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dp
{faire
K = ip)
-00
= 27ri h{mr{p))
{car
A(r)
est paire).
On conclut (4.33)
n{h) = 27riY,Kp^rn h{mr{p)) = 27ri H{h).
Autrement dit, on a la formule (4.8) en prenant pour C la droite joignant /c' — 200 a Ac' + ioo lorsque ^ < K' < c. 4.6. D'apres la discussion precedente, si la fonciion h{p) satisfait aux hypotheses (A) de 4-2, les formules (4-6)^ (4'V ^^ (4-8) sont simultanement valables lorsqu^on prend pour C une droite joignant K' — ioo a K' -{• ioo (I'ensemble defini par Re K = K') pourvu qu^on ait \ < K' < c. De la formule differentielle d\ogD{K) = (2 - 2g)2K dlogT{^ -f /c) + dlogZx{^ + «:), on deduit alors la formule des traces de Selberg, sous la forme Q{h) = I{h) -f H(h)j avec les conditions usuelles de validite. En dernier ressort, tout repose, moyennant la theorie de Cauchy, sur les deux developpements en series d
00
^
p,m
La demonstration que nous avons donnee au chapitre 1 de la formule sommatoire de Poisson est tres semblable, avec la simplification due a Pabsence d'un "terme intermediaire" tel que I{h). De maniere analogue, les "formules explicites de la theorie des nombres premiers" reposent sur ridentite differentielle (4.34)
dlog^is) = - | l o g 7 r ds-\-dlogT{^)
+ d\ogC{s)
44
CARTIER ET VOROS
(traduisant la formule ^(s) = w *'^r(|)C(s)) et les developpements en series
(4.35)
(^)=,„,«„ = ^ +
^
-
^
^
(qui correspond au produit infini de Hadamard
^(^ - 1 )
.
p
ou p parcourt les zeros de la fonction C(s) de Riemann dans la bande 0 < Re s
(4.37)
Y logC(^0 = - X](^^g^)-^~'"'
P^^^ Re s>l
p,m
(qui correspond au produit eulerien
p
etendu aux nombres premiers p). Cette analogic etait connue de Selberg des 1956; on pourra consulter Weil [W] et Touvrage de Ellison et MendesFrance [EMF], ainsi que Cramer [CR], Delsarte [DE] et Guinand [GN]. 4.7. Nous allons adapter la methode de demonstration precedente a certains cats ou I'on ne suppose plus que la fonction h{p) soil paire. On suppose, pour simplifier, que Voperaieur —Ax w^a pas de valeur propre egale a ^] auiremeni dii, la fonction entiere D{K) = det(-Ax - i + «') ne s'annule pas pour K = 0. Les nombres /?„ seront normalises comme suit :
^^•^^'
^"-l-i(i-A„)i/^
Si
0
dans cette formule, t^^'^ designe la racine carree positive d'un nombre reel positif t. On posera K^ = ipm ou plus explicitement
^'•''"''^
«" = ( ( i - A >
si
0
LA FORMULE DES TRACES DE SELBERG Les zeros de la fonction imaginaire dans le cas exceptionnels situes sur Sur la fonction /i(/?),
45
D{K) sont done les nombres ±Kn, situes sur Taxe general A„ > ^, avec un nombre fini de zeros Taxe reel, correspondant au cas 0 < A„ < ^. nous faisons les hypotheses suivantes :
{Bi) La fonction h{p) est definie ei holomorphe dans une pariie ouverie V de C conienant le demi-plan ferme Re p>0. {B2) On a une majoration h(p) = 0{\p\~^) avec a > 2, pour \p\ tendani vers Vinfini dans une bande \Im p\ < c avec c > 0. (Bs) La forme differentielle h{p)d\ogZx{\ -f ip) est integrahle dans le secteur — f- < Arg p < 0, et de mime la forme differentielle h{p)d\ogZx{^ — ip) est integrable dans le secteur 0 < Arg p < f. Dire qu'une forme differentielle holomorphe uj{p) est integrable dans un secteur S : a < Arg p < b signifie qu'elle est la differentielle dF{p) d'une fonction holomorphe dans un voisinage de ce secteur 5, qui possede une limite a Tinfini. Alors, si deux chemins C et C joignent dans S un meme point /?o a I'infini, on a J^o; = J^, cj. On definit une fonction / I _ ( K ) holomorphe au voisinage de Taxe reel par (4.39)
h_{K) =
H-i>^)-hii-)
T h e o r e m e 1. Sous les hypotheses precedentes, on a la formule sommatoire (4.40)
E h{pn) = {2g n=0
/«co
2) / Jo
>»oo
/i(/?)/>tanh7rp dp^
I Jo
h.{K)d\ogZx{\
+ «).
On notera que la forme differentielle dlogZx{^ -h K) admet des poles reels, entre 0 et | , aux points Kn = {\ — ^nY^'^ correspondant aux valeurs propres A„ exceptionnelles, comprises entre 0 et | ; le chemin d'integration dans la formule (4.40), pour la variable AC, contourne chacun de ces poles par la droite (demi-plan inferieur). 4.8. La demonstration du theoreme 1 se fait en considerant I'integrale de Cauchy (4.41)
Q{h) = f Jc
h{-iK)d\ogD{K),
oil le contour C est represente (voir figure 6). D'apres Thypothese (^2), on a une majoration h{—iK) = 0{\K\~^) avec a > 2 sur le contour C, si
CARTIER ET VOROS
46
on choisit convenablement celui-ci. On pent alors reprendre, pratiquement sans changement, les raisonnements qui menent a la formule (4.11); on obtient oo
(4.42)
Q{h) = T
/ h{^iK)ipl + K^y'dK^
On transforme ensuite chacun des termes de la somme par la methode des residus, et Ton obtient Q(/i) = 27ri £ ; % „ ) .
(4.43)
n=0
t
4 V n* 1 k n
1/2
-*• -V1 '-it2 •-*: 3
L H. 2 t1
Figure 6
1/2 0
k
—•
LA FORMULE DES TRACES DE SELBERG
47
La deuxieme etape consiste a decomposer I'integrale Q(h) en les integrales Q^{h) et Q~{h) associees respectivement aux portions C^ et C~ du contour C. Ces deux portions correspondent au signe de Re K: on a. Re /c > 0
sur
Re K < 0 sur
C~.
Sur C^, on utilise la relation (4.9), soit (4.44)
d\ogD{K) = (2 - 2g)2K dlogT{^ + K) + dlogZx{^
+ «)•
Sur C~, on utilise la relation deduite de celle-ci en changeant /c en —«; comme on a D(K,) == D{—K), on a done, sur C~, la relation (4.45)
dlog D{K) = - ( 2 - 2g)2K dlog r ( | - K) -h c/log Zx{^ - K).
On pent done decomposer Q{h) en (2-2^)J+(/i) + (2-2p)J-(/i)+W+(/i) + li~(h), avec les valeurs suivantes des integrales (4.46)
(4.47)
2:+(/i) = /
J-{h)
h{-iK)2K dlogT(^ + /c)
= - f h{-iK)2K dlogT{^ - K) Jc-
(4.48)
n-^{h)=
(4.49)
n-ih)
[
= f
h{-iK)d\ogZxU-{-K)
h{-iK)dlogZx{^
- /c).
On pent maintenant reprendre les raisonnements du n° 4.4. Utilisant la formule de Stirling sous la forme de I'equivalence
dK
l o g r ( | + K) -^ logK
et Testimee h(—iK) = 0{\K\ ") avec a > 2, on est autorise a deformer dans I'^{h) et I~{h) les contours d'integration : C"^ devient le demi-axe
48
CARTIER ET VOROS
imaginaire oriente positivement, et C~ le meme axe avec Fautre orientation. On a done (4.50) J + ( / i ) + I " ( / i ) = /
A(-iK)2/c{dlogr(| + K ) - f ( i l o g r ( | - K ) } .
Les calculs s'achevent comme au n ^ 4.4, et Ton trouve (4.51)
I + ( / i ) 4 - I " ( / i ) = -27ri /
/i(/?)p tanh 7r/> dp,
Jo
Enfin, I'hypothese {B3) permet de deformer dans I'integrale 7i'^{h) le contour C"*" en le demi-axe reel positif avec contournement par la droite des points K„ situes entre 0 et ^; on trouve done r-too
(4.52)
W+(/i)= /
h{-iK)dlogZx{^-\-K),
Jo
Par un calcul analogue, on trouve (4.53)
n-{h)=
/
h{-m)d\ogZx{^-K);
«/—00
changeant AC en —K, cela devient (4.54)
n-{h)
= -
h{iK)d\ogZx{^-^K). Jo
Dans rintegrale (4.53), on contourne vers la gauche les points —«„ situes entre — | et 0; les conventions dans Tintegrale (4.54) sont done les memes que dans I'integrale (4.52). Ces deux formules permettent de conclure y+oo
(4.55)
W+(/i)+7^"(ft) = 27ri /
h.{K)dlogZx{^
+ f^)-
Jo
On a deja remarque que Q(h) est la somme des quatre integrales (2 —2^)J+(/i),... ,7i~{h). Le theoreme 1 resulte done aussitot des formules (4.43), (4.51) et (4.55). C.Q.F.D. 4.9. Ajoutons quelques remarques concemant demonstration.
le theoreme 1 et sa
LA FORMULE DES TRACES DE SELBERG
49
a) L'hypothese que ^ n'est pas valeur prop re de —Ax n'intervient que pour assurer que h{—iK)dlog D{K) est holomorphe pour K = 0. Dans le cas ou ^ serait valeur propre, le resultat est encore valable a condition de supposer qu'on a h{0) = 0. Les ajustements dans la demonstration sont minimes. b) Les pn sont lies aux A^ par la relation A„ = p'^ -\- ^. Sans changer rhypothese que les pn sont reels positifs ou imaginaires, on pent remplacer certains des pn exceptionnels par leur oppose. Supposons pour simplifier que les valeurs propres A„ comprises entre 0 et ^ soient simples. Chaque fois que Ton change un pfYi exceptionnel en —prm on ajoute a Q(/i) — J2^=oHpn) un terme h{—pm) — h{pm)\ ceci vaut —27r2 fois le residu de h-{K)d\ogZx{\ + K) au point Km — ipm- D'apres la formule des residus, cela revient a modifier le chemin d'integration en K en contournant K.^, par le demi-plan superieur au lieu du demi-plan inferieur. D'ou la regie : dans la formule (4-40), le chemin dHniegration en K, coniourne un 'pole Km (compris entre 0 et | ) par le demi-plan superieur ou inferieur selon que Vargumeni de pm est egal a -f-j ou a —y. Si Ton se refuse a choisir entre les deux racines carrees d'un nombre negatif A^ — ^, on pent dans la formule sommatoire introduire le terme ^{h{pn) + h{—pn)} pour cette valeur propre A^ exceptionnelle. Dans I'integrale /•OO
(4.56)
/
/i_(/c)dlogZx(| + /c),
Jo
il faudra regulariser le pole correspondani au moyen des valeurs principales de Cauchy. c) Dans le theoreme 1, Tintegrale en K (voir ci-dessus) s'etend de K =^ 0 k K, = +00. La fonction zeta de Selberg ZX{^-{-K) n'est definie a priori que dans le demi-plan Re K > | , et il faut au prealable effectuer le prolongemeni analyiique jusqu^en 0. Le developpement en produit infini de Zx{s) se traduit par le developpement en serie (4.57)
dlogZxi^
+ «) = J ] A^p,^e-'"^(P)'^c/K:. p,m
Si Ton utilise ceci pour integrer terme a terme Tintegrale (4.56), on obtient la valeur 5]lp m ^V.^^("^''^(^))' ^^ notant ^(r) la transformee de Fourier de la fonction paire non-analytique h(\p\). En fait, cette serie diverge fortement, et le remplacement dans la formule des traces de la serie divergente Y^pm^^p,mh{mT(p)) = H{h) par I'integrale convergente (4.56) pent etre considere comme un procede de resommation analogue a celui de
50
CARTIER ET VOROS
BorelpouT les series de puissances (*). II y a cependant une difference: dans le cas de Borel, il y a des ambiguites liees aux singularites de la fonction / I _ ( K ) ; dans notre cas, ce sont les singularites du noyau dlogZx{^ + K') qui creent les ambiguites. 4.10. Pour terminer ce chapitre, nous donnerons deux autres exemples de formules des traces^ ou la serie divergente H{h) = V ^ Kpmh{mT{p)) est remplacee par une integrale convergente. La demonstration est tres analogue a celle du theoreme 1. Dans les deux cas ci-dessous, on choisit une constante «' dans Tintervalle ]0, | [ qui n'est pas un pole de dlogZx{^ + K). (I) Nous supposons que la fonction h{p) est analytique dans la bande \Im p\ < K', paire, avec une condition de croissance h(p) — 0{\p\~^) (avec a > 2) pour \p\ tendant vers Vinfini dans la bande. On a alors /•OO
(4.58)
^'h{pn) = {2g - 2) /
W/>)f^anh irp dp
La somme est etendue aux p„ situes dans la bande \Im p\ < K\ correspondant aux A„ tels que A„ > ^ — /c'^. (II) On suppose que h(p) est analytique dans le plan coupe par les demidroites imaginaires joignant —ioo a —IK' et -^iK' a -f ioo. On suppose que h{p) est paire et que la condition {B^) est remplie {cf. 4.7). On suppose que les valeurs au bord h{p + 0) et h{p — 0) existent et sont analytiques sur la coupure allant de -\-iK' a -fioo. On pose alors (4.59)
, _ ( , ) . M»-«-0)-M»-^ + 0) ZTTt
pour K' < /c < +00. Voici la derniere variante de la formule des traces OO
(4.60)
/.OO
Y, Kpn{^ T «0)) = {2g - 2) /
/i(/>)ptanh7rp dp
/• + 00
+
/ J
(*) Dans le cas de Borel, la serie h(z) — Xl /
h—{K)e~^dn
/z_(/c)rflogZx(^ + /€±20). K'
-o h'{m)/z^'^^
avec h—{n) = V^ _o h(nn)i^'^/ml,
est resommee en h{l)
=
Le role de e~'^dn est tenu ici par
LA FORMULE DES TRACES DE SELBERG
51
5. Une nouvelle interpretation de la formule des t r a c e s 5.1. Rappelons la formule de Poisson generalisee [CH], [DG]. On considere une variete riemannienne compacte M de dimension d, et Toperateur de Laplace-Beltrami A M sur M. Soit P un operateur pseudo-difFerentiel d'ordre 1, ayant meme symbole principal que la racine carree (positive) de — A M ; c'est un operateur elliptique, et Ton suppose qu'il n'a qu'un nombre fini de valeurs propres non reelles. Si A/'(A) designe le nombre de valeurs propres reelles de P qui sont majorees par A, on a la forme generale de Testimee de Courant-Weyl (5.1)
^(A)-CA^
pour
A-^+oo.
On definit une distribution H sur R, qui s'ecrit symboliquement (5.2)
n ( r ) = rr(cos rP) = Y^ cos rpn, n
ou pn parcourt la suite des valeurs propres de P , multiplicites comprises. En terme de fonctionnelle, on a + 00
/
ft(r) cos rpn dr • « ^
pour toute fonction-test ^ ( r ) . Introduisons comme au chapitre 1 la transformee de Fourier + CX)
A(r)e-*^^c/r; /
-oo
on a alors (5.5)
Tl{h) = ^ ( / i ( p „ ) +
hi-p„))/2.
n
Bien entendu, s'il y a des valeurs propres p„ non reelles, il faut supposer que h(p) s'etend en une fonction holomorphe dans un domaine convenable de C contenant Paxe reel R. Pour utiliser les methodes microlocales du chapitre 1, on introduit la fonction iheta associee a P
(5.6)
G(0 = Tr{e-'^) = J^ ^'^^^.
52
C A R T I E R E T VOROS
a ne pas confondre (5.7)
avec la fonction
theta
eM{t) = Tr{e'^^) = J2e-'^''
introduite au n ° 3.7. La serie Y^^ e *^^ converge dans le demi-plan Ret > 0 d'apres I'estimee vV(A) ~ CX^ de Courant-Weyl. Lorsque h^r) s'etend en une fonction holomorphe dans une bande \Im T\ < c, on p e n t representer n(/i) comme une integrale de Cauchy -,
(5.8)
/-rj + ioo
n(/i) = ^^
{hW + h(-ii))eii)dt Jri-ioo
pour tout 7] tel que 0 < r; < c. Si la fonction 0 ( t ) , qui a priori est holomorphe dans le demi-plan Re t > 0, s'etend en une fonction meromorphe dans le plan complexe C, et si Q{t) et 0(—^) sont lies par une equation fonctionnelle convenable, on p o u r r a evaluer Tintegrale (5.8) par la methode des residus. La formule de Poisson generalisee affirme que le support singulier U de la distribution H est contenu dans Vensemhle des longueurs des geodestques periodiques (longueurs comptees positivement ou negativement selon les orientations). D'apres la definition du support singulier, 11 coincide avec une fonction de classe C^ sur R \ E . Sous des hypotheses de regularity convenables, on pent donner des renseignements plus precis. La fonction Q{t) = T r ( e ~ * ^ ) , holomorphe dans le demi-plan Re t > 0 admet u n prolongement par continuite sur I'axe imaginaire avec les seules singularites suivantes : a) une smgularite en t~^, au point t = 0, ou d est la dimension de M ; b) pour tout a £ T, non nul, une smgularite en (t — ia)~^~^''^ au point t = icr, ou r est la dimension de Vespace des geodesiques de longueur \a\ (on a r = 0 pour les geodesiques isolees). Nous allons illustrer ces remarques generales dans trois cas particuliers. Ce qui unit les deuxieme et troisieme cas est que M y est une surface a courbure constante /Y , et qu'on a P ^ = — A M + K/4i. 5.2. Commengons par le cercle S^ de rayon 1 dans le plan euclidien R . En coordonnees polaires r,d, I'equation de S^ est r = 1, et I'operateur de Laplace-Beltrami sur S^ est A = ^ . Nous prenons pour P la racine carree auto-adjointe positive de —A. Elle a la valeur propre 0, associee a la fonction propre constante
LA FORMULE DES TRACES DE SELBERG
53
et (p-n{0) = e~*"^. On a evidemment oo
(5.9)
n(r) = l-\-2Y,cosnT=J2 ^"'"'"' n=i
nel
soit encore
On a aussi oo
(5.11)
0si(O = 1 + 2 ^ 6 - ' ^ ^ = l/tanh(t/2). n=l
La fonction 631 (0 ^^ prolonge en une fonction meromorphe dans C, avec un developpement polaire (5.12) 631(0 = 2 ^ (t - 27rim)-^ meZ (sommer symetriquement la serie). Puisque le cercle est de longueur 27r, I'ensemble E se compose des nombres 27rm pour m parcourant Z. Ici la dimension d est egale a 1 et les geodesiques sont isolees. Les resultats sont conformes a la theorie generale decrite en 5.1. Pour la fonction Q{i) prolongee, on a Tequation fonctionnelle 0(—^ = —6(/); rintegrale (5.8) s'ecrit sous la forme
(5.13)
n(^) = -i f
2 tanh(V2) '
avec le contour C decrit en 1.4 (figure 1). A partir de la, les calculs sont ceux du chapitre 1. La methode des residus appliquee a la formule (5.13) donne n(^) = 2 7 r ^ ^ ^ A ( 2 7 r m ) . On reirouve la formule sommatoire de Poisson. 5.3. Le cas suivant est celui de la sphere S^ de rayon 1 dans Tespace euclidien R . Nous prendrons pour operateur P la racine carree autoadjointe positive Ps^ de I'operateur — As2 + | , comme en 3.9. Comme on Ta deja note, les valeurs propres de P^2 sont les nombres I", §, | , • • • de multiplicites respectives 1,3,5 .. ..La fonction theta correspondante est 00
(5.14)
633 W = Y,{2j i=o
+ l)e-«(>+i/2).
54
CARTIER ET VOROS
On a es.it) = -2^^e-^(^^'''^
^ g - t -*0+l/2) O + l / 2 )_ ^ ^-t/2\^^-1j g-t/2^, j=0
t/2
_ J_ 1-e-'
2sinhf/2'
j=0
'
d'ou (5.15)
es.W = - ^ ' dt smht/2
-
'""'^'^^ 2sinh^t/2
(voir la formule (3.72)). Noter que la formule (5.5) peut s'ecrire symboliquement n(r)=i(0(zr) + e(-ir)). Or, d'apres la formule precedente, on a la formule de symetrie (5.16)
0S2(/) = 0 S 2 ( - O .
Par suite, la distribution oo
(5.17)
n s . ( r ) = ^ ( 2 i + 1) cos(i + i ) r
peut s'ecrire sous la forme (5.18)
ns.(r) = -,£2!lZ2_ 2sinV/2
La fonctionnelle correspondante (5.19)
ns.(ft) = - r°°
h{T)^^^dr
doit etre regularisee au sens des parties finies de Hadamard aux points 27rm qui annulent le denominateur sin^ r / 2 . Noter I'absence de termes du type 8 de Dirac. II n'y a done pas de formule sommatoire. A partir des formules classiques, on obtient le developpement polaire (5.20)
es.«) =
2 ^ ^ J ; ^ .
LA FORMULE DES TRACES DE SELBERG
55
II est conforme a la theorie generale du n ° 5.1 : les geodesiques fermees sur S^ sont les grands cercles parcourus une ou plusieurs fois consecutives, done E est Tensemble des multiples 27rm, pour m dans Z. De plus, la dimension d est egale a 2, et pour tout m / 0, Tensemble des geodesiques de longueur 27r|m| est de dimension r = 2. Pour conclure, introduisons la decomposition symetrique
(5.21)
es^{t) = et.{t)-e-,{t)
avec les definitions suivantes (5.22)
\-2 6+2(0 = ^"^ + 2 ^ ( - i r ( ^ 4- 27rimy m=l
(5.23)
0-,(i) = - r ^ - 2 J ] ( - i r ( < -
2wim)-\
m= l
Noter que ©g2(0 ^'^ P^^ ^^ P^^^ dans le demi-plan superieur Im t > 0 et que 632(0 ^'^^ a pas dans le demi-plan inferieur Im t <0. 5.4. Le troisieme cas est celui d'une surface de Riemann compacte X, de courbure constante negative K\ on normalise la courbure par K = —1. On note Px Foperateur dont le carre est egal a —Ax — ^ et dont les valeurs propres sont, soit reelles et positives, soit imaginaires et d'argument —j. Les valeurs propres de Px sont les nombres pn normalises comme au n ° 4.7 (formule 4.38). T h e o r e m e 2. a) La fonction theta associee a Voyeraieur Px et defime par la formule (5.24)
0x(O = rKe-'''^) = E e -
tpn
n=0
dans le demi-plan Re i > 0, se prolonge en une fonction meromorphe dans le plan complexe C. h) La fonction ainsi prolongee satisfait a Vequation fonctionnelle (5.25)
Qx{i) + Qxi-t)
= (2 -
2g)Qs-(it).
c) La fonction 6g2(iO ^^^ meromorphe; ses poles sont doubles et situes sur Vaxe reel negatif aux points —27rm avec m = 0,1, 2,
56
CARTIER ET VOROS
d) Les poles de © x ( 0 ^^^^ ^^^ memes poles doubles que 0g2(i^), ei des poles simples siiues aux points ±imT{p), pourp dans V eim — 1,2, En un iel pole, le residu est egal a A'p y„/27r. Rappelons que Kp^m est egal a r(p)/2sinh(mr(p)/2). Dans la demonstration qui suit, on supposera que ^ n'est pas Tune des valeurs propres de —Ax, c'est-a-dire qu'aucun des p„ n'est egal a 0. Le theoreme resterait vrai dans le cas exceptionnel, a condition de compter pour ^ la contribution du terme e"^'^^ a 6 x ( t ) , pour pYi egal a 0. Par ailleurs, on a normalise les p^ imaginaires comme dans 4.7. Une autre normalisation modifierait Qxit) par une combinaison lineaire finie de termes sin \pn\^, c'est-a-dire par une fonction entiere impaire. Cela ne changerait ni le prolongement analytique de Qx(i)y ni Pequation fonctionnelle (5.25), ni la structure des poles. 5.5. Demonirons le theoreme 2. Tout d'abord, soit t > 0 un nombre fixe; on introduit la fonction entiere h{p) = e~*^, puis les integrales Q(/i),... ,W(/i) comme dans la demonstration du theoreme 1. II faut simplement preciser le contour. C : on fixe a > ~ et le contour C descend verticalement de -f^oo — a vers —a, va de —a a -\-a le long de Taxe reel en contournant les nombres —/€„ (resp. /c„) rencontres par le de mi-plan superieur (resp. inferieur); enfin C remonte verticalement de a a -ffoo-j- a. On decompose C en deux branches C'^ et C~ correspondant aux demiplans Re K> 0 et Re K <0 (voir figure 7). Considerons tout d'abord Tintegrale Q{h) (formule (4.41)). Dans le domaine defini par \Re K\ < 2a, Im /c > 0, on a h{—iK) — 0(|/c|~^) lorsque \K\ tend vers I'infini. Les raisonnements deja vus permettent d'appliquer la methode des residus; on trouve CO
(5.26)
Q{h) = 27rz ^
e"*^- = 27ri Qx{t)-
Les integrales X^{h) et X~{h) (formules (4.46) et (4.47)) se traitent comme dans le cas du theoreme 1; on trouve /•OO
(5.27)
I+(/i.) -f-I""(ft) = -2m
/ Jo
e-*Vtanh7rp dp.
Cette integrale s'evalue en developpant tanhTrp en serie OO
(5.28)
tanh7r/!>=l + 2 ^ ( - l ) ' " e - 2 " » ' ' ;
57
LA FORMULE DES TRACES DE SELBERG
ce developpement est absolument convergent pour p > 0 et Ton pent integrer terme a terme, d'ou oo
/•oo
(5 .29)
/
e-*''pt&ninrp dp = t-^ + 2^{-l)'"(t
+ 2Trm)-^.
i*.
./S^ a
- • Re^
-l(„
Figure 7
Finalement, on a (5.30)
I+(/i)-hZ-(/i) = 27rz e:^,{it).
Pour evaluer 7i'^{h) (formule (4.48)), on remarque que, sur la branche joignant a a -i-ioo + a de C"^, on a le developpement en serie (5.31)
dK
logZxi^
+ K) =
^Kp,^e-'^
58
CARTIER ET VOROS
On a aussi h{—iK) — e^^^. On integrera done terme a terme, d'ou la formule
(5.32)
n^{h)=
e - ' d l o g Z x ( U « ) + E^^P.'» mrip)-it
'
On a une formule similair^ pour 7i~{h). Nous exploitons maintenant la formule (5.33)
Q{h) = (2 - 2^)J+(/i) + (2 - 2^)2"(/i) + W+(/i) +
n-{h),
en tenant compte des valeurs calculees ci-dessus. On obtient la relation (5.34)
e x ( 0 = (2-2^)e+,(27)-f7r-i / sinKt dlogZx(^
+ K)
Jo
E
jz
r
Aat
p-iat
e"^«^(p) L/ + imrip)
p,m
-,
t - imT(p)\
^^
^ ^
valable pour tout nombre reel t > 0. Or les deux membres de cette egalite sont des fonctions holomorphes dans le demi-plan Ret>{). Par le principe du prolongement analytique, Tegalite (5.34) vaut done dans tout ee demiplan. La formule (5.34) fournit le prolongement cherche de 6 x ( 0 ^^ ^^^ fonetion meromorphe dans C En effet, on a defini 0g2(it) eomme fonetion meromorphe dans C; I'integrale sur /c definit une fonetion entiere impaire; enfin, la somme sur p, m eonverge eomme on le voit en la transformant en integrale de Stieltjes, integrant par parties et utilisant I'equivalenee asymptotique Q{T) ^ e^/r (formule (2.5)). La formule (5.34) montre que 0 x ( O ~ (2 ~ 2^)0g2(zO est une fonetion impaire de t. On a done (5.35)
Qxit) + Qxi-t)
= (2 - 2g)[Qt2{ii) +
Qt-i-it)l
L'equation fonetionnelle (5.25) resulte alors d'une variante de la formule (5.21), a savoir (5.36)
Qt{i)^Qt{-i) = Qs
Enfin, les assertions relatives aux poles de 6 x ( 0 sont visibles sur la formule (5.34). C.Q.F.D. 5.6. Nous allons interpreter les singularites de la fonetion Qxif) precedente. D'apres les formules (5.22) et (5.34), la fonetion Qx{t) est
LA F O R M U L E DES T R A C E S DE S E L B E R G
59
somme des trois expressions suivantes :
(5.37)
e'At) = i^9 - m-' + 2 E(-!)"'(* + ^^^)~'] m= l
(5.38)
e ^ ( 0 = 7r-^ / siuKt dlogZxi^ Jo
+ K)
(5.39)
6^(0 = (27r)-^ V - % ^ [ — 4 ^ ^ + , '."" , , I ^^ ^
p,m
^^ "^
Ici, le nombre reel a satisfait a Tinegalite a > | qui est necessaire pour la convergence de la serie (5.39). Si Ton pouvait faire a = 0, le terme Q\{t) disparaitrait, et Q\{t) se reduirait a la serie divergenie (5.40)
0 ^ ( 0 = (27r)-^ V Kp,m [ , ^ . ^ , , + , \ A• ^-^ ^ it-\-imT(p) t — imT(p)\
L'expression obtenue pour G x ( 0 serait celle qu'on obtient en appliquant naivement la formule des traces de Selberg a la paire de fonctions /,(p) = e - * H ,
h{T)=
^ 7r(r2 + ^2) •
Nous avons done simplement donne une methode de resommation explicite pour la serie divergente (5.40). Avec les notations de 5.1, la dimension est d = 2, les geodesiques sont isolees, et D se compose des nombres mT{p) pour m dans Z et p dans V. Les singularites de 6 A ' ( 0 ^^^ I'axe imaginaire sont done conformes a la theorie generale de 5.1. 5.7. Examinons les autres poles de Qx{i)i provenant du terme (2—2^)632(27); ce terme entraine Tequation fonctionnelle (5.25). Changeant de variable, on voit que les singularites de la fonction Tr(e~*^^^) sont liees non seulement aux longueurs reelles des geodesiques, mais aussi a des longueurs complexes multiples de 27r2. Rappelons que Balian et Bloch [BB] ont suggere que les solutions de Tequation de Schrodinger doivent s'obtenir par resommation a partir des orbites classiques, pourvu qu'on prenne en compte les trajectoires complexes. Or ici, en utilisant le modele de X donne par le quotient du demiplan de Poincare par un groupe discret d'homographies, on p e n t facilement complexifier X et le flot geodesique correspondant. II y a alors bien des trajectoires periodiques du flot geodesique correspondant aux periodes 27rim
60
CARTIER ET VOROS
pour m dans Z. Si I'on etend de maniere heuristique les formules valables pour les trajectoires reelles periodiques, on s'attend a un pole de 0x(^'^) correspondant aux periodes 27rzm, c'est-a-dire a des poles de 0 x ( O ^^^ points 27rm. Comme la fonction Qx{i) est holomorphe dans le demi-plan i?e t > 0, on est oblige de se limiter aux poles 27rm, avec m < 0. C'est bien ce qu'affirme le theoreme 2. D'apres les idees de Balian et Bloch, on doit s'attendre que les fonctions propres de —Ax sur la surface reelle X s'etendent en des fonctions if-*
holomorphes sur le complexifie X de X, qui sont appreciables au voisinage de certaines geodesiques complexes. Le facteur 2g — 2 qui apparait dans la formule (5.34) est egal a A/27r d'apres la formule de Gauss-Bonnet; la proportionalite a Taire A de X correspond au fait que la surface X est a courbure constante, done localement homogene. Cependant, le fait que Qx{i) soit une fonction meromorphe dans C est tres special, lie au choix de Px comme racine carree de —Ax -f K/4:. Deja, on ne pourrait rien attendre de si simple si Ton prenait pour Px une racine carree de —Ax -h c, avec une constante c differente de K/4. En Mecanique quantique, nous avons un cas semblable, I'oscillateur harmonique fournissant des fonctions meromorphes la oil Toscillateur anharmonique introduit des fonctions resurgentes [VI]. Pour conclure, rappelons deux de nos formules ou la meme duahte enire la surface X de courbure K = —1 et la sphere de courbure K = 1 apparait. II s'agit de la formule de determinant (5.41)
Z x ( | -\-K) = {e^" det(Ps^ + K)}^^-^
det{P^ + AC^),
et de la forme symbolique de la formule des traces de Selberg (5.42) 22 COS rpr^ = -—Qs^{r) n
+ f 2 ^ ^"p,m[^(^ - rnT{p)) -f S(T H- mT{p))]. p,m
6. Fonction zeta de deux variables 6.1. Soit M une variete riemannienne compacte de dimension c/, dont I'operateur de Laplace-Beltrami sera note A M - On definit une fonction zeta a deux variables (6.1)
ZM{s;X) =
Tri{X-AM)-').
LA FORMULE DES TRACES DE SELBERG
61
Si Ao < Ai < • • • sont les valeurs propres de — A M , on a done CXI
(6.2)
ZM(5;A) = ^ ( A „ - f A ) - ^ n=0
(c/. formule (5.29)). Sous cette forme, la serie converge lorsque s parcourt le demi-plan Re s > |^, et A le domaine fl obtenu en coupant le plan C le long de I'axe reel negatif. On pent effectuer le prolongement analytique en une fonction meromorphe sur CxQ; pour cela, on pent utiliser la transformation de Mellin /•OO
(6.3)
T{S)ZM{S\\)=
/
eM{t)e~^U'-Ut.
Jo
Si Ton suppose i?e A > 0, cette integrale converge lorsque Re s > d/2. On a note (6.4)
0M{t) = Tr(e'^^)
= ^ e"^-' n=0
la fonction theta associee a M. L'existence d'un developpement asymptotique OO
(6.5)
OM{t)^^Crf^ r=0
pour i tendant vers 0, avec une suite z'o < ii < - - tendant vers Tinfini, et les techniques standard de transformee de Mellin permettent de prolonger ZM{S]^) au domaine Re \> 0^ s quelconque. On acheve de se propager a C X Q en utilisant I'equation fonctionnelle
et en prenant des primitives successives pour deplacer s vers la gauche. Une etude des developpements asympiotiques pour A tendant vers 4-oo permet d'etablir la relation (6.7)
__ZM{s;X)l^,
= log d e t ( A - A M ) .
Le cas etudie d'habitude correspond a A = 0; la fonction ZM{S) = - ^ M ( ^ ; 0 ) n'est autre que la fonction de Minakshisundaram-Pleijel, egale
62
CARTIER ET VOROS
a Tr((—AM)*) = J Z ^ o ^n'- ^ ^ specialisant la formule (6.7) au cas A = 0, on trouve la relation (6.8)
det(-AM) = exp-ZJv^(0)
qui a servi dans [RS] a Ray et Singer a definir le determinant de — A M 6.2. Nous etudions maintenant le cas ou M est de dimension d = 2, et de courbure constante K. Nous allons constater que la fonction ZM{S]K/4:) a de meilleures proprietes que ZM{S]0), Considerons d'abord le cas de la sphere M = S^. On a alors A' = + 1 , et —As2 possede les valeurs propres j(j -f- 1) (avec multiplicite 2j + 1) pour j = 0,1,2, On a done
oo
et un calcul immediat donne le result at (6.9)
Zs2(5;+^) = ( 2 2 ^ - 2 ) C ( 2 5 - l )
au moyen de la fonction C{s) de Riemann. 6.3. Le cas suivant est celui d'une surface de Riemann compacte X, de courbure A" = —1. La formule des traces de Selberg, sous la forme usuelle, permet d'etudier Zx{s;X) pour A reel, A > 0; on pent obtenir le cas A = 0 par un passage a la limite, comme Randol [RA]. Pour traiter le cas A = —^, nous avons besoin de la formule des traces etendue (n ° 4.7, theoreme 1). Voici le result at : T h e o r e m e 3. Pour ions les nombres complexes s, on a (6.10) /•CO
s i n TTs
Zxis;-\) = il-9)Zs2{s;-\-\)/cos7rs+
I ^^
/ ^
/c-2^dlogZx(| + AC).
Jo
La fonction Zs^{s] +\) est donnee par la formule (6.9). L'integrale sur K evite les poles reels de d\ogZx(^ + /«) par le demi-plan inferieur. Cette integrale en K est convergente au voisinage de I'infini pour tout s; au voisinage de 0, elle est convergente pour Re s < 0^ mais se regularise
LA FORMULE DES TRACES DE SELBERG
63
au moyen des parties finies de Hadamard dans le cas general. Noter aussi qu'on a oo
(6.11)
Zx{s;^\)
= Y,Pn^'
Pou^^
Res>l,
n=0
d'ou la transformee de Mellin /•oo
(6.12)
/ Jo
t^'-'exii)dt
= T{2s)Zx{s; - i ) ;
cette formule fournit aussi le prolongement analytique de Zx(s; —\)Nous ne donnerons pas les details de la demonstration du theoreme 3. D'apres la formule (6.11), il sufErait d'appliquer le theoreme 1 du n ° 4.7 a la fonction h{p) = p~^*. Les hypotheses (^i) et (^2) sont satisfaites lorsque Ton a i?e 5 > 1, mais non Thypothese {B3). En fait, on considere la fonction h(p) = {p^ + ^^)~* pour Re s > 1, e > 0 et Ton fait tendre e vers 0 dans le resultat obtenu. 6.4. Voici quelques consequences du theoreme 3. a) Identites de trace: on sait toute Timportance accordee aux valeurs des fonctions zeta aux entiers negatifs. Notons que, dans la formule (6.10), le dernier terme est proportionnel a SIUTT^, et s'annule done pour s entier negatif. En utihsant la formule (6.9) et les valeurs connues de ({s) aux entiers negatifs, on obtient (6.13)
Zx(-n--\)
= ( - i r + H f f - l ) ^ s = ( - « ; \) = ( - ! ) " ( ( / - l)(2-2»-i - l ) S 2 „ W ( n + 1)
pour n = 0,1,2, On note Bn les nombres de Bernoulli. Les nombres precedents expriment la trace renormalisee de Voperateur differentiel (—Ax — :|)*^; il est remarquable quails ne dependent pas de la surface X, mais seulement de son genre g. Les formules generales, utilisant la transformation de Melhn, permettent de calculer ZX{—TI]X) une fois connus les nombres precedents. b) Regies de sommation: notons par ' la derivee par rapport a la variable s. Par une telle derivation, on deduit de la formule (6.10) (6.14)
Z'x{0;-\)
=(1 - 5 ) ^ ^ . ( 0 ; \) -
logZx{^)
=i2g - 2)(C'(-1) + j ^ log2) Par ailleurs, Tintegrale /•oo
(6.15)
Uis)=
/ Jo
K-^'d\ogZx{^
+ K)
hgZxi^).
64
CARTIER ET VOROS
(qui intervient dans (6.10)) definit une fonction meromorphe de s; elle admet en tout point demi-entier s = j/2 (avec j = 1,2,...) un pole simple dont le residu est donne par la formule
(6.16)
Rj = - i ^ ^ l ^ ( A y log Zxi^ + K) U^O .
Distinguons deux cas : - 52 j est impair, soit j = 2n -{-1, ecrivons que les residus pour s — j/2 des deux membres de I'egalite (6.10) sont egaux; on obtient (6.17)
(-l)"+^7rit!2n+i - ( 1 - g)Zs^{n + i ;
^\)
= ^(^-l)(22"-l)(27r)2-|52„|/(2n)!; - si j est pair, soit j = 2n, on compare cette fois les parties fimes pour s — n (notees PFg-n)] on obtient (6.18)
PF,=iZxis;-\)
={9 - l)PF,=iZs^is;+\) - R2 =(2<;-2)(7 + 21og2)-/22
(6.19) Z x ( n ; - i ) = ( - ! ) " [ ( ! - < ? ) ( 2 ' " - 2 ) C ( 2 n - l ) + i?2„] pour
n>2.
En fait, les egalites (6.14), (6.16), (6.17), (6.18) et (6.19) ne font que traduire la formule de determinant (3.85) en utilisant les developpements de Taylor autour de K = 0, a savoir (6.20)
«2 ^ iogdet(Ps= + «) = -
^Z's2{0;+\)
i=i CX)
+j2{-iy^'zs2{i,+\w/j i=3
(6.21)
logdetiP^
+ K')^Z'x{0;-\)
+
PFs^iZxis;-\)K
oo
+ ^(-l)"+iZx(n;-i)/c2"/nn=2
Quant a la relation (6.16) dans le cas ou j est impair, elle decoule de 1'equation fonctionnelle de la fonction zeta de Selberg, a savoir (6.22)
- ^ f = e x p [ % - l ) / wu Unwu du]; Zxi2 - «) -^0
LA FORMULE DES TRACES DE SELBERG
65
cette equation decoule aussitot de la formule (3.85) exprimant Zx{^ + f^) comme produit de determinants. c) Developpement asympiotique: inserons dans la formule (6.10) le developpement en serie (6.23)
-^\ogZxil
+ K) =
J2l
et integrons terme a terme. On obtient un developpement asymptotique de Zx{s]—\) pour s tendant vers —oo, a savoir (6.24)
Zxis; -\)^{9-
1)^52(5; + | ) / cos TTS p,m
Par application de la formule de Poisson pour la sphere S^, on trouve la formule analogue
(6.25) Zs.is; +\) = iT"'2^-''Til
- s)r{s - i ) - i £
(-l)'"(27rm) 25-2
m=l
Cette fois, la serie au second membre converge absolument dans le demiplan Re s < 0] la formule precedente n'est qu'une autre ecriture de Tequation fonctionnelle de Riemann pour C(^)' Le theoreme 3 joue ainsi le role d'une equation fonctionnelle pour Zx(s;—^)^ mais n'en est pas une au sens strict. L'equation fonctionnelle de Riemann s'obtient par nos methodes appliquees au cercle S^. Le miracle dans ce cas est que le spectre des valeurs propres de (—AsO^^^ et le spectre des longueurs des geodesiques coincident essentiellement. Dans les formules (6.10) et (6.24), aucune relation de symetrie evidente n'apparait entre les deux spectres.
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Pierre Cartier Andre Voros Institut des Hautes Etudes Scientifiques Service de Physique Theorique 35, route de Chartres GEN 91440 Bures-sur-Yvette Saclay (Essonne) France France
Jacobiennes generalisees globales relatives
C. CONTOU-CARRERE
Introduction Le result at principal de ce travail est la construction des jacobiennes generalisees ((J„)(n > 0),(^n)(^ > 0)) pour une 5-courbe relative X, munie d'une compactification convenable, et de Tisomorphisme limEoms-gr{Jn.G)c^G{X), n
pour tout S'-schema en groupes commutatif et lisse G. L'enonce de ce resultat est donne sous forme conjecturale dans une lettre du 9/8/1960 adressee par A. Grothendieck a J.P. Serre. On obtient ainsi Textension naturelle au cas relatif de la theorie de Rosenlicht-Serre, et on acheve la premiere etape d'un programme de travail propose a Tauteur par A. Grothendieck. II s'agit d'etablir une formule de dualite generale pour une courbe relative lisse X a coefficients dans un S'-schema en groupes G commutatif et plat, qui doit correspondre a celle prouveee dans [15], Exp. n°XVIII, dans le cas d'une courbe relative propre et lisse. L'aspect local de cette formule mene a la construction des jacobiennes locales des courbes formelles, et a leur propriete de factorisation universelle (cf. [3] bis) qui etend la theorie des symboles locaux au cas relatif. La methdde de demonstration suivie (imposee par des raisons techniques) cache quelque peu les idees geometriques. Dans le n°l, on precise la definition, avec laquelle on travaille, de courbe relative lisse X au-dessus d'un schema S, munie d'une compactification ( X , T ) , ou X designe une 5-courbe relative propre et T un diviseur relatif de X. Dans le n°2, on donne la construction de la contraction de la 5-courbe X le long d'un diviseur relatif D, en termes d'une somme amalgamee ^ U ^ ) S. On etend ainsi a la situation relative la construction de [16], page 70. Dans le n°3, on construit un systeme projectif de 5-schemas en groupes J^ en posant pour tout entier n > 0
avec X(^ri) — ^\1T(^) ^^ ^^ ^^"^ designe la voisinage infinitesimal n-eme de T dans X, et f^"'^ : X^^^ —^ S le morphisme structural. On donne
70
C. CONTOU-CARRERE
aussi la construction d'un morphisme d'Abel-Jacobi ^n - ^ —^ Jn (resp. ^ = lim^n)- Dans le n°4 on enonce le resultat principal (Theoreme (4.1)) n
qui exprime la propriete de factorisation universelle du couple (J , ^ ) par rapport aux sections d'un S'-schema G en groupes, lisse au-dessus de X. (Le couple ( J , ^ ) tient lieu de jacobienne generalisee relative de la 5-courbe lisse X ) . Ensuite, en prenant comme point de depart la theorie des corps de classes telle qu'elle est donnee par J.P. Serre dans [16], on demontre le Theoreme (4.1) dans le cas d'une base noetherienne reduite. Finalement, on ramene la preuve au cas d'une base affine et noetherienne S = Spec A. Dans le n^5 on procede a la demonstration dans ce cas-ci, par recurrence sur la longueur d'une suite de composition Im+i C Im C >.. C IQ = N d\i radical N de A, tel que : pour tout 0 < i < m, il existe un ideal premier P^ tel que li/Ij+i 2:^ A/Pi, et if C U^i (cf. (5.1)). On est ramene a etudier les prolongements infinitesimaux d'un S'o-homomorphisme ho : J Xs
SQ
= Jo —^ Go = G Xs Soy
ou S'o — Spec A / / , oil / est un ideal de carre nul {P = 0), tel qu'il existe un ideal premier P de A avec / c:i A/P (en tant que A-modules), et G un S'-schema en groupes lisse, en un S-homomorphisme h : J ^^ G. La theorie des obstructions infinitesimales fournit une extension E de JQ par un 5faisceau en groupes de Zariski L telle que : "£* est scindee si et seulement si ho admet un prolongement h : J —^ G qui soit un 5-honiomorphisme". D'autre part, il existe un groupe vectoriel W{N), ou N designe un OSQmodule donnee par un A-module de la forme A/P x . . . x A/P, et dont la restriction a la sous-categorie pleine CSQ de Sch|5o des 5o-schemas plats coincide avec celle de L a Cso • Une description de E en tant que L-torseur de Zariski au-dessus de JQ muni d'une donnee de structure supplementaire, permet de construire une autre extension E' de JQ par W{N), dont la restriction a CSQ coincide avec celle de E k CSQ^ done telle que E soit scindee si et seulement si E' Test (Le 5o-schema en groupes JQ etant plat). Posons SQ = Spec A/P. On a alors que : la fibre E'c, de E' est un 5o0
groupe representable (en tant qu'extension de JQ par Ga x . . . x G^), et E'g, est scindee grace a la propriete universelle de (Jo,^o)L'hypothese (( G lisse sur 5 )) ne parait pas necessaire. En fait, la methode de demonstration suivie semble adaptable au cas ou G est plat et de presentation finie. Alors la theorie du complexe contangent relatif fournit deux obstructions au relevement infinitesimal d'une factorisation d'une section ^ G G{X), et il doit etre possible de prouver leur trivialite. L'idee geometrique essentielle pour montrer (*) est la consideration de families F de diviseurs relatifs d'une courbe relative X, munie d'un diviseur D
JACOBIENNES GENERALISEES
71
de Cartier, lineairement equivalents au sens de Rosenlicht, par rapport a un n-voisinage infinitesimal de £), fibres au-dessus d'un sous-espace ouvert U d'un espace projectif P , complement aire d'un hyperplan H de P. Ensuite, I'etude de la section V'F induite par une section tp de G au-dessus du complementaire X de D dans X, et celle du comportement de la trace tr(^/^) par rapport au morphisme fini F —^ U^ autour de H. (cf. proposition 9, p. 47 de [15], Exp. XVIII et I'avatar local de la proposition 9, le lemme (5.2) de [2]). L'auteur dedie ce travail a Alexandre Grothendieck, en temoignage d'amitie et de reconnaissance pour tout ce qu'il a re^u de lui. 1. Definition d'une 5-courbe lisse munie d'une compactification Soit S un schema. Soit X —> S un S'-schema de presentation finie, localement projectif sur S, et a fibres geometriques integres de dimension 1. Soit (1.1)
TCX
un S-sous schema ferme de X, plat sur 5, et tel que I'ideal de definition "^TIX ^^ "^ dans X soit inversible, c'est-a-dire engendre localement par une section / de Oj^ non-diviseur de zero (Diviseur de Cartier relatif). On pose (1.2)
X^X-T
et on suppose que X et un 5-schema Hsse. Dans le cas ou S — Spec(yl) Ja methode de la presentation finie (cf. [13], page 7) permet d'effectuer les reductions suivantes. On pent exprimer S comme une limite projective de schemas affines noetheriens (1.3)
S'=lim5^-,
ou Sj = Spec Aj, et Aj C A designe une Z-algebre de type fini, de maniere a ce que la limite inductive limyl^ soit egale a A. Au systeme projecj
^
^
tif (Sj)j^L il correspond un systeme projectif {XJ)J^L, OU XJ designe un 5j-schema de presentation finie, localement projectif sur Sj^ muni d'un diviseur de Cartier relatif Tj, et tel que (1.4)
X = limXj
72
C. C O N T O U - C A R R E R E
et (1.5)
X =Xj
Xs,S.
Pour j assez grand, Xj est un 5^-schema plat et Xj = Xj —T est lisse sur Sj. A partir de (1.5) et du fait que Xj est plat sur Sj on conclut que Xj est a fibres geometriques integres. Remarque 1.6. Lorsque T —^ S est surjectif et X - ^ 5 est suppose propre X est localement projectif sur S. En effet, soit s G 5 ; il est facile de voir qu'il existe un entier n assez grand pour que {J~^^)s soit un O^ module ample. D'autre part, on pent supposer S noetherien, et d'apres le critere d'amplitude (cf. [10], page 145), il existe un voisinage U de s tel que la restriction de J ~ " ^ a U soit un 0^^ -module ample. ^ T/x Xu ^ La proposition suivante donne des proprietes d'un diviseur de Cartier relatif utiles par la suite. P r o p o s i t i o n 1.7. Soit Y—>S un morphisme localement de presentation fime. Soit I un ideal coherent sur Y. Soient D == V{I) le S-sousschema definis par I, y E D et s = / ( y ) - Let conditions suivantes sont equivalentes : (a) / est inversible en y (c.a.d. ly est engendre par un element diviseur de zero de Oy^y) et D est plat sur S en y. (h) Y est plat sur S en y, et ly est engendre par un element fy sur la fibre Yg un germe non-diviseur de zero.
non-
induisant
P r e u v e . On se ramene a une situation locale. L'hypothese permet de supposer que : (i) 5 = Spec A et y noetheriens ;
=: S p e c B , o\i A et B ont des anneaux locaux
(ii) Le point s (resp. y) est donne par I'ideal maximal m de A (resp. TUB de B). Soient A -^ B Thomomorphisme local donne par / , et / C 5 Tideal correspondant a D. Montrons que ( a ) = > ( b ) . En effet, comme B/I est plat sur A et que / est engendre par un element regulier f de B, pour tout n E N la, A-algebre B/I^^^ est plate. II en resulte que B est plat sur A (cf. [10], page 19 proposition (10.2.6)). L'exactitude de la suite 0
yB —^
B
yB/fB
^0
JACOBIENNES GENERALISEES
73
et Tovf{B/fB,A/m) = 0 donnent que / induit sur la fibre B/mB un germe non-diviseur de zero. Supposons maintenant B plate sur A ei I = (/) tel que / induit un non-diviseur de zero sur B/mB, Alors / induit un non-diviseur de zero dans B/m^^^B{n G N), done que / est non-diviseur de zero dans B. La suite exacte des Torf obtenue a partir de la suite exacte 0—^BMB—^
B/fB
—y
0
et de A/m, et I'injectivite de la fleche B/mB —^ B/mB entrainent que ToTt{B/fB,A/m) = 0.
induite par / ,
D'autre part B/fB<S>AA/m est A/m-plat {A/m etant un corps). Le critere local de platitude ([10], page 18) prouve que B/fB est yl-plat ; on a alors (b)=>(a). c.q.f.d. On pose pour tout n G N (1.8)
T(") =
V(rji).
2. Contraction de la 5 -courbe X le long du diviseur de Cartier relatif T ^^\ On etend ici a la situation relative la construction de J.P. Serre (cf. [16], page 70) associant a una courbe Y sur un corps K^ et a un /iT-diviseur D de Y^ une courbe F ' et un A'-morphisme Y —>- Y' tels que I'image de D par q soit un point de Y\ On note Y un 5-schema plat de presentation finie, et D = ViJ) un diviseur de Car tier relatif defini par I'ideal J C Oy. Definition 2.1. Soii ^ Uz) ^ (somme amalgamee de Y avec S le long de D), le S-foncieur covariant defini par Hom(y { J 5, ^ ) = Ker [HomsCY, Z) x Hom5(5, Z) =t Eoms(D, Z)] D
ou Z E oh Sch|5. Etant donne Z E oh Sch|x, on a un faisceau fpqcB.oins{Y U^ 5, Z). La question de la representabilite de Y JJ^) S est alors ramenee au cas ou S
C. CONTOU-CARRERE
74
est affine. Soient S — S p e o l et Y = Spec 5 , ou B designe une A-algebre fidelement plate de presentation finie. Soit I C B I'ideal qui correspond a J C Oy. On suppose que B/I est fidelement plate sur A. Posons (2.2)
B' = keT[BxA^
B/I].
Alors B' est une A-algebre fidelement plate. En efFet on a une suite exacte de ^-modules
0-^B'
-^BxA-^B/I-^0
avec des yl-modules plats B x A et B/I, done B' est une A-algebre plate. Comme B/I est une yl-algebre fidelement plate on a les inclusions A '^^ B et ^ <^-^ B/L Alors A H I = 0. Le yl-sous-module de B donne par la somme directe ^ 0 / C 5 est en fait une A-sous-algebre. On verifie que le ^-homomorphisme canonique B' -^ B est injectif et que son image est egale a A 0 7. D'ou il resulte que B' est fidelement plate. Notons V C B' I'ideal defini par I Q A-\-1. Par construction de B', on a un A-homomorphisme B' —^ A tel que le compose A —^ B' —^ A soit egal a Tidentite. Posons y = Spec B\
(2.3) On a alors une section (2.4)
e:5-
^Y',
dont I'image est le sous-schema V{I') de Y' . Le yl-homomorphisme canofnique B' —* B donne lieu a un 5-morphisme de schemas (2.5)
Y
Y'.
Montrons que le diagramme suivant D
'
y
(2.6) y est cartesien, c'est-a-dire que YxyS = D. Or prouver cette egalite revient a verifier que 5®B<(57/') = 5/7, ce qui est immediat car I'B = I.
JACOBIENNES GENERALISEES
75
Proposition 2.7. Avec les notations et les hypotheses ci-dessus, le morphisme q :Y -^Y^ induit un isomorphisme
Y -D=:Y-
v{i) - y - v(r).
Preuve. Etant donne / G /, on a un isomorphisme de A-algebres (*)
B'f-^Bj
induit par B' -^ B. En effet, soit x un element de la ^-algebre 5 ; on a fx£B' = A-\-I^ done x/1 appartient a I'image de (*), ce qui montre bien que (*) est un isomorphisme. Ainsi chaque point y deY' — V{I') admet un voisinage ouvert U — U(f) de la forme Spec (By) avec f E I^ tel que q\q-\U):q-\U)—^U soit un isomorphisme. Comme, d'autre part, les ouverts D(f) avec f £ I constituent une base de Y—D, il en resulte que q induit un homeomorphisme des espaces topologiques sous-jacents. Posons U = Y - D et U' = Y' - ¥{!'). Le fait que (*) soit un isomorphisme entraine que pour tout / G / T{U{f),Ou')^T{q-'{D{f)),Ou) est un isomorphisme, et a fortiori que Ou' —^ Q*(Ou) est un isomorphisme. Done q est un isomorphisme d'espaces anneles. c.q.f.d. Prouvons maintenant que le diagramme (2.6) est aussi co-cartesien.
Proposition 2.8. On conserve les memes notations et hypotheses que dans (2.7). Le S-foncteur covariant Y]Jj^ S de la categorie Sch\s vers celle des ensembles est representahle par le S-schema Y' — Spec(J5'). Preuve. Soit Z = Spec(C) un 5-schema afRne donne par une Aalgebre C. La donne d'une section de Z au-dessus de Y ^ ^ S revient par definition a celle d'un diagramme commutatif de A-algebres
(*)
C
A
^
B
.
B/I
II*
76
C. CONTOU-CARRERE
II est clair qu'il existe un homomorphisme unique de ^-algebres C —^ B' (cf. (2.1)) tel que C -> 5 ' -^ 5 (resp. C -^ B' -^ A) soit egale a la fleche horizontale (resp. verticale) issue de C Reciproquement, la donnee d'un homomorphisme de j4-algebres C —^ B' donne lieu a un diagramme commutatif de A-homomorphismes d'algebres du meme type que (*). On a done verifie que le morphisme canonique
(**)
Hom5(y',-)^ylj5 D
de S'-foncteurs covariants induit un isomorphisme des restrictions de ces foncteurs a la sous-categorie des 5-schemas affines. Soit Z un 5-schema. On se donne deux morphismes de 5-schemas (f :Y —^ Z ei e : S -^ Z qui rendent commutatif le diagramme suivant
y
D
—^
z
y
Montrons qu'il existe un morphisme unique de S'-schemas Y —>- Z tel que Y —>- Y^ —> Z (resp. S —^ Y' —>• Z) soit egale a (p (resp. e). La question de Texistence de ip etant locale sur 5, quitte a se restreindre a un ouvert de 5, on pent supposer qu'il existe un ouvert afRne V de Z voisinage de e(5), tel que e(5) soit ferme dans V. D'autre part, il existe un recouvrement ouvert fini D = Ui^A^ifi) de D, ou pour tout i E A on a /,• G 5 , tel que (p{D{fi)) C V. On pent done trouver des elements (si) (i £ A) de B tels que la classe de / = Yli ^ifi dans B/I soit egale a 1. L'ouvert D{f) C Y est alors un voisinage de D tel que (p(D(f)) C V. De plus, Telement / appartient a I'image de B' -^ B par construction et B'j s'identifie a K e r ( 5 / xA
^ Bj/IBj)
,
car la classe de / modulo I est egale a 1. La restriction de (p k Touvert D{f) = Spec 5 / de Y admet une factorisation unique D{f) = Spec Bf J l £ ^ D\f)
= Spec B'J - ^ V
en vertu de ce qui a ete prouvee. La proposition (2.7) montre que le morphisme Y —^ y induit un isomorphisme Dif) niY-D)^
D'if) n ( y -
Vii')),
JACOBIENNES GENERALISEES
77
a partir duquel on construit un prolongement ^ : Y' -^ Z de ^, qui est necessairement unique. Par construction de $ , on a que (p = ^oq et que le 5-morphisme S —^Y —> Z est egale a e. On voit done que ip = ^ satisfait aux conditions demandees. On verifie ainsi que le morphisme (**) est un isomorphisme fonctoriel, ce qui prouve la representabilite de Y ]Jjr) S dans Sch|5. c.q.f.d. Remarque 2.9.
Avec les hypotheses de (2.8) on a :
(1) La formation de la somme amalgamme Y JJ^ S commute aux changements de base, c.a.d., etant donne un 5-schema S' -^ 5 , on a un isomorphisme de 5'-schemas
^.'U^'-^(^LI^)^ (2) La methode de la presentation finie permet de construire un schema affine S = Spec A^ de presentation finie sur Z, donne par une Z-algebre A (de presentation finie), un morphisme 5 —> 5, un 5-schema affine y = Spec 5 de presentation finie, donne par une A-algebre B (de presentation finie), et un ideal / C -B tel que D = V{I) soit fidelement plat sur S ; cette construction en V telle qu'il existe des isomorphismes
Y c^YxjS,
Dc^'DxjS,
On a alors un isomorphisme de S'-schemas
YUS^(YUS)S. D
D
Desormais, dans ce numero, soient donnes : (i) un schema S ; (ii) un 5-schema Y de presentation finie et plat, a fibres geometriques integres de dimension 1, et localement projectif ; (iii) un diviseur de Cartier relatif D donne par un sous-schema ferme de
y. Puisque I'image de D par y -^ 5 est ouverte et fermee (car D est plat, localement de presentation finie et propre sur 5 ) , on peut decomposer Y en reunion d'ouverts disjoints Y = U UV, de maniere que Dy soit vide et le morphisme Du -^ U induit par Yu -^ U soit surjectif. Pour demontrer la representabilite de Y Y[j) 5 on peut supposer que 5 est affine, que Y est projectif sur 5 , et que D —^ S est surjectif.
78
C. CONTOU-CARRERE
Soient S = Spec A avec A local et noetherien, Y un S'-schema verifiant la condition (ii) ci-dessus. II existe alors un fibre tres ample C relativement a y —> 5 tel que y = Projr,(y,£), ou r * ( y £ ) designe la A-algebre graduee 0„>or(y,£®''). Soit D un diviseur de Cartier relatif de Y donne par un ideal homogene I — 0n>i^n de r * ( y , £ ) . Soit s le point de 5 donne par Tideal maximal de A. Soit k{s) le corps residuel de A. Par hypothese, la fibre Y Xs k{s) est une courbe integre munie d'un diviseur D Xs k{s) dont le support est constitue d'un nombre fini de points de Y Xsk{s). II existe alors un entier n et une section A , E r ( y Xs k{s),C'^^ 0A ^(^)) tels que le support du diviseur de A , soit disjoint de celui de D Xs k(s). (Soit X une courbe integre et projective sur un corps k. Soient D Q X un diviseur et C un faisceau tres ample sur X tel que X = Proj T^{X,C). Soient k -^ K le corps des fonctions rationnelles de X, et k C K' C K une extension transcendante pure de k. II existe alors un fc-morphisme
tel que Timage du corps des fonctions rationnelles de P^ par le A?-homomorphisme donne par p soit K'. L'image p(-D) est forme d'un ensemble fini de points de P^. Soient x ^P\— p(D) et a une section de Op^(l) au-dessus de P j telle que a(x) = 0. L'image inverse A de cr dans T^(X,C) est une section globale d'une puissance £®" dont le support du diviseur est disjoint de D.) D'apres [17], page 53, corollaire 3, on a un isomorphisme
(*)
r(y,£®")®^ k(s) - r(y xs k{s)x®'' ^A k{s)).
Soit A G r^(y, C) une section donnant A , par passage a la fibre. Notons K = <S>n>o^'^n I'ideal homogene de r^(y, £) engendre par / et par A. Par construction de A , , il existe un entier m > 0 tel que l'image de Km 0A k{s) ^ r ( y , £ ® - ) ^A k{s) soit egale a r(y,£*^'^) 0 ^ k{s) d'apres 1'isomorphisme (*). On conclut par le lemme de Nakayama que
done que I'ouvert complement aire U de 1'ensemble des zeros de A est un ouvert affine contenant le support du diviseur D, d'apres [17], pg. 53, Corollaire 3. On a alors la
JACOBIENNES GENERALISEES
79
Proposition 2.10. SoH S = Spec A avec A local et noetherien. Soient Y un S-schema verifiant la condition (ii) ci-dessus. C un fibre ires ample relaiivemeni aY -^ S. {On a alors Y = Proj T^(Y,C)). Soil D un diviseur de Cariier relatif de Y, defini par un ideal homogene I = 0n>i/n de T^{Y,C). II existe alors une section A de T^{YjC) tel que Touvert affine complementaire U de rensemble de ses zeros contienne le support de D. Remarque 2.11. Avec les notations ci-dessus et celles de [9], V+(A) est un diviseur de Cartier relatif. En efFet, par construction, la restriction de A a la fibre Y Xs k{s) est non-diviseur de zero et Y est plat sur 5 . (cf. (1.7)). Proposition 2.12. Soit S un schema, Soient Y un S-schema verifiant (ii), et D un diviseur de Cariier relatif ferme. La somme amalgamee Y Ujy S est alors representable dans la categoric des S-schemas. Preuve. Supposons d'abord S noetherien et affine. La question de la representabilite etant locale, on pent supposer par (2.10) Texistence d'un diviseur de Cartier relatif ferme T tel que V = Y — T soit un ouvert aflRne contenant D. Dans ce cas soit V le 5-schema aflSne que represente la somme amalgamee
vUs. D
D'apres (2.7) on a un isomorphisme V — D::^ V — D'^o\i D' designe I'image de D par V -^ V. Alors le 5-schema Y' obtenu en recollant V eiY — D le long de V — D' represente la somme amalgamee Y JJ^^ S. Compte tenu de (2.9) et grace a la methode de la presentation finie, on se ramene a partir du cas general au cas S affine et noetherien. c.q.f.d. Soit S = Spec A un schema noetherien affine. Soit Y un 5-schema projectif verifiant la condition (ii). Soit C un fibre tres ample de Y relativement a y —• 5 de maniere que Ton ait
Y = Proj r^(/;), ou r^(£) = ed>or(y,>C®^). Soit A une section homogene de r^(£) telle que T = V^{A) (cf. [9]), soit un diviseur de Cartier relatif de Y (dont le complementaire Y — V+(A) soit affine). Proposition 2.13. Soient S, Y et T comme ci-dessus, Soit D CY un diviseur de Cartier relatif tel que D CY — T. Le S-schema Y Ujry S est alors projectif, de type fini, plat, et a fibres geometriques integres.
80
C. CONTOU-CARRERE
Preuve. On pose B = ^d>oBd = r^(>C). Alors B est une yi-algebre graduee engendree par Bi. Soit / = 0d>o^d Tideal gradue qui definit D, c.a.d. avec les notations de [9] on a D = V^{I). Quitte a substituer £®" a C pour un entier n > 0 convenable, on pent supposer que A est de degre 1, et que / est engendre par un systeme fini de generateurs homogenes (fp) {p G P) de degre egal a 1. Soit C la A-sous-algebre graduee engendree par (fp) (p E P) et A. Soit J C C I'ideal gradue engendre par (fp) (p G P). On a un A-morphisme (*)
Proj (B) ^ Proj (C)
donne par I'inclusion C -^ B, qui est defini partout. Comme Proj (B) et Proj (C) sont des A-schemas projectifs (cf. [9], page 104), le morphisme (*) est projectif, done propre. Soit (xq) (q G Q) un systeme fini de generateurs homogenes de la Aalgebre B, de degre egal a 1. Quitte a remplacer le systeme de generateurs ifp) {P G P) par le systeme {fpXq) {{p,q) G P x Q), et C par £®^, on peut supposer que le morphisme (*) induit un isomorphisme Proj(S)-D-Proj(C)-F+(J) (pour la notation cf. [9], page 25) (cf. la preuve de (2.7)). D'autre part, la fibre de (*) au-dessus de V+(J) est donne par le sous-schema D qui est fini sur S et k fortiori sur V^{J). Le morphisrae (*) est alors propre, localement de presentation finie et quasi-fini. Le theoreme (8.11.1) de [13], page 41, s'applique et montre que (*) est un morphisme fini. On verifie facilement que (*) admet la factorisation suivante Y = Proj (^) _ y y 5 - . Proj (C). D
Comme (*) est fini, la restriction de (*) a Touvert Spec C(A) SpecB(A) -^ SpecC(A), ou )B(A) (resp. C(A)) designe la composante de degre 0 de la ^l-algebre graduee B^ (resp. C A ) est finie. On a alors les homomorphismes de Aalgebres C(A) -^ A-{- /(A) —^ S(A), OU /(A) C JS(A) designe I'ideal donne par /. La C(A)-ctlgebre ;B(A) etant un C(A)-niodule fini. A-}- /(A) est un C(A)-niodule fini car C(A) est noetherien. Soit B^ C B \3i A-sous-algebre graduee obtenue a partir de C en rajoutant
JACOBIENNES GENERALISEES
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a C des sections homogenes de / qui engendrent par localisation le C(A)module A -\- ^(A)- Alors on a Proj (B') c:^ Y JJ^^ S ; de plus, il est facile de voir que Proj (B') est plat, a fibres geometriques integres de dimension 1. (Ces verifications etant locales, on se ramene au cas affine). c.q.f.d. La methode de la presentation finie (cf. 1.) donne a partir de (2.13) le CoroUaire 2.14. SoH S un schema. Soii Y un S-schema verifiant les conditions de (ii). Soii D un diviseur de Cariier relatif ferme de Y. Le S-foncieur somme amalgamee YYlj^S est representable par un S-schema localemeni projeciif de presentation finie, plat sur S, et a fibres geometriques integres de dimension 1. Soient n un entier positif et T^") C X le diviseur de Cartier relatif defini par le voisinage infinitesimal d'ordre n de T C X (cf. (1.8)). On pose (avec les notations de 1.)
(2.15)
X(") = X J J 5.
Les hypotheses de (2.14) etant satisfaites par X, T^^^ et S (cf. (1.8)) on voit que X^") est representable par un S-schema de presentation finie, localement projectif, plat et a fibres geometriques integres de dimension 1. On note (2.16)
Z'^) : X(") ^ S
Le 5'-morphisme naturel obtenu a partir du couple (f^ids)(2.17)
Soit
e(^) -.S-^X^""^
la 5-section naturelle obtenue par construction de X Y[rp{n) S. Soit (2.18)
9^") : X - ^ X^'^)
le 5-morphisme naturel qui correspond a (2.5) dans le cas affine. Etant donnes des entiers 0 < n < m on a un S'-morphisme naturel (2.19)
X(")
^X(^)
car on a une immersion fermee T^"^ ^-^ T^^\ morphismes de S-schemas (2.20)
On a done la suite de
X ^ X(°) -^ X(i) - . ... ^ X(") -^ X("+^) ^ ... ,
82
C. CONTOU-CARRERE
et les diagrammes cartesiens et co-cartesiens de la categoric de 5-schemas (cf. (2.6) et (2.8))
r(") (2.21)
—-—^ X
n(-)
,(M
> X(") ou p^^^ designe la restriction /|T^") et i^"^ rimmersion T^") <-^ X. 3. Construction du systeme projectif de S-groupes Soit n G N. Au 5-schema X^"^ Picard relatif (3.1)
{Jn)n>0
> S on associe le S'-foncteur de
J„ = Pkjf(„,/, = /?Vi"^(G^^(„,),
OU
i?Vi"^ designe le premier foncteur derive du foncteur image directe /^*^^ de la categorie des faisceaux fpqc au-dessus de X^^^ vers celle des faisceaux fpqc au-dessus de 5 (cf. [7], exp. n°232). Le 5-schema X^'^^ est projectif, de presentation finie, plat et a fibres geometriques integres de dimension 1 ; on a alors un isomorphisme (3.2) /*(0x(»,) - Os (cf. [11]). D'autre part, on a une section canonique e^") : S -^ X^'^\ Dans ce cas, etant donne un 5-schema 5 ' , on identifie I'ensemble des sections de Pic y(n)/^ au-dessus de 5 ' a I'ensemble des classes d'isomorphisme des couples (L,w) formes d'un module inversible L sur XP et d'une trivialisation (3.3)
u : {e^sh''{L) - Os'
(cf. loc. cit).
Pour tout entier n > 0, construisons un S'-morphisme fonctoriel : (3.4)
$„:X-T-.Pic.3^(„)^^.
Notons d'abord qu'un fibre inversible L sur X d e la forme (g("))*(Z,), ou L est un fibre inversible sur X^^\ verifie la condition suivante : il existe un fibre inversible L' sur 5 et un isomorphisme (3.5)
L|T(") -
{p^''^f{L').
JACOBIENNES GENERALISEES
83
(Le diagramme (2.21) est cartesien). Reciproquement, si etant donne L un tel L' existe et verifie (3.5), il existe un fibre inversible L sur et un isomorphisme L c:^ {q^"'^y{L). Soit 5 ' -^ Xs' — Ts^ une section au-dessus de 5 ' . En vertu de rhypothese de lissite de Xs' — Ts' au-dessus de 5', et du fait que la dimension relative de Xs' —Ts' est egale a 1, Tideal de definition K C Ot^ de cette section, est localement principal et definit alors un diviseur de Cartier relatif de Xs' (au-dessus de D'). D'autre part, le support de K etant disjoint de Ts', il existe une trivialisation evidente de la restriction de K a un voisinage ouvert U de T : u : K\U c::^. O^ \U. Etant donne un entier n > 0, on notera ^n(<^) la section de Pic_j?(n)/c au-dessus de 5 ' correspondant au couple {KjU\T^"'^). Une adaptation immediate du theoreme principal d'existence du groupe de Picard relatif (cf. [7], exp. n°232), en suivant un argument de presentation finie, donne le : T h e o r e m e 3.6. suppose :
SoU f : X —^ S un morphisme de schemas.
On
(i) / est localemeni projeciif, de presentation finie ; (ii) / est plat ; (iii) les fibres geometriques de f sont integres de dimension 1. Sous ces conditions P i c ^ . groupes separe.
est representahle par un S-schema
en
Une application de ce result at a X^^^ —> S montre que J^ est un 5*schema en groupes separe. La suite de morphismes de 5-schemas (2.20) donne lieu a un systeme projectif de S'-groupes (3.7)
.J„ —
>Ji^Jo-
Par construction de (^n) (^ > 0) on a, pour tout n > 0, le diagramme commutatif de 5-morphismes
(3.8)
X =
X-T
84
C. CONTOU-CARRERE
En d'autres termes, ($„) (n > 0) est un systeme projectif de 5morphismes de X dans le systeme projectif de S'-groupes (J„)n>oProposition 3.9.
Pour tout n > 0^ le S-growpe J„ est lisse.
Preuve. Montrons que le S'-foncteur Pic^^^^. est formellement lisse. Soient done S' — Spec A un 5-schema affine, et SQ — Specylo —^ 5* un sous-schema defini par un ideal / de A, de carre nul. Etant donnee la description des sections de Pic y(n)/c au-dessus de AQ (resp. A) comme classes d'isomorphisme de couples (Lo,wo) ((resp. {L^u)) d'un fibre inversible LQ (resp. L) sur X^" (resp. X^" ) et d'une trivialisation I/Q (resp. u) le long de e^2 (r^sp. e^), il suffit de verifier que tout fibre inversible LQ au-dessus de X^^^ se releve en un fibre inversible L de X\ K Un argument de presentation finie permet de supposer que A est noetherien (dans ce cas Spec A n'est pas necessairement un S'-schema) et local, et bien entendu separe pour la topologie definie par /. D'autre part, on a H'^(X]^J^F) = 0 pour tout (9^(^)-faisceau quasi-coherent F. En particulier, on a H'^iXj^^, Hom (Ln, L^)) — 0, done il existe un faisceau inversible L sur X^^^ induisant LQ. (cf. [7], Exp. n°182, Corollaire 1, page 11). On verifie aussi facilement que Pic j ^ ^ ^ ^ . est localement de presentation finie; on obtient ainsi que J„ est S-lisse. c.q.f.d. Remarque 3.10. On utilise dans la preuve precedente, qu'etant donnes un morphisme propre f : Y ^>' S avec S noetherien, un point s de 5* tel que / " ^ ( s ) soit de dimension r, et un Oy-module coherent F , les faisceaux RPfi,{F) sont nuls au voisinage de s pour tout p > r. (cf. [10], p. 130, (4.2.2)). Soit G un 5-schema en groupes. On definit dans [6], exp VIB un 5sous-foncteur en groupes G^ C G appele la composante neuire de G. On prouve dans he. cii.^ Theoreme 3.10, que si G est un 5-schema en groupes lisse, alors G^ est represent able par un sous-schema ouvert de G. On fait remarquer que, si G est un S'-schema en groupes localement de presentation finie et plat, I'enonce precedant est aussi vrai. On a alors le Corollaire 3.11. La composante neuire J° de J^ est representable par un sous-schema ouvert de presentation finie et lisse sur S. Pour tout entier n > 0, on a une suite exacte de X^"^-faisceaux en
JACOBIENNES GENERALISEES
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groupes fpqc (3.12)
1
.G^^<„,
>9^\G^X)
^^"
^1
qui sert de definition k Qn- II est clair que le support de Qn est contenu dans e^^\S). Montrons que Ton a un isomorphisme de S'-groupes (3.13)
pl")(G„T(n))/Im Gr.s c^
fi"\Qn)-
Pour etudier Q^^ on pent se ramener a une situation affine. Soient S = S p e c ^ avec A local, et B une yi-algebre telle que U = Spec 5 soit un voisinage ouvert U de T = V{I) dans X, ou 7 designe Tideal de definition deT. On a alors T^") = F(7"+i) = S p e c ( 5 / / ^ + i ) et, par construction, on aC/ = (g("))-i([/'),ouC/'est un sous-schema ouvert de X^^\ isomorphe a Spec (A 4-1^"^^). De plus, B/I^'^^ est un module projectif de type fini sur yl, et en passant a la limite inductive sur les voisinages de T ( " ) dans X, on se ramene au cas ou les elements de 1 -f 7 sont inversibles dans B. Alors, tout element inversible de B/I^^^ se releve en un element inversible de B, et tout element inversible de ^ + 7""^^ est de la forme a{l-\-i) avec a dans A et i dans In-^i- L'assertion (3.13) resulte de la. Montrons maintenant que le 5-foncteur f), [Qn] est representable par un 5-schema affine. La O^-algebre A^ = />• (^^^(n)) est finie et localement libre. Soit P{An) le fibre projectif donne par An (cf. [9], page 71, Definition (4.11)). On a alors un isomorphisme naturel : pi''\GmT{n))/lm
GrnS ^
P{An)(N),
on N E r ( 5 , Sym^''(A„)) est la section qui definit la norme de Talgebre A„. On note dn le rang de An^ En conclusion, p^\G^q^(n))/lm GmS est representable par un ouvert affine d'un fibre projectif. Pour tout entier n > 0, on a une suite exacte de faisceaux fppf. (3.15)
1 - . p i " \ G „ 2 , ( „ , ) / I m G „ 5 - Pkje(„,/5 - Pic.jf/5 - 1-
On a la description suivante de la deuxieme fleche a gauche. A toute section rj de p^ (G^^TC^^)) au-dessus d'un 5-schema 5', il correspond une section de Picj^^^^. au-dessus de S' : la classe d'isomorphisme du couple (O^jfj) (On interprete rj comme une trivialisation de 0^\T^^\) Les classes d'isomorphismes de ces couples sont en bijection avec les sections de r(5',pL*^(G^7^(n))/Im 6 ^ 5 ) .
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C. CONTOU-CARRERE
Pour montrer Texactitude de (3.15), quitte a passer a une extension fidelement plate et finie T^r —> S\ on pent supposer que Xs' admet une section au-dessus de 5', Dans ce cas, le groupe des sections du groupe de Picard relatif r(S''5 Pic j ^ . ) s'identifie au quotient Pic {Xs')/Pic {S'). Soit done L un fibre inversible sur Xs'- Pour tout point s de S', il existe un voisinage ouvert Us tel que la restriction L\T^^ soit libre. (Cette affirmation resulte du fait que TgV —> 5 ' est un morphisme fini, et du lemme de Nakayama). Alors, etant donnee une section ^ de Pic j^,„ au-dessus de 5', il existe une extension fppf, soit S" —^ S' telle que ^s" se trouve dans rimage de ^^^ x(^)/s ~^ ^ ^ ^ x / 5 ' ^^^^P^^ tenu de la description des sections On verifie facilement Tinjectivite de la deuxieme fleche a gauche, et on a ainsi prouve I'exactitude de (3.15). II en resulte une autre preuve de la representabilite de Pic j ^ ^ ^ ^ , . On pent interpreter Pic j ^ ^ ^ ^ . comme un torseur fppf au-dessus de Pic j ^ , (que Ton sait representable). Or un torseur fppf P au-dessus d'un S'-schema Y de groupe structural affine est toujours representable, comme le montre la theorie de la descente. De meme. Inexactitude de (3.15) donne un devissage de Pic^^^^. qui prouve que les morphismes de transition du systeme projectif (J„)n>o sont affines. Par consequence la limite projective (3.16)
J = limJ„ n
existe dans la categorie des 5-schemas Sch|5. Posons (3.17)
<^=lim^n. n
On a ainsi un 5-morphisme de X dans J . Pour tout entier n > 0, on a une suite exacte de faisceaux fppf (3.18)
l^J°^J„^Is-*0
donnee par I'augmentation canonique. Par passage a la limite projective, on obtient (3.19)
l-> J°-> J - . 1 5 - ^ 0 ,
ou J^ designe la composante neutre de J , qui est representable par un ouvert de J .
JACOBIENNES GENERALISEES
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4. Enonce du theoreme de factorisation et preuve dans le cas d'un schema de base noetherien et reduit S. Dans ce numero et le suivant, on donne la preuve du Theoreme 4.1. Soii S un schema. Soii X un S-schema plat, de presentation finie, localement projectif^ a fibres geometriques integres de dimension 1. Soit T Q X un diviseur de Cartier relatif qui soit ferme. On suppose que X = X — T est lisse sur S, Soit G un S-schema en groupes commutatif et lisse. L 'homomorphisme de groupes Eoms-gr{J\G)^G{X) induit par composition avec X ^^ J est un isomorphisme. {Cette propriete sera designee comme la propriete de factorisation universelle du couple
Par un argument de presentation finie, on montre que le theoreme (4.1) est equivalent au Theoreme 4.2. On reprend les memes notations que dans (4.1). Soit ij) une section de G au-dessus de X, II existe alors un entier n > 0 et un unique S-homomorphisme de groupes
tel que tp = tp o ^^ (cf. (3.4)). La preuve de (4.1) procede comme suit. Un argument de presentation finie et Tunicite de la factorisation permettent de se ramener au cas ou S est un schema affine et noetherien. On traite d'abord le cas ou S est reduit, a partir de la theorie sur un corps, ensuite le cas general, par recurrence sur I'ordre de nilpotence du nilradical de S (cf. (5.1)). On construit alors a chaque etape une obstruction au relevement infinitesimal d'une factorisation, dont on prouve la nuUite en se ramenant au cas reduit. Rappelons d'abord quelques resultats de la theorie des jacobiennes generalisees d'apres Serre (cf. [16]). Etant donnes deux entiers n, TV > 0, soit N
(4.3)
a^:l[X-^J,N
88
C. CONTOU-CARRERE
le S'-morphisme defini par N
(4.4)
cr^ixu...,rf,) = J2M^il 1=1
Oil ( x i , . . . , Xjv) designe une section deYi ^ au-dessus d'un 5-schema S'. On note J ^ la composante de degre N de J^. Le morphisme (4.4) admet la factorisation suivante AT
(4.5)
JJx-.Sym^/5-^^J„^ n
J
oil Sym;^^5 designe la puissance symetrique N-eme de X (cf. [7], Exp. n^221). Soit maintenant S = Speck ou k designe un corps algebriquement clos. Dans le chapitre V de [16], pour tout entier n > 0, Serre associe, a une fc-courbe projective et non-singuliere X muni d'un diviseur T C X un Ar-schema en groupes commutatif et connexe, que nous notons ^Jn, et un Ar-morphisme y?„ : X -^ */„• Le couple {(fn/Jn) verifie la propriete de factorisation universelle exprimee par le theoreme 2, p. 96, de loc. cii. Soit Po une section de X = X —T. On verifie alors que le couple ((fn/Jn) s'identifie avec les notations de 3, a {^n — ^ n ( P n ) , P i c ^ . . ). (Le theoreme 1 de loc. cH. p. 95 donne une interpretation des sections de * Jn au-dessus de k en termes de classes de diviseurs etangers a T de degre 0. La relation d'equivalence est definie a partir des fonctions meromorphes m qui verifient la relation m — 1 G /""*"^, ou 7 C O^ designe Tideal de definition de T C ^ . A partir de la relation bien connue entre classes d'isomorphisme de fibres inversibles sur X et classes d'equivalence lineaire de diviseurs relatifs (cf. [14]), on montre que les sections de * J„ et celles de P i c ^ , ,, sont les memes au-dessus d'un corps k'. Le theoreme 2 de loc. cii. p. 96 donne un S'-morphisme de groupes ^ Jn -^ P i c ^ . .
. On prouve,
compte tenu de ce qui precede et des constructions de [7], Exp. n°221, que c'est un isomorphisme.) L e m m e 4.6. Soii k un corps ei soit k une cloture algebrique de k. Soit X une courbe projective sur k telle que X Xk k soit integre. Soit T C X un diviseur de Cartier relatif tel que X = X — T soit lisse. Etant donne un entier n > 0, il existe alors un entier N > 0 tel que le morphisme
JACOBIENNES GENERALISEES
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soH surjectif. Preuve. Quitte a remplacer X par X Xk k, on peut supposer k algebriquement clos (cf. [13], p. 27). On peut aussi supposer X lisse, quitte a remplacer X par un modele lisse X ' de X et T par son image inverse T'. (Tout 5-groupe ^^^ xi^)/s ^^^^truit a partir de {X, T) peut-etre majore par un 5-groupe Pic_jr/(n)/c construit a partir de {X\T')
et reciproquement.)
Soit TT le genre arithmetique de X^") (cf. [16], p. 71, formule (12)). La proposition 2 de loc. cH. p. 90 et le lemme 16 de loc. cii.^ p. 95 montrent que le A:-morphisme
est birationnel. Done la restriction a un ouvert convenable U de Symj^, . de 'a'^ a pour image un ouvert V de P i c ^ . . , necessairement dense car Pic^. ,
est irreductible (puisqu'il est isomorphe a Pic_^(n) 75). II resulte
de [6], Exp VI^, 0.5, que la fleche V x V —> P i c ^
, donnee par la
multiplication, est surjective. D'ou il resulte que 'a'^ est surjective et a fortiori a"^ aussi. c.q.f.d. Proposition 4.7. Soii S un schema noeiherien, Soieni X, T, X, Jn =Ek.x(n)/c; ^^ ^n defiuis comme dans (4.2). // existe alors un eniier N > 0 et un ouvert U CYI ^ ^^^^ Q'^^ '^ S-morphisme
soii fidelemeni plat. Preuve. Pour chaque point s de 5, il existe un entier A^ qui depend de s tel que
soit surjectif (cf. (4.6)). Puisque J„ est de presentation finie, il en resulte que J ^ est aussi de presentation finie. II existe alors un ouvert Us de {s} (cf. [13], p. 37, theoreme (8.10.5)) tel que N i^nhs
' Yi^Us
-^
{Jn)Us
90
C. CONTOU-CARRERE
soit surjectif. Le schema S etant noetherien, il est alors compact pour la topologie constructible. (cf. [8], p. 338, Proposition (7.2.13)). II est done possible de choisir un entier A^ > 0 tel que
soit surjectif. Par le theoreme de platitude generique (cf. [12], p. 153), il existe un ouvert dense V, de ( J ^ ) , tel que ( ( T ^ ) , | {(T^)7HVS) : K)7\Vs) -^ Vs soit plat et surjectif. D'autre part, il resulte de [6], Exp VI^, 0.5, que le morphisme donne par la multiplication
est plat et surjectif. Soit Us =
(
X (
On a alors que le morphisme
est plat et surjectif. Le critere de platitude par fibres (cf. [12], p. 138) donne que la restriction de a^^ a Touvert U de platitude de a^^ est un morphisme surjectif. c.q.f.d. Soit S un schema noetherien reduit. Soit ^:X—^G un 5-morphisme dans un 5-groupe lisse G. Supposons d'abord que G soit separe. Si s est un point generique d'une composante irreductible de 5, la theorie sur un corps (cf. [16], ch. V, Theoreme 2) donne Texistence d'un entier n > 0 et d'un fc(5)-homomorphisme de ^(5)-schemas en groupes ? n , 5 '{Jn)s
^GXsk{s)
tel que ips = ?n,5 ^(^n)^. Comme X est un S-schema de presentation finie et G localement de presentation finie, il existe un ouvert Us de {s} et un [/5-morphisme de C/,-schemas en groupes ^nUs.{Jju,-^GxsUs
JACOBIENNES GENERALISEES
91
tels que : V'C/.
='^nUso{^n)us-
On construit alors un ouvert dense ^ de 5 et une factorisation '^V ='iPnV^i^n)V' D'autre part, tp^y admet une extension ^„ a J„ s'il existe un entier N > 0 tel que ip^y = '^nv\{Jn)v admette une extension xp^ a J ^ . Montrons rN -rN alors que tp'j^y admet une extension V'n ^ ^^n • Soit U Touvert donne par (4.7). On a le diagramme commutatif
u
<\u
a^{xi,.,.,XN) = YlZzi'^i^i)^ {^I^'-'I^N) € U{S') si 5 ' est un 5schema. Comme 5 est reduit et que Y[ ^ ^st lisse sur 5, ce schema Yl ^ est reduit. D'un autre cote, Yl ^v H U est dense dans C/, et comme U est reduit, f| Xy fl U est schematiquement dense dans U. Puisque OU
j^
Ton a suppose que G est un 5-schema en groupes separe, il)^y admet une extension V'n • Dans le cas ou G n'est pas separe, on pent, quitte a multiplier la section ij^ de G au-dessus de X par une section convenable, supposer que '0 est une section de la composante neutre G°, et conclure par Targument precedent, (la composante neutre etant toujours separee.) On a ainsi prouve le theoreme (4.2) dans le cas ou la base 5 est noetherienne et reduite. Remarque 4.8. L'enonce de (4.7) reste valable pour une base S arbitraire. En effet, on se ramene d'abord au cas afRne et ensuite au cas noetherien par un argument de presentation finie. La fidele platitude d'un morphisme est une propriete qui se preserve par changements de base. On reprend ici les notations de (4.1). Soit 5 ' —> 5 une extension fidelement plate de 5. Le resultat suivant permet de ramener la construction d'une factorisation d'une section ip de G au-dessus de X, a celle de 'ipS'-
92
C. CONTOU-CARRERE Proposition 4.9.
Avec les notations de (4.1), la fleche Eoms-gr{J\G)-^G{X)
induite par composition avec $ est injective. Preuve. Une section / de l[oms-gr{J\G) admet une factorisation J -^ J„ —> G pour un entier n assez grand, car G est localement de presentation finie et transforme done les limites projectives en limites inductives. Montrons done qu'etant donnes deux 5-homomorphismes f,g : J^ ^^ G tels que les deux fleches X -^ J^ ^>^ G obtenues par composition coincident et sont egales a un 5-morphisme V'j on a alors f = g. Soit (T^\U \U ^ J^ I'extension fidelement plate de (4.7) (cf. (4.8)). Par hypothese, on a les egalites N i=l jN
ou Pi denote la projection de ]"[ X sur le i-eme facteur. Comme G est un faisceau pour la topologie fppf il resulte que f = g. Corollaire 4.10. On conserve les notations de (4.9). Soit tp une section de G au-dessus de X. Soit S' —^ S une extension fidelement plate de S. Toute factorisation Jpg/ z= Ipg, O $ de tps', ou '(l)g, : Js' —^ Gs' designe un S'-homomorphisme, factorisation ip = ip o^ de ip au-dessus de S.
provient d^une
Preuve. On verifie immediatement grace a (4.9) que si Ton designe par {ips')'i- (resp. (V'sOs) I'image de ^ 5 / par la premiere (resp. deuxieme) fleche de Eoms'-gr{Js',Gs')
-^
Eoms'xsS'-gr{Js'XsS',Gs'xsS')i
on a {ips')i — (^^5^2 <^u fait qu'ils factorisent la meme section de G audessus de Xs'xsS'c.q.f.d. Remarque 4.11. (i) Dans la preuve de (4.1) pour une base reduite, on prend comme point de depart la validite de (4.1) pour un corps de base k quelconque. En fait la preuve du theoreme de factorisation au-dessus d'un corps, donnee par Serre, n'est valable que si celui-ci est algebriquement clos. Le corollaire (4.10) permet de se ramener a ce cas.
JACOBIENNES GENERALISEES
93
(ii) Le (4.10) intervient imp licit ement dans la preuve de (4.1) pour une base reduite afin de passer du cas d'un 5-groupe lisse G au cas d'un 5-groupe lisse et separe. En efFet, etant donne xj) G G{X), ce n'est qu'apres une extension fidelement plate S' ^>- S qu'il est possible de construire une section f de G (au-dessus de 5') tel que V^./x^,, soit une section de la composante neutre G° de G. Le (4.10) permet de ramener d'abord la preuve de (4.1) au cas affine en prenant S' —^ S donne par un recouvrement ouvert affine de S. La methode de la presentation finie (cf. 1) permet de supposer finalement que S est affine et noetherien. 5. P r e u v e de (4.1) dans le cas d ' u n e base generate Soit S = Spec (A), ou A designe un anneau noetherien. Soit / le nilradical de A, c.a.d. I'ideal intersection des ideaux premiers de A forme des X £ A qui sont nilpotents. P r o p o s i t i o n 5.1. // extsie une suite d^ideaux Io=lDliD"'Dlm
Dlm+1 = {0}
tel que, pour tout 0 < i < m, on ait :
(a)
Ifcli+i.
(b) // existe un ideal premier Pi de A et un isomorphisme de A-modules li^ilhc^A/Pi. P r e u v e . Soit I le plus petit entier positif tel que 7^+^ — 0. Pour tout 1 < a < ^, il existe une suite d'ideaux : r
= 7«,o D • • O / « , A „ = 7 " + \
tel que pour tout 0 < /? < AQ, on ait : "II existe un ideal premier P^f^ de A et un isomorphisme de yl-modules Ia,f3/Ia,/3+i — A/Paj3^^. En efFet il suffit de prendre une suite de composition convenable du A-module J^/J^+^ (cf. [4], theoreme p. 136) et de la relever ensuite a / ^ . Comme (/*^)^ C 7^+^ on a aussi, pour tout 0 < /? < A^^, la relation 7^^ C Ia,p-\-i' La suite d'ideaux 7 = 7i,o D--D
h,x, =l2,oD"'D
UM ^ 0
94
C. CONTOU-CARRERE
verifie alors (a) et (b).
c.q.f.d.
Pour tout 0 < j < m -h 1 on pose (5.2)
S^^^ = Spec A/Ij ,
Alors S^^^ est un schema reduit, et S^^^ est un sous-schema ferme de S^^'^^^ (0 ^ i ^ "^) donne par un ideal J C A/Ij^i de carre nul. Soit done V' G G{X). A partir de (4.1) pour une base noetherienne et reduite, on a une factorisation de V'5(o) P^-^ ^5(0) • ^5(0) —>• ^^(o) • On se propose de construire une suite de 5-homomorphismes de 5-groupes ^5(0) • '^5(0)
^ ^ 5 ( 0 ) , . . . , tpsO) * JsU)
^ Gs(j),
...
tels que '^SiMJ'sU'-^)
= ^50-1)
et i^SO) = '^SO) O ^ 5 0 )
pour 0 < J < m -f- 1. Soient done S un schema, et / C Os un ideal quasi-coherent de Os de carre nul. On pose V{I) — SQ^ XQ = X x ^ 5o, {Jn)o
= Jn>^sSo,
iJ')o
= J'XsSo,
GQ^GXSSQ,
{^n)o
= ^n
^S^^S^
" •
etc. Supposons qu'etant donne ip G G(X), Ton soit parvenu a construire une factorisation (5.3)
(t?n)o
^0
^ (J„ )o
de tpo = V'l^o- II s'agit de montrer qu'il est possible de trouver un entier m > n, et de construire un diagramme commutatif (5.4) Go >• G t (^m)o
{Jm)0
JACOBIENNES GENERALISEES
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ou {i^m)o designe le 5-homomorphisme induit par (V'm)o ^t la fleche en pointille un 5-homomorphisme (a construire) qui prolonge (V'^)oSoient G un 5-schenia en groupes lisse et W un S'-schema. Etant donne un S'-morphisme 70 : Wo = W x s So —^ G^ on se propose d'exprimer Tobstruction a Texistence d'un prolongement (infinitesimal) j : W -^ G de 70 et ensuite, sous Thypothese de la trivialite de Tobstruction, de classer les prolongements. On note Cs la sous-categorie pleine des S'-schemas plats de Sch|5. Dans [6], Exp. II, on associe a un 5-schema Z le 5-foncteur Z'^ defini par la formule : (5.5)
Hom5(y, Z+) ^ Hom5o(yo, ^0),
ou Y designe un 5-schema variable (Yo = Y Xs So, ZQ = Z Xs So)- En d'autres termes Z"*" est I'image directe de Weil (avec les notations de [6], Exp. n°II)
Z ^ = l l Zo. Sols
D'autre part, par construction, on a un S'-morphisme de foncteurs (5.6)
Z
.Z+
que Ton veut decrire. Soit Lz le Z'^-foncteur en groupes commutatifs defini par (5.7)
Hom^+(y,L^) =
Romo^^{gl{^\^,s,),IOY),
OU Q^ jg designe le module des difFerentielles relatives de Zo par rapport a So, et ou on regarde lOy comme OYQ — Oy/ZOy-module car P — 0. On designe par go '-Y^ ^^ Zo le ^o-morphisme qui correspond a la section de Z^ au-dessus de Y, et fait de Y un Z'^-schema. Dans le cas ou Z est un S'Schema en groupes lisse^ on a (5-8)
^o(f^Zo/5o) = ^ Z o / 5 o ^Os,
OYO ,
OU cj^ /^ designe le 05Q-module localement libre dual de Talgebre de Lie de Zo (espace tangent a Zo le long de la section identite). D'autre part, si y est un S-schema plat, lOy s'identifie a I <S>Os ^Vo- ^ ^ conclusion, on a sous les deux hypotheses faites (5.9)
Eomz^{Y,Lz)
= Eomoy^iiv^Zo/So ^Os^ Oy.J^Os,
Oy,).
96
C. CONTOU-CARRERE
D'autre part, puisque ZQ est lisse sur 5, done localement de presentation finie, on a (5.10)
Eomz^{Y,Lz)
- ^omos^{c^ho/So^I)^Os,
Oy,.
Soit done LQZ = '^(^^^Oso(^Zo/5o' ^)) '^ 5o-groupe veetoriel (ef. [6], Exp. n°I, 4.6.1) defini par le 05^-module Homo^^{ij^^^,g^,I). En eonelusion, on a, pour tout 5-sehema plat y , Tegalite suivante (5.10)bis
Homz+(y,Lz) =
Eoms,{Yo,Loz)^
P r o p o s i t i o n 5.11. Pour tout S-schema Z, on peut definir une operation du Z'^-groupe abelien Lz sur le Z'^-objet Z, qui fait de Z un objet formellement principal homogene sous Lz au-dessus de Z^ : le morphisme Lz x^+ Z
^Z Xz+
est un is0morphisme. De plus, pour tout S-morphisme f \ Y —^ Z, le diagramme suivant est commutatif : Xy+ Y
.
Lzy^7.->tZ ^2 X2r+
^
LY
Y
(Le m,orphisme Lj se definit de fagon evidente a partir du morphisme de Ovo-f^odules foi^Zo/So
)
'^Zo/So
•)
Soit G un 5-sehenia en groupes eommutatifs. Alors G"*" est un Sfaiseeau de Zariski en groupes eommutatifs. On definit un S'-faiseeau de Zariski en groupes a partir de la suite exaete (5.12)
1
^K
^G
^G+.
D'autre part d'apres (5.11), G est un G"^-objet L^j-formellement prineipal homogene. On introduit un 5-faiseeau de Zariski en groupes par la formule (5.13)
L'aiY) = Eomo^^ii^'oo/So ®o.„ Oy,,
Wy)
{Y etant un 5-sehema variable). Soit ^o • ^o —^ G un 5-morphisme ; on a alors un isomorphisme de Oy^-modules
(5-14)
i^h.iso ®Os, Oy, ~ gliSl^G.isd-
JACOBIENNES GENERALISEES
97
A partir de (5.14) on peut definir un isomorphisme de G'*"-groupes (5.15)
G+ X5 L'G ~ La.
Par consequent, G est muni d'une structure de G"*"-objet formellement principal homogene sous L'Q, U s^agit maintenani de comparer ceiie structure avec celle donnee par {b.l2). Soit Y un 5-schema. Soit go la section identite de G^ au-dessus de Y. La fibre (LG{Y))(^g^>^+ s'identifie a L ^ ( y ) . D'autre part K{Y) correspond par definition a la fibre (G(y))(^Q)+. On definit (cf. (5.11)) alors a partir de la section identite de G une bijection (5.16)
L'a{Y)c^KiY)
fonctorielle en F . En fait (5.16) est un isomorphisme de S-groupes. Proposition 5.17. L'isomorphisme (5.16) donne lieu a un isomorphisme entre la structure de G'^-objet K-formellement principal homogene de G et celle de G^-objet L'Q-formellement principal homogene (cf [6], Exp. ii;. CoroUaire 5.18. Soient G un S-schema en groupes commutatifs, Y un S-schema^ et go : YQ -^ G un S-morphisme. II existe alors un Y-objet LQ-formellement principal homogene vy tel que : (i) Pour tout ouveri U de Y, Vensemble des sections r(t/, ry) est en bijection avec rensemble des prolongements a U de ^olC^o(ii) Si G est un S-schema en groupes lisse, alors ry est un L'Q-torseur de Zariski. (iii) On suppose que G est un S-schema en groupes lisse. Soit a :Y —^Y' un S-morphisme. Soit g^ : YQ -^ G. On definit vyi (resp. ry) a partir ^^ 9o (f^^sp- 9o — 9o^^o)' On a alors un isomorphisme de L^-torseurs de Zariski au-dessus de Y :
Preuve. II suffit de prendre TY egal a Timage inverse du G"'"-objet L^-formellement principal G, par le 5-morphisme igo)+:Y
.(?+.
On a alors (i) immediatement. Le (ii) resulte du fait que localement toute section go de G, au-dessus de Yo se releve en une section g de G au-dessus de Y. Le (iii) resulte de (ii) et de (5.11). c.q.f.d.
98
C. CONTOU-CARRERE
CoroUaire 5.19. Soient T un S-schema en groupes commutatify G un S'Schema en groupes commuiatifs lisse^ et go : TQ -^ G un homomorphisme de S-groupes. II exisie alors une extension de Zariski 1
^L'a
^E
^r
^1
doni les scindages correspondent aux S-homomorphismes g : T -^ G, qui prolongent go. De plus E s^identifie a rp en tant que L'Q-torseur. (Notons que E est egal au S-groupe produit fibre G XQ+T. Une verification simple monire que les scindages de E correspondent bien aux prolongements g de go a r , en tant que S-homomorphismes.) Lemme 5.20. Soit C une categoric avec objet final. Soient T un foncteur en groupes de C, et L un foncteur en groupes commutatif de C. La donnee d'une suite exacte de C-groupes 1
yL
^E
^r
tel, que pour tout X £ ob C rimage de L{X) soit dans le centre de E{X), equivaut aux donnees suivantes : (i) Un T-objet L-formellement principal homogene E
-^T.
(ii) Un morphisme m : pr'i{E) x pr2{E) —>- '^^{E) (ou pri (resp. pr2) designe la projection T x T —>- F sur la premiere (resp. deuxieme) com,posante et w la loi de composition de T) tel que : (a)
m{xi, x'i') = m{x, x')U' oil X (resp. x',i,i') designe une section de ^x\{E) (resp. au-dessus d'un objet variable X de C.
pr^{E),L^L)
(b) le diagramme d'associativite construit a pariir de m est commutatif. (c) // existe une section e de E au-dessus de la section identite de V telle que, pour toute section x de E{X) {X G ob C), on ait m(ex,x) — m{x,ex) = X. (d) Un morphisme m\E * E —»invp(£') tel que pour tout objet X de C et tout x G E{X), on ait UIWE{^^) = invE(x)£-'^ {£ G L{X)), ex — m(x,inv£;(a?)) = m(inv£;(x),x). (invr : r —> r designe le morphisme x —^ x~^. Le morphisme m definit sur E une structure de groupe tel que £" -^ F soit un h o m o morphisme de C-groupes. La condition (a) entraine que le morphisme
JACOBIENNES GENERALISEES
99
L -^ E donnee par £ y^ el est un homomorphisme de C-groupes, et que Taction de L sur E coincide avec celle definie par la loi de composition m et rhomomorphisme precedent. II est clair que Timage de L ^^ E donne le noyau de £' -^ F, et que L{X) est contenu dans le centre de E{X) pour tout X E ob C). On suppose que T, L ei E sont des foncteurs de Sch|5 verifiant les conditions suivantes : (1) r est representable par un 5-schema en groupes ; (2) L est un 5-faisceau de Zariski en groupes commutatifs ; (3) E —^ r est un L-torseur de Zariski. On veut alors exprimer les conditions de (5.20) pour avoir une extension de Zariski
1
-^L-^E-^T-^l
en termes de conditions sur des morphismes de torseurs de Zariski. Soient (Ui) {i G /) un recouvrement ouvert de F X5 F donnant lieu a une trivialisation {ai) {i G / ) de pr'i{E) x pr2(£'), et a une trivialisation (T,) (i G /) de 7r*(£'). On pose a-,- = {aj^crf). Soit m un morphisme comme celui de (ii) de (5.20). On pose pour tout z G / (5.21)
m{ai) = Ti(pi ,
ou (fi G L{Ui)j et pour tout (i, j ) G / x / {ai\Ui n Uj).gij = aj\Ui D Uj,{ri\Ui D Uj)hij = TJ \Ui fl Uj, ou Qij = {9Jj,9ij) e{Lx L) (Ui n Uj) et hij G L{Ui DUj). On a alors pour tout {iyj) G / X / la relation (5.22)
reciproquement, la donnee de {(pi) (i G / ) verifiant la condition (5.22) donne lieu a un morphisme verifiant (ii), (a) de (5.20). Exprimons la condition d'associativite de m. Soit p:Fx5Fx5F-^F le morphisme obtenu a partir de la loi de composition de F. Notons E' (resp. £"', £"") Fimage inverse de E —^ T par la projection sur le premier (resp. deuxieme, troisieme) facteur.
100
C. CONTOU-CARRERE
La loi m est associative si I'on a Tegalite des deux morphismes suivants d'un L Xs L Xs L-torseur dans un L-torseur au-dessus d e r x 5 r x 5 r (5.23)
a,P:E'
X E" x E'" =t p^[E)
ou a = ((TT XS idr)*(m)) o ((m Xg idp) Xp id^///) et /? = ((idr Xs 7r)*(m)) o (id^;/ Xp (idp Xs m)). Soit maintenant F' C F le sous-schema donne par Timage de la section identite de F. Soit {Vi){i G /) le recouvrement ouvert d e F ' x 5 F c F x 5 F induit par {Ui){i G / ) . Soit e' la section de pr'i(E)\T' X5 F donnee par I'identite e de E. On pose e'\Vi =
{al\Vi)A
ou ii G L{Vi). Comme on aprf(£')|(F' Xs F) = 7r*(^)|(F' X5 F), la section o-flVi donne lieu a une section de 7r'^{E)\Vi qui s'ecrit :
La conditions m(e,x) = x pour toute section x de E(X) {X G ob Schl^) est equivalente a la suivante : pour tout i G / on a (5.24)
{
(^i,<eL(V;)).
Cela resulte du calcul suivant : m{e',af\Vi)
= m{{al\Vi)-£i,af\Vi)
= (m(
et de la definition de £J. Soit i? C F X5 F le graphe de invp. Le morphisme Tr\R envoie R sur la section identite de F. Soit e' la section unite de 7r'*'(£'), obtenue a partir de la section unite e de £* par composition avec TT. On pose pour tout i £ I (5.25)
e'\RnUi
=
{Ti\RnUi).kl
et (5.26)
invEicrDlRnUi
=
{a^\RnUi).ki
JACOBIENNES GENERALISEES
101
avec ki et ^ dans L{Rr] Ui). La condition ex — m(x,inv^(x)) = m(inv£;(ar),x) pour tout X G ^(>^) (-^ G ob Schls) correspond a la suivante : pour tout i G / , on a (5.27)
{i^i\R^Ui),ki^k\,
Lemme de nettoyage 5.28. Soient L et V deux faisceaux de Zariski en groupes commuiaiifs sur Sch|5 qui induiseni des faisceaux en groupes isomorphes sur la sous-categorie pleine Cs des S-schemas plats. Considerons une extension commutative de Zariski 1
yL
>E
^r
^1
d^un S-schema en groupes commutatifs plat T par L. II existe alors une extension commutative de Zariski E' de V par V telle que : (a) E' est scindable st et seulement si E est scindahle ; (b) le L'-torseur defini par E' sur Cs coincide avec le L-torseur defini par E sur CsP r e u v e . On exprime le Z-torseur E a I'aide du cocycle (gij) {i^j G /) a valeurs dans L, donne par un recouvrement ouvert (Vj) {j G / ) de F. Par hypothese, le cocycle (gij) (f, j G /) donne lieu a un cocycle a valeurs dans L' qui definit un L'-torseur £" —>• F. La condition (b) est alors facilement verifiee a partir de cette definition de E'. Observons aussi que F X5 F, F X 5 F X 5 F , F ' x ^ F e t i ? sont des 5-schemas plats. Done le L' X5 L'torseur pr\{E') x pr^{E') (au-dessus de F X5 F) est isomorphe sur le petit site au L X5 L-torseur pr\{E) x pr2{E). De meme, 7r'^{E') est isomorphe a 7r*(J5'). Pour definir un morphisme
on part de la definition locale {(pi) (i G /) de m et on verifie que Fimage {(Pi) G n ^'(Ui) satisfait aux conditions (5.22) avec h'^j G L^UiDUj), image de hij par L\cs — ^'|cs) a la place de hij, et g^j G {L' x L^){Ui 0 Uj), image de gij par L\cs — ^'\CSJ ^ ^^ place de gij. On a ainsi une definition locale de m'. L'associativite de m (cf. (5.23)) s'exprime par Fegalite de deux morphismes d'un Lxs L x5 L-torseur dans un L-torseur au-dessus de F X 5 F X 5 F . La definition de m' ci-dessus permet de verifier I'associativite.
102
C. CONTOU-CARRERE
Les conditions (5.24) et (5.25) resultent aussi facilement. Le lemme (5.20) permet de conclure que E' est bien un S-groupe verifiant (a). c.q.f.d. Soit G un 5-schema en groupes commutatifs, lisse ; on a alors a partir de (5.11) et de la definition de L^ (5.29)
L'a = n
nHomosMo/So^n).
So/S
si on se restreint a Cs- Etant donne un 5-schema en groupes plat T et un 5-homomorphisme go : TQ —^ G, on conclut a partir de la suite exacte de 5-faisceaux de Zariski en groupes commutatifs donnee par (5.19), et du lemme de nettoyage (5.28), a Texistence d'un extension de Zariski (5.30)
1 -^ fj W{N)
-^E'r-^T^l,
SQ/S
oil N designe le O5o-module Homos^i'^GQ/s J^)J ^^'^^ ^^^ 1^^ scindages de E'p correspondent aux S'-homomorphismes g :T -^ G qui prolongent ^fo • P r o p o s i t i o n 5.31. Soient G, N et W{N) comme ci-dessus. Soient Y un S-schema plat et go : YQ —^ G un So-morphisme, II existe alors un W{N)-torseur Zariskien Ty^ tel que : (i) Vensemhle r(^0j7yo) ^^^ sections de ry^ au-dessus de UQ, (oil UQ designe un ouvert de YQ)^ est en bijection avec rensemble des S-morphismes gu ' U -^ G qui prolongent go\Uo (c.a,d, tel que 5^0l^o = gu o ^0^ oil 2*0 : Uo —^ U designe ^immersion canonique) ; (ii) etant donnes un S-morphisme h : Y ^^^ Y' et un So-morphisme g'o '^i ~^ G tels que go = go o ho, on a alors Ty3-/i$(ryj).
Preuve. Soit ry le L^-torseur de Y construit comme dans (5.18) a partir de ^o- Soit (Ui) {i G / ) un recouvrement ouvert de Y tel qu'il existe des sections (
(0-
JACOBIENNES GENERALISEES
103
(Soit U C Yo nn ouvert ; les sections de TYQ au-dessus de U correspondent aux 5-morphismes g :Y\U —^ G qui prolongent ^^olC^O Montrons que le VF(A'')-torseur TYQ construit a partir de g^ — g'^o ho est isomorphe a /io(ry/). Soit (V^) (i G /) un recouvrement ouvert de Y' de sorte que pour chaque Vi on ait un prolongement g'^ de ^ol^*- Soit (Ui) {i G /) le recouvrement image inverse du precedent par h. Pour tout f G / il existe un prolongement gi = g'io(h\Ui) de go\Vi. Le 1-cocycle a valeurs LQ defini par 9ij =
igi\UinUj).{9i\UinUj)-'
est rimage inverse du 1-cocycle a valeurs dans LQ 9ij =
i9i\VinVj).{9j\VinVj)-'
par h, grace a (5.11). Ce qui sufBt a montrer (ii).
c.q.f.d.
Proposition 5.32. On reprend les notations de (5.31). Soient T un S-schema en groupes commutatifs, plat et fo : TQ ^^ G un So-homomorphisme, Soit E^ Vextension de V par Ws^js ^{^) construite a partir de fo, T, et G (cf. (5.30)). // existe alors une extension de Zariski 1 ^ w{N)
^Er,-^To-^l
telle que :
(i) ^r = n r o / r ^ r „ : (ii) le W(N)-torseur jE'r© (au-dessus de To) est isomorphe au torseur T^Q construit a partir de /o (cf. (5.31)) ; (iii) Les scindages de Epo sont en bijection avec les f :T —^ G qui prolongent /o : FQ —> G.
W{N)-
S-homomorphismes
Preuve. En re-ecrivant la definition (5.21) de m, et les conditions (5.23), (5,24) et (5.25) correspondant a Textension j&p de T par Ylg /s^i^)i remplaQant T par To, et tenant compte de la definition de riso/s ' ^ C ^ ) ' o^ obtient une extension ETQ de To par W{N) que satisfait les conditions (i), (ii), et (iii). (Donnons la description de la loi de composition m de Epo- Notons d'abord que Ton a le diagramme commutatif suivant de S'-morphismes To X5 To (/o,/o)
^
To /o
GxsG
104
C. C O N T O U - C A R R E R E
oh. TTo est la loi de composition de To et p celle de G. L'image inverse 7ro(^ro) ^st un ]/y(A^)-torseur de Zariski, dont les sections au-dessus d'un ouvert VF de To X 5 r o , sont en bijection avec les prolongements a ( r x 5 r ) | ] / l ^ de p{go,9o)\W, d'apres (ii) de (5.31). E t a n t donnes deux ouverts U et V de To et des prolongements gu et gv de go\U et go\V respectivement a T\U et T\Vj le morphisme m fait correspondre a la section de pr^i^Era) x pr2{Ero) donnee par (gu.gv) la section de 7rQ(£'ro) donnee par p{gu^gv)') c.q.f.d. P r o p o s i t i o n 5.33. Soieni S, X, ( J , ^ ) comme dans (4.1). On suppose S noetherien et affine. Soii G un S-faisceau fppf en groupes commuiatifs, localement de presentation finie. Soit 1
>W{N)
yE
>G
>1
une extension de Zariski commutative de G par le S-groupe vectorielW{N), donne par un Os-'module N de type fini. Soit ip G G{X) tel qu'il existe un S'homomorphisme f : J -^ G avec ip — fo^. Etant donnee un relevement ip G E{X) de ij)^ il existe un unique S-homomorphisme f : J -^ E (qui releve f) verifiant ip — f o^. (Le fait que Gest localement de presentation finie donne une bijection : H o m 5 _ ^ ^ ( J , G ) c^ limHom(Jy^,G). L'unicite de / resulte du fait que E n
est un 5-faisceau fppf. En effet, la proposition (4.9) reste valable si Ton suppose seulement que G est un ^-faisceau fppf.) La preuve de (5.33) va resulter des lemmes suivants. L e m m e 5.34. Avec les mimes notations et hypotheses que dans (5.33); 52 ron suppose en plus que S = SpecA^ ou A designe un anneau noetherien, et que N est isomorphe au Os-Tnodule defini par A/P x . . . x A/P, oil P est un ideal premier de A, il existe un S-homomorphisme f : J' —^ E tel que tp — f o ^. P r e u v e . Par hypothese, il existe un entier n > 0 et un 5-homomorphisme f^:J^-^G tels que
On obtient pour tout entier m > n une extension de Zariski (^)
1
^wiN)
^EXGJ^
^J„
^1
dont les scindages correspondent aux relevements du S'-homomorphisme
JACOBIENNES GENERALISEES
105
en un 5-homomorphisme fm ' J'm
^E.
Notons que Von a un diagramme commutatif Jr.
EXG
X Posons S' = Spec A/P et pour tout entier m > n, posons E'^ = E XQ J^. Alois E!^ est un faisceau de Zariski (sur le petit site) au-dessus de J^, qui coincide avec le prolongement par zero, du faisceau de Zariski {E'^)s' au-dessus du sous-espace ferme {Jn)s' de J„. II est clair que {E!^)s' est un 5'-foncteur en groupes representable par un 5"-schema en groupes lisse car W{N)s' coincide avec GaS' x . . . x GaS'- On pent done appliquer le theoreme (4.1) dans le cas d'une base integre, et trouver un entier m>n et un homomorphisme hm ' {Jm)s' —^ {En)s' tel que le diagramme suivant commute i
Xs'
(Kh
(*m)s
iJm)s'
•
(J„)5'
En consequence, il existe un 5-homomorphisme
iJ^)s. - {E'Js' tel que le diagramme
{E'Js'
{Jm)s (^m)s'
^
'
[Jm)s'
106
C. CONTOU-CARRERE
commute, et donne lieu a un scindage a de {E'^)s'' Le prolongement par zero ^ de cr a J ^ correspond done a un scindage de E!^. On verifie cette affirmation en exprimant la loi de composition de E'^ et la compatibilite avec celle-ci, que doit verifier un scindage, en termes de (5.20), compte tenu que pr\{E'^),pf^{E'^),... etc sont le prolongement par zero de pr\{E'^g,), pfti^'mS')^ " "> ^^^' O^ verifie aussi que le scindage 'a donne bien une factorisation de V' x <^,„, ce qui prouve le lemme. c.q.f.d. Soit N comme dans (5.33). D'apres le theoreme 1, p. 136, de [4], il existe une suite de composition {Ni) (0 < i < p) de N telle que, pour 0 < i < p — 1, Ni/Ni^i soit isomorphe a A/Pi^ oil Pi est un ideal premier de A. Soit done N' C N un A-sous-module de A^ tel que N/N' c:i A/P, ou P est un ideal premier de A. On a alors un 05-homomorphisme de faisceaux de Zariski W{N') —V W{N). Notons W{N') C W{N) I'image de (5.47). L e m m e 5.35. On conserve les hypotheses et les notations de (5.32) et celles ci-dessus. Soit xp G {E/W{N')){X) I'image de ip par E -^ EIW{N'). Alors il existe un S-homomorphisme f : J -^ E/W{N') tel que tp = f o ^. P r e u v e . L'hypothese sur G donne I'existence d'un entier n > 0 et d'un 5-homomorphisme f^:J^-^G avec ip — fn^^nOn applique ensuite le lemme de nettoyage (5.28) a Textension de Zariski
1 _ W{N)/W{N')
-^ {EIW{N'))
xoJn^Jn^^.
en observant que le 5-faisceau de Zariski W{N)/W{N') est isomorphe sur Cs a W{N/N') c:^ W{A/P). On obtient ainsi une certaine extension JE" de J„ par W{N/N') telle qu'il existe une section tp' G E'{X) correspondant k ip XQ Idj' . On conclut, par (5.33) applique a E\ ^', a I'existence d'un diagramme commutatif
JACOBIENNES GENERALISEES
107
p e r m e t t a n t de montrer que £" Xj/^ J^ est une extension scindee, done {EIW{N')) XG Jm aussi, et a partir de quoi on montre Texistence d'une factorisation de '0c.q.f.d. P r e u v e d e 5 . 3 3 . On procede par recurrence sur la longueur d'une suite de composition de TV. Soit done N^ C N un A-sous-module tel que N/N' ~ A/P. A partir de (5.35) on voit qu'il existe n > 0, un 5 homomorphisme / „ : Jn —^ E/W{N') et un diagramme commutatif 1
\V{N')
E/W{N')
1
Soit E^ = E XE/W(N') *^n- On a alors une section '^^E/W(N') ^^ ^^ ^^ au-dessus de X. On applique a E^ le lemme de nettoyage et on obtient une extension E' de J „ par W{N'), et (5.45) resulte alors de I'tiypothese de recurrence. c.q.f.d. P r e u v e d u t h e o r e m e 4 . 1 d a n s le cas g e n e r a l . On procede par recurrence sur la longueur de la suite de composition donnee par (5.1). Avec les notations de (5.4) on a pour chaque entier m > n un iSo-homomorphisme (V'm)o ' {Jm)o -^ Go tel que ^o = (V'm)oo(^m)o- Soit TXO le W{Ny torseur de Zariski, oil N = Homos ( ^ G is '-^)' construit d'apres (5.30) a partir de X Q , ipo et G. Noter que si / = li^i/Ii alors il existe un ideal premier Pi tel que li^i/Ii 2f A/Pi (cf. (5.1)). D'ou quitte a se restreindre a un ouvert affine de 5o, on pent supposer que Homo^^{u)^^ig^,I) est isomorphe au O5o-module donne par un produit fini A/Pi x . . . x A/Pi. (Noter que cj^ j ^ est localement libre car Go est lisse sur SQ.) Soit cr la section de TXQ au-dessus de X Q donnee par le prolongement ij; k X de 'iPo :Xo-^G (cf. (5.30), (i)). Soit ^W{N)-
^E,Um)0-
<Jm)-
la suite exacte qui correspond a {ip^)o d'apres (5.31). Par (5.30), (ii), on a pour tout m > n un isomorphisme TXo ~ ($m)S(£^(J„)„).
108
C. CONTOU-CARRERE
II en resulte alors le diagramme commutatif suivant de 5o-morphismes
''"Xn
Xn
-
(*»)o
%„)o
(Jn)0
ou cr' correspond a la section a. On pent appliquer (5.33) a Textension E(^j-^)^ munie de la section a' de -£^(j;^)o au-dessus de XQ. II existe alors un entier m > n et un 5o-homomorphisme / : {J^)o —^ Erj \^ tel que le diagramme suivant soit commutatif f-iJm)0
(•^„)o
(«'m)o
(*„)o : Xo
(4)o
comme ^(j;^)o — ^(J^)o ^(•^n)o ('^m)o d'apres (5.31), (ii) il resulte alors que / donne lieu a un scindage de cette extension qui correspond a un S'-homomorphisme t/j^ G tel que jp = ip^ o <^^. Ce qui acheve la preuve de (4.1). Remarque 5.36. (i) La preuve de (4.1) ne depend en fait que de (5.33). Dans une premiere version de ce travail la demonstration de (4.1) utilisait (5.32) et se faisait done par une double recurrence sur Tordre de nilpotence du radical de A et la longueur d'une suite de composition de N. La demonstration actuelle par recurrence sur la longueur d'une suite de composition comme dans (5.1) suit une suggestion de P. Cartier. (ii) La description de Textension Ero }oue un role primordial dans ce travail. Voir a ce sujet Particle de L. Breen dans ce volume et B. Magneron, Cohomologie des growpes ei des espaces de transformation dans Journal of Algebra, vol. 112, n°2, 1988.
JACOBIENNES GENERALISEES
109
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Categories tannakiennes p. DELIGNE
a A. Grothendieck en temoignage d^admiration et de reconnaissance
1. 2. 3. 4. 5. 6. 7.
Introduction Rappels et complements: categories tensorielles Rappels et complements: groupoides Comonades Produit tensoriel de categories abeliennes Le theoreme principal Caracterisation interne des categories tannakiennes (caracteristique 0) 8. Le groupe fondamental d'une categorie tensorielle 9. Corps differentiels Index terminologique Index des notations Bibliographie 1. Introduction
Dans [6], N. Saavedra decrit certaines categories munies d'un produit tensoriel, les categories tannakiennes (2.8), comme categories de representations de gerbes (cas particulier: representations d'un schema en groupes). Sa demonstration est incomplete (c/. [2] 3.15). Notre but premier est de la completer. Je n'ai pas su rediger un expose court ne donnant que les arguments manquants: bien des idees de Particle sont dans [6], dues a Saavedra et, par son intermediaire, a A. Grothendieck. Les paragraphes 2 a 5 ne pretendent pas a Toriginahte. lis rassemblent des resultats qui, au paragraphe 6, nous permettrons de completer la demonstration de Saavedra. Au paragraphe 7, nous montrons qu'en caracteristique 0, une categorie tensorielle (1.2) dont tout objet a pour dimension (7.1) un entier > 0 est tannakienne. Au paragraphe 8, nous appliquons les methodes des paragraphes 6 et 7 aux categories tensorielles non
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necessairement tannakiennes. Comine application (8.19), nous decrivons les categories tensorielles sur k, suppose parfait, munies d'un (8)-foncteur exact a valeurs dans les super-espaces vectoriels sur k (1.4). Le paragraphe 9 donne une application du formalisme des categories tannakiennes a la theorie de Picard-Vessiot. Soit {K, d) un corps difFerentiel de corps des constantes K^ := {x\dx = 0} algebriquement clos de caracteristique 0 et y^' -f aiy"~^/ -f • • • -f a„ = 0 une equation difFerentielle lineaire du n^^"^^-ordre a coefficients dans K . Nous montrons Texistence d'une extension (E^d) de (A', 9), de meme corps des constantes, dans laquelle Tequation admet n solutions lineairement independantes sur les constantes. Cette application est le fruit de discussions avec D. Bertrand. Le result at est un tlieoreme de E.R. Kolchin ([3 VI 6 prop. 13]). Dans la fin de cette introduction, apres avoir indique quelques conventions terminologiques, nous decrivons le resultat principal 1.12 des paragraphes 2 a 6. 1.1
Terminologie.
Anneau (resp. algebre) signifiera toujours anneau (resp. algebre) a unite et les morphismes envoyent I'unite sur Tunite. Dans tout Particle, k sera un anneau commutatif, le plus souvent suppose etre un corps. Nous ne considererons en principe que des schemas sur k . Souvent, nous dirons simplement schema pour schema sur k et morphisme de schemas pour morphisme de schemas sur k . On note X X Y \e produit sur k X Xspec(fc) y ^t Hom(X, y ) Pensemble des morphismes de schemas sur ^ de X dans Y. Nous noterons de meme un foncteur represent able et un objet qui le represente. 1.2. Soit k un corps commutatif. Dans cet article, nous appelerons simplement categoric tensorielle sur k ce qui dans N. Saavedra [6] (resp. DeligneMilne [2]) serait appele une (8)-categorie abelienne ACU ^-lineaire rigide, avec k - ^ End(l) (resp. une categorie tensorielle abelienne, rigide, klineaire, avec k —> End(l)). Les axiomes sont rappeles en 2.1. II s'agit d'une categorie abelienne Ar-lineaire T munie d'un foncteur (g) : T x T -^ T et de contraintes d'associativite et de commutativite pour 0 (des isomorphismes fonctoriels {X(^Y)<^Z -^ X^{Y<^Z) et X0Y -^Y^X),\e tout verifiant des axiomes convenables. Parmi les axiomes figure I'existence d'un objet unite 1. 1.3
Exemple. La categorie Vect(fe) des espaces vectoriels de dimension
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finie sur k, munie du produit tensoriel et de ses contraintes evidentes d'associativite et de commutativite. 1.4 Exemple. T est la categorie des espaces vectoriels de dimension finie Z/(2)-gradues sur A?, 0 le produit tensoriel, la contrainte d'associativite est la contrainte evidente et celle de commutativite est donnee par la regie de Koszul: a 0 6 i-^ (_i)degadeg6j 0 ^ pQ^j. fl et 6 homogenes. C'est la categorie tensorielle des super-espaces vectoriels de dimension finie sur k. 1.5 Exemple. Soit G un schema en groupes affines sur k . On prend pour T la categorie Rep(G) des representations lineaires de dimension finie de G sur k , pour (g) le produit tensoriel des representations, et les contraintes evidentes. Pour G trivial, on retrouve 1'exemple 1.3. 1.6. Une generalisation de I'exemple 1.5 jouera pour nous un role essentiel. Avant de la donner, quelques preliminaires. Soit S un schema sur k . Rappelons (SGA3 VI) qu'un k-groupoide agissant sur S est un schema G sur k munis de morphismes but et source: b,s : G —^ S et d'une loi de composition o : G x G —^ G qui soit un morphismes de schemas sur S x S et telle que pour tout schema T sur k, S{T) := Hom(T, S)
,
G{T) := Hom(r, G)
,
5,6: G{T) -^ S{T) et o
definissent une categorie (objets: S{T) ;fleches: G{T)) ou toute fleche soit inversible. Ceci pent aussi s'exprimer par des diagrammes: I'associativite s'exprime par I'egalite des fleches composees oxid
G X G X G 'S^
'S^
\G X Idxo
G^-^G,
'S^
les fleches identiques par un morphisme de 5 x 5 schemas e : S —^ G {S diagonal dans S x S) tel que les fleches composees exid
G = GxS
= Sx G
\G X
G-^G
Sb
IcI x e
1»
soient I'identite, les inverses par " — 1" : G -> G avec s" 6" — 1" = " — r ' 5 , et les commutativites "-r'xid
G
1-
«
Idx"- - 1 "
^G XG
> G X G
G
55 b
[" 4-
b
G
<
e
•
G .
