Sobolevräume und die L2 -Regularitätstheorie

8.2 Es seien U,V E Wl,l(il) mit UV, uDv + vDu E Ll(il). Dann ist auch uv E W1,1(il), und die schwache Ableitung erfüllt die Produktregel

= uDv + vDu.

D(uv)

(Zum Beweis ist es nützlich, zuerst den Fall zu betrachten, wo eine der beiden Funktionen von der Klasse Cl(il) ist.) 8.3 Für m 2: 2, 1 ~ q ~ und

m/2, u E H~'ff:r (il) n Li!=r(il) gilt u E H1,!ff(il)

IIDull~~(n) ~ (Anleitung: Für p =

const.

IluIlL;f:'r(n) II D2u II L ;fFr(n)'

~

IDiul P = Di(uDiUIDiUIP-2) - UDi(DiUIDiUIP-2).

Der erste Term auf der rechten Seite verschwindet bei einer Integration über il für u E C(f(il) (Approximationsargument!), und für den zweiten benutzen wir die Formel D i (vlvI P- 2)

= (p -1)(D i v)lvI P- 2.

Schließlich muß man die Höldersche Ungleichung in der Form

II U1U2 U3I1LI(n)

~ IIUlllul(n) II U2Ib2(n) II U3I1 u '3(n)

für Ui E LPi(il), -L + -L + -L = 1, heranziehen (Beweis!).) PI P2 P3 8.4 Es seien il1

:=

il2 :=

d

o

B(O, 1) C lR d lR \ B(O, 1), 0

also die d-dimensionale Einheitskugel und ihr Komplement. Für welche Werte von k,p, d, Q ist

f(x) :=

Ixl

Q

in Wk,P(ill) oder Wk,P(il 2) ? 8.5 Beweisen Sie die folgende Fassung des Sobolevschen Einbettungssatzes: Es sei u E Wk,P(il), il' ce il c IR d . Dann ist uE {

L ,l~~" (il') für kp < d cm(il') für 0 ~ m < k - dip.

8.6 Formulieren und beweisen Sie eine zu Aufgabe 5) analoge Verallgemeinerung von Korollar 8.1.5 für U E Wk,P(il). 8.7 Führen Sie die Einzelheiten des Beweises von Satz 8.3.2 durch. (Dies mag zwar nach dem im Text Gesagten langweilig erscheinen, aber zum gründlichen Verständnis der Abschätzungstechniken gehört auch eine gewisse Routine in der Behandlung von zusätzlichen Termen niedrigerer Ordnung und variablen Koeffizienten. )

9. Starke Lösungen

9.1 Die Regularitätstheorie der starken Lösungen Wir beginnen mit einer elementaren Beobachtung: Es sei v E cg(n). Dann ist

1 = -1 =1

IID2vll~2{n) =

d

L

n i,j=1

VXix;Vxi X;

d L

n i,j=1

VX'XiXiVxi d

LVXiXi LVXiXi

n i=1

=

j=1

IILlvll~2{n) .

(9.1.1)

Die L2-Norm von Llv kontrolliert also insbesondere schon die L2-Normen aller zweiten Ableitungen von v. Löst v also die Differentialgleichung

Llv = f, so kontrolliert die L 2-Norm von f die L 2-Norm der zweiten Ableitungen von v. Dies ist eine Aussage im Sinne der elliptischen Regularitätstheorie, wie wir sie in § 8.2 (vergl. Satz 8.2.1) kennengelernt haben. Allerdings haben wir bei unserer vorstehenden Überlegung angenommen, daß v erstens dreimal stetig differenzierbar ist und zweitens kompakten Träger hat. In der elliptischen Regularitätstheorie sollen aber gerade Regularitätsaussagen gezeigt werden, und außerdem treten typischerweise nicht verschwindende Randwerte auf an auf, so daß derartige Annahmen nicht zulässig sind und wir uns nun davon befreien müssen. Dies soll im vorliegenden § geschehen. Wir beweisen zuerst einen elementaren Spezialfall der Calderon-ZygmundUngleichung. Es sei fE L2(n), n offen und beschränkt in ]Rd. Wir definieren das sogenannte Newtonpotential von f als

w(x):=

In

J. Jost, Partielle Differential-gleichungen © Springer-Verlag Berlin Heidelberg 1998

rex, y)f(y)dy

(9.1.2)

210

9. Starke Lösungen

mit der Fundamentallösung aus § 1.1,

r(x, y) =

{

2~ log Ix - yl 1 Ix _ 12 - d d(2-d)w,l Y

für d = 2 für d > 2 .

Satz 9.1.1. Es sei f E L 2 (n) und w das Newtonpotential von f. Dann ist w E W 2,2(n), Llw = f fast übemll in n und (9.1.3) (w heißt starke Lösung von Llw = f, weil die Gleichung fast übemll erfüllt ist). Beweis. Wir nehmen zunächst f E CIf(n) an. Dann ist w E COO(lRd ). Es sei n ce no, no beschränkt mit glattem Rand. Wir wollen uns zuerst überlegen, daß für x E n 2 8 8t'8 J.w(x) =

x x

1 ilo

8 2 .r(x,y)(f(y) - f(x))dy -8'8 J x' x

+f(x) Ja

8

8ilo

.

-8. r(x, y)v J do(y) x'

(9.1.4)

ist, wobei v = (vI, ... , vd ) die äußere Normale und do(y) das Oberflächenelement von 8no ist. Dies folgt leicht aus der Tatsache, daß

,r(x, y)(f(y) I-x82'88 x t

J

I

1 d If(Y) - f(x)1 Ix - yl 1 ::; const. d-l Ilflb ' Ix -yl

f(x)) ::; const.

die Singularität in dem Integral also integrabel ist. (Man betrachtet dann nämlich einfach

ve(x) =

J8~i

r(x, Y)1Je(y)f(y)dy,

wobei 1Je(Y) = 0 für lyl ::; c:, 1Je(Y) = 1 für lyl 2': 2c: und ID1Jel ::; ~ ist, und zeigt, daß für c: ~ 0 Djve gegen die rechte Seite von (9.1.4) strebt.) Bemerkung. (9.1.4) bleibt auch für hölderstetiges f richtig, vgl. § 10.1, da man dann den Integranden durch

const. abschätzen kann (0 < a < 1).

1

Ix-yl

d-o:

Ilflb.

9.1 Die Regularitätstheorie der starken Lösungen

Weil

Llr(x, y) =

°

211

für alle x =I- y

ist, folgt mit Do = B(x, R), R genügend groß, aus (9.1.4) d

Llw(x)

dwd~d-l fex) lX-YI=R "f:. vi(Y)Vi(y) do(y) = fex).

=

(9.1.5)

Insbesondere hat mit fauch Llw kompakten Träger; dieser sei im Innern von B(O, R) enthalten. Dann gilt

r J B(O,R)

r r

=-

=

d

i~l

J B(O,R)

J B(O,R)

(ß2 )2 ßxißx j w

L~w~f+ i

ßx'

(Llw)2 +

ßx'

r

r

JaB(O,R)

Dw·

J aB(O,R)

~

Dw.~Dwdo(y) ßv

Dwdo(y).

(9.1.6)

uV

Für R ~ 00 verhält sich aber Dw wie R 1- d, D2w wir R-d, und daher strebt das Integral über ßB(O, R) für R ~ 00 gegen Null. Wegen (9.1.5) folgt aus (9.1.6) dann (9.1.3). Um zum allgemeinen Fall f E L 2 (D) überzugehen, überlegen wir, daß nach Satz 7.2.2 für f E Cij"(S2) die W l ,2-Norm von w durch die L2-Norm von f kontrolliert werden kann. l Wir approximieren dann f E L 2 (D) durch (In) E Oü(D). Durch Anwendung von (9.1.3) auf die Newtonpotentiale W n von fn folgt dann, daß diese in W 2,2(D) eine Cauchyfolge bilden. Der Limes w erfüllt dann wiederum (9.1.3), und weil L 2 -Funktionen fast überall definiert sind, folgt auch Llw = f fast überall. q.e.d. Unsere Überlegungen lassen sich auch zu einem Beweis von Satz 8.2.1 ausbauen; wir formulieren die Aussage noch einmal als Satz 9.1.2. Es sei u E W l ,2(D) eine schwache Lösung von Llu = f mit f E L 2 (D). Dann ist u E W 2 ,2(D') für jedes D' ce D, und es gilt (9.1. 7) wobei die Konstante nur von d, D und D' abhängt. Ferner gilt

Llu = f

fast überall in D.

Beweis. Wir betrachten wiederum zunächst den Fall u E 03(D). Es sei B(x, R) c D, a E (0,1), 'f/ E C8(B(x, R)) eine Abschneidefunktion mit 1

vgl. den Beweis von Lemma 7.3.1

212

9. Starke Lösungen

o ~ ry(y)

1 ry(y) = 1 fürYEB(x,O'R) ~

ry(y) = 0 für y E R,d \ B (x, 1 ~ 0' . R) IDryl

~

(1 _40')R

ID'T/ I ::; (1- 160')2R2' 2

Wir setzen v:='T/u.

Dann ist v E Cg(B(x,R)), und aus (9.1.1) folgt

II D2v ll L2 (B(x,R)) = Nun ist Llv

II.1vII L2 (B(x,R))·

(9.1.8)

= ryLlu + 2Du . Dry + uLl'T/,

also

II D2U II L2 (B(x,ITR)) ::; IID2vIIL2(B(x,R))

(9.1.9)

::; const.( 1I/II L 2(B(x,R))

+ (l_lO')R

IIDulb(B(x,~.R))

+ (1- ~)2R2 Ilulb(B(x,R)))'

Es sei nun

eE CJ(B(x,R)) eine Abschneidefunktion mit o ::; e(y) ::; 1 e(y)

=

1 für y E B

(x,

1

~ 0' R)

4

IDel ::; (1- O')R'

Mit w

= eu folgt,

weil u schwache Lösung von Llu

r

} B(x,R)

und hieraus

r

} B(x,R)

e

IDul 2 = -2

Du. D(eu)

r

} B(x,R)

=-

r

} B(x,R)

euDu . De -

: ; ~ }{B(x,R) e

r

= 1 ist, 1eu

} B(x,R)

1 eu

IDul 2 + 2 { u 2 1Del 2 } B(x,R)

1

+(1- 0')2R 2

B(x,R)

12 +

11

(1 - 0')2 R2 B(x,R)

u2 ,

9.1 Die Regularitätstheorie der starken Lösungen

213

also eine Abschätzung für lIeDuIIL2(B(x,R»' und somit auch IIDulb(B(x,~R))

(9.1.10)

:::; IleDu IIL2(B(x,R» :5

const.( (' _'q)R II-IIL'

(B(.,R))

+ (' - q)R 11111 L' (B(.,R)) )

Aus (9.1.9) und (9.1.10) ergibt sich

IID 2 uIIL2(B(x,uR)l :::; const.

(1IfllL2(B(x,R» + (1- ~)2R21IuIIL2(B(X'R») .

(9.1.11) Setzt man nun in (9.1.11) a = und überdeckt D' mit einer endlichen Anzahl von Kugeln B(x, R/2) mit R:::; dist(D', aD), so folgt (9.1.7) für U E C2(D). Für den allgemeinen Fall U E W 1 ,2(D) betrachten wir die Glättungen Uh wie in Anhang A: es sei 0 < h < dist(D',aD). Dann gilt

!

in

DUh . Dv = -

f

fh v, für alle v E

H~,2(D),

und, da die Uh E COO(D) sind, auch

Nach Lemma A.3 gilt

Insbesondere besitzen die U n und die !h also die Cauchyeigenschaft in L2(D). Wir wenden (9.1.7) auf Uhl - Uh2 an und erhalten

Iluhl -

Uh21Iw2,2(!l/) :::; const.

(11uh

1 -

uh211L2(!l)

+ II!hl - !h211L2(!l»)'

Es folgt, daß Uh die Cauchyeigenschaft in W2,2(D') besitzt. Daher liegt der q.e.d. Grenzwert U in W2,2(D') und erfüllt (9.1.7). Ist nun f E W 1 ,2(D), so ist, weil U E W2,2(D') für alle D' ce D, Diu dann schwache Lösung von LlDiu = Dd in D'. Es folgt dann Diu E W 2,2(D") für alle D" ce D', also U E W3,2(D"). Iterativ erhält man so einen neuen Beweis von Satz 8.2.2, hier formuliert als Satz 9.1.3. Es sei U E W 1 ,2(D) schwache Lösung von Llu = f, f E

Wk,2(D). Dann ist U E Wk+2,2(Do) für alle Do ce D, und es gilt

Ilullwk+2,2(!lol :::; const. (1I ullL2(!l) + IIfll w k ,2(!ll) wobei die Konstante von k, d, D und Do abhängt.

q.e.d.

214

9. Starke Lösungen

Entsprechend erhalten wir einen neuen Beweis von Korollar 8.2.1: Korollar 9.1.1. Ist u E W 1 ,2(Q) schwache Lösung von .du =

COO(Q), so ist auch u E COO(Q).

I mit I

Beweis. Satz 9.1.3 und Korollar 8.1.2.

E

q.e.d.

9.2 Ausblick auf die LP-Regularitätstheorie und Anwendungen auf Lösungen semilinearer elliptischer Gleichungen Die Ergebnisse des vorigen § gelten nicht nur für den Exponenten p = 2, sondern für jedes 1 < P < 00. Dies wollen wir in diesem § erläutern. Grundlage der LP-Regularitätstheorie ist die Calderon-Zygmund-Ungleichung, die wir hier allerdings nur zitieren, aber nicht beweisen wollen. Satz 9.2.1. Es sei 1 < P < 00, I E LP(Q) (Q c IRd offen und beschränkt), und w sei das Newtonpotential (9.1.1) von I. Dann ist w E W 2,P(Q), .dw = I last überall in Q und

(9.2.1) wobei die Konstante c(d,p), wie schon in der Notation zum Ausdruck gebracht, nur von der Raumdimension d und dem Exponenten p abhängt. Im Gegensatz zum Falle p = 2 (Satz 9.1.1), wo c(d, 2) = 1 für alle d und der Beweis elementar ist, ist der Beweis im allgemeinen Fall relativ lang; wir verweisen auf Bers-Schechter[l] oder Gilbarg-Trudinger[6). Mittels der Calderon-Zygmund-Ungleichung bekommen wir eine Verallgemeinerung von Satz 9.1.2: Satz 9.2.2. Es sei u E Wl,l(Q) eine schwache Lösung von .du = LP(Q), 1 < P < 00, in dem Sinne, daß

f

Du· Dcp = -

fI

Dann ist u E W 2,P(Q') für jedes Q'

cp lür alle cp E

ce Q,

Co (m·

I, I

E

(9.2.2)

und es gilt (9.2.3)

wobei die Konstante von p, d, Q' und Q abhängt. Es gilt auch .du =

I fast überall in Q.

(9.2.4)

9.2 Ausblick auf die V'-Regularitätstheorie

215

Auch von diesem Satz wollen wir hier keinen vollständigen Beweis bringen. Diesmal wollen wir aber wenigstens den Beweis skizzieren: Abgesehen davon, daß man (9.1.8) durch die sich aus der Calderon-ZygmundUngleichung (Satz 9.2.1) ergebenden Abschätzung (9.2.5) zu ersetzen hat, kann man zunächst genauso wie im Beweis von Satz 9.1.2 vorgehen, um die Abschätzung II D2V ll u'(B(x.R» $ const. (1Ifllu'(B(X,R»

+ (1 + (1

1 a)R

_

IIDullu·(B(x.~R»

~)2R2 Ilu1b(B(X,r»)

(9.2.6)

für 0 < a < 1, B(x, R) C n zu erhalten. Der zweite Teil des Beweises, nämlich die Abschätzung von IIDulb ist allerdings für p f:. 2 wesentlich schwieriger als für p = 2. Man benötigt ein Interpolationsargument. Für Einzelheiten verweisen wir auf Gilbarg-Trudinger, loc.cit., oder Giaquinta[5]. Soweit zu unserer Beweisskizze. Die Leserin oder der Leser mag nun den Eindruck bekommen haben, daß es sich bei der LP-Theorie um eine technisch aufwendige, aber möglicherweise weitgehend nutzlose Verallgemeinerung der L 2 _Theorie handelt. Die Notwendigkeit der LP-Theorie erschließt sich nämlich erst bei Anwendungen auf nicht lineare Differentialgleichungen, und wir wollen deswegen ein entsprechendes Beispiel diskutieren. Wir betrachten die Differentialgleichung (9.2.7) mit glattem r. Außerdem soll der Term r(u) beschränkt sein, wozu wir voraussetzen, daß entweder r beschränkt ist oder wir schon wissen, daß die zu untersuchende (schwache) Lösung u beschränkt ist. Die Gleichung (9.2.7) kann beispielsweise als Euler-Lagrange-Gleichung des Variationsproblems I(u) :=

l

g(u(x))IDu(xW dx

-+

min

(9.2.8)

auftreten, wobei 9 glatt sein und die Ungleichungen

0< A$ g(v) $ A < 00, Ig'(v)1 $ k < 00

(9.2.9)

(g' bezeichne die Ableitung von g) mit Konstanten A, A, k für alle verfüllen soll.

216

9. Starke Lösungen

Zur Aufstellung der Euler-Lagrange-Gleichungen für (9.2.8) untersuchen wir wie in § 7.4 für cp E HJ,2([}), t E IR,

I(u + tcp) =

In

g(u + tcp)ID(u + tcp)1 2 dx.

Dann ist

;'I(U +

t
{ 2g(u)

~ D,uD,

f( f

-2g(u)Llu - 2

~ Dig(u)Diu + g'(u) IDUI2) cpdx

(-2g(u)Llu - g'(u)I DuI2 ) cpdx

nach einer partiellen Integration, unter Voraussetzung, daß u E 0 2 ist. Die Euler-Lagran~e-Gleichung, welche aus der Forderung, daß dieser Ausdruck für alle cp E HO,2([}) verschwinden soll- was z.B. eintritt, wenn u ein Minimum von I(u) zu festen Randwerten ist -, hervorgeht, ist also

Llu + g'(u) IDu l2 = 2g(u)

o.

