C. Ferrari ( E d.)
Teoria della turbolenza Lectures given at the Centro Internazionale Matematico Estivo (C.I.M.E.), held in Varenna (Como), Italy, September 1-9, 1957
C.I.M.E. Foundation c/o Dipartimento di Matematica “U. Dini” Viale Morgagni n. 67/a 50134 Firenze Italy
[email protected]
ISBN 978-3-642-10908-9 e-ISBN: 978-3-642-10910-2 DOI:10.1007/978-3-642-10910-2 Springer Heidelberg Dordrecht London New York
©Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2011 st Reprint of the 1 ed. C.I.M.E., Libreria Ed. Universitaria Levrotto & Bella, Torino 1957 With kind permission of C.I.M.E.
Printed on acid-free paper
Springer.com
CENTRO
INTERNAZIONALE
DI
MATEMATICA
ESTIVO
a*1. M* E*
CORSO
TEORIA
DELLA
SULLA
TURBOLENZA
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VARENNA 1 10 Settembre 1957
J. KAMPE DE FERIET:
Problemes mathematiques de la theorie de la turbulence homogene.-
L. DUBREIL-JACOTIN:
Sur les axiomes des moyennes.-
J. ARBAULT:
Transformations de Reynolds sur un ensemble fini.On the possibility of a mathematical theory of shearflow turbulence.-
J. LAUFER:
The hot-wire techniques in supersonic research.-
R. WILLE, 0. WEHRMANN:
Hitzdrahtmessungen in freien Grenzschichten.-
C. FERRARI:
Turbolenza di parete.-
C. AGOSTINELLI:
Turbolenza in magneto-idrodinamica.
W. TOLLMIEN:
Miscellen aus der Turbulenzforschung
LIBRERIA EDITRICE
UNIVERSITARIA
LEV ROTT 0 & B E LL A
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TORINO
S E Z I O I E
I
A
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JOSEPH KAMPE DE FERIET
Introduction
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. . . Pag.
CHAPITRE I 1 - Sur l a d d f f n i t i o n d e i n t 6 g r a l e d D u n e Qquation d i f f d r e n t i e l l e . . 2 - Les d q u a t i o p s d e NAVIER e t 1 9 d q u a t i o n d e l a c h a l e u r . . . . . . 3 - ~ r o p r i d t d sd e s s o l u t i o n s d e l 0 Q q u a t i o nd e l a c h a l e u r . . . . . . 4 - Paradoxes d e l a mhcanique d e s f l u i d e s . . . . . . . . .. . . . . 5 - Ndcessitd d t u n thdorkme d v e x i s t e n c e e t u n i c i t d pour l e s d q u a t i o n s d e NAVIER . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . CHAPITRE I1 1 - L9Aquation d e B ~ ~ R G E R S . 2 - Les r d s u l t a t s d e HOPF . . . . . . . . . . . . . . 3 - L' Aquation l i m i t e . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 - Remarques s u r 19a p p l i c a t i o n aux dcoulements t u r b u l e n t s CHAPITRE I11 1 - Apergu h i s t o r i q u e s u r l a n o t i o n d e moyenne . . 2 - Les Q q u a t i o n s d e REYNOLDS . . . . . . . . . . . . . 3 - R2gles pour l e c a l c u l d e s moyennes . . . . . . . . . 4 - Sur l e s t r a n s f o r m a t i o n s d a m un anneaux d e f o n c t i o n s 5 - Conclusions c r i t i q u e s . . . . . . . . . . . . . . . CHAPITRE I V 1 - Rappels d e mdcanique s t a t i s t i q u e . . 2 - Variables e t fonctions a l d a t o i r e s . . 3 - ~ Q c a n i q u es t a t i s t i q u e g 6 n Q r a l i s Q e . . 4 - Application \a l a c o r d e v i b r a n t e . . . 5 - Ees moyennes e t l e thdorime ergodique 6 - La moyenne s t a t i s t i q u e . . . . . . . . CHAPITRE V 1 - Introduction . . . . . . . . . 2 - Champs d e v i t e s s e s a l h a t o i r e s 3 - Le t e n s e u r d e c o r r d l a t i o n , 4 - Le t e n s e u r s p e c t r a l . . .
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5 . Ees d q u a t i o n s d e s composantes du t e n s e u r s p e c t r a l . Pag . . c o r r d l a t i o n e t s p e c t r e du t o u r b i l l o n . . . . . . . . . . . . . It 7 . ~ i n d m a t i q u ed e l a t u r b u l e n c e homogkne . . . . . . . . . . . . . " 8 . Le probl2me dynamique d e l a t u r b u l e n c e . . . . . . . . . . . . . " 9 . Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . " . " Bibliographie 6
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S E Z I O N E
CON FEREN ZE
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M L.DUBRE1L.JACOTIN . Sur l e s axiomes d e s moyennes JEAN ARBAULT . T r a n s f o r m a t i o n s d e Reynolds s u r un ensemble f i n 1 . . . ODDVAR BJORGUM . On t h e p o s s i b i l i t y o f a mathematical t h e o r y o f s h e a r flow t u r b u l e n c e
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
JOHN LAUFER . The h o t - w i r e t e c h n i q u e i n s u p e r s o n i c r e s e a r c h R WILLE .0 . WEHRMANN . Hitzdrahtmessungen i n f r e i e n g r e n z s c h i c h t e n
.
1 .E i n l e i t u n g . . . . . . . . . . . . . 2 . MePmethoden d e r H i t z d r a h t m e p t e c h n i k
. . . . . . . . . . .
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3 . Anwendungen d e r HitzdrabtmePtechnik 3 . 1 . Messungen a n d e r ~ k r m k n s c h e n w i r b e l s t r a p e 3. 11 . Erzeugung d e r e i n r e i h i g e n w i r b e l s t r a p e . 3. 12 . H i t z d r a h t s i g n a l e , d i e Wirbeln e n t s p r e c h e n 3 . 13 . K r i t e r i e n f u r W i r b e l s i g n a l e . . . . . . . 3 . 14 . Geschwindigkeitsmessungen . . . . . . . . 3.141 .E-Verteilung . . . . . . . . . . . . . .
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. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Gruppengeschwindigkeit . . . . . . . . . . .
3.142-c9-Verteilung 3.143 . Bestimmung d e r 3.144 . Gruppengeschwindigkeit und g e o m e t r i s c h e r Ort d e r Wirbel 3 . 1 5 . Die z e i t l i c h e h d e r u n g d e r Umfangsgeschwindigkeit u n d d e s Wirbeldurchmessers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.16 . Die ~ b e r p r i i f u n gd e r Mepergebnisse m i t d e r Gleichung von OseenHamel 3 . 2 . Messungen i m F r e i s t r a h l . . . . . . . . . . . . . . . . 3.21 ~ l t e r eA r b e i t e n . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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3 . 22 . Str6mungsvorgange i n d e r S t r a h l g r e n z s c h i c h t 3.221 . V e r t e i l u n g d e r m i t t l e r e n Geschwindigkeit . . . . . . . . . . 3.222 . Ringwfrbel d e r S t r a h l g r e n z s c h i c h t 3.223 . Geschwindigkeitsverteilung d e r Wirbel d e r S t r a h l g r e n z s c h i c h t 3.224 . C h a r a k t e r i s t i s c h e Daten d e r Wirbel d e r S t r a h l g r e n z s c h i c h t 3.225 . V e r g l e i c h m i t den Messungen a n e i n e r P l a t t e n g r e n z s c h i c h t 3.23 . Frequenzgesetz der Strahlgrenzschicht . . . . . . . . . . . . Literaturverzeichnis . . . . . . . . . . . . .
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S E Z I O N E
TURBOLENZA
C
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PARETE
CARLO F E R R A R I
CAPITOLO I Introduzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Pag. 171 1 - Equazioni d e i f l u s s o turbolento: equazioni d i Reynolds. Tensioni d i Reynolds. Funzioni d i c o r r e l a z i o n e . . . . . . . . . . . . . " 172 175 2 - Equazioni p e r l e funzioni d i c o r r e l a z i o n e . . . . . . . . . . . " 177 3 - Equazione d e l l s d i s s i p a z i o n e d e l l a e n e r g i a . . . . . . . . . . . " 4 - Discussione d e l l a equazione d e l l a energia. Diverso comportamento e d i v e r s a funzione d e l l a regione e s t e r n a e dellaregione i n t e r n a 179 d e l l o s t r a t o Pimite. Influenza d e l l a presso-diffusfone . . . . I' 5 - Flusso d i energia n e l l o s t r a t o l i m i t e . . . . . . . . . . . " 183 6 - Equazione d e l l a d i s s i p a z i o n e d e l l a v o r t i c i t a " . . 'I 186 CAPITOLO I1 1 - E q u a z i o n i d e l mot0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 - La d i s t r i b u z i o n e logaritmica d e l l s v e l o c i t a v media. Legge d i r e sistenza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 - Coefficiente d i t r a s p o r t o . Percorso d i mescolamento. Macroscala e microscala d e l l s turbolenza . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 - Determinazione d e l moto medio n e l l a p a r t e c e n t r a l e d e l canale . 5 - G i u s t i f i c a z i o n e d e l l a espressione a s s u n t a per il c o e f f i c i e n t e ditrasporto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 - Raccordo d e l l e l e g g i d i variazione d e l l a velocita' media n e l l e v a r i e p a r t i d e l condotto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 - Influenza d e l l a rugosita? CAPITOLO I11 1 - Equazioni d e l moto n e l l o s t r a t o l i m i t e . . . . . . . . . . . . 2 - La legge d i p a r e t e per l a velocita' media e l a l e g g e d i r-tenza parte esterna 3 - Legge d i variazione d e l h velocita' media n e l l a dellostrato . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 - Raccordo d e l l e l e g g i d i variazione d e l l a v e l o c i t a 9 e l l a regione e s t e r n a e n e l l a regione i n t e r n a d e l l o s t r a t o l i m i t e . . . . . . 5 - Trasmissione termica neP moto t u r b o l e n t o . . . . . . . . . . . 6 - Coefficiente d i t r a s p o r t o turbolento d e l c a l o r e . . . . . . . . 7 - Determinazione d e l campo medio d i temperatura . . . . . . . . . 8 - Flusso t u r b o l e n t o a c o n t a t t o d i una p a r e t e piana i n c o r r e n t e d i . .. f l u i d o compressibile . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 - Approssimazioni successive per la r i s o l u z i a n e d e l l a equazione [gag]
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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CAPITOLO I V 1 - Equazioni d e l moto n e l l o s t r a t o l i m i t e ed e s p r e s s i o n e d e l coeff i c i e n t e d i t r a s p o r t o n e l l a p a r t e i n t e r n a d e l l o s t r a t o , per grad i e n t e d i pressione non n u l l o . . . . . . . . . . . . . . . . . Pag. 2 - Determinazione della velocita' nella parte interna dello s t r a t o l i m i t e " 3 - Determinazione d e l c o e f f i c i e n t e d i t r a s p o r t o nella p a r t e e s t e r n a dello strato . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . " 4 - Determinazione d e l l a v e l o c i t a 9 n e l l a p a r t e e s t e r n a d e l l o s t r a t o limite (per velocitae esterna corrispondente a1 caso d i Falkner e Skan) 5 - Raccordo t r a l e s o l u z i o n i per l a p a r t e e s t e r n a e per l a p a r t e interna dello s t r a t o limite . . . . . . . . . . . . . . . . . . " 6 - Determinazione d e l l a v e l o c i t a v n e l l a p a r t e e s t e r n a d e l l o s t r a t o l i m i t e per c a s i p i u ' g e n e r a l i d i variazione d e l l a v e l o c i t a ' e s t e r n a ti CAPITOL0 v 1 - Ricerche d i M a t t i o l i , Chou e Rotta
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Modello d i turbolenza d i Burgers 3 - Ricerche d i Malkus . . . . . . Bibliograf i a . . . . . . . . . . . . 2
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TURBOLENZA I N MAGNETO I D R O D I N A M I C A CATALDO AGOSTINELL1
CAPITOLO I Introduzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 - Le equazioni d e l l a magneto idrodinamica . . . . . . . . . . . . 2 - Le equazioni d i Navier-Stokes i n magneto idrodinamica . . . . . 3 - I1 sistema d i s t r e s s d e r i v a n t e d a l l e f o r z e elettromagnetiche . 4 - Analogia t r a il campo magnetico e l a v o r t i c i t a ' . . . . . . . . 5 - Lo sviluppo d e l l ' e n e r g i a elettromagnetica i n un moto turbolento CAPITOLO I1 1 - Le equazioni fondamentali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 - Correlazioni f r a l e componenti d e l l a v e l o c i t a ' e l e componenti d e l campo magnetico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 - S i g n i f i c a t o d e g l i s c a l a r i che definiscono l e c o r r e l a z i o n i . . . 4 - Ulteriori correlazioni f r a l e mmponenti del campo magnetico e della velocitav 5 - Le equazioni definitive della magneto idrodinarnica turbolenta isotropa 6 - Le equazioni i n termini d e l potenziale v e t t o r e . . . . . . . . CAPITOLO 111 1 - La d i s s i p a z i o n e de119energia per v i s c o s i t a Ye c o n d u t t i v i t a q . . . 2 - I n v a r i a n t i d e l t i p o d i Loitsiansky . . . . . . . . . . . . . . 3 - Le correlazioni d e l l a pressione con l a v e l o c i t a ' e il campo magnetico . . . . . . . . . . . . 4 - Determinazione d e g l i s c a l a r i e 5 - La c o r r e l a z i o n e d e i p r o d o t t i d f pressione . . . . . . . . . . . Bibliografia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
n1 n2
PROGRAMMA DEELE LEZIONI DEE PROF. W. TOLLMIEN
-
Abschnitt: Abschnitt' Abschnitt: Abschnitt: Bibliografia . 1 2 3 4 -
II
Entstehung d e r Turbulenz . . .. .... Eine anfache ModelPvorstellung der hom.Turb. Turbulenz und Larm . . . . . . . . . . , F r e i e Turbulenz . . . . . . .. , .. . . ~
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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SEZIONE A
P I W B L B ~ ~MATIU~MATI~UES , DE Jd
T H ~ B I EDE LA TURBULENCE H O M O Q ~ B JOSEPH K A d DE F ~ E T
INTRODUCTION
Les 6quations de l a ~ 6 c a n i q u edes f l u i d e s visqueux .incompressibles sont connues .depuis p l u s dSun s i h c l e ; dhcouvertes d' abord p a r .NAVIER en 1822, . e l l e s ont 6 t h retrouvees p a r Sir Gabriel STOKES en 1845; e l l e s s! 8crivent:
(Les c~ordonndesd'un point x sont ddsigndes p a r xl,x,,x3 , l e s composantes du vecteur v i t e s s e u g a r S ( I , U ~ ,;U l~a pression p a r $ ; X,,X,, 1, ddsignent l e s composantes de l a force extdrieure; p e t v s o n t deux constantes c a r a c t h r i s t i q u e s du fluide, suppo4 incompressible, a temperature constante ed doud d'une conductibilitd thermique i n f i n i e : p = masse sphcifique, v = v i s c o s i t e cinematique). Le p r o b l h e de l a turbulence e s t n6 l e jour, oh Yon a constat8 sue pour l'dcoulement d'un f l u i d e dans un tube cylindrique, l'intdgrale dldmentaire (mouvement permanent b a r d r o i t e s para1 l b l e s ) des Aquat i o n s de NAVIER donnait des r 6 s u l t a t s nm8riques en dhsaccord complet avec l e s mesures eqdrimental e s des ing$nieurs hydraulic iens: pour un d e b i t donne dans l e tuyau, l a p e r t e de charge mesuree pouvait e t r e 10 ou 100 f o i s p l u s grande que l a p e r t e de charge th&rique. La s i t u a t i o n s e compliqua -1-
encore lorsque H.POIGEXIILLE en 1842, opdrant sur des tubes c a p i l l a i r e s (dont l e d i d t r e d t a i t compris entre 0,01 e t 0,l mm) obtint au cont r a i r e pour l e m8me &oulement, un accord excellent, avec une pr6cision de 1"rdre du m i l l i b , & r e les r e s u l t a t s expdri~nentauxet t h h r i q u e s . Devant de t e l l e s contradictions, on coqrend l'opinion exprimde en 1865, par d9excellents spkkialistes colame DARCY e t W I N "La question s e colnplique e t s9obscurcit donc davantage mesure que des exphriences plus nolabreuses e t plus prdcises paraftraient devoir y j e t e r une plus grande lumi\erew. B A R R ~De SAINT VEINANT ecrivait en 1872: 'Z'hydraulique e s t u?e desesperante enigme". Cve s t l e grand ouvrege de S. BOUSSINFSB (1872) "Essai sur l a t h h r i e des Eaux eourantes" b1 e t l e s deux memoires dOsborne RFlINOEDS [89], [90] qui p r o j e t b e n t , l e a premiers, quelquer lueurs sur ce chaos. BOUSSINESQ, reconnaissant net tement l e caract ere d"xtr8me complexitd. de l a vitesse d" koulement turbulent, en d4gage l a conclusion essentielle, point de d & a t de l a dcanique s t a t i s t i q u e & l a turbulence: % ' es d.quations des muvements de fluides p a r f a i t s rigissent l e s ~nouvementstourbillonnaires e t tunultueux des fluides, pourvu qu"n y introduise, au l i e u des v i t e s s e s vraies e t de l a pression vraie achaque instant, l e u r s valeurs myennes locales ". &r&sBOUSSINESQ, WYMXDS (1895) redecouvrit c e t t e idhe fondament a l e : dans l e mouvement turbulent d' un fluide, il convient de distinguer deux parts: un mouvement moyen e t un muvement d9agitation. the pmpriiti mesurable quelconque f du fluide (composante ck l a vitesse u,,u2,us, pression p , tenrp6rature ?' ...) doit se d&omposer sous l a forme:
l a comwsante nmyenne 3 e s t seule accessible aux instruments de mesur e ordinaires (par ezemple tube de PIlWl' pour l a mesure de l a vitesse, t h e m m & t r e k mercure pour l a mesure de l a t e w h r a t u r e ) , l e but de l a t h k r i e e s t d9Q c r i r e l e s equations du mouvement moyen ( l i a n t l e s compo---~ a n t e sm e n n e s %, u,, us,P, ... etc. . . ); l e s composantes d Q i t a t ion qui traduisent 1' influence de Pa turbulence sur l e muvement moyen ne doivent y figurer que par des moyennes (par exemple, u ; , u i ) .
BOuSSINEf3Q s-fforce
de consewer aux t h a t i o n s du muvement moyen l a 6me forme qu' aux Qauations de NAVIER, mais en substituant au coefficient v de viscositci mol6culaire. un coefficient e de viscositk turbulente; malgrd 1' extreme inghniosit.6 dont il f i t vreuve au cours de recherches qui occuperent une 1arge part i e de sa carrikre (Qcoulements dans des tuyaux e t des canaux de sections varihtrs, fleuves, torrents, etc.. . ) tout l e mnde est d' accord pour constater que son mique E west pas suffisant pour rendre compte de l ' e f f e t de l'agitation t u r b u l e n t e sur l e mouvement nnyen. Osbone BE1MOLDs, au contraire, ouvre des horizons nouveaux, en mntrant que l'action detl fluctuations turbulentes sur l e muvement myen se traduit par des forces de frottement, dont il donne 1' expression
il met 1' accent sur l e bilan hnergdtique. kvaluant l e s ikhanges d' k e r -
gie entre l e mouvement myen e t l e mouvement d'ar~itation. I1 fallut attendre prhs d'un demi-sikcle, pour que l e renouveapl de l a ~icaniouedes fluides, dh au dhveloppenent de 1'~~ronautique. amGne, encre 1920 e t 1940, avec un flot d' idhes newes, des progrb consid6rables. Mais, pour ripondre aux nQcessit6s de l a pratiaue, l e s efforts se disperserent vers l e s aspects l e s plus divers de l a turbulence: &mulelnent dms un tuyau, 6coulement autour dJ me a i l e d' avion, diffusion d' un jet, structure du vent dans 1' atmosphhre, etc. . . ; tous ces p&mes Wnt rtbordks simultanchent e t seuls.des fragments de t h k r i e s , meleks d' une foule d'hypothhses empiriques, reliies entre el'es parfois par un f i l bien tenu, s' Qlaborent autour de chacun de ces problhmes. Depuis 1' introduction par L PRANDTL, en 1904, de l a notion de couche linite (dont l e s travaux exphrimentaux de J.M. B ~ G E R S ne devaient rhvdler l a structure colaplexe qu' en 1924). on nouvait privoir qu' un des facteurs discriminants de toute classif icstion des problhmes, serait l a I presence ou l'absence de pamis solides; pour s a i s i r l a turbulence dans un de ses ;tats purs, il f a l l a i t se placer aussi loin que possible de toute pami solide; cJ est pourquoi, vers 1930, 1"attention connnence \a ao concentrer autour d'un ~ r o b l b eassez sch&natique pour donner prise b una &laboration logique plus approfondie: I 'ktude de l a turbulence dans -3
-
n
- MATH~MATIQUEDE
LA TURBULENCE HOMOG~NE
un fluidc incompressible sans fronti>res et par
conskguent enplissant
tout lDesp&ce. Pour commencer, on introduit des considerations de sym&
t r i e (d*a i l l e u r s plausibles e t souvent vhrifihes avec une bonne approximation dans l e s mesures) e t on ne consid8re que l a turbulence homog;ne et isotrope, c 9 e s t k d i r e que l e s proprihtes s t a t i s t i q u e s du champ des vitesaes turbulentes sont suppos6es invariantes pour toute translat i o n des axes e t pour toute rotation autour d9un point. Dans 19htude de l a turbulence homogene e t isotrope, c9e s t k S i r Geoffrey TAYUlR e t Th. VON K k M h ,que sont dues, au dhpart, toutes l e s idhes esaeatielles: le spectre dE&nergie de la vitesse e t l e coefficient de corr&lotion qui l u i correspond, ont htd introduits par TAYLOR; 1' extension 8 . 1 ~ e s p a ~dee c e t t e dernikre notion f u t f a i t e sous l a forme du tenseur de corrk lat ion par K h h - H O W A R T H . Un progrhs ultdrieur f u t 1' introduction du tenseur spectral,en 1948, par G.K.BATCHELOR e t J-KAW~DE ~ I E T ;l e tenseur spectral e s t suscept i b l e de remplacer (dans l'htude de l a turbulence homogane, mais non nhcessairement isotrope) l e tenseur deacorr8lation e t prdsente sur celuic i des avantages d6cisifs dans 1e s recherches ththriques. Une s h r i e de travaux, qui ne f u t connue de l'ensemble du monde &ent i f i q u e qu98 l a f i n de la guerre mondiale, concentra l ' a t t e n t i o n sur l 9etude du spectre d9dnergie: comment dans une turbulence homogsne e t isotrope, le spectre &volue-t-il en fonct ion du temps?Evolue-t-il toujours vers m e loi finite universe 1 le? Les riponses a ces questions dhpendent essentiellement des hypoteses sur l a maniere dont, dans un icoulemeat Ees tourbillons de dimensions diffhrentes, (dira-t-on, pour f a i r e bref) bhangent leur dnergie, purement cindtique d' a i l l e u r s , puisqu9il s' a g i t V un fluide incompressible; A. KOLMOGOROFF apport a une s d r i e d9id8es neuves e t fasclnantes dans une s u i t e de mdmoires (1941) [741, 1751, [76] ; qui, des qu' ils furent connus, f irent sensation; independamment de l u i , W. AEISENBEaG e t L. ONSAGER [851, 1861 avaient &is des idhes tris voisines. Toute une s e r i e de remarquables travaux de L. SEDOV [911, A. O B ~ H O F F 1841, c. c . ~ m[ml; [sol, [811, m. VON &MAN ~ 7 2 1 ,G. K. BATCHELOR, L. S. G. KOVASZRAY [77], C. VON WEIZS~KER [95I, S. CHAND-AR I
\
[13] f u t c'oasacree a ce nouveau domaine. -4-
INTRODUCTION I1 ne s a u r a i t & r e question de r e t r a c e r i c i le dhveloppement de c e s
idhes dans tous s e s d e t a i l s . Nous nous permettrons de renvoyer aux ouvrages de G. K. BATCHFLOR [41 e t de L. AGOSTINI e t J. BASS [l] oh 1' on trouVera un excellent expos6 historique. Dans 1' htude de l a turbulence, on peut s e placer & des points de vue tres diffdrents: Les problemes pos6s par l a turbulence ont souvent une grande importance pratique pour l e s applications k 19~ 6 r o n a u t i ~ uoue 1 l 9Hydraulique. Pour l e s 1ng6nieurs, 19urgence du but 1 a t t e i n d r e pime t o u t e a u t r e eonsidhration; 1"xplication
k
s c i e n t i f ique des f a i t s passe
1' a r r i e r e
plan; c e qui importe avant t o u t , c-st de r e l i e r un ensemble de mesures expdrimentales en un faisceau de courbes coh6rentes (introduction de var i a b l e s sans dimension); l a valeur de c e s courbes t i e n t . A l e u r s yeux, dans l a p o s s i b i l i t ; de sven s e r v i r pour prhvoir: en interpolant, oh parf o i s mgme, en extrapolant, on veut pr6voir des r i s u l t a t s n u d r i q u e s sans avoir
f a i r e de nouvelles exp6rfences (une heure de calcul coute m i n s
cher, en g&n6ral, qus une heure de s o u f f l e r i e ) Cette a t t i t u d e e s t parfaitement l&itime: non seulement nous devons 1' approuver, mais encore nous ne pouvons qu"re
reconnaissants de l 9 e n -
richissement considerable apporti par 1' accumulation de mesures exp6rimentales f a i t e s k 190ccasion des divers probl8mes pratiques poses par l a turbulence; beaucoup d9i n t u i t i o n s physiques, dont c e r t a i n e s sont Profondes, ont certainement vu l e jour de c e t t e f q o n . k tout Mais quand on p a r l e d9une'tfidorie de la turbulence, c-st a u t r e chose que nous pensons; l a M6canique a e s i l u i d e s i t a n t un chapitre de l a ~ h c a n i ~ u enous , en hvoquous d" a u t r e s chapitres: l a ~ 6 c a n i q u e~ 8 l e s t e , l a ~ 6 c a n i ~ udue solide indhformable, l a Mdcanique du corps Qlaon demontre p a r voie purestique. L&, p a r t a n t d9hypoth8ses A, B, C, ment math6matique, qu-1 en r i s u l t e des proprihths, 1,r, J, .. ; ce sont e.
.
que l b n confronte ultgrieurement avec l e s c e s propri6t4s H9I,J,. mesures expirimentales, mais dans l e passage des prhmisses A , B , C, aux c0ns4~uences H,I,J , . ". on s e garde bfen d' ajouter des primisses o .
suppl&mentaires E, F, G, . . . sugg6r6es p l u s ou moins heureusement, en cours de route, p a r des observations exphrl'mentales nouvelles., Quiconque Par-
court l a 1ittdrature scientifique de ces dernieres decades, se rende c o w te, du premier coup d' oeil, qusaucune " t h k r i e " dp l a turbulence n' a mcore a t t e i n t ce stade de perfection. C' est surtout s u r la nbcessi t6 d'un examen critique. oh lson tenterait d'hprouver sdrieusement quelques nrailIons de la chaine logique. que nous voudrions a t t i r e r I' attention dans ces lecons, en conservant come theme central: l a turbulence homog$ne dans w f luide incotqressib le renpl issant tout i 'espace. Un des grands pmblhrnes, qui tourmentent tous l e s sp&ialistes de l a turbulence, cJ est de savoir s i les iquat ions de MAVIER restent v a l i des pour l e s muverents turbulents d'un fluide. Cette question est fondamentale, non seulement du point de vue abst m i t de 1' &ist&logie (1' explication scientifique de l a turbulence &ant 6videmment l i e e aux hquations qui en forment l e cadre), mais encore nu point de vue pratique l e plus inwnkdiat, puisque mhe dans l e s t h b r i e s semi-empiriques, pour r e l i e r l e s f a i t s ent r e eux. l' on ut i l i s e toujours, au m i n s partiellement, certain- cons6~uences des equations de NAVIER, b travers l e s kquations de REYNOLDS. qui en sont d6rivAes. Les arguments avancds, pour ou contre, l a validit6 des kquations de NAVIER. dans une t h k r i e de l a turbulence, ne semblent gukre concluants. Pour donner une rbonse precise cette question, il faudrait prouver qu' en partant de prdmisses A,&N,. . (N signi fiant qu'on n' admett r a un champ de vitesse dans une d&nonstration que s*il est Qtabli que
.
l e s fonctions u j ( z , t ) sont des inthgrales des hquations de NAVIER), on peut en d&ui re des consequences H, I,J,. . qui, confrontkes avec les observations expkrimentales, sont en accord ou en dhsaccord avec elles, h l a pr6cision prks des mesures. Or, on e s t bien loin de ce but. La plupart dn temps, dans les "thdor i e s de l a turbulence", on adjoint, en cours de route, aux prdmisses A, B, N, . . tant d'hypotheses sup~lementaires E, F, G,. . , suggdrdes par
.
.
.
1' examen des f a i t s exp&rimentaux, que 1' dcheveau, a i n s i tissd par ce m61ange de logique et d' empirime, devient impossible a dkbrouiller ISh effet, on ne s a i t presque jamais si l e s hypothkses suppl&ent&ires ne sont pas contradictoires avec l e s prkmisses Par exemple, mposons qu' un -6-
auteur, s e basant s u r l9a l l u r e de courbes expirimentales, introduise des dcoulements, oh l e champ des v i t e s s e s e s t represent6 par des fonctions presque piriodiques dans l e temps ob dans 1-space. S'il n" pas prouv6, au prhalable, gue l e s iquations de NAVIER sont susceptibles dpadmettre des intdgrales presuue pdrfodiques, quelle e s t l a valeur logique de s e s conclusions? SPil e t a i t demontre que l e s primisses A, B, N, . . . conduisent par voie puregent logique, - sans I f adjonction d-ucune hypothese suppldmentaire dont l a non-contradiction avec l e s pr6misses n-st pas prouvie, - $ des cons6quences H,I,J rhellement incompatibles avec lbnsemble d e s observations d' 6coulements turbulents, i1 nous faudrait bien abmdonner l e s equations de NAVIFR; mais, comme on e s t t r e s l o i n , semble-t-11, d b e t e l l e dthonstration, il nous p a r a i t nature1 de continuer & l e s u t i l i s e r . Les hquations de NAVIFR s e reconmandent par l a s o l i d i t 6 e t l a simp l i c i t k de l a base que l e u r ont donn6es Sir G SlVKES en 1845 e t A - B A R ~ DE SAIM VFNAIW et 1846: e l les expriment, en e f f e t , gue la tenseur des fjrces de viscositk difbratat ion ,Vj,
=
Fj.
dkpend seulernent du tenseur des v i t e s s e s de
auf. a ~ ,
-+-
ax, ax,
.
La r e l a t i o n e n t r e c e s deux tenseurs traduisant une l o i physique ind6pendante des rephres, l e s colnposmtes F 9 , 1i n 6 a i r e s des
dofvent $ t r e
foncti0IIs
Vg ,h Fj,k = a j , k v ~ , k + b 9 s b
l e s coefficients a g , e t b j , p i t a n t fonctions des i n v a r i a n t s du tens e u r V j , k Dans l e s dquations de NAVIER (pour un f l u i d e incompressib l e ) , on admet que c e s c o e f f i c i e n t s sont des constantes. ~ e u t - s t r ec e t t e hypothise r e s t r i c t i v e suppl&nentaire nPe s t -. e l l e qu'une approximation, suffisamment cxacte pour l e s p e t i t e s valeurs des V g "k , n a i s i n s u f f i s a n t e lorsque l e s V i , k deviennent tr\es grands, c e quf s e r a i t pr4cisbment l e cas dans l e s 6coulements t u r b u l e n t s Sf, logiquement, l a position des iquations & NAVIER a t , un jour, rendue intenable, il y a u r a i t 15 une int6ressante p o s s i b i l i t i de retouche qui devrait, semble-t-il, pr6chder un r e j e t complet de 1' hypothkse ginhrale de G. STOKES e t de A. BARRE DE SAINT VEINANT, a
7'
CHAPITRE I
Ies dquations de N A V B et 1 'dquation de la chaleur. 1 - S u r l a d e f i n i t i o n d' i n t e g r a l e d'une d q u a t i o n d i f h n t i e l le. Nous voudrions t o u t d' abord a t t i r e r 1' a t t e n t i o n sur l a rentarque s u i vante: on ne peut f a i r e oeuvre u t i l e , t a n t que l ' o n s e contente de parl e r , en termes vagues, d"'int6gralesw des Qquations de NAVIER; c e mot e s t s u s c e p t i b l e de bien des sens d i f f e r e n t s ; selon l e sens choisi, l e s propriBtds e s s e n t i e l l e s de l a t h b r i e s e modifient, spdciakment l e s tl&or h e s d'existence e t d'unicitd qui, v r a i s avec une d e f i n i t i o n des "intdgrales;', deviennent faux avec une autre. Pour s'en convaincre, il s u f f i t de s e souvenir de deux exemples ilimentaires: a ) Pour une Bquation d i f f e r e n t i e l l e a u s s i simple que:
l e mot "integralen a regu t o u t e m e g m e de sens d i f f d r e n t s ; rappelons en au moins deux. Si f (x) C[o, a] il e x i s t e dans [o, a] une e t une seule "int6gralew y ( x ) t e l l e sue y (0) = 0 , donnde p a r 1' i n t d g r a l e de RIEMANN:
mais, si f € L [ o , a], l a m b e intdgrale, p r i s e r a encore s' appeler "intdgralew de l9Bquation [I] ne s o i t p l u s v i r i f i i e , en- t o u t point x mier cas, mais seulement presque partout. b) Le.th6orLme d 9 u n i c i t 6 de CAUCKY pour l e d' un point m a t h e l : C2I d*x/dt2 = ~ ( x )
au sens de LEBESGtJE, pour[I] si on consent & c e que [o, a], comme dans l e premouvement
\a m a dimension
.
suppose essentiellement que l e s forces X sont analytiques en x Si \ l ' o n considere une fonction non-analytique pour x = 0, aussi simple que:
x=+m -8-
2-EQS,
DE NAVIER ET
l e s deux mouvements, d e f i n i s pour
kQ.
DE L A CHALEUR
t 2 0 par
correspondent t o u s deux aux memgs c o n d i t i o n s i n i t i a l e s :
L' i n t r o d u c t i o n de f o r c e s non-analytiques s u f f i t pour d h t r u i r e l e d6terminisme dans l a ~ d c a n i q u edu p o i n t .
2
-
Les i q u a t i o n s de NAVIER e t l"qua6ion
d e l a chaleur.
On s a i t depuis longtemps, que t o u t e i n t e g r a l e u(x, t )
de l9h a -
t i o n de l a chaleur: [31
f o u r n i t une i n t i g r a l e des i q u a t i o n s de NAVIER, en posant:
c e t t e i n t h g r a l e d i f i n i t un mouvement du f l u i d e , en 19absence de f o r c e e x t e r i e u r e Kg = 0; les p l a n s p a r a l l e l e s & Oxlx3 g l i s s e n t l e s uns s u r l e s a u t r e s s e ddplagant en bloc, l e s t r a j e c t o i r e s des p a r t i c u l e s Q t a n t d e s d r o i t e s p a r a l l ' e l e s & Ox1 '(shear flow). &I peut t i r e r de c e t t e remarque dlementaire un c r i t e r e [49] qui met.
s u s e r v i c e de 19i t u d e des dauations d e NAVIER,
l a somme,
considerable
aujourd'hui, d e s connaissances acquises s u r l'hquation de l a chaleur. Chaque fois que 1 'on se propose, en effet, de dkmontrer un thkoreme affirmant que toute intigrale des kqltat ions de NAVIER posse'd~t les propriktks A, B, C,+ . . posside ndcessairement la proprikti P , il suffit de vkrifier si, pour une intigraze de 1 'kquationde la chaleur, les propriktks A, B,C,. .. impliquent toujours la propriktk P ; si ce n'est pas le cas, on est certain que le tGorbme est faux e t il e s t i n u t i l e de s' acharner
k
s a d6monstration,
Bien entendu, l e c r i t k r e ne fonctionne pas en sens inverse: Si 1 'on a prouv; que pour toute intigrale dc 1 'equation de la chaZeur Zes propriitks A, B, C, . . . imp1iquent w e propriktk P, i 1 noenrksulte nullement que la m$me implication soit vraie pour toute integrale des kquations de NAVIER; on peut soupgonner que l a presence des termes non-lineaires, disparus dans 1' equation de l a chaleur e t presents dans l e s equations de NAVIER, bouleverse completement l e s r w p o r t s logiques entre l e s propri6tes A, B, C,. .. e t P ; tout ce que l Pon Peut t i r e r du P est c r i t h r e dans ce sens, c9est que si l e theor2me A n B n ... vrai pour l e s integrales de l9equation de l a chaleur, l a voie r e s t e ouverte pour en chercher l a dkmonstration pour l e s Qquations de NAVIER. Du point de vue de l a logique formelle, il e s t in&ressant de noter que des deux termes de 1 'a1ternative: Pour 1 '&quation de la chaleur
c 'est le second seul, qui jait progresser dkfinitivement nos connaissances sur les intigrazes des kquations de NAVIER, le premier
ouvrant la
porte & una simple possibilite, tres 610ignee de la certitude.
Rappelons, A t i t r e d9i l l u s t r a t i o n , quelques th;or&mes de l a theorie de 19iquation de l a chaleur: (a) P.HARTMAN e t A.WINTNER [24] ont gtabli: Etmt donnk un domaine ouvert D duns le plan ( x , t) , si:
(B) ut (C)
e t uxx
ut =
UXX
existent en tout point de en tout point de
D
D
alors
(b) E.HOLhiGREN [32] a d6montr6:
Etant don& un domaine ouvert
D
duns le plan
( x , t ) , si:
2-EQS. DE NAVIER ET EQ. DE LA CHALEUR
en tout point de D alors (P) ~ ( xt ,)
est analytique en x
sur tout segment parallkle
ZL
Ox
contenu dans . D .
(c) E.HOLMGRJiN [32] asd&montr&que: Etant donnh un donaine ouoert D dans le plan sitions: (A)
(x, t ) ,
les propo-
u ( x , t ) f C(D)
(B) u t ( x t t ) , u , ( x , t ) , uxx(x, t ) c C(D) (C)
ut = uXx
en tout point de
D
n'impliquent pas:
(P) u ( x , t )
est une fonction analytique de t
parallkle 21 Ot
contenu dans
sur tout segment
D-
Les thiorkmes ( a ) e t (b) appartiennent au type: 4 fl
~n ... 3 P ;
on n9en peut donc conclure r i e n de c e r t a i n concernant l e s hauations de NAVIER; l e th6orkme (b) montre seulement clue 1' on p o u r r a i t chercher dhmontrer l a proposition suivant e (dont 1' importance n' a d' & r e soulignge) . Etant donni un domaine ouvert
(C) u j ( x , t ) e t
p (x,t )
D
pas
besoi n
dans 1 'espace ( x ~ , x ~ ,t x) ~ si ,
satisfont les equations de NAVIER ( ~ j )
en tout point de D alors
(P) u f ( x , t ) et p ( x , t )
sont analytiques en ( x I , x 2 , x 3 ) en tout point du domaine D continu dans un plan t = Constante.
.
Par c o n t r e l e th&r;me (c) est du type A fl B f l . . & P ; il en decwle iewfhiatement c e r e s u l t a t fondamental pour les equations de NAVIER: Etant d m d un domaine ouvert D dans 1 'espace (xl,x2,xS, t) les proposit ions:
(C)
u j ( x , t) e t
p ( x , t)
s a t i s f o n t , les &quations de MVIER ( N ~ )
en tout point de D n'inpl i p e n t pas:
(P)
u j ( x , t)
e t p(x, t) sont analytiques en t
en tout point du
domaine D cont enu duns un plan x, = cte , x2 = cte, x3 = cte . G. DOETSCH [15] a donne de nombreux exempl e s d' intggrales d e 1' equa-
t i o n de l a c h d e u r non a n a l y t i q u e s en t ; M . O M , - dont les recherc h e ~dans c e domaine r e s t e n t fondamentales encore aujourd'hui [21], [22] a ddmontre que les i n t d g r a l e s non analytiques en t peuvent tm&e ne p a s & r e quasi-analytiques, au s e n s d e CARL&MAN; l e s recherches prhcedentes concernent s u r t o u t l e c a s d'une demi-bande B = { ( x , t) : a < x < 6, 0ct <
+ 03) ;
A. TYCHONOFF [94] a donne un exemple d'integrales non-ana-
l y t i a u e s en t dans l e demi-plan D = { ( x , t) : -m<x <+a , 0 c t < tco) . Voici un exemple, dd 6 G.DOETSCH, don l a t r a d u c t i o n dans l e langage de l a ~ Q c a n i ~ des u e f l u i d e s , rend i n t u i t i v e s l e s r a i s o n s d9existence d' i n t d g r a l e s non a n a l y t i q u e s en t des hquations d e NAVIER. Prenons cornme domaine l a demi-bande:
Eh d&signant p a r
'I.
un nombre p o s i t i f a r b i t r a i r e , l a fonction:
s = x(t-7;yz
exp
3-SOLUTION DE L E Q . DE LA CHALEUR
s a t i s f a i t (A), (B), (C) e t nJ e s t analytique en t sur aucune des droites x = xo , 0 o < ~o a . La traduction de cet exemple dans l e langage de l a Mkcanique des fluides e s t immediate: l e fluide (qui, par hypothese, s e meut par plans p a r a l l e l e s & Ox,x3), e s t contenut entre deux plaques planes x2 = 0 , x2 = a ; l a plaque x, = 0 e s t maintenue constamment fixe. l a plaque x, = a , rest6e immobile pendant l'intervalle 0 < t 17,
sr5 exp [3
orend pour t -> T une vitesse k a l e h
a(t -
a2 4 ( t - T)
]
: le
fluide n'a aucun moyen de prGvoir l e mouvement que nous appliquerons k c e t t e plaque; c e t t e impossibilite de prdvision implique que l a vitesse du fluide u2 (x. t) dans un i n t e r v a l l e 0 < t < 8 ne predetermine nullement l e prolongement de c e t t e vitesse dans l ' i n t e r v a l l e 8 5 t < + co; l a fonction de t , qui d & f i n i t u, ( x , t ) ne saurait donc & t r e analytiaue en t . Contentons-nous pour l e moment de noter que 1 ,existence d' int hgrales des equations de NAVIER, non anabytiques en t (qui ne sont m&e pas quasi-analytiques en t ,, au sens de CARLEMAN) est peut-&re grosse de conskquences, jusqu'ici malheureusement inexploitdes, duns 1 'ktl~dedes circonstances qui pksident aux mouvements turbulent s d . un f luide.
3
-
p r o p r i & t 6 s d e s s o l u t i o n s de l ' e q u a t i o n d e l a c h a l e u r .
Les l i e n s qu6 nous venons de souligner entre 1 equation de l a chal e u r e t l'es equations de NAVIER: nous preparent k mieux comprendre kurgence de fixer avec precision l a d6f i n i t i o n des integralese en effet, pour 1' equation de l a chaleur, on dispose 8, l'heure nctuelle, d5un matbriel mathematique d' une t e l l e richesse, que 19on possede non seulement une, mais meme plusieurs thhories completes: e l l e s d i f fkrent l'une de 1 autre, pricis&ment, par l a definition d>une " i n t i g r a l e n La compsraison de ces theories entre e l l e s nous fournit, en auelque sorte, une i l l u s t r a t i o n exphrimentale de 19influencedu choix de c e t t e d6finition En reflechissant \a c e t t e multiplicith des thkories de 1 equation de la chaleur, nous touchons du doigt l a dif fhrence e s s e n t i e l l e entre l e s Mathhmat iques e t l a Physique ththrique; pour l e ~ath6maticienl e s thdories ( A ) , (B), (C) .
- 13 -
de 1' Qquation de l a chaleur, puisqu9e l l e s sont logiquement cohkrentes, sont aussi valables 19une que 1' autre; l e Physicien au contraire, sera conduit en choisir me; c e l l e dont l e s thior6mes ( T ~,)(T*) . . . ( T ~ ) conduisent 8. un accord d9ensemble avec l e s f a i t s experiment aux; seul c e t accord, en bloc, de l a thhorie avec l'exphrience, e s t discriminant; on ne peut admettre ou r e j e t e r a p r i o r i t e l l e p r h i s s e , comme des dames qui choisiraient des chapeaux chez l a modiste: 19une d i t e s t e l e rose, l'aut r e n' aime que l e bleu.. . Ainsi entend-t-on dire, parfois, qu9il faut exclure l e s fonctions non bornkes, ou n9admettre que des fonctions analytiques, etc. . . L'expression de ces "gouts" mathdmatiques n9 e s t - e l l e pas un peu f u t i l e ? Seule l a comparaison de l 9ensemble des consequences logiques d' une t h h r i e avec 19experience nous convaincraft en d e r n i ~ r ressort de l a suphriorith de 19un des choix. &ant soulignh leur valeur analogique pour l a ~ Q c a n i q u edes f l u i des, esauissons maintenant quelques unes des thhories de 19intigration de lr6quation de l a chaleur: [31
dans une barre i n d i f i n i e - a, < x <
+ a,,
lorsqu9on
suppose donnie l a
temperature i n i t i a l e v ( x ) . Dans ce paragraphe nous designerons par:
l e demi-plan ouvert e t par:
l e demi-plan semi fermh. Les diffhrentes t h b r i e s s e distinguent l e s unes des autres par:
(a) l a classe des fonctions r d e l l e s v ( x ) , d6finies pour
-a,
< x < +a,
admises pour representer l a temperature i n i t i a l e ;
(B) l a classe des fonctions r6elles u ( x , t ) , d i f i n i e s dans D , admises pour representer une inthgrale; (y) l e sens prhcis don&
pour
t
= 0 .
k
l a phrase:
ufx, t ) prend l a valeur v ( x )
3-SOLUTION DLS L ' E Q . DE LA CHALEUR C* e s t seulement auand c e s t r o i s choix sont f a i t s que l'on peut e d i -
f i e r une thkorie. I1 e s t curieux de c o n s t a t e r que, depuis l e mhmoire i n i t i a l de FOURIER (1822), l e s contributions e s s e n t i e l l e s de FOURIER lui-mgme, de POISSON, de LAPLACE, de Lord RAYLBIGH, d e J . BOUSSINESQ a i e n t fourni t a n t de methodes ingenieuses e t pmfondes de construction d9expression analytiques donnant des i n t e g r a l e s , sans que jamais c e s questions (a) , (P) , (y) ne s e s o i e n t pos4es: c9e s t seulememt au debut de c e s i h c l e , e n t r e 1900 e t 1920, que l e s travaux de E.HOLMWiN, de M.GEVREY, de P.GOURSAT, de J. HADAMARD [23] ont souligne l a necessitk de "bien pos e r l e probl&men en s e plapant dans des conditions, oh l ' o n puiese &ab l i r non seulement un thiorbme d 'existence, mais encore, un tGorkme d'unicit;. h 1936, dans son expose h i s t o r i q u e , G.DOETSCH [15] a eu l e grand mhrite d a t t i r e r fortement 1-attention
s u r c e point:
"Pour que l e problbme s o i t clairement pose, il e s t indispensable d'un p a r t de p r i c i s e r quelles conditions on impose h l a s o l u t i o n e t aux valeurs s u r l a fronti\ere, de f i x e r , d' a u t r e p a r t , l e sens dans lequel l e s conditions aux l i m i t e s doivent & r e interpretdes. "I1 e s t
r e g r e t t e r qu9une p a r t i e msme de l a l i t t e r a t u r e moderne,
pour ne p l u s p a r l e r de l a p l u s ancienne, r e s t e extrgmement vague sous c e rapport. Ceci e n t r a i n e d9une p a r t , que l e s t h k r i m e s et dmonstrations sont faux eux-memes, d9a u t r e p a r t , que des t h e o r h e s , j u s t e s sous cert a i n e s r e s t r i c t i o n s , s o n t employ& dans des c a s oh c e s r e s t r i c t i o n s ne sont pas r e s ~ e c t e e s . Ce sont s u r t o u t l e s demonstrations d9unicit; qui montreht l a dkcisive du sens dans lequel on envisage l e problkme aux limites". Une revue rapide de quelques unes des t h k r i e s de l ' h q u a t i o n de l a chaleur, bashes chacune s u r une riponse p r e c i s e aux questions (a), (13) e t (y), nous semble 6 c l a i r e r tres heureusement l e s d i r e c t i o n s diverses que
pourraient prendre des recherches s u r l e s i n t e g r a l e s des
6quations de
NAVIER. (A) On c o n s i d h e comme valeurs i n i t i s l e s possibles l e s fonctions v ( x )
s a t i s f a i s a n t simultankment
h:
On c h o i s i t comme d d f i n i t i o n des mots 'prendre l a valeur i n i t i a l e " l a limite & deux dimensions dans l e plan: lim
(Y)
x-a,t-o
u(x,t) = v(a)
Ceci impose Qvidemment:
Si l' on ajoute l e s conditions:
on o b t i e n t a l o r s l e thbrbrne de TYCHONOFF [941:
Si
v(x)
satisfait
reprksente dans
h (a), l'intdgrale de WIS%W-FW?UER:
D m e intkgrale de l'kquation de la chaleur: c'est
la seule qui vkrifie les conditions
(13, ) , (6,) , (P,)
e t (y).
(B) On suppose:
e t on d i t que u ( x , t ) prend l a valeur i n i t i a l e v ( x ) , si
u(x,t)
tend faiblement vers v ( x ) , c 9e s t a d i r e s i :
Pour t o u t i n t e r v a l l e f i n i [ a , bl e t t o u t e fonction g ( x ) f C[a,b ] . On impose a u ( x , t ) l e s conditions suivantes:
(a,
) u t ( x i t ) e t u,,(x, t ) e x i s t e n t en t o u t point du demi-plan
- 16-
D
3-SOLUTION DE L'EQ. DE LA CHALEUR (s2) u ( x , t ) , u t ( x , t ) e t uxx(x, t )E L(A) dans t o u t m t a n g l e f i ni A c D il e x i s t e une constante
((3,)
xi
-.
4, , x i X:
+
+a),
t e l l e s aue:
-
pour t o u t x
a > 0 e t deux suites
appzrtenmt
l ' u n e ou l ' a u t r e des deux s u i t e s , Alors
(J.L.B. COOPEX [14]):
(a), 1 'int6grale de PDISSIUV-FCURIER [8] est
Si v ( x ) 'satisfait
wte intkgrale de 1 'Aquation de la chaleur; el le est la seule virifiant les conditions (B,)
, (P2) , (B3) et i ~ ) .
(C) La formulation suivante, p l u s a b s t r a i t e , due
[27], conduit
consid6rer v ( x ) e t
E. HILLE [25], [26],
&
(pour chaque
u ( x ,t )
t
>O)
come des p o i n t s d9un m8me espace fonctionnel, c o n s t i t u a n t un espace de B a n a c h s ; c ' e s t sans doute l a mieux adaptee
\a l a transposi-
t i o n dans l e langage de l a ~ e c a n i q u es t a t i s t i o u e ; quand t v a r i e de 0 a
+ co ,
point
u ( x , t ) d b c r i t une t r a j e c t o i r e v ( x ) ; l ' e s p a c e de Banach 8 joue a i n s i l e
l e point
id =
at
=
"espace des phases", oh un point
r i s s u e du r 6 l e d'un
w represente un e t a t du systhme.
On suppose:
Nous designerons par
(41 e t nous donnerons
llvll
l a norme de v ( x ) ; nous supposerons:
u(x,t )E
8 , pour t o u t t > o
& "u(x,t ) prend l a valeur i n i t i a l e v ( x ) ' :le sens
d'une limite forte: l i m Ilu(x, t ) -v(x)ll =
tlo
o
Supposons encore que u admette une derivee ut t i n u e au sens f o r t :
(P2 )
ut ( x , t )5
8 pour t o u t
au sens f o r t , con-
t >o
(a,)
lim h- 0
( J u ( xh , ~l ~ - ~ ( ~ , t ) - ut ( x , t ) J J= 0
pour tout
t >0
pour tout
t >0
.
E. HILLE a p ~ e l l eproblkrne abstrait de CAUCWY, l e problhme aui consi-
s t e , &ant donnhe une valeur i n i t i a l e v ( x ) s a t i s f a i s a n t (a), trouver une intdgrale de 1, Qquation de l a chaleur satisfaisant (PI), (P, j,
(P3), (P,) e t prenant l a valeur i n i t i a l e au sens (y), puis que c e t t e inthgrale e s t unique.
A
prouver
E.HILLE a rhsolu [281 l e problkme dans l e cas o; 19espace de Banach
e s t 19ensemble de toutes l e s fonctions f ( x ) t e l l e s que: (p
s o i t continue dans 1' intervalle f erme
-> 0
donnk)
[- 01, + a11 . Cet ensemble con-
s t i t u e un espace de Banach % , , si on l e munit de l a norme:
bB 1 'cntkgrale de K3ISYN - FWRIHi
Lorsque 0 5 p _< 1 , si v ( x )
[ 8 ] donne une solution du probl&ne abstrait de CAKHY et cette solution
est unique. Lorsque 1 < p 5 2 , si la fonction ~ ( xt ,) , difinie par 1 'intdgrale de PDISWV-l?XRIER, appartient h
a
pour tout t > 0 , elle donne la
solution unique du problbme abstrait de C4KHY; mais il y ades v ( x ) pour lesquelles u ( x ,
t)c
8 pour aucun
t > O ; dans ce cas, le problkme n 'a
pas de solution. Enfin lorsque p > 2 , si
l i m f ( x ) exp
x-.
[- I x l P ] # 0 l1rntigra1ede
*a,
PDISSWV-FOURIER n'a de sens pour aucun t > 0 ; l existence de solutions du probl&ne abstrait de CAKW est douteuse; i 1 peut exister des solutions non nulles telles que: l i m Ilu(x, t ) l l
tlo
-o
Sans une formulation precise e t generale du probl;?me a b s t r a i t de CAUCHY, des r e s u l t a t s analogues, trks intkressants, a v a i ~ n td6j $ 6 t h ob-
4-PARADOXES DE LA MECANIQUE DES FLUIDES tenus par S.BOCHNFR e t CHANDRASFKHARAN [%I pour l e c a s des espaces de Banach L(- co, t o o ) e t L2(- co, t oo) , specialement importants.
4
-
Paradoxes de l a mecanique des f l u i d e s .
Les t h e o r i e s (A) , (B) e t (C) sont i n t e r e s s a n t e s parce q u e , d a n s chaaue cas, on a pu prouver un theoreme d existence e t un thhorkme d W c i t e , une bonne t h h r i e d o i t a i n s i 8 t r e basee s u r des premisses ( a ) ,(p) e t (y), assez l a r g e s pour aue des i n t e g r a l e s ~ u i s s e n te x i s t e r e t s u f f i l a une sorsamment e t r o i t e s pour que l e u r u n i c i t e s o i t garantie, il y t e de compromis, d 6 l i c a t 2 r e a l i s e r , auquel il f a u t prendre garde e t qui explique c e r t a i n s paradoxes frdquemment rencontres en
~ g c a ina u e d e s
fluides. Pour en donner un exemple, considerons l e mouvement plan d k n f l u i de visqueux incompressible, ou l e s t r a j e c t o i r e s sont des c i rcon fkrences ayant l ' o r i g i n e
0 pour c e n t r e U t i l i s o n s des coordonnees polaires (r,B)
e t disignons par C ( r , t )
l e t o u r b i l l o n ~ u ei s t , comme on l e s a i t , per-
pendiculaire au plan du mouvement. Des c s l c u l s classiques permettent de deduire des equations de NAVIER que c ( r , t ) d o i t &re une solution de 1' ;quation de l a chaleur en coordonnees p o l a i r e s G
Pour e t u d i e r l a d i f f u s i o n Gu t o u r b i l l o n par l a v i s c o s i t e , on cons i d e r e une i n t e g r a l e de [9] qui "prend comme vale.lrWune fonction donnee GI(?-)
;1' i n s t a n t
t
=
0 . Si 1' on c h o i s i t l a double
l i m i t e dans
l e ~ 1 9 n (r, t)
(YI
lim
r-a, t-o
C(r,t)
@(a)
il e s t parfaitement possible de c o n s t r u i r e :-meLheorie analogue
?i (A),
posskdant un theorkme d. existence e t d u n i c i t e $lais on e c a r t e , du meme coup, l e c a s ou w ( r ) e s t discontinue, c e s t - 8 - d i r e de nombreux problkmes etudies dans t o u s l e s t r a i t e s de Mecsnique des fluides; p a r exemplee
( a ) noyau tourbillonnaire d' intendit6 constante wo :
(b) t o u r b i l l o n ponctuel de c i r c u l a t i o n
ro:
Pour o b t e n i r des solutions & ces probl&mes, on e l a r g i t (y) en remplagant l a double l i m i t e par une limite & r constant:
(Y')
lim
ti0
C(r, t
) = ~ ( r )pour t o u t
r
(on place un instrument de mesure en un point f i x e du plan e t on ktudie l a l i m i t e de l a courbe enregistrde lorsque t 1 0). Dams l e c a s du tourbillon ponctuel, on donne en ghn6ral l'in&grale:
qui e s t continue dans l e domaine:
oh e l l e s a t i s f a i t 1' &quation de l a chaleur. Mais si l ' o n ne prend pas de prhcautions suppl&mentaires,on risque de perdre 1' unicit;; en e f f e t l a dhriv6e p a r rapport ? ti de la fonction [lo] s a t i s f a i t hvidemment [9]; done K ddsignant une
constante arbi-
t r a i r e , l a fonction:
e s t Qgalement une intkgrale de [9] dkfinie dans l e m&e domaine que [lo] qui l u i correspond a pour valeur: La c i r c u l a t i o n
e t on a , pour [ll] comme pour
[lo] :
l i m C(r,t) = 0
ti0 lim
tCo
Les deux i n t i g r a l e s
r( r ,t ) = ro
[lo]
e t [ll] sont t o u t e s deux continues a i n s i
que toutes l e u r s derivees p a r t i e l l e s dans l e domsine A ; e l l e s sont du meme type, non bornhes au voisinage du point r = 0 , t = 0 ; e l l e s sat i s f o n t t o u t e s deux aux conditions du probleme exprimees p a r [121; pour p r e f e r e r 1' une 8. 1' aut re, c' e s t I
I
k
d i r e pour conserver l'unicit;,
il fau-
d r a i t donc i n t r o d u i r e des conditions suppldmentaires; si on l e s omet, l e s conclusions qu' on en t i r e perdent beaucoup de valeur, p u i s q u 9 1 nn"y a plus de raison de prhfhrer 19i n t h g r a l e [lo] 1' i n t h g r a l e [ll].
5
-
~ 6 c e s s i t ed' un th&or&med' existence e t unicitj! pour l e s equations d e Navier.
Pour 1 9 h t u d e des inthgrales des hauations de NAVIEX, dans l e cas rien de comparable aux exemples (A) , (B) , (C) du 5 3 n9e x i s t e
& 19heure a c t u e l l e ; on e s t t r h s l o i n de connaTtre 1' influence de prkmisses equivalentes & (a) , ((3) e t ( y ) , s u r l a p o s s i b i l i t e d ' b t a b l i r un theorbme d' existence e t d9u n i c i t i . Dans l e c a s du f l u i d e incbmpressible, sans f rontihres, remplissant t o u t l'espace, nous posshdons, il e s t v r a i , l e s recherches t r e s import a n t e s e t t r e s profondes de J.LERAY [78]; mais e l l e s sont, malheureusevent, i n u t i l i s a b l e s comme point de d i p a r t d'une ktude de l a turbulence homAgene; en voici l e s raisons. La force vive du f l u i d e contenu dans un domaine B de 1' espace:
s' introduisant naturellement dans t o u t problkme de ~ e c a n i q u e des f l u i -
des, on d o i t nkcessairement supposer Cue c e t t e i n t i g r a l e a un sens, c'est 2 1 ..
h d i r e que uj ( x , t ) E L2 ( B ) , pour t o u t domaine f i n i B ; A t o u t i n s t a n t t > 0 , c e t t e condition e s t , bien entendu, s a t i s f a i i e si nous imposons li qnstant inil a condition p l u s f o r t e u j ( x ,t ) E C ( B ) ; p a r contre, ? t i a l , nous avons l e choix, e t c ' e s t une hypothese que de poser: pour t o u t B f i n i Mais J-LERAY va p l u s loin: il postule que la force v i v e t o t a l e du fluide e s t f i n i e , c 9 e s t & d i r e q u ' i l c h o i s i t come premisses:
pour t o u t
p
=
{x: -a,<xj
<+a,
t >0
, j
=
1,2,3).
Autrement d i t , en adoptant l e langage de 19exemple (C),
il
ope\re
constamrnent duns un espace de Hilbert; )t chaaue i n s t a n t l e s proprietes
de 1' espace de Hilbert interviennent dans s e s demonstrations. O r l a not i o n de turbulence homogene s'oppose & considerer l a f o r c e vive t o t a l e comme f i n i e : des fonctions uj ( x , t ) , periodiques en x , doivent pouv o i r e n t r e r , comme c a s p a r t i c u l i e r , dans l e cadre general des c h a m ~ sde vecteurs spatialement homog\enes; dans ce cas, 1' i n t e g r a l e:
ne s a u r a i t a t r e f i n i e . Si 1 9 0 n ne f a i t aucune a u t r e hypothese, que 19existence de l a for-
ce vive pour t o u t domaine B f i n i , 1-nsemble correspondant appartenant
k
k
des champs de v i t e s s e s ,
une turbulence homogene, c o n s t i t u e un espace fonctionnel
l a categorie des espaces de G.MACKEY. La topologie de ces
espaces s e d & f i n i t , non & p a r t i r d9une norrne (comme dans l e s espaces de Banach, dont 1' espace de H i l b e r t e s t 1' exemple l e p l u s simple), mais & p a r t i r d'une f a m i l l e de pseudo-norrnes; il e s t nature1 de prendre i c i l e s boftes cubiques:
B N Z {x : - N s x j I N , j
-;
1,2,3)
e t l P o n considerera comme f a m i l l e de pseudo-normes du champ de vecteurs
E s t - i l besoin de d i r e qu' en passant de 1' espace de H i l b e r t , considere par J.LERAY, a un espace de G.MACKEY, 1s d i f f i c u l t 6 de l'etude s acc r o i t dans des proportions consid&rables? I1 semble qu'on o b t i e n d r a i t dejk d e s r e s u l t a t s trks int6ressants en
s e bornant aux champs de v i t e s s e s pour lesquels:
'I
lim N-+m
uj (x,t)2dx
N3
*BN
e x i s t e ; l e s r e s u l t a t s de 1' Analyse harmonique generalishe WIENm [97], s u r l e s q u e l s nous nous sommes etendus dans a l o r s &re appliquds
\a
de
Norbert
[60] , peuvent
c e s champs aui contiennent, comme c a s tr&spar-
t i c u l i e r s , l e s champs p6riodiques e t Dresque periodiques. La clnsse des champs v e c t o r i e l s s u s c e p t i b l e s d e t r e c h o i s i s comme champ de v i t e s s e s i n i t i a l e s , s e r a i t a i n s i definie:
(a,
e
vj (x)
pour t o u t N
L2 (BN)
existe Pour l e s conditions
k
imposer aux
u3 (x,t) E L2 ( B ~ )
\a
uj(x, t)
tout instant
uj (x,t ) 2 d ~
,
.
, o u t r e l e s conditions:
t > 0 , pour t o u t N
e x i s t e pour t o u t
t >0
,
N-tm
c . e s t sans doute des conditions du type de 1.exemple (C) du 5 3 qui s e j u s t i f i e r a i e n t l e mieux, 1' existence e t l a continuitk des d6riv;es &ant
assurees au sens f o r t ; p a r exemple:
Want h 19expression '"e 1 9 i n s t a n t i n i t i a l au champ
pour t o u t
t > 0 e t tout
N ,
pour t o u t
t > 0 e t tout
N .
champ des v i t e s s e s
vj(x)"
uj(x, t
) est
Qgal &
on pourrait l u i donner l e sens d'une
limite forte: [uj(x,t
) - vj (x)]*& = 0 ,
pour t o u t N .
Cette Qtude, ou une dtude analogue, dont l e s d i f f i c u l t & apparaissent trks considerables, e s t , n&anmoins, un prologue
indispensable
&
t o u t e construction d e f i n i t i v e d'une thdorie de l a turbulence homogkne: t a n t q u ' e l l e n9aura pas e t h f a i t e , t a n t qu-n
ne posshdera pas dans c e
cadre, un theorLme d'existence e t d ' u n i c i t e , a u s s i p r e c i s que ceux du
9
3 pour 1' hquation de l a chaleur, on pourra toujours craindre de tomber
dans une f o n d r i h e en s'avanpant s u r l a route de l a ~ 6 c a n i q u es t a t i s t i que de l a turbulence homoghe; en e f f e t , chaque f o i s que, s e f i a n t & une i n t u i t i o n physique, on i n t r o d u i r a une nouvelle hypothLse maissant plaus i b l e , on s'expose
c e qu9e l l e s o i t contradictoire avec une propriete
des i n t h g r a l e s des equations de NAVIER, l a i s s i e dans l' ombre p a r n o t r e ignorance de ces i n t egrales.
