S-Raume

-

105

-

2. Ist eine nukleare Abbildung T : HI------~H2 mit Orthonormalsystemen gemaB 2.1. dargestellt, so sieht man aus der Konstruktion der Faktorisierungen ~ und ~ nach L20N) in 1.8., dab diese Hilbert-Schmidtsch sind. 2.5. ZUSATZ: Eine Abbildung T : H

//

,H (H ein Hilbertraum)

ist genau dann

nuklear, wenn es zwei Hilbert-Schmidt-Abbildungen S i : H gibt.

,H mit T = $2S 1

Beweis: Nach dem Satz bleibt nut zu zeigen, dab die Faktorisierung einer nukleaten Abbildung T in H gewahlt werden kann. Ist TX = [~n(X,Xn)Yn,

>

n

0

{Xn} , {yn } orthonormal, so sei {x } zu einer Basis {Xn }ne'N u {ea}a ~ A yon H verlangert. Mit dieser Basis ist H =n~2(,NOA) ~) (w 3,3.6) und (a,8 nach 1.8.) : H

:

~

H

*f2(tq)

=

{r162

sind Hilbert-Schmidtsch:

T = ~ ~

s

C

LL2(~q0A)

O A)

: H

,H

~B({gn})

. I/

2.6. KOROLLAR: FOr eine nukleare Selbstabbildung T eines Hilbertraumes H ist

Sp(T) =

~ (Txa,x ~) a~A ({xa}a~ A e i n e Basis yon H) e i n e a b s o l u t k o n v e r g e n t e Reihe. Sp(T) nennt man die Spur yon T. Beweis: Far T = $2S 1

X I(Tx~,x~)l

(S• H i l b e r t - S c h m i d t s c h ) g i l t

= X I(S~x,S;x)l

a X IlSlX. II IIS;xll

[IIINxll2]a/2[[llS;xll2]

w 22

a/2 = ISal.

Is21 , ~

//

(~)-Raume

I. Pro~ektive Spektren aus kompakten Abbildungen 1.1. Ein lokalkonvexer Raum E heiBt (~)-Raum, wenn es ein projektives Spektrum {E ,~}

~)

NOA

G A gibt mit

bedeute die disjunkte Vereinigung.

-

106

-

(I) E = proj E (2) FUr alle a~ A existiert ein 8 Z ~ mit

~a8 :

E8

'Ea

ist kompakt. Es genUgt natUrlieh,

dab (2) fur konfinal viele a gilt 9 Wegen ~a = ~a8 ~ ~8 ( 8 nach (2) fur gegebenes ae A) sind alle Projektionen ~ eines (~)-Raumes kompakt. 1.2. SATZ: FGr einen (~)-Raum E gibt es ein projektives raumen mit samtlich bikompakten

Beweis: Sei {Ea,w}a~A ein Spektrum aus der Definition. I

= {(a,8)~

SpektrtLm aus Banach-

(w ISt 1.9.) Einbettungen

A x A I a(8,

a8

~a8

(a#8).

Die Menge

kompakt

oder a = 8}

ist mit I ein filtrierender

Def

A

Indexbereich.

Ist B(a,8 ) der in w 19, 1.9. konstruierte, sierende Banachraum

die kompakte AbDildung ~a8

E8

faktori-

'E a

B(a,8)

(S (at8) bikompakt),

so bildet mit den Spektralabbildungen P(a,S)(y,6)

= T(a,8)

~SY

S(y,~)

{B(ats),p}cat6)z I ein projektives Spektrum, wie man sofort aufgrund dem faktoris ~ e n d e n Eigenschaft nachweist. Mit S(yt6 ) ist auch p(atS)(y,6) bikompakt, und der Satz w 6, 2.7. Ober die Gleichheit projektiver Limiten liefert die Behauptung. II Da der Limes eines projektiven Spektmums yon vollstandigen Raumen vollstandig (w 6, 2.4. Komollam) t gilt das KOROLLAR:

ist

Ein (~)-Raum ist vollstandig.

1.3. In (~)-R~umen gilt der Satz yon Heine-Borel: SATZ: In einem (~)-Raum ist eine Menge genau dann relativ kompakt t wenn sie beschm~nkt ist. Beweis: Die Bedingung ist in allen topologischen Vektorraumen notwendig. Sei umgekehrt B eine beschrankte Menge und {Ea,1} ae A eln projektives Spektrum aus der Definition eines (~)-Raumes,

so sind nach 1.1. alle Projektionen kompakt, also

-

(w 19, I.I.) alle

107

-

~(B) Pelativ kompakt. Damit ist n a c h w

standigen projektiven Limes E relativ kompakt.

