Topologie. Categorii. Suprafeţe riemanniene

In definită prin LEMA 5 . 1 .

9 {x, t) = (1 - t) x,

0 < t < 1, n

unde (1 — t) x înseamnă punctul din I care are coordonatele lui x multiplicate prin (1 — t). Să definim o aplicaţie continuă h a lui In x I în Y prin : h (x, t) = f (

0 < t < 1.

Atunci avem h(x, 0) =/(<*),

xţln

h{x,l) = / ( 0 ) , cu alte cuvinte aplicaţia / este omotopă cu aplicaţia constantă care duce tot spaţiul I n în punctul / (0) al lui Y. PROPOZIŢIA 5 . 1 . Fie X un spaţiu metrizabil compact, G o submulţime închisă a lui X şi f o aplicaţie continuă a lui С în Sn care nu poate fi extinsă la întreg spaţiul X. Atunci există o submulţime închisă К a lui X avînd următoarele proprietăţi : 1° f nu poate fi extinsă la С \J К. 2° Dacă К' este o submulţime închisă proprie a lui К, atunci f poate ji extinsă la С U *) Vezi definiţia 5.3.

55

Teorema de separare a lui Jordan

Demonstraţie. Fie (ÜLX)X ÇA familia de submulţimi închise ale lui X care au proprietatea că / nu poate fi extinsă la С U pentru fiecare 0 A ÇA. Această familie e nevidă, căci conţine pe X. Fie 2 .. . subfamilie a familiei (K x ) astfel încît K* < + 1 Să presupunem că mulţimea K°

=

(< = 1,2, . . . ) .

n i=1

nu aparţine familiei Aceasta înseamnă că aplicaţia / poate fi extinsă là С U K°. î n baza propoziţiei 3.5, există o mulţime deschisă TJ cu TJ ZD ZD С U К° şi о extindere a lui / la TJ. Există cel puţin un indice i 0 astfel încît u, căci altfel Kt f| (X — TJ) =f= 0, pentru orice i = 1, 2, . . d e c i ar urma, avînd în vedere compacitatea lui X — Z7, că şi f| (X — TJ) =j= 0 ceea ce este imposibil. Dar ultima incluziune implică că / poate fi extinsă la С U K io , ceea ce contrazice definiţia familiei (-йГх)х£л. Conchidem că mulţimea K° aparţine familiei {Kx)Putem deci aplica teorema de reducere a lui Brouwer *) pentru a deduce existenţa unei mulţimi închise К satisfăcînd condiţiile 1° şi 2° din enunţ. DEFINIŢIA

5.2.

Pentru fiecare punct p din iün, definim aplicaţia

continuă TU, : В* - {p} -> 8п~г astfel : pentru orice x £ В* — {p}, (x) este proiecţia punctuluij x — p {în notaţie vectorială) din originea О pe 8п~г. Fie TJ o submulţime deschisă mărginită a lui Bn, p£TJ şi С = CŢ.t TJ. Atunci restricţia np\ С nu poate fi extinsă laU = U (J C. Demonstraţie. Putem, fără a restrînge generalitatea, să presupunem că p este originea 0. Fie r > 0 suficient de mare ca bila 8r (0) cu centrul în origine şi raza r să conţină mulţimea TJ (J C. Să presupunem că тс0| G poate fi extinsă la o aplicaţie continuă 9 : TJ (J С 8п~г. Atunci aplicaţia continuă definită prin ф (x) = 9 (x) pentru r x PROPOZIŢIA 5 . 2 .

Ф (#) = TÜQ (x) pentru r x £Sr(0) *) A se vedea anexa III.

— TJ

•56

Teoria dimensiunii

este o aplicaţie a lui (0) pe frontiera sa Sn"1 care menţine punctele lui n 1 S ~ fixe, ceea ce contrazice corolarul 4.2. Fie С o submulţime compactă a lui Rn (n 2). Două puncte p şi q care nu aparţin lui G1 sînt separate de С dacă şi numai dacă aplicaţiile TZV\ С şi -:q\ С nu sînt omotope. Demonstraţie. Să presupunem că p şi q sînt separate ele C, adică există două mulţimi TJ şi V deschise in Rn — (7, deci şi în Rn, astfel încît TEOREMA

5.1.

E* _

с =

и и

P € и,

У,

и П V =

0

q g У.

Una din mulţimile U şi У este mărginită. într-adevăr, fie K n un cub de dimensiune n astfel încît С CZ Kn ; întrucît Rn — Kn este o submulţime conexă a lui Rn — O, ea trebuie să fie conţinută în una din mulţimile U şi У, de exemplu în У. Urmează că U D ÜLw, adică TJ E mărginită. Aplicaţia TZQ \ С poate fi extinsă la Rn — {#}, care conţine pe U U C. Cum Cft TJ CZ С, în conformitate cu propoziţia 5.2, TZV\ С nu poate fi extinsă la U U G. î n baza teoremei 3.1, aplicaţiile TZP | С şi TZQ \ С nu sînt omotope. Eeciproc, să presupunem că p şi q nu sînt separate de C. Atunci, datorită unei proprietăţi binecunoscute a spaţiilor euclidiene, putem uni punctele p şi q printr-un arc situat în Rn — (7, adică putem găsi o aplicaţie continuă / a lui I in Rn — С astfel încît f(0)=p,

f ( l ) = q.

Aplicaţia conrinuă h : С X I —> S71'1 definită prin h (x, t) = 7zm) {x), x g С,

0< t< 1

realizează omotopia între TZp\ С şi -Kq \ С. n TEOREMA 5 . 2 . Fie X o submulţime compactă a lui R şi С o submulţime închisă a lui X. Condiţia necesară şi suficientă ca să existe o aplicaţie continuă f o. lui С în ßn~x care să nu poată fi extinsă la întreg X este să existe o submulţime deschisă nevidă G a lui Rn astfel încît

G cz X - С şi (Jt G CZ C. Demonstraţie. Condiţia este necesară. Fie / o aplicaţie continuă a lui С hi 8н~г care nu poate fi extinsă la X. Datorită propoziţiei 5.1, există o submulţime închisă К a lui X avînd următoarele proprietăţi : 1° / nu poate fi extinsă la mulţimea С (J K. 2° Dacă K f este o submulţime închisă proprie a lui ÜL, atunci / poate fi extinsă la С U K'. Din 1° deducem К

-

С =f=<2.

Teorema de separare a lui Tordan

57

De asemenea A ' - C c I - G. Să arătăm acum că К — С este deschisă. Conform propoziţiei 4.5, este suficient să demonstrăm că, dacă^ s g К — (7, atunci pentru orice vecinătate U a lui s in Bn astfel încît U f] G = 0, se poate defini o aplicaţie continuă 9

: ÜL

—

O

—

TJ -> &""1

care nu poate fi extinsă la К — G. întrucît К — TJ ф К, din 2° deducem că există o extindere F a l u i / l a mulţimea G (J (K — TJ) = (C U K) — TJ. Restricţia 9

= F\K

- G- U

nu poate fi extinsă la К — O. căci dacă ф ar fi o astfel de extindere, aplicaţia continuă H definită prin н(х)

=

х^к

H(œ)=F(œ),

-

с

xţC

ar fi o extindere a lui / 1 а С U К, ceea ce ar contrazice condiţia 1°. Eezultă că К — С este deschisă. Eelaţia C?t(K

-

С) С

С

se demonstrează uşor. Putem deci lua G = К — С. Condiţia este suficientă. într-adevăr, fie TJ o mulţime satisfăcînd condiţiile din enunţ şi fie В = ( f t U. Fiind conţinută în mulţimea compactă X, TJ e mărginită. Fie p 6 TJ. Conform propoziţiei 5.2, aplicaţia 7Zp I В nu poate fi extinsă la mulţimea TJ {J В ; cum В а С şi U U Б с Х , rezultă că TZp\ С nu poate fi extinsă la întreg X. TEOREMA 5 . 3 . O submulţime compactă G a lui Bn disconectează spaţiul Bn dacă si numai dacă există o aplicaţie continuă esenţială a lui G în Sn~\ Demonstraţie. Condiţia e necesară. Să presupunem că С disconectează spaţiul Bn. Atunci există două puncte p şi q care sînt separate de G. Conform teoremei 5.1, aplicaţiile np\ G şi TTJ G nu sînt omotope, deci cel puţin una din ele este esenţială. Condiţia este suficientă. Fie / o aplicaţie continuă esenţială a lui С în 8n~1. Fie Kn un cub cu n dimensiuni în Bn astfel G d Kn. 5Tu există nici o extindere a lui / la К% căci, în caz contrar, aplicînd lema 5.1, se vede că / ar fi neesenţială. î n baza teoremei 5.2 există o submulţime nevidă TJ a lui Kn — G, deschisă în Bn şi a cărei frontieră este conţinută în G. U este atunci o submulţime proprie nevidă a lui Bn — G care este

•58

Teoria dimensiunii

simultan închisă şi deschisă în Rn — C. Rezultă că С disconectează spaţiul Rn. COROLARUL 5 . 1 . Dacă o mulţime compactă С disconectează spaţiul Rn, atunci orice submulţime a lui Rn omeomorfă cu С disconectează spaţiul Rn. Demonstraţie. Este suficient să se observe că teorema 5.3 dă o caracterizare intrinsecă a submulţimilor compacte care disconectează spaţiul Rn. COROLARUL 5.2. (Teorema de separare a lui Jordan). Orice submulţime a lui Rn care este omeomorfă cu 8п~г disconectează spaţiul Rn. Demonstraţia urmează imediat din corolarul 5.1. COROLARUL 5 . 3 . Teorema 5.3 şi corolarul 5.1 şi 5.2 sînt adevărate cînd spaţiul Rn este înlocuit cu sfera 8n. Demonstraţie. Se vede uşor că dacă С disconectează spaţiul 8n, atunci С disconectează spaţiul 8n — {p} pentru orice p care nu aparţine lui C, şi reciproc. Pe de altă parte, 8n — {p} este omeomorf cu Rn.

§ 6. Dimensiunea în sensul lui Lebesgue DEFINIŢIA 6 . 1 . Prin acoperire А unui spaţiu topologic X vom înţelege o familie finită de submulţimi deschise U1? ..., UT ale spaţiului X astfel încît

x = (j и i=1

Ordinul acoperirii este cel mai mare întreg n astfel încît există n + mulţimi Î7i care au intersecţie nevidă. O acoperire (U{) a spaţiului metric X se numeşte o s-acoperire, fiind un număr real pozitiv, dacă diametrul fiecărei mulţimi U{ este < O acoperire ß = (F3-) se zice că este o rafinare a unei acoperiri a — ( Ui) dacă fiecare Vf este conţinut într-un U { .

1 e e. =

L E M A 6 . 1 . Fie X Ç Ё şi Mo submulţime a lui X de dimensiune 0. Fie U± şi U2 două submulţimi deschise ale lui X, astfel încît M d U± U U2. Atunci există două submulţimi deschise V± şi V2 ale lui X astfel încît U r „

M(ZV1

v1

CZ

uly

Fx n

F-, =

v2

u2.

d

0,

Demonstraţie. Dacă dim M — — 1, adică M = 0, lema este evidentă. Să presupunem că dim M — 0. Putem presupune că X =

Ut U Ut

59

Dimensiunea în sensul lui Lebesgue

căci altfel am putea înlocui pe X cu Ux |J U2. Atunci mulţimile Сг = Х-l72,

C2^X

- U±

sînt închise şi disjuncte. î n virtutea propoziţiei 2.1, există o mulţime închisă В care separă pe C1 şi C2 şi pentru care M Г) В = 0. Există deci două mulţimi deschise V1 şi V2 astfel încît X

-

В

=

F , U

V

2

,

V

F ] V

1

сГС:Г19

2

=

0

C2ŒV2.

Deducem din relaţiile de mai sus VI

<= U» M

A

V V

±

2

U

<= V

2

U2 .

Fie X £ Ê şi Mo submulţime a lui X avînd dimensiunea U . . . , Ur mulţimi deschise astfel încît

LEMA 6 . 2 .

^ 0. Fie U19

l e u

uf.

i=1

Atunci există mulţimi deschise F1? . . . , FR astfel încît J F C J J F , ,

V I C U T

(I

=

L,2,

. . . , r )

Demonstraţia se face prin inducţie asupra numărului mulţimilor Ui. Lema e evidentă dacă r = 1. Să presupunem că este adevărată pentru r — 1 şi fie acum numărul mulţimilor Ui chiar r. Fie UR-! = UR_, U UR. Mulţimile deschise 17,, . . . , Ur_2j acoperă pe M, deci — în baza ipotezei inducţiei — există o acoperire deschisă a lui Jf, {V v . . . •. •, F r _ 2 , Fr_i), astfel încît FX С U19 . .

FR_2 С Î7R_2, F ; ^ С U'R-»

şi F1? . . . , F r _ 2 , Y'r-X sînt două cîte două disjuncte. Întrucît dim (F;_! N M) < O şi F;_X N ЛГ E ur^

И ur,

conform lemei G.l există mulţimi deschise Wx şi W2 astfel încît

F;_x

n

M

С

wx и w2ş

Ж, N Ж2

=

0

Teoria dimensiunii

•60

Punem :

Уг-i =

n F;-!,

vr - ira n

Este acum suficient să luăm acoperirea a lui M.

{F1? . . . , F r _ 9 , Trr_1? Уг}

TEOREMA 6.1. Fie X g <§ un spaţiu de dimensiune n şi A o acoperire a lui X. Atunci există o rafinare ß a lui a avînd ordinul
и ... и

An+1,

unde dim Аь - < 0 (г = 1, . . ., n + 1). Întrucît a este o acoperire pentru orice Ai7 lema 6.2, ne permite să obţinem n + 1 familii de mulţimi deschise astfel încît ß' este o acoperire a lui fiecare element al lui ß* este conţinut într-un element al lui a, şi V) П У к = 0 dacă j ф fc. Să considerăm acoperirea lui X ß = (Vj)

i = l, + l j = 1, Se vede imediat că orice subfamilie de w + 2 elemente ale lui ß conţine două elemente ale uneia din familiile ß", deci au intersecţie vidă. Aceasta înseamnă că ß are ordinul <>i. Pe de altă parte, ß este o rafinare a lui a. COROLARUL 6 . 1 . Fie X un spaţiu metric compact de dimensiune n. Atunci pentru orice г > 0, există o z-acoperire a lui X avînd ordinul^ n. Demonstraţie. Să considerăm familia tuturor bilelor deschise din

spaţiul X de rază — . X fiind compact, putem extrage o subfamilie finită 2 care este o acoperire a lui X. Este suficient acum să aplicăm teorema 6.1 acestei acoperiri. DEFINIŢIA 6 . 2 . Fie X un spaţiu metric compact şi Г un număr real pozitiv. O aplicaţie continuă g a lui X într-un spaţiu topologic Y se numeşte z-aplicatie dacă pentru orice y g g (X) avem

diam (g-1 (y)) < г. Fie X un spaţiu metric compact. Dacă g este о — - aplii caiie a lui X într-un spaţiu separat Y pentru orice număr natural г, atunci g e o injecţie topologică a lui X în Y, si reciproc. LEMA 6 . 3 .

61

Dimensiunea în sensul lui Lebesgue

Demonstraţie. Dacă g este

aplicaţie pentru orice i, atunci g i trebuie să fie biunivocă şi se ştie că orice aplicaţie continuă biunivocă a unui spaţiu compact într-un spaţiu separat este o injecţie topologică. DEFINIŢIA 6 . 3 . Fie X un spaţiu topologic şi Y un spaţiu metric compact. Yom nota prin ê ( X , Y) spaţiul metric al tuturor aplicaţiilor continue ale lui X şi Y, metrica fiind definită prin

d (f,g) = sup d(/(*), g(x)),

( f , g t ê ( X , Y)).

LEMA 6 . 4 . Spaţiul metric & ( X , Y ) este complet. Demonstraţie. Fie (/„)„_ lt2 un şir Cauchy în ê (X, Y). Pentru orice x g X, şirul (/*(#))»-i, 2, ... e s t e un Şir Cauchy în Y, care este compact, deci complet. Eezuită că şirul (f n (x)) are o limită, pe care s-o notăm cu f(x). Observăm că, fiind dat £ > 0, există un număr natural N Sf astfel încît n > jVe, implică

f ( x ) ) < £ pentru orice xţX. într-adevăr, este suficient să alegem pe JVe astfel încît n > p > Nt să implice

şi

£ d (fn (^)j fp (x)) pentru orice x g X, ceea ce este posibil ţinînd seama că (/„) e un şir Cauchy. întrucît mulţimea

{У\У 6 Г, d(/.(®),y)< £} este închisă şi (#) tinde către f (x) cînt p-> oo , rezultă că -ATS satisface condiţia cerută. Avînd în vedere această observaţie şi inegalitatea d (/(*),

f (*'))<

à(f(x),

fn(x))+

+ à(fn(x'),

d(fn(x),

fn{x'))

+

f(x')),

deducem că, dacă x' e suficient de apropiat de x, d (/(#), f (x')) este oricît de mic, adică / £ <§ (X, Y). Pe de altă parte, şirul (fn) converge în ê (X, Y) către /. LEMA 6 . 5 . Fie X un spaţiu metric compact şi z > 0. Mulţimea G ( z) a tuturor z-aplicaţiilor ale lui X într-un spaţiu metric compact Y este deschisă în ê (X, Y). Demonstraţie. Fie g 6 (? ( s ) şi fie

7] - inf d (g{x), d (x, o?') >- г

g(x'))

•62

Teoria dimensiunii

Din compactitatea lui X rezultă că există o pereche x, x' Ç X astfel încît d (x, x') > г şi 7] = d (g (x), g (x')) ; prin urmare y) > 0, căci altfel g nu ar fi o s-aplicaţie. Orice aplicaţie continuă / astfel încît d(/,3)< V z aparţine lui G ( г). într-adevăr, dacă x şi x' sînt astfel încît f (x) = f (x')9 atunci d (g (x), g (x')) < rl9 ceea ce implică că d (x, x') < e. PROPOZIŢIA 6.1. Fie X un spaţiu metric compact, astfel încît d i m X < ; n (n finit). Pentru orice număr pozitiv s, fie G ( z) mulţimea s-aplicaţiilor lui X în I2n+1. Atunci G ( s) este densă în spaţiul & (X,I 2 W + 1 ). Demonstraţie. F i e / £ ê ( X , I2"^1) si 7) > 0. Yom construi o aplicaţie g S ê (X, I 2 n + 1 ) astfel încît

d ( / , 9) < v). Orice funcţie continuă pe un spaţiu compact este uniform continuă. Există deci un număr S < г astfel încît relaţia d(x, x') < S să implice d (/(*), / ( * ' ) ) < - £ • 2i

Datorită corolarului 6.1 putem găsi o acoperire ß = ( ?74)€==1 a lui X, avînd ordinul <; n şi astfel încît diam Ut < 8

(г = 1, . . . , r).

diam/(17,) < - 5 -

(i = 1, . . . , r ) .

r

Urmează că (28)

Să alegem acum punctele p19 . . p (29)

r

în J2W+1 astfel încît

d (Pi, f ( Ui)) <

(i = 1, . . . , r )

şi ^ sînt în poziţie generală în J22n+1, adică nici o submulţime de m + 2 dintre punctele p{ (m = 0, 1, . . . , 2n) nu aparţin unui plan de dimensiune m în B2n+1 (m = 0, 1, . . ., 2n). Pentru orice x g X, punem Wi (o?) = d (о?, X — Ï7J cu convenţia că, dacă

= X, w{ (x) = 1.

(i = 1, . . . , r)

Dimensiunea în sensul lui Lebesgue 63

63

Avem : w{ (x) > O dacă Wi (x) =-o

xţU,

dacă

x$

Din cauză că (£7*) este o acoperire a lui X,

avem, pentru orice

xţX: w

i (x) + • • • + wr ix) > 0Să definim o aplicaţie continuă g : X-> I 2W+1 prin *) / ч g(x) =

W1(x) r

£

Vl + ...

w

i(v)

i=1

+

Wr(x) r Prj S wi{x)

i=1

Să arătăm că d (/, g) < vj. Presupunem că sînt astfel numerotaţi încît xţ Ui pentru i = 1,2, . . . , # şi я $ pentru г = s + 1, s + 2, . . . , г. Atunci Wj ( > 0 pentru i <; s şi w{ ( x) = 0 pentru г > s deci, în expresia lui g (x), apar numai ^ . . Din (28), (29) şi o? Ç Î7< (г < s) deducem à(PiJ(x))

<

т) (i

О )

şi, mai departe, d(flf(®), / (я?)) < У], căci punctul
în I

2n+1

. Evident că g (x) 6 L (x). Fie я' € X. Să presupunem că L (x') este subîntins de punctele

Ph, « • - , РнAvem, ca şi mai sus, t < n + 1 şi L (x') este un plan de dimensiune t -

1.

Dacă L (x) Г\ L (xf) ф 0, atunci planul subîntins de punctele PHJ « « Рчj PHI • • Pn este de dimensiune < s + t — 2 < 2n. De aici şi din faptul că punctele sînt în poziţie generală în R 2 n + 1 , rezultă {Рнч

{Ph,

Ф®-

*) Utilizăm scrierea vectorială: dacă p G Rn şi a e un număr real, ap este punctul care are drept coordonate coordonatele lui p multiplicate prin a.

•64

Teoria dimensiunii

Deducem că punctele x şi x' aparţin unui acelaşi Г^ dacă L (x) f| Г\Цх')фг. Or, aceasta este situaţia dacă g (x) = g (#'), ceea ce implică avînd în vedere că diam и { < S, d (x, x') < S < s, deci g este o s-aplicaţie. TEOREMA 6.2. (Teorema de scufundare a lui Menger-iNöbeling). Fie X un spaţiu metrizabü compact de dimensiune n (n finit). Atunci X este omeomorf eu un subspaţiu al lui I2n+1, în plus, mulţimea injecţiilor topologice ale lui X în I2n+1 este o mulţime G8 *) densă în spaţiul ê (X, I 2 n + 1 ).

Demonstraţie.

Pentru orice număr natural i, fie G

submul-

ţimea lui Q (X, I 2 n + 1 ) formată din toate — - aplicaţiile şi fie i oo r i 2 = D
V Г

î n bâza lemei 6.3, H coincide cu mulţimea injecţiilor topologice ale lui X în I 2Ä+1 . Conform lemei 6.5, fiecare mulţime G8, în ë (X, I

2ÎÏ+1

este

deschisă, deci o

), iar conform propoziţiei 6.1 fiecare G

este

densă în ê (X, I 2W+1 ). Tinînd seamă de lema 6.4, putem aplica teorema lui Baire **) în spaţiui ë ( X , I 2 * + 1 ). Eezultă că H este o mulţime G8 densă în é (X, I2W + 1). Observaţia 6.1. Teorema 6.2 este inclusă în teorema 6.3 demonstrată mai jos. Am dat însă separat demonstraţia teoremei 6.2, întrucît ea este mai simplă şi mai puţin încărcată de detalii tehnice decît cea a cazului general şi ajută la înţelegerea ideii principale a acesteia din urmă. DEFINIŢIE 6.3. Fie A o acoperire a spaţiului X şi g o aplicaţie continuă a lui X în spaţiul Y. Se zice că G e o OL-aplicaţie dacă fiecare punct y g Y are o vecinătate V în Y astfel încît

g'1 (У) с: и pentru un anumit U Ç a. DEFUSIŢIA 6.4. Fie a o acoperire a lui X şi fie pentru fiecare x Ç X, $ a (ж) mulţimea deschisă egală cu reuniunea elementelor lui a care conţin *) Reamintim că se numeşte mulţime **) Vezi anexa II.

o intersecţie numărabilă de mulţimi deschise.

Dimensiunea în sensul lui Lebesgue

65

punctul x. O familie numărabilă ( a j ^ л de acoperiri se numeşte şir fundamental de acoperiri, dacă fiind dat un punct x şi o vecinătate TJ a lui x, cel puţin una din mulţimile deschise 8ai (x), 8a, (x),

...

este conţinută în TJ. PROPOZIŢIA 6 . 2 . Pentru orice spaţiu metric separabil X există un şir fundamental de acoperiri. 0 Demonstraţie. Fie ( 2 bază numărabilă a lui X. Fie o pereche TJn, TJm astfel încît un с TJm.

Fie w acoperirea lui X formată din mulţimile X — Un şi Um. Dacă x 6 UA, avem 8a ntfn (x) = Um. Eezultă că pentru fiecare xţX familia (8ocntVn(x)) include familia mulţimilor TJm care conţin pe x, ceea ce probează că (aw.w) este un şir fundamental de acoperiri. un PROPOZIŢIA 6 . 3 . Fie ( A J ^ , 2? . .. -W fundamental de acoperiri al unui spaţiu X. Dacă g.este o a4 - aplicaţie a lui X într-un spaţiu Y pentru orice i, atunci g este o injecţie topologică. Demonstraţie. Este vizibil că este destul să demonstrăm că pentru orice xţX si orice vecinătate TJ a lui x există o vecinătate F a lui g (x) astfel încît g'1 (F) e TJ. Există un indice i astfel încît

(30)

8ai(x)

С U.

Întrucît g este o af - aplicaţie, există o vecinătate F a lui g (x) şi un element Uj0 Ç a- astfel încît (31) şi cum x ţ д~г (V), deducem

g'1 (F) e

(32)

m,

UbCZ8ai(x). Din (30), (31), (32) rezultă că

д-г(У) С: и. PROPOZIŢIA 6 . 4 . Fie X un spaţiu metric compact şi A o acoperire a lui X. Există atunci un număr pozitiv Y] astfel încît orice submulţime a lui X de diametru < Y) este conţinută într-un element al lui a. Demonstraţie. Să presupunem că nu există nici un număr cu proprietăţile din enunţ. Atunci putem găsi un şir de submulţimi 2 ale lui X astfel încît lim diam X% = 0 t —• oo

şi fiecare X{ nu este conţinut ?n i c i un e e*nent al lui a. Fie xi

•66

Teoria dimensiunii

Fie x nn punct de acumulare al şirului încît x € U0. U0 fiind deschis, avem p = d (x, X -

2>

••• şi fie U0ţ OL astfel

U0) > 0.

Există atunci un indice i0 astfel încît 4

a lui Y cu proprietatea că pentru orice i, l < i < r , g^C^i) e s t e conţinut într-un element al lui a. î n baza propoziţiei 6.4, există un Y) > 0 astfel încît orice submulţime a lui Y de diametru < y) este conţinută într-un element al lui cr, deci are imagine inversă prin g conţinută într-un element al lui a. Fie / € ê (X, Y) astfel încît

У Pentru y g Y, fie S y bila cu centrul în y de diametru — . Se vede 3 uşor că diam д(П(8у))

<

у 6 Y

aşa încît f"1 (Ä„) este conţinut într-un element al lui a. Conchidem că f este o a - aplicaţie. PROPOZIŢIA 6 . 5 . Fie X un spaţiu metric separabil astfel încît dim X <; n (n finit) şi OL o acoperire a lui X. Fie G (OL) mulţimea tuturor OL-aplicaţiilor lui X în I2n+1. Atunci G (OL) este densă în spaţiul Й (X, I2n+1). Demonstraţie. Fie / 6 & (X, I 2 n + 1 ) şi rj > 0. Vom construi u n 2Ä+1 g 6 в (X, I ) astfel încît

a (/, sr) < Tj Sf 6 0 ( a ) .

67

Dimensiunea în sensul lui Lebesgue 71

Fiind compact, I 2 n + 1 posedă o S-acoperire <j, uncie S < —. Fie т 2 acoperirea lui X definită astfel : Conform teoremei 6.1, există o rafinare comună ß = {Ult

UT)

a lui a şi т, astfel încît ordinul lui 3 < n. Avem deci diam

(i = l , ...,»•). j-t

Construim acum aplicaţia g exact ca în demonstraţia propoziţiei 6.1, utilizînd puncte p19 ..., pr în I2"^1 în poziţie generală. Faptul că d (fj 9) < se demonstrează exact ca acolo şi tot aşa se demonstrează, în notaţiile respective că dacă L (x) f| L(x')=f=®, atunci x şi x' se află într-un acelaşi TJi din ß. Întrucît însă există numai un număr finit de plane L (#), există un număr r, > 0 astfel încît oricare pereche de asemenea plane sau au intersecţie ne vidă, sau au o distanţă >- v) între ele. Dacă d (g (x), g (x')) < rn atunci avem d (L(x),

L{x'))

< '/],

deci L (x) f)L(x')=j=0, deci punctele x şi x' sînt conţinute într-un acelaşi element al lui ß şi g este o a-aplicaţie. TEOREMA 6 . 3 . Fie X un spaţiu metri zabil separ abil de dimensiune n (n finit). Atunci X este omeomorf cu un subspaţiu al lui I2n+1. In plus, mulţimea injecţiilor topologice ale lui X în J2W+1 conţine o mulţime G8 densă 'în spaţiul ë (X, I 2W+1 ). Demonstraţie. î n baza propoziţiei 6.2, există un şir fundamental (a»)i=i> 2? • • • de acoperiri ale spaţiului X. Fie (?(<*,) mulţimea a r aplicaţiilor ale lui X în J 2 n + 1 şi

i=1

Conform propoziţiei 6.3, fiecare element al lui H e o injecţie topologică, iar în baza lemei 6.6 fiecare G (a*) e deschis în ê (X, I2W+1). în fine, în virtutea propoziţiei 6.5, fiecare G (a4) este densă în ë (X, I 2 n + 1 ). Avînd în vedere lema 6.4, putem aplica teorema lui Baire *) în spaţiul ë (X, I 2 n + 1 ). Eezultă că Я este o mulţime Gs densă în ё (X, I 2 n + 1 ). *) A se vedea anexa II.

•68

Teoria dimensiunii

TEOREMA 6.4. (Teorema de scufundare a lui Urvsolm). Fie X un spaţiu metric separabil. Atunci X este omeomorf cu un subspaţiu al cubului lui'Hilbert

în plus, mulţimea injecţiilor topologice ale lui X în Jw conţine o mulţime G s densă în spaţiul ê (X, Demonstraţia este identică cu cea a teoremei 6.5, cu simplificarea că nu impunem nici o condiţie ordinului acoperiri ß. Punctele px sînt astfel alese încît orice submulţime finită a lor este liniar independentă. TEOREMA 6 . 5 . Fie X un spaţiu metrizabil şi separabil, astfel încît orice acoperire a lui X posedă o rafinare avînd ordinul n. Atunci X are dimensiunea n. Demonstraţia. Dacă se notează prin JfUlm submulţimea lui Itn formată din punctele care au cel mult w coordonate raţionale, vom demonstra că există o injecţie topologică

h : X-> M2n"+1 П

l2n+1.

Pentru aceasta, vom modifica demonstraţia propoziţiei 6.5 şi vom utiliza notaţiile de acolo. Considerăm un / Ç 0. Luăm o S-acoperire G a lui I 2 n + 1 , unde

8 < -^-şi acoperirea т = { / _ 1 (T)l Y 6 a}. Conform

ipotezei, exislă o rafinare ß = {U„ ...,

Ur}

a iui T, astfel încît ordinul lui ß este <; n. Se vede uşor că, dacă P este un plan fix de dimensiune n în spaţiul B 2 n + 1 , se pot deplasa puţin punctele рг, . . ., pr astfel încît nici unul din planele L (x) să nu intersecteze pe P. Exact ca în demonstraţia propoziţiei 6.1, construim o aplicaţie g € ë (X,I 2 n + 1 ), satisfăcînd d (/, g) < y) şi, în plus, condiţia gjx) n P = 0Eezultă că mulţimea G(P) = {g\geê este densă în ê (X, I implică

2ri+1

( x , i 2 n + 1 ), g (X) n p -

). Ea este şi deschisă, căci relaţia g (X) f| P = 0 d (g (X), P) > 0,

ceea ce ne permite să afirmam că orice aplicaţie g' cu

aparţine lui G (P).

0}

69

Dimensiunea în sensul lui Lebesgue

Mulţimea I 2 "" 1 - M T V 1 f) I 2 n + 1 este formată din punctele lui j2«+i e a r e a u c e i p U ţ{ n n i coordonate raţionale, deci ea coincide cu reuniunea unei familii numărabile de hiperplane (Р»)г=1, 2 ,... fiecare P* fiind definit de ecuaţii de forma

unde rv . . .,r n + 1 sînt numere raţionale (aici trebuie luate tcate familiile de cite n + 1 numere naturale cuprinse între 1 şi 2n + 1 şi toate familiile de n + 1 numere raţionale). Dimensiunea fiecăruia din aceste hiperplane este 2n -f 1 — (n -f 1) = n. î n baza teoremei 6.3, există o mulţime G8 densă în (2 (X, I 2 n + 1 ), H, formată din injecţii topologice ale lui X în I 2 / i + 1 . Fie H' = H П П G (PJ . i= l

î n virtutea lemei 6.4, putem aplica teorema*lui Eaire *) ; deducem că -ET este o mulţime G8 densă în 6 (X, I 2 n + 1 ), deci, în particular, Я' =j= 0 . Fie h $ # ' . Este clar că ЩХ) CZ I2n+1 — ţ j j Pi j - Jt**+1 П I2n

bl

.

î n conformitate cu lema 4.5, dim J%ln+1 < n. Rezultă că dim X = dim h (X) < dim (МГfl

П I 2 n + 1 ) < п.

COROLARUL 6 . 2 . Fie X un spaţiu metric compact, astfel încît pentru orice z > О, X posedă o z-acoperire avînd ordinul n. Atunci X are dimensiunea n. Demonstraţie. Este suficient să se observe că, în conformitate cu propoziţia 6.4, orice acoperire a lui X posedă o rafinare avînd ordinul n. TEOREMA 6 . 6 . Un spaţiu metric separabil are dimensiunea n dacă şi numai dacă orice acoperire a sa posedă o rafinare avînd ordinul ^n. Demonstraţie. Teorema rezultă clin combinarea teoremei 6.1 şi a teoremei 6.5. COROLARUL 6 . 3 . Un spaţiu metric compact are dimensiunea ^ n dacă si numai dacă el posedă pentru orice z > 0 o z-acoperire avînd ordinul n. Demonstraţie. Corolarul rezultă din combinarea corolarului 6.1 şi a corolarului 6.2. *) A se vedea anexa II.

•70

Teoria dimensiunii

A n e x e I. Un spaţiu topologic se numeşte complet normal dacă fiecare subspaţiu al său este normal. Orice spaţiu metric este complet normal. LEMA. Fie X un^ spaţiu complet normal şi fie A şi В două submulţimi ale lui X astfel încît A f ) В = 0, A Ç) В = 0. Există atunci o submulţime deschisă G a lui X astfel încît A CZ Gji G f] В = 0. __ __ Demonstraţie. Fie G = X — A f] B. Mulţimile A — В şi В — A sînt disjuncte şi închise în G. X fiind complet normal, subspaţiul său G este normal. Există deci o mulţime G deschisă în G şi astfel încît Ä - B CZG, G f ) С f ) (B - A) = 0.

Dar din faptul că G e deschisă în O şi O este deschisă în X, deducem că G este deschisă în spaţiul X. Pe_de altă parte, relaţia A f] В = 0 implică 1 С A - Б С ö, iar_relaţia A f| В = 0 implică G f| В CZ G f| П в - A CZ G n G n (B - A) = 0 . I I . TEOREMA LUI B A I R E . Orice intersecţie numărabilă de submulţimi deschise dense ale unui spaţiu metric complet este densă. Demonstraţie. Fie 2, . . . o familie de submulţimi deschise dense ale spaţiului metric complet X şi fie 00

J> =

HA. i=1 Fie TJ o submulţime deschisă arbitrară a lui X. Întrucît Dx este densă, există un punct рг £TJ Ç) Dx. întrucît TJ f| Dx e deschisă, există o bilă deschisă 8± cu centrul î n ^ de diametru < 1, astfel încît S1CZ TJ f] D±. Printr-un raţionament analog, determinăm un punct p2 € П D2 şi o bilă deschisă 82 cu centrul în p2 de diametru < — , astfel încît S2 CZ 2 CZ 8± П D2. Continuînd în acest fel obţinem un şir de puncte (pn)n=1, 2? • • • şi un şir de bile deschise ($J n = 1 , 2, . . . , astfel încît Pn S O

diam 8n < —, n

С n Dn, S± CZ U n Dl. Eezultă că (pn) este un şir Cauchy ; fie p limita acestui şir. Din(*) rezultă că p Ç TJ П D, ceea ce demonstrează că D este densă. Din teorema lui Baire rezultă : într-un spaţiu metric complet, orice intersecţie numărabilă de mulţimi G8 dense este o mulţime G$ densă.

71

Anexe

I I I . TEOREMA DE REDUCERE A LUI BROUWER. Fie X un spaţiu cu bază numărabilă şi fie JC o familie de submulţimi închise ale lui X cu următoarea proprietate : Dacă K{£JC (i = 1, 2, . . . ) este un şir de elemente ale lui JC astfel încît

^ z ) x 2 z ) ... z ) £ : n 3 00 P| Kt g JC. г=1 în aceste condiţii există o mulţime KţJC astfel încît nici o submulţime proprie a lui К nu aparţine lui JC. Demonstraţie. Fie ( Ui)i=1, 2, . . . o bază numărabilă a lui X. Fie K0 un element arbitrar al lui JC. Definim inductiv o familie 2, . . . astfel : KnţJC (n = 1, 2, . . . ) Şi atunci

С)

с

П (X -

un)

dacă o astfel de mulţime există, şi K n = К п _ г în caz contrar. Fie *

-

П

w=l

o

ÜL are proprietatea de minimalitate dorită, căci, în caz contrar, ar exista o submulţime proprie K' a lui К astfel încît К' g JC şi deci un astfel încît Г**)

кпипф<г,

şi în acelaşi timp K' f| Un = 0 . Dar atunci, prin construcţia lui 2TW, relaţia (**) ar fi valabilă. Aceasta ar implica К f| Un = 0 datorită lui (***), ceea ce ar contrazice (****).

PARTEA A DOUA

Teoria categoriilor de

Martin Jurchescu

Capitolul I

Categorii şi functori

§ 1. U n i v e r s DEFINIŢIE. O mulţime U se numeşte univers dacă satisface condiţiile următoare : UI) Dacă x Ç U, atunci {x} Ç U (unde {x} este mulţimea formată din elementul x). U2) Dacă ж Ç X şi X Ç U, atunci x £ U . U3) Dacă o mulţime X Ç U, atunci mulţimea părţilor ® (X) Ç U. U4) Dacă ( X ^ este o familie de mulţimi X{ Ç U şi dacă I £ U, atunci U XI £ U. г ei U5) Cuplul (x, y) Ç II dacă şi numai dacă o? şi y Ç U. Mulţimea vidă este un univers numit universul vid. Evident, dacă (U a ) a€ ^ este o familie de universuri, unde A este o mulţime, atunci Pi Ùa este tot un univers. ocÇd

Pentru existenţa universurilor, vom presupune că avem o teorie a mulţimilor în care este satisfăcută axioma următoare : Pentru orice mulţime A, există un univers U care conţine pe A ca element. Eezultă atunci că există chiar un cel mai mic univers care conţine pe A ca element. Acest univers se numeşte universul generat de mulţimea A. î n particular, există universuri care conţin mulţimea Z a numerelor întregi. Acestea sînt dealtfel universurile importante în matematică. Yom nota e = {0}, deci e este mulţimea care are ca unic element mulţimea vidă. Fie (Х{){€1 o familie de mulţimi (I o mulţime). Vom defini produsul direct X = TJ Х{ astfel : 1° X = e cînd 1 = 0. 2° 1 = 0 cînd I =f=0 dar există i € I astfel încît X% = 0.

76

Teoria categoriilor

3° X = mulţimea tuturor familiilor o? = e j cu х-г g X { cînd I =f= 0 şi toţi Xi Ф 0. Cînd I ф 0 şi X{ =/= 0 pentru toţi i g I, avem aplicaţiile pr i : X - > X * definite prin pr* (x) = ^ pentru orice clement o? == (жД-çi în X. Aceste aplicaţii se numesc proiecţiile canonice ale produsului direct X. De asemenea, vom defini suma directă X' = i l X% prin egalitatea iei X' = и {*} X X,. iei Rezultă că X' = 0 cînd 1 = 0. Dacă I ф 0, atunci pentru toţi г g I astfel încît Х-ъф0 avem aplicaţiile definite prin (x) = = (i, ж) pentru orice element x g X%. Aplicaţiile г% se numesc injecţiile canonice ale sumei directe X'. Yom scrie uneori x% în loc de (i, o?) cu г g I şi o? g X{. Fie XX un univers. 1) Dacă o mulţime A g IX şi dacă В d A, atunci В g U. 2) Dacă A, Б g U, atunci JL N Б g XX si A X В ÇVL (în particular BA g U). 3) Dacă x, г/ g U, atunci mulţimea {x, y} g U. 4) Daca ( X ^ ç j este o t familie de mulţimi X i g XX şi dacă I g II, atunci TT Xi g XX şi И X{ g XX. г ei 'iei 5) Dacă o mulţime X g XX, atunci Card X < Card XX (în particular XX nu se confine ca element). Demonstraţie. Mai înt-îi dacă A g XX, atunci ^ (A) g XX în virtutea lui U3) şi deci В g XI în virtutea lui U2). Rezultă, în particular, că dacă XX este ne vid, atunci mulţimea vidă 0 este un element g XX. într-adevăr, dacă XX ф 0, atunci există un element a g XX. Din TJl) rezultă că mulţimea {a} g XX, deci mulţimea vidă, fiind o submulţime a lui {a}, este un element din XX. Din UI) mai rezultă atunci că e gjll. înainte de a termina demonstraţia vom stabili următoarea : LEMA. Dacă XX este un univers nevid, pentru orice întreg n 0, există o mulţime A g XX astfel încît Card A = n. Pentru demonstraţia lemei vom face inducţie după n. î n virtutea celor precedente, aserţiunea lemei este adevărată pentru n = 0 întrucît Card 0 = 0. Yom presupune deci că aserţiunea lemei este adevărată pentru n şi o vom demonstra pentru n + 1. Fie В o mulţime g XX astfel încît Card В = п. Atunci & (В) g XX şi evident Card'« (В) = 2" > п. Deci există о mulţime A d ® (В) astfel încît Card A = n -f 1 etc. Revenim la demonstraţia teoremei. Din lema şi din U4) rezultă că orice reuniune finită de mulţimi g XX este o mulţime g XX. TEOREMA 1 . 1 .

Categorii «şi functori

Fie acum А, В două a Ç U şi fe Ç U în virtutea {(a, b)} £ U în virtutea lui {a}

77

mulţimi Ç U. Pentru orice a ţ Aşi orice b Ç B, lui U2), deci (a, &) Ç U în virtutea lui U5), deci UI). Astfel, după U4), avem mai întîi x В = U { К b)} € U Ь£ В

şi apoi A x В = U W X В € U. açi Orice aplicaţie de mulţimi f : A -> В se identifică cu graful ei. Atunci mulţimea BA a tuturor aplicaţiilor lui A în В este o submulţime a lui &(A x B) şi deci BA este un element din U dacă mulţimile A şi В sînt elemente din U. Aserţiunea 3) a fost esenţial demonstrată mai sus. Mai departe ştim că dacă VL este nevid, 0 şi e g U. Apoi dacă I =f= 0 şi 1 ^ 0 pentru toţi i € I, TT Xi este o submulţime a lui Aunde tÇI

JL = U Xj. De asemenea UL Xi = U {i} x X i e I^Z

I£Z

IÇI

î n sfîrşit, dacă A este o mulţime € U, atunci A este de asemenea о submulţime a lui U în virtutea lui Û2), deci Card A < Card 21. Or, daca X este o mulţime € IX, atunci $ (X) Ç U si deci Card â (X) < Card U. Cum Card X < Card S (X), avem Card X < Card U ceea ce termină demonstraţia teoremei. Noţiunea de univers a fost introdusă în matematică de A. Grothendieek. § 2. C a t e g o r i i Amintim că o aplicaţie de mulţimi / : X -> Y se zice injectivă cînd f ( x ' ) = f (x") implică x' = surjectivă cînd, pentru orice y ţ Y , există ж Ç X astfel încît f (x) = y, şi bijectivă cînd este simultan injectivă şi surjectivă. O aplicaţie de mulţimi f : X Y se mai notează ж ~->f(x). O categorie <2 constă din următoarele date : 1) o mulţime Ob (в) ale cărei elemente se numesc obiectele lui £ ; 2) pentru orice cuplu de obiecte А, В Ç Ob (@), o mulţime Honig (J., В) ale cărei elemente se numesc morfisme (sau săgeţi) de la 1 în Б sau de sursă A şi capăt В ; 3) pentru orice triplet de obiecte А, В, С Ç Ob (в), o aplicaţie Hom Hom^J., С), numită compunerea morfismelor, care asociază cu orice cuplu de morfisme ^ € H o m e ( J . , B) şi ^ € H o m e ( B , (7), un morfism vu £ Hom e ( J., C), notat uneori şi 1?0 и ; DEFINIŢIE.

78

Teoria categoriilor

toate supuse la următoarele axiome : i) pentru orice A g Ob (в), există un morfism 1A g Homg(i ,J.), numit identitatea lui A, astfel încît 1A и — и şi v 1A = v pentru orice morfism и de capăt A şi orice morfism v de sursă A ; ii) compunerea morfismelor este asociativă : dacă и g Homg(A, B)9 v g Нош е (Б, С) şi w g Hom В în loc de и g g Н о т (А, Б), iar uneori vom desemna un morfism numai printr-o săgeată A B. Yom nota FI (<2) reuniunea mulţimilor Н о т (A, B) cînd A şi Б parcurg independent mulţimea Ob (в) şi vom numi FI (в) mulţimea săgeţilor sau mulţimea morfismelor lui <S. Să observăm că compunerea morfismelor acţionează în FI (<S) şi că vu este definit atunci şi numai atunci cînd sursa lui v coincide cu capătul lui u. Să mai observăm că, pentru orice A g Ob (в), identitatea lui A este unic determinată. într-adevăr, dacă e : A -> A este astfel încît eu = = и şi ve = v pentru orice morfism и de capăt A şi orice morfism v de sursă A (vom spune atunci că e este o unitate sau o identitate în <S), atunci în particular e = 1A e = 1A. Mai rezultă că orice identitate în в este de formă 1A, şi anume pentru un singur A în virtutea axiomei iii). Aşadar aplicaţia A —> 1A este o bijecţie între mulţimea Ob (в) şi mulţimea identităţilor lui в. tt V Dacă A —> Б şi Б —> A sînt morfisme în в astfel încît vu = 1A, atunci v se numeşte un invers la stînga al lui uy iar и un invers la dreapta al lui v. и DEFINIŢIE. Un morfism A —> Б în В se numeşte izomorfism dacă v A există un morfism Б — > A care este simultan invers la stmga şi la dreapta pentru щ i.e. vu = 1A şi uv = 1B. Faptul că и este izomorfism se notează и : А ^ Б sau и : A ä Б. Morfismul v satisfăcînd condiţia din definiţie (dacă există) este unic Vf determinat : într-adevăr, dacă Б — > A este un alt morfism care satisface condiţiei din definiţie, atunci v' = 1A v' = (vu) v' = V (uv') = V 1B = V. Morfismul Б A satisfăcînd vu = numeşte invers al lui и şi se notează v =

şi uv = 1B (dacă există) se w1.

79

Categorii «şi functori

Evident, identităţile Ini (2 sînt izomorfisme. De asemenea, dacă U

V

A —> Б şi В —> С sînt {vu)'1 = и~г V_1. Să mai observăm că Dacă A Б este un avem o aplicaţie Нот

izomorfisme, atunci vu

este izomorfism şi

dacă и este izomorfism, u~x este izomorfism. morfism în <2, atunci, pentru orice X g Ob (<2)r (X, A)-> Н о т (X, B)

care asociază cu orice morfism f:X~> aplicaţie

A, morfismul uf: X->

Б, şi o

Н о т (Б, X) -> Н о т {A, X) care asociază eu orice morfism / : Б X, morfismul fu : A -> X. DEFINIŢIE. Un morfism A -> Б se numeşte monomorfism (resp» epimorfism) dacă, pentru orice X g Ob (<2), prima (resp. a doua) din aplicaţiile precedente este injectivă. Vom spune că и este o bijecţie dacă и este simultan monomorfism şi epimorfism. Deci и este monomorfism, cînd uf = ug implică / = g şi epimorfism, cînd fu = gu implică / = g. Orice izomorfism este o bijecţie. 2) Orice compus de două monomorfisme (epimorfisme) este un monomorfism (epimorfism). TEOREMA 2 . 1 . 1 )

_

и

V

In situaţia A — > Б — > (7, dacă vu este monomorfism (resp. epimorfism), atunci и (resp. v) este monomorfism (resp. epimorfism). Demonstraţia este trivială şi o vom omite. O mulţime preordonatâ este o categorie I astfel încît Horn (i, j) conţine cel mult un element pentru orice cuplu de obiecte i, j din I. Vom scrie atunci i ^ j în loc de Horn (i, j) =f= 0. Eezultă că i < i pentru orice i g Ob (I) şi că i <; j şi j <; Ic implică i <; h. O mulţime ordonată este о mulţime preordonată astfel încît i <; j şi j <; i implică i = j. Dacă I este o mulţime preordonată (ordonată), atunci Ob (I) se numeşte mulţimea subiacentă lui I, iar Fl (I) relaţia de preordine (ordine) a lui I. Conceptul de categorie apare aşadar ca o generalizare a celui de mulţime preordonată. Evident, într-o mulţime preordonată I, orice morfism în I este o bijecţie. Pe de altă parte, dacă I este o mulţime ordonată, orice izomorfism în I este o identitate. Eezultă că în general într-o categorie există bijecţii care nu sînt izomorfisme. 3)

DEFINIŢIE. Dacă в este o categorie, se numeşte categorie duală a lui в şi se notează <2° categoria definită astfel : 1) Ob (<2°) = Ob (в) ; 2) Hom
80

Teoria categoriilor

3) Compunerea lui v şi и în este egală eu compunerea lui и şi v în <S. Evident, (S°)° = <2, adieă duala dualei lui 6 coincide cu €. Principiul general de dualitate : Orice noţiune (propoziţie) într-o categorie neprecizată £ are o noţiune (propoziţie) duală care se obţine considerînd noţiunea (propoziţia) în categoria duală şi apoi interpretînd-o în categoria <2. Procedeul de trecere de la o noţiune (propoziţie) la noţiunea (propoziţia) duală se numeşte procedeul inversării săgeţilor. O noţiune (propoziţie) se zice autoduală dacă coincide cu duala ei. De exemplu, noţiunea de epimorfism este duală cu cea^ de monomorfism, iar noţiunile de bijecţie şi izomorfism sînt autoduale. î n teorema 2.1, propoziţia 1) este autoduală, iar în 2) şi 3) enunţurile duale sînt date între paranteze. Să mai considerăm un exemplu. DEFINIŢIE. Un obiect e din В se cheamă obiect final dacă, pentru orice A g Ob (€), mulţimea Horn (A, e) conţine exact un element, i.e. există exact o săgeată A e. Dual avem noţiunea de obiect iniţial : i este un obiect iniţial în categoria в dacă, pentru orice A g Ob (6), există exact o săgeată i -> A. Un obiect în 6 care este simultan final şi iniţial se numeşte obiect nul. Evident, toate obiectele finale (dacă există) sînt mutual izomorfe : mai precis, pentru orice cuplu de obiecte finale e şi e' în (2, unicul morfism e e' este un izomorfism. La fel pentru obiectele iniţiale şi pentru obiectele nule. Dacă I este o mulţime ordonată, obiectul final (iniţial) dacă există este unic şi se numeşte cel mai mare (mic) element al lui I. DEFINIŢIE. Dacă U este un univers, o categorie <2 se numeşte U-categorie cînd Horn (J., B) g U pentru orice cuplu de obiecte A, В în (2. O U-categorie se zice mică dacă Ob (£) g U ; rezultă atunci că şi El ((2) g U. Pentru orice categorie <2 există un univers (chiar unul cel mai mic) U astfel încît (2 să fie o U-categorie. Exemple de U-categorii sînt : Categoria U-Ens. Obiecte : mulţimile g U ; morfisme : aplicaţiile de mulţimi. î n exemplele următoare prin grup, monoid etc., se va înţelege un grup, monoid etc. avînd ca mulţime subiacentă un element din U. Categoria U-G (resp. U-Ab). Obiecte : grupurile (resp. grupurile abeliene) ; morfisme : omomorfismele de grupuri. Categoria U-M. Obiecte : monoizii ; morfisme : omomorfismele de monoizi. Categoria U-A. Obiecte : inelele cu element unitate ; morfisme : omomorfismele de inele cu element unitate.

Categorii «şi functori

81

Categoria U-Top. Obiecte : spaţiile topologice ; morfisme : aplicaţiile continue. Se vede uşor că în categoria U-Ens (resp. U-Ab) monomorfismele sînt aplicaţiile (resp. omomorfismele) injective, iar epjmorfismele sînt aplicaţiile (resp. omomorfismele) surjective. î n plus, bijecţiile coincid cu izomorfismele în aceste categorii. Acelaşi lucru este adevărat pentru lt-G, dar este mai puţin imediat. Mulţimea vidă 0 este unicul obiect iniţial în U-Ens, iar mulţimile punctuale (i.e. mulţimile care conţin un singur element) sînt obiecte finale în U-Ens -, în particular, e = {0} este final în U-Ens. întrucît 0 şi e nu sînt izomorfe, se vede că U-Ens nu are obiect nul. De asemenea grupurile care se reduc la elementul neutru sînt obiecte nule în U-G şi U-Ab. DEFINIŢIE. O categorie (2' se numeşte subcategorie a lui (2 dacă : 1) Ob (<2') d Ob (в) ; 2) Horner (А, В) а Ношр (А, В) pentru orice cuplu de obiecte А, В în & ; 3) compunerea morfismelor în (2' este indusă de compunerea morfismelor în в. O subcategorie (2' a lui (2 se zice plină dacă Homp/ (Aj B) = Hom
82

Teoria categoriilor

§ 3. Functori DEFINIŢIE. Dacă (2 şi <2' sînt două categorii, un functor JF:(2-> (2' (se mai spune : functor covariant) este o funcţie care asociază cu orice obiect A din (2 un obiect F (A) din & şi cu orice morfism и : A -> Б din <2r un morfism F (u) ă.F (A)-> F (В) din <2' astfel încît: !) F {!A) = IJ-U) pentru orice A g Ob (<2) ; 2 ) F (vu) = F (v) F (u) pentru orice compus vu de morfisme din (2. Bezultă că un functor F : (2 <2' induce o aplicaţie Ob (<2) -> Ob (<2') definită prin A o aplicaţie

(A), şi pentru orice cuplu de obiecte A, В în <2, Horn (A, B)

Horn (F (A), J7 (Б))

definită prin w (u). Evident, dacă и : A Б este un izomorfism în (2 şi : (2 (2' un functor, atunci F (и) este un izomorfism în <2'. Yom folosi uneori notaţia indicială pentru functori, i.e. vom scrie Fa în loc de F (A) şi Fu în loc de F (и). (2° fiind categoria duală lui (2, un functor F -€ (2° -> (2' se mai numeşte functor contravariant de la <2 în <2'. Dacă-F : <2->6' este un functor, atunci avem un functor F° : (2°—> (2/0 definit prin F° (A) = F (A) şi F° (u) = F (и) pentru orice A g Ob (<2) = = Ob ((2°) şi orice и g Hom e (JL, Б) = Ною е о (Б, А). Functorii se compun în mod natural : dacă F : (2 -> (2' şi G : &' (2" sînt doi functori, atunci functorul (rF : (2 (2" se defineşte prin GF (A) = = G (J1 (JL)) şi (M) = G (F (и)). Dacă в' este o subcategorie a lui (2, avem functorul de incluziune i:(2'-> (2 definit prin i ( JL) = JL şi i (и) = и pentru orice obiect A şi orice morfism и în 6'. Dacă G : (2 (2" este un functor, functorul Gi se mai notează G | <2' şi se numeşte restricţia lui G la <2'. Cînd <2' = <2, i se numeşte identitatea lui (2 şi se notează Evident, l e este o unitate pentru compunerea functorilor. Dacă este o familie de categorii şi <2 = TT <2*, atunci, pentru < I orice j g I avem functorul 6 r P j 5 <2-»<2/, numit proiecţia canonică de indice j a lux (2, care asociază cu orice obiect A == (JL i ) i ţi în <2 obiectul JL,. în <2,- şi cu orice morfism (щ) 1 е 1 în в morfismul щ în (2,-. Pentru orice categorie & şi orice familie ( F i ) i e l de functori Fi : <2'-> ei9 există şi este unic un functor F = (2'-> (2 astfel încît = = pr* F pentru toţi i g I. Cînd в este o U-categorie, avem un functor Horn : (2° x <2

U-Ens

Categorii «şi functori

83

definit astfel : dacă (A, B) este un obiect în (2° x S, deci un cuplu de obiecte în (2, atunci Horn (A, B) = Hom B' în (2, atunci Н о т (щ v) = = Hom^ (u, v) este aplicaţia Нот (А, В) -> Horn (A', B') care asociază cu orice morfism f:A->B în (2, morfismul vfu:A'->B' în (2. Astfel Horn este un functor contravariant în prima variabilă şi covariant în a doua. Mai precis, pentru orice obiect В în (2, funcţiile А Н о т (A, B) şi и Н о т (и, 1B) = Н о т (и, B) (această egalitate este o definiţie) definesc un functor contravariant JiB = Horn (., B) : (2°-> U-Ens. De asemenea, pentru orice obiect A în (2, funcţiile Н о т (A, B) şi —>Hom (1^, v) = Horn (A, v) (egalitatea este o definiţie) definesc un functor h = Н о т (A,-). DEFINIŢIE. Un functor F : (2-> (2' se zice fidel (resp. deplin fidel), dacă, pentru orice cuplu de obiecte А, В în (2, aplicaţia Horn (A, B)-> Horn (F (A), F (В)) indusă de F este injectivă (resp. bijectivă). De exemplu, dacă & este o subcategorie a lui (2, functorul de incluziune i : в' -> (2 este fidel, şi este deplin fidel atunci şi numai atunci cînd €' este o subcategorie plină a lui (2. PROPOZIŢIA 3 . 1 Dacă F este fidel, F (и) monomorfism (epimorfism, bijecţie) implică и monomorfism (epimorfism, bijecţie). Dacă F este deplin fidel, F (и) izomorfism implică и izomorfism. Demonstraţie. Fie и €. A-> В un morfism în (2 astfel încît F (и) este monomorfism, şi fie / , g Ç Н о т (X, A) astfel încît uf = ug. Eezultă F (и) F ( f ) = F (и) F (g), deci F ( f ) = F (g) întrucît F (u) este monomorfism, deci f = g întrucît F este fidel. Dual avem aserţiunea pentru epimorfisme. şi autodual pentru bijecţii. î n sfîrşit, fie F deplin fidel şi F (и) izomorfism. Există v' : F (B)-> F (Л) astfel încît F (и) v' = lFiB) şi v' F (и) = 1р.и). Întrucît F este deplin fidel, există v : B-> A astfel încît F (v) = v'. Avem F (uv) = F (и) v' = 1F{B) = F (1B), deci uv = 1B întrucît F este fidel. Similar vu = 1A. Se numeşte categorie supraiacentă unei categorii date (20 o categorie (2 împreună cu un functor fidel y : (2 -> (20. Astfel categoriile U-G, U-A, U-Top etc., sînt supraiacente lui U-Ens. Functorul y este aici functorul care asociază cu orice obiect

84

Teoria categoriilor

(grup, spaţiu topologic etc.) mulţimea subiacentă şi cu orice morfism, (omomorfism, aplicaţie continuă etc.) aplicaţia de mulţimi subiacentă. Evident, în orice categorie supraiacentă lui XI — Ens, morfismele pot fi considerate aplicaţii. î n categoriile supraiacente lui XX-Ens, un morfism и se zice injectiv (surjectiv) dacă у (и) este injectiv (surjectiv) în XX-Ens. Din propoziţia 3.1 rezultă că orice morfism injectiv (surjectiv) este monomorfism (epimorfism). Beciproca nu este adevărată în general. DEFINIŢIE. Un functor i : 6 (2' se numeşte izomorfism de categorii dacă : 1) i este deplin fidel, 2) aplicaţia Ob (<2)-> Ob (€') indusă de г este bijectivă. Aceasta înseamnă că există un functor j : (2' (2 satisfăcînd ij = 1 şi ji = 1 ; se notează j = г - 1 . DEFINIŢIE. Un functor F:&-+ (2' se numeşte echivalenţă de categorii dacă : 1) F este deplin fidel, 2) orice obiect A' în (2' este izomorf cu un obiect de forma F (A). Orice izomorfism de categorii este o echivalenţă. Beciproca nu este adevărată cum se constată cu uşurinţă considerînd categorii în care fiecare mulţime Н о т (A, B) conţine un unic morfism. Să mai observăm că dacă F € . S - > (2' este o echivalenţă, atunci există o echivalenţă F' : (2' -> (2 cum iarăşi se constată cu uşurinţă. De asemenea compunerea a două echivalenţe este tot o echivalenţă. Dacă F : (2-> <2' este o echivalenţă, atunci proprietăţile omologice, adică proprietăţile definite cu ajutorul functorului Horn, sînt aceleaşi pentru <2 şi (2'. DEFINIŢIE. Fie (2 şi <2' două categorii fixate. Dacă F şi G sînt doi functori de là 6 în 6', un morfism functorial sau morfism de functori f :F-> G este o familie f = (/(^)Ьеоь(£) de morfisme f (A) : F {A)-> G (A) în <2' astfel încît, pentru orice morfism и A —» В în в, diagrama următoare este comutativă /М) \G{U)

F(B)^IG{B) i.e. f(B) F (и) = G (и) f (A). m e l e / (A) : F (A) -> G (JL) se Morfismele functoriale sînt trei functori de la в în

Yom scrie uneori fA în loc de f (A). Morfisnumesc componentele morfismului functorial/. se compun pe componente : dacă F, G, R şi dacă f : F-> G şi g : G H sînt morfisme

Categorii «şi functori

85

functoriale, atunci gf : F H este morfismul functorial definit prin gf (A) = = g (f (A)). Această compunere este asociativă. De asemenea, pentru orice functor F:(2-> (2', avem morfismul identitate ljr : F-> F definit prin 1 F (A) = 1 F U ) şi evident este o unitate pentru compunerea morfismelor functoriale. Astfel, date două categorii <2 şi (2', functorii de la <2 în (2' şi morfismele functoriale sînt obiectele şi respectiv morfismele unei noi categorii care se notează Horn ((2, (2'), uneori (2'e, şi se numeşte categoria functorilor de la (2 în (2'. Dacă <2 şi <2' sînt U-categorii, în general Н о т ((2, €') nu este U-categorie. Dar dacă, în plus, в este lX-categorie mică, atunci Horn ((2, <2') este U-categorie. într-adevăr, dacă F şi G sînt functori de la (2 în в', atunci mulţimea ïïom (.F, G) a morfismelor functoriale de la F in G este o submulţime a produsului direct TT Horn (F (A), G (A)) Л £ Ob (£) care este un element din U cînd 6' este o U-categorie şi (2 o U-categorie mică (în virtutea teoremei 1.1). Notăm că, pentru orice obiect A în 6, avem un functor pr^ : Н о т (<2, <2') -> в', numit proiecţia canonică de indice A, definit prin p r a ( F ) = F ( A ) şi p r „ ( / ) = f ( A )

pentru orice functor F : 6 - > в' şi orice morfism f : F~> G de functori de la (2 în (2'. Izomorfismele în categoria Horn ((2, (2') se numesc izomorfisme functoriale. Evident, un morfism functorial / : F -> G este un izomorfism functorial dacă şi numai dacă / (A) : F (A) -> G (A) este izomorfism în €' pentru orice A £ Ob (в). O diagramă este esenţial un functor*). Dar se numesc diagrame în (2 mai ales functorii D : I -> в pentru care I este o categorie destul de simplă încît functorii D să poată fi ,,desenaţi". Să considerăm de exemplu diagrama de tipul pătrat U

*) î n general, o diagramă ( = un functor) D : T S se zice comutativă dacă, pentru orice cuplu de obiecte z, j în I şi orice cuplu de morfisme и, v £ Horn (z, j) are loc egalitatea D(u) = D(v).

86

Teoria categoriilor

Ştim că o asemenea diagramă se zice comutativă dacă u' f=g u. Pentru a interpreta diagramele pătratice ca functori, să considerăm categoria I A X [I cu patru obiecte, 0, 1, 2, 3, şi şase morfisme 0 —> 1, 0 —>2, 0 — > 2 , ß Y 8 0 —> 3, 1 —> 2 şi 3 —» 2, plus identităţile respective, şi să definim compunerea morfismelor prin y<* = X şi = Atunci orice functor D : I -> <2 este o diagramă pătratică

D(«)J

|D ( 8) D[Y)

D ( l ) —>D(2) iar dacă I este astfel încît л = [x, orice diagramă D : I - > в este comutativă. După procedeul precedent se pot construi diagrame de diferite tipuri, comutative sau nu, tipul fiind dat de categoria I. Astfel de tipuri de diagrame vor fi considerate în cele ce urmează. Întrucît diagramele sînt functori, putem vorbi de categoria tuturor diagramelor în в de un anume tip I. De exemplu, diagramele în (2 de tipul 0 - > 1 se identifică cu morfismele lui (2. De aceea categoria tuturor diagramelor de tipul 0 - > 1 se notează tot FI (в) ca şi mulţimea săgeţilor lui <2. w ur După definiţia morfismelor functoriale, dacă A —> В şi A' —> B' sînt morfisme în (2, un morfism X : и -> и' este un cuplu X = ( X0, \ ) de morfisme X0 : A-> A' şi \ : B-> B' astfel încît diagrama următoare să fie comutativă A-^B u' A! B' Să mai observăm că avem functorii £ şi С de la FI (в) în S definiţi 14 astfel : dacă A—>B este un morfism în (2, atunci 8 (и) = А = sursa lui и şi G (и) — В = capătul lui и ; dacă X = (X0, Xx) : u - > u' este un morfism în categoria FI (в), atunci 8 (X) = X0 şi G (X) == De asemenea, avem un morfism functorial 0 : 8 -> С cu 0 (и) = и pentru orice и Ç Fl (в). Yom scrie uneori „sursă w" în loc de 8 (u) şi ,,capăt и" în loc de С (u), similar „sursă X" şi ,,capăt X". Compunerea la stingă cu un functor. Fie a : S' (2 un functor. Pentru orice categorie I avem un functor —

»

a* : Н о т (I, <2') Н о т (I, <2) саге asociază cu orice functor F : I -> <2', functorul a* (F) = OLF : I -> <2 şi cu orice morfism functorial

G de componente
Categorii «şi functori

87

morfismul functorial a* (9) = a

6. Pentru orice categorie I, avem un functor a+ : Н о т (<2, I) -> Н о т (<2', I) care asociază cu orice functor JF : I functorul a+ (J?) = Fa : <2'->Z şi cu orice morfism functorial 9 : F G de componente 9 {A), A g Ob (<2), morfismul functorial 9a : FOL (?a de componente 9 (a (À')), A' £ Ob(6'). Se verifică imediat că 9 a este într-adevăr un morfism functorial. Evident, dacă a : <2 şi ß : <2-> в", atunci (ßa)* = ß*a* şi (ßa), = a,ß + . î n particular, cînd <2" = (2' şi aß = 1, ß*a* = 1 şi

= 1

întrucît, evident, 1* = 1 şi 1 + = 1. § 4. Morfisme stricte DEFINIŢIE. Dacă A-%B şi A'—>B' sînt morfisme în (2, un morfism X = (X0, : и и' se zice omotop cu zero (resp. coomotop cu zero) dacă există h : JS-> A' astfel încît X0 = Tiu (resp. \ = ^'ä). Denumirea este împrumutată de la categorii aditive şi de aceea este într-un anume sens abuzivă. U n morfism X : u' care este simultan omotop şi coomotop cu zero se zice trivial. De exemplu, dacă и este epimorfism, orice morfism omotop cu zero X : и -> и' este trivial, şi, în plus, h este unic determinat. Tot astfel dacă и este un monomorfism, orice morfism coomotop cu zero \:u-> u' este trivial. Eezultă că dacă и este epimorfism şi u' monomorfism, atunci, pentru orice morfism X : u-+ u', ,,omotop cu zero" coincide cu ,,coomotop cu zero" şi cu „trivial". Să mai observăm că l u : и este omotop cu zero (resp. coomotop cu zero) dacă şi numai dacă и are un invers la stînga (resp. la dreapta). În particular, l t t este trivial dacă şi numai dacă и este un izomorfism. DEFINIŢIE. Un monomorfism A' — A în в se numeşte monomorfism p strict dacă, pentru orice epimorfism X' —> X în в, toate morfismele i sînt triviale. După cele precedente, este suficient să cerem, în această definiţie, ca toate morfismele p-> i să fie omotope cu zero sau de asemenea ca toate morfismele p-> г să fie coomotope cu zero.

88

Teoria categoriilor

TEOREMA 4 . 1 . 1 ) Izomorfismele coincid cu bijecţiile care sînt monomorfisme stricte. 2) Orice compus vu de monomorfisme stricte este monomorfism strict. 3) Dacă un compus vu este monomorfism strict, atunci и este monomorfism strict. Demonstraţie. 1) Evident, orice izomorfism este un monomorfism strict. Invers, dacă avem o bijecţie и care este un monomorfism strict, atunci în particular morfismul l u este trivial etc. и

V

2) Fie A — > B şi В — > 0 două monomorfisme stricte. După teorema 2.1, vu este monomorfism. Să considerăm o diagramă comutativă P

X——» Y U

V

A-+B

G

cu p epimorfism. Întrucît v este monomorfism strict, există \ : Y В astfel încît wX0 = h^p. Apoi, întrucît и este monomorfism strict, există h : Y A astfel încît X0 = hp. 3) Să presupunem că vu este monomorfism strict şi să considerăm o diagramă comutativă X—>

Y

и A—>B cu p epimorfism. Atunci avem diagrama comutativă x-A vu A — »

•Y

•с

Întrucît vu este monomorfism strict, există h : Y A astfel încît X0 = hp, ceea ce termină demonstraţia teoremei. Fie A un obiect în 6. Yom spune că două monomorfisme stricte Ax—-+A şi А2—Ч>А de capăt A sînt echivalente sau canonic izomorfe dacă există un izomorfism 0 : Ax A2 astfel încît diagrama următoare să fie comutativă

A1

* A2

Categorii «şi functori

89

i.e. astfel ineît ix = Evident, axiomele unei relaţii de echivalentă sînt îndeplinite şi deci monomorfismele stricte de capăt A se împarl în clasc de echivalentă. Din fiecare clasă de echivalenţă de monomorfism stricte de capăt A alegem cîte un reprezentant. Presupunem că această alegere este astfel încît î A reprezintă clasa sa do echivalenţă. DEFINIŢIE. Keprezentanţii aleşi pentru clasele de monomorfisme stricte de capăt A se numesc subobiecte ale lui A. Astfel un subobiect al lui A este în esenţă un cuplu (A', i) cu A' g Ob (<2) şi i : A'-> A un monomorfism strict ales. Prin abuz, vom spune că A' este un subobiect al lui A şi că г este monomorfismul canonic sau incluziunea lui A'. i De exemplu, în categoria U-Ens orice monomorfism A'—> A este strict şi este echivalent cu incluziunea de mulţimi i ( A ' ) - > A. De aceea, în U-Ens, definim subobiectele unei mulţimi A ca fiind submulţimile lui A, iar incluziunile de subobiecte ca fiind incluziunile de mulţimi. De asemenea, în U-Ab, subobiectele unui grup abelian G sînt subgrupurile lui G etc. DEFINIŢIE. Dacă A-> В este un morfism în (2, se numeşte imagine a lui и orice monomorfism strict i : В' В cu proprietatea că există un epimorfism p : A B' astfel încît и = ip. Se vede atunci imediat că toate imaginile lui и (dacă există) aparţin aceleiaşi clase de echivalenţă de monomorfisme stricte de capăt В şi epuizează această clasă de echivalenţă. Urmează că dacă и are imagini, atunci există şi este unic un subobiect (Br, i) al lui В care este o imagine a lui u. Atunci B' se numeşte imaginea lui и şi se notează B' = Im и iar г se cheamă incluziunea sau monomorfismul canonic al imaginii. Prin abuz vom nota (В', i) = Im и sau i = Im и. PROPOZIŢIA 4 . 1 . Dacă и are imagine (i.e. dacă и = ip cu i monomorfism strict şi p epimorfism), atunci factorizarea и = i1p1 cu ix monomorfism strict şi рг epimorfism este unică pînă la un izomorfism de diagrame. Demonstraţie. Avem o diagramă comutativă

90

Teoria categoriilor

Întrucît i este monomorfism strict, există 0 : 1г -> I astfel încît p = Qp± şi ix = iQ. Eezultă că 0 este epimorfism şi monomorfism strict, deci izomorfism, q.e.d. и uf Fie A—>B şi A'—>B' două morfisme astfel încît I = Im и şi Г = = Im u' există, şi fie X : u-> u' un morfism în categoria FI ((2). Din definiţia imaginii şi a monomorfismului strict rezultă că există şi este unic un morfism h : I - > F astfel încît diagrama următoare să fie comutativă V

i

A—*I—>B

»4 1" J> А'

—>B'

unde i şi i' sînt incluziunile imaginilor, iar p şi p' epimorfisme satisfăcînd и = ip şi u' = i'p' ; vom defini Im X = A. Atunci, evident, Im este un functor de la subcategoria plină a lui FI (в) formată din morfismele A -> В care au imagini, cu valori în categoria S. Noţiunile duale cu monomorfism strict, subobiect, incluziune, imagine, functorul Im sînt : epimorfism strict, obiect cît, coincluziune sau epimorfism canonic de obiect cît, coimagine, functorul Coim. DEFINIŢIE. Un morfism и : A-> В se zice strict dacă и = ßA cu ß monomorfism strict şi a epimorfism strict. PROPOZIŢIA 4 . 2 . Dacă и este un morfism strict, factorizarea и = = ßxax cu ßx monomorfism şi ax epimorfism este unică pînă la un izomorfism de diagrame {în particular ßx este monomorfism strict iar ax epimorfism strict) Demonstraţie. Dacă и = ßa cu ß monomorfism strict şi a epimorfism strict, avem o diagramă comutativă

i A I 1г—> в Eszultă că există 0 : 1 - > I ± astfel încît ax = Oa şi ß = ßx0. Din prima egalitate rezultă că 0 este epimorfism, iar din a doua că 0 este monomorfism strict. Din teorema 4.1 rezultă că 0 este izomorfism etc. Din definiţie rezultă că orice monomorfism strict este un morfism strict. Din propoziţia precedentă rezultă că invers, dacă и : A - > В este un morfism strict şi un monomorfism, atunci и este un monomorfism strict. Similar pentru epimorfisme stricte.

Categorii «şi functori

91

Să mai observăm că dacă и = ßa cu ß monomorfism strict şi a epimoffism strict, atunci ß este o imagine a lui и iar a o coimagine a lui u. Fie w : i - > B u n morfism astfel încît Im и şi Coim и există. Atunci avem o diagramă comutativă A —H» Coim и

1

* Im и —> В unde i este incluziunea imaginii, q epimorfismul canonic al coimaginii, iar p un epimorfism şi j un monomorfism satisfăcînd и = ip = jq. Eezultă că există şi este unic un morfism и : Coim u - > Im и satisfăcînd p = uq şi j = iu ; în particular u este bijecţie şi и = iuq. ii se numeşte morfism canonic sau bijecţie canonică de la Coim и în Im u, iar egalitatea и = iuq care determină în mod univoc pe и se numeşte factorizare canonică a lui и. PROPOZIŢIA 4 . 3 . Froprietăţile următoare ale unui morfism u\A-> В sînt echivalente : i) и este un morfism strict. ii) Im и şi Coim и există şi й : Coim u-> Im и este izomorfism. Demonstraţie, i) => ii). Dacă и = ßa cu ß monomorfism strict şi a epimorfism strict atunci ß este o imagine a lui и iar a o coimagine a lui щ deci factorizarea canonică и = iuq există. Apoi, din propoziţia precedentă, rezultă că uq este epimorfism strict, deci и este o bijecţie strictă, deci un izomorfism. ii) => i). Factorizarea canonică и = iuq există şi и este izomorfism, deci и == i (uq) este strict.

§ 5. Functori reprezentabili LEMA

5.1. Fie I , J şi (2 trei categorii. Avem un izomorfism

canonic

de categorii и : Н о т (I x J ,

Horn ( J, &).

Demonstraţie. Yom defini functorul и după cum urmează. Dacă t : J -> S1 este un functor, vorn nota tf valoarea lui t pentru obiectul j în J şi t9 valoarea lui t pentru morfismul v în J. De asemenea,

92

Teoria categoriilor

pentru orice morfism 9 : t-> V de functori de la J în vom nota o, : tj->tj componentele lui 9, j g Ob ( J). Fie T : I x J <2 un functor. Definim functorul w ( T) = t astfel : Dacă j g Ob ( J), tf este obiectul în S1 cu t} (i) = T (г, j) şi tj (и) = T (w, j) pentru orice г £ Ob (I), şi orice м £ Fl (I). Apoi dacă v : j2 este un morfism în J, tv : tn tj2 este morfismul functorial de componente tv (г) = = T (г, v), i g Ob (I). Am folosit notaţiile T {и, j) = T (u, 1,-) şi T (i, v) = = T (l i ? v). Se verifică uşor că tv este într-adevăr un morfism functorial, deci u(T) = t este définit. Evident и este un functor. Fie acum Ф : T -> T' un morfism functorial în & x j = = Н о т (I x J, <2) şi fie t = u(T) şi f = и (T'). Definim 9 = и (Ф) asti el : Pentru orice j g Ob (J), 9,- : fj este morfismul functorial de componente o b ((e i ) J ) indusă de и este bijectivă. Anume, inversa acestei aplicaţii asociază, cu orice functor t : J в1, functorul T : I x J £ definit prin T (i, j) = t, (i) şi T (u, v) = tv (i2) tu (u) = th (u) tv (ix) pentru orice cuplu (г, j) g Ob (I x J) şi orice cuplu (и, v) g Fl (I x J), и : i ^ i2 şi v j2. COROLAR,.

