Theoretische Hydrodynamik 001

T VI Theoretische Hydrodynamik Prof. Dr. Harald Lesch1 Dr. G.T. Birk2 Universit¨ ats-Sternwarte M¨ unchen LMU Prof. Dr. Hartmut Zohm3 Max-Planck-Insitut f¨ ur Plasmaphysik geTEX-t von Hanna Kotarba4

1

[email protected] [email protected] 3 [email protected] 4 [email protected] 2

2

Inhaltsverzeichnis 1 Einfu ¨ hrung

1

2 Bilanzgleichungen idealer Flu ¨ ssigkeiten 2.1 Kontinuit¨ atsgleichung ⇔ Massenerhaltung . . . . . . . . . . . 2.2 Die Eulersche Gleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3 Hydrostatik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4 Bedingung f¨ ur das Fehlen der Konvektion . . . . . . . . . . . 2.5 Die Bernoullische Gleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.6 Die Energiestromdichte / Die Energiebilanzgleichung . . . . . 2.7 Erhaltung der Zirkulation und die Helmholtzschen Wibels¨ atze

7 7 11 19 21 24 30 32

3 Die Potentialstr¨ omungen

41

4 Wellen 61 4.1 Schwerewellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 4.2 Schallwellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 5 Kompressible Str¨ omungen

77

6 Viskose Fluide 89 6.1 Die Navier-Stokes-Gleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89 6.2 Energiedissipation in inkompressiblen viskosen Fluiden . . . . 96 6.3 Laminare Str¨ omungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 6.4 Kriterien f¨ ur verschiedene Str¨ omungstypen, Skalierungsgesetze 106 6.5 Grenzschichttheorie, Prandtl . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109 6.6 Ein einfaches Modell zur Viskosit¨ at in Gasen . . . . . . . . . 121 7 Hydrodynamische Instabilit¨ aten 123 7.1 Die Rayleigh-Taylor- und die Kelvin-Helmholtz-Instabilit¨ at . 123 7.2 Die Gravitations-Instabilit¨ at . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132 8 Die Rayleight-Benard-Konvektion i

135

ii

INHALTSVERZEICHNIS

9 Turbulenz 145 9.1 Wirbelabl¨ osung hinter einem umstr¨ omten Zylinder . . . . . . 149 9.2 Die vollst¨ andig entwickelte Turbulenz . . . . . . . . . . . . . 153 9.3 Geschwindigkeitskorrelationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156 10 Die Korteweg-de Vries-Gleichung / Solitonenlo ¨sungen

165

A Maple-Files

173

B Thermodynamik

177

C Vektoranalysis 179 C.1 Identit¨ aten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179 C.2 Kugelkoordinaten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181 C.3 Zylinderkoordinaten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183

Kapitel 1

Einfu ¨ hrung Literatur 1)

Landau/Lifschitz

-

Lehrbuch der theoretischen Physik VI Hydrodynamik, Akademie-Verlag

2)

Greiner/Stock

-

Theoretische Physik Band 2A Hydrodynamik, Harri Deutsch Verlag

3)

Guyon/Hulin/Petit

-

Hydrodynamik, Vieweg-Verlag

4)

Sommerfeld

-

Theoretische Physik II Mechanik der deformierbaren Medien

Hydrodynamik:

Beschreibung der Dynamik kontinuierlicher Medien, i.e. Fluide (Fl¨ ussigkeiten, Gase).

kontinuierlich:

stetig vom Fluid erf¨ ullte Raumvolumina, in denen wir makroskopische Gr¨ oßen (Massendichte ρ(r, t), Geschwindigkeit v(r, t) und Druck p(r, t)) definieren und messen k¨ onnen.

Ein Fluid l¨ asst sich aus Fluidelementen der Lineardimension a zusammengesetzt beschreiben mit λ ≪ a ≪ L, wobei λ die freie Wegl¨ ange der Atome/Molek¨ ule des Fluids und L die charakteristische Ausdehnung des betrachteten hydrodynamischen Systems ist. F¨ ur die Fluidelemente ergeben sich die physikalischen Gr¨ oßen als Mittelwerte der atomaren/molekularen Gr¨ oßen (im lokalen thermischen Gleichgewicht). Die Hydrodynamik stellt mithin eine approximative Beschreibung der Dynamik einer Klasse von Vielteilchensystemen dar. Gilt 1 hn 3 √ ≪1 3mkB T 1

¨ KAPITEL 1. EINFUHRUNG

2

h: Plancksches Wirkungsquantum, n: Teilchendichte, m: Teilchenmasse, T: Teilchentemperatur, kB : Boltzmann-Konstante

d.h. die Wellenpakete der Einzelteilchen u ¨berlappen nicht, so liegt ein klassisches Ensemble von N Teilchen vor, das System ist also im Prinzip durch die 2N (Hamiltonschen) Bewegungsgleichungen 1. Ordnung ~p H ~r˙ i = ∇ i ~r H p~˙ i = −∇ i

(1.1) (1.2)

H: Hamiltonfunktion des Systems

beschreibbar, bzw. durch die DGL in (6N+1) Variablen namens LiouvilleGleichung f¨ ur ξ (Wahrscheinlichkeitsfunktion) ∂t ξ =

N X i=1

~ ~r H · ∇ ~ p~ ξ − ∇ ~ p~ H · ∇ ~ ~r ξ} {∇ i i i i

(1.3)

wobei ξ(~r1 , . . . , ~rN , p~1 , . . . , p~N , t)d3 r1 . . . d3 rN . . . d3 p1 . . . d3 pN den Anteil des Ensembles, der zur Zeit t im Volumenelement d3 r1 . . . d3 rN . . . d3 p1 . . . d3 pN des 6N-dimensionierten Phasenraums anzutreffen ist, darstellt. ξ-Erhaltung: Ensemblemitglieder werden nicht zerst¨ ort/erzeugt. F¨ ur große Teilchenzahlen (man erinnere sich, ein Mol eines Gases enth¨ alt ∼ 1023 Molek¨ ule) ist die vollst¨andige mikroskopische Beschreibung nat¨ urlich nicht durchf¨ uhrbar und auch nicht erforderlich! Die nchste Beschreibungsebene, bei der man bereits Detailinformation verliert, bedient sich der statistischen Beschreibung mit einer Wahrscheinlichkeitsbzw. Verteilungsfunktion fˆ(~x, ~u, t) wobei

fˆ(~x, ~u, t)d3 xd3 u

die Wahrscheinlichkeit ist, ein Teilchen am Ort ~x mit Geschwindigkeit ~u (Einzelteilchen-Geschwindigkeit) zu finden. Das ist eine klassische vollst¨ andige Beschreibung, da ~x und ~u (bzw. p~) unabh¨ angige Gr¨ oßen sind. Mit Hilfe dieser Funktion kann man die hydrodynamischen Grundgleichungen herleiten. Die Gleichung f¨ ur die Zeitentwicklung der Verteilungsfunktion lautet dfˆ ∂ fˆ d~x ~ ˆ d~u ~ ˆ ∇x f + ∇u f = + dt ∂t dt dt Liouville: Teilchenzahlerhaltung entlang Trajektorien. Entlang Trajektorien gilt: d~x = ~u dt

~ Fˆ d~u = dt m

3 ~ ∂ fˆ Fˆ ~ ˆ ˆ ~ ⇒ + ~u∇x f + ∇u f = 0 ∂t m ~ˆ Doch es bleibt das Problem dass F immer noch von allen anderen Teilchen abh¨ angt (St¨ oße, Wechselwirkung,...) Abhilfe: Kr¨ afte werden u ¨ber das Volumenelement gemittelt ⇒ “Stoßraten”, alle Wechselwirkungen zwischen den den Einzelteilchen werden hier hinein gepackt, nur die makroskopischen Kr¨ afte (Gravitation, Druck,...) ~ˆ bleiben u ¨brig (F → F~ ). ⇒ Die zeitliche Entwicklung der neuen, gemittelten, makroskopische Verteilungsfunktion f gehorcht der kinetischen Gleichung: ∂t f +

F~ ~ ~u ~ · ∇x f + · ∇u f = (∂t f )Coll | {z } m m

(1.4)

Stoßintegral

(nichtlineare Integro-Differential-Gleichung in 7 Variablen) Stoßintegral: Verschiedene Situationen brauchen unterschiedliche Stoßans¨ atze (geladen, neutral,...) Die Auswertung des Stoßintegrals ist sehr komplex, selbst bei Beschr¨ ankung auf Zweierst¨ oße, aber nat¨ urlich m¨ oglich (unendliche Reihe,...) Im stoßfreien Fall ist (1.4) Ausdruck der Teilchenzahlerhaltung. Momente der Verteilungsfunktion Z

p~m f d3 p

m = 0, 1, 2, . . .

f¨ uhren auf makroskopische, mess- und beobachtbare Gr¨ oßen: ρ(~r, t): ~v (~r, t): p(~r, t):

Massendichte Fluidgeschwindigkeit thermischer Druck

Momente der kinetischen Gleichung f¨ uhren auf makroskopische Bilanzgleichungen: 0.tes −→ Kontinuit¨ atsgleichung 1.tes −→ Bewegungsgleichungen Eine mathematisch exakte als auch ph¨ anomenologisch u ¨ber Bilanzen, d.h. Massen-, Impuls- und Energieerhaltung, motivierte Herleitung dieser Bilanzgleichungen wird im Kapitel 2 durchgef¨ uhrt.

¨ KAPITEL 1. EINFUHRUNG

4

Also: Fluid als Kontinuum Man hat zwei verschiedene Beschreibungsweisen, Lagrange und Euler. Lagrange: Man beschreibt die Bewegung der einzelnen Fluidelemente. Befindet sich ein FE zur Zeit t0 am Ort ~r0 , so ist ~u = dt~r|~r=~r0 die Geschwindigkeit des FE −→ Perspektive des mitbewegten Beobachters In der Praxis ist es umst¨ andlich/schwierig die Dynamik aller FEs zu verfolgen, zudem ist man i.A. nicht am Schicksal der einzelnen FEs interessiert, sondern man m¨ ochte den Str¨ omungszustand an jedem festen Raumpunkt und seine zeitliche Ver¨ anderung kennen. Euler: In allen Raumpunkten wird das Fluid durch physikalische Felder, d.h. Zuweisung skalarer oder vektorieller Werte, charakterisiert. −→ Perspektive eines ortsfesten Beobachters Wir haben p(~r, t) ρ(~r, t) ~v (~r, t) d.h. Fluid fliesst zur Zeit t am Ort ~r mit der Geschwindigkeit ~v , dabei bleibt die Bahn auf der sich ein FE, das zur Zeit t am Ort ~r ist, unbekannt (am Ort ~r wird zu verschiedenen Zeiten die Geschwindigkeit verschiedener FEe bestimmt). ¨ Ein Ubergang zwischen den Darstellungsarten ist im Prinzip immer m¨ oglich. ¨ Berechnung der zeitlichen Anderung einer Feldgr¨ oße (Skalar- oder Vektor¨ komponente) im bewegten Fluid, d.h. Anderung der Feldgr¨ oße eines FEs: A + dA = A(~r + ~v dt, t + dt)

(1.5)

(FE ist zum Zeitpunkt t+dt an den Ort ~r + ~v dt gewandert, wobei ~v die Geschwindigkeit l¨ angs einer Stromlinie ist) Taylor-Entwicklung bis zur 1. Ordnung: ~ A + dA = A(~r, t) + ∂t Adt + ~v · ∇Adt ⇒

~ dt A = ∂t A + ~v · ∇A

(1.6)

(1.7)

5 dt A

∂t A

~ ~v · ∇A

substantielle Ableitung Lagrangesche Zeitableitung ¨ Anderung mit FE mitbewegt ¨ explizite zeitliche Anderung (an einem festen Ort) Eulersche Zeitableitung ¨ Anderung durch Str¨ omung

Illustration von Str¨ omungen kann mithilfe von Stromlinien erfolgen. Stromlinien sind Linien des Vektorfelds ~v (~r, t), die zu einer gegebenen Zeit t0 dadurch definiert sind, dass ihre Tangenten an jedem Punkt mit dem Geschwindigkeitsvektor u ¨bereinstimmen. Mathematische Definition: dx dy dz = = vx vy vz

(1.8)

I.A. gibt es keine Beziehung zwischen FEen und Stromlinien (diese werden zu verschiedenen Zeiten von verschiedenen FEen gebildet). F¨ ur station¨ are Str¨ omungen ∂t =0, insbesondere also ∂t~v = 0 stimmen die Stromlinien mit den Bahnlinien (Wege, die die FEe mit der Zeit durchlaufen, Tangenten geben hierbei die Richtung der Geschwindigkeit bestimmter FEe zu aufeinanderfolgenden Zeitpunkten an) der FEe u ¨berein Stromlinien sind z.B. durch Farbstoffe visualisierbar. Analogie zur Elektrodynamik: ~ ·B ~ = 0 ⇒ Dichte der Feldlinien ist Maß f¨ ∇ ur Feldst¨ arke ~ Inkompressibel: ρ∇ · ~v = 0 ⇒ Stromlinien ~ · (ρ~v ) = 0 ⇒ Massenstrom-Bahnlinien, Kompressibel, station¨ ar: ∇ Stromlinien sind Massenfluß!

6

¨ KAPITEL 1. EINFUHRUNG

Kapitel 2

Bilanzgleichungen idealer Flu ¨ ssigkeiten Erhaltungsgleichungen sind von ganz besonderer Bedeutung. Durch ρ(r, t), v(r, t), p(r, t) ist die vollst¨ andige Beschreibung des Bewegungszustandes eines Fluids m¨ oglich −→ thermische Relationen.

2.1

Kontinuit¨ atsgleichung ⇔ Massenerhaltung

Wir werden nur die Integraleigenschaften des Stoßterms benutzen Z 



∂f d3 u = 0 ∂t Coll  Z  ∂f ~u d3 u = 0 ∂t Coll

Teilchenzahlerhaltung Impulserhaltung innerhalb einer Fl¨ ussigkeitskomponente (¨ andert sich f¨ ur Mehrfl¨ ussigkeitstheorie)

Im n¨ achsten Schritt werfen wir die Informationen im Geschwindigkeitsraum weg. Annahme einer Temperatur (lokales thermisches Gleichgewicht), keine kinetischen Effekte! ⇒ Integration der mit ~uk multiplizierten kinetischen Gleichung “Momentenbildung” der Verteilungsfunktion z.B. 0tes Moment: Z

f (~u, ~x, t)d3 u = n(~x, t)

n(~x, t): Anzahldichte, [1/m3 ] 7

8

¨ KAPITEL 2. BILANZGLEICHUNGEN IDEALER FLUSSIGKEITEN

0te Ordnung: R

∂t |

↓ Z

↓

f d3 u {z

∂t n

}

R

~ x f d3 u + ~u · ∇

∂f 3 ∂t d u

~ u und ~x

sind unabh¨ angig!

Z

u i ∂ x i f d3 u

|

∂ xi

Z {z

3

ui f d u

{z

|

~ · (n~v ) ∇ R

mit

}

}

+

R

~ F m

~ u f d3 u ·∇

=0

↓

Z F~ ~ u f d3 u ∇ m | {z }

↓ f |Grenzen 0

muss normierbar bleiben!

~uf d3 u = n~v

~v : Str¨ omungsgeschwindigkeit, Schwerpunktsgeschwindigkeit, gerichtete Geschwindigkeit Achtung, hier gilt wieder die Einstein’sche Summenkonvention: Ein einzelner Index ist frei (beliebige Komponente), ein doppelter Index hingegen ist gebunden! → Summation Also: ui uj =Matrix, ˆ ui ui =Skalar ˆ

⇒

∂n ~ + ∇(n~v ) = 0 ∂t

mit ρ = mn: Massendichte ⇒

∂ρ ~ + ∇(ρ~v ) = 0 ∂t

Kontinuit¨ atsgleichung

Anschaulich Man betrachte ein Volumen V0 (ρ: Dichte, ρ = nm, n: Teilchendichte, m: Masse eines Teilchens). Die Masse im Volumen ergibt sich zu M=

Z

ρdV

(2.1)

V0

Pro Zeiteinheit fließt durch das Fl¨ achenelement df~ der Oberfl¨ ache des Vo~ lumens die Fl¨ ussigkeitsmenge ρ~v · df . |df~|: Fl¨ ache des Fl¨ achenelements df~ zeigt in Richtung der Normalen (Vereinbarung: nach Außen). ⇒

ρ~v · df~ > 0 ρ~v · df~ < 0

wenn die Fl¨ ussigkeit herausfließt wenn die Fl¨ ussigkeit hineinfließt

¨ 2.1. KONTINUITATSGLEICHUNG ⇔ MASSENERHALTUNG

9

Die gesamte Fl¨ ussigkeitsmenge, die pro Zeiteinheit aus dem Volumen fließt, ist − ∂t M =

Z

ρ~v · df~

(2.2)

Die Integration wird u ache erstreckt, die ¨ber die ganze geschlossene Oberfl¨ das betrachtete Volumen einschließt. Andererseits kann man die Abnahme der Fl¨ ussigkeitsmenge in der form −

∂ ∂t

Z

ρdV

schreiben. Setzten wie diese Ausdr¨ ucke gleich, dann bekommen wir −

Z

V0

∂ρ dV = ∂t

Z

ρ~v · df~

(2.3)

~ · (ρ~v )dV ∇

(2.4)

F

Mit dem Satz von Gauss wird aus Z

ρ~v · df~ =

F

Z

V

und es ergibt sich schließlich: Z 

V



∂ρ ~ + ∇ · (ρ~v ) dV = 0 ∂t

(2.5)

¨ ur jedes Volumen und beim Ubergang zu einem Die Gleichung (2.5) gilt f¨ infinitesimal kleinem Volumen stimmen die Gr¨ oßen ρ und ~v mit den lokalen Gr¨ oßen u ¨berein. Deshalb gilt als lokale Aussage: ∂ρ ~ + ∇ · (ρ~v ) = 0 ∂t

(2.6)

Das ist die Kontinuit¨ atsgleichung wie schon vorher. ¨ ⇒ Bei Teilchenzahlerhaltung ist die Anderung der Massendichte im Volumen durch die Divergenz des Massenflusses (Stromdichtevektors) gegeben; reines “Durchfließen” ¨ andert M nicht. Der Vektor ~j = ρ~v wird auch Stromdichtevektor des Fluids genannt. F¨ ur ~ · ~j = 0. station¨ are Systeme ∂t = 0 gilt also ∇ Verallgemeinerung der Kontinuit¨atsgleichung f¨ ur den Fall lokaler Fluidproduktion: −

Z

∂t ρdV + Q =

Z

ρ~v · df~

(2.7)

¨ 10 KAPITEL 2. BILANZGLEICHUNGEN IDEALER FLUSSIGKEITEN Q=

R

qdV : erzeugte Fluidmasse pro Zeiteinheit, Quellterm −→

~ · (ρ~v ) = q ∂t ρ + ∇

(2.8)

Kontinuit¨ atsgleichung unter Ber¨ ucksichtigung der Dichte q der Massenproduktion pro Zeiteinheit. Bemerkung zur Str¨ omungsgeschwindigkeit Str¨ omung wird durch “Stromlinien” illistriert, d.h. durch Linien, deren Tangentenvektoren mit ~v u ¨bereinstimmen. Das sind die Linien, entlang denen Fl¨ ussigkeitselemente laufen, wenn die Str¨ omung station¨ ar ist! Visualisierung: Farbstoffe, Windkanal Erinnerung: Mathematische Definition von Stromlinien: dy dz dx = = vx vy vz (Infenitesimale Elemente verhalten sich wie L¨ angenabschnitte der Komponenten des Geschwindigkeitsvektors) Beispiel f¨ ur die Anwendung der Kontinuit¨ atsgleichung: Rohr mit Engstelle

Z.B. f¨ ur ρ = const. : Engstelle auf der Autobahn links:

ρ1 ,

v1 ,

F1

rechts:

ρ2 ,

v2 ,

F2 = 0.5 · F1

ρ 1 v1 = ρ 2 v 2 ⇒ rechts muss doppelt so schnell fließen!

2.2. DIE EULERSCHE GLEICHUNG

11

Wasserhahn

~ · (ρ~v ) = 0 ∇ ~ · ~v = 0 oder (ρ = const.) ρ∇ v1 · F1 = v2 · F2 ⇒ Wenn v zunimmt, muß F abnehmen! Die Kurve des Wasserstrahls wird beschrieben durch r ∼ q√

1 n + v0

(L¨ asst sich leicht zeigen mit Beschleunigung = Gravitationsbeschleunigung)

2.2

Die Eulersche Gleichung

1te Ordnung, k = 1 ⇒ Die kinetische Gleichung wird mit ~u multipliziert und u ¨ber d3 u integriert. ! Z Z Z F~ ~ 3 3 ~ ⇒ ~u∂t f d u + ~u(~u · ∇x f )d u + ~u · ∇u f d 3 u = 0 m | {z } | {z } A

|

B

{z C

1. Summand Da ~u und ~x nicht explizit von der Zeit abh¨ angen gilt: A = ∂t

2. Summand i-te Komponente von B: Z

3

Z

u i u j ∂x j f d u = ∂x j

}

~uf d3 u = ∂t (n~v )

Z

u i u j f d3 u

(Tensor ~u ⊗ ~u)

Dieser Term hat mit dem Quadrat der GEschwindigkeit, d.h. mit Energie (Druck) zu tun! Zwei Anteile: ~u = ~v + w ~ ~v : makroskopische Schwepunktsgeschwindigkeit von ~u w ~ : Mittelwert der thermischen Geschwindigkeit

¨ 12 KAPITEL 2. BILANZGLEICHUNGEN IDEALER FLUSSIGKEITEN ∂xj

Z

Z

3

(vi + wi )(vj + wj )df u = ∂xj

(vi vj + vi wj + vj wi +wi wj )f d3 u | {z } |

=0

{z

| {z } =0

}

(v rausziehen,

R

wf ~ d3 u = 0

laut Definition

=

∂xj (vi vj n) |

{z

Z

+ ∂xj

}

|

v kann aus dem Inegral

=

herausgezogen werden,

1 · m

wi wj f d3 u {z

}

Drucktensor Pij

ist bereits gemittelt

= ∂xj (vi vj n) + ∂xj

i 6= j ⇒ i=j ⇒

Pij m

isotrop

=

∂xj (vi vj n) + |

{z

~ v ⊗~v ∇·~

}

1~ ∇p m

wenn unkorreliert → 0 Z 1 w ~ 2 f d3 u thermische Energie 2

Beispiel ideales Gas:

⇒

3 nkT 2

=

nkT

=

!

Z

1 m w ~ 2 f d3 u 2 Z 1 m w ~ 2 d3 u 3

In Komponenten: w ~ 2 = wx wx + wy wy + wz wz = Spur(w ~ ⊗ w) ~ 3. Summand i-te Komponente von C: Ci =

Z

ui

Fj ∂ u f d3 u m j

Mit ∂uj



Fj ui f m



=

Fj f ∂uj ui + m | {z } δi j

ui f ∂uj Fj |m {z } =0

Kraft h¨ angt nicht von ~ u ab! (nicht f¨ ur Lorentz-Kraft!)

+ui

Fj ∂u f m j

2.2. DIE EULERSCHE GLEICHUNG

13

folgt Ci = −

Z

Fi 3 fd u + m

Z

Z |



∂uj F ui mj



Fj ui f d3 u m

{z f

Grenzen

→0

}

Fi f d3 u m F~ ⇒ C = −n m Fasst man alles zusammen und multipliziert mit m so erh¨ alt man ~ v ⊗ ~v ) + ~ −∇(ρ~ ∂t (ρ~v ) = −∇p nF~ |{z} = −

| {z }

| {z } |

{z

}

Druck “um die Ecke

gesamte

Impuls¨ anderung

str¨ omen”

(2.9)

Einzelteilchenkraft

z.B. Gravitation ρ~g

Bilanzgleichung f¨ ur Impuls, “Impulsstromdichte” Einschub Also: ∂Πik ∂ (ρvi ) = − ∂t ∂xk Dabei ist der Tensor der Impulsstromdichte Πik definiert als: Πik = pδik + ρvi vk

(2.10)

(2.11)

Er ist ein symmetrischer Tensor, also Πik = Πki . Integration von (2.10) u ¨ber irgendein Volumen liefert: ∂ ∂t

Z

ρvi dV = −

Z

∂Πik dV = − ∂xk

I

Πik dfk

(2.12)

¨ Also ist die zeitliche Anderung der i-ten Impulskomponente im Volumen gleich der Menge des Impulses, die pro Zeiteinheit in eine Richtung durch die das Volumen begrenzende Fl¨ ache fließt. Masse und Energie sind Skalare, Masse- und Energiestrom sind Vektoren. Der Impuls ist ein Vektor, dementsprechend ist der Impulsstrom ein Tensor.

Nebenberechnung Wir betrachten nun ein kleines Volumenelement ∆V im Fluid, welches durch eine Mantelfl¨ ache M und die Stirnfl¨ achen F1 und F2 gegeben ist. ~n: Einheitsvektor der Fl¨ achennormalen Auf den Stirnfl¨ achen gilt: F1

:

F2

:

−~nv1 = ~v1 −~nv2 = ~v2

Auf der Mantelfl¨ ache gilt: ~n · ~v = 0

¨ 14 KAPITEL 2. BILANZGLEICHUNGEN IDEALER FLUSSIGKEITEN Das Volumen wird hinreichend klein gew¨ ahlt, so dass die Stromdichte senkrecht auf F1 und F2 steht. Mit dFk = nk dF und Πik nk = pni + ρvi vk nk (vgl. 2.11) ¨ ergibt sich f¨ ur die zeitliche Anderung der Impulsdichte im Volumenelement ∆V : ∂t

Z

ρ~v dV

=

∆V

−

I

(p~n + ρ~v (~v · ~n))dF

(2.13)

S∆V

=

−

Z

(p + ρv 2 )dF~1 −

Z

(p + ρv 2 )dF~2 −

F2

F1

Z

~ pdM

(2.14)

M

Transversal ist also die Imulsstromdichte gleich p.

Gleichung (2.9) kann umgeformt werden in eine Gleichung f¨ ur die zeitliche Entwicklung des Geschwindigkeitsfeldes: F¨ ur die linke Seite gilt: ∂t (ρ~v ) = ~v ∂t ρ + ρ∂t~v

Kontiglg

=

~ · (ρ~v ) + ρ∂t~v −~v ∇

~ v ⊗ ~v ) gilt (i-te Komponente): F¨ ur ∇(ρ~ ~ · (ρ~v ) + ρ(~v · ∇)~ ~ v ∂xj (ρvj vi ) = vi ∂xj ρvj + ρvj ∂xj vi = ~v~v ∇ ⇒

~ · (ρ~v ) + ρ∂t~v = −∇p ~ − ~v ∇ ~ · (ρ~v ) − ρ(~v · ∇)~ ~ v + nF~ −~v ∇ ⇒





~ v = −∇p ~ + nF~ ρ ∂t~v + (~v · ∇)~ Euler-Gleichung

~ heißt “substanzielle Ableitung” d . Bedeutung: ∂t + ~v · ∇ dt ¨ Sie beschreibt die Anderung im Ruhesystem (Gegenteil: Lagrange, verfolgt Fl¨ ussigkeitselemente) ¨ Anderung durch lokale Ver¨ anderung → ∂t ~ ¨ Anderung durch Str¨ ome → ~v · ∇ Formel: d ∂ ∂ dx ∂ dy ∂ dz ∂ ~ = + + + = + ~v · ∇ dt ∂t ∂x dt ∂y dt ∂z dt ∂t

Beispiel zum Unterschied zwischen Euler und Lagrange: ¨ Zeitliche Anderung der Massendichte in einem Raumgebiet: ∂ρ ~ v ) Euler = −∇(ρ~ ∂t

2.2. DIE EULERSCHE GLEICHUNG

15

¨ Zeitliche Anderung der Massendichte im Fluidelemt: dρ dt

∂ρ ~ + (~v · ∇)ρ ∂t ~ · (ρ~v ) + (~v · ∇)ρ ~ − ∂ (ρvj ) + vk ∂ ρ = −∇ ∂xj ∂xk ∂ ∂ρ ∂ρ = −ρ vj − vj + vk ∂xj ∂xj ∂xk ~ · ~v Lagrange = −ρ∇ =

Auch die Kraftgleichung kann man heuristisch herleiten: Wie die Bewegung von Masseteilchen durch die wirkenden Kr¨ afte bestimmt ist, so sind auch die Kr¨ afte f¨ ur die Bewegung von Fl¨ ussigkeiten verantwortlich. Wir grenzen in der Fl¨ ussigkeit irgendein Volumen ab. Die gesamte Kraft die auf das herausgegriffene Volumen wirkt

~ =− K

Z

pdf~

(2.15)

∆V

u ¨ber den Druck p im Volumen ∆V , deshalb muss in (2.15) ein negatives Vorzeichen ber¨ ucksichtigt werden, wenn die Kraft auf das Volumen ∆V ausge¨ ubt wird. Durch Umwandlung in ein Volumenintegral erh¨ alt man −

Z

pdf~ = −

Z

~ ∇pdV

(2.16)

~ Auf jedes Volumenelement dV wirkt von der Fl¨ ussigkeit die Kraft −∇pdV , ~ i.e. pro Volumenelement wirkt die Kraft −∇p. −→ Bewegungsgleichung f¨ ur ein Volumenelement (FE) der Fl¨ ussigkeit: ρ

d~v ~ = −∇p dt

(2.17)

Massendichte*Beschleunigung=Kraftdichte Mit der substantiellen Ableitung (1.7) ergibt sich: ∂~v ~ ~ v = − 1 ∇p + (~v · ∇)~ ∂t ρ

(2.18)

¨ 16 KAPITEL 2. BILANZGLEICHUNGEN IDEALER FLUSSIGKEITEN Euler-Gleichung Bewegungsgleichung der Flu ¨ ssigkeit Auf der rechten Seite von (2.18) k¨ onnen alle m¨ oglichen zus¨ atzlichen Kraftdichten stehen. Befindet sich die Fl¨ ussigkeit im Schwerefeld, wirkt auf jede Volumeneinheit noch die Kraft ρ~g , dabei ist ~g die Schwerebeschleunigung. ∂~v ~ + ~g ~ v = − 1 ∇p + (~v · ∇)~ ∂t ρ

(2.19)

~ (bzw. −∇Φ, Φ: Gravitationspotential)

Bei der Herleitung der Bewegungsgleichungen haben wir Prozesse der Energiedissipation nicht ber¨ ucksichtigt. Innere Reibung und/oder W¨ armeaustausch w¨ urden zur Dissipation f¨ uhren. Ideale Fl¨ ussigkeit: W¨ armeleitung / Z¨ ahigkeit werden vernachl¨ assigt! Dies muss immer u uft / gerechtfertigt werden! ¨berpr¨

Einschub ¨ in (2.17) gibt die zeitliche Anderung der Geschwindigkeit eines sich bewegenden FEs an. d~v dt

Die Beschleunigung des Fluidelements hat i.A. zwei Ursachen: 1. ¨ Explizite zeitliche Anderung des Geschwindigkeitsfeldes mit der Zeit F¨ ur nicht station¨ are Str¨ omungen: ~v (~r, t) − ~v (~r, t + ∆t) ∆t 2. Bewegung des FEs in einem nicht gleichf¨ ormigen Geschwindigkeitsfeld ~v (~r, t) − ~v (~r + ∆~r, t) ∆~r

2.2. DIE EULERSCHE GLEICHUNG ⇒

17

∆~v = ~v (~r2 , t′ ) − ~v (~r1 , t) = ∂t~v ∆t + ∂x~v ∆x + ∂y ~v ∆y + ∂z ~v ∆z Damit ist ~v (~r + ~v ∆t, t + ∆t) − ~v (~r, t) ermittelt bis zur Ornung ~v ∆t, ∆t.

bzw.

∆~v ~ v = ∂t~v + (~v · ∇)~ ∆t→0 ∆t

dt~v = lim

Das Fehlen des W¨ armeaustausches zwischen Fl¨ ussigkeitsteilchen (und zwischen Fl¨ ussigkeit und W¨ anden, thermische Isolation) bedeutet, dass die Bewegung adiabatisch verl¨ auft - u ¨berall. Bewegung einer idealen Fl¨ ussigkeit ≡ adiabatische Bewegung Bei einer adiabatischen Bewegung bleibt die Entropie eines jeden FEs konstant, wenn es sich im Raum bewegt. Die Entropie pro Masseneinheit sei s. adiabatische Bewegung:

ds =0 dt

bzw. ∂s ~ =0 + (~v · ∇)s ∂t

(2.20)

allgemeine Gleichung f¨ ur adiabatische Bewegung ⇒ Kontinuit¨ atsgleichung f¨ ur Entropie: ∂(ρs) ~ + ∇ · (ρs~v ) = 0 ∂t

(2.21)

vgl. Kontinuit¨ atsgleichung (2.6)

ρs~v : Entropiestromdichte I.A. ist die adiabatische Gleichung viel einfacher, gew¨ ohnlich ist die Entropie zu einer gegebenen Anfangszeit r¨aumlich und zeitlich in allen Punkten der Fl¨ ussigkeit konstant. Dann bleibt sie es auch: s=const isentrope Bewegung

¨ 18 KAPITEL 2. BILANZGLEICHUNGEN IDEALER FLUSSIGKEITEN

Einschub Wie, also nach welcher Gleichung, ¨ andert sich die Massendichte an einem festen Raumpunkt mit der Zeit? ~ · (ρ~v ) Antwort: ∂t ρ = −∇

(2.21a)

Wie ¨ andert sich die Massendichte in einem Fluidelement mit der Zeit? ~ = −ρ∇ ~ · ~v Antwort: dt ρ = ∂t ρ + ~v · ∇ρ

(2.21b)

Randbemerkung Isentropie kann man ausnutzen um die Bewegungsgleichung (2.18) in einer anderen Form darzustellen. Wir verwenden die bekannte thermodynamische Beziehung: dw = T ds + V dp

(2.22)

w = ǫ + pV dǫ = T ds − pdV

Enthalpie = Summe aus innerer Energie + pV (Verdr¨ angungsarbeit) ǫ |{z}

→ dt ǫ =

Zustandsgroeße

w V = T

1 ρ

dQ

t |{z}

+

W aermemenge T ds

dR

t |{z}

geleistete V olumenarbeit −pdV

Enthalpie pro Masseneinheit spezifisches Volumen, Volumen der Masseneinheit Temperatur

Da s=const gilt: dw = V dp =

dp ρ

⇒

1~ ~ ∇p = ∇w ρ

Aus (2.18) wird dann: ∂~v ~ v = −∇w ~ + (~v · ∇)~ ∂t

(2.23)

Eine weitere Variante der Euler-Gleichung enth¨ alt nur die Geschwindigkeit: ~ 2 ∇v ~ × ~v ) + (~v · ∇)~ ~ v = ~v × (∇ 2

(2.24)

2.3. HYDROSTATIK

19

Damit ergibt sich: 2 ∂~v ~ × ~v ) = −∇ ~ w+ v − ~v × (∇ ∂t 2

!

∗

(2.25)

~ ∇×(2.25) ergibt: ∂ ~ ~ × (~v × ∇ ~ × ~v ) (∇ × ~v ) = ∇ ∂t

(2.26)

~ * + konservative Kraftdichte f~ = −∇u

2.3

Hydrostatik

F¨ ur eine ruhende Fl¨ ussigkeit ( ~v = 0, ∂t = 0) im homogenen Schwerefeld nimmt die eulersche Gleichung (2.19) die Gestalt ~ = ρ~g ∇p

(2.27)

an. (2.27) beschreibt das mechanische Gleichgewicht der Fl¨ ussigkeit. ~ = 0, heißt p = Ohne ¨außere Kr¨ afte gilt die Gleichgewichtsbedingung ∇p const. Der Druck ist in allen Punkten der Fl¨ ussigkeit gleich.

Sei ρ = const, d.h. keine merkliche Kompression in z-Richtung: ∂p =0 ∂x

∂p =0 ∂y

∂p = −ρg ∂z

(2.28)

p = −ρgz + const

(2.29)

Ergo:

Hat eine ruhende Fl¨ ussigkeit eine freie Oberfl¨ ache (in der H¨ ohe H) und ist der ¨ außere Druck auf diese Oberfl¨ ache u ache ¨berall p0 , dann muss diese Oberfl¨

¨ 20 KAPITEL 2. BILANZGLEICHUNGEN IDEALER FLUSSIGKEITEN die horizontale z = H sein. Aus p = p0 f¨ ur z = H erhalten wir const = p0 + ρgH. p = p0 + ρg(H − z)

(2.30)

(p − p0 ∼ H) Am Auftrieb von K¨ orpern in Fl¨ ussigkeiten und Gasen sieht man, dass auch die Form eine Rolle spielt. H¨ angt die Dichte ausschließlich und linear vom Druck ab, d.h. ρ = Ap

mit A =

ρ0 ρ = = const p0 p

wie es in idealen Gasen bei konstanter Temperatur der Fall ist, so ist: ∂p dp = = −Agp ∂z dz

(2.31)





ρ0 p = p0 exp(−Ag(z − z0 )) = p0 exp − g(z − z0 ) p0

(2.32)

Barometrische H¨ ohenformel F¨ ur isotherme Atmosph¨ are gilt: p = nkT =

ρ kT m

→

ρ0 m = p0 kT0

Eine (weitere) Folgerung aus (2.28): Befindet sich eine Fl¨ ussigkeit / ein Gas im Schwerefeld im statischen Gleichgewicht, dann kann p nur von der H¨ ohe z abh¨ angen. Denn: Wenn der Druck in einer H¨ohe an verschiedenen Stellen verschieden w¨are, w¨ urde eine Bewegung auftreten! ⇒

ρ=−

1 dp g dz

(2.33)

Die Dichte ist eine Funktion die nur von z abh¨ angt. p und ρ bestimmen die Temperatur (hier wird nicht angenommen, dass ρ = Ap). ⇒ T ist ebenfalls eine Funktion die nur von z abh¨ angt. Ein statisches Gleichgewicht ist nicht m¨ oglich, wenn T an verschiedenen Stellen in ein und derselben H¨ ohe verschieden ist.

¨ DAS FEHLEN DER KONVEKTION 2.4. BEDINGUNG FUR

21

Astrophysikalische Anwendung Gleichgewichtsbedingung f¨ ur große Fl¨ ussigkeits- / Gasmengen, deren Teile durch Gravitationskr¨ afte zusammengehalten werden, also Sterne. Nebenbemerkung ϕ sei das Newtonsche Gravitationspotential des von der Fl¨ ussigkeit erzeugten Feldes (selbstgravitierendes Fluid). Es gen¨ ugt der DGL ∆ϕ = 4πGρ

(2.34)

mit der newtonschen Gravitationskonstante G. ~ Die Feldst¨ arke des Gravitationsfeldes ist −∇ϕ, ~ und damit die Volumenkraftdichte auf die Massendichte ρ: −ρ∇ϕ. Daher lautet die Gleichgewichtsbedingung: ~ = −ρ∇ϕ ~ ∇p

(2.35)

Teilen wir (2.35) durch ρ, bilden die Divergenz und verwenden (2.34), ergibt sich: ~ · ∇





1~ ∇p = −4πGρ ρ

(2.36)

(nur mechanisches Gleichgewicht) Ein vollkommenes thermisches Gleichgewicht ist nicht vorausgesetzt! Falls der K¨ orper nicht rotiert, wird er im Gleichgewicht Kugelgestalt haben, die Verteilung von Dichte und Druck werden in ihm kugelsymmetrisch sein. Gleichung (2.36) hat f¨ ur Kugelsymmetrie in Kugelkoordinaten die Form: 1 d r2 dr

r2 dp ρ dr

!

Diese l¨asst sich f¨ ur z.B. isotherme Gaskugeln (p = integrieren.

