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<7nn ou ra est la direction moyenne de ces voutes faisant un angle r avec la verticale, et n la direction perpendiculaire correspondante. Si Ton suppose de plus que ces directions sont fixes - et c'est une bonne approximation si le mode de construction du systeme granulaire considere est suffisamment simple comme dans le cas d'un tas de sable ou d'un silo - cette condition de friction peut se reecrire, dans le systeme d'axes verticaux et horizontaux (z, x), comme une relation quasi lineaire entre composantes du tenseur des contraintes : axx — r/crzz + ^axz ou r\ et [i sont deux constantes qui dependent des deux angles r et ip. Nous avons montre que ces modeles baptises OSL (pour Oriented Stress Linearity models] peuvent se ranger dans la categoric des modeles rigide-plastiques, mais tres anisotropes. Lorsque les grains sont mous, c'est-a-dire lorsque les contraintes au sein du systeme granulaire sont de 1'ordre de grandeur du module d'Young E de ces grains, la direction des chaines de contact est de moins en moins bien definie a mesure que ces contraintes augmentent, et notre description sera de moins en moins valable, cedant la place aux modeles elasto-plastiques traditionnels de la mecanique des sols. Les sols sont d'ailleurs des materiaux beaucoup plus composites que les milieux granulaires : outre des sables, ils contiennent des argiles, de 1'eau, etc. et ressemblent de ce fait davantage a des materiaux de type elastique. En outre, les pressions qui y regnent sont effectivement tres fortes, en tous cas bien plus importantes que sous un tas de sable ordinaire. Tant que Ton est dans le regime ou Ton peut considerer les grains comme rigides, on s'attend a ce que les effets de voute jouent a plein. En particulier, on devrait observer une tres grande sensibilite aux inevitables petites perturbations et sollicitations exterieures - i.e. une grande « fragilite » - conduisant a de frequents rearrangements internes. Suite a une surcharge locale, on devrait egalement mesurer une reponse (moyenne) bien localisee sur deux pics, contrastant ainsi avec les fonctions de reponses tres larges et sans structure particuliere des milieux de type elastique. Ce chapitre etait le chapitre de base de nos travaux. Nous y avons expose les fondements de notre approche en precisant les hypotheses qui se cachent derriere nos modeles. Maintenant que les bases sont jetees, nous aliens pouvoir appliquer cette theorie au cas du tas de sable (Sect. 1, Chap. 2) et au cas du silo (Sect. 2, Chap. 2) et comparer nos resultats aux experiences. Dans la section 2 du chapitre 3 nous verrons enfin comment tout ce qui a ete presente ici, et en particulier la nature propagative - i.e. hyperbolique - des equations sur le tenseur des contraintes, resiste a la presence de « desordre ».
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1. 1.1.
Histoires de tas de sable Introduction
Y a-t-il un interet quelconque a etudier un tas de sable ? Parmi les nombreux problemes que rencontrent les gens qui manipulent quotidiennement des materiaux granulaires, n'y en a-t-il pas des plus importants, des plus fondamentaux ou des plus urgents a resoudre ? En fait, un tas de sable constitue un veritable systeme modele pour 1'etude de la propagation et des fluctuations des contraintes dans les materiaux granulaires. C'est en effet un des systemes granulaires les plus simples ou les « efFets de voute », c'est-a-dire les efFets dus a la presence de « chemins » le long desquels les forces se propagent de manic-re preferentielle, se manifestent de maniere prononcee et assez peu intuitive. De plus, les experiences auxquelles on peut se livrer sur un tas de sable sont - au moins en principe - tres simples. Une experience typique est celle qui est schematised sur la figure 20. On construit un tas en faisant couler du sable a travers un entonnoir. Sur la table sur laquelle on fait cette experience, on a place un reseau de capteurs qui mesurent la pression en differents points. On obtient ainsi un profil de pression pour un tas de hauteur donne. Ce profil n'a pas une forme aussi simple qu'on pourrait le penser a premiere vue. Un raisonnement inspire de ce qu'on connait en mecanique des fluides pourrait en effet nous laisser croire que la pression est simplement proportionnelle a la hauteur locale de grains. En fait, la forme de ce profil depend de la maniere dont a ete construit le tas de sable. Pour 1'exemple de la figure 20, on mesurerait un profil avec un minimum local bien marque une depression - au centre du tas, c'est-a-dire sous la plus grande hauteur de sable. Ainsi qu'on le verra dans toute cette section, ces effets se comprennent bien en termes de « chaines de force » : la structure geometrique de ces chemins au sein d'un tas particulier va dependre de « 1'histoire » de ce tas, c'est-a-dire de la maniere precise dont les grains de sable, d'abord en mouvement, se sont bloques quelque part a la surface du tas, pour se faire ensuite enterrer par de nouveaux grains. Ainsi, en s'interessant a la repartition des contraintes au sein d'un simple tas de sable, c'est toute la physique de ces « effets de voute » que 1'on etudie. Remarquons enfin que nous n'allons pas dans cette section considerer uniquement des tas de sable au sens strict, c'est-a-dire des tas construits avec, comme materiau,
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Figure 20. Mesure du profil de pression sous un tas de sable, id construit avec un entonnoir. Les petits rectangles noirs sous le tas symbolisent les jauges de pression. Beaucoup de progres ont ete faits dans la fabrication de ces capteurs. Les plus recents sont des capteurs capacitifs qui ne se deplacent que de quelques dizaines de nm pour faire une mesure tres precise. [Experimental measurement of the stress profile under a sandpile, built here from, a hopper. Black rectangles represent pressure gauges. The most recent ones are capacitive sensors which only need a few tens of nm displacement to make a precise measurement.]
du sable. L'expression « tas de sable » sera en fait, sauf si elle prete a confusion, utilisee comme un raccourci pour designer un empilement de grains tels que ceux formant le sable (i.e. des grains rugueux, durs et sees, c'est-a-dire non cohesifs). Les experiences sur les tas de sable, contrairement a celles sur les silos (cf. Sect. 2) ne sont pas tres nombreuses. Celles de Hummel et Finnan [94] sont les plus anciennes puisqu'elles remontent a 1920 ! Le minimum de pression que ces auteurs ont observe a la verticale du sommet d'un tas a egalement ete vu sur des experiences plus recentes de Jotaki et Moriyama en 1979 [104], et de Smid et Novosad en 1981 [175]. Ces experiences concernaient des tas coniques tridimensionnels. En faisant des mesures dans une situation (quasi) bidimensionnelle (un « toit » ou un « prisme »), les deux premiers auteurs ont trouve une baisse de pression negligeable au centre. Precisons cependant que leurs jauges de mesure etaient sujettes a un important hysteresis. Ce resultat a toutefois ete reproduit par Lee et Herington en 1971 [113] qui, eux, trouvent que si la base qui supporte le tas est rigide, la methode de construction de celui-ci importe peu et que Ton mesure alors une pression relativement bien uniforme au voisinage du centre du tas. Par contre, si la base du tas est deformable, ces auteurs ont note une depression bien visible1. 1. Nous n'etions pas, a 1'epoque ou nous avons commence a travailler sur la repartition des contraintes dans les tas de sable, avertis des consequences d'une deflexion de la base supportant le tas lorsque celle-ci n'est pas parfaitement rigide, et nous sommes redevable a Savage d'avoir attire notre attention sur ce probleme [172,173].
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C'est egalement ce qu'ont trouve Trollope et Burman en faisant leurs experiences et simulations numeriques [188]. II faut cependant preciser que, dans leur article, Smid et Novosad decrivent leur base comme rigide... Ann d'avoir les idees un peu plus claires sur tous ces resultats quelque peu contradictoires, plusieurs equipes se sont, ces dernieres annees, reattaquees au probleme. Cantelaube [25-27] a realise des mesures sur un systeme veritablement bidimensionnel (des billes entre deux plaques de verre). Mais la encore le resultat quant a la presence ou 1'absence de depression au centre du tas n'est pas tres net. Par centre, Brockbank, Huntley et Ball [21] d'une part, ainsi que Vanel et al. [195,199] d'autre part, ont confirme, chacun avec des techniques de mesures tres differentes les unes des autres, les resultats de Smid et Novosad, a savoir qu'un tas conique forme de grains tels que des grains de sable, construit a partir d'un entonnoir sur une base absolument rigide, presente sans ambiguite un minimum local de pression au voisinage du centre de ce tas. Ces quinze dernieres annees, les developpements theoriques se sont multiplies pour essayer de mieux comprendre cette enigme. Le principal enseignement que Ton peut tirer de tous ces modeles, est que la repartition des contraintes sous un tas de sable depend enormement de la structure interne du reseau des contacts entre les grains, cette structure etant le resultat de « 1'histoire » de ce tas. Un empilement regulier et bidimensionnel de billes dures frottantes ou pas donne - eventuellement en moyenne - une repartition de pression bien homogene (Hong [87], Liffman, Chan et Hughes [117], Eloy et Clement [74]), meme s'il possede des lacunes uniformement reparties (Huntley [95]). Ce resultat n'est guere altere si cet empilement est legerement desordonne, ou si les billes ne sont pas parfaitement de meme diametre ou meme un peu elastiques (Huntley [96]). C'est la meme chose en trois dimensions (Oron et Herrmann [150]). Si Ton veut observer un profil de pression moins uniforme, il faut soit imposer un reseau particulier de contacts entre les billes (Oron et Herrmann [148,149]), soit obtenir un tel reseau par 1'intermediaire de regies propres au modele considere : on peut citer par exemple Jenkin [100] qui a propose une regie de quasi ouverture de contacts - slack contacts - entre grains lorsqu'on deforme un empilement, notion reprise par Bagster et Kirk [6] pour supprimer les pressions negatives i.e. vers le haut de leur modele, modele de tas avec des blocs Li et Bagster [116], presence d'inhomogeneites Liffman, Chan et Hughes [118], automate cellulaire Hemmingsson [83] puis Hemmingsson, Herrmann et Roux [84], dynamique moleculaire Luding [122, 123] et Matuttis [127,128]. La transmission des forces dans ces materiaux est parfois interpretee en termes de « voutes » (Edwards et Mounfield [68], Trollope [187], Cundall et Strack [49]), celles-ci pouvant induire la presence de cette depression au centre du tas (Edwards et Oakeshott [66], Edwards et Mounfield [70]). D'autres auteurs privilegient une description plus traditionnelle de la propagation des contraintes dans les tas de sable (van R. Marais [201], Cantelaube et Goddard [26,27], Evesque et Bouffelouh [76], Savage [172,173]). Dans le chapitre precedent, nous avons longuement discute des ressemblances et differences entre nos modeles et ceux issus de 1'approche elasto-plastique plus traditionnelle, ou bien ceux developpes par Trollope, et nous ne reviendrons pas
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davantage sur cette discussion dans le cadre de la description des contraintes dans un tas de sable. Dans cette section, nous allons simplement presenter la solution de nos modeles OSL pour le cas d'un tas de sable et Interpretation que 1'on peut en faire quant a la nature de la propagation des forces dans ces materiaux. Enfin, dans la derniere sous-section, nous confronterons nos predictions theoriques aux donnees experimentales de Smid et Novosad, a celles de Brockbank, Huntley et Ball, ainsi qu'a celles de Vanel et al. 1.2.
Solution OSL pour un tas de sable
Description du models Les seules equations traduisant 1'equilibre statique d'un systeme de grain, qui, en termes du tenseur des contraintes s'ecrivent
ne suffisent pas a decrire completement 1'etat de ce systeme. Cette indetermination est due, entre autres, aux forces de friction entre les grains, dont la mobilisation est, en general, inconnue. Plus precisement, la repartition des contraintes dans un empilement granulaire depend de sa structure, c'est-a-dire de 1'orientation des contacts entre grains qui propagent les forces. Ces informations qui sont encodees dans le tenseur de texture par exemple, ne sont pas presentes dans ces deux equations d'equilibre. Les axes x et z sont ici respectivement horizontal et vertical, et on se restreint pour le moment a deux dimensions seulement. p est la densite du materiau granulaire considere que nous supposerons constante dans toute cette section, et g est 1'intensite de la gravite. Dans la section 2 du chapitre 1 nous avons motive 1'ajout d'une troisieme relation qui permet de clore le systeme d'equations. Parmi les differentes relations ou developpements possibles, il en est une particulierement simple mais riche en implications, c'est la relation dite OSL
Cette relation est quasi-lineaire dans la mesure ou, par symetrie, // change de signe avec axz. Par la suite, on verra qu'on peut toujours se debrouiller - au moins pour des systemes possedant une geometrie assez simple, comme un tas ou un silo - pour rester du cote ou axz reste, disons, positif. Nous avons vu en particulier qu'une des conditions necessaries a 1'obtention de cette relation est que les grains puissent etre consideres comme rigides, ce qui veut dire que la seule echelle de longueur pertinente du probleme est la taille du systeme lui-meme - ici la hauteur du tas de sable. Nous allons voir que cette condition de mise a 1'echelle est remarquablement bien verifiee experimentalement pour des tas de 6 a 60 cm de haut. Rappelons egalement que cette relation OSL permet de se doter d'une structure mathematique adaptee aux chaines de forces presentes dans les systemes granulaires. Dans ce formalisme, ces voutes sont representees (en moyenne) par
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les caracteristiques des equations differentielles. Nous avons vu dans la section precedente que cette relation (2.3) peut 6tre deduite d'une relation de friction entre voutes. Pour une geometric et des conditions aux limites donnees, 1'ensemble de ces trois equations a trois inconnues peut etre resolu completement. Dans cette section, nous nous interessons aux tas de sable. Dans ce cas, la geometrie est suffisamment elementaire pour que 1'on puisse obtenir une solution analytique, du moins en deux dimensions. Avant de passer au cas reel des tas tridimensionnels, nous presenterons cette solution analytique et montrerons que les deux parametres rj et n du modele OSL sont relies entre eux grace au critere de stabilite de Mohr-Coulomb. La solution en trois dimensions de ce modele nous permettra de comparer quantitativement nos predictions avec des donnees experimentales recentes [21,199] ou plus anciennes [175]. Solution analytique en deux dimensions Methode des caracteristiques Dans ce paragraphe, nous aliens presenter la methode qui permet de trouver analytiquement la solution des equations du modele OSL pour un tas de sable en deux dimensions. Cette methode s'inspire directement du fait que les equations du systeme ont une structure de type hyperbolique, c'est-a-dire qu'en chaque point, il existe deux lignes le long desquelles les equations prennent une forme propagative particulierement simple. Ces lignes sont appelees des caracteristiques. Pour le modele OSL nous allons voir que ce sont de simples lignes droites. Si Ton fait le changement de variable u = x — c+z et v = x — C-Z ou 1'on a defini deux « vitesses » c+ et c_ par c± = (1/2) (// ± \J \j? + 4ry) (a noter que c+ est positive alors que c_ est negative), les equations differentielles (2.1, 2.2) se reecrivent sous la forme
Cela signifie que les quantites (axz — c±crzz} se propagent respectivement le long des caracteristiques « — » et « + » definies par x — c~z = Cte et x — c+z = Cte, qui sont bien des droites. Pour un systeme d'equations hyperboliques plus complexes, comme celles du modele IFE par exemple, ces caracteristiques seraient courbees mais le principe de la methode resterait le meme. Les caracteristiques « — » et « + » sont representees sur la figure 21. Pour integrer le long de ces caracteristiques, on peut se ramener a 1'element de longueur dl par les formules
Supposons que 1'on connaisse 1'etat de contrainte des points .Mo et At0 de la figure 21. Si on appelle L- la distance entre les points M. et .M0, et L+ celle entre
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Figure 21. Caracteristiques « — » (a droite) et « + » (a gauche) issues du point .A/f. /"—" (right) and "+" (left) characteristics connected to the point M..}
A4 et A^o, les contraintes en M. se calculent alors avec les formules suivantes
Par la suite, nous designerons par C- et C+ les contributions des Caracteristiques « — » et « 4- » des equations (2.6, 2.7). Ainsi, pour calculer, dans le cadre du modele OSL, les contraintes en un point M. d'un materiau granulaire, il suffit d'en faire emerger ses deux Caracteristiques « — » et « + », et de les suivre jusqu'a ce qu'elles atteignent les limites du systeme ou les contraintes sont connues. II faut remarquer que si, comme c'est le cas habituellement, les contraintes sont connues en surface, les Caracteristiques propagent 1'information de haut en has. Mais si, pour une raison ou pour une autre, c'est sur le fond du systeme que celles-ci sont imposees, c'est de bas en haut que se fait la propagation. A titre de premier exemple, on peut appliquer cette methode a la determination des contraintes dans un milieu semi-infini tel que celui represente sur la figure 22. On connait les contraintes a la surface : elles sont nulles. Si z designe la profondeur du point A4, on trouve sans difficulte grace au theoreme de Pythagore, que L- = zJl + c?_ et que L+ = zJl + c2+, ce qui donne finalement axz — 0 et ozz = pgz. Evidemment, dans un cas aussi simple que celui d'un milieu semi-infini, la methode peut sembler un peu lourde, mais pour des situations legerement plus compliquees, elle est a la fois puissante et elegante. Que se passe-t-il en particulier quand 1'une des Caracteristiques rencontre la ligne dite « singuliere » ou le cisaillement axz s'annule et change de signe2 ? 2. Quand axz change de signe, pour des raisons de symetrie, p, fait la meme chose, si bien que la « vraie » relation OSL s'ecrit en fait oxx — r\aZz + M-l^xz • Les equations possedent done une singularite en ce point, d'ou le nom de « ligne singuliere ». Remarquons qu'en coordonnees cylindriques (r, x> 2 )> coordonnees que nous utiliserons dans le cas tridimensionnel, la relation
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Figure 22. Milieu semi-infini. A la surface (en .Mo et -M0), IGS contraintes sont nulles. [Semi-infinite medium. On the surface (in M.Q and MQ), the stresses vanish.]
Figure 23. La caracteristique « + » issue du point M. touche la ligne « singuliere » ou <Jxz change de signe en M.s. Sur cette ligne, les caracteristiques se « retiechissent » et doivent etre « multipliees » par le facteur —7 = c_/c+. En pratique, ces points sont en x = 0, c'est-a-dire au milieu des tas et silos. [The "+" characteristic connected to the point M. touches the "singular" line at M.s where <Jxz changes its sign. On this line, characteristics must be "reflected" and "multiplied" by the factor —7 = c_/c+. In simple cases, this line is the center line of sandpiles and silos.] Sur cette ligne, // change egalement de signe, ce qui fait que c_ devient —c+ et c+ devient — c_. Autrement dit, venant du haut, seules des caracteristiques « — » arrivent en un point tel que le point M.s de la figure 23. Symboliquement on peut done ecrire
OSL s'ecrit bien arr = r)azz+^arz (sans valeur absolue) car, par definition, 1'axe r pointe toujours dans la direction du cisaillement. La ligne r = 0 reste cependant singuliere.
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Et on a
C'est-a-dire, symboliquement,
Ainsi, quand une caracterislique rencontre la ligne ou axz change de signe, elle s'y « reflechit » et doit etre « multiplied » par le facteur —7 = c_/c + . Cette regie va nous etre tres utile pour calculer dans cette section la solution du modele OSL pour un tas de sable, et dans la section suivante celle pour un silo. En pratique, cette ligne est la droite centrale x = 0 des tas et des silos lorsque ceux-ci sont axi-symetriques. Pour un tas dissymetrique, la situation est un petit peu plus compliquee et il faut, si on ne connait pas 1'equation de cette ligne a priori3, determiner celle-ci de fagon progressive, a chaque pas de 1'integration. Une maniere equivalente d'apprehender ces equations est de remarquer que celles-ci peuvent s'ecrire sous la forme d'une equation d'onde (anisotrope si c+ ^ —c_, i.e. IJL ^ 0) ou la variable x est la variable d'espace et la variable z joue le role du temps. Toutes les composantes du tenseur des contraintes sont en effet solutions de 1'equation aux derivees partielles suivante
On pourrait alors chercher la solution generale sous la forme
les deux fonctions /+ et /_ etant a determiner en fonction des conditions aux limites. Toutefois, la presence de cette singularite au centre des tas et des silos rend cette forme difficile d'utilisation en pratique, et on preferera de beaucoup la methode geometrique des caracteristiques. II est cependant utile d'avoir a 1'esprit cette correspondance avec le formalisme ondulatoire. Considerons a present un tas de sable en deux dimensions. On designe par 6 Tangle que fait la pente de ce tas avec 1'horizontale. On a typiquement # = , mais toutes les valeurs 9 < 0 sont admissibles. Dans toute la suite nous allons abondamment utiliser le facteur c = l/tan#. Plagons-nous dans la partie, disons, droite du tas ou, par choix de 1'axe horizontal x, le cisaillement axz est positif. Quand nous aurons calcule les contraintes dans cette partie-la, celles de la partie gauche pourront etre deduite par symetrie : axx et azz restent identiques quand x devient — x mais axz est change en son oppose. Si on regarde la figure 24, on voit que lorsqu'on construit les deux caracteristiques issues d'un point M quelconque du tas, il y a deux possibilites. 3. Elle est reliee a la position de 1'entonnoir qui peut varier au cours de la construction du tas.
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Figure 24. Caracteristiques C+ et C- pour un point M. situe dans la region « externe » (en haut) et « interne » (en has) du tas. Ces deux regions sont separees par la droite d'equation x = c+z. La surface du tas est la droite d'equation x = cz oil c — l/tan#. [Characteristics C+ et C- for a point M. located in the "outside" (top) and "inside" (bottom) region of the pile. These two regions are separated by the line x = c+z. The surface of the pile is the line x = cz where c = I/tan 0.]
Soit la caracteristique « + » rencontre directement la surface du tas (c'est la region « externe », en haut), soit celle-ci rencontre d'abord la ligne centrale du tas ou elle se reflechit pour rejoindre ensuite la surface (c'est la region « interne », en has). Nous allons simplement traiter 1'une puis 1'autre de ces deux situations.
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Region « externe ». -
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La surface du tas a pour equation x = cz. II n'est pas
tres difficile de trouver qu'alors L+ = fz^pv/l + c+ et L_ = ^~x Jl + (?_. Les points de surface MQ et Ai0 ne sont pas sous contrainte4. On peut done appliquer directement les formules (2.6, 2.7). On obtient fmalement
Region « interne ». -
L_ reste inchange par rapport au regime « externe »,
mais L+ devient L+ = —\/l + c+. Et on a enfin L'_ — cc\c+cz~cx> \ + c2_. Si on c + v +\ —) V n'oublie pas le facteur de reflexion —7 au centre du tas, on a
Ce qui donne, tous calculs faits,
La troisieme des composantes du tenseur des contraintes (crzx) est bien entendu donnee par la relation OSL. Si Ton prefere reecrire ces expressions en fonction des deux parametres 77 et /z, on peut le faire simplement en remarquant que rj = —c_c+ et (j, = c+ + C-. Ainsi, si /j, est negatif, la pression verticale azz passe par un minimum au centre du tas. C'est 1'inverse si fi est positif. Si y, = 0, on retrouve le « plateau » que 1'on avait annonce dans notre premier article [18]. Quelques exemples sont traces sur la figure 25. On peut remarquer que cette solution verifie bien la forme d'echelle (?ij(x, z] = p g z s i j ( ^ ) avec ^ = x/cz. Lorsque, dans la sous-section 1.3, on cherchera a ajuster les parametres TJ et ^ du modele OSL a des donnees experimentales, on verra que ceux-ci encodent d'une certaine maniere « 1'histoire » du tas sur lequel on a fait les mesures, c'est-a-dire la fagon dont il a ete construit. Dependant du protocole de 1'experience en effet, on obtiendra soit des valeurs negatives de fj, (depression au centre du tas), soit des valeurs a peu pres nulles (pression tres uniforme sans reel minimum ni maximum). Pour finir ce paragraphe, ouvrons une parenthese sur le modele elasto-plastique de Cantelaube et Goddard [26, 27]. II est interessant de noter que leur solution coincide avec celle de nos modeles OSL. Ce modele consiste a separer 4. A strictement parler, la condition que 1'on doit imposer a la surface libre du tas est que la pression normale a celle-ci est nulle. Dans le paragraphe suivant, nous montrerons que cela implique que toutes les contraintes s'annulent en surface.
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Figure 25. Differents examples de courbes OSL pour un tas de sable en deux dimensions. Suivant la valeur de p, on obtient, pour la pression verticale azz au centre du tas, un minimum (// < Q), un maximum (/j, > Q) ou un plateau (p, = 0). A titre de comparaison, on a aussi trace la solution du modele IFE (voir plus loin). Toutes ces courbes ont ete calculees avec un angle de talus # = = 30°. Les contraintes azz (en haut) et axz (en bas) ont ete adimensionnees par la pression « hydrostatique » pgz et les distances horizontales x ont ete divisees par le rayon du tas R — z/ tan . [OSL curves for a two dimensional sandpile. Depending on the parameter fj,, one can get a dip of pressure beneath the apex of the pile (/j. < Q), a hump (^ > 0), or a plateau (\i — Q). The IFE curve (see below) has also been plotted for comparison. All these curves have been plotted for an angle 9 = (f> — 30°. Stresses have been rescaled by the "hydrostatic" pressure pgz, and horizontal distances by the radius of the pile R = z/ tan^J
un tas (bidimensionnel) en deux regions. Une region interne elastique et une region externe plastique. II faut bien remarquer que, dans ce modele elasto-plastique, la presence de ces deux regions est une hypothese sur la structure interne du tas. Dans le modele OSL au contraire, elle est deduite des equations. Enfin, ce n'est pas parce que deux solutions coincident que les modeles correspondants sont identiques. Dans le cas present, ils sont meme tres differents, et nous avons vu dans le chapitre precedent les raisons pour lesquelles une description elastique des materiaux granulaires durs et non cohesifs ne nous semble pas appropriee. En outre, un tel modele ne se generalise pas facilement a trois dimensions. Solution asymptotique pres de la surface Analyse de stabilite Les deux parametres 77 et ^ du modele OSL sont lies 1'un a 1'autre via le critere de Mohr-Coulomb. L'analyse que nous allons faire dans ce paragraphe
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Figure 26. Les axes (m, n) se deduisent de (z, x) par une rotation de r. Si r = ir/2 — 9, 1'axe m est parallele a la surface du tas, et n est perpendiculaire a celle-ci. /(m, n) axes have been rotated from (z, x) axes by the angle r. m is parallel to the sandpile surface when r = Tr/2 — 0.]
va 6tre presentee pour un tas de sable en deux dimensions (un triangle), mais reste tout a fait valable - a quelques details pres que nous preciserons - pour le cas tridimensionnel (un cone). Pour trouver cette relation entre T? et //, nous aliens nous interesser a la region proche de la surface du tas. Nous avons longuement parle du critere de Mohr-Coulomb dans le chapitre 1. Ce critere dit, en substance, qu'un glissement (ou rupture plastique) advient en un point du materiau considere s'il existe un plan5 defini par un vecteur normal n passant par ce point tel que le cisaillement crnm y depasse une fraction donnee de la pression normale a ce plan <jnn. Ce point sera done stable si
Ce critere peut etre alternativement ecrit en coordonnees (x, z), sans preciser le plan de rupture considere, de la maniere suivante
Dans ces deux inegalites, 4> est par definition Tangle de friction interne du materiau granulaire considere. C'est aussi, a peu de choses pres, Tangle d'avalanche d'un tas de sable, c'est-a-dire Tangle que fait la pente de ce tas avec Thorizontale6. Considerons un tas de sable dont la pente fait un angle 0 avec Thorizontale, tel que celui de la figure 26. Si 9 < 0, tout le systeme est bien stable et Tinegalite (2.20) 5. II s'agit en fait d'une ligne car nous sommes en deux dimensions. 6. En fait, la phenomenologie des avalanches est un peu plus complexe que cela ! Celles-ci se declenchent quand la pente du tas depasse un angle maximum 4>m- Lorsqu'elles s'arr§tent, le tas est a son angle dit de repos 4>r- Ces deux angles ne different que de quelques degres, difference que 1'on negligera implicitement, et on prendra cj> ~ m ~
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doit etre verifiee au sens strict en tout point du tas. Si 6 =
La seule possibilite pour que la somme de deux nombres positifs ou nuls soit negative ou nulle est que ces nombres soient nuls ! Par consequent, amm et crmn doivent egalement s'annuler a la surface du tas. Or la relation entre les contraintes exprimees dans le systeme d'axes (m, ri) et celles exprimees dans le systeme (z, x] est lineaire - c'est une simple rotation, cf. equation (1.7). Ainsi, mtoie si 9 < , la condition aux limites a la surface du tas est azz = axx = axz = 0. Afin de preciser comment ces contraintes tendent vers zero quand on s'approche de la surface, nous allons nous placer dans le regime d'echelle en faisant le changement de variables &ij(x, z) = pgzsij(^}, avec £ = x/cz et c = l/tan#. Cette mise a I'e'chelle des courbes est remarquablement bien verifiee experimentalement - cf. sous-section suivante. L'equation de la surface est x = cz, c'est-a-dire £ = 1. Par consequent, quand £ —» 1, on doit avoir de maniere generate
Dans ces variables reduites, les equations d'equilibre (2.1, 2.2) s'ecrivent
ou le ' denote la derivee par rapport a la variable £. Ces equations differentielles, associees a la contrainte de stabilite (2.20) imposent que a = (3 = 8 = I (les contraintes s'annulent lineairement), et que les coefficients A, B et D sont lies par deux relations : A = I + D/c et D — B /c. Pour 6 < 0, il reste un parametre libre parmi ces trois prefacteurs, qui depend du modele considere. Par contre, si 9 = , ceux-ci sont entierement determines, et ne dependent que de Tangle d'avalanche . Ceci veut dire que, pour une valeur de 0 donne - i.e. pour un materiau donne -, tous les modeles verifiant les relations de mise a 1'echelle comme OSL ou IFE, doivent se confondre dans la limite £ —>• 1, c'esta-dire pres de la surface - cette remarque prendra toute son importance lorsqu'on
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cherchera a ajuster les courbes theoriques aux donnees experimentales. En efFet, puisque la surface du tas est une ligne de glissement, le critere (2.19) s'applique sous forme d'egalite, ce qui donne
En appliquant egalement (2.20), on a aussi
En repassant aux axes (x, z\ ces deux relations limites s'ecrivent
et Ton obtient finalement
Si 1'on prend les formules OSL donnant les contraintes dans la region « externe » du tas, et qu'on leur applique les deux relations limites (2.27, 2.28), on trouve que les deux parametres 77 et fj, sont lies par les relations
ou bien Bien sur, ces relations n'ont pas lieu d'etre si le tas n'est pas a son angle d'avalanche, mais fait un angle 9 < avec 1'horizontale. Un tel tas, artificiellement plat, serait le resultat d'une procedure un peu compliquee et surtout peu naturelle7. Nous n'envisagerons pas cette situation, meme si elle ne sort pas du cadre de cette modelisation. Ce serait en particulier le cas d'un tas de sable construit en couches horizontales avec un diaphragme permettant de laisser passer une pluie homogene de grains dont on fermerait 1'ouverture suffisamment vite. Les experiences de Vanel et al. en couches horizontales, presentees dans la sous-section 1.3 7. Des mesures de pression sous un tas tel que 0 < (f> permettrait cependant de trancher entre notre modele OSL et celui de Cantelaube et Goddard - cf. [138].
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de ce chapitre, ont ete faites avec un tamis qui montait assez lentement pour que des avalanches s'ecoulent sur les bords du tas, ce qui assure 9 = 4>. En fait, on peut remarquer que, meme si c'est a la surface du tas que Ton a impose cette condition de glissement, la solution OSL verifie le critere de MohrCoulomb sous sa forme d'egalite dans toute la region « externe » du tas. Cette remarque est specifique au cas bidimensionnel. Pour un tas conique en effet, seuls les grains a la surface du tas sont marginalement stables, et les grains en profondeur, eux, verifient 1'inegalite de Mohr-Coulomb au sens strict. Les relations (2.32, 2.33) doivent etre completees par 1'application du critere de stabilite de Mohr-Coulomb dans la partie centrale du tas. En se plagant au centre ou le cisaillement est nul, on trouve facilement que 1'inegalite (2.20) se traduit par la contrainte suivante sur 77
Cette double inegalite est, pour ainsi dire, la contrainte de « stabilite interne » du materiau granulaire considere, c'est-a-dire independante du fait qu'il s'agisse ici d'un tas. C'est en effet la seule contrainte qu'il faudrait verifier pour un milieu semi-infini : on reconnait a gauche et a droite les facteurs « actifs » et « passifs » des etats dits de Rankine - cf. chapitre 1. On peut done resumer cette analyse en disant que le modele OSL d'un tas de sable pour lequel 9 — 0 (ce qui est le cas typique) est un modele possedant un seul parametre libre, disons r\. Ce parametre peut varier entre les deux bornes de 1'inegalite (2.34). Le deuxieme parametre du modele fj, est deduit de 77 par la relation (2.32). Ces conditions assurent le fait que le tas de sable est dans une situation parfaitement stable, exceptee la surface du tas qui est, comme il se doit, a la limite de glissement. Modele IFE On pourrait supposer que tous les grains du tas de sable sont comme ceux de la surface, c'est-a-dire a la limite du glissement. Cette situation, que nous avons appelee le modele IFE pour Incipient Failure Everywhere model, peut 6tre egalement decrite par une relation entre composantes du tenseur des contraintes : c'est simplement la relation (2.20) dans sa forme d'egalite. Elle peut se reecrire sous la forme
ou e = — 1 correspond au cas dit « actif » et e = +1 au cas dit « passif ». On peut resoudre ce modele numeriquement dans le cas du tas de sable. Cette resolution ne pose pas de probleme dans le cas « actif ». Elle a par exemple ete realisee par van R. Marais [201] en utilisant la methode des caracteristiques. Nous 1'avons egalement resolu en deux et trois dimensions pour les situations qui nous interessaient.
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La solution passive n'existe pas toujours. Pour le demontrer, considerons un tas bidimensionnel dont la pente fait un angle 6 < (j) avec 1'horizontale. On a vu dans le paragraphe precedent que lorsqu'on s'approche de la surface du tas les composantes du tenseurs des contraintes s'annulent en respectant les rapports suivants : oxx/&zz —>• B/A et crxz/azz —> D/A. On a vu egalement que ces trois nombres A, B et D etaient lies, et en particulier que D = B/c ou c = l/tan#. Done si on pose p = B/A (qui est clairement un nombre positif), la relation IFE (2.35) s'ecrit
Cette equation donne toujours une solution reelle et positive si e = — I (cas actif), mais n'admet de solution passive (e = +1) que si
On trouvera une contrainte similaire sur la solution du modele IFE passif dans le cas du silo, dans la section suivante. Ainsi, seuls les tas artificiellement plats peuvent pretendre a une solution IFE passive. Toutes les donnees experimentales que nous avons analysees ici ont ete obtenues avec des tas tels que 0 =
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Figure 27. L'idee d'Edwards, pour decrire les effets de voutes dans les tas de sable, est de modeliser ceux-ci par un empilement regulier de « voutes » a la maniere de « poupees russes ». Dans notre modelisation, ces voutes font un angle T avec la verticale et frottent avec un angle tp egalement constant. [Edwards's picture of arches: a sandpile can be seen as a regular piling of arches. In our modelling, these arches make a constant angle T with the vertical and exert friction forces on each other with a constant friction angle tp.]