Avem un izomorfism canonic de categorii 0 : Н о т ( J, в1) ^ Н о т (I, SJ)

definit prin 6 (t) = s eu st = pr* £ = T (i), şi su = T (и,. ) pentru orice г g Ob (I) si и g Fl (I), i.e. s; ( j ) = tj (i) si su ( j ) = fy (м) pentru orice j€Ob(J).' Reamintim că functorul pr; : <2*-> e se defineşte prin p r « ^ ) =F(i) şi pp 4 (/) = f ( i ) pentru orice functor F:I-> (2 şi orice morfism f€.F-> G de functori de la I în в. Fiind dată o U-categorie в, avem functorul Н о т : <2° x <2-> U-Ens căruia i se asociază, după lema precedentă, un functor Ji : (2

<2 = Н о т ((2°, U-Ens)

Categorii «şi functori

93

(egalitatea este o definiţie) care asociază cu orice obiect X în в functorul Jix = Horn (., X) : (2° U-Ens şi cu orice morfism f : X Y în в morfismul functorial hf : Jix hy cu hf (A) = Horn (A,f) = compunerea cu / la stînga pentru orice ^ 6 Ob ((2). Observăm că pentru orice morfism g : A В în 6, hx (g) — = Horn (g, X) este compunerea cu gr la dreapta. TEOREMA 5.1. (Teorema lui Yoneda). Pentru orice functor contravariant F : (2° -> U-Ens f i orice obiect X în <2, aplicaţia a : Н о т (й х , F) F {X)

definită prin OL(V) = v (X) (lx) este bijectivâ *). Demonstraţie. Yom defini o aplicaţie ß : F (X)

Н о т (Лх, J7)

după cum urmează. Fie l£F{X). Atunci este morfismul functorial astfel încît, pentru orice A g Ob ((2), РШ(А):

Нот

(A,X)-+F(A)

este aplicaţia care asociază cu orice morfism f : A-> X elementul ß(£) {A) ( / ) = F ( / ) (с). Să arătăm că ß ( E) este într-adevăr un morfism functorial. Fie и :A Б un morfism în (2. Avem de arătat că diagrama următoare este comutativă Н о т (A, X) —>F (A) Hoiîi(N.X)J

/

JV(?0

Н о т (Б, Х ) - ^ ^ ( Б ) unde v(A) = $(l)(A) şi » ( В ) = ß ( i ) ( B ) . Or, pentru orice g g Н о т (В, X), avem t> (А) (gu) = F (su) ( с) = (F («) F (g)) ( l) = F (u) (F (g) (ï)) =F(u)

(v(B)(g))

*) Un simbol de forma f (x) (y) are semnificaţia următoare : f (x) este o aplicaţie de mulţimi, iar f (x) (y) este valoarea acestei aplicaţii pentru elementul y aparţinînd sursei lui f(x) ; prin recurenţă se definesc simboluri de forma f (x) (хг) ... (x n ) pentru orice întreg n > 0.

94

Teoria categoriilor

ceea ce probează comutativitatea diagramei precedente. Yorp arăta acnm că aß = 1 şi ßa = 1. Fie mai întîi Ç Ç F (X). Atunci, pentru v = ß ( Ç), avem OL(V(Z))=OL(V)=V(X)

(lx)

=

= ß(5) (X) ( l x ) = F ( 1 X ) ( Z ) = 1 M ) ( 5 ) = Ç i.e. aß = 1. Să arătăm, în sfîrşit, că ßa = 1, deci că, pentru orice morfism functorial v : hx-> F, ß(a(t?)) = t?, deci că ^ (/)(?) = f ? U ) ( / ) pentru orice / : l - > I î n (2. Or, întrucît г? : F este un morfism functorial şi / : -A X un morfism în в, avem diagrama comutativă r(A)

Hom ( i , J ) A J ( 4 ) Нош(/, X)^

jW)

Н о т (X, X ) ^ > F { X ) din care rezultă, luînd imaginea lui lx pe cele două drumuri, că F ( / ) ( Ç) == =z v (A) (/), ceea ce termină demonstraţia teoremei. Vom scrie uneori v„F şi ß^ în loc de a şi ß. Observaţie. Se poate vedea uşor că bijecţia a (deci şi ß) este functorială în X şi F. Să considerăm cazul particular F = hyj unde Y £ Ob ((2). î n acest caz, pentru orice cuplu de obiecte X, Y în (2, aplicaţia ß : Н о т (X, Y)

Н о т (й х , ЛГ)

este aplicaţia indusă de functorul h. într-adevăr, pentru orice A 6 Ob ((2) şi orice f:A-+ X in в, ß(E) (A)(f)

= hx(f)(ţ) = If,

i.e. ß (H) (J.) este compunerea cu Ç la stingă ca şi (J.). Cum aplicaţia ß ( Ç) (J.) este bijectivă, avem următorul COROLAR.

Functorul h

: (2

A (2 ESTE

deplin

fidel.

DEFINIŢIE. Cînd F : (2° -> U-Ens este un functor contravariant, vom spune că un cuplu (X, £) cu X 6 Ob (в) şi IţF (X) reprezintă pe F dacă morfismul functorial

Categorii «şi functori

95

este izomorfism, i.e. dacă, pentru orice A g Ob (<2), aplicaţia Horn (A,

F (A)

definită prin f F ( f ) ( Ç) este bijectivă. Vom spnne că F este reprezentabil dacă există un cuplu (X, Ç) care reprezintă pe F, i.e. dacă există un X g Ob ((2) şi un izomorfism functorial hx « F. Prin abuz, vom spune că X reprezintă pe F dacă există Ç g F {X) astfel încît ( x , £) reprezintă pe F. î n virtutea teoremei 5.1 aceasta înseamnă de asemenea că există un izomorfism functorial v F iar l = v{X) (lz). Corolarul precedent spune că functorul h induce o echivalenţă între (2 A si subcategoria plină a lui в formată din functorii reprezentabili. A Dacă и :F G este un morfism în (2 şi dacă F este reprezentat de (X, Ç) şi G de (Y, YJ), atunci şi fiind izomorfisme functoriale şi h fiind deplin fidel, există şi este unic un morfism f : X -> Y astfel încît să avem diagrama comutativă ß*(5> hx^F h

fi 1« hy—>G

Atunci, în particular, avem diagrama comutativă Нот (X, X)

» F{X)

ßß(4> (x) v Н о т (X, Y) - — * G (X) Luînd imaginea lui l x pe cele două drumuri, obţinem egalitatea u(X)(l)=G(f)(rl) care reprezintă un alt mod de a defini pe f (întrucît aplicaţia g este bijectivă).

G{g) (73)

DEFINIŢIE. î n situaţia descrisă mai sus vom spune că f : X -> Y reprezintă morfismul functorial u:F ->G. î n particular, dacă F =
96

Teoria categoriilor

Astfel cuplul ( X j Z) care reprezintă un functor contravariant F : U-Ens este unic determinat pînă la un izomorfism /, unic determinat prin egalitatea precedentă, numit izomorfism canonic. o

Functorul li pentru categoria duală <2° se notează Ji, deei o o o deci h x = Н о т (X,.), hf (A) = compunerea cu / la dreapta, iar (gr) = = compunerea cu g la stingă. Eezultă că duala teoremei 5.1 este TEOREMA 5 . 1 ' . Pentru orice functor covariant F : (2 U-Ens şi orice obiect X în (2, aplicaţia a : Horn (hX9 F)^F

(X)

o

o

definită prin a (v) = я (X) ( l x ) este bijectivă şi are drept inversă aplicaţia ß o definită prin ß (E) (A) (/) = F ( / ) (£) pentru orice A g Ob ((2) şi f t i x { A ) = Н о т (X, Л). Yom spune despre un cuplu (X,£) cu X g Ob (в) şi ţ Ç F (X) că reprezintă un functor covariant F : в U-Ens dacă morfismul functorial ß(5):

t^J»

este un izomorfism, i. e. dacă, pentru orice A g Ob (в), aplicaţia ß ( I) (A) : Н о т (X, A)

F {A)

definită prin / F ( f ) ( E) este bijectivă. Yom spune că un functor covariant F : (2 -> U-Ens este reprezentabil dacă există un cuplu (X, £) care-1 reprezintă. Aceasta înseamnă că există un izomorfism functorial v:hx^ iar ţ = v(X)

F

( l z ) , deci f> = ß(£). § 6. Functori adjuncţi

DEFINIŢIE. Fie i : (2' (2 un functor. Yom spune că adjunctul dreapta j al lui i este definit în X dacă functorul contravariant bxi° este reprezentabiL

: <2'°-^ (2° — U - E n s

la

Categorii «şi functori

97

Aceasta înseamnă că există un cuplu (j (X), cx) cu j (X) 6 Ob ((2') Şi Zx S Л* (У (-Z")) = Horn (ij (X), X) care reprezintă pe Jix i°, i.e. avem un izomorfism functorial t> : ÄJ(Z) ^ hx i° si anume deci pentru orice T' g Ob (<2'), aplicaţia ß ( ^ ) ( T ' ) : Н о т ( T', j (X)) Н о т (i(T'), X) definită prin (Я = **(<(/)) ( W este bijectivă : pentru orice morfism g : i(T') X în (2, există şi este unic un morfism / : T' -> j(X) în (2' astfel încît diagrama următoare să fie comutativă /(T'k V

\

se numeşte morfismul canonic al lui X. Notăm că, dat izomorfismul functorial v, morfismul canonic se obţine prin formula ţx = v(j(X))

(lj{X)).

Dacă (j (X), Ex) este un alt cuplu care reprezintă functorul h x atunci, după paragraful precedent, avem un izomorfism canonic 0 : j (X) ^ j (X), i.e. un izomoifism 0 astfel încît lx= lxi( 6), deci astfel încît diagrama următoare este comutativă • y ij(X)

Y X

î n particular, cînd ţ x este izomorfism (monomorfism etc.), atunci £ x este izomorfism (monomorfism etc.). Astfel, cuplul care reprezintă pe hx i° este unic determinat pînă la izomoifisme canonice. De aceea, dacă adjunctul la dreapta al lui i este definit în X, se alege un cuplu bine determinat (j (X), Zx) care repiezintă pe Jixi°. Să observăm că Px = hx i° este un functor în X. Anume, dac? / : X - > Y este un morfism în 6, avem un morfism functo. P, : PT -

Pv

98

Teoria categoriilor

definit prin egalitatea pf = Jifi° =z Horn (i (.),/) deci, pentru orice T' 6 Ob (в'), Р,(Г)

= Нош

(i(T')J)

este compunerea cu f la stînga. Să presupunem că adjunctul la dreapta al lui i este definit în X şi Y, i.e. este reprezentat de un cuplu ( j (X), Ç^) iar P r de un cuplu (j ( Y), Çr). Dacă / : X -> Y este un morfism în (2, avem un unic morfism 3 ( / ) : 3 (X)

j ( Y)

care reprezintă morfismul functorial P, : P x -> P7. Din paragraful precedent rezultă că j (/) este unicul morfism astfel încît Pt(3(X))(ţx) = PT(j(f)) (Çr), i.e. astfel încît /5x=

Zyij(f),

i.e. astfel încît diagrama următoare să fie comutativă ij (X) — * X

ij{f)

l

if

ij(Y)—>

Y

Fie S± subcategoria plină a lui (2 formată din obiectele X pentru care adjunctul la dreapta j al lui г este definit în X. Din cele precedente rezultă că j : (2Х (2' este un functor, iar Ç : гj -> г un morfism functorial (i.e. este functorial în X), unde г : (2X (2 este functorul de incluziune. Cazul (2X = categoria vidă nu este exclus. DEFINIŢIE. Yom spune că adjunctul la dreapta j al lui г există (sau că i are un adjunct la dreapta) dacă j (X) este definit prin orice X Ç Ob ((2), i.e. dacă <2X = (2. PROPOZIŢIA 6 . 1 .

Daca adjunctul la dreapta j al lui i există, atunci

bijecţia ß ( lx) ( T') : Horn ( T'j j (X)) -> Horn (i ( T'), X) este functorială în X şi î7', i.e. este un izomorfism de functori de la (2/0 x в în U-Ens.

99

Categorii «şi functori

Demonstraţie. Ştim că bijecţia este functorială în T\ Fie acum T' fix şi X—> Y nn morfism în (2. Considerăm diagrama Horn (T'jj (X)) —> Horn (i (T'), X) Нош(Г', ?(Я)|

j^Hom (i(Tf),

f)

Hom ( T', j ( Y)) —» Horn (i ( T'), Y) Întrucît ţ T i j ( f ) = f ţ X j se vede imediat că această diagramă este comutativă, i.e. bijecţia ß (ţx) (T') este functorială în X etc. Noţiunea duală este cea de adjunct la stînga. Dacă j : (2 -> S' este un functor, vom spune că adjunctul la stînga i al lui j este definit în T' g Ob (в') dacă adjunctul la dreapta i° al lui j° este definit în T'. Eezultă că adjunctul la stînga i al lui j este definit în T' dacă functorul covariant o j

hT,

e—><2'—> u-Ens este reprezentabil. Aceasta înseamnă că există un cuplu (i (T'), Y]T,) CU i (Tf) G Ob (в') О о şi 7)т, Ç Ьт, (ji (Т')) = Н о т (T',ji(T')) care reprezintă pe hT, j, i.e. avem un izomorfism functorial o

o

и i ^цт*) —*" j o iar 7}T, = и (i ( T')) (l i(r ,)) şi и = ß (v)T,), i.e., pentru orice X Ç Ob ((2), aplicaţia ß ( Ч т / ) (X) : Н о т (i (T'), X) Н о т (T', j (X)) definită prin 9 —> j (9) Ух* este bijectivă: pentru orice morfism / : T' -> j (X) în (2' există şi este unic un morfism g : i (Tf) -> X în (2 astfel încît să avem diagrama comutativă flT' T'—*ji(T') \ /'«> i(J) etc. Să presupunem că, pentru un functor i : (2' -> <2, adjunctul la dreapta j al lui г există. După propoziţia 6.1, pentru X fix, bijecţia ß(E x ) (T') este functorială în T'. Din cele precedente rezultă că, dacă pentru orice T' 6 Ob (в'), YJT/ : T'->ji (Tf) este contraimaginea lui l i ( T / ) prin ß (Ъ { т п )(Т') 9

100

Teoria categoriilor

i.e. dacă riT, este unicul morfism astfel încît diagrama următoare este comutativă

7i(;\ iji(T')

^i(T') o

atunci cuplul (i(T'), riT,) reprezintă functorul covariant hT,j este un adjunct la stînga al lui j), iar bijecţiile

(deci i

Şi P(r jr ,)(-T),

i.e. bijecţiile / sînt inverse una alteia.

г (/) şi g

j (g) riT,

PROPOZIŢIA 6 . 2 . Condiţiile următoare pentru un cuplu i : <2' -> <2 şi j : (2 (2' satisfăcînd ij — 1 sînt echivalente : 1) j este un adjunct la dreapta al lui i. 2) pentru orice T' g Ob ((2') şi orice X g Ob ((2), aplicaţia

Horn (T'j j {X) indusă de i [i.e. definită prin /

de functori

Horn (i(T'), X)

i (/)] este bijectivă.

Demonstraţie. 1) =>2). Pentru orice T' g Ob (<2'), aplicaţia Horn (T',j (X)) -> Horn (i (T'), X) definită prin (/) este bijectivă. î n particular, pentru T'= j (X), rezultă că există un morfism 0 astfel încît Ex i (6) = 1, deci ţx : X -> X este epimorfism strict. fl Apoi, fie T — ţ X o diagramă astfel încît l x f ± = Întrucît и Л = У (Л) Şi /2 = ij (/2) şi intru cît aplicaţia / i (/) este bijectivă, rezultă că avem j (/x) == j (/ 2 ), deci = / 2 , i.e. este monomorfism. Astfel este o bijecţie strictă, deci un izomorfism etc. 2) =>1). Condiţia 2) spune că j este un adjunct la dreapta al lui i cu == lx pentru orice X g Ob ((2) ; în particular, j este deplin fidel. Dacă j este un adjunct 1a dreapta al lui i şi satisface ji = 1, atunci j° este un adjunct la stînga al lui i° şi satisface j°i° = 1. Bezultă că duala propoziţiei precedente este PROPOZIŢIA 6 . 2 / Condiţiile următoare pentru un cuplu de functori i : 6' -> (2 si j : <2 S' - satisfăcînd ji == 1 echivalente 1) j este un adjunct la dreapta al lui i. 2) Pentru orice T' g Ob (в') si orice X g Ob (в), aplicaţia Н о т (г (Г'), X) -> Н о т (T', j (X))

101

Categorii «şi functori

indusă de j [i.e. definită prin g

j (g)~\ este bijectivă.

Dacă i : <£' -> В este izomorfism de categorii, atunci j -- i_1 este шг adjunct la dreapta şi la stînga al lui i. Exemple. Considerăm functorii COROLAR.

U-Ab - A

U-G - A U - M - A U-Ens,

unde oc şi ß sînt incluziuni, iar у functorul canonic de supraiacenţă. Adjuncţii la stînga y', ß'? ос' ai lui y, ß, a există şi anume, dacă 8 este o mulţime, M un monoid şi G un grup, y' (8) este monoidul liber generat de 8, ß'( Jf ) grupul asociat lui M, iar oc' (G) grupul abelian asociat lui G ; în plus ß'ß = 1 şi a'oc == 3. Vom mai arăta cum se compun functorii adjuncţi. Să considerăm doi functori i'

i"

€'—»e—

şi fie i = i" i'. Vom nota j', j", j adjuncţii la dreapta ai lui i', i", i. PROPOZIŢIA 6 . 3 . Presupunem că j" este definit în T" g Ob ( S " ) . Atunci j este definit în T" dacă şi numai dacă j' este definit în j" ( T") şi în acest caz avem

3 (T") = У (j" {T")). Demonstraţie.

Întrucît j" este definit în T", avem o bijecţie

Horn (X,j"

(T")) ^ Horn (i" (X), T")

functorială în X g Ob (в). Dacă j este definit în T", atunci avem o bijecţie Horn (T', j {T")) ^ Horn (i(T'),

T")

r

functorială în T g Ob (в'). LuîndX = i' (T ), decii" (X) = i" (i' (T')) = = i (T'), rezultă că avem o bijecţie Н о т ( T' j ( T")) ^ Н о т (i ( T'), j" ( T")) functorială în T', i.e. j' este definit în j" [T") şi j'(j" (T")) = j (T"). Invers, dacă j' este definit în j" (T"), avem o bijecţie Нот (T',j'j"(T"))cz

Нот (г'(Т'),

j"(T"))

r

functorială în T'. Luînd din nou X = ï (T ), obţinem, prin compunere, o bijecţie Н о т ( T'j j'j" ( T")) ^ Н о т (i(T'), T"), functorială în T', ceea ce atestă că j este definit în T" şi j (T") = j'j"

(T").

Teoria categoriilor

102

Observaţie. Din ultima parte a demonstraţiei şi din definiţia morfis melor cononice rezultă imediat că avem — Çy// i unde semnificaţia notaţiilor este evidentă. § 7. Limite proiective şi inductive Pentru orice cüplu de categorii I şi (2, vom nota în mod ambiguu prin с functorul e-^e1 care corespunde prin izomorfismul canonic Horn •(I x (2, (2) ^ Horn (€, &) functorului pr2 : 1 x в -> в. Functorul с asociază cu orice obiect A în <2 obiectul cA = pr2 (., A) în (2Z, deci cA (i) = pr 2 (г, A) = A şi cA (и) = pr 2 (и, = pentru orice i Ç Ob (Z) şi orice и Ç Fl (Z). De asemenea с asociază cu orice morfism /; A В în (2, morfismul functorial cf : cA-> cB cu cf (i) = pr2 (i, / ) = f pentru orice i Ç Ob (Z). Evident, cînd / este monomorfism (resp. epimorfism) în (2, cf este monomorfism (resp. epimorfism) în <2Z. Evident, с este fidel, dar în general nu deplin fidel. DEFINIŢIE. O categorie Z se numeşte conexă dacă este nevidă şi dacă pentru orice cuplu de obiecte i, j în Z există o diagramă în Z de forma

i

г2 .. . гп_г

j

i.e. г şi j pot fi unite printr-un şir finit de săgeţi în Z. LEMA 7 . 1 .

Cînd

I

este conexă, functorul

с : <2

в1

este

deplin

fidel. Demonstraţie. Fie u: cA-> cB arătat că există / : A P astfel încît pentru orice cuplu de obiecte i, j în un morfism j i, atunci, întrucît diagramă comutativă

un morfism functorial. Avem de и = cf sau,, echivalent, că и (i) = и ( j) Z. Dacă există un morfism i j sau и este morfism functorial, avem o A

Categorii «şi functori

103

deci и (г) = и (j). întrucît I este conexă, avem prin recurenţă и (г) — s= и ( j ) în general. DEFINIŢIE. Se numeşte componentă conexă a unei categorii nevide I o subcategorie plină conexă Ix cu proprietatea că oriee subcategorie plina conexă a lui I care conţine pe I± este egală cu Iv Pentru orice i 6 Ob (I) există, evident, o componentă conexă şi numai una care conţine pe i. Următoarele trei cazuri particulare pentru I vor avea o mare importanţă in cele ce urmează. Cazul 1). I este o categorie discretă : componentele conexe ale lui 1 sînt punctuale (i.e. orice morfism în Zeste o unitate). Categoria vidă se consideră discretă. Orice categorie discretă Z va fi identificată cu mulţimea Ob (Z). Dacă Z este discretă, un obiect în (2 r este o familie F = (A^i^i de obiecte în (2, iar un morfism în (21 este o familie (A. -> B^i^i de morfisme în <2. Cazul 2). I este categoria 0 =t 1 cu două obiecte 0 şi 1 şi două morfisme de la 0 în 1 (plus identităţile lui 0 şi 1). î n acest caz un obiect oarecare în в1 este o diagramă în (2 de forma F : A z£ В i.e. este un cuplu de săgeţi cu aceeaşi sursă şi acelaşi capăt. î n particular, pentru orice obiect X în в, cx este diagrama ix z z ţ z iz Un morfism \ : F' F în & este un cuplu X = (X0, XJ de morfisme X0 : A' A şi \ : В' В astfel încît diagrama următoare este comutativă ot' A' zt B'

4 A

a zt 3

lXi В

i.e. astfel încît aX0 = Xxa' şi ßX0 = X1ß/. Două morfisme X, [JL g Horn (Z7', F) se zic omotope (resp* coomotope) dacă există un morfism h : В' A astfel încît X0 = şi [x0 = 7ф', sau X0 = Äß' şi [Xq = fea' (resp. Xx = a h şi fxx = ßA, sau \ = (37? şi == a h). Cazul 3). I este categoria

cu trei obiecte 0,1 şi 2 şi două morfisme (plus identităţile lui 0, 1 şi 2).

104

Teoria categoriilor

In acest caz un obiect în <2r este o diagramă С A В î n particular, pentru orice obiect X în (2, cx este diagrama X

lx X

X

etc. Evident, cazurile 1) şi 2) sînt autoduale, iar I în cazurile 2) şi 3) este conexă (deci functorul с este deplin fidel în aceste ultime două cazuri). Revenim la situaţia generală. DEFINIŢIE. Adjunctul la dreapta al lui c, definit pe o subcategorie plină a lui (21, se numeşte limită proiectivă şi se notează ambiguu lim sau lim. i Rezultă că, pentru F : I -> (2, functorul lim este definit în F dacă şi numai dacă există un cuplu (A = lim jF, ţF) cu A g Ob (в) şi EF : cA F> care reprezintă functorul PF = JiF c°• Aceasta înseamnă că, pentru orice obiect X în (2, aplicaţia Н о т (X, A)

Horn (cx, F)

definită prin /

lF ct

este bijectivă : pentru orice morfism functorial p : cx F există şi este unic un morfism / : X A astfel încît diagrama următoare este comutativă

Mai detaliat : pentru orice familie ( p^igo^i) de morfisme pi : X cu proprietatea că, pentru orice morfism и : i j în I, diagrama

-+F(i)

105

Categorii «şi functori

este comutativă, există şi este unic un morfism / : X -> A astfel încît diagramele

F ( i )

sînt comutative pentru toţi i £ Ob (I), unde Ç 4 = Çj. (г) sînt componentele morfismului functorial cF. Întrucît cuplul (A, cF) care reprezintă functorul PF = JiF c° (dacă există) este determinat numai pînă la un izomorfism canonic, vom vorbi despre o limită proiectivă a lui F ( = un cuplu reprezentant al functorului PF) şi despre limita proiectivă sau limita proiectivă aleasă a lui F (= cuplul reprezentant ales al functorului PF). Dacă (J, cF) este limita proiectivă aleasă a lui F, se notează A = = lim F sau A = lim F [suprimarea parantezelor este aici abuzivă, corect i ar fi A = lim (.F)], iar cF se cheamă morfismul canonic al limitei proiective a lui F. Prin abuz vom spune că A este limita proiectivă a lui F. Dacă A = lim F şi В = lim G şi dacă и : F -> G este un morfism functorial, atunci, după paragiaful precedent, f = lim и este unicul morfism care face comutativă diagrama C

f i

a

X F

Iй

unde Ep Şi sînt morfismele canonice ale limitelor proiective. Notăm că dacă с este deplin fidel (de exemplu dacă I este conexă), pentru orice obiect A în в, (A, lcA) este o limită proiectivă a lui cA şi se ia, prin definiţie, ca fiind limita proiectivă aleasă a lui cA. In particular, cînd с este deplin fidel şi cînd lim este definit peste tot, atunci lim о с = 1 (aici lim о с înseamnă compunerea functorului lim cu functorul c). Vom considera acum cele trei cazuri particulare importante pentrr categoria I. Cazul 1). î n acest caz functorul lim se numeşte produs direct şi se i notează ГГ. i Ştim că, în acest caz, un obiect în в1 este o familie F = (-Ai);çr de obiecte în 6. indexată pe mulţimea I. Dacă A = TTF = TT Ai (ultima I

106

Teoria categoriilor

egalitate este o definiţie) şi dacă ţF : cA -> F este morfismul canonic, atunci componentele : A -> ale lui ţ F se numesc proiecţiile canonice ale produsului direct şi se notează pr{, etc. Interpretarea detaliată a definiţiei produsului direct este următoarea : Un obiect A împreună cu o familie de morfisme pi : A -> Ai este un produs direct al familiei F dacă şi numai dacă, pentru orice familie de morfisme f{ : X -> Ai9 există şi este unic un morfism / : X -» A astfel încît diagramele

A

A{

sînt comutative pentru toţi г Ç I. Cazul 2). î n acest caz, limita proiectivă se numeşte nucleu, iar functorul lim se notează Ker. Mai precis, fiind dată o diagramă a F : A ZZţ В ß

şi un obiect X, în <2, un morfism p : cx F este unic determinat de componenta sa p0 : X -> A satisfăcînd ap0 = ßp0 (componenta px : X -> В se defineşte prin p± = ap0 = ßp0). De aceea vom spune că un cuplu (К, z) este un nucleu al diagramei F dacă : 1° as = ße, 2° pentru orice morfism gr de capăt A satisfăcînd a g = există şi este unic un morfism / de capăt К astfel încît g = zf. Aceasta revine evident la aceea că, pentru p : cK -> F de componente p0 = e şi px = а г = ß г, cuplul (К, p) este o limită proiectivă а lui F. Alegerea nucleelor se va face în acord cu alegerea subobiectelor. într-adevăr, avem LEMA 7 . 2 . Cînd ( К , z) este un nucleu al unei diagrame F, г : К A este un monomorfism strict. Demonstraţie. Din condiţia 2° (unicitatea) rezultă imediat că s este monomorfism. Pe de altă parte, fie

p

Y—>X

•I K-^A

I'

107

Categorii «şi functori

o diagramă comutativă cu p epimorfism. Avem as = ße, deci oczg = = ßsgr, deci a/p = ß/p, deci a/ = ß/ (întrucît p este epimorfism), deci există h: X К astfel încît / = zh, ceea ce termină demonstraţia. Din lema 7.2 rezultă că dacă o diagramă F are nucleu, atunci există şi este unic un subobiect (К, г) al lui A care este un nucleu al lui F, şi care prin definiţie va fi nucleul sau nucleul ales al lui F. Se notează К = = Ker F, iar z se numeşte monomorfismul canonic sau incluziunea lui К. Prin abuz, vom spune că obiectul К = Ker F este nucleul lui F, şi tot prin abuz vom nota г = Ker F. DEFINIŢIE. Yom spune că o diagramă К

XA=z В

este exactă cînd s = Ker F. Definiţia nucleului unui morfism X : F - > F ' este evidentă. Se poate vedea uşor că dacă X şi (A sînt omotope, atunci [Ker X = Ker jx. Gazul 3). î n acest caz limita proiectivă se numeşte produs fibrat. Mai precis, fie F: un obiect în & şi X un obiect în в. Un morfism p : cx -> F este unic determinat de componentele sale рг : X -> В şi p2 : X С satisfăcînd condiţia и Pi = vp2 (anume, componenta p0 : X -> A se defineşte prin p0 = = и = vp2). De aceea vom spune că un triplet (D,p19 p2) cu В g Ob (в), р± : D -> В şi р2 : D -> С este un produs fibrat al diagramei F dacă : 1° uPl = Vp2, 2° pentru orice obiect X în в şi orice cuplu de morfisme f±: X —> В şif2:X->C astfel încît uf1 = vf29 există şi este unic un morfism fiX-^D astfel încît f± = p j şi f2 = p j . î n particular, p j = p±g şi p j = p2g implică f = g. Produsul fibrat ales se notează В x AC sau Б TT AC ; px şi p2 se numesc proiecţiile canonice ale produsului fibrat şi se mai notează prx şi pr2. DEFINIŢIE. Se numeşte pătrat orice diagramă

cartezian

satisfăcînd condiţiile 1° şi 2° de mai sus.

sau diagramă

carteziană

108

Teoria categoriilor

Vom da o altă interpretare produsului fibrat. Pentru orice obiect A în (2, vom nota &/A subcategoria (în general neplină a) lui FI ((2) formată din obiectele în FI ((2) de capăt A şi morfismele în FI (в) de capăt 1 A . Un obiect în в и este deci un cuplu (X, / ) cu X 6 Ob ((2) şi / : X -> A un morfism în <2, iar un morfism 0 : (X, / ) -> -> ( Y, g) este un morfism 0 : X -> Y în (2 cu proprietatea că diagrama următoare este comutativă x - U r

Obiectele lui в/А se mai numesc obiecte peste A în (2. и Dacă В —> A este un morfism în (2, avem un functor i'-ZlB-XZiA definit prin i (B', g) == (B', ug) şi i (0) = 0 pentru orice obiect (B', g) şi orice morfism 0 în <2/B. DEFINIŢIE. Adjunctul la dreapta j al lui i se numeşte functor de schimbare a bazei. î n general j este definit pe o subcategorie plină a lui (2jA şi ia valori în &/B. Din definiţia adjunctului la dreapta şi din definiţia pătratelor carteziene rezultă imediat că j este definit în (A', f ) dacă şi numai dacă produsul fibrat В x a A ' există, i.e. dacă şi numai dacă avem un pătrat cartezian BxAAf^Af

-l В

и

J/

* А

şi în acest caz valoarea lui j în (A',f) este (В x a A ' , pr^ iar morfismul cononic este pr2 : (В x ЛА'У и pr^ -> (A',f). Se mai poate observa că produsul fibrat în в al diagramei A'

este exact produsul direct în SjA al obiectelor (В, u) şi (A',f). Cînd A =e este un obiect final în в, categoriile в şi <2/e sînt canonic izomorfe şi avem В x A' = В x eA'.

109

Categorii «şi functori

Fiind date două pătrate comutative

:

A'—>A

:

I" I' * V'

B ' — *

В

A—>A"

i' В

[' v"

—

>

£

"

astfel încît „sursa" lui TU" coincide cu „capătul" lui тг', se notează TU" TT' pătratul comutativ A' '—>A"

"ï

, r

r

I'"

V V B'—>B"

Această compunere de pătrate corespunde evident compunerii morfismelor în categoria FI (€). Din cele precedente şi din propoziţia 6.3 rezultă imediat PROPOZIŢIA 7 . 1 . Dacă pătratul iz" este cartezian, atunci condiţiile următoare sînt echivalente : 1) TT = TU"TU' este cartezian. 2) T: este cartezian. De altfel demonstraţia directă a acestei propoziţii este imediată. Tot la fel de imediată este demonstiaţia propoziţiei următoare : PROPOZIŢIA 7 . 2 . Dacă diagrama comutativă К !

r

,

ix°

ix<

K'-^A'^B' are linii exacte, i.e. s = Ker F şi s' — Ker F\ deci y = Ker X, şi dacă \ este monomorfism, atunci pătratul din stînga este cartezian. Noţiunile duale sînt : limită inductivă, sumă directă, conucleu, sumă fibrată sau sumă amalgamată, pătrat cocartezian etc. De exemplu, dacă F : I -> в este un functor, se consideră functorul jp7° : 1° -» <2° şi se defineşte lim JT prin egalitatea lim F = Inn Dacă f :F ->G este un morfism în categoria (21, se consideră morfismul functorial / ° :G° -+F° obţinut prin inversarea săgeţilor. Dacă lim F° şi lim G° există, atunci avem un morfism u° = lim : lim G° -> lim F°

110

Teoria categoriilor

în categoria <2°, ceea ce dă un morfism и = lim / , и : lim F -> lim G, în categoria в etc. § 8. Proprietăţi de comutativitate ale limitelor proiective şi inductive DEFINIŢIE. Fie € şi J categorii. Yom spune că J-limitele proiective există în в sau că в are J-limite proiective sau că в este o categorie cu J-limite proiective) dacă functorul lim este definit peste tot pe € J . c j Cînd J este discretă (în acest caz J se identifică cu mulţimea obiectelor sale), se spune J-produs direct în loc de J-limită proiectivă. Cînd J este categoria tip a nucleelor (i.e. categoria 0 zx 1), se spune nucleu, în loc de J-limită proiectivă. Cînd J este categoria tip a produselor fibrate, se spune produs fibrat, în loc de J-limită proiectivă. Eezultă că avem, în particular, noţiunile : categorie cu J-produse directe, categorie cu nuclee, categorie cu produse fibrate. Noţiunile duale sînt : categorie cu J-limite inductive, categorie cu J-sume directe, categorie cu conuclee, categorie cu sume fibrate. Cînd J este categoria vidă, SJ are ca unic obiect functorul vid de capăt <2, cum se numeşte incluziunea lui J = 0 în (2, şi ca unic morfism, identitatea functorului vid. Eezultă că, în acest caz, с : (2 -> в1 este functorul cu cA = functorul vid şi cf = identitatea functorului vid pentru orice obiect A şi orice morfism / în в. Dacă F este functorul vid de capăt в, atunci e = lim F dacă şi numai dacă e este un obiect final în в. într-adevăr, Horn (F, F) conţine numai pe 1F şi cx = F pentru orice X 6 Ob (в), deci unica aplicaţie Horn (X, e) -> Horn (F, F) este bijectivă dacă şi numai dacă Н о т (X, e) conţine exact un element. î n particular, pentru J categoria vidă, в are J-limite proiective dacă şi numai dacă are un obiect final. Pentru stabilirea proprietăţilor de comutativitate ale limitelor proiective şi inductive vom folosi propoziţia 6.3 şi lema următoare. LEMA 8 . 1 . Fie A : в' -> в un functor, iar ß adjunctul la dreapta al lui a (ß este definit pe o subcategorie plină a lui в). Dacă F : I -> в este un functor cu proprietatea că ß este definit în F (i) pentru orice i Ç Ob (I), atunci adjunctul la dreapta al lui a* ( = compunerea la stînga cu a) este definit în F şi este egal (în F) cu ßj7.

Categorii «şi functori

111

Demonstraţie. Fie subcategoria plină a Inie formată din obiectele X cn proprietatea că ß este definit în X, şi fie i : -> 6 fnnctornl de incluziune. întrucît F (i) este în S± pentru orice i € Ob (I), F induce un functor Fx : I -> Astfel avem diagrama comutativă

î n enunţ ani scris prin abuz ßJ7 în loc de ß-F1? deci ßJ7 (i) = ß (.F (г)) şi ßj7 (X) = ß (F (X)) pentru orice obiect i şi orice morfism X în I. De asemenea, vom scrie aßJ7 în loc de aßZ^. După definiţia adjunctului, pentru orice obiect X în avem un cuplu (ß (X), lx), cu ß (X) obiect în <2' şi : aß (X) X morfism în <2, avînd proprietatea că, pentru orice obiect T' în aplicaţia (1).

Horn ( T, ß(X)) -> Horn ( a ( T'), X)

care asociază cu orice morfism / : T'-> ß(X) (în €') morfismul compus a (Tf) ——> aß ( Z ) 4 l (în (2) este bijectivă. Ştim, de asemenea, din teoria functorilor adjuncţi, că morfismul ţx este functorial în X, i.e. că pentru orice morfism 6 : X -> Y în (21? diagrama următoare este comutativă aß(X)-^>X a ß( 6)| je

(2)

aß(Y)-^>

Y

Yom defini atunci un morfism functorial aßjF7 -> F punînd lw (i) = : «ß (F (i)) -> F (i) pentru orice i g Ob (I). Pentru a arăta că acest este într-adevăr un morfism functorial, să considerăm un morfism X : i - > j în categoria I*

112

Teoria categoriilor

Punînd 0 = F (X) în diagrama comutativă (2), obţinem diagrama comutativă j?

(3)

aßF(i)-^F(i) aßJU)^ a

^F(j)

pF(j)—>F(j)

care exprimă exact faptul că ţ F este un morfism functorial. Să considerăm, pentru orice obiect F' în categoria Hem (I, 6'), aplicaţia (4)

=

Horn (F', ßF) -> Horn (aF', F)

care asociază cu orice morfism functorial и : F'

ßF

morfismul functorial compus au _ OLF —> a ß F — > F Eeamintim că <ш : aF' -> aßF este morfismul functorial de componente а (и (г)) : vF' (г) -> aßF (г). Lema va fi demonstrată dacă vom arăta că aplicaţia (4) este bijectivă. Fie atunci v : a F ' - > F un morfism functorial, de componente v (г) :аF' (i)->F (i). Consideiăm bijecţia (1) pentru X = F (г) şi T' = F ' (г). Eezultă că, pentru orice obiect i în Z, există şi este unic un moifism : Г ( i ) _> ß ( F (i)) astfel încît * (i) = а (и4). Fie X : г -> j un morfism în I. întrucît tF şi v sînt morfisme functoriale, avem diagrama comutativă (3) şi diagrama comutativă

(5)

a F' (i) - A F (г) J*4X) a F' ( j ) ^ F ( j ) Yom arăta că diagrama următoare este de asemenea comutativă F' (г) - A ßF (г) j" ( j ) - ^ ß ^ ( j )

Categorii «şi functori

113

ceea ce exprimă faptul că morfismele ui : F' (i) -> $F (i) reprezintă componentele unui morfism functorial и : F' -> ß_F. Considerind bijecţia (1) pentru X = F ( j ) şi T = F' (i), totul revine la a arăta că Над а

deci

(Щ F'

(X)) =

EW)a

(£F

(X)

uh)

că E W ) a (Щ) olF" (X) =

H F ( ; ) aß F (X) а

(щ).

Or această egalitate este adevărată întrucît v (i) = lF{i) a (Ui) şi v ( j ) = ZF{i) a (w,-) şi întrucît diagramele (3) şi (5) sînt comutative. Din definiţia lui и rezulta că avem V =

olU,

iar din bijecţia (1) rezultă imediat trecînd la componente că и este unic determinat prin această egalitate. Lema 8.1 este astfel complet demonstrată. COROLAR. Dacă adjunctul la dreapta ß al lui A este definit peste tot, atunci adjunctul la dreapta al lui a* este definit peste tot şi este egal cu ß*.

Fie I, J şi astfel încît lim (pr4 t) există pentru PROPOZIŢIA

8.1.

trei categorii şi t : J -> G1 un functor toţi i g Ob (I). Atunci lim t există şi

(2

J

J

se calculează pe componente, i.e. рг-j |Ит «j = Пт (pr< t). Demonstraţie. Considerăm functorul a = с : (2 -» (2J. Adjunctul său la dreapta este ß = lim. J

Se vede uşor că diagrama următoare este comutativă

(&)1 X

(еу

unde а* este compunerea la stînga cu а = с, iar 0 este izomorfismul canonic din corolarul la lema 5.1. Fie s = 0 (t), deci 8t = pr, t. Ipoteza din enunţ asupra lui t spune că ß este definit în s. pentru toţi i g Ob (I). Din lema precedentă rezultă că adjunctul la dreapta al lui a* este definit în s şi egal cu ßs. Cum 0

114

Teoria categoriilor

este izomorfism de categorii, 0 _ 1 este adjunct la dreapta (şi la stînga) al Ini 6, iar din propoziţia 6.3 reznltă că lim t există şi este egal tot cu ßs, j deci pr^lmi = (ß*) (г) = ß (s (г)) = ß (pr, t) = Inn (pr, t). COROLAR. Dacă T-limitele proiective există în (2, atunci, pentru orice categorie I, J-limitele proiective există în & (si se calculează pe componente). Demonstraţie. Ipoteza corolarului spune că ß = lim este definit J

peste tot. Eezultă că adjunctul la dreapta al lui a* este definit peste tot etc. Interpretarea acestui corolar cînd J este categoria tip a produselor fibrate este următoarea : Dacă (2 are produse fibrate, atunci, pentru orice categorie I, categoria (21 = Н о т (I, (2) are produse fibrate care se calculează pe componente, i.e. dacă G F şi H F sînt morfisme în (2г, atunci (G x FH) (i) =G(i)

x

F(i)H

(i),

sau, echivalent, pătratul P—>Я

i

i

G —» F 1

este cartezian în & dacă şi numai dacă pătratele P(t)—»Я(»)

1

0(i)-*F(i)

I

sînt carteziene în (2 pentru toţi i Ç Ob (I). Interpretări similare pentru obiect final, nuclee şi produse directe (şi, evident, pentru noţiunile duale). î n propoziţia următoare и este izomorfismul canonic din lema 5.1. astfel încît lim t j există, unde t = и (T). Atunci lim (lim t) există dacă şi numai dacă lim T PROPOZIŢIA

8.2. Fie T : I x J

I

& un functor

J

există şi în acest caz avem lim (lim t) = lim T.

IxJ

Categorii «şi functori

Demonstraţie.

115

Se constată că diagrama următoare este comutativă (OlxJ~(QTy 4

i. c

e

> e1

şi se aplică propoziţia 6.3. PROPOZIŢIA 8 . 3 . Fie A : (2' r-^ (2 un functor, ß adjunctul său la dreapta (definit pe o subcategorie plină a lui (2), F : J —> (2 шг functor astfel încît lim F există şi astfel încît compusul $F este definit (i.e. ß este definit în F (i) pentru orice obiect i în J). Atunci lim ß_F există dacă şi numai dacă ß este definit în lim F şi în acest caz avem

lim ßi 7 = ß (lim F). Demonstraţie.

Diagrama următoare este comutativă (O'J

•î

a*» gJ

î-

(2'

i.e. a cJf = ca(2v) şi ac f , = c a ( / / ) pentru orice T' g Ob (&') şi / ' g Fl ((2'). Din lema 7.1 rezultă că adjunctul la dreapta al lui a* este definit în F şi egal cu ßj7. Din propoziţia 6.3 rezultă că lim ßJ7 există <=> adjunctul la dreapta al lui с a = a*'c este definit în -F<=> ß este definit în lim F, şi atunci avem lim ß F = ß (lim F). COROLAR. Presupunem că adjunctul la dreapta ß al lui a este definit peste tot. Dacă lim F există, atunci lim $F există şi avem

lim ßJ7

ß (lim F).

§ 9. Teoreme de existenta pentru limite proiective şi inductive LEMA 9 . 1 . Fie (2 o categorie astfel încît produsul direct В X С există pentru orice cuplu de obiecte (В, С) în (2. Condiţiile următoare sînt echivalente :

i) (2 este o categorie cu nuclee. ii) (2 este o categorie cu produse fibrate.

116

Teoria categoriilor

Demonstraţie,

i) => ii). Să admitem i) şi să considerăm o diagramă С

în e. Fie р г : Б x С Б şi p 2 : В x С ~> С proiecţiile canonice ale produsului direct Б x С şi fie К В x С un nucleu al diagramei WÎ>1 В x С

»Pa

J..

Se verifică uşor că diagrama >0 "'j

j"

и

В — > J.

este

carteziană, unde = г şi ад' = p 2 s. ii) => i). Să admitem ii) şi să considerăm F.A

=ţ

o

diagramă

Б

V

în (2. Fie : A -> J. X Б morfismul de componente 1, w şi v' : A -> А x Б morfismul de componente 1, v, deci avem рги' = г?' = 1, p2u' = и şi == Construim o diagramă carteziană Ф

i u' A—îAxB Compunînd cu р г rezultă 9 = 5 . Apoi se verifică uşor că г este un nucleu al diagramei F. DEFINIŢIE. Fie В o categorie şi U un univers. Yom spune că U-limitele proiective există în (2 dacă J-limitele proiective există în (2 pentru orice U-categorie mică J. De asemenea, vom spune că VL-produsele directe există în 6 dacă J-produsele directe există în (2 pentru orice mulţime Noţiunile duale sînt : U-limitele inductive există în (2, U-sumeie directe există în (2.

Categorii «şi functori TEOREMA 9 . 1 .

117

Condiţiile următoare sînt echivalente :

1) U-limitele proiective există în <2. 2) 11-produsele directe şi nucleele există în (2. 3) U-produsele directe şi produsele fibrate există în (2. Demonstraţie. Din lema precedentă reznltă că 2 ) < = > 3 ) . Apoi este trivial că 1) implică 2). Bămîne să arătăm că 2) =) 1). Vom admite 2). Fie J o 11-categorie mică şi F : J -> (2 un functor. Atunci Ob (J) şi Fl ( J) sînt elemente din 11 şi deci putem considera diagrama D : TT F (i) iCOb(J)

TT F (capăt и) ß uÇFl(J)

în care a şi ß sînt morfismele de componente N F (i) ^capăt>и F (capăt И) i.e. Scapàt и — Pcapăt и ŞÎ ^fcapït и — F (и) _Psursă и unde Pi : TT F ( j ) -> F (i) şi gCaPät и -П F (capăt и) -> F (capăt и) sînt proiecţiile canonice ale produselor directe. Beamintim ca, pentru orice X € Ob ((2), un morfism functorial v : cx -> F este o familie v = (^)г£оь(«л de morfisme Vi : X -> F (i) astfel încît, pentru orice morfism и în J, diagrama următoare este comutativă y

\ ycapătг

sursaw / F(u)

F ( sursă и) —*F ( capăt и ) Avem o aplicaţie Horn (cXj F)

Horn (X, TT F (i))

118

Teoria categoriilor

саге asociază cu orice morfism v : X -> TT F (i) satisfăcînd PiV

functorial =

v : cx

F morfismul

vi

pentru toţi i € Ob (I). Evident această aplicaţie este injectivă. Apoi, pentru orice v : cx

F9 avem OLV = ßl?

după

definiţia lui a, ß şi v. Invers, dacă h : X -> TT F (i) satisface ocä = ßÄ, v{ = pji sînt componentele unui morfism functorial v : cx-> F astfel încît v = h. Astfel aplicaţia v v induce o bijecţie între Н о т (сХ9 F) şi mulţimea morfismelor h : X -> TT F (i) satisfăcînd oJi = $h. Fie (A, z) un nucleu al diagramei D. Avem as = ße, deci există un unic morfism functorial E : cA -> F astfel încît Ç = e, i.e. astfel încît li = Pi z pentru toţi i g Ob (J). După definiţia nucleului, pentru orice X € Ob ((2), aplicaţia Н о т (X, A) -> Н о т (X, TT F (i)) definită p r i n / zf induce o bijecţie între Н о т (X, A) şi mulţimea morfismelor h : X -> TT F (i) satisfăcînd a h = ßÄ. Eezultă că avem o bijecţie Н о т (X, A) -> Н о т

J»)

care asociază cu orice morfism f : X -> A morfismul functorial v : cx-^ F de componente ^ = p{zf = pentru toţi i £ Ob ( J ) . Eezultă că aceasta este aplicaţia / - > ţcf9 ceea ce atestă că (A9 este o limită proiectivă a lui F şi termină demonstraţia teoremei. Din demonstraţie mai rezultă că dacă (A9 z) este un nucleu al diagramei I) şi dacă ţ: cA-> F este morfismul functorial de componente 5г = V%£? atunci (A9 Ç) este o limită proiectivă a lui F. O categorie J se zice finită dacă FI ( J) este o mulţime finită. DEFINIŢIE. Yom spune că limitele proiective finite există în £ (sau că 6 are limite proiective finite sau că S este o categorie cu limite proiective finite) dacă J-limitele proiective există în в pentru orice categorie finită J. Noţiunea duală : categorie cu limite inductive finite. Din teorema precedentă şi lema 9.1 rezultă imediat următorul

Categorii «şi functori

Condiţiile următoare sînt echivalente : 1° Limitele proiective finite există în (2. 2° (2 este o categorie cu nuclee şi obiect final şi produsul există pentru orice cuplu (A, B) de obiecte în (2. 3° & e*te o categorie cu produse fibrate şi obiect final.

119

COROLAR.

direct A X В

TEOREMA 9 . 2 . VL-limitele proiective există în categoriile U-Ens şi U-Ab. în plus, pentru orice U-categorie mică J şi orice functor F : J -> IX-Ab, un cuplu (A, este o limită proiectivă a lui F în U-Ab dacă şi numai dacă (y (A), y ( £)) este o limită proiectivă a lui yF în U-Ens, unde y : U-Ab -> U-Ens este functorul de supraiacenţă. Demonstraţie. După teorema 9.1, este suficient să demonstrăm teorema 9.2 pentru produse directe şi nuclee. Fie F = o familie de mulţimi AtÇ U cu J € U. Produsul direct A al acestei familii şi proiecţiile canonice pi\ : A -> A{ au fost definite în § 1. Se verifică fără nici o dificultate că A împreună cu aplicaţiile pr4 satisfac definiţia generală a produsului direct dată în § 7. Să presupunem apoi că A{ sînt grupuri abeliene, deci obiecte în U-Ab. Atunci A are o structură de grup abelian cu adunarea definită pe componente, iar proiecţiile canonice pr4 : A JLi sînt omomorfisme de grupuri, şi evident grupul A împreună cu omomorfismele pr, satisfac definiţia generală a produsului direct. Să considerăm acum o diagramă

F: A

V

В

n categoria U-Ens. Fie A' = {a Ç A \ и (a) = v (a)} şi fie г: A' -> A incluziunea lui A'. Atunci A' £ U şi evident z este un nucleu al diagramei F în U-Ens. Dacă A şi В sînt grupuri abeliene, iar и şi v omomorfisme de grupuri, atunci A' este un subgrup al lui A si evident г este un nucleu al lui F în U-Ab. Evident, proprietatea lui y din enunţ este adevărată pentru produse directe şi nuclee. Teorema este complet demonstrată. Similar se poate arăta că U-limitele proiective există în categoriile U-M, U-G, U-A. Mai precis, dacă 6 este una din aceste categorii, y : (2 U-Ens functorul de supraiacenţă, J o U-categorie mică şi F : J ->é

120

Teoria categoriilor

un functor, atunci (A, ţ) este o limită proiectivă a lui F în (2 dacă şi numai dacă (y (JL), у ( £)) este o limită proiectivă a lui y F în U-Enş. Observaţie. Din teorema 9.2 rezultă, în particular, că y comută cu U-limitele proiective. Această ultimă proprietate a lui y este adevărată şi în alte categorii supraiacente lui U-Ens, cum este U-Top. Notăm însă că în U-Top^ proprietatea inversă a lui y din enunţul teoremei 9.2 nu este adevărată. într-adevăr, dacă A' ->

AztB

este o diagramă exactă în U-Top, atunci A' este un subspaţiu topologic al lui A. Eezultă că dacă înzestrăm A' cu o topologie strict mai fină ca topologia de subspaţiu a lui A, atunci diagrama obţinută nu mai este exactă în U-Top, deşi diagrama ontinuă să fie exactă în U-Ens. Din teoremele 9.1 şi 9.2 rezultă că, dacă J este o U-categorie mică şi F : J U-Ab (resp. F : J U-Ens), A = lim F este subgrupul (resp. submulţimea) lui X =

TT F (i) *ÇOb(J)

format (ă) din elementele x = (#*)»€ob<j) cu xi ţF (i) şi cu proprietatea că, pentru orice morfism и : i ->• j în J, xt = F {и) (a^), iar componentele ale morfismului canonic EF se definesc prin \ x) = x{. Folosind interpretarea detaliată a limitei proiective, rezultă în particular, că este adevărat următorul COROLAR. Fie (2 o U-categorie, J o categorie şi F : J (2 un functor. Un cuplu (A, l) este o limită proiectivă a lui F dacă şi numai dacă, pentru orice obiect X în (2, Нот (X, A) este o limită proiectivă a functorului i (X, F(i)) în U-Ens, cu morfism canonic compunerea cu Ç la stînga Astfel o diagramă

A'

A

este exactă (în в) dacă şi numai dacă, pentru crice obiect X în (2, diagrama Н О Т ( X , A')

- > Н О Т ( X , A) =T Н О Т

(X,

B)

o obţinută prin aplicarea functorului covariant h x = Н о т (X,.) este exactă în ll-Ens. Tot astfel o diagramă A' -> B' j ф A В

Categorii «şi functori

121

este carteziană (în €) dacă şi numai dacă, pentru orice obiect X în 6, diagrama Horn (X, A') -> Horn (X, B') j ф Horn (X, A) -> Horn (X, Б) este carteziană în U-Ens. Dual avem interpretrări ale limitei inductive, conucleuiui şi sumei fibrate folosind functorul contravariant hx = Horn (., X). TEOREMA 9 . 3 . VL-limitele inductive există în categoriile U-Ens şi U-Ab (dar functorul У nu comută în general cu Vi-limitele inductive). Demonstraţie. Suma directă în categoria U-Ens a fost definită în § 1. î n vederea definiţiei conucleuiui în categoria U-Ens vom face o paranteză privind noţiunea de graf de echivalenţă. Un graf de echivalenţă pe o mulţime X este o submulţime R a produsului direct X x X astfel încît 1° (x, x) £ R pentru orice x £ X. 2° dacă (x, y) £ R, atunci (y, x) £ R9 3° dacă (x, y) şi (y9 z) £ В, atunci ( # , £ ) € -ß. De exemplu, dacă / : X -> Y este o aplicaţie de mulţimi, atunci perechile (x9 y) £ X X X cu f (x) = f (y) formează un graf de echivalenţă pe X pe care-1 vom nota Bf şi-1 vom numi graful de echivalenţă indus de / . Evident, intersecţia oricărei familii [R^ici de grafuri de echivalenţă pe X este un graf de echivalenţă pe X (I o mulţime). Eozultă că, dată o submulţime M a lui X X X, există un cel mai mic graf de echivalenţă care conţine pe M ; acesta se numeşte graful de echivalenţă generat de M. Fireşte, mulţimea vidă se considciă graf de echivalenţă pe orice mulţime X. Dacă R este un graf de echivalenţă pe X, se notează X/R mulţimea claselor de echivalenţă medulo R ; prin definiţie două elemente x, y din X aparţin aceleiaşi clase de echivalenţă modulo Л dacă şi numai dacă ( x, y) £ R. Mulţimea X/R se numeşte mulţimea cît a lui X prin graful de echivalenţă R. Întrucît, evident, clasele de echivalenţă modulo R, deci elementele lui XjR, sînt submulţimi mutual disjuncte ale lui X care realizează o partiţie a lui X , avem o aplicaţie surjeclivă

p : X ->

X/R,

numită aplicaţie canonică, definită inambiguu prin p (x) = clasa de echi valenţă modulo R care conţine pe x.

122

Teoria categoriilor

Evident, Bp = B, i.e. graful de echivalenţă indus de p este egal cu B. Apoi pentru orice mulţime Y şi orice aplicaţie / : X -> Y astfel încît В с: Bf, i.e. astfel încît f (x) = f (y) cînd (x, 2/) Ç jß, există şi este unică o aplicaţie g : XjB -> Y astfel încît diagrama următoare să fie comutativă X—^X\B

\Y/ i.e. astfel încît / = gp ; anume dacă 2 Ç X/JS, atunci # (2) = f (00), unde ж este un element arbitrar în p~1 (2). După această paranteză, să considerăm o diagramă j

В

în categoria U-Ens. Fie В relaţia de echivalenţă pe В generată de perechile (u (a), v (a)) cu a g A. Vom arăta că diagrama A

В -> В/В V

este exactă, i.e. aplicaţia canonică p este un conucleu al diagramei F. într-adevăr, fie f : В X o aplicaţie astfel încît fu = fv. Atunci f(u(a)) =f(v(a)) pentru orice a g A, deci В d 22/, deci există şi este unică o aplicaţie g : В/В -> X astfel încît / = gp. Din duala teoremei 9.1 rezultă că U-limitele inductive există în U-Ens. Mai precis că, pentru orice U-categorie niică J şi orice functor F : J -> U-Ens, A = lim F este mulţimea cît ~* A = X/B, unde X = И F (г) i S Ob (J) iar В este relaţia de echivalenţă generată de perechile (xi? ху), cu X i Ç F ( i ) şi XjţF(j) şi cu proprietatea că există и: г j în J astfel încît х^ = F {и) (#.). Să trecem la categoria U-Ab. Dacă (A^içj este o familie de obiecte în U-Ab cu J £ U, atunci suma directă A' = £ este subgrupul produi Ç Ob(J) sului direct A = ГТ -A» format din elementele a? = (^)içob(j) cu proiÇOb(J)

prietatea că xi = 0 cu excepţia unui număr finit de indici. Injecţiile canonice : Aj -> A' se definesc prin ei ( a = # cu #. = a. şi ^ = 0 pentru i ф j.

Categorii «şi functori

123

Din această construcţie se vede că functorul y nu comută în general cu suma directă. Dimpotrivă, y comută cu conucleul. într-adevăr, să presupunem că în diagrama F considerată mai sus A şi В sînt grupuri abeliene, iar и şi v omomorfisme de grupuri. Atunci, dacă z1 = p ( b ş i z2 = p (b2), definim z1 + z2 = p (Ьг + b2). Se verifică uşor că această definiţie a adunării în B / B este inambiguă, că B / B este grup abelian, iar p un omomorfism de grupuri şi, în sfîrşit, că p este un conucleu al diagramei F în categoria U-Ab. Din duala teoremei 9.1 rezultă că U-limitele inductive există în IX-Ab, ceea ce termină demonstraţia teoremei 9.2. Din teoremele 9.2 şi 9.3 şi din corolarul la propoziţia 8.1 se deduce imediat următorul COROLAR. Pentru orice categorie I, U-limitele proiective şi inductive există în categoriile (U-Ens) 1 = Н о т (I, U-Ens) şi (U-Ab)1 = Н о т (I, U-Ab). î n particular, categoriile (U-Ens) 7 şi (U-Ab)z au obiect final şi obiect iniţial, produs direct şi sumă directă etc., şi toate se calculează pe componente.

§ 10. Exactitate и Fiind dat un morfism A В într-o categorie <2 putem considera (dacă există) diagrama carteziană А

A

x BA

Л

4

A

Л

—• A

и

J,* >B

DEFINIŢIE. Se spune că и este un epimorfism fibrat A x BA există şi diagrama

А X BA

efectiv dacă produsul

A -Ji» В Po

este exactă. De asemenea, se spune că и este epimorfism efectiv universal dacă, pentru orice morfism В' Б, produsul fibrat A x BB' există şi proiecţia canonică A x B B' B' este un epimorfism efectiv. Moţiunile duale : monomorfism efectiv, monomorfism efectiv universal. De exemplu, în categoria U-Ens orice epimorfism este efectiv unite versai. într-adevăr, dacă A—>B este un epimorfism de mulţimi, В = = A x BA este graful de echivalenţă pe A indus de щ iar mulţimea В este canonic izomorfă cu mulţimea cît A / B etc. De asemenea în U-Ens orice monomorfism este efectiv universal.

124

Teoria categoriilor

PROPOZIŢIA 1 0 . 1 . Fie <2 o categorie cu produse fibrate. Un epimorfism и A -> В este efectiv dacă şi numai dacă există o diagramă exactă de forma

В ==5 А - l * B. ß

Demonstraţie. Numai suficienţa cere demonstraţie. Vom presupune ca diagrama exactă din enunţ există. întrucît £ are produse fibrate, diagrama A x BA

Pi

A

В

există. întrucît иa = ^ß, există 0 : В -> A x BA astfel încît a = ргЬ şi ß = p 2 6. Se deduce imediat că diagrama precedentă este exactă. DEFINIŢIE. Un functor F : € -> <2' se zice exact la dreapta dacă pentru orice epimorfism efectiv A -> В diagrama F(A x BA) =t F (A) -> F (В) este exactă. Noţiunea duală : functor exact la stînga. Un functor se zice exact dacă este simultan exact la dreapta şi la stînga. Din propoziţia 10.1 rezultă imediat următorul COROLAR. Cînd are produse fibrate şi F : £ este exact la dreapta, F (epimorfism efectiv) = epimorfism efectiv. Exactitatea la stînga înseamnă comutativitate cu nucleul pentiu o clasă specială de diagrame. O condiţie mai tare decît exactitatea la stînga este, deci, comutativitatea cu limitele proiective finite. Orice functor care are un adjunct la stînga comută cu limitele proiective arbitrare în virtutea corolarului la propcziţia 8.3 şi dual. î n particular, dacă J-limitele inductive există în (2 functorul lim comută cu lij mitele inductive. Vom arăta că există o clasă importantă de categorii J care au proprietatea că lim comută cu limitele proiective finite (şi în parj> ticular este un functor exact) pentru в = ll-Ens sau lt-Ab. DEFINIŢIE. O categorie I se zice pseudofiltranfă axiomele următoare : PS1) Orice diagramă

dacă satisface

125

Categorii «şi functori

poate fi scufundată într-o diagramă comutativă

PS2) Pentru orice diagramă ?/

v*

există un morfism w : j -> fc astfel încît wu = ivv. LEMA 1 0 . 1 . O categorie pseudofiltrantă I este conexă dacă şi numai dacă, pentru orice cuplu (i, j) de obiecte în I, există o diagramă

li

./

Y3

«

Demonstraţie. Numai necesitatea cere demonstraţie. î n realitate vom folosi numai conexiunea şi o formă mai slabă a lui PS1). întrucît I este conexă există o diagramă FOL

LCA . . .

. . / Wi

i = i0

LCN

Y г =].

1

п

Avem de arătat că există o astfel de diagramă cu n = 1. Prin inducţie după n, totul revine la a arăta că, dacă există o diagramă cu n = 2, atunci există şi una cu n = 1. Să presupunem deci că există o diagramă

./ Y /

г

Y

h

j

Din PSI) rezultă că există o diagramă Ic h к

* к2

126

Teoria categoriilor

deci avem o diagramă

г

/ \

3

cu n = 1, ceea ce termină demonstraţia lemei. LEMA 1 0 . 2 . Fie J o U-categorie mică pseudofiltrantă conexăy F :J -> U-Ens un functor, A = lim F şi В mulţimea perechilor (xx-) cu x% g F (г), xj g F ( j ) şi cu proprietatea că există o diagramă

г

3 în J astfel încît F (и) (х{) = F (v) (xy). Atunci : 1) В este un graf de echivalenţă pe mulţimea X =

И F (i) şi iÇOb(J)

А = X'jB. 2) Dacă x, x' g A, atunci x şi x' au reprezentanţi de acelaşi indice, г.е. există le g Ob ( J), un reprezentant xkţ F (Тс) al lui x şi un reprezentant x'k£F (Je) al lui x'. 3) xi şi x[ g F (i) reprezintă acelaşi element în A dacă şi numai dacă există и : i -> j în J astfel încît F (и) (х{) = F (и) (х[). Demonstraţie. 1) Fie В' graful de echivalenţă pe X generat de perechile (x i9 xk) cu Xi g F (i) şi cu proprietatea că există и : i -> Ic în J astfel încît xk = F (и) (х^. Din demonstraţia teoremei 9.2 ştim că А

=

Х\В'

Vom arăta că, în condiţiile actuale, JB = Bf. Evident, В conţine generatorii lui B' şi В d B\ Eămîne de arătat că В este un graf de echivalenţă. Evident В satisface primele două axiome ale unui graf de echivalenţă. Faptul că В satisface şi a treia axiomă rezultă imediat din PS1). 2) Fie Xi g F (i) un reprezentant al lui x şi Xj g F ( j ) un reprezentant al lui x'. Există o diagramă г

3 în J. Fie хк = F (и) (х4) şi хк = F (v) (х}). Atunci хк reprezintă pe x şi xk reprezintă pe x'.

Categorii «şi functori

127

3) Există mai întîi o diagramă a г =1 Jc ô

astfel încît G ( а) (xj = G ( ß) (x[). Apoi, în virtutea iui PS2), există у : Je -> j astfel încît y a = yß etc. Observaţie. Aserţiunea din 2) se poate generaliza astfel : Fie J o U-categorie mică pseudofiltrantă conexă, F19 . . . , Fn un şir finit de functori de la J în U-Ens, Аг = lim F19 . . . , An = lim FnJ x1^A1, ..., xn Ç An. Atunci există reprezentanţi de acelaşi indice le g Ob (J) pentru хг, ... . . . , xn. î n lemă a fost considerat cazul n = 2 şi Fx — F2. TEOREMA 1 0 . 1 .

Pentru orice U-categorie mică pseudofiltrantă

conexă

J, functorul lim : (U-Ens) J j

U-Ens

comută cu limitele proiective finite. Demonstraţie. Fie e un obiect final în U-Ens, deci o mulţime cu un singur element. Este evident că functorul ce : J -> U-Ens este un obiect final în (U-Ens). Beamintim că.pentru A g Ob (в), cA (i) = A şi cA (и) = = 1A pentru orice obiect i şi orice morfism и în J. Întrucît J este conexă, с este deplin fidel, deci lim сA = A, în parj ticular lim ce = e. Astfel lim comută cu obiectul final. J

>

J

Eămîne să mai arătăm că lim comută cu produsul fibrat. j Să considerăm o diagramă carteziană

•i

i*

în ( U - E n s ) A p l i c î n d functorul lim, obţinem o diagramă comutativă j P-^H

a? în U-Ens. Avem de arătat că această ultimă diagramă este carteziană.

128

Teoria categoriilor

Notăm că g este aplicaţia, unic determinată, care face comutative diagramele G(i)^F(i) 4

_ G — ^

j*. t

pentru toţi г £ Ob ( J), unde & sînt componentele lui g, iar Ег- şi ти componentele morfismelor canonice, deci (х{) = clasa lui x etc. O definiţie similară pentru h, a, ß. Fie (y, z)£G x H astfel încît g (y) = h (z) = a? (să zicem). Fie Vi 6 O (i) un reprezentant al lui у, i.e. un element astfel încît rJţ. = у, şi fie z/ţ Л ( j ) un reprezentant al lui Din definiţia lui g rezultă că x{ = = gt (у{) reprezintă pe ^ = g (y). Tot astfel = Л,- (г?) reprezintă pe x -= = h (z). Există deci o diagramă

astfel încît F (и) (хь) = J1 (1?) (a?,.) = zk pe

(să zicem).

Fie yb — G (и) (у.) şi zk == H (v) (Zj). Atunci yk reprezintă pe y şi Avem diagrama comutativă G(i)^>F(i) G{k)-^>F(k)

de unde rezultă că g,. (yk) — xk. Similar, hk (zk) = xk. T»e de altă parte, produsul fibrat în categoria (U-Ens)7 se calculează pe componente, deci diagrama P (k)-^H 4

G(k)-^F(k)

(k) j"'

129

Categorii «şi functori

este carteziană. Deci există tk £ P (k) astfel încît кк (t k ) = yk şi ßfc (tk) = = zk. Fie t clasa lui tk. După definiţia lui ă, avem diagrama comutativă P(1c)-^G(h)

h

l P

G

de unde rezultă с ă ă ( i ) = y. Similar ß (J) = г. Fie acum t, t' ţ P astfel încît a (t) = a (f ) = у şi ß (t) = ß (Г) = г. Există г g Ob (jj, un reprezentant ti g P (г) pentru г şi un reprezentant « g P ( i ) pentru t'. Fie = a, (t4j, y,' - a, («0, ^ = ß, (*,), *f' = ß, (t[). Atunci y{ şi y[ reprezintă ре y, iar ^ şi pe z. După lema 10.2 există X : г -> j şi [x : г -> & în J astfel încît О (X) (t/^) = G (X) (?/•) şi .ff (jx) (z{) = = Я ((л) (г-). Din PSI) rezultă că există o diagramă comutativă л , 3 \ X'

h f

deci X' X — [i [x = a (să zicem). Eezultă G (и) (у{) = G (и) [y[) = yb (să zicem) şi H (и) (zt) = H (и) (z[) = zk (să zicem). Fie tk = P (u) (ti) şi tk = P (u) (t'{). Atunci tk reprezintă pe t şi tk pe V. Avem diagrama comutativă F(i)^F(k) 4

hG(u)

G (г) —>G (к) de unde rezultă că «, (tk) = Dar diagrama

= ak (t'k). Similar,

(tk)

ß t (<;.).

F(k)-^H(k)
Teoria categoriilor

130

TEOREMA 1 0 . 2 . Pentru J o U-categorie mică pseudofiltrantă coneccâ„ functorul lim comută cu functorul y : U-Ab U-Ens. j Demonstraţie. Fie F : J — U-Ab un functor, J. = lim F în U-Ens şi c,i : F (г) A componentele morfismului canonic (corect ar trebui să scriem A = lim y F).

Vom introduce pe F o structură de grup abelian. Fie x, y ÇA. Există i g Ob (J), un reprezentant xi^F (i) pentru x şi un reprezentant yi g F (i) pentru y. Vom defini x + y ca fiind clasa lui я« + ViVom arăta că această adunare este inambiguă. Fie y: g F ( j ) un alt cuplu de reprezentanţi pentru x, y. Există diagrame

astfel încît F (и') (х<) - F (vf) (x,) şi F (и") (у,) - F (v") (Vj). Din PSI) rezultă că există o diagramă comutativă

Din PS2) rezultă că există ß : l -> h astfel încît ßocV = ßa'V' = v (să zicem). Fie и = ß a V = ßoc'V. Avem F (и) (Xi) = F (v) (x,) şi F (и) (Vi) = F (v) (y4) Întrucît F (u) şi F (v) sînt omomorfisme de grupuri, rezultă F(u)(xt

+Vi)

=F(v)(xj

+ yJ),

ceea ce atestă că adunarea este inambiguă. Evident, această adunare defineşte o structură de grup abelian pe A şi evident ^ : F ( i ) A sînt omomorfisme de grupuri. Vom arăta că (A, E) este o limită inductivă a lui F în U-Ab. Fie В un grup abelian şi f :F ^ cB un morfism functorial cu componente

Categorii «şi functori

131

fjiF (i) В omomorfisme de grupuri. Există şi este unică o aplicaţie f :A В astfel încît diagramele

sînt comutative pentru toţi i g Ob (J). Din definiţia adunării în A şi din faptul că fi sînt omomofisme rezultă că f este omomorfism. Observaţie. Se poate vedea uşor că este adevărat rezultatul mai precis că (A, Z) este o limită inductivă a lui F în U-Ab dacă şi numai dacă (у (A), у ( £)) este o limită inductivă a lui F în U-Ens. COROLAR.

Cînd J este o U-categorie mică

pseuăofiltrantă

conexă,

functorul lim : (U-Ab)J -> U-Ab J

este exact. DEFINIŢIE. Fie (2 o categorie. Vom spune că J-limitele inductive în в există şi comută cu limitele proiective finite dacă functorul

lim : & -> <2 j este definit peste tot şi comută cu limitele proiective finite. Yom spune că U-limitele inductive pseudofiltrante conexe există şi comută cu limitele proiective finite dacă, pentru orice U-categorie mică pseudofiltrantă conexă J, functorul lim este definit peste tot şi comută cu limitele proiective finite. Astfel, din cele prccedente rezultă că U-limitele proiective pseudofiltrante conexe în categoriile U-Ens şi U-Ab comută cu limitele proiective finite. Similar se poate vedea că U-limitcle inductive pseudofiltiante conexe în U-M, U-G, U-A există şi comută cu limitele proiective finite. P R O P O Z I Ţ I A 1 0 . 2 Dacă (2 este o categorie cu limite proiective finite si dacă J-limitele inductive în (2 există şi comută cu limitele proiective finite, atunci, pentru orice categorie 7, J-limitele inductive în & există şi comută ca limitele proiective finite. Demonstraţie. Avem de arătat numai că. în ipotezele propoziţiei, functorul lim : ((2*)J -> (21 j comută cu obiectul final şi prcdusele fibrate.

132

Teoria categoriilor

Fie de exemplu t : J—>& un obiect, final în categoria Horn (J, (27). Dacă 0 este izomorfismul de categorii din corolarul la lema 5.1, atunci s = 0 (t) este obiect final în categoria Н о т (Z, (2J). Vom aplica corolarul la propoziţia 8.1. Întrucît (2 are obiect final, & are obiect final. Eezultă că, pentru orice i g Ob (I), pr^ t = st este obiect final în (2J. Din ipoteza propoziţiei rezultă că pr^ (lim t) = lim pr^ t J

J

este obiect final în в pentru orice i g Ob (I), deci lim t este obiect final J

în Similar se demonstrează comutativitatea cu produsul fibrat. Din cele precedente rezultă că, pentru orice categorie I, U-limitele inductive pseudofiltrante conexe în (U-Ens)1 şi (U-Ab)1 comută cu limitele proiective finite. § 11. Categorii aditive DEFINIŢIE. O categorie aditivă (resp. preaditivă) este o categorie S împreună cu o funcţie care asociază cu orice cuplu (A,B) de obiecte în в o structură de grup abelian pe mulţimea Н о т (A, Б), supuse la următoarele axiome (resp. la axiomele 1) şi 2) de mai jos). 1) Pentru orice triplet (A, Б, С) de obiecte în compunerea morfismelor

Н о т (А, В) x Н о т (Б, С) -> Horn (A, C) este biliniară, i.e. и (v1 + v2) = гiv± + iiv2 şi (% + u2) v = uxv + ti2v. 2) в are un obiect 0 astfel încît Horn (0, 0) este grupul zero. 3) Pentru orice cuplu (A, B) de obiecte în e, produsul direct A x В există. Dacă в este o categorie preaditivă, vom nota ambiguu prin 0 elementul zero în oricare din grupurile abeliene Н о т (A, B). Eezultă că vu = 0 cînd и — 0 sau cînd v = 0. Din 2) rezultă că 1 0 == 0. Apoi dacă и este un morfism de sursă 0, atunci и = 1 0 и = Ou = 0, deci pentru orice obiect X în (2, Н о т (X, 0) este grupul zero, i.e. 0 este un obiect final în (2. Similar, 0 este un obiect iniţial în (2. Astfel 0 este un obiect zero în (2. î n particular, 0 este unic determinat pînă la un izomorfism. Evident, noţiunea de categorie preaditivă este autoduală : (2 este preaditivă dacă şi numai dacă (2° este preaditivă.

Categorii «şi functori

133

Dacă (2 este o lî-eategorie aditivă, functorul Horn poate fi şi va fi considerat ca luînd valori în categoria ll-Ab. Este aici un abuz : in realitate avem o diagramă comutativă (2° x (2 Hom \

U-Ab /

U-Ens unde y este functorul de supraiacenţă PROPOZIŢIA 1 1 . 1 . într-o categorie preaditivă, condiţiile următoare sînt echivalente : 1) Tripletul (A, p1: A -> A19 p2: A A2) este un produs direct al cuplului (Aly A2). 2) Există morfisme i± : A± A şi i2 : A2 A astfel încît = Ia,, p2 i2 == şi + i2 p2 — (m acest caz avem în plus p1i2 = 0 si i>2 2). Yom admite 1). Fie ix : А г -> A morfismul de componente 0 (i.e. unicul morfism satisfăcînd = 1Л1 şi jp^ = 0) şi г2 : A 2 A morfismul de componente 0, lAz (i.e. unicul morfism satisfăcînd рг i2 = 0 şi Р2Ч = 1а2)' Atunci i±p± + i2p2 6 Horn (JL, JL) şi componentele sale sînt Pi (hPi + ЧР2) = 2>i Şi P2(iiPi + ЧР2) = egale cu componentele lui 1 4 , deci + i2p2 = 2) H> 1). Yom admite 2). Fie : X -> şi f2 : X -> A2. Yom arăta că există şi este unic un morfism / : X -> A astfel încît p j = fx şi p2f = /2Definim f = i±f± + i 2 / 2 . Eezultă p j = fx şi p2f = f2. Invers, dacă f este astfel încît pi/ = şi = f2 ,atunci

hfi + 4Î2 = hPlf + 4P2Î = (hPi + ЧР2) f = f , ceea ce termină demonstraţia. Propoziţia duală este PROPOZIŢIA 1 1 . 1 '

într-o categorie preaditivă, condiţiile următoare sînt

echivalente : 1) Tripletul (В, cuplului (A19 A2).