16, 1.4. B

im voll-

//

1.4. Da eine melativ kompak~e Menge natOrlieh auch rela%iv schwach kompakt ist, lie~ert das K~itePium w 14, 4.6. ~ber die Semi-Reflexivitat eines Raumes (jede beschrank%e Menge is~ melativ schwach kompak%) den SATZ:

(~)-Raume sind semi-meflexiv.

1.5. F~r nor~ierte Raume ergibt sich der SATZ: Ein normiertem Raum ist genau dann (~), wenn er endlichdimensional ist. Beweis: In einem nommiemten, endlichdimensionalen Raum E (also K n, w 3, 4.) ist die Identitat kompakt, somit E als Limes des einelementigen

projektiven Spektrums

{E, id E } (~). Umgekehrt ist die Einheitskugel eines normierten (~)-Raumes beschmankt, also relativ kompakt~ lokalkompakte topologische Vektorraume sind jedoch endlichdimensional

(w 16, 3.2.).

//

SeineP Bedeu~un8 wegen sei dieses Kri~emium (es ist Pein algebraischer Nahum) noch einmal anders foPmuliert: Ein (~)-Raum ist genau dann nich~ normiePbar, wenn em eine unendliche Folge linear unabhangigeP Elemente enthalt.

2. Montelmaume 2.1. Tonnelierte Raume, in denen die beschrankten Mengen mit den relativ kompakten zusammenfallen, heiben Montelraume ((M)-Raume). Wie in 1.5. sieht man, dab normierte Montelmaume endlichdimensional sind. 2.2. Die Montelraume tragen ihren Namen nach dem Satz yon Montel aus der Funktionentheorie: A sei eine offene und zusammenhangende (= nicht Vereinigung zweier offener, disjunkter Mengen) Teilmenge yon C, H(A) die Menge der auf A holomorphen Funktionen, die mit den Halbnommen pK(f) = sup If(z)l z~K

K kompakt c A

zu einem (F)-Raum wird (Satz yon Weiemstmab). Der Satz yon Montel sagt nun aus, dab eine in diesem Topologie beschrankte Menge G C H(A) melativ kompakt ist ( G i s t eine "normale" Familie holomompher Funktionen auf A). 2.3. Ist E ein Montelraum (oder ein (~)-Raum, 1.3.) und F ein lokalkonvexem Raum, so fallen (siehe die Definitionen in w I0, 3.2.) die lokalkonvexen Raume Lb(EIF) und Lc(E,F) zusammen, da die beschrankten mit den melativ kompakten Mengen ~bereinstimmen. Da abe~ Lc(E,F) und Ls(E,F) auf gleichstetigen Teilmengen dieselbe Topologie induzieren (w I0, 3.3.) folgt der

-

SATZ: Auf gleichstetigen Mengen HcL(E,F)

I08

-

(E ein (M)- oder (~)-Raum) ist die

starke gleich der schwachen Topologie. 2.4. Ein (M)-Raum ist jedoch tonneliert, so dab naeh dem Satz yon Banaeh (w I0, 2.3.) jede punktweise (d.h. in Ls(E,F)) beschrankte Menge gleichstetig ist. Jede gleiehstetige Menge ist beschrankt in Lb(E,F); Besehmanktheit in ~ ( E , F ) impliziert Besehranktheit in Ls(E,F) , d.h. alle Topologien P~ (w IO, 3.1.) erzeugen denselben Beschranktheitsbegriff in L(E,F) (d.i. im Dualraum der Satz yon Maekey). Mit 2.3. gilt SATZ: Auf beschrankten Mengen H~L(E,F)

(E ein Montelraum, F lokalkonvex) indu-

zieren Ls(E,F) und Lb(E,F) dieselbe Topologie. 2.5. Insbesondere SATZ: Im Dualraum E' eines Montelraumes E fallen auf beschrankten Mengen die sehwaehe und die starke Topologie zusammen, speziell ist eine Folge {Un~ c E' genau dann stark konvergent, wenn sie schwach konvergiert. 2.6. Aus dem Kriterium w 14, 4.7. Ober die Reflexivitat eines Raumes folgt wie in 1.4. der SATZ: Montelraume sind reflexiv. 2.7. Damit ist dem starke Dualraum E~ eines Montelraumes ebenfalls reflexiv, naeh dem eben erwahnten Kriterium also tonneliert und jede (stark) besehrankte Menge ist relativ schwach kompakt, naeh 2.5. also relativ stark kompakt. SATZ: Der starke Dualraum E~ eines Montelraumes ist ebenfalls ein Montelraum. 2.8.Damit ist jeder Montelraum E nach 2.6. starker Dualraum eines Montelraumes, ' Somit gilt 2.5.: namlich yon E bSATZ: Die Topologie eines Montelraumes E fallt auf besehrankten Mengen mit der sehwachen Topologie zusammen, insbesondere ist eine Folge {Xn}= E genau dann konvergent, wenn sie schwach konvergent ist. 2.9. Da kompakte Teilmengen eines lokalkonvexen Raumes vollstandig sind (w 16, 1.3.), gilt aufgrund der Definition der SATZ: In Montelraumen konvergiert jedes besehrankte Cauehynetz (man nennt R~ume dieser Art quasivollstandi~); insbesondere sind (M)-Raume folgenvollstandig. Es gibt nichtvollstandige Montelraume (Komura

[~ ).

