Problemi di Fisica (UNITEXT Collana di Fisica e Astronomia)

Collana di Fisica e Astronomia

Acura di: Michele Cini Stefano Forte Massimo Inguscio Guido Montagna Oreste Nicrosini Franco Pacini Luca Peliti Alberto Rotondi

Michelangelo Fazio

Problemi di Fisica

~ Springer

MICHELANGELO FAZIO

Dipartimento di Fisica Universita degli Studi di Milano

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Springer-Verlag Italia, Milano

2008

ISBN 978-88-470-0795-6 e-ISBN 978-88-470-0796-3 Quest'opera e protetta dalla Iegge suI diritto d'autore. Tutti i diritti, in particolare quelli relativi alla traduzione, alla ristampa, all'uso di figure e tabelle, alla citazione orale, alla trasmissione radiofonica 0 televisiva, alla riproduzione su microfilm 0 in database, alla diversa riproduzione in qualsiasi altra forma (stampa 0 elettronica) rimangono riservati anche nel caso di utilizzo parziale. Una riproduzione di quest'opera, oppure di parte di questa, e anche nel caso specifica solo ammessa nei limiti stabiliti dalla legge suI diritto d'autore, ed e soggetta all'autorizzazione dell'Editore. La violazione delle norme comporta sanzioni previste dalla legge. L'utilizzo di denominazioni generiche, nomi commerciali) marchi registrati ecc.) in quest'opera, anche in assenza di particolare indicazione, non consente di considerare tali denominazioni 0 marchi liberamente utilizzabili da chiunque ai sensi della legge suI marchio. CD a opera di Michelangelo Fazio con la collaborazione tecnica di Valter Giuliani Progetto grafico della copertina: Simona Colombo, Milano Impaginazione: Studio Ferrari, Milano Stampa: Grafiche Porpora, Segrate, Milano Stampato in Italia Springer-Verlag Italia s.r.l., Via Decembrio) 28

- 20137

Milano

Prefazione

L'introduzione delle lauree triennali ha in molti casi costretto i docenti a ridurre drasticamente il numero di ore di insegnamento e quindi l' estensione dei programmi dei corsi di Fisica. In questa volumetto mi sono proposto di esporre sinteticamente rna con il massimo rigore possibile il corso di Fisica Generale I evitando Ie dimostrazioni delle leggi fisiche, rna dando la priorita aIle applicazioni di tali leggi e allo svolgimento di esercizi, che in genere viene trascurato in molti corsi. Ho quindi cercato di presentare i fenomeni fisici sottolineando, dove possibile, la loro presenza nella vita quotidiana e Ie lora pili semplici e immediate applicazioni, consentendo in tal modo agli studenti di vedere la Fisica non pili come una interminabile serie di formule rna come un nuovo modo di interpretare e di capire i fenomeni naturali inanimati (del resto, non dobbiamo dimenticare che il termine greco da cui deriva il suo nome e <j>tata,fisis, ovvero "natura"). II contenuto e completo, comprendendo anche quei capitoli che vengono trascurati da molti docenti, quale la meccanica relativa, i fluidi, la termodinamica dei cicli... Al termine di ogni capitolo viene riportato un formulario che riassume sinteticamente Ie leggi pili importanti esposte nel capitolo, premessa questa indispensabile per permettere allo studente la risoluzione di problemi che segue. I problemi proposti sono interamente svolti e commentati criticamente sottolineando i punti di maggiore difficolta e sono preceduti da una serie di suggerimenti sia per i docenti sia per gli studenti. Una molto pili ricca raccolta di problemi e presentata nel compact disc allegato al volumetto. Aprile 2008

Michelangelo Fazio Universita di Milano

Sommario

Introduzione Consigli agli studenti e

1

ai docenti per risolvere un problema

Vettori

5

Operazioni tra vettori Versori

5 6 7

Problemi

2

3

1 1

Cinematica Moto rettilineo uniforme Moto uniformemente accelerato Moto circolare uniforme Moto circolare uniformemente accelerato Moto curvilineo Moto armonico semplice Piano inclinato Moto dei gravi Uniffi di misura

13 14 15 15 16 16 17 17 18 19

Problemi

19

Dinamica del punto

27 27 27 27 28 28 28 28 29 29 29 31 31

uggi di Newton Risultante di forze Forza peso Tensione di fili, funi eCCe ugge di Hooke Misura di pesi e di masse Collegamento di molle Pendolo semplice Condizioni di equilibrio traslatorio Diagramma di corpo libero Uniffi di misura

Problemi

VIII

4

5

Sommario

Lavoro ed. energia

37

Lavoro di una forza variabile Lavoro di una forza costante Lavoro elementare Energia cinetica Teorema dell'energia cinetica (0 delle forze vive) Forze conservative Teorema dell'energia potenziale Energia potenziale elastica Energia potenziale di gravita (con g costante) Principio di conservazione dell'energia meccanica Potenza Unim di misura Problemi

.37 37 37 37 38 38 38 38

Quantita di moto. Centro di massa. Dinamica impulsiva Quantita di mota Forze impulsive Urti Centro di massa Teorema del mota del centro di massa Unim di misura Problemi

6

Meccanica relativa Velocita nel mota relativo Accelerazione nel mota relativo Sistemi di riferimento inerziali Problemi

7

Dinamica dei corpi rigidi I equazione cardinale della dinamica dei corpi rigidi II equazione cardinale della dinamica dei corpi rigidi Momento angolare di un corpo in rotazione Condizioni di equilibrio di un sistema e sistema isolato Teorema di Huygens-Steiner, 0 degli assi paralleli Pendolo composto Pendolo di torsione Asse di istantanea rotazione Unim di misura SI Problemi

8

Meccanica dei fluidi Pressione Principio di isotropia delle pressioni locali

.39 .39 39 39 40 47 47 47 48 48 49 49 49 65 65 65 66 67

75 76 76 76 76 76 76

77 77 77 77

91 91 91

Sommario

Principio di Pascal Principio di Archimede Tensione superficiale ugge di Jurin-Borelli ugge di Newton sulla viscosita ugge di comprimibilita Regimi di mota dei fluidi ugge di Torricelli Regime microvorticoso ugge di Stokes Uniffi di misura

Problemi

9

Gravitazione uggi di Keplero ugge di gravitazione universale Newton e la terza legge di Keplero L'accelerazione di graviffi Campo gravitazionale Energia potenziale gravitazionale Energia totale gravitazionale Principi di conservazione nel mota dei pianeti Uniffi di misura

Problemi

10

Termologia uggi di dilatazione Scale termometriche uggi dei gas perfetti Propagazione del calore Calore specifico Capacita termica Sorgente di calore Equilibrio termico di miscele Cambiamenti di stato Dipendenza della temperatura dei cambiamenti di stato dalla pressione estema Uniffi di misura

Problemi

11

Teoria cinetica dei gas perfetti Nomenclatura Principio di equipartizione dell'energia Distribuzione delle velocita molecolari secondo Maxwell-Boltzmann

IX

91 91 92 92 92 92 93 94 94 94 95 95 107 108 108 109 109 110 112 113 114 115 115 121 121 121 122 122 122 123 123 123 124 125 125 126 131 131 133 133

X

12

Sommario

Uniffi di misura Problemi

134 134

Primo principio della termodinamica

139 139 140 142 142 143 145 146 146 147

Carattere di una trasformazione Lavoro di espansione Nomenclatura delle trasformazioni Primo principio della termodinamica Espansione libera di un gas perfetto E<}uazioni di Poisson Trasformazioni politropiche Uniffi di misura Problemi

13

Secondo principio della termodinamica. Cicli. Entropia Macchina operante tra due temperature Teorema di Carnot Disuguaglianza di Clausius Entropia Piano di Gibbs Uniffi di misura Problemi

14

Gas reali. Potenziali termodinamici E<}uazione di van der Waals per i gas reali Parametri critici Energia intema dei gas reali Effetto Joule-Kelvin Dipendenza della tensione di vapore dalla temperatura Uniffi di misura Problemi

15

Oscillazioni e onde armoniche Come nasce un' onda E<}uazione del raggio Dnde piane e onde sferiche Intensita di un'onda Fenomeni caratteristici delle onde Dnde sonore Fenomeni ondosi Effetto Doppler Tubi sonori. Corde vibranti Risonanza Uniffi di misura SI Problemi

155 156 158 159 159 162 163 163 169 169 170 170 170 171 171 171 175 176 176 177 177 178 178 179 180 181 183 184 184

Sommario

16

Teoria degli errori

Propagazione degli errori Distribuzione binomiale Distribuzione di Poisson Problemi

17

Calcolo dimensionale Criterio di omogeneita dimensionale Criteri di scelta delle grandezze fondamentali Problemi

XI

191 192 193 193 193 197 197 197 199

Cronologia della fisica

203

Unim di misura e dimensioni delle grandezze fisiche

209

Introduzione

Consigli agli studenti e... ai docenti per risolvere un problema

L'imporlanza delle ipotesi Lo studente deve essere condotto per mana dal docente, il quale deve preoccuparsi di presentare il testo del problema con la massima chiarezza, con completezza di dati e senza mai lasciare dubbi sulla natura del processo esaminato, sulle ipotesi necessarie per poterlo trattare, su che cosa si pub trascurare e che cosa invece si da per scontato. E molto importante l' attenta lettura del testa da parte della studente, che deve saper pesare attentamente qualunque sfumatura (aggettivi e avverbi compresi) . Molto spesso nel testa di un problema si parla di molle 0 di fili precisando raramente che s'intendono molle 0 fili ideali; si parla di "gas" senza precisare se reali o perfetti; si parla di pendoli senza chiarire se semplici 0 composti e neppure se stanno oscillando ad angoli piccoli 0 meno; nello studio di un mota si da troppo frequentemente per scontato che Ie costanti iniziali del mota siano nulle, corne altrettanto spesso non si ritiene necessario precisare se gli attriti sono trascurabili 0 meno, se Ie carrucole sono lisce e prive di massa, 0 se la resistenza dell' aria debba essere tenuta in considerazione; in altri casi ancora, si parla genericamente di mota senza precisare se il piano in cui avviene e orizzontale 0 verticale, oppure si pretende che 10 studente calcoli il momenta d'inerzia di un'asta senza aver precisato se e omogenea e uniforme.

La soluzione letterale Lo studente tende generalmente a inserire subito nelle leggi fisiche i valori numerici dati dal testa del problema e in tal modo perde di vista il significato del risultato ottenuto: non si accorge se una soluzione perde significato all' annullarsi di un denominatore per certi valori dei parametri e neppure vede se un discriminante diventa negativo 0 nullo. L'inserimento immediato dei dati numerici impedisce di svolgere la discussione sui limiti di validita delle soluzioni trovate.

2

Introduzione

E percio indispensabile che gli studenti si abituino aHo svolgimento solo letterale del problema e a sostituire i valori numerici solo nell'ultima formula ricavata; questa modo di procedere consente anche il controllo dimensionale e quindi di scoprire la presenza di eventuali errori.

I dati ridondanti... Talvolta in un problema vengono forniti dati numerici del tutto inutili e 10 studente entra in crisi perche e convinto di doverli utilizzare a tutti i costi e non ci riesce. In alcuni casi si tratta di una trappola tesa dal docente per verificare illivello di sicurezza dello studente ed e una scelta che personalmente non condivido, poiche e ben raro che uno studente si trovi in una prova scritta nelle migliori condizioni per individuare trabocchetti. In altri casi, purtroppo molto frequenti, invece, l'insegnante propone il problema senza prima provare a risolverlo e nel dubbio ha pensato bene di fornire qualche dato in piu, rna anche questa non mi trova d'accordo .

...e queIii mancanti In molti casi la soluzione del problema e indipendente da certe grandezze che 10 studente ritiene invece indispensabili: e il caso della massa di due oggetti identici che entrano in collisione e la cui velocita dopo l'urto e del tutto indipendente dalla massa.

Effetti dannosi della premura Un difetto comune alIa maggior parte degli studenti e di pretendere di trovare subito una formula che fornisca la grandezza incognita, senza tentare di costruire percorsi piu 0 meno elaborati che conducano gradualmente aHa soluzione. Qui e fondamentale la funzione del docente che deve dare una traccia, mediante 10 svolgimento di molti esempi, di quali sono i metodi da seguire caso per caso.

II riconoscimento Un altro ostacolo aHe capacita di svolgere un problema e la generale incapacita degli studenti di riconoscere una legge fisica se appena viene presentata in modo leggermente diverso da queHo tradizionalmente esposto nei libri di testo; ho per

Consigli agli studenti e... ai docenti per risolvere un problema

esempio sperimentato che se si da una legge di moto del tipo v

3

=-E , chiedendo

Ie costanti iniziali del mota e il tipo di moto, solo una modesta percentuale di studenti e in grado di riconoscere un mota uniformemente accelerato e di capire che tali costanti sono nulle. AHo stesso modo, se si da una relazione del tipo a + 2x = 0 (precisando il sistema di unita di misura usato) eben difficile che 10 studente si accorga che si tratta, nelIe stesse unita di misura di un mota armonico con pulsazione

OJ

= h.

Analogie pericolose Certe tecniche di soluzione di un problema, una volta apprese in un capitolo della fisica hanno validita generale: cio accade per esempio, per il calcolo delle componenti di un vettore 0 per 10 studio della legge del moto. Spesso pero 10 studente e tentato di applicare certe tecniche anche quando non e possibile: un esempio tipico e quello del doppio piano inclinato nel quale due blocchi sono collegati da un filo ideale; dati gli angoli e i coefficienti di attrito dei piani e Ie masse dei blocchi, non si puo quasi mai stabilire a priori quale dei due blocchi trascinera l' altro e alIo studente non resta che scegliere a caso un verso di moto, scrivere Ie equazioni di movimento utilizzando il diagramma di corpo libero e calcolarsi l'accelerazione. Le cose vanno bene se l' accelerazione risulta positiva, mentre sono guai se essa risulta negativa, poiche la tentazione dello studente e in genere di concludere incautamente che non sara il blocco prescelto a trascinare l' altro, rna esattamente il contrario, limitandosi a cambiare verso al mota rna convinto che l' accelerazione calcolata sia in modulo esatta; in realta, COS! operando, 10 studente non si rende conto che e necessario riscrivere interamente Ie equazioni di moto, perche non tutti i segni cambiano invertendo la direzione di mota scelta in un primo tempo: cambieranno verso e segno la forza di attrito e l' accelerazione, rna non Ie componenti del peso lungo i piani e Ie tensioni. Ben diversa e invece la situazione nel caso dei circuiti elettrici, dove, applicando i principi di Kirchhoff e attribuendo a caso i versi delle correnti, se qualcuna di esse risulta negativa basta invertirne il verso, rna con 10 stesso valore assoluto.

La concretezza del problema Per interessare 10 studente a un problema di fisica e opportuno non ricorrere troppo spesso a problemi Ie cui soluzioni non offrono alcuna possibilita di riscontro numerico con fatti osservabili nella vita quotidiana, rna rifarsi invece a problemi che possano interessare I' allievo facendogli capire come i risultati della corretta applicazione delle leggi fisiche siano in accordo con Ie nostre osservazioni reali di un fenomeno fisico.

4

Introduzione

Per esempio, in generale gli studenti non hanno la minima idea dei valori di accelerazione delle auto; la maggior parte di essi econvinta che i potenti motori di una macchina di Formula 1 possano fornire accelerazioni pari a 10-20 volte g. Invece di limitarci alIa banale applicazione delle equazioni di Galileo suI mota uniformemente accelerato, perche allora non provare a far vedere agli allievi che un'auto che si porta da 0 a 100 kmIh in 10 s, nell'ipotesi di accelerazione costante, ha un'accelerazione di 2,8 rn/s2 e che la stessa auto percorre 1 Ian da fermo in 26,8 s? Allo stesso modo, oltre a far calcolare agli allievi la potenza del motore di una pompa per espellere l' acqua da una miniera, perche non provare a far loro calcolare anche la minima potenza che deve avere il motore di una fuoristrada per superare una pendenza costante con una data velocita costante? In tal modo possono rendersi conto che i risultati del calcolo teorico coincidono con quelli reali. E ancora, ~Itre a far calcolare la potenza dissipata da un circuito elettrico puramente teorico, perche non convincere gli studenti, con Ie leggi di Ohm, Kirchhoff e Joule alIa mano, che con un contatore domestico da 2,5 kW non possiamo far funzionare contemporaneamente 10 scaldabagno elettrico, il forno a microonde, la lavatrice, la lavastoviglie e il termoventilatore? Oppure potremmo facilmente dar loro una chiara idea delle dispersioni nell'isolamento termico di un boiler elettrico facendo calcolare quanta tempo in teoria e necessario per riscaldare 80 I d' acqua da 20 a 60°C con una potenza di 2 kW e facendo notare la sensibile differenza tra il tempo calcolato (6700 s) e quello reale (almeno 9000 s). Infine, un suggerimento utile per gli studenti nella soluzione degli esercizi e di introdurre incognite "ausiliarie", grandezze di cui non si conosce il valore rna che, se il procedimento seguito ecorretto, aHa fine scompaiono semplificandosi.

1 Vettori

Sono cosl chiamate queUe grandezze fisiche caratterizzate da tre parametri, un valore numerico in opportune unita di misura, detto modulo, una retta che individua la direzione, un senso di percorrenza su essa che individua il verso. In alternativa ai vettori, esistono grandezze dette scalari, individuate completamente dal solo valore numerico, sempre seguito da un'opportuna unita di misura. Esempi di vettori sono la velocita, la forza, la posizione, 10 spostamento, la quantita di moto, il momenta meccanico, mentre sono scalari la superficie, la densita, la temperatura, l'energia, il tempo, la potenza.

Operazioni tra vettori Si pub istituire un' algebra vettoriale che ripropone con opportune convenzioni Ie operazioni algebriche tradizionali; non sono definite per i vettori la divisione e la potenza.

Somma

s=a+b

s = ~ a + b + 2a b cos (J

(1.1)

Differenza

d=a-b

d = ~ a2 + b2

(1.2)

2

2

-

2a b cos (J

(1.3)

Componenti cartesiane (1.4)

ax, a y , a z sono i componenti del vettore a, mentre ax, a y e a z sono le componenti di a.

6

1 Vettori

Versori Vengono cosl chiamati quei vettori di modulo unitario diretti e orientati lungo gli assi cartesiani x, y e z. La loro utilita e quella di poter scrivere un vettore mediante Ie componenti, anziche mediante i componenti. Si indicano rispettivamente con i,i eke si pub scrivere indifferentemente (1.5)

dove

Iii = Iii = Ikl = 1. Valgono inoltre per i prodotti misti tra versori Ie seguenti proprieta:

ixi = jxj = kxk = 1 ixj =jxk= kxi= 0 iAj = k, iAk = j, k Aj = i.

Prodotto vettoriale Si istituisce tra due vettori a e b un' operazione con la quale si ricava un nuovo vettore c indicato con il simbolo c = a A b che ha la proprieta di essere perpendicolare al piano contenente a e b e ha per modulo c = a b sine, ovvero

ex: ayb =aZby cy-aZb axb { = aXbxy - aybz Z

c=aAb

Icl=c=absine,

(1.6)

x I tre vettori del prodotto vettoriale sono correlati per quanta riguarda direzione e verso dalla regola della mano destra, secondo la quale il vettore c e perpendicoIare al piano contenente a e b: prese Ie prime tre dita della mana destra, c e diretto lungo il pollice, a Iungo l'indice e b lungo il medio e illoro verso e quello verso l'unghia. Cz

indice

medio

a

Prodotto vettoriale

b

a=b/\c

c

pollice

Fig. 1.1.

Problemi

7

Per ricordare Ie espressioni delle tre componenti del vettore c esiste una regola mnemonica che consiste nel costruire un determinante simbolico del III ordine avente nella prima riga i tre versori i,j, k, nella seconda Ie componenti del vettore a e nella terza quelle del vettore b; i tre minori di tale determinante forniscono nell'ordine Ie componenti del vettore c, come sotto: j

k

Prodotto misto tra un vettore e uno scalare Dati un vettore a e uno scalare k si chiama prodotto misto tra i due il vettore ka che ha per modulo ka, per direzione quella di a e verso quello di a 0 quello opposto a seconda che k sia positivo 0 negativo.

Problemi 1.1. Su una cassa ferma suI pavimento spingono contemporaneamente due ragazzi, uno con una forza F I = 100 N, l'altro con una forza F2 = 173 N, come in figura 1.2. Calcolare la forza risultante sulla cassa, in modulo, direzione e verso . ....................................................................... A

F

I

c Fig. 1.2.

La forza F e il risultante delle due forze Fled F 2; possiamo calcolarne il modulo secondo la (1 .5), ottenendo F = F;.2 + F2 = 10000 + 30000 = 40000 N 2, 2

2

F= 200N.

8

1 Vettori

Poiche nel triangolo rettangolo ABC il cateto AB (= F1) nusa AC (= F), l' angolo a sara di 30° .

e lungo la meta dell'ipote-

1.2. Un'auto si muove verso est per un tratto a = 40 km, quindi verso sud per un tratto b = 30 km, infine verso ovest per un tratto c = 10 km. Calcolare il modulo della spostamento risultante, precisandone anche la direzione e il verso.

o

a

b

H

K

c

Fig. 1.3.

Lo spostamento risultante e il vettore s che chiude la spezzata costituita dai tre vettori a, b, c, orientato da 0 verso K. Dalla figura 1.3, OK = b = 30 km, KH = 40 -10 = 30 km, quindi il triangolo rettangolo OKH e anche isoscele e sara a = 45° la direzione del vettore s. Inoltre, e s = ~ OK + KH 2

1.3. Dati i due vettori a

= 2 (i +

2

= ~ 1800 = 42,4 km.

J3j) m e b

= 2 (J3 i + j) m, calcolare:

prodotto scalare, b) il prodotto vettoriale. y

ay

o

x

Fig. 1.4.

a) il

Problemi

9

a) II vettore a ha modulo

a=~4+12 =4 m. II vettore b ha modulo

b=~12+4 =4 m. Con riferimento alIa figura, essendo la componente ax pari alIa meta del modulo di a, il vettore a forma un angola di 60° con l'asse x; allo stesso modo, e facile verificare che l'angolo formato dal vettore b con l'asse x e 30°. II prodotto scalare tra i due vettori, essendo 30° l' angola tra essi, vale quindi

J3

2

axb=abcos300=4·4·-=13,84 m . 2

b) II prodotto vettoriale ha per modulo

la 1\ bl = ab sin 0 = 4 . 4 . 0,5 = 8 m

2

,

la direzione, essendo i due vettori entrambi giacenti nel piano (x,y), e quella delI' asse z, mentre il verso, applicando la regola della mana destra, risulta entrante nel piano della pagina.

1.4. Dati i due vettori perpendicolari a = (3,1,-4) m e b = (x, 2, 1) m, calcolare: a) x , b) il modulo delloro prodotto vettoriale.

a) Se i due vettori sono perpendicolari, illoro prodotto scalare deve essere nullo, ovvero

3x+ 2 -4

=0,

x= 0,67 m. b)

c = a b sinO= a b =

1.5. II vettore a = (1 ,2,3 ) me perpendicolare al vettore b = (-1,1, bz) m. Calcolare bz •

Se a

e perpendicolare a b, deve essere axb=-1+2+3bz =0,

10

1 Vetton

da cui 1 bz ==--==-0 3 ' 33cm .

1.6. Dati i due vettori a = 3 i + 2j - 2 k e b = 2 i - 2j + k, determinare: a) l'angolo tra i due vettori; b) il prodotto vettoriale; c) il vettore b - a; d) il vettore (b - a) /\ (b + a).

a) Deve essere cos 8 ==

axbx +ayby +azbz ab

==

6-4-2

ab

== 0,

8==n/2.

b) Se c = a /\ b, deve essere

c == 3

j

k

2

-2 ==-2i+7j-10k.

2 -2

1

c)

b- a == (2- 3)i+ (-2- 2)j +(1 + 2)k == -i - 4j + 3k.

d)

b + a = 5 i - k,

percio

j (b-a)/\(b+a)== -1

-4

5

0

k

3 ==4i+14j+20k.

-1

1.7. Calcolare l'angolo tra i vettori a = 3 i - j + 2 k e b =- i + 3 j - 4 k.

Deve essere

1.8. Calcolare:

i /\ k,k x k,i /\ j x k,k /\ j,i x j /\ k.

Problemi

k

j i

A

11

k= 1 0

0 = - j;

001 k x k = 1·1· cosoo = 1;

calcoliamo ora i A j

iA j

= 1

j

k

0

0 = k,

010 quindi i

A

j xk

= k x k = 1;

kAj= 0 0 ixj

A

k

j

k

0

1 = -i;

1 0

= i x (-k A j) = i xi = 1.

1.9. Dati i vettori a e 3 a, calcolarne: a) il prodotto vettoriale; b) il modulo della differenza; c) il prodotto scalare; d) il prodotto scalare della somma per la differenza.

a)

la A 3al = a· 3a· sinO° = O.

b)

Ib - al = 3a - al = 12al = 2a.

c)

a x 3a = a . 3a . cos 0° = 3a 2 •

d)

(a + 3a) x (a - 3a) = 4a x (-2a) = -8a 2 •

1

1.10. Calcolare l'angolo tra i vettori a = 2 i - 3 j e b = 2j + k.

cosO =

-6

{1; ~

'\j 13'\j 5

= -0,744,

0= 138°5'.

1.11. Dati i vettori a =2 i - j + 3 k, b=-i+2j+k,

12

1 Vettori

calcolare: (axb)/\a, (a/\b)xb, (b/\a)xi, (a/\b)/\a, (b/\a)/\b.

[ 0,0, 7, - 12 i + 27 j + 17 k, 11 i - 4 j + 19 k ]

2 Cinematica

E il capitolo della Fisica che studia il mota dei corpi dal punto di vista puramente geometrico, senza indagare cioe Ie cause che 10 producono. Quando osserviamo il mota di un corpo, dobbiamo fissare un sistema di riferimento, solitamente una terna cartesiana ortogonale rigidamente fissata al cielo delle stelle fisse; un sistema di riferimento del genere viene detto assoluto; qualunque altro sistema che si muove rispetto a esso di mota rettilineo uniforme viene detto inerziale. Fissato il sistema di riferimento, dobbiamo stabilire come individuare la posizione dell'oggetto di cui vogliamo studiare il mota: vi sono due modi principali, il primo e assegnare Ie coordinate x, y e z del punto materiale che rappresenta il punto P rispetto all'origine 0 del sistema di riferimento assoluto, il secondo e quello di individuare il punto mediante il vettore posizione r, un vettore avente per modulo la distanza del punto dall' origine, per direzione quello della congiungente il punto con l'origine e per verso quello che va dall'origine al punto P (Fig. 2.1). Viene detta traiettoria la linea ideale descritta dal punto nello spazio; e rappresentata nel piano da un' equazione del tipo y = f(x) , nello spazio da una curva di equazione z = f(x,y). y

y = f (x)

x Fig. 2.1.

Di seguito sono riportate Ie definizioni di cui sopra in termini matematici.

r

vettore posizione X

= x(t)

y = yet) {

z

= z(t)

equazioni parametriche

14

2 Cinematica

= r(t)

r

Legge oraria del mota equazione della traiettoria

z = Z(x,y)

vettore spostamento fue

v =-

velocita media

~t

m

dr

velocita istantanea

V=-

dt ~v

a

accelerazione media

=~t

m

dv

accelerazione istantanea

a=-

dt

6

vettore posizione angolare

~6 =

62

-

61

~6

=-

W m

~t

d6 W=-

vettore spostamento angolare velocita angolare media

velocita angolare istantanea

dt

r

m

~W

= ~t dw

r=dt

accelerazione angolare media accelerazione angolare istantanea

Quando siamo in grado di stabilire come varia nel tempo la posizione di un punto si dice che e nota la Legge oraria del moto del punto

r = f(t) , equazione che proiettata sugli assi cartesiani fornisce tre equazioni scalari dette equazioni parametriche del moto, eliminando dalle quali il parametro tempo ricaviamo I' equazione della traiettoria.

Moto rettilineo uniforme (v= costante)

r= ro + vt

Moto circolare uniforme

15

Moto uniformemente accelerato (a = costante)

1 2 T=±-at +Vot+TO 2 V = V o ± at V

2

= V o2 ± 2a(r - ro )

La terna di equazioni scritta sopra rappresenta Ie equazioni di Galileo del mota uniformemente accelerato. In esse Vo ed r0 sono rispettivamente la velocita iniziale e la posizione iniziale del punto cioe la velocita e la posizione per t = o. Le due costanti vengono dette costanti iniziali del moto. L'ambiguita del segno dell'accelerazione dovra essere sciolta nel momenta in cui si precisera se il mota e uniformemente accelerato (+) 0 decelerato (-).

Moto circolare uniforme

E il mota di un punto avente per traiettoria una circonferenza percorsa con velocita periferica v di modulo costante. Viene perC> meglio rappresentato mediante un vettore costante, la velocita angolare OJ che risulta correlata alIa velocita periferica dalla relazione vettoriale V=OJAT,

i cui tre vettori sono correlati dalla cosiddetta regola della mana destra (Fig. 2.2).

OJ

Fig. 2.2.

Si noti che il vettore velocita e sempre diretto secondo la tangente alla curva. La legge oraria del mota circolare uniforme e

e = eo + co t dove 80 e la posizione angolare iniziale.

16

2 Cinematica

Moto circolare uniformemente accelerato (r = costante)

Per tale mota valgono ancora Ie leggi di Galileo, scritte pero sostituendo aIle grandezze lineari Ie corrispondenti grandezze angolari. 1

8 = ±-

2

2

+ liJot + 80

= liJo ± r t

liJ (J)2

rt

= (J)~ ± 2y (8 -

(0)

Moto curvilineo In tale moto, mentre la velocita e sempre tangente alIa traiettoria curvilinea, I' accelerazione e in generale obliqua rispetto alIa traiettoria e comprende due componenti, l' accelerazione centripeta, dovuta alIa variazione della velocita nella sola direzione e I' accelerazione tangenziale, dovuta alla variazione della velocita solo in modulo (Fig. 2.3).

Fig. 2.3.

Ricordando che in qualsiasi mota curvilineo e sempre

v=m/\r, si puo dimostrare che I' accelerazione centripeta e

=m/\v

ac

2

a

2 c

=(J)

V

r=r

mentre per I' accelerazione tangenziale

at =

r /\ r dv

at = - ·

dt

Piano inclinato

17

L'accelerazione totale a ha per modulo

Moto armonico semplice

E il

mota di un punto materiale che riprende la stessa posizione a intervalli di tempo uguali; momentaneamente 10 presentiamo come la proiezione sui due assi x e y di un mota circolare uniforme. Successivamente 10 vedremo meglio in termini dinamici. Ecco intanto la nomenclatura relativa:

x

elongazione

A

ampiezza

OJ

pulsazione

q>

costante di fase

OJt+q>

fase

T = 2n OJ

periodo

f=~=.!!!... T

2n

frequenza

Legge oraria

x(t) = A cos(OJt + cp) = A cos (2nft + cp)

Equazione differenziale a+

OJ2 X

=

o.

Piano inclinato Lungo un piano la velocita con cui un corpo puntiforme raggiunge la base pendente dall' angola di inclinazione, rna dipende solo dall' altezza h e vale

v = J2gh.

e indi-

18

2 Cinematica

h

I Fig. 2.4.

II tempo di caduta vale invece

Moto dei gravi y

H

o x

G Fig. 2.5.

La traiettoria di un grave, in assenza di resistenza del mezzo, un lancio dall'origine degli assi (Fig. 2.5), ha equazione

g y=--

X

2

2

2

2 va cos a

+xtana.

La gittata G vale 2

G = va

.

SIn

2

a

g ed e massima per un angola di alzo di 45° . Illegame tra la quota massima H e la gittata e G H =-tana. 4

e parabolica e, per

Problemi

19

II mota di un grave si puo considerare composto da un mota rettilineo uniforme

lungo l'asse x e un mota rettilineo uniformemente accelerato lungo l'asse y. Se il lancio avviene in quota, la gittata, definita in generale come la distanza tra il punto di lancio e quello di ricaduta, aumenta con l'angolo di alzo, mentre l'angolo di massima gittata diminuisce.

Unita di misura Posizione, spostamento ...

metro (m)

Velocita

metro al secondo (m/s) chilometro all'ora (km/h) 1 m/s = 3,6 km/h

Accelerazione

metro al secondo quadrato (m/s 2 )

Angolo piano, fase

radiante (rad) 1 rad = 57,3°

Velocita angolare

radianti al secondo (rad/s)

Accelerazione angolare

radianti al secondo quadrato (rad/s 2 )

Periodo

secondi (s)

Frequenza

hertz (Hz)

Problemi 2.1. Se un mobile inizialmente fermo nell' origine dell' asse x si muove lungo tale asse con accelerazione a = k t, essendo k una costante, ricavare la legge oraria del mota e Ie dimensioni di k .

dv

a=-=kt dt ' ovvero

dv = k t dt,

Jdv = k Jt dt, 1 2 v = - k t + costante, 2

20

2 Cinematica

rna e Va = 0, percio

Ora

V= dx =!kt 2 dt 2 quindi

1 dx = -kt 2 dt, 2

f dx = ~2 f t 2dt , x

1

=-

6

k t 3 + costante.

Essendo pero X a = 0, sara

1 3 x=-kt . 6

Le dimensioni di k sono

2.2. Un punto materiale passa in 10 s da velocita v = (i + 3 j + 5 k ) m/s a velocita u = (2 i + 4 j + 6 k ) m/s. Calcolare: a) l' aumento del modulo della velocita, b) l' aumento di velocita, c) l' accelerazione vettoriale media, d) il modulo dell' aumento di velocita.

a) II modulo di

ve v=

mentre quello di u

~1 + 9 + 25

=

135 =5,92 ms .

e u=~4+16+36=J56=7,47m , s

quindi

u - v = 1,55 m/s. b), d)

dv=u-v=i+j-k, il cui modulo

e dv=I,73m/s.

Problemi

21

c)

~v- =1- (0l+J° k) -m. a= 10

t

s2

il cui modulo e a = 0,17 m/s2

•

2.3. Due sassi vengono lanciati dal suolo con la stessa velocita iniziale v = 200 mls e 10 stesso angola di alzo a = 45° con un ritardo to = 5 s uno dall' altro. Calcolare: a) dopo quanta tempo dal lancio del primo si incontreranno, b) a quale distanza dal punto di lancio, c) a quale quota.

