Área de Análisis Matemático Universidad de Zaragoza
Cap´ıtulo 3
Sucesiones de n´ umeros reales Como libros de referencia para los temas de este cap´ıtulo, aunque haya algunas diferencias de detalle entre su tratamiento y el nuestro, pueden consultarse [Bartle-Sherbert] (especialmente sus comentarios sobre algunos conceptos) y [Ross], algo m´as conciso pero igualmente claro.
3.1.
Sucesiones de n´ umeros reales
3.1.1.
Definici´ on de sucesi´ on. Sucesiones acotadas y sucesiones convergentes. L´ımite de una sucesi´ on convergente
Informalmente, una sucesi´on de n´ umeros reales es una “lista ilimitada” de n´ umeros s1 , s2 , s3 , s4 , . . . , sn , . . . (n indica el ‘lugar’ que ocupa el n´ umero sn en la lista); puesto en forma de tabla lugar valor
1 s1
2 s2
3 s3
4 s4
5 s5
... ...
n sn
... ...
es obvio que se trata justamente de una funci´on real con dominio N. Esta es su definici´on formal. Definiciones 3.1.1. Una sucesi´ on de elementos de un conjunto es una aplicaci´ on con dominio N y codominio dicho conjunto. En particular, una sucesi´ on de n´ umeros reales es una funci´ on real con dominio N, o sea, una aplicaci´ on s : N → R. Tradicionalmente, el valor que una sucesi´ on s toma en cada n ∈ N se denota por sn , en lugar de s(n) como para las dem´ as funciones. Normalmente nos referiremos a sn con el nombre de t´ ermino n-´ esimo de una sucesi´ on , pero no debe perderse de vista que cada t´ermino lleva una doble informaci´ on: su valor y el ‘lugar n que ocupa’. Como el dominio N es com´ un a todas las sucesiones, en vez de utilizar la notaci´on s : N → R para una sucesi´on es m´as frecuente encontrar notaciones del tipo (sn )n∈N ´o (sn )∞ o {sn }∞ n=1 ´ n=1 o alguna similar, poniendo mayor ´enfasis en los t´erminos. Aunque esta notaci´on propicie a veces la confusi´on, no deber´ıa ser necesario insistir en la diferencia entre la propia sucesi´on y el conjunto de valores que toma la sucesi´on, que es la misma que hay entre cualquier funci´on y su conjunto de valores (conjunto imagen o rango); obs´ervese, por ejemplo, que una sucesi´on tiene siempre infinitos t´erminos incluso aunque tome un solo valor, como es el caso de las sucesiones constantes. Ejemplos. Los ejemplos m´as ‘corrientes’ de sucesiones se especifican dando una f´ormula que defina el t´ermino n-´esimo, como en los siguientes casos: • sn = a, donde a es un n´ umero real prefijado (sucesi´ on constante); la sucesi´on consta de los t´erminos a, a, a, . . . , a, . . . 31
CAP´ITULO 3. SUCESIONES
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• sn = n (sucesi´ on de los n´ umeros naturales); la sucesi´on consta de los t´erminos 1, 2, 3, 4, 5, . . . , n, . . . • sn = n1 ; la sucesi´on consta de los t´erminos 1 1 1 1 1 1, , , , , . . . , , . . . 2 3 4 5 n • sn = (−1)n ; la sucesi´on consta de los t´erminos −1, 1, −1, 1, −1, . . . , (−1)n , . . . • Las f´ormulas no tienen por qu´e referirse solo a operaciones algebraicas sencillas. Por ejemplo, consid´erese la sucesi´on 3, 1; 3, 14; 3, 141; 3, 1415; 3, 14159; 3, 141592; 3, 1415926; 3, 14159265; 3, 141592653; . . . formada por las aproximaciones decimales de π (el t´ermino n-´esimo ser´ıa la aproximaci´ on decimal con n cifras decimales exactas). Aunque no supi´esemos escribir con todas sus cifras el t´ermino 1000000000000000, sabemos que tal t´ermino est´a perfectamente definido, y lo mismo podemos decir de cualquier otro. En este caso podemos dar una f´ormula expl´ıcita para el t´ermino n-´esimo con ayuda de la funci´on parte entera: concretamente, para cada n ∈ N, sn = 3 +
a1 a2 ak an + 2 + ··· + k + ··· + n, 10 10 10 10
donde ak = [10k π] − 10[10k−1 π] (1 ≤ k ≤ n); el hecho de que esta f´ormula no proporcione un algoritmo de c´alculo para los ak no obsta para que ´estos est´en definidos sin ambig¨ uedad y sin excepci´on alguna. • Sucesiones recurrentes . Reciben este nombre las sucesiones cuyos t´erminos se definen en funci´ on de los anteriores (definici´on inductiva o recursiva). Un ejemplo muy citado de este tipo es la sucesi´ on de Fibonacci, dada por s1 = 1, s2 = 1, sn+2 = sn+1 + sn
(n ∈ N),
cuyos primeros t´erminos son 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, . . . Las sucesiones definidas por recurrencia aparecen con frecuencia en c´alculos con ordenadores: ver comentario en [Bartle-Sherbert, p´ag. 85]. Otros ejemplos de sucesiones recurrentes son las progresiones aritm´eticas de primer t´ermino x y raz´on h, que pueden definirse recursivamente por s1 = x,
sn+1 = sn + h,
y las progresiones geom´etricas de primer t´ermino x y raz´on r, dadas por s1 = x,
sn+1 = sn · r.
Se encuentran sin dificultad f´ormulas expl´ıcitas en ambos casos: sn = x + (n − 1) h para las primeras, sn = x · rn−1 para las segundas.