V'b
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La terminologie de SGA 3 VI est que (5, G) est un (schemas sur Ar)-groupo'i*de. Pour u :T -^ S, Timage inverse de G par u x u :T xT —^ S x S est un A:-groupo*ide agissant sur T: le groupoide induii GT • Une representation de G est un faisceau quasi-coherent V sur S muni d'une action p de G, i.e. de la donnee pour tout fc-schema T et tout g G G{T) d'un morphisme p{g) : V,(^) —^ V6(^) entre les images reciproque de V par s{g) et 6(p) : T -^ S. On exige que /}(^) soit de formation compatible aux changements de base T' -^ T ^ que p{gh) = p{g)p{h) (pour s{g) = b(h)) et que pour g I'automorphisme identique e{s) de s G S{T), p{g) soit Tautomorphisme identique de V,. Puisque G est un groupoide, les p(g) sont des isomorphismes. Une action p est determinee par p(g) dans le cas universel T — G ^ g ^ Ida : G —^ G ^ i.e. par un morphisme u : s^'V -^ h'^V entre faisceaux quasi-coherents sur G. Ce morphisme doit verifier: (a) Sur G X G, I'image inverse de u par o : G x G -^ G est le compose sgb
sSb
pr|(t/) o pr2(it); (b) €*{u) est I'identite. On dit que le groupoide G est transitif suv S (au sens fpqc) si le morphisme (b,s) : G -^ S X S est couvrant au sens fpqc, i.e. s'il existe T k
fidelement plat quasi-compact sur S x S avec Roinsxs{T,G) ^^^ 0 . Si G est transitif, alors (a) G est plat, done fidelement plat, sur S x S (3.6); (b) si G agit sur V quasi-coherent et qu'une fibre V, est un espace vectoriel de rang fini n sur le corps residuel k{s), alors V est localement libre de rang de n (3.5). 1.7 Exemple. Soit G un A:-groupoide transitif agissant sur un schema non vide 5 sur k. On pent alors prendre pour T la categorie des faisceaux localement libres de rang fini sur S munis d'une action de G et pour foncteur 0 le produit tensoriel, muni des contraintes evidentes. Notation: Rep(5 : G ) . Pour S reduit a un point: S = Spec(fc), on retrouve 1.5. 1.8 Remarque. Soient G un groupoide agissant transitivement sur S , u : T -^ 5 et G T le groupoide induit (1.6). On verifie (3.5) que si T 7^ 0, u* : Rep(5 : G) -^ Rep(T : GT) est une equivalence de categories. En particulier, si S{k) ^ 0, que x G S{k) et que Gx est le groupe algebrique sur k qui fixe x (la fibre de G en {x, x)), on a Rep(5 : G) - ^ Rep(Ga;). 1.9. Soient T une categorie tensorielle teur fibre de T sur S est un foncteur categorie des faisceaux quasi-coherents fonctoriel u){X) (g) u){Y) -^ LJ{X 0 Y)
sur fc et 5 un fc-schema. Un foncexact A?-lineaire a; de T dans la sur 5 , muni d'un isomorphisme ACU, i.e. compatible aux con-
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traintes d'associativite, de commutativite et d'unite (2.7). Les axiomes imposes a T impliquent que UJ est a valeurs dans les faisceaux localement libres de rang fini (2.8). Pour S = S p e c ( 5 ) , UJ s'identifie a un foncteur de T dans la categorie des 5-modules projectifs de type fini. On appelle encore u; un foncteur fibre sur B . Soient cji e t CJ2 deux foncteurs fibres sur S. Un ®-isomorphismej ou isomorphisme de foncteurs fibres^ u : ui -^ UJ2 est un isomorphisme de foncteurs rendant commutatifs les diagrammes ui{X)^uji{Y)
^ a;i(X(8)y)
u(8>ti
U;2{X)^LJ2{Y)
u
^
LJ2{X^Y)
et tel que u : a ; i ( l ) -^ i02{l) soit Tautomorphisme identique de Os • 1.10. Dans [6], Saavedra affirme avec une demonstration insuflfisante (c/. [2] 3.15) que: (*) deux foncteurs fibres de T sur Spec(J5) sont localement isomorphes pour la topologie fpqc, i.e. il existe B' sur B, fidelement plat, tel que uji et 102 deviennent isomorphe apes extension des scalaires de 5 a B'. Notre but premier et de montrer que I'assertion (*) est vraie (avec r h y p o t h e s e additionnelle, necessaire, k —> E n d ( l ) que Saavedra avait oubliee) et de justifier ainsi tons les resultats de [6]. 1.11. Si cji et (^2 sont deux foncteurs fibres sur 5 , nous noterons Isomf (u;i,u;2) le foncteur qui a T sur S : u :T -^ S attache Tensemble des isomorphismes de foncteurs fibres de U*(JJI avec U*UJ2 • H est represent able par un schema affine sur S. Si u;, est un foncteur fibre sur Si (i = 1,2), on pose Isomf (u;2,ct;i) := Isomf^^^^(pr2a;2,priu;i). Pour u un foncteur fibre sur 5 , on pose A u t f (a;) = Isom^(u;,a;) et Autf(u-):=Isornf(a-,u-). Selon la convention (1.1), nous noterons de meme les schemas representant ces foncteurs. Le schema A u t f (a;) est un fc-groupoi*de agissant sur S. Le morphisme b u t 6 (resp. source s) est le compose de pri (resp. pr2) avec la projection sur S x S. Nous prouverons en 1.13(b), 6.8, 6.14 et 6.15 le resultat suivant.
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1.12 T h e o r e m e . Soieni T une caiegorie iensorielle surk et LJ un foncieur fibre de T sur un k-schema S ^^ . (i) Le growpoide Autf*(a;) est fidelemeni plat sur S x S; (ii) uj induit une equivalence de T avec la caiegorie Rep(5 : Autf (cj)) de representations du groupoide Aut^fo;). Reciproquement, soient G un k-groupoide agissant sur S ^ % affine et fidelement plat sur S x S et uj le foncteur fibre de Rep(5 : G) sur S "oubli de Vaction de G/^ On a
(iii)
G^AutfCw).
Le theoreme fournit un dictionnaire entre categories tensorielles sur k munies d'un foncteur fibre sur 5 et Ar-groupoi'des agissant transitivement sur S et affines sur S x S. 1.13 Remarques. (a) Si u)i et a;2 sont des foncteurs fibres sur Si et ^2 , il existe sur la somme disjointe T := 5i 11 ^2 un foncteur fibre LJ , unique a isomorphisme unique pres, muni d'isomorphismes LO\SJ — coj {j — 1,2). Appliquons 1.12(i) acj . L'image inverse sur SixS\ du schema Autf* (a;) sur T x T e s t Isom®(u;i,u;2) • D'apres 1.12(i), Isomf^fcJi ,0;^) est done fidelement plat sur S2 X Si . Pour Si — S2 '-= S, la restriction a la diagonale de Isom^(c<;i ,u;^) est Isomf (a;i ,0^9) • Le 5-schema Isomf (cji .LJ-)) est done fidelement plat sur 5 . Cecijustifie 1.10(*). (b) Si 1.12 est vrai pour S affine, il Test en general. Pour I'assertion (i), si Si est un recouvrement ouvert affine de S, l'image inverse de Aut®(a;) sur Si X 5; est Isom^(u) \Si,uj \Sj) et, appliquant 1.13(a), on conclut par 1.12(i) applique aux SiUSj . Pour (ii), observer que pour U un ouvert affine non vide de 5 , on a par 1.8 Rep(5 : Autf (cj)) ^ Rep(C/ : Autf(u(U)). Conclure par 1.12(ii) pour U. Pour (iii), si Ui et U2 sont des ouverts affine non vides de 5a: et que Gu est le groupoide induit sur U = Ui U U2 , on 3, Rep(5 : G) - ^ Rep{U : Gu) et par 1.12(iii) applique a 17, le morphisme G -^ Autf.(Lj) est un isomorphisme au-dessus de Ui x U2 1.14. Soit G un groupoide agissant sur S = Spec(J5). Supposons G affine sur S X S , i.e. affine: G = Spec(L). Puisque (6, s) fait de G un schema sur S X S := S X S (1.1), L est un 5 (g) B-module, i.e. un B, jB-bimodule Spec(ik)
k
tel que les deux structures induites de fc-module coincident. Nous ecrivons a gauche (resp. a droite) la structure de J5-module definie par 6 (resp. s).
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Le 5 , 5-bimodule L est muni des structures suivantes: (1) L est une B 0 5-algebre commutative, d'ou un produit k
p :L
<S> L — > L .
(2) La loi de composition G x G ^>^ G correspond a sSb
c : L —y L® L B
et ridentite e:S-^Gke:L-^B. Soit M un B-module (= un faisceau quasi-coherent sur 5). Une action de G sur M est un morphisme de L-modules L^
M —^ M 0 L 'B
B^
ou, ce qui revient au me me, un morphisme de 5-modules r : M —y M ® L B^
(a droite, la structure de 5-modules define par la structure droite de L), avec une compatibilite a la composition et aux elements neutres. Ces compatibilites se traduisent par (1.14.1) I'egalite des fleches composees M -^
M <S> L
^ M ®L®L
, et
M(g)c r
M(8>e
(1.14.2) I'egalite a Tidentite du compose M —^ M (g) L On voit que seule a servi la structure (2) sur L.
>M .
1.15. Inspires par cette remarque, pour tout anneau non necessairement commutatif 5 , nous appellerons cogebroide agissant sur B un bimodule L sur B muni d'un morphisme de bimodules c : L -^ L ® L coassociatif: c B
egalise la double fleche (c (g) 1,1 0 c) c<8)l
L -^
L® L B
,'L i6?)c
®L®L, B
B
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et qui admette une counite e \ L ^^ B: un morphisme de bimodules tel que les composes e(8)l
L-^
L^L
= t
L
soient I'identite. Noter que si c admet une counite, celle-ci est unique. Nous n'aurons besoin que du cas ou B est commutatif, mais ne pas le supposer aide a ne pas melanger sa gauche et sa droite. Si B est commutatif et que les deux structures de 5-module sur L coincident, on retrouve les cogebres sur B , d'ou la terminologie. Si k est un anneau commutatif et B une A:-algebre, on appellera fc-cogebroi'de un cogebroide L tel que les deux structures de A:-modules induites par les structures de 5-modules coincident. Une representation de L est un 5-module a droite M muni d'une coaction de L , i.e. d'un morphisme de 5-modules a droite r : M -^ M <S> L verifiant B
(1.14.1) (1.14.2). Si L est plat en tant que 5-module a gauche, la categorie des representations de L est abehenne et le foncteur d'oubli de la coaction est exact. 1.16. Soient T une categorie tensorielle sur k, S = Spec(5) un schema afRne sur fc et u; un foncteur fibre de T sur S. A Timitation de Saavedra, nous commencerons par oublier le produit tensoriel et construisons un kcogebroide L agissant sur B tel que LJ se factorise par une equivalence de categories de T avec la categorie des faisceaux localement libres de rang fini sur S munis d'une coaction de L. La preuve (6.1, 6.2) est une application du theoreme de Barr-Beck (4.1). Elle est par allele a celle du theoreme de descente fidelement plate SGA 1 V i l l i . La compatibilite de co au produit tensoriel munit L d'un produit, et on verifie que G := Spec{L) est le groupoide A\it^(u;) agissant sur 5 (6.3 - 6.6). II reste a montrer que G est fidelement plat sur S x S . Nous construirons une categorie tensorielle T ^T avec des proprietes convenables - notamment qu'un foncteur fibre u; de T sur S definisse un foncteur fibre uj x u de T 0 T sur S x S. Le B ^ B-module L sera fidelement plat en tant qu'image par LJ x to d'un Ind-objet contenant 1 de T 0 T . Nous donnerons deux preuves de I'existence de la categorie tensorielle T <S>T. La premiere utilise un theoreme de passage au quotient generique (3.11) et I'hypothese End(l) = k pour montrer que si T est de (^-generation finie il existe un foncteur fibre LJI sur un schema Si spectre d'une extension finie de k avec Gi := Aut® (cji) fidelement plat sur SixSi . Du theoreme de structure T ^ Rep(Si : Gi) on deduit I'existence de la categorie tensorielle
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T®!' requise (5.21). La seconde preuve repose sur une construction directe. EUe ne s'applique que si k est parfait.
2. Rappels et complements: categories tensorielles Soit k un corps commutatif. 2.1. Les axiomes des categories tensorielles sur k (en notre sens, voir 1.2) sont les suivants. (2.1.1) La categorie T est munie d'un foncteur produit tensoriel 0 : T X T -^ T , de contraintes d'associativite et de commutativite compatibles pour (g) ([4], [5] VII7, ou la terminologie est "symmetric monoidal category", [6] I §1.2 ou [2] §1 p.104) et il existe un objet unite 1 ([6] I 1.3.2; 1'objet unite est unique a isomorphisme unique pres; il est muni de contraintes d'unite X (g) 1 - ^ X et 1 0 X - ^ X). Get axiome permet de definir le produit 0 d'une famille finie {Xi)^^^ d'objets de T . (2.1.2) Pour tout X , il existe X^ et des morphismes ev : X 0 X ^ —^ 1 et 6 : 1 —> X^ 0 X tels que les composes X X^
X%b
..
. X0X^0X y X^ 0 X 0 X^
ev(8)X
> X > X^
soient Fidentite. (2.1.3) La categorie est abelienne. (2.1.4) Un isomorphisme k >• End(l) de k avec I'anneau des endomorphismes de 1 est donne. 2.2. Soit M une categorie monoid ale ([5] VIII), i.e. munie de 0 : A^ x M -^ M ^ d'une contrainte d'associativite ([6] I 1.1.1) et admettant un objet unite 1. Le foncteur de M dans la categorie Hom(A^, A^) des foncteurs de M dans M: X v-^ (le foncteur s^ : Z \-^ X <^Z) est un foncteur fidele. II admet la retraction s h^ s{l). II est muni d'isomorphismes fonctoriels s^osy - ^ s^^y : X 0 ( y 0 Z ) -^ ( X 0 y ) 0 Z . Get isomorphisme est AU: compatible a la contrainte d'associativite et admettant ^i - ^ UM compatible aux contraintes d'unite. Apres application du foncteur 5, X , X ^ , e v et S comme en (2.1.2) fournissent une adjonction entre foncteurs: s^ est adjoint a gauche de s^^ . Soit de meme d le foncteur d: {M,oppose
de 0 ) —^ (Hom(A^. A^).o) : X i — ^ (Z ^ Z <S) X).
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Le foncteur d^^ est adjoint a gauche de d^ . Soient dans M des objets X ^ , X et ev : X 0 X^ -^ 1. De Tenonce analogue ([5] IV 1 Th 2 (iii)) pour Padjonction entre foncteurs, on deduit que ( 5 : 1 - ^ X 0 X^ verifiant (2.1.2), s'il existe, est uniquement determine par ev. De plus, (X^,ev) pourdequel existe S est unique a isomorphisme unique pres: etant donnes (X'^(z),ev) (i = 1,2), les adjoint s^^ de s^ sont canoniquement isomorphes. De plus, Tisomorphisme s^^.^ -^ s^^.. X (1) X (2) -^ ^xV(2)^x^xV(i) ""^ ^x^(2) ^^ ^^^ done induit par
est le compose s^^
X ^ ( l ) -^ X^(2)0X(8)X^(1) -> X ^ ( 2 ) . On appelle X^ le dual de X . En cas d'ambiguite, on ecrira ev^ et <5^ les morphismes ev et 5. Si X et y admettent des duaux X"^ et Y"^ ,Y^ 0 X^ est un dual de X 0 y , avec ^^x®Y — ^^x <^{X ^eVy 0 X ^ ) et S^^y = ( X 0 6 ^ 0 X ^ ) o 6 ^ . Ceci resulte de I'enonce analogue pour I'adjoint d'un foncteur compose. Un adjoint a droite 5^ de s^ est ce qu'on appelle un Hom interne Hom(X, ). Si s*^ existe, soit X' := <s^(l)- L'adjonction 5^5^ -^ Id, evaluee en 1, definit e : X 0 X ' —^ 1. Tensorisant par Y , on obtient e 0 y : X 0 X ' 0 y -^ y . Par adjonction, e 0 y definit (2.2.1) X ' 0 y —^ Hom(X, Y) : s^, —^ s*^ . Par definition, X 0 (2.2.1) : s^s^, —^ ^x^*x ' ^o^ipose avec s^s*^ —>• Id, redonne e 0 y : s^s^, —> Id: le compose s^s^, —^s^s*^ —> Id est defini par e : X 0 X ' -^ 1. 2.3 Proposition. Pour que X admeite un dual, il faut et il suffii que sx admetie un adjoint a droite s*^ = Hom(X, ) et que le morphisme (2.2.1): Hom(X, 1) 0 y -^ Hom(X, Y) soit un isomorphisme pour tout Y . Preuve. La necessite est claire sur 2.2. Reciproquement, supposons que (2.2.1): s^, -^ 5^ est un isomorphisme. Si on identifie 5^, a 5^ par (2.2.1), on a vu que le morphisme d'adjonction ev : s^s^, — s^s*^ —^ Id est defini par e : X 0 X ' —>• 1. Le morphisme d'adjonction 6 : Id —>- 5^5^ = ^x'^x est deduit par adjonction de I'identite s^ —>• s^ , done caracterise par la propriete: *x ^
(2.3.1)
s^
^ ^x^x'^x
^ ^x
est ridentite .
Evaluant 6 en 1, on obtient 6{1) : 1 —^ X ' 0 X . Evaluant (2.3.1) en 1, on obtient que le compose X
> X 0 X' 0 X
>• X est I'identite. Le
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morphisme Id —> ^x'^x defini par (5(1) a done la propriete caracteristique (2.3.1) et ^(1) definit 6: les morphismes d'adjonction pour (s^.s^,) sont definis par e : X 0 X ' -^ 1 et S{1) : 1 -> X ' 0 X . Ceci prouve 2.3. 2.4. Si X et y admettent un dual, on a par adjonction Honi(5^,s^) - ^ Hom(5^v5 5xv) • Cette bijection induit une bijection Hom(X, Y) - ^ Hom(y^,X^) : k f : X —^Y correspond son transpose, le compose V : y""
^ y ^ 0 X (8) x ^
^y ^ 0 y 0 x^
. x^.
La bijection inverse attache k f :Y^ -^ X^ le compose /^x—^y0y^0X
—.y0X^0X—>y.
II sufSt de s'assurer que les memes formules decrivent dans RomjM.M) les bijections Hom(s^, 5^) -(-> Hom(5^v , s^^). Un contragredieni de / est un morphisme / ^ : X^ —> Y^ tel que ev^ o (/^ 0 / ) r= ev^ et {f ^ f^) o 6^ = by . Le diagramme commutatif:
/' • 1 yv
r ^y^0X0X^
—^—^ y ^ 0 y 0 X ^
montre que si / a un contragredient / ^ , alors Y / ^ = Id. Par passage a la categorie duale munie du 0 symetrique (ceci echange ev et 6 et respecte f ^-^^f)j on obtient f^^f = Id . Le transpose */ est done inversible, d'inverse / ^ ; parce que f ^-^^f est bijectif et est compatible a la composition, / est inversible aussi. 2.5. Si le produit tensoriel est commutatif- plus precisement si M verifie (2.1.1), la relation entre X et X^ est symetrique: X est un dual de X^ , et " / = / . L'axiome (2.1.2) implique alors les conditions qui pour Saavedra definissent les categories rigides: Texistence de Hom internes ( H o m ( X , y ) = : X V 0 y ) , que (2.5.1)
Hom(X, y ) 0 Hom(X', y ' ) - ^ Hom(X 0 y , X ' 0 Y')
(car X^ 0 Y^ est un dual de X 0 y ) et que X - ^ X^^ . La reciproque est vraie (2.3 et (2.5.1) pour Y = X' = 1).
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P. DELIGNE
Autre terminologie: une categoric monoidale verifiant (2.1.2) est aussi appellee "compact closed monoidal category". Cette terminologie est parfois reservee aussi categories verifiant (2.1.1) (2.1.2) (G. M. Kelly and M. L. Laplaza, Coherence for compact closed categories^ J. Pure and Applied Alg. 19 (1980) p. 193-213) i.e. aux (g)-categories ACU rigides de Saavedra. Si Ai verifie (2.1.1) (2.1.2), le foncteur Y i-^ X 0 Y a pour adjoint a gauche et a droite Y »—> X^ (g) Y . II commute done aux limites inductives et projectives. En particulier, si (2.1.3) est verifie, (g) est un bifoncteur exact en chaque variable. Si M verifie (2.1.1) a (2.1.3), Tisomorphisme 1®X - ^ X munit chaque X dans M d'une structure de End(l)-module, fonctorielle en X . L'anneau End(l) est commutatif ([6] I 3.3.1). Les structures de modules de X et Y fournissent la meme structure de module sur Hom(X, Y), et la composition est bilineaire: la categorie M est End(l)-lineaire. Le foncteur (g) est End(l)bilineaire. L'axiome (2.1.4) equivaut a dire que la categorie abelienne M est fc-lineaire, que 0 est fc-bilineaire et que k - ^ E n d ( l ) . 2.6 Proposition. Soit B un anneau commutatif. Dans la categone monoidale des B - modules, si X admet un dual (2.2), X est un B-module projectif de type fini. P r e u v e . Soient X ^ , X , e v et 6 comme en (1.1.2). Par 2.2, X^ 0 Y c^ RomB{X,Y). Faisant Y = B, on voit que X^ est le dual de X. Faisons Y = X . On obtient que X^ <S> X -^ RomB{X,X). Si Idx est I'image de ^ai 0 Xi , les a^ et les Xi definissent une factorisation de Tidentite: X - ^ B^ - ^ X : X est facteur direct d'un module libre de rang fini. 2.7. Soit T : jV(i ^ ' A^2 un foncteur entre categories monoid ales muni d'un isomorphisme fonctoriel T{X) 0 T{Y) -^ T{X 0 Y ) . II est dit A si cet isomorphisme est compatible aux contraintes d'associativite: commutativite du diagramme
{T{X)0T{Y))^T{Z)
> r(X)0(T(Y)0T(Z))
i T{{X 0 Y) 0 Z)
.
T{X 0 (Y 0 Z)) .
II est dit U s'il existe un isomorphisme T(l) —^ 1 compatible aux contraintes d'unite (2.1.1). Un tel isomorphisme, s'il existe, est unique. Si des contraintes de commutativite pour 0 sont donnees, il est dit C si compatible a ces contraintes.
CATEGORIES TANNAKIENNES
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Si le foncteur T est AU et que X^ est un dual de X , T(X'^) (muni de T(ev^) et T{S^)) est un dual de T{X). Si X et Y admettent un dual, le transpose 2A de f : X -^ Y est defini en terme de ev et 6 et T{^f) est le transpose de T ( / ) . D'apres 2.6, un foncteur AU d'une categorie monoid ale A4 verifiant (2.1.2) dans la categorie monoid ale des modules sur un anneau commutatif B est a valeurs dans les 5-modules projectifs de type fini. Soient Mi et M2 verifiant (2.1.1). Nous dirons simplement <^-foncteur T : Ml —>• M2 pour "foncteur muni d^un isomorphisme fonctoriel T{X) (g) T{Y) -^ T(X 0 Y) ACU'\ Un morphisme de <S>-foncteurs est un morphisme de foncteurs Ti -^ T2 tel que les diagrammes
Ti{A)^Ti{B)
T2{A)^T2{B)
- ^ ^
Ti{A^B)
.
T2{A^B)
soient commutatifs et que Ti(l) -^ ^2(1) soit Tautomorphisme identique de 1. Si la categorie source verifie (2.1,2), tout morphisme u de (8)-foncteurs est un isomorphisme: u^ et u^^ sont contragredients et u^ est inversible par 2.4 ([6] I 5.2.3) 2.8. Soit T une categorie tensorielle sur k . Les foncteurs fibres de T sur un Ar-schema S, definis en 1.9, sont les 0-foncteurs fc-lineaires exacts de T dans les faisceaux quasi-coherents sur S. D'apres 2.7, un foncteur fibre est a valeurs dans les faisceaux localement libres de rang fini sur S, et commute au passage au dual. On dit que T est tannakienne si T admet un foncteur fibre a; sur un 5 7^ 0. Pour tout schema sur S,u \T ^>- S, I'image inverse Ur^ : X \-^ u^uj^X) de uj sur T est un foncteur fibre sur T. Prenant pour T un point de «?, on voit qu'une categorie tannakienne admet un foncteur fibre sur le spectre d'un corps. 2.9. Pour V un espace vectoriel de dimension finie sur A; et X dans une categorie additive Ar-hneaire A, on definit V <^ X par Hom(y, V^X)
= V ®k Hom(y, X).
Le choix d'une base e i , . . . , en de V identifie V ® X k X^ . La sous-categorie pleine de T des multiples 1" de 1 est equivalente par F 1-^ F 0 1 a celle des fc-espaces vectoriels de dimension finie. D'apres [2] 1.17, elle est stable par sous-quotients.
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P. DELIGNE
2.10. CoroUaire. Soit M une caiegorie abelienne munie d'un produH tensoriel exact a droHe ei verifiant (2.1.1). Soii LO un ^-foncieur exact a droite de T , categone tensorielle sur k , dans M. . (i)
(ii)
uj est exact.
Si M n'est pas reduite a zero, u est fidele.
2.10.1 Exemple. Prenons pour M la categorie des faisceaux quasi-coherents sur le ^-schema S. D'apres (i), un (g-foncteur UJ k-lineaive exact a droite de T dans M est un foncteur fibre. D'apres (ii), un foncteur fibre sur S est fidele si 5 / 0 . La restriction de a; a un ouvert de S est encore un foncteur fibre. Si X 5^ 0, le faisceau localement libre (2.8) u){X) est done partout non nul. P r e u v e . (i) Soit 0 ^^ X ^^-Y -^ Z une suite exacte dans T . Appliquant to a la suite exacte transpose et utilisant que UJ commute au passage au dual et au transpose (2.7), on trouve que la suite 0 —> (^{X) —^ (^(Y) —^ ^{^) ^ une suite transposee uj{Zy -^ ^ ( ^ ) ^ —^ ^{Xy -^ 0 exacte. Dans M., si une suite U -^ V —^ W -^ 0 est exacte et que les Hom internes Hom(C/, 1) et Hom(K 1) existent, Hom(W, 1) existe et la suite 0 —> Eom(W. 1) —> Hom(K 1) — . Hom((/, 1) est exacte. Puisque LO{X) est dual de uj{Xy meme pour Y et ^ , et la suite exacte
,UJ{X)
est B.om(uj(Xy,
1); de
0 —^ uj{X) — . uj{Y) —y uj{Z) donne (i). (ii) (c/. [6] II 4.2.1). Si X 7^ 0, ev : X^ (g) X ^ 1 est non nul, done un epimorphisme (2.9 prouve en [2] 1.17). Si A^ n'est pas reduite a zero, uj{V) = 1 est non nul et Tepimorphisme a;(ev) : UJ(X^)^UJ{X) —^ 1 est non nul. On a done u)(X) 7^ 0. Ceci prouve (ii). 2.11 Remarque. Pour un exemple de 0-foncteur ^-lineaire ACU a valeurs dans les espaces vectoriels sur k , non exact, et qui n'est done pas un foncteur fibre, voir [2] IV 2.5. 2.12. Pour A une categorie abelienne A:-lineaire, nous aurons souvent a eonsiderer la condition de finitude suivante: (2.12.1) Tout objet de A est de longueur finie et quels que soient X et y dans A, Hom(X,y) est de dimension finie sur k.
CATEGORIES TANNAKIENNES
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2.13 Proposition. Si T est une categorie tannakienne, alors (i) r venfie (2.12.1). (ii) Si u est un foncteur fibre sur S = Spec{B), Hom(X, Y)<S> B s'injecte k
dans
EoYnB(u)(X),u}{Y)).
Preuve. Soit u^o un foncteur fibre sur un corps K. La finitude (2.12.1) resulte de ce que CJQ est exact et fidele et de (ii) pour UJQ . Prouvons (ii). Si H C Hom(X, Y) est un sous-espace de dimension finie, il resulte de 2.9 que H (^1 "-^ Hom(X, Y). Appliquant u , on obtient H^B^
a;Hom(X, Y) =
EomB{u;{X),Lj{Y))
d'ou resulte (ii). Le result at suivant m'a ete signale par O. Gabber. 2.14 Proposition. Soit A une categorie ahelienne k-lineaire verifiant (2.12.1). Supposons quHl existe dans A un ohjet X tel que tout objet de A soit sous-quotient d'un X^ . Alors, A admet un generateur projectif. Preuve. Rappelons qu'une suite de composition d'un objet y de v4 est une filtration decroissante G : G^ = Y D G^ D -- - D G^ = 0 de quotients successifs simples. Pour chaque objet simple 5 , soit lgs{Y) le nombre de i tel que GrQ(Y) soit isomorphe a S. Dans le groupe de Grothendieck de A J \Y] est la somme etendue aux classes d'isomorphie d'objet simples des
ksiY).[S]. Rappelons qu'une extension essentielle d'un objet Y est un epimorphisme a : E —^ Y tel que E n'ait pas de sous-objet E' Q E ^ distinct de E, qui s'envoie sur Y . Si 1" est simple, il revient au meme de dire que tout E' Q E distinct de E est contenu dans ker(a). Si E est une extension essentielle d'une objet simple 5 , on a pour tout objet simple T Hom(5,T)-^Hom(jE;,T) . En eff'et, pour f : E —^ T non nul, ker(/) C ker(a) est de colongueur 1 dans E, ker(/) = ker(Qf) et / se factorise par a. En particulier, Hom(£',T) = 0 pour T non isomorphe a S. 2.15 Lemme. Soit E une extension essentielle d^un objet simple S. tout Y ^ on a (2.15.1)
dimikHom(jE;,y) < lg,(y).dimik End(S').
Pour
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P. DELIGNE
S'll y a egalHe pour Y , il y a egalHe pourY^ ei tons ses sous-quotients ei le foncteur Hom{Ej ) est exact sur la sous-categorie {Y) de A des sousquotients des Y" . P r e u v e . Pour toute suite exacte courte 0 -^ Y' ^^ Y —^ Y" —^ 0, la suite exacte (2.15.2)
0 -^ Hom(^, Y') -^ Hom(£;, Y) -^ Hom(^, Y")
donne dimjk Hom(jE', Y) < dimjk Hom(£', Y')+dimjb Hom(£', Y'') avec egalite si et seulement si on peut mettre un zero a droite de (2.15.2). Pour Y simple, (2.15.1) est vrai, avec egalite. L'inegalite (2.15.1) en resulte par recurrence sur lg(Y). S'il y a egalite pour Y , il y a egalite pour tout sous-objet, tout quotient, et 2.15 en resulte. 2.16 P r e u v e de 2.14 (fin). Soit S un objet simple de A. Soit F une suite de composition de X et construisons par recurrence sur i une extension essentielle Pi de 5 telle que dimib Eom{Pi,X/F^)
= lg^{X/F').dimk
End(5).
Pour i = 0 ou 1, on peut prendre P^ = S. Construisons Pi^i . Soit une famille finie de morphismes fa : Pi -^ X/F^ qui engendre Hom(Pi,X/F*). Soit Qa le produit fibre Qa
^ X/F i + l
Pi
> X/F'
,
Q' le produit fibre sur Pi des Qa et Q un sous-objet de Q' minimal parmi ceux s'envoyant sur Pi. Par construction, Q est une extension essentielle de Pi, done de S. Par (2.15.1) applique a Q et a X/F^, on a (2.16.1)
Eom{Pi,X/F')
-^
Eom{Q,X/F').
Par construction, tout morphisme de Pj dans X/F^ se releve en un morphisme de Q dans X/F*+^. Par (2.16.1) H o m ( Q , X / r + ^ ) -^ H o m ( Q , X / F )
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et (2.15.1) est une egalite pour Q et X/F^'^^ . On prend Pj+i = Q. Au bout de la recurrence, on obtient une extension essentielle P{S) de S telle que (2.15.1) est une egalite pour P{S) et X . D'apres 2.15, P{S) est projectif. Tout objet simple de A figure dans les quotients successifs d'une suite de composition de X . II n'y a done qu'un nombre fini de classes d'isomorphie d'objet simples. La somme P des P{S) — un par classe d'isomorphie d'objets simples — est un generateur projectif. 2.17 Corollaire. Touit caiegone A comme en 2.14 est equivalente a la categoric des modules a droite de type fini sur une k-algebre de rang fini A Prendre A = E n d ( P ) et Tequivalence X y-^ H o m ( P , X ) . 2.18. Soient A comme en 2.14 et B une sous-categorie pleine stable par sommes et sous-quotients. L'inclusion i de B dans A a des adjoints a gauche et a droite i* et r : i*{X) est le plus grand quotient de X qui soit dans B, i'{X) le plus grand sous-objet. Si P est un generateur projectif de A J i*P est un generateur projectif de B. Soit A = E n d ( P ) et A son quotient E n d ( 2 * P ) . La categorie A s'identifie a celle des ^ - m o d u l e s a droite par X H^ H o m ( P , X ) . Dans ce modele, P est Ad, i*P est Ad et B s'identifie a la categorie des A-modules a droite annules par I'ideal bilatere a tel que A = A/a. 2.19. Voici un exemple qui montre que si T n'est pas tannakienne, les conclusions (i) (ii) de 2.13 peuvent etre en defaut. Supposons k de caracteristique 0 et contenant t transcendant sur Q . On renvoie a [2] 1.27 pour la definition de la categorie tensorielle (GLt) sur k librement engendree par un objet Xt de dimension t. On verifie que si un objet X d'une categorie tensorielle T sur k est de dimension t, il existe un 0-foncteur exact de (GLt) dans T envoyant Xt sur X . Deux tels (8)-foncteurs sont isomorphes, et les 0-automorphismes d'un tel (S)-foncteurs sont ceux de X . En particulier, on dispose d'une (8)-foncteur
{GLt)-^{GLt-i):Xt^-l^X
t-i •
Iterons cette construction et soit T la hmite inductive des categories {GLt-n) (i^ > 0). On pent voir cette categorie tensorielle sur k comme librement engendree par un objet Xt de dimension t muni de decompositions Xt = l^Xt-i,Xt-i = l e X t _ 2 , - - - • Dans ( G L t - n ) , X t = 1" 0 X t - n a pour anneau d'endomorphismes M„(fc) x k . Passant a la limite, on trouve
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P. DELIGNE
que I'anneau des endomorphismes de Xt dans T est I'anneau des matrices infinies de la forme
0
\J
L'objet Xi de T n'est pas de longueur finie, et Hom(X/,Xt) n'est pas de dimension finie sur k .
3. Rappels et complements: groupoides Dans [6], N. Saavedra cherche a ecrire une categories tannakienne comme categorie des representations d'une gerbe. Nous avons mis Taccent sur les representations de groupo'ides transitifs. Comme nous allons I'expliquer, c'est un version moins intrinseque de la meme chose. 3.1. Soit k un corps commutatif. Comme en 1.6, dont nous suivons les notations, nous ne considerons que des schemas sur k. Soit G un fc-groupoide agissant sur S. Pour tout fc-schema T , (S{T), G(T),o) est une categorie ou toute fleche est inversible. Pour T variable ces categories forment une categorie fibree Gg.Q , ou simplement G^ , sur la categorie (Sch/k) des schemas sur k: on dispose de foncteurs image inverse. L'image inverse par w : T' -^ T d'un objet a de g^{T), i.e. de a G S{T) = Homjk(T, S) est le compose ao u. Celle d'un morphisme f : f £ G(T) est f o u. Pour a,b deux objets de G^{T), i.e. pour a,6 G S{T), le foncteur qui ku\T' —^T associe Homgo(7'/)(w*a, w*6) est representable, represente par l'image inverse de G/S x S par (b,a) o u : T' —^ S x S. En particulier, ce foncteur est un faisceaux pour la topologie fpqc (fidelement plate quasi-compacte): GS:G ^^^ ^^ prechamp fpqc (i.e. les fleches se recollent). Soit Gs G ou simplement G le champ fpqc associe k G^ - Ce champ contient G^ comme sous-categorie pleine et il est caracterise par la propriete que tout objet de G est localement dans G^ • C'est un champ en groupoides. Pour tout champ C sur (Sch/k) le foncteur G^ —^ G induit une equivalence entre les categories de foncteurs compatibles aux changements de base (3.1.1)
Homsch/*(a,C) ^
Homsch/*(^°,C).
3.3. Pour T une categorie fibree sur (Sch/k), appelons representation de JF un (Sch/fc)-foncteur compatible aux changements de base de !F dans
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le champ des faisceaux quasi-coherents sur S variable. C'est la donnee, pour tout schema T sur k, d'un foncteur R de J^{T) dans les faisceaux quasi-coherents sur T , de formation compatible aux changements de base. Notation: R e p ( ^ ) est la categorie des representations de T. Soit G un groupoide transitif agissant sur S. D'apres 3.1, la restriction 3i Gs Q ^^^ ^^^ equivalence de Rep(^5:Gf) avec R e p ( ^ | . ^ ) . Si R est une representation de GSQ > o^ ^ pour tout T et tout a : T ^^ S dans Gsoi"^) un isomorphisme R(a) - ^ a*i^(Id5') , et R est determine par le faisceau quasi-coherent i^o •= ^ ( 1 ^ 5 ) sur S et par les R{g) := a*Ro —^ b*RQ pour g : a —^ b dans 6^5 (^(T). Ces R{g) sont une representation de G (1-6), et R H^ (i?(Id5),lesi^(^)) est une equivalence (3.2.1)
Rep(^5G) ^
R e p ( 5 : G).
Rappelons qu'une gerbe {fpqc) sur k est un champ fpqc en groupoides sur (Sch/k) , non vide et tel que deux objets soient toujours localement isomorphes. 3.3 P r o p o s i t i o n . Avec les notations precedentes, pour que Gs G soit une gerbe, il faut et il suffit que S ^% et que G soit transitif (1-6). P r e u v e . Pour que deux objets soient toujours localement isomorphes, il faut et il suffit que tel soit le cas dans le cas universel des deux objets de Go{S X S) definis par les deux projections de 5 x 5 sur S . C'est la definition de " t r a n s i t i f . 3.4. Soient G une gerbe sur les schemas sur k et LOQ un objet de G{S) . Pour tout schema sur S x S : (b^a) : T —^ S x S, soit Autj|,(u;o)(T) I'ensemble des isomorphismes a : a^ujQ -^ b*LjQ . Si ce foncteur est representable, il est represente par un groupoide G agissant transitivement sur 5 , qu'on appellera le groupoide des A:-automorphismes de LUQ . Cette construction est inverse de celle de 3.1. Si le A^-groupoi'de G agit sur 5 , Tapplication identique de S est un objet de Gs G de groupoide d'automorphismes G . Si ^ est une gerbe, que S ^
130
P. DELIGNE
attache I'ensemble des automorphismes de p*u; dans Gi(T). Si pour un 5 7^ 0 et un a; dans Gi{S), u : Autgfu;) —> Auts{u{(jj)) est un isomorphisme, alors LJ est une equivalence. Voici deux applications. Soient G un Ar-groupoide agissant transitivement sur 5 ,tx : T —> 5 et GT le group o'lde induit. On suppose que T ^^. Le morphisme de prechamps '^ ''^T:GT ~^ ^^S:G i^duit uu isomorphisme du faisceau des automorphismes de IdT dans GT.GT ^^^^ ^^ faisceau des automorphismes de u dans Q%.Q • Le morphisme induit de gerbes u : QT.GT -^ QS.G a la meme propriete, done est une equivalence. Appliquant (3.2.1), on obtient (3.5.1)
Rep(5 : G) ^
Rep(T : GT) •
Soient Gi et G2 deux fc-groupo'ides agissant transitivement sur S — (j) et Gj le schema en groupes sur 5 image inverse de Gi par Tapplication diagonale de S dans S x S. II represente le faisceau des automorphismes de Id5 dans Gs:Gt{S). Soit w : Gi —>• G2 un morphisme de groupoides. Si rimage inverse u^ \ G^ -^ G^ de u par Tapplication diagonale de S est un isomorphisme, le morphisme u induit done une equivalence de gerbes de Qs.Gi avec Qs G2 • Appliquant 3.4 a ces gerbes et a I'objet sur S defini par I'application identique de 5 , on retrouve les Gi: (3.5.2) si u^ : Gi -^ G2 est un isomorphisme, alors u est un isomorphisme. Si R est un representation d'une gerbe G , et qu'un R{u;) (u; dans G{T) , T 5^ 0) a une propriete P locale pour la topologie fpqc, tons les R{u)) ont cette propriete. Par exemple, il existe T avec G{T) non vide, et, rempla^ant T par un de ses points, on pent supposer T spectre d'un corps; R{u) est alors plat sur T. Pour P "plat", on trouve que les R{uj) sont tons plats. De meme, si un R{UJ) est locale me nt libre de rang n, ils le sont tous. Pour une representation d'un groupoide transitif (A^,p), cela donne la platitude de M sur S et I'assertion (b) avant 1.7. 3.6. Soit G une gerbe (fpqc) sur (Sch/A?). Pour u^i et U2 dans G{S), soit Isom5(u;i ,u}').) le faisceau fpqc sur S qui k u : T -^ S attache I'ensemble des isomorphismes u*uji —> u*uj2 dans G{T). Quel que soit u :T —^ S, lsgmrp{u*uji^u*(jj2) est Timage inverse sur T de Isom^fcJi ,009.). Si le foncteur lsomg{(jJiyUJ2) est representable, Isomy(cJi,c<;9) Test done aussi. On pose Autg(a;) := Isom5(a;,u;). Si pour un 5 7^ 0 , le faisceau Isom5(a;i ,0;^) a une propriete ^ locale fpqc, tout Isom^/fu;^^,^^^) verifie e n c o r e ^ : deux objets de G etant localement isomorphe, il existe des Ti -^ S x S' couvrant 5 X 5 ' , et done couvrant 5 ' , tels que LJ[ et ui (resp. u)2 et L02) deviennent
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isomorphes sur les T,-. De meme, si P est une propriete locale fpqc de schemas sur 5 , et qu^un Isom5(a;i,a;9) est represent able par un schema sur S verifiant P , tout Isomg/fa;^,:^^) ^^^ ^^^ representable est represente par un schema sur 5 ' verifiant P. Pour P "etre plat sur 5" , on trouve comme en 3.5 qu'un groupoide G transitif sur 5 est plat sur S x S: on a. G = Isom^^^fprgCJn,pr^cjn). Pour ^ l a propriete d'un faisceau fpqc d'etre representable par un schema afBne sur la base 5 , on trouve que s'il existe 5 ^ 0 et u;i,a;2 dans G{S) tels que Isom5(a;i ,a;^) soit representable par un schema afSne sur S , alors tout Isomc/(cJi,u;o) est aiBne sur S'. On dit que G est une gerbe a lien affine. Si G est une gerbe a lien affine sur (Sch/fc) et que uj est dans G{S), Aut;^(a;) := Isom5^5(pr2u;,pr^a;) est affine sur S x S. Par 3.1, 3.4 les gerbes a lien affines correspondent aux groupo'ides agissant transitivement sur 5 et affines sur S x S. Soient G une gerbe a hen affine. II existe 5 spectre d'un corps tel que ^ ( 5 ) soit non vide. Soient UQ dans ^(5) et G = Autj^.(a;). La gerbe G est equivalente a GS.G (3.4) et toute gerbe a hen affine est equivalente a une gerbe Gs.G ^tvec S spectre d'un corps et G un fc-groupoide affine agissant transitivement sur S. On a dans ce cadre les resultats suivants, qui se demontrent comme dans le cas particulier des representations de groupes. 3.7 Proposition. Soient K un corps non necessatrement commuiatif et L un cogebroide agissant sur K. Toute representation V de L est reunion filtrante de ses sous-representations de dimension finie sur K . Preuve. Soit p : V -^ V <Sf L la. coaction. Tout a G F 0 L est contenu K
K
dans un sous-espace Vi^ L , avec Vi de dimension finie, et le plus petit Vi K
possible est I'ensemble des A(a) pour A E Homji^-.(I/, A') (morphismes de A-espaces vectoriels a gauche). Pour a = p{v), ce Vi contient v (prendre A = counite) et est stable: si p{v) = "^Vi 0 A' avec des 4 lineairement independents, Vi est engendre par les Vi. L'axiome des coactions donne
^^Pivi) ^li^Y^ d'ou p{vi)
EVI^L
Vi 0 c(A)
eVi(^L^L
pour chaque i.
3.8 CoroUaire. Sous les hypotheses de 3,7^ L est reunion filtrante de souscogebroides de type fini en tant que K ® K-modules.
132
P. DELIGNE
La preuve sera donnee en 4.9. 3.9 CoroUaire. Soii G un k-groupoide agissani sur S, iransziif ei affine sur S X S. Tout module quasi-coherent sur S muni d'une action de G est reunion filtrante de ses sous-modules a coaction localement libres de rang fini. Preuve. Par 3.5, on se ramere au cas 3.7 ou S est spectre d'un corps. 3.10. Dans SGA3V, les actions de groupoides ont ete introduites pour demontrer des existences de quotient pour des actions de groupe. Dans cette direction, le resultat suivant est un corollaire de M. Artin [1]. 3.11 Proposition. Sott X un schema plat de type fini sur S noetherien et G un S-groupo'ide agissant sur X , de type fini sur X xX . On suppose que s (a)
L'image inverse G^ de G sur la diagonale de X x X est plate sur
X . (b) Les projections b,s : G =4X sont plates. Alors, il existe une espace algebrique T quotient de X par G avec X fidelement plat sur T et G fidelement plat X x X . T
Preuve. On commence par se ramener au cas ou S est de type fini sur Z , pour pouvoir appliquer [1]. La composition fait de G^ un schema en groupes plat de presentation finie sur X . II agit par composition a gauche sur G vu comme schema sur X par s. Par [1] 6.3, R := G^ \ G existe: le faisceau fppf quotient est representable par un espace algebrique. Puisque G —> i^ est couvrant fppf et que G x G — G^ x G, G —^ R est fidelement R
X
plat. On en deduit que R est plat sur X . Le quotient R s'envoie dans X X X par un monomorphisme. On en deduit que R est un schema. On X
pent alors a nouveau appliquer [1] 6.3 a i^ agissant sur X pour obtenir T. A nouveau, T represente le faisceau fppf quotient de X par J?, et de ce que X couvre T avec R= X x X on deduit que X est fidelement plat sur T
T ; G est fidelement plat sm R = X x X .
4. Comonades 4.1 Rappels. Pour toute categorie C , la composition des foncteurs fait de la categorie Hom(C,C) des foncteurs de C dans C une categorie
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monoidale (2.2, [5] VIII): la composition des foncteurs est associative et admet le foncteur identique pour unite. Une comonade ([5] VII), on dit aussi cotriple, est un monoide dans la categorie duale, i.e. un foncteur F muni de c : F —^ F o F coassociatif et admettant une counite e : F —^ Id: les fleches composees col
F
-UFoF==tFoFoF loc
sont egales et les fleches composees eol
F -^FoF
jF loe
sont I'identite. Noter que la counite, si elle existe, est unique. Une coaction de la comonade F sur un objet X de C est un morphisme p:X
—.
F{X)
tel que les fleches composees
X
-^F{X)=^FF{X)
soient egales et que les fleches composees X -^
F{X) - ^ X
soit I'identite. Soit (T, U) une paire de foncteurs adjoints T . A -^ B ei U . B —^ A. Soient e : TU ^ Id ei ri : Id-^ UT les fleches d'adjonction, F := TU et c := Tr)U : F —^ F o F. On sait que F, muni de c est une comonade de counite e et que Trf :T —^ TUT = FT definit fonctoriellement sur chaque TE (E dans A) une coaction de F. Le theoreme de Barr-Beck ([5] VI7) aflftrme ceci. Supposons que T a les propriete suivantes: (a) une double fleche E =t
F
a un noyau si son image par T en a
un;(b) si u : K -^ E egalise / , ^, alors A' est un noyau de (f^g) des que TK est un noyau de (Tf.Tg). Alors, le foncteur T : A -^ objets de B munis d'une coaction de F = TU
134
P. DELIGNE
est une equivalence. Noter que les hypotheses (a) (b) sont verifiees si les categories A et B sont abeUennes et que T est exact et fidele. 4.2. Un predecesseur du theoreme de Barr-Beck est le theoreme de descente fidelement plate pour les modules (SGAl V i l l i ) . Pour le benefice des geometres algebristes, expliquons la relation entre les deux. On prend pour A la categorie des modules sur un anneau commutatif ^ , pour B celle des modules sur B commutatif fidelement plat sur A, pour T Textension des scalaires de A a 5 et pour U la restriction de scalaires. Le foncteur F = TU est M \-^ B (S> M, et on identifie J5(g)Ma(5(g)B)(8)M A
A
A
B
par 6(g)mi—>-60l(g)m. Le "2" sur 0 indique Tusage de la seconde structure de B-module sur B ® B. La premiere structure est celle qui 2
definit la structure de j5-module de FM = ( 5 0 JB) 0 M . Un morphisme A
2
u : M —^ FM = {B®B)®M A
B
s'identifie a un morphisme de 5(g)5-modules
B
A
u :(B®B)(S>M A
—y(B<S>B)®M
B
A
B
(avecw' : ( l 0 m ) = u{m)), Passons au language geometrique: S := Spec(A), X \— Spec(5), M := faisceau quasi-coherent sur X defini par M. A u' correspond sur X x X = Sr>ec(B (g) B) un morphisme S
A
u" : pr^jM —^ pr2A^ • Que u soit une coaction de F se traduit: sur X x X x X ^\e triangle s s pr^A^
y ^i^M
pr^A< commute, et I'image inverse de u" par Tapplication diagonale A : X —> X X X est ridentite. Quel que soit le 5-schema Y et / , p : Y —> X , (/, gYu" est un morphisme c^^ : f*M -^ g*M ] les conditions ci-dessus signifient que pour tout Y on a c^j = Id et c^^ — c^^^c^^ . EUes impliquent que les Cg^ sont des isomorphismes, et en particulier (pour Y = X x X) que u"
CATEGORIES TANNAKIENNES
135
est un isomorphisme. Les coactions de F s'identifient done aux donnees de descente sur M et le theoreme de Barr-Beck redonne, avec en fait la demonstration habituelle, que les A-modules s'identifient aux 5-modules munis d'une donnee de descente. 4.3. Nous aurons besoin d'un cas particulier de 4.1 plus general que 4.2. Soient A et B deux anneaux (a unites) non necessairement commutatifs, A la categorie des A-modules a droite et B celle des B-modules a droite. Chaque A,5-bimodule AMB definit un foncteur de A dans B \ E \-^ E ® A
AMB . Cette construction est un foncteur pleinement fidele: {A,B - bimodules) —> Hom(^, B), admettant la retraction F »—> F{A). Nous appliquerons 4.1 a des foncteurs de ce type (g)M de ^ ou JB vers AowB . La composition, pour les foncteurs, correspond au produit tensoriel pour les bimodules et les morphismes de foncteurs 4.1 donneront lieu a des morphismes de bimodules. Par exemple: si L est un B, 5-bimodule, definissant le foncteur F : N i—^ N (^ L de B B
dans B, le foncteur FoF est defini par L(g)L et une structure de comonade B
c : F -^ F o F sur F equivaut sur L a une structure de cogebroide agissant sur B : L —^ L^L . Une coaction N -^ F(N) de F sur N s'identifie a une B
coaction N -^ N ^ L de L sur N . B
Pour tout 5-module a droite projectif de type fini M , de dual M^ , et tout 5-module X , le morphisme (4.3.1) X 0 M^ —^ H o m s ( M , X ) : x ^ a y — ^ x.a{m) B
est un isomorphisme. Si A^B est un A, 5-bimodule projectif de type fini en tant que 5-module, de J5-dual B^A ' ^^ foncteur T : A -^ B : E ^ E ^
AMB
A
a done pour adjoint a droite U le foncteur N )-^ N ^
B^^-
B
EomB{E<^AMB,N)
= EomA{E,EomBU^B.
A
4 3.1
N))
136
P. DELIGNE
Les foncteurs composes TU et UT sont les foncteurs N ^
eiE\-^
N ®{BMI<^ B
AMB) A
Les fleches d'adjonction TU -> Id et Id -^ UT
E^(AMB®BM\). A B
sont definies par des morphismes de bimodules ev : B M Y (g) AMB -^ B et A
A : A -^ AMB 0 B^A • L^ morphisme ev (resp. A): TUB —^ B (resp. B
A -^ UTA) correspond par adjonction a Tidentite de UB (resp. TA). Pour ev, on obtient le morphisme ev : B M ^ 0 AMB —^ B : a<^m i—> a{m). A
Pour M un B-module a droite projectif de type fini M, de dual M^ , soit 6{M) ou simplement 6 Telement de M 0 M^ d'image I'identite de M par B
I'isomorphisme (4.3.1) pour X — M: (4.3.2)
M O M ' ' - ^ Ends(M). B
Pour M = ^ M ^ , (4.3.2) est un isomorphismes de ^,^-bimodules et A est le morphisme A : A —^
AMB
0
- a i—> aS = 6a .
BMX
B
Si on ecrit un 5-module a droite projectif de type fini M comme facteur e'
direct d'un module hbre B^ : JB" ; = ± M avec e (resp. e ) de coordonnees e
e* G M (resp. e^ G M"^), on a (4.3.3)
S{M) = J^e'ei
= ^^je^e^.
Traduisons 4.1. On trouve sur L := B^\^A^B
une structure de cogebroi'de
A
c : L -^ L® L agissant sur B, definie par A et de counite et;, et, pour tout A-module a droite E, une coaction E 0 A^B —^E^ A
E 0 A^B • Cette coaction est definie par A: c'est E 0 AMB —> E 0 AMB 0 B M Y 0 AMB :e®m A
A
B
A
A^B <S> L de L sur A
B
\—^ e 0 5 0 m .
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137
Le theoreme de Barr-Beck (4.1) donne: 4.4 Proposition. Si le A, B-bimodule A^B ^st projectif de type fini sur B ei fidelement plat sur A, le foncieur E h-> E<S> A^B ^st une equivalence de A
la categorie des A-modules avec celle des B-modules mums d^une coaction du cogebroide L := B^A ^ AMB A
4.5 Proposition. Sous les hypotheses de 4'4> pour que E soit un A-module de type fini (resp. de presentation finie), il faut et il suffit que E 0 A^B soit un B-module de type fini (resp. de presentation finie). Preuve (c/SGA 1VIII 3.4). Puisque AMB est de type fini sur B , E®AMB est de type fini si E I'est. Recriproquement, si E(S>A^B est de type fini, il existe un sous-module de type fini F de E tel que F (g) A^B '-^ E ^ A^B contienne tous les elements d'un systeme generateur fini de E^ A^B • On a alors F ® A^B —^ E ® AMB , done F = E et E est de type fini. Si E est de type fini: E = A^/R, E est de presentation finie si et seulement si R est de type fini, et u;{E) = ^M^/a;(i?) est de presentation finie si et seulement si LO{R) est de type fini. L'assertion respee en resulte. 4.6 Remarque, (i) Si k est un anneau commutatif, que A et B sont des Ar-algebres et que les deux structures de /^-module de A^B coincident, le cogebroide L := B M Y 0 A^B est un fc-cogebroide. A
(ii) Pour A = k , et M un 5-module projectif de type fini, on obtient ainsi sur M^ <S)M une structure de Ar-cogebroide agissant sur B , de counite k
ev . Ce cogebroide agit sur M (I'image par (S>M de k) par po : M -^ M<S>L : k
B
m\-^ 6 (®m e M ® M^ ® M = M (S) L . B
k
B
4.7. Soient k un anneau commutatif, Bi et B2 deux /?-algebres, C une petite categorie et UJJ {j = 1,2) un foncteur de C dans la categorie des 5j-modules a droite projectifs de type fini. On se propose de definir un Bi,52-bimodule Lk{uJi,L02), dont coincident les structures induites de kmodules, muni pour tout X dans C d'un morphisme de bimodules (4.7.1)
LJiiXy 0a;2(X) - ^ Lk{u;i,U2) k
138
P. D E L I G N E
tel que pour tout f : X -^Y
dans C le diagramme
iJl{Yy ®UJ2{X)
a^i(/)*<8)l
uji{Yy ®uj2{y)
. UJi{XY ®U2{X)
^
L{ujui^2)
soit commutatif, et universel pour ces propriete. Dans la terminologie de [5] 1X6, L{(jJi^ijj2) est le "coend" d e u ; i ( y ) ^ <^uj2[X). Definition: Lk{u)i,uj2) est le quotient de la somme LQ des uj\{XY 0c<;2(X) {X dans C) qui egalise k
les doubles fleches {ui{fy
0 1,1 (8)u;2(/)) : a ; i ( y ) ^ ®U2{X)
=t
LQ .
Si cela ne prete pas a confusion on ecrira simplement L(a;i,u;2) pour Lk{(x)i,UJ2)La donnee de morphismes (4.7.1) equivaut a celle de morphismes de 52-modules (4.7.3)
A(X) : U2{X) - ^ u;,{X)
(g) L(a;i,a;2)
et (4.7.2) signifie que A(X) est fonctoriel en X . La propriete universelle de L{uijiJ2) est que pour tout Bi, jB2-t>imodule U , si les deux structures de Ar-module de U coincident, I'application / • — > • ( / o \{X)) de H o m ^ j j32(Z/(a;i,u;2), C^) dans les systemes de morphismes
u{X):uj2{X)-^uji{X)^U, Bi
fonctoriels en X , est une bijection. Pour trois foncteurs u;i,u;2,W3 , iterant (4.7.3), on obtient U)3{X)
^0J2{X) (g) L(u;2,^3)
^UJi{X) 0 L{u;i,L02) 0
B2
Bi
fonctoriel en X , d'ou (4.7.4)
L(u;i,a;3) —^ L{ui,uj2)
0 L(a;2,^3) • B2
B2
L{UJ2,L03)
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139
Le coproduit (4.7.4) est coassociatif: pour quatre foncteurs cji, u;2, ^ 3 , ^4 , le diagramme B2
[ ^ ( ^ 1 , ^ 3 ) 0 L(a;3,a;4) JBs
^ L{OJI,IJJ2) 0 L{(JJ2,<^3) 0 L{UJ^,UJ4) B2 B^
est commutatif. Les morphismes d'evaluations ujj{Xy 0 ^ j ( ^ ) "^ ^i definissent una counite c : L(ixjj,ujj) -^ Bj : les fleches composees l(8>c
L{u)i,U2) —^ L{ui,uj2) 0 i(a;2,a;2)
yL{iJi,uj2)
B2 c<8>l
L(u;i,a;2) —^ L(a;i,a;i) 0 L(a;i,u;2)
yL{uJi,u)2)
Bi
sont ridentite. Le cas qui nous importe le plus est celui ou Bi = B2 et ou uji = ^2 • Soit B := Bi = B2 ' L'application (4.7.4) pour cji = UJ2 = (^3 = LJ fait de Lk{(^) := Lk(ciJ,uj) un fc-cogebroi'de agissant sur B. Si cela ne prete pas a confusion, on le notera simplement L(LJ) . Les \{X) sont une coaction de L{LJ) sur les u^{X), fonctorielle en X. La propriete universelle de L{LO) assure que, pour tout /ij-cogebroi'de -0 agissant sur B, il revient au meme de se donner une coaction fonctorielle de xp sur les (JO{X) OU un morphisme de cogebroi'des L(u;) —>• V' • On appellera L(u) le cogebroide des k-endomorphismes de uj . 4.8 Exemple. (i) Pour C reduite a un objet et a sa fleche identique, la donnee de UJ est celle d'un 5-module a droite projectif de type fini M . Le cogebroide L{uj) est M^ 0 M et sa coaction sur M celle de 4.6. La k
propriete universelle de L{(JJ) dit que, pour tout Ar-cogebroide \p agissant sur B , risomorphisme EomB{M,M
(^ip) i—^ EomB,B{M^ 0 M , ^ )
fait se correspondre les coactions de ip sur M et les morphismes de cogebroide de M^ 0 M dans ip . k
(ii) Soient comme en 4.3 AMB un A,5-bimodule projectif de type fini en tant que 5-module a droite, B^A ^^^ 5-dual et L := B^A ^ A^B • A
140
P. DELIGNE
On suppose que A et B sont des A:-algebres et que les deux structures de ^-module de A^B coincident. Pour A: = Z , ces hypotheses sont automatiques. Soit C une sous-categorie pleine de la categorie des A-modules a droite, contenant le A-module A , et telle que les E^AMB soient projectifs A
de type fini sur B. Soit u; le foncteur E \-^ E ^ A^B • P^r 4.3, L coagit A
sur les uj{E) {E dans C), d'ou un morphisme (4.8.1)
L{ij) — ^ L .
Ce morphisme est un isomorphisme. Pour C reduite au A-module A, c'est la definition du produit tensoriel sur A . Dans le cas general, la verification sera donnee en 4.11. 4.9 P r e u v e de 3.8. La comultiplication c : L -^ L (^ L est une coaction de K
L sur L (representation reguliere). D'apres 3.7, L est reunion filtrante de sous-representations Vi de dimension finie sur K . La coaction de L sur Vi correspond par 4.8(i) a un morphisme de cogebroides fi : V^"^ 0 Vi —^L. La counite e de L induit une forme lineaire sur Vi et fi{e \Vi ^ x) = x. L'image de fi contient done Vi. Parce que K est un corps, I'image de fi est un sous-cogebroide de L. Le cogebroide L est reunion filtrante des images des fi et ceci prouve 3.8. 4.10 Fonciorialiies. (i) Soit f : Bj -^ B'^ et
(4.10.1) L{LOULJ2)
le foncteur d'extension des scalaires. On
0 Bi<S>B2
(ii) Soit T : V -^ C. definissent (4.10.2)
^BJBJ
{B[^B'2)^^L{i^B,B[)oLOu{®B,B'2)ou2). k
Les morphismes UJ2TD -^ uj\TD 0 L{uji^u)2)
L{yjioT,ijj2oT)
—y
L{(JJI,UJ2)
.
(iii) Si C est limite inductive filtrante de categories C, et que Ti est le foncteur naturel Cj -^ C, les morphismes 4.10.2 induisent un isomorphisme (4.10.3)
limL(a;i oTi,uj2 oTj) - ^ L{ui,uj2) •
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141
(iv) Supposons Bj commutatif. Soient {Ci)i^i une famille finie de categories, u)j de source Ci (i G / , j = 1,2) et 0u;!- le foncteur de source le produit C des d produit tensoriel sur Bj des a;J : (<S)CJJ)((Cj)) := 0 (j^jiQ) . O n a
Bj
Bi®B2 k 4.11 Verification de 4'S(ii). Soit V la sous-categorie pleine de C reduite a A . La fonctorialite 4.10(ii) fournit L{LJ\V) -> L{u). O n a (c/4.8(ii)) L{u\V) - ^ L et le triangle
4 10(u)
L(a;|P)
> L{u;)
(4 8 1 ) \
/ ( 4 . 8 1)
L
est commutatif. Le morphisme 4.10(ii) admet done u n e retraction et il suffit de verifier que L{LJ\T>) s'envoie sur L{uj) ^ i.e. que pour tout C dans C, Timage dans L{(JJ) de (jo{Cy 0 ^{C) est contenue dans celle de k
uj{Ay ^(JO{A)
. Tout element de a;(C)^0a;((7) est une somme finie ^
oti^Xi
k
et chaque Xi E C <S> A^B
^st une somme finie Yl^ij
^ ^ i ? done une
somme d'elements de la forme f{y) avec f : A -^ C et y E ^{A). II suffit des lors de verifier qu'un element de uj{CY 0 <-^{C) de la forme k
a 0 f{y), / : A ^ celle de OJ{AY
C , y G (^{A),
a une image dans L(LJ) contenu dans
<S>(J^(A) . Par definition de L{uj),
le d i a g r a m m e
k
u;(Cy®uj{A)
— ^ uj{Ay
k
Lj{cy ^uj{c)
®Lj(A) k
^
L
k
est commutatif. Appliquant ceci a a 0 y G ^(C*)^ 0 ^{A), on trouve que r i m a g e de a 0 f{y) est aussi celle de V ( a ) 0 2/ G ^ ( ^ ) ^ 0 ^ ( ^ ) •
142
P. DELIGNE
4.12. On suppose que B est un corps. Soient L un Ar-cogebro*ide agissant sur 5 , C la categoric des jB-espaces vectoriels de rang fini munis d'une coaction de L et a; le foncteur d'oubli. Puisque L coagit sur chaque (^{X), la propriete universelle de L(u)) fournit un morphisme u de L{LJ) dans L. 4.13 Proposition. Avec les hypotheses et notation de 4'^^> '^ morphisme u : L{(jj) —)• L est un isomorphisme. Preuve. Par construction, une coaction de L sur V de rang fini est naturellement relevee k L{u)), Appliquant 3.7 et passant a la limite inductive, on trouve que la restriction "de rang fini" est inutile. Prenant V = L ^ et la coaction c : L —^ L 0 L , on obtient ci : L —^ L <S> L(u:). Soit B
B
a — (counite 0 1) o ci : L -^ L{UJ) . Puisque (1 0 w) o ci = c, on a ua = Id . Soit V muni d'une coaction p, relevee en une coaction p de L{uj). Puisque p : K —^ ^ 0 L est un morphisme de vectoriels a coaction, le diagramme V
^
)
V(S>L l(S)Ci
p®l
V ^
LLU
1(8) counite ^ 1
^ F 0 L 0 Lu;
^ V ^ Lu
est commutatif, d'ou p = ( l 0 a ) p . Le morphisme deduit de p : ^ " ^ 0 ^ —> Lu admet done la factorisation V^ 0 F —>• L —>• LLU . La definition de Luj montre alors que a est surjectif, done que u est isomorphisme.
5. Produit tensoriel de categories abeliennes 5.1. Soient k un anneau commutatif et {Ai)i^i une famille finie de categories abeliennes fc-lineaires. Nous appellerons une categoric abelicnne klineairc A, munie d'un foncteur fc-multilineairc exact a droite en chaque variable (5.1.1)
0:nA-
—'A
un produit tensoriel sur k des categories Ai si la condition suivante est verifiee. Pour C une categoric abelicnne Ar-hneaire, soit Honij^ ekdi^^^) ^^ categoric des foncteurs exacts a droite de A dans C. Soit
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143
Homj^ earf((-^«)«6/5 ^) 1^ categoric des foncteurs multiline aires exacts a droite en chaque variable du produit des Ai dans C. On exige que pour tout C le foncteur de composition avec (5.1.1) HomfceadM^^) —^Homfc,^rf((A)»e/>^) soit une equivalence de categories. Un tel produit tensoriel, s'il existe, est unique (a equivalence unique a isomorphisme unique pres). Si les Ai et les A'i admettent un produit tensoriel sur k, des foncteurs exacts a droite Ti : Ai —>- Ai induisent un foncteur exact a droite 07^ : ^Ai —> <S>Ai. Si les Ai sont limites inductives filtrantes de categories Af et que pour chaque a le produit tensoriel des Af existe, la limite inductive des (S>Af est un i
produit tensoriel des Ai. Variante. La definition 5.1 est adaptee a nos besoins. II serait parfois plus naturel de la modifier en rempla^ant Homj^. ^^^ par la categorie des foncteurs qui commutent a toutes les limites inductives (non supposees filtrantes) qui existent a la source. 5.2. Pour A une Ar-algebre coherente (a droite), nous noterons (A)coh la categorie abelienne des A-modules a droite de presentation finie. On note A°f^P la Ar-algebre apposee. Si A est coherente a gauche, (A°PP)coh ^st done la categorie des A-modules a gauche de presentation finie. Soit A une Ar-algebre coherente (a droite) et C une categorie abelienne A:-lineaire. Soit Ad I'algebre A, vue comme A-module a droite. On a End(Ad) = A et le foncteur T H-» ^(-^d) ^st une equivalence de B^nik,ekd{i^)cohyC) avec la categorie des objets X de C munis d'une structure de A-module a gauche A -^ End(X) Ar-lineaire. Le foncteur inverse attache a M le foncteur N h-^ N ^ M. Si N = coker(c? : A'P -^ A"^) , A
N<^M := cokev(d : M ^ -^ M " ) . A
De meme, si (Ai) (i G /) est une famille finie de Ar-algebres coherentes, le foncteur T — i > T{{Aid)) est une equivalence de Honijt e^^((A)coh,i€/j^) avec la categorie des objets X de C munis de structures de ^j-module commutant deux a deux et A:-lineaires, i.e. d'une structure Ar-lineaire de (g)i4i-module. Appliquant la definition 5.1, on trouve: 5.3 Proposition. Soient (A,),^/ une famille finie de k-algehres coherentes dont le produit tensoriel sur k est encore coherent. Le produit tensoriel sur k: (g) : n(Ai)coh — ' (<S)Ai)coh
144
P. DELIGNE
fait de ((S)^i)coh l^ produU tensoriel
sur k des (Ai)coh •
5.4 C o r o l l a i r e . Sous les hypotheses de 5.3, si k est un corps, le produit tensoriel: 0 : Il{Ai)coh —^ ^ ( ^ O c o h = (0^i)coh ^st exact en chaque variable et on a (5.4.1)
(^Eom{Mi,Ni)
- ^
Eom{(^Mi,(S>Ni).
k
P r e u v e . Le produit tensoriel est exact car 5.3 Tinterprete comme un p r o duit tensoriel sur k . Les foncteurs aux deux membres de (5.4.1) sont multilineaires et exacts a gauche en les Mj . Resolvant les Mi :
on se ramene a supposer que Mi = Ai . Les deux membres s'identifient alors au produit tensoriel sur k des A^^ . 5.5 P r o p o s i t i o n . Si k est un corps et que les Ai sont de dimension sur k , le produit tensoriel
finie
0 : Il{Ai)coh — ' 0(A-)coh = ( 0 A ) c o h , exact en chaque variable d^apres 5.4f ff^H de la categoric duale de (0Aj)coh le produit tensoriel des duales des categories (^i)coh • P r e u v e . Le foncteur "Ar-dual" D est une antiequivalence de (A^^^)coh avec {Ai)coh • H est compatible au produit tensoriel sur k: commutativite a isomorphisme canonique pres de
n(^r')coh D
^ (0A^^^)coh D
et 5.5 resulte de 5.3. 5.6 Mise en garde. Sous les hypotheses de 5.5, si T : Il{Ai) —> C est un foncteur fc-multilineaire exact en chaque variable, T se factorise de fagon unique par un foncteur exact a droite Td : {<S>Ai)coh -^ C (5.3). Par 5.5, il
CATEGORIES TANNAKIENNES
145
admet aussi une factorisation unique par Ts : {^Ai)coh —^ C exact a gauche. L'exemple suivant montre que ces prolongement pen vent difFerer, i.e. que Td pent ne pas etre exact. Soient k^ une extension finie inseparable de k , I = {1,2} , A^ = Ar', et (Ai)coh = (^2)coh = C = Vect(Ar'). Soit T le foncteur produit tensoriel sur k^. Le foncteur Td des k' 0 A:'-modules de type fini dans Vect{k') est k
X v-^ X
0
k'. \\ n'est pas exact. On peut verifier que le foncteur T^ est
k'®k'
isomorphe au foncteur X y-^ ^oviik'%k'(k'^X). Cette difficulte disparait en caracteristique 0: 5.7 Proposition. Sous les hypotheses de 5.5, plus celle que k parfaii, SI T : Ii{Ai)coh —^ C est k-muUiUneaire et exact en chaque variable, le foncteur exact a droite Td de {0Ai)coh dans C qu'il definit est exact, Preuve. Soit M Tobjet T{{Aid)) de C. Pour des A''^ G Ob(^)coh , on definit comme suit les On prend des resolutions projectives Ni^ des A^^- et Thomologie du multiple complexe 0Ni, (g) M = T{{Ni,)). Farce que T est exact en chaque varaible, on a Tor^ = 0 pour n > 0. Le foncteur Td se derive de meme en Tovf^^(N, M). On a
d'ou la nullite (5.7.1)
Tor®^»((8)iVi,M)
pour n > 0.
Le foncteur Tor,^ etant semi-exact, il suffit, pour en deduire la nullite de tons les Tor^^»(7V, M) (n > 0), et 5.7, de verifier le lemme suivant. 5.9 L e m m e . (i) 52 Si est un Ai-module simple, le produit tensoriel des Si est un (^Ai-module semi-simple. (ii) Tout ^Ai-module simple figure dans un produit tensoriel comme en (i). Preuve. (ii) est clair. Prouvons (i). Remplagant Ai par son quotient par Pannulateur de Si , on se ramene a supposer Si fidele. L'algebre Ai est
146
P. DELIGNE
alors une algebre centrale simple sur une extension finie ki de k. Puisque k est parfait, cette extension est separable. Le produit tensoriel des Ai est semi-simple et 5.9 en resulte. 5.10.
Un Ai (S) A2-module a droite est encore un A2-niod\ile a droite M k
muni d'une structure de Ai-module a droite: A^^^ -^ Endyi2(M) A?-lineaire. Pour k un corps et Ai de dimension finie k , une telle interpretation du produit tensoriel avec (^i)coh vaut plus generalement. Soient k un corps, A une Ar-algebre de dimension finie et B une categorie abelienne fc-lineaire. Soit {A — B) (resp. {B — A) la categorie des objets B de B munis d'une structure de ^-module a gauche A -^ End(J5) , Ar-lineaire (resp. d'une structure ^-lineaire de ^-module a droite). Le produit tensoriel 2.9: Vect(fc) xC —^ C induit un produit tensoriel Ar-bilineaire exact en chaque variable (5.10.1)
(8):(A)cohXS—^(B-A).
5.11 Proposition. Avec les notations 5.10, le foncteur (5.10.1) fait de la categorie but le produit tensoriel sur k des categories sources. P r e u v e . Le foncteur (5.10.1) induit pour toute categorie Ar-lineaire C un foncteur
(5.11.1)
EomeUi^-
A),C) -^EomeUi^Ui.
>< BX) ^
Montrons qu'on en obtient un quasi-inverse en attach ant a T: {A)coh x B —^ C le foncteur de {B — A) dans C: (5.11.2)
B—^T{Ad,B)
®
A.
A<S>A
Noter que T{Ad,B) a une structure de ^-module a droite venant de celle de B et une de ^l-module a gauche venant de celle de Ad. Le produit tensoriel est le conoyau dans C de T{Ad,B)iS)iA^A)^A=tT{Ad,B) k
k
(g) A. k
Pour un objet A^A muni d'une structure de A, A-bimodule, on a aussi plus simplement (5.11.3)
AXA
® A = A<^A
cokeT{AXA®A=tAXA)'
CATEGORIES TANNAKIENNES
147
Comme en 5.2, la categoric ilom^>^J(A)rr.h x B,C) est equivalente, par T 1-^ T(A, B), a Hom^^^(g. {A — C)). L'equivalence inverse est U I—y (le foncteur (M, B)y-^M®
U{B). A
Composant cette equivalence avec (5.11.1) et (5.11.2), on obtient les foncteurs
©
Eom,^,{B
- A,C) .=* Horn,^,(5, A - C )
© suivants. ©:r(B^)H—r(^d|)S); (2): AT{B)
^ ^ J^T{BA)
<S)
A.
Dans © , T{Ad <S> B) est muni de la structure de ^-module a gauche due k
a celle de Ad . Dans @, AT{BA) est muni d'une structure droite (due a BA) et gauche (due a ^T) et le produit tensoriel est encore le conoyau AT{BA)^A=^AT{BA).
Le compose @o @est T{BA)^^T{Ad^BA)
0
A.
A%A
Par exactitude a droite de T , le second membre est encore
T{{A®BA) k
A) et {Ad ^ BA)
^
k
A%A
0 A^A
A ^ BA ® A — BA , de sorte que @o Q e s t isomorphe a A
ridentite. Le compose 0 o @est AT{B)
H-. AT{Ad®B) k
^ A = {Ad^ATiB)) A0A
k
^ A = A®AT{B) A<S>A
= AT{B) .
A
II est egalement isomorphe a Tidentite et ceci prouve 5.11. 5.12. Soit A une categorie abelienne ^-lineaire satisfaisant a la condition de finitude (2.12.1): objets de longueur finie et Hom de dimension finie. Pour X dans A , soit {X) la sous-categorie pleine de A d'objets les sousquotients des X " (n > 0). Elle est abelienne. D'apres 2.14, 2.17, la categorie {X) est equivalente a la categorie des modules sur une fc-algebre de rang fini.
148
P. D E L I G N E
La categoric A est reunion croissante de ses sous-categorie pleines {X) et de 5.3, 5.4, 5.5, 5.7 on deduit par passage a la limite (5.1) les enonces (i) et (iii) a (vi) ci-dessous. 5.13 P r o p o s i t i o n . Soii {Ai)i£i une famille finie de categories aheliennes k'hneaires verifiant (2.12.1). (i) Le produH iensoriel sur k des Ai existe. (ii) 7/ verifie encore (2.12,1). (iii) Le produii iensonel 0 .HAi—^A est exact en chaque variable. (iv) 11 fait de la duale de A le produit tensoriel des duales des Ai . (v) On a 0 H o m ( X j , y ; ) - ^ Hom((8)Xi, (g)>^). (vi) Si k est parfait - par exemple de caracteristique 0 - un foncteur multilineaire exact en chaque variable: UAi —^ C defimt un foncteur exact de A dans C. L'assertion (ii) sera deduite de 5.14 ci-dessous. Soient {A^)i^i et {Ai)i^i deux fannilles finies de categories abeliennes ^-lineaire verifiant (2.12.1) et T^ : A[ -^ At A:-lineaire et exact a droite. Soient A' := <^Ai , A := ^Ai et T := 0 T i le foncteur A:-lineaire exact a droite de A^ dans A avec T{^X,)
=
^Ti{X^).
5.14 P r o p o s i t i o n . Avec les hypotheses et notations precedentes, (i) SI lesTi sont exacts (resp. exactes etfideles, resp. une equivalence de A[ avec une sous-categorie pleine stable par sous-quotient de Ai), le foncteur T a la meme propriete. (ii) Soient A'- , A'/ C At des sous-categories abeliennes pleines stables par sous-quotients. LHntersection essentielle, dans A := <S>Ai, de '^A\ et <^A'^ est le produit tensoriel des intersections essentielles A[ fl A'l. P r e u v e . (i) Par passage a la limite, on se ramene encore a supposer A'l = {A[)coh,Ai — {Ai)coh , avec les A[ et Ai de dimension finie sur k . Le foncteur exact a droite 7] est de la forme E \-^ E ® Mi (5.2), ou Mi est un ylj-,i4i-bimodule de type fini sur Ai . Soient A = ®Ai, A' = 0A[ et M = <S>Mi . On a ^ ' = (^Ocoh , A - (A)coh et T est 0 M . Pour que A'
Ti soit exact (resp. exact et fidele), il faut et suffit que Mi soit plat (resp. fidelement plat). Parce que Ai est de dimension finie sur k , cette condition
CATEGORIES TANNAKIENNES
149
equivaut a Mi facteur direct d'un AJ-module libre (resp. et tel que A[ soit facteur direct d'une puissance M^). Ces conditions sont stables par produit tensoriel sur k . Si Ai est une sous-categorie pleine stable par sous-quotient, il existe un ideal bilatere a J de Ai tel que A'i soit la categorie des Aj-modules annules par a J- (2.18): on pent faire A^- = Ml^i et Mi — Ai/a[. On a encore stabilite par produit tensoriel sur k. (ii) Si Ai C Ai = (^i)coh (resp. A'/ C ^s) est la sous-categorie des A,— modules annules par aj- (resp. a^'), leur intersection essentielle (d'objets les objets de Ai isomorphes a un objet de Ai et a un objet de Ai) est la souscategorie des Aj—modules annules par aj- -|- aj'. On conclut en observant qu'un A-module annule par les a,- et les a^/ est annule par les aj- -h a'/ . 5.15 P r e u v e de 5.13(ii). Ecrivons Ai comme limite inductive des souscategories (Xi) . D'apres 5.14(i), ®{Xi) *-^ ^4 et est une sous-categorie pleine stable par sous-quotients. De (2.12.1) pour les <S>{Xi) resulte done (2.12.1) pour leur limite inductive A. 5.16. Soient {%)i^i une famille finie de categorie tensorielles sur k verifiant (2.12.1) et T leur produit tensoriel sur k (5.13(i)). Le produit tensoriel 0 : 7i X7i —)• 7i se factorise par un foncteur exact a droite Ti : %^Ti —^ % . Le produit tensoriel des 7] est un foncteur exact a droite (5.16.1)
T'.T^T
=z {^Ti) (g) ((8)7^) = 0(7; 0 %) —> ^Ti = T .
Le composant avec 0 : T x T - ^ T 0 T , on definit le produit tensoriel de T . C'est un foncteur exact a droite en chaque variable, muni d'un isomorphisme fonctoriel (5.16.2)
( 0 X 0 0 (0y,-) - ^ 0(Xi 0 Yi).
Get isomorphisme le caracterise: si 0 ' est un foncteur exact a droite T X T -^ T, muni d'un isomorphisme (5.16.2) de foncteurs UTi x UTi -^ T, il existe un unique isomorphisme 0 —>• 0 ' compatible aux isomorphismes (5.16.2) pour 0 et 0 ' . On munit <^ : T x T -^ T des contraintes d'associativite et de commutativite qui rendent commutatifs les diagrammes (0X0 0 ( 0 ^ 0 — ^ ^ 5.16.2
0{Xii^Yi)
i^Yi)^{^Xi) 5 16 2
=
0(1^-0X0
150
P. DELIGNE
ii0Xi)^{^Yi))^{^Zi)
>
{^Xi)^{{^Yi)^{^Zi))
5.16.2 itere
5.16.2 itere
(8)((Xi 0 Yi) 0 Zi)
0(X.- 0 {Yi 0 Zi))
5.17 Proposition. S'ows les hypotheses de 5.16^ plus celle que k est parfait, le produii iensoriel T des. Ti est une categone tensorielle sur k . P r e u v e . La verification de (2.1.1) est laissee au lecteur; (2.1.3) est inclus dans la definition d'une categorie produit tensoriel. L'unite de T est le produit tensoriel des unites des Ti et (2.1.4) resulte de 5.13(v). Prouvons (2.1.2). ^ D'apres 5.13(vi) les foncteurs Ti : 7^ 0 7^ —^ % sont exacts. Par 5.14(i) leur produit tensoriel T : T 0 T —)• T est exact. Par 5.13(iii), le produit tensoriel de T est exact en chaque variable. D'apres 5.13(iv), la construction de la categorie abelienne T est autoduale. Son produit tensoriel 0 etant exact, sa caracterisation (5.16.2) est egalement autoduale. Celle de ses contraintes d'associativite et de commutativite aussi. D'apres 5.13(iii)(iv), la construction du produit tensoriel T des Ti est autoduale. Les antiequivalences X »—> X^ des Ti induisent done une antiequivalence de T dans T , encore notee X \-¥ X^ , munie d'un isomorphisme fonctoriel (5.17.1)
^X^
-^
{^Xi^
qui le caracterise (de la meme fa^on que (5.16.2) caracterise (S> - T x T —^ T). Si X = 0Xj , les morphismes ev et S pour les Xi ont des produits tensoriels ev : X 0 X^ -^1,6:1-^ X^ 0 X qui font de X^ un dual de X (2.2). Definissons un isomorphisme entre les foncteurs multilineaires Hom(X 0 y, Z)
et
Hom(y, X"" ® Z),
de T°PP X T^PP X T dans Vect(fc). Ces foncteurs, exacts a gauche en chaque variable, se factorisent uniquement par des foncteurs exacts a gauche de joppgj^opp^^ dans Vect(Jk) (5.13)(iv). Par 5.13(iv) encore, et la definition
CATEGORIES TANNAKIENNES
151
du produit tensoriel, ii revient au meme de se donner un isomorphisme entre les foncteurs multilineaires de II T^"^"^ x II 7^°^^ x II 7^- dans Vect(^): Hom(0Xi(8)0y;-,0Zi) et Hom((g)yi, ((8)Xi)^ 0 0 ^ 0 • Par (5.16.2), (5.17.1) et (5.13(v)), ces foncteurs s'identifient respectivement au produit tensoriel des foncteurs Hom(Xi0y;-,Z,)
et
Hom(i;-,X,^ 0 Z^).
isomorphes par Tadjonction entre s^ et s^^ (2.2). Le foncteur s^ admet done un adjoint a droite Hom(X, ) , a savoir s^^ (muni de morphismes d'adjonction convenables). Par 2.3, pour conclure, il suffit de montrer que le morphisme (2.2.1): (5.17.2)
Hom(X, 1) 0 Y —^ Hom(X, Y)
est un isomorphisme. Ces foncteurs: T^^^ xT -^T sont exacts a gauche en chaque variable. Par 5.13(iv), ils definissent des foncteurs exacts a gauche 7'opp (g) T —> T et pour verifier que (5.17.2) est un isomorphisme, il suffit de verifier que le morphisme entre foncteurs 117^-^^^ x 117^ -^ T qui s'en deduit est un isomorphisme. En particulier, il suffit de verifier que (5.17.2) est un isomorphisme pour X de la forme (g)X, . On a vu qu'un tel X admet un dual et on conclut par 2.3. 5.18. Pour prouver 1.12 sans hypothese sur k, il nous faudra savoir que la conclusion de 5.17 est encore vraie, sans hypothese sur k, si les % sont tannakiennes (2.8) sur k. Nous le prouverons en 6.9, 6.16-6.20, en nous aidant de 5.21, qui le prouve dans un cas particulier. Soient {Si)i^i une famille finie de Ar-schemas non vides sur lesquels agissent des groupoi'des affines transitifs Gi. Soient S le produit de Si et G celui des Gi; G est un groupo'ide transitif agissant sur S. Le produit tensoriel externe 0 pr* Vi est un foncteur (5.18.1)
0 : nRep(5i : Gi) —^ Rep(5,G).
Nous prouverons en 6.21 que ce foncteur fait de Rep(5 : G) le produit tensoriel des Rep(5i : Gi). Dans le language des gerbes: si les Qi sont une famille finies de gerbes a hen affine sur k, le produit tensoriel n:Rep(C;)i—^Rep(^e?^)
152
P. DELIGNE
fait de Rep(n5i) k produit tensoriel des Rep(^j). On a en effet GS.G —-^ ^Gs,:G, et le produit tensoriel (5.18.1) s'identifie au produit tensoriel de representations de gerbes. 5.19. Soient B une A:-algebre et L := BLB un A;-cogebroide agissant sur B . On suppose que, en tant que B-module a gauche, L est projectif de type fini. Soit L' son 5-dual comme J5-module a gauche. C'est encore un B,5-bimodule avec (^,6A) = {^6, A) et (^, A6) = {^,A)6. Pour V un fc-espace vectoriel et W un 5-module a droite, Homife(V^, W^L)^^ B
Hom^f^ 0 L', W) k
par / H^ (i; 0 A —> {\^f{v))). Pour V un 5-module a droite, cet isomorphisme induit un isomorphisme HomB(K, W®L)-^ B
"RomBiV 0 L', W). B
La comultiplication c : L —^ L<S)L , vue comme morphisme de foncteurs en B
V: V<S^L—^V^L<S)L B
B
donne par adjonction un morphisme de foncteurs
B
en V :V <S> L' <S> L' ^^ V <S> L', defini par une multiplication V ^ L' —^ L' B
B
B
B
faisant de V une Ar-algebre munie de 5 —>- L ' , et une coaction de L sur un B-module V s'identifie a une structure de L'-module sur V qui prolonge sa structure de 5-module. Soient {Bi)i^j une famille finie de Ar-algebres, L^ un Ar-cogebroi'de agissant sur Bi , B le produit tensoriel sur k des Bi et L celui des L^ ; L est un cogebro'ide agissant sur B . Le produit tensoriel sur k est un foncteur (generalisant (5.18.1)) 0 : n(j9j — modules de presentation finie a coaction de Lj) (5.19.1) —> ( 5 — modules de presentation finie a coaction de L). L e m m e 5.20. Si B et les Bi soni coherents, et que chaque Li est projectif de type fini en tant que Bi-module a gauche, alors le foncteur (5A0.1) fait de la categoric but le produit tensoriel des categories sources. Preuve. La coherence de Bi implique celle de LJ- (notation de 5.10). On laisse au lecteur le soin de verifier que Tequivalence 5.10 {Bi — module coherent a coaction) —> {L'i — module coherent)
CATEGORIES TANNAKIENNES
153
est compatible au produit tensoriel sur k. II ne reste alors qu'a appliquer 5.3. Lemme 5.21. Avec les hypotheses et notations de 5.18, si Si est le spectre d^une extension finie de k, le foncteur (5.18.1) fait de la categorie hut le produit tensoriel des categories sources. Preuve. Soit Li I'algebre affine de d . Le cogebroide Li est reunion croissante de sous-cogebroides Lf de type fini en tant que ki 0 Ar^--modules (3.8), done de dimension finie sur ki . Par passage a la limite (5.1), 5.21 resulte de 5.20 pour les ki et les Lf .
6. Le theoreme principal 6.1. Soient k un corps commutatif et A une categorie abelienne /:-lineaire verifiant (2.12.1): objets de longueur finie et Hom de dimension finie sur k . Pour X dans A , on notera {X) la sous-categorie abelienne pleine de A d'objets les sous-quotients des X " . Soient B une fc-algebre et uj un foncteur Ar-lineaire exact et fidele de A dans la categorie (5-mod)pt/ des 5-modules a droite projectifs de type fini. Pour X dans A , la categorie (X) admet un generateur projectif P (2.14). Le foncteur Y — i >• Hom(P, Y) est une equivalence de (X) avec la categorie (^)coh des modules a droite de type fini sur A :— E n d ( P ) . Par cette equivalence, P corresponds a A^. Posons A^B •— ^{P) - P^^ ^-2, le foncteur exact a droite u) \ {X) s'identifie au foncteur E i—y E (g) A^B A
de {A)coh dans les B-modules. Noter que, u; etant Ar-lineaire, les deux structures de Ar-module de A^B coincident. D'apres 4.8(ii), L{(JO \ {X)) est le ^-cogebroide BM\ 0 AMB de 4.3. Par A
hypothese, UJ \ {X) est exact et fidele. Le A-module A^B est done fidele me nt plat sur A. D'apres 4.4 et 4.5, a; induit une equivalence de {X) avec la categorie des P-modules a droite de type fini munis d'une coaction de L{u^\{X)). La categorie Ind(X) des Ind-objets (cf. 7.5) de (X) s'identifie a celle de tons les yl-modules a droite. L'extension de L{u) \ (X)) aux Ind-objets: u;("lim"Xj) — lim inda;(Xt), est encore E ^-^ E <S> A^B • Par 4.4, cette ^
A
extension est une equivalence de Ind(X) avec la categorie des P-modules a droite munis d'une coaction de L{UJ \ ( X ) ) . Ceci, et les proprietes supposees de Lu , montre que tout P-module a droite de type fini, muni d'une coaction
154
P. DELIGNE
de L{uj \ {X)) J est projectif de type fini, et que tout 5-module a droite a coaction est limite inductive de 5-modules a droite projectifs de type fini a coaction, en particulier est plat. L'exactitude de LJ assure que A^B est yl-plat. De plus, pour tout Amodule a droite N , le 5-module a droite N (g) A MB est plat. La formule A
L{U\{X))
=
BMA®AMB A
montre alors que L(a; | {X)) est plat pour ses deux structures de 5-modules. Si Y est dans {X), i.e. (y) C {X), et que a est Tideal bilatere de A tel que (y) corresponde aux ^d-modules annules par a (2.18), on a L{uj\{Y)) = {Ala^AMBy A
0
= {Ala^AMsY A
et {A/a (g) AMBY
(A/aO^M^)
Ala
A <^AMB,
A
est le noyau de Tepimorphisme B ^ ^ -^ {a <^ A^BY
A
,
A
d'ou une suite exacte o^L{u\
{¥)) -^
L{u I (X)) —> (a ^ ^ M ^ ) ^ 0 AMB -^ A
0.
A
Le morphisme 4.10(ii) de L(LJ \ {¥)) dans L(u \ {X)) est done injectif, de conoyau plat a droite et a gauche sur B . Un 5-module de type fini, a coaction de L(u; | {X)), correspond a un objet de {¥) si la coaction N—>N0L{ij\{X)) se factorise par N <^ L{LJ \ (Y)). La categorie A est reunion filtrante des sous-categories {X) et L{LJ) est limite inductive des L{UJ \ {X)) (4.10 (iii)). Passant a la limite, on obtient: 6.2 Proposition. Avec les hypotheses et notations de 6.1, le foncteur w induit une equivalence de A avec la categorie des modules a droite type fim sur B munis d^une coaction de L{LO) . 6.3. Soit B un anneau commutatif. Nous allons utiliser la construction L(uji^u}2) de 4.7 pour Bi — B2 — k — B. Plus tard, nous aurons a
CATEGORIES TANNAKIENNES
155
considerer un corps commutatif k, deux Ar-algebres commutatives Bi , B2 et nous aurons a prendre pour B Tanneau commutatif Bi <S> B2 ^ k
Soient Ai (i = 1,2,3) trois categories et, pour i = 1,2,3, UJ\ et 0^2 deux foncteurs de Ai dans {B-inod)pft (6.1). Supposons donne un foncteur <^ : Ai X A2 -^ A3 et, pour j = 1,2, un isomorphisme de foncteurs ioj{Xi)^u;]{X2)
- ^ u;f (Xi (g) X2).
B
Nous avons defini en 4.7 des 5-modules Lj5(a;i,a;2) et 4.10(ii)(iv) four nit un produit jB-bilineaire
(6.3.1)
LBiu^liol) 0
LB{U^IU;1)
—> L B ( ^ ? , ^ ! ) •
B
Quels que soient Xi et X2 dans Ai et A2 , le morphisme (4.7.3) u;f (Xi (g) X2) —> a;?(Xi (g) X2) 0 i^B(wi, wf) se deduit des morphismes analogues pour les uj{{Xj) et u;2iXj) par (6.3.1). Soient A une categorie a produit tensoriel verifiant (2.1.1) et wi et 0^2 deux 0-foncteurs de A dans les 5-modules projectifs de type fini. Faisons •/If —-
LB{ioi,oj2) ® ^^5(^1,^2) —^ ^ B ( ^ I , ^ 2 ) • B
6.4 Proposition. Le produit (6.3.2) est associatif, commutatif et a unite, i.e. fait de LB{^I,<J02) une B-algehre commutative. P r e u v e . On dispose de diagrammes essentiellement commutatifs (x,y)H.(y,x)
A>
—
->• Ax A
© (B-r nod)
:
—
-*
A
(D (5-mod)
(J3-mod)
{j = 1,2). Dans © , le carre est rendu commutatif par Tisomorphisme de foncteurs iJj{X)^u)j{Y) —>• U;J(Y)^UJJ{X) . Dans @, par Tisomorphisme B
B
156 u)j{X 0 Y) - ^ ^j{^)
P. D E L I G N E ^ ^j{Y)
. Par definition d'un (8)-foncteur, I'isonior-
B
phisme de foncteurs composes rendant commutatif le bord du diagramme est le meme qu'en ® , une fois identifie c<;(y 0 X ) k LO(X ^ Y) par la commutativite de (g) dans A. Appliquant L( , ) a ce diagramme, on obtient la commutativite de (6.3.2). L'associativite s'obtient de meme. Si {1} est la sous-categorie de A reduite a I'objet unite et a sa fleche identique, on a par definition des (g)-foncteur LOJ{1) - ^ B et LB{(^I | {l},a;2 | {1}) = B . L'unite B —» LB{^I,(J^2) de LB(CC;I,U;2) est definie par 4.10(ii). 6.5. Pour A une categorie a produit tensoriel verifiant (2.1.1) et LOI,LO2 deux 0-foncteurs de A dans les modules sur un schema S, nous noterons H o m f (u;i,a;s>) (resp. Isomf (cji .uj-}.)) le foncteur sur ( S c h / 5 ) qui k u : T -^ S attache I'ensemble des morphismes (resp. isomorphismes) de (8)-foncteurs u*(jJi —^u*(jj2 (2.7). Si a;i et uj2 sont a valeurs dans les modules localement libres de rang fini, ces foncteurs sont representables par un schema afiine sur 5 . D'apres 2.7, si A verifie (2.1.1) et (2.1.2), cette condition est verifiee et Isomf (a;i .LJ^) - ^ Homffu;! ,a;s>). Comme en 1.11, pour uji a valeurs dans les modules sur Si, on pose U9Ekf{^2T^i) ' = H o m f ^ 5 (pr2a;2,pri^i) • De meme pour I s o m . Pour LJi = 102 , on ecrit Endfcj) pour Hom(u;,a;) et Autfu;) pour Isom(ct;,u;). 6.6 P r o p o s i t i o n . Soient A une categorie a produit tensoriel verifiant (2.1.1) et ijJi^uj2 deux ^-foncteurs de A dans ( 5 - m o d ) p t / • Posons S :— Spec(jB). Le schema Spec LB{(^1,(^2) sur S represente le foncteur H o m f (a;2,u;i) . P r e u v e . Soient T — Spec((7) un schema affine sur S : u : T —^ S. Par definition (4.7) un morphisme / de 5-modules de ^^5(^15^2) dans C s'identifie a un systeme fonctoriel de morphismes de 5-modules /^
:LU2{X)—^LJI{X)^C.
La donnee des / ^ equivaut a celle de morphismes C-lineaires
/;
:u;2{X)^C-^cJi{X)^C, B
B
fonctoriels en X , i.e. a un morphisme / ' de foncteurs de u*ij2 dans u^cui . On laisse au lecteur le soin de verifier que pour que / soit un morphisme d'algebres, il faut et il sufiit que / ' soit un morphisme de (g)-foncteurs. 6.7. Soient k un anneau commutatif et Bi et B2 deux A:-algebres commutatives. Soient A une categorie a produit tensoriel verifiant (2.1.1) et
CATEGORIES TANNAKIENNES
157
coj i^j = 1,2) un (g)-foncteur de A dans {Bj-inod)ptf . Par extension des scalaires, LOI (resp. LJ2) definit un (g)-foncteur de A dans {Bi <S} B2-mod)ptf ; k
on le note a;i (g) 1 (resp. 1 0 U2). On a Lk{oji,uj2)
= LB,0B2{^I
0 1,1 0 a ; 2 ) .
D'apres6.6, SpecLk{u)iyUJ2) represente le foncteur Homf^(cj^, c<;i). D'apres 6.5, ce dernier coincide avec Isomf (^^^1,^2) si A verifie (2.1.2). Pour trois Bj et LUJ , la composition des morphismes H o m f (a;3,a;2) x H o m f (0^2,0; 1) —^
Eomf{LU3,L0i)
S2
correspond a un morphisme de fc-algebres c : LkiLJi.ujs)
—> Lk{uJi,uj2) 0
Lk{L02,u;3).
B2
Par definition, le morphisme de Lk{(^iyUJ2) 0 Ljk(ct;2,cJ3)-modules deduit B2
par extension des scalaires (par c) de a;3(X) 0 Lkiui.uJs)
—> iOi{X) 0
B3
Lk{u;i,U3)
Bi
est le compose des morphismes deduits par extension des scalaires de iJ3{X) 0 Ljk(a;2,u;3) —^ LJ2{X) J93
0 Lk{oj2,(-*^3)
et
B2
0J2{X) 0 I/A;(u;i,a;2)
> uJi{X) 0 Ljb(a;i,u;2) .
Ceci revient a la commutativite iOsiX)
^
^ l ( - ^ ) 0 Lk{0Ji,UJ2) Bi
1 u;2(X) 0 Lk{i02,^3) ^2
^ ^ i ( - ^ ) 0 Ljk(a;i,cc;2) 0 I/Jk(u;2,u;3) -^1
B2
et c est done (4.7.4). 6.8 P r e u v e d e 1.12(ii) p o u r S affine. Soient T une categorie tensorielle sur k, B une A:-algebre, S = S p e c ( 5 ) et u un foncteur fibre de T sur S.
158
P. DELIGNE
On fait A = T, Bi = B2 = B, (jJi = UJ2 = i^ , (2.13)(i) permet d'appliquer 6.2. D'apres 6.7, Aut|^(u;) est le spectre de L{uj) — Ljb(u;,u;). L'action de Autf*(a;) sur les u){X) est definie par les morphismes
B
qui definissent L (4.7.3). Par 6.7 encore, la loi de composition du groupoide Aut|^(a;) est definie par la comultiplication de L{u)) et 6.2 equivaut a 1.12(ii). Passons a la preuve de 1.12(i) pour 5 affine. Un point crucial sera le cas particulier du lemme suivant obtenu en faisant 7 = {1,2} et Ti = T2 = T. 6.9 L e m m e . SoH (Ti)i^j une famille finie de categories iannakiennes sur k . Le produit iensoriel sur k ^Ti des 7^, muni du produH iensoriel (5.16), est une categorie tensorielle sur k . Pour k parfait, le resultat a deja ete prouve (5.17). Le Ccis general sera traite en 6.16 - 6.20. Si uji est un foncteur fibre de % sur Bi ^ 0 , le foncteur exact de ILTi dans les (8)B,-modules: (Xi) H^ (8)^j(^t) se factorise par un foncteur Ar-lineaire A;
exact a droite de (g)7i dans les ®S,-module. Etant exact a droite, c'est un foncteur fibre (2.10.1). II resulte done de 6.9 qu'un produit tensoriel de categorie tannakiennes est encore une categories tannakienne. 6.10. Soit T une categorie tannakienne sur k. La categorie abelienne T etant noetherienne (2.13(i)), tout Ind-objet de T est reunion croissante de ses sous-objets dans T . Si cj est un foncteur fibre de T sur un Ar-schema S , on etend w en un 0-foncteur encore note LJ de Ind T dans les modules quasicoherents sur S par a;("lim"Xa) 1-^ limu;(Xcr). Pour X dans lndT^u{X) est plat sur S en tant que limite inductive de modules localement libres. 6.11 L e m m e . Avec les hypotheses et notations de 6,10, si le Ind-objet X est non nul, co{X) est fidelement plat sur S . P r e u v e . Si A^ 7^ 0, il existe Y ^—^ X avec Y dajis T et non nul. D'apres 2.10.1, u){Y) est localement libre partout de rang non nul, done fidelement plat sur S. On a uj{Y) '^-^ u){X) avec un quotient uj{X/Y) plat. La fidele platitude de UJ{X) en resulte.
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159
6.12. Soient C une petite categorie, T une categorie tensorielle sur k et Ti,T2 deux foncteurs de C dans T . A Timitation de 4.7, on se propose de definir un Ind-objet Ar(Ti,T2) de T , muni, pour tout X dans C , de (6.12.1)
T i C X r ®T2(X) ^
Ar(Ti,T2)
tel que pour tout f : X —^Y dans C le diagramme Ti(X)^0T2(y)
(6.12.2)
> Ti(X)^(8)T2(X)
I
I
T,{Yr^T2{Y)
.
Ar(Ti,r2)
soit commutatif, et universel pour ces proprietes. Pour C finie, A est simplement un quotient convenable de la somme des Ti(X)^ 0T2(X) (X dans C), et est dans T . Dans le ca,s general, on ecrit C comme limite inductive filtrante de ses sous-categories finies Ca , et on pose Ar(Ti,T2):="lim"Ar(Ti|Ca,T2|a). Soient Ti et T2 deux categories tensorielles sur k telles que le produit tensoriel surfcT := Ti 0 T2 existe et soit une categorie tensorielle sur k . Soit injj rinjection de 7} dans T : inji : X 1—^ X 0 1, inJ2 : X H-> 1 0 X . Pour Tj un foncteur de C dans Tj , on pose Aik(Ti,T2):=Ar(injiTi,inJ2T2). Soient Bi et B2 des A?-algebres commutatives et UJJ un foncteur fibre de Tj sur Bj . Le foncteur (X, Y) 1-^ u;i(X) 0 ^2{y) est un foncteur exact en k
chaque variable de Ti x T2 dans les Bi (g) 52-modules. Par definition du A;
produit tensoriel Ti 0 72 , il se factorise uniquement par un foncteur exact a droite u; : Ti 0 T2 —^ (Bi 0 B2 - modules). k
Ce foncteur est un 0-foncteur. Etant exact a droite, il est un foncteur fibre (2.10.1). On a (6.12.3)
u;A,(Ti,T2) = L,(u;iTi,u;2T2).
Faisons C = Ti = T2 = T et prenons pour Ti le foncteur identique de T dans T . Obtient un ind-objet A := Ajk(Idr,Idr) de T 0 T . D'apres
160
P. DELIGNE
6.12.3, quels que soient les foncteurs fibres ui et a;2 de T sur Bi et B2 , on a (6.12.4)
uA = Lk{iOi,uj2).
6.13 Lemme. A := Ajk(Id7',Idr) est non nui Preuve. Soit T le foncteur exact a droite de T (g) T dans T tel que T{X (^Y) = X<^Y . On a A;
TArr Ar(Idr,Idr). Les morphismes d'evaluation X"" ^X
—^1
rendent commutatifs les diagrammes X"" ^Y
. X^OX
Y"" ^Y
.
1
pour / : y ^ X et definissent e : ArildrMr) -^ 1 • Pour X = 1, (6.12.1) est un morphisme de 1 = 1^ 0 1 dans A7-(Idr,Idr)- Le compose 1 = 1^ 0 1 — . A r ( I d r , Idr) —> 1 est I'identite. On a done A7-(Idr, I d r ) 7^ 0 . A fortiori, A ^i^ 0 . 6.14 Preuve de 1.12(i) pour 5 affine. Posons 5 = Spec(B). Avec les notations de 6.7, il s'agit de montrer que si rj un foncteur fibre de T sur S, Lk{rj, rj) est fidelement plat sur B <^ B . Par 6.12.4 pour uji = UJ2 := rj, k
c'est une consequence de 6.11 et 6.13. La meme preuve donne, directement plutot que via la reduction 1.13, que pour uji et 0^2 des foncteurs fibres sur Si et 52 , Isomj^(c<;i .m^) est fidelement plat sur Si X S2 ' 6.15 Preuve de 1.12(iii) pour S affine. Soit G un groupoide agissant transitivement sur 5 ^ 0 et affine sur S x S. Soit u le foncteur fibre
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161
"oubli de Tactioii de G" de Rep(5 : G) sur 5 . II s'agit de prouver que G -^ Autjk(a;). Les deux membres etant des groupoides transitifs, il suffit de le prouver apres passage a une fibre. Pour 5i —» 5 , 5i / 0, Gi le groupoide induit et wi le foncteur fibre oubli de Rep(5i : Gi) sur 5i , on a Rep(5' : G) - ^ Rep(S'i : Gi) (3.5.1) et le groupoide induit par Autjb(a;) sur 5i est done Aut^(a;i). Prenant pour Si un point de 5 , ceci ramene a supposer que 5*1 est le spectre d'un corps. II ne reste qu'a appliquer 4.13. Compte tenu de 1.13(b), ceci termine la preuve de 1.12. 6.16 Preuve de 6.9. Soit T une categorie tensorielle sur k. Pour X dans T , la categorie tensorielle {X)<^ engendree par X est la sous-categorie pleine de T d'objets les sous-quotients des sommes de X ^ " 0 ^v<8)m Q^ dit que T est de (^-generation finie s'il existe X dans T tel que T = {X)<^ . II est clair que T est reunion filtrante de ses sous-categories (X)^ et, par passage a la limite inductive (5.1), il suffit de prouver 6.9 lorsque les % sont de 0-generation finie. L'assertion resulte de 5.21 et du lemme suivant 6.17 L e m m e . Si T est une categorie tannaktenne sur k de ^-generation finie, il existe un foncteur fibre u de T sur S spectre d^une extension finie de k tel que Autf,{u) soit fidelement plat surSxS (d'ou, par L12(ii) prouve en 6.8, r -^ Rep(5 : Aut^(a;))) Soient T comme en 6.17 et u) un foncteur fibre sur 5 = Spec(5) :^ 0. 6.18 Lemme. Le groupoide G := Autj^.(u;) agissant sur S est une limite projective de groupoides Gn (fi > 0) affines et de presentation finie sur S X S, avec Gm sous-schema ferme de Gn pour m> n . Preuve. Pour V un faisceau localement libre de rang fini sur S, soit Endjt(V') (resp. Autj^(V)) le foncteur qui a T sur g x S : (pi,p2) :T^ SxS attache I'ensemble des morphismes (resp. isomorphismes) P2V -^ flV . Le foncteur est representable par un schema aflSne sur S x S encore note End^(F) (resp. Aut^(F)). Si V est libre, le choix d'une base e i , . . . ,e„ de V identifie Autj^(V) au fibre trivial sur 5 x 5 de fibre GL„ . La composition des isomorphismes fait de Autj^(V) un groupoide agissant sur S. Pour V libre muni d'une base, c'est le produit du groupoide S x S agissant sur S et du groupe GLn . Pour Y dans T , soit Autj^.(u; | {¥)) le foncteur qui a T sur SxS : {pi,P2) • T —^ S attache Tensemble des isomorphismes de foncteurs pl(uj \ (Y)) - ^ PI{LJ I ( y ) ) . L'apphcation de Aut^(a;|(y))(r) dans Autfc(a;(y))(T) est injective. Son image est Tensemble des isomorphismes g : pluj{Y) -^ P2^(y)
162
P. DELIGNE
tels que pour tout Z C V , eg : plu^iV) = plio{Y) ^ ^ P2^{Y'') = P2^(y)" respecte les sous-modules p*(jj{Z). En efFet, pour tout sousquotient Q = Z1/Z2 de y " , un tel g induit un isomorphisme g^ entre les p*(jj{Q) = p*Lj{Zi)/p*uj{Z2), et un argument de graphe montre que ces g^ commutent aux u;{f), pour / un morphisme entre sous-quotients de y " . Cette description montre que PiOj{Q) = PiU(Zi)/p^u{Z2). Pour Q' un sous-quotient Z[/Z'2 de Y"^ , et f : Q -^ Q\\e graphe r ( / ) C Q x Q' de f k une image inverse r ( / ) C cy^^^ respectee par 0 g. On a done ^(f)9Q — dqi^if) ^^ 9 s^ prolonge en le morphisme de foncteurs (S'Q). Cette description montre que Autj^fg; | (y)) est represente par un sousschema ferme - encore note Autj^{u \ (y)) de Autj^(a;(y)). Si P est un generateur projectif de ( y ) , Autfc(a; | ly)){T) s'identifie encore a I'ensemble des isomorphismes g : p\uj{P) -^ P2^(P) qui commutent a Taction de End(P). Ceci montre que Autfc(a; | (y)) est le sous-schema de Autj^(a;(P)) defini par un nombre fini d'equations. C'est aussi le sousschema de PiMJ^juiY)) defini par un nombre fini d'equations: si P est le sous-quotient Z1IZ2 de y " , il s'agit de respecter les (jj{Zi) C uj{YY , la structure de EndP-module de u}{P) — u{Zi)/u(Z2) et a;(/) pour / un epimorphisme P^ —^ Y . Soit X un 0-generateur de T . Quitte a remplager X par X 0 l 0 X ^ , on pent supposer, et on suppose, que 1 et X"^ sont dans {X) . Les T(X, n) := (X®") forment alors une suite croissante de sous-categories de T de reunion T . Soit Gn le foncteur qui a (pi,P2) '- T -^ S x S attache Tensemble des isomorphismes g de p\uj \ T{X, n) avec p^uj \ T(X, n) qui respectent les isomorphismes UJ{Y 0 ^ ) —>• Ct;(y) 0 ^{Z) pour Y dans T{X,i) et Z dans T{X,j) avec i -\- j < n. II suffit pour cela que g commute aux images inverses par les pi des isomorphismes Lo{<S>X) —> 0 u ; ( X )
pour m < n. On en deduit que G„ est represente par un sous-schema ferme de Autj^(a;(X)) defini par un nombre fini d'equations. Le groupoide G s'identifie a I'intersection des sous-groupoides G„ de Autj^{ij{X)) et 6.18 en resulte. 6.19 Proposition. Sous les hypotheses de 6.18, avec B un corps, G est fidelement plat de presentation finie sur S x S. Preuve. Avec les notations de 6.18, soient G^ (resp. G^) la restriction de G (resp. Gn) a la diagonale S*^^SxSdeSxS. C'est un schema en groupe sur S. Puisque S est noetherien, G^ = G^ pour n > UQ .
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Ecrivons B comme limite inductive filtrante de Ar-sous-algebres de type fini Ba et soit Sa '= Spec{Ba) • Fixons n. Puisque Gn est de presentation finie sur 5 x 5 , des arguments standard montrent que pour a assez grand, Gfi provient d'un groupoYde de presentation finie On,a agissant sur Sa . Puisque Ba C B, Sa est integre. Rempla^ant Sa par un ouvert affine dense, on pent supposer que les deux projections p,- : Gn,a -^ Sa sont plates et que la restriction G^^ de Gn,a a la diagonale est plate sur Sa • Sous ces hypotheses, le quotient au sens des faisceaux fppf Sa/Gn,a est representable par un espace algebrique Qa •* on dispose d'un morphisme fidelement plat Sa -^ Qa, egahsant la double fleche Gn,a =tSa , et le morphisme Gn,a —> 5^ x 5a est fidelement plat (3.11). Qof
Un espace algebrique admet toujours un ouvert non vide qui est un schema affine. Remplagant Sa par Timage inverse d'un tel ouvert, on obtient une situation ou Qa = Sa/Gn,a est un schema affine. On a le diagramme G ^
^ Gn
^ Gn,a
% Oa
^ ^a •
Pour / rimage inverse sur 5 d'un element de r ( Q a , O ) , les deux images inverses de / sur G coincident. D'apres (2.1.4), on a / G A: et Qa = Spec(Ar). On conclut que Gfi a est fidelement plat sur Sa x Sa > done Gn fidelement plat sur S X S. Pour m > n > no , le morphisme de groupoides agissant transitivement sur 5 : Gm -^ Gn induit un isomorphisme G^ -^ G^ . C'est done un isomorphisme (3.5.2) et G = Gn pour n > no , en particulier G est fidelement plat de presentation finie sur S x S. 6.20 Corollaire. Si T admei un ^-generateur et admet un foncteur fibre uf sur S = Spec{B) ^ 0 , alors T admet un foncteur fibre sur une extension finie convenable k' de k. Preuve. Soit 5 G 5 , de corps residuel K. Par extension des scalaires, u fournit un foncteur fibre sur K. On pent done supposer, et on suppose, que B est un corps. Ecrivons B comme limite inductive de sous-algebres Ba de type fini sur k. D'apres 6.19, le groupoi'de G agissant sur 5 des automorphismes de u; est de presentation finie. II provient d'un groupoi'de de presentation finie Ga sur un Sa - Puisque G est fidelement plat sur
164
P. DELIGNE
5 x 5 , pour /? assez grand, le groupoide Gp agissant sur 5/? induit par G^ est fidelement plat sur Sp x S/3{EGA). Le changement de base de 5/? a 5 est alors une equivalence: Rep(5/3 : Gp) —^ Rep(5 : G) (3.5.1). On deduit done de uj un foncteur fibre u^ sur Sp . La fibre de cj/? en un point ferme de 5/? est le foncteur fibre voulu. Le lemme 6.17 resulte de 6.19 et 6.20. Par 6.16, ceci termine la preuve de 6.9, et celle du theoreme principal 1.12. 6.21 P r e u v e de 5.18. Soient Si, G j , 5 et G comme en 5.18. Soit Gis le groupoide agissant sur 5 induit par Gi. On a Rep(5,- : Gi) ^ ^ Rep(5 : Gis) et G est le produit (sur S x S) des Gis • H s'agit done de prouver que le produit tensoriel sur 5 : (6.21.1)
n Rep(5 : Gis) —^ Rep(5 : G)
fait de la categorie but le produit tensoriel des categories sources. Changeons de notations et soient Gi des Ar-groupoides agissant transitivement sur 5 , de produit G. Soit T le produit tensoriel des 7^ :=: Rep(5i : Gi). Le produit tensoriel sur 5 des foncteurs fibres Ui "oubli de Taction de Gj " est un foncteur exact en chaque variable XIT^ —^ (modules sur 5). II se factorise par un foncteur fibre u; de T sur 5 . On a (1.12(ii)) T - ^ Rep(5 : Autk{uj)) et le morphisme defini par transport de structures G = U Gi = 11 Autu(iJi) —^ Auti.(a;) donne lieu a un SxS
SxS
7^^ ^
diagramme essentiellement commutatif T - \
*^^ ^
^ Rep(5 : G) /
R e p ( 5 : AutA;(u;)) . II reste a prouver que le morphisme (6.21.2)
^ = n
Autfc(a;,) —^ Autj^fa;)
SxS
est un isomorphisme. On dispose de 0-foncteurs injj = % —^ T : X ^-^ produit tensoriel de X avec les 1 G Ob 7} (j 7^ i). II definissent des morphismes Autj^fo;) —^ Aut;j.(u;f), de produit une retraction de (6.21.2). Cette retraction est injective, car tout objet de T est sous-quotient d'un 0injj(Xi) = ^Xi. Le morphisme (6.21.2) est done un isomorphisme.
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7. Caracterisation interne des categories tannakiennes (caracteristique 0) Notre but dans ce paragraphe est de prouver le theoreme suivant 7.1 Theoreme. SoHT une categoric tcnsoricUc (1.2, 2.1) sur k dc caracteristiquc 0 . Lcs condition suivantes sont equivalentes (i) T est tannakienne (2.8). (ii) Pour tout X dans T , dimX est un entier > 0 . n
(iii) Pour tout X dans T, il existe un entier n >0 tel que AX = 0 . Rappelons la definition de dim X . Pour tout morphisme f : X -^Y soit 6{f) : 1 -> y 0 X le compose (l^v ^ f) o 6 : I-^ X"" ^ X -^ X"" (^Y = y 0 X^ . Pour X = y , on pose Tr(/) := ev o 8{f) G End(l) = k , et dimX := Tr(lxJ = ew o 6 . La puissance exterieure AX est Timage de Tantisymetrisation a = J2(—iy^^^a : <S>X —> 0 X . En caracteristique 0, c'est aussi Timage du projecteur a/n\, et (7.1.1)
dimAX = Tr(a/n!) = Tr(a)/n! .
Montrons que cette dimension est donnee par la formule habituelle (7.1.2) d i m A X = r^^';;^) : = ( d i m X ) ( d i m X - l ) - . . ( d i m X - n + l ) / n ! .
7.2 Lemme. Soient n un entier > 1, Xj (i G 7j/{n)) dans T, et des morphismes Ui : Xi —^ Xi^i . II definissent un endomorphisme ^Ui du produit tensoriel des Xi . La trace de cet endomorphisme coincide avec celle du compose des Ui :
(7.2.1)
Tr(0i/i) = Tr(tin o • • • o tii).
P r e u v e . Pour le compose de deux morphismes X —y Y —^ Z, 6(vu) est le compose d{v)®d{u)
1
ev
y Z^Y""
<^Y ^ X^
> Z®X^
.
166
P. DELIGNE
Iterant, on obtient que 6(w„ o - - - o ui) est le compose <5(un)(8)-<8)5(tii)
1
^
^^
^ Xi^X^^Xn^X^.i
^^
• • -^XsOXi^
ev(Xn)0-0ev(X2)
y Xi^X^
et la trace de Un - • - ui est le compose Tr(w„ ..-til) = ®ew{Xi) o iS)6{ui). n
La trace de (8)t/j est donnee par la meme formule et 7.2 en resulte. Prouvons (7.1.2). Si a E Qn est une permutation cyclique, 7.2 applique k Xi = X yUi = Idx donne Tr(^ , 0 X ) r= dim(X). Pour <7 une permutation ayant Ar cycles, on en deduit TT{(T , d x ) = dim(X)^ et (7.1.1) prouve Texistence d'un polynome universel P E Q[^] tel que n
dim AX = P ( d i m X ) . Prenant pour T la categorie des espaces vectoriels sur A:, on trouve que pour tout entier c? > 0,
On a done P{T) = ^ ^ ^ et (7.1.2) en resulte. 7.3 Lemme. Si T verifie 7.1(ii) et que X dans T est de dimension 0, alors X = 0 . Preuve. Si X :^ 0, Tapplication identique de X est non nuUe et 6 : 1 -^ X (g) X^ est non nul, done injectif (c/ 2.9). On a dim(X (g) X^) = dimX. dimX^ = 0 et dim coker(6) = dim(X 0 X^) — dim 1 = — 1: contradiction. 7.4 Preuve de 7.1: (ii) =:^ (iii). Si dimX est un entier n > 0, (7.1.2) n+l
n+1
donne dim A X = 0, done par 7.3 A X = 0.
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P r e u v e de 7.1: (iii) ==> (ii). Si AX = 0, on a dim AX = 0 et (7.1.2) montre que dim X est un entier entre 0 et n — 1. II est clair que (i) = > (ii)(iii). il reste a montrer que si T verifie (ii) et (iii), alors T est tannakienne. La preuve sera donnee en 7.18. 7.5. Dans les n^ 7.5 a 7.12, nous allons montrer comment on pent imiter, dans une categorie tensorielle quelconque T , des rudiments d'algebre commutative et de geometrie algebrique. Nous n'exigeons pas que k soit de caracteristique 0. Soit I n d T la categorie des Ind-objets de T (SGA4I8.2). Une definition est: un objet est un systeme inductif filtrant X,-, et les fleches sont definies par Hom((XO,(yi)) = HmlimHom(Xi,yj). « i Le systeme inductif filtrant (X,), vu comme objet deind T, est note "lim" Xi. Une definition equivalente: la categorie des foncteurs T —> (Ens), limites inductives filtrantes de foncteurs representables. Au systeme inductif (Xj), associer la limite inductive des foncteurs hx, - Parce que T est une categorie abelienne, Ind(T) Test aussi. Le produit tensoriel dans T en definit un dans I n d T , encore exact, associatif et commutatif. Un anneau (a unite) A de I n d T est un objet A de I n d T muni d'un produit A<^A-^ A associatif et admettant une "unite" I -^ A (un morphisme u tels que les composes A = =
10 A
> A(S)A
A®1
^ A(S>A
^A
et
soient I'identite). On definit de fagon evidente les ^-modules a gauche et a droite, le produit tensoriel sur A , la commutativite de A. Par exemple: un A-module a gauche M est un objet de I n d T muni d'un produit A<S> M ^^ M rendant commutatif le diagramme •(g)M
A<S>A<S>M
y A(S) M
1
A®
A^
M
>
M
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P. DELIGNE
et tel que le compose M z =
1(8) M
> A^M
soit I'identite. On a M 0 TV = coker(M ^ A^
yM N = 4 M ^ N).
Pour A
A
commutatif, la categorie des yl-modules, munie du produit tensoriel sur A , verifie 2.1.1. L'objet unite est le A-module A, encore note \A 7.6 Exemple. (i) L'objet 0 admet une unique structure d'anneau. Tout module sur cet anneau est nul. (ii) L'objet unite 1, muni du morphisme structural 1 0 1 —» 1 et de ridentite 1 ^- 1 est un anneau. Un objet de Ind(T) admet exactement une structure de module sur cet anneau. L'anneau 1 (resp. 0) est initial (resp. final) dans la categorie des anneaux de Ind(T). 7.7. Soient f : A—^ B un morphisme d'anneaux commutatifs de Ind(T). On dit que B est plat (resp. fidelemeni plat) sur A si le foncteur (A-modules) -^ (5-modules) : M — i >• 5 0 M est exact (resp. exact et fidele). Le formaA
lisme de la descente fidelement plate des modules (SGA 1XIII1) s'applique tel quel: si B est fidelement plat sur A, le foncteur M h-^ B <S> M est A
une equivalence de la categorie des yl-modules avec celle de 5-modules N munis d'une donnee de descente (un isomorphisme (B <S> B) <S> N A
N <S) {B <S> B) verifiant la condition de cocycle usuelle). B
>
B
La preuve de
A
SGA 1 VIII1 s'applique, ou on pent se ramener au theoreme de Barr-Beck (4.1) comme en 4.2. Si ^ :^ 0, le morphisme unite 1 —^ A est non nul, done un monomorphisme (cf 2.9). Le tensorisant avec un Ind-objet M , on obtient un monomorphisme M "-^ A ^ M . S i A ^ ^ O j O n a done A 0 M / 0. Le produit tensoriel dans Ind T coincide avec le produit tensoriel de modules sur 1'anneau 1. Le foncteur My-^A^M = A<S>M est done exact et fidele. Si 1
A :^ 0, A est done fidelement plat sur 1. 7.8. Pour disposer d'un langage plus geometrique, on appelle categorie des schemas affines en T I'opposee de celle des anneaux commutatifs a unite de Ind(T). On dira aussi: T-schema affine. On note Sp(yl) le T-schema affine defini par A. Les produits fibres existent: ils correspondent au produit tensoriel. Les sommes disjointes finies existent: elles correspondent aux produits.
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Soit S un T-schema affine. Un S-schema affine est un T-schema affine X , muni de a : X —^ S. Un S-schema en groupes affines est un objet en groupes de la categorie (T-schemas afRnes/5) des T-schemas affines sur S . On appelle schema vide (resp. point note (P^)) le schema initial (resp. final) Sp(0) (resp. Sp(l)). On dit que S = Sp{A) est non vide si A ^ 0. Puisque (P^) est final, il n'y a pas lieu de distinguer entre (P*)-schemas affines et T-schemas affines, ni entre (P*)-schemas en groupes affines et objets en groupes de la categorie des T-schemas affines, i.e. algebres de Hopf commutatives a antipode de Ind(T). Pour abreger, nous dirons simplement S-groupe pour 5-schema en groupes affines et T-groupe pour (P*)-schema en groupes affines. On dit que T — Sp(J5) est fidelement plat sur S — Sp(A) si B est fidelement plat sur A. On dit que des Si —^ S (i G / ) couvrent S s'il existe T fidelement plat sur S, une partie finie J de 7 et un diagramme commutatif T ^\[Si
\ y Ceci definit une topologie sur la categorie des T-schemas affines. L'adjectif "localemenf referera a cette topologie. Exemple. Si le T-schema S est non vide, il est fidelement plat sur le point. Comme en theorie des schemas, il est sou vent commode de deer ire un Sschema affine X en terme du foncteur representable T/S — i > Hom5(T, X) correspondant. Ce foncteur est un faisceau pour la topologie fidelement plate. On appelera Hom5(T,X) Tensemble des T-points de X. Comme d'habitude, se donner une structure de 5-groupe sur X revient a se donner une structure fonctorielle de groupe sur Tensemble de ses T-points, pour tout T/S. Cas particulier S = (P^): I'ensemble X(T) des T-points de X est Hom(T,X). Si 5 = Sp(A), un A-module M sera encore appele un module sur S. Le produit tensoriel est le produit tensoriel sur A. II verifie (2.1.1). On ecrit I5 pour 1A (le A-module unite A). Les categories de modules forment une categorie fibree sur celle des T-schemas affine. Pour Sp(5) au-dessus de Sp(A), rimage inverse de M sur Sp{A) est B^M sur Sp{B). Le formalisme A
de la descente fidelement plate pour les schemas affines s'applique.
170
P. DELIGNE
Pour M dans Ind(T), posons T{M) := H o m ( l , M ) . Pour M un module sur S = Sp(A), on a r ( M ) = Hom(l, A) ^ ^ Hom^(lA,M) et on appelle encore T{M) les sections globales de M sur 5 . Prendre garde que le foncteur T pent ne pas etre exact. 7.9 Exemple: V{M).
Soit M un module sur S — S p ( ^ ) . La puissance n
symeirique Sym^(M) est le plus grand quotient de 0 M sur lequel le groupe A
symetrique Sn agisse trivialement. L' algebre symeirique Sym^(M) est la somme des Sym^M (n > 0). Pour toute A-algebre commutative 5 , on a HomA-aig(Sym;;:iM, B) - ^ HomA(M, B). Pour tout T = Sp(5) au-dessus de S, soit MT deduit de M par changement de base. Le foncteur T \-^ Hom(Mx, I T ) ^st represent able, represente par V{M) := Sp(Sym;;iM): on a EoniBiB ^M,B)-^
EomA{M,B)
^^
EomA^^.\g{Sym*^M, B).
Le foncteur T H-> Hom(MT,lT) est un foncteur en groupes et V{M) est done un 5-groupe. 7.10 Exemple: fibres vecioriels. Si M sur 5 = Sp(A) admet un dual M^ (2.2 pour M la categorie des A-modules), tout facteur direct de M en admet un egalement et, pour T sur S, {M^)T est encore un dual de MT • En particulier, si M est facteur direct d'un A (^ X avec X dans T , M admet un dual. Si M et iV admettent un dual, on dispose (2.4) de u^—^^u: HomA(M, N) -^
EomA{N'', M"").
Pour A^ = 1^ , on trouve en appliquant 7.9 que le foncteur qui a T sur S attache Tensemble des sections globales sur T de MT est representable, represente par V{M^): T{MT)
= HomT(lT,^^T) = H o m T ( M r , l T ) .
On appellera encore le T-schema V{M^) le fibre vectoriel M . Pour S = (P*), et pour M dans T , on appellera de meme Sp(Sym*(M^)) le
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T-schema vecioriel M . Cette terminologie est parallele a celle qui identifie un espace vectoriel V de dimension finie sur k et le schema Spec Sym*(F^) ayant meme Ar-points. 7.11 Exemple: k-schemas et T-schemas, Ga ,Gy„. Si T : 7i —> 72 est un (S)-foncteur entre categories tensorielles sur k, il s'etend en un (E)-foncteur encore note T : Ind Ti —• Ind 72 . Ce dernier transforme anneaux de Ind Ti en anneaux de IndT2, et Ti-schemas afRnes en T2-schemas affines. Prenons pour 72 une categorie tensorielle T , pour 7i la categorie des multiples de 1, identifiee a celle des ^-vectoriels de dimension finie (2.9) et pour T I'inclusion de Ti dans T . On trouve qu'un schema affine sur k definit un T-schema afRne. La droite afBne sur k definit ainsi le schema vectoriel 1, qu'on notera A^; son image inverse sur S = Sp(^) est le fibre vectoriel I5 , qu'on notera A\ . On a A\ — Sp(Sym^(l^)) et Sym^(l^) = 0 A = A[X]. L'ensemble Hom5(5, A i ) des sections de A\ est T{A) . On n>0
notera 1 la section unite. De meme, le fc-schema G ^ definit le T-schema qui represente le foncteur S = Sp(A) H^ V{AY . 7.12 Exemple: espace homogene sous un vectoriel Soit dans T une suite exacte 0 — ^ M -^E-^l—^0 . Soit ^v : 1 -^ E^ le transpose de t;. Le morphisme v definit un morphisme de T-schemas vectoriels E —^ A^ . Soit P le T-schema image inverse du point 1. C'est le produit fibre P
1 i.e. le Sp du produit tensoriel Sym*{E^^)
y E
1 0
1. Les fleches sont Sym*(1) =
sym*(l)
0 1 - ^ 1 : coordonnees Tidentite et Sym*(l) —^ Sym*E'^ : en degre 1, *i;. n>0
Le produit tensoriel est la limite inductive des Sym"(£'^), avec pour morphismes de transition la multiplication par ^v: P = Sp(limSym"(^^)).
172
P. DELIGNE
Supposons k de caracteristique 0 . La puissance symetrique Sym'^X de n
X dans T est alors le facteur direct de 0 X defini par le projection s/n\, avec s = ^ ( 7 ((T G «Sn). Si Xi C A', le produit tensoriel des filtrations n
0 C Xi C X est une filtration sur <S>X . Parce que le produit tensoriel est n
exact, le gradue associe est (g)(Xi0X/Xi). Passant au facteur direct definit par s/n\, on obtient une filtration de Sym'^(X), de quotients successifs les Sym^(Xi) 0 S y m " - ^ ( X / X i ) . Dans le cas de la suite exacte
0 — , l J ^ E ' ' - ^ M ' ' —^ 0 , on obtient une filtration croissante F de Sym^{E^) les Sym"(M^). On a Fp := Sym^(F^) (p < n ) : 0 c 1 = Sym°(F^) ^E""
= Sym^E'')
de quotients successifs
^ Sym^E'')
c-> . . . - . Sym'^(F^).
7.13. Soit P une propriete de modules, stable par changements de bases. En accord avec 7.8, on dira qu'un module M sur S verifie P localemeni s'il existe des Si —^ S'couvrant M tel que les Mi sur Si deduits de M par changement de base verifient P. La propriete P est dite locale si elle est vraie des que localement vraie. Exemple: la propriete d'admettre un dual est locale. 7.14 Lemme. Supposons k de caracierisiique 0 et soit 0 -^ M —^ E —^ A^ —>• 0 une suite exacte dans T. Localemeni, cette suite est sctndable. Preuve. Supposons tout d'abord que A'^ = 1. Soit P comme en 7.12. Parce que k est de caracteristique 0 , les calculs 7.12 donnent P ^ ^. Le T-schema P est done fidelement plat sur le point. Apres changement de base a P , il existe par definition une section globale de Ep de projection sur Np = Ip la section un. Une telle section globale n'est pas autre chose qu'un scindage de la suite exact 0 —^ Mp —^ Ep —^ Ip —> 0 de modules sur P. Passons au cas general. Prenons I'image inverse de I'extension 0 —» Hom(iV, M) -^ Hom(iV, E) -^ EomjN. TV) -> 0 par 6 : 1 -^ Hom(A^, N). II revient au meme de scinder (M, E, N) ou cette nouvelle extension; ceci nous ramene au cas deja traite.
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Si un module M sur S = Sp{A) admet un dual, sa dimension dim^(M) G T(A) est definie comme le compose ev o ^ : 1^ —>- M^ 0 M ^ ' 1^ . 7.15 L e m m e . SoU M un module sur S = Sp{A). On suppose que k est de caracteristique 0, que A^^, que M est facieur direct d'un A-module A(Sf X (X dans T) et que dim^ M est un entier d > 0. Alors, M admet iocalement une decomposition M = Ig ^ N . Preuve. La donnee d'une decomposition M = Is ^ N equivaut a celle de morphismes I5 —y M —^ I5 avec vu = I. Soit F le foncteur qui a T sur S attache I'ensemble des paires v,u : IT —^ MT —>• I T avec vu = I. Nous allons montrer que F est representable, represente par un T-schema affine Sp(J5) sur S p ( ^ ) , et que B est fidelement plat sur A . Le foncteur des paires v,u : I T —^ MT —^ I T est represente par le fibre vectoriel M x M^ sur S. La composition {u,v) —^ vu est un morphisme de foncteur, definissant un morphisme de T-schemas c : M x M^ —> ^4^ . Le foncteur F est represente par le produit fibre Sp(jB)
> M X M""
"1"
Calculous B. "1"
1
'
A\.