2.4

(2.37)

= −4πGρ ρ m kT ,

T = const) leicht

Bedingung fu ¨ r das Fehlen der Konvektion

Eine Fl¨ ussigkeit kann sich im statischen Gleichgewicht befinden (keinerlei makroskopische Bewegung sichtbar), ohne dass sie dabei im thermischen

¨ 22 KAPITEL 2. BILANZGLEICHUNGEN IDEALER FLUSSIGKEITEN Gleichgewicht ist. Gleichung (2.27) (Bedingung f¨ ur mechanisches Gleichgewicht) kann auch dann erf¨ ullt sein wenn T nicht konstant ist. Ist ein solches Gleichgewicht stabil? Nur unter bestimmten Bedingungen. Sind diese nicht erf¨ ullt, dann ist das Gleichgewicht instabil, es treten Str¨ omungen auf, die die Fl¨ ussigkeit so zu vermischen suchen, dass T = const erreicht wird. ⇒ Konvektion Stabilit¨ at eines mechanischen Gleichgewichts = Bedingung f¨ ur das Fehlen von Konvektion 1.) Betrachte ein FE in H¨ ohe z mit spezifischem Volumen V (p, s) = ρ1 . p und s: Gleichgewichtsdruck und Gleichgewichtsentropie in z 2.) FE wird um eine kleine Strecke ∆z ≪ z adiabatisch nach oben verschoben: V (p, s) ⇒ V (p′ , s) p′ : Druck in z + ∆z 3.) F¨ ur die Stabilit¨ at des Gleichgewichts ist es notwendig (i.A. nicht hinreichend), dass die dabei auftretende Kraft bestrebt ist, das FE in die Ausgangslage zur¨ uckzutreiben. Das betrachtete Volumenelement muss schwerer sein als die von ihm in der neuen Lage verdr¨ angte Fl¨ ussigkeit. Das spezifische Volumen der letzteren ist V (p′ , s′ ) (s′ : Gleichgewischtsentropie von z + ∆z). Stabilit¨ atsbedingung V (p′ , s′ ) − V (p′ , s) > 0

bzw.

1 ρ p′ s′

Diese Differenz entwickeln wir nach Potenzen von s′ − s =

ds ∆z dz

∆z > 0

V (p′ , s′ ) = V (p′ , s) + ∆s(∂s V )p

−

1 ρ p′ s

>0

¨ DAS FEHLEN DER KONVEKTION 2.4. BEDINGUNG FUR





∂V ∂s

ds >0 dz

p

23

(2.38)

Nach thermodynamischen Beziehungen gilt: 



∂V ∂s

= p



T cp

∂V ∂T



(2.39) p

cp : spezifische W¨ arme bei konstantem Druck p (cp = T (∂T S)p ) cp , T sind immer positiv

Deshalb kann man (2.38) umformen in: 



∂V ∂T

p

ds >0 dz

(2.40)

Die meisten Stoffe dehnen sich bei Erw¨ armung aus, d.h. 

∂V ∂T



>0 p

⇒ Das Fehlen der Konvektion bedeutet dass die Entropie mit der H¨ ohe zunimmt: ds >0 dz

(2.41)

Aus (2.41) kann man mit der thermodynamischen Relation (∂p s)T = −(∂T V )p eine Bedingung f¨ ur dT dz ableiten: dǫ = T ds − pdV

oder auch

also

ǫ(s, V )

⇒

⇒

⇒

ds = dz



∂s ∂T



p

dT + dz



∂s ∂p



T

ǫ(T, p) dǫ = ∂s ǫds + ∂V ǫdV T = (∂s ǫ)V

p = (∂V ǫ)s

(∂V T )p = −(∂s p)T

dp cp dT = − dz T dz



∂V ∂T



p

dp >0 dz

(2.42)

Außerdem gilt: ρ=−

1 dp g dz

⇒

gρ = −

dp dz

⇒

dp g =− dz V

(2.43)

¨ 24 KAPITEL 2. BILANZGLEICHUNGEN IDEALER FLUSSIGKEITEN (2.42) und (2.43) f¨ uhren zu: dT T 1 −
1 V



∂V ∂T





∂V ∂T



= gβ p

T cp

(2.44)

: Koeffizient der thermischen Ausdehnung p

F¨ ur ein ideales Gas gilt βT = 1, ergo: −

g dT < dz cp

(2.45)

atsbedingung. Konvektion wird bei Verletzung von (2.45) ist eine Stabilit¨ (2.45) auftreten, d.h. wenn die Temperatur in Richtung von unten nach oben abnimmt und ihr Gradient dabei den Wert cgp u ¨bersteigt. Anschaulich: ρgdz = dWgrav

− ρT ds = −dWtherm = −ρcp dT

⇒ Stabilit¨ at f¨ ur δWgrav > δWtherm

2.5

Die Bernoullische Gleichung

F¨ ur station¨ are Fl¨ ussigkeitsstr¨ omungen vereinfachen sich die Gleichungen der Hydrodynamik betr¨ achtlich: Unter einer station¨aren Str¨ omung versteht man eine Str¨ omung, bei der die Str¨ omgeschwindigkeit in jedem Punkt zeitlich konstant bleibt, d.h. ~v ist eine reine Ortsfunktion! Ergo: ∂~v =0 ∂t Gleichung (2.25) vereinfacht sich zu: 2 ~ ~ v − ~v × ∇ ~ × ~v = − ∇p ∇ 2 ρ

(2.46)

(→ Stromliniendefinition, Gleichung (1.8)) Multiplikation von (2.46) in jedem Punkt einer Stromlinie mit dem Einheitsvektor in Tangentenrichtung der Stromlinie, ~l, also die Projektion des Gradienten auf eine gewisse Richtung (auf die Stromlinien), ist gleich der in ~ dieser Richtung gebildeten Ableitung. Die gesuchte Projektion von − ∇p el ρ ·~ ist damit ~ · ~e −∇w   l ~ p · ~el −∇ ρ

falls Isentropie vorliegt, oder falls ρ = const.

2.5. DIE BERNOULLISCHE GLEICHUNG

25

~ × ~v steht senkrecht auf ~v , ⇒ seine Projektion auf die Der Vektor ~v × ∇ Richtung ~l ist gleich Null. Damit erhalten wir z.B. f¨ ur Isentropie: ∂ ∂l

v2 +w 2

!

=0

(2.47)

Es folgt, dass entlang einer Stromlinie gilt: v2 + w = const 2

(2.48)

Bernoulli-Gleichung ur verschiedene Stromlinien unterschiedlich. Die Konstante in (2.48) ist i.A. f¨ Erfolgt die Fluidstr¨ omung im Schwerefeld, so wird aus (2.47): ∂l

v2 +w+ϕ 2

!

=0

ϕ: Gravitationspotential

Bzw. mit ~g · ~l = −g∂l z ∂l

~ · ~l − g~ez · ~l = −g ∇z

v2 + w + gz 2

!

=0

Und damit also: v2 + w + gz = const 2 F¨ ur ρ=const, gilt: w=

(2.49)

p ρ

Und aus (2.49) wird damit: ρ

v2 + p + ρgz = const 2

(2.50)

Also der Energieerhaltungssatz. 2

ρ v2 ρgz p

: : :

kinetische Energiedichte potentielle Energiedichte potentielle Energiedichte der im Fluid wirkenden inneren Kr¨ afte

Allgemein ist (2.50) die Bernoulli-Gleichung f¨ ur station¨ are inkompressible Fluide.

¨ 26 KAPITEL 2. BILANZGLEICHUNGEN IDEALER FLUSSIGKEITEN Inkompressibilit¨ at bedeutet, dass die FEe w¨ ahrend ihrer Bewegung konstante Dichte behalten, also dt ρ = 0, somit ~ =0 ∂t ρ + ~v · ∇ρ und zudem wissen wir bereits: ~ · (ρ~v ) = 0 ∂t ρ + ∇ Nach Gleichung (2.21b) (Kapitel 2.2) gilt: ~ ∂t ρ = −~v · ∇ρ

Kontigleichung

⇒

~ · ~v = 0 ∇

~ · ~v = 0 sind also ¨ Inkompressibilit¨ at und ∇ aquivalent. Inkompressibilit¨ at + Station¨ arit¨ at → Homogenit¨ at Homogene, inkompressible Fluide k¨ onnen nur der station¨ aren Kontigleichung gen¨ ugen (ρ = const r¨ aumlich und zeitlich). Homogene, station¨ are Fluide sind inkompressibel. Die Bernoulli-Gleichung hat viele technische Anwendungen und erlaubt oft einen Einblick in komplexere Fluiddynamik. Zwei Beispiele a) Aufstau vor Hindernis Befindet sich in einer gleichf¨ ormigen Str¨ omung mit v0 ein Hindernis, so staut sich die Str¨ omung und zerteilt sich. Im Mittelpunkt (= Staupunkt) kommt die Str¨ omung v¨ ollig zur Ruhe. p1 : Druck am Staupunkt p1 p0 v02 +0= + ρ ρ 2

⇒

p1 = p0 + ρ

v02 2

Der Ausdruck

ρv02 2 heißt Staudruck, bzw. dynamischer Druck. p1 − p0 =

Gesamtdruck = statischer Druck + dynamischer Druck

2.5. DIE BERNOULLISCHE GLEICHUNG

27

b) Prandl’sches Staurohr

Am Staupunkt: ps = p∞ + ρ ⇒

2 v∞ 2

ps − p∞ = ρ

2 v∞ 2

⇒ Geschwindigkeitsmessung relativ zum Medium Achtung: Hier spielen H¨ ohenunterschiede keine Rolle, d.h. der hydrostatische Druck wird l¨ angs einer Stomlinie als konstant angenommen. Solche Umstr¨ omungsprobleme werden in Kapitel 3 noch ausf¨ uhrlicher behandelt. c) Str¨ omung u ¨ber ein Hindernis

Man betrachtet die Stromlinie an der Oberfl¨ ache. Die Flussmenge ist konstant, die Str¨ omung ist vertikal gleichm¨ aßig und in z-Richtung unendlich ausgedehnt. ρ = const. ρu0 h0 = u(x)h(x)ρ

(i)

¨ 28 KAPITEL 2. BILANZGLEICHUNGEN IDEALER FLUSSIGKEITEN Bernoulli: 1 1 p0 + ρu20 + ρgh0 = p0 + ρu2 (x) + ρg(h(x) + e(x)) 2 2

(ii)

p0 : atmosph¨ arischer Druck

∂x (i) ∂x (ii)

ρu(x)∂x h + ρh(x)∂x u = 0

(iii)

ρu(x)∂x u + ρg(∂x h + ∂x e) = 0

(iv)

Sei u20 − gh0 < 0 Fr < 1

p

Froude-Zahl: F r = √u(x)

gh(x)

gh(x): Geschwindigkeit von Schwereoberfl¨ achenwellen (siehe Kapitel Wellen)

Es existieren zwei Str¨ omungsformen bei x = xm : (iii) = (iv)

mit ∂x h = −

1 h(x)∂x u u(x)

1 ∂x u(−gh(x) + u2 (x)) + g∂x e = 0 u(x)

ergibt: (v)

L¨ osung 1: ∂x u|x=xm = 0

(iii)

→

∂x h|x=xm = 0

¨ D.h. hier wechselt die Anderung von h das Vorzeichen, die Schichtdicke w¨ achst also wieder an. F r bleibt < 1.

Gravitationsbestimmte L¨ osung

2.5. DIE BERNOULLISCHE GLEICHUNG

29

L¨ osung 2: u2 |x=xm = gh|x=xm D.h. ∂x u wechselt das Vorzeichen nicht, die Geschwindigkeit w¨ achst hinter xm also weiter an. Fr u ¨berschreitet den Wert 1 genau an der Stelle xm .

Tr¨ agheitssbestimmte L¨ osung

¨ Ubergang von einem zum anderen Regime am Maximum des Hindernisses. Experimentell: ¨ Man ver¨ andert u0 , bis man an xm den Ubergang F r ≥ 1 erreicht: u(xm )h(xm ) = u0 = h0 da

u(xm ) =

q

√

gh(xm ) f¨ ur

3

gh 2 (xm ) h0

(vi)

Fr = 1 an x = xm

Anmerkung: Eine direkte L¨ osung der algebraischen Gleichungen ist auch m¨ oglich (3. Ordnung Polynom). → Froude.mws

¨ 30 KAPITEL 2. BILANZGLEICHUNGEN IDEALER FLUSSIGKEITEN

2.6

Die Energiestromdichte / Die Energiebilanzgleichung

Wir w¨ ahlen irgendein festes Volumenelement und bestimmen, wie sich die Energie im Laufe der Zeit ¨ andert. Energie pro Volumeneinheit der Fl¨ ussigkeit: v2 2 |{z}

ρ

+

kinetische Energie

ρǫ |{z}

innere Energie

(ǫ: innere Energie der Fl¨ ussigkeit pro Masseneinheit) ¨ Die Anderung dieser Energie ergibt sich aus: "

#

v2 ∂ ρ + ρǫ ∂t 2 ∂ v2 ρ ∂t 2 Mit Konti.-Gleichung und Euler-Gleichung ergibt sich: ∂ ∂t

ρv 2 2

!

: :

=−

!

∂ρ ∂t ∂~v ∂t

=

∂~v v 2 ∂ρ + ρ~v · 2 ∂t ∂t

(2.51)

~ · (ρ~v ) = 0 +∇ ~ v = − 1 ∇p ~ + (~v · ∇)~ ρ

v2 ~ ~ − ρ~v · (~v · ∇)~ ~ v ∇ · (ρ~v ) − ~v · ∇p 2

(2.52)

Es ist

~ v = ~v ∇v ~ 2 ~v · (~v · ∇)~ 2 und den Druckgradienten ersetzen wir mit der thermodynamischen Beziehung: 1 dw = T ds + dp ρ dp = ρdw − ρT ds

→

~ = ρ∇w ~ − ρT ∇s ~ ∇p

(2.53)

Also: ∂t

v2 ρ 2

!

v2 ~ ~ =− ∇ · (ρ~v ) − (ρ~v ) · ∇ 2

!

v2 ~ + w + ρT~v · ∇s 2

(2.54)

Es bleibt ∂t (ρǫ) zu betrachten: dǫ = T ds − pdV = T ds +

p dρ ρ2

(2.55)

2.6. DIE ENERGIESTROMDICHTE / DIE ENERGIEBILANZGLEICHUNG31 mit ǫ = w − pV = w −

p ρ

folgt (w: spezifische Enthalpie):

d(ρǫ) = ǫdρ + ρdǫ     p p dρ + ρ T ds + 2 dρ = w− ρ ρ = wdρ + ρT ds

(2.56)

und damit: ∂t (ρǫ) = w∂t ρ + ρT ∂t s ~ · (ρ~v ) = − w∇ |

{z

~ ρT~v · ∇s

−

}

|

→ Konti-Gleichung

{z

(2.57)

}

→ dt s = 0

Adiabatengleichung, (2.20)

Zusammenfassend ergibt sich f¨ ur die Energie¨ anderung: #

"

"

"

#

2 v2 ∂ ρv 2 ~ · (ρ~v ) − ρ~v · ∇ ~ v +w + ρǫ = − +w ∇ ∂t 2 2 2

#

(2.58)

~ · (F A) ~ = F∇ ~ ·A ~+A ~ · ∇F ~ erh¨ Mit ∇ alt man f¨ ur die Energie¨ anderung die Bilanzgleichung: "

#

"

∂ ρv 2 ~ · ρ~v + ρǫ = −∇ ∂t 2

v2 +w 2

!#

(2.59)

Die Bedeutung dieser Gleichung ergibt sich durch Integration u ¨ber irgendein Volumen: ∂ ∂t

Z

!

ρv 2 + ρǫ dV = − 2

Z

"

v2 +w 2

~ · ρ~v ∇

!#

dV

(2.60)

Rechte Seite von (2.60) ⇒ Oberfl¨ achenintegral Ergo: ∂ ∂t

Z

!

ρv 2 + ρǫ dV = − 2

Energie¨ anderung der Fl¨ ussigkeit pro Zeiteinheit in einem gegebenem Volumen

I

ρ~v

Energiemenge, die pro Zeiteinheit aus dem betrachteten Volumen herausfließt

Damit ist ~jE = ρ~v

!

v2 + w df~ 2

v2 +w 2

!

(2.61)

¨ 32 KAPITEL 2. BILANZGLEICHUNGEN IDEALER FLUSSIGKEITEN der Vektor der Energiestromdichte. Sein Betrag gibt die Energiemenge an, die pro Zeiteinheit durch eine zur Richtung der Geschwindigkeit senkrechten Fl¨ acheneinheit aua einem Volumenelement fließt. 2 Die Fl¨ ussigkeit f¨ uhrt pro Masseneinheit bei der Bewegung die Energie w+ v2 mir sich. Warum betrachten wir die Enthalpie und nicht einfach die Energie ρǫ? Wir setzten w = ǫ + ρp . Der gesamte Energiestrom durch die geschlossene Fl¨ ache ist dann: −

I

~jE df~ = − = −

I

I

ρ~v

!

v2 + ǫ df~ − 2 v2 2 |{z}

ρ~v (

+

I

p ρ~v df~ ρ

ǫ |{z}

)df~ −

innere

kinetische

I

p~v df~ (2.62)

Energie-

Energie-

Dichte

Dichte

H 2 − ρ~v ( v2 + ǫ)df~: Energie, die mit der Masse der Fl¨ ussigkeit (pro Zeiteinheit)unmittelbar durch die Oberfl¨ ache transportiert wird. H

− p~v df~: Arbeit, die von Druckkr¨ aften an der Fl¨ ussigkeit innerhalb der Fl¨ ache pro Zeiteinheit geleistet wird.

2.7

Erhaltung der Zirkulation und die Helmholtzschen Wibels¨ atze

Das Integral Γ=

I

C

~v · d~s

(2.63)

u ¨ber eine geschlossene Kurve C heißt Zirkulation. Verschwindet Γ u omung wirbelfrei, da: ¨berall im Fluid, so ist die Str¨ ~ × ~v = lim 1 ~n · ∇ F →0 F

I

C

~v · d~s

~n: Normalenvektor in einem Punkt innerhalb der durch C berandeten Fl¨ ache

(2.64)

¨ 2.7. ERHALTUNG DER ZIRKULATION UND DIE HELMHOLTZSCHEN WIBELSATZE33 Eine wirbelfreie Str¨ omung ist eine Potentialstr¨ omung. Eine Potentialstr¨ omung kann endliche Zirkulation aufweisen, da die EulerGleichung nur f¨ ur einfach zusammenh¨ angende Punktmengen/Gebiete, also Punktmengen, bei denen jede Fl¨ ache jeder geschlossenen Linie noch ganz in der Punktmenge liegt, g¨ ultig ist. Wirbel in idealen Fl¨ ussigkeiten Γ ist mit der Verwirbelung der Fl¨ ussigkeit verkn¨ upft:

Γ 6= 0

Γ=0

Satz von Stokes: Γ=

I

~v d~s =

Z

~ × ~v dF~ ∇

Doch Vorsicht: Stokes gilt nur in einfach zusammenh¨ angenden Bereichen, d.h. eine von einer im Bereich liegenden Kurve umschlossene Fl¨ ache liegt ihrerseits ganz in diesem Bereich. ⇒ ~ × ~v = 0 u Wenn Γ = 0, dann auch ∇ ¨berall, ~ × ~v = 0 u doch wenn ∇ ¨berall im Gebiet, kann trotzdem Γ 6= 0 sein! Beispiel:

In wirbelfreien Str¨ omungen ist Γ konstant auf Kurven, die durch Verformung ineinander u ¨bergehen (gleiche Typologie).

¨ 34 KAPITEL 2. BILANZGLEICHUNGEN IDEALER FLUSSIGKEITEN I

C1

~v d~s −

I

~v d~s +

C2

Z l

wirbelf rei

=

Z

C

~v d~s −

Z

~v d~s

l

~ × ~v dF~ = 0 ∇

C: Ganze Fl¨ ache, einfach zusammenh¨ angend

“Die” Zirkulation, unabh¨ angig von der Kurve!

⇒

I

C1

~v d~s =

I

~v d~s

C2

Beispiel: 



0   ~v =  v0  0  

~v = 

0 v0 r

0

  

~ × ~v = 1 ∂(rv0 ) = v0 ∇ r ∂r r

Wirbelfeld

~ × ~v = 1 ∂ v0 = 0 kein Wirbelfeld? ∇ r ∂r

Vorsicht: Im Ursprung divergiert der zweite Ausdruck, die gesamte Wirbelst¨ arke ist im Zentrum vereinigt!

⇒ einfach zusammenh¨ angend

~ ×~v 6= 0 wenn der “Mittelpunkt” eingeschlossen wird, das ist im folgenden ∇ zweifach zusammenh¨ angendem Beispiel nicht der Fall:

⇒ zweifach zusammenh¨angend

¨ 2.7. ERHALTUNG DER ZIRKULATION UND DIE HELMHOLTZSCHEN WIBELSATZE35

Γ=

I

~v d~s = 2πr

C

v0 = 2πv0 r

~ × ~v = 0)! Endliche Zirkulation aber gleich f¨ ur alle r (da ∇ ¨ Die vorangehenden Uberlegungen f¨ uhren zur Definition der Wirbelst¨ arke: 1~ × ~v ω ~ = ∇ 2 Beispiel: Starre Rotation 



0   ~v =  Ωr  0

Ω = const.

1~ 11 11 ∂ ω ~ = ∇ (rΩr) = Ω2r = Ω × ~v = 2 2 r ∂r 2r (daher auch das

1 2

in der Definition)

ω ~ ist die “Quelle” der Wirbelstr¨ omung Einnerung: Vektorfelder k¨ onnen Wirbel- und Potentialanteile haben (Helmholtz’sches Theorem): Beispiel Elektrostatik: Beispiel Magnetfeld: Beispiel Elektrodynamik:

~ = −∇Φ ~ ~ ×E ~ =0 E ⇒ ∇ ~ =∇ ~ ×A ~ ⇒ ∇ ~ ·B ~ =0 B ~ ~ = −∇Φ ~ − ∂ A ⇒ beide Anteile! E ∂t

Untersuchung der zeitlichen Entwicklung von Γ in isentropen Fluiden mit Hilfe des Konzepts der fl¨ ussigen Linie zeigt, dass Teilchen, die die geschlossene Linie C zum Zeitpunkt t = t0 konstituieren, dies auch zum Zeitpunkt t > t0 tun, sie d¨ urfen sich aber bewegen und somit bewegt/verformt sich auch die Kurve. Was passiert mit der Zirkulation l¨ angs dieser Kurve? Wir berechnen dazu dΓ d = dt dt Hier

d , dt

I

~v · ~s

¨ weil wir die Anderung l¨ angs einer Fl¨ ussigkeitskurve suchen und nicht l¨ angs einer Kurve, die im Raum festliegt.

(2.65)

¨ 36 KAPITEL 2. BILANZGLEICHUNGEN IDEALER FLUSSIGKEITEN Bei der zeitlichen Differentiation dieses Integrals ist zu beachten, dass sich nicht nur ~v , sondern auch die Kurve selbst (d.h. deren Gestalt) ¨ andert, ergo: d dt

I

C

~v · d~s =

I

d~v · d~s + dt

I

~v ·

dd~s dt

(2.66)

Die Geschwindigkeit ~v ist nichts anderes als die Zeitableitung des Ortsvektors: ~v ·

dd~s d~s v2 = ~v · d = ~v · d~v = d dt dt 2

(2.67)

Das Integral u andiges Differential l¨ angs einer geschlossenen ¨ber ein vollst¨ Kurve ist jedoch gleich Null. Deshalb verschwindet das zweite der aufgeschriebenen Integrale. Es bleibt mit dem Satz von Stokes: d dt

I

~v · d~s =

I

d~v · d~s = dt

Z 

~ × d~v ∇ dt



· df~

(2.68)

Wir setzten f¨ ur die Beschleunigung die Euler-Gleichung f¨ ur isentrope Str¨ omungen ein (2.23): d~v ~ = −∇w dt ~ × (∇w) ~ Da ∇ = 0 erhalten wir: Z 

~ × d~v ∇ dt



· df~ = 0

ultig: Zur¨ uck zu (2.63) ergibt sich endg¨ d dΓ = dt dt bzw.

Γ=

I

I

~v · d~s = 0

~v · d~s = const

(2.69)

Satz von Thomson In einer idealen Fl¨ ussigkeit ¨ andert sich die Zirkulation l¨ angs einer geschlossenen Kurve zeitlich nicht! ~ = 0). Das gilt auch f¨ ur inkomressible homogene Fluide (∇ρ F¨ ur isentrope und inkompressible homogene Str¨ omungen gilt also: dΓ =0 dt

¨ 2.7. ERHALTUNG DER ZIRKULATION UND DIE HELMHOLTZSCHEN WIBELSATZE37 Die Helmholtzschen Wirbels¨ atze Wir betrachten Wirbel in inkompressiblen idealen Fl¨ ussigkeiten. Wirbelvektor: 1~ ω ~ = ∇ × ~v 2

(2.70)

|~ ω |: Winkelgeschwindigkeit der lokalen Rotation eines FEes Das Wirbelfeld wird durch die Wirbellinien veranschaulicht, deren Tangenten u ~ haben. ¨berall die Richtung des Wirbelvektors ω 1~ ~ ~ ·ω ∇ ~ = ∇ · ∇ × ~v = 0 2

(2.71)

Wirbellinien im Inneren von Fl¨ ussigkeiten k¨ onnen weder anfangen noch enden. Es gibt also weder Quellen noch Senken. Sie bilden entweder geschlossene Kurven oder f¨ uhren zu den Begrenzungen der Fl¨ ussigkeit. Wirbelr¨ ohre: Schlauchartige Fl¨ ache, die von Wirbellinien gebildet wird.

Eine Wirbelr¨ ohre mit kleinem Querschnitt nennt man Wirbelfaden. Wir betrachten einen Teil einer Wirbelr¨ ohre, d.h. ein Volumen, das durch zwei Querschnitte F1 und F2 sowie die Mantelfl¨ ache begrenzt wird. Einschub zur Terminologie ~ × ~v heißt oftmals Wirbeldichtevektor. ω ~ˆ = ∇ Der Faktor 12 in (2.71) ist folgenermaßen zu motivieren: Man betrachtet die Rotation eines FEes in der x-y-Ebene um die z-Achse mit der Winkel~ Dann hat ~v = Ω ~ × ~r in Zylinderkoordinaten die Komponenten vr = 0, geschwindigkeit Ω. vθ = Ωr, vz = 0, also ~ × ~v = (∂r vθ + vθ )~ez = 2Ω~ez ∇ r

¨ 38 KAPITEL 2. BILANZGLEICHUNGEN IDEALER FLUSSIGKEITEN F¨ ur die Integration u ache ergibt sich mit dem Satz ¨ber eine ganze Oberfl¨ von Gauss: Z

ω ~ · df~ =

Z

~ ·ω ∇ ~} dV = 0 | {z

(2.72)

ω ~ · df~ = 0

(2.73)

=0

ω ~ liegt per Definition der Wirbelr¨ ohre in der Mantelfl¨ ache. df~ (auf der Mantelfl¨ ache) ist stets senkrecht zu ω ~. ⇒ Nur die Querschnittsfl¨ achen tragen zum Oberfl¨ achenintegral bei: Z

F1

ω ~ · df~ +

Z

F2

df~ ist aber stets nach Aussen gerichtet! ⇒ Der Wirbelfluss ist in allen Querschnittsfl¨ achen der R¨ ohre derselbe F¨ ur einen Wirbelfaden gilt: |~ ω1 |f1 = |~ ω2 |f2

(2.74)

Der Querschnitt ist so klein, dass |~ ω | konstant an der Querschnittsfl¨ ache ist. In einem Wirbelfaden ist die Drehgeschwindigkeit an verschiedenen Stellen ∼

1 Querschnitt

Z.B. Tornados, Hurrikans... Anders gesagt: Mit (2.71): ~ × ~v | Wirbelst¨ arke: 2|~ ω |f = f |∇ Also ist sie l¨ angs des Wirbelfadens konstant. F¨ ur die Zirkulation um eine Wirbelr¨ ohre folgt nach dem Satz von Stokes: Z

offene Fl¨ ache/Querschnitt

1 ω ~ · df~ = 2

Z

~ × ~v ) · df~ = 1 (∇ 2

I

1. Helmholtzsche Gleichung

~v · d~s =

Γ 2

(2.75)

¨ 2.7. ERHALTUNG DER ZIRKULATION UND DIE HELMHOLTZSCHEN WIBELSATZE39 Die Zirkulation um eine Wirbelr¨ ohre ist also an allen Stellen gleich groß andererseits ist der Wirbelfluss einer Wirbelr¨ ohre zeitlich konstant ((2.69), Satz von Thomson, dt Γ = 0). ¨ Zeitliche Anderung von Wirbeln / Helmholtzsche Wirbelgleichung Mit der Euler-Gleichung in der Form (2.23) sowie den ¨ außeren Kr¨ aften in ~ (konservative Kr¨ der Form f = −∇u afte) ergibt sich f¨ ur inkompressible Fl¨ ussigkeiten (ρ = const): ∂~v ~ v 2 ~ × ~v ) = −∇(u ~ + p) + ∇ − ~v × (∇ ∂t 2 ρ Bilden wir davon die Rotation, verwenden ω ~ = ~ ~ ∇ × ∇f unktion = 0 ist, so erhalten wir:

1~ 2∇

(2.76)

× ~v (2.71) und dass

∂~ ω ~ − ∇ × (~v × ω ~) = 0 ∂t

(2.77)

Im Fall von Inkompressibilit¨ at gilt: ~ · ~v = 0 und auch ∇ ~ ·ω ∇ ~ =0 ⇒

~ × (~v × ω ~ ·ω ~ · ~v )~ ~ v − (~v · ∇)~ ~ ω ∇ ~ ) = (∇ ~ )~v − (∇ ω + (~ ω · ∇)~ ~ v − (~v · ∇)~ ~ ω = (~ ω · ∇)~

(2.78)

(2.78) eingesetzt in (2.77): ∂~ ω ~ ω = (~ ~ v + (~v · ∇)~ ω · ∇)~ ∂t

(2.79)

2. Helmholtzsche Gleichung Oder: d~ ω ~ v = (~ ω · ∇)~ dt

(2.80)

Falls ein FE zu irgendeiner Zeit ω ~ = 0 hat, wird es in einer inkompressiblen idealen Fl¨ ussigkeit auch kein ω ~ erhalten. Wirbel k¨ onnen in einer inkompressiblen idealen Fl¨ ussigkeit weder entstehen noch vergehen. Die Wirbelst¨ arke einer Wirbelr¨ ohre hat auf ihrer gesamten L¨ ange und zu allen Zeiten den gleichen Wert. In Wirklichkeit jedoch entstehen und vergehen Wirbel doch.

¨ 40 KAPITEL 2. BILANZGLEICHUNGEN IDEALER FLUSSIGKEITEN Sind Reibungskr¨ afte eine m¨ ogliche Ursache? Leider nein, denn die obigen Betrachtungen gelten auch f¨ ur Fl¨ ussigkeiten mit Reibung (Euler → Navier-Stokes). Wirbel k¨ onnen nur u achen in die Fl¨ ussigkeit einwandern. An ¨ber die Randfl¨ den W¨ anden entstehen und vergehen bei z¨ ahen Fl¨ ussigkeiten Haftkr¨ afte, die Wirbel verursachen. Mit Viskosit¨ at lautet die Bewegungsgleichung f¨ ur den Wirbelvektor (2.79): ~ ω = (~ ~ v + ν∆~ ∂t ω ~ + (~v · ∇)~ ω · ∇)~ ω ν: Kinematische Viskosit¨ at, siehe sp¨ ater.

(2.81)

Kapitel 3

Die Potentialstr¨ omungen Eine Str¨ omung, f¨ ur die im ganzen Raum gilt ~ × ~v = 0 ∇ heißt Potentialstr¨ omung bzw. wirbelfreie Str¨ omung. Wegen dt Γ = dt

I

C

~v · d~s = 0

(Satz von Thomson) folgt, dass eine Potentailstr¨ omung f¨ ur alle Zeiten eine solche bleibt. Aber: L¨ angs einer Stromlinie, die entlang der Oberfl¨ ache eines umstr¨ omten K¨ orpers verl¨ auft, gibt es keine geschlossene Kurve C, die die Stromlinie vollst¨ andig umschließt. → Hier ist der Thomsonsche Satz / Helmholtzsche Wirbelsatz nicht anwendbar. In d¨ unnen Grenzschichten um umstr¨ omte K¨ orper ist die Str¨ omung i. A. keine Potentialstr¨ omung, → Wirbelbildung, Instabilit¨ aten von viskosen Grenzschichten. Von Interesse ist jedoch, dass bei K¨ orpern mit Stromlinienform die Abweichung von einer Potentialstr¨ omung nur sehr nahe der Oberfl¨ ache und in einer engumgrenzten Region hinter dem K¨ orper auftritt. Wir betrachten stetige Potentialstr¨ omungen in idealen Fl¨ ussigkeiten mit isentropen Bewegungen. Ist die Str¨ omung wirbelfrei, so kann das Geschwindigkeitsfeld aus dem Geschwindigkeitspotential Φ abgeleitet werden: ~ ~v = ∇Φ 41

(3.1)

¨ KAPITEL 3. DIE POTENTIALSTROMUNGEN

42

Die Euler-Gleichung (2.25) verliert f¨ ur eine solche Str¨ omung den Beitrag ~ ~v × (∇ × ~v ), also: ! v2 ~ ∂t~v = −∇ w + 2 ~ Lassen sich die ¨ außeren Kr¨ afte f~ aus einem Potential ableiten, also f~ = −∇u, so lautet die Euler-Gleichung: ~ ∇Φ) ~ 2 = −∇(u ~ + w) ~ ∂Φ + 1 ∇( ∇ ∂t 2

(3.2)

Ein allgemeines Integral dieser Gleichung ist: ∂Φ ~v 2 + + u + w = f (t) ∂t 2

(3.3)

f (t): Beliebige Zeitfunktion, kann o.B.d.A. gleich Null gesetzt werden, denn das Geschwindigkeitspotential ist ebenfalls nur bis auf eine Zeitfunktion bestimmt. Setzen wir Φ′ = Φ +

Z

f (t)dt

(3.4)

so ¨ andert sich ~v nicht: ~ = ∇Φ ~ ′ ~v = ∇Φ

(3.5)

∂Φ′ ~v 2 + +u+w =0 ∂t 2

(3.6)

Wir erhalten:

Bernoulli-Gleichung f¨ ur nichtstation¨ are Str¨ omungen

F¨ ur eine station¨ are Str¨ omung kann Φ auch zeitunabh¨ angig gew¨ ahlt werden, d.h. ∂t Φ = 0. (3.6) geht dann u ¨ber in die Bernoulli-Gleichung (siehe (2.48), (2.49)): ~v 2 + u + w = const 2

(3.7)

Achtung! Die Aussage der Bernoulli-Gleichung ist unterschiedlich f¨ ur eine Potentialstr¨ omung und f¨ ur eine Str¨ omung, die nicht wirbelfrei ist. I.A. lautet die Bernoulli-Gleichung l¨ angs einer Stromlinie: ~v 2 + u + w = const 2

43 Sie variiert jedoch i.A. von Stromlinie zu Stromlinie. F¨ ur eine Potentialstr¨ omung hat aber ~v 2 +u+w 2 im ganzen Fl¨ ussigkeitsbereich den gleichen Wert. Dieser Umstand gibt der Bernoulli-Gleichung bei Potentialstr¨ omungen eine besondere Bedeutung. Wir betrachten nun inkopressible Fl¨ ussigkeiten. Wegen der Konstanz der Dichte in einer inkompressiblen Fl¨ ussigkeit verein~ facht sich die Konti-Gleichung zu ∇ · ~v = 0. Dies wird f¨ ur eine Potentialstr¨ omung zu: ∆Φ = 0

(3.8)

Die elliptische DGL (3.8) muss noch durch Randbedingungen erg¨ anzt werden, die Angaben u achen, mit denen die ¨ber die Geschwindigkeit an den Fl¨ Fl¨ ussigkeit in Ber¨ uhrung kommt, enthalten. Da die Fl¨ ussigkeit nicht durch die W¨ ande hindurchtritt, muss die Normalkomponente vn des Geschwindigkeitfeldes mit der Geschwindigkeit, mit der sich die Fl¨ ache in Richtung ihrer Normalen bewegt, u ¨bereinstimmen. ~ = ∂Φ vn = ~n · ~v = ~n · ∇Φ ∂n

(3.9)

Normalableitung des Geschwindigkeitspotentials Oder mit einer Funktion von Raum und Zeit s(~r, t):

∂Φ = sσ (~r, t) ∂n σ

(3.10)

Der Index σ soll andeuten, dass es sich um eine Funktion handelt, die l¨ angs der Fl¨ ussigkeitsoberfl¨ ache zu ber¨ ucksichtigen ist. Unter welchen Bedingungen kann eine Str¨omung als inkompressibel angesehen werden? Bei einer adiabatischen Druck¨ anderung ¨ andert sich die Dichte der Fl¨ ussigkeit: ∆ρ =



∂ρ ∂p



∆p

(3.11)

s

Adiabatische Zustandsgleichung: dt (p/ργ ) = 0 Nach der Bernoulli-Gleichung gilt f¨ ur die Drukschwankungen in einer station¨ aren Str¨ omung: ∆p ∼ ρv 2

¨ KAPITEL 3. DIE POTENTIALSTROMUNGEN

44

Die Thermodynamik zeigt: 

∂ρ ∂p



s

= c−2 s

cs : Schallgeschwindigkeit

Ergo: ∆ρ ∼ ρ

v2 c2s

(3.12)

Inkompressibilit¨ at

⇔

∆ρ ≪ ρ

Also f¨ ur station¨ are Str¨ omungen: v ≪ cs F¨ ur nicht-station¨ are Str¨omungen: ¨ τ , l: Zeiten und L¨ angen der charakteristischen Anderungen Nach Euler ist: ∂~v ∇ ~= p ∼ ∂t ρ

mit ∆ρ ∼

⇒

v ∆p ∼ τ lρ

1 ∆p c2s

folgt

oder

∆ρ ∼

∆p ∼

ρvl τ

lρv τ c2s

(3.13)

Nun zur Kontigleichung: mit

ρ v =ρ τ l

∆ρ ≪ 1 folgt ρ

und

∆ρ v ≪ρ τ l und damit mit (3.13): τ≫

l cs

|{z}

Schallzeit

F¨ ur Inkompressibilit¨ at gilt also:

τ ≫ Schallzeit v ≪ Schallgeschwindigkeit Aber: Bei einer Schallwelle (Beispiel f¨ ur kompressible Hydrodynamik) ist ∆ρ klein, aber τl = cs .