´ 3.1. SUCESIONES DE NUMEROS REALES
33
• La regla que define una sucesi´on no tiene por qu´e ser de car´acter ‘estrictamente matem´atico’. Por ejemplo, puede definirse una sucesi´on poniendo ( 107 /3 si el nombre en castellano del n´ umero n contiene la letra d sn = √ π en caso contrario (¿cu´ales ser´ıan sus primeros t´erminos?), o mediante cualquier otra condici´on que permita asegurar que a cada n ∈ N sin excepci´on se le asocia inequ´ıvocamente un n´ umero real perfectamente definido. • Existen sucesiones cuyo rango es exactamente Z. M´as dif´ıcil: existen sucesiones cuyo rango es exactamente Q (la construcci´on usual se hace mediante el proceso diagonal de Cantor : ver [Bartle-Sherbert, p´ags. 36–37], [Spivak, p´ag. 609]). Las llamaremos enumeraciones de Q, es decir: una enumeraci´ on de Q es una sucesi´on cuyo rango es exactamente Q. • ¿Queda definida una sucesi´on si para cada n ∈ N ponemos sn = m´ax{x ∈ R : x2 + 2nx − 1 < 0}? ¿Y si ponemos sn = m´ax{x ∈ R : x2 + 2nx − 1 ≤ 0}? En caso afirmativo, ¿puede darse una expresi´on m´as directa para sn ? Notaci´ on. Para mayor comodidad de escritura, a menudo se denotan las sucesiones simplemente por (sn ) en vez de (sn )n∈N ´o (sn )∞ n=1 si esto no da lugar a imprecisiones. Definici´ on 3.1.2. Una sucesi´ on (sn ) es convergente si existe un n´ umero real a tal que para cada ε > 0 se puede encontrar un n´ umero natural N = N (ε) de modo que siempre que n > N se verifique |sn − a| < ε. Se dice entonces que el n´ umero a es l´ımite de la sucesi´ on (sn ), y se escribe a = l´ım sn . Tambi´en n
diremos que (sn ) converge a a. Usaremos a veces la f´ormula sn → a como expresi´on abreviada de la sucesi´ on de t´ermino n-´esimo sn es convergente y tiene por l´ımite a. Nota. Recu´erdese que la desigualdad |sn − a| < ε es equivalente a las dos desigualdades −ε < sn − a < ε, que equivalen a su vez a las desigualdades a − ε < sn < a + ε, lo que permite reformular la definici´on anterior de manera evidente. • s4
• s1
• s2
a−ε a a+ε • • •Y••H • Y s5 H H H s 7 H H sN +1 , sN +2 , sN +3 , sN +4 , . . .
Ejemplos (sucesiones convergentes). igual a todos sus t´erminos.
• s3
• s6
a) Las sucesiones constantes convergen al n´ umero real
b) La sucesi´on (1/n) converge a 0 (consecuencia de la propiedad arquimediana). Ejemplos (sucesiones no convergentes). a) La sucesi´on ((−1)n ) no es convergente (si tuviese l´ımite a, no puede ser a = 1 puesto que entonces eligiendo ε = 2 > 0, cualquiera que fuese N bastar´ıa tomar n = 2N + 1 > N para conseguir que |sn − a| = | − 1 − 1| = 2 6< ε; y si a 6= 1, eligiendo ahora ε = |1 − a| > 0, cualquiera que fuese N bastar´ıa tomar n = 2N > N para conseguir que |sn − a| = |1 − a| < 6 ε = |1 − a|).
CAP´ITULO 3. SUCESIONES
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b) La sucesi´on (n) no puede ser convergente, pues si tuviese l´ımite a, tomando ε = 1 en la definici´on de convergencia, para alg´ un N habr´ıa de ser n < a + 1 siempre que n fuese mayor que N , lo cual es imposible (consecuencia una vez m´as de la propiedad arquimediana). Proposici´ on 3.1.3. Sea a ∈ R. Dada una sucesi´ on (sn ), son equivalentes entre s´ı: a) (sn ) es convergente con l´ımite a; abreviadamente, a = l´ım sn o sn → a. n
b) siempre que a0 < a, existe un n0 tal que para todo n > n0 es sn > a0 y siempre que a00 > a, existe un n00 tal que para todo n > n00 es sn < a00 . c) si a0 , a00 son n´ umeros reales tales que a ∈ (a0 , a00 ), existe entonces un N tal que para todo n > N es sn ∈ (a0 , a00 ). Demostraci´ on. a) =⇒ b) Dado a0 < a, tomando ε = a − a0 > 0 existir´a por hip´otesis un N tal que si n > N entonces sn > a − ε = a − (a − a0 ) = a0 . Para a < a00 se razona de manera similar. b) =⇒ c) Basta observar que x ∈ (a0 , a00 ) significa que a0 < x < a00 . Por consiguiente, si a ∈ (a0 , a00 ) existen n0 y n00 tales que para todo n > n0 es sn > a0 y para todo n > n00 es sn < a00 . Tomando ahora N = m´ax{n0 , n00 }, siempre que n > N es simult´aneamente n > n0 y n > n00 , luego para todo n > N ser´a a0 < sn < a00 o, equivalentemente, sn ∈ (a0 , a00 ). c) =⇒ a) Si ε > 0, se tendr´a a ∈ (a − ε, a + ε), por lo que debe existir un N tal que para todo n > N es sn ∈ (a − ε, a + ε), o lo que es lo mismo, |sn − a| < ε. Corolario 3.1.4. Sea (sn ) una sucesi´ on convergente con l´ımite a y sea c ∈ R. Se tiene: a) Si existe m tal que para todo n > m es sn ≥ c, entonces a ≥ c. b) Si existe m tal que para todo n > m es sn ≤ c, entonces a ≤ c. Demostraci´ on. Se prueba por reducci´on al absurdo aplicando la proposici´on anterior (hacerlo). ¿Es cierto el corolario con desigualdades estrictas? Corolario 3.1.5 (unicidad del l´ımite de una sucesi´ on convergente). Sea (sn ) una sucesi´ on convergente y sean a, b ∈ R tales que a = l´ım sn , b = l´ım sn . Entonces a = b. n
n
Demostraci´ on. Si no, sea, por ejemplo, a < b. Tomando c tal que a < c < b, puesto que c < b y b es l´ımite de (sn ), debe existir un n0 tal que para todo n > n0 sea sn > c; igualmente, puesto que a < c y a es l´ımite de (sn ), debe existir un n00 tal que para todo n > n00 es sn < c; tomando n = m´ax{n0 , n00 } llegamos a una contradicci´on: tendr´ıa que cumplirse c < sn < c. El l´ımite de una sucesi´on convergente es as´ı el u ´nico n´ umero real al que la sucesi´on converge. Las definiciones de acotaci´on de sucesiones se obtienen particularizando a sucesiones las que dimos sobre acotaci´on de funciones. Definici´ on 3.1.6. Una sucesi´ on (sn )∞ a acotada superiormente si existe alg´ un n=1 se dice que est´ n´ umero C ∈ R tal que para todo n ∈ N, sn ≤ C. Se dice que est´ a acotada inferiormente si existe alg´ un n´ umero K ∈ R tal que para todo n ∈ N, K ≤ sn . Se dice que est´ a acotada si lo est´ a superior e inferiormente. Esto equivale a que exista un n´ umero M ≥ 0 tal que para todo n ∈ N, |sn | ≤ M . Proposici´ on 3.1.7. Toda sucesi´ on convergente est´ a acotada. Demostraci´ on. Ver [Bartle-Sherbert, p´ag. 94, Teorema 3.2.2]. Aplicaci´ on. Dado x ∈ R tal que |x| > 1, la sucesi´on que tiene por t´ermino n-´esimo xn no es convergente. En efecto: si ponemos h = |x| − 1, entonces |xn | = |x|n = (1 + h)n ≥ 1 + nh, seg´ un la desigualdad de Bernoulli. De aqu´ı se deduce que la sucesi´on no est´a acotada. Tampoco es convergente la sucesi´on de t´ermino n-´esimo sn = n.