On a A^ = SpSym;;^(lA), Sym;;i(lA) = A[T] = <S>Aet r
1
^^
S —> At est T ^ 1 : A[T] —^ A i.e. I'identite en chaque degre: 0 A -^ A. 0
On a M X M^ = Sp(Sym^(M^) (g) SymJ^(M)) et la composante de degre un, A, de Sym^(l^) s'envoie dans M^ (g) M , la fleche est S. Le produit A
tensoriel B est le plus grand anneau quotient de Sym^(M^) 0 Sym^(M) A
dans lequel les fleches unite et S : A ^f- M^ 0 M sont egalisees. C'est
(7.15.1)
5 = 0 ! ™ Sym^M^ ® Sym'/^M , pez
n
^
les fleches de transition dans la limite inductive etant la multiplication par (5. La puissance symetrique Sym^M est plate sur A: si M est facteur direct de ^4 (g) X , c'est un facteur direct du A-module plat A 0 Sym"X =
174
P. DELIGNE
Sym^(A 0 X ) . La formule (7.15.1) montre done que, comme A-module, B est somme de limites inductives filtrantes de modules plats sur A. Pour conclure, nous allons montrer que le morphisme A -^ B admet une retraction ^-lineaire. II suffit pour cela de construire un systeme de morphismes r„ : Sym^M^ 0 Sym^JM —^ A A
avec Tj, = Id, rendant commutatif les diagrammes Sym^JM^ ® Sym'XM — ^
Sym^+^M^ ® Sym^+^M
A . Parce qu'on est en caracteristique 0, la puissance symetrique Symi^ est le facteur direct de <S> defini par le projecteur s/n\ (c/5.12) et la dualite A n
n
A
A
entre (g)M^ et 0 M induit une dualite entre Sym^M^ et S y m ^ M . On prend (7.15.3)
r„ : ev/ dimA Sym^M
ou dim^ Sym"M = c / ( c / + l ) - - ( d + n - l)/n! (c/7.1). 7.16 Lemme. Pour r„ donne par (7.15.3), les diagrammes (7.15.2) commuieni. P r e u v e . La multiplication par 6 de (7.15.2) se deduit de I'operation anan
logue dans (g) par symetrisation: SymJM^(g)Sym^M — ^
Sym^+^M^ 0 Sym^+^M
1
hl{n n+1 A
A
A
^,
+ l)!<8)5/(n+l)!
n+1 A
On a ev o {s/(n + 1)! 0 s/{n + 1)!) = ev o (1 0 ^/(n + 1)!) • Developpons en (T G «Sn+i . Le terme relatif a (T ne depend que de si (j{n + 1) = n -f 1 ou
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non. On obtient ev o ((5. ) = H
7(^v, 6).ev
(termes ou a{n + 1) = n + 1)
n -ev n -f 1 d-^ n
. . (autres termes)
-T^V ,
=
n -f 1 d'ou 7.16. 7.16.1 Remarque. Dans la categorie tensorielle sur k des super espaces vectoriels de dimension finie (1.4) un espace vectoriel V purement impair n'admet pa^ localement 1 pour facteur direct. Le lecteur verifiera que dans ce cas le foncteur F de la preuve de 7.15 est le foncteur vide. 7.17 Proposition. Sous les hypotheses (n)(in) de lA, tout X dans T est localement isomorphe a 1*^^"^^ . P r e u v e . Soit d = d i m X . Appliquant 7.15 de fa^on iteree, on obtient ^ :^ 0 et un isomorphisme de A-modules entre A (S) X et un A-module 1^ 0 AT. On a pour les A-modules
A{U^V)=
0
AC/0A1/ . A
A
p+qzzn d
Pour n = d4- 1, on a Al^ = l^i et AT est done facteur direct de d+l
J
d-\-l
d-\-l
A ( 1 ^ e AT) -
A (A 0 X) = A 0 A X 13 0 .
A
A
On a done AT = 0, ce qui prouve 7.17. 7.18 P r e u v e de 7.1 (fin). Appliquant 7.14 et 7.17 transfiniment, on obtient un anneau commutatif ^ ^ 0 de Ind T tel que (7.19.1) Pour tout X dans T , les ^-modules A 0 X et A^'"^ ^ sont isomorphes; (7.19.2) Pour toute suite exacte courte dans T , la suite exacte courte de A-modules qui s'en deduit par extension des scalaires est scindable. Le foncteur X i-» V{A 0 X) est alors un foncteur fibre sur T{A).
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P. D E L I G N E 8. L e g r o u p e f o n d a m e n t a l d ' u n e c a t e g o r i e t e n s o r i e l l e
8.1. Dans ce paragraphe, nos resultats essentiels supposent que T est une categorie tensorielle sur k verifiant la condition de finitude (2.12.1): objets de longueur finie et Horn de dimension finie, et que T <S>T est encore une categorie tensorielle sur k. Cette derniere condition est verifiee pour k parfait (5.17) ou pour T tannakienne (6.9). J'ignore si elle est toujours verifiee. L'idee essentielle est qu'on pent paraphraser certains des arguments et des resultats du paragraphe 6, pour u le foncteur identique de T dans T . Dans la categorie but le role essentiel est joue par les H o m ( X , Y), et le foncteur identique est a interpreter comme attachant X a X , et comme definissant Hom(X, y ) — ^ Hom(X, Y) pour XjY dans T . A gauche, H o m ( X , y ) est un Ar-espace vectoriel de dimension finie, interprete comme un objet de T ( c / 2 . 9 et 7.11). 8.2. Soient k un corps commutatif, T une categorie tensorielle sur k, A une /:-algebre de rang fini, (A)coh ^^ categorie des A-modules a droite de type fini et ^^M un objet de T muni d'une structure de A-module a gauche. II definit un foncteur
A
La categorie {A)coh ^ T est la categorie ( T — A) des objets de T munis k
d'une structure de A-module a droite (5.11). Le foncteur UJ:(7
-A)
— > 7 :E —y E ^
AM
A
est exact a droite; il correspond au foncteur (^)coh X T —^ T : ^ , r h - ^ ( E (8) A M ) 0 T A
de (^)coh X T dans T . Soit M\ le dual (au sens de T ) de ^ M . On le munit de la structure de A-module a droite transposee de la structure de A-module de ^ M . Le morphisme d'evaluation: M\®AM —> 1 se factorise par ev^i : M\®AM —> A
1 et le morphisme 6 : 1 —>. ^ M (g) M\
se prolonge de fa^on unique en un
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morphisme de A-bimodules 6A : A -^ AM 0 M^ = Hom(4M, AM) . Soit a;* le foncteur de T dans {T — A):
On laisse au lecteur le soir de verifier que, comme en 4.3, ev^ et 6A definissent des morphismes de foncteurs LVLJ* —> Id et Id -^ a;*u; faisant de (uj^uj*) une paire de foncteurs adjoints. Posons L := M^ (g) A ^ • Le A
foncteur coij* de T dans T est 0 L , et le morphisme de foncteur toco* -^ (JJ{U;*UJ)LJ* = {LJuj*){uju;*) est defini par un coproduit c : L -^ L ^ L, coassociatif et de counite ev^ : on dira que L est une cogebre de T . Une representation de L est un objet T de T muni de u \ T ^ T <^ L rendant commutatif T
— ^
T®L
u(8)l
T^L
> T<^L<^L
et tel que T -^ T ^ L yT soit Tidentite. La cogebre L de T agit fonctoriellement sur chaque LJ{E) . Supposons cjQ exact et fidele, et que T verifie (2.12.1). D'apres 5.14(i), le foncteur cjo (g) Id : {A)coh 0 T — > T ( ^ T est encore exact et fidele. Si T (g) T est tensorielle, le foncteur /?-lineaire exact a droite T : T (g) T -^ T tel que T{X (g) Y) = X (g) Y est exact et A;
fidele (2.10). Le foncteur compose LU = T o (CJQ 0 Id) est exact et fidele et le theoreme de Barr-Beck (4.1) donne: 8.3 Proposition. Avec les hypotheses et notations de S.2, si T verifie (2.12J)f que T <^ T est tensorielle et que CJQ : {A)coh ~^ ^ est exact et fidele^ le foncteur uj induit une equivalence de (A)coh 0 ^ ^^^^^ ^^ categoric des ohjets de T munis d'une action de L . 8.4 (parallele a 4.7). Soient C une petite categorie et wi ,u;2 deux foncteurs de C dans T . Nous avons defini en 6.12 un object h.r{^i^^2) de Ind(T). Si cela ne cree pas de confusion, nous le noterons simplement A(u;i,a;2). On pent interpreter (6.12.1) comme un morphisme (8.4.1)
\{X)
: UJ2{X) —^ uJi{X) 0
K{UJUUJ2)
178
P. DELIGNE
et (6.12.1) signifie que ce morphisme est fonctoriel en X . La propriete universelle de A := A(u;i,u;2) est que pour tout ind-objet [/ de T , rapplication f \-^ f o X{X) de Hom(A,[/) dans les systemes de morphismes u{X) : u)2{^) —^u)i(X)<S)U fonctoriels en X , est une bijection. Pour trois foncteurs c<^i,cc;2,c<;3 , iterant (8.4.1) on obtient u}3{X) —^ u}2{X) (g) A(a;2,u;3) —> u)i{X) (g) A(a;i,u;2) 0 A(u;2,a;3) fonctoriel en X , d'ou (8.4.2)
A(a;i,a;3) —^ A(a;i,u;2) <S> ^(^2,^3)-
Le coproduit (8.4.2) est coassociatif en un sens evident et les morphismes d'evaluation LOi{Xy 0 a;i(X) —^ 1 definissent comme en 4.7 une counite c:A{u;i,Ui)-^ 1. Pour uj un foncteur de C dans T , posons A(u;) := A{UJ^LO) . Le coproduit (8.4.4) de A(a;): (8.4.3)
A{uj) —>A(a;)0A(u;)
est coassociatif et admet une counite. 8.5 Exemples (parallele a 4-^)- i}) Pour C reduite a un objet et a sa fleche identique, la donnee de u) est celle d'un objet M de T et A(a;) = M^ (g) M . (ii) Soient A une algebre de dimension finie sur A:, ^ M un objet de T muni d'une structure de 74-module a gauche, C une sous-categorie pleine de la categorie des A-modules a droite de type fini, contenant A, et cj la restriction a C du foncteur E H-> E<S) A ^ • L^ morphisme c<;(A)^ 0a;(A) —> A
A{LJ) : AM^ 0 M —> A{u)) se factorise par un isomorphisme A
A
Pour C reduite a A, c'est la definition du produit tensoriel sur A. Le cas general sera traite en 8.7. 8.6 FonciorialiUs (parallele a 4.10^. (i) Soient T : T —» T ' un (g)-foncteur exact a droite, done exact d'apres 2.10, entre categories tensorielles. Notant encore T son extension aux Ind-objets, on a (8.6.1)
TA(u;i,a;2) - ^ A(ru;i,Ta;2).
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(ii) Soit T :V ^C. V) definissent
Les morphismes u;2TD -^ ujiTD 0 A(a;i,a;2) {D dans
(8.6.2)
A(a;i o T, ^2 o T) —^ A(a;i, ^2).
(iii) Si C est limite inductive filtrante de categorie Ci et que Ti est le foncteur naturel de d dans C, les morphismes (8.6.2) induisent un isomorphisme (8.6.3)
limA(a;io7;-,a;2oT) - ^ A(a;i,a;2) •
(iv) Soient {Ci)i£i une famille finie de categories, UJJ de source d (i £ I ^ j = 1,2), C le produit des Ci et 00;] le foncteur de C dans T produit tensoriel des a;j : ((8)u;j)((a)) = ^ujj{Ci). (8.6.4)
On a
(8)A(u;i,u;^) - ^ A((8)u;i,(8)u;^). t
«
i
8.7 Verification de 8.5(ii) (parallele a 4.1i;. Soit L := M^ (g) A M . Par 8.2, A
L coagit sur les LJ{E). La propriete universelle de A(a;) fournit A(u;) —^ L . Appliquant 8.6(ii) a la sous-categorie pleine X> de C reduite a A , on obtient L —^ A{uj) (8.5(ii) pour V) et on verifie que le compose L —» A(a;) -^ L est ridentite. Prouvons que L —>- A(a;) est un epimorphisme, i.e. que pour tout E dans C , Timage de u(Ey <S>(JO{E) dans A(u;) est contenue dans celle de u;(Ay 0 u)(A). Soit u un epimorphisme A^ -^ E, de composantes Ui. Les diagrammes u;{Ey^u{A)
— ^
u;(^)^0u;(A)
1-
1
w{Ey®u){E)
^
A(«)
sont commutatifs et on conclut en observant que la somme ew{Ey i
est un epimorphisme.
®u){A) -> wiEY ® Lj{E)
180
P. DELIGNE
8.8. Soient T une categorie tensohelle sur k ^ Ai et A2 deux categories abeliennes Wineaires verifiant (2.12.1), uji : Ai —^ T A:-lineaire et exact a droite, et LJ : Ai <S^ A2 —^ T fc-lineaire et exact a droite defini par co{Xi (g) X2) = a;i(Xi) 0 u;2(X2). A:
Appliquant 8.6(ii) a 0 : ^ 1 x ^ 2 -^ -4i 0 ^ 2 , on obtient (8.8.1)
A{LJI)
^ A{uj2) =
A(a;i(Xi) 00^2(^2))—>A(cj).
8.6(ii)
Ce morphisme est un isomorphisme. Pour le verifier, on ecrit Ai = lim(X2) {Xi dans Ai) et on se ramene par 5.1 et 8.6(iii) a supposer Ai = (Xi) , done que Ai est de la forme (^i)coh ^.vec Aj, de dimension finie sur k . Le foncteur uji s'ecrit E ^-^ E ^ Mi ^ avec Mi un objet de T muni d'une structure de Aj-module. On a ^ 1 0 ^2 = (^1 ® M)co\i , ^ est ^^Ai^A^i^i morphisme s'identifie a I'isomorphisme evident {M^ 0 M2) 0 {M^ 0 M2) ^ ^ (Ml 0 ^^2)"^ ^1
A2
0
^ ^ 2 ) et le
(Ml 0 M2).
Ai^A2
8.9 (parallele a 6.3). Soient Ai (i = 1,2,3) trois categories et LJ\ (resp. L1J2) un foncteur de Ai dans T . Supposons donne un foncteur 0 : «4i x ^ 2 -^ A3 et, pour j = 1,2 un isomorphisme de foncteurs cc;](Xi) 0u;J(X2) - ^ ujf{Xi 0 X2). Appliquant 8.6(ii)(iv), on obtient un produit (8.9.1)
A(u;},u;2') 0 A(u;2,a;|) — . A(u;?,a;f).
caracterise par I'exigence que, quels que soient Xi et X2 dans Ai et A2 , le morphisme (8.4.1) LoliXi 0 A:2) —> cc;^(Xi 0 X2) 0 A(a;f, u;f) se deduit des morphismes analogues pour les uKXi) et uj2{Xi) (i = 1,2) par (8.9.1). Soit A une categorie a produit tensoriel verifiant (1.1.1) et U}I,LO2 deux 0-foncteurs de A dans T . Faisons ^^ = ^ et LJJ = ujj (i = 1,2,3). Le produit (8.9.1) devient un produit (8.9.2)
A(u;i,u;2) 0 A(c<;i,u;2) —> A{UI,LJ2) •
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La meme preuve qu'en 6.4 donne 8.10 Proposition. Le prodmt (8.9.2) est associaiif, commuiaiif ei a unite. Pour T = Sp{B) un schema affine en T et u; un 0 foncteur de A dans T , notons (JOT le (8)-foncteur A H^ ^{A) <S> B de A dans les modules sur T. La preuve de 6.6 donne 8.11 Proposition. Sous les hypotheses de 8.9.2, (i) Le T'Schema SpA(u;i,u;2) represente le foncteur Rom^{toi^uj2) ^ui o,u T-schema affine T attache Fensemble des morphismes de <S>-foncteurs de ujiT dans U)2T • (ii) Si A verifie (l^l-l) et (1.1.2), tout morphisme UIT -^ ^ 2 T comme en (i) est un isomorphisme: Hom^(u;i ,0;^) coincide avec Isom^^fu^i .LO-?.) . (iii) Etant donnes trois ^-foncteurs UJI^U)2^UJ^ la composition Hom®(a;i,a;2) x Hom^(^2j^3) -^ Hom'^(a;i ,U;R) est definie par (8.4-2). 8.12. Prenons pour A la categorie T et pour foncteurs ui et u)2 le foncteur identique. Posons A = A ( I d r ) . D'apres 8.11, Sp(A) est le T-groupe qui represente le foncteur qui k T = Sp{B) attache le groupe des automorphismes de (g)-foncteur du foncteur X H-> XT = X <S> B de T dans les modules sur T. 8.13 Definition. Le T-groupes Sp(A) construit en 8.12 est le groupe fondamental de T . On le note 7r(T). Si u est un foncteur fibre de T sur un schema 5 sur k, Lj{7r{T)) est un schema en groupes affines sur S. L'action donnee par (8.4.1) de 7r(T) sur chaque X de T definit une action de a;(7r(T)) sur les UJ{X) . Cette action est fonctorielle et compatible au produit tensoriel. Comparant 4.7 et 8.2-8.4, on trouve que (8.13.1)
^(7r(T)) - ^ Autcfg;).
A. Grothendieck compare cette situation a la suivante: pour X un espace topologique locale me nt connexe et locale ment simple me nt connexe, les groupes fondamentaux 7ri(X,x) forment un systeme local sur X , i.e. un objet en groupes de la categorie des faisceaux localement constants sur X . Ce faisceau de groupes agit sur tout faisceau localement constant. Sa fibre 7ri(X, x) en x est le groupe des automorphismes du foncteur "fibre en (faisceaux localement constants) —^ (Ens).
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P. DELIGNE
8.14 Exemple. (i) Pour T une categorie tannakienne, la donnee d'un Tgroupe G equivaut par G — i >• {u;{G)) a la donnee, pour tout foncteur fibre Lj sur tout schema S sur k, d'un schema en groupes affines G^j sur S, de formation compatible a tout changement de base S'/S. Le groupe fondamental 7r(T) est donne par u I—^ Aut5(a;).
(ii) Gas particulier: si T = Rep(G), un T-groupe s'identifie a un schema en groupes afBnes sur k, muni d'une action de G. Le schema en groupe G, muni de son action sur lui-meme par automorphismes interieurs, corrrespond a 7r(Rep(G)). (iii) Pour G le groupe trivial, on trouve que 7r(Vect k) est le groupe trivial, (iv) Prenons pour T la categorie des super-espaces vectoriels de dimension finie sur k (1.4). Regardons le Ar-schema en groupes //2 des racines carrees de I'unite comme un T-groupe (c/7.11). II agit sur chaque super-espace vectoriel par Taction "parite": (e,a) »—>• e^^^^.a pour a homogene, et on verifie que 7r(T) =: / i 2 .
8.15 Fonciorialite, Soit rj : Ti —^ T2 \in (8)-foncteur exact Wineaire entre categories tensorielles sur k . Faisant T = rj dans 8.6(i), on obtient (8.15.1)
Sp(A(77)) = 77(7r(Ti))
et le 72-schema en groupes affines r/(7r(Ti)) represente le foncteur Ant'^(rj) : T = Sp{B) \-^ automorphismes du O-foncteur X \-^ flri-^) — li^) ^ ^ de Ti dans les modules sur T. Faisant T = rj dans 8.6(ii), on obtient un morphisme (8.15.2)
w{%) —
r?(7r(Ti))
Le morphisme de foncteurs correspondant attache a un automorphisme du foncteur X H^ XT = X ^ B Tautomorphisme qu'il induit de son compose avec rj. 8.16. Produit. Soient Ti et T2 deux categories tensorielles sur k. On suppose que Ti et T2 verifient (2.12.1) et que T :=: Ti ® T2 est encore
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tensorielle sur k. On identifie Ti a une sous-categorie pleine de T stable par sous-quotients par inji :Ti = Ti (g) Vect(A:) —^ Ti (g) T2 k
(appliquer 2.9 et 5.14(i)). De meme pour T2 . Le produit tensoriel (g)fc:Txr^T(8)T est le compose du produit tensoriel dans T (g) T et de (inji, inJ2): Xi 0 X2 = inji(Xi) (g) inJ2(X2) . k
Par 8.8 applique au foncteur identique de T(g)T dans T<S)T , 7 r ( T 0 T ) est le Sp de A(0 :T xT —^ T <^T). Par 8.6(iv), ce A est le produit tensoriel k
des A(inji :T -^T xT) qui, par 8.6(i) pour T = inj, et u; = I d r coincident avec inji A(Id7-). On conclut que les morphismes (8.15.2) (pour 77 = injj) 7r(Ti0T2)^inji7r(7;) definissent un isomorphisme (8.16.1)
7r(Ti 0 r2) - ^ inJi(7r(Ti)) x inJ2(7r(T2)).
8.17 Theoreme. Soient Ti et T2 deux categories tensorielles sur k verifiant (2.12.1) ei rj un (^-foncteur exact de Ti dans T^ . On suppose que 72 (g) ^2 est encore tensorielle sur k (cf 8.1). Le ^-foncteur induit par t], de Ti dans la categone des objets de T2 mums d'une action de r]{7r{Ti)) telle que Vaction naturelle de 7r(72) s^en deduise par (8.15.2), est une equivalence de categories. La preuve sera donnee en 8.26. Prenant pour Ti la categorie Vect(A:) des multiples de 1, on obtient par 8.14(iii). 8.18 CoroUaire. Soit T une categone tensorielle sur k . On suppose que T verifie (2.12.1) et que T %T est encore tensorielle sur k . Alors, pour
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P. DELIGNE
que X dans T soil une somme de copies de 1, il faut et il suffii 7r{T) agisse trivialement sur X . Si on prend pour T2 la categoric Vect(fc), on retrouve le fait qu'un foncteur fibre cj de T sur k induit une equivalence T —>• Rep Aut(c<;), puisque u;(7r(T)) - Autfu;). 8.19. Un autre cas interessant est celui ou T2 est la categorie 1.4 des superespaces vectoriels de dimension finie. On a 7r(72) = //2 (8 14(iv)). Soit G est un super groupe affine, i.e. un T2-groupes, muni de p : //2 —^ G tel que Taction par automorphismes interieurs de ^2 sur Talgebre affine de G soit Taction "parite" (8.14(iv)). La categorie des super-espaces vectoriels V de dimension finie, munis d'une action p de G telle que pop soit Taction "parite" est une categorie tensorielle Rep(G,p) sur k. D'apres 8.17, toute categorie tensorielle T sur k, muni d'un (8)-foncteur exact uj : T —^ (super-espaces vectoriels) est ainsi obtenue: on a une equivalence T - ^ Rep(a;(7r(T)),p donne par (8.15.2)). 8.20. Soient k un corps, T une categorie tensorielle sur k , A une categorie abelienne verifiant (2.12.1) et u;o un foncteur ^-lineaire exact a droite de A dans T . La categorie A est limite inductive filtrante de ses sous-categories {X) , et chacune est equivalente a une categorie (A)coh pour A une /?-algebre de rang fini. Par (5.1) et 5.11, A^T existe: A^T
= lim(X) (8)T.
Le foncteur A y< T —^ T \ (A, T) 1-^ cjo(^) ^ T est exact a droite et se factorise done uniquement par u :A®T
—>T.
On a L{uo)
= Hm L{LJO \
{X)).
Par definition des Ind-objets, on a pour T dans T Hom(T,T(g) L(cc;o)) = limHom(T,T(8) L(a;o | (X)))
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et la categoric des objets de T munis d'une coaction de L{iJo) est la limite inductive des categories analogues pour les L{uo \ {X)). Appliquant 8.3 et 8.5(ii), on obtient 8.21 Proposition. Avec les hypotheses et notations de 8.19, siT ^T est tensorielle et que LJO - A —^ T est exact et fidele, le foncteur u induit une equivalence de A<^T avec la categoric des objets de T munis d'une coaction de L(ufo) •
En particulier, par (8.15.1) 8.22 Proposition. Soit UQ : TI ^- T un ^-foncteur exact k-lineaire entre categories tensorielles sur k. Si Ti verifie (2.12,1) et que T <^T est tensorielle, le foncteur to :Ti®T -^ T tel que uj{Ti 0 T) = uJoi^i) 0 T induit k
une equivalence de Ti <S> T avec la categoric des objets de T munis d'une action de u;o(7r(7i)) . Supposons que T verifie (2.12.1) et faisons Ti = T. Prenons pour foncteur cjQ le foncteur identique de T dans T . On obtient 8.23 CoroUaire. Supposons que T verifie (2.12.1) et que T <^T est tensorielle. Le foncteurUJ :T<^T -^T tel que a;(X (g) Y) = X <^Y induit une k
k
equivalence deT (^T avec la categoric des objets de T munis d^une action k
de 7r(T); Faction de 7r(T) sur u(X ^Y)
= X <S)Y est celle deduite de son
k
action sur X . 8.24 P r e u v e de 8.18. La sous-categorie Yect(k) C T (2.9) est stable par sous-quotient et Yect{k) 0 T — ^ T <S^T est done pleinement fidele d'image essentielle stable par sous-quotients (5.14(i)). Le groupe 7r(Vect(A:)) est trivial et comparant 8.22 pour Ti = Vect(^) et T , on trouve que Tequivalence 8.23 de T ® T avec les objets de T a action de 7r(T) identifie Vect(fc) 0 T a la sous-categorie des objets de T a action triviale. En particulier, pour X dans T , X 0 1 est dans Vect(^) 0 T si et seulement si Paction naturelle de 7r(T) sur X est triviale. D'apres 5.14(ii), pour que X 0 1 soit dans Vect(fc) 0 T , il faut et il suffit que X soit dans Vect(fc) et 8.18 en resulte.
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P. DELIGNE
8.25 CoroUaire. Soient Ti,72 deux categories iensorielles sur k verifiani (2.12.1) etT = Ti 072 . On suppose 72 0X2 et T iensorielles. Le foncteur inji : Ti -^ Ti<^T2 : X \-y X(S>1 est une equivalence de 7i avec la categoric k
des objets rfe Ti 0 72 sur lesquels inJ2{7r{T2)) agit trivialemeni. Puisque 7r(T) - ^ inji7r(Ti) x inJ27r(72), on a une inclusion injj7r(7j) -^ 7r(T) ; via cette inclusion, injj7r(7}) agit sur les objets de Ti 0T2 . C'est de cette action qu'il est question dans le corollaire. P r e u v e . Si un T-groupe G agit sur un objet T de T , G = Sp(jB), Paction de G est un morphisme p : T -^ T <S> B. L'unite de B : 1 —^ B definit une autre fleche 0 1 : T —^ T <S) B . Soit T^ le noyau de la double fleche (/9,0l). C'est un Ind-objet de T , et un sous-objet de T. Parce que T est noetherienne (5.13.2), tout Ind-objet de T est reunion croissante de ses sous-objets dans T . Un Ind-objet, qui est sous-objet d'un objet de T , est done dans T et T^ est dans T . Appliquons 8.18. Le foncteur T2 —^ T2 : Y y-^ ^^(^2) g^ factorise par Vect(A:) et est exact a gauche. II definit un foncteur exact a gauche Ti072 —^ 7i 0 T2 se factorisant par Ti 0 Vect(Ar) = Ti. Ce foncteur coincide avec T y-^ j'inj27r(T2). jj s^mt, de le verifier apres composition apres 71 x 72 —> Ti 0 7^ , et que (Xi 0 X2)^"J"^^^^ = Xi 0 X^J^^^^) k
k
resulte de Inexactitude de 0jfc . En particulier, si T est fixe par inJ27r(72), T est dans Timage de Ti . La reciproque est claire. 8.26 Preuve de 8.17. On sait deja (8.22) que r/ 0 Id : Ti 0 T2 —> (wiTi)
- objets de T2)
est une equivalence. En particulier, Ti 0 72 est tensorielle. Soient X dans 7i 0 7^ . II est muni d'une action (/?i,/>2) de inji7r(Ti) x inJ27r(7^). Son image {r] 0 ld){X) dans T2 est munie d'une action p de 7r(T2). Cette action est le produit des actions - qui commutent - suivantes: p[ , deduit par(8.15.2) 7r(72) —> r?7r(Ti) de Paction de r]n{Ti), et P2 ? deduit de Paction P2 . Tout objet de Ti 0 T etant quotient d'un Ti 0 T , il suffit de le verifier k
dans le cas - laisse au lecteur - ou X = Ti 0 T2 . k
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Le foncteur ry 0 Id transforme done Taction de inJ27r(T) sur X en la difference entre deux actions de (?7(8)Id)oinJ27r(T) = 7r(T) sur ( r 7 0 l d ) ( X ) . L'action naturelle, et Taction via (8.15.2): 7r(T) —>- r]'K{Ti). Pour que Taction de inJ27r(T) sur X soit triviale (i.e que X soit dans Ti) il faut et suffit que son image par r/ 0 Id le soit, et 8.17 resulte de 8.25.
9. C o r p s difFerentiels 9.1. Soit (Kyd) un corps difFerentiel: un corps commutatif de caracteristique 0 , muni d'une derivation d : K —^ K. Le corps des consiantes k est k := k e r ( 9 ) . Une connexion V sur un espace vectoriel V sur K , suppose de dimension finie, estViV^^V, additif et verifiant Tidentite de Leibniz V{Xv) = dX.v + XVv . Le produit tensoriel d'espaces vectoriels a connexion est defini par V{vi (g) V2) = (Vvi)
^V2-^vi<^
{VV2).
Pour ce produit tensoriel, et ses donnees evidentes d'associativite et de commutativite, la categorie T des espaces vectoriels de dimension finie sur K munis d'une connexion est une categorie tensorielle sur k . L'objet unite est {K, d) et k = End(A', d). Le foncteur u; de T dans les espaces vectoriels sur K : "oubli de V " est un foncteur fibre. La categorie T est done tannakienne. Soit ( X , V ) dans T . Comme en 6.16, on notera {X)^ la sous-categorie pleine de T d'objets les sous-quotients de sommes de X®^ (^X^®^ . C'est encore une categorie tannakienne. 9.2. Supposons que c<;o : {X)(^ —>• Vect(fc) soit un foncteur fibre. Si k est algebriquement clos, un tel foncteur fibre existe (6.20) et est unique a isomorphisme (non unique) pres car tout Aut(a;n)-torseur sur k est trivial. Soient G := AutfcJn) C GL{LJQ{X)) , OR deduit de G par extension des seal aires k K et P le G^-torseur Isomj^ (ujn (g) /^,u; | ( X ) ^ ) . C'est un k
sous-schema du GL(u;o(A'))-torseur des isomorphismes /^-lineaires U}Q{X)(S) k
K
-^X. Ce torseur est muni d'une connexion, redonnant la connexion de (W^K)^ G Ob(X)(g) pour W une representation de Autfcjn). Pour le voir, k
le plus simple est d'interpreter la derivation d comme un automorphisme
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P. DELIGNE
infinitesimal: pour K[e] les nombres duaux (e^ = 0), 9 definit Tautomorphisme k[e] lineaire de K[€] : exp(e5) : A-f/ie -^ A-f (5A+//)e . Une connexion sur un objet sur K (espace vectoriel, torseur . . . ) s'interprete comme un automorphisme exp(e9)-lineaire de I'objet sur K[e] s'en deduisant par extension des scalaires. La connexion de chaque u{W) {W dans {X)(^) definit une connexion sur u; \ (X)^ et, par transport de structure, sur P. La connexion de P pent aussi etre vue comme une derivation de r ( P , O). Le schema P est un sous-schema du schema vectoriel defini par le A"-espace vectoriel Hom/<-(a;o(X) 0 KyX). La connexion de X (et la connexion de ^ o ( ^ ) ^ K avec les a E ^ o ( ^ ) horizontaux) definissent sur cet espace vectoriel une connexion qui induit celle de P . Sur Tespace r ( P , 0)<^X des morphismes de P dans X , on definit V par V ( / 0 a?) = V / 0 x -|- / 0 Vx . Pour a G u;o(-^), le morphisme p \-^ p{a) est horizontal. 9.3 Proposition. Avec les notations precedentes^ (i) Le schema P sur K est lisse et connexe, (ii) Soit k{P) le corps des fonctions rationnelles sur P. Le corps des constantes de ce corps differentiel est k. P r e u v e . Le schema P est lisse car c'est un torseur sous le groupe algebrique GK sur K . Le foncteur W ^-^ {W<S>K)^ est une equivalence de categories Rep(G) —^ k
(X)^ . En particulier, si (V, V) = (M^ 0 K)^ , les sous-espaces vectoriels k
de V stable sous V sont les {W 0 K)^ pour W C W G-stable. Le kk
vectoriel V^ des vecteurs horizontaux: Vv = 0 s'identifie a Hom7'(l,V^) (par / 1-^ / ( I ) ) et done a W^ . Par passage a la hmite inductive, les meme resultats valent pour une representation de G non necessairement de dimension finie. A une telle representation correspond un espace vectoriel a connexion, reunion filtrante de sous-espaces de dimension finie stables par V et dans {X)^ . Prenons pour W la representation reguliere de G : T{G,0) sur lequel G agit par translations a gauche: f{x) \-^ f{9~^x). Le V obtenu est r ( P , O), muni de V . Sur G, les seules fonctions invariantes par translation sont les const antes, et les seules sous-schemas fermes invariants par translations sont 0 et G. On obtient (9.3.1)
ik-^r(P,0)^;
(9.3.2) un ideal / C r ( P , O), stable par V , est trivial: / = T{P, O) ou 0 .
CATEGORIES TANNAKIENNES
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Si P n'etait pas connexe, il y aurait dans T{P,0) des idempotents non triviaux - necessairement horizontaux - et ceci contredirait (9.3.1). Ceci prouve (i). Prouvons (ii). On ne pent pas directement appliquer le meme argument (9.3.1) a k{P), car k(G) n'est pas une representation du groupe algebrique G, seulement de G{k). Soit / € k{P) avec V / = 0. Soit I C r ( P , O) rideal des g tels que gf € r ( P , O). Si ^ / G T{P, O ) , on a V{gf) = V(i/)./ e T{P,0) et rideal / est done stable par V . Par (9.3.2), on a / = r ( P , 0 ) et done / E T{P,0). On conclut par (9.3.1). 9.4. Une extension de Picard-Vessiot de K ^ pour ( X , V ) , est un corps differentiel {L,d) extension de {K,d) tel que (a) X <S> L est engendre sur L par ses vecteurs horizontaux; K
,
(b) L est engendre par les coordonnees, dans une base de X sur K , des vecteurs horizontaux de X <S> L , et K
(c) le corps des constantes de L est k. La propriete de (V^, V) : ''V (S) L est engendre sur L par ses vecteurs K
horizontaux" est stable par produits tensoriels et sous-quotients. Si elle est verifiee pour V^, on a K
L^
K
et en particulier, si k est le corps des constantes de L, (9.4.1)
(V^Lf K
^L-^V^L. k
K
Si (L, d) est une extension de Picard-Vessiot de K , pour (X, V ) , le foncteur ^L : {X)^ — Vect(Ar) : ]/ ^ ^ ( 7 0 L)^ K
est done un foncteur fibre. Sur L, on dispose de Tisomorphisme (9.4.1) entre les foncteurs fibres deduit de u;x, et u;: un A"-morphisme (9.4.2)
Spec(L) — . I s o m | ( w t 0 K, LJ \
(X)^).
k
9.5 P r o p o s i t i o n . Avec les notations precedentes, (9.4-1) identifie L au corps des fonctions rationnelles de Isom^(u;T 0 K,uj \ {X)t^).
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P. DELIGNE
P r e u v e . Soient G = Aut'^fcjr) et P le G^-torseur lsoin(ujL<S>K,uj \
{X)^).
k
Le morphisme (9.4.2), en termes d'anneaux, est (9.5.1)
T{P,0)-^L.
Le noyau I de ce morphisme est un ideal V-stable. Par (9.3.2), 7 = 0 et (9.5.1) est injectif. Le G-torseur P est contenu dans le GL(c4;x,(X))-torseur IsomfcJr 0 K^X) et que r ( P , O) engendre L exprime 9.4(b). k
9.6.Scholie, 9.5 a pour Vessiot de horizontale (9.6.1)
Si U)Q : (X)^ —>- Vect(fc) est un foncteur fibre, le torseur P de corps de fonctions rationnelles k(P) une extension de PicardK: pour V dans {X)<^ et a G ^Q{X) , p{a) est une section de V sur P , d'ou a H-^ p(a) : a;o(V^) - ^ ( F (g) L)^
(9.6.2)
u;fc(7)(g)L-^7 0 L . k
Pour F = X , ceci fournit Isom^(ujo(X),X <S> K) et ment isomorphe a UJL (6.4). extensions de Picard-Vessiot
(a), I'assertion (b) resulte de ce que P '-^ (c) est 9.3(ii). Par (9.6.1), LOQ est canoniqueCeci, et 9.4, donnent un dictionnaire entre pour (X, V) et foncteurs fibres pour {X)(^ .
9.7 Corollaire.^e k est algebnquement clos, il existe une extension de Picard-Vessiot L pour(X,W). EUe est unique a isomorphisme (non unique) pres. Soit G := Aut(LJT.) • Le groupe des A'-automorphismes difFerentiels de L est G{k): G est le groupe de Picard-Vessiot. Voir I. Kaplansky, An introduction to differential algebra, Hermann, Paris 1957. 9.8 Remarque. Soient (e*)i
une extension differentielle de K . Pour que ^^ yie^ £ X^M
soit horizontal,
if faut et suffit que les yi verifient le systeme
(9.8.1)
% = -E%-4-
Plutot que d'une extension de Picard-Vessiot pour X, on parle classiquement d'une extension de Picard-Vessiot pour un systeme (9.8.1): une extension differentielle de L , engendree par des yia , formant n solutions
CATEGORIES TANNAKIENNES
191
lineairement independentes de (9.8.1) et de meme corps de constantes que Plus classiquement encore, on considere des equations difFerentielles lineaires du n^^'"^ ordre en une indeterminee y . On passe de la a un systeme par I'astuce habituelle: passer au systeme verifie par (y, dy^ d^y, • • • , d^~^y) . 9.9 Remarque. Plus generalement, soient K un corps de caracteristique 0, V un espace vectoriel sur K et [, ] un crochet de Lie sur V. On ne le suppose pas /i^-lineaire, mais on suppose qu'il existe 6 : V ^^ Der(/^, K) (lineaire et morphisme de Lie) verifiant (9.9.1)
[DuXD2] - X[DuD2] =
.
9D,WD2
Le corps des constantes k est Tintersection des noyaux des 0(D) (D G X>). Une connection integrable sur un A'-espace vectoriel V est une action de Lie V de X> sur V verifiant VD{>
.
Les A'-espaces vectoriels de dimension finie a connection integrable (F, V) forment une categoric tannakienne sur k. Une extensions differentielle de (A,2>) est {L^V) avec L extension de K, muni Ae L<^V ^V compatible aux actions ^ de X> et V sur K et L. k
Une extension de Picard-Vessiot de (A",!)), pour (V^, V ) , est une extension differentielle {L^V) de (A,X>), de meme corps de constantes, telle que L^V soit engendre par ses vecteurs horizontaux (annules par les V D) et que L soit engendre par les coordonnees, dans une base de V sur A , des vecteurs horizontaux de F 0 L . Comme en 9.6, les extensions de PicardK
Vessiot correspondent aux foncteurs fibres de {V)i^ sur k. En particulier, si k est algebriquement clos, elles existent et sont uniques a isomorphisme pres. Exemple: on prend pour A' un corps aux derivees partielles: muni de d derivations di qui commutent. On prend pour V le A-espace vectoriel de base les di , pour 9 : di y-^ di et on definit [, ] par (9.9.1) et [Sj, dj] = 0.
192
CATEGORIES TANNAKIENNES I n d e x terminologique
anneau (algebre): a unite Barr-Beck (theoreme de) coaction(d'un cogebro'ide) (d'une comonade) cogebro'ide (des ^-endomorphismes de a;) comonade compact closed contragredient contrainte d'associativite (commutativite) d'unite dimension dual fibre (foncteur - ): 0-foncteur exact Ar-lineaire fidelement plat (dans T ) 0-foncteur; morphisme de fppf : fidelement plat de presentation finie fpqc : fidelement plat quasi-compact gerbe gerbe a lien affine T-groupe (k-) groupoi'de Hom interne Induit (groupoide - ) Ind-objet (g)-isomorphisme (isomorphisme de foncteur fibres) localement (dans T ) : pour la topologie fpqc module (sur un T-schema) monoi'dal (categorie - ) puissance exterieure, symmetrique (dans une categorie tensorielle) (fidelement) plat (dans une categorie tensorielle) representation (d'un cogebroi'de) (d'une categorie fibree, d'une gerbe) (d'un group oi'de) rigide schema affine en T = T-schema affine
1.1 4.1 1.15 4.1 1.15 4.7 4.1 2.5 2.4 1.2 2.1.1 7.1 2.2 1.9 7.7J.8 2.7
3.2 3.6 7.8 1.6 2.2 1.6 7.5 1.9, cf. 2.7 7.8 7.8 2.2 7.1,7.8 7.7 1.15 3.2 1.6 2.5 7.8
p. DELIGNE
193
Index des notations Pour Tusage de Isom, Aut, avec 0 en exposant et k ou S en indice, voir 1.11. Pour Horn et End: 6.5. ACU: {A-B),{B-A) coh : (A)coh ekd : Honig^^ : categoric de foncteurs exacts a droite GsG , GsG Ind(- • •): categorie des ind-objets (cf. 7.5) de ... k: toujours commutatif L]c{ui,U)2), Lk{u)) A(cJi,a;2), A(cj) (dans T) "lim" (P') (dans T) ptf : (B-inod)ptj: projectif de type fini Sp(---) Rep(G) Rep(5 : G) —
>
•
Rep(a) T-schema affine, groupe schema vectoriel Vect(ife) (^> (^)0 AT
2.7 5.10 5.2 5.2 3.1 1.1 4.7 8.4 7.5 7.8 6.1 7.8 1.5 1.7 3.2 7.8 7.10 1.3 5.12 6.16 6.12 8.13
194
PIERRE DELIGNE
sections globales d'un module sur un T-schema T-schema vectoriel supertannakien (categorie - ) tensoriel (categorie - ) (produit - de categories abeliennes) transitif (groupoide - ) transpose vide (T-schema - non -)
7.8 7.10 1.4 2.8 1.2,2.1 5.1 1.6 2.4 7.8
CATEGORIES TANNAKIENNES
195
B ibliogr aphie [1] M. Artin, Versal deformations and algebraic stacks^ Inv. math. 27 (1974) pp. 165-189. [2] P. Deligne and J.S. Milne, Tannakien categories in Hodge Cycles, Motives, and Shimura Varieties^ Lecture Notes in Mathematics 900, Springer Verlag, 1982, pp. 101-228. [3] E.R. Kolchin, Differential algebra and algebraic groups, Academic press, 1973. [4] S. MacLane, Natural associativity and commutativity, Rice University Studies 49 (1963) pp. 28-46. [5] S. MacLane, Categories for the working mathematician^ Graduate texts in math. 5 (Springer-Verlag 1971). [6] S. Saavedra, Categories tannakiennes^ Lecture Notes in Mathematics 265, Springer Verlag 1972. Sigles SGA : Seminaire de geometric algebrique du Bois-Marie. SGAl: Revetements etales et groupe fondamental: Lecture Notes in Mathematics 224, Springer Verlag, 1971. SGA 3: Schemas en groupes, vol. 1: Lecture Notes in Mathematics 151, Springer Verlag, 1970. SGA 4: Theorie des topos et cohomologie etale des schemas, vol. 1: Lecture Notes in Mathematics 269, Springer Verlag, 1972. Juin 1990. Une approche toute difFerente de resultats proches de ceux du paragraphe 7 a ete developpee par S. Doplicher et J.E. Roberts (Ann. of Math. 130 p. 75-119 (1989) et Inv. Math. 98 p. 175-218 (1989)). Dans un langage un peu different du leur : ils considerent une categoric tensorielle sur IR,T, polarisee au sens de [6], et prouvent qu'elle est la categorie des representations d'un groupe compact munie de sa polarisation naturelle. Le debut de leur preuve, parallele au debut du paragraphe 7, observe que la dimension de chaque objet est un entier > 0 et que si V^i,... , Vjb sont de dimension TZI, . . . , n^, il existe un 0 foncteur de la categorie des representations de IiGL{ni) dans T envoyant la representation standard de GL{ni) sur Vf. Le premier point acquis, leur resultat pourrait etre deduit de ceux du paragraphe 7 et de Saavedra (Chap VI). Leur preuve est toute differente. Institute for Advanced Study Princeton, New Jersey 08540
On The Adic Formalism
TORSTEN EKEDAHL To Alexandre Grothendieck on his 60th birthday.
This article is concerned with developing a formalism for complexes of ^-adic sheaves instead of just for the sheaves themselves as was done in [SGA5:Exp. V]. The need for such a generalisation has become apparent from the theory of perverse sheaves, which by their definition are complexes of ^-adic sheaves. When trying to carry through such an extension one is immediately faced with two problems. On the one hand it is clear already from the case of ^-adic sheaves that - contrary to the case of torsion sheaves - one is not dealing with actual sheaves but rather inverse systems of sheaves. On the other hand one wants to pretend that one is dealing with sheaves and not some more abstract objects. The thankless task of the present paper is therefore to show that this is indeed possible - a formalism is developed which for all practical purposes behaves as if one were dealing with a derived category of complexes. Unfortunately there are quite a few technical details to be dealt with before one can reach this conclusion. As it is quite possible to use the final results without having to use directly the preliminary ones I have tried to isolate the former in a few specific theorems. Hence I would imagine that Theorem 6.3 (together with Theorem 7.1 for comparison with the ordinary theory in the point and in the analytic cases) will suffice for all but the most sophisticated uses and the reader is urged to begin by looking at the results contained therein to get an idea of the kind of results this paper is intending to prove. A few words on the history of the problem seem to be in order. As has already been mentioned the problem for sheaves rather than complexes of sheaves was treated in [loc. cit.]. In his second paper on the Weil conjecture ([De:1.1.2]) P. Deligne showed that the inverse 2-limit of the derived categories of constructible Z/£"-complexes (for variable n) is a triangulated category (and hence gives a satisfactory theory) if a certain finiteness condition is fulfilled. 0 . Gabber has announced results (private communication) fulfilling the main objectives of this article and furthermore not suffering
198
TORSTEN EKEDAHL
from the conditions of boundedness which sometimes appear here. Finally, U. Jannsen (private communication) has announced a theory which in all essentials seems to be the same as the one presented here. 1. Preliminaries. For a ringed topos (T, F) we let T— V denote the category of Vmodules. I will fix once and for all a ringed topos (5, R) and a two-sided ideal m C R. Let S^ denote the topos of inverse systems {Mn,n > 0,7r„:Mn+i —^ Mn} of elements of S. There is a morphism of toposes 7r:5^ —^ S with 7r*M. — lim{M.} and 7r*M = {M,id} and morphisms in'-S -^ S^ with 2*M. = Mn. If we put Rn := R/m^ we may and will ring S^ by R := {Rn,proj} and then TT is in the natural way a morphism of ringed toposes. Note that this means that unless otherwise mentioned TT* will denote the inverse image of ringed toposes so that TT* M equals the inverse system M^j^Rn. Recall that an element M. of S^ — ab is said to be essentially zero if there is a covering of the final object of S such that for the restriction of M. to each element of the covering there is for all n an m > n such that 7r^~": Mm —^ Mn is zero, where TT^"^ is the composite of the appropriate TTi's. A complex M' of elements of S^ — ab will be said to be essentially zero if H^{M') is essentially zero for all i. It is then easy to see that the essentially zero complexes form a triangulated subcategory. We will also say that M' is essentially bounded {from below^ from above) if H^{M') is essentially zero for all m with | m | ; ^ > 0 ( — m ; ^ 0 resp. m ^ G). The category of essentially bounded (from below, from above) complexes will be
denoted D'\S^-ab)
(^^+(5^-06) resp. D'-{S^-ab))
and
D'\S^-R.)
etc. will have its obvious meaning. I will assume that for every n there exists, locally on 5, a resolution Fn -^ R/rnP' of R/mP' by a complex of right jR-modules which is finitely generated free in each degree and such that modulo essentially zero systems 7r*i^n —^ 7r*(i^/m") is a resolution, where TT is considered as a morphism of ringed toposes 7r:(S^,R.) —^ (S^R). An example where this situation occurs is when i^ is a constant ring, noetherian, commutative and local with maximal ideal m, the proof using the Artin-Rees lemma to verify the required property. (Indeed, what needs to be shown is that TT* is exact, modulo essentially zero systems, on finitely generated i?-modules. The only non-trivial part is to show that the kernel of TT* of an injection is essentially zero. This follows immediately from the Artin-Rees lemma.) Furthermore, if (ii, m) fulfills this property then so does for instance (i2[G], m[G]), where G is a group in 5. I will throughout let Fn denote such a resolution.
THE ADIC FORMALISM
199
We will have use of the following two assumptions: A) There is a class S^^^ of generators of S and an integer N such that for all T G 5 ^ " " and all M G 5 - R/m
- mod,
H'{T,
M)
= 0 if i >
N,
B) There is an integer N such that the, locally defined, F^ can be chosen to be of length < N and, still locally, m^/m^'^^ is of finite Tordimension over R/m. Examples where condition A is fulfilled is most etale toposes which occur in practice. Indeed, if A is fulfilled for X^t for ^ scheme X and a constant ring R then it is fulfilled for Y^t for ^-ny X-scheme Y of finite type. Furthermore, A is fulfilled for a constant ring and Xa where X is either an algebraically closed field, a local or global field or SpecZ. Examples, where condition B is fulfilled include the case when i? is a constant ring, noetherian, commutative and local of finite global dimension and it is stable under taking group rings as above. L e m m a 1.1. Let MeD'^{S^-
ab) be essentially zero. Then Rir^M - 0.
Proof. From [Ek:0.4.6] we get, for any U£S and any N.£R. — mod, an exact sequence 0 -^ lirn^{H'-^\U,Nn)}
-^
H\7r*U,N.) — . \im{H\U,Nn)}
-^ 0. (1.2)
If N. is essentially zero then so is, by functoriality, {H^{UjNn)} for all j whence, by (1.2), H\'K*U,N.) = 0. As RTT^N. is the sheaf associated to the presheaf U y-^ H^{7r*UyN.) we get Rir^N. and from this the lemma is proven by devissage. Q.E.D. Let now MeD^-^{S^-ab). We will have a technical problem to overcome if condition A is not fulfilled and it will be solved as follows. Whenever A has not been assumed we define T(M) as the pro-object (cf. [Ill:VII, 1.1]) (... -^ r>j_iM —> T^iM -^ r>j_|.iM —)-...) and whenever it has been assumed we let it simply denote M. Then i?7r+r(M) is, by (1.1), essentially constant as pro-object and we let, by a slight abuse of language, RTT^M denote any limit of this prosystem. In this way we can define RTT^{—) on £)eH-^^N_ ^ ^ ^^^ ^g clearly get a triangulated (i.e. commuting with shifts and preserving distinguished triangles) functor D^^{S^—R.) —>• D^{S—R). Note that I do not claim, and it is no doubt false, that this definition coincides with the general definition of [SGA4:XVII, Def. 1.2.1] where the latter is defined (which is in fact always). We also have that if condition B is fulfilled Tr*{Rn^^ '^(^)) = T{'^*{Rn®R M)) as prosystems for any
200
TORSTEN EKEDAHL
We will say t h a t a complex M of abelian groups in S^ is essentially constant if there exists a complex N of groups in 5 ^ , a complex P of groups in S and morphisms of complexes M ^r— N' —^ TT* P such t h a t the m a p p i n g cones of / and g are essentially zero. It is clear t h a t if M is essentially bounded in some direction, P may be chosen to be bounded in the same direction. L e m m a 1.3. i) If condition A is fulfilled then 7r^:S^ — R. -^ S — R has finite cohoniological dimension and so is defined on all of D(S^ — R.). On D^'^(S^ —R.) it coincides with our earlier definition. ii) If condition A is fulfilled and M G D{S^ — R.) is essentially zero then RTT^M
— 0.
Hi) If condition A is fulfilled and M £D{S^—R.) is essentially bounded in some direction then RTT^M is bounded in the same direction. iv) An M e D'+{S^Rlrrf') (D(S^ - R/m'') if A is fulfilled) is essentially constant iff the adjunction morphism
(TT: ( 5 ^ , R/m^)
-^ {S, R/wT'))
has an essentially
zero mapping
cone.
P r o o f . From A and devissage we see t h a t H^{U, M) = 0 Hi > N, UE S^"^ and MeS-R/m''. This and (1.2) shows t h a t iiM.£S^-R. then the presheaf U ^ 77*(7r*^, M.) is zero on S^^"" ifi>N-\-l and so R'TT^M. = 0 if z > N -{• 1. This gives t h a t TT* has finite cohomological dimension. By devissage and (1.1) this gives Riv^M. = 0 if M is essentially zero and this immediately gives the last part of i). Now ii) follows directly from i) and (1.1). T h e proof of iii) is now immediate from ii). As for iv) let us first note t h a t RTT^TT* = id. Indeed, t h a t TT^TT* = id is clear and the acyclicity follows for example from (1.2). Using the notations of the definition we have a commutative diagram 7r*i?7r*M
i—
TT^RTT^N
—>
TT^RTT^TT^P
1 M
<—
N
—>
7r*P.
By ii) the upper horizontal maps are isomorphisms and by what was j u s t observed the right vertical m a p is an isomorphism. Then 7r*R7r^N —^ N has an essentially zero mapping cone being the composite of two t h a t have and then so does 7r*iZ7r*M —^ M for the same reason. T h e converse is true by definition. Q.E.D.
THE ADIC FORMALISM
201
L e m m a 1.4. let MeD-{S^R?P), where R'^P is the opposite ring of R, and N ED(S^ — R.). If M is essentially zero and either M is bounded or N is bounded from above then M 0 ^ A^ is essentially zero. Proof. We may clearly assume that M is concentrated in degree zero. We will then prove that if Mm -^ M„ is zero, then so is H*{M^j^ N)m -^ H*{M^j^ N)n' This statement is stable under direct limits in N so we may assume that A^ is bounded from above. Then we may further reduce down to the case where A is a free i^.-module and then finally to N = R. where it is obvious. Q.E.D. Reserving the symbol D{S — R) for a category to be defined later we will use the notation D(S — R)iit for the derived category of (literal) R-complexes on S. L e m m a 1.5. i) If B then TT has finite Tor-dimension. ii) If A let MeD-{S^-R.), ifB let M e D'-^ (S^ - R.) and if A and B let MeD{S^-R.). Then the natural morphism RU^RRT^.M
-^ i^7r*(7r*i^0^ M)
(1.6)
is an isomorphism. Proof. For i) we note that the 2* form a conservative set of functors so it suffices to show that i„7r: (5, i*/?.) -^ {S,R) has Tor-dimension < N for all n, but i*i^. = Rn- Next, combining lemmas 1.3ii and 1.4 we reduce to showing that Fn ^J^RTT^M -^ R7r^{7r*Fn ( ^ ^ M) is an isomorphism. As the F^ are finitely generated free R-modules this is clear. Q.E.D.
2. /^-comiplexes If A let MeD-{S^-R.), ifB let MeD'+{S^-R.) and if A and B let M G D{S^-R.). Then RTT^M has been defined above and M := L7r*(i?7r*M) is defined by (1.5i). In the first and third case we have an adjunction morphism M —^ M and in the second case we have a morphism M -^ T>iM for all i whence a morphism T{M) —^ T{M). Definiiion 2.1. Let M,NeD{S^-R.). i) M is an R-complex if 7r*(i?i)(^^ M is essentially constant.
202
TORSTEN EKEDAHL ii) M is negligible if7r*{Ri)0j^
M is essentially
zero.
Hi) M is normalised if T{M) —>- T{M) is a quasi-isonotorphism. iv) A niorphism M —^ N is essentially an isomorphism if it has a negligible mapping cone. IfB, then a morphism T(M) -^ T{N) is essentially an isomorphism if the maps induced on cohomology from 7"(7r*(iZi)(§)^ M) = 7r*(i2i)0^ r ( M ) ^
^*{RI)^RA^)
= ^{^*{RI)^R.N)
have
essentially
zero kernels and cokernels. Remark: As essentially zero objects are stable under kernels, cokernels and extensions t h e definitions of iv) are consistent. T h e idea is t h a t i2-complexes are t h e good objects. Normalised complexes are even better, b u t the notion is a little bit too rigid t o serve as t h e basic notion. As we will see things will be set up so t h a t we m a y always replace, up t o essential isomorphisms, an i2-complex by a normalised one. P r o p o s i t i o n 2 . 2 . If A let M e D-{S^ - R.), if B let M e D'+{S^ - R.) and if A and B let MeD{S^-R.). Then i) M is an R-complex iff T{M) —^ T{M) is essentially an isomorphism. ii) M is normalised iff Rn^R^in+i^ ~^ ^n^ ^^ ^^ isomorphism for all 71. Hi) If A let M' eD-{S - R)iit, if B let M' e D+{S - R)ut and if A and B let M' G D{S - R)iit then L-K*M' belongs to D^{S^-R.)ut, D'^(S^ — R.)iit resp. D(S^ — R.)iit and is normalised. In particular, Mis normalised. P r o o f . We will need t h e following lemma. L e m m a 2 . 3 . If A let M eD-{S^-R.), if B let M eD'+{S^-R.) A and B let M£D{S^—R.). Consider the following commutative a
T*(i?„)(8)RT •(L7r*fl7r.M)
1'
T*(i?n)(8)RT(M)
I'
Tr*{Rn)<S)RLn*Rw^M
ir*{Rn)0RM
]'
C
LTr*(Rn)0^L%*RTT,M
7r-i(i?7r.(7r*(i?„)0fli27r,M))
I' L7r*(iJ„(8)^i?7r.M)
and if diagram
^
L;r*(ie7r,(7r*(/?„)(g)^ M ) ) ,
(2.4)
THE ADIC FORMALISM where for an Rn-module N {7r~^N)i equals N if not and the morphisms are the obvious ones adjunction unit, d = can, e = I/7r*(can) and f = are isomorphisms and b, d and f have essentially
203 if i > n and Ri^ji N (a^b^g = id <S> can, c — can (g) id). Then e and g zero mapping cones.
Proof. Indeed, e is an isomorphism by (1.5ii), g is an isomorphism in the second case as L'K^'R'K^M is bounded from below and in the other cases g is obviously an isomorphism and by (1.4) b and / have essentially zero mapping cones. Finally, I claim that for any NED~(S—Rn) {or D(S—Rn) as the case may be) LTT^N —^TT'^N has an essentially zero mapping cone. Indeed, we reduce to N = Rn and then it is true by assumption. Q.E.D. Returning to the proof of (2.2) we note that it follows from (2.3) that, using the notations of (2.4), a has an essentially zero mapping cone iff c has which is i). K M is normalised then Rn0R.^jUir(M)
^
i2n0l^,r(i?,+i0^i^7r*M) =
which in particular shows that if M E D^'^{S^ — R.) then we have M G D'^(S^ — R.) and we may hence dispense with the r. I leave to the reader to fit these isomorphisms into the required commutative diagram to get the only if of ii). Conversely, if Rn^R ^n+i^ """^^ ^ n ^ ^^^^ Rn®\jt!r^ ^^=^ i*M for all r > n and hence 7r*(i2n)0^ M has all its transition maps quasi-isomorphisms from 7r„ on. Therefore, z* Af = i^n(8)^^^*(^*(^)®i? ^ ) — ^*n^ ^"^^ ^ ^^^^ ^n form a set of conservative functors we are finished. Finally, to show that LTT""RTT^LTT^M' = LIT*M' it suffices to show that Rn^RRTT^Lw*M' = Rn^^M'. Now, by lemma 1.5, Rn®RR7r*L7r*M' = i^7r*(7r*i^(g)^ L7r*M0. By (1.3ii) and the fact that the / of (2.4) has an essentially zero mapping cone (even if M' is not of the form RTT^M) this equals R7r^{L7r*(Rn^j^M^)) and again by (l.Sii) and the fact that the d of (2.4) has an essentially zero mapping cone (see the proof of (2.3)) RTT^iLir^iRn^RM')) = R7r,{7r-^{Rn^^M')) = R^i^^M'.Q.E.D. Let us at this point note that the negligible complexes form a thick subcategory of D{S^-R.). Definition 2.5. Let D{S — R) denote the category whose objects are Rcomplexes and morphisms are the morphisms T{M) —» T(N) with essential isomorphisms inverted. If ^= b, + or — we denote by D*(S — R) the
204
TORSTEN EKEDAHL
essential image of the R-complexes which axe essentially bounded (from above resp. below). By abuse of language we will call the objects of D{S — R) R-complexes. Remark: There may be some doubt if this is even a proper definition because of the usual set-theoretic difficulties. We will see t h a t under suitable combinations of boundedness conditions and conditions A and B the essential isomorphisms admit a calculus of fractions and hence these difficulties disappear. We will allow ourselves the luxury of pretending t h a t there are no problems whatsoever. D e f i n i t i o n - L e m m a 2.6. Assume that condition A or B holds. If A holds let * be —, if B let * be e-\- resp. + and if A and B hold let * be empty. i) The functor Rn(^^R7r^{-): D*{S^-R.) -^ D{S - Rn) factors to give a functor
D*{S — R) -^ D{S — Rn) which we will denote -Rn0i?(—)•
ii) The functor ( - ) : D*{S^-R.) tor D*{S - R)-^
D{S^-R.)
-^ D{S^-R.)
factors to give a func-
which we will continue
to denote
(-).
P r o o f . To prove i) we need to prove t h a t if M is negligible then RTI^RR^^M = 0. By (1.5ii) this is true for n = 1 and by an obvious devissage it is sufficient to prove t h a t ( m " / m ' ^ + ^ ) 0 ^ i ^ 7 r * M =: 0 for every n but by devissage this is true for any i^i-module (locally of finite Tordimension if we do not assume A). Indeed, this is clear if * = — and if not we reduce to a flat /^i-module and then to a free as every fiat module is an internal direct limit of free modules (cf. [SGA4:V,8.2.12]) in which case it is obvious. T h e proof of ii) is similar. Q.E.D.
P r o p o s i t i o n 2.7. With the same assumptions as in (2.6). i) Ri^^{-): D*{S - R) -^ D(S - Ri) is conservative. ii) Let D*^^y„(S'^—i^.) be the category of normalised complexes.
can:£>:„,„(5N-/?.) ^ D*(S-R)
Then
and
(-):i?*(5-i?)-.D;„,„(5^-i?.) are equivalences
of categories^ natural inverses to each
other.
P r o o f , essentially constant system 7 r * ( i Z i ) 0 ^ M so M is negligible iff Ri^j^M
— 0. As for ii) (2.2i) shows t h a t if M is an ii-complex then
M —^ M is an isomorphism in D(S — R) so t h a t we get t h a t can and (—)
THE ADIC FORMALISM
205
are right resp. left inverses to each other. In the other direction there is no problem if we assume A and if we assume B and M E D^^ {S^ — R.) is normalised then M belongs (locally) to D'^{S^ — R.) and so does M as it is normalised and then we get a natural isomorphism M -^ M. Q.E.D. Remark: This shows that D*{S — R) is well-defined and forms a triangulated category. 3. Finiteness p r o p e r t i e s .
Proposition 3.1. Assume that condition A or B holds. If condition A holds let * be —, if condition B holds let * be -j- and if conditions A and B hold let * be empty and let MeD{S-R). i) IfH'iRii^^M) = 0 for i > N, then H\M) = 0 for i > N. ii) Ifm^'/m''^^ is a flat Ri-module for all n and ifH^{Rii^^M) =0 for some N, then H^{M) = 0. Proof. It is clear that if i J ^ ( i i i 0 ^ M ) = 0 for i > N then H\T0^j,M)
=0
for all i?i-modules T (locally of finite Tor-dimension if * ^ — (compare the proof of (2.6i)) and hence devissage gives //"*(i^„0^M) = 0 for all n which implies H^{M) = 0. It is clear that ii) follows similarly. Q.E.D. Suppose now that C C D{S—Ri) is a triangulated subcategory. Then we define D*(S — R)c (with the usual meaning of*) by the condition N^ D * ( 5 - i ^ ) c iff RiiS^R^^C. If c C S-Ri-mod is closed under kernels, cokernels and extensions and we define C C D{S—R) by A/^ G C iff W{N) G c for all z, then we will denote D*{S—R)c by Dl{S—R). For the rest of this section we will assume that R is a constant, commutative and noethenan ring (I leave to the reader to relax these conditions). Using the techniques and results of [SGA5:Exp. V] it is not diflficult to prove Lemma 3.2. Suppose that c C S—Ri is closed under kernels, cokernels and extensions and that c is a noetherian category. Suppose further that N G S^ —R. has the property that Rn^R ^n+i^ ~^ ^n-^ ^^^ isomorphisms and ilN ec. Then N is an R-complex and NeD~{S-R).
206
TORSTEN EKEDAHL
Proof. We want to prove that 7r*{Ri)^ji N is essentially constant. An /^.-module M is essentially constant if there is a filtration {... C ][^i+i c M' C ... C M^ - M] which is exhaustive in the sense that for each n there is an i for which M^ = 0, such that mM^ C M*"^^ and such that gr\M') is essentially constant for all i and gr{M') is a finitely generated grm{R)-^^odu[e (i.e. the image of some grm{R)^ji X where X is concentrated in finitely many degrees) and killed by a power of m. If we filter N by the standard filtration (loc. cit.:4.1.1) then we get a spectral sequence Tor^^"'^{Ri ,gr N) => gr Tor^{Ri, TV) where the filtration on Tor^(Ri,N) is exhaustive. Now gr N has a resolution by induced modules (i.e. of the form gVm{R)®ji X where X is concentrated in finitely many degrees) by (loc. cit. 5.1.6). Q.E.D.
Definition 3.3. IfMeD{S^-R.) and c C S-Ri-mod is as in the lemma, we will say that M belongs to D*{S—R) ifM is an R-complex and its image in D{S-R) lies D*(S-R), IfMeD{S-R) we will denote by H\M) its cohomology as an R.-complex. P r o p o s i t i o n 3.4. Let c C S — Ri fulfill the conditions of lemma 3.2. i) M £ D~ {S^ — R.) is negligible iff M is essentially zero. ii) MeD-{S-R) belongs to Dc{S-R) if and only if H\M) belongs to Dc{S-R). Hi) MeS^-R. bejongs to DdS-R) iff H^(M) fulfills the conditions of lemma 3.2 and H^{M) —> M has essentially zero kernel and cokernel. Proof. The if of i) follows from (1.4). We prove the only if by descending induction on the largest i such that H^{M) / 0 and by the if-part it will suffice to show that H^{M) is essentially zero. As H^ (M) = 0 for j > i, 7r*(i?i)0^ H^{M) is essentially zero. Hence it suffices to show that if N' ES^ — R. has the property that N'/mN' is essentially zero then N' is essentially zero. By asssumption there exists for every n an r > n such that Nr maps into mNn- We therefore get for every n, n < ni < 7i2 . . . such that Nn.^j^ maps into mNn, and therefore Nn^, maps into rnP'Nn = 0, so for every n there is an r > n such that Nr -^ Nn is zero. As for ii), the if is clear as Dc{S—R) is a triangulated subcategory. For the only if we do again a descending induction on i and by the if-part we may assume that H^ (M) = 0 if j > i. By assumption T^*{RI)(^RM is essentially constant and zero in degrees above i. We know, by (1.3iv) and (1.5ii) that 7r~^(/^i(g)^M) —>- 7r*(iii)0^ M has an essentially zero
THE ADIC FORMALISM
207
mapping cone, which clearly implies that Ri^j^M is zero in degrees above i. This implies, by Prop. 3.1 that M is zero in degrees above i. By i) and (2.2i) we may then replace M by M, that is suppose that M is normalised. By (2.2ii) we see that that W{M) fulfills the conditions of lemma 3.2 and hence belongs to Dc(S—R). Finally, if M £S^ — R. belongs to Dc{S—R), then we have just seen that H^{M) fulfills the conditions of lemma 3.2. Furthermore, M -^ M is essentially an isomorphism so by i) H^{M) -^ M has essentially zero kernel and cokernel. Conversely, if H^{M) fulfills the conditions of lemma 3.2, then it belongs to Dc{S—R)j and so does M, being essentially isomorphic to H^{M) by assumption. Q.E.D.
Corollary 3.5. r>,- and r
Q.E.D.
Remark: The reader should be aware of the fact that r>i and r
Q.E.D.
208
TORSTEN EKEDAHL 4. The tensor formalism.
In this section we will assume B and that R is commutative. Remark: The reader will have no problems in providing variants of the commutativity assumptions so as to cover for instance the case where R is a group ring for a finite group. Definition ^.1. If A holds let * be empty and if not let it be e+. i) Let MeD-'*{S^-R.) and NeD*{S^-R.) (or vice versa). Put M^^N
:=
ii) Let MeD'^iS^-R.)
L7r*{R7TM(^^R7r^N).
and NeD-^{S^-R.).
RHomj^(M.N)
Put
:= LTT''RHomj^{RTv^M,
RTT^N).
Clearly {—)^R{—) and RHorrij^i — , —) factors to give bifunctors on D{S—R) and we will use the same symbols to denote these. P r o p o s i t i o n 4.2. If A let * be empty and if not let it be e+. i) Let MeD-'*{S^-R.) and TV G D * ( 5 ^ - i ? . ) (or vice versa). The natural morphism
is an isomorphism. ii) LetMeD*(S^-R.)
and N eD+'*(S^-R.).
Rn®R{RHomR{M,N))
The natural morphism
^ i?^omii„((fln(8)fiM), (i?„(g)^Ar))
is an isomorphism. Proof. Using (1.4), (1.5ii) and (2.3) we get Using the definitions and (1.5ii) respectively we get Rn®R{M^^j,N)
=
Rn®nR^.{LiT'{R^.M®^j,RT:,N)).
Now, as we saw in the proof of (2.3) L7r*Rn -^ 7r*Rn is essentially an isomorphism and so Rn(S^RR7r,{L7r%R7r,M(^^R7r,N)) Rir,iir*{Rn)^^L7r*{R7r,M^^R7r,N))
=:
THE ADIC FORMALISM
209
is essentially an isomorphism. Finally we get i?7r*(L7r*(i2„)(g)^ L7r*(i27r*M(g)^i?7r*Ar)) = R7r4L7r%Rn®^{Rir.M^^Rir,N)))
= (i2n(8)^M) 0 ^ ^ ( 7 2 , 0 ^ TV).
Similarly we get R„^^RHomj^(M.N) = Rr..i^^RHomj^(RTT^M, RTT^N). As Rn locally has a finite free resolution it follows that this equals RHomj^iRw^M, Rn^j^Rir^N). We then finish by the following lemma. RHorn Q.E.D.
Lemma 4.3. Let PeD{S-R)ut RHomj^(P.Q)
and QeD"^{S-Rn). rr
Then
RHomj^(Rr.i^^P.Q).
Proof. This is simply "trivial duality" for the morphism (5, R) -^ {S,Rn) of ringed toposes. As this morphism has locally finite Tor-dimension and finite cohomological dimension the formula is valid (cf. [Ek:0.3.1]). Q.E.D.
Proposition 4.4. i) Let MeD(S^-R.) RHomR{M,N)
and NeD+{S^-R.).
- RHomR(R.,RHomj^(M,
Then
N)).
In particular J if we let R denote the image of R. in D(S — R) and M £ D{S-R), NeD+{S-R) HomD(s-R){R, RHomniM, ii) Let MeD{S^-R.),
N)) = Homn(s-R){M,
NeD-{S^-R.)
RHomj^jMi^^N.
and PED^^{S^~R.).
P) = RHomj^(M. RHomj^lN,
In particular, (—)0/^A^ and RHomj^jN, R).
N).
P).
(4.5) Then (4.6)
—) are adjoint functors on D(S—
Proof. We have Rir.Lw''RHompf(R7r.M,RTC^N)
= Rir.RHomi^(L7r*RTi.M.
RHonijiiRir^M,
= Rn^RHomj^
Rir^Ln'Rv^N)
RHornji(M,N)
LTr*R7r.N) =
{Ln*R7r^,M, Lw*Rw^N) =
210
TORSTEN EKEDAHL
and applying RT{S,—) we get i). To prove ii) I first claim that if M G D{S—R)iit and N£D'^(S—R)iit, then the morphisms 6:L7r*RHomj^(M,N)
-^
LTT*RHomR{M,R7r^L7r''N)
and ^P: LTr""RHornj^iRir^Lw*M, N) -^ LIT*RHornj^{M, N) are isomorphisms. Indeed, it suffices to show that in{) and iJ^(t/>) are isomorphisms for all n. By the proof of (4.2) these are isomorphic to RSorHRARn^RM.Rni^RN) ^ RHomRARn®RM,Rn^^R7r,L7r*N) (resp. . . . ) and as Rn^RN-^Rni^J^LTT^N is an isomorphism so is i?^(g)^7V = R7r,7r-\Rn(S)RN)
-^ Rir,{Rn^^L7r*N)
=
Rn®RR^.L7r*N, We can now prove ii) by the diagram L7r*RHomji(R7rM.RHomji(Rn^N.R7r^P))
L7r*RHomj^(R7r^M^^R7r^N, LIT* RHorrtj^lRTTM. RTT^LTT* RHomj^lRTT^N.
L7r*RHomj^(R7r^L7r''(R7r.Mi^^R7r.N),
^==^
RTT^P) RTT^P))
RTT^P),
where the right vertical map is defined by requiring the diagram to be commutative and the left vertical is LTT* applied to the adjunction map. Q.E.D. By i) RHomj^((—), (—)) induces a bi-functor on D{S—R) which we will denote RHomj^(—, —). Note that H°iRHomn{-, - ) ) = HomDis-R)i-, - ) • We can now summarise the results of this section. T h e o r e m 4.7. i) (—)07^(—) and RHomj^j—, —) resp. RHomj^(—, —) are exact bi-functors defined on {D-{S-R) resp. D{S-RyP
X D{S-R))
x D+(5-i?).
\J {D{S-R)
x
D-{S-R))
THE ADIC FORMALISM ii) IfM£D{S-R)
and NeD-^{S-R)
Homo^s-R){M,N)
=
211
then
H\RHomR{M,N))
and RHomR{M, N) = RHomR{R, RHomRJM. hi) IfMeD{S-R),
NeD-{S-R)
RHomR(M{^^N.
and PeD-^{S-R)
P) = RHomRJM. RHomR{N,
N)). then P)).
iv) The functor Rn®R{-yD{S-R)
--
D{S-Rn)
takes ( - ) ( 8 ) ^ ( - ) to ( - ) 0 ^ ^ ( - ) and RHomj^(-.-) to RHomj^J-.-) and the isomorphisms of ii) and Hi) to the corresponding isomorphism for Rnv) If C C D(S — Ri), a triangulated subcategory, is closed under {—)^R (—) and RHorriRi{—,—), then D(S—R)c (cf the paragraph after proof of (3.1)) is closed under (—)0/?(—) and RHomRJ — , —). Proof.
Q.E.D.
5. Functoriality. Suppose now that T is another topos and f:T —^ S a morphism of toposes. We ring T by f*R and then the conditions we have assumed for {S,R) will be true for {TJ*R), if B is true for {S,R) then it is true for (T, /*i?), whereas A may or may not be true for (T, f*R) even if assumed for (5, R). In any case it is clear that Lf* and Rf^ preserves i^-complexes as well as essential isomorphisms and so induces maps D{S—R) —^ D{T—f*R) resp. D{T-f*R) -^ D{S-R). We also have T h e o r e m 5.1. Assume condition B and that R is commutative.
i) i r takes ( - ) 0 ^ ( - ) to (-)(8)J.fl(-). ii) Let C C D{S—Ri) be a triangulated subcategory and suppose that Lf* restricted to C takes RHoniR^i—, —) to RHOITIJ^RJ—, —). Then L/* restricted to D{S — R)c takes RHOITIRI—, —) to RHomf^RJ—, —).
212
TORSTEN EKEDAHL
Hi) Let C C D{S-Ri) and C C D ( T - / * i ? i ) be triangulated subcategories and suppose that Lf*C C C resp. Rf^C C C. Then LrD{S-R)cCD{T-rR)c' resp. RUD[T-R)c'QD{S-R)c-
Proof. We certainly have maps defined properly. We then use that Ri^jii—) is conservative. Q.E.D.
6. T h e ^-adic formalism. We will now assume that 5 is the etale topos of a coherent scheme and that Ri is a torsion sheaf For a separated morphism of finite type (cf [SGA4:XVII,App]) f:T-^Swe can define the functor Rfr.D{T-fR)
-^
D{S-R)
for which an obvious analogue of (5.1 ii) is valid. Furthermore, copying [SGA4:XVIII] we can define Rf as follows. First we note that the category of i^-modules is equivalent to the ind-category of those i?-modules M. for which Mn is a constructible i^n-module for each n and is zero for sufficiently large n. Then we define the modified canonical resolution of an i^-module M. as the system {C^{Mn)} (cf [SGA4:XVIII,3.1.2]). The construction of [SGA4:XVIII,3.1] now goes through and we get the duality formula (cf [SGA4:XVIII,3.1.10]): RhRHomj.j^(KJ-L) for KeD-{T-PR) D-{S-Rn) and
and LeD+{S-R). NeD+{S-R)
= RHomj^(RfJ<.
RHomf.R{NJ-M)
(6.1)
Furthermore, we have for
RHomj* R^ (M, Rf(RHomj^(Rrr, RHomR^{RfN,RHornji{Rr,,M))
L).
Me
M)) =
= RHomR{RfiN,M)
= RHomf^pjN.RHomRJRr,.,
= fN)).
from which it follows that f'{RHomR{Rn,R)^RM)
= riRHomjiiR„,R))0^.j,fM,
(6.2)
THE ADIC FORMALISM
213
where the point is that the first / ' is computed on D(S — Rn) and the second on D(S — R). We will now specialise even further to the case of largest practical interest. Let therefore 5 be a regular scheme of dimension 0 or 1 and let Schs be the category of 5-schemes of finite type and separated Smorphisms. Suppose furthermore that i? is a constant ring, commutative, local and regular, that m is its maximal ideal and that i^i is of positive characteristic invertible in Os- Finally, we let c C Ri—mod be the category of constructihle i^i-complexes. T h e o r e m 6.3. Let X, Y ESchs, f:Y—^X a morphism and let 7r:X -^ S be the structure morphism. i) There is a triangulated category Dl(X — R) with a conservative triangulated functor Ri(^ni-y-Dl{X-R)^DliX-R,). Furthermore, D\{X-R) has a t-structure (cf. [BBDiDef. 1.3.1]) whose heart (loc. cit.) is equivalent to the category of m-adic constructihle sheaves (cf [SGA5:V,3.1.1]) and for which every object of D\{X-R) has finite amplitude (i.e. D\[X-R) = \jDl{X-R)^' = {}D\{X-R)^'). ii) There are triangulated functors i-)0R{-y-DliX-R)
X Dl{X-R)
RHomj^(-.-):Dl(X-RYP
x DI{X-R)-^
^
DliX-R)
resp. DI(X-R)
and RXEDI{X — R) such that (—)0^(—) is coherently commutative and associative, Rx Sicts as a unit for (—)®/^(—), RHomiRY, —) = id and there are natural isomorphisms RHomj^(M^^N.
P) = RHomj^{M, RHorrij^iN. P))
RHomj^{Mi(S}RM2,Ni^^N2)=
Furthermore, the functors Rn^ji{—) (-)®H(-))
to
(g)
RHom(Mi.Nj).
J^ctp
RHorujii-,-)
resp. Rs
214
TORSTEN EKEDAHL in) There are functors fuU:Dl{Y-R)-^D\{X-R)
and f,S*:D\{X-R)^Dl{Y-R) functoriai in f and for which f.RHomjM.
f'm
=
RHom(f»M.N)
r(M(g)^iv) = rM^^f^rN rRHomj^(M.N)
=
RHomjf(f*M.f*N)
f'RHomf^(M,N)
=
RHomRifMj'N).
If Y'
Y
f X'
X
is a cartesian diagram in Schs then g*f,M = f!g'*M and
g'J' M = fg.M. Finally, RHomj^(—, TT^R.g) is a bidualizing functor and Rn®R{—) applied to these functors give the corresponding functors for D^^{S—Rn)iv) The axioms of [BBD:1.4.3] are verified and hence a theory of perverse sheaves can be developed (i.e. Dl(S—R) may be used in [loc. cit.:2.2.4] and onwards). Proof. Everything that has not aheady been proved is done by defining the appropriate maps and then applying Ri^ji{—) to see that they are isomorphisms. For the latter fact the appropriate references are [SGA4:XII,5.1] and [SGA4:XVIII,3.10,3.1, 3.12, 3.2]. Q.E.D. Remark: In a similar vein one can develop the usual formalism of vanishing cycles.
THE ADIC FORMALISM
215
7. The punctual case. In this section we will give some conditions under which a certain nice category of literal i^-complexes is equivalent to the category of i^-complexes (with some finiteness conditions). Examples where this condition is fulfilled is the punctual topos but also the topos of sheaves in the classical topology on a C-scheme of finite type (which will be shown below). To simplify matters let us assume that R is a, constant ring, commutative and noetherian with Ri of finite length and such that m^/m^'^^ is projective over Ri. Let also c C S — Ri he a, noetherian subcategory closed under kernels cokernels and extensions. We will say that M £ D*{S—R)iit is a c-complex if RI(SIRM eDl{S-Ri). Consider now the following condition: There is an integer N such that for every M £ c there is a set of generators 5^"" such that if U E 5^"" then H'{U,M) = 0 if i > 0, (*) H^(U,M) is a finitely generated i^i-module and W{U,K) — 0 for all Kec and all i > N. If M £ D* {S — R)iit then we say that it is complete if the natural map M —^ R7r^L7r*M is an isomorphism. We denote the category of complete c-complexes D^(S — R)jit' Theorem 7.1. Assume that (5, JR, c) MRUs (*). i) LTT* and RTT^ give inverse equivalences between D*{S—R) and D:iS-R)uf ii) Dl(S — R)iit is closed under r^i and T 0. It will then be enough to find a set of generators S^^^ of S such that if ^ G 5^"^ then H'(U,Mn) = 0 for n,i > 0 and H^{U,Mn) is of finite length as follows from (1.2). For this it will be sufficient to show that there is some 5^^" such that H^{U,gr M) is zero if f > 0 and of finite length in each degree if z = 0, where the filtration on M is the standard filtration {m^M} and the cohomology of a graded object is taken degree by degree. However, again gr M has a resolution by induced modules and if we take such a resolution of length > A^, choose an S^^^ as in (*) which works for the sum of the objects in c that we induce and then use that H\U,grR^^ M) — 9''^ R^R H\U,M) (as
216
TORSTEN EKEDAHL
^n^^n-fi ^g ^ projective i^i-module) we conclude. If now M £S — R belongs to D*{S—R)iit then by ii) LTT^M is concentrated in degree 0 and thus R7r^L7r*M -^ i?7r*7r*M is an isomorphism and hence M = lmi{Rn(^jiM}. We, of course, also have M/mM G c. Conversely, if M = l i m { i 2 n 0 ^ M } and M/mMEc then by passing to the associated graded object and arguing as before we get that Ri^j^M £Dc{S—Ri) and by the proof of (2.2iii) RIISIRM = i?i0^L7r*M and so L7r*M G Dc{S—R) and as we have a spectral sequence Tor3''^{grR,grM) => grTor^{R,,'K-^M) we get that I/7r*M has amplitude [0,0] and so by ii) R7r^Ln*M = 7r*7r*M = M. Q.E.D. Let us now verify (*) in the cases mentioned above. In the first case when S is the punctual topos and c is the category of finitely generated Ri-modules (*) is quite obvious. The case where S is the topos of sheaves in the classical topology on a C-scheme of finite type and c is the category of algebraically constructive Ri-modules is somewhat trickier. I will sketch a proof explained to me by Deligne. Firstly, we may choose N to be the dimension of S. Secondly pick a point a: on 5 and let M be a constructible iZi-module on S. We may triangulate a neighbourhood of x such that M is constant on each (open) simplex and x is a vertex. This implies that there is a basis of neighbourhoods of x for which 5 as well as M are conical; the neighbourhood L'^ is a cone with vertex x and outside of a?, M is the puUback of a sheaf on the base of the cone. The inclusion of each such conical neigbourhood in any bigger conical neighbourhood (for the same triangulation) is a homotopy retraction with the retraction as well as the homotopy compatible with the sheaf. Hence the cohomology of each of these neighbourhoods is the same and as the cohomology converges to the cohomology of the vertex, the cohomology of any conical neighbourhood is trivial and the module of sections is of finite length. With a little more work we will get the following theorem. T h e o r e m 7.2. i) Let S he punctual and c the category of finitely generated Ri-modules. Then Dl{S — R) is equivalent to Z)*^^(5 —i2)ht where R is the m-adic completion of R. This equivalence respects the natural t-structures as well tensor products and internal Hom^s. ii) Let S be the topos of sheaves in the classical topology on a Cscheme of finite type and c the category of (algebraically) constructible Ri-modules. Then D*{S—R)is equivalent to D*{S—R)ut, the R-complexes with constructible cohomology, where R is the m-adic completion of R. This equivalence respects the natural t-structures as well the tensor products and internal Horn's.
T H E ADIC FORMALISM
217
P r o o f , i) is obvious. As for ii), by (7.1) it will suffice to show t h a t M E S — R — mod is a constructible /^-module iff M/mM is constructible and M = l i m { M / m " M } . Assume first t h a t M is a constructible i^-module. T h e n certainly M/mM is constructible. Consider, the exact sequence of prosystems 0 -^ {m^'M} — > M — ^ {M/m''M} -> 0. The argument just given shows t h a t there is a subbase of S such t h a t for any member U H^{U,m^M) = 0 and so we get an exact sequence 0 -^ limr(C/, m " M ) — ^ T{U,M)
—^ \unT{U,M/m''M)
—.
Wr([/,m"M). Now, r{U^M) is a finitely generated ii^-module. Furthermore, the topology defined by {T{U, m^M)} is separated as each stalk of M is a finitely generated i^-module and so separated in the m-adic topology. These two facts taken together imply t h a t the topology defined by {r(/7, m'^M)} equals the m-adic and so lim{r(^,7?2"M)} =lim^{r(C/,77i^M)} = 0. This shows t h a t M — lim M/m^M.
Conversely, suppose t h a t
is constructible and M = Mm. M/mP'M.
M/mM
We prove by induction on the
support of M/mM t h a t M is a constructible i^-module. By passing to the associated graded module one shows that there is a non-empty open algebraic subset U of S such that the restriction of M/ml^M t o U is locally constant. If j:U -^ S is the inclusion it is easily seen t h a t j*M is locally constant and hence constructible. Consider now the cokernel N of j^j*M -^ M. By what has already been proved, j^j*M being constructible is in D*(S—R)iit and as D^{S—R)ht is stable under canonical truncations N is in Dl{S—R)iit> However, N/mN has smaller support t h a n M so by our induction assumption A^ is constructible and then so is M . Q.E.D. BIBLIOGRAPHY [BBD] [De] [Ek]
A. A. Beilinson, J. Bernstein, P. Deligne, "Faisceaux pervers", Asterisque 100 (1983), 1-172. P. Deligne, "La conjecture de Weil. I F , Publ. Math. 52 (1980), 137-252. T . Ekedahl, "On the multiplicative properties of the d e R h a m - W i t t complex. I F , Arkiv for matematik 2 3 (1985), 53-102.
218
TORSTEN EKEDAHL
[111]
L. lUusie, "Complexe cotangent et deformations II, SLN 283, Springer-Verlag. [SGA4] M. Artin, A.Grothendieck, J.-L. Verdier, "Seminaire de geometrie algebrique du Bois-Marie 1963/64 , Theorie des iopos ei cohomologie eiale des schemas, SGA 4,, SLN 269, 270, 365, Springer-Verlag. [SGA5] A.Grothendieck, "Seminaire de geometrie algebrique du Bois-Marie 1965-66, Cohomologie i-adique et fonctions L, SGA5, SLN 589, Springer-Verlag.
Department of Mathemathics University of Stockholm Box 6701 S-113 85 Stockholm SWEDEN
F-Isocrystals on Open Varieties Results and Conjectures
GERD FALTINGS * Dedicated to A. Grothendieck
1. Introduction (a) In this paper we want to present some results and conjectures about crystalline cohomology. In particular, we shall show that many results from £-adic etale cohomology have analogues, like the Lefschetz traceformula, unipotence of monodromy, and the theory of weights. Our results are a sequel to the paper [Fa2]. However, there are some differences between the approaches taken. First of all, in [Fa2] we are mainly concerned with Zp-valued cohomology, and show at the end how results carry over to the Qp-adic theory (which works under much more general circumstances, but gives weaker results as we neglect p-torsion). Also, in [Fa2] the results are fairly complete, that is we show pretty much the results one can hope for. Finally, we were mostly interested in the relation between crystalline cohomology and p-adic etale cohomology. In contrast to that, here we basically use Qp-cohomology, and only mention in passing how to extend to the Zp-theory. Also the results are more incomplete as many interesting conjectures remain open. Finally, the most interesting results concern crystalline cohomology purely in characteristic p, that is our crystals need not be filtered in general. However, the relation between crystals and Galois representations uses filtrations, which we of course may add to our data but which at this point have little relation to the rest. However I would like to mention that this was my main motivation for exploring the subject, and only during the course of work has it turned out that most results can be shown using only crystalline techniques. * This work was supported in part by the National Science Foundation grant DMS-8502316.
220
G E R D FALTINGS
(b) Our basic concept is t h a t of a convergent F-isocrystal, as introduced by P. Berthelot and A. Ogus. It is a p-adic analogue of Q^-adic etale sheaves, where however there are still some unresolved technical difficulties which prevent the theory from being as nice as one would wish. In the next section we introduce some notation and explain what is already known. In particular we try to explain the "logarithmic viewpoint". It is known t h a t many facts about smooth proper varieties have analogues for open varieties, provided one can compactify them by adding a divisor with simple normal crossings. For example, one must replace differentials by differentials with logarithmic poles at infinity, etc. We do this a little bit more systematically by introducing logarithmic analogues for some classical concepts in commutative algebra. For exam^ple, we explain the universal property of differentials with logarithmic poles, and how they are related to logarithmic crystalhne cohomology. As a bonus, our understanding enables us to prove t h e Lefschetz trace-formula for Frobenius acting on the cohomology of a convergent F-isocrystal. After t h a t we study the monodromy of convergent F-isocrystals, which is very similar to the etale situation. In particular we obtain unipotence of monodromy. If we consider filtered jF-isocrystals (the analogues of variations of Hodge-structures) the situation is similar to the classical one over the complex numbers (as in W. Schmid's analysis of degenerations [S]), as we know very little about the interaction between monodromy and filtration. However in some cases (corresponding to Hermitian symmetric domains) the given d a t a force monodromy to behave well, and we can apply this to study degenerations of associated Galois representations. This suggests t h a t there might be an underlying theory of p-adic symmetric domains. However so far only V. Drinfeld's example [Dr] is known, and this question requires further investigations on which I later intend to report. After t h a t we apply the theory to singular varieties with stable (or more general "allowable") singularities. T h e logarithmic philosophy allows us to guess what their cohomology should be, and this can be shown under some circumstances. Unfortunately most things remain conjectural, as it is in the etale theory. However I have recently learned t h a t M. Fontaine and K. K a t o have obtained positive results in this direction. Finally, we extend the theory of weights and show as much as possible of the crystalline analogue of the Weil conjectures. Here we follow very closely the etale theory in [De]. (c) Almost everything in this paper is based on the work of A. Grothendieck. Let us only mention etale cohomology, crystalhne cohomology, the relation between crystalline cohomology and p-adic etale cohomology (the mysterious functor), and the philosophy of weights. Besides these, a tremendous amount of this author's mathematical education came from studying "EGA" and "SGA", so it seems quite proper to dedicate this paper to A. Grothendieck.
F-ISOCRYSTALS ON O P E N VARIETIES
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2. P r e l i m i n a r i e s (a) At the start we have to explain "logarithmic commutative algebra" . We want to apply it to define the crystalline cohomology of smooth varieties with simple normal crossings divisors. For this we have to consider P D - e m b e d d i n g s of those, and in such cases naturally logarithmic structures come u p . It turns out t h a t many notions of classical commutative algebra have a logarithmic analogue. T h e basic objects consist of a (commutative and unitary) ring A, a finite set {P^ |^ G i^} of projective rank one A-modules (indexed by L), and elements x^ £ P^. A m a p from {A.P^^x^} to {B^Qm.ym) is given by a ring homomorphism A -^ B^ integers e^^ > 0 and isomorphisms P^^AB = <^meMQm '^"^ sending x^^l to flrnGM Vm ^^^ • T h e e^^ define a morphism e: Z^ —> Z ^ . T h e composition of homomorphisms is the obvious one. All the d a t a are essential for defining a morphism, although sometimes we shall be lax and just speak oi A-^ B. For example if / C ^ is any ideal we can form B = A/I^ Q^ = P^/I • P^, etc., and obtain a homomorphism from A to B (which is the identity on index sets). We call this taking the quotient. Another operation (named reindexing) consists in starting with {B,Qm,ym}^ prescribing integers e^^ and then closing B = A^P^ and x^ in such a way t h a t the identity defines a morphism. It has the universal property t h a t any m a p A —^ B (with index map e:Z^ -^ Z ^ ) can be factored over it. It is easy to define log-etale , log-unramified and logsmooth m a p , by requiring lifting over quotients C -^ C/I with nilpotent I (we may assume t h a t the index set for C is the same as t h a t for P , by reindexing). Also these notions easily globalize to maps between schemes. We also define the logarithmic module of differentials ^ ^ / ^ ( l o g ) - It is the universal object for pairs consisting of a P - m o d u l e A'' and a logarithmic A-map B ^>- B ^ N lifting A —^ B. To construct it we assume t h a t all P^ = A and Qm — B are trivial, as the general case follows by glueing in the Zariski topology. T h u s the x^ and 2/m are just elements of A respectively B, and we are given units u^ such t h a t in J9 ui- xi — WmGM V^ ^^"^ • Now Q ^ / ^ ( l o g ) is the universal object for logarithmic derivations, t h a t is tuples consisting of A-derivations D.B-^N (N a P-module) and elements rij^^ G M such t h a t for me M D{ym) -ym-rim and Y.^^^ ^im ' ^ ^ ^i'^d/^i for each i £ L. It is clear that such a universal object exists, and it is a quotient of B^ 0 ^B/A- I^ also follows t h a t if we have given a logarithmic A-algebra C , an ideal / C C of square zero, and a logarithmic ^ - m a p B - ^ C/I, the set of liftings B ^>- C is either empty, or a principally homogeneous space under H o m 5 ( Q 5 / ^ ( l o g ) , / ) . In the normal crossings situation we recover the usual differentials with logarithmic poles. Finally, we derive the usual relations between smoothness and differ-
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GERD FALTINGS
entials. For example, an analogue of the Zariski-criterion goes as follows: A -^ B log-smooth implies that ^B/A{^^$) is a projective J5-module, and for a log-smooth map A -^ B and an ideal I C B the map A -^ B/I = C is log-smooth if and only if the map (induced by the universal derivation) I/P -^ ^B/A(log) ^A C is an inclusion onto a direct summand. Also if we have maps A —^ B -^ C such that B and C are log-smooth over A, the map from 5 to C is log-smooth if and only if the induced map f^B/A(log) ^A C -^ ^c/A(log) is the inclusion onto a direct summand. A somehow difficult point is the construction of tensor products. Suppose we are given maps from (A,P^,x^) to {B,QmjUm) and (C^RnjZn). For some fixed index set K and index maps Z ^ —^ Z^ and Z ^ -^ Z^ (coinciding on Z^) we consider pairs of A-maps from (B^QmiVm) and (C, Rm Zn) to (D, SkjWk). We construct a universal object in case M = K, and Z^ -^ Z^ is the identity. We may assume that all P^, Qm and Rn are trivial, as the general case is again handled by glueing in the Zariski topology. Then the universal D is a quotient of B 0 A C[U^^]/ (relations)(t/„ indeterminates), and Sk = D,Wk = yk^^ (using K = M). For each n E N the isomorphism between Rn®c D and a certain monomial in the S^ (as determined by the index map is given by multiplication by Un, and the relations are determined by the fact that these isomorphisms must satisfy some compatibilities. (b) Some examples: One basic example of a log-smooth map is given by the polynomial ring. Take L =: 0 , J 5 = ^[ym])Qm = B and ym = Ym- We may also adjoin some other indeterminates. This way one sees that if for an A —> 5 we are given divisors Dm C Spec(J5) which form a relative divisor with simple normal crossings (all closed strata in the natural stratification of Spec(5) are smooth over A), then the maps A—^ B is logsmooth (L = ^,Qm = r(Spec(5), O(Dyn))J ym = !)• In fact one can show that maps A -^ B oi finite type (with L = 0) are log-smooth if and only if we have a simple normal-crossings situation (write B as quotient of a polynomial ring and use the Zariski criterion). Another example for a log-smooth map is A[X] -^ A[Yi,..., Yr] sending X to a monomial n^m"" ^^^^ gcd(e„^) invertible in A (Here L = {1},M =: [1, r], Xi = X^ym = ^m) etc.). For the proof we use the fact that both rings are log-smooth over A, and look at differentials. As an example of products, consider the case in which L = ^^K = M = N = [1, r], and B = A[Yi,... ,Yr] and C = A[Zi,. ,.,Zr\ are polynomial algebras with (t/^ -Ym.Zn = Zn). Then D = AlYm.ZnyiYi/Zi)'^^] can be obtained by first blowing up Spec(5 0 ^ C) in the subschemes defined by {Yi = Zi = 0} for I < i < r, and then removing the proper transforms of the divisors {Yi = 0} respectively {Zi = 0}. This picture persists each
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time we form t h e product in a normal crossings situation. (c) As an illustration let us define t h e logarithmic crystalhne topos. We assume, given a noetherian ring A and an ideal I C A^ admitting divided powers. We are mostly interested in the case in which A is a complete discrete valuation ring of mixed characteristics. Furthermore we assume t h a t XQ is a proper and smooth scheme over AQ = A/1, and t h a t Do = Um€M^m,o IS a divisor in XQ with relative normal crossings, t h a t is the Dm,o are smooth over AQ and meet transversally. A PD-thickening of XQ is given by an open subset UQ C XQ, a, closed P D -nilpotent immersion UQ C U into an A-scheme U such t h a t the divided powers are compatible with those on 7, and t h e line bundle Cm on U which lift 0{Dm,o)j together with global sections Xm G T(U,Cm) lifting I. This is just the logarithmic version of the corresponding definition in [Bl]. It is clear how to define morphisms of thickenings. Using Zariski coverings of each U the PD-thickenings form a site, and t h e corresponding topos is called the log-crystalhne topos ^\J.[Q/^ of X^ = XQ — DQ over A. This is an abuse of notation as t h e topos does depend on t h e chosen compactification XQ of XQ, but we hope t h a t this will not confuse the reader too much. Examples of sheaves on it are given by the structure-sheaf O, the canonical PD-ideal J C O and its divided powers, and the line bundles Cm w h i c h lift 0 ( i ) „ , , o ) .
One can also define crystals of vector bundles on X^ • /A (for example the £ m ) j and if we can embed XQ into a log-smooth A-scheme Y, these are given by vector bundles with logarithmic connection on the divided power hull Dx{Y) (a formal scheme). In general such an embedding exists locally, and one has to glue t h e corresponding data. T h e cohomology of a crystal S can be computed by the de R h a m complex as follows: cover XQ by open subsets UI^Q (indexed by some set L) and choose closed embeddings UJ^Q C VJ into smooth aflfine A-schemes V/. For any ordered sequence of elements {h, • • • Jr} C L we can embed the intersection of the corresponding UJ^Q^S into the logarithmic product (over A) of the V/'s. T h e product exists by the theory in part (a), as the divisors at infinity are all indexed by the same set M. Finally we can evaluate S on the P D hull of t h e intersection of the UI^Q'S in this product, and form the logarithmic de R h a m complex. If we vary t h e sequence { / i , . . . , /r} the global sections of these complexes glue t o a double complex, and t h e cohomology of the associated simple complex is equal to the crystalline cohomology of £. This can be shown as in [Bl], or alternatively, one easily proves t h a t this cohomology is independent of all choices, and then defines it to be the crystalhne cohomology. T h e key fact to use is always t h e crystalline Poincare lemma.
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T h e cohomology with compact support i7,*(,j.ys(X°/A,f) is defined as the cohomology of 5(g)(>Ci 0 • • '^Cm)~^, and the usual methods show t h a t this is dual to the ordinary crystalline cohomology (Poincare duality). Finally, there is a third variant corresponding to taking the cohomology of the direct image under XQ C X Q , as opposed to the cohomology of the derived direct image or of the extension by zero. To define it we have to explain residues. Embed (locally) XQ into a smooth ^-scheme Y and lift some component Dm,o of Do to a smooth divisor Dm C Y. For any sheaf ^ on y with logarithmic connection V \ T ^ T ^ Qy/yi(dlogZ)rn) the composition of V with the residue map r^y/^(dlog£)y„) - ^ OIQ^ defines an endomorphism Res(V, Dm) of ^(8)(!7p^. It extends to maps from £ ^ 0 Q y / ^ to ^ (g) Q ^ /^, and their kernels form a sub complex of f (g) Qyy^(dlogDm) contained in 5 0 ^y/^i- A logarithmic map between Ys (respecting the embeddings of X Q ) induces a quasi-isomorphism on this complex, so we can use it to define the crystalline cohomology of the intermediate extension of f along DmSimilarly, for a logarithmic connection V \ T —^ T ^ r2y/^(dlogD), if we lift all of Do to a normal crossings divisor D (the other components of D do not interfere) we get maps R e s ( V , D ^ ) : T 0 ^ y M ~^ T ® Q ^ ,^(dlogcx)). They "commute", and if we partition M into three disjoint subsets Mx^M^ and M3 we may define the de R h a m cohomology of the intermediate extension along M2 and with compact support along M3 as t h e cohomology of the intersection of the kernels of all R e s ( V , D m ) for m G M2, in the complex (0m€M3>Cm)"^ (g) J T ^ Q^^^(dlog(Mi -f M3)). Applying this to the T given by evaluating on Dx{Y^ a crystal £ of vector bundles on XQ/A, we define the crystalline cohomology of £ with partial intermediate and partial compact support along the boundary. Again one checks t h a t it is independent of the choice of the smooth embedding. If such an embedding does not exist globally we can embed locally and form a double complex, as above. (d) Crystalline cohomology is functorial. By Poincare duaUty, the pullback maps have adjoints. We can give an explicit description of such an adjoint in a special case, namely t h a t of an inclusion of a smooth divisor ZQ C XQ which is transversal to the divisor at infinity D Q . For this we assume t h a t £^ is a crystal of vector bundles (with the usual abuse of notation) on XQ = XQ — DQ. If we embed XQ into a smooth yl-scheme Y, and lift ZQ and Do to Y, we obtain on Y an exact sequence of complexes (with J- = £{Dx{Y)))0 - . :F®nir^^{d\ogD) -^ J^(g)fi;./^(dlog(D + Z ) ) -> Q^'T^(dlogD) ^ - 0 , and on the cohomology we obtain a connecting homo-
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morphism from the cohomology of the third non trivial t e r m to t h a t of the first. As this complex is functorial, this connecting homomorphism is independent of the embedding XQ C Y, and if such an embedding exists only locally we can still use our methods to define a global extension of double complexes. So all in all we have defined a m a p (of degree two) from the crystalline cohomology of S\Zo to t h a t of ^ . T h e same construction works for cohomology with compact support, or mixed support along different parts of D. One can easily show (by tracing definitions) t h a t the resulting m a p is the adjoint (under Poincare duahty) of the restriction m a p from the cohomology of XQ to t h e cohomology of ZQ. We would like to apply this to the diagonal AQ in XQ X XQ if XQ is a relative curve. Unfortunately A Q does not meet transversally t h e divisor at infinity, b u t t h a t can be repaired by blowing u p XQ X XQ along all subschemes Dm,o x Dm^o^'nfi G M. On the result YQ we have as divisors the proper transform ZQ of AQ (isomorphic to A Q ) and t h e divisor at infinity which consists of the proper transforms D^\ of the divisors at infinity on XQ X XQ and of the exceptional divisors Em,0' For a crystal of vector bundles S we may consider the log-crystalline cohomology of the pullback of p r * ( f ) 0 pr2{S^) on YQ. As support condition we want no condition along D ^ Q, compact support along the D^ Q, and any support (no condition, intermediate, or compact support) along the Em,0' One checks t h a t each time the resulting cohomology is t h e same, namely equal to H*^^^{XyA,S)^^AH*^^^^{XyA,S''), O n t h e other hand P'^ii^) ^ P ^ 2 ( ^ ^ ) l ^ ^^^ ^^^ canonical parallel global section, namely t h e identity m a p in E n d ( ^ ) . If we prescribe at least intermediate support along the Em,o our construction above maps this to a class in degree 2 in H':-(X''/A,S)^ ®A H:''(X^/A,8''), which under Poincare duality crio I Clio corresponds to an endomorphism of H* • (X^/A^£). One checks t h a t this endomorphism is the identity, t h a t is t h a t we have given a geometric construction of t h e characteristic class of the diagonal in H^ • (X^/A,S)^ <S^A H* • (X^/AjS"^). For higher dimensions we also have to blow up t h e diagonal in XQ X XQ , and then these methods again give a geometric description of the pullback of its characteristic class. Finally we should mention t h a t there are also relative versions: Suppose XQ and YQ are proper smooth AQ- schemes, with divisors with normal crossings Do C XQ and EQ C YQ. Assume furthermore t h a t we have an Ao-map f : X —^Y with /(XQ) C YQ. We can evaluate t h e direct images of a crystal £ of vector bundles on XQ on a P D -thickening YQ D VQ C V as follows: Consider the site consisting of a PD-nilpotent log-thickenings XQ D UQ C U and logarithmic PD-maps U -^ V extending / . £ defines a crystal on this situs, and we may form its cohomology which defines a
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presheaf on V. The associated sheaf (in the Zariski topology) on V is the desired restriction of the direct image. In particular, if /~^(Vb) embeds into a log smooth F-scheme U this direct image can be computed by the relative de Rham complex £{Dx{U))^Q'^,y{d\ogoo). In general we do not have such an embedding, but by the usual methods we can embed locally and then form double complexes. It also follows that if / is log-smooth the direct image forms a crystal in the derived sense, that is for any map of thickenings g : Vi —^ V2 the direct image on Vi is obtained by applying the left derived function L^f* to the direct image on V2. The individual direct images (that is the cohomology groups of the derived image) form crystals themselves if they are all locally free on sufficiently many thickenings V, for example on a set of smooth A-schemes V which cover Y, (e) Strictly speaking, the crystaUine theory outlined above is a mere illustration, as we shall be more interested in convergent isocrystals and convergent F-isocrystals, as introduced by P. Berthelot ([B2]) and A. Ogus ([O]). We now assume that A is a complete discrete valuation ring of mixed characteristic, with perfect residue field k of characteristic p > 0. Also, I C A denotes a non trivial ideal, usually the maximal ideal, and AQ = A/1. If XQ is an Ao-scheme, an affine enlargement of X is given by a torsion free A algebra J5, an ideal J C 5 , such that B is J-adically complete and which is nilpotent modulo pB, and a map Spec(jB/J) —^ XQ. A convergent isocrystal £ on XQ associates to any such enlargement a B 0 Q-module S{B)^ such that for maps Bi —^ B2 of enlargements (whose definition is obvious) we have S{B2) — £{Bi) (g)^^ B2. It is called of finite type, or a finite presentation, or a crystal of vector bundles if all £{B) are either of finite type, of finite presentation, or finitely generated and projective over JB 0 Q. As usual it suffices to check that for suflficiently many enlargements. For example, we may choose local embeddings XQ D JJQ = Spec(C/J) C Spec(C) into smooth A algebras C, and take B = Ce — completion of C\p~^ • J], for all small e > 0. Here for e of the form 6 = 1/n C[p~^'J] stands as abbreviation for C[J^/p]. From now on assume that XQ is smooth over AQ. Then the 5's coming from local liftings to a smooth formal A-scheme are sufficient for testing. Also in this context a convergent isocrystal of finite type can be defined by giving its values on these B^s: These are finite modules with integrable connections "converging in the open unit disk", and subject to certain glueing conditions. They are in fact locally free. The fitting ideals of the S{B) are stable under derivations, so they must be equal either to (0) or to 5 0 Q. We can define the crystalline cohomology of a convergent isocrystal using de Rham cohomology. That this is independent of choices follows from the Poincare lemma for the open unit disk. There are however slight problems, as we do
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not know whether the cohomology of a finitely generated S is itself finitely generated, even if XQ is proper over AQ. We only can show finiteness under some additional assumptions, for example if Xo is proper over AQ and lifts to a smooth proper A scheme X, Then we are dealing with de Rham cohomology on the general fibre. In fact, it suffices to have a lifting after finite faithfully flat base change A ^>- A', Note that this always holds for smooth curves. More generally, for a map / : XQ —» Yo we can define direct images (using de Rham cohomology), but again finiteness only can be assured under suitable assumptions, namely, that / is proper and smooth and lifts to A locally in the etale topology on YQ. Note that this holds for fibrations by smooth proper curves (i.e. proper smooth maps of relative dimension one), as they are classified by a smooth moduli space. All this generalizes to the logarithmic context, using logarithmic enlargements. We obtain the usual cohomology, cohomology with compact support and intermediate cohomology. The theory is completely analogous. One minor point concerns the lifting of log smooth proper maps of relative dimension one f : XQ -^YQ. If DQ C XQ and EQ C YQ denote the divisors at infinity, and if EQ > f~^(Do) (as divisors), we can lift locally in the etale topology. This follows as the moduh stack of stable curves is smooth, and its divisor at infinity has normal crossings. One other remark is that in the logarithmic theory crystals of finite type are not necessarily locally free. There is also the question of Poincare duality. It is known ([O], th. 3.12) that there is a trace map (XQ proper and smooth of pure relative dimension d) Hl^ysi^o/A, O 0 Q) ^- yl(8) Q, but for general coefficients we do not know whether it induces a perfect duality between ordinary cohomology and cohomology with compact support. However this is true if XQ lifts to yl, so for example, for curves. Also for inclusions ZQ C XQ of smooth divisors we can use the long exact sequence associated to the inclusion of diff'erentials on XQ into diff'erentials with logarithmic poles along ZQ to define a candidate for the direct image (which actually works if we can lift), which for curves can be used to construct geometrically the characteristic class of the diagonal in ffcrysC^o/^?^) ^A-^icrysC^o/^)^^)For varieties XQ of higher dimension one can still blow up the diagonal in XQ X XQ and use this to describe geometrically the puUback of the characteristic class of the diagonal. (f) Usually the convergent isocrystals we are interested in will be Frobenius isocrystals or shorter i^-isocrystals. To define those we assume that the base A — W(]z) is the ring of Witt vectors over a perfect field k of characteristic p > 0, and A^^ — k. Then on A we have the Frobenius
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automorphism $ , and for any AQ scheme XQ, the Frobenius (called $ again) is a semilinear endomorphism. A convergent Frobenius isocrystal on XQ/A is a convergent crystal S on XQ together with an isomorphism $ * ( f ) = S. From now on we assume t h a t XQ is smooth over k. T h e n the definition makes sense also in the logarithmic context, t h a t is if we give a divisor i^o C ^ 0 with normal crossings all whose components are smooth, and consider crystals on XQ =^ XQ — DQ (with the usual abuse of notations). Note t h a t ^*{DQ) = p- DQ, SO in the definition of ^*{£) we have to locally lift ( X o , D o , # ) to a triple ( X , J D , $ ) with ^*{D):=zp'D. A general remark is t h a t convergent F isocrystals of finite type are locally free. T h e Fitting ideals of any £{B){B a log smooth local lifting with a Frobenius lift $ ) are stable under logarithmic derivations and under ^ . If we choose local coordinates ti then the first assumption implies t h a t they are generated by monomials in the ^j's, and the second t h a t they are also generated by the p-th powers of these monomials. It follows t h a t they are either equal to zero or to all of 5 0 Q. One derives t h a t these convergent F-isocrystals form an abelian category. They even form a Qp linear Tannakian category (using tensor products and internal Horn's), and fibre functors (with values in A 0 Q) can be given by evaluating at k rational points of XQ. Also for a log-smooth proper m a p / : X Q —> YQ with /~^(£'o) < DQ as divisors, the direct images W f^^^y^^S) of a finitely generated convergent F-isocrystal S on XQ/A form a finitely generated convergent F-isocrystal, see [Fa2], ch. VI, sect. d). Finally, Poincare duality works for finitely generated F-isocrystals.
(g) We now show the Lefschetz trace formula for the Frobenius acting on the cohomology of finitely generated F-isocrystals. For this we assume t h a t XQ is smooth and proper over a finite field k^ DQ C XQ a reduced divisor, and t h a t ^ is a finitely generated convergent F-isocrystal (hence locally free) on XQ/A = W{k). If k has q — p^ elements, t h e / - t h power 1^ = <^-^ of Frobenius is a ^ endomorphism of XQ with an isomorphism W*(£^) ^ £. Hence it induces an A linear endomorphism (called ^ * ) ^ c r y s {X^/A,£) -^ iy*i.ys(XoVA,^*(£:)) ^ /f*rys {X^/A.S). On the other h a n d for any k rational point x G X o ( ^ ) we can consider the puUback of S t o Spec(/:) via a:, and evaluate it on the enlargement Aoi k. This way we obtain a finite dimensional A(8)Q vector space S{x) together with a linear automorphism ^ * . T h e Lefschetz trace formula relates as usual the traces of ^ * . L e t T r a c e ( * * | / / * r y s ( ^ o M - ' ^ ) ) = E ( - l ) ' - T r a c e ( * * | i / ^ r y s ( ^ o ° M , ^ ) ) , and similarly for Trace(**|77,*crys(XoM.^))-
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Theorem 2.1. Trace(^*|i/*rys(^oM,^)) = Trace(^*|ifrerys(^oM,^))=
J2
^ace(^*|^(x)).
Proof. Let c G i^crys {XS/A,S)^A ^ i c r y s ( ^ o M ^ ^ " ^ ) denote the characteristic class of the diagonal, as constructed in (d) above. By linear algebra T r a c e ( ^ * | i f ^ r y s ( ^ o M ? ^ ) ) ^^^ be computed by applying ^ * 0 1 to c, then mapping (via cup product) to H?^j.y^{XQ/A,0) (and via trace) to A<S>^. We do this in detail for curves (which will be used in the sequel), and indicate later how this generalizes to higher dimensions. Recall the modification YQ —^ XQ X XQ constructed in (d) by blowing up DQX DQ. T h e pullback of c to YQ lies in the cohomology (in degree two) of the pullback oi prl{S) ^pr'^iS'^) to YQ, where as support condition we may choose compact support along the exceptional divisor E and along the proper transform of prJ^(Z)o)- If we relax the support condition along E to "intermediate extension" (which gives the same global cohomology) we have given a geometric construction for c, using the proper transform A of the diagonal. Neglecting boundary conditions (which would amount to allowing some logarithmic poles along the proper transforms of p r ^ ( ^ o ) and pr^^(Z)o), but does not change the final result) locally we get an extension of complexes 0 -> prl{S) 0 pr^iS"^) 0 ^Y/A - ^ ? -> O A [ - 1 ] - ^ 0. Now {^,1) : XQ -^ XQX XQ lifts to a m a p into YQ, and the image meets A precisely at the points x G ^ o ( ^ ) (and not at infinity). If we pull back by ( ^ , 1) the extension above we obtain an extension of Oxo{k)[~^ by the complex computing the cohomology of intermediate extension of E n d ( ^ ) , and pushing forward via trace we get an extension of C^XO(A:)[~"1] by the complex computing /f^rysC^oMj O). This gives a class in //"crysC^oMj O) which is equal t o the sum, over all x G ^ o ( ^ ) ^^ Trace(\t^* |5(x)) times the characteristic class of x. Applying the trace m a p gives the local trace s u m in the assertion of Theorem 2.1. On the other hand this is equal to the global trace on ^ c r y s ( ^ o M ' ^ ) - ^^^ cohomology with compact support the same proof works, after replacing £ by £^ and ( ^ , 1) by ( 1 , ^ ) . In higher dimensions we also blow up the diagonal in X Q x X Q . Then the characteristic class c is the direct image (under the inclusion of the exceptional divisor) of the product of a certain Chern class and of the identity in End(£^). T h e proper transform of the graph of ^ meets this only in the blow ups of finite fixed points, and the local contributions turn out to be what they are supposed to.
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As usual we derive a product formula. For any closed point x G X Q we denote by K{X) its residue field, by A{x) ~ W(K{X)^ the ring of W i t t vectors, by 1>^A{X)IA ^^ norm, by E(x) the evaluation of 5 on A(x)^ and by d(x) — [«:(ic) : ^] the degree of x. C o r o l l a r y 2 . 2 . We have an equality of formal power series in T n
det(l - T . ^ * K y s ( ^ o M , ^ ) ) ^ ' -
II d e t ( l - T . ^ * |i7?crys(^SM, ^ ) ) ^ ' = n
^A(.)/A(det(l - (T . ^*)^(-))|^(:r))-i/<-).
Remark. This proof works for more general correspondences (respecting the divisor at infinity). However in general one also expects contributions from the infinite fixed points, which show up here in our arguments because on YQ a general correspondence may meet A at infinity. (g) Sometimes convergent i^-isocrystals are associated to p-adic etale sheaves (see [Fa2], Fol]). This occurs if XQ lifts to a smooth scheme X^ over some finite extension A' of A =: W{k). We then consider convergent F isocrystals S on XQ such t h a t E\X' is filtered. If Spec(iT^) C X ' is a suflficiently small aflBne subscheme we may form a certain filtered ring B(R) and can evaluate S on it to obtain S{B{R)). This admits a Galois action and we say t h a t S is associated to a Q^-adic smooth etale sheaf L on the generic fibre of X'^ over V if functorially in R £{B{R)) ^ B{R) 0 L (respecting filtrations and Galois actions, and after base extension, filtrations). This notion behaves well with respect to tensor products, duals and direct images under log smooth maps / : (X, D) - ^ {y,E) with f~^{E) < D. 3.
Degenerations
(a) In this section we study the behavior of logarithmic F- isocrystals around infinity. This involves mostly local questions so t h a t in general we may assume t h a t the schemes involved lift to characteristic zero. Of course we have to check t h a t our results are independent of liftings, which however will be quite easy. Assume first t h a t A = W{k) is the ring of W i t t vectors over a perfect field A: = ylo of positive characteristic p, t h a t i? is a smooth yl-algebra, and t h a t J^R-zCRisa. principal ideal such t h a t Ri = R/J is still smooth over A. Furthermore we assume t h a t we have chosen a Frobenius lift ^ on the p-adic completion R such t h a t <^(z) = z^. Now suppose M is
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a projective (of finite rank) R <S) Q -module with an integrable logarithmic connection \/ : M -^ M <S) liij/>i(dlog2:), and a parallel isomorphism ^*(M) = M which defines a convergent F-isocrystal. We want to study M on the tubular neighborhood of Spec(i?i). More precisely we know that Ri can be lifted to a subring of the J-adic completion of R so that this completion is isomorphic to iii[[>^]]. In fact one checks that there is a unique such subring (which we choose in the following) stable under <^. In the ring {Ri 0 Q)[[>2^]] consider the subring R of power series convergent for \\z\\ < 1, that is the intersection (over all e > 0) of Ri[\p~^ ' z]] 0 Q. This subring is independent of how we embed Ri as a subring into the J-adic completion of R, ^ extends to an endomorphism of Ry and we can form M = M ^R R . The reduction map R -^ Ri^Q = R/z • R induces M -> Mi = M (8)i? i2i. Note that Mi is an i^-isocrystal with connection obtained from composing V with the projection onto CljifA{dlogoo)/(R'dz/z). However the connection depends on the choice of z. If N £ End(Mi) denotes the residue of V along {z = 0} we shall see that N is nilpotent, and on the associated graded to the canonical filtration of Mi defined by N we have a canonical (that is independent of the choice of z) connection and thus a canonical structure of an F-isocrystal. L e m m a 3.1 The reduction map induces an isomorphism on $ eigenspaces (for A G 1p) (kernel of ^ - \ on M) = (kernel of ^ — X on Mi). Proof. The map is injective because if a $ eigenvector m is divisible by z, it is divisible by any power of z so that it vanishes. On the other hand if we start with mi G Mi such that ^*(mi) == A • mi, we first lift it somehow to an 772 6 M and then lini(A~'* • ^*^{m)) is the desired eigenvector in M(A ^ 0 as $ is an automorphism and the limist exists. Roughly speaking, the p power in the denominator modulo z^ is r-times the p-power in the denominator of ^ * ) . We apply this lemma as follows: if the restrictions to Ri of two Ms are isomorphic, and if this isomorphism respects the residues of the connections V along Spec(/^i), they are isomorphic over R. Applying the lemma to the internal Hom we at least get a ^*- linear isomorphism over R whose derivation is again <^*- invariant and divisible by z (by the hypothesis about residues); so it vanishes. Now for any M the residue iV of V forms an endomorphism of N of Mi, with ^*{N) = p~^ ' N, We may form the F-isocrystal Mi ^R^ R[[Z]] with ^* extended from Mi and with (<^*-invariant as ^*(z) = z^) connection V given by (extended connection 4- A^ • dz/z). Although it does not quite satisfy the assumptions of the lemma (it is not defined over ij, only over
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i^i[[z]] the proof given above is still sufficiently general to apply to it, and we derive that M is isomorphic to Mi 0/^^ R with the $* and V as described earlier. In particular we obtain a parallel endomorphisra N of M with ^*{N) = p~^ • N and M is obtained from a convergent F-isocrystal M " without poles by twisting the connection with N. It follows t h a t the endomorphism N must be nilpotent (this is essentially an argument of A. Grothendieck): it suffices to prove this on M i (by unique lifting). For any n > 0 define a convergent F-isocrystal Ln over Ri by the rule t h a t Ln has a basis (over Ri) consisting of n -f 1 parallel elements e o , . . . , e„, and t h a t ^*{ei) = p~* •€«. L„ is semisimple, the e^ generate pair wise non isomorphic simple sub objects, and any sub F-isocrystal is generated by a subset of them. By sending the e^ to A^* we define a morphism L„ —> E n d ( M i ) which cannot be injective if n is very big. So some €{ must go to zero, t h a t is A^* := 0. We remark t h a t for a different choice z* = U'z{u G R*) of the generator z oi J (which also makes it necessary to choose a different ^ ) one can check t h a t the endomorphism N oi M remains the same (mainly as it is parallel). However the connection on M " is changed by N • du/u so t h a t M " itself has no intrinsic meaning. However the successive quotients in the canonical filtration d associated to the endomorphism N (see [De], P r o p . 1.6.1). It is characterized by the fact t h a t A* induces isomorphisms Gi/Gi-i =^ G-i/G-i-i) as well as this filtration are intrinsic. We might call the resulting structure a mixed F-isocrystal analogous to mixed Hodge structures. T h e same remarks apply to M f , the induced F-isocrystal over Ri. Its associated graded (under the G filtration determined by N) is canonical and isomorphic to the corresponding of M i . There are some easy generalizations. We may add other divisors at infinity (then M i also has a logarithmic connection), or we may study M near the intersection of several of the divisors at infinity (then we have several parameters zi with ^*{zi) — zf and we obtain several commuting nilpotent endomorphisms A^). Finally let us check which d a t a are independent of the chosen lift R oi RQ — R/pR, t h a t is which two different lifts give canonically isomorphic data. As a general rule this happens for everything t h a t inherits a canonical connection, and for parallel sections. In our case this means t h a t M , g r ^ ( M i ) (which are F-isocrystals) and A are independent of choices. T h e same is true for the preimages of Gi{Mi) under the projection M -^ Ml. These are isocrystals with Frobenius endomorphism, b u t not necessarily F-isocrystals. Finally M i forms an F-isocrystal if we use liftings over A[z\^ t h a t is consider isomorphisms of liftings which fix z. (b)
We could also consider filtered F-isocrystals. For these we as-
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sume t h a t given a finite totally ramified extension A' D A, and a finite decreasing filtration F* on M ' = M ^R A! satisfying Griffiths transversality. Under these circumstances we might ask whether N (as above) has filtration degree — 1 . This is true on M\ (by Griffiths transversality), and sometimes it follows because N fixes certain tensors, and any such endomorphism automatically lies in F ~ ^ ( E n d ( M ) ) . For example this happens for the cohomology of curves or abelian varieties, or more generally, for the analogues of complex Hodge structures whose classifying space is a symmetric domain. However, in general this is doubtful, as in the case of complex Hodge structures. T h e question is very interesting if M is associated to a Qp-adic Galois representation L, t h a t is M ^R B{R) = L 0 B(R) (respecting Galois and Frobenius, and, after base extension, filtration). If the theory of "associated" would work over the ring R^ N would correspond to a map (called A'' again) L(—1) —^ L. One would also derive t h a t M " is associated with a Galois representation L^ and L is obtained by twisting L" with N as follows: The absolute Galois group F of ^ is an extension 0 ^ - A —^ F —^ G a l ( y / F ) - ^ 0. Adjoining p power roots of z defines a subgroup FQO C F such t h a t Aoo = AflFoo is the kernel of a surjective homomorphism p : A —> Zp(l). To give a representation of F is the same as giving its restrictions to Foo and A, subject to the condition t h a t they coincide on AQO, and t h a t the obvious condition holds concerning conjugation by elements of FQO on A . Now L is obtained from L" by using the same representation on FQO, but changing the action of ^ G A by exp{p{S)'N). T h a t L should be associate to M " follows formally from the fact t h a t the Galois action of A on M<S!RB(R) is given by S(m0l) = exp{\/{z'd/dz)(^P(p{6))){m(^l){p : Zp(l) - ^ BiR) the canonical homomorphism). However the whole theory of "associated" has not been developed for R. Nevertheless these assertions apply after a logarithmic base change R -^ R' such t h a t in R some power of z is divisible by p. It follows t h a t the induced Galois representation of R' is obtained by twisting with N a representation which is unramified at infinity. We remark t h a t changing z by a unit u changes p by the character obtained by adjoining p power roots oft/, which is crystalline. This implies t h a t L" gets twisted using this character. It follows t h a t L" is only intrinsically defined up to such twists. However again the associated graded of the N filtration of L" is canonical. If N does not have filtration degree 1 we can still consider M i = M ®R Ri and M^ . This is associated to a representation Li of Fi = G a l ( i ^ i / i ^ i ) , related to L in the following manner. Extend the m a p R—^ Ri to R ^>^ Ri. Its kernel is a prime ideal lying over J whose decomposition group Z) C F is a semidirect product Zp(l) >
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by Zp(l) (take Ti =^ D O Too). Then the representation of Fi on Li is the restriction of the representation of F on L to Fi, A^ defines a nilpotent endomorphism (denoted by the same name again) of Li, and the operation of D on L is determined by the fact that Zp(l) operates via N. All this follows easily by applying base change B{R) -^ B{Ri) to the isomorphism M 0H B{R) = L (g) B{R). As usual Li itself depends on the choice of 2:, but it has a canonical filtration Gz(L) whose successive quotients do not. (c) As an application consider a log smooth map over A' f : (X, D) —> (y, £•), such that f^^{E) < D as divisors. The direct images of convergent F-isocrystals of vector bundles on X^ are convergent F isocrystals of vector bundles on Y^, and the formation of direct images commutes with "associated". It follows that in some cases (related to analogues of symmetric domains) for any A' rational y point of Y not totally contained in the boundary, the fibre at y of any higher direct image of a crystalline Galois representation is obtained by twisting from a crystalline representation. For example, this applies to semiabelian varieties over A'. They can be obtained by pullback from a universal object on a log smooth base (using the theory of toroidal compactifications). This twist can also be seen directly. The formal completion of such a G/A' is isomorphic to the formal completion of the Raynaud extension G, which is a global extension O^fT—^G—^B—^0 with B an abelian variety over A' and T a torus. Let X denote the group of characters of T (a free abelian group with an unramified Galois action). There exists a subgroup Y C X of finite index and a map L:Y -^ G{K) = T{K') • G{A'){K' = quotient field of A'), such that (in some formal sense which can be made precise) G is the quotient G/i{Y). L can be factored as t = ui • L2 where ii :Y -^ T{K') is given by a symmetric bilinear form b :Y x X —^ K'*, and L2 takes values in G(A'). If we assume (as we may) that the values of b are all powers of a chosen uniformiser w of A'^ the Galois representation L and L" given by the Tate module of G/K' can be described as follows. L respectively L" are the Tate modules defined by the p torsion in G{K )/t{Y) respectively G{K )/L2{Y). They both have a two step filtration with successive quotients Y<S>I.p,Tp{B) and Tp{T) = X^ 0 Zp(l). The nilpotent endomorphism N maps the first step into the last and is constructed from the extension of K' obtained by adjoining p power roots to TT via the map given by the valuation composed with 6 : y 0 X -^ Z. 4. Stable Singularities (a)
The preceding theory may be used as a model to extend to
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certain singular schemes. We would like to allow stable singularities, or more general singularities which occur in the fibres of a log-smooth m a p . To define t h e m assume t h a t AQ is a noetherian ring. Let XQ be a scheme over AQ (of finite type). We assume t h a t we have given a finite set i J , for each h £ H a.R element an G A Q , and a finite set of Cartier divisors Dm,o on Xo, parametrised by m G M/j. XQ has allowable singularities; if locally in the etale topology it is an etale cover of the product (indexed by h ^ H) oi the schemes Spec{Ao[Tm\m G Mh]/([lTm — cih)), such t h a t the Dm,o have local equation {Tm = 0}- It is easily seen t h a t locally XQ can be deformed to a log-smooth m a p between log-smooth schemes: just replace the ah by indeterminates Sh- This deformation is somehow canonical as it is versal for log-smooth deformations A! -^ B (lifting the i^m,o ^nd the div(a/i) to divisors in M and B). It also follows t h a t "philosophically" we should consider the ah as local equations for the divisor at infinity in Spec(Ao) (which is not log-smooth in general), and t h a t the Dm,o are the components of the divisor at infinity in XQ. We define the module of differentials Qxo/Aoi^^^^^ ^s the differentials with logarithmic poles along the Dm^o- A local basis is provided by the d l o g ( T ^ ) ( m G Mh -one element), so it is locally free. (b) We consider AQ together with the projective modules Ph = AQ and their global sections ah as a logarithmic ring over some A. We thus can define enlargements of AQ and convergent isocrystals. If AQ is a quotient of a complete local ring A such crystals are given by modules M^ over A[[p~^ • Th]] 0 Q (the Th ranging over those h E H ioT which ah is a non unit) with integrable connections, for any e > 0. These must satisfy the usual compatibilities, of course. If A has a Frobenius lift (for exannple if A is the ring of W i t t vectors over a perfect field of positive characteristics) we also can define F-isocrystals. If A is the ring of W i t t vectors over a perfect field k = AQ of positive characteristic p, we may apply the theory of section 3 (or rather a mild extension of it) to any F-isocrystal S of finite type over AQ/A. Evaluating £ on A = proj. h m A[[p"^ • Th]] 0 Q (with Frobenius ^ extending the Frobenius on A by ^{Th) = Tj^) we obtain a projective A-module M , with an integrable connection and a Frobenius ^ * ( M ) = M . Also M has commuting parallel nilpotent endomorphisms Nh which lift the residue of V along {Th = 0 } , and which satisfy ^*{Nh) = p~^ • Nh. (c) For a scheme XQ/AQ with allowable singularities we similarly define convergent isocrystals and F-isocrystals on XQ/A. We also can define the cohomology of such a crystal. This gives an isocrystal (in the derived sense) on AQ/A. A S usual in general we do not know very much about
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finiteness, except if XQ deforms to a log-smooth X —^ B (with f"^ (divisor at infinity) < divisor at infinity) over a log smooth (over A) enlargement of B of AQ. T h e n cohomology is equal t o de R h a m cohomology. However, for a proper XQ and a convergent F-isocrystal of finite type £, the crystalline cohomology of £ is again of finite type. Now if A is the ring of W i t t vectors over a perfect field k of characteristic p > O^AQ =: k, and A' is a finite totally ramified extension of A, we consider proper schemes XQ/AQ with allowable singularities, which lift t o such X/A'. Suppose ^ is a convergent F-isocrystal on XQ/A such t h a t S\X has filtration (with Griffiths transversahty), we may evaluate £ on B{R) for sufficiently small affines Spec(/2) C X. B(R) is formed with the maximal extension of the p-adic completion R etale in characteristic zero. It contains p-power roots of the defining equations for the Dm, which one can use to define a logarithmic enlargement for the Spec(i2). Also, B{R) has a canonical Frobenius lift. We say that £ is associated to a smooth Qp-adic sheaf L on the generic fibre of X/A if we have functorial isomorphisms respecting Galois action and Frobenius £{B{R)) = L 0 B{R), which preserve filtrations after base extension to A'. T h e whole theory also makes sense in the logarithmic context, t h a t is we add some additional divisors (smooth over AQ and intersecting transversally with the rest of infinity) to the divisor at infinity on XQ. (d)
It seems to be natural to make the following:
Conjecture 4 . 1 . Suppose A — W{k) is the ring of W i t t vectors over a perfect field Ar = AQ of positive characteristics, A' a finite totally ramified extension of A, and X a proper scheme over A' with allowable singularities and a divisor at infinity. Let XQ — X ^k denote the special fibre. If 5 is a locally free convergent F-isocrystal on XQ/A, filtered on X , and associated to a smooth Qp-adic etale sheaf L on the generic fibre of X ° , then the crystalline cohomology of ^ is a convergent F-isocrystal of finite type on AQ/A, and is associated to the etale cohomology of L on the geometric generic fibre of X^ jA!. This conjecture has been shown for the cohomology (with constant coefficients) of curves and semiabelian varieties by using deformations. If it holds, we obtain nilpotentent endomorphisms Ny^ of the cohomology, as before. If these have filtration degree —1 (as it happens for curves and semiabelian varieties) the cohomology of L is a twist of a crystalline Galois representation. However, in general this seems to be too optimistic. For example, the two-dimensional representations associated to cusp forms of weight k > 2 have filtration degrees 0 and Ar — 1, so for t h e m t h e A/'/j's
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would have to preserve filtrations, thus vanish (being strict), and the Galois representation would be crystalhne at p. For new forms on ro(p) this at least contradicts our usual expectations. However, I have not found an explicit counterexample. (e) In general we cannot expect that any convergent F-isocrystal is associated to a Qp-adic sheaf. However, sometimes this is possible, using Tp theory as in [Fa2]. The first difficulty here is that we have little control over the maximal extension RT of R which is etale in characteristic zero, for R a ring with allowable singularities over A (a complete discrete valuation ring of mixed characteristic and perfect residue field). However, we can replace it by a smaller subextension R which suffices for our purposes. This smaller subextension R is obtained by first adjoining all roots of units of R[l/p\^ and then forming the maximal extension which is almost etale over this. It is clear that it behaves functorially in R. To describe it, assume that R is etale over a tensor product of rings A[Tm|m G Mh]/(WTm — cih)) with a^, ^ A non zero (we say that R is small). We may assume that each a^ is a power of a fixed uniformizing element TT of A. Consider a filtering family of finite extensions A„ of A such that in yl„, TT has an n-th root 7r„ (and thus we can define a^ , and construct the extensions Rn oi R which are obtained by pushout from the tensor products of A[T„|m € Mu]l{Y[T^-ah) C An{TU''\m € Mh]IY[Tir(''-a]l''). They are normal, and their union i^oo has the property that it is perfect modulo p, that is Rcyo = R^ -{- p • Roo- It follows ([Fal], ch.2, sect, d) that adjoining roots of units generate almost etale extensions of i?oo) and so R is almost etale over Roo- Finally, the formation of R^o commutes with etale localisation, so for any etale map R -^ R' the induced map R^R R ' -^ R' is almost etale. It also follows that (for R small) any homomorphism Ri —^ R with Ri smooth over A extends to R^. Localize and use that in the smooth case Ri = R. Particularly, any system of equations Xf — (—p)^* J2 ^«i '^j — Vi^ with an invertible matrix (a^j G GLn{R),yi G R and numbers €{ between 0 and p — 2, have a solution in R. It comes by base extension from such a system over a smooth base (p-adic completion of GLn x An), which defines an extension etale in characteristic 0. Such systems play an important role in the theory in ([Fa2], ch. II, sect. e). Using R (instead of R) we construct as in ([Fa2], ch. 11, sect, b) a filtered ring B^{R) with Frobenius. (f) We now define categories A^^[^^j](^), as in ([Fa2], ch. II, sect, c). We assume that A = W{k) is the ring of Witt vectors over a perfect
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field k of characteristic p, and t h a t R is etale over a tensor product of rings A [ T ^ | m G Mh]{YlTm - ah). Choose a surjection R' ^ R R'/J with R' log-smooth over A (for example R = suitable etale over the tensor product of yl[Tm|m G Mh]) and a logarithmic Frobenius lift ^ on the padic completion Rf. An object of A^^r^ 5j(J^) is given by a filtered module M over the completed divided power hull Dj{R') which is (non canonically) filtered isomorphic to a direct sum of cyclic modules Dj{R') • rrii = Dj{R')/p^' ' Dj{R!), with filtration a shift by e^ G [a, h] of t h e filtration by divided powers J^"^. Furthermore, we assume t h a t for 0 < i < p— 1 we are given $ - linear maps (pi : F\M) —> M with v?,|F*"'"^(M) = p • <^*"*"^, such t h a t M is the direct sum of the v?'*(mj) • Dj{R') ^ Dj{R')/p''^ • Dj{R'). One checks t h a t this is independent of the choice of basis rrii). Finally, we assume t h a t M has an integrable logarithmic connection W : M ^>- M <S> ^R'/A for which the (pi are parallel (in the sense of [Fa2], ch. II, sect. d). It follows (ibid) t h a t MTX 5](i?) does not depend on the Frobenius lift ^. One also checks t h a t it is independent of the choice of R' so t h a t we can glue and define A^/'r^ n ( X ) for A-schemes X. T h e connection allows us to define M <S>DJ(R') ^ ^ ( - ^ ) J ^ind we can f o r m D ( M ) =Eom{M0Dj(R')B-^{R),B+{R)<S>{kp/1p)) (homomorphisms respecting filtrations and (pi). As in [Fa2], ch. II, th. 2.6, one shows, using the fact t h a t certain types of equations (already mentioned previously), always have solutions in R, t h a t this defines a fully faithful exact functor from A^^[o,p-2l(^) ^o Galois representations, and t h a t the essential image of this functor (the dual crystalline representations) is closed under subobjects. Again we can globalize. Finally we define a Zp Galois representation L to be crystaUine if its reduction modulo each p^ is. It then follows t h a t L^ 0 Qp is associated to a convergent F-isocrystal which is obtained by tensoring with Q^, the projective limit of the objects in MT^Qp_2]{R) corresponding to L/p'^ • L. (g) As an example the Galois representations associated to finite flat group schemes of p- power order are crystalhne (and hence this also holds for p- divisible groups). This is seen as in [Fa2], ch. VII by embedding t h e m into abelian varieties. For example, this sometimes gives a crystalline interpretation of Drinfeld's p-adic symmetric spaces (Dr]), which we try t o explain now over Zp,p > 2. Choose an integer d > 0, and denote by D the division algebra over Q^ with invariant l/d and by OD its ring of integers. OD is generated by the unramified extension of degree d of Zp and an element 11 such t h a t 11^ = p, and conjugation by 11 induces the Frobenius on the unramified extension. We intend to define a "parameter space" for certain objects M in 7Vf/'[o,i]
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with O^)-multiplication. We require that M has rank (P over Zp, and that F^{M) has rank d. Over the maximal unramified extension Q^ of Q^ such an M is the direct sum of its eigenspaces M,- (i G Z/dl) under the degree -d unramified extension of Zp, and 11 maps Mi isomorphically to Mj+i. It follows that the projective space P^~i is a reasonable parameter space. One can define a model Q, over the maximal unramified extension Z^ of Zp (the Deligne model) as follows. It is given by a formal scheme whose points in a local artinian algebra R over Z^ are given by associating to each Zp lattice A C Qp a line (= direct summand of rank one) C{A) C A (S> R such that for each inclusion A C A',£(A) maps to £(A'), and such that multiplication by p identifies £(A) with C{pA). Furthermore, we assume that there does not exists any proper subspace W C Qp such that all £(A) are contained in (A fl W) <S> R- One easily derives the following assertions about the structure of fi. 1.