Pour obtenir les modeles OSL, on a suppose que les deux angles r et ^ etaient constants - modulo leur changement de signe quand on traverse 1'axe central du tas. Nous avons montre dans la section precedente que cette relation de friction permet de faire coincider ces voutes avec 1'une des caracteristiques - au sens mathematique du terme - des equations du modele OSL, i.e. on a c+ = tanr. La seconde caracteristique est determinee par la valeur de i/j : C- = tan (r — ^ — Tr/2). Ces modeles donnent ainsi une representation precise de 1'idee d'Ed wards [66] qui consiste a decrire un tas de sable comme un empilement bien regulier de « voutes » a la maniere de « poupees russes » - cf. figure 27. Cette structure tres simple a egalement ete retrouvee par Moreau et al. dans ses simulations8 - cf. figure 13. ty donne Tangle de frottement entre ces voutes. L'hypothese FPA consiste a supposer que ces voutes sont parfaitement « ajustees » les unes aux autres et qu'elles ne frottent pas entre elles, c'est-a-dire que ijj = 0. Les caracteristiques des equations sont alors perpendiculaires, et les axes (rn, n) qui etaient les axes principaux du tenseur de texture (fij deviennent egalement ceux du tenseur des contraintes cr^-. Ce modele FPA est particulierement interessant parce qu'a part I'angle de talus 0 = , tous les parametres sont fixes. A la surface du tas en effet, le critere de Mohr-Coulomb permet de determiner 1'orientation des axes principaux : 1'axe majeur fait un angle de ?r/4 — 0/2 avec la surface car celle-ci est une ligne de glissement - c'est la que coulent les avalanches. Et cette orientation va 6tre, par hypothese, la meme dans tout le tas. Ceci permet done de fixer les valeurs r\ et p,. On trouve 77 = 1 et // = —2tan0. II est remarquable que, sans avoir 8. En regardant attentivement les histogrammes angulaires de 1'orientation des contacts issus de ces simulations, on peut remarquer que ceux-ci possedent en fait deux directions inegalement privilegiees, mais relativement bien marquees. II serait done extremement interessant de verifier que celles-ci correspondent aux deux caracteristiques de nos modeles, fixant ainsi les valeurs des deux angles T et V-
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d'autre parametre ajustable que Tangle 0, ce modele s'ajuste quantitativement fort bien a 1'ensemble des donnees experimentales issues d'experiences ou le tas a ete construit a partir d'un point source [21,175,199]. Cette situation FPA a ete egalement retrouvee dans les simulations numeriques de Hemmigsson et al. [83,84] ou la propagation des contraintes dans un tas de sable est decrite avec un modele simple d'automate cellulaire. Quand on passe d'un cdte a 1'autre du tas, disons de droite a gauche, Torientation des axes principaux du tenseur des contraintes change : elle doit passer de 1'orientation compatible avec la surface de droite a celle compatible avec la surface de gauche. La question se pose alors de savoir ce qui se passe au centre du tas et comment se fait ce passage. Sur 1'axe central du tas en effet, le cisaillement est nul pour des raisons de symetrie. Les axes principaux sont done les axes verticaux et horizontaux. Dans le modele FPA, le passage de 1'un a 1'autre c6te du tas se fait de fagon brusque : tout pres du centre, mais toujours du cote droit, les axes principaux ont la m6me orientation que pres de la surface droite. Au centre strictement, la situation est « degeneree » dans le sens ou le tenseur des contraintes est proportionnel a la matrice identite qui est diagonale dans toutes les bases... Les axes principaux prennent ensuite 1'orientation du cfite gauche des qu'on quitte 1'axe de symetrie du tas. Bien sur, une telle transition est due a Textre"me simplification du modele. On a vu dans la section 2 du chapitre 1 qu'une modelisation plus realiste consisterait a ecrire, pres du centre - i.e. a faible axz -, une relation non lineaire entre composantes du tenseur des contraintes du genre
Si Ton remplace les differentes composantes du tenseur des contraintes par leurs expressions donnant la solution OSL pour le tas de sable dans la region « externe », on trouve que quelque soit la valeur de 77 et de son // correspondant, les axes principaux sont fixes :
oil c est toujours lie a Tangle de la pente du tas par la relation c — l/tan#. En particulier si 77 = 1, on a tan2o; = — 2//u. Par centre, si Ton remplace les Oij par leurs expressions valables dans la region « interne » du tas, on obtient
Si 77 = 1, on retrouve done bien tan2o> = —2//z ce qui signifie que Torientation des contraintes principales restent fixes dans tout le tas. Mais si 77 ne vaut pas
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strictement 1, les axes principaux tournent pres du centre du tas ou tan2cu ~ x/z(l — rj). Autrement dit, la rotation des axes principaux se fera sur une distance d'autant plus courte que r] est proche de 1, mais sera toujours douce. Ceci dit, la singularite des equations du modele OSL en x — 0 ne disparait pas si rj ^ 1. La derivee de azz au centre, par exemple, reste non definie, et pour remedier a ceci il faut encore une fois revenir a une equation non lineaire comme celle proposee dans le paragraphe precedent - ou dans le paragraphe suivant. Rappelons encore une fois pour finir que si les axes principaux tournent plus ou moins rapidement en fonction de la valeur de 77, les caracteristiques, liees aux voutes, c'est-a-dire a la texture de 1'empilement, restent fixes pour absolument tous les modeles OSL. Ainsi, le modele FPA, par ses proprietes bien particulieres (ses axes principaux et ses caracteristiques sont confondues), se distingue des autres membres de la famille des modeles OSL. L'interpretation que Ton peut donner a celles-ci, ainsi que les justifications nouvelles que ce modele apporte au bien-fonde de notre approche, en font indiscutablement une des pierres angulaires de nos travaux. Cependant, il ne doit pas masquer la grande variete de 1'ensemble des modeles OSL qui, selon les valeurs des parametres, predisent un minimum ou un maximum de pression au centre du tas, donnent des axes principaux d'orientation fixes ou non, peuvent s'appliquer a d'autres situations que celle d'un simple tas de sable construit avec un entonnoir, et m6me etre etendus a une modelisation non lineaire plus generale.
Extension « non lineaire » Dans la section 2 du chapitre 1, nous avons motive 1'ecriture de relations entre composantes du tenseur des contraintes pour decrire la propagation de ces contraintes dans les milieux granulaires. Un de nos arguments consistait, en resume, a faire une analogic entre la convection d'un champ dans un fluide et la propension des « voutes », ou « lignes de force » presente au sein des granulaires, a favoriser la propagation des contraintes le long d'elles-m^me. Nous avons montre que 1'on pouvait alors ecrire une relation de la forme axx = r\azz + Vaxz, ou 77 est une constante et V est une « vitesse de convection » des contraintes le long d'une « voute » qui va dependre du degre de « mobilisation » de cette voute. Le modele OSL est le modele pour lequel on a choisi la forme extreme V = /xsign(<7 x; j), ce qui veut dire la voute est toujours mobilisee a son maximum. Dans ce paragraphe, nous avons choisi d'etudier une forme de V plus douce en tangente hyperbolique. Cette forme possede la bonne symetrie, mais reste evidemment completement arbitraire. L'interet de cette etude est de voir comment se modifient les resultats du modele OSL pour le tas de sable, en particulier au voisinage du centre du tas. De fagon plus precise, nous avons choisi la relation « de convection » suivante :
Quand le cisaillement est fort, cette relation est equivalente a la relation OSL
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Figure 28. Profil de pression sous un tas pour differentes valeurs du parametre /3. Quand (3 = 0, on retrouve simplement le modele BCC. Quand /3 —» oo, on retombe sur un module OSL, id il s'agit du modele FPA car on a choisi jj, = HFPA — ~2tan. Pour tracer toutes ces courbes, on a pris $ = 30°. [Pressure profile for different values of the parameter (3. For (3 = 0 we simply get the BCC model. When (3 —> oo, we get an OSL model, which is here the FPA model because we chose ^ — I^FPA — —2tan. All these curves have been plotted with = 30°./
axx = f]^zz + V>o-xz. Quand celui-ci est petit, on retrouve le developpement axx = iJcrzz-i-Xo-^z/o-zz, avec A = /?//, developpement « a la Landau » dont on a egalement parle dans la section 2 chapitre 1. Le parametre (3 permet d'ajuster la rapidite avec laquelle on passe du re'gime ou axz est petit a celui oil crxz est grand. En particulier, on retrouve les modeles OSL quand on est « toujours » dans le regime de cisaillement fort, c'est-a-dire quand (3 -> oo. La condition de glissement de Mohr-Coulomb appliquee a la surface du tas (i.e. les relations limites (2.27, 2.28)) permet egalement, dans le cadre de cette extension non lineaire, de relier les differents parametres entre eux. On trouve
Ces equations permettent de tracer le profil de pression sous un tas de sable. Des exemples de courbes sont tracees sur la figure 28. Comme on pouvait s'y attendre, cette extension non lineaire adoucit les formes quelque peu anguleuses des profils OSL. En particulier, elle regularise le comportement des equations au voisinage du centre du tas en faisant disparaitre la singularite.
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Resolution numerique en trois dimensions En trois dimensions, si le systeme considere possede une symetrie cylindrique c'est le cas des tas ou des silos -, le tenseur des contraintes comporte quatre composantes independantes. Si Ton denote par z 1'axe vertical oriente vers le has, et r et x IGS deux coordonnees cylindriques correspondantes, ces quatre composantes sont les trois pressions azz, arr et axx ainsi que le cisaillement arz. Toutes quatre sont independantes de x et sont liees par les deux equations d'equilibre
Autrement dit, ce n'est pas une mais deux autres relations qui sont necessaires pour clore le systeme d'equations. La premiere de ces relations reste la « traditionnelle » relation OSL La seconde doit, par exemple, lier axx aux autres composantes. Remarquons qu'en r = 0, par symetrie, les deux pressions horizontales arr et axx doivent etre egales. L'idee est done de prendre comme seconde relation
En trois mots, cette relation peut etre vue, encore une fois, comme un developpement phenomenologique reduit a sa plus simple expression qui encode la structure interne du materiau granulaire considere. II se trouve que les resultats numeriques du modele OSL en trois dimensions dependent qualitativement assez peu de cette deuxieme relation, ce qui veut dire que les termes que 1'on a oublies dans ce developpement ne sont pas tres importants. Nous n'avons pas cependant consacre enormement d'efforts a 1'amelioration de cette « deuxieme relation OSL », et des recherches en ce sens pourraient etre une des manieres de faire progresser la qualite de nos modeles. Si Ar et Az designent respectivement les pas de discretisation le long des axes r et 2, la version discrete des equations (2.43, 2.44) que nous avons utilisee est la suivante :
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Figure 29. (a) La boite de discretisation est trop longue : 1 'information ne se propage pas assez vite. (b) La boite de discretisation a juste la bonne dimension pour c~ mais reste trop longue pour c+. (c) C'est noire choix de discretisation : la boite a juste la bonne taille pour la plus grande des vitesses (sur ce schema, c'est c+). [(a) The discretization box is too long: information does not propagate quick enough, (b) The box size is perfectly adjusted to c_, but still too long for c+. (c) Our choice is such that the box size is perfectly adjusted to the largest velocity (here c+J./ Ces deux equations permettent de calculer les contraintes a 1'etage z + Az, les connaissant a 1'etage z. En partant du sommet du tas en z = 0, on peut done, de proche en proche, calculer azz et arz jusqu'a la base de celui-ci. Pour que cette resolution numerique marche correctement, il faut 6tre prudent en choisissant les valeurs de Ar et Az. On a vu en effet que ces equations differentielles sont des equations d'onde auxquelles on peut associer deux « vitesses » c+ et C-. Ces deux vitesses donnent les lignes de propagation de rinformation vers les x positifs et les x negatifs respectivement c'est 1'Equivalent du « c6ne de lumiere » pour les ondes electromagnetiques. Or dans ce schema de discretisation, rinformation se propage selon les diagonales de la boite (r, z) - (r ± Ar, z + Az). Si cette boite est trop longue (Fig. 29a), 1'information ne se propage pas « assez vite » et, meme a une echelle grande devant la taille de la boite, on n'atteindra jamais les vitesses c±. Par centre en la faisant voyager « trop vite », on retrouve les cones c± a grande echelle. Afin d'avoir, pour cette boite de discretisation, un rapport d'aspect le plus proche de Punite, on a choisi de prendre Az = Ar/cm, ou cm est la plus grande des deux vitesses (en valeur absolue) : cm = max(c + , — c_) (Fig. 29c). 1.3.
Ajustement des modeles sur des donnees experimentales
Experiences Les donnees experimentales que nous avons utilisees pour tester nos modeles proviennent de trois sources. Nous avons bien sur travaille sur les fameuses experiences
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Tableau 1. Principales caracteristiques des materiaux utilises dans les experiences avec lesquelles nous avons teste nos modeles. [Main characteristics of the granular materials that have been used in sandpile experiments.]
donnees experimentales
nature des grains angle d'avalanche hauteur des tas
Smid et al.
sable
0 = 32,6°
de 20 a 58 cm
engrais
= 33,7°
de 20 a 60 cm
Brockbank et al.
sable
0 - 30,7°
6 cm
Vanel et al.
sable
0-30°
6 cm
de Smid et Novosad [175] effectuees avec du sable et de 1'engrais - baptise NPK1. Nous nous sommes egalement servi des nombreuses donnees de Brockbank, Huntley et Ball [21]. Nous avons enfin teste nos modeles sur les experiences de Vanel et al. [195,199] qui n'ont utilise que du sable, mais avec lequel ils ont construit des tas de deux manieres tres differentes aim de mettre en avant le rdle primordial de « 1'histoire » de ce tas dans la forme finale du profil de pression sous celui-ci. Les donnees de Jotaki et Moriyama [104] sont egalement tres interessantes, et vont dans le sens des experiences precedemment citees. Cependant cet article n'existe que dans sa version originale - en japonais - et reste difficile d'acces. Nous ne les avons done pas utilisees. Comme on le verra dans la suite de cette sous-section, les « details » des experiences, c'est-a-dire les conditions precises dans lesquelles celles-ci ont ete realisees, sont en effet de premiere importance, et il est fort difficile, pour ajuster un modele a une courbe experimental, de se contenter du fichier numerique des donnees. A ce titre, notre collaboration etroite avec le groupe granulaire de Jussieu, et en particulier pour ces « histoires de tas de sable » avec Lo'ic Vanel et Eric Clement, nous a permis de controler toutes les etapes du traitement des donnees avant d'effectuer les ajustements proprement dits. Les experiences auxquelles nous nous sommes interesses ont toutes ete realisees sur des « vrais » tas tridimensionnels, c'est-a-dire des cones, dont la pente faisait un angle 9 — avec 1'horizontale. II serait bien entendu tres interessant de pouvoir egalement faire des tests en deux dimensions, en particulier parce que nos modeles sont, dans ce cas, solubles analytiquement, ce qui permet de faire des predictions plus fines. De plus, on s'attend a ce que les effets de voute soient plus marques en deux qu'en trois dimensions. Malheureusement, les donnees experimentales issues de mesures effectuees sur des tas bidimensionnels (ou quasi bidimensionnels, c'esta-dire un « prisme ») sont rares. On peut citer la vieille reference [94] de 1920, et plus recemment [25]. Ces deux seuls travaux laissent en suspens la question de la presence ou non d'un minimum de pression au centre du tas. Nous attendons done avec impatience de nouvelles experiences en deux dimensions, plus completes et plus precises.
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Mise a I'echelle des donnees Les points experimentaux que nous avons a notre disposition sont issues d'experiences realisees sur des tas de toutes tailles, depuis 6 jusqu'a 60 cm. Afin de pouvoir comparer toutes ces donnees entre elles, et de pouvoir faire un test global sur Pensemble de celles-ci, nous avons chercher a les adimensionner. Si les grains utilises pour ces experiences sont considered comme rigides, la seule echelle de contrainte a laquelle on peut se referer au has d'un tas de sable de hauteur h et de densite p est la pression « hydrostatique » pgh. Dans la pratique, c'est effectivement le cas : le module d'Young E de grains de silice (i.e. de sable) est de 1'ordre de E — 103 MPa, ce qui veut dire que ces grains se deformeraient de maniere notable pour un tas de hauteur h = E/pg, c'est-a-dire pres de 100 km (!), pour une densite typique de 1500 kg/m 3 . II semble done assez naturel d'adimensionner toutes les contraintes par pgh. De meme, afin que toutes les distances soient cornparables, celles-ci seront divisees par le rayon R du tas considere. C'est le sens des changements de variables <Jij(x,z] = pgzsij(^} avec £ = x/cz que nous avons faits dans la sous-section precedente. Mettre en pratique ces deux idees simples demande en fait quelques precautions. Smid et Novosad par exemple donnent les valeurs des densites des deux materiaux qu'ils ont utilisees pour leurs experiences, a savoir 1567 kg/m3 pour leur sable et 1054 kg/m 3 pour leur engrais. Ces mesures sont issues d'experiences independantes des mesures de pression sous les tas. Aussi, rien n'assure que la densite des tas construits avec ces deux materiaux aient effectivement ces valeursla. La densite d'un granulaire est en effet tres sensible a la maniere dont celui-ci a ete prepare. Si on le secoue, on le tasse et sa densite sera forte. Si on le cisaille, c'est un peu plus complique : on le dilate s'il etait dans un etat compact9, mais on le tasse si I'einpilement etait tres lache. Bref, il est difficile de savoir quelle sera la densite d'un tas de sable dont les grains ont ete tout a la fois secoues et cisailles lors de la construction de celui-ci. L'idee est done de calculer numeriquement 1'integrale de la pression sous le tas considere. Celle-ci doit donner le poids P de ce tas. Pour un tas de hauteur h, de rayon R = h/tan(j) et de densite p, on doit en effet avoir
En pratique, on connait la pression olzz aux points ri: ou i varie de 1 a Ne. Ces Ne points experimentaux sont disposes par ordre croissant, tels que r\ = 0 et TN& = R. On peut done calculer, par exemple, le poids P du tas considere par la formule suivante :
La pression olzz, et eventuellement le cisaillement a"~xz quand celui-ci a egalement ete mesure, seront alors adimensionnes par SP/trR2. 9. C'est la fameuse dilatance de Reynolds dont on peut voir Pillustration en marchant sur le sable mouille de la plage [63].
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Figure 30. Tas de sable ideal (a gauche) et reel (a droite). [Ideal (left) and real (right) sandpile.]
C'est exactement la procedure que nous avons utilisee pour les donnees de Smid et Novosad, et celles de Brockbank, Huntley et Ball, ou Ton connait h (ou R) et <j) pour chaque tas et chaque materiau. Le resultat de la mise a 1'echelle de ces donnees est visible sur les figures 31-33 dans un paragraphe suivant. Le resultat est remarquable : les points issus des petits comme des grands tas se regroupent sur une meme courbe. On pourrait meme rassembler les courbes des differents materiaux, qui n'ont pas des angles tres differents, sur un seul graphe. Un si beau regroupement n'aurait pas ete possible en divisant simplement les contraintes par la densite moyenne des materiaux. Avec les donnees de Vanel et a/., nous avons pu raffiner encore un peu cette mise a 1'echelle. Un tas de sable reel n'a en effet pas tout a fait la forme conique ideale cf. figure 30. Par consequent, il n'est pas evident de mesurer avec precision sa hauteur h et/ou son rayon R. En particulier, le dernier point de mesure pres du bord du tas, la ou la pression s'annule, donne une valeur du rayon legerement plus grande que celle du rayon « ideal ». L'idee est done de reduire cette derniere valeur, de maniere a se rapprocher davantage du cas ideal. Pour controler cette procedure, on verifie, une fois la mise a 1'echelle faite, que la courbe experimental au voisinage du bord du tas coincide parfaitement avec les courbes theoriques. On a vu en effet dans le paragraphe dedie a la stabilite du tas de sable que, pres du bord du tas, la forme du profil de pression est universelle, dans le sens ou elle est entierement determinee par le fait que la surface du tas est une surface de glissement, et est done completement independante du modele considere. Ainsi, si le rayon du tas est artificiellement trop grand, les points experimentaux seront en dessous de toutes les courbes theoriques, et au dessus si celui-ci est trop petit. On peut visualiser le resultat de cette procedure sur les figures 34 et 35.
Procedure de regression C'est sur ces donnees adimensionnees et mises a 1'echelle que nous avons ajuste nos modeles. Pour un angle de friction 0 donne, le seul parametre libre des modeles OSL est, disons, 77, la valeur correspondante de ^ etant donnee par la formule (2.32). Pour chacun des fichiers de donnees, nous avons done cherche a minimiser 1'ecart E(rj] entre les Ne points experimentaux ( a l z z ) et la courbe theorique (a\z t ) indicee
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par 77, c'est-a-dire
Lorsque les mesures de cisaillement ont egalement ete efFectuees (c'est le cas pour les donnees de Smid et Novosad), nous avons simplement rajoute un deuxieme terme a E correspondant aux alrz. Dans la section suivante sur les silos, nous avons donne une definition legerement differente de 1'ecart E. Chaque terme de la somme y est en effet divise par la barre d'erreur Aa\z correspondante a la mesure du point numero i. II faut dire que les barres d'incertitude des mesures de masse apparente au bas d'un silo efFectuees par Vanel et al. ont ete etudiees avec un tres grand soin. On trouve en particulier que celles-ci dependent de la hauteur de grain dans le silo. Elles contiennent done une information importante qu'il s'agit d'utiliser pour optimiser nos modeles. Pour les mesures sous un tas de sable en revanche, nous n'avons a notre disposition qu'un ordre de grandeur de la dispersion globale des mesures, et il est done inutile de diviser tous les termes de la formule (2.51) par un meme nombre. Lorsqu'on trace 1'ecart E en fonction du parametre r/, on n'obtient malheureusement pas une belle courbe bien lisse avec un beau minimum bien prononce nous indiquant de maniere univoque et precise la valeur optimale de r\. Cette courbe est au contraire assez plate (mais quand meme globalement convexe), et assez bosselee10... On ne peut done donner pour 77 qu'un intervalle - legerement subjectif - qui optimise Pajustement du modele OSL aux donnees experimentales considerees. Sur toutes les courbes qui vont suivre (Figs. 31-35), les valeurs de r\ annonces sont les bornes de cet intervalle optimal. On remarquera que les courbes correspondant a ces deux valeurs extremes ne sont pas tres difFerentes. Ajustement des modeles Ce paragraphe regroupe les resultats des ajustements de nos modeles sur les difFerentes donnees experimentales que nous avons utilisees. Les deux premieres figures (Figs. 31 et 32) regroupent les mesures de Smid et Novosad sur le sable et 1'engrais NPK-1. Sur la suivante (Fig. 33), ce sont les points de Brockbank et al. issus de mesures faites avec du sable. Les deux dernieres (Figs. 34 et 35) ont ete tracees avec les donnees de Vanel et al. obtenues sur du sable egalement. Sur tous ces graphes, la dispersion des mesures est, en unites reduites, de 1'ordre de 0,1 a 0,2 pour les plus bruitees. Cette dispersion est d'autant plus grande que 1'on est dans la partie centrale du tas. Malheureusement, nous n'avons pas en notre possession d'etude precise de ces barres d'erreur en fonction de la distance au centre r. 10. En cherchant a ajuster nos modeles sur les donnees issues d'experiences sur les silos, on a au contraire des courbes E assez belles et lisses. II faut dire que les quantites que Ton regarde, la masse apparente qui pese au bas de ce silo en fonction de la masse de grains qu'on a verse dans celui-ci, sont des quantites plus moyennes que la pression azz en fonction de la distance r.
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Figure 31. Donnees de Smid et Novosad pour des grains de sable tels que 4> = 32,6°. Aux deux vaJeurs de 77 correspondent respectivement ^ = —1,28 et ^ = —0,43. [Smid and Novosad's data for sand grains such that (f> — 32.6°. The two different values ofrj respectively correspond to ^ — —1.28 and n — —0.43.]
Figure 32. Donnees de Smid et Novosad pour des grains d'engrais NPK-1 tels que 4> = 33,7°. Aux deux valeurs de r\ correspondent respectivement p, = —0,40 et /j = —0,09. [Smid and Novosad's data for NPK-1 fertilizer grains such that
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Figure 33. Donnees de Brockbank, Huntley et Ball pour des grains de sable tels que 4> = 30,7°. Aux deux valeurs de 77 correspondent respectivement p, = —1,04 et p, = —0,64. [Brockbank, Huntley et Ball's data for sand grains such that = 30.7°. The two different values of rj respectively correspond to // = —1.04 and // = —0.64./
Figure 34. Donnees de Vanel et al. pour des grains de sable tels que <j> = 30°. Aux deux valeurs de r? correspondent respectivement p, = —2,25 et p, = —1,85. [Vanel et al.'s data for sand grains such that (j) = 30°. The two different values of r) respectively correspond to p, = —2.25 and p, — —1.85.]
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Figure 35. Donnees de Vanel et al. pour des grains de sable tels que 0 — 30°. Aux deux valeurs de 77 correspondent respectivement /j, — —0,03 et n = +0,14. Contrairement aux donnees tracees sur les figures 31-34, celles-ci sont issues d 'experiences ou la construction du tas s'est faite avec un tamis, de maniere a lui donner une structure en couches horizontales. La difference est nette : la depression au centre du tas a disparu. A titre de comparaison, nous avons egalement trace le profil de pression donne par le models IFE (cas actif). Celui-ci s'ajuste assez mal aux points experimentaux. [Vanel et al.'s data for sand grains such that (j) = 30°. The two different values of 77 respectively correspond to p, = —0.03 and JJL = +0.14. In Figures 31-34 data were obtained from experiments where piles are built from a hopper. This is not the case in this figure: the sandpile has been made by successive horizontal layers. The dip of pressure then disappears. We also plotted the IFE (active case) curve for comparison. This model does not fit well with experimental data.]
On pourrait avoir 1'impression, a 1'ceil, que si les courbes theoriques sont bien normalisees, alors les points experimentaux ne le sont pas, ou vice versa. Pourtant toutes les mises a 1'echelle sont correctes ! II faut en effet bien avoir a 1'esprit que 1'element d'integration est en coordonnees cylindriques rdr, ce qui veut dire qu'une grande envolee, disons, au-dessus de la courbe theorique vers le centre du tas, est compense par un petit ecart au-dessous de cette meme courbe dans la region « externe ». Les quatre premieres de ces figures mettent clairement en evidence la presence d'une depression au centre du tas. Dans ces quatre cas, les tas ont ete construits a partir d'un point source - un entonnoir. La cinquieme, par contre, montre un profil de pression tout a fait plat dans la partie centrale du tas. Mais dans ce cas, les tas de sable sur lesquels ont ete efTectuees les mesures, ont ete construits avec un tamis, c'est-a-dire a partir de couches horizontales successives. Les simulations de Matuttis [127,128] montrent egalement une disparition du « trou de pression » quand on change de mode de construction en passant de couches inclinees a des couches horizontales.
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Dans ce dernier cas, la courbe de pression est tres bien reproduite par le modele BCC, ou le parametre p, de la relation OSL est identiquement nul. Ceci s'interprete par le fait que le mode de construction n'a pas donne au cisaillement un grand role dans 1'edification de la structure interne du tas. Un tel profil de pression est egalement celui qu'on obtient (exactement) en construisant un tas regulier du type « boulets de canon » [87,95,117,148-150]. Les modeles OSL ayant un // franchement negatifs, comme le modele FPA, sont en bon accord avec les mesures experimeritales obtenues dans la premiere situation. Dans ce cas la au contraire, la structure interne est profondement marquee par le cisaillement qu'ont cree les avalanches successives durant la construction du tas. Une image simple - a la Edwards [66] - qu'on peut avoir de cette structure, est qu'elle est semblable a un empilement de voutes emboitees les unes dans les autres comme des poupees russes, qui rejettent ainsi le poids des grains vers 1'exterieur du tas. Selon les experiences et les materiaux, les valeurs optimales des parametres OSL rj et fj, sont un peu differentes, et ce n'est pas toujours la situation FPA qui donne les meilleurs resultats. Aussi, meme si 1'interpretation qu'on peut faire des hypotheses qui sont derriere le modele FPA est particulierement interessante, celles-ci se revelent manifestement parfois trop fortes, et c'est un modele OSL, plus souple, qui donne un meilleur ajustement. Malheureusement, ces ajustements ne sont pas encore parfaits. On peut voir en particulier que le maximum de pression (Figs. 31-34) est systematiquement sousestime par nos modeles. De plus, la position de ce maximum est toujours plus pres du centre du tas que celui des courbes theoriques. Get effet est d'autant plus frappant que Ton peut le noter sur toutes les courbes, pourtant issues d'experiences completement independantes. II reste done encore du travail pour ameliorer ces modeles. Plusieurs directions sont possibles. On pourrait par exemple tester plus precisement les differentes possibilites d'extensions non lineaires des relations entre composantes du tenseur des contraintes. En particulier, nous n'avons jamais passe beaucoup de temps pour essayer d'optimiser la « deuxieme » de ces relations qui est necessaire en trois dimensions, c'est-a-dire celle qui lie axx aux autres composantes cr^. Nous aliens egalement voir dans la section suivante sur les silos que les parametres 77 et ^ sont tres sensibles a la densite du granulat. Or il est tres possible que celle-ci ne soit pas uniforme dans un tas construit avec un entonnoir11, mais varie au contraire en fonction en la position horizontale x. En effet, on peut tres bien imaginer que dans la region centrale, a cause des grains qui tombent de Fentonnoir, le granulat soit plus (ou moins ?) tasse qu'ailleurs. II faudrait alors, en toute rigueur, prendre des parametres variables rj(x) et n(x). Ceci ouvre done toute une fenetre de recherche, tant experimental que theorique, pour savoir precisement comment varient r\ et fj, avec la densite p. Enfin, on peut imaginer que la taille finie des capteurs de pression jouent un role non negligeable au voisinage du centre du tas. 11. Dans ces quatre experiences, 1'entonnoir est fixe en hauteur et les grains arrivent sur le tas avec une energie cinetique non nulle. Les tres recentes experiences de Vanel et al. ou 1'entonnoir peut bouger verticalement et affleure en permanence le sommet du tas, semblent montrer que dans ce cas Pecart entre theorie et experience est tres faible [195,199].
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Brockbank, Huntley et Ball n'ont pas fait que des mesures avec des grains de sable. Us ont aussi utilise des billes de verre (des petites et des grosses), des billes de plomb et de la farine [21]. A chaque fois le tas a ete construit a partir d'un entonnoir, pourtant cette depression centrale n'a pas toujours ete observee. Avec la farine par exemple, le profil de pression ressemble au tas Iui-m6me, c'est-a-dire qu'il presente un maximum bien prononce. Avec les petites billes de verre, la depression, bien que moins apparente, est toujours la mais disparait presque avec les plus grosses, pour laisser place a un profil completement plat avec les billes de plomb (qui sont encore plus grosses, mais qui sont aussi relativement molles). Le cas de la farine est assez facile a comprendre : celle-ci se presente en effet sous la forme d'une poudre tres fine, et les effets d'attraction et de cohesion entre les grains ne peuvent plus etre negliges. Aussi la farine sort-elle du cadre des hypotheses qui sous-tendent nos modeles12. Les cas des billes de verre et de plomb est plus delicat. On peut raisonnablement penser que les tas construit lors des experiences n'etaient pas assez haut pour que se developpe ce profil en double bosse - peut-etre les effets de diffusion en Dd^a^ ne sont-ils pas negligeables. Tous les tas des experiences de Brockbank et al. faisaient a peu pres la meme taille (6 cm pour le sable, 4 a 5 cm pour les billes de verre et de plomb), mais c'est en termes de nombre de couches de grains qu'il faut comparer les differents tas. A titre indicatif, la taille des grains de sable, des petites et grosses billes de verre, ainsi que des billes de plomb utilises, etaient respectivement de 1'ordre de 0,22, 0,18, 0,56 et 2,62 mm. De plus, on s'attend evidemment a ce que ces effets de voutes dependent aussi un peu du materiau utilise, et en particulier de Tangle de friction de celui-ci. Get angle ne fait environ que 20° pour les billes de verre et de plomb, ce qui est a comparer aux 30° des grains de sable. Et on trouve bien que, toutes choses egales par ailleurs, le minimum de pression que donnent nos modeles OSL avec un p. negatif est d'autant moins marque que Tangle d'avalanche 0 est faible. 1.4.
Conclusion
Nous avons done vu que le cadre des modeles OSL permet de rendre compte quantitativement des profils de pression que Ton mesure sous un empilement de grains rigides et non cohesifs, par exemple du sable. Ce profil depend de la maniere dont le tas a ete construit, c'est-a-dire de son histoire. Si celui-ci a ete construit a coup de strates horizontales successives (avec un tamis), ce profil presente un plateau dans toute la region centrale du tas. Si au contraire cette construction a ete faite a partir d'un point source (avec un entonnoir), on observe au centre du tas une depression bien marquee. Nous avons montre que ces effets peuvent s'interpreter en termes de « voutes ». Dependant du mode de construction en effet, la geometric de la structure interne du tas, va avoir une tendance plus ou moins forte a rejeter le poids des grains vers Texterieur de celui-ci. Cette structure, composee de « chames de forces » et qui controle la propagation des contraintes, a ete creee au moment ou les grains 12. Pour une discussion plus detaillee du r61e de la cohesion dans la propagation des contraintes dans les materiaux granulaires, cf. section 2 du chapitre 1.
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se sont arretes de rouler et se sont figes a la surface du tas en construction. Elle permet, a 1'aide d'une loi de friction entre entre ces voutes d'obtenir une relation entre les composantes du tenseur des contraintes. Une telle relation donne aux equations differentielles regissant 1'equilibre du systeme une nature mathematique hyperbolique - corame les equations d'onde -, dont la principale propriete est de posseder des caracteristiques, lignes privilegiees de la propagation de 1'information - ici les contraintes - lesquelles coincident dans nos modeles avec ces voutes. Cette relation que nous avons baptisee OSL s'exprime simplement comme axx = r\azz + /^i^x-zl- Nous avons resolu ces modeles pour des tas en deux et trois dimensions. Apres comparaison avec des experiences realisees recemment sur tas de sable, et pour differents modes de construction, nous pouvons dire que ceux-ci donnent deja des resultats quantitativement tres satisfaisants. La relation quasi lineaire de nos modeles OSL pourrait bien sur etre etendue a une description non lineaire plus complexe mais plus precise. Ainsi, si 1'etude d'un simple tas de sable aurait pu sembler plutot inutile, et en tous cas tres eloignee des problemes bien plus complexes que rencontrent les industriels qui manipulent quotidiennement des quantites de materiaux granulaires en tous genres, elle se revele etre en fait un tres bon test pour toutes les theories visant a decrire la maniere dont les contraintes se propagent dans ces materiaux, ce qui la place au centre de la recherche fondamentale sur les granulaires. Si nous avons pu faire ce test (avec succes !) sur nos modeles en trois dimensions, nous attendons avec impatience de nouvelles donnees precises et completes sur des systemes bidimensionnels, des tas bien sur, mais aussi des silos, des entonnoirs...
2. 2.1.
Histoires de silos Introduction
Le silo est un objet industriel et agricole bien reel. II suffit de se promener sur les petites routes de campagne pour s'en rendre compte ! Or, la geometric du silo reste suffisamment elementaire pour que la description des forces en jeu soit relativement simple. Ce ri'est done pas tres etonnant que les ingenieurs et physiciens se soient penches sur ce probleme depuis plus d'un siecle. On fera en effet souvent reference par la suite au modele de silo propose par Janssen en 1895 [99], mais les premieres publications sur ce sujet ont ete ecrites par Roberts en 1884 [166]. A titre de comparaison, 1'experience qui a fait renaitre 1'interet des physiciens pour la statique du tas de sable date de 1981 [175]. Toute etude sur ce sujet a ainsi potentiellement des applications pratiques directes. La seconde raison pour laquelle les silos ont ete prises pour 1'etude des milieux granulaires est que la manifestation des effets de voute dans un silo est amplifiee par la presence des parois. L'experience (schematisee sur la partie gauche de la Fig. 36) pour mettre en evidence ces effets de voute est la suivante. On remplit un silo avec une masse Mv de grains, c'est la masse versee. Le fond du silo est un piston independant des parois. Celui-ci permet de mesurer la masse Ma qui pese sur le fond du silo. Si 1'on effectuait ces mesures avec un fluide, on trouverait bien
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Figure 36. On mesure deux quantites pour mettre en evidence les effets de voute dans les silos, la masse des grains que Von verse dans le silo Mv et la masse apparente Ma des grains qui pesent sur le fond de ce silo. Les mesures reportees sur la courbe de droite on ete effectuees par Vanel et al. avec des billes de verre. On trouvera plus de details sur ces mesures dans la sous-section 2.4. [Two quantities are measured in arching experiments in silos: the total mass of grains Mv filled into the silo, and the apparent mass Ma which weights on the bottom plate of the silo. The experimental data shown on the right graph have been obtained by Vanel et al. on glass beads. More details will be given in sub-section 2.4,]
entendu que les deux masses sont les merries. Avec des grains, la masse Ma n'est qu'une fraction de la masse des grains contenus dans le silo, une masse apparente. Cela signifie que le poids des grains est en partie supporte, ou ecrante, par les parois du silo. Plus precisement, si Ton trace Ma en fonction de Mv (c'est la courbe sur la droite de la Fig. 36), on s'apergoit que lorsque la hauteur de grains dans le silo devient comparable au diametre de celui-ci, Ma « sature » et devient independant de Mv. Autrement dit, toute surcharge imposee a un silo, disons, trois ou quatre fois plus haut que large n'affectera pas le fond du silo mais sera au contraire supportee entierement par les parois. Get effet d'ecrantage se comprend bien en termes de voutes : les chemins de contrainte - ou, par extension, les voutes - qui propagent le poids des grains ne sont pas verticaux mais sont au contraire devies vers les parois du silo et, par friction, y transferent une partie du poids qu'ils charrient. Un bon modele de silo, sera done un modele qui decrira correctement la propagation des forces a travers le systeme de grains contenus dans le silo
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et 1'interaction des grains avec les parois de celui-ci, reproduisant ainsi la courbe experimental Ma en fonction de Mv. Le dessin de la figure 36 suggere un silo en deux dimensions. Cette situation n'a de realite qu'en laboratoire. D'un point de vue mathematique, elle est beaucoup plus simple a traiter que le cas d'un « vrai » silo en trois dimensions. Ainsi qu'on le verra dans la suite, on peut souvent resoudre analytiquement les equations d'un modele en deux dimensions alors qu'on doit se contenter la plupart du temps d'un resultat purement numerique en trois dimensions. Avec le modele de Janssen cependant, le passage de deux a trois dimensions n'affecte que la valeur d'un coefficient - cf. sous-section suivante. Le modele de Janssen nous servira tout au long de cette section de point de comparaison quand il s'agira de tester quantitativement nos modeles sur des donnees experimentales - cf. sous-section 2.4. C'est done d'abord de lui dont nous aliens parler dans la sous-section 2.2. Nous presenterons egalement dans cette meme sous-section d'autres approches traditionnelles pour decrire la propagation des contraintes dans les silos: le modele IFE et la methode de Coulomb. Dans la sous-section 2.3, nous montrerons comment 1'on peut appliquer nos modeles OSL a cette geometrie du silo. Enfin, la sous-section 2.4 presentera une comparaison quantitative, courbes a 1'appui, de toutes ces theories avec les donnees experimentales du groupe de Jussieu : Eric Clement, Jacques Duran, Evelyne Kolb, Jean Rajchenbach et Lo'ic Vanel. Cette comparaison montre clairement que nos modeles corrigent, au moins partiellement, les faiblesses du modele de Janssen, et qu'une description de type IFE n'est que tres qualitativement correcte. 2.2.