´ 3.1. SUCESIONES DE NUMEROS REALES
3.1.2.
35
Sucesiones mon´ otonas
Las definiciones sobre monoton´ıa de sucesiones se obtienen particularizando a sucesiones las que dimos sobre monoton´ıa de funciones. Esto equivale a lo siguiente: Definici´ on 3.1.8. a) Una sucesi´ on (sn ) es mon´ otona no decreciente si y solo si para todo n ∈ N se verifica sn ≤ sn+1 . b) Una sucesi´ on (sn ) es mon´ otona no creciente si y solo si para todo n ∈ N se verifica sn ≥ sn+1 . c) Una sucesi´ on (sn ) es estrictamente creciente si y solo si para todo n ∈ N se verifica sn < sn+1 . d) Una sucesi´ on (sn ) es estrictamente decreciente si y solo si para todo n ∈ N se verifica sn > sn+1 . e) Una sucesi´ on se dice que es mon´ otona si es de alguno de los tipos anteriores. Proposici´ on 3.1.9. a) Sea (sn ) una sucesi´ on mon´ otona no decreciente. Entonces (sn ) es convergente si y solo si est´ a acotada superiormente, en cuyo caso l´ım sn = sup{sn : n ∈ N}. n
b) Sea (sn ) una sucesi´ on mon´ otona no creciente. Entonces (sn ) es convergente si y solo si est´ a acotada inferiormente, en cuyo caso l´ım sn = inf{sn : n ∈ N}. n
Demostraci´ on. Es consecuencia directa de las definiciones. Gr´aficamente, para sucesiones no decrecientes: a−ε s
s
s
s s
s
s
s1
s2
s3
s4 s5
s6
s7
Y para sucesiones no crecientes: a−ε s
m
a+ε a = inf n sn ssss s s
. . . sN +2 sN +1
a+ε a = supn sn
s s ssss
s
sN +1 sN +2 . . .
s
s
s7
s s
s6
s5 s4
M
s
s
s3
s
s2
s1
Ejemplo (el n´ umero e). La sucesi´on de t´ermino n-´esimo 1 n sn = 1 + n es estrictamente creciente y acotada superiormente por 3. Lo primero puede probarse mediante la desigualdad de Bernoulli observando que n+1 n+1 1 n+2 n+1 1 + n+1 n+1 [n (n + 2)]n+1 n + 1 n+1 1 sn+1 n = · = 1− = = 2 )n+1 n+1 n+1 n n n (n + 1)2 sn 1 + n1 ((n + 1) n n+1 n+1 −1 n+1 n > 1 + (n + 1) = · = 1. 2 n (n + 1) n n+1 Que 3 acota superiormente a la sucesi´on puede deducirse del siguiente resultado, que a su vez se demuestra por inducci´on: Para cada n ∈ N, si −1 ≤ h ≤ n1 se tiene (1 + h)n ≤ 1 + nh + n2 h2 (ayuda: si nh ≤ 1, tambi´en n2 h3 ≤ nh2 ). El l´ımite de esta sucesi´on es el n´ umero e, base de los logaritmos neperianos y de la funci´ on exponencial ya presentados en el cap´ıtulo anterior.
CAP´ITULO 3. SUCESIONES
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Ejemplo. La sucesi´on (xn ) es mon´otona no decreciente y acotada si x ∈ [0, 1]; veremos que su l´ımite es 0 si x ∈ [0, 1) y 1 si x = 1. Cuando x ∈ (1, +∞), la sucesi´on (xn ) es estrictamente creciente y no acotada (para ver esto u ´ltimo, t´omese h = x − 1 > 0 y apl´ıquese la desigualdad de Bernoulli a xn = (1 + h)n junto con la propiedad arquimediana). Ejemplo. La sucesi´on de t´ermino n-´esimo Hn = 1 + acotada (ver [Bartle-Sherbert, p´ag. 105]).
1 2
+ ··· +
1 n
es estrictamente creciente y no
1 1 1 Ejemplo. La sucesi´on de t´ermino n-´esimo sn = n+1 + n+2 + · · · + 2n es estrictamente creciente 1 1 (puesto que sn+1 − sn = 2n+1 − 2n+2 > 0) y acotada superiormente por 1 (obs´ervese que sn ≤
+ n1 + .(n) . . + n1 = 1). De su l´ımite, por el momento, solo podemos asegurar que est´a entre s1 = 12 y 1 (o entre s2 = 13 + 14 y 1, o entre s3 = 41 + 15 + 16 y 1, etc´etera). M´as adelante podremos probar que su valor exacto es log 2. 1 n
3.1.3.
Operaciones con sucesiones
Proposici´ on 3.1.10. Sean (sn ), (tn ) sucesiones convergentes con l´ımites a = l´ım sn , n
b = l´ım tn , n
y sea c ∈ R. Entonces a) (sn + tn ) es convergente y tiene l´ımite a + b. b) (c · sn ) es convergente y tiene l´ımite c · a. Proposici´ on 3.1.11. Sean (sn ), (tn ) sucesiones convergentes con l´ımites a = l´ım sn , n
b = l´ım tn . n
Entonces (sn · tn ) es convergente y tiene l´ımite a · b. Ejemplo. 1 1 1 = · → 0. 2 n n n En general, aplicando reiteradamente el mismo argumento,
1 np
→ 0 cualquiera que sea p ∈ N.
Proposici´ on 3.1.12. Si (sn ) es una sucesi´ on acotada y (tn ) es una sucesi´ on convergente a 0, la sucesi´ on (sn · tn ) converge a 0. Ejemplo. La sucesi´on de t´ermino n-´esimo sn = (−1)n , tn = n1 .)
(−1)n n
converge a 0 (t´omese en el enunciado anterior
Lema 3.1.13. Sea (tn ) una sucesi´ on convergente con l´ımite b 6= 0. Fijado r de modo que 0 < r < |b|, existe m ∈ N tal que para n ∈ N se verifica |tn | > r
siempre que n > m.
tn > r
siempre que n > m
Precisando m´ as: si b > 0, es y si b < 0, tn < −r
siempre que n > m.