The generic fibre of Cl is P^~i (all rational hyperplanes).
2. For an R- rational point of Q, described by a collection >C(A), define A to be critical if for no proper A' C A£(A') maps isomorphically to C{A). There exist critical A's and they form a simplex. That is there exists critical AQ D Ai D • • O A^^ = p • A„ such that critical A is a multiple of one of these. 3. Q has stable singularities. It is naturally stratified with the strata consisting of points which have a fixed critical simplex. Q is smooth over 2p precisely in the points which have only one (up to multiples) critical A. Over Q we can define an object £ G A^-^ro,i] with OD multiplication, which is uniquely determined by the following fact: Choose an R- valued point on the smooth subset. As before, S in it must be the direct sum of eigenspaces Si. It has one critical lattice A, and the determinant of A defines an index i G Z/dZ. Then £i{R) = A (g) iJ, with F^ given by C{R). The other £j are uniquely determined by the fact that for j ^ 1 the map 11 : £j-i -^ £j induces an isomorphism on F^s and that £j is the Frobenius transform (Frobenius acts trivially on A) oi£j^i-\-p~^ -F^{£j_i) (which can be defined more precisely than in this loose notation). The existence of £ follows from [Dr], as it is associated to the p- divisible group constructed there. However one can also exhibit it directly. 5. Weights (a) In this section we intend to treat the theory of weights for Fisocrystals, analogous to the /-adic theory in [De]. As in [De] the main work has to be done in the case of curves, and for higher dimensions one
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uses projections. Almost up to the end we assume that A = W{k) is the ring of Witt vectors over a finite field k = AQ oi characteristic p, with q — p^ elements, XQ a smooth geometrically connected proper curve over Ao, and Do C Xo a reduced divisor. By K we denote the field of fractions of A. We choose a lifting (X, D) of (XQ, DO) over A, which will be of an auxiliary nature. From now on we follow closely the theory in [De]. (b) At first we have to classify abelian convergent F-isocrystals on X Q / A , as in [De], 1.3. We intend to show that they are almost a pullback of such crystals on AQ/A^ SO we classify those first. Suppose L D Qp is a finite extension with integers B d L. An Fisocrystal over A, with L multiplication and of rank one over L is given by a free K^L module M of rank 1 and a $ -linear and L-hnear automorphism ^ of M. If A^o — Kr^L has degree g over Qp, K (8)Qp L is the product of g copies of the unramified extension L' of L of degree //^f, cyclically permuted hy (j). So ^ = ^^ induces an automorphism of L'/L which generates Gal{L'/L)^ and giving M is the same as giving a one- dimensional V vector space M' with a ^-hnear automorphism. These objects are classified by L'*/(Im(V^ — 1)), which (Satz 90) is mapped isomorphically by the norm into L*. The image consists of those elements of L* whose valuation is divisible by f/g. If the variant ^ of M is a unit (that is ^ E 5*) we can find a yl 0 2 Blattice fixed by (p. This defines an object in A^.7^[o o](A) (see [Fa2], ch. II), which must correspond to the crystalline representation of Gal{K/K) on L = (M <S>K B'^{A))^. In fact one checks that L = B is unramified and that the generator Frobenius-^ of Gal{k/k) maps to i-^ e B\ Now suppose £ is a convergent F-isocrystal on XQ/A with multiplication by L and of rank 1. This means that for any affine Spec(i?) C X C{R) is a projective R<Sfip L- module of rank 1, with an integrable connection and (after choice of a Frobenius lift $ a ^-linear and L-linear automorphism (p. The residues in D of the connection on C are nilpotent endomorphisms on a one -dimensional vector space, hence must vanish. It follows that C extends to all of Xo, that is, we may assume that Do is empty. The C{R) define a rigid analytic line bundle on X 02^ L which is algebraic (by GAGA, or some more direct argument). This extends to a line bundle on X (8)z B, that is we may find compatible R^i B lattices in all C{R). According to the decomposition K (8)Qp L = L'^R^i^ B decomposes into a produce of g integral domains, permuted cyclically by $. It follows that to give the automorphisms (p is essentially equivalent to giving their ^-th power ij) on one of the factors. ^ is integral up to a factor in L'*,
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whose module units are independent of the choice of R. Tensoring with the pullback of a suitable F-isocrystal on AQ/A we may assume t h a t (p preserves lattices, and then we have defined an object in A ^ ^ [ O , O ] ( ^ ) J which corresponds to an etale cover of X with group 5 * . Up to a character of finite order such a covering is induced from A (using unramified class field theory). We have shown: T h e o r e m 5 . 1 . The pullback map from rank 1 F-isocrysials with Lmultiplicaiion on A^/A to rank 1 convergent F-isocrystals with L multiplication on XQ/A is injective, with finite cokernel. Up to groups of finite order both groups are isomorphic to L*. (c) We know t h a t the convergent F-isocrystals on XQ/A form a Tannaka category over Qp. If for a finite extension k' of k we are given a rational point x G X o ( ^ ' ) , evaluation on W{k') defines a fibre functor with values in the fraction field K' of W{k'). It follows t h a t convergent Fcrystals with K'- multiphcation are classified by a pro-algebraic group QK' over K'. Furthermore, we know t h a t the transform of QK' under Frobenius is isomorphic to QK' (because of y?), but we do not claim t h a t this gives a descent - d a t u m which would allow us to define Q over Qp. T h e [A"' : Qp]-th power of this isomorphism is an inner automorphism of QK' which usually is diflferent from the identity. Anyway, for any convergent i^-isocrystal £^S 0Qp K' corresponds to a representation of gx' which is isomorphic to its transform under Frobenius . If we consider only convergent F-isocrystals in a finite subcategory, we may replace g ^ ' by a quotient which is actually an algebraic group. Theorem 5.1 gives information about homomorphisms of QK' into tori. They all factor over the maximal quotient of QK' which is diagonalizable, and it follows t h a t there exists a cyclic subgroup (invariant under Frobenius ) in this quotient whose Zariski closure contains the connected component of the identity. T h e same is true for the center of the quotient of QK' by its unipotent radical, as it is isogeneous to the maximal torus-quotient of QK' defined earlier. We may define the category of Qp — F-isocrystals as the inductive limit (over all finite extensions L of Qp) of the categories of F-isocrystals with L multiplication. T h e convergent Qp — F-isocrystals on XQ/A form a neutral Tannaka category, associated to a pro-algebraic group g over Qp. (d) If ^ is a convergent Qp—F-isocrystal and x G -^o(^0 ^ ^'-rational point, for k' a finite extension of k with q' — p^ elements, (p^ defines a linear endomorphism of the fibre S{X') (a finite dimensional vector space over K' 0 Qp {K' the fraction field of W{k')) and also over Qp. As in [De], 1.2, we say t h a t S is pure of weight w {w ^ U 3. real number) if for any
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X as above the eigenvalues of this automorphism are algebraic numbers all whose conjugates have absolute value q''^^'^. More generally, we may choose an isomorphism L between Qp and C and say t h a t S has i-weight w if for any x as above and for each K embedding of K' into K t h e itransforms of the eigenvalues of (^^ have absolute value q'^''^. We say t h a t £ is mixed (respectively i-mixed) if it has a filtration with pure (respectively i-pure) quotients. Also 8 is i-real if for any x as above the i-transform of t h e K'/K norm of the characteristic polynomial of (p^ on S{x) has real coefficients. For example i f f is i-pure of weight 0 then S^S"^ is i-real. Over AQ any Qp — i^-crystal is i-mixed. It suffices to consider simple objects. T h e y are given by a finite dimensional K- vector space V with a ^-linear automorphism cp, such t h a t {V,
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dimension (with t h e obvious definition of i-mixed). However, in the proof almost all the work is required to settle the case of curves. T h e o r e m 5 . 2 . If £ is an i-mixed convergent Qp — F-isocrystal of iweights > w, then H\^>pyg{XQ/A,S) has t-weights > w-^i. Also any i-weight in H\>j>yg{XQ/AjS) differs by an integer from an i-weight in S. P r o o f . We first require t h a t XQ is a curve. We may assume t h a t S is A-pure of A-weight w, Tensoring with a suitable constant F-isocrystal we may even assume t h a t i/; = 0. Then £ is a direct s u m m a n d in an ^-real F-isocrystal (namely ^ 0 5 ^ ) , and the same will hold for all other crystals occurring in the sequel. This imphes t h a t everything in sight is automatically i-mixed. Also the assertion for i f J r y s ( ^ o / ^ ) ^ ) implies by duality the corresponding assertion (^-weights < i) for cohomology with compact support. As kernel and cokernel of the m a p R\^^y^(X^IA^£) —> i7Jj.yg(Xo/A,f) are determined from the monodromy filtration of ^ along the boundary they have integral weights, and we derive t h a t the same must be true for E\^y^{X^IA,S), T h a t is the first assertion implies the second. T h e assertion for -H^crys ^ ^ ^ ^ c r y s ^^ rather trivial, and the argument in [De], ch. 2 states t h a t H\^y^{X^jA^£) already has A-weights > 0. We show by induction over n t h a t t h e weights are > 1 — 2 ~ " . To pass from n to n -|- 1 we consider Y — X Y. X and show t h a t on HQ;Yy^{Y^/A^S 0 S) the weights are > 2 — 2 ~ " . For this we choose a good Lefschetz pencil to get a m a p f : YQ —^ Pjk(^o a blowup of YQ). For a suitable covering Po = P^ —» P^ we get an induced log smooth m a p ZQ —^ PQ, with ZQ = normalization of YQ 0 p i PQ. T h e weights in the kernel of H^j.y^(YQ /A^ £ 0 £) —> Hlj^y^{ZQ,S <S> Sy can be controlled, and i J c r y s ( ^ O ) ^ ^ ^T analyzed using the Leray spectral sequence for / .
^^^ be
(g) In more detail, we first remark t h a t we always can replace k by a finite extension. Choosing a projective embedding of YQ and a sufficiently general pencil of hyper planes we obtain a family of curves Ft in YQ , parametrized by P^ such t h a t the general curve meets transversally the divisor at infinity EQ = DQX XQUXQX DQ, and such t h a t t h e base does not meet EQ at all. Furthermore, we can can assume t h a t only the following types of singularities occur, and at most one in each fibre Ft: (i) Ft has a simple double point on YQ . In suitable coordinates x^ y, Ft is defined by x • y = 0 } . (ii) Ft is smooth b u t has intersection multiplicity two with EQ. In suitable local coordinates x,y,EQ =: {x = 0 } , F t = {^ + 2/^ • u{y) = 0},u{y) a
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unit, (iii) Ft is smooth but meets transversally the intersection of two components of E[). In local coordinates EQ ~ {x - y — Q] ^ Ft = {x -{- y = Q}. We may assume t h a t all these points are rational over k. To define YQ we perform some blowups and add some pieces to the boundary. First of all we blow up the base. Then for all type (i) singularities we add the corresponding Ft to the boundary EQ. For type (ii) we blowup the singular point. T h e exceptional curve meets the proper transforms of EQ and Ft in one point which we also blowup. This now gives four curves meeting trans versally (the proper transforms of £"0 and Ft, and two exceptional curves). We add t h e m all to the boundary. T h e total transform of Ft has two components of multiplicity one and one (the last exceptional curve) of multiplicity two. For type (iii) we blowup the point and add the exceptional curve t o the boundary. This way we obtain a logarithmic map {Y^^EQ) -^ (Y'cE'o). T h e kernel of the induced map Hl^y^{YS/A,£®£) -^ Hl^y^{Y^/A,£®8) is a quotient of a Tate twist (which adds -h 2 to weights) of the space of global section oi 8 ^ S on the new curves in the boundary, hence is i pure of weight 2. Also in local coordinates ( x , y ) and t the fibres of the m a p Yo - ^ P^ can be described by any of (I) to (III) below. (I) T h e fibre is smooth and transverse to EQ. (II) T h e fibre has a simple double point. In local coordinates t = xy and EQ is defined by {t = 0}. Furthermore V has only poles along components of the fibre which arise as exceptional curves in blowups. (Ill) T h e fibre Ft has three components { F o , F i , F 2 } - ^2 bcis multiplicity 2 and meets the two others transversally in two different points. EQ meets F2 transversally at a third point, and also (maybe) FQ. Fi and F2 are rational curves arising from blowups. In local coordinates around the double points t = x'^y, and £"0 is defined by {t — 0}We choose as divisor at infinity in P^ the set of points where cases (II) or (III) occur in the fibre. T h e n YQ —> P ^ is a logarithmic m a p , log smoth except (if p — 2) for the points where case (III) occurs. Now choose a separable cover PQ = P^ —> Pj^ which ramifies at infinity precisely over those fibres with a type (III) singularity. For example, we might use a suitable composition of coordinate changes and the map which sends t to /-f-t^. By ZQ we denote the normalization of YQ x pi PQ. A S divisor at infinity k
^
on ZQ and PQ we choose the inverse images of those on YQ respectively P ^ . One checks t h a t ZQ is smooth, and t h a t the projection f : ZQ —^ PQ is log-smooth with reduced fibres. In fact fibres of type (I) and (II) remain unchanged, while for type (III) we obtain three components { £ 0 5 ^ 1 , ^ 2 }
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of multiplicity one intersecting transversally. FQ and Fi are isomorphic t o FQ respectively Fi, while F2 is a double cover of F2 ramified along its two points of intersection with FQ and Fi. T h e connection V has no pole along FQ, while Fi and F2 are rational curves. We derive t h a t all components of fibres of / are either rational curves along which the pullback of S 0 S is constant, or t h a t the connection V has no pole along them. It follows t h a t the direct images i?V*crys(^ 'S> S) are F-isocrystals on PQ/A. T h e y are i-mixed, of t- weights i for f = 0,2 and i-weights > 1 — 2"'^ for i = 1 (by induction applied to the fibres). As Hlj^ys{Y^/A,£ (^ £) injects into Hl^ysi^o/A^ ^ ^Y (^se trace maps), by the Leray spectral sequence it now suffices to check weights in iJ
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GERD FALTINGS
ideal Ji C Oz which defines a component Ci Ji - £ ® 8 is such a crystal. H^{Z^ {£^£lJi •^(S)^)0fi^yp(dlogoo)) is abutment of a spectral sequence starting with the crystalline cohomology of some grf{S^£\CiQ). If C'fo is rational and £<^S is constant along it this has integral i-weights. Otherwise V has no poles along Ci^ and N operates trivially on H^{Z^{£ 0 £/Ji • £ ^ £) <S> r^^/p(dlogoo)). We inject £ 0 £/t - £ <S> £ into the direct sum of the £ 0 £/Ji • ^ 0 ^, for Ji running through the ideals defining the various components d. The cokernel is concentrated in the double points and has integral weights, so the same is true for its crystalline cohomology. The long exact cohomology sequence now yields the following assertion: (*) There exists a (f- and A^-stable finite filtration of J^{x) such that each successive quotient except one has integral L- weights. On the one exceptional quotient A^ operates trivially. Now the rest is easy. Suppose that J^i is a t- pure simple subquotient of T which does not have integral i- weights. Then we get an induced filtration satisfying (*) on the fibre J^i{x). As none of the i- weights in J-i{x) is integral this filtration can have only one non trivial step (the exceptional), on which A'^ operates trivially. So Ti extends along x. This finishes the proof of theorem 5.2 for curves. For higher dimensions one uses Lefschetz pencils. A generic projection from XQ onto P^ will have the property that the generic fibre is smooth and intersects transversally all strata, while some special fibres may have one singularity. This singularity consists of a simple double point located on one stratum ( and the fibre meets all other strata transversally). By blowing up (eventually twice), enlarging the divisor at infinity and replacing P^ by a double cover one obtains, very much as before, a log- smooth fibration, and it suffices to apply induction to the fibres. (i) We can also draw the usual conclusions, as in [De], 3.4. For example, an extension of/--pure convergent Qp — F-isocrystals 0 -^ ^i —^ £ -^ ^2—^0 defines a Frobenius invariant class in i7^rys(Xo/A,Hom(^2)^i))If the difference of i-weights wi — W2 is either > 0 or not integral and if theorem 5.2 applies (i.e. XQ projective) it follows that the extension must split as extension of isocrystals (forgetting Frobenius ). Furthermore we can find a unique splitting respecting Frobenius if iy^j.ys(Xo/^,Hom(£2, A ) ) has no Frobenius invariants, for example if wi i^w^- It follows that any imixed convergent Q^ — F-isocrystals £ is canonically a direct sum (indexed by w; G R/Z) of F- isocrystals, all whose i- weights lie in w; 4- Z. Moreover, these have a canonical increasing finite filtration...C £i-\ C £% C £i^\ C • • • such that £i/£i-i is t- pure of i-weight w -f- i. Finally, an L- pure £ is the direct sum of F- isocrystals of the form £j 0 V}, with £j t- pure and simple
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and Vj a crystal of weight 0 on AQ/A which is a successive extension of the trivial crystal. In fact such a Vj corresponds to an unramified unipotent continuous representation of Gal{K/K) on a finite dimensional Qp- vector space. It is also n a t u r a l to conjecture t h a t for XQ with allowable singularities and Si -mixed with L -weights > w the i-th graded grf(Hlj^yQ{XQ/A,S)) should have ^-weights > w-\-i. However, here we know essentially nothing, except if (XQ^S) can be smoothed.
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Department of Mathematics Princeton University Fine Hall - Washington Road Princeton, New Jersey 08544
Representations p-adiques des corps locaux (r"^ partie)
JEAN-MARC FONTAINE A Alexandre Grothendieck Table des matieres Introduction Conventions A: Representations p-adiques "generates" Al - Representations p-adiques des corps de caracteristique p 1.1. Les ^-modules 1.2. Representations p-adiques et /^-modules 1.3. Comparaison avec le cas des corps parfaits A2 - Le cas des corps locaux de caracteristique p 2.1. Generalites 2.2. Representations p-adiques et connexions 2.3. L'isomorphisme de Coleman 2.4. Loi de reciprocite explicite A3 - Le cas des corps locaux de caracteristique 0 3.1. Le corps Fr R et quelques-uns de ses sous-anneaux 3.2. Le corps VFx(Fr R) et quelques-uns de ses sous-anneaux 3.3. Les y?-r-modules 3.4. Representations p-adiques de GK B: Representations j^adiques de hauteur finie Bl - Le cas d'egale caracteristique: les (p-modules de hauteur finie 1.1. Conventions 1.2. Modules de type fini sur 5 1.3. Les V?-modules p-etales 1.4. Les foncteurs j * et j * 1.5. La ^-hauteur 1.6. Relevement des modules de g-hauteur finie 1.7. Les <^-niodules de petite hauteur 1.8. Representations de hauteur finie
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JEAN-MARC FONTAINE
B2 - Le cas e — \ 2.1. Les <^-r-modules de hauteur finie 2.2. Representations de GK de cr-hauteur finie 2.3. Le lien avec les representations cristallines (resultats et questions) Introduction Soient p un nombre premier, k un corps parfait de caracteristique p, W — W{k) I'anneau des vecteurs de W i t t a coefficients dans k et KQ son corps des fractions. Get article est la premiere partie d'un travail consacre a I'etude des representations p-adiques du groupe de Galois d'un corps complet pour une valuation discrete K a corps residuel k. On y developpe des procedes pour construire toutes ses representations [du style de ceux qui etaient esquisses dans [Fo83b]; a ceci pres que, lorsque Ton rencontre un corps de caracteristique p, complet pour une valuation discrete, on evite de le remplacer par sa cloture radicielle; ceci per met d'introduire des techniques difFerentielles]; on essaiera ensuite de caracteriser les representations qui nous interessent plus particulierement, comme les representations cristallines, de de Rham, de Hodge-Tate (cf., par.ex. op.cit), semi-stables ([Bu88]) et d'en etudier quelques proprietes. Pour etre plus precis, soient K^^^ une cloture separable de K et GK — G3l(K^^^/K). Appelons representation Zp-adique de GK la donnee d'un Zp-mLodule de type fini muni d'une action lineaire et continue de GKII est prevu quatre chapitres: A. Representations p-adiques "generates" On se propose de construire des equivalences entre la categorie de toutes les representations p-adiques de GK et certaines categories d'objets "purement algebriques." Afin de decrire quelques-uns des resultats, fixons quelques notations: soient S — VF'[[7r]] I'anneau des series formelles en une variable TT a coefficients dans W et Oe le separe complete de S'fl/Tr] — VF((7r)) pour la topologie p-adique. (a) Supposons A' de caracteristique p et choisissons une identification de I'anneau de ses entiers a S/pS^ ainsi qu'un relevement a du Frobenius absolu a S (lequel s'etend automatiquement a Oe)- Si M est un C7£:-module, notons M^ le O^r-module deduit de M par I'extension des scalaires a : Os —^ Os- On construit (§A1 et A2) une equivalence entre la categorie des representations Zp-adiques de GK et celle des "<^-modules etales sur (9^:," i.e., des O^r-modules de type fini M , munis d'un isomorphisme
R E P R E S E N T A T I O N S p-ADIQUES DES C O R P S LOCAUX
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(b) Supposons maintenant K de caracteristique 0 (et, pour simplifier, p ^2). Soit KoQ la Zp-extension cyclotomique de K contenue dans K = j^sep Q^ munit Tanneau S defini ci-dessus d'actions convenablement choisies d'un Frobenius cr et de F = Gal(/^oo/^^) — ^p- (Par exemple, lorsque K = Ko{^), si x ^st le caractere cyclotomique, on pent choisir TT pour que a{l + TT) rr (1 -h 7r)P et 7(1 + TT) = (1 + 7r)^W). Ces actions s'etendent a Os et on construit (§A3) une equivalence entre la categorie des representations Z^-adiques de GK et celle des ^'(f-Tmodules etales sur (9^:," i.e., des v^-modules etales sur Os munis en outre d'une action semi-lineaire de F, commutant a # . [Dans la suite de ce travail, on montrera que Ton pent, dans cette construction, remplacer F par Gal{L/K), ou L est une extension galoisienne de K dont le groupe d'inertie est un groupe de Lie p-adique de dimension finie > 1. Cette generalisation semble utile pour difFerentes questions, notamment pour le calcul des nombres de Tamagawa p-adiques introduits par Bloch et K a t o ([BK89]). C'est d'ailleurs en lisant cet article de Bloch et K a t o que j ' a i compris r i n t e r e t qu'il y avait a ne pas remplacer k{{'K)) par sa cloture radicielle: si S est le corps des fractions de Os, le module ^£/w des formes differentielles continues est un f-espace vectoriel de dimension 1 et on pent done "faire du calcul differentieP (en particulier, le <^-module associe a une representation p-adique est muni d'une connexion). II est clair que ces constructions sont des cas particuliers de constructions beaucoup plus generates. On doit pouvoir remplacer les corps que Ton considere ici par des corps de fonctions de plusieurs variables ou certaines de leurs completions. En particulier (i) la loi de reciprocite explicite enoncee au no. 2.4 doit se generaliser et eclairer d'un jour nouveau les travaux de Kato sur ce sujet ([Ka89]); (ii) ces constructions doivent se faisceautiser et pent etre donner une approche nouvelle des theoremes de comparaison entre cohomologies padiques (cf. par exemple, [Fa88a] et [FM87]); on devrait ainsi obtenir des methodes plus analytiques et comprendre le lien entre ces theoremes et Pintegration p-adique developpee par Coleman ([Co82], [Co85], [Co87]); ces techniques devraient aussi etre utiles pour repondre a certaines des questions posees par Faltings dans [Fa88b].] B. Representations p-adiques de hauteur
finie
(a) Appelons (p-module p-etale sur S la donnee d'un 5-module de type fini, sans torsion ou avec seulement de lap-torsion, muni d'une application VF-lineaire
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JEAN-MARC FONTAINE
dont le conoyau est annule par un element de S — pS convenable. Soit q £ S — pS. Un <^-module p-etale sur S est dit de q-hauteur finie si Coker <^ est annule par une puissance de q. Dans le cas ou le corps K est de caracteristique p, une representation p-adique de GK ^st dite de g—hauteur finie si le <^-module etale qui lui est associe provient, par extension des seal aires, d'un ^p-module de g-hauteur finie sur 5 . Pour pouvoir etudier serieusement les representations de g-hauteur finie, on a besoin de connaitre quelques proprietes des (^-modules de g-hauteur finie et c'est Tobjet du §B1. (b) Lorsque K est de caracteristique 0, on a une notion de ^'cT-hauteui^^: dans cet article, on ne definit cette notion que lorsque e = 1, i.e., lorsque K — KQ. Dans ce cas on pent prendre pour anneau S Tanneau VF[[7ro]], avec TTQ = Ylae^ a#o((-^ ^~ ^)'^^ ~ ^) (^^ ^ ^^^ comme au (b) ci-dessus, et [a] est le represent ant de Teichmiiller de a dans Zp). On pose q = TTQ -\- p et on introduit la categorie r $ M j : un objet de cette categorie est un (^-module sur S de g-hauteur finie, muni d'une action semi-lineaire et continue de T qui commute a Taction de (p et qui est triviale sur le quotient M / T T Q M . On dit qu'une representation p-adique V est de cr-hauteur finie si elle provient, en un sens evident, d'un objet M de cette categorie (la cr-hauteur de V est definie, en gros, comme le plus petit entier r tel que q'' annule M / $ ( M ^ ) ) . Dans le paragraphe B2, on se contente d'etudier quelques proprietes de la categorie I ^ M J , qui nous serous utiles dans la suite de ce travail. L'interet de cette notion de cr-hauteur, c'est qu'une representation de cr-hauteur finie < r est une representation cristalline (cf. [Fo83b]) a poids de Hodge-Tate G [—r, 0] (du moins lorsque la representation est sans ptorsion; si, au contraire, elle est de p-torsion, alors c'est un sous-quotient d'une telle representation). II me semble (et cela n'a pas I'air vraiment difficile) que, reciproquement, toute representation cristalhne, a poids de Hodge-Tate < 0 est de crh a u t e u r finie. Ces questions, ainsi que la description a partir d'un objet de r * M J du
R E P R E S E N T A T I O N S p-ADIQUES DES C O R P S L O C A U X
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([Ab89]). On prevoit d'aborder ensuite, dans un chapitre C , le probleme de la ^^classification^' des representations p-adiques. Lorsque K est de caracteristique 0, I'objectif est, si V est une representation p-adique de GK de decrire en termes de son <^-r-niodule etale sur Os Tendomorphisme qui lui est associe par la theorie de Sen ([Se80]), en particulier de savoir reconnaitre les representations de Hodge-Tate; il est aussi de caracteriser les representations de de R h a m et les representations semi-stables. On remarque que Oe est le complete, pour la topologie p-adique, de S[l/q]', tres grossierement, I'idee est que, si M est le
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JEAN-MARC FONTAINE
Pour eviter de s'enliser dans les generalites, trivialites, banalites que Ton peut developper autour de ses definitions, on se contentera de dire que les operations usuelles de Talgebre lineaire font de ces categories des categories tannakiennes neutres ([Sa72], [DM82]) et de rappeler que le foncteur Rep2p(G) -^ RepQp(G), qui a V associe Q^^Zp V, est essentiellement surjectif (si U est une representation Qp-adique et si VQ est un reseau de U, alors V = IZgeG di^o) est encore un reseau de U] c'est done un objet de R e p z p ( G ) et Qp<S>ip V s'identifie a U). 0.2. Si !F est un corps value, on note Oj^ I'anneau de ses entiers (i.e., le sous-anneau de IF forme des elements de valuation > 0). Si A est un anneau de caracteristique p, on note indifferemment (p ou a le Frobenius absolu (x \-^ x^). Si A est un anneau commutatif quelconque, on note ^^(A) Tanneau des vecteurs de W i t t a coefficients dans A, et, pour tout n G N, Wn(A) Tanneau des vecteurs de W i t t de longueur n. Si a G A, on note [a] G W{A) son represent ant de Teichmiiller. A. Representations p-adiques "generales" Al.
Representations
p-adtques
des corps de caracterestique
p
1.1. Les (p-modules. Dans tout ce numero, (A, cr) est un couple forme d'un anneau commutatif A et d'un endomorphisme a de A. 1.1.1. Pour tout A-module M , on note M^ le A-module A ^ ^ A ^ deduit de M par I'extension des seal aires cr. On appelle (p-module sur {A, a) (ou, s'il n'y a pas de risque de confusion, (f-module sur A, ou meme (p-module) la donnee d'un A-module M muni d'une application (f \ M -^ M (T-semi-lineaire (i.e., additive et telle que (p[\x) = aX.(px). Se donner ip revient a se donner une application lineaire ^:Ma-^
M;
il suffit de poser $(A ^ x) = X.(px. Un morphisme rj : M —^ N de ^-modules est une application A-lineaire qui commute a (p.
REPRESENTATIONS p-ADIQUES DES CORPS LOCAUX Les <;^-niodules sur A forment ainsi une categorie que Ton note ou ^MA, voire ^ M , s'il n'y a pas de risque de confusion.
255 ^MA,(T,
1.1.2. On note A(7[<^] I'anneau (non conimutatif si a ^^ id^) engendre par ^4 et un element ^ soumis aux relations <^.A = cr(A).<^,
pour tout
A G A.
On note aussi A^ le sous-anneau de A forme des a tels que era — a. II est contenu dans le centre de Aa [^] (et egal a ce centre si et seulement si (j^ ^ id^, pour tout entier m > 0). II est clair que la categorie $ M ^ s'identifie a la categorie des 74<7[<^]modules a gauche. En particulier, elle est abelienne et A^- lineaire. 1.1.3. La categorie ^MA est munie d'un produit tensoriel: si M et AT sont deux objets de ^Af^, le yl-module sous-jacent a M (g) iV est M 0 ^ N et (p{x ^ y) = (px 0 (pyCe produit tensoriel satisfait les proprietes usuelles d'associativite et de commutativite. On dispose aussi d'un "objet-unite": c'est A lui-meme avec (p — a; on voit que M 0 A et A 0 M s'identifient a M quelque soit Tobjet M de ^MA
Dans toute la suite, Vendomorphisme a de A sera note indifferemmeni a ou (p. 1.1 A. Lorsque I'anneau A est noetherien, on dit qu'un <^-module M est etale si le A-module sous-jacent est de type fini et si $ est bijective (lorsque a est un automorphisme, il revient au meme de demander que (p soit bijective) et on note ^M^ ^ ou ^M^ la sous-categorie pleine de ^MA dont les objets sont les ^-modules etales. 1.1.5. P r o p o s i t i o n . Supposons A noetherien et a-plat. Alors (i) la categorie ^MJf est abelienne; (ii) si Tj : M ^^ L est un morphisme de^M^, le noyau et le conoyau de rj dans la categorie ^MA sont encore etales. P r e u v e . II est clair que la deuxieme assertion implique la premiere. Montrons done la seconde: Soit A' (resp. A^) le conoyau (resp. le noyau) de Tapplication lineaire sous-jacente. Alors K^ s'identifie au conoyau de M(j —» L(j et, grace a la platitude, N^ s'identifie au noyau. Dans le diagramme comutatif 0
^ A'a
i y
//
^ M,
—— y
La
—— y
1:
1 y M
^ Ka
[
—— y
0
i y
K
—-
^ 0,
256
JEAN-MARC FONTAINE
les lignes sont done exactes. Comme les deux fleches verticales du milieu sont des isomorphismes, il en est de me me des deux autres. 1.1.6. P r o p o s i t i o n . Supposons A noetherien et cr-plat, integre et de dimension < 1. Supposons en outre que, pour tout ideal maximal m de A, rideal de A engendre par les ax, pour x £ m, est encore maximal. Alors, (i) pour qu'un (f-module N sur A, de type fini sur A, soit etale, il faut et il sufRt que ^ : N^ -^ N soit surjective; (ii) si 0 - > M ' -> M - ^ M ' ' - ^ 0 est une suite exacte courte de (p-modules sur A, M est etale si et si M' et M" le sont.
seulement
P r e u v e . Montrons (i). II est clair que la condition est necessaire. Montrons qu'elle est suffisante. Si A^' = A'^tor et A'''' = N/N', on a un diagramme commutatif 0
0
^ N'
A^'
. N,
A^
. A^:'
. 0
TV''
0
dont les lignes sont exactes. Si F est le corps des fractions de A, Papplication, qui k x E N" associe I ® x £ F 0 ^ A''" = A^^ est injective et (Np)^ est un F-espace vectoriel, de dimension finie egale a celle de N'J., qui s'identifie a F ^A N'^. Si ^ : A^^ - ^ A^ est surjective, il en est de meme de N'^ —» N"^ done aussi de {Np)(j -^ Np^ qui est done bijective. Comme N'^ s'injeete dans {Np)(j^ Tapplication N'^ —^ N" est bijective. Par consequent N'^ —^ N' est aussi surjective. On voit, par devissage, que I'hypothese faite sur A implique que A^' et N'^ sont des ^ - m o d u l e s de meme longueur finie, et A^^ —> A^' est bijective. Finalement ^ : A^^ -^ N est bien bijective. Montrons (ii). On a un diagramme commutatif 0
> M'^
. Ma
^ M'^
. 0
0
M'
M
M"
0
done les lignes sont exactes. Si M' et M^' sont etales, les deux fleches verticales extremes sont des isomorphismes et il en est de meme de celle du milieu. Inversement, si M est etale, la fleehe verticale de droite est surjective; d'apres (i), M" est etale et la fleehe du milieu et celle de droite sont des isomorphismes, done aussi celle de gauche.
REPRESENTATIONS p-ADIQUES DES CORPS LOCAUX
257
1.1.7. Supposons encore A noetherien et cr-plat. Alors ^M^ est une (8)-categorie (cf. [Sa72]). Autrement dit, - comme sous-categorie de ^ M ^ , elle est stable par produit tensoriel et contient robjet-unite; - elle admet un horn interne: si M et N sont deux objets de ^ M ^ , le Amodule sous-jacent a Hom{M,N) est L = CA{M,N)\ rhomomorphisme canonique L^ = A 0 ^ L -^ CA{Ma^N(j) est un isomorphisme (Bourbaki, Alg. Com., chap. 1, §2, prop. 11); on pent done identifier ces deux modules et definir
par {^f)(x) = $(/(^~^(x))), qui est bien bijective (son inverse ^ est definie par (%)(y) = ^'^gi^y))). Ces operations verifient les "proprietes usuelles." 1.1.8. Soient Ai et A2 deux anneaux commutatifs munis d'un endomorphisme a et a : Ai -^ A2 un homomorphisme commutant a a. Pour tout ^-module M sur Ai, le A2-module a*(M) = A2 ^ A ^ ^ a une structure naturelle de <^-module sur A2^ On obtient ainsi un foncteur additif a*
.^MA^
^^MA2
Si Ai et A2 sont noetheriens et cr-plats, a* transforme <^-module etale en <^-module etale. 1.2. Representations p-adiques et (p-modules. Dans la suite de ce paragraphe, E est un corps de caracteristique p et E^^^ est la cloture radicielle de E. Pour tout n G Z, on pose E^""^ = {x e E'^'^lxP'' e EJ
et
E' = E^^\
On suppose (ce n'est pas essentiel) que E'/E est une extension finie. On choisit une cloture separable E^^^ de E et on pose GE — Ga].{E^^^/E). On se propose d'expliciter difFerentes variantes de la classification des representations p-adiques de GE en termes de <^-modules. 1.2.1. Soit S un corps complet pour une valuation discrete, de caracteristique 0, absolument non ramifie (i.e., tel que p engendre I'ideal maximal de Oe), de corps residuel E. Soient S^r une extension algebrique non ramifee de S dont le corps residuel est separablement clos (on pent prendre pour S le corps des fractions de I'henselise strict de Oe dans une cloture algebrique de S) et Snr le complete de ^nr- On choisit une E'-identification du corps residuel de £^nr ^ivec E^^^. Alors GE s'identifie a Gal(5nr/^) et opere par continuity sur Snr1.2.2.
Si V est une representation Zp-adique de GE, on pose
258
JEAN-MARC FONTAINE
De{V)^[o^^^®^^v)' On peut considerer Ds comme un foncteur covariant additif (c'est meme un 0-foncteur) de la categorie des representations p-adiques dans celle des O^r-modules. 1.2.3. Remarque. La notation Ds traduit le fait que ce foncteur ne depend pas, a isomorphisme unique pres, du choix du couple forme de ^nr et d'une identification de GE a Gal(£^nr/^)1.2.4. Proposition. Conservons les hypotheses et notations qui precedent. (i) Pour toute representation 2p-adique V de GE, VappUcation naturelle
est un isomorphisme et Ds{V) est un Oe-module de type Rni qui a les memes facteurs invariants que V; (ii) le foncteur Ds est exact et fidele. Preuve. Pour les representations modulo p, cela resulte formellement de ce que H^{GE.E'^^) = E et H^GE.GLniE'^'^)) = {1} ([Se68], chap. X, prop. 3). Le cas des representations de p-torsion s'en deduit par devissage et le cas general par passage a la limite. 1.2.5. Supposons maintenant I'anneau Oe muni d'un endomorphisme de Frobenius, i.e., d'un endomorphisme (T(OU
(f) : Oe -^ Oe
verifiant ax = x^ (mod p). On note encore (p son unique extension a Oenr ^i^^si que son extension par continuite a O^ . L'unicite du prolongement de a implique que (p commute a Taction de GE et, pour toute representation Zp-adique V, De{V) a une structure naturelle de ^-module sur Oe1.2.6. Proposition. Conservons les hypotheses et notations qui precedent. (i) Pour toute representation Zp-adique V de GE, I^e{V) est etale; (ii) le foncteur De:
Repzp(GB)^$Mg^
induit une ^^-equivalence de categories; (iii) le foncteur Ve, qui, au (f-module etale M, associe VeiM)=(0^^^®OsM)^^^
REPRESENTATIONS p-ADIQUES DES CORPS LOCAUX
259
est un quasi-inverse de Ds. P r e u v e . Observons d'abord que Os est noetherien et que a : Os —^ Os est fini et plat (si {ei)i
est un isomorphisme. Le cas ou M est tue par p est bien connu et pent se voir ainsi: si {'^j)i<j
OU la matrice des aj^i est une matrice, a coefficients dans E, inversible. Alors V = Ve{M) s'identifie au Fp-espace vectoriel des applications £'-lineaires de M* dans E^^^ qui commutent a (p, ou encore au sous-Fpespace vectoriel de (^E^^^Y forme des (ajj)i<;<
Autrement dit, si A = E[Xi,X2,... V=
,Xd]/{X^ -
Y^O'j/Xi)i<j
Hom^_algebres(A^^^P).
Comme A est une £'-algebre etale de rang p^, V a, p^ elements et est done un Fp-espace vectoriel de dimension d = diuiE M. L'application O^ (8)2« VsiM) —> O-^ ®o^ M se reduit a
E'^^^^^V
^CE{M\E'^^).
Comme ces deux E'^^^^-espaces vectoriels ont la meme dimension, il suffit de prouver que cette application est injective, ou encore que toute famille d'applications lineaires de M* dans E^^"^ qui commutent a <^ et sont lineairement independantes sur Fp restent lineairement independantes sur E^^"^. Sinon, il existerait un entier r > 2 tel que ce soit vrai pour toute famille ayant strictement moins de r elements, et 771, 772, • • • , ^r G V^, lineairement independants sur Fp, a:i, ^2, . . . , a:^ G E^^"^ tons differents de 0 tels que ^Xir}i = 0. Quitte a diviser par xi, on pent supposer Xi = 1; en appliquant (p, on trouve que Ton a aussi Yl^^Vi — Oj ^^ ^^tranchant ces deux egalites, on trouve une relation de dependance entre moins de r elements de V, done xf = xi^ pour tout i et les Xi G Fp, d'ou une contradiction.
260
JEAN-MARC FONTAINE
Le cas ou M est de p-iorsion par passage a la limite.
s'en deduit par devissage et le cas general
1.2.7. Remarques. (a) La proposition ci-dessus a, bien sur, une version contravariante. A toute representation de p-torsion V de GE^ on pent associer Dl{V)
= {De{V)r
=
H o m c ^ (V^, W ^ ^ n r ) •
On obtient ainsi un foncteur contravariant additif de la categorie Repp_tor(G£;) dans la categorie des <^-modules etales de p-torsion, induisant une anti-equivalence entre ces deux categories; un foncteur quasiinverse est fourni par n ( M )
= {Ve{M)y
=
Hom*jjf ( M . ^ n r / O f n r ) •
On pent proceder de meme avec les representations Zp-adiques sans p-torsion (en posant
Dl{V)=
HomG^(F,Oj^J
et
Vl{M)
^
Hom^M ( M , 0 ^ J ) .
On pent traiter ces deux types de representations p-adiques (sans p-torsion et de p-torsion) simultanement via le formalisme de s categories derivees). (b) Ces enonces impliquent des enonces analogues pour les representations Qp-adiques. Soit ^ M ^ la sous-categorie pleine de la categorie des <^-modules sur 8 dont les objets sont les D qui sont de dimension finie en tant que ^-espaces vectoriels et qui sont de pente 0, i.e., tels qu'il existe un C^^r-reseau de D, stable par (p, qui est etale. C'est une souscategorie pleine de la categorie des
D}(V)
1.3. 1.3.1.
= (^nr ^ ^)v?=i)- On a egalement des versions contravari-
=
HorriG^ ( y , 4 r )
Comparaison
et
V}{D)
avec le cas des corps
PoSOnS F = E^^"^ et J
= Hom^j,^ ( £ > , 4 r ) •
parfaits
= (^sep^rad ^ ^
^lQj.g jp ^g^ ^^
^Qj.pg
parfait, F est une cloture algebrique de F tout autant que de E, Taction
REPRESENTATIONS p-ADIQUES DES CORPS LOCAUX
261
de GE s'etend de maniere unique a F , ce qui permet d'identifier GE a GF = G a l ( F / F ) . II existe alors, a isomorphisme unique pres, un et un seul corps value complet !F absolument non ramifie, de corps residuel F: c'est le corps des fractions de I'anneau Oj^r = W{F) des vecteurs de Witt a coefficients dans F. Le corps j^ir s'identifie, pour sa part, au corps des fractions de O^ — W{F). II y a egalement unicite de la fagon de relever le Frobenius de F a W{F). Restreinte aux representations de p-torsion, I'equivalence fournie par D:P (resp. Tanti-equivalence fournie par ITjr) n'est rien d'autre que la classification habituelle des schemas en groupes finis etales sur F, annules par une puissance de p via leurs modules de Dieudonne covariants (resp. contravariants) (cf., par exemple, [De72], chap. Ill, §6). 1.3.2. Le fait d'avoir un Frobenius sur Os nous permet A'identifierOs a un sous-anneau de W{E). En eff'et, comme Oe est sans p-torsion il existe un et seul homomorphisme
tel que, pour tout a ^ Os, les composantes fantomes de w{a) soient (a, <^a,... , <^^a,...) (cf., par exemple, Bourbaki, Alg. Comm. chap. IX, §1, exer. 14). En composant w avec la projection de WiOs) sur W{E) induite par la projection de Oe sur £", on obtient une application injective de Os dans W{E) qui fournit I'identification cherchee. De meme O^ s'identifie a un sous-anneau de WiE^^"^). Ces identifications sont compatibles entre elles et compatibles aussi avec Taction de (f et de GELe_s inclusions W{E) C WiE'^"^) = W{F) et W{E^^^) C W(E) = W(F) donnent alors un sens a I'enonce suivant: 1.3.3. P r o p o s i t i o n . Pour toute representation Zp-adique V, Vhomomorphisme naturel W (E'^"^) ^o^ DsiV)
-^Djr{V)
est un isomorphisme. P r e u v e . Supposons d'abord V tuee par p, et soit (ei)i<j
262
JEAN-MARC FONTAINE
La surjectivite dans le cas general resulte de la surjectivite mod p. Lorsque V est de p-torsion, I'injectivite resulte alors de ce que les deux modules consideres ont la meme longueur. Le cas general s'en deduit par passage a la limite. A2. Le cas des corps locaux de caracteristique p Dans tout ce paragraphe, E est un corps de caracteristique p, muni d'une valuation discrete pour laquelle il est complet. On note k son corps residuel, que Ton suppose parfait. On pose W = W{k) et KQ = Frac W = W[l/p]. 2.1.
Generahtes
2.1.1. On choisit un corps S comme au n*' 1.2.1 et un relevement de Frobenius sur Oe- La proposition 1.2.6 ramene Tetude des representations p-adiques de GE a celle des (^-modules etales sur Os. 2.1.2. Reprenons les notations du n° 1.3. Le complete E de E est aussi celui de E^^"^. Notons F (resp. F^^) C E I'adherence de F (resp. la fermeture algebrique de F). On a des inclusions
O^^^ C W (E^^^) C W(E)
CwCTjcw(fY
donnant, lorsque Ton prend les elements fixes par GE, Os C W{E)
C W{F)
(1W(F):=:W
(F) .
En outre, Os (resp. W{F)^ resp. W^F)) est I'anneau des entiers d'un corps 8 (resp. .F, resp. Q) complet pour une valuation discrete a corps residuel de caracteristique p et O^ (resp. W{E), resp. W{F^^)) est I'anneau des entiers du complete d'une extension maximale non ramifiee de ce corps, le groupe de Galois de cette extenison s'identifiant a GELe foncteur Dc (resp. Dj:^ resp Dg) induit done une equivalence entre la categorie des representations Z^-adiques de GE et la categorie des ipmodules etales sur Os (resp. W{F)^ resp. W{F))] le foncteur VE (resp. Vj- resp. Vg) est un quasi-inverse. Le resultat suivant est immediat (cf. prop. 1.3.3): 2.1.3.
Proposition. {^\) Le foncteur M v-^ W{F) ®o^ M
fresp. M i-> W{F) ®Os M\
induit une equivalence entre la categorie des (p-modules etales sur Os et celle des (p-modules etales sur W{F) (resp W{F)).
REPRESENTATIONS p-ADIQUES DES CORPS LOCAUX
263
(ii) POUT toute represeDtation Zp-adique V de GE, ies applications tmelles W{F) ®Os DeiV) -* Dj:{V) et WiF) ®o£ DeiV) -^ Dg{V) des isomorphismes.
nasont
(iii) Pour toute representation
Zp-adique
Dg{V) = (W (P^') ®zp F)""^ est une 2.2.
V, Vindusion
C [W
naturelle
(f) ®zp vY'^
egalite.
Representations
p-adiques
et
connexions
2.2.1. Remarquons que, si Ton choisit n E Os relevant une uniformisante TT de E, alors Os s'identifie au separe complete pour la topologie p-adique de I'anneau W{{7r)) des series formelles a coefficients dans W. Autrement dit I'application
K)ne2 -^Xl^"^" definit une bijection entre Tensemble des families indexees par Z d'elements de W (resp. de KQ a denominateurs bornes) tels que la suite des a _ ^ tende p-adiquement vers 0 lorsque m y-^ + 0 0 d'une part et Os (resp. £) d'autre part. Remarquons aussi que choisir un relevement de Frobenius revient a choisir un relevement air dans Os de TT^. 2.2.2. On voit que le 5-espace vectoriel Ct^ des /Co-difFerentielles continues de £ est un ^-espace vectoriel de dimension un engendre par d\og(7r) — ir'^dir et le Of-module QQ^ des M^-difFerentielles continues de Os s'identifie au sous-(9£:-module de Qs engendre par d\og{7r). 2.2.3. Si a; = (X^o^n^")-^log(^) ^ ^SJ on pose Res^(a;) = GQ. En fait, ResTT est independant du choix de TT, i.e., d'un element de Os dont I'image dans E est une uniformisante. Cela pent se voir ainsi: soit TTI un autre choix. On constate que tout to E Cls pent s'ecrire LOQ -f ciod\og{7r), ou ao G K et u;o est dans I'adherence de I'image de d : S —^ Qs. Comme ReS;ri(^o) = ReS;r(^o) = 0? il suffit de verifier que Res7ri(c?iog(7r)) = 1. Mais on pent ecrire
TT = C7ri77(l-f p a ) ,
avec
c e W*,
rj — 1 e wi.W {TTI] ,
a^Oe.
On a alors c/iog(7r) •= d\og{'^i)-\-r]^ .dr]-\-{\-\-pa)~^ .d(l-{-pa). II est clair que Res^j(77~^.c/77) = 0; comme {l-\-pa)~^.d(l-\-pa) — d{\og{l-\-pa)) G Im d, son residu est egalement nul. D'ou le resultat. Dans la suite, pour tout a; G fi^:, on pose Res(c<;) = Res7r(u;). Bien sur, si cj G ^o^, alors Res(u;) G W.
264 2.2.4.
JEAN-MARC FONTAINE Le 0<^ - module Qo-^ c-nr
des i^-difFerentielles continues de Oc-
£nr
^nr
s'identifie a (9^ ^Oc^Oc ^^ ^st un (9<^ -module libre de rang un entendre par (iiog(7r). P r o p o s i t i o n . Soit F une representation Zp-adique de GE ^t soit M —
De(y). (i) II existe sur le Os-module M une et une seu le connexion V : M ^ M (^ Qo^ par rapport a laquelle (p est horizontale, i.e., telle que V o (p = (p o\/, (ii) Si V est sansp-torsion, le W-module W^j V s^identifie au module des "sections horizontales de M au-dessus de O^ ," i.e., W^
i/=r|xe(9^^^(S)M|Vx = o}.
P r e u v e . II est clair que toute connexion sur M s'etend de maniere unique en une connexion sur Ocr 0 M et que la connexion etendue commute a (f si et seulement si c'etait deja le cas de la connexion initiale. Mais on a i-nr
c-nr
^
^
et, pour tout i; G V^, si V(l 0 t') = CJ, on doit avoir (pu = a;, d'ou a; = 0 (car (pa est divisible par p pour tout a 6 fio-- ? done (puj est divisible par p, pour tout a; G M 0 ^o^
? C[ui est separe pour la topologie p-adique).
On doit done avoir V(A 0 t;) = f 0 c/A, quelque soit A G Oc^ et v ^ V, d'ou Passertion (i). L'assertion (ii) resulte alors immediatement de ce que le noyau de d:0^
e,
-^Qo^ ^r
est W. 2.2.5. Remarque. Oublions un instant que Ton a choisi un Frobenius sur Oe et supposons le corps residuel fini avec p^ elements, de sorte que /\o est une extension finie non ramifiee de Qp. On voit (en reprenant les arguments developpes ci-dessus avec r = cr^ et i/^ = <^^ a la place de a et (p) que Ton a un foncteur additif exact et pleinement fidele de la categorie des representations /i'o-lineaires de dimension finie de GE dans la categorie des 5-espaces vectoriels de dimension finie M, munis d'une connexion V :M-^M0£:Q5/XoL'image essentielle consiste en les objets M tels que, si Ton choisit un automorphisme continue r de Os qu i releve cr^, il existe un Frobenius
REPRESENTATIONS p-ADIQUES DES CORPS LOCAUX
265
de pente 0 qui est horizontal relativement a V (si c'est vrai pour un choix du relevement de a^, c'est vrai pour tous). Les experts devraient reconnaitre des objets bien connus, et le redacteur rougit de son ignorance! 2.3.
L'isomorphisme de Coleman
2.3.1. Soit S' = (p~^S (on pent, par exemple, voir S' comme un souscorps de W{E^^^)[l/p]). C'est une extension de degre p de 5, et c'est done encore un corps value complet, qui reste absolument non ramifie (au sens que p engendre I'ideal maximal de I'anneau des entiers), mais I'extenison S^/£ n'est pas non ramifiee, car I'extension residuelle E'/E est purement inseparable. Pour tout X E £^ on note A^<^(x) (resp. T^p{x)) la norme (resp. la trace) de ^' a ^ de ip~^x. 2.3.2. Proposition. Soit\-\-pOe (resp. {0'^)N(P=I) 1^ sous-groupe du groupe 0 | des unites de Os forme des x tels que x = l(mod p) (resp. Nip{x) — x). Alors C^ est le produit direct de 1 -hpOs par {0'^)N^P = IP r e u v e . Dans la suite exacte
0-^l-\-pOe
^O'^^E*
^0,
1 + pOs est stable par N(p qui induit I'identite sur E*. En prenant les elements fixes par A^^^, on obtient une suite exact
-^{l+pOe)/iN^-l)(l
+ pO£).
Mais, si 2/ 6 Of, on a T^{y) ^ O(mod p) et, pour tout entier r > 1, N^ (1 + p'-y) = 1 + p'-T^iv) = 1 (mod p'+^) . On en deduit que (1 +pC?f)w^=i = il+pO£)/{N^ done que
- 1){1 + pOe) = 0,
est un isomorphisme, et la proposition en resulte. 2.3.3.
On note
Col
:E*^{Ol)j,^^,
I'isomorphisme reciproque. C'est done I'unique section de la projection de 0 J sur E* qui verifie N^p{Co\{x)) = Col(ar), pour tout x. On verra dans
266
JEAN-MARC FONTAINE
la deuxieme partie que Col peut etre interprete comme une generalisation de risomorphisme de Coleman ([Co79], th. A, voir aussi [BK89], th. 2.2). II joue aussi le role de rhomomorphisme de Teichmiiller dans ce contexte; on prendra garde toutefois que, si Ton identifie O^ a un sous anneau de W{E) comme au n^ 1.3.2, et si, pour tout a? G ^ , on note \x\ G W{Ei) son representant de Teichmiiller, alors en general Col(a?) ^ \x\ (on a cependant Tegalite si x G ^). 2.3.4.
Proposition. Soit x E S et u £ E*. Pour tout m G N, on a Res{(p'^{x).dio^{Col{u))) = (f"^ {Res{x.diog{Col{u)))).
P r e u v e . II suffit de le prouver pour m — I. Pour toute A'o-algebre topologique A, notons QA le A-module des A^odifFerentielles continues de A. On dispose d'un operateur "trace" tr : Q.S' —^ ^^, que Ton peut definir ainsi: Soient ^ une racine primitive p-ieme de 1 appartenant a une extension algebrique de £' et C = G^^{^'[C]/^[C])' L'application naturelle Qs/ -^ ^£'[C] ^^^ injective et nous permet d'identifier Qs'y a un sous-^'-espace vectoriel de ^^'[Q. De meme Q^ s'identifie a un sous-f-espace vectoriel de ^5[^]. Pour tout u G ^£'[0, tr(a;) := Ylg^c ^i'^) ^ (^^'[C])^ ~ ^^[C]- ^^ ^^^ ^^^^^ ^^^' si a; G ^s', alors tr(a;) G On voit que, pour tout u G E*, tr(<^~-^(c/iogCol('w))) = d\ogCo\{u). Comme, pour tout x E S et tout to' G ^s', on a ti{x.Lj') = x.tr(a;'), la proposition resulte du lemme suivant: 2.3.5.
Lemme. Pour tout a; G ^£, on a Res(tr(<^~^u;)) = <^~^(Res a;).
Preuve. L'application ip~^ est un isomorphisme de S sur S^ qui, en tant qu'homomorphisme de A-algebre, est cr~^-semi-lineaire. Avec des notations evidentes, on a done Res£:/(<^~^u;) = ip~^(Res£{u)). Le lemme se deduit done du resultat suivant: 2.3.6.
Sous-lemme. (i) Pour tout to' G 0,s', on a Res5(tr(a;')) == Res£:/(a;'));
(ii) pour tout to E Q^s, on a Ress'{Lo) = p.Res£{u)). 2.3.7. Preuve. Montrons la deuxieme assertion: Soit TT' G OS' un relevement d'une uniformisante du corps residuel E' de £' (qui est une extension radicielle de degre p de E"). Comme TT'^ releve une uniformisante de £", on voit que, si
REPRESENTATIONS p-ADIQUES DES CORPS LOCAUX
267
est le polynome minimal de TT' sur S^ et si Ton pose TT = —ao, alors TT releve une uniformisante de E et les a^, pour 1 < i < p — 1, sont divisibles par p dans O^/. On peux done ecrire TT =: 7r'^.(l + pa), avec a G C?^/. Comme tout cj E ^f pent s'ecrire a; = CJQ + ao^^iog?'') avec UJQ dans I'adherence de I'image de d et ao G i^Oj ^t comme la formule est evidente pour cjo, il sufBt de verifier que Res£:/(ciiog7r) = p. Mais c'est clair car diogTT = p.diogTr' 4-
Lot de reciprocHe explicUe Soit 6s : Oe -^ Homcont {Gl\lp)
= Homcont
(GE^IP)
rhomomorphisme defini par
6eia){g) =
{g-l){a),
pour a E Os et g E G^ (ou a est une solution dans ^<^ , ou dans W{E^^^), OU encore dans W(E), cela revient au meme, de {(p—l){a) = a). On a Homcont(G£;, Zp) = Ext^x^ (Zp, Zp) et il resulte de Pequivalence entre (^-modules etales et representations p-adiques (proposition 1.2.6. ci-dessus) que Ss est surjective et induit un isomorphisme h : Os/if
- l)(Of) -> Homcont {G%', Ip) .
2.4.2. Supposons maintenant le corps residuel k de E fini. Pour tout u G E*, notons QU G G^ Pelement fourni par Pisomorphisme de reciprocite (cf. par exemple, [Se68], chap. XIII, §4). Si x G O^: et t/ G £"*, posons [x,u) = Ss{x){gu) G Zp. Remarquons enfin que KQ — Frac W est une extension finie de Qp et que, pour tout aeW, Trj^Q/Qp(a) G Zp.
268
JEAN-MARC FONTAINE
2.4.3. Proposition. Avec les hypotheses et les notations qui precedent, si X E Os et u £ E*, on a [x, u) =
TFK^^/QP
{Res(x.diog{Col{u)))).
Preuve. On va deduire cette proposition des lois de reciprocite explicites de Witt ([Wi37]): si z G Wn{E) et si w E E\ notons [z,u)n G Z/p"Z C Wn(E) Telement defini par
oil ^„ G WniE^'"') verifie ^{U) ~U^z. Si Ton pose Oe^n — Oe/p^^ on disp ose d'un homomorphisme Wn-l
:Wn(E)^Oe,n,
a savoir celui qui a (ZQ, zi,... ^ Zn-i) associe X2o<j
,
oil Tr (resp. ResTr) est I'application induite par reduction mod p^ de T^^w/ip (resp. Res). La proposition revient a prouver que, pour tout n, si x^n designe 1'image de x £ Os C W{E) dans Wn{E), on a [x
Trvv/Zp (Res(x.c?iog(Col(t/)))) mod p".
Comme Wn-i{x^ri) n'est autre que la reduction mod p" de ^""^(x), et comme pour tout A G VF, TTw/ip{^^~^{^)) = ^Tr^y/z (A), cela resulte la proposition 2.3.4. A 3 . Le cas des corps locaux de caracteristique 0 Dans tout ce paragraphe, K est une cloture algebrique fixee de A^oPour toute extension L de A"o contenue dans A", on pose GL = Gcd{K/L). On note C le complete de A pour la topologie p-adique usuelle (sur lequel GKQ opere par continuite). 3.1.
Le corps Fr R et quelques-uns de ses sous-amieaux
3.1.1. Dans ce numero, KQ = Ko(^) et on note A^co C K la Zpextension cyclotomique de A'o si p :^ 2 et A"00 = UA'o( V^) si p = 2. Pour toute extension algebrique L de A^o contenue dans A', on pose HL = Gl n GK^^ ^L = GL/HL ((l^i est done un groupe isomorphe a Zp si L/KQ est finie, sauf peut-etre si p = 2, auquel cas il pent aussi etre isomorphe a Z2 x (Z/2Z)).
R E P R E S E N T A T I O N S p-ADIQUES DES C O R P S LOCAUX
269
3.1.2. Rappelons la definition de Tanneau R introduit dans [Fo77] (cf., par ex., [Fo83a], n° 3.6). En t a n t qu'ensemble, R (resp. Fr R) est forme des families x = {x^^^)nei d'elements de Oc (resp. C) verifiant (^^(n+iy _ ^(n) pQ^j. ^Q^^ n £ l . On definit sur R Taddition et la multiplication par les formules
(x2/)(") = ^('^)yW
et
(x + y)^''^
lim (x^+"^)-f y ( " + ^ ) ) mi-»-co \
.
/
Cela munit R d'une structure d'anneau. Choisissons un ideal a de Oc strictement contenu dans I'ideal maximal et contenant p. L'application, qui k X £ R associe la suite des reductions mod a des x^^\ pour n G N, definit un isomorphisme canonique R c=i lim .proj.nGNO^/^ (chaque application de transition etant I'elevation a la puissance p) que nous utilisons pour identifier ces deux anneaux (en particulier cette limite projective ne depend pas du choix de a; le choix habituel est I'ideal engendre par p). Soit k le corps residuel de Oc, qui est done une cloture algebrique de k. Pour tout a G ^, on note [a] son representant de Teichmiiller dans W{k) C Oc' L'application, qui a a G ^ associe {[a^ ])n£ii est un homomorphisme d'anneaux et nous permet de considerer R comme une ^-algebre (done a fortiori comme une fc-algebre). L'anneau R est un anneau parfait de caracteristique p, integre, et Fr R s'identifie bien a son corps des fractions. Si Vp est la valuation de C normalisee par Vp{p) = 1, on pose v{x) — Vp{x^^^)^ pour tout X G Fr i?. L'application v est une valuation de Fr R^ qui est complet, son anneau des entiers est R et son corps residuel est k. Le groupe GKQ opere par fonctorialite sur Fr R. 3.1.3. On choisit un generateur du "Zp(l) multiplicatif," i.e., un element e = (6^^))nGN G R tel que 6^^) = 1 et e<^^) ^^ 1. C'est un element du Q^espace vectoriel des unites de l'anneau R congrues a 1 modulo son ideal maximal. On pose alors
aGFp
(ou, rappelons-le, [a] G Zp est le representant de Teichmiiller de a). 3.1.4. On note S(KQ) (resp. E(KQ)) I'adherence dans R (resp. dans Fr R) de la sous-A:-algebre de R engendree par e (resp. de son corps des fractions).
270
JEAN-MARC FONTAINE
On voit que E(KQ) est un corps value complet, a valuation discrete, de corps residuel Ar, que S(KQ) est Tanneau de ses entiers et que e — 1 en est une uniformisante. En particulier e appartient au Zp-module des unites de S{KQ) congrues a 1 modulo Tideal maximal, et E{KQ) est stable par GKQ (si X ' GKQ -^ 2* designe le caractere cyclotomique, on a g(€) = 6^(^)) et independant du choix de e. Le groupe fini F ; = G31{K'Q/KO)= Ga\{KooKo/^OO) opeiesm E{K'Q), avec action triviale sur le corps residuel. On note EQ le corps fixe et So I'anneau de ses entiers. L'extension E(KQ)/EO est une extension cyclique de degre p—l totalement ramifiee. On voit que TTQ = 1 + tj:E{K' )/EQ{^) € £"0. Un calcul facile montre que i;(7ro) = P = {p — l).v{€ — 1), i.e., que TTQ est une uniformisante de EQ. En particulier, on a montre: 3.1.5. Proposition. Avec les notations qui precedent, soit So (resp. Eo) radherence dans R (resp. dans Fr R) de la sous-k-algebre de R engendree par TTQ (resp. de son corps des fractions). Alors So et EQ sont independants du choix de 6, stables par GKQ et fixes par HKQ = Gai(A'/A'oo)- On a ^(TTQ) = p, Eo est un corps value complet, a valuation discrete, a corps residuel k; Vanneau So est Vanneau de ses entiers et TTQ en est une uniformisante. 3.1.6. T h e o r e m e . Le corps Fr R est algebriquement clos. La fermeture algebrique Eo et la fermeture separable E^^ de Eo dans FTR sont denses dans FvR et stables par GKQ- L^action induite de HKQ sur El ^^ est Eo-lineaire et identifie HKQ a Ga\{El^^/Eo). Pour tout sousgroup e ferme H de HKO ? (Fr R)^ est le complete de la cloture radicielle de (EQ^^)^ (en particulier, (Fr R) ^0 est le complete de la cloture radicielle de Eo = k{{7to))). 3.1.7 P r e u v e . Posons ( = e(^) et, pour tout n, K^ = /^(e^")). Soit An le quotient de Tannneau des entiers de Kn par Tideal a„ == (^ — l)OKn • On voit que pour tout n > 2, tout g E Ga\{Kn/Kn-i) et tout x G OKU^ {g — l)x E an. Comme par ailleurs p E. Gn^ I'application qui k x ^ Oxn associe I'image dans An-i de ^OTK^/X^_^{X) est un homomorphisme d'anneaux dont le noyau contient an- Par passage au quotient, on obtient done un homomorphisme d'anneaux An —> ^ n - i - L'anneau A = lim.proj.An est Tanneau des entiers du corps des normes de Pextension {UKn)/I< introduit dans [FW79] et etudie dans [Wi83]. Par ailleurs, I'inclusion de Oxn dans Oj^ peimet d'identifier chacun des An a un sous anneau de Oj^/iC ~ ^)^Jc ^ ^c/a en notant a I'ideal de Oc engendre par C — 1; via cette identification, Tapplication de transition de An dans An-i est juste Televation a la puissance p. Autrement dit
R E P R E S E N T A T I O N S p-ADIQUES DES C O R P S LOCAUX
271
I'anneau A s'identifie a un sous-anneau de R. II est facile de voir qu'alors A = k[[€ — 1]] = S(KQ), done que le corps des normes de I'extension (UKn)/K est E{K'Q). II resulte alors du theoreme 3.1.2 de [Wi83] que EQ est le corps des normes de Textension. Le theoreme resulte alors de [op. cit. , cor. 4.3.4]. 3.1.8. Pour toute extension finie K de A'o contenue dans K, on note p^^' le degre de 1 'extension Koo H K/KQ, on pose
et on note S{K) I'anneau des entiers de E{K) (lorsque A' = A^Q, les notations sont compatibles avec celles du n° 3.1.3). C'est une extension finie de EQ. Si A C L, E{K) C E{L) et [E{L) : J^(A)] = [L : A ] , le degre d'inseparabilite etant p^^~^^. Si I'extension L/K est galoisienne, E(L)/E{K) est normale et le groupe de ses automorphismes s'identifie a Gal(AAoo/AVi^oo) = HK/HL.
_
Enfin, si L est une extension algebrique de KQ contenue dans A , on note E{L) la reunion des E{K) pour A parcourant les extensions finies de Ao contenues dans L. 3.2.
Le corps W-j^{Fv R) et quelques-uns
de ses
sous-anneaux
3.2.1. Les anneaux W{R) et W{Fi R) spnt_des Py(fc)-algebres. Si A est une extension finie de K contenue dans A , ou I'anneau de ses entiers, et si k' est le corps residuel de cette extension, on pose WA{R) — A^w(k')^^{R) et WA(FT R) = A(^w(k')W{Fi R). Si L est une extension algebrique de A'o contenue dans A , on note Wi,(Fr R) la limite inductive des WK{FT R)^ pour K parcourant les extensions finies de A^o contenues dans L. On voit que WKQ(FT R) = W{FT R)[l/p] est un corps value complet de caracteristique 0, absolument non ramifie, de corps residuel Fr R, dont I'anneau des entiers est W(FT R). Le fermeture algebrique de A Q dans WK^{FI R) s'identifie a I'extension maximale non ramifiee de A^o contenue dans K. On en deduit que pour toute extension algebrique L de A' contenue dans A', WL{FV R) est un corps, extension algebrique de WKQ (FTR) dont I'anneau des entiers est
Wo^i^T R). Le Frobenius (p agit sur Fr R (par x h-> x^) et par fonctorialite sur WKO{FV R). Les sous-anneaux W{R), W{FT R) et WKoiR) = W(R)[l/p] sont stables par (p. L'action naturelle de GKQ sur A et sur WKQ{FT R) s'etend en une action sur W^^(Fr R). Un grand nombre de ses sous-anneaux sont stables par GKQ] si A C i C A , WL(Fr R) est stable p a r GL (et aussi p a r GKQ si
272 L/KQ
JEAN-MARC FONTAINE est galoisienne).
3.2.2. Dans W{R), [e] appartient au Zp-module des unites congrues a 1 modulo rideal maximal. On pose TT^ = [e] — 1 G W{R). Pour tout n E N, Wn{R) (resp. W„(Fr R)) s'identifie, en t a n t qu' ensemble a R^ (resp. (Fr R)^) et on le munit de la topologie produit (avec la topologie definie par la valuation sur R et Fr R). O n munit W{R) et W{Yi R) de la topologie de la limite projective et WKQ{F^ R) = \J p~'^W{Fv R) de la topologie de la limite inductive. Notons S{KQ) (resp S(KQ)) Tadherence dans W(R) (resp. dans WKQ(P^ R)) du sous-anneau (resp. du sous corps) engendre par W et II est immediat que la reduction mod p de S{KQ) s'identifie a S{KQ) et que S{KQ) s'identifie a Tanneau des series formelles en la variable TT^ a coeflftcients dans W. Le corps S{KQ) est un corps value complet, absolument non ramifie, dont le corps residuel s'identifie a E{KQ) et I'anneau de ses entiers est le separe complete de W{{'K^)) pour la topologie p-adique. Si ^ G GKQ ) on a g-K^ — {^-\- TT^)^^^^ — 1; on a aussi (fw^ — {\-\- TT^Y — 1.
On en deduit que S{KQ) et S{KQ) sont independants du choix de e, stables par GKQ et (f. On pose So = ( 5 ( / i ^ ) ) ^ ^ o et So = {S{K'o)f^o . En particulier est une extension cyclique, de degre p—\. On pose
S{K'Q)/SO
a€Fp
On voit que TTQ = ^^e{K')/So{'^^) ^^ ^^ I'image de TTQ dans R n'est autre que TTQ. La propostion suivante est alors immediate: 3.2.3.
P r o p o s i t i o n . Soit TTQ G W{R)
defini par
aefp Alors Fadherence So de la sous-W-algebre de W{R) engendree par s'identifie a Fanneau des series formelles en TTQ a coefficients dans Le separe complete de W{{7ro)) pour la topologie p-adique s'identifie Vanneau des entiers OSQ d'un sous-corps ferme So de WKQ{F^ R), est un corps absolument non ramifie dont le corps residuel est EQ. anneaux So, OSQ, Gt So sont des sous-anneaux de WKQ(FI^ R), stables (f et GKOJ independants du choix de e.
TTQ W. a Qui Les par
3.2.4. Remarque. Soit i le generateur de Zp(l) associe a e (i.e., t est e mais on pense a lui additivement !). Soit Ko{{t)) le corps des fractions du separe complete de I'anneau /io '^ip SymzpZp(l) pour la topologie
REPRESENTATIONS p-ADIQUES DES CORPS LOCAUX
273
^-adique (qui est in depend ante du choix de t). Ce corps est muni d'une action naturelle de GRQ et de (p (on pose
On a ^0 C Ko{{t)f''^
- I .
= Ko{{iP-^)). On voit que
7ro-(p-l).
J2
^"/^'-
n>0, ( p - l ) l n
On remarquera que SQ et Oso "refusent" de se plonger dans Ko{{i)). 3.3.
Les (f-T-modules
3.3.1. On reprend les hypotheses et notations du n° 1.1 et on suppose en outre que l'anneau A est muni d'une action d'un groupe F, compatible avec la structure d'anneau et commutant a Tendomorphisme cr. On appelle (f-T-module sur A la donnee d'un <^-module sur A muni d'une action semi-lineaire de F commutant a Faction de (p. Ces ^-F-modules sur A forment, de maniere evidente, une categorie abelienne T^MA, munie d'un produit tensoriel. Le foncteur "oubli de Faction de F" est un (8)-foncteur exact et fidele de T^M^ dans ^M^. Si F'^F est un homomorphisme de groupes, F' agit par transport de structure sur A et on a un (g)-foncteur exact et fidele " transport de structure" : T^MA -^ T'^MA ; le foncteur "oubli de Faction de F" est le cas particulier correspondant a choisir F' = {1}. 3.3.2. Supposons maintenant A et F munis d'une topologie pour laquelle ils sont separes et complets et que F opere continument sur A. Supposons egalement A cr-plat et noetherien. Par definition, un cp-T-moduk eiale sur A est un <^-F-module M sur A, dont le <^-module sous-jacent est etale et sur lequel Faction de F est continue (il n'y a pas d'ambiguite sur la topologie de M car un <^-module etale est en particulier de type fini sur A). Beaucoup des discours que I'on pent tenir sur les (^-modules etales s'etendent aux <^-F-modules etales. En particulier ceux-ci forment une (8)-categorie abelienne que nous notons T^M^^-
274 3.4.
JEAN-MARC FONTAINE Representations p-adiques de GK
3.4.1. On fixe une extension finie K de A'o contenue dans K. On ecrit E, S, G, H, r au lieu de ^(A^, 5 ( A ) , GK. HK, TK s'il n'y a pas de risque de confusion. On note £^ — ^"^ I'adherence, dans WKQ{^^ -R), de I'extension maximale non ramifiee de S contenue dans ce corps. L'anneau de ses entiers est I'adherence de I'henselise strict de Os dans W{FY R). Le groupe H s'identifie au groupe GE — Gal{E^^^/E). On pose
SoiK) = (S""")" , SiK) = ¥'"'•" (^o(A')) = (^"'•'^
{£'"'))"
(lorsque K = A'Q, cette notation est compatible avec celle du n° 3.2.2); on note (!?5Q(A) (resp. Os{K)) Tanneau des entiers de So{K) (resp. 8{K)). On a ^o(A^o) = S{I
De{V)=(o^^,®z^v)"
,
est muni d'une action semi-lineaire continue de G/H — F, i.e., a une structure naturelle de
Ve{M)=(o-^,®OeM)^^^ est stable par G. Le resultat suivant est immediat: 3.4.3. Theoreme. Le foncteur De induit une <S>-equivalence entre les categories Hepj (G) etT^M^ . Le foncteur Ve est un quasi-inverse. 3.4.4. Remarques. (a) Bien sur, dans tout ce qui precede, on pent travailler avec £Q{K) a la place &e £ — S{K). Si r = r ^ , le ^-F-module etaleD£:(F) sur Oe est canoniquement isomorphe kDeQ(^K){^). ^^ comme O^-module via la restriction des scalaires (p~^ : OeQ(K) —^ Oe{K) (via I'isomorphisme A0x i-^ (p^(X).(p^(x)^ si A E ^~^{Oe{K)) et x G De(K){^))' (b) Soient AQ C K C L C A", avec L et A' extensions finies de AQ. Si V est une representation Zp-adique de GR, on a
REPRESENTATIONS p-ADIQUES DES CORPS LOCAUX
275
Inversement, si ron suppose en outre L/K galoisienne, D£^L^(V) est muni d'une action semi-lineaire de H(L/K) := HK/HL. Si Ton pose r = rt-VK, on a {EL)"^^I^) =
est un quasi-inverse. II est parfois commode d'utiliser le foncteur contravariant VJ et son quasi-inverse D^^ definis par V*e{D) = VeiD*) = Hom*^ [D,£„r) et
D*,(V)=D£{V*)=
Home^ ( l / , ^ n r ) .
3.4.5. L'operateur de monodromie: Soient V une representation padique de GK, MQ = D£Q(V) et M = Ds{V). Comme on Ta vu au n® 2.1.5., il existe sur MQ une unique connexion V : Mo -^ Mo^Qo^
^r..
telle que V o <^ = ^ o V., et il est clair que V commute a Taction de F. D'autre part, QQ^ .^. est un (^^^(x)-module libre de rang 1 de base ^iog(H)- Autrement dit Fapplication a®t
-^ ad\og{[€])
(ou t est le generateur de Zp(l) associe a e comme au n° 3.2.4) definit un isomorphisme canonique de 05Q(;^)-modules
Le choix de e permet alors de definir un operateur (fonctoriel)
276
JEAN-MARC FONTAINE
N : Mo -^ Mo, en posant V x = Nx.d\og{[€]). On voit que A^ est M^-lineaire, verifie N(p = p(pN,
Ng = x{9)9N,
pour tout g
eG
et N{Xx) = X.Nx + NX.x, si X e Os^, x e MQ (et ou, dX = A^A.diog([e]). On pent faire la meme chose pour M , a condition de remplacer 0 5 Q ( K ) par Osi^K) et rfiog(H) par p"''^rfiog(H). II semble que, dans le cas d'une representation p-adique potentiellement semi-stable ([Bu88]), N soit lie a Toperateur de monodromie qui opere sur "la realisation de de Rham" de cette representation (cf. 11°). B . R e p r e s e n t a t i o n s jp-adiques d e h a u t e u r Bl. 1.1.
Le cas d'egale caracterisiique:
finie
les (p-modules de hauteur
finie
Conventions
1.1.1. Dans tout ce paragraphe, on note S un anneau local regulier de dimension 2, complet, de caracteristique 0, a corps residuel parfait k de caracteristique p, muni d'un Frobenius, i.e., d'un endomorphisme y?(zr: a) : S ^^ S verifiant (px = a:P(mod p). Si ms designe Tideal maximal de 5,1'existence d'un Frobenius implique que p ^ m | . Si Ton pose W = W{k) et si Ton choisit w G rns tel que ms = (p, TT), Tanneau S s'identifie a Tanneau VF|7r| des series formelles en TT a coefficients dans W. Le Frobenius est determine par (pw (qui pent etre a priori n'importe quelle serie formelle congrue a TT^ mod p): on a
5„ = 5/p"5. Le corps E est un corps complet pour une valuation discrete, absolument non ramifie, dont le corps residuel est £" = Fr 5 i == ^((TT)), si ^ designe I'image de TT dans S\,
REPRESENTATIONS p-ADIQUES DES CORPS LOCAUX 1.2. 1.2.1.
277
Modules de type fini sur S Les ideaux premiers de hauteur 1 de 5 sont tous principaux. II
y a
- d'une part I'ideal engendre par p, - d'autre part, les ideaux de la forme (P(7r)), ou P est un polynome, a coefficients dans W, irreductible unit aire, dont tous les coefficients autre que celui du terme de plus haut degre sont divisibles par p. Nous disons qu'un 5-module est elementaire indecomposable s'il est libre de rang un ou isomorphe a S/p^, ou p est un ideal premier de hauteur 1 de 5 et n un entier > 1. Un 5-module est dit elementaire s'il est somme directe d'un nombre fini de modules elementaires indecomposables. Dans une telle decomposition, la multiplicite de chaque facteur indecomposable est bien determinee. 1.2.2. Proposition. Si N est un S-module de type fini, il existe un S-module elementaire M et une application S- lineaire r}:N-^M, dont le noyau et le conoyau sont des S-modules de longueur finie (on dit souvent que A^ est "quasi-isomorphe" a M). De plus, M est unique a isomorphisme pres. P r e u v e . C'est un resultat bien connu, qui est a la base de la theorie d'lwasawa (cf., par exemple, [Se58] ou [La78], Thm. 3.1). 1.2.3. Corollaire. Soit N un S-module de type Sni sans torsion. II existe des S-modules libres de type fini L et M et des applications Slineaires injectives L-^
N
et
N -^ M
dont le conoyau est annule par une puissance de p. P r e u v e . Soit 7]: N -^ M
une application 5-lineaire, a noyau et conoyau de longueur finie, de A^ dans un 5-module elementaire M. On pent ecrire M = M' 0 Mp.tor, ou M' est un module elementaire sans p-torsion. Comme A^ est sans torsion, T] est injective, de meme que son compose avec la projection de M sur M', ce qui montre que M = M', i.e., que M est sans p-torsion. Soit r un entier tel p^ annule Coker 77. L'application, qui a x E M associe I'unique y E N tel que 'r]{y) — p^x^ definit un isomorphisme de M sur un sous-module L de N. Mais alors L et M sont a la fois elementaires et sans torsion, done libres.
278
JEAN-MARC FONTAINE
1.2.4. Proposition. Soil N un S-module de type fini sans torsion. Alors Af — Os <S>s N est un Os-module libre de rang fini, Vapplication de N dans J\f, qui a x associe I ^ x est injective. Si Von s'en sert pour identifier N a un sous-S-module de Af, N[l/p] HAf es t un S-module libre de rang fini. Preuve. Soient L -^ N —^ M comme dans le corollaire 1.2.3. On a un diagramme commutatif L
>
Oe 0 5 L
N
y Oe Os A^
y
M
> Oe 0 5 M
ou les fleches horizontales du haut sent injectives par definition, celles du bas par platitude et les fleches verticales extremes parce que L et M sont libres. On en deduit I'injectivite de la fleche verticale du milieu et le fait que Os 0 5 L, O^r 0 5 M et done aussi Oe 0 5 N sont des C7£:-modules libres de rang fini egal au rang d de M sur S. Si Ton utilise ces injections pour identifier tons ces modules a des sous-5-modules de Ai = Oe 0 5 M, on voit que A^o = N[l/p]nAf
= M[l/p]nAfc
M[l/p] n A^ = M
est un 5-module de type fini. Par construction, Papplication No/pNo -^ N/pM est injective et NQ/PNQ est un C7^-module de type fini sans torsion, done libre. Si e i , e 2 , . . . , e^ sont des elements de NQ qui relevent une base de No/pNo, les e^ engendrent NQ et sont lineairement independants. lis constituent done une base de A^o qui est bien libre. 1.2.5. On dit qu'un 5-module M est sans p'-torsion si, pour tout x E M tel que Ann (x) ^ 0, il existe m G N tel que Ann (x) = p^S. Si M est un 5-module de p-torsion, M est sans p'-torsion si et seulement s'il est sans 7r-torsion. Un 5-module elementaire M est sans p'-torsion si et seulement s'il est de la forme M~5''e(®„gM(5„/"), ou d et les d^ sont des entiers presque tous nuls. 1.2.6. Remarquons que si M est un 5-module de type fini sans p'-torsion et tue par p, c'est un module de type fini, sans torsion sur Si — k[TT\\ il est done libre sur 5i, done elementaire. La proposition suivante permet alors de ramener, par devissage, un certain nombre de questions sur les S'-modules de type fini sans p'-torsion au cas ou ceux-ci sont element aires.
REPRESENTATIONS p-ADIQUES DES CORPS LOCAUX
279
1.2.1. Proposition. Soit M un S-module de type fini, sans p'-torsion. Pour tout i G N, soit Mi = {xeM\3reN
tel que if x G p*M} .
Alors Mi est independent du choix de TT, chaque quotient Mi/Mi^i est un Si-moduIe libre et, pour i sufRsamment grand, Mi est un S-module libre. Preuve. Si TT' est un autre element de S tel que ms = (p,TT'), on pent, quitte a multiplier TT par une unite supposer que TT' = 7r(mod p). On a done w'^ = 7r^(mod p*) des que p*~^ divise r et Mi est bien independant du choix de TT. Chaque Mi/Mi^i est tue par p et sans 7r-torsion. C'est done bien un 5i-module libre. Soit T) : M —^ L une applieation lineaire de M dans un 5-module libre, telle que le noyau et le eonoyau sont de p-torsion. Cette applieation permet d'identifier M[l/p] a L[l/p]. Par ailleurs, si Ton definit les Li eomme les M^, on a Li — p^L. Notons Mi (resp Li) C M[\/p] Tensemble des p~* 0 x, pour x G Mi (resp. Li). On a Li = L et les Mi forment une suite eroissante de sous-5-modules de L, qui est done stationnaire. Si Ton ehoisit i tel que p*M est sans p-torsion et Mi = M^^i, on a Mi^i — pMi, done Mi/pMi est hbre sur Si et Mi est libre sur S. 1.2.8. Remarque. Si M est un S'-module de type fini sans p'-torsion, il en est evidemment de meme de Ker p* et de M/Ker p*. En partieulier, les Ker pYKer p*"^^ sont elementaires. 1.2.9.
Comme a : S -^ S est fidelement plat, M ^ M^ =S<S)s M a
est un foneteur exaet et fidele de la eategorie des 5-modules de type fini dans elle-meme. Proposition. Si M est un S-module de type Rni, sans p'-torsion, alors Ma est aussi sans p'-torsion. P r e u v e . Par devissage, la proposition 1.2.7 nous ramene au eas ou M est element aire; il suffit de le verifier lorsque M est element aire indecomposable, auquel eas e'est trivial. 1.3.
Les (p-modules p-eiales
1.3.1. Nous disons qu'un v^-module M sur S est p-eiale si c'est un 5module de type fini, sans p'-torsion , et si le (^-module M(p) = 5(p) 0 5 M est etale. On note ^ M J ^ la sous-categorie pleine de la eategorie des <^-modules sur S dont les objets sont eeux qui sont p-etales. C'est une
280
JEAN-MARC FONTAINE
categoric additive, Z^-lineaire, qui n'est pas abelienne. Le foncteur M H-^ M(p) est un foncteur additif, exact et fidele de ^ A f | dans ^Af|* . 1.3.2. Remarque. Soit ^Ms^p la categoric suivante: - un objet est un couple {N, M) forme d'un ^-module etale TV sur Sfp) et d'un "5-reseau" M de A'', i.e., d'un sous-5-module de type fini M de N tel que I'application naturelle 5(p) 0 5 M -^ N est un isomorphisme (il revient au meme de se donner un 5-module de type fini M sans p ' torsion et une structure de ^-module sur N = ^(p))] - un morphisme de {Ni,Mi) dans {N2,M2) est un morphisme de (pmodules a : Ni -^ N2 tel que a{Mi) C M2. La categoric ^Mi s'identific alors a la sous-categoric plcine de ^Ms,p formee des (AT, M ) tels que
M est
p-etale;
(ii) il existe q E S, non divisible par p, qui annule (iii) rapplication $ : M^ -^ M est injective. Alors (i) <^ (ii) => (iii). Si M est de p-torsion, equivalentes.
M/^{Ma);
les trois assertions
sont
P r e u v e . D'apres la proposition 1.2.9, M^ est aussi sans p'-torsion et dans le carre commutatif
M,
. (M,),„ = («„))„
1
1
M
>
Mf^p^
les fleches horizontales sont des injections. Ceci nous permet d'identifier M (resp. Ma) a un sous-5-module de M(p) (resp. de (M(^p^)a)L'implication (ii) => (i) resulte de ce que, si q E S n'est pas divisible par p, alors q est inversible dans 5(p). Inversement, si M est p-etalc et si xi,X2,' • • ,Xd engendrent M comme 5-module, il existe yi, y2, • • • ,yd G (M(p))^ tels que ^yj = Xj. Mais il existe q £ S — pS tel que qi/j G M^^ pour tout j . Done ^(M^j) contient le sous-5-module engendre par les ^{qi/j) = qxj et M/<^{M(j) est annule par q. Si M est p-etale, I'injectivite de <^ : {M(j,^)(j —> M(^p) implique celle de Ma -^ M et (i) => (iii). Si M est de p-torsion, et si ^ : Ma -^ M est injective, il en est de meme de (M(p))<7 —^ ^(p) Q^i ^st done bijective puisque source et but sont des S'(p)-modules de meme longueur finie; on a done bien (iii) => (i) dans ce cas. 1.3.4. Si M est un (p-mod\i\e p-etale sur 5 , on appelle hauteur on note h{M) I'ideal Ann ( M / ^ ( M ^ ) ) .
de M et
REPRESENTATIONS p-ADIQUES DES CORPS LOCAUX 1.3.5.
281
Proposition. Soit 0 - ^ M' -> M ^ M " - ^ 0
une suite exacte de (p-modules sur S dont les S-modules sous-jacents sont de type £ni et sans p'-torsion. Alois M est p-etale si et seulement si M' et M" le sont. S'il en est ainsi, h{M') D h{M), h{M") D h{M) et la suite 0 -> M 7 ^ ( M ; ) -> M/^ (M^) -^ M"l^
(M'J) -^ 0
est exacte. Preuve. Avec des notations evidentes, on a un diagramnie commutatif 0
X
0
X
1
M„
M'l
i
M
M"
1
A
K"
1
i
0
0
0
dont toutes les lignes et les colonnes sont exactes. Si M' et M" sont p-etales, il existe q', q" E S — pS tels que q' annule A' et q" annule A''; alors q'q" annule A et M est p-etale. Supposons M p-etale. II existe q E S — pS qui annule A; il annule a fortiori A" et M " est p-etale. D'apres la proposition precedente, ^ : M'J —^ M" est injective, done X = 0. Le result at est alors evident. 1.3.6. Soient M un v^-module p-etale sur 5, M' un sous-<^-module de M et M" — M/M' le (^-module quotient. On dit que M' est un sous-objet strict de M ou que M" est un quotient strict de M si M' et M" sont tons deux p-etales. Ceci revient done a demander que M" soit sans p'-torsion. Remarquons que, avec les notations de la proposition 1.2.7, si M est un <;^-module p-etale sur 5, les Mt sont des sous-objets stricts de M, chaque
282
JEAN-MARC FONTAINE
Mi^i etant un sous-objet strict de M,. La proposition 1.2.7 implique done que tout <^-module p-etale pent se fabriquer par un nombre fini d'extensions successives de (^-modules p- etales element aires. 1.4. 1.4.1.
Les foncteurs j * et j ^ On note j : S —^ Oe I'inclusion. Si M est un <^-module sur S, f{M)
= Oe^sM
= Oe ^s^^^ {S(p) 0 5 M)
et le lemme de Nakayama implique que, si M est de type fini et sans p'-torsion, alors M est p-etale si et seulement si j*{M) est etale. Comme Os est plat sur S, le foncteur j * est exact; sa restriction a la categorie des ^-modules sur S qui sont p-etales, est un foncteur exact et fidele, que nous notons encore
Nous allons voir que ce foncteur admet un adjoint a droite. Pour cela, pour tout <^-module ^f sur Of, notons Fs{Af) Tensemble des sous-5modules de type fini de Af, stables par (p. 1.4.2. T h e o r e m e . (i) Soit Af un (p-module etale sur Os- Alors, si N € Fs{Af)f N est p-etale sur S et rapplication naturelle Os 0 5 N —^ J\f est injective. En outre j.{Af) = UNeFs(Ar)N est encore dans Fs{Af). (ii) Pour tout objet J\f de^M^ , j*j*Af —>• J\f est un monomorphisme; c^est un isomorphisme si M est de p-torsion. (iii) Si Af est un objet de^M^ , sans p-torsion, alors j^^Af est libre sur S, de rang inferieur ou egal au rang de Af sur Os et j^j^cAf —^ Af est un isomorphisme si et seulement si rangs {j*Af) = range^ (Af). (iv) Les foncteurs j * et j ^ sont adjoints (i.e., si M est un objet de ^M^ et Af un objet de ^MQ on a Eom {M,j,Af)=
Eom(rM,J^)).
Remarquons que, si A^'i, N2 E Fs{Af), alors Ni + ^^2 aussi. En particulier, j*(A/') est un <^-module sur S. On pent done au moins considerer j * comme un foncteur additif
et il est clair que ce foncteur est exact a gauche.
REPRESENTATIONS p-ADIQUES DES CORPS LOCAUX
283
1.4.3. L e m m e . Si J\f est de p-torsion, alors Fs{J\f) contient un (pmodule No sur S qui engendre Af en tant que Os-module. Preuve. Choisissons des elements e i , e 2 , . . . ,6^ E A/' et des entiers n i , n 2 , . . . ,nrf > 1 tels que Ann (e^) = p^^ Oe et Af = ®i<j
et le fait que Af est etale implique que la matrice A est inversible. Choisissons q E ms fl (5 — pS) tel que (pq = gP(mod p") (comme (fir ~ 7r^(mod p), on pent prendre, par exemple, q = TT^ ). Comme Os^n = Sn[l/q], il existe un entier s tel que tons les q^aj^i E SnSi je choisis r tel que (p — l)r > s, on a
et il suffit de prendre pour No le sous-5-module engendre par les q^Cj. 1.4.4. par p.
Lemme. Les assertions (i) et (ii) sont vraies lorsque J\f est tue
Preuve. Commengons par remarquer que jV est un E- espace vectoriel de dimension finie d. Tout objet de Fs{Af), comme n'importe quel souses £;-module de type fini de Af, est un C^^^-module libre de rang < c? et Tapplication Os 0 5 N -^ Af est injective. Elle identifie done Oe <S>s ^ a un sous-O^r-module de Af stable par (p, qui est done etale et N est bien p-etale. Soit No un element de Fs{Af) contenant une base (ej)i<j<^ de Af sur Os^i = E. Soit C = A^Af. Si e = ei A 62 A . . . A e^, il existe une unite r] de Si = OE et un entier m tels que (pe = ir^rje. On en deduit que, pour tout s' E N, il existe une unite ifg de OE telle que ^
( e ) = TT
V
"^ "^
"^
^ -Tlse.
Soient A^'i le sous-5-module de Af engendre par les Cj et r un entier tel que (p— l ) r > m. Monirons que, si N E Fs{Af), alors N C 7r""''+^7Vi: Quitte a remplacer N par N -^ Ni, on pent supposer que les Cj E N. Si A'' (jt. TT'^'^^Ni, on pourrait trouver a:i,a:25- - - ,Xd ^ E^ avec I'un des Xj egal a 7r~'' tels que x = '^ XjCj E N. Quitte a changer la numerotation, on pent supposer que Xd = T^~^. On aurait done y = eiAciA.. .Acd-i Ax ^ L = A^AT, qui est un sous-O^j-module libre de rang un de £, stable par (p. Mais ce n'est pas possible car y ~ 7r~^e, done, pour tout s E N,
et les (p^{y) engendrent C comme 5-module.
284
JEAN-MARC FONTAINE
Par consequent, toute suite croissante d'elements de Fs(Af) est stationnaire. Done i*(A/') est un objet de Fs{J^) et est bien p-etale. La double inclusion A^i C i*(A/') C 7r~^'^^Ni montre que j*(A/') est un sous-0£;module du £'-espace vectoriel de dimension finie Af, contenant une base de E et ayant son rang egal a la dimension de AT, et
est bien un isomorphisme. 1.4.5. L e m m e . Les assertions (i) et (ii) sont vraies lorsque Af est de p-torsion. Preuve. Pour tout A^ G Fs{Af), Tinjectivite de I'application Os <S>s N -^ M resulte de ce que c'est injectif lorsque Ton se restreint au noyau de la multiplication par p; en particulier Oe 0 s ^ s'identifie a un sous-objet de M et est done etale et N est bien p-etale. Comme S est noetherien, pour achever de prouver (i), il suffit de verifier que ji,{N) est un 5-module de type fini. On va proceder par recurrence sur le plus petit entier n tel que p^J\f = 0. La suite exacte 0 —> Ker p —> M —^ Im p —^ 0 induit une suite exacte 0 —^ i*(Ker p) -^ j*(A') -^ i*(Im p). D'apres le lemme precedent, j*(Ker p) est un 5-module de type fini; il en est de meme, par hypothese de recurrence de j*(Im p), et done aussi de Pour (ii), on remarque que, d'apres le lemme 1.4.3, I'application
est surjeetive, tandis que I'injectivite resulte de (i). 1.4.6. Lemme. Les assertions (i), (ii) et (iii) sont vraies lorsque Af est sans p-torsion. Preuve. Soient Afi = J\f/pAf^ Q la projection de M sur Mi et Ni la somme des ^(A'') pour N G Fs{M). II est clair que Ni C i*(A/i); c'est done un O^j-module libre de rang r inferieur ou egal au rang d die M sur
Oe. Soit M G Fs{M) tel que la projection de M sur A'^i est surjeetive (il est clair qu'un tel M existe). Soient (ej)i<;
REPRESENTATIONS p-ADIQUES DES CORPS LOCAUX
285
Si X G M, on fabrique, de proche en proche des suites Xz E P et yi E M* telles que
done X — ^p^Xi G P' Ceci prouve que jit.{Af) = P , et les assertions (ii) et (iii) en resultent. Si A^ G Fs{Af), N C P; I'application Oe^sN ^ Oe 0 5 P est injective, done aussi son compose avec Tapplication Oe^sP -^ J^\ ceci nous permet en particulier d'identifier Os^sN kun sous-objet de J\f qui est done etale, d'apres la proposition Al.1.6 et iV est bien p-etale. 1.4.7. Terminons la demonstration du tkeoreme: Les assertions (i) et (ii) ont deja ete verifiees lorsque, ou bien Af est de p-torsion, ou bien A/* est libre. Le cas general s'en deduit en considerant la suite exacte
L'assertion (iii) vient d'etre prouvee. Enfin, Tassertion (iv) est evidente. 1.4.8.
Si N est un objet de ^ M J ^ , on dit que A^ est normal si
est un isomorphisme. Pour tout objet A^ de ^Aft , j*j*{N) malise de N.
est normal; on Tappelle le nor-
1.4.9. On dit qu'un 9?-module etale Af sur Os est de S-hauteur finie si j*j*Af -^ Af est un isomorphisme. II revient au meme de dire qu'il existe un objet N de ^AfJ tel que j*iV est isomorphe a Af. Tout y?-module etale sur Os n'est pas de 5-hauteur finie, mais le theoreme 1.4.2 montre que tons ceux qui sont de p-torsion le sont. La sous-categorie pleine ^AfJ (5) de ^MQ formee des <^-modules de 5-hauteur finie est I'image essentielle du foncteur j * : ^Mi —^^M^ . 1.5. La q-hauteur 1.5.1. On note N I'ensemble qui est Tunion disjointe de N et de I'ensemble des r"^, pour r G N. On munit N d'une relation d'ordre total en convenant que, pour tout r G N, r < r"^ < r + 1. 1.5.2. Soit q E S — pS. Si M est un <^-module p -etale non nul sur 5, on note hq{M) et on appelle q-hauteur de M Telement de NU{H-OO} ainsi defini: si M/^{M<j) n'est annule par aucune puissance de g, hq(M) = -f-oo; sinon, soit r G N le plus petit entier tel que q^ annule M/^{Ma)\ - si M n'a pas de quotient strict (cf. n° 1.3.6) non nul M' tel que V?(MO C q'M', alors hq{M) = r;
286
JEAN-MARC FONTAINE
- sin on hq{M) = r"^. 1.5.3. Si u est une unite de 5 , on a huq{M) = hq{M), pour t o u t ^-module p-etale non nul M sur S. Soit M un ^-module p-etale non nul sur 5 . Si M est de p-torsion, il est de g-hauteur finie. Dans le cas general, on pent trouver des ideaux premiers {c{i)i
M/^(M,)->ei<,<,5/(q,r*' a noyau et conoyau de longueur finie. Alors M est de ^-hauteur finie si et seulement si q appartient a chacun des q^. 1.5.4. On note $ A f J ( g ) la sous-categorie pleine de ^Af J formee des objets de g-hauteur finie. Pour tout r G N, on note ^M^g(q) (resp. ^M5^.Qj.(g)) la sous-categorie pleine de ^M'g formee des objets de qh a u t e u r < r (resp. et de torsion). D'apres la proposition 1.3.5, pour t o u t r G N, tout sous-objet strict et tout quotient strict d'un
La restriction de j * a ^M'^(q) admet un adjoint a gauche ji: un objet de ^ M ^ , et si Etq{J\f) designe I'ensemble des s o u s - 5 ^s de Af stables par (p qui sont des yp-modules p-etales de c|f-hauteur prend JKAf) =
UNeEtqi^)N.
C'est bien un 5-module de type fini car c'est un sous-module de j^{Af). Si J\f est de p-torsion, on a jl{M) = j*{Af). Si M est sans torsion, jt{M) est un S-module lihre. Pour le prouver, il suffit de verifier que, pour tout A^ E Etq{M), il existe N' G Etq(J\f) qui contient N et est un 5-module fibre. Mais N s'identifie a un s o u s - 5 module du (/?-module J\f' = Os^s ^ etale sur Oe- D'apres la proposition 1.2.4, iV' = N[l/p]f]Af' est un 5-module libre. II est clair qu'il est stable par cp et contient N. II existe un entier s tel que p^ N' C A^, done N' isomorphe a un sous-^-moduJe de N est p-etale, en particulier N^/^(N^^) est tue par un element a E S — pS. Par ailleurs, on voit que si q^ annule N/^{Na), q'^p^ annule N'/^{N'^). Done N'/^{N'^) est annule par une puissance de q. On dit que M est de q-hauieur finie si j*j*{Af) = M (ce qui est toujours le cas si M est de p-torsion). II revient au meme de dire qu'il existe un obj e t N de^M'g{q) tel que j*A/" est isomorphe a M . S'il en est ainsi, on note
REPRESENTATIONS p-ADIQUES DES CORPS LOCAUX
287
hq (Af) et on appelle g-hauteur de Af la plus petite des ^-hauteurs de tels N. On note aussi ^M^ (S, q) (resp. $Af^ (5, q)) la sous-categorie pleine de<MfJ (5) formee des objets de ^-hauteur finie (resp. de g-hauteur < r). Ce sont des sous-categories stables par sous-objet et quotient. 1.5.6.
Pour tout a G 5, on note (a) Tideal engendre par a.
Proposition. Supposons q irreductible, (TT) stable par a et (TTT £ (q). Alors, pour tout objet N de^M^{q)j le conoyau de N^
Norq{N):=Jtr{N)
est annule par une puissance de w. II est meme de longueur finie, s'il existe un ideal premier non nul de S, different de (TT) et (q) contenant CTTT. P r e u v e . Soit M — ^oiq{N). diagramme commutatif
Avec des notations evidentes, on a un
0
X
Na
Ma
M'l
4"
•4'
4'
N
y M
y M"
V
L"
0
0
dont toutes les lignes et les colonnes sont exactes. Pour tout S'-module A de type fini et de torsion, notons Ass(A) Tensemble des ideaux premiers q de 5 tels qu'il existe x G A, dont I'annulateur est q. C'est aussi Tensemble des ideaux premiers qui contiennent I'annulateur d'un module elementaire "quasi-isomorphe" a A (cf. n° 1.2.2). Comme Os 0 5 M" = 0, M" est de p'-torsion, done aussi M'^. Par hypothese L' et L sont de g-torsion, done X et L" aussi. On en deduit que Ass(M'0 U {(g)} = Ass{M'J) U {{q)}. Si q' et q" sont deux ideaux premiers de hauteur 1, distincts de 5, les ideaux premiers de hauteur 1 qui divisent crq' sont distincts de ceux qui
288
JEAN-MARC FONTAINE
divisent crq''. On en deduit que, si A s s ( M ' ' ) = {(c{i)i
Relevement
des modules de q-hauteur
finie
1.6.1. T h e o r e m e . Soit q un element de S dont Fimage dans Si est une uniformisante. Soit ^ G N. Tout oh jet de ^Mg{q) est quotient d^un ohjet de^Mg{q) sans torsion. 1.6.2. Supposons d'abord que q est un element quelconque de 5 — pS. Si M est un <^-module sur 5 , sans g-torsion, on definit la q-filtration sur M(j et la q-filtration conjuguee sur M en posant, pour tout i G N, F ; M ^ = {xe
M^l^x
G q'M}
et
Cf M
= q'\^
{F'^M)
.
On a F^M, = M , , q.F'^M, C F'^-^'M, C F^M, et CfM C C ^ ^ M . Si M est un <^-module p-etale non nul, dire qu'il est de ^-hauteur finie equivaut a dire que C / M — M , pour i assez grand. Si r est le plus petit des i tel que c'est vrai, la ^-hauteur de M est r s'il n'existe pas de quotient strict non nul M " de M tel que F^M'J = M'J, et r + sinon. 1.6.3. Supposons maintenant q comme dans le theoreme et soit M un
R E P R E S E N T A T I O N S p-ADIQUES DES C O R P S LOCAUX
289
F^Ma dans JI^ et Cf M Timage de Cf M dans M . Posons aussi gr^^M^r = F ^ M ^ / F ^ + ^ M ^ et g r f M =: Cf'M/Cf_J^
(en convenant que Cljd
=:= 0).
Si r G N, alors M est dans ^M''^^ (q) si et seulement si C^M = M. 1.6.4.
L e m m e . Conservons
les hypotheses
et notations
(i) Pour tout i G N, il existe une unique application Car,-: g r ; M . telle que le
ci-dessus.
k-Iineaire
gr?M
diagramme F\Ma
^ F^M
CaTj
gr^M^ soit
y grfM
commutatif.
(ii) Si M est un objet de ^Af^ (g), on a gr* M^^ = 0, p o u r i > r et Car est un
:= eo
gr?M
isomorphisme.
[La notation Car traduit le fait que cet isomorphisme semble jouer dans ce contexte un role analogue a Tinverse de Tisomorphisme de Cartier.] P r e u v e . Montrons (i). L'unicite de Car, est evidente. revient a verifier que le noyau de I'application composee F'^M,
-^-^
F^m
Son existence
. grfM,
qui contient F^'^^M, contient aussi (qM^) fl F^M^, ce qui est clair car I'image par g"*^ de ce sous-5-module est contenu dans F^_^M. Enfin, I'application Car est surjective par construction, et I'assertion (ii) resulte immediatement de ce que dimjt Ma = dimj^ gr^M. 1.6.5. Prouvons le iheoreme: Soit r Tunique entier tel que Q G {r,r"^} et soit M un objet de ^Mg{q). (a) Supposons M annule par p et reprenons les notations du n° 1.6.3. Choisissons une base (ej)i<j<^ de M adaptee a la filtration conjuguee, i.e., telle que, si ij designe le plus petit entier i tel que Ej G CfM, alors CfM soit le sous-^-espace vectoriel de M de base les ey, avec ij < i. Pour chaque j , choisissons aussi un relevement ej de ij dans Cf. M et notons e' Tunique element de Ma tel que ^e'j = q^ tj. II resulte du lemme precedent que les images des e'j dans Ma forment une base de Ma\ par consequent.
290
JEAN-MARC FONTAINE
les ej forment une base de M sur Si tandis que les e'- forment une base de M(j sur 5 i . Autrement dit, si Ton ecrit
l
la matrice des aj^i est inversible dans 5*1. Choisissons alors des relevements ctj^i des aj^i dans S et notons (ej)i<j< ei E Nfj forment une base de N^ sur 5 . On munit AT d'une structure de (^-module en posant ^ij — q^^ ej. L'application 5-lineaire de N sur M qui envoie e^ sur ej identifie M a un quotient du <^-module sans torsion N. II est clair que A'' est un objet de ^ M ^ (q). Enfin, si A^' est un sous-objet strict non nul de A^ tel que A^" = N/N' est non nul et verifie (pN" C q^ N", alors M " = N/{N' -h pN) est un quotient strict non nul de M verifiant (pM" C q^M"\ done si M est dans ^ M ^ ( g ) , alors A^ aussi. (b) Passons maintenant au cas general. Pour tout S'-module N de type fini sans p'-torsion, on definit, comme dans la proposition 1.2.7, A^j = {a? G A^ I 3 r G N tel que TT^'X
G p'A^}
.
Pour I suffisamment grand Mi est sans torsion, et il suffit de fabriquer une suite M = M ° ^ M^ ^ . . . ^ M* ^
...
de morphismes surjectifs dans la categorie # M | ( g ) telle que, pour tout i, la projection de M* sur M^ induise une application injective de Ml^^ sur Mtor dont r i m a g e est exactement (Mt)torOn procede par recurrence sur i, le cas 2 = 0 etant clair. Supposons 2 > 0 et soit A/'* le quotient de M*"^ par ( M * " ^ ) i . C'est un objet de * M | ( g ) tue par p et (a) nous permet de realiser AT* comme la reduction modulo p d'un objet U de $ M | ( ^ ) qui est lib re comme S'-module. On verifie immediatement que le produit fibre M* = M*~^ x^i U convient. 1.7.
Les modules de petit
1.7.1.
hauteur
Pour tout r G N, soit ^Af5 (TT) (resp. #Af^(7r)) la sous-categorie
pleine de ^M^g{7r) (resp. 4WI(f^ (S, TT)) formee des objets M tues par p. T h e o r e m e . Tout objet categorie
est abelienne,
de la categorie ^Af^~ la restriction
(TT) est normal
de j * a ^ M ^ ~ (TT) est
fidele et induit une equivalence entre cette categorie restriction de j * est un quasi-inverse.
et ^M^^
Cette pleinement (TT). La
R E P R E S E N T A T I O N S p-ADIQUES DES C O R P S LOCAUX
291
P r e u v e . Toutes ces assertions resultent facile me nt de la premiere. II suffit done de verifier que, si M est un objet de ^Af^~ (TT) et si A^ = j^j*M, alors rinclusion M ^^ N est une egalite. Remarquons (cela ne nous sera utile que si Ml
et
0
X
1
y Na
^ La
M
y N
^ L
1 X
i
M^
i
M
y N
I
1
0 0 dont toutes les lignes et les colonnes sont exactes. Comme Si — A:[[7r]] et comme L est un 5i-module non nul de longueur finie, il existe un entier c/ > 1, des entiers r i > r2 > . . . > r^ > 1 et des elements e i , 6 2 , . . . ,ed E L tels que Ann(ej) = (^'^O et L = 0 i < i < d 5 i e f . On a alors L^ = ^i
292
JEAN-MARC FONTAINE
i^e\ = ^aije'j
-f 6,-,
ou les 6j G M et la matrice des a^j est une matrice carree inversible a coefficients dans k. Soit M = M/TTM] c'est un Ar-espace vectoriel de dimension finie que I'on pent considerer comme un ^-module sur k. Si 6j designe Timage de bi dans M, le systeme d'equations
a une solution dans k\ en effet, si Ton choisit une base de M sur /?, on obtient des equations etales (grace au fait que la matrice des aij est inversible) qui ont une solution (puisque Ton a suppose k algebriquement clos). II est immediat que Ton pent relever les xi en des xi G M de fagon que ^Xi - ^aijXj
= hi.
Autrement dit, quitte a remplacer e'- par e^- — xi, on pent supposer que les hi sont nuls. Mais alors, si on pose e'l — ire'-, on voit que le sous-S*!module M' de M engendre par les e'/ est un facteur direct de M stable par yp, done est un sous-objet strict de M. Comme
on a
1.7.2. Le theoreme precedent implique que, si M est un objet de ^M'g(q)^ admettant une filtration M = M^D M^ D "-M'
D M*+^ D • • •
telle que fl M* = 0 et chaque M^/M^'^^ est un <^-module p-etale de qhauteur < p— 1, alors M est normal. En outre la sous-categorie pleine de $Af J(g) formee de tels M est abelienne. On en deduit en particulier la proposition suivante: 1.7.3. Proposition. Soient g G 5 — pSj e{q) le plus grand entier e > 0 tel que TT^ divise rimage de q dans Si et r £ N verifiant r.e(q) < (p — 1)"*". Alors, tout objet de ^M^g{q) est normal, la categorie ^M^g{q) est abelienne, la restriction de j * a^M^g{q) est pleinement Gdele et induit
REPRESENTATIONS p-ADIQUES DES CORPS LOCAUX
293
une equivalence entre cette categorie et ^MQ (S,q); la restriction de j * est un quasi-inverse. 1.8.
Representations de hauteur finie
1.8.1. Dans ce n°, on reprend les notations du §A2. On note en outre R Tanneau des entiers de E; on ecrit Fr R au lieu de E. On a done Oc^ C WCFi R). On pose RQ = R^E et on note Fr RQ = (Fr R)^E son corps des fractions. On sait ([Ax70]) que Fr RQ est le complete de la cloture radicielle de E = ^((TT)) et que RQ est I'anneau de ses entiers. On pose aussi A+ = W{R) n O^^^ C W{Fv R) et
Bj = A+[l/p] = WK.iR) n ^nr C
WK,{FT
R).
Pour tout Zp-module M et tout entier n > 1, on pose Mn — M/p'^M et Moo = lim.ind. Mn = {%/Ip) (g) M. En particulier, O^ ^ = £nr/0^ , W{R)oo = WK,iR)/W{R) et Al^ = Bj/A^ On choisit q E S — pS tel que Vimage de q dans Si est une uniformisante. 1.8.2. Pour tout <^-module A sur 5, on note Fs{h) (resp. Et^(A)) Tensemble des sous-5-modules de type fini de A, stables par (^, qui sont p-etales (resp. et de ^-hauteur finie). On pose j * A = UiV6F5(A)A^
On a J** A C j*N, avec Tegalite pour la topologie p-adique et sans i*(A[l/p]) = 0 ; A ) [ 1 / P ] . Si A' C j^A' = j^A (resp. jiA' = j*A). un endomorphisme de la structure anneaux.
et
jlK = Uue EtqiA)N.
si A est de p-torsion. Si A est separe p-torsion, jt(A[l/p]) = (jlA)[l/p] et A et si i,A (resp. j | A ) C A', alors Si A est une 5-algebre et si (p est d'anneaux, jlA et j^A sont des sous-
(a) Proprietes de A J 1.8.3.
P r o p o s i t i o n , (i) On a i*(Fr R) = E^^^ nR=
O^sip-
(ii) Pour tout entier n > I, j^Wn(FT R) = A'^^; (iii) Les anneaux jiW{FT R) et J^W{FT R) sont contenus dans A J et denses dans A^. (iv) Pour tout n > 1, A+^ s'identiGe a Wn{R) Pi O^ ^(C Wn(Fr R)). 1.8.4. L e m m e . Pour tout entier n > 1, j*Wn(Fv R) - Wn{R) fl Osnv^n Gt Papplication naturelle j*Wn-\-i{R) —^ j*Wn{R) est surjective.
294
JEAN-MARC FONTAINE
P r e u v e . Soit N G Fs{Wn(PT R)). On va commencer par montrer, successivement que A'' C Wn{R)y puis que A^ C O^ ^ = Ofnr.n (ces deux assertions prouvant Tinclusion j*VF„(Fr R) C Wn{R) ^0£^j.^n) ^t qu'il existe N' G Fs{Wn+i{Fv R)) dont Timage dans PVn(Fr R) est AT, ce qui prouvera la surjectivite. Tout d'abord, A^ -f S'n-l G Fs{Wn{FT R)). Le sous W'(iJ)-module de VFn(Fr R) engendre par AT + 5n.l est un Wn(^)-module L de type fini stable par (p contenant Wn{R)] si L 7^ Wn{R)y on pourrait trouver x E L de la forme x = ( 0 , 0 , . . . ,0,c) avec c ^ i2 et le sous-W„(iJ)-module engendre par les (p^x = ( 0 , 0 , . . . ,0,c^ ) n'est pas de type fini, et on a hienN CWn{R). Si J\f = Os 0 5 A'^, rinclusion de A^ dans H^n(Fr R) se prolonge en une application O^-lineaire t commutant k (p de Af dans PVn(Fr R). Si J^ est un O^r-module de longue ur r, Hom$.M(^j W^n(Fr R)) est un groupe abelien fini d'ordre p^ [si (ej)i<j
^vec
{aj^t) G GLn {Oe),
et on voit que I'ensemble des solutions, dans ^ ^ ( F r R)^ du systeme d'equations p^j Xj = 0
et
^Xj — 2_]cLj/^£,
pour
1 < i < c?,
a exactement p^ ^J = p^ elements]. Mais p^ est aussi I'ordre de FJ(A/') = Hom^M(-A/', C^^^r.n); Tinclusion Hom4^iif(A/', Ofnr n) C B.oni^M{J^jWn{Fi R)) est done une egalite et teV*^{Af)doncNcOe^r.n^ D'apres le theoreme 1.6.1, il existe un objet M de ^AfJ(^) sans torsion tel que N s'identifie au quotient de M par un sous objet strict M'. La suite exacte courte O-^M'-^M-^AT^O induit une suite exacte courte de (^-modules etales sur Oe ^-^Oe^s
M' -^0£®s
M -^Oe^sN
-^ 0.
On a i G VJ((9£:05 A/'). L'exactitude du foncteur VJ implique que cette application se releve en un homomorphisme de Os ®s M dans Oc^ Son image est un <^-module A''' quotient de M sans p'-torsion et c'est done un objet de ^M'g^q) dont la reduction mod p""*"^ est un element de Et5(M^n+i(Fr R)) = Fs{Wn+i{FT i?)), dont Timage dans Wn(Fr R) est bien N, II ne reste plus qu'a montrer que I'inclusion j^Wn{FT R) C Wn{R) H ^^nr,n ^st uue egalite et nous allons le faire par recurrence sur n.
REPRESENTATIONS p-ADIQUES DES CORPS LOCAUX
295
Si n =: 1, il s'agit de verifier que R Ci Os^^^^i = O^sep C i*(Fr R). Mais O^sep = U OLJ pour L parcourant les extensions finies separables L de E et il suffit de verifier que chaque OL E: FS{FT R). Mais, c'est un 5i-module libre de rang fini, Tapplication x ® y ^-^ x^ y definit un isomorphisme de {OL)(7 sur un sous-anneau de (P~^{OL) et $ : (C7L)<7 -^ OL devient, via cet isomorphisme, le Frobenius usuel; comme il est injectif, OLGF5(Fr R). Si maintenant n > 2, on a une suite exacte courte de 5-modules 0 - ^ Fr iZ - ^ Wn(Fr R) -^ W^n-i(Fr R)-^ Q ^n-l.
(ou la premiere application est celle qui envoie x sur ( 0 , 0 , . . . , 0, x^ )— p^~^x, X etant un relevement quelconque de x dans Wn(Fr R)). On en deduit un diagramme commutatif 0 ->j*Fr R -^ j.WniFv
II 0 ^
O^sep -^Wn{R)
R)
^
j.Wn-i{Fi
i
R)
-^ 0
II n Osnr,n
—Wn-l{R)
H
Osnr,n-l
dont les lignes sont exactes; la fleche verticale du milieu est done bien une egalite. 1.8.5.
Terminons la preuve de la proposition 1.8.3.: Soit N G Pour tout n, son image dans VFn(Fr R) est contenue dans i*PVn(Fr R) = Wn(R) nO^ ; il en resulte que A^ C W(R) D O^ done FS{W{FT
R)).
que j:^l^(Fr i?), et a fortiori jtW{FT R) sont contenus dans A^. Par ailleurs, A^npW{Fv R) = pA^ et A^^ s'envoie injectivement dans Wn(R) n Oc^ . Pour achever la demonstration, il suffit de verifier que riiomomorphisme compose
JtWiFv R)^At^
W„iR) n O-^^^ = i . W„(Fr R)
est surjectif, ou encore qu'il existe M G Etg(P^(Fr R)) dont Timage dans Wn(Fr R) est N. Si Ton choisit M comme dans la demonstration du lemme ci-dessus, on voit que Ton pent trouver un homomorphisme de (pmodules t : O^ 0s ^ ^ W{FT R) relevant t. L'image M de M par t est un quotient de M sans torsion; c'est bien un element de Etg(VF(Fr R)) qui releve N. (b) Representations de p-torsion 1.8.6. On a vu (1.4.2 et 1.5.3) que la sous-categorie pleine $ M ^ ^^^ (resp. ^M'g J.QJ.) de la categorie des ^-modules etales sur Oe (resp. petales sur S) formee des objets de p-torsion est une sous-categorie de $M+^(5,g)(resp. de*M+(
296
JEAN-MARC FONTAINE
Rappelons (n° Al.2.7) que, le foncteur F J qui a un tel -^-module M sur Os associe n{M)=
Hom<,M(M,05,,,oo)
induit une anti-equivalence entre ^Af^ ^^j. et la categorie Rep^.torlG^;) des representations de GE de p-torsion, un quasi-inverse etant m{V)=
HomGe(K,0£„„„o).
Pour tout objet M de $ M J n(M)=
j.^^, on pose Hom*M5(M,4^).
II resulte de la proposition 1.8.3 que Ton a aussi n ( M ) = Hom*Af5(M,Py(i^)oo)
= Hom*Af5(M,M/(Fr ii;)oo). Pour tout objet V de Repp.tor(G£;), on pose D*s{V)=
HomG^(y,vl+^).
II est immediat que V J est un foncteur contravariant additif exact et fidele de ^Mi ^^^ dans Repp.tor(G^£j)) qui s'identifie a V^ o j * et que Z>J est en foncteur contravariant additif pleinement fidele (mais non exact) de Repp.tor(G£;) dans ^ M J ^^^, qui s'identifie a j ^ oD}. En particulier, si r G anti-equivalence entre la torsion, de g-hauteur < r representations de GE de (c) Representations
N est tel que r,e{q) < p — 1, D*g induit une categorie abelienne des <^-modules p-etales de et une sous-categorie pleine de la categorie des p-torsion, stable par sous-objet et quotient.
Qp-adiques
1.8.7. P o s o n s A ^ o = Fv^c W et SRQ = Ko ^w S = S[l/p]. Si M est un ^-module sur 5 , MKQ — Ko<^w ^ ^ ime structure naturelle de 99-module sur SKQ- Si M' et M " sont deux (^-modules sur 5 , on a H o m * M ( M ; , ^ , M ^ J - Q p ( S ) z ^ Horn*Af ( M ' , M ' ' ) • On note I S ^ M J ^ (resp. I s ^ M j ( g ) , I s $ M ^ ( ^ ) ) la sous-categorie pleine de la categorie des v^-modules sur SKQ formee des N tels qu'il existe un objet M de ^Mt (resp. ^ M J ( ^ ) , ^ M ^ ( g ) ) et un isomorphisme de M^Q sur A^. On definit la ^-hauteur d'un objet de Is<Mf J ( g ) comme la plus petite des ^-hauteurs des M tels que MKQ — N.
REPRESENTATIONS p-ADIQUES DES CORPS LOCAUX
297
Si M est un objet de Is^AfJ^, ^{M) = S <S>SK ^ ^st un objet de ^M^. On obtient ainsi un foncteur additif, exact et fidele de I S ^ M J dans ^M£. Le foncteur j * (resp. ^1) est un adjoint a droite de j * (resp. de sa restriction a ls^M'g{q)). 1.8.8.