(9.2.10)

Mit r(u) := ~~~:) erhalten wir also (9.2.7). Um die LP-Theorie zur Anwendung bringen zu können, nehmen wir nun an, daß u eine schwache Lösung von (9.2.7) mit u E WI,Pl ([})

für ein PI > d

(9.2.11)

ist. Hierbei sei wie üblich [} c IR d , und d bezeichne also die Raumdimension. Die Voraussetzung (9.2.11) mag nun willkürlich erscheinen. Daß eine derartige Voraussetzung erforderlich ist, ist aber typisch für nichtlineare Differentialgleichungen. Zwar läßt sich im vorliegenden Fall zeigen I , daß jede schwache Lösung u der Klasse W 1,2([}) auch in W1,P([}) für jedes P liegt, aber in strukturell ähnlichen Fällen, z.B. wenn u vektorwertig statt skalarwertig ist (und wir infolgedessen statt einer einzigen Gleichung ein System von - üblicherweise gekoppelten - Differentialgleichungen vom Typ (9.2.7) bekommen), gibt es Beispiele, bei denen schwache Lösungen aus W I,2([}) existieren, welche in keinem Raum WI,P([}) mit P > 2 liegen. Man braucht mit anderen Worten bei nichtlinearen Gleichungen typischerweise eine gewisse Anfangsregularität einer Lösung, bevor die lineare Theorie greift. Um nun die LP-Theorie auf unsere Lösung u von (9.2.7) anzuwenden, setzen wir 1

Ladyzhenskya und Ural'tseva[9] oder die Hinweise in § 11.3

9.2 Ausblick auf die LP-Regularitätstheorie

f(x) := -r(u(x))IDu(x)1 2 •

217

(9.2.12)

Dann ist nach (9.2.11) und der vorausgesetzten Beschränktheit von r(u) (9.2.13) und u erfüllt

..1u = f

in D.

(9.2.14)

Nach Satz 9.2.2 ist dann u E W 2 ,pl/2 (D') für jedes D'

ce D.

(9.2.15)

Nach dem Sobolevschen Einbettungssatz (Kor. 8.1.1, Kor. 8.1.3 und Aufg. 2 aus Kap. 8) ist dann u E W i ,P2(D') für jedes D'

ce D

(9.2.16)

mit P2

dl!.!.

= d _2l!.!. > Pi wegen Pi > d.

(9.2.17)

2

Also ist auch

f

E L 1!j (D')

für alle D'

ce

D,

(9.2.18)

und wir können wiederum Satz 9.2.2 und den Sobolevschen Einbettungssatz anwenden, um für alle D' ce D" uE

w 2,,,~ n W 1,P3(D') mit P3 =

dEl. d _ 2El.

> P2

(9.2.19)

2

zu bekommen. Iterieren wir dieses Verfahren, so erhalten wir schließlich u E W 2 ,Q(D') für alle q.

(9.2.20)

Nun differenzieren wir (9.2.7), um eine Gleichung für Diu, i = 1, ... d, zu bekommen, nämlich (9.2.21)

Wir setzen jetzt (9.2.22)

Dann ist

218

9. Starke Lösungen

und wegen (9.2.20) somit auch

f

E

LP (fl') für alle p.

v := Diu erfüllt also ..dv =

f mit f

E

LP{fl') für alle p,

(9.2.23)

und nach Satz 9.2.2 ist dann v E W 2,P{fl') für alle p,

also

u

E

W 3 ,P{fl') für alle p.

(9.2.24)

Wir differenzieren dann noch einmal, erhalten eine Gleichung für Diju (i,j = 1, ... ,d), auf welche Satz 9.2.2 anwendbar ist, bekommen u E W 4 ,P{fl') für alle p, usw. Indem wir das Verfahren wiederum iterieren (diesmal mit immer höheren Ableitungen statt wie vorher mit immer höheren Exponenten) und den Sobolevschen Einbettungssatz (Kor. 8.1.2) anwenden, erhalten wir Satz 9.2.3. u E Wl,Pl (fl) mit Pi

> d (fl C JRd) sei schwache Lösung von

..du + r(u)IDuI 2 = 0 mit glattem r und beschränktem r(u). Dann ist

u E COO(fl). q.e.d.

Wir haben diese Iterationsprozesse, in denen man in einem Schritt gewonnene Informationen über u als strukturelle Information über die Gleichung interpretiert, welche u erfüllt (im vorliegenden Fall stecken wir die Information in die rechte Seite f der Gleichung, aber in Kap. 11 werden wir auch anders geartete Fälle kennenlernen), um dann hieraus im nachfolgenden Schritt verbesserte Informationen über u herauszuziehen, in einiger Ausführlichkeit dargestellt, weil solche Verfahren für die Regularitätstheorie nichtlinearer elliptischer Differentialgleichungen typisch und wesentlich sind. Wie schon erwähnt, benötigt man aber zumeist eine gewisse Anfangsregularität, um die lineare Theorie anwenden zu können.

Übungen

219

Zusammenfassung u aus dem Sobolevraum W 2,2(n) heißt starke Lösung von ..du =

J,

wenn diese Gleichung für fast alle x aus fl gilt. In diesem Kapitel wird gezeigt, daß schwache Lösungen der Poissongleichung auch starke Lösungen sind. Dies eröffnet einen alternativen Zugang zur Regularitätstheorie. Allgemeiner gilt für eine schwache Lösung u E W1,1(fl) von

Llu =

J,

mit J E LP(fl) die auf der Calderon-Zygmund-Ungleichung beruhende LPAbschätzung (für alle fl' ce fl)

und zwar für alle 1 < P < 00 (aber nicht für p = 1 oder p = 00). Diese Abschätzung ist nützlich für Iterationsverfahren zur Regularität von Lösungen nichtlinearer elliptischer Gleichungen. Beispielsweise ist jede Lösung u von ..du + r(u)IDuI 2 = 0

mit regulärem r von der Klasse COO(n), sofern sie die anfängliche Regularitätsbedingung u

E

W1,P(.!?) für ein p > d(=Raumdimension)

erfüllt.

Übungen 9.1 Zeigen Sie (unter Verwendung der in § 9.2 vorgestellten Sätze) die folgende Aussage: Es sei u E W 1,2(fl) schwache Lösung von

..du =

J

mit J E Wk,P(fl) für ein k ~ 2 und ein 1 < P < 00. Dann ist u E Wk+2,P(flo) für alle flo ce fl, und

220

9. Starke Lösungen

9.2 Wir betrachten die folgende Abbildung u: B(O, 1)(C ]Rd) _ ]Rd

iiT. X

X

t--+

Zeigen Sie, daß für d ~ 3 u E W 1,2(B(0,1),]Rd) ist (dies bedeutet einfach, daß alle Komponenten von u in W 1,2 liegen). Zeigen Sie weiter, daß u eine schwache Lösung des Systems von partiellen Differentialgleichungen Llu

Q

+u

d

Q

L

i,ß=l

/D i u ß /2

=

°

für a:

= 1, ... , d

ist. Da u nicht stetig ist, sind also Lösungen von Systemen semilinearer elliptischer Differentialgleichungen nicht notwendig regulär.

10. Die Schaudersehe Regularitätstheorie und die Kontinuitätsmethode (Existenzverfahren IV)

10.1 Die CQ-Regularitätstheorie für die Poissongleichung Wir benötigen das wichtige Konzept der Hölderstetigkeit, welches wir aus Kapitel 8.1 wiederholen wollen: Definition 10.1.1. Es sei f : n -+ IR, Xo E n, 0 stetig im Punkte Xo zum Exponenten Q, falls sup xEfl

If(x) -

1x -

f(xo)1 Xo

10

< Q < 1. f heißt hölder-

< 00.

(10.1.1)

f heißt hölderstetig in n, falls hölderstetig in jedem Xo E n (zum Exponenten Q); in Zeichen: f E Co (n). Gilt (10.1.1) für Q = 1, so heißt f lipschitzstetig in xo. Entsprechend ist Ck,o(n) der Raum der fE Ck(n), deren k-te Ableitungen hölderstetig zum Exponenten Q sind.

Wir definieren eine Seminorm durch

Ifb'(fl):= x,yEn sup

If(x) - f(y)1

IX

-

1°

Y

(10.1.2)

Wir definieren

Ilflb'(fl)

=

Ilfllco(fll + If\cc'(fll

und allgemein

Ilfllck,<> (n) als Summe aus Ilfllck(fll und den Höldernormen sämtlicher k-ter partieller Ableitungen von f. Wie schon in Definition 10.1.1 schreiben wir statt Co,o meist einfach Co. Es gilt das elementare Lemma 10.1.1. Für zwei Funktionenft,h E CO(G) aufG C IRd giltfth E CO(G), und

Ifthlco(Gl

$

(s~p Iftl) Ihlca(Gl + (s~p 1121) Iftlco(Gl'

J. Jost, Partielle Differential-gleichungen © Springer-Verlag Berlin Heidelberg 1998

222

10. Existenzverfahren IV

Beweis. Ift(x)h(x) - f~(Y)h(Y)1 :::; Ift(x) - f~(Y)llh(x)1

Ix - Yl

Ix - Yl

+ Ih(x) - f!(Y)llft(x)l, Ix - Yl q.e.d.

woraus die Behauptung direkt folgt.

Satz 10.1.1. Es sei

ac

jRd

-wie immer- offen und beschränkt,

u(x)

:=

In

r(x, y)f(y)dy,

(10.1.3)

mit der Fundamentalläsung raus § 1.1. a) Ist fE LOO(a) (d.h. sUPxEn If(x)1 < oop, so ist u E CI,"'(a), und

Ilulb,"(n) ::; Cl sup Ifl b) Ist f

E

für

(X

E (0,1).

(10.1.4)

Cff(a), so ist u E C 2,"'(a), und

lIulb,"(n) :::; c21Ifll c "(n)

für 0 < (X < 1.

(10.1.5)

Die Konstanten in (10.1.4) und (10.1.5) hängen hierbei von (x, d und lai ab. Beweis. a) Die ersten Ableitungen von u sind bis auf einen konstanten Faktor gegeben durch

. 1

v'(x)

:=

yi d f(y)dy n Ix-Yl Xi -

(i = 1, ... ,d).

Dann ist (10.1.6) Nach dem Mittelwertsatz existiert ein X3 auf der Verbindungsstrecke zwischen und X2 mit

Xl

Xl - yi

-=----"-'d -

lXI - yl 21xI - x21.

x~ - yi IX 2 -

yl

d

:::;

c31xl - x21 IX 3 -

Yl

d .

(10.1.7)

Wir setzen 8 := Da a beschränkt ist, existiert ein R > 0 mit c B(X3, R), und wir ersetzen das Integral über in (10.1.6) durch das Integral über B(x3' R) und spalten dieses auf als

a

a

(10.1.8)

1

"sup" bezeichnet hier das wesentliche Supremum, wie in Anhang A erklärt

10.1 Die CQ-Regularitätstheorie für die Poissongleichung

Es ist 11

::;

2

f

1

JB(X3,c5) IX3 - yl

d-l

dy = 2Wd8

223

(10.1.9)

und mittels (10.1.7) (10.1.10)

und daher

lt + 12 ::; c51x l

-

x21

Q

für jedes Q:'E (0,1).

Dies beweist a), da offensichtlich auch (10.1.11)

gilt. b) Die zweiten Ableitungen von u sind bis auf einen konstanten Faktor gegeben durch

Wii(X) =

J(Ix - yl2

8ii - d (xi - yi) (xi - yi) )

1

Ix-yl

d+2

f(y) dy,

wobei wir allerdings noch zu zeigen haben, daß dieses Integral unter unserer Voraussetzung f E C(f(G) tatsächlich existiert. Dies wird sich ebenfalls aus den nachstehenden Überlegungen ergeben. Wir setzen zunächst f(x) = 0 für x E ]Rd \ Gj f bleibt dadurch hölderstetig. Wir schreiben

Es ist (10.1.12)

da

=0,

Also ist auch

f

J)Rd Wir schreiben nun

yi -d

lyl

homogen vom Grade 1 - d ist.

K(y)dy = O.

(10.1.13)

224

10. Existenzverfahren IV

wij(X) = { K(x - y)f(y)dy

lIR

(10.1.14)

d

= ( (J(y) - f(x)) K(x - y)dy nach (10.1.13) . lad

Wie vorher gibt es auf der Verbindungsstrecke zwischen Xl und X2 einen Punkt X3 mit (10.1.15) Wir setzen wiederum und schreiben (vgl. (10.1.14)) w ij (xI) - w ij (X2)

=

1'1 {(J(y) - f(XI)) K(XI - y) - (J(y) - f(X2»

K(X2 - y)} dy

= lt + h

(10.1.16)

wobei lt das Integral über B(XI, eS) und 12 das Integral über R d ist. Da If(Y) - f(x)1 ~ IIfllcß ·Ix - ylct ist, folgt

Iftl

~

IIfllcß {

~

csllfllco . eS ct .

1B(xt.6)

\

B(XI, eS)

{K(XI - y) lXI - ylct - K(X2 - y) IX2 - ylct} dy (10.1.17)

Weiterhin 12 = (

la,I\B(Xl,6)

+(

(J(X2) - f(xd) K(XI - y) dy

(10.1.18)

(J(y) - f(X2)) (K(XI - y) - K(X2 - y)) dy

Ja d \B(Xl,6)

und das erste Integral verschwindet wegen (10.1.12). Benutzt man weiterhin (10.1.15), so folgt, da für y E Rd \ B(XI, eS)

<

1

IX3 - YI

d+1 -

Cg

IXl - YId+1

ist,

112 1~ clOeSllflico ~

(

lXI _ ylct-d-l

llR d \B(Xl,6)

cu eSct IIflico.

(10.1.5) folgt dann aus (10.1.16), (10.1.17), (10.1.19).

(10.1.19) q.e.d.

10.1 Die C"-Regularitätstheorie für die Poissongleichung

225

]Rd wie immer offen und beschränkt, Jlo ce Jl. u sei schwache Lösung von L1u = 1 in Jl. a) Ist 1 E CO(Jl), so ist u E C1,Q(Jl) und

Satz 10.1.2. Es sei Jl C

Ilulb,o(.oo) S C12 (1111Ico(.o)

b) Ist 1

E CQ(Jl),

so ist u

E C 2,Q(Jl),

(10.1.20)

und

Ilullc2,o(.o) ::; C13 (1111Ico(.o)

°

+ IluIIL2(.o)) . + Ilulb(.o)) .

(10.1.21 )

Bemerkung. Die Beschränkung auf < a < 1 ist wesentlich für die Gültigkeit von Satz 10.2.1, wie auch der nachfolgenden Sätze. Beispielsweise erfüllt die FUnktion u(X 1,x2) = Ix 111x 211og(lx11+ Ix 21) in einer Umgebung des Nullpunktes lul + lL1ul ::; const., aber die gemischte zweite Ableitung i2äx 2 verhält sich wie log(lx11 + Ix 21), und die C1,l-Norm von u kann daher nicht durch punktweise Schranken für 1 := L1u und u kontrolliert werden.

a:

Beweis. Wir beweisen zunächst die Abschätzungen (10.1.20) und (10.1.21) unter der Annahme, daß u E C 2,Q(Jl) ist. Wir können Jlo durch eine endliche Anzahl von in Jl enthaltenen Kugeln überdecken. Daher reicht es aus, die Abschätzungen für den Fall Jlo = B(O, r) Jl = B(O, R),

°: ;

°

°< r < R <

00,

zu beweisen. Es sei < R 1 < R 2 < R. Wir wählen ein 'fJ E CO'(B(O, R 2 )) mit 'fJ ::; 1, 'fJ(x) = 1 für lxi::; Rl und (10.1.22)

Wir setzen

4J:= 'fJu.

(10.1.23)

4J verschwindet dann außerhalb von B(O, R2) und nach (1.1.7) ist

4J(x) = Dabei ist L14J

In r(x, y) L14J(y)dy.

= 'fJL1u + 2Du . D'fJ + uL1'fJ,

(10.1.24)

(10.1.25)

und daher (10.1.26)

sowie nach Lemma 10.1.1 (10.1.27)

226

10. Existenzverfahren IV

wobei alle Normen auf B(O, R 2 ) gebildet sind. Aus Satz 10.1.1 und (10.1.26) bzw. (10.1.27) folgt (10.1.28) und (10.1.29) Da u(x) = 4J(x) für lxi tigt, IIuIICl,U(B(O,Rt})

~

R I ist, folgt, wenn man noch (10.1.22) berücksich-

~

Cl9

(liLlu ll c o (B(O,R2»

+ (R 2 ~ R1 )2 IIUllC1(B(O,R2») (10.1.30)

bzw.

II u ll c 2."(B(O,R!l)

~ C20 (R2 _ ~t}2+Q (li Llu lb"(B(O,R2» + II u II C 1,o(B(O,R2») .

°

(10.1.31)

> ein N(c) < 00 gibt

Wir behaupten nun, daß es für a E (0,1) zu jedem c mit

(10.1.32) für alle u E CI,Q(G). Andernfalls existiert eine Folge von Funktionen (Un)nEN C CI,Q(G) mit IIunlb(.G) = 1, IIunllct(.G)

> c IIunllcl,O(.G) + n IIun ll L 2(.G) .

(10.1.33)

Es ist daher insbesondere IIunlb,o(.G) gleichmäßig beschränkt. Dies bedeutet, daß die U n und ihre ersten Ableitungen gleichgradig stetig sind. Nach dem Satz von Arzela-Ascoli konvergiert (u n ) dann nach Auswahl einer Teilfolge gegen ein U E el(G) mit IIullct(!l) = 1. Andererseits folgt aus (10.1.33) IIullL2(.G) = 0, also u == 0, also IIullct(n) = 0, also ein Widerspruch. Damit ist (10.1.32) bewiesen. Genauso beweist man (10.1.34) Wir setzen

AI

:=

sup (R - r)31I u llct,n(B(O r»

O::;r~R

'

A 2 := sup (R - r)31I u lb,n(B(O r» O::;r::;R

'

.

Für den Beweis von a) wählen wir R I so, daß (10.1.35)

10.1 Die C"'-Regularitätstheorie für die Poissongleichung

227

bzw., wenn wir b) beweisen wollen, daß (10.1.36) ist. (Natürlich ist das R I aus (10.1.35) La. nicht das gleiche wie dasjenige aus (10.1.36).) Aus (10.1.30) und (10.1.32) folgt

Al

~ C21 (R -

RI)3 ( II Llu llco(B(O,R2» + (R 2 ~ Rd 2 Ilul b,O(B(O,R2))

+ (R 2 ~ R I )2 N(c) Ilullp(B(O,R2))) (R - Ri)3 c ~ C22 (R _ R 2)3 . (R 2 _ Ri)2 . Al 3 +C23 (R - Ri) II Llu II C "(B(O,R2»

(R - Rd 3

+ C24 N(c) (R 2 _ RI)2 IluIIL2(B(O,R2» .

