Theorie statistique des champs, volume 2

Nous avons maintenant affaire à deux simulations Monte Carlo, celle relative aux pseudo-fermions s’insérant à l’intérieur de celle pour les champs de jauge. En principe SS,, doit être calculée chaque fois à l’aide d’un champ de jauge réactualisé et l’algorithme des pseudo-fermions peut se révéler assez lent. A l’heure actuelle on ne calcule SSe, qu’une seule fois à la fin d’un balayage complet du réseau. Cette approximation est supposée suffisamment précise pourvu que ôU reste assez petit. Etendre la méthode de quantification stochastique pour prendre en compte les fermions et généraliser la formule (58) en y incluant l’effet du déterminant.

84

SIMULATIONS NUMERIQUES

VIII.3.3

3.3 Spectre hadronique Nous concluons ce chapitre par une rapide revue des tentatives pour prédire le spectre de niasse des particules “élémentaires” légères à partir des simulations numériques de la chromodynamique quantique sur réseau. Rappelons d’abord quelques détails du modèle. Les interactions fortes sont décrites par une théorie de jauge SU(3) des degrés de liberté de couleur qui couplent plusieurs familles de quarks. Nous nous bornerons ici aux hadrons légers d’étrangeté nulle et ne retenons donc que les quarks de masse la plus faible. Ces derniers forment un doublet isotopique pour le groupe de saveur SU(2). Les particules observées sont des états liés singulets de couleur en raison du confinement des quarks. Les opérateurs créant ces particules sont selon toute vraisemblance non locaux. Cependant comme ils possèdent une composante locale n’impliquant que des champs de quarks évalués au même point, on n’étudie pour simplifier que les longueurs de corrélation des produits d’opérateurs correspondants, qzqz pour les mésons, qzqzqz pour les baryons. On couple les indices spinoriels et d’isospin de manière à produire des états de nombres quantiques bien définis, en tenant compte des limitations imposées par le groupe ponctuel fini du réseau. Par exemple le méson T pseudo-scalaire d’isospin 1 est étudié à l’aide de l’opérateur qzZy5Tq,, où T désigne l’ensemble des trois matrices 2 x 2 de Pauli agissant sur les indices d’isospin des quarks. Nous indiquons dans la table II les principitles caractéristiques des particules les plus légères dépourvues d’étrange%. Une étude plus complète doit bien entendu inclure les quarks lourds et e n particulier le quark étrange qui figure dans des particules porteuses d’étrangeté relativement légères comme le méson K , doublet isotopique pseudo-scalaire (495 MeV). Dans la spectroscopie des hadrons légers, la chiralité joue un rôle important bien qu’il ne s’agisse que d’une symétrie approximative. Dans la limite où la masse des quarks s’annule, le théorème de Goldstone prédit que le pion a une masse nçlle. Sa masse très faible (139MeV) en comparaison de la valeur typique de l’ordre de 1GeV pour les autres particules, ainsi que la vérification expérimentale des prédictions de l’algèbre des courants, montrent l’importance de la brisure spontanée de l’invariance chirale. Les simulations Monte Carlo sont actuellement effectuées à l’aide de l’action fermionique de Susskind (VI.157) ou de celle de Wilson (VI.150). On se souvient que la première possède une symétrie chirale discrète et on s’attend dans ce cas à ce que la masse du pion s’annule avec la masse du quark. La figure 8 montre une vérification de ce comportement. Lorsqu’on utilise l’action de Wilson, l’invariance chirale est explicitement brisée par la régularisation due au réseau, mais on espère la retrouver à la limite continue. Si T désigne le paramètre qui figure dans cette action, cette limite de masse nulle ne se produira pas à la valeur naive 1/2dr du paramètre de saut K = 1 / [ 2 ( m u + d r) ]lorsque la maille u tend vers zéro, en raison des effets de la renormalisation sur la masse du quark. Ces effets ne

VIII.3.3

SIMULATIONS NUMERIQUES

Particule

85

P ( J ~ ) CMasse (MeV) 1-(O-)+ 1+(1-)O-(1-)O+ ( O - ) + 1-(1+)+ 1+(1+)1-(O+) O+ (Of)+

139 770 783, 1020 549, 958 1270 1235 980 975

i (:+)

939

$ ($+)

1232

Table II : Caractéristiques expérimentales des particules légères. Nous y faisons figurer I’isospin I, la G-parité selon le cas, le spin J , la parité P et la conjugaison de charge C. Le contenu en quark est indiqué dans la dernière colonne pour les états mésoniques.

I

Figure 8 : ( u ) Masses des états hadroniques légers dans un modèle utilisant l’action fermionique de Susskind, en fonction de la masse du quark. ( b ) La masse du pion en fonction de la racine carrée de celle du quark; le comportement linéaire est celui prédit par l’invariance chirale (d’après D. Barkai, K.J.M. Moriarty and C. Rebbi, Phys. Lett. 156B,385 (1985)).

86

VIII.3.3

SIMULATIONS NUMERIQUES

sont pas contrôlés par défaut de symétrie chirale. La valeur critique deviendra K, et l’invariance chirale sera restaurée lorsque le paramètre K tend vers K, par valeurs infkrieures. C’est bien ce qu’on observe sur la figure 9, où le point critique correspond à l’annulation de la masse du pion.

ma

I

.I

6.6

6 .I

I

1.0

I

2

Figure 9 : Masses hadroniques en fonction de l’inverse du paramètre de saut dans une simulation utilisant l’action de Wilson (d’après S. Itoh, Y. Iwasaki et T. Yoshie, Phys. Lett. B167,443 (1986)). Les simulations Monte Carlo étant très onéreuses, elles ne sont effectuées intensivement que pour une valeur fixée du couplage de jauge PJ. On est confronté dans le choix de ce paramètre à deux contraintes contradictoires. La première est de prendre ce couplage aussi faible que possible pour assurer une convergence rapide et éviter d’utiliser un trop grand réseau (l’échelle de la maille décroît lorsque BJ croît en raison de la liberté asymptotique) qui est lui aussi un facteur de coût. La seconde contrainte requiert un choix de couplage aussi grand que possible dans une plage où se manifeste l’invariance d’échelle pour permettre un passage au langage de la théorie continue et utiliser les expressions relatives à la liberté a sy m p te tique. Malheureusement’ au moment où nous écrivons ces lignes, on n’a pas encore effectué d’étude intensive de la limite continue en tenant compte des degrés de liberté fermioniques. Rappelons que dans la région continue on s’attend à ce que les masses restent constantes dans l’échelle AL donnée par (V1.31). Dans le cas SU(3) les formules (VI.22)valables pour une théorie de jauge pure doivent être modifiées selon

VIII.3.3

SIMULATIONS NUMERIQUES

87

où Nf est le nombre d’états fermioniques de saveur, deux dans le cas présent. Ce nombre ne peut excéder 16 pour respecter la liberté asymptotique (bo > O ) . Etant donné l’absence de confirmation numérique des propriétés d’invariance d’échelle en présence des fermions, on fait l’hypothèse que la plage dans laquelle cette invariance se manifeste est la même que dans le cas de jauge pure. Les données sur la tension de corde (voir la figure 16 du chapitre VI) donnent une borne inférieure PJ 2 5.7. Jusqu’ici les simulations ont été faites pour des valeurs PJ = 5.7 ou 6 . Ces choix sont peut-être trop optimistes. I1 est important de vérifier que les diverses formulations sur réseau du même modèle continu donnent des résultats compatibles. On présente m ~ fonction de m x / m pd’après une sur la figure 10 le rapport m ~ / comme compilation de diverses simulations. Cette figure illustre l’état de la question jusqu’à 1987 en montrant en outre les barres d’erreur. Avec de telles erreurs, toutes les données sont compatibles. Cependant les simulations effectuées à PJ = 6 et dans l’approximation gelée sont systématiquement inférieures à la ligne pointillée, tandis que celles effectuées à 5.7 sont au-dessus de cette ligne. Ceci semble indique qu’on n’a pas encore réellement atteint le régime asymptotique.

I

1.0

1, .. -. .. .

l.21,

,

,

I

,

,

I

,

m.lm.

0.2

O.&

0.6

0.1

1.0

Figure 10: Relation entre la masse du pion et celle du nucléon exprimées en terme de la masse du p, selon diverses simulations (d’après Bowler et al, Phys. Lett. 162B, 354 (1985)).

88

SIMULATIONS NUMERIQUES

VIII.3.3

En conclusion, l’échantillon limité que nous avons présenté parmi les résultats numériques très nombreux obtenus par plusieurs groupes, démontre un accord qualitatif remarquable avec le spectre physique. On s’attend donc à ce que des simulations plus complètes incorporant les degrés de liberté fermioniques confirmeront le rôle de la chromodynamique quantique comme théorie des interactions fortes.

Notes La première proposition pratique de simulation Monte Carlo est due à N. Metropolis, A.W. Rosenbluth, M.N. Rosenbluth, A.H. Teller et E. Teller, J. Chem. Phys. 21, 1087 (1953). On trouvera une revue générale de la méthode dans la contribution de K. Binder, Monte Carlo Investigations of Phase Transitions and Critical Phenomena dans la série Domb et Green, vol. 5B, Academic Press, New York (1976). Les applications aux théories de jauge sont discutées par M. Creutz, L. Jacobs et C. Rebbi, Phys. Reports 95 201 (1983). On trouvera des indications complémentaires dans Advances in Lattice Gauge Theory, D.W. Duke et F.J. Owens eds, World Scientific, Singapore (1985). Voir aussi la série “Topics in current physics”, Monte Carlo Methods in Statistical Physics, vol. 7 (1979) et Applications of the Monte Carlo Method, vol. 36 (1984)’ K. Binder ed., Springer Verlag, Berlin. Les algorithmes généraux intervenant dans les simulations numériques font l’objet du livre de D. Knuth, The art of Computer Programming, AddisonWesley, Reading (1973), dont le second volume discute en particulier les générateurs de nombres aléatoires. Pour une discussion du ralentissement critique, voir L. Van Hove, Phys. Rev. 93 268 (1954) et la revue de P.C. Hohenberg et B.I. Halperin, Rev. Mod. Phys. 49 435 (1977). La méthode de renormalisation Monte Carlo est présentée par K. Wilson dans Recent Developments in Gauge Theories, école d’été de Cargèse 1979, G. ’t Hooft et aleds., Plenum, New York (1980). Voir aussi les travaux de S.K. Ma, Phys. Rev. Lett. 37 461 (1976), L.P. Kadanoff, Rev. Mod. Phys. 49 267 (1977). L’article de R.H. Swendsen dans Real Space Renormalization, Topics in current physics, 30, p. 57, T.W. Burkhardt et J.M.J. van Leeuwen eds, Springer, Berlin (1982) a inspiré la discussion de la section 2.3. On doit la suggestion d’utiliser l’équation de Langevin dans les simulations Monte Carlo à G. Parisi et Wu Yong Shi, Sci. Sin. 24 483 (1981), G. Parisi, Nucl. Phys. B180 [FS2] 378 (1981) et B205 [FS5] 337 (1982).

CHAPITRE IX

INVARIANCE CONFORME

Au début des années 70, Polyakov et quelques autres tentèrent d’exploiter l’invariance conforme des modèles critiques, propriété qui va au-delà de la simple invariance d’échelle. Cette dernière multiplie les distances relatives par un facteur constant (c’est-à-dire indépendant des positions), alors que les transformations dites spéciales font intervenir un facteur de dilatation fonction de la position. Les propriétés d’invariance correspondantes permettent non seulement de fixer la forme de la fonction à deux points, mais aussi celle des fonctions à trois points au point critique. Cependant le groupe conforme est un groupe de Lie de dimension finie, et le nombre de contraintes qui en résultent est limité. Un phénomène nouveau apparaît en deux dimensions, bien connu dans la théorie des fonctions analytiques. I1 s’agit de l’existence d’une infinité de transformations conformes locales. On se propose alors d’examiner les conséquences possibles de l’invariance conforme locale en deux dimensions. Ce programme brillamment entrepris par Belavin, Polyakov et Zamolodchikov en 1983, est l’origine d’une vague d’applications nouvelles en physique statistique. Comme le sujet est encore en plein développement, le présent chapitre ne sera pas aussi élémentaire que les précédents, pas plus qu’il ne restera vraisemblablement à jour dans un proche futur. Ceci est d’autant plus vrai que ce sujet est étroitement lié à la théorie des cordes, qui vise à la description quantique d’objets étendus et propose d’englober toutes les interactions connues, en incluant les théories de jauge et la gravité. Les idées d’invariance d’échelle locale, et peut-être même de groupe de renormalisation local, ne sont pas encore complètement élucidées. Elles nous incitent cependant à examiner avec soin divers aspects des phénomènes critiques qui n’occupaient pas le devant de la scène. L’un d’entre eux est la pertinence des effets de taille finie, où, en raison de l’absence d’une échelle de longueur intrinsèque, on observe une sensibilité maximale à des effets géométriques comme ceux des frontières. De même on s’interrogera sur la signification des valeurs obtenues pour les exposants et les corrélations critiques ... I1 s’avère que pour de nombreux systèmes bidimensionnels, ceux-ci possèdent une interprétation inattendue en termes de théorie des groupes (et même de théorie des nombres), car ils sont reliés à la théorie des représentations de certaines algèbres de Lie infinies. Une troisième

90

INVARIANCE CONFORME

question, à laquelle on connaît seulement une réponse partielle à ce jour, et qui n’est pas traitée ici, est la relation avec les modèles intégrables. Finalement les questions les plus profondes sont probablement liées aux généralisations possibles: étude du voisinage du point critique, ou tentative de compréhension plus profonde des phénomènes critiques en dimension plus élevée. Le succès actuel dans le cas bidimensionnel peut être partiellement attribué à l’utilisation de fonctions analytiques, qui permettent de ramener des problèmes bidimensionnels à une situation unidimensionnelle.

1. Tenseur impulsion-énergie

-

Algèbre de Virasoro

1.1 Invariance conforme Comme les effets de taille finie jouent un rôle majeur au point critique, nous devons d’abord préciser ce que l’on entend par système critique dans un domaine borné. Ceci peut être envisagé de diverses manières, soit en dilatant le domaine, soit en exprimant que le système n’a pas de longueurs intrinsèques autres que celles dictées par la géométrie, soit finalement en étudiant le comportement à courte distance des corrélations et en vérifiant qu’il est en accord avec celui qui prévaut dans un volume infini. La caractérisation locale des systèmes critiques est cruciale pour ce qui va suivre, et sera complètement élucidée en deux dimensions. Considérons à titre d’exemple la fonction de corrélation des spins d’Ising en deux dimensions au point critique. D’après le chapitre II nous savons que la dimension du champ de spins vaut $. Dans le plan infini nous avons

On a aussi indiqué que dans une bande de largeur L(0 5 x < L ) , avec conditions limites périodiques, la fonction de corrélation correspondante s’écrit

Nous constatons que lorsque L + 00, ou r12 + O, cette expression se réduit à (1).Plutôt que de modifier la géométrie (en variant L ) on préférera caractériser intrinsèquement le modèle critique par son comportement invariant d’échelle à courte distance. Une transformation conforme dans un espace euclidien de dimension d est une transformation qui conserve les angles, mais pas nécessairement les distances. Ces transforniations forment un groupe qui inclut le groupe euclidien comme sous-groupe (translations: d paramètres et rotations: $d(d - 1)

IX.1.1

91

INVARIANCE CONFORME

paramètres), dilatations (un paramètre) et transformations conformes spéciales ( d paramètres), obtenues en composant une inversion, une translation et une seconde inversion. Ceci décrit la composante connexe du groupe conforme non compact SO(d 1,1) possédant $(d l)(d + 2) paramètres. De façon plus correcte, l'espace euclidien est complété par un point a l'infini (ce qui lui donne la topologie d'une sphère compacte), de sorte que les transformations précédentes sont alors bien définies en tout point.

+

+

Afin de comprendre globalement le groupe conforme, il est commode de faire une application de l'espace euclidien complété R d ,muni de la métrique r2 = . . r j , sur la sphère s d de l'espace euclidien Rd+',x: x2 = 1 en utilisant une projection stéréographique (conforme), schématisée sur la figure 1. Les relations entre r et x sont

+. +

+

x=-

2-

2r

i +r2

i2- i =r2 i

+

Figure 1: (a) Projection stéréographique de Sd sur Rd. (b) Le cône isotrope (cône de lumière) dans l'espace de Minkowski Ed+','.

Si l'on utilise des coordonnées homogènes, la sphère Sd peut être identifiée avec la section x+ = 1 du cône de lumière C de l'espace Minkowski de métrique :x - x: - x2. Les rayons du cône C sont en correspondance biunivoque avec les points de Rd U { C O } . Les transformations conformes sont interprétées comme des transformations de Lorentz homogènes dans Rd+'sl. Le petit groupe d'un vecteur de genre lumière s'identifie au groupe euclidien en d dimensions (le point choisi peut être considéré comme le point à l'infini). Par exemple si le vecteur de genre lumière a pour composantes (x+,x-,x)= (1,1,0), une translation A, est représentée par

92

INVARIANCE CONFORME

IX.1.1

Aa(1,l70)=(1,1,0) Aa( 1, -1, O ) =( 1,-1, O )

+ a 2 ( 1 , 1 , O ) + ( O , O , a)

(4)

Aa(O,O,v) = a . v ( 1 , 1 , 0 ) +(O,O,v)

Une inversion qui appartient à la composante non connexe à l’identité de O(d 1, I) correspond à x- -+ -x-, et une dilatation par un facteur X est représentée par une rotation hyperbolique dans le pian x+, x- sous la forme

+

Revenant à l’espace à d dimensions, une transformation conforme spéciale s’écrit r-+rl= 1

+

r + r2b 2b.r b2r2

+

Sous forme infinitésimale on a r + rl = r .+ Sr

(7)

Les déplacements euclidiens conservent la métrique et ont par conséquent un jacobien unité. Au contraire les dilatations, tout comme les transformations spéciales, ont un jacobien différent de l’unité, et dans le second cas .-Wr‘) -

D(r)

1

(1

+ 2b.r + b2r2)d

Supposons que les modèles critiques soient non seulement invariants d’échelle, mais également invariants conformes. Cette hypothèse sera progressivement étayée par la suite. Nous considérons par souci de simplicité des observables scalaires, dont la dimension est notée A . Les hypothèses précédentes impliquent que dans une transformation conforme, les fonctions de corrélation obéissent à

Dans le cas d’une fonction à 2 points, utilisant l’invariance par translation, rotation et dilatation, on obtient à une constante de normalisation C12 près

IX.1.1

INVARIANCE CONFORME

93

Sous l’action d’une transformation spéciale, il vient

Par conséquent les équations (9) et (10) ne sont compatibles que si A1 = A2

On peut définir une “base orthonormée” d’observables en choisissant les combinaisons appropriées qui diagonalisent la matrice symétrique réelle des coefficients Cob.Un simple changement d’échelle des champs remplace alors Cab par 6ab. Un raisonnement analogue permet d’obtenir les fonctions à trois points

Vérifier que (13) est bien la solution unique de la condition (9).

L’invariance conforme est à elle seule insuffisante pour déterminer la structure des corrélations à plus de trois points. Ceci découle de ce que certaines combinaisons comme ?-13T24/T23T14 (où ~ i dénote j Iri-rjl ) sont invariantes par transformation conforme. Des informations supplémentaires sont requises, et elles seront fournies dans le cas bidimensionnel par l’hype thèse d’invariance conforme locale. Contentons-nous pour le moment de traduire la condition (9) sous forme infinitésimale en écrivant

r’ =r

+ 6r

(m)

Aid

= D(r‘)

A(r’) = A(r) + 6A(r)

Exiger que la transformation infinitésimale r -+ r+6r appartienne au groupe conforme, implique que 6r soit au plus quadratique en r, c’est-à-dire de la forme

où bai, SA, 6 E i j = - 6 ~ j i et 6bi sont respectivement les paramètres infinitésimaux des translations, dilatations, rotations, et transformations spéciales. Sous forme explicite

94

INVARIANCE CONFORME

IX.1.1

+ 6Xr.V + ~ ~ E ~ ~- (r JTV ,,)+Vr26b.V ~ - 2(r.Sb)(r.V) + AA(~’X- 2r.Sb)I A(r)

bA(r) = [Sa.V

(16) Par conséquent, si 6AD(rp)dénote la variation correspondante du champ (scalaire) A,, l’équation (9) exprime que n

(Al(r1). . SA,(r,).

. .An(rn)) = O

(17)

p=l Généraliser les expressions ci-dessus au cas des champs tensoriels

1.2 Tenseur impulsion-énergie Les théories critiques dans un espace euclidien infini sont obtenues par un processus limite à partir d’une intégrale (ou d’une somme) sur des poids de Boltzmann. Les observables locales sont exprimées en termes des champs fondamentaux qui apparaissent dans ces poids, et que nous désignons collectivement par A. Les fonctions de corrélation sont des moyennes prises avec un poids de Boltzmann, le facteur de normalisation étant la fonction de partition. Si nous oiiblions le passage à la limite, nous pouvons effectuer au numérateur un changement de variables d’intégration (ou de sommation) du type A(r) -+ A(r) i-6A(r)

où Sr(r) est mairitena,nt un champ vectoriel arbitraire, c’est-à-dire qu’il n’est pas nécessairement de la forme (15). Nous supposons de plus que les observables A, se transforment comme dans (18)’ auquel cas elles appartiennent à une classe restreinte (les dimensions correspondantes sont notées Ai). Quoi qu’il en soit, nous désignons par 6A, la variation de l’observable A,. Dans ces conditions la variation totale des fonctions de corrélation contient non seulement une contribution analogue à (17)’ mais elle inclut aussi un terme provenant du comportement de la mesure (qui inclut le poids de Boltzmann) dans le changement de variables (18). Ce terme est du premier ordre en 6r, et s’annule manifestement quand 6r est constant (cas d’une translation). I1 ne peut donc dépendre que des dérivées de Sr. Comme nous nous plaçons dans le cadre d’une théorie locale, nous écrivons la forme la plus simple possible, comme postulat définissant le tenseur impulsion-énergie

IX.1.2

INVARIANCE CONFORME

95

n

(Al (r1). . . SAp(rp). . . A n ( r n ) ) p= 1

+

(19)

1

d d r ( A l ( r 1 ) . .An(rn)Tij(r)) dibrj(r) = O

Cette formule est analogue à celle qui définit le tenseur impulsion-énergie de l’espace de Minkowski, où cette construction fournit le courant de Noether des quantités conservées, impulsion et énergie. C’est ce qui explique la terminologie. Etant donné un lagrangien, on obtient sans peine un candidat classique pour Tij. On peut cependant rencontrer au cours de la quantification des difficultés, dont l’origine réside dans la définition et le comportement de la mesure d’intégration. A ce point il est donc plus honnête de considérer (19) comme un postulat, que nous appellerons identité de Ward, exprimant le comportement des corrélations sous l’action d’un changement de coordonnées différentiable infinitésimal. Dans un contexte plus général, le tenseur impulsion-énergie apparaît comme la réponse à un changement infinitésimal de métrique, ce qui assure qu’il est symétrique. Nous ne nous engagerons pas dans cette voie, bien que la plupart des applications bidimensionnelles suggèrent que l’on a beaucoup à apprendre des propriétés d’une théorie quantique sur un espace courbe. Revenant à l’équation (19)’ examinons les contraintes qu’implique l’invariance par transformations euclidiennes et par dilatations globales. Substituant les expressions correspondantes pour SA, et ôr, nous obtenons (i) Invariance par translation, 6r constant: l’équation (19) se réduit à (17). (ii) Invariance par rotation: diSr, = S ~ j i= -&ij constant. Pour que l’équation (19) se réduise à (17)’ il faut que Tzj soit symétrique

Tij(r)= Tji(r)

(20)

(iii) Invariance par dilatation: SiSrj = &SA. Pour retrouver (17) le tenseur impulsion-énergie doit être de trace nulle

Si l’on considère maintenant une transformation spéciale, telle que &Srj = 2 (r& - r,Sbi) - &,(Sb.r), le second terme de (19) s’annule identiquement compte tenu de (20) et de (21). I1 s’ensuit que dans une théorie locale l’invariance euclidienne et l’invariance d’échelle suffisent à elles seules à assurer l’invariance par le groupe conforme. Ceci constitue l’importante observation initiale. Si l’on interprète un changement infinitésimal de coordonnées dans le sens actif, le carré de l’élément infinitésimal de longueur entre points voisins est modifié suivant (gi:)

= 6ij)

96

INVARIANCE CONFORME

IX.1.2

s

Substituant $Ti,âgij for TijaiSrj, on trouve que ddrTij(r)6gij(r) apparaît comme la réponse de la mesure fonctionnelle (y compris le poids de Boltzmann) à un changement de métrique. Comme tout est rapporté ici à la métrique de l’espace euclidien gi;), nous n’avons pas jugé utile de distinguer entre indices covariants et controvariants.

Supposons que pour une variation générale de coordonnées, les variations de SA, soient locales, de la forme (18).Supposons en outre Sr arbitraire et de support compact. Après une intégration par parties, nous pouvons récrire l’équation (19)’ en identifiant le coefficient de Sr, sous la forme

n

= p= 1

{S(r

- rp)8jp)-

d

(ûjS(r - r,))} (Al(r1).. . An(rn))

(23)

Cette équation exprime la conservation du tenseur impulsion-énergie. De fait le membre de droite et par conséqueat celui de gauche s’annulent pour r appartenant à un domaine arbitraire privé d’un voisinage des points r l ,

... rn. I1 n’est pas possible pour le moment d’aller beaucoup plus loin dans le cas général. Nous nous restreignons donc désormais aux propriétés spécifiques à la dimension deux.

1.3 Transformations conformes en deux dimensions En deux dimensions, le groupe conforme global n’est autre que le groupe de Lorentz familier S O ( 3, l) . I1 peut être réalisé sous forme de transformations homographiques du plan complexe (complété par un point à l’infini). Ces transformations exhibent l’isomorphisme des groupes S O ( 3 , l ) et SL(2,C)/ { &l}.Au lieu d’utiliser deux coordonnées réelles indépendantes x et y, il est commode d’introduire les deux combinaisons complexes z = x + iy et Z = x - iy. Avec ces notations la métrique euclidienne devient antidiagonale, et il faut prêter at tention aux composantes des tenseurs. Nous écrivons

IX.1.3

97

INVARIANCE CONFORME

Nous utiliserons souvent la notation abrégée d pour ô, et avons donc

8 pour dz . Nous

Un tenseur symétrique de trace nulle tel que T est obtenu dans une base z , 2 en formant le scalaire

+ i (Tll + iT12) r”

T ~ ~=< (Tll ~ ( -~iT12) t2

où

= t1

+ i t 2 , f = t1 - i t 2 . Ainsi

Avec a , b, c, d complexes obéissant à ad - bc = 1, les transformations conformes globales s’écrivent

z,Z

+ z‘,

2‘

2’

az

+b

= f(z) = -

cz

+d

- az+b Z’ = f ( ~=) - (27)

cz

+2

On peut aussi envisager les transformations conformes globales qui changent l’orientation et correspondent à la composante non connexe à l’identité. Elles sont engendrées par la conjugaison complexe et ne joueront pas pour l’instant un rôle crucial, car nous nous occuperons principalement de transformations infinitésimales. Les champs tensoriels se transforment avec multiplication par des Ici nous rencontrons une spécificité de puissances entières de f’ et la dimension deux, où il est possible d’envisager une généralisation de la notion de tenseur comportant un nombre non entier d’indices z et 2 . Plus précisément nous définissons un champ de poids conformes ( h ,h ) comme un champ se transformant selon

7.

A ( z ,Z )

+

A’(z,2 ) = f’(z)hmhA(f(z),m)

où h ne représente pas le complexe conjugué de h. La notation suggère simplement que le poids h est associé au comportement relatif à la variable 2. La quantité h - 6 joue le rôle de moment angulaire, ou de spin, et implique que par rotation z -+ e%, A’ est multiplié par ei(h-h)p.Dans la suite nous considérerons principalement des champs de spin h - h entier. De fait ce sont les seules observables. Cependant il est naturel d’envisager également

98

INVARIANCE CONFORME

IX.1.3

le cas de fermions de spin demi-entier, et d’autres généralisations ont été examinées. La dimension A est la somme

A=h+h Pour un champ scalaire réel nous avons

h = h = ’ A2 Nous pouvons récrire l’équation (29) sous forme infinitésimale

+

( A SA)dzhdZh.== A ( z + 62,Z

+ SZ)[d(z + Sz)lh[d(Z+ 6Z)]’

Par conséquent, avec

62 := E ( z )

6A = SZA+ SZA

(33)

nous avons

S,A(z,Z) = { & ( z ) d , + h & ’ ( z ) } A ( z , Z ) & A ( z ,2) = {E(z)dz + hE’0) A ( z ,2 )

(34)

Comme on l’a déjà indiqué, la nouveauté du cas bidimensionnel est l’existence d’une classe infinie de transformations conformes engendrées par une fonction analytique arbitraire f( z ) au lieu de la fonction homographique, que nous avions utilisée jusqu’à présent (nous laissons de côté la possibilité que f puisse être une fonction analytique de 2 ). Que ces transformations soient conformes résulte immédiatement de ce que la métrique se transforme selon ~

d,zdz -t dfdf = f’(z)f‘(z)dzdZ

(35)

de telle sorte que les angles sont préservés, les longueurs étant multipliées localement par un facteur de dilatation If’(z)l.L’interprétation de telles transformations ne va pas de soi. En effet, en général (i) la fonction f ( z ) n’est pas définie dans tout le plan complexe (ii) même dans ce cas (en admettant des pôles isolés), elle ne définit pas une application bijective. Les seules applications bijectives du plan complexe (complété) sont les transformations homographiques, c’est-à-dire celles correspondant au groupe global. I1 y a alors deux interprétations possibles, toutes deux intéressantes. Dans la première, nous utilisons l’hypothèse d’invariance locale pour obtenir des quantités relatives au domaine transformé. Ci-dessous nous examinerons par exemple une telle application du plan privé d’un point sur

IX.1.3

INVARIANCE CONFORME

99

un ruban périodique. Dans la seconde interprétation, nous étudierons l’effet de transformations infinitésimales conformes locales telles que (33), avec E ( Z ) considéré au premier ordre, mais à part cela fonction arbitraire de z. I1 faut garder à l’esprit que les fonctions analytiques sont rigides, c’est-à-dire que E ( Z ) ne peut être régulier et s’annuler en dehors d’un domaine fini, tout en restant analytique. Dans un changement de coordonnées “infinitésimal” holomorphe arbitraire

sz

=s&g(Z)

62 =&g(z)

les champs qui se transforment selon

6 A ( z ,2 ) = SE [gaz

+ h(a,g) +

+ h(&g)]A ( z ,?)

(37)

sont appelés champs primaires. Insistons sur le fait que g est arbitraire, et n’est pas restreint à être un polynôme du second degré en z (auquel cas A pourrait être appelé quasi primaire). Nous traiterons de façon quasi exclusive de champs primaires, l’exception la plus notable étant, de façon surprenante, le tenseur impulsion-énergie. Pour une fonction générale g ( z , ?), nous avons

Cette quantité s’annule pour g (g) holomorphe (anti-holomorphe). Insérons cette expression dans l’équation (19). Naturellement le deuxième terme s’annule dans les régions (finies) du plan z , où g et 9 possèdent la propriété d’analyticité mentionnée ci-dessus, suggérant une propriété de covariance des corrélations de champs primaires dans des transformations analytiques générales. Rendons cet énoncé plus précis. I1 est commode de faire une transformation d’échelle sur le tenseur impulsion-énergie, de façon à insérer un facteur 1/27r dans l’intégrale de définition de T . Choisissons une paire de fonctions g , 9, s’annulant suffisamment vite à l’infini pour permettre des intégrations par partieS.Nous supposons g holomorphe, anti-holomorphe au voisinage des points 2 1 , . . ., z,, de telle sorte que nous puissions utiliser l’équation (37)’ et posons g p g(z,, Z p ) , 8, ûzl,.Nous obtenons n

100

INVARIANCE CONFORME

IX. 1.3

Comparant les deux membres de cette équation, on en déduit que

ûz (T,,(z, ??)Al. . .A,) s’annule sauf aux points z1 .: .z,. Une relation ana, . . . A,). L’équation (39) montre que la logue s’applique à a, ( T z z ( z Z)Al première de ces fonctions est méromorphe en z , avec des pôles simples et doubles situés en z1 . . . 2 , et qu’une propriété conjuguée est valable pour la seconde, de sorte que nous pouvons écrire l’identité de Ward sous la forme

Etant donné le traitement parallèle des variables z et Z , nous omettrons par la suite de répéter les équations, et nous n’expliciterons que la partie relative à z. Le lecteur prendra garde au fait que certains champs, comme A ci-dessus, peuvent dépendre à la fois de z et 2, alors qu’il résulte de l’équation (40) que T,, ne dépend que de z , dans le sens où les corrélations avec insertion de T,, sont des fonctions méromorphes de la variable z . En conséquence nous le désignerons par T ( z ) , et de façon analogue, TzZsera noté T ( t ) . Soit maintenant g( z ) analytique dans un domaine qui inclut les points z l , ..., z,, et soit C une courbe dans ce domaine qui entoure ces points une fois dans le sens positif. La forme intégrale de (40) s’écrit

et on obtient une équation analogue conjuguée pour T . Les générateurs des transformations conformes globales correspondent à des fonctions g ( z ) qui sont des polynômes du second degré en z , auquel cas le membre de droite de l’équation (41) doit s’annuler. I1 s’ensuit qu’une fonction de corrélation avec insertion de T ( z ) doit s’annuler comme z - ~pour z grand

( T ( z ) A ~z1) ( ~. .~.A,(z,, , z,))

Z’CO

z - ~ ~ (z1; z ~- . ;, z,, 2,)

(42)

(et à nouveau une équation conjuguée s’applique à T ) . La dimension canonique de T est deux (et d en dimension d ) , puisque son intégrale doit être

IX. 1.3

INVARIANCE CONFORME

101

sans dimension, comme l’action. Une conclusion hâtive aurait été que le membre de gauche de l’équation (42) s’annule comme z2-2 à l’infini. Le présent énoncé est plus fort, et implique l’invariance conforme globale. Un polynôme du second degré dépend de trois paramètres complexes, ce qui est bien sûr la dimension (complexe) du groupe SL(2,C). Combinant (42) et (40)’ nous déduisons, par un développement autour de z = 00, que les transformations conformes globales entraînent n

translations p= 1 n

( ~ ~ a+, h~p>)( A l ( z 1 , E l ) . . . An(zn, 2,))

=O

dilatations (complexes)

p= 1 11

(zig,,,

+ 2hpzp)( ~ l ( z 1E,I ) . . .~ ~ ( z2,)), ,

= O transformations spéciales

p= 1

(43) De la même façon que nous n’écrivons pas de faqon explicite les équations conjuguées, nous omettrons parfois de mentionner la variable dans les équations en z . En deux dimensions, rotations et dilatations réelles sont des transformations conjuguées. Dans le formalisme complexe, elles se combinent pour donner des dilatations complexes, ainsi que l’indique l’équation (43). Les relations (41) expriment une forme généralisée de covariance par transformation conforme locale infinitésimale. Pour aller plus loin, nous avons besoin des corrélations impliquant le tenseur impulsion-énergie, et notre première tâche consiste à étudier leur comportement dans les transformations mentionnées ci-dessus.

1.4 Charge centrale L’invariance par translation dans le plan implique que la valeur moyenne ( T ( z ) )soit une constante. Dans l’équation (42)’ cette constante a été implicitement choisie égale à zéro

(44) ( T ( z ) )= (T(E)) = O De la même façon l’invariance par translation et l’invariance d’échelle globale entraînent que la fonction à deux points correspondante doit être une fonction homogène de 212. De l’équation (42) nous déduisons donc

102

IX.1.4

INVARIANCE CONFORME

ce qui nous apprend que T a pour poids conformes (2’0) (et (T les poids (0’2)) comme prévu. Le choix du facteur $- dans la normalisation de la constante réelle c commune à T et T est conventionnel. Son objet est de produire la valeur c = 1 pour un champ scalaire de masse nulle (ainsi qu’on le verra ci-dessous, cf. section 2.1). Comme l’échelle de T est déjà fixée par des relations telles que l’équation (40)’ nous n’avons pas la liberté de fixer la valeur de c. Si la théorie admet une interprétation en termes d’un hamiltonien quantique. agissant dans un espace de Hilbert d’états muni d’un produit scalaire défini positif, et un spectre borné inférieurement, alors c doit être positive, ainsi que nous le montrerons ultérieurement. Mais cela n’est en rien nécessaire pour une interprétation statistique cohérente, et nous allons rencontrer des exemples intéressants correspondant à c < O. La constante sans dimension c est appelée charge centrale pour des raisons qui apparaîtront par la suite. Une des principales conclusions de ce chapitre sera que la connaissance de c est (presque) suffisante pour caractériser un modèle critique dans nombre de cas. Quoi qu’il en soit, elle fournit une information essentielle aux multiples conséquences. L’apparition de la charge centrale c peut s’interpréter comme une anomalie résultant du fait qu’une symétrie classique (ici l’invariance conforme locale) ne peut pas être étendue au cas quantique en raison d’effets dus à la renormalisation. Dans le contexte des intégrales de chemin, ceci peut être interprété en disant que la mesure fonctionnelle complète ne peut pas être rendue invariante. On peut aussi par exemple considérer que les équations du groupe de renormalisation expriment un comportement anormal dans une dilatation en dehors des points fixes. Nous venons de \air que ( T ( z ) )s’annule dans le plan infini. Si nous avions invariance par transformations conformes locales infinitésimales, nous nous attendrions à ce que cette valeur moyenne reste égale à zéro. Mais à l’exception des transformations engendrées par un polynôme du second degré en z , nous savons que nous ne pourrons pas, d’une façon stricte, parler d’invariance, étant donné que les transformations ne sont pas des applications bijectives du plan complexe (complété) sur lui-même. Nous ne nous attendons pa:j à ce que ( S T ( z ) )s’annule. De fait, combinant les équations (41) et (45)’ nous avons

z -+ z’ =z + 6 e g ( z ) T -+ T’ =T + ST dz’ g ( z ’ ) 2i7r (2’ - z ) ~ et par conséquent

( S T ( z ) )= &cg”‘(z)

SE

(46a)

IX.1.4

INVARIANCE CONFORME

103

On obtient une expression analogue pour T . Quand g est un polynôme du second degré, g”’ s’annule et on retrouve l’invariance attendue. L’équation (46) donne une première expression de l’anomalie. Etant donné que ( T ( z ) )= O, et que les poids de T sont (2,0), il est naturel de postuler que la loi de transformation minimale incorporant cette anomalie s’écrit

avec une expression analogue pour T.Ce comportement se différencie de celui des champs primaires, donné par l’expression (33). L’équation (47) nous apprend que T n’est pas un champ primaire. Le tenseur impulsionénergie se transforme selon une loi inhomogène, avec une contribution supplémentaire proportionnelle à l’identité. Ceci suggère que l’anomalie doit pouvoir être déduite du comportement correspondant de la fonction de partition, ou de l’énergie libre. Transcrivons ici les expressions (12) et (13) pour des fonctions a 2 et 3-points arbitraires, en omettant les variables z

Par conséquent

Vérifier que ceci est en accord avec

Considérons la généralisation de la loi de transformation infinitésimale (47) à une transformation conforme finie correspondant à une application du plan sur un domaine éventuellement différent. Nous avons maintenant z’ = f(z). A T ( z ) correspondra T’(z’). Dans l’interprétation active, la formule de transformation s’écrit

T(z)dz‘ = T’(z’)dz’’

+ &c{z‘,z}dz’

(50)

où le symbole {z’,z} désigne la dérivée schwarzienne de l’application z z’ = f(z),soit

104

IX. 1.4

INVARIANCE CONFORME

Au premier ordre en ô&, ceci se réduit à la dérivée troisième de & g ( z ) , pour f(z) = z &g(z).

+

I1 n’est pas évident d’obtenir la dérivée schwarzienne à partir de la composition de transformations infinitésimales. Nous en donnerons une preuve directe utilisant le champ libre dans la section 2 . 1 . Faisons ici une petite digression afin de donner une interprétation de la dérivée schwarzienne. Celle-ci joue vis-à-vis du groupe conforme global le même rôle que la dérivée ordinaire vis-à-vis des translations. Si nous utilisons la notation

pour la différentielle quadratique correspondante (on rappelle que z’ et z sont reliés analytiquement) la compatibilité de l’équation (50) requiert

Dans l’équation ( 5 2 c ) , on a supposé que 2 1 = f 1 2 ( z 2 ) , 22 = f 2 3 ( 2 3 ) , z3 = f 3 1 ( z 1 ) tandis que f i 2 O f23 O f31 est la transformation identité. Finalement, si z1 et z2 sont reliés par une transformation homographique, la différentielle quadratique s’annule comme conséquence de ( 5 2 b , d )

az1z2+bz1+cz2+d=O

u

(52e)

[z1,22]=0

Le birapport de quatre nombres complexes est invariant par transformation homographique. Afin de mesurer de combien une transformation donnée y = f(z) diffère localement d’une telle transformation, comparons les birapports de quatre points zi et de leurs images. Posant zij = xi - xj, nous évaluons la quantité 213242

Y13Y42

212243

Y12Y43

Q(~,I/)=---

+

pour des valeurs x; voisines d’un point 2, de la forme zi = 2 t c i . De façon analogue, nous développons les yi au troisième ordre en t. Un calcul élémentaire montre que le terme dominant en Q est d’ordre t 2 , et de la forme

IX.1.4

INVARIANCE CONFORME

105

Les propriétés (52b-e) en découlent immédiatement. Observons finalement que

Nous pouvons maintenant passer à l’interprétation de l’équation (50)’ et donc de l’anomalie. A cette fin, effectuons une application conforme du plan complexe, privé de l’origine, sur une bande périodique dans le plan u, de largeur L. La transformation correspondante est donnée par une exponentielle I

z = exp(2im/L)

(54)

im u

Re u

-;L

+L

Figure 2: Bande périodique de largeur L dans le plan de la variable u

Par conséquent

et comme ( T p ~ a i i (=~O, ) ) nous trouvons (Tbaiide(u))= &c(2./L)2

(56)

Ceci nous permet d’interpréter l’anomalie comme un effet Casimir, c’est-àdire un déplacement de l’énergie libre comme conséquence de la géométrie finie. Cet effet fut à l’origine prédit, puis mesuré, en électrodynamique quantique où il donne lieu à une force entre conducteurs neutres. Le seul fait qu’il soit mesurable bien que très faible, démontre que les interactions électromagnétiques sont à longue portée. De même nous nous attendons dans le cas présent à un déplacement de l’énergie libre dépendant de L, dû aux conditions aux limites confinantes. Comme convention de normalisation,

106

INVARIANCE CONFORME

IX.1.4

nous supposons que dans le plan infini l’énergie libre par unité de surface s’annule au point critique. En incluant le facteur 1/27r1 introduit ci-dessus, la variation de l’énergie libre totale est donnée par une formule analogue à (19), soit

où le domaine d’intégration V est la bande infinie. Choisissons en particulier Srl = S E U ~Sr2 = O , qui correspond à une dilatation horizontale de la bande. Naturellement ce n’est pas là une transformation conforme (elle est du type quasi conforme, transformant les cercles en ellipses avec un rapport fixe des axes). Mais la définition de T p yn’implique en rien une transformation conforme. Le seul terme qui ne s’annule pas dans ûpSr, est dlSrl = SE, et TI1 = T ( u )+ T ( a ) .Dans une bande infinie, la quantité In 2 est infinie. Par invariance par translation, nous nous at tendons cependant à ce qu’il existe une énergie libre par unité de longueur bien définie, en d’autres termes que 1 F ( L ) = lim - l n Z ( L , M ) M-oo

M

existe, pourvu qu’on impose une condition aux limites supplémentaire dans la direction longitudinale à une distance M . En supposant que l’énergie libre par unité de longueur possède une limite indépendante de cette condition supplémentaire, nous concluons des équations (56)-(58) que

S F ( L ) = SELet donc

dF(L) 27r = -=c - S E dL L 7r

F ( L ) = ‘c6 L Nous avons utilisé le fait que l’énergie libre FO par unité de longueur dans le plan infini s’annule. Sinon elle donnerait lieu à une contribution supplémentaire FOL au membre de droite. De manière équivalente, si l’on utilise une matrice de transfert, le logarithme de la plus grande valeur propre X O se comporte au point critique comme 1nXO = FOL + ‘c6 L 7r

(59b)

quand L devient infini. Nous examinerons dans la section 2 la validité des hypothèses conduisant à l’équation (59). Manifestement si certaines corrélations croissent avec la distance, comme cela se produit dans des modèles non unitaires, on s’attend à ce que le résultat ne soit plus valable. Pour l’instant, supposant que toutes les corrélations décroissent avec la distance, nous voyons qu’une relation comme (59) donne accès à la valeur de la charge centrale, ainsi que les études numériques l’ont amplement

IX.1.4

INVARIANCE CONFORME

107

illustré. Par exemple, pour des polymères (modèles O ( n ) ,n +. O) ou pour la percolation (modèle de Potts à Q-états, avec Q +. l ) , on trouve comme on s’y attend c = O. Nous verrons que le modèle d’king correspond à c = le modèle de Potts à 3 états à c = et le champ bosonique libre (modèle gaussien) à c = 1, pour ne mentionner que ces quelques valeurs.

4

i,

1.5 Algèbre de Virasoro L’application définie ci-dessus du plan pointé sur une bande périodique suggère l’utilisation d’un formalisme opératoriel, avec une matrice de transfert 7. Comme cette transformation correspond à l’utilisation de coordonnées polaires dans le plan, ce formalisme a reçu le nom de quantification radiale. L’évolution dans le teiiips est équivalente aux dilatations, et les va,leurs propres du générateur correspondant sont les poids conformes. Afin d’alléger les notations, nous absorbons le facteur 2i7r/L dans la définition de la variable u,de sorte que

D’après cette équation, la propagation s’effectue le long de l’axe réel u.Les valeurs moyennes dans la bande sont identifiées à des traces de produits ordonnés d’opérateurs (l’ordre étant pris le long de l’axe des “temps” R e u ) . Cette procédure permet d’associer à une observable A(u)un opérateur Â(u). La matrice de transfert est l’analogue de l’exponentielle d’un hamiltonien, et relie les opérateurs à différentes valeurs de R e u selon

Â( Re u,Im u)= ‘TRe ”Â( O, Im u)TRe

(61)

Les corrélations sont écrites pour une suite décroissante de valeurs de R e u sous la forme

Si nécessaire, on effectue des soustractions de façon à rendre ces expressions connexes. Dans un contexte quantique, cette formule n’est autre que celle de Gell-Mann et Low. Supposons pour simplifier que le modèle soit unitaire.