Rappelons (Al.2.7) que le foncteur M ^ Ve{M) = ^x e ?nr ^£ M \ (px = x^
induit une equivalence entre RepQp(G£;) et la categorie ^ M | des Sespaces vectoriels de dimension finie munis d'un Frobenius de pente 0, le foncteur V i-^Z>£:(F) = (^nr ^Qp V)^E etant un quasi-inverse. On dit qu'une representation Qp-adique de GE est de S-hauteur finie (resp. de q-hauieur finie) siD£{V) Test, et, dans ce dernier cas, on appelle q-hauteur de V celle de D£{V). Pour tout objet M de Is^^AfJ , on pose \rs{M)=
Eom^MsiM^BJ)
et
VsiM)
=
(iTsiM))';
ce sont des objets de RepQp(GjE;). De meme, pour toute representation Qp-adique V de GE, on pose
D*siV) = Eoma^
(M,5+)
et
(lesp.lTs^^iV) = EomG^iMJtWKoi^
DsiV) = (5+ (8)Qp vf^ ,R))
et
Ds^V)
=£>s(V^*) = ITs^.iV*)) ;
ce sont des objets de Is^JWj (resp. Is^M^(q)). La proposition suivante est immediate: 1.8.9. Proposition, (i) Pour tout objet M dels^Mi, on aVg{M) = Hom*M5(M,i*PyKo(Fr R)) = Eom^Ms{M,£nr) = H o m ^ ^ {M,WKQ{R)) Eom^Mg{M, WKQ(FY R)); si M est dans Is^M^{q), on a aussi V*s{M) = Eom^MsiMJlWKoi^v R)). (ii) OnaVs=Veoj\Ds=j.oDe et Ds^q = jl oDe. (iii) Pour toute representation Qp-adique V de GE, DS{V) (resp. Ds,q{V)) est un Sx^-^^odule libre de rang fini inferieur ou egal a la dimension de V sur Qp; on a Fegalite si et seulement si V est de S-hauteur finie (resp. de q-hauteur finie). 1.8.10. Remarques. (i) On a bien sur des resultats plus precis lorsque Ton se restreint aux <^-modules ou aux representations de g-hauteur < r. Remarquons en particulier que la proposition 1.7.3 montre que, si r.e{q) < p — 1, la categorie ls^M^g{q) est abelienne et que Vs induit une
=
298
JEAN-MARC FONTAINE
equivalence entre cette categorie et celle des representations Qp-adiques de ^-hauteur < r. (ii) Si Ton suppose satisfaites les conditions de la proposition 1.5.6, et si en outre, on suppose qu'il existe un ideal premier non nul q de 5, distinct de (TT) et de (g), divisant (CTTT), il resulte facilement de cette proposition que la categorie Is#MJ(g) est abelienne, la restriction de j * (resp. Vs) a cette categorie etant un foncteur pleinement fidele induisant une equivalence entre cette categorie et la sous-categorie pleine de ^M^ dont les objets sont de g'-hauteur finie (resp. la categorie des representations Qp-adiques de GE de g-hauteur finie). (d) Le diciionnaire covariant 1.8.11. Supposons maintenant Ihdeal (TT) de S stable par a et an E. {q). Si M est un S'-module sans 7r-torsion, A'g (8)5 M s'identifie a un sousAj-module de Aj[l/7r] (S>s ^' Si M est un objet de #AfJ(g), on pose Vs{M) = {x e A'^[l/7r] 0 5 M I 3 r G N avec TT^'X £ A'^ 0S M et (p^TT^x) = (cr7r)^a:}. On voit que Vs est un foncteur exact et fidele de <^M'g{q) dans Repzp(G^). 1.8.12. Proposition. Soit M un objet cfe^AfJ(g). (i) Si M est de p-torsion^ V'^{M) s'identifie a (VsiM))*
~
Fo/n2p(F5(M),Qp/Zp).
(ii) Le (p-module M[l/p] est dans Is^M'^{q) et Vs{M[l/p])=Vs{M)[l/p]. P r e u v e . Soit M = j*{M) = Os 0 5 M. Si M est de p-torsion, on voit que Vs{M) s'identifie a Ve{M) tandis que V*s{M) s'identifie a FJ(A^), dou (i). L'assertion (ii) s'en deduit par passage a la limite. 1.8.13. Si 1^ est une representation de GE de p-torsion, il existe M dans ^ M j ( g ) tel que V c:^ Vs{M). On appelle q-hauteur de V la plus petite des g-hauteurs de tels M. Le theoreme 1.6.1 implique le result at suivant: T h e o r e m e . Toute representation V de p-torsion de GE Gst isomorphe a un sous-quotient d'une representation Qp-adique V de GE q-hauteur finie. On peut choisir V de meme q-hauteur que V. B2.
Les cas e — 1
Dans ce paragraphe, on reprend les hypotheses et notations du paragraphe A3, avec K — KQ. On pose TT = TTQ, et on note E le corps i((7r)).
REPRESENTATIONS p-ADIQUES DES CORPS LOCAUX
299
Ceci nous permet de reprendre aussi les notations du paragraphe Bl. On pourra verifier qu'elles ne se contredisent pas. En particulier, S = W[7r} C W{R), q = Tr + p. Comme au §A3, on note Os (C W{Fr R)) le separe complete pour la topologie p-adique de S[l/q] et S le corps des fractions de Os. On pose F = TK — Ga,l{Koo/J^)- On pose aussi SK = S[l/p] = K ®w S. 2.1.
Les ip-T-modules de hauteur finie
2.1.1. Soient Ai et A2 deux anneaux commutatifs. On suppose chacun d'eux munis d'un endomorphisme note a et d'une action de F commutant a celle de a. Soit a : Ai —^ A2 un homomorphisme d'anneaux commutant a cr et a F. Si M est un (^-module sur Ai, on a defini au n^ A.1.1.6, a*{M) — A2 ®Ai ^ qui est un ^-module sur A2; si M est un (p-Tmodule, Faction de F s'etend par semi-linearite a a*{M)y ce qui fait que a* pent aussi etre considere comme un foncteur covariant additif
2.1.2. On note j : S ^ Os Finclusion et i : S = W[7r} -> W^ la reduction mod TT. Remarquons que i n'est autre que la restriction a S de Fhomomorphisme 9c : t^I^Te] —> W, qui est Funique homomorphisme de V7-algebres qui envoit [e] sur 1. On voit que 6ej done a fortiori i commute a Faction de <^ et F (ce dernier groupe agissant trivialement sur W). Comme il en est de meme de j , pour tout ^-F-module M sur 5, j*{M) (resp. i*{M)) a une structure de 9?-F-module sur Os (resp. W), Si M est un <^-F-module sur 5, on dit que Vaciion de F sur M est i-unipoiente si F opere trivialment sur i*{M), 2.1.3. Soit 5 ' = (p'^iS) C W{R). L'application 0^ se prolonge en un homomorphisme d'anneaux, commutant a GK
en envoyant [e'] sur €^^\ On voit que le noyau de la restriction de 9^ = 9 o (f~^ a 5 est Fideal engendre par q, qui est done aussi stable par F (mais pas par (p). On note MWlf J la sous-categorie pleine de la categorie des ^p-F-modules sur S dont les objets sont p-etales, de ^-hauteur finie et tels que Faction de F est i-unipotente et PMf J^^^. la sous-categorie pleine de F ^ M j formee des objets de jp-torsion. Ce sont des categories additives Z^-lineaires. On note I S F ^ M J la categorie Qp-hneaire deduite de F^AfJ "en rendant p inversible." On pent la voir aussi comme la sous-categorie pleine de la categorie des <^-F-modules sur SK formee des M tels qu'il existe un objet A'' de r$Af^ et un isomorphisme de N^ = K <Sfw ^ sur M. 2.1 A. Si M est un objet d e l ^ M J , on dit qu'un sous-<;^-F-module de M (resp. un quotient) est strict si le <^-module sous-jacent Fest (cf. n° 1.3.6).
300
JEAN-MARC FONTAINE
On definit la hauieurh(M) € N d'un objet M deV^M^ (resp. IsI^MJ) comme etant la g-hauteur du v^-module p-etale de g-hauteur finie sousjacent (cf. n^ 1.5.2. et 1.8.7). On voit que, ici encore, si M est d a n s F M f J et si r > 0 est le plus petit entier tel que q^ annule M/^(Ma)j - si M n'a pas de quotient strict (dans la categorie P ^ M j ) non nul M " tel que ^M'J) C q''M", alors h = r; - sin on h = r^. Pour tout r G N, on note T^M'^g (resp. I^Af^t^j., resp IsI^M^) la sous-categorie pleine de P^AfJ (resp. r^AfJ^^j., resp. IsPMf J ) formee des objets de hauteur < r. 2.1.5. Pout tout ^-F-module A sur 5, on note Fcr(A) (cr = cristallin) I'ensemble des sous-5-modules de type fini de A, stables par <^ et F, qui sont des objets de I^AfJ et on pose
Proposition, (i) Pour tout objet M deV^M^, j*{M) est un (p-T-module etale sur Oe • I/^ foncteur
j* : r$M+ -^ r$Mg^ est exact et fidele. (ii) Pour tout (p-T-module M etale sur Os, Jl^M est un objet d e l ^ M j . (iii) Les foncteurs j * et jl^ sont adjoints. (iv) Pour tout objet Af de T^M^ , j*Jl^M -^ M est un monomorphisme. Si Af est sans torsion, j^^Af est un S-module libre de rang inferieur ou egal au rang de Af sur Os et Papplication j*j^^Af —^ Af est un isomorphisme si et seulement si ces deux rangs sont egaux. Demonstration. Ce sont des consequences immediates du theoreme 1.4.2, sauf peut-etre le fait que, si Af est sans torsion, alors j^^Af est libre sur S. Pour cela, il suffit de remarquer que, si N E Fcr{Af), il existe N' G Fcr{Af) qui contient A^ et qui est libre. On a deja vu au n*^ 1.5.5 que si Af' - Oe 0 5 N, al ors A^' = N[\lp]r\Af' s'identifie a un sous- S'-module libre de Af contenant N^ stable par (p et de g-hau teur finie. II est clair que N' est stable par F, et il suffit de verifier que Faction de F sur A^' est i-unipotente. Si s est un entier tel que p^ N' C A^, comme i*{N') est un FP^-module libre, la multiplication par p^ induit par passage au quotient, une application injective de i'{N') dans i*{N) et F opere trivialement sur z*(^')2.1.6. On dit qu'un objet Af de FMf^ est de cr-hauteur finie s'il est dans Fimage essentielle de j * et on appelle alors cv-hauteur de Af la plus petite des hauteurs des N dans r $ M j tels que j * N c^ Af. On note
R E P R E S E N T A T I O N S p-ADIQUES DES C O R P S LOCAUX T^MQ
^J. (resp. F M f ^ ^j.) la sous-categorie pleine de T^M^
301
formee
des objets de cr-hauteur finie (resp. < r ) . La categorie r ^ M j n'est pas abelienne, parce que rapplication injective
n'est pas toujours un isomorphisme. On a toutefois le resultat suivant: 2.1.1. P r o p o s i t i o n . Pour tout objet N de r$Af^~ , rapplication N —^ j ^ ^ o j*N est un isomorphisme. Pour tout r £ N verifiant r < p — 1, la categorie F ^ M ^ est abelienne, j * induit une equivalence entre cette categorie et T^MQ ^^ et la restriction de j ^ ^ a T^M^ ^^ est un quasi-inverse. Si M est dansT^M^Q ^^, les inclusions naturelles j^^{^f) C ji{^J') C 3*{M) sont bijectives. Preuve.
Cela resulte immediatement de la proposition 1.7.3.
2.1.8. La situation est nettement plus agreable lorsque Ton travail a isogenie pres. Rappelons (cf. A3.4.4) que Ton a note T^M^ la categorie des ^-F-modules sur S de dimension finie sur S dont le ^p-module sousjacent est de pente 0. II est clair que la correspondance M — i > j*{M) = £ 05^^ M definit un foncteur additif f : IsraMj ->raM^, et que j ^ ^ definit un adjoint a droite. On dit qu'un objet Mi de T^M^ est de cr-hauteur finie si I'application
est un isomorphisme et on appelle alors cr-hauieur de M. la hauteur de Jl^i-M)' On note T^M^^^ la sous-categorie pleine de IXfeM^ formee des objets de cr-hauteur finie et, pour tout r G N, IX^M^ ^^ la sous-categorie pleine de I^M^^^. formee des objets de cr-hauteur < r. Les categories obtenues sont stables par somme-directe, sous-objet, quotient. 2.1.9.
T h e o r e m e . (i) Pour tout objet N d e l s I ^ M j ,
rapplication
est un isomorphisme. (ii) Pour tout objet M de F^Af^, on a dim^ j ^ A ^ < dim^: A^, avec Vegalite si et seulement si M est de cr-hauteur finie. (iii) La categorie I s P M f J est abelienne et le
foncteur
302
JEAN-MARC FONTAINE
est pleinement fidele et induit une equivalence entre ces deux La restriction de j ^ ^ aT^Af^ ^^ est un quasi-inverse.
categories.
Preuve. Compte-tenu de ce que I'on sait deja, la seule chose a prouver est (i). Posons M = Ji^j*iN)] Tapplication TV ^^ M est injective et nous notons M" le conoyau. On a vu au n°2.1.2 que I'ideal de 5 engendre par TT est stable par a. Avec les notations du n°2.1.3, on voit que 6'(air) = ^(TT) = 2(7r) = 0, done que air appartient au noyau de 6' qui est I'ideal engendre par q. On p e n t done appliquer la proposition 1.5.6 et il existe un entier r tel que TT^ annule M". On se convainc facilement qu'il existe un caractere, d'ordre infini
tel que, pour tout g ET, ^(TT) = T]{g).7r (mod TT^) (en fait rj est la puissance (p— l)-ieme du caractere cyclotomique). Pour tout 5-module A, i*(A) = A/TTA et la suite exacte
induit une suite exacte 0 - ^ M'^{rj) --^ e{N)
-^
e{M)
- > M ' V T T M ' ' - ^ 0,
compatible avec Taction de F. Par hypothese, Faction de F est triviale sur i*{N) et i*{M). Elle doit done I'etre aussi sur M"I'KM" et se fait via ry"-^ sur M^'. Si celui-ci n'etait pas nul, on aurait Ann ( M " ) = (TT''), avec r u n entier > 1. La multiplication par TT^'^ induirait alors une application non nulle
mais e'est impossible puisque F agit sur le premier /\-espaee vectoriel via rf~^ et via ry~^ sur le second. 2.2. (a)
Representations
de GK de CT - hauteur
Representations
fime
Qp-adiques
2.2.1. Si M est un objet de I s P M f J , les Qp-espaces vectoriels Vs{M) et V*g{M) definis au n° 1.8.8 sont munis d'une action naturelle de GKDe meme, si V est une representation Qp-adique de GK^ Ds.criV)
= JTDsiV)
et
Dl,,iV)
=
j^'ITsiV)
sont des objets de IsF^AfJ. Disons qu'une representation Qp-adique V de GK est de cr-hauteur finie s'il existe M dans I s P M / ^ tel que V ~ Vs{M). Ces representations
REPRESENTATIONS p-ADIQUES DES CORPS LOCAUX
303
forment une sous-categorie pleine RepQ ^cr(^^) ^^ ^^P^piGx), stable par sous-objet, quotient, somme-directe, produit tensoriel. La proposition suivante resulte de la proposition 1.8.9 et du theoreme 2.1.9: 2.2.2. Proposition, (i) Pour toute representation Qp-adique V de GKI Ds,cr{y) ^st un SK-module libre de rang fini inferieur ou egal a la dimension de V sur Q^; on a Fegalite si et seulement si V est de cr-hauteur finie. (ii) Le foncteur
est pleinement fidele et induit une equivalence entre ces deux categories, la restriction du foncteurDs^cr a R e p i CJ,{GK) ^n etant un quasi-inverse. Si V est une representation Qp-adique de GKJ de cr-hauteur finie, on appelle cv-hauteur de V la cr-hauteur de Ds^cr{V). Pour tout r G N, on note HepQ ^^J,{GK) la sous-categorie pleine de Rep Q criGx) formee des V de cr-hauteur < r. (b)
Representations Tp-adiques
2.2.3. Les resultats du n°1.8 ont une traduction evidente en termes de representations Zp-adiques de GK et de ^-F-modules. Contentons-nous de remarquer que, si M est un objet de I ^ M J (resp. et de p-torsion), le Zp-module Vs{M) (resp. V*s{M)) defini au nn.8.11 (resp. 1.8.6) a une structure naturelle d'objet de Repzp(G/<'). Disons qu'une representation Zp-adique V de GK est de cv-hauteur finie si elle est isomorphe a un sous-quotient d'une representation Qp-adique V de GK de cr-hauteur finie et appelons alors cr-hauteur de V le plus petit r G N tel que Ton puisse choisir V de hauteur r. Notons R e p J CAGK) (resp. Hepj ^J.{GK)) la sous-categorie pleine de Repzp(Gi<:) formee des V de cr-hauteur finie (resp. < r). La proposition suivante resulte facilement des n°s 1.8.10, 1.8.12 et 2.1.7: 2.2.4. Proposition. Soit r G N verifiant r < p — 1. La restriction du foncteur Vs induit une equivalence entre les categories ^TM^^ et R-ep^2p,cr(GK)-
2.3.
Le lien avec les representations cnstallines (resultats et questions)
2.3.1. Appelons (cf. [FL82], Section 1) (p-module filtre positif sur W la donnee d'un PF-module D muni - d'une part, d'une filtration decroissante {FpD)i^f^y par des sous-W^modules, verifiant F^D = D et Di^N^p^ = 0; - d'autre part, d'une famille
304
JEAN-MARC FONTAINE
^;
-.F^D^D
d'applications cr-semi-lineaires verifiant (Pp{x) = p.(p]^^{x)j pour tout x G Ces (^-modules filtres positifs sur W forment, de maniere evidente, une categoric Zp-lineaire que nous notons MFy^. Notons MFIY' la sous-categorie pleine de MF^ formee des D tels que le WP^-module sous-jacent est de type fini, les F!^D sont des facteurs directs et D — Yl^pi^p^)' C'est une categorie abelienne {op cit., prop. 1.8). Notons MF'j^ la sous-categorie pleine de MFjy formee des D tels que les FpD sont des A'-espaces vectoriels (les (p^ sont alors determines par (p =z (p^^ via
c'est celui qui a (xo,a:i,... , x„,. ..) associe ^ p ^ x „ . Notons A^ns 1 anneau (souvent note W^^{R), cf. [Fo83a], n°3.6) qui est le separe complete pour la topologie p-adique de I'enveloppe a puissances divisees de W{R) relativement a I'ideal Ker 9 et, pour tout i G N, FiPAcris I'adherence de la i-eme puissance divisee du pd-ideal correspondant. L'anneau Acris est sans p-torsion et s'identifie a un sous-anneau de ^^^g = K ^w ^cris = Acris[l/p]- L'action de GK et celle de (p s'etendent de maniere naturelle a ylcris et a S^is- On munit alors Acns (resp. 5^is) d'une structure d'objet de MF^^ (resp. MF^), compatible avec Taction de GK^ en posant F;A^r,s
2.3.3.
= {xe
F i P A e n s | ^X G P ^ e n s } et F;B^^^
= K ^w
FiP'^cns •
Pour toute representation Q^-adique V de G^, posons
rappelons ([Fo83b], §5) que c'est un A'-espace vectoriel de dimension finie, inferieure ou egale a la dimension de V sur Qp, muni d'une struc-
REPRESENTATIONS p-ADIQUES DES CORPS LOCAUX
305
ture naturelle d'objet de MF^. Nous disons que V est cristalline positive si ces deux dimensions sont egales. Notons R e p i cris(^^) ^^ ^^^^ categorie pleine de RepQ (Gi<:) formee des representations cristallines positives. Alors {loc, cit.), R e p i cris(^^) ^^^ stable par sous-objet, quotient, 0 , (g). Par restriction, D^^^^ induit une equivalence entre RepQ ^cns(^^) ^^ une sous-categorie pleine MFj^ de MFjf^, stable par sous-objet, quotient, 0 , 0 , dont les objets sont appeles les (p-modules filtres admissihles sur K. La correspondance D ^
y c r i s ( i ^ ) ={xe
F^ {Bens ^ D)
\ ifX = x}
(oil 5cris peut-etre defini comme Tanneau obtenu a partir de 5^-g en rendant TT inversible) est un quasi-inverse. Si V est dans R e p i cris(^-K')5 appelons hauteur cristalline de V la hauteur de D^^-^^{V). De meme, disons qu'une representation Z^-adique V de GK est de hauteur cristalline finie si elle est isomorphe a un sousquotient d'une representation Qp-adique cristalline positive V et appelons alors hauteur cristalline de V la plus petite des hauteurs cristallines de tels V. Pour tout r G A^, on note RepQ^ cris(^-ft:) (resp. RepJ^ ^nsC^i^)) la sous-categorie pleine de RepQ cris(^^) (^*esp. Ilepzp{GK)) formee des V de hauteur cristalline < r. 2.3.4. Rappelons enfin que Ton conjecture que tout objet de MFj^'^ est admissible et que Ton sait que c'est vrai pour tout objet de MFjf~ . Cela resulte de la proposition suivante, essentiellement contenue dans ([FL82] thm. 3.3 et 6.1): P r o p o s i t i o n . Soit r < p — I. Pour tout objet D de MF^f, Vcns{D)
^ [x e F^ (Acns ^W
D)
\ (^^(x) = x] ( - r )
(ou (—r) designe la "torsion a la Tate" usuelle) est un objet de ^ ^ P z cris(^^)- ^^ correspondance D i-^ Vcns{D) induit une equivalence entre MF{^' et Rep^2^,,,,3(Gx). 2.3.5. Soit M un objet de ^ M j ( g ) (resp. Is^Af J(g)). Alors D = z*(M) = M / T T M a une structure naturelle d'objet de MF^ (resp. MF^): pour tout i G N, on definit F^D comme etant I'image du sous-5-module F^M forme des x tels que (px £ q^M (attention: il faut prendre I'image de F^M et non I'image du sous-S'-module F^M^ de M^ defini au n° 1.6.2); si X G FpD est I'image de x G F^M^ on definit
306
JEAN-MARC FONTAINE
II est clair que Fon peut considerer i* comme un foncteur additif exact, de^M^{q) (resp. Is^Mj(g)) dans AfF^ (resp. M F j ) . 2.3.6. En composant avec le foncteur "oubli de Taction de F" on obtient une recette fonctorielle pour cissocier un (^-module filtre sur W (resp. sur K) a tout objet de PMfJ (resp. I S P ^ M J ) . Dans la deuxieme partie de ce travail, nous prouverons le result at suivant: Theoreme. (i) Pour tout objet M de IsF^AfJ, r ( M ) est un objet de MF^^'^ et la, hauteur de i*{M) est egale a celle de M. (ii) Le foncteur r : Isr$M+ - . MF^^'+ est pleinement fidele et induit une equivalence entre I S T ^ M J et une souscategorie pleine de MF^' stable par sous-objet et quotient. (iii) Les foncteurs Vs^Veoj* sont naturellement
et
l^cnsor:IsreAf+-.RepQ^(GK)
equivalents.
En particulier, toute representation Qp-adique de cr-hauteur finie est de hauteur cristalline finie (et la cr-hauteur de cette representation est egale a sa hauteur cristalline). II ne me parait pas tres difficile de prouver et il me semble done raisonable de conjeciurer que la reciproque est vraie, autrement dit que le foncteur 2* : Isr$M+ ^ MF^^'-^ est essentiellement surjectif. Pour prouver simultanement cette conjecture et celle qui affirme que tout objet de MFj^ est admissible, il suffirait de verifier que tout objet de MFj^'^ est dans Timage essentielle de f*. 2.3.7. Comme on le verra dans la deuxieme partie de ce travail, on dispose de resultats partiels dans cette direction (qui donnent en outre une autre demonstration des resultats de [FL82]): Proposition, (i) Pour tout objet D deMFff~ tel que D ~ i*{M).
il existe M dans IsV^M^
(ii) Pour tout objet M deT^M^f^, i*{M) est un objet de MF{^~^, dont la hauteur est egale a celle de M; en outre i* induit une equivalence entre T^M^g~^ et MF{y^^. Les foncteurs Vs^Veoj"^ sont naturellement
et
Fcrisoi* : m M + - . R e p 2 ^ ( G x )
equivalents.
REPRESENTATIONS p-ADIQUES DES CORPS LOCAUX
307
Principales notations 0 0.1: RepQp(G), Repip(G), Repp.tor(G), RepFp(G). 0.2: 0:F, W„iA), WiA), [a], ip, a. A 1.1: M„, ^MA,O =^MA 1.2 E''^, ^("), E^'P, 2.0: Jb, W, Ko, K. 2.3: N^, T^, Col. 2A:6^[x,u). 3.0:
= * M , A^[p], A„, *Af^'.
GE, S,
Snr, Snr, De, Ve, IT,, V},
iM°.
K,GL,C.
3.1: R, X,
EQ, SO-
3.2: WA{R),
T „ SO, SO, ^O-
3.3:r^M^,r*Af^', 5, 3.4: r * M ^ .
H,T.
B 1.3: *M+p. 1.4:i*,i.,*M+^(5). 1.5: N, *M+(g), *JlfJ( ^Mi^{S,q),
*A/^^(5,g).
1.6: F^M„, C / M , Car. 1.7: e(
2 1: isTOAf, r*jif+, r$M+^„„ isr*M+, i - , r$M+^ ,„ r$M+„. 2.2: R e p + p „ ( G K ) , R ^ p + t o r , crCCic),-D*S,cr-
2.3: ylcris, ^cris.oc, S+i^, MF{^-^, JlfF^+, MF^^'+, Repii3(G*), Rep;.t,,(Gx). BIBLIOGRAPHIE [Ab89] [Ax70] [BK89] [Bu88]
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Universite de Paris-Sud Centre d'Orsay Departement de Mathematiques - Bat. 425 91405 Orsay Cedex, France
Rectified Homotopical Depth and Grothendieck Conjectures
HELMUT A. HAMM and LE DUNG TRANG In honor of Alexander Grothendieck on the occasion of his sixtieth birthday
Introduction In SGA 2 ([G]), A. Grothendieck introduced the notion of rectified homotopical (resp. homological) depth. He conjectured that it gives the level of comparison for the homotopy type (resp. the homology) between a complex algebraic variety and a hyperplane section, as stated in theorems of Lefschetz type for singular algebraic varieties. In the case of non-singular varieties, the rectified homotopical (resp. homological) depth equals the complex dimension of the variety. But in the case of local complete intersections, one can show that this is still true. In fact, using the comparison theorem of Grothendieck as formulated by Mebkhout for X>-modules in [Me], the constant sheaf C. of complex numbers on a variety which is locally a complete intersection is perverse and one can prove that the constant sheaf C. of complex numbers on the variety is perverse if and only if the rectified homological depth for the rational homology equals the complex dimension of the variety. So the rectified homological depth for the rational homology measures how far the constant sheaf C. of complex numbers on the variety is from being perverse. In this paper we give a positive answer to the conjecture of Grothendieck. Actually, we prove all the conjectures given by Grothendieck on this theme in SGA 2, except Conjecture A, which is obviously incorrect as stated, but can be easily corrected.
312
H.A. HAMM and LE D.T.
In fact, the conjectures of Grothendieck cover a greater generality than the situation of a variety and its hyperplane section because he considers the case of a variety and a subvariety such that its complement is Stein. The proofs of the conjectures of Grothendieck become possible because of a more handy formulation of the notion of rectified homotopical depth, using Whitney stratifications, that we give here. We first prove the equivalence of our definition and the one of Grothendieck. This equivalence involves the proof of a local Lefschetz theorem for singular complex analytic spaces. We give a proof of this local Lefschetz theorem by using the local Lefschetz theorem we have already proved in the non-singular case (see [H-L3]). We already used Grothendieck's notion of rectified homotopical depth to get a Lefschetz type theorem for quasi-projective varieties (see [H-L2]). Following our previous work [H-L3], [H-Ll] and [H-L2], it becomes obvious that there are Lefschetz type theorems for open varieties, replacing the hyperplane section by a good neighbourhood of the hyperplane section as has been done by Deligne (cf [Dl]). So we give several theorems of Lefschetz type in the non-proper case and especially a strong local version (Theorem 4.2.1 or its corollary 4.2.2). Some of the theorems proved here fit in the theory of M. Goresky and R. MacPherson and could have been proved by using their stratified Morse theory. In this case the local rectified homotopical depth would appear through the connectivity of the complex links of the strata of a Whitney stratification. Theorem 4.1.2 gives a precise relation between the rectified homotopical depth and the connectivity of these local complex links. The idea of Grothendieck can be extended to define the rectified homotopical depth of complex analytic maps. This will lead to theorems of Lefschetz type for analytic maps. For instance, one can obtain another proof of a conjecture of Deligne, proved by Goresky-MacPherson in [GMl] (Part II, Chapter 1, 1.1), and extend its statement to maps between singular spaces. We shall deal with maps in a forthcoming paper. We wish to thank the referee and Z. Mebkhout for drawing our attention to the link between the cosupport condition for perverse sheaves and the rectified homological depth and B. Teissier for fruitful discussions and his concern about this work. Part of this work was done under the sponsorship of the program PROCOPE of cultural cooperation between France and the Federal Republic of Germany and supported by the NSF grant DMS-8803478.
1. Rectified h o m o t o p i c a l d e p t h . Let X be a reduced complex analytic space. Consider a Whitney
HOMOTOPICAL DEPTH
313
stratification iS of X . Let Xi be the union of strata of dimension < i. We have: 1.1 Definition. We say that the rectified homotopical depth rhds(X) of X is > n if J for any i and any point x in Xi — X,_i, there exists a fundamental system (Ua) of neighbourhoods ofx in X such that^ for any a J the pair {Ua, Ua — Xi) is (n — 1 — i)'Connected. Of course, the rectified homotopical depth rhds{X) maximum of the integers n such that rhds{X) > n.
of X ,£ 0 is the
Remarks. 1.1.1 First notice that, if V is any good neighbourhood of x in X relatively to Xi in the sense of D. Prill ([P]), there is a fundamental system of neighbourhoods Ua of x such that the pairs (Ua, Ua — Xi) are (n — 1 — i)connected, if and only if the pair (V, V — Xi) is (n — 1 — i)-connected. So in practice to calculate the rectified homotopical depth it will be often better to consider a good neighbourhood of a? in X relatively to Xi instead of a fundamental system of neighbourhoods Ua as above. For instance, assuming X locally embedded in some C in a neighbourhood of the point x, for any e > 0 small enough, the intersection of X by the closed ball Be{x) of C ^ centered at x with radius € is known to be a good neighbourhood of x in X relatively to Xi. 1.1.2 Moreover we can consider a normal slice Af of Xi at ar in a suflftciently small neighbourhood of x in X (see [G-Ml] Part I §1.4 definition). Because the stratification «S is a Whitney stratification, for any point x in X,- — Xj_i there is a good neighbourhood F of a: in X relatively to Xi such that (Vj V — Xi) is homeomorphic to the product of the pair (A/',JV — {x}) by an open neighbourhood t/ of a: in X,-, and moreover the homotopy type of such pairs {M^M — {x}) is the same for all the points of a connected component of Xi — Xi_i. 1.1.3 In the same way we say that the rectified homological depth of X is > n if, for any i and any point x in X, — Xt_i, there exists a fundamental system {Ua) of neighbourhoods of x in X such that, for any a, we have that Hk{Ua, Ua - Xi\Z) = 0, for any fc < n - i. We shall denote rHds{X, Z) the rectified homological depth of X. For the rational homology we define the rectified homological depth for the rational homology rHds{X,Q) in the same way. Notice that the vanishing of the Hk{Ua,Ua — Xi] Z), for any k < n — i
314
H.A. HAMM and LE D.T.
implies the vanishing of the local cohomology groups Hx nc/ i^alQ), any k < n — i.
for
Example 1.2. Let X 7^ 0 be smooth and of pure dimension n. Then we have that rhds{X) = n for any Whitney stratification «S of X . The condition rhds{X) ney stratification S :
> n is independent of the choice of the Whit-
Lemma 1.3. Consider another Whitney stratification T of X and let Yi be the union of all strata of dimension < i. Then rhds{X) equals rhdj;{X). Proof: It is enough to prove the lemma when T is finer than 5 , because otherwise we can consider a Whitney stratification which is finer than both. Let 5 be a (sc. connected) stratum of S of dimension i. At any point X of 5, for any good neighbourhood F of x in X relatively to X,-, the pairs {V^V — Xi) have the same homotopy type, because the stratification S satisfies the Whitney condition. Furthermore there is a stratum T of T of dimension i which is open and dense in 5. So/\i rhdr{X) >^ n^ ai the point X oiT C S^ for any good neighbourhood F of a: in X relatively to X,-, the pair {V^V — Xi) is n — 1 — f-connected. This implies that at any point X of 5, for any good neighbourhood V^ of a:; in X relatively to Xi, the pair (V, V — Xi) is n — 1 — i-connected, which means that rhds{X) > n. Conversely, let y he a point of 1} — Yj-i; there is an i such that y is in Xi — Xi__i. Then we have i > j . Let M and A/" denote the normal slices of Yj and Xj at y respectively. Because T is a Whitney stratification finer than S , the space A4 is homeomorphic to the product of AT by a ball of real dimension 2i — 2j. Thus the pair (Af^Af — {x}) being (n — 1 — i)connected, the pair (A^, M — {x}) is (n — 1 — i + (2i — 2j))-connected and n - 1 - i + (22 - 2j) > n - 1 - j . 1.3.1 Because the definition of rectified homotopical depth does not depend on the chosen Whitney stratification, we shall denote it by rhd(X). 1.3.2 We have a similar result for the rectified homological depth that we shall denote rHd{X,Z). 1.3.3 In practice we can start with the canonical Whitney stratification of X (cf [T] VI §3; [L-Tl] 6.1; see [L-T2] (1.3)) to calculate its rectified homotopical (resp. homological) depth. So the definition 1.1 coincides with the one of (2.1.5) in [H-L2].
HOMOTOPICAL DEPTH
315
In fact our definition coincides with the ones of A. Grothendieck in [G] (Expose XIII p.27 definition 2): T h e o r e m 1.4. Let X be a reduced complex analytic space and n a positive integer. The following conditions are equivalent: a) rhd(X) > n; b) If Y is a locally closed complex analytic subspace of X of dimension i, for any point y in Y there is a fundamental system of neighbourhoods [/« ofy in X such that the pair {Ua,Ua — Y) is (n — 1 — i)-connected; c) IfY is a locally closed irreducible complex analytic subspace of dimension i, there is an open dense analytic subset YQ ofY such that J for any point y in YQJ there is a fundamental system of neighbourhoods Ua of y in X such that the pair (Ua, Ua — Y) is (n — 1 — i)-connected. 1.5 Remark. Using the existence of good neighbourhoods of a? in X relatively to any analytic subset in the sense of Prill, the condition b) above is equivalent to the definition given by Grothendieck in [G] (Expose XIII p.27 definition 2). The condition c) corresponds to the condition of Grothendieck following the preceding one in loc.cii. We shall see that the equivalence between our definition and the ones of Grothendieck is a consequence of a local theorem of Lefschetz type. Proof of Theorem 1.4: The implication "b) implies c)" is obvious. The implication "c) implies a)" is obtained by chosing Y as any stratum of a Whitney stratification of X. Let us prove that a) implies b). The question being local we can assume that X is embedded in C , the subspace Y is closed in X and that y = 0. We shall prove that, under the assumption rhd{X) > n, for any e > 0 sufficiently small, the pair {B, H X.B.CiX -Y) is (n - I - i)-connected, with B^ = B,{0) and i = dimY. This gives b), because for any e > 0 sufficiently small, the spaces B^nX form a fundamental system of good neighbourhoods of x in X relatively to Y. Let L be a general linear subspace of codimension f, so, in particular, LDY nB^ = {0}. Suppose that under our assumptions the pairs
(5, n X - y, {Benx-Y)n
L)
and
(Benx-{0},(5,nx-{0})nL)
316
H.A. HAMM and LE D.T.
are (n - 1 - i)-connected. We have (B^nX -Y)nL = {BeHX - {0}) H L and, by choosing a Whitney stratification of X where {0} is a stratum, the assumption rhd{X) > n implies that
{B,nx,B,nx-{0}) is (n — l)-connected. Now B^H X is contractible (cf [B-V]) so
Benx-{0} is (n — 2)-connected; by this we mean that any continuous map S^ -^BeCiX-
{0},-1
admits a continuous extension over the unit ball B "'"^. Since the pair
{BeHX- {0}, (B, nx - {0}) n L) is supposed (n — 1 — i)-connected, the space
(Be n X - {0}) n L = (5e n X - y) n L is (n—2—i)-connected. This implies that B^C^X—Y is (n —2—i)-connected, because the pair (5e n X - y, (5, n X - y) n L) is also supposed (n — 1 — f)-connected. So
(Be n X, Be n X - y) is (n — 1 — i)-connected. Now the pairs
(Be n X - y, (Be n X - y) n L) and
(Be n X - {0}, (Be n X - {0}) n L) are in fact (n — 1 — i)-connected because of the following local theorem of Lefschetz type. Theorem 1.6. Let X be a reduced complex analytic space embedded in C . Consider a closed complex analytic subspace Z of X. Assume that rhd{X — Z) > n, then for any point z in Z, for any general affine space L through z of codimension i with i > dimzZ, and for any e > 0 smaii enoughj the pair {Be{z)nX — Z,Be{z)nXnL — Z) is (n—l — iyconnected. Proof: The local conic structure theorem for analytic spaces (cf [B-V]) shows that B^{z) OX — Z and B^(z) d X Ci L — Z are homeomorphic to
HOMOTOPICAL DEPTH
317
the product of Se{z) CiX - Z and Se{z) nX r\L- Z respectively by (0,1]. Moreover, as we have assumed L to be general of codimension i, we have
Seiz) nxnL-z
= Se{z) nxnL.
Thus we have to prove that the pair
{Se{z)nx-z,Se(z)nxnL) is (n — 1 — 2)-connected. Now let ^fi = . . . = ^r^- = 0 be i linear equations which define L in C ^ , we denote tp{x) = ^ \9j{^)\^- We can define Va{L) := {x G C^\tp{x) < a} when a > 0. The restriction of tp to Se{z) n X being real analytic and proper, for a > 0 small enough the space Se{z) H X H Va{L) retracts onto Se{z) HX Ci L. On the other hand Se{z) n X n Va{L) is contained in Se{z) HX -Z. Our theorem is therefore a consequence of the following lemma: Lemma 1.7. There is eo > 0 such that for any e, CQ > e > 0, there is a^ such that for any a, a^ > a > 0, the space Se{z) H X — Z has the homotopy type of a space obtained from S'e(z) OX Ci Va{L) by adding cells of dimension > n — i. Proof of lemma 1.7: When X — Z is non singular this theorem was proven by us in [H-L3] (Theorem 1.1.1) (see also [H4] Theorem 2). We are going to use this previous result to prove our lemma. First we stratify the space X by a Whitney stratification adapted to Z (i.e. Z is a union of strata). We call Zk the union of Z and the strata of X of dimension < k. We shall actually prove that the space
Se{z) n [{X - Zk) u {{x -z)n Va{L))] has the homotopy type of a space obtained from Se{z) n [{X - z,+i) u {{X -z)n
V^{L))]
by adding cells of dimension > n — i. In fact, as ^^(z) fl ^ fl L = 0 when e > 0 is small enough, with a > 0 small enough, we have the equality
Se{z) n{x-z)n
Va{L) = Se{z) n X n VaiL).
Then our lemma is obtained by comparing the spaces for the cases k = 0 and k = dirUzX. Let us fix an integer Ar, dirUzX — I > k > 0. Consider equations / i = ... = /y. = 0 of Zk^i and hi = ... = kg = 0 of Zk in a neighbourhood C/ of z in C ^ . Denote (f>{x) = J^ Ifji^W and x(^) = E l ^ i W P . we define T^{Zk+i) := {x e X nU\
318
H.A. HAMM and LE D.T.
and
T^{Zk)-{xexnu\xix)<j}, We denote dT^iZk^i)
:^{xeXn
U\ix) = /3}
and
dT^{Zk):={xexnu\x{x) = j} 1.7.1 There is eo > 0 such that: i) for any e, eo > 6 > 0, the spheres Se{z) are contained in U and are transverse to the strata of X; ii) the choice of CQ satisfies the conditions 1.2.2 of [H-L3] so that, for any e, eo > 6 > 0, there is ao > 0 such that for any a, ao > a > 0, the space Se{z)n {Zk-\-i — Zk) has the homotopy type of a space obtained from Se{z)n {Zk^i — Zk)r\Va{L) by adding cells of dimension > Ar + 1 — ^ (as it is stated in the Theorem 1.1.1 of [H-L3]). 1.7.2 Fix e, eo > e > 0, and a, ao > a > 0. If 7 > 0 is small enough, the space A^ := Se{z) D [{X - T^{Zk)) U {X - Z) H Va(L)] is a deformation retract of A := Se{z) H [{X - Zk) U (X - Z) fl Va{L)], To prove this statement it is enough to prove that
Se{z) n [(X - T^{Zk)) u (X - Zk) n v^iL)] - V^{L) is a deformation retract of
Se{z)n{x-z„)-VaiL). This is true because Seiz)niX-T^iZk))-Va{L)
is a deformation retract of both spaces: first notice that there is a Whitney stratification of Seiz) n (X - Zk) - Va{L) induced by the Whitney stratification of X; then, since % is real analytic, any 7 > 0 small enough is not a critical value of the restrictions of x to the strata of
s,iz)n{x-Zk)-Vc{Ly, by integrating controlled vector fields, we obtain the retractions. 1.7.3 Now fix such a 7.
HOMOTOPICAL DEPTH
319
Similarly, if y3 > 0 is small enough, the space Bp := Seiz) n [{X - T^{Zk+i)) U{X-Z)n
Va(L)]
is a deformation retract of B := 5e(z) n [(X - Z,+i) L){X-Z)n
VaiL)].
Moreover, with /? > 0 small enough, the space ^7./? := Se{z) n [{X ~ T^{Zk) n Tp{Zk+i)) U{X-^Z)n
VaiL)]
is a deformation retract of A. To prove this last assertion, as we already did above, it is enough to prove that S,(z) n [{X - T^iZk) n TpiZk+i)] - Vc,{L) is both a deformation retract of Seiz)niX-Zk)-Va(L)
and of
s,{z) n [{x - TyiZk) n Tp{Zk+i)) u {{x - z^) n Va{L))] - v^iL) Again the Whitney stratification of X induces a Whitney stratification of
Se{z)n(x-Zk)-v^{L), On each of these strata, on a sufficiently small neighbourhood of Zk, the differential of the restriction of x is non-zero and those of % and
dT^iZk)niB-VaiL)) induced by the ones of X have no critical values in (0,/?]. This second restriction on the choice of /3 implies that the space
s,iz) n ^p(z,+,) - m{z,) u v„(L))]
320
H.A. HAMM and LE D.T.
is a topological fibration on
s,{z)n[Zk+i - {mZk)uVa{L)] (see the Appendix). 1.7.5 Now we observe that the union of the spaces Bf^ and
E := Seiz) n ^p{Z^+i) - miZk) U Vaim, where Tp(Zk^i) is the union of T^(Z;k+i) and 9T^(Zjfc_|.i), equals the space By p. According to a theorem of Blakers and Massey (homotopy excision theorem) (cf.[B-M] (Theorem I); see [G-Ml] Part II §4.3 and compare with [H2] (Lemma 2)), if we want to compare the homotopy groups of Bj^(3 and J5^, we have to compare the homotopy groups of E and E H B^. So it is enough to prove that E is obtained from E H Bp by adding cells of dimension > n — i. As we have a Whitney stratification, the space E fibers over
s := s,{z) n [Zk^i - (T^iZk) u Vaim (see the Appendix). But the fibers of E over 5 are nothing else but the normal slices of the strata of X with dimension fe+1. Let Af be one of these normal slices. Then the pair (Af, dAf) is (n — k — 2)-connected, because we have rhd{X) > n by hypothesis, and the pair (5, S H dVa{L)) is (k — i)-connected because S is a deformation retract of Se{z)n[Zk+l-ZkUVa{L)]
and we can apply the theorem 1.1.1 and the rennark 1.1.2 i) of [H-L3] (see the condition ii) in the choice of eo made above). We shall show with the following lemma that this implies that the pair of spaces
(E.EnBp) is ({n —fc— 2) + (fc — f) -f l)-connected, i.e. {n — i — l)-connected. As we deal here with triangulated spaces (see [Lo]), this homotopy result gives us the result with cells as formulated in Lemma 1.7 above (see [Sw] 6.13). It remains to prove: L e m m a 1.8. Let {E,E') be a pair of locally trivial topological fibrations over a CW-complex S, let TT: E —^ S be the corresponding projection. Let {NjN') be a pair of fibers of these fibrations. Consider S' a subcomplex of S. If (SjS') is (/ — 1)-connected, / > 1, the space N is contractible and
HOMOTOPICAL DEPTH Hj{N,N']Z) = 0, for j < n - I - I, then the pair {E,E' U -K'^^S')) (n — l)-connected.
321 is
In our situation we apply this lemma to the case E and S are as above, E' := Se{z) nXn{cl> = /3}- (T^iZk) U Va{Y)) and
5' := s,{z) n{Zk+i -Ty{Zk))ndVa{Y) = sndVa{Y), Proof of Lemma 1.8: We may assume that S is obtained from 5 ' by adding cells of dimension > /, because of 6.13 [Sw]. Therefore it is enough to consider the case ( 5 , 5 ' ) = {D^,S^^^) with j > /; then E and E^ are trivial fibrations, i.e. E = D^ x N and E' = D^ x A'''. As E is contractible, we have to show that E' U 7r"'^(5') is (n — 2)-connected. Using Kiinneth formula and Hurewicz isomorphism it is enough to show that E^ \Jir~^{S^) is simply connected if n > 3, i.e. the product {D^,S^~^) x {E,E') is 2connected in this case. This is obvious if j > 2; if j = 1, we observe that (TV, iV') is 1-connected (because TV' is ^i^ 0 and 0-connected). We can compare this argument with the one already used in [H3] (p.552). This ends the proof of Lemma 1.8 and Theorem 1.4. We have a theorem as Theorem 1.4 for the rectified homological depth: T h e o r e m 1.9. Let X be a reduced complex analytic space and n a positive integer. The following conditions axe equivalent: a) rHd{X, Z) > n; b) If Y is a locally closed complex analytic subspace of X of dimension i, for any point y in Y there is a fundamental system of neighbourhoods Ua of y in X such that the homology groups Hj{Uoc, Ua - Y] Z) are 0 for k < n - i; c) IfY is a locally closed irreducible complex analytic subspace of dimension i, there is an open dense analytic subset YQ ofY such that J for any point y in YQ, there is a fundamental system of neighbourhoods Ua ofy in X such that the the homology groups Hj{Ua, Ua - Y; Z) are 0 for k < n - i. The proof of this theorem is similar to the one of Theorem 1.4. Instead of using the theorem of Blakers and Massey as we did above we only need to use the classical excision theorem for singular homology. The Lemma 1.8 is replaced by a similar lemma for homology groups proved by an argument of Mayer-Vie tor is type or the Leray spectral sequence for fiber spaces.
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H.A. HAMM and LE D.T.
A consequence of the preceding theorem is the following relation between perversity and rectified homological depth: Corollary 1.10. Let X be a reduced complex analytic space of dimension rij then the rectified homological depth for the rational homology rHd(Xj Q) equals n if and only if the constant sheaf of complex numbers on X is perverse. Proof: Since the constant sheaf of complex numbers on X obviously satisfies the support condition for perversity, it remains to prove that it satisfies the cosupport condition if and only if the rectified homological depth for the rational homology rHd{X^ Q) equals the dimension of the variety X. If X is embedded in a non-singular complex analytic space M, the cosupport condition (see [L-M] (4.6.1) (ii)) means that the k-ih. cohomology of the Verdier dual l^Jiomo{Q.x[dirnX — dimM\,£jvf) ^^Q~x\divfiX — dimM\ on M has its support in codimension > fc in M. As the cosupport condition is a local condition, for simplicity, we can assume that X is embedded in a non-singular complex analytic space M, Following the presentation of [D2] (§1, condition (BN)) or [B-B-D] (condition (c") of the Introduction p.9) for algebraic varieties, we can express this cosupport condition in terms of local cohomology (in a way it does not depend on the local embedding). If Y is a closed subspace of X, the biduality theorem of Verdier for constructible complexes ([V2] Corollaire 2.6.2) implies that we have an isomorphism between the restriction of the Verdier dual (se [V3]) Dx{Qx) to Y and the Verdier dual of the restriction of the local cohomology complex ILTY{Q.X) (see [G-M2] §1.13 Identity (5), compare to [V2] Corollaire 2.6.4). The complex of sheaves Dx{C_x) has cohomology sheaves which are locally constant on each stratum of a Whitney stratification of X, For any Y which is the closure of a Whitney stratum of X of dimension f, the support condition for DxiS.x) means that the A;-th cohomology of f^xiSix) vanishes at the general point of y if Ar > n — i. Using the remark of 1.1.3 and the Theorem 1.9, we have that rHd{X, Q) = n, if and only if, for any Y which is the closure of a Whitney stratum of X of dimension z, the stalk of the k-ih cohomology of R r y ( C j ^ ) at any general point of Y is zero, for any fc < n — f, i.e. if and only if, for any fc > n — i, the stalk of the Ar-th cohomology of the complex Dx{Q.x) restricted to Y, which is the Verdier dual of Rry(^jj^) on Y, is zero at any general point of Y (compare to [V2] Corollaire 2.6.5), i.e. if and only if the support condition for Dx(Cj^) is satisfied.
2. Lefschetz T h e o r e m s and rectified homotopical depth. In [H-L2] we have already proven a quasi-projective Lefschetz theorem.
HOMOTOPICAL DEPTH
323
namely (theorem (2.1.4)): Theorem 2.1. Let XQ be a quasi-projective variety. Suppose that the rectified homotopical depth rhd{Xo) > n. Let / : XQ —> P be an algebraic morphism with finite fibers. Let L be a projective subspace of P of codimension c and {XQ : ... : X^) be homogeneous coordinates of P such that XQ
— ... = Xc-l
= 0
are equations of L and let VR{L) be the neighbourhood of L defined by: N
Vfl(L) := {(^0 : ... : x^) G P^ I Y.\xj\' > C
c-1
R^^lxkl'} 0
then for all R > 0 except a finite number the pair (Xo,Xo fl is (n — c)-connected.
/~^(VR(L)))
Naturally there is a local version of this Lefschetz type theorem which generalizes the Theorem 1.1.1 of [H-L3] and the Lemma 1.7 we have proved above to show that our definition of rectified homotopical depth coincides with the one given by Grothendieck. Let X be a reduced complex analytic space embedded in C . Consider a complex analytic closed subspace Z of X and a complex analytic subspace y of C defined by the holomorphic equations gi z= .,. = g^ = 0. Let iP{x) := J2\gj\^ and Va{Y) := {x e C^ \ '(pix) < a}. Consider a point z of ZnY and denote Se{z) the real sphere of C ^ centered at z with radius 6. We have: Theorem 2.2 (Weak local Lefschetz Theorem). Suppose that the rectiEed homotopical depth rhd{X — Z UY) is > n. There exists €Q > 0, such thatj for any e, eo > e > 0, for all a > 0 except a finite number^ the space Se{z) H {X — Z) has the homotopy type of a space obtained from Se{z) n {X — Z) n Va{Y) by adding cells of dimension > n — i. Proof: We shall proceed as in the proof of lemma 1.7 with Y instead of L. First stratify X with a Whitney stratification adapted to the subspace Z, i.e. Z is a. union of strata. Denote Zk the union of Z and the strata of X of dimension < k. Our theorem will be an imimediate consequence of the following lemma: Lemma 2.3. Suppose that rhd(X - Z UY) > n. There exists CQ > 0, such that for any e, eo > c > 0^ for all a > 0 except a finite number, the space Se{z) H [{X - Zk) U {{X - Z) H Va{Y))] has the homotopy type of a
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space obtained from Se{z) H [{X - Zk+i) U ({X - Z) 0 Va{Y))] by adding cells of dimension >n — i. Theorem 2.2 is obtained from this lemma by comparing the cases k = 0 , . . . ,fc = dirrizX — 1. Proof of Lemma 2.3: Consider equations / i = . . . = /^ = 0 of Zk-\-i and hi = ... = hs = 0 oi Zk in a neighbourhood U oi z in C . A s above denote <j){x) =: ^ |/i(^)P and x(^) = J2 I^i(^)p5 ^^ define
Tp{Zk+i) := {x e Xnu \ {x) < p} and T^{Zk):={xeXnU\x{x)<7}. As we have done in the proof of Lemma 1.7, we choose eo as in 1.7.1. Now fix 6, 60 > € > 0. The Whitney stratification of X induces a Whitney stratification on Se{z) nX because of the condition i) of 1.7.1. The restrictions of ip to the strata of Se{z)r\X are real analytic, so they have only a finite number of critical values. We choose an a > 0 which is not one of these critical values. As in 1.7.2 we find that, for j small enough, the space A^ := Seiz) n [{X - T^(Zfc)) U ((X -Z)n
V^{Y))]
is a deformation retract of A := Seiz) n [{X - Zk) U {{X -Z)n
V^{Y))].
Fix such a 7. As in 1.7.3, since /? > 0 is small enough, the space Bp := Se{z) n [{X - T0{Zk+i)) U {{X -Z)n
VciY))]
is a deformation retract of B := S,iz) n [(X - Z^+i) U ((X -Z)n
K.(Y))]
and moreover with /? > 0 small enough the space B^^p := Se{z) n [{X - T^{Zk) n Tp{Zk+,)) U ((X -Z)n Vc^iY))] is a deformation retract of A. We want to compare the homotopy groups of the spaces A and B. In view of the homotopy equivalences we have just considered, it is enough
HOMOTOPICAL DEPTH
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to compaxe the homotopy groups of the spaces B^^f^ and B^. We observe that -B7,/? equals the union of B^ and E:=Ser\
(Ti3{Zk^i) - T^{Zk) U Va{Y)).
As in 1.7.5 we observe that £* is a locally trivial topological fibration over the space
S :=
Sen[Z,^i-mZk)UVa{Y)]
with fiber the normal shce Af of Zjb+i in X (here see the Appendix). But the hypothesis rhd{X — Z UY) > n imphes that the pair (AT, dJ\f) is {n — k — 2)-connected. Because of the Theorem 1.1.1 and the Remark 1.1.2 of [H-L3], we know that the pair ( 5 , 5 fl dVa{Y)) is {k — 2)-connected, so that as in 1.7.5 the pair (B^^^.Bp) is ((n — Ar — 2) + (Ar — 2*) + l)-connected by using the theorem of Blakers and Massey and lemma 1.8. This proves Lemma 2.3. R e m a r k 2.4. In the proof of Lemma 2.3 we only use the fact that the pair (AT, SAT), defined by a normal slice of a stratum of dimension fc + 1, is {n — k — 2)-connected. We shall express this fact by saying that X — YUZ has rectified homotopical depth > n along Zk+i — Zk- This motivates the following definition: Definition 2.5. Let X be a reduced complex analytic space and Z be a complex analytic subspace. We say that the rectified homotopical depth of X along Z is> n if, for any locally closed complex analytic subspace Y of Z, for any point zofYj there is a fundamental system of neighbourhoods Ua of z in X such that the pairs {Ua^Ua — Y) are (n — iz — 1)-connected, with iz = dirrizY. We shall denote rhd{X^Z) the rectified homotopical depth of X along Z. Of course we have a similar definition of the notation rHd{X, Z, Z) for the rectified homological depth of X along Z. A corollary of Lemma 2.3 and its proof is then the following: T h e o r e m 2.6. Let X,Y,Z be as in the theorem 2.2. Consider complex analytic subspaces Z',Z" of X such that Z C Z' C Z". Assume now that the rectified homotopical depth rhd{X -Y UZ,Z" - Z') of X - Y U Z is > n along Z" — Z'. There is eo > 0 such that for any e, eo > e > 0, there exists a i , . . . ,a,n such that for any a ^ { a i , . . . , 0:^}, the space Se{z) n ((X - Z') U {{X -Z)n Va(Y))) has the homotopy type of a space
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obtained from Se{z) D ((X - Z") U ((X - Z) D Voc{Y))) by adding cells of dimension > n — i. For the proof let us choose a Whitney stratification of X adapted Z, Z\ Z" and Y, Let Z^ be the union of Z' U Y and of all the strata Z" — ( Z ' u y ) of dimension < h. Then we have the statement of Lemma and obtain Theorem 2.6 by comparing the cases Ar = 0 , . . . , A: = divfizZ" Theorem 2.6 implies:
to of 2.3 — \.
T h e o r e m 2.7. Let X be a complex analytic space embedded in C . Let Z' C Z" be closed complex analytic subspaces of X and z £ X. Assume that the rectified homotopical depth rhd{X, Z" - Z') of X along Z" - Z' is > 72; then J for any e > 0 small enough, the space Sc{z) f] (X — Z') has the homotopy type of a space obtained from Se(z) n{X — Z") by adding cells of dimension > n — dimz{Z"). Proof: We may assume z ^ Z'. Let L be an affine subspace of C through z of codimension dirUzZ" and such that z is an isolated point of L f l Z " . So Se{z) n{XZ") contains Se{z) H X fl L. The Theorem 2.6 (with Z = Z') shows that Se{z) r\{X — Z') has the homotopy type of a space obtained from the space
Se{z) n {{X - z^') u {{X - z') n Va{L))) = Se{z) n(x-
z")
by adding cells of dimension > n — dirUzZ". This shows Theorem 2.7. Remark 2.8. In the Theorem 2.7 we can replace the sphere Sc{z) by the ball Be{z). It is clear if z G Z'. If z ^ Z', and z G Z", it is enough to consider the case Z" = {z}, because we might first compare the spaces Be{z) n(X - Z") and Be{z) f\{X - {z}) by the beginning of the remark. Then the latter case is an immediate consequence of the hypothesis on the rhd(X) by considering a Whitney stratification of X where {z} is a stratum and using Lemma 1.3. When Y is "in general position" we can replace the spaces Va{Y) by Y when a is small enough. Namely we have a consequence of Theorem 2.2: T h e o r e m 2.9. Let X and Y be complex analytic spaces embedded in C ^ , and suppose that Y is defined by i equations. Let Z be a closed complex analytic subspace of X and z £ Z DY. Assume that rhd{X — YUZ)>n and there is a Whitney stratification S of X adapted to Z and a Whitney stratification of Y the strata of which are transverse to the strata of Z except maybe at z. Then for any e > 0 small enough the space Se(z) D (X — Z) has the homotopy type of a space obtained from Se{z)n(X — Z)nY by adding cells of dimension > n — i.
HOMOTOPICAL DEPTH
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This theorem is an immediate consequence of a lemma similar to Lemma 1.4.1.1 of [H-L3] and of Theorem 2.2: Lemma 2.10. Let X and Y be complex analytic spaces embedded in C , let Z be a closed complex analytic subset of X. Assume that there is a Whitney stratification of X adapted to Z and a Whitney stratification of Y, such that the strata ofZ and the ones ofY intersect transversally except possibly at the point z ofX. Then, for any e small enoughj there is ao? such that for any a, ao > a > 0, the space X HY D Se{z) — Z is a deformation retract of X H Va(Y) H Se{z) - Z. If Z (resp.y) is defined by a non negative real analytic function for which the stratification of X (resp.Y) satistisfies the Thom condition the proof of this lemma is the same as the one of Lemma L4.1.1 in [H-L3]. The only difference is that we are on a set stratified by a Whitney stratification so that we have to build vector fields on each stratum and patch the construction into an integrable rugged vector field in the sense of Verdier (see [VI] p.308) to realize the desired retraction. In general, see the appendix. Remark 2.11. i) As z E Z, we may replace S^ by the ball B^ in the statement of the Theorem 2.9. Obviously we may only suppose z £Y. ii) IfYnZ = {z}j the transversality hypothesis is trivially true. This shows that Theorem 1.6 is a corollary of Theorem 2.9. Finally we can state a strong local Lefschetz theorem on a singular space: T h e o r e m 2.12. Let X be a complex analytic space embedded in C . Consider a closed complex analytic subspace Z of X and a point z of X and suppose that rhd{X — Z) > n. There is an open dense Zariski subset Q in the projective space of linear hyperplanes of C ^ , such that, for any H E Q, and any holomorphic function g such that g{z) = 0 and Ker dgz = H, there is eo > 0 such that for any e, 6o > e > 0, and any ^ / 0 smaii enoughj the pair
{B,{z) n (X - z), B,{z) n{x-z)n y^, with Yt := {g = t}, is (n — l)-connected. Proof: We fix a Whitney stratification of X adapted to Z. As in the proof of Lemma 2.3, we denote Zk the union of Z and the strata of X of dimension < k. Denote B^ := Be{z) and Se its boundary. Our theorem will be an immediate consequence of the following lemma:
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L e m m a 2.13. Suppose that rhd(X — Z) > n. There exists an open dense Zariski subset Q in the projective space of Unear hyperplanes of C ^ , such that, for any H £ Q, and any holomorphic function g such that g{z) = 0 and Ker dgz = H, there is eo > 0 such that for any e, CQ > e > 0, there is rj > 0 such that, with Yt := {g = i} and 0 < \t\
(B, n [(X ~ Zk) u {{X -z)n Ytl B , n [{x - Zk+i) u ((x -z)n Vt]) is (n — l)-connected. Theorem 2.12 is obtained from this lemma by comparing the case k = 0 and k = dirUzX — 1. P r o o f of Lemmia 2.13: We begin as in the proof of Lemma 2.3. Consider equations / i = . . . = /^ = 0 of ^AT+I and hi = ,..
= kg = 0 of Zk
in a neighbourhood {/ of z in C . As above denote (j){x) = Yl |/i(3?)P,
and
Ty{Z,):={x€XnU\x{x)
{B, n (Zfc+i ~ Zk), B, n (Zfc+1 - Zk) n Vt) is fc-connected.
HOMOTOPICAL DEPTH
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Now fix e, eo > e > 0. The Whitney stratification of X induces a Whitney stratification on 5^ fl X because of the condition i) above. The restrictions of y to the strata of B^ flX are real analytic, so they have only a finite number of critical values. Let r] be smaller than r}i and so that for any t, r; > |t| > 0, Yj is transverse to the strata oi B^OX. Similarly to 1.7.2 we find that, for 7 small enough, the space
c^ := B, n [{X - mzk)) u ((X -z)n y,)] is a deformation retract of
c := 5e n [(x - Zk) u {{X -z)n y,)]. Fix such a 7. As in 1.7.3, for /? > 0 is small enough, the space Dp := B, n [{X - TpiZk+i)) U {{X -Z)n
Yt)]
is a deformation retract of D:=B,n [{X - Zk+i) U ((X -Z)n and moreover with /3 > 0 small enough the space
Yt)]
£>^,^ := B,(z) n [(X - T^iZk) n TpiZk+i)) u ((X -Z)n y,)] is a deformation retract of C. We want to compare the homotopy groups of the spaces C and D. In view of the homotopy equivalences we have just considered, it is enough to compare the homotopy groups of the spaces Dp and Dy^p. In fact we shall estimate the connectivity of the pair of spaces {Dy^p^Dp). We observe that DJP equals the union of Dp and
E:=B,n[Tp{Zk^,)-mZk)l As we noticed in 1.7.5, E is 3. locally trivial topological fibration over the space with fiber the normal slice Af of Z^+i in X (see the Appendix). But the hypothesis rhd{X — ZUY) > n implies that the pair {J\f,dJ\f) is {n — k — 2)connected. Because of the Theorem II.1.4 of [H-L3], we know that the pair (SjSnYt) is Ar-connected, so that, repeating the argument in 1.7.5, the pair (Dy^pjDp) is ((n — k — 2) -\- k-\- l)-connected by using the theorem of Blakers and Massey and Lemma 1.8. This proves Lemma 2.13.
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3. Some conjectures of A. Grothendieck. In [G] (Expose XIII p.27-30), A. Grothendieck proposed several conjectures in relation with the rectified homotopical depth and theorems of Lefschetz type. In this chapter we shall prove several of these conjectures. 3.1 Conjecture A. Let us recall the formulation of Conjecture A: Conjecture A ("local Hurewicz Theorem"). Let X be a topological space, Y a locally closed subset, eventually satisfying "smoothness" conditions such as local triangulability of the pair {X,Y), let n be an integer > 3. In order to have profhtpY{X) > n, it is necessary and sufficient that one has H!Y{?LX)
= 0
for
i
(then one says that X has cohomological depth > n along Y), and that the local fundamental groups Trl{X,x)=
lim7ri([/-f/ny) xeu
vanish (then one says that X is pure along Y). First we specify what is apparently meant by local triangulability and homotopical depth {prof htp) along a subspace: 3.1.1 Definition. Let X be a topological space and Y a locally closed subspace of X. We say that X is locally triangulable along Y if for any point of X ofY there is a fundamental system of neighbourhoods Ua of x in X such that the pair {Ua^Uaf^Y) is triangulable. Let us assume for the rest of (3.1) that {X,Y) satisfies this condition. Then for any point a: of y there is a good neighbourhood of x in X with regard to Y in the sense of Prill [P]. Therefore we may simplify Grothendieck's original definition of homotopical depth in the following way: 3.1.2 Definition. The space X has homotopical depth > n along Y if, for any x EY, there is a fundamental system Ua of neighbourhoods of x in X such that the pairs {Ua,Ua — Y) are (n — l)-connected. Note that this condition is equivalent to the following one:
HOMOTOPICAL DEPTH
331
For any good neighbourhood U oi x in X with regard to Y the pair of spaces (t/, U — Y) is (n— l)-connected. On the basis of these definitions, as stated, Conjecture A is incorrect; this is related to the fact that the classical Hurewicz isomorphism theorem refers to singular homology, not cohomology. 3.1.3 Example: Let X = {z G C" : zl + z^ + .^ + z^ = 0}, n > 4, Y = {0}. Then X is a good neighbourhood of {0} in X with respect to {0}, because X is weighted homogeneous. According to a result of E. Brieskorn ([B], [H5] Satz 1.1, 1.2), the space X - {0} is (n — 3)-connected and has the same homotopy type as a rational but not integral homology sphere; so i J „ _ i ( X , X - {0}; Z) = Hn-2{X ~ {0};Z) ^ 0, which imphes that the homotopical depth of X along {0} is not > n. On the other hand ^V(Zx)o = H\X,X-
{0};Z) = H'-\X
- {0};Z) = 0,
SO S y ( ^ x ) = 0, i < n. Since X — {0} is simply connected we have that 7ro(X, 0) = 0 (in the sense of Grothendieck). An obvious modification of Conjecture A is to require furthermore that the local cohomology has no torsion in dimension n. It naturally leads to the theorem: Theorem 3.1.4 ("local Hurewicz Theorem"). Let X be a topological space, Y a locally closed subspace such that X is locally triangulable along Y. Let nbe a non-negative integer. The following conditions are equivalent: a) The space X has homotopical depth > n along Y; b) for any point x EY, there is a fundamental system of neighbourhoods Uoc of X in X such that: H^{Ua,Ua-Y;Z) = 0, 7 r i ( t / a - y , y ) = 0,
u
if
n>3
Proof: Because X is locally triangulable, we can choose the neighbourhood Ua contractible and it is enough to consider such a good neighbourhood UaNow we apply the classical Hurewicz Theorem (cf [Sw] (Theorem 10.25)) to the space Ua — Y. The existence of good neighbourhoods makes the theorem very elementary. 3.2 C o n j e c t u r e B . We recall the statement of Conjecture B:
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Conjecture B ("purity"). Let E be an analytic space, X an analytic subset of E. One supposes that E is non-singular and of dimension N at x, and that X can be described by p analytic equations in the neighbourhood of any point. Then the rectified homotopical depth of X is > N — p. Actually this conjecture may hold even if E is singular, as it is stated below: Theorem 3.2.1. Let X be a reduced complex analytic space, rhd{X) > n, and let Y be a complex analytic subspace locally defined on X by i complex analytic equations. Then rhd(Y) > n — i. Proof: As the condition rhd{Y) > n — i is local, we can assume that Y is closed in X, defined by i global equations on X, and that there is a finite Whitney stratification of X adapted to Y. Let 5 be a Ar-dimensional stratum of Y. Let y E S and consider a normal slice JV of 5 in X at the point y. Locally at y this normal slice is defined by k equations. So locally at y the space Af DY is defined hy i -\- k equations. For simplicity assume moreover that locally at y the space X is embedded in C . Denote B^ := Be{y) and Se its boundary. We want to prove that, for e > 0 small enough, the pair (BeCiY, BeOY — S) is (n —i —^ —l)-connected. Because of Remark 1.1.2, it is equivalent to prove that B^nYnAf—iy} is {n — i—k—2)connected. This latter fact is consequence of the Theorem 2.9. So, with the notations of the Theorem 2.9, replace Z by {y} and Y by jV H Y, for e > 0 small enough, the pair
(SenX-{y},SenYnX-{y}) is (n — i — k — l)-connected. As in Remark 2.11, we obtain that the pair
{B,nX-{y},B,nYnAf-{y}) is (n — i — k — l)-connected. As we have assumed that rhd{X) > n, the space B^ nX — {y} is (n — 2)-connected which implies that
BenYnAf-{y} is (n — i — k — 2)-connected as expected. Because of the example 1.2 the Conjecture B is an obvious corollary of our theorem. Furthermore, as Grothendieck already noticed:
HOMOTOPICAL DEPTH
333
Corollary 3.2.2. If the complex analytic space X is locally a non empty complete intersection of dimension n, we have rhd{X) = n.
3.3 C o n j e c t u r e C. Let us recall the formulation of Conjecture C: Conjecture C ("local Lefschetz T h e o r e m " ) . Let X be an analytic space, Y a closed analytic subset, and let x be a point ofY. Suppose that X — Y is Stein in some neighbourhood of x (for example that Y is defined by one equation in x), and that X — Y has rectified homotopical depth > n in some neighbourhood ofx (for example that X — Y is near x locally a complete intersection of dimension > n, cf conjecture B). Then the canonical homomorphism 7rf (Y) -^ 7rf{X) is an isomorphism for i < n — 1, an epimorphism for i = n — 1. Furthermore, Grothendieck adds the following remark: If one replaces the hypothesis that X — Y is Stein by the hypothesis (which will play the role of a topological "concavity" condition) that X — Y is a finite union of c + 1 open Stein subsets (sc. in some neighbourhood of x) the conclusion should be modified simply by replacing n by n — c. We will prove that Conjecture C holds even in its stronger version described in this remark. Furthermore we may look at a more general situation where a subspace Z o{ X is removed, just as in Theorem 2.2 (Weak local Lefschetz Theorem). Let W be an open neighbourhood of the origin in C ^ . Consider a closed complex analytic subspace X of W. Let Y and Z be closed complex analytic subspaces of X. Let ^fi,... ,^j : W —^ C be holomorphic functions such that Y = {z e yV\9i{z) = ... = gi{z) = 0} , and let ^ : ^ -^ R be defined by tP(z) = ^ \9jiz)\^. For a > 0 define Va(Y) = {z e yV\^p{z) < a}. We shall denote B^ the closed ball of C centered at 0 with radius e and Se its boundary. Then we have: Theorem 3.3.1 (Generalized weak local Lefschetz Theorem). Let us suppose that X — Y is the union ofc-{-1 open Stein subsets Ui,...,Uc-\.i and that the rectified homotopical depth rhd{X — Y U Z) is > n. Then there is an CQ > 0 such that for any e, 0 < e < CQ, there exists ao > 0 such that for any a, 0 < a < ao, the pair
(5e n X - z, 5e n X n v^iY) - z)
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is [n — c — 2)-connected. R e m a r k 3.3.2. We may take c = i — 1,
Uj =
{zeX\gj(z)^0},
j = 1 , . . . , i; in this case Theorem 3.3.1 follows from Theorem 2.2. But in some cases a choice of a smaller c is possible. Proof: We have supposed that X-Y
=
UiU...Uc^i
where each I7j, 1 < j < c + 1 is a Stein open subset. From [N] (Theorem 6), there is an integer m such that for any j , l < i < c + l , there is an analytic isomorphism hj of Uj onto a closed analytic subset of C"^. Let <j)j:X -^Hhe defined by:
^
[
0
zex-Uj
then denote <^ = 0i + . . . -f (^c+iNow let us fix a Whitney stratification of X adapted to Z. We shall assume 0 ^ Z because we consider spaces on the sphere Se- Consider the function x - ^ -^ R- defined by N
X{Z):=J2\'A' I/ = l
Now let 60 > 0 such that: (i) for any e, eo > e > 0, the sphere Se intersects transversally all the strata of X; (ii) for any stratum 5 of X and any point z of 5 — Y, and any A E R, such that x{z) ^ ^o ^^^ dz{rp\S) = Acf^(x|S'), then one has A > 0. The first condition is satisfied because the square of the distance function to the point 0 is real analytic and so is the Whitney stratification (because it is complex analytic). The second condition can be satisfied because of [HI] (Lemma 2.13). Let us fix 6, 60 > e > 0. The Whitney stratification of X induces a Whitney stratification oi X D B^. There is ao > 0 such that for any a, ao> a > 0^ the space dVa{Y) is transverse to all the strata o{ X (13^The space 5en(X —Z) is a deformation retract oi Ben{X — Z)y because of the choice of 6 as in (i) above (compare to the local conic structure [B-V]). For any a, ao > a > 0 the space
Benxn Va{Y) - z
HOMOTOPICAL DEPTH
335
is homeomorphic to B^ D {X — Z). This can be shown using a suitable controlled vector field the existence of which is guaranteed by the choice of e as in (i), (ii) above; cf. Lemma 1.3.2 of [H-L3] in a particular case. Moreover the spaces
SenxnVa{Y)-z are a fundamental system of good neighbourhoods of 5e fl X fl Y relatively to Se D Z, so that for any a > a', ao > a > a' > 0, the space
SenxnVa'{Y)-z is a deformation retract of (actually homeomorphic to)
SenxnVa{Y)-z. Now consider the neighbourhoods of X HY defined by: VpiX nY)
:= {z e X\
for yS > 0. Since (f) is continuous and B^ D X and S^ f) X are compact, the spaces (V^(X fl V) fl B^) and {Vp{X nY)n S^) form a fundamental system of neighbourhoods of X HY D Be and X DY H Se in X HB^ and X nSe respectively. Notice that, even if the /? > 0 are small enough, these spaces are not necessarily good neighbourhoods, because we do not have the condition (ii) above, as we do not know that (f> is real analytic on X. Thus we fix /3 small enough such that Vp{X nY)n Be is contained in
BenxnVa,{Y)-z and moreover /? is not a critical value of the restriction of <j) to the strata of X n Be', this is possible because of Sard's theorem. Therefore we have an induced stratification of Be r\Vp{X HY). We shall actually prove that: L e m m a 3.3.3. The pair
{Be nVpixnY)- z, Se nVpixnY)- z) is (n — c — 2)-connected. First let us show how Lemma 3.3.3 implies the Theorem 3.3.1. We have the following inclusions of pairs:
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(JB, n X n Va{Y) -z,Senxn vdY) - z) c {B,r\Vp{xr\Y)-z,s,f\Vp{xp^Y)-z) c (5, n X n K.„(y) - z,5, n x n V^,{Y) - z) with a < OfQ small enough. Because the spaces S^ n X fl Va{Y) (resp. 5e n X n Va(y)) are good neighbourhoods of S c D X n y (resp. 5 ^ 0 X 0 7 ) relatively to Zr\Bc (resp. Z f\Si), the inclusion:
(Be n X n Vc(y) - z,5, n x n K.(y) - z) c(Be n X n i/„„(y) - ^, Se ' n X n K„o(y) - z) is a homotopy equivalence. So, if
(5e n V/3(x n y) - z, Se n v^{x n y) - z) is (n — c — l)-connected, for any a, ao > <^ > 0, the pair
(5, n X n Va{Y) -z,s,nxn
Va{Y) - z)
is {n — c — l)-connected. Now Theorem 3.3.1 follows because B^f) X f) Va(Y) — Z and B^f^X — Z are homeomorphic (see above) and Bef\X — Z retracts by deformation on S^r\X — Z. It remains to prove Lemma 3.3.3. Proof of Lemma 3.3.3: The proof proceeds by stratified Morse theory in the sense of Goresky and MacPherson in [G-Ml] on the space
M:=:5enV/5(xny)-z. The space M having "boundary and corners" we have to adapt this stratified Morse theory to this situation as we have done in the classical case in [H-Ll] (3.1.7). The Morse function here is a small perturbation cr of the restriction of —x on a neighbourhood of this space starting from the level —6^ until a level —e\ where ei > 0 is small enough. For the sake of simplicity we shall assume that a is defined on the whole space X. More specifically, ei is chosen in such a way that B^^ fl X is contained
in5enV/?(xny). According to the choice of e the restriction of —x to the strata in the interior of M has no critical points, so we can assume that the same is true for cr.
HOMOTOPICAL DEPTH
337
Therefore we have only to look at the critical points of the restriction of a to the strata of the boundary of M. As in (1.2.4) of [H-L2] in order to estimate the indexes of c at Morse critical points let us look at the Levi form of — X first. If p is a smooth real function in C"^, we shall denote by dg the sum ^dgjdzy^dzyz and by LxQ the Levi form of y at a? defined for any tangent vector V at a: by:
^xg{y>) - Y^{d'^g/dzkd'zj)vkvi Similarly we define the Levi form of a smooth function in C or a complex manifold. We shall denote the Levi form in the same way. Let p : C"^ —^ R be the square of the norm in C^ defined by p{x) = ^ \xj\^. With this notation <j)j\Uj = e-^^'^K Now let 5 be a stratum of X — Z and z £ S. If z E Uj we have:
d,ij\s) = -
+
cl>j(z)mpohj\S)\^
and outside of Uj it is 0. The complex linear subspace Vz of the tangent space TzS where the complex differentials a.(^l|5),...,5.(<*e+l|5) vanish has codimension < c + 1. As the Levi form of Lz{pohj \S) is positive definite if ^r G Uj, the Levi form of Lz{(i>\S) is negative definite on this complex subspace. We consider now the Levi form of cr at a point of S on the boundary of M in the interior of B^. Because ^ is a small deformation of —X on a neighbourhood of M, the Levi form of the restriction (7|5 at a point z E S is negative definite (compare to (1.2.5) of [H-L2]). Now consider a critical point z of the restriction of cr on a stratum 5*0 of dV^{X n y ) n ^ e , where B^ is the interior of B^- Because the stratification of M is induced by the one of X, the stratum 5o is the intersection of a stratum 5 of X with dVp{Xr\Y). As 2: is a critical point of the restriction of a on the stratum 5*0 there is a real number A such that dz{(T\S) = \dz{
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are the critical points z where A < 0. The Hessian Hz at z of the restriction of
HziV^v) < 0. Hence, the index at the critical point z of the restriction cr|So is > dimS — c — 1. A normal slice AT at z of 5o in dVp{X DY) is a normal slice at z of 5 in X . The hypothesis on the rectified homotopical depth rhd(X) > n tells us that the pair (A/" — {{z} U Z),Fz — Z), where Fz is the complex link of 5 in X at the point z (see [G-Ml] Part II §2.2) is {n - dim S - 1)connected. In fact we use the Theorem 3.2.1 to find that the normal slice being defined by dim S equations locally at z the rectified homotopical depth of AT — {{z} U Z) is > n — dim, 5; then Theorem 2.12 gives our assertion. Therefore the local Morse data (see [G-Ml] Part I §10.3 and Part II §2.6) are (n — dim, S — l)-connected. According to the stratified Morse theory of Goresky and MacPherson (see [G-Ml] Part I §10.5), we obtain that
{Be n Vpix ny) - z,5, n Vp{x nY)-z) is (n —c —2)-connected (using [Sw] (Prop. 6.13) we can show that the cells which are locally added have dimension > n — c — 1). This proves Lemma 3.3.3. Theorem 3.3.1 has the following corollary if we assume transversality conditions between Y and Z: Corollary 3.3.4. Under the same notations and hypothesis of Theorem 3.3.1 J assume that there is a Whitney stratification ofX adapted to Z and a Whitney stratiGcation ofY, such that the strata of Z and the ones ofY intersect transversally except possibly at the point 0. Then, for any e small enough, the pair (X f) B^ — Z,Y DX H B^ — Z) is {n — c — 2)-connected. This corollary is an immediate consequence of Lemma 2.10. 3.4 Conjecture D. Let us quote Grothendieck's Conjecture D:
HOMOTOPICAL DEPTH
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Conjecture D ("Global Lefschetz Theorem"). Let X be a compact analytic space, Y an analytic subspace of X such that U = X — Y is Stein and has rectified homotopical depth > n (for instance a local complete intersection of dimension > n at any point). Then the canonical homorphism n(Y)
- 7r.(X)
is an isomorphism for i < n — 1, an epimorphism for i — n — 1. Furthermore Grothendieck adds a remark similar to the one already quoted in the statement of Conjecture C in the case X — Y is the union of several Stein open subsets. As we have done in the case of Conjecture C we are led to prove the following theorem, which extends the Theorem 1.1.1 of [H-L2] for the singular case. Theorem 3.4.1 (Generalized global Lefschetz Theorem). Let X be a compact reduced complex analytic space, Y and Z be closed complex analytic subspaces of X such that X — Y is the union of c-\- 1 open Stein subsets. Assume that the rectified homotopical depth rhd(X — YUZ) is > n. Let V{Y) be a good neighbourhood ofY in X relatively to Z. Then the pair {X — Z, V(Y) — Z) is {n — c— l)-connected. Proof: We assume that X — Y = UUj where each Uj^l < j < c + 1, is a Stein open subset. We procceed in the same way as in the proof of Theorem 3.3.1. According to [N] (Theorem 6) there is an integer m such that, for any j , 0 < j ' < c + 1, there is an analytic isomorphism hj of Uj onto a closed analytic subset of C " . Let (^j: X ^ R be defined by:
''
\
0
zex-Uj
then denote <^ = <;^i + . . . -f (^c+iNow let us fix a Whitney stratification of X adapted to Z. Consider the neighbourhoods of Y defined by:
v^(y) := {z e x|<^(z) < /?} foi /3 > 0. Since (j) is continuous and X is compact the spaces V(3{Y) form a fundamental system of neighbourhoods of Y in X . In general these spaces are not good neighbourhoods of Y relatively to Z even if/? is small enough. Fix /3 such that V/3(y) is contained in the given good neighbourhood V{Y) and /? is not a critical value of the restriction of <^ to the strata of X . This is possible because of Sard's Theorem. As in the proof of Theorem 3.3.1, we actually prove:
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H.A. HAMM and LE D.T.
L e m m a 3.4.2. The pair {X - Z, Vp{Y) - Z) is {n - c -
l)-connected.
Let us show first how this lemma imphes Theorem 3.4.L We choose another good neighbourhood V^{Y) of Y relatively to Z which is contained in Vp{Y). We have the following inclusions of pairs:
{X - z, y'(y) -z)c{x-z,
Vp{Y) -z)c{x-z,
V{Y) - z)
Because V'{y) and V{Y) are good neighbourhoods of Y in X relatively to Z, the inclusion
(X - Z, V\Y) -Z)C{X-Z,
V{Y) - Z)
is a homotopy equivalence, hence if Lemma 3.4.2 is true, Theorem 3.4.1 is true. Proof of Lemma 3.4.2: We procceed as in the proof of Lemma 3.3.3. We use stratified Morse theory on the space X — Z. The Morse function r will be a small perturbation of the function
0 = dzWS) = 2mz{ct>i\s) + . . . + 2mz{
Again the argument of A. Andreotti and T. Frankel gives that the index of the Hessian of (^15 at z is > dimS — c. We are only interested in the critical points of (f) on the strata of X which lie in the closure of X — V/3. This closure being compact, we do as in [M2] Lemma 22.4, and we approximate <^ by a function r which is a Morse function in the sense of Goresky and MacPherson in [G-Ml] Part I §2.1. If the approximation is good enough, the index of the Hessian at the critical point of the restriction T\S of r on a stratum 5 is > dimS — c. So we can estimate the connectivity of the local Morse data of the restriction to X — Z of T at z. Let JV be a normal slice at 2: of 5 in X. The homotopy normal
HOMOTOPICAL DEPTH
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Morse data is {M — {z} U Z,Fz — Z) and, as above, it is (n — dimS — 1)connected because of the hypothesis rhd{X — Y U ^ ) > n, Theorem 3.2.1 and Theorem 2.12. The local Morse data of the restriction of r to X — Z at z is therefore {n — c — l)-connected. The stratified Morse theory of Goresky and MacPherson (see [G-Ml] Part I §10.4) gives that the pair {X — Z, V^{X nY) — Z) is {n — c — l)-connected as stated in the Lemma 3.4.2. Remark 3.4.3. If y is defined by c + 1 global holomorphic equations, the complement X — Y is covered by c + 1 Stein open subsets, so we can apply our Theorem. We have the following consequences of Theorem 3.4.1: Corollary 3.4.4. Let f:X -^ X' he a. finite complex analytic map between compact complex analytic spaces and Z be closed complex analytic subspace ofX. Suppose that the rectified homotopical depth rhd{X — Z) is > n. Let Y' be a closed complex analytic subspace of X' such that X' — Y' is the union of c + 1 Stein open subsets. Then, for any good neighbourhood V{Y) ofY := f-\Y') in X relatively to Z, the pair {X - Z, V{Y) - Z) is {n — c— l)-connected. It is enough to observe that the inverse image of a Stein space by a finite complex analytic map is Stein (see [K-K] §73.1). Then we apply Theorem 3.4.1. Adding some transversality conditions in Theorem 3.4.1, we can replace the good neighbourhood V{Y) by Y using the lemma of the Appendix (compare to [H-L3] Assumption (T) of §1.4.1.). 3.5. Conjecture D ' . In [G], Grothendieck proposed a version of Conjecture D for the case dimX = 3. Let us quote his conjecture: Conjecture D ' (Global Lefschetz Theorem for the fundamental group). Let X be a compact complex analytic space, Y be a closed analytic subset such that U = X — Y is Stein. Suppose moreover that the following conditions are satisfied: (i) For any x element ofU, the local fundamental group 7r2(X, x) is zero (i.e. X is "pure in x^'), or only: the local ring Ox,x is pure, (ii) The local rings of the points of U are "connected in dimension >2". (Hi) The local rings of the points ofU are of dimension > 3.
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H.A. HAMM and LE D.T. Under these hypothesesj for any x £ X, the
homomorphism
7ri(y,y)-^7ri(X,x) is an isomorphism (and 7r2{Y^y) -^ 7r2(X,:ir) is an epimorphism). We want to apply the results of Theorem 3.4.1. It is enough to show that the hypotheses (i), (ii), (iii) correspond to the hypotheses of Theorem 3.4.1 in the case dimX = 3. T h e o r e m 3.5.1. Let X be a complex analytic space. Suppose that: (i) For any point x of X there is a good neighbourhood Vx ofx in X such that 7ri{Vx — {x}, y) = 0, for any y EV^ — {x}. (ii) For any point x of X and any locally closed complex analytic subspace Y of dimension < 1 which contains x, there is a good neighbourhood Vx of x in X relatively to Y, such that Vx —Y is connected, (iii) For any point x of X, dirUxX > 3. Then rhd{X) > 3. 3.5.2 R e m a r k s : According to the definition given by Grothendieck in [G] (Expose XIII p.26), the point (i) of our theorem corresponds to the point (i) of Conjecture D' as far as the local fundamental group is concerned. The point (ii) of our theorem corresponds to the point (ii) of Conjecture D', because of the definition in Theorem 2.1 bj^ in Expose XIII p.6 of [G]. So the proof of Theorem 3.5.1 and Corollary 3.4.5 imply Conjecture D'. Proof of Theorem 3.5.1: Choose a Whitney stratification of X and denote by Xi the union of strata of dimension < i. Let x be a point in Xi — Xi^i. Consider a good neighbourhood 1/ of x in X relatively to Xi. By definition we have to prove that the pair (F, V — Xi) is (2 —2)-connected. If 2 = 0, it is sufficient to prove that the pair (F, V^—{a?}) is 2-connected: it is 0-connected because dimX > 1 (see condition (iii)); it is 1-connected because of conditions (iii) and (ii); it is even 2-connected since we have also condition (i). If 2 = 1, then {V^V — Xi) is 1-connected because of (ii) and (iii). If i = 2, the pair of spaces (F, V — X2) is 0-connected because of (iii). R e m a r k 3.5.3. We are not sure whether Conjecture D' still holds if we only assume in (i) that the local ring Ox,x is pure.
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4. Further Results. 4.1. Other characterizations of Rectified Homotopical Depth. We have the following characterization of the rectified homotopical depth where it is only necessary to consider local homotopy groups: T h e o r e m 4 . 1 . 1 . Let X a complex analytic space. The following conditions are equivalent: a) rhd{X) > n; b) for any locally closed complex analytic subspace Y ofX, any point z £ Yj where Y is defined by k holomorphic equations, there is a fundamental system of neighbourhoods U of z inY j such that the pair of spaces {JA^U — {zY) is {n — k— l)-connected; c) for any point xofXj any local embedding at x of X into C and any k, dirUxX > k > 0, there is a non-empty open subset W of the Grassmannian of linear suspaces of codimension k inC , such that the following holds: for any L £ W and any holomorphic functions flfi,... ,5^jb whose differentials at z define L, there is a fundamental system of neighbourhoods U of z in Y, where Y is defined by gi^,.. ^g^^ such that the pair of spaces {U,U — {x}) is (n — k — lyconnected. Proof: The implication a) =^ b) is easily obtained using Theorem 3.2.1 above which gives that the space Y has rectified homotopical depth > n—k. The implication b) =^ c) is obvious. Now let us prove c) => a). Let us choose a Whitney stratification of X. Let 5 be a stratum of X and x E S. We can embed X locally at x into C . So any affine space transversal to 5 at a? in C defines a normal slice Af of S in X at X (see [G-Ml] Part I §1.4). A normal slice of codimension dimS being defined by dimS analytic equations which are non singular at X, condition c) tells us that the pair {Af^Af— {x}) is {n — k — l)-connected and Remark 1.1.2 above implies that, for any good neighbourhood V of x in X, the pair (F, V — S) is (n — k — l)-connected. We have another characterization of the rectified homotopical depth in terms of the connectivity of the complex links of M. Goresky and R. MacPherson (see [G-Ml] Part II §2.2). Before stating the theorem, let us introduce some notations and definitions. If X is a complex analytic space that we stratify with a Whitney stratification, we define the complex link of the stratum S in the following way: Consider a point x of S and a local embedding at a? of X into C^. Denote d = dimS and consider a general linear projection p of C ^ onto C^''"^. For
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e > 0 small enough, a general fiber of p over a point near to p{x) intersects Be{x) n X in the complex link of S. The fact that this complex link does not depend on the point x of 5, the general projection p, the small e and the general fiber of p is proved in [G-Ml] §2.3 (see [L-T2] §3). In this geometrical setting the normal slice is the inverse image by p restricted to Be{x) n X of a general line through p{x). Therefore we can view the complex link £ as a subspace of the normal slice Af. The homotopy type of the pair (AT, C) is the same as the homotopy type of the normal Morse data of Goresky and MacPherson (see [G-Ml] §2.5). Theorem 4.1.2. Let X be a complex analytic space, endowed with a Whitney stratification. The following conditions are equivalent: a) rhd{X) > n; b) for any stratum S the pair (AT, C) of the normal slice of S in X and the complex link of S in X is (n — dimS — l)-connected and therefore also the normal Morse data of S. Proof: We show first the implication a) => h): Theorem 3.2.1 gives that the rectified homotopy depth of the normal slice A/* is > n — dimS^ because the normal slice is obviously defined by dimS holomorphic equations in X. Theorem 2.12 just gives the desired result. The implication b) => a) is proved by induction on dimX. If dimX = 0, there is nothing to be proved. So suppose that dimX > 1, and that the theorem is true for any complex analytic space of dimension < dimX. Let Xi be the union of strata of X of dimension < i. If AT is the normal slice of Xi at X in X , we have to prove that {Af,Af— {x}) is (n — i — l)-connected. If i > 1^ rhd{J\f) > n — i by the induction hypothesis applied to A/* instead of X {M has an induced stratification where all normal discs and complex links coincide with those of X along AT). The pair {Af^C) of the normal slice and complex link of Xi at x is (n — i — l)-connected by hypothesis. So Theorem 2.12 gives that the pair (A/'— {x}, C) is (n — z — l)-connected. But M being contractible this means that {J\f,Af— {x}) is (n —i— l)-connected. If i = 0, the preceding result for i > 1 shows that rhd{X — XQ) > n and Theorem 2.12 gives that, after embedding locally X into C , for any e small enough, the pair {B^{x) D X — {x},C) is (n — l)-connected. By hypothesis the pair {Be{x) f) X,C) is (n — l)-connected. As Be{x) H X is contractible, finally {Be{x) 0 X^B^{x) H X — {x}) is {n — l)-connected. 4.2. General Strong local Lefschetz Theorem. We have a more general version of Theorem 2.12 which can be applied to non generic situations.
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T h e o r e m 4.2.1. Let X be a complex analytic space embedded in C . Consider a closed complex analytic subspace Z of X and a point z of Z and suppose that the rectified homological depth rHd(X — Z, Z) is > n. Let g:U -^ G be a holomorphic function defined on an open neighbourhood U of z and g{z) = 0. There is eo > 0 such that for any e, €o > e > 0, there is ao such that for any a, ao > a > 0, and any ^ E C, |^| = a the pair of spaces
(B^iz) n (X - z), ((5e(^) n 9-\D„)) u (5,(z) n g-'m n{x- z)) is {n — l)-connected, where Da is the closed disc of C of radius a centered at 0. Proof: To simplify the notations we shall assume z = 0 and we denote by B^ and Se the spaces 5e(0) and S'e(O). Call ip the real analytic function on U defined by \g\^. First notice that, as the point 0 is in Z, there is Ci such that for any e, ei > 6 > 0, the space Bcn{X — Z) is homeomorphic to the product of the interval (0,1] with ^e fl (X — Z) because of the local conic structure of singularities (see [B-V] (Lemma 3.2)). Now consider the function x - ^ —^ R- defined by N U= l
Let 6i > eo > 0 such that: (i) for any e, eo > e > 0, the sphere S^ is contained in U and intersects all the strata of X transversally; (ii) for any stratum S oi X and any point z of 5 — ^"^(0), and any A G R, such that x{^) ^ ^o ^^^ dz{xp\S) = Ac/^(x|«S'), one has A > 0. Fix e, eo > e > 0. There is ao > 0 such that for any a, ao > a > Oj and for any stratum S of X H Se the function g restricted to S has no critical values in the punctured disc D*. Now ^x a, ao > a > 0. It is known (see for instance [G-Ml] Part II §2.A) that the union
{S,ng-\Da))U{B,ng-\dDa)) is homeomorphic to the sphere Se by a stratified homeomorphism such that the space SeC\(X — Z) is homeomorphic to
{Se n g-\Da)) u {B, n g-\dDa) n{x~ z)) Following [L2] (Theorem 1.1) (see [L-T2] (Theoreme 2.3.1)) we know that the mappings induced by g go: B, n g-\dDa)
^{X
- Z)—^
OD^
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and
gi: s, n g-\dDa) n (X - z) —> dD^, are topological fibrations. By excision (Blakers-Massey Theorem) it is enough to show that the pair
(5, n g-\dD,) n (X - z),{s, n g-^dD^)) u {B, n g-\t) n (x - z))) is {n — l)-connected for t, |<| = a. By excising B^ fl g~^{t) r\{X — Z), using the trivial fibration over dDa — {t}^ we observe that we have to prove that the product {F,dF) x (7,97), where F := B, fl g-^{t) H {X - Z), dF := Se n g'^{t) H {X - Z), I := [0,1] and dl := {0,1}, is (n - 1)connected. We apply stratified Morse theory on F , using a small perturbation cr of the restriction of the function —%. Let x be a critical point of cr on a stratum of 7^ of dimension i. It is enough to prove that the product of the local Morse data (M, M') of cr at x by the pair (7, dl) is (n— l)-connected. First the local Morse data has the homotopy type of the product of the normal Morse data {Af,C) and a relative cell {B^ ,dB^) with j > i. The hypothesis tells us that the homology groups H^{M, £; Z) vanish for 0 < fe < n — 2 — i. Now using Lemma 1.8 for the trivial fibration (B^ ,dB^) x (7, dl) x (Af,C) over {B^,dB^) x (1,81)^ we obviously obtain the desired result. Corollary 4.2.2. Under the assumptions of Theorem 4.2.1, assume furthermore that there is a Whitney stratification of X adapted to Z such that the restriction of g to any stratum has no critical point outside z with critical value 0 (i.e. g has an isolated critical point on X relatively to its Whitney stratification in the sense of [L3] or is generic in the sense of [H3] §2J. There is eo > 0 sucii that for any e, CQ > e > 0, there is r^ > 0 such that for any t G C, 0 < |t| < r^, the pair {Be{z)n{X-Z),Be{z)ng-'^{t)n{X-Z)) is {n — i)-connected. Proof: Under this new hypothesis there is €o eventually smaller than the one chosen in the proof of the preceding theorem, so that the spheres S^ with 6, 6o > e > 0, are transverse to the traces of the strata of X on the fiber ^ - ^ 0 ) . We fix e, eo > e > 0. Then there is a such that the restriction of the function g to Se{z) fl {X—Z) has no critical value in the disc £)«, so it induces a trivial topological fibration of Se{z)fl(X — Z)flg~^{Dcx) over Da. This obviously implies our corollary by using our theorem 4.2.1.
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APPENDIX In this appendix we shall first prove the following theorem: Theorem. Let X be a complex analytic space embedded in a smooth manifold M and S = {Si)i^i a Whitney complex analytic stratification of X. Let N be a real analytic submanifold with corners of codimension 0 in M. Suppose that Si is a stratum of S which intersects N, its boundary and corners transversally in M and that K = N Cl Si is compact. Then there is a system of neighbourhoods Ua of K in NOX which admit locally trivial continuous fibrations TTa'.Ua -^ K, the fibers being homeomorphic to normal slices of the stratum Si in X. Proof. We use and follow a geometric construction of M.H. Schwartz in [S]. The manifold Si being a submanifold of M, with an adequate Riemannian metric on M we can define a system of neighbourhoods Tp of Si in M made of geodesic rays normal to Si. Furthermore we may suppose that the Riemannian metric is chosen in such a way that the geodesic rays respect the natural stratification of N. So if /x > 0 is sufficiently small, the rays of length /i starting from K form a geodesic tube T^(K) around K in N OX (see [S] 2.2). Now the projection p of T^{K) onto I{ given by the geodesies defines restrictions to all the strata of the Whitney stratification which contain points o{ K in their closures. These restrictions have maximal rank on each strata of the interior of T^{K)^ but furthermore, if p is small enough, the restrictions on the intersection of these strata and the boundary of T^{K) have also maximal rank. This last assertion results from the existence of transversal fields by M.H. Schwartz. In fact she proves that in the geodesic tube T^{K) there is a vector field v tangent to the strata Sj which vanishes only on K and which makes an angle I3{x) with the geodesic ray at any X G T^{K) which tends uniformally to 0 when x tends to any point of K (see [S] Theoreme 2.3). Therefore the geodesic tube T^{K) is naturally stratified by a stratification which satisfies the Whitney condition. Furthermore the smooth map p restricted to all the strata being of maximal rank, the first isotopy theorem of Thom and Mather ([T], [M]) implies that T^{K) is a locally trivial topological stratified fibration on K. The fiber above x £ K \s a smooth manifold transverse in M to Si at x and it obviously intersects X in a normal slice of Si at a point x. Putting Uoc '-= To(f^{K)j 0 < a < 1, we obtain the family mentioned in
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the theorem. Remarks. a) One can start with an arbitrary Riemannian metric on M above and replace T^{K) by the intersection T^{K) of XfliV by the union of geodesic rays normal to Si of length //, since T^{K) and T^{K) can be shown to be homeomorphic (sc. for small //). b) In the case of the last assertion of 1.7.4 we consider the tube T^(Zk+i) (with /? > 0 small enough) instead of T^(A"). We define K := S, n [Zk+i - mZk)
U Va{L)]
Obviously K can be written as K = 5e fl [Zk+i — Zk] fl N where TV is a real analytic sub manifold with corners of M = C . According to a), we may start from the standard Riemannian metric on C and obtain T^(K). Let ^ be the Euclidian distance from Se fl [Zk+i — Zk] in C ^ . Within a neighbourhood of this subset, the set {x e S: there is A < 0 such that d^{^\S) = Xda;((f>\S) } is semi-analytic for every stratum 5 of ^e fl X fl A'', so that the Curve Selection Lemma implies that one can construct a homeomorphism of Sc H [T^(Zfc+i) - Ty(Zk) U Va{L)] onto f^(K) for small /3 and fi by integration of a suitable vector field. In the proof of Lemmas 2.3 and 2.13 we proceed similarly. It remains to prove Lemma 2.10. L e m m a . Let X and Y be compact real analytic spaces embedded in a compact smooth manifold M, let Z be a closed real analytic subset of X. Assume that there is a Whitney stratification of X adapted to Z and a Whitney stratification ofY, such that the strata of Z and the ones ofY intersect transversally in M. Then, if V(Y) is a good neighbourhood of Y nX in X relatively to Z, the space Y f] X — Z is a deformation retract ofV{Y)-Z. Proof. Let Zi (resp, Yi) be the union of all strata of Z (resp. Y) of dimension < 2. Let us choose a Riemannian metric on M. For each submanifold A of M, /i > 0, let T^{A) be the open geodesic ^-neighbourhood of A. Now if 1 > //o > /^i > . . . > 0 and 1 > I/Q > ^^i > • • • > 0, the space
\JiT^,{Yi - y^.i) n X - u,-T,^(z,- - z,-^i)
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has a homotopy type independent of the choice of fii, Uj: this follows from the transversality condition which implies similar transversality conditions for the boundaries of the neighbourhoods. It is easy to see that
is a deformation retract of
u,r^,(y.-Y.-i)nx-z and that Y DX — UjTj^ {Zj — Zj-i) as well as of
is a deformation retract oiY nX — Z
UiT^XYi - Yi-i) n X - UjT,^{Zj -
Zj.i).
So y n X — ^ is a deformation retract of
Therefore UiTf^XYi — Yi-i) H X, which is a good neighbourhood of Y H X in X is a good neighbourhood of Y f l X in X with respect to Z. Since good neighbourhoods give the same homotopy type we obtain the statement of the lemma. Note that we can apply this lemma to Lemma 2.10, since we obtain induced stratifications of {X H Se{z)yZ H Se{z)) and of y fl S^z) such that the strata of Z H Se{z) and of y fl Se{z) intersect transversally in Se{z). Furthermore X nVa{Y)n Se{z) is a good neighbourhood of X DY Ci Se{z) in Se{z) with respect to Z fl Se{z). Bibliography [A-F] A. Andreotti - T. Frankel, The Lefschetz theorem on hyperplane sections, Ann. of Math. (2) 69 (1959), 713-717. [B-B-D] A.A. Beilinson, J. Bernstein, P.Deligne, Faisceaux pervers, Asterisque 100 (1982), 1-172. [B] E. Brieskorn, Beispiele zur Differentialtopologie von Singularitaten, Inventiones Math. 2 (1966), 1-14. [B-M] A. Blackers - W.S. Massey, Tiie homotopy groups of a triad, IL Ann. of Math. 55 (1952), 192-201. [B-V] D. Burghelea - A. Verona, Local homological properties of analytic sets, Manuscripta Math. 7 (1972), 55-66. [Dl] P. Deligne, Le groupe fondamental du complement aire d^une courbe plane n'ayant que des points doubles ordinaires est abelien (d^apres Fulton), Sem. Bourbaki 543, Lect. Notes in Math.842 (1981), 1-10.
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Le DUng Trang Department of Mathematics Northeastern University Boston, MA 02115, USA
Automorphisms of Pure Sphere Braid Groups and Galois Representations YASUTAKA IHARA Dedicated to A. Grothendieck on his 60th birthday
Introduction Let Pn be the pure braid group of the 2-sphere, with n strings (n > 3), and Pn be its pro-^ completion {£ : a fixed prime number). We shall study what we call the special automorphism groups of Pn and P^ and apply it to Galois representations of the type proposed in Grothendieck [7]. The group P„ is equipped with the special conjugacy classes ^ij{= ^ji) defined from the (simple positive) intertwining of the f-th and the j-ih string {I
-^
Out*Pn-U
In : Out*Pn
->Out*P„_i.
The key observation proved in this article is : The Injectivity Theorems.
im'^n «^^ ^oth injective for n > 5.
In the discrete case, what this leads to is : The Vanishing Theorem.
Out*P„ = {1}
(n > 3).
As S. Morita pointed out to me, this is also a direct consequence of a theorem announced in Ivanov [9] Th.l2 on automorphisms of mapping class groups of surfaces with boundaries. But we shall set this injectivity of in as our first main goal, because (i) Ivanov's method seems to be
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YASUTAKAIHARA
geometric and different in nature from ours, and (ii) the injectivity of in (the pio-i case), which has apphcation to Galois representations, can be established by minor modifications in our arguments for the discrete case (the second goal). In the pro-^ case, Out*P„ is an infinite pTo-£ group for each n > 4, and the injectivity of in has the following implication. Consider the Galois representation ^^^ : Gal(Q/Q) - . Out P„ arising from the Galois action on the etale pro-^ coverings of the configuration space i^o,„P' = {(^1, • • • , 2n) € ( p i ) " ;
Zi ^ zj for i ^ j}.
Then as a corollary of the injectivity of i„ (n > 5), we obtain : T h e Galois Kernel T h e o r e m . have the same kernel.
The representations (pQ (n > 4)
The Galois extension Q/Q corresponding to the kernel of <^Q is nothing but the smallest common field of definition for all etale pro-f coverings of FO,4PV^GL2^P'-{0,1,OO}.
It is known [8] that Q is an infinite pro-£ extension of Q(/i^oo) unramified outside £. The above theorem implies that every etale pro-^ covering of FQn^^/PGL2j for n > 4, has a canonical Q-structure. If we consider each Out*P„ (n > 4) as embedded in Out*P4 via i^ o - - - o in, then their intersection contains a subgroup isomorphic to Gal {Q/Q{fi^^))] Gal(l]/Q(/i,^)) C f]Ont*Pn
C Out*P4.
n>4
We do not know at present whether the group in the middle is closer to that on the left or that on the right. For further comments related to <^Q , see §1.4. The injectivity of in,in{f^ > 5) is a reflection of some property of the braid monodromy. Roughly speaking, the (outer) action of P^-i on Ker/„ (:^ Fy^_2 5the free group of rank n — 2) is far from being the trivial action. This makes it "difficult" for a special automorphism of Pn to act trivially on the quotient Pn-i without acting innerly on Ker/^. (For some more sketch, see §1.2, and for details, see §§4, 5.) Actually, we shall work more with the special derivations of the associated graded Lie algebra Vn =
BRAID GROUPS AND GALOIS REPRESENTATIONS
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gr Pn, in order to simplify these arguments. Thus, after precise statements of the main results (§1) and some preliminaries on P„(§2), our first task is to determine the structure of T^n over Z explicitly (§3). The structure of Vn'S'Q was determined by Kohno as a special case of his work [11], but we shall proceed directly using explicit generators. In §4, we shall prove a Lie version of the injectivity of i„, assuming two key lemmas. These lemmas will then be proved in §5. In §6, we reduce the injectivity of 2„ to its Lie version. In §7, we indicate the "new" ingredients for the injectivity of the pro-^ homomorphism in. Some analogous results on pure braid groups of punctured Riemann surfaces will be given in a joint paper with M. Kaneko (in preparation). The author is very grateful to M. Asada, J. Birman, P. Deligne, T. Kohno, S. Morita and Takayuki Oda for helpful communications. Conventions. In what follows, when topological groups are treated, subgroups will always mean closed subgroups, and the commutator {A,B) of two subgroups A, B means the topological closure of the algebraic commutator. All homomorphisms (resp. automorphisms) are continuous (resp. bicontinuous), and the short exact sequences 1-^ A-^ B-> C - ^ 1 are strict^ i.e., the topology of ^ (resp. C) is the one obtained by restriction (resp. taking the quotient) of that oi B. §1 The main results. 1.1. Let 'P]-, be the complex projective line, n be an integer with n > 3, and consider the configuration space (1.1.1)
Yn = Fo,nP^ = {(^1, ...,^n) e ( P ^ ) " ; Zi ^ zj for i ^ j}.
Its fundamental group Pn = TTI (y„, b) is the pure sphere braid group with n strings ("sphere", because P ^ « 5^ topologically). As a base point b = (6i, ...,6„) G Ym we shall choose such a point that 6i, ...,6„ lie on the unit circle S^ C P^(C) in the anti-clockwise order (Fig 1). bo
(Fl£ 1)
This is an "intrinsic base point" in the sense that if 6' = (fci,...,&^) is another such base point then there is a canonical identification of 7ri(yn, 6')
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YASUTAKA IHARA
with 7ri(y„,6) via an isotopy on S^. This identification is well-defined, because the element of P„ induced from the rotation of 5^ belongs to the center C2 of P„ (cf §2.1). For each i,j {I < i^j < n, i ^ j), call Xij = x\^^ the element of (1.1.2)
7ri(P^ - {61, ..,6,-, ..,6„}, 60 C Pn
represented by the loop described in Fig 2. Also, for convention, put xa — 1(1 < i < n). Then Xij — ^ji (as element of Pn), and as is well-known, Pn is generated by all the x^j 's (§2). We shall consider the following subgroups of the automorphism group Aut P„ and the outer automorphism group Out P„, respectively. (1.1.3) Aut*Pn -{(re Aut Pn\ (TXij ~ Xij (1 < ij < n)}, (1.1.4) Out*P„ = Aut*Pn/Int Pn. Here, ^ denotes conjugacy in P„, and Int P„ denotes the inner automorphism group of Pn. 1.2. The following theorem is a direct consequence of Theorem 12 of Ivanov announced in [9], via a comparison theorem of Birman [3] (Theorem 4.2). The Vanishing Theorem.
Out*Pn = {1}
(n > 3).
The main ingredient for our alternative proof is the following Injectivity Theorem (i). For each n > 4, consider the natural fibration Yn —> Yn-i defined by the projection (-2^1,..., 2^n) ^-^ ('^^i ? ...j-^n-i). This induces a surjective homomorphism fn '- Pn ^^ Pn-i- Its kernel is generated by ^ni> ...J ^n,n-ij ^Lud hence is stable under any a G Aut*Pn. Therefore, fn induces a homomorphism (1.2.1)
in : O u t * P n - > O u t * P n _ l .
The Injectivity Theorem (i). If^yb, in is injective. Actually we shall prove this via its Lie version, but here, we explain the idea in terms of groups. First, Nn = Ker/n is generated by Xnj{l < j < n — 1) which satisfy a single relation Xn n—1 * * ''^ni = 1. (Thus, Nn ^ Pn-2.) The centralizer H = Cp^{xn,n-i) satisfies NnH = Pn, Nn H H = < Xn,n-i > ; hence if cr G Aut*Pn acts trivially on P n - i , it acts almost trivially on H. Suppose a acts trivially on H. Then for each j(l < j < n — 2),cr(xnj) must commute with every such element 7 of Pn that centralizes both Xnj and Xn^n-i- (Note that 7 G H;hence a{j) = 7.) From
BRAID GROUPS AND GALOIS REPRESENTATIONS
357
this we obtain (by explicit calculation of centralizers in P„) that a{xnj) G < Xnj,Xn^n-^i >• This, Combined with the relation (T{xn^n-i)' * '<^{^ni) = 1, leads to : a must be inner by some power of Xn^n-i- This last step is done by some (delicate) free Lie calculus. Remark 1.2.2. The outer automorphism group of the full braid group of E"^ is determined in [5]. As for automorphism groups of surface mapping class groups of genus > 2, see also [13]. Our method is quite different from those used in [5] [9] [13]. 1.3. Now fix a prime number ^, and denote by ^ the pro-^ completion in the category of groups. Denote the image of Xij under the canonical homomorphism Pn —^ Pn also by Xij, call fn '- Pn -^ Pn-i (^ ^ 4) the pro-^ completion of / „ , and define Aut*Pn, Out*P„ analogously (i.e., simply replace Pn by Pn in (1.1.3), (1.1.4)). In this pro--^ case, Out*Pn, for each n > 4, is an infinite pxo-£ group containing the image of a "large Galois representation" (described below). Our main result is : The Injectivity Theorem (ii). phism
/ / n > 5, the canonical homomor-
in : O u t * Pn - > O u t * P n - l
induced from fn is injective. An implication of this to Galois representations will be explained below. 1.4. Let n > 4 , use the symbol Yn now for the Q-scheme Po.nP^, and consider the exact sequence of algebraic fundamental groups : (1.4.1)
1 - irf^(y„ ® Q) - irf^Yn)
- G Q - 1,
where G Q = Gal(Q/Q). This induces a homomorphism of GQ into the outer automorphism group of TT^ ^(y„ 0 Q); and hence also into the outer automorphism group of the pro-^ completion Pn = TT^^^" (Yn 0 Q) of Pn :
(1.4.2)
^ 5 ^ G Q - . Out Pn.
It is easy to see that (fQ{o-)xij ^ xf>^^ {a G G Q , 1 < i , j < n), where X ' GQ -^ Zf denotes the ^-cyclotomic character describing the GQ—action on fi^oo . Therefore, ^Q'^ induces a representation (1-4-3)
<0^,.)^^Q(..o.)—Out*Pn
358
YASUTAKA IHARA
of GQ(/i^^) = Gal(Q/Q(^^oo ))• It is easy to see that ^Q^^ ^ ) (n = 4,5,...) are compatible with the i„. Since Ker (p^ = Ker (p)^}
N, the Injectivity
Theorem (ii) gives : The Galois Kernel Theorem.
Ker^Q^ = Ker (^Q
(n > 4).
Since Y4/PGL2 c^P^ - {0,1, 00} and (1.4.4)
P4 ^ (Z/2) X 7ri(P^ - {0,1,00}),
the representation <^Q is essentially the same as the Galois representation in Trf''"^(Pi - {0,1,00}) studied in [1],[4],[8] etc. The Galois extension n of Q corresponding to K e r ^ g is an infinite non-abehan pro-^ extension of QifJ'ioo) unramified outside £ which is generated by higher circular £-units [1]. The above corollary says that we do not obtain an extension bigger than fi by considering (pQ for higher n. (This may be regarded as an "affirmative evidence" for the question raised in [1]: "Is Cl the maximal pro-^ extension of Q{fi^^) unramified outside £ ?") On the other hand, as the Grothendieck program [7] may suggest, the consideration of (p)^^ for higher n might give more information on the image of v^Q in Out P4. Indeed, Imy?Q.^ ^ must be contained in the image of Out*P„ in Out*P4 for all n > 4 (and in fact, in that of (Out*Pn)*^", the 5^-symmetric part). But the author does not know at present whether the common image of (Out*Pn)*^" {n > 4) in (Out*P4)^^ is actually smaller than (Out*P4)'^^ §2 Preliminaries on the group P„. 2.1. Recall that Yn = Fo.nPc and P„ = 7ri(y„,6) (§1.1). We shall recall some basic known facts concerning P„ necessary for our purpose. Proposition 2.1.1.
Yn ^homeo i^3,n-3Pc >< PGL2{C)
{u > 3),
where i^3,„-3Pc = ^0,„-3(Pc - {0, 1, ^ } ) (cf. [3] §1.2 for the notation Fm,n)Corollary 2.1.2. Z/2.
P„ ~ 7ri(y„/PGL2(C)) XC2
(n > 3), where C2 =
BRAID GROUPS AND GALOIS REPRESENTATIONS
359
In particular, P3 = 7ri{PGL2{C)) 2^ C2 and P4 = ^ i ( P c " {O^l.oo}) X C2 — F2 X C2J where, in general, Fn denotes the free group of rank n. We shall also need the following basic Proposition 2.1.3 [6]. If n > 4, the fibration Yn —> Yn-i defined by (ziy...^Zn) -^ (2^1, ...,Zn-i) has PQ — {61, ...,frn-i} fl5 the fiber above (61,.., 6„_i), and induces a short homotopy exact sequence (2.1.4)
l—,Nn—^Pn^
Pn-1 — 1,
where Nn = 7ri(P^ - {61, ...,6„_i},6n) c^ Fn-2. Proof
7r2(yn-i(C)) = 1
([6] §11).
Q.E.D.
Let Xij{l < i,j < n) be the elements of P„ defined in §1. Then by the definition of x^j^s and Prop 2.1.3, it is clear that Ker/„ is generated by the Xnj^s (1 < i < ^ — 1), and is in fact freely generated by any n — 2 of them, because Xn,n-i - •' Xni = 1. As fn{Xij) = a^lj" for ij < n (§1), we obtain by induction on n that Pn is generated by all the Xij^s. Corollary 2.1.5. (i) P„ is generated by Xij (1 < iJ < n) ; (ii) Nn is freely generated by any n — 2 of Xnj (1 < J < ^ — !)• 2.2. The order of multiplication in Pn will be chosen as follows. The class [/3 o a] of the composite /? o a of two loops a, /? (a first, /? next) is, by definition, [/?] [o^]. For 71,72 G Pny we define the commutator (71,72) = 7i727rS2"^Proposition 2.2.1. The generators Xij (1 < i^j < n) of Pn satisfy the following relations. (In (R3) ^ (R5), i^j^k^i are mutually distinct.) (Rl)n
Xii = 1,
Xij = Xji
(R2)n (R3)„
Xin"'Xii = l (xki.Xij) = 1,
(1 < i, j < n),
(1<«<^), if {ij}n{k,e} = <j) and bk.bi lie
on the same connected component of S^ — {bi^bj). (R4)n 'if {ijj}ri{kji}
(xki^xij) =
{{xr^\xr/)^xij),
— (f) and bi^bj^b^^bi lie on S^ in the order as shown by (Fig
3). (R5)n
(xki^Xik) = {^iki^u)^
order as in (Fig 4).
2/ bi,bj,bk lie on S^ in the
360 Proof
YASUTAKA IHARA This can be checked directly by chasing the braid monodromy.
Remark 2.2.2 Actually (Rl) ~ (R5) together gives the system of defining relations for P„. This is also known and can be proved exactly in the same manner as in the proof of Prop 3.2.1 (its Lie version). But this will not be needed for our purpose (in this form). 2.3. By Cor 2.1.5 (ii), the subgroup < Xni, ...,^n,n-i > of P„ generated by Xni, ...jXn^n-i is normal in P^ and is free of rank n — 2. By changing indices, we see that, for each i ( l < i < n), Nn =< xn,-- - , Xin > is also normal and free of rank n — 2. Proposition 2.3.1. Let 1 < i, j < n, i ^ j^ and C{xij) centralizer of Xij in Pn- Then Pn = Nn 'C{xij).
be the
Proof If suffices to show that every P„-conjugate of Xij is an M'^conjugate of Xij. Since P„ is generated by the Xki^s and TV^ is normal in Pn, it suffices to show that XkiXij xj^/ is 7V„ -conjugate to x^j for all k,i. But this is obvious by the relations (R3) ^ (R5). Q.E.D. §3 The structure of Vn — gv Pn< 3.1. In general, for any topological group G, the graded Lie algebra gr G of G is defined as grG=
e m>l
g r " ^ G - 0 G(m)/G(m + 1), m>l
where {G(m)}m>i is the lower central series of G, (G(l) — G, G{m-\-1) = {G,G{m)) (m > 1)), and gr^G = G{m)/G{m -\- 1) is considered as an additive group. If a G G{m), b G G{n) {m,n > 1) represent a G gr^G,6 G gr"G, respectively, then (a, 6) = aba~^b~^ G G(m-h n), and its projection on gr'^'^^G depends only on a,b which is denoted by [a, 6]. By linearity [a, 6] is defined for all a, 6 G gr G, which gives gr G a structure of graded Lie algebra. As a Lie algebra, it is generated by gr^G. In particular, if G is a free (resp. free pro-^) group of rank r on a^i, • • • ,Xr, then gr G is a free Lie algebra of rank r over Z( resp. Zi) generated by the classes X i , - - - ,Xr G gr^G of iCi, • • • ,x^. Note that any homomorphism G ^ H oi topological groups induces a homomorphism gr G ^^ gr iJ of their graded Lie algebras. It is easy to see that the functor G ^ gr G is right exact . We shall need the following
BRAID GROUPS AND GALOIS REPRESENTATIONS L e m m a 3.1.1.
361
Let
(3.1.2)
i—^N—^G—^H
—. 1
be an exact sequence of topological groups such that (i) [G^N) — {N,N), and (ii) gr N has trivial center. Then the natural homomorphism gr N -^ gT G is infective ; hence (3.1.2) induces an exact sequence (3.1.3)
0 —^ gr TV —> gr G —> gi H — . 0.
Remark 3.1.4 A similar lemma is given in [12]. Proof By P. Hall (cf.e.g.[14] Th 5.2), if A, B, C are three normal subgroups of any group G, then (3.1.5)
{A (B, C)) C (B {C, A))iC (A, B)).
We shall apply this to prove {A),n.n
{G{m),N{n))cN{m+n)
(m,n > 1). Note that {A)i^i is nothing but the assumption (i). Let us prove (A)m = 'XA)m,n for all n > 1", by induction on m > 1. First, for m = 1, apply (3.1.5) for A,B,C = G,7V,A/'(n) , respectively, to prove {A)i^n by induction on n > 1. This is straightforward. Then apply (3.1.5) for A,BjC = 7V(n),G,G(m), to prove {A)m by induction on m. This is again straightforward. Thus, {A)m,n is established. Now we shall check {B)m
NnG{m)
= N{m)
by induction on m > 1. For m = 1, this is obvious. Suppose {B)m is vahd, and take any n e N D G{m + 1). Then n e N H G{m) ~ N{m). As n G G{m + l ) , n acts trivially on N/N{m + 2) (by (A)m-\-i,i) ; hence the class n G gv^N of n centralizes gr^ A'' ; hence also gr A''. By assumption (ii) this implies n = 0, i.e., n G N{m-{-l). Therefore, NnG{m-\-l) C iV(m-hl). The other inclusion is obvious. This settles ( 5 ) ^ . This implies that the natural homomorphism gv N —^ gr G is injective. Corollary 3.1.6. quence
The exact sequence (2.1.4) induces an exact se-
O^gvNn—^gvPn-^
gr Pn-l
" ^
0.
362
YASUTAKA IHARA
We shall write Vn = grP„, Af^"^ = grM*^ and Afn = Af^""^ = Ker {Vn —^Vn-i)' Sometimes the subscript n will be dropped. 3.2. Now we shall determine the structure oiVn = gr Pn- Call Xij{l < h J < ^) the image of Xij in gr^P„. Note that An is a free Lie algebra over Z generated by (any n — 2 among) Xij^s {I < j < n^j ^ i). Proposition 3.2.1. The Lie algebra Vn = grPn (^ > 3) is the quotieni of the free Lie algebra over Z generated by Xij (1 < i^j < n) modulo the following relations. [Linear relations]
[LI]
Xa = 0
(1 ^ ^ ^ ^)5
[L2] Xij=Xji [L3] S!?^iXi^=0 [Quadratic relations] [Ql]
(l<2,i
[Xij^Xki] = 0, if{ij}
H {fc,^} = (j).
The same statement for (grP„) 0 Q was given by Kohno as a special case of his work [11]. We shall give a direct proof which works over Z. Remark 3.2.2
The elements Xij also satisfy
[Xij , Xij -f Xjk -f- Xjki] = 0
(i,i, Ar : distinct),
but this is a consequence of (LI) ~ (L3),(Q1). (Replace Xjfc + Xki by -T,i^ijXki and use (Ql).) Proof First, by Prop 2.2.1, the X^j's generate Vn and satisfy (LI) ^ (L3), (Ql). Call Vn the quotient of the free Lie algebra over Z generated by the symbols Xij^s modulo these relations. Let Vn —^ Vn be the projection. We shall show by induction on n > 3 that this is bijective. For n = 3, both are Z/2. For n > 4, we have a commutative diagram 0
> Nn
(3.2.3)
> Vn surjective
0
^ Afn
^ Vn
> Vn-1
>0
isomorphism by I induction a s s u m p t i o n
^ Vn-1
^ 0,
where Vn -^ Vn-i is defined by X^i —^ 0 (1 < z < n). The kernel Afn of the projection Vn —^Vn-i is an ideal generated by X„i, • • • ,X„ n-i- But
BRAID GROUPS AND GALOIS REPRESENTATIONS
363
it is, in fact, generated by X„j's as a Lie subalgebra over Z. This is clear because of (Ql) and [Xkj , Xnj]
= [—T,i:^j Xkl,
Xnj]
= —[Xkn , ^ n j ]
for k ^ j,n. Since we have [L3], Afn is generated by Xnjil < i < ?^ — 2). But Afn is free of rank n — 2 on these Xnj's ; hence Afn —^ J^n must be bijective ; hence Vn —^VnQ.E.D. 3.3. In general, for a Lie algebra £, its subalgebra £', and elements Of,/?, ••• G £, we shall denote by < a,/?, ••• > the Lie subalgebra of C generated by a,/?, • • •, and by Cc{C) the ceniralizer of C in C. We shall need the following Lie-analogue of Prop 2.3.L Proposition 3.3.1. Lei i,j (1 < i, j < n) be two distinct indices, and write C{) = C'p^{ ) for the centralizer in Vn- Then (i)
C{Xij) =< Xij,Xu
("•)
Vn = ^f^'^ +
(in)
TVi') n C{Xij) = ZXij
Proof (3.3.2)
ik,£e{l,---,n}\
{i,j})
>,
ciXij), C gv'Tn •
We may assume i — n, j = n— 1. Put C =< X „ , „ _ i , X « il
C(Xn,n-x).
By [L2][L3], Vn is generated by Xij for i,j
Vn-i,
Vn=^f+C'.
Since Af is free on any n — 2 of X„j(l < j < n — 1) we have (3.3.4)
^ n C ( X „ , „ _ i ) = ZX„,„_i c
C.
But from (3.3.2) ~ (3.3.4) we obtain C = C(X„_„_i). In fact, take any c G C(X„_„_i) and decompose as c = n + c' (n £ Af,c' ^ C). Then n = c-c' e C(X„,„_i) nAT C C". Therefore, c G C . Therefore, we obtain (i) ~ (iii). ' Q.E.D.
364
YASUTAKA IHARA
§4 S p e c i a l d e r i v a t i o n s o f P„ ; A Lie v e r s i o n o f t h e I n j e c t i v i t y Theorem. 4.1. A derivation D :Vn —^Vn of the Lie algebra Vn = gr Pn (^ > 4) will be called a special derivation of degree m (m > 1), if for each i, j (1 < hj ^ ^) there exists some Ttj G g r ^ Pn such t h a t (4.1.1)
D{X,,)^[T,j,
Xij].
An inner derivation Int(T) ( T G gr^Vn) is a special derivation of degree m. T h e least degree m, for which there exists a special derivation of "Pn of degree m which is not mner^ is m = 3. An example of such a derivation is given by (4.1.1), with n
(4.1.2)
Ti^ = ^ [ ^ z f c , [Xi^. Xi^]]
(1 < i , i < n ) .
fc=i
Now since TVi'^ (1 < i < n)
is an ideal of Vn generated by Xn^ - • •
each special derivation D maps Afn a derivation D ofVn-i
= Vn/J^n
into itself. In particular, D
\ which is again a special derivation of
degree m such t h a t D ( x f ~^^) = [Tij, x f "^^] (1 < ij Tij is the image of Tij in
,Xin,
induces
< n - 1), where
Vn-i-
4 . 2 . T h e main aim of §§4 '^ 5 is to prove the following T h e I n j e c t i v i t y T h e o r e m (Lie v e r s i o n ) . Lei n > 5, and D be a special derivation of Vn of degree > 1. If the induced derivation D of Vn-i is inner, then D itself is inner. In this section, we shall reduce this proof to two key lemmas. proof of these lemmas will be given in §5. 4.3 K e y lemmas. Recall §3.3 for the notation (a,/?, •••) algebra) and, Cc{C') (centralizer). Lemma 4.3.1. distinct. Then (*)
Let
n > 4, and i,j,k
C^(fc) (Cv{{Xki,
Xkj)))
(1 < i , j , Ar < n) be
= {Xki,
The (sub-
mutually
Xkj),
where A/'W == A/'i^^ V = VnL e m m a 4 . 3 . 2 . Let C be a free Lie algebra over Z on r -\- 1 variables X o j X i , • • • , X r (^ > 2), and put Cj = ( X Q , XJ) (1 < j < r). Suppose that ^j ^ A' (^ ^ i — '') ^^^ S E C are homogeneous elements of degree > 1 such that [Xi,Sl]
+•••+
[Xr,Sr]
Then S = Si = • • • = Sr = 0.
= [Xo+X,
+ --- +
Xr,S].
BRAID GROUPS AND GALOIS REPRESENTATIONS
365
4.4 Proof of the Injectivity Theorem (Lie version) assuming lemma 4.3.1, 4.3.2. Let n > 5, and Z) be a special derivation oiVn of degree m > 1 such that the induced derivation D oi Vn-i is inner. Our goal is to show that D itself is inner. Obviously, we may assume that D = 0, i.e., D{Vn) C M = ^jr\ Put DiXij) = [T,j, Xij] {Tij e gx^Pn\ 1 < hi < n). We may assume that Tnj G A^ (1 < i < n), because Vn = J^ -i- Cr{Xnj) (Prop 3.3.1 (ii)). Since we may replace D by D — Int(Tn,n-i) without affecting our assumption D = 0, we may further assume that D{Xn,n-i) ~ 0 and Tn,n-i = 0 . We claim that (4.4.1)
D{Cv{Xn,n-l))
= 0.
To check this, take any homogeneous element a G C'p{Xn,n-i)' Then [a, Xn^n-i] = 0- Apply D on this equality, noting D{Xn,n^i) = 0 ^nd D{Vn) C A/", to conclude D{a) G Cj^{Xn,n-i)- But Cj^{Xn,n-i) = Z • Xn,n-i C gr^Pn (Prop 3.3.1), and D{a) has degree = m -{- dega > 1. Therefore, D{a) = 0. This proves (4.4.1). We now claim that (4.4.2)
D(X„i) 6 Cj^{Cr{Xr,i, X „ , „ _ i » .
To check this we may assume i < n — 1, as D{Xn,n-i) = 0. Take any a € Cv{Xni, Xn.n-i). Then [X„i, a] = 0, and by (4.4.1) we have D{a) = 0. Therefore, [D(A'„i),a] = 0. Therefore, D{Xni) centralizes C'p{Xni^ Xn,n-i)' As D{Xni) G AT, (4.4.2) follows. By lemma 4.3.1, applied for k — n, j := n — 1, (4.4.2) implies that (4.4.3)
D{Xni) G {Xni, Xn,n-l)
{I < i < n - 2).
But since A' is free on any n — 2 of Xnj ( l < i < ^ — 1), the multidegree decomposition of A/' shows that (4.4.3) imphes (4.4.4)
Tni G {Xni^ Xn,n-i)
Now since Xni +
(1 < ^ < n - 2).
h Xn^n-i = 0 and D(X„,„_i) = 0, we have n-2
J2D{Xnj) = 0, or equivalently, (4.4.5)
[Tn2, Xn2] +
H [T„^n-25 ^n,n-2]
— [^nl, A^n2 "h
V Xn,n-l\,
366
YASUTAKA IHARA
with Tnj G {X„j, Xn,n-i) (^ < J < n —2). Therefore, when m > 1, lemma 4.3.2 applied to the case r = n — 3 (> 2) and XQ = X„^„_i gives (4.4.6)
T„j=0
(l<J
When m = 1, by (4.4.4) we may assume Tni — ^i-^n,n—i (1 ^ ^ ^ ^ — ^)) with Qi E Z. But then (4.4.5) imposes that aiXni + ••• + an-2-^n,n-2 commutes with Xn^-i- Therefore, ai = ••• = ct„_2, which we call a. Then Tni = '- = T„n-2 = «-^n,n-i- Therefore, if we replace D by D — alnt{Xn,n-i), we also obtain (4.4.6). Since Tn,n-i = 0 (our earlier normalization), (4.4.6) gives (4.4.7)
D{Af) = 0.
Combining this with (4.4.1) and using Prop 3.3.1 (ii), we obtain Z) = 0, as desired. Thus, the Injectivity Theorem (Lie version) is reduced to lemma 4.3.1, 4.3.2. §5 Proofs of lemma 4.3.1, 4.3.2. 5.1. In order to prove lemma 4.3.1, we shall first prove the following elementary Lemma 5.1.1. Lei C be a free Lie algebra over Z generated by X i , • • • ,Xr,Xr+i (r > 1), and D be a derivation of C of degree 1 defined by DiXi) = ---^D(Xr) = 0, D(Xr+l) = [Xr, -X'r + l]. Then the kernel of D ts the subalgebra of C generated by Xi,--,Xr. Proof Extend D to a derivation of the universal enveloping algebra A = ®m>oAm of -C, the free associative algebra over Z generated by Xi, • • • , X , + i . Thus, L»(a ± /?) = D{a) ± D{l3), D{a0) = a£>(/?) + D{a)l3 (a,/? G .4), and DiXi) = ••• = D{Xr) = 0, £>(X,+i) = X,X,+i - X , + i X , . For each monomial ^ = Xi^ • • Xi^ G A, define its (5-degree by (5(0 = 0 = Max{jy;
.--if i^9^r-f 1, allz/, i^ = r + 1)
• • -otherwise.