45 H¨ angt das Geschwindigkeitsfeld eines bewegten Fluids nur von zwei Koordinaten (x,y) ab und erfolgt die Bewegung parallel zur x-y-Ebene, so nennt man die Str¨ omung zweidimensional oder eben. Zur Behandlung von 2D-Str¨ omungsproblemen inkompressibler Fluide ist die Einf¨ uhrung der Stromfunktion n¨ utzlich: Anhand der Kontigleichung ~ · ~v = ∂vx + ∂vy = 0 ∇ ∂x ∂y erkennt man, dass die Geschwindigkeitskomponenten auch als Ableitungen geschrieben werden k¨ onnen: ∂vx ∂vy =− ∂x ∂y

vx =

∂ψ ∂y

vy = −

∂ψ ∂x

(3.14)

Dabei ist ψ(x, y) die Stromfunktion. Sie erf¨ ullt automatisch die Kontigleichung. Bilanzgleichung f¨ ur die Stromfunktion Einsetzen von (3.14) in (2.26) (Rotation der Eulergleichung; inkompressibel) ergibt: ∂ ∂ψ ∂ ∂ψ ∂ ∆ψ − ∆ψ + ∆ψ = 0 ∂t ∂x ∂y ∂y ∂x

(3.15)

Kennt man die Stromfunktion, so kennt man auch die Stromlinien f¨ ur eine station¨are Str¨ omung! DGL f¨ ur Stromlinien (ebene Str¨ omung): dy dx = vx vy

(3.16)

vy dx − vx dy = 0

(3.17)

Oder:

⇒ Tangente an eine Stromlinie stimmt in jedem Punkt mit der Richtung der Geschwindigkeit u ¨berein! Setzt man vx und vy aus (3.14) ein, so erh¨ alt man als totales Differential f¨ ur station¨ are Str¨ omung: dψ = ∂x ψdx + ∂v ψdy = 0

(3.18)

¨ KAPITEL 3. DIE POTENTIALSTROMUNGEN

46

⇒ ψ = const. Die Stromlinien bilden eine Kurvenschar, die man erh¨ alt, wenn man die Stromfunktion ψ(x, y) = const setzt. An der Oberfl¨ ache eines umstr¨ omten K¨ orpers muss vj = 0 gelten (Geschwindigkeit darf nicht in den K¨ orper eindringen). Die K¨ orperberandung f¨ allt mit der Stromlinie zusammen, die Stromfunktion muss dort konstant sein. Ein Problem sind dabei die Randschichten (Viskosit¨ at). Leistungsf¨ ahige Methoden zur Berechnung von Potentialstr¨ omungen inkompressibler Fluide um Hindernisse liefert die Funktionentheorie. Die Grundlage f¨ ur diese Anwendung besteht im Folgenden: Das Potential und die Stromfunktion h¨ angen mit den Geschwindigkeitskomponenten folgendermaßen zusammen (Die Existenz der Stromfunktion h¨ angt nur mit der ebenen Str¨ omung zusammen, es wird nicht gefordert, dass eine Potentialstr¨ omung vorliegt): vx =

∂Φ ∂ψ = ∂x ∂y

vy =

∂Φ ∂ψ =− ∂y ∂x

(3.19)

Vom mathematischen Standpunkt entspricht (3.19) den Cauchy-Riemannschen DGLn. Diese Gleichungen sind die Bedingung daf¨ ur, dass der komplexe Ausdruck w = Φ + iψ = f (z)

(3.20)

eine differentierbare Funktion des Argumentes z = x + iy ist. Die Funktion w(z) muss dann in jedem Punkt eine bestimmte Ableitung haben: ∂f ∂z ∂Φ ∂ψ ∂w = = f ′ (z) = +i = vx − ivy (3.21) dz w = ∂x ∂z ∂x ∂x ∂x ∂w ∂f ∂z ∂Φ ∂ψ idz w = = = if ′ (z) = +i = vy + ivx ∂y ∂z ∂y ∂y ∂y Durch Elimination von f ′ (z) =

df dz

gelangen wir zur Gleichung: 

∂Φ ∂ψ ∂ψ ∂Φ − + +i ∂x ∂y ∂x ∂y

|

{z

Realteil

}

|

{z



=0

(3.22)

}

Imagin¨ arteil

Das Verschwinden einer komplexen Zahl bedeutet: Realteil = 0

⇒

Imagn¨ arteil = 0

⇒

∂Φ ∂x ∂Φ ∂y

∂ψ ∂y ∂ψ = − ∂x =

(3.23) (3.24)

47 Das sind die Cauchy-Riemannschen DGLn. Aus ihnen folgt sofort: ∂2Φ ∂2Φ + =0 ∂x2 ∂y 2

∂2ψ ∂2ψ + =0 ∂x2 ∂y 2

(3.25)

Laplace-Gleichungen Explizit: Zwei unterschiedliche Bedingungen: ~ × ~v = 0 ∇ ?

Φ

~ · ~v = 0 ∇

S  S S /  w S

∆Φ = 0

?

ψ ∆ψ = 0

Außerdem kann man, indem man (3.23) mit ∂x ψ aus (3.24) multipliziert, zeigen: ∂Φ ∂ψ ∂Φ ∂ψ ~ ~ + = (∇Φ) · (∇ψ) =0 ∂x ∂x ∂y ∂y

(3.26)

(3.26) dr¨ uckt aus, dass die 2-dimensionalen Kurvenscharen Φ(x, y) = const

ψ(x, y) = const

(3.27)

orthogonal zueinander sind! Die Funktion w = Φ + iψ heißt komplexes Geschwindigkeitspotential. dw dz heißt komplexe Geschwindigkeit. In der Gaussschen Zahlenebene gilt: dw = veiϑ dz |dz w| =

q

ϑ= ˆ 6 (~v , ~ex )

(∂x Φ)2 − (∂y ψ)2 =

q

vx2 + vy2

Kurzer Ausflug in die Funktionentheorie und zur Bedeutung des Residuensatzes Cauchyscher Integralsatz: I

f (z)dz = 0

C

C: beliebiger geschlossener Weg f (z) differenzierbar

(3.28)

¨ KAPITEL 3. DIE POTENTIALSTROMUNGEN

48

Dabei ist das komplexe Kurvenintegral ellen Kurvenintegralen aufgebaut:

H

f (z)dz allgemein aus zwei re-

f (z) = u(x, y) + iv(x, y) I

=

I

f (z)dz =

I

(u(x, y) + iv(x, y))(dx + idy) I

(u(x, y)dx − v(x, y)dy) + i

(v(x, y)dx + u(x, y)dy)

(3.29)

Cauchysche Integrationsformel (bedingt durch den Cauchyschen Integralsatz): f (z0 ) = f

(n)

(z0 ) =

1 2πi n! 2πi

I

(3.30)

C

f (z) dz z − z0

I

f (z) dz (z − z0 )n+1

(3.31)

C

Ist f (z) analytisch (differenzierbar) in einem Gebiet zwischen zwei konzentrischen Kreisen um z0 , so ist f (z) in einer Laurent-Reihe entwickelbar: f (z) =

∞ X

k=−∞

ak (z − z0 )k

Und zwar mit den Koeffizienten: 1 ak = 2πi

I

f (z) (z − z0 )k+1

(3.32)

Falls f (z) eine Singularit¨ at in z0 hat, dann gilt: a−1 = =

1 2πi

I

f (z)dz = Res[f (z), z0 ]

C um z0

1 dm−1 lim [(z − z0 )m f (z)] (m − 1)! z→z0 dz m−1

(3.33)

Letzteres gilt, falls f (z) in z0 einen m-fachen Pol besitzt (an = 0, n < −m). Es handelt sich hierbei um eine n¨ utzliche Rechenvorschrift f¨ ur die BerechH nung des Integrals f (z). Residuensatz f (z) sei analytisch außer in singul¨ aren Punkten zr (r = 1, 2, . . .), dann gilt: I

C

f (z)dz = 2πi

X r

Res[f (z), zr ]

(3.34)

49 Damit lassen sich komplizierte komplexe Integrale einfach durch Berechnung der Residuen an ihren singul¨ aren Stellen berechnen. Beispiele: c i) f (z) = z−z , Pol 1. Ordnung in z = z0 0 I

ii) f (z) = 1 2πi

I



c c = 2πiRes , z0 z − z0 z − z0 eiz , z 2 +z02

eiz z 2 + z02



3.33

= 2πi(z − z0 )

c = 2πic z − z0

Pol 1. Ordnung in z = ±iz0 "

#

"

eiz eiz = Res 2 , iz , −iz0 + Res 0 z + z02 z 2 + z02 = =

lim

z→iz0

lim

z→iz0

eiz (z − iz0 ) 2 z + z02

!

+ lim

z→−iz0

#

eiz (z + iz0 ) 2 z + z02

!

eiz e−z0 ez0 eiz + lim = − z + iz0 z→−iz0 z − iz0 2iz0 2iz0

Ebene Str¨ omung um ein Hindernis Sie ist invariant in einer Richtung (w¨ ahle kartesische z-Komponente). Man legt den Koordinatenursprung in den Schwerpunkt des Hindernisses, d.h. die Str¨ omungsgeschwindigkeit ist im Unendlichen konstant. lim v = const

x,y→∞

Die Terme z m , m > 0 kommen nicht vor. Wenn dw dz um z0 = 0 analytisch ist, so gilt: ∞ X dw an = dz zn n=0

(3.35)

∞ X

(3.36)

Integration von (3.35) liefert: w(z) = a0 z + a1 ln z −

an (n − 1)z n−1 n=2

lim w(z) = lim a0 z

|z|→∞

dw = vx − ivy dz

|z|→∞

⇒

a0 = vx∞ − ivy∞

(3.37)

(3.38)

¨ KAPITEL 3. DIE POTENTIALSTROMUNGEN

50

a0 ist die komplexe Geschwindigkeit im Unendlichen. Auch der Koeffizient a1 hat eine physikalische Bedeutung. Integration von dz w u ¨ber den Rand einer zur x-y-Ebene parallelen Schnittfl¨ ache des umstr¨ omten K¨ orpers: I

dz wdz = =

I

I |

(vx − ivy )(dx + idy) (vx dx + vy dy) +i H {z

= ~v ·d~s=Γ

}

I

(vx dy − vy dx) |

{z

=dψ=0

(3.39)

}

(3.18)

Der zweite Term ist auch ansonsten gleich Null, denn die Kontur des Hindernisses stellt eine Stromlinie dar. Γ=

I

dz wdz

Residuensatz

=

2πia1

(3.40)

a1 entspricht hierbei a−1 in Gleichung (3.33). Nun berechnen wir die Kraft, die von der str¨ omenden Fl¨ ussigkeit (station¨ are, inkompressible Potentialstr¨ omung) auf das Hindernis ausge¨ ubt wird. Keine ¨ außere Kraft ⇒ Druckkraft

~ =− K

I

pdf~

(3.41)

Mit Bernoulli gilt in großer Entfernung (p∞ , v∞ ): ρ ρ 2 = p + v2 ǫ∞ = p∞ + v∞ 2 2 ⇒

ρ p = ǫ∞ − v 2 2

(3.42)

(3.43)

Also: ~ =− K

I

ρ (ǫ∞ − v 2 )(Ldy~ex − Ldx~ey ) 2 L: L¨ ange in z-Richtung

Erinnerung

(3.44)

51 Eine Fl¨ ache sei gegeben durch die Koordinaten u und v. ~e1 und ~e2 spannen die Tangentialebene auf. Der Normalenvektor wird berechnet durch: ~e1 × ~e2 |~e1 × ~e2 | |df~|: Fl¨ acheninhalt des von (u2 , v2 ), (u2 + ∆u, v2 ), (u2 , v2 + ∆v) aufgespannten Parallelograms

Einschub zu (3.44)

I

df~ =

I

~ndf

~n = cos θ~ex + sin θ~ey

I

df~ =

I

(cos θ~ex + sin θ~ey )rdθ

x = r cos θ

y = r sin θ

dθ x = −r sin θ ⇒

dθ y = r cos θ

dx = −r sin θdθ I

df~ =

I

dy = r cos θdθ

(dy~ex − dx~ey )

Kraftkomponenten: I

I

ρ 1 Kx = −ǫ∞ dy + (vx2 + vy2 )dy L 2 I I 1 ρ Ky = ǫ∞ dx − (vx2 + vy2 )dx L 2

(3.45)

Die Kontur des Hindernisses ist eine geschlossene Kurve. I

⇒

dx =

I

(3.45) ausgedr¨ uckt als komplexe Kraft Zˆ = ρ Zˆ = − 2

I

dy = 0 1 L (Ky

+ iKx ):

(vx2 + vy2 )(dx − idy)

(3.46)

¨ KAPITEL 3. DIE POTENTIALSTROMUNGEN

52

Zu diesem Integral addieren wir Null in der Form: 0 = 2i

(vx dy − vy dx)

=0

Also: ρ Zˆ = − 2

I

|

{z

}

(vx − ivy )

l¨ angs der Kontur

(vx2 − 2ivx vy − vy2 )(dx + idy) = −

ρ 2

I

(dz w)2 dz

(3.47)

dz w = vx − ivy

Mit der Reihenentwicklung (3.35) ergibt sich aus (3.47): ρ Zˆ = − 2

I (

a20

)

2a1 a0 2a0 a2 + a21 + + . . . dz + z z2

(3.48)

dz w analytisch in Umgebung um z = 0

Nun verwenden wir wieder den Residuensatz: Das Integral u ¨ber eine geschlossene Kurve um den Ursprung ist gleich 2πi mal Koeffizient bei z1 der Reihenentwicklung (= Residuum), also: ρ 3.40 3.38 Zˆ = − 2πi2a1 a0 = −ρa0 Γ = −ρΓ(vx∞ − ivy∞ ) 2 Kx = ρΓvy∞ L

Ky = −ρΓvx∞ L

(3.49)

(3.50)

Kutta-Joukowski-Auftriebsformel ¨ → Ubergang zum Komplexen: Kein explizites L¨ osen des Kraftintegrals, keine konkrete Form der Str¨ omung vorgegeben → allgemeine Aussage in Γ und den asymptotischen Geschwindigkeiten. (3.50) dr¨ uckt das d’Alembertsche Paradoxon aus. Betrachtet man eine 1-dimensionale Flussstr¨ omung in ~ex , dann ist vy∞ = 0, also Kx = 0. Demnach sollte z.B. auf einen Br¨ uckenpfeiler nur eine Kraft senkrecht der Flussrichtung auftreten. Das widerspricht jedoch der Erfahrung! L¨ osung: An der Oberfl¨ ache des Hindernisses ist Reibung von Bedeutung. Daraus resultiert eine Wirbelbildung hinter dem Hindernis und somit eine Kraft (ein Druckgradient) parallel der Flussrichtung. Die Idealisierung f¨ uhrt hier also zu einem unphysikalischen Ergebnis.

53 Ebenso f¨ uhrt die Viskosit¨ at bei einem rotierenden Zylinder oder einer rotierenden Kugel dazu, dass das Fluid an der Oberfl¨ ache mitgef¨ uhrt wird. Dadurch entsteht eine endliche Zirkulation und nach (3.50) eine Kraft senkrecht zur Stromrichtung. → Magnuseffekt, z.B. bei angeschnittenen Tischtennisoder Fußb¨ allen. Ebene Str¨ omung um einen Kreiszylinder Es besteht Invarianz entlang der Zylinderachse, also parallel zu ~ez . ~v∞ = v∞~ex

Γ=0

Γ = 3πv0 R

Γ = 8πv0 R Γ = 5πv0 R Flow Around Circle.mws zur Str¨ omung um einen Kreiszylinder. Es sind beliebige Werte der Zirkulation m¨ oglich; f¨ ur Γ < 4πv0 R liegen die Staupunkte auf dem Zylinder, f¨ ur Γ > 4πv0 R wandern sie auf die imagin¨ are Achse.

¨ KAPITEL 3. DIE POTENTIALSTROMUNGEN

54

Der Kreis r = R stellt eine Stromlinie dar, hierbei verschwindet die Normalkomponente von ~v relativ zur Oberfl¨ ache, es gibt also keinen Strom durch die Oberfl¨ ache. F¨ ur r ≫ R erhalten wir eine ungest¨ orte Translationsstr¨ omung. (3.36) :

w(z) = a0 z + a1 ln z −

(3.38) :

a0 = v∞

z = reiϕ

∞ X

cn + ibn (n − 1)z n−1 n=2

(3.40) :

a1 =

Γ 2πi

ln z = ln(reiϕ ) = ln r + iϕ

Randbedingung: !

!

f (ϕ) 6= ψ|r=R = const = Im(w(z))|r=R = ∞ ∞ X Γ bn cos((n − 1)ϕ) cn sin((n − 1)ϕ) X (3.51) v∞ R sin ϕ − − ln R + n−1 2π (n − 1)R (n − 1)Rn−1 n=2 n=2

|

{z

nur Imagin¨ arteil der Summe von oben

f (ϕ) 6= ψ|r=R

⇒

bn = 0 cn = 0

}

n≥2

n≥3

c2 = −v∞ R2 ⇒

Γ R2 w(z) = ln z + v∞ z + 2πi z

ln(ab) = ln a + ln b

Re(ln(reiϕ )) = Re(ln r + iϕ) = ln r

!

(3.52) Im(ln(reiϕ )) = ϕ

Daraus folgt alles andere: Stromfunktion: R2 Γ ψ = Im(w(z)) = − ln r + v∞ r sin ϕ 1 − 2 2π r Γ R2 = − ln(x2 + y 2 ) + v∞ y 1 − 2 4π x + y2 ln

√

x=

1 ln x 2

x = r cos ϕ

!

!

(3.53)

y = r sin ϕ

Geschwindigkeitspotential: R2 Γ ϕ + v∞ r cos ϕ 1 + 2 Φ = Re(w(z)) = 2π r =

y R2 Γ arctan + v∞ x 1 + 2 2π x x + y2

!

!

(3.54)

55 

(a1 , b1 ) = (a2 , b2 )



a1 a2 + b 1 b 2 a2 b 1 − a1 b 2 , a22 + b22 a22 + b22





(a1 , b1 )(a2 , b2 ) = (a1 a2 − b1 b2 , a1 b2 + a2 b1 )

Komplexe Geschwindigkeit einer ebenen Potentialstr¨ omung um einen Kreiszylinder: Γ R2 dz w = vx + ivy = + v∞ 1 − 2 2πiz z

!

(3.55)

(vergleiche z-Ableitung von (3.52)) Die Nullstellen von dz w geben die Lage der Staupunkte an, d.h. vx = 0 und vy = 0, also (3.55)= 0: z1,2

Γ ± =− 4πiv∞ |a| =

s

p

R2 −

Γ2 2 16π 2 v∞

(3.56)

α2 + β 2

F¨ ur reelle Wurzeln gilt |z1,2 | = R, die Staupunkte liegen also auf der Zylinderoberfl¨ ache. Der Imagin¨ arteil von z1 und z2 ist gleich. z1,2 = Reiϕ1,2 Mit (3.56) folgt: Γ sin ϕ1 = sin ϕ2 = 4πv∞ R

cos ϕ1 = − cos ϕ2 =

s

1−



Γ 4πRv∞

2

(3.57)

Falls Γ = 0 folgt y = r sin ϕ = 0 Die Staupunkte liegen also auf der x-Achse, wir erhalten eine symmetrische Str¨ omung um das Hindernis. Das Verst¨ andnis des Problems der Zylinderumstr¨ omung erlangt besondere Bedeutung durch die Anwendbarkeit konformer Abbildungen. Hierdurch kann die Berechnung der Umstr¨ omung komplizierterer Profile auf die Zylinderumstr¨ omung zur¨ uckgef¨ uhrt werden. Konforme Abbildungen Seien z = x + iy und ζ = η + iξ komplexe Variablen. Die stetige Abbildung ζ = f (z) bildet Gebiete der z- und ζ-Ebene aufeinander ab, beispielsweise ein Gitter Φ = const, ψ = const. Ist f (z) differentierbar, so ist die Abbildung konform, d.h. winkel- und maßstabserhaltend. Die Mercator-Projektion ist beispielsweise eine konforme Abbildung von

¨ KAPITEL 3. DIE POTENTIALSTROMUNGEN

56

Erdoberfl¨ achensegmenten auf eine 2-dimensionale flache Oberfl¨ ache. Durch entsprechende Wahl einer Abbildung ζ = f (z) kann ein kompliziertes Str¨ omungsprofil auf ein einfaches/bekanntes zur¨ uckgef¨ uhrt, also abgebildet, werden. Beispiel: Frage nach Eckstr¨ omung

φ(x, y)

ψ(x, y)

φ(η, ξ)

ψ(η, ξ)

eckstroemung.mws: Visualisierung einer Eckstr¨ omung durch konforme Abbildung der reellen Achse auf einen beliebigen Winkelausschnitt. Durch z α wird die positive reelle Achse auf sich selbst abgebildet, die negative reele Achse ergibt sich aus einer Geraden mit Winkel γ = 180/α zur positiven reellen Achse. Hier: α=1,3 und 5.

Konforme Abbildung: Gitter, das an den ψ = const-, φ = const-Linien gebildet wird, wird winkelerhaltend abgebildet. Komplexes Geschwindigkeitspotential f¨ ur eine ebene Translationsstr¨ omung: w = U0 ζ = U0 η + iU0 ξ = φ(η, ξ) + iψ(η, ξ) ∂η w = ∂η φ + i∂η ψ = U0 = vη

konforme Abbildung: ζ = z α ⇒

(vgl. 3.21)

(ϕ → αϕ − π)

w(z) ˜ = w(ζ(z)) = U0 z α = φ(x, y) + iψ(x, y) dz w ˜ = dζ wdz ζ = αU0 z α−1

→ vx , vy

57 Das Problem reduziert sich also auf die Frage nach der richtigen konformen Abbildung. Ma verwendet iterative (numerische) Verfahren, um sukzessive (durch Anwendung mehrerer, m¨ oglichst einfacher konformer Abbildungen) komplizierte Str¨ omungsprofile zu konstruieren bzw. berechnen. Eine Vielzahl von ebenen Str¨ omungen um beliebige Profile kann auf Probleme der Umstr¨ omung eines Kreiszylinders zur¨ uckgef¨ uhrt werden Es stellt sich jetzt nat¨ urlich die Frage nach der konformen Abbildung von Str¨ omungen um beliebige Profile auf eine Str¨ omung um einen Kreiszylinder. Sei w(ζ) das zur Str¨ omung um einen Kreiszylinder geh¨ orige komplexe Potential. ζ(z) vermittelt als konforme Abbildung das gesuchte Potential. w(z) ˜ = w(ζ(z))

(3.58)

Der Mittelpunkt des Kreises ζ = Reiϕ kann mit ζ = µ − µ0

oder µ = µ0 + ζ

(3.59)

an jeden beliebigen Punkt µ0 gelegt werden (Kreis in µ-Ebene durch Abbildung ζ(µ)) ¨ Ubergang zu beliebigen Profilen: z=

1 +µ µ

(3.60)

Der Kreis geht in mannigfaltige Kurven u ¨ber. Was macht (3.60) aus dem Einheitskreis? µ = eiϕ ⇒

µ0 = 0

z = e−iϕ + eiϕ = 2 cos ϕ

Strecke −2 ≤ z ≤ 2 Andere Kreise, R 6= 1, liefern Ellipsen:

(3.61)

¨ KAPITEL 3. DIE POTENTIALSTROMUNGEN

58 Der Kreis

q

µ = iµ0 + eiϕ 1 + µ20

(3.62)

hat seinen Mittelpunkt auf der imagin¨ aren Achse bei µ = iµ0 . 

1 ⇒ z = i µ0 − µ0 √ Z.B µ0 = 31 (1 − i), R = 13 17.







1 + µ0 + eiϕ µ0

Siehe auch: konform.mws zur Visualiserung konformer Abbildungen.

Flow Around Any Object.mws zur Str¨ omung um einen Zylinder beliebigen Querschnitts. Der Querschnitt muss zun¨ achst durch u(z) (Umkehrfunktion von z = 1/(u + u0 ) + u + u0 ) auf einen Kreis abgebildet werden. Hier: Γ = −5.

Quintessenz Die konforme Abbildung ζ(z) mit z=

1 + µ0 + ζ µ0 + ζ

u uhrt verschiedene Profile in der z-Ebene ¨berf¨ - auf Kreise in der µ-Ebene - auf Kreis mit Mittelpunkt im Ursprung in der ζ-Ebene. Also (3.58): w(z) ˜ = w(ζ(z))

(3.63)

59 Das gesuchte w(z) ˜ ist nun einfach berechenbar. Kreiszylinder (3.52): R2 Γ ln ζ + v∞ ζ + w(ζ) = 2πi ζ

!

Hier wird nun (3.60) eingesetzt w(z) ˜ = w(ζ(z)) und

dw ˜ dz

berechnet usw...

Hydro -Statik ungest¨ orte Geschwindigkeit ~v = 0 = ~v

gest¨ orte Geschwindigkeit

⇒ station¨ are, statische L¨ osungen -Kinematik

-Dynamik

∂ = 0 statio¨ are Str¨ omungen, aber ∂t ~v = 6 0 z.B. station¨ are ebene Potentialstr¨ omungen ∂t 6= 0 ~v = 0 ~v ′ 6= 0

Wellen Instabilit¨ aten ⇓ Oberfl¨ achenwellen Wellen in der Fl¨ ussigkeit

~v 6= 0 ~v ′ = 0 station¨ are Str¨ omungen ~v 6= 0 ~v ′ 6= 0 Wellen Instabilit¨ aten

60

¨ KAPITEL 3. DIE POTENTIALSTROMUNGEN

Kapitel 4

Wellen 4.1

Schwerewellen

Hierbei handelt es sich um Wellenausbreitung auf der Oberfl¨ ache einer Fl¨ ussigkeit unter dem Einfluss der Schwerkraft. Wir nehmen kleine Geschwindigkeiten an, so dass in der Euler-Gleichung ~ v vernachl¨ der Term (~v · ∇)~ assigt werden kann. Inkompressibilit¨ at bedeutet ρ = const. 

~ p + gz ∂t~v = −∇ ρ



(4.1)

~ bedeutet, dass es sich um eine Potentialstr¨ omung handelt (∇×(4.1)= 0). Der Druck auf der Oberfl¨ ache sei konstant p = p0 . p = p0 = −ρgz −

∂Φ ρ ∂t

(4.2)

~ Oder mit einem verallgemeinerten Geschwindigkeitspotential (~v = ∇Φ): ˜ = Φ + p0 t Φ (4.3) ρ ~ Φ.) ˜ (Kein Einfluss auf ~v = ∇

!

˜ ∂Φ gz + =0 ∂t Oberfl¨ ache

(4.4)

Sei ζ die vertikale Verschiebung der Fl¨ ussigkeitsoberfl¨ ache bei den Schwingungen (im Gleichgewicht: ζ = 0). ζ(x, y, t) Allgemein gilt:

˜ ∂Φ =0 Gζ + ∂t z=ζ 61

(4.5)

62

KAPITEL 4. WELLEN

Es ist aber:

˜ ∂Φ ∂ζ = vz = ∂t ∂z z=ζ ⇒



˜ ∂ζ 1 ∂2Φ =− ∂t g ∂t2 z=ζ

˜ ˜ 1 ∂2Φ ∂Φ + ∂z g ∂t2

bzw.

(4.6)

!

=0

(4.7)

z=ζ

Randbedingung an der freien Fl¨ ussigkeitsoberfl¨ ache unter Vernachl¨ assigung der Oberfl¨ achenspannung. ultig) Kleine Schwingungen: ζ ≪ 1 ((4.7) auch an z = 0 g¨ Das Problem wird vollst¨ andig bestimmt durch ˜ =0 ∆Φ

inkompressible Potentialstr¨ omung

Erste Randbedingung: ˜ ˜ 1 ∂2Φ ∂Φ + ∂z g ∂t2

!

=0

(4.8)

z=0

Wir nehmen an, dass im tiefen Wasser keine Abh¨ angigkeit von den Randbedingungen am Boden besteht. Wir betrachten eine Schwerewelle die sich in x-Richtung ausbreitet und in y-Richtung homogen ist (∂y = 0). Wir suchen nach r¨ aumlich/zeitlich periodischen L¨ osungen. ˜ = f (z) cos(kx − ωt) Φ k=

2π : λ

(4.9)

Wellenzahl, ω: Wellenfrequenz

Laplace-Gleichung: d2 f − k2 f = 0 dz 2

(4.10)

Tiefwasserl¨ osung Es herrschen keine Randbedingungen f¨ ur Grund z = −h. Die L¨ osungen m¨ ogen mit zunehmender Wassertiefe abnehmen: f (z) = Aekz |kh| = 2π

h → ∞ f¨ ur λ

h≫λ

(4.11) (Tiefwasser)

4.1. SCHWEREWELLEN

63

(f (z) ∼ e−kz impliziert eine unendliche Amplitude am Grund.) ˜ = Aekz cos(kx − ωt) Φ

⇒

(4.12)

ullen. Jetzt bleibt noch die Randbedingung aus (4.8) zu erf¨ k−

ω2 =0 g

(4.13)

ω(k): Dispersionsrelation F¨ ur die Geschwindigkeitskomponenten ergibt sich aus (4.12): vx = −Akekz sin(kx − ωt) vz = Akekz cos(kx − ωt)

(4.14)

lim vz = 0

z→−h

vP hase =

vG =

dω 1 = dk 2

ω k

r

g k

Phasengeschwindigkeit der Welle

Gruppengeschwindigkeit der Welle

(4.15)

≡ Ausbreitungsgeschwindigkeit der Welle Einschub: Phasen- und Gruppengeschwindigkeit Bemerkung: Bei Wellen mit linearer Dispersionsrelation (Schall, elektromagnetische Welle) ist vP hase = vG = const. Hier ist dies nicht der Fall und man muss unterscheiden. Wellenpakete und deren Ausbreitung

Amplitude im k-Raum um k0 herum lokalisiert ⇒ A(k − k0 )

64

KAPITEL 4. WELLEN

Z∞

a(x, t) =

−∞

dkA(k − k0 )ei(kx−ωt)

1.) Lineare Phasenbeziehung: ω = c · k Z∞

a(x, t) =

dkA(k − k0 )eik(x−ct)

−∞

Substituiere: k − k0 = k ′ Z∞

=

′

dk ′ A(k ′ )eik (x−ct) eik0 (x−ct)

−∞

Z∞

ik0 (x−ct)

=

dk → dk ′

e|

{z

}

′

dk ′ A(k ′ )eik (x−ct)

−∞

Phasenfaktor ei(k0 x−ω0 t)

{z

|

}

Fouriertransformierte von A(k′ ) ˜ − ct) l¨ A(x auft mit c

2.) Allgemeine Phasenbeziehung ω = ω(k) i.A. nicht linear Lokalisiert um k0 herum: Taylorentwicklung

dω (k − k0 ) + . . . ω(k) = ω0 + dk k0

a(x, t) =

Z∞

−∞

i(kx−ω0 t− dω (k−k0 )t) dk |k

dkA(k − k0 )e

0

wieder k − k0 → k ′ und dk → dk ′

=

Z∞

i(k′ x+k0 x−ω0 t−

dk ′ A(k ′ )e

−∞

=

i(k0 x−ω0 t)

|e

{z

}

Z∞

immernoch Phasenfaktor −∞ | l¨ auft mit ωk00 = vP hase

dω k′ t) dk k0

|

ik′ (x− dω t) dk |k

dk ′ A(k ′ )e

{z

0

Fouriertransformiert ˜ − dω t) A(x dk k

l¨ auft mit

Seichtwasserl¨ osung Wir betrachten eine endliche Tiefe z = −h. Nun ist in 4.11 f (z) ∼ e−kz nicht mehr unphysikalisch. ˜ = (Aekz + Be−kz ) cos(kx − ωt) Φ



0

dω dk k0

}

= vG

(4.16)

4.1. SCHWEREWELLEN

65

Auf dem Grund z = −h muss gelten (zweite Randbedingung):

˜ ∂Φ =0 ∂z z=−h

(4.17)

Ae−kh − Bekh = 0

(4.18)

Man f¨ uhrt nun eine neue Konstante ein: 1 C = Ae−kh = Bekh 2

(4.19)

Aus (4.16) folgt dann: C k(z+h) (e + e−k(z+h) ) cos(kx − ωt) 2 = C cosh(k(z + h)) cos(kx − ωt)

˜ = Φ

(4.20)

Nun benutzt man die Randbedingung (4.8): ˜ ˜ ∂Φ 1 ∂2Φ + ∂z g ∂t2

!

=0 z=0

gk sinh(k(0 + h)) cos(kx − ωt) − ω 2 cosh(k(0 + h)) cos(kx − ωt) = 0 (4.21) Dispersionsrelation f¨ ur Oberfl¨ achen-Schwerewellen im Seichtwasser: ω 2 = gk tanh(k(0 + h)) 1 dω = vG = dk 2

s

"

kh g tanh(kh) + k tanh(kh) cosh2 (kh)

(4.22) #

(4.23)

Die Wellenl¨ ange ist groß gegen¨ uber der Tiefe h: |kh| ≪ 1 ω2 = gh k2

⇒

tanh(kh) ≈ kh vP hase =

ω p = gh k

(4.24)

Beispiel 1 Wenn man einen Stein ins Wasser wirft, entstehen viele Wellen, nicht nur eine. Das liegt an der nichtlinearen Dispersion. Beispiel 2 Wellen brechen erst am Strand, da erst dort h die Gr¨ oßenordnung von λ

66

KAPITEL 4. WELLEN

erreicht. Beispiel 3 Schiffe im Wasser generieren Wellen, die im Fall der√Bugwelle mit der Geschwindigkeit des Schiffes laufen m¨ ussen. F¨ ur v ≪ gL k¨ onnen sich viele Wellenl¨ angen unter dem Schiff befinden. Wenn v steigt, muß √ auch λ steigen, damit die Welle mit dem Schiff mitlaufen kann, f¨ ur v ≈ gL paßt gerade noch eine Welle unter das Schiff ⇒ Maximale Geschwindigkeit f¨ ur ein Schiff das nach √ diesem Prinzip f¨ ahrt (Seglerjargon: “L¨ ange l¨ auft”). F¨ ur v ≫ gL (Erinnerung: Das bedeutet Froude ≫ 1) “gleitet das Schiff”, ¨ d.h. es schwebt auf seiner eigenen Bugwelle, ¨ ahnlich einem Uberschallflugzeug (bei Motorbooten kann man auch sehen wie das Boot seine eigene Bugwelle “hochf¨ ahrt”)

¨ Motorboot bei “Uberschall” (v ≫

√

gL)

4.1. SCHWEREWELLEN

67

Motorboot mit v ≪

√

gL

Quelle (und weitere Bilder): FLOW PAST MOUNTAINS (23. M¨ arz 06)

Schwerewellen innerhalb inkompressibler Fluide Im Schwerefeld ist die Dichte inhomogen. Wir betrachten Wellenstr¨ omung ~ deren Wellenl¨ ange kleiner ist als die Inhomogenit¨ atsl¨ ange (→ ∇ · ~v = 0 erf¨ ullt), d.h. Dichte¨ anderungen durch Druck¨ anderungen werden vernachl¨ assigt, aber infolge Entropie¨ anderungen erlaubt. atsgleichung berechnet Anders gesagt: ∂ρ/∂t kann nicht aus der Kontinuit¨ werden, aber es gibt dennoch eine Dichtestr¨ omung! ~ 0=0 ∂t s1 + ~v1 · ∇s

(4.25)

ρ1 = ∂s0 ρ0 |p s1

(4.26)

∂t~v1 = −

~ 1 ~g ∇p + ∂s0 ρ0 |p s1 ρ0 ρ0

| {z } p

~ 1 ≈∇ ρ 0

Es gilt:

~

~v1 = vˆ1 ei(k·~r−ωt) Und ebenso f¨ ur s1 , p1 . Kontigleichung:

~ · ~v1 = 0 ∇

(4.27)

68

KAPITEL 4. WELLEN

Denn:

~ 0 = ∂t s1 + ~v1 · ∇s ~ 0=0 ∂t ρ1 + ~v1 · ∇ρ ⇒ ~v1 · ~k = 0 Transversalwellen

Also: ~ 0 iωs1 = ~v1 · ∇s

(4.28)

~k 1 ∂s0 ρ0 |p s1~g − i p1 = ρ0 ρ0 ~ = ∂s0 ρ0 |p s1 (~g · k)

−iω~v1 ik 2 p1

⇒

s1 = i

Aus (4.29) folgt: ~v1 = i

| · ~k

(4.29) (4.30)

k 2 p1 ∂s0 ρ0 |p (~g · ~k)

~k ∂s0 ρ0 |p s1~g + p1 ωρ0 ωρ0

Und damit aus (4.28): !

~k ∂s ρ0 |p s1~g ~ 0 + p1 · ∇s iωs1 = i 0 ωρ0 ωρ0

(4.31)

s1 von oben eingesetzt: −ωk 2 p1

∂s0 ρ0 |p (~g · ~k)

=

~kp1 k 2 p1 ∂s0 ρ0 |p~g − + ωρ0 ∂s0 ρ0 |p (~g · ~k) ωρ0

!

~ 0 · ∇s

(4.32)

~ ~ 0 k 2 ∂s0 ρ0 |p~g · ∇s ~ 0 ∂s0 ρ0 |p (~g · k) (4.33) + ~k · ∇s ρ0 ρ0 2 ∂s0 ρ0 |p gdz s0 ∂s0 ρ0 |p gdz s0 cos θ − (4.34) ρ0 ρ0

−ω 2 k 2 = − −ω 2 = Damit also:

ω 2 = ω02 sin2 θ ∂s 0 ρ = −

Mit ω02 = −

(4.35)

1 1 T ∂s v0 = − 2 ∂T0 v0 |p v02 0 v0 cp

∂s0 ρ|p g dz s0 ρ0

|

>0

{z

<0

}

f¨ ur dz s0 > 0

θ = 6 (~k, ~ez ) Erinnerung: dz s > 0 war die Bedingung f¨ ur das Fehlen von Konvektion (vgl. (2.38)). Sie kann auch als “Stabiler Ast der Konvektion” bezeichnet werden und findet ihre Anwendung z.B. bei Meeresstr¨ omungen.

4.2. SCHALLWELLEN

4.2

69

Schallwellen

Schallwellen sind Schwingungsbewegungen kleiner Amplitude in einer kompressiblen Fl¨ ussigkeit. Zur Erinnerung: Fluide sind in guter N¨ aherung als inkompressibel anzusehen f¨ ur Geschwindigkeiten v ≪ cs (aber ∆ρ ρ trotzdem klein). Schallwellen breiten sich mit cs aus. In Schallwellen wird die Fl¨ ussigkeit an jedem Ort abwechselnd verdichtet/komprimiert und verd¨ unnt. Die Beschreibung erfolgt mit Hilfe linearisierter Kontinuit¨ ats- und Eulergleichung (da jetzt kompressibel). ∂ρ ~ + ∇ · (ρ~v ) = 0 ∂t ∂~v ~ ~ v = − 1 ∇p + (~v · ∇)~ ∂t ρ ρ = ρ0 + ρ1

(4.36) (4.37)

; p = p0 + p1

ρ0 , p0 seien konstante Dichte und Druck im Gleichgewicht, ~v0 = 0. ¨ ρ1 , p1 seien die Anderungen von Dichte und Druck in der Schallwelle mit ρ1 ≪ ρ0 , p1 ≪ p0 . Die St¨orgr¨ oßen in 2-ter Ordnung werden vernachl¨ assigt. Linearisierte Konti- und Eulergleichung: ∂ρ1 ~ · ~v1 = 0 + ρ0 ∇ ∂t ∂~v1 1 ~ + ∇p 1 = 0 ∂t ρ0

(4.38) (4.39)

Eine Schallwelle in einer idealen Fl¨ ussigkeit stellt einen adiabatischen Vorgang dar. ¨ Die Anderung von p(ρ, s) erfolgt nur gem¨ aß ρ im adiabatischen Fall.