´ 3.1. SUCESIONES DE NUMEROS REALES
37
Proposici´ on 3.1.14. Sea (sn ) una sucesi´ on convergente con l´ımite a y (tn ) una sucesi´ on convergente con l´ımite b 6= 0. Si (un ) es una sucesi´ on tal que sn siempre que tn 6= 0, un = tn entonces (un ) es convergente con l´ımite a/b. Corolario 3.1.15. Sea (sn ) una sucesi´ on convergente con l´ımite a y (tn ) una sucesi´ on convergente sin t´ erminos nulos y l´ımite b 6= 0. Entonces la sucesi´ on (sn /tn ) es convergente y sn a = . l´ım n tn b Ejemplos.
a) La sucesi´on de t´ermino n-´esimo 1 + 2 + ··· + n n2
converge a 1/2: basta observar que 1 + 2 + ··· + n = n2
n(n+1) 2 n2
=
1 1 (1 + ). 2 n
b) La sucesi´on de t´ermino n-´esimo 1h 1 2 2 2 n − 1 2 i a+ + a+ + ··· + a + n n n n converge a a2 + a + 13 . (¿Por qu´e?) c) Si (sn ) es una sucesi´on cuyos t´erminos son todos no negativos, convergente y con l´ımite a, √ √ entonces la sucesi´on ( sn ) es convergente con l´ımite a. En el caso a = 0, esto se deduce inmediatamente de la definici´on de l´ımite; en el caso a 6= 0, se deduce de √ √ sn − a √ sn − a = √ sn + a √ √ y de que (sn − a) converge a 0, mientras que 1/( sn + a) est´a acotada: 0< √ d) La sucesi´on de t´ermino n-´esimo
1 1 √ ≤√ . sn + a a
√
1+n−1 n
converge a 0 (¿Por qu´e?). e) La sucesi´on de t´ermino n-´esimo
√ √ n2 + 1 + n √ 4 n3 + n − n
converge (¿a qu´e l´ımite? ¿por qu´e?). f) La sucesi´on de t´ermino n-´esimo
√
n+1−
√
n
converge (¿a qu´e l´ımite? ¿por qu´e?). g) La sucesi´on (sn ) con 1 1 1 1 + + + ··· + 1·2 2·3 3·4 n(n + 1) 1 1 − k+1 =⇒ sn = 1 − n+1 →1
sn = converge a 1
1 k(k+1)
=
1 k
CAP´ITULO 3. SUCESIONES
38
3.1.4.
Desigualdades y l´ımites. Regla del sandwich
Proposici´ on 3.1.16. Dadas dos sucesiones convergentes (sn ) y (tn ) para las que existe un m tal que sn ≤ tn siempre que n > m, se verifica l´ım sn ≤ l´ım tn . n
n
Ahora podemos enunciar c´omodamente una versi´on del teorema de los intervalos encajados de Cantor con una condici´on sencilla para que la intersecci´on est´e formada por un solo punto. Teorema 3.1.17 (de Cantor de los intervalos encajados). Para cada n ∈ N, sea In = [an , bn ] un intervalo cerrado (no vac´ıo). Supongamos que para todo n se cumple In+1 ⊆ In , es decir, an ≤ an+1 ≤ bn+1 ≤ bn , y que adem´ as l´ım(bn − an ) = 0. n
Entonces ∩n∈N In se reduce a un punto; en concreto, ∩n∈N In = {x}, donde x = l´ım an = l´ım bn . n
n
Proposici´ on 3.1.18 (regla del sandwich o de encajamiento). Sean (sn ), (tn ) y (un ) sucesiones tales que existe un m ∈ N de manera que sn ≤ tn ≤ un para todo n > m. Si (sn ) y (un ) son sucesiones convergentes con el mismo l´ımite a, l´ım sn = l´ım un = a, n
n
entonces (tn ) es tambi´en convergente con el mismo l´ımite a, l´ım tn = a. n
Ejemplos.
a) Se verifica √
1 n2
+1
+√
1 n2
+2
pues podemos encajar la sucesi´on entre n √ n2 + n
+ ··· + √
y
√
1 → 1, +n
n2
n . n2 + 1
b) Encajando la sucesi´on de t´ermino n-´esimo n+2 n+n n+1 + 2 + ··· + 2 2 n +1 n +2 n +n entre n2 + 12 n(n + 1) n+1 n+2 n+n n · n + (1 + 2 + · · · + n) + + · · · + = = n2 + n n2 + n n2 + n n2 + n n2 + n y n2 + 12 n(n + 1) n+2 n+n n · n + (1 + 2 + · · · + n) n+1 , + + · · · + = = n2 + 1 n2 + 1 n2 + 1 n2 + 1 n2 + 1 podemos obtener que la sucesi´on dada converge a 23 .
´ 3.1. SUCESIONES DE NUMEROS REALES
3.1.5.
39
Subsucesiones. Teorema de Bolzano-Weierstrass
Eliminando t´erminos de una sucesi´on podemos “extraer” de ella nuevas sucesiones, cuyos t´erminos aparecen en la ‘sucesi´on madre’ en el mismo orden (¡tal vez no en el mismo lugar!) que en la nueva: es decir, vamos tomando infinitos t´erminos, saltando algunos quiz´a, pero sin volver atr´ as. Por ejemplo, dada una sucesi´on s1 , s2 , s3 , s4 , s5 , s6 , s7 , s8 , s9 , . . . , si nos quedamos con los t´erminos que ocupan lugar impar (eliminando los que ocupan lugar par), obtenemos una nueva sucesi´on s1 , s3 , s5 , s7 , s9 , . . . , cuyo t´ermino n-´esimo es s2n−1 ; si nos quedamos con los t´erminos que ocupan lugar par (eliminando los que ocupan lugar impar), obtenemos la nueva sucesi´on s2 , s4 , s6 , s8 , s10 , . . . , cuyo t´ermino n-´esimo es s2n . Podemos imaginar f´acilmente otras muchas maneras de extraer sucesiones de la sucesi´on inicial con este procedimiento. Se obtienen as´ı lo que denominaremos subsucesiones de la sucesi´on dada; como iremos viendo a lo largo del curso, el manejo de subsucesiones facilita habitualmente el estudio de la sucesi´on original, y permite demostrar varias propiedades esenciales de la teor´ıa de funciones reales de variable real. Pasemos a formalizar este concepto. Definici´ on 3.1.19. Dada una sucesi´ on (sn ), diremos que una sucesi´ on (tn ) es una subsucesi´ on de (sn ) si existe una funci´ on ϕ : N −→ N estrictamente creciente, es decir, ϕ(1) < ϕ(2) < ϕ(3) < · · · < ϕ(n) < ϕ(n + 1) < · · · de manera que para todo n ∈ N es tn = sϕ(n) . Ejemplos. ([Bartle-Sherbert, p´ag. 110], [Ross, p´ags. 48, 49–51]) a) Sea n0 ∈ N. Tomando ϕ(n) = n + n0 en la definici´on anterior, se obtiene la subsucesi´on sn0 +1 , sn0 +2 , sn0 +3 , sn0 +4 , sn0 +5 , sn0 +6 , sn0 +7 , . . . , que resulta de la original “suprimiendo los n0 primeros t´erminos”. En [Bartle-Sherbert, p´ag. 110], se da el nombre de colas de la sucesi´on (sn ) a las subsucesiones as´ı obtenidas. b) La sucesi´on de t´ermino n-´esimo tn = 4n2 es una subsucesi´on de la sucesi´on de t´ermino n-´esimo sn = (−1)n n2 , como se ve tomando ϕ(n) = 2n. ∞ c) La sucesi´on 1, 13 , 12 , 14 , 15 , 16 , 17 , . . . no es una subsucesi´on de n1 n=1 . Tienen los mismos t´ermi n+1 nos, pero no en el mismo orden. La sucesi´on 1, 0, 13 , 0, 15 , 0, 17 , 0, . . . , 1+(−1) , . . . tampoco 2n 1 ∞ es una subsucesi´on de n n=1 . d) Toda sucesi´on es una subsucesi´on de s´ı misma (reflexividad). Tambi´en hay transitividad: si (un ) es una subsucesi´on de (tn ) y (tn ) es una subsucesi´on de (sn ), a su vez (un ) es una subsucesi´on de (sn ). 1 Ejercicio. ¿Para qu´e valores de a ∈ R es (an ) una subsucesi´on de n1 ? ¿Y de 21n ? ¿Y de 2n ? 1 ¿Y de 2n−1 ? ¿Por qu´e? Proposici´ on 3.1.20. Toda subsucesi´ on de una sucesi´ on convergente con l´ımite a es convergente con l´ımite a.