Durch geeignete Wahl von R 2 (R I < R 2 < R) und c läßt sich erreichen, daß der Koeffizient von Al auf der rechten Seite kleiner als 4 wird. Dann folgt insgesamt

1

Ilullcl,O(B(O,r» ~ (R _ r)3 A1

~ C25 (1ILlullco(B(O,R» + Il u llL2(B(O,R») ,

(10.1.37)

wobei die Konstante jetzt auch von den auftretenden Radien abhängt. Genauso beweist man aus (10.1.31) und (10.1.34) (10.1.38) für 0 < r < R. Da Llu = f ist, haben wir hiermit (10.1.20) und (10.1.21) für den Fall u E c 2 ,0:(n) bewiesen. Für den Fall u E W 1,2(n) betrachten wir die Glättungen Uh wie in Anhang Ai es sei 0 < h < dist(no, an). Dann gilt

1

DUh . Dv

und, da die

Uh E

=

-1

fh V

für alle

v E

COO sind, auch

Weiterhin gilt nach Lemma A.2

Ilfh - fl\co -40, und mit einem analogen Beweis, falls f E co:(n) ist,

Ilfh - flic." -4 o.

H~,2(n),

228

10. Existenzverfahren IV

Die fh bilden also für h -+ 0 eine Cauchyfolge in CO(n) bzw. cO!(n), und es folgt aus (10.1.20) und (10.1.21) für Uhl - Uh2

Iluhl - Uh21Icl'0«ilo) ~ C27 (Ilihl - ih21I co(il) + IIuh

1 -

Uh2I1L2(il)) (10.1.39)

bzw.

Iluhl -

uh2I1 c 2,0«no)

~ C28 (ilfh

1 -

fh2I1cO«il) + IIuh 1

Uh2Ib(il))'

-

(10.1.40)

Die Grenzfunktion U ist also aus c1,0!(no) bzw. c 2,0!(no) und erfüllt (10.1.20) bzw. (10.1.21). q.e.d. Wir formulieren noch eine Verschärfung von Teil a) des vorangegangenen Satzes:

Satz 10.1.3. U sei schwache Lösung von Llu = f in n (n beschränktes Gebiet in JRd), fE LP(n) für ein p > d, n o ce n. Dann ist u E c1,0!(n) für ein von p und d abhängiges a, und es gilt

Beweis. Wir betrachten wieder das Newtonpotential

in 1r-~idf(Y)dY.

w(x):= und

vi(x) :=

r(x, y)f(y)dy,

n x-y

Mittels der Hälderschen Ungleichung folgt

Ivi(x)1

~ IlfIILP(n) (1 Ix _ YI~~-l),6)

z=!. f'

und dieses ist wegen p > d endlich. Auf diese Weise überlegt man sich, daß a~' w = const.v i ist, und gewinnt die Hälderabschätzung ähnlich wie im Beweis von Satz 10.1.1 a) und von Satz 10.1.2 a). q.e.d.

Korollar 10.1.1. Ist U E W 1,2(n) schwache Lösung von Llu = f mit f E ck,O!(n), k E N, 0< a < 1, so ist u E ck+2,0!(n), und für no ce n gilt

lIullck+2,0«no) Ist fE cOO(n), so auch u.

~ const. (lIfllck,O«n) + lIullp(n)) .

10.2 Die Schauderschen Abschätzungen

229

Beweis. Da u E C 2 ,Q(!1) nach Satz 10.1.2 ist, ist die partielle Ableitung 8~' u E W l ,2(!1) und schwache Lösung von

a

a

..1~u= ~f. vX' vX'

Es folgt aus Satz 10.1.2

a

- . u E C 2 ,Q(!1)

ax'

(i E {I, ... , d}),

und daher u E C3,Q(!1). Das Ergebnis ergibt sich dann induktiv.

q.e.d.

10.2 Die Schauderschen Abschätzungen Wir betrachten in diesem § Differentialgleichungen der Form d .. a2u(x) Lu(x) := ' " a'J(x)~J

~

ux'vx

i,j=l

in einem Gebiet !1 C

]Rd,

d.

au(x)

+ '" b'(x)-!l-' + c(x)u(x) = ~ uX'

f(x)

(10.2.1)

i=l

wobei wir die folgenden Voraussetzungen machen:

(A) Elliptizität: Es gibt ein derartiges A > 0, daß für alle x E !1, ~ E

]Rd

d

L

aij(x)~i~j ~ A 1~12.

i,j=l

Außerdem sei aij(x) = aji(x) für alle i,j,x. (E) Hölderstetigkeit der Koeffizienten: Es gibt ein K <

00

mit

für alle i, j. Die wesentlichen Abschätzungen von J. Schauder sind enthalten in Satz 10.2.1. Es sei f E CQ(il), und u E C 2 ,Q(il) erfülle

Lu= f

(10.2.2)

in!1 (0< a < 1). Dann gilt für jedes !1o ce !1 (10.2.3)

wobei die Konstante

Cl

von !1, !1o, a, d, A, K abhängt.

Im Beweis werden wir das folgende Lemma benötigen

230

10. Existenzverfahren IV

Lemma 10.2.1. Die symmetrische Matrix

(Ai j )i,j=l"",d

erfülle

d

A 1~12 $

L

Aij~i~j $ A 1~12

für alle ~ E lR.d

(10.2.4)

i,j=l

mit

0< A < A < U

erfülle d

82

L...J i,j=1

8x'8xJ

00.

' " A i j _ ,u_,

=

f

(10.2.5)

mit fE Ca{Q) (0< a < 1). Dann gilt für jedes Qo ce Q

Ilulb.a(!Jo)

$

C2

(lIfllca(!J) + IlullL2(!J))'

(1O.2.6)

Beweis. Wir verwenden die folgende Notation: 82U ) D2 u'.- ( -8'8' x' xJ

"

',J=l, .. "d

Ist Beine nichtsinguläre d x d-Matrix, so ist für y := Bx, v := U 0 B- 1 , also v(y) = u{x),

also (10.2.7)

Da A symmetrisch ist, können wir B so wählen, daß B t AB die Einheitsmatrix ist; B kann hierbei als Produkt einer Diagonalmatrix D

=

(A~l

.. ,) A~'i

(Al. ... , Ad Eigenwerte von A) mit einer orthogonalen Matrix R gewählt werden. Wir erhalten also die transformierte Gleichung (1O.2.8) Aus Satz 10.1.2 erhalten wir dann C 2 ,a-Abschätzungen für v, und diese lassen sich dann in solche für u = v 0 B zurücktransformieren, wobei die sich ergebenden Konstanten dann auch von den Schranken A, A für die Eigenwerte von A abhängen, da diese auch die Eigenwerte von D und damit von B bestimmen. q.e.d.

10.2 Die Schauderschen Abschätzungen

231

Beweis von Satz 10.2.1: Wir werden zeigen, daß es zu jedem Xo E {io eine Kugel B(xo, r) gibt, auf der die gewünschte Abschätzung gilt. Der Radius r wird hierbei nur von dist([}o,8[}) und der Höldernorm der Koeffizienten aij , bi , c abhängen. Da {io kompakt ist, kann es durch endlich viele derartige Kugeln überdeckt werden, woraus dann die Abschätzung auf [}o folgt. Es sei also nun Xo E o. Wir schreiben die Differentialgleichung Lu = f um zu

n

2 8 2u(x) L aij(Xo ) ux'ux . . = L (i a j (Xo ) _ a j (x )) 8 u(x). ux'ux ~

~

iJ

i

J

~. ~

iJ

~. 8u(x) - L..Jb'(x) 8xi - c(x)u(x)

J

+ f(x)

i

=:

c,o(x).

(10.2.9)

Wenn wir nun die CQ-Norm von c,o abschätzen können, so folgt mit Aij := aij (xo) die Abschätzung der C2,Q-Norm von u aus Lemma 10.2.1. Der entscheidende Term für die Abschätzung von c,o ist hierbei 2)aij (xo) aij(x))8~.2;Xl' Es sei B(xo,R) C [}. Nach Lemma 10.1.1 ist

Ca (B(xo,R»

~

sup laij(xo) - aij(x)IID2Ulca(B(x R» i,j,xEB(xo,R) 0,

+L i,j

laijlca(B(xo,R»

I l·

sup D2u B(xo,R)

(10.2.10)

Daher ist also

L..J (a'J(xo) - a'J(x) II ~"

")

2

8 8i8u . 11 x x J Ca(B(xo,R))

~ sup laij(xo) - aij(x)lllulb,a(B(xo,R))

+ c3 1IuIIC2(B(xo,R» ' (10.2.11)

wobei C3 insbesondere von der CQ-Norm der aij abhängt. Analog ist

II L, bi(X) ::i (x)

~

c41I u II Cl,a(B(xo,R» , C"(B(xo,R)) IIc(x)u(x)llca(B(xo,R» ~ csllullca(B(xo,R»'

Insgesamt erhalten wir

(10.2.12)

(10.2.13)

232

10. Existenzverfahren IV

Ilcplb"(B(xo,R)) ~ .. sup laij(xo) - aij(x)llIulb,o(B(xo,R)) ',J,xEB(xo,R) +c6I1 u lb(B(xo,R)) + IIfllco(B(xo,R))' (10,2.14) Nach Lemma 10.2.1 erhalten wir aus (10.2.9) und (10.2.14) für 0 < r

lIullc2,O(B(xo,r)) ~

C7 ..

sup

',J,xEB(xo ,R)


laij(xo) - aij(x)llIuIlC2,O(B(xo,R))

+cslluIlC2(B(xo,R)) + cgllfllco(B(xo,R)) .

(10.2.15)

Da die aij stetig auf n sind, können wir R> 0 so klein wählen, daß

(10.2.16) ist. Mit der gleichen Methode wie im Beweis von Satz 10.1.2 kann dann der entsprechende Term auf der linken Seite absorbiert werden. Dann erhalten wir aus (10.2.15)

lI u Il C2 ,o(B(xo,R)) ~ 2csllullc2(B(xo,R)) + 2cgllfll c o(B(xo,R)) . Nach (10.1.34) existiert zu jedem c

(10.2.17)

> 0 ein N(c) mit

lI u IlC2(B(xo,R)) ~ c lI u IlC2,O(B(xo,R)) + N(c) lIullL2(B(xo,R)) .

(10.2.18)

Mit der gleichen Methode wie im Beweis von Satz 10.1.2 erhalten wir aus (10.2.18) und (10.2.17) die gewünschte Abschätzung

lIullc2,o(B(xo,R))

~ ClO (lIfllco(B(Xo,R))

+ lIulIL2(B(Xo,R))) .

(10.2.19)

q.e.d. Wir kommen nun zu der globalen Abschätzung von J.Schauder für die Lösung des Dirichletproblems zu L:

Satz 10.2.2. n C ~d sei ein beschränktes Gebiet der Klasse C 2 ,o. (dies ist analog zu Definition 8.3.1: wir verlangen die gleichen Eigenschaften wie in Definition 8.3.1, mit der Ausnahme, daß (iii) durch die Forderung ersetzt wird, daß rjJ und rjJ-l von der Klasse C 2 ,o. sind). Es seien f E Co.(ti), g E c 2 ,o.(ti) (analog zu Definition 8.3.2}, und u E c 2 ,o.(ti) erfülle

Lu(x) = f(x) u(x) = g(x)

für x E n für x E an.

(10.2.20)

Dann gilt (10.2.21)

wobei die Konstante

Cu

von

n, 0:, d, >.

und K abhängt.

10.2 Die Schauderschen Abschätzungen

233

Beweis. Der Beweis ist im wesentlichen eine Modifikation desjenigen von Satz 10.2.1, wobei die notwendigen Änderungen ähnlich zu den im Beweis von Satz 8.3.3 verwandten sind. Wir werden daher den Beweisgang nur skizzieren. Wir beginnen mit einer vereinfachten Modellsituation, nämlich der Poissongleichung in einer Halbkugel, aus welcher sich dann wiederum der allgemeine Fall entwickeln läßt. Es sei wie in §8.3

Außerdem sei

aOB+(O,R)

:=

aB+(O,R) n

{x d = O},

a+B+(O,R) :=aB+(O,R)\aoB+(O,R). Wir betrachten f E Ca. (B+(O, R)) mit

f

=

° auf a+ B+(O, R).

Im Gegensatz zu der in Satz 10.1.1 b) betrachteten Situation braucht f jetzt nicht mehr auf dem ganzen Rande unseres Gebietes n = B+ (0, R) zu verschwinden, sondern nur noch auf einem Teil davon. Wir untersuchen wieder das zugehörige Newtonpotential

u(x):=

r

} B+(O,R)

r(x,y)f(y)dy.

(10.2.22)

Die ersten Ableitungen von u sind bis auf einen konstanten Faktor durch

. 1

vt(x) =

Xi - yi

B+(O,R)

Ix - yl

df(y)dy

(i=1, ... ,d)

(10.2.23)

gegeben und können wie im Beweis von Satz 10.1.1 a) abgeschätzt werden, da dort keine Annahme über die Randwerte von f benötigt wurde. Die zweiten Ableitungen von u sind bis auf einen konstanten Faktor durch

wij(x) =

r

} B+(O,R)

aa. (Xi - y:) f(y)dy x J Ix - yl

gegeben. Mit K(x - y) =

8~1 C:i-=-~~) ist für i f

(10.2.24)

d oder j

f

d (10.2.25)

aus Homogenitätsgründen wie in (10.1.12). Daher läßt sich für i f d oder f d die a-Höldernorm der zweiten Ableitung 8X~~Xl u wie im Beweis von Satz 10.1.1 b) abschätzen. Da aber die Differentialgleichung Llu = f

j

10. Existenzverfahren IV

234

82

82

d-l

(8Xd)2 u =

f - ~ (8X i )2 U

(10.2.26)

impliziert, erhalten wir dann auch eine Abschätzung für die a-Höldernorm (a~~)2 u und somit für alle zweiten Ableitungen von u. Wie im Beweis von Satz 10.1.2 folgen nun C 2 ,a-Abschätzungen auf B+ (0, R) für Lösungen von

.1u = f in B+(O, R) mit f

für

°<

u= r

°auf 8° B+(O, R)

E

ca (B+(O, R)) (10.2.27)

< R:

IluIlC2,"(B+(0,r»

~ C12 (lIfIlC"(B+(O,R)) + lI u llL2(B+(O,R))) .

(10.2.28)

Setzen wir nämlich wieder wie in (10.1.23)

cP := TJU

°

mit der gleichen Abschneidefunktion wie in (10,1.22), so ist cp = auf 8B+(0, R 2 ) (0 < R 1 < R 2 < R), denn TJ verschwindet auf 8+ B+(O, R 2 ), u auf 8° B+(O, R 2 ). Somit ist wieder

cp(x) = (

r(x, y).1cp(y)dy

JB+(O,R)

°

ein Newtonpotential, und die vorstehenden Abschätzungen können benutzt werden, um zum gleichen Resultat wie in Satz 10.1.2 zu gelangen: Für < r < R gilt (10.2.29)

Als nächstes betrachten wir eine Lösung von

.1u = f in B+ (0, R) mit f u

E

ca ( B+ (0, R))

= 9 auf 8° B+(O, R) mit 9 E c 2 ,a (B+(O, R)) .

(10.2.30) (10.2.31)

Nun setzen wir wie in §8.3 ü := u - g. ü erfüllt

.1ü = f - .1g =: !

E

ca (B+(O, R)) in B+(O, R) ü

°

= auf 8° B+(O, R).

Somit haben wir die Betrachtung auf die vorstehende Situation (10.2.27) zurückgeführt und erhalten aus (10.2.29)

10.3 Existenzverfahren IV: Die Kontinuitätsmethode

235

Il u II C2''''(B+ (O,r»

~ lI ü II C2,"'(B+(O,r»

+ Ilgllc2''''(B+(O,r»

~ C14 (1IlIIC"'(B+(O,R» + Ilülb(B+(O,R» + IIgllc2,"'(B+(O,R») ~ Cl5 (lI/IIC"'(B+(O,R» + Ilgll c 2."'(B+(o,r» + Il u II L 2(B+(O,R») . (10.2.32) Um nun schließlich die in Satz 10.2.2 dargestellte Situation zu behandeln, transformieren wir wieder wie in §8.3 die Umgebung U eines Randpunktes xo E mittels eines C2,Q-Diffeomorphismus cjJ in die Kugel B(O, R), derart, daß der in liegende Teil von U in B+(O, R), der Schnitt von U mit in B+(O, R) abgebildet wird. ü := U 0 cjJ-l erfüllt dann wieder auf B+(O, R) eine Differentialgleichung von der gleichen Form wie Lu = I, Lü = wiederum nur mit anderen Konstanten A, K in (A), (B). Nach den vorstehenden Überlegungen erhalten wir dann eine C 2,Q-Abschätzung für ü in B+(O, R/2), und diese Abschätzung transformiert sich dann mittels cjJ in eine entsprechende Abschätzung für u auf einer Teilumgebung U' von U. Da n beschränkt ist, ist kompakt und kann somit durch endlich viele derartige Umgebungen U' überdeckt werden. Die entsprechenden Abschätzungen zusammen mit der inneren Abschätzung aus Satz 10.2.1, angewandt auf das Komplement no dieser Umgebungen in n, ergeben dann die Behauptung von Satz 10.2.2. q.e.d.

an

an

n

an 1,

an

Korollar 10.2.1. Unter den Voraussetzungen von Satz 10.2.2 gelte c(x) in n. Dann gilt

~

0

(10.2.33)

Beweis. Wegen c::; 0 folgt aus dem Maximumprinzip (siehe z.B. Satz 2.3.2), daß sup lul ~ max lul

n

an

+ C17 sup 1I1 n

= max Igl + C17 sup 1/1. an n

Daher kann die L 2-Norm von u durch die CO-Normen von g und I abgeschätzt q.e.d. werden, und die Behauptung folgt daher aus (10.2.21).

10.3 Existenzverfahren IV: Die Kontinuitätsmethode Wir wollen in diesem § das Existenzproblem für

Lu=1 in u =g auf

n

an

(10.3.1)

236

10. Existenzverfahren IV

n

in einem G 2,Q-Gebiet mit I E GQ(ii), 9 E G2,Q(ii) studieren. Ausgangspunkt unserer Überlegungen wird die entsprechende Aussage für die Poissongleichung bilden, der Satz von Kellogg:

n

Satz 10.3.1. sei ein beschränktes Gebiet der Klasse Goo im JRd, GQ(ii), gE G 2 ,Q(ii). Dann besitzt das Dirichletproblem

Llu = I in n u = gauion

I

E

(10.3.2)

eine eindeutige Lösung u der Klasse G 2 ,Q(ii). Bemerkung. Der Satz von Kellogg gilt auch für Gebiete der Klasse G2,Q. Der Beweis erfordert ein weiteres Approximationsargument, welches wir hier unterdrücken wollen. Beweis. Die Eindeutigkeit folgt aus dem Maximumprinzip (siehe Korollar 2.1.1). Wir nehmen zunächst an, daß I und 9 von der Klasse Goo sind. Mit den Variationsmethoden aus §7.3 erhalten wir eine schwache Lösung, welche dann nach Satz 8.3.1 von der Klasse GOO(n) ist. Nach Korollar 10.2.1 gilt weiterhin (10.3.3) Wir kehren nun zur G 2 ,Q-Situation zurück. Wir approximieren die Funktionen I und 9 durch auf n definierte Goo-Funktionen In und gn' U n sei die Lösung des entsprechenden Dirichletproblems Llu n = In in Un

Dann erfüllt für n 2: m

Un -

Um

= gn auf

n

an.