: A1 -> _B, j2 : A2 -> B) este o sumă directă a

134

Teoria categoriilor

2) Există morfisme q1: В -> şi q2: В -> JL2 astfel încît q^ = = çtzj2 = Şi + j 2Я.2 = 1.B acest caz avem în plus q2j1 = 0 şi «2? 2 = 0) î n situaţia din propoziţia 11.1 vom spune că A este un produs direct cu proiecţii canonice px şi p2 şi injecţii canonice ix şi i2 al cuplului {Aly A2). î n situaţia din propoziţia 11.1' vom spune că В este o sumă directă de injecţii canonice si j2 si proiecţii canonice q± si q2 a cuplului (Aj AJ. Din propoziţiile 11.1 şi 11.1' rezultă că (A, i2) este o sumă directă a cuplului (JL1? A2), deci morfismul и : A В satisfăcînd uix = = ji şi ui2 = j2 este un izomorfism. Avem " = ( M i + Ш 2MhPi

+ ЧР2) = jiPi

+ kV 2-

1

Dual, avem w = i±q± + i^q^ Vom spune că и este izomorfismul canonic între produsul (A, ply p2) şi suma directă (Б, j19 j2) ale cuplului (Aly A2). într-o categorie preaditivă (2, suma directă aleasă a unui cuplu A, B) de obiecte în S se notează A + В sau A ® B. De asemenea suma directă a unei familii (^i)içi de obiecte în (2 se notează sau ф ! г - . г ci içI COROLAR. într-o categorie aditivă (2, pentru orice cuplu (A, Б) de obiecte în (2, swma directă A + В există şi este canonic izomorfă cu produsul direct А X B. î n particular, noţiunea de categorie aditivă este autoduală. Dacă A^B este un morfism într-o categorie aditivă <2, un nucleu al (resp. nucleul) diagramei U

A =ţ o

В

se numeşte un nucleu al (resp. nucleul) morfismulului u. Eezultă că А' A este un nucleu al lui и dacă şi numai dacă ui = 0 şi pentru orice morfism / de capăt A satifăcînd uf = 0, există şi este unic un morfism f de capăt A' astfel încît f = i f . и îsucleul unui morfism A В, dacă există, se notează Ker u. Atunci Ker este un functor de la subcategoria plină a lui FI (в) formată din morfismele и pentru care Ker и există cu valori în categoria в. i u DEFINIŢIE. Intr-o categorie aditivă, un şir 0 A' A Б se zice exact la stînga dacă i este un nucleu al lui u. Evident, o diagramă л

A'

A = V= l В

135

Categorii «şi functori

este exactă dacă şi numai dacă şirul U —V

0 -> A' -> A—> В este exact la stînga. Noţiuni duale : сопи eleu al unui morfism u, Coker и, şir exact la dreapta. Evident, într-o categorie aditivă, и este monomorfism dacă şi numai dacă 0 = Ker и şi epimorfism dacă şi numai dacă 0 = Coker u. D E F I N I Ţ I E . Un şir.. . . de obiecte şi morfisme într-o categorie aditivă se numeşte complex dacă are cel puţin trei obiecte (deci cel puţin două morfisme) şi dacă compusul oricăror două morfisme consecutive în şir este zero. De exemplu, un şir exact la stînga şi un şir exact la dreapta sînt complexe. D E F I N I Ţ I E . Un şir 0 -> А' Д А Л A" 0 într-o categorie aditivă se zice exact dacă i este un nucleu al lui q şi q un conucleu al lui i (i.e. dacă şirul 0 -> A ' Л А Л A " este exact-la, stînga, iar şirul A ' -> A -> A 0 este exact la dreapta). Noţiunile de complex şi şir exact sînt autoduale. Orice şir exact este un complex. i

q

Vom spune despre un şir 0 A' -> A -> A" 0 că despică sau că este un şir despicat sau că este un şir direct dacă există morfisme p : A -> A' şi j \A" A astfel încît pi = 1A, qj = 1A„ şi ip + jq = 1A (deci de asemenea pj = 0 şi qi = 0), i.e. dacă A este o sumă directă de injecţii canonice i, j şi proiecţii canonice q. î n condiţiile din definiţia precedentă vom spune de asemenea că diagrama DEFINIŢIE.

V

A' ±=5 A i

7 q

A"

este o reprezentare a lui A ca sumă directă a (sau ca produs direct al) cuplului (A', A"). Noţiunea de şir despicat este autoduală. PROPOZIŢIA 1 1 . 2 .

într-o categorie aditivă, condiţiile următoare despre sînt echivalente :

un şir 1) Şirul despică. 2) Şirul este exact şi i are un invers la stînga. 3) Şirul este exact şi q are un invers la dreapta. Demonstraţie. Evident 1)=>2). 2) => 1). Avem (1 — ip)i = i — i(pi) = i — % = 0, deci există j astfel încît 1 = ip + jq. Avem qjq = q (1 — ip) = q — (qi) p = 0 întrucît qi = 0, deci qj = 1 întrucît q este epimorfism.

136

Teoria categoriilor

Astfel 1) <=> 2). Prin dualitate 1) <=> 3). Din lema 9.1 rezultă că o categorie aditivă are nuclee dacă şi numai dacă are produse fibrate, şi dual. PROPOZIŢIA 1 1 . 3 . într-o categorie aditivă cu nuclee, condiţiile următoare sînt echivalente : 1) и : A -> В este un epimorfism efectiv. s и 2) Şirul este exact, unde z = Ker 3) Există un morfism v : G ^ A astfel încît и = Coker v. Demonstraţie. Din propoziţia 10.1 rezultă 1) <=> 3). Vom demonstra că 1) <=> 2). Întrucît e are nuclee, produsul fibrat

A x BA 4

A и

i' и А » В există ; de asemenea s = Ker и există. Apoi întrucît uz = 0 = uo, există un morfism X : A' -> A x BA astfel încît рг\ = z şi p2\ = 0. De asemenea, întrucît ирг = up2J deci и (рг — p2) = 0, există (x : A XBA Ar astfel încît px — p2 = £(jl. Avem s(xX = (px — p2)\ = s, deci (xX = 1 întrucît z este monomorfism. Astfel avem diagrama comutativă Р,-Рг

АхвА

U

*А-+В

А' cu X avînd un invers la stînga. Eezultă că diagrama

este exactă la dreapta dacă şi numai dacă diagrama и s 0 А' -*• А-*- В -»-О

А

U

137

Categorii «şi functori

este cartezian, atunci pentru v : В —> G şi г: К А', и = Ker v implică и' = Ker rß, iar г = Ker и' implică OLZ — Ker и (în particular и' monomorfism implică и monomorfism). Demonstraţia este trivială. într-o categorie aditivă

PROPOZIŢIA 1 1 . 5 .

6,

fie

и" , -â' —» В'

K

i-

i»

A

В

o diagramă comutativă astfel încît : 1) г = Ker и şi z' = Ker u', 2) u' este epimorfism efectiv universal. în. aceste condiţii, pătratul din dreapta al diagramei este cartezian. Demonstraţie, Fie B" un obiect în <5 şi / : B" A, g : В" В' morfisme astfel încît uf = ßgr. Avem de arătat că există şi este unic un morfism 0 : B" A' astfel încît a 0 = / şi u'Q = g. Mai întîi vom demonstra unicitatea lui 0. Totul revine la a arăta că, dacă X : B" A' este un morfism astfel încît ocX = 0 şi u"k = 0, atunci X = 0. Or, întrucît г = Ker u', din u"k = 0 rezultă că există у : В" К astfel încît X = s'y. Avem sy = = oc s'y =aX = 0, deci y = 0 (întrucît s este un monomorfism), deci X = s' у = 0.

Astfel unicitatea lui 0 este stabilită (şi anume fără intervenţia condiţiei 2) ). Pentru a demonstra existenţa lui 0 vom proceda în modul următor. Yom considera mai întîi cazul particular cînd B" = B' şi g = 1 в /. î n acest caz avem uf = ß şi avem de arătat că există 0 : B' A' astfel încît a© = / şi u'Q = 1. Or, и (ос — fu') = uoL — ufu' — uoL — ßw' = 0, deci, întrucît s = Ker и, există s : A' К astfel încît a — /V = zs. Rezultă că avem zsz

=

(a

— fu') г

=

as'

(întrucît w' s' = 0), deci se' (întrucît г este monomorfism).

= 1

— fu'e' =

s

138

Teoria categoriilor

Pe de altă parte, u' fiind epimorfism efectiv, şirul

este exact. Cum z are un invers la stînga, din propoziţia 11.2 rezultă că acest şir este direct, dcci există 0 : B' A' astfel încît e's + 6w' = 1 şi tt'0 = 1. De aici rezultă că a 0w'

=

a ( l

—

Z's)

=

a

—

OLZ'S

=

a

—

£.9 =

fu'

?

deci a6 =f întrucît w' este epimorfism. Astfel este stabilită existenţa Iui 0 în cazul particular cînd g = 1B,9 In demonstraţia acestui caz particular am folosit numai condiţia 1) si faptul că u' este epimorfism efectiv. Trecem la cazul general. Întrucît u' este epimorfism efectiv universal, există un pătrat cartezian u"

A" —» B" h If и' I» A —» B' cu u" i.e. Să

u" epimorfism efectiv. Utilizînd propoziţia 7.1 se vede imediat că este epimorfism efectiv universal. î n particular, u" este quarabil, pentru orice morfism X —> B", produsul cartezian A" x в- л. există. luăm în particular X = 0. Avem un pătrat cartezian K" —> 0 •'4 A"

u"

I B"

Folosind proprietatea universală a produsului cartezian, se verifică imediat că s" este un nucleu al lui u". (Am arătat astfel că, într-o categorie aditivă, orice morfism quarabil are un nucleu). Din propoziţia 11.4 rezultă imediat că hz" este un nucleu al lui u\ deci este canonic izomorf cu s'. De aceea putem presupune că avem К" = К şi hz" = s'. Astfel avem o diagramă comutativă.

Ti

7

e

I"

w

I8"

Categorii «şi functori

139

cn z = Ker и, z" = Ker и" şi и" epimorfism efectiv universal, unde oc" = a h şi ß" = ß#. î n plus avem uf = ß". Din cazul particular tratat mai sus rezultă că există un morfism 6" : B" - > A " astfel încît a"0" = / şi w"0" = 1. Fie 6 = A0". Avem a0 = aA0" = a"0" = / . De asemenea, w'0 = u'hQ" = gu"§" = ceea ce termină demonstraţia propoziţiei 1.5. DEFINIŢIE. Dacă (2 şi se zice aditiv dacă

sînt categorii aditive, un functor F : + v) = F (îi) + F(v)

pentru orice cuplu de morfisme u, v (în (2) cu aceeaşi sursă şi acelaşi capăt. Din propoziţia 11.1 rezultă că, pentru F : (2 -» (2' functor aditiv, F(AX + A2) == F(ÀX) + F(A2). Mai precis, dacă A este o sumă directă a cuplului (Аг, A2) CU injecţii canonice г2, г2 şi proiecţii canonice pv p2, atunci F (A) este o sumă directă a cuplului (F(AX), F(A2) ) cu injecţii canonice F(ix), F(i2) şi proiecţii canonice F(p1)J F(p2). Eezultă că, pentru F mereu aditiv, dacă şirul A" -> 0 despică în 6, atunci şirul 0

F(A') -> F(A) -> F (A") -> 0

despică în (2'. De asemenea, pentru <2 categorie cu nuclee, un functor aditiv F : (2->(2' este exact la stînga dacă si numai dacă, pentru orice şir exact 0 -» A' -> A -» A" -» 0 în e şirul 0 '->F(A') -> F (A) ->F(A") este exact la stînga în (2'. Aceasta rezultă din definiţia exactităţii la stînga şi din demonstraţia propoziţiei 11.3, întrucît X are invers la stînga. Enunţ dual pentru exactitatea la dreapta. î n sfîrşit, un functor aditiv F este exact dacă şi numai dacă, pentru orice şir exact 0 -» A' -v A -> A" -» 0 în в, şirul 0 -» F(A') -» F (A) F(A")-> 0 este exact în (2'. § 12. Categorii abeliene D E F I N I Ţ I E . O categorie aditivă (2 se următoarele două axiome : ABl) Oricc morfism are un nucleu şi AB2) Toate monomorfismele şi toate î n particular, toate monomorfismele sînt stricte.

zice

abeliană dacă satisface

un conucleu. epimorfismele sînt efective. şi toate epimorfismele în (2

140

Teoria categoriilor

Moţiunea de categorie abeliană este autoduală : S este abeljană dacă şi numai dacă (2° este abeliană. Categoria U-Ab este abeliană. Orice categorie abeliană are produse fibrate şi sume fibrate. Din propoziţia 11.3 rezultă că AB2), în prezenţa lui ABl), revine la faptul că, pentru orice monomorfism i ' i i şi orice epimorfism A A", şirurile 0 A'X A-> Coker i -> 0 şi 0 -» Ker p -> A ^ A" -> 0 sînt exacte. Eezultă că aplicaţia г ^ - > Coker i este o bijecţie între mulţimea subobiectelor A' A ale lui A şi mulţimea obiectelor cît A A" ale lui A, inversa acestei aplicaţii fiind p Ker p (dacă A' -> A este un subobiect al lui A se mai notează Coker i = А/А'). î n particular, pentru orice morfism и în ë, Ker Coker Ker и = = Ker и şi Coker Ker Coker и = Coker u. PROPOZIŢIA 1 2 . 1 . într-o categorie abeliană, orice morfism A-^B are o imagine şi o coimagine şi avem Im и = Ker Coker и şi Coim и = Coker Ker и. Demonstraţie. Fie В B" un conucleu al Ini и şi В' ^ В nucleul lui v. întrucît vu = 0, există şi este unic un morfism A B' astfel încît и == ip. Yom arăta că p este epimorfism. Fie / un morfism de sursă B' astfel încît f p = 0 şi fie К i B' un nucleu al lui f . întrucît f p = 0, există şi este unic un morfism A fl К astfel încît p = zpu deci и = izpx, iar iz este un monomorfism. Deoarece v este un conucleu al lui и şi întrucît vi = 0, deci viz = 0, se vede imediat că v este un conucleu al lui iz. întrucît v este epimorfism din AB2) rezultă că şirul 0 -+K X В X B" este exact, i.e. iz este un nucleu al lui v ca şi г, deci iz = id cu 0 izomorfism, deci z = 0 este izomorfism, deci f = 0. Astfel p este epimorfism, deci i = Im и, i.e. Im и = Ker Coker и. Eestul este dualitate. COROLARUL 1 . într-o categorie abeliană, toate morfismele sînt stricte. Demonstraţie. După propoziţia precedenţă, orice morfism и factorizează în и = ip cu i monomorfism şi p epimorfism. Din AB2) rezultă că i şi p sînt stricte. DEFINIŢIE. Un morfism и : A В într-o categorie oarecare se zice efectiv dacă и = ip cu i monomorfism efectiv şi p epimorfism efectiv. COROLARUL 2 . Cînd в este o categorie aditivă satisfăcînd ABl), в este abeliană dacă şi numai dacă toate morfismele lui в sînt efective. Demonstraţie. Necesitatea rezultă din corolarul precedent şi din AB2). Suficienţa este imediată.

141

Categorii «şi functori

PROPOZIŢIA 1 2 . 2 . într-o categorie abeliană toate monomorfismele si toate epimorfismele sînt efective universale. Demonstraţie. Să considerăm o diagramă carteziană

BxaA'

В

A'

—

A

cu v epimorfism. Avem de arătat că u' este epimorfism. După demonstraţia lemei 9.1 avem diagrama ВхлА'

BxA'

A'

"I В unde рг şi = Ker (ирг După i2 : A' -> В

I" U

> А

p2 sînt proiecţiile canonice ale produsului direct, s = — vp2), u' = p2z şi v' = pxz. propoziţia 11.1 există morfisme : В -> В x A şi x A' astfel încît pxix = 1, pxi2 = 0, p2ix == 0, p2i2 = 1 şi

hPi + ЧР2 = 1-

Fie çp = up1 — vp2. Eezultă = и = epimorfism, deci 9 este epimorfism, deci şirul 0 ~^BxaA' ХВХА'^А-^0 este exact. Fie acum f un morfism de sursă A' astfel încît fu' = 0 i.e. (fp2) z = 0. Eezultă că există un morfism g de sursă A astfel încît fp2 = gy. Avem gu = gcpij = fp2ix = 0, deci g = 0 (întrucît и este epimorfism), deci/p 2 = = g

A' -> A -> В este exact dacă şi numai dacă este exact la stînga. Orice şir exact este un complex.

142

Teoria categoriilor

PROPOZIŢIA 1 2 . 3 . Pentru в abeliană, <£' aditivă si F : condiţiile următoare sînt echivalente : 1) JF este exact la stînga. 2) J7 comută cu nucleul. 3) J7 comută cu produsul fibrat. Demonstraţie 1) => 2). Fie 0 -> J / A -> В un şir Avem и = z p en s monomorfism ( = monomorfism efectiv) fism (— epimorfism efectiv), deci £ este o imagine şi p o lui ti. Din propoziţia 12.1 rezultă că şirul

в

в'

aditiv,

exact în в. şi p epimorcoimagine a

A" este exact. Din 1) rezultă că F(i) este un nucleu al lui F(p) şi că F( s) este un monomorfism. Se deduce că F(i) este un nucleu al lui F(u). 2) => 3). Aceasta rezultă din construcţia produsului fibrat d^tă în demonstraţia lemei 9.1. 3) => 1). Aceasta rezultă din construcţia nucleului cu ajutorul produsului fibrat dată în demonstraţia lemei 9.1. î n cele ce urmează vom stabili trei lerne de exactitate, JVe vom situa într-o categorie abeliană dată. LEMA 1 2 . 1 .

Dacă în diagrama

comutativă

А' X B' X С' J» l-t A -i В X с pătratul din stînga este cartezian, linia de jos exactă şi y monomorfism, atunci linia de şus este exactă, Demonstraţie. Fie К' Л. B' nucleul lui v' şi К Л- В nucleul lui v. Există în mod unic morfisme A' ^ K' şi i i i astfel încît u' = z'p' şi и = zp \ în plus p este epimorfism întrucît şirul А Л В \ С este exact. Apoi există şi este unic un morfism K' -U К astfel încît diagrama următoare să fie comutativă A' X

к'

X В'

X с

x

к

x В

л с

A

După propoziţia 7.2, pătratul de la mijloc este cartezian (întrucît y este monomorfism) iar după propoziţia 7.1 pătratul din stînga este cartezian. Din propoziţia precedentă rezultă că p' este epimorfism, deci z = Im и', i.e. şirul А' ^ В' ^ C' este exact.

Categorii «şi functori LEMA 1 2 . 2 .

Fie dată diagrama A' B'

143

comutativă

-»-

- >

A I' В

- >

A"

- >

B"

V

cu linii exacte. Atunci şirul indus Ker / ' -> Ker / -> Ker / " este exact. Demonstraţie. Avem o diagramă comutativă Ker / ' -> Ker / Ф Ф A' » J.

Ker / " Ф > J."

cu linia de jos exactă şi cu pătratul din stînga cartezian în virtutea propoziţiei 7.2 (întrucît B' -> В este monomorfism). Din lema precedentă rezultă că linia de sus este exactă. Observaţie. Dacă în plus A' -> A este monomorfism, atunci evident Ker / ' Ker / este monomorfism, deci şirul 0 ^ K e r / ' -> Ker / ->Keri/" este exact, dar acest fapt înseamnă că functorul Ker este exact la stînga şi este adevărat în categorii arbitrare. LEMA

12.3. Fie dată o diagramă

0

-»-

0

- >

0

0 i A' X j«A Л K A" X 1 0

0

comutativă 0

Ф Ф в' X С' -> 0 \f В л с -> 0 I*1 B" X С"

\ 0

0

ф 0

cu toate liniile şi primele două coloane exacte. Atunci ultima coloană este exactă. Demonstraţie. Întrucît Coker este exact la dreapta, şirul С' X С X С" -> 0 este exact. De aceea totul se reduce la a arăta că, în condiţiile lemei, y' este monomorfism.

144

Teoria categoriilor

Să observăm mai întîi că aserţiunea noastră este sigur adevărată în cazul A = 0. într-adevăr, în acest caz a' este izomorfism, în particular epimorfism. Din duala la propoziţia 7.2 rezultă că pătratul B' jeВ

с jг с

V

este cocartezian, iar din propoziţia 12.2 rezultă că y' este monomorfism (întrucît ß' este monomorfism). Să revenim la cazul general. Fie В ^ D un eonucleu al lui и ol' = = ß V . Avem diagrama comutativă 0 0 0 0

A' -»-

A' l 0 0

0

0 ф uf В' X С' 13' m а' в л D 1г U -sВ" ф 0 0

unde ultima coloană este o coloană de nuclee, deci j este unicul morfism satisfăcînd
С' Л D Л В"

0

este exact. Schimbînd liniile cu coloanele, rezultă că avem de asemenea şirul exact. unde i este unicul morfism satisfăcînd
Categorii «şi functori

5

Astfel avem diagrama comutativă 0 Ф i

О

A i|

с к i I»' v I) X с ja С"

cu ultimele două linii şi coloana de Ia mijloc exacte şi cu p epimorfism. Din propoziţia 11.5 rezultă că pătratul V

D —> G v"

ir

B" C" este cartezian, iar din propoziţia 11.4 rezultă că y' = Ker y", ceea ce termină demonstraţia. Observaţie. Demonstraţia precedentă a lemei 12.3 se extinde imediat la orice categorie aditivă
»

§ 13. Categorii cantoriene şi functori de completare D E F I N I Ţ I E . Yom numi categorie cantoriană orice categorie В care satisface axiomele următoare : CI) в are limite proiective finite şi limite inductive finite. C2) Toate monomorfismele şi toate epimorfismele în (2 sînt efective universale. Din corolarul la teorema 9.1 rezultă că C2) revine la faptul că в are obiect final şi obiect iniţial, produse fibrate şi sume fibrate. Eezultă că pentre categorii aditive, CI) este echivalent ce ABl). Apoi, după propoziţia 12.2, pentru categorii aditive satisfăcînd ABl), C2) este echivalent cu AB2). Astfel, o categorie aditivă este cantoriană dacă si numai dacă este abeliană. Categoria U-Ens este cantoriană.

146

Teoria categoriilor

PROPOZIŢIA 1 3 . 1 . Dacă € este o categorie cantoriană, orice morfism А ^ В are imagine şi coimagine şi avem

Im и = Ker (B^t В +AB) şi Coim и = Coker (A xAA

A).

Demonstraţie. Yom demonstra mai general că, dacă (2 are sume fibrate şi dacă toate monomorfismele stricte în в sînt efective, atunci orice morfism А -X В are o imagine şi avem Im и = Ker (B

В + A B).

Demonstraţia este similară cu cea a propoziţiei 12.1. Fie В' -X В nucleul diagramei В = ţ В +A В Fireşte, aici a şi ß sînt injecţiile canonice ale sumei fibrate, deci avem diagrama cocarteziană и A — В Jß

в А в+Ав Avem ai = ßi. Apoi întrucît olu = ßw, din definiţia nucleului rezultă că există şi este unic un morfism p : A -> B' astfel încît и = ip. Yom arăta că p este epimorfism. Fie X un obiect în в şi /, gr 6 Н о т (Б', X) astfel încît f p =gp. Avem de arătat cä f = g. Fie К e> B' nucleul diagramei 9 B' z z | X 1

Întrucît f p = gp, există şi este unic un morfism q: A К astfel încît p = zq. Eezultă că и = izq. Pe de altă parte se vede uşor că diagrama к - ^ гг|

в

в jß

В+Ав

este de asemenea cocarteziană. Dar i şi s, fiind nuclee, sînt monomorfisme stricte, deci iz este monomorfism strict. Din ipoteza făcută asupra lui в rezultă că iz este monomorfism efectiv, deci iz este un nucleu al diagramei B

В+A

В

Categorii «şi functori

147

ca şi i. Eezultă că s este izomorfism, deci f = g, deci p este epimorfism, deci e este imaginea lui и, q.e.d. COROLAR. într-o categorie cantoriană, orice morfism и se factorizează în и = ip cu г monomorfism şi p epimorfism. Interesul noţiunii de categorie cantoriană rezultă din două teoreme de permanenţă, dintre care prima este TEOREMA 1 3 . 1 . Dacă & este cantoriană, atunci, pentru orice categorie I, categoria G1 — Н о т (I, в) este cantoriană. Demonstraţie. Permanenţa lui CI) rezultă din corolarul la propoziţia 8.1 şi din dualul său. Tot de acolo rezultă că, pentru в satisfăcînd CI), un morfism и : F -> G în в1 este monomorfism efectiv (resp. epimorfism efectiv) dacă şi numai dacă u(i) : F(i) G(i) este monomorfism efectiv (resp. epimorfism efectiv) pentru toţi i 6 Ob (I). Să presupunem в cantoriană şi fie и : F G un morfism în s\i)

Pentru orice i g Ob (I), fie G'(i) —> G(i) imaginea lui u(i) şi p(i) : F(i) G'(i) unicul epimorfism satisfăcînd u(i) = t(i)p(i). Dacă i j este un morfism în / , din definiţia imaginii rezultă că avem o diagramă comutativă m

^

G'(i) ^

m

^

vi G'U) ^

G{i)

si G(j)

Eezultă că avem un functor G' : I S şi morfisme functoriale s : (? şi p : F G'. întrucît 6 este cantoriană, s(i) este monomorfism efectiv şi p(i) epimorfism efectiv pentru orice i Ç Ob (I). Din cele precedente rezultă că s este monomorfism efectiv şi p epimorfism efectiv. Astfel toate morfismele în & sînt efective, în particular monomorfismele şi epimorfismele. Fie acum u' F' —» G' F

и —> G

un pătrat cartezian în & cu и epimorfism (deci epimorfism efectiv) Din corolarul la propoziţia 8.1 rezultă că pătratele F'(i) -

G'(i)

F(i)

G(i)

148

Teoria categoriilor

sînt carteziene pentru toţi i £ Ob(I). Întrucît и este epimorfism efectiv, u(i) este epimorfism (— epimorfism efectiv) în в pentru orice i £ Ob(Z). întrucît в este cantoriană, u'(i) este epimorfism efectiv în <2 pentru orice i 6 Ob(I), deci u' este epimorfism efectiv în (21. Astfel toate epimorfismele în в 1 sînt efective universale. Dual, toate monomorfismele în & sînt efective universale, şi teorema este complet demonstrată. COROLARUL 1. Dacă (2 este o categorie cantoriană şi I o categorie, produsul fibrat, produsul direct finit, nucleul, imaginea (si functorii cluali) în & se calculează pe componente. COROLARUL 2. Dacă (2 este o categorie abeliană, atunci pentru orice categorie I, categoria (21 == Horn (7, (2) este abeliană. Demonstraţie. Adunarea morfismelor în (21 se face pe componente deci astfel încît functorii pr^ : в1 (2 să fie aditivi. Restul rezultă din teorema 13.1. DEFINIŢIE. Yom numi functor de completare orice functor T : (2^(2' care are un adjunct la dreapta i : 6'-><2 satisfăcînd Ti = 1. (Noţiunea duală : functor de normalizare). î n situaţia din definiţie, i este deplin fidel şi induce un izomorfism între categoria (2' şi subcategoria plină a lui (2 formată din obiectele de forma i(X') cu X' în (2'. Rezultă că, în definiţia unui functor de completare, putem presupune întotdeauna că (2' este o subcategorie plină a lui в şi că i este incluziunea lui (2\ Cu această presupunere, un functor de completare T : (2 (2' este simplu un adjunct la stînga al incluziunii i : в'-><2. Aceasta înseamnă că, pentru orice obiect A în S avem un morfism rlA : A^T(A) avînd proprietatea următoare : pentru orice obiect X în в' şi orice morfism f : A^ X există şi este unic un morfism g = T(f) astfel încît diagrama următoare este comutativă

A —>

T(A)

î n particular, pentru X î n şi gly Н о т (T(A), X), g±riA = g2riA implică gx = g2. Fireşte, pentru A în (2' se ia T(A) = A şi rlA = 1A. DEFINIŢIE. Dacă T : (2->(2' este un functor de completare, un obiect A în (2 se zice complet cînd riA este izomorfism (şi separat cînd r\A este monomorfism strict). Să observăm că, dacă 7\A are un invers la stînga, atunci riA este izomorfism, deci A este complet. într-adevăr, dacă fy)A = 1, atunci (^iAf)rjA = = VAifru) = Ча, deci riAf = 1.

Categorii «şi functori

149

Să mai observăm că A^ este complet dacă şi numai dacă A este izomorf cu un obiect din într-adevăr, dacă, în diagrama precedentă, / este izomorfism, atunci g = T(f) este izomorfism, deci r u este izomorfism, i.e. A este complet. Inversa este trivială. Eezultă că, dacă T : (2 —> (2' este un functor de completare (şi i :(£'-> (2 adjunctul său la dreapta), atunci i induce o echivalenţă între 6' şi subcategoria plină a lui (2 formată din obiectele complete. Fie T : (2 (2' un functor de completare. 1) Dacă F : J -> (2 este un functor astfel încît lim F există, lim TF există şi avem > PROPOZIŢIA 1 3 . 2 .

*

atunci

lim TF = T (lim F),

i.e. T comută cu limita inductivă. 2) Pentru F : J —> (2', lim F' există dacă şi numai dacă lim iF' există si atunci avem ^— ^— i (lim F') = lim iF'. Demonstraţie. Prima aserţiune este duala corolarului la propoziţia 8.3 (şi deci este adevărată fără ipoteza Ti = 1). Să demonstrăm 2). Fie F = iF', deci avem diagrama comutativă

-J \ <2' —> в Dacă lim F' există, atunci din corolarul la propoziţia 8.3 rezultă că lim F există şi avem egalitatea din enunţ (din nou fără ipoteza Ti = 1). Mai rămîne să arătăm că dacă lim F există, atunci lim F' există (în ipoteza Ti = 1). * — Vom presupune că в' este o subcategorie a lui € şi г incluziunea lui в'. Fie A = lim .F şi p : cA F morfismul canonic de componente <— 9i:A-+F(j). Pentru orice j g Ob(J), F(j) = F'(j) este un obiect în (2', deci există şi este unic un morfism : T(A) ->F ( j ) astfel încît diagrama următoare să fie comutativă 71 A A -4 T(A)

\ h F'(j)

150

Teoria categoriilor

Se vecie imediat ca p"; sînt componentele unui morfism functorial P: . Rezultă că există şi este unic un morfism f : T(A) -> A astfel încît p; = p,./ pentru toţi j Ç Ob (J). Avem PjfriA = р?т]л = p?-, d e c i / ^ 4 = l , deci este în mod necesar un izomorfism. Eezultă că T(J.)=lim.F' cu morfismul canonic р. *— COROLARUL 1 . Dacă T : <2 <2' este un functor de completare şi J-limitele proiective (inductive) există în <2, atunci J-limitele proiective (inductive) există în (2'. Demonstraţie. Existenţa J-limitelor inductive în (2' rezultă din 1) luînd F = iF'j deci TF = TiF' iar existenţa J-limitelor proiective în в' rezultă din 2). Cînd JP este functorul vid de capăt (2, F' = TJP este functorul vid de capăt в' şi F = iF'. Din propoziţia 13.2 rezultă că e' = lim F' există dacă şi numai dacă e = lim jP există şi în acest caz i(e') = e, deci T(e) = в'. Astfel este adevărat COROLARUL 2. OMD T : (2 - > (2' ESTE ШГ functor de completare, e este obiect final în (2 dacă şi numai dacă e' = T(e) este obiect final în (2' atunci e este un obiect complet. î n particular, orice functor de completare comută cu obiectul final. Eezultă că, dacă (2 are limite proiective finite, un functor de completare T : (2 -> (2' comută cu limitele proiective finite dacă şi numai dacă comută cu produsul fibrat. A doua teoremă de permanenţă pentru categorii cantoriene este TEOREMA 13.2. Dacă (2 este o categorie cantoriană şi T : (2 -> (2' un functor de completare care comută cu produsul fibrat, atunci (2' este o categorie cantoriană. Demonstraţie. Permanenţa axiomei CI) rezultă din corolarul 1 de mai sus. î n rest vom face uz numai de faptul că (2 este cantoriană şi T comută cu limitele proiective finite şi limitele inductive finite. î n particular, cînd v este epimorfism efectiv (resp. monomorfism efectiv), T(v) este epimorfism efectiv (resp. monomorfism efectiv). Fie и un morfism în в' şi v = i(u). Atunci v = zp cu p epimorfism efectiv şi г monomorfism efectiv. Eezultă că и = Ti(u) = T(v) = T(z) T(p) cu T(p) epimorfism efectiv şi T( г) monomorfism efectiv. Astfel toate morfismele în (2' sînt efective, în particular, monomorfismele şi epimorfismele (iar bijecţiile sînt izomorfisme). Să considerăm acum o diagramă carteziană în (£') A' A

\

A

W и

—

»

IВ

Categorii «şi functori

151

cu и epimorfism ( = epimorfism efectiv). întrucît в este cantoriană, avem i(u) = zp cu i monomorfism efectiv şi p epimorfism efectiv (în (2). Vom construi o diagramă comutativă (în (2) v' e' D' C'—>i(B')

nI

NI NI

i(A) С ~^>i(B) în care cele două pătrate adiacente sînt carteziene. Eezultă că p' este epimorfism efectiv şi z monomorfism efectiv în (2, deci T(p') este epimorfism efectiv şi T( z) monomorfism efectiv în (2'. Apoi diagrama Tiz') T(C') B'

I

i

T(z) T(G) В este carteziană şi T( z) monomorfism efectiv. Dar и = T( z)T(p) este epimorfism efectiv prin ipoteză, deci T(z) este o bijecţie efectivă, deci un izomorfism. Eezultă că T( z') este izomorfism, deci T( z) T(p ) este epimorfism efectiv. î n sfîrşit, diagrama T(D')

I

B'

I

A " В este carteziană, deci este izomorfă cu diagrama carteziană considerată iniţial, deci u' este epimorfism efectiv ca şi T( z')T(p'). Astfel toate epimorfismele în в' sînt efective universale. Dual, toate monomorfismele în в' sînt efective universale. COROLARUL 1 . Dacă в este o categorie abeliană şi T : (2^(2' un functor de completare care comută cu produsul fibrat, atunci в' este o categorie abeliană. Demonstraţie. Introducem pe (2' unica structură de categorie preaditivă care face din i un functor aditiv. Existenţa obiectului zero este asigurată atunci de CI). Eestul rezultă din teorema precedentă. COROLARUL 2. în condiţiile teoremei 1 3 . 2 (în particular în condiţiile corolarului precedent), functorul T comută cu functorii Im şi Coim. Demonstraţie. Se ţine seama că (2 şi (2' sînt cantoriene şi se aplică propoziţiile 13.1 şi 13.2. PROPOZIŢIA 1 3 . 3 . Fie T : un functor de completare care comută cu limitele proiective finite. Pentru J o categorie dată, dacă в are proprie-

152

Teoria categoriilor

tatea că J-limitele inductive există în (2 şi comută cu limitele proiective finite, atunci 6' are aceeaşi proprietate. Demonstraţie. Presupunem că в are proprietatea din enunţ. Existenţa J-limitelor inductive în <2' rezultă din corolarul 1 la propoziţia 13.2. Să demonstrăm, ca exemplu, că functorul Iim : (2 ,J ->(2' j* comută cu produsul fibrat. Fie F' —> G'

i

i

F —> G 1 o diagramă carteziană în в' . Întrucît i* ( = compunerea cu i la stînga) este un adjunct la dreapta al lui T* ( = compunerea cu T la stînga), diagrama iF' —> iG'

i

i

iF —> iG este carteziană în £ J . Din ipoteza asupra lui (2 rezultă că diagrama lim iF' —> lim iG'

lim iF —> lim iG este carteziană în (2. Din ipoteza asupra lui T rezultă că diagrama T(lim iF') —» T(lim iG')

Л

T(lim iF) —> T(lim iG) este carteziană în в'. Întrucît Ti = 1, din propoziţia 13.2 rezultă că diagrama precedentă coincide cu diagrama lim F' —> lim G'

1 lim F

1 —> lim G

ceea ce atestă că functorul lim : (2'J^(2' comută cu produsul fibrat.

Capitolul

Teoria

II

fasciculelor

§ 1. Prefascicule

Fie U un univers fixat. Yom nota U-Cat categoria avînd ca obiecte U-categoriile mici şi ca morfisme functorii. Întrucît orice functor F : в -> в' se identifică cu aplicaţia Fl (в) -> Fl (£') indusă de F, se vede uşor că U-Cat este o U-categorie. Evident, U-Ens este subcategoria plină a lui U-Cat care are ea obiecte categoriile discrete. Vom considera categoria U-Top. Beamintim că obiectele acestei categorii sînt spaţiile topologice ale căror mulţimi subiacente aparţin unversului U, iar morfismele acestei categorii sînt aplicaţiile continue. î n absenţa menţiunii exprese a contrariului, prin spaţiu topologic vom înţelege un obiect în U-Top. Avem un functor contravariant т : (U-Top)° -> U-Cat definit cum urmează. Pentru orice spaţiu topologic X, т (X) este topologia lui X, i.e. categoria (sau mulţimea ordonată) în care obiectele sînt mulţimile deschise ale lui X iar morfismele sînt incluziunile. Cînd X este un obiect în U-Top, evident т (X) este o U-categorie mică, deci un obiect în U-Cat. Yom scrie, prin abuz, V Ç т (X) în loc de V Ç Ob ( т (X)). wSă considerăm acum o aplicaţie continuă ф : X -> T. Yom defini functorul т ( ф ) : т ( Г ) - > т (X) prin т ( ф ) ( 7 ) = ф "НУ) pentru orice V Ç т ( Y). Dacă F'CI F, atunci deci T (/) este într-adevăr un functor.

ф""1 (7) CI à"1 (V)

etc.,

154

Teoria categoriilor

DEFINIŢIE. Fie X un spaţiu topologic şi В O U-categorie. Se numeşte prefascicul pe X cu valori în (2 (sau simplu prefascicul pe X cînd nici o ambiguitate nu este posibilă) orice functor contravariant

F : t (X)° -> (2. Astfel un prefascicul F este o funcţie care asociază cu orice mulţime deschisă TJ în X un obiect F (X) în (2 şi cu orice cuplu de mulţimi deschise TJ, V în X satisfăcînd V a U un morfism p£ : F ( TJ) -> F (V), numit morfism de restricţie de la TJ la V, astfel încît condiţiile următoare să fie îndeplinite : 1) pjj ^^ 1 F(U) Pentm orice TJ. 2) pgr = pw pv pentru orice triplet de mulţimi deschise TJ, V, W în X satisfăcînd W CZ V Œ TJ. Să observăm că notaţia folosită pentru morfismele de restricţie este ambiguă întrucît ea nu distinge între diverse prefascicule. Prefasciculele pe X cu valori în (2 sînt deci obiectele categoriei 8 (X, (2) = Horn ( t (X)°, (2) (prima parte a egalităţii este o definiţie). Morfismele acestei categorii se numesc morfisme de prefascicule. Un morfism de prefascicule 6 : F' -> F este deci o familie 6 = ( ®u)u e x(X) de morfisme %zF'(U)-+F(U) cu proprietatea că, pentru orice cuplu de mulţimi deschise TJ, V în X satisfăcînd V d TJ, diagrama următoare este comutativă F'( U)—>F( U)

i.e.

F'(V)-%>F(V)

e v9uv = întrucît t ( X ) este o U-categorie mică şi 6 o U-categorie, â (X, в) este o U-categorie. Fie F un prefascicul pe X şi TJ o mulţime deschisă în X. Yom defini un prefascicul G pe TJ astfel : G (V) = F (TJ)

Teoria fasciculelor

155

pentru orice mulţime deschisă V d TJ. Apoi dacă V' Œ V d TJ, morfismul de restricţie de la V la V' al lui G este egal cu morfismul de restricţie de la. V la V' al lui F. Acest prefascicul G se numeşte restricţia lui F la TJ şi se notează G = F j TJ. Să presupunem acum că € este una din categoriile U-Ens, U-Ab, U-A.Din capitolul 1 rezultă că U-limitele proiective există în 2 (X, в) = = Horn ( T (X)°, (2) ; în plus, pentru orice U-categorie mică J, orice functor F : J

S (X, в)

şi orice mulţime deschisă TJ în X, (lim F) (TJ) = lim J7 ( 17) i. e. lim

se calculează pe componente. De asemenea, U-limitele inductive

pseudofiltrante conexe există în categoria 3 (X, в), comută cu limitele proiective finite şi se calculează pe componente. Cînd в = U-Ens (resp. в = U-Ab), categoria 3 (X, в) este cantoriană (resp. abeliană) ; în plus U-limitele inductive în 3 (X, в) există şi se calculează pe componente. § 2.

Fascicule

DEFINIŢIE. Fie X un spaţiu topologic şi TJ o mulţime deschisă în X. Se numeşte acoperire (uneori : acoperire deschisă) a lui TJ orice familie a = (TJi)iţi de mulţimi deschise în X astfel încît IÇ U şi astfel încît U = U iÇ! Cu alte cuvinte, o acoperire а а lui TJ este o aplicaţie A

: I ^ Ob ( T (X))

astfel încît I g U şi astfel încît U a(i) = TJ. mi Cu orice acoperire a:I

Ob ( T (X))

а lui Uj se asociază o acoperire ß : a (Z) ' > Ob ( T (X)) а lui JJ cu ß (TJ) = TJ pentru orice TJ € a (I), unde a (I). este imaginea mulţimii I prin aplicaţia a. Această acoperire ß se numeşte imaginea lui a şi se noteză ß = Im a.

156

Teoria categoriilor

Pentru orice mulţime deschisă TJ avem o acoperire a lui TJ formată din unicul element TJ0 Pentru TJ = 0, aplicaţia vidă 0 ->Ob

(т(Х))

este o acoperire a lui TJ numită acoperirea vidă. DEFINIŢIE. Fie X un spaţiu topologic şi В o U-categorie. Se numeşte fascicul pe X orice prefascicul F: т ( X ) ° ( 2 avînd proprietatea că, pentru orice mulţime deschisă TJ în X, orice acoperire a = ( Z74)»gj а lui TJ şi orice obiect T în (2, diagrama Н о т ( T, F( TJ)) — T T Н о т

( T , .F(17 4 )) ZZ£

iÇI

Фу

П

H o r n ( T , JF(I7, f |

(i,j)£Iy.I

este exactă în U-Ens, unde zT este aplicaţia / — И Р

Übel

iar (pT şi фу sfrü aplicaţiile (fi)iÇI

Hp^nîrj/i)(U)eixI

Şi (fi)içz

> (Pü{nUjfj)(U)€IxI

Fasciculele pe X cu valori în в formează o subcategorie plină a lui S (X, (2) pe care o vom nota 9 (X, (2). Morfismele în & (X, (2) se numesc morfisme de fascicule. Evident, cînd F este un fascicul pe X, F\ TJ este un fascicul pe TJ pentru orice mulţime deschisă U în X. Prefasciculele (fasciculele) cu valori în U-Ens, U-Ab, U-A etc. se mai numesc prefascicule (fascicule) de mulţimi, grupuri abeliene etc. PROPOZIŢIA 2 . 1 . Dacă F este un fascicul pe X cu valori în (2, atunci F (0) este obiect final în (2. Demonstraţie. Pentru TJ = 0 şi a acoperirea vidă a lui Z7, ultimii doi termeni ai diagramei din definiţia precedentă sînt mulţimi cu un singur element. Din exactitate rezultă că primul termen este tot o mulţime cu un singur element, ceea ce atestă că obiectul F (0) este final în (2. Fie (2 o U-categorie cu obiect final e şi fie A g Ob (в). Pentru orice spaţiu topologic X, vom nota ambiguu prin cA prefasciculul pe X definit prin cA(TJ) = A pentru orice TJ. Evident, cA este un fascicul dacă şi numai dacă A = e şi evident ce este un obiect final în categoria â (X, (2) şi în categoria & (X, в).

Condiţiile următoare sînt echivalente : 1) Există un fascicul pe X cu valori în в. 2) в are un obiect final. Demonstraţie. Din propoziţia precedentă rezultă că 1) implică 2). Invers, dacă в are un obiect final e, ce este un fascicul pe X cu valori în в. Să revenim la definiţia fasciculelor. Evident, cpr zT = фг zT pentru orice prefascicul F. Eezultă că un prefascicul F este un fascicul dacă şi COROLAR.

157

Teoria fasciculelor

numai dacă pentru orice acoperire a = (UJiţi în 6 şi orice familie (fi)içi de morfisme ft : T

а lui U, orice obiect T F ( U{) satisfăcînd

DUjf1 = 9Ui 0 TJjfi pentru toţi (г, j) g I X I, există şi este unic un morfism f : T F (U) astfel încît = F Ui f fi pentru toţi i g I. Evident, această condiţie este îndeplinită pentiu acoperirea a dacă şi numai dacă este îndeplinită pentru acoperirea ß = Im a. î n particular, în definiţia fasciculelor, putem lua numai acoperiri indexate pe submulţimi ale lui Ob (т (X)). Eezultă că definiţia fasciculului nu depinde de alegerea universului U cu proprietatea că X este un obiect în U-Top şi в o U-categorie. Cînd U-produsele directe există în <2, atunci, după definiţia produselor directe, diagrama din definiţia fasciculelor este izomorfă cu diagrama Horn ( T, F( TJ)) -> Horn ( T, TT F ( 17,)) =t Horn ( T, TT F( Ui П U,.)). Or această ultimă diagramă este exactă în U-Ens dacă şi numai dacă diagrama l ' I F l - T T l ' I P ^ T T ^ F i П Uf) Ф

este exactă în (2, unde £ este morfismul de componente Ф morfismul de componente T\ F (TJA)

F ( Ut)

F (Ui f ) Щ

iar ф morfismul de componente T\F(Ui)^F(

çPj Uf) ^

F( Ui П TJ,).

Aici pr^ sînt proiecţiile canonice ale produsului direct T\ F (U{). Astfel este adevărată PROPOZIŢIA 2 . 2 . Cînd VL-produsele directe există în (2, condiţiile următoare pentru un prefascicul F : т (X)° 6 sînt echivalente : 1) F este fascicul. 2) Pentru orice Ü g т (X) şi orice acoperire (Ui)içi a lui U, diagrama Ф

este exactă in

и,)

158

Teoria categoriilor

COROLARUL 1 . F este fascicul pe X cu valori în € dacă si numai dacă, pentru orice obiect T în (2, compusul F

т(Х)° —><S

Hom(T\.)

—U-Ens

este fascicul pe X cu valori în U-Ens. COROLARUL 2 . Bacă S este una din categoriile U-Ens U-M, U-G, U-Ab, U-A, condiţiile următoare asupra unui prefascicul F: т(Х)°->€ sînt echivalente : 1) F este fascicul 2) Pentru orice TJ g т (X), orice acoperire (U^iţi a lui TJ si orice familie (fjiçi de elemente fi g F (Z7J cu proprietatea că

te 1unic un element f g F (U) astfel pentru orice (Г, j) g I X I, există şi este încît p£(/)=/i pentru toţi i g I. In particular, în condiţiile corolarului 2, dacă F este un fascicul şi dacă, pentru / , g g F ( U), există o acoperire (TJ^içi a lui TJ cu proprietatea că (/) = pentru toţi г g i , atunci / =

§ 3. Fibre

î n acest paragraf vcm presupune că U-categoria в este astfel încît U-limitele proiective pseudofiltrante conexe există in <2. Pentru orice x g X, vom nota % submulţimea ordonată ( = subcategoria plină) a lui т (X) formată din mulţimile deschise U care conţin jje x. Evident, °fx este o categorie pseudofiltrantă conexă. DEFINIŢIE.

Fie x g X.

Dacă P : т (X)° -> (2 este un prefascicul,

obiectul Px = lim^P ( Z7) "öTTT se numeşte fibră a lui P în a?. De asemenea, dacă 0 : P' morfism de prefascicule pe X, morfismul 0X = J i m 0 ( 17) se numeşte fibră a lui 0 în x.

P este un

Teoria fasciculelor

159

Dupa definiţia limitei inductive, avem morfisme canonice cu proprietatea că P? = ?l 9Uv pentru orice cuplu ( TJ, V) de mulţimi U, V Ç astfel încît V С TJ, iar 0a. : ./'". px este unicul morfism care face comutative diagramele

pentru toţi и £ ° ? я .

P'(U)^P'X 6t7 Qx 4< ç% l P(U)-> Px

DEFINIŢIE. Fie P u n prefascicul pe X cu valori în (2. Se numeşte suport al lui P mulţimea Supp P == {xţ X\ Px nu este obiect final în £). î n general, mulţimea Supp P nu este închisă. DEFINIŢIE. Fie P un prefascicul (pe X cu valori în (2). Dacă (2 este una din categoiiile U-Ens, IX-Ab, IX-A etc., elementele lui P {TJ) se numesc secţiuni ale lui P peste TJ iar elementele lui Px se numesc germeni ai lui P în x. î n condiţiile din definiţie, dacă s ţ P {TJ) şi V CI TJ, vom scrie uneori s\ V în loc de p^ (s) şi vom numi s | V restricţia lui s la V. Dacă s g P {TJ) şi x g TJ, vom scrie uneori sx în loc de (s) şi vom numi sx germenul definit de s în x. î n sfîrşit, dacă 0 : P ' -> P este un morfism de prefascicule, vom scrie uneori 0 (s) în loc de (s) şi 0 (g) în loc de 6X (g) pentru orice secţiune s g P' ( TJ) şi orice germen g g PJ. PROPOZIŢIA 3 . 1 . Fie (2 una din categoriile U-Ens, U-Ab, U-A, xţX, P un prefascicul pe X cu valori în (2 şi s, t g P ( X) astfel încît sx = tx. Atunci există o vecinătate deschisă TJ a lui x astfel încît

*| TJ =^t\U. Demonstraţie. După tema 1.10.2 *) COROLAR. Fie в una din categoriile U-Ens, U-Ab, U-A, 0 : P' - » P un morfism de prefascicule (pe X cu valori în в), X şi s, tţP' (X) astfel încît Qx (sx) = 0X (tx). Atunci există o vecinătate deschisă TJ a lui x astfel încît e r ( * | C ) = e„(t| u). *) Prin lema 1.10.2 se înţelege lema 10.2 din Сар. I.

160

Teoria categoriilor

Demonstraţie.

Avem M O = ( M « ) ) , Şi

е

Л У = (ел*))«-

Din ipoteza corolarului şi din pi opoziţia 3.1 rezultă că există o vecinătate deschisă Z7 a lui # astfel încît M*)!

6 x ( i ) | 17.

Dar avem 6 x(*)\ U = %(s I Ü) şi Qx(t) I Z7 = 0^*1 TJ), ceea ce termină demonstraţia corolarului. PROPOZIŢIA 3 . 2 . Fie в una din categoriile it-Ens, IX-Ab, U-A, F un fascicul pe X cu valori în в, TJ o mulţime deschisă în X şi s, t^F(TJ) astfel încît sx = tx pentru orice x g TJ. Atunci s = t. Demonstraţie. Din pi opoziţia precedentă rezultă că există o acoperire deschisă (TJ^içi a lui U astfel încît s\ TJ{ = t\ U{ pentru toţi i g I. întrucît F este fascicul, din corolarul 2 la propoziţia 2.2 rezultă că s =t. TEOREMA 3 . 1 . Fie В una din categoriile U-Ens, U-Ab, U-A, P un prefascicul, F un fascicul (pe X cu valori în 8) şi o familie de morfisme (în S)

cu proprietatea că, pentru orice x g X şi orice g g Px, există o vecinătate deschisă W a lui x, o secţiune s g P (W) şi o secţiune t£F (W) astfel încît sx = g şi 0Z (sz) = tz pentru orice z g TF. Atunci există

şi este unic un morfism de prefascicule 0 :P ^ F

cu fibre 0Ж pentru toţi x g X. Acest morfism 0 se defineşte astfel : pentru orice mulţime deschisă TJ în X şi orice secţiune s g U, t = (s) £F (U) este unicul element satisfăcînd 0, ( О = tx pentru toţi x g TJ. Demonstraţie. Să presupunem că 0 există. Atunci, pentru orice mulţime deschisă TJ în X şi orice secţiune s ţ P (TJ), t = Qv (s) g F ( U) este unicul element astfel incît 0* ( O = К pentru toţi x g TJ.

Teoria fasciculelor

într-adevăr, diagramele

w

elementul

161

0^ (s) satisface aceste egalităţi întrucît P(TJ)

i P

X

F(TJ)

i F

X

sînt comutative pentru toţi x g TJ. Pe de altă parte, dacă un element s g F ( TJ) satisface egalităţile precedente, atunci t = 0^ (s), în virtutea propoziţiei precedente. î n particular, Ö este unic. Să demonstrăm acum că 0 există. Fie TJ o mulţime deschisă în X şi s g P ( TJ). Atunci există şi este unic un element t ţ F (U) astfel încît 0* = К pentru toţi TJ. Unicitatea lui t rezultă din propoziţia precedentă. Pe de altă parte, din ipoteza teoremei rezultă că există o acoperire deschisă ( F a ) a ç j a lui TJ şi pentru fiecare a g A o secţiune ta^(Wai) astfel încît 02 (sz) = (ta),

pentru toţi z g TFa. Eezultă că (*«), = 0Z (*.) = (Ц), pentru toţi z g Wx П Întrucît F este fascicul, rezultă mai întîi (în virtutea propoziţiei precedente) că pentru orice cuplu (a, ß) g A x A, apoi că există o secţiune astfel încît t\Wa = ta

tţF(TJ)

pentru toţi a g A. Pentru orice x g Z7, există a g i astfel încît x ţ ТГа, deci 6. («J = (Ux = ceea ce demonstrează existenţa lui t. Yom defini atunci (V (s) = Din proprietatea de unicitate a lui î şi din faptul că fiecare 0^ este un morfism în (£, rezultă că fiecare 0^ este un morfism în в şi că familia este un morfism de prefascicule de la P în F. Din definiţia lui rezultă că diagramele (1) sînt comutative, i.e. 6Я este fibra lui 0 în x, ceea ce termină demonstraţia teoremei.

162

Teoria categoriilor

COROLARUL 1 . Fie в una din categoriile U-Ens, U-Ab, U-A, F un prefascicul, F un fascicul şi и, v £ Нот (P, F) astfel încît ux — vx pentru toţi x £ X. Atunci и — v. COROLARUL 2 . Fie £ una din categoriile U-Ens, U-Ab, U-A. Condiţiile următoare pentru un morfism 0 : F' F în categoria Ф (X, S) shit echivalente : 1) 0 este izomorfism. 2) Pentru orice x £ X, QX:FX-+FX este izomorfism. Demonstraţie. într-adevăr, 1) implică 2) întrncît limita inductivă este un functor. Invers, dacă orice 0Ж este izomorfism, familia (©я1)«^* de morfisme 0"1 :FX F'x satisface condiţia teoremei 3.1 etc.

§ 4. Imagini directe

ф:X

Fie e o U-categorie, X şi Y spaţii topologice (obiecte in U-Top) şi Y o aplicaţie continuă. Considerăm functorul т(ф) : т ( Г ) -» т ( Х )

şi dualul său Т(ф)°:

T (Г)°->

Т(Х)°.

Compunerea cu т (ф)° la dreapta defineşte un functor в ( Х , S) - > в ( Г , в) care se numeşte functorul imagine directă asociată cu ф şi se notează ф^ sau simplu ф. Mai precis, pentru orice prefascicul F : т (X)° -> <3, ф (F) = Р?(ф)° este un prefascicul à (F) : т (Y)° -> в. Acest prefascicul ф (F) se numeşte imaginea directă a lui F prin o. Avem à (F) (V) = F (о-* (V)) pentru orice mulţime deschisă V în Y. De asemenea, pentru orice morfism 0 : F' = 6T(Ù)° este un morfism

F în S (X, €), ф (0) ==

ф(0): r

în â (I , (S). Acest morfism ù (0) se numeşte imaginea directă a lui 0 prin ф. Avem Ф ( 0)p = 0ф-1(Г) pantrii orice mulţime deschisă V în Y.

163

Teoria fasciculelor

Cind F este fascicul, ф (F) este de asemenea fascicul. Astfel functorul imagine directă induce un functor 9(X, ß ) - > f f ( r , <2). Din definiţie rezultă imediat că imaginea directă de prefascicule Ф

" Ф'

sau fascicule este tranzitivă : Dacă X Y -> Z sînt aplicaţii continue (morfisme în U-Top), atunci .(ф' ф) (F) = ф' (ф ( Л ) (ф'ф) (0) = ф'(Ф(вП pentru orice obiect JP şi orice morfism 0 in categoria â (X, в). De exemplu, (ф' ф) (F) =F = ф(Л

T

(ф' ф)° =

JF' T

(ф)°

T

(ф')°

т(ф')° = ф'(Ф(^)).

De asemenea, se vede imediat că, pentru orice mulţime deschisă F în Y şi orice fascicul F pe X, V (F\ 4 " i ( 7 ) ) = ф ( Л ] F. Să presupunem acum că U-limitele inductive pseudofiltrante conexe există în (2. Fie F un prefascicul pe X, x g X şi y = ф (ж). Fibrele şi ф (_F)V există şi avem J^ = lim J^ET) şi ф(^) у = lim JP (ф"1 (F)) tf € °fx vçfy Eezultă că există şi este unic un morfism d>. : Ф ( F ) , F . astfel încît, pentru orice V £ "fy , diagrama

\ ^

F

J

-

X

*

eile comutativă, i.e. astfel încît à 0V = гФ"1«^). • X к у

Г x

De exemplu, cînd <2 este una din categoriile U-Ens, U-Ab, U-A, din diagrama precedentă rezultă că, pentru orice s g F (ф""1 (F)), aven pentru у = i> (x).

Фа Ю = «s

164

Teoria categoriilor

Morfismul фл este functorial în F : dacă 0 : F' F este un morfism în categoria SE (X, 6), diagrama următoare este comutativă ф ф{6 )y

(F')y^>F'x

lF9

и (F)v într-adevăr, să considerăm diagrama у I

x

I Ф(в)у pv

Ф

Ф

f

I ex v

ф (F)(V)-Xô(F)y-^Fx Din definiţia lui o ( 0)y rezultă că pătratul din stînga este comutativ. Din cele precedente şi din definiţia lui 0Ж rezultă că dreptunghiul este comutativ. Urmează că avem Ф, Ф(0), = 0Ж Фаг P£ pentru orice de unde Ф * Ф ( 0 ) , = 0, întrucît sînt morfismele canonice ale limitei inductive. Notăm că, în general, фл nu este nici .monomorfism, nici epimorfism. Dar cînd ф este monomorfism strict, ox este izomorfism. într-adevăr, se vede uşor că ф este monomorfism strict în U-Top dacă şi numai dacă aplicaţia X -> Ф (X) indusă de ф este omeomorfism. Eezultă că, dacă ф este monomorfism strict, mulţimile ф"1 (F) cu V Ç °fy formează un sistem fundamental de vecinătăţi ale lui x. Din acestă ultimă proprietate rezultă imediat că avem Fx = Пт^(ф-1(Л) ТёЧТ cu morfisme canonice 0ф-1(Г) _ л, 0v P« — Vv Py? deci Фа este în mod necesar izomorfism. PROPOZIŢIA 4 . 1 . Fie в una din categoriile U-Ens, U-A. Atunci, pentru orice fascicul F pe X,

Supp

4

U-M,

U-G, U-Ab,

( F ) c y (S),

unde S = Supp F. Demonstraţie. Să observăm mai întîi că, în condiţiile din enunţ, dacă U este o mulţime deschisă în X astfel încît F este obiect final în 6

165

Teoria fasciculelor

pentru orice x £ TJ, atunci F ( TJ) este obiect final în (2. într-adevăr, <2 fiind una din categoriile considerate în enunţ, un obiect e în <2 este final dacă şi numai dacă mulţimea subiacentă lui e conţine un singur element. Eezultă că, dacă Fx este obiect final în <2 pentru orice xţ TJ şi dacă s, t£F(U), atunci sx = tx pentru orice x £ U, deci s = t în virtutea propoziţiei 3.1. Fie acum y Ç Y — ф (8). Există F Ç astfel încît V П Ф (8) = 0

deci Ф'ЧЛ n

=

Din observaţia precedentă rezultă că, pentru orice F' g % astfel încît F ' c F , Ф(Л(Л este obiect final în (2, deci ф (F)y este obiect final în (2, i.e. y nu aparţine mulţimii Supp ф (F), ceea ce termină demonstraţia propoziţiei 4.1. § 5. ф-morfisme DEFINIŢIE. Fie F un prefascicul pe X, G un prefascicul pe Г şi ф: Y o aplicaţie continuă. Se numeşte ф-morfism de la G în F orice morfism 0 : G ф (F) de prefascicule pe Y. Deci un ф-morfism 0 :G F este o familie

0 = (0f)fÇT(D de morfisme Qv : G (V) ^ F (Ф-1 (V)) în <2 astfel încît, pentru orice cuplu de mulţimi deschise F, У în Y satisfăcînd F' С F, diagrama următoare este comutativă G(V)^F(r4V)) H G(V>)^*F( i.e. (1)

ф-W')) ^ = 0F
Pentru orice cuplu (TJ, V) astfel Ф (TJ) a F, avem atunci un morfism (2)

=

încît

TJ £ т (X),

?pV)Qv

deci %.v :G(V)^F(

ф-1(7)) ——» F ( ü).

FÇT(Y)

şi

166

Teoria categoriilor

Dacă ( TJ, V) şi ( TJ', V') sînt două astfel de cupluri şi dacă TJ' D TJ şi V CZ V, atunci, evident, diagrama următoare este comutativă

Р

ф-1(Г') v

и V ф-1(Г) * р JEL^F(U')

Din (1) şi (2) rezultă că diagrama următoare este comutativă G(V) JÎE£* _F(17)

J, 0(7')

P(Ï7')

i.e. (3)

Çu' 6[7,F — 0£7'. V &y" ' Este uşor de văzut că aplicaţia

0 * (0C7,f) definită prin formulele (2) este o bijecţie între mulţimea ф-morfismelor 0 de la G în F şi mulţimea familiilor ( 0^,^) de morfisme 0^tF : G(V) -+F(U) satisfăcînd condiţiile (3) ; inversa acestei aplicaţii se obţine prin formulele 0 F — 0^—i(F). v»

Astfel, ф-morfismele 0 de la G în F se identifică prin această bijecţie cu familiile de morfisme 0^, F : G (?) F ( TJ) satisfăcînd condiţiile (3). Notăm că, dacă 0' \ G' G este un morfism de prefascicule pe X şi 0:G ф (F) un ш-morfism, atunci 00' :G' -> y(F)

este un ф-morfism. De asemenea, dacă 0" : F F" este un morfism de prefascicule pe Y şi 0 : G ф (F) un ф-morfism, atunci 4(0") e :

ф (F")

este un Ф-morfism. Să presupunem acum că 9l-limitele inductive pseudofiltrante conexe există în (S. Fie 0 : G -> ф (F) un ф-morfism şi x Ç X Atunci există şi este unic un morfism 0* : ^Ф(х)

F»

167

Teoria fasciculelor

cu proprietatea că diagrama următoare este ccmutativă

F(U)

*FX

pentru orice cuplu ( U, V) astfel incit TJ Ç т ( TJ), V Ç т (Y) şi într-adevăr, morfismul

U) CZ V.

fi -O-^rifi — Y ^ф-iiDP Г 4r Г— PaJU Off. Ffi— PraU r tu Г x depinde numai de Tr. Apoi este clar eă, pentiu V' CZ Г, avem E R - E R

Existenţa şi unicitatea lui Qx rezultă atunci din definiţia limitei inductive. î n particular, 0Л este unicul morfism care face comutative diagiamele

ev I

I Bx

F(!ri(V))J!-+Fa pentru toate vecinătăţile deschise V ale lui ф (x). Pe de altă parte, pentru orice cuplu ( TJ, V) astfel încît U Ç т (X), F £ T ( Y) şi Ф (TJ) CZ V, diagrama G(V)^F(^(V))^^F(U)

I pf1(F)

GY

O (F)Y

U FX

este comutativă, unde у = o (x). Eezultă că avem = ijx еФ(*>? i.e. 63. este morfismul compus

168

Teoria categoriilor

§ 6. Imagini inverse

In §4 am asociat cu orice aplicaţie continuă ф : X -> Y un functor ф : t (X, (2) - > Я ( Г , <2) pe care l-am numit functorul imagine directă. Acest functor induce, prin restricţie la subcategoria ^ (X, (2), un functor 9 (X, (2) - > 3 ( Y , (2). DEFINIŢIE. Adjunctul la stînga al functorului ff (X, (2) Â ( Y, (2) se numeşte functorul imagine inversă asociat cu ф şi se notează ф"1. Fie G un prefascicul pe Y. Din definiţia adjunctului la stînga rezultă că functorul ф - 1 este definit în G dacă şi numai dacă există un cuplu (Ф -1 (Ö), EG) format dintr-un fascicul ф - 1 (G) pe X şi un morfism canonic

cu următoarea proprietate universală : Pentru orice fascicul F pe X, aplicaţia (functorială în F) Н о т (ф- 1 (G), F) -> Horn (G, ф (F)) definită prin я — > <рЬ __

ф (-y)

este bijectivă, i.e. pentru orice ф-morfism и de la G în F, există şi este unic un morfism :

ф

^

astfel încît diagrama următoare să fie comutativă

Ф(м#)

/

ф (F) deci astfel încît и = ф

.

De exemplu, dacă e este un obiect final în (2, ф"1 este definit în ce. î n acest caz vom lua ф - 1 (ce) = ce şi ECe = 1 Dacă functorul i - 1 este definit în (?, vom spune că Ф -1 ((?) este imaginea inversă a lui G prin ф şi că este morfismul canonic al imaginii inverse.

Teoria fasciculelor

169

Bacă à'1 este definit în G1 şi G2 şi dacă 0 : G1 -> <x2 este un morfism de prefascicule, atunci ф 1 ( 0) : ф 1 (G^) ф 1 (G2) este definit şi este unicul morfism care face comutativă diagrama

еЛф(т)) ej^

^ФсФ-Мб))

G2-% ф ( ф -1 {Q%)) Să presupunem că (2 este astfel încît ф"1 (G) este definit pentru orice prefascicul G pe Y. Din teoria functorilor adjuncţi rezultă atunci că aplicaţia bijectivă Horn (o- 1 (G), F) Horn (G, ф (F)) definită prin v ~ 6 este aplicaţia

(v)

este functorială şi în G şi că inversa ei и — > vfî = t)F ф - 1 (и),

unde ^f : Ф"1 ( Ф (F)) -> F este morfismul t

if = (^ф^))* ? i.e. riF este unicul morfism astfel încît Ф (%) = W>Să mai observăm că imaginea inversă de prefascicule este tranzitivă. într-adevăr, fie ф' : Y Z o altă aplicaţie continuă de spaţii topologice şi Я un prefascicul pe Z astfel încît functorul ф'"1 este definit în H. Din propoziţia 1.6.3 rezultă atunci că functorul (ф' ф) -1 este definit în H dacă şi numai dacă functorul ф - 1 este definit în ф' - 1 (H) şi în acest caz avem (ф' ф)- 1 (Я) = ф- 1 (ф'"1 (H)). TEOREMA 6.1. Cînd <S este una din categoriile U-Ens, U-Ab, U-A functorul ф"1 este definit peste tot, i.e. orice prefascicul G pe Y are o imagine inversă. Demonstraţie. Fie G un prefascicul pe Y. Yom defini fasciculul G' = ф"1 (G) după cum urmează. Pentru orice mulţime deschisă TJ în X, G' ( U) este mulţimea aplicaţiilor : U -> U AW xÇU

cu proprietatea că există o acoperire (ТГа)а£л a lui TJ şi pentru orice a 6 A o mulţime deschisă F a 3 Ф(ТГа) şi o secţiune saţG(Va) astfel încît S (x) =

(s а)ф(х}

170

Teoria categoriilor

pentru orice TTa. î n particular, s' (x)ÇG{l>ix) pentru orice xţW^. Cînd (2 este categoria U-Ab sau U-A, operaţiile în G' ( TJ) se definesc pe componente; de exemplu, pentru s[, s[ + & este aplicaţia definită prin (s[ + 8!2)(x) = s[(x) + s^(œ) etc. Evident, G' (U) este atunci un obiect în (2. Dacă TJ^d U2, vom defini aplicaţia (U2)->G'

{l\)

prin Evident, o£> este un morfism în (2, şi evident G' este un prefascicul pe X cu valori în (2. Să arătăm că G' este un fascicul. Fie (TJS)\$i o acoperire a lui U şi (si)i €I o familie de secţiuni s- £ astfel încît sl = s'j pe TJ{ П U„ i.e. astfel încît

(x) =

(x)

pentru x 6 TJ{ П Uj. Eezultă că există şi este unic s' £ G' ( TJ) satisfăcînd s' (x) = sl (x) pentru xţTJ, ceea ce atestă că G' este fascicul. Să definim acum morfismul canonic ? = Ee : G -

ф (G').

Fie V o mulţime deschisă în ÎL. Pentru orice secţiune s Ç G (F) vom defini s' = (s) prin (®) = «Ф<*>

pentru orice xÇV. Evident, aplicaţia : G (F)-> G' (ф - 1 (F)) astfel definită este un morfism în <2. Apoi dacă V1 С V2 a v e m o diagramă comutativă G { V i )

^

G

'

{ i r

i

( V l

I

))

ï Ef i f ' ( H ( r , ) ) G(V2) A care arată că familia £ — ( ?f)FÇt(D

este un ф moifism.

171

Teoria fasciculelor

Pentru orice x Ç X, aplicaţia cx : G^{x)

Gx

este surjectivă. într-adevăr, fie g' Ç Gx. Din definiţia lui G' rezultă că există O vecinătate deschisă TF a iui x, O vecinătate deschisă F D O (TF) a lui ф (x), o secţiune s' 6 G' (TF) şi o secţiune s g G (F) astfel încît 8'я = g' şi s' (z) = 8Ш pentru toţi zţ TF (deci lw%v (s) == s'). Fie 9 = Чм • Din definiţia lui £ şi din diagrama comutativă

W r

-i w lKx G'(W)—UO'x

rezultă că (9) = 9 ceea ce atestă că aplicaţia Ex este surjectivă. Rămîne să stabilim proprietatea universală a cuplului ((?', E). Fie F un fascicul şi и : G -> ф (JF) un ф-morfism. Trebuie să arătăm că există şi este unic un morfism 0 = : F astfel încît diagrama următoare să fie comutativă

(1)

t^

у4(в)

Ф(Л Mai întîi unicitatea lui 0. Dacă diagrama precedentă este comutativă, atunci «x =

e

* Ъл

pentru orice x Ç X, cum se vede folosind diagrama comutativă G (F) - X 6r'(o _1 (F))

L \

NI

П /Г

*

^

L \ТЛ

(F))

unde F este orice mulţime deschisă în Y conţinînd pe ф (ж).

172

Teoria categoriilor

Întrucît Ex este epimorfism, 0Ж este unic. Întrucît F este fascicul, 6 este unic (după corolarul la teorema 3.1). Să demonstrăm existenţa lui 0. Fie x Ç X. Vom defini o aplicaţie VX:G'X->FX după cum urmează. Fie g' 6 Gx. Există o vecinătate deschisă W a lui X, o vecinătate deschisă V ZD ф (W) a lui ф (x), o secţiune s' Ç G' (IF) şi о secţiune sţG(V) astfel încît < = 9f Şi Iw.v (s) = s'. Avem o secţiune t =

uWtV(s)ţF(W).

Yom defini % (9') = V Se vede fără nici o greutate mai întîi că elementul 0Ж (g') g Fx astfel definit nu depinde de alegerea lui TF, F, s' şi apoi că aplicaţia 6X astfel definită este un morfism în (2. Evident, familia (Ojac* satisface condiţia din enunţul teoremei 3.1. Deci există un morfism 6 : G' -> F avînd fibrele 0X pentru toţi x Ç X. Pentru orice mulţime deschisă TJ în X şi orice secţiune s' Ç G' ( Z7), t = dv (s') Ç F ( TJ) este unicul element astfel încît 0, K) = ta pentru toţi xţ TJ. Yom arăta că diagrama (1) este comutativă, deci că, pentru orice mulţime deschisă F în Y, diagrama G(V)^G'(r4V)) MF

1вф_1(Г)

\

F(^(V)) Fie * g G (F), s' = Ef (s) 6 G' (ф"1 (F)) şi t = ur (s). Din definiţia lui rezultă că avem 0, (O = ta 1

pentru toţi x ţ Ф" (F), i.e.

ceea ce termină demonstraţia teoremei 6.1.

173

Teoria fasciculelor PROPOZIŢIA 6 . 1 .

în condiţiile teoremei

6.1,

: 0ФО -> Ф- 1 (в). este izomorfism (functorial în G). Demonstraţie. Ştim că aplicaţia este surjectivă. Mai rămîne să arătăm că este şi injectivă. Fie ft, g2 € ö ^ a s t f e l încît (0l) = Im Ы Există o vecinătate deschisă V a Ini 6 (x) şi secţiuni s19 s2£G(V) încît

astfel

(*ib<®> = 9i Şi («2)Ф(») = 02Fie sj = £,v Ю şi 4 = ^v (*2)- Avem (s'ih =

(*£)„

deci există o vecinătate deschisă W d ф - 1 (V) a lui x astfel încît 8[

I W = s!z I W.

Din definiţia lui Ev rezultă că (Sl)4>

(Z)

—

(^2)ф(2)

pentru orice z Ç W. î n particular Юф(а) — (S2)ty(x)j

i.e.

9i = 92j deci este izomorfism. Faptul că acest izomorfism este functorial în G este imediat (se ţine seama de faptul că ZG este functorial în G). COROLAR.

Pentru

(2

= U-Ens şi в = U-Ab, functorul imagine inversă ф"1:^(Г,

e)

comută cu limitele proiective finite. Demonstraţie. Dacă e este un obiect final în 6, avem ф - 1 (ce) = ce şi ZCe= 1 , deci ф - 1 comută cu obiectul final. Eămîne să arătăm că ф"1 comută cu produsul fibrat. Să considerăm un pătrat cartezian Q'

i Q

—

>

—»

P'

i P

174

Teoria categoriilor

în categoria @( I', <2). întrucît ll-limitele inductive pseudofiltiante conexe în â (Y, <2) comută cu produsele fibrate, pătratele următoare sînt carteziene (în (2) Q'v —» -p;

I

1

Qv —> P y pentru toţi y g Y. Din propoziţia precedentă rezultă că pătratele R

W

,

— »

! i rm—• «rm sînt carteziene în в pentru toţi x £ X. Se va arăta mai jos (propoziţia 7.2) că în aceste condiţii pătratul Г Ч Я ' ) —» Г ( - Р ' )

I

i

tf-HQ) —> Ф'Ч-Р) este cartezian în categoria & (X, S), ceea ce va termina demonstiaţia corolarului. Notăm că ф- 1 , fiind un adjunct la stînga, comută cu U-limitele inductive. î n particular Ф " 1 este un functor exact. § 7. Functorul R°

Fie X un spaţiu topologic şi € o categorie. Pentru ф =lx] restricţia la categoria ^ ( X , в) a functorului imagine directă asociat cu ф este functorul de incluziune i: f ( X , (2) 6). Yom nota prin functorul imagine inversă asociat cu identitatea lui X, i.e. = Ф " 1 pentru ф = l x . Acest functor este deci un adjunct la stînga al lui i, definit în general numai pe o subcategorie plină a lui ä (X, (2). Fie P un prefascicul (pe X cu valori în в). Din definiţia functorului imagine inversă rezultă că B° este definit în P dacă şi numai dacă există un cuplu (E°(P), E ) format dintr-un fascicul E° (P) şi un morfism de prefascicule

Teoria fasciculelor

175

cu următoarea proprietate universală : pentru orice fascicul F (pe X cu valori în S) şi orice morfism de prefascicule и : P ->F există şi este unic un morfism de fascicule : R°(P)

->F

astfel încît diagrama următoare să fie comutativă P

R°(P)

"\

h

i F Dacă R° este definit în P şi în P ' şi dacă 0 : P' -> P este un morfism de prefascicule, atunci R° ( 0) este unicul morfism care face comutativă diagrama următoare P' -A e| ^

R°(P) J*(e>

P

R°(P)

Functorul R° este totdeauna definit în F pentru F fascicul. într-adevăr, în acest caz se poate lua şi se va lua R° (F) = F şi ţF = 1 F . Deci compunerea R°i are sens şi avem R°i = 1. Eezultă că, dacă R este definit peste tot pe categoria S (X, (2), atunci R° este un functor de completare. î n virtutea teoremei 6.1, acesta este cazul cînd (2 este una din categoriile U-Ens, U-Ab, U-A. Din propoziţia 1.13.2 rezultă nemijlocit PROPOZIŢIA 7 . 1 . Fie (2 O U-categorie astfel încît functorul R° este definit peste tot şi J o categorie. 1) Dacă T : J S (X, (2) este un functor astfel încît lim XY există, ox atunci lim R ¥ există şi avem —>

lim RoxF = R° (lim Y) i.e. R° comută cu limita inductivă. 2) Pentru Ф : J -> W (X, (2) un f unctor, lim Ф există dacă şi numai dacă lim i Ф există şi atunci avem <— i (lim Ф) = lim i Ф. Astfel, după 2), pentru Ф : J

& (X, в), dacă F = lim Ф în

S (X, в), atunci F este un fascicul etc. î n schimb, dacă P = lim Ф în

176

Teoria categoriilor

S (X, (2), atunci P în general nu este fascicul, dar, duj>ä 1), avem R° (P) = — lim Ф în 9 (X, (2). COROLAR. Pentru (2 = U-Ens sau <2 = U-Ab, U-limitele proiective şi inductive există în categoria Ш (X, (2). Demonstraţie. Stim că U-limitele proiective si inductive există în S ( X , (2) etc.