CAP´ITULO 3. SUCESIONES
40
Aplicaciones. a) Ya vimos, con cierto esfuerzo, que ((−1)n ) no es una sucesi´on convergente. Ahora es inmediato: la subsucesi´ on de sus t´erminos de lugar par converge a 1, la subsucesi´ on de sus t´erminos de lugar impar converge a −1. b) Para x ∈ [0, 1), la sucesi´on (xn ) converge a 0: puesto que un probamos, y es convergente, seg´ n n+1 n+1 si l´ım x = a, vemos que l´ım x = a · x. Pero x es una subsucesi´on de (xn ) (la que n
n
corresponde a ϕ(n) = n + 1 en la definici´on), luego tambi´en l´ım xn+1 = a, de donde a · x = a n
y como x 6= 1, finalmente a = 0. (¿Por qu´e no podemos utilizar estos c´alculos si x > 1?) c) La ‘enumeraci´on diagonal’ de todos los n´ umeros racionales forma una sucesi´on que no es convergente: tiene subsucesiones convergentes a cualquier n´ umero real (ver [Ross, p´ags. 49– 50]). Proposici´ on 3.1.21. Una sucesi´ on (sn ) es convergente si y solo si la subsucesi´ on de t´erminos de lugar par (s2n ) y la subsucesi´ on de t´erminos de lugar impar (s2n−1 ) son ambas convergentes y tienen el mismo l´ımite. Lema 3.1.22. Toda sucesi´ on posee una subsucesi´ on mon´ otona. Demostraci´ on. V´ease [Spivak, p´ag. 622]. Con ayuda del lema anterior, o bien del teorema de Cantor de los intervalos encajados, puede demostrase el siguiente resultado: Teorema 3.1.23 (de Bolzano-Weierstrass). Toda sucesi´ on acotada posee una subsucesi´ on convergente.
3.1.6.
Sucesiones de Cauchy
Definici´ on 3.1.24. Una sucesi´ on (sn )∞ n=1 se dice que es de Cauchy si para cada ε > 0 existe alg´ un n0 ∈ N (que puede depender de ε) de modo que n, m ≥ n0 =⇒ |an − am | < ε. Lema 3.1.25. Toda sucesi´ on de Cauchy est´ a acotada. Proposici´ on 3.1.26. Una sucesi´ on es convergente si y solo si es de Cauchy.
3.2.
L´ımites infinitos
3.2.1.
Sucesiones divergentes. Propiedades. Operaciones con sucesiones divergentes
Definici´ on 3.2.1. Diremos que una sucesi´ on (sn ) diverge a +∞, y escribiremos l´ım sn = +∞, si n para todo M ∈ R existe alg´ un N ∈ N que cumpla: n > N =⇒ sn > M . Diremos que una sucesi´ on (sn ) diverge a −∞, y escribiremos l´ım sn = −∞, si para todo M ∈ R n existe N ∈ N que cumpla: n > N =⇒ sn < M . Una sucesi´on divergente es una sucesi´on que diverge a +∞ o a −∞. Las sucesiones que no son convergentes ni divergentes se denominan sucesiones oscilantes. Nota. Se sigue directamente de la definici´on que una sucesi´on (sn ) diverge a +∞ si y solo si su opuesta (−sn ) diverge a −∞. Proposici´ on 3.2.2. a) Una sucesi´ on (sn ) diverge a +∞ si y solo si para todo M > 0 existe N ∈ N tal que siempre que n > N sea sn > M .
3.2. L´IMITES INFINITOS
41
b) Una sucesi´ on (sn ) diverge a −∞ si y solo si para todo M < 0 existe N ∈ N tal que siempre que n > N sea sn < M . Notas. 1) En lo sucesivo, diremos que una sucesi´on tiene l´ımite si es convergente o divergente, es decir, si no es oscilante. Obs´ervese que el l´ımite (en este sentido ampliado) sigue siendo u ´nico: si a, b ∈ R ∪ {+∞, −∞} y l´ımn sn = a, l´ımn sn = b, es a = b. A veces nos referiremos a las sucesiones convergentes como ‘sucesiones con l´ımite finito’ y a las divergentes como ‘sucesiones con l´ımite infinito’. 2) Si una sucesi´on diverge, no est´a acotada. Pero hay sucesiones no acotadas que oscilan, no son divergentes. Proposici´ on 3.2.3. a) Sea (sn ) una sucesi´ on mon´ otona no decreciente. Si no est´ a acotada superiormente, (sn ) diverge a +∞, l´ım sn = +∞. n
b) Sea (sn ) una sucesi´ on mon´ otona no creciente. Si no est´ a acotada inferiormente, (sn ) diverge a −∞, l´ım sn = −∞. n
Corolario 3.2.4. Toda sucesi´ on mon´ otona tiene l´ımite (finito si est´ a acotada, infinito en caso contrario). Ejemplo. La sucesi´on de t´ermino n-´esimo Hn = 1 +
1 1 1 + + ··· + 2 3 n
es mon´otona estrictamente creciente y no est´a acotada superiormente (v´ease [Bartle-Sherbert, p´ag. 105]), luego diverge a +∞. Proposici´ on 3.2.5.
a) Toda subsucesi´ on de una sucesi´ on divergente a +∞ es divergente a +∞.