∂p p= ρ ∂ρ s

|∂t

∂p1 ∂p0 ~ + ρ0 ∇ · ~v1 = 0 ∂t ∂ρ0 s | {z }

(4.40)

=c2s

~v1 ist wirbelfrei (siehe (4.39)). Außerdem: Wenn Schall aus der Ruhe entst¨ unde, w¨ are er mit Wirbeln verbunden (Helmholtzsche Wirbels¨ atze). ~ 1 ~v1 = ∇Φ

70

KAPITEL 4. WELLEN

Aus (4.39) folgt: p1 = −ρ0

∂Φ1 ∂t

(4.41)

Eingesetzt in (4.40): ∂ 2 Φ1 − c2s △φ1 = 0 mit cs = ∂t2

s



∂p0 ∂ρ0 s

(4.42)

Mit ∂t (4.40), (4.39) ist dies ebenso erf¨ ullt, also ist p1 Wellengleichung, und 2 damit auch ρ1 (p1 = cs ρ1 ). Liegt nur eine Abh¨ angigkeit von einer Koordinate vor, so handelt es sich um ebene Wellen. 1 ∂x2 Φ1 − 2 ∂t2 Φ1 = 0 (4.43) cs Variablentransformation: ξ = x − cs t

η = x + cs t

(4.44)

2 ⇒ ∂ξη Φ1 = 0 (4.43)

(4.45)

∂η Φ1 = F1 (η)

(4.46)

Integration u ¨ber ξ: Integration u osung im 1-dim. Fall: ¨ber η liefert die allgemeine L¨ Φ1 = f1 (η) + f2 (ξ) = f1 (x + cs t) + f2 (x − cs t)

(4.47)

Selbiges kann man f¨ ur ρ und p durchf¨ uhren. Die Form von f ist hier noch nicht spezifiziert. Sei f1 = 0. Hat z.B. die Dichte zur Zeit t = 0 am Ort x den Wert f2 (x), so hat sie nach der Zeit t am Ort x′ = x + cs t den selben Wert. ⇒ f1 bzw. f2 beschreibt die fortschreitende ebene Welle in negativer bzw. positiver x-Richtung. Nebenrechnung zu (4.45): ∂Φ ∂ξ

= =

∂η



∂Φ 1 ∂Φ − ∂x cs ∂t



= =

∂Φ ∂x 1 ∂Φ cs ∂t + ∂x ∂ξ cs ∂t ∂ξ 1 ∂Φ ∂Φ − ∂x cs ∂t ∂



∂Φ ∂x

−

1 ∂Φ cs ∂t



∂x 1 ∂2Φ − ∂x2 c2s ∂t2

∂2Φ

∂x ∂ + ∂η



∂Φ ∂x

−

1 ∂Φ cs ∂t

cs ∂t



cs ∂t ∂η

4.2. SCHALLWELLEN

71

Jede beliebige Welle l¨ asst sich als Summe ebener, monochromatischer (alle Gr¨ oßen sind einfache periodische Funktionen der Zeit) Wellen mit verschiedenen Wellenvektoren und Frequenzen darstellen (Fourier- / Spektraldarstellung). Monochromatische Welle: ~

Φ = Re{Aei(k·~r−ωt) }

(4.48)

~k = ω ~n = 2π ~n: Wellenzahlvektor cs λ ~n: Einheitsvektor in Ausbreitungsrichtung A = aeiα : komplexe Amplitude (durch geeignete Wahl der Anfangsbedingungen immer reell schreibbar) α: Phase ebene Welle ∼ cos(kx − ωt + |{z} α ) evtl.

(Vergleiche Oberfl¨ achen-Schwerewellen) Bewegte Schallquellen

Im ruhenden Medium ist ω = cs · k. Wenn sich das Medium mit v bewegt, kann man 2 F¨ alle unterscheiden: a) Medium und Schallquelle bewegen sich, z.B. ein Punktstrahler (Kugelwellen) ⇒ konzentrische Kreise, a ¨quivalent zum ruhenden System und relativ zum Medium bewegtem Beobachter ⇒ k bleibt erhalten, aber c → c + v ⇒

ω =c·k



ωBeobachter = (c + v)k = ω0 1 +

v c



Genauer: Man muss den Winkel zwischen ~v und ~k ber¨ ucksichtigen: ⇒

ωBeobachter = ω0

~k · ~v 1+ c

!



= ω0 1 +

v cos θ c



72

KAPITEL 4. WELLEN

Mach0.0.mpg b) Schallquelle bewegt sich relativ zum Medium, Beobachter ruht im Medium ⇒ verschobene Kreise! Die Wellenl¨ ange wird l¨ angs der Bewegungsrichtung reduziert: λBeobachter = λ0 − v · T0



2π T0 = ω0



F¨ ur den Beobachter (im Medium) breitet sich die Welle mit c aus: ω=

2πc 2πc 2πc 1 1 = = = ω0 0 λBeobachter λ0 − vT0 λ0 1 − vT 1 − λ0

v c

Mach0.3.mpg Nebenbemerkung: aquivalent (ausser im Limit Diese beiden F¨ alle sind offensichtlich nicht ¨ 1 0, wenn 1−v/c ≈ 1 + vc )

v c

→

4.2. SCHALLWELLEN

73

Unterschied zur elektromagnetischen Welle (Licht): ¨ Es gibt ein Medium, also einen “Ather”, welches ein Bezugssystem auszeichnet (n¨ amlich das mit v bewegte)! Daher auch verschiedene Grenzf¨ alle f¨ ur vc → 1: Beobachter bewegt sich relativ zum Medium: ω = 2ω0 Quelle bewegt sich relativ zum Medium: ω → ∞ Was passiert hier? ⇒ Alle Wellen addieren sich in Phase am Bug auf ¨ ⇒ “Uberschallknall” F¨ ur v > c : Schall l¨ auft nicht mehr vor Quelle her

Mach1.3.mpg sin α =

c v

⇒

sin α =

1 Ma

v c ⇒ “Mach’scher Kegel”, nur Beobachter innerhalb des Kegels h¨ oren etwas! mit Machzahl M a =

Fuer M a > 1 trifft eine Str¨ omung daher “blind” auf ein Hindernis, sie kann sich nicht an die durch ein Strom aufw¨ arts befindliches Hindernis erzwungene Randbedingung anpassen (f¨ ur M a < 1 baut sich vor dem Hindernis der Staudruck auf; durch ihn erh¨ alt die Str¨ omung Kenntnis von einem Strom aufw¨ arts befindlichen Hindernis). Dies f¨ uhrt zur Ausbildung sogenannter Stoßwellen beim Auftreffen einer Ueberschallstr¨ omung auf ein Hindernis (siehe Kap. 5). F¨ ur M a > 1 qualitativ neue Physik ⇒ siehe Kapitel 5

74

KAPITEL 4. WELLEN

Bemerkung: F¨ ur M a ≥ 1 ist Inkompressibilit¨ at keine gute Annahme und die thermodynamische Zustandsgleichung muss mitgenommen werden (diese hatten wir ~ · ~v = 0 ersetzt). durch ∇ ⇒ Dieses Gebiet heisst auch “Gasdynamik” Die Energie einer Schallwelle Energiedichte pro Volumeneinheit des Fluids: E = ρǫ + ρ ρ = ρ0 + ρ1

v2 2

ǫ = ǫ0 + ǫ1

v = v1

Die mit 1 indizierten Werte stellen die Abweichung von den Werten im ruhenden Fluid dar. Entwicklung bis zur 2. Ordnung in den St¨ orgr¨ oßen um ρ0 : E = ρ0 ǫ0 + ρ1 ∂ρ |ρ=ρ0 (ρǫ) +

ρ21 2 ρ2 ∂ρ |ρ=ρ0 (ρǫ) + 0 v12 2 2

(4.49)

Die Vorg¨ ange in Schallwellen laufen adiabatisch ab. dǫ = T |{z} ds + =0

p dρ ρ2

(2.55)

Daher entwickelt man in (4.49) nur um ρ0 (ǫ ¨ andert sich wie ρ). Die Ableitungen in (4.49) sind also bei konstanter Entropie zu bilden. ∂ρ |ρ=ρ0 (ρǫ)|s = ǫ0 +

p0 = w0 ρ0

spezifische Enthalpie

dǫ = T ds − pdV

(4.50)

dw = T ds + V dp

∂ρ2 (ρǫ)|s = ∂ρ w|s = ∂p w|s ∂ρ p|s

(4.51)

| {z } →c2s

Mit (4.50) folgt: ∂ρ2 (ρǫ)|s =

c2s ρ

(4.52)

Energie des Fluids pro Volumeneinheit: E = ρ0 ǫ0 + ρ1 w0 +

ρ0 ρ21 c2s + v12 2ρ0 2

(4.53)

4.2. SCHALLWELLEN

75 R

Da die Gesamtmenge des Fluids unver¨ andert bleibt ( ρ1 dV = 0) ergibt sich f¨ ur die gesamte Energie¨ anderung des Fluids durch die Schallwelle: E=

Z

ρ21 c2s ρ0 + v12 2ρ0 2

!

{z

}

|

dV

(4.54)

Dichte der Schallenergie

Nun betrachten wir den Fall einer ebenen, in positiver x-Richtung fortschreitenden Welle: v1 = ∂x Φ1 = f ′ (x − cs t)

(4.55)

Der Strich steht hier f¨ ur die Ableitung nach dem Argument in Klammern.

Euler-Gleichung 1-dim. r¨ aumlich integriert: p1 = −ρ0 ∂t Φ1 = ρ0 cs f ′ (x − cs t) Also: v1 = ⇒

ρ21 =

p1 ρ 0 cs

(4.56)

mit p1 = c2s ρ1

v12 ρ20 c2s p21 = c4s c4s

⇒

ρ1 =

v1 ρ 0 cs

Damit folgt aus (4.54): E=

Z

ρ0 v12 dV

(4.57)

76

KAPITEL 4. WELLEN

Kapitel 5

Kompressible Stro ¨mungen Station¨ are Str¨ omungen mit beliebiger Machzahl ⇒ isentrop, d.h. w kann anstelle von p/ρ benutzt werden ⇒ station¨ ar, d.h. Bernoulli gilt nach wie vor! v2 + w = const. auf einer Stromlinie 2

Erinnerung:

Wenn auf der Stromlinie irgendwo v = 0 ist, dann ist dort w = w0 und es gilt: w0 =

v2 +w 2

⇒ maximale Geschwindigkeit auf einer Stromlinie vmax = d.h. T = 0 (Ausstr¨ omen ins Vakuum).

(5.1) √

2w0 f¨ ur w = 0,

Beispiel: Großer Kessel

Jetzt berechnen wir die Massenstromdichte ρ · v als Funktion der Geschwindigkeit v auf einer Stromlinie d(ρv) dρ =v +ρ dv dv

(5.2)

dρ Nun muss also dv berechnet werden. ~ v = −∇w ~ folgt l¨ Aus der station¨ aren Eulergleichung (~v · ∇)~ angs einer Stromlinie: 2

~ ~ v = −∇w ∇ 2

⇒ 77

d

v2 = −dw 2

(5.3)

¨ KAPITEL 5. KOMPRESSIBLE STROMUNGEN

78 Mit dw = T ds +

dp ρ

vdv = −dw = −

folgt wegen s = const. (ds = 0) auf einer Stromlinie:

dp ρ

⇒

dp = −ρv dv

⇒

dρ dρ dp 1 = = − 2 ρv (5.4) dv dp dv cs

Einsetzen in (5.2) ergibt: v2 d(ρv) =ρ 1− 2 dv cs

!

(5.5)

⇒ ρv nimmt f¨ ur v < cs mit v zu ρv nimmt f¨ ur v > cs mit v ab. ⇒ Maximaler Massenfluss f¨ ur v = c (da ρ abnimmt)! ¨ Uberschall Ma > 1

Unterschall Ma < 1

Der maximale Fluß wird auch durch “∗” gekennzeichnet, also ρ∗ , v∗ (= c∗ ) am Maximum √ (N.B.: c variiert mit T !, ist keine Konstante in kompressibler Str¨ omung!) Diese kritischen Gr¨ oßen k¨ onnen explizit mit denen bei v = 0 verkn¨ upft werden, wenn man eine Zustandsgleichung hinzunimmt. Annahme: ideales Gas, d.h. die Enthalpie schreibt sich als 

w =ǫ+p·V ideales Gas ⇒

1 ǫ = Energie pro Masseneinheit, V = ρ f w = V · nkT | {z } +pV = 2 =p





(5.6)



f p +1 2 ρ

f : Zahl der Freiheitsgrade

Mit γ=

f +2 f

ist w=

c2 γ p = γ−1ρ γ−1

⇒

f γ +1= 2 γ−1

Enthalpie des idealen Gases

(5.7)

79 Einsetzen in die vorherigen Beziehungen ergibt: vmax =

√

2w0 = c0

s

2 γ−1

(5.8)

Erinnerung: Der Index “0” entspricht Punkt mit v = 0. In der Praxis: Kleine v, z.B. Eintritt in Str¨ omungskanal

Aus w +

v2 2

= w0 folgt auch w∗ +

v∗2 2

c2 c20 c2∗ + ∗ = γ−1 2 γ−1

= w0 und mit v∗ = c∗ folgt ⇒

c∗ = c0

s

2 γ+1

(5.9)

und damit vmax = c∗

s

γ+1 γ−1

(5.10)

Die Geleichung f¨ ur die Temperatur l¨ angs der Stromlinie leitet sich folgendermaßen ab: v2 w0 = w + 2

c20 c2 v2 = + γ−1 γ−1 2

⇒

Und wegen c2 = γ kT m ist

c2 c20

=

T T0 ,

T (v/c∗ ) = T0

2

⇒

c =

γ − 1 v2 1− γ + 1 c2∗

c20

!

und damit γ − 1 v2 · 1− γ + 1 c2∗

!

(5.11)

Die Dichte l¨ angs der Stromlinie l¨asst sich aus der Adiabatengleichung berechnen: p p0 = const. = γ γ ρ ρ0

⇒

p = p0



ρ ρ0

γ

⇒

ρkT = ρ0 kT0



ρ ρ0

γ

⇒

T = T0



ρ ρ0

γ−1

Und damit: ρ = ρ0



T T0

1/(γ−1)

= ρ0

γ − 1 v2 1− γ + 1 c2∗

!1/(γ−1)

(5.12)

Damit kann jetzt ρ · v als Funktion von v explizit angegeben werden: ρ · v = vρ0

γ−1 1− γ+1



v c∗

2 !1/γ−1

γ−1 v = ρ 0 c∗ 1 − c∗ γ+1



v c∗

2 !1/γ−1

√

γ+1 2 Probe: F¨ ur vmax = c2∗ γ−1 werden T , ρ und ρ · v gleich Null. √ ⇒ Plot von T , ρ und ρ√ · v f¨ ur Luft (γ = 1.4) ⇒ vmax = 6 = 2.44 Maximal f¨ ur v = c∗

(5.13)

¨ KAPITEL 5. KOMPRESSIBLE STROMUNGEN

80

Die Grafiken wurden erzeugt mit Gasdynamik.mws Praktische Anwendung: Str¨ omung durch eine D¨ use Hier setzt man voraus, dass sich der Querschnitt “adiabatisch” a ¨ndert, d.h. dh onnen Aussagen f¨ ur Stromlinien direkt u ¨bertragen werden. dx ≪ 1. Damit k¨

Annahme: Str¨ omungsparameter konstant u aherung f¨ ur ¨ber Querschnitt (N¨ dh dx ≪ 1) Anwendung der Kontigleichung: Kontinuit¨ atR des Massenstromes: I = F · ρ · v (eigentlich ρ · ~v · dF~ , aber man nimmt Konstanz u ¨ber den Querschnitt an) F

I = const. = F1 · ρ1 · v1 = F2 · ρ2 · v2

⇒

ρ 2 v2 F1 = ρ 1 v1 F2

(5.14)

81 Wenn der Querschnitt in Stromrichtung abnimmt (Kompressionsd¨ use), muss ρ · v zunehmen. Da ρ mit v immer abnimmt (siehe oben) ⇒ Einstr¨ omen mit M a < 1 ⇒ v nimmt zu Einstr¨ omen mit M a > 1 ⇒ v nimmt ab (!) In einer Kompressionsd¨ use ist F am Ausgang minimal, also ist ρ · v am D¨ usenausgang maximal ⇒ Beim Einstr¨ omen mit M a < 1 wird M a = 1 erst am Ende der D¨ use erreicht (egal, wie hoch der Druck am Eingang ist)! Denn: Wenn M a bereits vorher = 1 w¨ are, g¨ abe es f¨ ur den folgenden Bereich kein M a, bei dem eine h¨ ohere Massenstromdichte erreicht werden k¨ onnte. ¨ In einer D¨ use zur Erzeugung von Uberschall muss an die Kompressionsstrecke eine Expansionsstrecke anschließen (Laval-D¨ use). ur ein vorgegebenes Profil h(x) (in der Regel nicht anaRechenanweisung f¨ lytisch m¨ oglich) mit I = const. und F (x) = πh2 (x): Berechne ρ · v aus z.B. M a∗ = 1 bei F = minimal und daraus v(x) (numerisch!), daraus wiederum ρ(x), T (x), p(x), alles als Funktionen der Eingangsdaten.

Siehe auch Gasdynamik.mws. ¨ Bis jetzt wurden station¨ are Str¨ omungen mit stetigen Anderungen von p, ρ,... behandelt. Wenn man nun zur Ausbreitung von Str¨ omungen mit großer Amplitude, v1 “beliebig”, u ¨bergeht, bricht die Linearisierung zusammen. Was passiert nun? Linearisierung: Schallwelle ¨ andert das Medium nicht Große Str¨ omung wird auch das Medium ver¨ andern Wenn hinter der Wellenfront√T > T0 , l¨ auft die Welle hinter der Front schneller ⇒ Aufheizen (c ∼ T !)

¨ KAPITEL 5. KOMPRESSIBLE STROMUNGEN

82 Beispiel: Explosion

Frontbreite nur durch freie Wegl¨ ange der Gasteilchen bestimmt (sonst 0!) ¨ ⇒ “Stoßwelle”, Anderung der Parameter (z.B. Dichte) durch die Front unstetig Vorkommen: Geschosse, Flugzeug, Explosion

Quelle: DGLR - Ludwig Prandtl Ged¨ achtnis-Vorlesung (03. April 06)

Quelle: DGLR - Ludwig Prandtl Ged¨ achtnis-Vorlesung (03. April 06)

Quelle: TUM - Modulvorstellung Numerische Simulation (03. April 06)

83

Quelle: TUM - Modulvorstellung Numerische Simulation (03. April 06)

Quelle: Weite Sch¨ usse (03. April 06)

Bemerkung: Stoßwelle l¨ ost auch das Paradoxon der “blinden” M a > 1 ¨ Str¨ omung auf ⇒ das passiert am Ubergang zu M a > 1! Die thermodynamischen Gr¨ oßen ¨ andern sich unstetig, aber die erhaltenen Gr¨ oßen ¨ andern sich stetig, Masse fließt durch Front hindurch (keine “Wand”, Verdichtungsstoß) Bilanzgleichungen (Erinnerung an Kapitel 1): ∂ρ ~ · (ρ~v ) Massenerhaltung = −∇ ∂t ∂(ρ~v ) ~ + ρ~v ⊗ ~v ) Impulserhaltung = −∇(p ∂t  2  !! ∂ ρ v2 + ǫ v2 ~ = −∇ · ρ~v +ω ∂t 2

(5.15) (5.16) (5.17)

Bemerkung: Wie u ¨blich ist das kein geschlossenes System, aber wenn man eine Zustandsgleichung hinzunimmt (z.B. adiabatisch, dS = 0, dw = − dp ρ ), dann wird es eins. Die Bilanzgleichungen kann mann u ¨ber die Stoßfront hinweg benutzen: ∂ → 0 ⇒ Station¨ a re Zust¨ a nde, Bezugssystem in dem die Stoßfront ruht, ∂t eindimensional. Z.B. Kolben, der eine Welle vor sich her dr¨ uckt:

~v1 = −~vF ront

~v2 = ~vKolben − ~vF ront

¨ KAPITEL 5. KOMPRESSIBLE STROMUNGEN

84

(Genauere Behandlung folgt sp¨ ater) Wie behandelt man eine Bilanzgleichung? ∂ρ ~ · (ρ~v ) = −∇ ∂t

∂ ∂t

⇒

Z

ρdV = −

Z

~v · (ρ~v )dV = −

I

ρ~v · dF~

∂ ∂t

→ 0 ⇒ ρ · ~v ist Fluß durch die Fl¨ ache, der erhalten bleibt. Eindimensional, x-Richtung:

⇒

ρ 1 v1 = ρ 2 v2

(5.18)

Aus der Ernergie-Bilanzgleichung erh¨ alt man analog: ρ 1 v1

v12 + w1 2

!

v22 + w2 2

= ρ 2 v2

!

⇒

v12 v2 + w1 = 2 + w2 2 2

(5.19)

F¨ ur den Impuls ergibt sich: 0=

Z

∂(ρ~v ) dV = − ∂t

I

(p + ρ~v × ~v )dF~

(Allg: dFk = dV

∂ ) ∂xk

⇒ Impuls ist ein Vektor, der durch die Fl¨ ache hindurch transportiert wird. Πik = pδik + ρvi vk : i-te Komponente des Impulses wird durch Fl¨ ache in k-Richtung transportiert. Hier: x-Richtung, d.h. 

~ dF ~| |dF

= (1, 0, 0)  





p + ρvx2 ρvx vy ρvx vz 1      ρvy vx p + ρvy2 ρvy vz  ·  0  = 0 ρvz vx ρvz vy p + ρvz2



p + ρvx2    ρvy vx  ρvz vx

|

{z

(5.20)

}

Impulsstrom (3 Komp.) der durch x-Fl¨ ache hindurchfließt

⇒ 3 Bedingungen, aber in unserer Geometrie ist nur die x-Komponente relevant ⇒

p1 + ρ1 v12 = p2 + ρ2 v22

3 Bilanzgleichungen → 3 Beziehungen zwischen 1 und 2 Einsetzen der Definition des (Massen-)Stromes durch die Fl¨ ache j = ρ 1 v1 = ρ 2 v2

v1 = j/ρ1

v2 = j/ρ2

(5.21)

85 in die Impulsbilanz ergibt: p1 +

j2 j2 = p2 + ρ1 ρ2

⇒

j2 =

p2 − p1 ρ1 ρ2 ρ2 − ρ1

Damit j 2 > 0 muss also gelten: p2 > p1 und ρ2 > ρ1 , oder p2 < p1 und ρ2 < ρ1 Unter Ber¨ ucksichtigung des 2. Haupsatzes (S2 > S1 ) findet man (ohne Beweis), dass nur p2 > p1 und ρ2 > ρ1 auftritt (“Verdichtungsstoß”) Einsetzen in die Energiebilanz ergibt: j2 j2 = w + 2 2ρ21 2ρ22 1 p2 − p1 ρ1 ρ2 2 j 2 ρ22 − ρ21 = (ρ − ρ21 ) 2 2 2 ρ1 ρ2 2 ρ2 − ρ1 ρ21 ρ22 2 ρ2 + ρ1 1 (p2 − p1 ) 2 ρ1 ρ2

w1 + ⇒

w2 − w1 = =

“Hugoniot’sche Adiabate” Folgerung aus dieser Adiabate:

Sekantensteigung:

−

p2 − p1 p2 − p1 =− ρ1 ρ2 = −j 2 1/ρ1 − 1/ρ2 ρ2 − ρ1

Man sieht sofort: Im Punkt 1 ist ∂p ∂p = −ρ2 > −j 2 ∂1/ρ ∂ρ

¨ KAPITEL 5. KOMPRESSIBLE STROMUNGEN

86 (−j 2 ist negativer als

∂p ∂1/ρ ,

Sekante ist steiler als die Kurve!)

j2 ∂p < = v12 ∂ρ 1 ρ21

⇒

∂p ∂p ≈ ∂ρ Mit ∂ρ folgt c21 < v12 und damit M a1 > 1 !! S (Diese N¨ aherung ist gut erf¨ ullt)

¨ ¨ Analog: M a2 < 1, Stoßfront vermittelt immer Ubergang von Uberzu Unterschall Normale Adiabate: p = const. · ργ

⇒

p1 = const. · ργ1

⇒

const. =

p1 ργ1

unabh¨ angig von der Wahl von p1 und ρ1 . ⇒

ρ2 = ρ1



p2 p1

1/γ

angig vom Anfangszustand, dagegen Hugoniot: ⇒ Nur eine Kurve, unabh¨ Zweiparametrige Schar, Verlauf der Adiabate h¨ angt vom Anfangspunkt ab.

Die Stoßadiabate verl¨ auft steiler als die “normale” Adiabate

Die Stoßadiabate variiert mit p1 und ρ1 , die “normale” Adiabate nicht

Siehe auch stoss adiabate.mws Konkretes Beispiel (wie immer) ideales Gas, w = ⇒

γ (p2 /ρ2 − p1 /ρ1 ) = γ−1 .. . ρ2 = ρ1

γp (γ−1)ρ

=

c2 γ−1

1 ρ2 + ρ1 (p2 − p1 ) 2 ρ2 ρ1 (γ + 1)p2 + (γ − 1)p1 (γ + 1)p1 + (γ − 1)p2

87 Temperaturen: ρ 2 T2 p2 = ρ 1 T1 p1

T2 p2 (γ + 1)p1 + (γ − 1)p2 = · T1 p1 (γ + 1)p2 + (γ − 1)p1

⇒

Geschwindigkeiten: Differenz

v1 − v2 = j



1 1 − ρ1 ρ2



= ... =

s

(p2 − p1 )(ρ2 − ρ1 ) ρ2 ρ1

Grenzf¨ alle: • “schwacher Stoß”, p2 ≈ p1 ρ2 →1 ρ1

T2 →1 T1

v1 − v2 → 0 (v1 → c+

v2 → c− )

⇒ Schallwelle, linearisierte, kleine St¨ orung • “starker Stoß”, p2 ≫ p1

ρ2 γ+1 → ρ1 γ−1 p2 γ − 1 T2 → T1 p1 γ + 1

5 beschr¨ ankt (4 f¨ ur γ = ) 3 unbeschr¨ ankt

Bei beliebig starkem Stoß kann Dichte nicht u ¨ber der Rest der Energie geht in Entropie (T ).

γ+1 γ−1

erh¨ oht werden,

Abhilfe: Serie von St¨ oßen “pulse shaping”: Die Kompressionswelle l¨ auft nacht innen, wird reflektiert und dann muss die Intensit¨ at erh¨ oht werden. Beispiel: Tr¨ agheitsfusion (= ˆ Kompression eines Wasserstoffpellets durch Laserstrahlung

Schließlich nochmal zur¨ uck zum System Kolben-im-Rohr:

¨ KAPITEL 5. KOMPRESSIBLE STROMUNGEN

88 Es ist

vF ront −v1 v1 1 v1 = = = =− vKolben v2 + vF ront v2 − v 1 v1 − v 2 1 − vv21

Kontinuit¨ atsgleichung: ρ 1 v 1 = ρ 2 v2 F¨ ur einen starken Stoß ergab sich ⇒

ρ2 ρ1

⇒ →

v2 ρ1 = v1 ρ2 γ+1 γ−1

γ + 1 γ= 35 4 vF ront 1 = = → vKolben 2 3 1 − γ−1 γ+1

⇒ Die Front l¨ auft vor dem Kolben (Stoßerzeuger) her und bewegt sich relativ von ihm weg (vF ront = 34 · vKolben ).

Kapitel 6

Viskose Fluide 6.1

Die Navier-Stokes-Gleichung

Bisher haben wir uns ausf¨ uhrlich mit idealen Fl¨ ussigkeiten besch¨ aftigt. Jetzt betrachten wir Fl¨ ussigkeiten mit Energiedissipation (keine W¨ armeleitung). Dissipation ≡ innere Reibung (Z¨ ahigkeit) Diese Prozesse bringen die immer mehr oder weniger vorhandene thermodynamische Irreversibilit¨ at der Str¨ omung zum Ausdruck. Bewegung z¨ aher Fl¨ ussigkeiten ⇒ Bewegungsgleichung f¨ ur ideale Fl¨ ussigkeiten + Zusatzterme zur Beschreibung der Reibungskr¨afte Die Kontigleichung gilt f¨ ur beliebige Fl¨ ussigkeiten. (Massenerhaltung ist von viskosen Effekten unbeeinflusst.) Die Euler-Gleichung muss ge¨ andert werden! Ideale Formulierung: ∂ ∂ (ρvi ) = − Πik ∂t ∂xk Πik

: ≡ ≡

(6.1)

Tensor der Impulsstromdichte rein reversible Impuls¨ ubertragung mechanische Fortbewegung der verschiedenen Fl¨ ussigkeitsteile von einem Ort zum anderen + die in der Fl¨ ussigkeit wirkenden Druckkr¨afte Πik |ideal = pδik + ρvi vk

(6.2)

Die Z¨ ahigkeit (innere Reibung) der Fl¨ ussigkeit ¨ außert sich im Auftreten einer zus¨ atzlichen irreversiblen Impuls¨ ubertragung von einem Ort mit gr¨ oßerer Geschwindigkeit an einen Ort mit kleinerer Geschwindigkeit. 89

90

KAPITEL 6. VISKOSE FLUIDE

Ergo: ′ das den z¨ Zum idealen Impulsstrom kommt ein zus¨ atzliches Glied σik ahen, irreversiblen Impulstransport in der Fl¨ ussigkeit angibt: ′ Πik |nichtideal = pδik + ρvi vk − σik = −σik + ρvi vk

(6.3)

′ σik = −pδik + σik

(6.4)

Der Tensor

heißt Spannungstensor. ′ σik ≡ z¨ aher Spannungstensor (Reibungstensor) σik : Gibt den Teil des Impulsstromes an, der nicht mit dem unmittelbaren Transport des Impulses gemeinsam mit der Masse der bewegten Fl¨ ussigkeit zusammenh¨ angt. ′ aus? Wie sieht σik

Exakte Herleitung aus dem 1. Moment der Boltzmann-Gleichung → Stoßintegral (kompliziert aber machbar)! Ph¨ anomenologisches zur inneren Reibung

Zwischen einer bewegten und einer ruhenden Platte bildet sich ein lineares (station¨ ares) Geschwindigkeitsprofil aus. Sein Gradient bestimmt die zum Verschieben n¨otige Kraft.

Um die Platte der Fl¨ ache A mit konstanter Geschwindigkeit ~v parallel zur Wand zu verschieben braucht man eine Kraft: ~v F~ = ηA ∆z

(6.5)

kg η: Viskosit¨ at (Eigenschaft der Fl¨ ussigkeit) [η] = ms A im Z¨ ahler ist klar (je gr¨ oßer, desto mehr Kraft). ~v im Z¨ ahler ist klar (je schneller, desto mehr Kraft). Schichtdicke im Nenner? Es handelt sich nicht um Reibung zwischen Fl¨ ussigkeit und Festk¨ orper die an den W¨ anden angrenzenden Schichten haften an diesen - sondern um Reibung zwischen den einzelnen Fl¨ ussigkeitsschichten: Je kleiner ∆z bei gegebenem ~v , desto schneller m¨ ussen die einzelnen Molek¨ ulschichten u ¨bereinander weggleiten.

6.1. DIE NAVIER-STOKES-GLEICHUNG

91

Im Spalt zwischen den ebenen Platten ¨ andert sich die Str¨ omungsgeschwindigkeit ~v linear mit der Koordinate z. Im allgemeinen Fall ist dieser Zusam~v menhang nicht linear. Dann kann man F~ ∼ A ∆z nur jeweils auf eine sehr d¨ unne Schicht dz anwenden. An ihr muss beiderseits die Kraft d~v F~ = ηA dz angreifen, wobei auch noch A hinreichend klein sein muss, falls sich recht zu z a ¨ndert. Wie reden besser von der viskosen Schubspannung. ση =

dF dv =η dA dz

(6.6) d~v dz

senk-

(6.7)

Kraft pro Fl¨ ache = Druck. ′ . ση ist nur Teil einer Komponente des Reibungstensors σik Eine Str¨ omung, deren Verhalten durch die innere Reibung bestimmt wird, heißt laminare oder schlichte Str¨ omung (Gegensatz: turbulente Str¨ omung). Fl¨ usse oder Wasser in Leitungen sind i.A. turbulent! Die Blutzirkulation ist laminar. In laminaren Str¨ omungen gleiten selbst d¨ unne Fl¨ ussigkeitsschichten u ¨bereinander. Bei turbulenten Str¨ omungen wirbeln sie ineinander. Ein theoretisches Kriterium ob eine laminare oder turbulente Str¨ omung vorliegt gibt die Reynolds-Zahl (siehe sp¨ ater). Reibungskr¨ afte in str¨ omenden Fl¨ ussigkeiten

Wir betrachten ein Volumenelement dV = dxdydz in einer Fl¨ ussigkeit, in der die Str¨ omung in y-Richtung erfolgt und ein Geschwindigkeitsgef¨ alle in x-Richtung hat. Auf die linke Stirnfl¨ ache eines Volumenelements wirkt die Kraft:

∂v dydz dF1 = −η ∂x links

(6.8)

92

KAPITEL 6. VISKOSE FLUIDE

Analog ist die Kraft entgegengesetzter Richtung auf die rechte Stirnfl¨ ache bestimmt durch das dortige Gef¨ alle, das einen anderen Wert haben kann.

!

(6.9)

∂2v ∂2v dxdydz = η dV ∂x2 ∂x2

(6.10)

∂v dF2 = η dydz = η ∂x rechts



∂v ∂2v dx dydz + ∂x links ∂x2

Taylor-Entwicklung

dFr = dF2 + dF1 = η

ist nur dann verschieden von Null, wenn das Geschwindigkeitsprofil gekr¨ ummt ist (sonst gibt es zwar Drehmomente, aber keine translatorischen Kr¨ afte). Wenn sich die Geschwindigkeit nicht in x-Richtung ¨ andert, leistet jede Koordinate ihren Beitrag: dFr = η∆vdV = η

∂2v ∂2v ∂2v + + ∂x2 ∂y 2 ∂z 2

Laplace-Operator:

∆=

!

dV

(6.11)

∂2 ∂2 ∂2 + + 2 2 2 ∂x ∂y ∂z

Die Kraftdichte, d.h. Kraft pro Volumen, f¨ ur die innere Str¨ omung ist vektoriell gegeben durch: f~r = η∆~v = ρ∂t~v

(6.12)

Nach Newton u agt die Kraftdichte Beschleunigung auf das Volumen¨bertr¨ element. In Kombination mit der Euler-Gleichung ergibt sich: ∂~v ~ + η ∆~v ~ v = − 1 ∇p + (~v · ∇)~ ∂t ρ ρ

(6.13)

Navier-Stokes-Gleichung (f¨ ur inkompressible Fl¨ ussigkeiten) F¨ ur kompressible Fl¨ ussigkeiten: 



∂~v ~ + η ∆~v + ξ + η ∇( ~ ∇ ~ · ~v ) ~ v = − 1 ∇p + (~v · ∇)~ ∂t ρ ρ 3

(6.14)

η = Scherungskoeffizient/Viskosit¨ at, ξ = Kompressionskoeffizient der Viskosit¨ at und ν = ηρ heißt kinematische Viskosit¨ at. Anwendung der Navier-Stokes-Gleichung im laminaren Bereich: Str¨ omung zwischen bewegten Platten

6.1. DIE NAVIER-STOKES-GLEICHUNG

93

Das System sei auch in x-Richtung unendlich ausgedehnt. Laminare Str¨ omung:   vx   ~v =  0  0

∂vx = 0 (Kontinuit¨ atsgleichung mit ρ = const.) ∂x Der ¨ außere Druck sei konstant (Bewegung kommt durch Plattenbewegung) ∂p =0 ∂x

⇒ Navier Stokes station¨ ar:

∂~v =0 ∂t

~ v → vx (~v · ∇)~

∂ vx = 0 ∂x | {z } =0

x-Komponente: ⇒

0=η

∂ 2 vx ∂y 2

⇒

vx = c1 · y + c 2

Randbedingungen:

⇒ y-Komponente:

vx (0) = 0 ⇒ c2 = 0 vP vx (h) = vP ⇒ c1 = h vP vx (y) = · y (unabh¨ angig von η!) h

∂p = 0 ⇒ p = const. ∂y Die Kraft, die ben¨ otigt wird, um die Platte mit vP zu bewegen, h¨ angt jedoch von η ab! Berechnung: Kraf ti ∂ ∂ (ρvi ) = =− Πik ∂t V olumen ∂xk

94

KAPITEL 6. VISKOSE FLUIDE

⇒ Kraft: Ki = −

Z

∂ Πik dV = − ∂xk

I

Πik · dFk

“Skalarprodukt mit Tensor”

Wenn das Volumen klein ist, ist Πik ≈ const. und man kann das Integral weglassen. dKi = −Πik nk dF nk ist Normalenvektor in k-Richtung

⇒

dKi = −(ρvi vk + pδik − σik )nk dF

An der Wand ist vk · nk = 0 (kein Fluß in die Wand) 



∂vi ∂vk dKi = −pδik + η + dF ∂xk ∂xi (inkompressibel, d.h.

∂vj ∂xj



nk

= 0)

In unserem Beispiel: n = (0, −1, 0) bei x = h ⇒

dKi dF

=

pδi2 ↓ Ky = p · F

−η



∂vi ∂x2

↓

∂vx ∂y

y h



Term verschwindet da vy

in x-Richtung (da vy = vz = (Scherkraft)

Mit vx = vP ·

2 + ∂v ∂xi ↓

=0

0)

folgt Kx = −F η

∂vx vP = −F η ∂y h

als Gegenkraft zur Scherkraft. Bei x = 0 ist n = (0, 1, 0) ⇒ Kraft in Richtung der Fl¨ ussigkeit, “Mitreißen” Generell: Druck senkrecht zur Wand, Schwerkraft parallel zur Wand

Skizzierter Nachweis von (6.14): ′ : Also zur¨ uck zu der Frage nach der Gestalt von σik (6.1) : (6.3) :

∂t (ρvi ) = −∂xk Πik ′ Πik = pδik + ρvi vk − σik

(Details: Greiner, 257ff) Innere Reibung tritt nur f¨ ur eine Relativbewegung zwischen verschiedenen

6.1. DIE NAVIER-STOKES-GLEICHUNG

95

′ = f (∇v). ~ FEen auf → σik Wir nehmen an, dass die Impuls¨ ubertragung durch die Viskosit¨ at in ∂xk vi linear ist, d.h. die Geschwindigkeitsgradienten sollen nicht zu groß sein, son′ = 0 f¨ dern σik ur gleichm¨ aßige Rotation des Fluids (~v = ω ~ × ~x). Allgemeinste Form eines Tensors 2. Stufe, der diesen Bedingungen gen¨ ugt:

2 ′ = η(∂xk vi + ∂xi vk − δik ∂xl vl ) + ξδik ∂xl vl σik 3

(6.15)

Also ergibt sich f¨ ur die allgemeinste Form der i-ten Komponente der Bewegungsgleichung f¨ ur ein z¨ ahes Fluid: ρ(∂t vi + vk ∂xk vi ) = −∂xi p + ∂xk [η(∂xk vi + ∂xi vk |

{z

Euler- Gleichung

}

−

2 δik ∂xl vl )] + ∂xi (ξ∂xl vl ) 3

(6.16)

′ ∂t (ρvi ) = vi ∂t ρ + ρ∂t vi = −∂xk Πik = −∂xk [δik p + ρvi vk − σik ]

′ vi ∂t ρ + vi ∂xk (ρvk ) +ρ∂t vi + ρvk ∂xk vi = −∂xi p + ∂xk σik

|

=0

{z

}

Kontigleichung

Meistens k¨ onnen η, ξ als konstant im ganzen Fluid angesehen werden → ~ · ~v = 0 → (6.13). ur ∂xl vl = ∇ (6.14), bzw. f¨ Der Spannungstensor f¨ ur ein inkompressibles Fluid lautet also: σik = −pδik + η(∂xk vi + ∂xi vk ) |

{z

′ σik

(6.17)

}

Im weiteren werden wir uns ausschließlich mit inkompressiblen viskosen Fluiden besch¨ aftigen. Zur L¨ osung der Navier-Stokes-Gleichung (6.13) bedarf es noch der Angabe von Randbedingungen. Zwischen der Oberfl¨ ache von K¨ orpern und z¨ ahen Fluiden wirken molekulare Anziehungskr¨ afte, die die unmittelbar an der Fl¨ ache anliegende Fluidschicht festhalten, d.h. oft ~v |Rand = ~vtan |Rand +~vnormal |Rand = ~vtan |W and +~vnormal |W and = ~v |W and = 0 Bei idealen Fluiden war nur eine Randbedingung erforderlich, n¨ amlich ~vnormal = 0. Navier-Stokes ∼ ∆~v

~ v Euler ∼ (~v · ∇)~

2. Ableitung 1. Ableitung

96

KAPITEL 6. VISKOSE FLUIDE

Wie sieht im viskosen Fall die Transportgleichung f¨ ur die Wirbeldichte ~ ω ~ = ∇ × ~v aus? Vgl. (2.80): ~ v dt ω ~ = (~ ω · ∇)~ Bilde die Rotation der Navier-Stokes-Gleichung (6.13) mit 2

~ v=∇ ~ v − ~v × ω ~ (~v · ∇)~ 2 ~ × (~v × ω ~ × ∂t ω ~ −∇ ~) = ∇

⇒





1 ~ ~ × ∇p + ∇ rho



η ∆~v ρ



(6.18)

Sei nun ρ = const, η = const (was eigentlich sowieso der Fall ist). Nun ist: ~ × (~v × ω ~ v − (~v · ∇)~ ~ ω ∇ ~ ) = (~ ω · ∇)~ ~ ∇ ~ · ~v ) − ∇ ~ ×∇ ~ × ~v = −∇ ~ ×ω ∆~v = ∇( ~ ~ ×∇ ~ ×ω ~ ∇ ~ ·ω ∇ ~ = −∆~ ω + ∇( ~ ) = −∆~ ω ⇒

~ v + η ∆~ ω dt ω ~ = (~ ω · ∇)~ ρ

(6.19)

Wenn also ω ~ = 0 zur Zeit t = 0 ist, dann bleibt das Fluid wirbelfrei. (Aber: Denke an das m¨ ogliche Einwandern von Wirbeln u ¨ber den Rand!)