Approches traditionnelles
Modele de Janssen Le modele qu'a propose Janssen en 1895 [99] doit beaucoup sa popularite a sa grande simplicite. Cette simplicite est obtenue au prix de trois hypotheses que nous allons exposer - tout d'abord sans trop d'explications - lors de la presentation du modele. Nous reviendrons ensuite sur la validite et 1'interpretation de celles-ci. Considerant un silo tel que celui represente sur la figure 37, la premiere hypothese qu'a faite Janssen est de supposer que les contraintes sont completement independantes de la position horizontale x pour n'etre fonction que de la hauteur de grains z. Pour decrire la propagation de ces contraintes, Janssen considere la tranche de grains comprise entre z = jAz et z + Az = (j + l}Az (c'est la tranche hachuree de la Fig. 37), et ecrit simplement 1'equation traduisant 1'equilibre des forces agissant sur cette tranche :
oil p est la densite du materiau granulaire (supposee constante) contenu dans le silo et g 1'intensite de la gravite. A est 1'aire de la surface horizontale du silo sur laquelle agissent la pression verticale azz et la gravite. De meme, P est 1'aire
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Figure 37. Schema d'un silo de diametre D. La position verticale est reperee par z (ou par 1'entier j). L'axe x est horizontal. On ecrit Vequation d'equilibre des forces agissant sur la tranche hachuree comprise entre z et z + Az. L'epaisseur Az de cette tranche est typiquement de 1'ordre du diametre des grains Az ~ d. [Diagram of a silo of diameter D. The vertical position is labelled by z (or by the integer j). The x axis is horizontal. The force balance equation is written for the hatched slice between z and z + Az. The thickness Az of the slice is typically of order of the grain diameter Az ~ d.] de la surface de contact entre la tranche considered et les parois du silo sur laquelle agit le cisaillement axz. En deux dimensions, on a A = D et P = 2Az alors qu'en trois dimensions, A = (l/4)7rD 2 et P = itDAz. Dans les equations suivantes interviendra le rapport de ces deux nombres o; = P/A qui vaut 2Az/D en deux dimensions et kAz/D en trois dimensions. II s'agit a present de rendre compte de 1'effet « absorbant » des parois du silo. Les grains en contact avec celles-ci, y transferent en effet une partie de la charge qu'ils supportent a cause du frottement solide. Janssen fait 1'hypothese que les forces de friction aux parois qui permettent ce transfert sont pleinement mobilisees. Appelons 4>w I'angle de friction entre les grains et les murs du silo (1'indice w est pour wall), la relation de friction au mur s'ecrit alors axz — ta,n<j)wcrxx. Enfin, afin de clore 1'equation (2.52), il suppose que les pressions horizontale et verticale sont proportionnelles avec un facteur K (le coefficient de Janssen) : axx = Ko~zz. L'equation (2.52) se transforme alors en une relation de recurrence sur o~zz(j) qui se resoud facilement :
Nous allons transformer legerement cette derniere equation pour la mettre sous la forme correspondant a celle sous laquelle seront presentees les donnees experimentales en sous-section 2.4. Experimentalement en effet, on mesure la masse apparente Ma qui pese sur le fond du silo en fonction de la masse de grains verses Mv
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Tableau 2. Longueur d'ecran A et masse infinie Moo pour le modele de Janssen en deux et trois dimensions. D est le diametre du silo, p la densite du granulaire, K la constante de Janssen et tan $>w le coefficient de friction entre les grains et les parois du silo. [Screening length A and infinite mass Moo for Janssen's model in two and three dimensions. D is the diameter of the silo, p is the granular density, K is Janssen's constant and tan (j)w is the wall friction coefficient.]
dans ce silo. Avec nos notations, Ma = Aazz/g et Mv = jMc ou Mc = pAAz est la masse de la tranche d'epaisseur Az. Cette tranche a typiquement une epaisseur de 1'ordre du diametre des grains Az ~ d. On definit enfin une « masse infinie » MOO = Mc/aKta,n(f)w. C'est la valeur vers laquelle tend Ma quand la masse versee devient tres grande. L'equation (2.53) prend alors la forme suivante :
Nous ferons sou vent, par la suite, reference a cette equation comme la forme discrete de la solution de Janssen. Quand le diametre des grains contenus dans le silo est bien plus petit que le diametre de celui-ci, on peut simplement developper le terme eleve a la puissance j, et on obtient
qui est la version continue (et classique) de la solution de Janssen. Dans les resultats que nous allons presenter en sous-section 2.4, les billes utilisees pour les experiences ont un diametre d'environ 2 mm, et le silo est un tube de 3,8 cm de large, ce qui nous place plutot dans la situation discrete. De fagon assez inattendue, les deux parametres du modele de Janssen K et 0U,, ainsi que le facteur de dimensionalite a, apparaissent de maniere groupee, ce qui fait qu'au bout du compte, un seul nombre (Moo) est ajustable aux donnees experimentales. Nous aurions pu definir alternativement une longueur A = Az/aK tan0 w comme seul parametre ajustable. Cette longueur de Janssen s'interprete comme la longueur d'ecran du poids des grains par les parois du silo : la masse apparente au bas d'un silo atteint son asymptote M^ quand sa hauteur de grain est de 1'ordre de A. Cette longueur d'ecran est, en pratique, comparable au diametre du silo.
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Revenons un peu sur les hypotheses de Janssen. La premiere de celles-ci qui consiste a negliger la dependance en x des Oij est manifestement completement fausse en ce qui concerne le cisaillement axz \ Par symetrie en effet, celui-ci doit etre nul au centre du silo, alors qu'il ne 1'est pas aux parois ou precisement il joue un role essentiel dans Tecrantage des contraintes par frottement solide. Le seul but de cette hypothese est de simplifier a Textreme Tecriture des equations d'equilibre. On peut neanmoins imaginer qu'une telle description garde son sens « en moyenne » sur une couche de grains et on s'attend a ce que le caractere errone de celle-ci ne se fasse pas trop ressentir dans la limite oii la largeur du silo D est tres petite devant la longueur d'ecran A. C'est le cas dans une situation ou les parois et/ou les grains sont assez peu frottants. Cependant pour toutes les donnees experimentales presentees en sous-section 2.4, A reste d'ordre D. Supposer que la friction solide entre les grains et les parois est pleinement mobilisee est une hypothese bien moins severe qu'on ne pourrait le croire a premiere vue. D'abord, il est tout a fait possible de concevoir, pour Texperience decrite en introduction de cette section, un protocole ou les forces de friction sont certainement maximales. C'est d'ailleurs le cas pour les experiences du groupe de Jussieu dont nous reparlerons en detail dans la sous-section 2.4. D'une maniere plus generale, Tangle de friction
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pour reprendre 1'argumentation que 1'on a mise en avant dans la sous-section 2.3 du chapitre 1, la relation axx — Kazz est veritablement une relation phenomenologique pour encoder de maniere effective la structure interne du silo. Le coefficient K est done lui aussi un parametre ajustable dont la valeur va dependre de la nature des grains et du mode de remplissage du silo. Janssen n'avait d'ailleurs propose aucune valeur pour K, et 1'avait au contraire ajuste a ses resultats experimentaux. On 1'a dit plus haut, tous les parametres du modele de Janssen se regroupent en un seul, M^ par exemple. Si Ton se laisse la liberte d'ajuster M^ aux donnees experimentales, ce modele extremement simple (et qui contient pourtant quelques incoherences), realise le tour de force de rendre compte quantitative-merit des mesures de masse apparente sous un silo. II a done, on s'en doute, acquis une grande reriommee et est bien accepte par toute la communaute scientifique. Or, bizarrement, les idees qui sont derriere ce modele, et en particulier 1'idee de proposer une relation entre les composantes du tenseur des contraintes pour decrire de maniere effective la structure interne des materiaux granulaires - idee que nous avons beaucoup developpe dans nos modeles de type OSL -, sont encore bien loin, elles, d'etre pleinement reconnues. Insistons sur le fait que le modele de Janssen ne decrit en aucune maniere les voutes presentes au sein du systeme de grains, et reste une theorie effective d'ecrantage des contraintes par les parois. Nous reviendrons sur ce point et des consequences qui en decoulent dans la suite de cette section. Variations sur le modele de Janssen Le modele de Janssen a ete 1'objet de bien des travaux pour le justifier, le critiquer et le modifier. Cowin, par exemple, a precise que c'est en termes de quantites moyennes que doit etre interpretee la solution de Janssen, et propose dans [46] une derivation un peu plus rigoureuse de cette solution. Dans [47], Cowin et Sundaram modifient leurs equations pour tenir compte des effets de compressibilite. McLean et Arnold ont egalement travaille avec ce parametre [130]. Pitman a essaye d'y inclure les effets d'une friction aleatoire [156]. Citons egalement Lvin qui a tente de tenir compte de la dependance en x des contraintes [124], mais en imposant partout une relation de friction qui n'est valable en fait qu'a la paroi... La modification du modele de Janssen qui nous interesse le plus ici est ce que nous aliens appeler le « modele MO ». II a ete propose par Vanel et al. dans [197] pour mieux rendre compte de leurs donnees experimentales. Comme on le verra dans la suite (Sect. 2.4), 1'effet d'ecrantage du poids des grains par les parois du silo est plus faible pour les faibles que pour les grandes hauteurs de grain. L'idee est done de « couper » le silo en deux parties. On suppose qu'une petite zone, juste au dessus du piston de mesure au bas du silo, pese directement sur celui-ci, sans etre ecrante par les parois. Le reste suit la loi classique de Janssen. La formule donnant la masse apparente sur le fond du silo Ma en fonction de la masse versee de grain Mv est done la suivante :
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Evesque et de Gennes [78] sont arrives a une image relativement similaire dans le cadre d'un modele de type elasto-plastique, en argumentant que la friction entre les grains et la paroi doit etre tres peu mobilisee au bas du silo (sur une echelle de quelques couches de grains), puis mobilisee normalement ensuite. Si la friction a la paroi est peu mobilisee, le poids des grains dans cette zone n'est pas ecrante et pese directement sur le fond du silo. Nous verrons cependant que le modele M0 garde tout son sens, meme dans une situation ou Ton peut etre certain que la friction a la paroi est pleinement mobilisee partout, comme c'est le cas pour les experiences du groupe de Jussieu, cf. sous-section 2.4. Modele IFE et methode de Coulomb Le but de ce paragraphe n'est pas de reprendre tout ce qui a deja ete dit dans la section 2 du chapitre 1 sur le modele IFE ! Nous allons uniquement presenter a nouveau les principales caracteristiques de ce modele, et preciser 1'existence de ses solutions dans le cas du silo. Toute cette presentation sera restreinte a deux dimensions, mais les conclusions sont transposables au cas tridimensionnel. L'hypothese centrale du modele IFE est, qu'en tout point, le systeme granulaire s'apprete a glisser. Autrement dit, 1'inegalite de Mohr-Coulomb
qui assure la stabilite du systeme devient ici une egalite. 0 est Tangle de friction interne du systeme granulaire. On peut reecrire cette egalite sous la forme suivante
qui donne 1'une des trois composantes du tenseur des contraintes (ici axx) en fonction des deux autres. e vaut ±1. La solution e = — 1 est dite « active » et la solution e = +1 est dite « passive ». Ces deux solutions correspondent aux deux sens de glissement possibles. Cette relation entre composantes du tenseur des contraintes est a comparer avec celle que nous avons proposee pour nos modeles OSL - cf. relation (2.63) dans la sous-section suivante par exemple. La relation (2.58) doit etre combinee aux equations (2.64, 2.65) traduisant 1'equilibre statique du systeme de grains considere pour pouvoir obtenir la solution complete. Sauf dans des cas extremement simples, ce systeme d'equations est trop complexe pour que Ton puisse en extraire une solution analytique meme en deux dimensions, et c'est numeriquement qu'il faut traiter le probleme. Cette hypothese de glissement est une hypothese tres forte. II n'y a aucune raison qu'elle soit verifiee pour des grains dans un silo. On verra en effet que ce modele s'ajuste tres mal aux donnees experimentales de Vanel et al. En fait, il a surtout ete utilise en mecanique des sols pour donner un ordre de grandeur des contraintes. Home et Nedderman ont calcule la solution (numerique) IFE pour le silo en utilisant la methode des caracteristiques [89]. Hua et Feng ont prolonge ce travail dans le cas ou le silo est surmonte d'un cone [93].
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Dans la limite des silos tres profonds, toutes les contraintes deviennent independantes de la hauteur de grain z et on peut calculer facilement les solutions de ce modele. Le cisaillement axz a toujours la forme lineaire suivante :
Dans cette meme limite, la pression horizontale tend vers une constante. Celleci peut etre determinee par la relation de friction entre les grains et la paroi du silo axz — tan0 w <7 xx . Ainsi qu'on le disait a propos du modele de Janssen, cette relation prend tout son sens si la mobilisation des forces de friction a la paroi est maximale. Cependant, elle peut etre egalement vue comme une relation effective si Ton n'est pas sur d'etre dans cette situation. On a done finalement
Et la troisieme des composantes du tenseur des contraintes azz se deduit de la relation IFE (2.58) qui lie les trois composantes entre elles. Cette relation est quadratique. On obtient done deux solutions correspondant aux deux cas « actif » (e = — 1) et « passif » (e = +1).
Cette solution (2.61) existe-t-elle toujours ? La question a un sens car, pour 1'obtenir, il a fallu elever la relation (2.58) au carre avant d'en reprendre les racines. Par definition x reste plus petit que le rayon du silo D/2. De meme, Tangle de friction au mur (j)w ne peut exceder Tangle de friction interne du materiau considere. II n'y a done pas de probleme avec la racine. Par centre, il faut verifier que la quantite axx — azz(l + 2tan 2 ) reste toujours negative dans le cas actif et positive dans le cas passif - cf. equation (2.58). En reintroduisant Texpression (2.61) dans la relation (2.58) de depart, on trouve que contrairement a la solution active, la solution passive n'existe que pour de faibles valeurs de Tangle de friction au mur. Plus precisement, on doit avoir
Pour un angle 0 typique (de Tordre de 30°), la borne superieure pour (j)w est d'environ 19° ce qui est d'ailleurs a peu pres la valeur maximale de la fonction /() = tan0/(l + 2tan 2 0). Une inegalite tres similaire a ete trouvee quand on cherchait une solution IFE passive pour le tas de sable cf. section precedente. Dans Tarticle ou ils presentent leurs travaux sur la repartition des contraintes dans les silos au sein du modele IFE [89], Home et Nedderman proposent une solution de type « passif » sans apparente restriction. En fait, la solution passive qu'ils proposent est assez bizarre puisqu'elle presente des lignes de discontinuite
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de contrainte, signe de conditions aux limites incompatibles. II est probable qu'un tel systeme ne serait pas stable et se rearrangerait. D'ailleurs Nedderman dans son livre [141] - qui est posterieur a Particle [89] - ne mentionne que tres rapidement, et de fac,on tres floue, la solution passive du silo sans plus parler de ces discontinuity's. Cette limitation pour Tangle w se comprend bien en termes de caracteristiques. Contrairement au modele OSL, celles-ci ne sont pas fixes pour le modele IFE. Elles sont en effet disposees symetriquement de part et d'autre de la verticale au centre du silo et « tournent » au fur et a mesure que Ton s'approche de la paroi, et ce d'autant plus que (f)w est grand. Cette rotation ne pose pas de probleme tant que ces lignes ne deviennent ni horizontales, ni verticales. Or, precisement, lorsque tan
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ces mesures de pression dans les materiaux granulaires sont sensibles a la preparation du material! et au protocole experimental suivi, et deux experiences similaires mais pas identiques peuvent donner des resultats assez differents. Pour nous qui voulions tester nos modeles de type OSL - modeles presentes dans la sous-section suivante - sur des donnees experiment ales, il etait essentiel d'etre en possession de toutes les informations concernant les experiences. C'est done une grande chance que nous avons eu de pouvoir etroitement collaborer avec le groupe de Jussieu. Nous pensons ainsi que les comparaisons quantitatives qui sont presentees dans la suite de cette section sont precises et solides. 2.3. 2.3.1.
Solution OSL pour un silo Description du modele
Le modele OSL a longuement ete presente et justifie dans la section 2 du chapitre 1 et nous n'allons pas reprendre notre argumentation en detail. Rappelons simplement que, en deux dimensions - on reviendra sur le cas tridimensionnel plus tard -, 1'equation centrale de ce modele est
Les axes x et z sont ceux deja definis sur la figure 37. Attention, pour des raison de symetrie, /z change de signe avec axz. Dit de maniere un peu lapidaire, cette relation phenomenologique reflete la structure interne des voutes du materiau granulaire considere. On peut egalement la voir comme une relation de friction entre voutes. Avec les equations d'equilibre,
on obtient un jeu de trois equations pour trois inconnues cr Z2 , axx et axz. La densite du granulaire p sera, sauf mention contraire, toujours supposee constante. Quelles sont, dans le cas du silo, les conditions aux limites qui, associees a ces trois equations, permettent de calculer la solution ? La condition la plus simple a remplir est qu'a la surface libre des grains contenus dans le silo, toutes les contraintes s'annulent : a^ = 0 en z = 0 - on pourrait eventuellement rajouter une surcharge. Ceci donne d'ailleurs lieu a des eifets d'oscillation assez peu intuitifs, cf. figure 47. A la paroi du silo, on impose la m6me relation de friction que dans le modele de Janssen : axz = tan0 w
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des valeurs permises aux differents parametres du modele pour des raisons de stabilite. Cette analyse de stabilite va etre presentee pour une situation en deux dimensions. Cependant elle reste tout a fait valable pour un systeme tridimensionnel suffisamment symetrique, en particulier dans la situation axi-symetrique qui nous interesse particulierement pour les tas de sable (des cones) et les silos (des cylindres). Analyse de stabilite Les trois parametres 77, ^ et <j)w qui defmissent un modele OSL particulier ne peuvent pas prendre n'importe quelle valeur. De meme que dans le cas du tas de sable, les composantes du tenseur des contraintes doivent verifier 1'inegalite de stabilite
ou 0 designe Tangle de friction interne du materiau granulaire considere. Le lecteur desireux de plus de details sur ce critere de stabilite, dit « de Mohr-Coulomb », peut se referer au chapitre 1, sous-section 2.2. Le but de ce paragraphe est de determiner 1'ensemble des valeurs permises de 77, (JL et <j)w. Quand on cherchera dans la sous-section suivante a ajuster un modele OSL aux donnees experimentales, il sera en effet important de savoir de quelle latitude on dispose pour faire varier tel ou tel parametre. On peut montrer que pour parvenir a notre but, il suffit d'analyser le critere de stabilite au centre du silo, et aux parois. La premiere situation correspond en fait a la stabilite « interne » du materiau granulaire. Au centre du silo en effet, le cisaillement est nul et le critere (2.66) se reduit a une inegalite entre les composantes diagonales du tenseur des contraintes, exactement comme si on avait affaire a un milieu infini. Cette contrainte est done interne dans le sens ou elle est independante des parois du silo. En combinant le critere de Mohr-Coulomb avec la relation OSL (2.63) et la condition axz = 0, on obtient facilement
On reconnait - il fallait s'y attendre - a gauche et a droite de cette double inegalite, les facteurs actif Ka et passif Kp du modele IFE - i.e. etats de Rankine, cf. section 2 du chapitre 1. Cette condition pour 77 etant remplie, la deuxieme source d'instabilite vient de la presence du cisaillement, et c'est a la paroi que celui-ci est le plus fort. Or, a la paroi, on sait relier le cisaillement et la contrainte normale horizontale : axz — tan 4>wcrxx. En combinant cette derniere equation et la relation OSL (2.63) avec le critere de Mohr-Coulomb (2.66), on obtient une inegalite liant 77, /z, 0W et 4>. Cette inegalite peut-6tre vue, au choix, soit comme une inegalite sur un binome en 77, P(r)) < 0, soit comme une inegalite sur un binome en /j, Q(p,} < 0. On a
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avec
Le discriminant de chacun de ces deux binomes est tres facile a calculer. On obtient
Si
Pour
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Figure 38. Sur cette figure, la zone stable est delimitee en has et en haut par les facteurs actifs et passifs Ka et Kp. A gauche et a droite, ce sont 771 et 772 qui bornent cette zone. Pour une valeur de
technique que les autres, mais elle donne une idee de ce qu'il est possible de faire comme calculs avec ce type de modele. La methode de resolution est la meme que celle presentee dans le cas du tas de sable - c/. section precedente pour plus de details. C'est la methode des caracteristiques qui sont des lignes droites pour ces modeles OSL. Rappelons que si Ton connait les contraintes en deux points .Mo et -M0. on peut les calculer au point M situe a la croisee des caracteristiques de longueur Z/+ et L- issues respectivement de .Mo et A40 par les formules
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Figure 39. Milieu semi-infini de sable retenu par une simple paroi. Les caracteristiques issues d'un point M. situe dans la region 0 ne rencontrent jamais la paroi, alors que la caracteristique « — » issue d'un point M. situe dans la region 1 la rencontre en M.p. En ce point, les caracteristiques se « refiechissent » et doivent etre « multipliees » par le facteur 8 = (1 - i/+)/(l + i/-). [Semi-infinite medium, with a retaining wall. Characteristics from a point M. of region 0 never touch the wall. On the contrary, the "—" characteristic from a point M. of region 1 touches the wall at M.p where it must be "reflected" and "multiplied" by the factor
* = (i-»/+)/(!+ !/_).;
ou les deux « vitesses » c+ et c_ sont definies par c± = (l/2)(//± yV2 + 4rj). Nous denoterons symboliquement les contributions des caracteristiques « — » et « + » par C- et C+ respectivement. Rappelons egalement que cette description n'est pas valable si Ton franchit la ligne « singuliere » ou axz change de signe (pour les tas de sable et silos, c'est la ligne x = 0). Quand on franchit cette ligne en effet, le parametre // de la relation OSL doit changer egalement de signe, ce qui fait que c+ devient —c_ et c_ devient —c+. On restera done toujours du meme cote de cette ligne et on deduira les contraintes de 1'autre cote par symetrie. On a vu dans la section precedente que lorsque 1'une de ces lignes rencontre cette ligne ou axz change de signe, elle se « reflechit » et doit 6tre « multipliee » par le facteur —7 = c_/c+ (cf. Fig. 23). Afin de pouvoir utiliser cette methode des caracteristiques pour le silo, on doit egalement determiner ce qui arrive a une caracteristique lorsqu'elle rencontre une paroi de ce silo. Pour cela, nous allons d'abord regarder le cas plus simple d'un milieu semi-infini de sable retenu par une paroi unique. Cette situation est representee sur la figure 39. Les caracteristiques issues d'un point M situe dans la region 0 ne rencontrent jamais la paroi. Par consequent, les contraintes dans cette region sont celles d'un milieu semi-infini (cf. Fig. 22) : azz = pgz et ffxz — 0. Lorsque le point M. est situe dans la region 1,
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sa caracteristique « — » rencontre la paroi en Aip. Or le point M.p n'a qu'une caracteristique « + » qui donne
car les contraintes de surface (ici en M'Q} sont nulles. Mais puisque Ton est a la paroi, on impose une relation de friction axz = tan^cr^. Cette derniere, combinee avec la relation OSL est equivalente a azz = vaxz ou v = (1 — /utan0 w )/(r/tan<^ tu ). On a finalement vxz\M (1 — c-v) = C+. La contribution de la caracteristique « — » en un point M. situe dans la region 1 sera done
c'est-a-dire, symboliquement,
ou Ton a pose i/+ — c+9 et v- = —C-V. On trouve finalement, pour les points de la region pres de la paroi
La conclusion de cette analyse est que lorsqu'une caracteristique rencontre une paroi, elle s'y « reflechit » et doit etre « multiplied » par le facteur 6 = (1 — f+)/(l + v-}. Munis de ces deux « regies de reflexion », sur une paroi et sur la ligne ou axz change de signe, on va pouvoir calculer les contraintes dans un silo. Les caracteristiques de pentes c+ et c_ decoupent assez naturellement le silo en differentes regions. Celles-ci sont representees sur la figure 40. De meme que pour un milieu semi-infini, celles issues d'un point M. situe dans la region 0 touchent directement la surface des grains, sans avoir jamais rencontre les parois du silo. Les contraintes dans cette region 0 sont done simplement azz = pgz et axz = 0. Pour M. situe dans la ne region 1, les contributions des chemins « — » et « + » peuvent s'ecrire, grace aux deux « regies de reflexion »
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Figure 40. Pour le calcul des contraintes dans un silo, celui-ci doit etre « decoupe » en « regions ». La region 0 est une zone oil les grains ne ressentent pas la presence des parois, elle est dite « hydrostatique » : crzz — pgz et crxz — 0. Les autres regions sont de deux types possible, celles de type 1 et celles de type 2. Sur cette figure sont representees les ne regions 1 et 2. [Different "regions" come out from the analytical calculation of the stress distribution in silos within the OSL model. Region 0 has been called "hydrostatic" because those grains do not feel the walls: we have crzz = pgz and crxz = 0. Other regions are of type 1 or of type 2. The nth regions 1 and 2 are represented here.]
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ou Z- et z+ sont les ordonnees de .M_ et A4.+ respectivement. En ces points, les contraintes sont celles d'un milieu semi-infini retenu par une simple paroi. On a
Tous calculs faits, on obtient finalement
Si Ton remplace 7 et S par leurs expressions, on trouve que
Cette quantite est bien toujours plus petite que 1 car c+ est positif mais c_ est negatif. On trouve de meme que
Finalement, les contraintes dans la ne region 1 sont donnees par les formules suivantes :
Pour un point M situe dans la ne region 2, la contribution « + » garde la meme expression que celle de la ne region 1. Par centre, la contribution « — » va etre identique a celle de la (n + l) e region 1 car il y a une reflexion a la paroi en plus.
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Figure 41. Reflexions multiples des caracteristiques « — » (a gauche) et « + » (a droite) menant a un point M. situe dans la ne region 1. Pour le calcul des contraintes en Ai, on a choisi d'arreter ces lign.es en M.- et Ai+ respectivement, ou les contraintes sont celles d'un milieu semi-infini retenu par une simple paroi. [Multiple reflections of"—" (left) and "+" (right) characteristics, leading to a point M located in the nth region 1. We stopped these lines at .M- and A1+ respectively, where stresses are those of a semi-infinite medium retained by a single wall.]
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^Ji; Tas de sable et silos a grains
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Tous calculs faits, on obtient, pour les contraintes dans la ne region 2, les formules suivantes
II est tres facile de modifier ces resultats dans le cas ou Ton applique une surcharge sur les grains contenus dans le silo. Supposons par exemple qu'en z — 0 on impose azz — QQ et axz = 0. Une telle surcharge serait obtenue avec un piston extremement lisse. Dans 1'analyse precedente, seule la contribution des points MO et MQ de surface doit etre modifiee. Pour les points de la ne region 1, cela revient a rajouter les termes c_(—7( s >) n Qo/(7P#) et —C-(—~f5)nQQ/(pg) aux equations (2.85, 2.89) respectivement. C'est-a-dire qu'au bout du compte la contrainte de cisaillement axz n'est pas modifiee, mais que la pression verticale uzz est augmentee de (—j6) n Qo. Remarquons que rien n'interdit que QQ soit une fonction de la position horizontale x dans le silo. En region 2, axz et azz doivent etre augmentes respectivement de ( — c _ / ( l + ^-))(—7<5) n Q 0 et de (z/_/(l-t-zv_))(—7(5) n QoGet effet de surcharge produit d'interessantes oscillations de la pression au bas du silo en fonction de la hauteur de grain. La figure 47 dans la conclusion de cette section en montre un exemple dans le cas d'un silo tridimensionnel. Dans notre premier article sur la description de la propagation des contraintes dans les milieux granulaires [18], nous avions envisage le cas oil p, est strictement nul - modele BCC. Les formules precedentes redonnent bien les resultats que nous avions obtenus pour le silos avec c+ = —c_ = CQ — ^/rj c'est-a-dire que 7 = 1 et i/+ = i/_ = i/ = CQV ou v — I/CQ tan w . Et dans ce cas-la le facteur de reflexion a la paroi vaut 6 = (1 — ^)/(l + v). Les formules qui donnent les contraintes dans les ne regions 1 et 2 peuvent paraitre bien lourdes. II est done interessant de regarder comment elles se simplifient dans la limite des silos tres profonds. Dans cette limite, la distinction entre les regions 1 et 2 n'est plus tres importante. Plagons nous done en z = n(D/(—2c_))(l + 7) ™ c'est-a-dire au « beau milieu » de la ne region 1. La formule donnant la pression verticale s'exprime alors simplement de la maniere suivante :
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En fait, la quantite interessante a regarder, si on veut pouvoir comparer ces modeles aux donnees experimentales, est la masse apparente Ma = (l/g) fdxcrzz. On obtient alors, en integrant la relation (2.95) entre —D/2 et D/2
ou 1'on a pose M^ = pD2/2r)ta,n(j)w. La valeur de 1'asymptote M^ a done la meme expression que dans le cas du modele BCC (77 = CQ) ou du modele de Janssen (77 = K}. Si on introduit la masse versee Mv = pDz, on petit remplacer 1'exposant n par
Dans la limite des faibles frictions a la paroi, on pent developper les relations (2.96, 2.97). On obtient alors la relation classique de type Janssen (2.55). Pour des frictions plus fortes on peut poursuivre ce developpement un cran plus loin. Nous reviendrons la-dessus dans la suite de cette section quand il s'agira de comparer le modele MO avec le modele OSL. Cette methode des caracteristiques, presentee ici pour calculer les contraintes dans les tas de sable et les silos au sein du modele OSL, est en fait une methode tres generale. On peut 1'utiliser dans le cadre de n'importe quel modele aux equations de type hyperbolique, en particulier avec le modele IFE. Dans le cas du modele OSL en deux dimensions, ces caracteristiques sont de simples lignes droites ce qui permet de mener les calculs analytiquement jusqu'au bout pour des systemes de geometric suffisamment simple. Cependant, me'me pour des systemes plus complexes comme le cas d'un entonnoir (cf. Fig. 42), les calculs restent remarquablement simples. II faut cependant preciser un detail qui a de 1'importance. L'expression du coefficient de reflexion S des caracteristiques qui viennent heurter les parois que nous avons introduit au debut de ce paragraphe n'est valable que si la relation de friction a la paroi est axz = tan<j>waxx ou z designe 1'axe vertical et x 1'axe horizontal. Les parois d'un silos sont en effet verticales, mais dans une situation plus generale les parois peuvent Stre inclinees d'un angle a. C'est le cas de la partie superieure de 1'entonnoir. La relation de friction doit alors 6tre ecrite crnm = t?na(j)wann ou ra designe 1'axe de la paroi et n 1'axe perpendiculaire a cette paroi. Comme les formules de rotation ainsi que la relation OSL sont des relations lineaires, on peut toujours se ramener au bout du compte a une relation du type axz — t(a)axx. En particulier t(0) = tan^. Ceci conduit simplement a un coefficient 5 qui depend lui aussi de a. D'une maniere generale cette methode peut done e"tre utilisee avec un coefficient de reflexion a la paroi 5(z). Resolution numerique en trois dimensions Ce paragraphe n'apporte, a strictement parler, rien de plus que le paragraphe correspondante de la section precedente sur les tas de sable. Cependant, afin que cette section-ci forme un tout, nous aliens repeter 1'essentiel du passage de deux
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Figure 42. La methode des caracteristiques presentee id pour le calcul des contraintes dans les tas de sable et les silos pent tres bien s'appliquer a des situations plus complexes, comme cells d'un entonnoir. Dans ce cas cependant, le coefficient de reflexion 5 des caracteristiques a la paroi ne sera pas le meme dans la partie conique en haut et dans la partie cylindrique en bas. /The method of characteristics presented here for a silo or a sandpile in the previous chapter could be applied to more complex situations such as a hopper. In this case however, the reflection coefficient 6 for the characteristics must be different in the top conical region and in the bottom cylindrical one.]
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a trois dimensions, ainsi que les principaux problemes de discretisation lors de la resolution numerique. Les silos comme les tas de sable possedent une symetrie axiale. On va done utiliser un systeme de coordonnees cylindriques : z designe 1'axe vertical oriente vers le bas, et r et x ^es deux coordonnees polaires correspondantes. Avec ces notations, les equations d'equilibre s'ecrivent
Par symetrie, les cisaillements arx = axr et azx = axz sont nuls. On a besoin de deux relations supplementaires pour clore ce systeme d'equations a quatre inconnues. On a pris bien sur la relation OSL arr = r\azz + /^crrz, mais aussi la relation axx = arr qui est vraiment la plus simple que Ton puisse imaginer, et qui respecte les symetries du probleme. En r = 0 par exemple, cette derniere relation doit etre verifiee. On peut imaginer des relations non-lineaires plus compliquees - et sans doute plus realistes - mais elles ne changeraient pas substantiellement nos resultats. Si Ar et Az designent respectivement les pas de discretisation le long des axes r et z, la version discrete des equations (2.98, 2.99) que nous avons utilisee est la suivante :
Ces deux equations permettent de calculer les contraintes a 1'etage z + Az, les connaissant a 1'etage z. En partant de la surface en z = 0, on peut done, de proche en proche, calculer azz et arz jusqu'au fond du silo. A la paroi du silo (en r = D/2), on veut imposer la relation de friction arz — tan(j)wcrrr. La discretisation est alors legerement differente :
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oil Wrr et Wrz sont les contributions de la paroi (le W est pour Wall) a arr et ov z respectivement. Ces deux quantites sont liees par les relations de friction Wrz ~ tan.