b) Toda subsucesi´ on de una sucesi´ on divergente a −∞ es divergente a −∞. Proposici´ on 3.2.6. a) Una sucesi´ on posee una subsucesi´ on divergente a +∞ si y solo si no est´ a acotada superiormente. b) Una sucesi´ on posee una subsucesi´ on divergente a −∞ si y solo si no est´ a acotada inferiormente. c) Una sucesi´ on posee una subsucesi´ on divergente si y solo si no est´ a acotada. Proposici´ on 3.2.7. a) Si (sn ) es una sucesi´ on divergente a +∞ y (tn ) es una sucesi´ on acotada inferiormente, la sucesi´ on (sn + tn ) diverge a +∞. b) ) Si (sn ) es una sucesi´ on divergente a −∞ y (tn ) es una sucesi´ on acotada superiormente, la sucesi´ on (sn + tn ) diverge a −∞. Corolario 3.2.8. a) Si (sn ) es una sucesi´ on divergente a +∞ y (tn ) es una sucesi´ on convergente o divergente a +∞, la sucesi´ on (sn + tn ) diverge a +∞: abreviadamente, l´ım sn = +∞, l´ım tn = a ∈ R ∪ {+∞} =⇒ l´ım(sn + tn ) = +∞. n
n
n
CAP´ITULO 3. SUCESIONES
42
b) Si (sn ) es una sucesi´ on divergente a −∞ y (tn ) es una sucesi´ on convergente o divergente a −∞, la sucesi´ on (sn + tn ) diverge a −∞: abreviadamente, l´ım sn = −∞, l´ım tn = a ∈ R ∪ {−∞} =⇒ l´ım(sn + tn ) = −∞. n
n
n
Nota. La suma de una sucesi´on divergente a +∞ con una sucesi´on divergente a −∞ puede resultar convergente, puede resultar divergente a +∞, puede resultar divergente a −∞ y puede resultar oscilante. (¿Ejemplos?) Proposici´ on 3.2.9. a) Si (sn ) es una sucesi´ on divergente a +∞ y (tn ) es una sucesi´ on para la que existen r > 0 y m tales que tn > r
siempre que n > m,
la sucesi´ on (sn · tn ) diverge a +∞. b) Si (sn ) es una sucesi´ on divergente a −∞ y (tn ) es una sucesi´ on para la que existen r > 0 y m tales que tn > r siempre que n > m, la sucesi´ on (sn · tn ) diverge a −∞. c) Si (sn ) es una sucesi´ on divergente a +∞ y (tn ) es una sucesi´ on para la que existen r > 0 y m tales que tn < −r siempre que n > m, la sucesi´ on (sn · tn ) diverge a −∞. d) Si (sn ) es una sucesi´ on divergente a −∞ y (tn ) es una sucesi´ on para la que existen r > 0 y m tales que tn < −r siempre que n > m, la sucesi´ on (sn · tn ) diverge a −∞. Corolario 3.2.10. a) Si (sn ) es una sucesi´ on divergente a +∞ y (tn ) es una sucesi´ on convergente con l´ımite positivo o divergente a +∞, la sucesi´ on (sn · tn ) diverge a +∞: abreviadamente, l´ım sn = +∞, l´ım tn = a ∈ (0, +∞) ∪ {+∞} =⇒ l´ım(sn · tn ) = +∞. n
n
n
b) Si (sn ) es una sucesi´ on divergente a −∞ y (tn ) es una sucesi´ on convergente con l´ımite positivo o divergente a +∞, la sucesi´ on (sn · tn ) diverge a −∞: abreviadamente, l´ım sn = −∞, l´ım tn = a ∈ (0, +∞) ∪ {+∞} =⇒ l´ım(sn · tn ) = −∞. n
n
n
c) Si (sn ) es una sucesi´ on divergente a +∞ y (tn ) es una sucesi´ on convergente con l´ımite negativo o divergente a −∞, la sucesi´ on (sn · tn ) diverge a −∞: abreviadamente, l´ım sn = +∞, l´ım tn = a ∈ {−∞} ∪ (−∞, 0) =⇒ l´ım(sn · tn ) = −∞. n
n
n
d) Si (sn ) es una sucesi´ on divergente a −∞ y (tn ) es una sucesi´ on convergente con l´ımite negativo o divergente a −∞, la sucesi´ on (sn · tn ) diverge a +∞: abreviadamente, l´ım sn = −∞, l´ım tn = a ∈ {−∞} ∪ (−∞, 0) =⇒ l´ım(sn · tn ) = +∞. n
n
n
Nota. El producto de una sucesi´on divergente a +∞ o a −∞ por una sucesi´on convergente a 0 puede resultar convergente, divergente a +∞, divergente a −∞ u oscilante.
3.2. L´IMITES INFINITOS
43
Proposici´ on 3.2.11 (inversas de sucesiones divergentes). a) Una sucesi´ on (sn ) diverge a +∞ si y solo si tiene como mucho un n´ umero finito de t´erminos no positivos y su inversa converge a 0: abreviadamente, ( ∃m; sn > 0 siempre que n > m l´ım sn = +∞ ⇐⇒ n l´ımn s1n = 0 b) Una sucesi´ on (sn ) diverge a −∞ si y solo si tiene como mucho un n´ umero finito de t´erminos no negativos y su inversa converge a 0: abreviadamente, ( ∃m; sn < 0 siempre que n > m l´ım sn = −∞ ⇐⇒ n l´ımn s1n = 0 c) La sucesi´ on de valores absolutos de una sucesi´ on (sn ) diverge a +∞ si y solo si tiene como mucho un n´ umero finito de t´erminos no nulos y su inversa converge a 0: abreviadamente, ( ∃m; sn 6= 0 siempre que n > m l´ım |sn | = +∞ ⇐⇒ n l´ımn s1n = 0 Es f´acil comprobar que una sucesi´on (sn ) converge a 0 si y solo si la sucesi´on (|sn |) de sus valores absolutos converge a 0. En efecto, ambas propiedades equivalen a que para todo ε > 0 exista un N tal que |sn | < ε para n > N . En general, sin embargo, solo puede afirmarse que si (sn ) es convergente con l´ımite a, entonces (|sn |) es convergente con l´ımite |a|; el rec´ıproco no siempre es cierto si a 6= 0. De esto se deduce: Corolario 3.2.12. Una sucesi´ on (sn ) sin t´erminos nulos converge a 0 si y solo si la sucesi´ on (1/|sn |) de los valores absolutos de los inversos diverge a +∞: en s´ımbolos, si sn 6= 0 para todo n, l´ım sn = 0 ⇐⇒ l´ım n
Observaci´ on. Como Una muestra:
sn tn
n
1 = +∞. |sn |
= sn · t1n , el estudio de cocientes se reduce f´acilmente a los casos anteriores.