6.2

Energiedissipation in inkompressiblen viskosen Fluiden

Viskosit¨ at in Fluiden f¨ uhrt zur Dissipation kinetischer (gerichteter) Energie in W¨ arme. Die kinetische Energie ¨ andert sich mit der Zeit gem¨ aß ∂t









ρ 2 1 1 Navier-Stokes ′ = ρvi −vk ∂xk vi − ∂xi p + ∂xk σik v = ρvi ∂t vi (6.20) 2 ρ ρ

bzw. ∂t





ρ 2 ~ · [ ρ~v v = −∇ 2 |

v2 p + 2 ρ {z

!

′ −~v σ ′ ] − σik ∂ x k vi

}

Energiestrom in idealem Fluid

Wobei

2 2 ~ · ρ~v v ~ v = ρ~v · ∇ ~v =∇ ρ~v · (~v · ∇)~ 2 2

!

(6.21)

¨ 6.3. LAMINARE STROMUNGEN

97

~ × ~v )) = 0 ~v · (~v × (∇

~ · ~v = 0 inkompressibel: ρ = const ∇

′ darstellt. verwendet wurde und ~v σ ′ den Vektor mit den Komponenten vi σik ′ , mit diesem ist insbesondere ein Viskosit¨ at bewirkt einen Impulsstrom σik ′ Energiestrom vi σik verbunden.

Integration von (6.21) u ¨ber ein beliebiges Volumen: ∂t

Z

ρ 2 Gauss v dV = − 2

I "

ρ~v

v2 p + 2 ρ

!

#

− ~v σ df~ − ′

Z

′ σik ∂xk vi dV

(6.22)

¨ Der erste Term der rechten Seite gibt die Anderung der kinetischen Energie in V infolge des Energiestromes durch die Oberfl¨ ache dieses Volumens an. Der zweite Term beschreibt die Dissipation der kinetischen Energie. Bei Integration u ¨ber das gesamte Fluidvolumen verschwindet das Oberfl¨ achenintegral (entweder lim|~x|→∞ |~v | = 0 f¨ ur ein unbegrenztes Fluid, oder |~v ||Rand = 0 f¨ ur ein begrenztes Fluid). ⇒

∂t

Z

1 ρ 2 v dV = − 2 2

Z

′ σik (∂xk vi + ∂xi vk )dV

′ . Mit σ ′ aus (6.17) folgt: Dies erlaubt die Symmetrie des Tensors σik ik

∂t

6.3

Z

η ρ 2 v dV = − 2 2

Z

(∂xk vi + ∂xi vk )2 dV

(6.23)

Laminare Str¨ omungen

Laminare Str¨ omung: Sie erfordert eine hohe Viskosit¨ at, ein diffusiver Impulstransport dominant.

η v ρ ∆~

ist

Die Bewegung des Fluids erfolgt, als wenn Schichten verschiedener Geschwindigkeit aneinander vorbeigleiten w¨ urden → keine Turbulenz. I.A. handelt es sich hierbei um recht stabile Str¨ omungen, die durch ein Gleichgewicht von treibender Kraft (¨ außere Kraft, Druckgradient) und Reibungskraft charakterisiert sind. a) Laminare Spaltstr¨ omung Wir betrachten eine station¨ are Str¨omung zwischen ruhenden parallelen Ebenen mit dem Abstand h, welche durch einen Druckgradienten in x-Richtung verursacht wird.

98

KAPITEL 6. VISKOSE FLUIDE

~v = vx (y)~ex Station¨ are Navier-Stokes-Gleichung: ∂y2 vx =

1 ∂x p η

∂ y p = 0 = ∂z p

(6.24)

vx 6= f (x) laut Voraussetzung, aber auch ∂y p = 0. ⇒ Das Gleichgewicht kann nur erf¨ ullt sein, wenn beide Seiten konstant sind. dx p = const ⇒ p lineare Funktion von x. vx =

1 dx py 2 + ay + b 2η

(6.25)

Die Integrationskonstanten a und b bestimmen sich aus den Randbedingungen: 1 vx (y = 0) = vx (y = h) = 0 ⇒ b = 0 a = − dx ph 2η ⇒

vx =

1 dx py(y − h) 2η

(6.26)

→ Parabolisches Geschwindigkeitsprofil quer zur Fluidschicht, vx,max bei y = h2 . Die Geschwindigkeit w¨ achst mit zunehmendem Abstand von den R¨ andern. F¨ ur die mittlere, u ¨ber die Dichte der Fluidschicht gemittelte, Geschwindigkeit in x-Richtung ergibt sich: 1 v¯x = h

Zh 0

h2 1 dx p(y 2 − yh)dy = − dx p 2η 12η |{z}

(6.27)

<0

Die auf die Ebenen wirkende Fl¨ achenreibungskraft (Schubspannung, vgl. (6.7)) ist: h ′ 6.17 = η∂y vx |y=0 = − dx p = −η∂y vx |y=0 σxy 2 1 dx p[y − h + y] d y vx = 2η b) Die laminare Rohrstr¨ omung

(6.28)

Wir betrachten eine station¨ are Laminarstr¨ omung einer homogenen inkompressiblen Fl¨ ussigkeit durch ein Rohr vom Radius R und der L¨ ange l zwischen dessen beiden Enden. Es herrscht die Druckdifferenz δp = p1 − p2 .

¨ 6.3. LAMINARE STROMUNGEN

99

Wie sehen die Druckverteilung, die v-Verteilung und die Stromst¨ arke (das durch die Querschnittsfl¨ ache pro Zeiteinheit fließendes Fluidvolumen) aus? Wir verwenden die Navier-Stokes-Gleichung: ∂~v ~ + η ∆~v ~ v = − 1 ∇p + (~v · ∇)~ ∂t ρ ρ + Inkompressibilit¨ at: ~ · ~v = 0 ∇ + Gegebenenfalls Kontigleichung: ∂ρ ~ + ∇ · (ρ~v ) = 0 ∂t F¨ ur eine station¨ are Str¨ omung ( ∂ρ ∂t = 0) liefert die Kontigleichung ρ = const. Laminarstr¨ omung bedeutet, dass kreiszylindrische Fl¨ ussigkeitsschichten aneinander vorbeigleiten. ⇒ Die Fl¨ ussigkeit fließt u ¨berall parallel zur Rohrachse. ~v = ~ez v ~ · ~v = 0 liefert dann: ∇

∂v =0 ∂z

D.h. v = v(x, y). Das Problem ist zylindersymmetrisch, weswegen man Zylinderkoordinaten ∂ (r, ϕ, z) verwendet. Axialsymmetrie bedeutet ∂ϕ = 0! ∂~v are Navier-StokesF¨ ur eine station¨ are Str¨ omung, d.h. ∂t = 0, geht die station¨ ∂v ~ Gleichung wegen (~v · ∇)~v = ~ez v ∂z = 0 u ¨ber in: ~ + η~ez ∆v 0 = −∇p ⇒

∂p ∂p = =0 ∂x ∂y

oder

(6.29) ∂p ∂p = =0 ∂r ∂ϕ

Nach Voraussetzung herrscht ein endlicher Druckgradient entlang des Rohres. p = p(z)

100

KAPITEL 6. VISKOSE FLUIDE 

1 ∂ ∂ ∆= r r ∂r ∂r



+

∂2 1 ∂2 + r2 ∂ϕ2 ∂z 2

Wir bedenken dass v = v(r) (axialsymmetrisch), damit folgt aus (6.29): dp dz |{z}

= η |

unabh¨ angig von r



1 d dv r r dr dr {z



(6.30)

}

unabh¨ angig von z

Gleichheit herrscht nur, falls beide Seiten konstant und gleich sind: dp = C dz   d dv C r r = dr dr η

(6.31) (6.32)

In z1 herrscht Druck p1 . z2 = z1 + l

p2 = p1 − δp

Approximation: C≈−

δp l

(6.33)

C als Maß f¨ ur das Druckgef¨ alle. Integration von (6.32) ergibt das Geschwindigkeitsprofil: Z



dv d r dr

r



=

Z

C C 2 rdr = r + C1 η 2η

dv C 2 = r + C1 dr 2η

(6.34)

Nochmalige Integration: Z

dv = v =

Z

C rdr + 2η

Z

C1 dr r

(6.35)

C 2 r + C1 ln r + C2 4η

(6.36)

Mit den Integrationskonstanten C1 und C2 . Auf der Rohrachse (r = 0) ist v endlich ⇒ C1 = 0. C 2 R . An der Rohrwand (r = R) ist v = 0 ⇒ C2 = − 4η Damit ergibt sich f¨ ur die Str¨ omungsgeschwindigkeit: v=

δp 2 C 2 (r − R2 ) ≈ (R − r2 ) 4η 4ηl

(6.37)

¨ 6.3. LAMINARE STROMUNGEN

101

Wir erhalten ein parabolisches Geschwindigkeitsprofil. p> = p1 sei der gr¨ oßere Druck an den Rohrenden, d der Abstand vom linken Rohrende. Aus dp ∂p =C=− dz l folgt durch Integration: p = p> − δp

d l

(6.38)

Die Stromst¨ arke Q, also das in einer Zeiteinheit durch einen Querschnitt des R Rohres (Kreisfl¨ ache 2πrdr) str¨ omende Fl¨ ussigkeitsvolumen, ist: Q=

Z

vdf =

Z2π 0

dϕ

ZR 0

δp rv(r)dr = 2 pi 4ηl 6.37

ZR 0

(R2 − r2 )rdr =

πR4 δp (6.39) 8ηl

Hagen-Poiseuille Oder Masse, die pro Sekunde durch den Kreisrohrquerschnitt fließt: ρQ =

πR4 δp 8νl

(6.40)

Hagen-Poisseuille verliert seine G¨ ultigkeit wenn bei gegebenem Rohrdurchmesser die mittlere Geschwindigkeit v¯ einen kritischen Wert u ¨berschreitet. Das Geschwindigkeitsprofil ist ein Paraboloid. Auf der Achse herrscht maximale Geschwindigkeit. v0 =

R2 δp 4ηl

(6.41)

Die gemittelte Str¨ omungsgeschwindigkeit ist: v¯ =

Q δpR2 = πR2 8ηl

(6.42)

Die gesamte Druckkraft ist: F = πR2 δp FR = −8πηl¯ v

(6.43)

Das ist die Stokessche Reibung in viskosen Fl¨ ussigkeiten, die inkompressibel sind. In kompressiblen Gasen eher Newtonsche Reibung FR ∼ v¯2 . Im station¨ aren Fall gilt Fp = FR .

102

KAPITEL 6. VISKOSE FLUIDE

c) Laminare Str¨ omung um Kugeln (Stokes) Zieht man eine Kugel vom Radius r mit der Geschwindigkeit ~v durch eine Fl¨ ussigkeit, so haften die unmittelbar benachbarten Fl¨ ussigkeitsschichten an der Kugel. (Ein ¨ ahnliches Kraftgesetz finden wir f¨ ur die Stokessche Reibung um eine Kugel.) In einiger Entfernung herrscht die Str¨ omungsgeschwindigkeit Null. Diese Entfernung ist von der Gr¨ oßenordnung r. v ⇒ Geschwindigkeitsgef¨alle: dv ∼ dz r. 2 Auf der Oberfl¨ ache (4πr ) der Kugel greift die bremsende Kraft F ≈ −η

dv 4πr2 ≈ −4πηvr dz

(6.44)

an. Man muß also mit einer Kraft von dieser Gr¨ oßenordnung ziehen, um die Geschwindigkeit v zu erreichen. Explizite Rechnung zum Kugel-Str¨ omungswiderstand Annahmen: laminare Str¨ omung, Re ≪ 1 ⇒ Reibung dominant ~ v? Was bedeutet das f¨ ur (~v · ∇)~ ~ v ∼ v0 1 v0 (~v · ∇)~ L0 ν∆~v ∼ ν · Lv02 0

)

⇒ Verh¨ altnis:

~ v| v 2 L2 v0 L0 |(~v · ∇)~ ∼ 0 0 = = Re |ν∆~v | L0 v0 ν ν

~ v vernachl¨ ⇒ Re ≪ 1 bedeutet auch, dass (~v · ∇)~ assigt werden kann (war bei Hagen-Poiseuille aufgrund der Geometrie Null) Kugelkoordinaten:

0≤θ≤π 0 ≤ ϕ ≤ 2π

W¨ ahlt man das Koordinatensystem so, dass die Str¨ omung aus Richtung der z-Achse kommt, dann ist das Problem von ϕ unabh¨ angig.

¨ 6.3. LAMINARE STROMUNGEN

103

Zun¨ achst ergibt sich f¨ ur den Druck: ~ (∇ ~ · ~v ) )−∆p = 0 ~ ~ = η ∇·(∆~ ~ ~ · (∇ ~ ×∇ ~ × ~v −∇ ∇·(η∆~ v − ∇p) v )−∆p = η ∇ {z

|

⇒

~ ∇×(...)=0 ~ ∇·

| {z }

}

0 wegen Inkompr.

∆p = 0

In Kugelkoordinaten: 

1 ∂ ∂p r2 r2 ∂r ∂r





∂ 1 ∂p + 2 2 sin θ ∂θ ∂θ r sin θ



+

1 1 ∂2p =0 r2 sin2 θ ∂ϕ2

|

{z

!

Yℓm (θ, ϕ)

→0, da

}

∂ →0 ∂ϕ

Die L¨ osung dieser Potential (Laplace) Gleichung in Kugelkoordinaten sind die Multipole: p(r, θ, ϕ) =

∞ X ℓ X

c1ℓm rℓ

ℓ=0 m=−ℓ

c2ℓm + ℓ+1 r

Wegen ϕ-Unabh¨ angigkeit ist nur m = 0 zu ber¨ ucksichtigen und die Kugelfl¨ achenfunktionen Yℓm (θ, ϕ) gehen in Kugelfunktionen Pℓ (cos θ) u ¨ber (Legendrepolynome), mit P0 = 1

1 P2 = (3 cos2 θ − 1) 2

P1 = − cos θ

...

Randbedingung: p verschwinde im Unendlichen ⇒ rℓ -Terme m¨ ussen verschwinden. p(r, θ) = const. +

A0 A1 − 2 cos θ + . . . r r

(r → ∞ :

const. = p0 )

Jetzt betrachten wir die r-Komponente von Navier-Stokes: 



∂vr 1 ∂ r2 η 2 r ∂r ∂r





1 ∂ ∂vr + 2 sin θ r sin θ ∂θ ∂θ





2vr ∂p 2 ∂vθ 2 cot θvθ − 2 − 2 = − r r ∂θ r2 ∂r

Problem: Es taucht auch vθ auf! Um dieses zu eliminieren benutzt man die Kontigleichung: ~ · ~v = 0 ⇒ ∇

1 ∂ 2 1 ∂ (r vr ) + (sin θvθ ) = 0 r2 ∂r r sin θ ∂θ ∂ = 0 wie vorher) ( ∂ϕ

⇒

1 1 ∂vθ 1 ∂ vθ cos θ + sin θ = − 2 (r2 vr ) r sin θ r sin θ ∂θ r ∂r

Eingesetzt in die r-Komponente von Navier-Stokes: ⇒





∂vr 1 ∂ r2 η 2 r ∂r ∂r





1 ∂ ∂vr + 2 sin θ r sin θ ∂θ ∂θ





2 ∂ ∂p 2vr − 2 + 3 (r2 vr ) = r r ∂r ∂r

104

KAPITEL 6. VISKOSE FLUIDE

Zusammengefasst: "



1 ∂2 2 ∂vr 1 ∂ η 2 sinθ (r vr ) + 2 r ∂r sin θ ∂θ ∂θ

#

=

∂p ∂r

Die rechte Seite dieser Gleichung ist nach Potenzen von cos θ entwickelt (vgl. oben) ⇒ Ansatz: vr (r, θ) = R(r) · cos θ ⇒

η

1 ∂2 2 1 ∂ A0 2A1 [ 2 (r R) cos θ − (R sin2 θ)] = − 2 + 3 cos θ − . . . 2 r ∂r r r } |sin θ ∂θ {z 1 2 sin θ cos θ sin θ {z | }

R

2R cos θ

Mit A0 = 0, An = 0 f¨ u n > 1 und nach K¨ urzen von cos θ erh¨ alt man eine DGL f¨ ur R(r): ! ∂2 2 2A1 1 (r R) − 2R = 3 η 2 2 r ∂r r R′′ +

⇒

4R′ 2A1 1 = r η r3

Letzteres ist eine gew¨ ohnliche DGL 2ter Ordnung, ihre L¨ osung setzt sich zusammen aus der L¨ osung der zugeh¨ origen homogenen DGL und einer Partikul¨ arl¨ osung. Homogene DGL: R′′ + ⇒

4R′ =0 r

⇒ Ansatz: R(r) = Brα + C

Bα(α − 1)rα−2 + 4Bαrα−2 = 0 α1 = 0 (trivial)

α2 + 3α = 0

⇒

α2 = −3

Die homogene L¨ osung lautet also: R(r) = B

1 +C r3

Von der inhomogenen DGL ist nur eine L¨ osung gesucht. Da 1r in beiden Summanden auf der linken Seite der inhomogenen DGL einen Ausdruck mit 1 ergibt, “r¨ at” man sinnvollerweise: r3 R(r) = D

1 r

⇒

2

D D 2A1 1 −4 3 = 3 r r η r3

Die Partikul¨ arl¨ osung lautet also: R(r) = −

A1 1 η r

⇒

D=−

A1 η

¨ 6.3. LAMINARE STROMUNGEN

105

Damit ergibt sich die gesamte L¨ osung zu: R(r) = −

A1 1 B + +C η r r3





A1 1 B vr (r, θ) = − + + C cos θ η r r3

⇒

~ · ~v = 0): Die vθ -Komponente erh¨ alt man aus der Inkompressibilit¨ at (∇ 1 ∂ 1 ∂ 2 (r vr ) + (sin θvθ ) = 0 2 r ∂r r sin θ ∂θ

Ansatz: vθ = R2 (r) sin θ

vr und vθ eingesetzt ergibt: cos θ





1 1 A1 B − − 2 + 2Cr + (cos θR2 sin θ + sin θR2 cos θ) = 0 2 r η r r sin θ ⇒

R2 (r) =

vθ (r, θ) =

⇒



A1 1 B 1 + −C 2η r 2 r3 

A1 1 B 1 + − C sin θ 2η r 2 r3

Die drei freien Konstanten lassen sich aus der Randbedingung bei ∞ und 2 Randbedingungen bei r = R0 bestimmen. F¨ ur r ⇒ ∞ hat man einen ungest¨ orten Fluss parallel zur z-Achse: vr = v0 cos θ

vθ = −v0 sin θ

⇒

C = v0

F¨ ur r = R0 (an der Oberfl¨ ache) gilt: v⊥ = vr = 0 und vk = vθ = 0 A1 2 B A1 1 + 3 + v0 ⇒ B = R − v0 R03 η R0 R0 η 0 A1 1 A1 1 v0 A1 1 3 + − − v0 = 0 ⇒ = v0 2η R0 2η R0 2 η R0 2

vr = 0 :

−

In vθ = 0 : ⇒

3 A1 = v0 R0 η 2

1 B = v0 R03 2

⇒

Die vollst¨ andige L¨ osung lautet also: 

vr = v0 1 −

+ 

1 2

1 R0 3 R0 4 r + 4 r 3 cos θ p0 − 2 ηv0 R0 r2

v θ = v0 p =



3 R0 2 r



R0 r 3

3  

cos θ

− 1 sin θ

106

KAPITEL 6. VISKOSE FLUIDE

Visualisierung mit Stokes.mws Ohne Rechnung erh¨ alt man daraus f¨ ur die Kraft: K = 6πηR0 v0

6.4

(

2πηR0 v0 vom asymmetrischen Druck 4πηR0 v0 von Schwerkraft

Kriterien fu omungstypen, Ska¨ r verschiedene Str¨ lierungsgesetze

Welcher Str¨ omungstyp (ideal, laminar, turbulent) gilt unter gegebenen Bedingungen (char. Abmessungen l, char. Str¨ omungsgeschwindigkeit v, Dichte ρ, Viskosit¨ at η)? Wir betrachten station¨ are Str¨ omungen (Geschwindigkeit h¨ angt nicht von der Zeit ab). Die Geschwindigkeit kann an den einzelnen Stellen verschieden ~ v durchaus beschleunigt sein. Das Fl¨ ussigkeitsvolumen kann durch (~v · ∇)~ ~ werden. Die Beschleunigung steigt, je gr¨ oßer ∇~v ∼ lv1 wird. 2 ~ v∼v (~v · ∇)~ l1

Druckkraft:

~ ∼ p ∇p l2

Reibungskraft: η∆~v ∼ η

v l32

ρv 2 p v ≈ +η 2 l1 l2 l3 l1 , l2 , l3 sind dabei die jeweiligen Gradientenskalen.

(6.45)

¨ VERSCHIEDENE STROMUNGSTYPEN, ¨ 6.4. KRITERIEN FUR SKALIERUNGSGESETZE107 Diskussion von (6.45): a) Reibung zu vernachl¨ assigen η

p v2 v ≪ ≃ρ l3 l2 l1

(6.46)

1 p ≃ ρv 2 2 (6.46) beschreibt die ideale Str¨ omung (keine Reibung), aber auch turbulente Str¨ omung ohne nennenswerte Reibung! → Staudruck, dynamischer Auftrieb f¨ ur

l2 ≃ l1

b) Tr¨ agheit zu vernachl¨ assigen ρ

c)

p v v2 ≪ ≃ 2 l1 l2 l3

~ ≃ η∆~v ∇p

(6.47)

⇒ laminare Str¨ omung

p v2 v ≪ρ ≃η 2 l2 l1 l3 Ist von geringer praktischer Bedeutung. ¨ Ubergang von a) nach b) p ηv v2 ≃ ≃ ρ l2 l1 l32 oder

ρvl32 ≃ 1 und ηl1

(6.48) pl1 ≃1 ρv 2 l2

(6.49)

Diese beiden Kriterien beherrschen die Hydrodynamik. pl2 Die dritte Beziehung, ηvl32 ≃ 1, folgt aus der zweiten automatisch. ¨ Ahnlichkeitstheorie: Ein verkleinertes oder vergr¨ oßertes Modell einer Str¨ omung (z.B. im Windkanal) liefert nur dann ein physikalisch richtiges Bild, wenn die Verh¨ altnisse (6.49) den gleichen Wert im Modell haben wie in Wirklichkeit. → ¨ ahnliche Str¨ omungen ¨ Wenn die geometrische Ahnlichkeit garantiert ist, kann man die l’s “k¨ urzen” ¨ (Gradientenskalen verhalten sich ¨ahnlich zueinander) und nur die Ubereinstimmung von ~v Tr¨ agheit ρ~v ∇~ ρvl = Reynolds- Zahl = = η Viskosit¨ at η∆~v

(6.50)

108

KAPITEL 6. VISKOSE FLUIDE

und von p/ρv 2 fordern. Das ist die einzige m¨ ogliche dimensionslose Kombiη nation der Gr¨ oßen ν = ρ , v und l. Im Allgemeinen gilt: ρvl2 Die Str¨ omung ist laminar f¨ ur sehr kleine Werte ηl13 und sonst turbulent. Da i. A. l3 6= l1 kann man nicht erwarten, dass der Umschlag gerade bei einer Reynolds-Zahl Re = ρvl η ≃ 1 erfolgt, wobei l die makroskopische Abmessung der um- oder durchstr¨ omten Objekte darstellt. Die Abmessungen der gr¨ oßten Turbulenz-Wirbel l3 (vgl. Kapitel 9) sind n¨ amlich kleiner als z. B. im Fall der Rohrstr¨ omung der Rohrradius l1 = R. Dementsprechend findet man den Umschlag bei der Rohrstr¨ omung f¨ ur ρvR η ≃ 1 3 10 ! Typische Wirbelabmessungen sind 30 des Rohrradius! laminar v Stokes

→ Str¨ omungswiderstand →

turbulent v2 Newton

”Wenn ich in den Himmel kommen sollte, erhoffe ich Aufkl¨ arung u ¨ber zwei Dinge: Quantenfeldtheorie und Turbulenz. Was den ersten Wunsch betrifft bin ich ziemlich zuversichtlich.” Horace Lamb (1932)

“Laminar” und “turbulent” stellen zwei Aggregatzust¨ ande dar. Jeder ist unter verschiedenen Bedingungen stabil. Der laminare kann “unterk¨ uhlt” werden (Re > Recrit ), da die Turbulenzentstehung eine Art Keimbildung fordert. Eine Fl¨ ussigkeit durchstr¨ ome ein Rohr laminar mit parallelen Stromlinien.

Irgendwo trete eine kleine Str¨ orung auf, die eine Stromlinie etwas nach oben verbiegt.

6.5. GRENZSCHICHTTHEORIE, PRANDTL

109

⇒ Die dar¨ uber liegende Stromr¨ ohre wird verengt ⇒ Die Fl¨ ussigkeit muss schneller fließen ⇒ Der Druck dort verringert sich (p = const − 21 ρv 2 ). In der unteren R¨ ohre (1) erh¨ oht sich der Druck ⇒ Weiteres Ausdehenen und Verengen der dar¨ uber liegenden Stromr¨ ohre. Dem wirkt die innere Reibung entgegen, sie versucht, das Geschwindigkeitsgef¨ alle abzubauen (∼ η und ∼ v ) r Unter dem Einfluss der Tr¨ agheit allein, die proportional zu ρv 2 ist, w¨ urde die St¨ orung sich vergr¨ oßern ⇒ Str¨ omung wird instabil ⇒ Turbulenz Das Verh¨ altnis von Tr¨ agheit zu Reibung entscheidet die Reynolds-Zahl.

6.5

Grenzschichttheorie, Prandtl

Wir betrachten die Stromlinien einer idealen Fl¨ ussigkeit um eine Kugel. ¨ Diese weichen symmetrisch zur Aquatorebene aus.

An den Polen p und p’ befinden sich die Staugebiete (v = 0). Am schnellsten ¨ str¨ omt die Fl¨ ussigkeit am Aquator. ¨ Nach Bernoulli nimmt der statische Druck vom Pol zum Aquator hin ab und dann genau symmetrisch zum anderen Pol wieder zu. Diese symmetrische Druckverteilung kann keine resultierende Kraft auf die Kugel aus¨ uben. Eine Kugel b¨ ote einer idealen Fl¨ ussigkeit keinen Widerstand. Um sie mit konstanter Geschwindigkeit durch die Ruhende Fl¨ ussigkeit zu ziehen braucht man keine Kraft (Γ = 0)! Das widerspricht der Erfahrung! L¨ osung: Das Str¨ omungsbild sieht nur am Anfang so symmetrisch aus, nach kurzer Zeit ¨ andert die unvermeidliche Reibung in der Grenzschicht um die Kugel das Str¨ omungsbild. → Wirbel (Totwasser im Lee) → Die statistischen Dr¨ ucke sind nicht mehr symmetrisch, die Wirbel zerreiben sie. F ∼ cw v 2 ρA . . . Grenzschicht: Es herrscht senkrecht zur Oberfl¨ ache ein Geschwindigkeitsgef¨ alle dv dz , es ist umso steiler, je d¨ unner die Schicht, also in Fl¨ ussigkeiten geringer Viskosit¨ at. Große Raynolds-Zahlen Re entsprechen einer kleinen Z¨ ahigkeit, d.h. quasi

110

KAPITEL 6. VISKOSE FLUIDE

ideal! Dies gilt jedoch nicht an / in der N¨ ahe von festen W¨ anden. ideal: vn |W and = 0

z¨ ah: vn |W and = 0

und vtan |W and = 0 (6.51)

F¨ ur große Re geht v in einer d¨ unnen Grenzschicht mit großen dv dz auf Null zur¨ uck. Die Grenzschicht kann laminar oder turbulent sein. ¨ Wir betrachten nur den laminaren Fall (Prandtl), also einen stetigen Ubergang. dv dz

wird durch die Z¨ ahigkeit verursacht, die Z¨ ahigkeit darf also trotz großer Re nicht vernachl¨ assigt werden. Grenzschicht: η∆~v , wichtig, wo ~v → 0. Ph¨ anomenologie An jedem durch die Fl¨ ussigkeit gezogenem K¨ orper h¨ angt eine laminare Schicht, die Grenzschicht. Das Geschwindigkeitsgef¨ alle in ihr vermittelt den ¨ o.g. Ubergang. Dieses Gef¨ alle ist linear (dz v ∼ z), wenn die Dicke δ dieser Schicht klein gegen die Abmessungen l des K¨ orpers ist. Dann ”sieht” die Fl¨ ussigkeit praktisch nur ein ebenes Wandst¨ uck. Nochmal Wir betrachten die Str¨ omung eines idealen Fluids um eine Kugel. Die Staupunkte befinden sich an den Polen p und p’. Das Fluid str¨ omt am schnell¨ ¨ sten am Aquator. Die Stromlinien weichen symmetrisch zur Aquatorebene aus. Die symmetrische Druckverteilung bedeutet, dass es keine resultierende Kraft gibt. Dies widerspricht der Erfahrung, vgl. auch d’Alembertsches Paradoxon. L¨ osung: Das Str¨ omungsbild ist in Realit¨ at nicht symmetrisch, die unvermeidliche Reibung f¨ uhrt zur Ausbildung einer viskosen Grenzschicht. Das hat eine Ver¨ anderung der Str¨ omung (Wirbelabl¨ osung) und der Druckverh¨ altnisse zur Folge, und damit dann auch eine effektive Kraft. F¨ ur große Re geht die Str¨ omungsgeschwindigkeit in einer d¨ unnen Grenzschicht gegen Null. Bedeutung der laminaren Grenzschicht nach Prandtl (1904): Die Grenzschicht sei klein gegen die Abmessung des umstr¨ omten K¨ orpers δ ≪ RKr¨ummung → ebenes Problem Da sich zudem die Geschwindigkeit nur in Wandn¨ ahe ¨ andert, kann sie in dem an die Randschicht anschließendem Gebiet als konstant angenommen werden.

6.5. GRENZSCHICHTTHEORIE, PRANDTL

111

¨ Als Randschicht bezeichnet man die kleine Ubergangsschicht f¨ ur die endliche Geschwindigkeit auf Null. Unter diesen beiden Annahmen erfolgt die Behandlung der laminaren Grenzschicht nach Prandtl (1904). Wichtiger Hinweis: Die N¨ aherung Navier-Stokes-Gleichung geht u ur ¨ber in Euler-Gleichung ist f¨ große Raynold-Zahlen nicht erlaubt. ⇒ Randbedingungen: Ohne η∆~v ist die Bewegungsgleichung von 1. Ordnung und die 2. Randbedingung, ~vtan = 0, die zusammen mit ~vn = 0 das Fließen des Fluids an der K¨ orperoberfl¨ ache beschreibt, ist nicht mehr zul¨ assig. Das Problem der L¨ osung der Euler-Gleichung w¨ are dann u uck¨berbestimmt. Die Nichtber¨ sichtigung dieser 2. Randbedingung l¨ asst letztendlich die Beschreibung der Entstehung von Wirbeln nicht zu. Prandtlsche Grenzschichttheorie f¨ ur inkopressible homogene Fluide Als Ausgangspunkt nehmen wir die Kontigleichung und die Navier-StokesGleichung. ~ · (ρ~v ) = 0 → ∇ ~ · ~v = 0 ∂t ρ + ∇ (6.13): ~ v ) = −∇p ~ + η∆~v ρ(∂t~v + (~v · ∇)~ Wir m¨ochten wieder die Gr¨ oßenordnungen der einzelnen Terme absch¨ atzen. Mit der Transformation: t = T t∗

~v = V ~v ∗

~ = 1∇ ~∗ ∇ L

p = V 2 ρp∗

T = VL : typische dynamische Zeitskala L: L¨ ange, so dass Re = ρLV η ≫ 1, typische Ausdehnung des Fluids V : typische (∼ mittlere) Geschwindigkeit erh¨ alt man eine dimensionslose Schreibweise ∂~v ∗ ~ ∗ )~v ∗ = −∇ ~ ∗ p∗ + 1 ∆∗~v ∗ + (~v ∗ · ∇ ∂t∗ Re ∂t~v ∼

η ∆~v ρ

→

ηV ∗ ∗ V ∂t∗ ~v ∗ ∼ ∆ ~v T ρL2

→

∂t∗ ~v ∗ ∼

(6.52) η ∆∗~v ∗ ρV L

Im Abstand > δ ist ~v ∗ ≃ 1, an den W¨ anden geht ~v ∗ von ≪ 1 bis 0. Da Re ≫ 1 ist der Reibungsterm i.A. vernachl¨ assigbar, das gilt aber nicht am Rand, dort wird ∆∗~v ∗ groß ! Wir lassen nun die Sterne weg.

112

KAPITEL 6. VISKOSE FLUIDE

∂~v ~ v = −∇p ~ + 1 ∆~v + (~v · ∇)~ ∂t Re

(6.53)

~ · ~v = ∂vx + ∂vy + ∂vz = 0 ∇ ∂x ∂y ∂z

(6.54)

Konti-Gleichung:

Wir betrachten eine 2-dim. Str¨ omung mit vz = 0. Randbedingungen: y=0:

vx = vy = vz = 0

y=δ:

vx = 1 vz = 0

(6.55)

vx = 1 an y = δ so schnell wie die Str¨ omung vz verschwindet auf beiden Seiten, u ¨berall 0! (6.53) und (6.54) werden zu einem 2-dimensionalen Problem: ∂vx ∂vx ∂vx + vx + vy ∂t ∂x ∂y

∂p 1 = − + ∂x Re

∂ 2 vx ∂ 2 v x + ∂x2 ∂y 2

!

(6.56)

∂vy ∂vy ∂vy + vx + vy ∂t ∂x ∂y

∂p 1 = − + ∂y Re

∂ 2 vy ∂ 2 vy + ∂x2 ∂y 2

!

(6.57)

∂vx ∂vy + =0 ∂x ∂y

(6.58)

Nun sch¨ atzen wir die Gr¨ oßenordnung der verschiedenen Terme ab. In der Schicht w¨ achst vx von 0 bis 1 (maximal), dasselbe gilt f¨ ur ∂vx ∂ 2 vx ∂p ∂x , ∂x2 , ∂x . ∂v ur sehr d¨ unne Schicht Aus (6.58) folgt ∂yy ∼ 1 und vy ∼ δ (vy ∼ ∂x vx dy, f¨ steht “=”), ergo: ∂vy ∂ 2 vy ∼δ ∼δ ∂x ∂x2 In der Schicht f¨ allt vx von 1 auf 0: 1 ∂vx ∼ ∂y δ

1 ∂ 2 vx ∼ 2 2 ∂y δ

6.5. GRENZSCHICHTTHEORIE, PRANDTL

113

Einsetzten der 1. Ordnungen in (6.56) liefert: 1 1 ∼ 1 oder δ ∼ √ 2 Reδ Re

Dicke der Grenzschicht

(6.59)

Bei großen Reynold-Zahlen ist das Fluid praktisch reibungsfrei. (6.48) liefert mit Re ∼ δ12 : 1 ∂p ∼ ∼δ ∂y Reδ Innerhalb der Grenzschicht ist der Druckunterschied also sehr gering. p(δ) = p(0) + ∂y pδ | {z } =δ 2

Innerhalb der Schicht ist der Druckunterschied ∆p ∼ δ 2 ≪ 1. Quer zur Schicht ist der Druck quasi konstant! Einschub Prandtlsche Grenzschichtgleichung vy ≪ vx :

vy ∼ δ

∂p dp ∂p ≪ = ∂y ∂x dx

η ∂ 2 vx 1 dp ∂vx ∂vx + vy − =− ∂x ∂y ρ ∂y 2 ρ dx ∂vx ∂vy + =0 ∂x ∂y F¨ ur eine Potentialstr¨ omung ausserhalb der Grenzschicht mit U (x) gilt: vx

p+ρ

v2 = const 2

(Bernoulli)

−

1 dp dv =U ρ dx dx

Wirbelabl¨ osung f¨ ur station¨ are Str¨ omung: ∂ t v x = ∂ t vy = 0 In unmittelbarer Umgebung der Wand (y ≪ δ) gilt: vx |W and = vy |W and = 0

∂x2 vx ≪ ∂y2 vx

F¨ ur das Geschwindigkeitsprofil erh¨ alt man so aus (6.56) die Bestimmungsgleichung: ∂ 2 vx ∂p = Re = const ∂y 2 ∂x | {z } | {z } f (y)

f (x)

(6.60)

114

KAPITEL 6. VISKOSE FLUIDE Grenzschichtabl¨ osung an einem Zylinder

Vor dem Zylinder herrscht Potentialstr¨ omung. An der Zylinderoberfl¨ ache bildet sich eine Grenzschicht aus. Der Druck nimmt von A nach B auf der Vorderseite ab und steigt an der R¨ uckseite wieder an. Die Grenzschicht reisst in C ab und bildet ein sogenanntes Totwassergebiet mit Wirbeln, welches von der Hauptstr¨ omung entkoppelt ist. Am Ende desselben werden die Wirbel in einer Karmanschen Wirbelstraße mit der Str¨ omung transportiert. Aufl¨ osung des d’Alembertschen Paradoxons: Das Abreissen der Grenzschicht und die Ausbildung der Wirbelstraße f¨ uhren zu einer Druckasymmetrie von Vorder- und R¨ uckseite, und somit zu einer effektiven Druckkraft. Grenzschichtabl¨ osung Interessante neue Physik: Grenzschicht kann sich abl¨ osen und das Eindringen von Wirbeln u ber den Rand erm¨ o glichen. ¨ Wie ist das m¨ oglich? Idealisiertes Modell der Grenzschicht nahe der Wand (y ≪ δ): ~ · ~v |/|ν∆~v | = Re !) und es gilt Der Tr¨ agheitsterm ist unwichtig (|~v ∇ dp∗ ∂ 2 vx∗ = ∗ dx ∂y ∗2 (Von idealer Str¨ omung aufgepr¨ agter Druckgradient von Reibung bilanziert) dp∗ bestimmt die Kr¨ ummung des Geschwindigkeitspro⇒ Das Vorzeichen von dx ∗ ∗ fils vx (y)|z=const.