Analyse de donnees experimentales
Les donnees que nous avons utilisees pour tester la qualite des differents modeles de silos presentes dans les sous-sections precedentes sont issues d'experiences realisees par le groupe de Jussieu. Celles-ci constituent en particulier une partie du travail de these de Lo'ic Vanel [195], these dirigee par Eric Clement. II va sans dire que les resultats qui vont suivre n'auraient pas ete obtenus sans une etroite collaboration entre nos deux laboratoires. Description des experiences Le principe des experiences de Vanel et al. est exactement celui que Ton a expose en introduction de cette section, et qui est schematise sur la gauche de la figure 36 : on verse une certaine masse Mv de grains dans le silo et on mesure la masse apparente correspondante Ma qui pese sur le fond de ce silo. Sans trop rentrer dans les details, nous aliens decrire le cadre de ces experiences et preciser le protocole choisi, afin de mieux cerner la validite des hypotheses que 1'on fera par la suite. Le lecteur desireux d'en savoir plus peut se reporter a [42,196,197]. Le silo est en fait un tube en alliage fer-nickel de 3,8 cm de diametre, et haut d'une vingtaine de cm. Heureusement pour les experimentateurs, il n'est pas necessaire d'avoir des silos a grains en grandeur nature pour y observer les effets de voutes ! Le fond de ce tube est constitue d'un piston bien ajuste qui repose sur un ressort de raideur de 2 x 104 N/m. En mesurant precisement la (faible) compression de ce dernier, on accede a Ma. Les experiences ont ete faites avec plusieurs materiaux granulaires : des billes de verre, des billes de metal et des grains de quartz. Les principales caracteristiques de ces differents materiaux sont resumes dans le tableau 3. Afin d'obtenir des resultats fiables et reproductibles, le protocole de 1'experience a ete soigneusement mis au point. En particulier, il leur a fallu etre tres attentif
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Tableau 3. Principales caracteristiques des materiaux granulaires utilises par Vanel et al. dans les experiences de silo. Les mesures d'angle d'avalanche sont precises a 2°. La densite indiquee est celle du materiau granulaire, et non pas celle d'un seul grain. Elle depend done de 1'etat de compaction dans lequel se trouve le materiau, et ces donnees sont des valeurs moyennes. [Main characteristics of the granular materials used by Vanel et al. in their silo experiments. Accuracy on angle measurements is 2°. The density values are those of the granular medium, not those of grains themselves. They therefore depend on the compaction of the system, and data are average values.]
forme billes de verre
billes de metal
grains de quartz
spheriques et monodisperses plus ou moins spheriques et polydisperses irreguliers anguleux et polydisperses
taille (en mm) 2
densite (en g/cm3) 1,56
angle d'avalanche 25°
1,5 a 3,5
4,7
32°
1 a3
1,46
41°
a 1'etat du ressort au moment de la mesure. Celui-ci peut en effet §tre artificiellement surcomprime. Get artefact est ampline si la mesure de masse apparente se fait avec un ressort mou. On peut facilement 1'observer sur la version de « demonstration » de cette experience ou le piston de mesure repose sur un pese-lettre : imaginez le tube rempli de billes de verre - disons 400 g pour fixer les idees. L'aiguille du pese-lettre indique une certaine masse apparente, mettons 100 g. L'operateur peut alors appuyer avec son doigt sur le plateau du pese-lettre et faire grimper Paiguille jusqu'a 500 g par exemple. Ce faisant, le ressort du pese-lettre se comprime de 1 ou 2 cm, le piston descend, et les billes de verre aussi. Quand il retire son doigt, le piston ne remonte pas car il est bloque par les billes : les voutes qui ecrantaient le poids des billes sont maintenant renversees et ecrantent la pression qu'exerce le piston vers le haut. On comprend bien qu'annoncer une mesure de masse apparente de 500 g pour une masse versee de 400 g n'a pas beaucoup de sens ! Or, le meme effet (en moins prononce) a lieu lors des « vraies » experiences, m6me si le ressort de mesure est tres raide - c'est le cas ici. Ceci est du en particulier au fait que, quand on remplit le tube de billes, celles-ci n'arrivent pas avec une vitesse nulle sur le piston. II s'agit done de detendre legerement le ressort de mesure, de maniere a ce que celui-ci ne doive sa compression qu'au poids des billes qui le surmontent. C'est la raison pour laquelle le systeme experimental du groupe de Jussieu est prevu pour permettre a la base du ressort de se deplacer verticalement, avec un pas de 0,01 mm. La course maximum de ce deplacement est de 2 cm.
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Le protocole de 1'experience est alors le suivant. Dans le cas dit « cisaille », une fois le tube rempli de la quantite voulue de grains, on descend doucement la base du ressort en notant a chaque pas la valeur de la masse apparente que celui-ci indique. Au cours de la descente, celle-ci diminue pour se stabiliser sur un plateau (typiquement apres une descente de 0,1 a 0,2 mm). La valeur moyenne de ce plateau donne la mesure de masse apparente correspondant a la masse de grains verses. Les fluctuations autour de cette valeur moyenne donnent une estimation de la barre d'erreur de la mesure. II faut evidement moyenner sur plusieurs mesures de ce type pour obtenir un point de mesure, c'est-a-dire un triplet (Mv, Ma, AMa}. Et il faut une bonne dizaine de tels points pour avoir une courbe complete. Dans le cas dit « tape », des la masse apparente stabilised, on tape un petit coup sur le tube, ce qui la fait augmenter brutalement, puis on redescend la base du ressort jusqu'a qu'elle se restabilise, et ainsi de suite. La encore, les mesures definitives de masse apparente sont celles qui sont prises au moment ou celle-ci est bien stabilisee. La courbe presentee sur la droite de la figure 36 a ete realisee avec des billes de verre, dans le cas « cisaille ». Des experiences « cisaillees » ont ete egalement realisees avec des grains de quartz et des billes de metal, mais pour les experiences « tapees », seules les billes de verre ont ete utilisees. Cette technique qui consiste a descendre la base du ressort de mesure n'a pas comme seul avantage de detendre celui-ci afin de d'eliminer les surcompressions. Elle permet egalement de se placer dans une situation oil Ton est sur que les forces de friction entre les grains et la paroi du tube sont pleinement mobilisees un deplacement de quelques /^m suffit, cf. [78]. La valeur maximale de Tangle de friction entre les grains et la paroi a ete mesuree pour chacun des materiaux utilises (voir Tab. 4). Dans le cas « cisaille » cependant, cette methode engendre une structure interne particuliere au cisaillement permanent a la paroi d'ou son norn. En particulier, on peut s'attendre a une baisse locale de la densite (decompaction) du granulat pres des parois. Pour remedier a ceci, on frappe regulierement sur le tube (c'est le cas « tape »), ce qui a pour effet de detruire cette structure interne et d'homogeneiser la densite. Par centre, ces secousses tassent le systeme granulaire, et chaque rnesure de masse apparente doit alors etre associee a une certaine valeur de la densite du granulaire considere. Seules les mesures de meme densite peuvent etre regroupees pour obtenir un point de mesure. Ainsi, les experiences « tapees » sont mieux controlees, et on verra en effet que leur analyse donne des resultats plus clairs et plus systematiques que celle des donnees « cisaillees ». Ce sont done les resultats « tapes » que Ton considfera quand il s'agira de comparer les differents modeles de silo entre eux. Procedure de regression Pour ajuster les parametres d'un modele aux donnees experimentales ainsi produites, on definit trois quantites, d'abord E et D puis Q qui vont mesurer 1'ecart entre les courbes experimentales et theoriques. Precisons d'abord qu'un fichier de donnees experimentales se presente sous la forme d'un fichier a trois colonnes : la masse de grains verses dans le silo M*, la masse apparente correspondante Mla
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Tableau 4. Angles de friction (interne - i.e. d'avalanche - et au mur) pour les differents materiaux utilises dans les experiences de Vanel et al. La precision sur 0 est de 2°. Celle sur 4>w est plus variable : 2° pour le verre et le quartz sur tube lisse, 3° pour le metal et 7° pour le quartz sur paroi rugueuse. Sont egalement listes differents parametres qui peuvent se calculer a partir de 0 : les rapports des contraintes principales dans le modele IFE pour une situation active (Ka) et passive (KP), la constante de Jaky Kj ainsi que constante 770 du modele BCC. [Internal and wall friction angles for the different granular materials used by Vanel et al. Accuracy on measurements is 2°. Accuracy on (j)w is 2° for glass beads and quartz grains on a smooth wall, 3° for metal beads, and 7° for quartz grains on a rough wall. We also listed coefficients which can be computed from the angle 0, namely the active (Ka) and passive (Kp) Rankine coefficients, Jaky's constant Kj and the coefficient 770 in BCC model.]
verre
quartz
metal
angle de friction interne 4>
25°
41°
32°
angle de friction au mur (f>w
22°
37° (p. rugueuse) 23° (p. lisse)
16°
0,41
0,21
0,31
2,46
4,81
3,25
0,58
0,34
0,47
0,70
0,40
0,56
et 1'intervalle d'incertitude (ou la dispersion des mesures) AM^ associee. i est le numero de la mesure. II varie de 1 a Ne. Au sein de chaque modele, et pour un jeu de parametre donne, on peut calculer la masse apparente theorique predite pour chaque valeur de la masse versee : M^t = Ma>t (M£). On definit alors les quantites E et D de la maniere suivante :
E est 1'ecart quadratique entre la theorie et 1'experience. Une valeur de E egale a 1 indique que la courbe theorique passe typiquement a une barre d'erreur des points experimentaux. C'est cette quantite E qu'on va chercher a minimiser lors d'une regression. D est 1'ecart algebrique. II donne une indication complementaire
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Figure 43. Les mesures de masse apparente sont d'autant plus dispersees que celle-ci est grande. Get effet se comprend bien en termes de voutes. Notez que dans le cas des grains de quartz, les fluctuations de Ma peuvent atteindre 15 a 20 % de Moo • [Measurements of the apparent mass Ma are more dispersed for larger Ma. This effect can be understood in terms of arches. Note that for quartz grains, the fluctuations of Ma can reach 15 to 20% of Moo//
en precisant si le meilleur ajustement, c'est-a-dire celui qui a le plus petit E, passe au beau milieu des points experimentaux (D proche de 0), plutot au-dessus (D negatif), ou bien plutot au-dessous (D positif). Ces ecart sont qualifies de « relatifs » parce qu'on a adimensionne les differences par les barres d'incertitude correspondantes. Ceci n'est pas anodin car ces barres d'incertitude ne sont pas plus ou moins toujours identiques. Elles varient au contraire de maniere importante avec Ma. II faut bien comprendre la nature de celles-ci : ce ne sont pas a strictement parler des barres d'erreur de mesure dans le sens ou les mesures de masse, pour une configuration donnee des grains dans le silo, sont ici precises a 0,1 g. Elles refletent au contraire la dispersion des mesures quand on repete la meme experience plusieurs fois et/ou quand on fait descendre le piston de mesure. Les fluctuations de Ma observees sont alors bien liees a celles des chemins de contrainte presents au sein du systeme granulaire et a leur ecrantage. Elles sont done veritablement intrinseques a ces materiaux et nous informent autant que les valeurs moyennes sur leur nature et leur proprietes. La figure 43 montre que les mesures de masse apparente sont d'autant plus dispersees que la masse apparente elle-meme est grande. En effet, pour une faible hauteur de grains dans le silo, les effets de voute ne se font presque pas sentir : les voutes ont besoin de quelques hauteurs de grains pour developper pleinement, et c'est elles
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qui, en s'appuyant sur les parois, permettent Tecrantage du poids des grains. Par consequent Ma est de 1'ordre de Mv et AMa est faible. Par centre, des que la hauteur de grains devient comparable au diametre du silo, les effets de voute jouent a plein et les mesures de masse apparente sont tres dispersees (AMa grand). Get effet est d'ailleurs bien reproduit par le SAM - cf. section 3 du chapitre 3. II est ainsi essentiel de ponderer chacun des points de mesure par sa barre d'incertitude. Nous aliens a present passer en revue les differents modeles de silo que nous avons testes sur les donnees experimentales de Vanel et a/., et preciser dans chacun des cas les parametres libres et la procedure utilisee pour minimiser 1'ecart quadratique relatif E. Modele de Janssen. - Dans la version discrete - equation (2.54) - comme dans la version continue - equation (2.55) - du modele de Janssen, tous les parametres ajustables (la constante de Janssen K et Tangle de friction entre les grains et la paroi du silo
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Tableau 5. Nombre de points experimentaux Ne dans les fichiers « cisailles » (en haut) et « tapes » (au milieu). Attention, pour les experiences dites « tapees », seules des billes de verre ont ete utilisees, mais avec des granulats de densite differente. En bas, ce sont les nombres de parametres Np ajustables de chacun des modeles. [Number Ne of experimental data in "sheared" (top) and "vibrated" (middle) experiments. In the latter case, only glass beads have been used, but with different granular densities. On the bottom sub-table, we indicate the number Np of adjustable parameters for the different models.] donnees
quartz (p. rug.) quartz (p. lis.) metal
grains
verre
Ne
15
10
9
16
densite (g/cm 3 )
1,51
1,53
1,56
1,59
« tapees »
Ne
13
13
13
13
parametres
modele
Janssen
Mo
OSL
BCC
Np
1
2
2
1
« cisaillees » donnees
ajustables
deux sens ». Par ailleurs, ces deux parametres ne sont pas sujets a des contraintes de stabilite. Tous ces modeles n'ont pas le meme nombre de parametres ajustables Np. De meme, les fichiers de donnees experimentales n'ont pas tous le meme nombre de points Ne. Le tableau 5 donne les valeurs de Ne pour tous les fichiers experimentaux utilises ainsi celles de Np des differents modeles. Par consequent, si Ton veut veritablement pouvoir comparer tous les modeles entre eux sur toute la gamme des experiences, il faut definir un coefficient de « qualite » Q pour chaque regression qui soit independant de Np et Ne. Un tel coefficient est classiquement donne cf. [157], pp. 502-503-par la formule16 Q = Q(Nl/2, x 2 / 2 ) ou Ni = Ne-Npest\e nombre de degres de liberte de la regression et x2 = E2Ne (du test du meme nom). La fonction Q(a, x) est (le complementaire de) la fonction gamma incomplete :
Q donne la probabilite que 1'ajustement ayant pour degres de liberte NI et pour ecart aux donnees experimentales % 2 , soit effectivement un bon ajustement et non pas un coup de chance ! Cette definition peut sembler relativement peu parlante... A quelles genre de valeurs doit-on s'attendre pour ce coefficient Q ? Laissons parler les auteurs de [157] : It is not uncommon to deem acceptable on equal terms any models with, say, Q > 0.001. This is not as sloppy as it sounds: truly wrong models will often be rejected with vastly smaller values of Q, 10~18, say. [...] At the opposite extreme, it sometimes happens that the probability Q is too large, too near to 1, literally too good to be true! [..] Almost always, the cause of too 16. Cette formule est, a strictement parler, valable uniquement si la dispersion des mesures suit une distribution gaussienne, ce qui est souvent le cas.
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good a chi-square fit is that the experimentater [...] has overestimated his or her measurements errors. f...J A rule of thumb is that a "typical" value of x2 for a "moderately" good fit is x2 ~ -Wz- Dans ce dernier cas, on obtient typiquement un Q de 1'ordre de 0,4 a 0,48 environ. Comme on le verra sans les tables de resultat, cette analyse « etire » enormement les echelles de comparaison : a un E de 1'ordre de 2 correspond un Q aussi faible que 10~8, et des que E passe en dessous de 0,5, Q est vraiment tres proche de 1'unite. Bref, le couple (E, Q) est un bon moyen d'evaluer la qualite d'un modele vis-a-vis des donnees experimentales. Comparaison des differents modeles Le modele qui donne les moins bons resultats est sans nul doute le modele IFE. On pouvait s'y attendre : rien ne justifie I'hypothese que le materiau granulaire soit a la limite du glissement en tous points a 1'interieur du silo. Seule 1'allure generale de Ma en fonction de Mv est correcte, mais 1'ajustement quantitatif aux donnees experimentales est mauvais. Plus precisement, la courbe theorique dans le cas actif tend vers une asymptote bien superieure a celle mesuree experimentalement, meme pour une friction a la paroi pleinement mobilisee ecrantage maximum. On a vu dans la sous-section 2.2 que le cas passif n'existe que pour de faibles valeurs de (f)w - typiquement $w < 19°. Dans ce cas-la, le meilleur ajustement du modele donne des valeurs tres faibles pour <j)w (entre 7 et 11°). Ceci n'est pas acceptable etant donne le protocole experimental utilise qui assure une mobilisation tres forte de la friction entre les grains et la paroi du silo. Les resultats quantitatifs de ces ajustements sont reportes sur la page suivante - cf. figure 44 et tableau 6. Le modele IFE ne semble done pas du tout adapte a cette situation experimental, et dans toutes les tableaux de resultats qui vont suivre, nous n'en parlerons plus. Le tableau 7 presente les ajustements des differents modeles de silo sur les donnees « tapees ». On peut y lire 1'ecart quadratique E de chaque modele aux points experimentaux, son ecart algebrique D, son facteur de qualite Q, et les valeurs optimales de ses parametres ajustables. Sur la figure 45 qui suit, on a trace a titre d'exemple les courbes issues de trois de ces modeles ajustes sur les billes de verre de densite p — 1,53 g/cm3. A la vue de ces resultats, un premier commentaire s'impose : les modeles de type OSL et le modele M0 sont nettement meilleurs que le modele de Janssen. Plus precisement, ils corrigent - au moins partiellement - la principale faiblesse de Janssen qui, systematiquement, passe au-dessous des points experimentaux dans la partie de croissance de Ma, et au-dessus dans la partie de saturation. Ceci est bien visible dans 1'insert de la courbe de la figure 45. Autrement dit, le modele de Janssen surestime 1'efFet d'ecrantage par les parois pour les faibles hauteurs de grains et le sous-estime pour les grandes. On pouvait s'y attendre car ce modele, meme s'il decrit cet effet d'ecrantage, ne contient pas la notion de « voute ». Or ce sont ces voutes qui, dans les materiaux, permettent cet ecrantage, et - c'est le m6me argument que dans la discussion a propos des barres d'erreur sur la mesure de Ma elles ont besoin d'une certaine hauteur de grains pour se developper et jouer pleinement leur role. On s'attend done a ce que, pour les premieres couches
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Figure 44. Le models IFE s'ajuste assez mal aux donnees experimentales : la courbe representant la situation dite « active » passe bien trop haut. Pour tracer cette courbe, on a pris (j)w = 22°, ce qui correspond a la pleine mobilisation des forces de friction a la paroi - comme le suggere le protocols experimental. La courbe « passive » n'existe que pour de faibles valeurs de (f)w. Celle qui colle le mieux id est celle pour laquelle
de grains, les effets de voute et d'ecrantage soient peu marques. C'est pour cette raison que le groupe de Jussieu a propose de modifier le modele de Janssen en rajoutant une masse « hydrostatique » 17 MO au bas de la colonne de grains cf. la fin de la sous-section 2.2. Ce MO permet finalement d'avoir un ecrantage effectif plus faible pour les faibles que pour les grandes hauteurs de grains. Bien sur, on aurait pu ajuster le parametre de Janssen avec les premiers points de la courbe experimentale afin de rendre compte de ce faible ecrantage sur les premieres couches, mais alors 1'asymptote de la courbe pour les grandes hauteurs de grains aurait ete bien trop haute. Reciproquement, on aurait pu ajuster le modele sur la valeur de 1'asymptote, mais cela conduirait a surestimer encore plus 1'ecrantage sur les premieres couches de grains. Voila pourquoi finalement, la meilleure courbe de Janssen presente un decalage par rapport a la courbe experimentale, au-dessous 17. C'est-a-dire une masse non-ecrantee par les parois.
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Tableau 6. Ajustements du modele IFE aux donnees issues des experiences sur les billes de verre « tapees ». Tous les ajustements « actifs » ont ete faits avec (j)w = 22° pleine mobilisation des forces de friction a la paroi. Si on va au-dela de cette valeur avec 4>w ~ 0 = 25°, on obtient un ecart E a pen pres deux fois meilleur, ce qui reste encore tres mauvais. Les ajustements « passifs » sont assez bon sauf que les valeurs correspondantes de (j)w sont bien trop faibles pour etre acceptables etant donne le protocole experimental utilise. Les ajustements du modele IFE sur les donnees « cisaillees » sont a peine meilleurs. [Fit of the "vibrated" data by IFE model. "Active" fits have been performed with
pour la premiere partie de la courbe et au-dessus pour la seconde. C'est egalement pour cette raison que les gens ont parfois decrete que la constante de Janssen « variait » avec la hauteur de grain [114]. Les versions « continues » du modele de Janssen et du modele OSL donnent systematiquement de meilleurs resultats que leurs versions « discretes ». Comment peut-on comprendre ceci ? Experiment alement, le diametre du tube fait typiquement une vingtaine de diametre de bille, ce qui nous place dans une situation plutot discrete, ou peut-etre intermediaire. Le modele de Janssen, dans son approximation en « couches », ne fait pas intervenir les grains individuellement, et il etait plutot difficile de predire quelle version, la discrete ou la continue, donnerait les meilleurs fits. Comme, en plus, la forme « continue » de la solution de Janssen est la plus populaire chez les physiciens et mecaniciens des granulaires, c'est elle que nous avons adoptee pour toutes nos courbes. Sauf mention contraire explicite, les mots « modele de Janssen » designent done dans cet article la version « continue » de ce modele. Les modeles de type OSL sont egalement des modeles continus puisqu'ils sont definis sur le tenseur des contraintes a%j. Cependant, leurs versions discretisees comme le three leg model (cf. Sect. 2, Chap. 1 et Sect. 2, Chap. 2) ou bien simplement celle presentee dans la sous-section precedente pour la resolution numerique des equations gardent tout leur sens a 1'echelle du grain. C'est d'ailleurs sur la base d'un empilement a trois grains que la relation constitutive BCC a d'abord ete proposee [18]. D'une maniere generale, la description de la propagation des forces entre des billes parfaitement rigides est une des multiples manieres d'obtenir, a la limite continue, les equations des modeles OSL cf. section 2 du chapitre 1. II est done assez naturel de garder une discretisation
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Tableau 7. Resultats des regressions des donnees experimentales « tapees ». Seules les billes de verre ont ete utilisees pour ces experiences-la. Pour tous ces ajustements, 4>w a ete fixe a sa valeur correspondant a la mobilisation maximale des forces de friction entre les billes de verre et les parois du tube. [Fit results on "vibrated" data. Only glass beads have been used. These fits have been performed with a fixed wall friction angle (f>w, which corresponds to a perfect mobilization of friction forces between grains and walls.] densite (g/cm 3 ) Janssen « discret »
Janssen « continu >
Mo
OSL
« discret »
OSL
« continu >;
BCC « discret »
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Figure 45. Courbes issues du fit des donnees « tapees ». Dans cet exemple, il s'agit de billes de verre de densite p — 1,53 g/cm3. On pent da.vanta.ge apprecier la difference entre theorie et experience sur les inserts oil Von a trace la difference relative entre les points theoriques et experimentaux -i.e. difference adimensionnee par la barre d'erreur correspondante. [Fit of "vibrated" data from glass beads of density p = 1.53 g/cm3. The difference between theoretical and experimental curves can be better seen in the inset where we plotted the relative difference between those curves - i.e. the difference divided by the corresponding error bar.]
des equations qui respecte la discretisation « naturelle » du systeme granulaire, et ce faisant on s'attendait plutot a obtenir un meilleur ajustement des modeles OSL. Ainsi, meme si les resultats « discrets » sont legerement moins bons que les « continus », les courbes issues des modeles OSL (ou BCC) qui sont presentees sur les differents graphes ont ete obtenues avec une resolution numerique « discrete » des equations differentielles, et c'est toujours la version « discrete » qui sera comparee aux autres modeles. Le meme raisonnement s'applique au modele IFE : les courbes et les ajustements presentes au debut de ce paragraphe ont ete realises avec un IFE « discret ». Si 1'on compare les valeurs de la constante de Janssen K issues des regressions (Tab. 7), et celles predites par la theorie de Jaky ou par des arguments de type IFE (cf. Tab. 4 et Sect. 2.2), on voit bien que ces « predictions » ne marchent pas du tout. II faut dire que celles-ci ne dependent que de 0, Tangle d'avalanche du granulaire considere (ici = 25° pour les billes de verre), et pas du tout de la maniere dont a ete rempli et sollicite le silo. K est done bien - si on en doutait encore - un parametre ajustable, propre a un materiau et a un protocole experimental.
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Les parametres ajustables des differents modeles varient de maniere systematique avec la compacite du systeme granulaire : K et 77 augmentent avec /o, alors que [i et MQ diminuent. Si on oublie un moment le parametre MO qui est, comme on le verra par la suite, d'interpretation difficile, ces variations sont en bon accord avec 1'intuition qu'on peut en avoir. On imagine bien en effet que plus un systeme granulaire est compact et plus il se comporte comme un « solide » : la difference entre les pressions horizontale et verticale sera moins marquee (K et t] plus proche de 1) et 1'influence du cisaillement plus faible (/z plus proche de 0). L'ajustement des modeles de Janssen et OSL aux donnees experimentales permettent d'obtenir des valeurs de K.rjetp qui encodent au mieux, au sein de chacun des modeles, 1'histoire et la structure interne du silo. Dans le cas du modele OSL malheureusement, cet ajustement n'est pas tres selectif sur les valeurs de T] et [i. Le tableau 7 montre clairement que les resultats du modele BCC ou n est identiquement nul ne sont pas tres eloignes de ceux d'un OSL, meme si ce dernier a un n assez grand. Cela signifie que deux couples (77, p.) differents, correspondants a deux structures interne du granulaire relativement bien differenciees, peuvent au bout du compte donner des points (Mv, Ma) assez proches. Autrement dit, ces experiences ne sont pas assez fines pour etre tres selectives. II faut dire que Ma est une quantite globale - et done dans une certaine mesure, assez moyennee contrairement par exemple aux mesures du profil de pression sous un tas de sable (cf. Sect. 1, Chap. 2 et [21,175]) ou bien de la correlation spatiale des contraintes sous une couche de sable soumise a une surcharge aleatoire (cf. Sect. 2, Chap. 3) qui sont au contraire plus locales. On obtient quand meme systematiquement des valeurs de fi positives. Ceci est en bon accord avec le fait que 1'ajustement d'un OSL aux mesures de pression sous un tas de sable donne au contraire une valeur negative de // (correspondant au « trou de pression » au centre du tas) : dans le cas du tas de sable, les avalanches de grains qui s'ecoulent a la surface du tas creent un cisaillement de sens oppose a celui cree par les parois du silo. Lors de la mesure de Ma en effet, le piston de mesure descend, ce qui veut dire que les parois montent par rapport aux grains. Or p, est, en substance, le coefficient qui mesure le role du cisaillement dans la structure interne du milieu granulaire. De plus, les valeurs positives de p correspondent a un profil « en bosse » de la pression verticale le long de 1'axe horizontal x, ce qui est generalement observe dans les experiences [110,115,205]. A ce titre, on pouvait s'attendre a ce que les ajustements sur des donnees « tapees » donnent des valeurs de p, plus faibles que ceux des donnees « cisaillees ». Pour celles-ci en effet, le protocole experimental est tel que la structure interne du au cisaillement doit etre tres marquee, alors que les tapes repetees sur le tube etaient censees detruire toute structure et homogeneiser le systeme de grains. Or, comme en temoignent le tableau 8 et les deux graphes de la figure 46, les resultats de ces regressions sont qualitativement identiques a ceux issus des donnees « tapees ». Encore une fois, il n'y a en fait entre les resultats des modeles BCC (ou // = 0) et OSL, qu'une legere difference en faveur de ce dernier. En outre, on s'attend egalement a ce que les chemins de contrainte, dont la structure est refletee par les coefficients 77 et /z, soient tres sensibles aux petites sollicitations
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Figure 46. Ajustement des modeles de Janssen (version continue), OSL (version discrete) et MO sur les billes de verre (en haut) et les grains de quartz sur paroi rugueuse (en has). Dans les deux cas, il s'agit de donnees « cisaillees ». [Fit of Janssen's, OSL and MQ models on glass beads (top) and quartz grains on rough walls (bottom). Both sets are "sheared" data.]
exterieures - c/. section 3 du chapitre 3. Par consequent, meme dans le cas des experiences « tapees », il est tout a fait possible que la tres petite descente du piston de mesure au has du silo apres la tape, qui est necessaire a la mobilisation totale des forces de friction entre les grains et la paroi du tube, suffise a engendrer
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Tableau 8. Resultats des regressions des donnees experimentales « cisaillees ». [Fit results on "sheared" data.]
billes de verre grains de quartz grains de quartz billes de metal (parois rugueuses) (parois lisses) Janssen « discret »
Janssen « continu »
Mo
OSL « discret »
OSL « continu »
BCC « discret »
une structure interne de ces chemins qui soit fortement marquee par le cisaillement impose a la paroi, et ceci sans que, pour autant, les grains aient beaucoup bouge. Ainsi, si ces experiences montrent clairement qu'une modelisation des forces en jeu
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dans un silo a grains par un modele de type OSL ameliore nettement les faiblesses d'une modelisation a la Janssen, elles ne permettent guere d'aller au-dela et de selectionner un modele OSL particulier (i.e. des valeurs particulieres de 77 et de //) en fonction du materiau ou du protocole utilise. II semblerait done que cette procedure qui consiste a taper regulierement sur le tube controle plus 1'homogeneite de 1'empilement des grains que la structure interne des chemins de contraintes. Un cisaillement permanent induit en effet une baisse locale de la densite du granulaire pres des parois. Or on a vu plus haut que les parametres ajustables du modele OSL dependent de 1'etat de compaction des grains. On a done essaye d'ajuster aux donnees « cisaillees » un modele BCC18 dont le coefficient 77 a ete remplace par la fonction 77(7") = 771 + (772 —ill) (2r/D) . Autrement dit 771 est la valeur de 77 au centre du silo en r = 0, et 77 vaut 772 a la paroi en r = D/2. Puisqu'on a vu que 77 croit avec la densite, on s'attend a ce que 772 < 771. Ce nouveau modele contient un amusant « effet mirage » 19 . Get effet a ete propose par Vanel et al. dans [195,197]. Numeriquement, on observe bien ce qu'ils avangaient, a savoir que cet effet mirage augmente la longueur d'ecrantage par les parois. Cela signifie que pour un silo de rapport d'aspect donne, la masse apparente au bas de ce silo est d'autant plus grande que cet effet est marque, i.e. que 772 est petit par rapport a 771. Malheureusement, cette interessante modification n'ameliore pas la qualite des ajustements. II n'est done pas si clair que la densite du systeme granulaire varie beaucoup radialement dans le cas « cisaille » rappelons qu'experimentalement, le rayon du tube fait typiquement dix grains de large. II n'est pas non plus evident que Ton puisse transposer la loi de variation du coefficient 77 avec p obtenue de fagon globale sur les donnees « tapees » a une echelle plus locale. En regardant attentivement le tableau 8 qui resume les resultats des ajustements aux donnees « cisaillees », on peut relever plusieurs choses interessantes. D'abord, on peut remarquer que, contrairement au cas « tape », les ajustements des modeles OSL « discrets » sont meilleurs que ceux de leurs versions « continues ». Cette inversion reste un peu mysterieuse... Ensuite on peut noter qu'en plusieurs endroits le facteur de qualite Q est vraiment tres proche de 1. Est-ce a dire que les ajustements sont excellents ? Pas vraiment ! En fait, cela signifie que les donnees sont assez peu selectives et que toute courbe theorique conviendra plus ou moins. Dans le cas des grains de quartz par exemple (sur paroi lisse comme sur paroi rugueuse), les barres d'incertitude sont tellement grandes - mais pas surestimees car ces grains tres anguleux et irreguliers amplifient les fluctuations des chemins de contrainte - qu'on ne peut esperer selectionner un modele parmi d'autres. En particulier, on obtient une valeur de fj, negative lors de 1'ajustement d'un OSL « discret » sur les donnees issues de 1'experience sur les grains de quartz dans un silo rugueux. Ceci semble incompatible avec le sens des forces de friction 18. Modifier un modele OSL aurait donne un nouveau modele a quatre parametres ajustables, ce qui commence a faire beaucoup ! 19. Dans le modele BCC, Tangle r du cone de propagation des contraintes est lie au coefficient 77 par la relation tanr = ^/rj. Ainsi, si 772 < r)i, les lignes de propagation des contraintes (i.e. les caracteristiques) dans le silo sont courbees vers Pinterieur, d'ou le nom « d'efTet mirage » par analogie avec la propagation de la lumiere dans un milieu d'indice variable.
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a la paroi. En fait, si Ton divise la taille du pas de discretisation d'un simple facteur 2, la valeur optimale de ^ devient positive. C'est done avec precaution qu'on doit prendre les resultats issus des experiences « cisaillees ». Puisque les modeles M0 et OSL donnent des resultats comparables, il est tentant de faire un lien entre les parametres de Pun et les parametres de 1'autre. Les equations des modeles de type OSL sont en effet d'une nature (mathematique) « hyperbolique », c'est-a-dire qu'elles ont la propriete de propager les contraintes le long de caracteristiques20 bien determinees. En consequence, ces modeles sont « plus hydrostatiques » que le modele de Janssen. Par exemple, si on reprend un instant la solution du modele OSL en deux dimensions presentee dans la soussection precedente, dans toute la region 0 (cf. Fig. 40) les contraintes sont celles d'un milieu semi-infmi, i.e. non ecrantees : les grains ne ressentent pas la presence des parois puisque les caracteristiques issues des points de cette region ne les atteignent pas. De meme, au fond du silo, c'est-a-dire au-dessus du piston de mesure, il existe une region - un cone - dont les grains pesent directement sur celui-ci, sans que leur poids soit ecrante par les murs du silo. Le volume de ce cdne est directement calculable a partir des coefficients 77 et (JL - ou plutot des « vitesses » c± - du modele OSL considere. Peut-on done, en identifiant la masse de ce cone a MO, interpreter plus physiquement les coefficients phenomenologiques 77 et // ? Malheureusement, la correspondance entre les deux modeles n'est pas si simple... Prenons le modele BCC. La masse de ce cone vaut dans ce cas simplement /9(l/3)-7r(D/2) 3 (l/co), ou CQ = ^Jr\. Si on teste cette identification sur les donnees de la tableau 7, le resultat est mauvais. La variation est certes dans le « bon » sens (Mo diminue quand r? augmente), mais il manque un facteur ~ 2,5. Si on engendre plusieurs fichiers de donnees avec le modele BCC ou tous les parametres (densite, friction interne et au mur, taille du silo...) restent identiques sauf le coefficient 77, et que Ton cherche a leur ajuster un modele M0, on obtient un resultat qui peut paraitre surprenant : le coefficient M0 reste constant ! Quelle intuition peut-on avoir de ce coefficient MO ? Flagons nous dans le cadre du modele BCC en deux dimensions - c'est dans ce cas que les calculs analytiques sont les plus simples. Puisque ce M0 a ete rajoute a Janssen pour le rendre plus « hydrostatique », on peut regarder par exemple comment Janssen et BCC s'ecartent de la droite hydrostatique Mh(z) = pDz pour les faibles valeurs de la hauteur de grain z. Dans cette limite, on trouve
£BCC etant toujours plus petit que 1, on voit tout de suite que la courbe BCC est plus proche de M^ que celle de Janssen. La difference entre les deux modeles tend vers 0 quand c0 (ou 77) devient tres petit. Mais alors les deux courbes 20. Rappelons que pour ces modeles, les caracteristiques sont, en deux dimensions, des lignes droites d'equation x = c±z + Cte.
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sont tres hydrostatique, ce qui veut dire qu'il n'est pas necessaire de rajouter un grand MO pour rendre la courbe de Janssen encore plus hydrostatique ! Au contraire, si c0 est grand, 1'effet hydrostatique est peu marque pour chacun des deux modeles, et meme si c'est dans cette limite que les deux modeles different le plus, il ne semble pas non plus necessaire de rajouter un grand MO a Janssen pour la faire « coller » a BCC. Bref, cette analyse n'eclaire pas beaucoup la situation. Elle illustre par contre le fait que Interpretation du parametre M0 reste delicate. Une autre idee est de regarder comment les modeles MO et BCC s'ecartent de la solution de Janssen dans la limite des grandes hauteurs de grains. Si on fait 1'hypothese que MQ est petit a la fois par rapport a Mv et par rapport a M^, on peut developper la formule (2.56) a 1'ordre le plus bas en MQ. On obtient
Dans la limite des grands silos, la solution BCC s'ecrit
La quantite (z^/2) ln((f + l)/(^ — 1)) est toujours plus grande que 1. Cela signifie que la courbe BCC rejoint toujours plus vite 1'asymptote M^ que celle de Janssen. Pour des valeurs pas trop grandes de Tangle de friction entre les grains et la paroi du silo, v reste grand et on peut developper 1'expression precedente qui prend alors a 1'ordre le plus bas une forme similaire a celle de 1'equation (2.108). Par identification on obtient finalement
Cette formule, completement independante de c0, semble aller dans le sens des resultats numeriques. Doit-on pour autant croire a cette relation ? D'abord il n'est pas evident qu'elle reste valable quand on passe de deux a trois dimensions. Ensuite, elle est en contradiction avec les resultats de le tableau 7 oil il est assez clair que MQ diminue quand la densite augmente. Par contre le rapport Mo/Moo a 1'air, lui, de rester a peu pres constant... Si on avait fait ce developpement dans le cas d'un modele OSL pour lequel [i ^ 0, on aurait obtenu
Dans ce cas la, MO depend bien des c±, mais cette dependance ne correspond pas a 1'image simple d'un c6ne. Que conclure de cette comparaison entre les modeles MQ et OSL ? La seule chose que Ton peut avancer avec certitude, c'est que 1'ajout de ce parametre MO au modele de Janssen permet de compenser son principal defaut, a savoir un ecrantage trop fort pour les faibles hauteurs de grain. Ce defaut est naturellement compense dans les modeles de type OSL. En ce sens MQ et OSL vont dans le meme sens. Malheureusement il ne semble pas possible de donner une interpretation directe de M0 en termes de cone de propagation des contraintes.