2.10. Ein lokalkonvexer Raum, fur den ein abzahlbares Spektrum {En, ~ } n ~ ~) mit den Eigenschaften (I) und (2) yon 1.1. existiert, heist (F~)-Raum. Aus 1.2. ersieht man, dab man sieh auf ein abzahlbares Spektrum aus Banachraumen besehranken kann, also (w 6, 2.2.) ~) Es gen~gt, dab ~ (mit seiner nat~rliehen Ordnung) konfinal im Indexbereich enthalten ist.

-

BEMERKUNG:

-

Ein (F~)-Raum ist ein (F)-Raum.

2.11. Damit ist er tonneliert. kompakt

109

Als (~)-Raum ist jede beschrflnkte Menge relativ

(1.3.):

SATZ: Ein (F~)-Raum ist ein Montelraum. 2.12. Spezielle

(F~)-Rflume sind GelfandPflume ~m

E = /~ B n=l n bei denen die Einbettungen c

Bn+l

~Bn

(zumindest konfinal viele) kompakt sind.

3. Eine innere Charakterisierun~

der (~)-Raume~

Schwar4~sche Raume

3.1. SATZ: Ein lokalkonvexer Raum E ist genau dann ein (~)-Raum, wenn er folgende Bedingungen erf~llt: (1') E is, vollstandig (29 Zu jeder Nullumgebung U 6 ~ E ( O ) gibt es eine Nullumgebung V & ~ ( O ) , die vollstandig beschmankt bzEl. U istt d.h. (Raikov ~] ) for jedes r 9 0 Eibt es x I ,..., x n G V mit n

vc

~

9

(x1+r

.

i:1 Beweis: a) Sei E ein (~)-Raum, dann is, (1') nach 1.2., Korollar, erfOllt. fun8 yon (2') sei E=proj E a nach 1.1. dargestellt

Zur NachprO-

und (o.E.d.A. nach w 6, 2.2.)

Q-a

u = ~ l ( u a) ~ L~E(O), gegeben,

Nach 1 . 1 .

(2) e x i s t i e r t

Uae ~Ea(O)

d a n n e i n ~ und V B r

relativ kompakt is,. Nach einem offensichtlichen dan, fOP Eegebenes r 9 0 x at...,x I na e was(V 8) mit

~ so da~ ~aB(Vs) i n Ea

Kompaktheitsargument

gibt es

n i ~as(Vs) C [_2 (xa+s a) . i=l 9

Mit V = # B I ( V s ) ~ [ E ( O )

-I

i

und x1~ ~a (xa) (fest gewahlt) gilt dann n V c ~,J n-1

(X:L+r

denn for x ~ V is, n

x~ ~a(v) a

: (~aB ~ ~B)~I(VB

) : ~B(VB

9

) r t-J(x~+r i:1

~

-

1 1 0 -

also i

w{x)- x

EcU

fGr ein i. Deshalb gilt -l(=(~_x i)C -1(r

) = EU

speziell X

b) Seien umgekehrt kanoniseh als

-

X

i

e

cU.

(I') und (2') erfGllt.

E =

Da E vollstandig ist, stellt sieh E

proj Bp §

(S 12, 1.2., P ein System definierender Halbnormen) fGr jedes p ~ P ein q ~ p existiert, da~ Pq

: B

q

,B

dar. Es genGgt zu zeigen, da~

P

kompakt ist. FUr U = {x~ E I p(x) & I}~ ~ E ( O ) existiert naeh (2') ein V e ~ E ( O ) (o.E.d.A. V c U, V abgesehlossen und absolutkonvex), das vollstandig besehmankt bzgl. U ist. Ist q das zu V geh6rige Minkowski-Funktional, so gilt q ~ p. Die vollstandige

Besehranktheit

bedeutet nun genau, da~ das Bild der Einheitskugel B

K=TV7 q q yon Bq (~q die Pmojektion E

,Bq) bei Anwendung yon Kpq in Bp

r

nach

dem S~tz yon Hausdorff (w 16, 2.2.), also relativ kompakt ist, d.h. K ist eine kompakte Abbildung. // Pq 3.2.