6.5. GRENZSCHICHTTHEORIE, PRANDTL

115

Schematisch: vx muß bei y = δ zu u werden (also vx∗ bei y ∗ = 1 zu u∗ )

dp∗ <0 dx∗

dp∗ >0 dx∗

Aber auch:

dp∗ >0 dx∗ Wenn

dp∗ dx∗

groß genug ist, kann nahe der Wand R¨ uckstr¨ omung (vx∗ ) einsetzen!

116

KAPITEL 6. VISKOSE FLUIDE Erinnerung:

Bei einem umstr¨ omten Zylinder (ideal) nimmt p l¨ angs des Objektes ab, anschliessend wieder zu. ⇒ Hinter p = pmin ist Gegenstr¨ omung m¨ oglich (aber nicht notwendigerweise) N¨ aherungsl¨ osung unter Vernachl¨ assigung des Tr¨ agheitsterms (gute N¨ aherung f¨ ur y ∗ → 0, schlecht f¨ ur y ∗ → 1 (y → δ)): Randbedingung bei y ∗ = 0

:

bei y ∗ = 1 : u2 p v2 Bernoulli: + = 0 ⇒ 2 ρ 2

vx∗ = 0 ,

vy∗ = 0

vx∗ = u∗ (x) u∗2 2 p∗ 2 v02 v + ρv0 = 2 0 ρ 2

⇒

u∗2 = 1 − 2p∗

Zur leichteren Schreibweise werden nun die “∗” weggelassen. ∂ 2 vx dp = = p′ ∂y 2 dx 1 ∂vx = p′ · y + c1 (x) ⇒ vx = p′ y 2 + c1 (x) · y + c2 (x) ⇒ ∂y 2 vx (y = 0) = 0 ⇒ c2 (x) = 0 p p 1 1 − 2p = p′ + c1 (x) vx (y = 1) = u = 1 − 2p ⇒ 2 p 1 ′ ⇒ c1 (x) = 1 − 2p − p 2 ⇒

  p 1 ′ 2 1 ′ vx = p y + 1 − 2p − p y 2 2

vy bestimmt man aus der Kontinuit¨ atsgleichung (diese gilt auch in normierten Koordinaten): ∂vy δ 1 ∂vx v0 + v0 · =0 ∂x L0 ∂y L0 δ

6.5. GRENZSCHICHTTHEORIE, PRANDTL

117 



∂vx 1 1 2p′ 1 = − p′′ y 2 − − √ − p′′ y ∂x 2 2 1 − 2p 2   2p′ 1 ′′ 3 1 ′′ √ ⇒ vy = − p y + + p y 2 + c3 (x) 6 4 1 − 2p vy (y = 0) = 0 ⇒ c3 (x) = 0 ∂vy ∂y

= −

⇒

1 1 vy = − p′′ y 3 + 6 4



√



2p′ + p′′ y 2 1 − 2p

⇒ Vollst¨ andiges Str¨ omungsmuster Explizites Beispiel: einfacher Ansatz mit Minimum p(x) = p0 x2 ⇒

u =

q

p0 = 1

1 − 2p0 x2 ⇒

1 Staupunkte bei ± √ ∼ 0.7 2

plot von -0.7 bis 0.7, y = 1 plot von -0.7 bis -0.6 → Einstr¨ omen plot von 0.6 bis 0.7 → Umkehr

Visualisierung mit Grenzschicht.mws, wobei im Zoom die Vektorpfeile zur besseren Sichtbarkeit skaliert sind.

118

KAPITEL 6. VISKOSE FLUIDE

dp dp ⇒ Abl¨ osung im Gebiet mit dx > 0 (aber nicht bei dx = 0 !) Kriterium: dv 1 ′ p =0 ⇒ p = 1 − 2p dy y=0 2

1 xU mkehr = √ ≈ 0.577 in unserem Zahlenbeispiel 3

Konsequenz: Separation der idealen Str¨ omung vom Gebiet hinter dem K¨ orper, diese f¨ uhrt ein Eigenleben (“Totwasser”) ⇒ Ausbildung von Wirbeln hinter dem umstr¨ omten K¨ orper Beispiel: Karmann’sche Wirbelstrasse

Video: karmann.mpg Anderes Beispiel: Fluß mit Wandstelle

Str¨ omung um einen Zylinder:

Mit Reibung: vx hat einen Umkehrpunkt (Abl¨ osung). Anschaulich: dp dp Str¨ omung wird im Gebiet dx < 0 beschleunigt und bremst im Gebiet dx >0 wieder ab. Im symmetrischen Fall gibt es zwei Staupunkte, mit Reibung wandert der hintere Staupunkt nach vorne und es kommt zur Abl¨ osung. Druck bilanziert sich nicht mehr ⇒ Aufl¨ osung des d’Alembert’schen Paradoxons!

6.5. GRENZSCHICHTTHEORIE, PRANDTL

119

Video: prandtl.mpg Siehe auch: Turbulence Scott.mpg: Turbulenz in einem magnetisierten Plasma; gezeigt ist die fluktuierende Teilchendichte (Quelle: B. Scott, MPI f¨ ur Plasmaphysik). Das Totwassergebiet ist i.A. verwirbelt, es gibt aber auch laminares Totwasser. Bemerkung: Zur Abl¨ osung ist die turbulente Grenzschicht nicht notwendig (aber sie beg¨ unstigt die turbulente Abl¨ osung). In laminaren Str¨ omungen kann auch Abl¨ osung vorkommen. Naives Argument: Nach dem Satz von Thomson ist die Zirkulation in einem Fl¨ ussigkeitselement ~ × ~v = 0, dann gilt dies in station¨ erhalten. ⇒ Wenn im Unendlichen ∇ aren Str¨ omungen f¨ ur die ganze Stromlinie (einmal Potentialstr¨ omung, immer Potentialstr¨ omung). Dies beruht aber darauf, dass Rotation um eine Stromlinie herum gebildet wird. Stromlinien auf der Oberfl¨ ache lassen keine Kurve um sich herum zu, k¨ onnen also ein anderes Verhalten zeigen.

120

KAPITEL 6. VISKOSE FLUIDE In der idealen Hydrodynamik m¨ oglich:

“Tangentiale Unstetigkeitsfl¨ ache”: Hier springt vk auf 0! ⇒ Sprung von vk ~ ×B ~ = µ · ~j) bedeutet Fl¨ achenrotation (analog zu Sprung von Bk ⇒ ∇ Tangentiale Unstetigkeitsfl¨ achen sind instabil und brechen in Wirbel auf (Kelvin-Helmholtz-Instabilit¨ at, siehe sp¨ ater). Mit Viskosit¨ at: Es enden beliebig viele Stromlinien auf der Oberfl¨ ache des K¨ orpers ⇒ Wirbel k¨ onnen “einwandern”. Konsequenz der Wirbelbildung: Turbulente Str¨ omung hat andere v-Abh¨ angigkeit des Str¨ omungswiderstandes: ~ ∼v Erinnerung: laminar (Hagen-Poiseuille): ∇p 2 ~ turbulent: ∇p ∼ v ! H¨ angt von der Form des K¨ orpers ab: 2 Kraft K = cw · ρv A A: Stirnfl¨ ache cw : “Widerstandsbeiwert”, dimensionslose Kennzahl, welche die Formabh¨ angigkeit beschreibt R d R Kds ∼ Kdv ∼ v 3 ! Konsequenz: Leistung dt √ Beispiel Kfz: 50 PS → 150 km/h, 150 PS → 3 3·150 km/h = 216 km/h

¨ IN GASEN 6.6. EIN EINFACHES MODELL ZUR VISKOSITAT

121

Beeinflussung der Abl¨ osung:

Quelle: Aerodynamik (30. M¨ arz 06) dp <0 Vor dem Umschlagspunkt: dx dp Nach dem Umschlagspunkt: dx > 0 dp dp Stromlinienform (kleine dx im Bereich dx > 0) Absaugen der Grenzschicht (Phantom-Triebwerk)

6.6

Ein einfaches Modell zur Viskosit¨ at in Gasen

Die Viskosit¨ at als Transportkoeffizient ist nicht selbstkonsistent im Rahmen der Fluidtheorie beschreibbar. Die genaue mikroskopische Berechnung erfolgt durch Auswertung des Boltzmannschen Stoßintegrals, also der rechten Seite der Boltzmanngleichung. Hier betrachten wir eine einfache Absch¨ atzung der Viskosit¨ at, genauer des Scherungskoeffizienten der Viskosit¨ at η, f¨ ur verd¨ unnte Gase mit L≪l≪d L: Lineardimension des betrachteten Systems l: Freie Wegl¨ ange der Gasmolek¨ ule d: Molek¨ uldurchmesser Wir betrachten eine Str¨ omung.

122

KAPITEL 6. VISKOSE FLUIDE

Es seien n Gasteilchen pro Fluidvolumeneinheit gegeben. 31 n besitzt dann eine gemittelte thermische Geschwindigkeit u ¯ in z-Richtung. 61 u ¯, die H¨ alfte also, hat eine mittlere Geschwindigkeit in positiver bzw. negativer z-Richtung. Gasteilchen, die die Ebene y = 0 von unten (oben) passieren, haben im Mittel ihren letzten Stoß an y − l (y + l) erfahren, sie haben also im Mittel die makroskopische Schwerpunktgeschwindigkeit vx (y − l) (vx (y + l)). Die Gasteilchen transportieren also einen mittleren Impuls in x-Richtung von 1 uvx (y ± l) pro Zeit und Fluideinheit. Der resultierende Impulsfluss pro 6 mn¯ Fluideinheit ist somit: 1 u[vx (y − l) − vx (y + l)] J = mn¯ 6 Taylor-Entwicklung: 1 Kx Kraft J = mn¯ u(−2∂y vx l) = = = −η∂y vx 6 F Fl¨ acheneinheit 1 ul η = mn¯ 3 Da l ∼

1 n

1 ν= u ¯l 3

ist η interessanterweise dichteunabh¨ angig.

Kapitel 7

Hydrodynamische Instabilit¨ aten

7.1

Die Rayleigh-Taylor- und die Kelvin-HelmholtzInstabilit¨ at

Dynamische Prozesse: a) Str¨ omungen b) Wellen c) Instabilit¨ aten Instabilit¨ aten: Ausgangspunkt ist immer ein station¨ ares System, sei es ein hydrostatisches v0 = 0, oder ein hydrodynamisches v0 6= 0 (Str¨ omungen, Wellen). Die Frage, die sich stellt, lautet: Ist das betrachtete System stabil, d.h. wird das System in dem vorliegenden Zustand verharren? Genauer: Ist das System stabil gegen kleine St¨ orungen, d.h. werden lineare Str¨ omungen ged¨ ampft oder wachsen sie (exponentiell) mit der Zeit? Ein mechanisches Analogon stellt eine Kugel auf einem Berg bzw. in einem Tal dar. 123

124

¨ KAPITEL 7. HYDRODYNAMISCHE INSTABILITATEN

Wie bei der Beschreibung von Wellenph¨ anomenen gilt es auch hier die Dispersionsrelation ω(k) aufzustellen. Bei Str¨ omungen ∼ e−iωt bedeutet ω ∈ R: Imω 6= 0:

Imω > 0: Imω < 0 :

rein oszillierende L¨ osung → unged¨ ampfte stabile Welle exponentiell anwachsende Mode → Instabilit¨ at exponentiell ged¨ ampfte Mode → Stabilit¨ at

F¨ ur Imω > 0, Reω 6= 0 spricht man von einer “¨ uberstabilen Mode”, diese ist also instabil. Dabei handelt es sich um Oszillatoren, deren Amplitude mit der Zeit exponentiell anw¨ achst. Wir fragen nun nach der Stabilit¨ at einer Grenzschicht zwischen zwei Fl¨ ussigkeiten, z.B. zwischen zwei unterschiedlichen Luftstr¨ omungen in der Amosph¨ are (allgemein: Wasser-Luft). Methode: Normalmodenanalyse, das ist eine lineare Stabilit¨ atsanalyse → nichtlineare Terme in den als klein angenommenen St¨ orgr¨ oßen werden vernachl¨ assigt. Jede beliebige periodische Str¨ omung, die durch linearisierte Gleichungen beschrieben wird, l¨ asst sich als Superposition ihrer Fourier-Komponenten ~k·~ i( r −ωt) (∼ e ) darstellen. → Gest¨ orte Gr¨ oßen werden als monochromatische Moden angesetzt (siehe IV Wellen).

¨ 7.1. DIE RAYLEIGH-TAYLOR- UND DIE KELVIN-HELMHOLTZ-INSTABILITAT125 Wir betrachten nun folgendes System:

Die Fluide str¨ omen mit der konstanten Geschwindigkeit u bzw u′ in positiver x-Richtung. Wir nehmen an, dass die Fluide inkompressibel sind. Die Konfiguration erf¨ ullt damit die die station¨ are (∂t = 0) Kontinuit¨ ats- und ~ 0 ∇p ~ ~ Euler-Gleichung (~v0 · ∇)~v0 = − ρ0 − ∇ψ (+~g )). Die Frage ist nun, ob die Auslenkungen der Grenzschicht |ζ1 (x, t)| aus dem station¨ aren Ausgangszustand ζ0 (x) = 0 mit der Zeit anwachsen, ged¨ ampft werden oder oszillieren. ~ × ~v0 = ∇ ~ × ~v0′ = 0 ∇ Helmholtz

~ × ~v1 = ∇ ~ × ~v1′ = 0 ∇

→

Formulierung mit Hilfe des Geschwindigkeitspotentials: Φ = ux + Φ1 ′

Φ

′

= ux+

Φ′1

(7.1) (7.2)

Vertikale Geschwindigkeit eines FEes: vz1 = dt ζ1 ∂Φ1 ∂z

=

∂ζ1 + ∂t

∂ζ1 ∂x} | {z u

(7.3)

Linearisierung

∂Φ′1 ∂z

=

∂ζ1 ∂ζ1 + u′ ∂t ∂x

(7.4)

Die konvektiven Terme bei Wellen werden nicht betrachtet, da die Wellen in ruhendem Fluid betrachtet wurden. Fourier-Komponenten-Ansatz f¨ ur St¨ orgr¨ oßen: ˆ −iωt+ikx ζ1 = ζe

ebene Oberfl¨ achenwelle (vgl. (4.48))

Analog geht man f¨ ur Φ1 , Φ′1 (in Abh¨ angigkeit von x und t) vor. ′ Φ1 , Φ1 m¨ ussen der Laplace-Gleichung gen¨ ugen (Inkompressibilit¨ at).

(7.5)

¨ KAPITEL 7. HYDRODYNAMISCHE INSTABILITATEN

126

→

Φ′1 ∼ f ′ (z)

Φ1 ∼ f (z)

z-Abh¨ angigkeit

Bestimmungsgleichung f¨ ur f (z), f ′ (z): d2 f − k2 f = 0 dz 2

vgl. (4.10)

Und damit: ˆ −iωt+ikx+kz Φ1 = Φe ˆ ′ e−iωt+ikx−kz Φ′1 = Φ

(7.6) (7.7)

Das Vorzeichen in kz ist so, dass die Str¨ omung im jeweiligen Fluid mit zunehmendem Abstand von der Grenzschicht abklingt. Zur Erinnerung: f ∼ ekz + e−kz , vgl. Diskussion der Schwerewellen f¨ ur tiefes Wasser. Die Wellenl¨ ange sei hinreichend klein gegen¨ uber der vertikalen Ausdehnung der Fluide. (7.5)-(7.7) in (7.3) und (7.4) ergibt: ˆ kz = i(−ω + ku)ζˆ k Φe ˆ ′ e−kz = i(−ω + ku′ )ζˆ −k Φ

(7.8) (7.9)

ˆ Φ ˆ ′ und ζˆ Das sind zwei Gleichungen, die die unbekannten Amplituden Φ, miteinander verbinden. Wir ben¨ otigen nun eine 3. Gleichung. Randbedingung aus Bernoulli f¨ ur nichtstation¨ are Str¨ omung: ρ

∂Φ 1 ~ 2 + ρ(∇Φ) + p + ρgz = F (t) ∂t 2

vgl. (3.3)

¨ Der Druck sei u ache stetig. Mit dem Ubergang ¨ber der Grenzfl¨ Φ

→

Φ+

Z

F (t)dt

ist das Geschwindigkeitspotential bis auf eine Zeitfunktion bestimmt. Randbedingung (ρ1 = 0 wegen Inkompressibilit¨ at): ρ





Druck ∂Φ 1 ~ 2 stetig + (∇Φ) + gζ1 = −p = −p′ ∂t 2 z=ζ1

= ρ′





∂Φ′ 1 ~ ′ 2 + (∇Φ ) + gζ1 ∂t 2 z=ζ1

(7.10)

¨ 7.1. DIE RAYLEIGH-TAYLOR- UND DIE KELVIN-HELMHOLTZ-INSTABILITAT127 Linearisiert:

′

~ 2 = 2u ∂Φ1 ∇Φ ∂x

~ ′2 = 2u′ ∂Φ1 ∇Φ ∂x

Somit erhalten wir: ρ0





∂Φ1 ∂Φ1 +u + gζ1 = −p1 |z=0 = −p′1 |z=0 ∂t ∂x z=ζ

= ρ′0





∂Φ′ ∂Φ′1 + u′ 1 + gζ1 ∂t ∂x z=ζ

(7.11)

Bzw. mit den St¨ orans¨ atzen (7.5)-(7.7):

ˆ = ρ′ (i(−ω + ku′ )Φ ˆ ˆ kz + g ζ) ˆ ′ e−kz + g ζ) ρ0 (i(−ω + ku)Φe 0

(7.12)

ˆ ˆ Φ ˆ ′ und ζ. Das ist also die 3. Bestimmungsgleichung f¨ ur Φ, (7.8) und (7.9) in (7.12): ρ0 (i(−ω + ku)i(−ω + ku) + gk) − ρ′0 (−i(−ω + ku′ )i(−ω + ku′ ) + gk) = 0

(7.13)

⇒ Dispersionsrelation ω(k) f¨ ur Str¨ omungen der Grenzschicht zwischen zwei Fluiden: a) Sei u = u′ = 0: 7.13 →

−ρ0 ω 2 + ρ0 gk − ρ′0 ω 2 − ρ′0 gk = 0

(7.14)

s

(7.15)

ω =± k

oder

g ρ0 − ρ′0 k ρ0 + ρ′0

Sei ρ′0 ≪ ρ0 (z.B. Luft auf Wasser): →

p

ω = ± gk

(7.16)

Das ist die Dispersionsrelation f¨ ur eine Schwerewelle in der Tiefwassern¨ aherung (vgl. (4.13)). ω ∈ R rein oszillierende Mode Imω = 0 keine D¨ ampfung / keine Instabilit¨ at b) Sei wieder u = u′ = 0. Nun aber ρ′0 > ρ0 , d.h. ein schwereres Fluid ruht auf einem leichten. Wie auch intuitiv einleuchtend ist, ist eine solche Konfiguration instabil; das schwerere Fluid hat die Tendenz unter das leichtere zu sinken.

¨ KAPITEL 7. HYDRODYNAMISCHE INSTABILITATEN

128

Mathematischer Ausdruck dieser Instabilit¨ at des hydrostatischen Gleichgewichtes: Die Wurzel in (7.15) wird imagin¨ ar f¨ ur ρ′0 > ρ0 , die positive imagin¨ are Wurzel beschreibt die instabile Mode mit der Anwachsrate: s q kg ′ Im |Imω| = ρ − ρ 0 0 ρ0 + ρ′0

(7.17)

Rayleigh-Taylor-Instabilit¨ at

Die negative Wurzel beschreibt die ged¨ ampfte Mode, das ist hier nicht von Interesse. c) u 6= 0, u′ 6= 0 ρ > ρ′ : Rayleigh-Taylor stabil L¨ ose (7.13) in quadratische Gleichung in ω auf: ω2 − 2

ρ0 − ρ′0 ρ0 k 2 u2 + ρ′0 k 2 u′2 ρ0 ku + ρ′0 ku′ ω − gk + =0 ρ0 + ρ′0 ρ0 + ρ′0 ρ0 + ρ′0

Mit der L¨ osung: ω=

Bzw.:

ρ0 ku + ρ′0 ku′ ρ0 + ρ′0

v u u ρ0 ku + ρ′ ku′ 2 ρ0 − ρ′0 ρ0 k 2 u2 + ρ′0 k 2 u′2 0 ±t + gk −

ρ0 + ρ′0

ρ0 u + ρ′0 u′ ω ± = k ρ0 + ρ′0

ρ0 + ρ′0

s

(7.18)

ρ0 + ρ′0

g ρ0 − ρ′0 ρ0 ρ′0 (u − u′ )2 − k ρ0 + ρ′0 (ρ0 + ρ′0 )2

(7.19)

(7.20)

(ρ0 u + ρ′0 u′ )2 ρ0 u2 + ρ′0 u′2 − (ρ0 + ρ′0 ) = ′ 2 (ρ0 + ρ0 ) (ρ0 + ρ′0 )2 ρ0 ρ′0 (u − u′ )2 1 ′ ′ ′ 2 ′ ′2 ′ 2 (2ρ0 ρ0 uu − ρ0 ρ0 u − ρ0 ρ0 u ) = − (ρ0 + ρ0 ) (ρ0 + ρ′0 )2

at f¨ ur Dispersionsrelation (7.20) beschreibt Instabilit¨ ρ0 ρ′0 (u − u′ )2 >

g 2 (ρ − ρ′2 0) k 0

(7.21)

Kelvin (1871) - Helmholtz (1868) - Instabilit¨ at Mit der Anwachsrate: s g ρ0 − ρ′0 ρ0 ρ′0 (u − u′ )2 |Imω| = kIm − k ρ0 + ρ′0 (ρ0 + ρ′0 )2

(7.22)

¨ 7.1. DIE RAYLEIGH-TAYLOR- UND DIE KELVIN-HELMHOLTZ-INSTABILITAT129 Es ist Reω 6= 0. Jede instabile Mode ist eine u ¨berstabile Mode → Anregung von Wellen mit exponentiell anwachsender Amplitude. Beispiel: Wind bl¨ ast u asser → sich aufsteilende Wellen ¨ber ein Gew¨ ullt → intergalaktische Jets F¨ ur g → 0 ist (7.21) immer erf¨ Instabilit¨ atsbedingung

∼

k >∼

1 (u − u′ )2

F¨ ur kleine Relativgeschwindigkeiten sind Str¨ omungen mit kleiner Wellenl¨ ange instabil, aber λ ≫ λStoß (vgl. Modifikation bei Ber¨ ucksichtigung der Oberfl¨ achenspannung). Ber¨ ucksichtigung der Oberfl¨ achenspannung Was ist Oberfl¨ achenspannung? Fl¨ ussiger Aggregatszustand ist gekennzeichnet durch kurzreichweitige Wechselwirkung (Van-der-Waals-Kr¨ afte zwischen Molek¨ ulen) Effektives Potential zwischen Molek¨ ulen:

1 Abstoßend f¨ ur kleine r ⇒ Minimalabstand 6= 0 2 Verschwindet f¨ ur r → ∞ ⇒ frei beweglich auf großen Skalen

Im Innern: Alle Molek¨ ule haben n¨ achste Nachbarn, Kr¨ afte heben sich auf. Oberfl¨ache: N¨ achste Nachbarn nur zur Fl¨ ussigkeit hin → Kraftwirkung Beschreibung im Fl¨ ussigkeitsbild: Gekr¨ ummte Oberfl¨ ache zwischen 1 und 2 Gerade = ˆ minimale Fl¨ ache, jede Kr¨ ummung vergr¨ oßert die Oberfl¨ ache Bei Verschiebung (Ausdehnung) von 1 in Richtung 2 muß Arbeit geleistet werden. Bei Verschiebung um δs ist Kraft =

Z

(p2 − p1 )dF

Arbeit =

Z

(p2 − p1 )dF · δs = δWDruck

130

¨ KAPITEL 7. HYDRODYNAMISCHE INSTABILITATEN

¨ Beitrag der Oberfl¨ achenspannung: Anderung der Oberfl¨ ache Eindimensional: Lokale N¨ aherung durch Schmiegekreis

Oberfl¨ ache ∼ L¨ ange des Kreisbogens Rdθ

δWOberf l. = α · δF = α· = α· ⇒ gesamte Arbeit:

Z

Z

Z

(α: Oberfl¨ achenspannung )

((R + δs)dθ − Rdθ) = α · δs Rdθ = α · R



dF

δs R

(p2 − p1 )dF · δs + α

Im Gleichgewicht ist gerade δW = 0: Z

Z

δsdF p2 − p1 + α

1 R



Z

Z

δsdθ

δs dF = δW R

!

= 0 f¨ ur beliebige δs

⇒ Gleichgewichtsbedingung an der Oberfl¨ ache: 1 p2 − p1 + α = 0 R ⇒ Effekt der Oberfl¨ achenspannung: Bei gekr¨ ummter Oberfl¨ache gibt es einen Druckunterschied 1 p1 > p2 da p1 = p2 + α R F¨ ur R → ∞: Dr¨ ucke gleich, Oberfl¨ ache a ndert sich nicht ¨ F¨ ur R → 0: Sehr großer Druck p1 notwendig, um Oberfl¨ ache auszudehnen ⇒ Aufblasen eines Luftballons geht am Anfang am schwersten! Beispiel Gleichgewicht zwischen zwei Luftballons: Stabiler Zustand ist nicht R1 = R2 , sondern ein Radius minimal, der andere maximal. Erweiterung auf zweidimensionale Fl¨ ache: “Hauptachsen”-Kr¨ ummung

¨ 7.1. DIE RAYLEIGH-TAYLOR- UND DIE KELVIN-HELMHOLTZ-INSTABILITAT131 Zur¨ uck zum Eindimensionalen: F¨ ur ζ ≪ λ gilt

1 ∂2ζ ≈ R ∂x2

Die Oberfl¨ achenspannung α hat die Tendenz die Grenzfl¨ ache zu minimieren, sie unterdr¨ uckt kleinste Wellenl¨ angen. In der Randbedingung f¨ ur den Druck (7.11) gilt nun: ρ0 (∂t Φ1 + u∂x Φ1 + gζ1 )|z=0 = (−p1 + α∂x2 ζ1 )|z=0 = −p′1 |z=0 = ρ′0 (∂t Φ′1 + u′ ∂x Φ′1 + gζ1 )|z=0

(7.23)

Bzw. mit den St¨ orans¨ atzen (7.5)-(7.7), (7.8) und (7.9): ρ0 (i(−ω + ku)i(−ω + ku) + gk) = ρ′0 (−i(−ω + ku′ )i(−ω + ku′ ) + gk) − αk 3

(7.24)

Aufl¨ osen in quadratische Gleichung in ω: ω2 − 2

ρ0 k 2 u2 + ρ′0 k 2 u′2 ρ0 ku + ρ′0 ku′ ω + ρ0 + ρ′0 ρ0 + ρ′0

− Mit der L¨ osung:

±

ρ0 − ρ′0 αk 3 gk − =0 ρ0 + ρ′0 ρ0 + ρ′0

(7.25)

ρ0 u + ρ′0 u′ ω = k ρ0 + ρ′0 s

g ρ0 − ρ′0 αk ρ0 ρ′0 (u − u′ )2 + − ′ ′ k ρ0 + ρ0 ρ0 + ρ0 (ρ0 + ρ′0 )2

(7.26)

¨ KAPITEL 7. HYDRODYNAMISCHE INSTABILITATEN

132

Die Oberfl¨ achenspannung α modifiziert das Stabilit¨ atsverhalten, es hilft nicht mehr, k beliebig groß zu machen. Instabilit¨ at f¨ ur: ′

!

|u − u | =

s

ρ0 + ρ′0 ρ0 ρ′0



g (ρ0 − ρ′0 ) + αk k



(7.27)

Es ist eine endliche Relativgeschwindigkeit notwendig. ρ0 ≫ ρ′0 : ′

|u − u | >

s

ρ0 g αk + ′ ρ′0 k ρ0

(7.28)

Rayleigh-Taylor: u = u′ = 0, ρ′0 > ρ0 gen¨ ugt nicht. Instabilit¨ atsbedingung: g (ρ0 − ρ′0 ) + αk < 0 k

ρ′0 − ρ0 >

α 2 k g

Es existiert eine kritische Wellenl¨ ange, kleinste Wellenl¨ angen werden unterdr¨ uckt.

7.2

Die Gravitations-Instabilit¨ at

Ein Fluid im stabilen Gleichgewicht unter dem Einfluss von Selbstgravitation kann instabil sein. Linearisierte Euler- und Konti-Gleichung (~v0 = 0): ~ · ~v1 = 0 ~ 0 + ρ0 ∇ ∂t ρ1 + ~v1 · ∇ρ   ~ ρ1 − ∇ψ ~ 1 ∂t~v1 = −c2s ∇ ρ0

(7.29) (7.30)

p1 = c2s ρ1 Poisson-Gleichung: ∆ψ1 = 4πGρ1

(7.31)

Jeans (1961): ρ0 und cs (→ isotherm) sind konstant. ~ ∇·(7.30): 2

∆ρ1 ∆ρ1 ∂ ρ1 7.31 ~ · ~v1 7.29 = −c2s − ∆ψ1 = −c2s − 4πGρ1 ∂t ∇ = − t ρ0 ρ0 ρ0

(7.32)

~

Mit ρ1 = ρˆei(k·~r−ωt) folgt: ω 2 = c2s (k 2 − kc2 )

(7.33)

¨ 7.2. DIE GRAVITATIONS-INSTABILITAT

133

mit der kritischen Wellenl¨ ange: kc2 =

4πGρ0 c2s

(7.34)

k < kc → Imω > 0 → Instabilit¨ at Soweit, so sch¨ on, aber: ρ0 und cs konstant bedeutet f¨ ur das Gleichgewicht: ~ 0 = ∇(c ~ 2s ρ0 ) = −ρ0 ∇ψ ~ 0 ∇p

→

| {z }

ψ0 = const

=0

Die Poisson-Gleichung im Gleichgewicht lautet aber ∆ψ0 = 4πGρ0 → ρ0 = 0! ⇒ Die Analyse ist f¨ ur eine endliche Massendichte nicht g¨ ultig! → ”Jeans-Swindle” Betrachte eine 1-dim. selbstgravitierende Schicht im Gleichgewicht. ρ0 (z)

bzw.

ψ0 (z)

cs = const

∂z p0 = c2s ∂z ρ0 = −ρ0 ∂z ψ0   4πG 1 = − 2 ρ0 d z ρ0 dz ρ0 cs

(7.35) (7.36)

Die L¨ osung ist: ρ0 = ρ0 (0) cosh−2 mit H =





z H

kT 2πGmρ0 (0)



= ρ0 (0)(1 − ω 2 )

1 2

(7.37) 

z und ω = tanh H



kT im isothermen Fall m Nun betrachte die marginale Mode ω = 0, also Imω > 0 Instabil und km die Wellenzahl der marginalen Mode. Divergenz der Euler-Gleichung (7.32) mit ω = 0: sowie

0 = −c2s

c2s =

∆ρ1 4πGρ0 2 − 4πGρ1 = (d2z − km )θ + θ ρ0 c2s mit θ =

ρ1 ρ0

Nun ist dz θ = dω θdz ω = dω θ(1 − ω 2 )

d2z θ = (1 − ω 2 )2 d2ω θ − 2ω(1 − ω 2 )dω θ

(7.38)

¨ KAPITEL 7. HYDRODYNAMISCHE INSTABILITATEN

134 ⇒

H

2



d2ω θ



2ω − dω θ + 1 − ω2 mit

ν2 2 − 1 − ω 2 (1 − ω 2 )2

!

θ=0

(7.39)

ν = km H

Legendreartige Gleichung mit der L¨ osung: θ(ω) = A1



1+ω 1−ω

ν

2

(ν − ω) + A2



1−ω 1+ω

ν

2

(ν + ω)

(7.40)

θ bleibt endlich f¨ ur ω = 1 → ν = 1 →

2 km =

1 2πGmρ0 (0) = 2 H kT

ur homogene Dichte ρ0 (0). Instabilit¨ at f¨ ur k < km = 12 kc,Jeans f¨

(7.41)

Kapitel 8

Die Rayleight-BenardKonvektion Unter Konvektion versteht man eine durch einen Temperaturgradienten verursachte Fluidbewegung. Der W¨ armetransport wird mit einem Massentransport assoziiert. Wir betrachten ein Fluid mit externer W¨ armezufuhr Q.

~ | < ∇ ~ crit , so wird die Ist der Temperaturgradient hinreichend klein |∇T W¨ arme durch W¨ armeleitung im Fluid transportiert (¨ ahnlich wie im Festk¨ orper). ~ ~ Ist |∇T | > ∇crit , so setzt die konvektive Bewegung von Fluidelementen ein, die die W¨ arme transportieren. ¨ → Uberkritisches Ph¨ anomen / Instabilit¨ at Zur Beschreibung der Benard-Konvektion: a) Auffinden eines station¨ aren Zustandes / Anfangskonfiguration, gekennzeichnet durch W¨ armeleitung b) Linearmodenanalyse einer St¨ orung dieses Zustandes Maßgebliche Bilanzgleichungen: ~ · (ρ~v ) = 0 ∂t ρ + ∇ ~ v ) = −∇p ~ + ρ~g + ν∆~v ρ(∂t~v + (~v · ∇)~ 135

(8.1) (8.2)

136

KAPITEL 8. DIE RAYLEIGHT-BENARD-KONVEKTION

Sowie die Bilanz der inneren Energiedichte unter Ber¨ ucksichtigung der W¨ armeleitung: ~ −∇ ~ · (K ∇T ~ ) + p∇ ~ · ~v = 0 ρ(∂t ǫ + ~v · ∇ǫ)

(8.3)

K: W¨ armeleitf¨ ahigkeit Verzicht auf Herleitung der W¨ armeleitung, die als h¨ oheres Moment bei Herleitung der Bilanzgleichungen aus der statistischen Beschreibung (Verteilungsfunktion, Boltzmann-Gleichung und Momentenbildung), in (8.3) auftritt. (→ Kreuzer: Non-Equilibrium Thermodynamics) Wir nehmen an, das Fluid sei “ann¨ ahernd inkompressibel”, d.h. eigentlich ~ ist das Fluid inkompressibel (∇ · ~v = 0), aber man erlaubt, dass die Dichte sich lokal mit ansteigender Temperatur vermindert. Dieser Effekt f¨ uhrt genau zur Konvektionsbewegung, zum Aufsteigen w¨ armerer, leichterer Fluidelemente (s. sp¨ ater). Zun¨ achst nehmen wir aber an: ~ · ~v = 0 ∇ Im inkompressiblen Fall gilt zudem die thermodynamische Beziehung: dǫ = cp dT

cp = spezifische W¨ arme

Damit geht (8.3) u ¨ber in: ~ = χ∆T ∂t T + ~v ∇T χ=

K ρcp :

(8.4)

thermometrische Leitf¨ ahigkeit unter der Annahme konstanter W¨ armeleitf¨ ahigkeit

Statisches Gleichgewicht: ~v0 = 0 Randbedingungen: T0 (0) = Ta , T0 (d) = Tb Station¨ are L¨ osung von (8.4): T0 (z) = Ta − βz

β=

Ta − Tb d

(8.5)

137 Die thermische Ausdehnung des Fluids ist linear anzunehmen. ρ(T ) = ρa (1 − α(T − Ta ))

(8.6)

α: Expansionskoeffizient, i.A. ≪ 1 Also (8.5) in (8.6): ρ0 (z) = ρa (1 + αβz)

ρ0 (0) = ρa

(8.7)

Statische, station¨ are L¨ osung von (8.2): dp0 = −ρ0 g dz

→

1 p0 (z) = pa − gρa (z + αβz 2 ) 2

(8.8)

Es ist experimentell bekannt, dass eine solche L¨ osung, (8.5), (8.7). und (8.8), nur f¨ ur relativ kleine Temperaturgradienten stabil ist. Der kritische Parameter ist dabei β (Maß f¨ ur den Temperaturgradienten). Exkurs

Dieses station¨ are System wird beschrieben durch (8.5), (8.7) und (8.8). T0 (z) = Ta − βz

ρ0 (z) = ρa (1 + αβz) 1 p0 (z) = pa − gpa (z + αβz 2 ) 2

Ist es Rayleigh-Taylor-instabil? Wir betrachten Str¨ omung um z ′ . In einer Umgebung ǫ um z ′ gilt: ρ0 (z ′ + ǫ) > ρ0 (z ′ − ǫ) −ǫ Stabilit¨ atsanalyse wie in Kapitel 6 mit den St¨ orgr¨ oßen Φ+ǫ 1 , Φ1 , ζ1 , die als Fourier-Moden anzusetzen sind.