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2.5.
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Conclusion
L'ambition de cette section etait de faire un peu le tour de ces « histoires de silos ». La litterature scientifique sur ce sujet est tres vaste. On y trouve moult comptes-rendus d'experiences, modeles, variantes de modeles... Or, quand il s'agit d'experiences sur la matiere granulaire, il faut faire tres attention au protocole experimental. Deux experiences similaires mais pas identiques peuvent donner des resultats assez differents, et les conclusions des differentes etudes sont en consequence assez variables [5,22,114,115,179,205]. Dans ces articles en effet, on peut parfois trouver qu'aucune des theories ne rendent compte des courbes experimentales. Parfois au contraire, tel modele s'ajuste de maniere satisfaisante... C'est done une grande chance que nous avons eue de pouvoir collaborer avec toute 1'equipe granulaire de Jussieu qui nous ont fourni des donnees irreprochables obtenues sur des experiences au protocole tres precis. Ces mesures donnent la masse apparente qui pese sur le fond d'un silo en fonction de la masse de grain versee dans celui-ci. Sur ces donnees, nous avons teste quantitativement nos modeles de propagation des contraintes (baptises modeles OSL), proposes initialement pour rendre compte du profil de pression sous un tas de sable, et appliques ici au cas des silos. Afin de pouvoir juger de la qualite de ces tests, nous les avons compares a ceux pratiques sur le plus celebre des modeles de silo : le modele de Janssen. De cette etude, il ressort que le modele de Janssen reste un assez bon premier modele d'ecrantage du poids des grains contenus dans un silo par les parois de ce silo. En particulier, Janssen a eu le merite de proposer une relation phenomenologique entre les composantes du tenseur des contraintes pour rendre compte, de maniere effective, de la force de 1'ecrantage en fonction du protocole experimental. La relation de Janssen est une relation relativement globale et moyenne puisqu'elle s'applique a toute une couche de grains dans le silo. En substance, nos modeles n'ont rien fait d'autre que de reprendre cette meme idee de relation effective, mais a une echelle plus locale. Cette idee est deja presente dans le modele traditionnel IFE. Dans ce cas cependant, cette relation entre composantes du tenseur des contraintes est deduite de 1'hypothese que le materiau granulaire est a la limite du glissement en tous points. II est clair que cette hypothese ne peut etre verifiee que dans des situations experimentales tres particulieres. D'ailleurs le modele IFE reproduit tres mal nos courbes experimentales. Ce simple changement d'echelle a des consequences tres profondes sur la description de la maniere dont les contraintes se propagent dans les milieux granulaires et fait apparaitre assez naturellement le concept de chemin de contrainte, ou « voute ». La nature des equations qui sous-tendent ces modeles est en effet de type hyperbolique (comme les equations d'onde), c'est-a-dire que celles-ci engendrent des courbes bien determinees appelees caracteristiques le long desquelles se propagent les contraintes. Nos modeles font coi'ncider ces caracteristiques avec les chaines de force ou voutes - que Ton observe au sein de ces materiaux granulaires. A cause de ces voutes, 1'ecrantage du poids des grains par les parois est moins prononce pour les faibles hauteurs de grains que pour les grandes.
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Figure 47. Effet de surcharge dans un silo : la masse apparente Ma sur le fond de ce silo varie de facon non monotone avec la masse de grains verses Mv. Nous avons ajuste nos modeles sur la courbe expgrimentale sans surcharge, ce qui nous a donne 77 = 0,76 et n = 0,74. En ajoutant ensuite les differentes valeurs de la surcharge QQ (30,5, 45,6 et 65 g), mais en gardant les memes valeurs pour nos deux coefficients OSL, on reproduit les courbes experimentales de maniere tres satisfaisante. A titre de comparaison, on a trace la courbe de Janssen (1'ajustement sans surcharge donne K = 0,82) pour QQ — 45,6 g. Le disaccord qualitatif avec 1 'experience est flagrant I Les points de ces courbes sont issus d 'experiences ou la densite du systeme granulaire valait p = 1,6 g/cm3. [Overload effect in a silo: the apparent mass Ma at the bottom is not a monotonic function of the filling mass Mv. The best OSL fit of the experimental data without any overload gives r\ = 0.76 et /x = 0.74. Keeping this values, the other curves are very well reproduced by the different values of the overload QQ (30.5, 45.6 and 65 g). For comparison, we also plotted the best Janssen's model (the fit without any overload gives K = 0.82) for Qo = 45.6 g, which is not good at all! Experimental data have been obtained with glass beads of density p = 1.6 g/cm3.]
En consequence, nos modeles s'ajustent bien mieux aux donnees experimentales que le modele de Janssen. Une autre consequence de la nature hyperbolique de ces modeles est que si on rajoute une surcharge uniforme QQ a la surface des grains contenus dans un silo, on doit observer une variation non monotone - des oscillations - de la masse apparente qui pese sur le fond de ce silo, en fonction de la masse de grain versee dans celui-ci. Get effet a ete teste tres recemment par Vanel et al. [195,198] sur des billes de verre. La courbe presentee sur la figure 47 indique tres clairement que le resultat n'est pas du tout celui attendu par une modelisation a la Janssen
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pour laquelle on a
Get efFet de surcharge est typique de tous les modeles « propagatifs » (i.e. hyperboliques) et se retrouve egalement avec IFE ou la methode de Coulomb (cf. [141] pp. 220-221), mais aussi au sein du SAM - cf. section 3 du chapitre 3. II serait tres interessant de faire un calcul elastoplastique de fagon increment ale, ou a chaque pas de temps on ajoute une couche horizontale de grains dans un silo pour voir si les lois rheologiques qui gouverne cette dynamique permettent de retrouver une loi d'ecrantage de type Janssen, et si cet effet de surcharge est correctement predit. Ce calcul permettrait ainsi de savoir dans quelle mesure ces voutes sont prises en compte ou non dans ces lois de comportement. Par analogic avec les equations d'onde, ces modeles predisent de maniere plus generale, plusieurs effets « d'interference », par exemple si on alterne des couches de grains de differentes densite en remplissant un silo [36], etc. Ces efFet sont-ils observables experimentalement ? Nous attendons les tests avec impatience !
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Desordre et fluctuations
1. Le q-model 1.1. Introduction Les milieux granulaires sont des materiaux ou les fluctuations des contraintes sont grandes. Si par exemple on remplit plusieurs fois de suite un me"me silo avec la m6me quantite de grains, la masse apparente qui pese sur le fond de ce silo ne va jamais £tre deux fois la meme, et on constate effectivement une dispersion des mesures qui peut atteindre 15 a 20 % pour un rapport d'aspect suffisant. L'experience qui a motive le modele qui va faire 1'objet de cette section est legerement differente de celle du silo. Elle consiste a considerer une couche de billes, et a mesurer les forces qui s'appliquent en chaque point au bas de cette couche. La methode de mesure est remarquablement simple : une feuille de papier carbone a prealablement ete deposee sur le fond de la cellule de mesure, et 1'intensite des forces peut 6tre estimee en mesurant la taille de la tache laissee par chacune des billes. Cette methode n'est relativement precise que pour les forces de grande amplitude. Les mesures sur les petites forces sont au contraire entachees d'une incertitude importante. Cette experience, realisee par Nagel et al. [121,137], a ainsi revele que les forces sous un empilement granulaire sont largement distributes : la fonction de distribution suit une loi de type exponentiel1, ce qui veut dire que 1'ecart type de ces forces a la force moyenne est du m6me ordre que la moyenne elle-meme ! D'autres experiences sont venues confirmer ce resultat. On peut citer Baxter [12] ainsi que Behringer et al. [15, 90-92, 202] qui ont utilise les proprietes photoelastiques de certains materiaux - comme le plexiglas - pour mesurer les contraintes et leurs fluctuations. Citons egalement Tsoungui et al. [192,193] qui ont deduit 1'intensite de forces de compression entre grains en mesurant la surface de contact entre ces grains. Enfin, Huntley et al. [21], ont estime de fagon optique 1'ecrasement - tres faible - d'une fine couche elastique placee sous un tas de sable, et ont pu remonter a la distribution des pressions. Bon nombre de simulations numeriques ont egalement ete realisees sur ce probleme [159,163,164,167,168,174,176]. Contrairement a toutes les experiences 1. En fait, ce type d'experience a ete realise des 1990 par Delyon, Dufresne et Levy [57,61] mais les conclusions de cet article ne sont pas tres claires. En particulier, les graphes ne sont pas traces en echelle semi-logarithmique.
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Figure 48. Distribution des forces issues des simulations de Radjai et al. Celle-ci est exponentielle pour les grandes forces, mais suit une loi de puissance pour les petites. [Stress distribution in Radjai et al.'s simulations. This distribution is exponential for large forces and follows a power law for small ones.]
prealablement citees, ces simulations permettent d'avoir egalement acces a la distribution des petites forces. Radjai et al. ont montre en particulier que seul le regime des grandes forces - plus grandes que la force moyenne - est de type exponentiel - cf. figure 48. Celui de petites forces - toujours par rapport a la force moyenne - suit au contraire une loi de puissance pratiquement plate - i.e. avec un exposant quasiment nul. II est ainsi maintenant bien accepte que la fonction de distribution P(w) des forces w au sein d'un empilement granulaire a la forme suivante : ou les parametres a et /? - et en particulier le signe de a - varient un peu suivant les experiences ou les simulations. Certaines donnees experimentales comme celles de Huntley et al. [21] suggerent cependant que P(w) pourrait decroitre legerement plus rapidement qu'une exponentielle pour les grandes valeurs de u>, c'est-a-dire P(w) ~ e~@w avec un exposant 6 un peu plus grand que 1. Le modele que nous aliens etudier dans cette section est un modele stochastique tres simple qui a ete propose par Liu, Coppersmith et al. en 1995 [43,44,121], et qui permet de retrouver une fonction de distribution de la forme de celle donnee en (3.1). Ces auteurs 1'ont baptise le q-model pour des raisons que nous verrons par la suite. Nous aliens d'abord presenter le q-model dans sa version la plus simple, puis nous reprendrons le calcul de la fonction de distribution des forces P(w) pour montrer que la queue exponentielle de cette fonction est en fait assez sensible a la fonction de distribution du desordre, et qu'il est possible de choisir
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les parametres du modele pour avoir b > 1. Nous montrerons ensuite comment Ton peut obtenir une version continue de ce modele initialement discret. Ceci nous permettra d'en comparer les caracteristiques - fonctions de Green et de correlation a deux points - avec celles de nos modeles tensoriels, lesquels sont presentes, dans leur version stochastique, dans la section suivante. Ces calculs seront faits de deux fagon differentes. D'abord de maniere « exacte » en s'appuyant sur le theoreme de Novikov, puis en utilisant une methode d'approximation tres utile a connaitre, la methode MCA (Mode Coupling Approximation en anglais), qui donne souvent d'interessants resultats non perturbatifs. On aura compris que cette section - comme la suivante - est relativement plus « technique » que les autres car on s'y interesse a la structure profonde des equations de ce modele, ce qui nous eloigne un petit peu de 1'experience... A ce titre on se permettra quelques abus de langage issus des analogies que Ton fera avec des equations du meme type mais utilisees dans d'autres contextes. On verra par exemple que la position verticale que nous avons appelee z dans toute cet article est analogue a un temps dans nos equations. On la designera alors souvent par la lettre t et on parlera de « correlations temporelles » ou de « produit de convolution temporel » comme si de rien n'etait ! Le lecteur peu interesse par ces calculs trouvera dans la conclusion 1'essentiel de ce qu'il faut retenir de cette section.
1.2.
Le q-model
Presentation du modele L'hypothese centrale du q-model est de ne prendre en compte qu'une seule composante du tenseur des contraintes, w = azz, le « poids » des grains. Ces grains sont places sur un reseau regulier. Chacun de ces grains, repere par ses deux coordonnees (i, j), est dote de N nombres aleatoires qk(i, j } k = 1, N qui donnent la fraction de la charge w(i, j) transmise au fce voisin du dessous du grain (i, j ) . Ces nombres sont pris independamment les uns des autres, exceptee la contrainte ^fc=i N Qk(i, j) = 1- Us encodent de maniere phenomenologique le desordre de l'empilement reel, les irregularites de taille et de forme des grains, ainsi que la qualite variable des contacts entre ces grains. Dans toute la suite - sauf mention contraire - nous nous restreindrons au cas bidimensionnel le plus simple ou TV = 2. Les deux coefficients de transmission du grain (z, j) seront alors denommes
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Figure 49. Schema du q-model du groups de Chicago avec N — 2 voisins. Les q± sont des variables aleatoires independantes, exceptee la contrainte q+(i, j) + q~(i, j) — 1. a et r sont les mailles horizontale et verticale de ce reseau. En pratique on a pris a = r. [Liu et al. 's q-model for N = 2 neighbours. q± 's are independent random variables, except from the constraint q+(i, j) + g_(i, j) — 1. a and r are the horizontal and vertical lattice lengths. In practice, we take a = r./
On designe par wg le poids d'un grain. La regie de propagation des forces au sein de ce modele est done simplement
Distribution des forces Le cas d'une distribution uniforme Q(q] = 1 est interessant parce qu'il permet de calculer exactement la fonction de distribution du poids P(w), Dans ce cas en effet la correlation entre deux sites voisins a la meme altitude j est nulle pour tout j. Pour une distribution Q(q) plus generate, ceci n'est vrai que dans la limite j —>• oo. On peut done ecrire, dans cette limite, une equation de type champ moyen pour la fonction P(w) :
Pour Q(q) — 1, la solution stationnaire P* de cette equation integrale dans la limite j —> oo est donnee par la formule
ou 2W = jwg est le poids moyen a la profondeur h = jr.
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Pour N ^ 2, la distribution P* est une loi ,T de parametre N : on a P*(w) ~ wN~1 pour les petits w, et la queue de distribution est exponentielle pour les grandes valeurs de w. En fait, ce comportement a petit w n'est pas specifique au choix Q(q) = 1, mais necessite que la distribution Q(q) soit reguliere au voisinage de q — 0. Si par contre Q(q) diverge comme g7"1 pour q —>• 0 (7 > 0), on s'attend a ce que P(w) ~ w~a pour les faibles valeurs de w, avec a = 1 — TV 7 < 0. De meme, la forme exponentielle de P*(w] a grand w est sensible au comportement de la distribution Q(q) au voisinage de q = 1. En particulier, on peut montrer que si la valeur maximale de q est qu < 1, P*(w) decroit plus vite qu'une exponentielle :
Remarquons que 1'on a bien b = I si QM = 1, et 6 —> oo quand
1.3.
Limite continue
Dans cette sous-section nous aliens montrer comment Ton peut passer de la version discrete du q-model- celle de Liu et al. - qui convient bien aux travaux numeriques, a une version continue sur laquelle on va alors pouvoir faire une etude analytique complete. Posons pour cela2 q±(i, j] = (1/2)(1 ± v(i, j ) ) . Dans la limite ou v est faible, le poids local w varie peu a 1'echelle de la maille du reseau et on peut transformer la relation discrete (3.2) en une equation aux derivees partielles continue ou 1'on a pose x = ia et t = jr qui representent respectivement les coordonnees horizontales et verticales de la couche de grains consideree - cf. figure 49. 2. Dans toute la suite q designera un vecteur d'onde et non plus un nonibre aleatoire. Le desordre sera represente par la variable v.
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L'axe vertical a ete baptise t plutot que z comme dans les sections precedentes car cette coordonnee joue le r6le du temps dans 1'equation (3.6) qui est analogue a une equation de convection-diffusion ou la « vitesse » v est aleatoire. p est la densite du systeme granulaire considere - on a pris g = 1 - et DQ est une constante qui depend de la geometrie du reseau sur lequel le modele discret a ete defini. Pour une reseau regulier tel que celui de la figure 49, on a DQ = a 2 /2r. De fagon generale, cette constante de diffusion est de 1'ordre de la taille des grains a. Dans toute cette section, nous avons suppose que la densite p ne fluctue pas. Ces fluctuations seraient faciles a inclure au modele. II est cependant assez simple de verifier que celles-ci decroissent avec la hauteur h de la couche de grains comme /i"1/2 et sont done beaucoup plus petites que celles induites par les variations aleatoires du bruit v qui restent toujours d'ordre 1. Les deux quantites auxquelles nous aliens nous interesser dans cette section - et aussi dans la suivante - sont les fonctions de reponse et de correlation. La premiere G(x, t|x 0 , to): appelee egalement fonction de Green, donne la reponse moyenne a une surcharge localisee en (XQ, to) et mesuree au point (x, t). La seconde C(x, t, x', t') = (w(x, t)w(x', t')}c (partie connexe) donne la correlation moyenne entre les forces mesurees en (x, t) et (x', t'). Toutes ces moyennes sont prises sur les differentes realisations du desordre v(x, t). L'equation (3.6) montre que la propagation des contraintes au sein de ce modele scalaire stochastique est identique a la diffusion de particules dans un flot aleatoire v(x, t). Ce dernier probleme a fait 1'objet de nombreux travaux recents dans le contexte de la turbulence, domaine avec lequel on peut faire de nombreuses et fructueuses analogies - cf. par exemple [32,204] pour plus de details a ce propos. Desordre v(x, t) Le terme de bruit v(x, t) encode les effets dus au desordre d'empilement, de contact, de forme, de taille, etc. Sa valeur moyenne est prise a zero, et par souci de simplicite on a suppose que sa fonction de correlation est de la forme
oii gx et gt represented les correlations le long des axes x et t respectivement, correlations que nous supposerons de courte portee ix et it. Cette hypothese est un peu hasardeuse ! En effet, la presence de longues chaines de forces dont nous avons deja fait etat dans les sections precedentes, pourrait au contraire engendrer des correlations de v sur des distances relativement grandes3... Notre but est de decrire un systeme granulaire a une echelle L, grande a la fois devant la taille des grains et devant les longueurs de correlations de v, c'est-a-dire telle que a, T, tx, lt
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a, r, ^ x , It -+ 0 peut se reveler delicate, et doit etre traitee avec precaution. La raison en est que ce desordre v est multiplicatif et non pas additif4. Pour des raisons purement calculatoires, nous supposerons implicitement que la distribution de v est gaussienne, ce qui peut introduire certains artefacts - nous en reparlerons dans la section suivante. Transformees de Fourier On ne peut brutalement se placer dans la limite ou a, ix —> 0 sans avoir des problemes de divergence. Pour regulariser nos integrales, nous aliens toujours prendre nos transformees de Fourier dans la « premiere zone de Brillouin », c'esta-dire que tous les vecteurs d'onde seront compris dans 1'intervalle X = [—A, + A] ou A = ?r/a. Les regies concernant les transformees de Fourier d'une fonction / sont alors les suivantes
II faut etre particulierement prudent lorsque Ton s'interesse a des integrales de convolution du type f dqfi(q)/2(k — q)/2ir qui devront etre telles que q comme k — q soient dans 1'intervalle J, et doivent done 6tre calculees entre les bornes —A + k et A (resp. —A et A + k) si k > 0 (resp. k < 0). Un important exemple qui apparaitra lors du calcul de la fonction de reponse G est le suivant
En prenant la transforme de Fourier de 1'equation (3.6) le long de x, on obtient
Notre but est de calculer, dans la limite k —> 0, les fonctions de reponse G et de correlation C de w, definies ici en transformed de Fourier par
Fonction de reponse non bruitee La fonction de reponse « nue » ou non bruitee GQ est la solution de 1'equation ou toutes les composantes vq sont nulles 4. Dans la section suivante, nous verrons par exemple que la limite it ~>• 0 rend, dans le cadre de notre modele tensoriel, le probleme trivial.
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dont la solution est
c'est-a-dire dans 1'espace reel,
La fonction 9(t — t'} represente ici la fonction de Heavyside qui vaut 1 si son argument est positif (t>t') et nulle sinon.
Bruit multiplicatif, Ito ou Stratonovitch ? Dans 1'equation (3.11) nous n'avons pas specific la dependance en t de chacun des facteurs du produit wqVk-q- II y a en effet une ambigui'te. Dans le modele discret de Liu et a/., les q± en un site donne sont independants de la valeur du poids w en ce site. A la limite continue, cela signifie que Vk-q(t) doit 6tre choisi independamment de wq(i), c'est-a-dire le premier legerement apres le second, et le produit sous 1'integrale doit e"tre compris comme wq(t — 0)vk-q(t + 0). Dans ce cas, la moyenne de 1'equation (3.11) est triviale et coincide avec 1'equation non bruitee, i.e. G = GQ. Ceci peut e"tre compris en termes de « chemins » au sein du modele discret. En effet, la fonction de Green G(i, j\0, 0) peut e"tre exprimee comme une somme sur tous les chemins partant du site (0, 0) et finissant en (z, j}5 :
ou les q±(k, I) sont en fait soit q+(k, 1} soit q~(k, I), dependant du chernin considere. Chaque lien q±(k, 1} n'apparait qu'une seule fois dans le produit. La moyenne sur les q est done immediate et Ton a
Get argumentation ne marche pas pour le calcul de la fonction de correlation car ces chemins peuvent « interferer » - cf. sous-section suivante. Le choix de Liu et al. correspond a la prescription de Ito dans les calculs stochastiques. II existe un autre choix - c'est la prescription de Stratonovitch - qui est en fait la maniere rigoureuse de passer a la limite continue lorsque la longueur de correlation it est petite, mais plus grande que la taille des grains r — a - cf. figure 50. Dans ce cas en effet, les w et les v ne peuvent e"tre choisis independamment. C'est cette prescription que nous avons suivie dans toute cette section et la suivante. 5. II ne s'agit pas ici de voutes - elles sont absentes de cette mode'lisation - mais simplement de lignes joignant les deux sites consideres.
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Figure 50. Fonction de correlation du bruit v le long de 1'axe t. Les resultats des sous-sections suivantes auraient et& les mGmes pour tout autre fonction gt symetrique a courte portee. [Correlation function of the noise along t axis. The results presented below would hold for an arbitrary, symmetric, short-range function.]
1.4.
Fonctions de reponse et de correlation
Les calculs de la fonction de reponse G - cf. definition (3.12) - et de la fonction de correlation C - cf. definition (3.13) - vont etre menes au sein de deux approches diiferentes. La premiere, issue du theoreme de Novikov, donne des equations differentielles exactes (dans la limite /c —» 0) pour G et C, et qui peuvent etre resolues completement. La seconde est un schema d'approximation assez general baptise MCA qui consiste a ecrire des equations auto-consistantes a partir d'un developpement perturbatif. II se trouve que ces deux calculs conduisent aux memes resultats, ce qui veut dire que dans le cas qui nous interesse ou le bruit est gaussien et tres peu correle en temps, la methode MCA est exacte. Pour une situation moins particuliere, le theoreme de Novikov n'est pas utilisable en pratique et la MCA fournit un bon cadre de calcul pour obtenir des resultats non perturbatifs interessants. Nous verrons dans cette sous-section que le desordre v ne change pas qualitativement la forme de G par rapport a celle de GO- Son effet peut se resumer a la renormalisation du coefficient de diffusion DQ par un terme proportionnel a la variance de ce desordre. Theoreme de Novikov. Equations exactes pour G Le theoreme de Novikov permet d'ecrire Pidentite suivante, valable pour un bruit v gaussien
Une telle quantite apparait naturellement dans 1'equation (3.11), apres 1'avoir transformee en une equation sur G :
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Dans la limite ou ix = a —>• 0, le correlateur du bruit v s'ecrit
avec gt piquee en t = t' telle que f(t')gt(t — t'} ~ f ( t ) g t ( t — t') pour toute fonction /. Dans toute cette section, nous avons pris gx(q) = 1 ce qui correspond a gx(x = 0) = I/a et gx(x > 0) = 0. En integrant formellement 1'equation (3.11) entre t' et t, on peut exprimer la derivee Sw/Sv a temps coi'ncidants
d'ou
Pour la fonction gt que Ton s'est donnee sur la figure 50, la premiere integrale vaut 1/2. La seconde est une integrale de convolution et doit etre exprimee en suivant la regie (3.10). Elle vaut Ak/2ir + O(k2). L'equation differentielle finale que Ton obtient pour la fonction de reponse moyenne G est done, dans la limite des petits vecteurs d'onde, une equation de diffusion dont la constante DR a ete renormalisee par rapport a celle de 1'equation non bruitee DO :
Remarquons que ce modele resterait bien defini dans la limite ou le coefficient de diffusion « nu » DO serait nul, car le desordre v(x, t} - que 1'on peut interpreter comme une « vitesse » aleatoire - engendre une diffusion non nulle. Ceci n'aurait pas ete vrai si la convention de Ito avait ete choisie. On a vu en effet que celle-ci conduit a DU — DQ. Ce qu'il faut retenir de cette analyse est qu'au sein de ce modele scalaire, les contraintes se propagent essentiellement verticalement : en effet, la reponse a une perturbation localisee en un point x — XQ reste, a la profondeur h, confinee a une distance d'ordre \fD^h de XQ. Puisque i ~ a et DR ~ ^ 2 /a, cette distance reste tres petite devant h des que h ^> a, c'est-a-dire quand la couche de grains consideree est bien plus epaisse que la taille de quelques grains. Equations exactes pour C On peut, en suivant une demarche tres similaire a celle que 1'on vient d'exposer pour le calcul de G, deriver une equation exacte pour la fonction de correlation C - egalement dans la limite k —> 0. De 1'equation (3.11), on peut deduire 1'equation correspondante pour w(k, t)w(—/c, i), et lors de la procedure de moyennage, on est amene a appliquer le theoreme de Novikov a des quantites du type
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(w(k, t)v(q, t)w(—k - q, t ) } . Toujours avec 1'aide de la relation (3.22), on obtient finalement (dt + 2DRk2)C(k, t) = a2k2 j ^C(q, t),
(3.25)
equation qui peut 6tre integree fbrmellement en
oil Ton a pose
Par souci de simplicite nous aliens considerer une couche de « balles de pingpong », c'est-a-dire de grains sans masse, mais soumise a une surcharge en surface. Deux conditions initiates C(k, 0) sont particulierement interessantes. II s'agit pour la premiere d'une surcharge aleatoire de moyenne nulle mais telle que (w(x, 0}w(x', 0)) = A^d(x — x'), ce qui donne C(k, 0) = AQ. Pour la seconde, on prendra au contraire une surcharge uniforme iu(x, t — 0) = BO, c'est-a-dire telle que C(fc, 0) = JBo<5(fc). Pour trouver la fonction de correlation qui resulte de ces deux differentes surcharges au has de cette couche, on va resoudre 1'equation (3.26) en deux temps. On va d'abord 1'integrer sur k pour trouver une equation fermee sur C, equation qui sera resolue en transformee de Laplace - cette etape d'integration constitue une approximation puisque 1'equation (3.26) n'est valable que dans la limite ou k -4 0. On appelle E la variable conjuguee de t. Lorsqu'on a trouve C(E), on peut remonter a C(i) pour finalement calculer C(x, t). Plus precisement, nous aliens tracer la fonction
• Surcharge aleatoire Dans la limite des petits E - i.e. des grands t -, on a C(E] ~ 1/V^E, c'est-a-dire C(i) — ao/\/i, ou ao = (DR/(IDQ — DR)}(AQ/\/^DR). D'ou 1'expression suivante pour B(x, t)
dont on peut voir Failure sur la figure 51.
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Figure 51. Fonction de correlation pour une surcharge aleatoire. La fonction B a ete id divisee par le facteur AQ/ [8?rDnt] l . [Correlation function for the case of a random overload. B has been rescaled by the factor A%/[87rDRt}1/2.]
• Surcharge uniforms Dans la m6me limite, on a C(E) ~ 1/E, c'est-a-dire C(t) = 60, ou
D'ou
dont la 1'allure est tres similaire a la precedente - cf. figure 52. Si on avait utilise la convention de Ito - qui est le choix original du q- model de Liu et al. - on aurait obtenu des fonctions de correlation du meme type que celles tracees sur les figures 51 et 52, c'est-a-dire, en un mot, sans reelle structure. On peut verifier sur 1'equation (3.30) que C(x > a, i) tend vers zero a temps long, resultat que nous avons utilise pour etablir la relation (3.3). Theorie de perturbation Si la methode precedente donne des equations exactes, c'est parce le bruit v(x, t) est tres peu correle en temps : pour appliquer le theoreme de Novikov, on n'a besoin de connaitre Sw(k, t)/6v(k', t') qu'en t = t', et dont 1'expression est alors
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Figure 52. Fonction de correlation pour une surcharge uniforme. La fonction B a ete id divisee par le facteur o^B^j [47r(2Do — DR)]. [Correlation function for the case of a uniform overload. B has been rescaled by the factor ci^Bll [47r(2D0 - DR)].]
donnee par la formule (3.22). Cette approximation n'est evidemment pas vraie en general. De plus, ce theoreme n'est, a strictement parler, valable que pour un bruit v gaussien. II est done interessant de voir comment on peut developper systematiquement une theorie de perturbation en utilisant une representation diagrammatique de 1'equation (3.11). La methode que nous allons presenter ici est la methode appelee MCA (approximation de couplage de modes, ou Mode Coupling Approximation method en anglais) qui donne souvent des resultats non perturbatifs interessants cf. [19] pour une discussion approfondie sur cette methode. En multipliant a gauche 1'equation (3.11) par le propagateur GO - cf. relation (3.15) -, on peut la reexprimer de la maniere suivante :
ou le symbole ® designe une convolution temporelle, c'est-a-dire
Comme 1'indique la figure 53, on va representer la « source » p par une croix, le propagateur non bruite GO par une ligne fine continue, et le bruit v par une ligne fine pointillee. Le premier terme du membre de droite de 1'equation (3.31) est simplement la solution WQ des equations sans bruit. II sera done represente par la juxtaposition d'une ligne fine continue et d'une croix, cette juxtaposition sous-entendant un produit de convolution temporel. Les fleches indiquent la direction contraire a celle du temps, c'est-a-dire qu'elles vont de t vers t' < t.
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Figure 53. Definition des differents
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diagrammes. [Definition of various diagrams.]
Par definition, w est represente par une ligne grasse continue suivie d'une croix, ce qui veut dire que cette ligne grasse designe le propagateur complet G. La version diagrammatique de (3.31) est done
Le « vertex », c'est-a-dire la bifurcation des lignes pointillee et continue, sousentend 1'integration — ik f dq/2ir, ou q et k — q designent les deux vecteurs d'onde emergeant de cet embranchement. Ces vecteurs d'onde verifiant la « loi des nceuds » a chaque vertex, et on ne les indiquera plus par la suite. On peut bien stir iterer cette equation diagrammatique, et a 1'ordre deux, on obtient
L'equation correspondante pour G - qui est la quantite que 1'on cherche a calculer - est obtenue en prenant la derivee S/5p de celle sur w et en moyennant sur le bruit v - cf. equation (3.12). Puisque (v) = 0, le second diagramme du membre de droite de 1'equation precedente donne une contribution nulle, et si on represente le correlateur du bruit par une ligne fine pointillee avec un petit cercle au centre - cf. figure 53 -, on obtient
c'est-a-dire G = GQ + GQ£GQ, ou Z1 est appelee la self-energy ~ cf. figure 53 pour la representation diagrammatique de cette derniere. On peut prendre en compte tous les termes du genre GQ£GQ, ou bien GQ£GQ£GQ, etc. en ecrivant 1'equation de Dyson : G = G0 + G0£G.
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Figure 54. Exemple de diagramme Indus dans le cadre de la MCA. [Example of a diagram included in the MCA.]
La MCA consiste a remplacer, au sein de la self-energy Z1, les propagateurs « nus » GO par des propagateurs complets G - cette approximation est bien sur exacte a 1'ordre deux du developpement perturbatif. On obtient alors une equation auto-consistante pour G
Les diagrammes tels que celui de la figure 54 sont ainsi inclus dans le calcul de G. Cette self-energy peut se calculer facilement pour le cas qui nous interesse. En effet, le diagramme de 1'equation (3.36) s'ecrit explicitement
Si gt est piquee autour de t = t', on peut faire 1'approximation
car par definition G(q, 0) = 1. En appliquant la regie d'integration (3.10), on obtient finalement ZMCA^, t — t') = — (l/2Tr)(T2Ak2gt(t — t'). Cette expression de la self-energy conduit bien a la meme solution pour G = GMCA que celle issue du theoreme de Novikov, ce qu'on peut verifier en comparant GQIG = 1 + EG a la relation (3.23). Remarquons pour finir que Ton aurait pu aussi calculer 1'influence d'une kurtosis K non nulle du bruit v, qui est le cumulant normalise d'ordre quatre et donne 1'ecart a la distribution gaussienne. Dans ce cas, quatre lignes pointillees correspondant a quatre facteurs v - peuvent etre regroupees et rajoutent une contribution a DR d'ordre «cr4. On peut calculer de meme lafonction de correlation (w(k, t)w(k', t}) = 2tv5(k+ k')C(k, t). Dans ce cas, ce qui correspond a la self-energy est la « source » S(k, i, t') definie par C — G®S§§G. Cette quantite sera represented par un carre noir. La quantite non bruitee correspondante SQ le sera par un carre blanc. Elle encode les conditions initiales - d'ou son nom de « source », voir plus bas. Les deux premiers termes du developpement perturbatif donnent
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On transforme de nouveau ce developpement en equation auto-consistante en remplagant GO et SQ dans (3.38) par G et S respect!vement. L'equation MCA pour C s'ecrit alors
c'est-a-dire explicitement,
Si on choisit comme terme source une surcharge a la surface de la couche de sable considered - i.e. en t = 0 -, on a So = (p(k, t'}p(-k,.t"}} = C(k, Q)S(t')S(t"). En utilisant encore une fois le fait que la fonction gt est tres piquee en t' = £", on retrouve bien 1'equation (3.25). Pour les deux calculs de G et de C, cette approximation se revele done 6tre exacte - dans la limite k -> 0. Elle peut facilement 6tre etendue a des situations plus complexes, par exemple en se donnant une autre forme pour la fonction gt. On 1'appliquera egalement dans la section suivante a un modele stochastique tensoriel. Fonction de reponse non moyennee La fonction de reponse moyenne G que nous avons calcule dans les paragraphes precedents est une gaussienne centree en XQ = 0 - le point d'application de la surcharge localisee - et dont la largeur s'accroit comme \fDpt. En fait, pour une realisation donnee du desordre, la fonction de reponse n'est pas du tout gaussienne. Elle presente au contraire plusieurs pics qui dependent de 1'echantillon considere - c/. figure 55. On notera que cette fonction n'est cependant jamais negative, ce qui ne sera pas le cas de la fonction de reponse dans le cas tensoriel - c/. section suivante. On peut montrer que la quantite [x](t) qui mesure la distance entre le barycentre de la fonction de reponse non moyennee et XQ, et qui s'ecrit
croit au cours du temps :
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Figure 55. Fonction de reponse moyennee (ligne grasse) en non moyennee (ligne fine) du modele scalaire de Liu et al. La moyenne a ete realisee sur 5000 echantillons. II faut remarquer que ces fonctions ne sont jamais negatives. [Averaged (bold line) and unaveraged (thin line) response functions of the Liu et al. 's scalar model. The average has been performed over 5000 samples. Note that these functions are everywhere positive.]
ce qui veut dire que ce barycentre s'eloigne de XQ de maniere sous-diffusive, comme £ 1//4 . Ce resultat a en fait ete obtenu dans un autre contexte, celui d'une particule quantique qui interagit avec un environnement aleatoire qui evolue en fonction du temps. Le q-model peut en effet etre vu comme un ensemble de centres diffusants qui convertissent une onde incidente en une onde transmise au moyen de coefficients de transmission aleatoires q+ et g_ [48,171]. 1.5.