CHAPITRE I1
L e mod&le de BURGERS
1
-
L' Cquation de BURGERS. Notre manque de connaissances ghnhrales s u r l e s indgrales des hqua-
t i o n s de NAVIER, e s t un o b s t a c l e majeur & 1' d d i f i c a t i o n d' une t h k r i e vraiment r a t i o n n e l l e de l a turbulence. L'dauation de l a chaleur ne nous f o u r n i t un guide dans 1 5 6 t u d e des 6auations de NAVIER que dans l e s limites Q t r o i t e s prkcisdes au Chapitre prkcddent. La d i s p a r i t i o n des t e r mes non l i n 6 a i r e s d e t r u i t , probablement, dans 196quation de l a chaleur, quelques unes des p r o p r i h t Q s l e s p l u s typiques des mouvements des f l u i des. Les auteurs qui pensent, par exemple, que l a turbulence e s t essentiellement due l Papparition de c e r t a i n e s discontinuiths (par exemple: concentration du t o u r b i l l o n de long de c e r t a i n e s courbes [ll]) ne peuvent espkrer v h r i f i e r c e s hypotheses s u r des i n t h g r a l e s de 1' hquation de l a chaleur. C9 e s t pourquoi, on a t e n t h de remplacer l 9Qquation de l a chaleur, par une Qquation p l u s compl6te, qui, & 1' inverse de c e l l e - c i , n' e s t j amais un c a s p a r t i c u l i e r des Qquations de NAVIER, mais qui, contenant un terme non l i n h a i r e , possede peut-&re des propri6ths analogues & c e l l e s des i q u a t i o n s de NAVIER: il s p a g i t du modble introduit en 1940, p a r J. M. B ~ G E R S [lo]:
C11 e t auquel il a consacrh des travaux consid6rables e t d u n e grande importance L9dquation [I] e s t Qvidemmeni beaucoup p l u s simple rlue l e s kquat i o n s de NAVIER, puisque au l i e u de 3 fonctions u,, u,, u3 de 4 variab l e s (xi,x,, x3,t ) e l l e ne contient p l u s qu une seul e fonction u de 2 v a r i a b l e s (x,t ) . Bien que des doutes puissent s' Qlever s u r l a manibre dnnt l e "modble" r e g r i s e n t e l a ' v 6 a l i t h w , notre absence d9informat ions s u r l e s .inthgrales des hquations de NAVIER j u s t i f i e une gtude des i n t i -
25 -
g r a l e s de i 9 Q q u a t i o n [I1 qui m e t t r a i t en r e l i e f , t o u t au moins, certaines propriQtds i n t r o d u i t e s p a r l e terme non l i n d a i r e . J.M. B ~ G E R Si consac r 6 de nombreuses publications [12] a son Qquation [I], s'attachant t o u t particulikrement, ?L l 9Qtude des i n t d g r a l e s u(x, t ) quand t -t + co; mais l9apport l e p l u s e s s e n t i e l , c' e s t son 6tude de:
si l ' o n note p a r u(x, t , v ) une i n t e g r a l e de [I] pour une valeur donnde.
v >0
Les i n t h g r a l e s u ( x , t , v ) , pour v > o Q t a n t continues en
(x,t )
dans t o u t l e demi-plan
t > 0 , l a l i m i t e u ( x , t ) e s t en gQndral cont i n u e dans des domaines ouverts s h p a r i s p a r des l i g n e s de discontinuit6; une l i g n e d e discontinuitd peut prendre naissance en un point x i un i n s t a n t t > 0 . Voyant 1&une image de ce qui peut s e produire dans un f l u i d e faiblement visqueux (c' e s t & d i r e , aux grandes valeurs du nombre de REYNOLDS), J. M. BURGERS a f a i t une Qtude trks poussie des propri6tQs s t a t i s t i q u e s de son modkle, formant, comme REYNOLDS l9a v a i t f a i t pour l e s 6quations de NAVIER, l e s Qquations s a t i s f a i t e s p a r l e s moyennes.
2
-
Les r e s u l t a t s d e HOPF.
Nous ne l e suivrons pas s u r ce t e r r a i n , nous contentant de resumer l e s r e s u l t a t s obtenus p a r Eberhard HOPF [35], dans un beau memoire, o; il donne une t h i o r i e complete des i n t e g r a l e s de l9 hquation [I]. L a d u s s i t e e s t due
\a une circonstance presque miraculeuse notee dbjk par
COLE (1949): l9dquation de BURGERS s e r a m h e
A
J.B.
l9Qquation de l a chaleur.
D9une maniLre prbcise: Etant donnk un domaine ouvert
D dans le plan
sembles de propositions: U(X,
t) €
ut(x,t ) ut
+U
c(n) ux(xpt ) , uxX(x,t ) E C(D)
U =~
v uxx , en tout point de D
( x , t ) l e s deun en-
et:
(a' )
w(x, t ) > 0
(S7)
W(X,
(Y')
w t ( x , t ) , w x ( x , t ) , wxx(x. t )
(6')
wt =
t )
E
C(D)
v wxX
E
C(D)
en t o u t point de D
sont kquivaZents, en ce sens que I 'on passe de
oh a ( t )
I 'un h I 'autre par:
e s t une fonction a r b i t r a i r e continue e t positive.
Rien ne devient p l u s a i d que de c o n s t r u i r e des i n t b a l e s de 19&qua, dans t o u t domaine t i o n de B ~ G ~ R Spuisque
t e g r a l e p o s i t i v e de 1"quation
D , oh 1 9 0 n connait une in-
de l a chaleur, l a formule [2]
donne i m -
mediatement une i n t e g r a l e de 1' kquation de B ~ G E R S . Par exemple, dans l e demi-plan
s a t i s f o n t t o u t e s l e s conditions (a' )
t > 0 , l e s polyn8mes:
, (6' ) , ( y ' )
e t ( 6 ' ); on en d i d u i t
l e s i n t e g r a l e s de l P k q u a t i o n de B&.GERS:
On remarquera que pour
t = 0 , c e s i n t e g r a l e s prennent
comme va-
leur i n i t i a l e respectivement:
v* ( x )
=
8v
-- .
Voici un premier e f f e t du terme non linhaire: en multipliant par 2, l a valeur i n i t i a l e v ( x ) , on transfome complktement l a structure mgme de 19inthgrale u(x, t ) . En prenant:
on obtient l 9i n t hgrale de 19&quation de B-~GERS:
qui correspond
h
l a valeur i n i t i a l e :
Voici encore un e f f e t remarquable de l a non l i n h a r i t e ; si la amstant e T e s t < 0 , 19i n t i g r a l e e x i s t e dans tout l e demi-plan t >O ; mais si T > 0 , e l l e n v e x i s t e que dans l a bande 0 < t < T ; e l l e "explose" sur l a d r o i t e t = T , dont tous l e s points sont singuliers. L9un des rksultats fondamentaux de E.HOPF e s t l e thiorZme d'enistence e t d'unicitk dans l e demi-plan:
[GI Si : (8)
~ ( x E) L [a, b]
pour tout interval 2e fini pour 1x1
- 28 -
-
+a
[a, b]
u ( x , t ) t e l l e que:
i l y a une e t une seule fbnction
(c)
u ( x , t ) , u t ( x , t ) , u x ( x , t ) , u x x ( x , t > E C(D)
(a)
x-a, lim t Jxu(t,
(el
u t + uUx
=
t ) d f fv(u(i)&
v uxx
pour tout a ,
en tout point de D .
En posant :
c e t t e fonction e s t donn;e ,oar:
k ( x , t ) Atant l e noyau de 1 'Aquat ion de l a chaleur dLf inie par [4] . h tout point a , oh l a valeur i n i t i a l e v ( x ) e s t continue, on peut remplacer ( d ) par l a condition plus precise: l i m U ( Xt, ) .= v ( a ) x-a, t-Q
.
On remarquera que l a condition ( b ) ne peut Qtre affaiblie s i on veut que 1' inthgrale u ( x , t ) e x i s t e dans tout l e demi-plan: l 9exemple de 1' intkgrale explosive [51 suf fit & l e prouver.
3
-
L' &quation 1i m i t e . Si 1' on f a i t
v
=
0 , 1' &quation [I] se reduit &:
equation du premier ordre, qui admet pour ~ a r a c t e r i s t i ~ u el se s droites:
paralleles au plan Oxt , l a pente d>unede ces droites Atant &gale &
- 29 -
s a distance
A c e plan. L9i n t d g r a l e de [9] gui prend l a v a l e u r i n i t i a l e
e s t donc simplement l a s u r f a c e r e g l e e contenant l e s c a r a c t h r i s t i -
v(x)
ques:
[ill Un des a p p o r t s e s s e n t i e l s du mdmoire de E.HOPF, r d s i d e dans l9dtude de l a l i m i t e lorsque v 1 0 d e 1' i n t h g r a l e u ( x , t , v ) prenant l a val e u r i n i t i a l e v ( x ) donnee [au s e n s (d)]:
e t d e s r a p p o r t s de u ( x , t ) avec l a s u r f a c e r6glde [ll].
E.HOPF p a r t de l 96tude de deux fonctions y,(x, t ) e t y* ( x , t ) qus il def i n i t de l a maniere suivante: Soit:
F 1 & cause d e l a condition (a): - -. - pour 1y 1 (x, t ) f i x e s ,
pour
y2
2t
+
+ a;
p a r consequent
F prend s a v a l e u r minima en un nombre fini de p o i n t s
dhsignent respectivement l a p l u s p e t i t e e t l a p l u s grande de c e s v a l e u r s de 'y ; il d6montre a l o r s we, pour un t > 0 donne, y * ( x , t ) e t y*(x, t ) s o n t deux fonctions non d e c r o i s s a n t e s de x ady ; y,
e t y*
mettant l e s memes p o i n t s de discontinuit;.
il d i t que l e p o i n t
nee, t o u s l e s p o i n t s
Si:
( x , t ) e s t normal; s u r une d r o i t e ( x , t ) s o n t normaux 8, l 2exception
t t, > 0 dond9un
ensemble
denombrable de p o i n t s au p l u s . Le r e s u l t a t fondamental e s t c e l u i - c i : La limite u ( x , t ) est difinie en tout point normal et elle y est m e fonct ion continue de
(x, t
) ; en tout point du demi-p lan D,~ ( x - 0 t, )
et u ( x + 0,t ) sont difinis et 190n a:
Soit
(x,,
t,) un p o i n t quelconque de D . considerons l e s dew segments - 30 -
(ouverts) des cnrncterist iques:
La limi te u ( x , t ) es t dijinie et continue en ( x , t ) en chaQue point ( x , t ) appartenant a m deux segments (ouverts) [13] et [14] et la surface u
= u(x,t
) contient ces d e u segments de caract6ristique.
h p a r t i c u l i e r , si l e point
(xl,tl)
e s t normal, l e s deux segments
de ~ a r a c t e r i s t i ~ u e[13] s e t [14] sont confondus e t l a surface contient ce segment de c a r a c t 6 r i s t i o u e . Les points de d i s c o n t i n u i t 6 de u ( x , t ) s e placent s u r des courbes ( l i g n e s de discontinuit&): x = x(t)
.
e s t un point de d i s c o n t i n u i t & , il e x i s t e pour t z t , , une e t une s e u l e l i g n e de discontinuit; t e l l e que xl = x ( t l ) ; mais deux Si
(x,, t i )
l i g n e s de d i s c o n t i n u i t 6 d i s t i n c t e s pour t < t1 , peuvent s e fondre en une s e u l e pour t = tl ; une l i g n e de d i s c o n t i n u i t 6 peut prendre naissance
l u o r i g i n e : ce s e r a en p a r t i c u l i e r , l e cas en t o u t p o i n t
? i
0;:
mais e l l e peut a u s s i n a f t r e en un p o i n t i n t e r i e u r du demi-plan D . La figure, d9a p r e s E.HOPF [35] oh s o n t trac6es l e s p m j ections de quelques segments de c a r a c t e r i s t i q u e s s u r l e plan Oxt , indique sch6matiquement l ' a l l u r e des morceaux de s u r f a c e r6glhe qui c o n s t i t u e n t une s u r f a c e u ( x , t ) ; en t o u t point normal,
u(x,t )
6tant continue, ne pas-
s e qu'une e t une s e u l e caract6ristiauer on a a l o r s u,
= u2
e t l e s deux
segments [13] e t [14] sont confondus; au c o n t r a i r e d' un point
(x,, t l )
s i t u 6 s u r une l i g n e de discontinuit6 p a r t e n t l e s deux segments de car a c t h r i s t i q u e s d 6 f i n i s par [13] e t [143, s i t u h s dans deux p l a n s u
= ul
e t u = u,
4
-
d i s t i n c t s puisaue p a r hypothese u,
#
u,
.
Remarques s u r 1' a p p l i c a t i o n aux thou1 e m e n t s t u r b u l e n t s .
Les r 6 s u l t a t s de E.HOPF, que nous venons d5exposer brikvement, pr6sentent certainement un grand i n t e r & , parce q u ' i l s donnent une vue rigoureuse de l' ensemble des circonstances susceptibles de s e presenter dans 1' htude d' une Qquation non- l i n d a i r e , dont l9a l l u r e e s t l a msme clue c e l l e s des hquations de NAVIEX. Peuvent-ils, t e l s quels, %re transposds dans une t h b r i e de l a turbulence? On peut en d i s c u t e r ( v o i r a u s s i l e tres i n t e r e s s a n t exposd de $.HOPF [34]): aucune des raisons qui ont 6 t Q ava.nc6es jusqu9 i c i , dans un sens ou dans l9autre, ne nous semble bien convaincante. Nous nous contenterons de prdsenter une remarque: les seul e s i n t d g r a l e s de l V Q q u a t i o nde l a chaleur dont on peut dkduire dans un , assuetdomaine D donnh, des i n t h g r a l e s de l9equation de B ~ G E R S sont t i e s h l a condition: dans D O r David V.WIDDER [96] a ddmontrh l e theoreme suivant:
Si D e s t 2e demi-plan [6], les conditions: w(x, t ) 2 0
dans D
w(x,t) , wt(x,t) wt = v wXx
.
w x ( x . t ) , w x x ( x , t ) E c(D)
en t o u t point de D
4-APPLICATION AUX ~ C O U L E M E N TTURBULENTS imp1 iquent: w(x,t)
est analytique en
(x,t)
dans
D.
I1 en r 6 s u l t e imm6diatement que t o u t e s l e s i n t h g r a l e s
l'equation de B ~ G E R S , d e f i n i e s dans l e demi-plan sont analytioues en
u(x,t )
de
D par la formule [2],
( x , t ) ; o r nous avons vu, au c h a p i t r e I ,
que l e s
Qquations de NAVIER pouvaient a v o i r des i n t h g r a l e s non analytiques par rapport au temps t ; t o u t e s c e s i n t h g r a l e s sont automatiauement exclues p a r l a s u b s t i t u t i o n du modele & l a r h a l i t e . S i 1' on soupponne que l e s i n t k g r a l e s , non analytiques en t , des equations de NAVIER jouent un r 8 l e dans l e s hcoulements turbulents, l e moins que l9on p u i s s e d i r e , c-st nante.
que l e u r exclusion du modhe de B ~ G E R S , e s t une circonstance gs-
CHAPITRE I11
La notion de moyenne e t l e s equations de REYNOIDS.
1
-
AperGu h i s t o r i q u e s u r l a n o t i o n de moyenne. Une hnigme avait
6th
posee: 1' integrale QlQmentaire(mouvement per-
manent par d r o i t e s paralleles) des iquations de NAVIER, e t a i t en disaccord complet avec l e s kcoulements etudibs par l e s hydrauliciens dans l e s grosses canal i s a t ions e t en excellent accord avec l e s Qcoulements observes,
a
l a ~ a c u l t ede ~ & d e c i n e dans , l e s tubes c a p i l l a i r e s .
Pour expliquer ces f a i t s ,
l a s u i t e de DARCY, de BAZIN,
de
BARRE:
DE SAINT VENANT, BOUSSINESQ [9] (1872) distingue n,ettement deux regimes
d, dcoulement bien d i f f i r e n t s , l e premier "bien continu", l e second "tumultueux e t t o ~ r b i l l o n n a n t " ~ en 1883, 0. REYNOLDS [89] visualise l a d i f fei-ence de ces deux rhgimes "direct" e t "sinueux" e t decouvre un critkr e qui permet de prkvoir lequel s e realisera, dr aprks l a valeur du '%ombre de RFYNOLDS". Nous appelons auj ourd' hui laminaire l e premier regime d.ecoulement, mouvement permanent oh l e s t r a j e c t o i r e s sont des d r o i t e s paralleles, e t turbulent l e second, dont 1' extreme complexite, dans
l%space et dans
l e temps, apparait comme l a caracteristique essentielle. Pour etudier ces derniers mouvements, o i l e s "vitesses vraies" sont "rapidement ou mhe brusquement variables d9un point
\a
l'autre",
BOUS-
SINeSQ propose de "choisir pour equations du mouvement, non pas l e s relations qui expriment \a un moment donne 1: eauilibre dynamique des divers volumes elementaires du fluide, mais les moyennes de ces relations pendant un temps assez court, ou ce que l'on peut appeler l e s equations de
1.equilibre dynamique moyen des particules fluides qui passent successivement en un mcme point.' [9] ( P 7) C' e s t par ces remarques, sowent tr& pknetrantes, que 1? nntinn de moyenne a f a i t son entree dans l a theorie de l a turbulence pour etu..4-
I -APERCU HISTORIQUE d i e r l e s mouvements c a r a c t e r i s e s p a r des "changements frequents e t rapides, msis s s s u j e t t i s % une s o r t e de p i r i o d i c i t e irregulii?rel. (p. 24). BOUSSINESQ i n t r o d u i t "au l i e u du l i q u i d e htudi6 reellement, un f l u i d e f i c t i f dont l e s v i t e s s e s auraient pour composantes suivant l e s axes en chaque point e t & chasue i n s t a n t : iij (x, t )
[ 11
=
'rtT
u j (x, s ) ds
T
ou T designe I9un temps assez p e t i t " (p. 2 6 ) .
Tandis que BOUSSINESQ pour d h f i n i r l a moyenne, a devant l e s yeux 1' image, trBs contrite, d9un appareil de mesure plach en un point x du f l u i d e e t operant pendant un i n t e r v a l l e de temps T au c o n t r a i r e , WYNOLDS [go] s e r i f e r e
k
l a methode de c a l c u l , t o u t e thkorique,
par la-
quelle l e s composantes u(x, t ) de l a v i t e s s e d' un f l u i d e (molar-motion) s e deduisent des v i t e s s e s des mol6cules, constituant c e f l u i d e selon l a t h h r i e cin&tique (heat-motion). On considere l e s N molhcules dont l e s c e n t r e s x('),-.
.. ,
x ( ~sont contenus
&
l e vecteur v i t e s s e du f l u i d e , au point
15i n s t a n t
t
dans un volume B;
x , centre de g r a v i d des N mo-
lecules:
e s t a l o r s d k f i n i comme l a moyenne des v i t e s s e s
u(!' . .. ,u ( ~ )des
mod-
cules: 1
[21
u(x, t ) = N
zN u(")
l a v i t e s s e d9a g i t a t i o n ( a g i t a t i o n thermiaue) d u n e mol&cule e s t a l o r s reprisentee p a r l e vecteur:
REYNOLDS s e propose "the application of t h e same method of analy-
sis... t o d i s t i n g u i s h between mean-molar motion and relative-molar-mo-
t i o n " (I?1 2 5 ) . "The geometrical r e l a t i o n of t h e motions r e s p e c t i v e l y indicated by t h e t e m s mean-molar o r mean-mean-motion and relative-molar
o r relative-mean-motion being e s s e n t i a l l y t h e same a s t h e r e l a t i o n of t h e respective motions indicated by t h e terms molar o r mean-motion, and r e l a t i v e o r heat-motion, a s used i n t h e theory of gases" (p. 125). Selon l a terminologie de BOUSSINESQ, que nous adopterons, l e "meanmolar" ou "mean-mean-motion", c9e s t 2e mouvement moyen dkfini par q ,
-
u2 , i& ; l e " r e l a t i v e molar" ou "relative-mean-motion" c' e s t l e mouve-
rnent d ' a g i t a t i o n d e f i n i par l e s f l u c t u a t i o n s ui , u: , u;
.
Pour REYNOLDS, en designant p a r Bx un "certain" volume de 1' espace, l e s composantes de l a v i t e s s e moyenne au c e n t r e de g r a v i t & x de c e volume (suppose homog&ne) sont d e f i n i e s par:
Admettant donc que t o u t e grandeur f
s o i t mise sous l a forme
une question s e pose naturellement: Quelles propriht ks une moyenne d o i t - e l l e posseder: REYNOLDS (p. 134) souligne explicitement l e s deux suivantes:
appliquee au champ des v i t e s s e s , l a premihre s i g n i f i e que l e mouvement du f l u i d e !i 1 9 i n t b r i e u r du volume Bx a une v i t e s s e moyenne nulle, quand des i axes e n t r a i n & avec l a v i t e s s e Z ( x , t ) du c e n t r e on l e rapporte ? de g r a v i t e x de Bx ; l a seconde, tres importante pour l e ddveloppement de s a t h h r i e , exprime que l a moyenne de l9energie f l u i d e contenu dans Bx
cinetique
du
e s t l a somme de 1' Qnergie cinbtique du c e n t r e
de g r a v i t e p l u s l a moyenne de 1' hnergie cinbtique du mouvement d' a g i t a tion. Par d e s raisonnements, dont l a c l a r t e e t l a rigueur ne sont pas & 1 9 a b r i de t o u t e c r i t i q u e , RMNOLDS, prenant come h o i t e Bx u! aarsll ~ l b p i p & i e de c e n t r e x , montre cue l a condition [ 5 ] n' e s t
satisfsite
I-APERGU HISTORIQUE rigoureusement que si l e s u j
sont d e s f o n c t i o n s l i n i a i r e s d e s
xj
dans l e s a u t r e s cas, il admet aue c e s r e l a t i o n s ne peuvent & r e s a t i s f a i t e s qu' approximat ivement, 1' approximation &ant
d' a u t a n t meilleure
que l e rapport d e s "periodes" d e s % , aux "p6riodes" des u; e s t p l u s grand: " i t is t h u s seen t h a t t h e c l o s e n e s s of t h e approximation with which t h e motion o f any system can be expressed a s a varying mean-motion t o g e t h e r with a relative-motion, which, when i n t e g r a t e d o v e r a space of which t h e dimensions a r e a, b, c , h a s no momentum, i n c r e a s e s a s t h e magnitude of t h e p e r i o d s o f
ii,F,G i n comparison with
the
periods
of
u f , v f ,w f ,and is measured by t h e r a t i o o f t h e r e l a t i v e o r d e r s o f magnit u d e s t o which these periods belong" (p. 136). Pendant t r o i s decades, on s9en t i n t au p o i n t de vue de ReYNOLDS; en 1924, L. KFUER
e t A. FRIEDMANN [731 dans l e u r t e n t a t i v e
des Qquations de R,eYNOLDS a un f l u i d e compressible,
dr extension
sugghrent,
en fu-
sionnant l e s deux p o i n t s d e vue de BOULSSINESQ e t de REYNOLDS, de c a l c u l e r l a moyenne
& l a f o i s dans l e temps e t dans l'espace:
e t s e r e f h r a n t aux hypotheses de REYNOLDS s u r l e s propri&t6s de l a moyenne, ils adoptent purement e t simplement, son p o i n t de vue: Annahmen s i n d n i c h t s t r e n g g i i l t i g , l i e f e r n
"Alle d i e s e
aber g u t e Annaherungen, so-
bald d i e O s c i l l a t i o n e n genugend z a h l r e i c h und z u f a l l i g v e r t e i l t S i e wurden i n a l l e r Strenge g e l t e n , wenn e s mo,-lich ware,
sind.
e i n Ausglei-
C h ~ n g ~ i n t e ~ saol lzu wahlen, dass d a s s e l b e f u r die ausgeglichene Bewegung
als unendlich k l e i n e Grosse behandelt werden konnte und zugleich gegeniiber den Schwankungsperioden a l s unendlich gross erschiene". Dans l a revue de l 9& t a t du probleme de l a turbulence clu'il prhsenta au 1116me
~ o n g r a sI n t e r n a t i o n a l de Mecaniaue Appliquee
en
1930, C. W.
OSERN [87] e u t l e m e r i t e d ' a t t i r e r 1 a t t e n t i o n s u r l a d e f i n i t i o n de l a moyenne. I1 observe
c e s u j e t aue l a p r o p o s i t i o n de REYNOLDS: "L? pro-
p r i k t h j f = 0 n9e s t rigoureusement v h r i f i e e sue si f e s t une fonct i o n l i n e a i r e de X ~ , X , , X , ~dhpend de l a forme du volume Bx ; si, au l i e u d m p a r a l l t h & i p & d e de c e n t r e x , on u t i l i s e m e s p h i r e rle c e n t r p
- 37
-
x, f peut &re une fonction harmonique quelconque. Sauf sur ce point de d e t a i l , l a question e s t donc restee exactement dans l ' e t a t o$ 1 w a i t l a i s s e e RMOLDS en 1895, puisaue OSEFN conclut: "Trotzdem bleibt
-
REYNOLDS7sche Satz bestehen, dass die Annahmen u; = 0 ,
-
p r= 0
der
i m .?lge-
meinen nichf, r i c h t i g sein konnen. In der Praxis ist die Bedeutung dieses Satzes v i e l l e i c h t nicht sehr gross, weil man sick b i s
jetzt
i m allge-
meinen m i t solchen Fiillen beschiiftigt hat, in welcben die durchschnittliche Bewegung stationxr ist. Wenn man in diesem F?11 d i e Mittelung in -
bezug auf d i e Zeit ausfuhrt, so g i l t streng u; ;O ,
-
pf
L.
0 Prinziniell
ist es aber wichtig, dass diese Gleichungen i m allgemeinen mcht e r f u l l t sein konnen. Wir werden i m Folgenden i n Ubereinstimmung, m i t
den
auf
diesem Gebiet tatigen Forschern, voraussetzen, dass man ohne merklichen Fehler
-
US = 0 , p-
-.
0 setzen konn. Uberdies setzen
wir
voraus
auch
hierin in llbereinstimmung m i t den Autoren auf diesem Gebiete, dass s t e t s
-(py m i t Y j e r s e t z t werden konne" (p. 9 ) ,
Dans l a discussion aui s u i v i t 1' expose d OSEW, J. M. B ~ G E R Spresenta une methode de definition de l a moyenne due
A. A.
\a
trbs differente de c e l l e s de BOUSSINESQ e t de REYNOLDS:
ISAKSON [39] supposant
clue
l a fonction f ( t ) e s t decomposee en freauences harmoniques par 1.integrale de Fourier:
[
f(t)=
A ( A ) cos [ht - ~ ( h )d ]h
ISAKSON propose de d i f i n i r l a moyenne par une oneration de f i l t r a g e en s u p ~ r i v s n tcertaines f rdquences.
l
J(t)=
A(A) cos [ht - a(h)] dh
,
E des fr6rluences conservdes, etant d' a i l l e u r s a r b i t r a i r e ; on voit a l o r s aishment w e , q ~ e l que s n i t l e f i l t r e E choisi, l a prop r i e t ~['] est rieoureilsement verifi;e, par contre, l a pronriete [5], 1' ensembl s
tout aussi importante, n9est s a t i s f a i t e , avec un spectre de frequences A ( A ) donnh, aue pour un choix trks particulier du f i l t r e . 1& encore, il ne s ' a g i t , en g6neral, que d'une solution approchee ( * ) [44], [48] (', Nous avons d i s c u t b c e s p o l n t s d e vue arec p l u s de d e t a i l s dans nous s u i v o n s i c i n o t r e expos6 [63], de t r B s p r e s nous nous sommes m$me permis d en reproduire, presque ~ n t h ~ r a l e m e n tc,e r t a i n e s pages.
-38-
2 - L E S E O S . DE REYNOLDS
2
-
Les e q u a t i o n s de REYNOLDS. Le nom d90sborne REYNOLDS est surtout lii k l a thhorie de l a tur-
bulence par l e s equations qu' il a donnees pour l e mouvement moyen:
Ces kquations de l?El'iWAS sont restees jusqu'i ce jour, l a base de l a ~ Q c a n i q u de e l a turbulence; 1 equation
(R,)
exprime que, dans son
mouvement moyen, l e fluide e s t incompressible; si 1' on compare
(Nj) ( j
=
( R ~ )k
1,2,3), il e s t c l a i r que l e fluide "moyenv7s e meut exactement
comme un fluide "reel", si aux forces de viscosith molhculaire:
on a j o u t a i t l e s forces de viscosite turbulentes:
Ce sont donc ces forces qui traduisent l'ejfet moyen
uj
des fluctuations turbulentes u;
,
sur
le
mouvement
c e s t l a l e noeud de l a
decouverte de REYNOLDS e t l e progres essentiel accompli par rapport 1
E
\a
f i c t i f de BOUSSINESQ. Si 190n admet, d9une p a r t , que l a Mecanique des fluides doit &re
basee sur l e s
equations
de NAVIER
( N j ) , d'autre part que l a theorie
de l a turbulence, chapitre p a r t i c u l i e r de c e t t e ~kcanique, d o l t & r e basee sur l e s equations de REZNOLDS ( ~ j , ) il semble logiaue de se pos e r avivctnt t o l ~ texamen d une definition particuliere de l a moyenne,
la
auest ion suivanteo &el les sont les proprLetes de la moyenne, necessaires
et
suffi-
santes pour que les equat tons de FtEMVaaS se deduzsent r igour e us ement des equations de NAVIFR
en en prenant la moyenne?
La reponse e s t immddiate: S i chacune des 4 fbnct ions
U,
(x;t ) , p ( x , t )
f igurant dans
(N~)
est dkcomposee sous la forme: [41
pour que:
i l j'aut e t i l sufj'it que:
RBgle 1
f = ytg (a = constante)
at
- =ax,
at
ax,
I1 e s t en e f f e t a i s 6 de v h r i f i e r que ces "rkgles du jeufr sont l e s
s e u l e s employees e t que chacune d' e l l e 1' e s t ef fectivement dans l e passage de
(N,)
(R,) .
I1 e s t curieux d'observer que l a rkgle:
& l a q u e l l e precisAment REXNOLDG e t s e s successeurs consacrent une attent i o n p a r t i c u l i e r e , n ' e s t pas effectivement u t i l i s e e dans l e passage de s i on attache donc une t e l le importance h [5] c ' e s t parce qu'on la juge impliqude i n t u i t ivement dans l e concept de la moyenne,
( N ~ )a (R,) ;
mais nu1 lement parce qu'el l e intervient dans l e s calculs rkellement e j fectuks.
Pour n o t r e p a r t , nous avons toujours admis l a condition [5] au nombre des axiomes fondamentaux de l a moyenne; rhcemment Madame DUBREILJACOTIN [19] e t son collaborateur I.MOLINAR0 [83] ont consid6re des de-
f i n i t i o n s de l a moyenne ne s a t i s f a i s a n t p l u s necessairement & c e t t e rbgle, j e n' en p a r l e r a i pas davantage puisque vous aurez l e p l a i s i r d%ntendre Madame DUBREIL-JACOTIN vous exposer elle-mane s e s r e s u l t a t s au cours d' une prochaine conf6rence -40-
Notons clue si l ' o n applique l a r & l e 1 equivalent &*
\a
[4], on v o i t que
[5] e s t
[81 [8] imnliauant [5] e t reciprouuement.
D'autre p s r t , il e s t f a c i l e de prouver que, en vertu de
[5] , l a
r e g l e 3 devient eauivalente &
3
-
~ k g l e spour l e c a l c u l des moyennes.
Finalement on o b t i e n t l e systbme de rhgles:
-=-
at
at
-=-
a~,
ax,
precisLment sous l a forme que Aous l u i avons donnee, en 1935, dans [41] P. 30.
Mais, t a n d i s aue l e systAme des r e g l e s 1 , 2 , 3 , 4 e s t reellement nec e s s a i r e e t s u f f i s s n t pour l? v a l i d i t e de
-
(N,)
-
( R ~ ,) l e systhme des
rhgles 1 , 2 . 3 ' , 5 e t 4 ne ~ e u ts t r e "necess?ire e t s u f f i s a n t aue si 1 on estime que l a r & l e 5 f q i t , de d r o ~ t .n a r t l e des rkgles a ~ ~ l i c a b l e \as t o u t e operation de moyenne I1 e s t interessTtr?trie remarquer que, si 1 on admet egalement comme une propriete intuitive que la moyenne d'une constante d o ~ t&re egale
e s t exprlme par' ~ b g l e6
& c e t t e constante, ce nui, en v e r t u d e l a rkgle 2
l a r h g l e 5' ( e t du m h e coup, l a r g g l e 6quivalente 5) devient une consequence de l a Ragle 3' . P a r consequent, l ' a d j o n c t i o n de l a r e g l e 6 au
systbme precedent,
permet de l e remplacer p a r l e systkme:
Le debat e t a n t a i n s i e c l a i r 6 p a r l e s conditions p r d c i s e s imposees
h l a moyenne, on peut aborder l e probleme p r i n c i p a l : comment d i f i n i r l a moyenne f d'une grandeur ~ h y s i q u e f de maniire 2 s a t i s f a i r e aux rBgles du jeu? La ~ Q c a n i q u edes f l u i d e s e t a n t o r i e n t e e v e r s 1' e x p l i c a t i o n
de f a i t s physiques f o u r n i s p a r experience, il f a u t e s s a y e r de t r a d u i r e a u s s i bien que possible, dans l a d e f i n i t i o n , l a demarche du physicien s e s e r v a n t d'un a p p a r e i l de mesure. A c e p o i n t de vue, 1' i d e e de BOUSSINESQ nous p a r a i t p l u s n a t u r e l l e que c e l l e de REXNOLDS: l a moyenne de l a grandeur
f (x,t ) e s t donnde par un appareil place au point fixe x
e t fonct ionnant pendant un t emps
T.
Avant dpexaminer l a forme concrkte donnee p a r BOUSSINESQ
\a
cette
une i remarque, importante pour i d e e gdnerale, il convient de s ' a r r g t e r ? 1' i n t e r p r e t a t i o n physique de t o u t e d e f i n i t i o n de l a moyenne: l e s rhgles 1 e t 2 - absolument indispensables pour que
(N,)
=
(R,) -, expriment que
1 'operat ion par laquel le on calcule la moyenne e s t une op&ation l k a i r e . Or, souvent, l a "reponsew d' un a p p a r e i l de mesure n; e s t p a s proportionn e l l e & l a grandeur mesuree: p a r exemple, c e r t a i n s anemomktres o n t une reponse, qui au l i e u d; i t r e p r o p o r t i o n n e l l e
l a vitesse
? i
V , e s t pro-
p o r t i o n n e l l e a V2, a d F , e t c . . . La moyenne dkduite d ' u n e l e c t u r e d i r e c t e de l a courbe t r a c e e p a r I t a p p a r e i l , n z e s t donc p a s l i n e a i r e dsns c e cas. La comparaison e n t r e l e s r e s u l t a t s experimentaux et Ies r e s u l t s t s
3 - REGLES POUR LE CALCUL DES MOYENNES
theoriques, s e trouve, de ce f a i t , en f a c e d h n e d i f f i c u l t e supplement a i r e , souvent meconnue e t passee sous silence. Eh r e a l i t e , l e problhme e s t encore beaucoup plus
compliaue,
car
lorsqu' on p a r l e de l a reponse d' un appareil, on s e r e f e r e toujours i m plicitement
s e s i n d i c a t i o n s dans un ecoulement uniforme
de X) e t permanent (independant de t ) ; c ' e s t a i n s i ,
(indhpendant
en p a r t i c u l i e r ,
ou; e s t obtenue l a courbe de tarage
cp(V) d; un anemomhtre, m a i s lorsquun anemomktre fonctionne reellement dans un ecoulement t u r b u l e n t , s e s indications dependent de t o u t e s l e s valeurs de u ( x , t ) dans t o u t 1-space occupe par l e f l u i d e e t pendant t o u t e l a dur6e de 1' experience; il s ' a g i t d'une r e l a t i o n fonctionnelle dont l a forme e s t , en gdneral, totalement inconnue; mfbe en admettant que, s e u l e s ont de l'importance l e s vecteurs u ( x , t ) en des p o i n t s x instants t
v o i s i n s de 19anemom&tre e t
& des
v o i s i n s de l a mesure, on ne s a i t pas comment t r a d u i r e avec
precision c e t t e correspondnnce foncionnelle pour un anemomktre donne. Le c8te th&rique semblant inabordable, on s o u h a i t e r a i t que l e c8te experimental e a t davantage a t t i r b 1 9 a t t e n t i o n ; une c r i t i q u e tres approfond i e des diverses methodes experimentales u t i l i s e e s dans l e s mesures en ecoulement turbulent, s e r a i t certainement une source de progr'es consid e r a b l e ~ : o r , on ne possGde,
k notre connaissance, que des recherches
assez fragmentaires s u r l e comportement des an&mom&tres en ecoulements non uniformes e t non permanents: anemomktres 1 f i l chaud soumis k des v i b r a t i o n s ~ k r i o d i q u e sdans de 1' a i r au repos, anemom&tres 'a coupelles soumis 2 une r a f a l e a r t i f i c i e i l e de forme connue ( * ) , &ant soulignk quelques unes des d i f f i c u l t h de l a traduction
en
langage mathematique du' rapport e n t r e l e s vnleurs exactes d'une grandeur physiaue e t l e s moyennes fournies par un appareil de mesure, revenons 2 l a d e f i n i t i o n p a r t i c u l i e r e de l a moyenne suggeree par BOUSSINESQ
( * ) Nous avons p r e s e n t 6 quelques remarques sur c e point dans [43] e t [ 7 1 ] ; [TO] expose l e s r e s u l t a t s exp6riment aux obt enus pour un an6momht r e k c o u p e l l e s .
I1 e s t c l a i r que l e s rkgles 1 , 2 e t 6 sont s a t i s f a i t e s : par cont re,
l e s r i g l e s 3.5 e t 5' depuis longtemps, il s e f a i r e une idee de vante: l e s fonctions
ne l e sont pas en general; comme on 1 - a remarquk ne peut plus s ' a g i r que d9m e approximation. On peut l ' o r d r e de c e t t e approximation de l a maniire suil e s plus interessantes sont hidemment des fonctions
oscillantes dont l e type gen&ral e s t fourni par l e s fonctions presque pbriodiques e t que l'on e s t t e n t e de dkcomposer en composantes h s m n i ques:
f
=
A cos A t
g = B cos p t
.
Pour ces fonctions particulibres, avec l a dhfinition
[I]
de l a
moyenne, un calcul d l b e n t a i r e donne facilement:
On voit donc aue l a rhgle 3 ne sera approximativement s a t i s f a i t e que si AT
et pT
Contrairement
sont suffisamment grands. l a suggestion f a i t e par BOUSSINESQ de prendre pour
T "un temps assez petit", nous sommes donc conduits, pour awir unebonne approximation, h prendre T ~suffisammentgrandw e t tout naturellemie n o w e l l e dhfinition: ment, nous aboutissons ?
Avec c e t t e d&finition, l a moyenne est gvidemment l i n e a i r e e t verif i e l e s rkgles 1 , 2 e t 6. D' autre p a r t , on voit par un calcul Qlementaire que, si l a limite existe, e l l e e s t indbpendante de t :
DPoh
I1 en resulte que l a rhgle 3 ' , devenant identique
toujours s a t i s f a i t e .
8. l a &e
2, e s t
3- PEGLES POUR LE CALCUL DES MOYENNES D' a u t r e p a r t , pour rlue 1s l h r e p a r t i e de l a rkgle 4 s o i t v & r i f i & e il s u f f i t aue:
f (x, T) T-+co T
[lo1
l i m -= 0
aui entrafne:
Fn outre, on peut trouver diverses conditions s u f f i s a n t e s pour que l a 2eme p a r t i e de c e t t e meme r e g l e s o i t a u s s i s a t i s f a i t e : p a r exemple, il s u f f i t aue:
si
Ih 1 < S ( E , X ) uniform&ent en
t
pour -
a, < t
<
+ a.
Par conskquent, si 1 'on suppose que, pour les 4 fonctions u j ( x , t ) , p(x, t ) la limite [9] existe et que les conditions suffisantes [lo] et [ll] sont satisjaites, en prenant [9] comrne dhfinition de
la moyenne,
on a rigoureusement :
mais le mouvement moyen du jluide dkfini par
q ( x ) ,p ( x )
est toujours
nkcessairement permanent.
~ a l ~ son r 6 apparence prQcise, c e t Qnonce l a i s s e encore l a p o r t e ouverte & une question fondamentale: en e f f e t , il ne r6sout l e probl&e pos6 pour l a moyenne d h f i n i e par [9] que "si 1; l i m i t e e x i s t e e t s i l e s conditions [lo] e t [ll] sont s a t i s f a i t e s " ; o r ,
u j ( x , t ) , p(x, t ) ne sont
Das des fonctions quelconques, auxquelles nous pouvons imposer les prop r i k t e s matbimatiques dont nous avons besoin, au gre de notre f a n t a i s i e ; il e s t e s s e n t i e l de ne pas perdre de vue - come nous
l 2avons
rappel;
dans l rintroduction - que u j ( x , t ) e t P(x, t ) doivent & r e des i n t e g r a l e s des equations de NAVIER. La question e s t donc posee: pour l e s i n t h g r a l e s 'des equations de NAVIER, suf f isamment conpliqukes pour representer un
mouvement turbul e n t , l a l i m i t e [9] e x i s t e - t - e l l e e t l e s conditions [lo] e t [ll] sont-
e l l e s s a t i s f a i t e s ? h attendant l a reponse, on peut s e demander, s i not r e enonce, mslgre sa forme rigoureuse, n'est pas vide de tout contenu Dans beaucoup d, etudes theoriques, on symet rique: -
f ( x ,t )
[121
2:
A prefere a [9], lrexpression
ly
1 lim -
T-+a 2T
f (x,s) ds
peut-Qtre moins naturelle pour un experimentateur, puisqu2elle f a i t appel
?i un retour vers un passe indefiniment eloigne de 1 9 i n s t a n t choisi pour l a mesure de l a moyenne.
Un t h e o r h e , du ?i PLANCHEREL e t POLYA [881, donne un r e s u l t a t prec i s pour c e t t e dernibre dhfinition de l a moyenne. S i : a ) l a fonct ion f ( t )E L [a,b ] , dans tout intervalle
[a, b J jinr,
e x i s t e pour tout t , on a a l o r s n&cessairement: 1131
Un t h k r i m e de Norbert WJr.tER [97] (P. 155) vient complkter ce re-
sultat-
',
f ( t ) E L[a, dans tout i n t e r v a l l e [a, b ] f i n i ; b) f ( t ) e s t oornie au moins d 'un cdte, c $ e s t a d i r e si I on a'
S i : a)
C)
pour
-co
pour
-co
F(o)e x i s t e
alors f ( t ) e x i s t e pour tout
t
et:
f ( t ) = f(0)
::
constante
.
I1 e s t c l a i r que si, comme dans l e th6orkme de PLANCHEREL et PLOYA,
on suppose seulement 1, existence de f ( t ), l e s regles 1 , 2 e t 6 sont sa-
t i s f s i t e s : en o u t r e , comme, avec l a d e f i n i t i o n [12], on a:
attb
=
attb
on v o i t de s u i t e aue l a r e g l e 5' e t p a r conskquent l a r e g l e 5 l e sont egal ement . Par contre, en gkn&ral, - l a r e g l e 3' ne s e r a pas s a t i s f a i t e ; en ef-
f e t , en vertu de [13], J g d i s aue
?g
e t a n t une moyenne s e r a l i n 6 a i r e en t , tan-
ktant l e produit de deux moyennes, s e r a du second degrh.
Nous sommes donc c o n t r a i n t s d5adopter l e s hypotheses p l u s r e s t r i c t i v e s du theorbme de WIE!NER; il ne semble d-illeurs
nullement absurde
physiauement d' imposer l a condition p l u s f o r t e , mais symhtrique,
que,
en t o u t point du f l u i d e f(x,t) e s t une fonction bornee de t
Nous pouvons affirmer a l o r s que l a moyenne d e f i n i e p a r [121 (si l a l i m i t e e x i s t e pour t = 0 ) e s t independante du temps e t nous retrouvons l e m b e r e s u l t a t que pour l a moyenne [9]:
Des raisonnements identiques
k ceux d6velopp6s
propos de lamoyen-
ne [9], prouvent a l o r s que l a moyenne [12] v e r i f i e t o u t e s l e s r e g l e s du jeu e t 1 on peut conclure que: S i la moyenne e s t d e j i n i e par [12] et s i l e s 4 jonctions uj(x,t ),
x du jluide, les equat zons de REYNaAC sont une conshquence rzeoureuse des equat zons de NAVIEP, maxs l e mouvement moyen uj(x) , p(x) aznsz def znz e s t toujours
p (x,t)
sont bornies par rapport )I t en chaque point
necessazrement permanent Pour s a t ~ s f a i r e\a l a r k g l e 3"
nous avor~se t e c o n t r a i n t s de suppo-
s e r uj(x,t ) , p(x, t) bornees, par l e f a i t m&e, nous
avons e c a r t e l a
p o s s i b i l i t 6 , l a i s s d e ouverte par l e t h e o r h e de PLANCHERE'L
et
POLYA,
dont BOUSSINFSQ f a i t grand uszge, des mouvement s l e n t ement varies': c' e s t
A d i r e oh
< (x,t)
e t p(x t) sont l l n e a i r e s en t
S i 1 on remplace l a moyenne temporelle, suggeree par BOUSSINFSQ par
l a moyenne s p a t i a l e , suggeree p a r REYNOLDS:
o?~l ' o n
choisi comme volume
Bx l a sphkre ~ ~ ( de x )c e n t r e x e t de
N , on aboutit l a conclusione suivsnte: S i 1 on suppose que l e s 4 fonct ions u j (x, t ) , fi ( x , t ) sont bornees (Z tout i n s t a n t t : [f(x,t ) ) I ~ ( t )pour tout x rayon
la moyenne d e f i n i e par [14] permet de dkduire rigoureusement
l e s iqua-
t i o n s de REKWLAS de cel l e s de NAVIER, mais G ( t ) e t p ( t ) sont constantes & tout instant t duns tout 1 'espace.
4
-
Sur l e s transformations dans un anneaux de f o n c t i o n s . I1 e s t c l a i r aue l e s s o l u t i o n s [9] e t [14], Cas l i m i t e s des formu-
l e s de BOU=INFSQ
e t de REYNOLDS, s e sont presentees comme une traduction
n a t u r e l l e d' i n t e r p r e t a t i o n s physiques, mais nullement comme l e s s e u l e s s o l u t i o n s logirlues des regles du j eu.
E!n fajsrtnt correspondre
k
une fonction
f s a moyenne
f ,on
defi-
n i t une transformat ion duns un c e r t a i n ensemble de fonct ions, jusqu'ici, nous avons l s i s s e 1s d e f i n i t i o n de c e t ensemble dons l e vague; pour avoir un problkme m~themstiouebien pose, il convient d9abord de 1s p r e c i s e r , puisque l e s sommes f
+g
e t l e s ~ r o d u i t sf g e t
af figurent dms nos
c s l c u l s , il e s t c l a i r nue 1' ensemble des fonctions f
d o i t s t r e un an-
neau. D' a u t r e p a r t , s i 1 on examine l e s r e g l e s gui f i x e n t les p r o p r i e t e s de
7,
on constate aue l a nature de l'ensemble s u r lenuel est defini f ,
(ensemble a u i , en Mecanirlue des f l u i d e s , e s t evidemment un domaine de 1 esnace euclidien
4 dimensions) n i n t e r v i e n t que dans l a rhgle 4 ob
? i
figurent l e s derivees de f . S i on l a i s s e , provisoirement,
de cate la
d g l e 4, on n ' a plus a imposer aucune propriete p a r t i c u l i 2 r e & 1. ensemb l e s u r lequel
f e s t d e f i n i , pour enoncer l e s rBgles 1 , 2 , 3 , e t 6
Eh 1949, nous avons e t e conduit suivante [45] :
exprimer c e s idees sous l a f o m e
4 -TRANSFORMATIONS DANS UN ANNEAUX DE FONCTIONS Soit X
anneau de fonctions f ( x )
un ensemble a b s t r a i t ,
l e u r s r e e l l e s d6f i n i e s pour t o u t
x
49
?t
va-
6X.
Nous dirons aue l a correspondance:
d e f i n i s s a n t une application de
8
s u r une p a r t i e de lui-&me,
e s t une
E M V m si e l l e s a t i s f a i t aux conditions suivantes: transj'ormation de R
Les conditions (TI) e t (T2) expriment aue T e s t une transjorrnation linhaire; c ' e s t l a condition (T3) aui f a i t , en m8me temps, l'int e r g t e t l a d i f f i c u l t e de 1' etude des transformations de REYNOLDS. La plupart des anneaux i n t e r e s s a n t s pour nous, topologiques: p a r exemple, 17ensemble ~ [ ab ], continues dans 1 7 i n t e r v a l l e ferme
sont
des anneaux
de t o u t e s l e s fonctions
[ a , b ] de l a d r o i t e r e e l l e , muni de
l a topologie de l a convergence uniforme
il e s t a l o r s nature1 de suppo-
s e r l a transformation T continue, cr e s t
dire.
? i
Etant donn6e une p a r t i e E de X , nous designerons p a r c E ( x ) s a fonction caract;ristique,
d k f i n i e par:
x € E
x
E
X-E
.
Toute fonction c a r a c t e r i s t i q u e , si e l l e appartient potent de
h8
est un Idem-
e t reciproquement.
Pour que 8 contienne l e s constantes, il faut e t il s u f f i t qu' il contienne c x = 1 . c e t t e condition n-st pas toujours realis&' p w exemp l e 1' anneau des fonctions Co[a,b ] t e l l e s que f ( x ) E C [ a ,b ] , f ( a ) = =
f (b)
= 0 , ne contient p a s l a constante
1 ' si c e t t e
condition
est
r e a l ishe, nous supposerons t o u j o u r s que:
Nous sommes a i n s i conduits
I? formuler l e probleme suivant:
&ant
donnk un anneau topologique % de j'onctions f (x) , dkterminer toutes les transformations T
e t (T,);
sat isfaisant les conditions (TI), (T2), (T3), (T4)
c e problkme a toujours un sens puisqu9il e s t evident qu'il exi-
s t e toujours au moins une transformation de REYNOLDS, l a transformation ident i que:
T f = f .
F8
Etant donnee une transformation de REYNOLDS, t o u t e fonction f (x)
peut s e mettre d9une maniere e t d9une seule sous l a forme ( d h m p o s i t i o n de REYNOLDS):
t e l l e que Tm = m ,
m=Tf
Tn
=
0 ; il s u f f i t de poser:
n = f-Tf
(moyenne),
(fluctuation)
Dans n o t r e premier t r a v a i l [45], nous n' avons obtenu nous-m8me tout e s l e s transformations de REYNOLDS que, dans l e c a s oh l'ensemble ktant quelconque, l Panneau
31
X
s e compose de t o u t e s l e s fonctions, dont
chacune ne prend qu9un nombre f i n i de valeurs (ce nombre n' &ant d' a i l l e u r s pas born6 sup6rieurement s u r
%).
LPun des r e s u l t a t s l e s p l u s heureux de ce t r a v a i l , f u t de provoquer une contribution de Garrett BIRKHOFF au Colloque d ' ~ l g & b r ede P a r i s [5] qui a t t i r a a u s s i t 5 t l Pa t t e n t i o n des ~ a t h h m a t i c i e n ss u r le probl$me, tand i s que nos remarques de 1935 Q t a i e n t r e s t e e s completement
inapercues.
Dans son memoire, apres une htude profonde des proprietbs gdnkrales des transformations de REXNOLDS, G.BIRKHOFF resout l e problhme dans l e c a s ou
X
e s t un ensemble compact e t
8
l'anneau des fonctions continues
sur X . Depuis 1949, d9importantes contributions s e sont rapidement succedkes: J. SOPKA [93], m e SHU-TEN-MOY [92], Mme DUBRJ3IL-JACOTIN
1161 , [IT],
[18] e t [191, J. ARBAULT [2], [31, 1.MOLINARO [831, G.N. HIRXWELD [29]:
C, I I I
4--TRANSFORMATIONS DANS UN ANNEAUX DE FONCTIONS
nous-mcme [54], [55], [56], en 1954, avons resolu l e c s s ob
6it
51
e s t 1 an-
n e w des fonctions mesurables s u r un espace de mesure. avons recemment esquisse un tableau dd'ensemble des r k s u l t a t s
NOUS
acauis, d m s une conference donnee
?L
k
MILAN l e 8 Mai 1956,
lar~uelle
beaucoup d S $ n t r e vous ont a s s i s t e e t dont l e t e x t e vient d' e t r e publib [63], nous nous permettrons donc de renvoyer simplement aux pages 23
k
31 de c e t t e publication, d' autant p l u s clue Mme DUBRFIL-JACOTIN e t J. ARBAULT vous exposeront, ce s o i r , eux-m8mes l e u r s propres r e s u l t a t s .
Dans nos recherches, un r81e important e s t joue par l e s d i r e par l e s p a r t i e s F de 1 ensemble
t e n t s , c' e s t
tion caracteristique
Limportances des
T-idempotents provient de l a proposition
de
6it
sur
dependent
que
correspond donc une decomposition d i r e c t e
en deux sous anneaux (G. BIRKHOFF) .
Dans 1' anneau s u r un espace de mesure
X),
sur un T- idempotent F ne
suivante:
F.
T-idempot ent F
A tout
dont l a fonc-
v e r i f i e l a conditionc
CF
les valeurs prises par Tf des valeurs de f
X
T-idempo-
des fonctions mesurabl e s non-negatives
(X,3)(3=
def i n i e s
o-algkbre des ~ a r t i e smesurables de
t o u t e transformation de REXNOLDS regulihre e s t definie: (a) par l a donnee d' une p a r t i t i o n
BT de X . l a part it ion finale,
t e l l e que tout T-idempotent soit l'union ( f i n i e ou non) de classes Fk de cette partition.
(b) par l e choix d' une mesure de probabilite bre
vk
sur chaque o-algJ-
Ek formee p a r t o u s l e s ensembles de l a forme E n Fk , E e t a n t m e
p a r t i e mesurable auelconrxue de 1. Exemole A .
de
X,8
X
e s t 1.t d r o i t e r e e l l e , a 1 ensemble de t o u t e s l e s p a r t i e s
1, anneau de t o u t e s l e s fonctions r e e l l e s
c l a s s e Fk
de QT e s t 1' ensemble des x
=
vant prendre t o u t e s l e s valeurs 0 5 k < 1
k
non- negatives.
Une
(mod. 1 ) , 1 i n d i c e k poul a t r a c e 3 k de 3 s u r Fk
contient t o u t e s l e s p a r t i e s de 1 ensemble denombrable Fk . On o b t i e n t l a mesure de p r o b a b i l i t e l a p l u s generale s u r 3 k en plagant une masse
arbitraire
aU point k
5,n
+n
(n e n t i e r ) t e l le que:
n=fm En=-m Vk,n = 1 .
d ~
Lz trsnsformat ion de RFYNOLDS regul i k r e l a p l u s generale correspon? ?\ ces donnees e s t d e f i n i e par: Tf
-
n=-m
f(k +n)vk,n
pour x = k
I1 e s t c l a i r flue l a trnnsformee T f
(mod. 1 )
e s t une
.
fonction periodique
de periode 1 en x . Un exemple elementaire s5o b t i e n t , en choisissant:
pour
x
9
(mod. 1 )
k
c ' e s t h d i r e que T f e s t d e f i n i e comme l a fonction periodique deperiode 1 t e l l e w e : pour Exemple B:
de X *
a
X e s t l a droite reelle, d
0lx < 1 1' ensemble de t o u t e s l e s p a r t i e s
1"anneau de t o u t e s l e s fonctions r e e l l e s non-negatives.
Une
de OT e s t l e couple de point { - k , t k ) ; 1 indice k pouv m t prendre t o u t e s l e s valeurs 0 _< k < t w ; 1' ensemble dT des Tidempotents e s t c o n s t i t u e par t o u t e s l e s p a r t i e s de X symetriaues p a r c l a s s e Fk
rapport k 0 . La mesure de p r o b a b i l i t e l a p l u s generale s u r dk s obtienten pla$ant une masse mb au point -k
e t l a masse
1 -mk
au point t k , 0 5
_< mk I 1 . La transformation de REYNOLDS regulibre l a plus generale cor-
respondant & c e s donnees e s t d e f i n i e par
oh l a fonction m ( x ) d e f i n i e pour 0 I x < t i e 8: o Im ( x ) _< 1
+w
e s t seulement a s s u j e t -
En prenant successivement m ( x ) = 0 e t m ( x )
1 2
-
on o b t i e n t l e s
4 -TRANSFORMATIONS DANS UN ANNEAUX
DE FONCTIONS
53
exemples e l hmentaires: et:
Exemple C:
X e s t l a droite r e e l l e , d 1' ensemble de t o u t e s l e s p a r t i e s
boreliennes de
X. dl e s t donc
15anneau de t o u t e s l e s fonctions non-ne-
gatives mesurables s u sens de B O R E (fonctions de BAIR,F); prenons pour ensemble K d5i n d i c e s , 1' ensemble des e n t i e r s s e Fk
de
eT
k < t w - une clas-
est l'intervalle:
il e s t c l a i r que
de l ' i n t e r v a l l e
a, <
dk est Fk
p l u s generale s u r
15ensemble de t o u t e s l e s p a r t i e s boreliennes
. Nous definissons l a mesure de p r o b a b i l i t e
gk ,
en choisissant une fonction
non
vk
la
decroissante
~ ( x , ) pour - w < x < t w t e l l e me:
La transformation de REWOLDS rkguliere l a p l u s gknerale e s t d e f i n i e s u r chaaue Fk
par:
& d i r e 1' i n t e r v a l l e i O , l ] , oh 1 9 0 n considkre l e s p o i n t s 1 e t 0 cornme confondus ( t o r e & une dimension): 8 e s t 1' ensemble de t o u t e s l e s p a r t i e s boreliennes de X " e s t Exemple 0:
X e s t une circonference, c-st
l'anneau de t o u t e s l e s fonctions non-negatives mesurables au sens de BORm dans
[ 0 , 1 ] t e l l e s que: f(1)
-f(o)
~
La p a r t i t i o n RT ne comprend qu une s e u l e c l a s s e F = X l a mesnre de p r o b a b i l i t e v d e f i n i e s u r 3 e s t une mesure de LFIRESOVE-STIFilLTJES*
f i n i e par une fonction ~ ( x )non decroissante t e l l e que:
On o b t i e n t l a transformation de REYNOLDS reguligre l a plus generale en prenant pour Tf
l a constante: pour t o u t
x
€ X .
En p a r t i c u l i e r si ~ ( x =) x
pour tout
5
-
x
6X
Conclusions c r i t i q u e s .
En dehors de l e u r contribution
\a
l a t h i o r i e des transformations dans
un anneau de fonctions, w e 1 e s t 1' apport des recherches precedentes
k
l a notion de moyenne dans l a t h e o r i e de l a turbulence? Nous pensons aue, sur un n o i n t au moins, il e s t fondamental: nous savons desormais que, avec l e s conditions posees, pour dhfinir une transformation de REYNOLDS, nous pouvons disposer, dans l 9espace X s u r l e quel sont def i n i e s l e s fonctions s u r chaaue c l a s s e Fk
de
f (r), dyune p a r t i t i o n a r b i t r a i r e
QT, l a transformee a une valeur cbnstante
qui ne depend, d ' a i l l e u r s , que des valeurs de f de
BT
s u r Fk
qui f i x e l e type de l a transformation; une f o i s
choix des mesures
oT ;
vk , sur l e s classes
I
c'est l e choix
eT
choisie, l e
Fk , apparait comme secondaire.
Ceci nous donne un cadre general dans lequel nous devons necessairement p l a c e r nos recherches d'une d e f i n i t i o n de l a moyenne nos e s s a i s ne sont p l u s maintenant l i v r e s au hasard d' i n t u i t i o n s physiques plus ou moins heureusesy nous devrons simplement explorer ~ ~ s t k m a t i q u e m e nlte s consequences des divers types de p a r t i t i o n s de 1' ensemble X . Mais avant d' a l l e r p l u s l o i n , nous devons nous souvenir que, en formulant au § 4, l e s p r o p r i e t e s des transformations de REYNOLDS, nous avons lhisse de cCt6 \ une des r z g l e s que d o i t necessairement s a t i s f a i r e la moyefine: l a r e g l e 4.
5 - CONCL USIOh'S CRITIQUES Toute transforms.tion de RFYNOLDS ne conduit donc pas & une d e f i n i t i o n de l a moyenne acceptable en ~ e c a n i q u edes fluides. Aux jcondit ions ghnkra~es(TI), (T2), (Ts), (T4), (T5)
.
WUS
devons adjoindre une condition
suppl~mentaire:
(TD) qui exprime que T permute avec un certain opkrateur dif'hrentiel D .
Bornons-nous, pour ne pas compliquer inutilement, grandeur f ne dhpend que d9une variable e t o:
au c a s oh l a
X s e r a un i n t e r v a l l e
f i n i ou l a d r o i t e r h e l l e . La condition (TD) peut & r e interprhthe dans deux sens: (a) au sens h t r o i t , on supposera w e t o u t e fonction f df df dbrivke - , que -€ dl e t que l P o n a: dx dx
T(Z)
=
admet une
$ (Tf)
pour t o u t e f f I% ; c e t t e i n t erprhtation imp1 ique 6videmment que l ' m e a u ne contient que des fonctions indhf iniment dkrivabl es. (b) au sens l a r g e , en admettant que (TD) d o i t s t r e s a t i s f a i t e chaque df d f o i s que - e t - (Tf) existent e t appartiennent & 8 ; il peut y dx dx avoir des fonctions de l'anneau pour l e s q u e l l e s on ne donne aucun sens df h (TD); p a r exemple, si - n ' e x i s t e pas. C'est c e t t e derniere i n t e r dx prhtation que nous adopterons, en e x b i n a n t comment s e comportent, p a r
.
rapport
h
(TD) l e s exemples donnks ali
5 4.'
consid6rons d' abord l e cas p a r t i c u l i e r de 1' e x em p 1 e D, oh pour t o u t x
X ;
il e s t c l a i r qu9il s a t i s f a i t (TD); en e f f e t d9une part:
pour t o u t
x
X
quelle que s o i t f e a ; d' autre part, si
df exist e dx
-
Nous avons donc un exemple d ' m e transjormat ion de R E k i W B S , [c'est
& dire, rappelons-le, d'une transformation de
% t
en une p a r t i e de l u i
meme s a t i s f a i s a n t tous l e s axiomes (TI), (T2), (Ts), (T4) e t (T,)] qui convient parf aitement pour la d i j i n i t ion d'une moyenne, puisqu 'elle vkri f i e aussi (TD).
Malheureusement , c e t t e r6ussite mathdmatique ne doi t pas nous f a i r e illusion: e l l e est sans aucune importance pour d76ventuell es applicatiqns aux Qquations de REYNOLDS dans 11dtude de l a turbulence homogene; en eff e t , dans 1' pxcmp 1 e D ,
X e s t un ensemble compact: o r dans nos recher-
c h e ~nous avons toujours & consid6rer un fluide remplissant tout l'espace
RO,
qui n'est pas compact; seuls l e s
ont donc de 1' i n t e r s t
i our
exemple A ,
8,
ou X
C
=
R
nous.
Dans 1' exempje C , l a d r o i t e r e e l l e X e s t partagee en une i n f i n i t e denombrable d5ensembles continus (intervalles de longueur
T);
dans
l'exempl e A , X est partagee en une i n f i n i t e continue d ensembles denombrables. Ces exemples sont l e s plus int6ressants parce que leurs part i t i o n s f i n a l e s OT representent, en quelque sorte, l e s d m typesextr$mes e t opposks auxquels on peut naturellement songer. Bien entendu, il e s t f a c i l e de donner des variantes, par exemple, dans l ' e x e r n p l ~ C , on pourrait prendre des i n t e r v a l l e s FI, want chacun une longueur diffdrente; dans 1' exewp l e A , on pourrait distribuer 1' indice
k
sur un
autre ensemble continu que 1' i n t e r v a l l e 0 I k < 1 . Mais on ne changer a i t a i n s i aucune propridtk e s s e n t i e l l e de l a transformation T. La definition de l a moyenne donnhe par (C) s e r a i t probablement,'assez volontiers admise par un Physicien: sur chaque intervalle, T f a une valeur constante, egale & l a moyenne de f sur c e t i n t ervalle, p r i s e avec un certain pdids. Malheureusement, il est c l a i r que (TD) n J e s t pas s a t i s f a i t e , puisqu' on aura evidemment:
5 -CONCLUSIONS CRITIQUES o r , d9a u t r e p a r t , il n' y a aucune r a i s o n que T i n t i r i e u r d' un i n t e r v a l l e
Fb ,
en t o u t p o i n t
puisque l a derivde - peut dx
fonction continue quelconnue.
&re
une
Les dkf initions (c) de la moyenne correspondant & des partit ions de la droite rdelle en intervalles, sont donc tisfont jamais
la r&le
A rejeter: el les ne sa-
4.
P a r contre, dans 1' exemple Qldmentaire donnd & l a f i n d e ( A ) : pdriodique de pdriode 1, Qgale \a f
dans 1' i n t e r v a l l e
0
Tf
2 x < 1 , il
e s t c l a i r que (TD) s e r a s a t i s f a i t e , sauf peut-&re aux points x z O (mod.1) on p o u r r a i t d' a i l l e u r s , en r e s t r e i g n a n t 1; c l a s s e des f o n c t i o n s f ( x ) , s ' a r r a n g e r pour que, m8me en c e s p o i n t s , l a r e l a t i o n s o i t v h r i f i i e .
La difinition (A) pourrait, dans un anneau convenablement restreint de fonctions, satisfaire
21
I
\
toutes les rigles imposees a lamoyenne; mais
un Physicien accepterait-il de dire qu'il prend la moyenne d 9 ~ f ~ n c t i o n ,
lorsqu'i 1 la remplace par une fonction p&-iodique,&gale h cette fonction sur m e des p&riodes?
CHAPITRE I V
hfkcanique s t a t i s t i q u e e t fonctions albatoires
1
-
R a p p e l s d e m&canique - s t a t i s t i q u e .
Jusqu' i c i , dans toutes l e s d h f i n i t i o n s de l a moyenne d'une grandeur physique f ( x , t ) , nous avons toyiours supposh que cette moyenne y ( x , t ) h t a i t calculQe s u r un ecs1;lement donnh du fluide: (a) s o i t en l a i s s a n t l e point x
f i x e e t en suivant 1 ' ~ v o l u t i o nde
quand t v a r i e de 0 a +a, (BOUSSINESQ); uni i n s t a n t t donne en mesurant f (x, t ) en tous l e s poirts (b) s o i t ?
f(x, t ) x
de 1' espace (REYNOLDS); (c) s o i t enfin, par l e s methodes du
e n t r e r en compte t o u t e s l e s valeurs de
5 4 du c h a p i t r e (x,t)
111, en f a i s a n t
dans l'espace e t dans l e
temps, 1' ensemble a b s t r a i t X Qtant 1' ensemble:
O r l a ~ k c a n i q u es t a t i s t i q u e , sous l a forme que l u i a donn6e J. W.