108

INVARIANCE CONFORME

IX.1.5

Dans l’espace euclidien, cela veut dire que 7 = exp - H , où H est hermitien et borné inférieurement. Désignons son état fondamental unique par IO), (01 étant le bra conjugué. Dans le cas d’un modèle unitaire, la limite M -f 00 projette sur l’état fondamental si nous supposons que ce dernier correspond à un point isolé du spectre. Comme la situation considérée implique une bande de largeur finie, cette supposition paraît réaliste. Nous trouvons donc

Dans le cas d’une observable réelle A, l’opérateur correspondant est hermitien

et les corrélations satisfont à la propriété de positivité par réflexion

Le second argument ü n’a pas été écrit explicitement, mais il est sousentendu. Grâce à l’application exponentielle, nous pouvons exprimer les translatioiis dans le plan u comme des dilatations dans le plan z (privé à‘un point), à condition. de tenir compte de la loi de correspondance entre opérateurs Abande(U,Ü)

= Âpla*,(Z, Z)zhZh

I1 en résulte que

Dans une application conforme z -+ z’ = z un champ primaire se transforme selon

+ & g ( z ) , avec g ( z ) analytique,

et l’équation (39) entraîne l’existence d’un opérateur ? ( z ) tel que pour jzll lz2l

> ... > lznl,

>

IX.1.5

INVARIANCE CONFORME

109

... 6 Â p ( z p ... ) Ân(zn)JO)=

où le contour C entoure tous les points zi, tandis que le contour C' laisse tous ces points à l'extérieur. Introduisant des contours intermédiaires, nous voyons que ceci est équivalent à un énoncé opératoriel

Développons maintenant T, tout comme T, en série de Laurent +W

(71) n=-w

n=-w

Le facteur z-2 a pour origine la relation (60). Nous substituons le développement (71) dans (70), où g(z) est également développé en série de Laurent. Identifiant le facteur de chacun de ses coefficients dans les deux membres, nous obtenons un ensemble de relations de commutation définissant deux algèbres de Lie de dimension infinie, appelées algèbres de Virasoro [Lj, Lrcl

= ( j - k)Lj+k

[Zj, L]= ( j

- k)Ej+rc

+ & c j ( j 2 - 1)6j+rc,o

+ &cj(j2

- l)Sj+k,O

(72)

[Lj,Zk]=O Ces algèbres furent initialement introduites par Virasoro dans le cadre du modèle dual de la physique des particules, l'ancêtre de la théorie des

110

INVARIANCE C O N F O R M E

IX.1.5

cordes, avec pour objet d’imposer ce que nous interprétons aujourd’hui comme l’invariance par reparamétrisation. Du point de vue du plan z , l’origine ne joue aucun rôle particulier, et ces opérateurs T et i? pourraient être développés au voisinage de tout autre point, obtenu comme image de l’origine par une transformation homographique. Les formules (72) admettent l’interprétation suivante. Supposons en premier lieu c = O, et examinons une des deux algèbres équivalentes. On observe alors que les opérateurs peuvent être réalisés comme opérateurs différentiels du premier ordre de la forme

Si nous nous restreignons z au cercle IzI = 1, les champs de vecteurs e, agissent sur des fonctions définies sur ce cercle, et sont les générateurs des difféomorphismes du cercle unité, c’est-à-dire d’applications bijectives indéfiniment différentiables (ici connexes à l’identité). Le terme supplémentaire dans (72)’ proportionnel à c, commute avec tous les éléments de l’algèbre. I1 indique par conséquent une extension de l’algèbre de Lie (73) par une algèbre unidimensionnelle. Comme cette dernière commute avec tous les éléments, on parle d’extension centrale, et donc de charge centrale. La situation est analogue au niveau des algèbres de Lie à celle qui prévaut en mécanique quantique, quand on cherche des représentations à une phase près d’un groupe de symétries. Par exemple les spins demi-entiers correspondent à une extension centrale de SO(3) par le groupe à deux éléments 2 2 , sous la forme de SU2. Un calcul simple montre que la forme indiquée dans l’équation (72) est la seule extension centrale de l’algèbre (73) à un changement de base près. ou l o , e*,, engendrent tous une Les opérateurs Lo, L&ll (Loi algèbre à trois dimensions, qui n’est autre que l’algèbre de Lie complexe du groupe conforme global SL(2,C). On notera que le coefficient correspondant de l’anomalie s’annule. Le générateur LOdes dilatations est diagonal dans la représentation adjointe [Lo,L-,] = PL-,, avec des valeurs propres entières. I1 permet de définir une graduation de l’algèbre enveloppante engendrée par les L,, c’est-à-dire une décomposition en sous-espaces homogènes correspondant aux valeurs propres de LO.En d’autres termes, L-, agissant sur un état propre de L o accroît la valeur propre de p . Le vide est invariant par transformation conforme globale, et il est donc annihilé par L O , L h l .Comme on suppose que T ( z )10) reste régulier quand z -+ O (de manière que (OlT(z) quand z + CO), il s’ensuit que l’on a les propriétés plus fortes

P 2 -1

L, 10) = O (01 L, = O

P l l

avec des équations analogues pour

E,.

(74)

IX.1.5

INVARIANCE CONFORME

111

(i) Montrer que pour obtenir les relations (74), étant entendu que LO et L k 1 annihilent 10) et (01,il suffit d’exiger que L2 annihile 10) à droite, ou L - 2

annihile (01 à gauche. (ii) Comme conséquence de (74), ( O lLpl O ) = O pour tout p . Montrer à partir des relations de commutation ( 7 2 ) que pour Iz11 > 1221 par exemple on retrouve l’expression

Dans un modèle unitaire, une observable hermitienne obéit à la relation Z)t = p

z - 2 q ( Z - ’ ,

2-1)

(75)

Appliquée à T ou T , cette égalité fournit une condition nécessaire pour qu’une représentation soit unitaire

L2, = L-,

,

LtP = L-,

(76)

L’équation (40) implique, si z1 + 2 2 , ?(21)Â(22) 10) se comporte comme h. 4z i2Â ( z 2)IO). Définissons l’état Ih, I;) par

I1 s’ensuit que

Lo Ih, 71) = h Ih, E )

P>O

L, Ih, h ) = E , Ih, h ) = O

et les relations conjuguées

Dans une représentation unitaire, le générateur des dilatations (réelles), LO+ EO et celui des rotations, LO- EO,sont tous deux hermitiens. Nous en concluons que l’espace des états d’un modèle critique porte une représentation du produit des algèbres {L,}x { E , } , que nous désignons par V x Une telle représentation est en général réductible, contenant des

v.

112

IX.1.5

INVARIANCE CONFORME

états tels que Ih, h ) et leurs descendants, c’est-à-dire des états engendrés par application d’un produit de Lp et de &,. Concentrons notre attention sur une de ces algèbres, disons V . Par isomorphisme, les raisonnements s’appliqueront aussi bien à Considérons une représentation possédant un vecteur appelé vecteur de plus haut poids, c’est-à-dire un état Ih) qui remplit les conditions (77). Nous omettons La dans ce qui suit d’expliciter les propriétés analogues relatives à dénomination vecteur de plus haut poids est empruntée à la théorie des représentations des algèbres de Lie. Dans le contexte présent, il s’agit plutôt d’un état fondamental dans un secteur donné. Considérons le “module de Verma” engendré par Ih) , c’est-à-dire l’espace vectoriel de dimension infinie engendré par les combinaisons linéaires finies de monômes en L,, m > O appliqués à Ih) et supposés linéairement indépendants. Cet espace se décompose en sous-espaces homogènes caractérisés par la valeur propre h+n de Lo, où n est un entier non négatif, qui sera appelé le niveau. La quantité h n est aussi parfois appelée poids de l’état correspondant. Ici ce n’est pas autre chose que le poids conforme d’un champ non primaire, qui crée cet état quand il est appliqué à l’état vide IO). Quand nous considérons les états de niveau In),nous pouvons utiliser les relations de commutation (72),ainsi que les propriétés de l’état Ih) annihilé par L,,p > O, pour montrer qu’ils se réduisent tous à des combinaisons d’états de base, impliquant seulement L,, p < O, et ordonnés de façon commode, par exemple des états de la forme

v.

v.

+

De façon analogue dans l’espace conjugué

avec les mêmes contraintes sur les indices. L’espace de ces états, de dimension infinie, fournit manifestement un espace de représentation de l’algèbre de Virasoro. L’algèbre de Virasoro est similaire aux algèbres de Kac-Moody définies comme extensions de dimension infinie d’algèbres de Lie semi-simples (appendice C), qui interviennent dans l’étude des algèbres de courants ainsi que dans celle des systèmes intégrables de dimension infinie. Un opérateur Lpt,p’ > O, appliqué à un état tel que I{p} h ) ,diminue son niveau de p‘. Par conskquent si un produit de tels opérateurs a un degré égal à n, il produira, s’il est appliqué à [ { p ),h ) un multiple de l’état fonda.mental Ih ). Nous écrivons

IX.1.5

113

INVARIANCE C O N F O R M E

O

< p1 i P2 i ... 1.Pk

o
Les coefficients ( ( p ‘ ) , { P } ) ~pour , ~ c, h et le niveau n fixés peuvent être calculés à partir de la seule donnée de l’algèbre de Virasoro et des propriétés de l’état Ih). Ils forment une matrice indexée par les partitions de l’entier n, appelée forme contragrédiente et dont on vérifie aisément qu’elle est symétrique. Dans le cas unitaire, cette forme contragrédiente n’est autre que la matrice des produits scalaires au niveau n

Nous rappelons que

On obtiendra une représentation unitaire si, et seulement si, à chaque niveau n, la forme contragrédiente est positive semi-définie. Si elle est définie positive, le module de Verma lui-même donne une représentation unitaire irréductible. En revanche si la forme contragrédiente n’est que semi-définie, c’est qu’il existe des “états nuls” engendrant des sous-espaces invariants. On devra considérer l’espace quotient pour trouver une représentation unitaire. Comme pour tout p > O

une condition nécessaire d’unitarité est que l’on ait les inégalités h 2 O et c 2 O. Nous trouvons donc seulement des poids positifs dans les modèles unitaires. Les poids négatifs, qui correspondent à des corrélations croissant avec la distance, ne sont cependant pas exclus dans le cas non unitaire. Nous avons donc unitarité

--r.

c 2 O,

h2O

(82)

Dans toute représentation le nombre d’états linéairement indépendants au niveau n ne peut excéder p ( n ) , nombre de partitions de l’entier n. Si l’on convient de définir p(0) = p ( 1 ) = 1, la fonction génératrice des partitions due à Euler s’écrit 00

On suppose IqI < 1. La fonction de Dedekind q = exp 2ir.r’ jouera un rôle essentiel dans la suite.

Q(T)

= ~ l / ~ ~ P où (q),

114

INVARIANCE CONFORME

IX.1.5

Pour étudier la forme contragrédiente on va calculer son déterminant à chaque niveau n (au niveau O c’est 1 par définition). Ces déterminants,

dont l’expression a été obtenue par Kac,

sont manifestement des polynômes en c et h. Ils possèdent la propriété que det,(c,h) s’annule si et seulement si à un niveau n’ 5 n, il existe une combinaison linéaire

annihilée par tous les L,,p > O. Si un tel vecteur existe à un niveau n’ 5 n , il engendre au niveau n un sous-espace de vecteurs annihilés par les L,, p > O. Inversement si le déterminant s’annule, certaines de ses colonnes obéissent à des relations linéaires. Les vecteurs correspondants de la forme cyp) L-pl . . . L P p kIh), pi = n sont annihilés par tous les produits de L,!, C p ! , = n. Un raisonnement par récurrence montre qu’il doit exister un vecteur singulier de degré n’ 5 n. S’il existe de tels vecteurs singuliers (ou “nuls”) tels que n’ > O, la représentation de V est réductible. Pour obtenir une représentation irréductible le sous-espace maximal invariant engendré par les vecteurs singuliers peut être éliminé en considérant l’action de l’algèbre de Virasoro dans un espace quotient. Ceci revient à dire que les champs qui créent ces vecteurs singuliers par application sur l’état du vide IO), doivent être égalés à zéro. Ceci nous permet de distinguer à c fixé des valeurs privilégiées, des poids conformes correspondant aux racines des déterminants de Kac qui sont des polynômes en h. Ces derniers peuvent être calculés en utilisant les relations de commutation. Les cas triviaux sont detc,(c,h)= 1

deti(c,h) = 2h

(85)

où l’annulation de detl pour h = O reflète le fait que 10) lui-même est un vecteur nul. Considérons le cas instructif n = 2 tel que

où les lignes et colonnes sont indexées respectivement par les partitions (2) et (1’1). En conséquence det2(c, h) = 2h [16h2

+ 2(c - 5)h + c]

(86b)

On observe que det2 contient detl en facteur. L’information nouvelle est l’existence de deux nouvelles racines, qui sont données par

IX.1.5

115

INVARIANCE CONFORME

5 - c f J(1 - c)(25 - c) 16 Ces racines sont complexes conjuguées pour c réel compris entre 1 et 25, et réelles dans les autres cas. On écarte la première possibilité et on examine les vecteurs singuliers correspondants de niveau 2, c’est-à-dire de poids h* 2. On peut vérifier directement que le vecteur

h* =

+

Li + 3

Is*) =

(88a)

1)L t l - L-2) Ih)

obéit à

Lo

1%)

= (hi

+ 2)

L,

IS&)

1 4= 0

p

>O

(88b)

Afin de vérifier (88b), nous observons que LI et L2 engendrent, via les relations de commutation, tous les L,, p > O. Pour la suite il est commode d’introduire la paramétrisation suivante de la charge centrale, pour tout m réel, complexe, fini ou infini c=l-

6 m(m 1)

+

(89)

Les valeurs h& ci-dessus prennent la forme

+

+

[2(m 1) - mI2 - 1 h+ =-m 3 4m 4m(m 1) m - 2 - [m+i-2m] 2 -1 h- = 4m(m 1) 4(m 1)

+

+

(90)

+

Ce qui précède est formulé dans le langage opératoriel. Nous pouvons aussi l’exprimer en termes du développement à courte distance d’un champ primaire A (de poids h ) avec un produit de champs T ( z ) . Afin d’alléger les notations, nous omettons à nouveau l’argument de A. Les équations (40) s’interprètent en disant que, lorsque T ( z ) est inséré dans les fonctions de corrélations, on a le développement à courte distance

A(O)(u)=hA(u)

... ainsi que

116

INVARIANCE CONFORME

T ( z ) T ( u )=

3C ~

(z-u)4

W u ) +-(.-up

1 dT(u) ++ . .. ( 2 - u ) du

IX.1.5

(91b)

Nous avons donc une correspondance A ( 0 ) H Ih), A(O)(O) H Lo Ih), A(-’) H L-, Ih). On peut répéter pour les champs dérivés A(-,) le dévelop(0) pement à courte distance ci-dessus, définissant A(-Pl?-P?)en correspondance avec L p P lL-p2 Ih) , et ainsi de suite. Le champ primaire A , ou A(O) = hA(z) a des propriétés de transformation connues; il en est de même de A(-I)(u) = ûUA(u). I1 est instructif de déterminer les lois de transformations des champs secondaires ou “descendants’’, afin d’obtenir une nouvelle interprétation des vecteurs singuliers, en termes des champs correspondants. Rappelons que si A est primaire

I1 est clair que A(-1) ne se transforme pas comme un champ primaire. Pour obtenir le comportement de A ( - 2 ) , on compare les développements de courte ) , utilisant la loi de transformation (92). distance de T ( z ’ ) A ( z )et T ‘ ( < ’ ) A ‘ ( < en Ainsi

Après des calculs assez laborieux, nous trouvons que

IX.1.5

INVARIANCE CONFORME

117

Nous laissons au lecteur courageux le soin de déduire les formules correspondantes pour A(-P1,-Pz-...)!Le moins que l’on puisse dire est que les champs secondaires ont des lois de transformation assez complexes. Comparons cependant ( 9 3 a ) au comportement de a : A ( z ) correspondant à l’état L z l Ih);nous avons

Si l’on forme la combinaison 3

x * ( z ) = 2(2h*

+ 1) û : A ( z ) - A ( - 2 ) ( z )

on vérifie sans difficulté que pour chacune des valeurs h* données par (87) ou (90)

En d’autres termes, les vecteurs singuliers correspondent aux combinaisons des champs secondaires, provenant du développement à courte distance avec le tenseur impulsion-énergie, qui se transforment comme des champs primaires avec un poids augmenté d’un entier. Cette équivalence est utile en ce sens qu’elle montre que si x est une telle combinaison, exiger que x s’annule est une condition cohérente (covariante) indépendante du choix de coordonnées. En termes de représentations, ceci revient à quotienter par les espaces invariants, obtenant ainsi des représentations irréductibles. Finalement nous verrons que l’existence de telles conditions entraîne que les fonctions de corrélations du champ initial satisfont à des équations aux dérivées partielles qui permettent essentiellement de les déterminer. Naturellement, le poids conforme h associé doit être choisi comme une racine d’un déterminant de Kac.

Considérons un champ Al tel que hl G h k . Exiger que xk s’annule entraîne que les fonctions de corrélations impliquant ce champ satisfont à des équations aux dérivées partielles du second ordre de la forme

obtenues à partir de l’équation (40) en utilisant le développement à courte distance de T avec Al. De manière analogue on obtiendra les équations

118

IX.1.5

INVARIANCE CONFORME

d’ordre plus élevé lorsqu’on aura affaire à des vecteurs singuliers de niveau plus élevé. Nous voyons ainsi que la théorie conforme offre la possibilité de déterminer certaines valeurs remarquables des poids conformes (ou des exposants critiques) ainsi que les fonctions de corrélations des champs correspondants. Dans ce but, il apparaît donc essentiel d’obtenir une expression explicite des déterminants de Kac à tout niveau. Montrer qu’au niveau 3

dets(c, h ) = 48h2 [16h2

+ 2(c - 5)h + c] [3h2+ (C - 7 ) h+ + 21 C

et obtenir les vecteurs singuliers correspondants. Montrer qu’en général det,est un facteur de det,.

1

1.6 Les déterminants de Kac C’est à Kac que l’on doit l’expression n

det,(c, h ) = cst x

( h - hT,s)p(n-TS)

(96)

I-.*=1

1
où, la charge centrale étant paramétrisée comme indiqué par la relation (89)’ les racines hr,s,indexées par deux entiers positifs T et s, s’écrivent h,s =

[T(m

+ 1)- smI2 - 1

4m(m

+ 1)

(97)

Une racine hT+ donnée apparaît pour la première fois au niveau n’ = Inf(Ts) et se propage avec une multiplicité p ( n - n’) au niveau n (la borne inférieure porte sur l’ensemble des paires T , s donnant la même valeur pour hT+.).On peut vérifier l’expression (96) pour des petites valeurs de n par un calcul direct. On note que la paramétrisation c = 1 - 6/m(m 1) est singulière pour c = 1 ou 25. Ces deux cas exigent un traitement particulier. La démonstration par Feigin-Fuchs du résultat fondamental (96)’ (97) est assez complexe, mais intéressante. C’est elle que nous allons reproduire ci-dessous. Comme les valeurs obtenues pour les poids résolvent essentiellement le problème de la détermination des exposants critiques d’une grande classe de modèles en deux dimensions, cette preuve mérite d’être présentée en détail, mais elle peut être omise sans dommage par un lecteur qui le souhaiterait.

+

il n’est pas difficile d’obtenir le degré de det,(c,h) en tant que polynôme en h. On se convainc aisément que le monôme de plus haut degré provient du produit des termes diagonaux dans la forme contragrédiente, chacun d’entre eux étant le coefficient de Ih) dans l’expression

IX.1.6

119

INVARIANCE CONFORME

cy

de degré 'Yk dans h. Nous avons donc la formule suivante pour le degré p n du déterminant de Kac de niveau n

La première somme porte que les partitions de n, et a k est ie nombre de fois qu'un entier k déterminé, 1 5 k 5 n, apparaît dans une telle partition. Nous 1 et écrivons une fonction génératrice, pour IqI < 1 , sous la forme posons po

m

W

=

p(n')qn' n'=O

00

qps r,s=l

=

qn n=O

[

; ; : ;

]

p(n - TS)

ce qui est le résultat attendu. On observera que le coefficient du terme hPn, indépendant de c, omis dans (96) s'écrit, d'après Coste,

Utilisant leurs notations, nous passons maintenant à la preuve de Feigin et Fuchs. Elle se décompose en quatre étapes.

(i) On introduit d'abord l'espace vectoriel FA,@des séries de Laurent (nous posons z = e", en autorisant des puissances arbitraires de z )

de poids -A, c'est-à-dire se transformant selon f(z)

-

f'(<), avec

120

INVARIANCE CONFORME

IX.1.6

dans une application analytique z t-> t. Le prime de f'(<) ne représente pas bien entendu une dérivée. Choisissons une base f(k)(Z) = z k , et considérons une transformation infinitésimale = z - 6cz1-j, pour j entier,

<

L'ensemble des générateurs { e j } fournit donc une représentation de l'algèbre de Lie des difféomorphismes du cercle unité, généralisant les expressions (73). Pourvu que X A' i = p p' p 1 = 0,p entier, l'intégrale

+ +

+ + +

(103a) est une forme bilinéaire invariante sur @ Fxr. De même si X p - p' 2X' p 1 = O , la forme contragradiente

+

+ +

+ A' + 1 = (103b)

est aussi invariante. Considérons maintenant le produit extérieur d'ordre n, Fxll. Montrons que le déterminant

An

An

définit une application Fxp 4 FnX-tn(n-l),nri.Pour le voir nous formons un vecteur à n-composantes fo(z), ..., f n - l ( z ) d'éléments de Fxp évalués en n points 20, ..., z n - l . Dans une application c* t , on a par hypothèse detf,!(<j) =

fi k=l

(%)'
(*) dtk

detfi(zj)

Si zi = z + c i , et si tous les ~i tendent vers zéro et sont du même ordre, nous avons

De même ti = dominants

+ ~i d
qui est la propriété requise.

IX.1.6

121

INVARIANCE CONFORME

La fonction constante appartient à Fo.0. I1 s'ensuit, en utilisant (103), que si

X = (n - 2)(n

+ i)/2n

p

= -1 - p/n

nous en déduisons que chaque fois que n fonctions l'intégrale y sur le cercle unité

y=

f

A 2inzp+n d e

I$[

fj

(104a)

appartiennent à FA,^,

t

(104b) Oik,j
fournit une quantité invariante. La définition (103a) avec p = O nous permet de conclure à l'existence d'un élément de AF-l-h.-i-r.

A

F-(n-i)fn+l)/an,p/n

An

FA,^ correspondant à l'invariant y. I1 suffit pour cela de le dual de substituer dans (104b) le développement

dk

+W

-f.(z)= dzk

q(q-l)...(q-Ic+l)zQ-k

dz'

q=-00

Par conséquent, si P désigne une permutation de n symboles, (-l)p signature de P, on trouve

xdet

:.

la

.: n-1

L'expression du dernier déterminant résulte de la formule de Vandermonde. Substituons qi -+ -qi, et rappelons que les vecteurs de base z j ont été notés Io).Nous aboutissons à la formule

122

INVARIANCE CONFORME

IX.1.6

où ( , est la forme bilinéaire (103a) pour p = O . Nous lisons sur ce développement que l’élément invariant correspondant vn, p , appartenant à

An ~ - ( n - ï ) ( n + 2 ) / 2 n , p / n i

est

r

+m

1

(ii) Dans la seconde étape, nous associons à FA+ un espace de Fock fermionique et une représentation correspondante de l’algèbre de Virasoro. A chaque entier i, positif ou négatif, nous faisons correspondre une paire ai,ut d’opérateurs obéissant aux relations d’anticommutation canoniques usuelles

= 6ij

{ai,.;}

L’état de référence IR) ou “vide” obéit par convention à

220

ai IR) = 0

i
ut IR) = O

ce qui veut dire que tous les états à une particule tels que i < O sont occupés, et tous ceux tels que i 2 O sont vides. Correspondant au choix (107) nous avons l’ordre de Wick naturel : :, où les opérateurs ai (i 2 O ) ou a l ( i < O ) sont à droite des ai(i < O ) ou a t ( i 2 O ) , en prenant en compte le signe de la permutation requise pour mettre un monôme donné dans cet ordre. Nous formons alors deux opérateurs quadratiques, une charge Q et un hamiltonien H , définis comme suit. Tout d’abord +m

: akak := E U L a k

Q= -m

k>O

-X

a k a L

k
annihile In) et commiitera avec la représentation de l’algèbre de Virasoro. Pour un secteur de charge Q = n, il est commode d’introduire un nouvel état de référence IR,n) (tel que IR,û) e IR)). Cet état est annihilé par les a;(i 2 n ) et les a t ( i < n ) . I1 correspond à l’occupation des états à une particule jusqu’à (n - 1). Si l’indice est vu comme une énergie, le hamiltonien H s’écrit

-00

k20

k
Naturellement, l’état à une particule d’indice k = O ne contribue pas à H , qui est un opérateur positif et obéit à

H IR, n ) = i n ( n - 1) IR, n )

(110)

IX.1.6

INVARIANCE CONFORME

123

expression valable pour n positif ou négatif. Observons que IR, O ) et IR, 1) ont la même énergie. Pour tout entier j différent de zéro, nous définissons des générateurs de l'algèbre de Virasoro, version quantique de (102), à savoir

L'ordre de Wick est ici sans effet, étant donné que k et k - j sont distincts. Dans le calcul des commutateurs nous utiliserons les identités

[ A B ,Cl = A {B,C } - { A ,C } B [ A B , C D ]= A { B , C } D - A C { B , D } + { A , C } D B - C { A , D } B

(112)

Les formules ci-dessus pour Q , H et Lj prennent une forme plus compacte si l'on introduit une paire de champs de Fermi

Alors

Si maintenant j , k et j j ,k , j

+ k sont tous différents de zéro

+ IC # 0

[ L j ,Lkl = ( j - b)Lj+k

Pour obtenir une expression de LO et de la charge centrale, on calcule pour j

# O le commutateur suivant

Nous arrivons ici à un point délicat, où il faut être soigneux. Une telle expression est singulière, et il est déconseillé de faire une translation sur les indices. Dans un sous-espace de charge fixée &, si l'on agit sur un vecteur

(115)

124

INVARIANCE CONFORME

IX.1.6

d’énergie finie, l’opérateur aiak - a i + j ak+j s’annule pour lk\ suffisamment grand. Par conséquent, telle qu’elle est écrite, l’expression précédente est bien définie. Supposant j positif, nous observons que

et donc

Avec

j-1

Cl=j k=O

j-1

j-1

k2 = i j ( j - 1)(2j - 1)

k = f j ( j- 1) k=O

k=O

nous définissons dans le secteur de charge Q = n

de telle sorte que

[Lj, L - j ] = 2jLo

+ h C j ( j 2 - 1)

c = - 2 [6A(A

+ 1) + 11

(117)

(118)

Manifestement l’équation (117) est aussi valable pour j négatif. Finalement, combinant les définitions (11) et (116), nous pouvons vérifier la dernière relation de commutation de l’algèbre de Virasoro.

[Lo,L j ] = -jL3

(119)

Ceci est un exemple typique de représentation, que nous notons 3 ~ , ~ dans ,,, le secteur de charge n, exhibant la charge centrale comme une anomalie quantique. Ici c est uniquement fonction de A et obéit à .(A)

= c(-1-

A)

L’adjoint de Lj (A, p ) pour X et p réels est tel que

(120)

IX.1.6

125

INVARIANCE CONFORME

La correspondance X + A‘ = -1 - A, p + p’ = p - 1 - 2X, qui laisse la charge centrale c et la partie c-nombre de Lo invariants, est identique à celle qui apparaît dans la définition de la forme contragrédiente (103b) pour p = O . Les représentations 3 ~ et +F - ~ - A + - ~ - zsont A donc contragrédientes. Incidemment, on observe que pour X = 1, qui correspond dans notre notation aux champs vectoriels (ou, de façon duale, quand A‘ = -1 - X = -2, à des différentielles quadratiques), la valeur de la charge centrale est c = -26. Ceci est la valeur cruciale dans la quantification de la corde bosonique, qui donne l’anomalie du système de fantômes de Fadeev-Popov requise pour imposer l’invariance par reparamétrisation (voir chapitre XI). Cette anomalie doit être compensée par la contribution des coordonnées bosoniques libres, qui ont chacune une charge centrale unité, et ceci conduit à la nécessité de plongement dans un espace de dimension 26 pour obtenir un modèle cohérent. Le choix de l’état de référence IR) et la définition correspondante des états de charge nulle n’avaient rien de nécessaire. L’opérateur de translation des indices définit une transformation canonique

qui engendre un isomorphisme entre les secteurs de charge nulle et de charge n. L’effet de cette translation sur l’ordre de Wick n’est cependant pas trivial. notées simplement En conséquence, les représentations et FA,~+,;O, FA,^+^, sont isomorphes. De fait la quantité p n’apparaissait qu’au travers de la combinaison p n dans (116), et la charge centrale est indépendante à la fois de p et n. On vérifie que

+

Lo IR, n)

=hn

Lj p , n ) =O

IR,n) j>O

Par conséquent FA,^;, admet IR, n ) comme vecteur de poids dominant h,. Illustrons cette construction sur l’exemple le plus simple, qui correspond Dans le secteur de charge nulle, pour tout j

àX =p =

-2.

c =1 Ce secteur implique deux types de fermions, de charge opposée et avec c = 1. On devine donc qu’il existe une théorie fermionique réelle (fermions de Majorana), possédant un seul type de fermions, qui sera étudiée ultérieurement Si 2 désigne dans ce chapitre, à laquelle est associée la charge centrale c = l’ensemble des entiers, et si l’on définit

i.

126

IX.1.6

INVARIANCE CONFORME

le champ @ est bivalué, mais les combinaisons bilinéaires sont bien définies sur le cercle unité. Posons

Dans cette expression, le symbole de Wick : : impose d’ordonner les ak, > O , à droite de ceux ayant k < O , en tenant compte des signes dus aux permutations. L’état de référence est annihilé par les opérateurs ak, k > O et

k

Lo =

Ck21/2

ka-kak est un opérateur positif. (iii) Nous prenons maintenant X égal à A0

=-

(n - l ) ( n 2n

+ 2)

où n est un entier plus grand ou égal à deux, afin de construire une fonction q ~ comme ~ , dans ~ (105) avec p = p / n . L’opérateur

est tel que

Par conséquent q5’k augmente la charge de nk, et obéit par construction à

ce qui veut dire qu’il engendre un vecteur singulier de l’espace N F A O , p = p l n + n en k i utilisant (122).Considéré comme élément de cet état peut être obtenu en faisant agir sur IR,-nk) l’opérateur la raison du prime ci-dessus) où

4J=

E

qjk

(c’était

IX.1.6

127

INVARIANCE CONFORME

et satisfait à

[ H , @ ] = k (1 - p - i n ( n + 1) - n 2 k ) 4k

[ O , d k ] = nk4k

(131b)

Posons

P PO = -

n

Comme H IR, -nk) = i n k ( n k de charge nulle

+ nk

(132)

+ 1) IR, -nk), le vecteur singulier dans l’état

obéit à &Is) = O

LO(X0, PO)

j>O

Is) =(ho

+ ek) Is)

(134)

L j ( X 0 , PO) Is) =O

avec xo et PO donnés par (127) et (132), et

e = 1 - p - in2(1+ k )

e et ho désignant

ho = i P O ( P 0 - 2x0 - 1)

Finalement la charge centrale c est donnée par (118), où l’on substitue A. Comme

(135) A0

à

L O ( x 0 , P o ) IR) = ho IR)

(136)

la construction de vecteurs singuliers a un sens (c’est-à-dire que Is) f O ) à condition que !k soit positif, soit p

< 1 - $2(k

+ 1)

(137)

Nous avons ainsi introduit trois entiers arbitraires n , p , k , de telle sorte que ek soit toujours entier. I1 en résulte que e est entier, sauf si n est impair et k pair, auquel cas est demi-entier. Afin d’écarter cette possibilité, nous supposons n pair. (iv) Revenons à la preuve de la formule de Kac. Considérons un module de Verma abstrait, de charge centrale c(X0) et de poids dominant ho, correspondant au vecteur Iho) . Utilisons la notation abrégée { L - j } pour désigner un produit ordonné d’opérateurs L - j . Au vecteur { L - j } Iho) nous faisons correspondre un des deux kets

{ L - j } Ibo) f { L - j ( X O , P O ) } {L-j) b o )

5 {L-j(-l-

IR)

X0,PO

- 1 - 2x011 IR)

D’après l’équation (121), le second ket est dual du bra (RI {Lf(Xo,po)},et ho est invariant dans la substitution correspondante.

128

INVARIANCE CONFORME

IX.1.6

Supposons que le module de Verma possède un vecteur singulier à un niveau inférieur ou égal à r. Si l’application f, qui préserve la suite des niveaux, est surjective, FA^,^,, possédera également un tel vecteur singulier. Si l’application n’est pas surjective, il doit exister dans le secteur de charge nulle un ket lu),dont l’énergie d’excitation est plus petite ou égale à r, et qui est orthogonal à l’image de f. I1 s’ensuit que (uI { L - j ( X o , P O ) } 10)= O pour tous les ensembles L - j tels que E j = r. Par conjugaison, on en conclut que lu) est ~o. si l’image par f ou un vecteur singulier pour F - ~ - x o , p o - ~ - 2Inversement, g admet un vecteur singulier à un niveau 5 r, on voit immédiatement que ceci doit également être le cas du module abstrait. Pour X et p arbitraires, considérons la quantité

Le produit bao(X, P ) ~ - ~ , - B ( X , p ) , symétrique en (Y, /3, est aussi invariant dans la correspondance X -+ - l - X , p 4 p- 1-2X. I1 est donc uniquement fonction de h (donné par l’équation (116) avec n = O ) , et c (donné par (118)). On trouve

+

+

= -(n - l ) ( n 2 ) / 2 n , p = PO = nk p/n, n pair, et donc entier, nous venons de voir que le déterminant de Kac de degré kE doit s’annuler. On vérifie que

Pour X =

A0

e = 1 - p - n 2 ( k + 1)/2

b-k,-e(Xo,po)

=0

En conséquence, le déterminant de niveau kl doit s’annuler sur un nombre infini de points de la courbe Bk,e(C,h) = O. Cette dernière est irréductible Par conséquent detkt(c,h) est divisible par Bk,e(c,IC) ou sa racine si k # lorsque IC = e, et Bk,k est un carré. 11 s’ensuit que det&(c, h ) admet ~ k , t ( ch,) comme facteur. Comme un vecteur singulier au niveau r engendre un zéro d’ordre p ( s - r ) au niveau s 2 r , la quantité

e.

divise det,(c,h)2. On vérifie que les deux expressions ont même degré en h. En conséquence, et à un facteur indépendant de h près

IX.1.6

129

INVARIANCE CONFORME

Finalement Bk,e est symétrique en k et e, et apparaît donc deux fois dans le produit (142) pour k # e, tandis que B k , k est un carré

+

De plus, en utilisant la paramétrisation c = 1 - 6 / m ( m l), on voit que

Bk,! = ( h - hk,!)(h - k k )

(143)

avec h k , ! donné par l’équation (97). Ceci permet de prendre la racine carrée dans (142) et produit la formule de Kac (96).

1.7 Représentations unitaires et minimales Achevons la discussion des conditions sur c et h requises pour qu’une représentation soit unitaire, c’est-à-dire telle que

L’3 = L-j

(144)

Supposons que le module (ou espace vectoriel) engendré par un poids dominant h soit un espace de Hilbert muni d’un produit scalaire qui donne la forme contragrédiente (79a). Deux situations peuvent se présenter : (i) soit cette forme est définie positive (ii) soit il existe des vecteurs singuliers, engendrant des sous-espaces invariants qui doivent être factorisés, l’espace quotient étant alors tel que la forme résiduelle soit à nouveau définie positive. Ces conditions sont aussi suffisantes. Nous avons déjà vu qu’une condition nécessaire d’unitarité est

Dans l’intervalle O < c < 1, Friedan, Qiu et Shenker ont montré que les seules valeurs compatibles avec l’unitarité sont telles que: (i) c a la forme (89) avec m entier, m 2 2 ( m = 2 correspond à c = O et à la représentation triviale) (ii) les poids h sont donnés par les zéros du déterminant de Kac, les deux entiers T et s prenant un nombre fini de valeurs 1 5 s 5 T 5 m - 1. En résumé

+

c =1- 6/m(m 1)

m entier 2 2

Si nous utilisons seulement la restriction 1 5 s 5 m, 1 5 T 5 m - 1, chaque poids hr,sapparaît deux fois, puisque hr3$ hm-r,m+l-s. Les représentations de ce type sont donc caractérisées par un entier m >. 3 et un ensemble fini de poids possibles, et donc un ensemble fini de

130

INVARIANCE CONFORME

IX.1.7

dimensions possibles pour les observables fondamentaies, ou primaires. Dans ce sens nous pouvons appeler les représentations correspondantes minimales. Les modules de Verma associés possèdent des vecteurs singuliers, c’est-à-dire des sous-espaces invariants. Pour la même valeur de e, il est ainsi possible d’introduire des champs appartenant à des représentations de poids h , , , où T et s sont extérieurs au domaine ci-dessus. Ceux-ci pourraient intervenir dans la construction d’autres types de modèles, qui ne seront pas envisagés ici. I1 est utile d’introduire un tableau des inclusions de sous-espaces invariants, tableau qui nous permet de comprendre le décompte des états linéairement indépendants qui subsistent à un niveau donné, une fois que les sous-espaces invariants ont été factorisés. Fixons une valeur de c satisfaisant aux inégalités (145). Feigin et Fuchs ont déterminé l’ensemble des inclusions entre modules de Verma, représenté sur la figure 3, résultant de la formule de Kac. Dans cette figure, une flèche pointe du plus grand espace vers un sous-espace. Les poids correspondants different par des produits d’entiers. De plus cinq sous-espaces tels que M , N ’ , N ” , P’, P” sont tels que M contient la somme (qui n’est pas une somme directe) N’ @ N ” , tandis que l’intersection N’ n N” est égale à la somme P’ @ P”. Pour obtenir la représentation irréductible dont le poids figure au sommet, avec r et s dans le domaine défini en (145), on doit factoriser la somme de ses deux premiers “descendants”. Nous verrons dans la prochaine section des applications de ces ensembles d’inclusions. Lorsque c est supérieur à 1, il n’y a pas de contrainte sur la charge centrale due à l’unitarité. Pour c = 1, il existe à nouveau une forme (plus simple) de réductibilité (et d’unitarité) chaque fois que h = an2 avec n entier. Comme nous ne prétendons pas donner ici une présentation exhaustive, nous nous limiterons pour l’essentiel à des valeurs de c dans le domaine c 5 1, conduisant aux exemples les plus simples. Ils incluent de nombreux modèles, possédant au plus des symétries discrètes pour c < 1. Dans le cas de la série minimale unitaire, nous illustrons les considérations qui précèdent en montrant sur la figure 4 les trois premiers exemples de grilles de poids conformes. Les attributions à des modèles concrets seront justifiées ultérieurement. I1 est intéressant d’observer que l’invariance conforme à elle seule prédit l’existence de systèmes avec un petit nombre d’exposants rationnels. Ce qui reste à trouver est la clé de correspondance dans des exemples spécifiques, ansi que la signification physique des observables. Les représentations minimales ne sont pas nécessairement unitaires, ainsi que le démontre l’exemple le plus simple présenté ci-dessous. Naturellement on peut admettre certaines pathologies, comme des corrélations croissantes, qui doivent recevoir une interprétation appropriée. Ces cas minimaux s’obtiennent en substituant dans la formule c = l - 6/m(m l)

+

IX.1.7

INVARIANCE CONFORME

[m- r , rn

131

+ i - SI

[2m- r , s]

[r

+ m ,m + 1 - SI

[3m- r , m + i - s]

[r

+ 2m, s]

[4m - r , s]

[r

+ 3m,m + I - SI

+ i - s]

[r

+ 4m, s]

[5m- r , m

Figure 3:Inclusions des modules de Verma [T’, s’] correspondant à une charge centrale c = 1- 6/m(m 1),m 2 3, et hr,,s,= [ ( ~ ’ ( m1)- ~ ’ m- ) ~ 1]/4m(m 1).

+

+

+

une valeur de m rationnelle. Par exemple si p et p’, p > p’ sont deux entiers positifs premiers entre eux, tels que m = - p’ m+l=- P (146a) P-p’ P- p ’ la valeur correspondante de c (qui n’est plus restreinte à être positive) est donnée par

c = l - 6(P - P’I2 (146b) Pp’ Les poids conformes des représentations minimales correspondantes prennent la forme

132

IX.1.7

INVARIANCE CONFORME

s=4

s=

s=2d 23

2

1

0

r=l 2 m=3

Ising

f

3

s=l

s=

r=l 2 m=4

3

5

5

r=l 2 3 m=5

4

Potts à 3 états

Ising tricritique

Figure 4: Grille des poids conformes pour les trois premiers exemples de représentations unitaires minimales. Pour p,p’ définis comme ci-dessus on peut trouver T O et SO dans le = 1. I1 s’ensuit que pour p - p’ 2 2, domaine indiqué tels que (rop il existera des poids négatifs dans la table. Le champ scalaire correspondant A h o , ~aura o des corrélations qui croissent avec la distance. Ceci était exclu dans un cas unitaire. La cohérence de ces modèles minimaux sera étudiée dans la section 3. Afin de montrer que ceci n’est pas une possibilité académique, considérons l’exemple suivant dû à Cardy, impliquant un champ scalaire unique, outre l’opérateur unité (et ses descendants comme le tenseur énergie-moment). En nous concentrant sur l’algèbre V, nous cherchons une grille à deux cases (prenant en compte la symétrie indiquée dans (147)). Avec la duplication, ceci veut dire quatre éléments dans les intervalles 1 5 T 5 p’ - 1, 1 5 s 5 p - 1 tels que p > p ‘ , et p et p‘ premiers entre eux. L a seule possibilité est une colonne unique ( r = 1, p’ = 2) de quatre poids ( p = 5, 1 5 s 5 4) égaux deux à deux. En conséquence nous avons deux poids indépendants, et les valeurs de h et c sont c = -22

h = O , -15

5

L’unique champ scalaire non trivial A- 1 - 1 a pour dimension 5 -

5

A quelle théorie des champs en interaction (au point critique) ceci pourrait-il correspondre? Le seul candidat semble être le modèle scalaire avec un terme d’interaction en i(p3 avec un couplage cubique imaginaire pur, qui coïncide avec le modèle continu effectif de la singularité de Lee et Yang. Dans cet

IX.1.7

133

INVARIANCE CONFORME

example, il n’y a pas de symétrie brisée au point critique, mais la longueur de corrélation diverge, et le modèle n’a aucune chance d’être unitaire. Désignons, comme de coutume, l’exposant critique de la corrélation à deux points par 17. I1 s’ensuit que dans ce cas bidimensionnel 17 = 2A = ce qui est bien une valeur négative (ainsi les corrélations croissent avec la distance!). L’exposant O relatif à la singularité de l’aimantation est tel que

-2,

m,

N

(150)

‘h

où h désigne ici la déviation par rapport au champ magnétique critique (externe). Les lois d’échelle impliquent que O=-

d-2+17 d+2-17

~

d=2

L - - 1

4-17

‘

(151)

en excellent accord avec les simulations numériques. I1 existe une relation entre cette partie singulière croissante de l’aimantation et le fait que, après soustraction, il reste au point critique une corrélation qui croît à grande distance.

1.8 Caractères de l’algèbre de Virasoro Pour les applications ultérieures, il est utile de connaître les caractères des représentations de l’algèbre de Virasoro. Dans une représentation caractérisée par c et par le poids dominant h, ces caractères sont des fonctions génératrices des nombres d’états linéairement indépendants au niveau n, et correspondant donc à une valeur propre h f n pour LO. A q fixé, q = exp 2inr inférieur à un en module ( I m r > O), le caractère apparaît comme la trace dans la représentation donnée de l’opérateur qLo. En d’autres termes, si dim(h + n ) est la dimension de l’espace au niveau n on définit 00

~ ( ~ (, Th) = )

Tr qL0-c/24-

dim(h + n)qn+h-c/24

q = exp 21x7

n=O

(152) On verra plus loin le rôle du facteur supplémentaire q-c/24 inclus dans cette définition. Pour des valeurs génériques de c et h, quand la représentation de poids dominant est telle que le module de Verma correspondant n’a pas de vecteur singulier, il est clair que

La forme factorisée de P ( q ) montre que la série qui définit x converge pour tout 141 < 1. Partant de l’équation (83), il n’est pas difficile de montrer que le terme dominant dans le développement asymptotique de p ( n ) , le nombre de partitions de R , est (Hardy-Ramanujan)

134

IX.1.8

INVARIANCE CONFORME

La situation est plus intéressante pour les représentations dégénérées, où le module de Verma contient des sous-espaces invariants. D’après le diagramme du type indiqué dans la figure 3, et partant d’une expression telle que celle donnée dans (153), on doit soustraire des termes analogues. A chacune des étapes intermédiaires, la somme des espaces invariants n’est pas directe. I1 en résulte que, pour r et s dans la grille conforme, la formule des caractères des représentations minimales obtenue par Rocha-Caridi s’écrit, avec X(c,h,,) E x T , S

Dans cette expression, comme dans (146), p et p’ sont des entiers premiers entre eux tels que p > p’, r varie entre 1 et p‘ - 1, s entre 1 et p - 1, avec une restriction supplémentaire, par exemple r p - sp’ > O, afin d’éviter un double comptage. La charge centrale vaut c = 1 - 6(p - ~ ‘ ) ~ / p pOn ’ . obtient les modèles minimaux unitaires pour p’ = m , p = m + 1, m entier 2 2. (i) Dans le cas minimal unitaire, la représentation irréductible correspondant à rn = 2 est trivia.le, de dimension 1. Posant x 1 dans la formule (155) on obtient l’identité (pentagonale) d’Euler

(156) n=-cc

1

(ii) I1 est possible de présenter l’expression (155) des caractères sous une forme plus compacte, qui nous sera utile par la suite, en introduisant la notation suivante. Soit N = 2pp’ un entier pair. Au lieu d’indexer le caractère par le couple r, s correspondant à hr,6 dans (147), utilisons un entier X T P - sp’ modulo N . Observons que si wo TOP sop‘ mod N , avec rop - sop’ = 1 (étant donné que p et p‘ sont premiers entre eux), nous avons 1 mod 2N et woX rp sp’ mod N . Finalement on substitue à P ( q ) la fonction de Dedekind

=

wi

+

+

n
q(,r) = q 1 / 2 4 ~ ( q ) = q 1 / 2 4

- qn)

1

où nous utilisons comme ci-dessus la notation q = exp 2ia7. La formule (155) peut alors être récrite

IX.1.8

135

INVARIANCE CONFORME

(158a) montrant que

Ces caractères peuvent être exprimés à l’aide de fonctions elliptiques. Dans l’appendice A nous rappelons quelques propriétés des séries 0 de Jacobi qui sont utiles dans ce contexte.