~v0+ǫ = ~v0−ǫ = 0 (1)

Φ1 ∼ eikx−iωt±kz

∂z Φ1 = ∂t ζ1

138

KAPITEL 8. DIE RAYLEIGHT-BENARD-KONVEKTION

Wie in (7.8) und (7.9) erhalten wir: ˆ +ǫ e−kz = i(−ω + ku+ǫ )ζˆ1 −k Φ | {z }

(a)

→0

ˆ −ǫ ekz = i(−ω + ku−ǫ )ζˆ1 kΦ | {z }

(b)

→0

Die 3. Bestimmungsgleichung erh¨ alt man aus Bernoulli + der Stetigkeit des Druckes: 







1 ~ −ǫ 2 1 ~ +ǫ 2 ) + gζ1 = ρ−ǫ ∂t Φ−ǫ + (∇Φ ) + gζ1 ρ+ǫ ∂t Φ+ǫ + (∇Φ 2 2 z=ζ1 z=ζ1 ζ1 ≪ 1

auch Randbedingung an

z=0

Linearisierung, d.h. Kleinheitsparameter werden nur bis zur linearen Ordnung ber¨ ucksichtigt ρ±ǫ 0 = ρa (1 + αβ(z ± ǫ)) = ρ0 (z) ± α≪1

ǫ≪1

ρa αβǫ

| {z }

Kleinheitsparameter

homogenes Medium:

β≤0

und dann noch mit den St¨ orgr¨ oßen multipliziert. Φ = Φ0 + Φ1

~ 0 ∇Φ ~ 1=0 ∇Φ

Gleichung (c) linearisiert: −ǫ ρ0 (∂t Φ+ǫ 1 + gζ1 )|z=0 = ρ0 (∂t Φ1 + gζ1 )|z=0

(d)

ˆ ±ǫ ∼ e−iωt Fourier-Ans¨ atze: Φ 1 ˆ = ρ0 (−iω Φ ˆ ˆ +ǫ e−kz + g ζ) ˆ −ǫ ekz + g ζ) ρ0 (−iω Φ Mit (a) und (b) folgt: ˆ ˆ +ǫ e−kz = iω ζ Φ k

ˆ ˆ −ǫ ekz = −iω ζ Φ k

ρ0 (ω 2 + gk) = ρ0 (−ω 2 + gk) ⇒

ω=0

Lineare Stabilit¨ atsanalyse Boussinesq-Approximation: In einem “ann¨ ahernd inkompressiblen” Fluid, d.h. ρ = const r¨ aumlich und

(c)

139 zeitlich, ist ρ1 = 0 (ρ0 = ρa ) in allen Gleichungen, außer im Gravitationsterm der Bewegungsgleichung. In der Tat ist die thermische Expansion (vgl. (8.6)) in den meisten Fluiden sehr klein, aber im gravitativen Term f¨ uhrt dieser Effekt genau zum Einsatz der Konvektion (Auftriebskraft). Streng mathematisch ist diese Vorgehensweise fragw¨ urdig, da keine strenge Einhaltung der Absch¨ atzung nach Gr¨ oßenordnungen besteht, aber sie ist erfolgreich, d.h. Experiment wird hinreichend gut beschrieben. armetransportgleichung (8.4): Also in Konti- (8.1), Bewegungs- (8.2) und W¨ T = T0 + T 1 ρ = ρ0 +ρ1 (T1 ) d.h. mit (8.6): |{z} =ρa

ρ = ρa − ρa αT1

Dichtest¨ orung entsteht nur durch St¨ orung in thermischer Expansion. ~v = ~v0 + ~v1 Da ρ1 nur im gravitativen Term ber¨ ucksichtigt werden soll, ergeben sich die linearisierten Gleichungen zu: 8.1 →

~ · [(ρ0 + ρ1 )(~v0 + ~v1 )] ∂t (ρ0 + ρ1 ) = −∇ ~ · ~v1 = 0 ∇

→ 8.2 →

(8.9)

~ · (~v0 + ~v1 )) (ρ0 + ρ1 )(∂t (~v0 + ~v1 ) + (~v0 + ~v1 )∇

~ 0 + p1 ) + (ρ0 + ρ1 )~g + η∆(~v0 + ~v1 ) = −∇(p

(8.10)

Hier g¨ abe es ohnehin keinen anderen ρ1 -Term. ~ 1 + ρ1~g + η∆~v1 ρ0 ∂t~v1 = −∇p →



~ p1 ∂t~v1 = −∇ ρa



− αT1~g + ν∆~v1

ν=

η ρa

(8.11)

Hier ist wiederrum ρ0 = ρa . 8.4 →

~ 0 = chi∆T1 ∂t T1 + ~v1 ∇T

bzw. mit (8.5) (T0 = Ta − βz): ∂t T1 − v1z β = χ∆T1

(8.12)

140

KAPITEL 8. DIE RAYLEIGHT-BENARD-KONVEKTION

Zweifache Anwendung der Rotation auf (8.11) (erste eliminiert Abh¨ angigkeit von p1 , zweite f¨ uhrt zur 2. Ableitung von T1 wie in (8.12)) ergibt f¨ ur die zKomponente: ~ 2 v1z = αg(∂x2 T1 + ∂y2 T1 ) + ν ∇ ~ 4 v1z ∂t ∇ ~ ×∇ ~ × ~v1 = −∇ ~ 2~v1 ∇

mit ν = ~ × (T1~g ) = ∇T ~ 1 ×~g ∇

f¨ ur

(8.13)

~ · ~v1 = 0 ∇

η = kinematische Viskosit¨ at ρa

~ ·~g −~g ∇ ~ · (∇T ~ 1 ) + (~g · ∇) ~ ∇T ~ 1 − (∇T ~ 1 · ∇)~ ~ g ~ × (∇T ~ 1 ×~g ) = ∇T ~ 1∇ ∇

ur T1 und v1z (∂z2 T1 (8.12) und (8.13) sind lineare Differentialgleichungen f¨ hebt sich raus). ⇒ Eine beliebige St¨ orung ist als Superposition von Fourier-Komponenten darstellbar (Normal-Moden): v1z = w(z)eωt+ikx x+iky y

(8.14)

ωt+ikx x+iky y

T1 = θ(z)e

(8.15)

periodische x,y-Abh¨ angigkeit Mit den Ans¨ atzen (8.14) und (8.15) folgt: 8.12 → ωθ − βw = χ(d2z − kx2 − ky2 )θ (8.16) 8.13 → ω(d2z − kx2 − ky2 )w = −αg(kx2 + ky2 )θ + ν(d2z − kx2 − ky2 )2 w(8.17) (Kein algebraisches Gleichungssystem f¨ ur St¨ oramplituden → gew¨ ohnliche DGLs f¨ ur w, θ.) Der Stabilit¨ ats¨ ubergang liegt bei ω = 0 (ω > 0: Instabilit¨ at, ω < 0: Stabilit¨ at). Einschub Man kann allgemein zeigen, dass f¨ ur Gleichgewichtssysteme (8.16), (8.17): ω ∈ R. (8.17)·(d2z − k 2 − ω): ω(d2z − k 2 )(d2z − k 2 − ω)w = −αgk 2 (d2z − k 2 − ω)θ + ν(d2z − k 2 )2 (d2z − k 2 − ω)w 8.16 αgβk 2 ω(d2z − k 2 )(d2z − k 2 − ω)w = w + ν(d2z − k 2 )2 (d2z − k 2 − ω)w χ (d2z − k 2 )(d2z − k 2 − ω)(d2z − k 2 −

αgβk 2 ω )w = − w ν νχ

(a)

141 Mit den Hilfsfunktionen G(z) = (d2z − k 2 )w und F (z) = (d2z − k 2 − ων )G(z) wird (a) zu: αgβk 2 (d2z − k 2 − ω)F (z) = − w(z) (b) νχ | {z } =γ

Z

Z

F ∗ (b)dz

Schicht

F ∗ d2z F = F ∗ dz F −

Z

|dz F |2 dz

(c)

R

F ∗ d2 F ergibt sich aus dem 1. Term der linken Seite von (b). 2 F ∗ dz F → 0, denn (8.17) mit F ergibt F (z) = αgk ν θ und die Randbedingungen lauten θ(0) =Rθ(d) = 0. Rechte Seite von F ∗ (b)dz: Z

wF ∗ dz =

Z

w(d2z − k 2 −

ω∗ ∗ )G dz = ν

Z

G∗ (d2z − k 2 −

Letzteres durch zweifache partielle Integration von finition von G ergibt sich: Z

R

G∗ d2z wdz. Mit der De-

ω∗ G∗ wdz ν Z Z ω∗ = G∗ Gdz − w(d2z − k 2 )w∗ dz ν Z Z ω∗ ∗ = G Gdz + [|dz w|2 + k 2 |w|2 ]dz ν

wF ∗ dz =

Z

ω∗ )wdz ν

Z

G∗ Gdz −

(d)

(Letzteres wieder durch partielle Integration.) R Somit ergibt sich insgesamt f¨ ur (b)F ∗ dz: Schicht

−

Z

2

2

2

dz(|dz F | + (k + ω)|F | ) = −γ

Z

dz(|G|2 +

ω∗ (|dz w|2 + k 2 |w|2 )) ν

(e)

Der Imagini¨ arteil von (e) ist: Imω

⇒ Imω = 0

Z

dz (|F |2 + |

γ (|dz w|2 + k 2 |w|2 ) = 0 (f ) ν {z }

positiv definit

Setze ω = 0 und eliminiere θ: 8.16,8.17 → νχ(d2z − kx2 − ky2 )3 w = −αβgk 2 w

(8.18)

142

KAPITEL 8. DIE RAYLEIGHT-BENARD-KONVEKTION

Bzw. mit der normierten Wellenl¨ ange k˜x,y = kx,y d und der normierten zz Richtung z˜ = d (d: Schichtdicke): (d2z˜ − k˜x2 − k˜y2 )3 w = −Ra k˜2 w Mit der Rayleigh-Zahl: Ra =

(8.19)

αβgd4 χν

(Erinnerung: β misst den Temperaturgradienten.) osung sind somit (8.19) ist eine Differentialgleichung 6. Ordnung, zu ihrer L¨ 6 Randbedingungen vonn¨ oten (Details: Chandrasekhar, Hydrodynamic and Hydromagnetic Stability, Oxford University Press, 1961). Die Temperatur am oberen / unteren Rand sei konstant und das Fluid verbleibe in der Schicht zwischen z = 0 und z = d. θ(0) = θ(d) |

= w(0) = w(d) = 0 | {z }

{z } ist in der TatRRB R f¨ur w →s.8.16

w=θ

| {z }

v1z (0)

v1z (d)

|

{z

˜ 2 −k ˜ 2 )w(0)= (d2 −k x y z ˜ ˜ 2 −k ˜ 2 )w(d)=0 (d2 −k x y z ˜

4RB

}

Die L¨ osung ist hier besonders einfach. F¨ ur freie Oberfl¨ ache gilt: ′ , vgl. (6.17)) verschwinden, an der Oberfl¨ ache Viskose Schubspannungen (σik wird keine Arbeit verrichtet. ~ · ~v1 = 0 → ∂v1z = 0.) (F¨ ur feste Oberfl¨ ache / Rand ist v1x = v1y = 0, ∇ ∂z Vergleiche Kapitel 5. ′ ′ σxz = η(∂z v1x + ∂x v1z ) = 0 = σyz = η(∂z v1y + ∂y v1z )

v1z = 0 auf den Oberfl¨ achen z = 0 und z = d (Fourier: kx,y w(0) = kx,y w(d) = 0). →

∂x v1z = ∂y v1z = 0

→

∂z v1x = ∂z v1y = 0|z=0,d

~ · ~v1 = ∂x ∂z v1x + ∂y ∂z v1y + ∂z2 v1z = ∂z2 v1z = 0 bei z = 0, d ∂z ∇

2RB

Das ist freilich nicht sehr realistisch (zwei freie Oberfl¨ achen), f¨ uhrt aber auf die einfache L¨ osung des Eigenwertproblems: w(z) = w ˆ sin(nπ˜ z)

n = 1, 2, 3, . . .

(8.20)

L¨ osung (8.20) in (8.19): Die Rayleigh-Zahl kann nur die Eigenwerte Ra =

(n2 π 2 + k˜2 )3 k˜2

(8.21)

143 annehmen, d.h. (n2 + k˜2 )3 Ra = k˜2

αβgd4 Ra = χν

!

ist niedrigster Eigenwert. Minimalisierung nach k˜2 liefert kritische Rayleigh-Zahl Rc = an kritischer Wellenzahl:

27 4 π ∼ 657 4

π2 2 k˜crit = 2

~ ) Ra ∼ β(∼ ∇T F¨ ur kleine Ra sind die Eigenwerte nicht f¨ ur reelle k˜ erf¨ ullbar → keine Instabilit¨ at. Ra < Rc : System findet station¨ are L¨ osung (8.5), (8.7), (8.8). Wird Ra erh¨ oht (durch Erh¨ ohung der W¨ armezufuhr), so wird bei Rc zun¨ achst die Fourier-Komponente mit k˜crit instabil, bei weiterer Erh¨ ohung von Ra wird ein ganzer Bereich der Wellenzahlen instabil (vollst¨ andige L¨ osung von (8.16), (8.17)). Kritische Rayleigh-Zahlen f¨ ur eine feste und eine freie Oberfl¨ ache: zwei feste Oberfl¨ achen:

1100 1700

→ Randstabilisierung Wir haben also nicht die Dispersionsrelation explizit aufgestellt, sondern ”nur” eine marginale lineare Stabilit¨ atsanalyse durchgef¨ uhrt. Eine vollst¨ andige L¨ osung (ω 6= 0) von (8.16) und (8.17) ist m¨ oglich und f¨ uhrt

144

KAPITEL 8. DIE RAYLEIGHT-BENARD-KONVEKTION

ebenso auf ω > 0 f¨ ur Ra > Rc (zuvor war nur durch Zusatzinformation klar, ¨ dass der Ubergang von ω = 0 (marginale Mode) zu ω > 0 f¨ ur Ra > Rc und nicht f¨ ur Ra < Rc stattfindet). Konvektionszellen sind ihrerseits stabil, d.h. die St¨ oramplituden wachsen nur in einem kurzen linearen Stadium (im Sinne der St¨ orungsrechnung) exponentiell an. Muster der Konvektionszellen w(z) ist bekannt als: w(z) = v0 sin(nπz) Doch was ist mit vx , vy ? Sei vz = w(z) cos( 2π L x). Das einfachste Konvektionsmuster zeigt Rollen parallel zu einer, sagen wir der y-Achse, in Abh¨ angigkeit nur von der x-Achse. vy = 0 →

vx = −

Z

dz w(z) cos(

~ · ~v = 0 ∇ L 2π 2π x)dx = − dz w sin( x) L 2π L

Kapitel 9

Turbulenz Die lineare Str¨ omung von Fluiden ist die Ausnahme, i. A. ist die Dynamik von Fluiden turbulent. Z.B. Jet-Str¨ omung in der oberen Troposph¨ are, Wasserstr¨ omungen unterhalb der Ozeanoberfl¨ ache, Golf-Strom, Fluss- / Kanalstr¨ omungen, KummulusWolken. Hauptcharakteristik turbulenter Str¨ omungen: -Irregularit¨ at: Es ist keine streng deterministische Beschreibung m¨ oglich, sondern nur eine statistische Beschreibung von Turbulenz (s. sp¨ ater). -Stark fluktuierende Vortizit¨ at / Wirbelst¨ arke -Große Reynoldszahlen Re = ρvl η ′ in (6.17) und -Dissipation durch kleinskalige viskose Scherspannungen (σik (6.22)). Die ben¨ otigte Energiequelle f¨ ur Turbulenz sind oftmals Scherstr¨ omungen vi (rj ). -Turbulenz entsteht aus laminarer Str¨ omung durch Instabilit¨ aten f¨ ur hohe Reynoldszahlen. Wir betrachten zwei unterschiedliche Fragestellungen: 1) Bei welchem Re wird eine Str¨ omung instabil? 2) Wie kann man den vollentwickelten turbulenten Zustand sinnvoll charakterisieren? Mathematisch exakt sieht das folgendermaßen aus: Navier-Stokes linearisieren → St¨ orungsansatz → ω(k) → Stabilit¨ atskriterium Achtung: Das ist eine lineare Theorie, sie liefert keine Aussage bzgl. Frage 2 Ausgangspunkt: Navier-Stokes-Gleichung f¨ ur Wirbel

145

146

KAPITEL 9. TURBULENZ

Es ist: ~ × ∇



~ × ~v Wirbelst¨ ω ~ =∇ arke  ∂~v ~ − ν∆~v = 0 ~ v + 1 ∇p + (~v · ∇)~ ∂t ρ

~ v (~v · ∇)~ ⇒

~ × (~v · ∇)~ ~ v ∇

= ~ 1 ∇v ~ 2 =0 ∇× 2

∆~v

=

1~ 2 ~ × ~v ) ∇v − ~v × (∇ 2 h

~ × (~v × ω ~ v − (~v · ∇)~ ~ ω −∇ ~ ) = − (~ ω · ∇)~ ~ ∇ ~ · ~v ) ∇(

=

|

{z

i

~ × (∇ ~ × ~v ) = −∇ ~ ×ω −∇ ~

}

=0 da kompressibel

⇒

~ × ∆~v ∇

=

~ ×∇ ~ ×ω −∇ ~ =−

~ ∇ ~ ·ω ∇( ~) |

{z

+∆~ ω

}

=0 (Rotationsfeld)

∂~ ω ~ v + (~v · ∇)~ ~ ω − ν∆~ − (~ ω · ∇)~ ω = 0 ∂t ∂~ ω ~ ω = (~ ~ v + ν∆~ + (~v · ∇)~ ω · ∇)~ ω ⇒ ∂t d~ ω ~ v + ν∆~ ⇒ = (~ ω · ∇)~ ω dt (ν = 0 ⇒ Helmholtz’sche Wirbelgleichung) Nebenbemerkung: Nach wie vor entstehen f¨ ur ω ~ = 0 keine Wirbel (aber man denke an das Einwandern...) Jetzt betrachten wir eine vereinfachte Geometrie, ebene (2dim) Str¨ omung, z.B.

vz = 0

∂ =0 ∂z

~v0 = v0 (y)~ex F¨ ur diese Str¨ omung gilt: i j ~ × ~v = ∂x ∂y ω ~ =∇ vx vy

k ∂z vz

  =

∂vy ∂x

0 0 −

∂vx ∂y

⇒ Man hat nur die Gleichung f¨ ur ωz zu betrachten: ∂ωz ~ z = ν∆ωz + (v · ∇)ω ∂t







0    =   0  ωz

147 ~ v = 0, da vz = 0) (in der z-Komponente ist (~ ω · ∇)~ St¨ orungsansatz in ~v (in x-y-Ebene): ~v = ~v0 + ~v1 = v0 (y)~ex + ~v1 (x, y) ⇒

ωz = −

dv0 + ω1z dy

~ z: Linearisieren von (~v · ∇)ω 







∂ω1z d 2 v0 − v1y 2 ∂x dy

(v0 h¨ angt nur von y ab)

~ (ω1z − (v0~ex + ~v1 ) · ∇

∂ ∂ ∂ dv0 ) = v0 + v1x + v1y dy ∂x ∂x ∂y

ω1z −

dv0 dy



1. Ordnung: ⇒

v0 ⇒

∂ω1z ∂ω1z d 2 v0 + v0 − v1y 2 = ν∆ω1z ∂t ∂x dy

Wie bereits bekannt lassen sich inkompressible zweidimensionale Wirbelfelder bequem mit einer Stromfunktion ψ darstellen: v1x = ⇒

∂ψ1 ∂y

v1y = −

∂ψ1 ∂x

~ · ~v = 0 und ∇ ~ × ~v1 = ω1z = ∂v1y − ∂v1x = −∆ψ1 ∇ ∂x ∂y ⇒

−

∂ ∂ψ1 d2 v0 ∂ ∆ψ1 − v0 ∆ψ1 + = −ν∆∆ψ1 ∂t ∂x ∂x dy 2

Jetzt folgt Fouriertransformation in x und t (Problem h¨ angt explizit von y ab!) ˆ ψ1 = ψ(y) · ei(kx−ωt) ACHTUNG: ω = Frequenz, ω1z = Wirbelst¨ arke

⇒

!

!2

d 2 v0 ˆ i d2 d2 2 ψˆ | · ik ψ = −ν −k + (iω − ikv0 ) −k 2 + 2 ψˆ + 2 2 dy dy dy k ! !   2 2 4 2 ˆ ω d ψˆ d v0 ˆ iν d ψˆ 2ˆ 2d ψ 4ˆ v0 − −k ψ − ψ = − − 2k +k ψ k dy 2 dy 2 k dy 4 dy 2 Orr-Sommerfeld-Gleichung

148

KAPITEL 9. TURBULENZ

d Lineare gew¨ ohnliche DGL 4. Ordnung in dy → 4 Randbedingungen An den R¨ andern: v1x = 0, v1y = 0 ⇒ Die L¨ osung gibt Auskunft u at von Str¨ omungsprofilen ¨ber die Stabilit¨ v0 (y). Jedoch ist die L¨ osung der Orr-Gleichung selbst f¨ ur einfache Geometrien nicht analytisch m¨ oglich. Transzendente Funktionen → numerische L¨ osung ω = ω(k) (komplex)

Bemerkung: Instabilit¨ atskriterien sind zwar notwendig, aber nicht hinreichend. Es werden auch stabile Str¨ omungen mit Re > 5300 realisiert, die aber jederzeit “umschlagen” k¨ onnen. Analogie: Phasen¨ ubergang und “Unterk¨ uhlen” ¨ Ubergang zur Turbulenz: F¨ ur Re ↑ wird zun¨ achst ein k instabil und es ist nicht klar, wie aus dieser

¨ ¨ 9.1. WIRBELABLOSUNG HINTER EINEM UMSTROMTEN ZYLINDER149 sinusf¨ ormigen Instabilit¨ at eine turbulente Str¨ omung entsteht (die aus vielen ¨ k’s besteht). Im weiteren wird das Landau-Modell f¨ ur den Ubergang zur Turbulenz herangezogen.

9.1

Wirbelablo omten Zy¨sung hinter einem umstr¨ linder

Landau-Modell Ein Fluid umstr¨ omt einen Zylinder. ¨ Es existiert ein Ubergang von station¨ arer laminarer Str¨ omung zu nichtstation¨ arer und schließlich turbulenter Str¨ omung. Landaus Modell behandelt ¨ den Ubergang Re ≥ Recrit , also den Einsatz der Instabilit¨ at, die von laminar zu turbulent f¨ uhrt, und den asymptotischen Grenzwert, den die Geschwindigkeitsamplitude annehmen wird. Die Str¨ omung ist nichtstation¨ ar, die Wirbelabl¨ osung ist periodisch in der Zeit mit Frequenz ∼ u. Bei sehr großen Re u arente turbulente Bewegungen auf sehr ¨berlagern inkoh¨ 1 √ arenten Fluidstrukkleinen r¨ aumlichen Skalen l ∼ Re die ausgedehnten koh¨ turen. ¨ Das Verhalten eines physikalischen Systems in der Umgebung eines Ubergangs, wie hier von laminar zu turbulent, l¨ asst sich mit Hilfe eines Ordnungsparameters in Abh¨ angigkeit von einem Kontroll- / kritischen Parameter beschreiben. Erinnerung an die Benard-Konvektion: v1 : Ordnungsparameter (Einsatz der Konvektionsbewegung) Ra : kritischer Parameter Hier: ǫ=

Re − Re|crit Re|crit

(9.1)

kritischer Parameter ¨ Er misst den relativen Abstand zum Ubergang von station¨ arer, laminarer Str¨ omung zur periodischen Wirbelabl¨ osung. Ay = 0,

ǫ<0

|A|2 ∼ ǫ,

ǫ>0

(9.2)

Ordnungsparameter Ay ist die Amplitude der versalen Oszillation der Geschwindigkeitsamplitude. Bifurkationsdiagramm:

150

KAPITEL 9. TURBULENZ

Beschreibung des Landau-Modells Man denke sich die (laminare) Str¨ omung, die f¨ ur Re < Re|crit stabil ist, u ¨berlagert durch kleine nichtstation¨ are Abweichungen mehrerer Instabilit¨ atsmoden, die durch den Index j durchnummeriert werden. ~vj =

X

Aj (t)f~j (~r)

(9.3)

j

F¨ ur ihre Amplituden Aj (t) nehmen wir an, dass sie f¨ ur eine gegebene Mode von der Form eσj t sind, wobei σj = σjr + iσji die komplexen Anwachsraten der Instabilit¨ at sind. Der Imagin¨ arteil entspricht der Oszillation oberhalb Re|crit , der Realteil der ampfung (σjr < 0). Verst¨ arkung (σjr > 0) oder D¨ Re < Re|crit Re = Re|crit Re > Re|crit

Alle St¨ orungen werden exponentiell ged¨ ampft, also σjr < 0 f¨ ur alle j ur alle Moden bis auf eine Mode k, σjr < 0 f¨ die marginal stabil ist und σkr = 0 σjr < 0 f¨ ur die Mehrzahl der Moden, aber es existiert mindestens eine mit σkr > 0

Wir interessieren uns f¨ ur die dominante Mode mit dem gr¨ oßten Wert von otig, wir σjr , eine diskrete Sprechweise wie in (9.3) ist also nicht unbedingt n¨ betrachten im Weiteren nur die k-Mode. F¨ ur Re > Re|crit entwickelt sich Instabilit¨ at zur Wirbelabl¨ osung. F¨ ur eine kurze Zeit (in der linearen Phase der Instabilit¨ at) w¨ achst die Amplitude der Geschwindigkeit exponentiell (sobald Re > Re|crit ). Der Index bei Ai ist immer k. r

i

A(t) = ceσk t eiσk t

(9.4)

¨ ¨ 9.1. WIRBELABLOSUNG HINTER EINEM UMSTROMTEN ZYLINDER151 Die Amplitude muss aber schließlich einen endlichen Grenzwert annehmen (das ist bei bloßer Linearmodenanalyse ohne Interesse und außer Reichweite). Diesen wollen wir im Folgenden bestimmen. Zun¨ achst bilden wir die zeitliche Ableitung des Betragsquadrates der Amplitude. |A|2

=

(ReA)2 + (ImA)2

=

c2 (e2σr t cos2 (σi t) + e2σr t sin2 (σi t))

=

c2 e2σr t

d |A(t)|2 = 2σkr |A(t)|2 dt

(9.5)

Dies ist g¨ ultig im Rahmen der Stabilit¨ atsbetrachtung. Wenn A(t) so groß ist, dass nichtlineare Terme in den Bilanzgleichungen wichtig werden, kann die rechte Seite von (9.5) als erster Term einer Reid henentwicklung von dt |A|2 nach Potenzen von A und A∗ aufgefasst werden. ¨ Wir verlassen nun den Bereich des unmittelbaren Ubergangs von laminar zu turbulent. Mit wachsender Amplitude werden weitere Terme der Potenzreihenentwicklung bedeutsam. dt |A|2 ist eine gerade Funktion in |A|2 , weswegen nur gerade Potenzen in der Reihenentwicklung auftauchen. dt |A|2 = |A|2

∞ X

m=0

am |A|2m

(9.6)

a0 = 2σkr . Wir ber¨ ucksichtigen den 2. Term mit a1 = −α (α kann negativ, positiv als auch Null sein, wir w¨ ahlen α > 0 um die exponentielle Divergenz von |A| auszugleichen): dt |A|2 = 2σkr |A|2 − α|A|4 Nichtlineare Gleichung der Riccati-Form y ′ = f (x)y 2 + g(x)y + h(x) geht mit y=−

y¯′ f (x)¯ y

in eine lineare DGL u ¨ber: y¯′′ f − (f ′ + f g)¯ y ′ + f 2 h¯ y=0 Hier also: ¯ 2 − 2σkr dt |A| ¯2=0 d2t |A|

(9.7)

152

KAPITEL 9. TURBULENZ

Mit der L¨ osung:

r

¯ 2 = c1 + c2 e2σk t |A| r

|A|2 = 2

σkr c2 e2σk t r (c1 + c2 e2σk t )α

Oder: α 1 r = r + const. · e−2σk t |A|2 2σr

(9.8)

Asymptotisch strebt |A|2 gegen den endlichen Grenzwert: |A|2max =

2σkr α

(9.9)

altlich. Dieser ist auch direkt als station¨ are Amplitude aus (9.7) erh¨ r σk ist als eine Funktion der Raynoldszahl auffassbar. In der N¨ ahe von Re|crit kann sie in eine Potenzreihe nach (Re − Re|crit ) entwickelt werden. Nach der Definition von σkr ist: σkr (Re|crit ) = 0

(9.10)

In erster N¨ aherung folgt aus Taylor (σ = σ(Re|crit )+(Re−Re|crit )∂Re σ|Re|crit P s + . . ., bzw. σ = ∞ s=0 as (Re − Re|crit ) ): σkr ∼ const. · (Re − Re|crit )

(9.11)

Und damit mit (9.9): q

Re − Re|crit

−β|A|6

(β > 0)

|A|max ∼

(9.12)

Es l¨ asst sich freilich nicht ausschließen, dass α ≤ 0 ist. In dem Fall muss d |A|2 ein negativer Term h¨ oherer Ordnung in der Reihenentwicklung f¨ ur dt ber¨ ucksichtigt werden (vgl. (9.6)).

Die L¨ osung |A|2max der quadratischen Gleichung die station¨ ar aus (9.7) mit 6 −β|A| -Term folgt, lautet: |A|2max

|α| ± = 2β

s

α2 2 + σkr 2 4β β

(9.13)

Die f¨ ur die Dynamik der Instabilit¨ at charakteristische Zeitkonstante aus (9.5) 2|A|dt |A| = 2σkr |A|2 →

|A| 1 1 = r ∼ dt |A| σk Re − Re|crit

(9.14)

¨ 9.2. DIE VOLLSTANDIG ENTWICKELTE TURBULENZ

153

stimmt mit den experimentellen Beobachtungen u ¨berein, sowohl oberhalb r (σk > 0) als auch unterhalb der Instabilit¨ atsschwelle (→ ged¨ ampfte Mode). Die Zeitkonstante divergiert f¨ ur: Re → Re|crit Experimentelle Analyse zeigt, dass die Proportionalit¨ atskonstante in (9.14) 2 gleich 5dν ist (d: Durchmesser des Hindernisses).

9.2

Die vollst¨ andig entwickelte Turbulenz

Einige qualitative Aussagen Bei hohen Re ist die turbulente Str¨ omung durch starke unregelm¨ aßige (¨ ortliche wie zeitliche) Geschwindigkeits¨ anderungen gekennzeichnet. Die wahre Fluidgeschwindigkeit l¨ asst sich in der Reynolds-Dekomposition darstellen als: ~v = ~v¯ + ~v ′

(9.15)

~v¯: zeitlich gemittelte Geschwindigkeit ~v ′ : Geschwindigkeitsschwankungen Mit wachsender Re treten zuerst Turbulenzelemente (TE) mit großen Abmessungen l ∼ L (L: charakteristische Ausdehnung der Str¨ omung) auf. Diese TE haben die gr¨ oßten Geschwindigkeitsamplituden: vT′ E ∼ ∆v ¨ ∆v: Anderung der mittleren Geschwindigkeit auf der L¨ angenskala l Frequenz der Geschwindigkeitsschwankungen: ω∼

∆v l

Kleinere TE mit h¨ oheren Frequenzen und kleineren Amplituden lassen sich ¨ als Detailstrukturen ansehen, die den großen TE u klei¨berlagert sind. Uber ne r¨ aumliche Skalen δ ≪ l werden die Geschwindigkeitsschwankungen durch kleinen TE mit v ′ ≪ ∆l v aber v ′ ≫ ∆δ v bestimmt. ¨ Wir betrachten nun den Ubergang von globalen Re f¨ ur die Str¨ omung im Ganzen zu Re der TE mit der Skala λ und vλ′ : Reλ =

vλ′ λ ν

(9.16)

F¨ ur große TE, Reλ ≫ 1, ist die Viskosit¨ at und damit die Energiedissipation unbedeutend.

154

KAPITEL 9. TURBULENZ

Andererseits sind diese großen TE mit großen Reλ instabil und zerfallen in immer kleinere TE, bis die Viskosit¨ at bedeutsam wird bei λ0 mit Reλ0 ∼ 1. Auf dieser Skala, durch die TE mit λ0 , welche f¨ ur die globale Str¨ omung eigentlich unbedeutend sind, findet die turbulente Energiedissipation statt. Also: Energie, die von außen permanent zugef¨ uhrt wird, wird quasi dissipationsfrei von großen zu kleinen TE, l → λ > λ0 , transportiert um schließlich durch die kleinsten TE auf λ0 dissipiert zu werden. Nun sch¨ atzen wir die pro Zeit- und Masseneinheit dissipierte Energie, die ja zun¨ achst in den großen TE auf l getragen wird / enthalten ist, aus typischen Gr¨ oßen (ρ, v, l) ab. J m2 [ǫ] = = 3 kgs s ⇒

ǫ∼

(∆v)3 l

(9.17)

→ Selbst¨ ahnlichkeit: Unterschiede entstehen nur durch L¨ angen- und Geschwindigkeits/Zeitskalen. Eine turbulente Str¨ omung ist eine Str¨ omung mit turbulenter Viskosit¨ at. η kg m3 m2 [ν] = [ ] = = ρ ms kg s ⇒

νturb ∼ ∆vl

(9.18)

Es ist also: νturb ∼ Re ≫ 1 ν

(9.19)

Und damit aus (9.17) und (9.18): ǫ ∼ νturb



∆v l

2

(9.20)

In dem Bereich l ∼ L, dem Energie- oder Quellenbereich, ist der wesentliche Teil der kinetischen Energie deponiert. Der Bereich λ ≤ λ0 bildet den Dissipationsbereich. Wir betrachten nun den Bereich λ0 ≪ λ ≪ L, den sogenannten Inertialbereich. Aus (9.17) und Dimensionsanalyse f¨ ur ǫ, ρ und λ folgt: 1

vλ ∼ (ǫλ) 3 Gesetz von Kolmogoroff und Oburlow

(9.21)

¨ 9.2. DIE VOLLSTANDIG ENTWICKELTE TURBULENZ

155

Die Geschwindigkeits¨ anderung der turbulenten Bewegung auf der Strecke λ (und nicht wie in (9.17) auf der Strecke l) ist direkt proportional der Ge¨ schwindigkeit der turbulenten Bewegung/TE der Abmessung λ (die Anderung von ∆v auf λ-Skala ist vernachl¨ assigbar). Das Gesetz von Kolmogoroff l¨ asst sich auch spektral als E(k) mit der Wellenzahl der Geschwindigkeitsschwankung k ∼ λ1 darstellen, wobei E(k)dk die kinetische Energiedichte pro Masseneinheit der Fl¨ ussigkeit in einer Geschwindigkeitsschwankung mit dk um k ist. [E(k)] =

m3 s2

Wenn man E(k) aus ǫ und k bis zur Dissipationsl¨ ange bildet, so erh¨ alt man f¨ ur den Inertialbereich, innerhalb dessen ǫ von gr¨ oßeren zu kleineren Wirbeln transportiert wird: 2

5

E(k) ∼ ǫ 3 k − 3

→

Z∞ k

(9.22)

2

E(k)dk ∼

ǫ3 k

2 3

2

∼ (ǫλ) 3

9.21

→

E ∼ vλ2

Typisches Spektrum f¨ ur vollentwickelte, homogene, isotrope Turbulenz nach Kolmogoroff (die Str¨ omungseigenschaften sind auf den Skalen l ≪ L in allen Richtungen gleich):

Gemessenes Spektrum der turbulenten Fluktuationen in einer Str¨ omung. Es sind Quellgebiet, Inertialgebiet mit -5/3 Abfall und Dissipationsgebiet klar zu unterscheiden.

156

KAPITEL 9. TURBULENZ

Schließlich wollen wir noch die Frage nach der r¨ aumlichen Skala λ0 (sie heißt auch innere Turbulenzskala im Gegensatz zur ¨ außeren l) der Energiedissipation beantworten. Zusammenhang zwischen der lokalen Reλ und der globalen Re: 1

Reλ ∼

4

da Reλ0 ∼ 1 folgt: λ0 ∼

9.3

 4

4

λ vλ λ 9.21 ǫ 3 λ 3 9.17 ∆vλ 3 ∼ Re ∼ ∼ 1 ν ν l νl 3 l 3

Re 4

3

(9.23)

(9.24)

Geschwindigkeitskorrelationen

Die statistische Turbulenzbeschreibung Eine turbulente Str¨ omung ist eine irregul¨ are Str¨ omung mit inkoh¨ arenten Bewegungen der FE. Eine deterministische Beschreibung der nichtlinearen Dynamik ist nicht m¨ oglich → statistische Theorie der mittleren physikalischen Parameter der Turbulenz. Anders gesagt:

9.3. GESCHWINDIGKEITSKORRELATIONEN

157

Das zeitliche Anwachsen instabiler Str¨ omungsmoden f¨ uhrt zu einer nichtlinearen Entwicklung zum stochastischen Geschwindigkeitsfeld und somit zum Verlust der lokalen Vorhersagbarkeit. Stochastische Beschreibung (Aufteilen der Geschwindigkeit): ~v = ~v¯ + ~v ′

(9.25)

~v¯: mittlere Geschwindigkeit ~v ′ : Fluktuation der Geschwindigkeit um ~v¯ (turbulenter Anteil) 1 ~v¯ = ∆T

t0 + ∆T 2

Z

~v dt

mit

∂t~v¯ = 0

(9.26)

t0 − ∆T 2

ist die station¨ are mittlere Str¨ omung (Mittelung soll unabh¨ angig von t0 sein, die Zeitabh¨ angigkeit wurde rausintegriert). Die Mittelung u ¨ber den fluktuierenden Geschwindigkeitsanteil verschwindet definitionsgem¨ aß: 1 ~v¯′ = ~v − ~v¯ = ∆T

t0 + ∆T 2

Z

t0 − ∆T 2

(~v − ~v¯)dt = 0

(9.27)

Mithin ist die einfache Mittelung f¨ ur Aussagen u ¨ber fluktuierende Geschwindigkeit nicht hilfreich. ohere Momente → ~v ′2 ⇒ Beschreibung von ~v ′ u ¨ber h¨ Allgemeinste Form von ~v ′2 : Tensor (dyadisches Produkt) vi′ vk′ =

1 T

ZT 0





vx′ vx′ vx′ vy′ vx′ vz′   ′ ′  vy vx vy′ vy′ vy′ vz′  vz′ vx′ vz′ vy′ vz′ vz′

“Reynold’scher Spannungstensor”, analog zum Impulsfluß im laminaren Fall: ↔ ∂ ~ Π (ρ~v ) = −∇· ∂t

Erinnerung: ideal: mit Viskosit¨ at: jetzt:

Πik = pδik + ρvi vk Πik = pik + ρvi vk − σik (z¨ aher Spannungstensor)

Πik = pik + ρvi vk − σik + ρvi′ vk′

I.A. dominant: ρvi′ vk′ ≫ |σik | im turbulenten Fall (Re ≫ 1) Turbulenz f¨ uhrt zu Kr¨ aften auf benachbarte Fl¨ ussigkeitselemente.

158

KAPITEL 9. TURBULENZ

Bemerkung: Auch Nebendiagonalen besetzt: Schub- und Scherkr¨ afte! ¨ Uber diese Kr¨ afte “versorgt” ein Wirbel die Nachbargebiete mit Impuls und Energie. Der Spannungstensor ist i.A. sehr schwer zu berechnen! Heuristischer Ansatz: Prandtl’sche Mischungsl¨ ange ~v ∼ ~v¯ ′

mit L¨ ange

1 l ∼ “ ~

∇

”

⇒ l ist aus Experiment zu bestimmen, sie entspricht einer Korrelationsl¨ ange, L¨ ange, welche Turbulenzelemente quer zur Hauptstr¨ omung zur¨ ucklegen, bevor sie wieder zerfallen. ⇒ Geschwindigkeitskorrelationen, d.h. der Zusammenhang zwischen den Geschwindigkeiten an zwei nahe beieinander liegenden Orten der Str¨ omung. 1 Gleichung (9.21), vλ ∼ (ǫλ) 3 , gibt qualitativ eine solche Korrelation an. Einschub: Korrelationsfunktionen Charakterisierung der Abh¨ angigkeit zweier Signale f (x), g(x) Definitionen:

Mittelwert: Streuungsquadrat: Kovarianz: Das muß noch normiert werden: Korrelation:

1 f¯ = x0

xZ0 /2

f (x)dx

−x0 /2

2

(∆f )2 = (f − f¯)

cov(f, g) = (f − f¯)(g − g¯) cor(f, g) =

cov(f, g) =r ∆f · ∆g

−1 ≤ r ≤ 1 Zahl, die die Abh¨ angigkeit mißt (Korrelationskoeffizient) Aber: Wenn die Signale identisch aber verschoben sind, wird das in r nicht ausgedr¨ uckt. Verallgemeinerung: r als Funktion der Verschiebung: 1 x0

Korrelationsfunktion: cor(x) =

xR 0 /2

−x0 /2

f (x′ )g(x′ − x)dx′ ∆f ∆g

9.3. GESCHWINDIGKEITSKORRELATIONEN Mißt Korrelation zwischen verschiedenen Orten. Dies kann auch f¨ ur eine Funktion angewendet werden: 1 x0

Autokorrelation:

−x0 /2

Beispiel: korrelationsfunktion.mws

f = Amp f ·

sin(x − x f ) (x − x f )

g = Amp f g ·

sin(x − x g) (x − x g)

identisches Signal Amp f = Amp g = 1 x f = x g = 0 ⇒

cor(f, g) = r = 1

Amp f = 5 ⇒ Kovarianz ¨ andert sich (mal 5) Korrelationskoeffizient bleibt gleich (r=1)

xR 0 /2

f (x′ )f (x′ − x)dx′ (∆f )2

159

160

KAPITEL 9. TURBULENZ

Amp f = −1 ⇒ perfekte Antikorrelation

x f = −2 ,

xg=2

¨ ⇒ weniger Uberlapp Korrelation kleiner, aber Korrelationsfunktion hat Maximum bei x = 4 ⇒ Verschiebung um 4 Einheiten reproduziert das Signal!