GIBBS, i n t r o d u i t une d e f i n i t i o n complbtement d i f f e r e n t e de l a moyenne; on considere tous l e s k t a t s possibles d'un systhme matkriel; c s e s t sur
1 'ensemble R de ces ; t a t s que 1 'on calcule l a moyenne. Pour prendre un exemple classique, considerons un systkme mhcanique holonome conservatif, & l i a i s o n s indhpendantes du temps, w a n t k degr&s de l i b e r t h ; son h t a t e s t d e f i n i p a r 2 k v a r i a b l e s q j , $3 ( j = = 1 , 2 . . . k ) , l e s coordonnAes q j fixant s a configuration gkometricrue e t l e s p j d&signant l e s moments conjuges. Les Qquations du mouvement du systeme si Acrivent a l o r s sous l a forme canonique:
ou H , 1 9 6 n e r g i e t o t a l e du systkme, e s t une f o n c t i o n s
des
variables
q j , p j , mais ne dkpend p a s explicitement du temps. Un thiorhme d'existence e t d ' u n i c i t i affirme qu9il y a un ensemble
e t un s e u l de 2 k
integrales:
des bauations [I], dhter-
q j ( t ), p j ( t )
t < + a,, prenant d e s v a l e u r s donnkes q j ( 0 ) , ~ ~ ( a 0 ) 1' i n s t a n t i n i t i a l t = 0 . Considdrons un espace e u c l i d i e n \a 2 k dimensions R~~ dont l e s minkes pour
points
-a, <
sont dgterminhs p a r l e s coordonnges
(t)
d t a t du systhme correspond un p o i n t 1' ensemble des p o i n t s
R C P k . On
appelle
tous
les
ktsts possibles:
1 'espace des phases du syst&me m a t e r i e l donnk.
L' Q t a t i n i t i a l du systkme ktant reprksentk p a r l e p o i n t
l e s coordonnkes
q j ( 0 ) , p j ( 0 ) , son ktat
s t k r i e u r ou a n t k r i e u r , -co < t < t coordonnkes
9
a,
&
?t
h
par l e point
9 de 1' i n s t a n t i n i t i a l ddtermi-
un a u t r e . i n s t a n t q ~ i e l c o n ~ u el ,e mouvement'
dans 1' espace des phases
par l a position i n i t i a l e
o ayant
un i n s t a n t quelconque t po-
, s e r a fig&
q j ( t ) , p j ( t ). Puisque l9Q t a t
ne de fagon unique son k t a t du p o i n t
chasue
o , d k f i n i de fapon unique; s o i t R
w correspondant
R
qj , p j ; alors,
0 e s t dktermink de faeon unique
: l e point
(I!~
d d c r i t dans
1' espace
des
phases une courbe, la t r a j e c t o i r e r ( ~ . ) Le thkorZme d'unicith implique
R,
que par chaque point de 1 'espace des phases
i 1 passe une trajectoire
e t une seule.
On peut i n t e r p r k t e r l e s gquations [I] comme dhf i n i s s a n t ment d'un f luide j i c t i f dans 0 venant en
wt
R,
l a p a r t i c u l e qui e s t en
1 9 i n s t a n t ' t ; l e s 2k
composantes
(d
1 'dcoule-
h 19instant
q ; ( t ) , + ; ( t ) de
l a v i t e s s e &ant indhpendantes du temps, c e t 6coulement e s t permanent. La correspondance biunivoque: (3
-
Ut
d h f i n i t un groupe a b g l i e n de transformations
k
un paramktre
t
La premihre r e l a t i o n exprime une p r o p r i b t e kvidente d e l'hcoulement
- 59 -
permanent: on obtient l e mQme point en partant de w e t s9Qcouler un i n t e r v a l l e t
+s ,
en
laissant
ou en f a i s a n t 1' opdration en deux temps:
on p a r t de u e t on l a i s s e s' ecouler un i n t e r v a l l e s , puis 1' on repart du point
us a i n s i obtenu e t on l a i s s e s' icouler un i n t e r v a l l e
t
(ou vice v e r s a ) . Le thhorkme de LIOUVILLE & t a b l i t que l e f l u i d e f i c t i f
est
incom-
pressible: l e volume dans 1' espace des phases e s t invariant par l a t r a n s formation
Tt :
S o i t p(o) l a densit; du f l u i d e f i c t i f ; l a masse contenue dans l e domaine D Qtant:
Le principe de l a conservation de l a masse exige que:
Une fonction p(o)
pourra d e f i n i r une densit6 si e t seulement si
c e t t e condition e s t s a t i s f a i t e . Supposons donc que yl(w), r e s des hbuations [I], c1e s t
&
... h ( w )
soient m i n t e g r a l e s premied i r e que ces fonctions sont invariantes
l e long de chaque t r a j e c t o i r e r ( w ) ; on pourra d i f i n i r , en p a r t i c u l i e r l a d e n s i t e du f l u i d e incompressible, en posant:
ou l a fonction a r b i t r a i r e
M a l e s propriQt6s suivantes:
h e h4&canique statistique du systhme repose sur 19hypoth2seque 190n choisit au hasard l96tat initial, prenant un point
w dans 1"spac.e
des
phases 0 , de t e l l e f q o n que l a probabilitk pour
w d 9 & r e dans
un
- 60.
domaine D s o i t hgsle
l a masse du f l u i d e f i c t i f contenu dans c e dotmine:
? i
Cette d h f i n i t i o n e s t coh6rente; en e f f e t , en vertu du theorkrne d'unic i t k , l a correspondance e n t r e l e s p o i n t s (d e t l e s t r a j e c t o i r e s r ( ~ ) htant biunivorrue, il revient au &me de c h o i s i r au hasard un & t a t i n i tial
o ou l a t r a j e c t o i r e
r(6))
ensemble des ; t a t s
cdt
du systeme; que
t quelconque, on d o i t o b t e n i r . l a m&e p r o b a b i l i t k pour l a t r a j e c t o i r e r(d . l ' o n fasse l e choix & 1' i n s t a n t i n i t i a l ou \a un i n s t a n t O r prhcishment:
Prob [Tt w
D]
= Prob [o E
T-t D]
=
p(T-t D)
=
p ( ~ )= Prob l o
D] .
Remarquons e n f i n que l a condition (b) a pour but d9assurer:
Pour chaque d h f i n i t i o n p a r t i c u l i k r e de l a densit; p(o) on o b t i e n t une Mhcanique s t a t i s t i q u e bien determinke pour l e syst;me donnd; l a prkfgrence donnhe
une fonction p(o)
p a r t i c u l i k r e ( d i S t r i b u t ion canoni-
que, e t c . . . ) r e s t e toujours 1' un des p o i n t s d g l i c a t s , quand on veut appliquer l a Mecanique s t a t i s t i q u e de GIBBS.
2
-
Variables e t fonct i o n s a1 hatoi r e s .
Ces r & s u l t a t s c l a s s i q u e s suggkrent naturellement une question: peuton &tendre l e point de vue de l a ~ h c a n i q u es t a t i s t i q u e de GIBBS a l a ~Acaniquedes f l u i d e s ? I1 saute aux yeux que, pour l e f a i r e , il faudra d' abord 6 l a r g i r l a
notion de l ' e s p a c e des phases: fi ne pourra plus & r e une p a r t i e d9un espace euclidien R * ~ ;1 9 h t a t d'un f l u i d e ne peut pas & r e caract&& par un nombre f i n i de coordonnhes. Du point de vue d'rmLER pour d h f i n i ~ 1' k t a t , un i n s t a n t t , d9un f l u i d e remplissant t o u t 1' espace, il faut s e donner guatre fonctions r h e l l e s u,, u,, us,$ d h f i n i e s pour tout x e R( [ l i e e s dPa i l l e u r s par c e r t n i n e s equations par exemple, si l e f l u i d e esl incoapressible, l e s u,j doivent v 6 r i f i e r 1' $quation de c o n t i n ~ ~ i (d~ ~ 7 7, ) L' espace des phases d o i t donc devenir un espace fbnc t ionne 1 .
C' e s t l e Calcul des ~ r o b a b i l i t k s , envisagd sous 1' aspect de la thdo-
r i e de l a mesure, qui f o u r n i t l ' o u t i l bien adapt6 pour
1'6largissement
des notions classiques. ~Qsumonsbrievement quelques unes des d b f i n i t i o n s e s s e n t i e l l e s . On d i t qu9un nombre X , que 19on peut c h o i s i r au hasard s u r l a dmite rkell e R e s t un nombre ou une variable alkatoire lorsque 19on connait l a l o i de p r o b a b i l i t h : rob [X <
El
=3(E)
pour t o u t
,
E
ER
( E ) i t a n t une fonction monotone non d6croissante t e l l e que:
B designant une p a r t i e quelconque de R mesurable par rapport % l a mesure de LEBESGUE-STIaTJES d e f i n i e pard(E), I1 en r g s u l t e a l o r s que,
on a: ~ m [X b
B] = l d 3 ( ~. )
Par d e f i n i t i o n , la valeur moyenne ou espdrance math&nut ique de l a variable algatoire
X
a pour valeur:
(lorsque l9i n t k g r a l e a une valeur f i n i e ) . La t h e o r i e d e l a mesure permet de representer une variable a l e a t o i r e par un modkle de l a manikre suivante: S o i t un espace de mesure que nous reprgsenterons par un t r i p l e symbole (a)
(R , 8 , IJ.) :
R
dksigne un ensemble a b s t r a i t , (c' e s t
? dii r e
que pour bstir l a
thkorie gdnkrale, on n9a pas besoin de p r d c i s e r l a nature de ses point w) (b) 8 e s t une o-algebre de p a r t i e s de (ou..corps borhlien) c9e s t ?L
d i r e un ensemble de p a r t i e s de
R
posskdant l e s deux propridtks:
2 - VARIABLES ET FONCTIONS ALEATOIRES
(c) p e s t une mesure, c ' e s t \a d i r e une fonction d' ensemble non ne8 gative d e f i n i e pour t o u t e p a r t i e : A
e t compl&tement additive:
A,€ 8
p(u,+OD~,) = Z r n p ( ~ , ) ,
disjoints .
Lorsque:
on d i t que 1' espace de mesura
(
La p r o b a b i l i t e de c h o i s i r un point
,p
e s t un espace de probabi l i t ; . "
w dans une p a r t i e donnee de R e s t
a l o r s par ddfinition: Prob [w
[71
Soit f ( o )
A] = V ( A )
une fonction & veleurs r & e l l e s , mesurable, c' e s t & di-
r e que:. .
{O
pour t o u t ensemble borklien
.
f (w)
E
B ) € .8
B sur R
;
si pour t o u t E € R ,
on d i t que f (w)
f o u r n i t un mod&le de l a v a r i a b l e a l k a t o i r e X : en ef-
f e t , en supposant que l ' o n c h o i s i t l e point l a l o i de probabilit;
6.1
[TI, l e nombre X = f (w)
au hasard dans fl selon admet l a l o i de proba-
b i l i t h [5]. Par d e f i n i t i o n meme de l ' i n t k g r a l e 161:
1' i n t d g r a l e n' ayant d9a i l l e u r s un sens que si f (0)E ~ ( n ) par rapport
$ l a mesure p .
Un des avantages du mod; le prhcident, c' e s t qu' il se ghnhralise trks aisement l a representation d'ensembles de v a r i a b l e s a l i a t o i r e s . s u i t e de variables alkatoires XI , . . . , Xn , .. . s e r a reprksentde
Une par
une s u i t e de fonctions
fl( 6 ) ) , . . . fn(u) , .. . mesurables s u r l e m%me
espace de probabilith (0,& , p ) ; l a l o i de p r o b a b i l i t h d9un nombre f i n i de ces v a r i a b l e s s e r a d b f i n i e par:
Plus gQnhralement, &ant don& un ensemble ( a b s t r a i t ) @ , une jonction aldatoire s u r @ , e s t , p a r d e f i n i t i o n , une fonction
f (0, w) & val e u r s r e e l l e s s u r l e produit @ x R , t e l l e s que pour F3c@fix&, f (9, G ) ) s o i t une fonction mesurable de w s u r 1' espace de probabilite (a, 8 , p ) ; a c e point de vue, une fonction a l d a t o i r e apparait donc comme un ensemble de variables al&atoires, une variable alkatoire correspondant $ cha-
que 8 c @ ; pour un
w donnh, l a fonction de 0 d i f i n i e s u r e consti-
t u e un kchantil lon de l a fonction a l e a t o i r e . Si
f(0,w)
L(0) pour t o u t 0E @, s a v a l e u r moyenne e s t d h f i -
n i e par:
i l est clair que cet te valeur moyenne est une fonction de 8 seulement mais ne dipend p 1 us de 6.1 .
3
-
mhcanique s t a t i s t i q u e genera l i s h e . Nous pouvons maintenant Qnoncer l e s r e s u l t a t s de l a ~ Q c a n i q u es t a -
t i s t i q u e dans ce nouveau langage; reprenons l e systbme mathriel consid6rh au § 1. Sogt
f (o) une grandeur physique quelconque, dhpendant de
1 dtat
w du systkme; s e s valeurs, quand l e systbme hvolue'le long d'une t r a j ect o i r e r ( w ) dans I' espac.e 0 , sont donnees p a r f (Tt a) , o r , dvidemment:
F(t,o) Q t a n t a i n s i d d f i n i e s u r 1"space
produit
R x Cl: s i , selon li idhe
fondamentale de l a ~ e c a n i q u es t a t i s t ique, on suppose que l aon c h o i s i t 19h t a t i n i t i a l
w selon l a l o i de p r o b a b i l i t e [43, on v o i t que ~ ( &I) t ,
e s t simplement une fonct ion aleatoire du temps
- 64-
t . C' e s t d. a i l l e u r s une
3- MECANIOUE S T A T I S T I O U E GENERALI S ~ E fonction a l k a t o i r e d' un tyne spkcial: stationnaire; on exprime alnsi m e , en vertu de 1s condition d' invariance du volume (~h6orkmede LIOUVILLF)
F(t,k)) est ind&endante de t ; plus gdndralement, quels que soient t,, .. . , t n , l a l o i de prob a b i l i t e des n v a r i a b l e s a l e a t o i r e s ~ ( t , w, ) , . . . ,F(t,, bl) ne change pas quand on remplace t,, . . . , tn p a r t, + h , .. . , tn+ h , h &ant arla l o i de p r o b a b i l i t & de la variable a l i a t o i r e
bitraire. L'introduction de l a notion de fonction a l b a t o i r e ne c o n s t i t u e pas seulement une novation de langage; e l l e e s t l a c l h qui
nous ouvre l a
g e n e r a l i s a t ion que nous recherchions. En ef f e t , dans l a ~ h c a n i q u es t a t i s t i q u e de GIBBS, 19espace des phases p a r t i e d'un espace euclidien
fl e t a i t , jusuu9 8t prhsent, une
un nombre f i n i de dimensions. La notion
de fonction a l e a t o i r e nous rnontre l a voie: l e f a i t que 0
un nombre
f i n i de dimensions ne joue aucun d l e e s s e n t i e l ; il suf f i t pour co&ui-
( R , 5 , v) ; aucune
r e l a t h h r i e , de p a r t i r d' un espace de probabilit;
propridte spkciale concernant l e nombre de dimensions ou l a s t r u c t u r e
C l ; en p a r t i c u l i e r
(mhtrique) n' e s t imposee
R pourra, s9il e s t n6-
c e s s a i r e , 3t r e un espace fonctionnel (par exemple, de t o u t e s l e s fonctions continues de x
l 9ensemble
~ [ ab],
s u r l ~ n t e r v a l l e [a, b]);
1a
seule condition nkcessaire, c ' e s t que 1 'on sache construire une mesure (I
sur
n,
telleque
p(R)=l.
Par conskquent, il devient possible d' etendre l a ~ e c a n i q u es t a t i t i s t i q u e & des systkmes materiels beaucoup p l u s generaux, en p a r t i c u l i e r
21 des milieux continus. Pour w' une ~ d c a n i q u es t a t i s t i a u e
du meme type
que c e l l e de J. W. GIBBS, p u i s s e &re c o n s t r u i t e , il f a u t e t il s u f f i t aue l e s conditions suivantes soient s a t i s f a i t e s : (a) 1' ensemble R des e t s t s c) du systeme e s t susceptible, par un choix convenable d2une
o-algebre
espace de p r o b a b i l i t e
( a , , IL)
$ e t d! une mesure
y , de devenir un
~
(b) l e s equations qui regissent 1.evolution du systkme admettent un th6or;me d'unicit;;
l'&ts~t(dt du systhme & un i n s t a n t
t :0 quelcon-
que e s t dhtermin; univoquement par 1' e t a t i n i t i a l w : l i ensemble des e t z t s wt correspondant & un e t a t i n i t i a l (t) dorm;, determine une e t une seule t r a j e c t o i r e
r(w)
dans R ;
- 55 -
(c) l e principe du determinisme, sous l a forme de HWGHWS, e s t sa-
t i s f a i t , c' e s t \ a ot :
d i r e que l a transformation qui permet de passer de
(11
[lo1
Bien entendu, si l ' e t a t du systAme e s t aussi defini univosuement pour
t < 0 , comme c ' e s t l e cas dans l a ~ecaniqueclassique, les trans-
formations Tt
dbfinissent un groupe abelien e t l ' o n a:
,(d) l a mesure
v
e s t invariante par l a transformation Tt : pour tout
4
-
Application
4
CS
& l a corde v i b r a n t e .
Depuis que nous avons enonce ces idees en 1949 [46], au cours d' une discussion des bases de l a Mecanique s t a t i s t i q u e des fluides, nous nous sommes efforces de prouver l a v a l i d i t e de ce programme, en construisant, au moins, un exemple d' une Mecanique s t a t i s t i q u e d' un milieu continu nous avons t r a i t e un exemple, qui n' a sans doute aucun inter& dd"actual i t e pour l a Physique contemporaine" celui d une corde vibrante [47] mais nous 1,avons choisi parce que l e mouvement du syst6me est regi par une &quation linhaire aux deriv6es p a r t i e l l e s de 28me ordre,
coeffi-
cients constants; ceci nous permettait d u t i l i s e r l e s methodes que nous avions mises au point dans 19etude des integrales aleatoires des equations aux derivees p a r t i e l l e s , par exemple l' integrale aleatoire u ( x , t , o) de lrgquation de l a chaleur dans une barre i n f i n i e , lorsque l a temperat u r e i n i t i a l e de l a barre e s t une fonction a l e a t o i r e v ( x , o) [581,[611
:ticFt;zT
[53] [ST],
(*).
u s s i po r l U 6 q u a t i o n de l a d i f f u s i o n [64] et pour et ~ 5 9 7 .
-66-
1 equation
d e LA-
4-APPLICATION
2
L A CORDE VIBRANTE
Par d h f i n i t i o n , l'ordonnke de l a corde v i b r a n t e fixbe aux deux points x=O et
x = l , satisfait
uJ
1' hauation: [131
U t t =
un ; t a t clu
uxx
systhme
*
hta.nt
d h f i n i p a r l a donnhe du dhplacement v e r t i c a l u e t
L
X
de l a v i t e s s e v e r t i c a l e ,v en chaque p o i n t de l a corde; 1' espace d e s phases
e s t donc c o n s t i t u e
i c i p a r l'ensemble d e s couples:
1' ensemble des fonct i o n s continues s u r 1' i n t e r v s l l e
[0, 11 e t nulles aux
deux extremiths; on v o i t donc que l ' e s p a c e des phases
est
un
espace
produit: Or, on s a i t d 6 f i n i r des c l a s s e s &endues de mesures dans 19espace CO[o, 11 ( v o i r C681, C691); de chaque mesure connue dans Co [ 0 , 1) on d&d u i t donc, p a r l a mbthode c l a s s i q u e pour l e s espaces p r o d u i t s , une me-
s u r e p dans 0. ~ p r e \ sa v o i r don& un sens p r i c i s au probl&me aux l i m i t e s U(X,
t)
+
U(X) , v ( x ,t )
+
V(X)
un thhorhme d9u n i c i t ; dhf i n i r a l a t r a j e c t o i r e r ( w )
,
d g c r i t e par:
r e p d s e n t a n t l e s ;tats s u c c e s s i f s de l a corde dans 0 Ensuite il f a u d r a i t , pour achever l e programme, e t a b l i r 1' invarianc e de l a mesure
IJ,
pstr l e s t r a n s f o r m a t i o n s
Tt (systkme c o n s e r v a t i f ) ;
t o u s c e s p o i n t s , pour & r e exposes en d e t a i l , demandent quelques d6veloppemsnts: ils s e r a i e n t h o r s de propos i c i e t nous nous contenterons de t r s i t e r un c a s p a r t i c u l i e r qui aurrr sigplement 1' i n t b r g t dpi l l u s t r e r l e s g k n d r a l i t h s du 5 3 . -67-
Nous restreindrons l e problhme, en admettant que l e s seuls e t a t s initiaux possibles sont ceux pour lesquels: ( a ) ~ ( x )e s t une fonction continue, dont l a derivee seconde UU(x) peut s t r e representee dans [o,11 par une serie de Fourier absolument e t uniformement convergente.
(p) ~ ( x =) 0 , l a corde e s t abandonnee sans v i t e s s e i n i t i n l e . Pour construire une integrale aleatoire de l'equation [13] nous part i r o n s d'une suite de variables aleatoires q,, . . . ,%, . . . quelconques, independantes ou non, assuj e t t i e s seulement h v e r i f i e r l a condition: z?n2T;C;T
[141
F3n vertu d 9 un crit2re connu ( v o i r par exemple [ 6 7 ] )cette condition
imp1ique: ~ r o b [ ~ y n <~ t a] = 1
[i51
e t par consequent:
l a convergence de l a serie [15] entrainant necessairement celle des deux autres. On en t i r e immediatement l e s conclusions suivantes: ( a ) Avec uneprobabilite egale u(x,t)
=
k 1,
2:%sin
les 4 skries:
n n z cos n n t
ux(x, t ) = n zlan n, cos n n x cos n n t ut(x,t) utt
=
uxx
=
-
- n 2 , n % s i n n n x sin n n t ioJ
-
rc2
z1
+OJ
n2 % sin n rcx cos n n t
convergent absolument et uniformement en
E [a,b]
( x , t ) pour xC, [ 0 , 11 et t €
fini quelconque (elles sont d'ail leurs periodiques de pkriode
2 en t ) .
( b ) La sirie [16] dkfinit une intkgrale aleatoire de 1 '&quation des cordes vibrantes [13!; u ( x , t ) reprisente le dkplacement de la corde,,
4-APPLICATION
A\
LA CORDE VIBRANTE
de mgme l a s i r i e [IT] reprksente la v i t e s s e v ( x , t ) = u t ( x , t ) de la corde. (c) A l ' i n s t a n t i n i t i a l :
~ ( x )a i n s i que s e s deux d i r i v i e s b a b i l i t e egale
h 1,
UP(X)
Un(x) d t a n t , avec m e pro-
et
representee par une s 6 r i e de FGClRIER absolument e t
uniformkment convergent e dans [0, I] .
On peut aisement t r a d u i r e c e s r e s u l t a t s dans l e langage du Dans l e s p a c e
ROD
de t o u t e s l e s s u i t e s de nombres rkels:
considerons 19ensemble 0 des p o i n t s [191
w s a t i s f a i s a n t l a condition
~ f " n 2 1 ~< tI o o
& l a d e f i n i t i o n d' une mesure
considerer l a o-alg\ebre
IJ, dans
(*):
.
... , , .
La donnee de l a s u i t e des v a r i a b l e s a l e a t o i r e s , vaut
5 3.
hqui-
0. En e f f e t , il s u f f i t de
n,
des p a r t i e s mesurables de
comme en-
gendree par l e s domaines: { w : q, < E l ,
... , % < & I
(n
quelconque,
Ef€ R)
auxquels on donne comme mesure: p { ( c ql
< E l ,. . .
L'espace de mesure
,q,,
<&I
= prob[q1 < E l ,
...
<&I
,
.
( 0 ,S , IJ,) e s t bien un espace de p r o b a b i l i t h
puisque en v e r t u de [15] e t [19] : p(n> = ~ r o b [ ~ I%I y n ~< t o o ] = 1
,
D autre part,
& chaque 0 correspond une e t une s e u l e s u i t e de coordonn6es q,(w) , . . , % (w) , . . ~ G r i f i a n tl a condition [19] ; on peut donc :
j*)
S i l W n d e f i n i s s a i t une norme par:
Ilwll
n
=
2yn2
Id
s e r a i t isomorphe a l ' e s p a c e de Banach connu sous f e norn de s e r i e s absolument c o n v e r g e n t e s ) .
!I
(espace
des
Q c r i r e l e s formules [16] et [17] en mettant en Qvidence w :
(
u(x,t.w) = G:%(u)sin
1
v(x,t,b)) = - ~ G Y n ~ ( u ) s ni n x s i n n n t
n n x cos n n t
Le dkplacement e t l a vitesse apparaissent clairement des fonctions aldatoires. On peut l e s interprdter
a i n s i comme
exactement dans l e
cadre de l a ~Qcaniques t a t i s t i q u e gbn&ralis&e,qui a dtd track au 5 3. Pour c h o i s i r un Q t a t i n i t i a l de l a corde, il faut, conformkment & nos conventions, se donner ilne fonction: U(x)
=
~ya, sin n n x
t e l l e aue:
Les a, Qtant choisis, ddterminent un e t un seul
G)E0
par
les
kquat ions:
Tl,,(d TOUS -<
- co < t <
=an .
l e s Q t a t s de l a corde sont, alors, completbment &ermin'es pour
-
+ oo
par l e s hquations [20].
Pour a l l e r plus loin dans l e s applications, que l e s Q
supposons maintenant
soient des variables algatoires normales ind&endantes:
Prob [% < E l =
1
-2 e "ids
J2n on -,
t e l l e s que: [2 11
Notre definition donne au domaine {w : q1 < El , . . . , .r, < &) l a mesure:
mmme pour une variable normsle:
=
gn ,
il e s t c l l i r qoe
4 -APPLICATION
2
L A CORDE VIBRANTE
[21] e n t r a i n e l a condition [14] ; donc t o u s 1e s rksul t a t s precedents s'ap-
pliquent. Pour t o u t
(x, t )
fix&
u ( x , t , w) , v ( x , t ,w)
sont
des
variables
a l e a t o i r e s nonnales: u ( x , t , w) = 0
[221
u ( x , t , (JF =:Z v ( x , t ,C J ) =~ TT2
c$ s i n 2 n n x cos2 npit
C?
n2 $ sin2 n u sin2 n n t
1
l e s deux s e r i e s e t a n t absolument e t uniform6ment convergentes. Tous l e s a u t r e s moments s e c a l c u l e n t a u s s i aisementf par exemple, l e c o e f f i c i e n t de correlation du dkplacement: P ( X ,t , ~ s ), = u ( x , t ,w ) u ( y , s , u) s comme valeur: p(x, t ,y. s ) =: 2
4 sin nnx
s a t i s f a i t l'equation des cordes chacun des systkmes de v a r i a b l e s ( x , t ) , ( y , s ) :
I1 e s t i n t e r e s s a n t de n o t e r que
v i b r a n t e s par rapport
s i n nny cos n n t cos n n s p
P t t = Pxx
Cette remarque e s t un c a s p a r t i c u l i e r d'une p r o p r i i t h trAs generale des i n t e g r a l e s a l e a t o i r e s d' equations l i n e a i r e s aux ddrivees p a r t i e l l e s [571, [61l, [621.
Si, au l i e u de l a ~ e c a n i q u es t a t i s t i q u e d *sf l u i d e s , l e s ~ n g e n i e u r s
e t l e s Physiciens s' i n t g r e s s a i e n t
k
une Mecanique s t a t i s t i q u e des cordes
vibrantes, c e sont l e s moments t e l s que p(x, t ,y , s) qui seraient 1' unique objet de l e u r s mesures en admettant que l e s hypothZ'ses f a i t e s i c i pour s i m p l i f i e r l e s c a l c u l s , s o i e n t r e a l i s e e s dans l e s mouvements r e e l s d e s cordes vibrantes, l e r e s u l t a t des mesures des Physiciens, serait f i nalement de prouver q u 9 1 e x i s t e (ou qu 11 n e x i s t e pas) une s u i t e de nombres r e e l s o, , . , . , on , . s u s c e p t i b l e s de representer, h 1' approximation prks des mesures, l e s nombres fournis par 1 experience pour p(x, t , y , s )
etc..
.
p a r l e s s e r i e s [25] e t c .
5
-
Les moyennes e t l e theorime ergodique. Revenons au systeme mathriel consider; au § 1; nous sommes mainte-
nant pour toute grandeur f(o)
dependant de 1 9 d t a t du systkme, en pre-
sence de 2 moyennes differentes: a) La moyenne t e m p o r e l l e :
cslculee l e long d' une t r a j ectoire donnee
r(b1) ;
c' e s t l a moyenne des
valellrs p r i s e s par l a grandeur physique quand on 1' observe au cours d' un mouvement dbtermine; en 'general, c e t t e moyenne, lorsau'elle existe, d6pend de l a t r a j e c t o i r e r(o)
l e long de lacluelle e l l e est calculee.
b) La moyenne s t a t i s t i q u e ou moyenne d'ensemble:
calculee pour tous l e s & t a t s possibles du systhme. La ~bcaniques t a t i s t i q u e considkre en gkndral, des moyennes du se-
cond type; mais, s i nous desirons comparer l e s dkductions de l a thhorie avec l e s donnees experimentales, il est pratiquement impossible d'obten i r l e s valeurs de moyennes s t a t i s t i q u e s par des mesures directes, l e s donnees experimentales fournissent toujours des moyennes temporelles. Le problkme de l a com~arisondes moyennes temporelles e t des moyennes sta-
tisti ques e s t donc d' une importance capitale. Ce fut J. C. MAXWJ3LL qui, en 1850, enonga lvhypoth\eseergodique: pour l e s systbmes ayant un trks grand nombre de degrds de l i b e r t d , comme par exemple, pour l e gaz de l a theorie cinetique, l a moyenne statistique e s t egale
la moyenne temporelle. ~IAXWELL croyait que, quanc! son hypothkse k t a i t s a t i s f a i t e , c>e t a i t
parce que chsque t r a j e c t o i r e
r(0)
passait par tous l e s points de 0
Mais c e t t e s~lppositionest logiquement contradictoire, comme 1, a remarque M.PLAJUCHFR~ (1913): ce f a i t e s t kvident puisgue aucune t r s j e c t o i r e ne nvlt svoir 4e points mnltiples e t , par s u i t e , ne peut 1' espace a .
remp! i r tont
5- L E S MOYENNES E T L E THEOREME ERGODIQUE Ce f u t en 1931- 1932 que f u t donnee l a premiere s o l u t i o n rigoureuse du probleme ergodique p a r G.D. BIRKHOFF (thborime ergodique i n d i v i d u e l )
et J. VON NFUMANN (th60rkme ergodique moyen); on t r o u v e r a dans 19ouvrage c l s s s i q u e de E.HOPF [ 3 3 ] , avec une b i b l i o g r a p h i e ( t r 6 s complete jusqu'en 1937), un expos6 d d t a i l l b de c e t t e t h i o r i e , que l'on Deut,
bien
? i
des t i t r e s , c o n s i d 6 r e r comme l ' u n e d e s a c q u i s i t i o n s l e s p l u s importantes d e s ~ a t h d m a t i q u e sdans c e s d e r n i e r e s dbcades. I1 e s t remarquable que l e s demonstrations du thhrkme ergodique dues
&
G. D. BIRKHOFF e t
J. VON REUMANN s' a f f r a n c h i s s e n t
du
cadre
itroit
imposk d9abord p a r l a ~ Q c a n i q u est a t ist ique de GIBBS e t passent d' emblee au s t a d e de g d n & r a l i s a t i o n , oh l v o n n9 impose aucune a u t r e proprihtk fl
\a
, que d9s t r e un espace d e p r o b a b i l i t k . Voici 19bnoncd du theoreme er-
godique i n d i v i d u e l de G. D. BIRKHOFF: Soit:
1)
( f l ,8 , FL)un espace de probabil i t ; ;
2)
G un groupe abelien de transformations biunivoques
Tt
de
fl
en l u i - m h e conservant l a mesure:
~ ( T ~ =A u(4) )
pour t o u t
,
AE $
e t s a t i s f a i s a n t a l a condition de r i g u l a r i t k suivante: une fonction mesurable de 3) f(u)
une fonction
tdgrable par rapport
t pour tout
r(6))
t ,
u(An T ~ B ) e s t
B;
valeurs r k e l l e s ou complexes sur 0 e t in-
& l a mesure
Alors la moyenne temporelle: toire
A et
e t pour t o u t
1 ~ :f ( o ) E
-
[fit
L(R).
(calculke le long de la t r a j e c -
dkterminke par un point
pour un ensemble de points
(J
-de u ; on a [ f I t E ~ ( a )e t :
o) e x i s t t , sauf peut-2tre -au plus de mesure nu1 l e . En ginkral [ f ] dipend
Si l e groupe abklien G possZde l a t r a n s i t i v i t e mCtrique ( c ' e s t h dire s i l e s ensembles invariants par l e s transformat ions Tt , ont tous pour nesure 0 ou I ) , la moyenne temporelle a la mgme valeur pour toutes l e s t r a j e c o i r e s r ( w ) (pour presque tout W) e t c e t t e valeur indipen-
- 73 -
dante de
est i g a l e
la rnoyenne s t a t i s t i q u e :
[fit
[271
6
-
=f
.
La moyenne s t a t i s t i q u e .
Nous avons t e n t d , au c h a p i t r e 111, de montrer l e s d i f f i c u l t & qui s e prhsentent, lorsque 1' on cherche ne s a t i s f a i s a n t
a, donner une ddf i n i t i o n de l a moyen-
h t o u t e s l e s r k g l e s de REYNOLDS; c e s d i f f i c u l t & svdva-
nouissent, comme p a r miracle, si l ' o n considere une moyenne comme une moyenne s t a t i s t i q u e , l a moyenne d' une fonction a l g a t o i r e f ( x , t , o) :
au l i e u de c a l c u l e r l a moyenne s u r une fonction de s u r un ensemble de fonctions de
( x , t ) , on l a prend
(x, t ) .
Fcrivons & nouveau l e tableau des r e g l e s de REXNOLDS:
a =- a? ax,
axj
J=,, La rkgle 6 e s t hvidemment vbrifike; pour 4ue l e s moyennes j ( x , t ) et g(x,t)
e x i s t e n t quand
(x,t)f
D il faut e t il s u f f i t quer
l e s rAgles 1, 2 e t 5 sont a l o r s immhdiatement s a t i s f a i t e s ; rbgle 3' , e l l e devient identique
\a 2 puique
3
quant
ne depend pas de
Pour que l a r k g l e 4 s o i t s a t i s f a i t e , il s u f f i t queo
&
la w
6 - L A MOYENNE STATISTIQUE (a) l e s d(.riv&es ft (x.t.a)) , fxj (x,t,w) e x i s t e n t pour presque t o u t
(I)E0 ,
suand
( x , t)E
Ift(.,
avec
~((1))
t,G))
D
I 5 F((1))
, Gj ((4)
E
pour
(x,t)E D
L(0) .
Le chemin, ?ui p a r s i s s a i t hhrissh d'embuches au c h a p i t r e 111, devient une voie royale, quand on u t i l i s e l a moyenne s t a t i s t i q u e ; l e but aue nous visions en ~ e c a n i q u edes fluides: o b t e n i r des mouvements moyens dependant de x
e t de
t , e s t a t t e i n t sans l a moindre d i f f i c u l t ; .
I1 nous semble vraisemblable que nous touchons i c i & l ' e x p l i c a t i o n
profonde des rkgles 1 & 6; RE!YNOLDS n9a m8me pas p r i s l a peine de l e s e x p l i c i t e r , parce qu9e l l e s l u i p a r a i s s a i e n t 6videntes e t n a t u r e l l e s ; il a v a i t en e f f e t , constamment present
19e s p r i t , l e passage de l a t h e o r i e
cinktique au mouvement d9un f l u i d e continu, l a v i t e s s e r a i s s a n t comme une moyenne des v i t e s s e s l'instant
t , dans un voisinage du point
c h a p i t r e 111, s u f f i s e n t
h en f a i r e f o i e t
u(x,t)
dn)des mol&cules
appa-
situ6es
x ; l e s c i t a t i o n s f a i t e s au l ' on-pourrait l e s m u l t i p l i e r .
Voici comment REYNOLDS s9exprime au debut de son memoire [go] P. 125: "My object i n t h i s paper is t o show t h a t t h e t h e o r e t i c a l existence
of an i n f e r i o r l i m i t t o t h e c r i t e r i o n follows from t h e equations of mot i o n a s s consequence: (1) Of a more rigorous examination and d e f i n i t i o n of t h e geometrical
b a s i s on which t h e a n a l y t i c a l method of d i s t ine;uishing
between molar-
motions and heat-motions i n t h e k i n e t i c theory of matter is founded; and (2) O f t h e application of t h e same method of analysis, t h u s d e f i n i -
t e l y founded, t o d i s t i n g u i s h between mean-molar-motions
and
relative-
molar-motions where, a s i n t h e case o f steady-mean-flow
along a pipe,
t h e more rigorous d e f i n i t i o n of t h e geometrical b a s i s shows t h e method t o be s t r i c t l y applicable, and i n o t h e r cases where it is approximately appliczble". Nous nous sommes permis de mettre en i t a l i q u e l e s mots les p l u s rev6lsteurs. Le w c r i t e r i o n " aui a donne son t i t r e au mhmoire e t rlont l a j u s t i f i c a t i o n c o n s t i t u e son obj e t e s s e n t i e l , c9e s t l a r$gle, d6couverte
..
exn6rimentalement par l u i en 1885: I ' Qcoulement dans un tuyau e s t laminaire ou turbulent selon al.r
Vd
- ?st
plus p e t i t ou p l u s grand que 2000.
\I
Avant de conclure son introduction par l a l i s t e des propositions (a), (b), (c), . . . , (0) qui resument 1' e s s e n t i e l de ses r & s u l t a t s , REYNOLDS Q c r i t encore: [go] P. 128. "Having t h u s placed t h e a n a l y t i c a l method used in t h e kinetic theory on a d e f i n i t e geometrical basis, and adapted so a s t o render it applicab l e t o a l l systems of motion, by applying it t o t h e dynamics1 theory of viscous f l u i d , I have been able t o show. . . ". Bien que l e nom de James Clark MAXWELL, ne s o i t ment ionnh nulle p a r t dans l e &moire d9Osborne ReYNOLDS, on e s t tres frappe par 1' analogie de s e s raisonnements avec ceux de MAXWELL dans l'etablissement de s e s fameuses "hquations de t r a n s f e r t " (1868): l a mhthode par laquelle REYNOLDS cherche
&
t i r e r s e s equations
( R ~ ) des equations de NAVIER (Ij)
semble calquee s u r c e l l e par l a q u e l l e MAXWE'LL demontre (ou c r o i t demont r e r f . . . ) l e s Bquations de NAVIER, & p a r t i r de l a
theorie
cinetique.
Pour MAXWELL, aucun doute n' e s t possible: l e s moyennes sont des moyennes s t a t i s t i q u e s ; l a fonction de d i s t r i b u t i o n , qui equivaut une l o i de p r o b a b i l i t e dans l'espace des v i t e s s e s , i n t e r v i e n t constamment: l e s rkg l e s 1 h 6 sont donc s a t i s f a i t e s . Want REXNOLDS, - dont l a pensee semble l o i n d 9 & r e a r r i v e e & l a maturite de c e l l e de MAXWELL s u r l e s principes de base, - on a 1' impression aue, t a n d i s q u ' i l pense dans son subconscient en termes s t a t i s t i q u e s , s a plume e c r i t , en f a i t , des moyennes s p a t i a l e s . Pour MAXWELL, c e t t e transposition n'aurait soulev6, d a i l leurs, pas 1' ombre d9une d i f f i c u l t e : moyennes s t a t i s t i a u e s , moyennes spat i a l e s , moyennes temporelles e t a n t t o u t e s &ales, en vertu d' un principe ergodique, aui l u i a p p a r a i s s a i t comme une evidence physique, pour l e s
syst&mes possidant un tres grand nombre de degres de l i b e r t e . Quoi que .Ison pense de c e s speculations h i s t o r i q u e s s u r l v o r i g i n e des rhgles de RETNOLDS, un f a i t r e s t e fermement e t a b l i : La rnoyenne s t a t i s t i q u e s a t i s f a i t toutes l e s re\gles 1 h 6: j b i s , par conskquent, que I "on
aura pu prouver, soi t dans
chaque
'espace, soi t
dans le temps, un thkor\eme ergodique pour une c l a s s e de fonct ions alkat o i r e s f(x,t , w ) , i l en r e s u l t e r a que l a rnoyenne s p a t i a l e ou la moyenne
6- LA MOYENNE . STA T I S T I Q U E l a moyenne s t a t i s t ique pour
temporel l e , re5pect ivement, - &ant .&ale
presque tous Zes &chanti 1 lons -, devra necessairement, pour presque tous l e s 6chantillons, s a t i s f a i r e aux rkgZes 1
A
6.
Un exemple simple suf f i r a pour i l l u s t r e r c e t t e proposition genemle. Prenons pour fl l e t o r e
k deux dimensions:
s o i t u l a mesure de LEBESGUE:
~ e f i n i s s o n sl e groupe abelien de transformations par:
chaque transformation conserve l a mesure
e t l e groupe
IJ,
possede
la
t r a n s i t i v i t h metri we. Considerons 1. anneau
( a ) f e s t mesurable (dl
et
G
~
a
des fonctions r e e l l e s f (w,, ctb) telles que
(B) f
e s t bornee;
(y)
f e s t p6riodique en
L
f((dl+ 1 , ~ ) ~=)f(ul,(d2 t 1) Pour t o u t e f
ala
f(ul,(+)
.
fonctions, d e f i n i e s u r R x R :
e s t une fonction a l e a t o i r e s t a t i o n n a i r e de
pour presque t o u t echantillon
s a t i s f a i t t o u t e s l e s r;gles
=
1
O r l a moyenne s t a t i s t i w e :
we0
h
6. .
,,., l
t . Fn vertu du theoreme er-
v
Pour l e s r\egles 1, 2, 3', 5, 59, 6, l a v e r i f i c a t i o n
est
immediate;
pour l a rbgle 6:
e l l e e s t v d r i f i d e (conformdment k c e que nous avons d i t nu sujet de (TD) au 5 5 du chapitre 111) chaque f o i s qu'elle a un sens, donc chaque f o i s que l e premier membre existe; il suf f i t pour c e l a que h fonction f ((4,u2) poss;.de des dkrivees fq
et
f*
e t que:
La moyenne s t a t i s t i q u e s a t i s f a i s a n t l e s r i g l e s 1 k 6, il en est donc de m$me evidemment de l a moyenne temporelle: lim -
'6
~ ( t , o ) d =t l i m T - T~
T-+m l T. or
chaque f o i s qu9elle;.lui e s t bgale, c9e s t
f ( q tt , q + f i t ) d t
k
Remnrquons en passant que pour chaaue pour presque t o u t
,
d i r e pour presque t o u t
fc d
w c 0.
e t , f i t a n t donnee,
~ € 0nous , obtenons une fonction de t :
pour l a q u e l l e l a moyenne [9] du chnpitre 111, sugg6rke p a r l a d&fi n i t i o n
satisfait
t o u t e s l e s r i g l e s du jeu.
Chaque f o i s que comme dans l9exemple prkcddent,
l e thdorhme ergo-
dique s9applique & una c l a s s e de fonctions, 1' Q g a l i t e des moyennes s t a t i s t i q u e s e t des moyennes temporelles ou s p a t t a l e s e s t un principe fondamental qui d o i t dominer t o u t e l a theorie des myennes. C9 e s t pourquoi, croyons-nous, s9il e s t parf aitement
legitime
du
point de vue mathimatique, de rechercher des d e f i n i t i o n s de l a moyenne qui ne s a t i s f o n t pas & t o u t e s l e s rkeles de RCINOLDS, on ne peut, sans mare rkflexion, adopter c e point de vue en ~ Q c a n i q u edes fluides: c e c i &uivaut k proclamer, p a r avance, dans l a construction d' une ~ Q c a n i q u e s t a t i s t i q u e des fluides, 1' impossibilith d'un thiorime ergodique.
.4,3
CHAPITRE V
La turbulence homog6ne
1
-
Introduction. Pour nous, la ~kcaniquestatistique de la turbulence honwgkne re-
pose essentiellement sur 1 'itude des champs de vitesses datoires, c9e s t
k d i r e d' un champ v e c t o r i e l uj(x, t,W) d h f i n i sur un espace produit P x J x R , ou P = {x : - m < xj < + a } , J dbsigne un i n t e r v a l l e de temps J = {t : 0 < t < T 5 + 03) e t ( 0 ,$5 , u) un espace de probabilit;; l a notion d' homoghngit; correspond & l a s t a t i o n n a r i t ; du champ al6at o i r e , par rapport jini de 3n
h x : toutes les lois de probabilith de l'ensemble
variables alkatoirest
(oh l 9i n s t a n t
to e s t quelconque), doivent 8tre invariantes
imprime m e translation arb,itraire
quand on
1 'ensemble de points xC1), . . . , x @ )
quel que soit Z9ensemble jini de points choisi.
u3(x, t ,o), un ~ c h a n t i1 lon, un choix d' un p o i n t p a r t i c u l i e r w dans 0 , &finit donc
Dans 19ensemble des champs v e c t o r i e l s correspondant
k
un mouvement du f l u i d e dans t o u t 1' espace e,t pour 1' i n t e r v a l l e de temps O
2
-
Champs de v i t e s s e s a l e a t o i r e s . La cinhmatique de l a turbulence homogene s e propose de dicrire l e
champ des v i t e s s e s
\a
un i n s t a n t donnh, son bvolution en fonction du temps
t &ant rhservbe k l a Dynamique' l e champ des v i t e s s e s Q t a n t observh & un i n s t a n t t don&, il e s t i n u t i l e de f a i r e f i g u r e r t dans l e s formules de l a Cinematique; e l l e reposera donc s u r l 96tude d " champ ~ albad6finies sur t o i r e s t a t i o n n a i r e , c9e s t $ d i r e de 3 fonctions uj(x, w) -79
-
dont l e s propriktks s t a t i s t i q u e s doivent & r e invariantes pour toute translation.
RO x R ,
Dans [50] e t [60], nous avons d6velopp6 une methode qui conduit a i s6ment & l a construction de champs v e c t o r i e l s a l e a t o i r e s stationnaires: on peut l ' a p p l i q u e r chaque f o i s que 190n connait un groupe abelien de 3 paramdtres:
transformations [ 11
= T x l , x 2 , X3 G'
qui conserve l a mesure dans 121
:
pour
u(Tx1,x2,x3A) = u(A)
AG 6 ;
il s u f f i t a l o r s de s e donner 3 fonctions mesurables quelconques f j ( w ) ;
l e s formules: [31
uj(x.@) = fj(Txl,x2,xsd
d6f i n i s s e n t un champ v e c t o r i e l a l 6 a t o i r e s t a t ionnaire. Prenons p a r exemple, pour
0 un t o r e
k
s i x dimensions:
choisissons comme mesure u l a mesure de L!BESGUFI groupe & & l i e n de transformations de
R
et
d6finissons l e
en lui-mgme par:
qui conserve dvidemment l a mesure. Soient rapport
f j
(W,,
chaque
? i
. . . ,@,)
Wj
t r o i s fonctions pdriodiques de &riode 1 par
e t mesurables au sens de LeBESGUE; l e s formules:
definissent un champ v e c t o r i e l a l e a t o i r e stationnaire; chaque kchantillon du champ e s t presque pdriodique en x l , x 2 , e t x, ; son a l l u r e correspond donc assez bien
& c e l l e que nous rhvklent l e s cbservations du champ
des v i t e s s e s d9une turbulence homogkne.
3 - L E TENSEUR DE CORRELATION
3
-
Le tenseur de corr6lation.
Nous supposerons desormais sue
fj(6.96
[41
L2(0)
ce qui implique: [51
Les moyennes s t a t i s t i q u e s des composantes de l a v i t e s s e sont donnkes par:
o r , puisque l e s transformations conservent l a mesure, en f a i s a n t 1' i n t i g r a l e l e changement de variable
W =
dans
LXlf -x2, -X3 us
Les moyennes ont donc une valeur constante iij indipendante du point
x dans
p; on
peut toujours, sans diminuer l a g & n & r a l i t &supposer , nul-
l e s s e s valeurs constantes: -
[61
uj =
0
ou, ce qui revient au m$me, considbrer l e s ug(x, w)
comme representant
les fluctuations de vitesse autour de la moyenne constante.
Prenons deux p o i n t s quelco~ques x
~ o n s i d k r o n sl e tenseur
e t x' e t posons:
neuf composantes'
Les moyennes s t s t i s t i q u e s de c e s neuf compos%ntes sont donnhes par:
En vertu de l'invarinnce de l a mesure en f a i s a n t l e changement de
- 81 -
variable:
w = ,;,T-
,;,-
w;-,,l
on obtient:
La moyenne s t a t i s t i q u e du tenseur u j ( x f ,w) u k ( x , a) de x
ne dhpend pas
e t x f , mais seulement de x f - X ; e l l e e s t invariante pour une
t r a n s l a t i o n quelconque dans 19espace P . Les neuf fonctions
pj, k ( h )
dif inissent le t enseur de corr&lat ion
d 'une turbulence spat ialement homoghae.
I1 convient de noter que, quand ce tenseur f u t i n t r o d u i t VON
~h&, ce fut
par
Th.
en u t i l i s a n t des moyennes d9une type diffbrent; KARMAN
ne considhrait pas un ensemble de champs v e c t o r i e l s
champ v e c t o r i e l unique (un "8chantillonw correspondant dant non s e u l ement de x , mais encore de
t:
mais un
u j ( x , o)
k
u j ( x , t ,w,);
un
w)
depen-
implicit ement ,
s e plagant au point de vue habitue1 du Physicien, c9e t a i t donc, non aux moyennes s t a t i s t i q u e s c a l c u l bes s u r 0 , mais aux moyennes temporelles:
quJ il s e r e f d r a i t . Pour l a nomenclature e t l a comparaison de t o u t e s l e s d e f i n i t i o n s du tenseur de c o r r e l a t i o n , on pourra consulter l e memoire de F.N. F'RENKIEL [20].
4
-
Le tenseur s p e c t r a l . L'analyse harmonique du champ v e c t o r i e l a l e a t o i r e d h n Bcoulement
turbulent spatialement homogkne e s t un simple c a s p a r t i c u l i e r de l s a n a l y s e harmoniaue des fonctions a l e a t o i r e s strictement s t a t i o n n a i r e s s u r un groupe abdlien localement compact: l e groupe G e s t c e l u i des t r a n s l a t i o n s de l'espace euclidien, On trouvera dans [SO] un expose de c e t t e methode, avec une b i b l i o graphic des extensions s u c c e s a i v ~ sde 1 analyse harmnique,
resolue de abord p a r H. CRAMER pour une fonction a l h a t o i r e s t a t i o n n a i r p e t et endue
- 82-
4 - L E TENSEUR SPECTRAL
\a des c a s de p l u s en p l u s gen6raux; dnns l a mhthode qui nous a conduit
k
1' extension l a p l u s genhrale, 1' analyse hitrmoniclue e s t une transposi-
t i o n de l a formule de M. H. STONE dans l a t h e o r i e de 1' espace de HILBERT, connue sous l e nom de dhcomposition de 1' ident i t h . Le r e s u l t a t e s s e n t i e l peut s e resumer de l a fagon snivante: Introduisons un espace a u x i l i a i r e A , espace euclidien $ 3 dimensions, l J e s p a c e des nornbres d'ondes hl,h,, h, ; & t o u t champ v e c t o r i e l a l h a t o i r e s t a t i o n n a i r e correspond, dans A , un tenseur
S3, k ( h ) , l e tenseur s p e c t r a l , l e s fonctions S3, (A) Btant des fonctions complexes
& v a r i a t i o n bornee, t e l l e s que:
Nous avons i n t r o d u i t ( v o i r [50] pour l a bibliographie rl;?taillhe) l e tenseur s p e c t r a l dans une ~ o n f h r e n c eghnhrale donnee au ~118me congr;s International de ~ h c a n i q u eappl iquhe, Londres 1948; au meme congrBs, G.K. BATCHFLOR a propos6 une d e f i n i t i o n du mgme tenseur,
voisine de l a n6tre; mais s a communication ne contient pas l'expression ghnhrale de ce tenseur pour un f l u i d e incompressible que nous avions donn& dans not r e expos;. I1 convient d9observer que l a reprhsentation du tenseur
spectral
par 1' i n t h g r a l e de FOURIER-STIeLTJES [9] n9implique nullement, comme on 19a p a r f o i s admis I? t o r t , qu; l e s hchantillons du champ &oriel
u3(x,w) sont eux-m&es representables par des i n t h g r a l e s de FOURIER-STIE!LTJFS:
o i l e s fonctions
W3
seraient
k
v a r i a t i o n born&e s u r A pour presque
t o u t wi il e s t a i s h de montrer ( v o i r [50] P. 599) que c e t t e conclusion i ! e s t , gezeralement, fausse e t que l 9i n t h g r a l e ne peut prendre de sens \ qce, d a s un contexts t o u t a f a i t d i f f e r e n t , c e l u i de l a convergence f o r t e dans un espace de FILBERT.
du tenseur des fonction discontinues de h ; l a s i t u a t i o n e s t pour l e s fonctions h v a r i a t i o n bornhe de plusieurs l e s fonctions d'une v a r i a b l e e t on peut construire h ghn6ral, l e s composantes
Sj,
k
s p e c t r a l peuvent ' s t r e encore plus compliqu6e v a r i a b l e s que pour des types de s p e c t r e s
tres 610ign&s des i n t u i t i o n s h a b i t u e l l e s des Physiciens. Le c a s l e p l u s simple e t l e p l u s i n t e r e s s a n t , - si nous &cartons l a p o s s i b i l i t h , dans l e spectre d9un kcoulement turbulent,
d' une concen-
t r a t i o n de 1' dnergie cinetique s u r des "lignes" pures, - e s t c e l u i oh l e s neuf composantes S j , k du t enseur s p e c t r a l sont absolument continues dans A ; c9e s t
d i r e que l e t e n s e u r de c o r r i l a t i o n e s t l e transform6
? i
de FOURIER d9un tenseur dont l e s composantes
cpj, k
(h)
appart iennent
L(A) :
nous appellerons l e nouveau t e n s e u r
qj,
k
le tenseur d e densitk
spec-
trale.
On dhmontre que:
(a) l e s s i x composantes c p j , k ( h ) , j f k , sont des fonctions complexes e t l e s t r o i s composantes diagonales cpj, j ( A ) sont des fonct i o n s r e e l l e s non nhgatives:
(b) l e tenseur a l a symm6trie hermitienne:
(c) Pour chaque
Y E A , quels que soient E , ,E,,E,
complexes:
[131
c' e s t
d i r e que \y e s t une forme quadratique hermitienne dhfinie
positive. ~ o n s i d 6 r o n s19invari'ant du tenseur de densit; spectrale:
rg(h)
=
C
3
rpj,j(Q
20
4 - L E TENSEUR SPECTRAL
~ o n s i d h r o n sdans 1' espace @ une "boite" quelconque B t e l l e que l a masse du f l u i d e emplissamt B s o i t e g a l e & 1 9 u n i t 6 . Pour l 9 & c h a n t i l l o n du champ v e c t o r i e l correspondant & o , 1' hnergie c i n h t i a u e d u fluide contenu dans B , e s t ;gale
La myenne s t a t i s t ique de 1 'dnergie c i n i t ique du f luide contenu d m
l a b o i t e B e s t donnbe par: 161 I1 s u f f i t pour l e montrer, d9i n t e r v e r t i r l e s i n t e g r a t i o n s dans:
e t d' u t i l i s e r [15] C e t t e valeur, comme il h t a i t f a c i l e de l e p r t h o i r , est compl2ternent ind;pendante de la forme e t de la posit i o n de la b o i t e B dans l'espace. Ce r k s u l t a t j u s t i f ' i e l e nomde "tenseur de d e n s i t ; s p e c t r a l e N ; 1 q(A)dh 2
reprksente la contribution I? l a vaieur s t a t i s t ique moyenne
de I 'dnergie cinkt ique du f l u i d e , des nombres d'onde tenant au para1 1616pipkde i n f i n i t e s i m a l de centre
Au l i e u de l a fonction
h , , b , A, apparA e t de volume
q(h) de t r o i s v a r i a b l e s
h,,h,, A, , on
d 9 n e s e u l e v a r i a b l e , d b f i n i e de considere souvent une fonction $(%) l a maniQre suivante; s o i t S une sphere de c e n t r e 0 e t de rayon U dans A ; posons:
- 85 -
06 d s dhsigne l ' a i r e sur l a sphere unit6 (angle solide):
Avec c e t t e notation [16] s' Q c r i t :
apparait a i n s i comme l a contribi~tion5 1%moyenne s t a t i s t i a u e de 1' hnergie cinhtique des fluctuations doqt l e s nombres d'ondes sont com-
+(u)
p r i s entre l e s deux spheres
x e t u t clu: on convient de l'appeler l e spectre d';nergie du champ vectoriel al6atoire.
5
-
Les hquations des composantes du tenseur spectral.
Pour que l e fluide s o i t incompressible, il faut e t il s u f f i t
que
chaque Bchantillon vhrifie 1' Qquation:
Nous supposerons desonnais que l e champ vectoriel
a1katoire
st a-
tionnaire s a t i s f a i t aux conditions plus restrictives: pour un 6chantillon quelconque, l e s t r o i s composantes u j ( x , o) sont des fonctions continues de x , ayant des d e r i d e s continues jusqu' $ l ' o r d r e 4; cette hypothhse implique clue:
Nous devons souligner que l e s deux propositions ne sont nullement Bquivalentes; si l e s dhrivhes existent, [17] est s a t i s f a i t e , mais - comme d9a i l l e u r s pour l a continuit6 s t a t i s t i q u e - l a rkciproaue n9est pas vraie: [17] pourrait e t r e s a t i s f a i t e sans que l e s dhrivhes des u j ( x , o ) existent pour aucun hchantillon du champ vectoriel. La seule c0ns6~uencenhcessaire de l a condition [17],crest, en vert u des propri6tBs classique des transform6es de FOURIER, d' entrainer l a r s ces existence des dhrivees des p ~k , jusqu9 & l ' o r d r e 4, l e s v a l e ~ ~ dcl n o somme. derivhes Qtant obtenues en dkrivant [9] sous l e sig.--
- Ht-
5 - ~ Q s . DES COMPOSANTES DU TENSEUR SPECTRAL Si on m u l t i p l i e 1' 6quation
(N,) p a r
uj ( x P u), ,
p u i s que l'on prenne
l a moyenne, on o b t i e n t l e s t r o i s r e l a t i o n s :
A cause des hypothhses f a i t e s s u r l e s
qj, k
, en d h r i v a n t sous l e
s i g n e somme, on a b o u t i t \a l a condition:
Un des principaux avantages de l a s u b s t i t u t i o n du tenseur de den-
s i t ; spectrale au tenseur de corrklation duns l a thkorie s t a t i s t i q u e de la turbulence homoge\ne e s t le f a i t que, l e s 3 iquat ions
aux
d;rivies
part i e 1 l e s [18] sont remplac&es par l e s conditions algibr iques trds simp l e s [191. Le t e n s e u r de d e n s i t 6 s p e c t r a l e d e l a turbulence spatialement homog;ne d' un f l u i d e incompressible e s t donc c a r a c t i r i s e p a r 1' a d d i t i o n aux p r o p r i e t b s gendrales ( a ) , ( b ) , ( c ) enonckes p l u s haut, de l a prop r i 6 t h (d) exprimhe p a r l e s equations [N]. O r il e s t f a c i l e de dhmontrer que l a forme gbnbrale
d'un
tenseur
s a t i s f a i s a n t l e s c o n d i t i o n s ( a ) , (b), ( c ) e t (d) e s t donnee par:
oh
et
aj
bg
sont l e s s i x composantes de deux vecteurs complexes ar-
h et orthogonuux entre eux. 2 l b j I 2 l. expression [201 rend
b i t r a i r e s , orthogonaux au vecteur jrequence FVI
posant:
a2 = C laj l2 , b2 j
l a formeo
(bg, k
=
Si
tenseur unite:
=
j
1 , 6 j ,k = 0 , j f k ) b2 = a 2 , nous avons comme c a s p a r t i c u l i e r .
tij,j
=
Si
b2
#
a2, en supposant
b2 < a2, introduisons l e vecteur:
nous obtenons 1' expression du tenseur de densit; spectrale pour me turbulence s p a t i a l ement homogane dans un fluide incompressible, sous In forme:
ou c j ( h ) est un vecteur complexe a r b i t r a i r e orthogonal au vecteur frbquence: C hjc.j(A) = O j
et
b2(h) un scalaire r i e l p o s i t i f . L9 invariant du tenseur est &gal 9:
Si l e s propri6t6s s t a t i s t i q u e s du champ vectoriel a l h t o i r e ne sont pas seulement invariantes pour une translation quelconque dans en outre, en chaque point
P ,mais
x , pour une rotation quelconque autour d 9un
axe passant par x , on a un type plus particulier de turbulence appel&e homgdne e t i s o t rope; presque tout es l e s recherches f a i t e s j usqus8 maintenant ont kt6 limit6es 8, ce type spbcial; l e f a i t s a i l l a n t mis en i v i dence par Th. VON K&M&,
c' est que, dans ce cas, on ne dispose que d 9 une
seule fonction scal a i r e a r b i t r a i r e . Nous ne nous itendrons pas sphcialement i c i sur ce cas p a r t i c u l i e r f nous nous contenterons d' indiquer que, si l e fluide e s t incompressible, il correspond pour l e tenseur spectral,
6
-
k
l a forme simplifibe [22].
c o r r e l a t i o n e t spectre du t o u r b i l l o n .
Soit v ( x , w ) l e tourbillon du champ de vitesses u ( x , o ) , c' e s t & dire V(X,W) =
rot u(x,w)
6-CORRELATION ET SPECTRE ,011 TOURRILLON l e s composantes de v ( x ,w)
sont d e f i n i e s par:
Les neuf composantes du tenseur de corrClat ion du tourbi 1 lonr
sont des combinaisons de termes de 1%forme:
obtenus en derivant [8] par rapport
xk e t xs; l a derivation sous l e signe somme e s t 14gitime cause de l'hypothese [17]. Le tenseur yj, k ( h ) de densit; spectrale du tourbil lon t e l aue:
e s t a l o r s donne en fonction de qj, k
p s r l e s formules:
Son i n v a r i a n t a pour valeur:
~ o n s i d e r o n s1' 6nergie t o u r b i l l o n n a i r e d u f l u i d e contenu boite
dans une
B de masse unite:
. Par des c a l c u l s identiques
ceux e f f e c t u e s s u r 1 energie c i n e t i -
que, on o b t i e n t pour l a moyenne s t a t i s t i q u e de 1' energie tourbillonnaire:
ou, d9aprhs [26] : ~281
De [16] e t [28] on t i r e :
--
=
L*
.
L e s t une longueur qui, du. point de vue s t a t i s t ique, mesure lechell e nwyenne des t o u r b i l l o n s dans 1' dcoulement turbulent.
7
-
cinematicrue de l a turbulence homogene.
Dans 1' expose qui precede, l ' e s p a c e de p r o b a b i l i t e
(
,)
est
r e s t e a b s t r a i t ; l e s r e s u l t a t s demeurent exacts quels que soient les espac e s de p r o b a b i l i t h p a r t i c u l i e r s auxquels on l e s applique. A l a l i m i t e n p o u r r a i t ne contenir que deux p o i n t s 64 e t (th e t p s e r a i t dechacun d' eux l a masse M: il n' y a u r a i t a l o r s que deux e c h a n t i l l o n s u ( x , q ) e t u ( x , y ) du champ v e c t o r i e l a l e a t o i r e f i n i e en . a f f e c t a n t
L!
e t l a moyenne s e r a i t d e f i n i e par:
Nous obtiendrions a i n s i un formalisme exact, mais vide de t o u t contenu i n t e r e s s a n t pour l a ~ b c a n i q u edes fluides.
, Pour qu' un champ v e c t o r i e l a l e a t o i r e s9applique r6ellement
la
~ i n d m a t i q u ede l a turbulence homogene, il f a u t que l'ensemble des echant i l l o n s contienne t o u s l e s champs v e c t o r i e l s s u s c e p t i b l e s derepresenter & un i n s t a n t donne, l e champ des v i t e s s e s d'une turbulence homoggne: il faut donc renverser, en quelque s o r t e , 1 9 0 r d r e des operations. Au l i e u d p a b o u t i r \a un ensemble duechantillons, qui nous e s t imposk par un choix des uj ( x , w), nous devons, au cont r a i r e , p a r t i r , a p r i o r i , d'un ensemble 1 1
7- CINEMATIQUE DE L A TURBULENCE H O M O G ~ N E de champs v e c t o r i e l s suffisamment ample; c 'est cet qui constitue
a.
ensemble
lui-- meme
Supposons, pour donner un exemple, que nous voulions considhrer tous l e s champs v e c t o r i e l s dont l e s composantes u j sont des fonctions cont i n u e s de x l , x 2 , x 3 dans P ; Q s e r a a l o r s un espace produit:
un des champs v e c t o r i e l s de l9ensemble considere; on peut continuer, si on l e dbsire, & u t i l i s e r l a notation: d&finies sur
u j ( x , u), l e s fonctions u j Btant
P x n: mais c e t t e notation prend i c i l e sens suivant:
l e s t r o i s fonctions V point p a r t i c u l i e r
GI de
&ant prBcis&nent c e l l e s qui correspondent au
R d e f i n i par [12].
Dans c e t t e perspective, l a donnie p r i m i t i v e e s t 1' ensemble des champs v e c t o r i e l s ; on vient simplement, ensuite, c o l l e r une w Q t i q u e t t e w w s u r chacun d' eux.
L' ensemble ayant 6th choisi, pour aue l e s u j ( x , W) soient des fonctions a l e a t o i r e s , il f a u t savoir d e f i n i r s u r 0 une mesure de prob a b i l i t ; p ; on e s t donc ramen&, comme au § 4 du c h a p i t r e IV, & const r u i r e une mesure s u r un espace fonctionnel cc-tvenablement choisi. O r , s' il e s t relativement f a c i l e de d e f i n i r une mesure de probabi-
l i t 6 s u r l e s espaces fonctionnels qui sont des espaces de BANACI! ( e t en il ~ a r t i c u l i e rdes espaces de HILBEXT), [62], [65], [66], [671, [681,]69], s e t r o w e malheureusement, a i n s i sue nous l 9avons soulignh au c h a p i t r e
11, que l e s champs v e c t o r i e l s u t i l e s pour 1"tude
de l a turbulence ho-
mog6ne, ne c o n s t i t u e n t pas des espaces de Banacb, mais bien des espaces de G.MACKM; l e u r topologie e s t d & f i n i e , non par une nome, mais p a r une f a z i l l e de pseudo-normes. G.BIRKHOFF e t moi-msme publierons prochainement un t r a v a i l : "Kinematics of homogeneous turbulence", ob Q e s t 1 'ensemble d e tous les .
t
.
-
champs vectoriels tels que 1 '&nergie cinet ique:
D compact:
soit finie pour tout domaine
vj (XI€ L2(D)
,
D
compact.