This measures the position of the leftmost Xr^i in <^, from the right. We shall show that if D{a) = 0 for a E Am^ then a does not contain Xr-\.i. This is sufficient, as the embedding C "^-^ A respects the multidegree decomposition. Suppose that a contained Xr+i, and express it as a Z - hnear combination of monomials of degree m. For each i/ (0 < u < m), call a^
BRAID GROUPS AND GALOIS REPRESENTATIONS
367
the partial linear combination over the monomials of (5-degree jy. Call /i the smallest i/ with a^ / 0. We may assume // > 0. Put a' = a — a^. Then it is clear that (i) each monomial in D(a') has 6-degree > /i, (ii) each monomial in D{a^) has S -degree > /i, and (iii) the contribution of D(a^) to the (5-degree // is obtained from a^ by replacing Xi^ (= ^ r + i ) by XrXr+i for each monomial Xi^ • • -Xi^^ contained in a^. Therefore, the //-part of D{a) cannot vanish. Therefore, D(a) 7^ 0, a contradiction. Therefore, a cannot contain Xr+iQ.E.D. 5.2 Lemma 5.2.1.
/ / i^j^k (1 < i^j^k < n) are distinct, then
Cj^(jc) {Xij) - {Xki ;
I
^ij,k).
Proof We may assume i = l^ j = 2, k = n. Consider the derivation D of Af — Afn of degree 1 obtained by restriction of Ad(Xi2) to the ideal A/'. Choose Xni (2 < i < n — 1) as a free basis for Af. Then D{Xm) = 0
(i>3),
D(Xn2) = [X12, X,2] = - [ X i „ , Xn2] = [W, X„2], where W = ^ Xni- Since we may choose {Xn2y'' * ^Xn,n-2^ ^ } also as a free basis of A/', and since D{W) — 0, lemma 5.2.1 is reduced to lemma 5.1.1. Q.E.D. 5.3 Proof of lemma 4.3.1. First it is clear that the RHS is contained in the LHS of (*). To prove the other inclusion, we may assume i = 1^ j = 2^ k — n. Since C-pUXni, Xn2)) contains all Xki with 3 < A:, / < n — l,"its centralizer in AT = AT^") is contained in (5.3.1)
f]
C^{Xu)-
3
But by lemma 5.2.1, Cj\j'{Xki) = {Xni; (5.3.2)
C^{Cvi{Xnu
Xn2))) C
i ^ kj,n). f]
{Xni;
Hence (take k — ^) i^SJ.n).
4
By looking at the multidegrees in Xni (« 7^ 3,n), we see easily that the intersection on the RHS of (5.3.2) is {Xni, Xn2)- Therefore, the LHS of (5.3.2) is contained in {Xni, A^n2)Q.E.D. 5.4. We shall proceed to the proof of lemma 4.3.2. First, we need the following probably well-known
368
YASUTAKA IHARA
Lemma 5.4.1. Let C be a free Lie algebra on X i , - - ,Xr (r > 2) over a domain R of characteristic 0, and embed C into the free associative algebra A on Xi,- - - , X^. If a £ C is homogeneous with degree > 1 and, as an element of A, divisible by Xi from the left (i.e., a = XiP with (3 E A), then a = 0. Proof Define an i?-linear map a : A -^ C hy
Take any homogeneous element a E .4 of degree m > 0. Then a belongs to C if and only if o'(a) = ma (Dynkin-Specht-Wever criterion; cf. [10]V §4, or [14] §5.9). Now let a E £ be homogeneous of degree m > 1 and a = ^iP (/^ G w4). Since a ^ C^ cr(a) = ma. Moreover, since a = XifS, o-(a) = [Xu cr(/?)]. Therefore, mXiP =:ma = a{a) = Xia{P) - cr(/?)Xi ; hence cr(/?) E XiA. Note that cr(/?) is of degree m — 1. If m = 2, then a{l3) = cXi [c E R)] hence ma = [Xi, cr(/?)] = 0; hence a = 0. If m > 2, we obtain by induction on m (which enables us to assume cr(/?) = 0) that a = 0. Q.E.D. 5.5 Lemma 5.5.1. Let C be a free Lie algebra on three independent variables X , y , Z over a domain R of characteristic 0, and Cx,Y be the free Lie subalgebra of C generated by X^Y, Let S E Cx,Y be homogeneous with degree > 1. / / [Z, S] E [¥,£], then S = 0. Proof Embed C into the free associative algebra A over R on X,Y,Z. Then (5.5.2)
ZS-SZ = YT-TY
with some T £ C. Decompose each a E A uniquely as a == ao • 1 + ax -X -{• ay • Y -{• az ' Z, with ao E R^ ax^ « y , az E A. Take the Z-component of each side of (5.5.2) (noting 5 E >Cx,y) to obtain —S = YTz. But then S E Y A ; hence 5 = 0 by lemma 5.4.1. Q.E.D. 5.6 Proof of lemma 4.3.2. (5.6.1)
i: = e a £ ^ ^ ^
Decompose C as a = (ao,ai,... ,a,),
where C^^^ consists of homogeneous elements of multidegree a = (ao, ••• ,ar) in {Xo,-" , ^ r ) . Now let S E C, Sj E Cj (1 < j < r) be homogeneous with degree > 1 satisfying (5.6.2)
[Xi, 5i] + ... + [Xr, 5,] - [Xo + Xi + . . . + X,, 5].
B R A I D G R O U P S AND GALOIS R E P R E S E N T A T I O N S
369
Suppose S ^ Q, and decompose 5 as 5 ^ E a 5'^''^ with S'(^) G C^^'l Let a = (ao, • • • , a r ) be a multidegree such t h a t , among those a with S^^^ ^ 0, a has the maximal value of GQ. Then such an a must be ;?wre, i.e., there exists only one j {I < j < r) with aj > 1, and moreover, aj > 1 for this j . In fact, [XQ, S^^^] is ^/le (ao + 1, a i , • • • , ay.)-component of the RHS of (5.6.2), but from the LHS of (5.6.2) appears only pure multidegrees. T h a t aj > 1 is obvious {if aj = 1, Sj cannot exist). Now choose any index i with 1 < i < r and i ^ j . (This is possible because r > 2.) We shall show t h a t (5.6.3)
[Xi, 5(<^)] € [Xo, C].
To show this, note first t h a t [X^, 5^^^] is of degree ao in X Q , 1 in X^, aj > 1 in Xj, and degree 0 in all other variables. Such an element cannot come from the LHS of (5.6.2), and hence it must be cancelled out by some linear combination of other terms [Xk^S^^^], /3 = (^O)--* ^^r) on the RHS. If k :i 0 then 6o = ao ; hence /? must also be pure. In this case ana [Xk, S^^^] can have the same multidegree only if ^ = i and /3 = a, which is an excluded case. Therefore, k = 0, and hence [Xi, 5^^^] G [XQ, £ ] . Now apply lemma 5.5.1 for X = Xj^Y = XQ and Z = Xi, to conclude gW — 0, a contradiction. Therefore, 5 = 0. Therefore, the multidegree decomposition of each side of (5.6.2) gives Si = • • • = Sr = 0. Q.E.D. §6 P r o o f o f t h e V a n i s h i n g T h e o r e m . 6.1.
T h e main ingredient of the Vanishing Theorem is the following
T h e Injectivity T h e o r e m (i). ^/ ^ > 5, ike canonical phism in : Out*P„ - > O u t * P n - i is
homomor-
injecttve.
First, we shall show how this leads to the Vanishing Theorem. As P3 :^ C2,Out*P3 = (1). T h u s , we have only to know Out*P4 = (1). B u t P4 c^ C2 X P2, where P2 = Ker(P4 - ^ P3). Thus, each element a of Aut*P4 respects this decomposition, inducing an automorphism of P2- Clearly, such an automorphism of P2 acts trivially on the abehanization Pf*. But by a classical result of J.Nielsen [15], such an automorphism of P2 must be inner. Therefore, Out*P4 = (1). Therefore, the Vanishing Theorem is a consequence of the Injectivity Theorem (i). 6.2. We shall reduce the Injectivity Theorem (i) to its Lie version (§4.2). In this step we need the following
370 L e m m a 6.2.1.
YASUTAKA IHARA Consider the projective P„=lim(P„/P„(m)).
limit
m
Then, (i) the canonical homomorphism Pn —>• Pn is mjective; (ii) if i £ Pn is such that lnt{t) : 7 -^ tjt~^ stabilizes Pn and induces on P„ an automorphism belonging to A u t * P „ , then t G PnProof (i) This is equivalent to C\^Pn{'^) = ( I ) , which we shall prove by induction on n > 3. When n = 3, P^ — C2 and ^3(2) = (1). Let n > 4. T h e n the projection fn '- Pn -^ Pn-i niaps P n ( ^ ) onto Pn-i{m). Therefore, by the induction assumption, p | ^ P „ ( m ) C Nn — ^^^fn — Fn-2- Moreover, by lemma 3.1.1, we have (6.2.2)
Pn{m)nNn=Nn{m).
Therefore, f]^ P n ( ^ ) C Hm ^ n ( ^ ) — (1) group being well-known).
(^^^ ^^^ equality for the free
Incidentally, (6.2.2) shows t h a t Nn = limNn/Nn{m)
is injectively
map-
m
ped into P „ . (ii) This proof will be by induction on n > 3, using the exact sequence
l^Nn—Pn—Pn-l-^l^ T h e induction assumption implies t h a t we may assume t G Nn- T h e n Int({) induces an automorphism of Nn stabilizing Nn =^ NnCiPn- (The last equality is obvious, as P n - i —^ P n - i is injective.) Since this a u t o m o r p h i s m is assumed to belong to Aut*Pn, and since each P„-conjugate of Xni (1 < 2 < n — 1) is an Nn -conjugate of Xm (Prop. 2.3.1), there exist ti G Nn (1 < i < n — 1) such t h a t ixnd'^ — tiXnitJ^- T h e n tj^i centralizes Xni in NnBut since gr Nn — gr Nn is free and generated by the classes of Xni^s, the centralizer of'Xni G gr^A^n (the class of Xni) in gr7V„ is Z'Xni- Therefore, (i) any element of 7Vyj(2) which commutes with Xni must be 1, and (ii) any element of Nn{l) which commutes with Xm must be an integral power of Xni (« priori, modulo 7Vn(2), but by (i), exactly so). Therefore, t~^i must be an integral power of Xni and hence belong to Nn- Therefore, t G Nn. Q.E.D. 6.3 P r o o f of t h e I i i j e c t i v i t y T h e o r e m (i). Let n > 5, and a G A u t * P „ . Assume t h a t a induces an inner automorphism of P „ _ i = Pn/NnOur goal is to prove t h a t a itself is inner. We may assume cr ^ 1. As a G Aut*Pn, a acts trivially on Pn/PnC^)- By lemiTia 6.2.l(i) there exists a maximal integer m > 1 such t h a t a acts trivially on Pn/Pn{fT^-i- ! ) • Our first (and the main) goal here is t o apply the Injectivity Theorem (Lie version) (§4) to prove the following.
BRAID GROUPS AND GALOIS REPRESENTATIONS
371
[Claim 6.3.1] There exists some tm G i^n(^) such that the action of a on Pn/Pn{f^ + 2) IS the same as that of Int(t^) on Pn/Pn{fn 4- 2). Proof of [6.3.1] As cr G Aut*P„, there exists, for each i,j (1 < hj ^ ^) ^^ element tij G Pn with o-{xij) = tijXijt~-^. By Prop 2.3.1, such tij can be chosen from the free group Nn = (ar,i, • • • ^Xin) — i^n-2- As a acts trivially modP„(m + 1), {tij, Xij) G Pn(m-|-l)nM*^ = M*^(mH-l) (lemma 3.1.1). But since Nn is free, this implies that tij can be chosen from Nn (m). In particular, we may assume tij G Pn{m). Now (7 induces a special derivation of gr Pn of degree m, as follows. As a acts trivially on Pn/Pn{'^ -h 1) and hence also on Pn{d)/Pn{m + c/) for all d > 1, cr induces a mapping Pn{d)
3jy-^
(T{J)J-^
G Pn{d +
m)
for each d > 1. It is easy to see that this induces a well-defined Z-hnear mapping D^ : gr^P„ —» gr^"'"'"P„, and that D = {D^) is a special derivation of gr Pn of degree m with D{Xij) = [Tij, Xij], where Tij is the class of tij in gr^Pn. Since a induces an inner automorphism of P n - i , D induces an inner derivation of grPn_i. Therefore, by Theorem IB (§5), D must itself be inner. This implies that there exists some T G gr'"Pn such that D = Int(T). But this implies [6.3.1]. Now, by a repeated use of [6.3.1] we can find a sequence of elements of Pn such that tW = t^'+^'^ mod Pn(m + i) and ( I n t ^ W ) - ^ acts trivially mod Pn{m -f i + 1). Let i = lim^(*) in Pn. Then a = Int({). By lemma 6.2.1 (ii), t must belong to Pn. Therefore, a must be an inner automorphism. This settles the proof of the Injectivity Theorem (i) and hence also that of the Vanishing Theorem. §7 Pro-^ analogues ; proof of the Injectivity Theorem (ii). 7.1. Fix a prime number £. denote by G the pro-£ completion Theorem (ii) taking the following (Step 1) Show that the exact sequence (7.1.1)
In §7, for a discrete group G, we shall of G. We can now prove the Injectivity steps. sequence (2.1.4) gives rise to an exact
l—^Nn-^Pn—
Pn-1 — 1
of pro-^ groups (n > 4). (Step 2) Use Step 1 to show by induction on n > 3 that gr Pn ::^ gr Pn 0
372
YASUTAKA IHARA
(Step 3) Check t h a t the Injectivity Theorem (Lie version) remains valid under the base change 0 2 Z^(Step 4) Deduce the Injectivity Theorem (ii) using Step 3. Among these, Steps 2 ^ 4 are easy. Step 2 can be carried out in a way parallel to the proof of P r o p 3.2.1. Step 3 is obvious from the proof of the Injectivity Theorem (Lie version). Step 4 is even easier t h a n its discrete counterpart, because P„ is complete (use of lemma 6.2.1 unnecessary). T h u s , to prove the Injectivity Theorem (ii), the only new point required is Step 1. This is obviously contained in the following L e m m a 7.1.2. (M.P.Anderson) Letl^N-^G-^H-^1 be an exact sequence of discrete groups such that (i) (G, N) = {N, N)^ and (ii) A^ is a free group of finite rank r > 1. Then the induced sequence of pro-£ completions 1 —^ N — ^ G — y H —^ 1 IS exact. Proof By assumption (i), the image of G in Aut A'' is contained in a pio-i group (P.Hall;see [2] Th.6). By (ii), N has trivial center. Therefore, the assertion follows from [2] Proposition 3. Q.E.D. T h u s , the Injectivity Theorem (ii) is also proved.
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BRAID GROUPS AND GALOIS REPRESENTATIONS
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Yasutaka Ihara Department of Mathematics Faculty of Science University of Tokyo Tokyo 113, Japan
Ordinarite des intersections completes generales LUC ILLUSIE* A Alexandre Groihendieck pour son soixantieme anniversaire
0. Introduction Soient k un corps de caracteristique p > 0, r un entier > 0, et a = ( a i , . . . , a m ) une suite d'entiers > 1. Notons S le fc-schema parametrant les intersections completes lisses de dimension r et multidegre a dans P]^"^"^, et X —» 5 la famille universelle. Nous prouvons le result at suivant : T h e o r e m e 0.1. // existe un ouvert non vide U de S iel que, pour tout s dans U^ Xg soit ordinaire. Que Xs soit ordinaire signifie que, si s est une extension parfaite de 5, le polygone de Newton defini par les pentes de Frobenius agissant sur le groupe de cohomologie cristalline H^{Xs/W){W = W{k{s)) coincide avec le polygone de Hodge defini par les nombres de Hodge /i*'''~* ==
dim,(,)i/'-'(X„n*^^/,). La terminologie "ordinaire en dimension d" a ete introduite par Mazur [25, §3] par analogie avec celle, classique, pour les varietes abeliennes. Dans cet article, nous dirons "ordinaire" pour "ordinaire en toute dimension" ; dans le cas d'une intersection complete de dimension r, il revient au meme de dire "ordinaire" ou "ordinaire en dimension r". Dans {loc. cit.), Mazur conjecture (0.1) pour les hypersurfaces. Rappelons que Ton dispose de theoremes d'ordinarite generique analogues a (0.1) pour : (i) les courbes de genre g (Miller [27], Koblitz [24]), (ii) les varietes abeliennes polarisees de dimension g (Mumford [29], Norman-Oort [30]) (iii) les surfaces K3 (Ogus [32]). Tons ces resultats ont, en un sens, leur source dans (a) le theoreme de Grothendieck ([14], [22], [4]) selon lequel dans une famille propre et lisse
* Unite associee au CNRS URA D0752.
376
LUC ILLUSIE
M —^ T sur Ar, le polygene de Newton Nwi^ de Mt en degre d croit par specialisation de t (6) Finegalite de Katz, prouvee par Mazur [26] et Ogus [31], selon laquelle Nwtd est au-dessus du polygene de Hodge Hdgd defini par les nombres de Hodge h}'^~'^{Mt) ; nous renvoyons a I'article de Mazur [25] pour un historique de ces questions. Les premiers pas en direction de (0.1) sont efFectues par Katz (non publie), qui montre que, pour m = l , s i r - f l ^ j ^ O mod a i , et s est assez general, alors les polygenes de Newton et de Hodge de Xg ont meme premiere pente, et par Koblitz [24], qui prouve qu'il existe un ouvert non vide V de S tel que, pour tout s dans F , Xg ait une matrice de Hasse-Witt inversible, i.e. Frobenius agisse bijectivement sur H^{Xs^O) , generalisant ainsi un resultat de Miller [28]. La demonstration de Koblitz repose sur I'observation que si, dans une famille propre et plate d'intersections completes (eventuellement singulieres), Hasse-Witt est inversible en un point, alors Hasse-Witt est inversible aux points voisins ; il suffit done d'exhiber un exemple d'intersection complete de multidegre a de Hasse-Witt inversible, ce qui est facile : prendre une intersection d'hypersurfaces reunions finies d'hyperplans en position generale. S'inspirant de cette methode, Deligne esquisse dans [8] une demonstra-tion de (0.1) par voie ^-adique. L'argumient de semi-continuite de Koblitz est remplace par un resultat de specialisation extrait de "Weil 11" [52, 1.10.7] : si C est une courbe sur un corps fini, E un ensemble fini de points fermes de C, L un Q^-faisceau lisse sur C — E tel que, pour presque tout point ferme s de C — E, le polygene de Newton de L en 5 soit au-dessus d'un polygene donne A^, alors, pour 5 G E, le polygene de Newton de L en 5 est encore au-dessus de N (il s'agit de polygenes de Newton relatifs au choix d'un isomerphisme entre Q^ et Q^, et leur definition aux points de E utilise le theereme de menodromie locale de Grothendieck, voir {loc. cii.) pour les details). Raisennant par recurrence sur la dimension et le multidegre, Deligne est amene a considerer un pinceau d'intersections completes de multidegre a , de fibre generale lisse, et de fibre speciale reunion de deux intersections completes (de multidegres inferieurs) lisses et ordinaires, se coupant transversalement suivant une intersection complete ordinaire. L'idee est de montrer que la fibre generique geemetrique est ordinaire. Teutefois, la reduction envisagee n'est pas semi-stable, et le calcul de cycles evanescents que requiert la determination du polygene de Newton est inacheve. Nous reprenons ici la meme idee geemetrique, mais en remplagant 1'argument £-adique par un argument de cohomolegie de de R h a m , independant des resultats de "Weil 11". Celui-ci repose sur la caracterisation de Bloch-Kato des varietes ordinaires par la nullite de la cohomolegie des bords du complexe de de R h a m [3] (cf. aussi [19]). Pour faire marcher I'argument, on a besein cependant d'une extension de cette caracterisation a une situation de mauvaise reduction. Or, dans le cas semi-stable, le
ORDINARITE
377
travail de Hyodo [16] fournit ringredient m a n q u a n t . II s'agit du critere suivant (cf. 1.10) : (0.2). Soient T un trait de caracteristique p, de point ferme s et point generique ry, et Z un T-schema propre et semi-stable (cf. 1.7), de fibre speciale Y = Xs un diviseur a croisements normaux somme de diviseurs Di lisses sur s. Alors, si toutes les intersections Di^ D- • -HDij. sont ordinaires, la fibre generale Xj^ est ordinaire. Un resultat essentiellement equivalent a (0.2) est enonce sans demonstration dans [16]. Nous le prouvons en appendice. Une modification par eclatement du pinceau considere par Deligne conduit a une situation semistable, a laquelle (0.2) s'applique, comme on le verifie aisement. Quelques mots sur le plan. Le n ° l rassemble les definitions et resultats sur les varietes ordinaires necessaires a la demonstration de (0.1), donnee au n°2. Nous prouvons en fait un resultat plus fort (2.2). L'ingredient cle est 1.10. Au n°3, nous completons Targument de Deligne, donnant ainsi une seconde demonstration de (0.1), independante de (0.2). L'appendice est consacre a la demonstration de 1.10, sous une forme un peu plus generale. Les devissages, a Paide de residus de Poincare convenables, du complexe "logarithmique relatif" a;" de Hyodo sont caiques sur ceux faits par Steenbrink dans [34]. J e tiens a remercier pour d'utiles discussions A. Beauville, H. Clemens, T. Ekedahl, O. Gabber, O. Hyodo*, M. Raynaud, et tout particulierement P. Deligne, dont la lettre [8] est a Torigine de ce travail, et a qui je suis redevable de plusieurs ameliorations de presentation ; je lui dois n o t a m m e n t la formulation 2.2 du resultat principal. Sommaire 1. Varietes ordinaires : rappels et complements. 2. Le theoreme principal. 3. La methode f-adique [8]. Appendice : Le critere d'ordinarite de Hyodo. 1. Schemas a singularites croisements normaux reduits. 2. Residus de Poincare et critere de Hyodo. Bibliographie N o t a t i o n s et conventions Dans toute la suite, p designe un nombre premier fixe.
* Osamu Hyodo s'est, helas, suicide le 22 avril 1989.
378
LUC ILLUSIE
Si L = (• • • -^ U-^U^^ -^ ' • •) est un complexe, nous posons Z^L — ZU := Ker {d : U -^ L^+^) et B'L = BL' = dL'-K Si S est un schema de caracteristique p, nous notons souvent par un "prime" les objets deduits par changement de base par le Frobenius absolu Fs de S. Par exemple si X (resp. M) est un 5-schema (resp. un Osmodule), X' =zX xs {S,Fs),M' = F^M. Si X ^ y est un morphisme de schemas, nous abregeons parfois (quand il n'y a pas de confusion a craindre) la notation 0>x/Y du complexe de de Rham de X sur Y en fix o^ ^ • 1. Varietes ordinaires : rappels et complements. DefinUion 1.1. Soient S un schema de caracteristique p et f : X —^ S un morphisme propre et hsse. On dit que X est ordinaire sur S si WUBQ.\is
=0
pour tout i et tout j (5fi^/^ design ant le sous-faisceau abelien dQ.^-^,^ de ^ x / 5 ' ^^ ^^^ R"^ f* etant calcules pour la topologie de Zariski). Soient f : X' —^ S deduit de / par le changement de base par le Frobenius absolu F5 de 5, et F : X —> X' le Frobenius relatif. Alors F^BQ^-^/s est le Ox'-module dF^fi*^/^, et Rf^BQ^'^is ^^t Tobjet Rf^F^BQ^^s de D{S). Rappelons que F^BQ^^^.g est localement libre de type fini sur X ' , de formation compatible a tout changement de base [17, 0 2.2.8]. Pour S — Spec k^k wn corps parfait de caracteristiquep, on retrouve la definition usuelle ([3, 7.2], [19, IV 4.13]). Dans ce cas, et plus generalement s'il n'y a pas de confusion a redouter, nous dirons "ordinaire" au lieu de "ordinaire sur 5". Proposition 1.2. Soient S un schema de caracteristique p et f : X -^ S un morphisme propre et hsse, (a) Soit g :Y -^T deduit de f par un changement de base T ^>- S. Si X est ordinaire sur 5, Y est ordinaire sur T. (b) L^ensemble des points s de S tels que la fibre Xs soit ordinaire (sur Spec k{s)) est un ouvert U de S, appele ouvert d'ordinarite de X sur S. Les conditions suivantes sont equivalentes :
(i) s e U; L
(ii) Rf^BQ^^j^ig^o^k{s) L
(iii) Rf^BQi^xig^OsOs,s
— 0 pour tout i ; — 0 pour tout i.
ORDINARITE
379
Soit g' :Y' ^^T deduit de g par le changement de base FT- Alors g' se deduit de / ' par le changement de base T -^ S. Comme / ' est lisse et que F^BQ^^,^ est localement libre de type fini sur X\ de formation compatible a tout changement de base, on a done, par Kiinneth (cf. par exemple (SGA 6 III 3.7)) (*)
RUBQ}xis^OsOT^Rg.BQ.^IT,
et (a) en resulte. Prouvons (b). La condition (iii) definit un ouvert de 5 ; il suffit done de prouver I'equivalence de (i), (ii) et (iii). L'isomorphisme (*), apphque a Spec k{s) —> 5, entraine I'equivalence de (i) et (ii). II est trivial que (iii) implique (ii), il reste done a prouver que (ii) implique (iii). On pent supposer S local, d'anneau A^ et de corps residuel k. Alors Rf^BQ^^^.^ est un complexe parfait Ei G D(A) (SGA 6 III 4.8). On pent supposer E^ borne, a composantes libres de type fini. Des lors, Ei est acyclique si et seulement si Ei 0 ^ k est acyclique, ce qui prouve (ii) =^ (iii) et acheve la demonstration. 1.3. Rappelons d'autre part ([3,7.3], [19, IV 4.13]) que si 5 = Spec k, k un corps parfait de caracteristique p, X est ordinaire si et seulement si F : W{X, W^') -> W{X,
WQ})
est bijectif pour tout i et tout j . De plus {loc. cit.)^ quand la cohomologie cristalline H^'i^X/W) est sans torsion, il revient au meme de dire que le polygone de Newton Nwid defini par les pentes de Frobenius agissant sur H^{X/W) coincide, pour tout d, avec le polygone de Hodge Hdgd defini par les nombres de Hodge /i*'^~* — dim if ^~*(X, O*) (i.e., ayant pour pente i avec la multiplicite /i*'^~*) (en general, que H''{X/W) ait ou non de la torsion, on sait, d'apres Ogus [31], que Nwtd est au-dessus de Hdgd pour tout d). Ceci s'applique en particulier au cas ou X est une intersection complete lisse, de dimension r et multidegre a — ( a i , . . . , am) dans P]^"^^. II existe en effet une intersection complete lisse relative X/W^ de dimension n et multidegre a relevant X. On a alors i7*(X/H^)-^i7p^(X/VF), done (SGA 7 XI 1.5) H\XIW) est sans torsion. l\ resulte de plus de {loc. cit.) que, pour d ^ r^ H^{X/W) — 0 pour d impair, et, pour d pair = 23,H\XIW) est libre sur W de base rf (si d < r),rf /\ai,"-am) (si d > r), ou ry € H'^{X/W) est la classe de Chern ci(Ox(l)) [2]. Par suite, Nwid = Hdgd si d ^ r (segment de pente d/2 et longueur horizontale 1 si d est pair, reduit a 0 sinon). Done X est ordinaire si et seulement si Nwtr = Hdgr.
380
LUC ILLUSIE
P r o p o s i t i o n 1.4. Soieni k un corps parfait de caracteristique p^Y un k-schema propre et hsse, E un Oy-Tnodule localemeni hbre de type fini, X — V{E) le fibre projectif associe. Alors Y est ordinaire si et seulement si X est ordinaire (sur k). D'apres [12, I 4.2.13], on a un isomorphisme de VF-modules, compatible a Taction de F
0
H'-''{Y,W^y'')^W{X,W9}x),
0
ou r -}- 1 est le rang de E. La conclusion resulte done de 1.3. On aurait pu aussi invoquer la decomposition analogue pour H^{X, 5fij^), qui resulte de [12, I (2.2.2), (2.2.3)], ou encore, quand H*(Y/W) est sans torsion, celles relatives a H*{X/W) et i / * ( X , Q * ) [2]. C o r o l l a i r e l,5,Soient Ei{l < i < n) des Oy-inodules localement lihres de type fini. SiY est ordinaire, il en est de mime deF(Ei)xY'•'X^Y^iEn)' Cela resulte de 1.4 par recurrence sur n : P(JE'I) Xy - - - Xy P{En) est le fibre projectif P ( F ) sur P{Ei) Xy - Xy P{En-i) ou F est I'image inverse de^n. P r o p o s i t i o n 1.6. Soient k un corps parfait de caracteristique p,X un k-schema propre et hsse, Y un sous-schema ferme hsse, X Veclate de Y dans X. Les conditions suivantes sont equivalentes : (i) X et Y sont ordinaires ; (ii) X est ordinaire. O n pent supposer Y purement de codimension d dans X. II resulte de [12, IV 1.1.9] qu'on a un isomorphisme de VK-modules, compatible a Taction de F ,
W{X,W^'x)^
0
H^"'{y.WQfy'')^W{X,WQ.'^).
Q
La conclusion en decoule grace a 1.3. On pourrait encore, ici, utiliser une decomposition analogue pour H^{X ,BQ>^-). 1.7. Soient S un trait, de point ferme s et point generique 77, et X un S'-schema. Nous dirons que X est semi-stable si, designant par S —^ S un localise strict et X = X Xs S,X est, localement pour la topologie etale, isomorphe au sous-schema ferme de Tespace affine A ^ — S[xi^..., x„] defini
ORDINARITE
381
par Tequation xi - - -Xr = t {1 < r < n), on t est une unifor mis ante de S. L'espace total X est alors regulier, X est plat sur S, la fibre generique Xj^ est lisse, et la fibre speciale Xs est un diviseur a croisement normaux reduit dans X. Supposons X semi-stable. Le complement de I'ouvert de lissite u : U —^ X de X sur S est de codimension > 2. Un calcul local montre que le complexe (1.7.1)
ux/s '= w*^V/5
est a composantes localement fibres de type fini, et que u;^y^ = A*u;^/^. Pour X = S[xi^... ,Xn]/{xi • " Xr ~'^)y'^x/s ^^^ lihie de base dxi/xi, . . . , dxr/xj.^ dxr^i^ • • •) dxn^ soumis a la relation X^i<j
ujXs '•= ^x/s ^Os ^(«)-
C'est un complexe a composantes localement fibres de type fini sur Xs, qui depend de X (en depit de la notation). Observons d'autre part que (1.7.3)
u;x/s^OsHl)
= ^Xrj/v
Supposons 5 de caracteristique p, et X semi-stable, d'ouvert de lissite U. Soient X' ^ X Xs {S,Fs) et F : X -^ X' \e Frobenius relatif. L'isomorphisme de Cartier usuel C ^ : Vt\j, ig^^WF^UJ'uIs se prolonge (de maniere unique) en un isomorphisme (1.7.4)
C-':uj'x>is^'n'F.ujxis.
ou ^\iIS '-— ^x/s '^Os {^S, Fs) : on le verifie par un calcul local, voir par exemple [18,1.5] ou [10, 6.1]. II en resulte que les faisceaux Wcux/s^ ^^^xis^ ZLO^^IS sont plats sur S, et de formation compatible a tout changement de base T -^ S (i.e. WLOXJS '^OS OT~^W{^ ^OS OT), et de meme pour BUJ\ZLO^). Noter que ^ x / 5 ' ^ ^ x / 5 ' - ^ ' ^ x / s ^^^^ coherents en tant que Ox'-modules, mais ne sont pas en general plats sur X' (a la diff'erence de WW/5). Par le changement de base s -^ S, (1-7.4) donne un isomorphisme (1.7.5)
C-':u'x'^^n'F,u>x,,
qui prolonge l'isomorphisme de Cartier usuel sur le fieu lisse de Xg (et est caracterise de maniere unique par cette propriete). Un tel isomorphisme,
382
LUC ILLUSIE
avec la meme caracterisation, existe encore si Ton suppose seulement s de caracteristique p, au lieu de S [15, 1.5] et (Appendice 2.3)). Definition 1.8. (cf. [15, 1.10]). Soient S un trait, de point ferme s de caracteristique p, et X un 5-schema propre et semi-stable. On dit que X a reduction ordinaire si, avec la notation (1.7.2), on a
pour tout i et tout j . P r o p o s i t i o n 1.9. Soient S un trait de caracteristique p, et X un Sschema propre et semi-stable. Les conditions suivantes sont equivalentes: (i) X a reduction ordinaire ; (ii) H^{X,Bu^j^ig) — 0 pour tout i et tout j . En particuher, si X a reduction ordinaire, la fibre generale Xj^ est ordinaire (au sens de 1.1). Comme J5a;^/^ est plat sur S et commute au changement de base, on a, par Kiinneth (*)
RTiX,Bw'^,s)^Osk{s)^RnX„Bu;'xJ,
done (ii) implique (i). Notons de plus que RT{X,BLu)^/g) est un complexe parfait sur S^Bu)^^,^ etant coherent sur X' et plat sur S (SGA 6 III 4.8). Par suite, compte tenu de (*), (i) = > (ii) en resulte, par le meme argument que pour 1.2(b). La derniere assertion decoule de (1.7.3). P r o p o s i t i o n 1.10. Soient S un trait, de point ferme s de caracteristique p , et X un S-schema propre et semi-stable. On suppose que la fibre speciale Y — Xs est somme de diviseurs Yi C X{1 < i < r) tels que, pour tout I = (l < ii < ' • • < im ^ ^); ^intersection Y/ — Yi^ fl • • • D 1^^ soit lisse sur s et ordinaire {au sens de 1.1). Alors X a reduction ordinaire. Ce critere est enonce, sans demonstration, par Hyodo dans [15, p . 548, 1-10]. Nous le demontrerons en appendice, sous une forme legerement plus generale. Nous ne Tappliquerons, toutefois, que sous la forme 1.10 et dans le cas ou S est d'egale caracteristique p. 2. Le t h e o r e m e p r i n c i p a l O n fixe, dans tout ce numero, un corps k de caracteristique p .
ORDINARITE
383
2.1. Soient N un entier > 1 et F un sous-schema ferme lisse de P — P ^ , purement de dimension n > 1. Soient ai^... ,am des entiers > 1, avec 1 < m < n. Si T est un ^-schema, par une intersection complete lisse de multidegre a = ( a i , . . . , a y „ ) de VT, on entend un sous-schema ferme W de VT, hsse sur T , purement de dimension relative n — m, de la formie W = VT O Hi n " • n Hm, ou Hi est une hypersurface de PT de degre a^ (i.e. un diviseur relatif de degre a^). Le foncteur associant a T Tensemble des suites {Hi,..., Hm), de multidegre a, telles que Vr fl ffi fl • • • fl Hm soit une intersection complete lisse est representable par un ouvert non vide S d'un espace multiprojectif P^^ x • • • x P]^"", ou ri — (^*^^) - 1, et Ton a un morphisme universel X —^ S, propre et hsse, dont la fibre en H ~ {Hi,..., Hm) :T ^ S est I'intersection complete Vr H i J i fl • • • fl Hm Soit T} le point generique de S. On dit que Xrj est intersection complete generique (de multidegre a.) de V. D'apres 1.2, il revient au meme de dire que Xfj est ordinaire (sur 77), ou que I'ouvert d'ordinarite de X sur S est non vide, ou que, si k est une extension algebriquement close de k, il existe une intersection complete lisse de multidegre a de F^ qui soit ordinaire. Quand Oi = 1 pour tout z, nous dirons section plane (de codimension m) au lieu d'intersection complete de multidegre a. Theoreme suivante : (2.2.1) Pour V de codimension Alo7^s, pour section complete
2.2.
Soit V C P comme
en 2.1.
On fait
Vhypothese
tout m tel que 1 <m < n, la section plane generique de m est ordinaire. tout multidegre a = ( a i , . . . ,ay^)(l < m < n), Vintergenerique de multidegre a de V est ordinaire.
Exemple 2.3. L'hypothese (2.2.1) est difficile a verifier. Voici quelques cas oil elle est satisfaite. 2.3.1. V ~P (1.4). Dans ce cas, 2.2 equivaut a 0.1. 2.3.2. V = \ine quadrique lisse de P. On pent en efFet supposer k algebriquement clos, et il suffit de montrer que V est ordinaire (une section plane d'une quadrique etant encore une quadrique), i.e., avec les notations de 1.3, que Nwtn{V) = Hdgn{V){n = dim V). Mais cela resulte de ce que, d'apres (SGA 7 XI et XII), H^^g{V/k) = H''{V/W{k)) = 0 si n est impair, et si n est pair, Hjf^ (V/k) (resp. H^{V/W{k)) est engendre par les classes de cohomologie des generatrices. 2.3.3. V = rhypersurface de Fermat d'equation XQ -\- — - -\- xj^ = 0 dans P (de coordonnees homogenes XQ,, .. ^x^), avec p \ d et p = 1 mod d. On sait en efFet qu'alors V est ordinaire (cf. [37, II 3.1]) ; il en est de meme des sections planes d'equation XQ = - • -Xr = O^r < N — I.
384
LUC ILLUSIE
II peut arriver toutefois que V soit ordinaire sans que Ton ait p = 1 mod d. Mais alors la section plane generique de V de codimension 1 n'est pas necessairement ordinaire. Prenons en efFet d=N = ^etp=2, Alors V est ordinaire d'apres 1.6, car isomorphe, sur une cloture algebrique de k, a I'eclate de 6 points de P^ en position generate (cf. par exemple [Y. Manin, Cubic Forms, North Holland 1974, 24.1 et 24.4]), mais toute section plane lisse de V est une courbe elliptique supersinguliere d'apres [24, p . 154, 1.7]. Pour une generalisation de cet exemple, voir [A. Beauville, Sur Its hypersurfaces doni les sections hyperplanes sont a module constant, ces volumes]. 2.4. D e m o n s t r a t i o n d e 2 . 2 . On peut supposer k algebriquement clos. On raisonne par recurrence sur dim V{N fixe). Pour dim 1/ = 1, 2.2 est trivial. Fixons n > 2, et supposons 2.2 etabli pour dim V < n {hypothese de recurrence (A)). Soit V C P de dimension n, verifiant (2.2.1). Prouvons que, pour tout a = ( a i , . . . , am) donne, il existe une intersection complete lisse, ordinaire, de multidegre a de 1^. Prouvons d'abord Tassertion suivante : 2.4.1. // existe une intersection complete lisse V C] Hi H - • - D de multidegre ( a i , . . . , am-i), verifiant (2.2.1).
Hm-i,
II suffit de montrer qu'il existe une suite d'hypersurfaces {Hi^... ^Hm-i) de multidegre ( a i , . .. , a ^ _ i ) et une suite d'hyperplans ( L ^ , . . ., L „ ) tels que W := V n Hi n •'' f] Hm-i soit lisse de dimension n — m + 1, et, pour m < 7' < n, Wr := W f) Lm PI • • • fl L^ soit lisse (de dimension n — r) et ordinaire. Soit S I'espace multiprojectif p a r a m e t r a n t les suites d'hypersurfaces {Hi,..., Hm-i, Lm,'-',Ln)de multidegre ( a i , . . . , otm-i, 1 , . . . , 1). La condition que V n Hi n •'' n Hm-i soit lisse de dimension n — m -f 1 definit un ouvert non vide [/ de E. D'autre part, pour m < r < n, la condition que 1/ n //"i n • • • n Hm-i n Lm n • • • n L^ soit lisse de dimension n — r et ordinaire definit un ouvert non vide Ur de E: d'apres I'hypothese (2.2.1), il existe en effet des hyperplans X ^ , . . . ,Lr tels que V f\ Lm D • • • fl L^ verifie encore (2.2.1), et d'apres I'hypothese de recurrence (A) appliquee a VDLm^'' '^Lr, il existe alors {Hi,... ,Hm-i) de multidegre ( a i , . . . ^dm-i) tel que y fl i J i fl • • • fl Hm-i H Lm fl • • • D Xr soit lisse de dimension n — r et ordinaire. Une suite {Hi,..., Hm-i^Lm-, • • - iLn) a p p a r t e n a n t a U n Um n '' • nUn verifie alors les conditions requises. Ayant choisi {Hi,..., Hm-i) de multidegre {ai,... ,am-i) de maniere que W = VnHiD'' 'HHm-i soit hsse (de dimension n — m - f 1) et verifie (2.2.1), il sufl[it de prouver qu'il existe Hm, de degre a^^, tel que W H Hm soit lisse (de dimension n — m) et ordinaire. En d'autres termes, quitte
ORDINARITE
385
a remplacer V par W, on est ramene a prouver la conclusion de 2.2 pour m = 1, i.e. a prouver Tassertion suivante : 2.4.2. Pour tout d > 1, il existe une hypersurface H de degre d telle que V C{ H soit lisse de dimension n — 1 et ordinaire. On va demontrer 2.4.2 par recurrence sur d. Pour d = l^la, conclusion decoule de Thypothese (2.2.1). Fixons d > 2, et supposons 2.4.2 etabli en degre < d {hypothese de recurrence (B)). Rappelons que Thypothese de recurrence (/S) est toujours en vigueur. CommenQons par prouver Tassertion suivante : 2.4.3. // existe des hypersurfaces Hoo = V{f),H' = V{9),H" = V{h), de degres respectifs d, d— 1,1 telles que les conditions suivantes soient remplies : (a) F = F n Hoo ^st lisse (de dimension n — 1) ; (b) Y' = VnH' etV = Vn H" sont lisses (de dimension n-l) ordinaires ; (c) Y'nV
= VnH'nH"
et
est lisse (de dimension n — 2) et ordinaire;
(d) F DY' nY'' = V n Hoo n H' n H" est lisse (de dimension n-Z) et ordinaire. (NB. On convient d'omettre (d) {resp. (c) et (d)) si n < 3 {resp. < 2).) Soit H I'espace multiprojectif des suites d'hypersurfaces {Hoo j H', H") de multidegre {d^d— 1,1). Chacune des conditions (a), (b), (c), (d) definit un ouvert non vide de H. Pour (a), c'est clair. Pour (b), cela resulte de rhypothese de recurrence (B). Pour (c) et (d), cela resulte de Thypothese de recurrence (A). D'ou 2.4.3. Choisissons done {Hoo, H\ H") telles que les conditions (a) a (d) soient verifiees. Considerons le pinceau H(x,,) = V{Xf - ngh),{\,ti)
eP^
d'hypersurfaces de degre d de P, et le pinceau
qu'il decoupe sur V. Soit M I'espace total de ce dernier :
Notons TT : A^ -^ P^ la projection induite par pri, de fibre V(^x,y.) ^^ (A,//). L'ouvert D de P^ au-dessus duquel TT est lisse, de dimension relative
386
LUC ILLUSIE
n — 1, est non vide, car F = 7r~^(l,0) = V Ci HQQ est lisse de dimension n — 1 d'apres (a). Pour etablir 2.4.2, il suffit de demontrer que Touvert d'ordinarite de 7r~^{D) sur D est non vide, ou, ce qui revient au meme, que la fibre generique de TT est ordinaire. On pent pour cela remplacer P^ par le localise T de P^ au point (0,1) et M par le schema M induit sur T . On a M =
VTnV{tf-gh)cPT.
ou t est une uniformisante de T. Notons s (resp. t)) le point ferme (resp. generique) de T , et TT : M - ^ T la projection. Pour achever la demonstration de 2.2, il sufSt done de prouver : 2.4.4.
La fibre generique Mj^ de TT : M -^ T est
ordinaire.
Pour cela, considerons I'eclate p : M —^ M de M le long d u sousschema K = FnY' n y
de la fibre speciale M^ =^ Y'UY^'
= V H V{gh)
de TT. Soient ei E — p~^{K) le diviseur exceptionnel. La fibre speciale M^ de (j) est done somme des diviseurs E,Y',Y" de M , ou Y' (resp. Y") est le transforme pur de Y' (resp. Y"). Nous allons etablir les assertions suivantes : 2.4.4.1.
(j) est semi-stable
;
2.4.4.2. E,Y\Y",Er\Y',EnY'\Y'nY",EnY'nY" ordinaires.
sont hsses ei
Verifionsd'abord 2.4.4.1. En dehors d e / ) - ^ ( y ' n y " ) , 0 est lisse. Soient a un point ferme de Y' DY" et Oa Tanneau local de VT en a. Si a ^ / \ , les images de g^h^t dans Oa font partie d'un systeme regulier de parametres, r i m a g e de / est une unite, et, au voisinage de a , M coincide avec M et est lisse sur le sous-schema de T[2/, z] d'equation yz — t^ done a reduction semi-stable sur T. Si a G A', les images de f^g^h^t dans Oa font partie d'un systeme regulier de parametres, et, au voisinage de a^M est lisse sur le sous-schema Z de T[x^y^z\ d'equation tx — yz. Done I'image inverse dans M d'un voisinage de a dans M est lisse sur I'eclate de Z le long du sous-schema d'equation x = y = z = t=:0. II suffit done de verifier que si C - V(ix -yz)Q.A^W^-
Spec h\t, x, y, z\
et C est I'eclate de I'origine (t — x — y—z — ^^ dans C, la projection c : C -^ A^ = Spec k\t\
ORDINARITE
387
composee de C -^ C et de la fleche induite par (t, x^y.z) \-^ t, a, reduction semi-stable en ^ =: 0. Si ^ est Teclate de Torigine dans A, C est le transforme pur de C dans A, done est reunion des ouverts affines standard Ui(l
OK{-HOO)
e OK{-H')
e
OK{-H"),
ou Hoo (resp. H',H") designe encore par abus le diviseur V{f) (resp. V{g), V{h)) de PT et OKi-Hoo) := OP^{^HOO)®OK (resp. OK{-H^) := OP^{-H')^OK.OK{-H'')
:= OP^{-H'')^OK)^
Si (x,)(0
est
un systeme de coordonnees homogenes sur PT et Ui Touvert ou Xi est inversible, les images de i,f/xf,g/xf~\h/xi dans OKIOK^HOO)JOK^H')^ OK{—H") respectivement forment une base t^ui^Vi^ Wi de ces faisceaux sur K nUi. On a une section Q de S'^{N)^ egale a tui — ViWi sur K fl Ui, et E
388
LUC ILLUSIE
est la quadrique V{Q) de P{N)
(cf. SGA 7 XII)). Observons que
et que EOY' - P{N'), EHY" = P(7V") sont deux generatrices de type oppose de E. Notons e :£'—>• / i la projection, et D ' (resp. D'') la generatrice E OY' (resp. EnY^'). Le faisceau F ' := C^OE^D') (resp. F ' ' := e^OE{D")) est localement libre de rang 2, et si g' : F - ^ P(i^') (resp. q" : E -^ P{F")) est le morphisme canonique (partout defini), le morphisme produit q^{q'^q"):E-.P{F')XKnF") est un isomorphisme (on a aussi F{N') ^^ P{F''),P{N'') - ^ P(i^O) i^^is ceci ne nous servira pas). Comme K est ordinaire, il en resulte que E est ordinaire (1.5), et I'assertion 2.4.4.2 est etablie. D'apres le critere de Hyodo 1.10, M a done reduction semi-stable ordinaire sur T. D'apres 1.9, la fibre generale Mfj de (f) est done ordinaire. Comme Mj^ = Mr^^ I'assertion 2.4.4 est done etablie, et ceci acheve la demonstration de 2.2. 3. La m e t h o d e ^-adique [8] Nous aliens prouver la conclusion de 2.2 par Pargument de Deligne [8] dans le cas oil V C P est une intersection complete (verifiant (2.2.1)). On se ramene, comme en 2.4, a prouver 2.4.2, et Ton choisit Hoo, H\ H" comme en 2.4.3. Par un argument standard, on se ramene a supposer V^HoQ^H'^H" definis sur un corps fini A^o, et Ton considere, comme plus haut, le pinceau TT : A^ —> P^ (sur ko) defini par les V(A,^) — ^^H(^x,^i)^ o^ H(^x,n) — y{^f — fJ'dh). II suffit de montrer qu'il existe un point ferme y de I'ouvert de lissite D C P^ tel que My soit ordinaire. D'apres (SGA 7 XI 1.5), la restriction a D de iJ^TT^Q^ ,pi est localement libre de type fini, de formation compatible a tout changement de base. Notons h^^ son rang. Pour tout point geometrique z —^ D localise en z, on a done h""^ = dimH\Mz,n'') = dim/f*(M,,Q^). Pour a-\-h ^ r (ou r = n — 1 est la dimension relative de TT), on a /i^* = 0 si a / 6, et h^^ — \sia — h {loc. cit.). Pour z G Z, notons Hdgi le "polygone de Hodge en degre i ", graphe de la fonction continue lineaire par morceaux valant 0 en 0 et ayant pour pente a avee la multiplicite h^'^~^. Fixons d'autre part un nombre premier ^ / p et un isomorphisme t : Q^ —-^ Qp. La restriction a D de J^^TT^Q^ est un faisceau lisse O de rang
ORDINARITE
389
^^ — Yla+b=t ^^'^' pour 2 ^ r^O cst Hul si I est impair, et canoniquement isomerphe a Qi{—i/2) si i est pair (SGA 7 XI 1.6). Si z est un point geometrique localise en un point ferme z de D , le polygone de Newton Nwti{z) de £* en 2r, rel. i, au sens de [7, 1.10.6], est le polygone de pentes les Vz{tct), pour a parcourant les valeurs propres de Fz sur O^Vz etant la valuation normalisee par Vz{Nz) = 1; en d'autres termes, c'est le polygone de Newton, rel. i, du polynome P:{t) = d e t ( l - FztXl)
= d e t ( l - F , t , iJ^'(M,-,Q,)).
En fait, Nwii{z) est independant de A, car Pl{t) est a coefficients entiers (et independant de ^), d'apres [6, 1.6], ou, plus simplement, d'apres la formule de Grothendieck ([13], (SGA 5 XV)) pour la fonction zeta :
et, pour i 7^ r, Pl{i) = 1 si f est impair, et 1 — q^''^i si i est pair, on q = Nz. D'apres [23], ou plus simplement d'apres la formule de Berthelot pour la fonction zeta [1], on a aussi Pi{i) = &ei{l - Ft,
H\MzlW)),
F designant le Frobenius de Mz sur A:(2:)et H^{MzlW) la cohomologie cristalline de Mz par rapport kW = W{k{z)). Pour i 7^ r, on a Nwii{z) — Hdg^, et pour z = r, on a, d'apres Mazur [26], I'inegalite de Katz (3.1)
Nwtr{z)
>
Hdgr.
II resulte d'autre part du theoreme de specialisation de Grothendieck [14], [22], [4,2.7] qu'il existe un ouvert non vide Do C D tel que, Nwtr{z) soit constant pour z dans DQ, de valeur Nwtr, et au-dessus de Nwtr pour z dans D — DQ. Soient (T,5,77) comme en 2.4.4 et fj un point geometrique de P^ localise en 77. Le polygone de Newton Nwti(s) de £* en 5, rel. i, est encore defini [7,1.10.2] : c'est le polygone de Newton, rel. t, du polynome PiiFs^t)
- det (1 - Fst.C)
= det (1 -
Fst,H\MffMi)).
ou Fs est un relevement de Fg dans W{fj/r]) ; ce polygone ne depend pas du choix de Fg. Pour i / r, on a encore Pg{Fs,t) = 1 si i est impair et 1 — g*/^/ si i est pair, oh q = Ns, de sorte que Nwti{s) = Hdgi. On ignore en revanche si Pg(Fs^i) est a coefficients entiers, independant de £. D'apres Deligne [7, 1.10.7], on a (3.2)
Nwtr{s)
>
Nwtr.
390
LUC ILLUSIE
Compte tenu de (3.1) il suffit done de prouver que Ton a (3.3)
Nwtr{s) = Hdgr
(on saura alors que Mz est ordinaire pour tout z dans DQ), Pour A E Q, notons 6f(A) (resp. Hi{\)) la longueur horizontale du segment de pente A de Nwti{s) (resp. Hdgi), et posons
6(A) = X^(-1)'6.(A), h{\) = Y,{-^rHi{\). Comnae Nwti{s) = Hdgi pour f ^ r, (3.3) equivaut a (3.4)
6(A) = h{X) pour tout A. Considerons la suite spectrale des cycles evanescents
(3.5)
E'J = H'iMs,R^rp{^e))
-> F'+^(M,-,Q,)
pour le morphisme (j) : M —^ T envisage dans la preuve de 2.4.4. EUe est compatible a Taction de Fg, et Ton a par suite (3.6)
6(A) = ^ ( - 1 ) ' + > 6 . , ( A ) ,
ou bij (A) est la dimension de la partie de pente A de E2 (longueur horizontale du segment de pente A du polygone de Newton, rel i, de Fs operant sur £'2^). Comme (j) est semi-stable, I'inertie opere trivialement sur W'ip{Qi) [33, 2.25], de sorte que R^'tp{Qi) est donne par les formules de (SGA 7 I 3.3) :
(3.7)
R'^PiQi) =
(Q^(-I)E
0
QI{-1)Y'
e Q^(-l)y'')/(Q^ diagonal),
avec les notations de la preuve de 2.4.4. Pour g > 1, notons Yq la somme disjointe des intersections ^ a ^ des composantes de la fibre speciale Y = Ms, et Sq :Yq -^Y la projection :
Yi = EUy'Uy''X
= iEnY')U{EnY'')U{y'nr'),Y3
et Yq = ^ pour ^ > 3. On a une suite exacte 0 -^ {QI)Y -^ suQi -^ e2^Qt -^ e3*Qe -^ 0
= EnY'nY^^
ORDINARITE
391
(resolution de Cech pour le recouvrement ferme Si), d'ou Ton deduit, grace a (3.7), une suite exacte 0 -^ i^V(Q^) - e2.Qi{-l)
-> e3*Q£(-l) -^ 0
et un isomorphisme i?'V'(Qf)-^e3.Q<(-2). On a par suite 6o(A) = biY,){X) - 6(y2)(A) + 6(Y3)(A),
h{X) = (3.8)
b{Y2){X-l)-biY3){\-l),
62(A) = b{Y3){X - 2),
ou Ton a pose (avec la notation de (3.6)) et
biY,){X) = Y,i-l)%iY,)iX), bi{Yq){X) designant la dimension de la partie de pente A de iJ*(y^,Q^). Finalement, (3.6) se recrit (3.9)
6(A) = 60(A)-61(A) + 62(A),
avec les 6f(A) donnes par (3.8). Par analogie, notons hi(Yq){\) la dimension de H^~'^(Yq^Q^) (on convient que hi{Yq){X) = 0 si A n'est pas entier), et posons
hiY,){X) = J2(-'^Yhi{Y,)(X),
(3.10)
/10(A) = h{Y^){X) - h{Y2)iX) + h{Y3)iX) h,iX) = h{Y2){X-l)-h{Ys){X-l) /»2(A) = h{Y3){X - 2).
D'apres le choix du pinceau w et I'etude geometrique faite dans la preuve de 2.4.4, Yg est ordinaire pour tout q. On a done hi{Yg){X) = 68(y^)(A) pour tout i, tout q et tout A, done h{Yq){X) = 6(yj)(A) pour tout q et tout A, done, d'apres (3.8) et (3.10), 6,(A) = hi{X) pour tout i. Compte tenu de (3.9), la formule (3.4) a demontrer se reerit done (3.11)
/i(A) = /io(A)-fti(A) + /«2(A),
392
LUC ILLUSIE
avec les /ij(A) donnees par (3.10). Rappelons que, par definition, h{X) = Pour verifier (3.11), on pent relever le pinceau TT - et reclatement en caracteristique zero, ce qui ramene a remplacer le corps de baise ATQ par le corps des complexes. On pent alors faire appel a la theorie de Steenbrink ([34], complete par [36]), qui fournit un complexe de Hodge mixte cohomologique A'l sur Y ayant Rip{Z) comme complexe de Z-modules sous-jacent. Le complexe bifiltre A'c est le complexe simple associe a un certain bicomplexe A'\ et Ton a une suite spectrale de filtration par le poids (3.12)
Ei^ = W+iiY,grZAc) => H\M,-) = H%Y,Ac)
qui degenere en £"2, et dont la differentielle est strictement compatible a la filtration F. Le complexe gr^A'c est le complexe simple associe au bicomplexe, de difFerentielle d" = 0, somme des complexes disposes dans le tableau suivant : ^ 3 * ^ Y3
£\*^Yi
^2*^Y2
^3*^y3
(i.e., SI^Q'Y^ 0e2*^'y2[Oj~l]®^2*^y2[-l)O]0 * • Oi^^fc^^' ^^^ ^^ sous-complexe correspondant aux complexes situes sur la diagonale j — i = k (i.e. gr^2^'c = £3*^'y3[-2],...,yrS^Ac = SI^'Y, 0 £3*^'y3[-2],...). Prenant le gradue de (3.12) pour la filtration F (qui est donnee par la filtration par le premier degre de A"), et tenant compte de ce que dimgr^H^Y, A'c) — h^>'-^{Mfj) [35, (2.11)], on obtient h{X) = hiYi){X) - h{Y2){X) + h{Ys){X) - h{Y2){X - l)-f +h(Y3){X-l)
+
h{Ys){X-2),
ce qui est precisement la formule (3.11). La demonstration est terminee. On pourrait en fait, si on le souhaitait, se passer de la theorie de Steenbrink. En effet, les hi{j) s'expriment simplement en termes des nombres de Hodge des intersections completes Y'^Y"^F et de leurs intersections, de sorte que (3.11) apparait comme une relation "universelle" entre les nombres de Hodge de certaines intersections completes. Deligne (Lettre a L. Illusie, juillet 79) a verifie cette relation a I'aide des series generatrices de Hirzebruch (SGA 7 XI 2).
ORDINARITE
393
Remarques 3.13. (a) On peut verifier la coincidence des polygenes de Newton et de Hodge des Yg directement a partir de la structure connue de la cohomologie ^-adique et de la cohomologie de Hodge des fibres projectifs et des eclates, cf. (SGA 5 VII) : la demonstration precedente ne fait done pas appel a I'equivalence, rappelee en 1.3, entre cette coincidence et la definition 1.1. (b) Le fait que V soit une intersection complete dans P intervient de fagon essentielle dans la reduction a un calcul virtuel et dans Targument de relevement. Cette methode ne permet done pas, semble-t-il, de prouver 2.2 dans le cas general.
Appendice : le critere d'ordinarite de Hyodo 1. Schemas a singulantes croisements normaux reduiis. Definition 1.1. Soient k un corps de caracteristique p, et Y un Ar-schema de type fini. On dit que Y est a singularites croisements normaux reduits (ou de type cnr) si Y est, localement pour la topologie etale, isomorphe au sous-schema ferme de A^ = Spec k[xi^..., x^] d'equation xi -- -Xr = 0 (1 < r < A^). Par exemple, si S est un trait de point ferme s et X un 5-schema semi-stable (1.7*) ^^\ la fibre speciale Xg est de type cnr. Le produit d'un ^-schema de type cnr par un Ar-schema lisse est de type cnr, mais on prendra garde que le produit de deux fc-schemas de type cnr n'est pas en general de type cnr. Pour une meilleure notion, stable par produits, voir [11, IV]; nous n'aurons toutefois pas besoin de cette generalisation. 1.2. Fixons, pour toute la suite de ce numero, un corps separablement clos k de caracteristique p. Soit Y un Ar-schema de type cnr. Notons TT : y —> y son normalise. Pour n entier > 0, soit Yn = {yeY
I card 7r-^(y) > n},
et notons Yn le normalise de Yn. Si Y est reunion des coordonnees D^ d'un espace affine A]^,y„ est reunion des a n des Df, et Yn somme disjointe de ces intersections. localement pour la topologie etale, lisse sur un Ar-schema
hyperplans de intersections n Comme Y est, de ce type, on
(1) Les numeros affectes d'un asterisque renvoient a Particle principal.
394
LUC ILLUSIE
voit que, pour tout n,Yn est lisse. Les Y^ sont des sous-schemas fermes de Y formant une stratification de y , Y,=YDY2D---DYnD"', a strates Yn — Fn+i lisses. Nous noterons TTnlYn-^Y la projection. Suivant Deligne [5, 3.1.4], on definit un systeme local (etale) En d'ensembles a n elements sur Yn, dont la fibre en y est I'ensemble des n branches contenant I'image dans Y d'un voisinage etale de y dans Yn. Notons k{En) le Of -module de base En^ et Sn son determinant. Notons Q"y (Sn) le complexe de de Rham de Yn/h a coefficients dans £:„, et posons (1.2.1)
Ln-.^l^n.^'y^iSn).
Si Y est reunion d'hyperplans de coordonnees Di{\ < i < r) d'un espace affine A ^ , on a ^" ~
vly
^ ^t^n nD,.
Dans le cas general, Ln s'identifie a un sous-complexe de 7r*Q'/y/yw, ou (Y/Y)'' :=YXY'XYY (n facteurs) et TT : ( 7 / 7 ) " ^ Y est la projection: une section cj de TT^Q^s'ecrit localement comme une (n — l)-cochaine {s : An_i -^ T^'^iy)) ^ tos e^% /n^n • DP / IN' ^^ '^~^{y) est I'ensemble des branches passant par y et Di designe la branche correspondant a f G 7r~^{y) ; elle est dans Ln si et seulement si elle est alternee, i.e. u;^ = 0 si 5 est non injective, et tOg-a = sgn{a)ujs pour s injective et a une permutation de A n - i . Pour n variable, les L„ forment un sous-complexe (1.2.2)
L. =
{Li^L2--'---^Ln---")
(avec Li en degre 1) du complexe de Cech TT^ii y
>• ^ * ^ ^ c y / y N 2
^' ' '
^ TT+iZ fY/Y)^
^* * '
(la differentielle d \ L^ -^ ^n-fi associant localement a la cochaine u la cochaine (—1)^E(—l)*5iu;). Le quotient est acyclique. L e m m e 1.3. Si Y est reunion des hyperplans de coordonnees Di d'un espace affine X = fX]^, le complexe augmente 0 ^ nx{\ogY){-Y)
^n-x-*Li-^L2^---^Ln^---,
ORDINARITE
395
avec ^'X piace en degre 0 et Cl^^ —>• L\ donne par to i-^ (—l)^Eco'|Dj^ est acyclique. En pariiculier, le complexe L. est acyclique en degre > 1. On se ramene, par Kiinneth, a r = 1, cf. [9, 4.2 (c)]. 1.4. L'isomorphisme de Cartier usuel C~^ : Qy,^W*Qy^ (le "prime" designant comme d'habitude le pull-back par le Frobenius de la base) donne, par torsion par Sn, un isomorphisme (1.4.1)
C-' :
(LiY^WLn
(noter que WLn = Tr„^W{^^ ® Cn) = TTn*{Ti'Q^ ® €n))- Posons, pour n > I, (1.4.2)
K„ = Kex Ln ^
Ln+i.
D'apres 1.3, on a done des suites exactes (1.4.3)
0 -* Kn -^ i n ^ Ln+l ^
. I ^ ^ ••• ,
(1.4.4)
0 ^ A'„ - - L„ - . A'„+i ^ 0.
L e m m e 1.5. Les suites dedmtes de (1.4.4) par application de 7i^ sont exactes, et C"^ (1-4.1) induit des isomorphismes de suites exactes
(1.5.1)
{Ki,y —. (4)'
iK^.Y
— 0
I 1 (i)n 1 0 —^ n^Kn --> n'Ln —> WKn+1
-^ 0.
0 —
-.
On procede par recurrence descendante sur n(L„ = 0) pour n » 0). Notons Un (resp. Vn) la fleche verticale de gauche (resp. droite) de (1.5.1). Supposons Um et Vm definies et bijectives pour m > n -h 1, avec v^ = Um+i' Alors Vn := tin+1 rend commutatif (1)^. Done, pour tout i^WLn —^ WKn+1 est surjectif, done la suite inferieure est exacte, et (1.4.1) induit un isomorphisme ti„, d'ou la conclusion. Corollaire 1.6. Les suites deduites de (1.4.3) et (1.4.4) par application de W (resp. B\ resp. Z^) sont exactes.
396
LUC ILLUSIE
Les assertions relatives a (1.4.4) et Z^, B^ resultent de celles relatives a (1-4.4) et W (1-5) par recurrence (croissante) sur i. Celles relatives a (1.4.3) en decoulent. On pourrait aussi verifier 1.5 et 1.6 de la fagon suivante (Deligne). On pent supposer Y reunion des hyperplans de coordonnees Dj d'un espace affine X = fK^.. Les isomorphismes de Cartier (1.4.1), C~^ : fi^/—^Ti^Q'xj et C - i : Q)^,{\ogY'){-Y')^n'{n'x{\ogY){-Y)) [9, (4.2.1.3)] fournissent un isomorphisme du complexe (1.3.1)* deduit de (1.3.1) par application terme a terme de (—)* sur celui deduit par application de 7i\ Ce dernier est done acyclique, et par recurrence sur f, on en deduit qu'il en est de meme de celui deduit par application de Z^ (resp. B^). Le complexe (1.3.1)* est done acyclique en tant que complexe filtre par (—)* D Z* D B* D 0, done se coupe en suites exaetes courtes filtrees (1.4.4)*. C o r o l l a i r e 1.7. Les conditions
suivantes
soni equivalentes
:
(i) H^ {Y, BKl^) — 0 pour tout i, tout j et tout n ; (ii) H^ (Yj ^^li)
— 0 pour tout i, tout j et tout n .
Les suites deduites de (1.4.4) par applications de J5* etant exaetes, (i) entraine (ii). La suite deduite de (1.4.3) par application de 5* etant exaete, ^ * ( y , 5 / \ ^ ) est, pour i et n fixes, Taboutissement d'une suite spectrale de termes initiaux H^{Y,BU^){r > 7i), done (ii) entraine (i). Remarque 1.8. Si Y est de dimension 1, L^ = 0 pour n > 2,1/2 est a support ponetuel et BL2 = 0 pour tout i, done la condition (ii) de 1.7 signifie simplement que H^(Y, 5 Q ^ ) = 0 pour tout i et tout j , i.e. que Y est ordinaire. 2. R e s i d u s d e P o i n c a r e et c r i t e r e d e H y o d o 2.1. Soient S un trait, de point ferme s separablement elos, et point generique ry, et X un 5-sehema semi-stable (1.7*). Apres extension etale de S et localisation etale sur X , X est done S'-isomorphe au sous-schema de A^^ = S[xi,..., XN] d'equation xi - - - Xr = TT, o\x TT est une uniformisante, et si j designe alors I'inclusion de la fibre generique X^j dans ^ , ^ x / 5 ^^^ ^^ sous-eomplexe de j*^'Xr)/j] engendre par les formes du type a dxi^/xi^ A • •' Adxi /xi^ pour a dans Timage de ^'x/s et 1 < z'l < • • • < i^ < r. Pour n entier > 0, notons Pn^x/s ^^ sous-eomplexe de (^'xis engendre loealement par les formes du type ci-dessus, avee q < n (on verifie que cette definition ne depend pas du choix des "coordonnees locales" Xi : si ( t / i , . . . , t/jv) est un autre choix, apres localisation et une eventuelle permutation, on a yi — UiXi
ORDINARITE
397
pour i < r, ou Ui est une unite sur X, et dyjyi = dui/ui Pn^x/s forment une filtration croissante de (J^X/S (2.1.1)
0 C PoOJx/s C'"C
-f dxi/xi).
Les
PnOJxis C • • •
(avec Pn^xis — ^'xis po^r '^ > > 0)? analogue a celle consideree par Deligne dans [5, 3.1.5] (a cela pres qu'on travaille ici avec un complexe de de R h a m logarithmique relatif, ou Ton a la relation "^KKr^^i/^i — ^)- ^^ choix de la notation P„ de preference a la notation Wn de (loc. cit.) est fait pour eviter des confusions possibles avec des complexes de de R h a m - W i t t , cf. [16]. Notons Y = Xs \^ fibre speciale de X, posons co^ — <^'xjs ®^s k {k — k{s)) (1.7.2*) et designons par Pn<^ I'image de Pn^x/s dans u y . On obtient done une filtration croissante de uy (2.1.2)
0 C P o ^ y C • • • C Pn^Y
C •• •
(avec Pn(^Y — ^Y pour n > > 0), et PQUJ'Y egal a Timage de Pour n > 1, une section LJ de Pn^xls haut, a; =
^ i
«2i-in A dxijxi^
^yik-
^'^^^^^ localement, comme plus A • • • A dxi^/xi^
-f b
•
avec ai^ .^^ dans Pimage de ^ ^ / ^ et 6 dans Pn-i ; les images inverses des ai^ .-i^ dans Q^^ n • nz) (^^ ^ i ^^^ ^^ diviseur (x^) de A ^ ) forment une section de L^ (1.2.1), et Ton verifie que son image dans I/^^j par la differentielle d de (1.2.2) ne depend pas du choix de Pecriture ci-dessus. En re collant ces definitions locales, on obtient une application de Pn^x/s dans 1/^4.1 ; pour q variable, ces apphcations forment un morphisme de complexes, qui se factorise en (2.1.3)
/i;:gr^uv+"^i:„+i.
On etend la definition de R an cas n = 0 en associant a une section LU de PQLOY la section de L\ ayant localement pour valeur la cochaine i i—» (—1)^ (Pimage inverse de uj sur D^). L'enonce suivant est decalque de Steenbrink [34, 4.15] : L e n i m e 2 . 2 . La fleche R est injechve
et a pour image /v„+i(1.4.2).
Par analogie avec la construction de [5,3.1.5], nous appellerons residu de Poincare Pisomorphisme (2.1.4)
R :
gi^Wy+"^Kn+i
398
LUC ILLUSIE
deduit de (2.1.3). Prouvons 2.2. La verification est locale, done on pent supposer que X = V{xi ' • • Xr — TT) C S[xiy..., XN] OU TT est une uniformisante. Posons Z = V(xi' " Xr — t) C T[xiy..., Xiv], T = S[t] ou t est une indeterminee. Alors X/S se deduit de Z/T par le changement de base 5 —^ T,t »—> TT, done ^x/s — ^z/T ^OT ^S^ OVL U)Z/T ^^^ ^^ complexe de de Rham logarithmique relatif, defini par (*)
^ Z / T — ^^^Z/T
et la suite exacte (**)
0 -> r^^T/si^ogTo)
-^ Q^/5(logZo) -^a;^/T -^ 0,
oil To (resp. ZQ) est le diviseur {t = 0) de T (resp. Z) et / : Z -^ T la projection. Par suite, si k designe le corps residuel de S et fs : Zs = Spec k[xi,...,
ar^v] -^ Tg = Spec k[t],t i-^ xi - - • Xr
le morphisme deduit de / par le changement de base s —^ S, on a. LJ'Y — ^ZslTs ^fc[t] ^(^ ^"^ 0)7 ^vec ^ZslTs — ^z/T '^OT ^TS decrit par des formules analogues a (*) et (**). Notons A I'espace affine Zg = Spec k[xi,... ,Xjv]Pour n > 0, soit PnQ^{\ogY) le sous-complexe de fi^(logy) engendre localement par des formes du type a dxi^/xi^ A • • • A dxi^/xi^ avec a dans ^ A ' ^ — ^1 ^ • • • < « ? < ^, et g < n. Ces sous-complexes forment une filtration croissante de Q^(logy) et Ton a, comme dans [5, 3.1.5], un isomorphisme residu de Poincare (2.2.1)
Res : gr^Q7^(logy)-^L„ = e^p,^n.-ni^,, ,
envoyant la classe de a dxi^/xi^ A ••• A dx^^/xi^ sur I'image de a dans ^D n- nD '^* designant Thyperplan {xi = 0) de A. De plus, Pn^y defini en (2.1.2) est I'image de P„fi^(logy) dans cjy, et les fleches (2.1.3) et (2.2.1) donnent lieu, pour n > 1, a un carre commutatif gr^fi-+"(logy)
(2.2.2) Posons, pour abreger.
^^^ 1 -
.
gr^av+-
1^
ORDINARITE
399
et considerons le complexe (2.2.3)
Mi-^M2-^
^ Mq^ • • •,
avec Ml place en degre 1, la difFerentielle 0 etant le produit exterieur gauche par rimage de dt/t, i.e. Yli
grf Mi-tgr^M2 ^ • • • -^ grf M, ^ • • •.
On verifie que les residus de Poincare (2.2.1) definissent un isomorphisme de (2.2.3) sur le complexe L. (1.2.2). Get isomorphisme se prolonge en un isomorphisme de complexes (2.2.5) 0 - ^ fi'^(log y ) ( - y ) —.fiU - ^ grfMi - ^ grfM2 ^ • • .
o _
fi-^(logy)(-y)
-^QA —
Li
—^
L2
—
••
avec ^A place en degre 0, et Q'^ -^ Li compose de R : PQUJY —^ ^ i et de la projection ^A -^ i^o^V• D'apres 1.3, le complexe augmente inferieur est acychque. Par suite, dans le complexe filtre Q'^(logy)^Mi-lM2-.-(qui prolonge (2.2.3)), la diff'erentielle est strictement compatible a la filtration, i.e. on a, pour tout n > 0,
^1^,1 (logy) n p„i};Ji(iogy) = ePn-iQiA{\ogY) {Pn-1 = 0 si 71 = 0). Comme, par definition,
Ljy=nA{\ogY)/{eQ--\logY)^Q'A{logY){-Y)) et PnUj'y
= : I m P n f i " ^ ( l o g y ) -^ Uy ,
il en resulte que (pour tout n > 0) on a
PnUy =
PnQA{l0gY)/(9Pn-lQA\\0gY)-\-QA(Hy){-Y)).
400
LUC ILLUSIE
On a en particulier une suite exacte
ce qui, vu I'exactitude de la ligne inferieure de (2.2.5), prouve 2.2 pour n = 0. On en deduit d'autre part que, pour n > 1, on a une suite exacte g r ^ _ i M n - i - ^ g r ^ M n — ^ gr^cjy —> 0, ce qui grace a (2.2.2) et (2.2.5), prouve 2.2 pour n > 1. L e m m e 2 . 3 . Soii X/S comme en 2.1. Supposons le point ferme s de caraciertsiique p. Soti F : Y ^>- Y' le Frobemus relaiif de la fibre speciale Xs — Y. Pour tout i^WF^uj'y est localement libre de type fim, et SI V : V '-^ Y designe Vouvert de lissite de Y/S, Visomorphisme de Cartier C~^ : v^^\^,^v^l-L'^F^V[y induit un isomorphisme cfeu;y/(:= u ; y 0 O y / ) sur WF^uSy La question etant locale, la meme reduction qu'au debut de la demonstration de 2.2 ramene au cas ou Y/s est deduit par reduction modulo t de A / S p e c ^[t], A = Spec Ar[a^i,... ,X]^],t H^ Xi" -Xr.k — k{s). On applique alors (1.7.5*). L e m m e 2 . 4 . Sous les hypotheses de 2.3, pour tout n et tout i, la fleche WPn —^ Woj^ est injective, et Visomorphisme de Cartier C~^ : LOYI-^WCOY ^'^duit un isomorphisme C~^ : Pn(^Y,^WPnUj'Y (ou Pn<-OYi '-— PnU^ir^OY'). On procede par recurrence descendante sur n (PnOJy = coy po^r n » 0). Fixons n et supposons la conclusion etablie pour tout m > n. Considerons le diagramme
WP„oj-+"^
Wgv^uj-+"
^
WKn+i
- ^
WL„+i
oil le carre de droite est celui de gauche dans (1.5.1). II suffit de prouver la commutativite, pour tout i, de (2.4.1). En effet, celle-ci entrainera la surjectivite (pour tout i) de W P „ W y " ' ^ Ti'gr^w'jt^donc I'exactitude de
ORDINARITE
401
et C~^ induira un isomorphisme de P„_iw^" (resp. gr^w^") sur WPnUi'^'^ (resp. W g r ^ w ^ " ) . Pour verifier la commutativite de (2.4.1), on peut supposer, comme plus haut, que Y/s est la reduction modulo t de A/Spec kit]. Avec les notations de la preuve 2.2, on dispose de Tisomorphisme de Cartier usuel C - i : ^\,(logY')^^W^A(^ogY) [21, 7.2] et des isomorphismes residus de Poincare (2.2.1). Admettons provisoirement I'enonce suivant: (2.4.2) Pour tout m et tout i, la fleche Ti'Pm^AilogY) ->• W'f2'^(logY) est injective, et C~^ induit un isomorphisme de Pm^A'i^ogY') sur W P ^ ^ A (logy). De plus, les carres p„fi^,(iogy')
Pm+in'^.\\0gY')
w'p^+iQ'+i(iogy)
n'Pm^-AilogY) et p^n'+niogY')
c WPm^2
{LLY
-1
C-1 (logy)
-^
(1.4.1)
n'L„
sont commutatifs. Le pourtour de (2.4.1) est alors le carre central du diagramme suivant: p„n^+"(iogy')
P„+lfi^+"+^(l0gy') (1) Pn<^Y'
c
-1
(3)
c-
* i^li+lY
~ (5)
WPni^y"
^'^'Ln
~
c-
(4)
~
c- 1
+l
(2) ?^'p„fi7"(iogy)
7i^p„+ifi;;"+'(iogy).
Les carres (1) et (2) commutent, grace a (2.2.5), par definition de R. Le carre (3) commute, par definition de C~^. Le carre exterieur et le carre (4) commutent d'apres (2.4.2), done le carre (5), et par suite, (2.4.1) commutent. II reste a etablir (2.4.2). On le fait encore par recurrence descendante sur m. Si les deux premieres assertions de (2.4.2) sont vraies pour m' >m,
402
LUC ILLUSIE
le second carre de (2.4.2) est defini, et commute, car C~^(dxi/x^) =^ dxi/x^. LaflecheTi^Py^Q^ ""(logY) -^ H^gr^Q^ "" (logY) est alors surjective (pour tout i), et ceci entraine, comme plus haut, que la suite 0 ^ •H'Pn.-iQ'^ilogY) ^ W'P„Q;,(logy) ^ n'gT^Q'A'^ogY) -^ 0 est exacte, et que C~^ induit un isomorphisme de Pm-i sur WPm-iLa commutativite du premier carre de (2.4.2) resulte encore de ce que C~^{dxi/xi) = dxi/xi. Les assertions de (2.4.2) sont done etablies, et ceci acheve la demonstration de 2.4. Corollaire 2.5. Sous les hypotheses de 2.3, pour tout n et tout i, les suites deduites de 0-^Pn-lU^Y
par application de 7i^,Z^,B^
-^ Pn^Y
-^ gi^tOy
-^ 0
sont exactes.
Les assertions relatives k Z\B^ se deduisent en efFet de celles relatives a W (2.4) par recurrence (croissante) sur i. Proposition 2.6. Soient S un trait de point ferme s separablement clos de caracteristique p et X un S-schema propre et semi-stahle (1.7*), de fibre speciale Y = Xg. Avec les notations de (L2.1) et (2.L2), considerons les conditions suivantes : (i) H^{Y,BL\^) — 0 pour tout i, tout j , et tout n ; (ii) W {Y^Bgr^LOy) — 0 pour tout i, tout j , et tout n ; (iii) H^{Y^BPnOJY) = 0 pour tout i, tout j , et tout n ; (iv) H^{Y,BUJY) = 0 pour tout i et tout j (i.e. X a reduction ordinaire (1.8*)). Alors, (i), (ii), et (iii) sont equivalentes, et (iii) implique (iv). Si dimY < 1, /e5 conditions (i) a (iv) sont equivalentes, et signifient encore queY est ordinaire. D'apres 1.7 et grace a (2.1.4) (i) et (ii) sont equivalentes. D'apres 2.5 applique a B, (ii) et (iii) sont equivalentes. L'implication (iii) => (iv) est triviale, et il en est de meme de (iv) => (iii) quand Y est courbe, j5grf cjy etant a support ponctuel (cf. 1.8). Le critere de Hyodo 1.10* resulte aussitot de 2.6, par passage au localise strict de S. Dans cette situation, le systeme local Sn est trivial.
ORDINARITE et le complexe L„ s'identifie a la somme directe des Q ^ 1 < ii < • • • < i„ < r.
403 n - nz>
pour
Remarque 2.7. Pour Y de dimension > 1, il n'est pas vrai en general que (iv) implique (i). Voici un exemple que m ' a communique Hyodo. Soient C une courbe elliptique supersinguliere dans P^ et X I'eclate de C dans P | . Alors X est semi-stable sur 5 , la fibre speciale Y est reunion du diviseur exceptionnel E et de P^, qui se coupent transversalement suivant C. Ni E ni C ne sont ordinaires {E = P(A^), ou N est le conormal de C dans P | ) (cf. 1.4). Toutefois X a reduction ordinaire. On verifie en efFet que, si / : y —> Z := P^ est la projection, on a BQ^^^Rf^Buy pour tout z, et par suite H*{Y, Bu\r) = H\Z, BQ'z) = 0Remarque 2.8. Soient S un trait de point ferme s parfait de caracteristique p et X un 5-schema semi-stable, de fibre speciale Y. Le complexe de de R h a m - W i t t Wcoy de Hyodo [15], cf. aussi [20], permet de donner une caracterisation de "reduction ordinaire" analogue a celle expliquee en 1.3*. Plus precisement, supposons X propre. Alors X a reduction ordinaire (au sens de 1.8*) si et seulement si Pendomorphisme (cr-lineaire) F de H^(Y^Wajy) est bijectif pour tout i et tout j . Quand H*{Y,WUJ'Y) est sans torsion, il revient au meme de dire que le polygone de Newton defini par les pentes de Frobenius agissant sur H^(Y,WLJ'Y) coincide, pour tout n, avec le polygone de Hodge defini par les nombres de Hodge /i*'"~* =: d i m i J " ~ * ( y , cjy). Supposons de plus que la fibre speciale Y soit un diviseur a croisements normaux somme de diviseurs lisses. On pent alors esperer construire une suite spectrale analogue a celle de Steenbrink [34, 4.20], aboutissant a H*(Y, Wix^y) convenablement filtre, de terme initial somme de cohomologies de Hodge-Witt d'intersections k kk des composantes de Y, et equivariante sous Taction de F . La bijectivite de F sur le terme initial entrainant sa bijectivite sur Taboutissement, on obtiendrait ainsi une seconde demonstration de 1.10* (du moins pour s parfait).
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Universite de Paris Sud Centre d'Orsay Mathematique - Bat. 425 91405 Orsay Cedex France
Kazhdan-Lusztig Conjecture for A Symnietrizable Kac-Moody Lie Algebra
MASAKI KASHIWARA dedicated to Professor
Alexandre Grothendieck on his sixtieth birthday
0. I n t r o d u c t i o n In recent years, with the progress of mathematical physics, it becomes more and more i m p o r t a n t to study systems with infinite freedom. In [K], we studied the flag variety of Kac-Moody Lie algebras, as a typical case of an infinite-dimensional manifold. By t h a t study, it is revealed t h a t the most natural language of scheme introduced by A. Grothendieck is again the most appropriate algebraic tool to deal with an infinite-dimensional manifold. T h e purpose of this paper is to generalize the result of BrylinskiKashiwara [B-K] and Beihnson-Bernstein [B-B] to the K a c - M o o d y Lie algebra case by using the flag manifold. T h e main result is the following one. T h e o r e m . The generalization of the Kazhdan-Lusztig conjecture for symmetrizable Kac-Moody Lie algebras (proposed e.g. by [D-G-K]) is true. T h e proof of this theorem is not much different from the one of [B-K]. However, since the flag variety is an infinite-dimensional variety in general, we need special care to prove it. We win explain the contents. Let g be a symmetrizable K a c - M o o d y Lie algebra, and X its flag variety. For an integral dominant weight A, let 0{\) be the corresponding hne bundle over X (see §3 for the precise definition) and let 2)A be the twisted ring of differential operators 0 ( A ) 0 S x 0 0(-A)onX . We restricted to the symmetrizable case because we use the following statement t h a t is proven by D e o d h a r - G a b b e r - K a c [ D - G - K ] by using the result of K a c - K a z h d a n [K-K]: any highest weight of the Verma module with a dominant integral weight X as a highest weight is in the orbit of X by the
408
MASAKI KASHIWARA
Weyl group. We prove in this paper the following theorem. T h e o r e m . Let DJl be an admissible B-equivariant we have (i) 5 ^ ( X ; 9Jt) m 0 for any n^{). (ii) 5 ) x 0 r ( X ; 9 J l ) —> 9JZ is an
'Dx -module.
Then
isomorphism.
For the precise statement see Theorem 5.2.1 and for the notations see the contents. This theorem shows t h a t the irreducible g-module L{w o A) with highest weight w o \^ where w G W, is obtained as V{X\Cxu{y<)) for the irreducible 5-equivariant ^A-module £iu(A) whose support is the Schubert cell BWXQ. By the Riemann-Hilbert corresp on dance, this 'X)x -module corresponds to the perverse sheaf supported on BWXQ. This cohomology groups at points in X can be described in terms of Kazhdan-Lusztig polynomial as in the finite-dimensional case (Kazhdan-Lusztig[K-L]). This geometric part will appear elsewhere. (0.1) In this paper Hom means the outer Hom and Hom means the inner Hom (or the sheaf of homomorphisms). If we say positive, it includes 0. N means set of positive integers. Z>n (resp. Z < „ ) is the set of integers more t h a n (resp. less than) or equal to n. 1.
^-modules
(1.1) In this section, we define the sheaf of differential operators X)x and a special class of X)x-niodules for a scheme X over C of countable type (see [K]). As in [EGA], we define the subsheaf FmC^x) of Endc{Ox) by (1.1.1)
i^m(^x) = 0
for
m<0,
and (1.1.2) Fmi^x)
= {Pe
EndciOx);[Ox,P]
C fm-i(2)x)} M
m > 0.
T h e n , we have
Fii^x)
= 0x®
HomoA^x.Ox)-
Remark t h a t Q,]^ is a quasi-coherent sheaf but F i ( D x ) is not quasi-coherent in general. But F m ( ® x ) has a following finiteness property. For an affine open subset {/, T{U]Fm{'^x)) has a complete linear topology where {PenU;F,n{^x));
P{fj)^Oforj=l,.--,N}
SYMMETRIZABLE KAC-MOODY LIE ALGEBRA
409
form a neighborhood system of 0 for / i , • • • ,/AT G T{U]OU)By this, FmC^x) becomes a sheaf of complete linear topological spaces on X. Note that, for an afRne open set U^ FmC^x) \u is the projective limit of coherent Of/-modules. Set D x = U ^ m ( S x ) C End{Ox)' Then S x is an 0x-ring. Definition l . L l . We say that a left S^-i^odule 9Jl is admissible if it satisfies (i) DJl is quasi-coherent over Oxj (ii) 9Jl is a topological S x -module with discrete topology. The condition (ii) is equivalent to saying that, for any affine open subset U of X, any s in r([/;9}Z) and an integer m, there exist finitely many firJN e T{U] Ox) such that Ps-O for any P G r ( ^ ; FmC^x)) with P{fi) = Q{oT i = lr" ,N. The following lemma is obvious. L e m m a 1.1.2. The admissible 'Dx-'fnodules form an ahelian category. (1.2) For a morphism / : X ^ y from a scheme X of countable type to a finite-dimensional scheme y , set S)x-^F = Ox ^j-iOy '^y- Then it is easy to see that 'Sx-^Y C Endcif'^Oy ,0x) and it has a structure of (S)x,/"^2)y)-module. Hence, for a S)y-module 9Jl, /*9n = 3 ) x - . y 0 S ) ^ dXl has a structure of S x -module. (1.3)
Now, let us assume X affine and X ~ lim "<
5n where Sn are n6N
smooth and affine over C and Sn-\-i —^ Sn is also smooth for any n. Let fn '• X ^>' Sn he the projection. Then we have S)x = lim Ox 0Oq ^ 5 • We can prove easily L e m m a 1.3.1. IfdJl is an admissible "S^x-f^odule, then 9Jt = lim f^^n ^n where ^ „ are quasi-coherent S)5^-morfw/e5. Definition 1.3.2. We call an admissible 2)x-module 9Jt holonomic (resp. regular holo- nomic) if there exist n and a holonomic (resp. regular holonomic) S s ^ - module ^ such that 9Jl 2:^ fn^(1.4) This definition 1.3.2 can be generalized for S)x-module if X is covered by open affine subsets satisfying the conditions in (1.3). For a holonomic 2)x -module 9Jt, we can define its dual 9Jl* by 971* = /*9^* for an ^ as in Definition 1.3.2. This does not depend on the choice and we can define 9Jl* globally. We have the similar properties as in the finite-
410
MASAKI KASHIWARA
dimensional case. (1.4.1)
dJlh-^ dJl* is an exact contravariant
functor
(1.4.2)
9Jt** :^ m.
(1.4.3)
Rom^^{m,m') - Eom^ jm'\m*).
in 9Jl.
2. K a c - M o o d y Lie a l g e b r a (2.1)
We shall review the definition of Kac-Moody Lie algebras. Let / be a finite set (the index set for simple roots) and let (] be a finite-dimensional vector space. Assume the following conditions. (2.1.1)
(2.1.2) (2.1.3) (2.1.4) (2.1.5) (2.1.6) (2.1.7) (2.1.8) (2.1.9)
f) 3 /ij, f)* 3 ai {i G / ) and < hi,aj > is a generalized Cartan matrix (i.e. < hi,a^ >— 2, < hi^a^ >G Z
We use the following notations. (2.1.10) n (resp.
n—) 25 the Lie subalgebra generated
by the ei
(resp.
fi) {i € / ) • (2.1.11) For a G i)*, we set g^ = {x G 0; [h, x] — a{h)x for any h G f)}. (2.1.12) A = { a G r \ {0}; 0« 7^ 0}, A+ = {a G A; g , C n } , A _ = {a G A;g«C n_}. (2.1.13) n(i) =z 0 g^an(/n_(z)= 0 g^. a€A+\{aJ
(2.1.14) (2.1.15) (2.1.16) (2.1.17) (2.1.18)
aGA_\{-aJ
g, = f ) 0 C e , 0 C / , - . T = 5pec(C[P]). Gj 25 the group with Lie algebra g^ and Cartan subgroup xxk - {adn)^~^n and n~ = {adn_)^-^n_ for k >1. U = \im exp(n/njt), 6^_ = lim e x p ( n _ / n ; ^ ) , 6^,-= lim
T. {n{i)/nk)
C U andUl_ — lim e x p ( n _ ( i ) / n ^ ) ^ where exp denotes the corresponding unipotent algebraic group. (2.1.19) B = TxU, B.=TxU., P^ = d
x (/,, p-
= d
T h e n Pi D B D Ui and Ui is a normal subgroup of Pi.
x
U'.
SYMMETRIZABLE KAC-MOODY LIE ALGEBRA
411
Remark 2.1.1. In [K], we assumed that (2.1.7)-(2.1.9) are the fundamental relations of g, but the results there can be generalized in this framework without modification. (2.2)
We define
(2.2.1)
g = lim0/njk, k
(2.2.2)
UmiQ) =
lmiUm{Q)/Um-i{Q)nk, k
m
(2.3) For A G {)*, let M(A) (resp. M_(A)) be the Verma module with highest (resp. lowest) weight A, namely, M(A) (resp. M_(A)) is the /7(g)module generated by an element ux (resp. u^) with the fundamental relations (2.3.1) hux =< h, X > Ux (resp. hu^ =< h, X > u^) for any /i G ^, (2.3.2) eiUx = 0 (resp. fiU^ = 0) for any i G / . (2.4) (2.4.1)
For an (^-module M, we set, for A G i^* Mx = {ue M; {h - A(/i))^w = 0 for any h e h.rn:> 0}.
We set, for a locally f)-finite [)-module M, (2.4.2)D(M) = {fe
Hom(M;C);dim(/7(f))/) < oo} = eAHom(M,C)A.
For a locally f)-finite g-module M with dim MA < oo for any A G b*, we define its character by (2.4.3) (2.5) (2.5.1)
chM = ^ ( d i m M A ) e ^ . For A G f)*, we set M*(A) = D(M_(-A)).
Then M*(A) is a C/(g)-module. (2.6) For a g-module M on which f) acts semisimply, a highest weight vector u with highest weight X is, by definition, an element of Mx such that
412
MASAKI KASHIWARA
nu = 0. Then M*(X) has a unique highest weight vector up to constant multiple and its weight is A. Hence there exists a non-zero homomorphism M(A) -^ M*(A) unique up to constant multiple. T h e image is denoted by L(A). This is an irreducible g-module with highest weight A. (2.7) Let W be the Weyl group of 9, namely W is the subgroup generated by the simple reflections 5j, where (2.7.1)
oiAut{\)*)
SiX = X- < hi,X > ai.
Now we define the other action o of VF on I)* by (2.7.2)
SioX
= X-{
-f l ) a i .
If we choose p E ^* with < p^hi >= 1 for any i G / , we have (2.7.3)
woX
= w{X-\-p)-p
for
w e W.
We have also (2.7.4)
woX
For w eW, (2.8)
= wX-
^
a.
let i{w) be the length of w. We have i{w) = # ( A + D
wA-).
T h e following lemma is well-known. Leniina 2.8.1.
For A G ^* and i E I such that < hi^X >G
Tjy^i,
Homg(M(5i o A), M(A)) = C .
T h e homomorphism is given by 1/5^0A '-^ / ^ *' ^^ ^AP r o p o s i t i o n 2 . 8 . 2 . For A,/i G f)* and i G I such that < hi^X >G Z > _ i and < hi,fi > ^ Z>o, we have (2.8.1)
H o m 0 ( M ( / i ) , M{X)/M{si
o A)) = 0,
(2.8.2)
H o m g ( M ( ; i ) , M{siO X)) ^EomQ{M{fi),
M(A)).
Proof. In fact, M{X)/M{sioX) is locally g^-finite. Hence any highest weight (, of M{X)/M{si o A) satisfies < /i,,<^ >G Z>o. Q.E.D.
SYMMETRIZABLE KAC-MOODY LIE ALGEBRA
413
L e m m a 2.8.3. For X,/Ji E: ^* and i E I such that < hi,fi >G Z>_i and < /zjjA > ^ Z<_i, we have Ext^(g)(M(/i)/M(5,- O ^ ) , M(A)) ::. 0.
Proof. (2.8.3)
It is enough to show that any exact sequence 0 —^ M(A) — . M - ^ M{^)/M{si
o //) — . 0
splits. Since M(A) and M(/i)/M(5iO/i) are locally l)-finite, so is M. Hence there exists v G M^ such that <^(i^) = u^ mod M(5j o fi). Setting i =< hi.ii > + 1 , M{si o/i) = U{^)f-;u^, and hence (2.8.4)
/ / « e M(A).
Since e^i/^ = 0, we have (2.8.5)
CiV e M(A).
The relation e,// = ffei+£{hi+ll)ff-^ implies / . e j / ^ = //^^e,-^ + i{hi -\-i-\- l)f[v. Since / / i ; G M(A)^_^or., (/^i + ^ + 1 ) / / ^ = 0 and hence fii^tfiV — fiCiv) — 0. Since ji acts injectively on M(A), we deduce (2.8.6)
ti![v = ffe,v.
Set f[v = Pux with P e t/(n_). Since U{n_) = C[fi] ® C/(n_(z)), we can write P in a unique way
Then, we have (2.8.8)
[e„P] = ^ / r [ e . - , P ] + nfr^k
-n+
1)P„
= E / " [ ^ - ^ ] + ^f?~'Pn{hi-
eJ[v = Y,if"[e^,Pn]
+
n{n-£)fr'Pn)ux
e).
414
MASAKI KASHIWARA
By (2.8.6), e^fiV belongs to fiM{\) (2.8.10)
= ffU(n_)ux.
Hence we obtain
h , Pn-i] + n{n - ()Pn = 0 for 1 < n < i,
because {adei)U{r\_(i)) C C/(n_(i)). This shows (2.8.11)
Pn e C(adei)"Po for 0 < n< i
and (2.8.11)
{ade^YPo = 0.
On the other hand, PQ G U{n_{i))^_x-ia, and < hi.fi — X — £ai > = — 1— < /ijjA > —£ ^ Z>_£. Therefore, the representation theory of s/2 implies PQ ^ 0. Thus P^ = 0 for n < £. This implies f^v G fiM{X). Hence, we may assume, from the beginning, ffv =• 0. Since fiCiV = eiffv rr 0 by (2.8.6), we have eiv = 0. For j / 2, flejV = ejf[v = 0 and hence ejV = 0. For /i G i^*, fii^" < h,fi > v = (h— < hjfj, > -\-£ < h,ai >)fiV = 0 and hence (h— < h^fi >)v — 0. Therefore li^ H^ t; defines M{^)lM{si o fi) ^^ M. Thus the exact sequence (2.8.3) splits. Q.E.D. Corollary 2.8.4. For X,fi G f)* and i E I such that < /ij,/i >G Z>_i a7i{/ < /ii,A > ^ Z<_i, w;e /iai;e (2.8.12)
Hom(M(/i), M(A)) -^ Hom(M(5, o fi), M(A)).
By this corollary , we have Corollary 2.8.5. For A G P+ and w,w'
eW
(2.8.13)
Hom(M(w; o A), M(A)) = C.
(2.8.14)
dimHom(M(ti; o A), M{w' o A)) < 1.
Proof. The first statement follows easily from the preceding corollary or Proposition 2.8.2 and (2.8.14) follows from Hom(M(w; o A), M{w' o A)) C Eom{M{w o A), M(A)). Q.E.D.
S Y M M E T R I Z A B L E K A C - M O O D Y LIE A L G E B R A
415
3. F l a g v a r i e t y o f a K a c - M o o d y Lie a l g e b r a (3.1) For the definition of the flag variety X of (g, f),P), we refer to [K]. There, two constructions of X are given. One is to construct X as a subscheme of Grass (§). The other is t o get X as G/B_. Here G is a scheme on which B- acts locally freely (see [K]). Let XQ € X be the 1 mod 5 _ . Then we have the Birkhoff-Bruhat decomposition
(3.1.1)
^=
U ^^^0wew
(3.2) For i £ / , we set Xi — G/P^. Since P~ acts locally freely on G, this quotient exists as a scheme in the Zariski topology. Then qi : X ^ G/B- —^ Xi - G/Pr is a P i -bundle since i ^ " / B - = Gi/Gi fl 5 _ ^ P ^ Since qi is universally closed and surjective, Xi is separated. Set qi{xQ) — Xi. T h e n q^^{xi) = GiXo = {XQ} U (Gi n B^)siXo. Let p : G -^ X and pi : G -^ X^ be the projections. L e m m a 3 . 2 . 1 . Assume l{wsi) < l{w). (i) q^^{Bwxi) = BWXQ U BwSiXQ. (ii) BWXQ — qJ^{BwXi) fl wsiBsiXQ. (iii) BwSiXo — q^^{BwXi) fl wsiBxo. (iv) BWXQ - ^ Bwxi
Then
by qi.
Proof. Since q~^{Xi) = GiXo = {XQ} U ( 5 _ fl GI)SIXQ, we have q~^{BwXt) = BwxoUBw(BnGi)siXo. Then, wat £ A _ implies w(B- O Gi)w~^ C B, we obtain (i). (iii) follows from (i), BwsiBxQ f] BWXQ = ({) and wStBxo D BwsiXQ. (ii) follows from (i), (iii) and qf^Bwxi = q~^qi{BwSiXo) C qf^qt{wSiBxo) C wSiq^^qi{Bxo) = wsiBxQ U wSiBsiXQ. (iv) follows from 5 u ; a r o ^ ^ " V f l ^ and t / n " ' " ' t / n / ^ - C G i f l ^ ' ' ^ / C {1}. Q.E.D. By this we have P r o p o s i t i o n 3.2.2. l{wsi) > l{w).
Xi
= UBwxi
where w ranges over W
with
(3.3) Let p : G -> X ^ G / 5 . be the projection. For A G P , we define the Ox -module 0{X) by V{U-0{X))
= W£
T{p-'U-OG)\^{9h.)
= hz\(g)
for {g,h^)ep-\U)
x
B.)
416
MASAKI KASHIWARA
for any open subset U of X. Here 61 is t h e homomorphism
where the last arrow is the homomorphism whose differential is —A. T h e n 0{X) is an invertible Ox -module, and 0{X) is clearly Pi -equivariant. We define the ring 2) A by (3.3.1)
S)A = OiX) 0ox ® x ^Ox
0{-X).
Since g acts infinitesimally on X and 0{X), we have (3.3.2)
g-.r(X;DA).
This can be extended t o a continuous ring homomorphism (3.3.3)
U{Q)^T{X-^X).
(3.4) Let M be a discrete U{Q) -module. This is equivalent t o saying t h a t M is a {I -module such t h a t , for any element u of M, ixj^u =: 0 for k ^ 0. We say such a g -module is admissible. Definition- Proposition 3.4.1. (i) For X £ P and an admissible 0 -module M , 9Jl i-^ H o m 0 ( M , T{X; DJl)) is represeniable on the category of admissible ^ A -modules. We denote by ^ A ® ^ ihe admissible S)A -module that represents the functor above. (ii) M y-^ X)A(8)M is a right exact functor in admissible 0 -module M. (iii) X)A 0 M - ^ D A 0 M IS
(iv) M \-^ "Dx^M commutes
Proof.
surjective.
with inductive
Assume first M = U{g)/U{Q)nk.
limit.
We shall show t h a t
9JT ^ Homc7(g)(M,T{Bxo;M))
^
Eomu(n){U{n)/U{n)nk,T(Bxo'.m)){3.4.1) is representable in the category of admissible ^ A \BXO -modules. By identifying BXQ = Uxo and trivializing (9(A) by the section s given by s{ub-) — 61 (w £ U^b_ G B-), we can identify D A \BXO and S)^/- T h e n the homomorphism n —^ r ( f / ; S f / ) induced by g —> T{X]'Sx) is nothing b u t t h e one induced by the left infinitesimal action of n on U. Set ^ — "Su-rUk
S Y M M E T R I Z A B L E K A C - M O O D Y LIE A L G E B R A
417
where Uk is t h e unipotent group with t h e Lie algebra n/tijk. T h e n for any admissible 1>u -module 3Jl H o m s ) ^ ( ^ , im) = {f€
T{U; DJl); n ^ / = 0 } .
Hence t h e functor (3.4.1) is represented by 01 in t h e category of admissible (^A \BXO) -module. We denote by (5)A \BXO)^^ its representative. Then for an index set J and kj G Z > i ( j G J ) , set A^ = ®j£j U{^)/^kj' Then m ^ Eomu(g){M,T{Bxo]M)) is represented by 0 ^ - ^ J ( S A \BXO)
M' (SA
Now any admissible g -module M has a resolution 0 <— M <— i— M", where M' and M" have the form similar to N. Then I B X ' O ) ^ ^ is represented by the cokernel of S A ^ M ' <—
S)A§M''.
Now, the notion of admissible module is invariant by the action of the Weyl group. Hence a n I—> Homt;(g)(M,
T{wBxo]m))
is representable in the category of admissible (S)A \WBXO) -modules. We shall denote by (2)A \WBXO)'^M its representative. Now, we can easily patch { ( S ) A \WBXO)'^^}^ ^ G W, together, and the ^ A -module obtained by patching t h e m clearly represents the functor in (i). T h e statements (ii) and (iv) follow from the definition and (iii) follows from the corresponding statement on (S)A \WBXO)^^, t h a t is obvious from the construction. Q.E.D. (3.5) For an admissible Vx -module 5Jl, we can define the notion of B -equivariance, e.g. as in [ K']. T h e detailed care will be left to t h e reader. Note t h a t this is given by an isomorphism (3.5.1)
^*9JT^pr*D7t
as ^BxA" -module with chain conditions as in [ K']. Here pr, jj, : B x X —^ X are given by pr(b,x) — x and fi{bjx) = bx. We say an admissible X^A -module dJl is B -equivariant^ if so is the 'Dx -module 0{—X) ^ 9Jl. Lemma 3.5.1. For any admissible B -equivanani 5)A -module dJl and any open quasi-compact B-stable subset Q of X^ i7"(fi;OT) has a structure of B -module.
Proof.
We shall define the co-multiplication / f " ( Q ; 9Jt) — . 0(B) (8) i/"(12; M)
418
MASAKI KASHIWARA
as follows: i7^(Q;9Jt) -> ^"(/i-^Q;/i*9Jl) = i/"(Q; 0(B) (g)c 5n) ^ 0 ( 5 ) 0 H'^iQ] m). Here the last isomorphism follows from the quasi-compactness of Q. It is a routine to check that this satisfies the axioms for co-multiplication. Q.E.D. Remark 3.5.2. In the lemma above, we cannot drop the quasi-compactness of Q. For example, r(X;0u;^u;(A)) = f j ^ M*{w o A) is not a B -module in general (See Proposition 3.6.7 and Definition 3.6.8). This difficulty is overcome in §4. The following lemma is easy to prove. Lemma 3.5.3. If M is a ( 0 , 5 ) -module, then 'Dx^M equivariant J)^ -module. (3.6)
is a B -
In this section, we shall study a special type of S)^ -module. Lemma 3.6.1.
Lei w eW
(i) ^ k . o ( ^ W ) = 0
and \£P.
fork^Kw).
(li) H'{X;n'^Zl{0{X))) = H'/J^^^ (iii) HL.o(^-^O(X)) = 0 forki^l{w)
Proof.
Then for any k.
and
We have a commutative diagram ^ 5 x 0 D Bwx^ \\\ \\\
and ^C/ = ( ^ [ / n t / ) X i^U^US), Since ^?7nC/- ^ C^(^) and wBx^ is an affine open subset of X, we obtain (i) and (ii). Let s be a section of C)(A) over WBXQ given by WBXQ ^ wU "—^ G, i.e, s{wub^) = bZ^ foruEU and 6_ G B-. Then t?(A) = O. Moreover the weight of s with respect to
SYMMETRIZABLE KAC-MOODY LIE ALGEBRA T -action is wX, because s{t~^wu) = s{w(w~^t~^w)u) We have as a T -module H'^ZIO(^'^<^W)
= OrUnU)®
urn
=
419
{w~^tw)'^s(wu).
n n_) 0 (5 (8) 5,
where 8 is the delta function and its weight is T 3 t H-^ dei{Ad{t) :^ n n n _ ) , which is J2aewA^nA. ^' By (2-7.4), we have (3.6.1)
w\-\-
^
a-wo\,
and hence the weight of 6 <S> s is w o X. On the other hand, as a T -module 0(^/7 n [/) ^ 0 ( ^ n n n) ^ ^aewA^nA^S{Q%) and C/(^n fi n_) ^ ^ ( ^ n n n_) = 0aGt^A+nA_5(g^). Hence the character of 0(^C/nt/)(2)t/(^nnn_) is
'-
n
n
'-
This gives the last statement of (iii). P r o p o s i t i o n 3.6.2.
Q.E.D.
For any A G P V{Bxo\0{X))^M^{X),
Proof. (3.6.2)
By the preceeding lemma, we have diT{Bxo\ (9(A)) = chM*(A).
Using the notation (2.4.2), —A is a lowest weight of D{T{Bxo\0{X))) hence we obtain a homomorphism (3.6.3)
V{BXQ',0{X))
and
— . M*(A).
By (3.6.2), it is enough to show that (3.6.3) is injective. In order to see this, we shall show that there is no highest weight of V[BXQ]0{X)) other than A. This follows immediately from the following fact. (3.6.4)
An element ofV(U\Ojj) invariant by the left infinitesimal action of n IS a constant function. Q.E.D.
420
MASAKI KASHIWARA P r o p o s i t i o n 3.6.3.
Assume < hi,X >>—I.
Then
Proof. Since chHQ^^^^{X;0{X)) = chM*(5j o A), by arguing as in the proof of the preceeding proposition , it is enough to show that any highest weight of H^^^^^{X;0{X)) is 5^ o A. We have BSiXQ C
U^
StBxo
C ''U
Hence i/i,,^^^(X;(9(A)) S r{''U\Ui;0.,u)/Ti''U;0.,u){exptf,;t G C} S [7, X C. Then
//^,.,„(X;(9(A)) - 0(U,) ® iC[t,t-']/C[t-'])
Set '^U = Ui x
= 0(t/,) ®
cr']r\
( 3.6.5) Let / G T{'-U\U,;Os,u)/Oi''U;Ouu) = OiUi) ® C[t-^]t-^ be a highest weight vector. Then / is invariant by the left infinitesimal action of Ui and hence f{ue^^*Si) = /(e^'^'s,) for u 6 Ut,t G C. Therefore / G C[t~^]t~^. We shall calculate the infinitesimal action of e^. Let e be a quantity with e"^ = 0. Then f{e~^^'ue*^'Si) = /(e~^^'ue^*'e~^^'e*-^>Si) = /(e~^^'e*-^'s,), because [/, is invariant by Pj. On the other hand, we have e-".e*^-s, = e*^-e-^(^-+"''-*'-^')si =
e'^'+''^^'s,e-'^^'-"''\
This shows / ( e - " ' e ' ^ ' s O = /(e«^'+^''^'Si)(l - £ < /^i, A X ) = fie'^'Si) + £ ( < 2 l - < hi, A > <)/(e*^-sOHence (f{t) = /(e*-^*^^) satisfies the differential eciuation: t{t -—
< h^,X >)(p = 0
mod
C[t].
Since < h^^X >> —1, v? is a constant multiple of/~^. Thus, there is a unique highest weight vector of HQ^ ^ {X; 0{X)) up to constant multiple. Q.E.D. P r o p o s i t i o n 3.6.4.
If < hi^X > > —1, then
Hhs.roi^; 0{X)) = H\Bxo;0{s,
o A))
SYMMETRIZABLE KAC-MOODY LIE ALGEBRA as an (OxX^^^)^^)
Proof. phism
421
-'module.
Since they are isomorphic to M*(A), there exists an isomor>p : //^,.,„(X;0(A)) ^
H\Bxo;0{si
o A))
as g -module. This is unique up to constant multiple. We shall show that this is OxX^^i) -linear. Consider the two homomorphisms fuh-
Ox.iBxi)
® /f^,.,„(X;0(A)) — H°iBxo;Oisi
o X))
obtained by the multiplication of OxX^^i) ^^ ^hs^xoi-^'^^W) ^^^ H^{BxQ\0\s^oX)). We have to show fi = f2- As a g-module Ox^Bxi) C OX{BXQ) = M*(0), and / i and /2 are g-linear. If / i / /2, then the image of / i — /2 has a highest weight, that must be weight A. The weight space of Oxt{Bxi)<S^H^g^^^{X]0{X)) with weight A is contained in C(g)iJ^^ ^ {X]0{X)) and / i = /2 on this space, which contradicts / i 7^/2. Q.E.D. Corollary 3.6.5.
For w e W and X e P with < h^,X >> -I,
we
have
as a Q -module.
l{w),
L e m m a 3.6.6. For w E W, i E I and X E P such thai l{wsi) < < hi,X >> —1, we have, as g -module
H'^:l(^-> OW) = Htl'rM; Oisi o A)). Proof. Since BWXQ = qf^{Bwxi) q~^{Bwxi) n wsiBxo, we have
= H'^:l:\Xi>'ii.K>.B.oiOisi
Proposition 3.6.7.
fl wsiBsiXo
and BwsiXQ =
o A))) = H'^Zl-^iX-Ois, o A)). Q.E.D.
//A € P^, then for any w £W
nX;n'^lliOiX)))^M*iwoX).
422
MASAKI KASHIWARA
This follows immediately from the preceeding lemma and Proposition 3.6.2. This proposition is proved by G. Kempf [Kempf] in the finite-dimensional case, and S. Kumar obtained similar results in the Kac-Moody case ([S.K]2). Definition 3.6.8. For A G P and w; G H^, we set »^(A) = W^^],^(0(A)). Then 55iy(A) is a 5 -equivariant holonomic 5)A -module and satisfies
(3.6.8)
//^(X;«,(A))=r I
M*(i/;o A) for n =: 0, 0
forn ^ 0.
Proposition 3.6.9. Lei dJl he a B -equivariant admissible S)A module and w G W. Assume (3.6.9)
Supp
971 C
BWXQ
on a neighborhood of
BWXQ.
Then there exist an index set J and a B -equivariant homomorphism (p : 971 —r 93iy(A)®*^ such that (p is an isomorphism on a neighborhood of BWXQ.
Proof. This follows from the following two lemmas that are more or less well-known. Lemma 3.6.10. Let Y be a closed subscheme of X such that locally X = Y X C^. Then for any admissible S)x -module dJl with Supp(dyi) C Y^Hom^ ( S x ^ y ? ^ ) ^^ ^^ admissible ^ y -module and 9Jl ^ ^Dx^y 03)^ iTomj) ( 2 ) x ^ y , 9 ^ ) .
Lemma 3.6.11. Let X be a homogeneous space of an affine group scheme G. If DJl is an admissible G -equivariant © x -module, then 9JI = ^eJX Here X is a homogeneous space ofG ifG acts on X and for a C-valued point X of X, p : G —^ X given by g \-^ gx is faithfully flat. Then Lemma 3.6.11 follows from the faithfully flat descent ([SOA]).
S Y M M E T R I Z A B L E K A C - M O O D Y LIE A L G E B R A
423
4. S ) - m o d u l e s o n t h e flag v a r i e t y (4.1) In this section, we shall study j9-e qui variant ^ - m o d u l e s on the flag variety X for an arbitrary Kac-Moody Lie algebra. Let $ be a finite subset of W such t h a t
(4.1.1)
liw'
£ ^
and \i w ^W
satisfies w < w', then ^ 3 w.
For such a $ , let fi(^) be the open subset |Ju;e$ BWXQ = [J^je^ Note t h a t any 5-stable quasi-compact open subset has this form.
IVBXQ.
Let A G P + , and set P A ( ^ ) = U t . ^ * ( ^ ^ ^ + Q-)We denote by Mod{'Dx,B)the abelian category of P-equivariant admissible 3)A-inodules, and Mod{Q,B) the abelian category of (g, 5 ) m o d u l e s . Lenima 4.1.1. Let U be a quasi-compact B-stable X such that U D Q ( ^ ) . Then for any dJl in Mod{'Dx,B), Hu\m)^U;OJl) belongs to P^i^).
open subset of any weight of
Proof. By the condition, U can be written as Q ( $ ' ) with $ ' D <^. We shall prove the statement by the induction of #(<^' \ $ ) . When ^' ^ ^ , let us take a maximal it; in <^' \ $ . Set U' = fi(^' \ {w}). T h e n we have a long exact sequence
By the hypothesis of the induction, ^ t / ' \ a r * ) ( ^ ' ' ^ ) satisfies the property. Hence it is enough to show the property for H^ijj,(U',dyi). We have a spectral sequence
S"^ce nl^^JdJl) is in Adod{^x,B), n%^^^{m) \Bru.o is a direct s u m of copies of St^(A) by Proposition 3.6.9. Hence £2^ is also a direct s u m of copies of H^{U] ^iy(A)), which is isomorphic to 0 or M'^(w o A). Since the weights of M*(w o A) are contained in tt; o A -f Q - , we are done. Q.E.D. Corollary 4.1.2. H''{U;On),
Under the same assumption ^ H"{Q(^y,m),
as m Lemma
for A« ^ P A ( $ ) .
4-^-^
424
MASAKI KASHIWARA
Corollary 4.1.3. For any fi £ P, there exists a quasi-compact Bstable open subset U such that for any quasi-compact B-stable open subset U' D U, H''{U']m)y, -^ ^"([/;9Jl)^ 25 an isomorphism. Definition 4.1.4. For 9Jl G Mod{'Six^B), we set
u where U ranges over quasi-compact 5-stable open subsets. We set r(X;OT) = H^{X-m).
Then Corollary 4.1.3 implies
V{X',m) = 0 ^ e p r ( X ; 9 n ) ^ -> r(X;9Jl).
By the above discussion, for an exact sequence in
Mod(^x^B)
we have a long exact sequence
We have also (4.1.2)
^"(X;S„(A))
M*{wn o7^A) t Oior 0. for n = 0
(4.2) Let <^ be a finite subset of W satisfying (4.1.1). Let C be the thick subcategory of Mod{Q^B) consisting of (g, jB)-modules whose weights are in Px{^). We set (4.2.1)
Mod{Q, ^) = Mod{g, B)/C.
This is an abeUan category because C is thick. For any 5Jl in Mod^'Dx, B), 5^(X;9Jt) and i/"(Q(^); 9Jl) are isomorphic in Mod{g,^) by Corollary 4.1.2. Definition 4.2.1.
For weW.we
set 9Jt^(A) = 0(A) (g) 93^.
For the notation, see §1.4. This is a 5-equivariant holonomic S);\-module whose support is the closure of BWXQ.
S Y M M E T R I Z A B L E KAC-MOODY LIE A L G E B R A
425
Moreover, we have (4.2.2)
OT^(A)
I wBxo :^ ^^.(A) |
WBXQ.
Since for any holonomic S)x-"module 5Jl, (4.2.3)
Homj)^(9Jt,^,)^Homj)^(9JlU,,,^^
U , J ,
we have, by the duality (1.4.3), for any holonomic ©A-module 9JT, (4.2.4)
Hom5)^(OT^(A),9Jl) ^ Homj)^(9Jl^(A) U ^ ^ , , ^ ^ B ^ J .
Also by the duahty we have (4.2.5)
/ / 9Jii^(A) —^^isa surjeciive -modules and Supp{^)f]Bwxo
homomorphism of admissible ^ A = (j), then 01 == 0.
By (4.2.2) and (4.2.3), we have a homomorphism (4.2.6)
9n«,(A)->Q3«,(A).
This is an isomorphism on WBXQ. Let Cu>{^) be the image of this homomorphism. Proposition 4.2.2. Lei M he in Mod{g,B). Then the support of "Dx^M IS contained in the union of the closure of BWXQ such thai Homg(M,M*(ii;oA)) ^ 0 .
Proof. T h e support S of 'Dx'S'M is invariant by the action of B. If Bwxo is open in 5 , then 'Dx<S>M \BWXO is a direct sum of copies of ^«;(A) by Proposition 3.6.9, and hence Eom^^{'Dx<S>M
\BWXO^ ^W>(A) \BWXO)
H o m ^ ^ ( X i A ® M , ^ « ; ( A ) ) = H o m g ( M , M * ( u ; o A ) ) ^ 0. Theorem 4.2.3.
1)x'S>M{w o X) —>• 9Jlu;(A)
is an
We shall first prove the following lemma. L e m m a 4.2.4. (i) Supp{'Sx^M{w (ii)
o A)) C
BWXQ.
5)A§M(I/;OA)|5^^,^«^(A).
(iii) Eom{Tix§>M{woX)^'^^,{X))
= 0
for
w':^ w.
=
Q.E.D. isomorphism.
426
MASAKI KASHIWARA
P r o o f . Since 'Dx^M{w o A) is in Mod{Q^ B) and generated by one element, its support 5 is a closed B-stable subset. Let w' E W he such t h a t BW'XQ is open in S. Then 'Sx^M{w o A) \BW'XO is a direct s u m of copies of ^w'{^) and hence Rom{'Sx§>M{w o X),^w'{^)) 7^ 0. O n t h e other hand, Eom{'Dx<S>M{w o A),Q3u;/(A)) is isomorphic to Eomg{M{w o A), T(X] 53^'(A))) = H o m g ( M ( u ; o A), M*(it;' o A)). Hence, if it is not zero, then w — w'^ and in this case, this dimension is 1. This implies S)A§M(t(; o A) \BWXO-
®to(A) \BWXO • Q'E.D.
of Lemma
4.2.4.
Now, we shall prove Theorem 4.2.3. Since Muj{\) :^ 'Dx§>M{w o A) on BWXQ, this isomorphism extends to a homomorphism (p : Oyi^{X) —> DA§)M(t(;oA) by (4.2.4). On the other hand, by Corollary 4.1.2, we have ior fi> w o X, f{X-m^{X)),
c^ T{Q{{w^;i{w')
<
i{w)})-m^{X)),
Hence r(X;9Jt^(A))^oA ^ M*{w o X)^oX and r ( X ; 9Jl«;(A))^oA+c.. ^ M''{w o X)u}oX+a, — 0. Hence r(X;9Jlu;(A)) contains a highest weight vector u with weight it? o A. T h u s we obtain a homomorphism M{w o A) -> r(X;9J{^(A)) and hence xp : 2)A§M(ii; o A) - ^ 9^«;(A). Note t h a t (/? and tp are inverse to each other on BWXQ. Since ip o (p \BWXO— '^•d, (4.2.4) implies xp o (p = id. Now, we shall show Coker (p = 0. Since Supp Coker (p^ BIUXQ — , if Coker <^ 7^ 0, then there exists a n o n - zero homomorphism Coker (p -^ ^«;'(A) for w' ^ w. This contradicts Lemma 4.2.4 (iii). This shows Coker p = 0, and hence tl> and (p are isomorphisms. This completes t h e proof of Theorem 4.2.3. Q.E.D. (4.3)
Let weWJel
(4.3.1)
satisfy e{siw) > £{w).
T h e n we have (4.3.2)
PIWXQ = BWXQ U BsiWXQ.
Hence we obtain an exact sequence
(4.3.3)
SYMMETRIZABLE KAC-MOODY LIE ALGEBRA Lemma 4.3.1.
7^p,^^,(C?) = Q forni^
427
£{w).
Proof. 'H^^^^^{0) \BWXO= 0 for n ^ £{w). By the equivariance by Pi, we have the desired result. Q.E.D. Thus we obtain Lemma 4.3.2.
(4.3.4)
There is an exact sequence
0 - 7^S„(0(A)) - Q3„(A) - <8,.,(A) - . 0.
We have Lemma 4.3.3.
Proof.
Eom^^{^^{\),^s,wW)
= C.
In order to prove this, we note the following lemma.
Lemma 4.3.4.
'Dx^M*{w o A) -^ ^wW
^^ surjeciive.
In fact, this follows from the surjectivity oiOx ^M*{wo\) —> ^«;(A), which is a consequence of the fact that BWXQ <—^ X is an affine morphism. By this lemma, we have (4.3.5)
Hom^^(
This proves Lemma 4.3.3.
Q.E.D.
Taking the dual we have the following proposition corresponding to Lemma 4.3.2 and 4.3.3. Proposition 4.3.5. Assume i{siw) > £{w). (i) We have an exact sequence (4.3.6)
0 -^ 9Jl,,«.(A) ^ 9Jl^(A) ^ m^{\)/m,^^{X)
and ^w{X)/^s,w{X) 25 Pi-equivariant (ii) Homj)jan,.^(A),9H„(A)) = C.
-^ 0
428
MASAKI KASHIWARA
Proposition 4.3.6. Let w, w' e W,X £ P^ and let cp : M{w'oX) —> M{woX) be a non-zero Q-homomorphism. Then the induced homomorphism, T^x^M^w' o A) -> X)A0M(W; O A)
is injective.
Proof. We may assume without loss of generality that w' •= SiW and £{s^w) > £(w). Since we know in this case Homj) (9^«;'(A), 9K^(A)) = C, and the non-trivial homomorphism from OJlu)'{X) into 971^^^(A) is injective, it is enough to show that S^^V^ is non-zero. Let w be a non-zero section of 'Sx^M{w o A) with weight A. Setting £ —< hi,\ > -fl, it is enough to show f^u :^ 0. Now, we have Piwxo = Bwxo U Bsiwxo, and
U
U
u
u
Bs^wBxo n SiBwxo^^^
'^"^Un U^.
Now, we identify **^[/ - c X (^*^/7 n ^ 1 ) X C^^^t/ n Ui) by C X ( ^ ' ^ ^ n C / i ) X ('^""U nUi) 3 {t,ui,U2) ^ e^^^uiU2. Let 5 be the section of 0{X) over SIWBXQ given by s(siwu) = 1 for u £ U. Then 5 has weight siwX. Let S(ui) be the delta function. Then u — t^~^Y{t)S{ui)s, where Y(t) is the Heaviside function. Let us denote by L the homomorphism g —>• r{X\1)x). Then with the coordinates (/, 1/1,1/2), L(fi) - d/dt. Hence, {d/dt)Y{t) - 6{t) gives {d/dtfu
= {i-^ l)\S{t)S{ui)s ^ 0. Q.E.D.
Corollary 4.3.7. If M{w' o A) -^ M{w o A) is a non-zero g-homomorphism, then the composition M{w' o A) —^ M{w o A) —» r ( X ; 5Jl^^(A)) 25 non-zero.
SYMMETRIZABLE KAC-MOODY LIE ALGEBRA
429
5. S y m m e t r i z a b l e case (5.1) Hereafter, we assume that g is a symmetrizable Kac-Moody Lie algebra. In this case, V. Deodhar, 0 . Gabber and V. Kac [D-G-K] prove the following fact : (5.1.1)
For A G P-i-, the highest weight of any irreducible suhquoiient of M[X) has the form w o\ for some w G W.
L e m m a 5.1.1.
M{wo A) —> r(X;97lu;(A)) is injective.
This follows immediately from Corollary 4.3.7 and (5.1.1). (5.2) Let Mod{^, B, A) be the full subcategory of Mod{g, B) consisting of objects M such that the highest weight of any irreducible subquotient is of the form w o \. Then by (5.1.1), M(A) as well as M*(A) belongs to Mod{^,B,\). The main theorem of this paper is the following. T h e o r e m 5.2.1. Let A G P+. (i) For any 9Jt in Mod{Ttx,B), ^ " ( X ; a n ) = 0 / o r n / 0 and r ( X ; W ) belongs to Mod(g,B,X). (ii) For any M m Mod{1)x,B), S)A0r(X;5Jl) -^ M is an isomorphism. (iii) M{woX)^f{X;dn^{X)), (iv) r ( X ; £ ^ ( A ) ) - L ( ^ o A ) . (5.3) In order to prove this, let us consider the following statements for finite subsets $ and ^ ' satisfying (4.1.1) and ^ D $', (i,^, ^')
(ii,^,^')
For any M m Mod{Vx,B) with Suppmf]Q{^') = (f),5"(X;9JZ) = 0 in Mod(g,^) for any n :^ 0 and any highest weight irreducible subquotient o/r(X;9Jl) has the form w o X with w G
For any M in Mod^Dx^B) with Suppmf]Q{^') morphism M —^T{X\dy()which is an isomorphism "Dx^)^ -^ ^^ 25 an isomorphism on ^ ( $ ) . (iii,^,^') M{w o X) —r r ( X ; 9Jtu;(A)) IS an isomorphism in any w e ^ \ ^ ' . (iv,<^,^') L{w o X) —^ T{X; Cuj{X)) is an isomorphism in any w E ^\(^'.
= (j), and a on Mod{Q, <^), Mod{Q,^) for Mod(Q,^) for
If (i,^, <^')-(iv,^,<^') are true for any <^ and ^', then Theorem 5.2.1 is also true.
430
MASAKI KASHIWARA
(5.4) We shall prove ( i , $ , $ ' ) - ( i v , $ , $ ' ) by the induction of # ( $ \ $'). Since they are trivial if ^ = ^ ' (see Corollary 4.1.2 and Proposition 4.2.2), let us assume # ( $ \ $ ' ) > 1. Let us take a minimal element WQ in $ \ ^ ' and set ^ " = ^'[J{WQ}. By the hypothesis of induction, (i,^,<^")-(iv,<^, <^") are true. Let us consider the long exact sequence of global cohomology groups associated with (5.4.1)
0 - . £„„(A) - . *8,„(A) - . !B^„(A)/£„„(A) -^ 0.
Since Supp{^^,iX)/Cn,oi^)) n Bwoxo = 4>, ^"(X;S^„(A)/£^„(A)) = 0 in Mod{Q,^) by (i,$,$"), and we obtain (5.4.2)
^"(X;£„„(A)) = 0,
for
n 7^ 0,1
and an exact sequence r(X;
- 0.
Hence by tensoring J)A? we obtain an exact sequence 2)A®r(X; 25„o(A)) ^ S)A®r(X; 55^„(A)/£^„(A)) ^
S)A®H1(X;
r„„(A)) -^ 0.
Since 5),®r(X; «^„(A)/£^„(A)) ^ S„„(A)/£„„(A) is an isomorphism on ^ ( ^ ) by (ii, ^,<^''), we have 'Dx^H\X',C^,{X))
=^
on
Q(^).
Assume that H^{X\CU}Q{)^)) does not vanish in MCK/(0,$). Since 5H-'^;>Ct.o(^)) is a quotient of f (X; ^«;,(A)/£^,(A)), (i,<^,<^'') implies there exists a surjective morphism H^{X\Cu)o{y<)) ~^ ^ ( ^ ° ^) ^^"^ some u; G ^ \ ^ " . Hence S ) A § L ( U ; O A) = 0 on fi($). Since 'S\^L{w o A) is isomorphic to Cw{^) by (ii,,$") and (iv,$,$''), this is a contradiction. This shows H^{X]C^S\)) = 0. Thus we established (5.4.3)
5 " ( X ; £ ^ , ( A ) ) = 0 in
Mod{Q,^)
for
n / 0.
Now consider the exact sequence 0 — ^ — 9n^,(A) -^
£,,(A) — 0.
SYMMETRIZABLE KAC-MOODY LIE ALGEBRA Since 5iipp07 Pi Q($'') =: (j), ( i , ^ , ^ ' 0 implies 5"(X;0^) = 0 in for any n ^ 0. Then, together with (5.4.3) we obtain (5.4.4)
^"(X;Dn^,(A)) = 0 in
Mod{Q,^)
for
431 Mod{^,^)
n ^ 0.
(5.5) P r o o f of (i,<^,$'). Let 9Jl be as in ( i , $ , ^ ' ) . Then there exists a morphism (f> : 971®"^ —>• 5Jl which is an isomorphism on BWQXQ. Hence, m = Ker(p and 0^'= Coiber ^ satisfy 5uppmnQ(<^") = Suppm'nCt{^") = 0. By ( i , ^ , ^ " ) . H'^iX'^m) = 5 " ( X ; m ' ) = 0 in Mod{^,^) for any 7i / 0. Moreover (5.4.4) implies 5"(X;9;T®^^) = 0 in Mod{g,^) for n ^ 0. This shows 5"(X;9Ji) = 0 in Mo(/(g,<^) for n 7^ 0. The last statement in (i,<^, ^') is easily reduced to the case where 9Jl = ^w{^) for w; G VF \ $'. (5.6) Proof of (iii, $ , ^ ' ) . following lemma. Lemraa 5.6.1.
In order to prove this, we shall note the
For a B-equivariant holonomic 5)x-i^odule 9Jt,
^(-fch H%x;m{\)) = Y,{-T ch H"{x-m-{\)). In fact, we can easily reduce this to the case where DJt = Cyj. In this case, 9JI = 9Jt*. Q.E.D. We shall apply this lemma for 9Jt = S^; for li; E ^ \ ^ ' . Then we obtain dimf (X; 9Jt^(A))^ = dimM*(ix; o A);, = dimM(w; o A)^ for fi G Px{^)(5.6.1.) Since M{w o A) —^ T{X : 9Jliy(A)) is injective, it is an isomorphism in Mod{Q,^). (5.7) P r o o f of ( i i , ^ , $ 0 - Let dJl and M -^ f{X;m) be as in (ii,^,^0Let us take (f : DJt®*^ -> dJt which is an isomorphism on BW^XQ. Then 91 — Ker ^ and 91' = Coktr ^ satisfy 51/^^91 fl Q(^") = 5wpp91' fl Q(^'') = c;^. Let £ be the image of (p. Let N be the fiber product of M and r ( X ; £ ) over r(X;9Jt). Then we have the commutative diagram S A ^ A T —> £ ) A 0 M — ^ 'Sx®{M/N)
0 —^
JC
—^
m
—>
91'
—> 0
—.0.