Nel punto d'incontro Ie due quote devono ovviamente coincidere; scrivendo percia Ie due leggi orarie lungo l' asse Y e tenendo conto che se il primo proiettile ha viaggiato per un tempo t, il secondo ha viaggiato solo per un tempo t - to, uguagliando poi Ie due quote, otteniamo 1 2 1 (t-t )2 +v ( t-t ) SIn . Yl =--gt +vo . tsIna=Y2 =--g a, o o o

2

2

da cui

1 . - gt o + Vo SIn a t=2

=16,9s.

g

b) Al termine del tempo t sopra calcolato il primo sasso avra percorso una distanza

orizzontale x = vot cos a = 2390 m,

che sara l' ascissa del punto di incontro. c) La quota del punto di incontro si ricava sostituendo il valore t = 16,9 s in una delle due espressioni della Y, ovvero sara Yl

=Y2 = 990,5 m.

2.4. Un punto materiale inizialmente sull'asse x in Xo si muove con legge v = k/x. Ricavare Ie leggi orarie di x, ve a in funzione di k e di X o •

k

dx

v----

- x - dt '

xdx = kdt, 1 - x2 2

= k t + costante.

22

2 Cinematica

Per t

=0 ex =xo , pertanto x2 costante = ---.Q.. , 2

x2

x2

2

2 '

-=kt+---.Q..

x = ~x~ +2kt, k

v = -,:::===-

~x~ +2kt

dv

a

=- = dt

k

'

2

(x~ + 2 k t)

3/2 .

2.5. Un' auto viaggia su strada orizzontale rettilinea con velocita v I = 30 m/s quando viene frenata uniformemente in t = 8 s fino all' arresto. Calcolare: a) la decelerazione dell' auto, b) la distanza di arresto, c) la velocita dopo 2 s dall' inizio della frenata, d) la distanza percorsa dopo 2 s dall' inizio della frenata.

a) Se la frenata avviene uniformemente, il mota sara uniformemente decelerato, quindi 0= VI - at, e 30 m

m

a=-2=3,75 2 · 8 s s b) Dovra anche essere V

2

d=_l =120m.

2a

c)

m

v 2 =v1 -at=30-7,5=2,5-. s d)

1

2

d2 =--at +v1t=-7,5+60=52,5m. 2 2.6. Due oggetti cadono contemporaneamente dall'altezza h = 1 m, il primo in caduta libera, il secondo lungo un piano liscio inclinato di 45° . Calcolare: a) il tempo di caduta del primo, b) quello del secondo, c) Ie due velocita finali, d) dove si trova il secondo oggetto quando il primo e arrivato a terra.

Problemi

a) il tempo di caduta del primo

23

e t)

(IE = Vg = 0,45 s.

b) II secondo oggetto percorre una maggior distanza (h/sina) con una minore accelerazione (g sin a), pertanto sara __ t 1__ 0,45 -0 64 t2 -,

sina

0,707

s.

c) Le due velocita finali hanno 10 stesso valore

v=

f2ih = Jl9:6 = 4,43 ms .

d) II primo oggetto tocca terra dopo un tempo t1: in tale intervallo di tempo il primo avra percorso una distanza lungo il piano d

=.!..2 gtl sin a =4,9 ·0,707· (0,45)2 =0,7 m.

2.7. Un punta materiale si muove lungo l' asse x con legge

espressa in unita SI. Ricavare: a) la legge oraria del moto, b) Ie costanti del moto.

a), b) II problema puo essere affrontato in due modi, uno dei quali prevede I'integrazione della relazione data, mentre I'altro richiede solo un po' di attenzione in quanta si riconosce immediatamente che la relazione maschera una nota legge del mota rettilineo uniformemente accelerato

v = ~v~ + 2a(x-xo ) con

va

,

= 0, X a = 0 e a = 3 m/s 2 •

2.8. Un proiettile viene lanciato dallivello del suolo con angola di alzo a = 60° e velocita iniziale Va = 80 m/s. Calcolare: a) la gittata, b) la velocita al culmine, c) il tempo di yolo, d) la massima quota raggiunta.

a) Dalla formula della gittata, si ha 2 .

G = va

SIn

g

2

a

6400.-/3 _ _-=2:.....- = 565,6 m. 9,8

24

2 Cinematica

b) Vc = Vo

c) II mota orizzontale del proiettile vere

cos a= 40 m/s.

e rettilineo uniforme, pertanto possiamo scri-

dacui tv

=

G Vo

cosa

=14,ls.

d) La massima quota raggiunta H si pub calcolare in due diversi modi: utilizzando la relazione tra gittata e quota massima [H = (G tan a )/4] oppure dalla legge di Galileo suI mota uniformemente accelerato per un grave che parte con velocita verticale Vo sin a:

o = (v o sin a)2 H =

v 2 sin 2 a

2 g H,

3 6400 . 4

0

_ -

2g

19,6

244,9m.

2.9. Un proiettile viene lanciato dal suolo con velocita iniziale Vo = 60 m/s in modo che la gittata sia pari alIa meta dell' altezza massima. Calcolare il tempo di volo.

La relazione tra gittata e quota massima e H = Gtana

4 dove a

'

e l'angolo di alzo, da cui si ricava tan a= 8, a= 76,11°, sin a= 0,972

II tempo di yolo, se si tiene conto che il mota orizzontale del proiettile uniforme, si pub calcolare come tv

=

G Vo

cosa

e rettilineo

= 2 v~ sinacosa = 2 V o sin a = 120·0,972 = 11,7 s. gv o cosa

g

9,8

2.10. Due oggetti vengono lanciati da terra con la stessa velocita iniziale vo' uno con angola di alzo a = 20° , l' altro con angola di alzo f3 = 70°. Calcolare i rapporti tra: a) Ie gittate, b) i tempi di yolo, c) Ie quote massime raggiunte.

Problemi

25

a) I due angoli di alzo sono complementari, pertanto Ie gittate dei due oggetti saranno uguali e illoro rapporto vale 1. b) II mota orizzontale dei due oggetti e rettilineo uniforme e sara pertanto

da cui

!L= cosfJ = cos 70° =0,36. cosa

t2

cos 20°

c) Questa parte si pub risolvere in due modi: il primo consiste nello scrivere la legge oraria verticale tenendo conto che il tempo necessario per raggiungere la quota massima e esattamente la meta del tempo di yolo; il secondo modo, molto piu rapido, consiste nel ricordare la relazione tra quota massima e gittata: H = (R/4) tan a. Risulta aHora !!l= tan 20° =0,13. H2 tan 70° 2.11. Le equazioni parametriche del mota di un punto sono x = 2 m, y = 2

r m , z = r m.

Calcolare, all'istante t = 1 s, a) la velocita del punto, b) la sua accelerazione. a) Derivando rispetto al tempo Ie tre equazioni parametriche, abbiamo Vx

= 0, vy = 4 t , Vz = 2 t,

dacui

e quindi VI

=4,48 mls.

b) Derivando rispetto al tempo la velocita, otteniamo l'accelerazione costante a

=4,48 mls2 •

2.12. Per quale angola di alzo la quota massima di un proiettile coincide con la gittata, se illancio avviene a livello del suolo?

26

2 Cinematica

Tenendo conto che la quota massima e la gittata sono correlate dalla relazione R 4

H = -tana,

dovra essere tan a=4,

2.13. Un punto materiale descrive una circonferenza di raggio r oraria ()= 5 t rad

= 2 m con legge (unita SI).

All'istante t =5 s, calcolare: a) la velocita periferica, b) l'accelerazione angolare, c) l'accelerazione totale.

a) La dipendenza lineare della posizione angolare dal tempo ci dice che il moto e circolare uniforme con velocita angolare OJ = 5 rad/s e velocita periferica v = OJ r = 10 m/s. b) L' accelerazione angolare in un mota circolare uniforme e nulla. c) L'accelerazione totale coincide con quella centripeta, essendo nulla l' accelerazione tangenziale, percio

3 Dinamica del punto

La dinamica, introducendo il concetto di massa, individua nelle forze la causa del mota dei corpi. La massa cosl introdotta e la massa inerziale, dove per inerzia di un corpo si intende l' opposizione che il corpo offre a qualsiasi azione esterna tendente a modificarne 10 stato di quiete 0 di moto. Concettualmente la massa inerziale e diversa da quella gravitazionale, interpretata come causa dell' attrazione tra due corpi. Tuttavia un celebre esperimento di E6tv6s verso gli anni '20 dimostro che Ie due masse coincidono, come 10 stesso Newton aveva intuito, pur non riuscendo a provarlo.

Leggi di Newton 1. Principio d'inerzia: se R

=0, V= 0 oppure V= costante

2. F=ma

3. Principio di azione e reazione: F 12 = - F 21.

Risultante di forze n

R =:Lmiai' i=l

Forza peso P=mg

28

3 Dinamica del punto

Tensione di fili, funi eCCe Premesso che i fili e Ie funi di cui ci occuperemo si suppongono ideali, ovvero privi di massa e inestensibili, si chiama tensione quella forza che mantiene teso un filo quando e sottoposto a una forza 0 una trazione. Essa e sempre diretta lungo il filo e orientata verso il vincolo che collega I' oggetto al filo impedendogli di sfuggire.

Legge di Hooke F=-kx,

dove k e la costante elastica 0 rigidita della struttura elastica. La piu semplice struttura elastica che si conosca e la molla; considereremo solo molle ideali, cioe con massa nulla e rigidita costante.

Misura di pesi e di masse Per misurare una forza si impiega il dinamometro, ovvero una molla ideale tarata di rigidita nota; essendo il peso una forza, la misura esatta di un peso si esegue mediante il dinamometro; da tale misura si pub ricavare la massa a patto di conoscere la gravita locale. Le masse si misurano invece esattamente con la bilancia a piatti; da tale misura, che si fonda sulla legge di Archimede, si pub determinare anche il peso, a patto di conoscere la gravita locale.

Collegamento di molle

Rigidita equivalente di piu molle in serle 1

n

1

i=l

i

-=Ik k

Diagramma di corpo libero

29

Rigidita equivalente di piu molle in parallelo

Pendolo semplice In assenza di attriti e di resistenza dell'aria, per oggetti densi e di piccole dirnensioni, nel caso di filo ideale e per angoli di piccola oscillazione, Ie oscillazioni di un pendolo hanno tutte la stessa durata (legge dell'isocronismo del pendolo sempUce).

Condizioni di equilibrio traslatorio R=O,

dove per "risultante nullo" non si intende in generale che suI corpo non agiscono forze, rna che possono agire piu forze purche illoro risultante sia nullo 0, per dirlo nellinguaggio di Galileo, il corpo sia "sottratto a ogni azione esterna" .

Diagramma di corpo libero

E una tecnica utilissirna per la risoluzione di problerni nel caso in cui Ie forze agenti su un corpo non abbiano la stessa direzione. Per capirla rneglio guente esernpio.

Fig. 3.1.

e utile il se-

30

3 Dinamica del punta

Su due piani inclinati con angoli a e f3 lisci e aventi uno spigolo in comune sono appoggiati due blocchi di masse m l ed m 2 collegati da un filo ideale che passa su una carrucola C (Fig. 3.1); vogliamo determinare Ie tensioni dei due fili e l' accelerazione a con cui si muove il sistema una volta lasciato libero. II problema si risolve come tutti i problemi di dinamica applicando la II legge di Newton; tuttavia, essendo diverse Ie direzioni di mota sui due piani, non possiamo scrivere una sola equazione per i due blocchi. Si usa allara uno stratagemma, chiamato "diagramma di corpo libero" , che consiste nella scrivere tale legge separatamente per il blocco 1, ignorando cosa accade alIa destra della carrucola e per il blocco 2, ignorando cosa accade a sinistra di essa, come se i due blocchi fossero separati da un paravento. Cominciamo dal blocco 1: non sappiamo a priori da che parte si muovera il sistema; infatti, non si commetta l' errore di pensare che sia il blocco pill massiccio a trascinare l'altro, perche quello che conta non e tutto il peso del blocco, rna solo il componente lungo il piano il cui modulo e determinato dall' angolo di inclinazione del piano. Ipotizziamo allora che sia il blocco 2 a trascinare il blocco 1: se al termine dei calcoli l' accelerazione risulta negativa, vuol dire che sara il blocco 1 a trascinare il 2, rna con 10 stesso modulo appena calcolato. La legge di Newton proiettata suI piano 1 fornisce

mentre la stessa legge applicata al blocco 2 fornisce m2g sin

f3 - T =m2 a ,

dove si e tenuto conto del fatto che Ie due tensioni hanno 10 stesso modulo essendo per ipotesi il filo ideale, quindi inestensibile, rna sono la prima concorde con l'accelerazione con cui il blocco risale lungo il piano e la seconda discorde. Risolvendo il sistema delle due equazioni, si ricava

Facciamo ora un esempio numerico: per a = 60°, f3 = 45°, m l = 2 kg, m2 = 2,3 kg risulta a =- 0,24 m/s 2 , cioe sara il blocco pill leggero a trascinare il pill pesante; T = 16,5 N. per a = 60°, f3 = 45°, ml = 2 kg, m2 = 2,1 kg risulta a co pill pesante a trascinare il pill leggero.

=0,25 m/s 2 , cioe sara il bloc-

Problemi

31

Unita di misura Quando si definisce un 'unita di misura, si deve distinguere la definizione metrica da quella operativa. La definizione metrica e la relazione che esprime il simbolo dell'unita in funzione dei simboli delle unita fondamentali 0 derivate, mentre si chiama definizione operativa quella che permette di realizzare un campione della nuova unita introdotta. Cosi, quando definiamo il newton come m

IN =Ikgl2" s abbiamo dato la definizione metrica, che pen'> non tiene conto delle caratteristiche vettoriali della grandezza cui si riferisce l'unita. La definizione operativa definisce invece il newton come quella forza che, applicata a un corpo di massa 1 kg, gli imprime un'accelerazione di 1 m/s2 nella stessa direzione di applicazione della forza.

Massa

Forza

Densita

chilogrammo (kg) grammo (g) I kg = 10 3 g newton (N) kilogrammo-forza (kgf) (obsoleta) I kgf= 9,8 N chilogrammo al metro cubo (kg/m 3) grammo al centimetro cubo (g/cm 3) grammo allitro (gil) I ~ = 10 3 -g- = I ~ m3 cm 3 I

Problemi 3.1. Se due pesi identici P = 10 N sono fissati a un dinamometro come in figura 3.2, quanta si legge sulla scala dello strumento?

o

p

Fig. 3.2.

32

3 Dinamica del punto

La molla del dinamometro viene sottoposta a una forza risultante 2 P, percio 10 strumento leggera 20 N. Per rendersene conto, si supponga di tener fermo l'estremo 0, mentre si appende il peso di sinistra: la molla si allunghera ora per il solo effetto del peso P; se ora trasciniamo il tutto applicando in 0 l'altro peso, la molla subira un ulteriore allungamento dovuto al peso di destra, quindi l'allungamento complessivo equello corrispondente all'applicazione di un peso 2 P. 3.2. Una massa m = 200 g appoggiata su un tavolo liscio e collegata mediante un filo ideale che passa attraverso un foro praticato nel centro del tavolo a una massa Me il tutto e in equilibrio mentre m sta ruotando con velocita angolare m =5 rad/s su una circonferenza di raggio r = 40 em. Calcolare il valore di M.

T

My Fig. 3.3.

Le forze in gioco sono il peso M g e la tensione del filo T, diretta verso il foro. Scrivendo Ie equazioni di moto dei due oggetti, si ha, in condizioni di equilibrio:

per il corpo M:

T=Mg,

per il corpo m, T si identifica con una forza centripeta, quindi T=moTr,

e allora 2

M = mm r = 0,2·25·0,4 g 9,8

=204 g.

3.3. Una lastra di vetro di massa m =2 kg si spezza sotto l'azione delle vibrazioni infrasonore di frequenza n = 10 Hz originate da una lontana esplosione. Calcolare di quanta si flette tale lastra quando applichiamo nel suo centro una forza F =30 N.

Problemi

33

La lastra si spezza perche entra in risonanza con Ie vibrazioni infrasonore, ovvero quando la frequenza degli infrasuoni coincide con la frequenza propria della lastra, che e data da v=_l 2n

[k.

f;;;

Per la legge di Hooke, applicando nel centro della lastra la forza F, essa si flette di un tratto x tale che F= kx,

per cui, sostituendo nell'espressione della frequenza, otteniamo 30 -----=3,8mm. 4 ·9,87 ·100 . 2

3.4. Una slitta di massa m = 15 kg viene trascinata sulla neve a velocita costante da un cane che Ie applica una forza F =12 N inclinata di un angola di 30° rispetto all'orizzontale. Calcolare il coefficiente di attrito tra la slitta e la neve. m

F

Fig. 3.4.

Applichiamo la II legge di Newton nella direzione di mota: F cos 30° - J.l m g = a,

rna, essendo la velocita costante, ea = 0 e quindi J.l = F cos 30° = 12·0,866 = 0,07. mg

15·9,8

3.5. Un carico viene appeso a una fune ideale di lunghezza I e posto in oscillazione come pendola semplice; trascurando ogni attrito, se la fune viene sollevata di un tratto x pari al 20% della lunghezza iniziale, di quanta variera percentualmente il periodo di oscillazione?

34

3 Dinamica del punto

I due periodi sono T

e quindi T '- T ~T%=-T-100=

'

H

= 2n

gZ

(rr ~J fl- 1J ·100= (~J '1I-Z-- 1 ·100= ('11-i

·100=

= (J0:8 -1) ·100 = -10,6%. 3.6. Due forze con 10 stesso modulo 2 N formano un angola di 120°. Quale sara il modulo delloro risultante? A

c

B

o Fig. 3.5.

Con riferimento alla figura, anche il risultante R delle due forze avra modulo 2 N, essendo i triangoli ABO e ACO entrambi equilateri. 3.7. Se un corpo ha il peso di 1 dyn al polo Nord, a) quanto vale la sua massa al polo Nord? b) e quanta all'equatore?

a) E necessario conoscere l' accelerazione di gravita al polo Nord, g dopodiche il problema si riduce a un semplice calcolo: m

P

10-5 N

g

983 m

= 9,83

mls 2 ,

=- =- - = 1,02 ·10-6 kg=1,02mg. ,

s2

b) La massa di un corpo euna caratteristica universale e non dipende dal valore di g!

3.8. Se la frequenza di un sistema massa-molla e v = 5 Hz, quale sara l' accelerazione della massa quando 10 spostamento dalla posizione di equilibrio e s = 15 cm?

Problemi

35

Dall'equazione differenziale del mota armonico: m

a=-O) 2 s=-41l' 22 V s=-4·9,87·25·0,15=-1482". s

3.9. Una sferetta di massa m = 50 g inizialmente in quiete nell'origine dell'asse x si muove orizzontalmente con velocita Vo = 40 mls in un mezzo che offre una resistenza del tipo F = - k v 2, con k = 0,02 unita SI. Calcolare, dopo 20 s daH'inizio del mota: a) la velocita, b) la distanza percorsa daHa sferetta.

Dalla II legge di Newton: dv

2

-kv =ma=mdt ' k

dv

--dt=m v2 ' k 1 - - t =-- + costante. m v Essendo per t =0,

V

= vo , la costante risulta uguale a l/vo e quindi mvo m+kvot

v=-_~-

AHora: em s

v (20 s) = 12,5 - .

a) b)

dx= mvodt m+kvot' x

kv t) + costante = km In ( 1 + --:-

e infine

t)

m ( kv x=kln 1+--:=14,4m.

36

3 Dinamica del punto

3.10. Qual e la lunghezza del filo di un pendola semplice che batte il secondo?

Un pendola che batte il secondo impiega 1 s tra due passaggi consecutivi della sua massa terminale su una laminetta vibrante sulla Quale produce il caratteristico ticchettio. Tale pendolo ha un periodo T = 2 s e non 1 s come si potrebbe pensare. Allora, dalla legge del periodo di Galileo:

gT 2 1 = - - 2 = 0,993 m.

4n

Essendo tale valore vicinissimo a 1 metro, alIa fine del ' 700 venne proposto come campione di lunghezza la lunghezza di un filo di un pendola semplice che batteva il secondo.

4 Lavoro ed energia

Lavoro di una forza variabile L=

l

F x ds =

l

Fds coso

con (J angolo tra la forza F e 10 spostamento infinitesimo ds del suo punto di applicazione. L'integrale deve essere calcolato lungo la linea I sulla quale si sposta il punto di applicazione della forza perche in generale illavoro non e una funzione di stato.

Lavoro di una forza costante L

= F~ = cosO

Lavoro elementare 8L = F x ds

= F ds cos fJ

Tale lavoro e detto motore quando e positivo (0 ~ fJ < 1C / 2 ), resistente quando negativo ( 1C / 2 < fJ ~ 31C / 2 ). Una forza perpendicolare aHo spostamento non compie lavoro.

Energia cinetica 1 2

K=-mv

2

e

38

4 Lavoro ed energia

Teorema dell'energia cinetica (0 delle forze vive)

Forze conservative Una forza e detta conservativa 0 posizionale quando il lavoro da essa cornpiuto non dipende dal percorso rna solo dalla posizione iniziale e finale del punto di applicazione. Tale forza arnrnette una grandezza scalare funzione di stato detta energia potenziale U tale che sona soddisfatte Ie seguenti candiziani:

F

=_ au

ax F =_ au y ay F =_ au z az x

Per verificare se una forza condizioni di Schwartz:

e conservativa, devono dFx = dFy

ay

ax

aFy _ aFz

az - ay aFz = aF ax

Teorema dell'energia potenziale L=-I1U

Energia potenziale elastica

x

az

essere soddisfatte Ie seguenti

Problemi

39

Energia potenziale di gravita (con g costante) U=mgh

Principio di conservazione dell'energia meccanica E

=K +

U = costante

~=o

Nel caso di forze dissipative, tale teorema, indicando con L D illavoro di tali forze, diventa

Potenza media

istantanea

8L

W· =-=Fxv. l dt

Unita di misura lavoro, energia

joule (J) kilowattora (kWh) 1 kWh = 3,6 MJ

potenza

watt (W) cavallo vapore (CV) = 735 W (obsoleta)

40

4 Lavoro ed energia

Problemi 4.1. Un bambino seduto su un'altalena di lunghezza l = 1 m ha in mana un pallone. L' altalena, sospesa nel punto 0 a distanza s = 1,3 dal suolo, viene fatta oscillare partendo da ferma nella posizione angolare a = 60° , rna giunta nella posizione angolare f3 = 30° al bambino sfugge di mana il pallone. Calcolare a quale distanza d dal punto H tocchera terra il pallone.

o

A

h

H

B

Fig. 4.1.

Si deve calcolare con quale velocita I'altalena arriva in B. Applicando il principio di conservazione dell' energia: 1

2

-mglcosa=-mglcosf3+-mv, 2 da cui

v=

J2gl(cosf3-cosa) = J2·9,8 ·(0,866-0,5) = 2,68 ms .

II problema e 10 studio del mota di un grave con angola di alzo () = 30° e velocita iniziale v, tenendo conto che la quota di lancio e all'altezza h = s - l = 0,3 m dal suolo. L'equazione della traiettoria e

y=-

gx 2 2

2v cos

Quando il pallone tocca il suolo e y

2

e + X tan e+ h.

=0, quindi

g x 2- 2v 2cos 2 etan e- 2h v 2cos 2e = 0,

Problemi

41

-0,34m La soluzione che ci interessa e quella positiva (in avanti); tuttavia tale valore e solo la distanza orizzontale rnisurata dal punto B. La distanza cercata si ricava sommando a essa I'ascissa del punto B misurata a partire da H, cioe d = I sin f3 + x

=0,5 + 0,97 = l,47 m.

4.2. Una massa puntiforme min mota lungo l'asse x e soggetta a un'accelerazione costante a per un tratto di lunghezza x, quindi viene decelerata con decelerazione costante b in modo da fermarsi a una distanza I dall'origine O. Se la massa e inizialmente in quiete nell'origine, ricavare: a) I'espressione di x, b) I'espressione dell' energia cinetica nel punta A. 0

•

m

A

a

b

B ~

x

Fig. 4.2.

Nel tratto OA, applicando una delle leggi del mota uniformemente accelerato, abbiamo

V~ = 2ax; nel tratto AB, analogamente, si ha v~ =v~ -2b(l-x),

quindi

0= 2ax- 2b(l- x) = 2ax- 2bl + 2bx, ovvero

bl x=--. a+b b) L' energia cinetica in A vale 1 2 mabl K A =-mvA =max=---. 2 a+b

4.3. Un blocco di massa m si muove lungo l'asse x in assenza di attriti sotto I' azione di una forza F cui corrisponde un' energia potenziale U(x) = (l

+ a x + b,Xl) J.

42

4 Lavoro ed energia

Nell'origine F = 1 N e x = 1 m e una posizione di equilibrio; inoltre, il blocco e in quiete per x = 2 m e passa daH'origine con velocita v = 3 m/s. Determinare: a) Ie costanti a e b, b) la massa m, c) se la posizione di equilibrio del blocco estabile, instabile 0 indifferente.

a) Deve essere

dU 2 F=--=-a-3bx' dx

'

essendo pero F = 1 N per x = 0, risulta a = -1 N.

In condizioni di equilibrio deve essere F =0, quindi

a-3b=O, a N b=--=0,33. 2

3

m

Applicando il principio di conservazione dell' energia nelle due posizioni x

= 2 ed

x=O:

rna per x

= 2 m il corpo e in quiete, quindi v2 =0, mentre Vo = 3 mls e aHora 9 1+2a+8b= -m+l. 2

Utilizzando i risultati del caso a), troviamo

= 148 g. Essendo il blocco in equilibrio per x = 1 m, risulta U( 1) = 1 - 1 + 1/3 = 1/3 > 0, m

quindi l' equilibrio

e instabile.

4.4. Una forza agisce su un punto materiale P nel piano (x, y) in direzione radiale verso l' esterno con modulo F = (2/r) N, dove r e il modulo del vettore posizione del punto P. a) Stabilire se tale forza e conservativa; b) calcolare illavoro che essa compie per spostare il punto dalla posizione A (1,1) m alla posizione B (2,2) m.

a) L' espressione vettoriale della forza

e

Problemi

43

quindi 2x

Fx =

2

+y

X

2 '

Fy =

2y 2 X

+y

2 .

E facile verificare che sono soddisfatte Ie condizioni di Schwartz, quindi la forza e conservativa. b) Trattandosi di una forza conservativa, per calcolare illavoro possiamo scegliere il percorso che riteniamo piu comodo: scegliamo il segmento di retta che collega i punti A e B:

Essendo perC> I' equazione della retta y =x, abbiamo

L=[ln(2X

2

)J +[In(2/)I =4In2=2,n J.

4.5. Un palo di massa m = 100 kg viene interrato perpendicolarmente da un blocco di massa M = 1000 kg che, dopo un saito h =5 m, 10 affonda di un tratto s =5 em. Calcolare la forza resistente media offerta dal terreno.

)J]

.......................... .............. . .. ....... ................................... ....... "' ..

It~~~!~!~~~!~-:~ .~ ~~~~!~ .- ... ~

.

................................. ::::.-::.-::.-::.-::.-::.-::.-::.-::.-::.~

. . . . . . . . "'

J

Fig. 4.3.

II blocco nell'urto cede tutta la sua energia potenziale M g h, utilizzandola per far affondare il palo, per scendere esso stesso di un tratto s e per vincere la forza resistente R del terreno. Dovra essere M g h = M g s + m g s +R s

dacui R = g(M h- M s- ms)

s

= 9,8(5000- 50- 5) = 969,2 kN. 5.10-2

44

4 Lavoro ed energia

4.6. Un oggetto di massa m = 80 g viene lanciato con velocita iniziale Vo = 6 mls su un piano orizzontale scabro di coefficiente di attrito J.1 = 0,2. Calcolare: a) il tempo di arresto, b) la distanza di arresto, c) dopo quanta tempo la velocita iniziaIe si dimezza, d) la velocita media durante il moto.

a) Durante il mota l' oggetto subisce una decelerazione J.1 g, percio, impiegando una delle leggi del moto uniformemente accelerato:

°=

Vo

-

J.1 g ta ,

da cui t = a

v 6 °= = 3 1 s. J1g 0,2 ·9,8 '

b) Usando un'altra delle leggi di Galileo:

0=v~-2J1gda'

v2 36 da=_o-= =9,2m. 2J1g 0,4·9,8 c) Riprendendo la prima legge usata in a): V

2o = v° - J1 g tl/ ti /2 =

2'

v 6 = = 1,5 s. 2J.1g 0,4·9,8

_0_

d) La velocita media durante il moto tempo di arresto, cioe

e il rapporto tra la distanza di

V= 9,2 3,1

arresto e il

= 3 m. s

4.7. Un corpo in quiete viene messo in mota da una forza F = 200 N che gli imprime in t = lOs una velocita v = 30 m/s nella stessa direzione della forza. Calcolare: a) l'accelerazione impressa, b) la massa del corpo, c) la potenza impiegata.

a)

b)

a

= i1v = 3 m . i1t

S2

F m = - = 66,7kg. a

c)

W=Fxv=6kW.

Problemi

45

4.8. Un uomo solleva un corpo di massa m fino a quota h. Stabilire il segno del lavoro compiuto dall'uomo e dalla Terra e ricavare l'espressione dellavoro compiuto dalI'uomo se il sollevamento avviene con accelerazione costante 2 g.

Illavoro dell'uomo e positivo in quanta la forza di sollevamento e parallela allo spostamento; quello della Terra e invece negativo. Se il sollevamento avviene con accelerazione 2 g, 1'uomo deve applicare una forza 3 m g, quindi L =3 m g h.

4.9. Se Eel' energia meccanica totale di un oscillatore armonico, quale frazione di E sara I' energia cinetica dell' oscillatore nella posizione x = A12, con A ampiezza di oscillazione?

L'energia meccanica totale di tale oscillatore e data dalla somma delle energie cinetica e potenziale elastica; nella posizione proposta l' energia elastica vale

mentre 1'energia totale vale E = k A 2/2, percio 1'energia cinetica sara

e allora la frazione richiesta e 3/4. 4.10. Una molla ideale di rigidita k = 10 N/m e in quiete su un piano orizzontale liscio recando fissata a un estremo una massa m = 10 kg; se la si allunga di s = 10 cm e poi la si rilascia, calcolare: a) l' energia totale del sistema, b) dopo quanta tempo la massa ripassa dalla posizione iniziale, c) la frequenza di oscillazione del sistema, d) l' accelerazione con cui m ripassa dalla posizione iniziale di quiete.

a) L' energia totale di un oscillatore armonico e data da k A 212, essendo A I' ampiezza di oscillazione, pari nel caso in esame as, percio

b) Dopo un quarto di periodo, cioe

46

4 Lavoro ed energia

fk

1 1 V=T=2Jr~-;;;=0,16Hz.

c)

d) Nella posizione iniziale ex = 0, percio, dall'equazione differenziale del mota armonico a = - ol x, risulta nulla I'accelerazione. 4.11. Su un blocco di massa m = 6 kg appoggiato su un piano inclinato di altezza h

= 1 m e angola di inclinazione a = 30° agiscono, oltre all'attrito (J1 = 0,3), due forze F = 4 N ed F = 3 N come in figura 4.4. Calcolare illavoro compiuto sui 1

2

corpo per fargli percorrere l'intero piano.

/7

Fig. 4.4.

Sui blocco, durante la discesa, agiscono tre forze, due motrici, il peso e il risultante delle due forze F 1 ed F 2 , e una resistente, l'attrito. II risultante delle due forze ha modulo R = 5 N ed e inclinato rispetto al piano di un angola 13 = 30° + arctan 4/3 = 83,13°. Alia forza di attrito contribuiscono invece Ie componenti del peso e di R in direzione normale al piano inclinato, cioe Fall

= J1

m g (cos a- sin 13)·

Essendo poi tutte Ie forze agenti costanti, il lavoro sara dato semplicemente dal prodotto della forza totale lungo il piano per la lunghezza dello stesso, ovvero

L = [ m g sin a + R cosf3 - J1 m g (cos a - sin 13)].2 h = = 2(6· 9,8 ·0,5 + 5 ·0,866 +0,3·6·9,8·0,127) = 36 J.

5 Quantita di moto. Centro di massa. Dinamica impulsiva

Quantita di moto Si definisce quantita di moto di un punto materiale di massa m in mota con velocita vii vettore q=m v. Per un corpo esteso formato da una distribuzione discreta di masse sara n

Q= Lmivi , i=1

mentre per un corpo continuo di massa M sara

Q=f M

vdm.

Forze impulsive Una forza si dice impulsiva quando e di breve durata e di alta intensita; forze del genere entrano in gioco negli urti e nelle esplosioni. Loro caratteristica principale e che durante l'applicazione di una forza impulsiva tutte Ie altre forze diventano trascurabili, quindi essendo esse sempre applicate a coppie uguali e opposte, illoro risultante e nullo e si conserva quindi la quantita di mota totale del sistema. Si definisce impulso di una forza applicata nell'intervallo di tempo (t 1 ,t2 ) il vettore

Vale il seguente teorema dell'impulso e della quantita di moto, per il quale l'applicazione di un impulso I a un corpo ne provoca una variazione di quantita di mota uguale all' impulso applicato I=~q.

48

5 Quantita di moto. Centro di massa. Dinamica impulsiva

Tale teorema spiega perche in certi urti il corpo urtato inizialmente fermo non acquista velocita rna solo un impulso.

Urti Possono essere elastici 0 anelastici; nei primi si conserva l' energia cinetica totale del sistema, mentre nei secondi essa viene parzialmente 0 totalmente dissipata. In entrambi i tipi di urto si conserva sempre la quantita di moto totale del sistema.

Centro di massa

E il punto di un corpo nel quale si pub ritenere concentrata tutta la massa del corpo. II vettore posizione del centro di massa di un corpo di massa M e

rCM

=

JM rdm M

'

cui corrispondono Ie coordinate del centro di massa

xCM

= JM M

YCM

=

ZCM

=

xdm

JMYdm M

.

JMZ dm M

Una volta individuata la posizione del centro di massa di un corpo mediante Ie equazioni scritte sopra, il mota del corpo pub essere descritto da una legge analoga alla II legge di Newton per il punto materiale sostituendo alla forza F il risultante R di tutte Ie forze agenti suI corpo e all' accelerazione del singolo punto quella del centro di massa del corpo aCM. Si potra quindi scrivere R=MaCM'

dove n

R= Lmiai i=l

Problemi

49

e il risultante delle n forze applicate aIle n masse mi da cui e costituito il corpo esteso in esame.

Teorema del moto del centro di massa Afferma che in condizioni di equilibrio, cioe con R = 0, un corpo si muove mantenendo inalterata la posizione del proprio centro di massa.