La mesure p , que nous dhfinissons sur fl, e s t une mesure normaZe, en ce sens sue toute fonctionnelle lindaire s u r R :
s u i t une loi de LAPLACE-GAB:
La mesure p e s t hornog&e, c' e s t k d i r e que toutes l e s proprietes s t a t i s t iques sont invariantes pour une translation dans 1' espace R3. Pour une dhfinition convenablement precisbe de 1' equivalence de e t ~ 1 2, & un spectre dv&nergie don& $ ( x ) absoludeux mesures hb. ment continu, correspond une e t une seule mesure p . L9 ensemble des champs vectoriels essentiellement continus a l a mesure 1; enfin,, (th6oreme ergodique s p a t i a l ) l e s moyennes s t a t i s t i ques sont Qgales aux moyennes s p a t i a l e s pour presque tous l e s champs vector i e l s apparkenant & 0 .
8
-
Le problime .dynamique d e l a t u r b u l e n c e .
Apre\s l a description s t a t i s t i q u e du champ des vitesses & un instant t ( ~ i n h a t i q u ede l a turbulence) on devrait naturellement passer a lv&ude de son evolution en fonction du temps t (Dynamique de l a turbulence), Cv e s t h ce moment precis qu5il faut f a i r e un choix crucial: Supposeronsnous, oui ou non, que le champ des vitesses doit satisfaire t ions de NAVIER?
a m
iqua-
8-DYNAMIQUE LIE LA TURBULENCE Puisque, comme nous avons e-ssaye de l e montrer dans 1' Introduction, nous n' avons auj ourd' hui aucune ra.i son qui nous cont raigne imperativement
r e j e t e r l e s equations de NAVIER, acceptons-les, au moins provi-
soirement. Cet te dicision imp l ique que les jonct ions a6atoires u j ( x , t , w ) , # ( x , t , GI)
-
dont 1 'ktude const ituera essent iel lement la Mhcanique stati-
stique de la turbulence,
-
doivent 2tre des intigrazes alhatoires
des
kquat ions de NAVIER. C' e s t ce qui f a i t l a profonde diff6rence e n t r e l a
~ i n e m a t i q u ee t l a Dynamique de l a turbulence homogene: pour dbvelopper l a cinhmatique de l a turbulence homogene, nous pouvions choisir n9 import e quel champ v e c t o r i e l a l i a t o i r e , d e f i n i par des fonctions a l 6 a t o i r e s uj(x,w)
s t a t i o n n a i r e s en r ; maintenant nous sommes lies p a r une con-
d i t i o n ; pour c o n s t r u i r e l a Dynamique de l a turbulence homogene,
parmi
l e s champs v e c t o r i e l s a l k a t o i r e s s t a t i o n n a i r e s en x , nous sommes cont r a i n t s de nous l i m i t e r & ceux oh l e s fonctions u j ( x , t ,w) sont, comme fonctions de ( x , t ) , des i n t e g r a l e s des hquations de NAVIE!R. A ce point de vue, t o u t e Dynamique de l a turbulence d o i t donc % r e
basee s u r c e r t a i n s ensembles d' i n t e g r a l e s des hquations
de NAVIER; s i
1' on s e contente d' un formalisme, l a i s s a n t complktement
dans l e vague
l a d e f i n i t i o n e t l a nature de c e t ensemble, on peut reprendre toutes l e s notions i n t r o d u i t e s aux 5 2, 3, 4 e t d i f i n i r : (a) une v i t e s s e moyenne:
(indh~endantede x , en vertu de l a s t a t i o n n t - i t 6 en x
du champ vec-
toriel). (b) un tenseur de correlation:
(c) un tenseur d e d e n s i t e spectrale, lid. au p r e c k e n t par:
LY6volutiondu spectre d9energie se t i r e alors de l'dquation des forces vives; en multipliant chacune des hquations (N5) par uj e t en ajoutant l e s rbsultats, on obtient 1' equation ( * ) :
B contenant l ' u n i t e ; puis on prend l a moyenne s t a t i s t i -
On intkgre c e t t e &quation dans une boite auelconque une masse de fluide &gale que; il e s t c l a i r que:
e t une transformat ion connue mont r e que:
oh ~ ( w) t , e t ~ ( o) t , designent respectivement l 9Qnergie cin6t ique e t 19hnergie tourbillonnaire du f l u i d e contenu dans
B
1' instant
t ,
o. D' autre part, l'homogeneite s p a t i a l e du champ vectoriel entraine, comme l e montrent des calculs f a c i l e s (voir [50] P. 615-616):
pour 1' hchantillon
On obtient ainsi 1' equation d' kvolution de l 9 b n e r g i e c i n h t i que moy enn e:
en appliquant l e s formules [16] e t [281 on en t i r e Pour 1' i n v a r i a n t (*)
On suppose quVi l n D y a pas d e f o r c e s exterieures: .
.
Xj
= 0.
8-DYNAMIQUE DE LA TURBULENCE
cp(ht ) du tenseur de d e n s i t e spectrale:
La fonction d h f i n i e par
a at
B ( h , t ) = - cp(A,t) .
+ 2vu2q(A,t)
Peut s' appeler l a fonction balance, puisqu9e l l e donne l a balance e n t r e 1' hnergie cinhtique moyenne regue p a r l e s t o u r b i l l o n s correspondznt slux
nombres d' onde
h , , h , h, , e t 1' energie d i s s i p e e p a r l a v i s c o s i t e ; e l l e
e s t simplement assuj e t t i e
l a condition:
Nous avons, dans 1' Introduction, sommairement rappel6 l e s nombreux travaux consacres, depuis 1940, $ des t e n t a t i v e s de determination
B ( h , t ) r 19hypothkse l a p l u s naive c o n s i s t e
de
? supposer: i
Les t o u r b i l l o n s de diametres d i f f e r e n t s n9echangent pas,
en moyenne,
d' energie e n t r e eux: t o u t e 1' bnergie des t o u r b i l l o n s correspondant aux nombres d' onde
h,, & , A ,
e s t directement dissiphe par
viscosit6.
On
t i r e immhdiat ement de 1' equation [33] l a l o i d' evolution:
l' energie des p e t i t s t o u r b i l l o n s (U grand) s e d i s s i ~ ep l u s rapidement
que c e l l e des grands. J3n p a r t i c u l i e r , si 1' on suppose d"nergie
que l e s p e c t r e
e s t donnd & 1' i n s t a n t i n i t i a l par:
on o b t i e n t " l a l o i du decrement de
qui eut son heure de c e l e b r i t e .
lq
- c;r,
turbulence" de LOITSIANSKY [82],
Nous n' i r o n s pas p l u s l o i n dans c e t t e voie, nous pennettant de renvoyer
l'ouvrage de G.K. BATCHELOR [4], pour un expose des recherches
s u r l 9evolution du spectre d' energie, basee s u r des hypotheses plus subt i l e s que [34]. S i nous ne developpons pas davantage c e t exposd,
c ' e s t parce
que
nous ne perdons pas de vue, que l e s r d s u l t a t s preckdents ne cessent d'stre
& p a r t i r du moment o i nous precisons 1' espace de p r o b a b i l i t h ( R , & , p) place & l a base de l a construction des u j ( x , t , w). purement formels qu'
Bien entendu, comme nous l e rappelions au $7, c e t espace peut-&re tris maigre; il peut,
B
l a l i m i t e , ne contenir que deux p o i n t s w,
et
64 ; l e formalisme precedent a u r a i t a l o r s l e sens suivant: on considkre 2 in-
t e g r a l e s uj ( x , t , k $ ) , P(x, t , q ). e t u j ( x , t , q) , p(x, t , y ) des emations de NAVIER; t o u t e s l e s moyennes sont d e f i n i e s s u r l'ensemble de c e s deux integrales. Les formules cessent d9& r e vides; mais aurons-nous l a na'ivete de c r o i r e q u ' e l l e s nous apprennent quelque chose s u r l a turbulence?. . . Pour que n o t r e t h e o r i e p u i s s e a v o i r quelque valeur, il faut que l e ensemble des i n t d g r a l e s des dquations de NAVIm, s o i t , au c o n t r a i r e , l e plus ample que possible, de fagon
k
n9eliminer, a p r i o r i , aucm des champs
v e c t o r i e l s dont 19a l l u r e generale s'accorde avec l e s observations de l a turbulence homogene. C9 e s t donc ..la methode du
3 du c h a p i t r e I V qui s' impose:
il faut
trhs l a r g e , p a r exemple, c e l u i que nous avons i n t r o d u i t au $j7: l'ensemble de t o u s l e s champs v e c t o r i e l s s e donner un espace fonctionnel
[v,( x ) , V, ( x ) , V3( x ) ]
t e l s que 1' 6nergie c i n k i q u e s o i t f i n i e pour tout domaine compact; l'ensemble des champs vectoriels wt = [ ~ , ( x , t )U2 , 6, t ), U&,t)] (J
=
s e r a a l o r s c o n s t i t u e par t o u t e s l e s i n t e g r a l e s des equations de NAVIER qui prennent l a valeur i n i t i a l e
w , l e sens du mot " i n t e g r a l e n e t de
l a phrase "prenant l a valeur" ayant au p r e a l a b l e 4 t e prhcish, par exemple, dans l e sens sugg6re au
5 5 du
c h a p i t r e I . . . Cet &nonce nous montre
clairement que nous cherchons k b g t i r un e d i f i c e dans ~ l evide: comment a l l e r p l u s l o i n , sans un thhorime d' existence e t di u n i c i t e pour la c l a s s e consid6r;e d' intdgrales des 6quations de NAVIER?, . . ~ r r i v e s& ce point c r u c i a l , il nous semble i n u t i l e d'insister" corn.
:,:
.
9 - CONCLUSION ment chercher
c o n s t r u i r e des mesures p. s u r un
espace
fonctionnel
dont nous ignorons l e s p r o p r i e t e s l e s p l u s e s s e n t i e l l e s ? Contentons-nous de n o t e r [461 que, si, comme nous
1' esphrons,
la
~ b c a n i q u es t a t i s t ique de l a turbulence homogene peut un j o u r franchir, ou tourner, l e mur qui b a r r e s a route, e l l e d i f f b r e r a s u r un point ess e n t i e l du schbma ghnbral esquissd au
f$
3 du c h a p i t r e IV;
en e f f e t , un
fluide visqueux n'est pas un systthe conservatif. Cette remarque a des
cons6quences importantes: e l l e remet en question l 9invariance de l a mes u r e p par l e s transformations du semi-groupe (theorkme de LIOWILLE). On peut s e demander ggalement, si l e thkor&me ergodique, que G.BIRKHOFF e t moi-m$me croyons a v o i r dkmontrh pour l e s moyennes spatiales, ne tombe pas en defaut pour l e s moyennes temporelles.
9
-
Conclusion. Tandis que j e vous p a r l e , j ' a p e r q o i s
k t r a v e r s les arcades blanches
de l a V i l l a Monastero, l e s r i v e s enchantees du l a c de &me;
un b r i n de
poesie me s e r a sGrement pardonnb, dans un t e l cadre. Permettez que, pour ma conclusion, j' emprunte des images
&
- donc
votre immortel DANTE.
Dans l e microcosme des recherches s u r l a turbulence homoghe, j e c r o i s retrouver l e s t r o i s d i v i s i o n s de l a Divine ~omhdie: Paradiso, Purgatorio, Inferno. Dans l e Paradis, avec son s o l e i l rayonnant de g l o i r e , j e p l a c e r a i hardiment t o u t e l a p a r t i e de l a ~ i n b m a t i q u eb a d e s u r l a notion de fonct i o n a l h a t o i r e s t a t i o n n a i r e ; des retouches de d e t a i l s restent possibles, mais 1' e s s e n t i e l p a r a i t definitivement acquis. Au contraire, l a Dynamique me semble a t t e n d r e dans l e s l a m e s du Purgatoire; r e c i t o n s un Ee Profundis, pour que l e s progrks de l a t h d o r i e des equations de NAVIER permettei~t, un jour, de f a i r e monter au Paradis t a n t de b e l l e s recherches basees s u r des i n t u i t i o n s physiques profondes. Mais ne nous dissimulons pas que c e r t a i n e s de c e s i n t u i t ions n' aur e n t e t e que l e s i l l u s i o n s d'un jour; quand l e u r contradiction avec Pensemble des pr6misses aura b t d d e m ~ n t r e e , e l l e s tomberont, F u r toujo1lrs, dsns l e s flammes rougeoyantes de 1' Ehfer.
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" ~ d t e r m i n a t i o nd9une (a transformation d e Reynolds". Comptes-Rendus Acad. Sciences t . 2 4 4 . 1957. p. 2890- 2893.
[84] A. OBUKHOFF
-
"On t h e d i s t r i b u t i o n o f e n e r g y i n t h e spectrum o f t u r b u l e n t flow". Comptes-Rendus Acad. Sciences U.R.S.S. t.32. 1941. P. 19-21.
[85] L. ONSAGER
-
"The distribution of energy i n t u r b u l e n c e ( a b s t r a c t ) ". Phys. Rev. t . 6 8 . 1945; p.286.
[86] L. ONSAGER
-
" S t a t i s t i c a l Hydrodynamics". Nuovo Cimento t . 6. 1949. p. 279- 287.
[87] C.W. OSEEN
-
"Das Turbulenzproblem". 3Qme ~ o n g r e sI n t e r n a t i o n a l Mech. Appl. Stockholm t . 1. 1930. p . 3- 18.
[88] M.PLANCHEREL e t G.POLYA
- "Sur l e s v a l e u r s moyennes d e s f o n c t i o n s r i e l l e s d e f i n i e s pour t o u t e s l e s v a l e u r s de l a variable". Commentarii Mathematici H e l v e t i c i t . 3. 1931. p. 114- 120.
[89] 0. REYNOLDS
-
"An e x p e r i m e n t a l i n v e s t i g a t i o n o f t h e c i r c u m s t a n c e s which determine whether t h e motion of water shall be direct o r s i n u o u s and the law of resistance i n parallel c h a n n e l s ? Philos. Trans. R. Soc. A. t. 74 Partie 111. 1883. p. 935-982.
[go] 0. REYNOLDS
-
"On t h e dynamics1 t h e o r y o f i n c o m p r e s s i b l e v i s c o u s f l u i d s and t h e d e t e r m i n a t i o n o f t h e c r i t e r i o n " . Philos. Trans. R. Soc. A. t . 86 P a r t i e I . 1895. p. 123- 164.
-
" D e w of isotropic turbulent motions of incompressible fluid1! Comptes-Rendus &ad. Sciences U. R.S. S. t. 42. 19 44. P. 116-119.
[92] Mme SHU-TEH-CHEN-MOY
-
"Characterisat ion of conditional expectation a s a t r a n s f o r m a t i o n on f u n c t i o n s p a c e s " . P a c i f i c J o u r n a l o f Math. t . 4 March 1954. p. 47-63.
[93] J. SOPKA
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"On the C h a r a c t e r i z a t i o n o f Reynold's - O p e r a t o r s on t h e Algebra o f a l l c o n t i n u o u s F u n c t i o n s on a compact Hausdorf Space". T h e s i s Harvard U n i v e r s i t y 1950.
[94] A. TYCHONOFF
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" ~ h h o r & n ed, u n i c i t l p o u r 1' h q u a t i o n d e l a c h a l e u r " . Matemat i c e s k i i Sbornik t . 42. 1935. p. 199-216.
[951 C. VON WEIZS~CKER
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"Das Spektrum d e r T u r b u l e n z b e i grossen Reynoldschen zahlen". Z.phys. t . 124. 1948. P. 614.
[96] D. V. WIDDER
-
" P o s i t i v e t e m p e r a t u r e s on an i n f i n i t e rod". T r a n s . Amer. Math. Soc. t . 5 5 . 1944. p.85-95,
[97I N. WIENER
-
"The Fourier i n t e g r a l and c e r t a i n of its a p p l i c a t i o n s q ' . 1 volume Cambridge U n i v e r s i t y P r e s s 1933.
SEZIONE B
M. L. DUBREIL - JACOTIN
-
(Facult6 des Sciences
Univerrir6 de Paris)
SUR LES AXIOHES DES MOYENNES
JEAN ARBAULT (Facult6 der Sciences
-
Univerrit6 de Dijon)
TRANSFORMATIONS DE REYNOLDS SUB UN ENSEMBLE FIN1
ON THE POSSIBILITY OF A BIBTHEMATICAL
-
THEORY OF SHEAR FLOW TURBULENCE
JOHN LAUFER (Jet Propubion Lobomtory
-
California Inscirute of Technob8y)
THE HOT-WIRE TECHNIQUE IN SUPERSONIC RESEARCH
HITZDRAHTMESSUNGEN 11Y FRElEN ORENZSCHICHTEN
(ICbmre$rche Wirbelstrryae und Freietrahl)
Prof* Dr, BeWILLE
- Dr.
0. WEHRMAIVN
SEZIONE B
M. L. DUBREIL - JACOTIN (Facult6 dea Sciencea
-
Universit6 de Parw)
SUR LES AXIOMES DES MOYENNES
Nous considirons une famille a de fonctions r i e l l e s d'une ou plusieurs variables r i e l l e s de'finies sur un ensemble X qui, dans l e cas d' une seule variable, sera l e plus souvent un segment ou la d r o i t e toute entiere. Cette famille sera en ghnhral un anneau, ce qui veut dire que si f e s t m e fonction de l a famille (f a) il en s e r a de mcme de -f e t qu9avec f- e t g , a contient f + g e t fg . De plus nous supposons qu' avec l a fonction f , 8 contient l a fonction kf oh k e s t un nombre rhel quelconque. On aurait sans doute avantage supposer seulement que a e s t un espace vectoriel dans lequel on peut multiplier certains coup1es d961hments: nous supposerons i c i , comme J. K A Wde ~ dRIFT que a e s t B l a f o i s un espace vectoriel e t un anneau. Ehfin nous supposons que l a fonction e , { e ( x ) = 1 pour tout x € X ) , appartient a
a,
grsce \a quoi d'une part 19anneau p o s s h e un Qldment unit6 e t , d'aut r e part, nous n' hliminons pas a p r i o r i l e s moyennes usuelles qui sont des constantes. Ddfinir une moyenne dans a c' e s t donner m e correspondance f df qui \a chaque fonction f de c?. f a i t correspondre une fonction 7 bien determinee de & , s a t i s f a i s a n t certaines propi i h t h s que nous allons ~ r e c i s e r . D' abord il ne s' agira i c i que de moyennes inh ha ires conservant i l e s constantes, c' est-a-dire v e r i f i a n t l e s axiomes:
Les axiomes [I] - e t C21- expriment l a linharith, C31- que l a constant e 1 e s t conservhe, [2] - e n t r a h e a l o r s en faisant g = e que toute con-
B - SUR L E S AXIOMES DES MOYENNES
-
stante non nulle e s t conservke; mais [2] - entrafne encore (-f)= -7 e t [I]; en faisant g = -f , donne aussi 6.=o. Pour simplifier nous k r i r o n s l e plus souvent k pour l a fonction ke &ale k en tout point de 1; nous pourrons d o r s &ire = k e t remar-
z.
= quer que ceci e n t d n e Si l e s moyennes 7 ktaient toutes des constantes, 121 entramerait:
Mais comne on aurait
=
g,
ceci entrafnerait
-
-
73 = 72 = 7;
on aurait donc
en tenant c w t e de [I]:
Fgtfg=7g+fg
(R)
Ainsi donc pour des moyennes constantes l e s conditims T e t R sont trivialement s a t i s f a i t e s . La condition (T) e s t c e l l e u t i l i . d e par J. K M ~ de 1
FE ' !RIET depuis son a r t i c l e de 1935 dans . " l a Science akrienne" pour carac-
t i r i s e r c e qu' il appelle l e s moyennes ou transformations de Reynolds. La condition ,(R) pour une moyenne vkrif i a n t l e s axiomes L , s' k c r i t en posant f =
g + f' , I
g =
+ g1
sous l a forme iquivalente:
I
c ' e s t ce que J.KAMPE de FERIGT appelle l a "relation classique pour l e s moyennes de produits de v a r i a b l e s a l h a t o i r e s " (BLANC-LAPIERRE et FDRTET, formule (14-23-4), p. 61'2). Le probl&ne de l a recherche des moyennes de Reynolds consiste k rechercher parmi l e s moyennes v i r i f i a n t l e s conditions L t o u t e s c e l l e s grace auxquelles l e passage des hquations de Navier-Stokes aux dquations de Reynolds e s t l e g i t ime. On en trouvera une famille extrhement l a r g e en imposant o u t r e l a condition (R), l a condition:
(D)
af - af pour t o u t e s l e s v a r i a b l e s E intervenant dans f 2E
-at-
(voir M-L. DUBREIL-JACOTIN. - C. R. Acad. Sc. P a r i s , t.244, 12 juin 1957, p. 2887) .
B -'SUR LES AXIOMES DES MOYENNES Dans tous s e s travaux depuis 1935, J. KANBE' de &IFT n' a p r i s en considiration que l a condition (T); s' il a bien reconnu r e c e m e n t que l e passage des iquations de Navier-Stokes aux hquations de Reynolds u t i l i (R), il n' en a pas moins t o u t d e s u i t e s e non pas (T) mais seulement, ajoute l a condition 7 = 7 , ou l a condition Q q u i v d e n t e = 0 , pour s e ramener ?t 1' 6tude de son systime antdrieur, (conference de Milan, Rendicont i del Seminario Matematico e Fisico d i Milano, Vol .XKVII, 1955- 56, p. 12).
f7
Nous voulons montrer par quelques considirations alg6briques s i m p l e s 1' i n t i r e t qu' il y a & r e j e t e r l a condition (TI e t
a adopter l a con-
d i t i o n (R) pour d i f i n i r l e s moyennes de Reynolds. Nous avons d 6 j i rappel6 que dans l e c a s de moyennes
qui s e r a i e n t des constantes (R) e t (T) sont sans i n t k r e t puisque l'une e t l'autre sont trivialement consdquence de E21. Nous nous plasons donc dans l e c a s g& n 6 r d des moyennes j non nhcessairement constantes; e t rappelons quelques r i s u l t a t s g&ndrauft: (voif: G. BIRKHOFF - Cblioque d' Algibre, P a r i s 1949, Th. 1. p. 145). 1) Toute moyenne du type (L) v 6 r i f i a n t
(T) v e-r i f i e (R): En e f f e t , en f a i s a n t g-= e dans (T) , il vient 7 = 7 d'o;, en remplagant g par g- dans (T) J g = 72 e t par s u i t e ?g + g? = 2 7 2 = = 72 + qui est bien l a condition (R) 2) Les moyennes v i r i f i a n t (L) e t (R) v g r i f i e n t (T) si e t seulement
-
si 7 = 7. La condition e s t hvidenwnent necessaire en vertu de c e qui precede; e l l e e s t s u f f i s a n t e cdmme on l e v o i t en prenant dans (R) pour fonction g l a fonction i oh h - e s t une fonccion arbitraire; il v i e n t bien l a condition (T)-. Nous ne Eaisserons doric kchapper aucune myenne de Remolds v d r i fiant (L , T , D) en richeichant les myennes de Reynolds v i r i f i ~ t (L , R ,D); s i dohc nous m n t rons que (L ,T ,D ) , dans des conditions assez larges n'q pas de solution (autre que 7 = f pour toute fonciion f , solution qui v6rifj.e kvidenu~en~ t r i v i a l e w n t luzssi bien l e s y s t h e (L , R , D ) que le systkme ( L , T , D ) ) et que ( L , R , D) erl poss&de une i n t i -
B - SUR L E S AXIOMES DES MOYENNES ressante non seulement algkbriquement mais physiquernent, nous serons en d r o i t de conclure
h 1'intkre"t de r e j e t e r l a condition (T) au profit
de
la condition ( R ) . C' e s t pricisement c e que nous a l l o n s f a i r e . I
Auparavent faisons remarquer qu'8 l a s u i t e de J.KAMPE de &IET
la
condition (D) a 6th l a i s s d e de c 6 t e par l e s a l g d b r i s t e s qui ont d9abord i t u d i d l e probleme gdndral de l a recherche des transformations de Reynolds v e r i f i a n t (L) e t (T) - Dans c e t e s p r i t , j' a i propose l 9dtude des transformations v h r i f i a n t (L) e t (R) dont 19aspect symetriaue e t l a s i g n i f i c a t i o n s t a t i s t i q u e ne semblaient plus s a t i s f a i s a n t s que (T) . J e renvoie h ma conference du Colloque d' Algzbre de Bruxelles (decembre 1956) pour l e s propriht6s algibriques de c e s transformations, ainsiqu'aux m i m i r e s ?L p a r a f t r e dans l e s publications de l ' u n i v e r s i t e d'lllger de MM. ARBAULT e t MOLINARO pour c e qui concerne l e c a s o; X e s t f i n i , c a s qui f a i t d ' a i l l e u r s 1 9 0 b j e t de l a conference de J.ARBAULT qui f a i t s u i t e k l a mienne. Comme 1' a f a i t I. MOLINARO, nous a l l o n s f a i r e jouer i c i $ l a condit i o n (D)- un r 6 l e prdponddrant. Mais il nous faut encore prkciser dans quel anneau de fonctions nous a l l o n s nous placer. Comme nous voulons f a i r e jouer & l a condition (D) un r s l e important, il nous faut supposer que
a
contient en m&ne temps que f
1.a fonction
af -. aE
Si donc nous
nous bornons \a des fonctions d'une seule variable, nous nous placerons dans 1' anneau des fonctions indefiniment derivables qui e s t le plus grand dans lequel on puisse considerer c e t t e condition. R a p p e l o n s qu9 Q t a n t donnee une moyenne ddfinie dans un anneau L1 *, on d i t qu'elle a une res t r i c t i o n au sous-anneau d ; de c?. * s i c e t t e moyenne associe & t o u t e fonction f de
a
a;
tion
k
a
identique
&
l a moyenne consideree. I1 e s t bien dvident
que
pour que de 1 9 i t u d e de t o u t e s l e s moyennes dans 61 * on puisse ddduire l ' e t u d e de t o u t e s l e s moyennes dans fl , il faut d' a b o r d que t o u t e s o i t extensible \a a* e t , d9a u t r e p a r t , que l v o n sache moyenne dans determiner parmi l e s moyennes de cl* c e l l e s qui ont une r e s t r i c t i o n dans CI . Tout c e c i n9e s t pas simple e t on n9a pas i n t e r & , en general,
a
- 110 -
B - S U R LES AXIOMES DES MOYENNES s e placer dans un anneau p l u s grand que c e l u i que l ' o n a en vue de Qtudier. S o i t donc m e moyenne supposee e x i s t a n t dans 1' anneau des fonctions inddf iniment derivables d' une variable r d e l l e ddf i n i e s s o i t s u r un segment s o i t sur l a d r o i t e t o u t e e n t i s r e ; nous supposons que c e t t e moyenne peut i etre moyenve'rifie (L , T , D) e t nous cherchons quelle fonction ? ne de f
= x .
On a, en v e r t u de (D) :
d' oh en int6grant
-x =
x + a .
oh a e s t m e constante. Cherchons a l o r s l a transformde x2 de l a fonction f = x 2 . La con'
d i t i o n (D) donne:
d'oh, en inthgrant
o; (3 e s t une constante a r b i t r a i r e . Mais l a condition (T) e l l e a u s s i e s t constructive; faisons dans (T) f = g = x , f = g = x + a:, il vient: x(x+a) = (xtaj2.
L'axiome (T) e s t donc c o n t r a d i c t o i r e avec l e s axiomes (D) e t (L) si 1' on suppose CI f 0 , c' est-;-dire - 2 f x . Plus simplement d' a i l l e u r s , on peut d i r e que 1' idempotence f = f , consiquence de (T) , e s t cont r a d i c t o i r e avec Z = x + a < ,at# 0 ; mais l e c a l c u l prkcddent e s t int e r e s s a n t c a r il montre bien l a difference q u ' i l y a e n t r e l e s condit i o n s (R) e t (T) ; (R) donne en e f f e t dans l e s m&es conditions 2 x ( x + a ) = (x+CI)2
+
(x+CI)2
B -'SUR LES AXIOMES DES MOYENNES qui e s t bien l a relation donnde par (D) si Mais revenons \a notre moyenne que nous nous devons prendre a = 0 . Soit alors n existe, t e l que # xn . La condition (D)
l'on y prend fl = a?. supposons v e r i f i e r (L,T, D); l e plus p e t i t entier, s' il entrafne encore
l a constante a dtant par hypothese diffdrente de zdro. Mais c e t t e re-
- -
-
l a t i o n entrafne encore xn = xn t a = xn + 2a # xn ce qui e s t contradictoire avec (T) . Nous pouvons donc Qnoncer: dans l'anneau des fonctions derivables, toute moyenne de Reynolds verifiant (L , T , D) applique toute puissance de x sur elle-&me donc l a i s s e invariant 1' anneau des polynemes e t ceci d' a i l l e u r s quel Qllb s o i t 1' ensemble sur lequel sont def inies l e s fonctions [segment (a 5 x 5 b ) ou droite toute entikre]. Autrement d i t , on peut dnoncer: dans 1' anneau des polyn6mes en excluant toujours l a solution identique = f l e systkme d' axioms (L , T , D) n' a pas de solution. Ce rksultat n' a Bvidemment pas beaucoup d' inter& physique, mais nous d l o n s en dhduire un th6or;rne important. Nous allons q u i t t e r l e dmaine de 1' algbbre pure, nous allons donc imposer aux myennes une condition de nature topologi que. Nous prendrons c e l l e prdconishe par G. BIRKHDFF qui e s t d' a i l l e u r s une simple condition d' ordre: (0)
.
f
e t nous allons d6montrdr que: dans 1 'anneau des fonctions inddfininrent dkrivables d i f i n i e s sur un segnent le systeme d'axiomes (L T ,D ,0 ) de I t J . W E de FERIFT n 'a pas de so lot ion autre que . la solution ident ique. M e f f e t nous avons 18 des fonctiorjs continues dhfinies sur un compact, l e thdorkme d' approximation de Weierstrass e s t valable; on a sur tout l'ensemble de definition, pour tout E donne rdel e t positif aussi p e t i t que 1' on veut e t pour chaque fonction f d e a , une represent a t ion
.
f=P+O
B -'SUR LES AXIOMES DES MOYENNES oh P e s t un polyn6me e t o; l a fonction
f?)
vkrif i e
- & < @ < & .
De c e t t e h g a l i t & r k s u l t e
?=P+@ d'o:,
en vertu du thhorime pr6cAdent
r =P + G -
Mais l a condition (0) entraine - E I @ < E e t par s u i t e 17-f 1 < 2~ d' oh r h s u l t e 7 = f pour toute fonction de 1' anneau c e qui ddmontre notre thkor2me. Dans l e s m h e s conditions l e s axiomes ( L , R , D) ont d o n n e
-
2 ,x2
,
pour
une solution unique fonction d'un parametre a r b i t r a i r e , expres-
sion l i n h a i r e pour Z, trinome du second degre pour x 2 : on ddtermine
-
a i n s i par rkcurrence xn e t on v o i t que t o u t p o l y n b e P a , avec c e s axiomes, une moyenne P qui e s t un polyn$me de m&e degrk fonction d'un paramgtre a . A p a r t i r de c e qui prichde, I.MOLINAR0 a c o n s t r u i t pour une fonction
f definie sur l a d r o i t e e t dhveloppable en s h r i e e n t i a r e c o n v e r g e n t e s u r t o u t e l a d r o i t e en supposant non seulement (t) mais 19a d d i t i v i t d
rn
OD
-
denombrable ( 2 f2 = .C 'f< pour t o u t e s k r i e convergente) 1' expressioh: i=1
%=I'
.-% X
7=
a
f(t) eatdl ( a nombre r i e l p o s i t i f )
(I.MOLINAR0 - C.R. Acad. Sc. P a r i s , t. 244, 12 juin 1957, P. 2890).
~ o n s i d e r o n sc e t operateur, il a un sens dans l'espace vectoriel des fonctions intdgrables au sens de Lebesgue qui ne deviennent pas t r o p grandes quand x tend v e r s - m (par exemple, pour x assez grand en valeur absolue e t n h g a t i f , plus p e t i t e s que K2.e-@lX ou ,O I a ' < a ) Si dans c e t ensemble on d h f i n i t une moyenne p a r c e t t e exmession, on vdr i f i e sans peine que l e s conditions (L) sont s a t i s f a i t e s e t , toujours
-
B -'SVR LES AXIOMES DES MOYENNES moyennant des conditions \a 1' i n f i n i , que (R) est s a t i s f a i t e ; enfin dans 1' anneau des fonctions derivables, (D) e s t vhrifike. Nous avons a i n s i dans 19anneau des fonctions inddfiniment derivibles en tout point de l a d r o i t e une solution du probleme des moyennes de Reynolds s a t i s f a i s a n t \a (L , R , D) dont l a r e s t r i c t i o n
k 19anneau des polyn8mes existe e t e s t l a
solution consideree prkcedemment. Mais ce qui e s t i n a t t endu e t part icul ikrement interessant c'est que c e t t e solution obtenue par des consid6rations a b s t r a i t e s s e trouve avoir /
une signification e t un int61-2t physique. J. KAMPF de &IET
m'a en e f f e t
signal6 l e t r a v a i l qu' il a k c r i t en collaboration avec BETCHOV (Proc. Akad. Wet. Amsterdam, t. 53, 1951, P. 389-395) dans leauel il expose que MM. BURGE!RS e t FAN0 ont u t i l i s h des moyennes exphrimentales v e r i f i a n t 1' equation d i f f d r e n t i e l l e
-
dans laquelle T e s t une constante caracteristique des appareils, que l e s solutions de c e t t e dquation ne verifiant
malheureusement
et pas
1
= 0
l'axiome (T) n'est pas s a t i s f a i t . MM. KAMP~de FERIET et BFM:HOV
calculent a l o r s l a quantite
f g- f g
e t cherchent des conditions suf-
f i s a n t e s pour que c e t t e quantite ne s o i t pas trop grande afin we le passage des &uations de Navier-Stokes aux dquations de Reynolds s o i t apCe qui e s t remarquable c 9e s t justement que 190p6rateur de Molinaro 1 e s t solution particuli2re de c e t t e kquation pour l a valeur a = - . Nous T
avons donc a i n s i , jonhe par un operateur simple e t immddiatement inversible:
o; a e s t un nombre reel e t p o s i t i f e t E 19une quelconque des variables y ou t (variable remplacde par s dans f ) - une moyenne experimentalement intdressante e t , ce qui n' a pu &re 6 t a b l i que grgce \s 19axiome (R) , assurant rigoureusement l e passage des hquations de Navier-Stokes aux equations de Reynolds.
SEZIONE B
JEAN ARBAULT (Focu1i.i dea Sciencea
-
UniuenirB de Dijon)
TRANSFORMATIONS DE REYNOLDS SUR UN ENSEMBLE FIN1
1. La notion de transformation de Reynolds que nous a exposee M. K A W ' &IET
e t sur laquelle nolls venons d' entendre Mme DUBREIL e s t
ddfinie axiomatiquement. Q! donne un ensemble 1 e t une famille (anneau) de fonctions r d e l l e s ddfinies sur X. A toute f € & . on
a
-
associe sa moyenne f €a , s a t i s f a i s a n t aux r i g l e s
Eh r i a l i t 6 seuls l e s axiomes 1')- e t 2') sont indiscutables; l e s 3
autres peuvent Gtre remplaces par d' autres plus ou mains larges. L'axiome 4') peut 8 t r e remplaci par une condition topologique. Mais nous ne l'utiliserons pas dans c e t t e conference. 5') peut &re remplac; par 5;): E = e (*); alors de 3') on diduit:
Inversement de 5') e t 3'). on ddduit:
Par s u i t e Z ne peut prendre que l e s v a l e u r ~ 0 e t 1. h supposant 3') on v o i t donc que 5 i ) e s t plus r e s t r i c t i f que 5'). Mais, Mme DUBWIL vient de nous montrer quelques raisons imp6rieu(*)
e
d&signe l a fonction ;gale
k
1 en tout point de
- 115 -
X.
B - TRANSFORMATIONS DE REYNOLDS s e s qui m i l i t e n t pour 19abandon de 19axiome 3') e t son remplacement par l 9&ome p l u s symetrique:
Cette derni\ere forme montre que 3) e t 5') entrainent 3') p u i s q u e Le but de c e t t e conference e s t de montrer 176quivalence des deux systkmes d9axiomes: A : 1) 2) 3)
dans l e c a s ob
a
et
A':
19)2') 3') 5')
,
e s t 1' anneau des fonctions d 6 f i n i e s s u r un ensemble
X constitud par un nombre f i n i d9dldments. L'expos6 de Mme Dubreil nous a montre que c e t t e 'equivalence n9e s t p l u s r i a l i s d e s i X e s t & ensemble i n f i n i (par exemple, l a d r o i t e num6rique). .Mais l e cas f i n i - o u t r e son i n t e r & thdorique - pourrait avoir quelque i n t e r & pratique, s o i t que 190n raisonne s u r un syst\eme exp6rie mental, ,ndcessairement f i n i , s o i t que 190n s e place \a l V ' & c h e l l moldcul a i r e comme, du r e s t e , 19a f a i t Reynolds lui-meme. Nous nous trouvons en presence de deux systkmes d' axiomes d i f f 6rents. I1 nous s e r a commode de prendre des notations d i f f e r e n t e s dans c e s deux c a s e t , pour cela, nous ddsignerons par Tf e t 8f resp. l e s transform6es de l a fonction f dans l e s systemes A' e t A resp. (au l i e u de
7).
II:L9 ensemble f i n i X comprend n 416ments numerotds de 1 8 n . Une fonction f , d e f i n i e s u r 1. e s t connue si on s e donne s a valeur n en chaque point de I. f = 2 q CZ o: Cf e s t l a fonction caracthri$=I
i e t cq l a valeur de f en ce point. L'ensemble il des fonctions f d e f i n i e s s u r X constitue un espace vectoriel E dont l'ensemble des Cf e s t une base. Nous pourrons donc considerer f s t i q u e de 1'6ldment
comme un vecteur de c e t espace. Une transformation de Reynolds e s t une operation l i n d a i r e de E en lui-m&e s a t i s f a i s a n t \a 3). Cette transformation e s t connue si on s e
- 116-
B - TRANSFORMATIONS DE REYNOLDS donne l e s transform& d#Ct de l a base. Posons
I1 nous s u f f i t donc de connaftre l a matrice
M de l a transformation:
en plagant, selon l'usage, s u r une colonne l e s coordonnees s u r l a base
{Ci) des transformes des vecteurs de c e t t e base. Notre but e s t d m 8 t u d i e r l e s transformations 8 s a t i s f a i s a n t &:
%(fag t gdf) = $ f a g + 3 ( 8 f 8 g ) 11 nous s u f f i t d ' e c r i r e c e t t e r e l a t i o n v e c t o r i e l l e pour l e s vecteurs de
l a base en f a i s a n t f = Ct ; g = Cj ; l e s j
prenant t o u t e s les valeurs
possibles de 1 & n . Pour z e t j f i x e s , c e t t e r e l a t i o n v e c t o r i e l l e e s t hquivalente, p a r projection, & n & a l i t & s scalaires, de l a forme:
l a permutation de inconnues ?y
et j
donne l a m h e &quation de s o r t e que l e s n2
doivent s a t i s f a i r e
\a
n2(n
2
+
l) dquat ions dtstinctes. Le
syst\eme admet pourtant des solytions, meme une i n f i n i t e p u i s q u ' i l v k r i f i k par t o u t e s l e s transformations du type T o
est
Cas de n = 2 : Les 6 bquations s S Q c r i v e n ta l o r s , aprks reduction:
La rhsolution e s t f a c i l i t k e par l e f a i t que 4 des 6 Qquations s e dicomposent; on obtient a l o r s l e s solutions:
B avec
Q
- TRANSFORMATIONS
DE REYNOLDS
quelconque. Dans tous l e s cas g2f = 7:'
(af)= S R f .
Malheureu-
sement, l a mkthode devient inextricable si n > 2: m$me pour n = 3 , nous n9avons pas pa resoudre l e syst;me par des c a l c u l s dl6mentaires. I1 e s t v r a i qu90n s e trouve en presence de 18 Qquations du 3' degre.
III. I. ~ I N A R Os9e s t lance d m s l a resolution en prenant un sys t h e convenable d'dauations avec des inconnues a u x i l i a i r e s ( h jhja) l e s c o e f f i c i e n t s qui sont des h ktant supposds connus. La thdorie des determinants l u i donne des r e l a t i o n s qui l u i permettent l a rdsolution d9oh r h s u l t e 1' iquivalence. Mais, il u t i l i s e de manikre f o n d a m e n t a l e 8 g . sa r k u s s i t e e t 1' analyse du c a s n = 2 1' axiome 4) : f < g +%f m9 ont sugger6 que l e r k s u l t a t devait & r e inddpendant de cet axiome supplhmentaire, c e que th6tique sans avoir
j 9a i
k
PG a r r i v e r \a montrer par une methode plus syn-
Q c r i r e l e s equations s c d a i r e s .
etudions l e spectre de l a matrice M. Soit f
:flf
=
un vecteur propre:
S f . Fa portant dans 3 ) , on v o i t que:
S si S-/0 , f e s t vecteur propre de valeur c a r a c t h r i s t i q u e Si=2-S
L9ktude de l a fonction
x
2-x
montre que si -S , d i f f 6 r e n t de 0 e t 1,
e s t v d e u r caracthristique, il y a une i n f i n i t 6 de valeurs c a r a c t e r i s t i ques, c e qui e s t impossible pour une matrice d 9 0 r d r e f i n i .
B - TRANSFORMATIONS Dl? REYNOLDS
THEOREME I: Une matrice de Reynolds ne peut avoir pour val eurs caracthri s t i ques que 0 e t I
.
S i 0 n9e s t p a s valeur c a r a c t d r i s t i q u e , l e diterminant de l a matri.) c e e s t non nul. L'iquation . . f = g o i g e s t donnde a une solution e t une seule e t l a transformation e s t biunivoque. S o i t f,: l a fonction appliqude s u r C,: - 8 f Z = C,: . Dans 3) avec f = g=f,: rdsulte: 2 8 ( f , : c ~ =) = C* +$liCf . Si 6,: e s t l a composante d e f,: s u r C,: , i l v i e n t : (2Bi - 1 ) 8 ~ *= C,:
donc C,:
e s t vecteur propre e t f,:
=
Ct
THEOREME II : ISi
I est seul e val eur caractdri s t i que dlune 8-t ransformat ion de Reynol ds, cel l e-ci est I i dent itd.
N. Le cas o\u
0 apparait comme valeur c a r a c t d r i s t i q u e e s t p l u s dd-
l i c a t e t repose s u r 1' i t u d e de l a dependance l i n d a i r e des colonnes de l a matrice. Cette i t u d e u t i l i s e 2 r d s u l t a t s trks simples: LEMME I : S i une f o n c t i o n h e s t t e l l e que e s t n u l l e identiquement.
Sinon h
+ >fib
= 0,
elle
s e r a i t un vecteur propre de valeur c a r a c t e r i s t i q u e -1
APPLICATIONS: I ) Si f c f l f = 0 , de 3) r h s u l t e avec
0 = (%f)2
h
't %(;Rf)2;
g
=
f :
donc f 8 f = 0 e n t r a i n e 8 f = 0 :
2 ) Si f = C,:
. C28Cf
= 0
entraine dl.Ci = 0 .
S i l a transformie de l a fonction c a r a ~ t d r i s t i ~ udlun e point en ce point, a l o r s e l l e e s t n u l l e partout.
nulle
f 8 g I 1 e s t a u s s i q u e l que so i t g c a r dans 3), t o u s les termes sont nuls par hypoth'ese sauf 8 (f~ 6 ~ ) . LEMME I I : S i
f
est
esthR-annulant,
THEOPEME I II : Si deux colonnes non nu1 l es d l indices z e t k de l a matri ce M sont proportionnell es, 1 es l ignes z e t k sont &gales. Prenons z = 1 , k = 2 e t s o i t 8 C 2 = A;% ; AC, - C2 e s t 8 -annul a n t , donc a u s s i (lemme 2) (AC, - c2)a8 C j quel que s o i t j , donc:
A hjtd;Cl - h j 2 a C 2
- 119 -
= O
B
- TRANSFORMATIONS
DE REYNOLDS
; ;, elles sont Nous avons deux r e l a t i o n s l i n d a i r e s e n t r e $c1 e t @ hjl = 0 = hj2 . dquivalentes: Ajl = hj2 ou l a seconde e s t t r i v i a l e : C'est l e r k s u l t a t annoncd. La rdciproque s e dhmontre aussi simplement. Des c a l c u l s reposant s u r l e s m8mes principes (application du lemme I en p a r t i c u l i e r ) montrent:
THEOREME I V :
I ) ' S i A,#
0 ,
hi,= o e n t r a i n e A , =
o.
2) Deux colonnes i e t j sont indipendantes s i e t seul ement s i ;A C i alej = o , chacun des facteurs n r 6tant pas i dent i quement nu1 . THEOREME V: S i des colonnes sont independantes e t s i une a u t r e col onne en dgpend I i nbai rement, el l e est proport ionnel l e a I Iune des premi Ares. Soit, en e f f e t , a Ck = Z ctg 8~~ , i = 1,2,. . . ,h , a j par exemple est non nul. h vertu du thdorkme v
8 c j 8 c k = a j ( 8 ~ ~ ) 2 . # 0c a r
%Ct471Cj = 0
Les vecteurs %Cj e t 8 C k ne sont pas independants. 11s sont proportionnels.
.
Ces thborhmes nous permettent d9aborder l a s t r u c t u r e d 9u n e %transformation. S o i t une colonne, non n u l l e que, en r6ordonnant au be-
V.
soin, on peut supposer l a premiire. Un c e r t a i n nombre de colonnes l u i , sont proportionnelles, qu9on peut toujours ranger & l a suite jusq$\a l 9 o r d r e i 1 . Toutes l e s l i g n e s jusqu'8 19indice 2 , sont Bgales. S o i t HI 19ensemble des points j (1 5 j 5 i , ) : 8 C j = clj(cH+ 2'. Q C ; ) , 1
r?z,
les 0
n9dtant non n u l s que s u r des p o i n t s annulants dont l a rdunion e s t hl . L'application de l a rhgle 3) nous conduit par des c a l c u l s f a c i l e s , mais
un peu longs a: Or = 1 r E h1 K1 = HI U h1 e s t %-invariant de sort e que 3 Cj = a~ CKl . L9ensemble d e s t a i n s i partag6 en ensembles 8invariant: K.,K,, ...,K, e t dventuellement des points8-annulants Cv . Une fonction quelconque f a une moyenne l o c a l i s e e s u r K = U Kt \
2 524
B - TRANSFORMATIONS DE REYNOLDS
1Rf
=
.Z
(lt
z5u
Cg,
.
& constant. de s o r t e que
z?i (8f)= % f d9ob r d s u l t e
1' Qquivalence de 19axiome 3) e t des axiomes 3') e t 5 ' ) .
8te
=
Eh p a r t i c u l i e r
Ck ne prend que l e s valeurs 0 e t 1.
REMARQUE: Les axiomes 3) e t 3') ne sont pas dquivalents. Si on ne suppose pas TZ.= T , c e t t e assertion peut & r e fausse comme l e monuni seul point. On v h r i f i e t r e 19exemple & = 2 C, av.ec X r e d u i t ? aisdment que T(C, TC,) = ( T C , ) ~. Mais 2 T (C,T c,) # (TC,)' + T ( T c , ) ~
De mihe l a matrice de type
( 1:)
v d r i f i e ~ ( ~ f g =) T f T g mais n9e s t pas
8
J e c r o i s u t i l e de f a i r e remarauer que pour un ensemble fini, l a c o n d i t i o n ;$ e s t plus f o r t e que l a condition T dont e l l e n9est qu9un c a s p a r t i c u l i e r a l o r s que pour 1' ensemble des fonctions d d f i n i e s sur l a droit e r h e l l e , 8 semble plus f a i b l e puisqu9on trouve avec 1' axiome 8 des solutions $ des problhmes qui n9en ont p l u s en prenant 19axiome T ,
SEZIONE B
ON THE POSSIBILITY OF A MATHEMATICAL
-
THEORY OF SHEAR FLOW TURBULENCE
In t h i s note t h e following assumptions a r e introduced: I) That Navier-Stokes equations may be applied t o t h e study of shear-
flow turbulence. 11) That steady-state turbulent flows e x i s t .
Assumption I) furnishes us w i t h dynamical laws which are t o be valid "microscopically" i n turbulent flows. The problem is then t o invent malhemat i c a 1 processes which y i e l d t h e corresponding "macroscopic" laws. In t h e case o f a boundary l a y e r t h e main problem may be s a i d t o be t h e determination o f t h e mean-velocity d i s t r i b u t i o n . To t h i s end it is not necessary t o endeavour t o derive a theory v a l i d f o r a l l c l a s s e s of fluctuations. I f t h e consideration of a special c l a s s of fluctuations y i e l d s t h e c o r r e c t answer one should be s a t i s f i e d . Because o f t h i s f a c t I have t e n t a t i v e l y considered only two-dimensional fluctuations, although t h e treatment might be e a s i l y extended t o three-dimensional fluctuations'. However, t h e mathematics would then be much more complicated. From a t h e o r e t i c a l point of view t h e flow between two parallel p l a nes is simpler than a boundary layer. I s h a l l therefore consider t h e former case although t h e same considerations may be applied t o boundary l a y e r s when t h e usual approximations a r e introduced. Let t h e mean velocity f l y ) be d i r e c t e d i n t h e x d i r e c t i o n and l e t the flows extend t o i n f i n i t y i n both x directions. The process of averaging I s h a l l define by integration over x and time t , i. e. t h e
'B - THEORY OF SHEAR- FLOW TURBULENCE average
7
o f a quantity f ( x ,y, t )
s h a l l be defined by
In order t h a t t h e stream function y(x, y, t ) o f t h e f l u c t u a t i o n s s h a l l be a s t a t i o n a r y random function with respect t o x and t we must have ' ds(a,B)
where. f o r convenience, I have put
where
dy,a,B)
may be normalized i n some way. The integration i n . [2]
has t o be extended ove a l l r e a l values of a and
The integrals have
t o be s t o c h a s t i c F b u r i e r - S t i e l t j e s i n t e g r a l s . In order t h a t y s h a l l be r e a l we must have
and i n order t h a t y s h a l l not contribute t o t h e mean motion we must have
[sl
~ A ( o , o =) o
.
Fbr t h e problem considered, t h e v o r t i c i t y equation is
where R denotes Reynolds number. Averaging t h i s equation we obtain
B - THEORY OF SHEAR-FLOW TURBULENCE Adding [6] and [7] we obtain
Making use o f t h e representation [2] Eq. [8] reads
@,
cannot vanish simultaneously and where t h e l i n e a r where ab and operator L is defined by
and t h e quadratic operator Q is defined by
A s a f i r s t approximation we may neglect t h e non-linear
terms
of
[9]. We then obtain
El21 f o r a l l values of
~ c p ( y , a , B )= 0
a and 0 f o r which dA(a,@) does not vanish. Eq. [12] is t h e s t a b i l i t y equation of Orr and Sommerfeld. The boundary cond i t i o n s a r e t h a t cp and cp' have t o vanish a t t h e boundaries. This furnishes us with a d e t e n i n a n t a l equation. The problem is then t o determine * ~ ( y )such t h a t p becomes r e a l f o r a l l values of a in quest i o n . The investigations of Malkus (1956) indicate t h a t t h i s problem is not determinate. Indeed, i n applying Lin's r e s u l t s which were obtained by the pse of asymptotic s e r i e s , Malkus assumed i n addition a maximum r a t e of dissipation of p o t e n t i a l energy i n t o heat. The question is then i f other approximations applied t o Orr-Sommerfeld's equation and/or a
B - THEORY OF SHEAR- FLOW TURBULENCE process of successive approximations i n which the non-linear
terms of
[9] are taken into account can make the problem determinate. I f
in ad-
dition it may be proved that such a process converges we should have a mathematical theory o f shear flow turbulence.
REFERENCES
'
[I]
C. C. LIN
[2] W.V.R.
MALKUS
-
-
Wart. Appl. Math., Vol. 111, pp. 117-142, 218-234,277-301 (1945). Journ. Fluid Mech.. Vol. I , pp. 521-539 (1956).
SEZIONE B
JOHN LAUFER (Jet Propulrion Laboratory
-
California Institute of Technology)
THE HOT- WIRE TECHNIQUE IN SUPERSONIC RESEARCH
INTRODUCTION.
Fbr t h e l a s t few y e a r s considerable a t t e n t i o n h a s
been turned t o t h e problem o f tur.bu1ence i n supersonic flows. There a r e s e v e r a l new a s p e c t s t o t h e compressible c a s e t h a t a r e o f g r e a t academic and p r a c t i c a l i n t e r e s t . In p a r t i c u l a r , one should mention t h e problems o f t h e onset o f supersonic turbulence ( t r a n s i t i o n ) and of t h e aerodynamic noise. A l though considerable t h e o r e t i c a l research has been done on these subjects, progress is s e r i o u s l y hampered by t h e l a c k of experimental work. The experimental d i f f i c u l t i e s encountered i n studying t h i s problem a r e obvious. One d e a l s with a flow f i e l d i n which a l l t h e f l u i d propert i e s , thermodynamic and flow v a r i a b l e s , a r e random functions of t h e time. Furthermore, t h e frequencies of t h e f l u c t u a t i o n s a r e orders of magnitudes higher than t h o s e encountered i n low speed flows. F i n a l l y , length s c a l e s a r e usually very much s m a l l e r which limits t h e physical size o f t h e sens i n g element. These f a c t s make'the choice of a proper experimental device t o study supersonic turbulence extremely d i f f i c u l t , U n t i l t h e p r e s e n t time, such devices have been t r i e d as t h e corona discharge, glow d i s charge, p r e s s u r e transducers, t h e hot-wire and some o p t i c a l techniques. A l l of t h e s e have some s e r i o u s disadvantages. The hot wire
h a s proved t o be t h e only instrument with which some q u a n t i t a t i v e measurements have been made s o far. The technique, as used at present, was developed by Kovasznay and Morkovin (Refs. 1 and 2). This note w i l l e s s e n t i a l l y o u t l i n e t h e i r method.
B - THE HOT- WIRE TECHNIQUE General Remarks.
The hot-wire technique proved t o be extremely successful i n low speed turbulence research. It was therefore logical t o try t o extend its use t o high speed work also. The sensing element has two inherent advantages: It is small, has a diameter of 1 t o 4 microns and can be used f r a c t i o n s of a millimeter length; second, its response t o high frequency f l u c t u a t i o n s can be extended t o f a i r l y high frequencies (2 t o 3 x 105 cycles) although not without considerable d i f f i c u l t i e s . The principle of t h e method may be described very b r i e f l y a s follows: The wire is heated by an e l e c t r i c current while it is exposed t o a stream with a mean velocity
U , which cools t h e wire. Under these conditions t h e wire
will
a t t a i n an equilibrium mean temperature (i.e . , a mean resistance, R J . The velocity (or temperature o r density) fluctuation with time w i l l cause a change i n t h e wire r e s i s t a n c e o r voltage:
i ~ L ( t )= e f ( t ) where i is t h e current i n t h e wire (approximately constant); and e' a r e t h e r e s i s t a n c e and voltage fluctuations, respectively. (In t h e following discussion, we a r e assuming t h a t with the use of electronic c i r c u i t s t h e wire voltage is compensated t o give proper frequency response). Unfortunately. i n a supersonic stream the cooling r a t e of the wire is i n fluenced by not only t h e velocity but other parameters also. The princ i p a l problem o f t h e hot-wire technique therefore is t o determine suff i c i e n t number of relationships between t h e voltage fluctuation e and t h e f l u c t u a t i o n s of t h e flow parameters of t h e form e ' = f ( u f , ~ P , T ~= )f s o t h a t t i f , p','Tf
RL
(velocity, density, temperature fluctuations)
could be obtained e x p l i c i t l y . It i s t o be noted t h a t
any t h r e e flow parameters may be chosen here a s t h e independent variable, but, a s w i l l be seen l a t e r , t h e s e - r a t h e r t h e combination of these a r e t h e ones t o which t h e hot wire heat l o s s is d i r e c t l y sensitive.
-
The Steady Case.
In order t o e s t a b l i s h t h e required r e l a t i o n s h i p described above, l e t us consider t h e steady heat l o s s from a heated cylinder t o a super-
B - THE HOT- WIRE TECHNIQUE sonic stream. It i s shown (Refs. 3, 4) t h a t the nondimensional heat l o s s parameter, Nu , is a function of the Reynolds number and cylinder tempera.ture only and is independent of the Mach number (for M > 1.2 only):
where
( 1 = wire length; Tw , Te = heated and unheated wire temperatures; Tt =
p'U = free stream mass flow; k t = k ( ~ , ~pt ) = = p . ( ~ ~ are ) the conductivity and viscosity of the fluid based on s t a g nation conditions; d = wire diameter). Furthermore, i f the wire is unheated it is shown (Ref. 4) t h a t its temperature depends on the Reynolds number only: = stagnation temperature;
These two relationships together with the well known empirical law between wire resistance and temperature establish the dependence of mean wire voltage on the mean flow properties.
T h e "Hot-Wire Equation".
From the mean equations it i s seen t h a t the wire voltage is an exp l i c i t function of the mean mass flow and the stagnation temperature. If we assume now t h a t the fluctuations of the flow f i e l d are small, i . e . ,
it is easily shown t h a t the wire voltage fluctuation e f may be written
as (Ref. 1 and 2)
where Ae,
and AeT
are the so-called mass flow and temperature sen-
- 129 -
B
- THE
HOT- WIRE TECHNIQUE
s i t i v i t y c o e f f i c i e n t s . They a r e l i n e a r f u n c t i o n s o f t h e d e r i v a t i v e s aNu 'Nu 3~
- - -
'Re '
a ~ a' ~ ,
I n p r a c t i c e one measures u s u a l l y t h e mean square of e r which, using t h e hot-wire equation, m a y be w r i t t e n as:
Note t h a t t h i s equation c o n t a i n s t h r e e unknowns: The mean square v a l u e s o f t h e mass flow, stagnation temperature f l u c t u a t i o n s , and t h e c o r r e l a t i o n between them. One needs, t h e r e f o r e , t h r e e independent equations i n o r d e r t o g e t a s o l u t i o n . Fortunately, i n a given flow f i e l d , t h e parame t e r T is at t h e d i s p o s a l o f t h e experimenter. By c a r r y i n g out measurements a t t h r e e d i f f e r e n t v a l u e s of T (and t h e r e f o r e different b e , , AeT), t h r e e independent a l g e b r a i c equations a r e obtained, l e a d i n g t o a solution.
Some Special Cases. It h a s been shown t h a t with a hot wire it is p o s s i b l e
q u a n t i t a t i v e l y mass flow and s t a g n a t i o n temperature
t o measure fluctuation i n a
supersonic stream. However, i n studying a f l u c t u a t i n g f i e l d one would u s u a l l y l i k e t o o b t a i n information on t h e p r e s s u r e and d e n s i t y f l u c t u a t i o n s a l s o . C l e a r l y t h i s cannot be done u n l e s s a d d i t i o n a l a s s u m p t i o n s regarding t h e flow f i e l d a r e made. In t h e following, two s p e c i a l c a s e s w i l l be discussed. In t h e s e c e r t a i n s i m p l i f i c a t i o n s w i l l pennit t h e com-
p l e t e determination of t h e f l u c t u a t i n g f i e l d . The s t a g n a t i o n temperature f l u c t u a t i o n may be e a s i l y expressed i n t e n s o f a v e l o c i t y and temperature f l u c t u a t i o n by t h e use of t h e energy equation A
p e r t u r b a t i o n gives where
a=
1 1 +.-Y-1 M2. 2
B = a(y- 1) M 2 . (y is t h e r a t i o o f t h e s p e c i f i c h e a t s ) - 130 -
B - THE HOT- WIRE TECHNIQUE The "hot wire equation" becomes
a) As t h e simplest case one may consider an isentropic f l u c t u a t i o n f i e l d . For instance t h e f r e e stream turbulence level i n a high Mach number ( M > 4) wind tunnel is expected t o be caused by t h e pressu-re radiat i o n from t h e turbulent boundary l a y e r s on t h e tunnel walls. Using t h e isentropic r e l a t i o n
and since
T' T
-=
(y - 1)
, t h e v o l t age fluctuation becomes
For t h e p a r t i c u l a r case of a f a r f i e l d ( t h a t is f o r plane
waves)
the
r e l a t i o n between t h e pressure and v e l o c i t y jump is
' f where u, = u r n x is t h e velocity normal t o t h e wave f r o n t w i t h direction cosine n,. The "hot wire equation" w i l l have t h e form
With t h i s r e l a t i o n t h e complete fluctuation f i e l d is determined. b) The assumption of isentropy cannot be made, of course, inside t h e
turbulent zone o f a f r e e shear l a y e r such as a j e t o r wake, One might assume i n t h i s case, t h a t t h e f l u c t u a t i n g f i e l d is dominated by v o r t i c i t y and temperature fluctuations and t h a t t h e pressure disturbances a r e
- 131 -
B
-
THE HOT- WIRE TECHNIQUE
of second order. This assumption is expected t o hold f o r moderate Mach numbers only and its j u s t i f i c a t i o n is still t o be proven. Thus, i f
T' T
=--
p;'
P
Again t h i s determines t h e whole f l u c t u a t i o n f i e l d . C o n c l u d i n g Remarks. It h a s been shown t h a t with t h e assumption o f
small
fluctuations
t h e u s e o f t h e hot wire technique permits t h e determination o f t h e mass flow and t o t a l temperature f l u c t u a t i o n s . I n o r d e r t o o b t a i n t h e f l u c t u a t i n g p r e s s u r e o r density, one more independent measurement is required. I n l a c k i n g t h i s , it is necessary t o make an assumption regarding t h e flow f i e l d . Kovasznay suggested t h e use o f "modediagrams" (Ref. 1) which might give some i n d i c a t i o n o f t h e n a t u r e o f t h e f i e l d and would f a c i l i t a t e making t h e proper assumptions. With t h e above l i m i t a t i o n , the technique is t h e only successful one used so f a r f o r supersonic turbulence measurement and it has t h e p o t e n t i a l i t y o f helping t o undastand a t l e a s t c e r t a i n phases of t h i s d i f f i c u l t problem.
B - THE HOT- WIRE: TECHNIQUE
REFERENCES
[I]
L. S. G. KOVASMAY
-
"Turbulence i n S u p e r s o n i c Flow", J o u r n a l A e r o n a u t i c a l S c i e n c e s , Vo1.20, No. 10, p. 657, October 1953.
[2] MORKOVIN, MARK V.
-
" F l u c t u a t i o n s and Hot-Wire Anemometry i n Compressible Flows", AGARDograph 24. November 1956.
[31 L.S. G. KOVASMAY
-
"Turbulence Measurements", S e c t i o n F, pp. 213 283 o f Vol. 9, "High-Speed Aerodynamics and J e t P r o p u l s i o n " , P r i n c e t o n U n i v e r s i t y P r e s s , 1954.
-
[4] LAUFER, JOHN and McCLELLAN, ROBERT - "Measurements o f Heat T r a n s f e r from F i n e Wires i n S u p e r s o n i c Flows", R e p r i n t e d from J o u r n a l o f F l u i d Mechanics, Vol. 1 , P a r t 3, p. 276, September 1956.
-
SEZIONE B
HITZDRAHTMESSUNGEN IN FREIEN GRENZSCHICHTEN (Ka'umbche Wirbelrtrasse und Freistrahl)
Prof. Dr.
1
-
R1
WILLE
- Dt.
0. WEHRNANN
Einleitung. Geschwindigkeitsmessungen i n Gasen und Flussigkeiten konnen prinzipiell
Druckmessungen m i t dem
nach zwei Methoden vorgenommen werden: 1) Durch Prandtlschen Staurohr und
2) Durch Bestimmung des Warmeverlustes,
den
e i n e l e k t r i s c h erwarmter Korper durch d i e Strbmung e r f a h r t . F$ir den F a l l , d& d i e Stromungsvorgange q u a s i s t a t i o n a r sind, konnen beide Methoden m i t gleichem Erfolg verwendet werden. Anders s i n d d i e V e r h a l t n i s s e , wenn k u r z s e i t i g e Geschwindigkeitsschwankungen vorherrschen,
deren GroBe und
Richtung bestimmt werden s o l l e n . Hier g i b t a l l e i n die ~ i t z d r a h t m e m e c h n i k d i e Mtiglichkeit, i n f o l g e d e r T r a g h e i t s l o s i g k e i t d e s Hitzdrahtes, Messungen vorzunehmen. Bei d i e s e r Methode wird d e r extrem kurzen und diinnen Drahts, 1
=
e l e k t r i s c h e Widerstand
1-5 mm,
d
=
eines
2.5-15 p , als Ma@ f u r
d i e Luftgeschwindigkeit benutzt. Die e r s t e n mehechnischen Untersuchungen und e i n e m a t h e m a t i s c h e Behandlung des Wbmeiiberganges e i n e s angeblasenen Hitzdrahtes wurden von L. V.King [I] 1912 vorgenommen. Fr erkennt, da@ fiir den s t a t i o n a r e n F a l l
d i e p r o Z e i t e i n h e i t abgefuhrte Wrmemenge e i n e Funktion d e r Stromungsgescbwindigkeit, d e r Temperatur d e s aufgeheizten Drahtes und d e r Temperatur d e s Drahtes ohne Heizung (Raumtemperatur) s e i n mu@, wobei d i e Bestimmung d e r Temperatur d e s Drahtes durch d i e Wheatstonesche Bruckenschaltung i n e i n e Widerstandsmessung umgewandelt werden kann. Es ergeben s i c h g m n d s a t z l i c h zwei ~epmethoden,niimlich: 1 ) Bestimmung d e r Temperaturbderung durch - 135 -
Widerst andsmessung i n
B -HITZDRAHTMESSUNGEN I N FREIEN GRANZSCHICHTEN
M i g i g k e i t von d e r Stromungsgeschwindigkeit (Heizstrom konstant ) oder 2) Bestimmung d e r abgefuhrten Warmemenge durch Strommessung i n Abhang i g k e i t von d e r Stromungsgeschwindigkeit (Widerstand bzw. Temperatur des H i t z d r a h t e s konstant ) . Beide W l e s i n d von King behandelt worden, und d i e Ergebnisse l i e g e n a l s Gleichungen vor. Eine Gesamtdarstellung d e s Standes d e r Hitzdraht-Mestechnik b i s zum J a h r e 1930 ist von J.H.Burgers [2] gegeben worden. Eine Zusammenfassung d e s heutigen Standes d e r Technik wurde von 0.Wehrmann [3] gegeben.
