Soal Aljabar Abstrak II

courtesy of masrosid

Soal Latihan Aljabar Abstrak II

BAB I Gelanggang Buktikan bahwa himpunan-himpunan berikut ini dilengkapi dengan operasi yang diketahui merupakan suatu gelanggang. Kemudian, periksa apakah komutatif? Apakah mempunyai elemen kesatuan? 1.

(B,⊕,⊗) dengan

⊕ dan

⊗ didefinisikan

oleh

a ⊕ b = a + b − 1 dan

a ⊗ b = ab − (a + b) + 2 , ∀a, b ∈ B . 2.

(Q,o,∗) dengan

o dan ∗ didefinisikan oleh a o b = a + b − 1 dan a ∗ b = a + b − ab ,

∀a, b ∈ Q .

3.

(Q,⊕,⊗) dengan

⊕ dan ⊗ didefinisikan oleh a ⊕ b = a + b + 1 dan a ⊗ b = a + b + ab ,

∀a, b ∈ Q .

{

}

4. R = a + b p | a, b ∈ B dilengkapi dengan penjumlahan dan perkalian bilangan real, dan p suatu bilangan asli prima.

{

}

5. R = a + b p | a, b ∈ Q dilengkapi dengan penjumlahan dan perkalian bilangan real, dan p suatu bilangan asli prima.

{

}

6. R = a + bi | a, b ∈ B, i 2 = −1 dilengkapi dengan penjumlahan dan perkalian bilangan kompleks.

{

}

7. R = a + bi | a, b ∈ Q , i 2 = −1 dilengkapi dengan penjumlahan dan perkalian bilangan kompleks. 8. R = (R1 × R2 ,⊕,⊗ ) dengan ⊕ dan ⊗ didefinisikan oleh (a, b) ⊕ (c, d ) = (a + c, b + d ) dan (a, b) ⊗ (c, d ) = (ac, bd ) , ∀(a, b), (c, d ) ∈ R . Jika R1 dan R2 keduanya merupakan gelanggang. 9. R = (Q × Q ,⊕,⊗) dengan ⊕ dan ⊗ didefinisikan oleh (a, b) ⊕ (c, d ) = (a + c, b + d ) dan (a, b) ⊗ (c, d ) = (ac − bd , ad + bc) , ∀(a, b), (c, d ) ∈ R . 10. F (R ) = { f | f : R → R}dilengkapi dengan

(∀f , g ∈ F (R ) )( f

+

dan

• yang didefinisikan oleh

+ g )( x) = f ( x) + g ( x) dan ( f • g )( x) = f ( x) • g ( x) , ∀x ∈ R

http://masrosid.wordpress.com

courtesy of masrosid

 a b    a, b, c, d ∈ R  dilengkapi dengan penjumlahan dan perkalian 11. M 2 (R ) =   c d   matriks.

http://masrosid.wordpress.com

courtesy of masrosid

BAB II Tipe dan Sifat Gelanggang 2.1 Tipe Gelanggang 1. Tentukan tipe dari setiap gelanggang pada soal-soal latihan Bab I 2.2 Sifat-sifat Gelanggang 1. Diketahui R suatu gelanggang nontrivial. Buktikan: i.

Jika R komutatif, a, b ∈ R dan ab suatu pembagi nol sejati, maka a atau b adalah suatu pembagi nol sejati.

ii.

Jika R komutatif dengan elemen kesatuan, maka suatu pembagi nol sejati bukanlah suatu unit, dan sebaliknya.

iii.

Jika R komutatif dan a, b ∈ R dengan ab ≠ z , maka jika a atau b suatu pembagi nol sejati mengakibatkan ab suatu pembagi nol sejati.

iv.

Jika

a∈R,

a ≠ z dan

a bukan

suatu

pembagi

nol

sejati,

maka

(∀a, b ∈ R ) ab = ac ⇒ b = c dan ba = ca ⇒ b = c 2. Buktikan bahwa jika R1 dan R2 keduanya meruakan gelanggang, maka R1 × R2 selalu mempunyai pembagi nol sejati. 3. Misalkan R suatu gelanggang komutatif dengan elemen kesatuan, dan a, b ∈ R . Tentukan bentuk umum dari (a + b) n untuk n ∈ A 4. Misalkan R suatu gelanggang komutatif dengan elemen kesatuan. Buktikan jika a, b ∈ R dan keduanya nilpotent, maka a + b dan ab keduanya nilpotent juga.

5. Tentukan elemen-elemen pembagi nol sejati, unit, idempotent dan nilpotent dari setiap gelanggang pada soal-soal latihan Bab I. 2.3 Karakteristik Gelanggang 1. Tentukan karakteristik dari setiap gelanggang pada soal-soal latihan Bab I 2. Misalkan D adalah suatu daerah integral. Buktikan sifat-sifat berkikut ini. i.

Jika a ∈ D , a ≠ z dan n ∈ B , n ≠ 0 dengan na = z , maka n adalah suatu keliapatan dari karakteristik D.

ii.