(10.3.3) auf

n, also

Ilun - U mIl C2,a(fl) :::; Cl (li/n - Imllca(n) + Iign - gmIIC2,Q(fl») . (10.3.4) Die Konstante Cl kann hierbei unabhängig von u gewählt werden, da sie nur von der G 2,Q-Geometrie des jeweiligen Gebietes abhängt. Weil wir annehmen, daß In in GQ(n) gegen I und gn in G 2 ,Q(n) gegen g konvergiert, bilden die U n eine Cauchyfolge in G 2 ,Q(n) und konvergieren daher gegen ein u E G 2 ,Q(n), welches Llu

= I in n

u = 9 auf an

und die Abschätzung (10.3.3) erfüllt. Die zentrale Existenzaussage dieses Kapitels ist nun

q.e.d.

10.3 Existenzverfahren IV: Die Kontinuitätsmethode

Satz 10.3.2.

n sei ein beschränktes Gebiet der Klasse 0

00

237

im ]Rd. Der Dif-

ferentialoperator

d ..

a2

d.

L = ' " atJ(x)-a 'a . ~ x' xJ iJ-I

a

+ '" b'(x)-a. + c(x) ~ x'

(10.3.5)

i-I

erfülle (A) und (B) aus §10.2, und außerdem gelte c(x) ::; 0

in

Dann existiert zu jedem f E oa(ti), 9 E 0 2 ,0< (ti) des Dirichletproblems

n. c 2 ,a(ti)

(10.3.6)

eine eindeutige Lösung

u E

Lu =

f

in

u=g auf

n

an.

(10.3.7)

Beweis. Indem wir wie üblich u = u - 9 statt u betrachten, können wir 9 annehmen, denn unser Problem ist äquivalent zu

=0

1 := J - Lg E co«n) u = 0 auf an.

Lu =

Wir nehmen also 9 = 0 an (und schreiben wieder u statt u). Wir betrachten die Familie von Gleichungen

Ltu = J für 0 ::; t ::; 1 u = 0 auf an mit Lt

(10.3.8)

= tL + (1 - t)Ll.

(10.3.9)

Der Differentialoperator L t erfüllt hierbei Strukturbedingungen vom Typ (A) und (B) mit At = min(l, A), K t = max(l, K). (10.3.10) Es ist L o = Ll, LI = L. Wir können (10.3.8) nach Satz 10.3.1 für t = 0 lösen und wollen zeigen, daß wir es dann auch für alle t E [0,1], insbesondere für t = 1 lösen können. Letzteres stellt die Behauptung des Satzes dar.

ist ein beschränkter linearer Operator zwischen den Banachräumen BI und B 2 . Ut sei eine Lösung von Ltut = J, Ut = 0 auf Nach Korollar 10.2.1 gilt

an.

also (10.3.11)

238

10. Existenzverfahren IV

für alle U E BI. Die Konstante C2 hängt hierbei nicht von t ab, da die Strukturkonstanten At, K t der Operatoren L t nach (10.3.10) unabhängig von t kontrolliert werden können. Wir wollen zeigen, daß zu jedem fE B 2 eine Lösung Ut von (10.3.8), also Ltut = f, aus BI existiert. M.a.W. wollen wir zeigen, daß die Operatoren L t : B l -+ B 2 für 0 ::; t ::; 1 surjektiv sind. Dies folgt nun aus der folgenden allgemeinen Aussage, welche dann den Beweis von Satz 10.3.2 beschließt. q.e.d. Satz 10.3.3. Lo, LI : B l -+ B 2 seien beschränkte lineare Opemtoren zwischen den Banachräumen B l , B 2 . Wir setzen

Lt

:= (1 -

t)L o + tL l

für 0 ::; t ::; 1.

Es gebe eine von t unabhängige Konstante c mit (10.3.12)

Ist dann L o surjektiv, so auch L l . Beweis. L7' sei surjektiv für ein bestimmtes TE [0,1]. Nach (10.3.12) ist L7' auch injektiv und somit bijektiv. Daher existiert der Umkehroperator

Für t E [0,1] schreiben wir die Gleichung

Ltu = f

für f E B 2

(10.3.13)

um als

L7'U = f =f also zu u =

+ (L7' -

Lt)u + (t - r)(Lou - Llu),

L;l f + (t - r)L;l(L o - Ll)u =: Au.

Um (10.3.13) zu lösen, müssen wir also einen Fixpunkt des Operators A : B l -+ B2 finden. Nach dem Banachschen Fixpunktsatz existiert ein solcher Fixpunkt, wenn es ein q < 1 mit

gibt. Nun ist

Nach (10.3.12) ist

IIL;lll::; c. Daher müssen wir nur

10.3 Existenzverfahren IV: Die Kontinuitätsmethode

239

It - TI ~ ~ (c(IILoll + IIL111))-1 =: 1] wählen, um den Fixpunkt zu bekommen. D.h. wenn LTu = f lösbar ist, so auch Ltu = f für alle t mit It - TI ~ 1]. Weil Lo als surjektiv vorausgesetzt ist, folgt dann, daß L t surjektiv ist z.B. für 0 ~ t ~ 1]. Wir wenden die obige Aussage erneut an, und zwar jetzt für T = 1], und erhalten Surjektivität für 1] :::; t :::; 21]. Auf diese Weise erhalten wir iterativ, daß alle L t für t E [0,1] und damit insbesondere auch L l surjektiv sind. q.e.d.

Zusammenfassung Eine Lösung der Poissongleichung Llu =

f

mit a-hölderstetigem f liegt in dem Raum C 2 ,Of., d.h. sie besitzt a-hölderstetige zweite Ableitungen für 0 < a < 1. (Dies bleibt nicht richtig für a = 0 oder 1; beispielsweise braucht eine Lösung zu nur stetigem f nicht zweimal stetig differenzierbar zu sein.) Durch eine lineare Koordinatentransformation überträgt sich dieses Resultat direkt auf lineare elliptische Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten. Schauder hat diese Abschätzung dann auf Lösungen elliptischer Gleichungen

Lu(x) :=

.. a u(x) + L'bt(x)-a' au L atJ(x)-a'a' + c(x)u(x) = f(x) x t xJ xt 2

i,j

i

mit a-hölderstetigen Koeffizienten aij , bi , c ausgeweitet, indem er einen solchen Differentialoperator L lokal als Störung eines Operators mit konstanten Koeffizienten aij (xo), bi(xo), c(xo) interpretiert hat. Die Kontinuitätsmethode führt die Lösbarkeit von

Lu= f auf diejenige der Poissongleichung Llu

zurück, indem man für 0

~

t

~

Lt

=f

1 die Operatoren

:=

tL + (1 - t)Ll

betrachtet und zeigt, daß die Menge derjenigen taus [0,1], für die

Ltu =

f

lösbar ist, offen und abgeschlossen (und wegen der Lösbarkeit der Poissongleichung nicht leer) ist. Der Nachweis der Abgeschlossenheit beruht auf den Schauderschen Abschätzungen.

240

10. Existenzverfahren IV

Übungen 10.1 Es sei K C ]Rd beschränkt, Funktionen mit

Ilinlb'{K)

in : K

-+

]R (n E N) eine Folge von

~ const. (unabhängig von n)

für ein 0 < a ~ 1. (Hier und in der folgenden Aufgabe betrachten wir im Falle a = 1 den Raum CO,! der lipschitzstetigen Funktionen.) Dann enthält (fn)nEN eine gleichmäßig konvergente Teilfolge. 10.2 Gilt für alle Gebiete fl C ]Rd, 0 < a

10.3

U

E

<ß~ 1

Ck,Ct(fl) erfülle Lu=i

für i E Ck,Ct(fl) (k E N,O < a < 1). Der Operator Laus (10.2.1) erfülle hierbei die Elliptizitätsbedingung (A) sowie

für alle i,j. Man zeige

U

E Ck+2,Ct(flo) für jedes flo ce fl, und

wobei die Konstante c von K und den in Satz 10.2.1 genannten Größen abhängt.

11. Die Mosersche Iterationstechnik und der Regularitätssatz von de Giorgi und Nash

11.1 Die Mosersche Harnackungleichung In diesem Kapitel betrachten wir wie in Kapitel 8 elliptische Differentialoperatoren in Divergenzform. Der Einfachheit und Übersichtlichkeit der Beweisgänge halber lassen wir aber in diesem Kapitel die Terme niedrigerer Ordnung weg und betrachten nur Lösungen der homogenen Gleichung. Wir untersuchen also (schwache) Lösungen von

Lu =

L d

ä ( .. ä ) ä j atJ(x)'ßiu(x)

i,j=l

X

= 0,

X

wobei die Koeffizienten aij (meßbar und) beschränkt sein und eine Elliptizitätsbedingung erfüllen sollen. Wir fassen diese beiden Bedingungen folgendermaßen zusammen: Es gibt Konstanten 0 < >. ~ A < 00 mit d

>'1~12 ~

L

aij(x)~i~j

i,j=l

für alle x aus dem Definitionsbereich und alle E ]Rd sup laij(x)1 :::; A.

e

(11.1.1)

n von u

i,j,x

Definition 11.1.1. u E W 1 ,2(n) heißt schwache Sub lösung von L (in Zeichen Lu ~ 0), falls für alle

l~

aij(x)DiuDjipdx :::; 0,

(11.1.2)

t,J

und schwache Superlösung (Lu

~

0), falls in (11.1.2) ,,~" gilt.

Ungleichungen wie

242

11. Mosersche Iterationstechnik; Regularitätssatz von de Giorgi und Nash

Um uns mit den Begriffen Sub- und Superlösung vertraut zu machen, beweisen wir das nützliche

Lemma 11.1.1. (i) u sei Sublösung (also u E C 2 (D), Lu ~ 0), / E C2(lR) sei konvex mit f' ~ O. Dann ist /0 u eben/alls eine Sublösung. (ii) u sei Superlösung, / E C 2 (lR) konkav mit f' ~ O. Dann ist / ou ebenfalls eine Superlösung. (iii) u sei Lösung, / E C2(lR) konvex. Dann ist /0 u Sublösung. Beweis. L(f 0 u) =

,,0(" L.J ',J

ou) a lJ j'(u) ox i

ox j

-- /"(u )L a i,j

ij ~~+ ou ou

vx' vxJ

/'()L u u,

(11.1.3)

q.e.d.

und hieraus folgen die behaupteten Ungleichungen.

Wir wollen uns nun überlegen, daß die Aussagen von Lemma 11.1.1 auch im Falle schwacher (Sub-, Super-) Lösungen gelten. Wir nehmen an, daß f' (u) und f" (u) geeignete Integrabilitätsbedingungen erfüllen, damit die Kettenregeln für schwache Ableitungen Di(f 0 u) = f'(u)Di(u) und Di(f' ou) = !,,(u)Diu

für i

= 1, ... ,d

gelten. (Nach Lemma 7.2.3 ist dies z.B. der Fall, wenn SUPyEIR 1f'(y)1 +sUPyEIR 1f"(y)1 < 00 ist). Wir bekommen

in L. l,J

aij Di(f 0 u)Dj

L. a

ij

j' (u)DiuDj
l,J

= fL.aijDiUDj(f'(U)
L. aij Diu!,,(u) Dju
Das letzte Integral ist wegen der Elliptizitätsbedingung nicht negativ, falls f konvex, also f"(u) ~ 0, und

11.1 Die Mosersche Harnackungleichung

Ll:

243

aij Di(f 0 u)Djcp ::; 0,

>,3

mithin f 0 u eine schwache Sublösung. Ähnlich behandelt man auch die schwachen Analoga der anderen Aussagen aus Lemma 11.1.1 und erhält

Lemma 11.1.2. Die Aussagen von Lemma 11.1.1 gelten unter den ent-

sprechenden Voraussetzungen auch für (Sub-, Super-) lösungen, sofern mit f E C 2 (lR) die Kettenregeln für schwache Ableitungen erfüllt sind. q.e.d. Aus Lemma 11.1.2 erhalten wir auch

Lemma 11.1.3. u E W 1 ,2(n) sei schwache Sub lösung von L, k E lR. Dann

ist v(x)

:=

max(u(x) , k)

ebenfalls schwache Sublösung. Beweis. Wir betrachten die Funktion f:lR-+lR

f(y)

:= max(y, k).

Dann ist

v=

f ou.

Wir approximieren f durch eine Folge (fn)nEN konvexer Funktionen der Klasse C 2 mit

fn(Y) = f(y) für y

f/.

(k - ~,k+~)

und If~(y)1 ~ 1 für alle

y.

Dann konvergiert ähnlich wie in den Beweisen der Lemmata 7.2.2 und 7.2.3 mittels eines Approximationsarguments fn ou in W 1 ,2 gegen v = f ou. Daher ist

Inl:

aij DivDjcp =

l,J

}!_r:!,

In ~

aij Di(fn 0 u)Djcp

'J

::; 0 für cp E HJ,2(n),cp ~ 0 nach Lemma 11.1.2.

q.e.d.

244

11. Mosersche Iterationstechnik; Regularitätssatz von de Giorgi und Nash

Bemerkung. Es gilt natürlich auch eine zu Lemma 11.1.3 analoge Aussage für schwache Superlösungen. Für k E lR ist mit '11. E W I,2(.G) auch min(u(x), k) eine schwache Superlösung.

Es gelten nun die folgenden grundlegenden Abschätzungen von J .Moser: Satz 11.1.1. '11. sei eine Sub lösung in einer Kugel B(xo,4R) eRd (R und es sei p > 1. Dann gilt sup

'11.::; Cl

B(xo,R)

wobei

Cl

(2-1) P-

nur von d und

f

2

P

(1

JB(xo,2R)

(max(u(x),O)t

dX)

> 0),

~ P ,

(11.1.4)

abhängt.

Bemerkung. Falls '11. positiv ist, ist natürlich max(u,O) = '11. in (11.1.4), und wir werden die Abschätzung hauptsächlich in diesem Fall anwenden. Satz 11.1.2. '11. sei eine positive Superlösung in B(xo,4R) C ]Rd. Dann gilt für 0 < P < d~2 im Falle d ;::: 3 uP dX) ~ < 1 ( JB(xo,2R) -

C2

(d~2

_

p)

f

2

inf

'11.,

(11.1.5)

B(xo,R)

wobei C2 wiederum nur von d und abhängt. Im Falle d = 2 gilt die gleiche Abschätzung für jedes 0 < P < 00, mit einer von p, d, abhängigen Konstanten

C2

anstelle von

C2/

(d~2 _

p)

f

2.

Bemerkung. Daß die Bedingung p < d~2 erforderlich ist, erkennt man an dem Beispiel, wo L der Laplaceoperator .1 und u(x) = min(lxI 2 - d, k) für beliebiges k > 0 ist, welches nach der Bemerkung im Anschluß an Lemma 11.1.3 wegen der Harmonizität von lxi 2- d auf]Rd \ {O} eine schwache Superlösung auf dem ]Rd ist. Läßt man nämlich hier k immer größer werden, so sieht man, daß die L ~ -Norm nicht mehr durch das Infimum kontrolliert werden kann. Aus den Sätzen 11.1.1 und 11.1.2 erhält man Ungleichungen vom Harnacksehen Typ für Lösungen von Lu = o. Aus den beiden Sätzen folgt direkt:

Korollar 11.1.1. '11. sei positive (schwache) Lösung von Lu = 0 in der Kugel B(xo,4R) C]Rd (R > 0). Dann gilt sup

B(xo,R)

wobei

C3

'11.::; C3

nur von d und tabhängt.

inf

B(xo,R)

'11.,

(11.1.6)

11.1 Die Mosersche Harnackungleichung

245

q.e.d. Für allgemeine Gebiete gilt

Korollar 11.1.2. u sei positive (schwache) Lösung von Lu = 0 in dem Gebiet ades JRd, und es sei a o ce a. Dann ist supu S cinfu, ["Ja

i

wobei c nur von d, a, ao und

(11.1.7)

["Ja

abhängt.

Beweis. Wir können diese Harnackungleichung auf a o mit dem üblichen Kugelkettenargument erhalten: Da (io kompakt ist, kann es durch endlich viele Kugeln Bi := B(Xi, R) mit B(xi, R) c a überdeckt werden (man wähle z.B. R < ~ dist(8a, ao)), i = 1, ... , N. Es seien nun Yl> Y2 E ao, o.E. sei Yl E Bk, Y2 E Bk+m mit m ~ 1, und die Kugeln seien o.E. derart numeriert, daß B j n Bj+l =I 0 für j = k, ... , k + m - 1. Dann gilt jeweils durch Anwendung von Korollar 11.1.1 auf die Kugeln Bk, B k+1, ... U(Yl) S supu(X) Bk

S c3 inf u(x) Bk

S C3 sup u(x),

da Bk

Bk+l

n Bk+1 =I 0

S c~ inf u(x) Bk+l

S ... S c~+1 inf u(x) Bk+m

S C~+1U(Y2). Da Yl und Y2 beliebig sind und m S N ist, folgt

supu(x) S ["Ja

cf+1 infu(x).

(11.1.8)

["Ja

q.e.d. Wir treffen nun einige Vorbereitungen zum Beweis der Sätze 11.1.1 und 11.1.2. Für festes positives u und Xo setzen wir

4>(p, R)

:=

(1

1

UPdX) P

JB(xa,R)

Lemma 11.1.4. lim 4>(p, R) =

p ..... oo

lim 4>(p, R) =

p ..... -oo

sup u =: 4>(00, R)

B(Xa,R)

inf

B(xa,R)

u =: 4>( -00, R).

(11.1.9) (11.1.10)

246

11. Mosersche Iterationstechnik; Regularitätssatz von de Giorgi und Nash

Beweis. Nach der Hölderschen Ungleichung ist fjJ(p, R) monoton wachsend in E LP' (G)

p. Es gilt nämlich allgemein für p < pi und u ( -1

1)

IGI n

uP

f,

::; - -11

IGI"

= ( -1

(1 )~ (1 i.)? n

1

n

1 ,)?