2
-
Mesaethoden d e r
tzdrahtmePtechnik.
Die eingangs e r w a n t e n beiden Mehethoden f u r d i e Bestimmung d e r m i t t l e r e n Geschwindigkeit s o l 1 en nunmehr k u r z e r l a u t e r t werden.
'2.1- Methode: Konstanter Strom ( B i l d 1). Bei d e r Methode "Konstanter Strom" wird d e r Hitzdraht i n S e r i e m i t e i n e r B a t t e r i e und einem Widerstand s o g e s c h a l t e t , daP der Hitzdrahtstrom f u r d i e Messungder m i t t l e r e n Geschwind i g k e i t u n t e r a l l e n MeSbedingungen konstant gehalten wird. Der zugefuhrte Hitzdrahtstrom wird wahrend des ~ e P v o r ganges n i c h t verlindert. Aus d i e s e m Grunde bezeichnet man d i e s e M e b r t m i t
k Bild 1
Rs
-
l
r
Prinzip einer ~itzdrahtmePb&ke Yethode: Konstanter Strom
Methode "Konstanter Strom".
Beim An-
blasen k u h l t s i c h d e r Hitzdraht ab. In Abhbgigkeit
der
Strijmungsgeschwin-
d i g k e i t f indet ein exponentieller Abfall des Hitzdrahtes d e s e l e k t r i s c h e n Widerstandes statt. Die Spannung, die a b f a l l t , ist dann e i n Ma@zur Bestimmung d e r m i t t l e r e n G e s c h w i n d i g k e i t
lw
-
c , und d e r lusammenhang kann durch Eichung bestimmt werden. Bine typische
Eichkurve ist i n Bild 2 gegeben. Man erkennt, da@ k e i n l i n e a r e r Zusammenhang zwischen h!e&ert und Stromungsgeschwindigkeft b e s t e h t und daB
- 136 -
2 . 2 - METHODE "KONSTANTER WIDERSTAND " besonders b e i n i e d r i g e n Geschwindigkeiten d i e F b p f i n d l i c h k e i t , auf den
Ehdausschlag,
sehr
bezogen
grop
ist. Da d i e Geschwindigkeit c a u s SM d e r Sumrne von
Z und c ' b e s t e h t ,
kann d e r Wert von c ' da0
C' -= 5 C
fiir den F a l l ,
10% i s t , durch Anwendung
e i n e s Spezialverstkkers zum Ausgleich d e r Frequenzabhangigkeit
( s . 2.3)
d e s H i t z d r a h t e s und e i n e n O s z i l l o Bnd 2
graphen bestimmt werden.
-
Eichkurve eines Hitzdrahtmekerat e s Methode: Konstant er Strom
Der ~ e h e r e i c h e i n e s solchen ~ e s g e r a t e sist nach oben auf ca. 15 b i s 20 m / s begrenzt d m h die Tatsache, da@ z u r Bildung d e s Meowertes e i n e Widerstandsgnderung d e s
Hitzdrahtes
n o t i g ist.
2.2
-
Methode: K o n s t a n t e r W i d e r s t a n d ( B i l d 3 ) . 0
Bei d e r zweiten Methode b i l d e t d e r H i t z d r a h t einen Arm e i n e r Wheatstoneschen Briicke. Die Widerstandswerte d e r ubrigen
d r e i Wider st a n d e
werden s o gewahlt, dafl d i e Br6cke ffir einen bestimmten Wert der HitzdrahttemC-
p e r a t u r im Gleichgewicht ist. Der Strom, der bei
der
Stromungsgeschwindigkeit
N u l l durch d i e Bficke g e s c h i c k t wird,
Ill!
wird s o e i n g e s t ?llt, da8 s i c h
Erwarmung d e s Drahtes d e r f e s t g e l e g t e Hitzdrahtwiderstand
Bild 3
-
durch
e i n s t e l 1t . D e r
PrinziP einer ~itzdmhtndbriicke ~ i t ~ , . ~ ~ der ~ h beim t ~ ~ t ~ ~ ~ i, der Met hode: Konstanter Widerstand
L u f t s t r6mung z u s a t z l i c h zugefuhrt wird, fur die um d i e Brucke i n d a s Gleichgewicht zu bringen, ist dann e i n ~ a @ Geschwindigkeit. Aus diesem Grunde s p r i c h t man von der Methode "Konstanter Widerstand" o d e r Methode "Konstante Temper&urn. Der
Vorteil
gegenuber
d e r Methode "Konstanter Gtrom" b e s t e h t in d e r W g l i c h k e i t , den M e b e r e i c h b e l i e b i g zu v e r g r 6 b r n . Die Grenze d e r Anwendung ist b e i d i e s e r Methode
~
B -HITZDRAH'FMESSUNGEN I N FREIEN GRENZSCHICHTEN durch d i e mechanischen Eigenschaften des verwendeten Hitzdmhtes gegeben, n i c h t durch s e i n e elektrischen. EXne Darstellung des Vorganges i n Form e i n e r Gleichung wurde, wie erwahnt, 1912 von L.V.King [I]gegeben. Er findet
sowohl t h e o r e t i s c h a l s auch experimentell. Die Konstante
B
gibt
den
Wert d e s Hitzdrahtstromes b e i d e r Str6mungsgeschwindigkeit Null an; A ist e i n e Konstante, d i e durch d i e Dimensionen des Drahtes gegeben ist. Auch bei d i e s e r ~ e h e t h o d eb e s t e h t kein l i n e a r e r Zusammenhang zwischen Geschwind i g k e i t und elektrischem Strom; auoerdem ist zur Erfassung jeden ~e(3wertes e i n e manuelle Nachregelung des Stromes e r f o r d e r l i c h . Bei quasistationaren Vorgangen ist d i e s einfach; i m i n s t a t i o n a r e n
Fa11 werden b e s o n d e r e
e l e k t r o n i s c h e Regelorgane verwendet. Diese Mebethode wenn d a s Verhaltnis d e r Schwankungen c '
-
c
wird
verwendet,
zur m i t t l e r e n Geschwindigkeit
g r o k r a l s 10% ist.
2.3
-
V e r h a l t e n d e s H i t z d r a h t e s b e i i n s t a t i o n a r e n Vorgangen.
Bei i n s t a t i o n a r e n Vorgllngen muB bei beiden ~ e b e t h o d e nder kquenzgang d e s MeBwertes des Hitzdrahts berucksichtigt werden. Der Hitzdraht s t e l l t e i n Warmereservoir dar, dessen Warmemenge nur m i t einer bestimmten Tragheit entnommen oder zugefuhrt werden kann. Wenn mansehr kleine Hitzdrahtdumhmesser i n d e r Groknordnung von 2,5 b i s 15 ,u verwendet, ist die thermische Kapazitat des Hitzdrahtes zwar sehr k l e i n , aber nicht zu vernachlassigen. Wie bekannt ist [4], wird von dem Hitzdraht d i e ~ef?Spannung
abgegeben, wobei man den Phasenwinkel
q, m i t
Aierbei sini ~ / 2 nd i e Freauenz d e r harmonischen
a r t g (w M) Fluktuation
bezeichnet . und
M
die
sogenannte Zeitkonstante des Hitzdrahtes.
3
-
Anwendungen d e r ~ i t z d r a h t m e p t e e h n i k .
Im nachfolgenden s a l l e n Messungen i n f r e i e n Orenzschichten i n d e r
- 138 -
~krmdnschen WirbelstraPe und i n einem F r e i s t r a h l besprochen werden. Bei diesen Messungen kann man, von Ausnahmen abegesehen,
voraussetzen,
dap
d a s Verhaltnis
1 s t . Dann e n o g l i c h t d i e Methode."Konstanter Strom" folgende Messungen: a ) Die Bestimmung d e r Verteilung d e r m i t t l e r e n G e s c h w i n d i g k e i t
c
Hierzu wird d e r Hitzdraht gemaB d e r Kingschen Formel g e e i c h t . b) Die Bestimmung d e r Amplitude d e r Geschwindigkeitsschwankungen
c'.
W r den F a l l , daB d i e s e Schwankungen durch d a s Auftreten p e r i o d i -
s c h e t Ringwirbel hervorgerufen werden, kann d i e Gesehwindigkeits-
ist e i n e Eichung d e s H i t z d r a h t e s nach d e r Kingschen Formel f u r den c-Wert
v e r t e i l u n g e i n e s Pinzelwirbels bestimmt werden.
Hierzu
und e i n e gesonderte Eichung f u r den cl-Wert e r f o r d e r l i c h . E i n e Beschreibung d e r c '-Eichung f u r diesen F a l l wurde von 0. Wehrmann 151 angegeben. C)
Die Frequenzmessung d e r p e r i o d i s c h entstehenden Ringwirbel. Hierzu ist keine Eiehung e r f o r d e r l i c h , d a d i e auf dem Oszillographenschirm s i c h t b a r werdenden Schwankungen n u r i n i h r e r F r e q u e n z b e s t i m m t werden.
d) Die Messung d e s Abstandes zweier Ringwirbel. Hierzu
werden
zwei
Sonden verwendet, von denen e i n e f e s t und d i e andere beweglich 1st. Durch Phasenmessungen kann d e r Abstand d e r R i n g w i r b e l b e s t i m m t werden. e) Die Messung d e s Spektrums d e r v o l l ausgebildeten Turbulenz. Hierzu s i n d e r f o r d e r l i c h : Eine E-Wert-Eichung, e i n e c f - Eichung und e i n e Eichung d e r Frequenzlinearisierung d e s Verstarkers d e s Hitzdrahtmefigerates. M i t diesen ~ e h o ~ l i c h k e i t ekonnen n demnach bestimmt werden:
a ) Bei d e r ~drm6nschenW i r b e l s t r a k : Das T e i l u n g s v e r h a l t n i s , d a s Frequenzgesetz, dex Wirbelabstand und d i e Wirbelstiirke. Der b e sondere F a l l d e r e i n r e i h i g e n Wirbelstrafk wird i m nachfolgenden naher e r l a u t e r t .
- 139 -
B -HITZDRAISTMESSUNGEN IN FREIEN GRENZSCHICHTEN b) Bei Untersuchungen am F r e i s t r a h l :
Das Feld d e r m i t t l e r e n Geschwindigkeit if,
d i e WirbelstGrke d e r
Ringwirbel, d e r Wirbelabstand, d i e Wirbeltransportgeschwindigkeit und d i e Frequenz d e r periodisch e n t st ehenden Ringwi rbel .
3.1
-
M e s s u n g e n an d e r Kdrrnbnschen W i r b e l s t r a e e .
Aus den Messungen von L. S. G. ~ o v & s z n a y[63 und A. Roshko [7] i n Luft
und von A.Timme [81 i n Wasser ist bekannt, da0 h i n t e r &ern Kreiszylinder i m Bereich 30 5 Re 5 120 e i n e s t a b i l e periodische ~ i r b e l s t r a ke n t s t e h t . Bei den Versuchen wurde g l e i c h f a l l s d e r erwahnte Reynoldsbereich gewahlt. Der erzeugende a l i n d e r wurde i n einem F r e i s t r a h l angeordnet. Der Hitzdraht von 1 . 5 , ~ Durchmesser wurde auf einem Verstellmechanisrnus b e f e s t i g t , d e r Einstellungen d e r Sonde i n d e r x- und y-Richtung e r l a ~ b t e . Wahrend d e r e r s t e n Messungen wurde gefunden, daD d i e I n t e r p r e t a t i o n d e r Hitzdrahtsignale i n d e r ~ ~ r m h s c h eSnt r a k schwierig ist. Dies r u h r t daher, dap an jedem O r t d e s Stromungsfeldes d i e Geschwindigkeitsiinderungen der beiden Strabnreihen e r f a m werden und e s n i c h t m o g l i c h i s t , d i e Geschwindigkeitsschwankungeneines einzelnen Wirbels bzw. einer Reihe zu analysieren.
3.11
- Erzeugcmg d e r
Trennwand
einreihigen
Wi'rbel st r aSe.
Aus d i esem Grunde m e stromab vom Zylinder parallel z u r Anstrornrichtung e i n e diinne P l a t t e von 0 , l mm Dicke b e f e s t i g t , d i e dke zweireihige wirbelstraae. nach i h r e r Ehtstehung i n zwei e i n r e i h i g e S t r a k n aufspaltete.
Der Abstand LC
alinder: Trennwand bet rug . _ = d
=
6 b i s 7. ~ o v d s z n a y [6] s t e l l t e
B i l d 4.
- 140 -
-
Aufbau der V e r s u c h s a n l a e
3.12
HITZDRAHTSIGNALE , DIE WIRBELN ENTSPRECHEN
fest, daB i n diesem Abstand d i e g 6 8 t e Variation d e r Geschwindigkeitsamp l i t u d e a u f t r i t t , was a l s Anzeichen f u r d i e Beendigung d e r Wirbelbildung a u s dem Ablosevorgang angesehen werden kann. Bild 4 zeigt die ~eflapparatur.
Bild 5
-
Aufgespaltene wirbelstrape i n einem Schlepptank
Bild 5 z e i g t e i n e Photographie d e r aufgespaltenen Wirbelstrape auf d e r Wasseroberfliiche e i n e s Schlepptanks. Das Bild wurde von e i n e r f e s t stehenden Kamera aufgenommen, u n t e r d e r d e r Zylinder und d i e Trennwand entlanggefuhrt wurden; man erkennt, d a 8 d i e Wirbel nach der ~ m f l e n s p a l t u n g e r h a l t e n bleiben und zumindest i m Bereich des W i r b e l k e r n s d u r c h d i e Nachbarschaft d e r Trennwand n i c h t gestiirt werden.
3. 12
-
Hitzdrahtsignale, d i e Wirbeln entsprechen.
In Bild 6 s i n d f u r den a l s Beispiel herausgegriffenen F a l l
I/ = 212
cm/sec, entsprechend Re, = 106 b e i einem Zylinderdurchmesser von d =
=
0,75 mm, e i n i g e HitzdrahtsignaPe zusammengestellt worden. D i e einzelnen
Signale entsprechen steigenden Absthden senkrecht zur Trennwand, wlhrend d e r Abstand i n Stromungsrichtung m i t x = 1 mm
s t romab h i n t e r d e r Ef n t r i t t s k o n s t a n t e konstant gehalten tvul.de, I n j eder Photographi e ist e i n e Periode des Wrganges aufgezeichnet, wobei wegen der Anschaulichkeit auf d i e Bnhaftung des gleichen Amplitudenmasstabes v e r z i c h t e t wurde I n d e r N&e d e r Wand, y = 0 , 2 mm, ist das Hitzdrahtsignal sinusformig. - 141 -
B -HITZDRAHTMESSUNGEN IN FREIEN GRENZSCRICWTEN lit asrchsendem AbStand, b i s z u y = 0 , 7 mm, nimmt d i e Amplitude zunachst
zu, wird dann a b e r i m Bereich von y
= 0 , 9 und ? , O
Kerngebiet
Phasens Prung
Bild 6
-
mm wieder k l e i n e r .
mtedrahtsieaele einer anfgespaftenen Mrbekstraf3e mer zur Str~mungsriehtung U = 212 cm/sec; ReZ = 106
- 142 -
3 . 1 2 - H I T z D R A H T S I G N A L ~ , D I E WIRBELN ENTSPRECHEN
In diesem Bereich e r s c h e i n t e i n e Einsattelung, und zwar z u n b h s t
nach
oben und dann nach unten. Bei grijbrem Abstand verschwindet d i e s e , und d i e Amplitude wachst wieder an. Weiter nach au@n (ab y = 1 , 9 mm) f L l l t d i e Amplitude ab. Ein e i n f a c h e s kinematisches Modell, Bild 7, kann das V e r s t k d n i s d e r Signale e r l e i c h t e r n . I m linken T e i l d e r Zeichnung i st d i e t y p i s c h e
ppppq-1-
Geschwindigkeitsverteilung e i n e s Wirbels in realer miissigkeit d a r g e s t e l l t , C
Uv
*
Zeit t
Zeit t Bild 7
-
Geschwindigkeitsvariationen beim Durchgang eines Wirbels in einem homogenen Geschvindigkeitsfeld
und e s wird angenommen, dap d i e s e r Wirbel s i c h m i t
Geschwindigkeit digkeit
r/,
einer
vorgegebenen
Uv i n einem homogenen StrGmungsfeld be@.
Die Geschwin-
ist immer k l e i n e r als d i e d e s Stromungsfeldes, d i e m i t
U,
bezeichnet wird und n i c h t konstant ist. Der z e i t l i c h e Gang d e r Geschwind i g k e i t s b e t r a g e e r g i b t s i c h i m Model1 durch d i e punktweise Vektoraddition von
ITc
und
rk.
Der r e s u l t i e r e n d e Vektor
2,
d e r s i c h beim Durchgang
e i n e s Wirbels laufend i h d e r t , wird vom Hitzdraht r e g i s t r i e r t . D i e s e r Betrag e n t s p r i c h t b e i d e r e l e k t r i s c h e n Messung i n j edem Zeitelement d e r S u m e %us dem zeitl ichen Mittelwert E und der Geschwindigkeit sschwankung c ' . Die i m kinemat ischen Modell e r m i t t e l t e n Geschwindigkeitsschwankungen s i n d auf d e r rechten S e i t e von Bild 7 f u r v e r s c h i e d e n e A b s t a n d e d e r
- 143 -
B -HITZDRAHTMESSUNGEN I N FREIEN GRENZSCHICHTEN
Synmetrieachse d a r g e s t e l l t . Nahert man s i c h von au@endem Mittelpunkt d e s Wirbels, s o s t e i g t d i e Amplitude d e r Geschwindigkeitsvariation zunachst an, Phasen A, B, C. Beim E i n t r e t e n i n den Bereich d e s Wirbelkerns, Phasen D b i s G, wird d i e Amplitude wieder k l e i n e r . I m Bereich des Kernes e r -
s c h e i n t e i n doppeltes Maximum m i t e i n e r Einsattelung dazwischen, Phasen
F und G . Unter d e r Symmetrieachse d e s Wirbels ist d e r Geschwindigkeitsbetrag k l e i n e r als oberhalb, da i n diesem F a l l e d e r Vektor d e r Umfangsgeschwind i g k e i t und d e r d e r Transportgeschwindigkeit
i n verschiedene Richtung
zeigen. Die Amplitude d e r Geschwindigkeitsvariation s t e i g t z u e r s t an und nimmt w e i t e r ausen ab. J e t z t ist d i e Z e i t f o l g e d e r Maxima und Minima umgekehrt worden, was e i n e r Phasenverschiebung d e s H i t z d r a h t s i g n a l s von 180' e n t s p r i c h t .
3. 13
-
Kriterien fiSr Wirbelsignale.
Ehtsprechend den i n 1 . 2 g e s c h i l d e r t e n Vorgkgen
lassen
sich
fiir
H i t z d r a h t s i g n a l e d r e i K r i t e r i e n a u f s t e l l e n , d i e zusammen das Auftreten von Wirbeln anzeigen: A) Bei d e r Untersuchung e i n e s Stromungsfeldesmit uberlagerten Schwan-
kungen mu@ e i n abgrenzbarer Bereich gefunden werden, i n dem d i e Frequenz auf den doppelten Wert gegenuber d e r Umgebung a n s t e i g t .
Dieser Bereich
e n t s p r i c h t dem Wirbelkern. B) Wenn d i e Sonde quer z u r Hauptrichtung d e r
Stromung innerhalb d e s
Kernbereiches bewegt wird, g i b t es e i n e S t e l l e , wo e h e Phasenverschiebung des S i g n a l s von 180° e r s c h e i n t . Dies geschieht, wenn d i e Sonde von einem Bereich Ucmax i n Richtung
Urn i n einen Bereich Uc,, entgegengesetzt Urn bewegt wird oder umgekehrt. Die Phasenverschiebung und die Einsattelung geben den O r t des Wirbelkerns an. Wenn man vom Wirbelzentrum ausgeht und d i e Sonde quer z u r Hauptr i c h t u n g d e r Str6mung bewegt, s t e i g t d i e Amplitude d e s S i g n a l s zunachst C)
and und f a l l t wieder ab. Dies geschieht i n beiden Richtungen.
3.i4 - GESCHWINDIGKEITSMESSUNGEN
-
,3.14
Geschwindigkeitsmessungen.
Dss w i c h t i g s t e Z i e l ist d i e Bestimmung d e r Wirbel als Funktion d e s Wandabstands,
Uc
der =
Umfangsgeschwindigkeit
f ( y ) . Nach den Methoden
d e r ~ i t z d r a h t m e p t e c h n i k ergeben s i c h d i e beiden Werte
-
Z-Verteilung. I n B i l d 8 ist
als Funktion
Z
und
Abstandes
y
von d e r Trennwand aufgetragen worden. h t s p r e c h e n d d e r D e f i n i t i o n von
C
3.141
C
des
cP,
/O -0
-0-
loo
1
Bild 8
-
2
CmI
Verteilung der mittleren Beschwindigkeit an der Trennwand
ist d i e s e Kurve n i c h t e i n "Geschwindigkeitsprofil" im ublichen Sinne, da s i e n i c h t d i e Geschwindigkeitskomponente ii parallel zur x-llchse d a r s t e l l t .
3.142
- c I-Verteilung.
I n Bild 9 ist d i e maximale Amplitude von c ' f u r max
--.
Bfld 9
-
Bestfmmung der Geschwindigkeitsverteilung eines Wirbels aus den Amplitudenmessungen an der Trennwand
B -- HITZDRAHTMESSUNGEN I N FREIEN GRENZSCHICHTEN verschiedene A b s t h d e von d e r Trennwand aufgetragen. Die Kurve iiber d e r Abszisse g i b t d i e gemessenen Werte an. Beachtet man, da@ beim Durchgang durch das Wirbelzentrum d i e Phase um 180° gedreht wird, was einem Richtungswechsel d e r Amplitude e n t s p r i c h t , dann e r h a l t man die schwarz ausgezogene Kurve, wenn man d i e Werte nach dem Phasensprung u n t e r h a l b d e r Abszisse a u f t r a g t . Die s-formige Kurve g i b t dann d i e r a d i a l e Geschwind i g k e i t s v e r t e i l u n g senkrecht z u r Wand an, wobei d a s Mesergebnis aus den Beitragen v i e l e r h i n t e r e i n a n d e r herlaufender Wirbel entstanden ist. Aus Bild 9 l a @ a i c h ablesen, da8 d i e Wirbel n i c h t rotationssymmetrisch sind.
3. 143 - Best inunung der Gruppengescbindigkeit . Die Gruppengeschwindigkeit U, d e r Wirbel wurde durch Frequenz- und Phasenmessung der Signale zweier Hitzdrahtsonden bestimmt. Der Abstand d e r Sonden bei einer Phasenverschiebung d e r Signale von 180° e n t s p r i c h t d e r H a l f t e d e s Abstandes zweier aufeinanderfolgender Wirbel . Als Ergebnis von v i e r Versuchsreihen m i t v i e r Zylindern von d = 0,75; 1,7; 2,3 und 3,5 mm 4 , entsprechend einem Bereich 40 _< Re 5 120, wurde Uv = 0,7... 0.9 U, gefunden. 3.144
- 'Cruppengeschwindigkeit
und geometriseher O r t d e r W i r b e 1 . ES
ergeben s i c h zwei ~ e simmungsgropen: t
a) Die Messung d e r Trmspokt geschwindigkei t Uv durch die Phasenmessung m i t dem Ergebnis 0, = 0.85 u,. Da d i e Frequenz der Wirbelfolge eemessen werden kann, e r g i b t s i c h d e r Abstand d e r Kernzentren in Stromungsrichtung
b) Die Auswertung d e r C-Verteilung u n t e r
Zuhilfenahme d e r W r b e l -
k r i t e r i e n gema8 3.13 e r g i b t d i e MCglichkeit, den Abstand des Wirbelkerns von d e r Trennwand zu bestimmen. Man e r h a l t dadurch den Wert yc . S e t z t man voraus, da@ d i e Wirbel i m Kern e i n e rotationssymmetrische Gesch~indigkeitsverteilung Uc
=
r o w haben, dann m"@te
XC2
=
yc
sein.
Da d i e s n i c h t d e r F a l l ist, mu@ man s c h l i e k n , dao d i e Oeschwirrdigkeit-
s v e r t e i l u n g i m Wfrbelkein n i c h t rotationssymmetrisch ist Dieses Ergebnis wurde anch von T i m e [8] gefunden.
- 146 -
3 . i 5 - D I E Z E I T L I C H E ANRERUNG DER UMFANGSGESCHWINDIGKFIT
3 . 15
-
43
Die z e i t l i c h e & i d e m g d e r Umfangsgeschwindigkeit und d e s Wirbeldurchmessers.
Die einzelnen Aufnahmeserien fijr verschiedene Abstande von d e r Kante d e r Trennwand (x-Werte) s i n d wie u n t e r 3. 142 ausgewertet worden. H i e r b e i wurde d i e maximale Umfangsgeschwindigkeit
ncmax i n Abhangigkeit von x
und d i e g l e i c h z e i t i g e Veranderung d e s Wirbeldurchmessers rc aufgetragen Eine BeschreXbung f u r d a s Verhalten e i n e s Wirbels i n e i n e r realen F l u s s i g k e i t m i t z e i t l i c h wachsendem Durchmesser f i n d e t man b e i Oseen Hamel [lo]. Aus d e r I n t e g r a t i o n d e r Navier-Stokesschen s i c h d i e Lasung
-
[9]
Geichung
und
ergibt
- r*
H i e r b e i b e s c h r e i b t d i e Gleichung einen Wirbel, d e r
aus
einem real en
Wirbelkern und einem P o t e n t i a l w i r b e l b e s t e h t , d i e b e i d e durch e i n h e r gangsgebiet miteinander verbunden s i n d , i n dem die Umfangsgeschwindigkeit e i n e n maximalen Wert h a t . Das Maximum ist gegeben durch
und h a t den r a d i a l e n Abstand 1
rc = 2,24
Die beiden Gleichungen E3al und [3b] geben f u r d a s z e i t l i c h e
Verhalt,en
e i n e n c h a r a k t e r i s t i s c h e n Aufschlup. Es f o l g t namlich. 1
Der Radius d e r maximalen Geschwindigkeit wschst maximale Geschwindigkeit v e r k l e i n e r t s i c h m i t
3. 1 6
-
1
mit
t5 , und d i e
t-2.
Die ijberpriifung d e r Meoergebnisse m i t d e r G l e i c h m g von OseenHamel.
UCAIBX (Rild 10) z e i g t , d a e d i e Amplitude m i t d e r Weglange i n X- Richtung (oder auch d e r Z e i t ) nach folgendem Gesetz abnimmt : Die Auswertung von
Der Exponent - 0,5 g i b t damit e i n e bbereinstfmmung m i t d e r Theorie.
-.147 -
B - HITZPFAHTMESSUNGEN I N F R E I E N GRENZSCHICHTEN Die Auswertung d e s Ganges d e s Durchmessers e r f o l g t e von d e r S t e l l e ab, wo d i e Schwingungen d e s Wirbelkerns aufhi5rrcn ( B i l d 11). Es ergeben
B i l d 10
-
G r t l i c h e r bzw. z e i t l i c h e r Gang der maximalen U m f angsgeschwindigkeit e i n e s Wirbels an der Trennwand
s i c h dann i n d i m e n s i o n s l o s e r Form zwei Gleichungen: f u r den Wirbeldurch-
messer und f u r "c
max
die
maximale
Umfangsgeschwindigkeit .
Aus den
Gleichungen [41 und
151
e r g i b t s i c h d i e MtigPichkeit, d i e W i r b e l s t a r k e f u r den vorl iegenden - 1 1
2
4 4 e
10
-
Fall m i t 20 J O [mm
-. r x' / 2 m ax B i l a 11 ~ r t l f c h e rbzw. z e i t l i c h e r Gang d e r maximalen Umfangsgeschwindigkeit und d e s Kernradius von Wirbeln.
Uc
-
r
=
1 4 , 5 ~ c m ~ s ez uc ~
bestinmen. E i n e weftere Grij@e, d a s T e i l u n g s v e r h a l t n i s der e i n r e i h i g e n Wirbelstra@e, wurde bestimmt. Be1 den vorgenommenen Messungen wurde
d a s V e r h a l t n i s d e s Wfrbelkernabstandes x, zweier s i c h f o l g e n d e r Wirbel zu dem Wandabstand yc d e s Wirbelzentrums bestimmt, wobei m a n f i n d e t ,
3 . 2 -MESSUNGEN I M FREISTRAHL daB f u r verschiedene a l i n d e r und Re-Zahlen d i e s e s V e r h a l t n i s ungefahr 0 , 3 ist. Dieser Wert z e i g t , da@ d i e a u f g e s p a l t e n e W i r b e l s t r a b ungefghr
d i e d o p p e l t e B r e i t e d e r ~ d n n i n s c h e nW i r b e l s t r a a e h a t . 3.2
3. 21
-
Messungen i m F r e i s t r a h l .
-
~lterA e rbeiten.
Die t u r b u l e n t e Ausbreitung von F r e i s t r a h l e n i n groaerem Abstand von d e r Diisenmundung ist o f t , und besonders i m Hinblick auf d i e V e r i f i z i e r u n g d e r P r a n d t l s c h e n Mischungswegtheorie, behandelt
worden.
Die V e r t e i l u n g
d e r m i t t l e r e n Geschwindigkeit wurde von Tollmien [ll] , G o r t 1e r E r t h m a n n [13] und Reichardt [141 behandelt. Messungen Geschwindigkeit wurden von Zimm [15] und Ruden [16]
[ 121 ,
d e r m i t t 1e r e n
ausgefuhrt.
Eine
zusammenfassende D a r s t e l l u n g f i n d e t s i c h b e i S c h l i c h t i n g [17] i m K a p i t e l " F r e i e Turbulenz". Die V e r t e i l u n g d e r m i t t l e r e n
Geschwindigkeit
i n der
Niihe d e r Diisenmiindung ist von Kuethe [l8] sowie von S q u i r e und Trouncer [19] u n t e r s u c h t worden.
Der Mechanismus d e r Geschwindigkeitsschwankungen b e i v o l l a u s g e b i l d e t e r Turbulenz d e s F r e i s t r a h l s war Gegenstand d e r Arbeiten von C o r r s i n [20], Uberoi [21] und Liepmann und Laufer [22].
Die Untersuchung d e r Wirbelvorgange i n d e r Randzone eines F r e i s t r a h l s wurde durch d i e A r b e i t e n von l h m m [23] u b e r d i e ~ k r m k n s c h e ~ i r b e l s t r a B e a u s g e l o s t . Gemeinsame Merkmale d e r f r e i e n S t r a h l g r e n z s c h i c h t und d e r von einem umstromten Korper abgelosten Stromung s i n d von Wille und Domrn [241 beschrieben worden. T h e o r e t i s c h e Untersuchungen iiber die S t a b i l i t a t abgel o s t e r Grenzschichten stammen von Lessen [251 und Lin [26]. Elrste Ergebnisse uber Hitzdrahtmessungen i m l a m i n a r - t u r b u l e n t e n Ubergangsgebiet d e r F r e i s t r a h l g r e n z s c h i c h t s i n d i n zwei
Berichten
von
Domm, Fabian, Wehnnann und Wille [ 2 7 , 281 e n t h a l t e n . I n d i e s e n Arbeiten f i n d e t s i c h auch e i n e e r s t e D a r s t e l l u n g d e s Frequenzgesetzes d e r Wirbelb i l d u n g i m F r e i s t r a h l , d a s f u r d i e ebene, von d e r Hinterkante e i n e r P l a t t e a b g e l b s t e n Grenzschicht s e i n e P a r a l l e l e i n e i n e r Arbeit
von
Sat0
[291
f indet., Als Konsequenz d e r i n [27] und [28] m i t g e t e i l t e n Ergebnisse s t e l l t e
i n e i n e r weiteren A r b e i t Domm [30] d i e ~ y p o t h e s ea u f , d$ die Konzentration
- 149 -
B - HITZDRAHTMESSUNGEN I N FREIEN GRANZSCHICHTEN von mittlerer Wirbelstarke zu W i r b e l s t r a s e n
eine
charakteristische
Erscheinung i m . h e r g a n g z u r Turbulenz ist und da(3 d e r Z e r f a l l d e r Wirbel nach Erreichung e i n e r k r i t i s c h e n StSerke m i t dem E i n s a t z
der
Turbulenz
i d e n t i s c h ist. A u k r h a l b d e s Problems F r e i s t r a h l wurden p e r i o d i s c h e Ringwirbel a l s &ergangsphanomene z u r v o l l a u s g e b i l d e t e n Turbulenz auch b e i a b g e l o s t e r Stromung i n Rohreinlaufen beobachtet. Hieruber u n t e r r i c h t e n d i e Arbeiten von S c h i l l e r [31], Naumann [32] und Kurzweg [33].
-
3,22 3-221
Strtimungsvorgfinge i n der Strahlgrenzschicht .
- Verteilung der mitt lesen Geschwindigkeit. Bei den Versuchen
wurde
L u f t durch d i e Diise i n e i n e Unterdruckkammer gesaugt, deren w e r s c h n i t t und Lange g r o s gegenuber den msenabmessungen s i n d : Dus e n d u r c h m e s s e r
D
=
10 - 25 - 50 - 75 - 100 - 150 mm
L b g e d e r Kammer L
=
4 , Durchmesser
der Kammer Dr
=
2000 mm
4,
4000 mm ( B i l d 12). Die Kontur d e r %sen e n t s p r i c h t
den vDI-~eBdusen, DIN 1952, wie s i e z u r Mengenmessung i n Rohrleitungen verwendet werden.
B i l d 12
-
U n t e r d r u c k m e ~ k m m e r fiir H i t z d r a h t m e s s u n g e n
Die Strahlgeschwindigkeiten l i e g e n i m Bereich
1,5 m/s + 20 m / s ;
Einflusse d e r Kompressibilitat d e r Luft sind h i e r b e i vernachlassigbar. Die Reynoldszahlen l i e g e n i m Bereich 2500 5 ReD I40000. Die Reynoldssche
Zahl ist d e f i n i e r t durch ReD
=
ED (v = kinematische Zshigkeit u
der Luft).
E i n z e l h e i t e n d e r Versuchsanlage konnen d e r u n t e r [27] z i t i e r t e n e n t n o m e n werden.
Arbeit
3 . 2 2 2 - VERTEILUNG DER MITTLEREN GESCNWINDIGKEIT
B i l d 13
B i l d 14
-
-
Farbfaden- und Hitzdrahtmessungen an den Wirbeln d e r S t r a h l g r e n z s c h i c h t
V e r t e i l u n g der m i t t l e r e n Geschwindigkeit irn F r e i s t r a h l b e i
R ~ D =5000
B - HITZDRAHTMESSUNGEN IN FREIEN GRENZSCHICHTEN Das Z i e l d e r Untersuchung ist, die Stromungsvorgange i n u n m i t t e l b a r e r N5he stromab von d e r X s e , etwa im Bereich
X
0 5 - < 2 , i n Einzelheiten
D -
zu beschreiben.
Bild 14 z e i g t d i e m i t dem Hitzdraht gemessene Verteilung der m i t t l e r e n Geschwindigkeit und d i e Linien g l e i c h e r Geschwindigkeit i m F r e i s t r a h l m i t
ReD
=
5000 und Bild 15 d a s g l e i c h e f u r ReD
=
20000. Zu dieser Darstellung
ist zu bemerken, da@ zum B e i s p i e l f u r den S t r a h l m i t f= 4
Abstand
D
ReD
=
20000 i m
noch e i n "Potentialkern" e x i s t i e r t , wiihrend, wie spBter
g e z e i g t werden wird, d i e S t r a h l g r e n z s c h i c h t b e r e i t s
im
Abstand
den E i n s a t z d e s t u r b u l e n t e n Stromungszustandes e r r e i c h t h a t .
Bild 15
-
Verteilung dermittleren Geschwindigkeit i m F r e i s t r a h l b e i
X
-
D
=
2
ReD= 20000
Bild 16 z e i g t d i e Geschwindigkeitsverteilung zwischen dem auperen S t r a h l r a n d und dem P o t e n t i a l k e r n , a l s o i n dem Bereich, d e r o f t a l s "Mischungszone" bezeichnet wird. Die D a r s t e l lung f o l g t
dem
Vorschlag
von
Kuethe [18]. Aufgetragen wurden auf d e r Ordinate d a s z e i t l i c h e Mittel d e r Geschwindigkeit i m V e r h a l t n i s z u r Strahlgeschwindigkeit
- 152 -
U
im
Z
Wliin-
3 . 2 2 1 - VERTEILUNG DER MITTLEREN GESCHWINDIGKEIT d u n g s q u e r s c h n i t t , und a u f d e r Abszisse d e r Quotient 8 = - a (y b
=
radialer
Abstand d e s Mebunktes von d e r S t r a h l a c h s e , a = a ( x ) = Radius d e s Potent i a l k e r n s , b = b(x) = r a d i s l e B r e i t e d e r Mischungszone). Die Kurven zeigen,
B i l d 16
-
V e r t e i l u n g d e r m i t t l e r e n Geschwindigkeit i n d e r Randzone d e s F r e i s t r a h l s b e i ReD = 5000 und R ~ D= 20000 A.
daB a f f i n e Geschwindigkeitsprofile e r s t i n Abstiinden - > 2 e x i s t i e r e n
D
und dann g u t m i t d e r Losung von Tollmien [ll] ubereinstimmen, d i e i n den r e c h t s liegenden Diagrammen g e s t r i c h e l t e i n g e z e i c h n e t i s t . D e r u n t e r s c h i e d l i c h e Kurvenlauf i m Bereich 0 <
< 2 d e u t e t an, daB i n u n m i t t e l -
D -
b a r e r Nahe d e r Xse d i e R.andzone d e s S t r a h l s v o n S t r o m u n g s v o r g a n g e n b e h e r r s c h t wird, d i e n i c h t durch d a s z e i t l i c h e M i t t e l d e r Geschwindigkeit
R - HITZDRAHTMESSUNGEN IN FREIEN GRENZSCHICHTEN hinreichend genau beschrieben werden konnen. Weitere ~ e s e r g e b n i s s edieser Art s i n d i n den u n t e r [271 und 1281 z i t i e r t e n Arbeiten enthalten. 3.222
- Ringwirbel
der Strahlgrenzschicht. D i e Unt e r s u c h u n g e n
des
F r e i s t r a h l s wurden zungchst Wasser i n Wasser b e i ReD= 10000 vorgenommen. Filmaufnahmen und e i n e Beschreibung der Versuchsanlage s i n d i n d e r u n t e r [24] z i t i e r t e n Arbeit zu finden. Bei diesen Filmaufnahmen wurde die Randzone des Strahl s an zwei gegenuberliegenden Punkten durch Farbzufuhr s i c h t b a r gemacht. Es z e i g t e s i c h , da@ d i e anfanglich ungestorte Farbschicht s i c h spiiter z u d e f i n i e r t e n Bereichen zusammenzieht, wobei Wirbelringe entstehen, d i e das w e i t e r e Geschehen beherrschen. Die Ringwirbel - Strape, d i e den S t r a h l wngreift, e n t h a l t nur wenige voneinander unterscheidbare Wirbelringe. I n f o l g e k l e i n e r U n s t a b i l i t a t e n konnen d i e Wirbel Relativbewegungen gegeneinander ausfuhren, wobei es zu Schlupfvorgangen m i t nachfolgender Vereinigung zweier Wirbel kommen kann. Eine t h e o r e t i s c h e Betrachtung zu diesem Vorgang ist i n e i n e r Arbeit von Domm [30]
enthalten.
An
dieser
S t e l l e sei vermerkt, daR d e r Schlupf- und Vereinigungsprozekl vornehmlich b e i niedrigen Strahlgeschwindigkeit e n beobachtet wird. Der Fbrbfadenversuch z e i g t weiter, d@ d i e Ringwirbel s c h l i e s l i c h i h r e G e s t a l t v e r l i e r e n und i n e i n e allgemeine Mischbewegung ubergehen. Die Filaaufnahme d e s angefarbten F r e i s t r a h l s i n W a s s e r z e i g t d i e
Qesamtheit d e r Frscheinungen g l e i c b z e i t i g an verschiedenen Raumpunkten. Zum Vergleich sind b e i Bild 13 Hitzdrahtsignale wiedergegeben, d i e i n einem L u f t f r e i s t r a h l aufgenommen wurden. Die H i t z d r a h t s i g n a l e geben den z e i t l i c h e n Verlauf d e r Geschwindigkeit an verschiedenen Raumpunkten an. E s handelt s i c h a l s o um d i e Darstellung c' = c ' ( t). x = Parameter. I n u n m i t t e l b a r e r Nahe d e r M s e z e i g t das Hitzdrahtsignal nur s e h r geringe Schwankungen. Weiter stromab werden d i e Amplituden
gsser,
und
man erkennt, daQ e s s i c h urn e i n e sinusformige, p e r i o d i s c h e Geschwindigk e i t s v a r i a t i o n handelt, deren Frequenz uber d e r Z e i t und bei verschiedenen a x i a l e n Abstanden i m M i t t e l konstant b l e i b t . Dies g i l t b i s zum Punkt X D - 0 , 9 . Bei groperem Abstand ist d i e Frequenz d e s S i g n a l s auf die IEElfte
gef a l l e n , w a r e n d d i e Amplitude w e i t e r gewachsen i s t . Dieser Frequenzabfall ist einfach zu e r k l k e n : I m Bereich
0,8 5
- 154 -
X <
D -
1 haben sich zwei aufein-
3.223 - GE!KHK"M)ICXEITSVERTEIL~DER WIM?EL DEB s7"MfZGRENZWIm 5 1 anderfelgende Wirbel zu einem v e r e i n i g t . Bei noch X
etwa b e i - -.- 1,2, e r f a h r t d a s Hi t z d r a h t s i g n a l
D
groaeren
Abst&den,
e i n e Veranderung.
p e r i o d i s c h e n Signal s i n d hochfrequente Schwingungen
uberlagert,
Dem
die in
z e i t l i c h unregelmapiger Fblge a u f t r e t e n . Diese "Turbulenzausbriiche" konnen, j e nachdem, ob man d i e Flrscheinung z e i t l i c h o d e r raumlich deuten w i l l , a l s " t u r b u l e n t f l a s h e s " (Reynolds) o d e r a l s " t u r b u l e n t s p o t s " bezeichnet werden; s i e kennzeichnen den i n t e r m i t t i e r e n d e n
(Emmon s )
Einsatz
der
Turbulenz, d e r z u e r s t von Townsend [34] beschrieben wurde.
3 . 223
- Geschwrndigkeitsverteilung
der Wirbel der 'Strahlgrenzschicht-
Die periodischen H i t z d r a h t s i g n a l e e n t s t e h e n genau wie b e i d e r u n t e r 3.1
beschriebenen ~&rmd.nschenW i r b e l s t r d e dadurch, da@ein Wbel am Hitzdraht v o r b e i l a u f t . B i l d 17 z e i g t H i t z d r a h t s i g n a l e im Gebiet d e r ~ i n g w i r b e l s t r a B e
B i l d 17
-
H i t z d r a h t s i g n a l e beim Durchgang e i n e s Ringwirbels aa~Ort d e r Hitzdrahtsonde. Linke ~ i l d h a l f t e Schematische D a r s t e l l u n g d e r Geschwindigkeitsverteilung e f n e s Wirbels
f u r verschiedene r a d i a l e Abstande von d e r S t r a h l a c h s e . Die schematische
B -HITZl?RAHTMESSUNGEN I N FREIEN GRENZSCHICHTEN
3.224 - clUFM7FFICSTISCEOATEN IlER WIRBEL EER ~ G R K N Z S C H I 53 ~ D a r s t e l l u n g e i n e s Wirbels i n d e r l i n k e n H a l f t e des B i l d e s e r l a u t e r t d i e Entstehung d e r verschiedenen Signalformen: d e r H i t z d r a h t m i @ t s t e t s den Betrag d e r Geschwindigkeit, d e r am Mesort aus d e r d e r Umfangsgeschwindigkeit
v e k t o r i e l l e n Addition
IJc und d e r Transportgeschwindigkeit U, d e s
Wirbels r e s u l t i e r t . I n Bild 18 s i n d Geschwindigkeitsverteilungen i n Wirbeln d e r S t r a h l grenzschicht a l s Ergebnisse d e r Hitzdrahtmessungen d a r g e s t e l l t . Die o b e r e Reihe g i l t f u r einen S t r a h l m i t Strahl m i t
Reg
=
ReD
=
5000, d i e u n t e r e Reihe f u r einen
20000. M m erkennt, da@m i t wachsendem Abstand von d e r
X s e d i e Umfangsgeschwindigkeiten wachsen. Fiir d i e Wirbel, die ReD = 5000 ( o b e r e Reihe) zugeordnet s i n d , g i l t , d& i m Bereich
1,0 5
X <
D -
1.5 s i c h
zwei Wirbel v e r e i n i g t haben. Die Verschmelzung e r f o l g t s e h r s c h n e l l ; denn d i e Geschwindigkei t s v e r t e i l u n g fiir
X -
D
= 1,5 h a t die gleichen allgemeinen
Eigenschaften wie d i e Geschwindigkeitsverteilungen, d i e vor der Vereinigung
1i egen.
U'
K r d e man d i e Werte d e r Umfangsgeschwindigkeit
y
l a n g s d e s Abstands
f u r verschiedene
X
- a u f t r a g e n , s o ergabe s i c h eine "Anfachungskunre"
D
d e r Geschwindigkeitsschwankungen.
3.224
- Charakterist ische Daten der
Wirbel der Strahlgrenzschicht.
In
B i l d 19 s i n d c h a r a k t e r i s t i s c h e Daten d e r Grenzschichtwirbel i n Diagrammform d a r g e s t e l l t . Es h a n d e l t s i c h h i e r b e i um d i e ~ r o k n : Maximale Umfangsgeschwindigkeit der Wirbel' Cq,,,
'und Durchmesser d e s
Wirbelkerns
dk
, der
h i e r g l e i c h dem Durchmesser d e s K r e i s e s d e r maximalenUmfangsgeschwindigk e i t g e s e t z t worden ist. I n d i e D a r s t e l l u n g s i n d ~ e s w e r k ef u r v i e r S t r a h l Reynoldszahlen aufgenommen worden: ReD = 5000- 20000- 30000- 40000. Zwei geometrisch k l i o h e Diisen m i t
D
= 50 mm g5
und
D
= 100 mm c$
wurden
h i e r b e i verwendet. I n den beiden Diagrammen s i n d d i e Mebunkte uber dem r e l a t i v e n Dusenabstand keit
Cq
X
- aufgetragen, und zwar oben d i e maximale Umf angsgeschwindig-
D
,,, a l s B r u c b t e i l
d e r Strahlgescbwindigkeit
Kerndurchmesser d k , m i t d e r Verdrangungsdicke d e r Dusenmundung dimensionslos gemacht.
- 157 -
6'
(I, der
und
unten d e r
Grenzschicht an
B - HITZDRAHTMESSUNGEN IN FREIEN GRENZSCHICHTEN
B i l d 19a
-
C h a r a k t e r i s t i s c h e Daten der Wirbel der S t r a h l g r e n z s c h i c h t
Laufzeii
B i l d 19b
-
-
norrniert
Normierte Wirbeldaten
- 159 -
B - HITZDRAHTMESSUNGEN IN FREIEN GRENZSCHICHTEN I n Bild 19b s i n d d i e gleichen ~ e p w e r t enoch einmal in einer nonnierten Darstel lung aufgetragen. Der Normierung sind "ultimate" Werte, Grenzwert e d e r Wirbelstromung, zugrunde g e l e g t worden, d i e denjenigen Hitzdrahtsignalen entnommen wurden, bei denen s i c h d i e e r s t e n hochfrequenten Turbulenzausbfiche zeigten. Die i n t e r m i t t i e r e n d e Turbulenz kennzeichnet n h l i c h das Ehde d e r Existenz e i n e s Wirbelrings. Die Auftragung d e r Werte Ccp mar und dk 1LBt k e i n Ordnungsprinzip erkennen; nur e i n e s tritt k l a r hervor, niimlich, da@m i t wachsendem Laufweg, oder, was dasselbe ist, dap m i t wachsendem Lebensalter d e r Wirbel sowohl d i e maximale Umfangsgeschwindigkeit a l s auch der Kerndurchmesser zunehmen. Das Schlupfen zweier aufeinanderfolgender Wirbel
und
i h r e Vereinigung
z e i g t s i c h b e i ReD = 5000 besonders d e u t l i c h a n d e r
Zllnahme
des
Kerndurchmessers.
7
ult. Bild 20
-
-
Anwachsen der Wirbel-Reynoldszahl mit dem Laufweg der Wirbel
Es l i e g t nahe, das Ordnungsprinzip i n e i n e r Reynoldszahl der Wirbelstromung zu suchen, wie d i e s schon f r u h e r vorgeschlagen worden ist 27, 28.
- 160 -
3.225 - VEWEICH M I T DEh' M S S W N Ah' EINER P L A I T ~ Z 9 S H l C K T 57 Als c h a r a k t e r i s t i s c h e L&nge wird h i e r b e i d e r
Wirbelkerndurchmesser dk und a l s c h a r a k t e r i s t i s c h e Geschwindigkeit wird die diesem Kerndurchmesser gew<. Die Reynddssche zugeordnete maximale Umfangsgeschwindigkeit C cp max Zahl d e r Wirbel l a u t e t demnach
Re,,
= '~max ' d k
V
I n Bild 20 ist d i e s e ~ r d p ei n normierter Fbrm uber d m normierten Laufweg aufgetragen. Die Kennzeichnung d e r aus den Mepwerten errechneten Punkte e r f o l g t e i n g l e i c h e r Weise wie i n Bild 19. Man erkennt, da@ Re, e i n Ordnungsprinzip f u r die wachsenden Wirbel d e r Strahlgrenzschicht d a r s t e l l t . Die Streuung d e r Zahlenwerteist i n d e r Natur des Vorgangs und i n d e r Schwierigkeit d e r Messungen b e g r b d e t . 3.225
-
Vergleich rnit den Messungen an einer Plat tengrenzschicht.
Die
Bildung d e r Grenzschicht-Ringwirbel, i h r Anwachsen und ihr dreidimensionaler Z e r f a l l finden i n einem Bereich d e s F r e i s t r a h l s s t a t t , i n den i m Innern d e s S t r a h l s noch e i n P o t e n t i a l k e r n e x i s t i e r t . e r ld i e Z i r k u l a t i o n Die Reynoldszahl d e r Wirbel Re, e n t h a l t i m ~ &
r = Ccp max - dk
l a n g s des Kreises m i t dem Durchmesser dk des Wirbelkerns. F%r d i e Ringwirbel d e r f r e i e n Strahlgrenzschicht, d i e aus der Konzentration
d e r m i t t l e r e n Wirbelstarke e i n e s Abschnitts d e r aus &r Duse austretenden laminaren Grenzschicht entstehen, ist e s c h a r a k t e r i s t i s c h ,
dap
dieser
Zahlenwert s t g n d i g wachst. Dies s t e h t i n i j b e r e i n s t i m m ~ nm~ i t d e r Auffassung, dap zwischen den Tollmienschen Wellen d e r l a b i l e n laminaren Grenzschicht
und
dem durch
"Intermittency-It Signale angezeigten Beginn d e r Turbulenz ein "Anfachungsvorgang" l i e g t . Fiir d i e f r e i e Strahlgrenzschicht kann gezeigt werden, d a s d i e "angef achten Stbrungen " durch wachsende Ringwirbel hervorgerufen w d e n , deren Eigenschaften d e f i n i e r t werden konnen. Der Einsatz d e r Turbulenz i n d e r Randzone d e s S t r a h l s ist i d e n t i s c h
m i t dem Z e r f a l l d e r Ringwirbel. Fabian [35] untersucht z u r Z e i t , o b h i e r f u r e i n e k r i t i s c h e ~ r 6 f kangegeben werden kann, wie sie von Domm [30] i n s e i n e r m o t h e s e d e r T u r b ~ l e n z e n t s t e h u n gg e f o r d e r t worden i s t . Die Wirbelstarke d e s z e r f a l l e n e n Ringwirbels f i n d e t s i c h i n e i n e r
- 161 -
B - HITZDRAHTMESSUNGEN IN FREIEN GRENZSCHICHTEN Vielzahl k l e i n e r e r Wirbel wieder, deren Drehachsen, wie q u a l i t a t i v e Messungen m i t einem Drallradchen z e i g t e n , bevorzugt i n Richtung d e r S t r a h l a c h s e liegen. Die von M r t l e r [27] berechneten Wirbel d e r dreidimensionalen Storungen t r e t e n offenbar a l s d r i t t e s Stadium des h e r g a n g s laminart u r b u l e n t i n d e r Strahlgrenzschicht auf.
3.23
- Frequenzgesetz der Strahlgrenzschicht.
Das "Frequenzgesetz" beschreibt d i e Abhangigkeit
d e r gemessenen
Storungsfrequenzen d e r Strahlgrenzschicht von der Miindungsgeschwindigkeit
Bild 2 1 (I
-
Wirbelfrequenzen verschiedener Freistrahlen
i n d e r M s e . Nach den Ausfiihrungen w t e r 2 ist d i e "Storungsfrequenz"
3 . 2 3 - FREQUENZGESETZ DER STRAHLGRENZSCHICHT i d e n t i s c h m i t d e r Bildungsfrequenz d e r Ringwirbel. Bei den Messungen wurden sechs geometrisch
a h n l i c h e Dusen
m it
Miindungsdurchmessern D = 10 -25 - 5 0 -75 - 100 - 150 mm verwendet. Als Sonde wurde e i n Hitzdraht von 6 p Dicke und 2 mm Lgnge verwendet, d e r auf den X
~ e b r t-
D
=
0,2,
-= D
0,45 e i n g e s t e l l t war.
Die Frequenzmessungen wurden sowohl an einem F r e i s t r a h l , der aus d e r Umgebung i n e i n e r Unterdruckkammer gesaugt wurde, a l s auch an einem Strahl, d e r aus e i n e r ifberdruckkammer i n d i e Umgebung a u s t r a t , vorgenommen.
Bild 22
-
Reduzierte Wirbelfrequenz
Es s e i e r w h t , dap d i e Art d e r Strahlerzeugung keinen ~ i n f l u pauf d a s Frequenzgesetz hat.
- 163 -
B -HITZDRAHTMESSUNGEN IN FREIEN GRENZSCHICHTEN Bild 21 g i b t d i e ~ e p e r g e b n i s s ewieder. Die gemessenen Frequenzen f s i n d iiber d e r Miindungsgeschwindigkeit 0 des S t r a h l s aufgetragen. In der doppelt-logarithmischen Darstellung lassen s i c h die Meppunkte auf Geraden m i t d e r Steigung 3/2 anordnen, wobei d e r Diisendurchmesser D als Parameter eingeht. Die ~ e h u n k t ed e r Duse D = 5,O (HI)g e l t e n fiir den S t r a h l , d e r aus e i n e r ijberdruckkammer a u s t r a t , wahrend a l l e anderen Punkte in Strahlen gemessen wurden, d i e i n e i n e Unterdruckkammer gesaugt wurden. I n Bild 22 ist e i n e y d e r e Auftragung der Mefbunkte gewahlt worden. Die Ordinate s t e l l t d i e "reduzierte" Frequenz d i e Berechnung d e r Zahlenwerte f u r
fred =
f .
3E
dar, m b e t
auf den Wsendurchrnesser Dl = 1 lassen s i c h gut l a n g s e i n e r einzigen
fred
cm bezogen ist. Die Werte f u r fred Geraden m i t d e r Steigung 3/2 anordnen.
Bild 23
-
Grenzschichtdicke an der Dusenmundung
fir d i e Gultigkeit des Ordnungsprinzips l a @ sich zunachst noch keine
t h e o r e t i s c h e Begrundung geben. fir d i e r e d u z i e r t e Frequenz l a @ s i c h , nach d m experimentellen Befund,
3.23 -FREQUENZGESETZ DER STRAHLGRENZSCRICHT e i n Gesetz angeben i n d e r Form:
Der Exponent 3/2 d e r Mundungsgeschwindigkeit d e u t e t darauf h i n , da@ d i e Grenzschichtdicke an d e r Diisenmkdung s i c h m i t
u-"~
Gesetz wird durch d i e Mebrgebnisse, wie B i l d 23 z e i g t , H i e r b e i ist auf d i e Ordinate d i e Verdrangungsdicke
8'
i n d e r t . Dieses gut
der
bestgtigt. Diisengrenz-
s c h i c h t i n d e r D e f i n i t i o n [27]
aufgetragen.
B i l d 24
-
B e r e i c h der Wirbelfrequenzen i m F r e i s t r a h l . Zum Vergleich: N e u t r a l e Storungsfrequenzen der P l a t t e n g r e n e s c h i c h t
Die g l e i c h f a l l s i n B i l d 23 aufgetragene ~esetzm@igkeit
N
D
IT-''^
62
B -.HITZDRAHTMESSVNGEN I N FREIEN GRENZSCHICHTEN
f i n d e t e i n e S t u t z e i n d e r von S c h l i c h t i n g angegebenen LCisung fiir d i e Grenzschichtdicke e i n e r ebenen Senkenstromung langs e i n e r geraden Wand. I n unserem F a l l e handelt e s s i c h zwar um e i n e rgumliche Senkenstrijmung l a n g s e i n e r gekriimmten Wand, f u r d i e keine "ahnliche" Liisung d e r Grenzschicht-Differentialgleichung e x i s t i e r t , aber
e s kann o f f enbar e i n e
Analogiebetrachtung a n g e s t e l l t werden. Es l i e g t nahe, d i e an d e r Diisenmiindung gemessenen
Wirbelfrequenzen
i n g l e i c h e r Weise wie d i e Storungsfrequenzen i n d e r Plattengrenzschicht d a r z u s t e l l e n . Dabei e r g i b t s i c h B i l d 24. Die Ordinate e n t h a l t d i e dimen-
Pr'v mit fir = 2nf und die Abszisse e n t h U t d i e m i t s i o n s l o s e Frequenz u* d e r Verdrhgungsdicke '6 an d e r Diisenmiindung g e b i l d e t e Reynoldszahl. Am unteren Bildrand sind, urn einen ~ e r g l e i c h s m a f k t a b zu haben, die I n d i f -
ferenzkurven fiir neut r a l e Storungsf requenzen b e i d e r l & g s angest romten ebenen P l a t t e nach den Rechnungen von Tollmien, S c h l i c h t i n g und L i n eingetragen. Die ~ e s e r g e b n i s s evon Schubauer und &ramstad [371 gruppieren s i c h l k g s d e r Lin-Kurve. Die i n d i e obere B i l d h a l f t e vorstosenden Kurvenzuge g e l t e n fiir d i e Frequenzmessungen am F r e i s t r a h l . Die innere Kurve a g i b t den Verlauf d e r n a t u r l i c h auftretenden Wirbel frequenzen an. Die beiden a u k r e n Kurven b , b f geben d i e Grenzen an, innerhalb d e r durch a k u s t i s c h e Beeinflussung Wirbelfrequenzen angeregt werden konnen. Die h i e r b e i verwendete Wrsuchstechnik und a l t e r e B g e b n i s s e s i n d i n d e r u n t e r [281 z i t i e r t e n Arbeit zu finden, und weitere Eigenschaften d e r akustischen laminar-turbulenten h e r g a n g s i m F r e i s t r a h l s i n d
Beeinflussung d e s
von
0. Wehrmann [38j
Die experimentell bestimmte Grenzkurve b - b f d e r
Wirbel f requenzen
m i t g e t e i l t worden. d e s F r e i s t r a h l s h a t , s t r e n g genommen, n i c h t d i e gleiche Bedeutung wie d i e a h n l i c h aussehenden Kurven d e r Plattengrenzschicht. Fiir die Plattengrenzs c h i c h t geben d i e Kurven " n e u t r a l e n , d. h. weder wachsende noch vergehende Stisrungen an; beim F r e i s t r a h l konnten nur wachsende Storungen, d. h. wachsende Ringwirbel f e s t g e s t e l l t werden. Das Innere d e s von d e n K u r v e n eingehullten Bereichs h a t aber beim F r e i s t r a h l und b e i d e r Plattengrenzs c h i c h t d i e g l e i c h e Bedeutung: nur i m u m s c h l o s s e n e n B e r e i c h k o n n e n Storungen entstehen. - 166 -
L ITERATVRVERZEICHNIS
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"Jahrbuch d e r WGL 1957".
"
Berlin"
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(noch n i c h t
SEZIONE C
TUBBOLENZA
DI P A B E T E
CARL0 PEBBIIU
C . FERRARI
-
TURBOLENZA D I PARETE
ERRATA-CORRIGE
ERRATA
CORRIOE
Pag.40 riga 10
ae9T Pag.45 formula [l']
Pag,49 riga 10 cf = 2 k y 2
Pag. 55 riga 8
Pag,58 riga 3
Pag. 60 formula [39'I
Pag. 65 riga 17
Re, T
Pag. 75
formula [84]
pu +
-
p'u' =
aw ax
- pal -
Pag,75
r i g a 13
Pag, 79
formula [99]
Pag. 79
f o n u l a [99']
Pag. 89 r i g a 2
Pag, 89 formula [19]
Pag,90
r i g a 13 q = c o s t = qs
q* = c o s t , = q;
Pag, 91 formula [23] r i g a 3
+ cost,
L2qE2
" e -
+ cost,
qi2
. ..
Pag. 91 formula [26]
Pag. 93
formula [34]
[l t c o s t ,
6'
Pag,, 94 r i g a 8 (2.11)
Pag. 95
1
1-- c o s t , qi2 m,
formula [381
Pag-95 r i g a 11
1- cost.
m
SEZIONE C
TURBOLENZA
DI P A B E T E
CARLO FERRARI
Equazioni del flusso turbolento a contatto d9 una parete. Le tensioni di Reynolds Equazioni per Le f'unzioni di correlaziona. Equazioni della dissipazione dell'energia e della dissipazione della vorticita'. INTRODUZIONE. I problemi che qui si considerano sono quelli relativi ad una cor-
rente turbolenta i n presenza d i una parete solida, ossfa, second0 l a denominazione correntemente usata, a l l a turbo lenza di parete, Sono questi i problemi che presentano per l a tecnica l a maggiore importanza, perch@ intimamente l e g a t i a l l a determinazione del flusso attorno ad un ostacolo od entro ad un condotto, e a l l a corrispondente forza esercit a t a dal fluido s u l l a parete Pambita, e a1 calcolo d e l l a trasmissione termica t r a questa e l a corrente esterna; disgraziatamente sono anche i problem1 pef quali l e ricerche teoriche sono l e meno progredite per l e maggiori d i f f i c o l t a q a e s s i Presentate particoParmente r i s p e t t o aPl a turbolenza owgenea, ed anche nei riguardi d ~ l l aturbolenza 1 ibera, cioe" quella che si manifesta i n s t r a t i dello stesso fluido o d i fluf d i divers1 che si muovono a contatto con diversa velocitat t a l e maggiore difficolta: B dovuta a l l a mggiore organizzazione, ossia alla minore casualita: che presenta il moto, ed a1 maggior numero dei parametri che influenzano il moto stesso, EDf a c i l e rendersi conto d e l l a natura d i quest e d i f f icoltal, ed e" quello che sard subito indicato nei numeri seguenti, i n cui il problema verra-onsiderato da un punto d i v i s t a d i grande generalitd: questo
C
-
TURBOLENZA DI PARETE
non tanto per mettere i n evidenza l e difficolta', quanto perches d a l l e equazioni generali, che cosis si ottengono, si possono t r a r r e u t i l i informazioni, che, se non sono s u f f i c i e n t i a risolvere il problema, gettono pero' alquanta luce su d i esso, e possono servire d i base per una ricerca p i e spprofondita. Detta ricerca non sara' subito affrontata: verranno dapprima considerati casi semplici di turbolenza di parete, nei quali, qualora si l i m i t i il proprio scopo a quello d i determinare il fenomeno i n media nel tempo, facendo opportune ipotesi d i lavoro, che s e possono essere g i u s t i f i c a t e a p r i o r i , hanno p e w l a loro g i u s t i f i cazione essenziale a posteriori, dal conf ronto dei r i s u l t a t i cui esse conducono con quell i sperimental i , evpossibil e arrivare a soluzioni soddisfacenti. Sara' infine esposto qualche tentativo f a t t o per porre l a t e o r i a d e l l a turbolenza d i parete su piuvsolide basi razionali.
1
-
Equazioni del f l u s s o turbolento: equazioni d i Reynolds. Tensioni d i Reynolds. Fanaioni d i correlazione. Si considerano ora correnti d i fluido incompressibile,
in media
stazionarie, sosivche abbia significato il parlare d i valore medio d i
ogni determinata grandezza nel tempo; piu' precisahente si ammette che. per ogni grandezza Q, funzione del tempo t e del posto, es ista il ,
limite
e che detto limite, come indicato nella formula, s i a indipendente dal particolare i s t a n t e to a p a r t i r e dal quale si misurano g l i intervall i d i tempo per l a valutazione d e l l a media. Detti valori medi si indi-
can0 col soprassegno sopra il simbolo che definisce l a grandezza i n esame; assunto un sistema d i a s s i cartesiani ortogonali, costituenti un sistema destro d i riferimenlo, si indica g l i a s s i c o l simbolo
xi
1.2,3), se non e s i s t e nel campo d i mot0 alcuna direzione privilegiata, che occorra mettere i n evidenza; qualora invece detta direzione (2 =
1 EQUAZIONI
DEL FLUSSO TURBOLENTO
e s i s t a , si prendera' uno d e g l i a s s i secondo d e t t a direzione e l o si indichera" col simbolo x assmendo sempre x = X I g l i a l t r i due a s s i saranno a l l o r a designati c o i simboli y (y E x,) e z ( z E x,) . P a s l e cornonenti d e l l a velocitav istantanea si usa il simbolo ut mentre il valor medio d i Ui si indica con Ui (Gi = Ut) ; si indica invece col19apice l o scarto t r a il valore istantaneo ed il valore rnedio ( u i = = u, - u ~ .) Quando ad indicare g l i a s s 1 si useranno i simboli x , y , z , l e corrispondenti componenti d e l l a velocita" istantanea saranno rappres e n t a t e d a i simboli u,v,w , l e osci 1 lazioni turbolente d e l l a velocita" da uf w f , e 1 e component i d e l l a velocita" media da UsVoW . S i a m m e t t e ' b f i n e che, in ogni istante, valgano l e equazioni d i
.