Corolario 3.2.13. Si (sn ) es una sucesi´ on divergente a +∞ y (tn ) es una sucesi´ on convergente con l´ımite positivo o una as un n´ umero finito de t´erminos sucesi´ on convergente a 0 que tiene a lo m´ sn no positivos, entonces tn es una sucesi´ on divergente a +∞. Nota. Supuesto que la sucesi´on cociente stnn est´e definida, tal sucesi´on puede resultar convergente, puede resultar divergente a +∞, puede resultar divergente a −∞ y puede resultar oscilante si estamos en alguno de los siguientes casos: a) (sn ) y (tn ) convergen a 0; b) l´ım |sn | = l´ım |tn | = +∞. Si (sn ) tiene l´ımite no nulo (finito o infinito) y (tn ) converge a 0, su cociente es divergente salvo en el caso de que tenga infinitos t´erminos positivos e infinitos t´erminos negativos. Proposici´ on 3.2.14 (encajamiento de sucesiones divergentes). Dadas dos sucesiones (sn ) y (tn ) para las que existe un m tal que sn ≤ tn
siempre que n > m,
CAP´ITULO 3. SUCESIONES
44 se verifica: (a) si (sn ) diverge a +∞, tambi´en (tn ) diverge a +∞: l´ım sn = +∞ =⇒ l´ım tn = +∞. n
n
(b) si (tn ) diverge a −∞, tambi´en (sn ) diverge a −∞: l´ım tn = −∞ =⇒ l´ım sn = −∞. n
3.2.2.
n
La recta ampliada
Los resultados anteriores sugieren ampliar al conjunto R = R ∪ {+∞, −∞} la estructura de orden de R, y (parcialmente) sus operaciones algebraicas. Concretamente, haremos 1) Para todo x ∈ R, −∞ ≤ x ≤ +∞; 2) Para todo x ∈ R distinto de −∞, (+∞) + x = x + (+∞) = +∞; 3) Para todo x ∈ R distinto de +∞, (−∞) + x = x + (−∞) = −∞,
quedando sin definir (+∞) + (−∞) y (−∞) + (+∞); 4) −(+∞) = −∞, −(−∞) = +∞; 5) Para x, y ∈ R, x − y = x + (−y) siempre que la suma tenga sentido; quedan sin definir (+∞) − (+∞) y (−∞) − (−∞); 6) Para todo x ∈ (0, +∞) ∪ {+∞}, (+∞) · x = x · (+∞) = +∞; 7) Para todo x ∈ {−∞} ∪ (−∞, 0), (+∞) · x = x · (+∞) = −∞; 8) Para todo x ∈ (0, +∞) ∪ {+∞}, (−∞) · x = x · (−∞) = −∞, 9) Para todo x ∈ {−∞} ∪ (−∞, 0), (−∞) · x = x · (−∞) = +∞,
quedando sin definir (+∞) · 0, 0 · (+∞), (−∞) · 0 y 0 · (−∞); 10)
1 +∞
=
1 −∞
= 0;
3.2. L´IMITES INFINITOS
45
11) Para x, y ∈ R, x =x· y
1 y
siempre que el producto tenga sentido; quedan sin definir +∞ −∞ −∞ sea x ∈ R, as´ı como +∞ +∞ , −∞ , +∞ , y −∞ ;
1 0
y por tanto
x 0
cualquiera que
12) | + ∞| = | − ∞| = +∞. Con la estructura resultante, R suele denominarse la recta ampliada . Observaci´ on. Todo subconjunto de R tiene siempre extremo superior (= cota superior m´ınima) y extremo inferior (= cota inferior m´axima) en R. Notas. a) Dados dos elementos cualesquiera x, y ∈ R tales que x < y, se puede encontrar siempre un n´ umero real z que cumple x < z < y; en otras palabras, todo intervalo (x, y) ⊆ R contiene n´ umeros reales. b) Dados x, y, z ∈ R, se tiene x ≥ y =⇒ x + z ≥ y + z siempre que las sumas est´en definidas. c) Para todo x de R se tiene (−1) · x = −x. d) Se siguen verificando en R las propiedades del valor absoluto en todos los casos en que tengan sentido. Ejercicio. Hallar el extremo superior y el extremo inferior de los siguientes conjuntos: R, R, N, ∅ y un intervalo de extremos a y b (a, b ∈ R, a ≤ b). Teorema 3.2.15. Dada una sucesi´ on (sn ) con l´ımite a (finito o infinito) y una sucesi´ on (tn ) con l´ımite b (finito o infinito), se tiene: a) si a + b est´ a definido (en R), (sn + tn ) tiene l´ımite a + b. b) si a − b est´ a definido (en R), (sn − tn ) tiene l´ımite a − b. c) si a · b est´ a definido (en R), (sn · tn ) tiene l´ımite a · b. d) si a/b est´ a definido (en R), (sn /tn ) tiene l´ımite a/b.
3.2.3.
L´ımite superior y l´ımite inferior de una sucesi´ on. L´ımites de oscilaci´ on
Definici´ on 3.2.16. Sea (sn ) una sucesi´ on acotada superiormente. La sucesi´ on (xn ) de n´ umeros reales definida por xn = sup{sk : k ≥ n} es mon´ otona no creciente, por lo que tiene l´ımite (que puede ser finito o −∞). Dicho l´ımite recibe el nombre de l´ımite superior de la sucesi´ on (sn ). Se denota por l´ım sup sn , de modo que n
! l´ım sup sn = l´ım sup sk n
n
k≥n
! = inf n
Si (sn ) no est´ a acotada superiormente, se define l´ım sup sn = +∞. n
sup sk k≥n
.
CAP´ITULO 3. SUCESIONES
46
Definici´ on 3.2.17. Sea (sn ) una sucesi´ on acotada inferiormente. La sucesi´ on (yn ) de n´ umeros reales definida por yn = inf{sk : k ≥ n} es mon´ otona no decreciente, por lo que tiene l´ımite (que puede ser finito o +∞). Dicho l´ımite recibe el nombre de l´ımite inferior de la sucesi´ on (sn ). Se denota por l´ım inf sn , de modo que n
l´ım inf sn = l´ım n
inf sk
n
k≥n
= sup n
inf sk .
k≥n
Si (sn ) no est´ a acotada inferiormente, se define l´ım inf sn = −∞. n
Nota. Una consecuencia inmediata de la definici´on es que siempre l´ım inf sn ≤ l´ım sup sn . n
n
Ejemplos. Pueden examinarse las siguientes sucesiones (no es sencillo demostrar en todos casos cu´al es el l´ımite superior e inferior): a) l´ım inf (−1)n = −1, l´ım sup(−1)n = 1. n
n
b) l´ım inf (−1)n n = −∞, l´ım sup(−1)n n = +∞. n
c) l´ım inf n
n
(−1)n (−1)n = 0, l´ım sup = 0. n n n
d) l´ım inf sen n = −1, l´ım sup sen n = 1. n
n
e) (0, 1, 0, 1, 0, 1, . . .); el l´ımite inferior es 0 y el l´ımite superior es 1. f) (0, 1, 0, 2, 0, 3, . . .); el l´ımite inferior es 0 y el l´ımite superior es +∞. g) (0, 12 , 0, 13 , 0, 14 , . . .); el l´ımite inferior es 0 y el l´ımite superior es 0, tambi´en. h) (a, b, c, a, b, c, . . .); el l´ımite inferior es m´ın{a, b, c} y el l´ımite superior es m´ax{a, b, c}. Proposici´ on 3.2.18. Dada una sucesi´ on (sn ), se tiene: a) (sn ) es convergente con l´ımite a si y solo si l´ım inf sn = l´ım sup sn = a. n
n
b) (sn ) es divergente a +∞ si y solo si l´ım inf sn = +∞, n
y en tal caso tambi´en l´ım sup sn = +∞. n
c) (sn ) es divergente a −∞ si y solo si l´ım sup sn = −∞, n
y en tal caso tambi´en l´ım inf sn = −∞. n
3.2. L´IMITES INFINITOS
47
Demostraci´ on. a) Pongamos, para cada n ∈ N, xn = sup{sk : k ≥ n},
yn = inf{sk : k ≥ n}.