Zugleich wumde bewiesen der

SATZ: Ein vollstandiger lokalkonvexer Raum (E,P) ist genau dann (~), wenn fGr jedes p ~ P ein q g P, q z p existiert, Bq

so da~ die kanonisehe Abbildung

,Bp

kompakt ist. proj Bp erfGllt also bereits das nat~rliehe projektive +peP eines (E)-Raumes die Bedingung (2) yon 1.1. Speziell gilt die 3.3.

Wegen E

BEMERKUNG:

=

Spektmum

Ein (F)-Raum, der zugleich ein (~)-Raum ist, ist (F~).

(Daher der Name "(F~)-Raum".) 3.4. Grothendieek ([3]) nennt einen lokalkonvexen Raum Sehwartzseh, wenn er die Bedingung (2') emf~llt (siehe aueh Raikov [~ ). Aus 3.1. folgt der SATZ: Ein vollstandigem

Raum ist genau dann Sehwartzsch,

wenn er (~) ist.

Und, da aus der Definition unmittelbar folgt, da~ ein Raum genau dann Sehwartzsch

-

111

-

ist, wenn seine Vervollstgndigun g es ist, der ZUSATZ: Ein Raum ist genau dann Schwartzsch, wenn seine Vervollstandigung

(~) ist.

4t Ein Isomorphiesatz ~ber K6theraume 4.1. Ein K6thescher Stufenraum

= ~

Kp(b)

~P(b n)

n=l ist, da die ErzeuEenden ~P(b n) genau die Raume des kanonischen projektiven Spektrums sind (siehe im Beweis yon ~ 12, 3.1.), nach 3.3. genau dann (F~), wenn zu jedem m ein n ~ m existiert, so da~ ~P(bn) kompakt ist. Dies ist n a c h w

9

,~P(bm)

19, 4.2. genau dann der Fall, wenn lim k§

bklm bk,n

= 0

K (b) ist dann ein nicht endlichdimensionaler (alle endlichen Folgen sind entP halten), also nicht normierbarer (1.5.) (F~)-Raum. 4.2. Ist die Konvergenz der Folge (n : m + I o.E.d.A.) bk ~m bk,m+l "schnell genug", erhalt man den SATZ: Ist (bklm ) P k=1 bk,m+1

<

~

m

=

1,2,...

so gilt Kp(b) = K (b) als lokalkonvexe Raume. Beweis: Die Raume sind stetig ineinandem einzubetien. Kp(b)

r ,K (b):

Sei II ll.,n die zu ~|

n) geh~mige Halbnomm! dann ist for xE Kp(b)

llxll.,n = sup IXkl bk, n ~ (~ IXk Ip b~,n) I/p = ]ixl 1p,n k k Naeh w 5, $.1.(5) ist damit die Stetigkeit der Einbettung bewiesen.

-

K|

112

-

c ,Kp(b):

FOr II llp,n auf Kp(b) und x~ K|

gilt

Ixkl bk, n = Ixkl bk n+l(~k~n ) kln+ 1

I lxll ,n+l (bb k ~ n } |

i

kln+ I

also l lxl Ip,n =

[~ lXk Ip

bPk,n)I/p <-

so dab aufgrund der Voraussetzung

bk,n 1 )pjl/p (bk,n+

(~

I lxi

l|

auch diese Einbettung stetig ist.

//

4.3. Fordert man bk Im k=l bk ,m+1

< |

m : 1,2,...

so erhalt man Kp(b) = K| for alle 1 -<

p

<

|

und die Einbettungen 2P(bm+l)

r ~P(bm)

sind naeh w 21, 1.7. sogar nuklear.

w

23

Induktive Limiten

I. Nichtseparierte

lokalkonvexe Raume

1.1. Die Konstruktion des projektiven Limes eines projektiven Spektrums war eine Verallgemeinerung der Durchschnittsbildung gegebener lokalkonvexer Raume, die sich z.B. im Falle der Gelfandraume auf den Oblichen Durehschnitt reduzierte. Da sich bei dem umgekehmten Prozess, der im folgenden studier% werden soll, nich% notwendig separierte lokalkonvexe Raume ergeben, sollen zunaehst einige Besonderheiten dieser Raume aufgefOhrt werden. Im weiteren wird die Eigenschaf% "separier%" stets ausdr~eklich emwahn%.

1.2.

Die Topologie eines (evil. nieh% separierten) lokalkonvexen Raumes E wird dutch ein filtrierendes Halbnormensystem P erzeugt~ das nieht total (w W, 1.1.) zu sein bmauch%. Die Menge N(E)

=

(q {xEE p ~P

I p(x) = O} =

ist demzufolge ein vielleicht yon {0} verschiedener,

/% U~(O)

U

linearer Unterraum yon E.