DEFINIŢIE. Fie P un prefascicul (pe X cu valori în (2). Dacă functorul R° este definit în P, atunci vom spune că R° (P) este fasciculul asociat lui P. Un fascicul F se zice simplu dacă există un obiect A în с astfel încît Fç^ R°(CA). Evident, pentru F = R° (cA), Fx = A pentru orice x g X. De aceea se mai spune că R° (cA) este fasciculul simplu (pe X) de fibră A. DEFINIŢIE. Fie (2 una din categoriile U-Ens, U-Ab, U-A. Un prefascicul P (pe X cu valori în в) se zice separat dacă există un fascicul G astfel încît P d G, i.e. astfel încît P (TJ) CZG( TJ) în в pentru orice mulţime deschisă TJ în X. î n acest caz se poate calcula F = R° (P) considerînd un soi de închidere a lui P în G. î n mod precis, pentru orice mulţime deschisă TJ în X, fie F ( TJ) mulţimea tuturor secţiunilor s g G ( U) cu proprietatea că există o acoperire ( î / j i g i a lui TJ (depinzînd de s) astfel încît s\ UiţP(Ui) pentru toţi i g I. Evident, F ( TJ) este un subobiect al lui G ( U) în categoria S, şi evident, F astfel definit este un fascicul pe X cu valori în в şi avem P CI F CZ G. Vom defini morfismul

:P

F

ca fiind incluziunea. Este uşor de văzut atunci că perechea (R° (P) = P, are proprietatea universală din definiţia lui R°. Rezultă că, в fiind mereu una din categoriile U-Ens, U-Ab, U-A, un prefascicul P este separat dacă şi numai dacă EP : P -> R° (P) este un monomorfism. De exemplu, pentru orice obiect A în в, prefasciculul constant cA este separat. într-adevăr, fasciculul F = R° (cA) se poate calcula astfel : pentru orice mulţime deschisă U în X, F ( TJ) este mulţimea tuturor aplicaţiilor local constante s : TJ -> A (într-un sens evident) etc. PROPOZIŢIA 7 . 2 .

Pentru

В

= U-Ens sau и'

(2

= U-Ab, un pătrat

177

Teoria fasciculelor

în categoria 9 (X, €) este cartezian (cocartezian) dacă şi numai dacă, orice x Ç X, pătratul

pentru

t

u

x

ß J

U

este cartezian (cocartezian) în (2. Demonstraţie. Vom demonstra propoziţia pentru cartezian. Necesitatea. Să presupunem тг cartezian în Ш (X, (2). Functorul de incluziune i : 9 ( X , (2) -> S (X, в) comută cu limitele proiective întrucît el are un adjunct la stînga şi anume pe R°. î n particular, pătratul тг este cartezian de asemenea în categoria 2 (X, (2). Or, ştim că ll-limitele inductive pseudofiltrante conexe în ä (X, (2) comută cu limitele proiective finite. Eezultă în particular că pătratele n x sînt carteziene în (2. (în cazul cocartezian, necesitatea este trivială întrucît limitele inductive comută cu sumele fibrate). Suficienţa. Să presupunem că pătratele nx sînt toate carteziene. Din corolarul precedent rezultă că avem, în categoria 9 (X, (2), un pătrat cartezian w r G x F

4

l-

O Eezultă că există şi este unic un morfism 6 : G' -> G xfF' ß = Pi 9 şi W = p2 6. Întrucît condiţia din enunţ este necesară, pătratul

pentru

astfel încît orice

x£X,

(GxFF')xJ?±*F'x Gx — F x este caitezian, deci 0;c este izomorfism. Din corolarul 2 la teorema 3.1 rezultă că 0 este izomorfism. Cu această lemă demonstraţia corolarului la propoziţia 6.1 este completă. î n particular, pentru (2 = U-Ens sau (2 = U-Ab, functorul de completare R° : â (X, <2) -> & (X, в) comută cu limitele proiective finite. Din teoria functorilor de completare rezultă că are loc TEOREMA 7 . 1 . Categoria IF (X, в) este cantoriană pentru (2 = U-Ens şi abeliană pentru (2 = U-Ab. în ambele cazuri VL-limitele proiective şi

178

Teoria categoriilor

inductive există în 9(X, (2), iar U-limitele inductive pseudofiltrante со "iută cu limitele proiective finite şi cu functorul de supraiacenţă

conexe

у : 9 (X, U-Ab) -> 9 ( X , U-Ens). Din propoziţia 7.2 rezultă că avem un izomorfism canonic (G xrF')xœG,

XFxF',,

î n particular, pentru F = c€, avem un izomorfism canonic (G

x F\ « Ge x F'x.

De asemenea, dacă D:F=3G V

este o diagramă în categoria 9 (X, <2) şi dacă, pentru orice x Ç X, Dx : .F, = 5 G.e, avem izomorfisme canonice V

X

(Ker D), « Ker Д , şi (Coker D) x « Coker Д,. î n particular, un morfism 0 : F' -> F în 9 (X, (2) este monomorfism (epimorfism) dacă şi numai daca, pentru orice x Ç X, 0Ж : JP. este monomorfism (epimorfism) în (2. Bezultă că, pentru orice morfism и :F G în 9 (X, (2), avem izomorfisme canonice (Im u)x « Im

şi (Coim

« Coim

î n cazul (2 = U-Ab, un şir F' -> F

^F"

în 9 (X, <£) este exact dacă şi numai dacă, pentru orice x Ç X, şirul F'X^F'X^F'X' este exact în (2. î n particular, pentru orice morfism и :F -> G în 9 (X, (2) avem izomorfisme canonice (Ker 'u)x « Ker ^ şi (Coker

« Coker ux.

Observaţie. Pentru (2 = U-Ens sau (2 = U-Ab, un morfism 0 :F -> G în 9 (X, (2) este monomorfism în 9 (X, (2) dacă şi numai dacă 0 este monomorfism în t (X, (2). într-adevăr, suficienţa condiţiei este trivială, ar necesitatea rezultă din faptul că functorul de incluziune i : 9 (X, (2) -> в (X, (2),

Teoria fasciculelor

179

fiind un adjunct la dreapta, este exact la stînga. îsot£m că aseiţiunea corespunzătoare pentru epimorfisme nu este adevărată. Se poate afiima doar că sînt echivalente condiţiile următoare : 1) 9 este epimorfism. 2) Pentru orice mulţime deschisă TJ în X şi orice secţiune t£G(U) există o acoperire ( j a lui TJ si secţiuni ţF ( и { ) astfel încît (st) = = t\ U{. Pentru demonstraţie, se observă că fiecare din condiţiile 1) şi 2) este echivalentă cu faptul că, pentru orice x Ç X, 6X : Fx-+Gx este epimorfism. § 8. Module pe un spaţiu inelat D E F I N I Ţ I E . Se numeşte spaţiu inelat un spaţiu topologic X înzestrat cu un fascicul de inele comutative care se numeşte fasciculul structural al lui X şi se notează 6 X . Se obişnuieşte să se noteze prin aceeaşi literă un spaţiu inelat şi spaţiul topologic subiacent (presupus mereu obiect în categoria U-Top). Spaţiile inelate formează o categorie. Dacă X şi Y sînt spaţii inelate, un morfism de la X în Y este un cuplu ф = (0 0 , format dintr-o aplicaţie continuă ф0 : X ^ Y şi un ^0-morfism : äY—> 6 X . Nu vom studia aici această categorie. D E F I N I Ţ I E . Fie X un spaţiu inelat. Se numeşte Premodul pe X un prefascicul P de grupuri abeliene înzestrat cu un morfism (de prefascicule de grupuri abeliene pe X)

eK x P ^ P astfel încît, pentru orice mulţime deschisă TJ în X, aplicaţia indusă ex(U)

x

P(U)^P(U)

înzestrează grupul abelian P( TJ) cu o structuiă de €x( ?7)-modul. Se numeşte Modul pe X un Premodul F astfel încît prefăsciculul subiacent lui F este fascicul. Un Premodul (Modul) pe X este deci un prefascicul (fascicul) de mulţimi P astfel încît, pentru orice mulţime deschisă TJ în X, mulţimea P( TJ) este înzestrată cu o structură de 6 X ( F)-modu}, şi astfel încît aplicaţiile de restricţie $ sînt omomorfisme de grupuri şi p£(Xs) -

p£(X) $(8)

pentru orice secţiune ^Z&X(TJ) şi orice secţiune sÇP(U). Se obişnuieşte să se noteze prin aceeaşi liteiă un Premodul (Modul) pe X şi prefasciculul (fasciculul) de grupuri abeliene subiacent. Dacă P şi Q sînt Piemodule pe X, un morfism de prefascicule de mulţimi 0 : P—>0 se numeşte morfism

180

Teoria categoriilor

de Premodule dacă, pentru orice mulţime deschisă TJ în X, aplicaţia Op : P( TJ) -> Q( TJ) este äx( TJ)-liniară. Mulţimea tuturor morfismelor de Premodule de la P în Q se notează H o m z ( P , Q). Premodulele pe X formează o categorie, evident aditivă, care se notează U-Premod X. Subcategoria plină a lui U-Premod X care are ca obiecte Modulele pe X se notează U-Mod X. Un morfism în categoria Mod X se mai numeşte morfism de Module pe X. Avem un functor canonic de supraiacenţă у : U-Premod X

S(X, U-Ab)

care induce un functor de supraiacenţă Y : U-Mod X -> 9 (X, U-Ab) Notăm că, dacă P este un Premodul pe X, în particular ün Modul, atunci, pentru orice xţX, fibra Px este canonic înzestrată cu o structură de (S^-modul. PROPOZIŢIA 8.1. Categoria U-Premod X este abeliană. U-limitele proiective şi inductive în U-Premod X există si comută cu functorul de supraiacenţă iar U-limitele inductive pseudofiltrante conexe comută cu limitele proiective finite. Demonstraţie. Fie (PJiçi o familie de Premodule pe X cu U şi fie P = TT Pi produsul direct al acestei familii în categoria â (X, U-Ab). iÇI Pentru orice mulţime deschisă TJ în X, grupul abelian P( TJ) = TT Pt( U) iţi are o structură de ( J7)-modul definită astfel : fie X un element în Şi s = ( s i ) i e i u n element în P(TJ) ; se pune Xs = (Xsjigi.

Cu această definiţie, evident P este un Premodul pe X şi evident P = TT Pi în categoria U-Premod X. iei Fie acum P ' = £ Pi în categoria ЩХ, U-Ab). Avem P' с P, i.eP'(TJ)(ZP(TJ) pentru orice mulţime deschisă TJ în X. In mod precis, P (U) este submulţimea lui Р(Ь) foimată din elementele s = («i)*gi ale lui P( TJ) care au proprietatea că există o acoperire ( TJ^^a a lui TJ (depinzînd de s) astfel încît = 0 aproape peste tot (i.e. cu excepţia unui număr finit de indici i). Eezultă că dacă X G (9^(17) şi s £ P ' ( ? 7 ) , atunci лsţ P'( TJ), deci, P' este un Premodul pe X şi anume un subobiect al lui P în categoria U-Premod X. Evident, P ' = £ A i n categoria U-Premod X.

Teoria fasciculelor

181

Astfel tl-produsele directe şi ll-sumele directe în categoria U-Premocl X există si comută cu functorul y. Similar se arată că nucleele şi conucleele în această categorie există şi comută cu functorul y. Din cele de mai sus şi din teorema I. 9.1 rezultă că U-limitele proiective şi inductive în categoria U-Premod X există şi comută cu functorul y. In particular, categoria U-Premod X satisface axioma ABl). Apoi un şir 0->P'->P->P"->0 în U-Premod X este exact în U-Premod X dacă şi numai dacă este exact în â (X, U-Ab). Întrucît această ultimă categorie este abeliană, rezultă imediat că U-Premod X satisface şi axioma AB2). î n sfîrşit, U-limitele inductive pseudo-filtrante conexe comută cu limitele proiective finite în categoria S (X, U-Ab), deci în virtutea comutativităţii cu y, de asemenea în categoria U-Premod X. TEOREMA 8.1. Categoria U-Mod X este abeliană. U-limitele proiective si inductive în U-Mod X există şi comută cu functorul de supraiacenţă y, iar \l-limitele inductive pseudofiltrante conexe comută cu limitele proiective finite.

Demonstraţie.

Să considerăm functorul de incluziune i : U-Mod X

U-Premod X.

Acest functor are un adjunct la stînga R° : U-Premod X -> U-Mod X astfel încît R° i = 1 şi astfel încît R° este exact şi comută cu functorul y. într-adevăr, fie P un premodul pe X. Vom considera P ca obiect în categoria â (X, U-Ab) deci ca prefascicul de grupuri abeliene pe X . Fie F = R°(P) fasciculul de grupuri abeliene asociat cu P şi morfismul canonic. După propoziţia 6.1, pentru orice x ţ X , £ :P

F

este izomorfism (de grupuri abeliene), care induce pe grupul abelian Fx o structură de é^-modul. Fie TJ o mulţime descliisă în X, XÇtf^ (U) şi s£F( TJ). Există şi este unică o secţiune tţF(U) astfel încît pentru toţi XŢ TJ ; vom defini X s = t.

152

Teoria categoriilor

Cu această definiţie, evident, F = E°(F) este un Modul pe X pe carc-1 vom numi Modulul asociat lui P. Fie acum F un Modul oarecare pe X şi и : F F un morfism de Premodule. Din proprietatea universală a cuplului (B°(P), l P ) lezultă că există şi este unic un morfism de fascicule de grupuri abeliene u# : B°(P)

-+F

astfel încît diagrama următoare să fie comutativă P

B°(P)

/•* F

Din definiţia structurii de Modul pe X a lui B°(P) rezultă imediat că u#- este un morfism de Module pe X. Astfel avem un functor B° : U-Premod X -> U-Mod X care este un adjunct la stînga al lui i şi satisface B° i = 1, deci este un functor de completare. î n plus, B° comută cu y, i.e. diagrama U-Premod X i a (X, U-Ab)

U-Mod Y . 9

i(X, U-Ab)

este comutativă. Rezultă că B° este exact. Din propoziţia precedentă şi din corolarul 1 la teorema 1.13.2 rezultă că It-Mod X este o categorie abeliană. Din propoziţia precedentă şi din corolarul la propoziţia 1.13.2 şi propoziţia 1.13.3 rezultă că U-limitele proiective şi inductive în U-Mod X există, iar U-limitele inductive pseudofiltrante conexe comută cu limitele proiective finite. Observaţie. Evident, avem o propoziţie pentru categoriile U-Premod X şi U-Mod X similară cu propoziţia 7.1 pentru categoriile ^ (X, (2) şi 9 (X, (2) cu <2= U-Ens sau (2 = U-Ab. Eezultă, de exemplu, că dacă (P4)i6i este o familie de Module pe X cu I g U şi dacă P este produsul direct al acestei familii în U-Premod X, atunci P este un Modul. Fie F' suma directă a familiei (PJtgj în categoria U-Premod X. Atunci B° (P') este suma directă a acestei familii în categoria U-Mod X. Ştim că P ' d P , deci P' este un prefascicul separat. Eezultă că B°(P) se poate calcula luînd ,,închiderea" lui Pf în P (a se vedea § 7).

Teoria fasciculelor

183

§ 9. Fascicule induse

Fie X un spaţiu topologic, JI un subspaţiu al lui X, iM : M X incluziunea lui ii/, в o U-categorie şi F un fa seien] pe X cu valori în (2. Vom presupune că functorul imagine inversă asociat cu ^(i.e. functoiul i~j) este definit în F. Ştim că acest fapt are loc pentru orice JI şi orice F cînd <2 este una din categoriile U-Ens, U-Ab, U-A. Dacă JI == TJ este o mulţime deschisă în X, avem evident un izomorfism canonic (functorial în F) : (F). î n cazul general, vom nota prin F\JI fasciculul şi vom spune că F\JI este fasciculul indus de F pe M sau restricţia lui F la JI. Fie l:F-*iM{F\Jl) morfismul canonic. Yom pune F(JI) = (F\JI)(M)

şi pj =

deci p

l:F(X)^F(M);

vom spune că pjf este morfismul de restricţie al Iui F de la X la JI. Dacă (2 este una din categoriile U-Ens, U-Ab, U-A, elementele lui F(M) se numesc secţiuni ale lui F peste M. Astfel este definită noţiunea de secţiune a lui F peste o mulţime arbitrară. Din definiţia fasciculului F\JI == i~u(F) (a se vedea demonstraţia teoremei 6.1) rezultă că o secţiune a lui F peste M este o aplicaţie * : Л

U

Fx

cu proprietatea că, pentru orice x ţ X , există o vecinătate deschisă W a lui x în X, şi o secţiune t£F(W) astfel încît s(z) = tz pentru orice z € Wf] JI ; în particular 8(œ) € Fx pentru orice x S JI. Dacă s£F(X), vom scrie s\JI în loc de p;д/ (s) şi vom spune că s j JI este restricţia lui s la M ; avem (s\JI)(x) =sx pentru orice x g JI. Dacă X este un spaţiu inelat, orice subspaţiu topologic M al lui X se consideră ca spaţiu inelat cu fascicul structuial <S>m - &х\ЛГ. Dacă F este un Modul pe X, atunci fasciculul indus F\JT este canonic înzestrat cu o structură de Modul pe JI ; vom spune că F este Jlodulul indus de F pe M sau restricţia lui F la JI.

184

Teoria categoriilor

Revenind la cazul general, să definit în F şi în G şi fie 0 : F-+Gvalori în в). Yom nota prin 0 | J f 0|3f este restricţia lui 0 la M. Yom

presupunem că functorul este un morfism de fascicule (pe X cu morfismul şi vom spune că pune

deci e jf :F(M) ->G(M). Reamintim că 0|JI = ijj (6) este unicul morfism care face comutativă diagrama P-i»

iM (F I M)

G-^iM

(G|Jf)

întrucît i~u{X) = M, rezultă în particular că diagrama următoare este comutativă P?f F(X) F('M) ex I 103/ Nr v px —

>

Amintim că se numeşte acoperire închisă a unui spaţiu topologic X orice familie ( MJ^j cu I g U formată din mulţimi închise Ж%аХ astfel încît X = (J Ж . O acoperire închisă sau deschisă ( M a lui X se zice ici

local finită dacă orice aproape peste tot.

J are o vecinătate U astfel încît UÇ\3îi = 0

PROPOZIŢIA 9 . 1 . Fie X un spaţiu topologic, F un fascicul de mulţimi pe X, (M^iÇj o acoperire închisă local finită a lui X şi (sJ^j o familie de secţiuni s^F(M^ astfel încît =Sj pe Mi f| Mj pentru orice cuplu (г, j)ÇIXI. Atunci există şi este unică o secţiune t£F(X) astfel încît

t\M,

=

pentru toţi igZ. Demonstraţie. întrucît fiecare secţiune sj£F(Mi)

este o aplicaţie

: M, -> U Fx, x£Mi prin st = Sj pe M i П

se înţelege că si (z) =

(z) pentru orice z^Mi f| M,.

185

Teoria fasciculelor

Din ipoteza propoziţiei rezultă deci că există o aplicaţie /:

U F. XÇX

astfel încît pentru toţi i ţ i . Fie xţX. întrucît mulţimile Mi sînt închise şi formează o acoperire local finită a lui X, există o vecinătate deschisă U a lui x şi un număr finit de indici i19..., ipÇI astfel încît : 1) U Ci Mi = 0 pentru i ф i19..., ip9 2) x ţ M i x П . . . n J f i p . Din definiţia secţiunilor peste o mulţime arbitrară rezultă că există o vecinătate deschisă WCZÜ a lui x şi secţiuni t17..., ^ÇP(TF) astfel încît pentru sg IFfl-M"»^ fc = 1 , . .

Din 2) rezultă că

sh(x) = . . . = i.e. că

=/(0),

... = («„).=/(*)>

deci, restrîngînd la nevoie vecinătatea Ж, putem presupune că t± = ...

= tp = t (să zicem).

Întrucît X = iÇI (J Jf 4 şi întrucît W d U 9 din 1) rezultă că

w = w Dacă 2ÇTP, atunci există

p} astfel încît ^ F f l ^

/(*) = (z) = Există deci o acoperire deschisă (ТГа)а6л a lui X şi o familie secţiuni ta£FÇWa) astfel încît

deci de

m = pentru orice z£Wa. Întrucît F este fascicul, există o secţiune t£F{X), evident unică, astfel încît m = h pentru orice x ţ X , deci astfel încît t\M, =s\Mi

= 8i

pentru toţi iÇI, ceea ce termină demonstraţia propoziţiei 9.1.

186 Teoria categoriilor

Fie X un spaţiu topologie, iar a = (UJiţi şi ß = ( V ^ j acoperirii deschise ale lui X. Se spune că acoperirea ß este mai fină decît acoperirea a dacă există o aplicaţie 9 : J -> I astfel încît V j d ?7Ф(Л pentru orice j Ç J. Un spaţiu topologic se zice paracompact dacă este separat şi dacă, pentru orice acoperire deschisă а a lui X, există o acoperire deschisă local finită mai fină decît a. Orice subspaţiu închis al unui spaţiu paracompact este paracompact. De asemenea, orice spaţiu metrizabil este paracompact (teorema lui Stone) şi orice spaţiu paracompact este normal (teorema lui Dieudonné). Dacă X este un spaţiu normal, pentru orice acoperire deschisă local finită a = (UJjgj a lui X, există o acoperire deschisă ß = cu aceeaşi mulţime de indici I astfel încît CZ TJi pentru orice i Ç I. Pentru demonstraţia acestor teoreme se poate consulta tratatul lui Bourbaki [2] şi, de asemenea, cu excepţia teoremei lui Stone, cartea lui C. Teleman [10]. TEOREMA 9 . 1 . Fie X un spaţiu topologic, F un fascicul de mulţimi pe X, S un subspaţiu al lui X avînd un sistem fundamental de vecinătăţi paracompacte şi s£F(8). Atunci există o vecinătate deschisă TJ a lui S şi o secţiune t£F(U) astfel încît t \ 8 = s. Demonstraţie. înlocuind X cu o vecinătate convenabilă a lui 8, se poate presupune că X este paracompact şi că există o acoperire deschisă 0 local finită (Ui)iei a l u i ^ familie (Si)^ de secţiuni astfel încît 8{ = s pe SftTJi i.e. (*i). = pentru orice x ţ S f t U i . Rezultă că

*< =

Pe £П U{ П Uf,

i.e. (Si)x = (*l)a pentru orice tfgSfl П Există o acoperire deschisă ( Г Д ^ а lui X astfel încît ViŒTJi pentru orice i g l . Fie M mulţimea tuturor punctelor xţX cu proprietatea că, pentru orice cuplu (г, j)gl x I astfel încît xţVi f| V,- ? (*i)x = (si)xo Evident, 8(ZM, dar vom arăta că SczM.

Teoria fasciculelor

187

Fie xţ8. Există o vecinătate deschisă W a Ini x şi nn număr finit de indici ix..., ipţl astfel încît 1) WftVi = 0 pentru 2) ПVi„ 3) 4) 8h = ... = sh pe W. Yom arăta că WciM.

iv,

într-adevăr, fie zţ W şi (г, j) g I x i un cuplu astfel încît

Din 1) rezultă că i, cular i.e.

{ i l y . . . , iv} deci, după 4), 8i = Sj pe ТГ, în parti-

xţM. Astfel 8 d M. Din definiţia lui M rezultă că, pentru orice cuplu (г, j ) £ i X i , = *, pe 3 / f | Vi П V,-,

şi, în particular, «« =

pe

Mn^n^.

Întrucît (ЖП^г)^/ este o acoperire deschisă a lui J i şi întrncît F este o fascicul, există o secţiune tţF (M) astfel încît

i.e. astfel încît tx = (8^я pentru orice

o

xţMf|particular

t\8 = s o

ceea ce atestă că concluzia teoremei este adevărată pentru U = Л/. COROLAR.

în condiţiile teoremei 9.1, -

lim э

гшйв fT parcurge mulţimea ordonată prin incluziune a părţilor deschise ale lui X care conţin pe S.

2 188

Teoria categoriilor

Acest corolar este, evident, echivalent cu teorema 9.1. El se aplică in particular cînd X este paracompact şi 8 un subspaţiu închis al lui X (într-adevăr, în aceste condiţii, dacă U este o mulţime deschisă conţinînd pe 8, din normalitate rezultă că există două mulţimi deschise disjuncte V şi W astfel încît SdV şi X—UaW ; din F f | W = 0 rezultă VdW = 0, întrucît V şi W sînt ' deschise, deci VCZ U ; astfel S are un sistem fundamental de vecinătăţi închise, deci paracompacte), sau cînd X este metrizabil şi 8 un subspaţiu oarecare al lui X (orice subspaţiu al unui spaţiu metrizabil este un spaţiu metrizabil, deci este un spaţiu paracompact după teorema lui Stone).

Capitolul

III

Coomologie

§ 1. Obiecte injective şi proiective Fie в o categorie abeliană şi Ü un univers astfel încît в este o U-categorie. Ştim că, pentru orice obiect X în (2, functorul contravariant hx = Horn (., X) : (2° -> U-Ab este exact la stînga, deci că, pentru orice şir exact 0 -> A' -> A în (2, şirul indus

A" -+0

0 - > H o m (А", X) -> Horn (А, X) - > H o m {А', X) este exact în U-Ab. DEFINIŢIE. Un obiect J în (2 se zice injectiv dacă functorul contravariant hj = Horn ( J ) este exact, i. e. dacă pentru orice şir exact 0 -> A' -> A -> A" şirul indus

0 în (2,

0 -> Horn (A", J) -> Horn (A, J) - > H o m {A', J) - > 0 este exact. Din cele precedente rezultă că J este injectiv dacă şi numai dacă, pentru orice monomorfism и : A'-^A, morfismul indus Horn (4, J) -> Horn (A', J) este epimorfism, deci pentru orice morfism/' : A'—>J există un morfism f :A -> J cu proprietatea că diagrama următoare este comutativă и A'

2 190

Teoria categoriilor

î n particular, dacă J este injectiv, orice monomorfism и :J-+A ате un invers la stînga, i.e. avem o diagramă comutativă и J *A

Aceasta

mai

înseamnă că, dacă J este injectiv, orice şir exact este direct. ' Dual avem noţiunea de obiect proiectiv. Un obiect P în (2 se zice proiectiv dacă P este obiect injectiv în categoria duală (2°, i.e. dacă functorul covariant Horn (P, .) : S U-Ab este exact, i.e. dacă pentru orice epimorfism v : A-+A" şi orice morfism f" :P->A" există un morfism / :P-+A astfel încît diagrama următoare >este comutativă

ЛV

A * A" Notăm că obiectul 0 este injectiv şi proiectiv. DEFINIŢIE. O categorie abeliană (2 se numeşte categorie cu suficiente (obiecte) injective dacă, pentru orice obiect A în <2, există un monomorfism A -> J cu J injectiv. Dual, o categorie abeliană (2 se zice categorie cu suficiente (obiecte) proiective dacă, pentru orice obiect A în (2, există un epimorfism P-+A cu P proiectiv. Să observăm că noţiunile de obiect injectiv şi categorie cu suficiente injective şi dualele lor nu depind de alegerea universului U astfel încît (2 este o U-categorie. Aceasta rezultă imediat din faptul că, dacă U şi SS sînt două universuri astfel încît <2 este o U-categorie şi o 33-categorie, atunci <2 este o U f| 33-categorie, şi din faptul că dacă U şi 33 sînt două universuri astfel încît U С 33, atunci functorul de incluziune U-Ab -> 33-Ab este exact şi deplin fidel. Astfel, putem vorbi de obiecte injective (proiective) într-o categorie abeliană в fără nici o referire la universul în care ne găsim. si X = TT iţi Obiectul X este injectiv dacă şi numai dacă toate obiectele Xi sînt PROPOZIŢIA 1 . 1 .

Fie

в o categorie abeliană

in

(2.

injective.

191

Coomologie

Demonstraţie. Vom demonstra mai mult că, dacă <2 este o categorie aditivă, atunci, pentrn orice morfism и : A' -> A în (2, aplicaţia Н о т (А, X) -> Н о т (А', X)

(1)

este surjectivă dacă şi numai dacă toate aplicaţiile Horn (A, X H o r n

(J.', X j

(2)

sînt surjective. Să presupunem mai întîi că aplicaţiile (2) sînt surjective. Fie / ' : A' - > X un morfism. Există morfisme ft :А~>Хг astfel încît fiU = pj', pentru toţi i £ Z, unde р% :X sînt proiecţiile canonice. Fie / : A -> X morfismul de componente / i ? deci Pif = fi pentru toţi г £7. Atunci, pju = pj' pentru toţi i g / , de unde fu=f'. Această parte a demonstraţiei este adevărată pentru categorii arbitrare. Să presupunem invers că aplicaţia (1) este surjectivă. Fie i0 g I şi fie g' : A'-+A{ un morfism. Fie / ' : A' -+X astfel încît ptf' = 0 pentru i=t=\ şi g' pentru i = i0. Există f:A—>X astfel încît fu = f . Fie g = p{ fm Avem gu — ViJu — ViJ' — Я' ? c e e a c e termină demonstiaţia. PROPOZIŢIA 1 . 2 . Cînd (2 este o categorie abeliană cit suficiente injective, condiţiile următoare sînt echivalente : 1) J este injectiv. 2) Orice şir exact 0 J JL JL" 0 este direct. Demonstraţie. Ştim că 1) implică 2) fără condiţia că (2 are suficiente injective. Să presupunem acum că (2 are suficiente injective şi că J satisface condiţia 2). Fie и : A' >A un monomorfism ş i / ' :A' J un morfism în в. Întrucît в are suficiente injective, există un monomorfism г : J —>J' cu J' injectiv. Eezultă că există un morfism f : A -+J' astfel încît diagrama următoare este comutativă и A' — > A

"1J —>, J'I' Pe de altă parte, din 2) rezultă că există z' e'e = 1. Avem z'fu = z zf' = /', i.e. diagrama A'—

v este comutativă, ceea ce termină demonstraţia.

astfel încît

2 192

Teoria categoriilor

Fie 6 o categorie abeliană cu suficiente U V A' A A" 0 poate fi scufundat într-o

PROPOZIŢIA 1 . 3 .

Orice sir exact 0 comutativă

0

injective. diagramă

0

0 1 А Л A" — 0 Iß 1 0" J" l

1iV — 1 1 0 0

i 0

0 0

în care liniile şi coloanele sînt exacte, iar J', J, J" injective ; în pîws, prima şi a treia coloană ale diagramei pot fi date dinainte. Demonstraţie. Fiind date şirurile exacte 0 A' J' AT' 0 si 0 -> A" -> J" -^N" 0 cu J' şi J " injective, fie J = J' X J" cu proiecţii canonice p" şi injecţii canonice г', г". Atunci J este injectiv după propoziţia 1.3, iar şirul 0 - > J ' - > J - > J " - > 0 este direct, deci exact. Întrucît J' este injectiv, există X : A-+J' astfel încît ß' = Xw. Fie ß :A-+J astfel încît ^'ß = X şi p"$ = ß" v. Avem ß^ = i'ß'. într-adevăr, p'ß ^ = Хи = ß' = p'i'ß' şi p"$u = ß"vu = 0 = p"i'ß'. Astfel avem diagrama comutativă ß' [

Jß г/

0-* J'-> J

jp//

J,ß" J"-*Q

cu linii exacte şi ß', ß" monomorfisme. Din propoziţia 1 . 7 . 2 , rezultă că primul pătrat al acestei diagrame este cartezian, iar din propoziţia 1.11.4 rezultă că ß este monomorfism. Fie a un eonucleu al lui ß. întrucît ß este monomorfism, şirul 3 a este exact. Morfismele Ж' -> Ж şi Ж -> JST" se obţin prin comutativitate, iar şirul 0->N' -> Ж -> Ж" -> 0 este exact în virtutea lemei 1.12.3. Astfel propoziţia este complet demonstrată. Să observăm că, dacă (3 este o categorie abeliană cu suficiente injective, atunci există o funcţie F care asociază cu orice obiect A în в un şir exact EA:0 cu J injectiv.

-+A-+J

->Ж ->0

193

Coomologie

§ 2. Module libere şi module proiective Fie A un inel eu element unitate 1. îsotăm prin A° inelul opus lui A, i.e. inelul avînd acelaşi grup abelian subiacent şi în care înmulţirea se defineşte prin X.(A = [лХ (prima parte a egalităţii reprezintă înmulţirea în A°, iar a doua parte a egalităţii înmulţirea în A). Cînd Л este comutativ, avem A° = A. Fie 11 un univers astfel încît mulţimea subiacentă lui A aparţine lui U. Vom nota U-moi A categoria avînd ca obiecte A-modulele (la stînga) ale căror mulţimi subiacente aparţin lui U şi ca morfisme aplicaţiile A-liniare. Dacă M şi N sînt două obiecte în U-mod A, se notează Hom A (M, JV) mulţimea morfismelor de A-module de la M în X, i.e. mulţimea aplicaţiilor A-liniare. Z fiind inelul întregilor, evident U-mod Z == U-Ab. Obiectele în categoria U-mod A° se mai numesc A-module la dreapta. Nu vom insista asupra teoriei elementare a categoriei U-mod A. Yom spune numai că această categorie este abeliană, că U-limitele proiective şi inductive în U-mod A există, iar U-limitele inductive pseudofiltrante conexe comută cu limitele proiective finite. De asemenea, că functorul de supraiacenţă y : U-mod A

U-Ab

este un functor exact. Mai precis, un şir 0 -> A' -> A -> A" -> 0 în U-mod Aeste exact dacă şi numai dacă şirul 0 - > v (A') —>y (A)-^y (A")->0 este exact în U-Ab etc. Pentru orice mulţime 8 6 U, considerăm suma directă (în U-mod A) Fs = E A se-s unde A s = A pentru orice s£8. Un element x£Fs este o familie x = (X,)s€<s cu Xsg A şi Xs = 0 aproape peste tot, i.e. cu excepţia unui număr finit de elemente s g 8. Avem o aplicaţie

definită, pentru orice s 0 g $ , prin is (So) = (8Г)-6л unde 1 dacă s = s0 0 dacă s ф s0 .

2 194

Teoria categoriilor

Evident, pentru А ф {0}, aplicaţia is este injectivă. Pentru orice element x = din Fs avem x

\ i (s) s£S 8 (suma din dreapta există întrucît X, = 0 aproape peste tot). Această reprezentare a lui x este unică : dacă x se reprezintă prin formula precëdentâ, atunci x == (l 8 ) 3 çsPROPOZIŢIA 2 . 1 . Pentru orice A-modul A (nu neapărat obiect în U-mod A) şi orice aplicaţie f : 8 A există şi este unică o aplicaţie A -liniară g astfel încît diagrama următoare este comutativă

\J' Demonstraţie. Pentru orice element x = (X#)sçs din FSJ deci ® = s£S S

\ia(*),

definim 9(*>) = s£S S \ № (suma din dreapta există întrucît \ = 0 aproape peste tot). Evident, aplicaţia g : Fs -> A astfel definită este A-liniară şi satisface gis = / , şi, evident, g este unica aplicaţie cu aceste proprietăţi. î n particular, dacă g19 g2ţ Hom A (F8, A) şi g 1 i 8 = 9 2 4 y atunci д г =д 2 * Observaţie. Din propoziţia precedentă rezultă că functorul F : U-Ens

U mod A

definit prin 8 * Fs şi / Ff, unde pentru orice aplicaţie f : 8 este unica aplicaţie A-liniară care face comutativă diagrama

8',Ff

'I , I" este un adjunct la stînga al functorului de supraiacenţă U-mod A -> U-Ens. DEFINIŢIE. Un obiect F în U-mod A se zice liber dacă există O mulţime 8 6 U astfel încît F « .

Coomologie

195

Dacă F este un obiect liber în U-mod A, atunci F este un obiect liber în orice categorie Ж-mod A care conţine pe F. într-adevăr, avem o aplicaţie injectivă

unde 6 este un izomorfism. Fie S' = 0 (is(8)). Atunci $'£25, iar din propoziţia 2.1 rezultă că Fs да Fs*, deci F ^ Fg. COROLARUL 1 . Orice A-modul liber F este proiectiv în orice categorie U-mod A care conţine pe F. Demonstraţie. Este suficient să demonstrăm că, pentru orice mulţime 8 6 U, Fs este proiectiv. Fie v : A A" un epimorfism de A-module. Atunci v este o aplicaţie surjectivă, deci există o aplicaţie w : A" -> A astfel încît vw = 1 (în general w nu este A-liniară). F i e / " : Fs A" o aplicaţie A-liniară. Avem o aplicaţie wf" is : S-+A. Din propoziţia 2.1 rezultă că există o aplicaţie A-liniară / : Fs -> A astfel încît fis = wf" i8. Atunci vf şi / " sînt aplicaţii A-liniare de la Fs în A" şi vfis = vwf" is = f"is, deci vf = / " , i.e. ал^ет o diagramă comutativă

A

A

ceea ce termină demonstraţia corolarului. COROLARUL 2. Pentru orice obiect A în categoria U-mod A există un epimorfism, F A m U-mod A cu F liber. în particular, categoria U-modA are suficiente proiective. Demonstraţie. Pentru 8 = A, considerăm ^.-modulul liber Fs = FA care este un obiect în U-mod A. Din propoziţia 2.1 rezultă că există o aplicaţie A-liniară и : FA-+ A astfel încît diagrama următoare este comutativă

deci astfel încît uiA = 1A, deci и este epimorfism. COROLARUL 3 . Un obiect P în U-mod A este proiectiv dacă şi numai dacă există un şir direct 0->N->F->P-+0 în U-mod A cu F liber. Demonstraţie. Necesitatea condiţiei rezultă din corolarul precedent şi din duala propoziţiei 1.2.

2 196

Teoria categoriilor

Suficienţa. Dacă avem un şir direct 0->N->F^P->0 cu F liber, atunci F ж N + P. Cum F este proiectiv, P este proiectiv în virtutea dualei propoziţiei 1.1. Din corolarul 3 rezultă că, dacă P este un obiect proiectiv în categoria U-mod A, atunci P este proiectiv în orice categorie 33-inod A care conţine pe P. Pentru a vedea aceasta este suficient să considerăm cazul particular cînd U CZ 35 (cazul general se reduce la acest caz particular luînd intersecţia celor două universuri). Dacă P este proiectiv în U-mod A, există un şir direct 0 - > J V T - > P - > P - > 0 în U-mod A cu F liber. Evident, acest şir este atunci direct şi în S5-mod Л etc. Astfel putem vorbi de A-module proiective fără a preciza universul în care ne găsim. Yom spune uneori,,modul A-proiectiv" în loc de ,,A-modul proiectiv". Notăm că, pentru A principal (i.e. toate idealele Ini .A sînt principale ; de exemplu A = Z), proiectiv coincide cu liber. într-adevăr, în acest caz orice submodul al unui modul liber este liber (pentru A = Z, se poate consulta C. Teleman [10]). § 3. Module injective PROPOZIŢIA 3 . 1 . Pentru un obiect J în categoria U-mod A , condiţiile următoare sînt echivalente : 1) J este injectiv. 2) Pentru orice ideal A CI A şi orice aplicaţie A-liniară f : A-> J, există o aplicaţie A-liniară g : A J astfel încît g\a == / . Demonstraţie. Avem de arătat numai că 2) implică 1). Fie A un obiect în categoria U-mod A, A' un submodul al lui A şi u' : A' -> J o aplicaţie A-liniară. Trebuie să arătăm că există o aplicaţie A-liniară и :A J astfel încît u\A' = u'. Fie a mulţimea perechilor (Y, v) cu Y submodul al lui A satisfăcînd A' CI Y CZ A şi cu v : Y -> J aplicaţie A-liniară satisfăcînd v | A' = u'. Ordonăm mulţimea a prin ,,prelungire" punînd ( Y1? v j < ( Y 2 , v2) dacă şi numai dacă Y 1 d Y 2 şi v1 = v2\Yv Evident, a este inductiv ordonată şi deci, după lema lui Zorn, are un element maximal, să zicem (X, u). Totul revine la a arăta că X = A. Să presupunem, prin ipoteza absurdului, că X =f= A, şi fie a £A astfel încît a$X. Elementele X£X astfel încît XaţX formează un ideal a ci A, iar X и ( \a) este o aplicaţie A-liniară a lui a în J. Din 2) rezultă că există o aplicaţie A-liniară g : A J astfel încît g (X) = и (Xa) pentru XÇ a. Astfel avem două aplicaţii A-liniare и : X ^ J şi g : A -> J satisfăcînd g(\) z=u(ka) pentru X g a. Eezultă că avem o aplicaţie A-liniară w : X + A a —> J definită inambiguu prin w ( x + X A) = и ( x) + g (X)

Coomologie

197

(aici X + Aa este submodulul lui A generat de X şi a, deci format din elementele x + \a cu x g X şi X g Л). într-adevăr, dacă x1-\-\a = x2 -{- a7 atunci(X 2 — \)a = x1 — x2ţX, deci X2 — X x ga, deei#(X 2 — X1)=^(a?1 — # 2 )etc. Evident, w\X = w, i.e. (X + Aa, ге) g a, deci (X, и) nu este maximal în a, ceea ce este o contradicţie. Observaţie. Condiţia 2) din enunţul propoziţiei 3.1 se poate interpreta astfel : pentru orice ideal a ci A şi orice aplicaţie A-liniară / : a -> J, există xţJ astfel încît /(X) = \x pentru orice X g a. într-adevăr, dacă această condiţie este satisfăcută, aplicaţia A-liniară g : A J definită prin g(k) = lx pentru orice XgA prelungeşte pe / . Invers, dacă g cu această proprietate există, atunci #(X) = Xgr(l) pentru orice XgA, deci /(X) =lg(l) pentru orice Xgct. Din propoziţia 3.1 rezultă că dacă J este un obiect injectiv în categoria It-mod A, atunci J este un obiect injectiv în orice categorie SS-mod Л care conţine pe J, deci putem vorbi de A-module injective fără a preciza universul în care ne găsim. Yom spune uneori ,,modul A-injectiv" în loc de ,, A-modul injectiv". Un A-modul A se zice divizibil dacă, pentru orice element X =f= 0 în A şi orice element y g A, există x Ç A astfel încît Xx = y. Un inel A se zice principal dacă orice ideal a d A este principal, i.e. este de forma a = AX0 eu X 0 gA. De exemplu, inelul Z este principal. COROLAR. Orice A-modul injectiv este divizibil. Dacă inelul A este principal, orice A-modul divizibil este injectiv. Demonstraţie. Fie J un A-modul injectiv, X0 =f= 0 un element în A şi y g J. Considerăm idealul a = AX0 şi aplicaţia A-liniară / : a J definită prin/(XX 0 ) = pentru orice XgA. Există xţ J astfel încît/([x) = [ix pentru orice f^gA. î n particular, у = / ( X 0 ) = l0x, deci J este divizibil. Invers, să presupunem că A este principal şi J divizibil. Fie A CI A un ideal şi f : a ^ J o aplicaţie A-liniară. Există X0 g A astfel încît a = AX0. Întrucît cazul X0 = 0 este trivial, vom presupune X0 =/= 0. Fie y = f(\). Există # g A astfel încît \ x = y. Avem /(X X0) =• = = ty = XX0# pentru orice XgA, i.e. f(\±) = \ix pentru orice [xga, ceea ce termină demonstraţia. TEOREMA 3.1. Fie 11 un univers astfel încît Z g lt. Categoria U-mod A are suficienţe injective. Avem nevoie de două lerne preliminare.

Există nn grup abelian T astfel încît 1) T este injectiv (ca Z-modul). 2) Pentru orice grup abelian ciclic G =f= 0 există un omomorfism nenul G -> T. 3) Cînd Z g U , T este un obiect în U-Ab. Demonstraţie. Fie Q grupul aditiv al numerelor raţionale, T = Q/Z şi ß : Q -> T epimorfismul canonic. Fie G un grup abelian ciclic. Aceasta LEMA 1.

2 198

Teoria categoriilor

înseamnă că există un epimorfism a : Z (?, i.e. G este generat ca grup abelian (deci ca Z-modul) de elementul с = a(l), deci orice element din G este de forma zc cu zÇ Z. Fie К = a - 1 (0) == Ker a. Să considerăm mai întîi cazul J L = 0 , deci a izomorfism. Fie t ţ Q astfel încît 0 < t < 1 şi fie f : Z -> Q aplicaţia definită prin f(z) =zt, z£Z. Atunci / este omomorfism de grupuri şi ф 0, deci ß / a - 1 :G -> T este un omomorfism nenul. Să considerăm acum cazul К ф 0. Atunci există p întreg > 0 astfel încît К = Zp, i.e. К este subgrupul lui Z format din multiplii întregi ai lui p. întrucît G ф 0, avem p ф 1. Avem şirul exact

unde г este incluziunea. Fie t = l / p şi / : Z ^ Q aplicaţia definită prin f(z) = 2ÇZ. Atunci / este omomorfism şi evident ß/i = 0. Eezultă că există şi este unic un omomorfism g:G-*T astfel încît ß/ = g OL. Pentru c = a ( l ) , avem g(c) = ß(/(l)) întrucît t nu este întreg, deci gr 0. Evident, T este Z-divizibil, deci Z-injectiv. î n sfîrşit, cînd Z Ç U, Q € U etc. Lema 1 este complet demonstrată. Fie T un grup abelian. Pentru orice grup abelian Ж, considerăm grupul abelian i r = Homz (Ж, T). A

Dacă Ж este un A-modul la stînga, atunci Ж este un A-modul la dreapta cu înmulţirea definită prin ( A ) (*) =/(X®) pentru / € Ж , XÇA şi Ж. De asemenea, dacă Ж este un A-modul la A dreapta, atunci Ж este un A-modul la stînga cu înmulţirea definită prin

(>/)(*) = / ( * * ) pentru / £ Ж , XÇ A şi Ж. Dacă w : M - + N este un morfism de A-module la stînga (dreapta), atunci û = H o m z (u9 T) = compunerea cu и la dreapta A

A

este un morfism Û : N -> Ж de A-module la dreapta (stînga). Pentru orice A-modul la stînga Ж, Ж este deci tot un A-modul la stînga (se notează Ж = Ж pentru Ж = Ж" şi S = v pentru v = tf). Avem o aplicaţie A-liniară : Ж -> Ж

Coomologie

199

definită prin pentru xţM

şi fÇM.

LEMA 2 . 1 ) Morfismul iM este functorial în M, I.E. pentru aplicaţie A-liniară и : M N, diagrama următoare este comutativă

orice

M-A M

•I Is N-^if 2) Pentru orice A-modul M, î ^ = IA. M M 3) Cînd T satisface condiţiile 1 ) şi 2) din lema 1, iM este monomorfism. 4) Cînd T este Z-injectiv şi и : M -> N monomorfism, $ este epimorfism. 5) Daca T este Z-injectiv şi dacă M este A°-proiectvV, atunci M este A-irtjectiv. Demonstraţie. Pentru 1) şi 2) este o simplă verificare. 3) Fie ж ^ О în i f . Trebuie să arătăm că în Ж. Fie ér CI Jf grupul abelian ciclic generat de elementul ж. întrucît T satisface condiţia 2) din lema 1, există un omomorfism nenul g : G ^ T ; în particular, gr (л?) ф 0. Întrucît T satisface condiţia 1) din lema 1, există un omormorfism de grupuri / : M -> T astfel încît g =f\G. Avem iM(x) ( / ) = = f(x)=g(x)фO. 4) Cînd T este Z-injectiv, functorul contravariant Homz (., T) este Z-exact, în particular duce monomorfisme de grupuri abeliene în epimorfisme de grupuri abeliene. 5) Fie U un univers astfel încît ZÇU şi astfel încît M este un obiect proiectiv în U-mod A°. Evident, M este un obiect în U-mod A. Să considerăm o diagramă и X'^X

'1A

M în categoria U-mod A cu и monomorfism. Evident, X şi X' sînt obiecte în U-mod A°. Întrucît T este Z-injectiv, û este epimorfism. Întrucît M este A°-proiectiv, există o aplicaţie A°-liniară g :M -> X astfel încît diagrama următoare să fie comutativă A û A X'^-X j. ^ iM , , M <—M

2 200

Teoria categoriilor

Prin aplicarea functorului H o m z (., T) obţinem diagrama comutativă i ' Â i 1*. ÎI^M în U-mod Л. Pe de altă parte, întrucît iM este functorial în il/, avem diagrama comutativă M^-X'-^X

«I

J>

l*"

l i i ' Â I Eezultă că g ixu = g uix,

= îM f ix' = îM i A / = / ,

deci diagrama

este comutativă, ceea ce termină demonstraţia lemei 2. Demonstraţia teoremei 3.1. Fie X un obiect în U-mod Л. Fie T un grup abelian cu proprietăţile din lema 1. Există un epimorfism и : F -> X Ä-

A

în U-mod A° cu F liber, deci proiectiv. Atunci X şi F sînt obiecte în A U-mod A, iar din lema 2 rezultă că F este A-injectiv şi că morfismul compus i

X

Ä

Û

A

este monomorfism, ceea ce termină demonstraţia teoremei. Pentru orice spaţiu inelat X , categoria U-Mod X are sufiinjective. Demonstraţie. Eeamintim că, după definiţia categoriei U-Mod X, se presupune că X este un obiect în U-Top şi că Ox este un fascicul pe X cu valori în U-A. Fie F un obiect în U-Mod X. Pentru orice fibra Fx este un obiect în U-mod 6X. După teorema 3.1 există un monomorfism c* .• F _> Г ^ X în U-mod 6X cu Г injectiv. COROLAR.

ciente

M

Coomologie

201

Avem un Modul J pe X (obiect în U-Mod X) definit prin J(U) = Л Iх aÇET

pentru orice mulţime deschisă TJ în X. Morfismele de restricţie şi structura de Modul p e l a lui J se definesc în mod natural. De asemenea, avem un monomoifism s : F -> J care asociază, cu orice secţiune sÇF(U)j secţiunea ( (^»«çu îu J\TJ). Bămîne să arătăm că J este injectiv. Să observăm mai întîi că proiecţiile canonice «7 (17) dau, prin trecere la limita inductivă, morfisme canonice tf : Jx -> Iх. Fie acum и : 31' -> M un monomorfism şi f : ЗГ -> J un morfism în U-Mod X. Pentru orice #, vx : 31x -> Mx este monomorfism şi fx : 31x -> J . în categoria U-mod Ôx. Întrucît Iх este injectiv, există un morfism gx : Mx -> Iх astfel încît diagrama următoare să fie comutativă 3I'X—>3IX

4j*

1-

Pentru orice mulţime deschisă U CZ X, există şi este unică o aplicaţie äx ( TJ)--liniară gv:31(U)->J(U) astfel încît, pentru orice sţ3I(TJ), 9u(s) = (f (**))*eu. Este evident că familia 9 = (9u )U£T(X)

este un morfism de Module pe X şi se verifică uşor că diagrama и M' »M

V este comutativă, ceea ce termină demonstraţia corolaiului. î n particular, categoria 9 (X, U-Ab) are suficiente injective, întrucît este izomorfă cu categoria U-Mod X pentru 6X = Z. Demonstraţia teoremei 3.1 ca şi demonstaţia corolaiului sînt făcute după R. Godement [5].

2 202

Teoria categoriilor

§ 4. d-functori Fie (2 şi в' două categorii abeliene. Yom nota Fonct (в, subcategoria plină a lui Horn (S, (2') formată din functorii aditivi. n DEFINIŢIE. Se numeşte d-functor de la (2 în <2' orice şir T == (T )n^o de functori aditivi T n : (2 -> (2', înzestrat cu o funcţie care asociază cu orice şir exact a : 0 -> A' -> A -> A" -> 0 un morfism dnT (a) : Tn [A") -> (J/) astfel încît să fie îndeplinite condiţiile următoare : 1) pentru orice şir exact 0 A' A A" n

n

0 în (2, şirul

n+1

... -> T ( J.) -> T [A") -> T (A') -> ... (w > 0) este un complex ; 2) pentru orice diagramă comutativă cu linii exacte (în (2) 0 -> A' -> A -> A" -> 0

nI

N[

o _> В' -> Б -> Б" -> 0 diagramele următoare sînt comutative dŞ, («) n+1 Tn{A") »T (A') TN (/") I I îTn+1 (/') Tn(B")

* Т П + 1 (Б')

Dacă T = {T n ) n > o este un d-functor, vom spune că functorul T n este componenta de grad n a lui T. Morfismele (a) se numesc morfisme bord ale lui T ; prin abuz vom scrie sau dn sau simplu д în loc de (а). Dacă T = (T'n)n>0 şi T = (Tn)n>0 sînt d-functori de la (2 în (2', un morfism de d-functori / : T' -> T este o familie f = (fn)n>0 de morfisme functoriale fn : T'n -> Tn care comută cu morfismele bord, i.e. au proprietatea că, pentru orice şir exact 0 A' -> A -> A" 0 în (2, diagramele următoare sînt comutative dn n T' [A") —T'n+1(A') n f U") I I fn+1 U') Ф Ф дп Tn{A") Tn+1{A') pentru toţi n > 0 ; vom spune că fn este componenta de grad n a lui /. Morfismele de d-functori se compun şi se adună pe componente, şi se vede uşor că d-functorii de la (2 în (2' şi morfismele de d-functori for-

203

Coomologie

mează o categorie aditivă (chiar abeliană). Yom nota această categorie prin simbolul d-Fonct ((2, (2'). Pentru orice întreg n >- 0, avem un functor aditiv т:п • d-Fonct ((2, &) -> Fonct (в, в') definit prin TZn ( T) = T n pentru orice d-functor T avem functorul tu°

Şi

7c* ( / ) = / *

orice morfism de d-functnri /. în particular

d-Fonct (<2, e f )

Fonct ((2, (3').

DEFINIŢIE. Un д functor TJ zice universal dacă, pentru orice ô functor T, aplicaţia Horn ( Z7, T) -> Horn ( Î7°, T°) indusă de 7г° este bijectivă. Aceasta înseamnă că, pentru orice morfism functorial 9 : TJ° oxistă şi este unic un morfism de d-functori f :U -> T astfel încît f° = 9. DEFINIŢIE. Fie F un obiect în categoria Fonct ((2, (2'). Yom spune că functorul S este definit în F dacă există un д-functor universal 8 (F) = = (8n(F))n>0 astfel încît Ä°(JF) = F ; dacă S este definit în F, functorii aditivi &W(.F) :<2-><2' se numesc sateliţi la dreapta ai lui F. Dacă 8 este definit în F°, unde J70 : (2°-^(2'° este dualul lui F, atunci se notează Sn (F) = = $w (i*70) componentele lui Я (F°) şi se numesc sateliţi la stînga ai lui J7. Eezultă că 8 este definit în F dacă şi numai dacă există un д-functor 8(F) cu S°(F) = F şi cu proprietatea că, pentru orice d-functor T, aplicaţia Horn (8(F), T) -> Horn (F, T°) indusă de n° este bijectivă. Din teoria functorilor reprezentabili rezultă eă 8(F) (dacă există) este unic pînă la un izomorfism de д-functori. Dacă 8 este definit în F şi în G şi dacă 9 : F G este un morfism functorial, atunci definim f = 8(9) : 8(F) -> 8ţ(G) ca fiind unicul morfism de d-functori satisfăcînd/ 0 = 9. Din propoziţia 1.6.2' rezultă că S este definit în F pentru orice obiect F în Fonct ((2, <2') dacă şi numai dacă există un functor 8 : Fonc ((2, <2') -> d-Fonct ((2, (2') astfel încît 1) 7T° 8 = 1. 2) 8 este un adjunct la stînga al lui тс°. Eezultă că, în acest caz, este un functor de normalizare, evident exact.

2 204

Teoria categoriilor

Să mai observăm că dacă 8 este definit peste tot, atunci, în particular, pentru orice cuplu de obiecte F, G în Fonct (€, €') aplicaţia Horn (8(F), S (G)) -> Horn (F, G) indusă de este bijectivă. întrucît n°8 = 1, inversa acestei aplicaţii este aplicaţia Horn (F, G) Horn (8(F), 8(G)) indusă de S. Eezultă că, dacă 8 este definit peste tot, atunci 8 este un functor deplin fidel. î n cazul general, 8 rămîne un functor deplin fidel, dar este definit numai pe o subcategorie plină a lui Fonct (в, в'). § 5. Criteriu de universalitate î n acest paragraf vom demonstra teorema următoare : TEOREMA 5 . 1 . Fie в o categorie abeliană cu suficiente injective, 6 o categorie abeliană oarecare şi TJ un d-functor de la в în 6' avînd proprietatea următoare : pentru orice şir exact 0 A J N 0 cu J injectiv şi orice întreg n 0, şirul Vn (J) -> TJn (N) Л U^1 (A) 0 este exact. Atunci TJ este universal. Demonstraţie. Fie T un d-functor şi cp : U° T° un morfism functorial. Avem de arătat că există şi este unic un şir (f)i^o de morfisme functoriale f : TJ1 -> Tl -> cu f° = cp şi satisfăcînd condiţiile de comutativitate cu д enunţate în paragraful precedent. Avem gata construit primul termen al acestui şir, anume f° = cp. Fie n > 0. Yom presupune, prin ipoteza inducţiei, că există şi este unic şirul (p)o^i^n cu f° = cp şi satisfacînd condiţiile de comutativitate cu morfismele д pînă la indicele n inclusiv. Totul se reduce atunci la a arăta că există şi este unic un morfism functorial / î ? + 1 : TJn+1 -> Tn+1 care satisface condiţia de comutativitate cu morfismele д. Pentru orice obiect A în <2, alegem un şir exact

Ел = 0 -> A

J

N

0

cu J injectiv. Atunci, pentru orice Aţ Ob ((2), avem o diagramă comutativă TJn (J) —* TJn (N) i n

I

Лл

(A) —> 0

1 ;

—>T"(NTn+1(A)

T (J)

unde 80 = db(EĂ)

şi

Ъ,=д*т(Ел)-

205

Coomologie

Să presupunem că f n + 1 există. Din condiţia de comutativitate cu д rezultă, în particular, că diagrama DA obţinută prin inserarea în DA a morfismului fn+1(A) este comutativă, i.e. = STfn (N).

Г+ЦА)

Aceasta arată mai întîi că / w + 1 este unic (întrucît Sv este epimorfism) şi apoi indică un procedeu pentru definiţia lui / n + 1 . Vom defini aşadar /W+1(JL), pentru orice A £ Ob ((2), ca fiind unicul morfism cu proprietatea că diagrama DA este comutativă. Să arătăm că fn+1 astfel definit este un morfism functorial. Fie A' un alt obiect în в şi A' -> A un morfism. Considerăm şirul exact cu J' injectiv, asociat cu A'. Întrucît J este injectiv, există morfisme J' ->J şi N' ->N astfel încît diagrama următoare să fie comutativă 0 -> A' -> J' \ Ф 0 -> A ->J

N' -> 0

Ф ->0

Eezultă imediat că avem un morfism de diagrame DA> ->DA. Se vede atunci imediat că acest morfism este indus de un morfism de diagrame DA, -> DA . î n particular, diagrama următoare este comutativă Vn^(A')-> J, Tn+1(A')

Z7W+1(A) I Tn+1{A)

->

ceea ce atestă că fn+1 este functorial. Mai avem de arătat că, pentru orice şir exact 0 -> A' -> A -> A" -> 0, diagrama următoare este comutativă Un(A")^>

Vn+1(A')

n

f U")\

U')

î n acest scop vom considera şirul exact EA.. întrucît J' este injectiv, g

există morfisme A-+J' comutativă

h

şi A"-+N' 0

A'

astfel încît să avem

A

>i vL 0 -> A' -> J'->N'

A" -> 0

NL ->0

diagrama

2 206

Teoria categoriilor

Deoarece U şi T sînt d-functori, avem diagramele comutative Un(A")

Un+1(A') a

I u (h) ф

Tn{A")

Il ф

n

n+1

U (2P) - A U

—>Tn+1{A')

Ir (A) ф g'

şi

I 1 Ф

n

(A')

n+1

T (N') - A T

unde b'v = ди (eA') Şi К = дт (Ea,). avem diagrama comutativă n

{A')

Apoi, întrucît fn este functorial,

Un (h)

(A")——»TJn(N')

U

Tn(A")

Tn (h)

î n sfîrşit, după definiţia lui

*Tn{N')

avem diagrama comutativă s'

TJn (N') - A TJn+1

j

jf

{A') n+1

(A>)

Tn(N')-%Tn+1(A')

Eezultă că r+1(A') =

S'rfn M

dU=R+1(A')

^ TJn (h)

=

Tn (H)F* {A") =

UN (H) =

Г (A"),

ceea ce termină demonstraţia teoremei. Observaţie. î n demonstraţie am folosit proprietatea din enunţ a lui TJ numai pentru şirurile exacte alese EA. § 6. Teoremă de existenta pentru sateliţi Fie в şi & două categorii abeliene şi F : <2 Să considerăm o diagramă (în (2). 0-> •I 0 -+A

S' un functor aditiv»

J ^ N ^ O -

cu linii exacte şi cu J injectiv. Există morfisme g :J±->J şi h : N1->2f care scufundă ' diagrama precedentă într-o diagramă comutativă, i.e. д$г = $u şi = agr; evident Л este unic determinat de alegerea lui g.

207

Coomologie

Rezultă că avem o diagramă comutativă

F(J)

F

-^>F(N)

deci există un morfism Q(u): Coker F ( ax) diagrama următoare să fie comutativă F(N±)

Coker

F{h)

\,

Coker F (OL) astfel încît

Fi^)

J,0(M> Coker F ( a)

F(N)

unde p şi p1 sînt epimorfisme canonice de conuclee. Similar, există şi este unic un morfism 0' (u) : Ker F ( ax) —> Ker F ( a) astfel încît diagrama următoare să fie comutativă Ker

F(OL1)-^F(J1)

6'(«>J Ker F (л)

^F(g) -^F(J)

unde s şi e1 sînt incluziuni (i.e. morfisme canonice de nuclee). Această construcţie a morfismelor 0(w) şi 6' (t/) se face pentru orice morfism и : A1 -> A menţinînd fixe liniile exacte 0 -> A± -> J± -> N± 0 şi 0 - > l - > J cu J injectiv. LEMA 6 . 1 . Morfismele %(u) şi 0' (u) nu depind de alegerea lui g şi Ti şi avem + = e(%) + Ş* + = + & (Щ) pentru orice cuplu de morfisme u17 u2 g Horn (Av A). __ Demonstraţie. Dacă (g, h) este alt cuplu de morfisme g : J1->J şi h : N1 -> N astfel încît

g

= ßu şi h

= ад,

atunci (g— g) ßx = 0, deci există (şi este unic) un morfism s : încît g = g + s ocj. Avem (h 4- <*s) aj = Haj + as аг = Ь аг + a (g — g) = agi, de unde h = h + as,

astfel

2 208

Teoria categoriilor

deci F(h) = F (h) + F

(OL)

F (8).

Eezultă că pF(h)

=

pF(h)

întrucît p F (OL) =0j deci morfismul §(u)p1 nu depinde de alegerea lui g şi h, deci Q(u) nu depinde de alegerea lui g şi h (întrucît p± este epimorfism). î n mod similar se vede că §'(u) nu depinde de alegerea lui g şi h. Fie acum ux şi u2 două morfisme de la A1 în A şi и = % + u2. Dacă (gi9 /&.), i = 1, 2, este un cuplu de morfisme satisfăcînd condiţiile de comutativitate pentru (i.e. gt ßx = şi lii ax = ctg), atunci cuplu] (9i + 9 21 \ + satisface condiţiile de comutativitate pentru и = щ + u2. Din cele precedente rezultă că putem calcula 0(wx), 0(^2) Şi folosind cuplurile (g19 hL) (g2, Л2) şi (gfx + i/2, Ai + Ä2) respectiv. Eezultă că 0(W) = e ( ^ ) + e(u 2 ). Similar avem"6'(u) = Ъ (u±) + Q'(u2). Pentru A1 = A,J1 = J şi Ж1 = JV, 0 (1 л ) = 1 şi 6' (1Л) = 1. Să considerăm acum un al treilea şir exact 0 -> A2 -> J2 -> N2 -> 0 cu J2 injectiv, şi fie v : A -> un morfism. COROLAR.

LEMA 6 . 2 .

6(T?W) =

6(T?) Q(u)

şi

W(vu)

=

6 (Г?) 0(М).

Demonstraţia este imediată. COROLAR. Cînd J± este injectiv şi и izomorfism, 0(W) şi 0'(W) izomorfisme. Demonstraţie. Yom demonstra corolarul pentru 0(w). Există v : A->Aj astfel încît vu = lAl şi uv = 1A. Întrucît J1 este injectiv, 0(v) este definit. Dinlema precedentă rezultă că 0(v) 0(м) = 0(гж)=1. Similar 0(w) Q(v)=l. TEOREMA 6 . 1 . Fie <2 o categorie abeliană cu suficiente injective şi (2' o categorie abeliană oarecare. Functorul S este definit în F pentru orice obiect F în Fonct ((2, (2'). Demonstraţie (după H. Cartanşi S. Eilenberg [3]). Fie F un functor aditiv. Avem de arătat că există un d-functor universal 8(F) = (8n F)n>0 cu 8° F = F. Pentru orice obiect A în (2, alegem un şir exact

EA:0

^ A->J

^ 0

cu J injectiv. Această alegere fiind făcută, vom defini functorul aditiv 8XF : <2 -> S' în modul următor. Pentru orice obiect A în <2, vom considera şirul exact EA şi vom pune 8XF (A) = Coker F (OL).

209

Coomologie

De asemenea, pentru orice morfism и : A 1 -> A în

vom pune

1

8 F(u) = 0 (v) unde 0(w) este definit folosind şirurile exacte alese EAl şi Ел. Din lemele 6.1 şi 6.2 rezultă că S*F astfel definit este un functor aditiv. Yom defini atunci şirul 8(F) = (8nF)n>0 de functori aditivi snF : e -> e' prin gn+1F _ S1(S*F), S°F = F. Din definiţie rezultă că, pentru orice obiect A i n £ şi orice întreg n >- 0, avem un şir exact 8nF(J)

8nF (N) -> 8nnF(A)

-> 0,

unde 0 ^ A J -> JV -> 0 este şirul exact ales EA. un şir exact. F (J)

î n particular, avem

F (N) -> №>F (A) -> 0,

unde a doua săgeată este epimorfismul canonic al conucleului. Să definim acum morfismele bord. Fie 0 -> А' Д А Л- A" şir exact în (2. Considerăm şirul exact ales

întrucît J' este injectiv, există morfisme g : A ->J' astfel încît diagrama următoare să fie comutativă ij

J* 3'

0 un

şi h : A"

lh a'

Rezultă că avem o diagramă comutativă F (A)

-^*F(A")

^(g)J^

^F(h)

F(N')-^-*SLF(A')

F(J')

unde 8'° este epimorfismul canonic al conucleului. Din lema 6.1 rezultă că morfismul §'°F(h) nu depinde de alegerea lui g şi Ji. Yom defini morfismul bcrd d° : F (A")PF prin d° =

*'°F(h),

(A')

2 210

Teoria categoriilor

deci avem d°F(v) = 8,0F(h)F(v)

= 8'0F(oi')F(g)

=0.

n

înlocuind F cn 8 F, obţinem, prin iterare, pentrn orice întreg n !> 0, morfisme bord dn :8nF(A") 8n+1F(A') definite prin formulele

dn =

unde 8 , n : 8nF (N')Sn+1F deci dn8nF(v)

8>n S n F

(A') este conucleul canonic al lui /Sf^(a'), = 8'n 8nF(hv)

= 8'nSnF(oi'g) = 0.

î n cazul cînd şirul putem lua JI = 1, deci, în acest caz,

coincide cu şirul ales E A ,.

dn = 8/n.

Astfel 8 /n este morfismul bord de grad n asociat şirului exact EA>. Eezultă că, pentru orice obiect A în в şi orice întreg n >- 0, avem un şir exact 8nF('J)^^

8nF(N) ^

Sn^F (A) -> 0,

unde 8я este morfismul bord de grad n asociat cu şirul exact Ел :0 A -> N 0. Yom ^răta că şirul 8(F) = (8nF)n>0 înzestrat cu morfismele bord definite mai sus este un d-functor. Pentru aceasta să considerăm mai întîi o diagramă comutativă \f

;/

\t»

cu linii exacte. Avem de arătat că, pentru orice întreg n ;> 0, diagrama următoare este comutativă 8«F(A")-?L

8n+1F(A')

8nF(B")-^8n+1F(B') unde dn este morfismul bord asociat şirului exact 0 -> В' -> В -> В" 0. Ţinînd seama de modul în care am definit functorii SnF şi morfismele bord, este suficient să demonstrăm comutativitatea acestei diagrame în cazul n = 0. Fie Ев* : 0 - > j B ' - > J - > N - > 0

211

Coomologie

şirul exact cu J injectiv ales pentru В'. Să considerăm diagramele următoare 0 A -+A" — 0 i" i i 0 -*• B' -*• В - » • B" — 0 J1 B' ->• J 0 N —0 0

A'^ i*

A -+A" — 0

0 0

J' — N' i" B'

0

J -*• N — 0

Din^ lema 6.2 rezultă imediat, ţinînd seama de definiţia morfismelor д°, d° şi Я ^ Ч Я , că avem =S1F(f')d°

d°F(f")

ceea ce reprezintă comutativitatea diagramei noastre în cazul n = 0. Vom arăta acum că, pentru orice şir exact 0 -> A' ->A A" ->0, şirul F(u)

F (A') —^F(A)

Fiv)

d°

—4 F (A") —» SXF {A')

SVFftt)

&F(A)

S*F(v)

... 1

este un complex. Întrucît vu = 0, avem F(v)F(u)= 0 şi №F (v) S F(u) = 0. Ştim că d°F(v)= 0. Folosind iterarea este suficient să mai arătăm că 81F(u) d°=0. Or, morfismul 8^(и)о° se obţine cu ajutorul lemei 6.2 din diagrama următoare 0 — А' I1

А Л A" — 0

0 — A'

J' — N' — 0

J.

o-

1 1 , / Д

j

unde linia a doua este E A ,, iar linia a treia este Е л . Eezultă că pentru a calcula morfismul 8гЕ{и) putem folosi diagrama comutativă

I«

|S

|.O

()-* А Л J Л ж şi deci S^iu)

o

<>° _ 0. Astfel S(F) este un д-functor.

2 212

Teoria categoriilor

Mai departe, pentru orice şir exact ales E A avem un şir exact 8aF(J)

SNF{

A)

» SnF(N)

8N

Sn+1JP(A)

0.

Din teorema 5.1 şi observaţia la această teoremă rezultă că d-functorul 8(F) este universal, ceea ce termină demonstraţia teoremei 0.1. Observaţie. Construcţia d-functorului universal 8(F) satisfăcînd 8°F = F a fost făcută folosind o funcţie E care alege, pentru orice obiect A în (2, un şir exact EA : CU J injectiv. Dacă considerăm o altă funcţie de alegere, să zicem E, atunci obţinem un alt d-functor universal S(F) satisfăcînd S°F — F. Din universalitate rezultă însă că cei doi d-functori sînt canonic izomorfi, i.e. există un unic izomorfism de d-functori 6 : 8(F) S(F) astfel încît 0C — 1 F . COROLARUL 1. Fie (2 o categorie abeliană cu suficiente injective si o categorie abeliană oarecare. Pentru orice d-functor universal U=(Un)n>0de la (2 în (2' fi orice obiect injectiv în (2, avem Un(J) —0 pentru n >-1. Demonstraţie. într-adevăr, să considerăm alegerea de şiruri exacte E astfel încît, pentru orice obiect injectiv J, să avem Ej : 0->J->J->0->0. Atunci, pentru F = TJ°, din definiţia lui 8F rezultă că SnF(J) = 0 pentru J injectiv şi n > - 1 . Cum TJ este izomorf cu 8F, avem de asemenea TJn(J) = 0 cînd J este injectiv şi п^>Л. COROLARUL 2 (reciproca teoremei 5.1). în condiţiile corolarului precedent, pentru orice d-functor universal TJ de la 6 în (2', orice şir exact 0->A->J->N->0 cu J injectiv şi orice întreg n^> 0, avem şirul exact

Un (J)

Un (N) -> Un+1 (A)

Mai mult, pentru n^> 1, avem chiar un TJn(N)^

0 izomorfism

TJn+1 (A).

Demonstraţie. Fie dat un şir exact 0 -+A ->J —> J\7->0. Vom considera o alegere E de şiruri exacte astfel încît EA să fie chiar şirul considerat. Atunci, pentru F = TJ°, din definiţia lui 8(F) rezultă că, pentru orice între n >- 0, avem un şir exact 8nF(J) — 8nF(N)^

8n+1F(A)

— 0,

unde 8n este morfismul bord de grad n asociat şirului exact EA. Apoi 8nF(J) = 0 pentru 1 (după corolarul precedent) şi TJ este izomorf cu 8(F) etc.

213

Coomologie

§ 7. d-functori exacţi Fie <2 şi <2' dona categorii abeliene. DEFINIŢIE. Un functor aditiv F : <2-><2' se zice semiexact dacă, pentru orice şir exact 0 -> A' -> A -» A" - > 0 în (2, şirul ->F(A") este exact. De exemplu sînt semiexacţi functorii aditivi exacţi la stînga şi functorii aditivi exacţi la dreapta.

d-functor T = (Tn)n^ode dacă, pentru orice şir exact DEFINIŢIE. U U

T° (A') -> T° (A)

la (2 în (2' se zice exact (2, şirul infinit

T° (A") Л T1 (A')

...

este exact. Un d-functor T se numeşte d-functor coomologic dacă este exact şi dacă T° este exact la stînga, i.e. dacă pentru orice şir exact 0 -> A' A -> A" 0, şirul infinit 0

T° {A')

T° (A)

T° (А") Л T 1 ^A') -> . . .

este exact. Din definiţie rezultă că, dacă T este un d-functor exact (resp. d-functor coomologic), atunci functorul aditiv T° este semiexact (resp. exact la stînga). TEOREMA 7 . 1 . Fie (2 o categorie abeliană cu suficiente injective şi (2' o categorie abeliană oarecare. Pentru orice d-functor universal TJ = ( TJn)n^o de la (2 în (2', condiţiile următoare sînt echivalente : 1) TJ° este semiexact. 2) U este exact. Demonstraţie (după H. Cartan şi S. Eilenberg). Ştim că 2) implică 1). Pe de altă parte, întrucît TJ este universal, ûœS(U°). Avem de arătat deci că dacă F : <S->(2' este un functor aditiv semiexact, atunci o-functorul S(F) este exact. Fie 0 A' A—> A" 0 un şir exact în в. Dux>ă definiţia iteiată a lui bnF, totul se reduce la a arăta că şirul (A') -> 81F(A) -> tfFiA")

este exact (i.e. functorul aditiv 8 X F este semiexact) şi că şirul F (A) ^^(^L) este exact. Yom face demonstraţia în trei paşi. Mai întîi o observaţie. Pentru construcţia lui S*F se foloseşte o funcţie E care alege, pentru orice obiect A în un şir exact EA:0-+

A^+J

N

0

2 214

Teoria categoriilor

cu J injectiv. Modificarea acestei funcţii are ca efect, după cum ştim, o modificare a lui S(F) numai pînă la un izomorfism de d-functori. Or, aserţiunile ce le avem de demonstrat sînt invariante la izomorfismele de d-functori. De aceea, avem voie ca, în cursul demonstraţiei, să modificăm convenabil funcţia E în aşa fel ca anumite şiruri exacte care vor apare în demonstraţie să coincidă cu şirurile exacte alese de E. Pasul 1. 8XF este semiexact. După propoziţia 1.3, putem scufunda şirul exact 0-+A'-+A->A"->0 într-o diagramă comutativă

0

0 0 0 t Ф 1 A' ->A-+A"

0 ->J' 1 0

1

->N->N"

i0

Ф 0

1 0

cu linii exacte şi cu J', J, J" obiecte injective. întrucît Jf este injectiv, linia de la mijloc este directă. După observaţia de mai sus, putem presupune că funcţia de alegere E este astfel încît şirurile alese EA,, EA şi EA" coincid cu coloanele diagramei precedente. întrucît functorul aditiv F este semiexact şi întrucît şirul O J' J -> J" este direct, avem diagrama comutativă cu linii exacte : F(J') ->F(J)

->F(J")->0

I Ф Ф F(N')->F(N)->F{N') Din definiţia lui 8XF şi din duala lemei 1.12.2, rezultă că şirul următor este exact 8lF(A')

8lF(A)

->

81F(A"),

i.e. 8XF este semiexact. Pasul 2. Şirul F (А") ^ 8ХЕ{А') 8XF(A) este exact. Să considerăm şirul exact ales EA : 0-> A ~>J ->N-> 0 cu J injectiv. Construim o diagramă comutativă Q —*• A 0—

JX t

A"^ f i

N• I1 N

215

Coomologie

în care liniile sînt exacte şi primul pătrat este cocartezian. întrucît v este un conucleu al lui и din duala propoziţiei 1.11.4, rezultă că w este un conucleu al lui ßw, deci şirul ß« to este exact. Astfel avem diagrama comutativă cu linii exacte W ßu A' J -+M-+ 0 0 [x i1 ß 0— A J 1« «4 [A M 0 -+A" о şi în care linia de la mijloc este şirul ales E Ä . î n plus, după observaţia de la începutul demonstraţiei, putem presupune că funcţia de alegere E este astfel încît prima linie coincide cu şirul ales E A t. Întrucît F este semiexact, avem diagrama comutativă cu linii exacte 0

st F(A")

>F{J)

—>F(J)

J/*400

F{W)

\,

F(M)

^>F(N)

Din duala lemei 1.12.2 şi din definiţia lui S*F rezultă că avem un şir exact F {A") X &F{Af) SXF (A), unde y = 8'°F([l) şi §'° conucleul lui F(w). Dar diagrama următoare este comutativă a A^ A" 0 -»• A' l» ßu l» 0 -»• A' M astfel că, după definiţia lui у = д°. Pasul 3. Şirul F (A) ->F(A") -> S1F(A') Să considerăm şirul ales EA, : 0 A' ^ J' X W şi să construim un pătrat cocartezian i ' ^ i И . IJ' M

este exact. 0

2 216

Teoria categoriilor

Atunci i şi s sînt monomorfisme iar pătratul se scufundă într-o diagramă comutativă cu linii şi coloane exacte 0 i

0 1

ß'l

j.

|i

o - + J ' Л Jf Л A" a'l |r N' X

o

N'

1 4 0 0 î n plus linia de la mijloc este directă întrucît J' este injectiv. Eezultă că avem o diagramă comutativă cu linii exacte F(J')

F(M)

il

F (A") -> 0

J F (r)

!e

Rt F(J')

F(N') — ^

^ №F(A')

0

unde 8' este conucleul lui F(OL')9 deci este morfismul bcrd de grad 0 asociat cu şirul exact FA,. Deci există şi este unic un morfism 0 : F(A,,)->S1F(AF) care înserat în diagrama precedentă o lasă comutativă, i.e. QF(q) = 8 'F(r). î n plus 0 depinde functorial de şirul exact a : 0 -> A' -> A -> A " -> 0. Din duala propoziţiei 1.7.2, rezultă că al doilea pătrat al diagramei precedente este cocartezian, Astfel avem diagrama comutativă F (S)

F (R)

Fx(A) —» F {M)

|

^

j™

—»

F(N') 8

j'

F (A) în care linia de sus este exactă (întrucît F este semixeact) iar pătratul din dreapta este cocartezian. Din duala lemei 1.12.1, rezultă că şirul F (A) *-%F(A")

(A')

este exact. Evident, acest şir rămîne exact cînd înlocuim 0 cu — 6. Yom arăta că - 6 = ö°.