I1 existe d’autres formules non triviales pour les caractères, correspondant aux sous-espaces invariants irréductibles inclus dans les modules de Verma réductibles. On note aussi que pour c = 1 et h = aa2 (a entier), on a une chaîne linéaire d’inclusions qui conduit au caractère

2. Exemples Donnons maintenant quelques exemples élémentaires de champs conformes. Nous reprendrons la discussion générale dans la section 3.

2.1 Modèle gaussien L’exemple le plus simple, et celui qui est en un sens la pierre angulaire de nombre de réalisations explicites, est le modèle du champ neutre de masse nulle gaussien, ou libre. L’action correspondante s’écrit, avec p(x) réel

La normalisation est en accord avec notre définition du tenseur impulsionénergie. Avec un signe fixé par l’équation (57)’ ce dernier prend familière

La fonction à deux points fait intervenir une échelle arbitraire R I qui est un facteur de coupure infrarouge

136

INVARIANCE CONFORME

IX.2.1

Dans l’expression (161)’ on sous-entend une prescription d’ordre de Wick afin de donner un sens aux fonctions de corrélation de T , ainsi que nous le discutons ci-dessous. Le comportement logarithmique des corrélations du champ ‘p montre que ce dernier ne peut être pris comme un champ primaire orthodoxe (l’attribution éventuelle de poids conformes serait (0’0)). En revanche les dérivées de ‘p, ou certaines exponentielles en ‘p, sont candidats à être des observables. Les corrélations correspondantes auront un comportement en lois de puissances, et devront être telles que l’échelle arbitraire R disparaît, ainsi que nous l’avons vu au chapitre IV. Afin d’obtenir la charge centrale, nous calculons la fonction de corrélation ( T T ) , en omettant les auto-contractions du champ ‘p au même point. Ceci fournit l’expression attendue

et la quantité complexe conjuguée pour centrale est égale à l’unité c=l

( T T ) . Par

conséquent la charge

(164)

Ce résultat explique le choix de la normalisation de la fonction à deux points qui conduit à la définition de la charge centrale. La théorie du champ libre permet de comprendre comment l’anomalie calculée pour une transformation infinitésimale devient la dérivée schwarzienne dans le cas d’une transformation finie. La structure universelle implique que le calcul effectué pour c = 1 peut être généralisé en insérant n’importe quelle valeur de la charge centrale. La prescription de Wick peut être comprise comme une procédure de soustraction à courte distance, après une séparation des points correspondant aux arguments de T

expression à insérer dans une fonction de corrélation. Dans la formule ci-dessus, seule la singularité dominante à courte distance a une importance. Prétendons maintenant que dans ilne application conforme cp(z,Z) = (p(u,O). Dans le nouveau système de coordonnées, avec u = f ( z )

Nous avons ajouté et soustrait un terme de telle sorte que la partie entre (du/dz)2 dans la limite où les points coïncident, crochets s’identifie à

s(u)

IX.2.1

137

INVARIANCE CONFORME

tandis que le second terme correspond à l’anomalie. Posons zz=z,

21=2+6,

u12

--212

f’ + $ 6 f f ‘ + ~ 6 2 f f f ’ + . . .

L’anomalie s’écrit

en accord avec l’équation (50) pour c = 1.

En partant du champ cp, nous pouvons définir des familles variées d’opérateurs, et parmi elles les exponentielles (ordonnées de Wick) eiaq. La quantité a est analogue à une charge, étant donné que les fonctions de corrélation prennent la forme de poids de Boltzmann, impliquant des potentiels de Coulomb classiques (c’est-à-dire logarithmiques en dimension deux) entre paires de points. De telles corrélations n’ont de sens que si la charge totale s’annule, ainsi que nous allons bientôt l’expliquer. L’ordre de Wick implique l’omission des auto-contractions et l’on trouve

Si, au lieu d’utiliser la prescription de Wick, nous avions conservé les auto-contractions avec un facteur de coupure ultraviolet A = a-’, l’expression (a / R )* ;” , ce ci-dessus aurait été multipliée par un produit de facteurs qui montre que l’ordre de Wick revient à une renormalisation multiplicative (infinie) de eiap. Cependant ce facteur dépend aussi de l’échelle infrarouge R. Choisissant de normaliser les opérateurs à une valeur donnée Ro, nous pouvons étudier la dépendance résiduelle en R de la forme R-”/’, u = f f j ( Y k = ( C c ~ j )Ainsi ~ . les corrélations sont-elles indépendantes de R si et seulement si les charges satisfont à la condition de neutralité: C a j = O. Si cette condition est violée, les corrélations s’annulent à la limite R -+ CO. Cette discussion montre également que la dimension de eiap est $a2.

n

cja3+xjzk

En particulier

138

IX.2.1

INVARIANCE CONFORME

Ceci veut dire que e‘””, ou encore mieux les formes réelles cos acp et sin acp, ont les poids conformes

(i) Quand a: est entier, le caractère associé est donné par l’équation (159), et le module de Verma correspondant admet un vecteur singulier au niveau a+ 1. Ce niveau est 2, si a = 1,auquel cas h = h. = et la corrélation (166) se

a

1

réduit à C l 2 = ( ~ 1 2 2 1 2 ) - 2 . Ceci est en accord avec l’équation (87), où, pour = 1, h+ = h- = Vérifier que l’équation (95) est satisfaite, étant donné

4.

c

que

-c6 2

(21’2,212)

621

=

(-+ --7 c 2 ’* ;:

212

an.

(212,

E n )

(ii) Nous avons supposé que le champ ’p prend des valeurs réelles arbitraires. Cependant le lagrangien est invariant par une translation dans l’espace des champs ‘p --i ‘p cst et par une réflexion ’p + -‘p. Ces propriétés peuvent être utilisées pour restreindre l’espace des valeurs des champs à des configurations où les points ‘p et ’p 2xp sont identifiés ( p est une constante), ce qui implique que ‘p prend ses valeurs sur un cercle (de rayon p), comme c’était le cas pour le modèle XY. Rien n’est changé dans les corrélations entre opérateurs de vertex (les exponentielles), pourvu que nous supposions que les charges
+

+

in P =+i

(:

+ m p ) in

(=) 2 - 21

- +i

(:

- mp)

in

(-) E

- E2

2

- 21

(168)

L’existence d’un terme imaginaire entraîne que, dans la translation terme croisé dans l’action donne (in/p)[‘p(i) -‘p(2)]. Quand on calcule l’action classique correspondante et que l’on procède aux soustractions nécessaires, on trouve ‘p -+ ‘p+ ‘pci le

IX.2.1

139

INVARIANCE CONFORME

avec

En conséquence, l’opérateur de vertex généralisé On,m a un spin entier égal à nm. Le fait que le produit de la charge par la “vorticité” (ou charge magnétique) soit entier rappelle la propriété analogue déduite par Dirac pour le mouvement quantique d’une charge ponctuelle dans le champ magnétique d’un monopôle. Les poids conformes des opérateurs On,m dépendent d’un paramètre continu p. Ils apparaissent dans la discussion de plusieurs modèles à c = 1, qui possèdent une ligne continue d’exposants variables, comme le modèle d’Ashkin-Teller ou le modèle à “six vertex” (voir section 3.6). De la même façon on peut utiliser la symétrie

2.2 Modèle d’Ising Nous pouvons reformuler le modèle d’king critique présenté au chapitre

II dans le contexte de l’invariance conforme. Nous rappelons que l’action au point critique est effectivement celle d’un champ de Majorana libre. L’action et les fonctions de corrélation à deux points s’écrivent

($(a)$(z2)) = v

a 2

($(Zl)4(%))

= 1/z12

Les corrélations sont impaires dans l’échange 1 H 2, en raison de la statistique de Fermi, l’une est holomorphe, l’autre antiholomorphe. Le théorème de Noet her fournit l’expression du tenseur impulsion-énergie

avec une prescription d’ordre normal, de sorte que,

Les équations (171) et (173) sont compatibles avec le fait que $ a des poids O), et $ (O, Ainsi $ et $ ont-ils des spins demi-entiers, comme on s’y attendait. L’identité de Ward est en accord avec ces attributions, car il s’ensuit que

(i,

a).

140

INVARIANCE CONFORME

IX.2.2

La charge centrale est obtenue en calculant la corrélation

I1 est naturel de s’attendre à ce que le modèle soit construit à partir des représentations minimales (unitaires) de l’algèbre de Virasoro pour c = !j, c’est-à-dire m = 3. Nous avons vu que la table de Kac fournit les poids O, $, et nous pouvons identifier les observables de spin entier, en fait zéro, comme étant celles avec h = L, selon le schéma

hi

La densité d’énergie possède une interprétation simple en termes du champ de Majorana, tandis que le spin a a une expression non locale en L’exposant critique r] est donné par la relation fonction des champs r] = 2A, = comme on s’y attendait. La divergence logarithmique de l’intégrale sur la corrélation énergie-énergie ( E E ) implique que l’exposant de la chaleur spécifique s’annuie, a = O (à un logarithme près) et v = 1. Les autres exposants critiques sont donnés par l’analyse standard des lois d’échelle, comme étant ni = et /3 = En résumé, une fois que la valeur de la charge centrale c = est connue, l’hypothèse minimale donne les autres exposants, ainsi qu’un moyen de calculer les corrélations critiques. On ne gagne pas grand-chose dans le cas présent, où l’intégrabilité (et une longue histoire) nous a fourni les résultats depuis longtemps. Nous pouvons en revanche utiliser cette connaissance pour vérifier le formalisme. Mais la voie est maintenant oiiverte pour l’application du même raisonnement à d’autres cas, où l’on en sait beaucoup moins, et où la puissance de la théorie des champs conformes devient évidente.

a,

$,?p.

4

i.

sont les deux solutions h* des équations (87)-(90) Comme f et impliquant l’existence de vecteurs singuliers au niveau 2, les fonctions de

4’

IX.2.2

INVARIANCE CONFORME

141

corrélation correspondantes obéissent à des équations aux dérivées partielles du second ordre. D’après le chapitre II nous savons que

(E(

I

1) ‘. . 4 2 n ) ) = Pf -

(177)

:il2

Prenons comme exemple la fonction à quatre points. Avec

On vérifie que

1

1 212

213

214

Le cas de la fonction de corrélation à quatre spins est plus intéressant, car ce n’est pas le module carré d’une fonction analytique, mais une combinaison des solutions indépendantes de l’équation correspondante. Récrivons d’abord l’expression (178) pour n = 2, avec T : ~= zij Z i j , comme

1 212

213

214

La fonction de corrélation est réelle, symétrique et positive. D’après la condition de factorisation asymptotique

sa normalisation se déduit de celle de la fonction à 2 points, que nous prenons égale à (a(l)(r(2)) = f i / r : ; * . En utilisant l’invariance globale, et le birapport

142

IX.2.2

INVARIANCE CONFORME

x = -212234 214232

où x prend les valeurs O , 1, écrivons

00

quand

21

coïncide avec

22, 23

ou

24,

nous

Les puissances dans les préfacteurs sont en accord avec les poids (1/16,1/16) de u. L’équation prend la forme hypergéométrique

{

x(1 - .)

62

az

+ (4 - z) - + 1 le}

f =O

d z .

Une solution générale est une combinaison de Nous avons la même équation pour la dépendance en 2. En conséquence, avec a&& des constantes

Ignorant la constante multiplicative globale, il nous reste trois constantes à déterminer à l’aide de la symétrie (et de la réalité) de la solution dans tout échange ( z i , , ? i ) u ( z j , , ? j ) . On exige aussi l’invariance par monodromie de la solution, ce qui signifie que la fonction de corrélation soit univaluée. Ceci peut être vérifié en suivant un chemin qui entoure l’une des singularités, O , 1, 00. L’analyse de ces contraintes donne a++ = a--, a+- = a-+ = O . En rétablissant la normalisation, on trouve

Prenant le carré de cette expression, on constate qu’elle est en accord avec le résultat attendu (178).

2.3 Modèle de Potts à trois états Le modèle de Potts a été introduit au chapitre IV. Ici nous nous restreignons au modèle à trois états. Sur un réseau carré la fonction de partition s’écrit

IX.2.3

143

INVARIANCE CONFORME

Le “spin” O = ei’+’ prend comme valeurs les racines cubiques de l’unité, et l’exposant est tel que la contribution de spins voisins est bUu,. Le modèle admet une symétrie globale Z 3 , et obéit à une relation de dualité possédant pour point fixe

eBc=l+J3

(180)

Plus généralement, pour un modèle à Q-états eoc = 1 + J&. Le cas Q = 2 correspond au modèle d’Ising (à un changement d’échelle près pour ,O). Pour Q > 4, on sait que le modèle possède une transition du premier ordre, tandis que pour Q 5 4 la transition est continue. Baxter (1980) a obtenu deux exposants critiques dans le cas Q = 3 ( Y = l3

,O=’

9

(181)

à condition de supposer que le modèle de Potts à trois états est dans la même classe d’universalité que le modèle des hexagones durs, modèle dont il a obtenu la solution. Ce dernier est un modèle de gaz sur réseau, où les “molécules” de forme hexagonale ont leurs centres aux noeuds d’un réseau triangulaire. Les hexagones couvrant six triangles élémentaires ne peuvent pas se recouvrir. On calcule une fonction génératrice pour le nombre de telles configurations. Le problème admet une symétrie Z 3 , correspondant aux trois sous-réseaux sur lesquels le gaz peut se “cristalliser”. Comme le modèle des hexagones durs et le modèle de Potts à trois états admettent tous deux une symétrie Z3 et sont des modèles “ferromagnétiques” avec des interactions à courte portée, il est très vraisemblable qu’ils appartiennent à la même classe d’universalité.

Des lois d’échelle vd = 2 - (Y, et

p = i v ( d - 2 + q ) , il s’ensuit

que

+

Le champ réel 2 cos cp = a 0. devrait avoir pour poids conformes (&, &). De même, l’opérateur thermique (couplé à l’écart à la température critique), désigné comme ci-dessus par E , a pour dimension A, = $ ( d - (Y/.) = La théorie des champs conformes devrait donc contenir les champs scalaires

4.

Nous parcourons maintenant les tables de Kac donnant les représentations unitaires de l’algèbre de Virasoro (figure 4). On constate que pour

144

IX.2.3

INVARIANCE CONFORME

5,

on trouve les deux poids et où le second admet un vecteur singulier au niveau deux. La table contient bien plus de candidats comme poids conformes, et les attributions précédentes sont encore provisoires. Un traitement numérique utilisant la méthode de rubans esquissée dans la section 1.4, confirme la valeur c = Des arguments supplémentaires seront présentés dans la section 3.

2.

Vérifier la cohérence des attributions précédentes en utilisant la fonction à trois points

( E ( z ~ , ~ ~ ) c o s ( P ( z ~ , Z ~ ) C O S 2( 3P) () Z=~ cst ,

1 Z12hc Z13hc Z232hm-he

x (c.c)

(185)

qui devrait obéir à l’équation différentielle

[

2(2h3+

-

2,3

((21

ho - zk)2

1

-41

+ z1

- zk

(€(1)COS(P(2)cos(p(3))= o .

Ceci requiert que

condition satisfaite pour he = $, h, = dans le cas du modèle d’king).

& (de même que h,

=

i, h,

=

&

I1 s’avère que les poids conformes figurant dans la table de Kac pour m = 5 n’apparaissent pas tous dans le modèle de Potts. Ceci sera discuté

dans la section suivante, où l’on examinera des exigences de nature plus globale. Ainsi que nous le verrons, la table suivante fournit la correspondance entre les poids possibles et les champs scalaires primaires

IX.2.3

145

INVARIANCE CONFORME

Seules les rangées avec s = 1, 3 apparaissent dans le modèle. Nous donnons d’abord la liste des champs scalaires en incluant la dégénérescence (c’est-à-dire le nombre de tels champs primaires indépendants). Par exemple, on s’attend à ce que le champ de spin ait une dégénérescence égale à 2.

Ao,o A 5i ’ 52 AI 7 A:,:

ident it é énergie

A&&

champ de spin

I E

X Y (T

2

A 23 ’ 2 3

2 tels champs 2 tels champs

(187)

On doit ajouter à cette liste des champs de moment angulaire non nul (respectivement f 3 et f1)

ce qui engendre une grande diversité d’observables. I1 est possible de définir une extension du modèle de Potts à Q états à des valeurs continues de la variable Q entre O et 4. La charge centrale est donnée par la formule c = 1 - 6/m(m 1), où m et Q sont reliés par

+

a Q = 4 ~ 0 s ’m+l

(189)

Les cas m = 2, 3, 5 correspondent à la percolation (bien que c = O , on utilise une suite infinie de représentations non triviales), au modèle d’king et au modèle de Potts à trois états. Le cas Q = 4 apparaît comme le cas limite où m --+ 00, c -+ 1. Voir section 3.6.

8

Si l’on tient pour correcte la valeur c = dans le cas Q = 3, on peut, en suivant Dotsenko, calculer la fonction de corrélation de quatre opérateurs énergie E. Cette dernière doit satisfaire à un cas particulier de l’équation (95), à savoir

Posons

146

IX.2.3

INVARIANCE CONFORME

En substituant, nous obtenons à nouveau une équation hypergéométrique

[

x(1- x)-

a l

d2 + 3 2 2 - 1)-da: - & f(x,?i) = O 8x2

Rappelons que I'kquation hypergéométrique

[

- x)--d2 dx2

+ (y - (1 + a + B)x)-d

1

- aB f(x) = 0

dx

admet pour solution

f(x) = A F ( a , B ; y ; x )

+ B xlF7(1 - x)7-u-8

F(l

- a, 1 -

B; 2 - y; x)

où F est la série de Gauss

-

r(Y)

avec ia notation ( a ) , = r(a

+ n ) / r ( a ) = a ( a + i ) ...(a+ n - 1).

Ici (y = - 8 p = ..-I 5, y = 5' équation en 3 , on déduit que

-5. Du fait que f(x,z) obéit à la même

Nous voulons à nouveau trouver les constantes fonction de corrélation soit uniforme. Posons

uij

de telle façon que la

IX.2.3

147

INVARIANCE CONFORME

Dans un prolongement autour d’une boucle fermée évitant les singularités à 2 = O, 1, 00, le vecteur F est transformé linéairement par une matrice à coefficients constants. Ces matrices de monodromie sont indépendantes de déformations continues des chemins à condition d’éviter les singularités. Elles sont engendrées par deux boucles élémentaires entourant des points 5 = O et z = 1 (la boucle autour de 2 = 00 est équivalente à leur produit). Appelons go et g1 les actions respectives sur F . On a

Pour obtenir 91, il est commode de transformer F en un vecteur 3 équivalent, adapté à la recherche des solutions régulières et singulières à 2 = 1, c’est-à-dire

(

3=

F ( a ,p; a - .)7-a-W(1

+ p + 1 - y; 1-).

- a, 1 - p; 1 + y - a - p; 1 - 2)

)

(199)

De la représentation intégrale (195) on déduit que

Comme

il s’ensuit que

Les deux transformations (198) et (202) deviennent unitaires pour a, p, y réels et AA’ < O (ce qui est vérifié dans le cas présent) si l’on fait un changement d’échelle sur les composantes de F suivant

148

INVARIANCE CONFORME

IX.2.3

ce qui conduit à

I1 en résulte que la combinaison (Fil2- I F Z l 2 /AX’ est invariante sous l’action de go et gl, et par conséquent pour le groupe de monodromie complet. I1 s’ensuit qu’à un facteur multiplicatif près, l’expression finale pour la fonction de corrélation est

B)

Les deux coefficients sont positifs, puisque r(- et -I?( - f ) sont tous deux positifs. De plus l’expression complète est symétrique dans ses arguments. (i) Vérifier la symétrie de la fonction de corrélation dans une permutation des arguments. (ii) En appliquant la même procédure dans le cas de corrélations impliquant deux spins et deux énergies, déduire l’expression obtenue elle aussi par Dotsenko (cos (p(l)&(2)cos (p(3)€(4)) =

Bien que la méthode soit très puissante, on conçoit que les expressions explicites deviennent rapidement assez complexes. I1 existe aussi des représentations intégrales qui sont discutées dans la littérature. I1 est néanmoins réconfortant de voir de tels résultats émerger d’une approche aussi générale. Ils permettent de vérifier la cohérence de la théorie, en particulier sous la forme de celle des développements à courte distance. Plutôt que de poursuivre dans cette direction, ou de présenter d’autres modèles, nous nous tournons vers l’étude de ces conditions de cohérence, vues sous l’angle de l’invariance modulaire] en suivant les idées mises en avant par Cardy.

IX.3

149

INVARIANCE CONFORME

3. Invariance modulaire Dans cette section nous allons obtenir une classification des classes d’universalité des modèles minimaux en étudiant les contraintes imposées par l’invariance modulaire.

3.1 Fonction de partition sur un tore Dans la section 1.4, nous avons montré la relation entre la charge centrale et les effets de taille finie (déplacement Casimir de l’énergie libre) dans une bande périodique. Nous voulons revenir en détail sur ce point. Rappelons que la matrice de transfert par unité de longueur sur une bande périodique de largeur L s’écrit

( L+ ~ Eo -

kc>

où le facteur exp( i n c / L ) correspond précisément à l’effet mentionné cidessus. La normalisation est telle que l’énergie libre par unité de surface s’annule à la limite d’un volume infini. Dans un domaine rectangulaire de taille (L’Ad), en imposant des conditions périodiques sur les bords, la fonction de partition prend la forme

Les conditions aux limites périodiques entraînent que le domaine possède la topologie d’un tore, ce qui justifie le titre de cette section. Généralisons la construction en accompagnant la translation de “temps’’ M par une translation d’“espace” additionnelle (figure 5). Alors que dans le plan l’opérateur Lo + Eo engendre des dilatations, et i(L0 - E O ) des rotations, après transformation exponentielle ces combinaisons deviennent des générateurs des translations d’espace et de temps. Si nous imposons des conditions aux limites périodiques correspondant au parallélogramme de la figure 5b, la fonction de partition deviendra

où nous avons posé

w1 = L’

~2

q = exp 2im-

=N

+ iM q = exp -2inT

7

= Wâ/W1

(210)

150

INVARIANCE CONFORME

IX.3.1

N

L

L

Figure 5: ( a ) Un domaine rectangulaire périodique. (b) Un domaine périodique plus général; utilisant la notation complexe W I et w 2 sont les générateurs du réseau correspondant tels que lwll = L, 1.121 = dM2+N”.

Nous faisons la convention que ImT > O, de sorte que IqI < 1. L’intérêt de ce choix de conditions aux limites est de mettre en évidence l’indépendance des termes correspondants aux variables T et ;i (ou q et rj). Décomposons l’espace des états en représentations irréductibles du produit des algèbres (V, caractérisées par des poids dominants (h,h). A ces représentations seront associés des opérateurs primaires de même poids. Soit N h , le ~ nombre de fois où la représentation ( h ,h) apparaît dans cette décomposition. Si le nombre de représentations irréductibles distinctes est fini (ou dénombrable), nous pouvons utiliser la définition des caractères conformes donnés par les équations (152), (155), (158) pour écrire

v),

Les entiers IVh,&sont positifs. De plus l’unicité dé l’état fondamental, ou état du vide, invariant par les transformations globales (dans le plan le groupe SL(2,C), sur le tore, les translations), impose la normalisation &,O = 1. Comme nous utilisons des représentations “réelles”, x , , ~ ( ; i= ) X ~ ~ ( T ) . Dans un domaine rectangulaire, q = rj = e x p ( - 2 ~ M / L ) , considérons le cas où M I L -f 00, q -f O. Si nous supposons que tous les opérateurs primaires ont une dimension positive A = h h > O, nous retrouvons le comportement limite

+

ainsi que nous l’avions afErmé dans la section 1. Tout état tel que A, = h h n donnera lieu à une correction relative exponentiellemenmt petite, exp( -2nA,M/L). Le spectre de la matrice de transfert engendre ainsi

+ +

IX.3.1

151

INVARIANCE CONFORME

l’ensemble des dimensions conformes de la théorie, donné par les rapports de valeurs propres Xn/Xo = exp(-27rAn/L)

(213)

qui sont tels que ln(X,/Xo) se comporte en L-l. Cependant, si certains opérateurs ont une dimension négative, le comportement dominant (212) sera modifié, comme nous l’avions anticipé dans la section 1.4, et l’on trouvera

La succession des valeurs propres de la matrice de transfert sera déplacée de -Ainf X n / h = exp(-2r(An

- Ainf)/L)

(215)

Ceci montre que l’on doit être prudent dans l’interprétation des résultats numériques. Un exemple de ce phénomène est fourni par la singularité de Ainf = On prédit (et de fait on observe Lee et Yang, avec c = numériquement) que teff = f . Plus généralement dans un modèle minimal (équation (146) et (147)) caractérisé par une paire ( p , p ‘ ) , on a dans le cas le plus extrême

-?,

Ainf =

1-(P-P‘I2

2PP‘

-2.

Ceff

6

= 1 - -> O PP’ -

La fonction de partition dans un domaine périodique obéit à des contraintes de cohérence globale. D’après l’invariance euclidienne, l’espace et le temps jouent des rôles symétriques. Nous pouvons les échanger, de telle sorte que, dans un rectangle de taille L, M , la fonction de partition prend ~ Ni l’une ni l’autre de ces les formes équivalentes 2 = T r ( 7 ~=) Tr(7~)~. expressions n’exhibe explicitement cette symétrie, et on conçoit qu’imposer une telle invariance impose une limitation très forte dans le choix des coefficients du développement (211). En termes plus généraux, un tore peut être considéré comme le quotient du plan complexe par un réseau de translations A, engendré par deux périodes indépendantes w1 et w2. Un autre choix de périodes fondamentales w i et w i engendre le même réseau A, pourvu que la relation entre (w1,wz) et ( w i , w i ) soit linéaire à coefficients entiers dans les deux sens, c’est-àdire inversible et de déterminant un. Ces conditions préservent l’aire ainsi

152

INVARIANCE CONFORME

IX.3.1

que l’orientation d’une cellule fondamentale. Le groupe des transformations associées est le groupe modulaire SL(2, Z ) . De plus, l’invariance par rotation et par dilatation entraîne que seul le rapport des poids r = w2/w1 est la seule variable significative. Les transformations ci-dessus agissent sur r comme transformations homographiques avec des coefficients entiers et un déterminant un, les matrices f A étant identifiées. On donne parfois le nom de groupe modulaire à S L (2 ,2 )/ 2 2 (écrit aussi PSL ( 2 ;Z ) , groupe projectif linéaire sur les entiers), et la contrainte d’invariance des fonctions de partition (ou de covariance des fonctions de corrélations sur un tore) est appelée invariance modulaire.

3.2 Formule limite de Kronecker Revenons au modèle gaussien, afin de vérifier l’invariance modulaire dans un cas élémentaire. L’espace des états est l’espace de Fock du champ libre. Dans une version hamiltonienne, les modes propres correspondent à un moment quantifié p , prenant des valeurs qui sont des multiples entiers de 2.ir/L. Les modes de propagation vers la droite correspondent aux valeurs positives de p,, les modes de propagation vers la gauche à p , négatif. La condition de périodicité spatiale implique que ces modes sont associés à la propagation sur un cercle. Nous soustrayons le mode nul (correspondant à une valeur constante du champ), qui conduirait à un résultat infini, en effectuant une renormalisation multiplicative de la fonction de partition 2. Pour chaque mode bosonique, le nombre d’occupation prend des valeurs entières non négatives, et la charge centrale est c = 1. Nous nous attendons donc à ce que la fonction de partition soit un produit de facteurs statistiques de Bose de la forme

en accord avec l’équation (153) pour c = 1, h = O. Nous avons utilisé ici la définition (157) de la fonction de Dedekind ~ ( 7 ) . Une preuve directe de (217), susceptible de généralisations ultérieures, est connue depuis le travail de Kronecker dans les années 1880 dans le contexte de la théorie des nombres. La preuve consiste en une évaluation directe de l’intégrale de chemin et exhibe un facteur inattendu, qui fait défaut dans l’expression (217), et qui est essentiel pour l’invariance modulaire. C’est pour cela que nous n’avons écrit la forme (217) que comme une relation de proportionnalité. Appelons ICi les générateurs du réseau dual de A,

IX.3.2

INVARIANCE CONFORME

153

où A = Imw2Wl est l’aire du tore. Les valeurs propres du laplacien sont données par

En,,,, = ( 2 ~ ) ’Inllc’

+ nzk212

(219)

où les n1,2 sont entiers. La fonction propre normalisée correspondant au mode nul sur 7 = C/A est cpo = A - + . En omettant ce mode nul, l’intégrale fonctionnelle exprimant la fonction de partition est formellement égale à

Z1 =ID. Ai6 (Ld’xcpcpo)

=A$’ ,

exp (-$Ld’x(Vcp)’)

1

(220)

-

1 1 . 1 , ~ Ez1,nz ~

Le facteur A i est destiné à rendre le résultat final sans dimension. Dans l’équation (220), le produit sur les modes est divergent ultraviolet car les valeurs propres Enl ,n2 ne sont pas bornées. Le prime dans le produit indique l’omission de la contribution n1 = nz = O. La régularisation (et renormalisation) standard d’un tel produit infini utilise le procédé dit régularisation C. Cette terminologie a pour origine le prolongement analytique de la fonction C de Riemann utilisée dans l’étude de la distribution des nombres premiers. Introduisons la fonction analogue

absolument convergente’ et donc analytique, pour R e s > 1. Comme nous allons le voir ci-dessous, cette fonction possède un pôle à s = 1, mais admet un prolongement analytique jusqu’à s = O. En comparant les expressions (220) et (221), on définit la fonction de partition renormalisée 21 par la formule dG ds Désignons comme précédemment le rapport w2/w1 par r , et posons 4 = exp2ii-rr. Pour R e s > 1, nous insérons la définition de Eni,nzdans (221), ce qui donne l’expression

Zr = A* exp $-(O)

qui possède une propriété d’invariance modulaire explicite. Si nous subcwi, w2 = bwi awb, et donc r = stituons dans G(s), w1 = dwi

+

+

154

INVARIANCE CONFORME

+

IX.3.2

+

(UT' b)/(cr' d), a d - bc = 1, on voit immédiatement que G(s) est invariant. Par conséquent le prolongement analytique assure que cette propriété restera vraie pour 21. Revenant à (223), le premier terme fait intervenir la fonction C(s) = Cïm-', qui a un pôle simple de résidu unité à s = 1 et telle que 2C(O) = -1, 2C'(O) = -1n2n. Dans le second terme, la somme sur m donne une fonction périodique de nr, de période unité. Elle admet donc un développement en série de Fourier de la forme

dy e2inp(nRe~-y) [y2

&g:

+

dy e 2 i s p ( n R e ~ - y )

-

1 n2Im r 2 ]

1"

d t ts-ïe-t(y2+n2imT2)

d t ts-3/2e-[tnZ~rnr2+n2(p2/t)-2inpnReT ]

4)

Pour p = O, l'intégrale se réduit à î ( s - lnImr11-28. Nous isolons ce terme, sommons sur n # O, et utilisons l'équation fonctionnelle pour la fonction de Riemann

Changeant t en Iap/nImrI t , donne

IX.3.2

155

INVARIANCE CONFORME

2,

La dernière somme double est une fonction entière paire de s et le membre de droite est donc pair en s + 1- s, ce qui fournit le prolongement analytique requis de G(s). Comme pour 2 > O

et que C(2) = r 2 / 6 , on trouve au voisinage de s = O

Finalement

G(0) = -1 Remarquant que Jw1J /All2 = i/(Im 7 ) l I 2 , on trouve, d'après l'équation (222)' la valeur précise de la fonction de partition 21 2 1

1

=

(227)

( I m . > ' i 'I ( M3

qui dif€ère de (217) par le préfacteur (Im T ) - + . Ce facteur est essentiel pour assurer l'invariance modulaire, qui était en évidence tout au long du calcul. L'origine de ce facteur tient à la soustraction du mode nul. 1

On déduit de l'équation (227) que lq(~)1(Im T)4 est invariant modulaire. Pour être précis, l'action des deux générateurs T 4 T 1 et T 4 -7-l du groupe modulaire sur V ( T ) est donnée par

+

Dans une transformation générale T + 7' = (a7

=

~ ( 7 ' ) EA(CT

+ b)/(cT + d) nous avons donc

+ d )1

2~(7)

(229)

où E A est une racine vingt-quatrième de l'unité. La détermination de ces phases à partir de la théorie des nombres, qui n'est pas nécessaire ici, est due à Jordan et Dedekind.

Dans le cas du champ libre, la fonction à deux points peut être aisément calculée sur le tore. Elle doit satisfaire à

156

IX.3.2

INVARIANCE CONFORME

Le facteur 2~ additionnel dans le membre de droite est en accord avec la normalisation à courte distance (équation 162) tandis que le terme 1/A représente la soustraction du mode nul, rendant -A inversible dans le sous-espace orthogonal. I1 est entendu que la fonction S et la fonction de corrélation doivent être doublement périodiques. La solution de l’équation (230) est exprimée en termes d’une des fonctions û (appendice A), que nous normalisons selon

-00

où, comme précédemment, nous utilisons la notation q = exp(2ir.r) tandis que y = exp(2irz/wl), et, comme d’habitude, P(q) = nY(1- qn). On vérifie qu’on a

= exp (--2r

[

(Im ~ 1 2 / w 1 ) ~ Imr

2

(232)

est doublement périodique, symétrique dans I1 est aisé de montrer que l’échange 1 H 2, et que son comportement à courte distance est de la forme r 1 2

-

212212

(233)

I1 sera utile dans la suite de connaître les valeurs r12 quand z12 a des coordonnées rationnelles .dans la base w1, w2. Soit N , k et e des entiers. Alors

où Dk/N,e/N(T) =q

- &(Üe(N-e)/N2-1)

IX.3.2

157

INVARIANCE CONFORME

Par construction D k / N , e / N ( T ) s’annule quand k et e sont tous deux multiples de N . Vérifier que cette fonction possède les propriétés

Les fonctions D admettent une autre interprétation qui est la suivante. Revenons au calcul de la fonction de partition du champ libre, mais, au lieu de supposer le champ doublement périodique, exigeons que, après un cycle autour de w1 et w 2 , il soit multiplié par une phase (naturellement le champ est alors complexe). Plus précisément, pour X et 1-1 entiers, nous convenons we

Les modes propres correspondent à des valeurs propres de la forme

-

(n2

+

6)

k1 +

(n1

+ $) k2 =

{

(n1+

$)

w1+

(n2

+ 6)

w 2 )

(240) Nous n’avons pas à effectuer la soustraction du mode nul lorsque k ou 1 (ou les deux) sont différents d’un multiple de N . Finalement, au lieu de calculer la racine carrée du déterminant inverse, nous calculons simplement le déterminant. Définissant

nous trouvons en répétant les calculs précédents et après un prolongement analytique

Ainsi D k / N , e / N (T) apparaît-il comme un déterminant renormah6 sur des modes correspondant à des conditions aux limites du type (239). (i) Vérifier l’équation (242).

158

INVARIANCE CONFORME

IX.3.2

(ii) Dans le cas du champ libre, obtenir la valeur moyenne (constante) du tenseur impulsion-énergie sur un tore. En effectuant une déformation 6 x p = 6 ~ p ” x ” ,où 6c est une matrice infinitésimale, nous avons

(Tpy(x)) 8 ” z ” = ( T p v ( x ) )68‘” = ( T ( z ) )[ô€’’ où ( T ( z ) )=

- 6c22 + i(6ci2 + 6c21)] + C.C.

(T)est indépendant de z ,

Insérant l’expression (227) de Zi, nous obtenons

La dernière somme semi-convergente doit &re comprise comme une double limite, où l’on somme d’abord symétriquement sur p , et ensuite sur n.

3.3 Modèle d’Ising D’après l’expression (171) de l’action dans le cas d’un champ de Fermi libre, et prenant en compte la statistique antisymétrique, nous obtenons la fonction de partition sur un tore comme un produit de deux Pfaffiens sont les opérateurs de Cauchy-Riemann. Cette Pf(d)Pf(a), où d et quantité est également la racine carrée du déterminant du laplacien, soit (det - A ) l j 2 . Cependant, les conditions aux limites doivent être choisies de façon appropriée. D’après les résultats du chapitre II, les champs 1c, et $ doivent être antipériodiques le long d’un des générateurs w1, w2 au moins. Désignons par O ou les conditions périodiques ou antipériodiques, en accord avec les notations de la sous-section précédente. Nous venons d’obtenir la valeur de (det -A) comme 1 D k p ~ / ~ ( 7 avec ) 1 ~ ,k, = O, 1. D’après le chapitre II, il s’ensuit que nous avons

a

fr

Le terme ID0,oI s’annule, ce qui reflète la présence d’un mode nul. Ce résultat est en accord avec les calculs directs de Kaufmann, Ferdinand et Fisher. On remarque que partant d’un des termes non nuls dans (244), l’invariance modulaire requerrerait la présence des deux autres. De fait, d’après les équations (236) et (237) nous obtenons l’action des transformations T + T 1 et T --+ - 7 - l . Ces derniers engendrent des permutations sur les trois déterminants

+

IX.3.3

159

INVARIANCE CONFORME

2 5)

Ceci peut aussi être compris en suivant l’effet du changement de base (w1,w2) indiqué sur les conditions aux limites correspondantes. I1 en résulte que la combinaison (244) est invariante modulaire. Les diverses conditions aux limites qui apparaissent dans cette expression sont appelées “structures de spin”. Trois d’entre elles contribuent à la fonction de partition. I1 est maintenant possible de faire le lien avec le développement en caractères, conformément à l’équation (211). Les fonctions D i r c , +s’expriment naturellement comme des carrés. Définissant

O

O 00

d 2l 1o ( ~ )= qh n ( l

+ qn)

(247)

1

qui obéissent aux relations 1

d+,+(7-)dO,+(.)d+,O(‘) di,$(‘)

= qiû

+

(248)

= dO,+(r) 16di,o(.)

On reconnaît alors que les caractères prennent la forme des combinaisons

xc,h,

1

avec c = 5 et h = O,

$

ou

&,

(249a)

160

INVARIANCE CONFORME

- 2I

{

$(1

+$+a)

IX.3.3

p+t)}

- n(1CO O

+CO

=- 1

[(24k+5)*-1]/48

(Q

-

Q

[(24k+11)2-1]/48

1

(249b)

1 p(q)

+Oo

=-

[(24k-2)’-1]/48

(Q

- Q [(24k+10)z-1]/48

I;=-CO

(249c) Par conséquent on peut récrire la fonction de partition du modèle d’Ising comme forme sesquilinéaire dans les caractères correspondants

en accord avec la discussion générale. Cette formule met en évidence le contenu physique du modèle, avec trois opérateurs primaires, à savoir l’identité, la densité d’énergie et le spin. La déduction directe confirme la valeur c = $ de la charge centrale, ansi que les poids conformes (O, O), et &) respectivement. L’invariance modulaire est également claire, ainsi que nous l’avons vu ci-dessus.

(h,

(a, 2)

On peut aussi obtenir les diverses fonctions de corrélations sur le tore. Considérons d’abord 16:s champs fermioniques. Nous rappelons que dans le plan

avec l’expression complexe conjuguée pour les champs $. En supposant le champ S) de poids ( $ , O ) , il s’ensuit que sur un ruban périodique, obtenu par la transformation zplaii = exp(2ia/L)z,,ban, on a l’expression

IX.3.3

161

INVARIANCE CONFORME

-

Cette fonction est antisymétrique dans l'échange z1 2 2 , et antipériodique $(z + L) = - @ ( z ) (d'où l'indice $). I1 existe cependant une autre possibilité, impliquant un champ périodique @(z L) = @ ( z )(indice O ) , à savoir

+

Sur un tore, des corrélations analogues satisfaisant à a1 ($(Zi)@(tZ))

= 4 1 , 2)

(254)

sont distinguées par un double ensemble de conditions périodiques et antipériodiques, lesquelles interdisent l'existence de modes nuls. Les indices k , e prenant les valeurs O , 1 et k , e n'étant pas simultanément nuls, nous écrivons

Le premier indice i k se réfère au comportement dans la direction w2, le second au comportement dans la direction w1. En utilisant la function F ( z ) introduite en (231), et y = exp(2inz/wl), on peut vérifier que les expressions requises sont

Les facteurs de normalisation s'écrivent

162

INVARIANCE CONFORME

IX.3.3

On retrouve les expressions (252) et (253) dans la limite d’un ruban. Ces dernières sont appelées fonctions de corrélation avec conditions aux limites de Neveu-Schwarz et Ramond respectivement, dans le contexte de la théorie des cordes. On tire de l’équation (255) la fonction de corrélation énergieénergie sur un tore, somme pondérée de trois termes

Le prime dans la somme indique l’omission du secteur (0,O). Bien que ID0,ol s’annule, ce secteur périodique-pérodique peut donner des contributions à d’autres quantités. Nous verrons par exemple dans la section 3.8 que la valeur moyenne ( E ( z , Z)) est une constante non nulle, qui provient uniquement de ce secteur

De même ce secteur contribue aux corrélations spin-spin (Di Francesco, Saleur et Zuber). En utilisant les notations des fonctions 0 (appendice A) nous avons

de sorte que

et, à un facteur multiplicatif près,

u=2

avec

el(Z,T)

N

2-0

e;(o,T)z, e ; ( o , T ) = 2 n 9 ( ~ ) ~ .

L’expression (261) se comporte à courte distance comme on s’y attend. On peut aussi se convaincre que la fonction de corrélation est doublement

IX.3.3

163

INVARIANCE CONFORME

périodique. Le point remarquable est que cette fonction est une somme de

E

contributions provenant de quatre secteurs, sous la forme 2, (ou), / Z,, où, au numérateur, le secteur doublement périodique (v = 1) donne une = O. Chacune des quantités contribution non nulle, en dépit du fait que 2, partielles 2, (au),,relative à une structure de spin donnée, satisfait à une équation qui généralise sur un tore l’équation correspondante de Belavin, Zamolodchikov et Polyakov valable dans le plan et qui a été obtenue par Eguchi and Ooguri. Pour tout opérateur A associé à une représentation possédant un vecteur singulier au niveau 2, on a ainsi

c,

qui ont Ces équations font intervenir les fonctions de Weierstrass p et respectivement un pôle double et simple à l’origine, ainsi que la constante QI, ces quantités étant définies par les relations

Notons que C(z,T ) n’est pas doublement périodique et que la constante 01 a déjà fait son apparition dans l’équation (243). En utilisant les mêmes notations, la fonction de corrélation ( E ) donnée par l’équation (258) s’écrit

Les fonctions de corrélation d’ordre plus élevé sur un tore peuvent aussi être obtenues sous forme fermée.

3.4 La classification A-D-E des modèles minimaux Revenons à la discussion de la section 3.1, et en particulier à l’équation (211)’ où la fonction de partition est écrite comme une forme sesquilinéaire dans les caractères de l’algèbre de Virasoro, avec des coefficients entiers non négatifs. Une telle expression résulte d’une formulation hamiltonienne, ayant fait choix des axes de temps et d’espace. Cependant un tel choix

164

INVARIANCE CONFORME

IX.3.4

est en fait arbitraire. Dans une transformation modulaire, la fonction de partition doit être invariante, ce qui conduit à des contraintes sur le contenu opératoriel des modèles. Dans la sous-section précédente, nous avons montré par un calcul direct (équation (250)) un exemple typique impliquant une telle somme de trois termes. En un sens, la fonction de partition gaussienne (équation (227)) est aussi un cas limite de cette situation. Dans cette section, nous allons exposer les résultats obtenus en imposant la contrainte d’invariance modulaire dans le cas général, où la charge centrale prend la valeur rationnelle c = 1 - 6(p - ~ ’ ) ~ / p pavec ’ , le cas particulier mais important des modèles unitaires tels que p et p’ soient des entiers consécutifs. De façon remarquable, une classification complète peut être décrite en des termes reliés à la classification de Cartan-Killing des algèbres de Lie simples (de façon spécifique, une sous-famille appelée “simplement lacée”). Cette même classification A-D-E , où A désigne l’algèbre de Lie des groupes unitaires, D celle des groupes orthogonaux en dimension paire et E les trois algèbres de Lie exceptionnelles Ec, E7 et Es, apparaît dans des circonstances variées, en apparence sans relation. Un autre cas fameux est celui des sousgroupes finis du groupe des rotations tridimensionnelles (à une conjugaison près). Le fait que nous puissions obtenir une description complète de tous les modèles minimaux est, jusqu’à un certain point, tout à fait surprenant. I1 montre la puissance de l’invariance conforme appliquée aux modèles critiques bidimensionnels. Bien que toutes les implications de ce résultat n’aient pas encore été dégagées au moment où nous écrivons ces lignes, nous savons grâce aux travaux sur les modèles intégrables (Baxter, Andrews et Forrester, Pasquier) que l’on peut construire des modèles sur réseau qui correspondent à chacun des comportements critiques prédits. La relation avec les modèles intégrables n’est cependant pas encore claire. Quoi qu’il en soit, il est d’une certaine importance d’obtenir, même dans un domaine restreint, une description complète des classes d’universalité critiques. Afin de mener à bien le présent programme, nous devons décrire l’action du groupe modulaire sur les caractères de l’algèbre de Virasoro. Ce groupe est engendré par les deux transformations

T S

T-+T+1 T -+ -T-l

(265a)

qui satisfont aux relations

S2 = ( S T ) 3

(265b)

Dans la section 1.8, nous avons montré qu’on peut indexer les représentations par un entier X défini modulo N = 2pp‘. Les caractères sont alors donnés sous forme compacte par l’équation (158). Rappelons que dans une transformation modulaire, la fonction de Dedekind, qui apparaît dans les dénominateurs, se transforme comme indiqué en (228). En utilisant la formule de Poisson

IX.3.4

INVARIANCE CONFORME

165

(266) on trouve ainsi que

T

(267~)

L’action de la transformation T est diagonale, étant, à une phase près, la multiplication par exp(2i7rX2/2N), tandis que celle de S n’est autre que la transformée de Fourier finie sur les entiers modulo N. La transformation de ~ ,, , mais ~ l’égalité x x = X - X restaure la Fourier a un carré égal à G X , - ~ ~ , ~ N propriété S2 = I. On vérifie sans peine que les deux transformations (267) sont compatibles avec la propriété d’antisymétrie x x = - x w o ~Rappelons . que wo est donné par wo = rop+sop’ mod.N, avec T O , so tel que rop-s0p’ = 1, identité qui exprime que les entiers p et p’ sont premiers entre eux. Nous pourrions bien sûr utiliser les symétries de x x pour restreindre la somme du membre de droite de (267b). Ceci, cependant, masquerait la relation entre les caractères de l’algèbre de Virasoro et un ensemble de fonctions analogues qui apparaissent dans l’étude des représentations de l’algèbre de KacMoody Ai1), c’est-à-dire l’algèbre des courants SU(2) locaux. Une classe intéressante de représentations de poids dominants de l’algèbre de Lie infinie correspondante est caractérisée par une anomalie (analogue à la charge centrale), appelée dans ce contexte le niveau, qui est désignée par un entier k , prenant les valeurs 0’1,... . Ces représentations de dimension infinie peuvent être décomposées comme sommes des représentations usuelles de SU(2), celle de spin le plus petit étant non dégénérée, de dimension X = 2jmin 1. Nous donnons dans l’appendice C un bref survol de cette théorie. La raison pour introduire ici les caractères de Kac-Moody SU2 tient à la relation étroite avec les caractères de l’algèbre de Virasoro. On va voir qu’il existe un parallèle dans la recherche de fonctions de partition invariantes modulaires.