Unita di misura Quantita di moto Impulso

kilogrammi metri al secondo (kg mls) newton secondo (N s)

Problemi 5.1. Una bilia di massa ml = 40 g e fissata su un piano liscio a una molla ideale inizialmente scarica di rigidita k = 104 N/m. Se contro la prima bilia ne viene lanciata frontalmente una seconda di massa m2 = 80 g con velocita V2 = 30 mis, calcolare: a) la massima compressione della molla, b) la velocita della bilia 2 immediatamente dopo l'urto supposto perfettamente elastico.

2

Fig. 5.1.

Nell'urto si ha la conservazione della quantita di mota ,

m 2v 2

rna em 2 = 2m l , quindi

= m1v1 + m 2v 2 ,

50

5 Quantita di moto. Centro di massa. Dinamica impulsiva

L'energia cinetica della bilia 1 si trasforma in energia elastica di compressione della molla:

Si ha pero anche la conservazione dell'energia cinetica nell'urto: 1 2

2

-m 2v 2

1 2 1 ,2 = -mtV t +-m2v 2' 2

v~

2

1

= -vl +v'~. 2

Dobbiamo ora risolvere il sistema

vl + 2v'~

= 2v~

che conduce dopo qualche calcolo alle soluzioni

, v2 m v 2 =-=103 s e quindi x= 8 em, V'2

= 10 mls.

5.2. Una molla ideale di rigidita k = 1600 N/m e fissata a un blocco di massa m 1 = 40 g tenuto in quiete da un fermo che eomprime la molla di un tratto d = 4 em. A distanza d da m 1 e fermo un secondo blocco di massa m2 = 20 g. Togliendo il fermo, il blocco 1 va a urtare il blocco 2 in modo perfettamente elastico. Calcolare: a) la velocita del blocco 1 dopo l'urto, b) la massima compressione della molla dopo il rinculo del blocco 1, c) la distanza daB' origine 0 a cui si arresta il blocco 2 se la parte di piano sulla destra ha un coefficiente di attrito /l =0,4.

d

2

./.1 Fig. 5.2.

x

Problemi

51

a) L'energia elastica della molla compressa si trasforma in energia cinetica del blocco 1;

e tale blocco parte con velocita

Applichiamo ora la conservazione della quantita di mota nell 'urto: ,

mivi

= m2 v 2 + mivi

e quella dell' energia cinetica - trattandosi di urto elastico:

1

2

2"mi VI

1

2

1

'2

= 2"m2V2 +2"mi VI

Essendo m i = 2 m2, si ottiene il seguente sistema:

2vI {

= v2 + 2v;

2

2

,

'2

2v I = V2 +2v 1

Ie cui soluzioni sono

Scartando la soluzione v 'I = VI' perche sarebbe valida solo per blocchi di massa uguale, la soluzione accettabile e 'VI m VI = - = 2,67 - .

3

s

b) Sara 1

1

2

'2

-kx =-mivi

2

,r;;

2

x = Vl~k

= 1,34 em.

c) II blocco 2 parte con velocita v2

= 2(vi -

, VI)

m

= 10,66s

52

5 Quantita di mota. Centro di massa. Dinamica impulsiva

e la sua energia einetiea viene utilizzata interamente per vineere gli attriti, per eui

5.3. Un cuneo seabro di massa M = 1 kg, inelinazione a = 30° e lunghezza del piano inelinato s = 60 em eon eoeffieiente di attrito J11 = 0,2 e in quiete su un piano orizzontale seabro di eoeffieiente di attrito J12 = 0,1. Se dal vertice viene lasciato libero un bloeeo di massa m = 100 g, ealcolare: a) la velocita del cuneo nell'istante in cui il bloceo 10 abbandona, b) la distanza che il cuneo pereorre suI piano orizzontale prima di arrestarsi.

Fig. 5.3.

a) Valgono sia il principia di conservazione della quantita di moto sia quello dell' energia:

mv cos a + M V = 0, . 1 2 1 2 mgsslna=-mv +-MV +J.11mgs, 2 2

dacui v=- mVcosa

M

'

ehe, sostituita nella precedente equazione, fornisee

Problemi

53

2g s (sin a - /lICOS a) 1 +~COS2 a M

v = -!!!..-cosa M

2gs(sina-/l l cosa) =-16,4 cm.

1 +~coS2 a

s

M

b) Deve essere

dacui

5.4. Un uomo R di massa m = 80 kg e in quiete all'estremita di un carrello di massa M = 200 kg in quiete sull'asse x. Trascurando qualsiasi attrito, se l'uomo comincia a muoversi con velocita costante v = 2 m/s relativa al carrello, calcolare: a) la velocita acquistata dal carrello rispetto a un osservatore assoluto A fermo nell'origine degli assi, b) la velocita assoluta dell'uomo R.

a) Inizialmente e tutto in quiete: applicando il principio di conservazione della quantita di moto:

O=-mv +(M+m)V, mv m V=--=0,57-. M+m s

y

A

x Fig. 5.4.

54

5 Quantita di moto. Centro di massa. Dinamica impulsiva

b) La velocita assoluta dell'uomo VA

e m

=-v+V=-2+0,57=-1,43-. s

5.5. Una barca di lunghezza 1 = 6 m e massa M = 320 kg e in quiete in acqua ferrna con un uomo di massa m = 80 kg fermo a poppa. Se l'uomo avanza di mota uniforme verso prua, calcolare: a) quanta dista la prua da riva nell'istante in cui l'uomo la raggiunge; b) l'energia spesa dall'uomo per spostarsi, sapendo che il coefficiente di attrito suI fondo della barca eJ1 = 0,3.

m

x

M Fig. 5.5.

a) Applicando la conservazione della posizione del centro di massa, abbiamo inizialmente

x

Mi+ m1

__-=2_ _ eM -

M+m

quando I'uomo ha raggiunto la prua, la barca si sara spostata verso destra di un tratto x tale che

Uguagliando Ie due espressioni di XCM' si ricava: ml

x=---=1,2 m. M+m b) E illavoro compiuto per vincere gli attriti:

L = J1 m g 1= 1,41 kJ.

Problemi

55

5.6. Un blocco cubico di lato 1=3 me massa M = 100 kg e fermo come in figura 5.6 con un vertice nell'origine degli assi; un uomo di massa m = 70 kg inizialmente fermo in A, si muove verso B con velocita costante v = 40 cm/s. Calcolare, trascurando ogni attrito, a) dove si trovera 10 spigolo destro del cubo quando l'uomo e giunto in B, b) con quale velocita si sta muovendo il blocco quando l'uomo e arrivato in B. y B

A

o

x Fig. 5.6.

a) Dalla conservazione della posizione del centro di massa: M±+ml= M(±+X)+mx, ml=(M+m)x, ml M+m

x=---=1,24m.

b) Dalla conservazione della quantita di moto: 0= -(v- V)m+ M V = -mv+(M +m)V, V

= ---.!!!:!:!..- = 16, 5 em . s

M+m

5.7. Due sferette, una di massa doppia dell' altra, con velocita VI e v2 (VI> v2) si inseguono e si scontrano centralmente lungo l' asse x. Dopo l'urto la prima sferetta dimezza la velocita. a) Ricavare la nuova velocita della seconda sferetta in funzione di VI e v2; b) dire per quale valore di v2 l'urto e perfettamente elastico. m

2m IV 1

x Fig. 5.7.

56

5 Quantita di moto. Centro di massa. Dinamica impulsiva

a) Applicando la conservazione della quantita di moto, otteniamo

b) Se l'urto deve essere elastico, deve valere anche la conservazione dell' energia cinetica, cioe 1

2

1

2 VI

1

2

1

2

-·2mv +-mv2 =-·2m·-+-m(v +v ) 2 I 42 I2' 2 2 da cui, dopo brevi calcoli, risulta V

V 2 ----.l .

4

5.8. Una sferetta di massa m = 50 g urta contro una parete rigida con velocita VI = 30 m/s che forma un angola a = 30° con l'orizzontale e vi rimbalza a un angolo () = 45°. Se nell'urto la pallina perde i150% della propria energia cinetica, calcolare: a) la velocita v2 con cui rimbalza la sferetta e b) la forza applicata alla parete, sapendo che l'urto dura J1.t = 6 ms.

y

x

Fig. 5.8.

a) Se la sferetta perde nell'urto il 50% della propria energia cinetica, deve essere 1

2

11

2

-mv =-·-mv 2 2 2 2 I' quindi

12

m

2

s

v2 = - V I = 21,2-.

Problemi

57

b) II sistema sferetta-parete e un sistema isolato meccanicamente percio la parete riceve un impulso opposto alIa variazione di quantita di mota subita dalla sferetta, ovvero, con riferimento agli assi indicati in figura: asse x asse y Dovra allora essere per Ie componenti dell'impulso: asse x asse y

I y = -t1,.qy = +mv2 sin a - mVl sinO = -0,53N s.

e la forza esercitata sulla parete sara F=

~ [2 + [2 x

t1,.t

y

~ 4,20

=--3-= 341,6 N.

6 ·10-

Essa e orientata verso il basso formando con I'orizzontale un angolo di 15°.

5.9. Una particella di massa m = 10 g in mota con velocita v = 100 mls lungo l' asse x urta elasticamente una seconda particella di ugual massa ferma nel punto O. Dopo I'urto Ie due particelle si allontanano formando con l' asse x rispettivamente un angola a e - 2a. Calcolare: a) I'angolo a, b) Ie energie cinetiche delle due particelle dopo l' urto . y

x

V

2

Fig. 5.9.

a) Applicando la conservazione della quantita di moto, per l' asse x e y, abbiamo rispettivamente

58

5 Quantita di moto. Centro di massa. Dinamica impulsiva

mv = mv'cosa + mV2 COS2,a {

0= mv'sina+mv2 sin2a

mentre dalla conservazione dell' energia cinetica, trattandosi di urto elastico, abbiamo 1

2

1

,2

1

2

-mv =-mv +-mv . 2 2 2 2 Dobbiamo risolvere il sistema

V = v' cos a + v 2 cos 2a, {

o= v' sin a -

v 2 sin 2a, 2 v = V,2+ v~.

Essendo perC> uguali Ie masse delle due particelle, I' angola tra esse deve essere 90° , cioe deve essere a = 30° e il sistema da risolvere e

v

= v' cos 30° + v 2 cos 60°,

0= v'sin300-v 2 sin 60°, v 2 = V,2+ v~. ovvero

,J3

1

V=V T+ V2 '"2'

o = v'.~-v . J3 2 2 2'

v2 = V,2+ vi. che ha per soluzioni

v

V2 = - =

2

13

m 50s

m

v'=-v=86,6-. 2 s b) Le corrispandenti energie cinetiche sono K'

= 37,5 J,

K 2 = 12,5 J.

Problemi

59

5.10. Una sferetta di massa m I = 20 g si muove lungo l'asse x con veloeita VI = 12 em/s inseguendo una seeonda sferetta di massa m2 = 30 g in moto nella stesso verso con veloeita v2 = 8 em/so L'urto e anelastieo e la veloeita relativa della sferetta 1 rispetto alIa 2 dopo l'urto e V = 3 em/s. Caleolare: a) Ie veloeita delle due sferette dopo l'urto, b) l'energia dissipata nell'urto.

a) Dalla eonservazione della quantita di moto, si ha ,

,

mIvI + m2 v 2 = mIvI + m2 v 2·

Tenendo presente ehe ,

,

VI -V 2

em

= 3-,

s

si rieava dopo qualehe passaggio: , VI

,

em

v2

=11,4-,

s

b) L' energia dissipata nell' urto 1 2

em

= 8,4-. s

e 2

1 2

2

1 2

'2

Ed =-mIvI +-m2v 2 --m I v 2 =4,2Il J.

5.11. Due eorpi di masse mI ed m2 in mota lungo l'asse x con veloeita VI e V2 « VI) si urtano anelastieamente proseguendo uniti. Rieavare l'espressione dell' energia dissipata nell'urto e dire se esiste qualehe easo partieolare in cui essa puo essere nulla.

Applieando la eonservazione della quantita di moto, otteniamo mIv I +m2v 2 =(m l +m2 )V,

V

= mIvI + m2 v 2 (ml

+ m2) .

L'energia dissipata e

Essa enulla per

VI

= v2, rna in tal easo i eorpi non potranno urtarsi.

5.12. Un eorpo puntiforme di massa m = 100 g con veloeita iniziale Va = 10 m/s urta frontalmente e anelastieamente a un' altezza h = 1 m dal suolo una parete vertieale, rieadendo a terra a una distanza d = 3 m dalla stessa. Caleolare: a) l'impulso rieevuto dalla parete; b) la pereentuale di energia meeeaniea persa dal eorpo tra la posizione iniziale (prima di toeeare la parete) e quella finale (quando toeea terra).

60

5 Quantita di moto. Centro di massa. Dinamica impulsiva

v

1 h

j d

+---

----+

Fig. 5.10.

a) Se il corpo rirnbalza con velocita v, l'equazione della traiettoria parabolica sara gx

2

y=--+h 2 2v

'

rna quando esso tocca terra e y = 0 ex = d, percio V

2

gd

2

=-2h '

~

v=d -

2h

rn =6 64-. ' s

La variazione di quantita di mota del corpo

e

e quella della parete sara uguale e opposta e origina un irnpulso I = ~qpar = 0,34 N s.

b)

1

1 2 Ei=-mvo+mgh,

2

Ef=-mv,

2

2

quindi ~%=

Ef -E i 100= Ei

[v 2

Vo

2

+ 2gh

) -1100=-63,1%.

Problemi

61

5.13. Una sferetta di massa m 1 viene lanciata lungo I' asse x con velocita v contro una seconda sferetta di massa m2 in quiete. Determinare, in funzione delle quantita assegnate, l' espressione della massima quantita di calore Q che si puo liberare nell'urto, precisando la natura energetica dell'urto prevista. ( ml<~)

m

~

1

@

•

• v

x

Fig. 5.11.

Per liberare la massima quantita di calore 1'urto deve essere totalmente anelastico; dalla conservazione della quantita di mota abbiamo

dove Vela velocita delle due sferette che procedono unite. L' energia cinetica iniziale e 1

2

K·=-m1v 1 2 '

quella finale

percio la quantita di calore cercata e

5.14. Un oggetto puntiforme in mota orizzontale con velocita Vo urta normalmente e anelasticamente una parete rigida a quota h dal suolo. Se esso perde 1/4 della sua energia cinetica, ricavare l'espressione della distanza dalla parete alIa quale tocca terra.

62

5 Quantita di mota. Centro di massa. Dinamica impulsiva

1 h

j d

+---

--+

Fig. 5.12.

Se l'oggetto perde nell'urto 1/4 della sua energia cinetica, dopo l'urto possiedera un' energia cinetica Kf

3 mv~

3

= 4'-2- = gmV

2 O '

cioe una velocita v tale che

L' equazione della parabola sara gx

2

y=--+h 2v 2 ' rna per y = 0 deve essere x = d, percio 0=-

gd 3

2 2

+h,

2·-v

4 °

d ==

Vo~ 2g 3h.

5.15. Un proiettiIe di massa m = 20 g penetra orizzontalmente in un blocco di massa M »m in quiete su un piano orizzontale liscio per un tratto d = 4 em impiegando t = 2 ms. Calcolare: a) la velocita del proiettile, b) l'energia dissipata nell'urto, c) l'impulso ricevuto dal blocco, d) la forza esercitata dal blocco suI proiettile.

Problemi

63

a) Essendo M » m, il blocco non si muove e tutta l'energia cinetica del proiettiIe si trasforma in lavoro di penetrazione 1 2

-mv

2

= Lp '

rna tale lavoro e

L=Fd=mv d, p t

quindi

v = 2d = 40 m. t b) L'energia dissipata nell'urto

s

e

2 1 2 2md Ed=-mv =--=161. 2 2 t

c) L'impulso ricevuto dal blocco tile

e pari alIa quantita di mota posseduta dal proiet-

1= m V= 2 '10-2 '40 = 0,8 N s.

d) La forza esercitata dal blocco e

F

mv

=-

= 400 N.

t

5.16. Una sonda spaziale di massa m = 1 t viene messa in mota accendendo il motore per un intervallo I1t = 50 s; in tale intervallo viene scaricato gas alla velocita Vr = 5 kmls e la velocita finale della sonda e VI = 1200 mls. Trascurando il peso della sonda, calcolare la portata di massa del gas espulso.

La legge fondamentale della dinamica per sistemi a massa variabile si scrive nella forma

dv dm F=m-+v _ . dt r dt Se trascuriamo il peso della sonda, F, abbiamo

64

5 Quantita di moto. Centro di massa. Dinamica impulsiva UI

Jo dv=-vr

Jrnf -dm, rno m

-~ mf = moe v r = 786,6 kg.

Sono stati espulsi 213,4 kg di gas in 50 s, percio la portata di massa e 4,27 kg/so

6 Meccanica relativa

Velocita Del moto relativo La velocita di un oggetto puo apparire diversa a seconda delle condizioni di mota dell'osservatore. E allora opportuno riferire tale velocita a un sistema di riferimento che sia fermo 0 in mota lentissimo nello spazio. Un riferimento di questa tipo viene detto assoluto e la velocita di un oggetto misurata da un osservatore solidale con tale sistema viene detta velocita assoluta. Solitamente, si assume come riferimento assoluto un sistema di assi cartesiani ortogonali solidale con Ie stelle fisse, un gruppo di stelle talmente lontane da Terra che, anche se soggette a lenti moti, possono con buona approssimazione essere considerate ferme. Un sistema di riferimento in mota rispetto a quello assoluto viene detto relativo e la velocita di un oggetto misurata da un osservatore solidale con tale sistema viene detta velocita relativa . Se chiamiamo velocita di trascinamento Vr la velocita con cui la terna mobile si muove rispetto a quella fissa, VA la velocita di un punto in mota misurata rispetto all'origine della terna fissa e ~ la velocita della stesso punto rispetto all'origine della terna mobile, si dimostra che (6.1) La (6.1) e detta legge di composizione delle velocita ed e dovuta a Galileo. Trattandosi di una relazione vettoriale, la velocita relativa sara in generale diversa da quella assoluta non solo in modulo, rna anche in direzione, con la conseguenza che a un osservatore relativo apparira diversa anche la traiettoria di un oggetto in mota rispetto a corne la vede l'osservatore assoluto.

AccelerazioDe Del moto relativo Se deriviamo rispetto al tempo la (6.1), ricaviamo (6.2)

66

6 Meccanica relativa

dove a A e l' accelerazione assoluta, cioe quella attribuita all'oggetto in mota dsll' osservaore assoluto, aR l' accelerazione relativa, cioe quella attribuita all' oggetto dall' osservatore relativo e aT l' accelerazione di trascinamento, cioe I'accelerazione che l'osservatore assoluto attribuirebbe all'oggetto in mota se tale oggetto fosse rigidamente collegato alIa terna mobile (si noti che aT non ein generale l'accelerazione della terna mobile rispetto a quella fissa). La (6.2) vale solo se il mota relativo delle due terne e traslatorio. Se il mota relativo e, nel caso piu generale, rototraslatorio (cioe composto da un moto traslatorio e da uno rotatorio di una terna rispetto all' altra) l' accelerazione di trascinamento comprende il termine dovuto alIa traslazione e un termine centripeto dovuto alIa rotazione detto accelerazione di Coriolis che risulta espresso da (6.3) dove OJ e la velocita angolare del mota rotatorio di trascinamento della terna mobile rispetto a quella fissa e ~ e la velocita relativa dell' oggetto in moto. In base alIa (6.3), la (6.2) diventa

e I' accelerazione attribuita dall' osservatore relativo all' oggetto in mota sara (6.4) Nella (6.4) il termine di Coriolis e preceduto dal segno negativo, quindi l' accelerazione di Coriolis appare all' osservatore relativo come un' accelerazione centrifuga. Tale accelerazione centrifuga e responsabile di molti effetti che si osservano sulla superficie terrestre: la deviazione verso oriente della caduta di gravi, la formazione dei vortici nell'atmosfera, il mota del pendola di Foucault.

Sistemi di riferimento inerziali Se moltiplichiamo per la massa m dell'oggetto in mota tutti i termini della (6.4), otteniamo (6.5) Se chiamiamo forza assoluta il termine FA = m a A, forza di trascinamento il termine F T = maT eforza di Coriolis il termine Fe = 2 m OJ /\~, la (6.5) si scrive maR =FA -FT -Fe,

che ha un importantissimo significato fisico.

(6.6)

Problemi

67

L' osservatore relativo vede muoversi l' oggetto sotto l' azione di tre forze. La forza FA che rappresenta una effettiva azione fisica esercitata sull' oggetto; la forza F T che e dovuta al mota relativo della terna mobile rispetto a quella fissa; la forza Fe che esiste solo se la terna mobile e in mota rotatorio attorno a quella fissa. Delle tre forze, l'unica che corrisponde a una reale azione fisica e FA e per questa motivo F T ed Fe vengono anche dette forze fittizie 0 forze apparenti. Consideriamo due terne il cui moto relativo sia rettilineo uniforme: per gli osservatori relativi OR' e OR" solidali con Ie due terne l' accelerazione di trascinamento e l'accelerazione di Coriolis sono nulle, e la (6.6) si scrive nella forma

che, essendo forza e accelerazione parallele, altro non e che la legge di Newton e quindi per entrambi gli osservatori vale il principio d' inerzia. I due osservatori vengono detti inerziali; se uno dei due e fisso nello spazio viene detto inerziale primario, mentre quello in moto e detto inerziale secondario. Qualsiasi altro osservatore che si muove di moto vario rispetto a un osservatore inerziale vedra muoversi 1'0ggetto sotto l'azione di tre forze ed e quindi logico attendersi una diversa versione dei fenomeni dinamici relativi all' oggetto. Per tale osservatore l' accelerazione relativa dell' oggetto non sara in generale parallela alIa forza assoluta, quindi per esso non vale piu il principio d'inerzia e viene percio detto non inerziale. Nella tabella sottostante vengono riassunti i principali concetti sopra espressi.

VA

velocita assoluta

~

velocita relativa

Vr

velocita di trascinamento

aA

accelerazione assoluta

aR aT

accelerazione relativa accelerazione di trascinamento

ac

accelerazione di Coriolis

Problemi 6.1. Un ragazzo fermo su un tappeto mobile lancia verticalmente una palla con velocita Vo = 6 m/s nell'istante in cui il tappeto accelera verso destra con accelerazione aT = 2 mls2 . a) Quale sara il tempo di volo della palla? b) In quale punto del tappeto ricadra?

68

6 Meccanica relativa

y

I

Va

la

T

0

x

:t:

Fig. 6.1.

arE aRx

= -aT'

v Rx

= -aTt,

XR

1

=- 2" aTt 1

2

,

2

a Ry =-g, VRy =-gt, YR =-2" g t +vot.

La palla tocca terra quando Y R = 0, cioe per t

V = --.Q. =

g

1,22 s.

b) Per tale valore di t si ha

cioe aile spalle del ragazzo.

6.2. Sui pianale di un camion e appoggiata una cassa il cui coefficiente di attrito col pianale e Ii = 0,8. Mentre il carnion sta viaggiando con velocita v = 63 kmlh, I'autista, per evitare di investire un cane, e costretto a frenare fino all'arresto del veicolo. Supponendo che la decelerazione sia costante, calcolare: a) la minima distanza di arresto perche la cassa non si sposti sui pianale, b) il tempo di arresto del camion.

V

Fig. 6.2.

Problemi

69

a) Perche la cassa non si sposti suI pianale l' accelerazione di trascinamento deve essere minore della decelerazione di attrito f.1 g, cioe

Dato che il camion si arresta, dovra essere 0= v 2 - 2aT x ,

v2

x=-2aT '

v2

x=--=19,5 m. 21lg

b) AHo stesso modo

o = v -Ilgt, v

t=-=2,23s. Ilg

6.3. Un pendola semplice di lunghezza 1 oscilIa in un ascensore fermo a terra con periodo T I ; quando I' ascensore accelera verso I' alto con accelerazione costante a = 2,3 m/s 2 , il periodo misurato dal passeggero diventa T2 = 0,9 T I • Calcolare I' accelerazione di gravita delluogo. Quando I'ascensore e fermo (0 si muove di mota rettilineo uniforme)

mentre, quando accelera verso l'alto, deve essere Tz =

2n~ g+a I ,

quindi

da cui

g = 9,805

ill

2 •

S

e

70

6 Meccanica relativa

6.4. Un pendola conico e costituito da un corpo puntiforme sospeso a un punto fisso 0 mediante un filo ideale di lunghezza 1 = 1 m e posta in rotazione in modo da compiere una traiettoria circalare di raggio r = 90 em in un piano orizzontale. Calcolare il periodo di tale pendola conico.

o

i: I

! !

-~-~------T---~------_

",,-1

r -----1_ --- _J'--

I

L..--

........

Fig. 6.3.

Basta imporre Ie condizioni di equilibrio relativo del corpo ruotante, cioe aR = 0; perche cia avvenga, la tensione del filo, il peso del corpo e la forza centrifuga di trascinamento devono avere risultante nullo, ovvero 2

tane = mro r

= ro

mg

2

r

g

rna r = 1sinO, allora OJ

2 _

g tan 0 _ g

------

r

r

sin 0

~1-sin2e

-

g

~

,

da cui OJ

= 4,74 rad ,

T = 1,32 s.

s

6.5. Un treno, ciascuna carrozza del quale ha massa m =120 t, sta viaggiando aIle alte latitudini nell' emisfero Nord su un binario disposto lungo un parallelo a velocita v = 30 mls. Calcolare la forza agente sulle rotaie e stabilire qual e la rotaia maggiormente consumata per effetto di tale forza.

II treno e soggetto alIa forza complementare di Coriolis , espressa vettorialmente da F= -2mwAv

con OJ velocita angolare di rotazione terrestre; tale forza e diretta perpendicolarmente all'asse di rotazione terrestre e al vettore v.

Problemi

71

Se il parallelo e percorso dal treno in senso orario, la forza e orientata verso l'asse terrestre; a tale forza si contrappone la forza centrifuga di trascinamento che pero aIle alte latitudini e trascurabile rispetto a essa. II modulo della forza di Coriolis, essendo OJ e v perpendicolari, risulta F=2m mv=524,9N.

La rotaia piu consumata sara quella piu vicina al polo.

6.6. Un pendola di Foucault compie un'oscillazione completa a Parigi (Lat. 48° 52') in 31 h 52 min. In quanta tempo compie l'oscillazione a Milano (Lat. 46° 30')? In quanta tempo ai poli?

II periodo di oscillazione di un pendolo di Foucault e inversamente proporzionale al seno dell'angolo di latitudine, percio Tpa

_

sin 46°30 ,

TMi

-

sin 48°52 ' '

TMi

= 33h 5 min.

Ai poli I' oscillazione dura 24 h.

6.7. Al soffitto di un ascensore e appeso un dinamometro al quale e fissata una massa m = 200 g. Calcolare quale peso indica il dinamometro a un passeggero nei seguenti casi di mota dell' ascensore: a) salita con velocita costante v = 3 m/s; b) discesa con la stessa velocita; c) per la rottura del cavo, moto in caduta libera; d) salita con accelerazione costante a = 2 m/s 2 ; e) discesa con la stessa accelerazione.

a) Quando il moto dell' ascensore e rettilineo uniforme, il peso apparente coincide con quello reale, cioe

P = 0,2 . 9,8

= 1,96 N.

b) Lo stesso vale per la discesa. c) In caduta libera d)

e)

=a A - aT = g - g = O. aR = g + a = 11,8 m/s 2, P = m aR = 2,36 N. aR = g -a = 7,8 m/s 2 , P = maR = 1,56 N.

aR

72

6 Meccanica relativa

6.8. Una pulce si muove radialmente con velocita costante ~ = 5 cm/s suI piatto di un giradischi che sta ruotando con frequenzaj = 33 giri/min. Calcolare a quale distanza dal centro del piatto deve trovarsi la pulce perche la sua accelerazione assoluta formi un angola di 45° con la direzione radiale.

Applicando il teorema delle accelerazioni

rna a R e nulla essendo costante la velocita della pulce; inoltre, l'accelerazione di trascinamento e radiale, mentre quella di Coriolis e ad essa perpendicolare. Se l' angolo tra tali due accelerazioni deve essere di 45° , dovra essere aT = ac, OJ

2

2v

r = 2OJv R , v

r = _R_ = -R... = 2,9 em. OJ nj 6.9. Due treni si muovono con la stessa velocita v in verso opposto su due binari paralleli e sono lunghi complessivamente I = 200 m. Se essi impiegano t = 5 s per superarsi, calcolare v.

La velocita relativa dei due treni e ~

v = vR 2

= 2 v e deve essere quindi = J..-. = 72 kIn . h

2t

6.10. Un nuotatore capace di nuotare con velocita ~ = 1,8 km/h si tuffa in un fiume largo I = 200 m con l' obiettivo di raggiungere la sponda opposta nel punta esattamente antistante quello di partenza. Se la corrente ha velocita Vc = 1,5 km/h, calcolare: a) in quale direzione deve tuffarsi, b) quanta tempo impieghera a raggiungere I' obiettivo.

a v

I

V A

Fig. 6.4.

R

Problemi

73

a) Per poter raggiungere la sponda suI punto antistante quello di partenza, il nuotatore dovra tuffarsi in acqua con velocita ~ relativa all' acqua e tale che la velocita assoluta risulti perpendicolare alIa sponda, ovvero, con riferimento alIa figura VA = V R

+ VT = 0,995

VA =

VR

+ Vc '

km

h

L' angola a deve essere tale che Vc

= ~ cos a,

cosa =

V _c =

vR

0,833,

a = 33°33'. b) II tempo impiegato sara t = 1/ VA = 12 min 4 s.

6.11. Un razzo viaggia lungo un parallelo con velocita v = 1000 kmlh da ovest verso est. Calcolare in modulo, direzione e verso l'accelerazione di Coriolis agente su esso.

Siha

Qc

= 2 COT v= 4,05 cmls2 •

La direzione e perpendicolare a entrambi i vettori lOT e v, quindi anche all' asse terrestre, orientata verso l'asse, come risulta dalla regola della mana destra.

7 Dinamica dei corpi rigidi

Si intende per corpo rigido un corpo nel quale la distanza tra due punti qualsiasi resta costante nel tempo. La dinamica dei corpi rigidi, oItre che i moti traslatori, prende in considerazione i moti rotatori, ovvero moti attorno a un asse che possono essere assiali, quando l'asse di rotazione e fisso, 0 polari, quando e mobile. Nella dinamica dei corpi rigidi i concetti di forza, di quantita di mota e di massa vengono sostituiti rispettivamente dai nuovi concetti di momenta meccanico, di momenta angolare e di momento d'inerzia Mo=rAF

Momento meccanico di una forza rispetto al polo 0

R

Risultante delle forze esterne

po=rAmv

Momento angolare di un punto materiale rispetto al polo 0 Momento angolare di un sistema di massa M rispetto al polo 0 Momento d'inerzia di un punto materiale rispetto a un asse passante per 0 Momento d' inerzia di un sistema rispetto a un asse passante per 0

K

1

= -2 I0 m2

W ==Mo XW

Energia cinetica di un corpo rigido in rotazione attorno a un asse per 0 Potenza in un mota rotatorio

Lavoro in un mota rotatorio assiale

76

7 Dinamica dei carpi rigidi

I equazione cardinale della dinamica dei corpi rigidi R= dQ dt

II equazione cardinale della dinamica dei corpi rigidi dPo M o =-+ VO I\Q

dt

M

- d(/om) 0-

dt

(valida quando il polo e fermo, 0 si muove parallelamente al centro di massa 0 coincide con il centro di massa) (valida quando 10

= costante)

Momento angolare di un corpo in rotazione

Condizioni di equilibrio di un sistema e sistema isolato R=O~aCM=O

Mo = 0

~ 10

m = costante.

Teorema di Huygens-Steiner, 0 degli assi paralleli la = ICM + md 2, con d distanza tra i due assi.

Pendolo composto

T

= 2n~

I , mgd

essendo 1 il momenta d'inerzia rispetto al punto di sospensione, m la massa pendolare e d la distanza tra il centro di massa e il punto di sospensione.

Problemi

77

Pendolo di torsione

essendo Iii momento d'inerzia rispetto al punta di sospensione e k la costante di torsione del filo.

Asse di istantanea rotazione Quando un corpo rigido quale una sfera 0 un cilindro rotola su un piano, il suo mota si pub ricondurre a un mota puramente rotatorio attorno a un asse passante per il punto di contatto (asse di istantanea rotazione). L'energia cinetica del corpo si pub scrivere indifferentemente come somma dell' energia cinetica di traslazione con velocita del centro di massa e dell' energia cinetica di rotazione attorno al centro di massa, oppure come energia cinetica di rotazione attorno all' asse a. In formule: M

a

Fig. 7.1.

Unita di misura SI Momento meccanico

newton metro (N m)

Momento angolare

joule secondo (J s)

Momento d'inerzia

chilogrammi metro quadrato (kg m2)

Problemi 7.1. Una trave omogenea uniforme di lunghezza 1= 3 m incernierata in 0 e in equilibrio appesa in B a una molla ideale di rigidiffi k =39,2 N/m che risulta allun-

78

7 Dinamica dei carpi rigidi

gata di s = 6 cm, mentre un bambino di massa m = 40 kg e fermo sulla trave in un punto C. Calcolare di quanta deve avanzare il bambino sulla trave per portarla in posizione orizzontale.

o Fig. 7.2.

Indicando con x 10 spostamento del bambino, quando la trave e orizzontale, il momenta del peso del bambino e della trave rispetto al polo 0 deve uguagliare quello della forza di richiamo della molla, cioe (d + x) m g + M g

i

2

= k ( s + I sin 30°) I cos 30°

(1)

Inizialmente abbiamo invece I m g d cos 30° + M g - cos 30° = k s I cos 30°, 2 I mgd+M g-= ksl. 2

(2)

Esplieitando la (1) e tenendo conto della (2), si rieava

k I [ s (eos 30° -1) + x

=

mg

f

sin 600] =

0,387 m

= 38,7 em.

7.2. Un cilindro omogeneo di massa Me raggio R mota attorno all' asse barieentraIe con velocita angolare iniziale 0)0 e posizione angolare iniziale 00 quando viene sottoposto a un momenta frenante Mo =- k 0) , dove k e una eostante e 0) la veloeita angolare istantanea. Rieavare la legge oraria del mota in funzione delle grandezze assegnate.

Problemi

79

Applichiamo l' equazione cardinale della dinamica dei moti rotatori dro -kro=/dt ' dro k -=--dt ro I' k In OJ = - - t + costante dove, sapendo che per t =

°e

I

OJ = OJ 0'

risulta In roo

=costante:

OJ k In-=--t

/'

OJo

k --t OJ = rooe I dOJ -=OJ

dt

k

--t

0

e I

,

IJe -~t d (k) It =- ----:- e -~t + costante.