IGI n

(uP )"

uP

Außerdem ist 1

4J(p, R) ::; (IB( 1 R)I xo,

JfB(xo,R) (sup U)p) " = 4J(oo, R).

(11.1.11 )

Andererseits gibt es nach Definition des wesentlichen Supremums zu jedem

c > 0 ein 0 > 0 mit

{ X

E

B(xo, R) : u(x)

Daher ist

~

sup u -

B(xo,R)

I!

4J(p, R) > ( IB(xo, R)I

U(X);::SIlPU-'

c} > up )

O.

f.

",EB(xo,R)

1

~ CB(x~,R)I)" (supu-c) und daher lim 4J(p, R) ~ sup u - c

p-+oe

für jedes c > 0, und daher auch lim 4J(p, R) ~ sup u.

p-+oe

(11.1.12)

(11.1.11) und (11.1.12) implizieren (11.1.9), und (11.1.10) folgt ähnlich (oder auch direkt durch Anwendung des vorstehenden Argumentes auf q.e.d.

t).

Lemma 11.1.5. (i) u sei eine positive Sublösung in G, und es sei für q > ~ v := uq

aus L 2 (G).

Dann gilt für alle TJ E H~,2(G)

In TJ21Dvl 2 ::; 1~ (2q2~ 1) 2lnlDTJI2 v2.

(11.1.13)

(ii) Ist u stattdessen eine Superlösung, so gilt diese Ungleichung für q

<

~.

11.1 Die Mosersche Harnackungleichung

247

Beweis. Die Behauptung ist trivial für q = O. Wir setzen f(u) = u 2q für q > 0 f(u) = _u2q für q < O. Nach Lemma 11.1.2 ist f(u) dann eine Sublösung im Falle (i), eine Superlösung im Falle (ii). Hierauf beruhen auch die folgenden Rechnungen. (Im Beweis werden sich auch Integrierbarkeitsbedingungen ergeben, aus welchen die erforderlichen Kettenregeln folgen. Allerdings muß man den Beweis von Lemma 7.2.3 hierzu etwas verallgemeinern und mit variablen Sobolevexponenten, der Hölderschen Ungleichung und dem Sobolevschen Einbettungssatz arbeiten. Wir überlassen dies den Leserinnen und Lesern zur Übung.) Wir setzen dann als Testfunktion in (11.1.2) (bzw. der entsprechenden Ungleichung in Fall (ii)) 'P = !,(u) . 'T/2 (11.1.14) ein. Dann ist

in ~aij(x)DiUDj'P = in ~ aij DiuDj u!" (u)'T/2 'J

',J

+ in ~ aij Diuf'(u)2'T/Dj'T/ ',J

= in21ql (2q - 1)

~ aij DiuDju u2q - 2'T/2 ',J

+ in41ql ~ aij Diu U2q - 1'T/Dj'T/.

(11.1.15) ',J Im Falle (i) ist dies ~ O. Hieraus folgt mittels Anwendung der Youngschen Ungleichung auf den letzten Term für alle c > 0

21ql (2q -

l)A

f IDul 2

U2q - 2'T/2

f + 21~1 f

~ 21ql Ac IDul 2u2q - 2r? A

Mit c =

also

2 q; 1

1 folgt also

f IDul2 f

u2q-2",2 < 4 A2 ., - (2q - 1)2 A2

IDv1 2 'T/ 2

~ ~: (2q2~ 1)

2

f

f

u 2q ID'T/1 2 .

u 2q ID"'1 2

., ,

v2 ID'T/1 2 .

Im Falle (ii) ist (11.1.15) 2: 0, und da dann auch 2q - 1 ~ 0 ist, kann man analog vorgehen und c = 1~2q setzen, um auch in diesem Fall (11.1.13) zu q.e.d. erhalten.

1

248

11. Mosersche Iterationstechnik; Regularitätssatz von de Giorgi und Nash

Wir beginnen nun mit den Beweisen der Sätze 11.1.1 und 11.1.2. Da die behaupteten Ungleichungen skalierungsinvariant sind, können wir o.E.

R = 1 und

Xo

= 0

annehmen. Wir setzen zur Abkürzung

B r = B(O,r). Es sei

0< r' < r :::; 2r',

(11.1.16)

und es sei Tl E H~,2(Br) eine Abschneidefunktion mit

Tl == 1 auf B r , Tl == 0 auf R d \ B r 2 IDTlI:::;-,· r-r

(11.1.17)

Für den Beweis von Satz 11.1.1 können wir o.E. annehmen, daß u positiv ist, indem wir anderenfalls nach Lemma 11.1.3 die positiven Sublösungen Vk(X)

= max(u(x) , k)

für k > 0 (oder die approximierenden Sublösungen aus dem Beweis von Lemma 11.1.3) betrachten, den nachfolgenden Beweis für positive Sublösungen durchführen, das so erhaltene Resultat auf die Vk anwenden und dann k gegen Null streben lassen. Wir betrachten wieder und nehmen an, daß v E L 2 (n) ist. Nach dem Sobolevschen Einbettungssatz (Korollar 8.1.3) ist für d ~ 3 (11.1.18) Im Falle d = 2 kann man statt d~2 einen beliebig großen Exponenten p' wählen und analog fortfahren. Wir überlassen die in diesem Falle erforderlichen einfachen Modifikationen der Leserin oder dem Leser und betrachten daher nur d ~ 3. Mit (11.1.13) und (11.1.17) folgt hieraus (11.1.19) mit

11.1 Die Mosersche Harnackungleichung

249

(11.1.20) 2d

Somit ist v E L"-'- (f.?). Dies werden wir iterieren und dabei unter anderem einsehen, daß u zu immer höheren Potenzen integrierbar ist. Wir setzen nun 8 = 2q und nehmen an

1812: J.L > 0, wobei wir später einen geeigneten Wert für J.L wählen werden. Dann ist wegen r ::; 2r'

C

(

-

rI -r - r'

)2 ( -1 )2 ' 8

-8

(11.1.21)

wobei Cf> auch von J.L abhängt. Es ist also nach (11.1.19) und (11.1.21), da v = u~ ist, für 8 2: J.L rjJ ( -d8- r ,) =

d-2'

(i

B

::; C7

mit

C7

=

1

cl· Im Falle 8 ::; -

J.L

~

2,l ) v"-'-

r'

(~) ~ (8-1 _ 8 ) ~ rjJ(8, r) r - r'

(11.1.22)

ist analog

d8 ) rjJ ( d - 2,r ' 2:

l(r )-f.r l

r _ r'

C7

rjJ(8,r)

2

(11.1.23)

(den Term C~ 1 ) -IsT können wir hier weglassen, da er 2: 1 ist). Wir wollen nun zunächst den Beweis von Satz 11.1.1 beenden und kehren daher zu (11.1.22) zurück. Der entscheidende Punkt ist, daß wir eine Integration von u zu einem höheren Exponenten durch eine Integration zu einem niedrigeren Exponenten kontrolliert haben. Wir werden jetzt einfach diese Abschätzung iterieren, um immer höhere Integralnormen und nach Lemma 11.1.4 dann auch das Supremum von u zu kontrollieren. Es sei also zu diesem Zweck 8n

=

(d ~ 2)

r n = 1 + 2- n I

r n = r n +l > Dann folgt aus (11.1.22)

n

rn

p

2'

für p

>1

250

11. Mosersche Iterationstechnik; Regularitätssatz von de Giorgi und Nash

also iterativ

(11.1.24)

(Da wir u E LP(il) annehmen können, ist somit auch 4J(sn, rn ) für alle n E N endlich und daher u zu beliebig hohen Potenzen integrierbar.) Mit Lemma 11.1.4 folgt hieraus Satz 11.1.1. Um nun Satz 11.1.2 zu beweisen, nehmen wir an, daß u > c > 0 ist, um die Endlichkeit von 4J(a, r) für a < 0 sicherzustellen. Dies ist keine wesentliche Einschränkung, denn hat man Satz 11.1.2 unter dieser Voraussetzung bewiesen, so ist er für positives u auf u + c anwendbar, und man braucht dann in der resultierenden Ungleichung für u + c, also

1 (u+c)p)t. ( JB{xo,2R)

< -

C2 _

(d~2

p)

2

inf (u+c), B{xo,R)

nur c -+ 0 streben zu lassen, um die Ungleichung auch für u zu erhalten. Führen wir nun die obige Iteration analog für s ~ -JL mit rn = 2 + 2- n durch, so erhalten wir aus (11.1.23)

4J( -JL, 3)

~

clO4J( -00, 2)

~

clO4J( -00,1).

(11.1.25)

Durch endlich viele Iterationsschritte bekommen wir auch

4J(p, 2)

~

cu4J(JL, 3).

(11.1.26)

(Die Einschrenkung p < d~2 in Satz 11.1.2 ergibt sich daraus, daß wir nach Lemma 11.1.5(ii) in (11.1.19) nur v = u q mit q < 1/2 einsetzen dürfen. Aus der Beziehung p = 2q d~2' welche wir benötigen, um mit (11.1.19) die LP-Norm von u kontrollieren zu können, ergibt sich nach (11.1.20) auch der

r

Faktor (d~2 - P 2 in (11.1.5).) Der nun noch fehlende Schritt ist (11.1.27)

Aus (11.1.25), (11.1.26), (11.1.27) folgt dann Satz 11.1.2. Zum Beweis von (11.1.27) werden wir den Satz von John-Nirenberg (Satz 8.1.2) benutzen. Wir setzen hierzu

11.1 Die Mosersche Harnackungleichung

v = logu ,


251

1 2 = -11 u

mit einer Abschneidefunktion 11 E H~,2(B4). Dann ist

Da u eine Superläsung ist, ist die linke Seite 2:: 0, also

A

r 11

JB4

2

IDvI 2

:::;

r 11 L aij DivDjv 2

JB 4

:::; 2

r 11 L a

JB4

:::; 2A

(L4

ij Di11DjV !

1]2 IDv I2 )

2

(L4

!

ID111 2)

2

nach der Schwarzsehen Ungleichung und somit

L4 1]2 1Dv1 2 :::; 4 ( 1)2 L4 ID1]1 2 .

(11.1.28)

Ist nun B(y, R) c B 3+! irgendeine Kugel, so wählen wir 11 mit

1] == 1 auf B(y, R) 1] == 0 außerhalb von B(y, 2R) n B 4 ID1]1 :::;

6

"R:

Mit einem solchem 1] folgt aus (11.1.28)

1

JB(y,R)

1Dv 12 :::;

'Y ~2

mit einer Konstanten 'Y

und daher nach der Hälderschen Ungleichung

r

JB(y,R)

IDvl :::; wdV7Rd- 1 .

Es sei nun a wie in Satz 8.1.2, und mit J.L = dieses Satzes auf

also

Wd~

folgt dann durch Anwendung

252

11. Mosersche Iterationstechnikj Regularitätssatz von de Giorgi und Nash 2

(jJ(J.L, 3) ~ ß" (jJ( -11-,3), also (11.1.27), womit der Beweis beendet ist.

q.e.d.

Referenz: Moser[lO]. Krylov und Safonov haben gezeigt, daß auch Lösungen von elliptischen Differentialgleichungen, die keine Divergenzstruktur haben, Harnackungleichungen erfüllen. Zur vereinfachten Beschreibung ihrer Resultate lassen wir wieder alle Terme niedrigerer Ordnung weg, betrachten also Lösungen von

L

82 a" (x)8 i8 i u(x)

d..

Mu:=

. . I ',J=

X

X

= O.

Hierbei brauchen die Koeffizienten aii(x) wiederum nur (meßbar und) beschränkt sein und die Strukturbedingung (11.1.1) erfüllen, also

>'leI :5 2

d

L

aii (x)eiei für alle x

E G,

eE IRd

i,i=l

und sup laii(x)1 :5 A i,;,::t

mit Konstanten 0 Dann gelten

< >. < A < 00.

Satz 11.1.3. u E W 2 ,d(G) sei positiv und erfülle Mu ~ 0 fast überall in B(xo,4R) C ]Rd. Dann ist für jedes p > 0 sup u B(xo,R)

mit einer von d,

< Cl -

(1

u P dX) IIp

JB(xo,2R)

1 und p abhängenden Konstanten

Cl'

Satz 11.1.4. u E W 2 ,d(G) sei positiv und erfülle Mu :5 0 fast überall in B(xo,4R) C IRd . Dann existieren ein p > 0 und eine Konstante C2, welche nur von d und abhängen, derart, daß

1

uP 1 ( JB(xo,R)

dx) IIp < -

C2

inf u. B(xo,R)

Hieraus folgen wie im Falle von Gleichungen in Divergenzform (s. § 11.2) Harnackungleichungen, Maximumprinzipien und die Hölderstetigkeit von Lösungen u E W 2 ,d(G) von

Mu = 0 fast überall in G eRd. Beweise der Sätze von Krylov-Safonov findet man beispielsweise in GilbargTrudinger[6].

11.2 Eigenschaften von Lösungen elliptischer Gleichungen

253

11.2 Eigenschaften von Lösungen elliptischer Gleichungen In diesem Kapitel wenden wir die Mosersche Harnackungleichung an, um die Hölderstetigkeit schwacher Lösungen von Lu = 0 unter der Strukturbedingung (11.1.1) zu zeigen. Diese Aussage war ursprünglich von E. de Giorgi und J.Nash unabhängig voneinander mit jeweils verschiedenen Methoden bewiesen worden, bevor J. Moser den hier vorgeführten Beweis mittels der Harnackungleichung fand.

Lemma 11.2.1. u E W 1 ,2(!1) sei eine schwache Sublösung von L, also Lu =

.L 8x8 d

j

( ..

8

a1J (x) 8x i u( x)

)

~ 0 im schwachen Sinne,

1,J=1

unter den in § 11.1 formulierten Bedingungen an L. Dann ist u auf jedem !1o ce !1 nach oben beschränkt. Ist u schwache Lösung von Lu = 0, so ist folglich u auf jedem !1o nach oben und nach unten beschränkt. Beweis. Da nach Lemma 11.1.3 für jedes positive k v(x) := max(u(x),k) eine positive Sublösung ist (man könnte übrigens auch statt v die approximierenden Sublösungen fn ou aus dem Beweis von Lemma 11.1.3 verwenden), folgt die lokale Beschränktheit von v und damit auch von u aus Satz 11.1.1, z.B. mit einem Kugelkettenargument wie im Beweis von Korollar 11.1.2. q.e.d.

Satz 11.2.1. u E Wl,2(!1) sei schwache Lösung von Lu

= .L d

8 (.. a ) a1J (x) 8xiu(x)

8x j

= 0,

(11.2.1)

1,J=1

wobei die meßbaren und beschränkten Koeffizienten aij(x) in!1 die Strukturbedingung

A lel ~ 2

e

d

L

aij(X)eiej,

laiJ(x)1 ~ A

(11.2.2)

i,j=l

für alle x E !1, E ]Rd mit Konstanten 0 < A < A < 00 erfüllen sollen. Dann ist u hölderstetig in!1. Genauer existieren zu jedem !1o ce !1 ein 0: E (0,1) und eine Konstante c mit lu(x) - u(y)1 ~

cIx - yl"

(11.2.3)

für alle x, y E !1o• 0: hängt hierbei nur von d, ~ und !1o ab, c zusätzlich von sUPno u - inf no u.

254

11. Mosersche Iterationstechnikj Regularitätssatz von de Giorgi und Nash

Beweis. Es sei x Eil. Für R > 0 mit B(x,R) M(R):= sup u,

m(R):= inf u.

B(x,R)

(Nach Lemma 11.2.1 gilt -00

c n setzen wir B(x,R)

< m(R)

~

M(R)

< 00.)

w(R) := M(R) - m(R)

ist dann die Oszillation von u in B(x, R), und wir wollen die Ungleichung

( r)Q w(R)

w(r) ~ Co R

für 0


~

R

"4

(11.2.4)

für ein noch zu spezifizierendes a zeigen. Hieraus folgt direkt für alle y mit

Ix-yl =r

u(x) - u(y)

~

sup u -

B(x,r)

inf u

B(x,r)

= w(r)

~ Co w~~) Ix _ ylQ .

(11.2.5)

Hieraus wiederum ergibt sich leicht die Behauptung. Nun zum Beweis von (11.2.4): M(R) - u und u - m(R)

sind positive Lösungen von Lu = 0 in B(x, R)l. Daher ist nach Korollar 11.1.1

M(R) - m

(~) = su~ (M(R) -

u)

B(X'4)

~ Cl

infR (M(R) - u)

B(X'4)

= Cl ( M(R) -

M (

~) )

und analog M

(~) -

m(R)

= su~

(u - m(R))

B(X'4)

< Cl inf (u - m(R)) -

B(x,~)

= Cl ( m ( ~) 1

- m(R)) .

Genauer handelt es sich um nichtnegative Lösungen, und man addiert daher wie im Beweis von Satz 11.1.2 E > 0 und läßt E dann gegen Null streben.

11.2 Eigenschaften von Lösungen elliptischer Gleichungen

255

(N ach Korollar 11.1.1 ist Cl unabhängig von R.) Durch Addition dieser beiden Ungleichungen erhalten wir

M also mit '/J:=

('4R) - m (R) '4 ::;

c,-l Cl+I

Cl Cl

-1 + 1 (M(R) -

m(R)),

(11.2.6)

<1 w

(~)

::; '/Jw(R).

Durch Iteration dieser Ungleichung erhalten wir

w (~) ::; '/Jnw(R) Es sei nun

für n E N.

R R -
Wir bestimmen

Q:

(11.2.7)

(11.2.8)

> 0 derart, daß

Dann ist

w( r) ::; w (

~)

::::: '/Jnw(R)

::; (41n )

0

~ (4~)

0

da w offensichtlich monoton wachsend ist nach (11.2.7)

w(R) w(R)

nach (11.2.8)

= 4- 0 (~) 0 w(R), also (11.2.4).

q.e.d.