+

les caractères de l’algèbre A r ) (définis Nous désignerons par x”xff(~) dans l’appendice C) pour les distinguer des caractères de l’algèbre de Virasoro qu’on pourrait appeler caractères conformes. Pour une représentation de niveau k de Ai’), nous posons N = 2( k 2)’ qui est à nouveau un entier pair. Le caractère s’écrit

+

166

IX.3.4

INVARIANCE CONFORME

Remarquons la ressemblance avec le cas des caractères de Virasoro (équation (158)), et observons que xXff se prolonge en une fonction périodique impaire de X (de période N )

Dans le cas présent, le rôle de l’involution X + WOX est joué simplement par la symétrie X + -A. La similitude se poursuit lorsqu’on considère les propriétés de transformation modulaire, que l’on doit comparer à (267)

x;ff ( T + 1) = e2ix(X2/2N-i) xxa f f (7) Xiff(-l/T)

-1

=-

(270~)

e2ixXX’/N

aff XXt (7-1

(270b)

X‘EZINZ Ainsi que l’ont suggéré Gepner et Witten, on peut développer un programme analogue de classification des fonctions de partition de type (211) en termes des caractères affines au lieu des caractères conformes, en imposant des conditions analogues sur les coefficients, pourvu que la somme sur X porte i: = O . sur un domaine fondamental 1 5 A 5 frN - 1 puisque xgff = x Dans les deux cas, les solutions invariantes modulaires peuvent être trouvées en deux étapes. Dans la première étape commune, on recherche simplement des matrices N x N avec des éléments arbitraires (appelons-les N ) ,qui commutent avec les deux matrices

où X et A‘, ainsi que les indices de N , portent sur les entiers modulo N . On trouve que de telles matrices N peuvent être écrites comme des combinaisons d’un ensemble linéairement indépendant défini comme suit. Soit S un diviseur positif quelconque de a N , unité incluse, et a le plus grand commun diviseur de S et 8 = N/26, noté a = (S,8).Manifestement a2 est un diviseur de SN. Définissons la matrice N x N (Ra)x,x, de sorte que celle-ci ait des éléments de matrice nuls à moins que a ne divise à la fois X et A’, auquel cas ( R ~ ) A= ,~J

SX’,wX+CN/a

(272)

cES/aS

L’entier w mod N/a2 est obtenu comme suit. Comme S/a et $/a sont premiers entre eux, on peut trouver des entiers p et a tels que p S / a - a S / a = 1, alors w = $ / a + aS/a (mod N / a 2 ) .On note que w2 = 1 (mod 2 N /a 2 ) , en accord avec le fait que dans la définition (272) X‘/a = wX/a (mod N/cr2).

IX.3.4

INVARIANCE CONFORME

167

On vérifie que 0 6 commute à la fois avec T et S. On peut encore montrer, comme l’ont fait Gepner et Qiu, que inversement toute matrice N possédant cette propriété est une combinaison linéaire des matrices 0 6 et que ces dernières sont linéairement indépendantes. On remarque que si S = $ N , B = 1, Q = I, w = 1, et =I. La partie difficile est de trouver la superposition correcte des 0 6 telle X : ( T ) ( Y ~ ~ ~ ) A X( T~)X, Aqui I est invariante modulaire, se que l’expression réduise, quand elle est sommée sur les caractères fondamentaux (conformes ou affines), à une combinaison à coefficients non négatifs entiers. La normalisation dans le cas affine requiert que le coefficient de xTaff(~)xYff(~) soit l’unité. Dans le cas conforme, le coefficient de l’état fondamental analogue, correspondant à h = h = O, doit aussi être égal à l’unité. En utilisant la ,~ notation A, ceci correspond à un coefficient unité pour xi-,,( ~ ) x , - (T). La difficulté provient de I’antisymétrie des caractères dans les involutions X + w O X ou X + -A respectivement. Décrivons d’abord la solution pour les fonctions de partition affines, où nous écrivons la combinaison requise sous la forme

4

Le coefficient prend en compte l’antisymétrie X - X = - X X qui entraîne que chaque produit X ; X X , est compté deux fois. On démontre que deux séries infinies et trois solutions exceptionnelles remplissent tous les critères. Pour être concis, nous écrivons la solution c y 6 s / 6 apparaissant dans (273) en posant n = N/2, et nous rappelons que 0, agit comme la matrice unité

Quand n est impair, la solution est unique. Quand n est pair, il existe en général deux solutions distinctes, et trois quand n = 12, 18 ou 30. La signification de ce résultat apparaît de façon plus claire quand ces combinaisons invariantes (273)-(274) sont explicitées dans la table I. On peut alors faire le lien avec la classification A-D-E des algèbres de Lie simplement lacées (appendice C), en remarquant que les éléments diagonaux (O, 1 ou 2) dans la matrice (274), ainsi que le montre la table, sont reliés aux degrés des polynômes invariants fondamentaux de Casimir de l’algèbre de Lie correspondante. L’algèbre enveloppante d’une algèbre de Lie simple admet un sous-ensemble de polynômes invariants. Ces derniers peuvent, à leur tour, être écrits comme des polynômes dans un ensemble de T d’entre eux, T étant le rang de l’algèbre de Lie. Si l’on soustrait

168

3

x

m

t-

-

+ x

m -

+ x + s + x + N <

m -

-

Y V

u3

n

xm

V

+ x x + x * < + x + N x +

x

u3

n

-

INVARIANCE CONFORME

r3

4

N

s

t

s

+d

@a

Q

$AI II

r

IX.3.4

IX.3.4

INVARIANCE CONFORME

169

1 au degré de ces polynômes invariants fondamentaux (le premier est toujours quadratique), les éléments diagonaux ci-dessus indiquent combien de polynômes de ce degré se trouvent dans cet ensemble. Par exemple, dans le cas de l’algèbre de Lie Es, nous trouvons dans la table que les invariants de Casimir ont des degrés 2, 8, 12, 14, 18, 20, 24 et 30. Ces degrés sont parfois appelés nombres de Coxeter. Ceci fournit la correspondance entre fonctions de partition et algèbres de Lie. Son origine n’est pas encore entièrement comprise. I1 semblerait que nous ayons emprunté une voie buissonnière en classant ces invariants affines, s’il ne se révélait que la solution du problème conforme est simplement reliée au précédent. En effet, rappelons que dans ce cas N = 2pp’. Revenant alors à la notation originelle des poids conformes et au prix d’un doublement de l’espace des valeurs, il s’avère que nous pouvons considérer les caractères conformes comme portant une paire d’indices correspondant à un espace tensoriel de dimension 2p’ x 2p. Les éléments du commutant de T et S peuvent aussi être considérés comme des produits R p @ 0 6 et les fonctions de partition correspondantes sont données par une paire de combinaisons choisies parmi celles qui apparaissent dans l’équation (274). Le rôle de n est joué successivement par p’ et p . Comme p et p’ sont premiers entre eux, l’un d’entre eux est nécessairement impair, l’invariant correspondant étant alors du type A. NOUSobtenons ainsi le principal résultat de cette section, qui est une classification des fonctions de partition conformes en deux séries infinies et trois sous-séries exceptionnelles de modèles minimaux, compatibles avec les exigences d’invariance conforme et d’invariance modulaire. Les fonctions de partition sont énumérées dans la table II, où l’on suppose, pour fixer les idées, que p est impair. Dans le cas particulier unitaire, si m est impair on fera la correspondance p + m, p’ = m + 1 et si m est pair, p + m + 1, p’ = m. Nous trouvons alors deux séries infinies et trois paires de modèles exceptionnels. Le facteur $ apparaissant dans la table II reflète la symétrie xT+ = xp~-r,p-s, quand nous revenons à l’indexation en termes d’entiers r , s (A = r p - sp’) que nous avons utilisée dans la table, où chaque invariant est désigné par une paire d’algèbres de Lie. L’analyse détaillée de chacun des modèles apparaissant dans la table sort du cadre de notre discussion. Nous nous contenterons de quelques remarques. Concentrons d’abord notre attention sur le cas unitaire. Dans la série ( A - A ) , le premier candidat correspond à m = 3, p = 3, p’ = 4, et donc dans la présente notation ( A 3 ,A 2 ) . Ceci n’est évidemment rien d’autre que le modèle d’king. En général dans cette série A-A (appelée série principale), la fonction de partition s’écrit simplement

qui décrit une généralisation du modèle d’Ising, avec un seul opérateur sca-

170

3 - +

x U

-?

rrr, a -

")

m

4.

t-

4

P)

x + x + x +

s

+

?

O)

?

O)

x + x 4

+4 x

3 1N

4

+ x v 'MI; a 4 2

II

m

3 1N

II

O

a '

I

"

4

6 V

a '

II

a '

I

3

n

y"

V

h 3

4

m

INVARIANCE CONFORME

h

3

I

h 3

3

4 P

I

N

4 +,

s

V

6 V

IX.3.4

IX.3.4

171

INVARIANCE CONFORME

laire Ah,h pour chaque valeur distincte dans la table de Kac. En particulier, le modèle correspondant à m = 4, c = est le modèle d’king tricritique. En générai, la série unitaire A-A décrit l’ensemble de modèles scalaires multicritiques, de degré de plus en plus élevé (appendice A, chapitre V), avec un lagrangien effectif de la forme

Le cas k = 2 est à nouveau le modèle d’king ( m = 3), et une valeur de k générale correspond à la valeur m = k 1 . La charge centrale c = 1 - 6/( k 1)( k 2) tend vers celle du champ bosonique libre (c = 1), lorsque k 00, en accord avec l’intuition. D’après Zamolodchikov, le ,champ primaire de poids h = = h2,2 = ;(k + l ) ( k 2) ( k _> 2) correspond au champ cp. Les puissances plus élevées : pn : ont des poids h = I;. = hn+1,2+1 = [(n 1)2- 1 ] / 4 ( k+ l ) ( k 2) pour n = 1 , 2, ..., k - 1 , et h = h = hn-k+2,n-k+l = [(n+ 3)2 - 1]/4(k l ) ( k 2) pour n = k , . . ., 2k - 2. Le champ : p2”l : s’obtient comme un descendant de cp sous la forme a& en raison des équations de mouvement. Ainsi que nous le montrerons dans la section suivante, tous ces modèles sont naturellement associés à la brisure spontanée d’une symétrie 2 2 . Quand m = 5 et c = $, on trouve deux possibilités. Dans le modèle multicritique de la série principale, tous les opérateurs primaires sont scalaires, tandis qu’une deuxième possibilité relève de la série (A, O) (appelons-la série complémentaire), à savoir p = 5, p’ = 6, et donc (A4,O4). En utilisant la ~ ,la notation Xh,, , la fonction de partition correspondante notation x ~ ,puis s’écrit

+

+

+

+

+

+

+

+

Si comme on l’a vu plus haut le modèle de Potts à trois états correspond $ de la charge centrale, il y a plusieurs façons de s’assurer que (276) est la version correcte. On peut par exemple exiger la présence de deux correspondant aux deux opérateurs de “spin” opérateurs de poids sin cp et cos p. Un autre argument, que l’on décrira dans la prochaine section, montre que seule l’équation (276) correspond à la brisure d’une symétrie Z3, comme cela doit être le cas. I1 existe aussi une preuve “microscopique” quasi directe, utilisant une description en termes d’un gaz de Coulomb, qui est en accord avec le choix précédent, description que nous discuterons dans la section 3.6. Nous supposons donc que la fonction de partition (276) décrit correctement le contenu du modèle de Potts à 3 états et nous notons l’existence d’opérateurs de moment angulaire f3, f l . A l’exception de la série principale A-A, on trouve toujours de tels champs tensoriels.

à la valeur

&, &,

172

IX.3.4

INVARIANCE C O N F O R M E

Huse a observé que la série principale A-A était réalisée au point critique des modèles SOS de Andrews, Baxter et Forrester. Pasquier a généralisé leur construction de façon à inclure tous les autres cas unitaires figurant dans la table II. Naturellement le modèle ip3, ou singularité de Lee et Yang (section et la fonction 1.7), apparaît dans la table. La charge centrale est c = de partition est dans la série ( A ,A )

-y

(-44,Al

1

= lXh=Ol

2

+ IXh=-$

l2

(277)

La preuve des résultats de cette section, accompagnée de nombreux commentaires, figure dans les travaux cités en référence dans les notes.

3.5 Frustrations et symétries discrètes Supposons que l’une des théories décrites ci-dessus soit la limite critique d’un modèle sur réseau, avec des interactions entre plus proches voisins portant sur des variables discrètes ai,j prenant un nombre fini de valeurs. Supposons de plus qu’un groupe fini G opère globalement sur ces variables de telle sorte que l’action soit invariante. Quand le réseau est restreint à un domaine fini de taille L , M , au lieu de considérer des conditions aux l , a1,j j ou bien o i , ~ + = 1 a i , l , comme cela était limites périodiques ( ~ ~ + = implicite jusqu’à présent, nous pouvons introduire des conditions aux limites frustrées sous la forme a ~ + l , = j g l a l , j , a i , ~ + 1= g * a i , l , où g 1 , 9 2 E G . La cohérence de ces conditions implique que les éléments g1 et 9 2 commutent. En prenant ia limite continue, nous avons donc des fonctions de partition 5 ustrées Z,, , g 2 , qui sont maintenant covariantes par le groupe modulaire. Pour fixer les idées, cherchons dans quelles circonstances G est un groupe cyclique G 2 / k 2 , les variables discrètes ui,j donnant naissance à un des champs primaires de poids conforme ( h , h ) . Faisons agir le groupe 2 l k 2 par des phases (correspondant aux représentations unidimensionnelles), de telle sorte que le champ correspondant uh,h obéisse à la condition

où n1 et

722

sont des ent,iers. D’après la définition de h et

h., nous avons

+

u h , ~ ( z nlwl) = exp [2ir(h - h)nl]u h , h ( z )

(279)

ce qui veut dire que k l / k h - h. mod 1. Prenant kl et k premiers entre eux, et utilisant les valeurs de h et h. dans la table de Kac d’un modèle minimal, nous en concluons que k doit diviser 4pp’ ou 4m(m 1) si nous nous restreignons à des modèles unitaires. Nous obtenons ansi une condition nécessaire pour que 2lk.2 puisse être considéré comme groupe de symétrie.

+

IX.3.5

173

INVARIANCE CONFORME

Désignons par Z k l , k 2 la fonction de partition correspondant aux conditions aux limites (278). Elle n’est invariante que pour un sous-groupe du groupe modulaire qui respecte ces conditions. Considérons en particulier Zk,,o. Si nous posons T’ = (a7 b)/(c.r d ) , on voit que l’invariance de Zkl ,O requiert a = d = f l mod k et b = O mod k , pourvu que nous supposions kl et k premiers entre eux, et une condition de réalité Zk1,0 = Z-~,,O.Ceci définit un sous-groupe, appelons-le r o ( k ) ,du groupe modulaire complet r. La condition aux limites frustrée dans la direction w1 ne nous empêche pas de considérer Zk,,o comme la trace de la matrice de transfert dans un certain sous-espace des états, qui peut être décomposé en parties irréductibles pour la paire d’algèbres de Virasoro. Par conséquent, nous devons aussi trouver des entiers non négatifs Nh,h tels que

+

+

Cette expression doit être invariante sous l’action de r 0 ( k ) . Admettant qu’il en soit ainsi, si nous effectuons une transformation conforme arbitraire y E r sur l’argument de T (et 7 ) ’ on engendre à partir de Zk,,o une fonction Z ~ , , O ( invariante ~T) pour le groupe conjugué yr0(k)y-l. Le nombre de telles y’ si fonctions est égal au nombre de classes d’équivalence (à droite), y y‘-ly E r o ( k ) , lui-même égal à

-

dk

= $k2

II

(1-f)

p premier

Le symbole p I k signifie que p divise k. Chacune des fonctions ci-dessus est invariante par r(k ) , le plus grand sous-groupe commun à tous les y r o(k)y-l. Ce groupe, appelé sous-groupe principal de congruence (de niveau k ) , est un sous-groupe invariant de I?. Le quotient fini r/r(k)est le groupe modulaire sur les entiers modulo k. Les fonctions Z k 1 , 0 ( Y ~ ) au nombre de d k correspondent en fait a d’autres conditions aux limites z k ; ,k; = 2 - k ; , - k ; . Chacune d’entre elles est invariante à gauche par un groupe yr0(k)y-’/r(k) isomorphe à S / k Z , le groupe de symétrie cyclique. Ces autres fonctions de partition sont à nouveau des formes sesquilinéaires du type (280)’ où les coefficients ne sont cependant plus restreints à être des entiers positifs. Naturellement, dans cette notation, Zo,o est la fonction de partition non frustrée décrite dans la section précédente. L’indice de r(k)dans I?, ou l’ordre de I’/l?(k), est kdk. A titre de vérification, appliquons ces considérations successivement au modèle d’king et au modèle de Potts à trois états, m = 3 et 5 dans la série unitaire. Quand k 5 4, le groupe î o ( k ) est engendré par les transformations T -t T k et T + T / T 1. Dans le cas du modèle d’Ising, nous nous

+

+

174

IX.3.5

INVARIANCE CONFORME

attendons à un groupe de symétrie S / 2 2 , soit k = 2. Utilisant la notation x h pour les caractères, la forme la plus générale de la fonction de partition frustrée &,O est

La première parenthèse est 20,~’ la fonction de partition non frustrée, tandis que dans le second terme les combinaisons ~ 2 x et 0 ~ 0 x correspondent 4 à des opérateurs fermioniques primaires. La transformation T + -7-l engendre Z O ,sous ~ la forme

Dans la limite d’un ruban, les termes dominants de ZOJ et &,O doivent être identiques, étant donné que le renversement de spins très éloignés ne devrait pas affecter le comportement aymptotique dominant. Ceci implique N I N2 = 1. Si de plus nous supposons que N2 # O, pour obtenir une fonction &,O non triviale, nous voyons que l’on doit avoir Ni = O, N2 = 1.

+

MIL

Comme conséquence, posant T = iM/L, si nous prenons la limite -+ 00, nous nous attendons à ce que ~l,O/ZO,O= exP(-Mf)

(284)

où f est l’énergie libre d’interface par unité de longueur. Dans un modèle auto-dual tel que le modèle d’Ising, la dualité relie cette énergie d’interface au comportement de la fonction de corrélation spin-spin au point critique et donne pour un système fini de largeur L = luil,f = rq/L. Comparant aux expressions ci-dessus, on aboutit au résultat bien connu q =

4.

Nous pouvons appliquer le même argument au modèle de Potts à trois états ( A 4 , 0 4 ) avec m = 5 (voir l’équation (276)). On vérifie que

Z1,O = z2,o = (xo + x3)*

xzj + (xo + x 3 ) x;

est invariant par î 0 ( 3 ) , en accord avec l’existence d’une symétrie 2 / 3 2 de ce modèle. Cette fonction montre aussi l’existence d’un “pseudo-fermion” de spin dans ce modèle. Le rapport 21,0/20,0 dans la limite d’un ruban D’autre part, le calcul permet de confirmer la valeur de l’exposant 7) = de 2 0 , 1 donne le comportement des opérateurs primaires relativement au groupe de symétrie discret. Par exemple dans le cas du modèle de Potts

.i

&.

IX.3.5

175

INVARIANCE CONFORME

2

(285b) Dans le cas générique de la série principale de modèles ( A ,A ) , on trouve une généralisation de l’expression (282) n-1

m

r=l s = l

qui est aussi invariante par r0(2), ce qui indique une symétrie 2 / 2 2 du modèle restreint SOS, ou modèle multicritique. L’opérateur ayant la dimension la plus faible dans (286) donne l’énergie libre d’interface

+ + + + +

Lf =2a min(hr,,

hr,m+i-s)

( m - i)(m 3) =a 4m(m 1) ( m - 2)(m 2) =a 4m(m 1)

m impair

m pair

La relation Lf = a 7 semble rester valable jusqu’à m = 4, où elle est en accord du modèle tricritique. avec la valeur 1) =

&

On peut montrer de même que les deux modèles unitaires exceptionnels tels que m = 11 ou m = 12, correspondant à l’algèbre de Lie E6, ont aussi une symétrie 2 / 2 2 . Par exemple pour m = 11

a

En comparant avec 20.0, on peut distinguer grâce à cette expression quels sont les opérateurs qui sont pairs ou impairs sous l’action du groupe 2 / 2 2 . Le lecteur est invité à montrer qu’aucun des modèles minimaux n’admet de symétrie continue, en observant qu’ils ne contiennent pas d’opérateurs de dimension (1, O) et (O, 1) comme candidats pour les courants (Friedan, Qiu et Shenker).

3.6 Modèles non minimaux Nous avons développé ci-dessus l’étude des cas où les opérateurs primaires sont en nombre fini, et où la charge centrale est un nombre rationnel inférieur à l’unité, les poids conformes appartenant à une table Kac finie.

176

IX.3.6

INVARIANCE CONFORME

I1 existe néanmoins une variété de théories qui violent une ou plusieurs des conditions ci-dessus. Nous en décrivons maintenant quelques exemples. Dans la section 2.1, en discutant le modèle gaussien, nous avons observé qu’au lieu de considérer un champ cp prenant des valeurs réelles arbitraires, nous pouvions le considérer comme une variable angulaire en identifiant cp et cp 2np. Ceci nous a conduit à définir (équations (169) et (170)) des opérateurs mixtes On,nl(z,Z ) de poids conformes hn,m = a(n/p pm)2, hn,m = hn,--,’ où n et m sont des entiers relatifs donnant l’intensité de charges “électriques” et “magnétiques” situées en un point de coordonnées ( z ,Z ) . Considérons maintenant un tel modèle dans la géométrie d’un tore. Comme cp est une variable angulaire, son graphe peut s’enrouler plusieurs fois autour du cercle unité, quand on décrit un chemin non contractible sur un tore. Ces champs sont tels que

+

+

cp(z + kwl

+ k’w2) - cp(z) = 27rp(km + k’m’)

(289)

où la variable Z est omise. Considérons l’intégrale de chemin dans un tel secteur. Les champs obéissant à la condition (289) peuvent être écrits comme une superposition cp = pper+ cpciaSs d’un champ fluctuant périodique Vper et une solution particulière de (289)’ cpclass, linéaire en z , Z , et donc harmonique

L’action est Sp,iriodique + r p 2 Imr - m‘I2 /Im T et la fonction de partition dans le secteur m, m’ s’écrit (291a) où &(T) est la fonction de partition gaussienne donnée par l’équation (227). Partant de cette définition, il est clair que dans une transformation modulaire on trouve (291b) Ceci montre que le groupe modulaire agit par transformation linéaire sur les entiers m et m’. Si l’on somme sur les valeurs de m et m‘ avec un poids constant sur les orbites du groupe, on obtient un invariant modulaire. Zo,o(~). Un autre invariant évident L’exemple le plus simple est &(T) est obtenu en sommant sur toutes les paires m, m’. Nous multiplions par un préfacteur p afin de normaliser le comportement à grand T ( q petit) et nous obtenons

IX.3.6

177

INVARIANCE CONFORME

Posant comme de coutume q = exp 2 i n ~ la , formule de Poisson appliquée à la somme sur m’ donne

où les poids h,,,, = a(n/p+mp)2et En,, = hn,-m ne sont autres que ceux attribués ci-dessus aux opérateurs On,,. Cette expression est appelée fonction de partition coulombienne, en raison des interactions logarithmiques de paires entre charges électriques et magnétiques. Comparant avec les expressions (292) el (293)’ on voit qu’un facteur p/Im T* a disparu. Pour q petit, indique que la charge centrale est encore l’unité. le comportement (q@)-h Toutes les dimensions An,, = a ( n 2 / p 2 n2p2)sont non négatives et varient continûment avec p, tandis que les moments angulaires &, = nm sont entiers. Pour une valeur de p générique, qhn.71s/q(T) est le caractère d’une représentation irréductible ( c = 1,hn,,) de l’algèbre de Virasoro. I1 est aussi clair que Z ( ~ , T=) Z ( p - l , ~ ) . Une application de ces résultats concerne le modèle X Y . Rappelons que le flot de renormalisation conduit la fonction à deux points vers une limite critique, avec un exposant 77 = à des corrections logarithmiques près, qui traduisent la présence d’un opérateur marginal de dimension 2. Identifions l’opérateur de spin du modèle X Y avec 0 * 1 , 0 de telle sorte que q = = 2A+1,0. Ceci suggère le choix du paramètre p = 2. Les opérateurs magnétiques correspondants 0 0 , * 1 ont alors pour dimension 2, ce qui signale que les champs attachés aux tourbillons deviennent essentiels. Quoi qu’il en soit, on voit que la fonction de partition Z(2, T ) = Z( T ) est un candidat pour le modèle S Y au point final de la ligne critique, qui devrait donc avoir une charge centrale unité. Une autre possibilité est de considérer

+

a,

4

i,

(294b)

178

INVARIANCE CONFORME

IX.3.6

avec

(294c)

On observe que la combinaison qui figure dans (294a) se simplifie en Zquot.(P)

=

= zquot.(P-l)

+

[Z(P)+ 22(2) - Z(1)l

(294d)

On décrit ainsi une famille de modèles possédant les mêmes dimensions variables avec p que précédemment, ainsi bien que certaines dimensions indépendantes de p. Ces modèles ont été identifiés à ceux de la ligne critique du modèle d'Ashkin-Teller. Nous renvoyons aux articles originaux cités dans les notes pour une description de ce modèle impliquant deux ensembles spins, ai = f l , ri = f l , en interaction. L'action correspondante est S = Puaiaj ,&rirj PUraiajrirj,avec une interaction à quatre spins. Lorsque ,Burs'annule on trouve deux systèmes d'Ising découplés. On observe que Zquot.(l) = Z(2) décrit encore le modèle XY. On peut se représenter l'ensemble des modèles coulombiens (invariants O(2)) et des modèles quotients à c = 1 comme l'indique la figure 6. Sur les deux lignes continues on peut distinguer des points spéciaux correspondant à des symétries supplémentaires. Ceci est le cas de Z(i), qui décrit un modèle de symétrie SU(2) x SU(2), ou Z(&), qui coïncide avec un modèle de spineurs de Dirac avec,

+

+

tandis que ZqUot.(fi)= Z;sing. I1 existe encore de nombreuses autres valeurs significatives qu'il ne nous est pas possible de décrire ici. En outre Pasquier a construit trois autres modèles de charge centrale unité qui ne se trouvent pas sur les lignes continues et qu'on peut faire correspondre aux trois algèbres de Lie affines exceptionnelles simplement lacées Ê6 ++(22(3)

+ Z(2) - Z(1))

+ Z ( 3 ) + Z(2) - Z(1)) Ê8 -4 (Z(5)+ Z ( 3 ) + Z(2) - Z(1))

Ê 7

+$

(Z(4)

(296)

IX.3.6

179

INVARIANCE CONFORME

000 Ê,

, _ _ _ _ __ _ -

1

SU(2)x SU(2)

O

1

fi

Ê,

II*i”,l’

c

01y

A

Ê,

y

*

(2

I I I I I

a l

Figure 6 : Modèles de charge centrale c = 1. La ligne horizontale se rapporte aux théories ayant une symétrie O ( 2 ) avec un champ périodique de période 2ap, et la ligne verticale aux modèles quotients. Les parties en pointillé sont équivalentes par p p - l . Les trois points supplémentaires décrivent trois cas exceptionnels. -f

On peut aussi utiliser le formalisme coulombien pour engendrer les fonctions de partition de modèles non minimaux et de charge centrale c < 1, décrivant le modèle de Potts à Q-états pour Q variant continûment dans l’intervalle O < Q < 4, et le modèle O ( n )pour n continu variant entre -2 et 2, le domaine où il existe une théorie critique. Ces sytèmes sont définis par l’intermédiaire de leur développement de haute température. I1 est possible de trouver une chaîne d’arguments plausibles permettant d’identifier ces modèles avec des modèles à six vertex intégrables, ou des gaz de Coulomb soumis à des restrictions spécifiques. Les démonstrations complètes sortent du cadre de ce chapitre et nous nous bornerons à décrire les résultats. Pour p dans l’intervalle de 1 à f i ,posons

n = - 2cosap2 eo = f ( p 2 - 1) mod 2

(297a)

de sorte que n varie entre 2 et -2. La fonction de partition correspondante est donnée par

z(n;

=

2

I

Tp2 lmT - m‘ 2

exp --

(T)

m’.m

4

1m.r

cos [aeo(m’,m)]

(297b)

Dans cette expression (m‘,m)est le plus grand diviseur commun de m’ et m. D’après la discussion précédente, l’invariant modulaire le plus général construit à partir d’une superposition de Zmt,, autoriserait une fonction arbitraire de (m’,m). La démonstration des équations (297) fait intervenir deux étapes. Dans la première on établit la relation entre les paramètres

180

IX.3.6

INVARIANCE CONFORME

continus n et p. La seconde étape consiste dans l’interprétation de la “charge de défaut” eo. Comme on l’a indiqué ci-dessus on décrit un modèle avec n continu par l’intermédiaire d’un développement de haute température sur réseau. On perd la relation entre la fonction de partition Z et la trace d’une matrice de transfert. En d’autres termes, en redéveloppant Z ( n ,T) en série de puissances fractionnaires de q et q , nous n’avons aucune garantie que les coefficients soient des entiers positifs, sauf dans les cas p2 = 1, $, $ correspondant respectivement à n = 2, 1, O. Pour p2 = 1, eo = O mod 2, le cosinus dans l’équation (297b) se réduit à l’unité, la fonction de partition Z ( n = 2 , ~ se ) confond avec Z ( p = = Z ( p = 2 , ~ ) c’est-à-dire , celle du modèle X Y , comme on s’y attend. De même quand n = 1, l’expression ci-dessus s’identifie à la fonction de partition du modèle d’king, tandis que pour n = O, sa valeur est égale à l’unité. Le rôle de eo est de corriger les facteurs de poids attachés aux boucles non contractibles sur le tore. Dans la limite d’un ruban, c’est-à-dire quand T 4 +im, le terme dominant dans la double somme (297b) correspond à m = O, ce qui conduit au comportement suivant, après sommation sur m’,

3;~)

où on utilise la détermination de eo dans l’intervalle [O, 11, c’est-à-dire eo = p2 - 1. La charge centrale est donc égale à (298~) Paramétrisons c sous la forme usuelle 1- 6/m(m +1). En vertu des équations ( 2 9 7 ~et ) (298u), nous avons

p2

m+l =m

n=2cos-

7.r

eo=-

m

1

c=l-

m

m(m

+ 1)

(298b)

Vérifions que pour n = 1, où m = 3, nous retrouvons bien le résultat du nous subdivisons la somme dans (297b) en modèle d’king. Comme eo = termes des valeurs de (rn‘,rn) modulo 6

5,

E= m’,m

(m‘,m)=O mod 6

+;

-; ( m ’ , m ) = f l mod 6

(m’,rn)=fZ mod 6

( m ‘ , m ) = 3mod 6

Chaque terme peut être exprimé comme une fonction de partition coulombienne pour une valeur différente du paramètre p. Par exemple

(m’,m)=O mod 6

IX.3.6

181

INVARIANCE CONFORME

en tenant compte du préfacteur p dans (297b). De la même façon

=;z

($J)

- iZ(3p,7)

( m ’ , m ) = 3 iiiod 6

( m ’ , m ) = f 2 iiiod 6

=z (&, 7)- p

( P , T) -

;z ( $ p , T ) + i Z ( 3 p , T )

(m’,m)=*l iiiod 6

En rassemblant ces résultats, nous voyons que pour eo = l’équation (297) se réduit à

3 et

p =

f

i

t

I1 n’est pas encore évident à ce point que nous ayons atteint le résultat cherché. Nous laissons au lecteur le soin de vérifier que c’est bien le cas.

Toutes les fonctions de partition minimales de la table II peuvent être récrites comme de telles sommes finies de fonctions de partition coulombiennes. On pourra vérifier ce point, ainsi que le fait que, pour n = O, m = 2, c = 1, eo = la fonction de partition se réduit à l’unité. Diverses quantités relatives aux polymères peuvent être obtenues dans la limite n + O. Lorsque n + -2, c’est-à-dire m + 1, on trouve Z ( n = - 2 , ~ )= O, mais la dérivée en n n’est pas nulle,

a,

On trouve ainsi une fonction de partition fermionique égale au carré de l’inverse de celle du champ gaussien libre. Ceci est en accord avec la correspondance entre les modèles bosoniques O ( n ) avec n = -2 et les modèles fermioniques (complexes). Le modèle de Potts critique pour Q variant continûment entre O et 4 peut être étudié de manière analogue. On pose

eo =

2 m+l

-

c=l-

La fonction de partition s’écrit alors

6 m(m

+ 1)

(300a)

182

IX.3.6

INVARIANCE CONFORME

On peut examiner les cas particuliers, comme Q = 1, 2 , 3. Dans le dernier cas, on retrouve la fonction de partition du modèle à 3 états donnée par l’équation (276). La valeur limite pour m -+ 03, Q --t 4 et c -+ 1 est elle aussi intéressante, et apparaît sur la figure 6. On remarque que le premier terme de l’équation (300b) est analogue à la fonction de partition O ( n ) .

3.7 Fonctions de corrélation dans un demi-plan Nous venons d’explorer en détail des situations géométriques simples, le plan, le cylindre ou le tore. En un sens, aucune de ces situations ne met en jeu de véritable effet de bord. Si au contraire on veut étudier un modèle critique dans un demi-plan, on est réellement confronté à de tels effets. Avant de passer à la limite continue considérons une régularisation sur réseau avec des conditions aux limites libres. On peut se convaincre qu’au point critique ceci revient à exiger l’annulation de l’aimantation à la frontière. Plus précisément, cette dernière condition est compatible avec (i) l’annulation des corrélations à grande distance (ii) l’invariance conforme globale dans le demi-plan supérieur (clest-à-dire l’invariance par le groupe SL(2,R)) étant donné que le point à l’infini appartient à la frontière. Le domaine que nous envisageons est donc le demi-plan supérieur I m z > O. Si l’on ajoute un point à l’infini, ce domaine est conformément équivalent à l’intérieur du disque unité, et est invariant par les transformations conformes globales réelles de SL(2,R ) / Z 2 , sous forme de transformations homographiques z + z’ = (az P ) / ( r z S), où (Y,B, y, 6 sont réels et a6 - &,y = 1. La même transformation s’applique donc à la variable 2. En particulier, ce groupe ne contient que des translations et des dilatations réelles. I1 s’ensuit que même la fonction à deux points devient non triviale. Son comportement differe suivant les directions parallèles et perpendiculaires à la frontière. Pour le voir, nous associons à chaque point du demi-plan supérieur son image symétrique par rapport à l’axe réel. Pour tout couple de points z1 et 2 2 dans le demi-plan supérieur, et leurs images 41 et 22, on peut former le birapport u,invariant par S L (2 , R ),

+

+

O
2 2 , 22

(301) sur zi,

IX.3.7

183

INVARIANCE CONFORME

z

(z - 21)(z2 - 22) - (zl - z:)(z; - 2;) (z - 22)(z2 - 51) (.I - 2;)(z; - 2 ; )

+ ZI

(302)

L’invariance globale implique donc que la fonction de corrélation G(1,2) de deux opérateurs primaires ah,^ satisfasse à la relation

Le groupe SL(2, R)dépend de trois paramètres réels. On peut donc imposer sur zi et za trois conditions, par exemple d’être imaginaires purs tels que 2; z; = 2i, c’est-à-dire

+

Par souci de simplicité, prenons le cas d’un champ scalaire, c’est-à-dire tel que h = h. Nous avons alors, avec z = 2 iy

+

g(u) = iLah

(&,h

(i [1

+ J1-.])A h , h (i [I - m))

(305)

Ainsi il nous reste à determiner une fonction d’une variable réelle g(u). En dimension supérieure à deux, le sous-groupe du groupe conforme global qui laisse un demi-espace invariant conduit à un résultat analogue, où y1 et y2 sont les distances à la frontière et 1x1 - 2 2 1 est remplacé par la longueur de la composante parallèle du vecteur r1 - r2.

Dans les circonstances présentes, la fonction à deux points est analogue à la fonction à quatre points dans le plan, avec z1, z2, z3 et z4 remplacés par z1, 21, z2, 52. I1 y a un doublement similaire pour les corrélations d’ordre plus élevé. Afin de voir cette relation de façon plus précise, nous examinons le tenseur impulsion-énergie et exigeons qu’en coordonnées cartésiennes il n’y ait pas de flot d’impulsion-énergie à travers la frontière. En utilisant des coordonnées complexes, ceci revient à dire qu’à la frontière T,,(z) = Tzz(z). Cette relation permet d’étendre T(z) E T,,(z) analytiquement dans le demiplan inférieur par réflexion Imz
T(z) = T ( z )

(306)

où 2 appartient manifestement au demi-plan supérieur, et le membre de droite est donc bien défini. Ceci revient à dire que nous utilisons maintenant

184

IX.3.7

INVARIANCE CONFORME

la partie diagonale du produit de deux algèbres de Virasoro. En répétant le raisonnement de la section 1.3, on arrive à une formule analogue à (40) (Cardy)

On peut en déduire des conséquences analogues à celles dans le plan, pour des champs primaires correspondant à des représentations possédant des vecteurs singuliers, auquel cas nous obtenons des équations différentielles pour les fonctions de corrélations. Illustrons ceci sur l’éternel exemple du modèle d’Ising pour la fonction de corrélation spin-spin. En adaptant les calculs de la section 2.2, on trouve une équation hypergéométrique qui admet une solution en termes de radicaux, telle que

+

A condition que a+ a- soit différent de zéro, le comportement à courte distance pour y1 et y2 finis est celui qui est attendu

Si, au contraire, et à nouveau pour y1 et y2 finis, nous faisons tendre 1x1 - 2 2 ) vers l’infini, nous avons

ce qui veut dire que si a+ # O, la fonction de corrélation tend vers une constante. Si nous exigeons que dans une telle situation ( ~ 1 ~ 7 2tende ) vers zéro, nous sommes obligés de conclure que a+ = O, ce qui veut dire qu’à une constante multiplicative près ((T102)

cst

=7 (x-2

1

-xi)

1

(YlY2)S

En conséquence, quand

1x1 - 221 + CO

et que y1 et y2 sont finis, on trouve

IX.3.7

185

INVARIANCE CONFORME

(311a) Notons 711 l’exposant du dénominateur, il vient

711 = 1

(311b)

I1 s’agit là d’un nouveau résultat obtenu grâce à l’invariance conforme. Le point à l’infini doit être considéré comme faisant partie de la frontière. L’équation (311a) implique donc par invariance conforme globale que le champ s’annule sur la frontière. Par exemple

Le membre de droite s’annule bien sur la frontière mais avec une puissance fractionnaire (la fonction a donc une dérivée infinie). On peut mettre l’expression complète (310) sous une forme suggestive, qui peut être comparée à la fonction à quatre points dans le plan. En prenant le carré de ( 0 ~ 0 2 ) et en posant zij = zi - z j , zij = zi - Z j , on a (u1.2)

= 2

Z12Z12 ( Z l I 222 212 zïz

) ( -

212212

21I z22z12z ï2

)+

(313)

ce qui montre la symétrie dans l’échange simultané 1 H 2, i t* 3 et l’antisymétrie dans l’échange 1 ++ I ou 2 ++ 2, ce dernier cas étant défini par prolongement analytique. Donnons une autre application de cette même situation géométrique en utilisant la transformation conforme z -+ t L t=ylnz 17r

qui envoie le demi-plan supérieur sur une bande O < R e t < ir, avec des conditions aux limites libres (par opposition aux conditions aux limites périodiques). Si nous écrivons maintenant t = x iy, la fonction de corrélation ci-dessus (élevée au carré) devient

+

+ + iyl - iy2) + iyl - iy2)

sin(7r/2L)(xl x2 sin(7r/2L)(xl - 2 2

- (22

-+

-22)

1

(315)

186

INVARIANCE CONFORME

IX.3.7

On remarquera l’invariance par translation dans la direction y, et l’annulation quand x1 ou 2 2 = O ou L. Nous trouvons aussi, d’après l’équation (50)’ la valeur moyenne (T) dans ce ruban, en supposant qu’elle s’annule dans le demi-plan. Ainsi, pour toute charge centrale c

( T )= +/L2 I1 s’ensuit que l’énergie libre par unité de longueur se comporte comme

+

F(L) = FOL &cr/L

(317)

Le coefficient du terme en 1/L est le quart de celui trouvé dans le cas d’un ruban avec conditions périodiques, où, au lieu de (316)’ nous avions = icn/L2. Ceci suggère que l’expression (316) résulte de la substitution L -t 2L. On observera néanmoins que les fonctions de corrélation ne sont pas faciles à trouver, comme en témoigne l’équation (315).

3.8 Le voisinage du point critique Implicitement la connaissance des propriétés critiques devrait nous permettre de comprendre les propriétés d’un modèle dans tout le domaine critique, caractérisé par une longueur de corrélation finie, ou, dans le langage de la physique des particules, par un spectre de masse finie. Des travaux sont poursuivis dans deux directions. La première direction consiste à obtenir une meilleure compréhension de la relation entre modèles intégrables et leur limite invariante conforme. I1 y a de nombreuses indications selon lesquelles les deux sujets ont beaucoup en commun, si l’on en juge par l’arrièreplan mathématique. La deuxième direction, à savoir l’étude des théories quantiques des champs massifs continus, est d’importance capitale. Dans cette section finale, nous présentons quelques observations sur ce sujet. Revenons aux calculs effectués dans la section 3.2 et examinons la foncobéissant tion de partition d’un champ complexe massif libre sur un tore I, aux conditions aux limites (239). Désignons la fonction de partition correspondante par

En modifiant légèrement les calculs effectués dans la section 3.2, nous trouvons après quelques étapes laborieuses

IX.3.8

187

INVARIANCE CONFORME

où t désigne la quantité

2

Si A = lwll I m r désigne l’aire du tore, $ ( z ) = I”(z)/I’(z) la dérivée logarithmique de la fonction J? d’Euler, et y = -$(l) la constante d’Euler, les quantités yelN sont données par

+at4

1’

+oo

dA(1- A) n=-m

1

+

[ ( n C/N)2 + A P ] +

(321) On observe l’apparition d’un terme logarithmique, qui disparaît dans la différence TelN - yo, et qui est fonction de t uniquement. Appliquons le résultat ci-dessus au cas particulier d’un champ scalaire réel périodique, auquel cas

Zscalaire

1 = - = exp nIm T Do0

+at4

x

{E

{

1’

- t + t2 In [4ae-7 (Im r / A ) i ]

dA(1 - A)

00

C ( n 2+ At2)-$ 1

(1 - exp(2innRer - 2nImrJ;iL+t“))

n=-oo

Le produit infini est réel et positif. La démonstration montre que Zscalaire est invariant modulaire, bien qu’exprimé au moyen de variables adaptées à un

188

IX.3.8

INVARIANCE CONFORME

choix de base. La quantité t mesure en unités sans dimensions la déviation au point critique. On peut interpréter le numérateur exp BnIm T c(t, Im T), où c ( 0 , I m ~ )= 1, comme définissant une charge centrale dépendant de l’échelle. L’apparition d’une dépendance en In(1m T / A ) ~dans / ~ le coefficient de t2 reflète la nécessité d’une renormalisation ultraviolette de la chaleur spécifique, qui est la dérivée seconde par rapport à m. Finalement, le dénominateur apparaît comme une expression naturelle dans un formalisme de matrice de transfert, en décomposant le champ en modes propres, où les moments discrets 2n n/ lull sont associés aux fréquences propres J(2nn/Jul I)2 m2.En extrayant le mode nul responsable d’une divergence potentielle, nous retrouvons le résultat critique

+

Appliquons les formules précédentes pour obtenir la fonction de partition du modèle d’Ising au voisinage du point critique, en introduisant la masse m proportionnelle à T - T,.D’après le chapitre II nous savons que nous avons à sommer sur les quatre conditions aux limites périodiques ou antipériodiques. On tiendra compte d’un signe relatif éventuel par un prolongement analytique en m que nous prenons d’abord positif. On trouve ainsi

c’est-à-dire

+t2 l n 4 -

1

it4

1

dX(l - A)

Y5

n=l

1

[ ( n- $)2

f n=-00

(1 fe

+At72

1

[n2

+ At212

)]

2 i n n R e ~ - 2 ~ I ~ ~ m

(325)

IX.3.8

189

INVARIANCE CONFORME

Les valeurs absolues ont été supprimées, étant donné que tous les produits infinis sont réels positifs, et l’expression se réduit à 24 au point critique ( m = O). Les seuls termes qui dépendent du signe de t figurent dans les facteurs exponentiels de et DO,Oet leurs facteurs relatifs au mode potentiellement nul. En les combinant nous obtenons un terme (exp(7rImTt) f exp(-7rImTt)). Le spectre relativiste des états est celui auquel on s’attend. I1 en était de même dans le cas scalaire. Non seulement la charge centrale devient dépendante de l’échelle, mais également les dimensions des divers opérateurs. Par exemple les opérateurs de spin et de désordre, que l’on ne pouvait distinguer au point critique, deviennent deux opérateurs distincts avec des “dimensions” dépendant de l’échelle reliées par dualité, c’est-àdire t ts -t. Ainsi que nous l’avons remarqué, l’apparition d’un terme en t2 ln(Im.r/A)i dans la charge centrale est une manifestation des propriétés de renormalisation de l’opérateur $$ de dimension un. Dans une série perturbative dans le terme de masse, on rencontrera une soustraction ultraviolette au second ordre, reliée à la divergence logarithmique de la chaleur spécifique. L’invariance modulaire n’est pas explicite sur l’équation (325). Mais un développement en puissances de la variable m fera apparaître cette invariance de façon très claire. Désignons comme ci-dessus par 2’ et 21 les fonctions de partition critiques des modèles d’king et gaulsien Dij(0) (avec i, j = O, en omettant la respectivement, et soit Dij combinaison (O, O) car Do0 = O). En développant (325) nous obtenons

il

+ O((mA3)3) (326) Le terme linéaire en m correspond au fait que la valeur moyenne de l’opérateur d’énergie ne s’annule pas dans le secteur de spin. Cet effet a été mentionné précédemment. L’échelle de longueur arbitraire qui apparaît dans le terme m2 In A4 correspond à une renormalisation additive de la chaleur spécifique, ainsi que l’on s’y attendait. Finalement, l’existence de termes impairs aussi bien que pairs en m montre que sur un tore le maximum de la chaleur spécifique, maximum qui remplace la divergence dans le plan infini, n’est pas situé à m = O (T = T,)mais dépend du rapport modulaire. On remarque que la chaleur spécifique contient une contribution entropique due aux structures de spin fermioniques distinctes. Ces résultats exacts propres au modèle d’Ising correspondent à l’un des couplages aux termes essentiels, à savoir la masse. En général on ne peut traiter le voisinage du point critique que par une méthode perturbative.