<
Stokes-Navier
dove p I.?l a densitd, P l a pressione, e v l a viscosita" cinematica. Vale i n o l t r e certamente l oequazione di cont inuita: che p e r l a supposta incompressibilita' ha l a forma
Prendendo n e l l a [21 i v a l o r i medi si ha subito
d i guisa che sottraendo l a [2" d a l l a [21 r i s u l t a pure
Prendendo i v a l o r i medi n e l l e [I], osservando che e9
C - TURBOLENZA DI PARETE i n grazia del l a [2], e tenuto conto della stazionarietaudel moto medio sl ha
che sono l e equazioni d i Reynolds per il deflusso turbolento. Si pone
le
nt,
sono manifestamente l e componenti d i un tensore doppio sinye-
t r i c o , d i cui l a parte c o s t r u i t a c o l l e velocita' medie non e' a l t r o che il tensore del l e tensioni viscose: in effetto l e
sue componentl sono proporzionali a l l e corrispondenti componenti del tensore de 1 le veloci ta' d i deformazione nel moto medio. C i si pud rendere conto che un s i g n i f i -
cat0 analogo a quello delle p v
hanno l e
-p ui I
vk : P
i n ef-
f e t t o per un elemento dok perpendicolare all-sse xk l a p u i ddk d t daDl a massa fluida che attraversa dok nellDintervalio d i tempo elementare d t
i n virtu' del moto d i agitazione turbolento; essa ha una com-
ponente di quantita9 (li moto secondo X i data dalla dq$ = p u i u i dok d t ; questo trasporto di quant ita' d i moto attraverso a dok d equivalente dal punto d i v i s t a dinamico a l l 0applicazione a110 stesso elemento d i una fOrza
x
dql
d i r e t t a e orientata secondo x i
ed e s e r c i t a t a d a l l e p a r t i -
c e l l e fluide che stanno, r i s p e t t o a dok , d a l l a parte della normale negativa sul fluido che s t a d a l l a parte della normale positiva (orientata come x k ) , Per il principio d i azione e reazione ne r i s u l t a ,
per ogni
elemento superficiale perpendicolare a uno degli a s s i xk , una forza positiva a1 trasmessa dal fluido che si trova d a l l a parte d e l l a xk fluido posto dal1° a l t r a parte uguale a
ed uguale quindi i n media a
2 EQUAZIONI PER LE FUNZIONI DI CORRELAZIONE
Alla T (t) ~ , si daDil nome d i tensione tu-bolenta, i n quanto ekonseguenza del moto d i agitazione turbolenta, od anche d i tensione di.Reynolds; l e tensioni d i Reynolds appaiono cosiPe s s e r e l e componenti d i un tensore (tensore d e l l e t e n s i o n i turbolente), che si somma a1 tensore d e l l e
t e n s i o n i viscose, e poicheVl a [3], tenuto conto d e l l e [4] e [zO] puoP Pure essere s c r i t t a n e l l a forma
appare che l e equazioni del moto medio nel flusso turbolento (equazioni di Reynojds) sono formalmente identiche a quelle di Stokes-Navier nel f lusso laminare, la differenza consistendo nel fatto che il tensore degli sforzi interni nel f lusso laminare si riduce a quello delle tensioni viscose, mentre nel flusso turbolento risulta dalla sonima di detto tensore e di quel lo del le tensioni di Reynolds. W ecco s u b i t o l a d i f f i c o l t a " fondamentale d e i
f l u s s i turbolenti: -. mentre l e t e n s i o n i viscose si sanno esprimere p e r mezzo d e l l e d e r i v a t e d e l l e velocitaDmedie, l e t e n s i o n i d i Reynolds appaiono come nuove funzioni incognite, come funzioni cioe' l a c u i dipendenza d a l l e grandesze
c a r a t t e r i s t i c h e del moto medio non e' nota, 11 rapport0 del tensore d e l l e T ( ~ ) a
( - prende il nome d i tensore di correlazione (doppia)., cosikome l e ui u i sono chiamate funzzonz di correlazione (doppia): il numero d e l l e equazioni indefinite che devono e s s e r e s o d d i s f a t t e nel moto medio ,eQertanto sempre uguale a quatequazione di continuita<2" I), tro ( l e t r e equazioni d i Reynolds [3" e l D mentre l e funzioni incognite sono diventate dieci ( l e Ug , , e l e s e i funzioni d i correlazione) . .t,k
2
-
Eauazioni p e r . l e funzioni d i correlazione.
S i pucr'cercare d i determinare l e equazioni cui devono l e funzioni d i correlazione moltiplicando ciascuna d e l l e
b.]
soddisfare p e r u; e
C
-
TURBOLENZA DI PARETE
prendendo quindi il valor medio d i ogni termine. Si ottiene
Scambiando tra lor0 g l i indici
i e j
si ha
soman& membro a membm l e [6] e [6'] si ottiene, per l a supposta stazionarieta'.
3-EQUAZIONE DELLA DISSIPAZIONE DELL "ENERGIA in cui 6 t k ep il simbolo d i Kronecker (btk = 1 per i = k ; 6.2k= o per i # k). D i equazioni come l e [7] se ne Possono scrivere tante quante sono l e combinazioni a due a due dei t r e indici, o s s i a s e i , e quindi proprio nel numero corrispondente a quello d e l l e funzioni d i correlazione doppia: ma queste equazioni introducono p e w a l t r e incognite. In e f f e t t o esse contengono l e u; u> ui , che costituiscono l e componenti d i un tensore t r i p l o completamente s i m e t r ico (che sono l e cosiddette funzion i d i correlazione t r i p l a ) , ed il numero delle componenti d i s t i n t e d i detto tensore e', come i termini
+lau;
d
noto, dieci; i n o l t r e n e l l e s t e s s e [7] appaiono
a
- - - + - (Ui P axj axj
):
=
, a+' ax,
che sono anchs e s s i incogni-
t i e costituiscono l e cosiddette funzioni d i correlazione pressione-veAppare pertanto che si sono, e' vero, s c r i t t e altre equazioni i n numero uguale a quello d e l l e funzioni d i correlazione contenute nelle [3'], ma si sono aggiunte, e in numen, alquanto pin' grande, altre funzioni incognite. I1 procedimento pud essere continuato, i n modo del t u t t o analogo a quello seguito per passare d a l l e [3'] a l l e [7], .ricavando l e 10 equazioni cui devono soddisfare l e funzioni d i correlazione t r i p l a , ma
si ottiene che i n queste sono contenute l e u; u; ui u[ , che costituiscono l e componenti d i un tensore quadruplo completamente s i m e t r i c o , e si sa che il nwnero d e l l e componenti d i s t i n t e d i detto tensore e'venti, Appare pertanto che il procedimento indicato porta a un nmero infinito a i equazioni, n e l l e quali ogni funzione d i correlazione d i rango n ris u l t a d e f i n i t a per mezzo d e l l e funzioni d i correlazione d i ranpo n + 1 : per risolvere il problema per questa v i a d necessario rompere la catena, e questo puc9 essere f a t t o solo facendo ipotesi s u l l e funzioni d i correlazione d i rango maggiore. Qualche tentativo i n questo senso eO s t a t o fatto, e d i esso sarap f a t t o cenno nel Cap. IV.
3
-
Equa2ion.e .dells d i s s i p a z i o n e d e l l " n e r g i a .
Le equazioni finora ricavate, se sono del t u t t o i n s u f f i c i e n t i per l a risoluzione del problema, permettono tuttavia giaQd i dedurre qualche conseguenza interessante.
- 177 -
C ~a [7] s c r i t t a per
- TURBOLENZA DI j=i
PARETE
e moltiplicata Per
P -
dB
2
6e
si sommano l e (7'1 s c r i t t e per
i vari
a si ha, posto Et
=
1 2
q2
che definisce il bi lancio energe tico per l e oscillazioni turbolente: Et @ i n f a t t i l9energia cinetica d e l l "nit& d i massa corrispondente a1 moto d i agitazione turbolenta; il primo termine d e l l a [8] da9percfoc la variazione nell' unit& d i tempo dell-nergia cinet i c a turbolenta per unit& d i volume dovuta al trasporto per e f f e t t o del moto medio (variazione per convezione); il secondo termine def inisce l a produzione d i detta energia corrispondente al lavoro de 1 le tensioni di Reynolds sempre 'per e f f e t t o del moto medio; il terzo terrnine da'poi l a variazione del19energia per e f f e t t o d e l l a diffuqione molecolare, mentre il quarto termine corrispon~ d ea l l a variazione per e f f e t t o d e l l a diffusione turbolenta e a l l a presso-diffusione, ed infine il quinto da9 lbnergia dissipata per viscosita". EDu t i l e considerare insieme a l l a [8] 1"quazione del b i k i o energetico.per il nwto medio, che si o t t i e n e dalle [3" moltiplicando ciascuna per Ut e sommando rispetto allsindice i : *ulta,
mto (3)
Em=-1 Zi @ 2
4-II ISCUSSIONE DELLA EQUAZIONE DELLA ENERGIA Appare d a l l a [8" che l a produzione di energia cinetica turbolenta dovuta a1 lavoro delle tensioni di Reynolds per e f f e t t o del moto medio corrisponde a una uguale perdita dell'energia cinetica del m t o medio prodotta d a l l a s t e s s a causa, d i guisa che le tensioni di Reynolds appaiono essere 1 kgente che determina un trasferirnento dell "nergia dal moto medio a1 moto di agitazione turbolenta. 1-nterazione
t o s u l l a variazione dell-nergia
di quest0 mo-
cinetica del moto medio si esplica poi
ancora i n un apporto d i energia corrispondeate a1 jlusso di energia def i n i t o dal termine [3] d e l l a [8"
4
-
].
Discussione d e l l a equazione d e l l a eaergia. Diverso comportamento e diversa funzione d e l l a regione esterna e d e l l a regione interna d e l l o s t r a t o l i m i t e , Influenza dell a presso- d i f fusione. EDimportante osservare che se per l e varie gmndezze contenute nel-
l e [81 e [8'] il problema del lor0 calcolo, per ogni particolare dato problema, e' d i t a l e d i f f i c o l t d che l a sua soluzione si puoqdire prat icamente impossibile, l a determinazione sperimentale d i esse, t u t t e ad eccezione del termine d e l l a presso-diffusione, non solo eP possibile, ma eP s t a t o f a t t o con grande accuratezza in diversi casi, e l a considerazio-
ne dei r i s u l t a t i o t t e n u t i permette d i porre i n evidenza un carattere comune che presentano i moti turbolenti i n presenza d i parete. Ma prima d i indicare t a l e carattere, che ha una importanza notevol e per l o sviluppo u l t e r i o r e delle ricerchb, @ necessario htrodurre f i n duora un concetto che sara' p i d avanti ripreso e precisatoB i consideri ad es. il flusso d i una corrente a l l 9 n f i n i t o unifor-
me lungo una lamina piana semi indefinita, od anche attorno a un profil o alare: i diagrammi che indicano l a legge d i variazione dei v a r i t e r mini d e l l a equazione [8] lungo una r e t t a normale a l l a parete
lambita
hanno l%ndamento t i p i c o indicato i n fig. (1, I) (vedi [l], [2], [31, [41)Col crescere d e l l a distanza y d a l l a parete, a p a r t i r e almeno da un dato valore yo
d e l l a y , t u t t i i termini tendono ad annullarsi piuOo
meno rapidamente, cosi-he
si puc9 d i r e che 1-zione
combinata d e l l a v i -
C - TURBOLENZA DI PARETE
s c o s i t e e d e l l a turbolenza conseguente a l l a presenza d e l l a parete si f a r i s e n t i r e solo i n uno s t r a t o di spessore piccolo rispetto ad es. a l l a lunghezza d e l l a corda del profilo, che costituisce il cosiddetto s t r a t o lirnite: a1 d i fuori d i detto s t r a t o l a corrente si puo" considerare come
.
quella d i un fluido perfetto. termine 2:
roduzione d i energia per e f f e t t o del favor0 del l e tension1 d l Reynolds dissipazione d i e n e r g i a per e f f e t t o A termine 5: del l a viscosita'
Fig. (1,I) - Bilancio d e l l p e n e r g i a c i n e t i c a turbolenta n e l l o s t r a t o l i m i t e .
Ora i diagrammi sperimentdi indicano che n e l l a regime interna dell o s t r a t o limite, quella cioeOp i @ vicina a l l a parete solida, i termini
4 - DISCUSSIONE DELLA EQUAZIONE DELLA ENERGIA
delPa [83 d i gran Punga preponderanti nel bilancio energetico sono queBP i corrispondenti aPPa produztone di energta cinettca turbolenta per el'-. f e t t o delle tensioni d i Reynolds (termine [2]) e a l l a dissipazione per e f f e t t o della viscositaE (termine [5]), che sono a l l 9 n c i r c a uguali e contrari; r i s u l t a i n o l t r e che i valori assoluti d i d e t t i termini sono pure d i gran lunga p i @ grandi d i quelli corrispondenti a g l i a l t r i t e r mini i n t u t t o l o s t r a t o ' Appare pert anto che l a regione
interna, del lo
strato si trova in uno stato di quasi-equilibrio energetico, i n quanto produzione locale e dissipazione locale quasi si uguaglianc
(essendovi per@ una prevalenza del termine produttivo, lieve ma d i grande importanza come apparira" f r a poco), e che d i conseguenza si puo" arguire che in essa i l fenomeno di m t o turbolento e" essenzialmente regolato da condizioni locali.
Nella regione esterna dello s t r a t o limite invece risulta che
1
ter-
mini preponderant i (che sono pero" alquanto piu: piccoli i n valore assoluto d i quelli gia' indicati per l a parte vicina a l l a parete) sono quelli convet tivo [I] e dissipat ivo [5], che sono dello stesso segno, e quell o diffusivo che l i bilancia. In d e t t a regione pertanto, a d l fferenza d e l l a precedente, il fenomeno non dipende soltanto d a l l e condizioni loc a l i , ma da tut ta l a storia del moto Questo appare nel modo pius chiaro s e si considera il termine corrispondente a l l a presso-dij'fusione: e"opportuno a questo riguardo riconoscere come l a funzione d i correlazione pressione-velocita" si possa esprimere per mezzo d e l l e funzioni d i corralazione delle sol e componen:i d e l l a velocitd, Se si deriva ciascuna delle [I] r i s p e t t o a x i equazioni cosis ottenute si ricava
da cui, prendendo i valori medi,
e
si
sommano l e
C
- TURBOLENZA
DI PARETE
e sottraendo d a l l a precedente 1
[g]
-Apf
=
P
-
Zh
Ci
2
au. aui axk art
- -- Ck C i
?xkaxi
axhaxi
La oscillazione d e l l a pressione percio", a1 pari d e l l a pressione media, soddisfa a l l Pequazione d i Poisson; l a soluzione generale d e l l a [9] puo' essere s c r i t t a n e l l a forma
i n cui i primi due integrali e s t e s i a t u t t a l a regione occupata dal fluido i n mot0 sono g l i i n t e g r a l i p a r t i c o l a r i d e l l a [9] completa, mentre il terzo integrale d l a soluzione d e l l 9equakione [9] resa omogenea espress a per mezzo dei valori d i p P e della sua derivata normale s u l l a superf i c i e Sf che delimita il campo d i moto; l e x i sono l e coordinate del punto generic0 P f del volume a cui l 3 n t e g r a l e eP esteso, ed infine r d l a distanza d i
P f dal punto P (di coordinate x k ) in cui si calco-
l a l a p P . In punti lontani d a l l a S f , come quelli appartenenti a l l a regione esterna dello s t r a t o limite, che e 3 r o p r i o quella i n cui l a correlazione pressione-velocitaP ha importanza, l q n t e g r a l e esteso a l l a S f puo9essere trascurato, e d i conseguenza si deduce
1 +
47-tZ k -
J-'/L-
[ui
ui
( ~ 9 )
(P9> u; ( P ) ]
dz
r
i n cui c o l l e uf (PI) si sono designate l e componenti della velocita" d i oscillazione calcolate nel punto (PI), e con u P( P ) l e analoghe com-
5-FLUSSO DI ENERGIA NELLO STRATO LIMITE ponenti i n (P) Le funz zoni di con-elaz tone press zone-we locz ta"engono cosi" espresse per mezzo delle funzioni generazz d t correlazione doppia e tripla d e l l a sola velocitaO' esse sono cosfD chiamate P e r c h e h o n
coincidono colle funzioni g i g d e f i n i t e neP numeri precedenti,
come ri-
s u l t a subito osservando che i n queste si considerano i valorf medi dei prodotti delle componenti d e l l a velocita" i n un medesimo punto (P = PP), mentre nella [ll] si devono considerare i valor1 medi dei prodotti dell e componenti d e l l a velocitd i n due punti d i s t i n t i
(PP f P) . EP possib i l e ottenere per l e funzioni generali d i correlazione l e equazioni cui devono soddisfare, procedendo i n mdo analog0 a quello seguito nel n o 2; ma quello che o r a interessa soltanto d i porre in evidenza e"che l e
fiP
non dipendono solo d a l l e condizioni locali del flusso, bensiG da
tutto
ui
il campo d i moto
.5
-
Flusso d i energia n e l l o strato l i m i t e .
Dalla discussione f a t t a a1 no precedente sono apparse l e diverse c a r a t t e r i s t i c h e del flusso turbolento n e l l a regione interna dello s t r a t o limite, in cui esso si pud considerare regolato dalle condizioni locali, e n e l l a regione esterna in cui si risente
1 %nf'luenza di tutta la sto-
ria precedente de 1 moto. Queste due p a r t i per@ non si comportano irdipendentemente lsuna d a l l Da l t r a , ma l ouna interferisce sull"1tra:
giaP
e" s t a t o detto come l a produzione d i energia turbolenta per e f f e t t o del-
l e tensioni d i Reynolds s i a leggermente superiore a quella dissipata, e
questa piccola differenza @ quella che regola l'interazione t r a l e due p a r t i dello s t r a t o , Per riconoscere come questa si esplica meglio il flusso dell-nergia
e definire
nello s t r a t o e" conveniente considerare ac-
canto a i diagrammi d i fig, (1, I ) r e l a t i v i a1 flusso dell-nergia
turbo-
lenta, i diagrammi d i f i g . (2, I) r e l a t i v i a1 flusso dell-nergia
del mo-
t o medio. In questi sono indicate l e leggi d i variazione
dei termini
d e l l ~ e q a z i o n e[8D] che hanno maggiore importanza nel bilancio energet i c ~i n una sezione trasversale generica dello strato; poiche0 e0
C
-
TURBOLENZA DI PARETE
appare che l aestrazione dell "energia daP mot0 medio e-ompiuta daY gradiente delle tensioni di Reynolds,: l a conversione d i q u e s t a e n e r g i a e s t r a t t a i n energia del moto turbolent0 e" compiuta dal le tensronr di Reynolds in grazia del lavoro da esse svoPto nel mob medio; in vicinanza t e r m i n e convettivo X flusso d i e n e r g i a (termine 3 equaz. 8' )
A perd i t a c o r r i spondente a l l avoro d e l l e tensioni d i Reynolds
Pig.
(2, I) - Bilancio d e l l uenergia del moto medio nello strato limite.
della parete l a maggior parte dellvenergia turbolenta prodotta e-issipata dalle azioni viscose, e quello che rimane in eccesso della energia
prodotta e' diffusa nella regione esterna, cosi9 che ne risulta il siste-
5-FLUSSO DI
ENERGIA NELLO STRATO LIMITE
m di trasporto di energia indicato schemtikicamente n e l l a
fig, (3,I)
(diagramma di Townsend, vedi [l] pag. 236). c o n f i n e esterno --------del l o s t r a t o
I
Estraz ione d i energi a dal moto"med i o comp iut a dal g r i d i e n t e d e l l e tension1 d i Reynolds ~ r a s f o r rdel l l e n e r g i a e s t r a t t i in energia del mot0 tuybol. c o r r i s p . a l l a v o ~ ot e n s i o n i d i Reynolds
+I
Energi? dissipata d a l l a viscosita'
1 p a r t e esterna del l o s t r a t o .
Diffusione d e l l a energia turbolenta dalla parte interna del l o s t r a t o
---A-
parte interns del l o s t r a t o
, +
parete Fig. (3,I)
-
Diagramma di Townsend.
Ora l pammontare d e l l a tensione tangenziale a l l a parete e" intimame* t e connesso colla dissipazione d i energia nello s t r a t o , e qufndi, per l o schema sopra indicato, a l l a estrazione d e l l a energia dal moto medio compiuta dal gradiente d e l l e tensioni d i Reynolds n e l l a regione esterna; 8'a l t r a parte, l a principale sorgente d e l l a energia turbolenta (e quind i del gradiente d e l l e s t e s s e tensioni) i n d e t t a regione e" l a diffusio-
ne dalla regione interna. Ne r i s u l t a una mutua ,nterazione delle due regioni dello s t r a t o , per l a quale, tenuto presente il c a r a t t e r e locale del flusso n e l l m a e quello non locale nell%ltra, l a tensione tangenz i a l e a l l a parete e" determinata d a l l a struttura locale
dello strato
esterno, che a sua volta dipende d a l l a distribuzione della tensione tangenziale a l l a parete per una c e r t a estensione d i questa,
C - TURBOLENZA DI PARETE 6
-
Equazione d e l l a d i s s i p a z i o n e d e l l a v o r t i c i t a * .
auk auj eliminando l a pressione, ed indicando con ui = - - a x j axk l e componenti d e l l a vorticita: si ottengono l e
Dalla [I]
che sono l e equazioni di Helmholtz generalizzate per il fluido viscoso. Prendendo i valori medi, ed indicando con Ri t i c i t a ! media, con w i
l e componenti d e l l a vor-
l e componenti della oscillazione turbolenta del-
l a vorticitd, si ha
che si puo' anche scrivere n e l l a forma
od anche, s e si indicano con
n i 9 k l e componenti del
tensore doppio
enisirretrico definito d a l l e
&pare pertanto che, per quanto si r i f e r i s c e a1 moto medio, 1 'agitazione turbolenta e'equivalente ad una distribuzione di sforzi interni corrispondenti, per ogni elernento di superficie, ad una forza sul la stessa superficie e ad una coppia. Se si moltiplica ciascuna d e l l e [12] per
fig e si .sommano l e va-
r i e equazioni, dopo averne presa l a media, si ha
6-EQUAZIONE DELLA D I S S I P A Z I O N E DELLA VORTICITA" che esprime il bilancio della vorticitasmedia. Moltiplicando poi per dl e sommando, i n mdo analog0 si ha
che si puo' trasformare n e l l a
essendo
w"
-.
=
xi a;*. La
[IT]
esprime il bilancio d e l l a vorticitr9 t u r -
bolenta, e p e r confront0 c o l l a [16] appare che il trasferimento dalle vorticita'media alla vorticita5turbolenta avviene attraverso i l lavoro del gradiente delle coppie di Reynolds; r i s u l t a i n o l t r e che l ' i n f l u e n z a
d e l l a v o r t i c i t a 5 turbolenta s u l l a v o r t i c i W media si esplica so 1 tanto attraverso questo lavoro, mentre q u e l l a d e l l a vort i c i t d media s u l l a vori;icit& turbolenta e"iuv complessa.
CASI SEMPLICI D I MOT0 TURBOLENTO: Moto in condotti piani a sezione costante. La distribuzionc logaritmica della velocita'media nella parte delcandotto vicina a l l e pareti. Legge di resistenza. Coefficiente d i trasport0 Percorso di mescolamenta Macroscala e m i c r o s c a 1a della turbolenza. Distribuzione della velocita' media nella parte centrale del condotta. Raccordo delle leggi di variazione della velocita'media nelle varie p a r t i del condotta. Influenza dell a rugosi tat.
.
1
-
.
Equazioni del moto.
Le difficollta9 pressoccht? insormontabili indicate nel Cap. I per una trattazione generale del problema della turbolenza fanno ben comprender e 190pportunita!d i considerare c a s i semplici d i moto, che consentano, appunto per l a loro semplicitd, uno studio pi19 appmfondito del fenomeno, cosi9 da arrivare ad una soluzione del problema c o l l a introduzione d i ipotesi d i lavoro presentanti un grado d i a r b i t r a r i e t d il p i @ piccol o possibile. Si considera pertanto qui innanzi t u t t o
il
moto d i un
fluido incompressibile entro un condotto limitato da due p a r e t i piane indefinite e parallele fig. (1,II). I1 moto medio i n queste condizioni t?
ovviamente piano; poichd e s i s t e ora una direzione privilegiata, quel-
l a dell'asse del condotto, g l i a s s i del sistema d i riferimento sono ind i c a t i [come g i g detto i n (1, I)] con x = x, , nel piano del mot0 e par a l l e l ~a l l e pareti; y = x, nello stesso piano e normale a l l e pareti; z E xg pemendicolare a1 piano del moto, mentre l e corrispondenti componenti d e l l a velocitaDsi rappresentano con u = ui ; v = u, ; w = u3 Si ha o r a
- - - u: u; = UP = u; 4 = y f = 0 ~1
,,,I
poiche' il moto ePstatisticamente uguale i n t u t t i i piani p a r a l l e l i
a1
I -EQUAZIOM DEL MOT0 piano del mot0 medio, Poiche" poi l e l i n e e d i corrente d i medio sono r e t t e p a r a l l e l e a l l a parete si ha
Fig.
questo m o b
(1,II) - F l u s s o i n un c a n a l e ,
ed il moto e" statisticamente uguale i n t u t t i i punti d i ogni r e t t a del piano ( x , y ) p a r a l l e l a all%sse x Le equazioni (3, I) si riducono percia' a l l e
Si ricava subito
[z91 in cui Po e" funzione d e l l a sola x , Dalla prima d e l l e [2] d ha percicf
poiche'
v'2
non
dipende da x , e s e si indica con D l a semilarghezza
C
- TURBOLENZA
DI PARETE
del condotto; per ragioni d i simmetria deve essere
z, somma della tensione viscosa e
La tensione tangenziale Reynolds, risulta cosi'
Ma Ys, se con T,
d i quella di
si indica l a tensione tmgenziale a l l a parete (ossia
per Y = 01,
che esprime l a nota relazione t r a l a caduta d i pressione lung0 il con-
dotto e l a tensione tangenziale a l l a parete; l a [41 si puo'pertanto scrivere nella forma
Y
da cui appare che per - << 1 , ossia nella parte del condotto vicina
D
a l l a parete, l a tensione tangenziale puo' essere considerata costante, uguale a To . I d a osservare poi che per y = 0 , essendo u' = V' = 0 , qualunque sia $,
@
= 0
, cosiv che e'
come per il flusso laminare. Dvaltra parte, se s i f a il rapport0 t r a l a tensione d i Reynolds e quella viscosa s i ottiene
I-EQUAZIONI DEL MITO s e s i indica con q2 l a (p+ g ) e con Urn l a velociW media corrispondente a l l a portata attraverso a l condotto; ax>, d il coefficient e d l correlazione t r a l e uP e v E a evun coefficiente numerico dell 3 r d i n e d i grandezza dell'unitd, ed infine R e , , e' il n m e r o di Reynolds r i f e r i t o a l l a velocital media, ossia eL' Re,%
pare che s e e' A >> R&,
=
'
- Dalla [6] a ~ - -
v e questo avviene quasi i n t u t t o il campo, e"
n >> 1 , e percid l a tensione turbolenta e" d i gran lunga preponderante rispetto a quella viscosa. PoicheD p e w a contatto d i ogni parete e' cer t o q = 0 , e quindi A = 0 , si deve ammettere che adiacente ad ogni parete deve e s i s t e r e un piccolo strato a in cui e' n << 1 , e percio" l e tensioni viscose prevalgono su quella d i Reynolds: a detto piccolo s t r a t o a si da' il nome d i sottostrato hminare, Ora, esternamente a questo sottostrato, ma nelle vicinanze d i esso, e quindi d e l l a parete, per l e considerazioni generali esposte al no (4, I ) il moto eD statisticamente deterrninato solo d a l l e
condizioni locali, e poiche' a questa regione corrispondono valori d i y/D m l t o minori d i uno e quindi i n essa si ha
T 2 costante = T, , si pucf r i t e n e r e che l e
sole grandezze che intervengono a determinare i n essa l a legge d i varia-
zione d e l l a velocitap U siano l a zo e l a v
.
Si puo" d i conseguenza
scrivere
7 l
= u(T0, V ,
Y)
da cui, per semplici considerazioni d i omogeneita'fisica, si deduce che iii vicinanza d i a e'
D" a l t r a parte, n e l l a regione i n cui l a turbolenza e9ompletarnente svi-
luppata, a sufficiente distanza da o , l a tensione d i Reynolds, per quanto sopra e-tat0 osservato, e-lto piu' grande d i quella viscosa, e pertanto il mot0 e" determinato da essa; ma l a correlazione tra l e o s c i l Pazioni u P e v e" dovuta quasi esclusivamente alle componenti d i piu' bassa frequenza, quelle cioe' prodotte dai v o r t i c i d i maggiori dimensioni, sui quali l a viscositd ha influenza trascurabile, Ne deriva che i n
C
- TURBOLENZA DI
PARETE
questa p a r t e del campo si puoQporre
i n cui l a viscositaDnon es direttamente contenuta, mentre l a uo e 9 n a velocitav d i riferimento d i cui e v a c i l e ottenere l%spressione, In eff e t t o , assumendo che l a regione a tensione tangenziale costante si estenqueda anche n e l l a parte del campo per cui d valida l a [8], poiche-n staev ~
-
2 p u- P v P2 ' r 0 , r i s u l t a p e r :a [8] q,
l a g l a condizione che
(g)yiD
2 g(0)
= 1
=
.
Se U, e' l a velocita" per y = D , si pucf' d i conseguenza porre
2
-
La d i s t r i b u z i o n e l o g a r i t m i c a d e l l a v e l o c i t a u media, Legge di resistenza.
numero d i Reynolds e" sufficientemente a l t o , la regione in cui l a tensione tangenziale si pua" r i t e n e r e costante, ed i n cui e y a l i d a l a Se il
['I], si estende n e l l a parte i n cui il m t o corrisponde d a [9], d i guis a che c9e' t u t t a una regione 2 i n cui l e [?I e [Q]debbono essere contemporaneamente valide. Questa condizione @ suf f i c i e n t e a determinare si del a forma d e l l e funzioni F e f : i n effetto, n e l l a regione ve avere
Ora
(S rr,
non dipende che dal numero d i Reynolds
od anche
D
2');(
dal numero d i Reynolds ReDT =
Repm
v
r i f e r i t o a l l a vebcitaD
(che iY chiamata uelocitaDddi attrito), i n quanto Re,
eP
i n corrisponden-
2 -DISTRIBUZIONE LOGARITMICA DELLA VELOCITA" z a biunivoca con
R e O D . La [lo] si puo9percioVanche saivere nella form
Y / D appartenenti a C , e per grandi Re*r. Si
per t u t t i i valori d i
deduce percio'che deve e s s e r e
i n cui k , A ,
e A r sono c o s t a n t i a s s o l u t e , e d i conseguenut si ha,
n e l l e vicinanze d i o ,
che c o s t i t u i s c e , come si vedra' piu9 avanti (Cap. I11 e I V )
la legge uni-
versale di distribuzione della velocita'media in vicinanza della parete nel moto turbolento (legge logaritmica di parete); l a k
e" l a costante
d i Prandt 1 -16hrdnS i ricava poi d a l l a [lo], tenendo p r e s e n t i l e [ll],
mentre, s e si t r a s c u r a per il c a l c o l o d e l l a p o r t a t a a t t r a v e r s o a1 con-
E)'' ff(I)
d o t t o , il contributo d e l flusso a t t r a v e r s o a1 s o t t o s t r a t o laminare, l a velocita' media
4
=
1
D,
/
D U d y = U, +
dl' risulta data d a l l a
0
C - TURBOLENZA DI PARETE di guisa che il rapport0 t r a l a velocita'nedia e l a v e l o c i t a D massima (nel centro del condotto) r i s u l t a
G l i esperimenti hanno brillantemente confermato l a val i d i t a " delle for-
mule ricavate, e dhnno per l e costanti k e A rispettivamente i valor i 0.4 e 2 , 4 . Dalla [12] poi, se s i indica con ReP1 il numero d i Reynolds r i f e r i t o a l l a velocita' Ul , e si definisce un coefficiente di resistenza del condotto colla cf =
P
resis tenza
3
-
.Lo
q
si ricava senzpa l t r o l a legge di
Coefficiente d i trasporto. Percorso d i mescolamento. Macroscala e microscala d e l l a turbolenza,
Si esprime l a tensione d i Reynolds
-
'tt
= - p uPvf
per mezzo della
a1 coefficiente E , che ha l e dimensioni, della viscosita" cinematica, s i dr9 il nome d i coefficiente di trasporto (turbolento) della q u a n t i t a q i moto. E'da osservare che l a [16] fu introdotta giau da Boussinesq per esprimere l a tensione turbolenta con formula analoga a quella che da" l a tensione viscosa: l a sua applicazione ora appare perfettamente l e g i t t i ma, perch@essa serve non a calcolare T~ , ma a determinare & , poicheP l a
U
@
ora funzione nota d i y. Esprimendo i n f a t t i l a
dU
- per dy
3-COEFFICIENTE DI TRASPORTO mezzo della [7"
-
e l a u P v P colla [8] si ricava
da cui appare che deve essere in
2
D a l t r a parte, s e si esprime, come si puo-are
s t a formale,
E
almeno da un punto d i vi-
colla
a l l a L , che ha l a dimensione f i s i c a d i una lunghezza, si d a q l nome d i percorso di mescolamento per l a analogia che presenta : l a
[17"] colla formula che nella teoria cinetica dei gas s i ricava per laviscosita" ci-
nematica, e anche per ragioni storiche, poichd detta denominazione eD s t a t a usata da Prandtl e da Taylor che per primi, e indipendentemente, introdussero questo concetto. Per confront0 delle [17" e [[17"]si ricava
(3"
L
= cost
ELIh
Y
se si trascurano i termini diffusivi e convettivo, come e q e c i t o perche" il lor0 ordine d i grandezza e"assai piuQiccolo di quello
dei termini
conservati nella [l~]..
-
Ora l a - p u P u P das l a ge ricavata di
'ct,
'u(~)coincide
che, calcolata colla [16], per l a leg-
colla
To ,
mentre si puo-orre
C - TURBOLENZA DI PARETE
dove, i n analogia c o l l a formula corrispondente p e r l a turbolenza i s o t r o pica, si dg a l l a lunghezza h il nome d l rnicroscala d e l l a turbolenza: essa i n f a t t i ha un s i g n i f i c a t o perfettamente analog0 a l l a grandezza int r o d o t t a d a Taylor n e l l o studio d e l l a turbolenza lsotropica ed i n d i c a t a appunto c o l l o s t e s s o simbolo h , o s s i a definisce l e dimensioni d e i picc o l i v o r t i c i (*) che producono l a dissipazione d e l l D e n e r g i aturbolenta, ( * ) Si considerino in e f f e t t o due punti P e a l l S a s s e xk e d i s t a n t i Ek t t a loro; eu
Ps p o s t i
su una r e t t a p a r a l l e l a
S i osservi poi che e'
F(P')
e la siano uguali, il che e' lecito. ges e si ammette che l a @(P) neralmente, perch@&, t diminuisce rapidamente c o l l a distanza E k dei punt i P e P', cosi'che lsampiezza de119intervallo per cui d i f f e r i s c e sensi.1 emfunzione s i a d e l l a coordinata b i l a e n t e da zero eP nolto piccolo. Ora xk d i P. s i a d e l l a distanza Ek d i P e P 9 , d i guisa che si ha
&,
i n cui il primo termine indica l a derivata calcoleta per Ek costante (ossia per PP' = c o s t . ) , e il second0 l a derivata per xk costante, ossia per P fisso. Ha Ta r a p i d i t a V d i variazione d i gigi con Ek emmolto piu9 grande d i puella r i s p e t t o a x h , d i guisa che si puoDporre
Derivando r i s p e t t o a l l a coordinata prossimazione d e l l a ( * )
e passando a1 limite per
Pv
-P
xk
di
P, st
ha ancora, c o l l a s t e s s a ap-
Per contrapposto l a L si chiama anche macroscala d e l l a turbolenza, in quanto essa viene ad assumere il significato d i dirnensione dei g r d i vortici, a cui essenzialmente si deve l a correlazione tra l e u" e v P , S i puoPpertanto scrivere dU
Tt
-= dy
cost, Et -p A2
mentre e"
dU
eliminando l a - si ha cosis
L E8/2 t .A2
=
T! cost. -
p2
,
Ma @ pure
u
=
--Y2
( 2 )
-
(vf2)fh%X9y=
cost. Et = -
P
s e si ammette come ipotesi plausibile che, almeno n e l l a regione d i val i d i t a ' d e l l a [7'] il coefficiente d i correlazione
siderare costante e t a cosi'
e
(?)"
(p)"proponionali
Si
a
fit,
Ne r i s u l -
e per l a [18]
[211
7.
si possa con-
8
ha pertanto
-
s e si scrive ui2 =
Et ,
e si
assume
C - TURBOLENZA DI PARETE da cui anche
L
[21'1
=
cost y
Ne risultano cosiOi seguenti c a r a t t e r i del moto turbolento ora in esame: l a dimensione dei piccoli v o r t i c i cresce c o l l a radice quadrata d e l l a distanza daPPa parete, mentre l a macroscala e" proporzionale a detta d i stanza; l a macroscala d poi indipendente dal numero d i Reynolds, mentre l a m i c r o s c a l a d i m i n u i s c e c o l c r e s c e r e d e l numerQ d i Reynolds
t o diventa sempre piu' fine coll' aumentare d i Re,
4
-
.
Determinazione del mot0 medio n e l l a parte canal e .
centrale del
La legge determinata a1 no 2 per l a velocita9media vale solo n e l l a regione per cui si puo'ammettere costante l a tensione tangenziale
T ,
che a distanza sufficiente dal sottostrato laminare coincide sostanzialmente c o l l a T~ : poiche', come gia' @ s t a t o detto a1 no 3 , si puo' i n ques t a regione supporre statisticamente simile il campo d i mob turbolento, e' pure il coefficiente d i correlazione gkp, costante, di guisa che g l i s c a r t i quadratici medi d e l l e oscillazioni d e l l e componenti d e l l a velocita' risultano anch'essi costanti in d e t t a regione. Ora l a costanza del coefficiente d i correlazione e9verificata per un dominio alquanto piu9 = c o s t * , d i guisa che si pud speesteso d i quello per cui vale l a rare d i arrivare a una determinazione piu' approssimata d e l l a legge d i variazione d i fit se si conserva l a condizione
3xxpy = cost. e si f a variare l a 'ct
e ponendo
-
dux
second0 l a legge d e f i n i t a d a l l a [ 4 0 ] Si ~ ottiene
r/v3
=
aEt , in cui a varia i n e f f e t t o con y , ma ab-
4-MOT0 MEDIO NELLA PARTE CENTRALE DEL CANALE bastanza lentamente perche0 n e l l 9 n t e e r a l l o d e i valor1 d i y corrispondente a l l a [23] si possa considerare senza grave e r r o r e a ~ostani'e~ Si deduce a l l o r a [241 Si deve s u b i t o osservare che l a [24] non vale n e l l a regione c e n t r a l e d e l
condotto, dove l a c o s t a n z a d i gZ,,, ~ i e n m e n o , e p o i c h e ' e ~ ( ~ '~0 ~, ) ~ 1- =1 D appare che e sono different i d a zero anohe s u l l ' a s s e del
fi- f i
canal e Per una determinazione piu'completa del mot0 medio c i si p u o 9 a l e r e d e l l a [16] assumendo per E n e l l a regione c e n t r a l e 19espressione E = cost
(:r
0
che c o s t i t u i s c e l a piu'ovvia estensione d e l l a [I?'] n e l l a regione o r a i n esame: l a correlazione t r a l e componenti u e v f e' infatti dovuta, come gia' si e' d e t t o , a i v o r t i c i d i pius grande dimensione, e t a l e dimensione e', n e l l a regione c e n t r a l e , appunto d e l l ' o r d i n e d i grandezza d i D . Rimandando per una u l t e r i o r e g i u s t i f icazione d e l l a [25] a1 numero seguente, si osserva qui che c o l l vassunzione [25] si ricava, indicando con h una opportuna costante,
da cui
C - TURBOLENZA DI PARETE Y -
con H costante. Poiche'per U I
1 = +
Ih
D
1 e@U =
H , da cui
H
Ui. si ricava
=
4
1 --
2h
*
che concorda bene coi r i s u l t a t i sperimentali
5
-
G i u s t i f i c a z i o n e d e l l a e s p r e s s i o n e assunth per i l c o e f f i c i e n t e d i trasporto.
In corrispondenza d e l l a parte centrale del condotto, nella equazione d e l l a energia turbolenta (8, I) predominano, come gia9 si e9 detto, il termine diffusiv:
(turbolento) e quello dissipat ivo, d i guisa che 1"quazione s t e s s a puo' in detta parte scriversi n e l l a forma
Ora si puo9porre
in quanto i n vicinanza dell-sse
del condotto l e
no molto f r a loro, ed indicando con t e centrale. Si ha percioO
i n cui e9 1281
-
(ui2) non differisco-
( E ~ ) , il valore d i Et
nella par-
5-ESPRESSIONE DEL COEFFICIENTE DI TRASPORTO Tenendo presente poi la (11,I) si ha
1 +
4n: 2k 2t
lh-
d.r [ u i ( P ' ) u; ( P ' ) u; ( P ) ]
r
a
Per il calcolo del primo integrale si osserva d i nuovo, come g i a b l no 3 , che l a funzione generale d i correlazione = u : ( P f ) u:(P) convariazione siderata funzione d i P e d i ( P 9 - P ) ha una rapidita-i con ( P '- P ) molto maggiore d i quella corrispondente a l l a variazione d i P , e poiche' essa diminuisce molto rapidamente col c m e r e di IPS-PI, si puc9 senza grave errore porre
a 2x1
[.:(Pf>
i n cui e' El = x,
ui(P)]
-xi .
=
= - u;2
qp 2
(p) -
at,
Si pu@ cosiv scrivere
- cost- Et
.d Y/D
111%
r* 5
Per il calcolo del second0 integrale procedendo i n modo analog0 si ricava
a
,. ,-
C
- TURBOLENZA
DI PARETE
e pertanto si ha, i n analogia c o l l a [28],
Poiche' e' ancora
(z).]y/D -
[" " si deduce
=
(Et )C = -
=
cost
(Et )c
p2
(E~ cost. P D
da cui
A,
[291
D1/2
=
,?/2
cost,
che s o s t i t u i s c e l a [22]., Poiche"ullD asse del condotto l a turbolenza si puo' considerare come isotropa, si puo' accettare come relazione che lega l a macroscala LC a l l a microscala hc l a medesima relazione che vale appunto per l a turbolenza isotropa (ad elevato numero d i Reynolds
( E2':) ~ L ) v
LC = cost.
[29'1
e d i conseguenza si ha LC
(Et)Cy2 v
cost. D , e pertanto esprimendo l a
E
col-
l a [17"] si ritrova l a [25] (potendosi ritenere, come gia-ccennato
a1
n0(3, 11,
=
.
=
cost- (~~):/2)
,
Non @ privo d i interesse osservare che l a deduzione della [25] dall a [29] puo' essere f a t t a anche senza fare ricorso a l l a [29" procedendo come qui indicate. 11 fenomeno turbolento e' senza dubbio un fenomeno diffwivo: l e mas-
s e fluide i n agitazione trasportano nel loro movimento le varie grandezze f i s i c h e (massa, quant ita" di
moto, temperatura) che
l e caratterizzano,
ed e" nel contatto che esse vengono a prendere col fluido c i r c o s t a n t e ,
5-ESPRESSIONE DEL COEFFICIENTE DI TRASPORTO o s s i a diffondendosi i n esso, che l e proprietff fisiche diverse, che esse hanno, gradualmente si adattano a l l e condizioni dell-biente hcui vengono a trovarsi. Questo adattamento porta necessariamente ad uno scambio d i d e t t e grandezze fisiche t r a l e p a r t i c e l l e e il fluido esterno ad
esse, e l a oscillazione ( r i s p e t t o a1 valor medio) del valore che ciascuna d e l l e grandezze stesse presenta i n un dato punto delcampo si puo" considerare come l a differenza t r a il valore, che i n media d e t t a grandezza ha per l e varie p a r t f c e l l e che passano per il punto i n esame, ed il valore corrispondente a l l a p a r t i c e l l a che passa per esso nell-stan-
t e generico, S i prende qui i n esame un modello d i moto turbolento
che si puo"
cosy schematizzare' il movimento r i s u l t a d a l l a sovrapposizione d i una corrente d i velocita-
d i r e t t a secondo x
e funzione d e l l a sola
con un moto d i agitazione turbolenta d i componenti u Y e
y
vj.
Considerando il moto dal punto d i v i s t a Lagrangiano, leequazione del moto d i una generica p a r t i c e l l a puoQssere s c r i t t a n e l l a forma
in cui Fs
d l a componente secondo x
del risultante d e l l e pressioni
che si esercitano s u l l a p a r t i c e l l a in esame,
k
un coefficiente
(che
ha l a dimensione f i s i c a d e l l 9inverso dr un tenpo) proporzionale a l l a resistenza che si oppone a l moto d e l l a p a r t i c e l l a
i n conseguenza d e l l a
dlfferenza t r a l a sua velocita" e quella media del fluido circostante nel punto attualmente da essa occupato E" opportuno subito riconoscere quale e" il significato fisico d i k :
s e si considera l a [30] resa omogenea si deduce che k
e" lQnverso del
tempo necessario per ridurre l a velocita! della p a r t i c e l l a da uno a l/e; appare percio" che k
eD? egato a1 tempo di esistenzu d e l l a p a r t i c e l l a
s t e s s a come individuo che si differenzia dal fluido circostante: ma dall a ( 8 , I ) r i s u l t a che l a velocitaDdi dissipazione d e l l - n e r g i a oscillazioni turboiente
(2)
e"
delle
proporzionale a Et - v , e pertanto eD
A*
-
C TURROLENZA DI PARETE A' legittimo assumere t a l e tempo proporzionale a - , o s s i a v k = cost
v
A2
L' integrale d e l l a [30] si puobcrivere nella forma
S i pu@ ammettere che l a ii vari lineannente c o l l a y per lointervallo dei valori d e l l a y che sono i n t e r e s s a t i dal fenomeno
di
diffusione
d e l l a p a r t i c e l l a i n esame, e quindi si puovporre con Dma l t r a parte l a coordinata
b =
dii
-
dy
,
y a l l 9istante t --T si puom detenninare
colla [331
s e yo e' il valore d i y corrispondente a T = 0 . S i ricava cosim il valore d i 2 per l a coordinata y a l l a quale l a p a r t i c e l l a mobile si trova a l l 9i s t a n t e t [341
-T
ii(t -T) = c t byo- b
che s o s t i t u i t a n e l l a [31] da9
5 - ESPRESSIONE DEL COEFFICIENTE DI TRASPORTO I1 p r i m termine a second0 membro non eP altm che il valore medio d i u
a l l a coordinata a cui 1-lemento
in esame si trova a l l 0istante t , ed ep
pertanto indipendente dal particolare elemento considerato. Si pue percio' scrivere
d~
u f = U-ii = - b
d~
I1 trasporto di quantita9di moto r i s u l t a cosi9dato in media dalla
dove il valor medio ha il significato d i media dei valori d i u ' u 9 per t u t t e l e particelle che in un medesimo istante t attraversano il piano y = cost. : pero", se, come supposto, il moto medio e' s t a z i o n a r i o ,
ir9 ( t ) v f( t - 9 ) non differisce sensibilmente da quello calcolato rispett o a t , e tenendo T costante, considerando il moto sempre di una medesima part ice1 la, ed e' pertanto da assumersi uguale a l l a correlazione ipotesi Lggrangiana per il moto della particella in esame. Si fa, ora lD che l a correlazione t r a l a Fx e l a v P s i a nulla, e che l a correlaz F n e Lagrangiana f r a v ( t ) e v P( t - T) s i a funzione so lo della differenza. degli i s t a n t i t e t - T in corrispondenza dei q u a l i si considerano . l e v f . Si scrive percio9
- p
1 Et(
a J
e - l T 8 ( k r ) d ( k r ) =-coat. p
dU
A2
- Et ; dy
*o
tenendo presente l a [309] e assumendo v f 2 proporzlonale a' Eta Ponen-
do per
h2 l a espressione
[29] si ottiene l a [25].
C
6
-
- TURBOLENZA DI
PARETE
Raccordo d e l l e l e g g i d i variazione d e l l a uelocita' media n e l l e varie parti del condotto.
Per prolungare l a legge d i variazione della velocita9 media data dalla [TIvalida nella regione vicina a1 sottostrato laminare, ma abbastanza lontana da questo perch@ l a turbolenza in essa s i a completamente sviluppata, attraverso a1 sottostrato fino a l l a parete, e9 necessario ricavare innanzi t u t t o l9espressione della tensione t u r b o l e n t a nell e immediate vicinanze della parete stessa. A t a l e scopo si osserva che in detta parte del campo l e equazioni del mot0 si riducono a l l e
D'altra parte vicino a l l a parete s i puo' porre i n ogni istante
Si ricava d i conseguenza
Ma e' per l a prima delle [38]
Analogamente
asu9
1
apP ax
-= - - , ay2
pv
-
e percio9
6-RACCORDO L E W DI VARIAZIONE DELLA VELWITA"
C, I I
La terza delle [40] daP l a relazione cercata, da cui appare che il coef ficiente di trasporto E a l l a parete cresce col cubo della distanza da questa: l ~ s p r e s s i o n edella E data dalla [I?" deve pertanto essere variata, e se si scrive l a E nella forma E =
dove y*
2v
=
cost. v c p ( y * )
, deve essere
l i m cp(y*) = y*
lim
;
3'-0
Y
cp(y *> = Y * ~
cost.
Queste condizioni non sono owiamente sufficienti .a d e t e r m i n a r e l a ( ~ ( y * :) si puo9ancora ammettere, in acmrdo coi r i s u l t a t i sperimentali,
che c i s i a utassinu, raccordo t r a l a cp(y*) e l a sua espressione asintot i c a per y* + co, e che pertanto per
= O
n > l
.
Una funzione cp che soddisfa a t u t t e l e dette condizioni e bene interpreta i r i s u l t a t i sperimentali si ha assumendo L =
in cui y:
@
c.)
Y* v y * (1 - 2 t g h Y* Y,
una opportuna costante. Si ricava cosi8
dy*
Y; Y* l t k y * Y1 - - t g* h - ) Y:
Per y*
(formula d i Reichardt)
s*
+ cost*=
molto grande l a [43] daD U*
I t b y * ( l - Y*
o
=
cost. t
dy*
1
- log y*, k
che
@
Y;
l a legge
C
- TURBOLENZA
DI PARETE
data d a l l a [ll], mentre per y* molto piccolo si ha U* = y*, che corrisponde a l l a legge valida per il sottostrato laminare. E i n t e r e ~ s a n osservare t~ che il valore d i y; che rende l a [43] piu'concorde coi r i s u l t a t i sperimentali e v y f = 11, e che l a [41] da" per yyf
=
11
€ 2
v , d i guisa che l a costante yf viene ad assumere
un signif icato f i s i c o importante, in quanto essa da' una misura del vai l ~ r de i y* corrispondente a1 confine del s o t t o s t r a t o laminare. Appare i n o l t r e d a l l a [43] che per y* 2 60 il coefficiente correttivo c o r r i spondente a l l a cp(y*)
non ha piuDnessuna influenza s u l l a legge d i va-
riazione d e l l a u*, che r i s u l t a percid data, per
y* 2 60 , d a l l a [ll]
a
Per quanto si r i f e r i s c e a1 raccordo t r a l a legge data d a l l a [26'] e quella corrispondente a l l a [9], essendo l a f( y / ~ ) data d a l l a seconY da delle [ll], si osserva che i n corrispondenza del valore no d i n = D per cui si ha il raccordo devono essere v e r i f i c a t e l e condizioni
Si ricava
% = 0.285
h
=
0,0816
per
k
= 0,4
I d a osservarsi che per i vaiori d i q0 e d i h ora
,
indicati
i
coefficienti d i trasporto calcolati c o l l a [25] e c o l l a [f7'] risultano rispettivamente
e pertanto per r\ = qo en
o s s i a i due coefficienti d i trasporto differiscono sensibilmente t r a lorn. Questo r i s u l t a t o peros non sorprende, perche' i valori delle costanti
C, 11
6-RACCORDO LEGGI D I VARIAZIONE DELLA VELOCITAD
sono s t a t i o t t e n u t i imponendo il raccordo d e l l e due leggi d i variazione d e l l a U n e l l a p a r t e interna e n e l l a p a r t e c e n t r a l e d e l condotto, Se i v a l o r i d e l l e c o s t a n t i si determinano imponendo invece che p e r il val o r e d i q = q O , che separa i campi d i validita" d e l l e C26" e delPa 191, s l a
[(€)elTl =qo
F
[(&)ilTl =qO , ossia
~ D = R Y
si o t t i e n e
ed i n corrispondenza d i r\ = q0 il rapport0 n d e i c o e f f i c i e n t i angol a r i d e l l e r e t t e tangenti a i diagrammi definenti Le l e g g i d i variazione d i U per r\ 5 q0 r i s u l t a
abbastanza prossimo a l 1 9 u n i t d , d i guisa che d e i due metodi i n d i c a t i per ottenere il raccordo d e l l e due leggi d i variazione d i U , il second0 appare p r e f e r i b i l e . In ogni caso appare poi che l a 126'1 definisce l a variaeione d i U p e r l a maggior parte del canale: poicheP l a 126" l a " per r~ = 0
mentre l a legge parabolica d i variazione d e l l a velocita" media e 8 p u r e quella che si o t t i e n e nel caso d e l deflusso laminare, si ha 1-mportant e r i s u l t a t o : la legge di variazione del la velocitakdia nel m t o turbolento coincide m l t o approssimativaraente, per la maggior
parte
de1
condot to, con que 1 la ricavabi le ne l caso del m t o laminare, quando pemp si a s s m a la velocitaklla parete non nu1 la, ma data dalla
Si ri-
conoscerd piuvavanti come questa proprietas valga non s o l t a n t o per il problema o r e considerato, ma per t u t t i i c a s i semplici d i moto turbolento che qui saranno considerati,
C
7
-
- TURBOLENZA DI
PARETE
Influenza della rugosita: I r i s u l t a t i ottenuti nei numeri precedenti valgono s e l a superficie
della parete lambita dalla corrente fluida e" perfettamnte l a parete d rugosa, presenta cioe" delle asperita",l
liscia,
Se
problema della de-
terminazione della influenza di queste eP molto complesso. Tuttavia nel caso piu9emplice in cui l a rugositaO@ wz forme, e quindi t a l e da potere essere caratterizzata dalla sola lunghezza % , che misura ad es. l a altezza media delle asperitaQslo stesso procedimento seguito a l n02 puo" essere applicato per determinare l a legge d i variazione della velocita"
aesT
suf media e del coefficiente d i a t t r i t o per numeri d i Reynolds ficientemente elevati. Nelle condizioni ora dette, i n f a t t i , nelle vicinanze della parete si ha sempre una regione a tensione tangenziale costante, in cui le gran-
dezze fisiche determinanti il fenomeno si riducono alla tensione tangene ziale stessa ' E ~, a l l a viscositaQinematica v , a l l a densita" pertanto l a velocita' media puo" essere espressa colla p,
D'altra parte nella r e g i u ~ ~piuqontana e dalla parete, in cui l a turbolenza B completamente sviluppata e l e tension1 d i Reynolds prevalgono d i gran lunga su quelle viscose, si puo" anche esprimere l a U colla
Si ricava percio'ancora, che se l a regione d i costante tensione tangenziale si estende nel dominio per cui eQvalida l a 19" d i guisa che l e ],
[46] e [9']
debbono coesistere, entro essa si deve avere
in cui k e' l a stessa costante indicata nella Ell], mentre l a
A"
e"
7 - INFLUENZA DELLA RUGOSITA" una funzione del numero d i Reynolds c o r r i s p o n d e n t e a l l a rugositas
Ora, se il numero d i Retejllolds Re,T dato X *
e" abbastanza grande,
. o s e lf*d abbastanza grande per un dato
per
un
l a distribu-
zione d e l l a velocita" dipende i h misura minima dalla viscositaD, e dipende invece essenzialmente da
($Iy2
, %. y ; l a [471 deve
pertanto
ri-
dursi a l l a
i n cui anche A d l a stessa costante che appare n e l l a ['TO] : tenendo p e sente il r i s u l t a t o ottenuto a1 no 6 , si deduce che per l a validita" dell a [47"
l necessario che s i a
> 60 Si puo-ercare d i determinare 19nfluenza d e l l a rug~sita"s u l l a legge d i variazione d i U i n vicinanza d e l l a parete, quando * < 60, osservando che in queste condizioni il coefficiente d i trasporto dovras ancora presentare il f a t t o r e d i correzione indicato nella [41", ma d-1t r a parte dovra' presentare anche un a l t r o f a t t o r e che esprime 1-ffetto d e l l a p i u v i o l e n t a agitazione turbolenta prodotta d a l l e asperita" stesse. N e l l 9 p o t e s i che questo second0 f a t t o r e abbia l a medesima forma del p r i mo, e poichl 1-ffetto complessivo per % * = 60 deve annullarsi, si dovrau assumere
H*
Ne r i s u l t a per Jt * I 60 .
Colla [47"
o c o l l a [ 4 8 ] , e w s s i b i l e determinare, procedendo i n modo
analog0 a quello indicato per il condotto a p a r e t i l i s c i e , ciente d i resistenza del condotto a rugosita" miforme,
il
e per
coeffiil
caso
C - TURBOLENZA DI PARETE
x* > 60
si ha l a nota legge
y:(
=
cost. t
-k1 log TDt
per cui il coefficiente di attrito non dipende dal n w r o di Reynolds, Se
invece
Y se r \ = - : '
D
* < 60 d a l l a
q1 =
Y, 7 . Si
[48] si
PUO'
ricava
pertanto scrivere
se F rappresenta l ' i n t e g r a l e a second0 membro d e l l a [50]: il coefficiente d i a t t r i t o appare percid dipendere ancora dal numero d i Reynolds. Le formule [491 e 1503 possono essere applicate anche s e l a rugosit&non e' uniforme, purchB s i a c o s t i t u i t a sempre da asperita' a spigoli vivi, d i s t r i b u i t e con una c e r t a regolaritau s u l l a superficie. La legge d i resistenza cambia invece notevolmente s e l a rugosita' e' formata da ondulosita: corrugamenti presentati d a l l a superficie delle p a r e t i , ed i n t a l caso dipende d a l l a f o r m d i t a l i corrugamenti.
CASI SEMPLICI DI MOT0 TURBOLENTO: STRA!Nl LIMITE A CONTATIY) DI UNA PAFEJX PIANA SENZA GRADIENTE D I PFESSIONE. Equazioni del moto nello s t r a t o limfte. La legge di parete per l a velocita'media e l a legge di resistenza. Legge di variazione d e l l a veloci t$ media n e l l a parte esterna dello strat o limita. Raccordo d e l l e leggi d i variazione d e l l a velocita'nella regione esterna e n e l l a regione interna dello strat o limita. Trasmissione termica nel mot0 turbolenta. Coefffciente df trasporto turbolento del calore. Detednazlone del campo medio d i temperatura. Flusso turbolento a contatto di una parete piana i n corrente di fluido compressfbile.
1
-
Equazioni del moto n e l l o s t r a t o l i m i t e , I r i s u l t a t i o t t e n u t i nel caso semplice d i moto turbolento conside-
rato nel C ~ QI1 possono essere u t i l i z z a t i , cosi"ome
i metodi
seguiti
per ottenere d e t t i r i s u l t a t i possono essere applicati per l o studio d l problem1 p i u ~ o m p l e s s i : sisconsidera ora il deflusso turbolento a cont a t t o d i una lamina piana semiinfinita investita da una corrente che a distanza i n f f n i t a d a l l a p i a s t r a s t e s s a es suppostst uniforme e p a r a l l e l a a questa Anche i n questo caso il moto medio e" .In moto piano
si indi
cheranno ancora g l i a s s i nel piano del moto con x
(nella direzrone e nel senso della corrente indisturbata che si rappreoenta con Urn)e Con 4
y
(normale a l l a parete e orientato verso l a corrente)
Se
OA e"la t m e
c i a nel piano del moto d e l l a lamina, l w r i g i n e delle coordinate e' assun t a nel punto 0
(chiamato anche bordo dr attacco d e l l a lamina), t
Sia l a U , s i a l a V sono ora funzioni s i a d e l l a x
s i a della
y , e pertanto il problema eP alquanto piukomplesso d i quello studiato
nel Cap, 11: esso per@ pu@ essere notevolmente semplif icato s e si tiene
C - TURBOLENZA DI PARETE
conto del f a t t o , che si puo9accettare come r i s u l t a t o sperimentale, che l a regione in cui l a presenza della lamha perturba sensibilmente l a corrente uniforme ha una dimensione secondo y molto piccola, in generale, r i s p e t t o a l l a dimensione secondo x , e si t i e n e conto d i conseguenza de1190rdine d i grandezza dei vari termini contenuti n e l l e equazioni del moto. Y4 +---
confine esterno
strato limite
, '
/)
/
/
/'
6(r)
parete
-OD
F i g . (1,111) - F l u s s o . n e l 1 0 s t r a t o l i m i t e d i una p a r e t e piana.
Dall' equaziwe d i continuita' del moto medio [ll si ricava
s e 1 e' una dimensione longitudinale c a r a t t e r i s t i c a del campo (ad es. per una p i a s t r a d i lunghezza f i n i t a , l a lunghezza d i questa), e 6 l o spessore dello s t r a t o i n cui si manifestalaperturbazione prodotta dal-
( oscillazioni
3
l a parete.rigida, e che e' chiamato s t r a t o l i m i t e , si ha V s 0 .!I Assumendo poi che g l i s c a r t i quadratici medi d e l l e
-
.
della
velocita9? ed il valor medio del prodotto u l v f siano de1190rdine d i a 2 g ( i n cui a e9un numero certamente winore d i uno), i vari termini
1-EQUAZIONI DEL MOT0 NELLO STRATO LIMITE d e l l a seconda equazione del mot0 medio hanno l'ordine di grandezza s c r i t t o sotto a ciascuno dei termini s t e s s i :
L9ordine d i grandezza piu9elevato appare essere quello d i
(a2Ir',6-l), e
'3
(
pertanto trascurando rispetto a questo i tennini del190rdined i c1-I urn1 , l a seconda o d i (P1-lG1) (se Re e9 il numero d i Reynolds --) v equazione del moto si riduce a l l a
che puo9subito essere integrata, e da9ancora [come l a (2, II)]
La Po
e' generalmente una funzione d i x : nel problema particolare, -
poiche per y = m s i a 3, s i a s u l t a costante.
2 0
non dipendono da x , l a Po
ri-
La prima equazione del moto e' poi, tenendo conto del r i s u l t a t o ora indicato,
a u-au + v -au +-(F-*)+-utv ax ay ax
( - 1 )
( - 1 )
a - = v -a2u t v -2 2 ~ a~ ax2 ay2
( a l l ) (a2,!@r1)
-I
( l l
!
)
- E6-21
)(u:1
e pertanto se si considerano soltanto i termini d i ordine d i grandezza piu' e l evato si ha
C - TURBOLENZA DI PARETE 2
-
La legge di parete per l a velocitst media e l a legge di resisteoza. Se si indica a1 s o i i t o con
'r l a tensione tangenziale t o t a l e
appare d a l l a [2] che e"
e quindi l a variazione d i
T
in una sezione generfca trasversale dello
s t r a t o limite in vicinanza d e l l a parete si pu@ rappresentare c o l l a
s e To e' l a tensione a l l a Parete. Ne r i s u l t a , come nel problema considerato nel Cap. 11, 1"sistenza
d i una regione vicina alla superficie so-
l i d a lambita, ossia per y / 6 << l , in cui si pucf considerare T =cost , e per l a quale, quindi, come gia" indicato i n (1,II), vale per l a U l a
D k l t r a parte. a sufficiente distanza dal s o t t o s t r a t o laminare, considerazioni identiche a quelle indicate in (1,II) portano a scrivere l a fun-
zione d i correlazione u r v Y n e l l a forma
Dalla [2] si deduce a l l o r a che, potendosi trascurare nella regione o r a
i n esame l a tensione viscosa r i s p e t t o a quella d i Reynolds, vale per il difetto d i velocita"
- Urn una formula analoga aPla (9, II), e preci-
2-LECGE D I PARETE PER LA VELOCITAMEDIA samente l a
nei l i m i t i d i approssimazione che saranno piuDavanti p r e c i s a t i , In modo del t u t t o analog0 a quello seguito in ( 2 , I I ) si deduce a l l o r a che s e il numero J i Reynolds
=
- p)" :
e' abbastanza grande perch@v; s i a
t u t t a una parte i n cui l e [4] e [5] valgono contemporaneamente, l a F e l a f in d e t t a parte hanno espressioni identiche a quelle indicate i n ( 2 , I I ) , e pertanto si ha
i n cui l e costanti k e A hanno i medesimi valori indicati in (2, I I ) , mentre per il d i f e t t o d i velocita9 si ha anco'ra
--
=
(2JY2
e l a velocitaO U,
d
)
- log - + A ' l[ k
I
legata a110 spessore 6 dello s t r a t o d a l l a
Lo spessore 6 dello s t r a t o d generalmente definito i n modo convenzio-
nale come il valore d i y per il quale l a velocitg U determinata percentuale d e l l a U, , e precisamente
[su1
(u),
0.995 U,
raggiunge una
:
S
s e pertanto si assume l oespressione [5P]valida ,per t u t t o l o strato, e quindi per soddisfare a l l a [v] si assume A P 2 0 si r i c ~ v ad a l l a [6]
C
- TURBOLENZA
DI PARETE
per l o spessore 6 l a espreSsione
Per il teorema d e l l a quantittf d i m t o applicato a l l a massa fluida compress t r a due sezioni trasversal i dello s t r a t o corrfspondenti alle ascis-
se x e x t dx si o t t i e n e
in cui [gl
prende il nome d i spessore dinarnica dello s t r a t o limite Se si ammette d i poter esprimere
U-Urn n e l l a regione i n cui
il
moto e'completamente turbolento colla
u- ua,
);( f
;
(22) i n cui f
@
una opportuna funzione (che coincide con quella data d a l l a
solo nella parte - i n t e r m dello s t r a t o ) , e si assume tale espressione valida i n t u t t o il campo, si ottiene d a l l a [B] [5"
(i)
s(l+k y f ) k y f d -
= -
dt[i (3(5)+
-
e5L Af
d
2-LEGGE DI PARETE PER LA VELOCITAn MEDIA od anche
essendo
Si deduce
e risolvendo l a [ll] si ha [121
I
--A eY k2(Re9,-~o) = [I, - (211t k I 2 ) y t 2 y 2 ( k I 2 t ~ 1 ~)] y2
in cui Ro emuna costante d i integrazione: l a [12] definisce l a legge d i variazione del coefficiente d i a t t r i t o locale cf = 2ky2 in funzione del numero d i Reynolds locale R e p % , e da-uindi l a legge d i resistenza. Questa, e-ene subito osservare, e'valida solo approssimativamente, percheusi basa su119assunzione che daPla [3" derivi, per l a la
equazione d i Stokes-Navier, l a [5]. Ora, se si esprime l a U c o l l a [5], e si m e t t e
?:(
costante, si ricava dal1"quazione
d i continuita"
d6 df Y indicando con hP l a - , con f P l a .- , e cnn T) l a - , DaP equadx dT\ 6 zione d i Navier, trascurando il termine corrispondente alla tensione viscosa, si ha a l l o r a
che, perche" s i a compatibile c o l l a [3"
J;; = cost.