Jika karakteristik D adalah 0, dan n ∈ B , n ≠ 0 dengan na = z untuk suatu a ∈ D , maka a = z

iii.

Jika karakteristik D adalah 3 dan 5a = z untuk suatu a ∈ D , maka a = z .

iv.

Jika a ∈ D , karakteristik D adalah p dengan p adalah sautu bilangan prima, dan na = z dengan p tidak habis membagi n untuk suatu n ∈ B , maka a = z

http://masrosid.wordpress.com

courtesy of masrosid 3. Misalkan D adalah suatu daerah integral berhingga. Buktikan sifat-sifat berkikut ini. i.

Jika karakteristik D adalah 2, maka 2 adalah suatu pembagi dari order D.

ii.

Jika order D adalah p dengan p adalah suatu bilangan prima, maka karakteristik D adalah suatu p.

iii.

Jika order D adalah pm dengan p adalah suatu bilangan prima dan m ∈ A , maka karakteristik D adalah p

iv.

Jika karakteristik D adalah 81, maka karakteristik D adalah 3.

http://masrosid.wordpress.com

courtesy of masrosid

BAB III Anak Gelanggang {

}

1. Buktikan bahwa S = 7 a + 7bi | a, b ∈ B, i 2 = −1 adalah suatu anak gelanggang dari gelanggang

{

}

R = a + bi | a, b ∈ B, i 2 = −1

bilangan-bilangan kompleks.

{

2. Buktikan bahwa S = 4a + 4b p | a, b ∈ Q

{

}

terhadap penjumlahan dan perkalian

}

adalah suatu anak gelanggang dari

gelanggang R = a + b p | a, b ∈ Q terhadap penjumlahan dan perkalian bilanganbilangan real, dengan p adalah suatu bilangan asli prima. 3. Buktikan bahwa S = {(a, a) | a ∈ B} adalah suatu anak gelanggang dari gelanggang B×B.

4. Buktikan bahwa

 x 0    x, y ∈ R  S =   0 y  

adalah suatu anak gelanggang dari

gelanggang M 2 (R ) terhadap penjumlahan dan perkalian matriks. 5. S = {a ∈ R | ax = z , ∀x ∈ R} adalah suatu anak gelanggang dari gelanggang R, dan disebut pembuat nol atau pengenol atau annihilator dari R. Buktikan! 6. S = {a ∈ R | ax = xa, ∀x ∈ R} adalah suatu anak gelanggang dari gelanggang R, dan disebut center dari R. Buktikan! 7. Tentukan semua anak gelanggang dari gelanggang B

18

{

}

= 0, 1, 2, 3, ..., 17 terhadap

+ 18 dan ×18

{

}

8. Buktikan bahwa S = a + bi | a, b ∈ Q , i 2 = −1 adalah suatu anak medan (subfield) dari medan semua bilangan kompleks K .

{

}

9. Buktikan bahwa S = a + b 2 | a, b ∈ Q adalah suatu anak medan (subfield) dari medan semua bilangan kompleks R .

http://masrosid.wordpress.com

courtesy of masrosid

Soal Latihan Aljabar Abstrak II

BAB IV Ideal dan Gelanggang Faktor Ideal 1. Tentukan semua ideal dari (B18 ,+ 18 ,×18 ) ! 2. Buktikan: i.

S = {(5a,0) | a ∈ B} adalah suatu ideal dari B × B

ii.

S = {(a, a ) | a ∈ B} adalah bukan suatu ideal dari B × B

3. Buktikan bahwa S = { f ∈ F (R ) | f ( x) = 0, ∀x ∈ Q} adalah suatu ideal dari gelanggang (F (R ),+,•)

{

}

4. Buktikan bahwa S = 5a + 5b 3 | a, b ∈ Q adalah suatu ideal dari gelanggang

{

R = a + b 3 | a, b ∈ Q

}

5. Misalkan R suatu gelanggang komutatif, buktikan: i.

S = {a ∈ R | ax = z , ∀x ∈ R} adalah suatu ideal dari R

ii.

S = {a ∈ R | ax = xa, ∀x ∈ R} adalah suatu ideal dari R

6. Misalkan S1 dan S2 adalah ideal-ideal dari gelanggang R. Buktikan: i.

S1 + S2 adalah suatu ideal dari R

ii.