190

INVARIANCE CONFORME

IX.3.8

Cependant une telle méthode n’est pas triviale, car elle incorpore la connaissance des propriétés critiques. Afin d’esquisser la procédure, examinons un système sur un tore, en supposant que l’une des périodes w1 est réelle. L’évolution dans le temps est régie par un hamiltonien

27r

Ho =-

(Lo + E o -

W1

hc)

(327)

+

La coordonnée sur le tore est écrite u = u1 iu2, et le potentiel est une somme sur des perturbations locales avec des coefficients de couplage G aux champs essentiels de dimension inférieure à deux. Par souci de simplicité, considérons le cas où la somme se réduit iiun terme unique, avec ‘p un champ primaire scalaire de poids ( h ,h). Restreignons notre attention au calcul de la charge centrale variable, bien que le formalisme ne soit en rien limité à ce cas. Soit P l’opérateur moment et 10) l’état fondamental. Au lieu de calculer la fonction de partition complète, considérons l’élément de matrice suivant, où T désigne l’opérateur d’ordre dans la variable temporelle u2 20=(01exp{-Im~2H+iPRew2} 10)

I1 est commode de revenir au plan pointé en utilisant

- Ix I < - 1, et l’ordre sur L’intégrale porte alors sur un anneau p = e-2x1ri1r< la direction radiale. I1 est aussi naturel d’employer un coefficient de couplage sans dimension 2-2h

g = G ( g )

(330)

Dans la discussion précédente nous avions G = m, h = !j, et on utilisait la variable t au lieu g pour rappeler qu’elle jouait le rôle de température réduite. Dans le cadre du modèle d’Ising nous pouvons maintenant considérer le cas d’une perturbation magnétique où G joue le rôle du champ

IX.3.8

INVARIANCE CONFORME

191

magnétique et cp celui du spin (h = &). Les couplages essentiels sont tels que 2 - 2h > O, auquel cas pour G fixé, g croît comme lwll + 00, et la théorie des perturbations est dangereuse à moins que G + O, afin de maintenir g fini. Ceci est le cas le plus intéressant, car il peut engendrer un flot vers une classe d'universalité différente. On peut envisager deux possibilités typiques. Dans la première, la dimension conforme 2h de cp est voisine de 2, et on peut développer une théorie des perturbations près de la marginalité, dans le paramètre 2-2h supposé petit. Au contraire, on peut effectuer un développement direct en g. Ce dernier est a priori sûr. Si 2h désigne un nombre fractionnaire entre O et 2, le comportement ultraviolet est régulier (à l'exception d'une divergence logarithmique au second ordre, quand 2h = 1, ce qui est le cas rencontré ci-dessus). Les singularités infrarouges sont supprimées par la géométrie finie, et la série est vraisemblablement convergente, étant donné que les quantités physiques sont analytiques en g dans les circonstances présentes (cette propriété est manifeste dans l'exemple précédent). Nous avons uniquement besoin des corrélations de cp au point critique car on a le développement

Si le hamiltonien H possède un état fondamental pour g # O, nous présumons que In 2IIm.r aura une limite finie quand ImT + +m. Ceci justifie la définition d'une charge centrale variable selon C(g) = 12 lim

(332)

P+O

Si nous supposons que les fonctions de corrélation impaires s'annulent dans le développement (331), ceci veut dire que l'on a la série C(g) = c

+ g2c2 + g4c4 + . ..

(333)

où le terme d'ordre zéro est la charge centrale usuelle. En insérant la fonction de corrélation à deux points (334) qui normalise le couplage g, on en déduit

r(nf2h) c2=6cn+h n=O n!I'(2h) O0

1

(

)

2

1

=61

dX Xh-'F(2h, 2h; 1; A)

(335)

192

IX.3.8

INVARIANCE CONFORME

expression qui a un sens pour 2h < 1. I1 est possible de retrouver de cette façon la charge centrale variable du modèle d'king pour une perturbation thermique du type de celle calculée précédemment (à condition de prendre garde à la singularité logarithmique de Cz),en effectuant des calculs analogues à tous les ordres. On peut aussi calculer la dimension des opérateurs le long du flot. Nous laissons au lecteur le soin de poursuivre les calculs dans cette voie. Un progrès très intéressant serait de trouver des expressions compactes pour ces quantités au lieu d'un développement en puissances du couplage. Diverses indications suggèrent que cet espoir n'est pas exclu.

Appendice A: Séries et produits 6 de Jacobi Nous rassemblons ici quelques formules relatives aux fonctions 6 elliptiques de Jacobi. Elles sont associées à un tore, quotient du plan complexe par un réseau de translations A engendré par 1 et T tel que ImT > O. Nous avons posé de façon constante q = e x p 2 im , 141 < 1. On écrit aussi y = exp2i7rz où z est une variable complexe. Les quatre fonctions 6 de Jacobi définies par

+m

-CO

+CO

-m

n<1 CO - q n ) n<1+ 03 yqn+l)(l O

1

+CO

-03

m

1

O

+y-lqn)

1X.A

193

INVARIANCE CONFORME

sont des fonctions entières de z. On établit aisément leur comportement dans des translations du réseau A, ainsi que la position de leurs zéros. L’égalité des sommes et des produits est due à l’identité de triple produit de Jacobi. Cette dernière est la source d’un grand nombre de relations, parmi lesquelles l’identité pentagonale d’Euler

1

-00

D’autres formules utiles sont (Euler)

1

ainsi que l’identité de produit quintuple de Watson 00

JJ(1 - $)(1 - yqn)(l - y-Iqn-l)(l - &p-1)(1

-y-

q2n-1)

1

-00

La fonction de Dedekind s’écrit r ] ( T ) = q%l)

(A-5)

La fonction û1 s’annule à l’origine. Si 1’011désigne par le symbole prime la dérivée par rapport à la variable z , on trouve la relation 1

= ~e,(o,T)e3(o,T)e,(o,~) = q3(.) (-4.6) 27r Les quantités ûi(O,T ) (2 5 i 5 4) sont parfois appelées constantes 8. On a --o;(o,T)

194

1X.A

INVARIANCE CONFORME

Elles satisfont à l’identité de Riemann (A.8a) Cette identité est équivalente à la formule

qui exprime que sur un réseau hypercubique à quatre dimensions C les centres des hypercubes peuvent être divisés en deux sous-réseaux entiers C* engendrés par les vecteurs ( i c i , ~ E Z $, ~ 3 , 9 ~ 4avec ) ~i = f l et ~i = f l . Ces deux sous-réseaux sont reliés par une symétrie par rapport à tout hyperplan perpendiculaire à un axe de coordonnées, et chacun d’eux est isométrique au sous-réseau Cililpairc C ( Cinipaircorrespond à une somme des coordonnées impaire). Dans l’étude des transformations modulaires on a eu besoin de la somme de Gauss suivante. Soit w une racine primitive N-ième de l’unité (w= e2ixIN ), on a la relation

ni

De façon équivalente, quand N O, 1, 2, 3 mod.4, la somme est 1+ i, 1, O, i respectivement. Les propriétés de transformation modulaire résultent de la formule de Poisson. Posons

Si A = f a

(c

i)

désigne une matrice unimodulaire à éléments entiers on

(A.ll)

1X.A

où

INVARIANCE CONFORME

195

est une racine vingt-quatrième de l’unité. Les fonctions û permettent de construire des fonctions méromorphes doublement périodiques en prenant des rapports ou des dérivées. Le prototype en est la fonction de Weierstrass telle que EA

(A. 14) qui est une fonction méromorphe paire avec un pôle double à l’origine (ainsi qu’aux points qui s’en déduisent par translation du réseau), et deux zéros dans le parallélogramme des périodes. Elle obéit à l’équation différentielle non linéaire du premier ordre, où le prime désigne la dérivée par rapport à z , T étant fixé, +PI2 - p

-

15e4p - 35e6

(-4.15)

avec (A.16) Les racines du polynôme cubique du nombre de droite de (A.15) sont, par symétrie, les valeurs p ( $ ) , ~ ( $ 7 )et’ p ( f ( 1+ T)). Le discriminant de ce polynôme, multiplié conventionnellement par 24, est relié à la fonction q Par

196

INVARIANCE CONFORME

1X.A

Appendice B: Algèbre super-conforme Nous avons vu en diverses circonstances comment des variables commutantes et anticommutantes apparaissent sur un pied d’égalité. Nous décrivons ici une généralisation naturelle des transformations conformes au plan super-complexe, paramétrisé par une paire de variables J = ( z , B ) et f ( 5 , où 8 et sont des variables anticommutantes. Un superchamp analytique fonction de t et 0 uniquement est de la forme

e),

e

4(J) = Po(.) + BPlb)

(B-1)

L’opérateur de Cauchy-Riemann admet alors une racine carrée naturelle

Par la suite nous écrivons d pour d / d z . L’intégrale de supercontour désigne

tandis qu’une intégrale définie

est telle que

Une fonction super-analytique admet un développement en série de Taylor

Comme

1X.B

197

INVARIANCE CONFORME

le théorème des résidus s’écrit

Les transformations super-conformes sont telles que l’application satisfasse à

5

-+

5’

(B.ll)

D = D(û’)D’

ce qui signifie que l’opérateur différentiel D se transforme de façon homogène. Ceci n’est pas le cas des transformations super-analytiques générales, où D = (Dû’)D’ + [D(z’)- e’D(e’)]DI2 Les transformations super-conformes globales dépendent de trois paramètres complexes ( Z O , z1, W O ) et de deux paramètres anticommutants &,&. Elles peuvent s’écrire

6 + 5’

z’ = zo -

wo- eeo - z1 -

eel

e/ = eo +

e - el z1 eel

-

(B.12)

-

Ceci définit une extension supersymétrique du groupe SL(2,C). Les transformations super-conformes locales obéissant à (B.11) correspondent à un champ super-vectoriel v(5) engendré par le super-tenseur impulsion énergie

de telle sorte que

(B.14) Dans la formule (B.13)’TB(z) est le tenseur bosonique ordinaire de dimensa contrepartie fermionique de dimension $, où l’on doit sion 2 et TF(z) comprendre que la dimension de 8 est celle de 23. Si 4 est un superchamp primaire de dimension h, nous avons

+

+

Svq5 = [va $ D ( v ) D h(dv)] 4

(B.15)

de sorte que la relation (B.14) est équivalente au développement à courte distance

198

INVARIANCE CONFORME

1X.B

La charge centrale apparaît dans la formule correspondante pour le produit

ou encore

6,T = [va

+ SD(lJ)D + ;a4 T +

(B.18)

Sous forme finie, les formules de transformations (B.15) et (B.18) prennent la forme

4(E) = 4 ’ ( E ’ ) ( m 2 h T(E)= T ‘ ( E ‘ ) ( W 3 + &c

{E‘, E )

(B.19)

la super-dérivée Schwarzienne étant écrite comme

(B.20) Dans une transformation super-conforme particulière

{E’, E } se réduit à 8 {z’, z } où {z’, z } est la dérivée Schwarzienne ordinaire. Le développement de Laurent de T (B.21) conduit dans le cadre de la quantification radiale à l’ensemble suivant de relations de commutation et d’anticommutation (où nous utilisons la notation [A,BI+ = AB BA pour l’anticommutateur)

+

Dans le développement (B.21) la somme sur les indices des générateurs de l’algèbre de Virasoro porte sur des entiers, comme dans le cas usuel. Mais pour les partenaires G;?,il existe deux choix qui définissent ce que l’on

1X.B

INVARIANCE CONFORME

199

appelle le secteur de Neveu-Schwarz (N-S), avec n E 2 + qui conduit à des champs de spineurs univalués (de même que T F )dans le plan z , ou le secteur de Ramond (R), avec n E 2 et des champs de fermions bivalués (de même que T F )dans le plan z. Ces propriétés sont inversées dans un ruban périodique, en accord avec la formule (B.19) où les champs N-S-fermioniques sont antipériodiques, et les champs R-fermioniques sont périodiques. On engendre donc en fait deux algèbres super-conformes distinctes. Nous nous sommes bornés à la dépendance en des champs. Naturellement on a des propriétés semblables pour la dépendance en (. Pour abréger, et par abus de langage, nous continuerons à omettre cette dépendance parallèle. L’opérateur Lo agit comme un hamiltonien, le vide 10) appartenant au secteur N-S étant annihilé par les cinq générateurs L O ,L*I, Gk1/2 des transformations globales super-conformes. Les vecteurs de poids dominant Ih) des secteurs N-S sont alors en correspondance biunivoque avec les superchamps h ( J ) par Ih) = &(O) 10). Le secteur R possède la caractéristique additionnelle que Go agit comme une charge supersymétrique. Ce générateur commute avec LO et GO = Lo - &c. En général, les états R de poids dominant se présentent donc en paires lh*) avec Ih-) = Go lh+). On appelle champs de spin les champs conformes ordinaires O * ( z ) qui échangent les secteurs R et N-S en engendrant les états Ih*) à partir du vide, O*(O) [O) = Ih*). La condition Go Ihf) = O entraîne l’existence d’une supersymétrie engendrée par Go dans le secteur R (en d’autres termes le module de Verma engendré par Ih-) se découple de la théorie). Ceci n’est possible que si h+ = &c. Soit F l’opérateur qui compte le nombre de champs fermioniques. La quantité I? = (-l)F est appelée opérateur de chiralité. Les états R appariés ont une chiralité opposée, puisque Go anticommute avec r. Les champs de spin de même chiralité sont relativement locaux. I1 n’en est pas de même des champs de spin de chiralité opposée. Restreignons-nous ici à la description de représentations unitaires des algèbres superconformes. Si c 2 $ et h 2 O, toutes les représentations fournies par les modules de Verma sont équivalentes à des représentations unitaires. Cependant quand c < il n’existe qu’une suite discrète de représentations unitaires (dégénérées). Elles sont analogues à celles trouvées dans le cas unitaire pour l’algèbre conforme ordinaire. Soit M un entier supérieur ou égal à deux, la charge centrale de cette série unitaire discrète est donnée par

9,

(B.23) qu’il s’agisse du cas N-S ou du cas R. Les poids appartiennent à la table finie

200

1X.B

INVARIANCE CONFORME

hT,S

=

+

[ ( M 2)T 8M(M

+ 2)

-4

+k(1-

(B.24)

(-l)T-s)

Ici T - s est pair pour les représentations de l'algèbre N-S et impair pour les représentations R. Pour M = 2 nous avons la représentation triviale. Quand M est impair, h = &c n'est pas dans la table, de sorte que la supersymétrie est brisée dans le secteur R, tandis que pour M pair, hlM,+M+l= &c et la supersymétrie peut être préservée. Plus généralement on établit des formules pour les déterminants des formes contragrédientes, aussi bien que pour les caractères. En particulier pour les représentations unitaires (B.24), il y a trois types de caractères. La charge centrale étant sous-entendue, q = e2ilrr,T et s indexant les poids, nous les désignons par x N S ,g N S , zR

{

)(E:(T)

q { [ 2 n ~ ( ~ + 2 ) + ~ ( ~ + 2 ) - ~ ~ ] z - 4 } / 8 M(Mf2)

=Tr(-l)FqLo

T -s

X E s (7) = Tr qL0

p= 1

T

1- q p

- s G O mod

2

1 mod 2

n=-co

{[211hf(M+2)+l( M + 2 ) - s M ] Z - 4 } / 8 h f ( M + 2 )

-

(B.25) Une classification des modèles minimaux cohérents (et en particulier des modèles unitaires) peut être obtenue suivant les raisonnements de la section 3.4 en utilisant l'invariance modulaire sur un tore. Bornons-nous à montrer ici comment le formalisme se relie à la physique statistique, en rappelant l'interprétation du premier modèle non trivial de la série de charge centrale (B.23) correspondant à M = 3 (Friedan, Qiu et Shenker). Ce modèle s'avère être unique, et coïncider avec celui correspondant à la valeur m = 4 de la classification conforme ordinaire. Dans les deux cas c = et les poids

&

1X.B

201

INVARIANCE CONFORME

6 ,a,

possibles dans le cas de l’algèbre de Virasoro étaient (figure 4) h = O, - et &, tandis que, d’après l’invariance superconforme plus forte, nous avons hi,^ = O, h2,2 = & dans le secteur NS et h1,2 = h2,1 = & dans le secteur R. Ce modèle s’identifie a u modèle d’king tricritique. En indexant par V les représentations de l’algèbre de Virasoro, le secteur pair par la symétrie 2 2 est sous-tendu par deux représentations de type N-S

6

&,

(B.26)

tandis que le secteur impair par 2 2 est le secteur R, qui contient des opérateurs de type magnétique, avec

(B.27) En insérant le préfacteur habituel q-cf24 dans les caractères, on a la table de correspondance

Sur un tore de rapport modulaire r , la fonction de partition correspondante prend la forme

(B.29)

202

1X.B

INVARIANCE CONFORME

Appendice C: Algèbre des courants La théorie des champs conformes se généralise à des systèmes présentant des symétries continues. Un exemple est fourni par des modèles CJ généralisés, où les champs prennent leurs valeurs dans un groupe de Lie G. Le lagrangien cinétique est complété par un terme topologique qui permet la réalisation d’une invariance locale G, x Gz engendrée par une paire de courants conservés ~ ( z J) (, z ) ( ~=J a J = O). Le tenseur impulsion-énergie est donné par une expression quadratique en termes des courants, lesquels ont des poids conformes (1,O) et (0,l) respectivement. Les coefficients de J et J , dans un développement de Laurent, compris comme des opérateurs, engendrent une paire d’algèbres de Kac-Moody (ou algèbres affines) commutantes, de dimension infinie. Dans le texte nous avons rencontré les caractères de l’algèbre SU(2) affine, en discutant la classification A-DE des modèles minimaux. Ceci justifie que nous décrivions ici de façon succincte quelques aspects de la relation entre théorie des groupes et invariance conforme.

C . l Algèbres de Lie simples Le lecteur est certainement familier avec la classification de CartanKilling des algèbres de Lie simples à coefficients complexes et leurs représentations de dimension finie. La description qui va suivre peut être complétée grace à la très vaste littérature sur le sujet, et a pour seul objet de présenter quelques notations utilisées dans le texte. Les algèbres de Lie simples se présentent en quatre familles infinies et cinq cas exceptionnels. Les quatre familles sont réalisées en termes des transformations infinitésimales correspondant aux groupes classiques de matrices complexes, suivant la table

e21

Ae C 2 2 Be e 2 3 Ce e 2 4 De

+

groupe linéaire spécial s L ( e 1) groupe orthogonal en dimension impaire SO(2.t 1) groupe symplectique SP(2l) groupe orthogonal en dimension paire SO(2e)

+

e,

La restriction sur le rang le nombre maximal d’éléments commutants linéairement indépendants, qui engendre une sous-algèbre de Cartan, est destiné à éviter les isomorphismes en basse dimension, tels que Al BI CI, Ca B 2 , D2 Al x A l , 0 3 As. Les cinq cas exceptionnels sont moins familiers; ce sont les algèbres de Lie Gz, F4, Es, E7, Ea, où l’indice indique le rang. Toutes les algèbres de Cartan, c’est-à-dire les algèbres abéliennes maximales, sont conjuguées dans le groupe. Les éléments de l’une d’entre elles, N

N

-

N

N

IX.C.1

203

INVARIANCE CONFORME

notée I<, peuvent être diagonalisés simultanément dans n’importe quelle représentation, et en particulier dans la représentation adjointe. L’ensemble de ces valeurs propres sont des éléments dans l’espace dual K * , et sont appelées racines dans le cas de la représentation adjointe. Si e, (un élément de l’algèbre de Lie) désigne un vecteur propre commun, ceci veut dire que pour tout k appartenant à K on a

[IC, e,] = (CY Ik) e,

(C-1)

Le fait que l’algèbre de Lie soit simple implique que les racines engendrent K* . De plus il existe une forme invariante bilinéaire symétrique non singulière, notée ( , ), telle que

( a , b ) = @,a) (a,b) = O pour tout a + b = O (C.2)

( [ a ,bl c) = ( a , [b,CI) 7

Les racines se présentent en paires {CY, -(Y},celles-ci étant les seules proportionnelles à (Y.D’après l’identité de Jacobi, si deux racines CY et p sont telles que CY + p # O (i) si CY + p est une racine, le crochet [e,, eo] est proportionnel à ea+O, (ii) si cy + ,B n’est pas une racine, alors [e,,ep] = O. Si CY ,LI = O, les éléments

+

IC, = [e,,e-,l

-

(e,,e-,)

(C.3)

(al

engendrent K (la correspondance signifie que ( k a ,IC) = (e,, e-,) avec les e, normalisés de façon telle que ( k a , k a )= 2(e,,e-,)

#0

(cy

\IC))

(C.4)

La restriction de la forme bilinéaire à I< reste non singulière. Le triplet {e,, e-,, IC,} engendre une algèbre S L ( 2)

[e, , e-,] = IC,

[kY,e*,I = f2e*,

dont une réalisation familière est donnée par des matrices 2 x 2

k a + ( 1O

u)

-1 O )

ainsi qu’une forme bilinéaire induite

(ab

+ be, + ce-,,

uICa

+ be, + ce-,)

= (IC,, IC,)

{u2

+ bc}

(C.5)

204

INVARIANCE CONFORME

IX.C.1

L’élément ep est un état propre de IC,

où Aa,o doit être entier, ce qui résulte des propriétés des représentations finies de l’algèbre SL,(2) ((7.5) agissant sur les états eo+sal s entier (IC, est l’analogue de deux fois la composante z du moment angulaire et a par conséquent des valeurs propres entières). Comme par dualité il découle de ((7.3) et (C.4) que

il est naturel de transférer la forme bilinéaire sur l’espace dual des racines K* par la formule

(C.10) auquel cas nous pouvons aussi écrire

(C.11) Supposant ( a ,P ) # O, les éléments engendrent une représentation de SL,(2) qui doit conterir ün élément avec une valeur propre IC, opposée à celle de ep. Cet élément correspond à

I1 s’ensuit que l’ensemble des racines contient, pour chaque racine qui s’en déduit par réflexion dans l’hyperplan perpendiculaire à a

0, celle (C.12)

Ces réflexions engendrent un groupe ponctuel appelé groupe de Weyl. I1 fait le lien entre la théorie des algèbres de Lie simples et la cristallographie. Le groupe de Weyl agit transitivement sur des ensembles de racines de base { a l l . . . ,at}, également appelés racines simples, en termes desquelles toutes les racines peuvent s’écrire a = Cniai où tous les ni sont des entiers de même signe (ou zéro). En conséquence le nombre de racines est pair et se subdivise en racines positives ou négatives (notées a > O ou a < O). Les 3l éléments Ici IC,,, e{*) f e+,t forment un ensemble de générateurs pour l’algèbre de Lie et obéissent aux relations suivantes (ChevalleySerre)

IX.C.1

INVARIANCE CONFORME

205

((7.13)

La matrice de Cartan

e x e à éléments entiers (C.14)

caractérise par conséquent complètement l’algèbre à des permutations simultanées des lignes et des colonnes près. Ses éléments diagonaux sont égaux à 2, et pour i # J , A,, # O implique A,, # O (tous deux étant négatifs). Les algèbres de Lie simplement lacées A , D ,E sont telles que toutes les racines sont de même longueur, et en conséquence la matrice de Cartan est symétrique. Les éléments non diagonaux non nuls de A,, sont codés dans un diagramme de Coxeter-Dynkin, où e points sont associés aux racines simples. Les paires de points {i, J} sont joints par A,,A,, = O, 1 , 2 , 3 lignes. Si A,, = O, les racines correspondantes sont orthogonales et les réflexions w, et w, commutent. Si les racines ne sont pas orthogonales (w,w,)~’~J = 1, où l’entier m,,, vaut 3, 4 ou 6 selon que i et j sont reliés par 1, 2 ou 3 lignes. Le diagramme est connexe (dans le cas contraire l’algèbre se scinderait en une somme directe de sous-algèbres commutantes). La description donnée ci-dessus caractérise seulement le groupe de Weyl, indépendamment de la longueur des racines. On montre que soit les racines simples sont de longueur égale, auquel cas il n’y a pas de lignes multiples dans le diagramme, soit elles sont divisées en deux groupes, racines longues et racines courtes. Si A,,AJ, = 1, (a,,a,) = (a,,a,) tandis que si (a,,a,) > (a,,a,) et A,, # O, alors A,, = -1 et A,, = -2 ou -3. Ainsi il suffit de mettre une flèche sur les lignes multiples pointant de la racine longue vers la courte. L’ensemble des diagrammes possible est représenté comme suit

Ae

-----

Be

-----

ce

---------

206

IX.C.1

INVARIANCE CONFORME

E6

T

E8

(C.15)

Les racines { a }engendrent un réseau sur les entiers appelé le réseau des racines. Les coracines 2 a / ( a ,a ) engendrent un second réseau, isomorphe au précédent à un facteur d’échelle près, sauf dans les cas Be et Ce où cette dualité échange les réseaux des racines. Ces deux algèbres ont donc le même groupe de Weyl. Le réseau des racines est invariant par le produit semi-direct du groupe de Weyl et d’un groupe de translation discret. Une description équivalente est que ce groupe inhomogène est engendré par n 1 réflexions dans les hyperplans limitant un simplexe (qui est un domaine fondamental). En prenant l’origine à l’un des sommets, C des hyperplans sont orthogonaux aux C racines simples, et le (e 1)-ième hyperplan est orthogonal à une e y i a i = O, yo = 1, avec des coefficients yi racine a0 donnée par la relation Co entiers positifs. Ces entiers caractéristiques yi obéissent à plusieurs relations intéressantes. Leur somme h = Et Ye, appelée nombre de Coxeter, est reliée à la dimension de l’algèbre de Lie, notée dim, par

+

+

+

dim = C( 1 h )

(C.16)

IX.C.1

INVARIANCE CONFORME

207

de sorte que Ch est pair et égal au nombre de racines. La notation h est standard, et ne doit évidemment pas être confondue avec celle des poids conformes. Par ailleurs, le produit des entiers y est relié à la dimension du groupe de Weyl IWI par l’identité

(C.17) On définit des quantités analogues relatives aux coracines, et en particulier un nombre de Coxeter dual, noté g (qui s’identifie à h pour une algèbre simplement lacée). Le déterminant de la matrice de Cartan intervient quand on étudie les représentations irréductibles de dimension finie de l’algèbre de Lie. Ces dernières sont associées à des points sur le réseau dual (sur les entiers 2) du réseau des coracines, appelé réseau des poids. Par définition pour chaque poids q et chaque racine a, 2(q, a ) / ( a a, ) est donc un entier. Le réseau de poids est lui aussi invariant par le groupe de Weyl et contient comme sousréseau celui des racines, avec un indice égal au déterminant de la matrice de Cartan. Le réseau des poids est engendré par e poids fondamentaux qi, 1 5 i 5 e, tels que

(C.18) Ces poids dominants ont un produit scalaire non négatif avec les racines simples, et chaque poids peut être appliqué sur un poids dominant par un élément du groupe de Weyl. La somme q, des poids fondamentaux est telle que e

q, =

qi = I

4

a

(C.19)

Cr>O

Les représentations irréductibles de dimension finie possèdent un vecteur de poids dominant, noté q, vecteur qui est annihilé par les représentants des e!’). Les poids q, associés aux valeurs propres des générateurs de la sousalgèbre de Cartan (c’est-à-dire que la valeur propre de IC, est 2(a, q,)/(a, a ) ) sont de la forme q - Cpiai, où les pi sont non négatifs. Les poids de la représentation adjointe sont les racines, et la racine dominante I) = -a0 est une racine longue. Les caractères correspondants xs sont donnés par une formule due à Weyl, et se présentent comme des fonctions d’un vecteur x de dimension C variant dans le tore de Cartan

208

INVARIANCE CONFORME

IX.C.1

((2.20)

Dans cette formule mult(q’) est la multiplicité du poids q’ dans la représentation, et, dans la somme sur le groupe de Weyl, E ( W ) vaut plus ou moins, selon la parité de son expression en termes des réflexions génératrices. Le dénominateur admet une forme factorisée

(C.21) a>O

Le passage à la limite x

+ O,

donne la dimension de la représentation

(C.22) L’invariant quadratique de Casimir (à un facteur multiplicatif arbitraire près) a la forme (q + q m , q + 9,) - ( s m ,s m ) = (9,q + 2qm)

(C.23)

I1 ne suffit cependant pas à caractériser la représentation quand le rang e est supérieur à un. Considérons les polynômes dans les composantes des poids, et parmi eux distinguons ceux qui sont invariants par le groupe de Weyl comme l’invariant quadratique ci-dessus. Ces derniers peuvent être à leur tour exprimés comme des polynômes en e polynômes fondamentaux qui généralisent la forme quadratique (q,q). Leur degré est donné dans la dernière colonne de la table III. Le degré le plus élevé est le nombre de Coxeter h, le produit de tous les degrés est l’ordre du groupe de Weyl, et le double de leur somme est dim(G) e, où dim(G) est la dimension de l’algèbre de Lie. Si l’on soustrait l’unité à ces degrés (obtenant ce que l’on appelle des exposants), on retrouve les indices des éléments diagonaux non nuls (avec leur multiplicité) apparaissant dans les fonctions de partition invariantes A-D-E discutées dans le texte. La table inclut également une colonne donnant le nombre de Coxeter dual g, qui est la valeur de l’invariant de Casimir quadratique (C.23) dans la représentation adjointe, lorsque l’on normalise à l’unité la racine longue. Rappelons qu’on a h = g pour les groupes .simplement lacés. Observons au passage qu’on a la formule suivante due à Freudenthal

+

(C.24)

IX.C.1

209

INVARIANCE CONFORME

où ( ( Y c ~ ( Y ~est ) le carré de la longueur d’une racine longue. La table inclut une colonne donnant la dimension de l’algèbre, une autre donnant l’ordre du groupe de Weyl, et une dernière donnant la structure des quotients du réseau des poids par le réseau des racines, considérés comme groupes additifs (l’ordre étant detAij) On pourrait généraliser la discussion précédente aux algèbres de KacMoody infinies admettant des matrices de Cartan dégénérées, ou de façon globale à des “groupes de lacets” (c’est-à-dire des applications du cercle dans un groupe de Lie) et leurs extensions centrales. Nous nous bornerons à suggérer cette généralisation, en présentant les modèles dits de WessZumino-Witten. Ces derniers sont caractérisés par le fait qu’une symétrie globale est étendue en symétrie locale (ou symétrie de jauge). On verra que ces modèles ont une structure reliée à l’invariance conforme. C.2 Modèles de Wess-Zumino-Witten Le modèle O non linéaire à deux dimensions est une théorie des champs massive, asymptotiquement libre, et globalement invariante par un groupe de symétrie continu. Essayant de trouver un point fixe infrarouge non trivial, Witten a été conduit, dans le cas où le champ u prend ses valeurs dans un groupe de Lie compact G, à ajouter un terme topologique qui suggère perturbativement l’existence d’une telle théorie critique. Afin de simplifier la discussion, nous supposerons que le groupe de Lie compact possède une algèbre de Lie simple (qui sera ensuite étendue sur les complexes). Le terme topologique possède la structure typique d’une anomalie que l’on rencontre en étudiant un modèle de fermions couplés à un champ de jauge. Nous n’insisterons pas ici sur cet aspect bien qu’originellement cette construction bosonique ait eu pour but de trouver une équivalence bosonfermion dans le cas non commutatif. Le point de départ est l’action du modèle O X>O

((7.25)

Nous supposons que la quantité u prendses valeurs dans une représentation unitaire fidèle de G et le symbole Tr représente la trace dans cette représentation, à un facteur approprié près. Comme on a la relation ((7.26)

et que pour u unitaire, u-’a,u est une matrice antihermitienne dans la représentation de l’algèbre de Lie, on voit que S(O) est positif (le poids de Boltzmann doit être compris comme exp -S). La même formule montre que tout ce dont on a réellement besoin est d’une forme invariante bilinéaire sur l’algèbre de Lie, que l’on peut identifier à la forme unique de ce type (d’où

dim

IWI

C(C+ 2)

(e + l ) !

Poids/Racine

2/(C+ 1 ) 2 q 2 e 1) 2eC! 2/22 C(2C+ 1) 2eC! 2/22 L(2C - 1) 2[-1C! C pair: 2 / 2 2 x 2 / 2 2 C impair: 2 / 4 2 14 12 id. 52 1152 id. 78 51840 2/32 133 2903040 2/22 248 696 729 600 id.

+

g

degrés des invariants

C + l 2,3, ...,C + i 2C-1 2,4, ...,2C C + l 2,4, ...,2C 2(C - 1)2,4,. . . ,2(C- l ) , l

4 9 12 18 30

2,6 2,6,8,12 2,5,6,8,9,12 2,6,8,10,12,14,18 2,8,12,14,18,20,24,30

Table III : Données concernant les algèbres de Lie simples.

IX.C.2

INVARIANCE CONFORME

211

la restriction à une algèbre de Lie simple), à un facteur multiplicatif près. Ainsi

Tr(u-’a,u)(u-’a,u)

(u-laau’ .-laau)

(C.27)

NOUSnormaliserons la forme bilinéaire en convenant que la longueur des racines longues est prise égale à l’unité. On verra plus bas l’intérêt de ce choix non conventionnel qui doit être présent à l’esprit, si l’on veut comparer les expressions qui vont suivre à celles d’autres auteurs. Dans un système de coordonnées arbitraires, ou dans un espace courbe de métrique g a b , le lagransen dans ,s’(O) est remplacé par l’expression invariante conforme +jgubTr(&u-’ûbu). En tout cas il est invariant par un groupe global de la forme G x G, par la substitution u 4 u-l ainsi que par toute réflexion dans le cas de la métrique de l’espace euclidien. Afin de justifier l’addition du terme S ( l ) ,on compactifie l’espace euclidien en une sphère bidimensionnelle que nous désignons ici C2 pour éviter les confusions (il faut bien entendu tenir compte d’un changement éventuel u(z)donne une image de de système de coordonnées). I1 en résulte que 2 C2 dans le groupe, qui peut être déformée continûment en un point (l’énoncé précis est que le deuxième groupe d’homotopie 7r2(G) s’annule), de sorte que nous pouvons étendre u(x)à une application u(y) de la boule B (l’intérieur de la sphère unité de l’espace tridimensionnel) dans le groupe. Ceci nous permet d’écrire un second terme -f

où w est la 1-forme w = u-ldu. Dans la seconde expression, les produits doivent être compris à la fois comme des produits extérieurs sur les formes et des produits intérieurs sur les représentants des éléments de l’algèbre de Lie (ainsi W,,W = [w/\,w] apartient a l’algèbre de Lie). L’extension de C2 à B n’est pas unique. En recollant deux telles extensions sur la sphère C2, on voit que la différence entre les valeurs possibles de S ( l ) est donnée par une intégrale similaire portant sur une sphère C3, correspondant à un élément d’une classe du troisième groupe d’homotopie 7r3(G).Dans le cas de groupes de Lie simples, ce dernier admet un générateur unique et les deux valeurs de S(’) ne peuvent difféEr que par un multiple de l’intégrale sur ce générateur. La normalisation de Tr ou de la forme bilinéaire ( , ) est choisie de façon telle que cet arbitraire se réduit à un multiple entier de 27ri. Cet arbitraire n’affecte donc pas exp --S(’) pourvu que le coefficient 6 soit un entier. Nous devons donc avoir

212

IX.C.2

INVARIANCE CONFORME

((7.29)

Pour comprendre le sens de cette restriction, consis irons par exemple un sous-groupe SU(2) dans G et représentons de façon fidèle u sous la forme expi$a.n où n est un vecteur unitaire sur C2 de coordonnées (sin O cos ‘p, sin O sin ‘p, cos O), avec O I: 8 < 7r, O 5 ‘p < 27r. Ici a désigne les matrices de Pauli et $ varie entre O et 7r. Cette paramétrisation utilise bien sûr le fait que SU(2) est topologiquement équivalent à C3. Tenant compte de ce que w = u-ldu, un calcul simple donne l’expression (wA,w,,w) = 6(03, a3) sin2 $d$,

sin8dOAd’p

Le générateur du troisième groupe d’homotopie est donné par l’application identité C3 + SU(2). Comme sin2 $d$,,

sin OdBAd’p= 27r 2

nous avons dans ce cas (C.30) Le générateur a3 est équivalent à l’élément IC, intervenant dans les équations (C.5)’((7.6). Pour la cohérence de l’intégrale de chemin, il s’ensuit que la condition de quantification est que, pour toute racine c y , i k ( k , , k a ) soit un entier. Mais ( @ , a = ) (ka,ka)= 4/(ICa,ICa). Ainsi pour toute racine a , le coefficient k dans l’expression (C.28) doit satisfaire à

IC E ( a , a ) 2

(C.31)

La condition la plus forte correspond au cas des racines longues. Nous avons fixé par convention la normalisation de la forme quadratique de façon que (ae,ae)= 1, ce qui entraîne que k doit être un entier. Le même calcul montre que IC pourrait encore être restreint si G n’est pas un groupe simplement connexe. Par exemple si G est le groupe SO(3) au lieu de SU(2), le coefficient k doit être pair. Bien que la 3-forme ( W ~ , W , , W ) soit fermée mais non exacte, nous pouvons la paramétriser de façon telle qu’elle apparaisse localement comme la différentielle d’une 2-forme (non uniforme). Pour S U ( 2 ) par exemple nous pourrions écrire

87r

‘p sin2 $d$A

sin 8dO

IX.C.2

INVARIANCE CONFORME

213

qui est une intégrale non uniforme sur un espace bidimensionnel avec des singularités à û = O et x . Nous décidons donc que l'action totale est la somme

s = s(0)+ $1)

((3.32)

et calculons sa variation afin d'obtenir les équations du mouvement classiques

Cette variation ne fait intervenir qu'une intégrale bidimensionnelle. En utilisant des coordonnées complexes { z , 2 ) , on en déduit

+

(A-' - ak) 8 ( u - ~ ~ u (A-' )

+ $ k ) d ( u - ' ~ u )= O

((2.34)

Quand le facteur X satisfait à la condition A=-

4

(C.35)

lkl

nous avons soit 6' (u-ldu) = O si k est positif, soit a (u-ldu)= O si k est négatif. Prenant k > O pour fixer les idées, une solution classique se factorise sous la forme uciass = uï( z ) ~ , '

(z)

(C.36)

Pour cette valeur de A, l'action totale prend la forme

tandis que

S(U+SU) = S ( U )+ k

(~-~S~,d(u-'du))

(C.37b)

Posons ut = ue-tH, où H est un élément de l'algèbre de Lie. En utilisant les identités précédentes, on peut intégrer S(u,) de zéro à un et obtenir l'identité remarquable

214

INVARIANCE C O N F O R M E

S(1Lv-l) = S ( u )

+ S(v-1) + IC

s ‘B

- (v-ldv,u-ldu)

IX.C.2

((2.38)

De plus si nous déformons une solution classique ul(t, z)iiZ’(t, 2) de paramètre t variant de t = O à 1 de telle sorte qu’à t = O elle soit l’identité et qu’à t = 1 elle prenne la valeur ( C . 3 6 ) ,on déduit de l’équation (C.37b) que l’action reste constante et en fait égale à zéro. L’équation ( C . 3 8 ) montre alors que, pour le choix particulier X = 4/ lkl, l’action est invariante par le groupe de jauge G z @ G,

u ( z ,z) 4 u1(z)u(z, z)Q(z)

(C.39)

La question est maintenant de comprendre comment cette symétrie est représentée au niveau quantique. Si 1,011 garde X et IC comme paramètres, un calcul à une boucle montre qu’au premier ordre, la fonction ,LI de CallanSymanzik s’a~iiiuleencore pour X = 4/ Ilcl, tandis qu’elle révèle une anomalie quantique (un terme de Schwinger) dans les commutateurs des courants qui engendrent la symétrie (C.39). Plutôt que de chercher à déduire de l’intégrale de chemin les réponses non perturbatives précises, on peut essayer de trouver un ensemble cohérent de fonctions de corrélation compatibles, en utilisant les identités de Ward de l’invariance conforme conjointement à celles de l’invariance de jauge. Les courants conservés J ( 2 ) = $ICudu-l

dJ=O

J ( z ) = $ku-ldu

dJ=O

(C.40)

prennent leurs valeurs dans l’algèbre de Lie et les lois de conservation qui expriment l’analyticité de J (l’antianalyticité pour J ) ne constituent qu’une reformulation des équations du mouvement classiques (si nous remarquons que a J = -u(dJ)u-’). Comme dans le cas du tenseur-impulsion énergie, ces lois de conservation doivent être comprises pour des insertions dans les fonctions de corrélation, à des termes de contact près. Dans une variation infinitésimale du type ( C . 3 9 ) ,où O ( z ) et fi@) sont des éléments infinitésimaux de l’algèbre de Lie, le champ se transforme selon

u ( z ,2 ) -t u(2,z)- O ( z ) u+ un@) u-1(2, 2 ) -+ u - y z , 2 ) - n(z)u-l + u-1O(z)

(C.41)

Ces relations sont endendues en termes d’une représentation matricielle fidèle. A leur tour les courants se transforment selon ((7.42)

rx.c.2

INVARIANCE CONFORME

215

Tenant compte du fait que les courants sont eux-mêmes les générateurs de transformations de jauge infinitésimales, on interprète ces équations comme un énoncé concis, équivalent à l’existence de deux algèbres de KacMoody infinies, exactement comme l’équation (47) engendrait les algèbres de Virasoro. Jusqu’ici J et 7 sont considérés comme des champs classiques intervenant comme arguments dans des fonctions de corrélation. En d’autres termes, leurs coefficients dans un développement sur une base de l’algèbre de Lie sont des quantités commutantes. Si un champ A se transforme suivant une représentation de G, 8 Gz, l’équation ((7.26)implique que sa variation infinitésimale s’écrit

SnA(z’, 2’) =

/

( O ( z ) ,J ( z ) )A(z’,2’)

(C.43)

où le contour encercle le point z’. On a évidemment l’analogue pour la variation SQA. Cette formule est entièrement parallèle à l’équation (41) correspondant à une transformation infinitésimale de coordonnées. Nous l’appliquons maintenant à la variation du champ J ( z ) et développons J sur une base ta de l’algèbre de Lie, avec

(C.44) Les constantes de structure totalement antisymétriques sont définies par [ t a , t b ] = ifabctc

(C.45)

Dans une représentation unitaire, les générateurs t sont hermitiens et coïncident dans le cas de S U ( 2 ) avec $ca.L’équation ((7.43) se traduit par le développement à courte distance

J ” ( z ) J b ( z ’ )= ‘IC

fia b

( z - 2’)2

+-i ( z - 2’)J C ( z ‘ )+ . . .

(C.46)

où les termes omis représentent des termes réguliers, et on a utilisé l’antisymétrie des constantes de structure. Le premier terme du membre de droite représente l’anomalie quantique, analogue de la charge centrale pour l’algèbre de Virasoro. Le développement est en accord avec le caractère commutatif des coefficients J a ( z ) (c’est-à-dire qu’il est invariant dans un échange simultané ( a , z ) e ( b , z ’ ) ) .Pour abréger, nous omettons la contrepartie dans la variable 2. La formule (C.46) est complétée par celles donnant la relation avec le tenseur-impulsion énergie, et exprimant que J ( z ) a pour poids conformes (1,O)

T (z)T(z’) =

C

2( z - 4

4

+ ( 2 -2z’)2 T(2’) +

1 ~

(2

- 2’)

dT( 2 ’ ) + . . . (C.47)

216

INVARIANCE CONFORME

T ( z ) J " ( z ' )=

1

( z - z')2

P(z')+

1 ~

(z - z')

aJa(z') + ..