;
richiede che s i a
6' = cost.
C Ora, poiche c f
=
TURBOLENZA DI PARETE 2To ,
(+y;
l a prima delle [lq] corrisponde a l l a as-
pum
sunzione gia' f a t t a d e l l a costanza d i
quanta a l l a seconda d e l l e
[14'] si riconoscera' piu'avanti che essa e-alida
c o l l a medesima appros-
simazione c o l l a quale vale l a prima; e questo precisa 1' approssimazione del metodo col quale e. s t a t a dedotta l a [12]. La s t e s s a [121 puo"ssere
per valori d i R e , ,
notevolmente semplificata, osservando che
molto grandi l a Ro
t o a R e > , (poiche" R e > , 1 lo7), e poichea
p u o ~ s s e r ettrasurata rispet-
ee"d e l l 9ordine d i lo6, questo richiede che s i a d molto piccolo se R e , , e' molto grande.
$
si possono trascurare pure a second0 membro d e l l a [12] i termini con y entro l a parentesi quadra, d i guisa tile s c r i t t a l a [12] nella forma
e prendendo i logaritmi d i entrambi i termini r i s u l t a
k
) 5 2 . 4 + 2 . 5 4 log ( R e e X c f ) log ( R ~ , , C t~ cost.
che d a q a nota legge logaritmica d i resistenza d e l l a lamina piana. Deve infine essere osservato che l a [4'], che definisce l c d i s t r i buzione d e l l a velocita' nella parte interna dello s t r a t o , puo' essere corr e t t a per tener conto d e l l a presenza del sottostrato laminare, e d e l l a riduzione d e l l a tensione d i Reynolds dovuta a l l a parete stessa, i n mdo del t u t t o analog0 a quello indicato in ( 6 , I I ) , e l a formula corrispondente r i s u l t a ancora l a ( 4 3 , I I ) .
3- VARIAZIONE VELOCITA"ELLA
3
-
PARTE ESTERNA
Legge d i variazione d e l l a velocitaumedia nella parte esterna d e l l o s t r a t o .
La legge d i variazione della velocitas d e f i n i t a d a l l a [5" vale nell a parte interna dello s t r a t o , per l a quale 1"epuazione del moto puo" essere r i d o t t a a l l a
e l a tensione turbolenta puo" essere espressa c o l l a
Nella parte esterna dello s t r a t o identiche considerazioni a quelle svolt e i n ( 5 , I I ) (vedi anche [ll] ) conducono a porre l a T~ n e l l a forma
s e si considerano piccole, come i n e f f e t t o l o sono,
l e variazioni d i
( E ~ )con ~ x , per R e g , sufficientemente grande Poiches 6 non e: a rigore, ben definito, o meglio non @ grandezza Pa cui determinazione sperimentale s i a Ben slcura, e-onveniente trasformare l a [15] osservando che se si definisce spessore d i spostamento dello strato limite l a
da cui
1171 Potendosi considerare
H
costante, per quanto e" s t a t o detto c i r c a a l l a
C - TURBOLENZA DI PARETE
p o s s i b i l i t a v d i rappresentare
uw- u
con una funzione universale. Si
9, Y2
puoOquindi anche scrivere l a [IS] n e l l a forma
Sostituendo questa espressione d i Tt n e l l a [2], e trascurando i n ques t a il tennine corrispondente a l l a tensione viscosa, si ha
Ora, poiche' per l oequazione d i continuita9 si ha
s e y e' l a funzione d i corrente del carnpo di velocita'media, dalla [18] si deduce [201
d a l l a [20] si ha
che s e [2i91
3 - V A R I A Z I O N E VELOCITA" NELLA PARTE ESTERNA
che coincide c o l l ~ q w z i o n edi Blasius che risolve l o stesso problema per il caso laminare. Le condizioni a1 contorno sono ora pen, per
g c = 2
mentre ( g ~ minato in base corrispondente cedente, S i ha
C = w
;
g = O
per
C=O
) ~ ha ;un~ valore a p r i o r i non noto, che deve essere deter-
a l l a condizione che l a distribuzione d i velocitaa media a l l a [22] si raccordi con quella ottenuta nel numen, precosi" d i nuovo il r i s u l t a t o indicato a1 n0(6, II), che la
distribuzione della vblocita'media nel rnoto turboZento,nella p t e esterna dello strato, coincide con quella corrispondente a1 deflusso laminare, per una velocitaklla parete non nu1 la, ed in un piano germente distort0 rispetto al piano fisico
(X, Y )
leg-
( x , ~.)
Si osservi poi che l a [6] puop essere s c r i t t a nella forma
Se Re96
=
T,
e pertanto sottraendo d a l l a [12"] l a [6'] si o t t i e n e Re ' f Rep6 f
costante
-=
ossia
.
[2301
Per l a limitata variabilita9 d i ( c f )'I2 con ReSx, g i & prima segnalata. d a l l a 123'1 appare che si puoVonsiderare 6 proporzionale a x , il che g i u s t i f i c a quanto affermato n e i no 2 (vedi [14" ) ; d a l l a [17] si deduce PO i
[241
6.
=
cost. 6
JE; = cost. x c f 2 0 . 9 7 x c f
da cui appare che, almeno approssimativamente e per grandi Re;, , anche 6* e" proporzionale a x , e quindi, con t a l e grado d i approssimazione per l a seconda delle [21] e"
X
=
cost, cf
-
~2
= h* 0.97 c f
x= 2
C
- TURBOLENZA
DI PARETE
da cui [251
Dalla seconda delle [25] wpare percioo che l a velocitafimedia U si puo" esprimere colla
Poiche", nell'ordine d i approssimazione per cui l a q s i puo" consideraY
re ~mporzionalea - e'
6
$
da considerani e o s t m t e , si ha pure
che conferma 1' assunzione [lo].
4
-
Raccordo d e l l e leggi d i variazione d e l l a v e l o c i t * n e l l a regione esterna e n e l l a regione interna d e l l o s t r a t o l i mite.
Per l a determinazione completa del moto e"ecessar10 raccordare l e due leggi trovate per la regione esterna (data dalla [27]) e per l a regione interna (data dalla [5") , Se v = q, e' il valore d i r\ in corrispondenza del quale detto raccordo avviene, osservando che dalla [27], tenuto conto della [23]. si ha ,
si deve avere per il raccordo
-
5 TRASMISSIONE TERMICA NEL MOT0 TURBOLENT0 mentre per l a uguaglianza dei coefficienti d i trasporio deve essere
ossia
hi1 Puo' essere interessante osservare che una ricerca eseguita da Clauser in modo indipendente itra basata sull' assunzione [is] porta
ad assumere
per h* il valore 0,018 , che corrisponde per l a [15"] a1 valore d i 0,0648 , che non d molto diverso'da quc-110 (0,0725) tmv8to in ( 6 , I I ) per il cam del canale. h
=
.5
-
Trasmissione termica nel moto turbolento.
In conseguenza della dissipazione d i energia nello strato limite dovuta a l l a viscosita' il flusso non e' isentropico, e l a temperatura non e'costante; se poi l a parete non e'adiabatica, ossia attraverso ad essa
si ha un flusso d i calore, si ha un9a l t r a causa d i variazione della tem-
peratura, che s i aggiunge a l l a prima, ed il campo di temperatura che ne r i s u l t a e' turbolento se il moto e' turbolento. L'equazione che definisce l a distribuzione istantanea della temperatura nello strato limite E! data dall' equazione dell' energia
in cui c, e-1 calore specific0 a volume costante (dell' unita' d i mass a ) , T l a temperatura assoluta, e dj l a funzione d i dissipazione
nentre
($1
ef il sinbolo della derivata sostanziale, e h
I1 coetfi-
ciente d i conducibilita'termica: si e' supposto nello scrivere l a [32], che l a variazione di temperatura nel campo non s i a cosi' grande da influenzare il valore d i A .
C - TURBOLENZA DI PARETE Per un fluido 1 iquido l a [32] das senz9a l t r o
Per un fluido gassoso l a [32] pud essere trasformata n e l l a
i n cui cp e9 il calore specific0 a pressione costante. dP Per un flusso nello s t r a t o limite l a - e 4 sono dello stesso ordine d i grandezza
(p u;l-')
dt , mentre i termini i n
T sono d e l l 9 r -
se ( T -~ T,) e" l a variaziodine d i grandezza d i [p c ( T -~ T,)u,L-l] P ne d i temperatura nello strato: appare percio9 che il rapport0 degli or-
.
T e q u e l l i p r i m a indicati e"
d i n i d i grandezza d e i termini i n (c~'T;;
")
;
-
Nellvipotesi che s i a n >> 1 , poiche' in un liquid0 cv e ca si possono r i t e n e r e uguali, s i a l a [32"
s i a l a [32'" si possono ridmealla
v c pdTz = A A T
Indicando con
l a temperatura media, e con T P l a sua fluttuazione
(turbolenta), si ricava nel caso d i moto piano, prendendo i valori medi
c F1 A Considerando l g o r d i n e d i grandezza dei vari termini d e l l a [33] si
essendo Pr
il n w v r o di Prandt 1 definito d a l l a
P,
= ik-
ha, per il deflusso nello s t r a t o limite a contatto d i una parete piana,
v-a;?;= vax ay P,
u-aT
+
a2T
- -
ay2
a ay
(v
' Tv)
i n cui l'ultimo termine a second0 membro definisce l"f1uenza
dell-gi-
5 - TRASMISSIONE TERMICA NEL MOT0 TURBOLElVTO tazione turbolenta s u l l a legge d i variazione d e l l a temperatura media, Ma detto termine non eO noto, e pertanto l a legge d i variazione d i T non puo-ssere ottenuta, anche s e il moto medio eg s t a t o determinate, s e p r i ma non si e9ottenuta l a funzione che dag v f T P . Si PUOP cercare d i rica-
-
vare l'equazione cui questa funzione deve soddisfare procedendo i n modo analogo a quanto f a t t o i n ( 2 , I ) per ottenere l e funziogi d i correlazione. Cosi9se si moltiplica per u f l a [32] e si f a quindi l a media si ha
Se si
moltiplica invece per
media si ottiene
S i puo' cosi' scrivere
T P l a prima equazione del moto e si f a l a
C
- TURBOLENZA LJI PARETE
&mando l a [35'] e l a [34] si ottiene
ed i n definitiva
Se d i nuovo si considera lsordine di grandezza dei vari
termini
della
[36] - appare che essa pud essere sempli f icata n e l l a
-au a ? ; a + V f U I- +-
vlTl-
8~
ay
( ~ ' v l ~ l ) ' =
ay
W altra parte, pmcedendo in modo analog0 a quello indicato in (3, I) si ricava che es
C
- TURBOLENZA
DI PARETE
duzione e della dissipazione dell-nergia connessa a l l e oscillazioni turbolente della temperatura. Si moltiplica a t a l e scopo l a [ 3 2 " ' ) - per T P e .si fa quindi l a media: si ottiene
-
.
- u3
aTP'
a
x
-
a l ~ ~+ *a? lifTf - + Z/PTf-a?; = + - v2 3 y ax a~ 1
Ossemando che e9
si puo' anche scrivere
nella quale i primi due termini definiscono l a variazione nell'unita9di tempo dello scarto quadratic0 delle oscillazioni d i temperatura dovuta allvazione di trasporto del moto medio e del moto turbolento (termine convettivo), il t e r m ed il quarto dhnno l a produzione d i dette oscillazioni dovute alla correlazione (velocita-temperatura) per effetto del camp medio d i temperatura; il quinto da' l a diffusione molecolare, ed infine g l i ultimi due termini rappresentano l a dissipaz ione delle oscillazioni quadratiche d i T per ef fetto della conducibi1 its-me giaOper lqenergia cinetica, questi termini dissipativi possono essere indicati V
TP2
--
in cui $ @ una lunghezza che si puo%sprl sumere a def inire l a microscala del la turbolenza termicacoll' unfco termine
At2
C, I I I
6
-
6- CQEFFICIENTE DI TRASPORTO TURBOLENTQ DEL CALORE
61
Coefficiente d i trasporto turbolento d e l calore,
Per quanto l a detenninazione delPa funzione incognita d i eorrellazione v P T P ritenendo vaPide Pe semplificazioni apportate, s i a probabflmente un poco meno complessa d i quella relativa a l l a determinazione delle funzioni d i correlazione della velocitagturbolenta (e Pa minore complessita~erivapmbabilmente dall-ssere l a temperatura uno sealare, mentre l a velocitaDe"un vettore), tuttavia il pmblema rimane ancora d i soluzione estremamente d i f flcile, e puo" essere conveniente tentare di giungere a una soluzione appmssimata con procedimenti analoghi a quelli seguiti per lo studio del campo della velocita' media. Si chiama, per analogia col coefficiente d i trasporto della quant i t a Dd i moto, coefficiente di trasporto turbolento del calore l a grandezza et definita, nel pmblema d i trasmissione ora in esame, dalla
in cui qt e" l a quantita' di calore trasportata nells unit& d i tempo attraverso allhnitaf d i superficie, normale a l l uasse y , per effetto del mot0 d i agitazione turbolenta. Per una determinazione approssimatadi et si pua' fare ancora ricorso a1 niodel lo di turbo1enza considerato a1 no ( 5 , I I ) e applicare un metodo analogo a quello i v i seguito. Se, ponendosi ancora dal punto d i vista Lagrangiano, si considera l a variazione d i temperatura d i una generica particella, mentre questa si muove per effetto del mot6 d i agitazione turbolenta, si ha
in cui kt ha, come 1"nalogo coefficiente k d i (30,II), la dimensione fisica dell3nverso d i un tempo, e definisce l a variazione di temperatura per conducibi 1 i t a x n conseguenza della differenza tra l a temperatura della particella in esame e quella media del fluido circostante. I1 significato fisico d i kt eDpure analogo a quello fndicato per k : esso e" legato a1 tempo di esistenza della particella stessa, come tndi-
C
- TIJRBOLENZA DI
PARETE
vzduo termico che si differenzia dal fluido cfrcostante
r i s u l t a che l a velocita'dr dissrpattone d i
Ma dalla [39']
T f 2 @ proporzionale
e pertanto e" legittimo assumere t a l e tempo proporzionale a
s i a porre
p,
T"
a -"ZP'
-v
"
%
'
OS-
L2ntegrale d e l l a [41] ha o r a l a foima
Nella s t e s s a ipotesi per l a legge d i variazione d e l l a (5.11) per l a u , si ha
T
indicata in
e si o t t i e n e per il valore d i T a l l a coordinata y a l l a quale l a part i c e l l a mobile si trova a l l s i s t a n t e t - T
essendo sempre yo
il valore d i
y corrispondente a T
va pertanto a,
-ktT
d.c- Bkt
= 0.
Si rica-
(SktT [LTvf
( t - t " ) d t U ]d r =
I1 p r i m t e m i n e a second0 membro e" il valore medio d i
-T a l l a coordi-
nata a cui 1' elemento si trova a l l s i s t a n t e t , ed e" pertanto indipendente dal particolare elemento considerato* Si puos pertanto scrivere
c, 111 6- COEFFICIENTE DI TRASPORTO TURBOLENTO DEL CALORE
63
da cui
dove il .valor medio ha sempre il significato indicato i n (5,II). mendo ancora :
Assu-
Si d ora c o s t r e t t i a fare u n 9 a l t r a assunzione, o l t r e a quelle gia9f a t t e
i n ( 5 , I I ) : per valutare l gintegrale a second0 membro d e l l a [45] e9necee sario conoscere l a forma d e l l a funzione d i c o r r e l a z i o n e l a g r a n g i a n a @ ( k T) . Ora per questa si pone
che s o s t i t u i t a n e l l a [45] da9
-
aT cost. v'TP = - a y Et Colle espressioni d i , k [form. (309,II)], e d i kt sumendo uguali l e costanti i n dette formule, si ha
P, A;
[form. (41p)] , e as-
ti, A2
Pe,r 19analogia dei fenomeni d i diffusione turbolenta del calore e d e l l a quantita' d i moto sembra verosimile ammettere che per P, = 1 debba es= A ; sembra: pertanto p l a u s i b i l e porre sere
d i guisa che si puo' scrivere
C
- TURBOLENZA
DI PARETE
Colla posizione [46] si deduce invece
-
urvg=
au
- cost. -fit ay
--
1 ~ 2 '
2
d i guisa che per il rapport0 dei coefficienti d i trasporto et e E si ha
F i n f i n e ancora da osservare che nelle immediate vicinanze della parete lambita, posto
che permette d i ottenere unvespresslone d i
valida anche attraverso a1 sottostrato laminare termico, analoga a quella indicata in ( 6 , I I ) . Et.,
,
perd l a parete fosse impermeabile a1 calore, . e pertanto qualunque s i a t , sarebbe
Se
-
v f T 9 = O(y4)
mentre ep
-
(u'vP)
O(yS)
per
y
per
y
-+
-
o
.
0
.
(z)o = 0
7-DE TERMINAZIONE DELLA TEMPERATURA MEDIA
7
-
D e t e r m i n a z i o n e d e l campo medio d i t e m p e r a t u r a .
Assumendo E~ dato d a l l a [47"] e prendendo per E l e espression i n e l l e varie p a r t i dello s t r a t o indicate ed applicate nei numeri precedenti, d possibile ottenere per il problema d e l l a determinazione del campo di temperatura media una soluzione procedendo in mod0 analog0 a
quello seguito per il calcolo d e l l a distribuzione d e l l a velocit& media, Si puo' innanzi t u t t o osservare ehe d a l l a [33'] si ha
s e si pone 1501
Dalla [50] r i s u l t a che s e Pr = 1 e9 P; = 1 , ed inversamente, s e si prende P, = 1 - E , i n cui
E
@
un numero abbastanza piccolo perch& ne
siano trascurabili l e potenze con esponente superiore a l 1 9 b i t a ; appare che deve essere E = 0 , ossia P, = 1 , af finche9 Pi' = 1 . In queste condizioni l a (491 si riduce a l l a
e s e si pone
i n cui To @ , l atemperatura a l l a parete si ha pure
c o l l e condizioni a1 contorn? [50pD3
9 = 0
per
y=O.
*
3 = 1
per
y = m .
C - TIJRBOLENZA DI PARETE
'U
Ma l e [50'] e [5oW]sono identiche a l l e relazioni che definiscono
Um
nello strato limite, di guisa che per P; = P, = 1 , appare che i l campo delle temperature 9 e' identico a1 c a y 0 del la velocitahedia
Ora, per l ' a r i a em P, = 0,72, a cui l a [50]
--
u .
UZ
f a oorrispondere
0.83 Per n = 1 , mentre !,"e = 0,90 Per n = 1,25 e p; = 0,95 P; per n = 1.5. Risulta pertanto che in effetto, almeno per 1-ria, d prossimo all'unita', e pertanto l a distribuzione della 4 e la d i s t r i -
P;
=
buzione della
u Urn
non possono differire molto t r a loro. Comunque e" p o s
sibile, anche nel caso generale d i P;
qualsiasi, ottenere dalla
[49]
il campo delle temperature medie: vi sono parecchie ricerche a1 riguar-
do, t r a l e quali puelle d i Reichardt
[lo]
e d i Ferrari [12]: questaul-
tima v d e anche nel caso in cui l a corrente indisturbata e' supersonics e l a parete non e' rsoternuz, ma empiu~omplessa. C i si limita p e r t a n t o qui a dare qualche cenno della ricerca d i Reichardt. Si osserva innanzi tutto che se
I?
ll flusso termico attraverso a l l ' unit& d i superficie dovuto a l l ' ag
tazione turbolenta e a quello molecolare, e qo e' il vklore d i q all a parete, si puo' scrivere
e poicheP per l a [33*] e'
[se ( T ) ~= To = costante] ;
7-DETERMINAZIONE DELLA TEMPERATURA MEDIA d i guisa che rfsulta
q-
[531
40
= o(yS)
che d da porsi a raffronto colla [3]. Si ha poi, essendo
Dalla [55] si deduce
ossia [561
4ln -=-'Cm
4 P,!Tt+T-Tt
4 / ~
A 3T - --
l t ( ~ ~ - l ) ' C ~ / T IJ.
au
a
Poiche' e' a l l a parete
si ha dalla [56]
e tenendo presente l a 1511 e ponendo
U = 'P: urn
Si indica
dove . % d un numero generalmente alquanto minore di uno, come appare
- TURROLENZA DI PARETE considerando l e leggi d i variazione d i q e d i T attraverso d o strato. Poiche' e"
d a l l a [57], tenuto conto d e l l e [58] e [59], si ricava
Colle notazioni
risulta
e il primo integrale a secondo membro della [60] dan 9 dy*
To
Ora,
E
- cresce molto rapidamente col crescere d i - e pertanto l a W 6' funzione integranda ha valori sensibilmente diversi da zero solo nelle Y vicinanze d e l l a parete, dove si puo9porre 2 1 . Invece, per - << 1 To 6 '-
l a funzione integranda nel secondo integrale d e l l a [60],e-irca
nulla,
q To g,l ",er Y < 1 , ma non molto piccolo, 11 # 0 , ma perchd i v i qo T 6 e pertanto il secondo integrale puo' essere s o s t i t u i t o c o l l a T25 l7 espressione X d v . Se pertanto si pone
C,
III
8-PARETE PIANA IN CORRERTE D I F L U I D 0 CQMPRESSIBILE
69
si ha per l a legge d i variazione della temperatura l a
Applicando l a [62] per Y
=
s e a e b sono i valori d i
6 , dove 8
4, e
di
Prandtl molto a l t i si ha semplicemente
1 e cp = 1 , si deduce
=
b
per y = 6 . Per numeri d i
($1 =ae cp
uw
~ o i c h e ~ / dp s t a t o g i d ricavato nei numeri precedenti, per l e dipuoOessere deverse p a r t i dello s t r a t o limite, 1' integrale che da". terminate. Quanto a l l ' integrale corrispondente a bv esso d sempre molt o piccolo, e puo' essere calcolato con metodo d i successive approssimazioni, assumendo come prima approssfmazione per l a distribuzione d e l l e @ quella corrispondente a porre X = 0 in t u t t o l o strato. Si possono cosi" calcolare q e T nei vari punti, e quindi X per ottenere 19approssimazione successiva.
8
- .Flusso
t u r b o l e n t o a c o n t a t t o d i una p a r e t e p i a n a i n c o r rente d i fluido compressibile.
fluido che lambisce l a ' p a r e t e eOcompressibile 1"quazione del moto nello s t r a t o l i m i t e e4 invece d e l l a [21, 1Se il
t rascurando p
au
ay
,
mentre l@equazione d i continuita" ha 1"spressione
C
- TURBOLENZA
DI PARETE
cosi' che l a [64] puo' anche essere s c r i t t a nella forma
Dal confmnto della [64] (o della [64']) colla [2] appare che l a varia-
zione della densita' da' luogo a tens ioni turbo lente aggiuntive, rispetto a quella di Reynolds gia9considerata per il fluido incompressibile, che
-
per il pmblema in esame si riducono a una tensione normale b X =pPuf - Uo e ad una tensione tangenziale AT^^ = - p'v' U. Ora l a - p ' u P U eDgeneralmente piccola rispetto a1 termine corrispondente a1 moto medio, e quindi puo' essere trascurata; l a AT^^ puo' invece essere dello stesso -ordine d i grandezza d i - p u P v 9 ,come qui c i s i accinge a dimostrare. Una espressione per
pPv'
puo' essere dedotta, se s i fa l D ipotesi,
corrispondente a quella f a t t a da Chandrasekhar
[131
nel cam della tur-
bolenza isotropica, che 1' evoluzione che compie il fluido
nel m t o d i agitazione turbolenta s i a una po l i tropica; in queste condizioni, se n e' 19esponente della politropica, ternperatura T e densita' p sono legate in ogni istante dalla
: e pertanto lDoscillazione l j f puo' essere espressa colla
e quindi si ha
Se il coefficiente d i trasporto del calore
vello duce
E
l o si assume uguale a della quantitaDd i m t o (cam corrispondente a Pr= I), si deet
Ora, nellD.ipotesi Pr = 1 , 19equazione del1"nergia
del moto medio am-
C, I I1
8- PARETE PIANA I N CCBRENTE D I FLUID0 COMPRESSIBILE
71
mette un integrale prfmo, che ha 14esp~essione
in cui Tfi disturbata,
l a temperatura a l l a parete, T, quella ddla corrente iny il rapport0 dei calori specifici c$ e c V . e #, il 0 , , se c, d l a velocita" numero d i k c h della corrente indisturbata cm del suono in questa. Da a l t r a parte l a temperatura a l l a parete, se ques t a e" adiabatica, soddisfa a l l a d
di' guisa che l a [66] si puo9scrivere nells forma
Si ha cosi'
da cui [691
Ora nella parte esterna dello strato, per l a quale si puo%om T -T, u 2 U, , essendo = N,' si ha T& 2
au
e poichea (%)
a2u
e" molto piu:piccolo d i ay2
T Z T,;
in detta regione, appare
che in questa l a AT&, puo8essere trascurata, a meno che il numero d i Mach s i a molto elevato.
C - TURROLENZA DI PARETE M a nella regione interna. ponendo
T C Tp ,
che e9.dello stesso ordine d i grandezza d i
si ha
a - -a - (6 u f v f ) = ay
ay
Lp equazione determinatrice delIa legge d i variazione della velocita9nel-
l a parte interna dello strato risulta pertanto
Si pone 1721
in cni
p
P.
e' l a densita' alla parete.
Si ottiene dalla (711
d2k y - 1 td P
n-1
% Y-1 1 t2
Y($y=o
:M
od anche assumendo n-1
La (73'1 si riduce alla [751
I t -
Y- ! . M," 2
C,
II I
8- PARETE PIANA IN CORRENTE D I F L U I D 0 COMPRESSIBILE
e scartando l a soluzione banale
F
= 0 ,
da cui integrando, ed indicando con a l a costante di integrazione,
Tenendo presenti l e [74] s i ha
da cui 1 dY = - X
[7?1
a
+ cost.
Nellpassunzione n >> 1 , ep m < 1 , e poiche"
Y<
1 si potrapporre
da cui [78]
ossia
u
[?91
dy
P
0
-pp
D-ltra
parte derivando rispetto a y
+ cost. E
a''
si ottiene
-pp Si esprime [8ou1
E
colla
'"a,
73
C
- TURBOLENZA DI
PARETE
che e' l a piupovvia estensione della ,(lT,11)Scrivendo l a 1801 nella foma
(se vp eDl a viscositap cinematica a l l a parete), integrando si ottiene
Detexminando l e costanti d i integrazione a e b in mod0 che per M,+O 1%[83] . s s s ~ ~ !Is e $om6 gia" data al no 2: e quindi ponendo
in cui A
Se si
d
l a stessa costante indicata nel no 2 , l a [82] , diventa
scrive invece la [80] nella forma
integrando f r a i limiti
1 e
u/U& rispetto a Y , si ha
per l o stesso valore della costante a prima ottenuto mentre Af eP una nuova costante di int egrazione.
8- PARETE PIANA RV CORRENTE D I F L U I D 0 CQMPRESSIBILE
C , 11 1
75
Per l a determinazione della v e l o c i t a 9 e l l a parte esterna dello strat o s i applica innanzi tutto all'equazione [64" van Mises
(vedi [ll]): s e
,
l a trasformazione d i
e' l a funzione d i corrente definita dalle
in cui 1 e9una lunghezza d i riferimento ( l a lunghezza della piastra), e s i assumono come vsriabili indipendenti l a x
e pertanto, se
-- y
au av
E -,
&
e l a y , si ha'
e9 il coefficiente d i trasporto,
poiche9nella parte esterna dello strato
l a [64'] diventa
[c-o -a ( V)]
a (V ) = - r' a ax u, 1 a ~ *P:
Od anche, se e quindi [85]
II, a ~ urn
E
-
e quindi u J v 9 = non dipende da
D'altra parte e' I871
e pertanto riswlta
se per un momento s i pone
Si ottiene
e l a [86] si pud scrivere nella forma [881
od anche posto
az* p
u a*z*
ax:
u,
= - - - =
P,
aw*2
f(2')
a2z*
. a ~ * 2
In corrispondenza della Parte esterna dell0 strato U poco
differisce
C I
8-PARETE PIANA IN CORR!?ATE DI FLUID0 COMPRESSIBILE
da U , , e quindi p2 da P$ e f (2') [go] nella jorrna nornuale
77
da uno. Se pertanto si scrive l a
si pud dedurre un metodo d i successive appross~~nazioni per l a risoluzinne delle [gov]. La prima appmssimazione e1
c o l l e condizioni a1 contorno [921
Z(f'. (x,oo)
=
0
:
Z'f
'. ( x , o )
=
Zo
i n cui l a & non ep nota a p r i o r i , e d i cui si pud disporre per assicurare il raccordo c o i l a soluzzone interna. Ora, 1' integrale della [91]. che soddisfa a l l e condizioni [92], e'dato d a l l a
D' a l t r a
parte, l a possibilita' d i potere ottenere l a saldatura tra l e soluzioni esterna ed interna con &, costante, o, meglio, nei l i m i t i d i approssimazione corrispondente a l l 9assunzione & costante, puo' essere riconosciuta nel modo seguente. Innanzi t u t t o e' possibile determinare, nelle condizioni o r a dette, l'espressione dello spessore 6 dello s t r a t o , sempre d e f i n i t o convenzionalmente nel modo gia' indicato. In e f f e t t o d a l l a prirr?, d e l l e [84], trascurando p P u f a fronte d i
C - TVRBOLENZA DI PARETE indicando con Zo il v a l o r e d i
corrispondente a 1 confine dello s t r a -
D9 a l t r a p a r t e d a l l a ,851, i n c u i si ponga ancora
si o t t i e n e
se i considera
f -=
62 - = 9 B 2 X , derivando
l2
costante. E poiah, d a l l a
,951
si o t t i e n e
da cui
W a l t r a p a r t e dividend0 l a [94] p e r l a [95] si o t t i e n e
che d e f i n i s c e Z , o s s i a
u , -
Y
i n funzione d i -
6
UOJ log
Y = -
b
log B
+ log
I" :s
*o
Si ha ancora
cp(2) -dZ
si ha
9 - RISOLUZIONE DELLA EQUAZ . [SO"]
e pertanto l a prl~nacondizione d i raccordo d e l l a legge d r f i n i t a dalla [98] con auella corrispondente a l l a [83'] r i s u l t a
=
- log s + los/zm(Z)
dZ
0
mentre l a condlzione d i tangenza si esprime c o l l a
Le [99] e [99'] , Per ogni valore d i
2
, permettono d i
ottenere i valor1 d i T l e d i & per i auali l e due leggi si raccordano, mentre uguagl iando l e due espressioni del coef f i c i e n t e d i trasport o [80] e [ 9 5 ] si o t t i e n e il valore d i h .
9
-
Approssimazioni successive per 1a risoluzione della ;equazione . [ ~ o D ] .
Dalla soluzione i n prima approssimazione d e l l a .[90"] , d a t a neP numero precedente si possono ottenere l e approssimazioni successivn nel modo seguent e. Si indica con z * ( ~ ) l a soluzione d e l l a [90" che corrisponde a l l a appmssimazione ennes itna : essa e9d e f i n i t a d a l l s
Se
ora si pone
anz* =
z*(n'
- z*(n-l)
;
fn-1
--
f
[z* (%-PI
I
*
C - TURBOLENZA DI PARETE Ma s e z * ( ~ @) funzione solo di C , poicheD eq
si deduce
dove
Si ottiene pertanto
A.Z* = Cn/'e-i2&
r': d&
-[e-'2dc[1&-lG
+ Ci
0.
Ricordando che si deve avere A,?* rnentre dalla A,"*
=
0 per
=
= 0 per
C
= 0 , si deduce
Ci
= 0 ;
co, si ha
Poiche' e' poi
ne risulta
che permette di calcolare 1' approssimazione
(n - rlm.
.n%a
s e e-ota
quella
CASI SEMPLICI DI MOT0 TURBOLENTO: m CON GWIENTE DI STRATO LIMITE A CONTATTO DI UNA P PRESSIONE. Equazioni del mot0 nello s t r a t o limite ed espressione del coefficiente d i trasporto n e l l a parte interna dello s t r a t o nel caso in cui il gradiente di pressione non sianulla. Determinazione d e l l a velocita'nella parte interna dello strata. Determinazione del coefficiente d i trasporto n e l l a part e esterna dello s t r a t a . Determinazione della 'velocita'nell a parte esterna dello s t r a t o l i m i t e i n casi p a r t i c o l a r i di legge di variazione della velocita'al confine esterno dello s t r a t a . Raccordo t r a l e soluzioni per l a parteinterna e p e r l a parte esterna dello s t r a t o . 1
-
Equazioni del moto n e l l o s t r a t o l i m i t e ed espressione del ' c o e f f i c i e n t e d i trasporto n e l l a parte interna d e l l 0 s t r a t o , per gradiente d i pressione noo n u l l o .
Lo studio del deflusso turbolento nello s t r a t o l i m i t e r i s u l t a piup complesso s e lung0 10 s t r a t o stesso si ha variazione d i pressione, Nell a ipotesi che l a parete lambita d a l l a corrente fluida abbia in ogni punto raggio d i curvatura abbagtanza grande rispetto a110 spessore 6 dello strato, l e equazioni del moto risultano
i
u-au + v-au ax a~
=-
-- + P dx
a2u
"'---
ay2
a ay
=
1 dF
1
- - -+-~
d
a~
xp a y
trascurando p vP2 a fronte d i 6 . La seconda equazione dice che l a pressione si puo" considerare costante i n una sezione generica dello s t r a -
C - TURBOLENZA DI PARETE to limite (e quindi
5
funzione solo d i x), mentre l a prima delle el] 1 d6 differisce dalla (2,111) per l a presenza del termine - - . Si osserP dx vi che dalla {I] s c r i t t a a1 confine esterno dello strato limite, per cui
- - 1- -d p
due
P dr-Uez-
se con Ue si indica l a velocita' a1 confine stesso. Dvaltra parte dall a [I] s c r i t t a in vicinanza della parete si deduce
da cui
se 6 indica sempre l o spessore dello st r a t o l i m i t e . Se p e r t a n t o 1 d$ A = 6 - - e' abbastanza piccolo, appare dalla [3] 1' esistenza d i un To -
v
intervallo df valori d i - abbastanza esteso, per il quale si puo9con-
6
siderare, come nei Capitoli precedenti, T = costante; ne risulta perciov1' applicabilitaVdella Zegge universa~edella velocita' in vicinanza della parete gia' indicata nei Capitoli I1 e 111: questo caso si present a se l a ~ressione.dirninuiscenel senso del moto, perche' col crescere di
: 1- 4I
6 . cresce pure To , ed il parametro A rimane piccolo. Se in-
vece e9 - > 0 , To(x) e' funzione decrescente d i x , almeno a part i r e &
X
da un certo valore di x , cosig che per un opportuno valore d i
ctP 6 d grande, s i ha To = 0 to minore quanta piu9 dx
d chiam
-6 , . tanche in
I-EQUAZIONI DEL MOT0 NELLO STRATO LIMITE queste condizioni
cresce, e pertanto 1"sistenza
A
($lo=
d i uno s t r a t o entro
cui 7 = cost. non puoppiu%ssere ammesso. Poiche%' sempre nel punto S i n cui zo = 0 eppure
0 . ed il diagramma della
velocit8' nella sezione dello s t r a t o l i m i t e per S ha l a forma indicata in figura (1. I"), mentre a monte d i S , per cui e' mi
(c.f ) U
hanno l a forma t i p i c a indicata
(z)
> 0 i diagrama y lo nella s t e s s a figura.
-
Fig. (1, IV) Diagrammi del_le v e l o c i t a v n e l l o s t r a t o l i m i t e con componente p o s i t i v a di grad. p (second0 x ) con d i s t a c c o d e l l a vena.
A
valle d i S si ha invece
$(1:
0 , e pertanto si deduce l'esisten-
za d i una parte del campo, i n vicinanza d e l l a parete, i n cui l a velocitapmedia ha senso contrario a quello d e l l a velocitav media a1 confine esterno dello s t r a t o . La configurazione del flusso, quditativamente, ha 1 aspetto indicato n e l l a fig. (2, I V ) :
r i s u l t a cosi-he i n S l a corrent e fluida si distacca dalla parete (e S @ percio"hiamat0 p w t o dz separazione, o d i distacco): v
Dalle considernzioni ora f a t t e appare che, per -L abbastanzapiccolo, emnecessario generalizzare l a espressione dellst
u
corrispondentemente occorre generalizzare l a espressione d e l l a tensione'
C - TURBOLENZA DI PARETE -
tangenziale turbolenta 3 = - p u P v Prispetto a quella fino ad ora considerah
Fig. (2, IV)
-
Conf igurazione del f lusso coa distacco d e l l a vena.
Ora l a generalizzazione piusovvia, sempre tenendo conto della dipenden-
za locale del fenomeno d i agitazione turbolenta nella parte int-a lo strato, consiste nell' assumere
ed essendo ora E = k
1 3 = - cf U : 0 2
~7y.
Y
. Per A - << 1 , l a [5] d b semplicemente 6
e pertanto si riottiene l a formula gib usata nei Cwito-
li precedenti; per il caso limite opposto
alla
2
-
del-
fo = 0 , P
l a [5]
si
riduce
Deterainazione d e l l a v e l o c i t a h e l l a parte ~ i n t e r n a dello strato l i m i t e .
Colla assunzione [5] l a determinazione della velocitas media nella parte interna dello strato eP ricondotta a l l a integrazione della
C,
IV
2-DETERMINAZIONE VELOCITA" NELLA PARTE INTERNA
ossia
k-
[8'1
dB* dn
7,-
=
1tAn
avendo posto
da cui
per A > 0 S i determina l a costante d i integrazione i n modo che per tenda a l l a espressione data d a l l a (4,111): ora d per A
e perchd d e t t a espressione si riduca al-la
deve essere
6 c = log
La [lo] r i s u l t a cosi
v?' v m
t A-logA t l o g 4 - 2
.
-
A 0
+
0 ,
U*
C - TURBOLENZA DI PARETE
3
-
Determioazione d e l coef f i c i e n t e d i t r a s p o r t o n e l l a p a r t e esterna dello strato.
Anche per l a parte esterna dello strato e' neeessario generalizzare l a formula che definisce il coefficiente d i trasporto in detta regione, rispetto a quella sino ad ora applicata. Si riprende a t a l e scopo l9equazione (8, I ) s c r i t t a al confine esterno dello strato:
non considerando i termini corrispondenti a l l e tensioni d i Reynolds, che al ,confine esterno sono nulle, e a l l a diffusione vis'cosa, e ponendo
E; = Xi ui20 Si conserva 1' ipotesi che t u t t e l e grandezze che caratterizzano l'agitazione turbolenta nella regione in esame siano funzioni Y solo d i -
per quanto si riferisce a l l a lorn dipendenza dalle coor6 ' dinate: questa ipotesi t?,ora verif icata indubbiamente con minore approssimazione che nei cast prima considerati. 11 termine convettivb e', nelle condizioni ora dette, trascurabile,
in quanto
Per quhto si riferisce a i termini corrispondenti a l l a diffusione turbolenta si puo' scrivere
= -
sh cost. d 6
Qt,, -cost.
d
+(Et)2Tzf[G~i>ip2($)]
r/S=1 =
3-DETERMINAZIONE COEFFICIENTE DI TRASPORTO con ovvio significato. d e i simboli, Si ha poi
1
dz'
4n
r
Analogamente si ricava
da cui
--
1,
(.t)Zh 6
(
zj
1 t mst- - t cost. ( E ~ ) ,
&Ue -
dx? d€~ mst. & icost. due
-6 0
5
,
C - TURBOLENZA DI PARETE
ossia
)g(E )% e,=mt.~e= v
6' d2Ue
d6
I t cost.-
dx
t cost. (~~):h
Ammesso che .i vari termini a denominatore d e l l 9espressione sopra ricavata siano piccoli a fronte d e l l m i t a ? si puoPanche scrivere d6 t cost. dx
d6 +cost.- t cost. dx
1+cost*--
dx da cui
(E [13] e = cost.& e'
4
-
)V2
6 I teost.-
d6 dx
+cost. ( E ~ ) , Y ~
Determinazione d e l l a v e l o c i t a a n e l l a p a r t e e s t e r n a d e l l o s t r a t o l i m i t e ( p e r v e l o c i ta' e s t e r n a c o r r i s p o n d e n t e a1 c a s o d i Falkner e Skan). Esprimendo l e tensioni d i Reynolds colla [13] ed ornettendo i t e r -
mini che contengono v dalla [I] si ricava (vedi [14])
Sia y l a funzione d i corrente, e quindi
4-DETERMINAZIONE VELOCITA"NELLA PARTE ESTERNA Si ricava
in cui U,
e' una velocita' costante d i riferimento: ad es. e0l a corren-
t e indisturbata se Ue e' l a velocita* a contatto della parete investita dalla corrente uniforme Urn non viscosa. Posto
Si considera ora il caso in cui l a legge d i variazione della velocita" esterna evdata dalla
in cui I!
e'
l a s o l i t a lunghezza d i riferimento. Assunto
l a [16] si trasforma nella
che em1' equazione studiata da Falkner e Skan per l a determinazione del deflusso nel regime laminare con una legge di variazione della velocita" esterna data dalla
Le condizioni a1 limite esterno dello s t r a t o sono pure l e stesse,
men-
t r e a l l a parete si deve ora porre solo f ( 0 ) = 0 , mentre l e fne(0) e' arbitraria, e deve essere determinata i n base a l l a condizione d i rac-
C - TURBOLENZA DI PARETE
cordo d e l l a legge corrispondente a l l a f con quella ottenuta a1 n0(2). Si o t t i e n e ancora una volta cosi" il r i s u l t a t o gia3ndicato nei Cap i t o l i precedenti, che la legge d i variazione dclla velocitahneldeflusso turbolento, per la parte esterna del lo strato limite, coincide con quel l a valida per i l f lusso laminare, i n uno spazio deformato rispet to a quello f i s i c o , ! e con una v e l o c i t a k o n nulla a l l a parete.
5
-
Raccordo tra l e soluzioni per f a parte esterna e per . l a parte interna d e l l o s t r a t o l i m i t e . Si osserva che essendo
e definendo a1 s o l i t o 6 come il valore d i y per il quale
u
'df
-- - = a Ue \ d ~ ~ * ) ~ = s
(ad es. a
r i s u l t a d a l l a [20] q = cost. = q 8 per y
=
=
0,995)
6 , da cui per l a seconda
delle [18]
1
Assumendo poi ancora A - cost. $ si ha per l a [13]e per la [21], ue
due coni n cui non sono s t a t i s c r i t t i i coefficienti d i Ue$ e d i 62dx d211, d6 d3C2 tenenti - e 6 perch% come risultera-ra POCO, nellDapprossidx dub
ak
5
.
mazione corrispondente a r i t e n e r e = cost. i coefficienti . s t e s s i sono costanti, e pertanto e s s i sono contenuti n e l l e costanti a second0
5 -RACCORDO SOLUZIONI ESTERNA E INTERNA membro d e l l a [22]. Da questa si ha poi
e per l a seconda d e l l e [15]
L(J) x L2 = cost*.[n; 5 (;)'(m+') d-
da cui
t
r,;2 cost. mddx
L
1
ossia 1c o s t . "?
n;
q
m ($)$(*I)~
6)
Si ha cosi"
x =
1
"" m , G -; -( ~ " " 0 );(~ l
cost. 1-cost.
n!
0'
e nellma~pmssimazione $ X
[27I
L
=
=
cost. r i s u l t a
cost. 1 -cost.
= 2 cost.
n;2 m
( I - m)qi2
5
6
L
7
da cui appare che n e l l a stessa approssimazione e"
L(; =) cost" X
d
L
(dl] -
C - TURBOLENZA DI PARETE
mentre eg
(i) (') =
cost.
2 +-1-m
e pertanto
6
=
cost.
come era s t a t o detto sopra. S i . ricava d a l l a [21]e do& seconda d&e [18]
e pertanto l a distribuzione d e l l s velocitd media n e l l a park esterna dell o s t r a t o r i s u l t a definita d a l l a ~ l e g g e
D'altra parte d a l l a [9] infegrando per ottenere l a legge del d i j e t t o ' d i velocita'nella parte interna dello s t r a t o si o t t i e n e
essendo c P ma nuova costante d i integrazione da determinare ancora in base a l l a condizione che l a €303 si riduca a l l a (5', 111). Si ottiene
E9poi da osservare che per A si deduce loespressione
cost. =
2m
-
-q;*
%
cost.
5 - RACCORDO SOLUZIONI ESTERNA E INTERNA e pertantoieV D costante nell' aDprossimazione $ = cost. La prima condizione d i raccordo t r a l e leggi corrispondenti a l l e [29] (parte esterna) e [31] (parter interna) risulha pertanto
mentre l a condizione di tangenza nel punto d i raccordo T\.= 11,
dau
Per il coeffieiente d i trasporto si ha poi per la parte esterna:
t cost. qz2m
J27
1
-
1- cost. qz2 m
=c0st.lu,',n;J1;~
ltcost.
1177[
"*
-cost2m
P e r . l a parte interna:
e pertanto varia con
($) colla medesima
legge mrrispondente
alla
espressione d i & per l a parte interna. Le [33] e (33" permettono cosi" d i ottenere i valori d i q, e di F*(o) , ossia della velocita' al2a parete (prolungando l a legge esterna fino a q = O ) , mentre $ l e [35] e permettono d i determinare le costanti con[34], uguagliate per q = ?,lo tenute a second0 membro della [34], quando si ponga ancora l a condizione che per m
=
u
0 (e quindi 2 = 1) 1e dette costanti assumaao il !vaurn
C
- TURBOLENZA
DI PARETE
l o r e che e ' s t a t o ricavato per il caso d i gradiente d i pressione nu110 (Cap. 111).
Eancora importante osservare che se si ammette d i estendere l a soluzione esterna fino a l l a parete per il calcolo del coefficiente d i a t t r i t o , e ' p o s s i b i l e ricavare una relazione t r a il coefficiente d i a t t r i t o e l a velocita' a l l a parete. In e f f e t t o dall' appl icazione del teorema d e l l a quantitap d i f a t t a in mod0 analogo a quello indicato in ( 2 , I I ) si ricava
ed essendo d
Se
pertanto si pone
cost.
1 -cost. m ~ ; *
moto
6-SOLUZIONE ESTERNA P I U GENERALE si ottiene
i n cui il second0 membro d funzione soltanto d i F*(o), e che c o s t i t u i sce pertanto l a relazione cercata.
6
-
Determfnazione d e l l a veloci ta-ella s t r a t o l i m i t e per casi piu-enerali v d l o c i t a ~esterna.
Per leggi piu-eneral
parte esterna d e l l o d i variazione d e l l a
i d i variazione d e l l a v e l o c i t a k e l l a corrente
esterna e" opportune applicare, a l l a [14] l a trasformazione d i von Mises i n modo analog0 a quanto f a t t o in (8,111). Dalla [14] r i s u l t a
Applicando d i nuovo l e [15] si ha
ed assunto [391 si ricava
c o l l e condizioni a1 contorno Z = 0 per yI=m
Z
=
Z(X) per
w=o
i n cui l a funzione Z ( X ) + , ~ deve essere determinata .in modo che l a soluzione esterna corrispondente a l l a [40] si raccordi colla soluzione interns giaa trovata. Per l a soluzione dell%quazione [40] si puouosservare che a1 .conf i n e esterno dello s t r a t o e' U = Ue ; d"tra parte l a [40] @ valida Per
C - TURBOLENZA DI PARETE
1a.part.e esterna dello strato, per l a quale U non differisce molto da Ue , almeno per quelle sezioni che non sono molto vicine a quelle in cui dP si verifica il distacco della corrente (per - > 0). Appare q u i n d i che dx l'assunzione 'U = 'Ue a second0 membro della [40] puo' generalmente essere accettata con approssirnazione sufficiente; se ora s i pone [421 l a [40] diventa
az
=
[40'1
ax"
e se si indica con & *.I)(, ossia se e9
-
a2z
ay2'
l a funzione cui s i riduce l a Z per y = 0 ,
essendo Uo il valore d i U per y = 0 corrispondente a l l a soluzione e s t e n a , l a soluzione della [40'] che soddisfa a l l a [41'] e a l l a prima delle [41] esdata dalla
Se l a
~ ( ce9)esprimibile con uno sviluppo in s e r i e della forma
i441
si ottiene dalla [43]
in cui
in rappresenta 1' ennesimo integrale della funzione complernen-
t a r e degli e r m r i , La deteminazione del raccordo t r a l e due soluzioni per l a parte esterna e per quella interna e' ora alquanto p i u gcomplessa, e pu@ essere f a t t a solo con procedimento d i successive approssimazioni.
TENTATIVI P E R UNA TEORIA DELLA TURBOLENZA DI PARETI3 Ricerche di Mattioli, Chou, e Rotta. Modello di turbolenza di Burgers. Ricerca di Malkus. 1
-
Ricerche d i M a t t i o l i , Chou, e Rotta.
Nei casi semplici d i moto turbolento considerati nei capitol1 precedentl d s t a t o possibile ottenere una soluzione soddisfacente dei problemi corrispondenti, ma e v u r e sempre s t a t o necessario introdurre nell a trattazione ipotesi d i lavoro, l a cui g i u s t i f icazione @ basata essenzialmente s u i r i s u l t a t i sperimentali, ed i n ogni caso n e l l e formule risolvent1 sono contenute costanti, il cui valore puo" essere determinate solo col19esperimento. Tentativi per addivenire ad una t e o r i a d d a turbolenza d i parete non contenente. elementi a r b i t r a r i o empirici &no sta-
ti f a t t i , ma per o r a i r i s u l t a t i sono piuttosto scarsi, S i devono innanzi t u t t o ricordare, e non soltanto per ragioni storiche, i lavori d i G.D,Mattioli [15],
che s e non portano ad una teoria
razionale nel senso sopra indicato, furono, nell%poca
in
cui
furono
f a t t i , il piu%erio tentativo per una sistemazione razionale delle ricerche s u l l a turbolenza, Detti lavori rientrano nello schema seguito nelle trattazion'i svolt e nei Capitoli precedenti in quanto fanno uso &el concetto d i 'coefficiente di trasporto", ma se ne differenziano in q u a ~ t ol e equazioni fn-
definite del moto, che sono proposte a base d e l l a t e o r i a
d e l l a turbo-
lenza, non sono l e equazioni di Reynolds: esse sono ottenute scrivendo l e equazioni d e l l a q u a n t i t a q i moto e del momento delle q u a n t i t a d i mot o n e l l 9 p o t e s i che l a massa fluida s i a disgregata in elementi assimil a b i l i a masse vorticose piccole, ma f i n i t e : il tensore degli sforzi int e r n i eQscomposto i n una parte simmetrica e i n una parte emisinvnetrica,
C - TURBOLENZA DI PARETE e per 1' una e per 1' a1t r a parte sono f a t t e ipot esi per scrivere le espressioni delle rispettive componenti. I1 grado d i arbitrarieta' d i queste ipotesi e' certo maggiore d i quello corrispondente alla trattazione svolt a nei Capitoli precedenti, ma molte delle proprieta' dei m o t i turbolenti sono bene spiegate dalle ricerche d i Mattioli, cosi' come in molti casi o t t i m appare l'accordo t r a i r i s u l t a t i ottenuti dalla teoria e quelli sperimentali: Devono poi essere c i t a t e l e seguenti parole del Usttioli, perchd esse esprimno un concetto che molto recentemente e' stato ripreso e forse potra' aprire una nuova via a110 studio di questo d i f f i c i l e problems: "mentre si fu sempre portati a considerare come due problemi distinti quel lo dell 'origine del la turbolenza e 1 'altro dei regimi turboZenti, probabilrnente non e'cosi:
in quanto la conoscenza di
qualche elearento appartenente a1 la soluzione del prinu, e' necessaria per potere trattare il secondo in nwdo teoricarnente puro". I lavori d i C b u e di Rotta sono piu'vicini, per quanto s i r i f e r i -
sce a1 metodo impiegato a quelli giag, esposti, Chou [16] considera l e equazioni generali indicate nel Cap. I: per rompere l a catena d i qquazioni, nelle quali l e funzioni d i correlazione di ordine n sono espresse in funzione delle funzioni d i correlazione d i ordine n + 1 , egli trascura i termini contenenti le funzioni d i correlazione quadrupla. Approssimazioni anaLoghe a quell e indicate nei Cap i t o l i 11.111 e I V sono poi introdotte per il calcolo delle correlazion i t r a l e oscillazioni della pressione, e del gradiente di pressione e l e oscillazioni delle componenti della velocita'; a l t r e ipotesi sono anCora necessarie per il calcolo degli integrali che appaiono nelle espressioni definenti queste correlazioni. I1 procedimento e* stato applicato da Chou per l o studio del flusso turbolento in un canale piano, e per quello a contatto d i una parete piana. Rotta [17] pure parte dalla considerazione delle equazioni generali che applica per l a determinazione del flusso i n un canale; prescinde pero' completamente dai termini che ne119equazione dell a energia turbolenta corrispondono a i termini diffusivi. Inoltre ipotesi sono pure fatt e per l a determinazione della correlazione t r a l e oscillazioni della pressione e delle component i dell a veloci t@, in conseguenza delle qua1i
2 - MODELLO DI TURBOLENZA DI BURGERS
l e funzioni d i correlazione t r i p l a non sono determinate, ma sono poste uguagli ad espressioni determinate: non mancano g i u s t i ficazioni d i ques t e espressioni, ma esse sono pur sempre d e l l a s t e s s a natura d i quelle considerate nei Capitol i ,recedenti. Le ricerche sopra indicate, per quanto presentino indubio interesse, difficilmente possono essere estese a l l a considerazione d i casi piuo .. general1 d i quelli s t u d i a t i dagli Autdri sopraddetti; soprattutto poi esse non sembra possano portare ad una piu9ntima conoscenza del fenomeno turbolento, capace d i portare ad una formulazione piu9recisa e piuP generale del problema. Piu%romettenti a questo riguardo sono g l i indir i z z i d i Burgers e d i Malkus, e pertanto c i si limita qui a dare un rapido cenno d i questi,
2
-
Modello d i t u r b o l e n z a d i B u r g e r s [ 1 8 ] . Burgers non af fronta d i r e t t m s n t e il problema d e l l a turbolenza, ma
si propone d i indagare l e proprieta' fondamental'i che questa presenta stu-
diando un modello d i turbolenza, un fenomeno cioe' che dipende da una equazione molto pius semplice d i quelle che reggono il deflusso turbolent o , ma che presentano alcune delle c a r a t t e r i s t i c h e essenziali d i esse. I1 modello studiato da Burgers corrisponde al1"quazione
i n cui l a u puog essere considerata come 1 analoga della v e l o c i t a 2 u r bolenta. Essa dipende solo d a l l a coordinata temporale t e d a l l a coordinata spaziale y , d i guisa che il modello e' un modello d i turbolenza unidirnens ionale, L-quazione [I] ha un termine non Z ineare 'del primo ordine, ed un termine del second0 ordine moltiplicato per un coefficien~ analog0 del coefficiente d i t e v che e' supposto molto piccolo, ed ' e l9 viscositav cinematica. Manca il termine corrispondente a l l a p ressYoae d e l l e equazioni idrodinamiche, e l a presenza d i una sola funzione incognita, e d i una s o l a variabile spaziale non permette ovviame.nte d i mett e r e i n evidenza l e proprietaOdei f l u s s i turbolenti che dipendono d a l l a
C - TURBOLENZA DI PARETE
natura tridimensionale del campo, dalle proprieta9 dei vortici, dagli ef f e t t i d i interferenza del moto medio colle tensioni tangenziali conseguenti a1 trasporto turbolento di quantita' d i moto. La [I] tuttavia permette d i studiare l e conseguenze della non- linear ita' e della diss ipazione viscosa, che sono con ogni probabilitaa l e cause responsabili del sorgere della turbolenza, e conduce a problemi s t a t i s t i c i che presentano m l t a analogia coi problemi s t a t i s t i c i che intervengono nella turbolenza, Cosiaad es, s i consideri una soluzione particolare della [l] nella
in cui ~ ( q ) & una funzione della variabile l a [2] l a [I] si trasforma nella
n
= (y -0)( t
- to)'%. 01-
che puovessere integrata e daa
l V a m u l l a r s idella costante d i integrazione essendo condizione necessar i a perche' s i a ~ ( a =) 0 Si. pone poi
v=-
2v-
d dn
(log u*)
che s o s t i t u i t a nella [4] dapunDequazione lineare nella u*
Integrando l a [6] e sostituendo nella [5] si ha
2-MODELLO DI TUROOLENZA DI BURGERS essendo h unPa l t r a costante d i integrazione. La [7] puo9ssere semplih' ficata per - >> 1 , e si ottiene v2 a) se n = h +6 essendo 6 << h
b) se
0
e 11 non molto prossimo a i valori estremi del-
v2n
by] C)
se 11
@
zero o negativo,
V
d
c i r c a zero.
Ne r i s u l t a una legge d i variazione d e l l a u c o l l a y e con t qual e r i s u l t a dal diagramma d i fig. ( 1 , V): i n ogni i s t a n t e t l a u , che si puo' esprimere n e l l P i n t e r v a l l o a < y < o + h ( t - t o ) Y 2 c o l l a
si annulla per
Flg.(l,V)
y = o , ed d quasi nu1 la per
y < o . Essa quindi cresce
- Variazione d e l l a v e l o c i t e u per l a soluzione particolare ( 2 ) del1"quazione ( 1 ) nel modello di turbolenza di Burgers.
linearmente con y - 0
fino ad un massimo che
@
circa.uguale a h(t-to)-y2
C - TURBOLENZA
DI PARETE
per y = O + h(t -t0lY2,quindi d i nuovo cade rapidamente a zem. Col crescere d i t - to , per un dato y - a , l a r e t t a che esprime l a dipendenza d i
u
ruota da s i n i s t r a a destra ai-.torno al punto y = a ,
d i guisa che l a sua pendenza diminuisce gradualmente tendendo a zero, s e l a pendenza i n i z i a l e era positiva, mentre se essa e r a negativa incrementa i n valore assoluto e l a r e t t a tende ad assumere l a posizione verticale. Appare i n o l t r e d a l l a fig. (1, V) che il diagramma d i u e' approssimativamente triangolare con area costante, r i s p e t t o a 1 2 1
t , d a t a da
- h2 ; il fronte del diagramma avanza con una velocitaO, che e' uguale a -h 2
- uguale quindi a una metd d e l l ualtezza del fronte stesso.
I1 r i s u l t a t o o r a indicato che 1' area del triangolo rappresentativo di u
costante corrisponde a l l 9integrale p r i m della quantitd d i yoto, per il m t o corrispondente a l l a equazione [I] : integrando i n f a t t i 19equa-
d
zione [I] rispetto a y si ha
esseado 1' integrale esteso a tut to il campo, nell' ipotesi che a i l i m i t i del campo u s i a nulla, e
("$) o
zero o traseurabile.
- .
Moltiplicando poi l a [1.J per u ed integrando si ottiene 19equaz ione de l l 'energ ia
essendo sempre 1' integrale esteso a t u t t o il campo e nell'ipotesi che s i a nu110 a i confini.
u
Per l a soluzione particolare ora considerata si ottiene
-d
=
1
hs ( t - to)-"
11.r i s u l t a t o sopra determinate relativo a l l a velocitd d i
propagazione del fronte quasi verticale del diagramma d i u puo" essere generalizzato
2-MODELLO DI TURBOLENZA DI BURGERS nel mod0 seguente: si riprende lPequazione [I] e si considera un s i s t e ma d i coordinate che si muove col fronte. Percio' si pone
essendo E , l oa s c i s s a del f r o n t e r i s p e t t o a1 sistema primitivo dl coors d i n a t e , funzione d i t . Si ha
se =
d~
-= c
e' l a velocfta9 d i propagazione del fronte,
dt
--
d
ayr
.
ed essendo
a -= aE
Sostituendo queste espressioni n e l l a [I] si o t t i e n e
Nella regione dove il diagramma d e l l e u presenta f o r t i v a r i a z i o n i ,
a~ >> au , ayf
at'
e l a [ l a ] puo' essere s o s t i t u i t a c o l l a
che i n t e g r a t a da' 1 -(u 2
- c)2
au - v _; = costante.
a~
Poiche' questa espressione deve e s s e r e v a l i d a i n t u t t o l Q i n t e r v a l l o d i rapida variazione d e l l a u , e da entrambe l e p a r t i del fronte, dove a u r i t o r n a ad e s s e r e d e l l p o r d i n e d i 1 , e quindi tmscura2 ~ ' b i l e , si h a
(v&)
1 -(hI 2
-c
1
) ~= -(uII
2
- . c ) ~=
costante
dove g l i i n d i c i I e 11 definiscono i v a l o r i d i u d a i due l a t i del f r o n t e d i ragida variazione. Si ha i n f i n e
C - TURBOLENZA DI PARETE che generalizza il r i s u l t a t o trovato per l a soluzione [2]. I r i s u l t a t i ora indicati permettono d i determinare l a legge d i va-
riazione d i
u per ogni s t a t o i n i z i a l e dato da una s e r i e d i
segmenti
r e t t i l i n e i come quello rappresent ato in fig. Q 1,V) : ogni segmento ruota intorno a1 suo punto y =
0;
a p a r t i r e d a l l ' i s t a n t e in cui un segmento
raggiunge l a sua posizione verticale, esso non ruota piuQmarimane vert i c a l e , e avanza con una velocitaa data dalla [lo]. Detta velocitaQon rimarra' costante, perche? valori d i uI e di uII variano anchae s s i col tempo. E9pertanto possibile che due consecutivi segmenti v e r t i c a l i si sovrappongano: in t a l ~ c a s oe s s i si uniscono e formano un unico seg-
mento v e r t i c a l e che continua a spostarsi con una velocita9 d a t a d a l 1a [lo], essendo uI e un i valori d e l l a velocita' d a l l e due p a r t i d e l nuovo segmento che si
@
formato.
Fopportuno mettere a raffronto quanto adesso e' s t a t o indicato con alcune pmprieta" c a r a t t e r i s t i c h e del moto turbolento.
F s t a t o o r a dedotto come i n conseguenza d e l l a presenza del termine non lineare si vengano a fonnare fronti r i p i d i d i variazione della u , che, una volta generati, conservano l a lor0 i n d i v i d u a l i t a 3 i n o a che vengano a "fondersi" col fronte vicino: questa proprieta" @ da paragonarsi a l l a tendenza che si constata nel fluido in moto turbolento, che masse, che hanno acquistata una c e r t a velocita', si spostano con questa velocita' respingendo lateralmente element i avent i una velocitaDminore, producendo cosi' superfici sedi d i fortissimi scorrimenti, e quindi d i tensioni tangenzial i intense, Tali superf i c i , separanti
masse fluide con
d i f f e r e n t i ~ e l o c i t possono ~, fondersi insieme i n modo simile a quello indicato per i fronti dei diagrammi definenti l a legge d i v a r i a z i o n e d e l l a u ; ed i n entrambi i c a s i questo processo ha come conseguenza quella d i portare a un increment0 d e l l a scala d e l l a configurazione turbolenta del flusso. Si puo"ancorn dire: i fronti d i rapida v a r i a z i o n e hanno un c e r t o tempo d i v i t a , ed e p o s s i b i l e caratterizzare - una certa classe d i soluzioni d e l l a [I] dando l e posizioni e l e intensita9d i que-
sti f m n t i a un dato istante. La "storia" del campo diventa quindi una descrizione del moto d i questi f r o n t i e del loro fondersi insieme, determinando cosi9 una graduale diminuzione del lor0 numero ed tm incre-
C - TVRBOLENZA DI PARETE c) l a funzione di dissipazione corrispondente a1 moto medio e-edianente nel campo, massima, per date condizioni imposte al moto stesso. Ora, l e soluzioni dell' equazione di stabilita' dipendono dalla legge d i variazione dell a velocit aOnel moto medio; d" al t r a part e questa legge dipende dallo spettro spaziale delle tensioni di Reynolds: il calcol o variazionale p e n e t t e d i ottenere quello spettro che soddisfa a l l a condizione d i stabilita' b), e produce l a massima velocitaOdi dissipazione della energia. Determinato l o spettro ne risulta d i conseguenza determinata anche l a velocita9media. Quello che e9mportante osservare evche, nella ricerca ora in esame, t u t t e l e costanti sono determinate, almeno approssimativamente. Si espone q u i in rapida sintesi l a ricerca svolta da Malkus secondo i c r i t e r i sopra accennati per l a determinazione del moto medio in un canale. Le equazioni del moto medio sono l e (2,111, e valgono per l a tensione di Reynolds - p u f v f e per l a tensione tangenziale totale 'G l e (3.11) e (4.11). Assumendo 1"origine delle coordinate sull%sse del canale, e orientando l'asse y dall%sse v e r s o l a p a r e t e s u p e r i o r e [fig. (2, v)], l a (4,II) diventa
Fig.
parete
Cp=O
parete
$=rc
(2.V) - Studio d e l flusso nel canale second0 Malkus.