Autokorrelation

Nun wollen wir qualitativer den prinzipiellen Zusammenhang zwischen Geschwindigkeitsfluktuationen und makroskopischer dissipativer Dynamik betrachten. Bilde Korrelationstensor: ~v ′ (~x, t) ⊗ ~v ′ (~x + ~r, t) = R(~x, ~r)

(9.28)

Korrelationstensor = ˆ Allgemeine Form der Charakterisierung von Turbulenz Er ist 6= 0 innerhalb der Korrelationsl¨ ange ∆r. Außerhalb von ∆r ist der Mittelwert des Produktes zweier stochastisch unabh¨ angiger Gr¨ oßen gleich dem Produkt ihrer Mittelwerte. → R = 0 außerhalb von ∆r. Nebenbemerkung: Dyadisches Produkt → Tensor Rij = vi′ vj′ (neun Komponenten)

9.3. GESCHWINDIGKEITSKORRELATIONEN

161

Die Bestimmung des Korrelationtensors ist das Problem der Turbulenztheorie. Seine Bedeutung f¨ ur die makroskopische Dynamik resultiert aus der Tatsache, dass sich turbulente Transportkoeffizienten, wie turbulente Viskosit¨ at und W¨ armeleitung, aus R (und ggf. Tensoren h¨ oherer Stufe) bestimmen lassen. Im Weiteren betrachten wir homogene, isotrope Turbulenz inkompressibler Fluide, also: ~v¯ = 0 keine Vorzugsrichtung Im weiteren gilt f¨ ur die fluktuierende Geschwindigkeit: ~ · ~v = 0 ∇ Einfachste Aussagen: Homogene Turbulenz (sieht an jedem Ort gleich aus): vi (~x)vj (~x + ~r) 6= f (~x) Isotrope Turbulenz (sieht in jede Richtung gleich aus): vi (~x)vj (~x + ~r) 6= f (

~r , ~x) |~r|

Ist nur abh¨ angig vom Betrag von ~r und nicht von seiner Richtung. → Korrelationstensor: Rij (r) = vi (~x)vj (~x + ~r) r: Betrag von ~r Es l¨ asst sich zeigen, dass der Korrelationstensor Rij mit der Dissipation kinetischer Energie in z¨ ahen Fl¨ ussigkeiten zusammenh¨ angt, z.B. kann ǫλ = vλ3 exakt hergeleitet werden (→ Landau/Lifschitz: Hydrodynamik). Die Fouriertransformierte von R ist direkt mit dem Energiespektrum E(k) verkn¨ upft.

162

KAPITEL 9. TURBULENZ

Aufgrund der Isotropie ist Rij symmetrisch. Allgemeine Form eines symmetrischen Tensors 2. Stufe lautet Rij (r) = A(r)δij + B(r)ni nj

(9.29)

wobei ~n der Einheitsvektor in Richtung ~r ist. Wir betrachten nun die Geschwindigkeit zweier Fluidpunkte im Abstand r.

Rll : Mittelwert des Quadrates der Relativgeschwindigkeit der benachbarten Fluidpunkte gegeneinander

Rnn : Mittelwert des Quadrates der Geschwindigkeit der Rotationsbewegung der Fluidpunkte umeinander

Wegen der Wahl des Koordinatensystems, ~r k ~ne , folgt aus (9.29): Rll = A + B

Rnn = A

Rln = 0

(9.30)

9.3. GESCHWINDIGKEITSKORRELATIONEN

163

Also kann man schreiben: Rij = Rll (r)ni nj + Rnn (r)(δij − ni nj )

(9.31)

Rll , Rnn : longitudinale und transversale Geschwindigkeitskorrelationsfunktionen Rnn ist aus Rll bestimmbar. → Ist die longitudinale Korrelationsfunktion bekannt, so ist der Korrelationstensor bestimmt. In der Tat gilt jedoch f¨ ur homogene isotrope Turbulenz: Rll = ar2 a: Konstante, die mit der mittleren Energiedissipation ǫD und der kinematischen Viskosit¨ at u ¨ber ǫ a= 15ν verkn¨ upft ist. Andererseits gilt (gem¨ aß der mittleren Energiedissipation in viskosen Fluiden): 1 a = (∂xj vi )2 15 (vi ist hier wahre Geschwindigkeit.) → Zusammenhang zwischen Mikro- und Makroskopik Abschließend die Spektraldarstellung des Korrelationstensors: Fourier-Transformation: 1 (2π)3

Φij (~k) =

Z

~

Rij eik·~r d~r

(9.32)

Isotrope Turbulenz: Rij (~r) = Rij (−~r) →

Φij (~k) = Φij (−~k) = Φ∗ij (~k)

(9.33)

Also ist der spektrale Korrelationstensor reel. Inverse Fourier-Transformation: Rij (~r) =

Z

~

Φij (~k)e−ik·~r d~k

(9.34)

∂rj Rij entspricht ikj · Φij (Achtung: Summenkonvention!). ~ · ~v =0 folgt Wegen ∇ kj Φij = 0

(9.35)

164

KAPITEL 9. TURBULENZ

mit der allgemeinen Form: 1 Φij = c(k)ki kj + D(k)δij 2 →

(9.36)

−c(k)k 2 = D(k) 

ki kj Φij (k) = D(k) δij − 2 k



(9.37)

→ Symmetrie, nur Abh¨ angigkeit vom Betrag von k. Mit einer neuen skalaren Funktion E(k) erh¨ alt man: Φij (k) =

E(k) 2 (k δij − ki kj ) 4πk 4

(9.38)

E(k) hat eine physikalische Bedeutung: 9.28 →

Rij = vi (~x, t)vj (~x + ~r, t) Z 1 2 1 9.34 1 v¯ = Rii (~r = 0) = Φii (k)d~k 2 2 2

→

Achtung: Summenkonvention!

=

9.38 = =

1 2

Z

1 2 Z

Z

(Φxx + Φyy + Φzz )

2

|4πk{z dk}

sph¨ arisch symmetrischer Integrand

E(k) (3k 2 − kx2 − ky2 − kz2 )dk k2

E(k)dk

(9.39)

E(k) ist also das Energiespektrum der Turbulenz, nun also quantifiziert u ¨ber die Geschwindigkeitskorrelationen (vgl. (9.21), Kolmogoroff Turbulenz).

Kapitel 10

Die Korteweg-de Vries-Gleichung / Solitonenlo ¨sungen Differentialgleichungen, die die Wellenausbreitung beschreiben, sind in der ~ v -Term in der Eulergleichung. Regel nichtlinear → (~v · ∇)~ In Kapitel 4 wurden Wellen in der linearen N¨ aherung behandelt, nun wollen wir nichtlineare lange Oberfl¨ achen-Schwerewellen in seichtem Wasser betrachten.

x-y-Ebene am Grund des Fluids

ρ = const zudem sei: ~ ~v = ∇Φ

~ · ~v = 0 ∇ ~ × ~v = 0 ∇ ∆Φ = 0

~ v = −∇ ~ p − g~ez ∂t~v + (~v · ∇)~ ρ ~ v = −~v × ∇ ~ × ~v + (~v · ∇)~ 2 ~ ∂t Φ + v + gz + p oder ∇ 2 ρ

∂t Φ +

1~ 2 ∇v 2

!

= 0 bzw.

p v2 + gz + = F (t) 2 ρ 165

(10.1)

(10.2)

¨ 166KAPITEL 10. DIE KORTEWEG-DE VRIES-GLEICHUNG / SOLITONENLOSUNGEN Die Fluidoberfl¨ ache wird durch z = ζ(x, t) parametrisiert. Ebene Welle: ζ(x, t) 6= f (y) Wir betrachten lange Wellen, d.h. die Feldgr¨ oßen variieren schwach in xRichtung, insbesondere gilt |∂x ζ| ≪ 1. Der Druck an der Oberfl¨ ache ist der Atmosph¨ arendruck pa , bzw. unter Ber¨ ucksichtigung der Oberfl¨ achenspannung α: pa − α∂x2 ζ (10.2) gilt auch an der Oberfl¨ ache. Durch r¨ aumliche Differentiation wird F eliminiert. ∂x (10.2) an der Oberfl¨ ache ergibt: 0 = ∂x

v2 α pa 2 = −∂tx Φo − ∂x o − g∂x ζ + ∂x3 ζ ρ 2 ρ

(10.3)

Index o kennzeichnet Oberfl¨ ache

Randbedingungen an Φ: ∂z Φ|z=0 = 0

∂z Φo = ∂t ζ + ∂x Φo ∂x ζ

(vgl. 7.3)

(10.4)

F¨ ur gegebene Anfangsbedingungen ist das Problem der Fluidoberfl¨ achenbewegung somit vollst¨ andig beschrieben. Entwicklung von Φ(x, z, t) in einer Potenzreihe um z ergibt: Φ=

∞ X

z n Fn (x, t)

n=0

∆Φ = 0 =

∞ X

n=0

=

∞ X

n=2

{n(n − 1)z n−2 Fn + z n ∂x2 Fn }

{n(n − 1)Fn + ∂x2 Fn−2 }z n−2

(10.5)

Und aus der Randbedingung am Boden erh¨ alt man: ∂z Φ|z=0 = 0 =

∞ X

n=0

nz n−1 Fn |z=0 = F1 (x, t)

(10.6)

(Anmerkung: 00 ist eigentlich nicht definiert, es existiert nur der Grenzwert limx→+0 0x , dies ist f¨ ur n ≥ 1 gegeben.) ur jedes n verschwinden. {. . .} in (10.5) muss f¨ Mit F1 sind aber alle Funktionen F mit ungeradem Index Null. 6F3 + ∂x2 F1 = 0 20F5 + ∂x2 F3 = 0 etc.

167 F2n+1 (x, t) = 0 F¨ ur jedes n m¨ ussen sich die Fn - und Fn−2 -Terme in (10.5) aufheben. F¨ ur gerade Terme gilt: 1 ∂ 2 F0 2(2 − 1) x 1 1 = − ∂x2 F2 = ∂x4 F0 12 24 1 2 1 = − ∂x F4 = − ∂ 6 F0 30 30 · 24 x etc.

F2 = − F4 F6

Es schreibt sich also f¨ ur gerade Indizes: 1 ∂ 2n F0 (2n)! x

F2n = (−1)n

(10.7)

Mithin ergibt sich f¨ ur Φ gem¨ ass der Potenzreihenentwicklung: z2 2 z4 ∂x F0 (x, t) + ∂x4 F0 (x, t) ± . . . 2 24

Φ = F0 (x, t) −

(10.8)

Somit ist in (10.3): ∂x ∂t Φo = ∂x

∞ X

(−1)n

n=0 ∞ X

= ∂x ζ

(−1)n

n=1

+

∞ X

ζ 2n 2n ∂ ∂t F0 (2n)! x

(−1)n

n=0

ζ 2n−1 2n ∂ ∂t F0 (2n − 1)! x

ζ 2n 2n+1 ∂ ∂t F0 (2n)! x

(10.9)

Das ist der erste Term in (10.3). F¨ ur die Randbedingungen an der Oberfl¨ ache ∂z Φo , ∂x Φo gilt: ∂z Φo =

∞ X

n=1

∂x Φo = ∂x ζ

∞ X

n=1

(−1)n

(−1)n

ζ 2n−1 2n ∂ F0 (2n − 1)! x

(10.10)

∞ X ζ 2n 2n+1 ζ 2n−1 2n (−1)n ∂x F0 + ∂ F0 (10.11) (2n − 1)! (2n)! x n=0

(10.3) und Randbedingungen (10.4) an der Oberfl¨ ache geben so ein Gleichungssystem f¨ ur F0 und ζ, welches aber nicht geschlossen gel¨ ost werden kann.

¨ 168KAPITEL 10. DIE KORTEWEG-DE VRIES-GLEICHUNG / SOLITONENLOSUNGEN F¨ ur lange Wellen f¨ uhrt jede Differentiation nach x zu einer Gr¨ oße, die kleiner ist als die n¨ achst niedrigere Ableitung. ⇒ L¨ osung durch sukzessive Approximation ur n = 1: Also zu RB (10.4) → mit (10.10) folgt f¨ ∂z Φo ≈ −ζ∂x2 F0

(10.12)

∂x Φo ∂x ζ ≈ −∂x2 ζζ∂x2 F0 + ∂x F0 ∂x ζ ≈ ∂x F0 ∂x ζ

(10.13)

Und mit (10.11):

Setzte ζ = ς + ξ und ∂x F0 = V + W mit der konstanten mittleren H¨ ohe der Fluidoberfl¨ ache ς und der mittleren Ausbreitungsgeschwindigkeit der Oberfl¨ achenwellen V , sowie |ξ| ≪ ς und |W | ≪ V . Damit folgt aus (10.4) mit (10.12) und (10.13) in niedrigster Ordnung: 0 = ∂t ξ + V ∂x ξ + ς∂x W

(10.14)

Entsprechend folgt aus (10.3) in niedrigster Ordnung: 0 = ∂t W +V ∂x W + g∂x ξ

(10.15)

| {z }

=∂x ∂t F0

V ∂x W →

1 ∂x (vo )2 2

= =

1 ∂x [∂x Φ2o + ∂z Φ2o ] 2 2 1 ∂x [∂x F02 + ζ 2 (∂x F0 )2 ] 2 | {z } →0

=

V ∂x W

uhren in (10.14) und (10.15) lassen sich mit dem Ansatz ξ = G(W ) u ¨berf¨ (” ′ ”ist die Ableitung nach dem Argument): 0 = G′ ∂t W + (V G′ + ς)∂x W ′

0 = ∂t W + (V + gG )∂x W Nichtlineare L¨ osung f¨ ur G′2 = Approximation:

ς g

q

(w¨ ahle G′ = −

(10.16) (10.17)

ς g

= −G0 ) in niedrigster

ξ = −G0 W

(10.18)

In der n¨ achsten Approximationsstufe mag ξ von diesem einfachen Zusammenhang abweichen: ζ = −G0 (W + ψ)

mit |ψ| ≪ |W |

(10.19)

169 ⇒ (10.4) und (10.3) bis zu 2. niedrigster Ordnung: 0 = G0 ∂t W + V G0 (∂x W + ∂x ψ) − ς∂x W ς3 +2G0 W ∂x W + ∂x3 W 3 0 = ∂t W − gG0 (∂x W + ∂x ψ) + V ∂x W +W ∂x W +

ς2 α G0 − V ρ 2

!

∂x3 W

(10.20)

(10.21)

ur W : Eliminieren von ∂x ψ aus (10.20) und (10.21) liefert eine Gleichung f¨ 0 = (V + gG0 )∂t W + (V 2 − gς)∂x W + (2gG0 + V )W ∂x W α ς3 ς2 + g − V 2 + G0 V 6 2 ρ

!

∂x3 W

(10.22)

V ist noch nicht mit den anderen Konstanten verkn¨ upft. Mit V =

√

gς

ur linearisierte Wellen in Seichtwasser) (vgl. (4.24): Phasengeschwindigkeit f¨ folgt Aus (10.22) (Elimination von ∼ ∂x W ): V 3 ∂t W + W ∂ x W − 2 2

ς3 α − 3 ρg

!

∂x3 W = 0

(10.23)

Korteweg - de Vries - Gleichung (10.23) kann durch geeignete Skalierung in der Form ∂t W + W ∂x W + δ 2 ∂x3 W = 0

(10.24)

geschrieben werden, mit W (x, t) = W (χ) →

∂x = d χ

χ = x − ut ∂t = −udχ

→ gew¨ ohnliche, nichtlineare Differentialgleichung: W ′ (W − u) + δ 2 W ′′′ = 0 → numerische L¨ osung! L¨ osung W (ξ)

(10.25)

¨ 170KAPITEL 10. DIE KORTEWEG-DE VRIES-GLEICHUNG / SOLITONENLOSUNGEN

Unbeschr¨ ankte periodische Wellenberge. Der Abstand d varriiert. Es existieren auch L¨ osungen mit d → ∞, das sind dann solit¨ are Wellen.

¨ Solit¨ are Wellen sind fortschreitende Wellen, bei denen der Ubergang von einem konstanten Wert bei −∞ zu dem (m¨ oglicherweise unendlichen) Wert bei +∞ auf einen kleinen ξ-Bereich beschr¨ ankt ist → “wandernde Stufe”. Details: Whitham, Gerald Beresford - Linear and Nonlinear Waves, Wiley Series, N.Y. Es existieren solit¨ are Wellen, die nach einer Kollision wieder die gleiche Gestalt und Geschwindigkeit wie zuvor aufweisen, die Solitonen (stabile nichtlineare Wellenph¨ anomene). Wesentlich ist dabei der dispersive und nichtlineare Effekt. Eine Soliton-L¨ osung zu (10.24) und (10.25): W (x, t) ∼ cosh−2 (x − ut) Wir suchen nun eine Solitonl¨ osung, die im Unendlichen verschwindet f¨ ur die KdV-Gleichung in der Form: ∂t W + αW ∂x W + ∂x3 W = 0 Transformation: ξ = x − ut also

∂x = ∂ξ

∂t = −u∂ξ

∂ξ W (αW − u) + ∂ξ3 W = 0

171 Direkte Integration:

α 2 W + c1 2 Mit W verschwinden auch die Ableitungen bei ±∞, also c1 = 0. Die L¨ osung multipliziert mit ∂ξ W l¨ asst sich integrieren zu: ∂ξ2 W = uW −

u α 1 (∂ξ W )2 = W 2 − W 3 + c2 2 2 6

c2 = 0

1 α 3 (∂ξ W )2 = W 2 − W u 3u Substituiere (nach Multiplikation mit ψ 6 ) W (ξ) = ψ −2 (ξ): 4 α (∂ξ ψ)2 = ψ 2 − u 3u Separation der Variablen: √

u ξ= 2

Also:

Z

dψ q

ψ2 −

cosh

√

α 3u

u ξ 2

= arc cosh ψ

!

=ψ

Bzw.: 3u cosh−2 W (x, t) = α

r

√

r

3u α

3u α !

u (x − ut) 2

!

¨ 172KAPITEL 10. DIE KORTEWEG-DE VRIES-GLEICHUNG / SOLITONENLOSUNGEN

Anhang A

Maple-Files Einige einfache Programme, die in der Vorlesung behandelte Probleme visualisieren. Vorsicht: Die Programme sind NICHT optimal programmiert, jeder Verbesserungsvorschlag wird gerne angenommen. Str¨ omung u ¨ber ein Hindernis Maple-file Froude.mws zur Str¨ omung u ¨ber ein Hindernis. Es existieren zwei unterschiedliche L¨ osungszweige: ¨ Froude-Zahl < 1: Gravitation u ussigkeit beschleunigt beim Uber¨berwiegt, Fl¨ fliessen des Hindernisses; ¨ Froude-Zahl > 1: Tr¨ agheit u ussigkeit verlangsamt beim Uber¨berwiegt, Fl¨ fliessen des Hindernisses Dazu: Animation einiger typischer L¨ osungen: Gravitationsbestimmte L¨ osung Tr¨ agheitssbestimmte L¨ osung ¨ Ubergang von einem zum anderen Regime am Maximum des Hindernisses. Potentialstr¨ omungen Maple-file Flow Around Circle.mws zur Str¨ omung um einen Kreiszylinder. Es sind beliebige Werte der Zirkulation m¨ oglich; f¨ ur Γ < 4πv0 R liegen die Staupunkte auf dem Zylinder, f¨ ur Γ > 4πv0 R wandern sie auf die imagin¨ are Achse. omung durch konMaple-file eckstroemung.mws: Visualisierung einer Eckstr¨ forme Abbildung der reellen Achse auf einen beliebigen Winkelausschnitt. Durch z α wird die positive reelle Achse auf sich selbst abgebildet, die negative reele Achse ergibt sich aus einer Geraden mit Winkel γ = 180/α zur positiven reellen Achse.

173

174

ANHANG A. MAPLE-FILES

Maple-file konform.mws zur Visualiserung konformer Abbildungen. Durch z(u) wird der Kreis mit Radius R in der u-Ebene auf beliebige andere Konturen abgebildet. Die in der Vorlesung verwendete Abbildung lautet z = 1/(u + u0 ) + u + u0 omung um einen Zylinder Maple-file Flow Around Any Object.mws zur Str¨ beliebigen Querschnitts. Der Querschnitt muss zun¨ achst durch u(z) (Umkehrfunktion von z = 1/(u+u0 )+u+u0 ) auf einen Kreis abgebildet werden. Schwerewellen Animationen von Schwerewellen durch Verfolgen von Fl¨ ussigkeitselementen auf ihren Kreisbahnen an der Oberfl¨ ache: wave single.mpg Kreisbewegung einiger weniger Elemente. Obwohl die Phase bereits der Wellenl¨ osung entspricht, ist die Wellendynamik noch nicht zu erkennen. wave.mpg wie vorher, aber mit gen¨ ugend vielen Elementen, um die Wellenbewegung zu erkennen. wave long.mpg wie vorher, aber u aumliche Perioden dargestellt. ¨ber drei r¨ wave packet.mpg w¨ ahrend in den vorherigen Beispiele nur monochromatische Wellen dargestellt wurden, wird hier ein Wellenpaket gezeigt (dreieckige k-Verteilung um k = 0.5 (d.h. λ = 10) herum mit δk = 0.1). Gem¨ ass der nichtlinearen Dispersionrelation bewegt sich die Einh¨ ullende mit einer anderen Geschwindigkeit als die einzelnen Tr¨ agerwellen; das Maximum wird zu verschiedenen Zeitpinkten von verschiedenen Tr¨ agerwellen aufgebaut. wave packet linear.mpg Ein Wellenpaket analog zum vorherigen Beispiel, aber mit linearer Dispersionrelation (also analog Schall- oder elektromagnetischen Wellen). Mit diesen Maple-Programmen wurden die Einzelbilder f¨ ur die Videos erzeugt: wave.mws wave packet.mws Schallausbreitung in bewegten Medien Animationen zur Ausbreitung von Schallwellen: Ein Punktstrahler sitzt im Koordinatenursprung und sendet Kugelwellen aus (symbolisiert durch Wellenfronten, die alle 10 Zeitschritte loslaufen). Das Medium in dem sich der

175 Schall aubreitet bewegt sich relativ dazu mit der Machzahl M a. Dieser Fall ist ¨ aquivalent zu einer Schallquelle, die sich mit Machzahl M a durch das ruhende Medium bewegt. Mach0.0.mpg keine Bewegung, die Wellenfronten bilden konzentrische Kreise. Mach0.3.mpg Bewegung mit M a = 0.3 (100 m/s, d.h. ca. 300 km/h, also Schumi’s Ferrari): die Zentren der Kreise sind bereits deutlich gegeneinander verschoben. Ein Beobachter, der sich mit dem Medium von rechts nach links bewegt, registriert zun¨ achst eine k¨ urzere Wellenl¨ ange, dann eine l¨ angere (Doppler-Effekt). Mach0.9.mpg Bewegung mit M a = 0.9 (300 m/s, d.h. ca. 1000 km/h, also eine Boeing 747 mit voller Geschwindigkeit): die Zentren der Kreise sind stark gegeneinander verschoben. Mach1.0.mpg Bewegung mit M a = 1.0 (330 m/s, d.h. ca. 1200 km/h, also die Concorde beim Durch brechen der Schallmauer): die Zentren der Kreise sind so stark gegeneinander verschoben, dass sich die Welle nicht mehr in positive x-Richtung ausbreitet. Alle Wellenfronten addieren sich an der ¨ Spitze des Objekts in Phase (“Uberschallknall”). Mach1.3.mpg Bewegung mit M a = 1.3 (430 m/s, d.h. ca. 1500 km/h, ein Bundeswehr-Jet?): die Kreise l¨ osen sich von der Quelle ab. Es bildet sich ein Bereich aus, auf den der Schall beschr¨ ankt ist (Machscher Kegel). Mach2.0.mpg Bewegung mit M a = 2.(660 m/s, d.h. ca. 2400 km/h, eine ¨ Rakete?): Der Offnungswinkel des Machschen Kegels wird kleiner... Gasdynamik Als Gasdynamik bezeichnet man i.A. die Str¨ omumgslehre mit beliebiger Machzahl, d.h. die Einschr¨ ankung der Inkompressibilit¨ at (die ja v ≪ c bedingte) wird aufgegeben. Gasdynamik.mws plottet den Verlauf der thermodynamischen Gr¨ ossen in einer Rohrstr¨ omung als Funktion der Machzahl. Als Anwendung ist der Verlauf der Geschwindigkeit in einer Laval-D¨ use gezeigt. stoss adiabate.mws zeigt den Verlauf der “normalen” Adiabate und der Stossadiabate f¨ ur ein ideales Gas. Durch Variation der Ausgangsparameter kann man sich davon u ¨berzeugen, dass man zwei adiabatische Verdichtungen im Unterschallbereich durch eine einzige ersetzen kann; im Fall des Stosses ist

176

ANHANG A. MAPLE-FILES

das nicht m¨ oglich. Viskose Str¨ omungen Animationen zur Visualisierung von viskosen Str¨ omungen: Stokes.mws Stokes’sches Problem: Die Umstr¨ omung einer Kugel in einer viskosen Fl¨ ussigkeit (d.h. der Tr¨ agheitsterm wurde gegen den Reibungsterm vernachl¨ assigt). Grenzschicht.mws Prandtl’sche Grenzschichtabl¨ osung: Grenzschicht einer viskosen Str¨ omung in vereinfachter Geometrie (ebene Abrollung). Die Staupunkte befinden sich bei ± 0.714. Es findet eine Abl¨ osung der Grenzschicht im Bereich zunehmenden Drucks statt. Turbulenz Animationen zur Visualisierung von turbulenten Str¨ omungen: prandtl.mpg Umstr¨ omung eines Zylinders, die Stromlinien wurden durch Metallsp¨ ane in der Str¨ omung sichtbar gemacht. Man erkennt zun¨ achst die Abl¨ osung zweier Wirbel und dann den Zerfall dieser in eine turbulente Str¨ omung. karmann.mpg Simulation der Ausbildung einer Karmannschen Wirbelstrasse in einer Str¨ omung mit mittlerer Reynoldszahl. Turbulence Scott.mpg Turbulenz in einem magnetisierten Plasma; gezeigt ist die fluktuierende Teilchendichte (Quelle: B. Scott, MPI f¨ ur Plasmaphysik). korrelationsfunktion.mws Berechnung der Korrelationsfunktion von zwei Funktionen der Art sin(x)/x. Bei Verschiebung gegeneinander sinkt der Korrelationskoeffizient; durch Einf¨ uhrung der Korrelationsfunktion kann diesem Umstand Rechnung getragen werden und man erh¨ alt wieder 100ber¨ ucksichtigt. Correlation.ppt Gemessene und gerechnete Korrelationsfunktion in einer turbulenten Str¨ omung. Die Korrelation f¨ allt mit zunehmender Separation der beiden Messpositionen ab, was einer endlichen Ausdehnung der Wirbel entspricht.

Anhang B

Thermodynamik Grundannahme: Systeme sind eindeutig definiert, so dass bei “Bewegung im Phasenraum” (Zustands¨ anderungen) am Ende des Kreisprozesses wieder der selbe Punkt erreicht wird. ⇒ totale Differentiale, Potentiale Es gibt 3 Energieformen, deren Summe (d.h. die innere Energie U des Systems) erhalten ist: W¨ arme Arbeit chemische Energie

: δQ = T dS : δW = −pdV µ : δWc = dN T

dU = T dS − pdV +

µ dN |T {z }

bei uns Null

Dieses Potential kann beliebig (sinnvoll) umgeformt werden, um einer gegebenen physikalischen Situation Rechnung zu tragen. dU ist sinnvoll, wenn z.B. dS = 0 (adiabatische Zustands¨ anderung) ⇒

dU = −pdV

Wird V konstant gehalten, benutzt man mit Vorteil die Enthalpie W = U + pV ⇒

dW = T dS + V dp

D.h. bei adiabatischer Zustands¨ anderung ist dW = V dp. Falls dT = 0 ist es sinnvoller mit der freien Energie F = U −T S zu arbeiten. ⇒

dF = dU − T dS − SdT = −SdT = −SdT − pdV 177

dT =0

⇒

dF = −pdV

178

ANHANG B. THERMODYNAMIK

Dar¨ uber hinaus gibt es auch die freie Enthalpie (geeignet f¨ ur kontrolliertes Volumen und isotherme Systeme). Φ = U − T S + pV

⇒

dΦ = −SdT + V dp

Anhang C

Vektoranalysis C.1

Identit¨ aten

Quelle: NRL Plasma Formulary (24. M¨ arz 06) ~ B ~ sind Vektoren, T ist ein Tensor und Notation: f , g, sind Skalare, A, I ist die Einheits-Dyade. ~·B ~ ×C ~ =A ~×B ~ ·C ~ =B ~ ·C ~ ×A ~=B ~ ×C ~ ·A ~ A ~ ·A ~×B ~ =C ~ ×A ~·B ~ =C

~ × (B ~ × C) ~ = (C ~ × B) ~ ×A ~ = (A ~ · C) ~ B ~ − (A ~ · B) ~ C ~ A ~ × (B ~ × C) ~ +B ~ × (C ~ × A) ~ +C ~ × (A ~ × B) ~ =0 A

~ × B) ~ · (C ~ × D) ~ = (A ~ · C)( ~ B ~ · D) ~ − (A ~ · D)( ~ B ~ · C) ~ (A ~ × B) ~ × (C ~ × D) ~ = (A ~×B ~ · D) ~ C ~ − (A ~×B ~ · C) ~ D ~ (A ~ g) = ∇(gf ~ ~ + g ∇f ~ ∇(f ) = f ∇g ~ · (f A) ~ = f∇ ~ ·A ~+A ~ · ∇f ~ ∇

~ × (f A) ~ = f∇ ~ ×A ~ + ∇f ~ ×A ~ ∇ ~ · (A ~ × B) ~ =B ~ ·∇ ~ ×A ~−A ~·∇ ~ ×B ~ ∇

~ × (A ~ × B) ~ = A( ~ ∇ ~ · B) ~ − B( ~ ∇ ~ · A) ~ ∇ ~ · ∇) ~ A ~ − (A ~ · ∇) ~ B ~ +(B

(C.1) (C.2) (C.3) (C.4) (C.5) (C.6) (C.7) (C.8) (C.9) (C.10)

~ × (∇ ~ × B) ~ = (∇ ~ B) ~ ·A ~ − (A ~ · ∇) ~ B ~ A ~ A ~ · B) ~ =A ~ × (∇ ~ × B) ~ +B ~ × (∇ ~ × A) ~ ∇(

(C.11)

~ f =∇ ~ · ∇f ~ ∇ 2 ~ A ~ = ∇( ~ ∇ ~ · A) ~ −∇ ~ ×∇ ~ ×A ~ ∇

(C.13)

2

~ · ∇) ~ B ~ + (B ~ · ∇) ~ A ~ +(A

~ × ∇f ~ =0 ∇ ~ ·∇ ~ ×A ~=0 ∇

(C.12) (C.14) (C.15) (C.16)

179

180

ANHANG C. VEKTORANALYSIS

Mit Einheitsvektoren ~e1 , ~e2 , ~e3 kann ein Tensor zweiter Ordnung geschrieben werden als T =

X

Tij ~ei~ej

(C.17)

i,j

In kartesischen Koordinaten ist die Divergenz eines Tensors ein Vektor mit den Komponenten X

~ · T )i = (∇

(∂Tij /∂xj )

(C.18)

j

Im Allgemeinen gilt: ~ · (A ~ B) ~ = (∇ ~ · A) ~ B ~ + (A ~ · ∇) ~ B ~ ∇ ~ · (f T ) = ∇f ~ · T + f∇ ~ ·T ∇ 

(C.19) (C.20)



x   Sei ~r =  y  der Radiusvektor mit Betrag r, dann gilt: z ~ · ~r = 3 ∇ ~ × ~r = 0 ∇

~ = ~r/r ∇r ~ ∇(1/r) = −~r/r3

~ · (~r/r3 ) = 4πδ(~r) ∇ ~r=I ∇~

(C.21) (C.22) (C.23) (C.24) (C.25) (C.26)

Sei V ein Volumen mit Oberfl¨ ache S, ~n der Normalenvektor auf V und ~ = ~ndS. Dann gilt: dS Z

Z

~ dSf

V

~ = dV ∇f

V

~ ·A ~= dV ∇

V

~ ·T = dV ∇

V

~ ×A ~= dV ∇

V

~ 2 g − g∇ ~ 2f ) = dV (f ∇

V

~·∇ ~ ×∇ ~ ×B ~ −B ~ ·∇ ~ ×∇ ~ × A) ~ dV (A

Z

Z

Z

Z

Z

(C.27)

S

Z

~ ·A ~ dS

(C.28)

S

~ ·T dS

(C.29)

S

Z

Z

S

~ ×A ~ dS

=

Z

S

(C.30)

Z

S

~ ∇g ~ − g ∇f ~ ) dS(f

(C.31)

~ · (B ~ ×∇ ~ ×A ~−A ~×∇ ~ × B) ~ (C.32) dS

C.2. KUGELKOORDINATEN

181

Sei S eine offene Oberfl¨ ache und C ihr Rand mit Linienelement d~l, dann gilt: Z

S

Z

ZS

ZS S

C.2

~ × ∇f ~ = dS

I

d~lf

(C.33)

C

~ ·∇ ~ ×A ~= dS

I

C

~ × ∇) ~ ×A ~= (dS

~ d~l · A

I

(C.34)

~ d~l × A

CI

~ · (∇f ~ × ∇g) ~ = dS

C

(C.35)

f dg = −

I

gdf

(C.36)

C

Kugelkoordinaten

arz 06) Quelle: Mathematik-Online-Lexikon (19. M¨

Der Winkel ϕ ist nur bis auf ein Vielfaches von 2π bestimmt. Als Standardbereich wird meist (−π, π] vereinbart. Es gilt x = r cos ϕ sin θ , r=

q

x2 + y 2 + z 2 ,

y = r sin ϕ sin θ ,

ϕ = arctan(y/x) ,

z = r cos θ

θ = arccos(z/ x2 + y 2 + z 2 )

Orthonormale Basis: 



cos ϕ sin θ   ~er =  sin ϕ sin θ  , cos θ

Vektorfeld:





cos ϕ cos θ   ~eθ =  sin ϕ cos θ  , − sin θ

F~ (x, y, z) = Fx~ex + Fy ~ey + Fz ~ez

→

(C.37)

q





− sin ϕ   ~eϕ =  cos ϕ  0

F~ (r, θ, ϕ) = Fr~er + Fθ~eθ + Fϕ~eϕ

182 mit

ANHANG C. VEKTORANALYSIS

Fr = F~ · ~er ,

Fθ = F~ · ~eθ ,

Fϕ = F~ · ~eϕ

Skalarfeld: U (x, y, z)

→

Φ(r, θ, ϕ)

Fl¨ achenelement f¨ ur eine durch θ ϕ

!





R sin θ cos ϕ   →  R sin θ sin ϕ  R cos θ

parametrisierte Sph¨ are mit Radius R ist

dS = R2 sin θdθdϕ

(C.38)

Damit gilt f¨ ur das Integral einer Funktion f in Kugelkoordinaten: Z

f dS =

Z2πZπ

f (R, θ, ϕ)R2 sin θdθdϕ

(C.39)

0 0

S

Das Volumenelement ist: dxdydz = r2 sin θdrdθdϕ

(C.40)

Damit gilt f¨ ur das Integral einer Funktion f auf einer Kugel K : 0 ≤ r ≤ R Z

f=

K

Z2πZπ ZR

f (r, θ, ϕ)r2 sin θdrdθdϕ

(C.41)

0 0 0

Differentialoperatoren: ~ Gradient ∇U Laplace ∆U

~ · F~ Divergenz ∇

~ × F~ Rotation ∇

1 1 = ∂r Φ~er + ∂θ Φ~eθ + ∂ϕΦ~eϕ r r sin θ 1 1 ∂r (r2 ∂r Φ) + 2 2 ∂ϕ2 Φ = r2 r sin θ 1 + 2 ∂θ (sin θ∂θ Φ) r sin θ 1 1 = ∂r (r2 Fr ) + ∂ϕ Fϕ r2 r sin θ 1 ∂θ (sin θFθ ) + r sin θ 1 = (∂θ(sin θFϕ ) − ∂ϕ Fϕ )~er r sin θ 1 + (∂ϕ Fr − sin θ∂r (rFϕ ))~eθ r sin θ 1 + (∂r (rFθ ) − ∂θ Fr )~eϕ r

(C.42)

(C.43)

(C.44)

(C.45)

C.3. ZYLINDERKOORDINATEN

183

Laplace eines Vektors 2 ∂Aθ 2 cot θAθ 2 ∂Aϕ 2Ar − 2 − − 2 (C.46) r2 r ∂θ r2 r sin θ ∂ϕ 2 ∂Ar Aθ 2 cos θ ∂Aϕ = ∆Aθ + 2 − 2 2 − 2 2 (C.47) r ∂θ r sin θ r sin θ ∂ϕ Aϕ 2 cos θ ∂Aθ 2 ∂Ar = ∆Aϕ − 2 2 + 2 + 2 2 (C.48) r sin θ r sin θ ∂ϕ r sin θ ∂ϕ

~ r = ∆Ar − (∆A) ~ θ (∆A) ~ ϕ (∆A)

Damit gilt bei der Transformation einer skalaren Funktion auf Kugelkoordinaten f (x, y, z) → f (r, θ, ϕ) f¨ ur den Gradienten mit gi (r, θ, ϕ) = ∂i f (r, θ, ϕ): ~ = gr~er + 1 gθ~eθ + 1 gϕ~eϕ ∇f r r sin θ

C.3

Zylinderkoordinaten

Quelle: Mathematik-Online-Lexikon (19. M¨ arz 06)

Es gilt: x = ρ cos ϕ , bzw. ρ=

q

y = ρ sin ϕ ,

x2 + y 2 ,

z=z

ϕ = arctan(y/x) ,

(C.49)

z=z

Orthonormale Basis: 



cos ϕ   ~eρ =  sin ϕ  , 0





− sin ϕ   ~eϕ =  cos ϕ  , 0





0   ~ez =  0  1

184

ANHANG C. VEKTORANALYSIS

Vektorfeld und Skalarfeld analog zu Kugelkoordinaten: F~ (x, y, z) → F~ (ρ, ϕ, z)

U (x, y, z) → Φ(ρ, ϕ, z) Das Fl¨ achenelement f¨ ur einen durch ϕ z

!





ρ cos ϕ   →  ρ sin ϕ  z

parametrisierten Mantel S eines Zylinders mit Radius ρ ist dS = ρdϕdz

(C.50)

Damit gilt f¨ ur das Integral einer Funktion f in Zylinderkoordinaten: Z

f dS =

S

zZ 2π maxZ

f (ρ, ϕ, z)ρdϕdz

(C.51)

zmin 0

Das Volumenelement lautet: dxdydz = ρdρdϕdz

(C.52)

Damit gilt f¨ ur das Integral einer Funktion f auf einem Zylinder Z : 0 ≤ ρ ≤ ρ0 , 0 ≤ z ≤ z0 Z

f=

Zz0 Z2πZρ0

f (ρ, ϕ, z)ρdρdϕdz

(C.53)

0 0 0

Z

Differentialoperatoren: ~ Gradient ∇U Laplace ∆U ~ · F~ Divergenz ∇ ~ × F~ Rotation ∇

1 = ∂ρ Φ~eρ + ∂ϕ Φ~eϕ + ∂z Φ~ez ρ 1 1 = ∂ρ (ρ∂ρ Φ) + 2 ∂ϕ2 Φ∂z2 Φ ρ ρ 1 1 = ∂ρ (ρFρ ) + ∂ϕ Fϕ + ∂z Fz ρ ρ   1 = ∂ϕ Fz − ∂z Fϕ ~eρ + (∂z Fρ − ∂ρ Fz )~eϕ ρ 1 + (∂ρ (ρFϕ ) − ∂ϕ Fρ )~ez ρ

(C.54) (C.55) (C.56)

(C.57)

Laplace eines Vektors 2 ∂Aϕ Aρ − 2 ρ2 ∂ϕ ρ 2 ∂Aρ Aϕ = ∆Aϕ + 2 − 2 ρ ∂ϕ ρ

~ ρ = ∆Aρ − (∆A)

(C.58)

~ ϕ (∆A)

(C.59)

~ z = ∆Az (∆A)

(C.60)

C.3. ZYLINDERKOORDINATEN

185

Damit gilt bei der Transformation einer skalaren Funktion auf Zylinderkoordinaten f (x, y, z) → f (ρ, ϕ, z) f¨ ur den Gradienten mit gi (ρ, ϕ, z) = ∂i f (ρ, ϕ, z): ~ = gρ~eρ + ρ−1 gϕ~eϕ + gz ~ez ∇f

(C.61)

186

ANHANG C. VEKTORANALYSIS