OJ OJ = ----:-

OJ /

I

I

Essendo per t = 0, 9 = 90 :

+

OJ = OJ o

MR2

OJo

2k

[

1- e

2k)

- - -2t M R

•

73. Un metoda per calcolare il momenta d'inerzia di un corpo di forma irregolare rispetto all' asse baricentrale consiste nel sospenderlo a un filo ideale, farlo ruotare di un certo angolo e misurare il periodo delle piccole oscillazioni dopo averlo lasciato libero (pendolo di torsione). Sia T 1 = (2,5 ± O,l)s tale periodo. Si prende poi un corpo campione di momenta d'inerzia noto, 10 = (0,8 ± O,Ol)kg m 2 e 10 si sospende aHo stesso filo, ripetendo il procedimento e trovandone il periodo delle piccole oscillazioni, To = (1,6 ± O,l)s. Calcolare: a) il momento d'inerzia del corpo irregolare, b) l' errore percentuale piu probabile della misura. a) Detta c la costante di torsione del filo, l'equazione di mota di un pendolo di torsione risulta essere

equazione differenziale di un mota armonico semplice di periodo

80

7 Dinamica dei corpi rigidi

T=

2tr{f.

Nel caso in esame

Tj

1,=/0 ( To

)2 =1,95kgm.2

b) Per la formula della propagazione degli errori, essendo gli errori percentuali nella misura rispettivamente di 10 , T] e To

0,01 0,1 0,1 fl % =--100= 1,25%,fT, % =-100=4%,fT, % =-100=625% o 0 0,8 I 0 2,5 0 0 1,6 risulta

7.4. Un cilindro omogeneo rotola dalla cima al fonda di un piano inclinato di a = 30°, raggiungendo al terrnine una velocita del centro di massa VCM =4 m/s. Calcolare: a) la lunghezza I del piano inclinato, b) l' accelerazione con cui scende il cilindro, c) il tempo impiegato a percorrere il piano inclinato.

Fig. 7.3.

a) 11 mota del cilindro e rotatorio attomo all'asse di istantanea rotazione (passante per il punto di contatto con il piano). Esso scendendo trasforma 1'energia potenziaIe M g h in energia cinetica .!.I ())2, dove 1= leM + M r2 =

2

22 M r 2 .

Problemi

81

Pertanto

1 3 2 2

Mgh=-·-Mr

. g 1SIn a

2

2 ="43 V CM'

(1)

2

1= 3v CM

4gsina 2 4 V CM= -

3

=2,45m.

' a, g lSIn

(2)

rna deve essere anehe

b) Dalla (1) quindi

m. a = -2g . SIn a = 32 , 7 2"" 3

S

e)

t

= V CM a

=

1,22s.

7.5. a) Quale potenza media deve avere un motore per eonferire a una sfera omogenea di massa M = 2 kg e raggio r = 10 em una veloeita angolare OJ =40 giri/s in un tempo

t

= 15 s? b) Quanti giri ha eompiuto la sfera in tale intervallo di tempo?

Fig. 7.4.

82

7 Dinamica dei corpi rigidi

a) Dalla definizione di potenza media 2

W m

(~ Mr

= K = 10) = --,---5 t 2t

b) Ipotizzando un valor medio di

2

+ Mr 2 )

0)2

----"-_ 2t

0)

pari a

2

7Mr

2 0)

=58,9W.

lOt 0)

12:

0)

n=-t

2 '

quindi 0) t 300 gm. .. n=-= 2

7.6. Con riferimento al Problema 6.53 dell'allegato CD, fissando 1= 6 r, calcolare per quale valore del rapporto M/m il pendola composto in esame avrebbe 10 stesso periodo di un pendola semplice di lunghezza 1+ r.

o

M

Fig. 7.5.

Dobbiamo in primo luogo calcolare la posizione del centro di massa del pendola composto illustrato in figura. Risulta I m-+M{l+r) d=-----"'2:._ M+m

Applicando poi la formula del periodo del pendolo composto di Huygens:

Problemi

~

Tc = 2n (

I)

M+mgd

= 2n

2 ml 2 Mr 2 -+--+M(/+r)

=2n ------::;3~_""""-3

83

2 ml 2 Mr 2 -+-+M(/+r) 3 (2 ) M+mgd 2

m 2 Mr 2 -·36r +--+49Mr 3 2 g(3mr+ 7M r)

= 2n

I

m-+M(/+r) (M + m) g ----=2 _ M+m

Mr 12mr +--+49Mr 2

=2n

g(3m+7M)

II pendolo sempliee di lunghezza l + r ha periodo

T = 2nfJf. Uguagliando Ie espressioni dei due periodi, risulta:

Mr 12mr+-+49Mr 2

3m+7M

M

M

2m

m

= 7r

'

12+-+49------"'~--~=7,

M 3+7m

da cui Mlm = 18.

7.7. Supponendo la Terra sferiea e omogenea, di massa mT = 5,98 '10 24 kg e raggio r T = 6360 km, ealeolare quale momenta frenante e in grado di rallentare il periodo di rotazione terrestre di 1 Jls nell' area di 24 h.

Deve essere

11m I1t

Mo=/r=/ - ,

rna, essendo

OJ =

2n IT, risulta 2n 11m = - - 2 I1T, T

84

7 Dinamica dei corpi rigidi

quindi

= 0,4.5,98.10 24 .40,45.1012 .

6,28 ·10-6

86400 2 .86400

= 9,42 .10 17 N m.

7.8. Un'asta omogenea uniforme di lunghezza 1 = 60 cm e massa M = 6 kg e incernierata in 0 senza attriti a 2/3 della lunghezza e reca appese agli estremi due masse puntiformi m = 2 kg e x incognita, mantenendosi in equilibrio. Calcolare: a) il valore di x, b) il nuovo valore x' quando la massa m viene appesa nel punto C a 1/3 della lunghezza, c) il momenta d'inerzia del sistema rispetto all' asse passante per 0 nelle condizioni iniziali.

o

M

m x Fig. 7.6.

Annulliamo il momenta meccanico totale rispetto al polo 0: 1 1 1 2 1 2 -lxg+-l·-M g = -mlg+-l-M g 3 63 3 33' x M 2 2 -+-=-m+-M 3 18 3 9 ' dacui 3M +12m x=---6

M+4m =7kg. 2

b)

1

3 lx

,I

2 1 g+18 Mg =gMlg+ m 19,

3

M x'=m+-=5 kg. 2

Problemi

85

c) /0

12

4

12

12

[2

9

9

12

36

9

= x-+m-1 2 +M -+M- = -(x+4m+M)= 0,84 kg m 2

7.9. Una sferetta di raggio r/2 urta orizzontalmente, frontalmente ed elasticamente con velocita v una seconda sferetta di raggio r e della stesso materiale appesa in quiete al soffitto mediante un filo ideale di lunghezza 1 = 5 r. Esprimere: a) il valore di v in funzione di r perche in seguito all'urto la sferetta ferma raggiunga, fermandovisi istantaneamente, la posizione B; b) la velocita di rinculo v' della prima sfera sempre in funzione di r . ._._. __ . __ ._. __

J•

_.{..

_. __

....

.B

5r

r/2

r

....... .-:. ~ b

V

m

A

Fig. 7.7.

a) Applicando il principio di conservazione del momenta angolare, dato che si tratta di un urto con conseguenze rotatorie:

~

6mvr = Iw+ 6mv' r = w( M r

2

+36M r )+ 6mv'r 2

Trattandosi di un urto elastico, si conserva anche I' energia cinetica totale, quindi: 1

2

1

2

1

,2

-mv =-/m +-mv 2 2 2 ' rna M = 8 m, percio, dopo qualche passaggio, dobbiamo risolvere il seguente sistema

6v = 291,2mr + 6v'

86

7 Dinamica dei corpi rigidi

L'energia cinetica della sfera pili grande si trasforma totalmente in energia potenziale in B, per cui si ricava: 1

- I OJ

2

2

= 6M g r = 48 m g r

e, dopo qualche passaggio:

v=15, 56

W·

b) Successivamente V'=-12,lW·

7.10. Un blocco omogeneo di massa M = 0,4 kg e appeso al punto 0 mediante un filo ideale di lunghezza l = 2 m ed e inizialmente in quiete in A. Una freccia di massa m = 60 g scagliata con velocita v si conficca nel blocco e il sistema entra in rotazione. Trascurando qualsiasi attrito, calcolare: a) per quale valore di v il blocco si porta, fermandosi nella posizione B; b) illavoro di perforazione del blocco, c) che tipo di equilibrio e quello nella posizione B. B

v m

M

• A Fig. 7.8.

a) Dalla conservazione del momenta angolare:

Problemi 2

mvl = m! = m(M 1 + m1

2

)

87

=m z2 (M + m ),

mv

(0=----

l(M+m)

II blocco parte con energia cinetica

e la trasforma in energia potenziale nella posizione B: 2 2

m v ---=(M+m)gl. 2(M +m) Si ha allora

b) II lavoro di perforazione e la differenza tra l' energia cinetica del proiettile e quella con cui parte il blocco: 1 2 1 2 L = - mv - - I (0 = 60 1 J. p 2 2 ' c) Instabile, essendo massima l' energia potenziale del sistema.

7.11. Un uomo di massa m = 60 kg e in quiete suI bordo di una piattaforma di massa M = 200 kg e raggio r che sta ruotando con velocita angolare costante OJ = 15 rad/s attorno al proprio asse.

Fig. 7.9.

Se l'uomo si mette in mota radialmente con velocita costante v, a) ricavare, trascurando gli attriti e considerando puntiforme l'uomo, l'espressione della nuova velocita angolare in funzione della distanza x percorsa dall'uomo, b) calcolarne il valore quando l'uomo egiunto nel centro della piattaforma.

88

7 Dinamica dei corpi rigidi

a) Dalla conservazione del momenta angolare, abbiamo: OJolo = OJI, OJ = OJ o

(2m+M)r M r

2

2 2 •

+ 2m (r - x )

b) Nel centro della piattaformax = r, pertanto OJ=m M+2m =24 rad

oMs

7.12. Un'asta omogenea e uniforme lunga 1= 1 m di massa M = 1 kg e appesa verticalmente imperniata in P. Un proiettile di massa m = 10 g la colpisce orizzontalmente nel centro di massa restandovi conficcato. Se l'asta in seguito all'urto descrive un quarto di giro fermandosi per poi ricadere, calcolare: a) la velocita del proiettile , b) illavoro di perforazione. p

m

_ _ _~

M

Fig. 7.10.

a) Dalla conservazione del momento angolare si ottiene m

vi = m( M Z2 + m Z2 J 2

3

4'

mvl

m=--.

2/

Dalla conservazione dell'energia si ricava invece 1 2 l l -1m =Mg-+mg2 2 2'

Problemi

89

e quindi, dopo una serie di passaggi:

v=

(M+m)g1(4M+3m) _ 6 6 m 2 - 3 4, 3m s

b)

L p = -1 m V 2 2

- (M

+ m ) g -1 = 660 J. 2

7.13. Un'asta e una sfera omogenee con la stessa massa Me tali che la lunghezza 1 della prima uguaglia il diametro della seconda, ruotano con la stessa velocita angolare OJ costante attorno all' asse baricentrale. Calcolare i rapporti: a) tra i loro momenti d'inerzia baricentrali, b) tra i loro momenti angolari rispetto all' asse baricentrale .

a) II momenta d'inerzia dell'asta e

M 12

1=-a 12'

quello della sfera

I =?:.-M r2 = M [2 s

5

10 '

percio

b) Essendo

P = I OJ, risulta

Pa = I a = ~ ~ Is 6

8 Meccanica dei fluidi

Pressione

ovvero la derivata del componente normale della forza agente rispetto alIa superficie.

Principio di isotropia delle pressioni locali In un fluido in equilibrio la pressione in un punto e indipendente dalla giacitura e dall' orientazione della superficie passante per quel punto.

Principio di Pascal La pressione esercitata in un punto di una massa fluida si trasmette inalterata a tutti i punti del fluido.

Principio di Archimede Un corpo immerso in un fluido riceve una spinta verso l' alto pari al peso del fluido spostato. In formula:

FA=pg V, dove p e la densita del fluido, g l' accelerazione di gravita eVil volume del corpo immerso.

92

8 Meccanica dei fluidi

Tensione superficiale dF dL r---- dl - dS'

ovvero la forza specifica lineare necessaria per tenere uniti i lembi di un ipotetico taglio praticato sulla membrana di una superficie liquida, oppure illavoro compiuto per unita di superficie di una lamina liquida per mantenerne minima la superficie contro forze esterne tendenti a deformarIa .

Legge di Jurin-Borelli h = 2rcosO , prg

dove h e il dislivello del liquido di tensione superficiale r e angola di raccordo () con Ie pareti di un capillare di raggio r rispetto alla superficie libera delliquido nel contenitore in cui il capillare e immerso (h > 0, innalzamento, per () compreso tra o e 90 h < 0, abbassamento, per () compreso tra 90 e 180 0

0

0

).

,

Legge di Newton sulla viscosita dv F=-l1A'I

dx'

dove F e la forza viscosa che si esercita tra due strati contigui di liquido di sezione A, 17 il coefficiente di viscosita dinamica delliquido, dv la differenza infinitesima di velocita tra i due strati e dx 10 spessore infinitesimo di uno strato.

Legge di comprimibilita dV= -k Vdp,

dove dV e la variazione infinitesima di volume di un fluido di volume iniziale V sottoposto a una pressione additiva dp e k il coefficiente di comprimibilita.

Regimi di mota dei fluidi

93

Regimi di moto dei fluidi Sono tre: - regime stazionario, 0 di Bernoulli - regime macrovorticoso, 0 di Leonardo da Vinci - regime microvorticoso, 0 di Poiseuille

Regime stazionario Equazione di continuita Se A e la sezione di un condotto nel quale scorre con velocita v un fluido di densita p

QM = P A v = costante

(portata di massa)

Qv = A v = costante

(portata di volume, valida se il fluido eomogeneo)

Principio di Bernoulli 1

p + - P v 2 + P g h = costante, 2 v2

L + - + h = costante, pg

2g

(valido solo per fluidi omogenei)

dove 1 2 _pv

2

pressione dinamica,

pgh

pressione idrostatica,

h

altezza geometrica,

v2 2g

altezza di arresto,

p

pg

altezza piezometrica.

94

8 Meccanica dei fluidi

Legge di Torricelli La velocita di efflusso di un liquido da un foro praticato suI fondo di un recipiente contenente liquido fino alIa quota h, se A e a sono Ie sezioni del recipiente e del forellino e data da

Regime microvorticoso

E retto dalle due leggi di Poiseuille: vCr)

=

t:.p (R 2 4TJl

-

r2)

I legge

4

Q _

n R t:.p

v -

8 TJ l

II legge,

dove l ed R sono rispettivamente la lunghezza e il raggio del capillare, TJ il coefficiente di viscosita delliquido, r la distanza dall'asse del capillare e i1.p la differenza di pressione ai suoi estremi. La prima legge riguarda in un capillare la velocita delliquido in funzione della distanza dall' asse, mentre la seconda riguarda la portata di volume di un capillare.

Legge di Stokes F = 6 1CTJ r

V,

descrive la forza viscosa agente su un corpo sferico di raggio r di piccole dimensioni in mota con velocita v in un mezzo di coefficiente di viscosita 1]. La velocita limite di un tale corpo, dette P e Po Ie densita del corpo e del mezzo in cui cade e 2

v lim =

2r g(p- Po) 91]

Problemi

95

Unita di misura Pressione

pascal (Pa), bar, millimetro di mercurio (mmHg)

Tensione superficiale

newton al metro (N/m)

Coefficiente di viscosita

Pa s = daP = kg/em s), poise (P)

Coefficiente di comprimibilita

Pa- 1

Portata di massa

kg/s

Portata di volume

m3/s, lis

Problemi 8.1. Un cilindro di sezione S = 100 cm 2 galleggia in acqua (p = 1000 unita SI); appoggiando sui cilindro un oggetto di massa m, esso affonda di un tratto s = 3 mm. Calcolare m.

L'affondamento del cilindro implica che il peso aggiuntivo sia equilibrato da una spinta di Archimede pari al peso del fluido spostato, cioe mg=pn?sg=pSsg, m =pS s =30 g.

8.2. Un cubetto di ghiaccio (densita Pgh = 920 unita SI) di spigolo a = 4 em galleggia in un bicchiere cilindrico di sezione S = 25 cm 2 pieno d' acqua fino a un'altezza h = 10 em. Calcolare la nuova altezza h' dell'acqua quando il cubetto e completamente fuso.

Fig.S.l.

96

8 Meccanica dei fluidi

La fusione della parte immersa provoea una diminuzione di volume eompensata esattamente dall'aumento di volume dovuto alia fusione della parte di eubetto immersa, pereio h' = 10 em. 8.3. Una sferetta di ferro di densita Po = 8000 unita SI e volume Vo = 6 em3 e immersa in aequa (p = 1000 unita SI) appesa a una molla ideale di rigidita k = 20 N/m mediante un filo ideale fissato al soffitto. Se la molla, in eondizioni di equilibrio, e allungata di un tratto x = 1 em, ealcolare la tensione del filo.

Fig. 8.2.

Le eondizioni di equilibrio impongono ehe sia T-mg+pVg+kx=O, T =(p 0

-

p) V g - k x

=0,21 N.

8.4. Un eilindro omogeneo di legno di altezza h e densita p =950 unita SI immerso in un liquido galleggia in modo ehe la parte emergente e pari a 3/4 h. Calcolare la densita delliquido.

p S h = h S p'/4,

p' = 4 P = 3800 kg/m 3 .

8.5. Un eilindro di legno di sezione S = 300 em 2 galleggia su un liquido; appoggiandovi un corpo di massa m = 0,9 kg, il eilindro affonda di un ulteriore tratto s = 2 em. Calcolare la densita delliquido.

All' equilibrio iniziale deve essere M=pSx,

Problemi

97

mentre alla fine M+m=pS(x+s).

Sottraendo m.a.m.: p

=m/S s = 1500 kg/m3 .

8.6. Una sferetta omogenea appesa a un filo ideale viene immersa dapprima in un liquido di densita PI = 2 g/cm3 , quindi in un secondo liquido di densita pz = 1 g/cm 3 . Se la tensione del filo nel secondo caso e doppia che nel primo, calcolare la densita della sferetta.

Fig. 8.3.

II risultante di tensione del filo, peso della sferetta e spinta di Archimede deve essere in entrambi i liquidi nullo, percio T - m g + PI V g

=2 T -

m g + pz V g,

dacui

8.7. Un blocco prismatico retto di densita P = 900 unita SI e volume V = 0,2 I e appeso a due identiche molle di rigidita k = 60 N/m galleggiando radente al pelo libero dell' acqua e recando appesa nella parte inferiore mediante un filo ideale una sferetta di volume V I = 5 cm3 e densita PI = 5000 unita SI. Calcolare: a) la tensione del filo, b) l'allungamento delle molle.

kilk r? P

Fig. 8.4.

98

8 Meccanica dei fluidi

a) Scriviamo Ie condizioni di equilibrio per la sferetta, indicando con Pa la densiffi dell' acqua: T = m l g - Pa VI g = (PI - Pa) VI g = 0,196 N. b) Tenendo conto che la tensione e una forza interna, imponiamo che il risultante delle forze agenti sui sistema sia nullo: - 2 k x + g [V (p - Pa) + VI (PI - Pa) ] =0, dacui

x=O.

= 7800 unita SI) di diametro esterno d z = 61 em galleggia in acqua a Milano emergendo per meta. a) Calcolare il diametro interno della sfera. b) All'equatore la spinta di Archimede sulla sfera variera? In che senso? c) Ai poli la sfera emergera di piu 0 di meno?

8.8. Una sfera cava di ferro (p

a) Per ricavare il diametro interno d 1 della sfera, scriviamo che il peso della sfera uguaglia la spinta di Archimede sulla parte immersa che ha un volume pari alia meta di quello della sfera, cioe

4 (d d 3 np -t-t 3

3

)

2 nPa

=3

d -t, 3

P-P a = 59,7 em. 2p

~

d) = d 2 3

b) Essendo g minore, sara minore anche la spinta di Archimede. c) La linea di galleggiamento restera invariata, in quanta anche il peso della sfera aumenta della stessa entita. 8.9. Una sottile asta omogenea e uniforme di massa m = 40 g e appesa come in figura a una molla ideale di rigidita k 200 N/m e galleggia emergendo esattamente per meta in un liquido di densita PI in rapporto r = 4/3 con quella P dell'asta. Calcolare l'allungamento della molla.

=

Fig.8.S.

Problemi

99

Indicando con lla lunghezza dell'asta e con A l'estremo fissato alIa molla che assumiamo come polo, in equilibrio deve annullarsi il momenta di tutte Ie forze agenti sull'asta; se Oe l'angolo formato dall'asta con la verticale, deve essere 1

V

1

k x 1cosO - m g -cosO + PI - g - cosO = 0, 224 kx= mg 3 '

x = m g = 0 65 mm. 3k

'

8.10. Una canna barometrica torricelliana contiene acqua per un'altezza h =10 em al di sopra del mercurio. Se la pressione atmosferica e 90 kPa, quale sara I' altezza x della sottostante colonna di mercurio?

h

x

Fig. 8.6.

La somma delle pressioni idrostatiche delle colonne d' acqua e di mercurio deve uguagliare la pressione atmosferica, quindi

Pa h g + PHg X g =p, e quindi x

Pa h g PHg g

=p-

= 66,8 em.

100

8 Meccanica dei fluidi

8.11. Un tubo orizzontale di diametro h = 30 em alimentato da un aequedotto presenta un ugello di sezione a = 2 em 2 inclinato di a = 30° sull' orizzontale. Calcolare quale deve essere la portata di volume dell' aequedotto perehe 10 zampillo del getto toeehi terra a distanza d = 6 m dall'inizio dell'ugello.

Fig. 8.7.

Deve essere Q =a v, quindi dobbiamo ealcolare la veloeita con cui il getto fuoriesee dal tubieino. Seriviamo l'equazione della traiettoria paraboliea:

y=-

gx 2

2 2

2v cos 30°

+xtan300+h,

dalla quale, essendo y = 0 per x = d, si rieava Q = ad

g

d sin 60° + 2h eos 2 30°

= I ,58 ~. s

8.12. Quale deve essere la portata di volume di un eondotto perehe da un foro aperto in eorrispondenza di una strozzatura di sezione A = 40 em 2 fuoriesea uno zampillo alto h = 10 m?

Deve essere Qv =Av=AJ2gh =56!.

s

8.13. Sulle pareti di un reeipiente pieno d'aequa vengono pratieati due forellini di sezione traseurabile rispetto alla sezione di base rispettivamente a distanza hi = 20 em e h2 =80 em dal pelo libero. Supponendo ehe un rubinetto immetta aequa nel recipiente mantenendo eostante il livello del liquido mentre questa fuoriesee dai forellini e sapendo ehe i due getti toeeano terra nella stesso punto, ealcolare: a) l'altezza h del reeipiente, b) la distanza d.

Problemi

10 I

d

Fig. 8.8.

Dalla legge di Torrieelli, essendo eostante il livello dell' aequa, Ie veloeita di efflusso dai due fori sono

quindi Ie equazioni dei due getti paraboliei sono 2 gx\ Yl =---2 +h-hl ,

Y2

2u I

2 gX2 =---2 +h-~.

2u2

e dal momenta ehe quando i getti toeeano terra Yl e Yz sono nulli, mentre valgono entrambi d, dobbiamo risolvere il seguente sistema d

2

d

2

Xl

e

Xz

O=--+h-h 4h\ I

O=--+h-~

4~

ehe ammette per soluzioni h = 1 m, d = 80 em.

8.14. Un silos eilindrieo di sezione A = 1 mZ pieno di vino presenta sui fonda un forellino di sezione a = 0,5 emz. Illivello iniziale delliquido e h = 6 m; per evitare di perdere il prezioso liquido, si pone sotto il silos una vasea di eapaeita V = 401. In quanta tempo si riempira tale vasea?

102

8 Meccanica dei fluidi

Mentre il vino fuoriesee dal forellino, il Hvello h si abbassa, quindi diminuisee la veloeita di efflusso; per l' equazione di continuita deve essere, indieando con y I' abbassamento dellivello del silos: A a

v =-v a

A

A dy a dt '

=--

ma e anehe, per la legge di Torrieelli,

quindi

.j 2g(h-y) = --. A dy a dt

Integrando, dopo qualehe passaggio si ottiene

~ h - y = Jh _!!:- fit. AV2 Imponendo poi ehe il volume fuoruscito dal silos uguagli quello V della vasca, si ricava per il tempo di riempimento: tr

=;

H[Jh - If)

= 20272 s ~ 5 h 38 min.

8.15. A quale altezza arriva 10 zampillo fuoriuscente da un forellino praticato in un condotto in cui scorre acqua in regime stazionario con velocita 14 mls? A quale altezza se illiquido emercurio?

h

=!!.=196 =10 m. 2g 19,6

La stessa, perche I' altezza di arresto non dipende dalla densita delliquido.

8.16. Calcolare la pressione dinamica esercitata sulle pareti di un condotto di sezione eostante 1200 cm2 nel quale scorre aequa con portata di volume 100 lis.

2

Q2

10-2

S2

0,12

p=pv =£-L=500.--=347,2Pa. 2 2

2

8.17. II raggio dell'arteria aorta dell'uomo e 1 em, mentre la portata di volume eorrispondente al flusso eardiaeo e 5 lImin. Caleolare, supponendo un regime stazionario, la veloeita media del flusso sanguigno nell' aorta.

Problemi

Qv (5 160) .10-3 v--------nr z - 3,14·10-4

103

26,5 em.

s

8.18. In una miniera a profondita 200 m si verificano infiltrazioni d'acqua al ritmo di 600 lImin. Quale potenza deve avere una pompa per garantire l'asportazione di tutta l' acqua di infiltrazione?

La potenza cercata e illavoro compiuto nell'unita di tempo contro Ie forze di gravita che ostacolano la salita dell' acqua, ovvero

w=

L = mg h = PQv g h = 10 3 .10-2 .9,8.2.10 2 = 19,6 kW. t t

8.19. In un capillare di raggio r = 1 mm si ha un gradiente di pressione di 4 mmHg/cm. Calcolare la portata di volume quando in esso scorre un liquido con viscosita 2 mPa S.

Dalla seconda legge di Poiseuille si ha:

Q v

= 1Cr

4

Ap

= 10 4

81} I

'

3

em s

8.20. Un blocchetto cubico di legno di densita Po = 950 unita SI galleggia su un liquido emergendo per 2/3 del suo volume V. Calcolare la densita p delliquido.

11 peso del blocchetto deve uguagliare la spinta di Archimede sulla parte immersa:

PoV g =

p = 3po

v 3 Pg ,

= 2,85

g cm 3

•

8.21. Un oggetto pesa 100 N in aria e 75 N immerso in acqua. Calcolare la densita relativa all'acqua dell'oggetto.

Se l'oggetto immerso in acqua pesa 75 N, la spinta di Archimede su esso e 25 N, cioe p Vg

= 25 N,

mentre in aria sara Po Vg=100N,

104

8 Meccanica dei fluidi

quindi sara

8.22. Se nell' esperimento di Torricelli il tubo barometrico viene inclinato a 45°, quale sara la lunghezza l della colonna di mercurio?

Fig. 8.9.

II dislivello tra l' estremo superiore della colonna di mercurio e illivello del mercurio nella vasca deve essere h = 76 cm, quindi, essendo h = l sin 45°, sara

l

h

=- - = 107,5 cm. sin 45°

8.23. Un condotto di raggio r si suddivide in 4 condotti di raggio r/3. Se la velocita media di un liquido omogeneo nel primo condotto e v, qual e la velocita media in ciascuno dei condotti piu picco Ii ipotizzando un regime stazionario?

Se il liquido scrivere che

e omogeneo,

Ia portata di volume

e costante,

quindi possiamo

9

v'=-v. 4

= 4 mm la pressione relativa mmHg. Calcolare la tensione elastica delle pareti.

8.24. In una piccola arteria di raggio r

T= r p

= 21,3 N/m.

e p = 80

Problemi

105

8.25. Un blocco di sezione a = 150 cm2 e massa m = 4 kg viene appoggiato su un pistone mobile di sezione A = 1500 cm2 • Quale pressione vi esercita? 8

Fig. 8.10.

p

=-mg = 261,3 Pa. A

Si noti che il risultato e del tutto indipendente dalla sezione del blocco! 8.26. In un ramo di un tubo a U si trova acqua, nell'altro mercurio. In condizioni di equilibrio, quanta vale il rapporto tra I' altezza dell' acqua e quella del mercurio, misurate rispetto alla superficie di separazione tra i due liquidi?

Coincide con il rapporto tra Ie densita del mercurio e dell'acqua, cioe 13,6. 8.27. Un motore pompa 10 lIs di liquido a una pressione media di 2 atm in un condotto orizzontale. Calcolare illavoro compiuto in 2 s.

L

i1V

= pi1V = p - t = PQV t = 4,04 kI. t

8.28. Un' arteria nella quale scorre del sangue con velocita v si biforca in due arteriole ciascuna di raggio pari aHa meta di quello dell' arteria principale. Quale sara la velocita media del sangue nelle due arteriole?

La portata di volume dell'arteria piu grande e Qv = 1r r2 v; ipotizzando un regime stazionario, la somma delle portate di volume delle due arteriole deve coincidere con Qv, cioe

nr 2v=n(r,2+ r ,2)v'=n v'=2v.

r2 r Jv', 4+4 ( 2

106

8 Meccanica dei fluidi

8.29. La zattera del Problema 8.62 dell'allegato CD ha spessore d = 25 cm ed e costruita con un materiale di densita Po = 960 unita SI. Calcolare il periodo delle piccole oscillazioni della zattera dopo la perdita del carico.

Quando gettiamo in acqua il carico, la massa della zattera diminuisce ed essa subisce un' accelerazione verso I' alto cui corrisponde una forza M a = P 0 S d a,

dove S e la superficie della zattera. A tale forza si oppone la forza di richiamo dovuta al peso della parte immersa, ovvero - P S Y g. Quindi

Po S d a = - P S Y g, a=-pgy, Pod

che e I' equazione differenziale di un mota armonico semplice di periodo

T=2n~ Pod =0,98 s. pg 8.30. Quando un sommergibile si immerge a 120 m di profondita, quale pressione devono esercitare Ie pompe per espellere acqua dai compartimenti stagni, se la densita dell' acqua marina e 1030 unita SI?

La pressione esercitata dalla colonna d' acqua sovrastante il sommergibile e p

= p g h = 1,21 MPa = 11,98 atm,

tuttavia per espellere I' acqua Ie pompe devono vincere anche la pressione atmosferica, quindi la pressione da esercitare sara 12,98 atm.

9 Gravitazione

V no dei temi piu interessanti per gli antichi era 10 studio delle caratteristiche del sistema solare, descritto in un primo tempo dalla teoria geocentrica di Aristotele (III secolo a.C.), che 10 stesso filosofo greco aveva ripreso dai modelli di Eudosso e di Callippo (IV secolo a.C.). Secondo Aristotele l'universo era formato da una serie di sfere cristalline tutte concentriche con la Terra, che era composta dai quatto elementi (terra, acqua, aria e fuoco). I corpi celesti si muovevano nell'etere, elemento puro, solido, incorruttibile, trasparente e imponderabile, e la materia occupava tutto l'universo senza lasciare vuoti (la non esistenza del vuoto fu uno dei dogmi della fisica aristotelica contro il quale si accanl, a ragione, Galileo); il mota della sfera piu esterna si trasmetteva per contatto aIle sfere piu interne giungendo alla sfera della Luna, che era l'ultima. Alcune delle sfere intermedie erano occupate dai pianeti, che all'epoca erano solo sei (mancavano Vrano, Nettuno e Plutone). Secondo tale teoria, Ie stelle cadenti erano frammenti di sfere staccatisi e arroventati per attrito. Essa non era in grado di prevedere la posizione futura dei pianeti e la loro variazione di luminosita. Fu il greco Tolomeo (II secolo a.C.) a proporre un modello geocentrico in grado di spiegare la variazione di luminosita dei pianeti con il complicato modello a epicicli. Gia un secolo prima, tuttavia, il greco Aristarco aveva formulato l'ipotesi eliocentrica, secondo la quale il Sole era al centro dell'universo e i pianeti ruotavano attorno a esso; in particolare la rotazione della Terra avveniva con asse inclinato per giustificare il periodico abbassamento delle traiettorie del Sole, della Luna e di tutti i pianeti. Tale modello, pero, non ottenne i consensi dei contemporanei di Aristarco, poiche era ancora troppa l'autorita di Aristotele. II primo netto rifiuto della concezione geocentrica di Aristotele si ebbe con il polacco Nicola Copernico (1473-1543), che nell'ultimo anna di vita ripropose nella sua opera De Revolutionibus Orbium Coelestium il modello eliocentrico di Aristarco dando origine alIa cosiddetta rivoluzione copernicana. Pochi anni dopo, l'astronomo tedesco Johannes Kepler (1571-1630), il cui nome fu latinizzato in Keplero, partendo dall' ipotesi eliocentrica di Copernico e basandosi sull' accurato lavoro sperimentale del suo maestro, l'astronomo danese Tycho Brahe (15461601), enuncio nella sua opera Astronomia Nova (1609) Ie leggi del mota dei pianeti, leggi empiriche dalle quali si calcolano ancora oggi con estrema precisione Ie traiettorie dei pianeti.

108

9 Gravitazione

Leggi di Keplero I. I pianeti descrivono orbite ellittiche attorno al Sole, che e posto in uno dei fuochi dell'elisse. II. Le aree spazzate dal raggio vettore (la congiungente pianeta-Sole) sono proporzionali ai tempi impiegati a descriverle. III. I quadrati dei periodi di rivoluzione dei pianeti sono proporzionali ai cubi dei semiassi maggiori delle loro orbite ellittiche. Le prime due leggi sono esposte in Astronomia Nova, mentre la terza legge fu enunciata da Keplero solo nel 1618. La seconda legge altro non e che la conservazione del momenta angolare del pianeta nel mota attorno al Sole, mentre la terza legge si puo ricavare matematicamente come conseguenza della legge di gravitazione universale. Importante fu il contributo di Galileo all'astronomia. Perfezionando nel 1609 il cannocchiale, egli riuscl a stabilire che la natura dei corpi celesti e del tutto simile a quella della Terra: la Luna presentava una serie di corrugamenti che 10 stesso Galileo aveva chiamato mari e monti, mentre il Sole mostrava Ie cosiddette macchie solari descritte per la prima volta da Galileo nel Sidereus Nuncius (1610).