IX.C.2 (C.48)

En utilisant la quantification radiale, on peut définir des opérateurs correspondants ? ( z ) , j(z), agissant sur les champs conformes, et donc aussi sur l'espace vectoriel des états. Nous développons ces opérateurs en série de Laurent de puissances de z et omettons, pour alléger les notations, le chapeau sur les opérateurs coefficients

Les développements à courte distance sont alors équivalents à l'ensemble des relations de commutation

Cette dernière équation définit l'algèbre de Kac-Moody, la seule extension centrale, à équivalence près, de l'algèbre du groupe des lacets [ j g , j & ] = ifabcjn+m. A nouveau nous sous-entendons les contreparties en 2, correspondant aux mêmes valeurs de k et e. L'unitarité d'une représentation requiert

(J:)+ = JEn

(C.51)

Un champ primaire, créant un état de poids dominant, sera caractérisé par une paire de poids conformes (h,h) relativement à l'algèbre de Virasoro, aussi bien que par une paire de représentations de dimension finie (R,'IZ) pour les algèbres de Lie finies {J,"} , { @ }. Celles-ci peuvent aussi être indexées par leur poids dominant. Un tel champ évalué à l'origine (et avec dépendance dans la variable conjuguée), lorsqu'il agit sur le vide, engendre un état fondamental Ih,R) annihilé par les opérateurs L, et J," pour n positif. Compte tenu de la spécificité de modèle, nous nous attendons à ce que le tenseur impulsion-énergie s'exprime en termes des courants J et que la charge centrale soit reliée au groupe G et au niveau k . De fait, classiquement le tenseur impulsion-énergie est quadratique dans les courants, forme suggérée à la fin des années soixante par Sugawara (dans un contexte fermionique), et élaborée par de nombreux auteurs. Exprimée en termes d'opérateurs, cette relation s'écrit T(Z)

1

=-

2x

: a

P(z)P(z) :

(C.52)

IX.C.2

INVARIANCE CONFORME

217

pour une valeur appropriée du coefficient x. L’ordre normal requiert que les opérateurs d’indice n < O soient placés à gauche des opérateurs d’indice n 2 O. Partant de la forme diagonale du produit scalaire sur l’algèbre de Lie, l’expression (C.52) est le seul candidat pour un invariant quadratique (ainsi que T doit l’être). On note l’analogie avec le câs d’un champ scalaire, où T était proportionnel à ( 3 ~ )I1~est . ici proportionnel à son équivalent Tr 3u-ldu. La constante x intervenant dans (C.52) est fixée par une condition de cohérence entre algèbres. Pour le voir, appliquons les deux membres de l’équation à un état de poids dominant J h , R ) où h dénote la plus petite valeur de Lo. Ne retenons que les termes en z-’. Ceci s’écrit (C.53) et donne ce que l’on pourrait appeler un état singulier, si l’on pense en termes du module engendré par l’ensemble des opérateurs { L-n} { J-m} Ih, R). Agissant successivement avec L1 et Ji”,on trouve

Pour utiliser les relations de commutation (C.50)’ nous remarquons que l’opérateur CbJob JO,agissant dans la représentation irréductible R de poids dominant qa, donne la valeur correspondante de l’invariant quadratique de Casimir

+ 2%)

((2.55)

c 7 7 .= (977.7972

tandis que, d’après (C.45)’ la quantité analogue dans la représentation adjointe est

(C.56)

= (-(Yo,

-a0

+ 2%)

&,,c,

On peut vérifier que c a d j n’est pas autre chose que le nombre de Coxeter dual (rappelons que (ae,ae) = 1). Revenons aux équations (C.54)’ nous trouvons

218

IX.C.2

INVARIANCE CONFORME

et par conséquent le facteur de normalisation 22 prend la valeur

(C.57)

22=k+g tandis que le poids conforme est relié à la représentation

R par (C.58)

Dans le cas du groupe SU(2), si nous caractérisons la représentation par son moment angulaire j , sachant que g prend la valeur 2 (ainsi qu’il résulte de (C.55) en faisant l’identification f a b c -t &abc ou en utilisant la relation CR = j ( j 1) pour j = 1)’nous avons 22 = IC 2 et h = j ( j l ) / ( k + 2). La valeur de la charge centrale est obtenue en demandant que l’état vide soit invariant par le groupe G , et a par conséquent un poids h = O. En calculant

+

+

+

et en utilisant les règles de commutation de l’algèbre de Kac-Moody, on trouve en insérant la valeur de x obtenue précédemment k c = dim(G)k+g

((7.59)

Ici dim(G) est la dimension de l’algèbre de Lie de G. Dans le cas de SU(2), on a donc c = 3 k / ( k 2). En général, pour les groupes simplement lacés, c varie entre le rang du groupe (correspondant à k = 1) et sa dimension quand k tend vers l’infini. La construction s’étend sans peine aux algèbres de Lie semi-simples par produit direct et peut même inclure des facteurs abéliens (avec une valeur correspondante g = O), et elle coïncide alors avec la théorie du champ libre compactifié sur un cercle. I1 existe plusieurs généralisations de la construction précédente. Nous nous bornerons à décrire ici une observation remarquable faite par Goddard, Kent et Olive. Supposons que l’algèbre de Lie simple G contienne une sousalgèbre simple H. Soit k le niveau de G (l’entier caractérisant l’anomalie dans l’équation (C.51~)). Quand on se restreint à la sous-algèbre, le niveau peut différer de k dans le rapport de racines longues. En effet si (at, at) = 1 pour G, la restriction de la forme quadratique à l’algèbre de Lie H donne en général une valeur fractionnaire pour la normalisation de sa racine longue. Supposons que les premiers indices au nombre de dim(H) se réfèrent à H . On a alors les expressions suivantes des tenseurs impulsion4nergie

+

IX.C.2

219

INVARIANCE CONFORME

((7.60)

diin( H )

Par conséquent, les charges centrales correspondantes sont données par

CG

k = dim(G) -

k

C H = dim(H)-

+ QG

k' k'

+ gH

((7.61)

où (C.62) est plus grand ou égal à k , puisque ( a c , a c ) ~ / ( a e , c . rest c ) ~un entier. Des règles de commutation (C.50b),il résulte que L,(G/H) E L,(G) - L,(H) commute avec les courants de la sous-algèbre H, et donc aussi avec L,(H). Ainsi l'algèbre de Virasoro relative à G se scinde en deux parties qui commutent TG

= TH

+ TG/H

((7.63)

Comme les charges centrales sont additives, on obtient pour le modèle quotient G f H

Supposons les représentations unitaires. Si CGIH = O, la représentation correspondante est triviale, et les représentations des algèbres de Virasoro et de Kac-Moody pour G et H sont équivalentes, en dépit de leur allure très différente. Ceci conduit à des constructions opératorielles non triviales. Par exemple si G est un groupe de Lie simplement lacé, si IC = 1, et si H est le tore abélien maximal (correspondant à la sous-algèbre de Cartan) nous avons CG = CH = rang de G = e. Ainsi CGIH = O, et nous sommes conduits à une présentation de la théorie non abélienne en termes de e champs scalaires périodiques, avec construction associée pour les courants restants (non diagonaux) en termes des exponentielles de ces champs scalaires. Une autre application est une construction de la série des représentations minimales unitaires de l'algèbre de Virasoro. Une possibilité est de considérer l'inclusion G = S p ( 2 ( m- 1))3 Sp(2(m - 2 ) )@ Sp(2) = H , le niveau original étant k = 1, et le sous-groupe héritant dans ce cas d'un niveau IC' = k = 1. Nous avons

220

IX.C.2

INVARIANCE CONFORME

CG

CH

(m - 1)(2m - 1) 6 = 2m - 5 m+l m+l 6 (m - 2)(2m - 3) 1 = 2m - 6 = m m

+

=

+

+

et par conséquent

(C.65~) Une autre possibilité est d’utiliser pour G le groupe SU(2) x SU(2) et pour H le sous-groupe diagonal SU(2). Dans G, les niveaux des deux facteurs peuvent être choisis à volonté. Le choix (m - 2 , l ) donne pour H le niveau ( m - 1), et pour la charge centrale

C(SU(2),,,4

3(m - 1) 3(m - 2) +1m m+l 6 =Im ( m 1)

xsU(2)l)/sLr(z),,,~l =

(C.65b)

+

c’est-à-dire une fois de plus la série unitaire minimale. Ces observations peuvent être utilisées pour compléter la preuve du théorème de Friedan, Qiu et Shenker, selon lequel les représentations de Virasoro correspondant aux valeurs de m entier plus grandes ou égales à deux sont les seules à être unitaires et de charge centrale inférieure à l’unité. C.3 Représentations et caractères des algèbres de Kac-Moody

Nous pouvons seulement ébaucher ici la théorie des représentations des algèbres de Kac-Moody. Nous nous limitons aux représentations unitaires, et montrons d’abord comment l’on retrouve dans un cadre algébrique le fait que le niveau k doit être entier (par opposition à la déduction topologique précédente) et quelles sont les restrictions supplémentaires sur la représentation R de G qui conduisent aux représentations dites intégrables de l’algèbre de Kac-Moody. Rappelons que pour l’algèbre de Lie de G dans la représentation adjointe, le poids dominant est la racine (longue) positive ,$ = -(Yo

(C.66)

Montrons alors que le niveau k est un entier non négatif tel que (C.67)

IX.C.3

221

INVARIANCE CONFORME

Bien que notre expression soit écrite avec la convention (+,+) = 1, nous avons rétabli ici une normalisation arbitraire, afin de rappeler que 2($, qR)/(+, +) est un entier non négatif. Pour démontrer cette propriété, considérons la sous-algèbre SU(2), dans l'algèbre de Kac-Moody, dans la généralisation évidente de la base de Chevalley-Serre, qui résulte des règles de commutation

k a , e-,] = -2e1, a

[ k g ,ef] = 2ef

[ O

-1

Ceci montre que les générateurs

peuvent jouer le rôle de

,ea,e-, respectivement, car ils interviennent comme générateurs de SU(2) dans les équations (C.56).La représentation de l'algèbre de Kac-Moody peut être décomposée en états de poids définis pour la sous-algèbre { J t } , qui satisfont à

Pour tout q dans cette décomposition, la quantité k - 2 ( a , q ) doit être un entier. Appliquons ceci & la racine dominante a = -a0 = et tenons compte de (+, $J) = 1. Nous trouvons que k - 2(+, q)/($J, +) doit être entier, et donc que k est aussi entier. De plus si l'état de poids dominant correspond à une représentation R avec un poids dominant q R , nous devons avoir

+

-a

e,

lsn) = 0

Dans le cas d'une représentation unitaire, (e;")'

= ea,. En conséquence

Ainsi k 2 2(a,qR)et la condition la plus restrictive provient de la racine dominante $J normalisée à l'unité, ce qui conduit à la restriction (C.67) sur les représentations R possibles.

222

INVARIANCE CONFORME

IX.C.3

Prenons par exemple SU(2), nous avons (q,qR)/(q, +) = j moment angulaire entier ou demi-entier. I1 s’ensuit que pour l’algèbre de KacMoody correspondante, notée Ai’), k doit être un entier non négatif tel que k 2 2 j 2 O. Nous conclurons cet appendice en décrivant les caractères des représentations unitaires des algèbres de Kac-Moody. Elles sont dérivées des modules formés de l’ensemble des états obtenus par action d’un produit d’opérateurs Z , ( n > O) sur un état de poids dominant IqR) et ses partenaires, donnant une représentation R du groupe de Lie fini sous-jacent G. Rappelons que nous avons une représentation associée de l’algèbre de Virasoro caractérisée par les valeurs

k

c = dim(G) -

(C.68)

k+g

de la charge centrale et du poids conforme h, où CR = (qn,q R 2q,) . Naturellement nous choisissons pour le niveau k un entier. Comme dans le cas de dimension finie, le caractère est une fonction génératrice des multiplicités des poids de G , intervenant à un degré n dans une décomposition sur des états diagonalisant la sous-algèbre de Cartan de {J,”} . Ecrivons ces multiplicités sous la forme mult,(q), et notons que la valeur correspondante de l’opérateur de graduation LOest h, = h n. Si x est un vecteur arbitraire dans l’espace des racines de dimension e, et si T est un nombre complexe dans le demi-plan supérieur, définissons le caractère par la formule

+

+

(C.69) où la somme sur q porte sur le réseau des poids de l’algèbre de Lie finie de G. Nous avons inclus un facteur exp(-&2in~c), comme dans le texte, de telle sorte que si on les applique au cas x = O, les formules précédentes deviennent

x ~ , k ( OT,) = TrR,k exp 2 i n ~(Lo - &c)

(C.70)

L’expression de Weyl-Kac des caractères (qui généralise l’équation ((7.20)) donne x comme un rapport de deux sommes sur le groupe de Weyl (fini) de G, selon

IX.C.3

INVARIANCE CONFORME

223

où, comme ci-dessus, q, est la somme des poids fondamentaux (égale à la demi-somme sur les racines positives) et les fonctions 0 généralisées sont

Dans cette formule C représente le réseau engendré sur les entiers par les racines longues, et s’identifie pour des groupes simplement lacés au réseau des racines. Nous avons rétabli une normalisation arbitraire pour la forme quadratique invariante. Naturellement lorsque k = O et R est l’identité, x se réduit à l’unité. I1 existe une forme factorisée pour le dénominateur dans l’équation (C.71)’ analogue à l’équation (C.21)’ qui conduit à des identités remarquables sur les fonctions 0, généralisant l’identité de triple produit de Jacobi (appendice A). Insérant la définition (C.72) dans (C.71)’ et divisant par un facteur commun égal à la quantité Gq,,, (x)apparaissant dans la formule de Weyl, nous obtenons plus explicitement

(C.73)

En particularisant cette formule à la valeur x = O, et en désignant par dim, la dimension de la représentation R de poids dominant q , on trouve

((2.74)

SU(2). Cette algèbre Comme cas particulier, considérons le cas où G possède une unique paire de racines fa,C est le réseau des racines aZ, le nombre de Coxeter dual est g = 2, et q, = $a. Alors qn = 2 j( $ a ) , qR q, = ( 2 j l ) ( $ a ) et y = p a où p prend des valeurs entières. Finalement dimqR ( k g)y = 2 j + 1 + 2(k 2)p. Le caractère s’écrit

+

+ + +

+

224

INVARIANCE CONFORME

IX.C.3

Posant comme dans la section (3.4)

N = 2 ( k + 2)

X=2j+1

(C.76)

on voit que cette expression coïncide avec celle donnée par l’équation (268)

où nous avons utilisé l’identité de Jacobi pour obtenir la seconde égalité. La construction de Goddard, Kent et Olive des représentations de la série unitaire minimale se traduit en une identité entre caractères de l’algèbre de Lie affine de SU(2) et de l’algèbre de Virasoro. Pour E = O ou +,cette relation s’écrit

où le prime signifie que la somme porte sur les valeurs de j’ telles que j - j’ est entier si E = O, et demi-entier si E = En particularisant pour x = O, et en utilisant comme dans (C.76) la notation (A,N),ceci s’écrit pour 15 X 5 m - 1 et 2~ = O ou 1

8.

Notes Une première discussion du rôle de l’invariance conforme est due à A.M. Polyakov, JETP Lett. 12, 381 (1970). L’algèbre de Lie infinie qui lui est associée dans le cas bidimensionnel a été introduite dans le cas des modèles duaux par M.A. Virasoro Phys. Rev. D1, 2933 (1970). On

1X.Notes

INVARIANCE CONFORME

225

trouve dans le livre de I.T. Todorov, M.C. Mintchev et V.B. Petkova, Conformal Invariance in Quantum Field Theory, Pubblicazione della classe di scienze della scuola normale superiore, Pisa (1978) des informations complémentaires sur des tentatives antérieures de formuler des théories invariantes conformes cohérentes. Les articles fondamentaux à l’origine des applications présentées ici sont ceux de A.A. Belavin, A.M. Polyakov, et A.B. Zamolodchikov, J. Stat. Phys. 34, 763 (1984) et Nucl. Phys. B241, 333 (1984). L’ouvrage collectif Vertex Operators in Mathematics and Physics édité par J. Lepowsky, S. Mandelstam et I.M. Singer, Springer Verlag, New York (1985) contient plusieurs contributions, parmi lesquelles celle de D. Friedan, Z. Qiu et S. Shenker sur les représentations unitaires des algèbres de Virasoro et superconformes, et leurs applications à la physique, et celle de A. Rocha Caridi sur les caractères correspondants. La formule du déterminant de Kac est annoncée par V.G. Kac, Springer Lecture Notes in Physics 94, 441 (1979). Nous avons suivi la démonstration de B.L. Feigin et D.B. Fuchs dans Funct. Anal. et Appl. 16, 114 (1984), 17, 241 (1983). Les articles de V.S. Dotsenko, Nucl. Phys. B235 [FS il] 54 (1984) et du même auteur avec V.A. Fateev, Nucl. Phys. B240 [FS12] 312 (1984) et B251 [FS 131 691 (1985) traitent des modèles minimaux et des fonctions de corrélations. La fonction de partition du modèle d’king sur un tore a été obtenue dans le travail de Ferdinand et Fisher, cité au chapitre II. La relation entre la charge centrale et l’effet Casimir sur un ruban est discutée par H.W.J. Blote, J.L. Cardy, M.P. Nightingale, Phys. Rev. Lett. 56, 742 (1986) et I. Affleck, Phys. Rev. Lett. 56, 746 (1986). J.L. Cardy a écrit un article de revue sur les applications statistiques de l’invariance conforme dans la série de Domb et Lebowitz, vol. 11 Academic Press, New York (1986). Quelques-unes de ses contributions importantes sont J. Phys. A17, L385 (1984), Nucl. Phys. B270 [FS 161 186 (1986) sur l’invariance modulaire, Nucl. Phys. B240 [FS 121 514 (1984) sur la géométrie semi-infinie, Phys. Rev. Lett. 54, 1354 (1985) sur la singularité de Lee et Yang. Les conséquences de l’invariance d’échelle dans ce cas avaient déjà été discutées par M.E. Fisher, Phys. Rev. Lett. 40, 1610 (1978). L’interprétation de la série principale des modèles minimaux dans le cas unitaire par D.A. Huse, Phys. Rev. B30, 3908 (1984) repose sur le travail de R.J. Baxter, J. Phys. A13, L61 (1980) et G.E. Andrews, R.J. Baxter et P.J. Forrester, J. Stat. Phys. 35, 193 (1984). Sur ce sujet, voir aussi A.B. Zamolodchikov, Sow. J. Nucl. Phys. 44, 529 (1986). La théorie des champs sur un tore est présentée dans un travail commun avec J.B. Zuber dans Nucl. Phys. B275 [FS 171 580 (1986) tandis que la classification A-D-E des modèles minimaux, énoncée comme une conjecture dans un travail avec A. Cappelli et J.B. Zuber, Nucl. Phys. B280 [FS 181

226

INVARIANCE CONFORME

1X.Notes

445 (1987), a été démontrée par ces mêmes auteurs dans Comm. Math. Phys. 113, 1 (1987), et indépendamment par A. Kato, Mod. Phys. Lett. A2, 585 (1987). Une relation importante avec les caractères affines est discutée par D. Gepner and E. Witten, Nucl. Phys. B278, 493 (1986), D. Gepner, Nucl. Phys. B287, 111 (1987), et une pièce du puzzle prouvée par D. Gepner et Z. Qiu, Nucl. Phys. B285 [FS 191 423 (1987) dans le cadre d’une discussion plus large. Un travail ultérieur dans la ligne des modèles intégrables est dû à V. Pasquier, Nucl. Phys B285 [FS19], 162 (1987). T. Eguchi et H. Ooguri ont généralisé les équations de Belavin-Polyakov-Zamolodchikov à des surfaces de Riemann de genre arbitraire dans Nucl. Phys. B282, 308 (1987). Des formules explicites pour les fonctions de corrélation du modèle d’king ont été obtenues par P. Di Francesco, H. Saleur et J.-B. Zuber, Nucl. Phys. B290 [FS20], 527 (1987). Frustrations et symétries sont étudiées par G. von Gehlen, V. Rittenberg, J. Phys. A19 L625 (1986), J.-B. Zuber, Phys. Lett. B176, 127 (1986) et J.L. Cardy, Nucl. Phys. B275 [FS 171 200 (1986). Les modèles d’Ashkin-Teller (J. Ashkin et E. Teller, Phys. Rev. 64, 178 (1943)), de Potts, et les modèles à six et huit vertex sont présentés dans le livre de R.J. Baxter, Exactly Solved Models in Statistical Mechanics, Academic Press, New York (1982). L’interprétation des modèles statistiques en termes de gaz de Coulomb est l’objet d’une revue de B. Nienhuis, J. Stat. Phys. 34, 731 (1984), où l’on trouvera des références aux contributions originales. En particulier les opérateurs combinés charge-monopole et leurs corrélations apparaissent dans le travail de L.P. Kadanoff et A.C. Brown, Ann. Phys. (New York) 121, 318 (1979). Leur étude dans le contexte conforme se trouve dans P. Di Francesco, H. Saleur et J.B. Zuber, J. Stat. Phys. 49, 57 (1987), S.K. Yang, Nucl. Phys. B285 [FS19] 183 (1987), S.K. Yang et H.B. Zheng, Nucl. Phys. B285 [FS19] 410 (1987). Les déviations à la criticalité sont examinées par A.B. Zamolodchikov JETP Letters 43, 730 (1986) et dans le travail de l’un des auteurs avec H. Saleur, J. Stat. Phys. 48, 449 (1987). Une référence aux fonctions elliptiques et modulaires, qui inclut les formules limites de Kronecker, est A. Weil Elliptic Functions according to Eisenstein and Kronecker, Springer Verlag, Berlin (1976). Le traitement des fermions dans le contexte de l’invariance conforme trouve son origine dans le travail de P. Ramond, Phys. Rev. D3,2415 (1971) et A. Neveu et J.H. Schwarz, Nucl. Phys. B31, 86 (1971). Pour la théorie des champs superconforme et ses applications à la physique statistique, on se reportera à la contribution de D. Friedan, Z. Qiu et S. Shenker dans le livre Vertex Operators in Mathematics and Physics déjà cité, et à leur article Phys. Lett. 151B, 37 (1985), ainsi qu’à M.A. Bershadsky, V.G. Knizhnik, M.G. Teitelman, ibid. 31 (1985), et H. Eichenherr, ibid. 26 (1985). P. Goddard, A. Kent et D. Olive, Comm. Math. Phys. 103, 105 (1986) et A. Meurman et A. Rocha-Caridi, Comm. Math. Phys. 107, 263

IX .Notes

INVARIANCE CONFORME

227

(1986) discutent la construction des caractères. La classification des modèles minimaux superconformes est explorée par D. Kastor, Nucl. Phys. B280 [FS 181 304 (1987), Y. Matsuo et S. Yahikozawa, Phys. Lett. 178B, 211 (1986), et A. Cappelli, Phys. Lett. 185B, 82 (1987). Les modèles de l’appendice C sont décrits par A. Polyakov et P.B. Wiegmann, Phys. Lett. B131, 121 (1983), et E. Witten, Comm. Math. Phys. 92, 455 (1984). La structure conforme est élaborée par V. Knizhnik et A.B. Zamolodchikov, Nucl. Phys. B247, 83 (1984), D. Gepner et E. Witten, Nucl. Phys. B278, 493 (1986), P. Goddard et D. Olive, Int. J. of Mod. Phys. A l , 303 (1983); ce dernier article passe en revue les algèbres de Lie et de Kac-Moody. La théorie des algèbres de Lie est décrite dans nombre de livres, parmi lesquels J.P. Serre Algèbres de Lie semi-simples complexes, Benjamin, New York (1966) et J.E. Humphreys Introduction to Lie Algebras und Representation Theory, Springer Verlag, Heidelberg (1972). Les algèbres de Kac-Moody et leurs représentations sont présentées par V.G. Kac Infinite Dimensional Lie Algebras, 2ème édition, Cambridge University Press (1985), qui contient de nombreuses références à la littérature mathématique. Finalement, il est bon de rappeler qu’une théorie des champs en termes de courants fut proposée par H. Sugawara, Phys. Rev. 170, 1659 (1968) et développée par de nombreux auteurs, comme une partie de l’algèbre des courants, avec des résultats qui anticipaient plusieurs de ceux décrits dans le présent chapitre, comme en témoigne l’article de R. Dashen et Y. Frishman, Phys. Rev. D11, 2781 (1975). Parmi les développements importants qui ne sont pas couverts ici figurent l’étude des corrélations de courants et leurs remarquables propriétés de monodromie, ainsi que la relation entre les constructions bosonique et et fermionique. L’invariance conforme des théories des champs bidimensionnelles a des applications importantes pour la théorie des cordes, un aspect qui sera brièvement décrit au chapitre XI.

CHAPITRE X

SYSTEMES DESORDONNES ET METHODES FERMIONIQUES

Les systèmes réels présentent des défauts de types variés. I1 est donc important d’examiner leur effet sur les résultats obtenus dans les cas purs. Dans la dernière section de ce chapitre, nous présentons le critère de Harris qui permet d’estimer si un faible désordre perturbe un système critique. A un niveau plus fondamental, on peut également chercher à mettre en évidence de nouveaux phénomènes intrinsèquement liés à la présence de défauts. Par exemple, la dynamique des dislocations dans un cristal peut expliquer la transition solide-liquide. De même dans l’étude du modèle X Y , nous avons été conduits à analyser le rôle des tourbillons. Les potentiels aléatoires dus aux impuretés produisent la localisation des fonctions d’ondes (Anderson, 1958)’ propriété qui est liée à la transition isolant-conducteur. La localisation apparaît aussi dans des circonstances classiques mettant en jeu des ondes optiques ou acoustiques. Ce sujet a suscité une intense activité. On ne peut toutefois pas prétendre à une compréhension complète à l’heure actuelle même si le cas d’un faible désordre est bien maîtrisé grâce à des arguments de groupe de renormalisation. L’influence des champs magnétiques a ouvert un nouveau domaine de recherche lié à l’effet Hall quantique. Les systèmes magnétiques à interactions aléatoires etjou frustrées ont aussi stimulé des développements très originaux. On s’attend à trouver une phase verre de spin où les moments magnétiques sont figés dans des directions aléatoires, ainsi qu’une pléthore d’états métastables ou “vallées’’ dans les valeurs de l’énergie libre. Les applications des méthodes développées pour traiter les verres de spin vont des réseaux de neurones aux supraconducteurs à haute température récemment découverts, en passant par les problèmes d’optimisation. Cette liste illustre la diversité du sujet. L’archétype des systèmes désordonnés reste la théorie des matrices aléatoires élaborée par Wigner et Dyson dans l’étude des spectres nucléaires à laquelle nous consacrons un ample paragraphe. Plus généralement dans ce chapitre, nous présentons des illustrations simples des méthodes de théorie des champs, et tout particulièrement de l’utilisation de variables anticommutantes. Ces morceaux choisis inciteront peut-être le lecteur intéressé à poursuivre l’étude de cette branche importante de la physique statistique.

230

SYSTEMES DESORDONNES

x.l

1. Modèles unidimensionnels 1.1 Le potentiel aléatoire gaussien Considérons le hamiltonien d’une particule quantique se déplaçant sur une droite en présence d’un potentiel aléatoire ayant une distribution gaussienne. Une méthode ingénieuse due à Halperin (1965) permet d’obtenir le spectre. I1 est intéressant de comparer ce résultat exact à celui fourni par la méthode heuristique des répliques qui est généralement utilisée dans ce contexte. Nous rencontrerons dans cette étude un exemple élémentaire de supersymétrie, dite symétrie BRS (Becchi-Rouet-Stora). Cette dernière apparaît dans le traitement des systèmes contraints et fut initialement formulée dans la quantification des théories de jauge. Outre les spectres on est, bien sûr, intéressé par diverses autres propriétés de ces systèmes comme la structure des fonctions d’ondes ou la moyenne de produits de fonctions de Green (afin d’obtenir des coefficients de transport). Malheureusement, ces questions sont en général très délicates et on ne connaît pas de solution analytique. Cependant un modèle désordonné discrétisé nous permettra de montrer, en toute généralité, que les fonctions d’ondes sont localisées à une dimension. Cette propriété est vérifiée dès que la partie aléatoire du hamiltonien ne présente pas de corrélations à longue portée. A première vue, nous semblons alors confrontés à un paradoxe. D’une part, nous obtenons un spectre moyen continu mais d’autre part, la présence de fonctions d’ondes localisées, donc normalisables, entraîne d’ordinaire un spectre discret. I1 est en fait vraisemblable que outre une partie discrète et une partie continue, le spectre de tels systèmes désordonnés contient génériquement une partie singulière, phénomène peu familier dans le cadre des applications élémentaires de la mécanique quantique. Notons que des propriétés similaires apparaissent lorsque le hamiltonien d’un système possède plusieurs périodes incommensurables. Ce serait, par exemple, le cas pour le spectre d’une particule dans un quasicristal. Soit donc le hamiltonien

H =

Ti2

2m

a2 + V ( x )

ax2

où V est un potentiel aléatoire, de valeur moyenne nulle, et n’ayant aucune corrélation entre points distincts. I1 s’agit certes d’un cas extrême mais qui a le mérite, comme nous l’avons signalé ci-dessus, de permettre un traitement exact. I1 faut ici distinguer les moyennes quantiques, notées avec des parenthèses, des moyennes sur le désordre, notées à l’aide de crochets. Le potentiel est décrit par un processus gaussien centré dont nous écrivons la fonction de corrélation sous la forme

x.l.l

231

SYSTEMES DESORDONNES

Plus précisément, on obtient toutes les moyennes à l’aide de la fonction génératrice (exp i

/

dxg(x)V(x)) = exp - i D

/

dzg2(x)

(3)

où g(z) est une fonction de carré intégrable. Nous allons chercher à calculer la moyenne sur le désordre de la fonction de Green à points coïncidants. Pour z complexe, introduisons la quantité

L’invariance par translation (et réflexion), après moyenne sur le désordre, montre que le résultat ne dépend pas du point x. Dans la limite où z tend vers l’axe réel, la partie imaginaire de G(z) donne la densité moyenne de niveaux d’énergie par unité de longueur, le nombre total de niveaux étant proportionnel à la taille du système. Précisément plaçons le système dans une boîte de longueur L avec conditions aux limites périodiques. Alors p(E), la moyenne sur le désordre de la densité de niveau, est donnée à la limite thermodynamique ( L + co) par 1 p ( E ) = Im-G(E - io) = ((x IS(E - H)I x))

(5)

n-

Le nombre moyen de niveaux par unité de longueur, qui ont une énergie inférieure à E, s’écrit alors

Comme le potentiel n’est pas borné, nous nous attendons à un spectre variant de -00 à +co. I1 est commode d’introduire des unités réduites pour les longueurs et les énergies en posant

v = A-2v x=T

h

A 3

m2

H

=z

A-2H

= A-2 (-LA 2

+V )

(7)

(V(z)V(y)) = 6( 3 - y)

E =A-2E Dans la suite, nous omettrons d’indiquer les barres. Dans ces nouvelles unités D et m/h2 prennent une valeur unité. A très haute énergie, le potentiel est négligeable. I1 est donc vraisemblable que le nombre total d’états par unité de longueur tende vers sa limite classique (un état par cellule AxAp/27r)

232

x.l.l

SYSTEMES DESORDONNES

& i

Efm

En revanche le comportement à E résultera de l'expression exacte.

-+ -00

est beaucoup moins intuitif et

1.2 Equation de Fokker-Planck Soit V une configuration du potentiel, $ la fonction d'onde correspondant à l'énergie E , solution de l'équation de Schrodinger. Cette dernière est donc une fonctionnelle de V. Sa dérivée logarithmique f vérifie une équation de Ricatti du premier ordre

Lorsque l'on interprète la coordonnée spatiale x comme une variable d'évolution, une analogie apparaît avec le mouvement brownien. Nous voulons exploiter l'indépendance des valeurs du potentiel évalué en des points distincts. Soit P(<,x) la densité de probabilité de f ( x ) 1 27r

P(<,x) = (6(f(x) - I)) = - /dae-'"t

(eiaf(z))

(10)

En dérivant par rapport à x la valeur moyenne du membre de droite et en utilisant l'équation (9)' on obtient ( f z ( x ) + 2E - 2V(z))ei"f(") La propriété caractéristique de la distribution gaussienne (3) nous donne avec D = 1,

En utilisant cet te expression dans la formule ci-dessus, on trouve

Intégrons maintenant l'équation de Ricatti pour des valeurs croissantes de x, en partant de la valeur de f en un point xo, que nous faisons tendre vers

x.1.2

233

SYSTEMES DESORDONNES

-00. I1 est clair que f(z) ne dépend que des valeurs de V pour y la fonction retardée définie par

et s’annulant pour y condition

< z. Soit

> z. D’après l’équation (9) cette quantité satisfait à la

dont une solution est donnée par

Lorsque y t z,

r(z,y) tend vers la limite apparemment mal définie

r(z,

=2qo)

(15)

Cette difficulté apparaît fréquemment dans ce type de problème. Pour la surmonter en préservant la symétrie z + -2, on peut discrétiser le modèle ou bien désingulariser la fonction de corrélation V - V en remplaçant la distribution 6 par une approximation u,(x-y) où u, est une fonction paire, positive, très piquée autour de l’origine, d’intégrale unité et tendant vers S quand E tend vers zéro. Cela revient à remplacer le facteur û(z - y) uE(z’)dz’ et û(0) par u,(z’)dz’. En dans (14) par l’intégrale J:iy conséquence e(o) est remplacée par moyenne entre û(-O) et û(+O), et donc 6f(z)/ôV(z) = ï ( z , z) = 1. Compte tenu de cette interprétation, nous obtenons en intégrant l’équation (il)par rapport à la variable a l’équation de Fokker-Planck pour la distribution P ( [ ,x)

i,

SOoo

où E joue le rôle de la variable de configuration et x celui du temps. L’équation implique la conservation de la probabilité totale J d[P(t, z) pourvu que P décroisse à E grand. Pour 2 tendant vers l’infini, P tend vers un processus stationnaire limx+oo P(<,z) = p ( t ) vérifiant

2 ($+ 2E + at

234

SYSTEMES DESORDONNES

x.1.2

Ainsi p ( t ) décrit une distribution de la dérivée logarithmique t = $ I / $ indépendante de x. En intégrant l’équation (17) par rapport à 6, nous obtenons

La constante po est déterminée par la condition de normalisation

qui implique

Nous voulons obtenir la relation entre p(E) et la densité spectrale p ( E ) .Dans ce but, réintroduisons la boîte avec x E (O, L). Etant donné une valeur Eo pour f (O) demandons que f ( L ) = EL. Nous obtenons un spectre discret E l , E2, . . .. Nous faisons alors tendre L vers l’infini et trouvons

On s’attend à ce que la limite du membre de droite soit finie. D’après l’équation (9)on a

-(af . BE

= O) = O

Si nous remplaçons dans cette équation d f / d E par la fonction g(x) définie par la relation

nous obtenons

Ainsi

et

x.1.2

SYSTEMES DESORDONNES

235

Notons que df / d E est négatif. En conséquence, la quantité

est reliée à la densité spectrale par

En procédant comme précédemment pour P ( [ ,z) on montre sans peine que

D’après l’équation ( 2 4 ) , P ( [ , z )se comporte comme zp(E) pour z grand, positif. Le membre de gauche de cette équation tend donc vers p ( E ) si z + +m, indépendamment de E. Multiplions les deux membres par ~ ( - 5 ) et intégrons sur E. En tenant compte de la normalisation de p ( < ) , nous obtenons

Une intégration par parties montre grâce à ( 1 7 ) que le second terme s’annule et nous obtenons la relation cherchée entre la densité spectrale et la probabilité p(E)

P(E) = 2

/

dEP(OP(-E)

(25)

On peut en fait déduire une formule plus explicite de l’équation (18). Dérivant cette dernière par rapport à E , on obtient

& = 2--d a p + (E2 + 2 E ) a?, d E + 2p ~IE a t a ~ Multiplions les deux membres par p ( [ ) et intégrons par rapport à [ en utilisant (18) et la condition de normalisation de p . On trouve

236

SYSTEMES DESORDONNES

x.1.2

I1 s’ensuit que Po = N ( E )

En insérant cette relation dans (18)’ nous voyons que N ( E ) est déterminé par les conditions

L’équation (27) n’est autre que la transformée de Fourier de l’équation d’Airy. En tenant compte de la condition sur le comportement asymptotique, sa solution s’écrit

La normalisation implique que

Choisissons - q comme variable d’intégration. Nous parvenons à l’expression finale de N ( E ) - l sous forme d’une intégrale

Quand E + 00, le terme en u3 peut être négligé par rapport à E u , et nous retrouvons le résultat semi-classique attendu comme l’indique l’équation (8). La méthode du col permet aussi d’estimer l’intégrale lorsque E -+ -00 et fournit l’estimation

I1 n’est pas surprenant de trouver que N ( E ) tende vers zéro rapidement quand E + -00. Toutefois, le comportement précis est moins prévisible. On parle parfois à propos de ces densités exponentiellement petites de “queue de distribution de Lifshitz”. Le comportement de N ( E ) est indiqué sur la figure 1. Observons que Jz/(E)-l est une fonction entière dont le développement s’écrit

N(E)-l =

7

100

3G

(-2.3*E)ny (2n6+ 1) n!

x.1.2

SYSTEMES DESORDONNES

237

Figure 1 : Densité d’états intégrée par unité de longueur pour un potentiel aléatoire gaussien.

I1 est instructif de retrouver l’équation de Fokker Planck (16) en utilisant un raisonnement valable pour des systèmes plus généraux. Poursuivons l’analogie qui consiste à considérer x comme une variable temporelle. Récrivons alors l’équation (9) sous la forme

V(x)= E

+ i (a, af + f ’)

Pour obtenir la probabilité E‘(<, x;
<

L’intégration sur porte sur les fonctions vérifiant <(xo) =
<

238

SYSTEMES DESORDONNES

x.1.2

où (d/dz)-l doit être compris comme la fonction de Green retardée ro(z, y) vérifiant a/azïo(z, y) = 6(z - y), soit îo(x,y) = û(x - y). Ainsi

Comme la distribution ï o est retardée, seul le premier terme du développement en série du logarithme donne une contribution non nulle. Nous avons déjà examiné le problème posé par la quantité mal définie ïo(y, y) = û(0) et conclu En conséquence, nous obtenons que sa valeur devait être prise égale à

i.

J

= JO exp

dyt

(33)

Nous remplaçons alors J par sa valeur dans l’expression (32) et absorbons JO dans la normalisation de l’intégrale fonctionnelle. Nous intégrons sur V en utilisant la distribution 6. Utilisant la notation pour d
i

L’intégrale fonctionnelle qui reste à effectuer est une expression familière de l’amplitude de transition euclidienne d’une particule quantique fictive décrite soumise au potentiel ( E ) * -t. Cette par la coordonnée <, de masse interprétation entraîne que P doit satisfaire à une équation de Schrodinger de la forme

4,

On peut remplacer l’expression (30) par l’équation

i it2+

x.1.2

SYSTEMES DESORDONNES

qui s’identifie à l’équation de Fokker-Planck ( 1 6 ) . Au passage nous avons aussi obtenu une représentation de la solution par une intégrale fonctionnelle et trouvé un lien naturel entre la dynamique quantique euclidienne et la théorie probabiliste du mouvement brownien. Profitons de cet exemple pour faire quelques remarques concernant le traitement du jacobien. Dans le cas précédent, nous avons pu le calculer explicitement. Cette situation n’est bien entendu pas la règle, mais le traitement que nous allons développer ci-dessous indique qu’il est possible de poursuivre les calculs assez loin en l’absence d’une expression pour J. I1 s’agit en fait de remplacer le jacobien J par l’intégrale fonctionnelle d’un poids de Boltzmann bien choisi. Supposons le changement de variables V ci 5 bien défini. C’est l’hypothèse cruciale qui, hélas, n’est pas toujours réalisée dans des situations plus complexes. Si cette hypothèse est vérifiée, le jacobien ne s’annule pas et la valeur absolue peut être omise, c’est-à-dire que J peut être considéré comme un déterminant. I1 admet donc une représentation par une intégrale fonctionnelle sur des variables anticommutantes S, et $

La contribution des fermions à l’action s’écrit

Nous obtenons alors un lagrangien effectif

Dans une variation arbitraire de

5, S,, $ il vient

Cette quantité s’annule pour

où 6a est une variable anticommutante, comme si Letf était supersymétrique. Ceci est l’exemple annoncé de la symétrie BRS qui apparaît lorsqu’une contrainte est introduite dans une intégrale fonctionnelle, avec le jacobien associé,

239

240

x.1.2

SYSTEMES DESORDONNES

celui-ci étant écrit comme une intégrale gaussienne sur des variables de Grassmann. Dans notre exemple la contrainte est fournie par l’équation dynamique

(9). La structure des variations (11) nous permet de définir un opérateur de dérivation s tel que, pour toute fonctionnelle A des champs, on ait

85

=$

s 4 = (ici+ t 2 )+ E )

s* = O

L’opérateur s échange les champs bosoniques et fermioniques et par itération s2t

=O

s2$

=O

(43)

Ainsi s est nilpotent (de carré nul) dès que vérifie les équations du mouvement ( i d / d z E ) 11, = O . Par référence à la théorie de la diffusion, on parle, un peu improprement, de condition de couche de masse. Dans certaines applications, il est avantageux de définir un opérateur réellement nilpotent, par exemple dans le contexte de la renormalisation où l’on voudrait caractériser les contretermes par la propriété d’invariance sA = O. On saura alors a priori que tout A de la forme SU vérifie cette condition et, dans certains cas, on obtiendra ainsi la solution la plus générale. Pour s’assurer que s2 = O , on utilise une représentation des distributions 6 en transformée de Fourier pour imposer les contraintes. Cela revient à ajouter au lagrangien un terme avec un champ multiplicateur de Lagrange a, initialement imaginaire pur, et à ne pas effectuer l’intégrale sur V. Le nouveau lagrangien effectif s’écrit alors $J

+

Len =iv”+a(:(i+52)+E-V)+4(’-+t)* d da: Sa variation

6 L e= ~ (V - a)6V

+ 6a (ici+ 5’) + E - V )

s’annule pour

et l’opérateur s devient s$ = Q

s<=*

s*=o

sa=o

sv=o

I1 est alors tel que s2 = O . Sous cette nouvelle forme, la définition de s ne dépend pas des contraintes. Celles-ci sont en fait codées dans le lagrangien effectif. La supersymétrie cachée de l’équation de Fokker-Planck n’a bien entendu de sens que dans le langage des intégrales fonctionnelles.

X.1.3

SYSTEMES DESORDONNES

241

1.3 La méthode des répliques La méthode des répliques est destinée, comme nous allons le voir, à permettre l’évaluation de moyennes comme celle de la résolvante (4). Remplaçons l’argument complexe z par E-io avec E réel, quantité que nous notons simplement E , en sous-entendant la partie imaginaire infinitésimale négative. Nous écrivons aussi G ( E ) pour ((x I[H - E]-’I x)). Si, au lieu d’opérateurs agissant sur un espace de dimension infinie, nous traitions des matrices de dimension finie, la quantité dont il s’agit de trouver la moyenne serait le rapport d’un mineur au déterminant de la matrice. Le potentiel aléatoire apparaît ainsi à la fois au numérateur et au dénominateur et conduit en général à des calculs inextricables. Nous cherchons un moyen de contourner cette difficulté. Interprétons tout d’abord ( H - E)-l comme le propagateur d’un champ scalaire auxiliaire. En utilisant l’invariance par translation de la moyenne sur le désordre, nous écrivons

G ( E )= L-03 lim

(1 L -‘L

d z (x 1 H2 -1 E x))

Le facteur i dans l’exposant est choisi en accord avec la prescription E - io pour assurer la convergence de l’intégrale. Apparemment nous n’avons pas beaucoup progressé car il nous faut toujours prendre la moyenne d’un logarithme. Remarquons cependant que si n est une variable continue

a

-Zn dn

-f

n-0

In Z

(45)

Pour tout entier n, Zn est la fonction de partition de n répliques, identiques et indépendantes. Elles contiennent le même potentiel aléatoire, lequel apparaît linéairement dans l’action. Cette propriété nous permet d’effectuer explicitement la moyenne sur la distribution gaussienne de ce dernier. Si le prolongement analytique en n a un sens, il fournit alors le résultat désiré

242

X.1.3

SYSTEMES DESORDONNES

(44). Cette méthode repose sur l’existence de ce prolongement analytique. I1 est donc intéressant de confronter les conséquences de cette hypothèse avec les résultats précédents. Notons que l’utilisation de la méthode des répliques dans l’étude des milieux désordonnés a des traits communs avec la technique utilisée dans la physique des polymères. Soit donc un champ à n composantes (bien sûr n est initialement un entier). Nous avons 2 d d G ( E )= lim -- lim L-+W L dE n-+O d n

L’action s’écrit

avec le lagrangien

C(@) = + ( d a y + (V - E ) @

(48)

Nous obtenons sans difficulté la moyenne sur V pour tout n puisqu’il s’agit d’une intégrale gaussienne. Nous supposons que le résultat conserve un sens pour n arbitraire. Ainsi

G(E)= lim L-00

2 d lim L dE n-+O d n

--

e n p i l i L da: [$(a@)’- E @ -:L

+ $(a’)’

1

(49)

En dimension supérieure à un, une expression similaire conduirait à une variante de la théorie ‘p4. Par chance, à une dimension, nous pouvons nous ramener à un problème de Schrodinger de la manière suivante. Pour L -00, i nous nous attendons à ce que l’intégrale de chemin possède un terme dominant de la forme exp -$iLe(n)

(50)

où e(.) désigne l’énergie de l’état fondamental d’une équation de Schrodinger associée. Les variables de configuration % sont les coordonnées dans un espace à n dimensions, et a: est encore une fois interprété comme un temps. Ainsi

X.1.3

243

SYSTEMES DESORDONNES

= {-A@

e(.)$(@)

+ 2E@’

-

i(@’))”)$(a)

(51)

Comme le potentiel est complexe, la notion d’énergie du fondamental implique un abus de langage. Si e(.) admet un prolongement analytique, on s’attend à un développement

e ( n ) = ne0 + n2e1 + . . . tandis que d G ( E )= -i-eo(E) dE

d -Reeo dE

(E)

(53)

Supposons que eo(E) s’annule quand E + -m. Nous obtenons ainsi la densité de niveaux intégrée par unité de longueur en termes du coefficient du terme dominant 1

N(E) = -Reeo(E)

(54)

7r

Pour tout n nous demandons que l’état fondamental soit invariant par le groupe de symétrie des répliques, ici O ( n ) . L’apparition d’une symétrie entre les répliques est a priori tout à fait naturelle. Dans ce contexte unidimensionnel, on n’attend pas de brisure de cette symétrie. Utilisons à la place du champ vectoriel @, la variable scalaire q=

(55)

2

et récrivons l’équation (51) en développant chaque quantité en puissances de n, ce qui explicite le prolongement analytique dans cette variable. En particulier, nous écrivons $ = $0 + n$i + . . . , et

{n

i

+ ne0 + n‘el + ...