217

Coomologie

Să presupunem mai intîi că şirul a : 0 - > A ' - > A ~ > A " coincide cu şirul ales Е'л> : 0->A'->J'->N'->0. î n acest caz avem de arătat că 0 = ' —- 8', deci că 8'F(q + r) = 0. întrucît ß' = и şi oc' = v, rezultă că (e — i) и = 0, deci există s : N' -> M astfel încît e — i = sv. Avem qsv = q(z — i) = qz — qi = v, deci gs = 1 (întrucît v este epimorfism). Similar, rsv = r ( z — i) = r £ — ri = — a' = — deci r* == — 1. Eezultă că M este o sumă directă a cuplului ( J', JV) cu injecţii canonice i, deci F (Ut) este o sumă directă a cuplului ( F ( J ' ) , F(N') cu injecţii canonice JF (г), JF (s). De aceea, pentruaarăta că 8 'F(q + r ) = 0 , este suficient să arătăm că 8'F(q + r) F(i)=0 şi 8'F(q + r) F(s) = 0. Or, S'F(q+r)F(i)=b'F(qi+ri)=VF(aL')=0 şi 8'F(q + r) F(s) = 8F(qs+rs) = = 8F(0) = 0. Astfel, în cazul particular considerat, 0 = — 8'. î n cazul general, avem o diagramă comutativă ij

ß' а' 0 0 deci un morfism de diagrame (1, EA. Întrucît 0 depinde functorial de şirul exact a, rezultă o diagramă comutativă F(Af,)-UsiF(A')

# F(N')

j1

-A^(A')

i.e. в = — 8'F(h) = - d°, ceea ce termină demonstraţia teoremei. § 8. Functorul R° Fie в şi 6' categorii abeliene. Yom nota Se ((2, 6') subcategoria plină a lui Fonct ((2, 6') avînd ca obiecte functorii exacţi la stînga. De exemplu, cînd (2 este o U-categorie şi (2' = U-Ab, pentru orice obiect X în (2, Н о т (X, • ) este un obiect în Se (S, (2'). Avem functorul de incluziune i : Se (<2, <2') -> Fonct (6, (2') care este deplin fidel. Se notează _B° un adjunct la stînga al iui i. Eezultă că, pentru F un obiect în Fonct (<2, (2')? R° este definit în F dacă şi numai dacă

2 218

Teoria categoriilor

avem un cuplu (R°F, pF) cu B°F obiect în Se (6, (2') şi pF : F -> R°F morfism functorial, avînd următoarea proprietate universală : pentru orice obiect в în Se ((2, (2') şi orice morfism functorial 9 : F->G există şi este unic un morfism functorial 9 : R°F -> G astfel încît diagrama următoare să fie comutativă F

—R°F

Dacă R este definit în F şi F' şi dacă 9 : F'->F este un morfism functorial, atunci JB°9 : R°F' R°F este unicul morfism functorial care face comutativă diagrama Pir"

F'—>

R°F'

Ф

1

F p —R°F Evident, R° este definit în F pentru orice obiect F în Se (<3, &'). î n acest caz se ia R°F = F şi pF = 1F. Cu această alegere avem R°i = 1. Bezultă că dacă R° este definit peste tot pe categoria Fonct (S, S'), atunci este un functor de completare. TEOREMA 8 . 1 . Dacă (2 are suficiente injective, ESTE definit peste tot pe categoria Fonct ((2, (2') şi este un functor exact. Demonstraţie. Vom considera o funcţie E care alege, pentru orice obiect A în (2, un şir exact Е л : 0 -> A -> J - > Ж -> 0 cu J injectiv. Presupunem, în plus, că, pentru orice obiect injectiv J în (2, Ej este şirul

Fie F : (2 <2' un functor aditiv. Vom stabili existenţa functorului R°F într-un număr de paşi. Mai întîi o definiţie. U n functor aditiv G:(2->(2' se zice separat dacă, pentru orice monomorfism и în (2, G(u) este monomorfism în <2'. Pasul 1. Definiţia functorului F+. Pentru orice obiect A în (2, considerăm şirul exact ales EA şi punem F+(A)

= Ker -F(a).

De asemenea, pentru orice morfism и : Аг->А, vom pune (vezi § 6) F+ (и) = 0'(u), unde d'(u) se defineşte folosind şirurile exacte alese Ea, şi EÄ. Din lemele 6.1 şi 6.2 rezultă că F+ este un functor aditiv de la (2 în (2'.

219

Coomologie

Pasul 2. Functorul F+ este separat. într-adevăr, să presupunem că и : А г ->А este un monomorfism. Avem o diagramă comutativă cu linii exacte 0 - A 0

0

-+A 4 -*• A

ßi

,

a.

Xi

- * •

M

0

0

* N

— 0

unde linia de sus este EAl, iar linia de jos EA. Folosind această diagramă, putem defini Q'(u) şi 0'(1). Evident, 0'(w) este monomorfism. Din definiţia lui F 1 ' (u) şi din lema 6.2 rezultă că F+(u) = 6'(tt)6'(l) iar din corolarul la lema 6.2 rezultă că 0'(1) este izomorfism. Astfel F+ (u) -este monomorfism, deci F este separat. Pasul 3. Dacă F este separat, F+ este exact la stînga. Fie 0 -> А' Л А Л A" -> 0 un şir exact în (2. După propoziţia 1.3, avem o diagramă comutativă 0 0 0 1 i i A' -*• J' -*• N' — 0 i i _ i A J N —0 \r i i A' 0 i i 0 0 0 în care toate liniile şi toate coloanele_sînt exacte, prima linie este E A f , a triea linie este EA", iar obiectele J', J, J" sînt injective. Eezultă o diagramă comutativă 0 1 0-*F+(A')

0 0 1 1 ->F(J')-+F(N')

6' (u) I 0 —Ker^(ă)—

J, FÇ3)

Q-+F+ (A")

-+F(J")

I F(N)

2 220

Teoria categoriilor

cn linii exacte şi coloanele a d o u a şi a treia exacte (pentru coloane se ţine seama că şirul 0 -> J' -> J > J " -> 0 este direct şi că F este separat). Din propoziţia 1.7.2 şi lema 1.12.1 rezultă că şirul 0 ->F+(A')

0'(u) 0'(u) * Ker F(~ôl) *F+(A")

este exact. Să considerăm diagrama comutativă 0-+A' N —0 i A 1 o — ^ -»• J -»- N -+0 Q-+ A 4 0 — ^1"

j 1

0 N 1 -+N" — 0

unde linia a treia este EA. Folosind această diagramă, definim peO'(w), 0'(1) şi 0'(г>). Din definiţia lui F+(u) şi F+(v) şi din lema 6.2 rezultă că F+(u) = 0'(1) Q'(u) şi Q'(v) = F+(v)

0'(1),

iar din corolarul la lema 6.2, că 0'(1) este izomorfism. Astfel şirul jP-f- (u) JP+(U) 0 -*F+{A') —-*F+(A) *F+{A") este de asemenea exact. Pasul 4. Avem un morfism functorial p : F ->F+. 0 a într-adevăr, să considerăm şirul exact ales EA Avem JP(a) F($)=0, deci există şi este unic un morfism p(A): F(A)->F+ astfel încît să avem

(A)

F(ß) = ep(A), unde г : F+(A)-> F(J) и este monomorfismul canonic. Fie acum A un morfism în (2. Considerăm şirul exact ales EAl şi avem, ca mai sus, F(M = ^(AJ. Apoi avem o diagramă F (A,) F (A)

(AJ^Ffa) (A)

Î+F(J)

221

Coomologie

unde g : J1->J este astfel încît g ßx = ßw. Pătratul din dreapta este comutativ după definiţia lui F^ (u). Dreptunghiul este comutativ întrucît s p (A) = F (ß), гг p (Ai) = F (ßj) şi întrucît F este functor. Eezultă că pătratul din stînga este comutativ (se ţine seama că г este monomorfism), i.e. p este morfism functorial. Pasul 5. Pentru orice obiect G în categoria Se ((2, €') şi orice morfism functorial cp : F -> G există şi este unic un morfism functorial o^ : F+ -> G cu proprietatea că diagrama următoare este comutativă F-Ï—+F+ \

R

G

într-adevăr, să considerăm, pentru orice obiect A în (2, şirul exact ales EA . Avem o diagramă comutativă F (A)

(A)

1

F(J)

—>F(N)

j/C?(J) 0 _ ö (A)

™

-,

CPUV) N|;

G(J)^G(N)

cu linia de jos exactă (întrucît G este exact la stînga). Vom nota această diagramă prin D(A). Eezultă că există şi este unic un morfism G (A) care inserat în diagrama precedentă o lasă comutativă. într-adevăr, mai întîi există şi este unic
(A) = 9(J)

s.

Întrucît G(ß) este monomorfism, se vede că avem de asemenea 7 (A) = c p + ( l ) p ( i ) . и Dacă avem un morfism A ^ A, atunci considerăm şirurile exacte alese EAX şi EA şi avem un morfism de diagrame (u, g, h) :

EAX

->

EA

care induce un morfism D(AX)

->D(A).

Se deduce că diagrama următoare este comutativă F+ IU)

F4A±)—-*F+{A) ^?+ (A)

G(A,)

G

(И)

*G{A)

2 222

Teoria categoriilor

саге arată că
9 =

Fie acum ф : F+->G un alt morfism functorial astfel încît 9 = фр» Vom arăta că ф == 9+. Fie A un obiect în (2. Avem diagrama comutativă. -+A n 0 -*J —J

J

o ->0

în care linia de sus este EÂ, iar linia de jos Ej. Rezultă că diagrama următoare este comutativă ^F(J)F-^F(N)

F+(A) F+(J)=F(J)

J,™ I1

I

F(J)

*0

i.e. e = . F + ( ß ) . Pe de altă parte, întrucît ф este functorial, avem diagrama comutativă F+(A) в (А)

F+(J) =F(J) <J/(J) = ф(«7) G(J)

Eezultă că 0(Р)ф(А) = 9 ( J ) deci ф (A) = 9 +(A) +

după definiţia lui 9 (A). Pasul 6. Definiţia lui B°F. Yom defini B°F cum urmează. Cînd F este exact la stînga, B°F = = F. Cînd F este separat, fără a fi exact la stînga, B°F = F+. î n rest vom pune R°F = (F+)+. Evident, functorul F (F+)+ este izomorf cu functorul R°. Pasul 7. Functorul B° este exact. Fie 0 ->F' ->F ->F" un şir exact în categoria Fonct ((2, (2'). Pentru orice obiect A în (2, considerăm şirul exact ales E A şi avem diagrama comutativă 0 ->F'(J) -+F(J) ->F"{J) FR (A)^

JP(A)

N[/

J/^"

(A)

0 ->F' (N) -^F {N) ->F" (N)

22a

Coomologîe

Luînd nucleele rezultă, în virtutea lemei 1.12.2, că avem şirul exact {A) ->F"+

0 ->F'+(A)

(A).

Interînd, obţinem un şir exact 0 -> B°F' (A) -> B°F (A) -> B°F" (A) Pe de altă parte, fiind un adjunct la stînga al lui i, B° este exact la dreapta. COROLAR. în ipotezele teoremei 8.1, categoria Se ((2, (2') este abeliană. Demonstraţie. După corolarul 1 la teorema 1.13.2. Observaţie. î n condiţiile teoremei 8.1, avem B°F(J) = F(J) pentru J injectiv. într-adevăr, Fj : 0 J J -> 0, deci, după definiţia lui F+f + + avem F+(J) =F(J) şi, iterînd, (F ) (J) =F+(J) =F(J). Astfel B°F(A) =F(A) cînd F este exact la stînga sau cînd A este injectiv.

§ 9. Functori derivaţi Fie (2 şi (2' două categorii abeliene. Dacă functorii B° şi 8 există (i.e. dacă B° şi 8 sînt definiţi în F pentru orice functor aditiv F : (2->(2'), atunci avem situaţia descrisă în diagrama următoare Fonct ((2, (2')

9-Fonct ((2, <2')

'i î* Se ((2, (2') Beamintim că 8 este un adjunct la stînga al lui satisfăcînd ti0 8 = 1, iar B° un adjunct la stînga al lui i satisfăcînd B°i = 1. DEFINIŢIE. Dacă (2 şi (2' sînt astfel încît functorii B° şi 8 există, vom defini functorul В : Fonct ((2, (2') -> Э-Fonct ((2, (2') prin egalitatea В = Si B° şi vom spune că В există. Mai general, dacă F : <2->(2' este un functor aditiv astfel încît B°F şi S(F) există, atunci definim 3-functorul B(F) de la (2 în (2r prin egalitatea B(F) = S(B°F).

2 224

Teoria categoriilor

Din definiţie rezultă că В (F) dacă există este un д -functor universal şi componenta sa de grad zero coincide cu B°F. Dacă F este exact la stînga şi dacă B(F) există, atunci B°F = JF, deci B(F) = 8(F). DEFINIŢIE. Cînd д-functorul universal B(F) există, componentele sale se notează BnF şi se numesc functorii derivaţi la dreapta ai lui F. Dacă F° : este dualul lui F şi dacă B(F°) există, componentele lui B(F°) se notează LnF şi se numesc functorii derivaţi la stînga ai lui F. Eeamintim că un д-functor T se numeşte d-functor coomologic dacă, pentru orice şir exact 0 -> A' -> A -> A" -> 0 în categoria в, şirul 0 -> T°(A') -> T°(A) -> T°(A")^

Тг(А')->..

.

este exact. TEOREMA 9 . 1 . Dacă <S are suficiente injective, functorul В există şi, pentru orice functor aditiv F : в ->£', В (F) este un d-functor coomologic. Demonstraţie. După teoremele 8.1, 6.1 şi 7.1. TEOREMA 9 . 2 . Pentru <S cu suficiente injective şi orice functor aditiv exact la stînga F : 6 ->€', д-functorul В (F) = 8(F) există şi are proprietăţile următoare : i) B°F = F, ii) BnF(J) = o pentru J injectiv şi n >-1, iii) B(F) este un d-functor coomologic. Invers, orice d-functor JJ = (UN)N^OCU proprietăţile i)—iii) este canonic izomorf cu B(F). Demonstraţie. Existenţa lui B(F) este asigurată de teorema precedentă. Faptul că B(F) are proprietăţile i) —iii) rezultă din egalitatea B(F) = 8(F) (care este adevărată întrucît F este exact la stînga). Pe de altă parte, orice д -functor cu proprietăţile ii) şi iii) are proprietatea din teorema 5.1, deci este universul etc. Exemplul 1. Fie S o U-categorie abeliană cu suficiente injective şi A un obiect în в. Ştim că functorul F : (S -> U-Ab definit prin F (В) = = Н о т (А, В) şi F (и) — Н о т (А, и) este exact la stînga. Se notează Extg (A, .) functorii derivaţi la dreapta ai lui F. Din teorema 9.2 rezultă că d-functorul Extg (A,.) există şi este caracterizat, pînă la un izomorfism de д -functori, de proprietăţile următoare : i) Ext§ (А, В) = Н о т (A, B), ii) Ext'e (A, J) = 0 pentru J injectiv şi n >- 1, iii) Exte (A,.) este un d-functor coomologic de la в în U-Ab, i.e. pentru orice şir exact О - ^ Б ' - ^ В - ^ Б ' - > 0 în (2, şirul

0 ->Hom5 este exact.

(A, B') -> Honi£ (А, В) - > Н о т е (А, В") Л E x t | (A, B') -> . . .

225

Coomologie

Exemplul 2. Fie (2 = U-mod Л şi A un obiect în U-mod A°. Functorul F : <2 U-Ab definit F (В) = А ®A В şi F(u) = 1A ®A и este exact la dreapta, deci dualul său F° este exact la stînga. Întrucît (2 are suficiente proiective (corolarul 2 la propoziţia 2.1), (2° are suficiente injective. Din teorema 9.2 rezultă că functorii derivaţi la stînga ai lui F, notaţi Tor£ (A,.), există şi că д -functorul TorA (A,.), este caracterizat, pînă la un izomorfism de д -functori, de proprietăţile următoare i) Tor£ (A, B) = A ® A B, ii) Tor^ (A, B) = 0 pentru В proiectiv (în (2) şi n > 1, iii) Тог л (A, .) este un d-functor coomologic de la (2° în (U-Ab)°, i.e. pentru orice şir exact 0 В' -> В -> В" -> 0 în (2, şirul . . . - > T o i f ( A , B")^A ®AB' -> A ®AB -> A ®AB" -> 0 este exact. Un studiu detaliat al д -functorilor Ext şi Tor cu aplicaţii se găseşte în H. Cartan şi S. Eilenberg [3], A. Grothendiech [6], E. Godement [5], S. Mac Lane [8] şi I. Bucur [1]. § 10. Calculul functorilor derivaţi Fie в şi două categorii abeliene şi F : (2 -> (2' un functor aditiv exact la stînga astfel încît д-functorul В (F) există. DEFINIŢIE. Un obiect 1 în S se zice F-aciclic dacă BnF (A) = 0 pentru n > - 1 . Din teorema 9.2 rezultă că, dacă (2 are suficiente injective, orice obiect injectiv este ^-aciclic. DEFINIŢIE. Dacă A £ Ob ((2), se numeşte rezoluţie şir exact de forma e d' dn 0 A X° X1 -> ... ->Zn —» X^ 1

a lui A orice

...

O rezoluţie a lui A se zice injectivă (resp. F-aciclică) dacă obiectele Xi (i > 0) sînt injective (resp. ^-aciclice). Teorema următoare se mai numeşte teorema lui de Bham abstractă. Ea dă un procedeu comod de a calcula functorii derivaţi (sau sateliţi) ai unui functor aditiv exact la stînga F cu ajutorul unei rezoluţii ^-aciclice. TEOREMA 1 0 . 1 . Fie F : (2 - > <2' un functor aditiv exact astfel încît d-functorul B(F) = S(F) există, A un obiect în в şi e da dn n . . . -> X —» X n + 1 -> . . . o rezoluţie F-aciclică a lui A. Atunci avem izomorfisme B°F(A) = F{A) « Ker F(d?)

la

stînga

2 226

Teoria categoriilor

şi RqF (A) « Ker F(dq) / Im

F(d^1)

pentru q 1. Demonstraţie. Pentru orice q >- 0, fie ß9 : Zq -> Xй un nucleu al lui dq ; pentru q = 0, vom lua Z° = A şi ß° = s. Pentru q ;> 1, avem dq d4"1 = 0, deci există şi este unic un morfism a4"1 : Xя"1 -> Z4 astfel încît = ß« a«"1. Întrucît F este exact la stînga, pentru

orice q >« 0 avem un şir

exact F(&q)

F(dq)

0 ->F(Zq) —-*F(Xq) » F(Xя+1) i.e. F (Zq) este canonic izomorf cu Ker F (dq). î n particular avem concluzia teoremei pentru q = 0. Mai departe, pentru q > 1, F^'1) = F (ß*) F(a*"1), i.e. diagrama următoare este comutativă F (Zq) г \ F^-1) / \F(bq) / \ /

F{Xq-x)

F((lq-1,

N

+ F(Xq)

de unde rezultă că Im F (d4'1)

x

Im F (OL^1),

deci concluzia teoremei pentru q >- 1 revine la aserţiunea că există un morfism F(Zq) -> RqF(A) astfel încît să avem un şir exact F(Xя-1)

-> F (Zq) -> RqF(A)

-^0.

Dar avem şirul exact o _> Z"'1 ——> Xя-1 —*

Zq -> 0.

Întrucît R (F) este un д-functor coomologic şi întrucît Xq rezultă că avem un şir exact F ( X

q

~ F ( Z

q

i

este F-aciclic,

) -> R1F(Zq~1) -> 0.

Astfel totul se reduce la a arăta că RqF(A)œ

R1F(Zq~1).

Or, pentru orice întreg p >- 0, şirul următor este exact ßP cxP o zp —> xp —> Zp+1 -> 0.

22?

Coomologie

Întrucît R (F) este un d-functor coomologic, rezultă că, pentru oricep >- 0 şi orice q !> 1, avem un şir exact Rq^F{Xp)

~> Ro^FiZ^1)

Л RqF (Zn) ->

RqF(Xp).

Dar Xp este i^-aciclic, deci д este izomorfism pentru p > 0 şi # > 2. Astfel, pentru orice p >- 0 şi orice q > 2, avem un izomorfism RqF(Z'})^

Ro^FiZ*-1).

Ţinînd seama de faptul că Z° = A, rezultă prin recurenţă că avem izomorfisme ж ^-^(Z1) ж ... « R1F(Zq~1) pentru q > 1 (trivial pentru q = 1), ceea ce termină demonstraţia teoremei lui de Eham abstracte. Teobema 10.2. Fie € o categorie abeliană cu suficiente 6' o categorie abeliană oarecare şi F : € -> <£' шг functor aditiv Orice obiect А гп £ are o rezoluţie injectivă e «Г o _> A — <7° ... şi avem

injectiver oarecare..

rf« ->J -+ Jq+1 -> . . . q

izomorfisme

R°F (А) ж Ker F(d°)

şi

/ Im ^ ( й ^ 1 )

W ( A ) ж Ker

pentru 1. Demonstraţie. Fie A un obiect în tive, există un şir exact

Întrucît (2 are suficiente injec-

cu J° injectiv. Apoi există un şir exact о -+Z1

j1

iz2->o

cu J 1 injectiv, şi aşa mai departe. Ca rezultat obţinem o rezoluţie injectivă

cu d° = ß1 a°, . . . După observaţia de la sfîrşitul § 8 avem R°F (Jq) = F(Jq) şi R°F (dq) = F(dq) pentru toţi q>0. Apoi întrucît R°F este exact la stînga, avem un şir exact 0 -> R°F(A)

-*F(J°)

F(J!)

ceea ce reprezintă concluzia teoremei pentru q = 0.

2 228

Teoria categoriilor

î n sfîrşit, din teorema precedentă rezultă că B'F(A) « Ker B°F(dq) / Im B^FiéP'1) = Ker F(dq) / Im

F^1)

pentru q > - 1 , ceea ce termină demonstraţia teoremei 10. 2. Din această teoremă rezultă, de exemplu, că, pentru (2 o U-categorie cu suficiente injective, grupurile Extg (A, B) se pot calcula cu ajutorul unei rezoluţii injective a lui Б în 6, iar pentru (2 = U-mod A, grupurile Tor£ (A, Б) se pot calcula cu ajutorul unei rezoluţii proiective a lui Б în <2. Teorema 10.2 se poate folosi ca punct de plecare pentru o construcţie directă a functorilor derivaţi fără a folosi functori sateliţi (a se vedea [1], [3], [6], [6], [8]. Vom stabili acum un criteriu de aciclici täte datorit lui E. Godement. TEOREMA 1 0 . 3 . Fie (2 o categorie abeliană cu suficiente injective, (2' o categorie abeliană oarecare, F : (2 -> (2' un functor aditiv exact la stînga şi Ж o mulţime de obiecte din (2 astfel încît : a) pentru orice obiect A în <2, există un şir exact 0 A M Ж cu M € Ж , b) pentru orice sir direct 0 -> M' -> M -> M"-> 0 cu M Ç M' Ç Sïl (deci şi M" € Щ, c) pentru orice sir exact 0 -> M' -> M -> Ж" -> 0 cu M si M' Ç Ж, M" g Ж şi şirul 0 (M') ->F (M) ->F(M") 0 este exact. Atunci obiectele injective se găsesc în Ж, iar obiectele din сЖ sînt F-aciclice. Demonstraţie. Fie J un obiect injectiv în Din a) rezultă că avem un şir exact

cu M g Ж. Întrucît J este injectiv, acest şir este direct, deci J Ç SU în virtutea condiţiei b). Fie M Ç Ж şi fie -> Jn С J*+i ^

0 -> M -> J° ^ ..,

...

o rezoluţie injectivă a lui M. O astfel de rezoluţie există în virtutea teoremei precedente. Atunci avem şiruri exacte 0

M ^

0

J 1 -> Z 2 -> 0, . . .

Întrucît obiectele injective aparţin lui Ж şi întrucît M g Ж, rezultă prin recurenţă, folosind condiţia c), că toate obiectele Zi Ç Ж şi că şirurile următoare sînt exacte 0 ->F (M) ~^F(J°)

F(Z1)

0

F (Z°) -> F{JX) ->F(Z2)

Urmează că şirul 0 -+F{M)

F (J°) ->F(J!)

->

...

-> 0,

...

229

Coomologie

este exact, iar din teorema precedentă rezultă că RqF(M) = 0 pentru q > 1, ceea ce termină demonstraţia. COROLAR.

în condiţiile teoremei precedente, orice obiect A în

(2

are o

rezoluţie 0

A

M° ^ M1

...

cu obiecte 3P Ç «Ж şi avem R°F (A) = F (А) ж Ker F{d°) şi RqF{A) ж Ker F{dq) / Im F(dq~1) pentru q >- 1. Demonstraţie. Existenţa unei rezoluţii a lui A cu obiecte din £11 rezultă din condiţia a), procedîndu-se ca în demonstraţia teoremei 10.2. î n rest se aplică teorema 10.1. § 11. Coomologia unui spaţiu topologic Fie U un univers. î n tot restul acestui capitol se va presupune că mulţimea subiacentă inelului Z este un element din U. Prin spaţiu topologic vom înţelege un obiect în categoria U-Top, prin fascicul de mulţimi (grupuri abeliene, inele) vom înţelege un fascicul cu valori în categoria U-Ens (U-Ab, U-A). î n particular, prin spaţiu inelat vom înţelege un spaţiu inelat astfel încît spaţiul topologic subiacent este un obiect în U-Top, iar fasciculul structural un fascicul cu valori în categoria U-A. î n sfîrşit, prin Modul pe un spaţiu inelat X vom înţelege un obiect în categoria U-Mod X. Fie X un spaţiu inelat şi 6 = 6X fasciculul său structural. Categoria (2 = U-Mod X este abeliană (teorema II 8.1) şi are suficiente injective (corolarul la teorema 3.1). Avem un functor aditiv exact la stînga Г х - pr* : U-Mod X U-mod (9 (X) care asociază cu orice Modul F pe X grupul secţiunilor sale peste X, i.e. ГX(F) = F (X), şi cu orice morfism и : F'

F în U-Mod X aplicaţia в (X)-liniară Г* (и) =

их .

Functorii derivaţi (sau sateliţi) la dreapta ai lui Tx există (a se vedea teoremele 6.1, 9.1 şi 9.2) şi se notează Н% (X, .). DEFINIŢIE. Pentru orice Modul F PE X, в (X)-modulele H% (X, F) se numesc modulele de coomologie ale lui X cu coeficienţi în F.

2 230

Teoria categoriilor

Cînd 6 X = Z = fasciculul simplu de fibră Z, Modulele pe X sînt esenţial fasciculele de grupuri abeliene în sensul că U-Mod X ж oF ( X , (2). î n acest caz se scrie Hq (X, -P) în loc de (X, _P) ; pentru orice fascicul de grupuri abeliene pe un spaţiu topologic X, grupurile abeliene Я 4 (X, JP) se numesc grupurile de coomologie ale lui X cu coeficienţi în F. î n cazul general, orice Modul pe X este în particular un fascicul de grupuri abeliene, deci sînt definite (9 (X)-modulele HQ (X, F) şi grupurile abeliene Hq (X, F). Se va arăta în paragraful următor că pentru structurile de grup abelian, H% (X, F) = Hq (X, F). Din teorema 9.2 rezultă că, pentru orice spaţiu inelat X, Э-functorul He (X,.) = (He (X, are proprietăţile următoare : i) H°e (X, F) = F (X) pentru orice Modul JP pe X, ii) Я£> (X, JP) = 0 cînd JP este injectiv şi q > 1, iii) Я а (X, .) este un д-functor coomologic, i.e. pentru orice şir exact 0 ->F' F -+F" 0 în categoria (2 = U-Mod X, şirul 0 ->F'(X)

F (X) ^F,,(X)^H1e(X,F')^

...

este exact în (2' = U-mod 6 (X). Invers, orice d-functor U = (Un)n>o de la £ = U-Mod I In S' = = U-mod в (X) cu proprietăţile i)-iii) este canonic izomorf cu H (X, .). Pentru orice Modul G pe X, functorii derivaţi ai functorului Hom a (G, .) se notează Ext^ ((?,.). Pentru orice Modul JP pe X, avem un izomorfism de grupuri (functorial în F) H o r n e ( ô , F ) & F ( X ) = Гх (F) care asociază, cu orice morfism и :C J7 de Module pe X, secţiunea ux(l) ţF (X). Din proprietăţile functorilor Ext (a se vedea § 9) şi din cele precedente rezultă că avem izomorfisme (pentru structurile de grup abelian) Н% (X, JP) « Extna (в, F). Din teorema 10.2 rezultă că modulele de coomologie ale unui spaţiu inelat X cu coeficienţi în JP se pot calcula cu ajutorul unei rezoluţii injective a lui JP. Mai general, putem calcula modulele de coomologie H% (X, F) cu ajutorul oricărei rezoluţii Г^-aciclice. Printre Modulele T x -aciclice pe X se disting în special două clase : Modulele flasce şi Modulele moi în cazul X paracompact. Acestea vor fi studiate în paragrafele următoare 1 '). *) A se vedea de asemenea R. Godement [5]-

Coomologie

231

§ 1?. Fascicule flasce DEFINIŢIE. Un fascicul de mulţimi sau de grupuri abeliene F pe un spaţiu topologic X se numeşte flasc dacă morfismele de restricţie ?$:F(X)

F (TJ)

sînt epimorfisme pentru toţi TJ 6 т (X). Evident, un fascicul de grupuri abeliene F pe X este flasc dacă şi numai dacă fasciculul de mulţimi subiacent lui F este flasc. Dacă X este un spaţiu inelat, un Modul F pe X se zice flasc dacă fasciculul de grupuri abeliene subiacent lui F (sau, ceea ce este acelaşi lucru, dacă fasciculul de mulţimi subiacent lui F) este flasc. Să observăm că, dacă un fascicul de mulţimi F pe X este flasc, atunci, pontru orice mulţime deschisă TJ în X, F ( TJ) =/= 0. într-adevăr, ştim că mulţimea F (0) este un obiect final în categoria U-Ens, deci conţine un clement (şi unul singur). Cum F este flasc, aplicaţia F(TJ)

-+F(z)

este surjectivă, deci mulţimea F ( TJ) este necesar nevidă. Evident, dacă un fascicul F pe X este flasc, atunci pentru orice mulţime deschisă TJ în X, fasciculul F | TJ este flasc. PROPOZIŢIA 1 2 . 1 . Fie F un fascicul pe X cu proprietatea că orice xţX are o vecinătate deschisă W astfel încît fasciculul F\W este flasc. Atunci F este flasc. Demonstraţie. Fie TJ o mulţime deschisă în X. Avem de arătat că aplicaţia F (X) F (TJ) este surjcctivă. Fie s£F(TJ). Să considerăm mulţimea а а perechilor (F, t) cu V o mulţime deschisă în X astfel încît U d V şi t ÇF (V) astfel încît t\ TJ = s. Yom ordona această mulţime prin prelungire, i.e. vom pune

(v,t) < (V'y П cînd V d V' şi t — t' I V. Evident, această mulţime ordonată este inductivă, deci, după lema lui Zorn, ea are un element maximal (V19 tj). Propoziţia va fi demonstrată dacă vom arăta că Vx = X. Să presupunem, prin ipoteza absurdului, că V1 =j= X, şi fie œ g X — Vv După ipoteza propoziţiei există o vecinătate deschisă V2 a l u i x astfel încît fasciculul F\Vo este flasc. Eezultă că există o secţiune astfel încît h\ Vi П г2 = ъ\ уг n v2 se a (în cazul V1 П i pentru t2 o secţiune arbitrară ; t2 există după o observaţie făcută mai sus întrucît F \V2 este flasc).

2 232

Teoria categoriilor

Fie V = \\ (J V2. Întrucît F este fascicul, există t£F{V)

astfel

încît 11 V1 = tx şi 11 V2 = t2. î n particular, t\ TJ = s, deci (V, t) G a. Cum V conţine strict pe V19 elementul (F1? tnu este maximal în a, ceea ce este o contradicţie. PROPOZIŢIA 1 2 . 2 . Imaginea directă a unui fascicul flasc este un fascicul flasc. Demonstraţie. Fie ф : X -> Y o aplicaţie continuă de spaţii topologice, F un fascicul flasc pe X, G = ф (F) şi V Ç т (Y). Avem de arătat că aplicaţia G(T) =F(X) ->F(ф-МЛ) =G(V)

este surjectivă, ceea ce este adevărat întrucît F este flasc. TEOREMA 1 2 . 1 . Fie X un spaţiu inelat. Mulţimea Modulelor flasce pe X satisface condiţiile a), b) si c) din teorema 10.3 pentru categoria e = U-Mod x Demonstraţie. Condiţia a). Fie F un fascicul de mulţimi pe X. Yom defini un fascicul flasc G pe X în modul următor. Pentru orice mulţime deschisă TJ în X, punem

G (TJ) = TI Fx. x£U Dacă V CZ TJ, PF se defineşte ca fiind aplicaţia care asociază cu orice element s = (fx)x^u în G (TJ), elementul t = (fx)x^v al lui G(V). Evident, G este un fascicul de mulţimi flasc pe X. î n plus avem un monomorfism de fascicule de mulţimi z:F -> \ F = ( \ I F X ) X Ţ U pentru orice mulţime deschisă TJ în X şi elemente X în ( TJ) şi / = (fx)xţu în G(TJ). î n plus, s este morfism de Module.

233

Coomologie

Condiţia b). Fie F şi G două Module pe X astfel încît F x G este un Modul flasc. Avem de arătat că F este un Modul flasc, deci că pentru orice mulţime deschisă TJ în X, aplicaţia F(X)

F(TJ)

este surjectivă. Or, aplicaţia F(X) XG(X)

->F(TJ)

xG(U)

este surjectivă etc. Condiţia c). Să considerăm un şir exact 0 -> F' Д F Л F" -> О de Module pe X cu F' şi F flasce. Vom arăta mai întîi că, pentru orice mulţime deschisă TJ în X, şirul următor este exact 0 -^F'(U)

—^>F(TJ)

(TJ) ^0.

Evident, este suficient să demonstrăm aceasta în cazul TJ = X. Întrucît functorul Гх este exact la stînga, totul se reduce la a arăta că aplicaţia vx : F (X) -> F" (X) este surjectivă. Fie s" ţF" (X). Să considerăm mulţimea а а perechilor (Z7, s) cu TJ € T (X), sţF(U) şi v (s) =s"\ TJ. Yom ordona această mulţime prin prelungire, i.e. vom pune (17,*) < ( 1 ^ , * ) dacă TJ CZ TJX şi «jJ TJ = s. Evident, această mulţime ordonată este inductivă, deci, dupa lema lui Zorn, ea are un element maximal (V0,t0). Este suficient să arătăm că V0 = X. Să presupunem, prin ipoteza absurdului, că V0 Ф X şi fie x g X — F 0 . Întrucît v este un epimorfism de fascicule, există o vecinătate deschisă V1 a lui x şi g F (Fx) astfel încît v = s" \ V1. Putem alege t astfel încît «îl Vo П V± = t0\ V0 П V±. într-adevăr, dacă V0 f| V1 = 0, această condiţie este satisfăcută totdeauna. Dacă ,dimpotrivă, V0 f| V± Ф 0, atunci, întrucît şirul 0 ->F' (V0 П Уг) -> F (V0 fi Уг) -> F" (V0 f| Уг) este exact, există încît s' £ F' (У оГ\Уг) astfel u(sf) =

(t1-t0)\V0nV1.

Pe de altă parte, F este flasc, deci există s[ g F' (Fx) astfel încît s'i\ y0nyi = s'.

2 234

Teoria categoriilor

Atunci h + и (si) e F ( V v ( t , + w (s[)) = s" i V, Şi (t1 + u(s[))\

У0ПУг

= г0\

F0n^i-

Astfel, înlocuind la nevoie ^ cu -f и (s[), putem presupune că t± = pe F 0 ^n întrucît F este fascicul, există tţF(V) astfel încît t1 = t\V1

şi t0 =

t\V0,

unde F = F 0 (J V1. Cum V conţine strict pe F 0 , elementul (F 0 , f0) nu este maximal în a, ceea ce este o contradicţie. Astfel, pentru orice mulţime deschisă TJ în X, şiiul 0 ->F'(U) ->F(TJ) ->F"(U) ->0 este exact. Pînă aici s-a folosit doar faptul că şirul 0 -> F' -> F -> F" -> 0 este exact şi că fasciculul F' este flasc. Să presupunem acum că şi F este flasc. Atunci, pentru orice mulţime deschisă TJ în X, avem o diagramă comutativă 0 ->F'(X) ->F(X) ->F"(X) ->0 i i i ' 0 ->F'(U) ->F(U) ->F"(V) ->0 cu linii exacte şi săgeata verticală de la mijloc epimorfism. Eezultă că ultima săgeată verticală este epimorfism, i.e. F " este flasc, ceea ce termină demonstraţia teoremei. COROLARUL 1. Module flasce pe X sînt Г x -aciclice si, pentru orice Modul F pe X, modulele de coomologic H% (X, F) se pot calcula cu ajutorul unei rezoluţii flasce. Demonstraţie. După teoremele 10.3 şi 10.1. COROLARUL 2.

Pentru orice Modul F pe q

H e(X,F)

X,

q

= H (X, F)

pentru structurile de grup abelian. Demonstraţie. într-adevăr, un Modul G pe X este flasc dacă şi numai dacă fasciculul de grupuri abeliene subiacent lui G este flasc. Dacă F este un Modul oarecare pe X, avem o rezoluţie flască 0 -> F Л G° -> G1 -> . . . Aceasta este în particular o rezoluţie flască pentru structura subiacentă
Coomologie

235

§ 13. Fascicule moi pe un spaţiu paracompact Fie X un spaţiu paracompact. DEFINIŢIE. Un fascicul de mulţimi F pe X se zice moale dacă, pentru orice mulţime închisă 8 în X, aplicaţia & : F ( X ) - > F ( M )

este surjectivă. Dacă F este un fascicul de grupuri abeliene sau de inele pe X, sau un Modul pe un spaţiu inelat X cu spaţiu topologic subiacent paracompact, vom spune că iveşte moale dacă fasciculul de mulţimi subiacent lui F este moale. X fiind presupus mereu paracompact, din teorema II.9.1 rezultă că orice fascicul flasc este moale. De asemenea, dacă F este un fascicul moale pe X şi dacă 8 este un subspaţiu închis al lui X, atunci fasciculul indus FI 8 este moale. Yom arăta că noţiunea de fascicul moale are caracter local. PROPOZIŢIA 1 3 . 1 . Fie F an fascicul de mulţimi pe un spaţiu paracompact X avînd proprietatea că există o acoperire deschisă (UJ&j a lui X astfel încît, pentru orice i g I şi orice mulţime închisă M CZ Г*, aplicaţia

fijiFm-^FiM) este surjectivă. Atunci F este moale. Demonstraţie. întrucît X este paracompact, putem presupune că acoperirea ( CJ^j este local finită. Fie (FJ^j o altă acoperire deschisă a lui X astfel încît V^ CZ TJI pentru orice i g 1. Fie 8 o mulţime închisă în X şi s £F (S). Pentru orice submulţime J a lui I, vom pune Sj=

и

v,.

întrucît acoperirea (FJ este local finită, 8j este o mulţime închisă. Fie a mulţimea perechilor (t, J) cu J CZ I şi tţF (8j) astfel încît t = s pe 8 П 8j. Această mulţime nu este vidă. într-adevăr, fie i gZ şi J = {г}, deci Sj = V{. După ipoteza propoziţiei, secţiunea se prelungeşte la o secţiune peste TJ{ şi în particular la o secţiune pe V4 С U^ Să ordonăm mulţimea a prin (*', J') < (Г, J") dacă J' с J" şi V = t" | 8Jf. Această mulţime ordonată este evident inductivă, deci, după lema lui Zorn, ea are un element maximal, să zicem (t, J). Totul revine la a arăta că J = I. Să presupunem J =f=I. Fie i Ç I — J şi J' = J \J {i}.

2 236

$ П

Teoria categoriilor

Să considerăm secţiunile s g F (8) şi t£F(Sj). Şi întrucît

Întrucît t = s pe

fifj PI V* U Я PI V, este o submulţime închisă a lui V^jleci a lui Z7I? din ipoteza propoziţiei rezultă că există o secţiune t{ ^F (Vi) care se reduce la t pe 8j f| V% şi la s pe 8 П Vi- Avem deci o secţiune V £F (8j>) care se reduce la t pe Sj şi la s pe 8 f| 8j*, i.e. (t, J) < (f, J'). Cum J =f= J', elementul (t, J) nu este maximal în a, ceea ce este o contradicţie. COROLAR. Fie F un fascicul moale pe un spaţiu metrizabil X şi S un subspaţiu local închis al lui X. Atunci fasciculul indus F\ 8 este moale. Demonstraţie. Pentru orice punct x g 8, există o vecinătate închisă Vx a lui x astfel încît Vx este o mulţime închisă, deci fasciculul indus F\ S Ç) Vx este moale. întrucît subspaţiul 8 este metrizabil, deci paracompact (după teorema lui Stone), din propoziţia precedentă rezultă că F\ 8 este moale. TEOREMA 1 3 . 1 . Fie X un spaţiu inelat astfel încît spaţiul topologic subiacent lui X este paracompact. Modulele moi pe X satisfac condiţiile a), b) şi c) din teorema 10.3 pentru categoria U-Mod X. Demonstraţie. Condiţia a) este satisfăcută în virtutea teoremei 12.1 întrucît orice fascicul flasc pe un spaţiu paracompact este moale, iar b) se demonstrează trivial. Condiţia c). Să considerăm un şir exact

0->J^ de Module pe

X

f

cu F

XF

moale.

->0 Yom arăta

că

şirul

0 -> F' (X) -> F (X) -> F" (X) -> 0 este exact. Putem presupune, evident, că и este o incluziune, deci că aplicaţia Ujj : F' (U) -> F ( U) este o incluziune pentru orice mulţime deschisă TJ în X Întrucît functorul Гх este exact la stînga, totul se reduce la a arăta că aplicaţia vx este surjectivă. Fie 8" ţF" (X). Există o acoperire deschisă local finită (TJ^j a lui X şi o familie (eJ^j de secţiuni sx g F (UJ astfel încît

pentru orice i g I (a se vedea observaţia fiinală din Cap. II, § 7). Fie ( F ^ c j o acoperire deschisă a lui X astfel încît V% CZ 17< pentru orice i g Z. Pentru orice mulţime J CZ I, vom pune 8j=

U içj

VY

Coomologie

237

Fie a mulţimea perechilor (s, J) cu J CZ I, s g F (8j) şi VSj(8) = s"| 8j. Să ordonăm această mulţime prin prelungire, i.e. («', J') < («", J") dacă J' CZ J" şi s / = s " | S j / . Evident, această mulţime ordonată este inductivă, deci are un element maximal, să zicem (s, J). Totul revine ]a a arăta că J = I. Să presupunem, prin ipoteza absurdului, că J =j= I. Fie i g I — J şi J' = J (j {г}. Atunci secţiunea (s - *,) I S / f l V , 1

are imaginea zero în i* " (Sj f| deci este un element g F' (Sj f| V{). Întrucît F' este moale, există o secţiune tţF'(Ui) care se reduce la s — Si pe 8j П V{. Atunci S i

-tţF(l7f)

Şi vUi(si-t)

= sff\

Ui.

Apoi secţiunile s şi t + s{ coincid pe 8j f| Vi9 deci există o secţiune € F (Sj) care se reduce la s pe 8j şi la t + 8{ pe V4. Eezultă că VSj, (*') = 8"\ 8j-, deci (8jJ) < (s', J'). Cum J =j= J', elementul (s, J) nu este maximal în a, ceea ce este o contradicţie. Să presupunem acum că şi F este moale. Atunci, pentru orice mulţime închisă 8 în X , avem diagrama comutativă F(X)

^>F"(X)

i . i F (8)

-UF"(S)

în care prima săgeată verticală este surjectivă. întrucît functorul imagine inversă asociat cu incluziunea is : S X este exact (după corolarul la propoziţia II.6.1) şi întrucît restricţia la un subspaţiu închis-al lui X paracompact a unui fascicul moale este un fascicul moale, din cele precedente rezultă că aplicaţia vs este surjectivă. Urmează că a doua săgeată verticală în diagrama precedentă este surjectivă, ceea ce termină demonstraţia teoremei.

2 38

Teoria categoriilor

COROLAR. Fie X un spaţiu inelat paracompact. Modulele moi pe X sîntYx-aciclice şi,pentru orice Modul F pe X, modulele de coomologie Hqe (X,F) se pot calcula cu ajutorul unei rezoluţii cu fascicule moi. Demonstraţie. După teoremele 10.3 şi 10.1. De exemplu, fie X o varietate diferenţiabilă paracompactă (de clasă C00). Pentru orice întreg p ;> 0, vom nota Qp fasciculul germenilor de forme diferenţiale (de clasă C00) de grad p pe X. Pentru orice mulţime deschisă TJ în X, Cip (TJ) este deci modulul formelor diferenţiale de grad p pe TJ. î n particular, coincide cu fasciculul structural al lui X. Să observăm că fasciculele Qp sînt moi. într-adevăr, fie 8 o mulţime închisă în X şi a o secţiune peste 8 а lui Qv. întrucît X este paracompact şi 8 o submulţime închisă a lui X, din teorema II.9.1 rezultă că există o vecinătate deschisă TJ a lui 8 şi o secţiune ß £ Q.v ( TJ) astfel încît ß | 8 = a. Apoi există o funcţie / £ (X) care ia valoarea 1 pe 8 şi valoarea 0 pe o vecinătate a lui X — TJ. Răzuită că avem o secţiune y € Cip (X) definită prin

[ /Р Pe I 0

pe

U X— TJ

care, evident, se reduce la a pe 8. Pe de altă parte, avem un operator de derivare exterioară d : № care este morfism de fascicule de spaţii vectoriale reale (în particular, de grupuri abeliene) şi are proprietatea că dd-0. O formă diferenţială a g (X) se zice închisă dacă da = 0 şi exactă dacă p > 1 şi dacă există ß g i^"1 (X) astfel încît a = dß. Orice formă exactă este închisă. O teoremă clasică a lui Poincaré afirmă că, dacă X este un cub deschis în Rw, atunci orice formă închisă de grad p > 1 este exactă. Eezultă că avem un şir exact dc fascicule de spaţii vectoriale reale (în particular, de grupuri abeliene) o

R л Q° Л а 1 Л . . .

unde R este fasciculul simplu pe X de fibră R, iar г incluziunea. Din corolarul precedent şi din teorema 10.1 rezultă că adevărată

este

TEOREMA LUI DK E H A M . Fie X o varietate diferenţiabilă paracompactă. Pentru q > 1, grupai Hq (X, R) este izomorf cu grupul cît al grupului

239

Coomologie

formelor diferenţiale închise de grad g pe X prin subgrupul formelor diferenţiale exacte. Pentru q = 0, H°(X, R) = R (X) este inelul funcţiilor diferenţiabile (sau continue) local constante. Fie acum X o varietate analitică complexă paracompactă şi 6 fasciculul ei structural. X are o structură subiacentă de varietate diferenţiabilă. Pentru orice cuplu (p, q) de numere întregi >- 0, vom nota fasciculul germenilor de forme diferenţiale de tip (p, q). î n particular, este fasciculul germenilor de funcţii (complexe) diferenţiabile pe X. Avem un operator de derivare exterioară, de tip (0, 1), d" : ap>q -> il p ' q+1 care este un morfism de Module pe varietatea analitică X şi satisface d" d" = 0. De exemplu, dacă X este un deschis în CN cu structura indusă de varietate analitică complexă, o formă diferenţială a de tip (p, q) se scrie a

= s ai,i i, j

dz

4 A • • • Л dzhi A

л . . . Л dZiq,

iar d"oc se defineşte prin d a

"

=

S d"au г, j

A dzi, Л ...

Л dzip д dz h Д . . . Д d z k ,

unde d

" да. . S k — l dzk

O formă diferenţială ag Lp,q(X) se zice A"-închisă dacă d"oc = О şi d ''-exactă dacă g > 1 şi dacă există ß £ QP*«-1 ( X ) astfel încît a = d"ß. Este valabil atunci un analog al teoremei lui Poincaré, datorit lui Grothendieck, din care rezultă în particular că avem un şir exact de Module pe X 0

e <9 —>

d" d" —> L0'1 —> . . .

unde s este incluziunea. Din corolarul precedent şi teorema 10.1 rezultă că este adevărată TEOREMA LUI DOLBEAULT. Fie X o varietate analitică complexă paracompactă. Pentru q >-1, grupul Hf (X, Ô) este izomorf cu grupul cît at grupului formelor diferenţiale
2 240

Teoria categoriilor

Bibliografie 1. I. N.

Algebră omologică. Ed. didactică şi pedagogică, Bucureşti, 1965. Topologie générale. Chapitre l , 3 È M E édition ( 1 9 6 3 ) , Chapitre I X , 2 È M E édition (1958), Hermann, Paris. 3 . H . GARTAN and S . E I L E N B E R G , Homological algebra. Princeton University Press, Princeton, 1956. 4. P. G A B R I E L , Des catégories abéliennes. Bull. Soc. Math. France, 90, 323 — 448 (1962). 5 . R . G O D E M E N T , Topologie algébrique et théorie des faisceaux. Hermann, Paris, 1 9 5 8 . 6. A. GROTHENDIECK, Sur quelques points d'algebre homologique. Tôhoku math. J . , 9, 1 1 9 — 2 2 1 2.

BUCUR,

BOURBAKI,

(1957).

7. M. JURCHESCU şi A. LASCU, Morfisme stricte, categorii cantoriene, functori de completare. St. cerc. mat., 18, 2, 2 1 9 - 2 3 4 (1966). 8. S. MAC L A N E , Homology. Springer, Berlin, 1963. 9 . В . MALGRANGE, Lectures on the theory of several complex variables. Tata Institute of Founda# mental Research, Bombay, 1958. 1 0 . С . T E L E M A N , Elemente de topologie şi varietăţi diferenţiale. Ed. didactică şi pedagogică, Bucureşti, 1964. 1 1 . D . A. B U C H S B A U M , Exact categories and duality. Trans. Amer Math. Soc., 8 0 , 1 — 3 4 (1955). 12. D. N. KAN, Adjoints functors. Trans. Amer. Math. Soc, 87, 2 9 4 - 3 2 9 (1958). 13. J. P. S E R R E , Faisceaux algébriques coherentes. Ann. of Math., 61, 197—278 (1955). 1 4 . H. Y O N E D A , On the homology theory of modules. J. Fac. Sei. Tokyo, 7 , 193 — 227 (1954).

PARTEA A TREIA

Suprafeţe riemanniene de

Cabiria Andreian Cazacu

Introducere

De un secol şi mai bine, freamătul^ trezit în lumea matematică de concepţia genială a lui Riemann continuă. î n acest sens, celebra problemă a modulelor, atît de stăruitor cercetată în geometria algebrică şi teoria funcţiilor complexe, constituie un exemplu grăitor. î n memoriul său fundamental Theorie der AbelscJien Funktionen din 1857, В. Biemann a demonstrat că clasele de suprafeţe riemanniene compacte de gen g conform echivalente depind de m(g) parametrii complecşi, independenţi (m (g) = 0, 1 sau Sg — 3, după cum g = 0, 1 respectiv g > 1) numiţi module. El a dat mai multe metode pentru a arăta că mulţimea claselor poate fi considerată ca un continuu descris de aceşti m (g) parametri. O dată cu dezvoltarea matematicii, problema a fost precizată de O. Teichmüller. Yom considera identice — suprafeţele riemanniene conform echivalente, deci printr-o suprafaţă riemanniană В vom înţelege de fapt o clasă de suprafeţe riemanniene conform echivalente. Notăm eu M^ mulţimea suprafeţelor riemanniene de gen g şi o numim ,,spaţiul modulelor după Biemann Teichmtiller a arătat că M^ are o structură topologică naturală, o structură metrică naturală şi o structură analitică complexă naturală. Memoriul profund original al lui Teichmüller : Extremale quasikonforme Abbildungen und quadratische Differentiale, [42], a fost completat în 1943 şi 1944, [43] —[44]. Deşi demonstraţiile lui Teichmüller erau uneori dificile, alteori abia schiţate, opera sa a exercitat o puternică influenţă. Demonstraţii riguroase au fost date, începînd din 1954, de L. Y. Ahlfors, H. E. Bauch, L. Bers şi numeroşi cercetători au dezvoltat teoria din diferite puncte de vedere, [1]— [6], [11]—[13], [20], [21], [27], [34], [46] ^ Se ştie astăzi că M^ este o varietate analitică complexă cu puncte singulare — un spaţiu complex cu dimensiunea complexă m(g). Una dintre ideile fundamentale ale Ini Teichmüller constă în faptul că el nu a cercetat direct spaţiul M^, ci un spaţiu de acoperire al său, înlocuind relaţia de echivalenţă conformă printr-o relaţie de echivalenţă mai slabă. 3

) A se vedea bibliografia în lucrările citate.

244

Suprafeţe riemanniene

Să considerăm tripletele ( R ) , unde R° şi R sînt suprafeţe riemanniene compacte de acelaşi gen g, iar / este un omeomorfism : R° jß, care păstrează orientarea. Două triplete ( R ° , f k , jßfc), = 1, 2), se numesc echivalente, atunci cînd există reprezentarea conformă h : R1 jß2, astfel incît / 2 " l 0 ^ 0 /i să fie omotop cu identitatea. O clasă de triplete echivalente se numeşte suprafaţă Teichmüller (suprafaţă riemanniană determinată topologic, suprafaţa riemanniană marcată sau suprafaţă riemanniană canonică) şi o vom nota printr-unul din reprezentanţii ei. Fixînd suprafaţa riemanniană R°, mulţimea tuturor suprafeţelor Teichmüller corespunzătoare se numeşte spaţiu Teichmüller Tg (R°). Diferitele spaţii Teichmüller astfel formate se identifică în mod natural prin următoarea corespondenţă : Fie R° şi R1 două suprafeţe riemanniene compacte, de gen g. Alegem omeomorfismul : R° -> jR1, care păstrează orientarea şi definim aplicaţia : Tf (R1) Tg (R«). care asociază tripletului (R , / , R) £ Tg (R1) tripletul (Ro, fo щ g Tg (R°). Se verifică imediat că definiţia are sens şi că ß^o este о bijecţie 2). Identificînd Tg (R1) cu Tg (R°), pentru orice R1, obţinem spaţiul Teichmüller Tg asociat genului g. Se demonstrează că T^ are o structură topologică naturală, o structură metrică naturală şi o structură complexă naturală : este o varietate complexă fără singularităţi, echivalentă topologic cu bula complexă m (^)-dimensională, [2], şi înzestrată cu o metrică riemanniană, kăhleriană £3], [46]. In cazul R1 = R°, mulţimea aplicaţiilor formează grupul modular Жд (R°), cînd f° parcurge mulţimea omeomorfismelor R° -> JR°, care păstrează orientarea. Pe baza identificării de mai sus, se obţine grupul modular Жд asociat lui T^. Se arată că M^ = Т д ]ж д : într-adevăr, se defineşte în mod natural aplicaţia т : Tg Mg, care în cazul lui T^ (JR°) asociază lui / , 2?) suprafaţa riemanniană R. Se arată că т este o aplicaţie olomorfă, surjectivă, nicăieri degenerată, astfel încît T^ constituie o acoperire ramificată a lui M g . Să remarcăm că т [(R°,f, Ü)] = т [(JS°, / , R)] echivalează cu existenţa unui omeomorfism conform h : R ^ R, deci că, notînd cu = = f-1**, [(Я°, / , R)] = ( R o j , В) sau (В®, / , R) şi (R»,f, R) sînt echivalente modulo Жд (R°). Cum reciproca este de asemenea valabilă, rezultă afirmaţia de mai sus. Punctele fixe ale aplicaţiei ß^V, unde f° nu este omotop cu identitatea, corespund la suprafeţe care admit reprezentări conforme pe ele însele, diferite de identitate. Teichmüller a considerat de asemenea mulţimea %g = R şi a 1

căutat să introducă pe %g o structură topologică naturală şi o structură complexă naturală, astfel încît %g să devină spaţiu complex, iar aplicaţia 2

) Evident, ß ^ o nu se schimbă, dacă înlocuim f° cu un omeomorfism omoto^

Introducere

245

Tzg : % -> M9, care asociază fiecărui punct or ţ R a % punctul R g Mg, să fie o aplicaţie olomorfă, proprie, cu anumite proprietăţi. Atunci \ apare ca un spaţiu fibrat, ale cărui fibre sînt suprafeţe riemanniene, iar baza este M0, [20]. Era natural să se pună problema unei teorii analoge înlocuind omotopia cu omologia. S-a obţinut astfel în locul suprafeţei Teichmüller aşanumita suprafaţă Torelli. Să considerăm din nou tripletele ( R ° , f , R), unde R° şi R sînt suprafeţe riemanniene compacte de acelaşi gen g, iar f este un omeomorfism : R° R, care păstrează orientarea. Două triplete {R9,fkJ Ek), {k=1, 2), vor fi echivalente, dacă există reprezentarea conformă h : R1 JR2, astfel încît / 2 1 fx să inducă automorfismul identic al grupului de omologie de dimensiune 1 al lui R°, pe care îl vom nota 761 (R°)~ O clasă de triplete echivalente se va numi suprafaţă Torelli. După cum osuprafaţă Teichmüller se poate defini ca perechea formată de o suprafaţă riemanniană şi o clasă de sisteme canonice de generatori ai grupului fundamental, echivalente, tot astfel o suprafaţă Torelli este asocierea dintre o suprafaţă riemanniană R şi o clasă de baze canonice ale lui Ifr^R), echivalente în sensul că două baze ale clasei se obţin una din alta cu păstrarea ordinei printr-o reprezentare conformă R -> R. Suprafeţele Torelli de gen g formează spaţiile Torelli "7Zg(R°) şi analog cu T0, spaţiul Torelli Ugr Evident, fiecare suprafaţă Teichmüller determină o suprafaţă Torelli, astfel încît Tg acoperă X 0 . Mai precis, Xg (R°) = T, (R°)l^g(R°)T unde (R°) este subgrupul lui cfll^iî 0 ) format de aplicaţiile pentru omeomorfism R° -> j?0, care păstrează orientarea şi induce pe 1 76 (R°) antomorfismulidentic. Se demonstrează că acoperirea "~Cg este neramificată şi că este o varietate analitică complexă (3g — 3)-dimensională, [34], [46]. Printre diferitele probleme, care s-au studiat în legătură cu spaţiile definite mai sus, cităm extinderea teoriei lui Teichmüller la cazul suprafeţelor riemanniene deschise, [13], sau la varietăţi de dimensiune superioară, [27], [20], şi prezentarea ei axiomatică într-o teorie globală a modulelor, [21]. î n lucrarea de faţă demonstrăm numai teorema fundamentală a lui Teichmüller, după care Tg se organizează ca spaţiu metric, omeomorf cu Em{g) — spaţiul euclidian m(^)-dimensional. Identificînd suprafeţele riemanniene conform echivalente, o suprafaţa Teichmüller (R°,f,R)ţ g Tg (R°) va fi dată de clasa de omeomorfisme R° -> R omotope cu / , respectiv de o clasă de izomorfisme щ (R°) (R) ale grupurilor fundamentale corespunzătoare, izomorfisme echivalente relativ la automorfismele interioare ale lui тих (R), (teorema 5.3'" din Cap. I, teorema 1.1 şi § 5 din Cap. III). Yom caracteriza astfel suprafaţa Teichmüller cu ajutorul unei clase de sisteme canonice de generatori ai grupului fundamental, echivalente (Cap. III, § 6). î n cazul g > 1, folosind izomorfismul care există între grupul fundamental TUJ (R) şi grupul G al transformărilor acoperirii universale a lui R

246 Suprafeţe riemanniene

{Сар. I, § 4), asociem biunivoc fiecărei suprafeţe Teichmüller o mulţime normată de generatori ai grupului G, (Cap. V, § 1), care va defini după Bers modulele suprafeţei şi obţinem o bijecţie С : T^ cu ajutorul căreia topologizăm T^. O a doua idee fundamentală a lui Teichmüller se bazează pe observarea că pe o suprafaţă riemanniană compactă de gen g > 1, diferenţialele pătratice regulate formează spaţiu vectorial real (6g — 6)-dimensional, şi pe folosirea reprezentărilor cvasiconforme. Dată o olasă de reprezentări cvasiconforme se numeşte reprezentare cvasiconformă extremalâ o reprezentare care realizează minimul dilatării maxime în acea clasă. Pentru prima dată reprezentări cvasiconforme extremale au fost determinate de H. Grötzsch, care în 1928 a introdus noţiunea de reprezejitare cvasiconformă [22]. Aprofundînd legătura dintre reprezentările cvasiconforme şi diferenţialele pătratice, Teichmüller a dezvoltat teoria generală a reprezentărilor cvasiconforme extremale, pe care le-a aplicat în diferite domenii de teoria funcţiilor, printre care şi problema modulelor. Vom demonstra că în fiecare clasă de omotopie formată de omeomorfisme / : 22° JB, care păstrează orientarea, există o unică reprezentare cvasiconformă extremală, reprezentarea Teichmüller, (definită cu ajutorul a două diferenţiale pătratice „pe B° respectiv JB), avînd cîtul de dilatare constant şi exprimîndu-se cu ajutorul unor parametri locali {asociaţi diferenţialelor) printr-o transformare afină, (în fiecare punct, care nu este un zero pentru diferenţiale), (teorema 4.1, Cap. IY, teorema 4.2, Cap. V). î n acest scop, vom construi un omeomorfism al bulei unitate din P e С (TJ, de unde va rezulta că T^ este omeomorf cu , {Cap. V, § 4). Tot cu ajutorul reprezentării Teichmüller vom defini distanţa Teichmüller organizînd T^ ca spaţiu metric, [11]. î n încheiere prezentăm cazurile particulare g = 0 şi g = 1, (Cap. V, § 5, pct. 2).

Capitolul I

Elemente din teoria omotopiei

§ 1. Grupul fundamental 1. Fie X şi X' două spaţii topologice, iar I segmentul [0, 1]. Două aplicaţii continue fk : X X', Ic = 0,1, se numesc omotope, dacă există o aplicaţie continuă F : X x I -> X', unde X x I este spaţiul topologic produs al lui X şi I, astfel încît F (p, 0) = f0 (p) şi F (p, 1 j = = fi (P)i oricare ar fi punctul p £ X ([45], p. 121). Se spune în acest caz că aplicaţia F defineşte o deformare omotopă (o deformare continuă sau o omotopie) a lui / 0 în fv A da această aplicaţie este echivalent cu a da familia de aplicaţii continue ft : X X', t g 7, definită prin relaţia /Др) = F (p,t), p Ç X, depinzînd continuu de parametrul tf g I şi punctul p £ X, care pentru t == 0 şi t = 1 se reduc la f0 respectiv / j 1 ) . Se verifică imediat propoziţiile : PROPOZIŢIA 1 . 1 . Omotopia a două aplicaţii continue X -> X' este o relaţie de echivalenţă. Mulţimea aplicaţiilor continue ale lui X în X' se împarte astfel în clase de aplicaţii omotope şi vom nota mulţimea acestor clase cu тс (X, X'). Stabilirea condiţiilor în care două aplicaţii continue X -> X' sînt omotope şi determinarea lui it (X, X') sînt probleme importante ale topologiei {[25], p. 20). PROPOZIŢIA 1 . 2 . Dacă X , X' fk : X X ' respectiv gk : X' -> X", tope, atunci gk O fk : X -> X", Тс = î n cele ce urmează, vom nota logic X în el însuşi cu l x . Dacă aplicaţia continuă / : X că este omotopă cu identitatea. x

şi X" sînt trei spaţii topologice, iar Ic = 0,1, sînt aplicaţii continue omo0 , 1 , sînt de asemenea aplicaţii omotope 2). aplicaţia identică a unui spaţiu topo-> X este omotopă cu ±xi vom spune

) Dacă ft sînt omeomorfisme oricare ar fi t g /, deformarea se numeşte izotopă. ) în particular, dacă gk = g (respectiv fk = f), к = 0, 1, rezultă ca g o fk (respectiv Як ° D omotope. Se verifică uşor că iz (X ,X') este un functor de două variabile, contravariant în X şi covariant în X х , de la categoria spaţiilor topologice, avînd ca morfisme aplicaţiile continue în categoria mulţimilor, cu morfisme aplicaţiile. 2

sînt

248

Suprafeţe riemanniene

Yom numi aplicaţie constantă o aplicaţie continuă h : X -> X', prin care h (p) = p0J pentru orice p g X, p0 fiind un punct fix, dar arbitrar din X'. Dacă lx este omotopă cu o aplicaţie constantă h : X -» X, spaţiul X se numeşte contractibil. 2. TJn drum (continuu) X pe spaţiul topologic X este dat de o aplicaţie continuă / a segmentului I = [ 0 , 1 ] în X : p = f ( т), т £ I şi p g X, determinată abstracţie făcînd de un omeomorfism al lui I pe el însuşi. Dacă т2 = h ( т) este un omeomorfism surjectiv 2 -> 2, prin definiţie drumul X1? dat de aplicaţia continuă = / o йг 1 a lui 2 în X, coincide cu X. Drumul X se numeşte închis, dacă / (0) = / (1). Fie X şi X' spaţii topologice, X un drum pe X definit de / : 1 X şi gr o aplicaţie continuă a subspaţiului topologic / (2) din X, în X'. Convenim să notăm cu g ( X) drumul continuu pe X' dat de g ° / : 2 -> X' şi să-1 numim drumul imagine a lui X prin g. Definim compunerea sau produsul X1 X2 a două drumuri Xfc, date de /fc : I -> X (Jc = 1, 2), cu proprietatea fx (1) = f2 (0), ca fiind drumul corespunzător aplicaţiei continue / : I X, unde

/(T)

Л ( 2 т ) pentru 0 < t < — i 2 / 2 (2 T — 1) pentru — < T < 1 2

Numim drum invers al drumului X dat de / : I definit de /* : I X, unde / • ( t ) = / (1 -

X, drumul X"1

T),

şi drwm nul, orice drum X definit de o aplicaţie constantă : / ( т) = p0, pentru t 6 I şi 2>0 un punct fix, dar arbitrar din X. Două drumuri <*fc, definite de :I X, & = 0, 1, cu aceeaşi origine şi cu aceeaşi extremitate : / 0 (0) = f x (0) şi / 0 (1) = f x (1), se numesc omotope, dacă aplicaţiile fk sînt omotope şi aplicaţiile ftJ t Ç I, care realizează deformarea continuă a lui / 0 în f x definesc drumuri a.t cu aceleaşi extremităţi ca şi <xA. Prin urmare, drumurile sînt omotope dacă există o aplicaţie continuă F : I x I -> X, p = -F ( т, £) cu proprietăţile : a) F (4, Jc) = fk( t), oricare ar fi т g I şi Jc = 0, 1 ; b) pentru orice tţl,F (0, t) = / 0 (0) şi F (1, t) = Л (0) 3). Un drum omotop cu drumul nul se numeşte nul-omotop. Fie p un punct din X. împărţind drumurile închise cu originea p în clase de echivalenţă faţă de relaţia de omotopie, vom nota clasa drumului a cu [a]^. 8 ) Drumul ai este definit de fi (т) = F (т, t). în cele ce urmează vom aplica numai deformări cu extremităţi fixe de tipul descris mai sus ; se folosesc însă şi deformări cu extremităţi libere : atunci a^ se numesc omotope, dacă fa sînt omotope, к = 0, 1 ([39] p. 52 şi 93).

249*

Elemente din teoria omotopiei

Se verifică uşor : PROPOZIŢIA 1 . 3 . Clasele de drumuri închise cu originea în punctul p, omotope între ele, formează un grup faţă de următoarea lege de compunere

WP [ß]„ = [aß]*, unde OL şi $ sînt drumuri închise cu originea p. Acest grup va fi notat TZx (X, p) şi se numeşte grupul fundamental (grupul lui Poincarê) al lui X relativ la p. 3. Spaţiul topologic X se numeşte conex prin arce (liniar conex), dacă oricare ar fi două puncte p şi q din X, ele se pot uni printr-un drum pe X (i. e. există aplicaţia continuă / : I -> X, cu / (0) = p şi / (1) = q). Aceste spaţii constituie un cadru natural de aplicaţie pentru propoziţiile ce urmează în acest paragraf. PROPOZIŢIA 1 . 4 . Dacă p şi q sînt două puncte din spaţiul topologic X, care se pot uni printr-un drum pe X, atunci щ (X, p) şi % (X, q) sînt izomorfe. în particular, dacă X este liniar conex, oricare ar f i p ş i q din X, proprietatea are loc. într-adevăr, fie y un drum pe X cu originea q şi extremitatea Aplicaţia со, care asociază fiecărei clase [a] p clasa [y a y - 1 ] a , este un izomorfism al lui i ( X , p) pe ^ (X, g). Un izomorfism со al grupului т^ (X, p) pe grupul тсг ( X , g) se numeşte permis, dacă există un drum y cu originea q şi extremitatea p, astfel încît r

(!>]*) = Cî a Y"1]«? oricare ar fi drumul închis a cu originea p. PROPOZIŢIA 1 . 5 . Orice automorfism interior al grupului izx (X, p) este izomorfism permis şi reciproc orice automorfism permis al lui izx (X, p) este interior. Cu ajutorul izomorfismelor permise se introduce următoarea echivalenţă între omomorfismele grupurilor fundamentale a două spaţii topologice X 1şi X' : Fie X : Щ (X, P) -> TZx (X', p') şi [л : ^ (X, g) -> ^ (X', g'), două omomorfisme ale grupurilor fundamentale indicate, p, q, p' şi q' fiind puncte arbitrare din X respectiv X'. Se spune că X şi ^ sînt echivalente, dacă există izomorfismele permise со şi со', astfel încît următoarea diagramă să fie comutativă :

тих (X, p ) — ( X ' , p ' ) (1.1)

со

j

щ(Х, q)

l _ ! U

»>

TÜ! ( X ' , G')

4. Am asociat spaţiului topologic X un grup fundamental relativ la fiecare punct p g X, grupul 7с2 (X, p).

250

Suprafeţe riemanniene

Fie X liniar conex. Aceste grupuri sînt izomorfe între ele prin izomorfisme permise, deci definesc un grup abstract, pe care îl vom nota cu TZx ( X ) şi îl vom numi grupul fundamental al lui X. Evident, (X) este un invariant topologic asociat spaţiului X. Dacă TZx (X) se reduce la elementul unitate, spaţiul X se numeşte (omotop) simplu conex ([46], p. 230 ; [26], p. 62). Pentru ca X să fie simplu conex, este necesar şi suficient ca orice două drumuri din X cu aceleaşi extremităţi să fie omotope. Condiţia este evident suficientă, astfel încît schiţăm numai demonstraţia necesităţii ei : Fie a' şi a" două drumuri cu aceleaşi extremităţi. Drumul a' a " - 1 este un drum închis de p e X , deci estenul-omotop. Atunci (a' a""1) a" este omotop cu a" şi cum a' ( a " - 1 a") este omotop cu a', rezultă că a' este omotop cu a". Un spaţiu contractibil este evident omotop simplu conex. Să alegem un punct Pq Ç X, un izomorfism iPo : 7^ (X, p0) —> 7^ (X) şi pentru fiecare punct p ţ X u n izomorfism permis u>PPo : щ (X, (X, p 0 ). Să notăm cu ip = iPo ° O> : TZ± (X, p) -> (X). Se verifică imediat PPO

PROPOZIŢIA 1 . 6 . Orice izomorfism permis СО : 7^ ( X , p) 7^ ( X , q) induce un automorfism interior £} = iQ° ip1 : щ (X) n± (X) şi reciproc, dacă O este un automorfism interior : 7^ (X) щ (X), atunci СО = = i" 1 о О о ip este un izomorfism permis. Fie X' un alt spaţiu topologic liniar conex şi izomorfismele i'v, : 7ti (X', p') (X'), p' Ç X', definite ca mai sus. PROPOZIŢIA 1 . 7 . Orice omomorfism X : щ ( X , p) - > щ ( X ' , p') induce un omomorfism A = ip, o \ O {-1 : щ (X) -> щ (X'). Evident, înlocuind izomorfismele ip respectiv i'v, prin alte izomorfisme jp respectiv j^,, astfel încît j'1 o iv şi j'^1 o i'v, să fie izomorfisme permise, transformăm Л într-un omomorfism M : т:г (X) -> 7г1(Х/), dedus din Л printr-un automorfism interior al lui щ (X'). PROPOZIŢIA 1 . 8 . Dacă X : 7^ ( X , p) - > ( X ' , p') şi TZ ( X , q) -> 7Г! (X', q') sînt echivalente, atunci omomorfismele Л — Г^, О X O I"1 ŞI M — i'qf o [x ° i'1 de la (X) în щ (Xf) diferă prin automorfisme interioare şi reciproc. Aceasta rezultă din faptul că diagrama (1.1) şi diagrama X

^ (X) - J L > ^ d-1')

Û

j 7Г, (X)

M

(X')

J o' > 7Ü! (X')

unde Й = o w o i" 1 şi £}' = i'qt о со' o i",1, sînt simultan comutative sau nu, iar û şi Û' sînt automorfisme interioare. 5 . TEOREMA 1.1. Fie X şi X două spaţii topologice, p un punct arbitrar dar fixat din X, f o aplicaţie continuă a lui X în X şi p = / (p).

251*

Elemente din teoria omotopiei

1° f induce un omomorfism : пг (X, p) щ (X, p). 2°. Daca punctul q g X se poate uni cu p printr-un drum pe X, atunci omomorfismele şi f~ sînt echivalente. 3°. iW ipoteza de la punctul 2°, grupurile = / (X, p)] şi = = / [^î (X, 5)] swl izomorfe. Dacă f (q) = p, atunci şi sînt subgrupuri conjugate în пг (X, p). ii/Ze coincid dacă şi numai dacă există un drum у pe X cu originea q şi extremitatea p, astfel încît [/(y)]p 5a aparţină normalizatorului al lui în щ (X, p). Mai mult, existenţa unui drum unind q cu p pe X, pentru care [/(î)]pg^/-? implică relaţia [/ (îi)]p oricare ar fi drumul Yi pe X cu originea q şi extremitatea p. 4°. Daca / este гт omeomorfism surjectiv, atunci fe este un izomorfism al lui щ (X, p) pe 7Г! (X, p). _ 1°. Fie a un drum închis pe X cu originea p. D e f i n i m p u n î n d <1.2)

/ » № ) F= [ / ( a ) b ) .

Această definiţie are sens : dacă 3 g [a]*> deci a şi ß sînt omotope, atunci / ( a ) Şi / (3) sînt de asemenea omotope. Se verifică imediat că aplicaţia f t : Tz-L (X, p) 7Ü! (X, p) este un omomorfism. Nucleul acestui omomorfism este dat de subgrupul claselor , pentru care / (a) este nulomotop. _ 2°. Fie y un drum arbitrar pe X, unind q cu p, / (y) drumul imagine pe X şi w respectiv со izomorfismele permise corespunzătoare lui Y Şi f (Y). Dacă este o clasă arbitrară din щ (X, p) şi q = f (q), atunci (*>°Л>

= СО ( [ / ( - ) ] , ) -

[/(Y) / ( 5 ) /(Y)' 1 ]*

şi (/a ° ö) И * = л ( [Y 5 Y"1]«) = [/ (Y * Y""1)]^ deci со — f~ о C0j ceea ce demonstrează echivalenţa omomorfismelor U Şi /?• + 3°. i n ipoteza p = g, drumul / (Y) este închis, со este un automorfism interior şi cum [а]~ este un element arbitrar din (X, p), egalitatea stabilită la punctul 2° implică (1.3)

[ f i m ^ i K m

1

=

4ti>

de unde rezultă 3°. Se observă totodată că pentru orice subgrup ß, conjugat cu în TCJ (X, p), există un punct q din / _ 1 (p), astfel încît = ß. într-adevăr, dacă ß = [ß]p [ß]P S cu [ß]p g % (X, p), putem lua g extremitatea drumului ß"1, transportatul lui ß"1 din punctul p.