Legge di gravitazione universale Essendo l' orbita dei pianeti ellittica, si doveva individuare sia la natura della forza che Ii fa costantemente deviare sia la sua origine: il duplice obiettivo venne raggiunto da Isaac Newton (1643-1727). Se la forza che mantiene i pianeti in orbita e dovuta al Sole, si doveva ideare un meccanismo capace di trasmettere l' azione a distanze cosl grandi, enormemente maggiori di queUe aUe quali un oggetto e attratto verso la Terra. II grande merito di Newton fu proprio I'aver ipotizzato tra pianeti e Sole un' azione attrattiva reciproca tra masse della stessa natura di quella tra un oggetto e la Terra. La domanda che Newton si pose - secondo la leggenda fu: "Perche una mela che si stacca dall'albero cade a Terra e la Luna continua invece a orbitare attorno alla Terra senza cadervi sopra?" DaIle osservazioni del moto della Luna che gli permisero di ricavare l' accelerazione centripeta della Luna e di confrontarla con l' accelerazione di gravita terrestre, Newton stabill la legge di gravitazione universale, secondo la quale tra due masse m 1 ed m2 poste a distanza r tra i loro centri di massa si esercita una forza attrattiva F

= -G mlm2 r3

r

'

(G = 6,67 . 10-11 N m 2Jkg2)

(9.1)

dove G e la costante di gravitazione universale. La forma vettoriale di F e stata scritta in questa modo tenendo conto che tale forza ediretta radialmente.

L'accelerazione di gravita

109

Da notare che l'azione gravitazionale tra due masse non dipende dal mezzo interposto, quindi non esistono schermi gravitazionali. La costante G e stata misurata da Henry Cavendish (1731-1810) nel 1798 ed e stata una delle misure piu precise mai eseguite in Fisica, tanto che aHa memoria dello studioso e stato intitolato a Cambridge nel 1870 uno dei piu prestigiosi laboratori di Fisica del mondo.

Newton e la terza legge di Keplero Dalla legge di gravitazione universale (9.1) e possibile esprimere in forma matematica la terza legge di Keplero. Infatti, un pianeta di massa m orbitante attorno al Sole di rnassa ms su un' orbita circolare di raggio r e soggetto aHa forza gravitazionale che e di natura centripeta, quindi si puo scrivere: G mms = mOl 2 r ' r2 dove me la velocita angolare del pianeta e quindi, tenendo conto che il periodo di rivoluzione e dato da T = 2n / ol ,

(9.2) che esprirne la terza legge di Keplero e nella quale la costante di proporzionalita e detta anche costante di Keplero. La (9.2) e stata ricavata nel caso particolare delle orbite circolari, rna - con un procedirnento piu complesso - puo essere ricavata anche per Ie orbite ellittiche.

L'accelerazione di gravita La legge di gravitazione universale consente una valutazione dell' accelerazione di gravita terrestre: la forza con cui un oggetto di rnassa m e attratto verso il centro della Terra, se mT e la massa della Terra, non e altro che il peso m g dell' oggetto, quindi possiamo scrivere. mmT

G -2-=mg, rT da cui (9.3) che si calcola facilrnente conoscendo il raggio terrestre rT = 6,36 . 106 rn e la massa terrestre mT = 5,98 . 1024 kg.

110

9 Gravitazione

Infatti g

6 0 -11 . 5 ,98·10 24 =976m =GmT= 6 ,7·1 2 rT

(6,36.10 6 )

2 '

s

2 '

in ottimo accordo con il valore comunemente accettato per g. Facciamo notare che la (9.3) vale per oggetti sulla superficie terrestre; per un oggetto posto a quota h al di sopra della superficie terrestre, basta sostituire nella (9.3) (rT + h)2 ad r] ,ovvero (9.4)

Campo gravitazionale La (9.1) afferma che tra due masse si esercita sempre una forza attrattiva purche non si trovino a distanza infinita una dall'altra. Ma cosa accade nelle vicinanze di una sola massa M isolata nello spazio? Per chiarirci Ie idee si introduce una grandezza vettoriale chiamata intensita di campo gravitazionale H (0 semplicemente campo gravitazionale), definita come la forza agente sull'unita di massa; per esprimere matematicamente tale grandezza, si deve trovare un' espressione nella quale compare solo la massa che genera il campo e non quella sulla quale il campo agisce. In presenza di due masse M ed m poste a distanza r la forza gravitazionale agente e

F=G

mM r2

'

mentre la forza agente sulla massa unitaria e (9.5) che rappresenta il campo generato dalla massa M in un punto a distanza r dal suo centro di massa. La (9.5) si scrive in forma vettoriale

M H=-G 3 r, r dove il segno negativo indica che l' azione su una massa m che dovesse trovarsi alIa distanza r da M e attrattiva, come indica il verso delle linee di campo con cui esso viene rappresentato nella figura 9.1. 11 concetto di campo e importantissimo in Fisica, in quanta consente di descrivere la situazione creata attorno all' ente del campo indipendentemente dalla presenza di un altro ente nelle vicinanze.

Campo gravitazionale

111

Fig. 9.1.

E importante stabilire un

particolare significato del campo H. Quando la forza F tra due masse coincide col peso, possiamo scrivere che

mmT mg=G--,",--=(rT + h)2 ' dacui (9.6)

ovvero l'accelerazione di gravita terrestre della (9.4) coincide con il campo gravitazionale terrestre. Questo sulla superficie terrestre 0 al di fuori di essa. Ma come si comporta H all'intemo della Terra? E necessario avanzare alcune ipotesi semplificatrici: prima di tutto che la Terra sia sferica e che sia omogenea a strati, un po' come una cipolla non totalmente omogenea, rna omogenea soltanto nei singoli strati di cui e fatta. Un oggetto a distanza r dal centro della Terra sentira l' azione attrattiva della sola parte di Terra al di sotto di esso, in quanta Ie due azioni attrattive del guscio esterno si compensano annullandosi (Fig. 9.2).

Fig. 9.2.

Possiamo allora, indicando con gj e con m j la gravita e la massa interne, scrivere

4

3

mm. m·-nr p mg = G--' =G 32 2 I r r

4

= -Gnprm 3

e quindi

4 gj = -Gnpr. 3

(9.7)

112

9 Gravitazione

II campo gravitazionale terrestre all'interno della Terra e quindi direttamente proporzionale alla distanza dal centro secondo la (9.7), mentre quello esterno diminuisce col quadrato della distanza dal centro, secondo la (9.6) (Fig. 9.3).

g

o Fig. 9.3.

Energia potenziale gravitazionale La forza gravitazionale e conservativa: per verificarlo basta scrivere con la (9.1) Ie componenti della forza secondo i tre assi e verificare che Ie derivate in croce di Schwartz sono uguali; si ha infatti F =-G x

F =-G y

F=-G z

m 1m2

x

m1m 2

y

mlm2

z

(2 2 2)3/2 X +y +z (2 2 2)3/2 X +y +z (2 2 2)3/2 X +y +z

Ie cui derivate parziali in croce sono uguali per ragioni di simmetria. Se quindi la forza gravitazionale e conservativa, essa ammette un'energia potenziale; per il teorema dell' energia potenziale del Capitolo 4, possiamo scrivere in forma infinitesima che 8L=-dU, dove

8L=Fdr=-Gml~2 dr r

e quindi dU

= G ml~2 r

dr.

Energia totale gravitazionale

113

La variazione di energia potenziale quando una massa m1 passa dalla distanza r 1 alla distanza r2 da una seconda massa m2 , sara quindi espressa da I1U

= Uz -

Uj

=

j''\2 G mj~Zdr = -G mjmz + G mjmZ , r r r 2

(9.8)

1

per cui possiamo concludere che il sistema di due masse m 1 ed m2 poste a distanza r possiede un' energia potenziale

U = -G m1m2 + costante. r II valore della costante si determina facilmente pensando che quando Ie due masse si trovano a distanza infinita, la forza gravitazionale tra esse e nulla e quindi sara tale anche l' energia potenziale gravitazionale. Ma qual e il significato dell'energia potenziale gravitazionale? Per vederlo, riscriviamo la (9.8) nel caso in cui r2 sia infinitamente grande, ottenendo (9.9) Possiamo dare il seguente enunciato: L'energia potenziale gravitazionale di un sistema di due masse poste a distanza r e it lavoro che devono compiere Ie forze gravitazionali per portare Ie due masse a distanza infinita:

(9.10) II fatto che tale lavoro sia negativo come appare dalla (9.1 0) indica che per allontanare Ie due masse a distanza infinita si deve compiere un Iavoro contro Ie forze del campo, notoriamente attrattive. In altre parole, il fatto che l'energia potenziale gravitazionale di un sistema di due masse sia negativa indica che si tratta di un sistema legato.

Energia totale gravitazionale Anche in un campo gravitazionale, essendo Ie forze agenti conservative, deve valere il principio di conservazione dell' energia, come ora verificheremo nel caso particolare di orbite circolari. Cominciamo col calcolare I' energia cinetica di una massa m in orbita circolare attorno a una massa M; si ha 2 1 2 2 1 K=-mv =-mm r 2 2 '

114

9 Gravitazione

da cui, per la (9.2) nella quale alla massa solare sostituiamo M, 1

2 2

1

4n

2

K=-mw r =-m--r 2 2 T2

2

GMm 2r

L'energia totale e data dalla somma dell'energia cinetica e di quella potenziale, percio, per la (9.10):

E=K+U= GmM _ GmM 2r r

=_ GmM. 2r

Nel caso delle orbite circolari e evidente che E e costante, rna si puo ricavare, con calcoli nettamente pili complessi, che anche per Ie orbite ellittiche l'energia gravitazionale totale e costante.

Principi di conservazione nel moto dei pianeti Si consideri un pianeta in orbita ellittica attomo al Sole; assumendo come polo il Sole, il momenta meccanico agente sui pianeta e nullo poiche la forza gravitazionale e diretta lungo la congiungente pianeta-Sole; percio, per la seconda equazione cardinale della dinamica dei corpi rigidi, deve mantenersi costante il momenta angolare del pianeta. Indicando ra e rp , Va e V p distanza dal Sole e velocita del pianeta all'afelio e al perielio rispettivamente, dovra essere

e quindi

che traduce il nota risultato per cui la velocita di un pianeta in orbita ellittica e inversamente proporzionale alla sua distanza dal Sole (Fig. 9.4).

Fig. 9.4.

N.B. Per quanta riguarda invece la quantita di mota del pianeta, essa non si conserva poiche il vettore velocita cambia continuamente direzione, mentre si conserva la quantita di mota totale del sistema Sole-pianeta, essendo nullo il risultante delle forze agenti sui sistema.

Problemi

115

Unita di misura Costante di gravitazione universale

N -m

Campo gravitazionale

-

kg

s2

Problemi 9.1. Calcolare a quanti chilornetri dalla superficie terrestre un satellite lanciato da Terra con velocita v = 1 km/s dirnezza la propria velocita (assurnere i seguenti valori: raggio terrestre: 6,36 Mrn; massa terrestre: 5,98 . 1024 kg).

Scrivendo il principio di conservazione dell' energia gravitazionale totale per il satellite, si ha 1

2

2

Gm mT

1

v

rT

2

4

Gm m rT +h

-mv - - - - = - m - - - - -T , 2

da cui 6

2

12

3.10 .6,36 .10 =383k 24 6 6' m. 8·6,67·10- ·5,98·10 -3·10 ·6,36·10 11

9.2. Un satellite e detto geostazionario quando il suo periodo di rivoluzione attorno alla Terra e di 24 h. Supponendo che la sua orbita sia circolare, calcolare: a) il raggio dell'orbita, b) la velocita orbitale. Siha T

= 2nr , v

rna anche, essendo la forza gravitazionale di natura centripeta

quindi 2

r=3 GmTT 4n 2

v

= 42300 km,

= 2n r = 3,1 T

km. s

116

9 Gravitazione

9.3. A quale distanza massima da Terra puo arrivare un razzo laneiato vertiealmente verso l'alto con veloeita iniziale v =1800 km/h? Traseurare la resistenza dell' atmosfera e assumere per la massa e il raggio terrestre i seguenti valori: mT = 5,98.1024 kg, r T = 6,36· 106 m. La soluzione e analoga a quella del Problema 8.33 dell'allegato CD: h = 12,7 km.

9.4. Tre masse identiehe m = 20 g sono in quiete nei vertiei A, B, C di un triangolo equilatero di lato 1= 40 em. Se la massa posta in A viene lasciata libera, con quale veloeita passera dal punto medio M di BC? A

c

B

Fig. 9.5.

Appliehiamo la eonservazione dell'energia per la massa m nelle posizioni A ed M: Gm 2

Gm 2

1

I

I

2

- 2 - - = -4--+-mv

V=2~ Gm I

2

= 3,66 !lm.

s

9.5. Un satellite artifieiale di massa m = 100 kg si trova in orbita eireolare attorno alIa Terra a una distanza dalla superfieie terrestre h = 1140 km; sapendo ehe massa e raggio terrestri valgono mT = 5,98 . 1024 kg ed rT = 6,36 . 106 m, ealcolare: a) la veloeita periferiea del satellite, b) la forza eentripeta agente su esso, c) il suo peso in orbita, d) la sua massa in orbita, e) I' energia totale, f) la gravita in orbita.

a) Scrivendo ehe la forza gravitazionale in orbita e di natura eentripeta, abbiamo

v= ~ b)

GmT = 7,29 km.

rT+h

s

Problemi

117

c) II peso coincide con la forza centripeta. d) Sempre 100 kg. e) E

= ~mv2 2

GmmT rT

= -2,66 GJ.

+h

f)

9.6. Ricavare l'espressione dell'energia potenziale derivante da una forza attrattiva radiale di modulo F =k/r4 •

Deve essere

u =-

f F dr = k f r-4 dr =----;. + costante. 3r

Per determinare la costante, basta ricordare che per r quindi anche l' energia potenziale, e sara allora U( 00)

~

00 la forza si annulIa ,

= 0 = costante.

Percio k

U=--3· 3r

9.7. Tre masse uguali m = 3 kg si trovano in quiete ai vertici di un triangolo equilatero di lato 1 = 60 em. Calcolare: a) la forza gravitazionale agente su una quarta massa M = 10 kg posta al centro del triangolo, b) il minimo lavoro che si deve compiere per separare a distanza infinita Ie quattro masse, precisando il significato dell' aggettivo "minimo" .

a) Essendo Ie tre masse m disposte simmetricamente attorno a M, il risultante delle tre forze e nullo. b) Tale lavoro coincide con l' opposto della somma delle energie potenziali delle 4 masse, ovvero 2

2

3Gm +3GMm=3Gm + 3GMm =3Gm (m+2Mcos300)=203nJ. l d l I I ' 2 cos 30° d rappresenta la distanza tra la massa Me Ie masse m. Tale lavoro corrisponde alIa situazione in cui Ie 4 masse sono in quiete (se Ie masse fossero ancora in mota si dovrebbe tener conto della loro energia cinetica) e a distanza infinita una dall' altra.

118

9 Gravitazione

9.8. Calcolare di quanta varia percentualmente l'accelerazione di gravita di un pianeta sferico di raggio r salendo dallivello del mare a una quota doppia del raggio del pianeta.

Gm go =-2-' r

Gm g=--2 ' 4r

quindi

(g)

~g -100= - - 1 100=-75%. go go 9.9. Un pendolo semplice sulla Terra ha un periodo T = 4 s. Se 10 si porta su un pianeta sferico avente raggio doppio della Terra e densita media pari a un quarto di quella terrestre, calcolare: a) l' accelerazione di gravita di tale pianeta, b) il periodo T' del pendolo.

a) L' accelerazione di gravita di un pianeta sferico e omogeneo e 4 g = -nGpr, 3 quindi per il nuovo pianeta sara

g

,1

=-2 gterra = 4 ,9

m 2 . s

b) Dalla formula del periodo del pendola semplice consegue poi

T'=j2T=5,66s. 9.10. Un pianeta di massa M ha un satellite di massa m che percorre un'orbita circolare di raggio r = 20.000 km e periodo T = 5 . 104 s. Supponendo m « M, calcolare la massa M. Se m « M, il satellite ruota attorno al centro del pianeta, altrimenti entrambi ruotano attorno al centro di massa del sistema. Nella prima ipotesi 2

GmM

mm r=--r2 4n 2

T

2

4n 2 r 3

GM

r3

'

M -- - 1,89 ·10 24 kg. 2 GT-

Problemi

119

9.11. Se la massa della Terra raddoppiasse senza alcuna variazione del raggio, ipotizzandola sferica e omogenea, stabilire: a) la nuova durata dell' anna solare, b) la nuova accelerazione di gravita terrestre, c) la nuova distanza Terra-Sole, d) la nuova durata del mese lunare.

a) Dalla terza legge di Keplero, la durata dell'anno solare dipende solo dalla massa del Sole e non da quella del pianeta, percio tale durata non cambia. b) La nuova accelerazione di gravita terrestre e 19,6 m/s2 . c) La distanza Terra-Sole non cambia. d) La durata del mese lunare edata, con ovvio significato dei simboli, da

T'

= 21r~

rir.

GmT

=

19 giomi 9 h.

9.12. Calcolare l'intensita del campo gravitazionale terrestre: a) a 6360 km di quota, b) a 3180 km di profondita all'interno della Terra. a) II campo gravitazionale terrestre esternamente alIa Terra e dato da m 2,45 2". s b) Internamente alIa Terra, a distanza r dal centro e ipotizzando la Terra sferica e omogenea di densita p = 5500 unita SI, si ha H·

4

t

m

m

=-npGr= 4,88 2". 3 s

9.13. Sapendo che il raggio terrestre vale r T = 6360 km e supponendo che l'atmosfera terrestre sia alta h = 1000 km, calcolare la massa dell' atmosfera terrestre. La pressione atmosferica e data dal rapporto tra la forza peso dell' atmosfera e la superficie su cui essa agisce perpendicolarmente, ovvero, indicando con gm il valor medio dell'accelerazione di gravita calcolato tra rT ed r T + h:

4n r] p 4n r] p m----- g - 1 jrT+h G m dx ill _ T h rT (rT + x) 2

4n r]h p Gm

T

rT

=6,02 o10 18 kg.

4n r] perT + h) - -

dx

jrT+h

(rT

+ x)

-

2

Gm

T

-

10 Termologia

Calore e temperatura sono concetti nettamente distinti. II calore e energia di agitazione termica delle molecole, mentre la temperatura e un indice dello stato di agitazione: molecole piu veloci, quindi piu "agitate", necessitano di un volume maggiore e ne consegue una dilatazione termica; per tale motivo il termometro, che dovrebbe misurare la velocita delle molecole, si accontenta di misurare la dilatazione.

Leggi di dilatazione Lineare

It = 10 (1 + A t)

Superficiale

St =So (1 + 2A t)

Cubica

Vt =Vo (I+3At)

t non e la temperatura Celsius e 0 non e 10 zero Celsius. A e il coefficiente di dilatazione lineare e si misura in gradi -1. II suo valore e diverso da solido a solido e da liquido a liquido, mentre e 10 stesso per tutti i gas; esso dipende lievemente dalla temperatura per liquidi e solidi, mentre la dipendenza e molto netta per i gas.

Scale termometriche La scala Celsius sceglie come punti fissi il punto di fusione del ghiaccio e la temperatura di ebollizione dell'acqua, entrambi a pressione atmosferica. La scala Kelvin, 0 scala assoluta, si basa sull'esistenza di uno zero naturale delle temperature, ipotizzato da William Thomson (lord Kelvin) partendo tuttavia da una premessa errata, ovvero ritenere valide Ie leggi dei gas perfetti a temperature aIle quali i gas sono liquefatti.

122

10 Termologia

Leggi dei gas perfetti

= costante

Boyle

PV

Gay-Lussac

P = Po (1 + at)

Charles

v=

Vo (l + at),

dove a = 1/273,15 °C- 1 . a dipende dalla temperatura e non

euna costante universale: a = liT.

Propagazione del calore I meccanismi di propagazione del calore sono tre:

- convezione, tipica dei fluidi; - conduzione, tipica dei solidi; - irraggiamento, tipico delle sorgenti di luce (il calore e anche onda elettromagnetica). La conduzione e caratterizzata dalla legge di Fourier:

dQ =-kA dT dT dx' dove dQ/dt e la quantita di calore che passa nell'unita di tempo dalla faccia pili calda a quella pili fredda di una lastra metallica di spessore dx tra Ie cui facce esiste una differenza di temperatura dT; A e la superficie della lastra e k la conducibilita termica del materiale di cui e fatta. k si misura in W/(m K) II thermos, 0 vaso Dewar, 0 calorimetro contemporaneamente i tre meccanismi.

e 10

strumento nel quale sono presenti

Calore specifico Q

c=-m~t

ovvero la quantita di calore che deve scambiare la massa unitaria di una sostanza per variare la propria temperatura di 1 grado. Unita SI: J/(kg K) Unita cgs: cal/(g DC)

Equilibrio termico di miscele

123

Dall'esperimento del mulinello di Joule risulta che 1 cal = 4,186 J , dove la caloria e la quantita di calore che si deve fornire a 1 g di acqua distillata per portarne la temperatura da 14,5°C a 15,5°C.

Capacita termica

C=mc=~

~t '

ovvero e la quantita di calore che deve scambiare un corpo per variare la propria temperatura di 1 grado (Celsius 0 Kelvin). . Si noti che mentre il calore specifico e caratteristico di una sostanza ed e indipendente dalla massa, la capacita termica e strettamente legata alIa massa del corpo. Unita SI: J/K Unita cgs: cal/oC

Sorgente di calore

13 un qualsiasi corpo in grado di

scambiare indefinitamente calore senza variare la propria temperatura. Dovendo essere ~t = 0, dovra essere infinitamente grande la capacita termica della sorgente, quindi, essendo limitato il valore di c, dovra essere infinitamente grande la massa della sorgente. Questo spiega perche nelle regioni dei grandi laghi, dei grandi fiumi e nelle regioni costiere Ie variazioni climatiche avvengono in modo molto lento: la presenza di grandi masse d'acqua garantisce una variazione di temperatura pressoche nulla, quindi un clima temperato. II Sole, avendo una enorme massa, e una sorgente di calore, mentre il fiammifero non 10 e.

Equilibrio termico di miscele Si consideri una miscela formata da diverse sostanze di massa m 1, m2, ... calori specifici Cb C2, ••• e temperature t 1 , t2 ••• Se mescoliamo il tutto in un calorimetro per evitare dispersioni di calore durante il miscelamento, si raggiungera una temperatura di equilibrio teq data da

124

10 Termologia

mentre il calore specifico della miscela sara c=

mlcl ml

+ m2 c 2 + .... +m2 + ....

.

Cambiamenti di stato Fusione e solidificazione: riguardano rispettivamente il passaggio dallo stato solido a quello liquido 0 viceversa. Vaporizzazione: comprende due diversi meccanismi: l' evaporazione, che avviene a qualsiasi temperatura, e l' ebollizione, che avviene a una ben definita temperatura. Liquefazione: e il passaggio dallo stato di gas a quello liquido. Condensazione: e il passaggio dallo stato di vapore a quello liquido. Sublimazione diretta: e il passaggio diretto dallo stato solido a quello di vapore. Ne sono esempi tutte Ie sostanze a elevata tensione di vapore, ovvero molto volatiIi, quali 10 iodio, la naftalina, l'acqua nella formazione della rugiada. Sublimazione inversa: e il passaggio diretto dallo stato di vapore a quello solido; ne e un esempio la formazione della brina.

Calore latente Nei cambiamenti di stato si osserva che, una volta raggiunta la temperatura del cambiamento di stato, pur continuando a fornire (0 a sottrarre) calore la temperatura della sostanza non cambia pili fino a quando tutta la sostanza ha cambiato stato. Tale quantita di calore che, pur scambiata, non provoca variazioni di temperatura viene detta calore latente ed e definita come la quantita di calore che deve scambiare l'unita di massa di una sostanza, una volta portata alIa esatta temperatura del cambiamento di stato, perche questa possa avvenire. Nel SI si misura in J/kg.

Vapore saturo Prende questo nome un vapore in equilibrio con il proprio liquido che esercita su esso la massima pressione compatibile alIa temperatura cui si trova il liquido. Quando un vapore e saturo, per ogni molecola di liquido che passa allo stato di vapore, un'altra passa dallo stato di vapore a quello liquido. La pressione esercitata dal vapore saturo suI proprio liquido viene detta tensione di vapore. Essa dipende fortemente dalla temperatura; nel caso dell'acqua a lOOoe la tensione di vapore e di 760 mmHg, mentre a 0 °e e di 4,58 mmHg.

Unita di misura

125

Dipeodeoza della temperatura dei cambiameoti di stato dalla pressiooe esteroa

Legge di Clausius-Clapeyron

dove ceil calore latente del cambiamento di stato, T la temperatura a cui esso avviene a pressione atmosferica, dT la variazione di temperatura del cambiamento dovuta a una variazione di pressione esterna dp, Vf e Vi i volumi specifici della fase finale e di quella iniziale. II volume specifieD e il reciproco della densita.

Applicazioni 1. Ci siamo mai chiesti per quale motivo gli sci da fondo sono piu stretti di quelli da discesa? II discesista sfrutta la gravita per scendere, mentre il fondista normalmente deve procedere in piano, quindi e opportuna la riduzione degli attriti e necessita quindi di acqua per la lubrificazione degli sci da fondo; in base alIa legge di Clausius-Clapeyron, se il peso del fondista viene applicato su una superficie minore la pressione esercitata sara maggiore; essendo inoltre la neve meno densa dell'acqua, il volume specifico della fase finale (acqua) sara minore di quello della fase iniziale (neve) e il termine dp/dT sara negativo, quindi si avra una diminuzione della temperatura di fusione della neve che potra fondere anche se si trova al di sotto di 0 °C producendo acqua per la lubrificazione. 2. Per 10 stesso motivo, si puo facilmente dimostrare che l'oro solidificando si contrae, mentre l' argenta si dilata e quindi non si possono produrre oggetti d' oro con 10 stampo, rna solo con la tecnica del conio 0 con la lavorazione a mano, mentre con l' argenta la cosa e possibile.

Voita di misura Coefficiente di dilatazione termica

gradi alIa meno uno (OC- 1 , K- 1)

Flusso termico

watt (W)

Conducibilita termica

watt al metro kelvin (W/m K)

126

10 Termologia

Calore specifico

joule al kilogrammo (kelvin J/kg K) calorie al grammo grado (callg °C) 1 cal g °C

Capacita termica

= 4186-J -

joule al kelvin

kgK

(~)

calorie al grado Celsius (

~~)

1 cal = 4,186 J °C K Calore latente

joule al kilogrammo (:g calorie al grammo ( C;l

J

J

1 cal=4186~ g kg

Problemi 10.1. Un barometro e munito di una scala graduata in ottone; alla temperatura t1 = 27°C l' altezza della colonna di mercurio letta sulla scala e hI = 751,3 mm. Calcolarne l'altezza a to = 0 °C, sapendo che il coefficiente di dilatazione lineare dell'ottone e A = 1,9 .10-5 °C- 1 , mentre quello del mercurio er = 1,82 . 10-4 °C- 1 •

Applicando la legge di dilatazione lineare:

10.2. L' acqua di uno stagno (densita p = 10 3 unita SI) si trova a temperatura t 1 = 0 °C, mentre la temperatura esterna dell'aria e t2 = -14°C. Quale spessore di ghiaccio si forma nell' intervallo T = 24 h contato a partire dall' istante in cui l' acqua comincia a solidificare? La conducibilita termica del ghiaccio e k = 2,1 unita SI, il calore di fusione del ghiaccio e Cf = 80 callg.

Problemi

127

Applicando la legge di Fourier, la quantita di calore che l' acqua deve cedere all' aria per solidificare e Q =m

Cf

=P A x Cf,

dove x e 10 spessore e A la superficie della lastra di ghiaccio. Ma deve anche essere Q = -kAT t1.t x con t1.t = t2 - t1 ; ne consegue che

x=

10.3. Mescolando in un calorimetro 8,0 g di limatura di ferro (C1 = 0,12 cal I(g °C) e 12,0 g di limatura di alluminio (c 2 = 0,21 cal I (g °C)) alIa stessa temperatura, qual e il calore specifico della miscela ottenuta?

Dobbiamo applicare la formula della media ponderata c= mIcI +m2c2 = 8·0,12+12·0,21 =0,17 cal. mI +m2 20 gOC

10.4. Un chiodo di massa m = 10 g inizialmente in quiete si muove lungo l'asse x spinto da una forza F = 0,02 t in unita SI. Dopo t = 10 s il chiodo incontra un blocco di ghiaccio a O°C e vi penetra fermandosi in ess~. Calcolare la massa di ghiaccio fusa, se la pressione esterna e 1,0 atm e il calore di fusione del ghiaccio e Cf = 80 cal/g.

II chiodo esercita suI ghiaccio un impulso

[=

rIOs

J0

F dt e cede tutta la sua energia

cinetica trasformandola in calore per fondere il ghiaccio. L' impulso ceduto alIa variazione di quantita di mota del chiodo [ = t1.q = m v. Essendo

m

si ha

hCf g

v2 m2v2 [2 =m-=--=-=

2

2m

2m

[f IOS 0

]2 F dt

2m

,

e pari

128

10 Termologia

10.5. Un cilindro di ottone di sezione S =20 cm2 contiene un volume VI =200 cm3 di glicerina compressa da un pistone di peso P = 600 N. Trascurando la dilatazione termica dell' ottone, se si riscalda il cilindro da t I = 60°C a t2 = 160°C, calcolare: a) l' aumento di volume ~ V della glicerina, il cui coefficiente di dilatazione cubica e Y= 5,3 . 10-4 °C- I , b) illavoro compiuto dalla glicerina suI pistone, c) la quantita di calore assorbita dalla glicerina, se la sua densita e p = 1260 unita SI e il suo calore specifico c =0,5 cal/(gOC).

a) Dobbiamo applicare due volte la legge di dilatazione cubica nelle forme V2 = Vo (1 + yt 2 ) =

1+ yt 1+yt1

VI - - 2,

dacui

b)

P L= p~V=-~V= 3,08 J. S

c)

Q = m c ~t = pVc ~t = 1,26.10 3 ·2 ·10-4 ·0,5 .4,186.10 3 .10 2 = 52,7 kJ. 10.6. Due oggetti isolati mobili nella stessa direzione e nello stesso verso si urtano procedendo uniti dopo l'urto. Le masse, Ie temperature, Ie velocita e i calori specifici dei due oggetti sono: mI = 2,0 kg, m2 = 4,0 kg, t I = 20°C, t2 = 24°C, VI = 50 mis, v2 = 80 mis, c 1 = 1,0 cal/(g °C), C2 = 0,2 cal/(g °C). Supponendo nullo illavoro di deformazione e trascurando qualsiasi dispersione di calore, calcolare la temperatura finale dell' oggetto risultante.

Trattandosi di urto totalmente anelastico, tutta I' energia cinetica iniziale si trasforma in calore fino a raggiungere la temperatura di equilibrio to' cioe

Problemi

129

rna deve essere anche

per cui, dopo qualche laborioso passaggio, si ricava: (m1v + m 2v 2 )2 1 2 1 2 - - -1- - - - m 1 v1 --m2v2 +mlc1t1 +m2c2t 2 2(m1 + m2) 2 2 to == --~--=---------------m1c1 + m2 c 2

21,1 °C.

10.7. Calcolare la velocita che deve avere un proiettile di piombo (c = 0,3 cal/g °C) per poter fondere urtando anelasticamente una lastra di acciaio. La temperatura del proiettile e t 1 = 27°C, quella di fusione del piombo e tf = 327°C e il calore di fusione del piombo e Cf = 5 callg.

Basta imporre che l' energia cinetica del proiettile viene totalmente in calore, in parte per portare il proiettile a 327°C, in parte per fonderlo: 1 2 - mv == m(c~t + cf)' 2 v=

~2(c~t + cf) == ~2(0, 3·300 + 5)·4186 == 892 m . s

10.8. Qual e il calore specifico di un oggetto di massa m = 2 kg che inizialmente alIa temperatura to = 350°C, immerso in 1 I di acqua a t 1 =20°C ne fa innalzare la temperatura a t2 = 50°C?

Basta scrivere che la somma algebrica delle quantita di calore scambiate dall'oggetto (cessione) e dall'acqua (assorbimento) e nulla, ipotizzando ovviamente che il tutto avvenga in un calorimetro la cui massa equivalente sia trascurabile. Ovvero, indicando con MIa massa d'acqua (1 kg), m x (t2 - to) + M

C

(t2 - t1)

=0,

da cui

10.9. Ricavare la relazione tra il calore specifico c riferito all'unita di massa e quello molare c'.

130

10 Termologia

Basta ricordare Ie due rispettive definizioni:

8Q

c=-mdt e

8Q

c'=--; ndt essendo poi n = m/M, con M peso molecolare della sostanza in esame, risulta c' = Me.

11 Teoria cinetica dei gas perfetti

Si basa su un modello astratto costruito con Ie seguenti ipotesi: - molecole tutte identiche e puntiformi, quindi prive di volume proprio; - molecole non interagenti (forze di coesione nulle) se non per urti di natura elastica; - gas rarefatto e a temperatura sufficientemente lontana da quella di liquefazione.

Nomenclatura Unita Sf

Nomenclatura p

pressione

Pa

V

volume

M3

p

densita

kg/m 3

n

numero di moli

mol

M

peso molecolare

kg/mol

511= n M

massa totale del gas

kg

m

massa di una molecola

kg

R

costante universale dei gas perfetti

Ilmol K

No N

numero di Avogadro numero totale di molecole

mol- 1

k = RINo

costante di Boltzmann

11K

f

numero di gradi di liberta

U

energia interna di un gas perfetto

1

Clausius, riprendendo un primo tentativo di Bernoulli, di un secolo prima, di calcolare la pressione esercitata da un gas sulle pareti del recipiente in cui il gas e contenuto, ricava per tale pressione I'espressione (legge di Joule-Clausius)

132

11 Teoria cinetica dei gas perfetti

dove vqm e la velocita quadratica media, definita come la radice quadrata della media aritmetica dei quadrati delle velocita delle singole molecole, cioe

Dall'equazione di stato dei gas perfetti di Clapeyron p V = n R T, si ricava

vqm = )3~T, da cui la dejinizione cinetica della temperatura 2 MV qm T=-3R '

relazione che permette di raggiungere I' obiettivo di partenza della teoria cinetica, ovvero esprimere la temperatura in funzione della velocita media delle molecole. La teoria cinetica definisce energia interna di un gas perfetto la somma delle energie cinetiche delle singole molecole che 10 costituiscono N

U

N

N

2

= ~ .!mv~ = m ~ V~ = mN ~ !l =.!5J1V 2 £..J 2 i=l

1

2 £..J i=l

1

2 £..J N i=l

2

qm '

dove YW e la massa totale di gas; tale relazione permette di trattare un gas perfetto aHa stregua di un corpo rigido con velocita del centro di massa corrispondente aHa velocita quadratica media delle molecole. Inserendo nella precedente uguaglianza l' espressione di vqm ricavata sopra, si ottiene 3

U=-nRT

energia interna totale del gas

U=~RT

energia interna di 1 mol di gas

U=~kT

energia cinetica media di una molecola

2

2

2

Boltzmann, esaminando l'ultima formula e tenendo conto che Ie molecole del modello di gas perfetto, essendo puntiformi, devono essere necessariamente monoatomiche, quindi individuabili da tre coordinate indipendenti, definl grado di liberta ogni coordinata indipendente che consenta di individuare la posizione di una molecola; avanzo poi l'ipotesi che a ogni grado di liberta corrispondesse una quantita di energia interna media di una molecola pari a kT/2. In tal modo, dato che Ie molecole biatomiche hanno 5 gradi di liberta e quelle poliatomiche ne hanno 6, avrebbe dovuto risultare

Distribuzione delle velocita molecolari

133

3

Umonoatomica Ubiatomica

= 2" k T , 5

= 2" k T ,

Upoliatomica = 3 k T .