I

+ nG1 + -..) = 2q

{

a2 -@

+ 2 E - 2iq

I

($0

+ n$1+

avec pour conséquence le système d’équations d2

{ -dq2

I$}

=O

+2E-2iq {eo

+

$O

=2q{

...

d2 -@

f 2 E - 2iq

I

$1

244

X.1.3

SYSTEMES DESORDONNES

Nous cherchons une solution + O ( q ) bornée au voisinage de l’origine, ainsi que sa dérivée, et tendant vers zéro à l’infini. La deuxième équation entraîne que eo est l’opposé de la dérivée logarithmique de $0 à l’origine

La première équation du système (57) admet un prolongement pour q sous réserve de poser +0(-4)

< O, (59)

= +O(Q)*

condition qui est compatible avec l’équation. Nous normalisons la solution en imposant la condition =1

(60) qui assure la continuité à l’origine. En tenant compte des équations (54) et (58)’ la discontinuité de la dérivée de $0 à l’origine produit un terme inhomogène. Dans l’équation vérifiée par le prolongement de +O à l’ensemble des valeurs réelles de la variable +O@)

nous reconnaissons la transformée de Fourier de l’équation (27) en posant

La condition $o(O) = 1 équivaut à demander que l’intégrale de p ( J ) soit l’unité. L’équation (59) entraîne que p ( c ) est réel (et positif) et l’équation (61) se traduit par une équation du premier ordre pour p ( < )

($+ 2 E + 2-d<

d,

p(<) =N(E)

<

Ainsi à la limite n + O , les variables q = $a2et sont conjuguées, et $o(q), p ( < ) sont reliées par une transformation de Fourier, résultat plutôt surprenant pour lequel nous n’avons pas d’interprétation simple. Nous concluons que dans cet exemple, l’emploi de la méthode de répliques est pleinement justifié. (i) Calculer Imeo(E) et montrer que

d

G ( E ) = - i-eo(E) dE

=$

(& #) -

- iap(E)

X.1.3

SYSTEMES DESORDONNES

L a solution $o(q) de l’équation (57) pour O < q est un point stationnaire de l’action effective

Si nous substituons nous obtenons

$0 à 1) et

< 00,

normalisée à $ 0 ( 0 ) = 1,

si nous intégrons par parties le terme cinétique,

La dérivée deo(E)/dE est égale à la dérivée partielle de S(7) par rapport à E évaluée pour 17 = $0

La partie réelle de cette équation équivaut à

qui est la formule (25). Appliquons maintenant le théorème du viriel sous la

où les valeurs à q = O sont en fait des limites quand q -+ +O. Comme $0(0)~= 1, et (d$o(0)/dq)2 = e:, une intégration par parties montre que la dernière intégrale vaut -ideo(E)/dE d’après (67). Ainsi

. de0 i-+eg=2E dE qui est la relation désirée entre la partie réelle de eo(E) (c’est-à-dire v , V ( E ) ) et sa partie imaginaire. En prenant la partie imaginaire de deux membres, nous obtenons

dN +

- 2NImeo = O dE qui est la relation (64).

245

246

X.1.3

SYSTEMES DESORDONNES

(ii) Exprimer H ( E ) à l’aide des deux solutions indépendantes AZ(x) et

B i ( z ) de l’équation d‘Airy d2u ,322 = xu et montrer que 23

N(E)=

{

n2 A i ( - 2 + E ) 2

(71)

+ Bi(-23E)2

(iii) Montrer que le second coefficient e i ( E ) dans le développement ( 5 2 ) de e ( n ) est donné par

et que sa valeur permet d’estimer les fluctuations du spectre autour de sa moyenne p ( E ) . Plus précisément, dans une boîte de taille L , où L -+ CO, définissons le nombre de niveaux vL(E)dE d’énergie entre E , E d E . Nous avons

+

avec

‘J

e o ( E ) = lim : dE’p(E’) ln(E‘ - E €-+O

1

e l ( E ) = € ; lim -+O 2i~S”E;dE:.(E;,E:)ln(Ei

+ ie)

-E+iai)ln(E2-E+isz)

(74)

où nous prenons la branche principale du logarithme avec la coupure le long de l’axe réel négatif. En particulier pour E -t +CO e1 N

-1 +-+...9 -

4(2E)

16(23)5

(75)

1.4 Réseau aléatoire unidimensionnel Comme second exemple, nous allons étudier le laplacien sur un réseau aléatoire unidimensionnel. De tels réseaux ont été introduits en dimension quelconque pour rétablir des symétries continues en moyenne tout en conservant un facteur de coupure ultraviolet. Nous renvoyons le lecteur au chapitre XI pour une discussion détaillée. Ici nous n’introduisons un tel réseau

X.1.4

SYSTEMES DESORDONNES

247

aléatoire qu’en tant qu’exemple élémentaire de système désordonné discret à une dimension. Ce modèle est une variante de celui des chaînes harmoniques aléatoires introduites et étudiées par Dyson (1953). Considérons un ensemble de N points choisis au hasard et indépendamment dans un intervalle de longueur L avec une probabilité uniforme. Dans la limite où N et L tendent vers l’infini à densité S = l/a = N / L fixée, les intervalles successifs e entre points consécutifs deviennent des variables indépendantes obéissant à une loi de Poisson de p(e)de = -,Pela a Nous utiliserons dans la suite l’échelle de longueur microscopique a comme unité de longueur, de sorte que nous poserons 6-l = a = 1. Les N points engendrent un réseau et nous définissons le laplacien d’un champ scalaire ‘p défini sur les sites du réseau par la relation

(Ap)n =

Vn+i - P n - p n - Pn-i en

en-i

(77)

Nous nous intéressons au spectre des valeurs propres R 2 O telles que

(A

+R)p =O

(78)

Soit p(R)dR la densité spectrale par unité de longueur, c’est-à-dire par site dans les unités employées. Elle vérifie la condition de normalisation

1”

dRp(S1) = 1

(79)

qui traduit le fait que pour N sites, à conditions aux limites données, l’opérateur possède N valeurs propres. Cette propriété reflète l’existence d’un facteur de coupure aux courtes distances et implique une décroissance suffisamment rapide de la densité spectrale à R grand. Contrairement au cas d’un réseau régulier, le spectre n’est pas borné. Nous verrons que la queue de la distribution p à grand R provient d’états localisés autour de régions (improbables) où les distances entre les points du réseau sont anormalement faibles. Nous pouvons en fait transformer le problème pour le ramener à celui d’un réseau régulier avec un potentiel aléatoire. Définissons les quantités Qn

=

P n + i - Pn en

où Qn correspond au gradient du champ p. Ces quantités vérifient alors 1’équation

Q n + i - 2Qn

+ Qn-i

= -WQn

(81)

248

SYSTEMES DESORDONNES

X.1.4

qui est une équation de Schrodinger à énergie nulle sur un réseau régulier avec un potentiel -Ren, où R joue le rôle d’une constante de couplage. Posons provisoirement (82)

w=-R

Pour w réel et positif, nous sommes sûrement hors du spectre, de sorte que les solutions croissent exponentiellement Qn

w>O

N

n-cc

On a omis un éventuel préfacteur dans (83) car il est sans importance dans la suite. Le facteur y(w) est appelé exposant de Lyapounov par référence à l’étude des instabilités dans les systèmes dynamiques classiques (comme précédemment, n peut être interprété comme un temps). La connaissance de y(w) nous permet d’obtenir la densité spectrale. Supposons que Qn soit donné en deux points consécutifs, par exemple n = O et n = -1. Résolvons l’équation ((81) par itération. On en déduit que pour n > O, Qn est un polynôme de degré n en w. Pour n grand, les racines de ce polynôme tendant vers l’opposé des valeurs propres R

Ainsi y(w) =

LW

dRp(R) ln(w

+ 0)

p(R) =-1 lim Im-(-0 dy TE-++O

- iE)

dw

La seconde formule (85) suppose implicitement un prolongement analytique de la fonction y(w), jusqu’au bord d’une coupure le long de l’axe réel négatif. Comme précédemment, nous transformons l’équation linéaire aux différences finies du second ordre (81) en une équation non linéaire mais du premier ordre, analogue discret de l’équation de Ricatti. En remplaçant R par -w, on pose

R, =-Qn+i Qn

~,=2+we,--

1

Rn-i

On déduit de (83) que R, se comporte comme expy(w) pour n + KI pour une configuration donnée des {e,}. Ainsi, en moyenne,

X.1.4

SYSTEMES DESORDONNES

249

y(w) = lim (lnR,) n-+m

1

p(R) = -1mT

d lim (In R,) dwn-+Ca

w=-n-ie

Tirons également de l’équation (86) une représentation intégrale pour la probabilité Pn(Rn)dRn que cette quantité prenne la valeur R, à dRn près, supposant donnée la valeur initiale Ro (nous choisissons Ro = 1 pour fixer les idées). I1 suffit pour cela d’observer que Rn-l ne dépend que des . .. qui sont indépendantes de Nous obtenons donc variables e,-,, un analogue discret de l’équation de Fokker-Planck

en.

(88) La condition Ro = 1 et la restriction w > O entraînent que le support de P, est inclus dans l’intervalle [l,CO]. Supposons que P, tende vers une distribution asymptotique pour n -+ CO. Cette distribution est alors donnée par la solution stationnaire P(R)

=lm lm dR‘P(R‘)

1

1

O

W

(89) W

Le raisonnement qui nous a conduits à l’équation précédente ne dépend pas de l’expression explicite de la loi de probabilité pour la longueur des intervalles pourvu que ces derniers soient des variables indépendantes. La résolution de (89) est rendue délicate par la présence de la fonction 8 sous le signe d’intégration. Si l’on parvient à tirer P ( R ) de l’équation (89) on obtiendra l’exposant de Lyapounov à l’aide de la relation y(w) =

iw

d R P ( R ) In R

(90)

Bien entendu P dépend du paramètre w. Plutôt que de chercher une solution complète de l’équation (89)’ il est intéressant de développer diverses méthodes d’approximation (qui ont un champ d’application plus vaste). Trouver yo(@) et po(S2) en l’absence de désordre, c’est-à-dire quand les variables e,, âu lieu d’être aléatoires, sont fixées à la valeur 1. Ainsi P ( R ) = 6(R - A) où A est la plus grande racine de l’équation à laquelle se réduit (86)

250

X.1.4

SYSTEMES DESORDONNES

A2 - ( 2

+ w)A + 1 = O

A=1

+SU+

I

(w+ $ u 2 )

(91)

I1 en résulte que

1

PO(R)

=z

1

-

["(1-$R)]2

1

*-O

1 [1+$2+.'.] I 2x02

O


(92)

Nous allons considérer deux limites complémentaires. La première est celle d'un faible désordre, la seconde celle des hautes fréquences. Si nous faisons l'hypothèse que les variables e, fluctuent peu, nous nous attendons à une approximation valable aux grandes longueurs d'onde, donc aux basses fréquences, les moins sensibles au désordre local. A cet effet, introduisons le paramètre X tel que

e, R,

(e,) + Xz, =A, exp (AB, + X2C, + X3D, + X4E, + = (en)

+ A (e, - (a,))

=

. -)

(93)

de sorte que ( 2 , ) = O . Si IZ -+ 00, A, tend vers la valeur A donnée par (C) . . ., les valeurs l'équation (91). Avec ces définitions et en notant (B), moyennes de B,, C,, . . ., on a y ( w ) = yo(w)

+ x ( B )+ X2 ( C )+ ...

(94)

On posera à la fin des calculs X = 1. Substituons l'expression (93) (avec A, remplacé par A ) dans l'équation (86). En utilisant (91)' on obtient

A2 [exp (AB, + X2C,

+ ...) - 11 =

X ( A - 1)2z, - [exp - (ABnw1 + X2CnW1 +.

.) - 11 (95)

Identifiant les puissances successives de A, on déduit les relations de récurrence suivantes

.. qui montrent l'utilité des développements lorsque A - 1 est très petit, c'està-dire w lui-même petit. Posons

X.1.4

251

SYSTEMES DESORDONNES

y=-

A-1 A+lZ

(97)

On a alors

(i) Obtenir les équations (98). (ii) Montrer que si l’on écrit

où les termes suivants impliquent des produits de deux moyennes de puissances de la variable aléatoire y ou plus. (iii) Vérifier que les termes les plus singuliers en A - 1 dans les contributions du cinquième et sixième ordre sont 3

( F ) =(Y2) A2 - 1 (G)

+...

(Y3)

(A2 - i)2

(Y3y

+ .. .

Nous tirons de ces expressions le comportement de y(w) pour w tendant vers zéro. Comme A - l = w z 1+

$

~

+

6

~ 92

+...

(103)

nous avons jusqu’à l’ordre w2 inclus

y(w) = W ; -

+&w2

+ [16 (2’) - 8 (z4) + 24 ( z 2 ) > + ” 24 ( z 2 ) (z3) - 15

iw

(2’)

- &wa

[16 - 16 (z3) 15 (z’)’]

+O(ua) (104)

252

X.1.4

SYSTEMES DESORDONNES

Spécialisons maintenant ces expressions au cas d’une distribution poissonnienne, et posons X = 1. On a dans ce cas

(2) =1

(z3) = 2

(z4) = 9

...

Par prolongement analytique Re?(-R - iE) = i R 1

Imy(-R - i&)

+ AR2+ O p 3 ) +o ( R ~ )

(106)

La correction dominante à la densité spectrale moyenne est donc

Cette méthode systématique permet théoriquement de calculer des termes d’ordre plus élevés dans le développement de p(R). La comparaison entre (107) et (92) est instructive. Dans les deux cas, le terme dominant est la densité de niveaux du laplacien dans le continu. La première correction est de signe opposé et seize fois plus petite dans le cas d’un réseau aléatoire. Ainsi, même à une dimension, le spectre d’un réseau aléatoire fournit une bien meilleure approximation du spectre continu à basse fréquence que celui du réseau régulier. Les équations (104) et (106) mettent aussi en lumière un phénomène nouveau et intéressant. Dans le cas d’un réseau régulier, le prolongement analytique y(-R - iE) est imaginaire pur lorsque E tend vers zéro pour des valeurs de R positives. Dans le cas d’un réseau aléatoire, il apparaît aussi une partie réelle positive. Cette quantité s’interprète naturellement comme l’inverse d’une longueur de localisation finie. Ainsi, avec une probabilité unité, lorsque R appartient au spectre, les fonctions propres sont non seulement oscillantes mais décroissent exponentiellement. Le comportement de cette longueur de localisation à R faible est de la forme 8

L(R) = R -

+ + O(R)

Naturellement L(R) devient infini lorsque R t O. Ceci exprime que la localisation disparaît à la limite continue. L’expression de la longueur de localisation nous donne une règle empirique pour trouver le domaine de validité de l’approximation de faible désordre. Cette dernière a un sens pourvu que la longueur de localisation soit grande devant la distance moyenne (e,) entre les points. Remarquons enfin que les intervalles e, pouvant être aléatoirement petits, le spectre n’est pas borné.

X.1.4

253

SYSTEMES DESORDONNES

Pour les hautes fréquences, nous avons besoin d’une méthode différente. La discussion précédente suggère que lorsque s1 tend vers l’infini, les états sont fortement localisés, de sorte que l’exposant y est déterminé par de petits groupes de sites. Pour w grand, traduisons cette propriété en tronquant le développement de R, en fraction continue, développement qu’on obtient à partir de l’équation (86),

1

R, = 2 + we, 2

+ wen-l

-

(109)

1

2

+ wen-l - . . .

Nous factorisons 2 +we, et prenons la moyenne de In R, sur la distribution de Poisson. Si y = 0.57722.. . désigne la constante d’Euler, nous obtenons

(142 +we)) = In2

+

Le)

-

(2

In !jw- y

+ - - - (”*+’ w

2.2!

w

(2)3-...](110)

3.3! w

Posons

C = e7 = 1.78107.et observons que pour p 2 1

On obtient ainsi

Le dernier terme, qui est le premier où apparaît la distribution de trois intervalles successifs, est d’ordre (In w ) ~ / et w~ négligeable dans un calcul à l’ordre w - ~Nous . trouvons donc dans la limite des hautes fréquences w

2

w

+ 1) c + -w (in 2c -1 W2 [(in % - il2+ r] - 41 + û

y(w)=ln

-

où la constante 77 est donnée par

( [el3)

254

SYSTEMES DESORDONNES

M ..

17 =

1

Nous concluons que pour R I d T dR

p ( ~ =) --Imy(-R

1

477n2(n + 1 ) 2 -+

cc

-

- ic)

= 0.13070..

a-00

-&

2

4

R2

R3

[

R

]+

- + - In - -

2c

[(in&-1)2+17-4-~2

1

+...

(115)

Les logarithmes apparaissant dans ces expressions sont dus à ce que la distribution de probabilités p(C) a une limite finie à l’origine. Pour R grand, la longueur de localisation tend vers zéro comme l / In R, justifiant ainsi la méthode. Au prix de calculs plus lourds, on peut obtenir d’autres termes dans ce développement asymptotique. Nous comparons les résultats ci-dessus à ceux d’une simulation numérique sur la figure 2. Observons que le comportement de p ( 0 ) en 2/R2 à l’infini est en accord avec le fait que p(R) soit intégrable. (i) Nous n’avons pas utilisé toute l’information contenue dans (89). On peut en fait extraire de cette dernière une solution analytique. A cet effet, posons P(R)dR = p(x)dx

R = l + C l

2 2 0

(116)

Utilisant cette notation, nous avons

wx2p(x) =

1-

1

(117)

Sup(0,z-1)

1-

et

d x p(x) = 1

Pour x dans l’intervalle (0,l) on a ainsi 1

012<1

P(X) =

1 exp - wx

où a est une constante positive déterminée par la condition de normalisation (118)

(119)

X.1.4

SYSTEMES DESORDONNES

255

Figure 2 : ( a ) Comparaison des développements à SZ petit ou grand (courbes continues) avec les données d’une simulation numérique (pointillés) pour la densité d’états intégrée. ( b ) Comparaison analogue pour l’inverse de la longueur de corrélation. ( c ) La densité d’états dans le continu (ligne continue), sur un réseau régulier (line brisée) et sur un réseau aléatoire (ligne pointillée). Pour obtenir p(x) lorsque x définie par la relation

2 1, nous substituons à

p(x) la fonction q(x)

256

X.1.4

SYSTEMES DESORDONNES Ainsi q(z) vaut 1 pour O intégro-différentielle

5

I

<

1 et est en général solution de l’équation

qui montre que q(z) est déterminée dans l’intervalle n valeurs sur O 5 I < n. Précisément on a

5

I

< n + 1 par

ses

La fonction q(z) est donc positive et décroissante. Elle se comporte comme /r(z)à l’infini. De plus

wl-x

n=l

Déduire l’expression y ( w ) et retrouver son développement à haute fréquence. Exprimer la solution de l’équation (122) en utilisant une transformée de Laplace. (ii) Obtenir les résultats précédents par la méthode des répliques.

2. Gaz bidimensionnel d’électrons en présence d’un champ magnétique 2.1 Niveaux de Landau

-

L’effet Hall quantique

Nous allons illustrer l’utilisation des variables anticommutantes sur un exemple inspiré de l’effet Hall quantique. Cet effet correspond à l’existence de plateaux dans la conductivité Hall en fonction d’un fort champ magnétique à température suffisamment basse. Expérimentalement, les électrons sont piégés dans une couche bidimensionnelle. La quantification de la conductivité Hall s’accompagne d’une chute brutale de la résistance longitudinale (ou de la conductance comme on le verra), les effets dissipatifs disparaissant au centre des plateaux. Rappelons quelques résultats élémentaires relatifs à un gaz d’électrons (charge e, masse m ) sans interactions, contraints à se déplacer dans le plan (x,y)en présence d’un champ magnétique transverse B. Les niveaux d’énergie sont quantifiés et fortement dégénérés (Landau). Choisissons un potentiel vecteur de la forme

choix de jauge dit symétrique. Le hamiltonien s’écrit

x.2.1

Ho = -(p 1 2m

257

SYSTEMES DESORDONNES

- eA)’ = --”

2m

[(a, + $.y>

+ (a,

-~

’1

B x ) (126)

Convenons pour simplifier que la charge soit positive et introduisons des variables X et Y sans dimension (127a) Remplaçons la donnée du champ magnétique par celle de la fréquence de Larmor w=-

eB 2m

(127b)

Le hamiltonien prend alors la forme

=hw

[(-a + $) (à + $ 2 ) + +]

où 1,011 a introduit une notation complexe

a- = - a

a=- a

z=X+iY

az

az

Les opérateurs

vérifient les relations de commutation bosoniques [a,at] = 1

(131)

e = O, 1,2’.. .

(132)

[a,a] = [ U t ’ a+] = O

En conséquence, le spectre de Landau s’écrit

Et = hw

(e+ a)

A la limite thermodynamique ce spectre est infiniment dégénéré, l’espace propre associé à l’énergie Et étant engendré par les fonctions d’onde I , m = 0 , 1 , 2,... Les fonctions d’onde du niveau fondamental vérifient

(133)

258

SYSTEMES DESORDONNES

x.2.1

et on a une base orthonormale de solutions qui s’écrit zrn

e-t~/2

= --

m = O, 1’2,. . *

Jmr&

(134)

Ces fonctions engendrent l’espace de Bargmann-Fock de fonctions entières après factorisation de e - i Z Z / f i G u0,o (cf chapitre II). Nous absorbons ce facteur dans la définition de la mesure de sorte que d2z dp(z) = -e-’’

(135)

7r

où d2z = dRe z dIm z . (i) Donner l’expression explicite des fonctions définies par l’équation (133). (ii) Examiner la signification du nombre quantique m. Quelles sont les conséquences de l’invariance par translation et par rotation? On tiendra compte des changements de jauge correspondants. ~ à une distribution de (iii) Montrer que pour m grand, U O , correspond probabilité concentrée dans une couronne de largeur A(?) E f i autour du rayon moyen r2 = m 1e-(~2-m)2/2m

e-r’T2m

Iu0,m12 =

~

am!

N

m-oo

a

&GE

(136)

En déduire que le nombre d’états du niveau fondamental, dans un disque circulaire d’aire A = a R 2 ,est donné asymptotiquement par le rapport du flux B A au quantum de flux cpo = h / e

N = -e B A 2ah

(137)

si on revient aux unités de départ. Ce résultat est en fait indépendant du choix de la base et de la forme du contour pour N grand. Son interprétation est claire. Le flux magnétique à travers l’aire A multiplié par la charge électrique est le produit de N par la constante de Planck h. De manière équivalente, 2 a N est l’augmentation (1/2n) $(e/fL)A. d x de la phase de la fonction d’onde quand on parcourt la frontière de l’échantillon. Montrer que ces résultats s’étendent au cas des niveaux excités.

Le point important est la dégénérescence macroscopique des niveaux de Landau en l’absence d’interactions, dès que la longueur caractéristique

x.2.1

259

SYSTEMES DESORDONNES

d%/eB (qui est la racine carrée de l'aire associée au flux élémentaire 90)est petite devant la taille du système (c'est-à-dire quand N donné par l'équation (137) est grand). Cette dégénérescence donne lieu à des effets non triviaux. Considérons une situation idéale où nous négligeons toute interaction des électrons entre eux et avec le substrat. Nous ignorons également les contributions des spins électroniques que l'on suppose alignés le long du champ magnétique intense. Enfin, nous supposons le mouvement confiné dans un plan. Introduisons un champ électrique infinitésimal E parallèlement à ce plan (donc orthogonal au champ magnétique B ) . Classiquement, ce champ peut être compensé par un mouvement uniforme du gaz d'électrons à une vitesse v choisie de manière à annuler la force de Lorentz e ( E v A B ) . Cet effet purement cinématique est indépendant de la charge. La vitesse correspondant e

+

v=-

EAB B2

engendre un courant de Hall donné par j H = env =

en

-E

B2

AB

(139)

où n est la densité (superficielle) de charge. Ce courant ne donne lieu à aucun effet dissipatif (jH.E = O). En notation matricielle

où ZH est la matrice de conductivité (ici antidiagonale)

Nous ajoutons un terme ohmique phénoménologique diagonal a 0 pour tenir compte des impuretés et des interactions. La matrice de conductivité totale est donc

et son inverse, la résistivité, s'écrit

Dans la limite où a 0 est négligeable, nous avons un paradoxe apparent : ozz et pzz tendent simultanément vers zéro. Considérons le cas où le potentiel chimique est situé entre deux niveaux de Landau, ce qui signifie que les niveaux de nombre quantique C = O, 1,

260

x.2.1

SYSTEMES DESORDONNES

. . ., L sont totalement remplis et les autres sont vides. D’après l’équation (137)’ la densité électronique est

eB n = -(L 2nfi

+ 1)

I1 s’ensuit que la constante de Hall, le terme antidiagonal quantifié selon

(144) OH

=

gZy,est

Soit 5 la section transverse de l’échantillon, et I le courant longitudinal total. En ignorant les effets de bord, la densité de courant est j = I / < ,tandis que si VHest la différence de potentiel transverse, le champ électrique E = v H / [ . Finalement, indépendamment de la géométrie et de tout autre paramètre

Ces valeurs sont les plateaux de l’effet Hall quantique (entier). En fait on observe aussi d’autres plateaux pour des valeurs fractionnaires du nombre d’occupation des niveaux de Landau et on pense qu’ils sont dus aux interactions entre les électrons. L’effet Hall quantique, manifestation spectaculaire de la mécanique quantique à l’échelle macroscopique, tire une partie de son importance du fait qu’il implique des constantes fondamentales et peut permettre une détermination extrêmement précise de ces dernières. Ceci tient à ce que l’on observe que les valeurs (146) ne sont pas modifiées par la présence d’impuretés variées ou par l’effet d’une température finie mais faible, et sont mesurées avec une étonnante précision. La description ci-dessus est bien sûr quelque peu caricaturale. Naïvement, on pourrait penser qu’un certain nombre d’états sont localisés par différentes sortes de défauts - impuretés ... - et donc ne contribuent pas à la conductivité. Des arguments de topologie et d’invariance de jauge montrent que le domaine de validité de (146) s’étend au-delà du cas idéal et s’applique aux situations réelles moyennant certaines hypothèses (cf appendice -4).Cependant, la largeur des plateaus dépend des conditions expérimentales et une théorie complète doit pouvoir aussi expliquer le comportement observé. Nous étudierons ici seulement l’effet des impuretés sur la densité d’état (Wegner 1983). I1 apparaît que le problème admet une solution analytique intéressante.

2.2 Spectre à une particule en présence d’impuretés Cherchons à décrire l’effet des impuretés sur les niveaux de Landau. En pratique, nous nous limiterons au cas du niveau fondamental C = O, et à

x.2.2

261

SYSTEMES DESORDONNES

celui d’un champ magnétique suffisamment intense, pour pouvoir ignorer les excitations, l’écart fLw entre les niveaux étant supposé beaucoup plus grand que les perturbations considérées. On prendra pour modèle des impuretés un potentiel aléatoire V(x) ajouté au hamiltonien (126). En utilisant les unités réduites définies en (127)’ nous écrivons

H=Ho+V

(147)

On suppose les corrélations du potentiel à courte portée et même, à la limite, de portée négligeable. L’origine des énergies est choisie en général en demandant que

bien que, dans certains cas, il soit plus commode d’ignorer cette condition. Notre hypothèse de localité sur les corrélations se traduit sur la fonctionnelle caractéristique par l’expression (exp -i

1

d 2 x a ( x ) V ( x ) ) = exp

1

d2zg(cu(x))

(149)

La fonction g ( a ) s’interprète comme la transformée de Fourier de la distribution de potentiel en un site expg(a) =

1

dVP(V)eëiav

Ainsi un bruit gaussien correspond à

(i) Un modèle poissonnien d’impuretés aléatoires est décrit par une densité uniforme p de centres diffuseurs de portée nulle (Friedberg et Luttinger, 1975). La densité de probabilité de trouver N centres aux points XI, . . ., X N dans un domaine d’aire A est donnée par l‘(xi,. . . , X N ) = eëPdpN/N!

Le potentiel d’intensité X s’écrit N

V(x) = x

S(X

i=l

Montrer qu’il en résulte que

- Xi)

(153)

262

x.2.2

SYSTEMES DESORDONNES (ii) Une distribution lorentzienne de potentiel

X P ( V )= -

I

7r (V2

+ X2)

correspond à une fonction g non analytique

Comme précédemment, nous obtenons la densité spectrale moyenne par unité de surface à l’aide de la résolvante

Cette résolvante est représentée par une intégrale fonctionnelle sur un champ complexe cp selon

zJD(cpp)cp(x’)p(x’)expiJdZxp(E+io1

H)cp (158)

où le facteur de normalisation s’écrit 2=

J

D(cpp)expi

J

d 2 x p ( E+ io - H)cp

(159)

Ces notations abrégées anticipent sur le fait que l’action effective est l’intégrale d’une densité locale. Dans la suite, la partie imaginaire infinitésimale de l’énergie sera sous-entendue. Elle est en accord avec le choix de signe dans l’exponentielle. Au lieu d’utiliser la méthode des répliques pour effectuer la moyenne sur le désordre, nous exposerons une autre méthode qui paraît plus satisfaisante mathématiquement. A cet effet, nous représentons 2-l’ qui n’est autre que d et ( E - H ) , par une intégrale fonctionnelle sur un champ fermionique complexe auxiliaire ($,

4)

2-’ = det(E - H ) = /D($q)expi/d’x$(E

-

H)$

(160)

On peut interpréter l’introduction de telles variables fermioniques en notant qu’un tel champ complexe est équivalent à la soustraction de deux degrés de liberté bosoniques. En conséquence

x.2.2

263

SYSTEMES DESORDONNES

Sous cette forme, nous pouvons calculer la moyenne sur V grâce à l’équation (149) en choisissant a(x) = p(x>cp(x) $ ( x ) $ ( x ) . Cependant avant d’effectuer cette opération, nous introduisons l’approximation qui consiste à négliger les transitions induites par le potentiel entre niveaux de Landau distincts. Ainsi dans l’intégrale (161)’ les seuls états qui contribuent correspondent au niveau fondamental. Cela revient à n’intégrer que sur les champs ‘p et vérifiant les conditions

+

+

Ainsi c p = e -1~ ”- u ( z )

+ = e-;Zz

v(z)

(163)

où u (bosonique) et v (fermionique) sont holomorphes en z (fi et fi sont antiholomorphes). Nous n’avons pas inclus de facteur T - ~ dans / ~ (163) pour préserver la symétrie entre les intégrales bosoniques et fermioniques. Le jacobien correspondant à ce choix de base vaut l’unité car les contributions des bosons compensent celles des fermions. Après moyenne sur V , nous obtenons donc

où l’action S s’écrit

S=

I

d2zeëZZ{i&(fiu + fiv)

+ y(e-”(fiu

+Vu))}

(165)

Utiliser l’invariance par translation (accompagnée d’une transformation de jauge) pour montrer que, dans l’approximation où on ne conserve que le niveau de Landau fondamental, toute la dépendance spatiale de la résolvante moyenne peut être factorisée sous la forme

264

x.2.2

SYSTEMES DESORDONNES tandis que

est indépendant de x.

L'action S est supersymétrique. Pour le voir, introduisons outre des coordonnées commutantes z , z,deux coordonnées 8, anticommutantes normalisées de telle sorte que

e

J dûdëe-eë = ï / r

(168~)

afin de maintenir le parallèle avec /d2ze-"'

(168b)

=T

Nous définissons un super-champ holomorphe 4 (et son conjugué (p antiholomorphe) comme une fonction de z et 0 qui traite u et v sur un pied d'égalité

Ainsi

Le premier terme est invariant par les "rotations" dans le super-espace, rotations qui contiennent aussi bien des transformations ne mélangeant pas z et e que des transformations qui s'écrivent sous forme infinitésimale

se = zw se = zw

sz = we

sz = ew

+

Ces transformations laissent la forme quadratique zZ û e invariante. Ici ( w , W)est considéré comme un paramètre anticommutant infinitésimal. Fait remarquable, le deuxième terme de l'action (170) est lui aussi invariant. Pour le voir, supposons que g(a) admette un développement en série M

gnan

= n=l

Notons que g(0) est nul comme conséquence de la normalisation de la loi de probabilité du potentiel. Si on ne dispose pas d'un développement comme

x.2.2

SYSTEMES DESORDONNES

265

(172)' on approchera g ( a ) par des fonctions régulières. Nous avons ainsi une série de termes d'interaction de la forme

Par un calcul explicite on montre qu'on a l'identité suivante [T

/

dSd8e-0ëd;q5] - -T n

/

dûdeeëneë(d;q5)n

(174)

Etablir la relation (174).

'Introduisons la fonction h ( a ) ,associée à g(a)par m

h ( a )=

%Y"

n=l

n

=

JO"

(175)

où la propriété g(0) = O est cruciale pour assurer que h ( a ) est bien défini. Avec cette notation, l'action s'écrit

qui est explicitement invariante dans les rotations du super-espace. Cette propriété est à l'origine des simplifications spectaculaires qui vont apparaître dans le calcul de l'intégrale fonctionnelle. En utilisant l'invariance par translation dans le super-espace telle que

montrer que

( 4 ( z , e ) 4 ( z f , e f ) )= Cexp{zz'

+e#}

où C est la quantité, indépendante de la position, que nous voulons calculer

Noter que l'équation (177) signifie qu'on a

(177)

266

x.2.2

SYSTEMES DESORDONNES

Nous évaluerons la fonction à deux points (q5$), dans un développement perturbatif qui utilisera au mieux le formalisme supersymétrique holomorphe. Le propagateur est l’inverse de l’opérateur apparaissant dans la partie quadratique de l’action. Pour toute fonction super-holomorphe, nous avons l’identité

e’) =

f(z’,

s

d2zdf3d8f(z, e) exp { z‘Z

+ 0’8 - Z Z - 6’8}

(180)

qui généralise le noyau reproducteur de l’espace de Bargmann. Nous en déduisons que le propagateur est proportionnel à exp(z’z 0’8). Les interactions proviennent du second terme de l’action (176). Un vertex d’ordre 2n contient un facteur gaussien exp -n { Z Z e#} . Illustrons les règles de Feynman par le calcul de la contribution à une boucle à la valeur moyenne (4$) (figure 3).

+

+

Figure 3 : Contribution à une boucle à la valeur moyenne ($$). Dans le cas d’un bruit blanc gaussien

g(a) = -+wd le calcul fait apparaître (i) le produit de trois propagateurs ( i / ~ &exp ) ~ { zf

h(a)= -awa2

(181)

+ ea + <(+ ww +
(ii) un facteur de vertex

-rw exp -2 { <( + WG} (iii) un facteur de symétrie égal à l’unité (le champ est complexe), (iv) enfin une intégrale sur les variables et w, qui conduit à

<

(-Tw) exp { zz’ x

/

+ eë’}

d2
(182)

x.2.2

267

SYSTEMES DESORDONNES

Nous obtenons le préfacteur exponentiel attendu qui contient toute la dépendance dans les variables externes. I1 reste à effectuer l’intégrale gaussienne sur le super-espace. Sa valeur est égale à l’unité. Cela provient d’une compensation parfaite entre un déterminant bosonique et un déterminant fermionique qui, en vertu de la symétrie entre les variables z et 8, sont identiques. Ici nous retrouvons les intégrales précédentes

s

d2<exp

--
7r

s

dwdW exp -wW = 1f n

(183)

Le phénomène observé sur cet exemple se produit à tous les ordres. La combinaison des facteurs de vertex et des propagateurs conduit à des intégrales gaussiennes sur le super-espace. I1 apparaît des termes linéaires et ,quadratiques dans l’exponentielle. Une fois le préfacteur at tendu factorisé, il ne reste qu’une intégrale gaussienne supersymétrique qui comme précédemment, et pour les mêmes raisons, vaut l’unité. En clair, tout diagramme donne exp(z.2 + 88’) multiplié par un facteur que l’on obtiendrait dans une théorie à zéro dimension. La réduction dimensionnelle, d + d - 2 , est caractéristique de la supersymétrie sous-jacente dans ces questions. Elle fut observée pour la première fois par Parisi et Sourlas dans un contexte différent (section 5). La conclusion de cette discussion est que nous obtenons l’expression suivante pour la moyenne de la résolvante

La quantité considérée est le quotient de deux intégrales, chacune portant sur le plan complexe de la variable 9. Rappelons que E = E - ihw. Comme

dt exp 7r {iEt

+ h(t)}

(185)

on obtient explicitement la densité d’états sous la forme

où g ( a ) , définie par l’équation (150), représente l’effet du désordre local. A titre d’illustration, nous allons évaluer l’expression (186) pour les différents exemples introduits plus haut. Le lecteur vérifiera les intégrales correspondantes. Nous réintroduisons également le facteur dimensionné

268

x.2.2

SYSTEMES DESORDONNES

eB K=TL qui jusqu’ici était pris égal à l’unité. (i) Bruit blanc gaussien (figure 4) g ( a ) = - w z1a

v=

2

K

2

p(E)= - T2 1‘

(187)

; ; w K2

( E - ;tiw>

eV2

+ (2r-i :s

dzex2)2

I

1

1

1

I

2.0

1.0

O

1.0

2.0

-

Figure 4 : Courbe de la densité d’états normalisée p ( E ) / p ( O ) en fonction de v dans le cas d’un bruit gaussien (équation (188)). Le nombre total d’états est s d E p ( E ) = K 2 / 2 r . A grande énergie, p ( E ) décroît comme

en accord avec une analyse semi-classique. Au centre de la bande, v nous avons

+

O,

qui ressemble à une gaussienne mais plus aplatie. (ii) Distribution poissonnienne de centres diffuseurs à courte portée (figure 5) g ( a ) = p(eëixa - i)

21r

v = -(E

-

ihw)

XK2

K2

1

p ( E ) = -ImF(v)

F ( v ) = dv In

[l“

7rX

{

d t exp ivt - f

21r

f = - (191)

1’

$(l - e-ia)}]

x.2.2

269

SYSTEMEÇ DESORDONNES

Nous avons supposé que le paramètre A, qui décrit l’intensité du potentiel, était positif. Le nombre f sans dimension mesure la densité d’impuretés par unité d’aire embrassant un quantum de flux. On observe des singularités quand f prend des valeurs entières comme indiqué sur la figure 5 qui représente la densité d’états intégrée. Le spectre correspond à des valeurs v > O. Quand v + O, nous trouvons

(1 - f)6(v) 1

B(f)vf-2

+ A(f)v-f + .. . +...

+ . ..

O < f < i f = l

1< f < 2 f =2 f >2

(192)

Evaluer les constantes apparaissant dans les développements asymptotiques singuliers ci-dessus

O < f < l

Le phénomène le plus frappant se produit pour O < f < 1, où une fraction 1- f des états du niveau de Landau fondamental n’est pas affectée par la présence des centres diffuseurs. Comme le montre la figure 5, la densité d’états présente des singularités plus faibles aux autres valeurs entières de U.

(iii) Distribution lorentzienne (équations (155)-( 156)). La densité d’états est, comme P ( V ) ,une lorentzienne

La discussion précédente, même si elle conduit à des résultats plutôt intéressants concernant la densité d’états, ne fournit cependant pas d’éléments pour expliquer la robustesse des paliers de l’effet Hall quantique. Elle ne clarifie pas non plus ce que l’on doit entendre par localisation en présence d’un champ magnétique.

270

SYSTEMES DESORDONNES

x.3

Figure 5 : la densité d’états intégrée du modèle poissonnien pour différentes valeurs de la densité d’impuretés f. (u) f = ( b ) f = 1 (c) f = a2 .

3. Matrices aléatoires Wigner, Dyson et d’autres ont suggéré de comparer le spectre de systèmes complexes comme des noyaux lourds, avec ceux de hamiltoniens aléatoires, possédant des distributions aussi générales que possible, compte tenu des symétries. Le principe fondamental est que ces lois soient invariantes par un groupe de transformation, tenant à la structure de l’espace de Hilbert des états. Ce groupe est soit le groupe unitaire, soit le groupe orthogonal réel quand on impose une condition de réalité (comme la symétrie par renversement du temps) ou bien le groupe unitaire symplectique.

x.3

271

SYSTEMES DESORDONNES

Si on introduit des hypothèses supplémentaires ad hoc comme l’indépendance statistique des éléments de matrice dans n’importe quelle base, la loi de probabilité est déterminée à un facteur multiplicatif près. Certaines propriétés caractéristiques de ces ensembles statistiques, en particulier l’écart entre niveaux successifs, donnent une représentation très fidèle du nombre de spectres observés depuis ceux des atomes et noyaux jusqu’à la distribution des zéros non triviaux de la fonction zeta de Riemann. A vrai dire on ne possède pas de bonne théorie qui explique cet accord. Ces observations suggèrent une certaine forme d’universalité spécifique aux systèmes discrets, dont le mécanisme n’est pas encore totalement compris.

3.1 Loi du demi-cercle Nous entreprenons notre étude par l’exemple le plus simple. I1 concerne des matrices hermitiennes N x N . Les éléments de matrice vérifient Hij = H;i pour 1 5 i , j 5 N . Nous nous intéressons à la limite N 4 CO. Sous les hypothèses mentionnées plus haut, la loi de distribution est une gaussienne N

P ( H ) d H = cst exp - { $ p N Tr H2}

dHii

i=l

n

d ReH, d ImH,

l
(195) Le préfacteur est déterminé par la normalisation. L’introduction du facteur N dans l’exponentielle fait que la limite N + CO peut être étudiée à ,O fixé. Ce point sera justifié plus bas. L’ensemble statistique décrit par (195) est l’ensemble gaussien unitaire. Nous voulons analyser la distribution p(A)dA des valeurs propres, où A est la matrice réelle, diagonale, des valeurs propres, H étant diagonalisée à l’aide d’une matrice unitaire U

H = UtAU (196) Pour fixer les idées, nous supposons que U est unimodulaire; il reste cependant encore N - 1 phases indéterminées. Pour exprimer la distribution p(A)dA à partir de p ( H ) d H , nous développons H au voisinage d’une matrice diagonale A en écrivant U sous la forme U = I + iSK, où SK est une matrice infinitésimale hermitienne de trace nulle. Au premier ordre H = A i [A, SKI . Nous introduisons cette paramétrisation dans (195) et calculons le jacobien associé. En séparant l’intégrale sur le groupe spécial unitaire, nous obtenons

+

p(A)dA = cst

n

l
r (Xi - Xj)2exp

N

l

n

dXi

(197)

Montrer que dans le cas orthogonal réel, la distribution des valeurs propres s’écrit

272

X.3.1

SYSTEMES DESORDONNES

tandis que pour le groupe unitaire symplectique on a

Dans tous les cas, nous nous intéressons aux propriétés asymptotiques de ces distributions quand la taille N des matrices tend vers l'infini. Les expressions ci-dessus suggèrent une interprétation en termes d'un gaz coulombien unidimensionnel avec des interactions logarithmiques entre particules. Définissons en général la fonction de partition

Les valeurs a = 1 , 2 , 4 correspondent respectivement au cas orthogonal unitaire et symplectique. Le calcul de Z(a,B) donne la normalisation de la distribution p(A)dA. Remarquons que a > O correspond à un potentiel répulsif à courte distance. Plutôt que d'essayer de calculer Z explicitement, nous allons obtenir son comportement asymptotique en utilisant la méthode du col. Ordonnons les Xi par valeurs croissantes comme indiqué en (200) et introduisons une variable x = i/N qui prend ses valeurs en des points équidistants dans l'intervalle [O, 11. Pour N grand, x tend vers une variable continue et 1

-

F(X.) l
1

=JO

(

F X

-Nl
(2) -

1

dxF(X(x)) =

s_,

+O0

d MX ) F( X)

Cette relation définit une densité p(A) de valeurs propres telle que

(201)

X.3.1

273

SYSTEMES DESORDONNES

L’action prend la forme

dX i X 2 p ( X ) - ;a

dXdX‘p(X)p(X‘) In IX - A’[

(203)

Le point stationnaire en p nous donne une approximation thermodynamique pour Z ainsi que pour la distribution de valeurs propres. Introduisant un multiplicateur de Lagrange pour tenir compte de la contrainte de normalisation (202)’ nous obtenons

où nous supposons que X appartient au support de p(X). La condition de normalisation suggère que ce support est borné. Dans la suite, nous chercherons donc une solution de ce type. En dérivant les deux membres de l’équation (204) par rapport à X nous obtenons

où le signe devant l’intégrale signifie qu’il faut prendre une partie principale et où X appartient toujours au support de p . I1 est commode d’introduire une fonction F ( z ) analytique hors de ce support et se comportant comme z-l à l’infini

D’après l’équation (205)’ quand z tend vers X appartenant au support de p avec une partie imaginaire infinitésimale positive, F ( X io) tend vers 2X/Xi - irp(X), tandis que, hors du support de p , F(X)est réel. I1 est clair que ImF(z) < O pour Imz > O. Les ensembles statistiques considérés sont invariants dans la symétrie H c) - H , de telle sorte que p(X) = p(-A). I1 existe alors une seule fonction vérifiant toutes les propriétés ci-dessus, analytique dans un plan coupé le long du segment [-A,, XO]; elle s’écrit

+

F(z)=

2 z

+

J

q

=

2[.- J 3 - q Ag

(207)

La distribution asymptotique cherchée, de support [-Xo, Xo], est alors

’/ ;

p(X) = - 1 - TAO

274

X.3.1

SYSTEMES DESORDONNES

Elle ne dépend que du rapport alp. Dans une échelle bien choisie, elle est indépendante de l’ensemble statistique considéré, qu’il s’agisse des valeurs a = 1, 2 ou 4. Le choix du facteur N dans le poids de Boltzmann initial avait pour objet de conduire à cette loi limite, appelée loi du demi-cercle de Wigner pour des raisons évidentes. On a en effet

(i) Vérifier que la distribution (208) est bien normalisée. (ii) Montrer que l’équation du col (204) est vérifiée et calculer Z(a,B). Partant de l’équation (205) et intégrant dans l’intervalle [-Xo, XO] on obtient l’équation (204) avec une constante donnée par

<

où $(x) est la dérivée logarithmique de la fonction r(z) d’Euler 00

n=O

n+x

4)= -y+2 In 3

y étant la constante d’Euler. I1 s’ensuit que $(2) = 1-y et $J( Ainsi <=In(%)

Si on néglige les fluctuations autour du col, la fonction de partition vaut donc

3.2 Méthode fermionique Reprenons la discussion précédente et montrons encore une fois qu’on peut utiliser des variables anticommutantes de manière efficace, conformément au thème général de ce chapitre. Nous considérons comme précédemment la moyenne de la résolvante ( z - H ) - l pour l’ensemble unitaire ( a = 2, X i = 4/p). Posons

X.3.2

275

SYSTEMES DESORDONNES

(2iia) La structure du membre de droite résulte de l’invariance par transformation unitaire. Ainsi N F ( z ) est la valeur moyenne de la trace, ce qui s’exprime comme 1

(211b) +io) nPour Imz > O, nous écrivons F ( z ) comme la valeur moyenne du propagateur d’un champ scalaire libre complexe à N composantes (y,Cp). Le dénominateur associé est représenté par une intégrale de Grassmann sur un champ fermionique lui aussi à N composantes (+,q). En conséquence p(X) = --ImF(X

(P. cp (exp i

{a.- H)cp + $(z - W $ } )

D’après l’équation (197)’ dans l’ensemble unitaire gaussien nous avons 1 (exp-iTr(HK)) = exp--TrK2 2PN

Nous appliquons cette identité à la matrice

en sorte que

1 --

2PN

[(cp. d2- ( 4 .+I2 + 2 ( 4 . cp)(Cp.