252

Suprafeţe riemanniene

4°. Dacă / este omeomorfism surjectiv şi notăm cu f"1 omeomorfismul invers : X X , atunci fo şi (/~ 1 ) P sînt omomorfisme inverse unul altuia, deci /5 este izomorfism surjectiv 4 ). Observaţia 1.1. Enunţul teoremei 1.1, punctele 2° şi 3°, se simplifică în ipoteza X liniar conex. î n acest caz, dacă aplicaţia continuă / este surjectivă, rezultă că X este liniar conex. Observaţia 1.2. Aplicaţia identică lx induce izomorfismul identic 1щ{Х.Р) PROPOZIŢIA 1 . 9 . Fie f : X* -> X şi f : X -> X două aplicaţii_ continue între spaţiile topologice X*, X şi X, p* un punct din X*, p = / (p*) şi p = f (p). Atunci, folosind notaţiile de mai sus,

(/° /)„• ^ f p 0 /„• ^ ( / o / î p - C ^ C T U ! (X, p). Dacă [a*]p* g 7Г! (X*, p*), putem scrie ( / • / ) „ • (["%*) ^ [ / ( / ( 0 ) ] p = Л ( [ / ( О Ь ) = ( / * % • ) (["%*), ceea ce demonstrează (1.4). Cum CI (X, p), aplicînd /5 şi ţinînd 5 seama de (1.4), deducem (1.5) ). Cu ajutorul grupului fundamental abstract şi propoziţiilor 1.7 şi 1.8, teorema 1.1 ia forma următoare : _ TEOREMA 1.1'. O aplicaţie continuă (un omomorfism surjectiv) f : X - > X , X şi X spaţii topologice liniar conexe, induce un omomorfism (izomorfism surjectiv) F : тт^ (X) TZ1 (X), determinat pînă la un automorfism interior al grupului (X).

§ 2. Acoperiri 1. Numim acoperire un triplet (X, /, X), unde X şi X sînt două spaţii topologice, iar f o aplicaţie continuă a lui X şi X. Numim : X spaţiul de bază, X spaţiul de acoperire, / proiecţia şi / _ 1 (p) fibra punctului p G X. 4

) Dacă f nu este

surjectiv,

poate să nu fie izomorfism. De exemplu : X — co-

roana circulară гг < | p | < r2 ; X — planul ; f — aplicaţia de incluziune f : p = p ; p 0 £ X ; a — drumul obţinut descriind o dată în sens direct | p ! = | p 0 | şi ß — drumul nul cu originea p 0 б;atunci [a], 0 fß] 5e , dar [f (cc)b0 = [f (ß)] po • ) Teorema 1.1, observaţia 1.2 şi propoziţia 1.9 pun în evidenţă un functor covariant Cf de la categoria ale cărei obiecte sînt perechi ( X , p) cu X-spaţiu topologic şi p punct din X şi ale cărei morfisme (X, p) (X, p) sînt aplicaţii continue f: X X cu f (p) = p, în categoria grupurilor cu morfisme-omomorfismele : Cf [(X, p)] = tzx (X, p) şi ( f ( f ) = •

Elemente din teoria omotopiei

253*

Două acoperiri cu aceeaşi bază (Xfc, / fc , X), fc = 1, 2, sînt prin definiţie egale, dacă există un omeomorfism surjectiv cp : Xx - > X 2 , care face comutativă diagrama 6)

(2.1)

X Opera lui S. Stoilow a contribuit hotărîtor la dezvoltarea teoriei acoperirilor. Lui i se datoreşte noţiunea de accperire riemanniană (numită clasic suprafaţă riemanniană de acoperire) : acoperire (X, /, X), unde X este o suprafaţă riemanniană, X este o suprafaţă, iar / o transformare interioară (continuă, deschisă şi O-dimensională) ( [41] ; [40], Cap. VII). Un rol deosebit în cele ce urmează îl au acoperirile neramificate — numite şi etalări — acoperiri (X, /, X) pentru care f este un omeomorfism local (orice punct p € X are o vecinătate 7 ) v9 care este reprezentată omeomorf de f pe un deschis v din X). Evident, / este o transformare interioară : a) Prin definiţie, f este continuă. b) Fie Ö o mulţime deschisă din X şi p un punct din O. Prin ipoteză, există vecinătatea v reprezentată topologic de f pe imaginea sajy, vecinătatea lui p = f(p). Cum p ţ f ( 0 П 5) C / ( 0 ) , rezultă că f(O) este un deschis din X şi f este deschisă. _ c) Oricare ar fi punctul p ţ f ( X ) şi pţf^ip), există vecinătatea v a lui p din X, astfel încît {p} = v f| / _ 1 (p)- Pri n urmare, dacă p g X sau / _ 1 (p) == 0 sau / _ 1 (p) este o mulţime de puncte izolate, iar / este O-dimensională (i.e. nu transformă nici un continuu nedegenerat într-un punct). Dacă X este spaţiu separat, sau mai general satisface axioma T1 de separaţie, fibra / _ 1 (p) nu are punct de acumulare în X. 2.1. Fie ( X , / , X) o acoperire neramificată, X un drum pe X, definit de 9 : 1 X, cu originea p = 9 (0) şi p un punct d i n / - 1 (p). A transporta (sau ridica) drumul X pe X în punctul p înseamnă a da un drum X pe X cu originea p, astfel încît / (X) = X. Transportul unui drum se poate realiza printr-un procedeu analog cu prelungirea analitică în lungul unui drum ([39], p. 115). Fie v o vecinătate a lui p, reprezentată topologic de / pe vecinătatea v a lui p. Dacă X C V, atunci X = (/|p) _1 (X), unde ( / b ) - 1 este omeomorfismu] invers 6 ) Acoperirile unui spaţiu X sînt obiectele unei categorii, a căror morfisme (Хг, , X) (X2, f 2 , X) sînt aplicaţii continue cp : Хг X 2 , ce fac comutativă diagrama (2.1). Egalitatea acoperirilor definită mai sus este izomorfismul a două obiecte din această categorie. 7 ) Prin vecinătate a unui punct convenim să înţelegem un deschis, care conţine punctul, exceptînd cazul cînd vom indica contrariul.

254

restricţiei / а

Suprafeţe riemanniene

lui / la v. î n cazul contrar că notăm a = sup t astfel t e (o. d încît drumul \ definit de iar drumul X == Xa, ţXe, este transportatul lui X din punctul p. î n cazul contrar, definim b — sup t, tÇ(a'. 1) astfel încît drumul XaM : ga, t (r) = 9 [(t — а') т + а'], т € I, să fie inclus în va, şi alegem b' e (a', b). Dacă notăm Ха,6, = (/l^,)"*1 drumul Х6, = Ха, Ха,6, transportă drumul Х&, din р. Procedeul continuă, conducînd fie la un drum X, transportatul lui X din fie la un interval I 0 = [0, t0) = [ 0, a) U La'i У U • • • ? astfel încît pentru orice t g I 0 , X, se transportă într-un drum X* din p. î n acest caz spunem că transportul drumului X din p nu este posibil. _ PROPOZIŢIA 2 . 1 . Fie X un spaţiu topologic separat şi ( X , f , X ) o acoperire neramificatâ. Dacă transportul unui drum X de pe X într-un punct p g X este posibil, atunci X este unic determinat Fie Xfc, Tc = 1, 2, două drumuri date de (pk : I X cu originea p şi proiecţia / (Xfc) = X. Deoarece drumurile / (XJ coincid, există omeomorfismul ф al lui 1 pe I, T — ф (tf), astfel încît / °9i 92 Fie ^ = = {t\tÇI, 9i(*) = 9 2 ° Mulţimea Jj nu este vidă, deoarece conţine punctul t = 0, ea este deschisă relativ la I, / fiind omeomoifism local, şi închisă, 9i Şi 9г°Ф fiind continue iar X spaţiu separat ; prin urmare, 1г = I şi Xj = X2. _ Observaţia 2.1. Condiţia X spaţiu separat asigură deci unicitatea transportului drumurilor pentru acoperiri neramificate. Iată un exemplu de acoperire neramificată, în care X nu este separat şi transportul nu este unic : Fie Xplanul complex, X spaţiul topologic ( [45], p. 256) format luînd suma topologică a două plane şi identificînd punctele de aceleaşi coordonate, dacă au ordonata negativă, iar /aplicaţia ce asociază fiecărui punct p € X, punctul p ţX de aceleaşi coordonate. Spaţiul X nu este sepaiat, dar este local euclidian 2-dimensional şi conex. Drumul X : z = (2t -— 1) i, t g Z, de pe X se ridică din punctul corespunzător lui — i de pe X prin 2^drumuri. Totodată acoperirea ( X , 1^, X) este un exemplu în care, deşi X nu este separat, transportul este unic. 2.2. Yom numi acoperiri cu transport unic, acoperirile pentru care transportul este univoc, atunci cînd este posibil şi vom stabili două proprietăţi ale acoperirilor neramificate de acest fel : PROPOZIŢIA 2 . 2 . Bacă (X19 f19 X) este o acoperire neramificată cu transport unic, X± este liniar conex, iar (X2,/2, X) este o acoperire egală cu

Elemente din teoria omotopiei

255*

(X 1? / 1? X), omeomorfismul (2.1) 9 : Хл -> X 2 , care stabileşte egalitatea, este imic determinat de o pereche de puncte corespondente. Fie o pereche de puncte astfel încît 9 ( p j = p 2 şi ^ un punct arbitrar din X1? iar Xx un drum ce uneşte pe Хг punctele p± şi qx. Drumul X= (Xx) se poate transporta în p 2 , deoarece există 9 (Xx) cu / 2 o

€ I X I, să ţinem seama că ^ ( т, este o aplicaţie continuă şi că orice punct din atç are o vecinătate v, pe саге / o reprezintă topologic pe 1? dinX. Putem alege deci o diviziune 0 = т° < т1 < . . . < т п = l a lui I, astfel încît fiecare interval^ [т*, Tfc+1], (h = 0, . . . , n — 1), să fie reprezentat prin aplicaţia p = F ( т, t0) într-o vecinătate v de mai sus, fie T)k, iar punctul TQ să aparţină unui interval deschis (т*°, Tfco+1), exceptînd cazurile т0 = 0 sau 1. Din continuitatea aplicaţiei F ( т, t) rezultă existenţa unui număr e > 0, astfel încît oricare ar fi punctul ( т, t) de coordonate fc T € O , T * + 1 ] , tei Г) [t0 — t0 + s], punctul F (т, t) să aparţină lui v = / (Ç ). Să arătăm că în aceleaşi condiţii pentru т şi t, F ( т, t) Ç î?fc. î n acest scop, notăm cu aţ şi a* drumul dat de F ( т, tf) respectiv ^ ( T , tf), pentru t fix din 1 П [ < o - S, «o + e] şi [т*, T*+1] la о 8 normare evidentă a parametrului т ). Cum /(0^) = af, drumul aţ reprezintă transportatul lui af din punctul F ( т*,tf).Dacă vom demonstra că F ( Tä, tf) va rezulta Ц d 5*, (deoarece f/| 5 * este biunivocă, (/|17fc)~1(aţ)c:vfc va fi de asemenea transportatul lui din F (т*, tf) şi transportarea este unică). Pentru Tc — 0, avem prin ipoteză F ( т°, t) = ă 8 ) în cele ce urmează, pentru prescurtare, nu vom mai aminti, de fiecare dată cînd este necesar, schimbarea de parametru pentru a aduce intervalul de variaţie la I, ci vom subînţelege că operaţia aceasta a fost efectuată.

56

Suprafeţe riemanniene

Să notăm cn ßf drnmnl F ( Tfc, t') pentrn V din intervalul închis de valori dintre t0 şi t şi să remarcăm că există ß? transportatul acestui drum din F ( т*, t0), deoarece ßf CZ я*"1 П Şi ^ ( Л t0) g î?*5"1 f] ; mai mult, 1 5fCZ я*" П (fc = 1, . . n — 1). Dacă, procedînd prin inducţie, presupunem că F ( T F C _ 1 , t) G T ? * ' 1 , atunci А * - 1 а Prin urmare, F ( TFC, t) este unicul punct din v к ~ г cu proiecţia F ( TFC, t), adică coincide cu extremitatea lui ß* şi aparţine lui vk. Am dovedit astfel că, oricare ar fi h = = 0 , 1 , . . . , n — 1, F { i , t ) ţ v k pentru T € [ T * , T ä + 1 ] şi t S I П l \ — s, + s] sau că în acest dreptunghi de puncte ( т, t), putem scrie JP = zf (f\v k )~ l o F, ceea ce asigură continuitatea lui F în punctul ( т0, t0). Cum F(l, t) este o aplicaţie continuă : I -> X, f o F (1, t) = b şi / este un omeomorfism local, deducem că F (1, t) = b un punct din / _ 1 (fe). Deoarece F (0, t) = a, rezultă că F ( т, J) realizează o deformare continuă a lui a 0 în ap ^ 3. Yom studia acum acoperirile (X, / , X), pentru care orice drum de pe X se poate transporta pe X, în orice punct din preimaginea sa şi pe care le vom numi acoperiri cu transport posibil. O acoperire ( X , / , X) se numeşte neramificată, fără frontieră, dacă orice punct p 6 X are o vecinătate cu proprietăţile : a) fiecărui punct p ţ f ^ i P ) îi corespunde o vecinătate u~ reprezentată topologic prin / l i * Pe şi b ) / " 1 (up) = U «j. * pÇf-ЧР) 3.1. Se verifică imediat : PROPOZIŢIA 2.4. /w CA^wZ unei acoperiri neramificate, /ARA /готгtàera, once й г г т X de pe X de origină p0 se transportă pe X din orice punct Po €Г1 (Po). într-adevăr, fie X dat de p = cp ( т) : I -> X şi т& (fc = 0, 1, . . . , n) o diviziune a lui I astfel încît drumul Xfc, corespunzînd valorilor Tfc+1], să fie inclus în uPk, unde pk- =

Elemente din teoria

omotopiei

257*

din X se poate stabili o corespondentă biunivocă între mulţimile de puncte Г1 (p) si n (q). într-adevăr, fie X un drum unind pe X punctele p şi g. î n fiecare punct pt g / - 1 (p) de pe X transportăm X prin drumul şi extremitatea sa va fi un punct g* 6/" 1 (g). Se verifică imediat că asocierea p. -> dă o corespondenţă bijectivă între f 1 (p) şi f ( q ) 9 ) . Consecinţa 2.1. î n condiţiile propoziţiei 2.5, dacă preimaginea unui punct din X are un număr finit n de puncte, preimaginea oricărui alt punct din X are de asemenea n puncte. Vom numi n numărul foilor acoperirii, denumire justificată în cazul cînd X şi X sînt suprafeţe. Din propoziţia 2.3 rezultă imediat Consecinţa 2.2. Fie ( X , / , X) o acoperire neramificată cu transport posibil şi unic. Dacă OL şi ß sînt două drumuri omotope pe X, ridicînd aceste drumuri din acelaşi punct din X, obţinem două drumuri a şi ß omotope pe X, eu aceeaşi extremitate. 3.3. Numim spaţiu local liniar conex (respectiv local simplu conex)10) un spaţiu topologic, care are o bază de mulţimi deschise liniar conexe {respectiv simplu conexe).^ Observaţia 2.4. Fie ( X , / , X) o acoperire neramificată şi P o proprietate invariată de omeomorfisme (de exemplu conexiunea liniară, conexiunea simplă). Dacă X are o bază pentru deschise formată de mulţimi cu proprietatea P, .atunci X are şi el o bază de acelaşi fel. Reciproca este adevărată, adăugind că aplicaţia f este o surjecţie. Observaţia 2.5. Dacă ( X , / , X) este o acoperire neramfficată cu transport unic, X este local liniar conex şi p19 p 2 sînt două puncte diferite din X cu aceeaşi proiecţie p € X, atunci px şi p2 au vecinătăţi disjuncte, într-adevăr, fie uk o vecinătate a lui pk (k = 1, 2) pentru care f\uk este un omeomorfism al lui uk pe deschisul /(%), fie и a f (щ) f| f (щ) o vecinătate liniar conexă a lui p si fie йЪк = (Д^.) - 1 (и). Dacă ar exista un punct f 6 иЪг П üb? un drum X din и, unind f (r) cu p, s-ar ridica din f în două drumuri diferite ( / | ^ ) - 1 (X) ; prin urmare, f ) иъ = 0. {Rezultatul se aplică în particular acoperirilor neramificate, fără frontieră cu transport unic, pentru vecinătăţile йъ din definiţie, cînd uv sînt liniar conexe). JDacă (X, /, X) este o acoperire şi X este spaţiu separat, două puncte din X cu proiecţii diferite au vecinătăţi disjuncte. Din aceste două afirmaţii rezultă : Dacă (X, /, X) este o acoperire neramificată cu transport unic, iar X este separat şi local liniar conex, atunci X este separat. 9 ) Evident, fără ipoteza X liniar conex, propoziţia rămîne valabilă pentru oricc pereche de puncte p,q£X, care se pot uni cu un drum pe X. 10 ) A se vedea definiţii mai generale pentru aceste noţiuni în lucrarca [25], p. 64 şi p. 134.

258

Suprafeţe riemanniene

_ PROPOZIŢIA 2 . 6 . Fie X un spaţiu topologic, local simplu conex şi (X, / , X) o acoperire neramificată cu transport posibil şi unic. Atunci acoperirea este neramificată, frontieră. Să considerăm pentrn fiecare punct p £X drept vecinătate un deschis simplu conex şi să asociem fiecărui punct pi^f~1(p) mulţimea a punctelor g4 obţinute prin următoarea construcţie : q fiind un punct din ^ şi X un drum cu originea p şi extremitatea g, situat în uvJ punctul qi este extremitatea drumului X, transportatul lui X pe X în punctul p^ Datorită unicităţii transportului de drumuri, simplu conexiunii iui up şi consecinţei 2.2, punctul depinde numai de q şi de pi9 astfel încît f\u~ este o bijecţie : u~, -> up . Mulţimea иъ. este un deschis în X : Fie q un punct din и ъ şi v un deschis în X, liniar conex pentru care / (v) d up. Orice punct f £ v se uneşte cu punctul q printr-un drum £ cz v. Evident, / ( £ ) CZ uv. Dacă X este un drum din и, care uneşte p şi g? ridicînd drumul X/ (jI) din pL vom obţine drumul X? С . Prin urmare, f 6 u 3 , , v CZ şi иъ, este u n deschis. Aplicaţia : иЪ{ -> up este evident un omeomorfism surjectiv. Să verificăm că |J Щ = f'1 (up) : Dacă 5 şi o este un p€ f-HP) drum unind în u9 punctele q = f (q) şi p, atunci q 6 u~p, unde p este extremitatea drumului a, transportatul lui or din punctul q. Cealaltă incluziune este evidentă. 3.4. Propoziţiile de mai sus şi teorema 1.1 implică : TEOREMA 2 . 1 . Fie (X, / , X) o acoperire yxeramificată cu transport posibil şi unic, p un punct din X, iar p = f (p). 1° h es^e un izomorfism. 2° constă din clasele drumurilor închise a de pe X, cu originea p7 care se ridică din p în drumuri închise. 3°. Dacă două puncte arbitrare din / 1 (p) se unesc printr-un drum pe X, indicele lui în ^ (X, p) dă numărul de puncte din /_1 (p). Prin urmare, dacă X si X sînt liniar conexe, indicele lui în тгх (X, p) este numărul foilor acoperirii ( X , / , X). Afirmaţiile 1° şi 2° se deduc imediat, folosind consecinţa 2.2. Pentru a stabili 3°, să unim p cuj>ricare alt punct p' 6/ _ 1 (î>) y printr-un drum X' de pe X ; atunci X' = / ( X') este un drum închis şi ( [X']^ determină o clasă alăturată [X']p în тг1 ( X , p ) . Se verifică imediat că am obţinut astfel o bijecţie între punctele din/" 1 (p) şi clasele alăturate ale lui în (X, p). Din teoremele 1.1 şi 2.1 rezultă Consecinţa 2.3. Fie ( X , / , X) o acoperire neramificată cu transport posibil şi unic, iar X şi X spaţii liniar conexe. Fie p 6 X şi p = / {p). Să

Elemente din teoria omotopiei

259*

ridicăm toate drumurile ale căror clase de omotopie aparţin lui din orice punct al fibrei f'1 (p). Drumurile transportate vor fi toate închise, atunci şi numai atunci cînd este divizor normal în т^ (X, p). O acoperire (X, /, X) neramificată, far a frontieră cu transport unic, spaţiile X şi X fiind liniar conexe, se numeşte regulată, dacă este divizor normal în (X, p), pentru p ţ X şi p = f (p) n). Teorema 2.1 şi consecinţa 2.3 permit să completăm teorema 1.1' în modul următor : TEOREMA 2 . 1 ' . Fie ( X , / , X ) o acoperire neramificată cu transport posibil şi unic, iar X şi X spaţii liniar conexe. _ 1°. Aplicaţia f induce un izomorfism F : TUJ (X) —> (X) determinat pînă la un automorfism interior al lui т:1 (X) şi pune în evidenţă clasa de subgrupuri conjugate cu ß = F [пг (X)] din щ (X). 2° Bacă ß este divizor norm,al, drumurile închise de pe X, corespunzînd la clase din se ridică în drumuri închise pe X. 3.5. Am văzut că oricărei acoperiri ( X , / , X) îi putem asocia pentru fiecare punct p g X un subgrup ^ СI ~ i ( X , / ( p ) ) . Vom demonstra o reciprocă a acestei proprietăţi : PROPOZIŢIA 2 . 7 . Fie X un spaţiu topologic liniar conex şi local simplu conex. Oricare ar fi punctul pţX şi subgrupul ß d щ (X, p), există o acoperire neramificată, fără frontieră, cu transport unic (X, /, X) şi ww punct p g X, astfel încît = ( Spaţiul X rezultă liniar conex şi local simplu conex). Considerăm pentru fiecare punct q g X mulţimea drumurilor X cu originea p şi extremitatea g şi le grupăm în clase notate {X}, prin următoarea relaţie de echivalenţă : X' g {X}, dacă şi numai dacă [X' X"1]^ g (Dacă q = aceste clase coincid cu clasele alătuiate lui ^ în ^ ( X , p)). Notăm X mulţimea acestor clase şi / aplicaţia X X, care asociază fiecărei clase q = {X}, definită de drumul X cu extremitatea g, punctul g. OrganizămX ca spaţiu topologic, luînd drept vecinătăţi ale lui g g X mulţimile u-, construite în modul următor, plecînd de la mulţimile uq din X deschise, simplu conexe, ce conţin q: Fie q* un punct arbitrar din uq, X* un drum din uq cu originea q şi extremitatea g*, iar X un drum din clasa g. Drumul XX* defineşte clasa g*, iar и- este mulţimea claselor g*, cînd g* descrie ^ . Se verifică imediat că : X este spaţiu topologic este omeomorfism local : ü~—> uQ ; ridicarea drumurilor e totdeauna posibilă univoc ; ~ pe X e liniar conex şi local simplu conex. Din propoziţia 2.6 rezultă că acoperirea ( X , / , X) este neramificată, fără frontieră, iar din teorema 2.1, 2°, u ) Am folosit denumirile de acoperire neramificată, neramificată fără frontieră, regulată date de R. Nevanlinna [311 ; în monografia [7], aceste noţiuni sînt numite respectiv acoperire netedă, regulată, normală.

260

Suprafeţe riemanniene

că = Q, dacă alegem punctul p corespunzător clasei determinată de drumul nul cu originea p. 3.6. Vom stabili acum o teoremă relativă la ridicarea aplicaţiilor, care constituie totodată o reciprocă a propoziţiei 1.9. TEOREMA 2.2. Fie (X, f , X) o acoperire neramificată, cu transport posibil şi unic, (X*, 9, X) o acoperire arbitrară, X* un spaţiu liniar conex şi local liniar conex, iar p şi p* două puncte din X respectiv X*, astfel încît f(P) = 9 (P*) = P- Dacă 3 atunci există aplicaţia continuă 9 : X* -> X, care face comutativă diagrama

(2.2)

unic determinată prin condiţia 9 (p*) = p. 1°. Dacă (X*, 9, X) este o acoperire neramificată, atunci şi acoperirea (X*, 9, X) este neramificată. 2°. Dacă pentru acoperirea (X*, 9, X) transportul drumurilor este posibil (respectiv unic), atunci (X*, 9, X) are aceeaşi proprietate. Dacă(X*, 9, X) este o acoperire neramificată, fără frontieră, (X*, 9, X) 6ste şi ea neramif icată, fără f rontieră. 3°. Daca (X*, 9, X) este neramificată cu transport posibil şi unic, X este liniar conex şi = atunci 9 este un omeomorfism surjectiv, iar acoperirile (X, f , X) şi (X*, 9, X) sînt egale. î n condiţiile cazului general, 9 se obţine în modul următor : Luăm 9 (p*) = p şi pentru fiecare q* g X*, ducem un drum X* arbitrar pe X* de origină ^p* şi extremitate q*, transportăm d i n d r u m u l X = 9 (X*) prin drumul X şi definim 9 (q*) = q, extremitatea lui X. Condiţia asigură caracterul univoc al acestei aplicaţii. într-adevăr, dacă unim p* cu q* prin alt drum Xj, cum X* Xî_1 se închide pe X*, notînd Xx =
Elemente din teoria omotopiei

261*

drum (JL* din uq* şi să transportăm \l = 9 (fx*) din q, ceea ce ne dă £ = = (/I«-)" 1 (p.). Extremitatea lui punctul 1?, va aparţine lui #3. şi va coincide cu 9 (s*). Pentru a stabili unicitatea aplicaţiei 9. să procedăm prin reducere la absurd, presupunînd că ^ ar fi o altă aplicaţie continuă : X* X, astfel încît / о ? ! = 9 şi 9X (p*) = p. Dacă 9 =f= 9 1? fie q* Ç X*, pentru care 9X (g*) 9 (g*). Unim în X* punctul cu g*. printr-un drum X*. Drumurile 9(X*) şi ^(X*) constituie ridicări din p ale drumului X = = 9 ( X*), deci, cum pentru acoperirea ( X , / , X) transportul drumurilor este univoc, ele coincid. Am obţinut astfel o contradicţie, deoarece 9 (X*) = 9j ( X*) implică ф (g*) = ft (g*). Cazurile 1° sau 2C se verifică imediat, iar 3° se obţine schimbînd rolul lui / cu 9, ceea ce ne dă o aplicaţie 9* : X -> X*, pentru care 9* (p) = p* şi cpoo* = / : aplicaţia 9* este tocmai inversa lui 9. Bemarcăm сă_(X,/, X) şi (X*, 9, X) fiind două acoperiri oarecare egale, iar 9 : X* X un omeomorfism astfel încît 9 = / 0 9 , dacă 9 = - p, atunci = § 3. Grupul transformărilor de acoperire 1. Fie ( X , / , X) o acoperire. Un omeomorfism surjectiv T : X cu proprietatea fo T — f se numeşte transformarea de acoperire.

X

1 . 1 . PROPOZIŢIA ЗЛ. Transformările de acoperire formează un gmp9 pe care îl vom nota (?. _ Dacă acoperirea ( X , / , X) este neramificatâ, mulţimea punctelor {T (j5)}TG(î, ? fiind un punct arbitrar dar fix în X, este formată din puncte izolate şi, adăugind ipoteza X spaţiu separat, această mulţime nu are puncte de acumulare în X. într-adevăr, { î 7 ^ ) } ^ C i / - 1 (p), unde p = — .f (P) Şi s e aplică rezultatele din § 2, pct. 2. Putem deci formula m condiţiile subliniate în acest aliniat : 12 PROPOZIŢIA 3 . 2 . Grupul G este discret sau discontinuu ). PROPOZIŢIA 3 . 3 . Dacă acoperirea (X, / , X) este neramificată cu Iransport unic (în particular, dacă X este spaţiu separat) şi X este liniar conex, atunci orice transformare de acoperire T este unic determinată printr-o pereche de puncte corespondente, după cum rezultă din propoziţia 2.2. Această proprietate se mai poate exprima spunînd că transformările de acoperire sînt fără punct fix : dacă o transformare de acoperire invariază un punct, atunci se reduce la identitate. 12 ) Un grup G de transformări ale spaţiului topologic X în el însuşi se numeşte discontinuu, dacă oricare ar fi P" £ X, mulţimea {T (p)}TţG NU are punct de acumulare în X.

262

Suprafeţe riemanniene

1.2. Grupul G al transformărilor unei acoperiri ( X , / , X) introduce pe X următoarea relaţie de echivalenţă : punctele p1 şi p2 din X sînt echivalente relativ la G, dacă există T g (?, astfel încît T ( p = p 2 . Yom nota această relaţie de echivalenţă : p 1 p2. TEOREMA 3 . 1 . Dacă p2, atunci = şi orice drum Y ce uneşte px cu p2 se proiectează într-un drum y = f (y) a cărui clasă de omotopie în punctul p = f (pi) aparţine normalizatorului §flf„ al lui în № P). î n adevăr, dacă există T g G pentru care T (рг) = p2, oricare ar fi drumul închis ocx cu originea p v T (ах) = а 2 este un drum închis cu originea p 2 . Cum [/(ах)] р este un element arbitrar din şi totodată coincide cu [/(*2)]p? deci aparţine lui , deducem că ßr^CZ Incluziunea contrară se obţine considerînd î 7 - 1 în loc de T. Din teorema 1.1, 3°, rezultă [y] p g 1.3. Observaţia 3.1. Fie acoperirile (X, f19 X x ) şi (X 1 ? / 2 , X 2 ). Grupul transformărilor de acoperire pentru (X, f19 X 2 ) este subgrup al grupului transformărilor de acoperire pentru (X, / 2 ° / i , X 2 ). 2. Yom introduce acum noi ipoteze asupra acoperirilor şi spaţiilor considerate : TEOREMA 3 . 2 . Fie ( X , / , X) o acoperire neramificată cu transport posibil şi unic, iar X liniar conex şi local liniar conex. Atunci, oricare ar fi punctul p g X, are loc izomorfismul J

P

'D

(3.1)

Fie [y] p drumul у transportatul drumului у din p, iar extremitatea lui y. Să demonstrăm că există o transformare TrţG cu a proprietatea TY (p) == picest scop, este suficient să aplicăm teorema 2.2, 3°, diagramei

*

/

ţinînd seama că din teorema 1.1,3°, deducem = Am definit astfel o aplicaţie а : c ^ -> G, prin care сг ([y] p ) = TY, pentru [ Y ] p g Aplicaţia а este surjectivă : î n adevăr, teorema 3.1 arată că oricare ar fi T g G, notînd T (p) = şi y un drum ce uneşte p cu dacă y = f (y), clasa [yJpg^C/-. După afirmaţia de unicitate din teorema 2.2, T == TY. Aplicaţia g este un omomorfism : Să luăm două elemente [а], şi [ß]„ din şi să arătăm că T a3 = T a o Tß. Evident, este suficient să

Elemente din teoria

omotopiei

263*

verificăm relaţia T aß (p) = (T a o Tß) (p), pentru un punct p £ X . Punctul ^аз (?) se obţine ridicînd aß din p : fie a transportatul drumului а din p şi Т а (p) extremitatea lui ; atunci T aß (p) va fi extremitatea drumului ß transportat din Т а (p). Pe de altă parte, fie ß transportatul lui ß din p : extremitatea sa este punctul Tß (p) şi pentru a construi T a [T ß (p)] лют ridica din Т а (p) proiecţia unui drum ce uneşte p cu Tß (p), pe care îl alegem chiar ß. Prin urmare Ta [ T ß ( p ) ] este extremitatea lui T a (ß) şi coincide cu T aß (p). Nucleul omomorfismului g este format de clasele [yj^ Ç , pentru care TY este aplicaţia identică, deci Y este drum închis. Aplicînd teorema 2.1, 2°, deducem că Ker с = ceea ce demonstrează izomorfismul (3.1). Observaţia 3.2. Adăugind la ipotezele teoremei 3.2 şi condiţia : X liniar conex, din teoremele 1.1' şi 2.1' rezultă izomorfismul Go^ffl-Iß, unde SZ este normalizatorul lui ß în тих (X). Observaţia 3.3. î n condiţiile teoremei 3.2, grupul G este tranzitiv 13) atunci şi numai atunci cînd este divizor normal = ^ ( X , p)). Observaţia 3.4. Dată acoperirea ( X , / , X), avem pe X două relaţii de echivalenţă : una determinată de f (3.2) şi alta determinată de G (3.3)

5 <=>/(?) = / ( Ş )

p • 'q q <=> T(p) = q, pentru un T Ç G.

Evident, p q implică şi cele două relaţii de echivalenţă coincid dacă şi numai dacă G este tranzitiv. Fie (X, / , X) o acoperire neramificată, iar / o aplicaţie surjectivă. Spaţiul cît al lui X faţă de relaţia de echivalenţă determinată de / , pe care îl vom nota X / f , este omeomorf cu X([15], p. 93). î n cele ce urmează vom folosi această observaţie în cazul G tranzitiv, cînd spaţiul cît îl vom nota X\G. § Л Acoperirea universală 1. Fie X un spaţiu liniar conex, local simplu conex şi p nn punct din X. Să alegem subgrupul Q = {1} CI щ (X, p), 1 fiind clasa drumurilor nul-omotope, elementul unitate din щ(Х 9 p). Aplicînd propoziţia 2.7, deducem existenţa acoperirii regulate (X, I1G, X), cu proprietatea _ с;,В —

= {1}, pentru orice punct р б П ё Ч р ) Şi cu grupul transformărilor de acoperire o ^ Щ (X, p), 13 ) Un grup de transformări de acoperire se numeşte tranzitiv, dacă oricare ar fi punctele p x şi p2 din aceeaşi fibră a acoperirii, există în grup o transformare Г, astfel încît T ( p x ) = p 2 -

264

Suprafeţe riemanniene

după teorema 3.2. Proiecţia acestei acoperiri a fost notată cu П^, deoarece după observaţiile 3.3 şi 3.4, grupul G fiind tranzitiv, relaţiile de echivalenţă (3.2) şi (3.3) definite de proiecţie respectiv de grupul G coincid, iar X este omeomorf cu X/G. Acoperirea ( X , IIG, X) SAe numeşte universală, fiindcă după teorema 2.2, oricare ar fi acoperirea ( X , / , X) neramificată cu transport posibil şi unic, există o acoperire ( X , / , X) astfel încît UG = = f of. Tot din teorema 2.2 rezultă că acoperirea ( X , n G , X) este independentă de p, pînă la o egalitate de acoperiri. Conform teoremei 2.1,1°, grupul p) se reduce la elementul neutru, fiindcă Пв>з este un izomorfism. Prin urmare, spaţiul X este omotop simplu conex. (După propoziţia 2.7, ştiam că X este liniar conex şi local simplu conex.) Teorema 2.1, 3°, arată că numărul foilor acoperirii universale este egal cu ordinul lui тих(Х, p). 2. Vom aprofunda acum izomorfismul : G -> щ ( X , p), pe care îl vom nota A e Beamintim din demonstraţia teoremei 3.2, definiţia lui AGtî> : ^ a 1° Fiind dat unim p cu T(p) printr-un drum v cu proiecţia П в (y) = Y; atunci A G t b { T ) = [y] p . 2°. Eeciproc, luînd [y] v 6 щ (X, p), transportăm Y din p prin drumul y ; atunci A-_i([Y]j>) = transformarea de acoperire pentru care Ty(p) este extremitatea lui yPROPOZIŢIA 4 . 1 . Fie X : G-^G un automorfism, ТИХ (X, q) un izomorfism, p 6 П^1 (p) şiqţ Uq1 (q). Dacă următoarea diagramă G j

(4.1) TU

-

M j Agj (х,р)—*щ(Х,а) г w

este comutativă, X este automorfism interior atunci şi numai atunci cînd со este izomorfism permis. Verificarea este imediată : Fie
265*

Elemente din teoria omotopiei

§ 5. Aplicaţii omotope 1. î n acest paragraf vom folosi acoperirea universală pentru a stabili o proprietate importantă a aplicaţiilor continue omotope între două spaţii topologice X şi X', liniar conexe şi local simplu conexe. Să notăm cu X şi X' spaţiile de acoperire universală corespunzătoare, G şi G' grupurile transformărilor de acoperire, IlG : X X şi : X' X' aplicaţiile ce realizează acoperirea, AGÎ> : G-^iz1(X9p)J u n d e p ţ X şi p = П G ( p ) , respectiv : n ± ( X f , p'), unde p şi p' = П G ,(p'), izomorfismele definite în § 4, pct. 2. Fie f : X-+X' o aplicaţie 1° Există o aplicaţie continuă f : X->X',

TEOREMA 5 . 1 .

A

(5.1)

T

continuă. astfel încît

diagrama

A

П,| X - ^ X '

să fie

comutativă

sau

(6.1')

f o U

G

=

U

G f

o f .

Aplicaţia f este unic determinată prin condiţia f(p)=p', dacă f ( p ) = p \ Luînd în loc de p' un alt punct T'(p') cu T' g G', aplicaţia f se înlocuieşte cu T'of. 2°. Aplicaţia f determină univoc un omomorfism Xj : care face comutativă diagrama A T

(5.2)

T

A

j A

_ /

j

X .(T)

A

oricare ar fi T £ G, i.e. (5.2')

foT=Xf(T)of.

Omomorfismul

diagrama

(5.3)

yf face comutativă

Авл

G j

U—» G' j Ло-.i'.

266

Suprafeţe riemanniene

sau (5.3')

Xf =

a

Gh

° f p°

a

GJ

si verifică relaţia (5.4)

(T) =

Т[оХ7

(Т)ОТ;-1

pentru orice Т[ £ Gf şi T g G 14). 3°. Bacă f este un omeomorfism surjectiv, atunci f este omeomorfism surjectiv, iar Xî es^e izomorfism surjectiv. 1°.A Prima afirmaţie de la punctul 1° rezultă din teorema 2.2 :A aplicaţia A A JoIIg : X ^ X ' se ridică printr-o aplicaţie, pe care o vom nota / : X-+X', deoarece acoperirea (X', YlG,,X') este regulată şi, luînd punctele p şi p' cu proprietatea ( f - U Q ) ( p ) = П e , ( p ' ) , putem scrie ß(foiiG), = л, = = {1} CZ TU^X'JP') ; aplicaţia / este unic determinată de condiţia f ( p ) = p . Să schimbăm punctul p' cu un alt punct din П^,1 (p'). Deoarece grupul G' este tranzitiv, acest punct va fi de forma T[(p'), unde T[ţG'. Yom obţine o aplicaţie / 1 ? determinată de condiţia f ^ p ) = T [ { p ' ) == ( T [ o f ) ( p ) . Cum şi aplicaţia T[of face comutativă diagrama (5.1), din proprietatea de unicitate, rezultă f± = T[of. 2°. Fie T € G şi q € X ; deoarece ne, [/(T(g))] = / [ п в ( Г ( $ ) ) ] = / [ n e ( a ) ] , putem scrie Пв,о(/оТ) = / о П в şi conform punctului 1°, există T' € G' astfel încît foT

=

Го/.

Am stabilit astfel o aplicaţie xj ' care depinde numai de / şi asociază lui T transformarea T' = Se verifică imediat relaţia (5.3) : Dacă a este un drum ce uneşte p şi T(p), atunci A G 3 ( T ) = |>] p cu a = П в (а). Prin definiţie, / p ([a] p ) = = [/(a)]î>'- Fiindcă /(a) este transportatul drumului / ( a ) în punctul p', л ё,в;([/(а)] р ,) este transformarea ce duce p în / [T(p)], extremitatea lui /(à), adică tocmai X/(T). De aici rezultă că X/ este un omomorfism şi că este unic determinat de / 15 ). 14 ) Punctul 2° se poate enunţa şi sub forma : aplicaţia f induce un omomorfism X : G-»G', determinat pînă la un automorfism interior al lui G 15 ) Evident, Ker x- e s t e intersecţia lui G cu grupul transformărilor de acoperire cores-

A

A

A

f

punzătoare lui (X, f , X').

Elemente din teoria omotopiei

Scriind diagrama (5.2) pentru / şi A

f

A,

Ţ'

f

*

T\

267*

T[of: A,

al doilea pătrat rezultă comutativ, ceea ce ne dă relaţia ( 5 . 4 ) . 3°. Pentru a stabili punctul 3°, vom demonstra mai întîi : PROPOZIŢIA 5 . 1 . Fie X, Хг şi X2 spaţii topologice liniar conexe şi local simplu conexe ; fx : X^Xx şi f2 : Хг-+Х2 două aplicaţii continue ; p un punct din X, рг = f^p) şi p2 = /2(?>i) ; X, Хг şi X2 spaţiile de acoperire universală ; G, Gx şi G2 grupurile transformărilor de acoperire ; p £ П^1^), Vi^g^VI) Şi P î g n ^ t p j ) .

Dacă / j /2 : şi f2ofx : aplicaţiile determinate de f19 f2 respectiv f2 o f± prin condiţiile fx(p) = pi, /2(Pi) = V2 §i л ^ if2 °fi) (p) —

teorema

5.1atunci

si (5-6) Eelaţia (5.5) se obţine imediat */,<> =din/comutativitatea diagramei х Ж х

г

M ,4

Ж х

f

2

l1^

şi din condiţia (/ 2 o/ 1 )(p) =(f2of1)(p). Cum (/2<>£), = ( / 2 ) P i o ( / ^ (după § 1.5, formula (1.4)), relaţia (5.6) se deduce aplicînd (5.3'). Revenind la punctul 3° din teorema 5.1, să presupunem că f este un omeomorfism surjectiv şi să n o t ă m / - 1 omeomorfismul invers : X ' ^ X . /4 * A A După punctul 1° din această teoremă, lui f~l îi corespunde f : X ' ^ X , unic determinat prin condiţia de a transforma p' în p şi după propoziziţia 5.1, / - 1 o / = ÎX = l i ,

268

Suprafeţe riemanniene A

unde am notat 1^, l £ omeomorfismul identic al lui X, respectiv X, pe el A însuşi şi lx (p) = p. Prin urmare /N (5.7)

f

1

= Г

1

şi / este un omeomorfism surjectiv. Din (5.3') şi demonstraţia teoremei 1.1, 4°, în care am stabilit că (/-1)/ы =

(5.8) deducem că

(Л)" 1 ,

este un izomorfism surjectiv şi că

(5.9)

Xu

=

Xr1.

2. Fie (X, UGJ X) şi {X', I1G, X'), două acoperiri universale cu grupurile transformărilor de acoperire G respectiv G' şi / : X->X' o aplicaţie continuă. Dacă există o aplicaţie continuă / : X ^ X ' , pentru care diagrama (5.1) este comutativă, spunem că / induce /. De asemenea, dacă există o aplicaţie x; • G^G f , care face comutativă diagrama (5.2), spunem că / induce x/Dacă f induce / , aplicaţia f este unică, iar f este una din aplicaţiile X^X' corespunzătoare lui f prin teorema 5.1. 2° Dacă f induce Xh atunci yj este un omomorfism şi este unic determinat. 3°. / induce f atunci şi numai atunci cînd induce x;4°. Condiţia necesară şi suficientă ca f să inducă f este ca G să fie subgrup al grupului G* de transformări ale acoperirii (X, IiG, о / , X'). Afirmaţiile 1° sînt evidente. Dacă / induce/, mulţimea П е / {/[Пё 1 (р)]} trebuie să se reducă la un punct, oricare ar fi p £ X, şi acest punct, unic determinat de UGfJ f şi UGJ este tocmai f(p). Totodată, / realizînd comutativitatea diagramei (5.1), corespunde lui /. Dar dacă / induce / , atunci, după teorema 5.1, 2°, există x/ nnic determinat de / , care face comutativă diagrama (5.2) şi astfel prima parte a punctului 3° este verificată. Să presupunem acum că / induce x/ Şi să luăm un punct p £ X şi un punct p g П ^ р ) . Oricare alt punct al mulţimii П G l ( p ) va fi de forma T(p) cu TţG. Avem TEOREMA 5 . 2 . 1°.

ne, U(T(p))]

= nG,[yj (T) (f(p)n

= nG, [f(№

= p'

269*

Elemente din teoria omotopiei

,şi definim univoc/(p) = p'. Cum HG şi TlG, sînt omeomorfisme locale, / este continuă. Afirmaţia 3° este astfel complet demonstrată, iar 2° rezultă din teorema 5.1, 2°. Condiţia 4° este necesară după observaţia 3.1. Ea este şi suficientă, deoarece oricare ar fi p £ X, dacă G d (?", mulţimea {/ [ П ^ ) ] } se reduce la un punct. Notînd p' acest punct, definim/(p) = p'. PROPOZIŢIA 5 . 2 . Păstrînd notaţiile de mai sus, /IE / : X ^ X ' O aplicaţie continuă, care induce aplicaţia f : X^X' şi omomorfismul x; : G-+G'. 1°. Dacă f este aplicaţie surjectivă, atunci f are aceeaşi proprietate, dar yj poate să nu fie surjectiv. 2°. Daca / este aplicaţie injectivă, // este injectiv, dar proprietatea nu este adevărată pentru f . Fie / surjectivă şi Atunci există p € (П^, °/) _ 1 (p') şinotînd HG (?>) = P £ X , avem / ( p ) = p'. Dacă / este injectivă, x; a r e aceeaşi proprietate după cum rezultă din (5.2'). Celelalte două afirmaţii ale propoziţiei 5.2 sînt ilustrate prin următorul exemplu : Fie X = X' = X = U semiplanul superior, X' torul cu două găuri, iar / = П 0 aplicaţia identică. Atunci / = П^,, iar x; este aplicaţia lui G în subgrupul unitate al lui G'. Omeomorfismul surjectiv / _ 1 nu induce aplicaţii X'-^X sau G'-+G. PROPOZIŢIA 5 . 3 . Condiţia necesară şi suficientă pentru ca omeomorJismul surjectiv f să inducă un omeomorfism (surjectiv) f este ca G' = = / < ? / - ! 16).

î n adevăr, pentru ca / să inducă un omeomorfism / este necesar şi suficient ca atît / cît ş i / " 1 să inducă o aplicaţie X - > X ' respectiv X'->X. Conform teoremei 5.2, 4°, pentru aceasta este necesar şi suficient ca G CZ / - 1 G ' / , grupul transformărilor acoperirii (X, UG,°f, X') şi G' CZ fGf grupul transformărilor acoperirii (X х , I l G o / - 1 , X), de unde rezultă propoziţia 5.3 17). 3. Din rezultatele stabilite vom deduce acum o primă proprietate a claselor de aplicaţii continue omotope între două spaţii topologice X şi X', liniar conexe şi local simplu conexe. 13 17

) Am notat f G f - 1 grupul transformărilor f o To f-1, pentru T g G.

A

) Propoziţia 5.3 se poate demonstra şi folosind teorema 5.2, 3° : Dacă f induce cmeoA

A

A

A

morfismul surjectiv f , atunci f induce Xy Şi relaţia (5.2) implică f G /'~ 1 CI G' ; cum f~x induc©

A A

A

f - 1 , putem scrie şi incluziunea contrară. Invers, dacă f G f - 1 = G', atunci/* induce y- definit A

prin relaţia y-{T)

A

A

= f o T o f-1, oricare ar fi T £ G ; prin urmare f induce o aplicaţie continuă f.

Raţionînd analog asupra lui f-1,

deducem că f este omeomorfism surjectiv.

270

Suprafeţe riemanniene

TEOREMA 5 . 3 . Fie fk : X - > X', h = 0 , 1 , două aplicaţii continuef cărora le corespund, după teorema 5.1, aplicaţiile fk şi omeomorfismele Xk = x/ . -Daca / Ä sînt omotope, x* diferă printr-un automorfism interior al grupului G'. Fie {gt}t$i o familie de aplicaţii continue X - > X ' , care realizează deformarea continuă a lui / 0 în fx cu g0 == / 0 şi дг = f19 conform § 1, pct. 1. Alegem p0 Ç X şi notăm cu A, drumul descris de gt, (p0), cînd f parcurge segmentul [0, t], Luînd PoţU^iPo) Şi Po = fo(i>o)i transportăm A

din p0 drumul X, prin drumul X4, a cărui extremitate o notăm cu p\. Definim gt : X -> X', după teorema 5.1, 1°, astfel încît П е , o gt = gt о П^ şi gt (pQ) = pt. Să arătăm că omorfismele X$t corespunzătoare coincid. î n acest scop să luăm o transformare arbitrară T £ G şi să verificăm relaţia Ц ( Т ) [gt(p0)]

= ^o(T)

[gt(p0)l

Fie à un drum unind p0 cu T (p0), a = П 0 (а) şi at = gt(oc). Punctul X§t(T)[gt(p0)] este extremitatea transportatului din p0 a drumului X, a,, iar punctul X$Q(T) [gt(Po)] extremitatea transportatului din p0 a drumului oc0 V Aceste două puncte coincid, fiindcă drumul X, af Xf1 ao 1 este nulomotop, cum se vede lăsînd t să tindă la 1. Deoarece / 0 = g0 şi f± = A' o gx pentru un anumit A'ţG', deducem că XQ(T)=X§0(T) şi Хг(Т) = = A'orh(T)o A''1 = A' oX0{T)o A'-\ oricare ar fi TÇG. Dacă grupăm în aceeaşi clasă omomorfismele (?->(?', care se obţin unul din altul prin compunere cu un automorfism interior al lui 6?', teorema 5.3 admite şi următoarea formulare : TEOREMA 5 . 3 ' . Fiecărei clase de aplicaţii continue omotope : X - > X ' R îi corespunde o clasă de omomorfisme G->G\ diferind prin automorfisme interioare ale lui G' 18).

Teorema 5.3 se completează cu ajutorul rezultatului următor : TEOREMA 5 . 4 . Fie fk : X - > X ' , FC = 0 , 1 , două aplicaţii continue, cărora le corespund, după teorema 5.2, aplicaţiile fk şi omomorfismele Xk = Xf , şi care induc, după teorema 2.2, omomorfismele fkv pentru fiecare punct p £ X. Condiţia necesară şi suficientă ca fkv să fie echivalente este ca Хг să se deducă din X0 printr-un automorfism interior al grupului G'. ~~

~

" 18

A

A

A

) Evident, dacă aplicaţiei continue f : X X' îi asociem aplicaţia continuă f : X X' şi omomorfismul X/, oricare ar fi omomorfismul X din clasa lui X/, deci de forma X (T) — = А' о X/ ( T) o A ' - 1 cu on anumit A' din G' şi T arbitrar din G, aplicînd teorema 5.1 deducem că X corespunde tot aplicaţiei f, căreia i se asociază acum A' of.

271*

Elemente din teoria omotopiei

Să formăm diagrama Xo

G-

G' /

v

e',/o <г>

MS

XI

G Ле

G'

/ у/ ^G'Jvib)

XV. V) pentru p g Uq г(р) şi <ùk(Jc = 1, 2, 3, 4), aplicaţii ce vor fi definite mai josFaţa superioară şi cea inferioară sînt comutative, conform relaţiei (5.3'). 1°. Să presupunem că există A'gCr', astfel încît X^T)

=A'oX0(T)oA-*

oricare ar fi T € G. Yom alege şi 4 sînt izomorfisme permise, prin definiţie fov şi flv sînt echivalente. 2° Eeciproc, să presupunem fkv echivalente şi să alegem şi
A' o X0(T) o A'"* =

=

U)

^i(^)" 1 ;

deci, notînd В' = ^(J.)" 1 o A', obţinem ЩТ)

=

B'oX0(

T)oB

f l

.

Ţinînd seama de teorema 5.4, putem scrie : TEOREMA 6 . 3 " . JDacă aplicaţiile continue fk X -> X', îc = 0, 1, sînt Tz-iiX'j fk(p)) sînt echivalente, oriomotope, omomorfismele fkp : p) care ar fi p g X.

272 Suprafeţe riemanniene

î n virtutea teoremei 1.1' şi propoziţiei 1.8, avem de asemenea TEOREMA 5 . 3 " ' . Fie fk: X -> X ' , Jc = 0, 1 , aplicaţii continue şi Fk: 7г1(Х)->7г1(Х') omomorfisme corespunzătoare. Dacă fk sînt omotope, Fk diferă printr-un automorfism interior al lui ^ (X'). Prin urmare, fiecărei clase de aplicaţii continue omotope : X - > X ' îi corespunde univoc o clasă de omomorfisme 7г1(Х)->7г1(Х')? care se obţin unul din altul prin compunere cu automorfisme interioare ale grupului 7r1(X'). î n Сар. III, § 1, vom demonstra pentru X şi X ' suprafeţe riemanniene, X' neeehivalentă eonform eu sfera, reciproca teoremei 5.3. 4. O altă proprietate importantă a claselor de aplicaţii omotope este legată de teoria grupurilor de omologie. Deoarece această teorie este expusă de pildă în manualul de topologie al lui C. Teleman [45], vom folosi această carte. Vom presupune astfel cunoscute noţiunile de simplex standard, simplex liniar, simplex singular, grupurile de omologie singulară ale unui spaţiu topologic X, pe care le vom nota 7ôq (X), q = 0, 1 , . . . fiind dimensiunea ([45], p. 86—91) şi vom menţiona : TEOREMA 5 . 5 . O aplicaţie continuă f a spaţiului topologic X în spaţiul topologic X' induce un omomorfism 9* : 7Ck (X) -> 76k(X'). Dacă f este un omeomorfism surjectiv, atunci 9* este izomorfism surjectiv. într-adevăr, fiecărui Zc-simplex singular ak definit de ^-simplexul liniar fGk şi de aplicaţia continuă g : 'a* ->afc i se asociază ^-simplexul definit de 'afc ş i / o g, pe'eare-1 vom nota cu f{ak). Fie Ck(X), Zk(X) şi Bk(X) respectiv Ck(X'), Z*(X') şi Bk(Xf) grupurile ^-lanţurilor singulare, fc-eielelor singulare şi ^-frontierelor singulare ale spaţiilor X şi X'. Se stabileşte omomorfismul Ф* : Ck(X) -> <7fc(X'), care face să corespundă fiecărui afc = = 2 a,ak^Ck(X) (av întregi, a* fc-simplexe singulare pe X), fc-lanţul singular

Ф*(а*)= S a v Ф к (а к ) € Ck(X').

Se verifică relaţia Фк~г (доск) = дФк(оск), de

unde rezultă Ф* [Zk(X)]Œ Zk(X') şi Ф Ь [Б*(Х)] d Bk(X'). Prin urmare Фк induce omomorfismul 9* : dacă afc £ Zk (X) şi âfc este clasa lui afc în 7бк (X), atunci 9fc(âfc) = Фк(<хк) din 76k{X'). Dacă / este omeomorfism surjectiv, şi 9fc sînt izomorfisme surjective (A se vedea [45], p. 94). CONSECINŢA 5 . 1 .

Grupurile de omologie sînt invarianţi

topologici.

TEOREMA 5.6. Două aplicaţii continue f5 : X - > X ' , j = 1, 2, omotope induc acelaşi omomorfism între grupurile de omologie de aceeaşi dimensiune fc, deci unei clase de aplicaţii continue omotope X - > X ' îi corespunde un omomorfism Ж*(Х) ->3ùk(X'). (A se vedea demonstraţia în [45], p. 121.) 5. î n Cap. II vom folosi de asemenea posibilitatea de a deforma o aplicaţie continuă într-una simplicială. Yom da, în acest scop, următoarele definiţii si rezultate :

Elemente din teoria omotopiei

273*

5.1. Numim complex n-dimensional un spaţiu topologic Kn, care admite o descompunere simplicială, i.e. pe Kn se află o mulţime cel mult nunaărabilă de ft-simplexe topologice 19) (Ic = 0, 1 , . . . ,n) 20) astfel încît : 1° O dată cu un simplex din K n , toate simplexele care sînt feţe ale lui (sînt incidente cu el) aparţin lui K n . 2° Orice punct din Kn aparţine unui simplex din Kn şi numai unui număr finit de simplexe din K n . 3° Două simplexe din K n sînt fie disjuncte, fie unul este o faţă a celuilalt, fie au o faţă comună, care formează intersecţia lor. 4° Fie p un punct arbitrar din Kn şi
o vecinătate a lui p în K n .

vecinătăţi ale lui p în
Un complex poate admite mai multe descompuneri simpliciale. Yom numi complex simplicial, un complex Kn împreună cu o anumită descompunere simplicială Ф. PROPOZIŢIA 5 . 4 . O mulţime К din spaţiu euclidian n-dimensional En, formată dintr-o mulţime cel mult numărabilă de Ic-simplexe liniare (Ic puţind lua valori de la 0 la n), este un complex simplicial dacă satisface condiţia 3° de mai sus şi dacă orice punct p£K are o vecinătate, care intersectează numai un număr finit de simplexe. Condiţia 4° rezultă luînd, pentru fiecare Э p, o vecinătate vUp = = Gif]B e i (p) (unde Be.(p) este bula din En cu centrul p şi rază >Ô) şi alegînd un număr pozitiv Y] < (г = 1,. . . şi suficient de mic ca N

N

^ ( P ) n î C U f f o evident, i=1 i= 1 Orice complex К poate fi descris cu ajutorul unei scheme, care cuprinde pentru fiecare Ä;-simplex din К, un şir de Тс + 1 litere desemnînd vîrfurile simplexului. într-adevăr, două simplexe diferite ale unui complex simplicial nu pot avea aceleaşi vîrfuri. PROPOZIŢIA 5 . 5 . Două complexe simpliciale К şi K* cu aceeaşi schemă sînt omeomorfe: ele se reprezintă topologic unul pe celălalt, astfel încît fiecare simplex din К să fie reprezentat liniar pe simplexul din К*, cu acelaşi corespondent în schemă. într-adevăr, fiecare simplex G din К, cu preimaginea simplexul liniar fG şi omeomorfismul

cr, are după schemă un corespunzător 19 ) Spre deosebire de simplexele /с-dimensionale (fc-simplexele) singulare, care sînt imagini continue de k-simplexe liniare, /с-simplexele topologice sînt imagini topologice de Ar-simplexe liniare. Două k-simplexe singulare (topologice) a^, j = 1, 2, definite de /с-simplexele liniare 'cjfc şi de aplicaţiile continue (topologice) fj : 'oj -> g* se numesc egale, dacă mulţimile a^ coincid şi dacă există transformarea liniară afină A : 'aj 'a|, astfel încît f2 o A = fv 20 ) Kn conţine cel puţin un n-simplex topologic. Pentru simplificarea expunerii, vom folosi denumirea simplex pentru simplex topologic.

274

Suprafeţe riemanniene

a* din K* cn preimaginea 'cr* şi omeomorfismul cp* : 'cr* -> a*. Fie A transformarea afină 'GT—G* determinată de corespondenţa vîrfurilor din schemă. Luînd / = 9*oJ.oçp~ 1 pentrn pnnctele lui a, se arată că / este un omeomorfism al lui К pe К*. Vom spune că f reprezintă liniar a pe f(cr). PROPOZIŢIA 5 . 6 . Orice complex simplicial n-dimensional К se reprezintă topologic pe un complex simplicial liniar (i.e. format din simplexe liniare) K* din E2n+i9 astfel încît fiecare dintre simplexele lui К să fie reprezentat liniar pe simplexul imagine. Pentru a stabili propoziţia 5.6, să observăm că o mulţime cel mult numărabilă Ж", în care s-au fixat anumite submulţimi distinse, constituie schema unui w-complex simplicial K* (i.e. există o corespondenţă biunivocă între elementele lui M şi vîrfurile lui К*, prin care submulţimile distinse din M trec în vîrfurile simplexelor lui К*), atunci şi numai atunci cînd sînt îndeplinite următoarele condiţii : 1° Orice submulţime distinsă are cel mult n + 1 elemente (dar există cel puţin o submulţime cu n + 1 elemente). 2° Orice submulţime a unei submulţimi distinse este de asemenea submulţime distinsă. 3° Orice element din M este cuprins numai într-un număr finit de submulţimi distinse. Aceste condiţii sînt evident necesare, după cum rezultă din definiţia n-complexelor. Suficienţa lor se obţine prin următoarea construcţie : Alegem în -E72n+i mulţimea de puncte Pi în corespondenţă biunivocă cu elementele din M şi astfel încît a) {PJ să nu aibă nici un punct de acumulare. b) Pentru Tc < 2n + 1, orice mulţime de Ic + 1 puncte din {PJ determină un spaţiu liniar ^-dimensional. Alegerea punctelor Pi se face inductiv. Luate punctele P 1 ? . . . , Pr7 se alege P r ^ astfel încît coordonata sa х г să fie cu cel puţin o unitate mai mare decît coordonatele x x ale punctelor P 1 ? . . . , P r (ceea ce asigură condiţia a)) şi P r + 1 să nu aparţină nici unui spaţiu liniar determinat de Tc dintre punctele P 1 ? . . . , P r (Ic < 2n + 1) (aceasta este posibil, fiindcă spaţiile liniare, care nu trebuie să includă punctul Pr+1 sînt în număr finit şi au dimensiunea <; 2n ; se realizează astfel condiţia b)). Se asociază fiecărei submulţimi distinse de Тс + 1 elemente din Ж, Tc simplexul liniar cu vîrfurile în punctele P i corespunzătoare şi se verifică cu ajutorul propoziţiei 5.4 că mulţimea K* formată de aceste simplexe este un w-complex simplicial. Fie or' şi or" două simplexe diferite din K* de dimensiuni Tc' respectiv Tc" ; numărul Tc + 1 al tuturor vîrfurilor lui or' şi or" este <; (Tc' + 1) -fr (Tc" + 1) < 2n + 2, deci aceste vîrfuri întind un Ä;-simplex liniar cr, care cuprinde ca feţe or' şi or" (eventual or ar putea coincide cu or' sau cu or") ; se deduce de aici condiţia 3° din propoziţia 5.4. Pe de altă parte, dacă Q şi r > 0, numai un număr finit de puncte P{ pot aparţine bulei BT(Q), datorită ipotezei relative la х г (PJ ; deci numai un

Elemente din teoria omotopiei

275*

număr finit de simplexe din K* intersectează B r (Q), dnpă condiţia 3 a impnsă Ini M. Propoziţia 5.6 reznltă acum imediat, construind K* pentru o mulţime M corespunzătoare schemei lui К şi aplicînd propoziţia 5.5. Pe baza propoziţiei 5.6 putem înlocui în diferite raţionamente К prin JSL*, operaţie pe care o vom numi scufundarea lui К în E2n+1. Să> observăm că prin acest procedeu oricare ar fi simplexul or din К între preimaginea sa 'or şi imaginea or* din K* avem o transformare liniară, deci pentru reprezentarea liniară a unui simplex din К pe un simplex dintr-un complex K' este totuna să folosim preimaginile lor liniare sau scufundarea lui К şi K' în spaţii euclidiene. Ca o aplicaţie demonstrăm : PROPOZIŢIA 5 . 7 . Fie F o aplicaţie : К x I ^ Ü L ' , unde К şi K' sînt complexe simpliciale. Dacă : 1) F este continuă pe ÜLX{0} şi pe ÜLX{1} şi 2) pentru orice p ÇÏ, punctele F (p, 0) şi F(p, 1) aparţin aceluiaşi simplex din К', iar F aplică liniar segmentul {p} xl d Kxl pe segmentul din К', ce uneşte F(p, 0) şi F(p, l)21), atunci F este continuă pe К x I. Considerăm К şi К' ca submulţimi ale spaţiului euclidian EN de coordonate хг,..., xN, respectiv EM de coordonate уг,..., yM. Atunci K x l va fi o submulţime din EN+1J un punct arbitrar avînd coordonatele x i ? • • • ? xN ? h iar aplicaţia F se va exprima prin formulele : yj .., t) = yj .., Xy9 0) (1 - t) + yj . x n , 1 )t, cu j = 1, 2,. . . , M. Prin ipoteză, (хг,..., xN, Ic), Ic — 0, 1, sînt funcţii continue, deci F este continuă. 5.2. Fiind dat un complex simplicial К, prin steaua de simplexe cu centrul într-un vîrf p g К înţelegem totalitatea simplexelor din К, în care p este vîrf. PROPOZIŢIA 5 . 8 . Prin subdiviziunea simplexelor unui complex se poate obţine o descompunere simplicială oricît de fină a complexului. De exemplu, fiind dată o acoperire deschisă a complexului К, putem obţine o descompunere simplicială, astfel încît fiecare simplex (mai mult, fiecare stea de simplexe ) să fie inclus într-o mulţime a acoperirii. Pentru demonstraţie se foloseşte subdiviziunea baricentrică a simplexelor 22) ([45], p. 108) şi teorema lui Lebesgue ([45], p. 84). Dacă complexul К este finit (i.e. are un număr finit de simplexe), este suficientă aplicarea repetată a subdiviziunii baricentrice ([45], p. 119—120). î n cazul cînd К are o infinitate de simplexe, prin subdiviziunea bari21 ) Prin segment unind două puncte dintr-un simplex a al unui complex Înţelegem imaginea segmentului ce uneşte punctele corespunzătoare în simplexul liniar 'a, preimagine a lui a. F aplică liniar {p} x I pe segmentul din preimagine. 22 ) în cazul 2-dimensional, cînd descompunerea simplicială este o triangulare, subdiviziunea baricentrică este descrisă în [40], p. 209.

276

Suprafeţe riemanniene

centrică repetată, aplicată fiecărui simplex în parte, putem face ca simplexele (respectiv stelele de simplexe) obţinute să fie cuprinse fiecare într-o mulţime a acoperirii şi apoi completa descompunerea pînă la o descompunere simplicială a lui K. 5.3. Numim aplicaţie simplicială a unui complex simplicial Kn într-un complex simplicial K,m o aplicaţie continuă f : Kn^K'm, prin care orice simplex - K' o aplicaţie continuă. Presupunem descompunerea simplicială Ф a lui Kn suficient de fină pentru ca imaginea prin f0 a fiecărei stele de simplexe din această descompunere să fie inclusă în interiorul unei stele de simplexe din descompunerea simplicială Ф' a lui K'm 23). Atunci f0 este omotopă cu o aplicaţie simplicială fv Mai mult, se poate construi astfel încît imaginea fiecărui simplex or din Ф să rămînă în tot timpul deformării continue a lui / 0 în f19 inclusă în simplexul de dimensiune minimă din Ф', în care se găsea f0(e). Să asociem fiecărui vîrf p0 din diviziunea Ф un vîrf p'0 din diviziunea Ф', astfel încît steaua cu centrul p'0 să includă în interior imaginea prin / 0 a stelei cu centrul p0. î n acest mod, vîrfurilor unui simplex or din Ф le corespund vîrfurile unui simplex or' din Ф' : Dacă Pj sînt vîrfurile lui or, punctele p] pot fi distincte sau confundate, dar f0 (or) este inclus în interiorul fiecărei stele cu vîrful p'ô. Pie p 6 ff, iar a' simplexul de dimensiune minimă din Ф', ce conţine f0(p); atunci K ' m , prin care (p) £ a' CI a'. Aplicaţiile / 0 şi sînt omotope, după cum se verifică construind F : KnXl К'™, în modul următor : Notînd cu p un punct arbitrar din ÜLN, luăm F(pj TC) =fk(p) pentru Tc = 0, 1 şi F(p, t) aplicaţia liniară a segmentului {p}xl pe segmentul ce uneşte f0(p) cu fx(p) în simplexul din Ф' de dimensiune minimă ce conţine f0(p). Conform propoziţiei 5.7, aplicaţia F este continuă. n

TEOREMA m

5.7.

23 ) Aceasta este posibil după propoziţia 5.8, preimaginile interioarelor stelelor de simplexe din ф' formînd o acoperire deschisă a lui Kn.

Capitolul II

Suprafeţe riemanniene

§ 1. Definiţii Yom prezenta în acest capitol o parte din elementele de topologia suprafeţelor necesare în expunerea teoriei lui Teichmüller. Astfel, pentru a putea studia clasele de omotopie ale omeomorfismelor f : B-^B0, unde В şi B0 sînt suprafeţe riemanniene închise de gen g, vom folosi reprezentarea unei suprafeţe ca factorizare a suprafeţei de acoperire universală prin grupul transformărilor de acoperire şi reprezentarea ei printr-un poligon fundamental. Yom lua ca punct de plecare : „Teoria funcţiilor de o variabilă complexă" a lui S. Stoilow, [40], Cap. VII, din care reamintim următoarele definiţii şi rezultate : 1. Numim varietate 2-dimensională sau suprafaţă (topologică) un spaţiu topologic, Hausdorff, conex, local euclidian 2-dimensional. (A se vedea [40], p. 187). Oricărui punct p0 dintr-o suprafaţă В i se poate asocia o vecinătate 1 ) vVo, reprezentată topologic pe | з | < 1 printr-un omeomorfism * =

(p),

astfel încît tp9 (p0) = 0. Această vecinătate, omeomorfismul şi cercul imagine corespunzător, KPo : \z\ < 1, se numesc vecinătate parametricăr reprezentare parametrică respectiv cerc parametric, iar variabila z se numeşte parametrul local asociat punctului p0 ([40], p. 188). D a c ă ^ şi vp^ sînt două vecinătăţi parametrice pe В cu intersecţia nevidă, atunci omeomorfismul z

= k. ° Cô (*')

al mulţimii deschise tp П din - \z'\ <1 pe mulţimea desv chisă tPo(vj>0 П Vf>) dinüTPe se numeşte relaţie de vecinătate ([40], p. 189). *) In cele ce urmează vom considera vecinătăţi deschise şi coaexe, afară de cazul cînd vom face explicit alte ipoteze.

278

Suprafeţe riemanniene

O suprafaţă riemanniană (abstractă, suprafaţă riemanniană în sensul Weyl-Badô sau varietate analitică complexă cu dimensiunea complexă 1) este o suprafaţă pe eare s-au definit pentru fiecare punct vecinătăţi şi reprezentări parametrice astfel încît relaţiile de vecinătate să fie reprezentări conforme 2) ([40], p. 189). Se stabileşte imediat echivalenţa definiţiei de mai sus cu următoarea : O pereche (v, t) formată din deschisul v de pe suprafaţa В şi omeomorfismul t al lui v pe un deschis din planul complex С al variabilei z se numeşte hartă, iar z se numeşte parametrul local (coordonată locală) în deschisul v. Două hărţi (v, t) şi (v*, t*) sînt compatibile conform (olomorf ), dacă, în ipoteza vf)v*=^0, omeomorfismul t* este o reprezentare conformă a lui t(vf]v*) Pe t*(vf]v*). O familie de hărţi dL = unde este o mulţime de indici, constituie un atlas conform (olomorf) pe B, dacă hărţile din сЛ sînt două cîte două compatibile conform şi {v^i^g formează o acoperire a lui B. Se spune că dL înzestrează В cu o structură conformă. Două atlase cA Şi d = f,)},'ç^(unde Q este tot o mulţime de indici) definesc pe В aceeaşi structură conformă, dacă totalitatea hărţilor celor două atlase formează un atlas conform. Se numeşte suprafaţă riemanniană perechea (B, d ) , unde В este o suprafaţă, iar<^ un atlas conform pe В ([19], p. 243; [38], p. 59; [7], Cap. Ii; §1.1). î n cele ce urmează vom folosi atît noţiunea de parametru local asociat unui punct, cît şi aceea mai generală de parametru local în sensul de mai sus. Fie В şi B' două suprafeţe riemanniene. O aplicaţie continuă / : В -> В' se numeşte analitică, dacă oricare ar fi p0 6 В, vPo şi , p'0 = = f(p0), vecinătăţi parametrice şi z = tVo (p) respectiv z' = %'v. (pf) reprezentări parametrice corespunzătoare, aplicaţia z' este o funcţie olomorfă pe ^[^(v'^CiVp^ciKp^ (Definiţia se formulează imediat şi în cazul cînd В şi B' sînt date prin atlase cA = {(v, t)} şi Л' == {(v', f )} : oricare ar fi p0 g В, dacă v Э p0 şi v' Э pô9 atunci t'°f° t_1 este olomorfă în domeniul ei de definiţie). ([40], p. 188; [7], Cap. II, § 1,2 ; [38], p. 60 ; [19], p. 244). Dacă aplicaţia analitică / este un omeomorfism al suprafeţei В p e B ' , ea va fi numită reprezentare conformă. Două suprafeţe riemanniene-B şi B' sînt conform echivalente, dacă există o reprezentare conformă a lui В pe B'. 2. Unul dintre rezultatele fundamentale ale teoriei lui S. Stoilow dă caracterizarea topologică a suprafeţelor riemanniene : Orice suprafaţă riemanniană este o suprafaţă orientabilă şi triangulabilă şi reciproc, orice 2

) Vom considera numai reprezentări conforme care păstrează orientarea, exceptînd cazul cînd vom menţiona contrariul.

279

Suprafeţe riusmanniene

suprafaţă orientabilă şi triangulabilă se poate organiza ca o suprafaţă riemanniană. (A se vedea [40], Cap. VII şi III—ТУ). Reamintim : o suprafaţă В se numeşte orientabilă, dacă se pot defini vecinătăţi parametrice astfel încît relaţiile de vecinătate să fie omeomorfisme, care păstrează orientarea. O suprafaţă orientabilă se numeşte orientată, dacă s-a ales o acoperire a ei cu vecinătăţi şi reprezentări parametrice, care are această proprietate. O suprafaţă riemanniană este orientată prin structura conformă, oare o defineşte. Suprafaţa В se numeşte triangulabilă dacă se poate defini pe ea o mulţime cel mult numărabilă de triunghiuri Tn (adică imagini topologice de triunghiuri plane) satisfăcînd condiţiile : 1) и Tn = B. m 2) Dacă n =f= m, atunci Tn f| Tm este mulţimea nulă, un vîrf comun sau o latură comună. 3) Orice punct din В are o vecinătate, care nu conţine puncte •decît dintr-un număr finit de triunghiuri Tn. Evident, o suprafaţă triangulabilă este un complex 2-dimensional, (Cap. I, § 5. 5). Suprafeţele se grupează în două clase topologice distincte : suprafeţe compacte (închise) şi suprafeţe necompacte^ (deschise), după cum formează sau nu un spaţiu topologic compact 3). î n prezentarea de faţă a teoriei lui Teichmüller ne vom ocupa de suprafeţe riemanniene închise, de aceea remarcăm în legătură cu clasificarea topologică a suprafeţelor, numai teorema lui Jordan ([40], Cap. VII, V) : Se numeşte gen al unei suprafeţe В numărul maxim de curbe simple închise, disjuncte două cîte două, care se pot trasa pe В fără a o descompune. Condiţia necesară şi suficientă pentru ca două suprafeţe triangulabile şi orientabile închise să fie omeomorfe este ca ele să aibă. acelaşi gen. Dacă NQ9 şi N 2 reprezintă numărul vîrfurilor, laturilor respectiv triunghiurilor unei triangulări a unei suprafeţe triangulabile şi orientabile, închise .В, atunci formula lui Euler ([40], p. 215) dă genul g al lui В : <1.1)

- N0 +

sau caracteristica lui В <1.1')

- N2 =

2g-2

o = 2g - 2.

3 ) în lucrările clasice relative la suprafeţele riemanniene cuvîntul compact este folosit In sensul lui Alexandroff şi Hopf : orice mulţime infinită de puncte ale spaţiului are cel puţin un punct de acumulare în el ([47], p. 2 5 ; [40], p. 194; [31], p. 50). Pentru suprafeţele triangulabile, care sînt caracterizate de verificarea unei axiome de numărabilitate ([41], p. 9 8 ; [31] p. 57), noţiunea de compact dată mai sus echivalează cu aceea dată în [15], p. 100 — satisfacerea axiomei Borel-Lebesgue — şi numită bicompacitate de Alexandroff şi Hopf ([8] p. 382, teorema 1). O suprafaţă compactă în sensul verificării axiomei Borel-Lebesgue este triangulabilă.

280

Suprafeţe riemanniene

Tipul topologic al suprafeţelor triangulabile şi orientabile închise de gen g este torul (discul) cu g găuri (g = 0 sfera, g torul). Uneori se foloseşte imaginea canonică plană a suprafeţei cu ajutorul căreia se demonstrează teorema lui Jordan citată mai sus ([40], p. 213—214). § 2. Acoperiri 1. î n acest paragraf vom considera acoperiri (В, /, В), unde В şi В sînt suprafeţe. Cum orice suprafaţă este un spaţiu topologic separat, local simplu conex şi liniar conex, vom putea aplica rezultatele demonstrate în capitolul I. PROPOZIŢIA 2 . 1 . Fie В o suprafaţă riemanniană şi (В, / , В) o acoperire neramificată. Suprafaţa В se poate organiza ca suprafaţă riemanniană cu ajutorul lui / , care devine aplicaţie analitică. într-adevăr, oricare ar fi p Ç В, există vecinătatea Uъ a lui p, reprezentată omeomorf de f pe o vecinătate TJP a lui p = f (p). Deoarece В este o suprafaţă riemanniană, există o vecinătate parametrică Vp a lui p şi o reprezentare conformă cpp a lui Vp pe \z\ < 1, cu cpp (p) = 0. Pentru p > 0 suficient de mic, Wp = cp"1 (\z\
(^)ŞI^

=/1^

î n F 5 a r e loc egalitatea T f > Pe f \

v

(V,).