Principio di equipartizione dell'energia La correttezza dell'ipotesi di Boltzmann, detta princlplo di equipartlZlone dell' energia, venne in seguito confermata da accurate misure dei calori specifici dei gas perfetti.

Distribuzione delle velocita molecolari secondo Maxwell-Boltzmann Maxwell e Boltzmann indagarono come erano distribuite Ie velocita delle molecoIe, dato che vqm era soltanto un valor medio, quindi una parte delle molecole aveva un valore superiore a Vqm , una parte inferiore. I risultati delle loro ricerche sono riassunti nel grafico seguente, dove in ordinate e riportata la quantita dN/dv, cioe il numero di molecole con velocita comprese tra v e v + dv, mentre in ascisse e riportato il valore della velocita. dN dv

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Fig. 11.1

La curva che ne risulta si estende da 0 all'infinito, e del tutto asimmetrica rispetto all'ascissa del massimo, che rappresenta la cosiddetta velocita piu probabile, data da

134

11 Teoria cinetica dei gas perfetti

_~2RT ,

Up -

M

quindi leggermente inferiore ana velocita quadratica media. L'area sotto la curva rappresenta il numero totale di molecole del gas, in base al significato dell' integrale come area e deve mantenersi costante al variare della temperatura. Questo spiega perche, aumentando la temperatura, la curva si sposta verso Ie velocita crescenti e si abbassa.

Unita di misura Affollamento molecolare J

Costante di Boltzmann

K kg

Peso molecolare

mol

Numero di Avogadro

Problemi 11.1. Calcolare il numero di molecole di azoto contenuto in un recipiente di volume V =1,0 I a temperatura T = 300 K e pressione P = 10-6 mmHg.

N P V=nRT=-RT=NkT

No

'

N = P V = 3 2.10 13 . kT ' 11.2. Calcolare la velocita quadratica media delle molecole di anidride carbonica (M = 44 g/mol) contenute in un recipiente a P = 2,0 atm e il cui affollamento molecolare e JV = 10 19 molecole/cm3 •

v qm

=~3RT =~3PV = ~ M

nM

3pV

~M

No

=~3PNo =910,6 JV M

m.

s

Problemi

135

11.3. YW = 12 g di un gas perfetto triatomico a T = 1000 K hanno un'energia interna U = 16,6 kJ. Calcolare il peso molecolare M del gas.

:M

U = 3nRT = 3-RT, M

dacui

M=3:MRT =18 U

g mol

11.4. n =1 mol di gas ideale biatomico ha energia interna di U = 6,23 kJ. Se la velocita quadratica media delle molecole del gas e, alIa stessa temperatura, vqrn = 1,5 kmls, calcolare la massa m di una molecola.

Indicando con :M la massa totale di gas, con Nil numero di molecole, con No il numero di Avogadro e con Mil peso molecolare si ha: :;M

:;M

M

m-------

- N - nN - No ' o

rna

U=~RT 2

e

v qrn

= ~3RT M'

percio

5 2 U = 6"mNo V qrn e

11.5. Un recipiente cilindrico di sezione S = 200 cm2 munito di un pistone di massa m = 3,0 kg contiene ossigeno, il cui raggio molecolare e r = 0,18 nm. Se la velocita quadratica media delle molecole e vqrn = 1 km/s, calcolare il cammino libero medio secondo Clausius, Ac .

Clausius valuto che il cammino libero medio di una molecola e dato da

dove JV eI' affollamento molecolare del gas, cioe il numero di molecole per unita di volume. Tenendo conto della legge dei gas perfetti nella formapV = N k T, si ha

136

11 Teoria cinetica dei gas perfetti

3V

3kT

16nr 2 p essendo pero

3RT

2 V qrn

M'

risulta, dopo qualche passaggio:

11.6. In un recipiente a pareti rigide adiatermane inizialmente vuoto viene introdotto un gas ideale di peso molecolare M = 4 g/molle cui molecole hanno tutte la stessa velocita v = 2 km/s. Calcolare la temperatura del gas una volta raggiunto l'equilibrio termico.

Mv 2 T=~=6418 K.

3R

'

11.7. Calcolare l'energia cinetica traslazionale di una mole di ammoniaca NH3 ideale alIa temperatura di 300 K.

Pur essendo la molecola di ammoniaca dotata di 6 gradi di liberta, all' energia traslazionale contribuiscono solo 3 gradi di liberta, percio

U=~RT=3,74kJ. 2

11.8. Un gas perfetto e una miscela di due gas, uno dei quali ha molecole di raggio rl = 2 .10-8 em; il cammino libero medio delle molecole del primo gas e Al =2 .10-5 em, mentre quello delle molecole del secondo, nelle stesse condizioni di temperatura e pressione, e~ = 8 .10-5 em. Calcolare a quale distanza devono trovarsi i centri di due molecole della miscela perche possa aver luogo un urto nei seguenti casi: a) Ie due molecole sono del primo gas, b) Ie due molecole appartengono al secondo gas, c) Ie due molecole appartengono una al primo e una al secondo gas.

II cammino libero medio di una molecola in un gas al quadrato del raggio, quindi

JE

e inversamente proporzionale

r2 = r,1 -A l = 1. 10 -8 em . 2

Problemi

137

La distanza di interazione e la somma dei raggi di due molecole interagenti, percio a) 2r1 = 0,4 nm, {

b) 2r2

= 0,2 nm,

c) r1 +r2 =0,3nm.

11.9. Un uomo ha un volume V = gO 1. Calcolare in unita SI la spinta di Archimede agente sull'uomo in aria a temperatura t = 20°C e pressione p = 1 atm, sapendo che il peso molecolare dell' aria, considerata gas perfetto, eM = 29 g/mol.

E un problema basato suI corretto impiego delle unita di misura. La spinta di Archimede vale 1 01.10 5 Pa.29.10-3 kg .g.10-2m3.9 gm ' mol ' 2 FA = pV g= - = s =0,94N. J RT g 31-_.29315K , molK ' pM

12 Primo principio della termodinamica

Chiamiamo sistema l' oggetto delle nostre indagini per quanta riguarda Ie trasformazioni subite, gli scambi di calore, il compimento di lavoro, mentre chiamiamo ambiente esterno tutto cio che non fa parte del sistema e con esso interagisce. L'insieme del sistema e dell'ambiente esterno e l'universo termodinamico. Un sistema che non puo avere scambi di calore con l'esterno si dice isolato termicamente. L'universo termodinamico, non essendovi nulla con cui scambiare calore, e per definizione un sistema isolato termicamente. Le trasformazioni termodinamiche vengono generalmente descritte mediante Ie tre grandezze p, VeT e rappresentate nel piano di Clapeyron (P, V) dato che per qualsiasi sistema termodinamico vale un' equazione di stato del tipo f(P,V,D=O

e quindi un punto del piano (P, V) rappresenta univocamente uno stato del sistema in quanto, note p e V, dall'equazione di stato si ricava subito T. Esistono altre grandezze rappresentative, in generale chiamate coordinate termodinamiche macroscopiche; i criteri cui devono soddisfare due coordinate per poter rappresentare significativamente una trasformazione sono essenzialmente due: a) essere entrambe funzioni di stato; b) essere indipendenti una dall' altra.

Carattere di una trasformazione Una trasformazione che avviene in equilibrio termodinamico e detta reversibile; si intende per equilibrio termodinamico la coesistenza di tre tipi di equilibrio: a) equilibrio meccanico, si ha quando il risultante delle forze agenti reciprocamente tra il sistema e l' ambiente enullo 0 al pili infinitamente piccolo; b) equilibrio termico, si ha quando la differenza di temperatura tra il sistema e Ie sorgenti di calore e nulla 0 al pili infinitamente piccola; c) equilibrio chimico, si ha quando il sistema durante la trasformazione mantiene costante la composizione, la concentrazione, il numero di moli e non subisce alcuna reazione chimica.

140

12 Primo principio della termodinamica

Se una trasformazione avviene in equilibrio termodinamico, siamo in grado di conoscere Ie coordinate termodinamiche rappresentative in ogni suo stato, quindi siamo in grado di percorrere a ritroso la trasformazione fino alIo stato di partenza A attraversando al ritorno tutti gli stessi stati dell'andata. Una trasformazione che non avviene in equilibrio termodinamico e detta irreversibile. La principale causa di irreversibilita dei processi termodinamici e la presenza di attriti, sia interni nei fluidi (viscosita), sia di scorrimento, per esempio, di pistoni nei cilindri. La reversibilita 0 irreversibilita di un processo individua il carattere dello stesso. Tutti i processi spontanei che avvengono in natura sono irreversibili, rna possono a volte essere trasformati in reversibili se eseguiti in modo estremamente lento. Una trasformazione reversibile non lascia nell' ambiente esterno alcuna traccia e una volta riportato il sistema nella stato di partenza, dove per traccia si intende 0 la liberazione di calore 0 il compimento di lavoro. p B

reversibiIe

."A

B

irreversibiIe

o

v Fig. 12.1. Trasformazioni reversibili e irreversibili

Una trasformazione reversibile viene rappresentata nel piano (P, V) con una linea continua che costituisce il profilo della trasformazione, mentre una trasformazione irreversibile tra uno stato A e uno stato B viene indicata con una linea punteggiata che collega i due stati, come in figura 12.1.

Lavoro di espansione Quando in un processo termodinamico un sistema subisce un'espansione 0 una compressione, esso compie sull'ambiente esterno 0 riceve da esso un lavoro detto lavoro di espansione che risulta dato da

8 L = Pext dV

II

(nei processi infinitesimi)

L = Pext dV (nei processi jiniti)

Lavoro di espansione

141

dove Pex! e la pressione esterna agente suI sistema, dV e la variazione di volume infinitesima ed lla linea lungo la quale avviene la trasformazione, ovvero il profilo della trasformazione. Per l'interpretazione di integrale come area, nel piano (P, V) l'area compresa sotto it profilo e delimitata dall' asse Ve dalle due verticali condotte per gli stati estremi della trasformazione rappresenta illavoro scambiato dal sistema. II lavoro sara positivo per Ie espansioni, negativo per Ie compressioni: nel primo caso il sistema compie lavoro sull'ambiente esterno, nel secondo e l'ambiente a compiere lavoro suI sistema. p

o

c

D

v

Fig. 12.2. Lavoro come area. L'area del trapezoide ABeD e i11avoro compiuto nella trasformazione AB diverso lungo i tre percorsi I, 1,,/2 •

Ne consegue che it lavoro compiuto dipende sempre dal panicolare profilo della trasformazione, quindi: - itlavoro di espansione non e unafunzione di stato;

- oL non eun differenziale esatto.

Esistono in un processo termodinamico anche altri tipi di lavoro non classificabili come lavori di espansione: per esempio il lavoro compiuto per mettere in mota Ie cariche nel circuito di una pila 0 il lavoro compiuto dalle forze di tensione superficiale per mantenere sferica una bolla di sapone 0 una goccia d'acqua. Nei processi reversibili, essendo il sistema in equilibrio meccanico con l'ambiente, la pressione del sistema e quella esterna coincidono e si potra allora scrivere

L=

lp

dV,

dove ora p e la pressione del sistema, quasi sempre calcolabile nota la natura del processo, diversamente da quanto avviene per la pressione esterna, spesso variabiIe in modo imprevedibile.

142

12 Primo principia della termodinamica

Nomenclatura delle trasformazioni a pressione costante

isobare

a volume costante

isovolumiche

a temperatura costante

isotermiche

a lavoro nullo

isocore

senza scambio di calore

adiabatiche

Se illavoro e solo lavoro di espansione, isocore e isovolumiche coincidono. Abbiamo visto che il lavoro non e in generale una funzione di stato; l' esperienza insegna che anche la quantita di calore non 10 e, ovvero tanto L quanta Q scambiati in un processo nel quale il sistema evolve da uno stato A a uno stato B dipendono dal profilo del processo; si e scoperto tuttavia che la differenza Q - L dipende soltanto dagli stati estremi del processo e non dal particolare profilo, suggerendo l'esistenza di una sorta di potenziale; dal momenta che Q ed L sono in ultima analisi delle energie, potremo affermare che la differenza Q - L uguaglia la variazione di una nuova energia potenziale termodinamica che viene detta energia interna e indicata con U* per distinguerla dall' energia interna U dei gas perfetti introdotta in teoria cinetica. Possiamo allora scrivere che in qualsiasi processo termodinamico deve valere la relazione Q -L = 11 U* o anche

Q

=L

+

~

U*,

che costituisce il principio di conservazione dell' energia nei processi termodinamici ed e detto primo principio della termodinamica.

Primo principio della termodinamica Si tratta di un postulato che come tale non e dimostrabile matematicamente, rna la cui validita non puo essere messa in discussione; la sua natura e prettamente deterministica. Tale principio puo essere espresso con il seguente enunciato:

In un processo termodinamico la quantita di calore scambiata da un sistema si trasforma parzialmente in lavoro compiuto 0 assorbito dal sistema e in variazione della sua energia interna.

Espansione Iibera di un gas perfetto

143

Le convenzioni sono: lavoro ricevuto L < 0 calore ceduto Q < 0

lavoro compiuto L > 0 calore assorbito Q > 0

Un esempio della validita di tale principio che vale sia per processi reversibili sia per quelli irreversibili, e costituito dal funzionamento del motore di un'auto: la benzina nella combustione fornisce calore che in parte diventa lavoro, da compiere per vincere gli attriti e per conferire energia cinetica al veicolo, in parte va in aumento di energia interna, ovvero in aumento di temperatura dei vari organi di trasmissione.

Espansione libera di un gas perfetto Joule si propose di stabilire da quali delle tre coordinate termodinamiche p, VeT dipendesse I'energia interna U* e realizzo un memorabile esperimento (Fig. 12.3) attraverso il quale fu in grado di concludere che u* dipendeva dalla sola temperatura assoluta T del gas, rna non fu in grado di stabilire il tipo di dipendenza. T

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Fig. 12.3. L'esperimento di Joule

In un grande calorimetro pieno d'acqua sono immerse due ampolle A e B a pareti metalliche, rigide e sottili: la prima riempita di gas, la seconda vuota; esse sono separate da un rubinetto. Joule misuro la temperatura dell'acqua mediante il termometro T, quindi apri il rubinetto e, atteso un ragionevole tempo per 10 stabilirsi dell'equilibrio termico, la rimisuro. In un primo tempo, quando la pressione del gas contenuto in A era piuttosto alta (circa 22 atm) osservo una diminuzione di temperatura, rna riprovando a minor pressione nota che al diminuire della pressione la diminuzione di temperatura era sempre minore fino ad annullarsi quando la

144

12 Primo principio della termodinamica

pressione si era ridotta a qualche decina di cmHg. In tali condizioni Joule applico il primo principio al processo scrivendolo in forma infinitesima

() Q = Pext dV + dU* . Osservo poi che () Q = 0 dal momenta che se la temperatura dell'acqua non era cambiata, I' acqua non aveva scambiato calore e quindi neppure il gas con il quale era a contatto con pareti metalliche sottili, quindi perfettamente permeabili al caloreo Inoltre la pressione Pext era quella nell'ampolla B, nulla essendo la stessa stata svuotata, mentre il gas non poteva compiere alcun lavoro di deformazione delle pareti, essendo queste rigide . Allora risultava che dU* = 0 e quindi u* era rimasta costante durante l'esperimento. Ma l'energia interna U*, come qualsiasi altra grandezza termodinamica, doveva dipendere da una 0 piu delle coordinate termodinamiche macroscopiche P, V, T. Ma sia la pressione che il volume occupato dal gas erano cambiati durante l'esperimento, mentre la temperatura era rimasta costante, quindi u* doveva dipendere dalla sola temperatura. Nel frattempo il tedesco Mayer aveva trovato la relazione tra i calori specifici molari dei gas perfetti a pressione e a volume costante cp

-

Cv

= R (relazione di Mayer).

II primo principio della termodinamica per una trasformazione infinitesima reversibile di un gas perfetto si poteva scrivere nella forma

8Q =P dV +dU*, percio doveva risultare, per la stessa definizione di c v ,

Essendo pero U* indipendente dal volume, si poteva scrivere

dU* = n cvdT e quindi

U* = n C v T + cost. La costante di integrazione puo ragionevolmente essere posta uguale a zero, in quanta allo zero assoluto il gas, secondo Ie previsioni di Kelvin, e "congelato", cioe non ha alcuna possibilita di movimento delle sue molecole, percio

u*

=n C v T.

Ammettendo che per un gas perfetto la U della teoria cinetica coincidesse con la U* della termodinamica, avrebbe dovuto risultare

Equazioni di Poisson

145

3R 2 C

U* U 5R v = nT = nT = 2 3R.

rispettivamente per gas monoatomici, biatomici e poliatomici. Le misure di C y per vari gas confermarono pienamente tali previsioni, percio siamo autorizzati a ritenere che l' energia interna di un gas perfetto coincide con quella della termodinamica. D' ora in poi scriveremo il primo principio della termodinamica per un gas perfetto nella forma infinitesima

8 Q = p dV + n Cy dT.

Equazioni di Poisson Utilizzando la precedente relazione con 8 Q = 0 si possono ricavare Ie equazioni delle trasformazioni adiabatiche reversibili di un gas perfetto:

= costante T Vy-l = costante , p VY

pl-YTY = costante

dove

r, detto coefficiente adiabatico, e dato da Y=

C

J!...

cv

e si puo scrivere in funzione del numero dei gradi di liberta delle molecole del gas come f+2

y=-.

f

La tabella seguente presenta per Ie piu importanti trasformazioni di un gas perfetto i valori della quantita di calore, dellavoro di espansione compiuto e della variazione di energia interna, espressi in funzione delle coordinate macroscopiche degli stati iniziale finale.

146

12 Primo principio della termodinamica

au

L

Q

Trasformazione

__

.~~~~~_~~oYN.N'""""",,,""'~.-HoW'.VN""'VoM~

Isotermica Isobarica Isocora

V~~~Nm~_~="N'o"""""",·

L

n RT In (Vf / Vi)

0

nCp l1T

P(Vf-Vi)

nc v l1 T

nc v l1 T

0

Q -L

Adiabatica

0

-n

l1T

Trasformazioni politropiche Hanno, per un gas ideale, equazione

p V k = costante, dove k e un esponente reale. Al variare di k si ritrovano tutte Ie trasformazioni sopra elencate:

k=l

isotermiche

k=O

isobare

k=r

adiabatiche

k~oo

isovolumiche

La quantita di calore scambiata in una politropica si scrive come

dove Cx

R l-k

= Cv +--

e il calore specifico politropico. Anche qui, sostituendo i vari valori di k, si ritrovano Ie espressioni delle quantita di calore scambiate nelle varie trasformazioni.

Unita di misura Quantita di calore Lavoro

joule (J)

Energia interna

joule (J)

Pressione

pascal (Pa)

joule (J)

Problemi

Volume

metri cubi (m3)

Calore specifico molare

joule J mole kelvin (mol K )

147

N.B. Pur trattandosi di unita non facenti parte del Sistema Internazionale, alcune

addirittura fuori legge, molti Autori insistono nell'impiego della caloria e dellitroatmosfera; riteniamo percio utile riportare i relativi fattori di conversione: 11 atm = 101 J

1 cal=4,186J.

Problemi 12.1. Calcolare la variazione di energia interna di una mole di gas perfetto monoatomico se il gas si riscalda di ~T = 100 K a) in una trasformazione isocorica, b) in una isobara, c) il rapporto tra Ie due quantita di calore necessarie.

a), b) Sia in un'isocora che in un'isobara esempre ~U

3 2

3 2

= ncv ~T = -R~T = -·8,31·100 = 1,25 kJ.

c) Qisoc _ n cv~T Qisob - n c p~T

-! - ~ - 0 6 -

r-

5-

, .

12.2. Un gas perfetto e racchiuso in un recipiente cilindrico A nel quale pub scorrere senza attrito un pistone pesante. Aprendo la valvola R, il gas si espande in un secondo recipiente B, inizialmente vuoto, fino al raggiungimento dell' equilibrio termodinamico. Supponendo che Ie pareti siano rigide e adiatermane e che l' espansione sia lentissima, si dica: a) se la trasformazione e 0 menD reversibile, b) se al termine del processo la temperatura del gas e aumentata, diminuita 0 e rimasta invariata.

B

Fig. 12.4.

148

12 Primo principia della termodinamica

a) Questo processo ricorda molto da vicino l' espansione libera di Joule, con la differenza che qui l' espansione e "forzata" dal peso del pistone: il gas inizialmente in A, non appena aperto il rubinetto R, espande sotto l' azione di una differenza di pressione finita, pertanto, mancando I'equilibrio meccanico, il processo e irreversibile anche se il testo, per trarre in inganno, dice che il processo e lentissimo. b) Dal primo principio della termodinamica, possiamo scrivere che i1U= Q- L,

rna Q = 0, essendo Ie pareti adiatermane, mentre L e illavoro compiuto suI gas dal peso del pistone ed e quindi una quantita negativa; ne consegue che i1U > 0 e quindi la temperatura del gas aumenta.

12.3. Un gas viene compresso in condizioni identiche dal volume VI al volume V2 , una volta rapidamente, una volta lentamente. In quale caso e maggiore il lavoro compiuto suI gas?

II gas riceve lavoro dall' esterno, quindi il suo volume diminuisce. Quando il processo e rapido, quindi irreversibile, l' ambiente esterno deve compiere un ulteriore lavoro per vincere gli attriti, percio nella compressione il lavoro compiuto suI gas sara maggiore.

12.4. Se un gas perfetto pentaatomico dimezza il volume mentre quintuplica la pressione, calcolare: a) I'esponente politropico, b) il calore specifico molare.

a) Dovendo essere, per una politropica, P V pressione e il volume iniziali, sara:

k

= costante, indicando con PI

VI

k

PI VI = 5PI (- )

e VIla

k

2

5 l=k' 2

k

= In5 = 2 In2

32. '

b) Ricordando I' espressione del calore specifico molare in una politropica: R ex = Cv +-- = 2,24 R. 1-k

12.5. Un gas perfetto contenuto in un cilindro chiuso da un pistone di massa trascurabile riceve una quantita di calore Q = 400 J, mentre il pistone si sposta e il volume aumenta. La temperatura del gas resta costante e il lavoro compiuto viene

Problemi

149

utilizzato solo per sollevare una massa m = 80 kg, calcolare a quale altezza essa puo essere portata.

Applicando il primo principio della termodinamica, si ha, essendo il processo isotermico: Q=L+I1U=L,

pero e anche L=mgh,

quindi

h=-.£=~=0,51 m. mg

80 ·9,8

12.6. Se si comprime adiabaticamente e reversibilmente un gas ideale, esso: a) b) c) d) e)

si raffredda; diminuisce il volume; mantiene inalterata la velocita quadratica media; compie lavoro sull'esterno; mantiene costante I' energia interna.

Quali risposte cambiano e in che modo, se il processo e irreversibile?

Per il primo principio della termodinamica si ha: I1U=-L;

trattandosi perC> di una compressione, e L < 0, quindi I1U > 0, ovvero la temperatura aumenta, quindi aumenta anche la velocita quadratica media, espressa da

AHora si ha: a) b) c) d) e)

falso; vero; falso; falso; falso.

Anche per un processo irreversibile il primo principio assume la forma I1U = - L; ne consegue che Ie risposte sono tutte identiche; saranno perC> diversi in valore assoluto il lavoro e la variazione di energia interna, in quanta una parte del lavoro

150

12 Primo principia della termodinamica

verra compiuto contro gli attriti e non solo in compressione del gas; ne consegue che la variazione di energia intema risultera maggiore indicando un maggior aumento della temperatura finale del gas.

12.7. Un gas passa da uno stato con UI =600 kJ a uno stato con U2 = 200 kJ compiendo un lavoro L = 300 kJ. Calcolare la quantita di calore ricevuta dal gas nel caso di processo a) reversibile, b) irreversibile.

a) Dal primo principio, abbiamo: Q = L + flU = L + U2 - U 1 = 300 + 200 - 600 = - 100 kJ . II gas non assorbe, rna cede calore. II risultato e indipendente dalla reversibilita del processo, perche Ia forma del primo principio da noi utilizzata vale anche per processi irreversibili.

12.8. Un gas perfetto poliatomico espande isotermicamente da VI = 0,1 m 3 a V2 = 0,3 m 3 e Ia pressione finale eP2 = 2 . 105 Pa. Calcolare: a) I'aumento di energia interna, b) illavoro compiuto dal gas, c) Ia quantita di calore assorbita.

a) In un processo isotermico di un gas perfetto

e sempre flU =o.

b) Iliavoro compiuto dal gas e invece dato da V L = n R T In - 2 =

VI

PI

VI In -V2 VI

=

P2 V2

V 5 In - 2 = 2 . 10 . 0,3 . In 3 = 65,9 kJ.

VI

c) Dal primo principio, essendo i1U, si ha Q = L = 65,9 kJ.

12.9. Ricavare il coefficiente di comprimibilita di un gas perfetto alIa pressione P= 2 atm in una trasformazione reversibile di equazione TV 2 = costante. II coefficiente di comprimibilita e espresso dall' equazione

k=- dV . Vdp'

differenziamo l' equazione della trasformazione data e utilizziamo l' equazione di Clapeyron in modo da ridurla in funzione delle sole coordinate termodinamiche P e V: 2

V dT + 2TV dV = 0, V dT + 2T dV

= 0,

Problemi

151

con dT

pdV + V dp nR

che, sostituita nella precedente relazione, fornisce: V pdV + V dp +2 pV nR nR

= 0,

3pdV + V dp =0,

che, sostituita nella definizione di k , da

12.10. Si dice che l'acqua ela sostanza con il piu elevato calore specifico; tuttavia, esistono trasformazioni politropiche di gas perfetti nelle quali il calore specifico molare supera quello dell' acqua. Ricavare per quale minima valore del coefficiente politropico k cia si verifica per l'idrogeno.

II calore specifico in una politropica vale R

c=cv +--· 1- k Per l'idrogeno, biatomico, e C v = 5 R/2, percia

c=~R+~=R(7-5k). 2

1- k

2(1- k)

II calore specifico molare dell' acqua e CH 0 2

J

J

gK

IK -rno

=4,186-=4,186

J

1

18

dovra quindi essere

R(7-5k»7535 2 (1- k)

da cui k> 0,85.

"

=75,35 - - , mol K

152

12 Primo principia della termodinamica

12.11. L'energia interna di un gas e data da U = a In (T/To) + b In (P/Po), dove a = 3 kJ, b = 7 kJ. Se il gas viene riscaldato da T 1 = 250 K a T2 = 500 K, assorbendo la quantita di calore Q = 14,33 kJ e compiendo un lavoro L = 4,56 kJ, quale sara la variazione percentuale di pressione?

Indicati gli stati iniziali e finali rispettivamente con gli indici i ed f, abbiamo

Ma, dal primo principio, L\U

= Q- L = U f

-Ui

T2 Pf T1 Pi T2 Pf = aln-+bln--aln--bln= aln-+blnTo

Po

To

Po

T1

Pi

e quindi (14,33 - 4,56 - 31n 2) ·10 7.10 3

3

= 1 09865 '

e ( ' ; )100 = 200%.

12.12. Se la pressione atmosferica cambia da PI = 983 hPa a P2 = 1003 hPa, qual e stata la variazione di energia interna dell' aria contenuta in un locale di volume V = 50 m 3?

Considerando l' aria un gas perfetto biatomico, abbiamo L\U = n Cv (T2

5

-

T1 )

= n Cv P2

V2 - PI~

nR

=

2

=2"V(P2-PI)=2,5.50.20.10 =250kJ.

12.13. II calore specifico molare di un gas tetraatomico varia in una trasformazione secondo la legge c = (20 + 500/T ) J/(mol K). Calcolare il lavoro di 1 mol di gas nel riscaldamento da T1 = 200 K a T2 = 544 K.

Problemi

153

Dal primo principio della termodinamica L = Q -I1U =

=

f2 ~

nfT cdT 2

ncV (T2

-

Tt ) =

dT - 3R(T2 T T

-

T1 )

=

-

T1 )

=

~

20dT + 500

= 20 (T2 -

f2 ~

T1 ) + 500 In ---1. - 3R (T2 T1

= (20 -

3R)(T2

T

-

T1 ) + 500 In ---1. = T1

-4,93·344 + 500 In2, 72 = -1696 + 500·1 = -1,2 kI. II fatto che il lavoro risulti negativo indica che voro suI gas durante il riscaldamento.

e l' ambiente esterno a compiere la-

12.14. A parita di variazione di volume, partendo dallo stesso stato iniziale, in quale delle seguenti trasformazioni reversibili di un gas perfetto si ottiene la maggior quantita di lavoro: a) adiabatica, b) isobara, c) isotermica ?

II problema pub essere risolto in due modi differenti: dal punto di vista analitico, scrivendo e mettendo a confronto Ie tre espressioni del lavoro in funzione delle coordinate termodinamiche macroscopiche degli stati iniziale e finale del gas:

L ad= -J1.U = -n cv l1T , Lisob

= P J1.V,

L isot

= nRT In - f Vi

V

e i calcoli da affrontare sono molto complessi . .P isobarica

isotenni.ca

ad iab atica

o

F" i

Fig. 12.5.

154

12 Primo principia della termodinamica

Un modo alternativo, molto pill rapido, si basa suI significato di lavoro come area sottesa nel piano (p, V) tra il profilo della trasformazione e Ie proiezioni degli stati estremi sull' asse dei volumi. Con riferimento ana figura, si vede che l' area maggiore, quindi il maggior lavoro, compete alIa trasformazione isobarica. Si tenga pera presente che cia vale unicamente nel caso di processi reversibili.

13 Secondo principio della termodinamica. Cicli. Entropia

Mentre abbiamo visto essere sempre possibile la completa trasformazione di lavoro meccanico in calore, la trasformazione inversa non e mai possibile. In questa affermazione sta il secondo principio della termodinamica, la cui natura e pen) probabilistica e non deterministica come il primo principio. Si pub enunciare in molti modi: - per le trasformazioni aperte: non e possibile realizzare una trasformazione aperta il cui unico risultato sia la completa trasformazione di calore in lavoro (jormulazione di Kelvin-Planck); - per i cicli termici: una macchina termica pub funzionare solo assorbendo calore da una sorgente e cedendone una parte inferiore a una seconda sorgente pili fredda della prima (jormulazione di Kelvin-Planck); - per i cicli jrigoriferi: non e possibile il passaggio spontaneo di calore da un corpo freddo a uno pili caldo per differenza finita di temperatura (jormulazione di Clausius).

II limite di trasformabilita di calore in lavoro e precisato dal rendimento di una macchina termica. Definizione universale di rendimento per una qualsiasi macchina:

11 =

prodotto della macchina alimentazione .

Nel caso della macchina termica, il cui obiettivo e la parziale trasformazione di calore in lavoro meccanico e che opera assorbendo calore Qa da una sorgente calda e cedendone una parte Qc a una sorgente fredda, producendo un lavoro pari alIa differenza delle due quantita di calore, L = Qa - Qc ,si ha

II rendimento di una qualsiasi macchina termica non pub mai raggiungere l'unita, o il 100%, in base al secondo principio, per il quale non pub mai essere Qc = o.

156

13 Secondo principio della termodinamica. Cicli. Entropia

Macchina operante tra due temperature Viene definita in questa modo una macchina termica che riceve una data quantita di calore da una sorgente calda e ne cede una parte a una sorgente fredda. Dal momento che Ie due sorgenti hanno per definizione temperature costanti e uniformi, una macchina del genere, se reversibile, pub operare solo con trasformazioni isotermiche e si dice che ha due soli scambi di calore. Una macchina termica pub avere piu scambi di calore con piu sorgenti (Fig. 13.2); in tal caso si devono valutare i segni delle varie quantita di calore scambiate e sommare tutte quelle positive, ovvero assorbite dal fluido operante nella macchina e tutte quelle negative, ovvero cedute, e scrivere il rendimento nella forma

T

M t

M

L=9-9 a

T

c

ttl

Fig. 13.1. Macchina termica operante tra due temperature

Una macchina che opera tra due sole temperature e quindi ha due soli scambi di calore lungo due isoterme, pub chiudere il cicio solo attraverso due adiabatiche; tale macchina e la macchina termica di Carnot (Fig. 13.1). Un cicio termico (L> 0) e percorso in senso orario nel piano (p, V), mentre uno frigorifero (L < 0) e percorso in senso antiorario (Fig. 13.3). II rendimento di una macchina termica di Carnot si dimostra essere

dove Tm e TM sono rispettivamente la temperatura della sorgente fredda e di quella calda.

Macchina operante tra due temperature

157

p

2 scambi di calore

3 infinita di scambi

isobarica

o

v Fig. 13.2. Scambi di calore in una macchina termica

p

o

v Fig. 13.3. Cicio termico e cicio frigorifero

La suddetta espressione del rendimento - valida per qualunque fluido operante nella macchina - consente di ricavare la seguente relazione notevole di un cicIo di Carnot

Supponiamo di voler eseguire un cicIo di Carnot scegliendo come sorgente fredda una sorgente a 0 K; la relazione precedente diventa Tm Qc=Q a T , =0 M

Tale risultato e in contrasto con una delle formulazioni del secondo principio secondo la quale una macchina termica pub funzionare solo assorbendo una quantim di calore da una sorgente calda e cedendone obbligatoriamente una parte non nulla a una sorgente fredda. Questo vuol dire la irraggiungibilitiJ: dello zero assoluto (terzo principio della termodinamica di Nernst).