$11)

I1 est commode d’introduire une représentation du terme quartique

qui permet d’effectuer l’intégrale fermionique sous la forme

(214)

276

SYSTEMES DESORDONNES

X.3.2

et det M = ( p - iz)N-l On obtient ainsi l'expression suivante

iz p . 'p - $ - ( p a1 PN Passons en coordonnées polaires pour les variables angulaire

~ 'p

p -) i ,~ B N p 2 }

(215)

et utilisons l'intégrale

Nous en tirons la représentation suivante, valable pour tout N , en termes d'une intégrale double

(.-> S_, d p l m duuN(p iz)N-l - iz + L)exp {izu 1 BN

F ( z ) = -3 2i P N

+m

(p

-

- sj?;y;v2-

;PNp'}

(217)

Une des deux intégrales peut être effectuée sous forme fermée. Nous nous contenterons d'observer que pour N + CO, on peut utiliser la méthode du col. Nous laissons au lecteur le soin de vérifier que l'on obtient

qui coïncide avec le résultat (207) pour a = 2 et A i = 4/P. La méthode fermionique présente l'avantage de donner accès aux corrections à la méthode du col et en particulier d'examiner les queues exponentielles dans la distribution des niveaux.

X.3.2

277

SYSTEMES DESORDONNES (i) Obtenir les queues exponentielles de la distribution des niveaux. (ii) En utilisant la méthode fermionique, trouver la valeur asymptotique

de

3.3 Espacements des niveaux La loi du demi-cercle ne décrit pas la plupart des spectres de manière réaliste. En revanche la distribution des écarts entre niveaux prédite par les ensembles gaussiens semble avoir un domaine de validité beaucoup plus large. Nous n’examinerons en détail que le cas unitaire, les deux autres étant laissés en exercice au lecteur. Reprenons la loi de probabilité des niveaux ( a = 2)

L’échelle a été choisie de telle sorte que, à /3 fixé, les niveaux restent dans un intervalle fixé quand N + CO, avec une probabilité unité. En conséquence l’écart entre les niveaux est d’ordre N-’ . Si nous voulons que cette distribution ait une moyenne fixée (indépendante de N ) , nous devons multiplier les niveaux par un facteur N . Soit x(X) la fonction caractéristique de l’intervalle [XO, X i ]

Ainsi, 1- x est la fonction caractéristique du complémentaire de l’intervalle [Ao, Xi]. La quantité

E(Ao, X i ) =

1n

[dXj(l - x(Xj)]p(Xi . . . , X , N )

(221)

iLj
est la probabilité de ne trouver aucun niveau dans l’intervalle [A, XI]. combinaison linéaire

La

278

x.3.3

SYSTEMES DESORDONNES

donne la probabilité de ne trouver aucun niveau entre A0 et A1 sachant qu'il y en a au moins un dans [A, - ~ A o A,,] ainsi que dans [Al, A 1 6x11. Dans la limite où 6x0 et 6x1 tendent simultanément vers zéro, on aura, avec une probabilité unité, au moins un niveau en A0 et au moins un en A l . Supposons que, dans des unités appropriées, E(Ao,A1) ne dépende que de Al - A0 et non de la demi-somme + ( A 0 A i ) lorsque N + m. On peut alors prendre ce point $(A0 A l ) au centre du spectre pour simplifier. Nous voyons que

+

+

+

A2

est la probabilité de trouver deux niveaux successifs à la distance A1 - Ao. Le point important est qu'il s'agit de niveaux successifs. En effet, on peut également étudier la distribution de probabilité de deux niveaux quelconques et il est probable que son comportement à courte distance coïncide avec celui de l'écart entre niveaux successifs. Toutefois les deux quantités ne sont pas reliées à grande distance. Pour calculer E(A0, Ai), nous utilisons à nouveau une analogie entre la loi de probabilité (219) et un gaz de fermions à une dimension dans un potentiel harmonique. Soulignons que ces fermions ne sont pas reliés à ceux qui apparaissaient dans la section précédente (3.2). En fait p(A1'.. . ,)A, est le carré du module d'une fonction d'onde antisymétrique

où n/-' est une constante de normalisation. La fonction d'onde .JI est un déterminant de Slater obtenu à partir des N premières fonctions propres d'un oscillateur harmonique. Celles-ci vérifient

a=-

Donc

Jz ' (&A+--

a)

' ")

(224)

x.3.3

SYSTEMES DESORDONNES

279

Ainsi nous trouvons

En conséquence p(X1, .. . , A N ) est donnée par

et vérifie la condition de normalisation souhaitée

Retrouver la fonction de partition Z ( a = 2 , p ) en utilisant l'expression ci-dessus.

Passons au calcul de E ( X 0 , X l ) . Comme (1 - x ( X ) ) ~ = 1 - x(X), si on

pose

E(Xo,Xi) =

/n

1 d X j z ldetd(h)12

l<j
En développant le déterminant et en effectuant l'intégration, on trouve

280

SYSTEMES DESORDONNES

x.3.3

Gaudin a remarqué que si on restreint le noyau de Darboux-Christoffel

à l’intervalle [A, A l ] , et si on considère ses N valeurs propres E et vecteurs propres cp dans le sous-espace engendré par les fonctions +j(A), l’équation aux vecteurs propres

(233~) peut être récrite

(233b)

où l’on a posé cp = CO<j
et E(Xo,A,) s’exprime en fonction des valeurs propres produit E(AO’A1)

(1 - 5s)

=

Es sous la forme d’un (235)

l<s
Nous cherchons donc la valeur asymptotique du noyau ICN(X,A’) quand N est grand. On l’obtient en utilisant une approximation semi-classique pour les fonctions +j(A). Nous nous restreignons à un domaine de largeur 1/N autour de l’origine et rappelons que K = $,BN est d’ordre N . Dans l’équation vérifiée par +N (A)

nous pouvons négliger K2A2 (d’ordre l) comparé à K ( 2 N + l) (d’ordre N 2 ) . Ainsi, pour A(2NK)+fini et N 03, nous trouvons que -f

x.3.3

281

SYSTEMES DESORDONNES

On peut facilement calculer + N ( O ) et +h(O)à partir des définitions (225). Pour N impair, d m + N + 1 ( 0 ) - f i + N - 1 ( 0 ) = O et

En reportant ces valeurs dans la définition (232)’ on trouve le développement asymptotique de K N valable près de l’origine

K:N(X’X’)

-

sin [ ( ~ N K ) +-( xXI)]

N-03

7T(X

- A‘)

(238)

D’après l’équation (208)’ la densité de niveaux au centre de la distribution est p(0) = 2/7rX0 où = 4//3 = 4N/PN. En conséquence

où D est l’espacement moyen entre deux niveaux consécutifs. Nous pouvons ainsi récrire la forme asymptotique du noyau K , fonction de X - A’ 1 sin [T(X - X‘/D)]

K(X,X‘) = -

D (A.[

- X’/D)]

On choisit désormais D comme unité en posant

X=DX

(241)

Notons p(x) les fonctions propres de K: dans un intervalle - k t 5 x 5 ft ( t > O). Nous avons ainsi l’équation aux valeurs propres

Le noyau est pair, ce qui entraîne que l’on peut décomposer les fonctions propres en fonctions paires ‘p(f)(z) et impaires cpf-)(z). Dans les deux cas, avec E = f l

L’identité

282

x.3.3

SYSTEMES DESORDONNES

sin a(x

+ 2’) +

exp 2i7rxx”lt

exp 2iax”x’lt

di

Jz

(244)

+

montre que le noyau sin a ( x x’)/a(x x‘) est le carré du noyau exponentiel t - 3 exp 2inxx‘lt dans l’intervalle 5 x 5 f t . Nous pouvons donc prendre pour p(€)(x) un vecteur propre de ce noyau exponentiel correspondant aux valeurs propres &y(+) ou iJzy(-)

-it

Nous avons la relation

Par un changement de variable, x = fty


= F‘*)(y)

(247)

le système ci-dessus s’écrit

et

(249)

s=l

E ( t ) =E(+)(tp4-1 ( t ) Les y sont également des fonctions de t. Ce paramètre est l’écart entre les valeurs propres (de la matrice aléatoire originelle) en unités relatives. Dans ces unités, la relation (222) entre E ( t ) et q ( t ) reste valable. Les équations aux valeurs propres (248) apparaissent dans d’autres contextes, en particulier en théorie de la communication.

Pour résumer, dans le système d’unités défini par 2 = X/D, avec le noyau lCt(a:,x‘) = sinn(a: - x‘)/n(a: - a:’) restreint à l’intervalle nous avons

[-it,it],

x.3.3

283

SYSTEMES DESORDONNES

E ( t ) = det(1 - l c t ) = exp -

OÛ

TrKt

7 1

q(t)

(250)

d2E(t)

= 7

Pour t petit, nous pouvons développer T r K t en puissances de t , le terme dominant étant t n ,

Ainsi

E ( t ) =1- t

+ k7r2t4 - k7r4t6 + &7rV + O(t'0)

+

q ( t ) =$(7rt)2 - & , r t ) 4 &(7rt)û

+ O(P)

(252)

Le comportement de q ( t ) en t2 pour t petit reflète la présence du facteur répulsif à courte distance pour les valeurs propres, comme le montre la loi de probabilité (219). La convergence du développement (252) est limitée par le premier zéro du détermina.nt E ( t ) . (i) Le résultat correspondant pour l'ensemble gaussien orthogonal est donné par E ( + ) @ )(équation (249)) avec le développement

Notons que comme prévu, q ( + ) ( t ) est linéaire a t petit. (ii) Montrer que pour t

-+

00

et trouver les préfacteurs.

La compréhension des propriétés d'universalité de la loi des écarts est un problème ouvert. De même on ne sait pas s'il existe des systèmes qui présentent des déviations intéressantes.

284

SYSTEMES DESORDONNES

x.4

4. Approximation planaire L’étude des ensembles gaussiens de matrices aléatoires est un cas particulier des théories des champs à valeurs dans un ensemble de matrices, lorsque la taille N des matrices croît indéfiniment. Par analogie avec le modèle vectoriel à n composantes dans la limite n grand, on s’attend a priori à des simplifications significatives dans la limite N -t m. Cette idée est due à t’Hooft (1974) dans le contexte des théories de jauge. La discussion de ces simplifications montre que l’on est amené à considérer un nouveau développement perturbatif, de nature topologique, dont le terme dominant est donné par la resommation de tous les graphes de Feynmann qu’on peut dessiner sur un plan (ou sur une sphère par compactification). Ceci justifie le terme d’approximation planaire. Bien que ce sujet semble assez éloigné de celui de ce chapitre, il constitue une extension naturelle des méthodes utilisées pour les ensembles gaussiens, et il conduit à une évaluation du nombre de triangulations aléatoires des surfaces, établissant par ce biais un lien avec un autre aspect de l’étude des systèmes désordonnés (cf chapitre XI). Nous nous limiterons à des considérations en basse dimension, ce qui permet de montrer les phénomènes intéressants et de résoudre quelques problèmes d’analyse combinatoire.

4.1 Analyse combinatoire Considérons un champ scalaire matriciel noté M ( x ) . I1 s’agit d’une matrice N x N hermitienne. Un lagrangien invariant par l’action adjointe du groupe unitaire S U ( N ) s’écrit sous la forme

L = i Tr 8, M a , M

+ i Tr M 2 +

g p N 1 - i PTr M p

(255)

P

Nous justifierons plus tard le choix du facteur N 1 - i p pour le couplage d’ordre p. Montrons que, à constantes de couplage fixées, seuls les graphes planaires survivent dans le développement perturbatif à la limite N -+ cm. Ici la partie importante des règles de Feynman est celle qui reflète la nature matricielle du champ. Les autres éléments sont familiers : propagateurs, intégrales, . . .. I1 est commode de représenter les propagateurs du champ M par des lignes doubles avec des orientations opposées, associées à chaque indice. Etudions la dépendance en N d’un graphe ayant P propagateurs et V p vertex de type p V = & c p V p ) . Pour simplifier, nous ne considérons que des graphes connexes vide-vide. Si on compte chaque propagateur deux fois, on compte p fois chaque vertex, donc

(

2P = cpvp (256) 31P De plus, chacune des B boucles internes peut être considérée comme une face d’une surface polyédrale orientée. En recollant ces faces le long des

X.4.1

SYSTEMES DESORDONNES

285

propagateurs, on obtient une surface fermée, connexe, orientable qui vérifie la formule d’Euler

x = 2 - 2H = V - P + B

(257) où x est la caractéristique d’Euler et H dénote ici le genre (pour éviter toute confusion avec les constantes de couplage g p ) . Après sommation sur les indices internes, chaque boucle produit un facteur N , de telle sorte que, outre les facteurs usuels, la contribution d’un graphe contient le produit

II 3

( g p ~ l - : ~ ) v I ’NB =

I Igp (35p

9

)

~ 2 - 2 H

(258)

A la limite N m, la contribution dominante à l’énergie libre (la fonctionnelle génératrice des diagrammes vide-vide connexes) provient des graphes tracés sur une surface de genre nul (x= 2, H = O ) , c’est-à-dire des graphes planaires. Les corrections d’ordre N P 2 proviennent des graphes tracés sur un tore etc... Le raisonnement ci-dessus peut être généralisé au cas où des sources sont présentes à condition qu’elles soient affectées de puissances de N convenables. Nous posons --f

1 E ( g ) = - lim -F(g) = - lim Z N ( g ) (259) N-CC N 2 N-CC A titre d’exemple, limitons-nous à une théorie en ‘p4 (94 g), et énumérons les poids associés aux premiers graphes planaires, jusqu’à l’ordre g 3

Etendre les considérations précédentes a u lagrangien quartique

C = T r û p A ll a p M i + T r M M t

+
(261~)

avec

a=1 cy

=2

a =4

All orthogonale réelle hf hermitienne

A4 complexe

(2616)

286

X.4.1

SYSTEMES DESORDONNES

Les groupes de symétrie correspondants sont S O ( N ) , S U ( N ) et S U ( N ) x S U ( N ) . Les termes dominants sont les mêmes dans les trois cas, mais la dépendance en N des corrections varie avec le type de matrice envisagé.

Dans le cas à zéro dimension, on ignore la dépendance dans la variable de configuration. Ainsi E ( g ) est une fonction génératrice des facteurs combinatoires comme ceux donnés par l’équation (260). La méthode utilisée dans la section précédente s’étend au cas présent. Nous exposons le calcul dans le cas d’une interaction quartique, mais on peut plus généralement traiter le cas d’une interaction polynômiale quelconque même non bornée inférieurement. A une constante de normalisation indépendante de g près, nous avons

exp - N 2 E ( g ) = cst =

1n

IsisN

J d M exp - { i Tr M 2 + 9 Tr &I4} N

dXi

II

(Xi - Xj)2exp-

i
l
N

où { X i } désignent les N valeurs propres réelles de la matrice hermitienne M . La méthode du col donne

avec la condition de stationnarité

(263b) Ordonnons les valeurs propres et, dans la limite N grand, substituons à cette suite discrète la fonction continue telle que X i = f i X ( î / N ) . Ceci nous conduit à l’approximation suivante

Nous définissons la densité normalisée de valeurs propres u(X) par dx = u(X)dX

X.4.1

SYSTEMES DESORDONNES

287

où u(X) est positive, paire, de support inclus dans un intervalle [-2a, 2a] et vérifiant f2a

1= L ‘ d x = [ 2 a

dXu(X)

Ainsi

La fonction analytique 2a

F ( z )= [ 2 a

dPU(P)

(267a)

est définie dans le plan complexe privé de la coupure [-2a,2a]. Elle est impaire, réelle sur l’axe réel privé du segment [-2a, 2a], et se comporte en z-l quand z tend vers l’infini. De plus, elle vérifie

F(X f io) = $A

+ 2gX3

inu(X)

- 2 a 5 X 5 2a

(267b)

L’unique fonction F possédant ces propriétés s’écrit

~ ( z=) fz+ 2gz3 - (S + 4ga2 + 2gz2) Jzz-4az

(268)

Le facteur devant la racine carrée assure une décroissance de F ( z ) en z-l à l’infini pourvu que 12ga4 + a2 - i = O

(269)

Pour g petit, on peut développer a2 en série convergente

249

= 1 - 12g

+ 2(12g)2 - 5( 12g)3+ ...

(270)

Dans l’équation (268), la racine carrée est choisie positive pour z réel, z 2 2a. La discontinuité de F le long de la coupure donne une expression pour .(A) qui généralise la loi du demi-cercle

En revenant à (264), on trouve E(g) sous la forme

288

SYSTEMES DESORDONNES

X.4.1

Tenant compte de l’expression de a’ comme fonction de g on aboutit à la série

=2g - 18g’

+ 288g3 - 6048g4 + . .

en accord avec les premiers termes donnés en (260). A la différence du développement perturbatif complet , l’approximation planaire produit une série convergente, donc analytique, dans un voisinage du point de couplage nul g = O. La singularité la plus proche provient de l’expression de a2(g). Elle est située sur le demi-axe réel négatif, à une valeur g --.AL c

-

(274)

48

Ceci permet d’obtenir le comportement asymptotique des coefficients de la série (273)

(i) La même méthode fournit des expressions pour les fonctions de Green à l’approximation planaire. Ainsi

LZu +2a

G z p ( g ) = (TrM2p) =

dXu(X)XZP

Les valeurs moyennes des puissances impaires sont évidemment nulles. De l’équation

on tire

(2P)! -~ p ! ( p - l)!

2 k=O

(2k

+ P - I)!

(-12g)k

+ + l)!

k!(k p

De même, on peut engendrer les fonctions de Green connexes, définies par récurrence par les relations

(277)

X.4.1

289

SYSTEMES DESORDONNES

et on trouve (3p - 1)!3l-F G2p(g) = (p - 1)!(2p - l)!

2 p=l

+

(-12g)'(2IC p - l)! (IC - p + l)!(k 2p)!

(279)

+

Finalement, si on exprime les fonctions de corrélations une-particule-irréductibles (les fonctions de vertex) par ï z = [G;]-l -r4

=G4 [G;Ip4

-r6

=GE [G;]l-6

-rs =Gg [G;]-'

(280a)

- 3 [G4I2[G;Ip7

- 8GSG4 [G;]-'

+ 12 [G4I3 [G;]-lo

... leur fonction génératrice (l'analogue de l'énergie libre exprimée en fonction de l'aimantation après une transformation de Legendre) 00

(280b) p=l

vérifie l'équation algébrique

+ r)2+ g a 4 r ( i + r - r2/& - a2(2+ a 2 ) +

3 2 ( i -2)(i

=O

(280c)

dont on déduit le développement en puissances de g. (ii) On peut aussi étudier systématiquement les corrections à l'approximation planaire. Cela revient à compter les diagrammes tracés sur un tore, un double-tore, etc. Notons les contributions correspondantes E1 (g), Ez(g), . . .. Dans le cas hermitien ( a = Z), nous avons

Pour obtenir les termes successifs du développement on utilise le comportement aux grands ordres des polynômes orthogonaux relativement à la me(g/N)X4). Ces polynômes généralisent les polynômes de sure dX exp -( ;A2 Hermite qui figuraient dans la section précédente. On est alors conduit aux expressions

+

290

SYSTEMES DESORDONNES

X.4.1

=A in(2 - a 2 )

Ei(g)

I (I -a2)3 Ez(g) =---(82 6! (2 - u 2 ) 5

+ 21a2 - 3a4)

... où a2 est toujours donné par l’équation (270). Pour E H ( g ) , on peut montrer que le terme dominant est de la forme

(iii) Nous avons discuté ci-dessus le cas d’une interaction quartique mais la méthode s’étend à n’importe quelle interaction polynômiale et en particulier à un terme cubique. Afin de donner un sens à l’intégrale fonctionnelle, on peut supposer que la constante de couplage est imaginaire pure. Dans ce cas les résultats sont intéressants pour les applications aux triangulations des surfaces, après une transformation de dualité. Esquissons brièvement les calculs. On souhaite évaluer, à N grand, l’intégrale suivante

exp - N 2 E ( g ) =

II

dXi

(Xi

- Xj)2exp-

l
’ 1 ; N

Utilisons la méthode du col avec Xi

=f

i x

(i)

dXw(X) = 2dx

Nous obtenons les équations

2a

5 X 5 2b

l:

dXv(X) = 2

Dans le cas présent le support de .(A) est dissymétrique sauf à la limite g + O. La fonction F ( z ) ayant .(A) comme discontinuité le long de la coupure [2a, 2b], réelle hors de cet intervalle et se comportant en 2/2 à l’infini, s’écrit

Posons (T

= 3g(a + b )

X.4.1

291

SYSTEMES DESORDONNES

Le comportement de F à l’infini donne la condition

18g2

+ u( 1 + u ) (1+ 20) = O

.=-:Em

l

(72g2)k r ( + ( 3 k - 1))

r (S(k+i))

k!

En conséquence E(g) - E ( 0 ) = -

+ + + 4 in(i + 2u) + ) ~

u(3u2 60 2) 3( 1 O ) ( 1 2 ~

+

Toutes ces expressions sont analytiques au voisinage de l’origine. La première singularité se trouve à

La fonction génératrice des fonctions de Green connexes

+(j)= 1

+

m

jpGp

(291a)

1

obéit à l’équation (291b) On peut aussi modifier les fonctions de Green en éliminant les contributions des tadpoles correspondant à G I = G i . A cet effet, on introduit un terme X i dans l’action. On fixe alors la valeur du linéaire supplémentaire p paramètre p de manière à annuler la fonction à un point. La quantité modifiée $ satisfait à 3942

+( j

- 3g)4

- j ( 1- pj

+j 2 ) = O

(292a)

où g est relié à p par

(292b)

4

En éliminant 7, on obtient une expression pour en terme de graphes ayant E lignes externes et V sommets (les autres caractéristiques topologiques étant fixées par la condition de planarité et le fait que les sommets sont trivalents)

292

SYSTEMES DESORDONNES

X.4.1

En résumé, dans le cas combinatoire d'une théorie des champs à zéro dimension, la méthode fournit des équations algébriques qui donnent accès au développement en puissances de g. I1 serait extrêmement intéressant de poursuivre ce programme dans des cas plus réalistes. Malheureusement, cela n'a pu être totalement réalisé, sauf en un sens phénoménologique, excepté dans le cas à une dimension, c'est-à-dire pour la mécanique quantique.

4.2 Approximation planaire en mécanique quantique En général, les graphes ayant une topologie donnée doivent être pondérés par des intégrales de Feynman non triviales. I1 est donc tout à fait remarquable que l'on puisse obtenir des expressions explicites à l'approximation planaire dans le cas unidimensionnel où le propagateur vaut (p2+ l)-' ( p est un moment réel). Considérons ainsi un ensemble de N 2 oscillateurs anharmoniques couplés de telle sorte que les variables de configuration soient les N 2 coefficients d'une matrice N x Ar hermitienne et que le hamiltonien soit invariant par l'action du groupe S U ( N ) . Nous cherchons donc l'énergie de l'état fondamental d'un système décrit par le hamiltonien

H=-SA+V

9 V ='2 Tr h12+ Tr M4 N

On pourrait aussi bien étudier des potentiels plus généraux. Pour l'état fondamental nous avons

HS, = N 2 E ( g ) q

(295)

et la fonction d'onde 11, est invariante par les transformations unitaires

q(121)= ?$(rr+AlU)

+

Ainsi est une fonction symétrique des valeurs propres de A l , ce qui rappelle la séparation en variables angulaires et radiales dans d'autres problèmes. On a 1L S, ({A,}) et

X.4.2

293

SYSTEMES DESORDONNES

Remplaçons la fonction symétrique notée 4,définie par

+ ({A,})

par une fonction antisymétrique

qui décrit un ensemble de fermions libres dans un potentiel quartique (dans notre exemple). L’équation (296) nous donne par la méthode variationnelle l’équation de Schrodinger suivante pour qfJ

Le facteur 1/N dans le potentiel assure un comportement correct à la limite ili -+ m. Le passage aux coordonnées polaires {A,} n’engendre pas de termes supplémentaires dans le potentiel mais cette propriété ne subsiste pas lorsque l’on étudie d’autres ensembles de matrices. L’antisymétrie de 4 est l’analogue des conditions aux limites à l’origine dans le cas des coordonnées polaires usuelles. *Appelons el < e2 < e3 < . . . les énergies successives relatives au harniltoriien 5 une particule

et soit f?F l’énergie tlii riiveau de Frirnii, c’est-à-dire celle du niveau occupé de plus haute 6ncrgic. Nous avons

lil,

N =

H(e,.. - e k ) 1
-

Ces expressions sont esactes pour tout K.En fait, il serait plus approprié d’écrire EN(^) pour N fini car le comportement E N ( g ) N 2 E ( g )ne 00. Bien entendu les quantités e h ne sont s‘applique q i i ’ i la limitc N en général pa5 connucs cxactcrricrit. Heureusement, puisqu’on ne s’intéresse --f

294

ÇYSTEMEÇ DESORDONNES

X.4.2

qu’à la limite N grand, seuls les états très excités contribuent à l’expression dominante de N 2 E ( g ) .L’approximation semi-classique est alors suffisante. Nous pouvons remplacer les sommes finies par des intégrales sur l’espace des phases classique et nous obtenons

Intégrons sur la variable p et effectuons un changement d’échelle sur X et eF de la forme fix, e F + N E . Nous obtenons une paire d’équations qui donnent la solution sous forme paramétrique

I1 s’agit en fait d’intégrales elliptiques. La seconde équation exprime que E ( g ) est indépendant de E à g fixé. Ces équations sont un exemple frappant des simplifications qui apparaissent à l’approximation planaire. En éliminant E, nous obtenons pour E ( g ) une fonction analytique au voisinage de l’origine. Ceci semble contredire les propriétés de la solution exacte pour laquelle le point g = O est une singularité essentielle provenant de l’instabilité par effet tunnel à g < O . Dans l’approximation planaire, la singularité la plus proche de l’origine apparaît pour une valeur négative du couplage telle que le niveau de Fermi atteigne le maximum du potentiel

Jz

gc = -%

(303)

On ne s’attend pas en principe à ce que l’approximation planaire donne de très bon résultats à N fini et donc a fortiori pour N = 1. Le tableau suivant montre des résultats numériques (dus à Hioe et Montroll 1975) pour l’oscillateur anharmonique (noté EeXacte) comparés au résultat de l’approximation planaire. L’accord est étonnamment bon sur une large plage de couplages

X.4.2

295

SYSTEMES DESORDONNES

9

Eoianaire

Eexacte

0.01 0.1 0.5 1.0 50 1000

0.505 0.547 0.651 0.740 2.217 5.915

0.507 0.559 0.696 0.804 2.500 6.694

(304)

Pour g grand, l’accord est moins satisfaisant. Le comportement asymptotique de l’approximation planaire déduit de l’équation (302) est donné par

(305)

tandis que la solution exacte se comporte comme

5. Système de spins en interactions aléatoires Pour terminer, nous présentons encore deux applications des variables anticommutantes aux systèmes désordonnés. La première est due à Parisi et Sourlas et concerne un système de spins soumis à un champ magnétique aléatoire. Même si 1’011 n’accède pas ainsi à une compréhension quantitative complète de ce système au voisinage de sa dimension critique supérieure, on peut expliquer simplement une propriété observée perturbativement. Nous allons ainsi relier le comportement d’un système désordonné à celui d’un système pur en dimension inférieure. Dans la deuxième sous-section, nous présentons les résultats de Dotsenko et Dotsenko relatifs à une situation opposée. I1 s’agit d’un cas où le désordre a un effet marginal d’après le critère de Harris. Nous examinerons plus précisément l’effet d’un faible désordre au voisinage du point critique à deux dimensions. Malgré certaines critiques, la méthode d’analyse et les résultats sont intéressants. Ces difficultés reflètent une fois de plus les subtilités inhérentes aux systèmes désordonnés.

5.1 Champ extérieur aléatoire et transmutation dimensionnelle Considérons un modèle d’king, que nous approximons à la limite continue par un modèle (p4 couplé à un champ aléatoire extérieur gaussien.

296

X.5.1

SYSTEMES DESORDONNES

Les quantités physiques sont des moyennes sur le désordre. La moyenne thermique sera notée ici ( 4 ) et la moyenne sur le désordre par (A). Si h désigne le champ magnétique, l’énergie libre s’écrit

F ( h ) =ln/Dcpexp-/ddx{C(x)

F=

s

D h F ( h )exp -$

/

+ h(x)p(x)} (307)

ddxh2(x)

où C(x) = + ( d d 2+ V(cp)

v = +m2cp2+ sip4

(308)

La méthode des répliques remplace le calcul de F par celui de la moyenne Z ( h ) n loù Z ( h ) est la fonction de partition, à la limite où n tend vers zéro. Dans le développement perturbatif les termes les plus divergents à la limite infra-rouge correspondent aux graphes où apparaît le plus grand nombre d’insertions de h2. En resommant ces contributions on démontre q e ( h ) est alors dominée par l’approximation de champ moyen tandis que F ( h ) est obtenue par la moyenne de cette approximation sur le désordre. Introduisons le champ moyen cph, solution de l’équation -A‘P/L(x)

+ V’(Ph(X)) + h(x) = 0

(309)

Dans cette approximation, la fonction à deux points est donnée par

S (-Acp(x)

+ V‘(cp(x))+ h(x)) exp -$

/

ddxh2(x)(310)

X

Dans la seconde expression, nous avons utilisé la définition de c p h ( x ) déduite de l’équation de champ moyen. Le produit de fonctions 6 est accompagné d’un jacobien qui est la valeur absolue du déterminant des dérivées secondes de l’action par rapport à cp(x). Si la correspondance entre h et cp était V”(cp)) biunivoque, on pourrait oublier la valeur absolue car det(-A ne s’annulerait jamais. On suppose implicitement cette propriété dans la théorie perturbative et nous ferons de même ici, sans justification sérieuse, dans la resommation des logarithmes dominants. De nombreux systèmes désordonnés (comme les verres de spin) sont tels que l’approximation de champ moyen se revèle d’une telle complexité que même cette hypothèse apparaît injustifiée.

+

X.5.1

297

SYSTEMES DESORDONNES

Nous suivrons donc Parisi et Sourlas en ignorant le signe de valeur absolue pour le déterminant et nous en analyserons les conséquences. Ce déterminant s’exprime à son tour comme une intégrale sur des variables de Grassmann et le produit de fonctions 6 comme une intégrale d’une exponentielle sur un champ auxiliaire imaginaire pur a ( x ) . Ceci conduit à la représentation

,Nous nous attendons à ce que le lagrangien effectif possède une symétrie BRS. Soit ü un paramètre infinitésimal anticommutant et E un vecteur à d dimensions. La transformation en question est du type A + A SA pour A = (cp, $, $, a ) ,avec 6A = ÜsA

+

scp = - E.X$ s+ =O

=2&.a$ s a =&.Xa

+ 2E.dcp

(312)

La variation de l’action est l’intégrale d’une dérivée totale S

s

ddXLeR(X)= 2ü

I

ddx&.d{$ [-Acp

+ V’(cp)]}

(313)

qui s’annule pourvu que la quantité entre crochets tende vers zéro à l’infini. Montrer que

Comment modifier le formalisme pour avoir s2 = O ?

Introduisons alors un super-champ @ fonction de x et de deux variables anticommuantes e et ë

@(x,e, 8) = V(X)

+ ë+(x) + $(x)e + eëa(x)

(315)

Nous choisissons la normalisation des intégrales de sorte que

/

dëdû

=1

Dans le super-espace, le laplacien est défini par

aa a, = a+ ae ae 7-

(317)

298

SYSTEMES DESORDONNES

X.5.1

où les dérivées agissent à gauche. On constate que l’action effective dans l’intégrale fonctionnelle (311) prend la forme

Seff= /ddxd$dû {-$@As@ + V ( @ ) } = / d d x {$(-A

+ V”(p))$ + a(-Acp + V’(p)) - ; a 2 }

(318)

Nous laissons le soin au lecteur de vérifier cette identité surprenante à première vue. Elle entraîne l’invariance par rotation dans le super-espace. L’introduction de deux coordonnées grassmanniennes entraîne la propriété suivante. Tout se passe comme si on diminuait la dimension de l’espace Rd de deux unités dans les intégrales des quantités invariantes par rotation. Pour le voir, considérons une intégrale dans l’espace (x,û,$) et soit f une fonction à décroissance suffisamment rapide à l’infini. Considérons alors l’intégrale

/

Iddxdëdûf(x2 + O$) 7r

1

= -Ir

1

ddxfr(x2)

Passons en coordonnées polaires avec x2 = r2 et Sd = 27rid/ï(;d) l’aire de la sphère unité dans l’espace à d dimensions. Nous obtenons pour d > 2 après une intégration par parties

qui confirme l’affirmation pour des intégrales simples. Le lecteur intéressé montrera que ce résultat s’étend à plusieurs variables et produit la réduction dimensionnelle de deux unités que l’on observe perturbativement, laquelle apparaît justifiée par cette analyse globale. La conclusion de Parisi et Sourlas est que le modèle supersymétrique à d dimensions est équivalent à une théorie purement bosonique en d - 2 dimensions. En ce qui concerne le modèle de spins en champ aléatoire que nous venons d’analyser, ce résultat s’applique au mieux au voisinage de la dimension critique supérieure (c’està-dire six pour le système désordonné, équivalent à une théorie 9”). Le comportement à plus basse dimension n’est pas bien compris et nous ne pousserons pas plus loin son étude.

5.2 Modèle d’Ising bidimensionnel désordonné Examinons finalement un effet marginal du désordre sur le comportement critique. Considérons un système au voisinage du point critique.

X.5.2

SYSTEMES DESORDONNES

299

Notons 0 l’écart à la température critique. La contribution d’un opérateur local essentiel K de dimension A 5 d a la forme SS =

I

ddq(x)K(x)

où g est une constante de couplage de dimension L A - d . En l’absence de

perturbation, la longueur de corrélation E se comporte en e-”. L’analyse dimensionnelle suggère que si g est non nul, la partie singulière de l’énergie libre par unité de volume est de la forme

L’exposant IC positif

IC = ~ ( -dA)

(322)

caractérise la transition entre deux comportements distincts. La fonction f est régulière A l’origine (c’est ce qui nous a fait extraire le facteur e2-,). Dans le cas où g est un champ aléatoire figé, on supposera que la partie singulière de l’énergie libre totale prend une forme généralisant l’équation (321)

où ‘p est une fonctionnelle régulière au voisinage de zéro. Supposons en outre que g(x) soit de moyenne nulle. Nous avons approximativement

In z(e,g(x)) = e2-a’po

//

+ +e2-a-2k

d d ~ l d ~ 2 g ( ~ l ) g ( ~ 2 )x2) ~ 2+. ( x.l.,

(324) Si l’intégrale du membre de droite est bien définie, l’effet dominant du désordre doit être d’ordre û2-a-2k avec un exposant plus petit que celui du système pur. L’argument ci-dessus devient douteux dès que

ou, en utilisant la relation 2 - Q = ud,

A<

id

(325b)

comme l’indiquerait un développement perturbatif. L’inégalité précédente fournit le critère de Harris (1974). Un faible désordre ne modifie pas le comportement dominant si cette inégalité est satisfaite. I1 est donc intéressant de considérer une situation marginale où A = i d . Le modèle d’Ising bidimensionnel avec fluctuation des couplages nous donne

300

X.5.2

SYSTEMES DESORDONNES

un exemple de cette situation. L’opérateur K est ici l’opérateur énergie de dimension A = 1. La marginalité du désordre se traduit par le fait que la théorie des champs associée est juste renormalisable. Comme l’ont montré Dotsenko et Dotsenko, ce modèle, introduit dans un tout autre contexte par Gross et Neveu, est asymptotiquement libre dans le régime infrarouge, domaine qui nous intéresse. Même si certains aspects du raisonnement qui va suivre restent sujets à controverse, en particulier l’utilisation délicate de la méthode des répliques, la théorie des champs correspondante est particulièrement intéressante. Nous nous plaçons dans la théorie critique continue qui s’exprime en terme d’un champ de Majorana réel avec un terme de masse aléatoire m ( x ) de moyenne nulle. Nous cherchons la moyenne du logarithme de la fonction de partition Z M (où l’indice M fait référence à Majorana)

(326~) (3268) Parmi les différentes méthodes d’analyse, nous choisissons de suivre celle due i Shankar qui a le mérite de montrer succinctement le phénomène principal. Comme nous nous bornerons à étudier l’effet du désordre sur l’énergie libre, nous pouvons multiplier cette dernière par 2, ce qui revient à élever Zn: au carre pour obtenir un modèle fermionique complexe qui introduit une symétrie O(2). Notons ($I,&) , ( $ 2 , q 2 ) les deux copies du champ de Majorana et définissons le champ de Dirac U. =

(41 - i42,+1 - $2)

Un facteur c3 a été inclus dans la définition de l’adjoint l’opérateur de Dirac s’écrit =

(+; &)

(327)

de telle sorte que

(328)

Nous utiliserons indifféremment les notations x,(z,z)ou même z pour désigner les coordonnées d’un point. Ainsi

2s

Z D = Zizf =

D(u,ii)exp-So

(329a) (329b)

X.5.2

30 1

SYSTEMES DESORDONNES

L’indice m rappelle que l’opérateur de Dirac contient un terme de masse variable. Le calcul de Z D est en principe immédiat puisque c’est le déterminant de l’opérateur D,. Comme d’habitude les modes voisins des modes nuls posent un problème. Nous supposerons qu’ils ne compromettent pas le traitement qui va suivre. C’est le point faible de cette méthode. Avant d’effectuer la moyenne sur le désordre, rappelons les formules de bosonisation pour le champ de Dirac (chapitre II). Elles proviennent de la symétrie O(2) entre les copies des champs de Majorana, ou en termes du champ de Dirac complexe, de l’invariance par la transformation

Le théorème de Noether nous fournit un courant conservé

(331~) a z j z+ dZj2 = O

(331b)

Dans la théorie de masse nulle, nous pouvons exprimer les courants en fonction d’un champ scalaire libre de masse nulle cp, par les relations j” =4241

+

hap

j Z=

+

-ha9

(332)

Ces formules signifient que les fonctions de corrélation calculées dans les théories des champs correspondantes sont égales. Rappelons que pour m = O , avec a et b désignant les points xa et xb

Nous vérifions que les fonctions à deux points sont bien égales

Vérifier l’égalité des corrélations d’ordre supérieur.

Le champ aléatoire m(x) est couplé à l’opérateur énergie qui peut également s’exprimer sous forme bosonique

302

SYSTEMES DESORDONNES

X.5.2

Le facteur de coupure ultraviolet A = a-l, qui spécifie la dimension relative des opérateurs, compense l’absence d’ordre normal

Un des avantages de cette formulation réside dans l’existence d’une expression locale pour l’aimantation (ou spin) en fonction du champ bosonique alors que son expression fermionique est non locale. En effet le produit des variables de spin ulu2 relatives aux deux copies correspond alors à u1u2 + &A$

sin (p/&

(335)

ce qui permet de calculer le carré des corrélations sous forme bosonique. Le facteur A i rappelle la dimension du champ et remédie à l’absence d’ordre normal.

Nous sommes maintenant prêts à prendre la moyenne sur m(x). Supposons que m(x) fluctue autour d’une valeur moyenne m. Au lieu de calculer la moyenne de In ZM (ou In 2;) évaluons plutôt la chaleur spécifique à m = O. I1 suffit de dériver deux fois la moyenne sur m(x) et de poser m = O. Ceci implique l’intégrale de la fonction à deux points de l’opérateur énergie E , c’est-à-dire la moyenne de

3

(E(x)E(x’))= Zgl

I

D(cp)A2COS & p ( x )cos &‘p(x’) exp -SB

(336a) (336b)

‘J

Sg)= n.

d2xm(x)ACOS h c p

(336c)

Pour abréger nous écrirons : cos acp : pour Aff2I2cos a’p. I1 nous faut encore préciser la distribution de probabilité de la variable m(x). Le seul cas analytiquement soluble est celui de la distribution gaussienne

O ( m )=

J d2xm2(x) + J ’DmO(m(x)) J ~m + J d2xm2(x) exp -(1/2g2) exp -

(337a)

c’est-à-dire telle que

m(21)m(x2) = 92 6( 2 ) (Xi - x2)

(337b)

où g2 caractérise l’intensité du désordre. Nous avons le choix entre deux possibilités pour calculer la moyenne. D’une part, nous pouvons introduire

X.5.2

SYSTEMES DESORDONNES

303

n répliques du champ bosonique, puis faire tendre n vers zéro, ou d’autre

part, introduire un partenaire fermionique. Les résultats sont les mêmes et nous choisissons la première méthode. En conséquence

(E(x)E(x’))= lim n+O

/

D(cp) : cos f i q ’ :: cos fi$ : exp -S(cp)

(338a)

L’indice de réplique c varie de 1 à n. Si nous avions effectué un calcul analogue en partant de l’action de Dirac, nous aurions obtenu le modèle de Gross-Neveu avec une symétrie û(2n). Cette invariance n’apparaît pas explicitement dans la version bosonique. L’action complète avec uc, üc et m(x) est la plus simple sur laquelle on puisse étudier complètement la renormalisation. Quoi qu’il en soit, l’équation (338) indique que nous avons une théorie renormalisable, mis à part la question de la limite n -+ O. I1 est clair que nous devons en analyser le comportement infra-rouge et en particulier celui de la constante de couplage g2 effective qui représente l’effet du désordre. Le modèle de Gross-Neveu admet une solution exacte à n = 1. Dans ce cas, le comportement critique est l’un de ceux examinés au chapitre IX. La charge centrale est égale à 1et les exposants critiques varient continûment en fonction de g. Remarquons en effet que d’après les équations (332) et (333), nous avons, pour un champ de Dirac, une expression formelle du carré du courant l’t.z-’-

23 3

-

- 2+2+1+1+2

=

a

(&+l

+42+2)2

(339)

En termes bosoniques, ceci entraîne la correspondance suivante

-acpacp

(:cos2 Jz(P :)

2

H

(340)

valable pour les insertions dans les fonctions de corrélation. On peut aussi vérifier cette équivalence par une analyse soigneuse de la renormalisation du modèle qui montre que les termes diagonaux dans le lagrangien d’interaction (338b) peuvent être remplacés par un terme cinétique modifé

(341) Quand le nombre de composantes n est égal à l’unité, cette action décrit manifestement un champ scalaire libre de masse nulle où le champ est 1 multiplié par un facteur (1 + g2/27r) a . Cette modification en apparence

304

X.5.2

SYSTEMES DESORDONNES

innocente modifie la dimension de tout opérateur de la forme K , =: cos a(p :, de A, = +a2en A,(g) = $ a2 ( 1 + g2/2n)-l, ce qui se traduit par des exposants variant continûment avec g. Pour une valeur de n arbitraire, la fonction p doit s'annuler à n = 1, ce qui signifie qu'elle contient au moins un facteur ( n- 1). Comme nous allons le voir, ce facteur apparaît à la première puissance, ce qui entraîne que p(g) change de signe quand n - 1 s'annule. En conséquence, au voisinage de g = O les propriétés à longue et à courte distance s'échangent quand n traverse la valeur un. Alors que pour n > 1, le modèle est asymptotiquement libre à courte distance et présente une brisure spontanée d'une symétrie discrète engendrant dynamiquement une masse fermionique, nous avons le comportement opposé de liberté asymptotique infrarouge pour n < 1, ce qui est la situation favorable dans le cas présent. Effectuons maintenant les calculs nécessaires. Grâce aux remarques précédentes et à la forme (341) de l'action, nous pouvons effectuer une renormalisation finie des champs en posant

(I + 97274

pC= Cp"

(342)

Définissons

et rappelons que la prescription d'ordre normal des exponentielles implique une puissance appropriée de A. Nous sommes ainsi conduits à l'action

Plus précisément, nous aurions dû introduire une échelle de masse arbitraire p pour normaliser la puissance supplémentaire de A, qui à l'ordre dominant en g2 doit être interprétée comme (A/p)1-1/(1+gz/2r) 1+(g2/2n) ln(A/p). Cette première renormalisation ne suffit pourtant pas à rendre toutes les fonctions de corrélation finies, en particulier la fonction à deux points de l'opérateur énergie (338). Un contreterme supplémentaire est nécessaire : cosaCp" :: c o sa g d : bien que nous ayons pour l'opérateur produit CcZd déjà introduit une renormalisation pour les facteurs individuels. D'après (344), la dimension de l'interaction a été décalée de 2 à 2/(1+ g2/27r). Ceci doit être compris perturbativement en g 2 , et n'est justifié qu'a posteriori quand on se sera convaincu que seule la limite g2 -+ O présente un intérêt.

-

X.5.2

305

SYSTEMES DESORDONNES

Pour voir apparaître les divergences supplémentaires, il suffit d'examiner le développement perturbatif de la fonction E E . Nous pouvons effectuer ce calcul de deux manières différentes dont la comparaison est révélatrice. Ou bien nous utilisons la forme (344), le champ et le théorème de Wick, mais cela demande de distinguer entre composantes diagonales et non diagonales de Ou bien nous revenons à l'expression (338b), plus symétrique, impliquant le champ cp, et c'est seulement après avoir calculé le premier contreterme non trivial que nous éliminons les interactions diagonales. En effet, pour n # 1, la valeur de g 2 qui apparaît dans la correspondance entre