Conclusion
Nous avons presente dans cette section le travail que nous avons effectue sur le modele scalaire stochastique propose par Liu et al. - le q-model - dans le but de decrire la distribution des forces au bas d'une couche de grains. II est maintenant bien etabli, a la fois numeriquement et experimentalement, que cette distribution P(w) suit une loi exponentielle pour les grandes valeurs de w. Ce resultat est bien reproduit par le q-model. Par bien des aspects cependant, ce modele n'est pas realiste. D'abord il est scalaire, ce qui veut dire plus precisement qu'une seule des composantes du tenseur des contraintes a ete consideree, le « poids » des grains w = azz. De plus, aucun mecanisme ne lui permet de prendre en compte les effets de voutes qui refletent la structure interne des materiaux granulaires. En consequence, le profil moyen
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de pression sous un tas de sable qu'il predit presente toujours un maximum au centre de ce tas. De meme, si la courbe d'ecrantage au sein d'un silo est qualitativement reproduite par ce modele, la relation d'echelle entre 1'asymptote de cette courbe et le diametre du silo est mauvaise : M^ ~ D3 au lieu de D2. De plus, comme le suggere la courbe de dispersion des mesures de masse apparente sur le fond d'un silo - cf. section 2 du chapitre 2 et section 3 du chapitre 3 -, les fluctuations des contraintes semblent etroitement liees aux rearrangement des voutes qui propagent ces forces. Aussi n'est-il pas du tout evident que le q-model soit un bon point de depart pour la description de la repartition et des fluctuations des contraintes dans les milieux granulaires. Afin de bien mettre en avant les differences entre ce modele scalaire et notre modele tensoriel dont la version stochastique sera presentee dans la section suivante, nous avons calcule les fonctions de reponse G et de correlation a deux points C du q-model. La premiere donne la reponse moyenne mesuree au bas d'une couche de sable soumise a une surcharge localisee en un point de sa surface. La seconde donne la correlation moyenne entre les forces mesurees en deux points du bas de cette couche. Ces deux quantites sont caracteristiques d'un modele donne. Pour faire ces calculs, nous avons du etendre le modele initialement discret de Liu et al. a une version continue extension non triviale a cause de la nature multiplicative du desordre. Nous avons alors propose deux derivations possibles pour trouver G et C. La premiere est basee sur 1'application du theoreme de Novikov et donne des equations exactes. La seconde est une approximation, appelee MCA pour Mode Coupling Approximation, qui consiste a ecrire des equations auto-consistantes sur G et C a, partir d'un developpement perturbatif. II se trouve que, pour ce modele, les deux approches donnent le meme resultat, ce qui signifie que la MCA est egalement exacte dans ce cas. Lorsque les conditions ne permettent pas d'appliquer le theoreme de Novikov, la MCA est generalement une bonne methode pour trouver des resultats non perturbatifs interessants, et le cas du q-model fournit un exemple particulierement simple et pedagogique pour tout lecteur interesse par ce type de calcul. Cette methode sera egalement appliquee sur notre modele tensoriel dans la section suivante. Les resultats de ces calculs peuvent se resumer de la maniere suivante. Au sein du q-model, les contraintes se propagent essentiellement verticalement : la fonction de reponse G a une surcharge localisee est une gaussienne centree a la verticale de cette surcharge et dont 1'ecart type est proportionnel a la variance du desordre - plus eventuellement un terme constant du a la structure du reseau sous-jacent. De plus, cette fonction G reste toujours positive. Enfin, la fonction de correlation C ne presente pas de structure particuliere. Ces trois resultats seront a comparer a ceux issus des memes calculs sur le modele tensoriel de la section suivante. Dans la section 3 du chapitre 3 nous verrons comment on peut rajouter une regie au q-model pour induire un mecanisme de formation de voute. Le modele resultant donne des resultats etonnamment proche des modeles tensoriels, suggerant ainsi que « 1'hypothese scalaire » n'est pas si forte qu'on aurait pu le croire initialement, mais que priment en revanche, au sein des materiaux granulaires, les effets de voutes.
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2. 2.1.
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Un modele tensoriel Introduction
Cette section est le pendant tensoriel de la section precedente, et les deux forment un tout quasi indissociable. Nous allons en effet etudier les consequences de 1'ajout d'un terme de bruit dans notre modele OSL. Cette etude se fera exactement de la meme maniere, et dans le meme esprit, que dans la section 1. En particulier, nous utiliserons de nouveau la methode diagrammatique MCA, et la direction verticale z sera encore rebaptisee t a cause de son analogic avec un temps. Nous allons y montrer plusieurs resultats importants. Nous verrons d'abord que lorsque 1'amplitude du desordre n'est pas trop grande, le modele OSL conserve ses proprietes moyennes - modulo une certaine diffusion. A fort desordre en revanche, il est plus difficile de tirer des conclusions nettes car apparaissent de plus en plus de forces negatives - i.e. des forces de traction -, inacceptables physiquement pour un materiau non cohesif, et qui signent en fait la presence d'instabilites mecaniques. Ce probleme a egalement ete rencontre recemment par Nguyen et al. [144] dans leurs simulations. Nous verrons qu'il peut s'interpreter comme une grande fragilite de ces materiaux granulaires, c'est-a-dire une grande sensibilite aux petites perturbations et sollicitations exterieures. Cette fragilite a ete observee dans plusieurs situations experimentales [108,109,119,120,142,143,194], meme si les donnees n'ont pas ete interpreters en ces termes. Enfin nous verrons que 1'histogramme des forces est du meme type que celui issu du modele scalaire, resultat qu'a egalement obtenu Socolar [176] avec son a-model vectoriel. Comme dans la section precedente, le lecteur desireux d'aller a 1'essentiel trouvera en conclusion le detail de tous les resultats de cette section, debarasses de leurs habits calculatoires.
2.2.
Equation d'onde stochastique
Le three leg model Dans la section 2 du chapitre 1, nous avons presente le three leg model comme 1'une des justifications possibles de nos modeles OSL. Nous allons en reprendre ici rapidement les principales proprietes avant montrer comment on peut y introduire un terme de desordre pour obtenir un modele OSL stochastique. Le lecteur interesse par plus de detail sur ce modele, ou bien sur les proprietes des equations hyperboliques - que sont les equations d'onde - consultera la section 2 du chapitre 1. La figure 56 illustre 1'essentiel du three leg model: de meme que pour le modele scalaire de Liu et a/., on considere des grains sur un reseau regulier bidimensionnel de mailles horizontale a et verticale T. Mais chaque grain est ici soumis a une force F = (Fx, Ft) et est en contact avec ses trois voisins du dessous. Les regies de propagation de cette force, qui dependent d'un parametre p (0 < p < 1), sont les suivantes. Une fraction p de la force verticale Ft est transmise verticalement, c'est-a-dire au grain situe directement sous le grain considere. On suppose
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Figure 56. Cette figure est la meme que la figure 17. Elle resume les regies de propagation des forces dans le three leg model : une fraction p de la composante verticale Ft est transmise verticalement, la fraction complementaire de Ft ainsi que la composante horizontale Fx sont transmises, le long de chaque branche laterale inclinee d'un angle £. [Same figure as Figure 17, illustrating the rules for forces transmission in the three leg model: a fraction p of the vertical component Ft is transmitted through the middle leg. The complementary part, as well as the horizontal component Fx are transmitted through external legs, which make an angle (, with the vertical.] que les branches laterales ne peuvent transporter des forces que parallelement a elles-m6mes. On projette done la force (1 —p}Ft + Fx sur chacune de ces branches, et les projections sont transmises aux voisins de droite et de gauche sous le grain considere. Les equations de propagation correspondant a ces regies sont donnees par les equations (1.28, 1.29) de la section 2 du chapitre 1. Sans etre vraiment compliquees, elles sont quand meme assez lourdes, et en tout cas specifiques aux regies de propagation que 1'on a arbitrairement choisies. Par contre, en passant a la limite continue (a —> 0), elles prennent une forme beaucoup plus simple
ou p designe la densite du milieu granulaire (g — 1), et ou la seule trace des regies de propagation est dans le parametre 77 = (1 — p) tan2 £. De telles equations auraient egalement ete obtenues avec d'autres regies du meme type i.e. lineaires et locales -, ou seul le coefficient rj aurait ete different. La structure de ces equations est done generique de ce type de modele. C'est une structure similaire a celle des equations d'onde - i.e. hyperboliques -, ou 1'axe vertical t joue le role du temps. Ces equations sont caracterisees par un « cone de lumiere » le long duquel se propage « reformation » i.e. les forces. L'ouverture de ce cone vaut ici CQ = ^/TJ. On notera bien que les deux branches de ce cone sont les caracteristiques de ces equations differentielles6 et qu'elles correspondent a 1'orientation moyenne 6. En deux dimensions, on a bien toujours deux caracteristiques correspondant a la propagation des forces a grande echelle, et ce m6me si le modele microscopique sous-jacent est un modele a trois voisins - comme ici - ou plus. En trois dimensions, la situation est legerement plus compliquee - cf. section 2 du chapitre 1.
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des voutes presentes dans ces milieux granulaires cf. section 2 du chapitre 1 pour plus de details. On a vu egalement, qu'en termes du tenseur des contraintes, ces equations sont aussi celles que Ton obtient lorsqu'aux equations d'equilibre
on ajoute la relation axx = c^(jtt qui est le reflet de la structure interne du systeme granulaire considere et constitue le fondement de nos modeles tensoriels OSL. Analyse stochastique Pour obtenir un modele OSL stochastique, 1'idee est de prendre un coefficient r] (on CQ) aleatoire, correspondant physiquement a une situation ou les voutes ne sont plus de belles lignes droites, mais au contraire des chemins tortueux et desordonnes. Dans la cadre du three leg model, cette situation est celle ou le parametre p n'est pas le meme en chaque grain mais varie en espace. Ceci est a mettre en parallele avec le modele scalaire de la section precedente ou le desordre s'interpretait comme une « vitesse » aleatoire au sein d'une equation de convection-diffusion. Deux simulations numeriques recentes [23, 74] suggerent que ce choix est une bonne premiere approximation. A titre d'exemple, sur la figure 57 issue de la reference [23], on a trace crxx en fonction de crtt, ces deux quantites ayant ete mesurees en faisant des moyennes dans differentes petites boites au bas d'un tas bidimensionnel. Cette relation est compatible avec une relation lineaire stochastique du type Une regression lineaire donne CQ ~ 0,56 ± 0,03. L'histogramme du bruit v est a peu pres gaussien, de largeur a ~ 0,3. Nous allons done nous interesser a un modele OSL aleatoire, c'est-a-dire pour lequel la relation liant les composantes du tenseur des contraintes entre elles est la relation (3.48). Ceci conduit a etudier 1'equation d'onde stochastique suivante
Comme dans la section precedente, on supposera que le bruit v est gaussien et que son correlateur peut s'ecrire
Les longueurs de correlation tx et £t sont egalement supposees non nulles, mais petites, et du meme ordre que la maille du reseau a — T. Pour les memes raisons que dans la section precedente, tous nos vecteurs d'onde k seront dans la premiere zone de Brillouin, c'est-a-dire compris entre A — TT/O, et —A
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Figure 57. Relation liant crxx et <Ju issue d'une simulation numerique d'un tas bidimensionnel [23]. Ces donnees sont compatibles avec une relation stochastique du type &xx = CQ [1 + v(x, t)} crtt, oil v est un bruit approximativement gaussien. Une regression lineaire donne CQ ~ 0,56 ± 0,03. [Relation between crxx and crtt from a microscopic numerical simulation of grains forming a heap in two dimensions [23]. These data are compatible with the stochastic relation &xx = CQ[! + v(x, t}}<Jtt, where v is a Gaussien noise. A linear regression gives CQ ~ 0.56 ± 0.03J
- cf. equations (3.8, 3.9, 3.10). La transformee de Fourier de la relation (3.50) s'exprime de la maniere suivante
II se trouve que 1'allure finale de la fonction de reponse moyenne de cette equation d'onde stochastique depend du signe de gx(A). Dans la section precedente, nous avons fait le choix gx(k) — 1, ce qui correspond &gx(x = 0) = I/a et gx(x > 0) = 0, et nous allons le garder. Un autre choix de gx aurait conduit a sign(gx(A)) = —1. Pour garder les memes notations que dans la section precedente, nous allons poser att = w. En prenant la transformee de Fourier de 1'equation (3.49), on obtient
ou la meme convention - Stratonovitch - est sous-entendue pour le produit wqVk~q. II faut remarquer que le terme « source » n'est plus p comme dans la section 1, chapitre 3, mais dtp. Le propagateur de cette equation sera done G = (5w/6dtp), mais la « vraie » fonction de reponse correspondant a 1'ajout d'une petite surcharge localisee est toujours R = (Sw/Sp). Par consequent, on a R(k, t) = dtG(k, t).
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Fonction de reponse non bruitee Le propagateur GQ des equations ou toutes les composantes Vk-q du bruit sont nulles est solution de 1'equation d'onde ordinaire
dont la solution peut etre simplement calculee et vaut
ce qui correspond, dans 1'espace reel a la fonction de reponse -Ro = dtGo. On a done
Cette relation resume a elle seule les principales proprietes des equations de notre modele : 1'information se propage le long d'un « cone » d'ouverture CQ. En reponse a une surcharge localisee en x = t — 0, on observe ainsi, a la profondeur t, deux « pics » de pression situes en x — ±cot. Ceci est typique de ces equations hyperboliques. La question est de savoir ce qu'il advient de ces proprietes, et en particulier de la fonction de reponse, lorsqu'un desordre d'amplitude finie est present dans ces equations. 2.3.
Fonction de reponse
On pourrait de nouveau utiliser le theoreme de Novikov pour calculer la fonction de reponse au sein de ce modele tensoriel stochastique, en supposant que le bruit v est gaussien et faiblement correle en temps. Cependant la methode MCA que nous avons presentee dans la section precedente, donne les memes resultats que ceux issus de 1'approche « exacte » de Novikov. Comme elle est plus generale que cette derniere, et de plus tres facilement transposable du cas scalaire au cas tensoriel, c'est avec elle que nous allons calculer les fonctions de reponse - dans cette sous-section et de correlation - dans la sous-section suivante. Dans les equations diagrammatiques, le propagateur G (resp. GO} sera toujours represente par une ligne grasse (resp. fine) continue. La « source » qui est maintenant dtp le sera par une croix, et le « vertex » sous-entendra 1'integration —Cgfc 2 f dq/27r. L'analogue de 1'equation auto-consistante (3.36) issue de la methode MCA dans le cas scalaire s'ecrit maintenant
ou Ton a pose G(fc, t} = H(k, t)0(t), la self-energy SMCA etant donnee par
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L'equation (3.56) peut etre resolue en prenant la transformee de Laplace le long de 1'axe t. On appellera E la variable conjuguee de t. En utilisant le fait que H(fc, T) = T quand r —> 0, on obtient que
dans la limite des petits k et E, ce qui correspond a se placer a une echelle L telle que lx, it
On peut remarquer que, comme dans le cas du modele scalaire avec la prescription de Ito, la limite lt —> 0 annule ici 1'effet du desordre7. Ann de pouvoir calculer la transformee de Laplace inverse, on a besoin de connaitre les racines de 1'equation H~1(k^ E) — 0. Ceci conduit a differentes situations dependant de 1'amplitude du desordre.
Limite de faible desordre Si 1'amplitude du desordre a est faible, le coefficient c^R(k] est toujours positif, et 1'on peut definir CR = CR(O). Nous allons voir que CR est 1'ouverture renormalisee du c6ne le long duquel les forces se propagent a grande echelle. Celle-ci est une fonction decroissante de
ou Ton a pose9
7. D'un point de vue purement technique, ceci est du au fait que dans le cas tensoriel G(k, t = 0) = 0. 8. Autre petite remarque technique : si gt = gx, le probleme est symetrique lorsqu'on fait les changements x —>• t et CQ(X, t) —>• I/CQ(X, t). On pourrait ainsi croire que le c6ne pourrait a la fois, lorsque 1'amplitude du desordre a augmente, se resserrer et s'elargir dependant du choix de x et t. II n'y a en fait pas de contradiction. Nous avons en effet suppose que le desordre v est de moyenne nulle, ce qui n'est pas le cas pour 1/(1 + v) — 1 dont la moyenne est d'ordre a2. 9. Le signe de a depend en fait du signe de gx(A), ici positif - cf. sous-section precedente.
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j Desordre et fluctuations
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En derivant la relation (3.61) par rapport a i, on obtient 1'expression de la fonction de reponse R, qui dans la limite des petits k et des grands t s'ecrit :
c'est-a-dire dans 1'espace reel,
ou 1'on a defini les variables d'echelle £±, qui mesurent la distance relative des deux pics, par
avec 7 = 7 — icRO. et b — e ? a r g ^,
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Figure 58. Fonction de reponse R pour un desordre de faible amplitude (a jac ~ 0,13j. Les deux courbes ont ete multipliees par le facteur 2 [4-7r|7|t] ' . Sur la courbe principale, on peut voir le profil en double pic de la reponse d'une couche de grains soumise a une surcharge localisee en x = 0, t — 0. En petit, on a trace le pic de droite en fonction de la variable d'echelle £_. On peut remarquer que cette fonction devient negative aux alentours de £_ — 2. [Response function R for weak disorder (a/ac ~ 0.13). The two curves have been rescaled by the factor 2[4fr\j\t}1^2. The main graph shows the general double-peaked shape of the response of the system when subjected to a localized overload at x = 0, t = 0. The inset gives details of the right-hand peak as a function of the scaling variable £_. Note that the curve becomes negative around £_ — 2.]
il faudrait ajouter une regie dynamique qui precise 1'evolution de CQ(X, t) en cas d'instabilite. Fonction de reponse pour le cisaillement L'equation (3.45) permet de calculer directement la fonction de reponse Rs pour le cisaillement axt en termes de R qui est la fonction de reponse pour la pression verticale crtt. En effet, cette relation s'ecrit simplement
Ce qui donne, dans la limite des petits k et des grands t,
La fonction de reponse Rs est done tres similaire a la fonction R, excepte le fait qu'elle est impaire en x.
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Equations effectives a grande echelle II est interessant de savoir de quelles equations les fonctions R et Rs sont solutions. Ces equations effectives peuvent en effet etre interpreters comme les equations moyennes qui regissent la propagation des increments de contrainte, en prenant en compte les effets du desordre. Une des difficultes pour trouver ces equations vient de la presence du terme de dispersion a\k\ qui ne correspond pas a un operateur local dans 1'espace reel. Nous 1'avons done neglige dans toute la suite de ce paragraphe, mais il faut bien garder a 1'esprit que ces equations effectives sont, a strictement parler, non locales. Les consequences de cette approximation se resument au seul fait - tres important au demeurant que les valeurs negatives de R ne sont pas prises en consideration, mais le reste des proprietes est preserve. Pour a = 0, ces equations effectives peuvent s'ecrire, dans la limite des temps longs,
Ces relations sont tres similaires aux equations d'equilibre non bruitees (3.45, 3.46), excepte le terme de diffusion 2^dxx (8axz} dont la presence a cause du desordre est en fait assez intuitif. Ce terme peut en effet etre vu comme le second terme d'un developpement phenomenologique en gradient a la Landau, liant les differentes composantes du tenseur des contraintes, et respectant les symetries du probleme cf. section 1, chapitre 1 , c'est-a-dire ici
La seconde de ces equations resulte de 1'absence de couple local. Ainsi, la presence d'un faible desordre ne change pas qualitativement la nature des equations de propagation des contraintes de nos modeles a grande echelle. Ces equations predisent que la reponse moyenne sous une couche de grains de hauteur h soumise a une petite surcharge localisee en un point XQ, presentera deux pics situes en x = XQ ± c#/z, dont la largeur et la hauteur sont proportionnelles a \f~fh et a l/x/7/i respectivement. Pour h suffisamment grand devant 7 - qui est d'ordre a -, ces deux pics sont bien separes. Nous allons voir dans les deux paragraphes suivants qu'un desordre fort peut au contraire alterer ces belles proprietes. Desordre critique Lorsque que 1'amplitude du desordre est suffisamment forte pour que cp_(k = 0) s'annule exactement, les racines de 1'equation H~l(k, E) = 0 changent de nature et il en est de meme pour la fonction de reponse R. Les deux pics de la fonction R des paragraphes precedents se rejoignent en un seul dont la largeur devient alors proportionnelle a £ 2 / 3 . Dans la limite des grands £, on obtient
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Figure 59. Fonction de reponse en fonction de la variable d'echelle £ = x/Xt2/f3 pour une valeur critique de 1'amplitude du desordre, c'est-a-dire tel que CR = 0, et pour differents t. [Response function for a critical disorder, i.e. such that CR = 0, as a function of the scaling variable £ — x/Xt2^3 and for different values oft.]
ou 1'on a defini deux nouvelles constantes
Nous avons trace la fonction R(x,i] sur la figure 59 pour differentes valeurs de t et en fonction de la variable d'echelle
En fait, le facteur e~yk l ne peut jamais etre neglige, meme pour les grandes valeurs de t. Ceci veut dire que la fonction de reponse n'est jamais vraiment une fonction de £ uniquement, ce qui est bien visible sur la figure 59. Remarquons pour finir que, comme precedemment, la fonction R est negative pour certaines valeurs de £. Fort desordre, transition vers un regime pseudo-elastique ? Pour un desordre d'amplitude encore plus grande, c2R, la valeur renormalisee de CQ, devient negative. En redefinissant 1'echelle des x par x — X/ICR, 1'equation effective qui regit 1'evolution de (Satt} a grande echelle devient alors une equation de Poisson
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ce qui signifie que la propagation des contraintes est dans ce cas similaire a celle que Ton observe dans les materiaux elastiques ou les equations sont de type elliptiques [111]. En particulier, la structure en cone associee a la presence de caracteristiques pour les equations de type hyperbolique disparait completement, et la fonction de reponse d'une couche de grains soumise a une surcharge localisee presenterait dans ce cas un gros pic unique, situe a la vertical de cette surcharge, et dont la largeur serait de 1'ordre de la hauteur de la couche. II faut cependant faire plusieurs remarques a ce propos. • Cette transition entre un regime de type hyperbolique et un autre de type elliptique est issue d'un calcul mene au sein de la methode MCA qui n'est, a strictement parler, exacte que pour un bruit v gaussien et tres peu correle en x et t. En fait, la distribution de v doit etre bornee car CQ(X, t) = CQ [1 + v(x, t)] doit rester toujours positif. Une telle distribution possede une kurtosis11 negative, et on peut voir que cette correction non gaussienne tend a accroitre la valeur de CR. Aussi cette transition peut-elle etre un artefact de notre calcul, a causes d'hypotheses trop simples sur le desordre v(x, £), et Ton doit rester prudent sur 1'interpretation de ce resultat. En particulier, nous n'avons pas reussi a mettre numeriquement en evidence la dependance de CR en cr, mais ce calcul numerique n'est pas facile - cf. sous-section 2.6. • Ce regime ou c2R < 0 pourrait ne jamais etre atteint pour la raison suivante : nous avons vu que la presence de desordre donne a la fonction de reponse R la possibilite de prendre des valeurs negatives. Nous avons interprete ceci comme une propriete de fragilite, c'est-a-dire comme la possibilite pour ces materiaux granulaires de se rearranger tres facilement suite a de petites perturbations exterieures. Ces rearrangements pourraient avoir pour effet de reduire localement le desordre pour retrouver une situation ou c2R > 0. • II se peut en revanche qu'une transition vers un etat de type elastique se manifeste lorsque la cohesion des grains n'est plus negligeable - en presence d'humidite par exemple - car les forces de traction seraient alors parfaitement admissibles. 2.4.
Fonction de correlation
La fonction de reponse a deux pics que nous avons presentee dans la sous-section precedente est la consequence la plus directe de la nature hyperbolique des equations de propagation des contraintes dans nos modeles : elle « materialise » pour ainsi dire le fait que ces forces se propagent le long d'un cone d'ouverture CQ - ou plutot CR en presence de desordre. Or, 1'observation directe de ce cone est delicate. En effet, il faudrait, dans une telle experience, appuyer en un point de la surface d'une couche de grain bien homogene, suffisamment fort pour pouvoir mesurer quelque chose au bas de cette couche, mais pas trop fort quand mgme pour ne 11. Cette quantite mesure 1'ecart a la distribution gaussienne.
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pas detruire localement la structure interne de 1'empilement auquel on s'interesse, ce qui changerait la valeur de CQ de fagon non uniforme. Nous aliens voir qu'une alternative peut-etre plus facile a mettre en place experimentalement12 serait de mesurer la fonction de correlation des contraintes au has de cette meme couche, mais soumise a une forte surcharge aleatoire. Cette fonction C, definie en transformed de Fourier par (w(k, i)w(k', t)) = 2-KS(k + k')C(k, t) peut se calculer au sein du modele tensoriel de fagon tres similaire au cas scalaire. En effet, 1'equation diagrammatique (3.39) est egalement valable pour ce modele tensoriel mais avec les nouvelles conventions, c'est-a-dire une ligne epaisse pour G et une croix pour dtp. Lorsqu'on ecrit cette equation sous sa forme mathematique ordinaire, la seule difference avec le cas scalaire est que le terme source13 est maintenant w(k. Q)5'(t), ce qui donne So(k, t', t") = C(k, Q}S'(tf)S'(t"). Aim de pouvoir pousser les calculs analytiques jusqu'au bout, nous avons neglige le terme de dispersion a\k\ dans les expressions de G - ou de R. L'analogue de 1'equation (3.26) - cf. section precedente - s'ecrit alors dans la limite de faible desordre
La fonction C(t'} = f(dk/'2Tr}C(k, t'} est de forme identique a celle du cas scalaire. Seules les expressions pour ao - surcharge aleatoire - et 60 ~ surcharge uniforme sont differentes, et sont donnees par les formules
Une fois que 1'on connait C(t'), on peut calculer C(x,t) avec 1'equation (3.78). Dans le cas d'une surcharge uniforme, 1'allure de la fonction de correlation est tres proche de celle tracee sur la figure 52 de la section precedente. Le cas d'une surcharge aleatoire s'avere en revanche beaucoup plus interessant. La fonction de correlation correspondante presente en effet deux pics qui signent le fait que 1'information se propage le long d'un c6ne d'ouverture CR. Le premier pic est bien sur en x — 0 et le second en x — 2c#£, ce qui signifie que deux points situes en aval du c6ne, partagent 1'information provenant du sommet de celui-ci14. Dans la limite des grands t, 12. Ce n'est en fait pas si evident car a cause de cette proprie'te de fragilite, la structure interne de la couche pourrait se correler a la surcharge. 13. On suppose, comme dans le cas scalaire, que le poids des billes est negligeable devant la surcharge imposee. 14. En 1'absence de desordre, cette fonction de correlation se reduit a deux fonctions <5, la premiere en x = 0 et la seconde en x = 2cot, d'amplitude moitie.
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Figure 60. Fonction de correlation B pour une surcharge aleatoire. II faut remarquer la presence d'un pic centre en x = 2cRt qui reflete le fait que 1'information, au sein de ce modele tensoriel, se propage le long d'un cone d'ouverture CR. Lorsque la densite du systeme granulaire fiuctue egalement, il faut integrer la relation (3.81) par rapport a t. Le resultat de cette integration est trace en insert : la fonction de correlation atteint rapidement un premier plateau, puis reaugmente au alentours de x = 2cnt pour en atteindre un second. La difference relative de hauteur entre les deux plateaux decroit comme t~~1/2. [Correlation function for the case of a random overload. Note the presence of a peak centered at x = 2cRt, which reflects the fact that information in the tensorial model is traveling along a cone of angle of CR. In the case of a fluctuating density in the bulk of the pile, one should integrate equation (3.81) with respect to t. The result is plotted in the inset: the correlation reaches rapidly a first plateau and then increases again around the value x = 2cRt. The relative difference of height between the two plateaus decreases as t'1/2.]
le second terme du membre de droite de 1'equation (3.78) est negligeable, et on trouve que le second pic de la fonction de correlation possede alors une largeur et une hauteur proportionnelles a ^7^ et l/\/7^ respectivement. Cette approximation est en fait equivalente a considerer que les equations effectives (3.69, 3.70) lineaires - suffisent a calculer la fonction de correlation pour t —> +00. D'autres sources de desordre, comme les fluctuations de la densite du systeme de grains, peuvent ainsi etre prises en compte par simple superposition lineaire. La figure 60 represente la quantite B(x, t) = C(Q, t) — C(x, t), ou le second terme du membre de droite de 1'equation (3.78) a ete neglige. Cette fonction B s'ecrit alors analytiquement de la fagon suivante
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Figure 61. Fonction de correlation pour une surcharge aleatoiie dans le cas tridimensionnel - toujours en negligeant le second terme de 1'^quation (3.78). Comme en deux dimensions, cette fonction presente un pic aux alentours de r = 2cRt. [Correlation function for three dimensional disordered packings with a random overload, neglecting again the second term in equation (3.78). Note that, as in two dimensions, the correlation function exhibits a peak around r = 2cnt.]
Ce resultat est important car 1'allure de cette fonction de correlation est tres differente de celle qui lui correspond dans le modele scalaire. La mesure de la correlation des forces au bas d'une couche de grains soumise a une surcharge aleatoire, pourrait done confirmer - ou infirmer - la nature hyperbolique des equations regissant la propagation des contraintes dans les milieux granulaires. A ce titre, il est egalement interessant de connaitre 1'allure cette fonction en trois dimensions - cf. figure 61. Comme en deux dimensions, la correlation decroit rapidement a 1'echelle de quelques grains puis reaugmente pour une distance de 1'ordre de la hauteur de la couche. II faut remarquer que la fonction de correlation, mesuree recemment par Mueth et al. [137], ne presente pas de second pic, mais ces mesures n'ont ete realisees que sur une echelle tres courte x < 5a, a comparer a 1'epaisseur de la couche h ~ lOOa - a est la taille d'un grain. 2.5.
Generalisations
II est tentant d'etendre les equations (3.43, 3.44) a des equations lineaires plus generales qui sont compatibles avec les regies locales de conservation. Ces equations ont ete initialement proposees par de Gennes [55], et s'ecrivent
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On peut remarquer que les termes en /u. et // brisent la symetrie x —> —x. Ceci est tout a fait autorise localement, mais leurs moyennes a plus grande echelle doivent 6tre nulles. Ces equations sont egalement du type des equations d'onde, mais un [i ou un // non nul incline 1'axe de « c6ne de lumiere » par rapport a la verticale. Autrement dit, les equations (3.82, 3.83) decrivent une situation ou non seulement Tangle d'ouverture de ce cone, mais aussi son orientation moyenne, varient avec x et t. Dans les paragraphes precedents, nous avons traite le cas ou seul le terme r?(x, t) — CQ [1 + v(x, t}] fluctue, et 77' = 1, // = //' = 0. Les memes methodes de calculs peuvent etre appliquees a toutes les autres situations. A 1'ordre le plus bas, le cas ou les quatre termes 77, T/, /i, // varient simultanement peut e"tre obtenu simplement en ajoutant les contributions de chacun de ces termes pris individuellement. Nous allons done tour a tour envisager chacune de ces situations. • Commengons par le cas ou // = 0, // = 0, 77 = CQ, et supposons que le seul terme fluctuant est 77'(x, t) — rj'0 [1 + v(x, t)]. v est toujours un terme de desordre aux proprietes identiques a celles decrites dans les sous-sections precedentes. De m6me que Ton avait calcule une valeur renormalisee c2R = rjR pour rj(x, t), on a dans ce cas
Aux grandes echelles, on se doit de retrouver les equations d'equilibre (3.45, 3.46). En particulier, le tenseur des contraintes doit £tre symetrique, ce qui impose 77^ = 1. Cette condition se traduit par une relation liant la constate 77o avec 1'amplitude du desordre a. Pour un desordre suffisamment fort, cette relation n'admet plus de solution 770 reelle. Cela signifie encore une fois que 1'empilement est mecaniquement instable et doit se rearranger. • La seconde possibilite consiste a fixer 77 = CQ et 77' = 1, et de prendre JJL(X, t) = CQV(X, t) et // = 0 ou vice versa - les deux cas donnent un resultat identique. Dans la limite des temps longs, les fonctions de reponse s'expriment de la maniere suivante
ou 7 = CoAr2/87r. On peut remarquer que, contrairement aux cas precedents, les pics de ces fonctions de reponses, s'ils s'elargissent bien en \/7^> ne se rapprochent pas quand 1'amplitude du desordre augmente - CQ n'est pas renormalise. • Enfin, on peut envisager une situation particuliere ou les deux equations (3.82, 3.83) se decouplent et peuvent 6tre reduites a deux modeles scalaires tels que celui presente dans la section precedente. Cette situation
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advient lorsque yu = // = CQVI(X, t] et 77' = TJ/CQ = 1 + v2(x, t ) , ou vi et v2 sont deux jeux de nombres aleatoires differents. On pose a± = coFt ± Fx, x± = x q= c0t et v± = vi ± v2. On a alors
Chacune des quantites <j+ et cr_ se propagent done le long des deux caracteristiques d'ouverture ±CQ, propagation a laquelle s'ajoute une diffusion engendree par les bruits v± - cf. section precedente. Les fonctions de reponse de att et axt presentent alors de nouveau des pics de largeur proportionnelle a VT^j et sont centres en x — ±CQ£. Un des avantages de ce « double modele scalaire » est que Ton peut y calculer analytiquement la fonction de distribution des contraintes en transposant les resultats du q-model de Liu et ol. - cf. sous-section suivante. Remarquons pour finir que, par construction, ce modele ne presente pas de pression negative.
2.6.
Distribution des contraintes
Les experiences et les simulations numeriques semblent relativement d'accord sur ce point : la fonction de distribution des forces locales P(w) est de type exponentiel pour les grandes valeurs de w - eventuellement de type e~^w avec b > 1. Nous avons vu dans la section precedente que cette forme exponentielle est bien reproduite par le modele scalaire de Liu et al. La question est done de savoir ce qu'il en est des modeles tensoriels de cette section. Malheureusement, il ne nous a pas ete possible de trouver une expression analytique pour P(w) que dans le cas du « double modele scalaire », et pour notre modele OSL aleatoire, nous presenterons des histogrammes numeriques. Le « double modele scalaire » Les fonctions de distribution de la pression att et du cisaillement axi peuvent, au sein de ce « double modele scalaire », se deduire de la fonction de distribution P* du modele scalaire - cf. equation (3.4). En effet, les deux quantites
On a vu en fait que cette fonction P* depend de la forme precise de la distribution des nombres aleatoires q (ou ici du bruit v). Dans le cas d'un fort desordre,
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cette fonction est donnee par 1'expression P*(w] = (w/W2)e~'w/w (pour N = 2), et on obtient alors
oil W designe encore la (demi) moyenne de w. Ces distributions sont bien de type exponentiel - bien que la variance soit reduite d'un facteur 2co (pour att) ou 2 (pour axt) par rapport au cas scalaire. Les prefacteurs sont cependant assez differents de celui de 1'expression (3.4). Resolution numerique des equations La resolution numeriques des equations (3.45, 3.46) auxquelles on a rajoute 1'equation stochastique axx — r)[l + v(x, t)]att n'est pas une tache aisee. Le resultat de cette resolution est en effet assez sensible a la discretisation choisie. Par exemple, la discretisation la plus simple sur un reseau regulier quelconque donne en generale une fonction de reponse dont les pics possedent une largeur de type diffusive, meme en 1'absence de desordre, alors que Ton devrait obtenir deux fonctions 5. II faut bien remarquer cependant que cette diffusion est tres naturelle : elle apparait par exemple lorsque, pour prendre la limite continue (a —> 0) des equations discretes du three leg model (1.28,1.29) - cf. section 2, chapitre 1 -, on pousse le developpement limite un ordre plus loin. Pour calculer la « vraie » fonction de reponse, nous avons done choisi la methode suivante. On part d'un ensemble de points regulierement disposes en t = 0, puis on construit successivement les points suivants avec le reseau des caracteristiques - figure 62. En chaque point (x, t ) , on connait CQ(X, t) = c 0 \/l + v(x, t} qui donne 1'ouverture du cdne de propagation, c'est-a-dire la direction de ces caracteristiques qui transportent parallelement a elles-memes les contraintes issues du point (x, t). Ce point a done ete engendre par deux points « parents » tels que ceux dessines sur la figure 62a. Parfois, le cone issu du point (x', t') est si large qu'il ne recoupe pas celui issu du point (x", t"} - cf. figure 62b -, ou vice versa. On impose alors x = x" et t — t", ce qui peut etre interprete comme un effet de voute : le point (x"', t"} supporte non seulement ses « parents », mais aussi un point de sa « generation » (x', t'). Cette methode a plusieurs avantages. D'abord son interpretation physique est claire : les points sont des « grains » et les caracteristiques sont les chemins de contraintes entre ces grains. Sur la figure 63 on a trace le reseau de ces chemins pour une realisation particuliere du desordre. De plus, elle permet de s'affranchir de tout effet diffusif, et la fonction de reponse non bruitee est bien la somme de deux fonctions S. Bien que nous ayons implicitement suppose que le bruit v etait gaussien dans tout cette section, pour la simplicite de nos algorithmes numeriques, nous avons
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Figure 62. A gauche (a), methods de construction du reseau de caracteristiques : le point « fils » (x, t) est situe a la croisee des cones issus de ses deux points « parents » (a/, t') et (x", t"). Quand cette intersection est impossible, comme dans le cas (b), le point (x, t) coincide avec son parent - id (x", t") - le plus bas. [The left-hand picture (a) shows the construction rule of the characteristics network: the "child" point (x, t) is located at the intersection of the cones from the two "parents" points (xf, t') and (x", t"). When the cones do not intersect (b), we choose (x, t) and its lowest parent - (x", t") in the present case - to be coincident.]