158

13 Secondo principio della termodinamica. Cic1i. Entropia

T

I>I

L=9-9 a

T

c

m

Fig. 13.4. Schema di macchina frigorifera

Per Ie macchine frigorifere il parametro caratteristico della macchina non viene chiamato rendimento, mafattore di qualita, definito come

f =QSI L' dove Qst e la quantita di calore strappata dal fluido alia sorgente fredda ed L il lavoro esterno (Fig. 13.4). Per una macchina reversibile Ie quantita di calore assorbite e cedute nel cicio termico coincidono numericamente con quelle rispettivamente cedute e assorbite in quello frigorifero, percib la quantita Qst del cicio frigorifero coincidera con la quantita Qc di quello termico. Si pub dimostrare che per un cicio reversibile e I f=--1

17 Tale relazione giustifica il motivo per cui f non si pub chiamare rendimento, potendo essere anche maggiore dell'unita.

Teorema di Carnot Tra tutte le macchine termiche operanti tra le stesse temperature estreme, la macchina di Carnot equeUa dotata del massimo rendimento.

Per Ie macchine frigorifere: tra tutte le macchine jrigorifere operanti tra le stesse temperature estreme, la macchina di Carnot e quella dotata del minima fattore di qualita.

Entropia

159

II teorema di Carnot costituisce un criterio per giudicare l' attendibilita di un cicIo termodinamico, per quei cicli cosiddetti "parlati", ovvero non rappresentati nel piano (p, V), ma dei quali si diana Ie quantita di calore scambiate e Ie temperature delle sorgenti. Un cicIo rappresentato nel piano (P, V) non richiede l' applicazione del criterio di Carnot, perche e certamente attendibile.

Disuguaglianza di Clausius Per un cicIo qualsiasi nel quale vengono scambiate Ie n quantita di calore Qi con Ie n sorgenti a temperature Ti , deve essere rispettata la disuguaglianza

:f..Qi:-:;;o, i=l

T1

dove il segno di uguaglianza vale solo per cicli reversibili. Se Ie quantita di calore scambiate sono infinitesime, la precedente relazione diventa

L'integrale si intende calcolato lungo la linea chiusa che rappresenta il profilo del cicIo. Le precedenti relazioni costituiscono un criterio di attendibilita dei cicli termodinamici pili ampio di quello di Carnot~ potrebbe infatti accedere che sia soddisfatto il criterio di Carnot, ma non quello di Clausius~ in altre parole, it criterio di Clausius e condizione necessaria e sufficiente per l' attendibilita di un cicIo, mentre quello di Carnot e solo condizione necessaria.

Entropia Viene definita una nuova funzione di stato S, la cui variazione nel passaggio di un sistema dallo stato iniziale i a quello finale f si scrive

L1S~Jfc5Q, i

T

dove il segno di uguaglianza vale nei processi reversibili, quello di disuguaglianza in quelli irreversibili. Dal momenta che S e funzione di stato, la sua variazione nel passaggio di un sistema dallo stato i a quello f sara la stessa per processi reversibili e irreversibili, pertanto possiamo calcolare la variazione di entropia di un sistema in un processo

160

13 Secondo principio della termodinamica. Cicli. Entropia

irreversibile non come limite inferiore rna come valore esatto, andando a calcolarla lungo uno 0 pili processi reversibili che conducano il sistema dallo stato i allo stato f. Cio vale solo per il sistema, non per l'ambiente esterno.

Formula generale per il calcolo di L1S per un gas perfetto

ilS nei cambiamenti di stato I1.S = mc T'

dove m e la massa del sistema, c il calore latente del cambiamento di stato e T la temperatura del cambiamento di stato. Vi saranno casi in cui l'entropia aumenta, altri in cui diminuisce, a seconda del segno di c.

Interpretazioni dell'entropia L'entropia ha due interpretazioni principali:

- e un indice del grado di disordine di un sistema: un aumento di entropia indica un'evoluzione verso stati di maggior disordine;

- e un indice della diminuita capacita di un sistema di compiere lavoro:

un aumento di entropia indica una perdita di capacita del sistema di compiere lavoro, cioe una maggior degradazione energetica, intensa come produzione di calore, non completamente recuperabile per compiere lavoro.

Entropia dell'universo Si intende per universo termodinamico l'insieme del sistema in esame e dell' ambiente esterno con cui esso puo interagire. L'universo termodinamico e un sistema isolato termicamente, dato che esso non puo avere alcuno scambio di calore. Dal momenta che tutti i processi spontanei che hanno luogo in natura sono irreversibili, ne consegue che

Entropia

l'entropia dell'universo

161

e in continuo aumento

o anche che l'energia degradata nell'universo

e in continuo aumento.

Queste due possono essere assunte come formulazioni alternative del secondo principio~ la prima di esse e dovuta a Clausius. Essendo l' entropia una grandezza scalare, possiamo scrivere in generale che

~Suniverso = ~Ssistema + ~Sambiente o anche In un processo reversibile di un sistema isolato come l'universo sara sempre Ji.S u =0, quindi il che implica che sistema e ambiente esterno subiranno variazioni di entropia uguali e opposte. Cib vuol dire che se riportiamo il sistema nella stato di partenzasempre reversibilmente - la variazione di entropia complessiva al termine del processo ciclico sara per entrambi nulla. Si suol dire che nell'ambiente non e rimasta traccia alcuna del processo. Se invece il processo e irreversibile, l'entropia dell'universo aumenta, cioe A.Su > 0, e sara allora

cioe la variazione di entropia dell'ambiente esterno e maggiore dell'opposto di quella del sistema. Riportando il sistema nella stato di partenza, la variazione di entropia dell'ambiente non sara nulla, rna restera nell'ambiente una traccia che in generale appare sotto forma di calore, cioe di energia degradata non pili utilizzabiIe per compiere lavoro.

Esempi I. Nell' espansione libera di Joule, il gas non ritornera spontaneamente nel primo recipiente se non con una probabilita infinitamente bassa. Per riportareelo, dobbiamo usare un compressore che compie lavoro, la cui traccia al termine delle 0perazioni appare come calore liberato dal funzionamento del motore. II. Nella diffusione di due gas uno nell'altro, la separazione dei due gas, che anehe qui non potra avvenire spontaneamente, potra essere eseguita soltanto impiegando una macchina centrifuga, il cui funzionamento lascera una traceia aneora sotto forma di calore liberato nell' ambiente.

162

13 Secondo principio della termodinamica. Cicli. Entropia

Piano di Gibbs Adotta come coppia di coordinate macroscopiche anziche p e V, la temperatura assoluta T e l'entropia S. In tale piano I' area racchiusa dall' asse S e dal profilo di una trasformazione aperta rappresenta la quantita di calore scambiata nel processo, mentre l'area di un cicio rappresenta ancora illavoro scambiato dal sistema nel cicio (Fig. 13.5).

T (K)

S (J/K)

o

Fig. 13.5. II piano di Gibbs

Un cicio di Carnot reversibile nel piano (T, S) e rappresentato da un rettangolo per qualunque sistema termodinamico ed e immediato ricavare che la formula del rendimento di un cicio di Carnot,

vale per qualsiasi sistema e non solo per un gas perfetto (Fig. 13.6). T (K)

T M I---..'!!!!!!!!'!!!!!!!!'!!!!!!!!'!!!!!!!'!!!!!!!'!!!!!!!"!'!I

o

S

1

SQ S (J/K)

Fig. 13.6. II ciclo di Carnot nel piano di Gibbs

11 solo inconveniente di tale piano e che un punto del piano non rappresenta univocamente un solo stato del sistema, essendo l'entropia definita a meno di una costante di integrazione.

Problemi

163

Unita di misura joule/kelvin (J/K)

Entropia

Problemi 13.1. Un cicIo di profilo ellittico viene percorso in senso antiorario nel piano (p, V); calcolare la quantita di calore assorbita complessivamente nel cicio dal fluido operante. P (MPa)

0.4 1

.

B

A

0, I

D 0.2

0,6

V (I)

Fig. 13.7

La quantita di calore assorbita e data dalla differenza tra l' area del rettangolo ABeD e la semiarea dell' ellisse (ovvero dall' area sottesa dalla parte inferiore del cicio): 3,14 2

Qa = 0,41·0,25 MPa---·O,21.0,15MPa = 100-47,1 = 52,9 J.

13.2. 1 mol di gas perfetto monoatomico subisce una compressione irreversibile dalla pressione PI = 3 atm alIa pressione P2 = 6 atm; se il volume finale e uguale a quello iniziale (V = 3 I), calcolare, sapendo che durante il processo vengono fomite al gas Q = 1209 J: a) illavoro compiuto sui gas, b) la variazione di energia intema, c) la variazione di entropia del gas.

a)

b)

3 I1U = - V (Pz - PI) = 1,36 kJ.

2

164

13 Secondo principia della termodinamica. Cicli. Entropia

c) Essendo I'entropia una funzione di stato, la sua variazione pUO essere calcolata lungo una trasformazione isovolumica che va dallo stato I allo stato 2, ovvero

M =

J8 Q JnCydT =

T

T

= ncy In Tz = 3nR In pz = 8, 64 ~ .

TI

2

PI

K

133. Calcolare il rendimento e il fattore di qualita del cicio reversibile eseguito da un olio combustibile indicato in figura 13.8. T K) B

800 600

c

500

D 2001---'"

o

5

Fig. 13.8

II rendimento e dato dal rapporto tra l'area del cicio (cioe il lavoro compiuto) e l'area sottesa dal segmento AB (cioe la quantita di calore assorbita):

13.4. I mol di gas perfetto monoatomico e contenuta in un recipiente adiatermano sigillato. Una resistenza libera calore all'interno del gas e la variazione di energia interna e tiU = 8 kJ. Calcolare la variazione di entropia del gas, sapendo che l'energia interna iniziale vale Uj =4 kJ.

Essendo il recipiente sigillato, il volume e costante, quindi T

f M=ncyln-,

Tj

rna e anche

Problemi

165

percio

3 (f1UJ J f1S=-Rln 1 + - =13,7-. 2 U K i

13.5. Un recipiente a pareti metalliche rigide e sottili e diviso in due parti diverse da un setto; nella prima vi sono n 1 = 2 mol, nella seconda n 2 =4 mol di gas perfetti, differenti tra loro, rna alIa stessa temperatura e pressione. Calcolare la variazione di entropia del sistema dei due gas dopo aver to110 il setto.

Risulta

percio

13.6. L'entropia di un sistema termodinamico varia con la temperatura secondo la legge S = a + b T, con b = 5 J/K 2 • Se i1 sistema viene portato da T 1 = 290 K a T2 = 310 K, quale quantita di calore assorbira?

Q=

J

TdS,

rna

dS=bdT, percio 2

T dT = b T2

2 -

T1 = 30 kJ.

2

13.7. Calcolare: a) la variazione di entropia di 1 mol di gas perfetto che, espandendo isotermicamente a temperatura T = 400 K, compie un lavoro L = 800 J; b) il rapporto di espansione tra il volume finale e quello iniziale.

166

13 Secondo principio della termodinamica. Cicli. Entropia

Essendo ~

L = n R T In --.i. , V1

ne deriva a) L

Vf

b)

Vi

= e nRT =

1,27 .

13.8. In un processo isotermico reversibile a T = 350 K, un olio compie un lavoro L = 80 J, mentre la sua energia interna aumenta di i1U = 7,5 J. Calcolare la variazione di entropia dell' olio.

Essendo un processo isotermico

13.9. A quale temperatura fonde un blocco di ghiaccio compresso con un peso che 10 sottopone alIa pressione p =300 atm? (densita del ghiaccio: 920 unita SI; calore di fusione: 80 callg)

E una semplice applicazione del principio di Clausius-Clapeyron: AT= Ap.To(v""qua

-Vghiaccio)

cf

= 3,03.10

7

.273,15(_1 80·4186 1000

1_)=_215 0 C. 920 '

13.10. Calcolare la variazione di entropia di 2 mol di gas perfetto poliatomico durante una trasformazione di equazione p T2 = costante nella quale il volume del gas si dimezza.

La formula generale afferma che

Essendo perC> anche

Problemi

167

e tenendo conto che Vi = 2Vf , dopo qualche passaggio si ricava

e quindi 1) =2·8 31·2·ln -=-231 J 1 1 InI1S=nR ( In -+3·2

3

2

'

2

K

13.11. Una macchina termica reversibile opera tra tre sorgenti alle temperature T 1= 300 K, T 2 = 400 K e T 3 = 500 K, cedendo in un cicIo la quantita di calore QI = 300 cal alIa prima sorgente e assorbendo dalla terza sorgente la quantita di calore Q3 = 500 cal. Calcolare il rendimento di tale macchina.

Trattandosi di un cicIo reversibile, la disuguaglianza di Clausius impone che debba essere

ne consegue che 300 11=1--=0 4=40%. " 500 ' 13.12. Una macchina termica di Carnot compie in un cicIo un lavoro L = 10 kl. Se la massima differenza di entropia tra due punti del cicIo e I1S = 100 11K, qual e Ia differenza tra Ie due temperature di Iavoro? T

Q 1

T

1

T :2

o

s Fig. 13.9

168

13 Secondo principio della termodinamica. Cicli. Entropia

Le cose si vedono meglio nel piano di Gibbs:

L=

~S· ~T,

~T=~=100 K. ~S

13.13. Una centrale termoelettrica consuma una massa di carbone c = 1,5 t/h; se il potere calorifico del carbone ep = 32 MJ/kg e la potenza della centrale eW = 1,4 MW, calcolare il rendimento della macchina.

L 11 =Qa

Wt Qa

=-

W (Qa / t)

W cp

=- - =- = 10,5%.

14 Gas reali. Potenziali termodinamici

Equazione di van der Waals per i gas reali Per 1 mol

(p+ ;

}V-b)=RT,

dove a e b sono due costanti diverse da gas a gas i cui valori sono riportati in tabella 14.1. II termine al v 2 viene detto pressione interna 0 pressione di coesione, mentre il termine b rappresenta il volume proprio di una mole di gas ed e detto covolume molare. veil volume molare, ovvero il volume occupato da 1 mol di gas: v = Vln. Per n mol

Tabella 14.1. Le costanti di van der Waals per alcuni gas

0: (e atnymol 2)

b (ml/mol)

Vapor d'acqua

5,80

31,9

Ammoniaca

4,17

37,1

Anidride carbonica

3,66

42,9

Argon

1,345

32,2

Gas

Azoto

1,39

39

Cloro

6,493

56,2

Elio

0,034

23,4

Idrogeno

0,244

26,6

Kripton

2,318

39,8

Neon

0,211

17,1

Ossigeno

1,38

Xenon

31,8 51

170

14 Gas reali. Potenziali termodinamici

Parametri critici Temperatura critica: e la temperatura Tc al di sopra della quale un gas reale si comporta come perfetto. Pressione critica: come perfetto. Volume critico: perfetto.

e la pressione Pc al di sopra della quale un gas reale si comporta

eil volume Vc al di sopra del quale un gas reale si comporta come

Tali parametri rappresentano nel piano di Clapeyron 10 stato al di sotto del quale e possibile ottenere la liquefazione di un gas. Si pub dimostrare che essi sono correlati alle due costanti di van der Waals dalle seguenti equazioni:

T=~ c

v c = 3b.

27 bR'

Energia interna dei gas reali

Per 1 mol a U = - - + cvT + costante

v

Per n mol

na U = --+ncvT +costante V

Effetto Joule-Kelvin

E il raffreddamento di un gas reale durante un'espansione; la variazione di temperatura del gas quando espande dal volume Vi al volume V f

e data da:

Problemi

171

Dipendenza della tensione di vapore dalla temperatura _ MCeb

p(T) = Ae

dove A e una costante, delliquido.

Ceb

RT ,

il calore latente di ebollizione ed M il peso molecolare

Unita di misura Sono Ie stesse gia illustrate per i precedenti capito li .

Problemi 14.1. Una massa m = 10 g di azoto subisce un'espansione isotermica reversibile a temperatura T = 500 K nel corso della quale la pressione si dimezza. Calcolare la variazione della funzione di Gibbs.

Dalla stessa definizione della funzione G, abbiamo ~=~F+~(p

V)

e, essendo costante la temperatura, ~G

=

~F

=

~u

- T ~S -

S ~T =

~U -

T ~s = - T ~S.

Ma nei processi isotermici e

v

~S = nR In--.£

~'

percio

~G = -nRTlnl!l = -nRT ln2 = -!!!.-RT ln2 = P2

M

10-2

-28-.-1-0--3 ·8,31· 500 ·0,693 =- 1,03 kJ.

14.2. Una certa quantita di gas biatomico perfetto viene fatta espandere reversibilmente e adiabaticamente dallo stato A (p A = 2 atm, VA = 1 1) allo stato B (VB = 3 1). Calcolare la variazione di entalpia del gas.

172

14 Gas reali. Potenziali termodinamici

Trattandosi di un gas biatomico, il coefficiente adiabatico vale 7/5, quindi, essendo il processo reversibile, possiamo applicare la prima equazione di Poisson, scrivendo 1,4

V1,4

V =PBB PAA

v; J1,4 (1 )1,4

V

PB=PA (

=2"3

=0,43 atm.

Avremo aHora

- PAVAJ + PBVB - PAVA = Mf = ilU + il(pV) = nCyilT + il(pV) = ncy ( PBVBnR 5 7 = -(PBVB - PAVA)+ PBVB - PAVA = -(PBVB - PAVA) = 2

= 3,5· (3·0,43 -

2 2) ·101 = -251 J.

14.3. 1 mol di gas perfetto subisce un processo isotermico reversibile a temperatura T = 300 K nel corso del quale il volume raddoppia. Calcolare la variazione di energia libera del gas.

M' = ~U -

~

(T S)

=~u - T ~S -

= -RT ln2

S~T

=- T ~S =- Q =- L =

= -8,31· 300·0,693 = -1,73 kJ.

14.4. 1 mol di azoto (costante di van der Waals a = 1,39 12 atm/moe) espande nel vuoto dal volume Vi = 1 I al volume V f = 10 1. Calcolarne la variazione di temperatura.

L'espansione libera di un gas reale avviene ancora senza variazione di energia interna, rna cia non vuol dire che la temperatura sia rimasta costante . Infatti, essendo per un gas reale U

an 2

=- - - + n cy T + costante, V

risulta

(1 1J

ilU = 0 = -a n 2 -V - -~ + n c y ilT, f

da cui, per 1 mol di gas:

a (1-1 ~T=cy

Vf

~

J=-6,lK.

Problemi

173

14.5. In un processo isotermico reversibile di un gas perfetto a temperatura T = 400 K il potenziale di Gibbs subisce una variazione AG =- 400 J. Calcolare: a) la variazione di entropia del gas e b) la quantita di calore scambiata con l' estemo.

Risulta, essendo il processo reversibile: AG = AU - SAT - TAS - A(p V)= - T AS, e quindi AS =_ AG = 400 = 1 ~ T 400 K'

Q=TAS = 400 J.

14.6. Calcolare la quantita di calore che si deve fornire a una certa quantita di ossigeno perfetto in un processo isobarico perche esso subisca un aumento di entalpia LVi = 104 J.

Ovviamente 104 J, dato che la variazione di entalpia coincide con la quantita di calore scambiata in un processo isobarico.

15 Oscillazioni e onde armoniche

Un mota armonico semplice viene anche detto moto oscillatorio; come abbiamo visto in meccanica, esso e caratterizzato dal periodo T, che e la durata di una oscillazione completa, dalla frequenza I, che e il numero di oscillazioni nell'unita di tempo, dall' ampiezza A, che e il massimo valore dell' escursione dalla posizione di equilibrio, dalla pulsazione OJ, data da 21if, dalla costante di lase qJ che individua l'istante in cui inizia l'oscillazione e dallalase OJ t +qJ (Fig.15.1). x

-A

Fig. 15.1. Grafico orario di un mota osciHatorio: l'osciHazione b) e in anticipo di fase rispetto aHa a), mentre la c) e in ritardo di fase rispetto aHa a)

La legge oraria di un' oscillazione armonica lungo I' asse x x (t)

=A cos (OJ t +qJ ) .

e (15.1)

La (15.1), modificando opportunamente il valore di qJ, puo essere espressa in funzione del seno anziche del coseno; per esempio, in figura 15.1 l'oscillazione a) ha come legge oraria x = A sinOJt, rna se la vogliamo scrivere usando il coseno scriveremo x = A cos (OJ t-n/2) per una nota relazione tra il seno e il coseno, quindi la costante di fase vale -n/2.

176

15 Oscillazioni e onde armoniche

A volte si usa indifferentemente il termine vibrazione al posto di "oscillazione"; in realta si dovrebbe parlare di vibrazione quando la frequenza del mota e alta e quando si ha a che fare con oggetti vincolati in un punto, quali verghe, aste, lamine ecc.

Come nasce un'onda Un'oscillazione e limitata allo spazio nel Quale si muove l'oscillatore; tuttavia, se questa e immerso in un mezzo materiale comprimibile; l' oscillazione provoca un' alternanza di compressioni e rarefazioni che si propagano con una certa velocita originando un' onda meccanica. II mezzo, perche in esso possa propagarsi un' onda, deve possedere due proprieta: inerzia ed elasticita, ovvero deve essere ponderabile, cioe avere una massa, e comprimibile.

Equazione del raggio Si chiama raggio una delle infinite direzioni nelle quali si puo propagare un' onda: rna come si propaga un'onda? Un'oscillazione - abbiamo visto - e formata da un mota avanti-indietro; se il mezzo e ponderabile, esso subira un'alternanza di compressioni e di rarefazioni e Ie sue particelle si muoveranno sotto l' azione di un'onda progressiva (in avanti) e di una regressiva (all'indietro). Se l'onda si propaga nella direzione dell' asse x, 10 spostamento s delle particelle del mezzo sara espresso per Ie due onde da

e)' + .;) + e)'

s = A sin ( ro( t - .;) +

onda progressiva

(15.2a)

s = A sin ( ro(t

onda regressiva

(15.2b)

dove vela velocita di propagazione dell'onda, che risulta dipendere dalla densita p del mezzo e dal suo coefficiente di comprimibilita k secondo la relazione 1

v=--

JkP

(15.3)

Dalla (15.3) e evidente che un'onda sara tanto menD veloce quanta pili il mezzo e denso e comprimibile. Cio non deve tuttavia far credere che nei gas, che sono poco densi, rna relativamente molto comprimibili, la velocita di propagazione di un'onda sia maggiore che nei solidi: infatti, mentre i gas sono mediamente 104 volte menD densi dei metalli, questi ultimi sono mediamente 107 volte menD comprimibili dei gas, quindi la velocita di propagazione e in essi maggiore, come si puo vedere nel Problema 7.15 dell'allegato CD.

Intensita di un' onda

177

A seconda che 10 spostamento s sia parallelo 0 perpendicolare alIa direzione x parleremo di onde longitudinali 0 di onde trasversali. DaIle (15.2) si vede che s dipende da x e dal tempo; trattandosi di un moto periodico, un'onda sara caratterizzata da una doppia periodicita, una temporale, descritta dal periodo T e una spaziale, descritta dalla lunghezza d' onda A ; infatti, mentre passa l'intervallo di tempo T, l'onda avanza con velocita v percorrendo una distanza v T, detta lunghezza d'onda e definita dalle relazioni seguenti

A = v T = !!.- = 2nv .

f

(15.4)

OJ

In base alIa (15.4), Ie equazioni del raggio si potranno scrivere con un'unica relazione nel seguente modo

s = A sin

[2; (v t ± x) + ()] = A sin [ 211:(~ ± 1)+ ()],

(15.5)

dove il segno positivo e negativo valgono rispettivamente per l' onda regressiva e per quella progressiva.

Onde piane e onde sferiche Se il mezzo nel quale l'onda si propaga e omogeneo (densita costante) e isotropo (uguali proprieta in tutte Ie direzioni) e se la sorgente epuntiforme, l'onda si propaga per superfici sferiche di raggio r = V t e si dira che il fronte d'onda e sferico. Tuttavia a grandi distanze dalla sorgente, se ci limitiamo a considerare una limitata porzione del fronte d'onda, esso ci appare piano e parleremo di onda piana. Se invece la sorgente non e puntiforme, la superficie dell' onda avra pili 0 meno forma simile a quella della sorgente se il mezzo e omogeneo e isotropo; se invece esso edisomogeneo 0 anisotropo, il fronte d'onda avra una forma irregolare.

Intensita di un'onda Viene detta intensita di un'onda la quantita di energia En incidente normalmente all'unita di superficie nelI'unita di tempo, ovvero 1= En. St

(15.6)

Cia vuol dire che per un' onda sferica a distanza r dalla sorgente, sara

I=~ 2

4n r t '

(15.7)

178

15 Oscillazioni e onde armoniche

che indica la dipendenza di I dall'inverso del quadrato della distanza, corne illustrato dalla figura 15.2. Da tale figura si vede che a grande distanza dalla sorgente l' intensita e praticamente costante, quindi 10 e anche l'ampiezza dell'onda. I

I I

o

1= costante

r

Fig. 15.2. A grande distanza dalla sorgente l'intensita di un'onda sferica

e praticamente costante In generale l'intensita, per corne e definita, e proporzionale al quadrato dell'ampiezza dell'onda, essendolo l'energia di un oscillatore armonico (vedi Capitolo 4). Allora avremo che l'ampiezza A e per un'onda sferica inversamente proporzionale alIa distanza r, mentre per un'onda piana ecostante.

Fenomeni caratteristici delle onde I fenomeni di cui parleremo riguardano in generale Ie onde meccaniche e quindi Ie onde sonore e quelle elettromagnetiche, rna sono a seconda del tipo di onda di diversa entita. In generale tali fenomeni sono: riflessione, diffusione, rifrazione, dispersione, interferenza, diffrazione, polarizzazione.

Onde sonore Tra Ie varie categorie di onde meccaniche, tra Ie quali sono importanti Ie onde d'acqua e quelle sismiche, assumono particolare rilevanza Ie onde sonore, che vengono studiate da un ramo della fisica detto acustica. Le onde sonore sono onde la cui frequenza e compresa tra circa 16 e circa 15000 Hz che, incidendo sull' apparato ricevente dell' orecchio animale vi destano quella sensazione che chiamiamo suono. Al di sotto dei 16 Hz si hanno gli infrasuoni, mentre al di sopra dei 15000 Hz si hanno gli ultrasuoni, molto importanti per illoro elevato potere penetrante che Ii rendono utili in certe applicazioni della medicina, quale la ecografia. Alcuni animali hanno una particolare sensibilita per gli ultrasuoni; tra essi alcune razze canine e i pipistrelli nella cui scatola cranica esiste

Fenomeni ondosi

179

un particolare apparato ricetrasmittente che consente loro di captare la presenza di ostacoli anche nel buio delle grotte dalla riflessione degli ultrasuoni emessi dalle pareti. I suoni non si propagano nel vuoto in quanta l'onda sonora per propagarsi necessita di un mezzo comprimibile; in aria a 0 °C la velocita di propagazione vale 332 mis, mentre e notevolmente piu elevata per l' acqua e per i metalli, dove pub raggiungere anche i 5 km/s. Nei gas la velocita di un suono dipende dalla temperatura e dal peso molecolare secondo la relazione

(15.8)

dove r eil coefficiente adiabatico del gas, essendosi dimostrato che i suoni si propagano con un meccanismo adiabatico, ovvero senza scambi di calore con il mezzo. Tutti i suoni, di qualsiasi frequenza, si propagano con la stessa velocita nello stesso mezzo. E importante distinguere nettamente il suono dal rumore: il suono e in genere formato dalla sovrapposizione di piu onde armoniche, mentre il rumore si genera quando viene superato illimite di elasticita del mezzo e produce sull' orecchio una sensazione sgradevole che pub in certi casi provocare dolore all'apparato auricolareo E stata istituita una scala per la misura dell'intensita sonora soggettiva espressa in decibel (dB), i cui valori vanno da qualche decibel dello stormire delle foglie al centinaio di decibel dello scappamento di una mota 0 di un' auto da corsa 0 dei tifosi urlanti in uno stadio di calcio per arrivare aIle migliaia di decibel di una vicina esplosione. Mentre un suono si propaga senza spostamento di materia, il rumore pub invece provocare veri e propri spostamenti di materia, come nello spostamento d'aria associato all'esplosione di una bomba.

Fenomeni ondosi Tutti i tipi di onde sono soggetti a una serie di fenomeni che possono essere piu cospicui per I'uno 0 per l' altro tipo di onda: la riflessione, la diffusione, la rifrazione, la dispersione, l'interferenza, la diffrazione, la polarizzazione. La riflessione e il "rimbalzo" di un raggio su una superficie liscia; detta n la normale alIa superficie, detto angolo di incidenza l' angolo i formato dal raggio incidente con n e angola di riflessione I' angola r formato dal raggio riflesso, la riflessione e retta dalle due seguenti leggi: 1) raggio incidente, raggio riflesso e normale sono complanari; 2)

i =r.

Nel caso delle onde sonore la riflessione origina il fenomeno dell' eco. Quando perb la superficie presenta asperita, per ognuna di esse valgono ancora Ie due leggi,

180

15 Oscillazioni e onde armoniche

rna essendo diverse Ie normali nei vari punti, i raggi riflessi si sparpagliano in tutte Ie direzioni e il fascio incidente si apre a ventaglio, dando luogo al fenomeno della diffusione, particolarmente importante per Ie onde luminose. La rifrazione e il cambiamento di direzione di un raggio quando passa da un mezzo a un altro di diversa densita; per Ie onde sonore non e apprezzabile. La dispersione e un fenomeno per il quale la direzione del raggio rifratto cambia con la frequenza dell'onda ed e anch'esso poco importante per Ie onde sonore. L'interferenza avviene quando in una certa regione di spazio vengono a sovrapporsi due onde con la stessa frequenza e con differenza di fase costante (onde coerenti). Si manifesta alternativamente con un aumento (interferenza positiva) 0 una diminuzione (interferenza negativa) di intensita dell'onda risultante rispetto alIa somma delle intensita delle singole onde interferenti. Quando Ie frequenze delle due onde sono invece leggermente diverse, si ha il fenomeno dei battimenti, particolarmente fastidioso in acustica musicale dove al suono della sovrapposizione delle due onde si aggiunge un secondo suono modulato che disturba l' ascolto. La diffrazione e particolarmente importante per Ie onde sonore; per tutte Ie onde si verifica allorche il fronte d'onda viene intercettato da un ostacolo Ie cui dimensioni sono confrontabili con la lunghezza d'onda incidente. Tutti i punti dell'ostacolo colpiti dal fronte d' onda incidente diventano sorgenti di onde sferiche coerenti elementari, il cui inviluppo (cioe la superficie tangente a tutte Ie nuove onde) costituisce il nuovo fronte d'onda (principio di Huygens-Fresnel). Nel caso delle onde d'acqua la diffrazione e molto evidente quando lanciamo un sasso nell'acqua di uno stagno in vicinanza di uno scoglio; si vedono i cerchi concentrici con centro del punto di impatto del sasso con l' acqua rompersi a contatto con 10 scoglio per poi riformarsi perfettamente circolari al di la della scoglio. Nel caso delle onde sonore il fatto che riesca a udire attraverso una porta aperta la voce di una persona che parla nel locale adiacente e dovuto alIa diffrazione dell' onda sonora sugli stipiti della porta.

Effetto Doppler La frequenza di un suono puo variare a seconda delle condizioni di mota relativo della sorgente e dell'ascoltatore. Supponiamo che la sorgente emetta onde armoniche di una sola frequenza f: se vela velocita di propagazione, dalla relazione f = viA, si deduce che la frequenza puo essere interpretata come il numero di lunghezze d' onda contenuto in un tratto di lunghezza v. Se un ascoltatore e fermo nel mezzo in cui si propaga l' onda, misurera per la sua velocita un valore v e quindi la frequenza percepita coincidera con quella fa emessa dalla sorgente sonora. Indicando con Va e Vs rispettivamente la velocita dell' ascoltatore e della sorgente, ci limitiamo a fornire in figura 15.3 i valori della frequenza f percepita dall' ascoltatore nei vari casi di mota relativo aSCOltatoresorgente.

Tubi sonori. Corde vibranti 0

..

S

• va

•

• v, = 0

V

• v, = 0

0

S

•

Vo =

Vo =

..

•

0

.

0

•

0

v,

Vo

•

v,

• •

s

0

f = f o v / (v + v,)

f=fo(v- v)/(v+ v)

f=fo(v+ v)/(v+ v)

f=fo(v+ v)/(v-v)

v,

Vo

..

0

V

v,

S

•

•

f=fo v/(v- v)

S

0

..

v,

• •

• •

f=fo(v-vo)/v

s

0

va

f=fo(v + vo)/v

S

0

• o

181

• o

S

v, •

f=fo(v- v)/(v- v,)

~ Fig. 15.3. I vari casi di effetto Doppler

Tubi sonori. Corde vibranti La presenza di forze dissipative dovute agli attriti provoca 10 smorzamento delle vibrazioni che non avranno piu la forma sinusoidale di un'oscillazione armonica, rna una forma smorzata come in figura 15.4.

s

o Fig. 15.4. Oscillazione smorzata

182

15 Oscillazioni e onde armoniche

Perehe I'oscillazione non si smorzi, si deve fomire al corpo l'energia dissipata con impulsi di intensita costante applieati periodieamente 0 eon una forza variabile periodieamente. L'oseillazione mantiene eostante la propria ampiezza e viene detta oscillazione forzata. Ogni oseillatore ha una frequenza propria di oscillazione ehe dipende dalla massa e dalla rigidita del corpo. In particolare i tubi sonori (quali Ie canne d'organo) e Ie corde degli strumenti musicali hanno frequenze proprie di oscillazione che si rieavano imponendo che in essi si instaurino delle onde stazionarie, ovvero onde che mantengono costante nel tempo e nella spazio la loro ampiezza. I tubi sonori possono presentare un'estremita aperta e una chiusa (tipo A in Fig. 15.5), due estremita aperte (tipo B) 0 due estremita chiuse (tipo C, dove e presente un'aneia per l'uscita dell' aria).

A

c

B

Fig. 15.5. Tubi sonori di vario genere

In un tuba sonoro di tipo A si instaura un'onda stazionaria quando si forma un nodo di spostamento sulla parete di fonda e un ventre sulla parte opposta. La colonna d'aria deve cioe contenere un numero dispari di quarti di lunghezza d'onda, ovvero la lunghezza LA del tuba deve essere tale che

A

(n = 0,1,2.,,).

LA =(2n+l)4

(15.9)

Dalla (15.9) si rieava

A= 4LA

(15.10)

.

2n+l

Essendo f = v / A e utilizzando Ie (15.10), si ottengono Ie frequenze che consentono la formazione di onde stazionarie, che sono poi Ie frequenze con cui vibrano Ie molecole d'aria lungo l'onda stessa: fA = 2n+l v 4LA

(n = 0,1,2".)