Wir wollen nun noch ein starkes Maximumprinzip für schwache Sublösungen beweisen:

Satz 11.2.2. u E W I ,2(ft) erfülle Lu 2: 0, wobei die Koeffizienten aij von L wiederum i,j

für alle xE ft, ~ E ]Rd erfüllen mögen. Falls dann für eine Kugel B(yo, R) ce ft sup u = supu (11.2.9) B(YQ,R)

ist, so ist u konstant.

n

256

11. Mosersehe Iterationstechnik; Regularitätssatz von de Giorgi und Nash

Beweis. Gilt (11.2.9), so finden wir auch eine Kugel B(xo, Ro) mit B(xo, 4Ro)

cn

und sup

B(xo,Ro}

O.E. sei sUPn U

u = supu. n

< 00, denn nach Lemma 11.2.1 ist

(11.2.10) sUPB(Yo,R} U

< 00. Für

M > supu

n

ist M -u dann eine positive Superlösung, aufweIche wir Satz 11.1.2 anwenden können. Durch Grenzübergang gelten die resultierenden Ungleichungen dann auch für M = supu. (11.2.11) n Also erhalten wir für p = 1 aus Satz 11.1.2

1

JB(xo,2Ro}

(M - u) ::::; c

inf

B(xo,Ro}

(M - u) = 0 nach (11.2.10), (11.2.11).

Da nach Wahl von M immer u ::::; M ist, folgt (11.2.12) in B(xo, 2Ro). Es sei nun yEn. Wir finden dann eine Reihe von Kugeln B(Xi' ~), i = 0, ... , m, mit B(Xi' 4Ri) c n, B(Xi-l. ~_l)nB(xi,~) =I- 0 für i = 1, ... , m, y E B(x m , Rm). Wir wissen schon, daß u := M auf B(xo, 2Ro) ist. Hieraus folgt wegen B(xo, Ro) n B(xl. R 1 ) =I- 0 sup

B(xt.Rt}

u=M

und daher nach unserer vorstehenden Argumentation

u := M

auf B(Xl, 2Rt).

Iterativ folgt so u:=

M

auf B(x m , 2Rm},

und somit wegen y E B(x m , R m }

u(y) = M. Da y beliebig war, folgt u:= M

in

n. q.e.d.

Als weitere Anwendung der Harnackungleichung beweisen wir einen Satz vom Liouvilleschen Typ:

11.3 Die Regularität von Minima von Variationsproblemen

257

Satz 11.2.3. Jede auf dem ganzen ]Rd definierte, beschränkte (schwache) Lösung von Lu = 0, wobei die Koeffizienten aij(x) wiederum meßbar und beschränkt sind und mit festen Konstanten 0 < A ::; A < 00 AI~I

für alle x

E ]Rd, ~ E ]Rd

::; Laij(x)~i~j,

laij(x)l::; A

i,j

erfüllen, ist konstant.

Beweis. Da u als beschränkt vorausgesetzt ist, sind infIRd u und sUPIRd u endlich. Für jedes f..L < infu IRd

= 0 auf dem ]Rd. Nach Korollar 11.1.1

ist u - f..L eine positive Lösung von Lu gilt daher 0::; sup u - f..L ::; B(O,R)

für jedes R auch für

>0

und für jedes f..L

C3 (

inf u - f..L)

B(O,R)

< inflRd u

und durch Grenzübergang dann

f..L = infu. lR,l

Da

C3

nicht von R abhängt, folgt

o ::; sup uIR,j

f..L ::;

C3

(inf u - f..L) = 0, IRd

also

u == const.

q.e.d.

11.3 Die Regularität von Minima von Variationsproblemen Ziel dieses § ist der Beweis eines Spezialfalles des fundamentalen Regularitätssatzes von de Giorgi für Minima von Variationsproblemen mit elliptischen Euler-Lagrange-Gleichungen.

Satz 11.3.1. F : ]Rd - t ]R sei eine Funktion der Klasse Coo, welche den folgenden Bedingungen genügt: Es gebe Konstanten K, A < 00, A > 0 mit: Für alle P = (Pt. ... , Pd) E ]Rd gelte: (i) Ig~(p)l::; (ii)

Kipl (i = 1, ... ,d) A 1~12 ::; I: ~::8~; ~i~j ::; A 1~12 für alle ~ E ]Rd.

258

11. Mosersche Iterationstechnik; Regularitätssatz von de Giorgi und Nash

n c IRd sei ein beschränktes Gebiet. Variationsproblems

I(v):= d.h.

In

I(u) ~ I(u + cp)

11,

E

W I ,2(n) sei ein Minimum des

F(Dv(x»dx, für alle

(11.3.1)

Dann ist u E COO(n). Bemerkung. Wegen (i) gibt es Konstanten

Cl, C2

mit

(11.3.2) Da wir voraussetzen, daß

n beschränkt ist, folgt hieraus I(v)

=

In

F(Dv) < 00

für alle v E W 1,2(n). Daher ist unser Variationsproblem, I in W 1,2(n) zu minimieren, sinnvoll. Wir leiten als erstes die Euler-Lagrange-Gleichungen für ein Minimum von I her: Lemma 11.3.1. Es mÖfen die Voraussetzungen von Satz 11.3.1 gelten. Dann gilt für alle cp E Ho,2(n)

(11.3.3) (mit der Abkürzung

Beweis. Wegen (i) ist

1

d

LFp,(Dv)Di
0i=l

~ dK llDvllDCPI 0

~ dK IIDvIIL2(O) IIDCPIIL2(O)'

und dies ist für
durch Differentiation unter dem Integral erhalten:

11.3 Die Regularität von Minima von Variationsproblemen

259

(11.3.4) Insbesondere ist I(u + tcp) eine differenzierbare Funktion von t E IR, und da u ein Minimum ist, ist d d/(u + tcp)lt=o = 0. (11.3.5) Verwenden wir daher die Formel (11.3.4) für t = 0, so folgt (11.3.3).

q.e.d.

Lemma 11.3.1 reduziert nun Satz 11.3.1 auf den folgenden Satz 11.3.2. Ai: IR d ....... IR, i = 1, ... ,d, seien COO-Funktionen, welche den folgenden Bedingungen genügen: Es gebe solche Konstanten K, A < 00, A> 0, daß für alle pE IR d gelte:

S K Ipl (i = 1, ... , d) (ii) Alel s Et,j=l a~~~p) eiej für alle e E IR d (iii) Ia~~:p) ISA. (i) jAi(p)j 2

u E W 1,2(.o) sei schwache Lösung der Gleichung

(11.3.6) d.h. für alle cp E H5,2(.o) gelte

(11.3.7) Dann ist u E Coo (.0).

Der wesentliche Schritt im Beweis wird der Satz 11.2.1 von de Giorgi und Nash sein. Wichtige Teilschritte waren schon vorher von S.Bernstein, L.Lichtenstein, E.Ropf, C.Morrey und anderen erzielt worden. Wir beginnen mit Lemma 11.3.2. Unter den Voraussetzungen von Satz 11.3.2 ist für jedes .0' ce .0 u E W 2,2(.o'), und es gilt Ilullw2,2(nl) S cllullw1.2(n)' wobei c = c( A, A, dist(.o', an)). Beweis. Wir gehen ähnlich wie im Beweis von Satz 8.2.1 vor. Für

Ihl < dist(supp cp, an) ist auch

epk,-h(X) := ep(x - hek)

(ek k-ter Einheitsvektor)

260

11. Mosersche Iterationstechnikj Regularitätssatz von de Giorgi und Nash

in H~,2(n). Daher ist

0=1

d

LAi(Du(x))DilPk,-h(X)dx

n i=1

=

=

=

1 1 1

d

LAi(Du(x))DilP(x - hek)dx

n i=1 d

LAi(Du(y + hek))DilP(y)dy

n i=1 n

d

LAi «DU)k,h) DilP· i=1

Ziehen wir hiervon (11.3.7) ab, so ergibt sich

J~

(Ai(Du(x + hek)) - Ai(Du(x))) DilP(x) = O.

(11.3.8)

I

Nun ist für fast alle x E

n

Ai (Du(x + hek)) - Ai(Du(x))

=

=

1:t 1

Ai (tDu(x

1 (t A~; 1

o

+ hek) + (1 -

(tDu(x + hek)

t)Du(x)) dt

+ (1 -

(11.3.9)

t)Du(x)) D j (u(x + hek) - U(X))) dt.

)=1

Wir setzen daher

a~ (x) :=

1A~. 1

o

'

(tDu(x + hek) + (1 - t)Du(x)) dt

und schreiben mit (11.3.9) die Gleichung (11.3.8) um:

In ~ a~

(x)D j (u(X + he~) - u(x)) DilP(x)dx

= O.

I,)

Hierbei gilt wegen (ü) und (iii) A lel 2 ~

Li,j a~ (x )eiej ~ A lel

2

für alle

Wir können daher wie in §8.2 vorgehen und setzen lP =

1

h (u(x + hek) -

u(x)) 11 2

eE ]Rd.

(11.3.10)

11.3 Die Regularität von Minima von Variationsproblemen

mit

1] E

261

0J(n"), wobei wir .0" mit

ce .0" ce .0,

.0' dist( .0", an), dist( .0', an") 2

! dist( .0', an) gewählt haben, und verlangen o ~ 1] ~ 1,

1](x) = 1 für x E

n',

8 ID 1] I<- dist(n',an)

sowie

12hl < dist(n", an).

Dann folgt aus (11.3.10) mit Ah ( ) _

L..lk U X

A

In

IDLlZuI 21]2

~

In ~ a~

= -

-

u(x + hek) - u(x) h

(DjLlZu) (DiLlZu) 1]2

',J

ln~a~DjLlZu 21](Di1])Ll~u

nach (11.3.10)

',J

~ cA und mit c =

für alle c > 0

2\ dann

ln wobei

2 inr IDLlZu l +.:!c inr ILlZuI2ID1]12

i

DLl u l 2r?

1

~ Cll ILlZul2 n"

~ Cl !nIDU I2

nach Lemma 8.2.1 ,

Cl nicht von h abhängt, also (11.3.11)

Da die rechte Seite von (11.3.11) nicht von h abhängt, folgt nach Lemma 8.2.2 D 2 u E L 2 (n') mit (11.3.12)

Daher ist u

E

W 2,2(n').

q.e.d.

262

11. Mosersche Iterationstechnikj Regularitätssatz von de Giorgi und Nash

Indem wir in (11.3.10) den Grenzübergang h -+ 0 vollziehen, erhalten wir weiterhin mit

aij(x) := A~;(Du(x» v:= DkU

(11.3.13)

die Gleichung

Wegen (ii), (iii) erfüllt (aij(x»i,j=l, ... ,d die Voraussetzungen von Satz 11.2.1. Anwendung dieses Satzes auf v = DkU ergibt daher

Lemma 11.3.3. Unter den Voraussetzungen von Satz 11.2.2 ist

für ein

CI!

E (0,1), also

q.e.d.

v

= DkU, k = 1, ... , d, ist also schwache Lösung der Gleichung d

L

i,j=r

Di (aij(x)Djv)

= O.

(11.3.14)

Hierbei erfüllen die Koeffizienten aij{x) nicht nur die Elliptizitätsbedingung

A lel 2 ~

e

d

L aij{X)eiej,

i,j=1

I

laij{x) ~ A

für alle E JRd, X E n, i,j = 1, ... , d, sondern sie sind nach (11.3.13) auch hölderstetig, da Ai glatt und Du hölderstetig nach Lemma 11.3.3 ist. Zum Beweis von Satz 11.3.2 ist daher eine Regularitätstheorie für solche Gleichungen erforderlich. Da die Gleichung (11.3.14) im Gegensatz zu den in Kapitel 10 behandelten von Divergenzform ist, lassen sich nicht direkt die Sätze von Schauder anwenden. Man kann aber ähnliche Methoden verwenden. Wir wollen jedoch stattdessen zur Abwechslung die Methode von Campanato vorstellen. Als Vorbereitung bringen wir einige Lemmata für Gleichungen vom Typ (11.3.14) mit konstanten Koeffizienten. Diese Resultate sind uns natürlich im Prinzip schon aus Kapitel 8 bekannt. Das erste ist die sogenannte Caccioppoli-Ungleichung

11.3 Die Regularität von Minima von Variationsproblemen

263

Lemma 11.3.4. (Aij)i,j=l, ... ,d sei eine Matrix mit IAi j I ~ A für alle i, j,

,.\ 1~12 ~

d

L Aij~i~j

für alle ~

E

IRd

i,j=l

mit"\ > O. U E W 1,2(n) sei schwache Lösung von d

L

Dj (Aij Diu) = 0 in n.

(11.3.15)

i,j=l

Dann gilt für alle Xo

r

J B(xo,r)

E

n und 0 < r < R < dist(xo, an) und alle J.L

IDuI 2 ~

Beweis. Wir wählen 'f/

C2

(R - r)

r

2

J B(xo,R)\B(xo,r)

lu -

J.L1 2 .

0~'f/~1

auf B(xo, r)

2

ID'f/I~-R . -r

Wie in § 8.2 setzen wir als Testfunktion

ein und erhalten aus

0= !'l;Ai jDiUDj ((U-J.L)'f/2) ',J

= !'l;AijDiUDjury2+ 'J

!

2'l;AijDiu(u-J.L)ryDj'f/ ~J

unter Verwendung der Elliptizitätsbedingungen die Ungleichung

,.\ r

IDu1 2'f/2 $

J B(xo,R)

r

LAijDiUDju'f/2

J B(xo,R)

r +.:!d r c

~ cAd

IDuI 2 ry2

JB(xo,R}

IDryl21 u - J.L1 2 ,

J B(xo,R}\B(xo,r)

da D'f/

= 0 auf B(xo, r),

1

B{xo,R)

und hieraus mit c

IDul 22 ry $

= ! A~

C21

(R - r)

2

B{xo,R)\B{xo,r)

IR

(11.3.16)

E H~,2(B(xo, R)) mit

'f/ == 1 auf B(xo, r), also D'f/ == 0

E

2

Iu - J.LI ,

264

11. Mosersche Iterationstechnik; Regularitätssatz von de Giorgi und Nash

und wegen

die Behauptung.

q.e.d.

Das nächste Lemma enthält die sogenannten Campanato-Abschätzungen.

Lemma 11.3.5. Unter den Voraussetzungen von Lemma 11.3.4 gilt

1

B(xo,r)

lul 2 < C3 (r- )dl R

-

B(xo,R)

lul 2

(11.3.17)

sowie

R lu - UB(xo,R) I . 1B(xo,r) lu - UB(xo,r) I ::; C4 (r)d+21 B(xo,R) 2

2

(11.3.18)

Beweis. O.E. r < ~. Wir wählen k > d. Dann ist nach dem Sobolevschen Einbettungssatz 8.1.1 bzw. einer zu Korollar 8.1.3 analogen Erweiterung

Nach Satz 8.3.1 ist nun u E W k ,2 (B (xo, ~)), und es gilt natürlich eine zu Satz 8.2.2 analoge Abschätzung. Daher gilt

[

J B(xo,r)

lul 2 ::; csrd

sup

B(:r:o,r)

rd

lul 2

Il u ll w k ,2(B(xo,l/))

1

::; Cf; Rd-2k

d

r ::; C3 Rd

B(xo,R)

lul 2 .

(Zur Radiusabhängigkeit: Die Radiuspotenz r d ist klar. Die Radiuspotenz Rd kann man sich auch leicht durch ein Skalierungsargument überlegen, anstatt die Zwischenabschätzungen sorgfältig durchzugehen.) Dies ergibt (11.3.17). Da die Gleichung konstante Koeffizienten hat, ist mit u auch Du eine Lösung, und wir bekommen auch für r < ~

r

IDul 2

::; C7

JB(xo,r)

r:

R

r

JB(:r:o,ll)

IDul 2 .

(11.3.19)

Nun ist nach der Poincareschen Ungleichung (Korollar 8.1.4)

r

J B(xo,r)

lu -

UB(xo,r) 12 ::;

csr2

r

J B(xo,r)

IDul 2

(11.3.20)

11.3 Die Regularität von Minima von Variationsproblemen

265

und nach der Caccioppoli-Ungleichung (Lemma 11.3.4) ist

r

R

} B( XQ'2)

IDuI 2::; ;21B(xQ,R) lu - UB(xQ,R) 12.

(11.3.21)

q.e.d.

(11.3.19)-(11.3.21) ergeben (11.3.18).

Wir können nun den folgenden Regularitätssatz mit der Methode von Campanato beweisen:

Satz 11.3.3. aii(x), i,j = 1, ... ,d, seien Punktionen der Klasse a < 1, auf nC JRd, und sie mögen die Elliptizitätsbedingung A lel 2

d

::;

L

aii(x)eiei

für alle

eE JRd,x E

n

ca,

0

<

(11.3.22)

i,i=l

und laij(x)l::; A mit festen Konstanten 0 Lösung v von

für alle x E n,i,j = 1, .. . ,d

< >. ::; A <

00

(11.3.23)

erfüllen. Dann ist jede schwache

L Di (aii(x)Div) = 0 d

(11.3.24)

i,i=l

von der Klasse Cl ,a' (n) für jedes a' mit 0

< a' < a.

Beweis. Wir schreiben für Xo E n

Mit wird (11.3.24) dann zu d

L

D i (Aij Div) =

i,j=l

d

L

Di ((aii(xo) - aij(x))Div)

i,i=l d

=

L Di (fi(x)) i=l

mit

d

fi(x) :=

L ((aij(xo) i=l

Dies bedeutet

aii(x))Div) .

(11.3.25)

266

11. Mosersche Iterationstechnik; Regularitätssatz von de Giorgi und Nash

Es sei nun für eine Kugel B(xo, R) c

n

die schwache Lösung von d

L

D; (Ai; Diw) = 0 in B(xo, R)

(11.3.27)

i,;=1

w = v auf 8B(xo, R). w ist also Lösung von d

[

LAi; DiwD;cp = 0 für alle cp

JB(xQ,R) i,;=1

E

HJ,2(B(xo, R)).

(11.3.28)

Ein solches w existiert nach dem Satz von Lax-Milgram (siehe Anhang A) (wir suchen z = w - v mit

B(cp,z):= !LAi;DiZD;CP = -

!

=: F(cp)

LAi; DivD;cp für alle cp E HJ,2(B(xo,R))

).

Da es sich bei (11.3.27) um eine lineare Gleichung handelt, ist mit w auch DkW, k = 1, ... , d, eine Lösung (natürlich mit anderen Randbedingungen). Wir können daher (11.3.17) aus Lemma 11.3.5 auf u = DkW anwenden und erhalten (11.3.29)

(Dw ist der Vektor (D1w, ... ,DdW)). Da w = v auf 8B{xo,R) ist, ist cp = v - weine gültige Testfunktion in (11.3.28), und wir bekommen (11.3.30)

und mit (11.3.22), (11.3.23) und der Cauchy-Schwarz-Ungleichung daher (11.3.31)

11.3 Die Regularität von Minima von Variationsproblemen

267

Aus (11.3.26) und (11.3.28) folgt

r

1

d

} B(xQ,R)

L Aij Di(v - w)Dj'P = i,j=l

d

B(xQ,R)

L fj Dj'P i,j=l

für alle r.p E H5,2(B(xo, R)). Wir setzen wiederum 'P = v - wals Testfunktion ein und erhalten

r

} B(xQ,R)

ID(v-w)12:::;~ ~

=

r

} B(xQ,R)

LAijDi(v-w)Dj(v-w) i,j

r

LfjDj(v-w)

} B(xQ,R)

:::; .!. (

j 1

r

ID(v _ W)1 2)

A } B(xQ,R)

2

~ 1/; I') I

. (L<XO,Rl

nach der Cauchy-Schwarzschen Ungleichung, also

r

} B(xQ,R)

ID(v - w)1 2

:::;

;2 r

L If l2.