Se il mto medio e' stabile ogni arbitfaria perturbazione deve scompa-
3 -RICERCHE DI MALKUS
r i r e " si prenda
i n cui +
E
e'un parametro costante; per l a stabilitaQe" necessario che
+
% 9 u 2 9 P 1 9 P 2 ecc. si smorzino nel tempo qualunque s i a E . Se o m si inseriscono l e [12] n e l l e equazioni del moto, i termini d i ordine zero in E dinno l e equazioni del moto medio gia' considerato; i termini d i p r i mo ordine in E danno
i n cui
+
a
1
div
e"
=
0
vettore l e cui componenti contengono t u t t i i termini no
l i n e a r i derivanti d a l l a interazione d i l e f luttuazioni turbolente.
e d i pl
con il campo del
+
Ora Malkus pone n e l l a 1131 a = 0 : auesta assunzione e' fondament a l e n e l l a ricerca e si basa s u l l a congiderazione che l e tensioni d i Reynolds, in sostanza i termini non lineari nell'equazione d i s t a b i l i t&,agiscono nel senso d i stabilitzare il moto medio, e quindi 1' equa4
zione che si o t t i e n e ponendo n e l l a [13] a = 0 pone per l a ~ ( y ) una condizione p i u 9 r e s t r i t t i v a d i quella che si avrebbe tenendo conto anche d t i termini non l i n e a r i . In conseguenza d e l l Passunzione sopraddetta l a [13] assume l a forma lineare consueta per 1' equazione d e l l e piccole perturbazioni d i un flusso permanente. Prendendo il rotore d e l l a [13] e assumendo
si ottiene
C
- TURBOLENZA DI
PARETE
a dove - 12 il numero d*onda della perturbazione, c'& .eDI a velocita9 D '44D di fase d i questa, Um e' l a velocitavmedia second0 y e R = - eD v il numero di Reynolds. La equazione [15] e' l' equazione d i Orr-Sommerfeld, che costituisce 19equazione fondamentale per lo studio della stabilita' del moto laminare. Nello studio della [15] e' stato dimostrato (To1 lricn laOJ, Heisenber&l]), che per ogni dato R esiste un limite superiore per il nwnero d'onda a per l a instabilitaD:se u'v' e' s t a b i l i z z a n t e , esso non
-
pud corrispondere ad un moto che richiede unbzione instxbilizaante piuD grande d i quella che corrisponde a1 moto medio, e pertanto lo spettro
-
spaziale d i u'.vP relativo a l l a coordinata trasversale y presenta un valore limite superiore per il numero dDondache limite.
@
proporzionale ad a
Alla limitazione che da questa proprietaOderiva per l a forma della funzione U(y) che da' l a veloclta8media occorre ancora aggiungere l a condizione.che l a funzione d i dissipazione, in media nel condotto, per una data portata attraverso a questo, s i a nurssimu. Ora l a funzione d i dissipazione da' 1' energia disslpata per effetto della viscosita" ed uguaglia il lavoro compiuto dalle tensioni tangenaiali, d i guisa che si ha
essendo
ed in cui 19indice m s t a a significare che occorre prendere il valor medfo nel canale della grandezza indicata. Si ha
3 - RICERCHE DI MA LKUS
Appare percio" che l a funzione d i dissipazione egtnassima, per data L4, , quando 6' , enmussima, e l a condizione da porsi puovesprimersi i n t e r mini adimensionali dicendo che per l a legge piuDprobabile d i variazione d e l l a . velocita9media questa deve ; essere t a l e da rendere muss i m ,
per un dato numero d i Reynolds medio R =
D . v
D To
un
Per l a ricerca d e l l a soluzione e f f e t t i v a enpiu* conveniente . inuert i r e il problema e ricercare il minim nmero d i Reynolds associato con una soluzione indifferente d e l l a [15] .per
D'60 v
unt
E
cost. Pud esser,e in-
teressante riconoscere che questo parametro e" proporzionale a1 rapporto t r a l a funzione d i dissipazione che si ha nel moto tufbolento i n 'esame e quella. che si avrebbe nel moto laminare a parita" d i U,,,. I n f a t t i .eD
[la1 e quindi
Alle Condizioni sopraddette debbono poi aggiungersi q u e l l e d e r i v a n t i d a l l e condizioni a1 contorno: precisamente si ha
p) ,
da cui
essendo U funzione pari d i y , e quindi
B(D)
=-
'6o
u
;
p(-D)=-- 'to
($) Punzione dispari;
I-1-
C - TURBOLENZA DI PARETE mentre e' pure
U = O
per
y = f D
Si scrive [211
e si assume
Dalle [20] ne risultano per l a d l e seguenti condizioni:
~ i , , ~ 2 ) ,
rF
= 1
.
ossia
r'
(,2),
= 0
.
-D
La condizione relativa alla costanza della portata puoD essere s c r i t t a nella forma
od anche
( d 2 ) si possono poi subito esprimere sia la in grazia della [ll], e si ha In funzione della
upvp p -, To
3-RICERCHE DI MALKUS s i a l a 91 e r i s u l t a [261
In conseguenza d e l l a condizione derivante d a l l a limitazione superiore per il numero dDonda dello spettro spaziale della ( u P v ~ )si ha una limitazione analoga per l a (d2) , che c? legata a l l a u P v P d a l l a [25]- Si pone d i conseguenza
-
essendo n un numero intero e no il valore limite di n . Questo e" legato a1 valore limite superiore del numero dwnda per l a perturbazione del moto medio corrispondente a l l a condizione di stabilita"imite, e si puo' porre
in cui r d una costante che dipende dalla forma dei v o r t i c i corrispondente a l l a perturbazione considerata. In conseguenza d e l l a s c e l t a f a t t a per l e funzioni ~ ~ ( 4l e )condizioni [2216 e [22Id sono automaticament e soddisfatte; per l e [22] e [22IC si deve avere
L9eeuazione [24] da' poi [301
dove Bnm
=
2 ( n + n ) + + c o s 2(n-n)4]ci+
C - TURBOLENZA D I PARETE
-
mentre per l a u P v P d a l l a [25] si deduce
essendo
La risoluzione del problema o r a richiede: a) l a deteminazione dall-quazione ne t r a
d i Orr-Sommerfeld della relazio-
R , U e c per condizioni d i indifferenza, o s s i a di s t a b i l i t a 9
limite; b) l a determinazione d e l l e Yn , soggette a l l e condizioni [30] i n mdo da rendere minim
R
[28] [29]
per dato 1.
I1 calcolo d alsuanto laborioso e c i si l i m i t a qui a dare i r i s u l -
t a t i ; l a distribuzione d e l l a vel'ocitaa m d i a d cosi" definita: i n vicinanza d e l l e pareti:
i n corrispondenza della mezzeria del canal'e
in cui 8 = no costanti;
K -4; r
2
RB
d
enl a costante di. Eulero g 1,78; l e A, C, Co so-
una specie Bi numero d i Reynolds definito dalla
Si riconosce n e l l a [30] l a legge universale logar itmica d i parete, e nell a [31] l a legge del d i f e t t o d i velocita'che n e l l a regione centrale del condotto e' quasi-parabolica. I r i s u l t a t i sono cosi" pienamente eoncordanti
3-RICERCHE DI MALKUS con quelli gia' i n d i c a t i a1 Cap. 11; ma quello che
@
ancora assai impor-
t a n t e osservare eO che anche le costanti sono determinate dal ed i valori numerici o t t e n u t i sono
La prima oostante e' 1' inversa d e l l a costante k
calcolo,
universale d i Prandtl
e K&rman: per questa e9 ordinariamente assunto il valore 0,4, d i guisa 1 =1 = 2 , 5 ; da notare pero9 che l a media dei valori sperimenthe k a, 4 t a l i trovati da Laufer r31 per f l u s s i entro condotti e9alquanto piuDprossima a1 valore sopra indicato. La concordanza
@
alquanto meno buona per
l a seconda costante; d' a1t r a parte anche i calcol i f a t t i da Malkus sono soltanto approssimati. In ogni modo e' questa l a prima volta che una determinazione cosivcompleta del moto, con solo formule teoriche, eps t a t a f a t t a , e pertanto il procedimento, che si ricollega a l l vosservazione d i Matt iol i c i t a t a a1 no 1 , a parte l e d i f f i c o l t a ' notevoli che esso present a , appare molto promettente e puo' aprire una nuova via a110 studio del d i f f i c i l e problema. Si deve infine osservare che un nuovo importante contributo secondo un indirizzo analog0 g s t a t o dato da Bjphgrgun 1 ~ ~ 1 .
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-
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Friburgo
Agosto
SEZZONE D
TUBBOLENU IN HAGNEE0 IDBODINAlICA C A T m AGaFmmxu
SEZIONE D
TURBOLENZA IN B I A G N ~ O IDRODINAIICA CATALDO AGOSTINEUI
CAPITOL0 I
Ie equazioni della magneto idrodinamica I NTRODUZIONE
Si sa come in questi u l t i m i anni abbia acquistato molta importanza, in varie questioni geofisiche, astrofisiche e cosmogoniche, il problema della fonnazione casuale di campi magnetici in un fluido elettricamente conduttore in m t o turbolento. La conduttivita: e l e t t r i c a di un fluido, che e' quasi indipendente dalla sua densita', e' una funzione crescente della sua temperatura e p e ~ tanto l a conduttivita' e l e t t r i c a delle masse fluide s t e l l a r i , e spesso anche interstellari, si puo' ritenere pressoche9inf inita, Ora, fra l e varie questioni che sono nate dalla considerazlone del movimento d i un fluido altamente conduttore, e che hanno dato luogo a una nuova scienza che e' l a magnetoidrodinamica, ha particolare importanza quella che riguarda l a fonnazione spontanes d i campi magnetici e il pmcesso d i idcremento dell9energia e dell9intensitd del campo mag n e t i c ~in un fluido conduttore in moto turbolento, n e l l ' i p o t e s i che nessun caopo elettrico e magnetico esterno s i a imposto. D i cio-ntendo occwami in queste lezioni, in armonia e nel quadro del programma di questo corso, con particolare riferimento a i moti turbolenti om>geiIei isotropi di un fluido incongressibile, proponendomi d i s t a b i l i r e inolt r e l e correlazioni involgenti l e componenti della velocite e del CS@O magnetico, l e equazioni che governano g l i scambi 6i energia tra il soh turbolento e il hmpo magnetico; infine l e correlazioni della pressione
D - TURBOLENZA I N MAGNETO IDRODINA MICA con l a velocitaOe el campo magnetico, coi r i s u l t a t i relativi a l l a f l u t tuazione d e l l a pressione. Queste questioni, come ho giaudetto, sono d i cop&derevole interess e per v a r i problemi che si presentano i n geofisi ca e i n a s t r o f i s ica a i quali per esempio sono collegati i lavori d i Ballard sull%rigine del c m o magnetico t e r r e s t r e , l a t e o r i a d i Alfven s u l l e macchie s o l a r i , l e ricerche d i Walen sul campo magnetico del Sole e infine l e t e o r i e avanzate da Fermi e da Alfven s u l l sorigine dei raggi cosmici.
1
-
Le equazioni d e l l a magneto idrodinarnica.
Le equazioni che governano 1"nterazione del campo elettromagnetico e del moto turbolento i n un fluido elettricamente conduttore sono bas a t e sull%ssunzione dell a val i d i taudell e equazioni d i Maxwell, . salvo supposto turl e modificazioni richieste dal mot0 idrodinamico, che m9 bolento e omogeneo, t a l e cioe'che l e proprieta'medie del moto siano indipendent li d a l l a posizione. Ora, poiche" l e variazioni col tempo d e l l a i n t e n d t a 9del campo elet+ trice E e del c w o magnetico 8 sono determinate d a l l a distribuzio+ ne istantanea d i E ed e dal movimento d e l l e cariche negative rispetto a l l e cariche positive, indipendentemente dal modo come questa dist ribuzione e questo movimento sono prodotti, 1e equazioni d i Maxwell non sono formalmente a l t e r a t e dal moto idrodinamico. Quindi, n e l l 9 p o t e s i che l a costante d i e l e t t r i c a , che indicheremo con k , e l a permeab i l i t a ' magnetica y abbiano g l i s t e s s i valori i n ogni punto del fluido, avremo, second0 1a metrologia gaussiana
-+
rot E
=
-.
-
div H = 0
p
a2
-at
'
I - EQUAZIONI DELLA MAGNETO IDRODINAMICA dove p,
@
l a densits: delle cariche elettriche e
7 l a densita' d i cor-
rente. Questa sara" a sua volta composts: 1) della corrente d i conduzione data da
essendo a l a conduttivita" e l e t t r i c a del fluido, che s u ~ ~ o n i a costa^m t e , e ;l a velocitd delle particelle fluide; 2) della coi-rente.d i convez ione
pe G . L-quazfone
della corrente eD
pertanto
Prendendo il mtore d i ambo i membri della [I] ed eliminando quindi fP .+ campo elettrico E e l a densita' d i corrente servendosi delle equazioni [2] e [5], e osservando che per l a solenoidalitd d i e"
7,
rot rot
2 = grad div
-
=
-
b22
,
essendo A2 190peratore df Laplace, si ricava, per il campo magnetfco 3 , l uequazione
Osserviamo che per ;'= 0 , cioe' in assenza di movimento, l a [6] si rfduce all9quazione dePPa telegraf i a con f i l o
e, s e non vf sono oscillazioni di a l t a frequenza, sara9n generale
cioe" sara" trascurabile nella [7] i f termine nella
agi?
at2 '
neP qua1 caso
essa si riduce a un%quazione del tipo della conduzione d d calore, sotto
D - TURBOLENZA I N MAGNETO IDRODINAMICA l a quale forma e" per esempio usata per analizzare l o skin effect nei conduttori che trasportano corrente alternata. Ora nei pmblemi magneto idmdinamici che interessano, anche s e v i sono sorgenti d i oscillazioni d i a l t a frequenza, q u e s t e i n v o l geranno generalmente un piccolo ammontare d i energia e pertanto potranno essere ignorate, cioes n e l l a
[6]
PuoQssere trascurato il termine nella
a*B
-. at2
Per quanto riguarda 19mportanza d e l l % l t i m termine d i p endent e d a l l a densit& p, delle cariche e l e t t r i c h e , osserviamo che 1-quazione che d& l a variazione d e l l a densita9 d i carica r i s u l t a ( * )
cioe' dpe t p,
dt
div v
=
z)
4x0 9 - - P, - - d i v @ n k
C
.
4no inoltre il termine - k Pe * dara' luogo per pe ad un termine esponenziale d i smorzamento, con un coefficiente d i smorzamento tanto piu-rande quanto piu' grande e' la con-
Se il
fluido e' incompressibile e' div
= 0;
duttivita' a Allora, poichd l sultimo termine del 20 membro d e l l a [arn ] non e' direttamente i n relazione con p, , s e si suppone che il moviment o e s i s t e da un tempo abbastanza lungo a p a r t i r e d a l l 3 s t a n t e i n i z i a l e , l a distribuzione d l p, saraOi r r i l e v a n t e e l w r d i n e d i grandezza medio d i pe Sara. paragonabile con quello d i
(*)
kP div(; 4n c
I n f a t t i , tenendo conto d e l l a [4], d a l l a [5] si r i c a v a
I n o l t r e d a l l a [I] si ha div
k a j = - - -(div
confrontando i due v a l o r i d i
rn at
div
?
ape 3 =-at
3 si ha l a
[a].
A
g) .
2 - EQUAZIONI DI NAVIER ~STOUES
4n Ne segue che il tennine - m t ( p , q C
entro parentesi
quadre nel
2' membro della [4] sarff dellwrdine di
PoicheP questa quantits' eD in valore assoluto minore del prodotto d i l&,zl v* 4n per un fattore dellQordinedi segue che il termine - rot (p,G) C
z.,
della [6] PW essere a c h e trascurato e si ha che 1"quazione derare eQ
da consi-
con
1101 I risul t a t i precedenti equivalgono a trascurare l a corrent e d i sposta-
rnento e l a corrente di convezione in confront0 della corrente d i conduzione e a scrivere quindi
2
-
Le e s u a z i o n i d i Navier-Stokes i n magneto idrodinamica.
Passando ora a considerare l e equazioni del moto del fluido, supporremo applicabile 1-quazione idrodinamica d i Navier-Stokes i n cui sf tenga conto delle forze elettromagnetiche, e cia@ dell-zione elettros t a t i c a e della forza deflettente d i Lorentz. In assenza d i ogni a l t r a forza di natura non elettromagnetica, avremo dunque
D dove
C G dP
- TURBOLENZA IN MAGNETO IDRODINAMICA
e" 1Qmgrafia uettoriale che esprime l a derivata della velo-
c i t d rispetto al punto ( * ) , p @. l a densita0del fluido, fi ?t l a pressione idrodinamica, e v d il coefficiente d i viscositd cinematica. Ad essa va aggiunta 1' equazione d i cont inuita'
che esprime il principio della conservazione della massa dd fluido. Nel caso general e e-ecessario tener conto dell a vari azione della densita' del fluido nello spazio e nel tempo. Una misura dell9mportanza d i ques t e variazioni d i densita" e' fornita dal rapport0 di una velocitd tipica del fluido (che nel caso del moto turbolento evl a radice quadrata del quadrat0 medio), a l l a velocitaQedia del suono nel fluido. Quando questo rapport0 espiccolo in confront0 dellbnita', l e variazioni di densitagsono trascurabili e il fluido si comporta come incompressibile. Noi c i limiterem a considerare il caso in cui il fluido en effettivamente incompressibile e quindi 1"quazione di continuita" [13] si riduce a l l a div
= 0
che esprime anche l a solenoidalitl del campo dei vettori velocita" delle particelle fluide. Noi ammetterem che l e equazioni [12] e [14], valide per i moti magneto idrodinamici ordinari, siano valide anche per i mot1 magneto idrodinamici turbolenti, poiche" non vi e" ragione per ritenere che il mezzo, caratterizzato dai parametri idrodinamici p e v , e da quelli elettmmagnetici o e p , si debba nei due casi comportare diversamente. Soltanto qui g l i elementi del m t o e del campo si devono intendere calcolati nelle posi zioni P con riferimento ad assi cartesSani (x, ,x,, x, )
(.* ).
In nenerale. s e
riale
, & ILK,
3
@
un v e t t o r e funzione del punto
es un operatore l i n e a r e che applicato a un
P , l@omograffa
versore
vetto
d a q a derivaEa d e l
vettore U second0 l a direzione d e l versore. Applicandolo per e s . a i versori d e g l i a s s i coordinatf si hanno l e derivate df if r i s p e t t o a l l e coordinate del v t o P. [cfr. : C.BURILI-PORTI e R.MARCOLONGO. Anal zsi vettori le generale rasformazmz lineart, Cap. 11, 9 1. (Zanichelll. Bologna. 1928)l.
3 -SISTEMA DI STRESS rispetto a i q u d i i1 moto medio e" nulPo. In questo sistema d i riferimen* to una data posizione P Sara' individuata anche da wr vettore x Pe cui componenti q , x 2 , x , sono l e coordinate d i P .
3
-
I1 sistema d i stress derivante dalle forze elettromagnetiche.
Osserviamo che l a forza elettmmagnetica per unit@ di volume puoo essere cosi' s c r i t t a ( * )
k
+,
EtE +
t -(div
4n
d8+ 1 E - - grad E dP 2
~ )
dove soltanto il p r i m tennine del secondo membm @ una Vera forza di massa, che deriva dalla variazione rispetto al tempo del vettore di Poynting
n = -4nE +
C
-
r
A
K , l a cui direzione
e" quella secondo cui s i pro-
paga l'energia elettmmagnetica e l a cui grandezza dau l l " i n t e n s i t ddel(*)
I n f a t t i , avendo riguardo M l a [I] e a l l a [4] si ha
p
-
.
k
++
pgt-~AH=-rdivEmE+c 4n
p
;(
c rot
Ma r i s u l t a
percia" si ha ancora
c t--
z,E - -1 grad E2
pdP
da cui segue immediatamente l a [15].
2
z)Az
2- 4n at
D - TURBOLENZA IN MAGNETO IDROLIINAMICA 1"energia raggiante (*). I rimanenti termini del second0 membro dell
[15] rappresentano l e forze derivanti da un sistema d i sforzi intern (0
s t r e s s second0 l a denominazione inglese), d e f i n i t i dal gradiente del
Pa omografia v e t t o r i a l e espressa d a l l a
6 , che
e' piu' precisamente una d i 1 a t a z i o n e
il simbolo d i una diade. dove 3t Invero, tenendo conto che div
3 aH, C3 - = 0 , indicando con 2 1 axi i versori degli a s s i cartesiani d i riferimento, per definizione d i gra-
H
diente d i una omografia (Anal. V e t t . si ha d?,
-8 = & H i dp
1
a;
- = Z.t
ax,
1
~(ZH,)
ax,
=
an.,loco 3
= Ci 1
c i t a t o , Cap. 11,
d~@,?)-.+ dp
1~1,= grad
3
2),
Je(g3)
e analogament e
Dunque l a forza elettromagnetica per unita9di volume e' data da
-
p -
peEt7 JAB=--
pk(a,!?~@
4nc
at + grad q5
dove 1' omografia 4 degli s t r e s s e" d e f i n i t a dalla (161. Questo sistema d i sforzi intern1 pW essere considerato come prodotto da tubi d i forza e l e t t r i c a e d i forza magnetics e s e r c i t a n t i t r a -
k
CL
zioni iongitudinali rispettivamente d i grandezza -E2 , - H2,e pres8n 8K sioni l a t e r a l i d e l l a stessa grandezza, Nel caso da noi considerato i n cui s i a trascurabile l a corrente d i ( * ) C f r . E.PERSIC0, Introduzione c h e l l i . Bologna, 1947).
alza Fisica h t e m t i c a ,
Cap. VI,
5 141
(Zani-
spostamento l a detta forza elettromagnetica si riduce a [16']
grad
4
=
e 1' equazione idrodinamica [12] d i Navier-Stokes diventa
4
-
Analogia tra i l camp0 magnetico e l a v o r t i c i t l
(*).
per il momento swponiaw, che il fluido considerato non sia conduttore, 1' equazione idrodinamica [12], come pure l a [17], diventa Se
dalla quale, prendendo il rotore d i ambo i membri e osservando che
si ha che il vettore vortice
=
1 rot;, 2
soddisfa a l l e equazioni
l e quali sono formalmente identiche a l l e equazioni [9] e [13] del campo magnetico, dove in luogo della viscosita' v vi 2 l a costante h che ha il carattere d i una diffusivita' magnetics. Dunaue l a vorticita' di un fluido non conduttore e il camgo ma* gnetico H relativo a1 moto d i un fluido conduttore sono due vettori solenoidali formalmente analoghi. Ne segue che molti dei r i s u l t a t i dell a teoria dei vortici dell9idrodinamica classica possono essere, nella ( 8 ) Cfr. G.K.BATCHELOR, On the spontaneous magnetic field ina conducting &quid in turbulent motion (ProceedL~aof the Royal Society of London. S e r i e A, vol. 201.
D. 405).
D - TLBBOLENZA IN MAGNETO 'IDRODINAMICA magneto fdrodinamica, interpretati in t e m i n i del camp0 magnetico. Pel esenwio f l teorema di Helmholtz, il quale afferma che in un fluido perfetto l e lfnee vorticose si muovono col fluido (*), mostra che in f l u i do per cuf h = 0 , cio@d l conduttivitas infinita, l e linee di forza magnetica sono trasportate d a l mezzo, ed ogni tendenza ad assumere uh mot o relativo ad esso d frenata dal moto turbolento della corrente. Volendo ora 1' interpretazione meccanica dei t e m i n i dell%quazionc [9] del camp0 magnetico, osserviamo intanto che il termine M,Z rappresenta chiaramente una diffusfone o propagazione del campo magnetico. In quanto a1 termine rot
(z 3 A
osservi sw, che si puo' scrivere
e che
d?; d;. essendo D - la dilatazione dell9mograffa - . L-quazione dP dP venta allora
[9] d i -
La soma dei primi due termini d i questa equazione rappresenta l a deririspetto al tempo, otvata sostanziale d i g, cio@l a derivata d i tenuta seguendo il moto del fluido, considerando cioe' il moto dal punto dG .d i vista lagrangiano; I1 termine - H rappresenta l a varfazione def dP ..
campo magnetico
'g
dovuta al moto relativo d i due punti vicini d i una
linea d i forza magnetics. Questo moto, come r i s u l t a dalla [20], consi-
-
s t e in generale d i m a rotazione con velocita%ngolare
1
-mt , 2 the l a s c i a invariata l a grandezza di '8,e df m a estensione rappreseri-
a
tat* dalla-dilatazione D- , che alter* il valore di dP
=
f.
( a ) Cia@, l e p a r t i c e l l e f l u i d e che i n un i s t a n t e si trovano su una linea vortfcosa, i n ogni i s t a n t e successivo s i trovano s u una l i n e a f l u i d a che e ancora una l i n e a vorticosa.
5 -EQUAZIONI DELL "ENERGIA Dunque, quando l a distribuzione delle velocita" e" t a l e da incremen* t a r e l a lunghezza delle linee d i forza magnetica, l a grandezza di H s i increments e viceversa. Si scorgono cosi' i lineamenti generali dell9nterazione tra gli eff e t t i idrodinamici e quelli elettromagnetici. Nel mezzo conduttore si stabiliscono l e linee d i forza magnetica con una s t a b i l i t d dsurata dall a grandezza di a e il fluido si muove intorno ad esse. In tal modo l e linee d i forza magnetica si possono estendere o contrarre e percio" 1' energia del cam0 magnetico puo' crescere o decrescere.
5
-
Lo sviluppo d e l l ' energia elettromagnetica in un moto turbolento.
Nel moto turbolento d i un fluido conduttore, in assenza d i un camelettroPO elettrico e magnetico esterno, se v i eP presente dell-nergia magnetica, essa deve nascere spontaneamente dal moto idrodinamico. In realta' si puo' sempre supporre l a presenza d i un piccolo campo elettrico e magnetico perturbante prodotto da f a t t o r i estranei al moto del fluido e si t r a t t a allora d i vedere se 1' effetto medio della turbolenza e-di amplif icare o sopprimere questo piccolo c a m perturbant e. Questa questione puo' essere risolta se il campo perturbante e" una funzione casual e della posizione con l a stessa probabilita9d i distribuzione in ogni punto. Va da se che usualmente il campo elettrico e magnetico perturbant e non avra' immediatamente questo carattere, appena esso e" stato introdotto. Tuttavia il moto turwlento l o distorcera" e l o distribuiraqn un modo a caw, cosiccheD a l l a fine esso tenderaua acna funzione casuale stazionaria. Per ottenere l a variazione col tempo def1"ntare medio d i energia magnetica per unita9di volume del fluido, moltiplichiaw, scalarment e ambo i membri dell%quazione [9] per H e prendiamo quindi la media. -t
Si ha cosi"
D
- TURBOLENZA
I N MAGNETO IDRODINAMICA
cioe", ricordando l a [19] e osservando che
risulta E221 W altra parte possiamo scrf vere
dove
a; as^ H
e" l a comnente second0 l a linea di forza magnetica della
derivata d i nella direzione tangente a quella linea d i forza, cui arco e' indicatp con sH. Inoltre si ha (*) 3 2 x 47 = 1 A2P - & (grad Hi)2 ,
-2
il
1
+
da cui, prendendo l a media e osservando che se B e' una funzione casual e stazionaria il valor medio d i A 2 8 2 @ nullo, si ottiene
e pertanto l a [22] diventa
Da quest8 s f deduce che il quadrat0 medio di
(*)
si incrementera" o di-
Infatti risulta: 3
2 x @ = 2.1 =
3
1 . d i v grad
1
- &, d i v 2 1
8.= 2.
3
d i v ( H . grad
1 3
grad
- &(grad Hi) 1
=
Ht) -
&(grad
1 div 2
grad
f
H.)~
=
3
-
&(grad 1
H.)~ .
5 -EQVAZIONI DELL "ENERGIA minuira-01 tempo a seconda de1l"mortanza relativadei due termini del 2' membro. I1 secondo termine e' sempre negativo e rappresenta il valor medio dell-nergia magnetica che sf converte i n calore per effetto Joule IP p r i m rappresenta invece l a corrente d i energia magnetica dovuta al mot o turbolento e l a forma d i esso mostra che il segno di questa corrente dipende dall%stensfone, o dalla contrazfone, delle linee d i forza magnetica, pmdotta dalla turbolenza. Ehtrambi questi termini sono dello stesso ordine d i grandezza r i spetto ad 8 , dimodochr? H2 continuer& a crescere o decrescere, fino a che non vi s a r a 9 n cambiamento nelle caratteristiche statistiche d i -. v e di ifU t i l i indicazionf possiamo trarre ancora dall" analog1a t r a camp0 magnetic0 e vorticita". In assenza d i effetto elettromagnetico il quadrat0 medio della vort i c i t a ud l una corrente turbolenta omogenea, soddisfa, come s i rfcava dall a [la], lbquazfone 9
2 dt
Ora dalla teoria e dalle conoscenze sperimentali della turbolenza ordinaria si sa che in media l e particelle fluide tendono a diffondersi lont a m e che questo processo allunga l e linee che s i muovono col fluido, Allora, bench@l e linee vortico$e non si muovono esattamente col fluido quando l a viscositaD v non d nulla, ma c i o a w i e n e in modo appmssimativo, esse tendono ad allungarsi e si ha sempre
di3 . 2 dt 1
Allungandosi l e linee vorticose si ha un contributo posftfvo d1 -
E s t a t o anche assodato sperimentalmente che quando il numero di Reynolds della turbolenza e" sufficientemente grande, il processo di slwrzamento della vorticitg per effetto della diffusione viscosa e q u d o d i
D - TVRBOLENZA ' I N MAGNETO 'IDRODINAMICA amp1ificazione per l%stensione delle 1inee vorticose, sono approssimativamente in equilibrio. Allora, poiche' i processi meccanici agenti sul campo magnetico sono identici a quelli che agiscono sulla vorticitd, salvo il diverso valore del coefficiente d i diffusivita: possiamo dire che fino a quando l e caratteristiche statistiche della distribuzione d i '1 sono appms(a parte il valore assoluto), simativamente l e stesse d i quelle d i 4
i due contributi a
dP dt
saranno i n equilibrio se h
= v.
Se h > v lo
smorzamento dell' energia magnetica sara' p i u mforte dellmamp1 i f i c a z i o n e dovuta a l l ' estensione idrodinamica delle linee d i forza magnetica ed $ deader& a zero. Se invece d h < v 1' influsso dell-nergia della turbolenza sara' piu' grande del calore perduto per effetto Joule ed 6R si incrementera'. W q u e il c r i t e r i o per lUincrementodell-nergia del camPO
magnetico e? che s i a h < v , cioep
La teoria frivarf ante della turbolenza f sotropa In magneto idrodinarnica.
1
-
L e equazioni fondamentali.
La teorfa invariante della turbolenza i n magneto fdrodfnamica puo" essere sviluppata nello stesso mdo di quella della turbolenza ordfnar i a , come ha fatto per p r i m Chandrasekhar ( * ) , sulfa base delle wuazioni stabf 1i t e nel paragrafo precedente collvfnclusione delle forze e l e t t mmagnetiche. Nella nostra esposizione l 9 s o del calcolo tensorf tile df cuf preminentemente s i sono a w a l s i g l i autorf che hanno sviluppata wsta teor i a , come Taylor, von K B ~ D ' B Howarth, ~, Robertson, Kolmommff, Batchelor e Chandraseckhar, sara" m i t igato talvol t a dall "ntroduzfone df espressionf vettoriali omografiche, che mettono maggformente in rflfevo l e caratteristiche geometriche o meccaniche delfe grandezze che sf co&derem>. Nz1 definire l e correlazionf fra l e component1 della velocits" e quelle deP campo magnetico in punti distintf del campo cf r i f e r f r e m al caso della turbofenza omogenea isotmpa, in cui ciod quelie correlazfonf sono invariantf per arbitrarie fotazioni rigide e per riflessfonf rispetto a un piano. Ma Ha facile l%stensione a casi p f u g e n e r a l i df turbolenza, come per esemio quella a sfmmetrfa assiale. Con riferimento a un sistema d i assf coordinati (xi%, x9) rfsvetto af qualf il moto medio del fluido e f l valor medio del19ntensftao del camp0 magnetico sono nulli, indicheremo con 2. iP vettore (df componenti x , , x , , l ~ g ) che individua l a posfzfone di un punto P e con ro
-
( * ) S.CHANDRABEKHAR, Ihe invariant theory of isotropic turbulence in rmgnetohydrod ics (Proceedings of the Royal S o c i e t y of L o e n , serie A, vol. 206. p..436). I D E M . g i n v a r i a n t theory of isotropzc turbulence m magneto-hydrodpmus rr
("IdemPs,s e r i e A, vo1.207, p.301).
D - TURBOLENZA IN MAGNETO IDRODINAMICA il vettore che va da un punto
~ ( a3un punto P'V), cioeP
+
Inoltre l e c o m n e n t i d i r saranno indicate con
L equazione del moto che avremo da considerare Sara' quella d i Navier-
Stokes che assumeremo sotto l a forma [17]. Poiche' tenendo conto che vettori ?; ed sono solenoidali, r i s u l t s
&
-v dp
=
3 a?; 3 a(~,i?)- s a v j , zj vj - = Z j -v 1 ax3 axj 1 axj zj
9
= 2j1
j
a(vjG) hj
e analogamente
1' equazione [17], proiettata s u l l easse generic0 xg , porge
In mod0 analogo dall'equazione [9] del campo magnetico, della [19], si ha
tenendo conto
Per ragioni d i semplicita' sar* conveniente di considerare invece del vet+ tore A , il vettore
che ha l e dimensioni d i una velocitaC Ponendo inoltre
l e equazioni [26] e [27] diventano
l e quali saranno l a base d e l l e nostre deduzioni.
2
-
Correlazioni f r a l e componenti d e l l a velocita" e l e componenti del campo magneti co. I valori medi d i prodotti d i velocita" e d i componenti del campo ma-
g n e t i c ~i n punt i d i s t i n t i dello spazio costituiscono g l i elementf d i sviluppo d e l l a nostra teoria. Questi v a l o r i medi danno luogo ad espress i o n i t e n s o r i a l i che n e l l a l e t t e r a t u r a s u l l a turbolenza vengono chfamat e correlazioni, l e quali sono d i fondamentale imortanza i n t u t t a l a teoria. Da un p r i m esame d e l l e equazioni [30] e [31] si riconosce che sf avraf da considerare correlazioni di 2" ordine def t i p o
e quelli dove g l i elementi senza m i c e sono r e l a t i v i a un punto ~ ( 3 con un apice sono re1,ativi a un a l t m punto P f ( ; ; # ) S i avranno i n o l t r e corre1az;oni di 3 O ordine d e l l a f o m a
Per dedurre l a equazioni che legano queste correlazioni, scriviamo fntanto 1-quazione [30] per l a componente v; d e l l a velocita9 i n un a l t r o punt0 P f
D - TURBOLENZA IN MAGNETO 'IDRODINAMICA dove 64. eg looperatore d i Laplace rispetto a l l e coordinate x . ~d i P P . Moltiplicando l a [30] per , l a [30" per v$ , somando s prendendo quindi l a media d i ambo i membri si a t t i e n e
VL
che si puo' scrivere
=
-
a (Gig) t a - (vtgl)] * V(&G [%
-
+ ~vcu;)
ax;
ed essendo =
a
ax,
-
a at,
a
a
ax;
at,
- ='
dove il laplaciano si intende o r a calcolato r i s p e t t o a E,,E,,E, Nel caso d e l l a turbolenza omogenea isotropa e' 3v6 = 0 (*).
.
( * ) Invero esso sar: uguale a un t e n s o r e omogeneo i s o t r o p o d i lo ordine, dipend e n t e s o l t a n t o da r , s o l e n o i d a l e r i s p e t t o a l l e i n d i c e k e d e l l a forma Svh = SA& con A funzione p a r i d i T , r e g o l a r e per r = 0 . I n d i c a n d o c o n Ik(k = 1.2.3) i v e r s o r i d e g l i a s s i d i riferimento, si pucf s c r i v e r e anche
.
-
0 f dvk = A? x
div
(A?)
=
Tk
A d i v ? t grad- A x 3 =
3A
aA ar
+ r-
rMa questa equazione non ha soluzione non nulla, regolare per elude che e"Vh = 0.
= 0
r
= 0 ;
s i con-
Inoltre si ha
e pertanto 1' equazione [23] diventa ,
e ponendo
dove Qxk sara9un tensore isotmpo d i 2O ordine e Tijk , St jh tensori isotropi d i 3O ordine. t u t t i solenoidali rispetto a l l 9indice siamo scrivere
I1 tensore Q$k s a r g simmetrico r i s p e t t o a g l i indici
k
i ,k
. pos-
.
stera' quindi una omografia vettoriale a (dilatazione), funzione d i p e r cui si puo' s c r i v e r e Qik= a & x
Esi-
q
,
17, .
-.
I n o l t r e . il vettore ~'1% dovra essere solenoidale; si pucf porre quindi
eon Q quantita' s c a l a r e funzione pari d i r ( o l t r e che d i allora Q~~ = R O ~ ( A)?'' Q ~ x 17, = m t ( p ; t n ~ ~x )~k [381 .-
Qik =
( 0 )
I n f a t t i si ha
1.
aQ
7
EiEk -
(rg
+ 2Q)btk ,
t). Avrem
ll .. TURROLENZA I N MAGNETO IDRODINAMICA dove e' bgk = I. x Ik
=
1 per
k = i
o
kpCi.
**
E? manifesto che 1' o m g r a f i a a da c u i deriva. il t e n s o r e Qik . equi-
v a l e a l l a diade
Di qui segue s u b i t o che se indichiamo con vr , vi l e componenti secondo 7 = P f - P, d e l l e velocita' n e i p u n t i P , P f , e con Un , V' nI l e c o r r i spondenti componenti n o m a l i a l l a direzione d i 3 , i v a l o r i medi d e i - p r o d o t t i d i velocita' vrvi , vnV; sono d a t i da
l a prima d e l l e q u a l i d d il s i g n i f i c a t o d e l l o s c a l a r e Q . Dalla [38] si ricava l n o l t r e
M a osservando che
$ (Q&) =&.Q-Ei
+2
grad Q x grad Eg-
=
E t =(a2Q 4 aQ) + 2 aQr -- + - - Ex ar
r
ar2
r ar
e quindi
ne segue [411
In quanto a i t e n s o r i
T$jk
.
Sg j k , che rappresentano rispettivamen-
- -
t e l e c o r r e l a z i o n i d i t e r m o r d i n e vtvgv; , hlhjvi , osserviamo che essi saranno t e n s o r i i s o t r o p i d i 3O o r d i n e funzioni d i 3 , simmetrici ri-
spetto agli indici
i , j e s o l e n o i d a l i r i s p e t t o a l l 0i n d i c e k . E s s i de-
riveranno percio" da v e t t o r i solenoidali d e l l a forma
(*)
Tij = r o t [ ~ ( E 4 7A 7" t Ej7 A & ) ) 'Zgj = I V ~ [ S ( E *A~ Tj t Ti)] con
T
ed S quantit& s c a l a r i funzioni p a r i d i
,
Ne segue
r
Si ricava
e somando r i s p e t t o a l l vindice j
9 ae, = rot[(.: " j
si o t t i e n e
t5T)ii&]
=
mt[(rf
t 5 $ i A ] ~
-
Analogamente
e quindi
+
e
Invero dovrae e s i s t e r e un v e t t o r e t f j 2 funzione $i r . simmetrico rlsp*t o a g l i i n d i c i i ,j t a l e che Ptj = r o t t 4 j dave t i $ sart?' combinazione 1in e a r e d i v e t t o r i a s s i a l i d e l l a forma (*)
con c o e f f i c i e n t 1 funzioni s o l t a n t o d i
.
T
.
M a i n v i r t u vd e l l 0 i d e n t i t *
d e i q u a t t r o v e t t o r i c o n s i d e r a t i s o l t a n t o t r e sono linearmente indipendenti. Tenendo qui5dl conlo d e l l a simmetria r i s p e t k o ~ l i n id i c i - i , j . si F a c e che ll r e t t o r e t ( j saraP p r o p r i o d e l l a forma: t ( j = T(&? Ij + E,j"r 1%)
.
D - TURBOLENZA I N MAGNETO IDRQIIINAMICA Sostituendo n e l l a equazione dinamica [36], tenendo conto d e l l s espressione 1381 d i Qtk e d811a espressione [41] d i anQtk , si deduce p e r 1e funzioni scal ari Q9ToS 1' equazione
che eP 1' estensione a l l a magneto idrodinamica d e l l 9equazione d i von Karman e Howarth d e l l s o r d i n a r i a turbolenza isotropa.
3
-
S i g n i f i c a t o d e g l i scalari .the d e f i n i s c o n o le c o r r e l a z i o n i .
Per avere il s i g n i f i c a t o d e g l i s c a l a r i T, S , osserviamo che se cop trassegniam anoora col s u f f i s s o r l e componenti d e i v e t t o r i ed h secondo l a direzione d i 3 e col s u f f i s s o n l e componenti n o m a l i ad + r , d a l l a prima d e l l e [42" si ha che i v a l o r i medi d i prodotti d i 3' - - ordine $&; @; , vrvnv; , che sono q u e l l i che nomalmente vengono misurati, sono d a t i rispettivamente da
'z
-..
- -
Analogamente d a l l a 2' d e l l e [42'] si.ha che i valori medi h;v: , hsv:. , h,.hnvh sono d a t i d a
Poiche', come hanno trovato von Karman e Howarth, i n vfcinanza d e l l e o r i gine, cioe' p e r r + 0 , il tensore v;v: deve comportarsi come 9,dall a prima d e l l e [45] si ha che l o s c a l a r e T i n vicinanza d e l l ' o r i g i n e avrt9 il comportamento 1461
T
=
T,
r2 + o ( P )
.
per r
-r
0
.
Ln s c a l a r e S che definhcre. il tensore hjhjvi deve tendere invece ad
4 - ULTERIORI CORRELAZIONI
un limite f i n i t o
per r
+
0 , e sara'. pertanto
S = % + S 2 P + 0 ( e ),
per r - 0
- -
I n f a t t i , se consideriamo. i valorf medi hqvi , h2,v; , d a l l a seconda dell e [42'] si ha
da cui si ricava
a 4 aq,,
h l y = - = - 3%
axl
2 a (1 as) -- t:rar rar
e passando al l i m i t e per r
-
a2s 2-ga r2
as ar
2(r-+2q)
0 , si ha
Ricordando quanto si @ detto nel 5 I, n o 5 , c i r c a l o sviluppo . d i e' una misura del energia magnetica nel moto turbolento, si ha che contribute d e l l Denergia magnetics dovuto a l l Destensione d e l l e linee d i forza magnetica per e f f e t t o d e l l a velocita' del campo Quindi So i n generale non Sara" nullo.
4
-
Ulteriori correlazioni fra l e coaponenti del campo$magaet i c 0 e d e l l a velocita9.
Oon l o stesso procedimento del n02 di questo Cap,, scrivendo I?equarelativo al p m t o P'. zione (311 per l a componente h; del vettore moltiplicando 1-quazione
che cosi" si o t t i e n e per hb , l a [3l] per hL,
D
TURBOLENZA I N MAGNETO IDRODINAMICA
poi sommando, e prendendo quindi l a media sf ricava -
ahjhi --
,,
a :j
a
aG [(vjhf-
hhjvi)hi
-
((vhi - hihjii)h3 ]
-
= g
A 4 hill .
Ma trattandosi di turbolenza omogenea isotropa si ha
percid 1' equazione precedente diventa
-
La correlazione hihi sara" definita da un tensore, isotropo d i 2 O ordine Hik analogo al tensore Qik= vi6i espresso d a l a [38]; avremo quindi
essendo E una funzione pari d i r , e in modo conforme a l l a [41] risulta
Osserviamo o m che l a t r i p l a correlazione ( h p j - hjvi)hi sara' equivalente ad un tensore di 30 ordine, che indicheremo con Mijp , emisimmetrico rispetto agli indici i , j Segue che esso sW dells hrma
dove al solito R eP una funzione pari d i r , e sf riconosce subito, come @ necessario, che esso d solenoidale rispetto a l l Dindice k , che cioes div[l;~(?~A$)] = mt(n3 x esaendo r o t ( I 3 )
= grad
MA;
= 0 .
T;A?;
=
o
,
cioe', mnfmntando con l e 1381 e [39] si ha
Sostituendo nella [48] si deduce l'equazione scalare
a l l a quale devono soddisfare l e funzioni 'H ed M . Osserviamo che l o scalare N , che definisce il tensore [51], per r 0 avra' il comportamento
-
M
= Mot
M2r2 t 0(+) , per r
+O ,
dove il mefficiente No e' finito e non nu110 ed e' un mukiplo del coefficiente &, ; precisamente si ha (*)
(*) I n f a t t i , considerando i l valor medio
M4 ah; aN 3 ' (hv, - h2v1)-= -= - - t M a a& 3 r (kv2 - h2v*)h: =
si deduce
422. =
9
,
e quindi
Ora r i s u l t a
a av2 ah, = - hh2-av2 4 v 2 b - hh2- - h g 2 ax, ax, 3% ax, ax, ah,
1 5 ~ ~ =- ed i n o l t r e
ah, ax,
h2v2-
D - TURBOLENZA IN MAGNETO 'IDRODINAMICA 5
-
Le eguazioni d e f i n i t i v e della macneto idrodinaaica turbolenta isotropa.
Un9a1tra equazione scalare si puo' dedurre dalle equazioni [30] e [31] nel modo seguenke. Moltiplicando ambo i membri della [30] per
hi
4
Per l a solenoidalitet del vettore
h
si ha mcora
ah,
ax,
ax2 3%
M a nellaipotesi d e l l oisotropia
1
h2v2 - = 2% 2
e-ax2 - h2v2-ah, . 2% av2
@:
percid
ah, 1 ah, h2v2- = 2 h, - - h2v2 -
ax,
axi
ax,
cioe~,per l a [47],
Doa l t r a parte d a l l a seconds d e l l e [42*] si ha
da cui
e a1 limite per
Ne segue
-r
0
.
ax,
5-EQUAZIONI DEFINITIVE e prendendo.la media.& o t t i e n e
-
essendo nu110 il valor medio $h;, per considerazioni analoghe a quell e f a t t e nel n02 d i mesto per i1 valore medio @ . . . Scrivendo o r a 1"quazione [31] per l e cowonenti h i , v i nel pun'to P P , moltiplicando quindi per V i , e prendendo l a media, si ricava ah; s a ve + Z,j - (4h;- h;v;)va at 1 af3
=
A$
hive
Sommando infine l e equazioni [54]- e [54'] si o t t i e n e
=
(A + v) A2 vzhh +
Poiche' a d i f ferenza del vettore velocit&, il vettore h si comport a come il vortice, ed e' quindi come si dice un vettore assrale, oti oblaquo f skew second0 l a denominazione inglese), awiene che correlazioni i n cui ricorre un numero dispari d i componenti d i X sono equivelenti a tensori a s s i a l i , contrariamente a quello che accade qumdo invece compare un numero p a r i d i componenti d i h . Ne segue che v C h i saraP:uguaPe a un tensore isotropo d i 2: ordine assiale, cioepd e l l a forma -0
con R funzione p a r i d i
Da questa si ricava
- -
Analogamente l e t r i p l e correlazioni v 3 v j h i , h2hjhi che f i m r a n o nel-.. l a [55] saranno dei tensori a s s i a l i d i 3O ordine fuazioni d i r proven i e n t i da v e t t o r i analagbi al vettore &$ defiriito nel ^no2 d l questo Cap.
D - TVRBOLENZA IN MAGNETO IDRODINAMICA i n nota, cio@della foma
con U,V funzioni pari d i r . Ponendo
si ha anche
157~1
Questi tensori sono simmetrici negli indici a, j , e come ,si riconosce subito som solenoidali rispetto a l l pindice k . In quanto a l l s correlazione (vihi - hl;~;)v~, questa sarap uguale a ua tensore isotnpo assiale d i 3 O ordine, antisimetrico rispetto &li indici j , k e solenoidale rispetto a l l 9indice i . Sara9 quindi della
Si ricava ora dalle [57] e [58]
(*)
Si ha i n f a t t i
3
a
6 -EQUAZIONI COL POTENZIALE VETTORE e sost ituendo nella [55] si ha. lD a l t r a equazione rscalare richiesta
dove s f
d posh
[ml Dunque l e funzioni scalarilche definiaono i vari tensori wasiderati devono verificare l e equazioni [44], [52] e [59], che mi riscrivo
at
(T-S) = 2vb2(Q)
e queste sono l e equazioni basilari dell8 magneto idmdinmica tarbolent a isotropa.
6
-
Le eqaazioni in t e m i n i d e l potenziale veatore.
Le equazioni della magneto idrodinmica turbolenta isotropa precedentemente s t a b i l i t a si possono esprimere anche in termini del potenzial e vettore A del campo magnetic0 1 , definj t o dalla relazione 4
4
dove, senza scapito d i generalit&, il vettore noidale. Ponendo in modo conforme a l l a [28]
con
- 317 -
div
2=
sf puo" sumorre sole-
0
D - TURBOLENZA IIV MAGNETO IDRODINA MICA In v i r t u 9 d i questa relazione g l i s c a l a r i che definiscono i tensori + i n cui compaiono delle componenti d i h , saranno i n relazione con quelli che definiscono i tensori i n cui l e componentl d i 5;. ove occorre, sono s o s t i t u i t e con quelle d i z . Cosi9,*se:indichiamocon A e B g l i s c a l a r i che definiscono,i ten- sori solenoidali . isotropi a4a& , v Q a i, poniamo eioeu
hihi
=
-. -
rot, a x It- rot
+ ,P x Ik = - & a& = - & r o t (A P
;.A&)
x'Tk=
e analogamente
Ne segue, confrontando con l e [49] e [56].
dove D2 eP l voperatore d i f ferenziale definito d a l l a [60]. - Consideriamo ora i tensori v j v j ~ L hihJ5; , i quali saranno tensori isotropi simmetrici rispetto a g l i indici a, j e sdle110ida.U rispett o all' indice k . In mod0 conforme a i tensori Tisk Stik espressi dall e [42'] , e s s i saranno esprimibili n e l l a forma
.
6 -EQUAZIONI COL POTENZIALE VETTORE
Ora possiaw, scrivere *
*
+ - '
+
v j v j h i = rot vZvjaP x IR = r o t r o t [E(&;A'I~ + t j r ~ ' l t )x lIR
Confrontando con l a prima d e l l e [ST] si ;ha
e analogamente
Finalmente c o n s i d e r i m il tensore ( h t v j - h l v i ) a i , che e%tisfmet r i c o negli indici z , j e solenoidale r i s p e t t o a l l ' i n d i c e k , e poniamo, i n conformita' d e l l a [ 5 8 ]
con G funzione p a r i d i r . Abbiamo quindi
e confrontando con l a [ 5 1 ] si ha
Le equazioni cbe governano g l i s c a l a r i A,B,E,F,G, si deducono o r a 3 s u b i t o d a l l e equazioni [52] e [ 5 9 ] . La prima d i queste, i n virtu"! [a] e d e l l s *[67] diventa
D
- TURBOLENZA
I N MAGNETO IDRODINAMICA
M a s e f (r) eP una funzione che soddisfa a l l pequazione
af
fl - = cost. ar e affiache' f s i a regolare per r = 0 , deve essere
f
cost.
=
Dalla I €681 segue allora
-aA- - 2 6 t 2?&A
at
t cost.
che @ 1' equazione equivalente a l l a [52]. Analogamente, avuto riguardo a l l e [64] ed a l l e [65] e servando che
l a [59] risul t a equivalente a l l pequazione
[@'I,
e 0s-
CAPITOL0 111
La dissipazione di energia e le fluttuazioni della pressione
1
-
La d i s s i p a z i o n e d e l l - n e r g i a
p e r v i s c o s i t a B e conduttivit*.
Le equazioni che governano l a dissipazione dell-nergia possono essere dedotte dalle equazioni [44] e [52]. Per questo ossemiamo che g l i scalari Q,H,M, S, T , ricordando l e [46] e [ 4 6 ] , nell3ntorno d i r1= 0 , si possono rappresentare mediante serie d i potenze d i r delPa forma
Sostituendo nelle equazioni [44] e [52], e uguagliando i coefficienti dei termini indipendenti da r , si ottiene
D-ltra
parte dalle equazioni [35] e [39] e dalla [49] ricaviamo
e guindi
Passando a1 limite per
r -. 0
si ottiene
D
-
TURBOLENZA I N MAGNETO IDROD INA MICA
Sostituendo n e l l e equazioni [7d], ricordando che e' (cfr. l a [53] ),
che sono l e equazioni che danno l a variazione c o l tempo dell9energia c i n e t i c a e d e l l 9energia magnetica media p e r unita' d i massa. La variazione t o t a l e dell' energia r i s u l t a
Westa equazione sta a s i g n i f i c a r e che l a p e r d i t a t o t a l e d i energia del mezzo d dovuta alla dissipazione p e r viscosita' e a l l a dissipazione i n forma d i c a l o r e d i Joule p e r conduttivita!.
av1 hi2 -
n e l l e equazioni [74] mo3x1 stra d9a l t r a p a r t e che 1.a p e r d i t a d i energia c i n e t i c a che si ha p e r e f f e t t o d e l l ' estensione d e l l e l i n e e d i forza magnetics, 'si r i t r o v a i n incremento d e l l 9energia magnetica del campo. I1 segno opposto d e l termine
2
-
7.5
Iovarianti d e l t i p 0 d i Loitsiaosky.
Nel19o r d i n a r i a t e o r i a d e l l a turbolenza si dimostra che esiste 1' integrale
dove Q ed esso
1 @
r
=
a (coatante) ,
l o s c a l a r e fondamentale del tensore d i correlazione
P
vjvR
,
invariante (invariante d i Loitsiansky) durante il process0 d i decadimento d e l l a turbolenza. Come Batchelor ha dimostrato. il s i g n i f i @
2-INVARIANT1 DEL TIP0 DI LOITSlANSKY eato della costante A e" che l o spettro d i energia a numeri duondamolt o bassi, cioe" collegata a gross1 l'enti voptici, e" permanente ed e d e terminato daYle condizioni iniziali. Ora, nel cam della magneto idrodinamica turbolenta isotropa . esis t e un integrale analog0 a quello d l Loitsiansky, Invero, moPtipPPcando ambo i membri della [44] per
t d , e osservando che
s r ottiene
e integrando da 0 ad
Ne segue che se per
si ha
r
r -.a
risulta
P
Qtddr
=
cost.
%
Le ipotesi che hanno permesso d i dedurre nella tmtolenza ordinarfa 1911variante d i Loitsiansky da1l"quazione
d i von ~armhn e Howarth,
sono
analoghe a l l e ipotesi [77], e non @ irragionevole presumere Pa validitaa di queste ipotesi anche in magneto idrodinamica. In questo caso esfsteraGdunque 19nvariante [78] che ha lo stesso signiftcato di quello dell a turbolenza ordinaria. Sotto ipotesi equivalenti anche 1"quazione [59] ammette un integrale: Infatti, moltiplicando ambo i membri per td e integmndo da 0 ad r s i ha
D
- TVRBOLENZA
I N MAGNETO IDRODINAMICA
e quindi s e
+(U-V)
+O
,
aw
P--0 ar
,
aR ar
+--+O
,
per r - a ) ,
a l l o r a si h a
1"-r
=
cost. ,
dove ricordiamo R @ l o scalare che definisce il tensore di correlazione vih4 L9 equazione 1521, cosi9 coma@ s c r i t t a , non ammette, per l o scalare B , un integrale del tip0 d i Loitsiansky. Se pew, i n accordo con l a [67], sostituiamo -D2G ad M , l a [52] diventa
Wltiplicando al s o l i t o Who i membri per fi , e integrando da r si ricava
0
ad
.
aG P--0 ar
,
aH
P--0 ar
HPdr
=
,
per r + . a
cost*
D' a l t r a parte, s e i n accordo con 1"equazione [67] abbiamo s o s t i t u i t o -Di (G) ad M , cosiO pure, concordemente alla [63] possiamo s o s t i t u i r e -D2(A) ad 8 , e a l l o r a si ha
cioe' [861
3-CORRELAZIONI DELLA PRESSIONE aA Ne segue: ehe: se fl --- 0 , per r -. od ar '
6"d.
1871
= 0
! siamo
portati ai concludere che
.
Appare cosi' che se esiste per I/ un invariante di Loitsimslw, esso probabilmente vale zero. Sotto un certo punto d i vista questo risultato si pud ritenere esatto, considerando 1' analogia, messa. in evidenza dal Bat* chelor, t r a il campo magnetico H e l a vorticita' 3. Ora se fl e' lo scalare ehe definisce il tensore di correlazione
eP noto che
Per l a detta analogia anche per l o scalare 8 , che definisce l a
-
correlazione hlhL , e' da prevedere che s'ia Vera l a [87]. Osserviamo infine che, considerando 1' espressione [63'] di R , si
e, quindi se,
3
-
aB
fi -:+
ar
0 , per
r *>a,1' invariante [81] diventa
Le correlazioni d e l l a pressione con l a velocita" po magnetico.
il cam-
Per stabLlire l e formule necessarie per l o studio delle fluttuazfoni della pressione, il quale studio ha molta importanza in un gran nutnero d i problemi f i s i c i in cui ricorre moto turbolento, incominceremo intanto a determinare l e correlazioni della pressione totale in un punt o P , con due componenti delLa v d o c i t a Qo due cnmpnnenti-dd campo magnetico in un a l t r o punto Pg..
D - TURBOLENZA ' I N MAGNETO 'IDRODINAMICA Poniamo per questo
dove
6 e. il
-
valor medio d e l l a pressione ed h2
e" i P
quadrat0 medio
del vettore che rappresenta il camp0 magnetic0 neP punto P . r i m quindi l e correlazfoni
Nel19ipotesi dePP"sottropia
i tensor1
Conside-
gLrn, nl, devono essere esprimi-
b i l i nella foma
dove P I , P 2 e
nl,&
sono c e r t e funzioni pari dePPa distanza r
fra i
due punti P e P f considerati. Cio9premesso riprendiamo P%quazione del moto s o t t o Pa f o m a [30]
Moltiplicando ambo i membri d i questa per viv& , e prendendo quind i l a media, si ottiene
f e ossemando che v 2 v ~ v= ~- v~v,v~
. si ha
I1 p r i m membro d l auesta equazione @ un tensore d i 3 O oniine salenoidale
3-CORRELAZIONI DELLA PRESSIGNE rispetto all9ndice a allora
.
Tale! s a w quindi il second0 membro. & poniaw,
il tensore Xlmz
s a d ancora derivabile da una funzione scalare sara' percio' d e l l a forma
1 e
Poiche' il tensore Xlmi deriva dai tensori d i 4 O ordine Q i j l m , Ri j l m , occorre ora fare d e l l e nuove ipotesi che permettano d i s t a b i l i r e d e l l e relazioni semplici f r a i valori medi dei prodotti d i 4 O ordine e i val o r i medi dei prodotti d i 2 O ordine, i quali ultimi sono piu9 facilmente assoggettabili ad indagini teoriche e sperimental i . Ora si dimostra ( * ) che s e l a probabilita' d i distribuzione d e l l e velocita' 3 , i n due punti d i s t i n t i e' normale, s e c i o e l a funzione densita' d i probabilita' e' l a t r a s f o m a t a d i Fburier della funzione caratteristica
a l l o r a sussiste l a re1 azione
Noi ammetteremo che anche l a probabilita" d i distribuzione d e i vettori che rappr'esentano il campo magnetic0 in due punti P,P P s i a normale. Circa l a validita" d i questa ipotesi rinvio a quanto @ r i f e r i t o da
( * ) C f r. G. K . BATCHELOR" &mgneous 'Itubulence, p. 179 (Cambridge Moncgraphs on Yecanics and Applied Mathematics, 1953).
D - TURBOLENZA I N MAGNETO IDRODINAMICA Batchelor nel190pera citata, Allora avremo ancora
Le relazioni [96" [97'] e [98" valori medi dei prodotti di
4O
nelle ipotesi f a t t e esprimono dunque i ordine.
per mezzo dei valori medi di prodotti d i 2 O ordine. In base ad esse faremo vedere che l e funzioni scalari PI , P2 e & n2,. che definiscono rispettivamente l e correlazioni [91], si possono esprimere in termini #
degli scalari Q,R,H, che ri'spettivamente definiscono i tensori Qij
=
.I.;
.
-
Rij =
vih;
.
Htg
Sostituendo nella [94] in luogo dei tensori sioni [96'] e [97'], abbiamo intanto
Ricordando che (cfr. [38], [39] e [56])
a calcoli effettuati si trova
=
K&
Q5jLm
Ri jLm le espres-
C,
EII
3-CORRELAZIONI DELLA PRESSIONE
dove g l i apfcf indicano derfoazione rispetto ad r , Dal confront0 delPa [99] con Pa [95], sf ricava
l e quali definiscono g l i scalari PI , P2 ed X in termini d i Q ed R e loro derivate rispetto ad r . Eliminando dalla seconda delle [~oQ] X ed X P per mezzo delle alt r e due, si ricava
Derivando poi l a terza delle l a prima, si deduce ancora
[loo]
rispetto ad r e confrontando con
Dalle equazioni [loll e [lo21 si ricavano g l i scalari Pl e P2 , mentre l a t e r n delle [loo] dd senz%ltro il valore d i X . Ora l e equazioni. [loll e [lo21 si possono scrivere
Integrando queste equazioni, e supponendo c k t u t t e l e quantitaP tendano a zero in modo sufficientemente rapid0 per r -. a, si ottiene
D
- TURBOLENZA
IN MAGNETO IDRODINAMICA
dove, come Sara' f a t t o anche nel seguito, si b i l e d i integrazione. Eliminando PI si ricava d
- (fip2) dr
=
- 4r2
(QP2- ~
d
i n d i c a t a eon y l a varia-
~ d y ) t 214(Q12 y -R2) -
da c u i , con integrazioni p e r p a r t i , si deduce
ciod ancora
e quindi
Per l a t e r z a d e l l e
4
-
[loo] ;si ha
infine
Determinazione degli scalari
n,
e
n2 .
Per determinare o r a g l i s c a l a r i nl e & m l t i p l i c h i m ambo i membri d e l l 9equazione del m t o 1301 p e r hi& e prendiamo quindi l a media. Si o t t i e n e cosiv
n,
4-GLI SCALARI
e
n2
Osserviamo che r i s u l t a
Ma avevamo (cfr. l"1tima
delle [35] e l a 2a delle [42])
-. hlh,,pi
=
SLst
=
2 t E,,E~;A 71)] x T.. :
dt[S(El;~
ne segue che il primo membro:delle*.[l08] @ solenoidale rispetto all: indice
z
.
Tale sarananche il second0 membro, cioe' il tensore
Essendo allora il tensore
Ylia
solenoidale come XLnd , e-vidente che
per l a detem'inazione degli scalari
&
e
a l l e [lo31 e [104], con l a sostituzione di
-R2, -HI2,
ad
& avrem equazioni analoghe & ,& a PI , P2 , e d i
R2, Q P 2 . Avremo dunque
-
Osserviam che dalle espressioni [91] delle correlazioni ~ , = 8 ' v ~ v ~ e
nl, = $hi%
, facendo
m.= 1 , e sommando rispetto a l l nindice 1 , si
ricavano i valori medi
ciw, i n virtuD della I1031 e della [110], si ha.
D - TURBOLENZA IN MAGNETO IDRODINAMICA Da queste equazioni sommando si ottiene
Da questa formula seguirebbe che s e g l i spettri del quadrat0 medio dell a velocita2 e del campo magnetico nella turbolenza stazionaria, fossero simili, come ep stato congetturato da Alfven, da Fermi e da a l t r i , allo-
-
--
r a g l i scalari Q ed 8 , che definiscono l e correlazioni vdvi , hih; , dovrebbero essere eguali ( Q = 8 ) , e quindi per l a [114] si dovrebbe concludere
3(v* + h 2 )
= 0
M a questo risultato non sembra verosimile
5
-
. (*).
La c o r r e l a z i o n e d e i p r o d o t t i d i p r e s s i o n e .
Consideriamo infine l a correlazione 8 8 ( r ) , u t i l e per lo studio delle fluttuazioni della pressione nella turbolenza oorogenea iso tropa. Prendiaw per questo l a divergenza d i ambo i membri dell'equazione del moto [30]. Si ha cosis
Scrivendo questa equazione per un a l t r o punto P', moltiplicando membro a membro, prendendo quindi l a media, e osservando che
dove ne119ultimo membro l e derivate si intendono calcolate rispetto a l l e ( * ) Invero, l o e s i s t e n z a d e l l o i n v a r i a n t e d i Loitsiansky per Q (hO 9). implica 0 , essendo k il numero che l o s p e t t r o d i 9 si comporti come k4, per k dsonda; mentre 1-nalogia t r a il campo magnetico e l a v o r t i c i t a o , messa i n e v i denza d a Batchelor, mostrerebbe che l o s p e t t r o d i h2 s i comporta come ke per k-0, i n accord0 c o l f a t t o che, come si @ t r e v a t o nel no 9 , l U i n v a r i a n t e d i L o i t s i m s k y per l o s c a l a r e 8 @ nullo.
-
5-LA CORRELAZIONE PRODOTTI DI PRESSIWE
Ora i termini R*jlm = v.i.vjhj$ , RLmzg = viv&h*h3 = vlvmh;h$ , involgenti prodotti misti, non danno alcun contributo. D"altra parte, tenendo conto delle espressioni [96"
e [98'] d i
Qiglm ed H*JL, , si tro-
va .[cfr. Batchelor, loco c i t a t o , p. 180, (8.3-1 2 ) ] ,
3
= 2?jlm
(a t , aF,
a2Qjm
a t 4 aE,
quindi
e con successive integrazieni si trova
+
a2H%l a 2 H j m a t j 3 4 ' ah
ar,
D
- TURBOLENZA
I N MAGNETO IDRODINAMICA
In particolare per r -. 0 si ha
che definisce il quadrato medio della fluttuazione della pressione in ciascun punto. Cbmbinando l a [1161 con l e [113], si ricavano ancora l e relazioni
che possono essere util i nell e appl icazioni.
BIBL IOGRAFIA
BIBLIOCRAFIA
-
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PROGRAMMA DELLE LEZIONI DEL PROF. W. TOLLMIEN ( G o t t inga
1 - Abschnitt: E n t s t e h u n g d e r T u r b u l e n z . Zur S t a b i l i t a t s t h e o r i e laminarer Stromungen inkompressibler Fliissigkeiten. Gesamtes Spektrum d e r Eigenschwingungen gewisser laminarer Stromungen. Nene Untersuchungen z u r S t a b i l i t a t laminarer Gasstromungen.
'2 - A b s c hn i t t : Z e i t l i c h e s Abklingen von Eigenschaften der homogenen isotropen Turbulenz aufgrund einer einfachen MDdellvorstellung.
Ebergiespektren. Geschwindigkei t s k o r r e l ationen. Druckkorrelationen.
3
-
Abschnitt: T u r b u l e n z und Larm.
Ekperimentelle Ergebnlsse b e i t u r b u l e n t e r S t r a h l v e r m i s c h u n g i n Druckreduzierventilen. Theoretische Frwagungen z u r Larmerzeugung beiabklingender homogener i s o t r o p e r Turbulenz.
4 - Abschnitt: F r e i e Turbulenz. Strahlvermischung und Nachlaufstriimung. M i t t l e r e Strijmungen. Eigenschaften d e r Schwankungserscheinungen.
PROGRAMMA DELLE LEZIONI DEL PROF. W . TOLLMIEN
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