Es claro que yn ≤ sn ≤ xn . Como l´ım inf sn = l´ım yn y l´ım sup sn = l´ım xn , si l´ım inf sn = n
n
n
n
n
l´ım sup sn = a ∈ R, basta aplicar la regla del sandwich para obtener que (sn ) es convergente n
con l´ımite a. Rec´ıprocamente, si (sn ) es convergente con l´ımite a, n > N es ε a − < sn < a + 2
dado ε > 0 hay un N tal que para todo ε , 2
con lo que para todo n > N el conjunto {sk : k ≥ n} est´a acotado superiormente por a + inferiormente por a − 2ε , y as´ı para todo n > N es a−ε
ε 2
e
ε ε ≤ yn ≤ xn ≤ a + < a + ε, 2 2
y en definitiva, l´ım inf sn = l´ım yn = a = l´ım xn = l´ım sup sn . n
n
n
n
b) Para que l´ım inf sn = +∞, la sucesi´on (sn ) debe estar acotada inferiormente y, usando la notaci´ on n
anterior, debe ser l´ım yn = +∞. Como yn ≤ sn , esto obliga a que (sn ) sea tambi´en divergente a n +∞. Rec´ıprocamente: si (sn ) diverge a +∞, no est´a acotada superiormente y por definici´ on es l´ım sup sn = +∞. Tambi´en es l´ım inf sn = +∞, puesto que dado M ∈ R existe un N tal que n
n
para todo n > N se verifica sn > M + 1, con lo que yn ≥ yN ≥ M + 1 > M , es decir, l´ım yn = +∞. n
c) Razonamiento an´alogo al anterior. Corolario 3.2.19. Una sucesi´ on (sn ) tiene l´ımite (en R) si y solo si l´ım inf sn = l´ım sup sn . n
n
Y en este caso, el l´ımite es igual al l´ımite superior y al l´ımite inferior. La sucesi´ on (sn ) es oscilante si y solo si l´ım inf sn < l´ım sup sn . n
n
Demostraci´ on. Consecuencia inmediata de lo anterior. Una descripci´on interesante de los l´ımites superior e inferior se expresa mediante el siguiente concepto. Definici´ on 3.2.20. Diremos que a ∈ R es un l´ımite de oscilaci´ on de una sucesi´ on (sn ) si a es l´ımite de alguna subsucesi´ on de (sn ). Corolario 3.2.21. Toda sucesi´ on tiene al menos un l´ımite de oscilaci´ on. Demostraci´ on. Toda sucesi´on tiene una subsucesi´on mon´otona, y ´esta tiene l´ımite (finito o infinito).
Proposici´ on 3.2.22. El l´ımite superior de una sucesi´ on es el m´ aximo (en R) de sus l´ımites de oscilaci´ on. El l´ımite inferior de una sucesi´ on es el m´ınimo (en R) de sus l´ımites de oscilaci´ on.
CAP´ITULO 3. SUCESIONES
48
Demostraci´ on. Hay que probar que el l´ımite superior y el l´ımite inferior son l´ımites de oscilaci´ on (lo que no es inmediato) y que cualquier otro l´ımite de oscilaci´on queda comprendido entre ambos (lo que resulta m´as sencillo de comprobar). Para los detalles, puede verse [Ross, Cor. 11.4, p´ags. 52–53, y teorema 11.7 (ii), p´ag. 54]. Otras propiedades de los l´ımites superior e inferior se recogen en el siguiente enunciado. Proposici´ on 3.2.23. Sean (xn ), (yn ) sucesiones de n´ umeros reales y c ∈ R. a) si l´ım sup xn < c, existe un n0 tal que xn < c para todo n ≥ n0 (es decir, solo hay un n´ umero n
finito de t´erminos de la sucesi´ on mayores o iguales que c) b) si l´ım sup xn > c, existen infinitos n para los que xn > c n
c) si l´ım inf xn > c, existe un n0 tal que xn > c para todo n ≥ n0 (es decir, solo hay un n´ umero n
finito de t´erminos de la sucesi´ on menores o iguales que c) d) si l´ım inf xn < c, existen infinitos n para los que xn < c n
e) si para alg´ un m es xn ≤ yn siempre que n > m, entonces l´ım inf xn ≤ l´ım inf yn ; n
n
l´ım sup xn ≤ l´ım sup yn . n
n
f) l´ım inf xn + l´ım inf yn ≤ l´ım inf (xn + yn ) ≤ l´ım inf xn + l´ım sup yn n
n
n
n
n
≤ l´ım sup(xn + yn ) ≤ l´ım sup xn + l´ım sup yn . n
n
n
g) si c ≥ 0, l´ım inf (c xn ) = c l´ım inf xn ;
l´ım sup(c xn ) = c l´ım sup xn .
l´ım inf (c xn ) = c l´ım sup xn ;
l´ım sup(c xn ) = c l´ım inf xn .
n
n
n
n
h) si c < 0, n
n
n
n
i) si xn ≥ 0, yn ≥ 0, l´ım inf xn · l´ım inf yn n
n
≤ l´ım inf n (xn yn ) ≤ l´ım inf n xn · l´ım supn yn ≤ l´ım supn (xn yn ) ≤ l´ım supn xn · l´ım supn yn .
j) si xn > 0 para todo n, l´ım inf n
√ √ xn+1 xn+1 ≤ l´ım inf n xn ≤ l´ım sup n xn ≤ l´ım sup . n xn xn n n
Bibliograf´ıa [Bartle-Sherbert] Bartle, R. G. - Sherbert, D. R.: Introducci´ on al An´ alisis Matem´ atico de una Variable. Limusa, M´exico, 1990. Citado en la(s) p´agina(s) 31, 32, 33, 34, 36, 39, 41 [Ross]
Ross, K.A.: Elementary Analysis: The Theory of Calculus. Springer, Berl´ın, 1980. Citado en la(s) p´agina(s) 31, 39, 40, 48
[Spivak]
Spivak, M.: Calculus. C´ alculo Infinitesimal (segunda edici´on). Revert´e, Barcelona, 1990. Citado en la(s) p´agina(s) 33, 40
49
Área de Análisis Matemático Universidad de Zaragoza [email protected]