(11.3.32)

j

} B(xQ,R)

j

Wir setzen unsere vorstehenden Abschätzungen zusammen. Für 0 ist

r

} B(xQ,r)

IDvl 2 :::; 2

r

} B(xQ,r)

:::; Cu

(~) d

IDwl 2 + 2

r

r

} B(xQ,r)

IDvl 2 + 2

} B(xQ,r)


:::; R

ID(v _ w)1 2

r

} B(xQ,r)

ID(v _ w)1 2

nach (11.3.29), (11.3.31). Nun ist

r

} B(xQ,r)

ID(v-w)1 2 :::;

r

} B(XQ,R)

ID(v-w)1 2 , dar:::;R

: :; ;2 r

L If l2 nach (11.3.32)

: :; ;2

laij(xo) - aij (x)1 2

} B(xQ,R)

sup

j

j

XEB'dQ,R)

nach (11.3.25)

1

B(xQ,R)

IDvl2

268

11. Mosersche Iterationstechnikj Regularitätssatz von de Giorgi und Nash

~ C12R2a

( JB(3:0,R)

IDvl2 ,

(11.3.33)

da die aij von der Klasse

ca sind.

Insgesamt erhalten wir also (11.3.34) mit einer Konstanten "{. Wenn nun der Term R2 a in (11.3.34) nicht aufträte (welcher nur dadurch zustandekommt, daß die aij(x) zwar hölderstetig, aber nicht unbedingt konstant sind), so hätten wir eine nützliche Ungleichung. Den genannten Term können wir jedoch durch einen einfachen Trick beseitigen. Für spätere Zwecke formulieren wir allerdings direkt eine etwas allgemeinere Aussage: Lemma 11.3.6. O'(r) sei eine nichtnegative, monoton wachsende Funktion mit O'(r) ~ "{ ((~r + O'(R) + KR"

0)

für alle 0 < r ~ R ~ Ho, mit p, > v und 0 ~ oo(,,{, p" v). Wenn 00 genügend klein ist, dann gilt für 0 < r ~ R ~ Ho

wobei "{1 von ,,{, p" v abhängt und K1 zusätzlich von K. Beweis. Es sei 0 < r < 1, R < Ho. Dann gilt nach Voraussetzung Wir wählen nun 0 < r < 1 derart, daß 2"{rp. = r A

mit v

< >. < p, ist (o.E. 2"{ > 1), und wir nehmen an, daß oor-p. ~ 1.

Dann folgt

O'(rR) ~ rAO'(R)

+ KR"

und daher iterativ für k E N

0'( r k+1R) ~ r A0'(r k R) + Kr k" R" ~

r(k+l)AO'(R) + Kr k" R"

2: rj(A-") k

j=o ~ "{or(k+1)" (O'(R) + KR")

11.3 Die Regularität von Minima von Variationsproblemen

269

(wobei /0 wie auch das nachfolgende /1 einen Faktor ~ beinhalten). Wir wählen nun k E N derart, daß

r k +2 R < r -< r k +1R , und erhalten

q.e.d. Im Beweis von Satz 11.3.3 fortfahrend, erhalten wir durch Anwendung von Lemma 11.3.6 auf (11.3.34), wobei wir 0 < T ::; R ::; Ho mit R~o. ::; 00 voraussetzen müssen, die Ungleichung

1

B(xQ,r)

IDvl 2 ::; C13 (T)d-E:l R

B(xQ,R)

IDvl 2

(11.3.35)

für jedes c > 0, wobei C13 und Ho von c abhängen. Wir wiederholen nun das gleiche Spiel, aber diesmal wenden wir (11.3.18) aus Lemma 11.3.5 statt (11.3.17) an. Analog zu (11.3.29) erhalten wir

1

B(xQ,r)

IDw - (DW)B(xo,r)1

2

::; C14

(TR )d+21

B(xo,R)

IDw - (DW)B(xo,R)

2

1

.

(11.3.36) Ferner ist

denn für jede L2-Funktion 9 ist

r

} B(xo,R)

(Beweis: F(I\:) renzierbar nach

19 :=

1=

9B(xo,R) 2

In 19 -

1\:, und

in~

I<E

r

} B(xo,R)

19 _ 1\:1 2 .

1\:1 2 für ein 9 E L2 (D) ist konvex in und diffe-

also F'(I\:) = 0 genau für 1\:=

1~llg,

und da F konvex ist, muß ein kritischer Punkt ein Minimum sein.) Weiter ist

(11.3.37)

270

11. Mosersche Iterationstechnik; Regularitätssatz von de Giorgi und Nash IDw - (DV)B(XQ,R) 12

{

JB(xQ,R) :S ~ r

JB(xQ,R)

=

r

~

LAij (Diw - (Div)B(xQ,R)) (Djw - (DjV)B(xQ,R)) i,j L

Aij (Diw - (Div)B(xQ,R)) (Djv - (DjV)B(xQ,R))

JB(xQ,R) i,j +.!. r LAij (Div)B(xQ,R) (Djv ). JB(xQ,R) i,j

Djw)

nach (11.3.30). Das letzte Integral verschwindet, weil Aij(Div)B(xQ,R) konstant und v - w E H~,2(B(xo, R)) ist. Durch Anwendung der Cauchy-Schwarzschen Unglei-

chung folgt daher wie üblich insgesamt

1

B(xQ,R)

IDw-(Dw)B(XQ,R)1 2

2 :S A ).2 d2

1

B(xQ,R)

2 IDv-(Dv)B(XQ,R)I·

(11.3.38)

Schließlich ist

r

IDv - (DV)B(xQ,r) 12

r

IDv - Dwl 2 + 3

h~~ +3

JB(xQ,r)

:S 3 {

r

h~~

JB(xQ,r)

IDw - (DW)B(XQ,R) 12

((DV)B(xQ,r) - (DW)B(xQ,r))2.

Der letzte Ausdruck ist aber 3 {

JB(xQ,r)

(

1

IB(xo, r)1

{

JB(xQ,r)

(Dv _ DW)) 2

<3 -

r

JB(xQ,r)

(Dv _ Dw)2

nach der Hölderschen Ungleichung. Also

r

JB(xQ,r)

IDv - (DV)B(xQ,r) 12

:S 3 {

JB(xQ,r)

:S 3

r

h~~

IDw - (DW)B(xQ,r) 12

+6 (

IDw - (DW)B(xQ,r) 12

+ C15R2a

JB(xQ,r)

nach (11.3.33). Aus (11.3.39), (11.3.36), (11.3.38) erhalten wir

r

JB(xQ,r)

IDv - (DV)B(xQ,r) 12

{

IDv - Dwl 2

h~~

IDvl 2

(11.3.39)

11.3 Die Regularität von Minima von Variationsproblemen

~ C16 (~) d+2 ~ C16 (~) d+2

r IDv _ (DV)B(xQ,R) r IDv _ (DV)B(XQ,R) } B(XQ,R)

} B(xQ,r)

durch Anwendung von (11.3.35) auf 0 Lemma 11.3.6 folgt

r

) B(xQ,r)

~

C19 (

<

12

12

+ C17 R2a

r

} B(xQ,R)

+ clsRd-e+2a

R ~ R o statt 0

< r

271

IDvl 2

(11.3.40) ~ R.

Aus

IDv - (DV)B(xQ,r)1 2 r )d+2a-e:

R

1

2

B(xQ,R)

IDv - (DV)B(xo,R) 1

+C20 r d+2a-e:.

Die Behauptung folgt nun aus dem Satz von Campanato (Korollar 8.1.7). q.e.d. Nun können wir leicht Satz 11.3.2 beweisen: Wir wenden Satz 11.3.3 auf v = Du an und erhalten v E C1,a' , also u E C2,a'. Dann können wir die Gleichung nach x k differenzieren und feststellen, daß die zweiten Ableitungen Djku, j, k = 1, ... , d, wiederum eine Gleichung vom gleichen Typ erfüllen. Nach Satz 11.3.3 ist daher D 2 u E C 1 ,0 , also u E C 3 ,a . Iterativ sehen wir nun, daß u E cm,a", für alle m E N mit 0 < a m < 1, also u E COO ist. q.e.d. 11

11

Bemerkung. Der Regularitätssatz 11.3.1 von de Giorgi gilt auch allgemeiner für Minima von Variationsproblemen der Form I(v):=

l

F(x, v(x), Dv(x)) dx

wobei FE COO(n x JR x JR X JRd) wiederum bzgl. p Bedingungen vom Typ (i), (ii) aus Satz 11.3.1 erfüllen und r!P-F(x,v,p) gleichmäßig in p Glattheitsbedingungen in den Variablen x und verfüllen muß. Referenzen: Giaquinta[4],[5].

Zusammenfasssung Die Mosersche Harnackungleichung besagt, daß positive schwache Lösungen u von

Lu =.

.. 8 L -8x8. (a'J(x)-. u(x)) = 0 8x' i,j

J

in jeder Kugel B(xo, R) im Inneren des Definitionsbereiches zung der Form

n eine Abschät-

272

11. Mosersche Iterationstechnik; Regularitätssatz von de Giorgi und Nash sup u $ const.

B(3!Q,R)

inf

B(3!Q,R)

u

erfüllen. Hierbei müssen die Koeffizienten aii nur eine Elliptizitätsbedingung erfüllen und meßbar und beschränkt sein, aber keinen weitergehenden Bedingungen wie beispielsweise der Stetigkeit genügen. Hieraus folgt dann leicht auch der fundamentale Satz von de Giorgi und Nash über die Hölderstetigkeit schwacher Lösungen linearer elliptischer Differentialgleichungen zweiter Ordnung mit meßbaren und beschränkten Koeffizienten. Die Voraussetzungen sind geeignet für die Anwendung dieser Resultate auf nichtlineare elliptische Gleichungen beispielsweise der Form

",8( . 8 ) 8xi A'3(U(X» 8xiu(x) ~

= 0,

',3

denn wenn man noch keine genaueren Aussagen über eine Lösung u kennt, kann man auch bei beispielsweise glatten A ij höchstens voraussetzen, daß die Koeffizienten

aii(x) := Aij(u(x» beschränkt sind. Eine nichtlineare Gleichung wird also hier formal als eine lineare Gleichung mit nicht notwendig regulären Koeffizienten aufgefaßt. Als eine Anwendung beweisen wir den Satz von de Giorgi über die Regularität von Minima von Variationsproblemen der Form

J

F(Du(x»dx - min.

unter den Strukturbedingungen

(i)

IZJ.(p)l:5 Kipl AI~12 $ E ~::J;l~i~i

AI~12 für alle ~ E IRd mit Konstanten K, A < 00, A > O.

(ii)

$

Übungen 11.1 Formulieren Sie Bedingungen an die Koeffizienten eines Differentialoperators der Form

Lu

8 (.. 8 ) = L: -. a'3(x)-.u(x) 8x3 8x' d

i,j=1

d

8

i=1

X

+ L äiW(x)u(x» + c(x)u(x), unter denen eine Harnackungleichung vom Typ von Korollar 11.1.1 gilt. Führen Sie einen detaillierten Beweis durch.

Übungen

11.2 Es sei wie in Lemma 11.1.4


(

1

l/p

uP dx)

JB(xQ,R

für festes positives u : B(xo, R) Zeigen Sie

--+

lim
p .... O

R

(1

JB(XQ,R)

logu(x)

dX) .

273

A. Banach-und Hilberträume. Die LP-Räume

In diesem Anhang werden zunächst einige wichtige Begriffe aus den Grundvorlesungen ohne Beweis wiederholt. Anschließend werden Glättungsaussagen für LV-Funktionen bewiesen. Wir beginnen mit der folgenden Definition A.1. Ein Banachraum B ist ein reeller Vektorraum, versehen mit einer Norm 11·11, die die folgenden Eigenschaften hat: i) IIxll > 0 für alle x E B, xi 0 ii) lIaxll = lai· IIxll für alle a E IR, x E B iii) Ilx + yll :s Ilxll + Ilyll für alle x, y E B (Dreiecksungleichung) iv) B ist vollständig bezüglich 11·11 (d.h. jede Cauchyfolge besitzt einen Häufu,ngspunkt)

Beispielsweise ist jeder Hilbertraum ein Banachraum. Wir erinnern ebenfalls an die Definition A.2. Ein (reeller) Hilbertraum H ist ein Vektorraum über IR, der mit einem Skalarprodukt

(.,.) : H x H

--+

IR

versehen ist, das die folgenden Eigenschaften hat:

i) (x, y) = (y, x) für alle x, y E H ii) (>'lX2 + >'2X2, y) = >'l(Xl, y) + >'2(X2, y) für alle >'1. >'2 iii) (x,x) > 0 für alle x # 0, xE H

E

IR, xl. X2, Y E H

iv) H ist vollständig bezüglich der Norm

IIxll := (x,x)2. 1

Es gelten die folgenden Ungleichungen für einen Hilbertraum H: • Schwarzsehe Ungleichung:

l(x,y)1

:s IIxll·llyll,

und Gleichheit gilt genau dann, wenn x und y linear abhängig sind

(A.l)

276

A. Banach-und Hilberträume. Die LP-Räume

• Dreiecksungleichung:

Ilx + yll :::; Ilxll + Ilyll

(A.2)

Ebenfalls ohne Beweis zitieren wir den Rieszschen Darstellungssatz:

Es sei L ein beschränktes lineares Funktional auf dem Hilbertraum H (also L : H --T IR linear mit

Dann existiert ein eindeutig bestimmtes Y x EH, und es ist

E

H mit L(x) = (x, y) für alle

IILII = Ilyll·

Ebenfalls wichtig ist die folgende Erweiterung: Satz von Lax-Milgram:

B sei eine Bilinearform auf dem Hilbertraum H, welche beschränkt: IB(x, y)1 :::; K

Ilxllllyll

für alle x, y E H mit K < 00

und elliptisch oder koerziv: IB(x, x)1 2: A IIxl1 2

für alle x E H mit A > 0

ist. Dann existiert zu jedem beschränkten linearen FUnktional Tauf Hein eindeutig bestimmtes y E H mit B(x, y) = Tx für alle x

E

H.

Beweis. Wir betrachten Lz(x) = B(x, z). Nach dem Rieszschen Darstellungssatz existiert ein Sz E H mit

(x, Sz)

= Lzx = B(x, z).

Da B bilinear ist, hängt Sz linear von z ab. Außerdem ist

IISzlI:::; Kllzll· S ist also ein beschränkter linearer Operator. Wegen A IIzl1 2 :::; B(z, z) = (z, Sz) :::; IlzllllSzl1 ist

A. Banach-und Hilberträume. Die LP-Räume

277

IISzl1 ~ A IIzll, S also injektiv. Wir wollen zeigen, daß S auch surjektiv ist. Andernfalls existiert x I- 0 mit (x, Sz) = 0 für alle zEH. Mit z = x folgt

(x,Sx) =

o.

Da wir aber schon

(x,Sx) 2 Allxl1 2 hergeleitet haben, folgt x = o. Dies zeigt, daß S surjektiv ist. Aus dem Bewiesenen folgt, daß S-l ebenfalls ein beschränktes lineares Funktional auf H ist. Nach Riesz existiert v E H mit

Tx = (x,v) = (x, Sz) wegen der Surjektivität von S für ein zEH (wegen der Injektivität von S ist z auch eindeutig) = B(x,z) = B(x, S-l v ).

y = S-l V erfüllt also die Behauptung.

q.e.d.

Die hier für uns wichtigen Räume sind die LP-Räume: Wir setzen, für 1 :::; p < 00

LP(V)

:=

{u: V ~ lR meßbar mit Ilull

p

:= Ilullu'(S1) :=

[!nlu IP dX]

1

P

< oo}

sowie

LOO(V) :=

{u: V ~ lR meßbar,

Ilullux>(n) := sup lul <

oo}.

Hierbei ist suplul:= inf{k E lR: {x E

n: lu(x)1 > k} ist Nullmenge}

das wesentliche Supremum von lul. Gelegentlich verwenden wir auch den Raum

Lfoc(V) := {u: V

~ lR meßbar mit u E

LP(V') für alle V' ce V}

für 1 :::; p:::; 00. Dabei werden jeweils Funktionen identifiziert, die sich nur auf einer Nullmenge unterscheiden. (Dies ist erforderlich, um i) aus Definition A.l sicherzustellen. ) Wir erinnern an die folgenden Tatsachen:

278

A. Banach-und Hilberträume. Die LP-Räume

Lemma A.1. LP(fJ) ist vollständig bezüglich 11·llp' also ein Banachraum, für 1 ::; P ::;

00.

L 2 (fJ) ist ein Hilbertraum mit dem Skalarprodukt

In

(u,v)P({l) :=

u(x)v(x)dx.

Jede bezüglich 11·llp konvergierende Folge enthält eine Teilfolge, die punktweise fast überall konvergiert. Für 1 ::; P < 00 liegt CO(fJ) dicht in V(Q), d.h. zu u E LP(Q) und c > 0 existiert ein W E CO(Q) mit

Ilu - wllp < c.

(A.3)

Es gilt die Höldersche Ungleichung: Ist u E V(Q), v E U(Q), l/p+ l/q so

In

uv ::;

Ilullv'(n) ·llvIILq({l) .

=

1,

(A.4)

(A.4) folgt aus der Youngschen Ungleichung: aP

ab::; -

p

b +-, q q

Wir setzen hierzu

A:= und o.E. seien A, B

f. 0.

f

falls a,b

Ilullp'

~

O,p,q

B:=

1 p

1 = 1. q

> 1, - + -

(A.5)

Ilvllp'

Mit a := lu~)I, b := Iv~)1 folgt dann aus (A.5) lu(x)v(x)1 < ! AP AB - pAp

also (A.4). Induktiv erhält man aus (A.4): Ist m

1

i=l

Pi

+! Bq

Ul E

qBq

= 1

,

LP1, . .. ,Um E LP"',

2:-=1, so ist

(A.6) Nach Lemma A.l ist für 1 ::; p < 00 CO(fJ) dicht in V(Q) bezüglich der V-Norm. Wir wollen nun zeigen, daß sogar COO(Q) dicht in V(Q) ist. Hierzu benutzen wir sogenannte Glättungsfunktionen, d.h. nichtnegative Funktionen (! aus C(f'(B(O, 1)) mit

f

Hierbei ist

(!dx

B(O, 1) := {x

= 1.