S1 ⊆ S1 + S 2 dan S 2 ⊆ S1 + S 2

7. Misalkan R suatu gelanggang komutatif dan J adalah ideal dari R. Radikal dari J,

{

}

rad J = r ∈ R | r n ∈ J dengan n ∈ A adalah suatu ideal dari R. 8. Tentukan ideal-ideal maksimal dan ideal-ideal prima dari (B18 ,+ 18 ,×18 ) . 9. Buktikan bahwa S = {5n | n ∈ B} adalah suatu ideal maksimal sekaligus ideal primal dari B . 10. Buktikan bahwa S = {6n | n ∈ B}adalah bukan suatu ideal maksimal sekaligus bukan suatu ideal primal dari B .

http://masrosid.wordpress.com

courtesy of masrosid

{

}

11. Buktikan bahwa S = 2a + 2bi | a, b ∈ B, i 2 = −1 adalah bukan suatu ideal maksimal

{

}

sekaligus bukan suatu ideal primal dari R = a + bi | a, b ∈ B, i 2 = −1

{

}

12. Buktikan bahwa S = 5a + 5b 3 | a, b ∈ B adalah suatu ideal maksimal sekaligus ideal

{

}

primal dari R = a + b 3 | a, b ∈ B . 13. Periksa apakah S = {(2a,5b ) | a, b ∈ B} = (2,5) merupakan suatu ideal prima dari B × B atau bukan. Juga, periksa apakah S nerupakan suatu ideal maksimal dari B × B

atau bukan.

http://masrosid.wordpress.com

courtesy of masrosid

BAB IV Ideal dan Gelanggang Faktor Gelanggang Faktor 1. Untuk setiap gelanggang dan suatu idealnya berikut ini, tentukanlah gelanggang faktornya. Kemudian, periksa apakah gelanggang factor tersebut merupakan suatu medan atau bukan. Jka suatu meda, apakah suatu daerah intergral? Berikan penjelasan secukupnya.

{

}

i.

(B18 ,+18 ,×18 ) dan

ii.

R = a + bi | a, b ∈ B, i 2 = −1 dilengkapi dengan penjumlahan dan perkalian

S = 0, 3, 6, 9, 12 ,15

{

}

{

}

bilangan kompleks, serta S = 4a + 4bi | a, b ∈ B, i 2 = −1

{

}

iii. R = a + b 3 | a, b ∈ B dilengkapi dengan penjumlahan dan perkalian bilangan

{

}

kompleks, serta S = 3a + 3b 3 | a, b ∈ B

iv. B × B dan S = {(2a,5b ) | a, b ∈ B} = (2,5) v.

M 2 (B ) dilengkapi dengan penjumlahan dan perkalian matriks serta  2a 2b    a, b, c, d ∈ B S =   2c 2d  

2. Misalkan R gelanggang komutatif dengan elemen kesatuan, dan S suatu ideal dari R. buktikan: i.

S suatu ideal maksimal dari R jika dan hanya jika R suatu daerah integral. S

ii. Jika S suatu ideal maksimal dari R, maka S suatu ideal prima dari R. (Petunjuk kerjakan bagian ii sesudah mengerjakan bagian i)

http://masrosid.wordpress.com

courtesy of masrosid

BAB V Homomorfisme Gelanggang 1. Buktikan bahwa setiap pemetaan berikut ini adalah suatu homomorfisme gelanggang. Kemudian, periksa apakah suatu monomorfisma, apakah epimorfisme, dan apakah suatu isomorfisme? i.

x 0 , ∀( x, y ) ∈ R f : R × R → M 2 (R ) didefinisikan oleh f (( x, y ) ) =  0 y

ii.

θ : f (R ) → R didefinisikan oleh θ ( f ) = f (1), ∀f ∈ F (R )

iii. g : Q → R didefinisikan oleh g (a ) = a − 1, ∀a ∈ Q dengan Q adalah suatu gelanggang yang dilengkapi dengan ⊕ dan ⊕ yang didefinisikan oleh a ⊕ b = a + b + 1 dan a ⊕ b = a + b + ab , ∀a, b ∈ Q 2. Tentukan semua homomorfisme gelanggang dari B dari B

4

2

ke B , dari B ke B dan 4 3 6

ke B . 2

 0 0   , x ∈ R  dari gelanggang M 2 (R ) 3. Tunjukkan bahwa anak gelanggang R =   0 x   isomorfik dengan gelanggang R 4. Misalkan f : R1 → R2 adalah suatu epimorfisme gelanggang dengan kernel K dan S adalah suatu ideal dari R1 dengan K ⊆ S . Buktikan bahwa f (S ) suatu ideal dari R2

 0 1 2 3 4 5  adalah suatu homomorfisme dari B ke B . 5. Diketahui f =  6 3 0 1 2 0 1 2  

B dengan teorema homomorfisme dasar, buktikan bahwa

6

3

isomorfik dengan B

3

6. Misalkan R adalah suatu gelanggang komutatif dan a ∈ R dengan a 2 = a . Buktikan bahwa π a : R → R dengan π a ( x) = ax, ∀x ∈ R adalah suatu homomorfisme gelanggang. Kemudian jika I a = {x ∈ R | ax = z} yaitu pembuat nol dari a dan a adalah ideal dari yang dihasilkan oleh a. Buktikan bahwa R

Ia

isomorfik dengan a .

7. Misalkan α adalah suatu pemetaan dari f (R ) ke R × R yang didefinisikan oleh

α ( f ) = ( f (0), f (1) ), ∀f ∈ F (R ) . Buktikan bahwa α adalah suatu epimorfisme gelanggang dari f (R ) ke R × R dan tentukan kernelnya.

http://masrosid.wordpress.com