Figure 63. Reseau des caracteristiques pour un silo de largeur lOOa. Celui-ci a ete calcule avec un desordre d'amplitude A = 0,2. Ce silo possede des conditions aux limites periodiques. [Stress path network for a silo of width lOOa. This picture has been computed with A = 0.2. We have chosen periodic lateral boundary conditions.] choisi le protocole suivant pour le calcul de v(x, t). En chaque point (x, t), on tire au sort un angle <£> entre —ATT/4 et Air/4, de fagon uniforme. Le parametre A controle ainsi 1'amplitude du desordre. On definit ensuite 1'ouverture du cone de propagation par
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Figure 64. Sur la courbe principale, on a, trace les fonctions de reponse moyenne (en trait gras) et pour une realisation donnee du desordre (en trait fin). Ces calculs ont ete realises sur un silo periodique de largeur lOOa, et avec un desordre d'amplitude A = 0,2. La moyenne a ete faite sur 5000 silos differents. Dans 1'insert, on compare un pic de la fonction de reponse moyenne avec le resultat de notre calcul analytique - cf. equation (3.65) - pour lequel a est negatif. On retrouve bien le fait que cette fonction prend des valeurs negatives. [The main graph shows the response function calculated numerically on a silo of width lOOa and with A = 0.2. The thin Jine is a typical response for a given realization of the disorder. The bold line has been averaged over 5000 different silos. The inset compares the averaged response peak with the one computed analytically - see equation (3.65) - for which a is negative. Note the negative part, as predicted by the theoretical calculation.]
v et (f> sont alors relies par la relation
Cependant, puisque le reseau lui-meme est engendree par le desordre, 1'expression precise de la fonction de correlation gx de v est difficile a estimer. Or on a vu dans la sous-section 2.3 que cette fonction donne le signe du parametre a, lequel controle I'assymetrie des pics de la fonction de reponse R, et en particulier precise de quel cote le pied de ces pics exhibe des valeurs negatives. Ce calcul numerique donne d'ailleurs une asymetrie contraire a celle que nous avons obtenue analytiquement dans la sous-section 2.3 - cf. figure 64. Histogrammes Lorsqu'on essaie de calculer la fonction de distribution P(w] du poids local w = on avec la methode precedemment decrite, on rencontre plusieurs problemes.
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D'abord, le reseau des chemins de contrainte tel que celui de la figure 63 devient de plus en plus distordu quand t augmente et la distribution P n'atteint jamais une forme stationnaire. De plus, comme nous 1'avons deja annonce dans la sous-section 2.3, on observe beaucoup de forces negatives - i.e. vers le haut -, ce qui n'est pas admissible physiquement - nous les avons interprete comme le signe d'mstabilites mecaniques. Ceci necessiterait 1'ajout de regies du m6me type que celles que nous proposerons dans la section suivante pour inclure les effets de voutes dans le q- model de Liu et al. Nous avons essaye de resoudre - partiellement - ces problemes de deux manieres differentes. La premiere idee est de « rafraichir » le reseau de la figure 63 a intervalle de temps regulier, disons tous les to, en redistribuant - par interpolation - les contraintes sur des points regulierement disposes. Cette procedure est en fait equivalente a 1'ajout d'un terme de diffusion, et dans ce cas la distribution des forces atteint bien un regime stationnaire. Le nombre de forces negatives est d'autant plus petit que t& est faible. Pour ID ~ a, 1'histogramme P(w) est bien centre autour de la force moyenne, et d'allure a peu pres gaussienne. Pour des valeurs plus grandes de ID, la queue de la distribution P - i.e. pour les grandes valeurs de w - est de la forme P(w) ~ e~f3w , avec 1 < b < 2. L'exposant b est d'autant plus petit que le temps ID ou que 1'amplitude A du desordre sont grands. A titre d'exemple, pour to = 10a et A = 0,1, on a trouve b ~ 1,6. Ces histogrammes montrent en outre que les petites forces sont beaucoup plus probables dans ce modele tensoriel que dans le cas scalaire. Cependant, la presence de ces forces negatives nous empechent d'en tirer de veritables conclusions. La seconde possibilite consiste a utiliser directement le three leg model avec un parametre p aleatoire, distribue uniformement entre 0 et PM- Cette procedure est tres similaire a celle du modele de Liu et al. La encore, les forces verticales ne sont pas toutes posititives, ce qui nous empeche d'etudier la region des petites forces. Cependant, la distribution des grandes forces est tres proche de celle observee dans le modele scalaire. En particulier, la queue de la distribution est du type P(w) ~ e~Pw avec b ~ 1 pour PM = 1 et 6 > 1 pour PM < I - cf. figure 65. 2.7.
Conclusion
Dans cette section, nous avons montre comment on peut etendre notre modele OSL a une situation desordonnee. Pour ce faire, nous avons introduit un modele stochastique aux regies de propagation tres simples, dans le meme esprit que le q-model de Liu et al. Ce modele conduit naturellement a 1'etude d'une equation d'onde stochastique, ou la coordonnee verticale z joue le role du temps et ou la « vitesse de la lumiere » CQ(X, z), c'est-a-dire dans notre contexte 1'ouverture du cone de propagation le long duquel se propagent les contraintes, est aleatoire. Plus precisement, la relation OSL que nous avons consideree est la suivante : axx — r)[l + v(x, z ) ] a z z j ou v est un bruit de moyenne nulle et de variance
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Figure 65. Histogramme des forces verticales normal/sees w, oil les valeurs negatives des forces ont ete retirees. Toutes les courbes proviennent du three leg model, sur des silos periodiques de largeur lOOOa. Les trois courbes en trait gras (continu, pointilles longs et courts) ont ete obtenues pour un desordre d'amplitude maximum PM = 1. La hauteur de ces silos est indiquee en legende. La courbe en trait fin represente un silo lOOOa x lOOOa et pour lequel 1'amplitude du desordre est PM = 0,5. Celle-ci est a pen pres gaussienne. [The curves show the histograms of the vertical normal stress w from which negative values have been removed. They all have been computed for the three leg model with periodic silos of width lOOOa. The three bold (solid, long-dashed and short-dashed) lines are results from silos where the amplitude of the noise is maximum (PM = I)- The height of these silos is as indicated in the legends. The thin line represents a lOOOa x lOOOa silo where the amplitude of the noise is PM = 0.5. This curve is nearly Gaussian.]
est tres differente de celles du modele scalaire. La reponse d'une couche de grain soumise a une petite surcharge de surface (en z = 0) localisee en XQ se traduit en effet au has de cette couche (en z) par deux pics centres en x = XQ ± CRZ. A cause du desordre, la largeur et la hauteur de ces pics sont proportionnelles a \fo2z et l/Vo~2z respectivement. De meme, 1'ouverture effective des cones de propagation, CR, est renormalisee par le desordre. Plus precisement, CR < CQ, et la difference est d'ordre a2. Les equations d'onde stochastiques que nous avons considerees conservent done leur nature hyperbolique - i.e. propagative - et les caracteristiques, c'est-a-dire les « branches » de ce cdne de propagation que nous avons identifiers avec les voutes entre grains, malgre leur elargissement de type diffusif restent clairement identifiables. Cette structure hyperbolique se retrouve egalement dans 1'allure de la fonction de correlation C(x — x', z} d'une couche de grain soumise a une surcharge aleatoire. Cette fonction presente elle aussi deux pics, le premier bien sur en x = x' et le second en x = x' + 2c#2, ce qui signifie que ces deux points partagent une information commune, celle provenant du sommet du c6ne duquel ils sont partiellement issus. Comme pour la fonction de reponse, ces pics sont elargis (et aplatis) de fagon diffusive.
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Les proprietes que Ton vient de decrire sont en fait les resultats de nos calculs a faible desordre, c'est-a-dire lorsque a2 reste petit. Lorsque cette quantite depasse une valeur critique, I pour un desordre plus petit. Nous n'avons rien pu conclure pour le regime des petites forces a cause de la presence systematique de forces negatives - i.e. en traction. Celles-ci, pour des materiaux granulaires non cohesifs tels que nous les considerons ici, ne sont pas physiquement admissibles. En fait, et c'est peut-6tre le resultat le plus important de toute cette section, celles-ci doivent etre interpreters comme la source d'un instabilite. En effet, lorsqu'une force de traction apparait entre deux grains, le lien qui les unissait se coupe et 1'equilibre des forces sur ces grains n'est plus verifie. Les grains bougent et rearrangent localement les contacts avec leurs voisins de maniere a retrouver une nouvelle position d'equilibre. Cette propriete nous a conduit a qualifier ces materiaux de fragiles, c'est-a-dire tres sensibles aux petites perturbations exterieures. En effet, les inevitables variations de temperature, ou bien de petites sollicitations mecaniques, vont changer localement telle ou telle valeur de CQ(X, z), changement qui peut engendrer un veritable rearrangement partiel de la structure interne de l'empilement granulaire considere si cette perturbation fait apparaitre des forces negatives. Cette fragilite se comprend bien en termes de voutes : la structure interne d'un empilement est le resultat de son histoire, c'est-a-dire des sollicitations qu'il a subies par le passe. Lorsque cet empilement est au repos, c'est que sa structure supporte les differentes contraintes qui s'exercent sur lui. Apres perturbation, ces contraintes sont differentes, et 1'ancienne structure peut ne plus £tre adaptee a cette nouvelle
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situation. Elle doit alors se rearrange!, au moms partiellement, pour retrouver un nouvel etat d'equilibre. Cette fragilite est egalement le propre des equations hyperboliques a cause de leur structure propagative. Notre modele est purement statique. Aussi, s'il indique 1'apparition de ces instabilites, il ne dit pas comment les grains vont se rearranges Dans la section suivante, nous allons montrer comment on peut modifier le q- model scalaire de Liu et al. pour prendre en compte les effets de voutes. Pour cela, on introduira une « regie de glissement » pour imiter 1'apparition de ces instabilites mecaniques. Cette regie permettra la formation de longues structures - des voutes - et donnera au modele un caractere fragile tres prononce. On verra qu'en consequence les proprietes de ce modele scalaire sont etonnamment proches de celles de nos modeles tensoriels.
3.
Le SAM
Comme les deux precedentes, cette section est consacree aux fluctuations des forces dans les materiaux granulaires. Nous allons y presenter un modele numerique extremement simple mais qui reproduit qualitativement bien des aspects de la physique des voutes, et plus particulierement les effets que Ton peut attribuer aux fluctuations de ces chemins de force. Ce modele est en fait une extension assez naturelle du modele scalaire - le q-model - propose par le groupe de Chicago (cf. Sect. 1, Chap. 3), aim de permettre la formation de voutes. C'est ce qui lui a donne son nom : le SAM15 pour Scalar Arching Model. Le SAM a ete originellement propose pour decrire les fluctuations du poids apparent Wa mesure sur le fond d'un silo (cf. Sect. 2, Chap. 2), et c'est dans ce cadre que nous allons le presenter dans les deux premieres sous-sections de cette section. Dans la 3e sous-section nous montrerons comment on peut egalement 1'adapter a la situation ou 1'on essaie de pousser des grains dans un tube avec un piston, ce qui conduit a un mouvement irregulier de stick-slip. Nous proposerons pour finir quelques generalisations possibles de ce modele (Sect. 3.4). Enfin, il est important d'insister sur le fait que ces travaux ont ete inities par les experiences du groupe de Jussieu sans lesquelles notre interet aurait certainement porte sur d'autres proprietes des granulaires. 3.1.
Presentation du modele
Nous avons vu dans la section 2 du chapitre 2 que la force qu'exercent des grains contenus dans un silo sur le fond de celui-ci n'est qu'une fraction du poids total de ces grains, un poids apparent Wa - cf. figure 66, a gauche. Si on remplit plusieurs fois ce silo avec toujours la m£me quantite de grains, on mesure rarement deux fois la meme valeur de Wa. La dispersion de ces mesures peut, au contraire, atteindre typiquement 10 a 25 %. Sur un silo donne, de tres petites perturbations, 15. Ce qui permet de faire un petit clin d'ceil a Sir Sam (Edwards) !
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Figure 66, A gauche : un poids apparent Wa pese sur le fond du silo. A droite, principe du SAM propose pour decrire les fluctuations de Wa- Sur 1'exemple de cette figure, la force wi est bien plus grande que la force u>2. Le cisaillement sur le grain (i, n) est done fort et le contact entre les grains (z, n) et (i — 1, n + 1) se coupe. C'est le debut de la formation d'une voute et toutes les forces sont transmises au grain (i + 1, n + 1). Si au contraire le cisaillement sur le grain (i, n) avait ete faible, les forces auraient ete reparties aleatoirement a gauche (facteur Q-) et a droite (facteur q+). [Left: an apparent weight Wa is measured on the bottom plate of a silo. Right: rules for stress propagation in the SAM. On the particular configuration of this figure, the force Wi is much larger than the force W2, meaning that the shear force acting on the grain (i, n) is strong enough to remove the contact between the grains (i, n) and (i — 1, n + 1). On the contrary, if this shear force is small, forces are randomly transmitted on the left (with a transmission coefficient q~) and the right (with q+).]
comme de faibles variations de temperature, peuvent egalement engendrer des fluctuations significatives de Wa [42]. Ces phenomenes se comprennent bien en termes de voutes. En effet, ce sont les voutes qui forment la structure interne du systeme de grains et transportent la majorite du poids de ces grains. Elles viennent s'appuyer sur les parois du silo et y dechargent une partie des forces qu'elles propagent. Ces parois jouent done un r6le d'ecrantage, et seule la fraction non ecrantee du poids total des grains pese sur le fond du silo. Or, la configuration precise de ces voutes dont va dependre 1'efficacite de Pecrantage, peut 6tre tres differente d'un silo a 1'autre, conduisant ainsi a des valeurs de Wa largement distributes. De plus, cette structure interne est fragile, dans le sens ou elle peut se rearranger tres facilement si on la perturbe un petit peu, et chaque rearrangement se traduit par une nouvelle valeur de Wa. Pour decrire plus quantitativement ces effets, nous avons modifie le modele stochastique de Liu, Coppersmith et al. [43,44,121] pour y inclure la presence de voutes. Nous en avons deja longuement parle dans la section 1 de ce chapitre,
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ce q- model est un modele scalaire car il ne porte que sur une seule composante du tenseur des contraintes azz — w, le « poids » - le w est pour weight. Cette hypothese est tres forte et ne saurait etre pleinement justifiee experimentalement. Nous ne reviendrons pas sur cette discussion dans cette section. Le lecteur interesse par plus de details et de justifications est invite a reprendre la section 1 de ce chapitre. Toujours par souci de simplicite, nous aliens nous limiter ici a des systemes en deux dimensions. On dira un mot des situations tridimensionnelles dans la sous-section 3.4. Remarquons que 1'on s'attend a ce que les effets de voute soient plus prononces en deux qu'en trois dimensions. Le systeme que 1'on veut modeliser est un silo tel que celui schematise sur la gauche de la figure 66. On represente le milieu granulaire a 1'aide de grains sur un reseau regulier - partie droite de la figure 66. Chaque grain est repere par deux entiers i et n donnant ses coordonnees horizontale et verticale. Les dimensions du silos sont donnees par sa demi-largeur L et sa hauteur H. On a ainsi —L
ou wg = 1 est le poids de chaque grain. Jusqu'a present, le modele que nous decrivons est celui de Liu et al. [43,44,121]. Nous aliens maintenant y inclure une condition de glissement local. En effet, si le cisaillement qui s'exerce sur le grain (i, n) est trop fort, celui-ci peut glisser tres legerement, et perdre le contact qu'il avait avec son voisin de dessous, dans la direction opposee a ce cisaillement. Plus precisement, on introduit un nouveau parametre Rc tel que
ou 1'on a defini w± = q±(i q= 1, n — l)w(i =p 1, n — 1). La situation (3.97) est celle de la figure 66, a droite : la force venant de la gauche est bien plus grande 16. Dans toute cette section, les q±(i, n) seront tires au sort de maniere uniforme entre 0 et 1. Tout autre choix n'aurait qualitativement rien change aux resultats.
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que celle venant de la droite, le grain (i, n) glisse legerement sur la droite, et son lien de gauche, c'est-a-dire avec le grain (i - 1, n + 1), se coupe. Precisons plusieurs points importants. Dans ce modele, les grains sont sur un reseau regulier et, a strictement parler, ne peuvent ni bouger ni glisser. De plus, on ne considere que les pressions verticales i.e. azz. II n'y a done pas de cisaillement axz qui puisse faire glisser les grains horizontalement s'ils le pouvaient. Cependant, on sait que la friction joue un grand rdle dans la formation de la structure interne d'un systeme granulaire. Les relations (3.96, 3.97) permettent done de se donner des regies qui ressemblent a une loi de frottement solide de coefficient Rc, en assimilant la difference \w+ — u>_ a un cisaillement \axz|, et en associant 1'ouverture et la fermeture des contacts entre grains a de legers glissements horizontaux. Ce processus d'ouverture de contact entre grains est un processus « en avalanche » qui correspond a la formation d'une voute. En effet, si le cisaillement qui s'exerce sur le grain (z, n) - disons vers la droite - est suffisamment fort pour que le lien (z, n) - (i — 1, n + 1) se coupe, alors la force que va exercer ce grain sur son voisin de droite (i + 1, n + 1) va e~tre egalement tres forte car plus rien n'est retransmis sur la gauche de (z, n), et est probablement assez forte pour que le cisaillement qui s'applique sur le grain (i + 1, n + 1) depasse le seuil necessaire a la coupure du lien (i + 1, n + 1) - (i, n + 2), et ainsi de suite... II se cree ainsi une ligne - c'est une diagonale du reseau - qui concentre et collecte toutes les forces venant des grains qui s'appuient sur elle pour les propager dans une direction precise. II s'agit done bien d'une voute ! Remarquons que plus Rc est petit et plus ces voutes vont se former facilement. Nous avons appele ce processus de creation de voute une avalanche statique. C'est lui qui rend 1'empilement de grains tres sensible aux petites perturbations exterieures, par exemple lorsqu'on change legerement la valeur de Rc. Remarquons que dans ce modele, les voutes ont une longueur de correlation quasiment infinie : rien ne les arrete dans leur evolution quand on passe de 1'etage n a 1'etage n + 1, sauf si elles rencontrent une voute plus grosse, c'est-a-dire propageant une force plus grande, ou bien lorsqu'elles touchent la paroi du silo. Get effet est bien sur amplifie par la nature meme du modele : aucun processus de diffusion ne vient alterer la direction et 1'intensite de ces voutes une fois qu'elles ont commence a se creer. Nous avons verifie que si Ton donne une certaine probabilite aux voutes de s'etaler sur deux grains voisins plutot que d'etre toujours transmises le long des diagonales du reseau, les resultats ne changent pas qualitativement. Par souci de simplicite, nous resterons done avec cette version du modele, certainement trop caricaturale pour etre vraiment realiste, mais qui a le merite de mettre en avant le rdle des voutes dans la physique des granulaires. Dans la sous-section 3.4, nous presenterons une version du SAM qu'a proposee Nicodemi [145,146] et qui permet de donner une taille finie a ces voutes. Les grains situes aux parois du silo, c'est-a-dire en i = ±L, ont un statut un petit peu special : ils n'ont qu'un seul voisin de dessous a qui transmettre leur charge. La regie que 1'on a choisie est la suivante. En i = ±L, la fraction g-j-(±L, n) de la charge u>(±£, n) est absorbee par le mur, et la fraction complementaire est reinjectee dans le systeme sur le grain (±L =p 1, n + 1). Une telle loi d'absorption
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Figure 67. Cette figure represente une configuration particuliere des chemins de force dans un silo decrit par le SAM. Les lignes sont d'autant plus epaisses que les forces propagees le long de ces voutes sont grandes. On a pris id L = 50, H = 100 et Rc — 0,8. [This figure represents a particular configuration of the stress paths obtained in a silo with the SAM. Lines are thicker for larger stresses. We took here L — 50, H = 100 and Rc = 0.8J
est assez naturelle : par frottement solide, le grain (±L, n} se soulage d'une partie de sa charge, laquelle est supportee par la paroi. Muni des regies de propagation (3.96, 3.97), ainsi que de celle qui s'applique lorsque Ton se trouve a la paroi, on peut calculer les forces dans tout le silo une fois que Ton s'est donne les valeurs de celles-ci a la surface w(i, 0). Pour un jeu initial donne de q±(i, n), on obtient une certaine configuration de contacts ouverts et fermes, correspondant a une certaine structure de voutes, et qui se traduit par une certaine valeur de Wa sur le fond du silo. La figure 67 montre une realisation typique du reseau de force cree par le SAM. On y remarque principalement deux choses : le reseau de voutes se structure peu a peu au fur et a mesure que Ton descend dans le silo, et la distribution des forces qui en resulte est tres inhomogene.
3.2.
Perturbations et fluctuations
Le SAM permet de rendre compte au moins qualitativement - des effets de fluctuations des contraintes et de visualiser les variations des configurations de voutes
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qui y sont associees. Le premier exemple que 1'on peut donner concerne la dispersion des mesures que 1'on observe lorsqu'on fait des mesures de masse apparente sur le fond d'un silo. Pour obtenir un point de mesure, la procedure (simplifiee) est la suivante : on rempli le silo d'une masse donnee Mv de grains, et on mesure la masse Ma qui pese sur le fond. La valeur precise de Ma (ou bien de Wa avec les notations de cette section) depend de 1'arrangement particulier des voutes dans le silo. Plus celles-ci s'appuient sur les parois et plus le poids des grains sera ecrante, c'est-a-dire que Wa sera faible. Pour avoir un ordre d'idee de la dispersion de cette mesure, il faut faire la meme experience un grand nombre de fois. En effet, d'une fois sur 1'autre les voutes peuvent etre dans des configurations relativement differentes. La moyenne des differentes mesures donnera la valeur finale de Ma et 1'ecart type sera la « barre d'erreur » 8Ma. Nous avons effectue cette procedure numeriquement au sein du SAM. Les resultats sont representes sur la figure 68. Us sont tout a fait similaires aux observations experimentales : la courbe moyenne de Ma en fonction de Mv est proche de la courbe de Janssen qui a ete tracee ici avec la meme asymptote M^ que les resultats numeriques du SAM. L'effet de surcharge est egalement correctement predit. Enfin, la dispersion des mesures varie de maniere systematique avec le poids apparent, et peut atteindre pratiquement 25 % - cette derniere courbe est a comparer avec la figure 43. Nous nous sommes en outre assures que la loi d'echelle M^ ~ D 2 , ou D est le diametre du silo, etait bien verifiee. Ce test a ete fait avec la valeur Rc = 0,8. C'est egalement avec cette valeur du seuil de glissement qu'ont ete tracees toutes les courbes de la figure 68. En fait, lorsque Rc ~ 1, le SAM devient equivalent au modele de Liu et al. qui est de type « diffusif » - cf. section 1 de ce chapitre. On s'attend alors a ce que dans cette limite M^ ~ -D3 - c'est ce que trouvent egalement Peralta-Fabi et al. [154,155]. Inversement, quand Rc est petit, la tendance a creer des voutes est si forte que la courbe Ma (Mv) devient un peu pathologique17. Ainsi dans une gamme de Rc intermediaries, le SAM presente des proprietes moyennes tout a fait similaires a celles de nos modeles hyperboliques OSL presentes dans les deux chapitres precedents, ce qui confirme 1'interpretation qu'on en a faite en termes de « voutes ». Si ces voutes sont responsables de la dispersion des mesures (globale) de Wa, elles le sont aussi de celle de la charge locale Wi = w(i, H] qui pese sur le grain numero i au fond du silo. Nous avons trace sur la figure 69 la densite de probabilite P(w) de trouver la valeur Wi — w. Cette fonction suit une loi de puissance sur une large gamme des valeurs de u>, indiquant par la que 1'on s'attend a trouver a la fois des petites et des grandes valeurs de la pression locale. II faut noter que, comme on 1'a vu dans la section 1 de ce chapitre, ce resultat n'est pas vraiment en accord avec les resultats a la fois experimentaux [121,192,193] et numeriques [153,159163,167,176] : il est en effet maintenant bien admis qu'au sein des milieux granulaires, on a P(w) ~ e~f3w pour w > (w). Pour les petites forces, la questions n'est pas encore tranchee car les mesures, dans ce cas, sont assez difficiles et/ou imprecises. On verra dans la sous-section 3.4 qu'il est possible de retrouver ce regime 17. Elle presente des oscillations dues a la presence d'une unique voute qui zigzague entre les deux parois.
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Figure 68. Ces courbes montrent que le SAM reproduit correctement - de facon qualitative - les experiences sur les silos (cf. Sect. 2, Chap. 2) : la courbe moyenne (id sur 200 silos) de la masse apparente en fonction de la masse versee est tres proche de la courbe de Janssen, et montre meme un ecart systematique a cette courbe tout a fait comparable auxpoints experimentaux. L'effet de surcharge est egalement bien reproduit. Enfin, la dispersion du poids apparent au fond du silo depend de la hauteur de grain dans ce silo, c'est-a-dire de Wa lui-meme (id adimensionne par sa valeur asymptotique W^). Ces courbes out ete tracees pour Rc — 0,8 et L = 20. Les masses sont comptees en nombre de billes : mg — 1. [The SAM qualitatively reproduces silos experiments (see Sect. 2, Chap. 2): the averaged (over 200 different silos) curve of the apparent mass as a function of the filling mass is very close to Janssen's curve. The systematic difference between these two curves is similar to the one between experimental data and Janssen's curve. The overload effect is also well reproduced. Lastly, the dispersion of the apparent weight depends on the height of grains in the silo, i.e. on Wa itself. Curves in the inset have been rescaled by the asymptotic value Woo of the apparent weight. Masses are measured in grain mass units: mg = 1.] exponentiel au sein du SAM en donnant une valeur moyenne finie a la longueur de ces voutes. Une des proprietes les plus remarquables du SAM est que la configuration de voute qu'il engendre pour un jeu de q±(i, n) et une valeur de Rc donnes se rearrange tres facilement lorsqu'on perturbe le systeme. II y a plusieurs manieres de le faire. On peut par exemple changer aleatoirement les valeurs des nombres aleatoires q± en un ou plusieurs sites, mais la maniere peut-etre la plus interessante est de changer legerement le seuil de glissement Rc. Cette grandeur n'est pas vraiment reliee a une quantite physique bien contr61able, mais on peut se dire qu'elle represente par exemple la temperature. En effet, lorsque celle-ci augmente, les grains se dilatent legerement et changent les conditions de contacts
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Figure 69. La distribution des forces locales Wi sur le fond du silo suit une loi de puissance P(w) ~ w~a sur une large gamme des valeurs de w. Cette figure a ete tracee avec Rc — 0,9, L = 100 et b = 1. Le meilleur ajustement (de la partie lineaire de la courbe) donne un exposant a = 1,08 ± 0,04. Celui-ci depend de la valeur de Rc, mais n'est jamais tres different de la valeur 4/3 predite par le modele de Coppersmith et al. quand les q± sont independents et ne peuvent prendre que les valeurs 0 on 1. [Distribution of the local stress Wi on the bottom plate for Rc = 0.9, L = 100 and 6 = 1 . This curve follows a power law P(w) ~ w~Q. The best fit (of the linear region) gives a = 1.08 ± 0.04. This exponent depends on the value of Rc, but is never very different from the value 4/3 predicted by Coppersmith et al. when all q± are independent and can only take the values 0 or I./
avec leurs voisins. On peut egalement imaginer que Rc represente la compacite, laquelle influe egalement beaucoup sur les contacts entre grains. Quand on change le seuil Rc d'une tres petite quantite 8RC, on observe que parfois le reseau des chemins de contrainte se rearrange - au moins partiellement , alors que d'autres fois il reste inchange. Quand il y a rearrangement, Wa varie relativement d'une quantite A = \6Wa\/Wa qui peut etre grande comme petite. En fait la valeur de A n'est pas correlee a §RC. La figure 70 montre les variations de Wa avec Rc : on observe de veritables « chocs » dont la frequence augmente avec Rc. Ces changements brutaux correspondent a la disparition ou a la creation d'anciennes ou de nouvelles voutes. Us trouvent leur origine dans le processus d'avalanche statique : il suffit que localement un lien entre deux grains se coupe pour qu'une voute se developpe et chamboule, au-dessous de ces deux grains, une partie de 1'arrangement precedent. Considerons 1'un de ces chemins qui porte une grande force et vient toucher directement le fond du silo. Si le rearrangement
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Figure 70. Evolution du poids apparent Wa en fonction du seuil Rc pour un silo tel que L = 30 et b = 10. Wa a ete adimensionne par le poids des grains dans le silo. La ligne en gras est une moyenne sur 1000 silos, alors que la ligne fine represente une realisation particuliere du desordre. Cette evolution se fait par sauts brutaux (c'est particulierement visible pour les faibles valeurs de Rc ou ces changements sont moins frequents). [Evolution of the apparent weight Wa as a function of the threshold Rc for a silo of size L = 30 and b — 10. Wa has been rescaled by the total weight of the grains in the silo. The bold line is an average over 1000 samples, while the thin one is for a particular realization of the disorder. The apparent weight evolves by sudden changes (this can be particulary seen in the small Rc region where these changes are less frequent).]
des contacts entre grains fait que ce chemin vient maintenant s'appuyer sur 1'une des parois, 1'ecrantage sera plus fort et le nouveau poids apparent Wa sera done plus faible. Reciproquement, Wa augmentera si, apres perturbation, la nouvelle structure des voutes repose davantage sur le fond que sur les parois. Sur la figure 71, nous avons isole un de ces chocs. On peut y constater le changement partiel de la configuration interne des voutes sur la droite du silo. Nous avons analyse la distribution de cette quantite A. Elle est distribute en loi de puissance avec un exposant proche de 1'unite : P(A) ~ I/A Cela signifie qu'au sein de ce modele, les petites comme les grandes fluctuations sont equiprobables. En effet, dans ce cas la probabilite qu'un rearrangement d'amplitude A soit compris entre, disons, un certain A\ et 2Ai est independant de A\. De petites causes peuvent ainsi typiquement engendrer de grands effets. Le SAM possede done cette propriete de fragilite, c'est-a-dire en particulier une grande sensibilite aux sollicitations exterieures, que nous avons deja discutee dans la section precedente, et qui est caracteristique des materiaux granulaires. Autrement dit,
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Figure 71. Cette figure represents les lignes de forces avant (a gauche) et apres (a droite) une variation de Wa. Ces variations sont brutales : celle-ci a ete observes quand le seuil est passe de la valeur Rc ~ 0,56153 a la valeur Rc = 0,56154. Pendant ce temps le poids apparent (normalise) sous le silo passait de Wa = 0,651 a Wa = 0,594. On pent observer sur ce graphe que certaines lignes de force sont rests inchangees, alors que d'autres ont disparu ou sont apparues. [These two graphs show the stress paths before (left) and after (right) a sudden variation of Wa- These variations are sudden: this one has been observed when the threshold changed from Rc = 0.56153 to Rc = 0.56154. The (normalized) apparent weight correspondingly changed from Wa — 0.651 to Wa — 0.594. One can see one the graphs that during this rearrangement, some lines disappeared while others appeared.]
ces avalanches « statiques » sont a rapprocher des systemes critiques auto-organises (les soc systems en anglais) dont les premiers modeles avaient ete initialement proposes pour decrire les vraies avalanches [7,8] i.e. « dynamiques » ! Un corollaire de cette grande sensibilite des milieux granulaires est la tendance de ces materiaux a s'autostructurer en reponse aux contraintes qu'on leur impose. Cette propriete avait ete 1'un des arguments avances pour la justification de nos modeles OSL dans le cadre de la description du profil moyen de pression sous un tas de sable, tas dont la structure interne est induite par son mode de construction - cf. section 2, chapitre 1 et section 1, chapitre 2. Elle a egalement ete mise en evidence au sein d'un modele d'avalanches dites « internes » : a chaque pas de temps on retire un grain au bas d'une couche de grains et on le remet sur la surface [105-107,125]. II s'en suit un rearrangement de I'empilement18, dont la taille S - i.e. le nombre de grains qui bougent - est distribute en loi de puissance sur une large gamme de S. Outre 1'aspect critique de ce processus, les auteurs de [105,106] montrent que, sous certaines conditions, I'empilement cree en son sein des structures regulieres. 18. Dans cette etude, I'empilement des grains est decrit par le RTM (pour Random Tetris Model) qui permet de mettre en avant les effets de frustration geometrique et d'empechement sterique d'un ensemble de grains aux formes anguleuses, mais ne prend pas en compte les forces de friction entre ces grains.
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Figure 72. Distribution de 1'amplitude relative A des variations de poids apparent Wa quand on perturbe le systeme de grains. Cette courbe a ete tracee avec deux silos de rapport d'aspect b = I , 1'un tel que L = 10 (ligne fine pointillee) et 1'autre tel que L = 100 (ligne grasse continue). Cette distribution est une belle loi de puissance en I/A1 independante de la valeur de Rc. La ligne fine represente le meilleur ajustement sur la partie centrale (entre A = 10~6 et A = 10~l). On trouve un exposant 7 = 0,94 ± 0,01. [Distribution of the relative changes A of the apparent weight Wa. This curve has been plotted for two silos such that b = 1, and L = 10 (thin dashed line) or L = 100 (solid bold line). This distribution follows a power law I/A'1 almost independent of the value of Rc. The best fit (of the linear region, i.e. between A — 10~6 and A = 10~1) gives 7 = 0.94±0.01./
3.3.