E]Rd:

lxi::; 1}.

A. Banach-und Hilberträume. Die LV-Räume

279

Das typische Beispiel ist

g(x):= { 0cexp (~) lxi -1 wobei c so gewählt ist, daß wir die Glättung von u:

für für

lxi< 1 lxi ~ 1

J edx = 1 wird. Für u E LP(n), h > 0, definieren

r (x-

y Uh(X) := h1d JIl~.'l g -h- ) u(y)dy,

(A.7)

wobei wir u(y) = 0 für y E R.d\n gesetzt haben. (Diese Konventionen werden wir im folgenden stets benutzen.) Die wichtige Eigenschaft der Glättung ist, daß ist.

Lemma A.2. Ist u E CO(n), so konvergiert Uh für h u auf jedem n' ce n. Beweis. Uh(X)

=

Ist also

1 1

= h1d

Ix-YI9

Izl:9

0 gleichmäßig gegen

(x-h- y) u(y)dy

e(z)u(x - hz)dz

x-y mit z = -h-'

(A.8)

n' ce n und 2h < dist( n', an), so erhalten wir, wenn wir schreiben u(x)

daß sup lu - uhl ::::: sup !]'

e

--t

xE!]'

da

1

=

1

Izl:9

e(z)u(x)dz,

e(z) lu(x) - u(x - hz)1 dz,

Izl~l

J e(z) =

1 und folglich u(x) =

J p(z)u(x) dz

::::: sup sup lu(x) - u(x - hz)l. xE!]'

Izl~l

Da u auf der kompakten Menge {x: dist(x, n') : : : h} gleichmäßig stetig ist, folgt sup lu - uhl --t 0 für h --t O. !]'

q.e.d.

A. Banach-und Hilberträume. Die LP-Räume

280

Lemma A.3. Es sei U E V(n), 1 ~ p < 00. Dann gilt für h --+ 0

lIu -

uhlb(n)

--+

o.

Außerdem konvergiert Uh punktweise fast überall gegen u. (Wir setzen wieder = 0 außerhalb von n.)

U

Beweis. Mittels der Hälderschen Ungleichung folgt aus (A.8), wenn wir 1 1 e(z)u(x - hz) = e(z);; . e(z)vu(x - hz) mit l/p+ l/q = 1 schreiben, daß

IUh(X)IP

~(

1!.

(

1\z\9

= (

1\z\9

e(Z)dz)

q

{ IUh(XW dx

~

({

101\z\9

l\z\~l

Für e:

ce n'.

e(z) Iu(x - hzW dzdx

(e(z) ( lu(x - hz)jP dX) dz 10

{ lu(y)I Pdy

1.0 / (mittels der Substitution y = x-hz).

> 0 wählen wir nun w

Ilu -

e(z) Iu(x - hz)jP dz

e(z) Iu(x - hz)I Pdz.

= {

~

(

1\z\9

Wir wählen ein beschränktes n' mit fl Ist 2h < dist(n, an'), so folgt 1.0

•

(A.9)

E CO(n') mit

wllv'(n/) < e:

(vergleiche Lemma A.l) .

Nach Lemma A.2 gilt für genügend kleines h

Ilw -

whIlLP(OI) < e:.

Wendet man (A.9) auf u - w an, so erhält man

( IUh(X) - Wh(XW dx

1.0

~

( lu(y) - w(y)I Pdy

10 /

und somit

lIu -

wllv'(o) + IIw - whIlLP(o) ~ 2e: + lIu - wlb(ol) ~ 3e:.

uhllv'(o) ~

lIu -

+ IIUh - whllv'(o)

Daher konvergiert Uh bezüglich 1I·lI p gegen u. Nach Lemma A.l konvergiert dann eine Teilfolge von Uh punktweise fast überall gegen u. Da der Limes u eindeutig bestimmt ist, muß dann aber schon die ganze Familie Uh für h --+ 0 gegen U konvergieren. 0

A. Banach-und Hilberträume. Die LP-Räume

281

Bemerkung. Glättende Kerne wurden erstmals von K.O. Friedrichs systematisch in der Theorie der partiellen Differentialgleichungen benutzt. In der Literatur werden sie daher auch oft "Friedrichs mollifier" genannt. Im Beweis der Lemmata A.2 und A.3 haben wir die Glattheit von p überhaupt nicht ausgenutzt. Daher gelten diese Aussagen auch für andere Kerne, insbesondere für

l1(x) =

{wald

für lxi:::; 1 sonst.

Die entsprechende Faltung ist

ur(x) = =

r in[ 11 (x -r Y) u(y) dy 1 [ u(y) dy =; 1 u, IB(x, r)1 i B(x,r) JB(x,r)

~ Wd

also das Mittelintegral von u über die Kugel B(x,r). Somit erhalten wir analog zu Lemma A.3

Lemma A.4. Es sei u E LP(fl), 1 :::; p <

00.

Dann konvergiert für r

--+

a

tex,r) u gegen u(x), und zwar sowohl im Raume LP(fl) als auch punktweise fast überall in fl. Eine ausführliche Behandlung aller in diesem Anhang ohne Beweis aufgeführten Resultate findet man beispielsweise in Jost[8].

Notationsindex

n ist stets eine offene Teilmenge des ]Rd, meist auch beschränkt. n' ce n: Der Abschluß fl' ist kompakt und in n erhalten. Für cp : n -+ ]R ist der

<=}

Träger von cp, bezeichnet mit suppcp, definiert als der Abschluß von {x E

cp(x)

=I O}.

PDGL, 1

1

- 8u U Xi . . - a;r,

x = (xl, ... ,xd), 1 Llu := L~=l Uxixi = 0, 1 R+ := {t E ]R : t > O}, 2 V'u,9

{Y E]Rd: Ix - Yl ~ r}, 10 B(x,r):= {Y E]Rd: Ix - Yl < r} (r > O,X E ]Rd), 10 2; log Ix - Yl 2 d für d = 2 r(x, y) := r(lx - yl) := { 1 Ix _ 1- für d> 2' 10

B(x,r):=

Y

d(2-d)Wd

Wd,

10

8~x'

11

v, 12

S(u,xo,r)

:= dW.l;.l-1 J8B(xo,r)

K(u, xo, r)

u(x)do(x), 17

:= ~ W,lr JB( xo,r ) u(x)dx, 17

(2(t):= {CdexP

o

C2:1)

für 0 ~ t sonst

< 1,18

n: 3p E ]Rd'v'x E n: v(x) ~ v(y) +p. (x -Y)}, 39 Tv(Y) := {p E ]Rd : 'v'x E n : v(x) ~ v(y) + p. (x - Y)}, 40

T+(v):= {Y Cd,40

diam(n), 46 ]R~, 53

E

n:

284

Notationsindex

(h:= nn]R~, 53

rh, 54 nh,54

Ui(X) u,(x)

*(u(xI, . .. ,xi-I, *(u(x ,xd) - Xiu(x+ h,

:= :=

A(x, y, t, to)

:=

1

Ix-vl 2

1

(411"It-tol)~

e 4 (to-t j , 80

K(x, y, t) = A(x, y, t, 0) =

1

p(x,y,t) =

Pt:

1

~e (411"t) ~

_ Ix-ul 2

I: e-ttX-1dt für x > 0, 95

r(x) =

Ix-ul 2

~e--4t-,

(411"tP

cg(lR d)

-+

,xd) - u(x 1 , • .• ,xd)) ,xi-l, Xi - h, xi+l, ... ,xd)), 54

Xi+l, ...

1 , ...

1 , . ..

4t

,83

121

Cg(]Rd), 121

Pn,g,t!(x),122 T t ,123 D(A),124 DtTt , 127

JAv

:=

10

R(>", A)

00

:=

>..e-AsTsvds, 124 (>"Id - A)-l, 127

P(t, x, s, E), 139 C8"(A) := {cp E Coo(A) : der Abschluß von {x : cp(x) und in A enthalten}., 151 D(u) := In IV'u(x)1 2 dx, 152 v = Diu, 154 C~(n) := {f E Ck(n) : der Abschluß von {x: f(x) Teilmenge von n} (k = 1,2, ... )., 154 W 1,2(n), 155 (u, V)w1,2(n)

:=

1

155

H 1 ,2(n), 155 H~,2(n), 155

(VJlJ)(x) := In Ix - yld(Jl-l) f(y)dy, 160 a:= (al, ... ,ad), 177 Da:=

(fx-r)"l ... (b Q.l)

O} ist kompakt

# O} ist eine kompakte

In uv + E~=l In Diu· Div, 155

Ilullw1,2(n) := (u, U)~,rl,2(n)'

#

für E C1al(n), 177

Notationsindex

Wk,P(D) k}, 177

:=

{u E LP(D) : Do:u existiere und sei aus LP(D) für alle

285

10:1 ::;

1

IluIIWk,r'(n):=

(L:IO:I~kInIDo:uIP)"

,177

Hk,p(D), 177 H~,p(n), 177

11'll p =

11'lb(n), 177

(V/Lf)(x)

:=

In

Ix -

yld(/L-l)

f(y)dy, 180

fv(x)dx := lAI In v(x)dx, 182 Inl,182

UB := 11 1 IB u(y)dy, 184 IBI,184

OSCnnB(z,r) u

f

:=

SUPx,yEB(z,r)nn lu(x) - u(y)l, 187

E Ca(n), 188

IIh ( )._ U(X+hei)-U(X) i..li U X . h

(h =I- 0), 192

Klasse C k , 202 Ca(n), 221

ck,a(D), 221 If(x)- f(y)l 221 Ifl co(n) .'- SUPx,yEn Ix-Ylo ,

IIfll c k,O(il),221 11'11,275

C,·),275

LP(n)

{u: n

:=

1

-t

lR meßbar mit Iluil p := IluIILP(n) := (In lul P dx) P

oo}, 277

to°(n)

:=

{u: n

-t

lR meßbar, Ilullux>(n) := Sup lul

11'll p ,278

(u, V)L2(n) Uh(X) :=

:=

In u(x)v(x)dx, 278

t.r JIR,j

(!

(y) u(y)dy, 279

< oo},

277

<

Sachverzeichnis

Abschätzungen von Campanato, 264 Abschätzungen von Krylov-Safonov, 252 Abschätzungen von J.Moser, 244 Abschätzungen von J. Schauder, 229 Abschneidefunktion, 194, 211, 212 äußere Sphärenbedingung, 74 alternierendes Verfahren von H. A. Schwarz, 66 Anfangs-Randwertproblem, 92, 98, 100 Anfangswertproblem, 85, 110, 112, 114, 122 Ausbreitungsvorgang, 2 Banachraum, 177, 275 Barriere, 65, 75 Beispiel von Lebesgue, 75 Bilinearform, 166 Brownsche Bewegung, 140, 142 Caccioppoli-Ungleichung, 262 Calderon-Zygmund-Ungleichung, 209, 214 Cauchy-Riemannsche Gleichung, 2 Chapman-Kolmogorov-Gleichung, 140 Chapman-Kolmogorov-Gleichung, 139 Darstellungsformel, 15, 91, 111 Deltadistribution, 157 Differenzengleichung, 53 Differenzenquotient, 192 Differenzenverfahren, 53, 60 Diracsche Deltadistribution, 12 direkte Methode der Variationsrechnung, 165 Dirichletintegral, 152, 153, 161, 165 Dirichletproblem, 15, 16, 25, 26, 36, 45, 55, 66, 86, 151, 199, 236 Dirichletsches Prinzip, 151, 161, 199 diskret zusammenhängend, 54 diskrete Laplacegleichung, 55, 105 diskrete Poissongleichung, 57

diskretes Maximumprinzip, 55 Diskretisierung der Wärmeleitungsgleichung, 105 Distribution, 12, 156 distributionelle Ableitung, 156 Divergenzform, 241, 262 Divergenzsatz, 9 Dreiecksungleichung, 276 Eindeutigkeit, 6 Eindeutigkeit von Lösungen der Poissongleichung, 24 Eindeutigkeitssatz, 45 Einsteinsche Feldgleichungen, 3 elliptisch, 5, 43, 44, 167, 276 elliptische Regularitätstheorie, 198 elliptischer Differentialoperator, 60 Elliptizität, 33, 203, 229, 241 Elliptizitätsbedingung, 46 Energienorm, 115 Ersetzungslemma, 157 erste Greensche Formel, 9 Euler-Lagrange-Gleichungen, 164, 165 Existenz, 6 Existenzproblem, 235 Faltung, 84 Finite Elemente, 171 Friedrichs mollifier, 281 Fundamentallösung, 210 Fundamentallösung der Laplacegleichung, 11 Gammafunktion, 95 Gitterpunkt, 53 Glättung, 279 Glättungsfunktion, 278 Gleichgewichtszustand, 2 Gleichung von Darboux, 111 globale Schranke, 199 globaler Fehler, 60

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Sachverzeichnis

Gradientenabschätzung für Lösungen der Poissongleichung, 26 Greensche Darstellungsformel, 11 Greensche Formeln, 9 Greensche Funktion, 13, 15, 25, 57 Greensche Funktion einer Kugel, 14 Hadamard,6 Halbgruppe, 123, 124, 140, 142 Halbgruppeneigenschaft, 140 harmonisch, 10, 15, 17, 19,24,25, 198 harmonische Polynome, 10 Harnacksche Ungleichung, 28, 252 Harnackscher Konvergenzsatz, 29, 63, 68 Hilbertraum, 275 Höldersche Ungleichung, 278 hölderstetig, 188, 192, 221 Hölderstetigkeit schwacher Lösungen, 253 Hopfsches Maximumprinzip, 37 Huygenssches Prinzip, 115 hyperbolisch, 5 infinitesimaler Erzeuger, 124 isolierte Singularitäten, 25 Iterationsargument, 205 Kante, 53 Kantenzug, 53 Kettenregel für Sobolevfunktionen, 158 koerziv, 167, 276 konkav, 39 konsistent, 60 konstruktive Methode, 173 konstruktive Verfahren, 6, 53 kontrahierend, 123, 140 konvergent, 60 konvex, 23, 242 Korteweg-de Vries-Gleichung, 2 Laplacegleichung, 1, 11, 53, 55, 86 Laplaceoperator, 1, 33, 142 lineare Gleichung, 4 linearer elliptischer Differentialoperator, 33 lipschitzstetig, 221 Lösbarkeit, 6 Lösung des Dirichletproblems auf der Kugel,15 lokaler Fehler, 60 LP -Regularitätstheorie, 214 Markoveigenschaft, 139

Markovprozeß, 140 Maximumprinzip, 22, 24, 44, 46, 67, 80, 88, 101 Maximumprinzip von Alexandrov und Bakeiman, 39 Maxwellgleichung, 3 Methode von Campanato, 262 Minima von Variationsproblemen, 257 Minimalflächengleichung, 3, 45 Minimalfolge, 161 Mittelintegral, 182 Mittelwerteigenschaft, 18, 20, 105 Mittelwertformel, 17 Mittelwertungleichung, 21, 22 Monge-Ampere-Gleichung, 2, 42-44 Morrey's Dirichlet growth theorem, 189 Mosersche Harnackungleichung, 244, 253 Mosersches Iterationsverfahren, 249 Navier-Stokes-Gleichung, 3 Newtonpotential, 209, 228 nicht regulärer Punkt, 75 nichtlineare Gleichung, 4 numerische Verfahren, 6 parabolisch, 6 parabolische Differentialgleichung, 79 partielle Differentialgleichung, 1 partielle Integration, 154 Perronsche Methode, 62 Plattengleichung, 4 Poincare-Ungleichung, 159, 163, 186 Poissongleichung, 1, 24, 166, 236 Poissonsche Darstellungsformel, 15 Poissonsche Formel, 17 positive Sublösung, 244 positive Superlösung, 244 Prinzip von Duhamel, 100 quasilineare Gleichung, 4 räumlich homogen, 140 räumliche Koordinate, 2 Randregularität, 202, 206 Randwertlemma von E. Hopf, 37 Randwertproblem, 6 regulärer Randpunkt, 65, 74 Regularisierung, 18 Regularitätssatz von de Giorgi, 257 Regularitätsfragen, 101 Regularitätstheorie, 162, 163 Resolvente, 127, 133 Resolventengleichung, 128

Sachverzeichnis Rieszscher Darstellungssatz, 193, 276 Rotationssymmetrie des Laplaceoperators, 11 Satz von Arzela-Ascoli, 21, 226 Satz von Campanato, 190, 271 Satz von Giorgi und Nash, 253, 259 Satz von Hille-Yosida, 133 Satz von John und Nirenberg, 183 Satz von Kellogg, 236 Satz von Lax-Milgram, 169, 276 Satz von Liouville, 28, 257 Satz von Morrey, 187 Schrödingergleichung, 4 schwach differenzierbar, 154 schwach harmonisch, 162 schwache Ableitung, 154, 157, 177 schwache Lösung, 195, 199, 203, 211, 214, 225, 262 schwache Lösung der Laplacegleichung 162 ' schwache Lösung der Poissongleichung 162,170 ' schwache Sublösung, 241 schwache Superlösung, 241 schwaches Maximumprinzip, 24, 34 Schwarzsehe Ungleichung, 275 semidiskrete Approximation der Wärmeleitungsgleichung, 105 semilineare Gleichung, 5 Skalarprodukt, 275 Sobolevraum, 155, 177 Sobolevscher Einbettungssatz, 178, 198, 205, 214, 264

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Stabilität, 6 Stabilitätslemma, 163 starke Lösung, 210 starkes Maximumprinzip, 24, 62, 255 starkes Maximumprinzip von E. Hopf 37 ' stetig und linear, 172 stetige Halbgruppe, 123, 131 Subfunktion, 63 subharmonisch, 21-23, 62 superharmonisch, 21 Transformationsverhalten des Dirichletintegrals und des Laplaceoperators 165 ' Vergleichssatz, 44 vor- und rückwärtiger Differenzenqu0tient, 54 Wärmeleitungsgleichung, 2, 79, 84, 101 111, 117, 121 ' Wärmeleitungskern, 80, 99, 142 Wellenausbreitung, 2 Wellengleichung, 2, 109, 111 112 114 117 ' , , Wellenoperator, 109 Weylsches Lemma, 19 Youngsche Ungleichung, 195, 278 Zeitkoordinate, 2 zweite Greensche Formel, 9

Literaturverzeichnis

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