(15.11)

Per i tubi di tipo Bee agli estremi si dovranno formare rispettivamente due ventri o due nodi e in entrambi dovra essere contenuto un numero intero di mezze lunghezze d'onda, cioe

A

L B = Lc =n2

(15.12)

Risonanza

183

e per Ie frequenze

nv

(n = 1,2...)

is =ic = 2L'

(15.13)

dove si e posto L = L B = L e . Le corde vibranti degli strumenti musicali sono fisse agli estremi, quindi esse sono equiparabili al tubo C, cioe vale per esse la (15.13) nella quale Lela lunghezza della corda. AIle diverse frequenze di corde e tubi sonori corrispondono Ie diverse armoniche dei suoni emessi, come in figura 15.6. b)

a)

,,, ,,, 123

123

Fig. 15.6. Ventri e nodi all'interno di canne d'organo aperte (a) e chiuse (b). Le canne I producono la nota fondamentale (0 prima armonica), Ie altre Ie armoniche superiori.

La frequenza delle onde stazionarie in una corda si dimostra essere data da (15.14) dove Tela tensione della corda e Jila sua densita lineare. Da tale relazione si ricava che la velocita di propagazione dell'onda in una corda e

v=~.

(15.15)

Risonanza Quando la frequenza impressa a un corpo e molto diversa dalle frequenze proprie, l'ampiezza delle oscillazioni e molto piccola e queste si estinguono rapidamente, dissipando l'energia in calore; quando invece la frequenza impressa coincide, 0 e molto prossima, con una delle frequenze proprie, l'ampiezza diventa molto grande e con essa l'intensita dell'onda. E questo il fenomeno della risonanza, comune a molti capitoIi della fisica.

184

15 Oscillazioni e onde armoniche

Unita di misura SI Periodo Frequenza Fase Comprimibilita Lunghezza d'onda Intensita Intensita soggettiva

secondi (s) hertz (Hz) radianti (rad) pascal alIa meno uno (Pa- I ) metri (m) watt al metro quadrato (W/m2 ) decibel (dB)

Problemi 15.1. Una corda di massa m = 0,5 g e lunghezza 1 = 90 cm e vincolata per un estremo a un supporto fisso e per l' altro al rebbio di un diapason che vibra con frequenza f = 340 Hz. Calcolare la tensione alIa quale deve essere sottoposta la corda per poter vibrare con la sua frequenza fondamentale. Risulta

rna in questa caso, essendo i due estremi della corda, deve instaurarsi un sistema di onde tale che

Jl = 21 . n

La frequenza fondamentale si ha per n = 1, cioe Jl = 2 1, quindi

15.2. La frequenza di vibrazione di un diapason e 290 Hz. Calcolare la lunghezza d'onda del suono emesso in aria a 25°C, sapendo che la velocita del suono in aria aumenta, a partire da 0 °C, di 0,6 mls per ogni grado di aumento della temperatura.

La velocita del suono a 25°C vale

v= va + 0,6·25 = 347 mis, percio

Jl = ~ = 347

f

290

= 12m. '

Problemi

185

15.3. Calcolare: a) frequenza e b) lunghezza d' onda del suono prodotto da una sirena che ha un disco con 50 fori che ruota a 1200 giri/min (la velocita del suono e 344 mls).

a) La frequenza f di rotazione del disco in hertz e 1200 girl . 1= mIn

60-8-

= 20

.. gIn

-

= 20 Hz.

8

min

La frequenza del suono prodotto sara

f = 50 im~ulsi . 20 giri = 1000 Hz. I

gIrO

8

b) La lunghezza d'onda del suono prodotto

e

v

,1=-=0 344 m.

i'

'

15.4. Un'onda si propaga in una corda tesa con equazione, in unita SI: y =0,4 cos (0,2 x - 16 t). Calcolare: a) la lunghezza d'onda, b) la frequenza, c) la velocita di propagazione, d) l'ampiezza, e) la massima velocita trasversale delle particelle della corda.

L'equazione dell'onda si scrive anche come

(!.-- !-)

Y = 0 , 4 cos 21l' A T ' quindi: a)

o, 2 x =

21l'X

A'

21l' ,1=-= 314 0,2 ' b)

ill.

21l't 16t=-=21l'lt

T

'

16 1=-=2,55 Hz. 21l' c)

V= Ai= 31,4·2,55 = 80 mls.

d)

A=0,4m.

186

e)

15 Oscillazioni e onde armoniche Vy

= dy = -0,4. (-16) sin (0,2 x-16 t) = 6,4 sin (0,2 x-16 t), dt

il cui massimo valore e 6,4 m/s.

15.5. Ipotizzando un meccanismo di propagazione adiabatico, calcolare il rapporto tra Ie velocita del suono in due gas perfetti aHa stessa temperatura, uno tetraatomico con peso molecolare 17 g/mol e l'altro monoatomico con peso molecolare 87 g/mol.

La velocita di propagazione di un'onda sonora nel meccanismo adiabatico e V=

~ yRT

M'

quindi

15.6. Una corda fissa agli estremi e lunga 1 = 0,99 m e ha massa m =1 g. Se essa vibra in tre segmenti con una frequenza f =500 Hz, calcolarne la tensione.

Se la corda vibra in tre segmenti, deve essere I=

3.~ = 2

3v

2/'

mae

T J1

-=V

2

quindi

4

2

T=-ml/ =110N. 9 15.7. Un' onda si propaga in una corda di densita lineare 40 g/m tesa lungo l' asse x. Se la sua equazione in unita SI e

y = 0,2 sin ( 3x + 0,6 t) calcolare: a) la tensione della corda, b) la massima accelerazione trasversale.

Problemi

187

a) Nell'equazione dell'onda l'argomento si pub scrivere come

2n(1+~} quindi

=3

2n

e

2n

=

°

6

AT' , A m v=-=0,2 - . T s

T

= J.lV 2 =

1,6 mN.

b) La massima accelerazione trasversale e I' ampiezza della derivata seconda di y rispetto al tempo a = - 0,072 sin (3x + 0,6 t), ovvero

15.8. Un'onda sonora piana ha in aria a 20 °c intensita I =10,0 W/m 2 • Calcolare la forza esercitata da tale onda su una parete di superficie S = 5 m 2 , supponendo incidenza normale e assumendo che la velocita dell'onda alla suddetta temperatura sia v= 343,5 m/s.

L'intensita di un'onda piana e

I

_W_Fxv_FV

-S--S--S'

quindi

F

=IS = v

146 mN.

15.9. La lunghezza d'onda del suono emesso da un diapason in aria e A = 1,20 m quando la temperatura dell'aria e 20°C. Se la velocita di propagazione del suono in aria a °C e va = 332 mis, calcolare la frequenza del diapason.

°

Deve essere

rna, essendo la frequenza indipendente dalla temperatura, sara

188

15 Oscillazioni e onde armoniche

quindi

dove, per la nota dipendenza dalla temperatura della velocita di propagazione delle onde sonore: 293,15 = 1 036 v . 273,15 ' 0 Risulta allora

va = 1,036·332 = 2866Hz. f = 1,036 A 1,2 ' 15.10. Ipotizzando per I'elio (M = 4 g/mol) un meccanismo di propagazione del suono adiabatico, calcolare la velocita del suono in tale gas a temperatura 800°C e pressione 2,3 .10 5 Pa.

La velocita del suono con meccanismo adiabatico e

rna per l' elio, monoatomico, V=

r =5/3, quindi ~8,31·1073,15 =1,93 km.

3

4.10-3

S

15.11. Un ascoltatore vuole stimare a quale distanza d da lui e caduto un fulmine misurando il tempo trascorso tra I' osservazione dellampo e la ricezione del rumore del tuono, t = 4 s. Se I' aria e considerata un gas perfetto biatomico e la sua temperatura e T = 280 K, calcolare d ipotizzando un meccanismo di propagazione adiabatico.

Nel caso di propagazione adiabatica, e

d=v dove

t=t~r~,

r= 7/5, trattandosi di un gas biatomico.

Mae anche

Problemi

189

quindi

d=v

t=t~rRT =4

1,4 8,31·280 =1341 m. 29.10- 3

M

15.12. Un recipiente munito di rubinetto e riempito d'acqua e al di sopra di esso viene fatto vibrare un diapason di frequenzaf= 440 Hz. Se si apre il rubinetto, per quale altezza L o della colonna d'aria si sentira il primo rinforzo del suono del diapason?

~,t "

L

" ...1° -_" ... -:.._I

Fig.IS.7.

II rinforzo del suono e un caso di risonanza e si ha quando si forma nel cilindro un sistema di onde stazionarie con un ventre in corrispondenza dell'imboccatura e un nodo sulla superficie libera dell'acqua. Cia accade in generale quando la colonna d'aria e alta L = (2n+l) »4; il primo rinforzo si ha per n = 0, cioe per

v 332 L =-=--=018 m= 18cm. o 4f 4.440 ' 15.13. Un organista preme il tasto di una nota di frequenza j = 600 Hz. Se una canna aperta a un estremo e lunga L = 1,2 m, calcolare la massima velocita dell'onda nella canna.

Applicando la (15.9) si ha A,

v

4

4f

L = (2n+ 1)- = (2n+ 1)-, da cui 4fL

V=--,

2n+l

il cui massimo valore si ha per n = 0, cioe vmax =4jL=4·600·1,2=2,88

km

s

190

15 Oscillazioni e onde armoniche

15.14. In un tubo sonoro lungo L = 50 em si propaga un'onda con veloeita v = 332 mls. Caleolare: a) quali frequenze risuonano se il tubo e aperto agli estremi, b) quali se il tubo e ehiuso a un estremo.

Sono entrambi easi di risonanza, per i quali dobbiamo applieare la (15.13) nel easo a) e la (15.11) nel easo b), ovvero a)

ehe per n b)

= 1,2... assume i valori 332,664, 996 Hz... f = 2n+ 1 v 4L '

ehe per n = 0, 1,2 ... assume i valori 166,498,830 Hz...

16 Teoria degli errori

Xi

x

risultato della i-esima misura valor medio

Xo

valor medio "vero"

n

numero delle misure

Valor medio

x = i=!n

Scarto

Errore

Errore quadratico medio

Scarto quadratico medio

192

16 Teoria degli errori

Deviazione standard

a=

(16.1)

CJrappresenta la probabilita del 68,3% che una misura sia compresa tra

x-aex+CJ. Distribuzione normale di Gauss Indicando con p(x) la probabilita che una misura dia come risultato il valore x compreso tra x- ~ e x +~, la distribuzione di Gauss prevede che (x-x)2

1

p(x)

=- - e

---

aJ2n

20"2

(16.2)

con _

p(x)=

1

~.

CJ v 2n

Errore assoluto

Errore relativo

Errore percentuale

Propagazione degli errori Data una grandezza G non direttamente misurabile correlata ad altre grandezze misurabili direttamente x, y, z da una relazione del tipo G = G(x, y, z), l'errore massimo piu probabile ~G da cui eaffetta la grandezza G risulta espresso da

Problemi

193

(16.3) dove Ax, L1y e & sono gli errori da cui sono affette Ie misure di x, y e z. Nel caso in cui la relazione tra G, x, y e z sia del tipo monomiale G = H xaybZc, con H costante e a, bee numeri reali, l'errore percentuale dato da

cG%

della grandezza G

e

(16.4)

Distribuzione binomiale Detta Px la probabilita che un evento appaia x volte su z prove, Pt la probabilita dell'evento favorevole e Ps quella dell'evento sfavorevole, risulta

z! x z-x Px = x.,( z _ x. ),PfPS .

(16.5)

Tale distribuzione vale solo per x e z interi, per Pt e Ps costanti e se gli eventi sono equiprobabili e indipendenti.

Distribuzione di Poisson Nel caso in cui Pf « 1 e z sia molto grande: X

m -m Px=-, e , x.

(16.6)

essendo m il valor medio. Per tale distribuzione risulta (16.7)

Problemi 16.1. In una misura di viscosita di un liquido si lascia cadere in esso una sferetta e si misura la velocita costante che essa raggiunge dopo un certo tratto di caduta. Se il raggio della sferetta viene misurato con una precisione dell' 1%, la velocita limi-

194

16 Teoria degli errori

te con una precisione del 2%, la densita della sferetta e quella del fluido in cui si muove con una precisione dell' 1%, ritenendo nota con precisione assoluta l' accelerazione di gravita, da quale errore percentuale sara affetta la misura del coefficiente di viscosita delliquido?

L'espressione della velocita limite secondo la legge di Stokes e

quindi 2

1}=

2r g(ps - p)

9V 1im

.

Applicando la formula della propagazione degli errori: £Ij

= ~ 4£; +£~ +£~ = 3,16%.

16.2. Un corpo di volume 1 1viene pesato in aria con una bilancia a piatti e risulta avere una massa di 800 g. Se i pesi campione usati sono di rame (densita 8800 unita SI), calcolare: a) la vera massa del corpo, b) l' errore percentuale commesso.

a) II peso misurato e la differenza tra il peso reale e la spinta di Archimede. Possiamo quindi scrivere, indicando con m o la massa reale del corpo e con So ed Sp rispettivamente Ie relative spinte di Archimede: mog - So = m g - Sp

dacui rna

= m+

V Pa g-Sp

g

,

dove Pa e la densita dell' aria (= 1,3 unita SI). La spinta di Archimede agente sui pesi e

Sp =m Pa

,

PCu

quindi ma

= m+ VPa -m Pa = 801,2 g. PCu

b)

= 801,2 - 800 100 = 0 15%.

£ %

801,2

'

Problemi

195

16.3. In una misura del coefficiente di viscosita di un liquido in un capillare, si misura il raggio del capillare con un errore percentuale dell' 1%, la lunghezza della stesso con un errore percentuale dello 0,5%, la differenza di pressione agli estremi con un errore percentuale dell' 1,5% e la portata di volume con un errore percentuale del 2%. Da quale errore percentuale sara inficiata la misura di 1]?

Dalla seconda legge di Poiseuille 4

Q _ nr Ap v - 81]1 e quindi

Applicando la formula della propagazione degli errori £1}%

I

= \j a

2 2 £r%

+

b2

2 £Qv%

+C

2 2 £~%

+

d2 2 £/%

=

= ~ 16·1 + 1· 4 + 1· 2,25 + 1· 0,25 = 4,74%.

16.4. Un pianeta di massa M ha un satellite di massa m che percorre un'orbita circolare il cui raggio e il cui periodo sono noti entrambi con un errore percentuale dell' 1 % Supponendo m «M, qual e l'errore percentuale con cui viene misurata la massaM?

Dalla legge di gravitazione universale 2 GmM mm r=--2-'

r

41l'2

3

-2-r =GM, T

dacui CM%

=~9·1+4·1 = 3,61%.

Abbiamo supposto che la costante di gravitazione universale sia misurata con elevatissima precisione. Inoltre abbiamo dovuto supporre m « M perche in realta pianeta e satellite ruotano attorno al lora centro di massa e la terza legge di Keplero cambierebbe forma.

196

16 Teoria degli errori

16.5. Un ascoltatore vuole stimare a quale distanza d da lui e caduto un fulmine misurando il tempo trascorso tra I' osservazione dellampo e la ricezione del rumore del tuono, t = (4 ± 0,1) s. Se I' aria e considerata un gas perfetto biatomico di peso molecolare M = (29 ± 0,1) g/mol e la sua temperatura e T = (280 ± 0,4) K, calcolare: a) la distanza d ipotizzando un meccanismo di propagazione adiabatico, b) l'errore percentuale da cui e affetta la stima, supponendo noti con precisione molto alta l' esponente adiabatico dell' aria e la costante universale dei gas perfetti.

Nel caso di propagazione adiabatica, e

v=~rRT

M'

dove

r = 7/5, trattandosi di un gas biatomico.

Mae anche

quindi

d=vt=t~rRT =4 M

1,4·8,31·280 =1341m. 29.10-3

Calcoliamo gli errori percentuali di t, Ted M:

0,1

ct % = -100 = 2,5%, 4

0,4 CT% = -100 = 1,43% 280 0,1 cM% = -100 = 0,34%. 29 Per la formula sulla propagazione degli errori in caso di misure indirette abbiamo

con a = 1, b

=0,5 e c =- 0,5.

Sara allora Cd%

=

~ 1· 6,25 + 0,25·2,04 + 0,25·0,12 = 2,60%.

II risultato della misura sara quindi d = (1341

± 35 ) m.

17 Calcolo dimensionale

Data una grandezza G esprimibile in funzione di altre grandezze A, B, C... assunte come fondamentali in un sistema metrico mediante una relazione del tipo G = K A a BfJ Cr , dove K e una costante, si dicono dimensioni di G nel sistema metrico A, B, C... gli esponenti a, /3, ye la precedente relazione si scrive in forma dimensionale come

[G] =[Aa ] [ BP ] [ Cr ] . I tre esponenti sono numeri reali. Nel Sistema Internazionale Ie grandezze assunte come fondamentali sono la massa [M], la lunghezza [L], il tempo [T], la temperatura [8], I'intensita di corrente [I], I'intensita luminosa [J] e la quantita di sostanza [N], percic> la relazione dimensionale con cui puC> essere espressa qualsiasi legge fisica si presenta nella forma (17.1)

Criterio di omogeneita dimensionale II calcolo dimensionale e estremamente utile in quanta consente di scoprire eventuali errori nella formulazione di un'equazione; infatti, nella relazione (17.1), Ie dimensioni del primo e del secondo membro devono coincidere.

Criteri di scelta delle grandezze fondamentali Nel campo della meccanica, qualsiasi grandezza derivata si puC> esprimere solo in funzione delle tre grandezze M, L, T. Allorche si passa alIa termodinamica, Ie grandezze fondamentali necessarie diventano quattro in quanta si deve aggiungere la temperatura 8. Una n-pla di grandezze si dice coerente quando Ie n grandezze sono sufficienti per la completa rappresentazione dimensionale di qualsiasi grandezza derivata.

198

17 Calcolo dimensionale

Le condizioni alle quali devono soddisfare n grandezze per costituire una n-pla coerente sono: a) considerate globalmente Ie n grandezze devono contenere Ie grandezze fondamentali del sistema SI; b) Ie n grandezze prescelte devono essere indipendenti, ovvero non deve esistere alcuna relazione diretta tra esse. In molti casi la relazione tra Ie grandezze proposte e immediatamente riconoscibiIe: per esempio non possiamo assumere come terna coerente quella formata da energia cinetica, massa e velocita dal momento che tra queste tre grandezze esiste la relazione 1

K=-mv 2 . 2 ' analogamente non possiamo assumere come terna coerente quella formata da massa, lunghezza e momenta d'inerzia, perche in nessuna delle tre e presente il tempo. Ma nella maggior parte dei casi non e possibile riconoscere a occhio la relazione tra Ie grandezze. In tali casi si pub procedere in due modi diversi: - impostare il sistema per la determinazione degli esponenti dimensionali: se il sistema ammette soluzioni, la terna proposta e coerente; se e impossibile, la terna non e coerente, mentre se risulta indeterminato, manca nella terna proposta una delle tre grandezze fondamentali M, LoT; - verificare se il determinante simbolico costruito inserendo nelle varie righe gli esponenti dimensionali delle grandezze proposte nel sistema M, L, T e diverso da zero; se e nullo, la terna proposta non e accettabile.

Esempio Caicolare Ie dimensioni dell' energia nel sistema metrico che adotta come terna di grandezze fondamentali Ia forza, Ia superficie e Ia pressione.

Forza, superficie e pressione non costituiscono una terna coerente, in quanta Ie tre grandezze sono correlate dalla relazione p = F/S. Ammettiamo di non aver visto tale correlazione e impostiamo il sistema. Le dimensioni dell'energia nel sistema M, L, T sono

mentre, nello stesso sistema si ha

[F] = [M][L][1 2 J, [p] = [M][L-1 J[12 J, [s] = [L

2

J.

Problemi

199

Dovra essere quindi

[E] =[ ML2 r

2

]

= [Fa p f3 SY] =[ M aLar

=[ M a+f3][La-f3+ 2Y][ r

2a

2a - 2f3

][ Mf3L- f3

r 2f3 ][ L2Y] =

J.

Uguagliando gli esponenti del primo e secondo membro, ricaviamo il seguente sistema

l=a+f3 2 = a- f3+2y { -2 = -2a - 213. La prima e la terza equazione di tale sistema coincidono, pertanto ci troviamo di fronte a un sistema di due equazioni in tre incognite: tale sistema e indeterminato, quindi la terna proposta e inaccettabile. Verifichiamo ora il valore del determinate simbolico:

1 ~=

1

-2

1 -1 -2 =1·4-2·2=0.

o

2

0

Essendo nullo il determinante, la terna proposta non e coerente.

Problemi 17.1. Ricavare Ie dimensioni del momenta angolare in un sistema metrico che adotta come grandezze fondamentali la forza, la frequenza e l' energia.

II problema pub essere risolto in due modi: il primo, rapidissimo, consiste nell'osservare che l'unita di misura del momenta angolare e J s, quindi Ie sue dimensioni nella terna proposta devono essere [E [1]; l'altro metodo e quello tradizionale ed e consigliato a chi non ha dimestichezza con l'immediato riconoscimento delle unita di misura. Sappiamo essere rna deve anche essere Inoltre, nel SI: [F] = [M] [L] [T-2 ] , [f] = [T- 1], [E] = [M] [L2 ] [T-2 ] ,

dacui

200

17 Calcolo dimensionale

Confrontando questa espressione dimensionale con la (1), si ricava

a+y=l {

a+2y = 2 -2a - {3 - 2y = -1,

che ha per soluzione

a=O,{3=-l,y=l. 17.2. Ricavare Ie dimensioni della forza nel sistema metrico che adotta come grandezze fondamentali il momento d' inerzia, la densita e la potenza.

[F] = [M] [L] [T-2 ] = [11 [pfJ] [W1,

rna [I] = [M] [L2 ] , [p] = [M] [L- 3] , [W] = [M] [L2] [T- 3] ,

dacui

a+f3+y=1 2a-3f3+2y=1 {

-3y =-2

Ie cui soluzioni sono

a= 2/15, {3 = 1/5, y= 2/3 e quindi

17.3. Individuare quale grandezza e espressa nel SI dalla relazione KVQvp Ia '

x = --"'--

nella quale K e un'energia cinetica, V un volume, Qv una portata di volume, I un momenta d'inerzia, puna densita e a un'accelerazione.

Risulta [x] = [M L2 T-2 ] [L3 ] [L 3 T- 1] [M L- 3 ] [M- 1 L-2 ] [L- 1 T2 ] = [M] [L2] ]T- 1],

quindi x

e un momenta angolare.

17.4. Ricavare l' espressione dimensionale della pressione nel sistema metrico che adotta come grandezze fondamentali la viscosita, la forza e la velocita.

Problemi

201

Procedendo con il solito metodo, abbiamo

rna [1]] = [M] [L- 1] [T- 1], [F] = [M] [L] [T-2] , [v] = [L] [T- 1], da cui si ricava il seguente sistema

a+f3=l

-a + f3 + y = -1 , { -a - 2f3 - Y =-2 Ie cui soluzioni sono

a=2,!3=-1,y=2. Ne consegue

17.5. Tra Ie seguenti terne di grandezze fisiche, quali possono essere assunte come terne metriche per la costruzione di un sistema metrico coerente? a) b) c) d) e)

momenta meccanico, lavoro, velocita angolare; massa, energia cinetica, velocita; momento angolare, momenta d'inerzia, periodo; rigidita, tensione superficiale, accelerazione; potenza, momenta meccanico, momenta d'inerzia.

Nessuna delle terne proposte ecoerente. Infatti: a) momenta meccanico e lavoro sono grandezze omogenee; b) massa, energia cinetica e velocita sono correlate dalla relazione K = mv 2/2; c) il momento angolare e correlato alle altre due grandezze dalla relazione p= Im= 2 nIIT; d) rigidita e tensione superficiale sono grandezze omogenee, infatti si misurano entrambe nel SI in N/m; e) in questa caso non si evidenzia alcuna correlazione diretta, quindi e necessario calcolare il determinante simbolico:

1 2 -3 L1= 1 2 -2 = 1·4-2·2-3·0=0. 1 2

0

Essendo nullo il determinante, Ie tre grandezze risultano correlate.

Cronologia della fisica

Meccanica Anno

384 a.C.

Nasce Aristotele

1564

Nasce Galileo

1580

G. Benedetti (1530-1590) introduce il concetto di forza centrifuga

1583

Isocronismo del pendolo

1596

Nasce Cartesio

1623

Galileo pubblica Il saggiatore

1629

Galileo enuncia la legge del mota del pendolo

1632

Pubblicato il Dialogo dei massimi sistemi

1633

Secondo processo a Galileo

1637

Cartesio pubblica il Discorso sul metodo

1638

Galileo pubblica i Discorsi intorno a due nuove scienze ...

1642

Calcolatrice di Pascal

1643

Nasce Newton

1644

Cartesio pubblica i Principi della filosofia

1657

Nasce l' Accademia del Cimento

1665

Newton enuncia la formula per 10 sviluppo della potenza del binomio

1666

Nasce l' Academie des Sciences a Parigi

1673

Huygens pubblica Horologium Oscillatorium

1675

Nasce l'Osservatorio di Greenwich

1682

Legge di gravitazione di Newton

1687

Newton pubblica il calcolo differenziale e la prima edizione dei Principia ...

1743

n' Alembert pubblica il Traite de Dynamique

204

Cronologia della fisica

1803

L. Carnot introduce il concetto di lavoro e di quantita di mota

1835

Coriolis introduce l' accelerazione centrifuga composta

1851

Foucault esegue il famoso esperimento del pendola. Poinsot introduce il vettore velocita angolare

1857

Figure di Lissajous

1883

Mach pubblica La Meccanica nel suo sviluppo storico-critico

1893

Hertz pubblica i Principi di Meccanica

Gravitazione e astrofisica Anno

400 a.C.

Nasce Eudosso

310 a.C.

Nasce Aristarco

276 a.C.

Nasce Eratostene, che misuro per primo la distanza Luna-Terra e Sole-Terra e il raggio terrestre

194 a.C.

Nasce Ipparco

100

Nasce Tolomeo

1473

Nasce Copernico

1543

Teoria eliocentrica di Copernico

1546

Nasce Tycho Brahe

1571

Nasce Keplero

1572

T. Brahe scopre una nova nella costellazione di Cassiopea

1573

T. Brahe pubblica De nova stella

1582

Riforma del calendario

1596

Mysterium Cosmographicum di Keplero

1609

Astronomia Nova di Keplero

1610

Scoperta dei satelliti medicei e delle macchie solari

1611

Keplero costruisce il primo cannocchiale

1635

Nasce R. Hooke

1672

Newton costruisce il telescopio a riflessione

1682

Halley osserva la cometa che da lui prendera il nome

1727

Bradley scopre I' aberrazione stellare

Cronologia della fisica

205

1728

Newton pubblica il De Mundi Systemate

1781

Herschel scopre Drano

1798

Cavendish misura la costante di gravitazione universale

1834

Bessel scopre che Sirio fa parte di una coppia di stelle doppie (0 binarie)

1912

Scoperta dei raggi cosmici da Hess. Teoria delle stelle binarie

1926

Lancio del primo razzo a combustibile liquido

1928

Legge di Hubble

1942

La Nebulosa del Granchio viene identificata tra i resti di un' esplosione di supernova avvenuta nel 1054

1948

Ipotesi del big-bang di Gamow

1957

Lancio dello Sputnik, il primo satellite artificiale

1958

Scoperte Ie fasce di van Allen

1961

Lancio della prima navicella spaziale con equipaggio umano (Y. Gagarin)

1962

Scoperta la prima stella a raggi X da Rossi, Giacconi e Friedman

1963

La prima donna nello spazio. Scoperta delle quasar

1965

Rivelato il fondo di radiazione "fredda" residuo del big-bang. La prima passeggiata spaziale e il primo rendez-vous spaziale

1968

Weber mette a punto il primo apparato per rivelare Ie onde gravitazionali

1969

Prime foto di una pulsar. 11 primo uomo sulla Luna

1972

Scoperta di un probabile buco nero nella stella Cygnus Xl

1976

11 primo atterraggio su Marte

1979

11 primo volo verso Saturno

1981

Lancio della Space Shuttle

1983

Lancio della prima sonda al di fuori del sistema solare

1984

La prima passeggiata libera nello spazio

1988

Lancio della navetta spaziale Discovery

Fluidi Anno

287 a.C.

Nasce Archimede

60 a.C.?

Nasce ad Alessandria Erone che nella sua opera Pneumatica descrivera la prima turbina a vapore dell 'umanita, chiamandola eolipilo

206

Cronologia della fisica

1452

Nasce Leonardo da Vinci

1548

Nasce Stevino

1586

Stevino enuncia il suo famoso principio di statica dei fluidi

1602

Nasce von Guericke

1608

Nasce Torricelli

1623

Nasce Pascal

1627

Nasce Boyle

1643

Torricelli misura la pressione atmosferica

1648

Un esperimento ideato da Pascal dimostra che la pressione atmosferica diminuisce con la quota

1654

Von Guericke esegue il famoso esperimento degli emisferi di Magdeburgo. Pascal enuncia il principio sulla statica dei fluidi

1700

Nasce D. Bernoulli

1707

Nasce Eulero

1738

Bernoulli pubblica la Hydrodynamica

1769

Eulero rende note Ie equazioni del mota dei fluidi

1783

I fratelli Montgolfier compiono il primo volo in pallone

1799

Nasce Poiseuille

1845

Legge di Stokes

Termodinamica Anno

60 a.C.

Erone inventa la prima turbina a vapore, l'eolipilo

1545

Cardano nega il moto perpetuo

1592

Termoscopio di Galileo

1627

Nasce Boyle

1661

Boyle enuncia Ie leggi dei gas

1668

Hooke scopre la legge dell' ebollizione dei liquidi

1690

Papin costruisce I'autoclave

1712

Newcomen costruisce la prima macchina a vapore

1714

Nasce la scala Fahrenheit

Cronologia della fisica 1736

Nasce Watt

1743

Nasce Lavoisier. Nasce la scala Celsius

1764

Black introduce il concetto di calore latente

1776

Nasce la macchina a vapore di Watt

1787

Lavoisier enuncia il principio di conservazione della materia

1796

Nasce Sadi Carnot

1799

Nasce Clapeyron

1801

Gay-Lussac enuncia la legge delle isovolumiche

1811

Avogadro enuncia la sua legge

1814

Stephenson prova la locomotiva a vapore

1821

Nasce Helmholtz

1822

Nasce Clausius

1823

Equazioni di Poisson

1824

Nasce Kelvin. Nasce Kirchhoff. Carnot pubblica Ie Reflexions sur La Puissance

207

Motrice du Feu

1834

Clapeyron definisce il rendimento nella sua opera Memoire sur La Puissance

1839

Nasce Gibbs

1842

Principio di conservazione dell'energia secondo Mayer

1843

Joule contro la teoria del calorico; mulinello di Joule. Equazione dei gas perfetti

1844

Nasce Boltzmann

1848

Scala Kelvin

1851

Kelvin e Clausius espongono il I principio. Clausius espone il II principio

1852

II principio secondo Kelvin

1854

II principio secondo Clausius

1857

Teoria cinetica secondo Clausius

1859

Potere emissivo e assorbente di un corpo (Kirchhoff)

1860

Legge di Maxwell sulla distribuzione di velocita. Kirchhoff introduce il concetto di corpo nero

1864

Nasce Nernst

1865

Nasce il concetto di entropia

1870

Teorema del viriale di Clausius

1875

Gibbs introduce i potenziali termodinamici

Motrice du Feu

208

Cronologia della fisica

1876

Motore di Otto

1876

Interpretazione probabilistica dell'entropia

1877

Curve di Andrews. Liquefazione dell' ossigeno

1879

Legge di Stefan suI corpo nero

1881

Equazione di van der Waals

1884

Turbina Pelton. Nasce Debye

1891

Principio dell'equipartizione dell'energia

1892

Motore Diesel

1893

Legge di Wien

1896

Planck studia il corpo nero e ne ricava la legge di emissione

1899

Corpo nero di Lummer e Pringsheim. Planck studia I'emissione del corpo nero

1900

Equazione di stato dei gas reali di van der Waals

1904

Liquefazione dell'idrogeno da parte di Dewar

1905

Legge di Jeans-Rayleigh suI corpo nero

1906

Nernst enuncia il III principio

1908

Perrin misura il numero di Avogadro con esperimenti suI mota browniano. Onnes liquefa I'elio

1912

Debye ricava la dipendenza del calore specifico dalla temperatura

Vnita di misura e dimensioni delle grandezze fisiche

Grandezza

Unita SI

Accelerazione

m/s 2

[Li2]

Accelerazione angolare

rad/s 2

[i2]

Altre unita

Fattore di conversione

Dimensioni

Angolo piano

rad

Calore

J

cal

4,186

[M L2 T-2]

Calore specifico

J/(kg K)

call(g °C)

4186

[L2 T-2 a-I]

Calore latente

J/kg

callg

4186

[L2 T-2]

Capacita termica

J/K

calloC

4,186

[M L2 i

Coeff. dilatazione termica

K-

Coeff. viscosiffi

Pa s (daP)

Conducibilita termica

W/(m K)

Costante elastica

N/m

I

2

a-I]

[a-I]

10-1

P

[ML- I T- I ] [MLT-3 a-I] [Mi2]

3

3

g/cm

10

3

[ML-3]

Densita

kg/m

Energia

J

kWh

3,6

[ML2 i

Forza

N

kgf

9,8

[MLT-2]

Frequenza

Hz

[i1]

Impulso

Ns

[MLT- I ]

Intervallo di tempo

2 ]

[T]

Lavoro v. Energia Lunghezza

m

Massa

kg

Momento angolare

Js

[L] g

10-3

[M] [ML2 i l]

2

Momento di inerzia

kgm

[ML2]

Momento meccanico

Nm

[ML2 i

Periodo

[T]

Peso molecolare

kg/mol

Peso specifico

N/m3

Portata di massa

kg/s

Portata di volume Potenza

2 ]

3

m /s

g/mol

10-3

[MN- I ] [M L-2 T-2] [Mil]

lis

3

10-

[L3 T- I ]

210

Unita di misura e dimensioni delle grandezze fisiche

Grandezza

Unita Sf

Altre unita

Fattore di conversione

Dimensioni

Pressione

Pa

atm

101325

Quantita di mota

kg mls

[M L- I T-2] [MLT- I]

Quantita di sostanza

mol

[N]

Superficie

m2

[L2]

Temperatura

K

Tensione superficiale

N/m

[MI2 ]

Velocita

mls

[Ll l ]

Velocita angolare

rad/s

Rigidita v. Costante elastica

Volume Volume molare Volume

m

°C

3 3

m /mol

[8]

[II]

10-

3

[L3] [L3 N- I]