432
MASAKI KASHIWARA
By ( i i , $ , ^ ' ' ) , ^A<§(M/Ar) -^ 9T' being an isomorphism on Q ( $ ) , it is enough to show that X)A(8)A^ —^ £ is an isomorphism on Q(<^). Let A^' be the fiber product of N and f(X;m®'^) over f{X]C). T h e n we obtain the commutative diagram
;0T)
2),
i 0Since 'Dx'S)T{X; 01) morphism on ^ ( ^ ) , on Q ( ^ ) . Since N' Mod{Q,^), {N')u^o\
m
* 'Dx®N' — ' ,
i
mf'
—».
—* 0
I C
—^0
-^ 01 is an isomorphism on f2(<^), S ) A 0 A ^ —^ £ is an isoonce we prove t h a t 2 ) ^ ^ ^ ' —^ ^ ^ o ^^ ^^^ isomorphism -> f{X ; Wt®;^) ^ M{wo o A)®-^ are isomorphisms in - C®-^ and {N')u;oX+a,- 0. Hence we obtain M{wooXf'
-.N'
-^f{X;m^'j
in which morphisms are isomorphisms in Mod{^,^). Since 'X)x0M{wo o A)®-^ - ^ ^A§)A^' is surjective on ^ ( ^ ) by Proposition 4.2.2 and Vx^M{iuoo X^^J _^ dJl^-^ is an isomorphism, Tlx^N' —^ 9Jl(u;o)®'^ is an isomorphism on Q(<^). This completes the proof of (ii,<^,$'), (5.8) P r o o f of (iv,^,<^')- Since £^(A) is the image of 9}t^(A) - ^ «^^(A), r ( X ; £ ^ ( A ) ) is the image of r ( X ; O T ^ ( A ) ) - ^ r ( X ; ^ ^ , ( A ) ) in Morf(0,^). Since L(w o A) is also the image of M(w o A) —^ M*(i6' o A), we obtain We have completed the proof of (i,<^, ^ ' ) - ( i v , $ , $ ' ) and thus the proof of Theorem 5.2.1. (5.9)
I don't know if the following statement is true.
(5.9.1)
For any object M in Mod{g,B,X), isomorphism.
M -^ r(A:;X)A§'M) ts an
This is proven in the finite-dimensional case ([B-B], [B-K]).
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S Y M M E T R I Z A B L E KAC-MOODY LIE A L G E B R A
433
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Masaki Kashiwara R.I.M.S. Kyoto University Kyoto, J a p a n
Euler Systems V.A. KOLYVAGIN
Dedicated to A. Grothendieck on his 60th birthday
Introduction In this paper we study Euler systems defined by the characterizing condition AXl, perhaps with the addition of other conditions (AX2 and AX3 systems, see §1). Our main purpose is to apply them to determine the structure of the class groups of certain algebraic number fields i?, and the Mordell-Weil groups and Shafarevich-Tate groups of Weil curves. In the case of the class group CI of a field R^ Theorem 7 of §2 says that, if the Galois group G of i^ is annihilated by /— 1, where / is a rational prime, and if V* is a homomorphism from G to the group of (/ — l)-th roots of unity in Z/, then (under certain conditions on R and ^p) any Euler system associated to R which is non-degenerate (in its (/,i/')-component) determines the structure of the V'-component of C/ 0 Z/, i.e., it determines the set of integers nj, n, > n,^_i, such that (CI 0 Zi)^ ~ YlT=i Z//"* as an abelian group. Theorem 7 also shows how the Euler system determines bases of (CI 0 Z/)^ consisting of prime divisor classes, the expansions of certain prime divisor classes in these bases, and also certain representations of primary numbers. For example, this holds for the cyclotomic field Ki = Q ( 0 ) (see below) with odd characters ip and the system of Gauss sums, or with even characters I/J and the system of cyclotomic units. As a corollary we find that the order of X = ( C / 0 Zi)^ is bounded from above by the predicted explicit order [X]?; and this, along with formulas for the class number, enables us in several cases (cyclotomic fields, fields which are abelian extensions of an imaginary quadratic field) to prove that [X] and [X]? are equal. Theorem 7 gives us a prototype for a theory which describes G((K''^Y^/K) (where K is an algebraic number field and (A'^*)^^ is the
436
V. A. KOLYVAGIN
maximal abelian extension of the maximal abelian extension of/<') in terms oi K in much the same way as abelian class field theory describes C{K^^/K) in terms of K. We have proved a similar theorem for the Shafarevich-Tate groups 111(74,/C) of a Weil curve A over Q , where K is an imaginary quadratic field which is associated to A in a certain way. Here we use the Euler system of Heegner points over ring class fields of K^ and we compute the invariants n,- > nj+i in the decomposition III = ^ (Z/Z'^^a,--h Z//"»6i) in which {ai^bi} = /""», {cti^aj} = 0 for all i,j, and {ai^bj} = 0 for i ^ 2^ where { } : III x III ^^ Q / Z is the Cassels pairing. T h e complete statement and proof of this theorem will be published in another article, while the present article contains the technically somewhat simpler proof of t h e "approximate" divisibihty of [III]? by [III], where [III]? is the order of III predicted by the Birch-Swinnerton-Dyer conjecture. Among other results, we find t h a t , if the L-function of the Weil curve A has a simple zero at 5 = 1, then A ( Q ) has rank 1 and I I I ( A , Q ) is finite. For more details, see below. For further discussion of Theorem 7 we refer the reader to the text. T h e rest of the introduction will be devoted to a detailed description of t h e results relating to bounds for the rank of A ( Q ) for Weil curves and divisibihty of [(C/(8) Z/)^]? and [III]? by [ ( ( 7 / 0 Z)^] and [III], respectively. We first note t h a t the module of Euler systems which is associated with an algebraic group A and a tower of extensions of the algebraic number field A', apparently has canonical generators (cyclotomic units, elliptic units, Heegner points, etc.) which determine the arithmetic nature of t h e C^function. It would be of interest to find canonical generators and work out the theory for a complete adelic version of Euler systems. We start by considering the most classical case of cyclotomic fields. T h u s , suppose that / > 3 is a rational prime; K\ — Q(0)5 where 0 is a primitive /-th root of 1; G = G a l ( A f / Q ) with canonical isomorphism /> : G - ( Z / / ) * given by Cf = Cf^^^ ^^r all geG.Y^e we let j =
set ga = />"H«). and
j^ag„Az[G]\nZ[G]
denote the Stickelberger ideal. Let 6a € Zjf denote the (/ — l ) - t h root of 1 for which Oa = a {mod I). For odd integers i, 1 < i
Let ordi : QJ' —^ Z be the /-adic ordinal, and let yi = ordi{Bi^i), Bi^i = l^'Ui, where Ui is an /-adic unit.
so t h a t
EULER SYSTEMS
437
If J4 is a Z([G]-module, then we define Ai = {aeA\
a"" = 6>> Va € (Z//)*}.
A is the direct sum of the Ai, where 0 < i < / — 2 (we have / \
J
1-1
\
1-2
a=l
/
1=0
J
i-i a=l
Let CI be the class group of Kj, let A be the /-component of C/, and let [Ai] = P* (the order of a finite group B will be denoted by [B]). Let /^/+ = Q ( 0 + Cr^)' ^^^ '^^ ^ ' + '^^ ^'^^ ^^^^ group of i^/4,. From classical formulas for [CI] and [C/4.] (see [1], Ch. 5) it follows that ^ x , - = YlVi^ where z is odd, 1 < z < / — 2. The classical Stickelberger relation JA_ = 0 (where we define A± = {a £ A \ a^-^ = ± a } ) gives the relation l^'Ai = 0. In particular, this means that y, = 0 => Xi = 0 . If A^ is a monogenic G-module {Ai ~ Z//^»), then obviously x,- < y,-, and since Yl^i ~ Si/* it then follows that Xi = yi. A- is monogenic if A^ = 0 (Iwasawa). In the general case the basic conjecture that Xi = yi for a long time appeared hopeless. Finally, Ribet [2], using ^-adic representations associated to the jacobians of modular curves, proved that x,- = 0 => yi = 0. More precisely, under the assumption that /|i3i,j, Ribet was able to construct a nontrivial /extension of Ki with a suitable condition on the action of the Galois group. Continuing in this direction, Wiles [3] proved that ^4,- Ci^ Z/P* =^ Xj = yi. Using the philosophy of modular constructions of unramified extensions, Mazur and Wiles [4] proved the analogue of Xi = yi for towers LKin, where L is an abelian extension of Q (the "main conjecture" for abelian extensions of Q, or more precisely, the imaginary component of the main conjecture). Further generalizations, with L replaced by a totally real extension of Q, were obtained by Wiles in [5]. In the present paper Euler systems are used to give a direct proof of inequalities of the type Xi < yi. In the case of cyclotomic fields, when combined with the equality Yl^i — Z^2/«J ^^^^ gives a new (and fairly elementary) proof of the equality x,- = ?/,•, and, it seems, of the main conjecture. The -h-version of x,- = yi consists in the following. Let U denote the group of units of Kj^, and let UQ C U he the subgroup of cyclotomic units: UQ is the Z[G4.]-submodule of U (where G-j. = Gal(A'/-|./Q)) generated by the units (Cf - l)(Cr^ " 1)/(C/ - l)(Cr^ - 1), ^ ^ (Z//)*. It is well known (see [1], Ch. 5) that U/UQ is a finite group. Let B be the /-component of U/UQ, and set [Bi] = l^\ where i is even, 2 < e < / —3. The formula for [C/+] implies the equahty Yl^i — ^ Vi (^^^ summations are over 2 < 2 = 2j < / — 3). Using class field theory, from the minus-results of
438
V. A. KOLYVAGIN
Mazur-Wiles one can prove that Xi = yi. Recently Thaine [6] gave a direct proof that l^'Ai = 0, which is the -f-analogue of the Stickelberger relation. We shall prove that Xi < yi directly, and this will also give a new proof that Xi = yi. Of course, regularities of the type x,- = yi extend far beyond the realm of cyclotomic fields. In essence they form a branch emanating from the trunk of abelian class field theory and extending into the foliage of (highly ramified) nonabelian class field theory. Rubin [7-8] used an analogue of the elliptic and cyclotomic units, and, generalizing Thaine's proof, obtained annihilator relations of the form l^'Ai = 0 for class groups of abelian extensions of a quadratic imaginary field k. Using the natural connection between class groups and the Selmer groups of an elliptic curve E over fc, End(£') 0 Q = fc, Rubin proved that the Shafarevich-Tate group UI{E^k) of E over k is finite if L{E,k,l) ^ 0, where L{E^k^s) is the canonical L-function of E over k. Here \M{E^k) is annihilated by Uk\ill{E,k)]l, where [III(£', ib)]? is the order o{m{E,k) predicted by the Birch-Swinnerton-Dyer conjecture, and Uk is the number of units in k. We note that [III(£', A:)] is the square of a natural number (if it is finite), because of the existence of the non-degenerate alternating Cassels pairing UI x UI -^ Q/Z, and we obviously have [Ull^/^m _ Q. if £• is defined over Q, then III(£', Q) is also finite provided that L(£', Q , l ) ^ 0, and 1II(£', Q) is annihilated by iijt[III(£', Q)]?. Rubin gave the examples: m{E, Q) = 0 for £• : y2 = X^ - X\ m(J?, Q) - Z/2 -h Z/2 for ^ : y2 = X3-f 1 7 X ; m ( £ ' , Q ) ~ Z / 3 - h Z / 3 for ^ : Y^ = X^ ~ 2^3^52. The Birch-Swinnerton-Dyer conjecture holds for these curves. Rubin further proved that L'{E, Q, 1) 9^ 0 => rank E'(Q) < 1 => rank £'(Q) = 1 (see the discussion below of the results of Gross and Zagier). Earlier Coates and Wiles [9] had proved that X(£',Q, 1) / 0 => £'(Q) is finite. Coates and Wiles used the orthogonality of the elliptic units and points P G ^ ( Q ) under the analogue of the Hilbert symbol. In the present paper we prove inequalities of the form Xi < yi for class groups of certain abehan extensions of Ar (see §2). Combined with the class number formula, this must imply that x,- = y,-. Apparently it will also lead to a proof of a "main conjecture" which, when applied to the elliptic curve £", enables one to prove that the dimension of the finite-dimensional Q/-space (where / is a rational prime) limS'/n(£',Q)0Q/ (where Sjn is the /"-Selmer group of E over Q) is equal to the multiplicity of zero at s = 1 of the /-adic L-function of E over Q (and also prove the corresponding equalities for abelian extensions of k). If L{E^ Q, 1) ^
EULER SYSTEMS
439
0 or L'(E', Q , l ) ^ 0, this must give us a complete proof of the BirchSwinnerton-Dyer conjecture for E: \ni{E, Q)] = \ni{E, Q)]?. Until now the algebraic group A was taken to be the multiplicative group. Now let ^ be a Weil elliptic curve over Q. (According to the Weil-Taniyama conjecture, every elliptic curve over Q is a Weil curve; this is the case if A has complex multiplication or if A has the form of a Weil curve over a quadratic extension of Q.) Let N be the conductor of Ay K he the quadratic imaginary extension of Q with discriminant D = square {mod 4Ar), and r G A{K) be a Heegner point (see §3). Gross and Zagier [10] proved that for (D, 2A^) = 1 one has: height(r) = ciL\A, K, 1), where Ci is an expHcit nonzero constant and height(r) is the archimedian height of the point r. In particular, this result implies that L'(Aj K,l) ^ 0 => TSinkA{K) > 1. We have: L{A,K,s) = L{A,Q,s)L{A,Q,XD,s), where XD is the quadratic character associated to K and L(i4, Q,Xi>) ^) = E " = i XD{n)ann'', where L(AM.s) = = ^ ^ = 1 « n n - ^ If L ' ( ^ , Q , 1) # 0, then L'{A,K, 1) = V{A,Q, !)• 'L(A, Q,XD, 1) (here the condition on Z) implies that the multiplicity of zero at s = 1 of L{A, Q, s) and L{Aj Q , X D ) ^) have different parity (see below); in particular, L{AyKyl) := 0). From the connection between the values of L(^,Q,X£), 1) as D varies and the coefficients of a certain modular form of weight 3/2 (Waldspurger) it follows (see[10]) that there exists K such that L(yi, Q,xi>, 1) / 0. Since 7-[>i(Q)tor] ^ A{Q) and r has infinite order (r has infinite order ^ height (r) ^ 0), it then follows that L'(A, Q, 1) ^ 0 => rank A(Q) > 1. If P G ^ ( Q ) and d G H\Q,A)M, then E,;(^.^)M,t; = 0 by the reciprocity law. Here { , )M,V ' A{Q{v))/M x H^{Q{V),A)M -^ 1/M is the local Tate pairing, and v runs through the places of Q. The search for "explicit" classes of homogeneous spaces d to use with the above orthogonality relation led the author in [11] to construct classes of homogeneous spaces by means of Heegner points. By interpreting the orthogonality relation expHcitly, in [11] we proved that A(Q) and in(A, Q) are finite if L{A, Q, s) has an even order zero at 5 = 1 and r has infinite order. Here in(A, Q) is annihilated by the natural number C2CD1 where CD is the largest natural number dividing the image of r in A(K)/A{K)tor, and C2 G N is a number determined from the parameters associated to the bad reduction of A and the action of Gal(Q/Q) on i4(Q)tor (Q is the algebraic closure of Q). The number C2CD is closely related to \ni{A,K)]?^/'^ (see below). In [12] the results of [11] were extended to the curves yl(/)) : DY'^ = 4X^ — g2X — gs, where A : Y^ = 4X^ — g2X — gs and L(yl, Q, s) has an odd order zero at s = 1. More precise information was also obtained about C2, for example, ordi(c2) = 0 if ^ does not have complex multiplication and the natural homomorphism Gal(Q/Q) -^ Autzt{\iinAin) :^ GL2(Z/) is surjective (as is the case for almost all /, by Serre). For several curves B = A or A(^j))
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V. A. KOLYVAGIN
with L ( 5 , Q , 1 ) 7^ 0 it was proved that \ni{B,Q)]?^^^UI{B,Q) = 0 (here [ m ( 5 , Q)]?^/2 ^ N) If [ u i ( 5 , Q)]?^/2 ^ 1^ this gives m ( B , Q) = 0. Thus, the triviahty of in(^(i)), Q) was proved for A : Y'^ = 4X^ - 4X + 1 and 23 values of D = —7, — 1 1 , . . . , and the Birch-Swinnerton-Dyer conjecture was verified for 5 values of D. A comparison of the approach of Thaine and Rubin to proving the annihilating relations in the case of the multiphcative group and that of the author in the case of elliptic curves suggested the possibility in [12] of combining them into a single general framework. Namely, the cyclotomic units, the elliptic units and the Heegner points are all Euler systems with congruence (see §2, 3). A crucial point in our derivation of inequalities of the form Xi < yi is the possibility (see §1) of passing from the original Euler system T to its derivative T', which is also an Euler system with congruence. Repeating this process, we obtain a sequence of Euler systems {T(^'), i > 0 } . At each step new annihilating relations arise (in H^{K\^A) if A is an elliptic curve, in the class group of K\ if A is the multiplicative group; here Kx is an abelian extension of the ground field or of a quadratic extension of the ground field). From all of these annihilating relations one eventually obtains inequahties of the form x,- < y,-. In the case of the Euler system of Gauss sums, the Euler system of cyclotomic units, and the Euler system of Heegner points, the relations that arise at the first stage of this process are, respectively, the relations of Stickelberger, Thaine and Rubin, and the relations obtained by the author for Weil curves. We now describe some consequences relating to Weil curves of the results of the present paper. Corollaries 11-13 of §3 imply: Theorem A. Let r he a point of infinite order (which for (D, 2N) = 1 15 equivalent to the condition that L'{A,K, 1) / 0, hy Gross-Zagier). Then rank^(ii:) = 1, M1{A,K) is finite, C^CD^{A,K) = 0, and \UI{A,K)] divides C4CJ). Here C3 and 04 are defined in the same way as c^ (see ^3). Let 7 : XN —>> ^ be a Weil parametrization such that 7 o WN = 67 + 7(0), where e = i t l , w^ : X^ -^ ^jv is the principal involution of the modular curve, and 7(0) G ^(Q)tor is the image of the cusp of Xjsf corresponding to 2: = 0 under the natural covering i/UQU{00} -^ XN (here H is the complex upper half-plane). Then A{s) = {27ryN''^T{s)L{A,Q.s) satisfies the functional equation A(2 — s) = (—€)A{s); in particular, (~e) = (—1)^, where g is the multiplicity of zero of L{A,Q^s) at s = I. Let {D^2N) = 1. From the condition D =square (mod 4N) it follows that A(c)(2 -s) = eA(p)(5), where A(o) = (27r)-'(Ar£)2)'/2r(s)L(^(D),Q,s). In particular, e = (—1)^(^), where y(£)) is the multiplicity of zero of L(^(£>),Q,5) = L{A,Q,XD,S) at s = 1; and L'{A,K,l) =
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L{A, Q, l ) i ' ( ^ ( D ) , Q, 1) for £ = - 1 , L'{A, K, 1) = L'iA, Q, l)LiA^D)M, for 6 = 1. We have the following
1)
Corollary B . Lei r be a point of infinite order. Then i n ( ^ , Q) and III(A(£)),Q) are finite, are annihilated by 2C^CDJ and have orders dividing C42°'Cj), where a is the 2-rank ofUI{A^Q) andUI{A(^D^,Q), respectively; rankA(£>)(Q) = 1 and rankA(Q) = 0 if e = —1; and rankA(£>)(Q) = 0 and rankA(Q) = 1 if e = I. Proof. T satisfies the condition r^ = er + ^7(0), where a is the automorphism of complex conjugation and h is the class number of K (see [11], §3). We have the A'-isomorphism t : A —^ ^(D) given by ( X , y ) ^ (X,y/D^/2) Then A^D){Q) = t'i^ e A{K) \ x^ = ~ x } , so that the claim about the ranks obviously follows from the equality A{K) = 1. Furthermore, I1I(A, Q) and III(A(£)),Q) map naturally to UI{A,K) with kernels in H^{G{K/Q),A{K)) and H\G{K/Q),Ai^D){K)). respectively Since these cohomology groups are finite and 2-periodic, it follows that III(A,Q) and III(74(£>), Q) are finite, and the annihilation and divisibility relations also hold. Corollary C. Let L'(A,Q,1) ^ UI{A, Q) is finite.
0.
Then rankA(Q) = 1 and
Proof.
By Waldspurger (see above), there exists D such that ^ 0; then L ' ( A A , 1 ) = i:'(^, Q, 1)L(^, Q , X D , 1) i^ •^ 0 = ^ r is a point of infinite order. L{A,Q,XDA)
Let g be a rational number dividing AT, let m^ be the number of connected components in the fibre of the Neron model of A which are rational over Z/g, and let rrifq — WaX^'^q- Let c G Q* be such that 7*(a;) — cujj ^ where a; is the Neron differential form on A, LJJ = 27r\/—1 X ^ ^ i fln* •exp(27rv^z)(fz, z e H. If (D, 27V) = 1 and V{A,K,l) / 0, then, because A{I{) has rank 1, the Gross-Zagier formula for height(r) (see [10]) is equivalent to the formula
, _mlc'\UliA,K)]? ^^-
[A{K),or?
... •
^'
Let k = End(^) (g) Q, Tai = lim^/n, and let />/oo : Gal(^/ik) —^ AutziiTai) be the natural homomorphism. The map pjoo is surjective for almost all / (see §3). Let D{0) denote the discriminant of O = End(^).
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Corollary D . Suppose that r is a point of infinite order; / / 2; / ^iD(0) in the case when A has complex multiplication; and p/oo is surjective. Then oTdi{\ni{A,K)]) < ord/(C|^). If {D,2N) = 1, then oTdii\ni(A, K)]) < oTdi{\m{A, K)]?) + oTdiiicrriNy). Proof. In this case ord/(c4) = ord/([yi(X)tor]) = 0 (see §3). We apply Theorem A and the formula (1). Let 1^2. Then UI{AjK)ioo ^ in(A,Q)/oo X III(A(x)), Q)/oo (the first factor can be defined as the ainvariant subgroup, and the second factor can be defined as the subgroup on which a acts as the inverse). Let {D,2N) = 1, L'{A,K, 1) ^ 0. Then m{A,K) is finite, and ord/[m(^. A')] = ord/[in(^,Q] + ord/[III(A(^),Q)]. By formulas (1) and (2), we also have ord/[III(A, K)]l = ord/[m(yl, Q)]? + ord/[m(^(Z)),Q)]?. Thus, Corollary D implies Corollary E. Suppose that T has infinite order, and I is as in Corollary D, Then ord/[m(A, Q)]-f ord/[m(yl(i)), Q)] < ordf(C|>). Now let {D,2N) = 1, so that V{A,K,l) ^ 0. //ord/|in(A(p),Q)]? = 0, then oidi\UI{A,Q)] < ord/[m(^,Q)]? + ord/((cm^)2). / / o r d / [ m ( ^ , Q)]? = 0, then OTdi\ni{A^D)M)] < ord/[III(A(z)),Q)]? + ord/((cmAr)2). We have the following plausible conjecture. Conjecture F . Suppose that L{A, Q, 1) ^ 0 or V{A, Q, 1) ^ 0. Then there exists D such that, respectively, L'{A,Q,XD,^) ^ 0 or L{A,Q,XDA) 7^0, and such /Aa< ord/[m(A(£>),Q)]? = 0. In the case L'(A, Q, 1) ^ 0, a natural way to prove Conjecture F is to prove (if this has not yet been done) the nontriviality (mod I) of the Waldspurger modular form associated to A. In the case L(A,Q,1) ^ 0, the author does not know whether it has been proved that there exists D such that L'{AJQ,XDA) T^ 0 (o^ course, in reality most D have this property). Corollary G. Suppose that L{A, Q, 1) ^ 0 or L\A, Q, 1) ^ 0, / 25 as in Corollary D, and A and I satisfy Conjecture F. Then ord/[111(^1, Q)] < ord/[m(^,Q)]? + ord/((cm^)2). \{ B = A or ^(D), then, as noted above, the system of Heegner points and its derivatives determine the structure of UI(5, A'). The simplest examples will be discussed below. If we know the estimate ord/[111(5, Q)] < ord/[III(5,Q)]?, then we can determine the structure of 111(5, Q)ioo (and, in particular, prove the /-component of the Birch-Swinnerton-Dyer conjecture: ord/[III(jB,Q)] = ord/[II[(5,Q)]?), by exhibiting a subgroup X C
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UI{B,Q) of order Z^^, where 2x = ord/[m(5,Q)]?, after which we have 111(5, Q) = X. If any of the exphcit elements of 111(5, Q) has period /^, then 111(5, Q)/oo c^ Z//^ -|- Z / P , because of the existence of the Cassels pairing. Namely, if M = /", then we have a large number of elements z = T^x A ( ^ ) ^ ^^(^>^Af) (see §3) whose localizations z{v) € H^{K(V)^AM)I where i; is a place of A', have been computed (see Theorem 9 of §3). Under certain conditions the image (z) of z in H^{K,A)M is in UI{K,A)M^ Here z^ = ^(-1)'*'^. If / 7^ 2, then (z) 6 UI{A,Q)M if e("-l)'- = 1, and t{{z)) G m ( A p ) , Q ) M if e{-iy = - 1 . We shall give examples. Suppose that (/, [A(/<')tor]) = 1 and M = /^, where y = ord/(C£)). From Theorem 9 (see also the subsequent remarks in §3) it follows that T^ (M) G UI{KJA)M if Ai = (p), where p is a rational prime not dividing DN such that ly^^^ divides (p - (j^)) and ly^y^ divides (a^ - 1 - (;^)). Here /^° is the largest of the powers of / annihilating the /-components of the finite unramified cohomology groups H^{K{v)^A)unr of ^ for v\N (t/o|ord,(m^)if(D,iV) = l). We give one other way to construct in(A,X)/oo. For simplicity, suppose that {D,N) = 1, {l,[A{K)tor]) = 1, and (/,2mAr) = 1. Let Ku be the maximal unramified abelian /-extension of AT, and let Gu = GB1(KII/K)] then Gu c:± the /-component of the class group oiK. Let K\ be the maximal unramified abelian extension of A, let ri G ^ ( ^ i ) be the Heegner point associated with the ideal i of K (see §3), and let TU = Nxi/Kui'^i)' Then (see [11], §3) T^j = erf/'V[Ai/Ai/]T(0), where ^(0 G Gu is the image of i under the Artin map. Let cr' = cr6{i). We let Z denote the Gi/-submodule of Q[Gi/] generated by the identity element zx of the group Gu and by ^2 = ] ^ i^geGu 9) • We define a Gi/-homomorphism fiiZ-^ A{Ku) by setting f\{z2) = w/ and fi{z\) = {a' + €)TU, where ui G ^ ( A ) is such that r ' = NKii/K(fi{zi)) = Mti/ (the existence of w/ follows from the definition of CD)' The exact sequence 0 —> Z[Gi/] ^- Z —>• ]^Z/Z —>- 0 implies that we have an isomorphism /2 : H^{Gu^Z) ^ Hom(Gi/, ;j^Z/Z). We have the homomorphism /a = /{ o /2"^ : Hom(Gi/, ]^Z/Z) -^ 5^(Gi/, yl(Ai/)), whose image lies in 1II(A, A)_cAf > i-^? the subgroup of 111(^1, A)Af on which
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V. A. KOLYVAGIN
upper bound for the smallest such D. Let y2 -h aiXY + Q3Y = X^ + Q2X'^ + ^ 4 ^ 4- ae be the minimal equation of A, and let A be the discriminant of this equation. Suppose that {D,N) - 1. We set m(i>) - 2'-i(^)+2r2(i))^ ^^ere ri(£)) is the number of prime divisors q oi D for which f y 1 =: —1 and r2{D) is the number of prime divisors q of D for which (jj = 1, 2|a^. If and V{A^K,l) ^ 0, then, using the Gross-Zagier formula tion L{AjK^s) = L(^,Q,s)L(7l(j9),Q,s) (and taking into T3iikA(K) = 1, see above and also §3 of [12]), we derive the
Ch = \[A{n)/AiRf]m%m^D)c'miA,
(Z),2iV) = 1 and the relaaccount that formula
Q)]?[in( V ) , Q)]?.
(2)
Here R is the field of real numbers and A(R)^ is the connected component ofyl(R). Corollary H. Suppose thai A does not have complex multiplication, pioo is surjective V/, L'{A,Q,l) 9^ 0, [m(yl,Q)]? = 1, {D,2N) = 1, and L{A, Q, XDA)^ 0. Then [III(A(£>), Q)] divides Cl = -[^(R)M(R)«]m^m(^)c2[m(^(^),Q)]?,
if CD is odd. In particular, [L[I(i4(/)), Q)] divides [III(yl(2)), Q)]? if ^[yl(R)M(R)°]m^m(i))c2 = 1 and [m(A(z)), Q)]? is odd. Proof. In Theorem Bi of [12] it is proven that Cz?in(A(p), Q) = 0. Hence, the 2-component of III(A(2)), Q) is trivial. We then apply Corollary E. Suppose that A is the elliptic curve of conductor 37 with equation y2 + y = x ^ _ X, A = 37, e = 1, c = 1, m^v = 1, [A{Il)/A{Kf] = 2, pjoo is surjective V/ (see [12]), L'{A, Q, 1) / 0, \UI{A, Q)]? = 1 by [13]. In [14] there is a table of C^ for {D,N) = I, -D < 500 (recall that D is a fundamental discriminant, and D = square {mod 4A^)). We have Corollary I. rank^(Q) = 1, 111(74, Q) 25 trivial, and A satisfies the Birch-Swinnerton-Dyer conjecture. Proof. From [14] we have L ( A , Q , x - 7 , l ) 7^ 0 and Clj = 1. Then rankA(Q) = 1 by Corollary B (this is a classical fact: A(Q) = Z P ,
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where Y(P) = X{P) = 0). By Corollary D we have: OTdi\ni{A, K)] = ord,[m(A,Q)] -f ord/[m(A(_7),Q)] < 0 for / / 2. Hence, ord,[m(A, Q)] = ord/|I[I(A(_7), Q)] = 0. In addition, we know from [15] that the 2component of III(yl, Q) is trivial. Corollary H also holds for A when {D,N) = 1, 8/D, since (2) holds in this case (see formula (6) of the introduction to [12]). In the table [14] one has Cj) = 1 for 23 values of £>, from which we find (see [12]) that in(yl(/)),Q) is trivial for these values D — —7, — 1 1 , . . . , —471. Furthermore, using the table and Corollary H, we have: [III(i4(£)), Q)]|3^ for —D = 123,132,211,212,223,419 (Cl = 9); \UI{A^D),Q)]\b'^ for -D = 307,451 {Cl = 25); [m(A(^),Q)]|72 for -D = 379 {Cl = 49). Since C^ = m(£>)[III(^(/>), Q)]?, m(£)) is a power of 2, and [III(yl(£)), Q)] belongs to N , it follows that in these cases m(£)) must equal 1 and C^ = [III(A(£>), Q)]?. The groups III(yl(x)),Q) must be isomorphic, respectively, to Z/3 + Z / 3 , Z/5 -f Z/5 and Z/7 -h Z/7, as can be proved using the procedure described above. For example, for D = —132 we have T L J 3 ) G I I I ( A ( _ I 3 2 ) , Q ) ; for D = —223 we have TLJS) G III(A(_223)5 Q ) - If these elements are nontrivial we have UI{A^D), Q ) - Z/3 -f Z/3 for D = -132, - 2 2 3 . Another example: for D - - 2 1 1 , - 2 1 2 , - 4 1 3 the class number of K = QiVO) is equal to 3, 6, 9, respectively, and h = 15 for Z) = —451, so that in these situations the subgroups Im f^jy-^ C III(A(£>), Q) may be nontrivial. Theorem 9 of §3 gives a large number of relations in H^{Kr, A), where Kr is the ring class field of K of conductor r. These relations can be used to prove analogues of Theorems 6 and 7, generahzing the results of §3; in particular, they give < relations in the sense of the "main conjecture," applied to the Mazur G(A'/A')-modules in towers of cyclotomic fields and Heegner points. The relation with the /-adic analytic L-function can be obtained, for example, through the /-adic analogues of the Gross-Zagier formulas obtained by Perrin-Riou in [16] for Ki and their generalizations to arbitrary ring class fields of K. Combining the < relations with the Birch-Swinnerton-Dyer conjecture (which is in some sense an analogue of the class number formulas), one obtains a proof of the main conjecture. We now list some general notation used in the paper. N = {1, 2 , . . . } is the set of natural numbers and Z^_ is the set of nonnegative integers. If A is an abelian group and M G Z^., then AM and A/M denote the kernel and cokernel, respectively, of multiplication by M. If 72 is a ring, then R denotes its algebraic closure. If L/R is a Galois extension, then G{L/R) denotes the Galois group of L over R. We shall write H^{G{R/R),A) more briefly as H^{R,A), where ^ is a G{R/R)-Tnodu\e. "For almost all" means "for all except possibly finitely many." If O is a commutative ring with unit, then O* denotes its group of invertible elements. The field Q
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is assumed to be imbedded in the field of complex numbers C. a denotes the automorphism of complex conjugation; we shall occasionally write a instead of a^ = (ra. If /? is a finite extension of Q, then SP(R) denotes the set of prime divisors of R; if a is a divisor of i?, then SP{R^ a) denotes the subset of SP{R) consisting of divisors prime to a. U v £ SP{R)^ then R{v) denotes the t;-completion of R, If r G H^{R,A), then T{V) G H^{R{V),A) denotes the f-localization of r. If i/; is an integral divisor of R^ then we define H^(R{w)jA) = ^v£SP(R) v\w H^{R{'^),A). When we want to emphasize the dependence of r G H^{R^AM) on M we shall write TM] this will not cause confusion, since M will never be used to denote divisors. If M1IM2 and T(M2) is defined, then r(Mi) denotes the image of r(M2) under the homomorphism H^{R,AM2) -^ H^{R,AMI) which is induced by the homomorphism AM2 '^ ^Mi of multipUcation by M2/M1. The author wishes to express his deep gratitude to I. R. Shafarevich and to Yu. I. Manin, under whose guidance almost 15 years ago he began to work on the questions which form the subject of this article.
1. Euler Systems and Their Derivatives In our definition of an Euler system we shall not strive for maximum generality, but rather shall take into account the scope of the present article and be satisfied that the cases we consider give a fairly complete picture of this type of system. Nor will we adhere to a complete uniformity between the multiplicative group and elliptic curves: essential as this uniformity is, it sometimes obscures the familiar constructions in the case of the multiplicative group. We let Q denote the ground field, which will be either the field of rational numbers Q or else an imaginary quadratic field of class number 1. Let A denote an algebraic group over Q: A is the multiphcative group if Q ^ Q, and A is either the multiphcative group or an elliptic curve if Q = Q, We let K denote the field Q if yl is the multiphcative group, and we let K be an imaginary quadratic extension of Q = Q if A is an elliptic curve. In the latter case we assume that K is not Q ( \ / ^ ) or Q ( v ^ ) . If 5 is a prime divisor of Q at which A has good reduction, then P^(X) G Z[X] will denote the characteristic polynomial of the Frobenius automorphism Q{S)unr/Q{6) on the Tate module Tai = lim^/n, where / is a rational prime, (/, 5) = 1. We have: PsiX) = X — NQ/Q{S) if A is the multiplicative group; and PsiX) = X^ — apX -h p if ^ is an elliptic curve with canonical L-function L{Ay Q,s) = ^ ^ 1 fln^"* ((^n ^ Z).
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In the case when [Q/Q] = 2, we fix an elhptic curve E with e n d o morphism ring Og, where OQ is the ring of integers of Q. Let K : Q\ —> Q* be the homomorphism associated with E (see [17], Ch. 10, §4), let ^A ' Q*A/Q* —^ Q* given by /Cyi(a) = K{a)a^^ be the corresponding adehc quasi character, let /CQO be the archimedian component of /c^, and let / be the conductor of /CQO ( / is an integral divisor of Q). In the case Q = Q we set / = 1. If Q = Q and A is the multipHcative group, then K : Q\ —^ Q* and KA ' Q*A/Q* ~^ QA ^^^ ^^^ analogous homomorphisms associated with A: /c(a) = n, where n is the positive generator of the divisor a. We let / , /o and SP denote, respectively, the set of divisors, the set of integral divisors, and the set of prime divisors of Q, IfrjE /, lo or 5 P , then we let /(y/), ^0(^)5 SP{TJ) denote the subset of J, IQ or 5 P , respectively, consisting of divisors which are prime to T). If A G /o, then we define the abelian extension Kx of K as follows. If A is an elliptic curve, then Kx is the ring class field of K of conductor A; if A is the multipHcative group and A' = Q = Q, then Kx = K{Ax)i where Ax is the group of «(A)-th roots of unity; if, on the other hand, [Q/Q] = 2, then Kx = K{Ex), where Ex = E^^ is the group of points of E (over K) of period x G OK^ i^) = A. We let d denote the dimension of Taj over Z/: we have d = 1 if ^ is the multiplicative group, and d = 2 if ^ is an elliptic curve. In the case when A is an elliptic curve, we let N be the conductor of A] if A is the multipHcative group, we set AT = 1. In what follows we shaU suppose that / is a fixed rational prime. If A G SP(N), then we set xx = [Kx/Ki] and Mx = ord/((xA,XA+ -\-{-lY-^Px{l))). For k G Z+, let E be a subset of the set {[A,7r]} of ordered (fc + l)-tuples of divisors
A G flQ{N) XefloiN),
for A: = 0
(here TT is an "empty index," i.e., [A, TT] = [A]);
7r=[Xu...,Xk]eSP{N)^
fovk>0.
If ni,n2 G N, rii < n2, and Mj = P^, then the homomorphism AM2 ~^ ^Mi given by multiplication by M2/M1 induces a homomorphism H^{KX,AM2)
-^ H^{KX,AMI)'
T = {rx = {rxiM)}
A set of elements
e\imH\Kx,AM)^
M = T , A G E}
if A: = 0, or a set of elements T={Tx,n
= TxA^x.)
e
H\KX^AM,^),
[A,7r] G E}
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for A: > 0, will be called a k-ih order Euler system with index set E if the following condition holds for all 6 G SP{2NfX) and [A,7r] G S such that the prime divisor 6' of 6 in ii' is unramified in Kx and [6A, TT] G S : if ys is defined to be FrJ,^ {xs -f {-iy-^Ps{Frs')) G Z[G(/i'A/AO], then
Here coTj(g^/Kx is the corestriction homomorphism and Fr^' is the image of 6' in G{Kx/K) under the Artin homomorphism (reciprocity map) 6. If A is the multiphcative group, then 6 = S\ since K = Q. Suppose that A is an elliptic curve. We show that ys does not depend on the choice of S'. US is ramified or remains prime in K, then 6' is defined uniquely. Suppose that S sphts in K. Then x^ = K{6) — 1 (see below), ys = FrJ,^ {K{6) - 1 - Frj, -f a^^s)Frs' - «(^)) = a^(6) - Frs. - FrJ,^ = ^K(6) ~ F'^6' — Fr(^s'Y^ since 0{b) = 1 and 6 = 8'{8'Y (cr is the complex conjugation automorphism). Suppose we are given a k-ih order Euler system (T, S). We shall use it to construct a (fc -f l)-th order Euler system (T',E'). If ^ is the multiphcative group, then the representation on Ax and Ex gives an imbedding px : G{Kx/K) "—^ {OK/^YBy definition, PX{0{TJ)) = K{T}) (mod A) if T; G /o and rj is unramified in Kx- If K = Q and A G /o, then px{G{Kx/K)) = (Z/A)*. If [A7Q] = 2, then for /|A G /o we have: Kx is the ray class field of K of conductor A; O]^ is imbedded in [OK/^Y] the composition of 0 : iOK/>
[L/Kx] = Mxo• Let M l be any power of / iffc= 0 and Ml = Mx^ if ifc > 0. Let MXQ and
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H^{L,AMI) as follows: r l = coTK^^^/LiTXoKwiMl)) - (yAo/^)n,T(Ml). From AXl it follows that cor/;,//<'^(rl) = 0. Let (p : GL -^ AMI be a cocycle representing r l . We fix an element ^fo G GKX whose restriction to L is t\L' By the definition of the restriction homomorphism (see [11], §3), <^OILIK^{T\) can be given by a cocycle <^i : GKX —^ ^Mi such that y?i(^o) = ^{9^) and ipi{h) = Z^j=o 9o^{9o*^9o) ^^ ^ ^i^- Since (pi is a coboundary, it follows that there exists e E AMI such that ^i(^o) = (^^o — 1)^ and (pi{h) = (h — l)e. These conditions determine e up to an element of A{KX)MI' Let e' = {M\/M)e and v?' = (Ml/M)(p. We define a map ^2 * G^;^ —> ^4^ as follows: (p2{id) = 0, ^2(5^^) = ( 4 " ^ 4- • • • + l)e' for 1 < i < M - 1,
Mh) = {M--l)^^{h)-^iM^2)go
—^
H\KX,AM).
Suppose that AQ G SP{2fNX), a = [A,7r] G D, and Ag is a prime divisor of AQ in K. If ^ = 0, then we say that the pair (a, AQ) is admissible if AQA G S and AQ splits in Kx- If Ar > 0, then we say that (a, Ao) is admissible if [AQA, TT] G S , AQ spHts in Kx^ MXQ divides MAI , and We define E' to be the set of sequences [A, AQ, TT], where ([A, TT], AQ) runs through all admissible pairs. If fc = 0, then we set M l equal to any power of / such that M A O I M I and ( M A , / M A J A ( A ' A ) M I C (^AO " 1 ) ^ ( ^ ) M . , . We define Tx^Xo^iriMxo) G H^^KX^AMX^) to be the class of the cocycle <^2 constructed above. We let V denote the system {r^, f3 G E'}. We have: Theorem 1. T' is an Euler system. Proof. Let 6 G SP{2fNX) and [A,Ao,7r] G S' be such that the prime divisor ($' of 6 in K is unramified in Kx and [6A, Ao,7r] G D'. We have the following diagram of fields:
A'AoA
450
V. A. KOLYVAGIN
Here V and L are extensions of degree M of Kf,\ and K\^ respectively. From the structure oiG{K\/K) described above it follows that the parallel lines in this diagram are equal, i.e., the restriction of the Galois group of an extension denoted by one of the lines to the extension denoted by a lower parallel line is an isomorphism. Hence from AXl and the definition of r l and r l ' it follows that cor£,/y2^(rl') = ydT\. We now use the commutativity of the maps cor and cor', which follows from the definition of cor', and the fact that cor' is a G^-module map! If iZ is a local or global field, then U{R) will denote the group of units of iZ if ^ is the multiphcative group and will denote A{R) if A is an elliptic curve. Let v G SP{Kx)y R = Kx{v). We have the natural exact sequence 0 —^ U{R)/r
— . H\R,Aim)
— . H\R,U)im
— . 0.
In the case when A is the multiplicative group, the isomorphism R*/R* -^ i/^(iZ, i4/m) enables us to identify this sequence with the sequence 1 - ^ U{R)/U{Rf^
—^ R*/R*^"^
^
Z/r —^ 0.
We let H^{R^A\my denote the subgroup o{ H^{R,Aim) which is the preimage of (i/^(/Z, ?7)unr)/"»- If (i^5 N) — \ (in particular, for arbitrary v when A is the multiplicative group), we have H^(RjU)unr = 0 and i/^(i?,yl/m)' = UiR)/!"^. IfivJN) = 1, then H^{R,Aimy = U{R)/l'^ = H^{R,Aim)^nr. If A G / / o , S e SP{fNX), and (j^) # 0, then ( ^ ) / 0, and Ksx/Kx is unramified outside 6 and is totally and tamely ramified at the prime divisors of 6 in Kx (see above, §1 of [11], and the proof in §2 below of the surjectivity of NK.JK, ' Chx -^ C / A ) . Let w E SP{Ksx), v E SP{Kx), 6' E SP{K), and w\v\6'\S. The homomorphism UiKxiv))/!"^ -> U{Ksx{w))H'^ is an isomorphism, which we can use to identify H^{K^x{}^)'>Aimy with H\Kx{v),Aimy. We shall call an Euler system (T, E) an AX2-system if the following conditions hold. Let |7r| denote 1 if A: = 0 and denote Ai • • • Ajk iffc> 0, where TT = [Ai,..., Afc]. Then rA,^(Ml,i;) E H\Kx{v),AMiy for all V E SP{Kx^ 1^1) (here M l is any power of / iffc= 0 and is Mx^ if Ar > 0). We shall call an Euler system (T*, E) an AX3-system relative to A C SP if (T, E) is an AX2-system and there exists Na E /o such that, if a = [A,7r] E E, 5 E A n 5P(2/iViV«A|7r|/), ( ^ ) ^ 0, [a,7r] E E, ti; E SP{K8x), V E SP{Kx), 6 E SP{K), and w\v\6'\6, then m,T(Ml,w;) E H^{Ksx{'^)iAMiy and we have the equality AX3:
nxA^) = Fr;\rxA^))'
EULER SYSTEMS
451
Suppose that (T, E) is an Euler system, and D C D. Then clearly T = {rpj ^ G U} is an Euler system, which we call the restriction of T to E. If [A,Ao,7r] G E', vl G SP{L), v G SP{Kx), and t;l|t; (L is the subextension of Kx^x/Kx having degree Mx^ over Kx), then M2\MXQ will denote the number such that t^^ is a generator of the subgroup o{G{L/Kx) leaving vl fixed; M3 = M A O / M 2 ; and L2 is the fixed subfield of ^^^ jj^ ^^ so that L2 is the maximal subfield of L in which v splits. Let £ denote L{vl)j and let /CA denote Kx{v)' C/ICx is a cyclic extension of degree M3, and t^^ is a generator of G{C/ICx)' The map /f^(L(t;),^Mi) -^ {fco,..-,tM2-i}, ti G J ? ^ ( £ , A M I ) , such that 6,- = 6(rt;l) for 6 G i/^(L(t;),i4Mi), identifies i/^(L(f),^Mi) with the direct sum of M2 copies of /f^(£, A M I ) , where t
(6o, .. .,fcM2-l) = {i
The local map cor(t;) : H^{L(V)^AMI) diagram
^M2-l,^05- •• ,tM2-2)-
-^ H^(ICXJAMI)
for which the
cor(t;)
cor H'{KX^AMI)
- ^
H^KX^AMI)
is conunutative, is given by the rule cor(t;) : 6 H-> ^^oiciKxi^i) — ^oTc/KAEi f>i)' We suppose that {MI/MS)A{ICX)MI C (/^^ _ I)A{C)M3^ Then on the kernel of COTC/JCX ' H^{C,AMI) —^ H^ilCx.AMi) we have the map corj^.^^ : ker(cor£/;cx) "^ ^ ^ ( ^ A J ^ M S ) defined above. Let fj,Bi,B2 ' ff^iPy^Bi) -^ H^iR^As^) denote the homomorphism which is induced by multiphcation by B1/B2 from AB^ to AB2 for J = 1, ^ 2 ! ^ ! , and the homomorphism which is induced by the imbedding ABI *—>• AB2 for j = 2, J5I|JB2- We define a map cor'(t;) : ker(cor(t;)) -^ H^{ICxiAMx ) on the kernel of cor(i;) as follows: if cor(t') takes 6 to 0, then we set cor'(i;) : b ^ COTC/K, ( / I . M I , M . , ( ^ I -h 262 + • • • + ( M 2 - 1 ) 6 M 2 - I ) ) + /2,M3,Mxo {^^^^C/K: (^0 "^
^ f>M2-i)]' One verifies that the diagram
ker(cor)
ker(cor(i;))
H\K,,AMJ
HHICX,AMJ
452
V. A. KOLYVAGIN
is commutative. _ Let E' C E'. We say that £ ' is a j AX2-admissible subset of E' if S' is an arbitrary subset for k = 0 and if E' satisfies the following condition for k > 0: if [A, Ao,7r] G E', t; G SP{Kx) and i;|/, then {MXJM3)A{KX{V))M^, C {t^^ — 1)A{L{VI))M3' In particular, there are no restrictions on E' if A is the multiplicative group, since in that case A(L(vl))i = 0. We say that E' is an AX3-admissible subset of E' if it is AX2-admissible, and if it satisfies the following additional condition in the case k > 0: if [A, AQ, TT] G E', 6 G 5P(2/iViV;,AAo|7r|/) H A, (j^) / 0, [5A, Ao,7r] G E', t; G SP{Kx) and v\6, then {MXJM3)A{KX{V))MX, C {t^'^ - 1)A{L{VI))M3. We have the following T h e o r e m 2. 1, Suppose that (T, E) is an AX2-system, and E' is an AX2'admissible subset ofTi'. Then the restriction ofT' to E' is an AX2system. 2. Suppose that (T, E) is an AXS-system relative to A, and E' is an AX3-admissible subset ofT,'. Then the restriction of T' to E' is an AXS-system relative to A. Proof. 1. Let [A,Ao,7r] G E', t; G SP{Kx), {V,\T^\\Q) = 1. Then T1(V) G H^{L(v),AMiy, and L/Kx is unramified at v. Hence it suffices to prove that cor'(t;) takes ker(cor(f))n/f^(L(i;), A M I ) ' to H^{ICxyAMx Y if C/ICx is unramified. From our earlier expression for cor'(t;)(6) it follows that it is enough to prove that cor^/^ takes i/^(>C, Ajvf i)' to ^ H ^ A , ^ M 3 ) ' - We first show that cor'^^^^(ker(cor(i;)) n U{C)/Ml) C C U{ICx)/M3. Now the following properties of cor' follow directly from the definition. Let ti = <^^. If a = {ti — 1)6, then corj^y^ (a) = = cor£/A:^(/i,Mi,M3(6)). If a = (Ml/M3)res(c), where c G H^{ICX,AMI), then cor^/^ (a) = M1^2~^/i^Afi,M3(c)- Furthermore, res(cor^y^ (a)) = ((M3 - 1) + (M3 ~ 2)^1 + • • • +
EULER SYSTEMS
453
Suppose that (T, S) is an AX3-system, a = [A,7r] 6 S, AQ G e SP{2fNNaX\Tr\l), ( ^ ) :^ 0, [AoA,7r] G S, and for i; G SP{Kx) with i;|Ao we have the condition: M A O | M 1 and (MI/M)A{KX(V))MI = 0, where M = Mx^ > 1. In particular, [A,Ao,7r] G E'. The existence of the local map cor'(f), along with the condition {M1/M)A{ICX)MI = 0, enables us to express Tx,Xo,->r{M,v) in terms of Tx^r(M,v). Using AX2 and the definition of r l , we see that the equahty coTc/fCxi'^'^i'^^)) — ^
means that rl(t;l) = {{xxjM)Fr^^
- {VXo/M)) • rxA^hv)
G H\lCx,
^A/i)unr,M- Let US define M ' to be M if / / 2 and to be M/2 if / = 2. The restriction of Tx^Xo,r{M'^ v) to Gc is equal to ((M — 1) + (M — 2)< + • • • . . . + < ^ - 2 ) r l ( i ; l j = M ^ r l ( t ; l ) = 0. Hence, rA,Ao,7r(M', t;) G i/HG(>C//CA),A(£)MO = Eom{GiC/ICx),A{ICx)M') (we have A ( £ ) M = A{)Cx)Mi since (XQ.NI) = 1). Thus, to compute TA^AC^C^'J^') it remains to compute the cocycle 2^^^^'^(p2{v){go{v)) G A{)CX)MI where ^o(^) G G;CA is a section ott = /AQ ^^d <^2(^) is a cocycle whose class is cor'(i;)(rl(i;l)). Let a G U{C)/M\ correspond to T\{V\). The cocycle (p{v) corresponding to a is determined by its value on the Frobenius automorphism F r £ , which is ^ ^ ~ ^ g . ^^oC^) can be chosen in the inertia subgroup of G r , so that {ip{v)){gQ{v)^) = {goi'^) — l)e = 0 Ve G AMI- By definition, then, the value of Tx^Xo^Tr{M\v) at i is equal to ( M l / M ' ) e i , where ei G A M I is such that M(^^-^^a) = (Fr£ — l)ei. We have natural isomorphisms A{ICx)ioo/Ml ^ U{Kx)lM\ ^ A{F)ioo/Ml, where F is the residue field of/CA. Since (Ml/M)yi(/CA)Mi = 0, it follows that (M > 1): A(/CA)/OC = A ( ' ^ A ) M I / M . Thus, we have an isomorphism A{ICX)MI —^ U{ICx)/Ml. Let /?(M1) : U{Kx)lM\ —• vi(/CA)Afi be the inverse isomorphism. Then (/?(Ml))(a) G A(/CA)M and ^ ^ a = ^ ^ ^ ( / ? ( M l ) ) ( a ) , which implies that we may set ei = M^^^^^jj^. Hence, rA,Ao,.(M',i;) : < ^
2^^^^('\/3(Ml)){b),
where 6 = {{xxjM)Fr^^ - (yxo/M)) rA,^(Ml,t;). If A is the multiplicative group, then xx^ = ^A:/Q(AO) — 1, 2/AO = 0? ord/(M) = ord/(xAo), and rA,Ao,.(M',i;)(0 = -2°^^'(2)^^ ^(^^^)(^^-^i) Now let A be an elliptic curve. Then a^Ao == '^(Ao) — {^) and 2/AO = «(^o) - _ ( ^ ) - - ( 1 - a,(A,) + K(AO)) = a,(Ao) - 1 - ( ^ ) . If ^2 G A(F),oo, 63 G A(F)/oo, and Mea = 62, then
((xA„/M)Fr-„i - (yA„/M)) e^ =
454
V. A. KOLYVAGIN
-(-i--(-(#)^ (#))))since Frl^ - Frx^a^^Xo) + '^(^o) = PxoiFrx,) = 0 on A(F)I<^. Since - F r ^ ^ i ( F r A o - l ) ( F r A o ~ ( ^ ) ) = xx^Fr-^px, = 0 on ^ M (because M\xxo and M\yxo), it follows that if ( ^ ) = —1, then AM C ^ ( / C A ) and Tx,XoAM',v){t) = -2°^^'(2)^^-^i ( ^ ^ ^ ( ^ ^ ^ ) ( ^ ^ 2 j ) Qn the other hand, if ( ^ ) = 1, then {Frxo - I?AM = 0 and rA,Ao,T(M',t;)(0 = _2ord,(2)^^-^i(^^^^ - l)(rA,.(M,t;)(FrAo)). Let /C = ^(A'o). We note that ICx = IC. In all cases we define the homomorphism /?1(M, AQ) : H^{IC,AM)unr —^ AM which takes u G U{IC)/M to {Zxo{Frxo)/M)u, where ZxoiFrxo) = l — Fr^^ when ^ is the multiplicative group and ZAO(F^AO) = -Fr^^{Frxo-l){Frxo-{^)) when yl is an elliptic curve. Since Zxo{Frxo) acts trivially on U{IC) and on AM^ it follows that (ZxQ{Frxo)/M)u is correctly defined. Thus, we have proved T h e o r e m 3. In the above sUuation, Tx^Xo,ir{M'^ ,v) G i/^(G(£,/C), A{IC)Mi ), ««^
We fix A e / / o ( ^ ) . We set EQ = Eo(A) = { A l l L i ^ i . ^i ^ e SP{2fNN'^X), the 6,- are distinct, / = 0 , 1 , 2 , . . . } , where N'^ € /o- We define the sets E^ ' = EQ '(A) forfc> 0 inductively as follows: EQ = SO, 4 * " ^ " = {[A,T,Afc+i]}, where [A,,r] € E<*>, A,+i € 5P(2/ArArj;A|,r|), ( ^ )
^ 0, ( ^ ) = 1- For Jb > 0 we have
(2°'-^'(2)MAJ|MA^^..,
and
annihilates ^ ( A ' ( A ; ) ) , ~ and ^(/fj;|,|/^^(i;)),oo, where V 6 5P(/^ji|,|/;^J, v\i, for it > 1 and for 1 < i < ik - 1, MA4+./(2°''^'(2)AfAj also annihilates A(K^^y(^^,^^-^{v))i«., where v € A^A^+./(2°'<^'(2>MAJ
EULER SYSTEMS We obviously have the inclusions E5 "*" ' C (Ef, M .
455 If [A,Ai,...
...,Aik+i] G So*^^^ then [AiA, A2,..., Ajk+i] and [A, A2,..., Afc+i] satisfy Theorem 2. Hence, by induction, if (Ti,Eo) is an AX2-system, then so is the system ( T J ' , I ) Q ' ) , which is defined as the restriction to Eg of the ifc-th derivative of (Ti,Eo). In particular, this is the case if (Ti,E()) = (T^E(,), where (T,Eo) is an AX2-system. Furthermore, if [A,Ai,...,A,+i] e E<'-^'>, then [AAJ^ • • • A^,A,+i,..., A,+i] e 4'^'''K Here ej = 0 or 1. Using Theorem 2 and induction, we see that, if (Ti, Eg) is an AX3-system relative to A, then the restriction of ( T / ~ , EJ, ~ ) to {[AAj^ • • • A^*, A,.|.i,..., Ajk-|.i], ej = 0 or 1} is an AX3-system relative to the set A n { A i , . . . , A,}. We consider two situations. Situation 1: we have an AX3-system (T, Eo) (relative to SP). Situation 2: A is the multipHcative group and we have an AX3-system (Ti,Eo) such that there exists an Euler system (Q,Eo) of elements of Zi[G{Krj/K)], rj £ EQ (i.e., a set of elements u;^ G Zi[G{KjK)] satisfying AXl: coiK.jK.i^Srj) = (1 - Frj')urj for 6 G 5P(2/7;), where COTJC.JK, : UG{KsjK)] ^ Zi[GiKjK)] is the h o momorphism induced by the projection G{Ksri/K) -^ G{Kr)/K)) which has the following property. For [T/,AI] G EQ and l^^^^^^^Mx^^ there exist V = v(rj,Xi) G SP{Krf), v\Xu u = u{r),Xi) G ( Z / M A J * , and x = x(r/, Ai) G Z / M A I such that r,,,,(MA,r-^'(^),t;)=/i,M.,,M^^,_.,(,)((tiCc;,,,,(M,J+
Here C(^'^i) ^ A{Krf{v))Mx is such that a*^i/a = C(^Ai) {Tnod v) for a a uniformizer of the field L{vl) (see above); i^{vX) ^ H^{G{L{vl)/Krj{v))^ A{Kri(v))Mx ) is defined by the condition i/{vX) • ^Ai •-^ Cj ^^^ ^li'^X) ^ H^{Kr}{v)jAMx )unr IS defined by the condition i/i{vX) • Pr H-•
cWe let (fi'*J,Eo ) denote the restriction to EQ of the fc-th derivative of (n,Eo): if [T/JTT] G EQ , then U;,;^^(MAI) is the element of Z/Mx,[G{Kx/K)] which is equal to
E y€G(/C,,,|/Ar)
^^ ( n d e g ( U , , ^ ) I Pr,(i7) (moc/MAj, \i =l
(3)
/
where w^^i^i = ^bgg £ Zi[G{Krj\jr\/K)]y Pr^ig) is the projection of ^f to G{Krj/K), and deg(^Aj,^) € Z/{Nj(/QiXj) - 1) is the element such that
456 t^.
V. A. KOLYVAGIN ^''
= PrAj(flf). Here Prx^ig) is the projection of 51 to
G{KxjK).
We set Ej =:Eo in Situation 1; in Situation 2 we take T\ ' = EQ for fc < 1, and forfc> 2 we take Ej ' to be the subset of EJ, ' which is deterlk—\\ •
Ik)
mined from EQ in the same way as Eg except with MA^.J replaced by P ^ ^ ' ( ^ ) M A ^ „ I . For k > 0, let (T<*^>,E[*'>) denote the restrictions to E [ * ' of the fc-th derivative of (T, EQ) and the {k — l)-th derivative of (Ti, EQ) in def
Situations 1 and 2, respectively. Let MAI (j) = Mx^/M{j), where Ai(j) = 2 if / = 2 and i = 1 and M{j) = 1 otherwise. Using commutative diagranns, Theorem 3, and induction on Ar, we obtain: T h e o r e m 4. (T<*^>,E[*') is an AX2-system, thai is, for TT = [Xi,.., '"^^kl [^,^] G E[**, V e SP{Kr^), (f,|7r|) = 1 one Aas r^,^ G F^(/i:;,(t;),^MAiy- Furthermore, suppose that v G SP{Krj), \j G SP{K), '^IKl^j /^^ 1 < J
r,,,(MA.(i),t;) € i/i(G'(i(t;l)//^,(i;))M(A^,(v))M..O)),
([77,..., Aj,...] Z5 obtained from [77, TT] 6t/ removing Aj.) /n Situation 2 for V G SP{Kij), V = i;(r/, Afc), one Aas
Ajfc
+ x(^,A,K,A„...,A...(MAj)^i(t;,C(A.)H + «r,,A.
X.-A^xM^Xih,)).
Let X ' be a subextension of Kx over K. For [A,7r] G S j we define TK' e limi/H^^'.^/™) for ib = 0 and TK'A^X,) € i/H^^'-^Mx.) for m
fc > 0 to be (^OIKXIK'{T\,'K)' Then clearly {r/^-/,r} satisfies the analogue of Theorem 4 (// = A) with A'A replaced by A'', the divisors of A'A replaced by divisors of A'', and O^A T and a;A AI Afc_i replaced by their images UK' TT and UK'M A._. in z'/M^AGiK'/K)].
EULER SYSTEMS
457
2. The Multiplicative Group In this section A is the multiplicative group. Let A G /o, ^ G S'P(/A), {^) = 1, z = NX/Q{6) — 1. We let ^^ denote the generator of Az determined by the condition a^^/a = ^s (mod w), where w G SP{Ksx)^ w\S^ and a is a uniformizer of Ksx{w). Let U = U{K(S)); we then have isomorphisms Z/z ^ Az ^ U/U^, where the first isomorphism takes 1 to ^^. Let a<j : U/U^ -^ Z/z be the inverse isomorphism. If 6 G /o, then {Kl/Kl')i denotes the subgroup of Kl/Kl' consisting of the classes of elements of K^^ whose divisors are prime to 6. Let V G SP{Kx), v\6. We let a^ : (Kl/Kl')^ -^ Z/z[Gxl where Gx = G{Kx/K)i denote the GA-homomorphism defined by setting a^(c) = Xl(,€Gx ^^(^»^^(^))^' where cr^g(c) = crrj{g~^c) is the image of c in Kx{v3) = K{6). If M\z, then a^ : (A"*//^*^)^ -^ Z/M[Gx] is simply the homomorphism av {mod M). Let A G flo be fixed, and let A G /o, A|A. Let (f.Eo) and (f\,E()) be the Euler systems described at the end of §1. We let T'*^ denote corx«/XA(^'*^^)j and let iKx^^r and UJKX^TT be abbreviated TX^TT and CJA,^, respectively. If r G H^{KX.AM) = Kl/Kl^ and h is the group of divisors of Kx^ then (r) denotes the image of r in hlh^. We let Mj; (Jk) denote 2-ord,(2)j^^^ in Situation 1 and for Jb > 2 in Situation 2, and MA,/-°^^^(^) for A: = 1 in Situation 2. From Theorem 4 at the end of §1 we obtain Theorem 5. Lei [A,7r] G !:[*'>. n e n rA,^(MAj G {KHKl^^^)^^^, and, if Vr G SP{Kx) with Vr\Xr (in Siiuaiion 2, Vk is the divisor which appears in the conditions on (Ti,Eo)), then
{rxA^xA^))^\\^r
(modl^ r= l
in Situation 1;
r=l
in Situation 2.
)
458
V. A. KOLYVAGIN
Let Gi be a subgroup of G{K^{Aioo)/K), where A'' is the compositum of all fields Kj^,, with [A, TT] G I^i , Ar = 0,1,2, We suppose that the period of Gi divides / — 1. We let B denote the subgroup of elements of order / — 1 in Z*, so that Z* = J5 x (1 -h /Z/). 5 is a cycHc group of order / — 1, and it is isomorphic to its reduction modulo /"* in Z//*^ for all m > 1. If Ai = Z/[Gi], ^ is a Ai-module, and tp : Gi -^ B is a, character (i.e., a homomorphism), then we let A^ denote the Z/-submodule of A consisting of all a G ^ for which a^ = '^{g)o> Vy G Gi. A decomposes into the direct sum of the Z/-submodules Axp\ here A^ = j^A^ where j ^ G Ai,
jV = (l/[Gi])E,eG.^(lA)ffWe let V'l denote the character of G\ induced by the action of Gi on A] (the group of/-th roots of unity); then Aim = (yl/m)^^ Vm > 0. Let G2 denote the image of Gi in G{K\/K), We fix a charsicter V' * G2 —• 5 , and let \l) also denote the corresponding character of Gi. We suppose that there exists a subgroup G3 of G{K\/K) such that G{Kx/K) = G2 x G3 (direct product). Let Af = /" and A = Clx/Cljf, where Clx is the divisor class group of Kx. We let A3 denote Z/[G3]. If J is an ideal of A3, then J ' will denote the ideal consisting of all / G A3 for which fJ C MA3. Let [A, TT] G ^W, 2''^MVM\MX,; 2^"^'(2)/ord,(A)^|jvf^^ in situation 2. In Situation 1, given Tx^7r{M) G Kl/Kl^, we define the ideal MA3 C Jx,ir{M,rp) C A3 to be the annihilating ideal of j^Tx,Tr(M). For the rest of §2 we shall assume that {lj2f) = 1, and also that the map N^^/KX • (C''A)/«> —^ (G/A)/«> is surjective, for example, {l,[K^/Kx]) = 1. ve Theorem 6. Lei \p ^ Vi> V'^ ^ ^ i ; [^)^] G DJ . Then in Situation 1, J'^ ^{M^xj^)A^ is contained in the G^-suhmodule of A^p which is the zero suhmodule when ^ = 0 and [A, TT] = [A], and is the module generated by vi"^, \
= 1,
[A,7r,Ajk+i] G Ej "^ ', 3i;jb-|.i G SP{Kx), Vk^i\Xk+i, such that the class of f^^j is a and avj,^^{jtpTx,ir(M)) = d'j^j' {mod M), where d' G {Z/My. In Situation 2 it suffices to prove that Va G A^p 3Xk-\-i € 5'P(2/A^^A|7r|), I -^z^^ ]) [^)^)^ib+i] G ^1 ^ib+i € SP(Kx)j
i ^he class of f^^^
is equal to a for some
^ib+i|Aib+i. If the other conditions on Ajt+i hold, then
EULER SYSTEMS
459
the condition [A,7r, Ajfc^.i] E Si holds provided that M^^^j = /ordKiVfc/Q(Afc+o-i) is divisible by MA,/"(^''^+^'«-^^°'^'(^) (in Situation io, 2*0 = 1 or 2), where /"('^''^) annihilates all of the groups which occur in the definition of EJ, '*'^'. That is, Ajk^i must split in i('(v4 n'(A,T))'"'(^'^) ^ n(A, TT) + (io - l)ord/(A). We set V = K^^^^{Aj^^ in'(x,rr)) (where Mx^ = M for Jk = 0). We show that the norm map from Cly to CL^ is surjective. More generally, we prove this surjectivity assertion for an extension of the form Khcr^/Kbj where 6 G /o, c G SP{f) {V C /<'A|^j/ni for some ni G N). Here it is enough to consider the case (6,c) = 1, since otherwise we can set 6 = 6'c"**, where (6',c) = 1; and because the norm map from Clbc^^ to C/ft/ is surjective, it follows a fortiori that the same holds for the norm map from Chc^ to C/j, since Kh D Ki,'- Thus, suppose that (6,c) = 1. Let V G SP{Kh)i ^|c. Then, if we identify G{Khc^/Kh) with a subgroup of {OK/C^Y) the local reciprocity map ^t» • ^6(^)* —^ G{Khc^/Kh) looks as follows on the group [/ of units of K},{v): u \-^ K{UI)UI^ {mod c^) =: txj"^ (mod c"*), where iti is the norm of u in the extension Ki,{v)/K(c). Since Kb{v)/K(c) is unramified, we have ^t'(J7) = {OK/C^YHence, the image of G(Kicm/Ki,) in (OK/C'^Y is {OK/C'^Y^ and t; is totally ramified in Kic^. In particular, (-ft'6)unr H/C^c"* = A'^. Surjectivity of the norm map then follows from class field theory and Galois theory. Since ^K'/Kx • {Cl^)joo —4 {Clx)ioo is surjective, it follows that the norm map from (C/v)/oo to ( C / A ) / « is surjective. Thus, Afp may be regarded as G{W2/V)j where W2 is an M-periodic unramified abelian extension of V which is fixed in Vunr relative to the kernel of the homomorphism Cly -^ C/A -> A ^ A^,. Let 52 C V/V^ be the subgroup which corresponds to W2 by Kummer theory. ^From the Gal-property (x^,t/^) = (x.yY Vy G G{V/Q) of the pairing G(W2/V) x 52 —>• AM it follows that Gi acts on 52 as ipiip"^- Since ^p :/: ipi and Gi acts as Vi on H^{G{V/KX).AM) = ker(A^*/7i'*^ -> V/V*^), it follows that (Kl/Kl^)^ ^ (|/*/y*M^G(v/Kx) j ^ ^^ imbedding. Suppose that we are in Situation L Let 5i be the Ga-module generated by X = j^rA,x(M) in V*/V*^. The annihilating ideal of 5i in the A3module (V*/V*^)^^^'^^^ is Jx^M^il^). We have the exact sequence of Ga-modules: 0 -^ JA,T(A/,V') —^^ A3 -* 5 I —>^ 1. We define the character Xi : Si —^ Ajif by setting Xi(jx) = (^^^^ )*, where {jf)i is the coefficient of the identity of G3 in jf G Z/M[G3], and C is a generator of AM- In Situation 2, we define 5i and xi to be trivial. Let X2 • 52 -^ AM be the character corresponding to a G ^ ^ = Hom(52,v4M)- Since ipitp~^ ^ V'l
460
V. A. KOLYVAGIN
by assumption, it follows that 5i and .^2 have trivial intersection. Let X ' Si X S2 -^ AM be given by x = Xi x X2- Let W be the M-periodic abelian extension of V corresponding to S = SiX 82- Let ^fi E G{W/V) = Hom(5,Ajv/) be such that (yi,s) = xi^)- Using the Chebotarev density theorem, we choose Ajk^.i G 5P(2/A'^^A|7r|) so that Fr^ = gi for some w G SP{W)j ^|Aib+i. We show that Ajk^.i satisfies the necessary conditions. Since g = id on F , Xk^i splits in V. Let v^ G SP{V), v G SP{Kx), w\v^\v. Then NYIK^{V') = f, and, by our condition, t;^^ = 1 in A^. Furthermore, in Situation 1 we have, by assumption: (Fr^,jx) = (^^^^ ^^ = C'^ff, i f / = IZgeGsJgd' Hence, av{^) = d'j^j' {mod M), where d' G (Z/M)* is such that ^ ^^«j^/^/Q(^''+0-i)/M)d' ^ j ^ . ^ concludes the proof of Theorem 6. We now suppose that G3 = 1, i.e., G{Kx/K) = G2. In both Situations 1 and 2, if [A, TT] G ^1 , let J\T^{M,II)) denote the annihilating ideal of UTX,^{M) in {Kl/Kl^)^. We note that for V' 7^ V'l and a G [Kl/Kl^)^, the annihilating ideal of a is /"~"^Z/, where 0 < m < n is the largest integer for which a G {Kl/Kl^ Y^. We suppose that xp ^ ipi and V'^ 7^ V'l- In Situation 1, we suppose that jipTx ^ 0. Let mo G Z^. be the smallest integer for which jxpTxH'^'''^^) ^ 0. Then we have Jx{M,tp) = /"""'o for n > mo- In Situation 2, if jtpoJx ^ 0, then we let mo G Z_j. denote the integer such that jxi)U)x = I^^UQH, where wo G Z*. We note that in Situation 1 TX{M) G UX/UX^, where Ux is the group of units of Kx' We suppose that in Situation 1 {Ux 0 Z/)t/. / 0 (otherwise we would have j^rx = 0); then {Ux 0 Z/),/, c^ Z/, since ip ^ tpi. Namely, because of the existence of Minkowski units, our assumption consists in the stipulation that ip / id is an even character when K = Q and that ip ^ id in the case [K/Q] = 2. In Situation 2 we suppose that A' = Q and tp is an odd character, so that (J/A 0 Z/),/, = 0 . If X G Z / M and x G Z is a representative of x, then
{
ord/(M),
ifx = 0,
ord/(x),
\i X ^ 0.
If TT = [Ai,...,Aik] and 0 < i < k, then TT,- denotes the set of divisors obtained by removing Ai+i,... from TT. Let C/A,/OC,^ ^ E f = l ' ( Z / / " 0 ^ - , where ni > • • • > n^,+i = 0. The sequence n i , . . . , njbQ^.i is uniquely determined from Clx,i°°,tp and characterizes it as an abehan group. Here ko is the rank oiClxj^^xp- In particular, ko = O^Clx,i-o,tp = 0.
EULER SYSTEMS
461
We suppose that j^T\ ^ 0 in Situation 1 and jxi^ux / 0 in Situation 2. We set n = 3mo and M = /*^ as usual. We define 11'^' to be the set consisting of the single element A, and we call mo the weight of 11^°'. Suppose that for s G Z+ and for 0 < Ar < s we have sets n<*) C E[*>(A) =^{[A, 7r]|[A, TT] G Ej (A)} with weights mo,...,mjb, where m,- G Z^. and m,-_i > m,- with equality allowed only for i = s. The sets II'*) and the numbers m,- are connected to one another; namely, II'*"*"^' and ruk^i ^-re determined from 11^*' and m o , . . . , mjk as follows. Let 11 be the subset of T\ '(A) consisting of the elements [A,7r, Ait+i] for which: M/°^^'W(i-'i)|Ai; [A,7r] G n<*>; ord/(rA,,r,(M)) > m,- for 1 — 2*1 < i < ^ — n , where ii = 1 in Situation 1 and 2*1 = 0 in Situation 2; and ord/aij^^j(rx , r ( ^ ) ) = f^k in Situation 1. Let 7/ G n^*), and let YhkJ^i{r]) be defined as:
^'l/.^tN
-
<™^
,,^, ord/ao,+,OVr^,Aifc+i,Afc+2(M))
.
We note that, by the Chebotarev density theorem, the inner minimum is simply ord/C' r (M, ^ ) . Then in Situation 1 we have II'*^"^^' = {[^,A;b^.i] G
Il(*''"^)=n
oxAiay^^XH'^r),k^\{M))
=
mk^i(rj),
where
Tnk^i{T]) = rhk-\.i(ri)}. Here nik^i = mk+i{r)) does not depend on rj. In Situation 2, if mjk+i(7/) = ruk Wr) e n(*>, then n(^+^> = H
and
mjk+i = mjfe. Otherwise, let XI^*"'"^^ denote the subset of II ing of elements [rj.Xk+i] for which OTdi(j^uJrj,x^^,) - ord/C^;^ Then
consist(M,^').
n<^+^> = {[^,A,+i] Gff'*+^> I ord,j>,,,,^,(M) =
Again mj^^i = mjk+i(^) does not depend on r). The sets II'*^' and the numbers m o , . . . , m, satisfy the following theorem for 5 > 0.
462
V. A. KOLYVAGIN
Theorem 7. One has ko -\- I > s, and ko-\-I = s if rris = m , _ i ; Hi = rrii^i - rrii for 1 < i < s. If t] = [A,7r] € n<*^>, Vi G SP{Kx), and Vi\Xi, then the homomorphism Zf —^ {Clx 0 Z/)^ for which 1,- i-> 6,(r/) = j,^(class of Vi) has kernel /"*Z/ x • • • x /"*Z/; m particular^ its image is isomorphic to 5Z,_i Z//"*. iTere /or an^^ 5e^ of elements 6 i , . . . ,6jb <>/ (C'/A ^ Z/)^ /or ly/iicfe Me homomorphism Zf -^ {Clx 0 Z/),/,, 1,- i-^ 6,- Aa5 kernel l^^Zi x •• x l^^Zi, there exists rf E II**) such that 6,- = bi(r}). If rus = m , _ i , 5 > 2, and T] £ II'*"^*, then 5 - 1 = fco, {Cl\ 0 ^ih^ViZl'2'/t'''bi{rj), and, i/[r/, A,] G n<*),
1 1 ^i 0<j<x
for i > 0, zo = yo' Then Zi {mod {Ux/Ux^')xi;) = {jtp class of Vi^^*"^, where c = [C'/A]/[C'/A,/«']- {zi} and {y,} are sets of independent elements mod K^^ for 0 < i < s—1 in Situation I and for 1 0 and m,_i > m,, then the set n'*"*"^^ defined from II'*), is nonempty; that m,^.i = m,4.1(7;) does not depend on rf; and that n^*"'"^^ and m,-|.i satisfy the theorem. In this way, using induction, if we start with an Euler system we can successively determine the sets 11^^),..., H^^^"'"^' and the numbers mo^... ^m^^^i, where ki < mo is a number for which m^k^^i = f^ki] then these data determine the structure, bases of prime divisors and the expansions of prime divisors in a given basis, along with representations of primary numbers, since this is what is described in Theorem 7. - { * + !)
Suppose that [ryjA^^i] G 11 . Let m'^^j = m',^i(r/, A5+1) = ord,C;A.^,(M, rP), y,+r € (Kl/iq' )^, and jVr,,,.^.(M) = jfj+r • We let 2/54.1 denote a representative of ys^i in A'^, and for z < s we let t/,denote representatives of y,-. The factorization of T^,A,+I {^) in Theorem 5 gives us the equality:
<+l
1 1 ^»
Psll,i = {Vs+l)
EULER SYSTEMS
463
where i^ £ Z[G2],4 =-^^ (mod M), nj G Z+, ^^,-^.l, w,+i,,- G Z, (ti,+i,/) = 1, (us^i^iyl) = 1, and Ps-\-i,i is a divisor of/C^ which is prime to A i , . . . , A54.1. Here j^/"»W5+i,,- {mod M) = «t;.OV^A,...,A, ..X^))* ^'^^^ ^«+i ^^^ {^«} ^^^ distinct, we have m^^.^ < m, and m^^^ < nj. If we take the /"*»+i-th root of both sides of the above equahty, we obtain:
^,+1
[[^i
Psli,i
=(y.+i)-
(4)
We prove that uig — ^s+i — '^5+1' Suppose this is false, i.e., uig — ^54-1 — ^5+1 + »^' where n' > 0. Let d,- G Z satisfy: i;,;^i f]^.^^ t;,.^ * = (w), where a; G A'jJ. If we combine this equaUty with (4) and take into account that, by induction, the v-"^ generate a subgroup of — lCi=i ^Z^'**) w^ obtain the relation ^"S" n 'i' = 2/»+i ('"'"^ ^ A ' ) ,
(C/A,/^
r.- G Z//.
0 Z/)t^ which is
(5)
We show that this relation cannot hold. We note that Theorem 4 implies that ord/(Qf,;,(yj)) > 0 if ordi;^(yjt) > 0 and i < j in Situation 1, i < j in Situation 2. We suppose that r,-^ = 0 for 0 < 7 < jo, where jo > —1. Then, using the relations between y,- and Zi in Theorem 7, we have the equality
f<«-jo~l
Since ord,;,_j _i_, (Vs+i) > 0 (here 2*1 = 1 in Situation 1 and ii = 0 in Situation 2), it follows that ord/at,,_jQ_i^,j (y,+i) > 0- ^y ^^^ definition of n'^'-^o""^), we have ordia^^_^^_^^^ (y,) > 0 for i < 5 — jo — 1, and ord/at,,_j^_i^,^(t/5-jo_i) = 0. Hence Vg-j^-i = 0. Thus, by induction, we have r,- = 0 for t < s. But this is impossible, since ys-^i ^ K^, Hence, 0 < m, - m',^1 < n^+i. Let 6,+i G {Cl\/M)^ (since /'"^ annihilates C/A,/«> by Theorem 6 and ord/(M) > mo, it follows that (Clx/M)^ and (C/A 0 Z/)^ are canonically isomorphic) be an element having period n^+i in the quotient of {Clx/M)^ by the subgroup generated by bi = ^.(ry), i < s. In Situation 2, if n,+i ^ 0, let z^^i G {K^/Kx^ ' ^)tl>i ^'s-\-i = K'+V^' Let zj^j G A'^ be a representative of ^i^.1. The elements yo j • • • > 2/5 in Situation 1, the elements y i , . . . , y.
464
V. A. KOLYVAGIN
in Situation 2 with ris+i = 0, the elements y i , . . . ,2/*, 2:^^-1 in Situation 2 with Tis^i ^ 0 generate independent sets of elements modulo K^ . If we proceed as in the proof of Theorem 6, taking Si to be the subgroup of {V*/V*^),p generated by {t/o, • • • ,^5}, {2/1, • . ,2/5}, and { y i , . . . ,t/,, 2:^+1}, respectively, and choosing suitable characters xi • ^i -^ AM^ we prove that there exists A,^i G SP such that [77, A,^1] is in II
in Situation 1
and in II in Situation 2. Here II is the subset of II consisting of the elements [r/jA^^-i] such that ord/at-.+iC-^a^-i) = 0 when risj^i / 0, and n
= n
when n,+i = 0. In particular, if m'^^i = m, for
all [r/, Aa-i-i] E 11 , then it follows from (4) that ris^i = 0. Since rus — ^5+1 < ^^5+1) it follows that, conversely, if ris^i = 0, then m^^j = 0 for all [?/, Aj-i-i] G n , and (4) gives us the corresponding representation of j^(class of 1^5+1) in the basis {hi{'q)}. Suppose that n^^i > 0. Then rris — m'g^i = ^5+1- From (4) we have the relation
^,+1 =yiVr'^'n^f'"""'"""'"•"•• (mod(C/.M"'-')^), i<s
from which it follows in Situation 2 that, in particular, [y;,A54.i] G 11^*"*"^^, since ord/at.,^j(y,) > 0 for i < s, and hence ord/at;,^j(^,) > 0 for i < s. Thus, ord/at,,^i(y,+i) = ord/ai,,^i(f,+i) = 0. Since m',^i > m, - n,+i, and in the present situation m^^^ = m, — n^^-i, it follows that ma_|.i(r;) = rUs — n,^-i. Finally, we observe that if [77, A,^-i] G II'*"*"^), then ys-\-\ is independent of {yj}, i < s (this is proved in the same way as we proved that (5) could not hold). Hence, Zs^\ is independent of {^j}, i < s; and this implies that the bt([rj,Xs^i]) generate a subgroup of {Clx/M)xf; which is isomorphic to Yll=i Z//^*. This proves Theorem 7. Theorem 7 imphes (mo > TUki) Corollary 8, [C/A,/«,^] = l^o-m^, ^ We now give examples. 2.1. Gauss sums. Gauss sums form an Euler system of the type in Situation 2. The information we need about Gauss sums can be found, for example, in [18]. Properties Bl and B2 (see below) were proved by
EULER SYSTEMS
465
Stickelberger. The field K is Q, and we recall that K{6) G K^ where 5 is a divisor of K^ denotes the positive number whose divisor is 8. Let A G /oLet [y;, Ai] G 5]o(A), i.e., T/ = AJ^^i, where 8i G 5P(2A), the Si are distinct, Ai G SP{2TJ), and «(Ai) = 1 (mod ;;). We let x denote a primitive K:(Ai)-th root of unity. Let x * (Z/Ai)* -^ ^/c(r;) ^^^ ^ character. We set TV,,AI(X) = Ea€Z/A, Xia)x\ Ifve SPiKrj) with t;|Ai, then Xn.v : (Z/Ai)* ^ A,(,) will denote the character for which Xv^vio-) = a"'^^^^^^)""^)/^^'')) {mod v). For all Ai G 5 P we fix an imbedding v{Xi) : Q ^-^ Q(Ai), and we let f(r;,Ai) G SP{Kr)) be the divisor determined by this imbedding. We let Z[G,;]', where G,, = G{Kr)lK)^ denote the subgroup of Z[G,;] consisting of the elements Y^g^o ^gS ^^^ which X^s^ = 0 and Yl^gPio) = 0 (mod ?;), where p : Gn ^ C^/vY is the canonical isomorphism given by C^ = C^^^) VC € A^(^r,)' Let ^^ G Z[G^]', z^ = E«i?i/- We define Trj^xA^v) ^^ ^^ Ug^G.^vMix^ri^.tivM))''' ^^^^ '^vMi^v) ^ K ^^^ ^^^^ ^^^ depend on the choice of x. The divisor of Tr^,\i{zr^) has the form:
51.
(n,,A.(z,)) = i;(/;,Ai)^^''^-e(z/,r<<'>^'/«.
Here (a) G Z is the canonical representative of a {mod rf)^ i.e., 0 < (a) < K{r]) — 1, (a) = a (mod ;/). We fix z\ = YlgeG ^99- ^^ determine Zjj = YlgeG ^99 ^ Z[G,;]' from zx as follows: if p G G,, and g' G G\ is the projection of g^ then 5^ = 0 if p{g) ^ 1 {mod {r]/X)), and Sg = Sgi if />(5f) = 1 {mod {TJ/X)). We set
Ti = {r,,A.(MAj = r,,A,(^,) (mod /^^^^O, [^. ^i] G E[,(A)}. Recall that we have taken a fixed rational prime /, and in our case M^j is equal to P^^'(<^i)-i). We show that (Ti,Eo) is an Euler system satisfying the conditions for Situation 1 (see §1). The property AXl follows from the norm relation NK,JKA^S,,XA^S,))
= r,,A,(z,/'-^'-"\
(6)
which can be derived from Bl as follows. Using Bl, one verifies directly that (6) holds for divisors, i.e., (6) holds up to an element of ^^(77) (we have T^.Ai^^Ai ~ ^' ^^^ li u £ Urj satisfies uu^ = 1, then u G A^(^^^). We similarly obtain:
466
V. A. KOLYVAGIN
where b E (Z/ryAi)*, 6 = 1 {mod Ai), b = K{8) (mod ;/), p{gi/b) = 1/^) C ^ ^/c(»/)) ^'^d X(2),Ai • (Z/Ai)* -^ i42 = { i l } is the nontrivial quadratic character. Now (6) follows from this, if we use the fact that, by our choice of {zp]^ zsij maps to z^ under the natural homomorphism Z[Gsr}Y "^ Z[G^]' and if we recall the properties of Zfj. It further follows from Bl that Ti is an AX2-system. The property AX3 (with A = SP) follows simply from the relation X^^^i(^^,Ai) = XvMvM)'
^^ f^*'
^^en X6rj,v(6rjM){0') =
X J(„ ^ A(0> where ^ G ^/c(5). If we take into account that ^ = 1 (mod u) ifuj £SP{Ksr,) with (jj\6, we obtain AX3. It remains for us to verify the last property of Ti with Urj = ~ ^^7^ Sa€(z/n)'(^)^i/a- We use the second well-known property of Gauss sums: S2.
where
Here ^ : (Z/Ai)* -^ Z/Mx^ is the homomorphism such that CC^Ai)^^"*^ = Q(«(Ai)-i)/AfAj (mo(f Ai). By definition, ^AI is a generator of GAJ satisfying C(tAi) = P(/AI)^''^^'^"^^^^^^ {rnod Ai) (x - 1 is a uniformizer of A'AI;;(^), where u G SP{Kx,rj), u;|Ai, and (x - l ) 7 ( x - 1) = p(t) (mocf a;)). From (3) it follows that
G Z/(MA7/"'''^''^)[G,].
We have:
EULER SYSTEMS
Xa=
Yl
i^hin^i^
467
(rnod Ai)) =
6G(Z/Ai7;)*, b=a (mod rj)
=TI
Yi
6 (mod Ai)(^>^i'^ I =
\ 6 € ( Z / A I T ; ) * , h=a
(mod
r})
^/c(Ai)~l
=^ n
,c+K(Ai)(a-c), I _
c
/K(A.)-1
=/•
JJ
\
c'+<''-'=>'
/ //c(Ai)-l
=^
n \ \
(since «(Ai) = 1 (mod M A J )
\
>
c^-'"=>' (WAi)-!)!)*"*' n
<==!
/
'^"^'^
(c),>(o),
since (a - c)q = (a), - (c), if (a), > (c),,, and (a - c),, = K{r)) + (a),, - {c)„ def
if {a)n < {c)rj. We have U{c)r,>{a)r,^=^ if i^)v = ^iv) - 1. while if (a)^ < K{TJ) — 1, then n
c=
We note that
n
(d+K('7)e) =
468
V. A. KOLYVAGIN
Thus,
K(»7)K(AI)
E
(^(r)+{a),jr((«(Ai)-l)!)-
a€{Z/f,)-
- Kir,){a),J^iK{n)) - K{r^)T ( ( " " ^
^«)'')'))g^
with some r G (Z/Ai)*. If we take into account that (K:(AI) — 1)! = — 1 {mod Ai), T{—1) = 0 (/ is odd), K{\\) = 1 {mod M A J , and Zrj{J29i/a) = 0 by assumption, we finally obtain the equality
which, in conjunction with B2, proves the desired property of Ti. Let / satisfy / = 1 {mod [(Z/A)*]). Then Theorem 7 gives a description of the ^-component of C/A,/«> in terms of Ti and its derivatives, where V' is a homomorphism from G{Kx/K) to Z* such that V^(—1) = —1, V' 7^ V^i? tp ^ ip'^. In particular, if A := (/), / > 3, then an elementary verification shows that for f = 2s -f- 1, 5 = 1 , . . . , ^ , there exists zx G Z [ G A ] ' such that j ^ j [jZx{Ylae(z/xy{^)9i/a)) = l^'udr,^ where Ui G Z; and the pi were defined in the introduction {ipi{g) = ^(^f) {m.od A)). According to Corollary 8, we have x,-=ord/[C/A^/oo ,^.] < jji] and since YlVi — Z^^« ^Y the formula for the class numbers of A'A and A'A+ (see the introduction), it follows that Xi = yi. 2.2. Cyclotomic units. Cyclotomic and elliptic units give us examples of Euler systems in Situation 1. In §2.2 we take /\ = Q, A G /oWe fix a system of primitive /c(7/)-th roots of unity (^^, where r; G Eo(A), such that C,7i,72 = C^'''^ For 6A G ( Z / A ) * we define 6^ G (Z/?/)* by the condition 6^ = 1 (mod (yy/A)), 6^ = 6A (mod A). We set r^ = (C;; — l)(Cf^^ — 1). If A is not a power of a prime divisor, we set r^ = r^; if A is a power of a prime divisor, we set r, = (r;)«N/r^ = ( C ^ - l ) ( C , - ' ' - l ) / ( C , - l ) ( C , - ' - l ) . We show that T = {r^^, rj G Eo(A)} is an Euler system of the type in Situation 1. Using the equality n e r _ i ( X — ^) == X^ — 1, we have the following relation for 8 € SP(2^): NK.JKM',^) = (^n)^''^''"^-. AX2 follows from the equality fl^^zii ^ati(l ~ 0 — ^- AX3 is obvious: ^Fr
C^^-1 = C r ' e - 1 , wheree(^) = 1. Hence, O r ; - l = (Cr;-1)^'* (modu;), where a; G SP{Ksr^), a;|6 (note that ^ = 1 {mod uj) V^ G A^i^^))-
EULER SYSTEMS
469
For example, for A = (/), Corollary 8 implies that Xi < yi^ f = 2s, 1 ^ ^ ^ ^ ^ (see the introduction). Hence x,- = i/,-, because Y^Xi = YlVi from the class number formula for K\^. 2.3. Elliptic units. In this example K is an imaginary quadratic extension of Q. We recall that E denotes an elliptic curve with complex multiplication by the ring of integers of K. Let Y^ -f a^XY + a^^Y = X^ -f ot^X'^ + a^X + ocQ be the Neron module of E over K, and let A(£') be the discriminant of this equation. Let a G /o(6/), and let 60(2:, a) be the function on E which is defined over K by the formula 0o(>?,a) = z//c(a)~^ rK^C-^) "" ^(^))~^j where the product is taken over all /? G {Ea \ 0)/ ± 1, 1/^2 ^ A ( £ ; ) ^ ' ^ / Q ( ^ ) - \ 1/ G /C*. We let Jo denote the set of functions ip : /o(6/) —• Z such that <^(m) = 0 for almost all m G /o(6/), and Em€/o(6/)^("^)(^i^/Q(^) - 1) = 0. We define 60(2:, v?) to ^^ Tlmeio(ef) ^o{Zj m)'^^^\ Let \(p\ be the product of those m G /o(6/) for which <^(m) 7^ 0. We fix a system of 0/c-generators (rj of Efj, rj E /7o(|v?|), such that CviV2 = *^{V2)Cvifor(r/2,/) = 1. We set r^ = 0o(Cr;,<^). Let A G //o(|<^|), N'X= \(p\. Then T = {r^, ?; G So(A)} is an Euler system in Situation 1. The norm relation and properties AX2 and AX3 are easily derived from the properties of Qo{Zj(f) and the good reduction properties of E, The proof is actually analogous to the proof for cyclotomic units. For details, see [8]. Suppose that A G 5 P ( 6 / ) , NKfQ{\) is a rational prime, / = NKfQ{\), A = /A. We suppose that (f satisfies (A, |^|) = 1. We let Ell((p) denote the Gx = G(/irA/A')-submodule of Ux (the group of units of Kx) generated by Tx{^) = NKj^/K^ir-x). Then for ^ : GA ^ Z;, ^ # id, Corollary 8 gives us the inequality x^ < yxp{(p), where x^p = ord/[C/A,/~,t/>], Vxpi^p) = oTdi[{{Ux/EU((p)) 0 Z/)-]. Using the class number formula for Kx, here we also show that 3(p G Jo such that ^w^^j-^X/v-Cv^) — Y^tp, from which one obtains the equahty x^p = yxp, where y^p = oidi[{{Ux/Ell) 0 Z/)^], in which Ell C Ux is the subgroup generated by the Ell{(p) when (p runs through
Jo,(M,A) = l. 3. Weil Elliptic Curves Let ^ be a Weil elliptic curve of conductor AT, and let 7 : XN -^ A be a Weil parametrization. Here X^ is the modular curve over Q which parametrizes isomorphism classes of isogenies £" —• £"' of elliptic curves with cyclic kernel of order N. The field K is an imaginary quadratic extension of Q with discriminant D satisfying D = square {mod AN), We
470
V. A. KOLYVAGIN
fix an ideal i of the ring of integers O of K for which O/i 2:^ Z/N. If T] € Io{N) and Orj = Z + K{T])0, then z^ zz i r\Orj is a proper 0,^-ideal. In particular, ii = i. Let K^j be the ring class field of K of conductor rj. We let Zn denote the point of XN over Kj^ corresponding to the isogeny C/Off —^ ^/^^^ (we are supposing that Q is imbedded in C, and that i^^ D Orj is the inverse of irj in the group of proper 0,;-ideals). We set Trj = j(zr,) e A{Krj). Let 6 G SP{Nrj), {j^) / 0, and let 6' be a prime divisor of (5 in K, Since [Ksn/Krj] = [Ks/Ki] = K{6) - {j^) and P^(X) = X^ — asX -f- K{6) {aa = o>K(a) if <^ G /o? where X ^ ^ i ann~^ is the canonical L-series of A over Q), it follows that
= FrJ.'
[K{6) - (^A) - ( F r | , - a , F r , . -f K ( 6 ) ) ) =
= a, - F r , . - (^^ as - Frs'as,
FT-.'
FrJ,\
= if ( ^ ) = 1, if ( ^ ) = - l ,
(in the latter case Frs' = Frs = id). The proof (see [11, 12]) of the norm relations NK^/XI{TS) = FrJ, ([Ks/Ki] — Ps{Frs')) and the relation Ts{iv) = Fr~^Ti(v), where LJ G SP{KS), '^ G SP{Ki), and a;|f |(5, carries over to the extensions Krjs/Krj, and hence T = {rrj, r] ET, = Io{N)} is an AX3-Euler system (A = SP). In particular, if A G Io{N), then (T,So(A)) is an Euler system in Situation 1. As usual, M = l^j where / is a rational prime. If 6 G SP{N)j (j^) ^ 0, is such that 6' is a principal divisor and M\ {K{6) — {j^))j then we define the generator CM,6' of the group fXM of M-th roots of unity by the condition CM,6' = ^s' ^^^ " ' where ^s' is the generator of ^(NK/Q{S'yi) ^^^ which Os'{^s') ~ ^6' Recall that we are supposing that we have a fixed set of generators tj of the cyclic groups G{K^/Ki)y 6 G 5 P , and 9s> is the local reciprocity map. If <5' splits in Kx, as is always the case if [j^) = — 1 (then 6' = 6) and v G SP{K\) with v\6\ then we set ^jvf,t; = CM,6'If/C is a local field, then we let ( , )M,A: * A{IC) x H^{IC,A)M -^ Z/M denote the non-degenerate Tate pairing, and we let [, ]M • AM^AM —^ P M denote the Weil pairing. Let [A,Ai,...,Aib] G ^^Q\\) (see §1 following Theorem 3), M\Mx^ {Mx, = P , where m = ord/(«(Ai) - ( ^ ) , a^(^x^) 1 - ( ^ ) ) ) , and Vr G SP{Kx) with VrlK- If r £ H^{R,A)M, then (r) denotes the image of r in H^{R,A)M' From Theorem 4 and the explicit
EULER SYSTEMS
471
formula for the Tate pairing [11], §3, it follows that the following relation holds for ailge G(Kx/Cl) and all s e A(Kxivr))/M: T h e o r e m 9. SP(Kx),v:^\u...,h,
((
€ H\Kx{v),A)^nr
for v G
and
A''XrxM,...,X,(M,vt)))^^,,
_
4 ^ . -^5^(£-i|£-z(i))(,-.,, ,,,.,(«))(„,, We note that (by the analogous theorem for k — \): i9-\
A
(A^))(^r) G A{Kxivr))/M
{iXr,N) = 1).
If ( ^ ) = 1, then jr = 1 and Kxivr) = K(X'^) = Q(Ar); if ( ^ ) = - 1 , then jr = 2 and Kx{vr) = ^(•^J-) is a quadratic extension of Q(Ar) (AJ. splits in For [l,Ai,...,Aifc] G 4 * ' ( 1 ) we define
TX,„.„X, E H\K,A)M,^
to be
In [11] it was proved that r^ = er^^'"^^ + T(0) for rj G SP{N). Here € G { i l } is determined from the condition 7 o ii;7v = 67 + 7(0), where WN ' XN —^ XN is the principal involution of XN\ 7(0) G ^(Q)tor is the image under 7 of the cusp of XN corresponding to z = 0 in the completed upper half-plane; and 0{ir^) G G{Krj/K) is the image of i^j under the isomorphism 0 from the group of proper O^-ideals to G{Krf/K) such that J(by^^^ = J(a''^b), where J is the modular invariant. Similarly, a acts on Trj for all 77 G Io{N) (the proof is similar). Using induction and the definition of r^^Ai,...,Afc) one proves that
l
'^J
Then <,A.
..=e(-l)*rA
x.+h
n
^^^^^^^^^7(0), MA
where h = [Ki/K] is the class number of K. In what follows it will be convenient to use the "empty" index AQ: TAQ = T, TAo,Ai,...,Afc = '''Ai,...,Afc-
472
V. A. KOLYVAGIN
Forfc> 0 we set T' = Ao,...,Afc
{a -f f(-~l)*^"^^)7Ao,...,Afc)
if / is odd or the period of ^7(0) is even,
T'Ao,..,Afc)
if / = 2 and the period of hj{0) is odd.
Then irL,...Mr = <-^yr'xo^...A Theorem 9 implies that for v G SP{K), v ^ XQ,. .. ,Xk, TX^^...^\^(V) H^{K(v),A)»nT, and Vs G yl(/C(A;))/M, ife > r > 0, we have:
G
JM
In what follows we shall limit ourselves to prime divisors Xr which remain prime in K, i.e., ( ^ ) = — 1. It follows from the above that Ko,...,A.M) ^ H'(K{v),AUr for V G SP{K) with i; ^ Ao,...,Afc; ^'..,A;,...('^r) e ^(A"(Ar))/M for ife > 0; and (since FrA.r' ;^,^^.. = = (TT^ y = 6(—l)^r' y ) we have the following relation for all
se
A(k(\r))/M:
>{*'(^Ai,...,Afc('^'-))'^'^r SM,A^
'^'^^^«. M ' <-^)'^%^r'i V / ^ . . , A „ . , (A.) JM
17)
Recall that Am denotes the group of all points of order m on ^ ( Q ) , Am c^ Z / m 4- Z / m . We setrf= 1 if / ^ 2 or if (T acts nontrivially on ^ 2 , and we set d = 2 if / = 2 and a acts trivially on A2. If ^ is a {l,(T}-module, then we denote A± = ker((T ^ 1). If / / 2, then Ain is the direct sum of its cychc submodules Ain^ and Ain_ of order /". We choose a projective system (relative to multiphcation by /) of generators e±/n £ Ainj^. Since the Weil pairing [, ] M • AM X ^ M —>^ /^M is alternating and non-degenerate, it follows that [e^A/i^-MJM = CM is a generator of fiM' Now suppose that 1 = 2, Obviously, AM+ H AM- = ^2-1- = A2-. Hence, if d = 1, then ^2+ ~ Z/2 and AM± are cychc groups. Since 2AM C A M + + AM-, it follows that [AM+][AM-]/2 > 22"-2 On the other hand, [AM+] < 2"* and [AM-] < 2". Hence, [AM±] > 2"^^ 3 ^ ^ then A M ± ~ Z / 2 " , since AM± is the subgroup of elements of order 2^
EULER SYSTEMS
473
in Aj^2^±j which is a cycUc group of order > 2". We again choose a projective system {e±M}' Then [ C + M J ^ - M I M = C2*»-i is a generator of //2«-i- In fact, 2''"^[e+M,e_M]M = [e-|.2,e_2]2 = 1, since e^2 = e_2 (a general property of the Weil pairing is that [/ei,/e2]/n-i = [ei,e2]}n). We prove that [e-|.4,e_4]4 ^ 1, in which case [e^.jvf ) € ~ M ] M h^s period 2"~^. If we had [e4.4,e_4]4 — 1, then e^4 and e_4 would generate a subgroup of index 2 in yi4 which is orthogonal to itself with respect to a non-degenerate pairing, and this is impossible. Now let d = 2. Then AM-\- — Z/2^ + Z/2, since otherwise we would have AM-\- D A4] however, a acts nontrivially on A4, since det(/>(o')) = — 1. In the same way as before we prove that A M + ^ Z/2" + Z/2. We also have AM-- :^ Z/2" + Z/2. We choose projective systems {e±M} of elements of period M in AM±' We show that e^M and e_A/ form a basis of AM- It suffices to prove this for €^4 and e-4. Suppose that ae+4 + ^e-.4 = 0. Then 2|a and 2|^. Hence a == ^ = 0, since otherwise we would have 264.4 + 26^4 = 0 => e+4 = —e_4-f-e, where e E A2. Then 64.4 C ^ 4 , which is a contradiction. In particular, [e^M)^-M]M = CM is a primitive M-th root of unity. We set C = C{K) equal to the period of A{K)toT' The properties of the groups G/n = G(Q(i4/n)/Q) (the theory of complex multiphcation and Serre's theory) imply that there exist natural numbers a and 6', not depending on / (see below), such that: ai/^(G(A'(yl/ni+n2)/A'),^/ni+n2) = 0 Vni,n2; and for all n, h'A = 0 for any G/n-submodule A C Ajn for which either {a + 1)^ = 0 or {a - l)A = 0. We set 6 = {2/d)b'. We let MQ denote the least common multiple of the periods of H^{K{v)j A)unr (these groups are finite, and they are trivial for (i;, A^) =: 1). We let M = l^^ and let SM denote the M-th Selmer group of A over K. S±M is the kernel of cr — 1 and (7-1-1, respectively. UI is the ShafarevichTate group of A over /\ , and \11±M is the kernel of cr— 1 and cr-f 1 on U I M • If r G Z, r ^ 0, then Xr will denote a character (homomorphism to /IM) of the group S'sgn(r)M- L^t xo== the trivial character. Let Mi = /ord,(Mo) If t; G SP{K), then H\K,AT)V denotes the subgroup of H\K,AT) consisting of elements r whose projection to H^{K{V),A)T is trivial for all V G SP{K)y V ^ V. If a G Z, then a denotes a if a > 0 and 0 if a < 0. If r ' is a point of infinite order, then we let C denote the largest natural number which divides r' in A{K)/A{K)tor' We have: Theorem 10. Suppose thai r' is a point of infinite order, r G N , n > ord/(C) -f rord/(a6) -f- 2ord/(cd) -h 1, and M = l"^ as usual. Then there exist [1, A i , . . . , Ar] G ^ ^ ' ( 1 ) such that M ^ M I | M A I and characters X{-i)^ek ' S^_i)k,M -^ /^M, 1 < * < r, such that: (1) Let the integers 0 < a o , . . . , a r < n be determined by the condition that / " J Z / is the annihilating ideal of r'^ ^ (M) for 0 < j <
474
V. A. KOLYVAGIN
r. Then the integers rrij = n — aj satisfy the inequality rrik^i — ruk > —ord/(a6). Furthermore, there exist T'^ ^ (M^Mi) G H^(K,AM^MI) such that crj;^ ;^^(M2MI) = I'^^r'^^J^^{M^Mi), As usual, let ^Xo,...,x i^) denote the image of T'^^ ^ (M^Mi) in H^{K,AM) (under the homomorphism induced by multiplication by MMi: AM^MI -^ AM)Then we have rl
^^{M)£H\K,AM)i,
for
(2) Let Xxefc * H^{KiAM)x
v£SP{K),
v^Xo,...,Xj-
—^ f^M f>^ defined by setting
Frl, - 1 M
«) ^±tM M
Then x[^uk€k ^^ ^^^ restriction of x'/^uk^}., ^wrf ahcfq
X ( - I ) - . « , . . . , A . . . ( M ) ) = CM
i-iy-'^ek
where 0 < ord/(g(_i)fc-ifjt) < ord/(a6). (3) Letx[^i>^k-i,k' S(^i)k-i,M -^ f^M be the restriction o/X('_i)fc-ieJk' ^^^ ^-cM = Hom(5_eM, A^M) and S*j^ = Hom(kerXo/iM). We let x^ek e S*^j^ denote the restriction of x'^^ek' Then the period of X{-i)^€k ^^
Zk = 5'('_i)fc,jv^ /
\^{-\Ye{l^iy^{-\Ye{1^2y"-)
is equal to (period of ^jk)/^(-i)fccjb, where 0 < oxAi{q^_iYtk) — ord/(a6). Furthermore, x\.,)k,,
'
^ ^ C
thatr^-^'''^^{ahfcdZk
= 0.
{x^_,),^^^,yX^_,^,^^^,y^^).
so
Before proving the theorem, we use it to derive some corollaries. We observe that if /^^r' = /''r^ with r^ G ^(A"), then r ' is divisible by /"-«o = /^o in A{K)/A{K)toT^ Thus, r ^ l C i.e., mo < ord/(C). We show that if n > ord/(C) + ord/(c) we have mo > ord/(C), and hence mo — ord/(C). In fact, we can write T' = CT[ + e with e G A{K)toT and T[ G A{K). Then CT' = CCT[, Multiplying both sides of the last equality by /n-ordKc)+ord,(C)^ we find that /^-ord,(C)^/ ^ /n^(/^) Eexice, n~ord/(C) > ao, i.e., ord/(C) < n — ao = mo. We further note that when n > ord/(cC) we can take r'^M'^Mi) to be CfCT[, where Q = C/^^^'^^) G Z;.
EULER SYSTEMS
475
Let di denote afc, and let ^2 denote dfcd. We have: Corollary 1 1 .
If r^ is a point of infinite order, then w€ have
Proof. Theorem 10 with r = 1 impUes that l'^''-"^'d2S-cM = 0. Since mo < ord/(C), it follows a fortiori that d2CS-cM = 0. We have the natural exact sequence: 0 — ^ A{K)/M
—^ S M - ^ U I M - ^ 0.
Since 2III_eA/ C (cr — CJIIIA/ = {a — €)(P{SM) C <^(5_cAf)j it follows that 2d2CUI-eM = 0. Hence, 2d2Cin.^c = 0, and this implies, in particular, that III_e is finite, since III_c C I I I T for T = 2d2C^ and U I T is the image of the finite group ST and so is finite. This concludes the proof of the corollary. Corollary 12. If r' is a point of infinite order, then A{K) has rank 1, i n 15 a finite group, and Cdid22abcUI = 0. Proof. Applying Theorem 10 with r = 2, we find that l'^'^'^''d2S*j^ = 0. Since mo - mi > -ord/(di), it follows that /""^ divides I'^^di. Thus, Cdid2S:j^ = 0. Since S*j^ is dual to kerx^, by definition, we have Cdid2 kerxe = 0. We have the sequence of homomorphisms 0 —^ kerxc —^ SeM-^fJ'MSince xdCfCTi) = CM ? it follows that Xe(c^i) has period equal to /n-ord,(ca6)+ord,(^0. Thus, the quotient of 5eM by the subgroup generated by CT[ and kerxe is a cyclic group which is annihilated by cab. Since 2SM C 5 - C M + ScMi it follows that 2{cab)did2C annihilates SM/{CT\)' Hence A{K) = A{K)tov + Zr{. Furthermore, 2 I I I M C fpiS^M + S^-CM), and so 2{cab)d\d2C annihilates UI; in particular, III is a finite group. The corollary is proved. We define R±^i to be dimz//(IIIic)/, i.e., it is the rank of the /component of in±c. Let
{
max(2iZ_,/ + 1, 2R,i + 4),
if / 9^ 2,
max(2i2_e/ + 5, 2R,i -f 6),
if / = 2.
476
V. A. KOLYVAGIN
We have: Corollary 13. Let T' he a point of infinite order. Then [III] divides the natural number Q2 / TT^2il(0ord,(d2) I (ca6)2'*''"2/2^^
Proof. Let B!"^^^ denote the rank of S'j^^j^ (the number of cycUc terms, or equivalently, the dimension over Z// of the subgroup of elements of order /). We set r = max(2i21^j^^ — 1, 2/i*^). We first suppose that r > 0. We apply Theorem 10 with this value of r. We set ;^^ = 0 if \a\ > r. We let Yib denote the subgroup of S1_^YtM S^^^^^*' ated by X(-i)fce(ik+i)) X(-i)'^eifc, X^^^^^^^^y • • • • Then Theorem 10 implies that rank^5(*_j^fc^^/yA:j < max ^0, rank \^(-\YMI^(^^^ dition, r * - — * d 2 n
C y^~^.
- l ) - In ad-
We have 51,M = ^ ( 2 R * ~ - I ) ' '^^'^
rankf S'*,jv//^(2ii^—-i) ) " ^' ^^ similarly have 5*^^^ = ^^KM' Furthermore, \S^^MWM\ divides (p^-^^^^d^f'"{V^^-'^'d^f. Hence, Vp{StM + S'-CM)] divides €'^^2 ohc. Since 2 I I I M C (p{ScM + -S'-CM), it follows that [UIM] divides C'^dl''{ahc)2^''^-^f^^^. Obviously Ri^^ = rankS^eM < /2-e/+rank(5eMnkerv?). Sinceker <^ = yl(/^)/M = (^(/C)tor4Zr{)/M, and {T[Y = €(r{) -h ei with ei G A(/\)tor, it follows that for / 7^ 2 we have rank(5_eA/ H ker^) = rank(74(/<)tor H S-CM) < 1- Thus, ^-cM ^ B-^i + 1* If / = 2, then automatically RL^M ^ ^ - e / + 3, since rank^(/<)2oo < 2. Similarly R\j^ = rank(kerXe) < i^e/ + 2 if / ^ 2, and R*M < i?e/ 4- 3 if / = 2. Hence, r < R{1). If r = 0, i.e., S^eM = kerxe = 0, then Corollary 12 holds because 2IIIjoo c ^{S^cM + SCM) (by Corollary 11, we may assume that M is such that III/oo = <^(5A/))J and
EULER SYSTEMS Wc set
{
477
MA _^/«(^i>-^r-i)^
i f r - l > 1,
2OTM'^)M^MU
i f r = 1.
Here n ( A i , . . . , A^_i) G Z^ is such that /»^('^i. ,^^-0 annihilates the groups which occur in the definition of Si (1) in terms of E5 ~ '(1) (see §1 following Theorem 3), so that [1, A i , . . . , Ar] G ^^[\l) if A^ G SP{2N' • n o < i < r - i ^i) and M A , _ I H ^ ^ ' - •'^'•-^^ I M A , (for r > 1). We further note that [1, Ai] G Sj^*(l) if Ai G SP{2N). Recall that we are considering only those prime divisors Xj of Q which remain prime in K. In particular, the Xj split in the ring class fields of K. Let 5(_i)r-ig C i/^(A',i4A/)(-i)'-ic denote the subgroup generated by ^ A o , . . . , A , _ i ( ^ ) ' a n d 1^^
5'(_l)r,=5(_l)r,M.
' Let F = / ^ ( ^ M J . We let S!^ C ^ n ^ ) ^ M ) ± denote the image of 5± under the restriction homomorphism res: H^{K^AM) —^ H^{V^AM)' Let W^(±) be the M-periodic abelian extensions of V corresponding to 5 ^ , let H{±) = G{W{±)/V), let W be the compositum of W(-^) and W{-), and set H = G{W/V). We define homomorphisms (p{±) : H -^ Hom(5j.,//M) by setting (p{±)('q) : s± H^ [s±{T]T]^),e^:M]M' We observe that ^ ( ± ) factors through H(±), and the restriction homomorphism H —+ //^(±) is surjective by Galois theory. We show that (p{±)(H) D 6 Hom(5^,/iM)- It suffices to show that (p{±){H(±)) D 6 Hom(5^,/im)) and, by duality, this is equivalent to showing that bX'{±) — 0, where -^'(ib) is the subgroup of 5 ^ orthogonal to (p{±){H{±)). We have: x{±) G X'{±) ^ VT; G H{±) [x(±)(w^), C^MU = 1If we use the relation x{±){T]r]^) = (dbcr + 1){X{±)(TJ))] the fact that {x{±)){H{±)) is a G(F/Q)-submodule of AM] the impKcation [Z{±), eipAflM = I => {2/d)Z{±) = 0, where Z(±) is any subgroup of A±M (since {2/d)AM C ( C M J ^ - M ) ) ; and the definition of 6, we obtain h{x{±){H{±))) - 0, and hence hx{±) - 0. We further note that, by definition, a annihilates ker(res), and thus a Hom(5±,/iM) C Hom(54-,/iAf )• Hence, 'ip(±)iH) DabS^, where 5 ^ = Hom(S'±,/iM), and rp(±) : H -^ S^ is the homomorphism for which 'ip{±){Tj) : s± —^ (<^(±)(7/))(res(s±)). We let y/_2 C 5'/*_jNr^ denote the preimage of y^_2 C 5'(*_i)r^jv/, so that ^l^iyJV-2 - Sl_^yeMl^r-2 = ^r• We let X{±) C SI denote the image of ^ ( i t ) . Let y;i2 = V-2 ^ ^ ( ^ ) ' where i/ is the sign of (-l)'*e. Let X"(—f/) = X(—I/) (where —i/ is the sign opposite i/), let X"(i/) = X{U)/Y;'_2^ and let ^ " ( ± ) : H -^ X " ( ± ) be the corresponding factorization of V'(i)- We show that 3T] £ H such that the period of V'"(i)(^)
478
V. A. KOLYVAGIN
is equal to the period of X'\±). Since V'"(i) ^^ surjective, this claim is obvious if either of the groups X'^(±) is trivial. Suppose that X " ( + ) and X " ( - ) are nontrivial, and let r ( ^ ) denote the period of X " ( ± ) , n(±) > 1. We let H'\±) C H denote the proper subgroup of H consisting of elements X for which H=*=)-V"(±)(ar) = 0. Then r)eH\ {H'{-\-) U ^ ' ( - ) ) satisfies the necessary condition. Here H \ {H\+) U H'{—)) is nonempty, since a group cannot be the union of two proper subgroups. Since a 6 5 | . C X{±) and (period of 5*^) = (period of 5(_i)r-i,^^) = in-ordi(c)^ j^ follows that (n — ord/(c)) > ord/(period of V'(""^)(^)) ^ ^ "" ord/(a6c), ord/(period of V'(^)(^) (rnod y/_2)) ^ ord/(period of Zr) — ord/(a6). We set x±r = V'(i)(^)- Let ^ G G{W/Q), g = 7/(7. By the Chebotarev density theorem, 3Ar G S'P(2Ar/(Ao • • • Ar_i)) such that Ar is unramified def
in VF and g = F r = Fr^(i;yQ(;^^), where t; is a prime divisor of W which divides Ar. Since Fr\K =
V5 G 5±M-
S, e^:M
M
M
Let ni, n2 G N. We have the exact sequence 0
^ Al^i
)• Alni+n^
yAjnQ
^ 0.
Passing to cohomology, we obtain the sequence 0 - ^ A{K)ln,/r^A{K)ln,^n,
->
(8) Under the homomorphism H^(K,Aimr) —> H^{K,AM), KrO^'^) S^^s to / " " ^ ^ ^ ^ ( M ) = 0, by the definition of rrir (in what follows TTr will denote [Ai,...,Ar], and TTr-i will denote [AQ, . . . , Ar-i]). Thus, CT^^{1^'') = 0,
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479
and so there exists r^'(M^Afi/""'"•") € H^{K,Aiu2M^in-n,r) which goes to crJ.^(M^Mi) under the homomorphism H^{K,AM3j^^j^-,«r) —* H^iK,''AM^Mi)We then have: CT'^ (M^Afi/""'"'-) = /"*••<' ( M ^ M r •/"-"•O. and c r ^ , ( M 2 M i / ' - ' " 0 € i f H ^ ^ . ^ M ' M W — ) ( - i ) ' . If nx g N and x 6 H^(R, Afi), then we let (x) denote the image of x in H^{R,A)i^x. The equahty cii^{MMil'"^) = 1"'-T^'^{MMII'"^) implies that
K^(MMi)) = (cr;^(MMir'))
(9)
(since /•"(a;(/"'+'")) = (x(/"')) Vm,»ii e N). Let v € 5P(/i:) with (i;,Ai--Ar) = 1. Since (r;^(MAfi/'"%u)) 6 H\Kiv),A)unT (see Theorem 9 and the remarks following it), it follows that also {T"^{MMI,V)) 6 G H\K{v),A)unrBut « ( M ) ) = M i ( r ; ; ( M M i ) ) , and by the choice of Ml it annihilates £r*(/i:(f)'^)unr. Hence, (V;'^(M,t;)) = 0. Suppose that I < k < r, Afi C >l(/!'(Afc)). We let S'^^m : ^/-i -^ i/^(A'(Ajfe),yl);n, denote the isomorphism that is defined by setting
('''^AkV'^^))'"'.^' =
Frl, /»•
V5 G .4(A-(A0)/r^
s, e /'^i
{{Frl^ - l ) / ( / " 0 • ^(^^"(-^fc))//"' -^ ^/'^i is an isomorphism; ( , )ir.^^x^ gives a duality between A{K{\k))ll'^^ and /f^(A'(Ajfc),yi)/ni; since [ , ]/«i is a non-degenerate pairing, ^ ^ \ n i is an imbedding oi Aini in H^{K{Xk)i ^),n,; and finally, [Ajn,] = [A{K{\k))/r^] = [H\K{Xk),Ay,]). We let ^Ajfe,/~i • ^^(A(Ajb),^)/ni -^ ^/ni denote the isomorphism which is the inverse of S^^jm- If ri2 < ni, then ^Xk^i'^^i^^^"^^^) = ^ni-n2^^^^^^^2r), where z E //^^(A(Ajk), yl)/ni. Because of the compatibility of SxkJ^ ^^^ different m, in what follows we shall omit the index l^ and write simply £x^. From (9) it follows that £xr ((r;;(M, A,))) = Sxr ( ( c r ; ^ ( M / - ^ A,))). From (7) we have
£x. ((cr;^(Mr^ A,))) - (-ir^^^^j|^
=
Ml'' since c r ; ^ _ ^ ( M r O = ' " ' ' ^ • " ' ^ . i C ^ ' ^ ' O - Let /?rrfe(_i)r-i^jvi^, where /?r G Z/M. Then Fr'^ - 1
,Fri
-1
d^-^cr;;_^(M) 1 rf
= cM J M
i-l)r
480
V. A. KOLYVAGIN
Here we have used the relation [^M 5^M]A/ = ahcdqT^^y^i^^ {mod M). We further have:
CM
• H^i^c^? 2/?r(—1)'^'"^^ =
o = rcd^A.(K(M,A,))) = Frl - 1 Frl - 1
= ( - i)^e/'>-'"^+'"-. ^ ^ ^
cd r;;_, (A/) =
Since n > ord/(a6cd), it follows that ord/(/?^) < ord/(a6c). Then the previous equality imphes that m^-i — rrir >, —ord/(a6cd). We note that rrir < rrir-i + ord/(a6c(i) < (r — l)ord/(a6) -f ord/(afccd) -f- mo- Hence, n — rrir >_ ord/(cd), since by assumption n > ord/(C) + rord/(a6)-f 2ord/(cd) + l (then ord/(C) = mo). Using the equality 0 = l'^£xX{T'^^{M,\r))) as above, we prove that m^-i — m^ > —ord/(a6). We next have: cahdS\^{{T'^ (M, Ar))) = (-ire(r^—^a6)/?,rfe(^i).-i,M. Let ^A.(crf(<(M,X))) = = a!jferfe(_i)r-iejv/j where I < k < r, Xk £ Z/M. Let CM = CA/.A^J where yjfe G {Z/My. By global class field theory, the following orthogonality relation holds for all s £ SM' r
Y,{s,{T':sMAk)))M,x. = (i. kzzl
Hence, using the definition of £x^ and the relation njk=i Cm = 1, we obtain:
n
Jb =
l
Frl - 1•S, M
""
= 1.
e(_l)r_lfA/
J Af
H e n c e , x p ) t C (X(_.).,(~),X(_i).,(~),...). But
Frl - 1 = r^-'-"''a6(-ire/?,de(_i),-i,MSince ord;((3r) < ord/(a6c), we conclude that (I'"'-l-""-a6)oic
'^
EULER SYSTEMS
481
This completes the proof. We now show how a and b can be chosen. Let K' denote the compositum of K and K" = End(^) 0 Q. We let Gjoo denote the group G{K'\Aioo)/K"), where A/oo = Un^'**' ^^^ we let Gin denote the group G{K"{Ain)/K"). If End(A) = 0 is an order in the imaginary quadratic field K" (i.e., A has complex multiplication), then O has class number one (because A is defined over Q), and a choice of a projective system of generators el„ G Ai^ such that Ain = {0/r)eln and leln+i = el„ determines imbeddings p/n : Gjn <-^ (O/l^)* and p/oo : G/oo <^ 0(l)*, where
0{l) =
lhnO/r.
If A does not have complex multiplication, i.e., End(yl) = Z, then the choice of a projective system of generators eln,e2„ G Ajn such that Ajn = (Z//")el„ -f (Z//")e2„ and /ej„-}.i = ejn determines imbeddings p/n : Gin ^ GL2{Z/r) and p/oo : G/oo ^ GL2{Zi). We let ^,n and C?/« denote G{K\Ain)/Kf) and G(A"(^/~)/A^'). respectively. The restriction homomorphism gives imbeddings Qin «—)• Gin and ^/oo <^^ G/oo, so that ^/n and Qioo may be regarded as subgroups of G/n and G/oo, respectively. Here ^/n = Gin <=> / L ' (f /\"(>l/n); if this is not the case, then Qin is a subgroup of index 2 in G/n. Similarly, Qjoo = G/oo O" K^ (^ K"{Aioo)] if this is not the case, then Qioo is a subgroup of index 2 in G/oo. Let End(A) = Z. If/?/oo(G/oo) = GL2{Zi), then we set h"{l) = 1. If p/oo(G/oo) ^ GL2{7ii)^ then we define fc"(/) to be the smallest power Z*^, m > 0, such that p/oo(G/oo) D 7 -f /'"M2(Z/) (here M2(Z/) is the ring of 2 x 2 matrices over Z/, and I is the identity matrix). Now let End(yl) = O. We let D{0) denote the discriminant of O. If p(G/oo) = 0{l)\ then we set h"{l) = 1 if / / 2 or if / = 2 and either 2\D{0) or 2 remains prime in K"\ however, if 2 J[D{0) and 2 splits in /iT", then we set 6"(2) = 2. If p{Gioo) ^ 0(/)*, then we define 6"(/) to be the smallest power /^, m > 0, such that />/oo(G/oo) D l-f- / ^ 0 ( / ) . Next, we let a'{l^K) denote the smallest power /"*, m > 0, such that l^ annihilates H^{Qin^Ain) for all n. It follows from classical results in the case when A has complex multiplication and from results of Serre (see [19], p. 49) in the case when End(yl) = Z that h"[l) and a'{l^K) exist for all / and are equal to 1 for almost all /. We define the natural numbers h" and o!{K) as follows:
b" = X[ih"{l),a'{K) = Y[^a'{l,K). We show that we may take a = c{K)a'{K)[K'/K]. In fact, it follows from the exact sequence (8) that c{K)a'{K)H^(Qin^^n2, Aini) = 0 Vni,n2;
482
V. A. KOLYVAGIN
hence, [KyK]c{K)a\K)H\G{K\Ain,-,n,)/K),Ain,) (Themap res takes H^{G{K'{Ain^^n^)/K),
=0
Vni,n2.
Ain^) to H^{Qin^-\-n^,Aini) with
kernel H^{G{K'/K),A{K')in,), which is annihilated by [G{K'/K)] = [K'/K].) Let End(^) = Z, / 7^ 2. We show that ord/(a) = 0 if h"{l) = 1, i.e., if P]oo{Gioo) = GL2(Z/). In fact, in that case A/00 (A') = 0, since, if we suppose that 3e G A{K)u e / 0, we obtain: pi{gi) C X = | ( ^
J J |nGL2(Z//),
if we take eli = e. But this contradicts the fact that pi{Gi) = GL^ilii), since then [C?/] > [G/]/2 = / ( / - l ) 2 ( / - h l ) / 2 > / ( / - 1 ) ^ = [X]. Furthermore, either pjn{Qin) = /?|n(G/n) = GL2{Z/r)y or else pin{Qin) is the subgroup of GL2{Z/l^) consisting of matrices with discriminant in ((Z//)*)^ (see [12], §4); in either case pin{Qin) 3 0 =: < I
J , a'"^ ~ V ' ^^^^^ implies
triviality of H^{Gin^Ain) if we use the spectral sequence 0 - ^
H\gin/e,Afn
= 0 ) — ^
H\Gln,Aln)
— ^
//^(G, A/a)
~ ^
Q.
From the analogue of Lemma 2 of §4 of [11] that is obtained by replacing mi/ (in the notation of [11]) by ord/(6") and Qjm (denoted Gim in [11]) by Gint (the proof of the modified lemma remains exactly the same) it follows that 6' can be taken equal to d^D{End{A))b'\ where d' = d if End(A) = Z and d' = 1 if A has complex multiplication. Hence, 6 = {2ld)d'D{Exid{A))h". In particular, if / ^ 2, (/, Z)(End(A))) = 1 (which is always the case if A does not have complex multiplication, since then End(A) = Z and D(Z) = 1), and h"{l) = 1, then ord/(6) = 1.
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483
[5] A. Wiles, "On j>-adic representations for totally real fields", Ann. Math., 123 (1986), No. 3, 407-456. [6] F. Thaine, "On the ideal class groups of real abehan number fields", to appear in Ann. of Math. [7] K. Rubin, "Global units and ideal class groups". Invent. Math., 89 (1987), 511-526. [8] K. Rubin, "Tate-Shafarevich groups and L-functions of elliptic curves with complex multiplication", Invent. Math., 89 (1987), 527-560. [9] J. Coates, A. Wiles, "On the conjecture of Birch and SwinnertonDyer", Invent. Math., 39 (1977), 223-251. [10] B. H. Gross, D. B. Zagier, "Heegner points and derivatives of L-series", Invent. Math., 84 (1986), 225-320. [11] V. A. Kolyvagin, "Finiteness of £'(Q) and m(jE;, Q) for a subclass of Weil curves", Izvestiya AN SSSR, Ser. Mat., 52 (1988), No. 3, 522-540. [12] V. A. Kolyvagin, "On the Mordell-Weil group and the Shafarevich-Tate group of Weil elliptic curves", Izvestiya AN SSSR, Ser. Mat., 52 (1988), No. 6. [13] D. B. Zagier, "Modular points, modular curves, modular surfaces and modular forms", in Arbeitstagung Bonn 1984, Springer Lecture Notes in Math., 1111 (1985), 225-248. [14] G. Stevens, Arithmetic on Modular Curves, Birkhauser, 1982. [15] B. Mazur, H. Swinnerton-Dyer, "Arithmetic of Weil curves", Invent. Math., 25 (1974), 1-61. [16] B. Perrin-Riou, "Points de Heegner et derivees de fonctions L p-adiques". Invent. Math., 89 (1987), 455-510. [17] S. Lang, Elhptic Functions, Addison-Wesley, 1973. [18] K. Ireland, M. Rosen, A Classical Introduction to Modern Number Theory, Springer-Verlag, 1982. [19] M. I. Bashmakov, "The cohomology of abelian varieties over a number field", Uspekhi Mat. Nauk, 27 (1972), No. 6, 25-66 [English translation: Russian Math. Surveys, 27 (1972), No. 6, 25-70].
Translated by Neal Kobhtz
V. A. Kolyvagin Steklov Institute Vavilova 42 Moscow, U.S.S.R. 117966 GSPl
Descent for Transfer Factors
R. LANGLANDS and D. SHELSTAD* Dedicated to A. Grothendieck on his 60th Birthday
Introduction In [I] we introduced the notion of transfer from a group over a local field to an associated endoscopic group, but did not prove its existence, nor do we do so in the present paper. Nonetheless we carry out what is probably an unavoidable step in any proof of existence: reduction to a local statement at the identity in the centralizer of a semisimple element, a favorite procedure of Harish Chandra that he referred to as descent. The principal difficulty is to show that the transfer factors of [I] for the original group G are compatible with those on the connected centralizer Ge of the semisimple element e. After some preliminary explanations in Section 1, the compatibility is stated as Theorem 1.6.A. In Section 2 we show that this compatibility indeed reduces the problem of existence to a local problem at the identity on the groups Ge , and in passing we note some other applications. The remaining four sections are devoted to the proof of Theorem 1.6.A. The transfer factors are defined in a rather elaborate manner as the product of five factors that mix group-theoretical data with Galois cohomology. The first steps are to reduce to quasisplit groups and then to discard two of the five factors, leaving only three, one of which is defined in a simple fashion, and two of which involve group-theoretic and cohomological data. It is these two that are difficult to compare for G and G^. The principal tools are the two comparison lemmas of Section 3. The contributions to the factors are labelled by orbits of the Galois group in sets of roots, and the first use made of the comparison lemmas is to deal in Section 4, and rather quickly, with all orbits except those lying outside both Ge and the endoscopic group. This leaves a rather concise but still far from trivial statement that is proved partly by an analysis of the structure of semisimple groups and partly by explicit cohomological calculations. The structural analysis is possible only after the critical lemma of Section 5.1 has been established. •Partially supported by NSF Grant DMS 86-02193
486
R. LANGLANDS and D. SHELSTAD
This lemma allows us to introduce an inductive component into the argument, and then to assume that both the element e and the datum s defining the endoscopic group are essentially of order two, and moreover, that all roots are of the same length. This done, the burden of the rest of the proof is carried by expUcit arguments with the constructs of local class-field theory. They all appear in Section 6. We cannot hope that the groping, pedestrian style of the paper will appeal to Grothendieck, for it lacks the force and penetration that he achieved so readily, like Nietzche's Philosoph der Zukunft, erfinderisch in Schematen, mitunier siolz auf Kaiegorien-Tafeln. Nonetheless, it is a great pleasure for us to express our admiration of his magnificient contributions to the mathematics of our time.