° / , deci T reprezintă

conform

281

Suprafeţe riusmanniene

Din propoziţiile 3.1—3.3, Сар. I, rezultă : _ Consecinţa 2.1. Grupul transformărilor acoperirii (В, / , В) considerate în propoziţia 2.2, este un subgrup discontinuu, fără punct fix al grupului reprezentărilor conforme ale suprafeţei В pe ea însăşi. O reciprocă a rezultatelor de mai sus decurge din PROPOZIŢIA 2 . 3 . Fie В O suprafaţă riemanniană şi G un subgrup de reprezentări conforme al lui В pe el însuşi, astfel încît fiecare punct ăţB are o vecinătate Uz cu următoarele proprietăţi : 1°. Oricare ar fi transformările Тгф T2dinG,avem T1(ÜZ) П T2(ÜK)=0. 2°. Orice compact К dB intersectează numai un număr finit de mulţimi T unde T ţG. _ Grupul G defineşte în В relaţia de echivalenţă : (2.1) ă ~ G b <=> b = T (ă) pentru un TţG

(a, bÇB). Să notăm cu a = {pÇB, | cu В — BjG şi cu IlG aplicaţia ă ^ a . Introducem pe В topologia de spaţiu cît, luînd ca mulţimi deschise în В mulţimile 0 pentru care П"1 (0) sînt deschise în B. Putem organiza В ca suprafaţă riemanniană, astfel încît (В, В) devine o acoperire riemanniană neramificată, fără frontieră, iar G este grupul transformărilor de acoperire corespunzător. Cum pentru orice deschis O d i o ş i TţG, mulţimea T(0) este deschisă şi cum Щ1 [И*. (0)1 = (J T (O), deducem că aplicaţia UG este deschisă. " Restricţia lui IIG la fiecare este un omeomorfism (conform proprietăţii 1°) şi, luînd pentru aţB vecinătatea Ua = UG (?7 г ), unde ă este un punct din Щ1 (a) şi pentru fiecare punct a' = T (a) cu TÇG, vecinătatea T ( f J K ) , se verifică imediat că acoperirea ( В , П6,, В) este neramificată, fără frontieră, iar G este grupul tiansfoimărilor de acoperire. (Fie G grupul transformărilor de acoperire. Evident, GczG. Totodată G este tranzitiv şi G satisface propoziţia 3.3 din Cap. I. Eezultă deci G = G.) Spaţiul В este separat : Fie a şi b două puncte diferite din J?, ăб (a) şi bÇ Щ1 (b). Oricare ar fi T ÇG, T(ă) ф b. Să luăm o vecinătate ÜK cu proprietatea 2° şi o vecinătate V% relativ compactă. Există cel mult un număr finit de transformări Tj ÇG, j == 1, . . . JV, astfel încît Tj Фк) П Vi Ф iar Pentru fiecare indice j, există vecinătăţile şi Ц —

astfel încît Tj (О5-) П Ц = 0.

~

2V _ .

ffotînd

W~ = Üz П ( П

7=1

Şi

Fi = F î f | ( n se verifică imediat că, oricare ar fi T' şi T" din (?, T' (WK) n T" (Wz) = 0. Prin urmare, IlQ (Wz) şi П 0 sînt vecinătăţi disjuncte ale lui a şi b. Din cele stabilite mai sus rezultă că В este o suprafaţă. înzestrăm В cu o structură conformă, folosind faptul că П 0 este un omeomorfism

282

Suprafeţe riemanniene

local : Pentru fiecare a ţ B, luăm un punct ă£ Щ1 (a), o vecinătate parametrică vK d XJZ (unde fJK are proprietatea 1°) şi reprezentarea parametrică corespunzătoare f s . Apoi definim vecinătatea parametrică a —i îi-' a (Dacă va П % Ф 0, relaţia de vecinătate tb°ta = tb° _unde T este o transformare din G şi anume : fie с £ vQ f| € ^ a: şi сг 6 v% puncte cu proiecţia с ; atunci T (q) = c'2). Aplicaţia UG este evident olomorfă. 4) Consecinţa 2.2. Dacă {R, /, 12) este o acoperire neramificată, / М frontieră, surjectivă, i? este o suprafaţă riemanniană, iar grupul G al transformărilor de jicoperire este tranzitiv şi format din reprezentări conforme ale lui R pe B, atunci putem organiza В ca suprafaţă riemanniană astfel încît f să devină aplicaţie olomorfă. Să luăm pentru fiecare punct p € JB şi pentru fiecare p g f"1 (p), vecinătatea vv respectiv cu proprietăţile indicate în definiţia acoperirilor neramificate, fără frontieră (Cap. I, § 2, pct. 3) şi relativ compacte (ceea ce este posibil căci B, deci şi В, este local euclidian). Să alegem o vecinătate u9 cu upa vv şi pentru fiecare p, vecinătatea йъ =. (uv). Condiţia 1° din propoziţia 2.3 rezultă din observaţia 2.5, J3ap. I. Dacă condiţia 2° nu ar fi îndeplinită, ar exista un compact К d B , o infinitate de transformări diferite TjţG, j = 1, 2 . . . şi o infinitate de puncte Wj Ç Tj (üj ) П K, astfel încît x0 -> x0. jEvident, xj == UG (Xj) x0 = = П 0 (x0) iar T* pentru un anumit T* £G. Cum mulţimile T sînt disjuncte două cîte două, în T*(v3) se poate afla cel mult un punct din şirul x^ ceea ce este absurd. După propoziţia 2.3 de mai, sus, putem organiza В/О ca suprafaţă riemanniană, astfel încît îl G să devină aplicaţie olomorfă. Observaţia 3.4 din Cap. I arată însă că В este omeomorfă cu R/G ; prin urmare, В se poate organiza în mod natural ca suprafaţă riemanniană conform echivalentă cu R/G. î n cele ce urmează, vom identifica В cu B/G şi / cu TlG. 2. Yom aplica aceste rezultate în cazul acoperirii universale (B, IIG, В) a unei suprafeţe riemanniene В (Cap. I, § 4). Conform propoziţiei 2.1,В este o suprafaţă riemanniană şi, după aliniatul precedent, vom identifica suprafeţele riemanniene conform echivalente В şi B/G. Suprafaţa de acoperire universală В este o suprafaţă riemanniană (omotop) simplu conexă. După teorema lui Riemann ([31], Cap. Y l ; [7], Cap. III, 11 şi 16 D ; [32] § 34 : [38], 9—1), orice suprafaţă riemanniană simplu conexă este conform echivalentă cu sfera lui Biemann (tipul eliptic), cu planul euclidian (tipul parabolic) sau cu semiplanul (tipul iperbolie). Prin urmare, grupul G al transformărilor de acoperire este

I

4 ) Se demonstrează că în locul condiţiei 1° se poate cere ca G să fie fără punct fix ([35], p. 19). O teoremă analogă cu propoziţia 2.3 este dată în [7], p. 121.

283

Suprafeţe riusmanniene

un subgrup discontinuu de transformări fără punct fix al grupului Л de reprezentări conforme a lui В pe el însuşi, deci luînd В planul complex, planul euclidian sau semiplanul — un grup de transformări liniare. Să analizăm pe rînd cele trei cazuri, care rezultă din teorema lui Biemann : A A a) B-sfera lui Biemann. Grupul В al reprezentărilor conforme ale lui В pe el însuşi este grupul transformărilor liniare, dar cum orice transformare liniară are puncte fixe, G = {1^}? iar В este de asemenea sfera. 5) b) B-planul euclidian. H este grupul transformărilor liniare întregi, iar G poate fi b.l) { l i } , b.2) un grup de translaţii cu. un generator, sau b.3) un grup de translaţii cu doi generatori : z' = z + m 4- мсо2, m şi n întregi, о^ şi
0)2

nereal, ([391, p. 157 —

162). Prin urmare В va fi respectiv b.l) planul euclidian, b.2) cilindrul sau b.3)A torul. 6) c) B-semiplanul superior : U ={ z\ Qz > 0}. î n acest caz H este grupul transformărilor liniare reale, care invariază sensul de parcurs al axei reale a b (2.2) w = azJrb cu a, b, c, d reali şi o, cz-\-d с d iar G este un grup Fuchs, denumire dată de Poincaré unui subgrup al lui В, format din transformări fără punct fix în TJ şi discontinuu. Cum punctele fixe distincte sau confundate ale unei transformări din G trebuie să aparţină axei reale, rezultă că G este un grup de transformări iperbolice sau parabolice şi cuprinde o mulţime cel mult numărabilă de transformări, mulţimea {T(Z)}T$ g fiind formată din piincte izolate, fără punct de acumulare în TJ. î n acest caz se încadrează toate suprafeţele riemanniene В închise de gen g > 1 sau deschise, diferite de planul punctat sau dublu punctat. 5 ) Putem raţiona şi astfel : R este suprafaţă compactă, deci R va fi compactă de gen gf acoperirea va avea un număr finit de foi nf iar formula Hurwitz vă da 0 = n (2 — 2g) — 2, ([40], p. 216) ; rezultă g = 0 şi n = 1, deci R este o sferă.

A

6 ) Se verifică uşor că RjG este echivalent conform In cazul b.2) cu cilindrul obţinut dintr-o bandă cuprinsă între două drepte paralele din planul euclidian prin identificarea punctelor celor două drepte frontieră, care sînt echivalente relativ la G. (Ca vecinătate parametrică se ia imaginea prin П^ a unui cerc suficient de mic ca aplicaţia П<г să fie injectivă în el). Tot

A

astfel în cazul b.3), suprafaţa riemanniană RjG este conform echivalentă cu torul format prin identificarea punctelor echivalente relativ la G ale unui paralelogram fundamental ([39], p. 161 şi p. 177; [29], p. 6 1 1 - 6 1 2 ) .

284

Suprafeţe riemanniene

§ 3. Grupuri Fuchs 1. Yom considera drept reprezentant al clasei suprafeţelor riemanniene simplu conexe de tip iperbolic, semiplanul superior TJ = { z | > 0} înzestrat cu metrica lui Poincare, după care elementul de arc în punctul z este dat de (3.1) У şi vom nota distanţa neeuclidiană între două puncte zx, z2 g U cu (3.2)

d (ZlJ 4) = In (fc, *v>

Ä) = In

zx—h

z2—U

Ъ—Тс z2—h

unde h şi ~k sînt punctele în care dreapta neeuclidiană prin z1 şi (cercul euclidian ortogonal axei reale, care trece prin z1 şi z2) intersectează 3z = 0, notate astfel încît se află între z1 şi h ([39], p. 79—81). Semiplanul înzestrat cu această metrică constituie un model de geometrie Lobacevski. Diferitele noţiuni geometrice, care vor fi folosite în paragraful de faţă : distanţă, dreaptă, cerc etc. vor fi luate în sensul acestei geometrii, afară de cazul cînd se va specifica contrariul, iar pentru prescurtarea expunerii, vom suprima în general adjectivul neeuclidiam Grupul H al reprezentărilor conforme ale semiplanului TJ pe el însuşi constă din transformările liniare reale cu determinant pozitiv, (2.2). Ele invariază metrica dcrz şi constituie deplasările neenclidiene corespunzătoare acestei geometrii. Să notăm cu U grnpul omeomorfismelor TJ U, cu subgrupul omeomorfismelor din U , care păstrează orientarea, şi_cu subgrupul celor care se prelungesc la omeomorfisme ale lui U pe el însuşi (U fiind închiderea lui O în planul complex). Evident, H d f| 2. î n cele ce urmează vom aprofunda proprietăţile subgrupurilor lui Л, discontinue, formate din transformări fără punct fix, pe care le-am numit, în § 2, pct. 2, grupuri Fuchs. Fie G un grup Fuchs. El introduce în TJ relaţia de echivalenţă : (3.3)

<«> z2 = T{zx) pentru un T Ç 6 .

PBOPOZIŢIA 3.1. Spaţiul topologic cît UJG se organizează ca suprafaţă riemanniană, astfel încît aplicaţia canonică Пв : TJ -> U/G să fie olomorfă. Vom nota UjG = В ; evident, ( U, П0, В) este acoperirea universală a lui B. Pentru aţTJ şi r > 0 , fie

Cf(a) -

{zeU,

d (z, a) < r}.

285

Suprafeţe riusmanniene

Deducem propoziţia 3.1 din propoziţia 2.3, luînd pentru fiecare punct

a £ U, vecinătatea TJa = <7P (a), eu p g ^0, — Ş i

d

(a) =

= inf d [a, Г(а)1 şi verificînd codiţiile 1° si 2° : 1°. Dacă ar exista un punct г£Тг (Ua) f| T2 (Ua), unde Tx şi T2 sînt două transformări diferite din (?, atunci d[a, T? ° ^ ( a ^ d l T ^ a ) , T ^ a ^ d i T ^ a ) , z]-fd[z, T 2 (a)] < d (а), ceea ce este absurd. 2°. Fie К un compact din TJ şi r un număr pozitiv, astfel încît К ÇZ Cr (a). Dacă T (a) $ Cr+P (a). atunci T ( TJa) f| CV (a) = 0? deoarece din relaţia sg T( I7e) П Cr(a) ar rezulta d[â, T ( a ) ] < d ( a , 0) + d[s, T ( a ) ] < r + p. Cum există cel mult un număr finit de puncte T(a) în C r+P (a), există cel mult un număr finit de transformări TţG pentru care Т(Т7а)ПКф0. 3. Numim domeniu fundamental al grupului G o mulţime conexă, (de fapt, domeniu împreună cu anumite puncte din frontiera sa), formată din puncte ce alcătuiesc un sistem complet de reprezentanţi ai lui U/G : 1°. Două puncte din S nu sînt echivalente relativ la G. 2°. Orice punct din U este echivalent cu un punct din 2. închiderea S a lui S luată în raport cu planul complex 0 se numeşte domeniu fundamental închis al lui_G. Evident, putem caracteriza 2 prin proprietăţile : 1° S este o mulţimeo închisă. 2° Orice punct din S nu are echivalent relativ la G în S. 3° Orice punct din TJ are cel puţin un echivalent relativ la G în S. Convenim să înţelegem în acest paragraf 7 ) prin poligon — un domeniu Jordan P c U a cărui curbă frontieră dP este descompusă într-o mulţime cel mult numărabilă de arce Jordan Zv, numite laturi, astfel încît 1° Intersecţia a două laturi este vidă sau se reduce la un punct, numit vîrf. 2° După cum există un număr finit respectiv o infinitate de laturi, I A respectiv (J Zv = dP. Vîrfurile lui P sînt extremităţi de laturi sau puncte de acumulare de laturi. ___ Un poligon fundamental al grupului G este un poligon PdU, domeniu fundamental închis relativ la (?, astfel încît sînt îndeplinite următoarele condiţii : 1°. O latură este : 1) un segment din Эх = 0 sau 2) este inclusă în J7, exceptînd eventual una sau ambele extremităţi ; în cazul 1) latura se numeşte liberă, iar în cazul 2) interioară. 7 ) Vom vedea în § 4, propoziţia 4.2, că în aplicaţiile pe care le urmărim vor interveni numai poligoane cu un număr finit de laturi.

286

Suprafeţe riemanniene

2°. Laturile interioare se grupează în perechi echivalente în sensul că orice punct 0 interior unei laturi interioare l are exact un punct echivalent z' g P, care este punct interior unei laturi interioare V, V Ф l, iar transformarea T g(?, care duce z în z'9 transformă l în V. Se verifică imediat : PROPOZIŢIA 3 . 2 . Un punct z0 interior lui P sau interior unei laturi libere nu are echivalent în P, în timp ce oricare alt punct din dPf]U are în P (mai precis pe dP f| U) cel puţin un echivalent. Iată de exemplu raţionamentul pentru z0£P : Să presupunem că ar exista z'Q ~ G z0, z'0 g P. Atunci ar exista T g G cu z'0 = Ţ (z0) şi conform ipotezei, ZQ g BP. Fie v o vecinătate a lui z0 inclusă în P ; v' = T (v) va fi o vecinătate a lui şi va conţine z[ g P. Prin urmare T şi am ajuns la o contradicţie. î n cazul_z 0 interior unei laturi libere, se ia o vecinătate v a lui z0 relativă la U. Dacă z0ţdPf)U să luăm un şir de puncte ^ Ç P - P , zn->z0 şi un şir zn = Tkn (zn) g P. Vom presupune (înlocuind eventual şirul zn cu un subşir) că z n -^z 0 gP. Din d[T~* (z0), z0] -> 0 şi din proprietatea grupului G de a fi discontinuu, rezultă, pentru n suficient de mare, că Tkn (Z0) = (şi c ă Tkn coincid). 4. Să notăm cu Tn (n = 0 , 1 , 2, . . . ) transformările grupului G şi cu T0 transformarea identică. PROPOZIŢIA 3 . 3 . Dacă P este un poligon fundamental al grupului G, poligoanele fundamentale Pn = Tn (P) formează o descompunere poligonală a lui U. într-adevăr, U Pn ZD U, deoarece orice punct z din U are cel puţin un echivalent z0 g P şi dacă z = Tn (z0), atunci zţTn (P). Intersecţia a două poligoane Pm şi Pn pentru m Ф n este sau vidă sau constă din laturi comune sau din vîrfuri comune. Aceasta rezultă din observarea că Tn (Pm П P J şi Тш (Pm П Pn) sînt submulţimi din P echivalente (prin transformarea T~l° Tn), astfel încît ele sînt incluse pe dP. Dacă prima submulţime conţine un punct z0 din interiorul unei laturi lh, după condiţia 2° impusă poligoanelor fundamentale, Tn duce toată latura lh într-o latură lw a lui P, iar Tn (lh) = Tm (lh-)çzPmr\Pn. Observaţia 3.1. Fie z un punct din U. Evident, există vecinătăţi ale acestui punct, care nu includ nici un poligon T (P), Tg6r, deoarece în cazul contrar un cerc (neeuclidian) cu centrul £ ar include o infinitate de poligoane {Tkj (P)}, j = 1, 2, . . . , cu Tkj g G diferite între ele şi mulţimea punctelor echivalente cu un punct din plan ar avea un punct de acumulare. In orice vecinătate compactă în U a lui z se găsesc puncte numai dintr-un număr finit de poligoane T (P) : Altfel ar exista în U un punct z* de acumulare de puncte luate în poligoane diferite şi mai mult, dacă y e un cerc din U cu centrul z*, care nu include nici un poligon T (P), pe orice circumferinţă cu centrul z*, inclusă în y, se va

Suprafeţe riusmanniene

287

găsi un punct de acumulare de puncte luate în poligoane diferite. Am avea o mulţime de puterea continuului de astfel de puncte, care sînt toate vîrfuri de poligoane, şi cum există o mulţime numărabilă de poligoane şi un poligon are o mulţime cel mult numărabilă de vîrfuri, am ajuns la o contradicţie. Prin urmare, orice vîrf din TJ aparţine la un număr finit de poligoane. PROPOZIŢIA 3 . 4 . Fie z un vîrf din TJ al poligonului F. între poligoanele Pn incidente cu z şi vîrfurile lui P echivalente cu acest punct se poate stabili o corespondenţă biunivocă, asociind fiecărui Pn = Tn(P) punctul zn = T~n(z). Evident, dacă Pn =f= Pm şi zm = T^(z), atunci zn =f= zm. De asemenea, din Tn (z) g P rezultă T?(P) incident cu z. Prin urmare, dacă P are N vîrfuri echivalente cu z, există N poligoane Pn incidente cu punctul z. 5. Se numeşte transformare fundamentală a grupului (?, o transformare T, care duce o latură interioară l a lui P în latura echivalentă V. PROPOZIŢIA 3 . 5 . Grupul G este generat de transformările fundamentale. într-adevăr, dacă P' = T' (P) este un poligon adiacent la P în lungul laturii Z, atunci T / _ 1 (l) este o latură a lui P, deci î 7 ' - 1 este o transformare fundamentală. Fie acum P* = T* (P) un poligon adiacent la P' ; poligonul î 7 ' - 1 (P*) este adiacent la P şi prin urmare, după raţionamentul de mai sus, există transformarea fundamentală T", astfel încît T"'1 ° T'" 1 (P*) = P, deci T* = T ° T". Orice poligon P = T (P) se poate uni cu P printr-un lanţ format dintr-un număr finit de poligoane Pn cu proprietatea că două poligoane consecutive au o latură comună cel puţin, deci T este produsul unui număr finit de transformări fundamentale. PROPOZIŢIA 3 . 6 . Să orientăm dP şi să notăm cu l şi V două laturi echivalente de pe dP înzestrate cu orientările induse. Dacă T este transformarea fundamentală, care duce l în V şi dacă notăm cu T (l) imaginea lui l prin T împreună cu orientarea determinată de transformarea T, atunci T (l) şi V sînt orientate în sens opus. Pentru demonstraţie se foloseşte indicele unei curbe în raport cu un punct şi faptul că T păstrează orientarea, ceea ce revine la exprimarea următoarei observaţii geometrice : P şi T(P) sînt adiacente în lungul laturei V ; dP şi дТ (P) sînt orientate coerent şi induc pe V orientările opuse V respectiv T(l). Consecinţa 3.1. Două laturi echivalente l şi V de pe frontiera unui poligon fundamental P nu pot avea un vîrf comun în TJ. într-adevăr, după propoziţia 3.6, un vîrf comun lui l şi V este punct fix pentru T, deci aparţine lui dU. Consecinţa 3.2. Fie z0 un vîrf din U al poligonului fundamental P. Vîrfurile lui P echivalente cu z0 formează un ciclu, suma unghiurilor corespunzătoare fiind 2iz.

288

Suprafeţe riemanniene

Efectuînd eventual o schimbare de numerotare a transformărilor din G şi orientînd dP, fie : \ latura lui P ce urmează lui z0 în orientarea aleasă, l[ latura echivalentă cu l19 Т г transformarea fundamentală z1 = Тг (г0) ; după consecinţa 3.1, zx=j= z0-9 fie l2 latura lui P, ce urmează lui z19 U latura echivalentă cu l29 T2 transformarea Z2->î2? z2=T2 (zi) ? dacă z2 ф z0 şi z19 procedeul continuă. Deoarece z0 are un număr finit de vîrfuri echivalente, există o primă etapă N9 pentru care zN = = fe-i) = zj9 j unul dintre indicii 0,1, . . . , N—l şi după propoziţia 3.6, rezultă j = 0 (altfel ar coincide cu Zj_x). Prin urmare, cealaltă latură a lui P cu vîrful z0 este l'N9 latura echivalentă cu l î n jurul lui Zq se aşează ciclic poligoanele P, T^(P)9 Tî1 0 T21(P)9... TŢ1 0 T ö V .. 0 . . . TN-I{P)9 deci după propoziţia 3.4, ciclul z09 z19 . . . cuprinde toate vîrfurile echivalente cu z0. PROPOZIŢIA 3 . 7 . Să presupunem că a şi b sînt două laturi interioare consecutive ale poligonului fundamental P cu vîrful comun zţTJ şi că ambele laturi sînt duse de aceeaşi transformare fundamentală T în laturile echivalente a' respectiv b'. Atunci z are un singur vîrf echivalent z' = T (z) pe dP. Putem lua un domeniu jordanian S cu frontiera y, conţinînd punctul s în interior cu proprietăţile următoare : 1) intersecţia lui S cu dP constă dintr-un arc jordanian cx.cza\Jb9 care descompune S în două domenii jordaniene сгхС1Р şi a 2 ; 2) intersecţia domeniului jordanian S' = T (S) cu dP este arcul o>' = T (a), care descompune S' în domeniile jordaniene a'k = T (crfc), JC=l9 28). CumCT2CIP,rezultă că G2CZT~1(P)9 deci s este vîrf numai pentru poligoanele P şi T - 1 (P). După propoziţia 3.4, punctul s are un singur echivalent pe dP. Observaţia 3.2. î n cele ce urmează convenim să suprimăm vîrfurile de pe frontiera unui poligon fundamental P9 care au un singur echivalent în poligon (deci sînt vîrfuri comune la numai două poligoane T(P)). Atunci9 orice poligon fundamental P compact în U va avea un număr finit de vîrfuri. Evident, condiţia P compact în TJ este echivalentă cu Pa TJ. într-adevăr, dacă z ţ d P ar fi punct limită de vîrfuri z n £ dP 9 cum în fiecare punct zn sînt incidente cu P încă două poligoane cel puţin şi într-o vecinătate v convenabil aleasă a lui z se găsesc (după observaţia 3.1) puncte dintr-un număr finit de poligoane, o infinitate de puncte zn ar trebui să fie comune la trei poligoane, ceea ce este absurd. 8 ) Domeniul S se poate construi de exemplu astfel : luăm un cerc (neeuclidian) închis С cu centrul z' şi cu raza atît de mică încît С dP d a' |J Fie С = T _ 1 (C), iar т o reprezentare topologică a planului, care conţine U, pe un plan, astfel încît т (P) să fie un cerc închis. ^

o^

Un cerc închis Г cu centrul £ = т (z) inclus în т (С) este descompus de arcul A = т (дР) f | Г în două domenii jordaniene. Luăm 8 = т - 1 (Г) şi a = T _ 1 (A).

Suprafeţe riusmanniene

289

Observaţia 3.3. Oricare ar fi Tgff şi h număr natural, transformarea Tk = T°T°...°T este diferită de transformarea identică, după de к ori

€um rezultă imediat folosind reducerea lui T la forma canonică. PROPOZIŢIA 3 . 8 . Dacă poligonul fundamental P este compact în TJ, iar A, В, A' şi B' sînt patru puncte distincte din dP, astfel încît există transformarea T g f f , pentru care T (A) = A' şi T (В) = В', atunci: 1° Punctele A, -B si A', B' determină pe dP două arce disjuncte a respectiv b. 2 ° T (a) = 6. 3° CEZE РА^ГМ puncte se succed pe dP în ordinea A, Б , P ' , A'. 1°. Să notăm Pfc = Tk (P), /с întreg. Punctele A' şi B' (respectiv A şi B) aparţin lui dP1 (respectiv ЭР - 1 ), deci se pot uni în P 1 (respectiv în P" 1 ) printr-un arc X (respectiv [л) situat în fi1 (respectiv în P - 1 ) , exceptînd extremităţile. î n ipoteza că punctele A', B' ar separa punctele А, Б, arcele X şi [л ar avea un punct comun, care ar aparţine mulţimii P 1 f | P ~ 1 ? ceea ce este absurd. 2°. Procedînd din nou prin reducere la absurd, să presupunem că a' = T (a) nu ar coincide cu 6, ci ar avea în comun numai extremităţile A' şi B' (ceea ce are întotdeauna loc înlocuind a printr-un subarc convenabil). Eezultă că A' şi B' sînt vîrfuri, iar a'\Jb limitează un domeniu jordanian D. Cum P este compact în Z7, domeniul D constă dintr-un număr finit N de poligoane fundamentale. Distingem două cazuri :

2°. 1. pqiD.

2°. 1.1. î n acest caz, P ^ D . într-adevăr, din ipoteza РХС11>, deducem T (A') = T 2 (A) f| P2 ; dar A' $ a, deci T (A') $ a' ; prin 2 urmare P aD şi repetînd raţionamentul PkdD, Ic număr natural oarecare, ceea ce este absurd. î n concluzie, P 1 este situat în exteriorul lui o D, iar (a' - {A\ B'}) c z D ^ j P 1 sau (a' - {A', B'}) f| P = 0 . 2°. 1.2. Fie P* = T* (P) un poligon din D. Evident, T* ф T. Totodată, T* ф T"1, deoarece T* = T" 1 ar implica T* (A') = A £ J> şi cum, după concluzia punctului 2°. 1.1, A $ a' (J&? am avea A ţ PC\D sau PczD, ceea ce contrazice ipoteza 2°. 1. 2°. 1.3. Să arătăm că T* (P 1 ) CI Transformarea T* nu poate duce punctele A' şi B' în B' respectiv A', deoarece T*2 ar fi identitatea (observaţia 3.3) ; prin urmare, unul dintre aceste puncte, de exemplu A'T va avea imaginea O = T* (.A'), diferită de A' şi B'. Deoarece (7€-Z>, o din cele de mai sus rezultă că С € p\] D (J P\ Atunci T* ( F ) c P l)D[jP1 1 sau, folosind relaţia T* Ф T" , demonstrată la punctul 2°. 1.2, obţinem că f l F l c D . 2°. 1.4. Deoarece T* (PljP^czD, rezultă că T* (a'\J b) = = T* (dD) d D sau că T* (D) CZ D. Domeniul T* (D) conţine N poligoane

290

Suprafeţe riemanniene

fundamentale. Fiindcă T* (P) este inclus in D, dar nu în T* (2>), domeniul D conţine cel puţin N + 1 poligoane, ceea ce este absurd. 2°. 2. PaD. 2°. 2.1. Yom arăta că arcul a nu este inclus în întregime în a'. î n cazul contrar, T" 1 (a) ar fi inclus în a şi s-ar afla pe frontiera a trei poligoane distincte P - 1 , P şi P 1 . Prin urmare, a' nu coincide cu arcul c, complementul lui b relativ la dP şi există două puncte A*, B* ţa' f)c, care determină un arc a*da' situat, exceptînd extremităţile, în exteriorul lui c. (Eventual A* = A' sau B* = B'.) Notînd cu c* arcul determinat de А* В* pe c9 arcele a* şi c* limitează un domeniu jordanian D* format din N* poligoane fundamentale, căruia îi vom aplica un raţionament analog cu cel de mai sus. 2°. 2.2. Poligonul P(£D*, pentru că P c i D şi putem uni un punct din P cu dU printr-un drum continuu, care taie o dată arcul 6, dar nu intersectează a' şi c9 deci dD*. Ca şi la punctul 2°. 1.1, deducem că P1CLD\ 2°. 2.3. Domeniul D* conţine un poligon P* = T* (P) cu T* ф T'1 şi T. Pentru a demonstra aceasta, vom studia din nou două posibilităţi : 2°. 2.3.1. Dacă a d e * , vom lua un punct С' ţa* — dP, care aparţine frontierei unui poligon P =f= P şi P 1 . Poligonul P* = T" 1 (P) este diferit de P" 1 şi P. Cum T'1 (C') Ça f ) dP* Œ c* f)dP* şi P* ф P , deducem că P*ClI>% iar conform punctului 2°. 2.2 avem P* =j= P 1 . 2°. 2.3.2. Să presupunem că una dintre extremităţile lui a, de exemplu A, nu aparţine lui c*, deci nici lui D* şi să luăm un poligon arbitrar P* = T* (P) din TT. Evident, P* ф P şi P1 ; pe de altă parte, p* ф p - i , deoarece P - ^ l . 2°. 2.4. Ca şi la punctele 2°. 1.3 şi 2°. 1.4 se arată că T* (P 1 ) CI D* şi apoi că D* cuprinde cel puţin Ж* + 1 poligoane fundamentale, deoarece include T* (D*) şi P*, care nu este cuprins în T* (D*). 3°. Această afirmaţie se obţine din rezultatele 1° şi 2° si din propoziţia 3.6. 9). Observaţia 3.4. Dacă P este un poligon fundamental compact în TJ9 în care s-au redus eventualele vîrfuri cu un singur echivalent în P , conform observaţiei 3.2, atunci perechi diferite de laturi echivalente determină transformări fundamentale diferite. 6. PROPOZIŢIA 3 . 9 .

Orice grup Fuchs G are un poligon

fundamental.

9 ) In enunţul propoziţiei 3.8 se puteau presupune distincte doar punctele A şi В, deoarece atunci rezultă că toate cele patru puncte A, B, A' şi B' sînt diferite între ele. Dacă am avea de exemplu A' — В, atunci В ' ф A. în ipoteza că arcele a' şi b limitează un domeniu jordanian £>, după cum P (Z D sau P C£ D se arată succesiv că Pk d D, к > 0 respectiv < 0, ţinînd seama că T păstrează orientarea. Prin urmare arcele a' şi b au cel puţin un punct de l intersecţie С4diferit de A' şi B'y iar С = T~ (C')ţa şi este diferit de A şi B. Putem aplica propoziţia 3.8 punctelor А, С şi A \ С' şi contrazicem punctul 3°.

291

Suprafeţe riusmanniene

Fie z0 un punct arbitrar din TJ, dar fixat în cele ce urmează şi Tk , Te = 0 , 1 , 2 , . . . , transformările lui G (T0 transformarea identică). Să notăm cu M mulţimea punctelor z £ TJ, care satisfac relaţiile (3.4)

d (z,

z0)^d[Tk(z),z0],

pentru orice Tk Ç G. închiderea M a mulţimii M în raport cu planul complex formează un poligon fundamental, numit poligonul fundamental metric. 1°. Evident, relaţiile (3.4) sînt echivalente cu următoarele : (3.5)

d ( z , z 0 ) < d [z, Tk(z0)],

deoarece d [Tk (z), z0] = d [z, T(z0)] şi Tkx = Th pentru un anume indice h. 2°. Mulţimea punctelor z Ç TJ, care pentru un Tc fix, lc ф 0, satisfac relaţia d (z, z0) < d [z, Tk(z0)l formează un semiplan (neeuclidian) Sk închis în TJ, limitat de dreapta (neeuclidiană) Dk d (z, z0) = d [*, Tk(z0)l Prin urmare, M = f] Sk şi M este o mulţime convexă. 3°. Interiorul lui M este format din punctele z € TJ, astfel încît d (z, z0) < d [z,

Tk(z0)l

oricare ar fi Tk Ç G, exteriorul — din punctele ce verifică inegalitatea contrară cel puţin pentru un indice Ic, iar frontiera lui M în TJ — din punctele lui M, care satisfac relaţiile (3.5) cu semnul egal cel puţin pentru un indice Ic (şi evident pentru un număr finit). Fie zÇ TJ un punct astfel încît d (z, z0) < d [z, Tk (з0)], oricare ar fi Tk g G. Să luăm un cerc x cu centrul z0 şi o rază finită p > d (z, z0). Un număr finit de drepte Dk intersectează acest cerc, astfel încît <» o o pentru un număr natural N suficient de mare, x ci f l ^ - Dar z £ 8k N

pentru orice indice k, deci există un cerc x1? care conţine z, astfel încît N —1 O

oo

o

o

xx CI П Sk- Prin urmare, f) 1 S k a M. Incluziunea, contrară fiind evidentă, 1 O OO o rezultă M = П i Cum M este mulţime închisă în TJ, exteriorul lui M coincide cu complementul lui M relativ la TJ, deci cu mulţimea punctelor z astfel încît există cel puţin un indice Ic pentru care d (z, z0) > d [z, Tk (z0)]. (Evident, există doar un număr finit de astfel de valori Jc, după obser00 o vaţia de mai sus : oricare ar fi cercul x cu centrul z9, avem x C f| ^

292

Suprafeţe riemanniene

pentru N suficient de mare). Eezultă de asemenea caracterizarea dată frontierei lui M în TJ. 4°. Să presupunem că lk = Dk f| M Ф 0 . î n virtutea proprietăţii de convexitate, lk se reduce la un punct, este un segment, o semidreaptă sau toată dreapta Dk. Punctele interioare lui lk, dacă există, sînt caracterizate prin relaţiile (3.6) d (z, z0) = d [z, Tk(z0)] Şi d (z, Zq) < d [z, Th (з)], oricare ar fi h =j= 0 şi k. Fie s punct interior lui lk. Evident, d (z, z0) = d [z, Tk (z 0 )] şi d (z, z0) < < d [z, Th (z0)] pentru h ф 0 şi lc, deoarece z ţDk f| M. Dacă ar exista însă un indice li, pentru care d (z, z0) = d [z, Th (z0)], punctul z0 ar aparţine şi dreptei Dh, astfel încît pe lk s-ar găsi puncte din exteriorul lui 8h şi lk nu ar fi inclus în M, ceea ce este absurd. Invers, dacă s verifică relaţiile (3.6), există o vecinătate v a lui s formată din puncte, care satisfac aceleaşi inegalităţi stricte ca şi z, iar v f| Dk constituie o vecinătate a lui z m lk; prin urmare s este punct interior lui lk. Dacă o extremitate z* a lui lk este un punct din L7, atunci £* este extremitate şi pentru un alt lhJ iar dacă z* Ç dTJ, atunci z* este extremitate sau pentru un alt lh sau pentru un segment din д TJ. Fie Dk = DkoJ Dkl, . . . Bkr dreptele Dn, care trec prin 2* g U, scrise în ordinea ciclică în care se întîlnesc, cînd descriem un cerc mic cu centrul z*, începînd cu punctul său de intersecţie cu lk, în sensul de la lk în exteriorul lui Sk. Se arată că atît lk cît şi ultimul dintre arcele determinate de 2* pe DkrJ pe care îl întîlnim şi pe care îl vom nota lh, sînt incluse în dM, singurele arce determinate de s* pe D k o , . . . Dkr, care aparţin lui M fiind lk şi lh. într-adevăr, notînd 81 = ext 8n, punctul z* divide fiecare dreaptă Dkj în două arce : а? С 8km+1 şi ß3 С (j = 0, 1,. . . r—1) respectiv ar CI 8*ko şi ß r C Ä 0 . Evident, a, C S ; , ^ şi ß, С Z S k } _ v (j = 1, ... r) în timp ce a 0 С 8kr şi ß0 CI 8*kr. Eezultă deci că a 0 şi ßr sînt singurele dintre arcele de mai sus, care ar putea fi incluse în M. Prin ipoteză r pe a 0 se află arcul lk din dM. Cum ß r c П ä . şi d (z*, z0) < d [z*, Tn (z0)] j=o pentru n ф TCj (j = 0,. . .r), o întreagă vecinătate a lui z* este inclusă în П SN, prin urmare un arc LH de pe ßr aparţine frontierei lui M. Cazul z ţdU se tratează analog. Am demonstrat astfel că frontiera lui M în planul complex se compune : 1) din segmente, semidrepte sau drepte (neeuclidiene) şi eventual segmente din dTJ, în fiecare extremitate a unui astfel de arc începînd un altul, şi 2) din eventualele puncte de acumulare ale acestor arce de pe dTJ. Prin urmare, M este un poligon.

Suprafeţe riusmanniene

293

5°. Să verificăm că M este poligon fundamental : Orice punct z g TJ are un echivalent în 31, deoarece printre punctele Tk (z), TkţG, există unul (sau un număr finit), care face minimă distanţa d [Tk(z), z0], deci aparţine lui M. o Dacă z' şi 2" ar fi două puncte echivalente, care ar aparţine lui M, să notăm cu Tn transformarea din G cu proprietatea Tn (z') = z". Din relaţia d (z', z0) < d [z', T^1(z0)'] deducem, aplicînd Tn, inegalitatea o d \z", Tn (z0)] < d (z", z0), care contrazice ipoteza 2" g 31. Orice punct z' g M, interior unei laturi interioare lk, inclusă exceptînd eventual extremităţile în TJ, are exact un echivalent în M. într-adevăr, avem d [>', Tk (z0)~\ = d (z', z0), în timp ce d [>', Th (z0)] > d (z', z0), pentru orice h ф 0 şi Ic. Atunci z" = T~k(z') va verifica relaţiile d (z", z0) = d [z", Tt (s 0 )] şi d [z", Tk'o Th (z0)] > d (z", z0), deci z' are un echivalent g M, care este punct interior laturii Tk (lk). Pe de altă parte, în general, dacă z ~ Gz şi z, z g M, atunci d (z, z0) = = d(z,z0). Prin urmare, dacă 2* g Ж şi ' z* = T* (z') cu T*gG, atunci d (z', z0) = d O', T*1 (z0)], ceea ce implică T*1 = Tk, deoarece z' este punct interior lui lk şi 2* = 2". Transformarea T~k duce latura interioară lk m latura interioară h' = Tk1 (1к) şi laturile interioare ale poligonului M se grupează astfel în perechi echivalente. Să remarcăm că transformările, care stabilesc echivalenţa în perechi diferite de laturi, sînt diferite. 7. Orice poligon fundamental se reduce prin transformări elementare la o formă normală, caracterizată prin faptul că pe frontieră apar anumite succesiuni de laturi. Ne vom mărgini 10 ) să prezentăm numai reducerea la forma normală a unui poligon fundamental P compact în TJ, normat după observaţia 3.2, deci cu un număr finit de laturi şi astfel încît transformările fundamentale din G corespunzătoare la perechi diferite de laturi ale lui P să fie diferite, deoarece vom aplica aceste consideraţii suprafeţelor riemanniene închise, după cum se va vedea în § 4. Orientînd frontiera lui P, o vom scrie sub forma unui produs ab. . . I, unde fiecare literă reprezintă o latură. Fixăm un vîrf iniţial pe ЭР şi convenim să notăm pentru fiecare pereche de laturi echivalente cu x prima şi cu ж - 1 a doua dintre laturile întîlnite, cînd descriem dP n ) . Două laturi echivalente nu pot fi consecutive, conform consecinţei 3.1. Prin urmare, fiecărei perechi x şi x'1 îi putem asocia numărul (pozitiv) de laturi din dP întîlnite între x şi x~\ cînd parcurgem ЭР în sensul ales. Yom nota cu a şi a - 1 o pereche astfel încît acest număr să fie minim 10

) Alte cazuri sînt tratate în [31], p. 257. ) Această notaţie îşi găseşte justificare în considerarea suprafeţei UjG, în care se identifică laturile echivalente din P, luate cu orientări opuse. u

294

Suprafeţe riemanniene

şi cu b latura ce urmează lui a în ordinea luată pe ЭР. Atunci ЭР se va scrie (3.7) abXa1 Yb'1 Z unde X, Y şi Z reprezintă grupe de laturi şi eventual pot lipsi. Să presupunem că X şi Y există efectiv. Mai înainte de a continua procedeul, dăm următoarele definiţii : Yom numi diagonală a unui poligon un arc analitic, care uneşte două vîrfuri ale poligonului şi este situat, exceptînd extremităţile, în interiorul lui. Yom numi transformare elementară a poligonului fundamental P relativă la o pereche de laturi echivalente x şi x'1 = T (x), TÇO, următoarea operaţie, prin care se obţine din P un nou poligon fundamental : ducem în P o diagonală d, care descompune P în două poligoane P' şi P", notate astfel încît xadP' şi 1ЭР" ; cum T ( P ' ) f | P " coincide cu x~\ rezultă că T(P')\JP" este un poligon fundamental compact în TJ. Fie d o diagonală care uneşte extremitatea lui a cu originea lui a - 1 . Aplicînd transformarea elementară corespunzătoare perechii de laturi ö, b'1 şi notînd după transformare fiecare latură cu litera iniţială, obţinem un poligon fundamental pe a cărui frontieră se află laturile (3.8)

ada1

YXd~1

Z.

Să ducem acum o diagonală e unind originea lui й - 1 cu extremitatea lui d şi să efectuăm transformarea elementară relativă la perechea a, a"1. Se formează astfel un poligon fundamental cu următoarea ordine a laturilor (3.9) ede~1d~1 ZYX. Evident, dacă X = 0, se aplică numai ultima etapă a, procedeului, iar dacă X\J Y = 0, avem de la început ordinea (3.9). î n gruparea ZYX suprimăm eventualele succesiuni de laturi хх~г sau x~xx şi, notînd cu V gruparea de laturi rămasă, repetăm procedeul relativ la laturile din F, ceea ce nu va influenţa gruparea deja formată (3.10)

ede^d'1.

Yom obţine astfel un poligon fundamental cu două grupări de forma (3,10) şi, dacă mai rămîn laturi, procedeul va continua. Remarcăm că la o etapă oarecare se poate să pornim de la o frontieră de forma (3.7')

ăWbXă-1

Yb'^Z

în loc de (3.7), unde după ă urmează scrisă î n f f o grupare (3.10) deja construită, în timp ce toate grupările construite sînt cuprinse în grupările de laturi W, X, Y şi Z. Metoda se aplică însă şi în acest caz, ducînd la (3.9') ëdë-1 d" 1 WZYX.

Suprafeţe riusmanniene

295

într-nn număr finit de etape obţinem, cu o notaţie convenabilă a laturilor, forma normală (3.11) аг a2 aî1 aöl. . . a2g-i a2g a2g1_1 a±gXi 12 unde g > - 1 ). Putem enunţa astfel PROPOZIŢIA 3 . 1 0 . Orice poligon fundamental P compact în poate aduce la forma normală ( 3 . 1 1 ) . î n cele ce urmează vom folosi după [11] forma normală

TJ se

a2 aî1 aö1 аг. . . a.2g aög1_1 a2g a2g_ 1?

(3.11')

care se deduce din (3.11) printr-o schimbare evidentă de notaţie. Observaţia 3.5. în forma normală (3.11) sau (3.1Г) toate vîrfurile poligonului fundamental sînt echivalente între ele, iar suma unghiurilor poligonului este 2n. Fie, de exemplu, forma (3.11'). Să notăm cu cT?. transformarea fundamentală din G, care duce latura a5 în aj-1, (j = 1, . . . , 2 g) şi să numerotăm vîrfurile lui P de la 1 la 4 g începînd cu originea lui a2 în sensul dat de (3.11'). Se verifică imediat că aplicînd succesiv transformările сГ2, оГ.г1, STf1, . . . cT2f7? ^20-1? ^ Л &20-11 vîrful 1 trece în 4, 3, 2, 5 , . . . 3, 4g, 4#—1, 2, 1. Avem deci relaţia (3.12)

Г

о сГ

o &2g

О сГ2g o . . . осГ~1осГ^1осГ1осГ2 = 1 JJ ,

8. Iată cîteva proprietăţi ale grupurilor Fuchs cu poligon fundamental compact în TJ : Se numeşte translaţie neeuclidiană a lui TJ o transformare liniară, care invariază o dreaptă neeuclidiană. O translaţie neeuclidiană are deci două puncte fixe diferite a şi т pe 3z = 0, este de tip iperbolic şi se scrie sub forma canonică

cu X>1. Punctul G se numeşte punct de respingere, т punct de atragere, iar X invariantul transformării. PROPOZIŢIA 3.11. Dacă grupul Fuchs G are poligonul fundamental P compact în TJ, atunci el este format din translaţii neeuclidiene şi transformarea identică T0 = lv. Fie TgG, T ф TQ şi d r = inf d [s, T (z)]. Cum pentru orice z £U punct 0 g U, există Ç g P si A g G eu z = A (Ç), iar d [>, T (z)] = = d [A (Ç), T о A ( 0 ] = d [Ç, A'1 о T о A (Ç)], rezultă că d r = = inf d [Ç, A ' 1 о То A ( 0 ] . Există deci şirurile Çn g P şi g (?, astfel încît ÇÇF.AÇG 12

) Va rezulta din consecinţa 4.2 că g > 1, deoarece se va arăta că # este genul suprafeţei riemanniene compacte R = UjG, care este de tip iperbolic.

296

Suprafeţe riemanniene

d r = lim d n-yoo

Tn ( Çn)], unde Tn = A'1 ° T ° An. Deoarece P este

compact, din Z)n putem extrage un subşir convergent, pe care îl vom nota tot tu- Fie Ç0 = lim . Şirul Tn ( Çlt) este de asemenea n-foo

inclus într-un compact din Z7, fiindcă d [ Ç0, T n ( ÇJ] d ( Ç0, ÇJ + + d [Çn, T n (Çn)]. Prin urmare, putem extrage din Çn un subşir, pe care îl vom nota din nou astfel încît şi Tn ( ÇJ să conveargă. Fie atunci ^o = lim T n ( ÇJ. Evident, d r = d ( Ç0, Q . Să arătăm că ÇÔ = lim Tn (Ç0). într-adevăr, П-ЮС

d [Tn (Ç0),

< d [Tn

T„ (Q]

+

+ d [Tn ( ÇJ, a = d ( Ç0, пл) + d [Tn ( Çe), ÇJ]. Cum şirul Tn ( Ç0) este o mulţime de puncte izolate, fără punct de acumulare în Z7, deducem că Tn ( Ç0) = începînd de la un rang N, deci că Tn = TN. Fie Ço' = T|r ( Ç0), z' mijlocul segmentului de dreaptă neeuclidiană Ç0 şi iar = (z') mijlocul segmentului de dreaptă neeuclidiană % £>'. Deoarece dT < d (2', 2") < d (z', £>) + d ( 2") = d p deducem că punctele Ç0, Şi Zo sînt situate pe aceeaşi dreaptă neeuclidiană şi că transformarea Тю care invariază această dreaptă, este o translaţie neeuclidiană. Prin urmare T = AN 0 TN 0 A^1 este de asemenea o translaţie neeuclidiană. î n cele ce urmează vom folosi şi următoarele proprietăţi ale translaţiilor neeuclidiene : PROPOZIŢIA 3 . 1 2 . Bacă transformarea BţH, diferită de identitate, comută cu o translaţie neeuclidiană A, atunci В este translaţie neeuclidiană cu aceleaşi puncte duble ca şi A, şi reciproc. Fie G şi T punctele duble ale lui A. Cum В ° A = A ° B, deducem pentru z = G şi T, că В (z) = A [В (z)], deci sau В (z) = z, şi propoziţia este demonstrată, sau В (G) = т şi В (т) = a. Acest caz nu poate avea însă loc. într-adevăr, Б 2 ar avea ca puncte duble pe а şi pe т, în timp ce В 2 are aceleaşi puncte duble ca şi B. Eeciproc, dacă A şi В sînt două translaţii neeuclidiene cu aceleaşi puncte duble а şi т, aplicînd automorfismul interior al lui H determinat g ÇJ ^ de transformarea T : Z = , ele devin omotetii A = T 0 A 0 T 1 _

Z — T

şi В = T 0 В ° T"1, avînd ca centru originea. Cum Ä A° В = B° A.

0

_

_

В = В 0 Ä, rezultă

PROPOZIŢIA 3 . 1 3 . Două transformări A şi В dintr-un grup Fuchs de translaţii neeuclidiene G, care nu sînt permutabile între ele, au puncte duble distincte. Conform propoziţiei precedente, JL şi В nu pot avea aceleaşi puncte duble. Dacă A ar avea punctele duble а şi y, iar В punctele duble ß şi у, а =f= ß, atunci С = A° В~г° А'1 ° В ar fi de tip parabolic, cum rezultă dintr-un calcul imediat, aplicînd automorfismul interior al lui H

297

Suprafeţe riusmanniene 0

determinat de

T : Z =

.—.

şi verificînd că С = T ° С ° T

1

este у de tip parabolic. Cum С g G, contrazicem propoziţia 3.11. 9. Am văznt la pct. 6 că orice grup Fuchs are un poligon fundamental. Yom încheia acest paragraf analizînd un exemplu, care se încadrează în problema inversă : fiind dat un poligon în U, să se stabilească condiţiile în care el este poligonul fundamental al unui grup Fuchs. 1°. Există în TJ un poligon regulat neeuclidian P cu 4g laturi (#>1) şi suma unghiurilor 2 iz. Printr-o reprezentare conformă a lui TJ pe cercul unitate, ne putem limita să construim în acest cerc un poligon P cu centrul originea sau să înscriem într-un unghi, cu vîrful în origine si deschiderea —, un 2g triunghi cu laturi egale pe cele două laturi ale unghiului şi cu o a treia 7Г 13). latură, dreaptă neeuclidiană, triunghiul avînd suma unghiurilor — 9 2°. Să notăm cu 1, 2, . . . 4g vîrfurile unui poligon regulat P din TJ cu suma unghiurilor 2 iz şi g > 1, în ordinea determinată prin alegerea vîrfului 1 şi orientarea lui ЭР; fie a2, af 1 , а71, . . . , a2g, a2g\i, a2g, a2g_x laturile lui P în ordinea corespunzătoare, a2 avînd originea în punctul 1 şi Wj transformarea din JET, care duce aô în aj1 cu orientări opuse. Transformările cT; generează un grup Fuchs G. Yom deduce aceasta din următoarea formă particulară a unui rezultat datorit lui Poincaré ([33]; [10], Cap. XIY, p. 125) privitor la construcţia grupurilor Fuchs, cînd se dă un poligon fundamental. PROPOZIŢIA 3.14. Fie P 0 un poligon din TJ cu un număr finit, par de laturi — segmente de drepte neeuclidiene, grupate în perechi echivalente, cu proprietăţile : a) Două laturi echivalente sînt congruente în geometria neeuclidiană, deci există o transformare liniară T g И, care le transformă una în alta cu orientări opuse (ca în propoziţia 3.6). Vom numi fundamentale aceste transformări şi vom nota cu G subgrupul lui H generat de ele. b) Vîrfurile echivalente cu un vîrf z0 g P 0 formează un ciclu, suma unghiurilor respective fiind 2тг (ca în propoziţia 3.4 şi consecinţa 3.2). în aceste condiţii, G este un grup Fuchs, iar P 0 un poligon fundamental corespunzător lui G. Aplicînd lui P 0 transformările T g G, vom obţine o mulţime de poligoane P = T (P 0 ), pe care le considerăm ca imagini ale lui P 0 prin T : în cele ce urmează vom spune că poligoanele P = T (P 0 ) şi P* = T* (P 0 ) 13

) Un calcul elementar dă raza cercului, care constituie dreapta neeuclidiană a triun-

ghiului : R = sin — / l / c o s — , iar distanta de la 0 la centru este

I V 2-9

+Я2.

298

Suprafeţe riemanniene

coincid, atnnci şi numai atunci cînd T = T*. Dacă T este o transformare fundamentală : l -> Z-1, atunci P este adiacent la P 0 în lungul lui Z"1; iar poligoanele incidente cu un vîrf al lui P 0 formează un ciclu, acoperind o dată, fără a se impieta, o vecinătate a acestui vîrf. Pentru a demonstra că G este un grup Fuchs cu poligonul fundamental P 0 , este suficient să arătăm că poligoanele P formează, cînd T descrie G, o descompunere poligonală a lui TJ. într-adevăr, în acest caz G cuprinde transformări fără punct fix : dacă ar exista T g G, diferit de identitate şi 2 £ [7, astfel încît T (z) = 2, atunci ar exista z0 g P 0 şi Tx g G cu TM = z, deci pentru T2 = T f 1 0 T 0 T± am avea T 2 (я0) = z0. Deoarece £0 g P 0 П (^0)? * а г T2 =j= 1 uj a m a v e a € 3P 0 . Dacă z0 ar fi punct interior unei laturi Z, T 2 (P 0 ) ar coincide cu poligonul adiacent la P 0 în lungul lui Z, iar T 2 (г0) ar fi interior laturii Z"1, deci ar fi diferit de z0. Dacă z0 ar fi un vîrf al lui P 0 , atunci T 2 (P 0 ) ar fi unul din poligoanele ciclului vîrfului z0 şi Tr 1 nu ar in varia z0, ci l-ar transforma în unul din vîrfurile echivalente z}- ale lui P 0 . Ajungem astfel la o contradicţie. De asemenea, G este grup discontinuu : deoarece punctele Tn (z), corespunzătoare unui şir Tn de transformări diferite din G, aparţin la poligoane Tn (P 0 ) diferite şi orice punct din TJ are o vecinătate, care intersectează un număr finit de poUgoane. Să luăm un punct z0 g p 0 şi să unim orice alt punct 0 g TJ cu z0 printr-un drum continuu X a U . Dacă XdP 0 ? vom spune că X ajunge în z0 cu poligonul P 0 . Dacă X părăseşte P 0 printr-un punct interior unei laturi a lui P 0 respectiv printr-un vîrf al lui P 0 , fie P1 poligonul (unul din poligoanele din ciclul vîrfului) în care intră X. Se poate ca X d P 0 U Pu caz în care procedeul se încheie : spunem că X ajunge în 0 cu poligonul P±. î n cazul contrar, X părăseşte Рг printr-o latură sau un vîrf intrînd într-un poligon P 2 ales în acelaşi mod. După cum procedeul se termină după un număr finit de etape sau continuă indefinit, spunem că X este de primul respectiv de al doilea tip. Dacă X este de primul tip şi a străbătut poligoanele P 0 , P 1? . . . PN, spunem că X ajunge în z cu poligonul P v . Convenim să introducem următoarea normare a drumurilor considerate : ori de cîte ori X intră din nou într-un poligon P = T (P 0 ), suprimăm porţiunea respectivă din X, înlocuind-o cu un drum inclus în P de aceleaşi extremităţi. î n particular, se înlătură astfel cazul în care X ar străbate succesiv de o infinitate de ori latura comună la două poligoane adiacente sau poligoanele ciclului unui vîrf. Normarea nu modifică poligonul cu care X ajunge în z sau îl înlocuieşte cu un poligon adiacent în lungul unei laturi respectiv din acelaşi ciclu. Deoarece |J P = £/T, este suficient să arătăm că : 1) Orice drum X, unind z0 cu un punct z g U, devine prin normare drum de primul tip şi 2) Două drumuri Ă1 şi X2 de primul tip, unind z0 cu z, ajung în punctul z cu acelaşi poligon sau cu două poligoane pentru care z este punct interior unei laturi comune respectiv vîrf comun.

299

Suprafeţe riusmanniene

1) Fie P 0 , P 1 ? . . . P v , . . . poligoanele străbătute succesiv de drumul normat X şi X0, X 1 ? ..., X v , . . . arcele respective din X. Dacă Xv uneşte două laturi din dP v , care nu sînt vecine, ţinînd seama că P v = Tv (P 0 ), lungimea (neeuclidiană) a lui Xv are o margine inferioară pozitivă, deci există un număr finit de astfel de arce Xv, fiindcă X are lungime (neeuclidiană) finită. Dacă Xv uneşte laturi vecine din P v , spunem că subîntinde vîrful comun. î n cazul cînd Xv+1 nu subîntinde acelaşi vîrf în P v + 1 , lungimea lui Xv Xv+1 este din nou mai mare decît o constantă pozitivă şi există un număr finit de arce Xv de acest fel. Prin urmare, pentru v > v0, arcele Xv subîntind acelaşi vîrf. Există însă un număr finit de poligoane care au acel vîrf comun, deci din nou un număr finit de arce Xv. î n concluzie, X este de primul tip şi TJ = U P. 2) Construim următoarea acoperire a lui Z7, procedînd ca la propoziţia 2.7 din Cap. I. Considerăm, pentru fiecare punct z ţTJ, drumurile X normate, care unesc în TJ punctele z0 cu z şi grupăm în clasa {X} drumurile >/, care ajung în 0 cu acelaşi poligon P ca şi X sau, în cazul cînd z e punct interior unei laturi l a lui P respectiv vîrf al lui P, care ajung în 3 cu poligonul adiacent la P în lungul lui l respectiv cu un poligon din ciclul lui Notăm cu X mulţimea acestor clase şi cu / : X^-U, aplicaţia care asociază clasei {X} extremitatea 0 a lui X. Organizăm X ca spaţiu topologic luînd ca vecinătăţi ale lui {X} mulţimile й { ц, construite astfel : Dacă 3 g P, fie и un domeniu simplu conex, conţinînd punctul 0 şi inclus în P, z' un punct din и şi X' un drum unind în n punctul 3 cu z' ; mulţimea щц este formată de clasele drumurilor XX', cînd z' descrie u. Dacă z o e punct interior laturii l comune poligoanelor P şi P, luăm udP (J P> iar ^

O

dacă 0 e vîrf comun ciclului P, P ' , . . . P^- 1 luăm udP U ^ ' U • • • Se verifică imediat că X este spaţiu topologic, liniar conex şi local simplu conex, / f i i n d omeomorfism local: й{ц u, iar ridicarea drumurilor de pe 17 pe X fiind posibilă totdeauna, univoc. După propoziţia 2.6 din Cap. I, acoperirea (X, / , U) este neramificată fără frontieră, iar după teoremele 2.1 şi 2.2 din Cap. I, aplicaţia / este un omeomorfism surjectiv, deci toate drumurile normate unind z0 cu z aparţin aceleiaşi clase, ceea ce demonstrează 2). 3°. Yom stabili acum o proprietate a transformărilor fundamentale cT? ale grupului Fuchs corespunzător poligonului regulat P cu 4g laturi şi suma unghiurilor PROPOZIŢIA 3 . 1 5 . Punctele sh şi th de respingere şi atragere ale transformării сГл (h = 1,. . ., 2g) sînt astfel aşezate încît perechea s2j+1, t2j+x separă perechea s2j+2, t2j+2 (j = 0, 1,. . ., #—1).

300

Suprafeţe riemanniene

Pentru simplificarea expunerii, presupunem din nou P poligon cu centrul 0 în cercul unitate, ca la punctul 1° : Cercul euclidian (iperciclul) C2P-2> c a r e trece prin punctele s2j+2J t2j+2, 4 j + 2 şi 4 j + 3 , este ortogonal dreptelor (neeuclidiene) a2j+?. şi a 2 j \ 2 . într-adevăr, unghiul format în punctul 4j + 2 de arcul 4 j + l , 4 j + 2 din a2j+2 cu arcul 4 j + 2 , 4 j + 3 din c2j+2 este egal atît cu unghiul format în 4 j + 3 de arcul 4j+2-, 4 j + 3 din c2H_2 cu arcul 4 j + 3 , 4j + 4 din a2j\2 (din simetria figurii) cît şi cu unghiul format în 4 j + 3 de arcul 4 j + 4 , 4 j + 3 din a2j+2 cu arcul 4 j + 3 , t2j^2 din c2j+2 (deoarece îl transformă în acest unghi). Ultimele două unghiuri sînt însă suplimentare. Arcul 4 j + 2 , 4 j + 3 din с2]л2 se află deci în afara poligonului P 0 , iar arcul din frontiera cercului unitate cuprins între s2j+2 t2j+2 este > — . Din simetria figurii toate arcele sh th au aceeaşi proprietate, iar t2j+1 s2}+1 se deduce din

s2H_2

printr-o rotaţie de centrul 0

si unghi—. Prin urmare, avem ordinea s2j+2,

t2j+19 t2j^2,

s 2 i + 1 pe fron-

tiera cercului unitate. § 4. Reprezentarea unei suprafeţe riemanniene închise cu ajutorul unui poligon fundamental 1. După propoziţia 3.1, orice grup Fuchs G determină o suprafaţă riemanniană TJ Ig = -ß? iar după propoziţia 3.9, orice grup Fuchs are un poligon fundamental. PROPOZIŢIA 4 . 1 . Fie P un poligon fundamental corespunzător grupului Fuchs G. Prin identificarea punctelor din PÇ\TJ echivalente relative la G, se obţine un spaţiu topologic omeomorf cu TJ/GJ care se organizează în mod natural ca suprafaţă riemanniană, conform echivalentă cu B. Dacă P este compact în U, i.e. dacă P c TJ, atunci В este suprafaţă riemanniană închisă. Eelaţia de echivalenţă determinată de grupul G induce în P f | TJ o relaţie de echivalenţă. Să notăm cu {z} clasa de echivalenţă relativ la G a punctului z g TJ şi cu [z] = {z} П P. Dacă z g P f| U, atunci [ z ] este clasa de echivalenţă determinată de G în PC\U şi o ea constă din unul, două sau un număr finit de puncte, după cum z g P, 0 este punct interior unei laturi interioare a lui P sau 0 este vîrf al lui P. Mulţimea P f | U/q, care se obţine din P f | U prin identificarea punctelor echivalente relativ la G, este în corespondenţă biunivocă cu Z7/G? de exemplu prin aplicaţia F : U/Q -> P f | ^/G? c a r e asociază clasei {z} clasa [2]. Cu ajutorul lui F, organizăm P f | U/G ca suprafaţă riemanniană, conform

Suprafeţe riusmanniene

301

echivalentă cn TJ/Q, lnind ca vecinătăţi parametrice imaginile prin F ale următoarei familii de vecinătăţi parametrice, care definesc structura conformă pe U/Q : Fie z0 un punct interior lui P ; luăm ca vecinătate parametrică a lui {z0} în U/Q: V{Zo} = UG (8), unde 8 = uZo = Cr(z0) este cerc deschis (neeuclidian) cu centrul z0 şi cu raza r suficient de mică ca Cr(z0) să fie inclus în P. (Cu uZo notăm mulţimea din PC\TJ, care prin identificarea punctelor echivalente ne dă o vecinătate a lui [z0]). Fie z0 un punct interior unei laturi interioare l a lui P, V = T (l) latura echivalentă cu l a lui P şi p'0 = T (p0). î n demonstraţia propoo ziţiei 3.7 am construit într-un eerc neeuclidian Cr {z0) a P T'1 (P), c u r > 0 arbitrar de mic, un domeniu jordanian 8, conţinînd z0 în interior şi descompus de l în două domenii jordaniene 8 ' c P şi S ^ C I Î 7 - 1 (P). Luăm V{4) = U 0 suficient o de mic, cercul Cr (z 0 ) este inclus în P U ^ U • • • U-P~v_1- Să alegem pe fiecare din arcele Lk un punct bk situat în interiorul subarcului z0 ak din Lk, unde ak este primul punct de intersecţie al lui Lk cu circumferinţa lui Cr (Zq), cînd descriem Lk pornind din z0, şi să unim bk cu o printr-un arc simplu Xk situat în Cr(z0)C\Pk, exceptînd extremităţile (Jc = 0,1, . . ., N—l, bN = b0). Arcele limitează un domeniu jordanian 8, format din N sectoare 8k = 8 П-Р*- Luăm V{4) = П е (8) = = n G {uH), unde = A L| 1 ^ C P , dk = Tk o ... o Tl o T0 (8 f ) Pk) şi 7 2 o = ll/. Vecinătăţile V{Zo} împreună cu omeomorfismul
302

Suprafeţe riemanniene

2. Oricărei suprafeţe riemanniene R îi corespunde o suprafaţă universală de acoperire R şi un grup G al transformărilor de acoperire. Dacă R este de tip iperbolic, luăm R = TJ şi G este un grup Fuchs. Suprafeţei R i se poate asocia orice poligon fundamental (de exemplu, un poligon fundamental metric sau normal) P corespunzător lui G, astfel încît R este conform echivalentă cu P f | TJ/Q. PROPOZIŢIA 4 . 2 . Condiţia necesară si suficientă pentru ca suprafaţa riemanniană R de tip iperbolic să fie compactă este ca P să fie compact în TJ sau ca P(Z TJ. Conform propoziţiei precedente, trebuie să demonstrăm numai necesitatea acestei condiţii. Fie R compact şi P un poligon o fundamental corespunzător. Dacă P C£ Z7, ar exista un şir de puncte zn £ P, tinzînd la un punct Ç0 £ P f \ d U . Fie pa £ R = UIG cu pn = {zn} . Cum R este compact, există un subşir, pe care îl vom nota tot pn, convergent la un punct р0 £ R. Dacă z0 este un punct din IIq1 (p0)f)P şi zn g 11^1 (pn) tind la zoy folosind omeomorfismul F din demonstraţia propoziţiei 4.1, din {zn} -> {z0} rezultă [zn] -> [z 0 ] şi începînd de la un anumit rang, zn £ tfg , mulţime relativ compactă din TJ, deci am contrazis ipoteza zn->ţ0. Observaţia 4.1. Cum transformările grupului G invariază metrica iperbolică (3.1), oricare ar fi p £ R şi z1? z2 £ П^1 (p), avem

d aZl = d CT22,

astfel încît putem introduce pe R metrica iperbolică, definind dcr p = da z , pentru « £ П^Мр) 15)-

(4.1)

î n acest mod, R devine un spaţiu metric. Dacă R este compact^ distanţa între două puncte din R are un maxim finit d 0 . Fie P un poligon metric fundamental corespunzător lui G, construit plecînd de la un punct z0 £ TJ şi z± un alt punct arbitrar din P. Distanţa iperbolică pe R între punctele p0 = Yla (z0) şi рг = П^ (%) este : d(Po>Pi) =d (zQJz1). Evident, d (p 0 , рг) < d (z0, deoarece y 0 fiind segmentul de dreaptă neeuclidiană ce uneşte z0 cu z1? curba n G ( y 0 ) uneşte p0 cu p± şi are aceeaşi lungime iperbolică. Cum d (p0, рг) = inf $Y da p , pentru toate drumurile continue rectificabile у unind p0 cu p19 cum y se ridică din zö într-un drum y, unind z0 cu un punct T pentru un anume T £ G şi cum y are aceeaşi lungime iperbolică ca şi y, iar aceasta este cel puţin egală cu d [z0J rezultă că d (p0J рг) >- inf d [zQ, T (%)] = ' TÇG ) Procedeul a fost folosit în cazul R domeniu plan cu cel puţin trei puncte frontieră In [40], Cap. V, VII. 15

Suprafeţe riusmanniene

303

= d (г0, ^i). Prin nrmare, P este inclus în cercul (neeuclidian) închis cu centrul z0 şi raza d 0 . Consecinţa 4.1. Un poligon fundamental, normat după observaţia 3.2, asociat unei suprafeţe riemanniene compacte de gen g> 1, are un număr finit de laturi, deci grupul G corespunzător are un număr finit de generatori. De asemenea, poligonul metric fundamental are un număr finit de laturi, deoarece dacă lk este o latură corespunzătoare transformării TkJ atunci d [z 0 , Tk (г0)] <; 2 d 0 . Existenţa unei infinităţi de laturi ar implica existenţa unei infinităţi de puncte Tk (z0) într-un compact din Z7, ceea ce este absurd. 3. Dacă В este o suprafaţă riemanniană închisă de gen 1, conform § 2, pct. 2, putem lua В planul euclidian, iar G este un grup de translaţii cu doi generatori, căruia îi corespunde ca poligon fundamental redus la forma normală, un paralelogram, astfel încît (3.11) sau (3.11') se păstrează pentru g = 1. Poligonul metric fundamental se formează lucrînd acum cu metrica euclidiană din plan. O suprafaţă riemanniană В închisă de gen 0 — conform echivalentă cu o sferă — se reprezintă de asemenea cu ajutorul unui poligon, unind două puncte ale ei printr-un arc jordanian X şi tăind В în lungul lui X. Poligonul corespunzător are două laturi, între care există o relaţie de echivalenţă (sînt echivalente puncte ce provin din acelaşi punct din X) şi pe care le vom nota a şi a - 1 , astfel încît poligonul se scrie sub forma normală (4.2) a-a1. Consecinţa 4.2. Orice suprafaţă riemanniană închisă se poate reprezenta printr-un poligon, cu un număr par de laturi, grupate în perechi, între laturile fiecărei perechi fiind dat un omeomorfism, astfel încît suprafaţa se obţine din poligon identificînd punctele, care se corespund prin aceste omeomorfisme. Conform propoziţiilor precedente şi propoziţiilor 3.6, 3.9 şi 3.10, poligonul poate fi luat cu laturi — arce analitice, iar omeomorfismele dintre laturile echivalente — analitice în fiecare punct interior unei laturi ; orientînd frontiera poligonului, aceste omeomorfisme transformă fiecare latură în latura echivalentă orientată invers. Deosebit de importantă este reprezentarea suprafeţei riemanniene închise В printr-un poligon redus la forma normală (3.11') sau (4.2). Numărul # > - 1 , care intervine în forma (3.11') este genul suprafeţei, după cum se verifică imediat, alegînd o triangulare a lui В, care să corespundă triangulării poligonului fundamental normal din figura 1 şi aplicînd formula lui Euler (1.1). Prin urmare, forma normală (3.11') corespunde Fig. i

304 Suprafeţe riemanniene

torului (discului) cu g găuri. Identificind laturile echivalente ale poligonului normal, obţinem un sistem de retrosecţiuni pe suprafaţa JR, iar secţionarea lui R în lungul lor, operaţie prin care regăsim poligonul normal, este descompunerea canonică a lui R, ([40], p. 241—242). Consecinţa 4.3. Pe baza teoremei lui Stoilow de caracterizare topologică a suprafeţelor riemanniene, am obţinut totodată reprezentarea suprafeţelor triangulabile şi orientabile, compacte, printr-un poligon, în particular printr-un poligon normal de forma (3.11') pentru genul g> 1 sau (4.2) pentru genul g = 0. într-adevăr, o suprafaţă de acest fel se poate organiza ca suprafaţă riemanniană închisă, deci îi corespunde un poligon normal. Ca şi mai sus, poligonul constituie descompunerea canonică a suprafeţei 16 ). § 5. Grupul fundamental şi grupurile de omologie ale suprafeţelor riemanniene compacte 1. Folosind reprezentarea suprafeţelor riemanniene închise cu ajutorul poligonului normal, л о т determina grupul fundamental al acestor suprafeţe. Kezultatele, pe care le vom stabili, sînt topologice şi după teorema lui Stoilow şi consecinţa 4.3, le putem formula şi demonstra pentru suprafeţe triangulabile şi orientabile, compacte. TEOREMA 5 . 1 . Grupul fundamental al unei suprafeţe şi orientabile închise R de gen g este generat de 2 g elemente care există relaţia :

(5.1)

triangulabile a2g între

a2 ar1 a21a1. . . a2g aög\1 a^1 a2g_x = 1,

dacă g^> 1, şi se reduce la elementul unitate, dacă g = 0. 1.1. Fie R o suprafaţă triangulabilă şi TJ o triangulare a ei. Numim drum poligonal al triangulării TJ, un drum obţinut prin descrierea succesivă a unui număr finit de 1-simplexe ale triangulării TJ, originea fiecăruia coincizînd cu extremitatea precedentului. Admitem că drumul nul este de asemenea drum poligonal. Notînd laturile din TJ, orientate într-un mod determinat, cu %, a 2 ,. . . , un drum poligonal l va fi un produs de drumuri l=a z ^ a** . . . ajw cu s ; = ± 1 (unde originea lui coincide cu extremitatea lui ( j = 1, . . . , N—1)) sau drumul nul. Compunerea sau produsul drumurilor poligonale se defineşte ca şi pentru drumurile continue arbitrare. 18 ) Construirea suprafeţelor triangulabile prin identificarea laturilor unui poligon este un procedeu topologic. Am folosit aici grupurile Fuchs, deoarece ne trebuia rezultatul doar pentru suprafeţe riemanniene închise. A se vedea reprezentarea prin poligoane normale a suprafeţelor orientabile sau nu, precum şi a suprafeţelor bordate în [31], Cap. II 2.100 — 2.104, Cap. V, § 1, Cap. VIII, § 1 ; [381 5 - 5 ; [45] p. 1 6 8 - 1 7 1 ; [37], Cap. VI.

Suprafeţe riusmanniene

305

Numim drum frontieră al unui triunghi din un drum poligonal închis, obţinut descriind frontiera triunghiului într-un anumit sens, plecînd dintr-unul din vîrfuri. Fiecare triunghi determină şase drumuri frontieră. PROPOZIŢIA 5 . 1 . Orice drum pe E cu extremităţile în vîrfuri din U se deformează continuu într-un drum poligonal din T,. Fie X un drum pe definit de aplicaţia / : I->i?. Luînd o diviziune suficient de fină a lui I şi folosind teorema 5.7 din Cap. I, deducem că / se deformează continuu într-o aplicaţie simplicială F : care defineşte un drum poligonal Л din cu aceleaşi extremităţi ca şi X. 1.2. Numim deformare combinatorică a unui drum poligonal al lui TJ într-un alt drum poligonal al lui 77, aplicarea de un număr finit de ori a uneia din următoarele două operaţii : (a) înserarea sau reducerea unei laturi descrisă în ambele sensuri intre două laturi succesive ale drumului. Fie l = ap . . . şi azn o latură cu originea în extremitatea lui a®i ; atunci operaţia (a) determină drumul V = az^ . . . ap\ azn a~z . . . ajw şi reciproc. Remarcăm că, operaţia (a) păstrează extremităţile drumurilor : Dacă l este un drum închis şi a aces e nN = ^ laturi nu se reduc, decît în cazul N = 2. Evident, repetînd de un număr finit de ori operaţia (a) putem insera într-un drum de laturi de forma Z = Zx Z2 între drumurile Zx şi Z2 un drum poligonal arbitrar X cu originea în extremitatea lui Z1? descris în ambele sensuri : l = Î1XX"1 Z2. (ß) înserarea sau reducerea unui drum frontieră de triunghi din Dacă l ~ 1г12 (1г sau Z2 putînd fi eventual drumul nul) şi dacă X este drum frontieră al unui triunghi din "ZJ, avînd originea în extremitatea lui Z1? atunci operaţia (ß) ne conduce la drumul Z"= Zx XZ2 şi reciproc. Aplicînd operaţiile (ß) şi (a), putem înlocui o latură ap dintr-un drum Z, care aparţine drumului frontieră al unui triunghi ap а\ъ ap prin drumul ar h a~zk, şi reciproc, un grup de astfel de laturi атч a~zk prin latura ab. Se verifică imediat că operaţiile (a) şi (ß) se pot realiza prin deformare continuă. Două drumuri poligonale, care se obţin unul din altul printr-o deformare combinatorică, se numesc combinatorie omotope11). Ele sînt evident omotope, dar are loc şi reciproc : 17 ) Se verifica imediat că omotopia combinatorică este o relaţie de echivalenţă. Se defineşte pentru fiecare vîrf P ţ R, analog cu TZ1 (R, p), grupul claselor de drumuri poligonale închise cu originea p, combinatorie omotope : 7гьс (R, p) şi, pe baza unui izomorfism permis realizat prin drumuri poligonale, grupul fundamental combinatorie тгЬ(. (R). Propoziţiile 5.1 şi 5.2 arată că 7rbc (R, p) şi 7z1 (R, p) sînt izomorfe (clasei de drumuri combinatorie omotope cu un drum poligonal închis Z cu originea p, i se asociază clasa [Z]P). Grupul 7RLTC (R. p) poate fi folosit pentru a calcula grupul тгг (R, p).