Mouvement de stick-slip
Nous allons voir dans cette sous-section que 1'on peut adapter le SAM a la situation ou Ton essaie de pousser vers le haut des billes dans un tube vertical. Cette variante du SAM nous a ete suggeree par le groupe de Jussieu, et plus precisement par 1'experience dont le principe est schematise sur la figure 73. Celle-ci a ete 1'un des sujets d'etude de la these de Touria Mazozi [129] et a ete ensuite reprise par Evelyne Kolb et d. [108]. Cette experience est la suivante : des billes d'aluminium confinee entre deux plaques de verre sont poussees vers le haut a 1'aide d'un piston relie a un ressort que 1'on comprime a vitesse constante. La force F qui s'applique sur le fond de ce silo bidimensionnel est enregistree en fonction du temps t. On observe un mouvement de stick-slip irregulier : les billes sont parfois dans une situation bloquee ou « collee » (stick) et F(t) augmente doucement, mais d'autres fois le systeme ne peut resister a la pression exercee par le piston et il glisse (slip)
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Figure 73. Le SAM pent etre legerement modifie pour decrire la situation ou 1'on pousse des grains dans un tube avec une force F. Un tel systeme presents un mouvement de stick-slip irregulier. Dans tous les calculs numerique de cette sous-section, nous avons considers des tubes de taille L — 30 (diametres de bille), ce qui est tres proche du systeme experimental du groupe de Jussieu. [The SAM can be modified to describe the situation where an upwards force is applied on a piston at the bottom of a silo. Such a system of beads gives rise to an irregular stick-slip motion. All simulations have been performed with L = 30 (bead radii), which is close to the experimental system of Jussieu group.]
jusqu'a ce qu'une nouvelle situation de blocage soit retrouvee. Ce glissement est brusque et la detente du ressort - qui correspond a une baisse de la force F ( t ) s'effectue pendant un laps de temps quasi instantane. Ce phenomene de stick-slip est caracteristique des systemes dont la dynamique est controlee par les forces de friction solide [11,28], ce qui est en particulier le cas pour les materiaux granulaires [24,62,139,140]. Dans les situations suffisamment simples - comme dans le cas d'un patin tire a vitesse constante sur un plan rugueux - ce mouvement de stick-slip est regulier. Ciliberto et al. se sont interesses au frottement de deux surfaces rugueuses aux asperites macroscopiques et aleatoirement reparties [33-35]. Ce systeme modele a ete propose pour mieux comprendre les phenomenes de friction et leurs applications a la physique des tremblements de terre ainsi que pour mieux cerner 1'origine de la loi (de puissance) de GutenbergRichter qui les regit. Us observent en effet que les deux plaques presentent un mouvement relatif de stick-slip irregulier aux proprietes critiques dans le sens SOC. Dans le cas qui nous interesse, nous aliens voir que Ton peut interpreter ce stick-slip irregulier comme la signature des rearrangements de la structure des voutes qui, suivant leur configuration, peuvent ou non resister a la pression du piston en s'appuyant sur les parois du tube. Comme le suggere la figure 73, 1'idee est d'utiliser le SAM « a 1'envers », c'esta-dire en propageant les forces de has en haut. On neglige done le poids des billes,
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et on se restreint a la description de la propagation (vers le haut) de la force F a travers I'empilement. Les situations « bloquees » sont celles pour lesquelles toute la force F a ete absorbee par les parois si bien qu'aucune contrainte ne s'exerce sur les grains de la surface. Si au contraire 1'un de ces derniers au moins est soumis a une force non nulle, I'empilement n'est plus a 1'equilibre et on est dans une situation dite « glissante ». Pour que chacune de ces deux situations advienne, il est necessaire de rajouter un nouveau parametre au SAM tel qu'il a ete presente dans les deux sous-sections precedentes. II faut en effet que les voutes qui s'appuient sur les parois du tube aient une probabilite finie a d'y transmettre 1'integralite de leur charge, signifiant par la qu'elles y sont fortement « ancrees ». Nous appellerons ce nouveau coefficient a la « capacite d'accrochage » des murs. Meme s'il y est relie, a n'est pas simplement equivalent au coefficient de friction entre les billes et les parois. Dans la sous-section precedente on utilisait en effet un SAM avec a = 0, mais on observait quand meme un ecrantage du poids des grains. En fait dans cette nouvelle version, a donne la probabilite que les regies de glissement du SAM, c'est-a-dire les regies (3.96, 3.97), s'appliquent egalement a la paroi. On sent bien que dans cette situation ou 1'on pousse fortement avec un piston, la mobilisation de ces voutes sur les parois soit egalement forte, ce qui correspond a de grandes valeurs de a - i.e. proche de 1. Autrement dit, en plus des facteurs de transmission aleatoires q±(i, n), on a egalement 2(H + 1) nouveaux nombres aleatoires a±(n) qui, compares a a, determinent la regie d'absorption au site (±L, n) : si a±(n) < a, toute la charge w(±L, n) est supportee par le mur, et dans le cas contraire seule la fraction g±(±L, n) de cette charge est transmise a la paroi. Dans ce dernier cas, la charge g T (±L, n)w(±L, n) est done reinjectee dans le systeme. On comprend done bien que si a est nul, la charge qui pese sur les grains ne peut jamais atteindre zero strictement - elle decroit en fait exponentiellement. Cette forte mobilisation des voutes a la paroi est done essentielle pour pouvoir obtenir des situations « bloquees ». Pour decrire ce mouvement de stick-slip irregulier, nous proposons alors 1'algorithme suivant. Les parametres Rc, a et b de notre systeme etant fixes, pour une certaine valeur de la force F a 1'instant £, et un jeu complet des nombres aleatoires q±(i, n) et a±(n), on peut • calculer au sein du SAM, Fw et Fs qui sont les forces transmises respectivement aux parois et a la surface de rempilement. On a evidemment r Fw 4-< rFs — — rF •>•
• si Fs = 0, les grains ne bougent pas. On est dans une situation d'equilibre, c'est-a-dire dans une situation « bloquee » (stick). On augmente alors la force F de SF = 1 et le temps t de 8t = 1. Afin d'imiter le bruit mecanique ainsi que les petites perturbations exterieures qui agissent inevitablement sur le systeme, on change egalement tous les nombres aleatoires avec une certaine probabilite p, et on retourne au premier point ;
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Figure 74. Ces courbes montrent 1'evolution temporelle de la force F pour (a) a = 0,83 < ac (phase glissante) et (b) a = 0,85 > ac (phase bloquee). Ces deux courbes ont ete obtenues avec Rc = 0,5, p = 0,01 et b = 1, valeurs pour lesquelles ac ~ 0,838. [These plots show the temporal evolution of the applied force F for (a) a = 0.83 < ac (sliding phase) and (b) a = 0.85 > ac (jammed phase). Both plots have been obtained with Rc = 0.5, p = 0.01 and 6 = 1 , for which ac ~ 0.838./
• si Fs > 0, les conditions d'equilibre ne sont pas satisfaites, ce qui veut dire qu'on est dans une situation glissante (slip). On reduit alors F de JF, on retire au sort 1'integralite des nombres aleatoires car le mouvement des billes lors de ce glissement reinitialise tous les contacts. On laisse t inchange et on retourne au premier point. La simulation commence a t = 0 avec F = 0, et on laisse ensuite F(t) evoluer. II est tres important de bien noter que ce modele est purement statique. Aucune regie dynamique n'y a ete incluse, et les glissements sont supposes infmiment rapides. En fait, ce modele ne decrit que les situations de blocage, lesquelles sont separees par des glissements brusques qui ont finalement deux effets : decomprimer le ressort qui contrdle la force F, et reinitialiser la structure interne de 1'empilement de billes. Un tel algorithme conduit effectivement a un mouvement de stick-slip ou les situations de blocage et de glissement s'alternent irregulierement suivant que la structure interne en voutes du systeme granulaire est dans une configuration qui lui permet de resister ou non a la pression du piston. Pour resumer, notre systeme est sous le contrdle de quatre parametres : le seuil de glissement Rc, le rapport d'aspect du tube 6, la capacite d'accrochage des parois a et la probabilite p de changer la structure interne de 1'empilement - i.e. les nombres aleatoires q±(i, n) et a±(n) - en situation bloquee. En fonction des valeurs de ces quatre parametres, on observe deux types de situations bien distinctes. La premiere, representee sur la gauche de la figure 74, est une phase globalement glissante19 ou la force F finit toujours par revenir a zero. 19. En raccourci, on parlera de phase ou de regime glissant, qu'il ne faudra pas confondre avec une situation glissante, c'est-a-dire une situation hors equilibre - un slip.
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Figure 75. La courbe a = ctc(p) separe la phase glissante (dessous) de la phase bloquee (dessus). Le diagramme de phase (a) a ete trace pour Rc = 0,5, et pour deux rapports d'aspect b = 1 (o) et b = 3 (•). On peut alternativement representer ce diagramme en tracant la courbe (b) a = ac(Rc}. Celle-ci a ete tracee pour p = 0,1, et toujours b = 1 etb = 3. [The curve a — ac(p) separates the sliding phase (below) from the jammed phase (above). The phase diagram (a) has been plotted for Rc = 0.5 and for two aspect ratios, b = I (o) and b = 3 (•). Alternatively, we can represent the phase diagram by the curve (b) a = ctc(Rc)- The parameters chosen for this figure are p = 0.1, and again b = 1 and b = 3.]
Autrement dit, les grains ne seront jamais eternellement coinces dans le tube. La seconde au contraire (sur la droite de la meme figure) est globalement bloquee20, et F(t), malgre des fluctuations irregulieres, augmente toujours en moyenne. II est possible de representer ces deux situations sur un veritable diagramme de phase, b et Rc etant fixes, on peut en efFet, pour une valeur de p donnee, passer de la phase glissante lorsque la capacite d'accrochage est faible, a la phase bloquee lorsque a est proche de 1. On appelle ac la valeur critique de a qui est a la limite entre les deux phases, et on peut ainsi tracer a = ac(p) - c'est la figure 75a. Alternativement, on peut fixer p et tracer a = ac(Rc] - c'est la figure 75b. En efFet, plus Rc est petit et plus la tendance a creer des voutes est forte, ce qui augmente 1'ecrantage des parois. Les diagrammes de la figure 75 ont ete traces pour deux valeurs du rapport d'aspect b = I et b = 3. Lorsque celui-ci est grand, il est evidemment plus facile d'etre dans une situation bloquee, et la courbe a — ac est plus basse. Experimentalement, il est assez difficile de trouver des situations propres a chacun de ces deux regimes. On pourrait penser a jouer sur la compacite de l'empilement, mais la nature fragile de ces materiaux granulaires fait qu'un empilement compact n'est pas forcement moins sujet aux rearrangements qu'un empilement lache. En fait on observe qu'un meme enregistrement experimental de F 20. De meme, on parlera de phase ou de regime bloque, a ne pas confondre avec une situation bloquee - i.e. un stick.
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Figure 76. Ces courbes representent les histogrammes integres du temps de premier retour r de F, c'est-a-dire de 1'intervalle qui separe deux temps consecutifs oii F s'annule. Ces courbes ont ete tracees avec Rc — 0,5, p — 0,01, b — 1 et avec differentes valeurs de a qui sont indiquees sur le graphe. Quand a —>• ac, cet histogramme devient de plus en plus large, et tend vers la loi de puissance 1/r1'2 qui est caracteristique de la distribution du temps de premier retour de marcheurs aleatoires - en une dimension. [These curves represent integrated histograms of the first return time r, i.e. the interval of time between two times where F vanishes. They have been computed with Rc — 0.5, p = 0.01, 6 = 1 , and with different values of a indicated on the plot. As a —» a c , this histogram gets broader and broader, and tends to the power law 1/r1'2 which is characteristic of the return time of simple random walks.]
en fonction du temps contient a la fois des parties relatives a 1'un et a 1'autre de ces deux regimes [108]. Nous avons etudie la maniere dont le systeme se comporte au voisinage de son changement de phase. Pour ce faire, nous avons defini deux variables r et s caracteristiques de chacune des deux phases, respectivement glissante et bloquee. Pour decrire la premiere, la bonne variable est le temps r dit de « premier retour », c'est-a-dire la duree qui s'est ecoulee entre deux moments consecutifs ou la force F s'est annulee. Lorsque le systeme est tres glissant, la distribution des temps T est relativement etroite et la moyenne (r) est faible. Au fur et a mesure que 1'on se rapproche de la transition, cet histogramme s'elargit et finit par se comporter comme une loi de puissance, de telle sorte que (T) diverge cf. figure 76. Dans la phase bloquee, T n'est plus le bon parametre car F ne retourne plus a zero. Nous 1'avons plutot caracterise par le parametre s = F(t)/t qui represente grosso modo la rapidite avec laquelle F croit avec le temps. Dans toute la phase glissante, et jusqu'a la transition, (s) est nul et croit avec a au dela. Plus precisement, la figure 77 montre que (T) ~ l/(a c — ct) pour a < ac et que (s) ~ (a — ac) pour a > ac.
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Figure 77. Dans la phase glissante, le systeme est caracterise' par le temps moyen de premier retour (T), et dans la phase bloquee par la pente moyenne (s) de la force F(t). Pres de la transition, (r) diverge comme (ac — a)"1 et (s} croft comme a —a c . Ce graphe a ete trace avec Rc = 0,5, p = 0,01 et b — 1. Les regressions lineaires de l/(r) et de (s) donnent respectivement a c = 0,839 ± 0,004 et ac = 0,837 ± 0,004. [Below the transition, the system is characterized by the averaged first return time (T), and above it by the averaged slope (s) of the applied force F versus time. Near the transition, we find that (T) diverges like (ac — a)"1 and that (s} grows like a — ac. This plot has been computed with Rc = 0.5, p = 0.01 and b = 1. Linear regressions for I/ (r) and (s) give respectively ac = 0.839 ± 0.004 and ac = 0.837 ± 0.004./
Cette transition tout a fait ordinaire peut etre simplement comprise dans le cadre d'un calcul de type champ moyen. En negligeant les correlations, on peut decrire 1'evolution temporelle de F comme un processus markovien a deux etats. Supposons qu'a 1'instant t le systeme ne soit pas a 1'equilibre, c'est-a-dire dans une situation glissante. On appelle ps la probabilite qu'il y reste a 1'instant t + 6t. De m6me, on appelle qs la probabilite que le systeme de billes passe d'une configuration bloquee a 1'instant t a une configuration glissante a t + St. Bien sur, ps depend de a et qs depend en outre de p. Par exemple on a
En effet, si p = 0, la structure n'evolue pas et on ne peut jamais passer d'une situation bloquee a une situation glissante. Si p = 1, tous les contacts se renouvellent. La probabilite de se mettre a glisser est done completement independante de la situation precedente qui pouvait etre glissante ou bloquee. La figure 78 montre 1'integralite de la courbe qs(p) que nous avons obtenue numeriquement pour une certaine valeur de a. On peut resoudre completement ce petit modele et on trouve
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Figure 78. La probabilite qs que le systems de grains en position bloquee a 1'instant t se mette a glisser a 1'instant t + St depend de la valeur du parametre p. On appelle ps la probabilite que les grains qui glissaient a t continuent de glisser a t + 6t, et pc la valeur critique de p telle que a — ac, a, Rc et b etant fixes. La courbe qs(p) est alors connue analytiquement en trois points : qs(0) = 0, qs(l) — ps et qs(pc) — I — PS- La courbe complete ci-dessus a ete tracee pour Rc = 0,5, b = 1 et a = ac(p — 0,1) = 0,914. [The probability qs that a system in a jamming configuration at time t becomes sliding at time t + At, depends on p. For fixed Rc, b and a, we call pc the critical value of p such that a = ac. Three points of the curve qs(p) are analytically known: qs(0) = 0, qs(l] = ps and qs(pc) — 1 — PS- The whole curve has been obtained numerically for Rc = 0.5, b = 1 and a = ac(p = 0.1) = 0.914./
que la transition arrive quand
c'est-a-dire quand la probabilite de glisser lorsqu'on est bloque est egal a la probabilite de se bloquer quand on glisse. En ce point en effet, la force F croit et decroit avec la m6me probabilite, ce qui veut dire qu'elle se comporte comme un marcheur aleatoire unidimensionnel21. Dans ce cas, il est bien connu que la distribution des temps de premier retour se comporte comme une loi de puissance P(T) ~ r~ 3 / 2 , ce que nous retrouvons sur rhistogramme (integre) de la figure 76. II est raisonnable de penser que les fonctions ps et qs sont regulieres au voisinage de la transition. On s'attend done bien a un comportement lineaire de (r)~ et de (s) quand a —>• ac. Dans le contexte des tremblements de terre, il est important de pouvoir predire le moment ou se produira un grand rearrangement ainsi que 1'amplitude du relachement des contraintes qui lui est associe. La presence de « precurseurs » indiquant 1'imminence de ces grands glissements est discutee par les auteurs de [108, 139,140]. Notre modele, ou les correlations temporelles sont faibles, ne permet pas 21. Contraint a rester du cdte F > 0.
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d'en rendre compte. Plus generalement, la comparaison de celui-ci avec les experiences de [108] ne donne qu'un accord tres qualitatif, et n'est done strictement valable qu'au niveau de 1'interpretation des phenomenes physiques en jeu. Kolb et al. montrent en effet que leurs enregistrements dependent de la vitesse v a laquelle le piston controlant la force F est comprime parametre absent de notre modelisation. De plus, ceux-ci sont sensiblement differents s'ils utilisent des billes d'acier plutot que des billes d'aluminium. Dans ce premier cas par exemple, ils trouvent que les amplitudes de variation AF de la force lors d'un glissement, ou bien les intervalles de temps At qui separent deux glissements, sont peu disperses : leur distribution est typiquement gaussienne. Pour les billes d'aluminium au contraire, ils trouvent des histogrammes beaucoup plus larges - en loi de puissance. Notre modele predit plutot une situation intermediate - exponentielle ou la probabilite de trouver une certaine valeur de AF (resp. At] est de 1'ordre de e-AF'F* (resp. e~At^}. 3.4.
Quelques generalisations du modele
Situation tridimensionnelle Jusqu'a present, seules les situations bidimensionnelles ont ete abordees avec le SAM. Rien n'interdit de le generaliser aux systemes en trois dimensions. A notre connaissance, ce travail a ete (independamment) entrepris par Flekkoy et Loggia22 en pavant le volume de I'empilement considere (un silo ou un tas) par un enchevetrement de deux reseaux bidimensionnels tels que nous les avons avons decrits jusqu'a present, a 90° 1'un de 1'autre. Sur chacun de ces deux sous reseau, la loi du SAM est appliquee. Ce choix est evidemment le plus simple mais il a 1'inconvenient de ne pas pouvoir concentrer les forces sur une seule ligne - deux au minimum. Pour plus de realisme, il serait preferable de se donner un reseau cubique a faces centrees cf. figure 79 - et de comparer les forces w\, w^ et w^ entre elles pour savoir si zero, un ou deux liens doivent etre coupes. Si une telle generalisation est interessante, on s'attend de toutes les manieres a retrouver des effets tres similaires a ceux deja presentes en deux dimensions dans les sous-sections precedentes. Van ante de Ni code ml Revenons a present au modele en deux dimensions. Nous avons vu dans la soussection 3.2 que la distribution P(w) des valeurs locales de la force Wi suivait une loi de puissance, en contradiction avec les simulations numeriques ainsi que les experiences qui montrent clairement que P(w) ~ e~@w pour w > (w). Nicodemi a recemment montre que cet effet du a la longueur potentiellement infinie des voutes crees par le SAM, pourrait etre controle en introduisant un nouveau parametre qu'il a appele S et qui donne la probabilite qu'un grain ne suive pas la loi de glissement du SAM [145,146]. Le modele, tel que nous 1'avons presente jusqu'a present est done tel que S = 0. Au contraire, le modele de Liu et al. est tel que 6 = 1. 22. Mais rien n'a encore ete publie...
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Figure 79. Schema (vu de dessus) du reseau cubique a faces centrees que 1'on pourrait utiliser pour la version tridimensionnelle du SAM. Chaque grain (en gris) possede trois voisins au-dessus (en noir) d'ou proviennent les trois forces w\, W2 et wz. II doit en transmettre la somme plus son propre poids a ses trois voisins du dessous (en blanc). En 1'absence de cisaillement trop fort, cette propagation se fait de facon aleatoire a 1'aide des trois facteurs de transmission q\, qi et q% tels que q\ + q^ + Qs = 1- Si au contraire la force w\ est par exemple beaucoup plus forte que les deux autres, les liens 2 et 3 sont coupes et qi = I. [Top view of the face centred cubic lattice we could use for the three dimensional version of the SAM. Each grain (in grey) has three upwards neighbours (in black) which apply three forces w\, wi and ws. It must transmit to its three downwards neighbours (in white) the sum of these three forces plus its own weight. Without any strong shear force, this transmission is random, with three coefficients qi, q-2 and q$ such that qi+qz + qs — 1. If on the contrary, wi is much larger than the two others for instance, links 2 and 3 are removed, and q\ = I j
Nicodemi a montre qu'alors la longueur moyenne des chaines23 £ est donnee par la formule £ ~ (1 — $)/$. Ceci a pour consequence que la distribution des forces locales P(w) a alors la forme suivante
oil les coefficients a et (3 dependent fortement de la valeur du parametre 6. En particulier, on trouve que (3 ~ — ln(l — <5) et que le signe de 1'exposant a passe de valeurs negatives quand 6 est proche de 1 a des valeurs positives lorsque 6 est au contraire proche de 0. Nicodemi a trouve que a est a peu pres nul pour 6 ~ 0,7, ce qui correspond a une longueur de correlation £ de 1'ordre de trois billes. La relation (3.101) est celle qui s'ajuste correctement aux donnees numeriques et experimentales [121,137,153,159-163,167,176,192,193]. 23. Plus precisement, la longueur de correlation des forces le long des diagonales du reseau.
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Figure 80. En faisant varier les parametres 5 et Rc, on pent passer d'un profil moyen de pression avec un minimum au centre du tas, a un profil avec un maximum. Id on a choisi de fixer Rc a la valeur Rc — 0,6. Les differentes valeurs de S sont indiquees en legende sur le graphs. Les calculs on ete faits avec un tas de hauteur H — 56 et de pente 4> = 30°. Les moyennes ont ete effectuees sur 10000 tas. [By changing the two parameters 6 and Rc, it is possible to get a pressure profile with or without a dip at the center of the pile. We chose to keep Rc at a fixed value Rc = 0.6. The different values of 5 are indicated on the plot. These curves have been obtained with piles of height H = 56 and slope
Cas du tas de sable On peut se demander ce que donne le SAM pour le cas d'un tas de sable. II est en effet interessant de savoir comment la regie de formation des voutes du SAM permet de creer au sein du tas une structure qui rejette ou non le poids des grains vers 1'exterieur. Autrement dit, la question est de savoir si le SAM permet de retrouver le profil moyen de pression avec un minimum au centre du tas ou pas cf. section 1 du chapitre 2. Nous avons fait tourner nos programmes en se laissant le choix du seuil de glissement Rc, ainsi que de la proportion 1 — S de grains concerned par cette loi de glissement. Ce que nous avons observe est qu'en fonction des valeurs de ces deux parametres, on peut passer d'une situation ou le profil moyen de pression sous le tas presente un minimum local au centre de celui-ci, a une situation ou ce profil a au contraire Failure d'une courbe en cloche avec un maximum au centre - cf. figure 80. Plus precisement, on peut tracer un veritable « diagramme de phase » dont les axes sont Rc et £, et ou la zone correspondante au minimum local est situee dans la region ou Rc n'est pas trop grand et <5 est petit. Autrement dit, cela signifie que cette depression locale au centre du tas apparait lorsque la tendance a former des voutes est forte et que beaucoup de grains participent a celles-ci.
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3.5.
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Conclusion
Dans cette section, nous avons montre comment on pouvait modifier le modele scalaire stochastique propose par Liu et al. pour rendre compte de la formation de voutes. Ce nouveau modele, baptise le SAM pour Scalar Arching Model, repose plus precisement sur une regie de glissement local qui ressernble a une loi de frottement solide. En effet, c'est lors du glissement d'un grain par rapport a ses voisins que celui-ci, en perdant alors un de ses contacts, participe a la creation d'une chaine de force. Le SAM permet ainsi, pour une realisation donnee du desordre, et pour une certaine valeur du seuil de glissement, d'engendrer une certaine configuration de voutes dans un silo. Nous avons montre que cette modelisation decrit qualitativement 1'ensemble des donnees experimentales de Vanel et al. sur les silos : masse apparente Ma qui pese sur le fond de ce silo en fonction de la masse de grain versee Mv, dispersion de ces mesures, et meme 1'effet de surcharge. Nous avons egalement mis en avant le fait que le reseau de voutes ainsi cree est fragile, dans le sens oil il peut se rearranger tres facilement a la suite de petites perturbations exterieures, comme des variations de temperature ou des sollicitations mecaniques. Dans notre modele, les rearrangements se font de fagon brutale et nous les avons appeles des avalanches statiques en reference au processus de formation d'un voute au sein du SAM. Cette grande sensibilite se traduit egalement par de grandes fluctuations de Ma. C'est encore cette propriete qui est a 1'origine du mouvement de stick-slip irregulier que 1'on observe lorsqu'on essaie de pousser des billes vers le haut dans un tube vertical a 1'aide d'un piston. Ainsi, meme si ce modele est certainement trop simple et trop caricatural pour esperer pouvoir decrire de maniere quantitative la distribution et les fluctuations des contraintes dans les materiaux granulaires, il fournit une bonne interpretation qualitative des phenomenes lies a la physique des voutes.
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Le but de cet article etait de proposer une nouvelle approche pour decrire la maniere dont les forces se propagent et fluctuent dans les milieux granulaires statiques. Or, ce n'est pas une tache aussi aisee qu'on pourrait le croire na'ivement. En effet, les seules equations d'equilibre V • g_ = pg ne permettent pas de determiner entierement la distribution des contraintes dans ces materiaux. Celle-ci depend en fait de Vhistoire du systeme considere, c'est-a-dire de la maniere dont celui-ci a ete construit et sollicite. II s'agissait done de trouver une fagon de completer ces equations en tenant compte de la structure interne de ces materiaux. Cette structure se presente sous forme de voutes, c'est-a-dire de chaines de contacts le long desquelles les forces se propagent de maniere privilegiee. Elle est particulierement bien visible sur les photos d'empilements de grains photoelastiques - comme le plexiglas - places entre deux polariseurs croises. La repartition des forces est alors tres inhomogene : la majorite du poids des grains est supportee par les grains au sein de ces voutes alors que les autres ne sont pratiquement pas sous contrainte. La geometric et 1'arrangement precis de ces voutes dependent du passe de Tempilement considere. En effet, les contacts entre les grains vont s'orienter en suivant la maniere dont ceux-ci, d'abord en mouvement, se sont retrouves bloques dans une situation d'equilibre. La structure de ces voutes est done le reflet des contraintes imposees a ce systeme. Pour decrire qualitativement ces effets, nous avons montre qu'une maniere de completer le systeme des equations d'equilibre consiste a ecrire une relation phenomenologique de friction entre les voutes. Cette relation s'exprime, en termes du tenseur des contraintes cr^, par anm = tan^(j nn , ou ip represente Tangle de friction entre voutes et ou les axes (m, n] ont ete tournes d'un angle r par rapport a la verticale, m representant la direction de la voute. Cette relation est formellement analogue a la loi du frottement solide d'Amontons-Coulomb, ou bien au critere de plasticite de Mohr-Coulomb, mais avec une forte anisotropie. En effet, si designe Tangle de friction interne du materiau granulaire considere, on a ^ < 0, indiquant par la que le glissement est plus facile le long des voutes. Si le mode de construction de Tempilement considere est quelconque, cette relation de friction est, en pratique, compliquee a ecrire car les voutes partent dans tous les sens, elles se branchent en certains endroits, se croisent a d'autres... Par contre, lorsque la procedure est sumsamment simple, on peut esperer que cette relation s'applique simplement - au moins en moyenne. C'est Thypothese
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que nous avons faite pour le cas pour un tas de sable construit avec un entonnoir ou bien en couches horizontales success!ves, et les deux angles ip et r peuvent alors etre choisis constants dans tout I'empilement. L'ajout d'une telle relation liant les composantes du tenseur des contraintes entre elles aux equations differentielles traduisant I'equilibre des forces, donne a ces dernieres un propriete remarquable : I'hyperbolicite. Or, les equations hyperboliques - comme les equations d'onde - possedent des caracteristiques, c'est-a-dire des lignes privilegiees le long desquelles se propage « I'information » provenant des bords du systeme. Dans notre modele, ces caracteristiques coincident avec les voutes. Autrement dit, en ecrivant cette relation de friction, on caique la structure propagative mathematique du modele sur la structure physique qui vehicule les forces. On peut ainsi avoir une description continue qui garde dans ses proprietes la trace de la structure interne inhomogene de ces materiaux. Cette modelisation contraste avec I'approche traditionnelle issue de la mecanique de sols, ou la determination des contraintes dans un milieu granulaire se fait de fagon dynamique au moyen de lois de comportement rheologique. La solution statique n'est done obtenue qu'en fin de calcul et Interpretation de ces lois de comportement en termes de la structure interne de ces materiaux n'est pas claire. Notre modele ne predit pas de valeur pour T/> et T. Ces deux coefficients sont au contraire ajustables aux donnees experimentales considerees. Nous avons ainsi teste nos modeles sur les experiences de Smid et Novosad, ainsi que sur celles de Brockbank, Huntley et Ball, qui ont mesure - avec des techniques experimentales tres differentes - le profil moyen de pression sous un tas de sable construit a 1'aide d'un entonnoir. Ces auteurs ont montre que ce profil presente un net minimum au centre du tas, c'est-a-dire sous la plus grande hauteur de sable, minimum que nous avons pu reproduire avec succes. Vanel, Howell, Clement et Behringer ont egalement mesure ce profil pour un tas construit en couches horizontales et ont montre que, dans ce cas, le minimum disparait pour laisser place a un plateau. Ce plateau fait egalement partie des solutions possibles de notre modele. Get accord entre theorie et experiences renforce Interpretation que Ton peut en faire en terme de voutes : lors de la construction du tas, se cree un structure interne qui rejette plus ou moms le poids des grains vers 1'exterieur de ce tas, « protegeant » ainsi le centre de celui-ci. Nous avons egalement ajuste notre modele aux donnees de Vanel et Clement issues d'experiences sur les silos. Dans ce cas, on mesure la masse apparente qui pese sur le fond d'un silo en fonction de la masse versee dans ce silo. Celle-ci n'est en effet qu'une fraction de celle-la car les voutes qui vehiculent le poids des grains viennent s'appuyer sur les parois du silo et y transferent une partie de leur charge. Nous avons montre que notre modele ameliore le vieux modele d'ecrantage de Janssen, notamment en decrivant correctement les effets de surcharge qui induisent une variation non monotone de la masse apparente en fonction de la masse versee. La maniere la plus directe de verifier les proprietes hyperboliques de ces modeles serait de mesurer la reponse moyenne d'une couche de grains de hauteur h a une surcharge localisee en un point. Nous predisons alors un double pic de pression situe de part et d'autre de la verticale issue du point de surcharge, les deux pics
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etant distants d'une longueur d'ordre h. Une alternative, peut-etre plus facile a mettre en oeuvre experimentalement, serait de mesurer la fonction de correlation a deux points de la pression sous cette meme couche, mais maintenant soumise a une surcharge aleatoire non localisee. Cette fonction devrait varier de fagon non monotone avec un regain de correlation lorsque les deux points de mesures sont distants de cette longueur inter-pic. Une autre propriete des materiaux granulaires est que les fluctuations des contraintes y sont tres grandes : 1'ecart type de ces fluctuations par rapport a la force moyenne est typiquement de 1'ordre de la moyenne elle-meme ! En outre, de petites perturbations (comme de faibles variations thermiques ou sollicitations mecaniques) suffisent a les engendrer. Nous avons montre que la presence de desordre dans nos equations ne changent qualitativement pas leurs proprietes : les pics des fonctions de reponse et de correlation sont seulement elargis de maniere « diffusive ». Cependant, nous avons observe qu'apparaissent alors, meme a faible desordre, des pressions negatives, ce qui n'est pas physiquement acceptable pour des grains durs et non cohesifs tels que nous les considerons ici. Ce probleme s'interprete en fait comme une instabilite : le systeme doit localement se rearranger pour retrouver une situation stable. Plus generalement, nous avons ete amenes a qualifier ces materiaux de fragiles : leur structure interne en voutes s'est structured au gre des sollicitations exterieures. Si celles-ci changent, cette structure est en general inadaptee a les supporter et les voutes doivent evoluer vers une autre configuration qui peut tres bien se rearranger a son tour, etc. Ceci se comprend bien au sein de ces equations hyperboliques : considerons une couche de sable ayant une certaine structure interne que Ton suppose decrite par notre modele pour deux valeurs particulieres de T et •0. Si Ton impose certaines contraintes a la surface de cette couche, ce qu'on mesure au bas de celle-ci est parfaitement determine et depend des valeurs de T et t/>. Si maintenant, sans changer les contraintes de surface, on impose egalement des contraintes sur le bas de la couche qui sont differentes de celles que Ton a mesure precedemment, le systeme n'admettra pas, en general, de solution pour ces memes T et ip, mais plut6t pour d'autres valeurs T' et ip' - dans le cas general, ces angles dependent de la position (x, z ) . Ceci signifie bien que la structure doit se rearranger pour supporter les nouvelles contraintes. Ann de mieux visualiser la geometrie de ces voutes dans les situations desordonnees, et pour mieux comprendre les liens entre leurs rearrangements et les fluctuations des contraintes, nous avons propose un modele scalaire de voutes tres simple, baptise le SAM. Ce modele est scalaire dans le sens ou 1'on ne considere qu'une seule composante du tenseur des contraintes : la pression verticale - i.e. le « poids » des grains. Dans ce modele, les grains sont places sur un reseau regulier : chaque grain a deux voisins au-dessus et deux voisins au-dessous de lui. La principale regie de propagation des contraintes est alors la suivante. Chaque grain collecte les forces qui viennent de ses deux voisins du dessus, y ajoute son propre poids, et transmet une fraction aleatoire q+ du total a son voisin du dessous de droite, et la fraction complementaire g_ = 1 — q+ a son voisin du dessous de gauche. A ce stade, le modele considere est celui propose par Liu et al. du groupe
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de Chicago, et ne presente pas d'effet de voute. Nous avons done rajoute la regie suivante. Si la difference relative des deux forces qui arrivent sur un grain excede un certain seuil Rc, alors le total des forces n'est transmis qu'au seul voisin du dessous du grain considere, situe dans le prolongement de la plus grande des deux forces incidentes. L'autre ne recupere rien. Cette seconde regie equivaut a une loi de friction ou Ton a identifie la difference des deux forces a un cisaillement : lorsque celui-ci est trop fort, il y a « glissement » et un contact entre grains est perdu. Un tel processus fait boule de neige, et se cree ainsi une longue voute dans le sens du « cisaillement ». Pour un jeu de q+ et g_, ainsi que pour une certaine valeur du seuil de glissement Rc, on obtient un certain reseau de voutes qui se rearrange tres facilement si 1'on change tres peu la valeur de Rc par exemple. En fait, nous avons montre qu'au sein de ce modele, les petits comme les grands rearrangements sont aussi probables. Le SAM possede en outre quasiment toutes les proprietes moyennes de nos modeles tensoriels : il reproduit correctement 1'apparition d'une depression au centre du tas si Rc est suffisamment petit - c'est-a-dire si la tendance a former des voutes est suffisamment grande -, redonne un ecrantage dans les silos de type Janssen, et predit aussi cet effet de surcharge. De plus, il predit une variation tres realiste de la dispersion des mesures de masse apparente au bas d'un silo en fonction de la masse de grains verses dans ce silo. Nous avons egalement adapte ce modele a la situation ou 1'on essaie de pousser des grains dans un tube vertical a 1'aide d'un piston. Cette situation est en effet etudie experimentalement par Kolb, Mazozi, Duran et Clement. On observe un mouvement de stick-slip irregulier ou s'alternent des moments de blocage pour lesquelles la configuration interne des voutes est telle qu'elle peut resister a la pression du piston, et des moments de glissement oil les voutes ne resistent pas. Ce phenomene, qui illustre la fragilite de 1'empilement, est qualitativement bien reproduit par notre modele. Nous avons ainsi propose des modeles de propagation et de fluctuation des contraintes dans les milieux granulaires qui « collent » au plus pres a la structure en voutes de ces materiaux. S'ils permettent de reproduire correctement les effets d'histoire et de fragilite que 1'on observe experimentalement, il faut cependant bien noter que ceux-ci sont purement statiques. Les parametres qui les caracterisent restent ainsi ajustables aux donnees experimentales, ce qui reduit grandement leur pouvoir predictif. Ainsi serait-il extre"mement interessant d'etendre cette modelisation a des situations dynamiques. Une des possibilites pour parvenir a ce but serait de decrire 1'evolution de 1'orientation moyenne des contacts entre grains, c'est-a-dire du tenseur de texture du systeme, en fonction des sollicitations que 1'on impose a celui-ci - cf. [158,164]. Nous avons en effet montre qu'une fois connue la « structure interne » - i.e. la texture - d'un empilement, on peut remonter a la distribution des contraintes qui y regnent au moyen de lois de frottement effectives. Un tel scenario fournirait un passage entre la dynamique a 1'echelle microscopique - celle des grains - et celle observee a des tailles macroscopiques dans les experiences de laboratoire. Ce serait egalement un pas qui permettrait une comparaison serieuse avec les methodes issues de la mecanique des sols.
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Bon nombre de questions restent egalement encore ouvertes. En particulier, on aimerait savoir s'il existe une transition entre un regime de type « propagatif » ou les phenomenes physiques s'interprfitent bien en termes de voutes, et un regime « elastique » ou celles-ci ne jouent plus grand role. Si c'est le cas, qu'est-ce qui controle le passage entre ces deux regimes (la cohesion, la friction, la rigidite de ces grains ?), et quelle est 1'echelle de longueur qui les separe ? Bref, il y a encore beaucoup de travail a faire, et ce n'est certainement pas la fin de ces histoires de tas de sable ! Remerciements Get article resume les travaux que j'ai effectues d'abord au Cavendish Laboratory a Cambridge (UK) puis lors de ma these de doctorat au Service de Physique de 1'Etat Condense du CEA Saclay sous la direction de J.-Ph. Bouchaud que je tiens a remercier tres chaleureusement pour ses qualites scientifiques et humaines extraordinaires. C'est egalement une grande chance que j'ai eue de pouvoir collaborer tres activement avec M.E. Gates de 1'universite d'Edinburgh et J.P. Wittmer de 1'universite de Lyon I d'une part, et le groupe experimental du Laboratoire des Milieux Discrets et Heterogenes de 1'universite Paris VI - E. Clement, J. Duran, E. Kolb, J. Rajchanbach et L. Vanel - d'autre part. Je leur dois a tous une partie de ma these et je voudrais leur exprimer toute ma gratitude.
Ph. Claudin
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Cette page est laissée intentionnellement en blanc.
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Ann. Phys. Fr. 24 • N° 2 • 1999
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Annales de Physique AIMS AND SCOPE • Astronomy - Astrophysics • Atomic and Molecular Physics • Classical and Quantum Optics • Quantum Physics • High Energy Physics • Condensed Matter • Nuclear Physics • Statistical Physics Volume 24 (6 issues) Print and full-text online edition ISSN 0003-4169
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