§1. Descent Principles 1.1. Notation 1.2. Images of semisimple elements 1.3. The function ^f 1.4. Descent for endoscopic data 1.5. Descent for ^^ 1.6. Descent for transfer factors 1.7. Final formula x §2. Consequences 2.1. Local transfer 2.2. A characterization lemma 2.3. Reduction to local transfer 2.4. Equisingular transfer 2.5. Regular transfer 2.6. Archimedean transfer §3. Comparison Lemmas 3.1. Reduction to the quasisplit case 3.2. Remarks and notation 3.3. First Lemma of Comparison 3.4. Second Lemma of Comparison 3.5. An apphcation §4. Analysis of 6, b and a Reduction 4.1. Galois action 4.2. Calculation of a coboundary 4.3. Explicit form 4.4. Root types 4.5. Analysis of ^1,^2 §5. Final Reductions
DESCENT FOR TRANSFER FACTORS
487
5.1. Introduction 5.2. Beginning of proof of the critical lemma 5.3. The term 0^2*^^ 5.4. Construction of ^ and <^, 5.5. Reducing the dimension of Gder §6. The Order-Two Case 6.1. Introduction 6.2. Liftings 6.3. Some coboundaries 6.4. Remaining steps 6.5. Symmetric orbits 6.6. Final calculations References
§1. Descent Principles 1.1. Notation We follow closely the notation of [I]. In particular, G is a connected reductive group over a field F of characteristic zero, now assumed local. As in [I, Sect. 1.2.] G*, V* are quasisplit data and ^G = GxWp is the L-group. To conserve notation we fix an F-splitting ( 5 , T, {Xav}) of G and given a class of endoscopic data choose a representative (H^Ti^s,^) with i '.li*-^^G as inclusion and s an element of T . It is also convenient to fix an F-splitting (5^,7if, {y/?v}) of H = Cent(s,G)^ and assume that BH = BnH , TH = T . For the moment we refer directly to [I] for the definition of the factor A . Measures also remain as there. If e G G(F) is semisimple we choose an invariant differential form of highest degree on Cent(e, G)° in order to fix a Haar measure on the F-rational points of this group. We require that differential forms on inner forms be obtained by transport. 1.2. Images of semisimple elements For e in G the identity component of Cent(6,G) will be denoted Ge. If e in G{F) is semisimple then, following [Kl], the stable conjugacy class of € is {9^^eg:ga{g)-^ eGc^aeT}, where F = G a l ( F / F ) . If Cent(e,G) is connected then this coincides with the set of F -rational points in the conjugacy class of e in G{F). In general, an F-rational e' = g~^eg is stably conjugate to e if and only if Intflf : Ge' —* G^ is an inner twist. If G is quasisplit over F then there is an e' stably conjugate to e such that G^i is quasisplit over F
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R. LANGLANDS and D. SHELSTAD
there is an t' stably conjugate to e such that G^/ is quasispUt over F [Kl, Lemma 3.3]. We now generahze the notion of image from [I, 1.3] (see also [K2]). It is convenient to use the notation 7/f , 7 , 7^ when 7/f is strongly G-regular and e^ , e, 6^ in general. Suppose then that e^ lies in the Cartan subgroup TH{F) of H{F). Then we call e^ a TH-image of e^ in G{F) if for some admissible embedding TH —)• T of Tff in G* carrying e^ to, say, e there exists x in G* , or just as well in G^^ , such that tpx = lntxoxj; has the properties that ^^(e^) = 6 and that both TG = fpx^{T) and ip^ : To -^ T are defined over i^ . In varying TH we obtain all images of e^ . Observe that [K2, Lemma 10.2] shows that all images of a given e^ are obtained by simply fixing one image e^ , if it exists, and then taking all TH -images for some TH fundamental in ^e . 1.3. T h e function ^f Recall that to define transfer factors for (G, H) we may need to pass to a central extension of H . Call a central extension H of H admissible if it is attached to a 2: -extension of G as in [I, 4.4] (although a wider class of extensions could be used [K-S]). The sequence 1 —^ Z{F) —^ H(F) —> H{F) —^ 1 is then exact, where Z is a central torus in H , and combinations of orbital integrals of functions on G(F) are to be matched with those of functions on H(F) that transform under Z(F) according to a certain character A [I, 4.4]. Suppose €fj is semisimple in H(F) and en lies in its preimage in H{F) . The factor A{'yH,7G) has been defined for JH strongly G-regular in H{F) , by which we mean that the image JH of 7H iii ^i^) i^ strongly G-regular. We shall investigate the behavior of ^f{7H)
= ]^A(7if,7G)^(7G,/) 7G
for jH near CH First, following [I, 4.3] it is easy to see that if e^ is G-regular, but not strongly so, then ^f extends continuously to in and that this extension is in fact smooth at €H • Second, if e^ is not the image of any semisimple element in G{F) then no strongly G-regular element in H^ (F) can be the image of an element in G{F) and so ^f vanishes on the strongly G-regular elements in Hi^j^F). In particular <^^ vanishes for all 7ff in a neighborhood of en in H{F). We may then assume that e^ is an image of an element e^ in G{F) . There is an e'n = h~^e^h stably conjugate to e^ such that H^^ is quasisplit over F . If e^ is a TH -image of e^ then we may multiply h by an
DESCENT FOR TRANSFER FACTORS
489
element of H^t to assume that the homomorphism Int/i~^ : TH -^ H^i is defined over F , that is, that h G ^{TH) - Then h acts on the preimage TH of TH in iJ as an element of 2t(Tif) and [I, 4.1.B] implies that
^ f (/^-'T/f/^) = ^ f (Tif ) for all strongly G-regular ^H in TH{F) . Thus we may replace e^ by e'jj and assume from now on that H^ is quasisplit over F . Then H^ is an endoscopic group for G^ as we now explain in detail. We sometimes denote it by H^. 1.4. Descent for endoscopic data We start then with semisimple e^ in H{F) an image of e^ in G{F), and He quasisplit over F. Choose TH such that e^ is a TH -image of €Q . Let e be the image of e^ under some admissible embedding TH -^ T of TH in G* . An argument as in the last paragraph allows us to choose the embedding so that G* is quasisplit over F. We will see that these choices are of no real importance, the essential data being e^ , e and e^ and thus H^ , G* and Ge . To the endoscopic data ( ^ , ? i , s , ^ ) we shall attach an extension H^ of Wp by iff and an admissible embedding (^^ \ Tic ^-^ ^G^ such that He J Tie J s and ^e yield endoscopic data for Ge . Further choices will be made, for example to specify Ge , but again they will not affect the isomorphism class of the endoscopic data. Moreover, all endoscopic data for Ge will be so obtained up to isomorphism. Suppose that BH D TH i^ H and J3 D T in G* are Borel subgroups for which the already chosen TH -^ T IS the attached embedding. Also suppose X G G*c is such that i^xi^a) — ^J ^^^^ both To = ip~^{T) and i^x ' TG -^ T defined over F . Note that G* and x/^x serve as quasisplit data for Ge . G
The embedding TH-^T^^^TG
is by definition dual to a diagram Tif ^ - Tif = T ^
f - ^ fG.
This diagram allows us to identify R{G,TGy R{Ge^, TGY with a subset of R{d, T).
with R{G,T)
and then
Infixing L-data (GePhPt) and ^Ge = Ge^^Wp for Ge or G* we may assume that Ge contains T and that R{Ge,T) coincides with R{GeiTGY as a subset of R{G,T) . We set Be = BnG* and let Be be the Borel subgroup of Ge generated by T and the B -positive roots in T in Ge . The embedding f -^ T of f in Ge provided by Be and Be will be
490
R. LANGLANDS and D. SHELSTAD
identified with T -^T above. The isomorphism TQ —^ T —> T embeds TQ in Ge and extends to an admissible embedding of ^TQ in ^G^ (see, for example, [I, 2.6]). The image, again denoted ^TQ , is independent of the choice of extension. ^ The element s lies in T and thus in G^. Moreover H = Cent(s,G)° . We may take the dual He of He as the subgroup Cent(5,Ge)° of Ge; He is normalized by ^TG • We define He to be the subgroup of ^G generated by He and ^TG , and ^e to be the inclusion map. Observe that there is clearly a split exact sequence i-^H,^—.ne
—
WF—^i
and that {He ,We,s,^c) is a set of endoscopic data for Ge . We also identify the embedding TH -^ T given by BH H He and Bed He with Tjj —>• T above. Then TH —*- T is an admissible embedding for both (GjH) and {Ge ,He ) . Moreover any admissible embedding of a maximal torus of He in G* is admissible as an embedding of a maximal torus of H in G* and carries e^ to e . It remains to examine the effects of our choice. Suppose first that B and BH are changed but that TH —^ T remains fixed. Then {Ge^pe) is replaced by a pair {G'^^p'^) , F-isomorphic to it under a map that carries R{Ge,T) to R{G[,T) and the image of ^TG in ^Ge to its image in ^G[ . This isomorphism further fixes s and carries He and Tie to the new H'^ and H[ . Thus we obtain isomorphic endoscopic data for Ge • With T fixed, the choice of TH and tpx does not affect endoscopic data. Now suppose we replace TH -^ T hy TH —^ T. Then e^ lies in both TH,TH and e in both T,T. We may assume that the new Borel subgroups are obtained from BH and B by conjugation in C e n t ( 6 ^ , ^ ) and Cent(6, G*) . Then again the new data are seen to be isomorphic. Note that if TH —>• T is admissible for {Ge ,He ) then we may use conjugations in He and G* , and the data are unchanged. Finally it is straightforward to check that the choice of {H^Ti, s,^) within its equivalence class does not affect the class of {He , We, s,^e) among data for Ge . Moreover from any class of data for Ge we can recover s £T , H = Cent(s,G)° , H = (H^^TG) contained in ^G and e^ semisimple in H{F) such that {He ,We,s,^e) lies in the class. 1.5. Descent for ^ j ^ Continuing with e^ , e and e^ , we assume that endoscopic data have been fixed once and for all by the choices of the last section. Since these choices will not be mentioned again we reserve no notation for them. In particular, TH —^ T will be an arbitrary embedding of TH in G* which is admissible for (G* jHe ) . To spare notation further we assume that G* ,
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491
^ are quasisplit data for Ge - If then e,, is a TH -image of e^ there is an X E (G*)sc such that TQ = i^x^{T) and rp^^ :TG -^T are defined over F. For jff strongly G-regular in the preimage of TH{F) in H{F) we calculate ^^{JH)
^
To
where the sum is over representatives JQ for the G{F) -conjugacy classes in the stable conjugacy class of the image JQ of JH under TH-^TH—^T—^TG.
We write JQ as W'^^JQW , w G 2)(Tc?), and now describe a choice of representatives for 2 ) ( T G ) .
Consider first the stable conjugacy class of e^ in G{F). Since Cent(eQ, G) may be disconnected we pass to a z-extension of G and pick e G G{F) mapping to e under G -^ G. Suppose that {ej = wj^ewj : 0 < j < n} is a set of representatatives for the conjugacy classes in the stable class of e, with WQ = 1. Let Wj be the image of Wj in G{F), €j = wJ^c^Wj and Gj — Cent(ej,G)° . Notice that the e^ need not be distinct. We use (G*, t/'j) , where V'j = V' olnti^j , as quasisplit data for Gj . Define a subset S{^H) of {0,1, • • • , n } by j G S(TH) if and only if Cj has e^ as TH -image relative to {Gj^H^ ) , that is, if and only if there exists hj G Gj such that Int hjw~ maps To to Gj over F . Then fix some such hj and set Wj = Wjhj , 7} = W^^TGWJ . Passage to G shows that {wjw' : j G S{TH) and t/;' a representative for S)(7},Gj)} is a set of representatives for S) (To, G ) . Thus ^f(jH) is equal to n
(1.5.1)
Yl E
where JQ = W'^JQWJ
^o')^(Ti/. ^'-VG«^', fmw^-'iw. f)
, 0 < j < n , and 6 is the characteristic function of
SiTjt). From the well-known construction of Harish-Chandra [HCl, Sect. 22; HC2, Part VI] we can find p G C^{Gj{F)), 0 < j < n , such that
^6J) = <^{6J^)
492
R. LANGLANDS and D. SHELSTAD
for all regular semisimple 8 in some neighborhood of EJ in Ge^iF) . It remains to relate transfer factors for (G, H) to those for (Gc j H^ ) . 1.6. Descent for transfer factors To conserve notation 7i will be assumed an L-group, but He must of course remain arbitrary. Then He will be an admissible central extension of He (recall 1.3) and ejj will be an element in the preimage of e^ in jfle (F) . We suppose that e„ is a TH -image as well as a TH -image, and take JH > 7H ^^ ^e (F) with strongly G-regular images JH ^TH , 7H e TH in He^{F). Then the factors
for {G,H)
A =
A{jHnG]lHnG)
Ae =
A{JH^1G]^H^1G)
and
for (Ge , He ) are defined and non-zero whenever JH,7H are images with respect to (Ge ,He ) of JGIJG in Ge (F). That will be our assumption on 7 G J T G throughout this section. Let 0 = A / A e . Then 6 is naturally a product 0161161626^ , the factors corresponding to those of A and A^ [I, Sect. 3]. Keeping TH and TH fixed we consider ^H,7H ^^^r in with JG^JG both near e^ . We will see in 3.1 that 61(7/^,7G;7/f , 7 G ) = 1. A glance at the remaining factors convinces one that 6 extends continuously to i^Hi^a'i^Hi^o) taking a nonzero value there. The extension is then seen to be smooth. Theorem 1.6.A. lim6(7/f,7G;7iy,7G) = 1 iH^in
—'^H
7G,7G
—'^G
The proof will occupy Sections 3 to 6. Suppose F is nonarchimedean. Then the theorem says that 6(7if,7G;7/f,7G) = 1 for JH^IH near in and 7 G J 7 G near e^ . Thus for the absolute factors A(7if,7G), A ( 7 ^ , 7 G ) for G and AeijHHG), A , ( 7 ^ , 7 G ) for G, [I, 3.7] we have A(7ff,7G) _ A(7ff,7G) AeijH^lG) ~ Ae0H.7G) '
DESCENT FOR TRANSFER FACTORS
493
and so we may write A(7^,7G)
-
cAeijHno)
for jH near ejj and yo near e^ , where c is a constant. Observe that for jH near CH the factor AeijHijG) depends only on JH and JQ (see [I, 4.4.A] and 3.5). We emphasize that the assertion of the theorem is that c is independent of the Cartan subgroup TH containing JH • That this is crucial for the transfer of orbital integrals (and therefore characters) will be seen in Section 2. In the archimedean case c is a function. This however presents no difficulties in our applications (2.4, 2.5). 1.7. Final formula For the pair (Gj ,Hc ) we write Cj in place of c . Then n
(1.7.1)
^fi7H) = J2'J^p('f^^
i=o for strongly G-regular JH sufficiently close to CH in He^{F). Note that the characteristic function S(j) of (1.5.1) has disappeared because by definition ^ffijn) = 0 for j ^ S{TH) (recall 1.3).
§2. Consequences 2.1. Local transfer We say that {G,H) admits A-frans/er if for each f £C^{G(F)) there exists f^ e C^{H{F),X) (notation of 1.3) such that / and / ^ have A-matching orbital integrals, that is, (2.1.1)
^''{JHJ")
= Y,A{jH,7GmyG,f)
for all strongly G-regular JH in H{F). It H is the quasisplit form of G, so that A is a constant, we often refer to stable transfer rather than A-transfer. Suppose that F is nonarchimedean. Then for JH near 1 the factor A(7if,7G) depends only on the image JH of JH in H{F) (see [I, 4.4] again); so we may denote it instead by Aioc(7jy,TG) • We say that ( G , / / ) admits local A-transfer at the identity if for any / G C^{G{F)) we can find / ^ G C^{H{F)) such that
(2.1.2)
^''{JHJ'')
=
J2A,OC{7H.1GM7GJ)
494
R. LANGLANDS and D. SHELSTAD
for all strongly G-regular yn near 1 in
H{F).
2.2. A characterization lemma Throughout 2.2 and 2.3 we assume that F is nonarchimedean. Suppose that ^^* is a stably-invariant function on the regular semisimple elements of G{F) that is compactly supported modulo conjugation, viz., that vanishes along all conjugacy classes of regular semisimple elements that do not meet some fixed compact subset of G{F). Then we call $^* a local stable orbital integral if for each semisimple element e in G{F) there exists fe e C^{G{F)) such that ^ ^ ^ ^ T ) = ^^^ilJe) for all regular semisimple 7 near e. Lemma 2.2. A. Let G be a quasisplit group. If ^®* is a local stable orbital integral on G{F) then there exists f G C^{G(F)) such that
for all regular semisimple y in
G{F).
Proof. By a simple passage to a z -extension ([Kl]) we reduce immediately to the case that the derived group of G is simply connected. If c is semisimple in G{F) we denote by Z^ the center of Ge and by Z'^ the set of c' in Z^ at which DQ/DQ^ does not vanish. For e' in Z'^ we have Ge' = Ge and Z^' = Z, , while if e' e Z^ - Z[ then Ge'^G^, so that dimGc/ > dimGc, and Z^f^Ze. Notice that the group Ge is Cent(Ze,G). Thus if g £ G{F) then g^^eg is stably conjugate to c if and only if Int^f""^ : Z^ —> Zg-i^g is defined over F , that is, Ze is stably conjugate to Zg-i^g , There are only finitely many stable conjugacy classes among groups Z^. We label representatives Zo^-^Zr for these classes so that ZQ is the center of G , the group G{£) = Cent(Z^,G) is quasisplit over F for each e (using [Kl, Lemma 3.3]), and so that dimG(^) < dimG(ife) if ik < ^ . Notice that if Zi = Z^ then G{i) = Ge and Z'^ = Z',. It is sufficient to show for each ^ = 0, • • , r that if a local stable orbital integral $^* vanishes on the regular semisimple elements in a neighborhood of U Zk{F) then there exists ft G C^{G{F)) such that (2.2.1)
^^^(7) = ^^*(T,/^)
for all 7 near U Zje{F), for if e' is stably conjugate to e in this set then k
any regular 7' close to e' is stably conjugate to a 7 close to e because Ge is quasisplit. Thus (2.2.1) implies that
DESCENT FOR TRANSFER FACTORS
495
We then proceed inductively, replacing the original ^^^ by
passing to Zi , and so on. Because Gder is simply connected, stable semisimple conjugacy classes are labelled by orbits of the Weyl group in a fixed Cartan subgroup T over F. Of course the orbits lie in T{F), and not all such orbits label stable conjugacy classes. Suppose we are given a Galois-in variant metric on T{F) , one such orbit f = {^Oj^i? • * * )^«} ? 3,nd a 6 > 0 . Then the set of all g G G{F) such that the semisimple part of g is conjugate in G(F) to an s such that \s — ti\ < 6 for some i is an open subset of G{F) that is stably invariant. Multiplying a given function / by the characteristic function of such a set, we concentrate its stable orbital integrals on the set X{T,6) of regular 7 such that 7 is conjugate to s with |s —ti| < 6 for some 6. Thus a stable conjugacy class that meets Z'^(F) will intersect Z[{F) in a finite set { e o , - - , 6 ^ } , and mapping Zi into T over F we send the elements e = eo, • • • , e^ to to, • • ,^r • We complete this set to a full orbit r = {^or * )^»}- Since G^ is quasisplit, it is clear that if 6 is sufficiently small then any stable conjugacy class in X{T^8) meets any given neighborhood of e in Ge. In verifying this, we may suppose that ZiCT so that to = e, A stable conjugacy class in X(r, 6) is then represented by an s E T{F) such that |s — e| < 6 and such that for any a G G a l ( F / F ) there is a u^^ in the normalizer of T in G{F) satisfying (2.2.2)
cr{s) = u'^sua .
Since \(T{S) - (T{e)\ = \(r(s) -€\ = \u-;^su^ - e\ , we can choose 6 sufficiently small that (2.2.2) forces u^ to centralize e. Consequently, by Steinberg's Theorem, s determines a stable conjugacy class in Ge{F). Moreover, if 6 is small enough this class must meet the given neighborhood of e in Ge. By assumption, there is an fi such that ^^^(7) = $^^(7,//) for 7 in a neighborhood of e in G^, and we conclude that this relation is valid on all of X{TJS) . A simple partition-of-unity argument completes the proof. Observe that we could have dispensed with the introduction of the groups Zjt, if we had wished to do so. 2.3. Reduction to local transfer Theorem 2.3.A. Suppose all pairs (Ge , H^ ) have local Ae -transfer at the identity. Then (G, H) has A -transfer.
496
R. LANGLANDS and D. SHELSTAD
Proof. We first observe that if G is replaced by a z-extension G the hypothesis of the theorem remains valid. Further it is then sufficient to prove the theorem for G. Thus we may as well assume H. an L-group. By Lemma 2.2.A we have then just to show that
defined so far for 7/f strongly G-regular in H(F) , is a local stable orbital integral on H{F). We shall use the descent formula (1.7.1). Observe also that local Ac-transfer at the identity for (G^ ,He ) implies local A^transfer at e^ for the same pair (see Lemma 3.5.A). First, if Cfj is regular semisimple in H{F), so that H^ is a Cartan subgroup of H , then local transfer at e^ for (Ge , H^ ) implies by (1-7.1) that ^J extends smoothly to e^ . Thus we have ^f defined on all regular semisimple elements of H(F). It is further locally constant, stable, and compactly supported modulo conjugation. For general e^ we use (1.7.1) to obtain / ' G C^{H^ (F)) and thus / " € C^{H{F)) such that
for jH near e^^ . Thus ^9 is complete.
is a local stable orbital integral and the proof
2.4. Equisingular matching We call Cfj and e^ equisingular if He is an inner form of Ge , that is, if 6^ is (GJ H)-regular in the sense of [K2]. Assume that f,f^ have A-matching orbital integrals. For simplicity, we shall suppose that the derived group of G is simply connected so that neither H itself nor He need be replaced by a central extension in the matchings. Note also that Cent{e^^H) is connected [K2, Lemma 3.2]. Following [K2], and by the homogeneity of germs, we may expect a stable combination of the integrals of f^ along the conjugacy classes in the stable class of e^ to match with some suitable combination of the integrals of / along the classes in the stable class of e^ . We shall show this is true and so verify some conjectures in [K2]. The first step is to define a factor A(e^, e^) . Let e^ be a TH -image of €Q . Then we set ^(^HI^G) - lim A(7i/,7G) , where the limit is taken as JH -^ ^H ^^ TH{F) and JG —^ ^a ^ ^^^ 7^ ^^ an image of JG • Suppose F nonarchimedean. If we consider also JH,7G with jH near e^ in another Cartan subgroup TH{F) of He (F) then
DESCENT FOR TRANSFER FACTORS Ae(7ff,7G ] 7H^7G) = 1 since H^ Thus Theorem 1.6.A asserts that
497
is the quasisplit inner form of G^ .
6 ( T ^ , IG ; 7H, 7G) = A(7i/, 7G ; 7H, 7G) =
A{7H,7G)/^{7H^7G)
= 1 if 7Hi7H near e^ are images of 7GI7G near e. In other words, A(7if,7G) is a constant independent of the Cartan subgroup containing 7H and A{efjye^) equals this constant. If F is archimedean we still have Ac(7/f,7G ; 7HI7G) = 1 but Theorem 1.6.A asserts only that lim A(7if,7G)/A(7iy,7G) = 1 . We conclude nevertheless that A(e^,eQ) is well defined, that is, independent of the choice of TH • We write 0(6^^/) for the integral of / along the conjugacy class of e^ , keeping in mind our convention for measures (1.1). A sign e{G) is defined in [K4]. If we sum over representatives e'^ for the conjugacy classes in the stable conjugacy class of e^ then
is a stable distribution [K3, S5]. Lemma 2.4.A. 5Mppose €„ is {G, H)-regular
(2.4.1)
0^\e,J^)
then
= ^6(G.JA(e^,eJO(£,,/) 'a
where the sum is over representatives e^ for the conjugacy classes in G{F) equisingular with e^ Proof, (i) F nonarchimedean. Suppose 7/f is near c^ in a fundamental Cartan subgroup TH{F) of H^^{F). Then by descent (1.7), YJA{7H,7G)^{7GJ) IG
coincides with
J]A(7ff,Ti)^^'(7i,/^') i and thus with
498
R. LANGLANDS and D. SHELSTAD
The zero-degree term in the ShaUka germ expansion of this expression is A^A(e„,e,)e(G,)/^(e,) J where A is a constant depending only on e^ (see [K3, §3]). Apart from A , this is the right side of (2.4.1). At the same time, ^A(7/y,7G)^(7G,/) 7G
coincides with ^^^{JH,/^) which has AO^^(e^,/^) as zero-degree term in its germ expansion. So (2.4.1) is proved. (ii) F archimedean. Descent again yields ^ A ( 7 ^ , 7 G ) ^ ( 7 G , / ) = ]^A(7^,7G)^'*(7G,/-^') • 7G ;
In place of germ expansions we use Harish-Chandra's limit formula [HC3, Lemma 17.5]. Again TH is taken to be fundamental in H^ . We write IH € TH{F) as Cfj expX and multiply each side of the equation
by n(a(e„)e«(^)/2-e-«(^)/2), the product being over all positive roots of TH in H . We then apply the operator w^ = n'i/cr ? the product being now over positive roots in H^ , and take limits as X —^ 0 . As a first step we obtain on the right side X ; A(e„,e,)lim w,^{U'e'^(^y'
- e-«W/2)$«'(T,.,/i)
(see [S5] for the explicit form of A(7if, 7^), especially the term A2(7ff, 7^), and [W, p. 371] for a similar calculation). We calculate this new hmit by means of Harish-Chandra's formula as in [S5, §2.9], using the results of §37 of [HC3] to keep track of constants. The contribution of the right side is then ^A(e„,e,)Ae(G,)/^(e,) = A^^A(e„,e,)e(G,)0(e,-,/) , A being a constant depending only on He . The left side contributes AO^*(e^, f^) , and so the lemma is proved.
DESCENT FOR TRANSFER FACTORS
499
Observe that from our product formula for A(7if, 7G) [I, §6.4] we obtain a product formula for A(e^,eQ) , as conjectured in [K2, §6.10]. 2.5. Regular matching Suppose 6G is regular in G ( F ) , that is, that Ceni{6G^G) is of minimal dimension. Let 6G = ^Q'^G be the Jordan decomposition; both e^ and UQ belong to G{F) . Assume e^ has image e^ in H{F). As usual, we take /fe quasisplit over F and then choose UH regular unipotent in iJc ( F ) . Thus 8H = ^ffUff is regular in H{F) . We shall use descent and the regular unipotent matching of [I, §5.5] to match integrals over the classes of Sff and SQ . For simplicity of notation we assume W,We are L-groups and that Cent(e^,/f), Cent(eQ,G) are connected. The stable conjugacy classes of SH^SG are then the F-points in their F-classes. Set ^®*(<5if , / ^ ) = Yl^i^Hif^)' where the sum is over representatives 6ff for conjugacy classes in the stable conjugacy class of 6H • Then descent to He and Theorem 5.5.A of [I] show immediately that
lim
^'\6HJ'')=
DeJjHWilHj'')
so that f^ —> ^^^{SH,/^) is a stable distribution. At the same time we set A(e^,e^) =
lim
A{^H,1G)/^eilHno)
,
the limits taken as in 1.6, and
in the notation of [I, 5.5], with A, A calculated with respect to (G^ , ^ e ) . Then we define Suppose / and f^ have A-matching orbital integrals. Descent and the regular-unipotent matching also imply easily that lim
D,JjH)^A(jH,jG)H7G,f)
= Y,Ai6H,6'a)^S'a,f)
,
and so we have the matching ^'\S„,f")
= ^AiSH,6'a)H6'a,f)
.
Here we have dealt with both the nonarchimedean and archimedean cases. We also see that if SH = C^JUH is regular in H{F) and e^ is not an image then
500
R. LANGLANDS and D. SHELSTAD
Finally we remark that if / G C^{G{F)) is supported on the full regular set of G{F) then we can find / ^ G C^{H{F)) supported on the full regular set of H{F) with A-matching integrals. 2.6. Archimedean transfer Suppose F is archimedean. If F = C we can define transfer factors for G over C or for the group G = ResjjG over R obtained by restriction of scalars. On identifying G(C) with G{R) in the usual way we see that the transfer factors for a pair (G(C),i7(C)) are the the same as for (G(R), H{R)) (this is a special case of a fact used in 5.5). It is then sufficient to treat the case F = R . Again there will be no harm in taking H to be an L -group. For real groups a transfer factor, that we now denote A^^\'yH,jG), was defined in [S4] using diagrams. It includes moreover an implicitly defined sign, (see [S4, Section 3.5]). Theorem 2.6.A. There is a constant c such that
for all G -regular JH in H{R) . Proof. By continuity we can assume yn strongly G-regular, and because both A and A^"*^ satisfy the Local Hypothesis ([I, 4.2.B], [L2, Lemma 6.17]) we may assume that G is quasisplit over R . For an imaginary root a we may take the x -datum Xa as the character z -^ z/\z\ on C^ and for the remaining roots we take Xa trivial. Then inspection of the terms in each factor shows that A{JH,7G)
=
C(TH)A^^\JH^7G)
where TH = Cent(7H,i^) • Up to a constant independent of TH)C(TH) is either real or purely imaginary. To show that C{TH) is in fact independent of TH , which is what the theorem asserts, we argue as follows. By the matching of orbital integrals for A^*) [S4] there is for each Schwartz function / on G(R) a Schwartz function f^ on H{R) (or an essentially Schwartz function if the embedding ^ : ^H *^^ ^G is not of unitary type [S3]) such that
for all strongly G-regular elements 7ff . We multiply both sides by DH(7H) ' The left side has a limit as JH -^ ^ through any Cart an subgroup and the limit is independent of the choice of Cartan subgroups. This
DESCENT FOR TRANSFER FACTORS
501
follows from applying the Harish-Chandra jump conditions to stable orbital integrals [SI, Section 4]. The right side then has the same property. But so also does
by [I, Theorem 5.5.A]. Because G is quasisplit over R we can choose / such that the limit is nonzero. Thus we get a contradiction unless C{TH) is independent of TH , and the theorem is proved. We conclude now that for each Schwartz function / on G(R) there exists an (essentially) Schwartz function f^ on H{R) with A -matching orbital integrals. Then the Paley-Wiener results of [C-D] allow us to take f" e C^{H{R),KH) if f e C^{G{R),K) , with KHJ< maximal compact subgroups of i7(R),G(R) respectively and the notation indicating bi- KH -finite or bi- K -finite functions. Of course we have not used the Descent Theorem (1.6.A) in this proof of A-transfer. However the proof of A^"^^-transfer that we have used is based on the Harish-Chandra jump conditions and these come from descent to centralizers of semiregular elements. Many of the arguments in [SI—84] for A^"^)-transfer are essentially special cases of results needed for 1.6.A. To prove A-transfer directly we may apply the results of Section 1 to verify the jump conditions of [SI] for ^f . Since we still need some of the arguments from [S2—S4] and overall the proof is not much shorter, we forgo the details.
§3. C o m p a r i s o n L e m m a s 3.1. R e d u c t i o n t o quasisplit groups Recall from 1.6 that 0 ( T ^ , 7 G ; 1H,7G)
= A(7if,7G; 1H,JG)/^eilH^o
]
IHHG)
where JH^JH ^tre images of JG^JG relative to (H^ , G^ ) . We consider the limit of 0 as JH^JH approach e^ through fixed Cartan subgroups denoted respectively TH,TH , and JG^JG approach e^ . Theorem 1.6.A, which we have to prove, states that this limit is 1. Fix embeddings TH ^ T,TH -^ f for (He^^G*). Recall that we assume G*,ip to be quasisplit data for Ge . Write 7,7 for the images of JH^JH 5 as usual. If we factor 0 as we factor A, A^ then only 0 i = 0iiii depends on JG,JG rather than on 7,7 alone. The next lemma allows us to replace G by G*,€^ by e and JG^JG by 7 , 7 .
502
R. LANGLANDS and D. SHELSTAD
L e m m a 3.1.A. © I ( W , T G ; 7H,JG)
= 1•
Proof. We use the notation of [I, 3.4], putting a subscript e on those objects attached to G^ . We may take u{a) to be the image in Gl^ of the element U^{(T) in (G*)sc ? and h and h to be the images of h^ and h^, Then V{(T) and v{a) are the images of Ve(cr) and Veio") • The cochains v^ and v^ have the same coboundary and it takes values in the inverse image W (a finite group) of Z*^ in {G*)sc • So we have a cocycle i with values in where we use a notational principle that admits several variants: the subscript e — sc indicates inverse image in (G*)sc • The classes inv(7/^,7G ; 7 ^ , 7 G ) and inve{jH, JG ] JH^JG) are the images of the class of i under the homomorphisms induced by
(3.1.1)
Dual to (3.1.1) we have (3.1.2)
V
To prove the lemma it is sufficient to show that the images of su and su^ in V are the same. The X-data for G* (see 1.4) provide T - ^ f and T - ^ T . We have two commutative diagrams. V
Pe-ad X Te_ad
V
y
U
^ ^ad X ^ad
>
U,
-^e—ad X i £_ad
DESCENT FOR TRANSFER FACTORS
503
Using them we extend (3.1.2) to a commutative diagram
^ V
^
X
u *—
T^ X T^
^
-«sc ^ •'sc
I ^v
Ue
I f
- ^
^—
Te_sc X T , _ , , *—^ ^ Te.- S C
X
if—J
We may write ? G T^c as the product of the image of J^ in 7^_sc with an element of the identity component 1Z of the subgroup {x G T^c • Oi^{x) = l , a ^ G i2(Ge,T)}. Embed 11 diagonally in T^c ^ ^ c without change in notation. Then we have just to show that the image of 7^ in V^ is trivial. But IZ is connected and V —^ Te-ad x ^e_ad ^^^ finite kernel because Tc_sc X fe-sc —^ V does. Thus it is enough to show that n
^V -^
fe_ad X te-ad
is trivial. That, however, is immediate, and the lemma is proved. 3.2. Remarks and notation We assume from now on that G = G* , 6^ = 6, JQ = j and JQ = j . Then 6 ( 7 i f , 7 ; 7/f,T) is a quotient 0 ( 7 i f , 7 ) / 6 ( 7 f f , 7 ) . So also is each of ©I, ©11, ©2 and 0IV . The embeddings TH --^T, fn^f being fixed, we may delete 7 and 7 from the notation. We may further fix Borel subgroups BH D Be^ DTH,BD B,D T, BR and so on, for which TH -^T.TH -^f are the attached embeddings. There is then a canonical identification of the roots of T in G with those of f . It carries the B -positive roots to the JB-positive ones, the (positive) roots of T in Ge to the (positive) roots of T in Ge, and the roots from H to the roots from H . Thus we use the simpler notation R = R{G)^Rc = R{Ge)jRs = B,{H) , and so on, for root systems. Also R{G) — R{Ge) will be abbreviated as R{G/Ge) and R(G)-{R{Ge)yjR{H)) as R{G/G,,H). In this notation ©iv(7fl^) is written as
n
KT)-ip/2
a6fi(G/G„/f)
and so lim 0iv(7i/)=
n
l«W-ir^'
aeR(G/G^,H)
=
hm
©iv(7/f) •
504
R. LANGLANDS and D. SHELSTAD
T h u s 0IV contributes 1 t o the Umit and it remains to examine
T h e First L e m m a of Comparison will allow us t o examine QI{JH)/QI{7H) and the Second to examine 02(7if ) / 0 2 ( 7 f f ) • For the remaining t e r m observe for now t h a t 7 H hm
eu{7H) =
llx4^^^^^
where the product is over representatives for the orbits in R(G/Gej der t h e Galois action for T . There is a similar formula for lim
H) un0ii(7/f)
involving the Tf -orbits. To compute 6 i we need also to fix F - s p l i t t i n g s (B,T,{Xa}) of G and ( B e , T e , { y ^ } ) of Ge, but then we can use B , B e along with B,Be t o identify T, T^ with T , and again identify all roots as roots of T . Recall t h a t we write T for G a l ( F / F ) , TT for {CTT : cr G T} , T for {a = (TT : cr G r } and so on. In [I, Section 2] we identified TT as a subgroup of TQ{G,T)x r . Now we find it convenient to work with Q{G,T)>^TT and t o identify Tf as a. subgroup of Q C X F T , where fie = Q{Ge,T) . T h u s for cr G r we may write af as u; x CTT , where cj G fie • We shall often write a for Cji and
where the product is over a G R{G/Ge)
.
.
DESCENT FOR TRANSFER FACTORS
505
On the other hand, for 9 E: ^e»^T we have n(0) € Norm(G,T) on regarding Q C X F T as a subgroup of fi>4 T [I, 2.1] and ne{0) G Norin(Ge,T'e) if we regard Q^XTT as a subgroup of Q^x T ^ • Then n{0i)ni02) = n,(0i)n,{02)
t{0i,02)nieie2) =U0i,02)11,(0102)
and if Ti01,02) =
ht{0u02)h-^Ki,{0u02)-^K^
then
r{0u02)=
n
(-l)"^
a>0
with the product again over a G R{G/Ge) (see [I, Lemma 2.1.A]). The restriction of r to F T is also the coboundary of y [I, 2.2.A]. Since T = r~^ we can write the more convenient: (3.3.1)
dy = T-'
(see also [I, 2.3]). For u e^€ we define 6(u;) G T by hn{(jj)h~^ =: h{(jj)hen^{uj)h'^^ . Finally, suppose ^{a) represents the cohomology class / i . Then for ujxa ^ fieXFy we set z{(jj xa) = b{uj)uj{y(a)~^fi{(T))T{u,a)-^ . Note that LJ = 1 yields fi{a) = y{(T)z{a) ,
cr G FT .
Lemma 3.3.A. (First Lemima of Comparison) fi{a) = y{a)z{a)
,
aeTf
.
Proof. Write & as u; x a. Then we calculate //(o-) as hx{d')n{uja)a(h^^ hc)nc{ua)'~^ Xe{d')~^ hj^ = y(^)r(a;, (T)"^hn(Lj)n(a)(T{h~^he)nc{o')~^nc{u))~^h~^ = y{a)T{u), a)"^ hn(u})h~^y{a)~^ fi(a)h^n^{uj)~^ h~^
= J/(^)^(^,<^)~^^(y(<^)"V(<^))K^) = y(^)^(^).
506
R. LANGLANDS and D. SHELSTAD
and the lemma is proved. Most of the time we will assume a condition that is satisfied, for example, if TH is maximally split in H^ . It is: (3.3.2)
r ^ C fioXiTT, where fio is the Weyl group for a root system RQ C R{HC ) that has a base UQ stable under TT •
The assumption will be harmless because of the transitivity property in Lemma 4.LA of [I]. Lemma 3.3.B. Given (3.3.2) we may choose the cocycle /jL{a) representing fi such that uj{fi{a)) = fi{a) , a; G fio , cr G F T . Proof. Multiplying h or h^ by an appropriate element of T replaces /L/((7) by an arbitrary element in its class. So we need only verify that the class of fi lies in the image of H^(T^^) -> H^{T), where T^° is the centralizer of fio in T . If EQ = {ai, • • • ,a,.} then t —» (ai(/), • • • ,ar{t)) yields an exact sequence 1 -^ T^° -^ T -^ S —^ I with S an induced torus. Since H^{S) = 1, the lemma follows. We suppose now that /i(<7) is fixed by QQ , inflate it to QO'>^TT and then restrict to Tf . Suppose the cocycle so obtained is i/. Then
Lemma 3.3.C. Given (3.3.2) we have
Proof. We identify T as T with Galois action Tf and thus T x T as T X T with action T^^xT • ^^^ element Sf of 7ro(T^) is then identified with ST and so we drop subscripts. Working in T x T we have {fJ'^ST)/{l^ySf)
= {(/i,i/),(s,S-^)) .
If we define the F -torus A by X,iA)=
{(Ai, A2) G X . ( r X f ) : Ai - A2 € (S^)} ,
with Galois action induced by TrpxT ^^^^ we have Galois homomorphisms
A—^T
xf
, f xT—^A.
DESCENT FOR TRANSFER FACTORS
507
Since the image of (s,s~^) under the map induced by TxT -^ A is trivial we have only to show that (/i, i/) lies in the image of H^(A) —^H^{TxT). The diagonal embedding of T in TxT factors through A but the induced homomorphism T —^ A is not defined over F . However, by (3.3.2), if we retrict to T^^ then we do get a map over F . Since /i takes values in T^° and has image (//,z/) under H^iT^'^) -^ H\A) -^ H^{T x T) the lemma is proved. Finally, continuing to assume (3.3.2), we set v{u} X a) = T{uj,(T)(jj{y{a))b{uj)-^y{&)~^ . Then ?; is a 1-cocycle of F^^ in T = T. By the Lemma of Comparison it coincides with i/p,~^ and we conclude: Lemma 3.3.D. Under the condition (3.3.2) we have QI{IH)IQI{IH)
= {v,Sf) .
3.4. The Second Lemma of Comparison The term A2{JH) was defined in [I, 3.5] using the construction of [I, 2.6]. For once and for all, we assume 7i is an Z -group, as we may without loss of generahty. The choices of 3.2 provide f -^ T , TH-^T. As in [I, 2.6] we extend these to ^T^^G, ^TH ^ ^H by defining m{w) = r{w)'n{a) x w , ms(w) = r,(w;)n,(cr) x w . Here w; —»
and a G
= A2(7i/)/A2(7^)
= {a,7){a,7)-^ . The definition of the cochain r appears in [I, 2.5]. Set c{w) = r(w)rs(w)~^
,
c{w) — r{w)fs{w)~^ .
H^{W,f).
508
R. LANGLANDS and D. SHELSTAD
The coboundaries of the cochains n , n, defined on Q(H)>\TT are denoted t, ts (see [I, 2.1]). Set r = ttj^ . Finally for u; G Q{H) we define 6(0;) G T n(u;) = 6(a;)n,(a;) ,
a; G ^{H) .
We will freely transport objects among T,T notation.
and T without change in
Lemma 3.4.A. (Second Lemma of Comparison). Let w E W map to (T £TT o.nd to uj X a £ Tf . Then a[w)~^ = c{w)b{Lo)u{c(w)~^a{w)~^)T{uj,a)~^
.
Proof. fh{w) = f{w)n(Lja) x w = r{w)t(Lij,a)~^n(uj)n(a) =
x w
r{w)t(uj,a)~^b{uj)ns(u))r{w)~^m{w)
= f{w)t{u, a)~^ b{Lj)uj{r(w)~^ a(w)~^)ns{u))C{fT^s{'^)) and C{fhs{w)) = =
fs(w)ts{uj,a)~'^ns{u;)ns{(T) rs{w)ts{uj,(T)~^iv{rs{w))ns{u;)^{ms{w))
so that a(^w)~^ = c{w)T{uj^(T)~^b{u;)uj{c(w)~^a{w)~^) , and the lemma is proved. Let zi{ujw)
= b{Lj)uj{c{w)~^a{w)~^)T{uj,a)~^ .
Then a{w)~^ = c{w)zi(l,w)
,
and a{w)~^ = c(w)zi{u;jw) . Note the similarity to the First Lemma. The Second Lemma will be applied a little differently however. We shall give an example of the technique in the next section.
DESCENT FOR TRANSFER FACTORS
509
Note that t —>• uj{t)t~^ lifts to a homomorphism a^^ : T -^ Tsc - Here, as elsewhere, Tie denotes the inverse image of T in the simply-connected covering Gsc of the derived group of G . Thus if we multiply zi (a;, w) by a(w) we obtain ^{cjjw) = b{Lj)uj{c{w)~^)T{u;, a)~'^u;{a{w))~^a{w) in the image of Tsc in T. Gsc • Then
More precisely, 6, c, r may be constructed in
2sc(u;, w) = 6(u;)a;(c(w;)-^)r(u;, cr)"^a^(a(ti;)-^) has image ?(u;, it;) under Gsc —^ G . To calculate ©2 we also need A^ which is attached to (G^, H^ ) - For this we pass, if needed, to an admissible extension H^ of H^^ (recall 1.3). We then have exact sequences 1 —^ f — y i i — ^ Z i —^ 1 , and
^ 1 — ^ T — y T —>Zi —^ 1 .
In place of a^^oLe we have ^^^GLC that take values in T , T . These two cocycles have the same projection on Zi [I, 4.4]. The Second Lemma of Comparison becomes Sf(t/;)""^ = c^{w)zi^^{uj,w) and 'a^{w)zi^^{u)^w) is equal to he{uj)uj{c^{w))~^Te{(jJ,ay^U)i^^{w)~^)Ze{w)
which takes values in T (or Tsc or Te_sc )• The terms h^^c^^Tc are h^c^r for the group Ge. 3.5. A n application The following was stated in [I] as Lemma 4.4.A but not proved in general. Lemma 3.5.A. There is a character A on the center Z{F) of G{F) such that ^{zjH. no) = A(z)A(7^, 7G) , ze Z{F) for all jH^lG '
510
R. LANGLANDS and D. SHELSTAD
This applies to arbitrary G but we reduce immediately to the quasisplit case for it is only A2 that is affected by replacing ^H ? TG by z^u, Z^Q • Proof. All we need to show is that (a, z) — (a, z) or, in T xf
, that
((a,a),(z,z-i)> = l . Define a torus S over F by X*(5) = {(Ai, A2) £ X*(T) X X*{f)
: Ai - A2 G
X*{T^)}.
Here again we identify f with T over F and thus X*{f) with X*(T) . We have Galois homomorphisms T x T —^ S and S ^^ T x T. Since (z,^-^) lies in the kernel of T{F) x f{F) -^ S{F) it is enough to show that (a, a) lies in the image of H\W,S) -^ H\W,f x f). The torus S is isomorphic to T x Tsc • We obtain the factor T by factoring the diagonal embedding T-^TxT = TxT through S ; so clearly T ^ 5 is not compatible with the Galois action. On the other hand Tsc ^ 5 is obtained from X*{f^) -^ {0} x X*{f^^) C X*(5) , and so does respect Galois action. By the Second Lemma of Comparison the cocycle w -^ (a(w),a(w)) with values in T x T is the image of the cochain w —>
{a{w),c{w)~^%c{^,'w)~^)
with values in S = Tx Tsc • We have to show that this cochain is a cocycle. It may be written as
{a{w),l){hc(w)-'){lXc{^,w)-'). The coboundary of the first term is {wi,W2) —^ (l,aa;i(cri(a(ti;2)))) if Wi —^ LOi X (Ti E Tf ; the coboundary of the second is (l,f{wi,W2)) . Note that f{wijW2) = T(ai^a2) = f{uji x cri,L02 x 0-2). Thus it remains to show that the coboundary of ?sc is {wi,W2) —>T{UJI X ai,U2 X (T2)a^^,{o'i{a{w2))). This is Lemma 4.2.A.
DESCENT FOR TRANSFER FACTORS
511
§4. Analysis of 6,6 and a reduction 4.1. Galois action By definition, 6(a;) = hn{(jj)h~^hen^{(jj)~^h~^ ,
cj G ^e ,
and in the dual setting, 6(a;) = n(cj)n,(a;)-^ ,
u G fi(if) = fi, •
We have immediately, 6(cji)a;i(6(cc;2))6(cc;iu;2)"^ = r(a;i,a;2) ^ ^ ^
(4.1.1)
h{uJi)ljJi{h{(jJ2))K'^l^2)
=T{(JJI,UJ2)
'
Recall that these objects may be constructed in Gsc and Gsc ? the simplyconnected forms for G and G. For G^ and H = Gg we may work in the simply-connected forms and project into Gsc or Gsc • This will be the rule throughout, although in notation we may identify an element with its image in G or G . To describe the effect of Fy on 6 and 6 we consider the two cases together but keep in mind that in the former we have a genuine Galois action and in the latter an algebraic action. First define f{u;,a) =
ht{a,Lj)t(au>,(T-^)a{u;){t{(T,a-^)-'^)h-^
for a; X (7 E ^e XI F T and similarly f{ij0^a) for u; x cr 6 ^ ^ X F T . Then we see easily that hn{a)n(uj)n{a)~^ h~^ =
f(uf,o')hn(a(u;))h~^
where n(cr) = n(cr) x cr G Gsc>^r (recall from 3.3 that we have changed slightly the notation of [I]). In the dual case we have (n(a) X w)n{u;)(n(a) x w)~^ = where w -^ a under I ^ ^^ F . Set e = ff~^ (3.3.2) for the first part of the next lemma.
f{uj,a)n(a{Lj)) and e^ = ff~^ . We assume
L e m m a 4.1.A. (a) e{uj,a)b{(T{ij)) = a{uj){y{a))y{ay^(T{b{(j)) and
for LJ x a e ^e>^^T ,
512
R. LANGLANDS and D. SHELSTAD
(b) 'e{u},a)b{a{u)) = a^(^)(c(ti;)a(i<;))cr(6(a;)) for w —^ a and Lo X a e fiaXlTT . Proof. This is a straightforward calculation. For (a) we suppress h,he from the equation in order to make the calculation more transparent. Then n((T{uj)) = b{(T{uj))ne{(T{u;)) implies n(a)n(uj)n{a)~^ = e(u,a)b(a{u;))nc{a')ne{uj)n^{o')~^ and so it is enough to show that n{a)n(uj)n{(T)~^ = a{uj){y{a))y{a)~'^a{b{uj))ne{or)ne{u;)ne{(T)~'^ . But n{a)n(Lo)n(a)~^ = n(cr)6(u;)ne(a;)n(cr)~^ = a{b{u;))n{a)ne{uj)n{(7)~^ , and all we need is that n{(T)n,{u;)n{a)-^ = a{u)(y{a))y{a)-'^n,{a)n,{uj)ne{(T)-'^
.
Suppressing /i, h^ we deduce from the equation hx{a)n(a)a(h)~^
= fi{a)h^Xc(a)n^{a)a{h^)~
that n(a-) acts on nc{uj) as fi{(T)xei(T)x{a)~^n,{or) = fi{a)y{a)-'^n,{a)
.
Since cr(u;) fixes A*(
DESCENT FOR TRANSFER FACTORS
513
4.2. Calculation of a coboundary Recall the cochain ? on QgXWT : ?{uj,w) = b{u;)uj{c{w)~^)T(u;,a)~^ai^{a{w)~^)
.
Lemma 4.2.A. The coboundary of 7 is Ta : {uJiWi]a;2W2) —> r{u;iO'iyUJ2(T2)a^:,{cri(a(w2))) .
Proof. Because r^ is a 2-cocycle it defines an extension of fi^xPVr by Tsc • This extension is generated by T^c and elements 5(7;), 77 G QS>\WT , with s{r])ts{r))-' = r){t) and
s{m)s{m) = TairjumMrjim) • We prove the lemma by showing that T)—>?{r))
h{7))=zsi{r})
splits the extension. Let w-^(T ETT ^ Then SI{LJW) = b(u;)''^u;{c{w))r{u y (T)au;{a{w))s{ujw) =
b{u;)~^Uj(c(w))Ta{LOyW)s(LOw)
= b(Lo)~^ s(u))c{w)s{w) = si{uj)si(w) . Moreover, ^1(^1^2) = b{u;iu;2)~^ s(ujiu}2) = u}i{b{u2))~'^b{u}i)~^T{u;i,u;2)Ta(LOi,L02)~^s{u;i)s(uj2) = u;i(6(cc;2))~^6(u;i)"^s(<x;i)s(a;2) = si{ui)si(uj2)
.
Finally, Si{wiW2)
= c{WiW2)
^s{wiW2)
=
c{wiy'^Wi{c{w2))~'^T{wi,W2)Ta{wi,W2)~'^s{wi)s{w2)
= Si{wi)si{w2)
.
514
R. LANGLANDS and D. SHELSTAD
To show that SI{UJIWI)SI{LJ2W2)
=
Si{uJiai{uJ2)wiW2)
and thus complete the proof of the lemma we need only verify that (4.2.1)
5 i ( ^ H ) = s^{w)si{uj)si{wy^
.
The right side is z'{w)~'^ ^{^(LJ))'^
a{u})(z{w))s{w)s{uj)s{w)~^
which equals a{uj){c{w)~^)c{w)a{b{w))~^s{w)s{uj)s(w)~^ and s{w)s(u})s{w)''^
is 5(cr(a;)) times
Ta{w,Uj)Ta{wu;,LJ~^)a{uj){ra{w,W~'^)~'^)
.
It follows readily from the definitions that this last product is equal to
or, since a{w) is a cocycle, to e(u;,(T)a^(^)(a(t/;)-^) , Thus the right side of (4.2.1) equals a(b{u;))-^aa(u;){c{w)a{w))-^€{u;,a)s{a{u;))
.
Since the left side is b{(T{uj))^^s{cr{uj)) we need only appeal to part (b) of Lemma 4.1.A to finish the proof. Recall the definition of the cochain z on ^^XTT Z{UJ,(T)
- h{ijj)(^{y{a)-^)T{uj,(Ty^
.
A similar, but simpler, argument establishes the next lemma. Lemma 4.2.B. z has cohoundary r . 4.3. Explicit form In the setting of [I, 2.1] suppose that /? is a positive root. Let /3 = z//?o where iy E: Q, and /?o is simple. Write LOQ for (jp^ .
DESCENT FOR TRANSFER FACTORS
515
L e m m a 4.3.A. n{uj^) = 6j,{/3)n(i/)n{u;o)n{u)~^ where and the product is over roots a for which a >0,
LOpa < 0
and
i/""^ct;^a > 0 .
Proof. n{ujp) = n{uLOoJ^~^), and this is the product of t{i/u;o,i'''^)~^t{u,uo)~^(jiJp{t{iy,i/~^)) and n(i/)n{ujo)n{i/)~^ . Moreover t{i/^ujo) = 1 since a > 0, u^^a < 0 and ujQ^i/~^a > 0 impUes that i/~^a = —/3o and hence that a = —^^ contradicting a,/? > 0 . It remains then to show that 8^{p) ^tivujo.u-^y^Lj^itiu.u-^))
.
The right side is n ( ~ l ) ^ ? *^^ product being taken over those a for which a > 0, z/~^a;^a < 0, ujpa > 0 and those for which ujf3a > 0, i/^^upa < 0 . This coincides with the product over a < 0 , u~^ujpa < 0 , LJpa > 0 and thus with St,(/3) ; so the lemma is proved. Let Rf3 = {a E R : a > 0 , upa < 0 , a ^ ^ } . Then a root a hes in R/s if and only if —a;^a does and then the two elements are distinct. We can therefore choose a subset Rt of Rp such that Rj3 is the disjoint union of Rt and —ujp{Rt) . Then
6am = n (-1)"' aen^ is well determined up to a factor (db 1)^ because —ivpa"^ = —a^ + {a"^,/3)l3^ . Notice that we may take Rt = {a E Rp : u'^u^a > 0} since i/~^Lj(3(—u)pa) = —i/~^a and i/~^ujpa = ^^^{ly'^a) have opposite signs. Thus (4.3.1)
n(u-^) = SGm±
lf\iiy)niL,o)n{i^)-'
.
Clearly this also holds when /? is negative. We return to the setting of 4.1, working in Ggc and Gsc • Since (3.3.2) is in force, there exists RQ C R{H^ ) with Fy -stable base EQ . Then F^ C Q O X T T , fio being the Weyl group generated by So . We are interested in
516
R. LANGLANDS and D. SHELSTAD
6(u;) , b((jj) for uj E QQ . By (4.1.1) we need only consider b{ujp) , b{u}^) with /? G Do . Set 6{I3) =
6G{P)8GXP)~'
and
Lemma 4.3.A There exist bp G F^ , bp G C^ such that
and
Proof. The first relation is immediate from (4.3.1) once we recall that n{u)f3) = b{ujp)n^{ijjfi), and note that both n = n{i/)n(uo)n{u)~^ and n^ = ^e('^6)^e(^o,e)^£(^e)~^ lie in the image of SL(2) in G determined by /?, so that n = a^ ric, with a E F^ . The second relation is proved in the same way. Note that ujp -^ b'i has a natural extension to a 1-coboundary 6^; of Qo in Tsc as follows. Choose t G T^c such that j3{i) = bp , /? G Do • Then clearly uj -^ tuj{i)~^ has the property that LJ(3 ^*- b^ . It is independent of the choice of t, provided we take i in the image of F ^ (g) (DQ } . Define S{u;) , a; G ^0 J by 6(cj) = bi^S{u;) and the dual S{uj) similarly. Note that dS = r , dS = T . 4.4. Root types To prove Theorem 1.6.A we use R{H) and R{Ge) to partition the roots. The notation will be as follows. type(a) R{H) n R(G,) = R{H,^) = i?(^) type(6) R{H) - R{G,) = R{H/H,^)
= R^^^
type(c) R{G,) - R{H) = R{GJH,,)
= R(<^^
type(d) R - {R{H) U R{G,)) = R{G/H, G,) = i?(^). This also gives a classification of the TT -orbits O and the Tf -orbits O in R. Observe that
e..(™)= OCR(^) n ^.(2^).
DESCENT FOR TRANSFER FACTORS
517
with a similar formula for QII{JH) • In the next section we so arrange some choices that roots of type (b) or (c) contribute nothing to 0i(7if,7iy). 4.5. Analysis of 0 i , 0 2 Recall that if v{&) =
T{u;,a)u;{y{(T))b{uj)-^y{a)-^,
where a = UJ x a , then we evaluate QiijH^jH) by pairing the class of the cocycle v w i t h s j . . By definition, r(a;,cr) = I K " ! ) ^ 5 where the product is over roots a for which a > 0 , uj~^a < 0, a~^uj~^a > 0 and a G R{G/Ge) . Such a are of type (b) or of type (d) and we consider the products r^*^ , r^^^ over roots of each type to define r = r^^V^^) . The same can be done with y and y, Then to write v as v^^\^^^ it remains to factor h as b^^H^^^ . To describe the contribution from roots of type (b) we recall that these are the roots of H outside H^fj . But 6 was attached to the pair (G^Gc). Now we use the fact that EQ C R{Hcff) in the assumption (3.3.2) to observe that we can attach b^ to {H^H^j^) in the same manner. From (4.3) we have b^{uj) — b{j6^{w) , a; G fio ? along with b(uj) = bi^6(ij). Recall that there is some freedom of choice in 6^ , 6 . For /? G Do we may arrange that 6^{ujp) is the same as the contibution S(^\u;^) to S{u;^) from roots of type (b). Then we define 6(^\UJ) = 8^{uj) for all u; G fio and 6^^^ = 8/8^^) . Note that 38^^"^ = r^ = r^^) and QS(d) = r^d) Set 6if) = 6^ and b[^^ = b^/bi'^ . Finally, 6(^) = bi'h(^) has coboundary r^^^, while fcO = bi, ^S^''^ coincides with b^ . This yields a factoring v = t;(*^v'^''), and t)(*),t;('') are cocycles. Thus
because 5 central in Ti implies that
Observe that if there are no roots of type (d) then v^^^ is trivial and We shall use a similar but dual argument for ©2 . Here we have roots of types (c) and (d) to deal with. The term A2(7/f)/A2(7jy) is obtained by pairing the cocycle {a{w),a{w)) = =
{a{w),a{w)c{w)~^b{oj)~^T{uj,a)ij{c{w))auj{a{w))) {a{w)ja{w)c(w)^^'z(uj,w)~^),
518
R. LANGLANDS and D. SHELSTAD
of 1^ in f X T with the element (7,7"^) of T{F) x f{F) . We may thicken T to T as at the end of Section 3.4 in order to compare directly with A2,€(7^)7^2,c(7^). In notation we will not distinguish between T and T , or T and T . cocycle
Thus for 02(7if)/©2(7/f) we have to pair the
{a{w),a(w)){ae(w)jac{w)~^)
= {a{w)ae{w)~^
ja{w)ac{w)^^)
with ( 7 , 7 " ^ ) . Now b is attached to (G, H). Similarly we have b^ attached to {Ge,He^). Factor 6(u;) as t'\uj)b(^\uj) = b,{u;)U'^\u;), as we did 6(0;). The factoring of c, r and c is immediate, again as before. Set a^^\w) = ae{w) and a^^\w) = a{w)la^{w). Then clearly a{w) factors as a^^\w)a^^^{w) where af<^\w) = a^{w) and 02(7/f)7ff) equals {{a^'\w),a^'\w)),
(7,r')>,
or, more explicitly,
{{a^'\w),a(''\w)^''\w)-'^<'\w,w)),
(7,r')>,
with ?<*^)(a;,it;) = 6(^)(a;)r(^)(u;,cr)-^u;(c(^)(ti;)-^)aa;(a(^)(«;)-^). Observe that in the case that there are no roots of type (d) our proof of Theorem 1.6.A is complete.
§5. Final Reductions 5.1. Introduction To complete the proof of Theorem 1.6.A we have to show that
and satisfy 5.1.1 The limit as Jff,jff
approach ejj of
DESCENT FOR TRANSFER FACTORS
519
is equal to
n ^.(^) n ^^)Here Orb^^^ denotes the collection of orbits in R^^^ , and Orb has a similar meaning. It is moreover understood that a is a representative of O , and a of O . In addition, for an asymmetric orbit O we may choose, when convenient, the x - d a t a and the a - d a t a trivial, but then a^ = —1 for a € — O . We propose to verify (5.1.1) in part by induction on the dimension of Gder • Suppose i^o satisfies the condition (3.3.2). For example, RQ could be R{Hc) itself. We choose fi so that the condition of Lemma 3.3.B is satisfied. Suppose moreover that RQ C Ri C R ^ where Ri is also TT invariant. Then the dual system R'l may be taken as {a^:a G i2i} , and we may construct a_ quasi-split group Gi containing Cartan subgroups identical to T and T (and identified with them), and with Ri as its root system. The group Gi need not be isomorphic to a subgroup of G but it will have an endoscopic group attached to ST in T or to ST in T. Denote this endoscopic group by Hi . The groups T and T have images in Hi. Let D T = Z2 X F T . Taking the non-trivial element of Z2 to act as —1 we obtain an action of E T and of QQ X E T on R and on i?^i = R — Ri . Let A be a set on which Ey acts, and denote the image of A E A under the non-trivial element of Z2 by — A . Suppose that —A is never equal to A . Finally, extend the action on A to QQ x Sy by letting QQ act trivially. The critical lemma for the reduction is the following. Lemma 5.1. A. If there is a mapping from R^i to A compatible with the action of QQ X FT' then Assertion 5.1.1 is true with respect to G , T, T, € if it is true with respect to Gi , T , T , e. Before proving this lemma it is as well to remind ourselves what it means. We have endoscopic data for four groups G , G^ , Gi , Ge^i all of which share tori T , T. However the factors A2 are defined on covering groups T , T , Te, T^, Ti , Tj , Te,i , f^^ defined by central extensions of the four groups. For G itself we have of course made the necessary extensions at the very beginning, so that for G the tori T, T are covered by themselves. We must also choose e in T^, mapping to e and therefore common to T^ , as well as ei G Ti fl T^ , ei G T^^i fl T^ ^ with similar properties. Thus the Assertion 5.1.1 is to be understood as applying not literally to Gi,e but to the covering group of Gi and to ei in it. Of course, only the limit of ©2 could possibly be affected by the various choices, and it is not.
520
R. LANGLANDS and D. SHELSTAD
5.2. Beginning of the proof of critical lemma We may as well assume that the mapping from R^i -^ A is surjective. Observe that the classification of roots in Ri into types is the same in Ri as in i ? . The choice of a - d a t a and x - d a t a remains at our disposal. It is clear that, copying the definitions of §2.1 and §2.5 of [I], we may define fields Fx , F±x , A G A , and, associated to A , collections of a-data, {ax}, and X""data, { X A } - Since the mapping from i?^i is compatible with the actions of TT and Tf we choose a^ = «« == ^A and Xa = Xx o Nmp^fpy^ , Xa = XA o ^ ^ F a / F x if a —>^ A . Inside Ri we choose the same a -data and x -data for G as for Gi . If OrbJ:^]^ , Orb^j denote the orbits outside Ri it is easy to show that with these choices of a -data and of x -data the second expression in (5.1.1) divided by the analogous expression for Gi is equal to
To prove Lemma 5.1.A we show that these same choices lead to (5.2.2)
e\'\jHnH] = e['\jH.7H)i,
(5.2.3)
lim 0^/^(7if,Ti/) = lim 6^/^(7/7,7if)i •
The subscript 1 on the right indicates that we are calculating with respect to Gi . If Ta, Tx consist of the elements in the Galois group TT fixing a , A respectively, then
«.(^) = «4n
ax
P /P <^"(f) -
Thus the first product on the left side of (5.2.1) is the product over a set of representatives for the orbits of the image of R^i in A of
"An *A
«A
a(e)
The same calculation barred yields the identical result, so that (5.2.1) is 1. The left side of (5.2.2) is obtained by pairing the cocycle v^^^ with Sf . We shall factor v^^^ as v^ , the cocycle attached to Gi times v^l and then show that v^^l is a coboundary. The relation (5.2.2) follows immediately. Since v^^^ is a product.
DESCENT FOR TRANSFER FACTORS
521
we easily factor it by factoring each term. The first two and the last are given as products over the roots in R^^^ , which we may decompose as products over R[^^ and i?(^) - R[^^ = R^^l . Finally we define b^^l{uj) by the equation Since Ri and i?^i are invariant under QQ , we may define
%
<'
,.W
a>0
on all offio X ^T • The a - d a t a have been so chosen that y^l is obtained by restricting 2/L1 ^^ Tf . Moreover, it follows from Lemma 2.2.A of [I] that the coboundary ofy^^l is the inverse of ri'? . Thus
and (5.2.2) is a consequence of the next lemma. Lemma 5.2.A. We may so chooseb^^\u)
and b\ ^(cj) thai
In addition to b['^ , we may define and 61 , and then Moreover b^iiu) = b^^liuj)b^^liu;). Lemma 5.2.A will follow from the next lemma, applied first to the pair G, Gi and then to the pair H, Hi , the group Hi being defined by Ri n R{H). Lemma 5.2.B. We may so choose 6(0;) and bi(uj) that
Proof. Both sides of this equation have the same coboundary, so that it is sufficient to verify that it can be satisfied for uj = up , /? G So . Recall from Lemma 4.3.A that (5.2.4)
b(cjff) =
A similar equation is valid in Gi'.
bl"s{p).
522 (5.2.5)
R. LANGLANDS and D. SHELSTAD 6i(u;0) = 6f>i(/?).
The factors S{/3) and 6i{/3) are defined by sets Rt and Rf^ . We may suppose that Ri n Ri = R'^Q . To define Rt O (Rf^i) = R'ti Q choose a set A"*" of representatives for the orbits of Z2 in A and agree that a G Rt n (iZ^i) if and only if a -^ A G A"*" . Observe that if a —> A then —a;/?a —» —A . From (5.2.4) and (5.2.5) we obtain a factorization
with
The expression on the right in Lemma 5.2.B is (5.2.6)
n
«""' '
a>0,a'~^a<0
when (jj = Ljp . Putting a and —Loa together, and noting that
(-!)-«" = (_i)""(_i)<-".W^ , we see that (5.2.6) is equal to
s^m
n
«:!'''•'"''•
a>0,w~'a<0
To show that
(5.2.7)
n
«=i"''''
a>0,a^~^a<0
is a possible choice for 6^1/? we apply the next lemma. To state it, set e^i{u),(T) = e(a;,cr)ei(a;,(7)-^ with e(a;,(7) = r((7,u;)r(cra;, (T-^)(7(a;)(r((7, cr"^))"^ as in (4.1).
DESCENT FOR TRANSFER FACTORS
523
Lemma 5.2.C. Suppose that for each /? G Do w;e are given c{/3) G F^ . We may choose 6^1,/? = c(/?) for all /3 if and only if the following equations are valid for all cr £ TT '
= y^iHtr(«)(y^i((T)-i)e^i(a;, <7)c(a^)''^"6^i((T/?).
If we define c(/?) by (5.2.7) this equation is simply (7(2/^1(0;/?)"^) = yr^i{(T)a{ujp){y^i{(Ty^)e^i{wp,(T)y^i{u)a(3)~^, for in the lemma LJ is O;^ . This equation is better written as
Inserting the factors of 2/-i(^W/?)2/-i(
which is true by definition. Lemma 5.2.C is verified by applying the definitions and the following lemma for Gi as well as for G . Lemma 5.2.D. Suppose that for each /? G Do we are given c(/3) C F^ , We may choose bp = c(/3) for all /3 if and only if the following equations are valid for all a E TT : <Tic(p)rP\iS{/3))
=
y(a)<Tic){y(^r')e(u;,a)ci
Proof. The necessity, namely the equation (7(6(0;)) = yi
524
R. LANGLANDS and D. SHELSTAD
On the other hand, we do not destroy the condition of Lemma 3.3.B if we multiply h by an element t such that /3{ta'{t~^))^ = 1 for all f3 £ Ho . Replacing /? by
Since the change in h replaces b{u;p) by/?(t)6(a;/?) the equality (5.2.2) is proved. 5.3. The term 022 • The relation (5.2.3) causes the most difficulty. For the calculations we must pass explicitly to a, z -extension G[ of Gi . The associated quantities will be denoted with a prime. All tori T , T , T^ = Ti , T ^ = T^ , as well as T^ , T^ , f,,i , T^ ^ were identified. Thus we have embeddings T ^-^ T{ , T, <^-> T/ ^ and so on. We transfer cocycles with values on one group to another group in which it is imbedded without change in notation. Suppose e' in T' maps to e. The left side of (5.2.3) is obtained by pairing {a{w)a^{w)~^ ^ a{w)a^(w)''^) with (e,6""^) or, passing to T" , with (£',e'~^) . The right side is obtained by pairing (ai(ti;)ae^i(w;)~^ , ai{w)ac^i{w)~^) with (e',e'~^). Thus it suffices to show that (a(w)ai{w)~^ , a{w)ai(w)~^) yields 1 upon pairing with (e',^'"^) and that {ae{w)ac^i{w)~^ , de{w)ae^i{w)~^) also yields 1. We shall prove the first assertion which is a statement about G and Gi . The second follows from it upon substitution of G^ for G, and G^ i for Gi . Set a2{w) = a{w)ai{w)''^ , a2{w) = a(w)ai{w)~^ . We want to show that (5.3.1)
((a2,a2), (e'.e'-i)) = 1.
Let Y be the span over Z of i^o , and define a torus 5 by the relation X*(5) = {(A,/i)|AGX*(f'), /xGX*(TO,
A^/iGY}.
Notice that X^{T^) and X*(T') are, if desired, identified, so that the locations of A and /i are specified only to make the Galois action clear. The inclusion X^{S) -^ X^{V) 0 X^{V) defines S -^ V x T and T' xf -^S, Under the latter, (e',e'-i) -^ 1. Thus to establish (5.3.1) it suffices to show that (a2)«2) is the image of a cocycle with values in 5 . The decomposition X*(5) = X . ( f O e y : ( A , / i ) - (A, A - / / ) yields an isomorphism S c±T' x R /\{ R is defined by X^{R) = Y . It is not an isomorphism of Galois modules. Nonetheless if ai^ is a cocycle with
DESCENT F O R TRANSFER FACTORS
525
values in T ' then w —^ ci2{w) x 1 = as(w) does take values in S. are two points t o verify: (5.3.2)
T h e cocycle ai^ can be so chosen t h a t as is a cocycle.
(5.3.3)
It can at t h e same time be so chosen t h a t t h e image of as
There
is in t h e same class as (02,02). This will take some effort. T h e tori f , T , f^ = f , are identified in a fixed way with T . T h e normalizer of T in ^ G projects modulo T itself t o CI{G)XTT - Denote t h e inverse image of QQXTT by ^M . Since fio is contained in Q ( G i ) , Q{M) and Q{Mi) we m a y define ^M{ , ^ M , , ^ M , ' ^ in t h e same way, t h e kernel of ^ M i - ^ QQXTT
or of ^Ms^i
-^ Q O X T T being V .
T h e cocycles used t o define 02 are defined by means of homomorphisms attached t o t h e X - d a t a : e:^T--^^MC^G
;
^[^V
—^ ^M[ C^G[
and t o imbeddings:
T h e cocycle 0,2 is defined in a similar manner by ^ , ^J , ^5 , ^^ 1 . We shall construct homomorphisms (5.3.4)
V^,:^M, — . ^ M , '
with the following properties: (a) They are compatible with t h e projections t o QQ^^TT • (b) Let TT , TT be t h e n a t u r a l homomorphisms
defined by t h e imbedding f ^
f',
f
^
V . Then
(c) T h e r e is a < E T ' such t h a t ip o T] = a d t o r/J o <^3 , on Ms , t h e inverse image of QQ in ^ M , .
;
526
R. LANGLANDS and D. SHELSTAD
These conditions axe clarified by a diagram LT
-L^
Jt^
LM
LM[
I'
h
For technical reasons we need variants of y>, (fg . Let T be the inverse image of Tg in the simply-connected covering G of the derived group of G with the action of the Galois group defined by T . Define T in a similar fashion with Tf replacing TT . Let H be the connected centralizer of 5 in G , and let Gi be the connected S -group associated to the group with root system J?i and Cartan subgroups dual to T. Let Hi be the connected centralizer of 5 in Gi . We have imbeddings
Tj'.H^G
,
rjiHi^Gi
.
Let M be the inverse image of QQ in the normalizer of T in G , and define Mg , Mi , Mg^i in a similar fashion. There are obvious maps
We shall also construct (p: M —> Ml ,(ps: M, —^ M,,i so that the diagrams M
(5.3.5)
-^
1 LM
—.
Ml
M,
i
i
^M(
^M,
^
M,,i
i —^
^Mi.
,
are commutative. Observe that ^ M acts on M , ^M{ on Mi , and so on. Moreover there will be a lifting of ^ to < in T such that ^ o ^ = ad t o ^1 o ^ , . Finally, if m G ^ M , m, € ^Mg , m G Mi , Ms £ Mg , then (5.3.6)
(p{m{fh)) = (f{m){ip{ffi)),
^s{ms{ms))
= <^5(m5)(^5(m5)) .
DESCENT FOR TRANSFER FACTORS
527
Granting the constructing of <^ , ^ , , ^ , ^5 we verify (5.3.2) and (5.3.3). Set V^i = 9? o 77 , V'2 = ad t o T/j o <^, , V'l =<porj ,rp2 = a^dToTJiOifs and let if m G ^Ms projects to w. It is of course condition (c) that guarantees that 02 is a function of this projection alone. Since a{w)^{m) = rjo ^5(771) ,
m G ^T, m —)• ti; ,
and a i ( ^ ) 6 ( » ^ ) = ^1 o 6 , i ( ^ ) 5
me^T,m
—^ it; ,
we conclude from condition (b) that a2(w) = a(w)a^^{w)t
,a^,{(T(a'2){w2)))~^{a'2iwiW2)~'^,1),
which is simply au;i(<Ti(03(1^^2)))"^ or ^i(^<7"Va; )(^2(^2))~"^) • Thus we have to show that for all a; G fio and all w; in 1^ (5.3.7)
a^{a'2(w)) = 1 .
Since a^^io^sC ^ ) = a;i o aa^2( ^ V i ( 0 ^^ suffices /? G Do • Then if Rf^ is defined by X^{Rp) = obviously factors through V ^ T -^ Rf3 . Since homomorphism Xp: Rp —> T . If it were injective establishing the relation ^(«2(^)) = «2(^) y
to verify this for LO =ujp ^ Z/?, the homomorphism Z/? C X*(T), there is a we could verify (5.3.7) by
528
R. LANGLANDS and D. SHELSTAD
for the composition \p o a^^ takes i to (jj{i)t~^ . Unfortunately the homomorphism Xp is not always injective. If, however, we replace T by T then it becomes so. Of course a2{w) is not defined in T , but let ai^iw) lie in T and have an image in T, that is congruent to ai^iw) modulo the center of G[ . Then a^^{a2{w)) is the image of af^(a2{w)) and a^^Ca^iw)) = uj{a2(w))a2{w)~'^ . Choose m G Ms mapping to a~^(uj), where w —^ a ETT- Then ipi{w){jpi{m)) = xlii{w{m)) = ^p2{w{m)) . On the other hand, il^i{w)(4>i{m)) = a2{w){xl;2{w)(4>2{m)))a2{w)-^ -a'2{w)xl)2{w{m))a'2{w)~^ . We conclude that 1 = a'2{w)4)2{w{m))a\w)-^\i)2{w{rri))~^
- a2(u^)u;(a2(w;))"^ .
5.4. Construction of ^ and ^5 We begin with a general system 7^ , as in §2 of [I], and assume further that we have a surjective map 7^ —^ A, A having the properties of (5.1). We suppose that X -data are given on A and that if a —»• A then X « = X A o N'^Fc^/Fx '
Let /> be a given gauge on 7^ . On A we can construct a gauge pA by choosing in each orbit a representative A , as well as coset representatives CTi,... ,(Tr for r ± / r and then defining PK{(^T^^) *^ ^^ ^' Define, in the notation of §2.5 of [I], r^^ by n
1=1
where
Set P\Q) = pA{X{a)), and define a gauge Po on TZ in the same way as PA was defined on A . Lemma 5.4.A. The cochains w —>• Sp^pi(w)rp^{w) and ^ ~^ ^p/Po('^)''^p' (^) ^^ff^''^ ^y ^ coboundary. It follows readily from §2.5 of [I] that the quotient of those two cochains is a cocycle. It is enough to prove this lemma when the module X has
DESCENT FOR TRANSFER FACTORS
529
{a G 7^ I p\c^) = 1} as a basis over Z , 1Z is a single orbit under the group D introduced in §2.5 of [I], and for each A E A ,
To prove the lemma we have to prove that the quotient factors through a Galois group, and that if a G 7^ then the projection on the one-parameter subgroup Ra associated to Za of the restriction of the cocycle to W±a is a coboundary. Fix one a G 7i , and let A = A (a). Take the Weil group W to be WL/F where L is a large, finite, Galois extension of F. We first observe that for x E L^ C W^fp , (5.4.1)
rp^{x) = rp>^{x) .
The right side has been computed in §2.5[I] as
n x^iNm^F.cTxr~'^= n ^4n^w the equality following from the relation Xap{(Tx)=
Xf3{x) .
Since X _^ = X 7^ , the gauge pg can be replaced by p ' . If a -^ A then in the same way the left side is
n >^.(n-w) PA(/X)=I
Ver^
/
which is equal to
n n^. n n^-) or
n n>^^(n-w' Thus (5.4.1) is clear. Since the restrictions of Sp/pi and Sp/p' to W±a always have trivial projections to Ra , it is only the quotient rp^(w)rp'(w)~^ that need be
530
R. LANGLANDS and D. SHELSTAD
considered. Taking the projection of the restriction also allows us to suppose that A = {±A} , r = T±x , with PA(A) = 1. Choose ?;o = 1 ^ W±x , and if A is symmetric vi = v £ W±x — W^x . If w; G W±x let w = x{w)vi, x{w) G W^x • Then X = X x may be regarded as a character of W^x = ^ F + A / F = ^ » ^^^
Projecting on Ra we obtain X (x(w))^ . Since r_p/ = Vpt , we may assume that pg = 1. It is convenient to consider three cases separately, although in all of them the conclusion will be that r^/ (w) projects to X {x(w))^ . (i) a asymmetric, A asymmetric. We calculate with the notation of §2.5 of [I], noting that with our choice of X a ? X ai'iJ'ii'w)) = X{WiWW~^) .
Taking, as we may, w;i = 1 , so that wi> is also 1 for w E. W^a == W±a , we see that the projection of
on Ro, is X(wiwwY^y= X (w;)" . (ii) a asymmetric, A symmetric. Let v -^ r E T and let ( T I , . . . ,(7r be a set of representatives for 74.c^\r+A • Then {cri,... , cr^ , crir,... , o-^r} is a set of representatives for r ± a \ r . Lift <7,- to Wi in W , and set x(w) = vx(w)v~^ . We take (ji = 1, wi = 1. If w = x{w) then ^piH = n
^ {xix{w)wr^)^^
i
Y[x{wix{w)w-,^y~'''^
,
i
where j ' = j'ii^w) is defined by(7,o' = pi{d')(Tj/ if ^(ly) —» ^ . If w^ G r ± a then the projection of the right hand side on Ra is X {x{w)) because a is asymmetric. If w were x{w)v and a the image of t/; in r then era would be a and crA would be A . This is impossible, (iii) a symmetric, A symmetric. We take the representatives of r ± c r \ r to lie in Tx and we take v in r ± a \ r + a . If w^ = x{w) lies in W^a then rpf(w) is calculated as in (i). If «; = x(w)v lies in W±a\Wa then the projection of Vpi on R^ is again X {x{w))^ . Returning to our special situation we choose p\ on A, PQ on R^i , and PQ on Ri . Together pj ^^^ Po define po on i ? . We have natural factorizations ^P/Poi^)
= ^p/Po,iH^P/PoM^)
rp{w) = rp^i{w)rp^^i{w) .
=
^p/pli^H/p'oi^)
DESCENT FOR TRANSFER FACTORS
531
T h e r e are similar factorizations for the barred quantities. Recall from §2.6 of [I] t h a t ^{w) = rp{w)'n{cjT((T))
Xw
= ^p/po.lW^Po,!W«P/PO,-I(^)^PO,-IH^(^T(
X W .
In view of the lemma, we are free to replace «p/po,'^i^po,'^i ^y ^P/P'^PA J obtaining a homomorphism t h a t we still denote by ^ ,
We modify ^{w) in the exactly the same fashion. T h e homomorphism (p is defined on T as the imbedding of T into T" . To define it on all of ^M , we must define (p(n{ojujT{o'))>^u)), CJ G fio 5 w EW , w -^ a . Since Spfp/ is defined on all of Qo>^r7' we may set (p{n{ijJujT{(T))>^w) = s~J^,{uj(T)r~l{w)ni{ujLJT{(T))^w
.
There are three conditions to verify in order to show t h a t <^ is a homomorphism. For simplicity, write n{ujT{(^))>^'^ ^ ^G as n{w). (i) ip{n{ijji))ip{n{uj2)) = i{^i,(^2)^{n{LU\uj2)) , wi,<^2 G ^ 0 (ii) <^(n(t/;i))v?(n(if;2)) = t((Ti,cr2)<^(n(u;it/;2)) , Wi EWT , Wi-^ (TI (iii) (p{n{w))(p{n{ijj))(f{n{w))~^ = 6^(0;, (7)v?(n((7(a;)) , CJ G fio , <^ ^ WT , W —^ a . Here (5.4.2)
et{u;,a)
= t{uj,a)t{au;,(T-^)(T(Lj){t{a,a-'^))-^
.
T h e relation (i) a m o u n t s to (5.4.3)
5^|^;(a;i)a;i(5^lj^,(a;2))^i(a;i,a;2)sp|p/(a;ia;2) = ^(^1,^2) •
T h e p t h a t occurs here is really the restriction of p on i? to ii^^i , and in this sense tt]^^ = tp . Since tp'{(jj) = 1 for a; G ^ 0 because p' is invariant under QQ t h e relation (5.4.3) is clear from Lemma 2.4.A of [I]. T h e relation (ii) is valid for a similar reason. One has only to observe that rpl{^i)^i{rp^{^2))rp^{wiW2)=tp^{(Ti,a2) .
T h e relation (iii) amounts to the equality of
and
532
R. LANGLANDS and D. SHELSTAD
if e^i is defined by the analogue of (5.4.2), Gi replacing G and ti therefore replacing t. If e^i is defined as in (5.2.8), the element LJ^ being replaced by to then e^^i = e^e^/ • On the other hand, the boundary of Spfpf being tp/ipi we have
Clearly Moreover tp>{uj,
(T"^))
,
because p' is invariant under QQ . Thus
(The inelegant appeal to the fact that we are dealing with cochains of order two is entailed by an infelicitous definition of ^ in §2.6 of [I]). The homomorphism (ps is defined in a similar fashion. Condition (a) is of course manifest, and condition (b) follows easily from the definitions. To verify (c) we have to prove the existence of t ET such that (5.4.4)
ip{r){ns{uJi3))) = adt(77i(^,(n,(a;;,)))) ,
/? G So .
Suppose we can prove the existence of fi G T and for each /? G EQ of A/5 G C^ such that (5.4.5)
(p(7j(ns{ujf3))) = X^^^dti{r)i((fs{ns{u^/3))))
Then we choose ^2 such that /?^(^2) = ^p for all /? G So , and (5.4.4) follows with t = ti<2 • Observe first of all that if to = co^ then riiusiuj)) = b-'^{u;)n{u;) , so that ^i^{^s{(-^))) =^~H^)Splp,{^)ni{Lj)
.
On the other hand, mi^sirisiu;)))
= 5-^^/p, (u;)77i(n,,i(a;)) = s-^f^,^{uj)b^\u;)ni{u)
.
DESCENT FOR TRANSFER FACTORS
533
Thus the pertinent factor is
Since p' is invariant under QQ )
a>0,cc;"^a<0,p'(a)=:l
with Rs = R{H).
Observing that p\—u~^a)
= —p'(a) , we write this as
aeR-^-(Rt^Rt) with
t,=
n
(-1)' •
a£R+-R+^ p'(a)=-l
Equation (5.4.5) now follows from part (b) of Lemma 4.3.A. The coroots a that appear in the definition of Spfpi and r^^ are also coweights of T , so that we may interpret the expression defining them as giving functions Sp/^/ and Fp^ with values in T. Then (p is defined by ipiniuuTia))
x w) = s'^^^,{u;(T)rpl{w)ni{ujUT{(T)) x w ,
and even on a group containing M that we could call ^M . That it is a homomorphism is proved in exactly the same way as for (p . The homomorphism (ps is defined in a similar fashion, and the diagrams (5.3.5) are clearly commutative. That the element t can be also lifted to t so that (p o rj =: a.dt o rji o ifg is also clear. Finally (5.3.6) is valid because we can define ip on ^M and (ps on ^ M , . 5.5. Reducing the dimension of Gder Since are arguing by induction, we can exclude from consideration any group G with subgroups G^,... , C such that dim G^^j. < dim Gder for all i and such that the truth of the statement (5.1.1) for all of the G* implies its truth for G . Since that statement is clearly invariant under z extensions [K i ] and since any two z -extensions are covered by a common z -extension, we can immediately suppose that Gder is simple over F , and indeed that G is obtained by restriction of scalars from a group over a larger field. Then a simple argument that we prefer to omit allows us to assume that Gder is absolutely simple. There are two obvious ways of constructing a root system Ri between RQ rz R(He) and R invariant under F T and with a map to A satisfying
534
R. LANGLANDS and D. SHELSTAD
t h e conditions of the critical Lemma 5.1.A. T h e first is to take Ri = {a | a(£:)^ = 1} 5 A = {Qf(e)} C F^ and the m a p a -^ a(e) . T h e second is to take Ri = {a \ a ^ ( s ) 2 = 1) , A = {^^(5)} C C^ with F T acting trivially and the m a p a —^ a^{s). Since we can always use the transitivity of L e m m a 4.1.A of [I] t o choose T = T^^ , we can also suppose t h a t (3.3.2) is satisfied. T h u s we are reduced to the case t h a t a(e) = ±1 and a'^{s) = ± 1 for all a. In general let us call (G^e^s^T^T) (i) (ii) (iii) (iv)
primitive if
T h e element e is not central in G, and s is not central in G, Gder is absolutely simple, T h e set R^^^ is not empty, T h e r e is no system Ri C R satisfying t h e conditions of t h e critical lemma, so t h a t in particular e^ is central in G and s^ central in G.
We now assume t h a t (G^e^s^T^T) is primitive, and see what this implies, although we shall see t h a t the critical lemma allows us to impose even further constraints on the problem. On p . 708 of [L 2 ] a diagram, either a Dynkin diagram or an extended Dynkin diagram, together with an action of the Galois group was attached t o the pair ( T , s) (there denoted ( ^ T Q , /c)). In the present case t h e diagram D ^ (there denoted D) is the union of XQ^X^ (there denoted 3to, 3ti ). t h e same construction can be applied to T , 6 yielding D , 3to 5 3Ci . L e m m a 5 . 5 . A . / / (G, 6, s, T, T ) is primitive then both diagrams D, D^ are extended Dynkin diagrams, and Xi,X^ both consist of a single simple root, whose coefficient in the expansion of the largest root is 2. It suffices t o t r e a t the diagram D . T h e n XQ is just a set of simple roots for Gc . If it were a subset of a set of simple roots for G then G^ would be t h e Levi factor of a parabolic subgroup of G . This parabolic subgroup need not be defined over F. Take Ri = R{Ge) and let A(a) be the restriction of a to the center of Ge . It is clear t h a t A(a) ^ A~^(a) for a G R{G/Gi). T h u s a - ^ A(Qf) satisfies the condition of L e m m a 5.1.A, contradicting the assumption of primitivity. We conclude in particular t h a t D is an extended diagram, and t h a t XQ contains the negative of the largest root a^ . Let a i , . . . , a^ be the simple roots. By construction every root a such t h a t a(e) = — 1 is the s u m of a single element of Xy and an integral linear combination with non-negative coefficients of t h e elements of XQ . If aj G Xi then —otj assumes the value —1 at e, T h u s for some otk ,
(5.5.1)
-OCj = <^A: +
^
CiOti - CoOCo
DESCENT FOR TRANSFER FACTORS
535
with Cj > 0 , Ci = 0 if Qfj ^ XQ . Since t
(5.5.2)
ao = y^6fQfj
with 6,- > 0 for all i, the equation (5.5.1) is only possible if j 9^ AT and Xi = {aj,afc} , Co = 6j = 6A; = 1 or j = fc and Xi = {aj} , cbj = 2 . If Xi — {ttj} and 6j = 1 then (5.5.2) implies that ao(e) = — 1, which is out of the question. Thus to prove the lemma, we need only exclude the possibility that Xi = {aj,ak} . The action of Ge on the quotient g/g^ is a direct sum of distinct irreducible representations p. Thus to each a G R(G/Gs) we can associate the p = p(a) in which it appears. Clearly F acts on the set of these p and cr{p(a)) = p{(Toc) while p{—Oi) = p , the contragredient of p. We extend the action of F = F T to E = E T by demanding that the non-trivial element of Z2 C E send p to p. We claim that 01 = 06 + y ^ 0p , Qp being the space of /?, is a subalgebra. The root system of Gi is obviously a possible Ri , for we can take A = {p | p Cii p} . Each p has a minimal weight and by the definition of XQ , Xi this weight lies in Xi . Let it be aj = aj (p) . Then Qp ~ 0 - if and only if —aj = aj 4- 2_^ ^i^i ~ ^oOLo ,
c, > 0 .
a,63to
Comparing this equation with equation (5.5.1) we see that g^ = g if Xi consists of a single element, and that gi = g^ if it consists of two elements. We infer first that it is in both cases a subalgebra, and then that Xi consists of a single element, that we denote aj . The connected components of XQ decompose it into the disjoint union of connected diagrams permuted amongst themselves by Fy and, in the same way, Tf , for we could as well define XQ , Xi starting with T rather than T. The result is the same. Suppose that XQ is the disjoint union of two non-empty sub diagrams X'Q , XQ , each invariant under F T and each the union of connected components of XQ itself. We shall use the transitivity of Lemma 4.1.A of [I] and the Critical Lemma to show that this case too may be reduced to that of a group of lower dimension, so that we may impose one further restriction, (v) XQ is not the disjoint union of two non-empty subdiagrams X'Q , XQ each invariant under F T and each the union of connected components of XQ itself. Moreover X^ satisfies the same condition.
536
R. L A N G L A N D S and D. SHELSTAD
Supposing t h a t such a decomposition exists we let XQ be the subset containing t h e negative of the largest root. Since XQ is the Dynkin d i a g r a m of Qe this leads to a direct s u m decompositon, (5.5.3)
0e = 0' e g" .
To b e definite, we p u t the center of ge in g ' . It is pertinent to observe t h a t 0e has the same rank as g because Xi consists of a single element. We have seen, moreover, t h a t the representation /> of 0 on g/g^ is irreducible. T h e decomposition (5.5.3) implies a tensor-product decomposition p c^ p ' 0 /?" . Since p C:^ p we have p' '::±'p' ^ p " ^ 'p" . Moreover every element OL of R{G/Ge) may be represented as a = ( a ' , a " ) , where ( a ' , a " ) are t h e weights of p' and p" . L e m m a 5 . 5 . B (i) a' is never zero; (ii) There is an a for which ot" is not zero, moreover a" is zero if and only if a is a rational linear combination of roots in XQ . Every root of XQ is orthogonal to every root of XQ . T h u s XQ , XQ span mutually orthogonal subspaces of X*(Tder)0R whose s u m is X * ( T d e r ) 0 R • T h e components a ' , a " of a may be identified with its components in t h e two s u m m a n d s . T h u s a " is zero if and only if a is a (necessarily rational) linear combination of roots in XQ and a ' if and only if it is a linear combination of roots in XQ . Since XQ is contained in t h e set of roots simple with respect t o a suitable order, a root t h a t is a rational linear combination of the elements of XQ is necessarily an integral linear combination. T h e first assertion of the lemma follows. If a " were 0 for all a then p" would be trivial and t h e roots in XQ orthogonal to aj and t o all the roots in XQ . This contradicts the assumed absolute simplicity. Take i^o = R{He) , and let RQ he the set of a £ RQ t h a t are roots in g' and RQ the set of a e RQ t h a t are roots in g" . If fi', Q " are the Weyl groups of g ' , g" then fio = ^ 0 ^ 0 with fi'o = fio H fi', fi'J = fio H Q" . In t h e same way He factors as H[ • H'^ . If Vf and
if UJ{(T) = UJ\(T)U"{(T)
= {ijj{(T)(T I O - E T T }
, (JJ'{(T) G %
, UJ'\(T)
G ^O
then
TT' - {a;'(cr)(7 I cr G F T } is a subgroup of ^Q^^YT
and
r ^ = {J\a)a'
I a' G F T / } .
As the notation implies, YT' gi^es the Galois action for a group T' t h a t could b e substituted either for T or for T . By Lemma 4.1.A of [I], it
DESCENT FOR TRANSFER FACTORS
537
suffices to prove Theorem 5.LA for the pairs {T,T') and {T,f) . To deal with the pair {T^T') we apply the critical lemma, taking the RQ that appears there to be RQ and Ri to be the union of R{Ge) and {a e R{G/Ge)
I a" = 0}
and introducing yet a third Cartan subgroup, whose projection on H'J is stably conjugate to the projections of T or T ' , but whose projection on H'^ is maximal split. Then A is defined on R{G/Gi) by A(a) = a" . For the pair T ' , T we take the RQ of the Critical Lemma to be RQ . The set Ri is R{Ge) and A is defined on R{G/G\) by A (a) = a ' . It is again necessary to introduce a third supplementary torus and to use transitivity. L e m m a 5.5.C. Suppose thai (G^e^s^T^T) is primitive and that in addition the condition (v) is satisfied. Then all roots in R{G) are of the same length. We examine the possibilities for groups with roots of unequal length, using the appendices of [B]. (i) Bi: The diagram is
> 0C2
o • • -
o ai-i
>
o OLt
The dual diagram is O
>*
O
O
.
.
•
O
O
V—^'^^ O
and ao = a i + 2a2 + . . . + 2a^ , /?o = 2/?i + . . . 2/?^_i + ^t • Condition (v) and Lemma 5.5.A imply that X\ — {oct] , that i — 2k is even, that X\ = {Pk} and that F T acts nontrivially on the diagram. We conclude that a{€) = 1 if a is long and that a(e) = 1 if a is short. On the other hand, a^(s) = — 1 only if a^ is short, although a"^ (s) can be 1 for some short roots. Since R^^^ = {a I a{e) = - 1 , a'^is) = - 1 } , it is empty, and groups G of type Bi are excluded. (ii) Ci: By the symmetry of the conditions, groups of type Ci are also excluded.
538
R. LANGLANDS and D. SHELSTAD
(iii) F4: The diagram is
and ao = 2ai + 3a2 + 4a3 + 2a4 . Then Xi = {^4} . Thus, with the notation of Table VIII of [B], a{€) = ~ 1 if and only if a = ^(±^1 ± 62 it 63 ± 64) , and therefore, in particular, only if a is short. By duality a^(s) = —1 only if a is long, so that R^^^ is empty. (iv) G2'' The diagram is
ai
—ao
Oil
and ao = 3ai -f 2a2 . Thus 3Ci = {a2} . This however, is incompatible with condition (v).
§6. T h e Order-Two Case 6.1. Introduction According to the last section it remains only to prove (5.1.1) under the following assumptions: (6.1.1)
a(e) = ibl,a^(5) = ± l ,
a^R',
and (6.1.2)
all roots in R are the same length.
In this case the roots of type (d) are those ex ^ R for which a(e) = —1 = a ^ ( s ) . We begin by describing formulas for ©^ ^ and lim ©2 . Let T(5) be the F-torus with dual T(5) = T^^/{l,Sj.} endowed with the action induced by Yf . Then dual to
we have 1 — ^ — 7(,) ^
T,, -^
1
DESCENT FOR TRANSFER FACTORS
539
where A has order exactly two. Each of the terms in v^^^ , and hence also v^^^ itself, can be constructed in T^^ . We do so without change in notation. A lifting v of v^^^ to a cochain in T(,)(F) will be described in (6.2). The coboundary dv takes values in A and so defines an element ej of H^{T,A) = {±1}, Then (6.1.3)
e^'^(7.,TH) = e i .
To check this we note that the inclusion {l,Sf}
"^-^ T^^ yields
We have a commutative diagram
I'
I'
(see [LI] or [M]) and since Q\ KIH^IH) ^^ given by evaluating v^^"^ , as an element of H-^{X^{f^^)), on s , (6.1.3) follows. The term Um ©2 is handled similarly. Following (4.5) it is given as
the pairing being that for H^{W, fxT) and T{F) x f(F). We shall move to the torus S = T x T^^ from (3.5). It has the Galois action (6.1.4)
^:{tuh)
—^ {cr{h),a^(cT(h))ija{t2))
,
where & = u x c , We also have TxT -^ S over F and dually S (see (3.5) for definitions). Recall that w -^
^^TxT
(a(^)(^),c(^)(w;)-iz<^)(a;,ti;)-i)
is a cocycle in S with image w — . (a(^)(t/;),a(^)(t/;)c(^)(tx;)-^S<^)(u;,w;)-^) under
^
H\W,S)
—y H\W,fx
f) .
More precisely, this was shown in (3.5) for cochains without the superscript (d) , but a factoring argument as in (4.5) allows us to consider just the contributions of type (d). We may therefore compute lim &2{7HJ7H) ^ ((a(^)(tx;), ^^\wr'z(^\LJ,w)-'),
cs)
540
R. LANGLANDS and D. SHELSTAD
where e^ is the image of (e, 6"^) under T{F) x f{F) ^_S{F) . Note that es = (l,ead) where ead = e'J^ is the image of 6 under T —>• T^^ . Next define a torus T(g) over F by
-^n^)
1 —^ {l,fad!}—T^ Then we: have 1- -
^ B
•^ ^ e ) -
^T
—^ 1 ,
with B of order 2, and 1 —* 1
fx%)- - ^ f X
X B—>
L
1,
or, more simply, 1 —•*B
—
-fx%)
—^S-
1.
In TxT(^f) the Galois action is given by (6.1.4) with a^ now taking values in T(£), as is possible because the roots of EQ lie in Xt{T(^e)) • Dual to this is
l-^{l,es)^S-^Tx
T(,) - ^ 1 .
In the next section we will define a lifting of to T(e) and thus a lifting of the cocycle
C^^\W)~^Z^^\UJ,W)~^
E T^^
u('^\w) = (a(^)(tx;),c(^)(i/;)-iz<^)(a;,«;)-!) to a cochain u(w) with values in T x T(g) . The coboundary du takes values in B and factors through W -^ T . It then defines an element €2 of if2(r,J5) = { ± l } and (6.1.5)
lim02(7H.7H) = ^2 •
This follows from the commutativity of the diagram below (see the observations at the end of Section 6.5).
I' {TxT^,)){Fy
I' —
S{Fy
V ^
{1,65}*
We observe that Ac± B c^ ^2 and that the homomorphism
DESCENT FOR TRANSFER FACTORS
541
is injective. This is essential in all that follows. 6.2. Liftings Fix i = ip G F^ such that P = —I, We write v^^\a) y^^\&)~^v^{u; X a) , where
as
V,{LJ xa) = r(^)(a;,(7)a;(2/(^)((7))6(^)(u;)-i with a = LJ X a , and lift term by term. First
y^''\^)= n yoi^) where
Voi^) = n <"" • aed a>0
We shall define y^(^) E T(^s) ^^^ then set y
(a) = fl^oC^) • a To fix a-data for all asymmetric orbits choose one orbit, say O , from each pair ±0 and set a^ = — 1 for a £ O ^ a^ = 1 for a E —O . Define
la(^)= n *""' a60 a>0
and On the other hand, resentatives (7i = 1 , for each j . Thus O / o ^ = cr. ^^/a^. We
if O is symmetric fix a > 0 in O and then rep(72,... ,(T„ for r ± a \ r such that aj — ^~^^OL > 0 = { ± a j : I < j < n} . Fix y ^ G F ^ and define have
mi^) = n
^«i •
Set
5d(^) = n (v^)^""' It remains to lift the terms in v^{uj x cr). We define 5^^^(cr) in the same way we did y
(o-) and then lift Lj{y^^\o'))
as uj{y^^\a)).
The
542
R. LANGLANDS and D. SHELSTAD
term T^^\UJJ(T) is a product of elements (—1)^ over certain a of type (d). Lift T^^\U;J(T) to the corresponding product T^^\LJJ(T) of elements P^"" . Recall from (4.5) that 6(^)(a;) = bl^h(^\u;). The factor 6(^\ij) is a product of terms (—1)^ each of which we lift to P^ . Recall from (4.3) that 6L ^ is of the form JJ ^k ' where Xk £ F^ , /?ib G So • Such an element k
is naturally lifted to T(,) (by the same formula) since On the dual side we have to lift the cocycle {a^^\w),c^^\wy^z^^\u,w)-^)
SQ C X * ( T ( , ) )
= {l,c^^\wy^)u^{u;
.
x w)
with u^Lo xw) =
(a^'^\w),z^^\uj,w)-^)
= (a(^)(w;),f(^)(cc;,^)a;(c(^)(ii;))aa.(a^^^(ti^))6(^^(a;)-^) . Now i = ic will denote a square root of —1 in C . We start with c^^\w),
lifting it to f^\w)
in f(e). Then {l,c{w)-^)
is to be lifted
to {l,f'^\w)-^). The term ^^\w) is a product n ^ ± d ( ^ ) ^^^^ pairs ±0 of orbits of type (d). We proceed term by term in this product. If O is asymmetric then we take x~data for ±0 to be trivial. There is still a nontrivial contribution to r^.^ , namely the term Spfg of [I, 2.4]. Here p is the gauge on ±0 defined by the fixed order on the roots and q is given by q{a) = 1 if and only if a G ^ . Thus ([I, 2.4])
v.(^)- n (~ir a>0
and r^^{w)
= 5p/g(cr) if w; ^^ cr under W ^^ T . We define r^o(w)
to
be the product P^ over the same roots. If O is symmetric the contribution Sp^g is trivial because we have arranged that jp = q . On the other hand, the x~^2ita {xa} now are nontrivial. Following [I, 2.5] we write n
n
i=i
i=i
Fix some square root of the complex number s{uj (w)) , denoting it by y/s(uj{w)) , and then set
DESCENT FOR TRANSFER FACTORS
543
It remains to lift ti* {uj x w). Again we proceed term by term. We lift cW(tr) as we did c(^)(t/;) , r(^)(a;,o-) as we did r(^)(ct;,(7) , and U'^\oj) as we did b^^\Lj). We shall regard a^j as taking values in T(e). Then S,(a; xw) = (a^^)(w;),?(^)(a;,(7)u;(c<^)(ti;))a^(a('^)(ti;))?^)(a;)-^) . 6.3. Some coboundaries For a of type (d) the element (—1)^^ of A is nontrivial and all such elements coincide. Similarly B = {(±1)^^; a type (d)} . We identify both A and B with ^2 = { i l } • At the same time we identify ic and ip , and then the subgroup 5 ' of Tu) generated by {P^:a type (d)} with V
the subgroup A^ of T^,) generated by { r " : a type (d)} (recall that all roots have the same length); this of course does not respect the action of F T or Tf . According to (6.1.3) and (6.1.5) we have to compute the 2cocycle dv du with values in fi2 • This coincides with dv/du which is more convenient for calculations. Where needed, we inflate cocycles of F to W without mentioning it in notation. In this section we investigate the contributions to dv/du from iT* and u^ . First, v^ and v^ are well defined on S^o>^r7'. From Lemma 4.2.B we have dv^{(jJlP,(jJ2
T^^\(J0IP,(JJ2O-)~^
and so if we lift r^^) to r^^) by replacing each term (—1)^ by v^^ then we conclude that dv^f^^^ takes values in A — pi2 - Similarly u^ andS* are well defined on Q.Q>\W and Lemma 4.2.A shows that du^r^^^ takes values in B = A = fi2 - Here a; x cr G Q>o>iW acts on T x T(f) as in (6.1.4). Hence dv^ , du^ take values in B' = A' ^ and dv^/du^ takes values in A since f^^^ is identified with f^^^ . The cochain dv^/du^ is not in general a cocycle (since the operator d in the numerator is that for the Galois action on T^,) and the operator in the denominator is for the dual algebraic action). We calculate its coboundary as the coboundary of dv^T^^yOu^T^^^ and thus as {u}lp,UJ2Cr,UJ3T)
^
pT^'^\u;2(r,UJ3T)/pT^'^\(jJ20',U)3T)
which equals
n
2a"
(?)'
When A is identified as fi2 this becomes N(UJ2<^,^3T)
{LJip,u;2(T,u}3r)
(f
544
R. LANGLANDS and D. SHELSTAD
where N(U;2O;UJ3T) is t h e number of roots a appearing in t h e product above. We embed //2 in fi^ = ^iA{F), t h e group of fourth roots of unity in F . T h e group Qo>^M^ acts on ^4 through F . Fix ^ G F ^ such t h a t ^^ = i and consider M{iJip,U2(T)
= ( "7J
where N{uj2^) is t h e number of a of type (d) for which a > 0 , cr~^u;^^a < 0 . T h e cochain M. takes values in ^4 . Observing t h a t N{U)I(T)
we find t h a t dM have proved:
+ N{UJ2T)
- N{(jJi(7ijj2r) =
2N{u)ia,uj2T)
is t h e inverse of (6.3.1). Let 0 = Mdv*/du*
L e m m a 6.3.A. 6 is a 2'Cocycle O/QOXTT
. T h e n we
with values in fi4 .
L e m m a 6.3.B. e{uji X p,u}2X
a) = e{p,a)
.
P r o o f . Because ^ is a 2-cocycle it defines an extension of QQXTT by //4 . T h e extension is generated by fi^ and elements fj, 77 6 r2o>JFT , with ffxfi-^ We have t o show t h a t {uJip)^{uj20'T
= r]{x),
f}ifJ2 = 0{r}i,'q2){'nimT
= 0{p,a){cjipuj2(r)^
'
•
For this it is sufficient t o verify (6.3.2)
Q1Q2 = {(^1(^2)^ ,
(6.3.3)
Qa = (ioa)^
and (6.3.4)
aQa-^ = (aua-^)''
.
Moreover (6.3.4) need only be verified for a; = a;^ , /? G So • Indeed, assume t h a t (6.3.4) holds for ui and (JJ2 . T h e n ?(a;iu;2)^?~
= ?a;ia;2^~^ =
{ai0iuj20'~^)^
so t h a t (6.3.4) is also valid for UJIUJ2 •
DESCENT FOR TRANSFER FACTORS
545
If all these conditions are satisfied then (WI/))^(W2
= QipQ2^ = pip~^^ip)^<^2^
or p?(
e{p,a){pcr)^{(p(T)-Y{^iP^2p-Y{p
which is e{p,(T){u)ipu)2(r)^ and the lemma follows. The three conditions may be rewritten as (6.3.5)
e{u>i,U2) = l
(6.3.6)
e{w,(T) = l
(6.3.7)
e((T,u;)(T(u))(e(
First observe that M(ui,u}2) = M(U,
/ ^ \ ^M
But N(u;) is twice the number of roots of type (d) in R^ ; so we may rewrite this expression as (A-) ^^ . Turning now to dv^ and du^ , each taking values in A^, and C = dv^/du^ taking values in A = //2 , we have C{u)i,UJ2)
= db{ljJi,UJ2)/dh{(jJi,LJ2)
and C(uj,a) is the quotient of Z(u;)-'u{y{a))^u;,a)-'u;{y{a))-'b(u^) by
and this is
_
= 1
546
R. LANGLANDS and D. SHELSTAD
Here, and below, the superscript (d) has been omitted from the notation. Similarly we find £(
wher
Es = S{cT(uj))a(S(uj))-'e{uj, a)
E2 = c(w)(T{uj){c{w))~^au;{a{w)~^) and E3 = 6{(T{uj))a(S{Lj))-^^{Lj,a) . Recall that uj = ujp . To simplify this expression for £((7, a;) we need some preparation. L e m m a 6.3.C. There exists rjp = ±1 such thai
and
DESCENT FOR TRANSFER FACTORS
547
Proof. This is a long calculation in which we repeatedly use the fact that
First, e{u>,
a > 0, Lj-^a^^a
> 0, cr'^a > 0, (rcj^^a'^a
<0
and (2)
a > 0, c j - V " ^ a > 0, a'^a
< 0, aLj-^cr'^a > 0
of ( - 1 ) - ^ . The contributions of o'(6(c<;^)) , S{
(T-^a > 0, LJ-^or-^a < 0, (r'^a E R'^
and (4)
a > 0, (TUJ-^a-^a < 0, a G i?^
of the same term. Here uj =• Uf^ . The left side of the second equation is an exactly analogous product, roots replacing coroots in the exponents. Consider the contribution of {ifcQr,±a'} , where a' = —(TUj~^(T~^a . If a and a' have opposite signs then these can be contributions only to (2) and (3). Taking a > 0 and supposing that a;~^cr"^a and (T~^a have opposite signs, we see immediately that these contributions are: (T-^a > 0, a-^a G Rp.
cT-^oc < 0, -(7-^a G a-^Oi < 0, -a-^a
^ Rp,
{-iy'\-ir'']
R-^:{-iy'^{-iy^', (-1)''^{-1^'^.
Thus we are done with the case of opposite signs. Observe that explicit calculations were not really necessary. It suffices to observe that the contribution to each of (2) and (3) is (-1)^'' , 7 G {±a, ± a ' } . If a, a' have the same sign, then { i b a , ± a ' } can contribute to (1), (3) or (4). There must be a contribution from exactly one root to (4). There is
548
R. LANGLANDS and D. SHELSTAD
a contribution from at most one root to (3). It occurs if and only if there is no contribution to (1). Because we may identify each root with its coroot the same argument applies on the dual side to yield the second equation. The lemma is thus proved. We now recall the equations in Lemma 4.1.A. The first, e(u;,<7)6(
= [^(
because uj = uj^ ^ and
y(a)a(a;)(2/(
or, since we are in Gsc , as
Now we pass to T(^,) , obtaining
K,cr{h,)-'J[a'>f'P)
ap^
in this torus. The left side is E1E2 and so
E2E2 = rff Similarly on the dual side, we find ^1^2 = r)f . But rf'p'' rj^^ is rjp. We therefore cancel E1E2 with E1E2 IS identified laentmed with witn rjp and conclude that C{a,uj) = E3/E3 . This quotient is simply
^^A^^^^
or
T\
(-h:)
^ .
C * ) " " ? ™ . Hence £(
In /i2 this is
DESCENT FOR TRANSFER FACTORS
549
cancels with and the proof of Lemma 6.3.B is complete. We now return to dv/du and write it as a product of cocycles {Md^/dc)-^
• (Mdv^/du^)
.
Lemma 6.3.B says that we may calculate the second cocycle as Mdy/dc using the action of F T rather than Tf . Factor M as Ho Mo where
M.,.)=(^)'
Mc
No{cr) being the number of a in O for which a > 0 and a~^a < 0. Then we have Mdy/dc= JJA±C? ±o where X±o =
MoM-odyody-o/dr±o
if O is asymmetric. By now familiar arguments show that dyody-o/dr±o ( O symmetric) and dyo/dro {O symmetric) take values in ^2 and that A±o is a 2-cocycle with values in ^4 . Similarly,
Md'yjd'c-
Y[^±o ±0
where now
Moih-^)^ (^)^a(^:) . We conclude: Theorem 6.3.C.
\±o
J
\±o
6.4. Remaining steps To complete the proof of (5.1.1) we will show: (6.4.1)
\±o is trivial for ± O asymmetric,
(6.4.2)
invi^Ao = Xa(aa) for O symmetric.
550
R. LANGLANDS and D. SHELSTAD
and (6.4.3)
n
Xa(-2) = n
Xa(-2)
Here invi^ denotes the isomorphism H^{T^^^) = Z4 . Since we have chosen i G C^ and i G F^ we may identify this Z4 with fi4{C), In this section we prove (6.4.1) and (6.4.3). Suppose that O is asymmetric. Then
a>0 <7~^a<0
and so
w/>,-)= n ^ n f<7~^a<0 a£OU-0
<7"^a<0 aeO
Let C/PC = e . Then e^ = 1, p(2)/i = 6"^ and \
(
n
^±o{p,
a>0 \
Of
€0
e 'e
-2
n
a>0 cr-^a<0
= (e-'Y /
where Ni is the number of terms in the first product and N2 is the number in the second. We observe that Ni = N2 and thus prove (6.4.1). Let <^ be the group of all automorphisms ^ of R^^^ such that ^ (—a) = —
det p2i
i-lf^'^K
The group QO^^TT is imbedded in <^ and it is easily seen that N{u;) is even for cj G fio • Thus if a in F T corresponds to a in Tf then (6.4.4)
det p2{cr)/det />i(cr) = det p2{^)/det
pi{a) .
DESCENT FOR TRANSFER FACTORS
551
L e m m a 6.4.A. Suppose a* G F T corresponds to x £ F* , Then Y[ X^{x) = det p2i(T)/dei PI{(T) . o Since the lemma will be valid for T just as well as for T , it together with (6.4.4) implies (6.4.3). Proof. We note that pi is the direct sum over a set of representatives ^ for the double cosets ^±a\^/^T of the representations
Pr = i
=r±^
and ^2°ad V is the character Xp regarded as a character of GaJ(F/F±^)
= r±^. If (7i,... , (Jr is a set of representatives for r ± / ? \ r and Cjcr = PJ{(T)(TJI then
det pf (
X;,(/?,(
,
3
and, by local class-field theory, this is X p{x). Since det p2i(r)/det pi(a) = J J d e t p^ (
the lemma follows. 6.5. S y m m e t r i c orbits Throughout this section O will be a symmetric orbit. Recall that O = {iaj-: 1 < i < n} , where aj = o'J'^a > 0 and 0-1 = 1, cr2,... , cr„ are representatives for T±a . Define aj(/9) , ajf(cr) G F^c^ by ajp = aj(p)aji and (Tj/(T n ajf(a)ajti . For cr € F±ct define <^(^) = 0 if aa = a and (5(cr) = 1 if era = —a . L e m m a 6.5.A. <5(a,/(<7)y
dyo{p.(T) = Y[(Tj^
aj{p)y/a^
2ar
552
R. LANGLANDS and D. SHELSTAD
Proof. Let 6 be the character on r±a given by 6{
yoiP) = U^^ Kyo(.))=n-i
[ ^
if^M>)) = - i /
(.,(,)(V^/(M.))
if^(a,,(.)) = - l |
and
Thus
yo{P.^) = ll^i'Ap where Aj is given by the following table: e{aj{p))
e{ajia)) 1
1
-1
1
1
-1 -1
-1
Aj
1
»j(p)\/«r/\/ar 1 y/a^/aj{p)y/a^
Since ocj{p)y/aZ = :ty/a^ if aj(p)a = a , that is, if 0(aj{p)) = 1 , the lemma follows. Recall that to define VQ and ro we have chosen Wj mapping to aj under W —^ T , writing WjW = Uj{w)wj' , W± = W^VQ U W+vi , VQU = vo{u)vk with Ar = 0 or 1 and s{u) = X a(^o(w)), u G W± . Then
J wro{w') =
Y[y/l{ujiw')Y^''^^'^^^''^
where w ^>- p under VF ^ F, and 2a,
Hence L e m m a 6.5.B.
d?o{w,w') = Y[B]'''
DESCENT FOR TRANSFER FACTORS where ^
y/s{Uj{w)Uj'{w'))
From these two lemmas we conclude that
M»,»')=n(-i^)(^) Let
and define A' by
v=(n.r(^))v. L e m m a 6.5.C. A' is a cohoundary. Proof. Because aJ^Aj/Aj
=
we may write A' as
(T~^A-
/ fi \ ^(«j'(<^))
From the definition of Aj we see that
<^j'Ai _l<^j'{i)X^'''^''^^'^"''^''^'^ _
where T}J = cj'^{^)/^
2«(a,(^))H«,'(
. We also find that
coincides with {pVi'/ruY'^"''''^''^^ • Thus J On the other hand, the cohoundary of Yi'Hj j
is
553
554
R. LANGLANDS and D. SHELSTAD
Because H^jip))
+ ^iM
= 26(a,(p))6(a,-(<7)) ,
this coboundary coincides with A', and the lemma is proved. We discard the term A' from XQ leaving
J
/Vs{ujiw)uj.iw')))-']. Consider the cocycle A^^ of W±a in //4 given by (w, w') -^
(^ y/^/pi^
V^)Y^''\
V^{w){ ^/^{w')<'^''^/V~s{ww'))-'
where w^w' -^ pjC under W±a -^ T±a • Then Xo is the image of A^ under the corestriction homomorphism from i/^(H^±cr,/i4) to H^{Wjfi4). Since invi^^Ao = invF^^Aa , to prove (6.4.2) it is sufficient to prove that (6.5.1)
invAa = Xa(aa) •
If i^i —> R2 is an isogeny of tori over a local field F with kernel D then local class field theory ([M], Chap. 1) yields two sequences in duality (6.5.2) (6.5.3)
D{F) -^ H^(F,D)
R^{F) -^
^ - H\W,Ri)
^-
R2(F) -^
H\F,
H\W,R2)
^—
D) H\F,D)
.
The pairing is in all cases to C^ or a subgroup of it, and D = Eom{D,Hoo{F) 0 Aioo(C)) . We use in two different ways the compatibility of the two sequences with the pairing, for the commutativity of diagrams (6.6.1) and (6.6.2) are special cases of it. Since we use the compatibility at both ends, we need to pay attention to signs. Moreover we know of no reference for the compatibility, although it follows from standard results. So we include here some very brief remarks, based on the constructions in [L3]. First of all, when proving the compatibility, one can confine attention to elements of H\F,Ri) and thus of H^{K/F,Ri) for some large K (notice the proof that A^ factors through T±a in the next section). Then
DESCENT FOR TRANSFER FACTORS
555
a G H^(K/FjRi) when paired with the cup product /3 U j of /3 E H-^{K/F,X^{Ri)) and the fundamental class of K/F yields (a,/?} = (/?,a} . The pairing between a ' G H'(F,D) and /?' G H^{F,D) is given by /?' U a' G i y ' ( F , i ) (g) 5 ) —^ /f2(^^ ^ ^ ( ^ ) ^ ^^(C)) - Ain(C) . Here n is sufficiently large and /?' U a':/?, tr -^ /?'(/>) 0 poc'{o-) • Choosing n so that nX*(i22) C X*(/Zi) C X*(i22) we see that it is enough to treat the case that nX^{R2) = X*(i^i) . Then 1 —yD-^Ri —^R2 —^ 1 is obtained by tensoring (6.5.4)
1 - ^ ^n{F)
—^F*-^F*—^l
with X^{Ri). Suppose a ' G H^{F/D) has image oc and P' is the image of /? U 7 . Then by Proposition 5 of [Se], Chap. VIII, Sect. 3, p' = puSj, 6 being the map H\F,F*) -^ H^{F,Hn{F)) attached to (6.5.4). Thus /?' U a ' = /? U (57 U a ' = - / ? U a ' U ^7 .
Choose n divisible by [K:F].
Then
H\K/F,pir,{K)) -^ H\K/F,K*) , is an isomorphism as is H\K/F,^t„iK)) — H\K/F,Hm{K)) if n\m . The product /? U a ' = 71 i s a class in H~^{K/F,fin{C)). Lifting 7,71 to 7,71 with values in fin^(K) , //„2(C) we obtain a product of chains 7i U 7 that projects to 71 U 7 . Since 5(71 U 7) = dji U 7 4- 71 U 57 must be trivial in H^{K/F^iin{K)^^n{C)) , and dy = 6^ , dji = (/?, a) , we conclude that / ? ' U a ' = {/?,a)7. This is one of the compatibilities. For the other, take a G H\K/F,5), pUjU6a
= pu6aUj
and a' = 6a , /3' = pUj. = S{PUa)Uj
,
Then
R. LANGLANDS and D. SHELSTAD
556
and S{/3 U a ) = {/?, a) . 6.6. Final Calculations First we observe that B = ^/2{w){^/i{w')Y^^\^/^{ww'))-\w,w'
G W± ,
is given by the following table. The elements t,f
tvi
w' t' t'v t'
tvi
t'vi
w
t t
lie in W^ .
B yfs{t)^s{t')yfs{U')-^ y/^{t)^it')y/^{tt')-'^ ^/J(<)^/J(*')"'^/^(«')~^ ^it)^(t')-^y/^{ti'vl)-^
The proof of (6.5.1) will be divided into the following cases: (I) i e F ± „ ; (II) i G F „ - F ± „ ; (III) i i F,. We shall delete the subscript a from notation. Thus Oa , X a , A^ , F±ot become a , X , A , F i ; we write F+ for Fa . To verify directly that A factors through r± , we choose an open subgroup U of finite index in F^ that does not contain —1 . Then V = U^ is also open and of finite index and u ^^ v = v? is a topological isomorphism between the two groups. Define a character // of F by ^{v) = X {u) . Then /i^ is equal to X on F . We may suppose U and V are invariant under V± . Then F is a normal subgroup of W± and we may so choose
y/s{t),
teW^,
that y/s{vi)
=
^(v)y/s{t)
Since fi(vv) = X (uu) = 1, t; G V^, it follows easily from the table that B factors through F \ W ± and thus through T± . We now prove (6.5.1). Case I. We may assume F nonarchimedean. Let L be the cyclic quartic extension F^{^y/a) of F± , r be the generator ^ y/a-^ i^y/a and fii be the character on Gal(Z//F±) given by //i(r) = f"^ . We pull //i back to a character on V± and observe that = A^i(/>),
pGr±.
Because X(—1) = X (i^) = 1 we may choose a character ^2 on F ^ such that //^ = X . Regard /i2 as a character on W4. and set y/s — ^2 •
DESCENT FOR TRANSFER FACTORS
557
As usual, let w^w' -^ p)<^ under W± —>• T± . Then in the table of values for B we obtain 1, l,/i2(^'^')~^ J A^2(^'^'VI)~^ J ^^ ^^^^ ^ ^^ given by {w,w') —>• [/i2 otrans(w')]''
^^^
where trans is the transfer homomorphism W^ -^ W^ . Since corresponds to restriction of /i2 to F^ we may write this as
fi2otrans
on identifying this restriction as a character on T± . Observe next that on F^ or T± we have //J = / i | = X so that 0 = fi2fJ'i^ is of order two. Also (/?,
We interpret this as the cup-product of 6 in /f^(F±,;/2(C)) and S in ifl(f±,//2(F)). In general the following diagram,
\\
labelled (6.6.1) and defined by x -^ x^ , F^ —> F^ , is commutative. Thus invA = 0(a^) = fi2(a^)f^T^{a^) = X(a)//f^(a^) . However, the norm of ^ y/a is i . ( _ l ) . ( _ i ) . ^ V = a2, SO that /ii(a^) = 1. Thus the relation (6.5.1) is valid in this case. Observe that slight variations of the preceding arguments allow one to verify readily in all cases that if (6.5.1) is valid for one choice of a and X then it is valid for all. Case 11. We may choose a = —i, y/a = ^"^ . Then A is given by B~^ . The diagram (6.6.1) is now to be replaced by the analogous diagram for the group R with the twisted action p:x —^ p{xy^^^ . Then C^ is replaced by R . We take n = 4 , and then the kernel of x —^ x"^, R -^ R is, because
558
R. LANGLANDS and D. SHELSTAD
of the twisted action and because i £ F^ — F± , isomorphic to ^^{F±) . The analogue of (6.6.1) is labelled (6.6.2) and is 1\
^
R*
^
R*
^
H\F±,l4y I
H^F^,,i4iF±))
^
H\W±,R)
^
H\W±,R)
^
^i(^±,M^±))
It is again commutative. The element B~^ lies in H^{F±, fj,4{F±)) , and comes as the boundary of a 1-cochain on W± with values in R, namely w —^ y/s{w)~^ . Taking the fourth power, we obtain the cocycle r:w-^ 5(1/;)"^ . The element invA is obtained, after our identification, by pairing B with a~^ = i in Z4 (or //4(F)) . Thus, by commutativity of the diagram, it is obtained as the value of the character 1/ associated to the cocycle r on a~^ . In general if z E R, thus if z E F^ and zz = 1 ^ then z = yy~^ and i/(z) = X (y)"^ because the function s^ restricted to W^ is X ^ . For z = i we have y z= I-\-i and X ( y ) - 2 = X ( 2 0 - ' = Xi-i)=
X(a),
because 2 is the norm of y. Case I I I . We have not been able in Case III to deal directly with fields of even residual characteristic. They can, however, be handled by a global argument. Suppose, for present purposes, that F^ is a quadratic extension of the number field F± , that a £ F^ and a = —a , and that X is an ideleclass character of IF_^ whose restriction to Ip^ is the character ^ F ^ / F ± associated to the quadratic extension. The construction of A in Section 6.5 can be carried out globally. At a place in F± that does not spUt in F+ , the global construction is compatible with the local. However, A can also be restricted to the local Weil group at a place v that splits in F^ . We claim that the relation (6.5.1) is valid at this local place. Thus invAt; = Xv{ci) = ^ To see this observe first that Xt;(—1) = 1 so that Xv is a square. Since 0{p) = I if /> lies in the decomposition group, the denominator of the expression defining A,; is 1. Since 6{a) = 0 if cr is in the decomposition group, the numerator is also 1. We conclude that if (6.5.1) is valid at all but one place then it is vahd at the remaining place. It is certainly valid at the archimedean places, for if they are not split they fall under Case II. Moreover, given local data at one place, we can extend these local data to global data and in such a way
DESCENT FOR TRANSFER FACTORS
559
that at any prescribed finite set of places not containing the original one the extension splits. Therefore it suffices to treat the case of odd residual characteristic. Since i ^ F+ we have a diagram of fields K F+ ramified
\
^ E
= F±{i)
/
unramified
F± All intermediate extensions are quadratic and [K: F±] — 4 . Let q be the number of elements in the residue field, so that ^ = 3 (mod 4) and 5^ — 1 = 0 (mod 8) . Let m be the largest power of 2 dividing q^ — I and let C be a primitive m *^ root of unity in E . We may suppose that
Since F^/F± is ramified, we may choose a so that a^ = zu is a uniformizing parameter in F± . Then K{^^a) and K{^) are linearly disjoint and Galois over F± . Thus we may enlarge our diagram of fields to
K{^)
K{^)
K{^)
There exists a r G r ± such that (6.6.3)
Ta = -a
r{^)
= £^^ ,
r(^)
= ij/C
We choose l , r as representatives for r ± \ r + . The group of units 0 | in 0± is a product {±1}C/, where U is the set of all a in O^ whose image in the residue field has odd order. We define X on F^ by the following conditions: X|C/=1;
X(-l) = - l ,
X(-a2) = l .
Then we extend it to F^ , obtaining a character X of order 4. This character defines a cyclic quartic extension of F^ that evidently contains
560
R. LANGLANDS and D. SHELSTAD
K because X ^ is unramified. Thus it is the quadratic extension of K associated to the character i/{x) = X (xx) . Since z/ is not trivial on units it is ramified, and thus of the form K{y/ja), where 7 is a unit. Then 1 = z/(—7a) = 1/(7) X (a^) = —^^(7), so that i/('y) = — 1. Consequently we may take 7 = C > stnd the field is K{y/^). Consider the element S of H^{F+, fi4{F^)) given by /> —» ^/p{^) and the element 6 of /f^(F^.,p4(C)) given by X . According to the diagram (6.6.1) the invariant of their cup product is X (a) . To complete the proof of (6.5.1) in Case III and thus of Theorem 1.6.A it remains to show that A is in the class of the corestriction of 6U6 . The cup product itself is given by
(pa) -^ i^/p(
= Xp,a{p(TJ.
We first examine the restriction of the cocycle /i to r_|. . There it is given by
/ip,. =
i^p{^)-T''^^^T-\^TpT-\^)-'r'^(^^^~'^
We claim that ord(ro'r~^) = —ord((j) . It is enough to verify this on an element a such that a{y/^) = i t f v ^ - Then, by (6.6.3), Tar-^iy/Ca)
= T(T(-iy/Ca) = T{±^/Ca) = T « V ^ = <^~^(\/^) •
Thus
/ip,. = i^p{<^)-'T-\^)-'pT-\^)r<'(<^^
= (MO-'r'^"^.
On the other hand, the numerator of the quotient defining A is trivial on r^. since S(a) = 0 for <7 G r + . The denominator is easily calculated since it is just the puUback to r + through X of the 2-cocycle of the extension 1 — . /i2(C) — . fis{C) -^
/i4(C) —. 1 .
If we choose Ci such that ord(cri) = 1 then for 0 < a,6 < 4 this is just
_J 1 ^<^?'-J=
_1
a-h6<4 a+ 6 > 4 .
DESCENT FOR TRANSFER FACTORS
561
Thus both cocycles are defined on G a l ( / ^ ( \ / ^ ) / F ^ . ) and if we take
?, = ?i, (
{<^i)=^Mo-\<^'ir
then p -a = \p^a{p<^) on F^. , because (T\{C) = ^^ = ^ • If a belongs to F^ then 1 • r = r , r • cr = T(TT~^ • r , r • r = r^ , so that ^,,,
= T - \ ^ T \ ^ y y ^ ' '
= ^-2ord(a) ^ .-ord(<7)
On the other hand,
A.,. = {Vx(l)r'Vx(^Vx{r
= v6tMx/x(r
and we have chosen i/x(
0 < a < 4,
A,,i = 1 . Then we set r = I3T , where /? is yet to be determined, and define (rcr) so that
This done, we have to verify that (6.6.4)
aT = X^^r{(TT) .
If this equation is valid then a '(rp) = a(Xr^p)~^aTp = (T{\r^p)~^K,T{<^r) p which equals ^{^r.pT
>^a,TX~j-\^jT{\T-iaT,p)K,r-^aTp{crTp)
- Xa,Tp{(^Tp) .
Moreover, if (6.6.4) is valid for p as well as a then {pa)r
= X-^^paT=:X-^^p{Xa,r)>
= Xpa,r{p(TT) .
Thus it is enough to verify it for ci . The left side is equal to (7i(/?)^<7j .^(crr)'^ ; the right side is
Since ord(r^) = 2 , 1 • r = r , rai =
while
{T(TIT~^)T
,
562
R. LANGLANDS and D. SHELSTAD
Thus we must have
Since o'i{i) = — 1 , we may take
It is easy to verify that (rp) a = )^Tp,a{Tp(^) if p^cr £T^ , and if (6.6.5)
r2 = A,,,(r2)-
it is easy to verify that {pT){aT) = XpT^aTipTcr) , p^a £T^ . Thus the proof of Theorem 1.6.A will be complete once (6.6.5) is established. It is clear that fij^r = 1 and that ord(r^) = 2 . Therefore
On the other hand,
and we are done. REFERENCES [I]
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School of Mathematics The Institute for Advanced Study Princeton, NJ 08540
and
Mathematics Department The University of Utah Salt Lake City, UT 84112 Mathematics Department Rutgers University Newark, NJ 07102