306

Suprafeţe riemanniene

PROPOZIŢIA 5 . 2 . Dacă drumul poligonal închis l este nul-omotop, atunci el este combinatorie nul-omotop. Prin definiţie (Сар. I, § 1, pet. 2), drnmnl l dat d e / : I ^ R este nulomotop, dacă există o aplicaţie continuă P : I x I - > I ? , astfel încît: a ) F (т, 0) = / ( t ) şi F (т, 1) = / (0), oricare ar fi т e l ; b) F (0, t) = = P (1, t) =f (0), oricare ar fi t g I. Fie X segmentul t = 0 din I x I, care corespunde lui Z prin P. Preimaginile prin P ale vîrfurilor lui l formează o diviziune a lui X. Să alegem o subdiviziune a ei şi o diviziune a laturei т = 0 din I x I, suficient de fine ca, ducînd paralele la laturile lui I x l prin aceste puncte, să descompunem I x l în dreptunghiuri cu proprietatea următoare : dreptunghiurile cu un vîrf comun sînt transformate de F în interiorul unei stele de triunghiuri din TT. Prin diagonale care pleacă din vîrful de coordonate (т, t) minime al fiecărui dreptunghi, triangulăm I x l . Notăm cu X' drumul obţinut din X prin punctele de diviziune considerate mai sus, cu P 0 , P 1 ? . . . , P v punctele de diviziune de pe latura т = 0, în ordinea crescătoare a ordonatelor şi cu Q0, Q19..., QN punctele de aceleaşi ordonate de pe latura т = 1. Drumul F (X') coincide cu drumul l divizat, iar F (P0PyQxQo) drumul nul redus la / (0). Folosind din nou teorema 5.7 din Cap. I, deformăm F într-o aplicaţie simplicială G, astfel încît imaginea fiecărui punct din Ixl să nu părăsească în cursul deformării simplexul în care era cuprinsă iniţial. Fie V un vîrf din X'; după cum F(V) este vîrf în l sau punct interior unei laturi a din Z, punctul G(V) coincide cu F(V) sau este extremitate a lui a. Prin urmare, o latură din X' este dusă de G într-o latură sau un vîrf al lui Z, iar Cr(X') constă din laturile lui Z descrise eventual de mai multe ori în ambele sensuri şi eventuale drumuri nule reduse la vîrfuri din Z. Eezultă astfel că 6?(X') se obţine din Z printr-un număr finit de operaţii (a). Observăm totodată că G(P0PyQNQ0) este drumul nul redus la jf(0). î n dreptunghiul I x l , drumul дХ'( = P0QQ) se deformează însă combinatorie în drumul P0PxQxQo- într-adevăr, prin operaţiile (ß) şi (a) înlocuim fiecare segment din P0Q0 cu drumul format de celelalte două laturi ale triunghiului adiacent (diagonala dreptunghiului şi latura verticală) ; înlocuim apoi diagonalele cu drumurile formate de laturile triunghiurilor adiacente de deasupra lor (latura verticală şi cea orizontală) şi reducînd cu ajutorul operaţiei (a) laturile verticale descrise în sensuri opuse, obţinem drumul Р0АФ1Ф0 ? repetînd procedeul, ajungem

la drumul

P0PAQXQO-

Fiecărui simplex din I x l îi corespunde prin G un simplex din R, astfel încît fiecărei operaţii (a) sau (ß) din I x l îi corespunde o operaţie (a) sau identitatea respectiv o operaţie (ß), o operaţie (a) sau identitatea în R. Prin urmare, drumul ö(X') deci şi drumul Z este combinatorie nul omotop.

Suprafeţe riusmanniene

307

1.3. Plecînd de 1а о triangulare a lui В se obţine о descompunere poligonală aplicînd de un număr finit de ori următoarele operaţii : I. Beducerea unei laturi astfel încît să se obţină un poligon 18). II. Beducerea unui vîrf comun numai la două laturi. într-o descompunere poligonală <Ţ> a lui В se definesc din nou drumuri poligonale şi deformări combinatorice (a) şi (ß), unde în loc de drum frontieră al unui triunghi, vom considera un drum frontieră de poligon (eventual cu două laturi) al descompunerii <Ţ>. Două drumuri de laturi din <Ţ>, care se obţin unul dintr-altul printr-o deformare combinatorică în <Ţ> (i.e. un număr finit de deformări combinatorice (a) şi (ß) în <Ţ>) se numesc combinatorie omotope în PROPOZIŢIA 5 . 3 . Să presupunem că descompunerea poligonală <Ţ>" se obţine din descompunerea poligonală <Ţ>' a lui aplicînd una din operaţiile I sau II. 1° Orice drum poligonal în <Ţ>' cu extremităţi în vîrfuri din ". 2° Orice drum poligonal din <Ţ>" nul-omotop combinatorie în <Ţ>' este nul-omotop combinatorie în <Ţ>". I. Cazul în care <Ţ>" se obţine din <ţ>' prin operaţia I : suprimarea unei laturi a comună poligoanelor Рг şi P 2 . Notăm cu l± şi Z2 drumurile poligonale din frontierele lui Р г respectiv P 2 , astfel încît aceste pob'goane să aibă drumurile frontiere alî 1 respectiv alv1. 1° Fie V un drum poligonal din ', înlocuim această latură cu drumul l\ şi obţinem astfel un drum poligonal Z" din <Ţ>". 2° Fie l" un drum poligonal din <Ţ>" combinatorie nul-omotop în <Ţ>'. Evident, l" este drum poligonal din ', drumul l" se deformează în drumul nul, să notăm cu Г 0 = Z", V19 Z' 2 ,.. ., l'r = 1 (drumul nul) drumurile poligonale din <Ţ>'9 care se deduc unul dintr-altul prin aplicarea unei singure operaţii (a) sau (ß) în <Ţ>'. Fiecărui drum 1] îi asociem, după procedeul de la punctul 1°, un drum pob'gonal V/ din <Ţ>". Punînd Ц' = Z", se verifică imediat că l"+1 se deduce din V/ prin deformări combinatorice în <Ţ>" (eventual prin identitate) ( j = 0, 1, 2,. . . , r — 1). într-adevăr, dacă l'j+1 se obţine din Z• prin operaţia (a) (respectiv (ß)), l'/+1 rezultă din V/ prin operaţii (a) (respectiv prin operaţia (ß), operaţii (a) sau identitate) Cum V/ este drumul nul, afirmaţia 2° este stabilită. 18 ) Suprafaţa formată de interiorul laturii şi de interioarele poligoanelor adiacente la ea să fie omeomorfă cu un poligon. 19 ) Considerind drumurile poligonale închise din ф cu originea într-un vîrf p a lui se poate defini un grup al claselor de drumuri combinatorie omotope în ф , iar consecinţa 5.1 de mai jos arată că acest grup este izomorf cu тих (R, p). El poate fi folosit de asemenea pentru a calcula тгх (R, p). (A se vedea procedeul general, aplicabil complexelor finite, în [37], § 44 — 46).

308

Suprafeţe riemanniene

II. Cazul în care <Ţ>" se obţine din ", deoarece с sau с~г nu mai intervin. Aceeaşi concluzie : l[ = Z" are loc, dacă în l[ nu intră b sau b - 1 . 2° Procedînd ca în cazul I, fie Z", . . , Vr = 1 drumuri ce se deduc fiecare din precedentul aplicînd o operaţie (a) sau (ß) în <Ţ>'. Asociem fiecărui drum Ц un drum poligonal V/ din ф", înlocuind latura b cu a şi latura с cu drumul nul, ori de cîte ori intervin. Verificăm apoi că V/+1 se deduce din V/ prin deformări combinatorice din <Ţ>" (eventual reduse la identitate) iar Z" = 1. Consecinţa 5.1. Fie <Ţ> o descompunere poligonală a suprafeţei В dedusă din triangular ea ^C. 1° Orice drum poligonal din TJ cu extremităţi vîrfuri ale lui <Ţ> se deformează combinatorie în TJ într-un drum poligonal din <Ţ>. 2° Orice drum poligonal din <Ţ> nul-omotop combinatorie în TJ este nul-omotop combinatorie în <Ţ>. 1.4. Cu ajutorul propoziţiilor de mai sus, putem demonstra teorema 5.1 relativă la grupul fundamental al unei suprafeţe В triangulabile, orientabile şi închise, de gen 1. Fie P un poligon normal corespunzător suprafeţei В, cu vîrfurile echivalente cu un punct p g В şi laturile două cîte două echivalente notate a3 respectiv aŢ1 (consecinţa 4.3). Presupunem laturile numeroatate astfel încît să avem drumul frontieră al lui P : (5.2)

dP = a2 ar1 aô1 аг . . . a2g a.7gh a7gx a2g_x.

Considerăm o triangulare TJ a lui В, care să fie totodată triangulare a lui P (fig. 1, § 4) ; prin urmare P constituie o descompunere poligonală a lui В dedusă din TJ. Conform propoziţiei 5.1 şi consecinţei 5.1.1°, orice drum închis cu originea p de pe В se deformează continuu într-un drum poligonal din P. Prin urmare, щ (В, p) este generat de clasele pe care, pentru prescurtare, le vom nota tot a^ Evident, între generatori are loc relaţia (5.1), deoarece drumul dP, (5.2), este nul-omotop. Să arătăm că aceasta este singura relaţie, i.e. orice relaţie (a ; ) = 1 se reduce la identitate, aplicînd relaţia (5.1) şi relaţiile banale (5.3) a} а~г = 1, aŢ1 aj = 1.

Suprafeţe riusmanniene

309

Trecînd de la clase la reprezentanţi, relaţia (a,) = 1, (de fapt = 1) n e dă drumul l = & ( a j ) nul-omotop, care este drum de laturi în P, deci şi în TJ. Conform propoziţiei 5.2 şi consecinţei 5.1.2% drumul l este combinatorie nul-omotop în P. Fie atunci Z0 = Z, Z1? Z 2 ,... r . . . , Zr = 1 (drumul nul) un şir de drumuri poligonale din P, care se obţin fiecare din precedentul prin aplicarea unei singure deformări (a) sau (ß) în P. Eelaţiile corespunzătoare Sl(a}) = (a,-), (a,), . . . <&r (a,-) = 1 se deduc fiecare din precedenta, aplicînd o relaţie (5.3) respectiv (5.2), după cum Z,41 se obţine din Z, prin operaţia (a) respectiv (ß). 2. Belativ la omologie, amintim TEOREMA 5 . 2 . O suprafaţă triangulabilă şi orientabilă, închisă R de gen g are următoarele grupuri de omologie : 1° 76° (R) şi Tti1 (R) sînt grupuri ciclice libere cu un generator. 2° 7Ô1 (R) este grupul abelian liber cu 2 g generatori. 3° 76k (R) este grupul nul pentru Jc>2. (A se vedea demonstraţia în [45], p. 91, p. 168—171 sau [38], Cap. Y). Observăm că 76° (R) este generat de clasa de omologie a unui O-ciclu format dintr-un singur O-simplex oarecare. Grupul Жг (R) este generat de clasa de omologie a 2-ciclului format de toate triunghiurile unei triangulări TJ a lui i?, orientate coerent. Drept generatori ai lui 761 (R) se pot lua clasele de omologie ale 1-ciclurilor o, corespunzătoare unei descompuneri canonice a lui R (laturi ale poligonului normal P, pct. 1.4). Acest rezultat se poate deduce şi din teorema 5.1 folosind 20) :

Grupul de omologie Ж1 (X) al unui spaţiu topologic liniar conex este izomorf cu grupul factor al grupului fundamental izx (X) prin subgrupul său comutatorial. 2.1. Oricărui drum X de pe un spaţiu topologic oarecare X dat prin aplicaţia continuă / : I->X i se poate asocia un l-lanţ singular X1, descompunînd I într-un număr finit, dar arbitrar, N de subsegmente 'a* (Jc = 1, . . ., N), notînd cu G\ l-simplexul singular definit de 'c\ şi TEOREMA 5 . 3 .

N

/ , şi luînd X1 = % Gl- Deşi X1 nu este unic determinat, clasa sa de omologie k=1 Л1 este unică, după cum rezultă din PROPOZIŢIA 5 . 4 . Dacă X0 şi Xx sînt două drumuri cu aceleaşi extremităţi, omotope şi dacă Xj respectiv X} sînt două cicle asociate lor prin procedeul de mai sus, atunci Xj şi X} sînt omologe. într-adevăr, să alegem ca preimagini ale drumurilor Xfc {Jc — O, 1} două segmente formînd laturile t = O şi t = 1 în pătratul A = Ixl reprezentat în X de aplicaţia p = F ( т, t), care dă o deformare continuă 20 ) Cu privire la legătura între grupurile de omologie şi cele de omotopie a se vedea [451,. Cap. IV, A.

310

Suprafeţe riemanniene

а lui X0 în \ (Сар. I, § 1, pct. 2). Prelungim descompunerile luate pe 'l k pentru definirea ciclelor x£ la o descompunere a lui A în triunghiuri. Orientînd în sens direct aceste triunghiuri şi reprezentîndu-le prin F în X, obţinem un 2-lanţ singular a2 cu da2 == Xj— X}. Putem defini deci o aplicaţie ф : TZ1 (X, p) -> Ж1 (X), p 6 X, asociind fiecărei clase de drumuri închise, cu originea p, omotope [X]p, clasa de 1-cicle omologe X1. Se verifică imediat că ф este un omomorfism. 2.2. Să introducem de aici înainte ipoteza că X este liniar conex şi să demonstrăm mai întîi că ф este un omomorfism surjectiv, stabilind Un l-lanţ singular A1 cu proprietatea да1 = a° — GQ, unde a° şi aJJ sînt 0-simplexe (egale sau nu), se poate scrie sub forma m ^ a 1 = 2 a), unde'S) este un l-simplex singular şi originea Ini G)+1 coin3=1 _ ' _ cide cu extremitatea lui aj, (j = 1, . . ., m — 1), originea lui a} este a° şi extremitatea lui nа,„г este a°. Fie a 1 = Yi К Şi К uumere naturale, ceea ce se poate realiza V— 1 alegînd GI CU orientarea convenabilă 21). « Yom demonstra proprietatea prin inducţie relativ la s = 2 V=1 Dacă s = 1, a 1 se reduce la. un simplex a1. 1) Dacă extremitatea lui a 1 este a°, propoziţia este verificată (originea lui a 1 este ag). 2) Dacă extremitatea lui a 1 este a? =f= a°, atunci a° = a|J şi a? este totodată originea lui a1. Considerăm un drum arbitrar X unind a° cu aï şi X1 un lanţ asociat lui X. Putem scrie a 1 = X1 + a 1 + ( — X1), ceea ce demonstrează din nou propoziţia. Presupunem că ea este adevărată pentru şi o vom demonstra pentru s = N + 1. Distingem din nou două cazuri : 1) Există printre aj un l-simplex a 1 cu extremitatea a°. Lanţul 1 oc = a 1 —a 1 îndeplineşte ipoteza inducţiei, deci se poate scrie sub forma PROPOZIŢIA 5 . 5 .

m—l

^

a 1 = Yj <*} astfel încît originea lui g\ este a°, originea lui o) + 1 este extremi _ mitatea lui G) (j = 1 , . . . , m — 2) şi extremitatea lui S1m_1 este originea m lui a1. Notînd a^ = a1, a 1 = £ a) constituie reprezentarea căutată. 3 =1 2) Nici un simplex aj nu are extremitatea a°. Atunci a° = a£. Alegem de exemplu a 1 = G\ şi notăm a? originea, GI extremitatea lui a1. Lanţul a 1 = a 1 — a1, pentru care luăm c/oc1 = <7? — G% satisface N

ipoteza inducţiei, deci se scrie ca mai sus oc1 == £ a], originea lui G\ fiind G% originea lui a} +1 fiind extremitatea lui a) (j = 1, . J\7 — 1), iar extremitatea lui G]? fiind a?. Considerăm din nou un drum X, unind a° 21

) Presupunem а 1 Ф 0, în cazul a 1 = 0 propoziţia fiind evidentă.

311

Suprafeţe riusmanniene N

cu a® şi scriem a 1 = X1 + £ a) + a 1 + (— X1), ceea ce trebuia demonii m strat. La o notare convenabilă a 1-simplexelor a 1 = £ <î). J=I

2.3. Yom arăta acum tot în ipoteza X liniar conex că nucleul omomorfismului ф este 6 (X, p), subgrupul comutatorial al lui тих (ЛГ, p). Evident, Ker ф!Эё (X, p), deoarece Ж1 (X) e comutativ. Incluziunea contrară se demonstrează în următoarele etape : 1) Dacă drumului X îi corespunde un l-ciclu X1 omolog cu 0, atunci X este omotop cu un drum fx, căruia îi corespunde fx1 = 0. n într-adevăr, există un 2-lanţ a2 = £ Jcv a* cu да2 = X1. Alegem V= 1

în fiecare a2 un vîrf pv şi unim p (originea lui X) cu pv printr-un drum Zv. Notăm sv drumul format de da* c u originea pv şi orientarea indusă de <j2. Drumul Zv sv este omotop cu zero, deci drumul [X -

X(Z 1 ^ 1 ZF 1 )- F C L . . .

(lnsnl~Tkn

este omotop cu jx, iar (x1 = 0. 2) Fie deci X un drum pentru care X1 = 0. Drumul X are o descompunere sub forma de produs de drumuri X = Xj^Xg. . . Xw, astfel încît oricare Xk are în produs suma exponenţilor 0. Vom arăta că X este omotop cu X* = Xx X, . . . хш, unde Xfc sînt drumuri închise cu originea p şi intră în produs cu suma exponenţilor 0. î n acest scop unim p cu originea lui a1c printr-un drum A/c, convenind că A1 este drumul nul şi că Ak = AhJ dacă Xfc şi \ h au aceeaşi origine. Evident, X este omotop cu X* =

(Х1Л,71)(Л2Х2Л3-1)...

(A,/TXJ.

Să arătăm că luînd \*k = Ak Xk Л^+i (h = 1, . . . , m, A m + 1 = ЛА), descompunerea X* = Xî . . . X*n satisface condiţia cerută. Pentru aceasta să remarcăm că X/c = X, implică 7*k = Xj (deoarece \ k şi Xy avînd aceeaşi origine şi aceeaşi extremitate, Л* == A; şi Л й+1 = A^.-,). De asemenea, Xk = x,"1 implică = X j 1 (fiindcă avem Ak = Л,-+1 şi Л л+1 = A?). Prin urmare, Xfc are în produs acelaşi exponent total 0 ca şi Xfc. 3) Fie deci X = Xx X2 . . . Xm un drum, astfel încît Xfc sînt drumuri închise cu originea p, avînd în produs suma exponenţilor 0 şi Xfc+1 =f= X^1 (Ic = 1, 2 , . . ., m — 1) 2 2 ). Atunci X este omotop cu un produs de comutatori. 22

) Reducerea factorilor consecutivi cu exponenţi opuşi păstrează clasa de omotopie.

312

Suprafeţe riusmanniene 312

într-adevăr, fie j primul indice pentru care Xf1 = X^ ; notînd U = = X2 . . . Хз_х şi V = X3+1 . . . XTO (dacă există), X se scrie sub forma. X=X 1 J7Xf 1 F şi este omotop cu Xx ZJXf1 Z7"1 W, unde Ж se obţine din UV suprimînd eventualii factori consecutivi cu exponenţi opuşi. Drumul W are cel mult m—2 factori şi procedeul se poate repeta. După un număr finit de etape obţinem un produs de comutatori omotop cu X. Prin urmare, Ж1 (X) ^ ^ (X, p)\& (X, V)

(5.4)

sau, aplicînd izomorfismul i v : 7их (X, p) -»TCJ(X), şi notînd cu ê (X) subgrupul comutatorial al lui (X), Tö1 (X) ^ ^ (X)/ê (X).

(5.4')

2.4. Observaţia 5.1. Fie X un spaţiu topologic liniar conex şi local simplu conex. Aplicînd propoziţia 2.7 din Cap. I, pentru subgrupul V V ^ = g (X, p) al lui 7rx (X, p), p £ X , obţinem o acoperire (X, / , X ) regulată (consecinţa 2.3, Cap. I), avînd grupul fundamental izomorf cu ê (X) (teorema 2.1, Cap. I) şi grupul transformărilor de acoperire izomorf cu 761 (X) (teorema 3.2, Cap. I). După teorema 5.3, 761 (X) = 0, deci X este prin definiţie omolog simplu conex. Această acoperire a fost introdusă de H. Weyl ([47], p. 74) în cazul X = В suprafaţă riemanniană, iar R a fost numită suprafaţa de acoperire a funcţiilor integrale. V

Capitolul III

Clase de aplicaţii omotope ale suprafeţelor riemanniene

§ 1. Caracterizarea claselor de aplicaţii continue omotope

1. Fie В şi В' două suprafeţe riemanniene. Am arătat în Cap. I că orice aplicaţie continuă (omeomorfism surjectiv) f : В -> В' induce, pentru fiecare punct p £ B, un omomorfism (izomorfism surjectiv) fv : ти1(В, p) -> щ [ B ' , f ( p ) ] (teorema 1.1), deci raportîndu-ne la grupurile fundamentale , un omomorfism (izomorfism surjectiv) F : N^B) -> TZ-^B') determinat abstracţie făcînd de un automorfism interior al lui п г (В ) (teorema 1.1'). Mai mult, clasei de aplicaţii omotope cu / îi corespunde clasa de omomorfisme echivalente cu fp respectiv clasa de omomorfisme, ce se obţin din F prin automorfismele interioare ale grupului 7гх(В ) (teoremele 5.3, 6.4 şi 5.3'"). Se defineşte astfel o aplicaţie Г de la mulţimea claselor de aplicaţii omotope : В -> В' la mulţimea claselor de omomorfisme : 7r1(JS)->7t1(JS/), ce diferă prin automorfisme interioare. 2. Yom demonstra acum, în ipoteza că B' nu este conform echivalentă cu sfera, că aplicaţia Г este injectivă, stabilind următoarea reciprocă a teoremei 5.1 din Cap. I : TEOREMA 1.1. Fie В şi B' două suprafeţe riemanniene, B' neechivalentă conform cu o sferă ; fie fk: В -> В', (le = 0, 1), două aplicaţii continue, fk: В -> В' şi Xk = Xjk : G -> G' aplicaţiile determinate de fk după teorema 5.1. Dacă există A'£G', astfel încît

У^Т)

=A'oX0(T)oA'~\

aplicaţiile fk sînt omotope. Conform relaţiei (5.4), Cap. I, avem о. = V Putem deci presupune, înlocuind Д cu A,~1ofly pe care-1 vom nota tot f19 că = Yom construi atunci o deformare continuă a lui / 0 în /iprin aplicaţii continue ft: В -> В t g I, care induc omomorfismul X0. După teorema 5.2, 3° din Cap. I, aplicaţia ft induce şi aplicaţia continuă ft: В В Yom obţine teorema 1.1, arătînd că, pentru t Ç J, aplicaţiile f formează o deformare continuă a lui / 0 în fx.

314

Suprafeţe riusmanniene 314 A

După discuţia din Cap. II, § 2, pct. 2, R este planul euclidian sau semiplanul, deci pe R avem o metrică euclidiană respectiv neeuclidiană (formula (3.1) din Cap. II). Transformările grupului G' invariază această metrică şi dreptele (euclidiene sau neeuclidiene) corespunzătoare. Fie p un punct din R. Definim ft(p), J£(0,1), ca fiind punctul de pe segmentul de dreaptă ce uneşte f0(p) cu/ 1 (p), care împarte acest segment în raportul t : 1 — t. Aplicaţia ft:R->R este continuă şi, cînd t descrie I, dă o deformare continuă a lui / 0 în Vom verifica relaţia ft [T(P)] =X0(T) [ f t (p)l (1.1) oricare ar fi T£G. Pentru t = 0 sau 1, egalitatea (1.1) este adevărată prin ipoteză. Transformarea X0( T) duce segmentul de dreaptă G : F0(P) /i(p) în segmentul de dreaptă X0(T)(G) : / 0 [ T ( p ) ] Ea transformă punctul ft(p)j care divide g în raportul t :1 — t, în punctul X0(T) [ f t (p)], care divide 7.0(T)(G) în acelaşi raport, deci X0(T) [ft(p)] coincide cu ft [T(p)l Fiecare aplicaţie ft induce omomorfismul Y.jt = /C0, prin urmare induce o aplicaţie continuă ft : R -> Rastfel încît Л ° П в = UGfo /V Cînd t descrie I, aplicaţiile ft definesc o deformare continuă a lui f0 în fx (continuitatea lui ft(p) în raport cu ambele variabile t şi p, rezultînd din continuitatea lui f t (p) şi din faptul că I1G şi П 0 , sînt omeomorfisme locale). Consecinţa 1.1. Aplicaţia Г este injectivă, dacă R' nu este conform echivalentă cu sfera. Dacă aplicaţiile continue fk : R RJc = 1, 2, induc omomorfismele Fk : n^R) -> л: 1 (R f ) din aceeaşi clasă, atunci după propoziţia 1.8 din Cap. I, oricare ar fi p Ç R, omomorfismele fkP sînt echivalente. Prin urmare, din teorema 5.4, Cap. I şi teorema 1.1 de mai sus, rezultă că f k sînt omotope x). Observaţia 1.1. Dacă R' este conform echivalentă cu sfera, teorema 1.1. nu mai este adevărată, după cum arată următorul exemplu : R şi R' sfere. f0 omeomorfism şi aplicaţia constantă. După teorema 3.1, consecinţa 2.2 şi propoziţia 2.4, care vor fi demonstrate în acest capitol, f0 nu se deformează continuu în / 1? dar G = {1} astfel încît =X le Observaţia 1.2. Fie R şi R' două suprafeţe riemanniene, R echivalentă, iar R' neechivalentă conform cu sfera. Orice aplicaţie continuă R -> R' este omotopă cu o aplicaţie constantă. Consecinţa 1.1 constituie o reciprocă a teoremei 5.3'" din Cap. 1, în condiţiile X = R, X' — Rsuprafeţe riemanniene, R' neechivalentă conform cu sfera. în aceleaşi condiţii, in raţionamentul de mai sus este stabilită şi reciproca teoremei 5.3" din Сар. I.

Clase de aplicaţii omotope ale suprafeţelor riemanniene

3. Presupunînd В şi B' suprafeţe riemanniene compacte, deduce că aplicaţia Г este surjectivă, din

315

vom

1.2. (Hopf, [24]). Fie В şi Bf două suprafeţe riemanniene compacte. Orice omomorfism F : 7г1(Р)->7г1(-К') este indus de o aplicaţie continuă f : В -> В'. Dacă В sau В' este sfera, teorema este banală, F fiind unic determinat şi indus de orice aplicaţie continuă В -> В', de exemplu de aplicaţia constantă. Vom nota cu g respectiv g' genul lui В respectiv Bf şi vom presupune : g' > 1. Fie p0 g В şi p'0 Ç B'. Să notăm cu aly. . .ya2g un sistem de drumuri închise cu originea p0, care formează o descompunere canonică a lui В, astfel încît tăind В în lungul acestor drumuri să obţinem poligonul normal P (consecinţa 4.2, Cap. II). Frontiera dP este alcătuită din laturile : a2j, aöjl-u a.^1, a2j-ly j = 1 , . . . , g, care, descrise succesiv, dau drumul nulomotop pe В : a = a2 aî1a21 аг.. .а2д_г (după formula (3.11') din Cap. II). Folosind notaţiile din Cap. I, § 1, pct. 4, formăm omomorfismul fPo = = ip> o F o iPo : т^ (_R? Po) -> щ (В', p'0). Alegem în clasa Д ( [ak]Vù) un drum 20 ak cu originea p'0 şi definim pe mulţimea U ak aplicaţia continuă / , astfel 1 încît f(p0) = p'0 şi f(ak) = ak (ak şi ak considerate ca drumuri continue). Ne propunem să extindem / la B. î n acest scop, stabilim mai întîi o aplicaţie continuă ф: P -> B', unde (&', este acoperirea universală a lui P', în modul următor : Dacă p 0 este punctul din P origine a lui a2, iar p0 este un punct din Пё/(К)> b ă m ф (£0) = p'0. Pe ЭР deducem ф din / prin compunere cu aplicaţia obţinută ridicînd a' = f(a) din p0 prin drumul ă'2). Deoarece a' este nul-omotop, â' se închide (teorema 2.1, 2°, Cap. II), deci ф este o aplicaţie continuă univocă a lui ЭР în B'. O A O Fie p £ P şi p ţ B ' ; h o reprezentare conformă a lui P pe cercul unitate с : < 1, prelungită topologic la P, prin care h(p) = 0 ; g aplicaţia continuă a lui с în B', cu #(0) = p , care transformă prin отоtetie raza 0 Ç, | Ç j = 1, în segmentul (euclidian sau nu, după cum g' = 1 sau > 1) de extremităţi p şi ф° h ( din В' ; definim ф = g oh. Luînd f(p) =П 6 .,[ф (p)], pentru orice p g В — a şi p punctul coreso punzător lui p din P, obţinem o aplicaţie continuă / :B J?', care induce omomorfismul fPo, deci pe F. Observaţia 1.3. Dacă A' este un automorfism interior al lui 77г(В'), iar F un omomorfism : тс^В) —> тu1(JK/), indus de o aplicaţie continuă TEOREMA

2 ) După proccdeul de transport al drumurilor descris în Cap. I, pct. 2.1, aplicaţia ПQt stabileşte un omeomorfism între â' şi a'.

316

Suprafeţe riusmanniene 316

f:B-+ В', teorema 1.2 arată că orice omomorfism Fx = A' o F este indus de o aplicaţie continuă ft :B B' şi din teorema 1.1 rezultă fx omotop cu / , (evident, presupunînd satisfăcute condiţiile relative la В şi B' de aplicare a acestor teoreme). Observaţia 1.4. Teoremele 1.1 şi 1.2 arată că clasele de aplicaţii omotope ale unei suprafeţe riemanniene compacte В în suprafaţa riemanniană compactă B' de gen g' > - 1 sînt caracterizate prin clasele de omomorfisme ale grupurilor fundamentale induse de aceste aplicaţii. î n cazul cînd g' — 0, caracterizarea acestor clase a fost dată de L. J. Brouwer, şi va fi prezentată în §3, teoremele 3.1 şi 3.2, folosind în acest scop noţiunea de grad, pe care o vom defini în §2. 4. Consecinţa 1.2. Aplicînd din nou teorema lui S. Stoilow de caracterizare topologică a suprafeţelor riemanniene, rezultatele din acest paragraf iau forma următoare : Fie В şi B' suprafeţe triangulabile şi orientabile. Fiecărei clase de aplicaţii continue omotope f :B -> B' i se asociază clasa de omomorfisme ce se obţin dintr-un omomorfism F : щ{В) -> it^B'), indus de f după teorema 1.1', Cap. I, prin automorfisme interioare ale grupului -x^B'). Această corespondenţă, pe care o notăm Г, este injectivă dacă B' nu este omeomorfă cu sfera şi surjectivă, dacă В şi B' sînt compacte. Teorema 1.1 rămîne adevărată în ipoteza : В şi B' suprafeţe triangulabile şi orientabile, B' neomomorfă cu o sferă. Teorema 1.2 (Hopf) se păstrează pentru В şi B' suprafeţe triangulabile, orientabile, compacte. Analog se extind şi celelalte observaţii. § 2. Gradul unei aplicaţii continue

î n teoria lui Teichmüller intervin clasele de omotopie ale omeomorfismelor В -> В', unde -К şi -К' sînt suprafeţe riemanniene. Pentru a preciza rezultatele din paragraful precedent în acest caz, vom demonstra după H. Seifert [36] o formulă a lui H. Kneser [26]. î n acest scop, grupăm în paragraful de faţă mai multe rezultate auxiliare. Noţiunile, propoziţiile şi demonstraţiile pe care le vom întîlni în §§ 2—5 ale acestui capitol au caracter topologic (exceptînd observaţia 2.1 şi diferitele ei aplicaţii). De aceea le vom da în formularea lor obişnuită, pentru suprafeţe triangulabile şi orientabile, în genere compacte. Ele vor fi însă aplicate în teoria lui Teichmüller pentru suprafeţe riemanniene. 1. Acoperiri triangular e. Fie В şi B' două suprafeţe triangulabile. Alături de acoperirile simpliciale (Cap. I, § 5, pct. 5.3), vom aprofunda în cazul acesta particular de complexe, un nou tip special de acoperire : Acoperirea (В, / , В') se numeşte triangulară, dacă există triangulări convenabile TJ pe В şi TJ' pe В', astfel încît fiecare triunghi din TJ să fie reprezentat topologic de / pe un triunghi din TJ'.

Clase de aplicaţii omotope ale suprafeţelor riemanniene

317

Seifert distinge următoarele trei tipuri de acoperiri triangulare <22,/, 22'): I. Acoperirea este neramificată ( / este omeomorfism local). II. Acoperirea este ramificată, dar / este o transformare interioară. III. Acoperirea prezintă cute : două triunghiuri adiacente abc şi abd din TJ sînt proiectate d e / p e s t e acelaşi triunghi a'V c' din TJ', astfel încît acoperirea prezintă o cută peste latura a'V. Observaţia 2.1. Pe orice suprafaţă triangulabilă şi orientabilă В se poate introduce o metrică cu curbură constantă. După teorema lui Stoilow, pe В se poate defini o structură conformă. Folosind procedeul dezvoltat în observaţia 4.1 din Cap. I, pe В se poate introduce O metrică cu ajutorul aceleia de ре^Д. Această metrică va fi iperbolică, euclidiană sau sferică, după cum В este semiplanul, planul euclidian sau sfera. PROPOZIŢIA 2 . 1 . (Kneser). Fie fk: В - > В' (Ic = 0 , 1 ) două aplicaţii continue. Presupunem suprafaţa B' înzestrată cu o metrică cu curbură constantă. Dacă distanţa între punctele f0(p) şi f±(p) este mai mică decît un număr s > 0 suficient de mic, oricare ar fi p £ B, atunci /0 şi fx sînt omotope. Să unim f0(p) şi Л(р) rectiliniu în metrica considerată şi să definim ft astfel încît ft(p) să descompună segmentul / 0 (p)/i(p) î n raportul t : l—t,

t € [0,1].

PROPOZIŢIA 2 . 2 . Orice aplicaţie continuă se deformează într-o aplicaţie corespunzătoare unei acoperiri triangulare 3). Să considerăm o aplicaţie continuă f :B -> В', să înzestrăm B' cu o metrică de curbură constantă şi să luăm pe В o triangulare suficient de fină (Cap. I, pct. 5.2). Un triunghi de vîrfuri a, b, с din В este reprezentat prin / pe un triunghi singular de vîrfuri a', b', c'. Punctele a', b', c' determină un triunghi geodezic pe B'. Dacă acest triunghi este degenerat într-un segment sau într-un punct, vom alege un vîrf nou respectiv două vîrfuri noi, suficient de apropiate de poziţia iniţială, dar astfel încît să avem un triunghi geodezic nedegenerat. Păstrăm pentru vîrfuri notaţia a', b', c' şi construim o aplicaţie continuă ф, care reprezintă topologic fiecare triunghi abc pe triunghiul a'b'c'. Pe В avem un număr finit de triunghiuri A,(j = 1 , . . . , N) şi notăm Л' triunghiurile geodezice de vîrfuri corespunzătoare ; reprezentăm topologic Ax pe Ai, prelungim reprezentarea la triunghiurile A, adiacente cu A1? astfel încît omeomorfismele să coincidă pe laturile comune şi repetăm procedeul ( [40], p. 211). Cum triangulares lui В este oricît de fină şi imaginile vîrfurilor acestei triangulări prin / respectiv ф sînt oricît de apropiate vrem, pentru orice p g В, distanţa între f(p) şi ф(р) va fi mai mică decît un număr s > 0 arbitrar luat ; deci, după propoziţia 2.1, aplicaţiile ф şi / sînt omotope. Pe de altă parte, acoperirea (В, ф, В') este triangulară. Triunghiurile a'b'c' nu for3

) Propoziţia 2.2 este analogă teoremei 5.7 din САР. I.

318

Suprafeţe riusmanniene 318

mează în general o triangulare a lui В', dar cum laturile lor sînt geodezice, au un număr finit de puncte de intersecţie şi la o subdiviziune convenabilă a acestor triunghiuri în triunghiuri a'ß'y'? putem construi o triangulare a lui В', în care a'ß'y' să fie triunghiuri. Transportăm această diviziune prin ф pe В, deoarece ф este un omeomorfism al fiecărui triunghi abc pe a'b'c' şi obţinem o triangulare a lui В, astfel încît fiecare triunghi aßy al ei este reprezentat topologic de ф pe un triunghi a'ß'y' al triangulării lui Bf. 2. Gradul unei aplicaţii continue. Fie В şi B' suprafeţe triangulabile şi orientabile, compacte, iar / o aplicaţie continuă a lui В în B'. Conform teoremei 5.5 din Cap. I, / induce un omomorfism între grupurile de omologie 2-dimensionale : Ф2 : 7ö2 (В) -> 762 (B'), iar după teorema 5.2 din Cap. I, grupurile 762{B) şi 762 (Bf) sînt ciclice libere, generate de exemplu de y2 respectiv y'2, unde y2 şi y'2 sînt 2-ciclele formate de triunghiurile unei triangulări a lui В respectiv В', orientate coerent. Alegînd o orientare pe В şi В', să presupunem triunghiurile din y 2 şi y'2 orientate cu orientarea indusă. Omomorfismul cp2 determină atunci univoc şi este complet determinat de întregul с pentru care : (2.1)

2 Ф

(у2) = с у'2

întreg numit gradul aplicaţiei f (Brouwer [16]). Din teorema 5.6, Cap. I, rezultă Consecinţa 2.1. Două aplicaţii continue omotope : В -> В' au acelaşi grad. Observaţia 2.2. î n cazul cînd / este o aplicaţie simplicială, gradul с primeşte următoarea interpretare : Deoarece 2-lanţurile de 2-simplexe ale unei triangulări a unei suprafeţe sînt omologe, atunci şi numai atunci cînd coincid (singurul 2-ciclu frontieră fiind ciclul nul), relaţia (2.1) devine, cu notaţia de la teorema 5.5, Cap. I, (2.2)

Ф2 (у2) = с у'2.

într-un 2-simplex G 2 din y'2 se transformă c+ 2-simplexe din y2 cu păstrarea şi c_ 2-simplexe cu schimbarea orientării şi avem : (2.3)

с = c+ — c_.

Eezultatul se păstrează în cazul cînd / determină o acoperire triangulară : Ф2(у2) este acum un 2-ciclu singular, dar peste fiecare a'2 se proiectează topologic c+ respectiv simplexe a2 din y2 cu păstrarea respectiv schimbarea orientării. Aceste simplexe /(a 2 ) nu mai sînt în genere egale cu±(7 /2 , dar sînt omologe singular cu el astfel încît с y'2 este omolog singular cu un lanţ al triangulării lui В î n care a'2 intră cu coeficientul c+—c_ ; cele două lanţuri sînt omologe şi în triangularea lui Вdeci ca mai sus с = c+ —

Clase de aplicaţii omotope ale suprafeţelor

riemanniene

319

PROPOZIŢIA 2 . 3 . Fie R, R' şi R" suprafeţe triangulabile, orientate şi compacte, iar f :R -> R' respectiv /' :R' -> R" două aplicaţii continue de grade с şi c'. Gradul aplicaţiei f'°f este cc'. într-adevăr, păstrînd n o t a r e de mai sus, să însemnăm en y" 2 clasa care generează Ж 2 (Р") şi cn cp'2 omomorfismul : 762 (P') -> Ж2 (P") indus d e / ' ş i să observăm c u / ' о / i n d u c e omomorfismul Ф'2°Ф2 :Я52(Р)->Я52(Р"). Putem scrie atunci (2.4) cp'2 о ф2(у2) - cc' y"2.

Consecinţa 2.2. Un omeomorfism

surjectiv

f : R -> R' are gradul

+1 sau —1.

Deoarece f~1of = iR şi are gradul 1, notînd cu с respectiv c* gradele aplicaţiilor / şi / _ 1 , din (2.4) deducem cc* = 1 deci с = ± 1 4). Evident, o aplicaţie continuă R-+R omotopă cu 1B are gradul 1. PROPOZIŢIA 2 . 4 . O aplicaţie continuă f : R -> P ' , care se poate deforma într-o aplicaţie continuă, nesurjectivă, arc gradul 0. Fie / х : R R' o aplicaţie continuă, nesurjectivă, omotopă cu / , şi p'0£R' — /i(P). Să alegem o triangulare a lui P', avînd Po c a ŞÎ suficient de fină ca steaua cu vîrful să nu intersecteze / Х (Р) (ceea ce este posibil, după propoziţia 5.8 din Cap. I). Să deformăm / х într-o aplicaţie simplicială / 2 , astfel încît oricare ar fi p£R, punctul f2(p) să aparţină simplexului de dimensiune minimă, care conţine pe / x (p), după teorema 5.7 din Cap. I. Un triunghi din steaua cu vîrful p'0 nu va fi acoperit de nici un triunghi din R prin aplicaţia / 2 , deci formula (2.3) arată că gradul lui / 2 este 0. Observaţia 2.3. Noţiunea de grad al unei aplicaţii continue Kn -> K'n se defineşte în acelaşi mod cînd K n şi K , n sînt complexe simpliciale orientate cu proprietatea că grupurile lor de omologie ^-dimensională Ж" ( Kn ) respectiv 76n{K'n ) sînt grupuri ciclice libere, generate de clasele yn şi yw ale lanţurilor formate de w-simplexele descompunerii cu orientarea indusă 5). î n particular, definiţia se păstrează în cazul aplicaţiilor continue a unei n-sfere într-o n-sferă. (Numim n-sferă Sn respectiv (n + l)-bulă n+l Bn + 1 imaginea topologică unei sfere Ş] xf = R respectiv a interiorului 3=1 П+1

unei sfere Ş] xj < R din spaţiul euclidian Fn+1

(n > 0). Bula 0-dimen-

9=1

sională este redusă la un punct. Grupul 7ôn(Sn) este izomorf cu Z ([45], p. 131)). îndată ce putem defini gradul с al unei aplicaţii continue K n -> K , n prin formula analogă cu (2.1), фп(уп) = с y'n, propoziţiile 2.3 şi 2.4, consecinţele 2.1 şi 2.2, observaţia 2.2 în partea relativă la aplicaţii simpliciale se păstrează împreună cu demonstraţiile lor. 4

) Omeomorfismele f pentru care с = 1 se numesc omeomorfisme care păstrează orientarea. ) De exemplu, pentru pseudovarietăţi (în particular, varietăţi) închise, orientabile [37], § 78. A se vedea şi definiţia gradului cu ajutorul coomologiei, [25], p. 77. 5

Suprafefe riemonniene

320

§ 3. Teorema lui Brouwer

1. Consacram acest paragraf claselor de aplicaţii continue, omotope R R', unde R este o suprafaţă triangulabilă şi orientabilă închisă oarecare, iar R' o sferă 6). Presupunem R şi R' orientate, astfel încît fiecărei clase de aplicaţii continue omotope R -> R' i se asociază univoc gradul aplicaţiilor, după consecinţa 2.1. TEOREMA 3.1. (Brouwer, [17]). Dacă R şi R' sînt sfere, două aplicaţii continue R-+R' sînt omotope atunci şi numai atunci cînd au acelaşi grad. î n demonstraţie vom folosi rezultatul corespunzător din cazul aplicaţiilor continue ale unei curbe jordaniene într-o curbă jordaniană şi cum trecerea de la dimensiunea 1 la dimensiunea 2 este analogă cu cea de la n—l la щ ( [ 2 8 ] , p. 1 3 2 ) , vom prezenta cazul general: TEOREMA 3 . 1 ' . (H. Hopf, [ 2 3 ] ) . Condiţia necesară şi suficientă pentru ca două aplicaţii f şi g ale sferei n-dimensionale Sn în sfera n-dimensională S'n să fie omotope, este ca f şi g să aibă acelaşi grad 7). Presupunem că / şi g au acelaşi grad şi demonstrăm teorema 3.1' prin inducţie după n. Cazul n = 1. Fie S1 şi S'1 date prin \z\ = 1 respectiv \z'\ = 1 în planul complex şi £ variabila pe dreapta reală Ег. Notăm cp : Ег -> S1 aplicaţia exponenţială (3.1)
Orice aplicaţie continuă f : S1 -> S'1 este omotopă cu o aplicaţie f* : S -> pentru care /(1) = 1. într-adevăr, dacă 0 este un număr real, astfel încît
ф

(*» «0 6 I X S 1 . S' de grad с se c deformează continuu în aplicaţia oc : z = z'. Putem presupune /(1) = 1 şi asocia lui / aplicaţia F : I -> E19 F( = (*> *> =

= —— In [/(e2" luînd ramura In care pentru Ç = 0 dă valoarea 0 8). 27zi Evident, F( 1) = m este un întreg. Aplicaţiei <рте i se asociază astfel = Deformăm F în Фт prin m « = a - WW + 1 ф * u ) , (t, D e i x i 6 ) Convenim sa numim în acest paragraf sferă — o suprafaţă omeomorfă cu sfera euclidiană 2-dimensională. (A se vedea observaţia 2.3). 7 ) Evident, sferele se 2ni presupun orientate. 8 ) Aplicaţia z' = f (e ^) defineşte un drum pe S' 1 , iar F (E) constituie ridicarea lui din punctul 0 pe acoperirea universală (Ev
Clase de aplicaţii omotope ale suprafeţelor riemanniene

321

z şi prin procedeul invers, ф (J, z) = e 27TiT ('• )deformează/ în
Teorema 3.1' rezultă acum imediat pentru n = 1. OazwZ general. Yom presupune teorema 3.1' demonstrată pentru n—l şi vom stabili unele propoziţii auxiliare. 1°. O aplicaţie continuă / : Bn -> B,n, unde Bn şi P' n sînt bule w-dimensionale, avînd ca frontieră sferele respectiv $' n _ 1 , se numeşte n_1 - 1 regulată, dacă / ( $ ) с Г . Dacă / este o aplicaţie regulată, notăm cu care este o aplicaţie continuă : 8 n ~ 1 -> Două aplicaţii continue regulate / şi g de la Bn în B'n se numesc regulat omotope, dacă se pot deforma continuu una în alta prin aplicaţii regulate. Prin urmare, Ф : I x Bn -> B'n realizează o deformare regulată a lui / în g, atunci cînd Ф* = Ф|1Х£«-1 deformează /* în g^ ; în acest caz, лют spune că Ф extinde omotopia Ф*. PROPOZIŢIA 3.3. Dacă / , g, S'n, omotopă cu identitatea, care pentru orice punct Q g 8'п~г duce arcul de cerc mare QA în punctul A şi A transformă orice punct P din arcul de cerc mare A'Q în punctul P, care ®) Din nou pentru z = 1 se ia iniţial In 1 = 0 ; aplicaţia In este univoc determinată pe S 1 — {1}, pe care îl transformă în intervalul (0, 1) ; prin continuitate obţinem după un ocol al cercului în sens direct, valoarea In 1 = 2nit dar ф (t, 1) — 1 în ambele cazuri (z = 1 luat cu argumentul 0 şi cu argumentul 277).

322

Suprafeţe riusmanniene 322

împarte semicercul.mare A'QA în acelaşi raport, în care P împarte A'Q. Evident, / este omotopă cu ß o fy iar ß o f aplică în punctul A toate puncta tele, pe care / nu le aplică în ©n. Numim parte esenţială a lui / , mulţimea / _ 1 (®n). Fief şi g două aplicaţii continue 8n -> S'n cu aceeaşi parte esenţială care constă dintr-un număr finit de n-bule Bj, astfel încît a) dacă B1- şi Bl, j =f= h, se intersectează, atunci ele au numai puncte frontieră comune şi b) notînd f j = f\ßf şi gj = д\в^ aplicaţiile f , şi gj : B'j &n sînt regulate. Atunci omotopia regulată a aplicaţiilor /,• şi gjy pentru fiecare j, implică omotopia lui f cu g. Prin ipoteză, există omotopiile regulate Ф, : I x Bnj -> &n. Definim deformarea Ф : I x Sn -> S'n a lui ß of în ß o g, punînd : Ф ß ° Ф^ pentru fiecare j şi Ф | fX (s w - и Jв?) — aplicaţia constantă cu valoarea A. j Eezultă că / şi g sînt omotope. PROPOZIŢIA 3 . 4 .

PROPOZIŢIA 3 . 5 . Bacă partea esenţială a lui f cuprinde O n-bulă By, astfel încît /3 este omotopă regulat cu aplicaţia constantă, atunci f se poate deforma într-o aplicaţie f , pentru care B7- nu intră în partea esenţială. Fie / ' : Sn S'n, aplicaţia constant egală cu A pe BJ şi egală cu ß ° / p e 8n — B^. Dacă 9 : 1 x Bf dă o deformare regulată a lui în aplicaţia constant egală cu Q, unde Q este un punct din atunci

ßo ф pe Ix\B] n ßo / pe I x (8 —Bf) deformează ß o / în /'. 3°. Presupunem Sn înzestrată cu o descompunere simplicială şi notăm cu K n complexul simplicial corespunzător. n PROPOZIŢIA 3.6. Orice aplicaţie simplicială f:S -> S'n este omotopă cu o aplicaţia / , avînd următoarea proprietate : Dacă gradul с al lui f este nenul, partea esenţială a lui f constă din |c| n-simplexe a? din Kn, alese arbitrar, fiecare reprezentat topologic de f pe ©w, cu păstrarea respectiv schimbarea orientării, după cum с > 0 sau < 0. Dacă с = 0, / nu are parte esenţială, deci ß of = A şi f este omotopă cu aplicaţia constantă. Fie GУ n-simplexele din Kn aplicate de f pe ®n şi numerotate astfel încît primele c+ acopăr &n cu păstrarea, iar celelalte c_ cu schimbarea orientării. După observaţia 2.2, avem c_ = c. Să presupunem că ambele numere c+ şi c_ sînt nenule. (Dacă unul dintre ele, cel puţin, este nul, propoziţia este verificată).

323

Clase de aplicaţii omotope ale suprafeţelor riemanniene

Să notăm cu 8""1 sfera frontieră a lui pq. Aplicaţia / ° a reprezintă topologic Щ pe ©n cu păstrarea sau schimbarea orientării, după cum acţiona / asupra lui
A

10 ) De exemplu, prin omotopie deplasăm bulele în simplexele a' n şi a" n deduse din a' n respectiv a"n prin omotetie cu centrul într-un punct p ^ a * - 1 . Fie f* aplicaţia obţinută din /" şi d un domeniu convex din S n , care include bn =
A

O rază din p taie d(a'n

A

A

^

U a" n ) în p, dbn în p şi dd în p*. Definim omeomorfismul a* : Sn -» Sr* ^

A

.—.

Л.

care invariază exteriorul lui d şi transformă liniar p* p în p* p, iar pp în pp, si f">

=

f*

o

luăn*

324

Suprafeţe riusmanniene 324

numerele c+ sau nul. Dacă с ф О pentru a obţine / , înlocuim prin omotopie bulele din partea esenţială a lui fN cu |c| n-simplexe, pe care le putem alege arbitrar din Kn, iar dacă с = 0, luăm / = fN. 4°. Fie acum / şi <7 două aplicaţii continue Sn cu acelaşi grad c. Dacă descompunerea simplicială corespunzătoare lui Kn este suficient de fină, putem deforma / şi g în aplicaţii simpliciale după teorema 5.7 din Cap. I şi păstrăm notaţia f şi g pentru aplicaţiile obţinute. După propoziţia 3.6 putem înlocui/ şi g cu aplicaţiile omotope / respectiv g, avînd în partea esenţială aceleaşi simplexe a? şi reprezentînd topologic a? pe ©n cu păstrarea orientării pentru toţi indicii i sau cu schimbarea orientării pentru toţi indicii i. Condiţiile a) şi b) din propoziţia 3.4 sînt îndeplinite. (Aplicaţiile f ы şi gu au acelaşi grad, deci sînt omotope prin inducţie, iar f { şi дг sînt regulat omotope după propoziţia 3.3). Propoziţia 3.4 implică atunci omotopia lui / cu g. î n cazul с = 0, / şi g sînt evident omotope. Observaţia 3.1. Se arată că pentru orice întreg с există o aplicaţie Sn <-S'n de grad c. î n cazul 2-dimensional, un exemplu îl constituie aplicaţia S' , cu aceleaşi părţi esenţiale Вsatisfăcînd condiţiile a) şi b) din propoziţia 3.4, omotopia regulată a aplicaţiilor / , şi g^ pentru fiecare j, implică omotopia permisă a lui f în g. Dacă f este o aplicaţie permisă An -> Sn\ iar partea ei esenţială cuprinde bula В" astfel încît fi să fie regulat omotopă cu, aplicaţia constantă, atunci f este permis omotopă cu o aplicaţie permisă /', care nu cuprinde BJ în partea esenţială. PROPOZIŢIA 3 . 5 ' .

PROPOZIŢIA 3 . 6 ' . O aplicaţie simplicială, permisă f este permis omotopă cu o aplicaţie permisă f cu proprietatea din enunţul propoziţiei 3.6, с fiind egal cu diferenţa dintre numărul simplexelor din Kn reprezentate de f pe @n cu păstrarea orientării şi numărul celor reprezentate cu schimbarea orientării. Simplexele a? din Kn sînt alese de data aceasta arbitrar în Дп, dacă с ф 0, iar f este permis omotopă cu aplicaţia constantă, dacă с — 0. 3. TEOREMA 3.2. (Brouwer, [17]). Condiţia necesară şi suficientă pentru ca două aplicaţii continue fk (h = 0,1) ale unei suprafeţe triangu-

Clase de aplicaţii omotope ale suprafeţelor riemanniene

325

labile şi orientabile, închise R în sfera R' sä fie omotope este ca ele să aibe acelaşi grad. Ca şi în teorema 3.1', presnpnnem că R' = S'2 este o sferă euclidiană, orientată şi triangulată astfel încît complexul corespunzător K' 2 să aibe vîrfurile A, A0, Аг, A2, punctele Aj aflîndu-se într-un plan ortogonal diametrului AA', 1-simplexele AAj fiind arce de cerc mare, iar frontiera 2-simplexului ©2 fiind cercul АгА2Аг. Presupunem suprafaţa R de gen g > 1 orientată şi alegem un punct aţR. Prin compunere cu o rotaţie a sferei de exemplu, putem înlocui fk cu aplicaţii omotope, care transformă a m A. Luăm pe R o descompunere canonică prin care a trece în vîrfurile poligonului P cu 4g laturi, grupate în perechi echivalente, asociat lui R. Considerăm, de asemenea, pe R o triangulare corespunzătoare acestei descompuneri şi suficient de fină pentru ca prin omotopie să putem înlocui aplicaţiile noastre prin aplicaţii simpliciale R -> P', pe care le notăm tot fk. Triangularea determină pe poligonul P un complex К2, iar aplicaţiilor fk le corespund aplicaţiile Fk: P -> P', care duc puncte echivalente din dP în acelaşi punct din R' (în particular, vîrfurile lui P în punctul A). Orice aplicaţie continuă F : P -> P', care duce puncte echivalente din dP în acelaşi punct din R' se ridică la o aplicaţie / : R -> R' şi va fi numită admisă. Pentru a demonstra că fkJ despre care presupunem că au acelaşi grad c, sînt omotope, va fi suficient să arătăm că Fk sînt omotope printr-o omotopie I x P -> R' realizată de aplicaţii admise, pe care o vom numi omotopie admisă. Aplicaţiile simpliciale Fk acopăr ©2 cu ck+ + triunghiuri dinüi 2 , unde ck+ — ck_ = c. Ele sînt omotope respectiv cu aplicaţiile Gk = ß °Fk, unde ß este definit ca la punctul 1.2°, iar omotopia este admisă. Triunghiurile din К2, care nu erau cuprinse în partea esenţială a lui FkJ şi în particular ЭР, sînt transformate de Gk în punctul A. Fiecare triunghi a2 din partea esenţială a lui Fk este reprezentant de Gk pe R' : frontiera — în punctul A, iar interiorul — topologic pe R'—A. Preimaginea 1-simplexelor din K' 2 şi alte trei 1-simplexe descompun G2 în şapte 2-simplexe : a2 complet interior lui a2 şi transformat topologic de Gk pe @2, a'-1 adiacente la cîte o latură a lui a2 şi a/ 2 adiacente la cîte o latură a lui a2 (j = 1, 2, 3). Obţinem astfel din К2 complexul К2. Deformăm Gk într-o aplicaţie simplicială : P P', care coincide cu Gk pe triunghiurile lui K 2 nemodificate (în particular pe dP) şi pe triunghiurile a2, reprezintă topologic A'2 pe triunghiurile Ok{aj2\Jaj'2) şi aplică G'-2 pe 1-simplexe AAhj(hj = 0, 1 sau 2). Această omotopie este de asemenea admisă, deoarece după teorema 5.7 din Cap. I, putem efectua deformarea astfel încît imaginea fiecărui punct să rămînă în timpul deformării în simplexul de dimensiune minimă din PL'2, în care se găsea iniţial, în particular imaginea lui dP să rămînă mereu punctul A. Aplicaţiile Гк acopăr ® 2 tot cu ck+ triunghiuri din К2 reprezentate topologic cu păstrarea orientării şi cu ck_ triunghiuri din К 2 reprezentate topologic cu schimbarea orientării. După

326

Suprafeţe riusmanniene 326

propoziţia 3.6', n ) putem înlocui printr-o omotopie admisă cu o aplicaţie I\. : P B' astfel încît, dacă с =f= 0, Гк (Ic = 0, 1) să aibă aceeaşi parte o esenţială, formată din |с | triunghiuri din К2 şi din P, fiecare reprezentat topologic cu păstrarea sau schimbarea orientării după semnul lui с ; iar dacă с = 0, Tfcsă fie omotope admis cu aplicaţia constantă. î n cazul с =f= 0, procedînd ca la punctul 1.4°, dar aplicînd propoziţia 3.4', rezultă că Гк (Ic = 0, 1) sînt omotope admis. Observaţia 3.2. Teorema 3.2 a fost extinsă şi ea de Hopf la cazul aplicaţiilor continue ale varietăţilor orientabile, închise n-dimensionale în sfera n-dimensională [23]. Există şi în acest caz corespondenţa biunivocă între clasele de omotopie caracterizate prin grad şi Z. Astfel în cazul 2-dimensional pentru a forma o aplicaţie de grad 1 este suficient o să luăm pe В un disc mic A, să aplicăm topologic A pe B' — A şi să o transformăm В — A în A. O aplicaţie de grad с se obţine, compunînd aplicaţia de mai sus cu o aplicaţie de grad с a lui B' în B'. § A Rela'ia lui Kneser între gen şi gradul aplicaţiei

1. TEOREMA 4.1. (Kneser). Fie В şi B' două suprafeţe triangulabile, orientabile şi închise de gen g ^ 1 respectiv g', pe care le presupunem orientate. Dacă f : В -> В' este o aplicaţie continuă de grad с, atunci (4.1)

g -

1 >

\ c \

(g' - 1 ) .

Pentru g = 0, relaţia (4.1) nu este adevărată, deoarece putem avea с = 0, de exemplu în cazul cînd / aplică pe В într-un punct din B'. Cum pentru g' = 0, relaţia este banală, vom presupune g şi g' > 1. Evident (4.1) este echivalentă cu inegalitatea (4.1')

p > \c\ o',

unde p = 2 (g — 1) şi p' = 2(g'— 1) sînt caracteristicile lui Euler ale suprafeţelor В şi В' (Cap. II, §1, pct. 2, (1.1') ). Conform observaţiilor de mai sus, vom presupune p şi p' > 0. Seifert stabileşte relaţia (4.1') pentru acoperiri triangulare ; aplicînd apoi propoziţia 2.2 şi consecinţa 2.1, deduce (4.1') pentru o aplicaţie continuă oarecare. î n cazul acoperirilor triangulare de primele două tipuri (§2, pct. 1), / este o transformare interioară, deci (22', / , B) este o acoperire totală cu n foi ([40], p. 216). Luînd triangulări convenabile ' T ş i f pe В şi B' (astfel încît în cazul tipului II punctele de ramificare se află printre n

) O aplicaţie (omolopie) permisă in sensul definiţiei de la pct. 2, este evident admisă.

Clase de aplicaţii omotope ale suprafeţelor riemanniene

327

vîrfurile din U'), orice triunghi din T,' este acoperit de n triunghiuri cu aceeaşi orientare din 'C, astfel încît după formula (2.3) avem |c| — n. Pe de altă parte, formula lui Hurwitz ([40], p. 216) ne dă p =

np' +

r,

unde r este suma ordinelor punctelor de ramificare. Prin urmare, (4.2)

P > |C| P',

egalitatea avînd loc atunci şi numai atunci cînd acoperirea este de tipul I 12 ). Pentru a demonstra inegalitatea (4.1'), în cazul unei acoperiri de tipul III, vom admite acoperiri triangulare (В, / , В'), pe care le vom numi generale, considerînd şi cazul în care В este o reuniune finită de suprafeţe triangulate şi orientate, închise В i9 (i = 1 , . . . , m ) , de caracteristici pi > 0, sau eventual cazul В = 0. Fiecare (Bi9 f |B , B') este, prin ipoteză, o acoperire triangulară. JSTotăm cu c{ gradul acestei acoperiri, care pentru orice triunghi A' g ^C' este egal cu diferenţa dintre numărul triunghiurilor de pe В i9 care acoperă A' cu aceeaşi orientare ca A' şi numărul celor care-1 acoperă cu orientarea opusă (observaţia 2.1). După formula lui Euler şi relaţia (2.3) putem scrie pentru В m m (4.3) P = S P, Şi c = г=1 i=1 Evident, dacă В este conex, p şi с coincid cu caracteristica şi gradul definite iniţial. Dacă acoperirea (JB, / , B') nu are cute, fiecare dintre acoperirile (E,-, f\BV B') este de tipul I sau II, astfel încît conform (4.2) putem scrie Pi > \Ci \ p' şi conform (4.3) deducem (4.1'). î n cele ce urmează, vom considera o acoperire de tipul III generală — cu В neconex — şi vom arăta că prin „tăieturi" succesive obţinem o acoperire generală de tipul I sau II, căreia i se aplică formula (4.1'). Procedeul „tăieturilor", pe care îl descriem mai jos, poate conduce însă la triangulări care nu satisfac condiţia 2) din definiţia triangulării (Cap. II, §1, pct. 2). De aceea vom admite pe В triangulări, care verifică condiţiile 1) şi 3) ale acestei definiţii şi pentru care intersecţia a două 12 ) Se observă că pentru acoperiri, care se pot deforma în acoperiri de tipul I sau II, inegalitatea (4.2) este adevărată oricare ar fi p. Este necesar să considerăm însă şi acoperiri de tipul III, deoarece există acoperiri care nu se pot deforma în acoperiri de tipul I sau II. Iată un exemplu : fie g = 2, = 1, у o curbă Jordan care descompune R în doi torţi Rx şi i?2, iar f o aplicaţie care duce R1 într-un punct £ R' şi reprezintă R2 omeomorf pe R' — {pf0}. Deoarece la o orientare convenabilă a lui R şi a lui R' obţinem с = 1, dacă f s-ar deforma într-o acoperire de tipul I sau II, am avea n = 1 şi R ar fi omeomorf cu R% ceea ce este absurd.

328

Suprafeţe riusmanniene 328

triunghiuri poate fi mulţimea vidă ; un vîrf ; o latură, dar şi o latură şi un vîrf ; sau două laturi 13 ). Printr-o subdiviziune baricentrică se trece imediat de la o astfel de triangulare la o triangulare obişnuită fără a schimba pe p. Evident, с rămîne de asemenea neschimbat. La o numerotare convenabilă a suprafeţelor putem presupune că (Bm, f\Em, P') este o acoperire de tipul III. Dacă (P m , f\Rm, B') prezintă o cută peste latura А'В', pe care se proiectează latura AB comună triunghiurilor ABC + şi ABC_ din distingem următoarele trei posibilităţi, pentru descrierea cărora folosim notaţiile laturilor AC+ = b+, BC+ = a+9 AC_ = şi PO_ = : 1) C+ şi 0_ sînt puncte diferite din P. 2) Triunghiurile ABC+ şi ABC_ au în comun pe lîngă AB încă o pereche de laturi, de exemplu a+ = a_. Evident, atunci C+ = С _ = С. 3) C+ = С_ = С, dar a+ =f= a_ şi b+ =f= b_. î n cazul 1), tăiem din Bm triunghiurile ABC+ şi ABC_ în lungul curbei Jordan AC+ В С_ A şi lipim bordurile rămase în Bm : a+ cu a_ respectiv b+ cu b_. Prin această operaţie, Bm se înlocuieşte printr-o suprafaţă Bm9 care are tot caracteristica pm şi care acoperă cu cute B. Gradul acestei acoperiri este cm9 deoarece s-a scos un triunghi orientat pozitiv şi un triunghi orientat negativ de pe А' В' С'. î n cazul 2), tăiem cele două triunghiuri ABC din Bm în lungul curbei Jordan formate de b+ şi b_ şi apoi, lipind bordurile b+ şi b_ rămase, obţinem o suprafaţă Bm. Din nou pw şi cm nu se schimbă. î n cazul 3) tăiem Bm în lungul curbei Jordan formate de a+ şi a_, lipim cu a_ atît pe bordul stîng cît şi pe bordul drept şi obţinem cazul 2). Procedînd ca mai sus tăiem cele două triunghiuri ABC şi lipim b+ cu b__. Obţinem Rm formată din una sau două suprafeţe închise. Evident, cm == cm9 dar pw = pm — 2 (deoarece lipind a+ şi s-au pierdut două laturi). Dacă Rm este formată din două suprafeţe, nu se poate ca ambele să fie sfere 14), căci am avea pw = — 4 şi pw = — 2, ceea ce ar contrazice ipoteza. Există deci două posibilităţi : _ 3.1) Rm nu cuprinde nici o sferă. Atunci notăm Bm = Rm şi pw = = Pm S m ~ Cm_ 3.2) Rm cuprinde o sferă, pe care o lăsăm de o parte şi notăm cu Bm suprafaţa rămasă (dacă Rm avusese două componente) respectiv 0 (dacă Rm fusese o sferă). Avem p w = p + 2 = pmşiem = cmJ deoarece sfera care a fost îndepărtată realiza o acoperire de __ grad m0. —l ^ Prin acest procedeu, din В obţinem В = U -B» U ^m? avînd un număr mai mic de triunghiuri decît В şi pentru care p 13

p, iar с = с.

) Două triunghiuri nu pot avea toate laturile comune, deoarece am presupus că R nu este omeomorfă cu sfera. 14 ) Pentru prescurtarea expunerii, vom scrie şi în acest paragraf sferă în loc de suprafaţă omeomorfă cu sfera.

Clase de aplicaţii omotope ale suprafeţelor riemanniene

329

Dacă acoperirea realizată de R are cute, repetăm din nou procedeul şi după un număr finit de etape vom ajunge la R*, care determină o acoperire fără cute sau se reduce la 0 şi pentru care p* <; p, pe cînd c* = c. Pentru R*, inegalitatea (4.1') este adevărată : p* > \c*\ p', de unde rezultă p >- \c\p' pentru R. 2. Cazul egalităţii în relaţia lui Kneser. Am văzut mai sus că pentru o acoperire (R, / , JS'), care se poate deforma într-o acoperire neramificată (i.e. / se poate deforma într-un omeomorfism local : R R'), avem p = = |c| p' şi e =f= 0. Vom demonstra acum reciproc TEOREMA (4.4)

4.2.

O aplicaţie continuă f : R-^R', P

=

pentru care

M P '

si с =f= 0, unde p şi p' sînt caracteristicile lui R şi R', iar с gradul lui / , se poate deforma într-o aplicaţie, care realizează o acoperire neramificată. Dacă p' = — 2, egalitatea (4.4) şi ipoteza с =f= 0 implică p = — 2 şi с = ± 1 ; prin urmare, f este o aplicaţie continuă a sferei în sferă cu gradul с = ± 1 , iar după teorema 3.1 (Brouwer) şi consecinţa 2.2, ea se poate deforma într-un omeomorfism. Acelaşi caz apare, dacă p = — 2. Eămîne deci să demonstrăm teorema pentru p şi p' >- 0. Conform propoziţiei 2.2, putem presupune că (JS, / , R') este o acoperire triangulară. Dacă această acoperire nu prezintă cute, ea este neramificată, deoarece pentru acoperirile de tipul II inegalitatea (4.1') este strictă. Vom considera deci cazul în care (JS, / , Rf) prezintă cute. Prin deformare vom înlătura aceste cute şi vom obţine o acoperire triangulară fără cute, care satisface (4.4), deci o acoperire neramificată. a) Dacă A'B'C' este un triunghi din R' şi peste А'В' se proiectează o cută AB de tipul 1) din demonstraţia teoremei 4.1, comună triunghiurilor ABC+ şi ABC_, delimităm pe R o bandă îngustă adiacentă la drumul format de laturile AC+ şi 0+ В şi una adiacentă la drumul format de BC_ şi C_A .Deformînd ABC+ respectiv ABC_ în banda corespunzătoare (astfel încît mijlocul M al lui AB să fie aşezat peste C' la sfîrşitul deformării, fig. 2) obţinem o acoperire pentru care suprafaţa de acoperire are două triunghiuri mai puţin.

Fig. 2

Suprafeţe riusmanniene 330

330

ß) Dacă peste A'B' se proiectează o cută AB de tipul 2), deci dacă şi peste B'C se proiectează cuta BC, iar AB şi BC sînt laturi comune la două triunghiuri ABC, prin deformarea celor două triunghiuri într-o bandă adiacentă la respectiv b_ (fig. 3) obţinem o suprafaţă de acoperire cu două triunghiuri mai puţin. A-8

С

С Fig. 3

y) Dacă peste A'B' se proiectează o cută 4 £ de tipul 3), atunci acoperirea prezintă cel puţin o cută de tipul 1) sau 2). Pentru a stabili această afirmaţie vom demonstra mai întîi că curba Jordan formată de a + şi delimitează pe В un domeniu simplu conex, într-adevăr, am văzut că tăind В în lungul acestei curbe şi lipind apoi atît cele două borduri stingi cît şi cele drepte se obţine R formată dintr-o suprafaţă sau din două suprafeţe, dar pentru care p = p — 2 şi care determină o acoperire cu с = с. Eelaţia (4.4) implică p < \c\ p', deci R nu satisface inegalitatea lui Kneser. Aceasta este posibil numai în următoarele cazuri : 3.1°) R este o sferă sau 3.2°) R constă dintr-o sferă şi din altă suprafaţă. Primul caz se exclude deoarece R acoperind o suprafaţă B' cu gen > - 1 , с ar fi 0 după observaţia 1.2 (formulată topologic ca la pct. 4, § 2) şi propoziţia 2.4, în timp ce prin ipoteză с =f= 0 : Prin urmare, R are două componente dintre care una este o sferă, deci curba formată de a+ şi a_ taie un domeniu Jordan _D de pe В. Deoarece gradul acoperirii determinată de sfera din R este 0, conform observaţiei 1.2, iar acoperirea determinată de D are acelaşi grad, orientînd triunghiurile din В cu orientarea indusă de triunghiurile acoperite din P', există în _D triunghiuri orientate opus şi există o latură A1B1 interioară lui _D (exceptînd una dintre extremităţi) la care sînt .adiacente două astfel de triunghiuri. Sau А г В г determină o cută de tipul 1) sau 2) şi afirmaţia este demonstrată, sau cele două triunghiuri adiacente la АгВг au şi vîrful opus Сл comun. Bepetînd raţionamentul de

Clase de aplicaţii omotope ale suprafeţelor riemanniene

331

mai sus, deducem că ele închid un domeniu Jordan D1С D, care ca şi D conţine o cută, dar are numărul triunghiurilor cel puţin cu două unităţi mai mic decît D (fig. 4). â

С Fig. 4

După un număr finit de etape, vom ajunge la un domeniu DN care prezintă numai cute de tipul 1) sau 2). Am demonstrat astfel că orice acoperire triangulară cu cute, are cel puţin o cută de aceste tipuri. Deformînd prin procedeele a) şi ß) indicate mai sus, cutele de tipul 1) sau 2), obţinem suprafeţe de acoperire cu un număr tot mai mic de triunghiuri, dar care satisfac mereu relaţia (4.4), astfel încît după un număr finit de operaţii, găsim o acoperire triangulară neramificată. Consecinţa 4.1. Fie В o suprafaţă triangulabilă, orientabilă, închisă. Orice aplicaţie continuă В JS, de grad с = ± 1, se poate deforma într-un omeomorfism. într-adevăr, dacă suprafaţa are genul > - 1 , din demonstraţia de mai sus rezultă că aplicaţia se deformează într-o aplicaţie triangulară cu n = 1, deci un omeomorfism, iar dacă suprafaţa este o sferă, afirmaţia rezultă din teorema 3.1 şi consecinţa 2.2, după cum am observat la începutul demonstraţiei teoremei 4.2. § 5. Caracterizarea claselor de omeomorfisme omotope

1. Să presupunem că В şi B' sînt suprafeţe triangulabile şi orientabile, omeomorfe. Atunci printre aplicaţiile continue В ->- B' se pot considera şi omeomorfisme surjective. Dacă f este un astfel de omeomorfism surjectiv, putem forma atît clasa {/} a tuturor aplicaţiilor con-

332

Suprafeţe riusmanniene 332

tinue omotope eu / cît şi submulţimea ei, clasa [ / ] a omeomorfismelor omotope cu / . Prin aplicaţia Г definită în § 1, clasei {/} îi corespunde clasa izomorfismelor surjective : 7r1(JS) тг^ JS'), obţinute din izomorfismul F (indus de / după teorema 1.1' din Cap. I) prin compunere cu automorfisme interioare ale lui щ(В'). Corespondenţa Г restrînsă la aceste clase {/} (de aplicaţii continue omotope cu omeomorfisme) sau corespondenţa Г indusă de Г asupra claselor [/] este injectivă, dacă В şi Br nu sînt omeomorfe cu sfera (consecinţa 1.1). Dacă В şi Bf sînt omeomorf e cu sfera, există două clase de omeomorfisme omotope între ele (cele care păstrează orientarea şi cele care o schimbă, avînd gradul + 1 respectiv —1, cînd se orientează В şi B') şi un singur izomorfism n1(B)-^n1(B') (consecinţa 2.2 şi teorema 3.1). Yom completa aceste rezultate, demonstrînd că în ipoteza că В şi B' sînt compacte, Г este surjectivă : TEOREMA 5 . 1 (Dehn, Nielsen, Acta Math., 5 0 ( 1 9 2 7 ) ) . Fie В şi В' două suprafeţe triangulabile şi orientabile, închise. Orice izomorfism surjectiv F : n^B) n^B') este indus, abstracţie făcînd de un automorfism interior al lui TC^JS'), de un omeomorfism surjectiv f : В В'. După teorema lui Hopf (consecinţa 1.2), există o aplicaţie continuă / j :B E', care induce F şi o aplicaţie continuă f2: B' E, care induce F'1. Cum f2°fi induce 1„i(R), rezultă din raţionamentul dezvoltat la demonstraţia consecinţei 1.1, că / 2 ° / i este omotopă cu 1 E , deci orientînd В şi В', după consecinţa 2.1 şi propoziţia 2.3, produsul gradelor l u i / x şi f2 este 1 sau gradul lui este ± 1- Pentru acoperirea (В, / , В') are loc egalitatea lui Kneser (4.4), prin urmare din consecinţa 4.1 deducem c ă / i se deformează continuu într-un omeomorfism/ şi după teorema 5.3'", din Cap. I, / induce pe F (pînă la un automorfism interior al lui ^(JS') ). 2. Identificînd В cu JS', rezultatele de mai sus admit următoarea interpretare : Să notăm cu (2, O şi 3 : monoidul unitar al aplicaţiilor continue ale lui В în В, grupul omeomorfismelor surjective ale lui В pe В şi subgrupul său normal format de omeomorfismele surjective omotope cu 1R (luate relativ la operaţia de compunere a aplicaţiilor). Fie (Q relaţia de omotopie în в şi restricţia ei la O. Evident, Q\
Clase de aplicaţii omotope ale suprafeţelor riemanniene

333

automorfisme ale lui 7r1(JS), determinate de automorfismele interioare,15) dacă g > 0 şi de grad, dacă g = 0. 3. Consecinţa 5.1. Fie R o suprafaţă triangulabilă şi orientabilă, închisă, de gen g > 0. Fiind dat un automorfism x: G (?, unde G este grupul transformărilor de acoperire pentru (R, П е , R), prin izomorfismul AÖ.P? P € (Cap. I, §4, pct. 2) şi după propoziţia 1.7 din Cap. I, i se asociază un automorfism surjectiv F : ^(JS) it^R). Aplicînd teorema 5.1, deducem că există un omeomorfism surject f :R R, care induce x sensul teoremei 5.1 din cap. I. 4. Evident, rezultatele din acest paragraf se aplică suprafeţelor riemanniene compacte, dar au fost formulate în cadrul topologic, deoarece nici în demonstraţia lor nu intervenea structura conformă. § 6. Suprafaţa riemanniană canonică

1. Vom reveni acum la cadrul suprafeţelor riemanniene, deşi după teorema lui Stoilow, definiţiile şi rezultatele de la punctele 1—3 din acest paragraf sînt valabile pentru suprafeţe triangulabile şi orientabile, compacte de gen > 1, deoarece aceste noţiuni şi propoziţii se aplică îndeosebi în teoria lui Teichmüller. î n cazul g = 0 definiţiile nu au sens. Fie R o suprafaţă riemanniană închisă de gen g > - 1 . Numim mulţime standard de generatori (după Bers) sau sistem canonic de generatori (după Ahlfors) în punctul p £ R o mulţime ordonată a = (a1? a 2 , . . . , a 2 g ) de elemente din n^R, p), care generează TT^JS, p) şi satisfac unica relaţie o (6.1) П ( а 2 / а27-1 ^y1 a 2 ;-i) = h 7=1

unde s-a notat cu 1 clasa de drumuri nul-omotope din TT^JS, p). Descompunerea canonică a suprafeţei R asigură, după cum am văzut în Cap. II, § 4, pct. 3 existenţa sistemelor canonice de generatori. Definim în mulţimea sistemelor canonice de generatori ai suprafeţei R următoarea relaţie de echivalenţă : două sisteme a în p şi b = = •• î n Q. sfot echivalente, dacă există un izomorfism permis o : n^R, p) tz^Rj q)j astfel încît
) O astfel de clasă de automorfisme se numeşte automorfism exterior, ([6], p. 122).

334

Suprafeţe riusmanniene 334

PROPOZIŢIA 6.1. O suprafaţă riemanniană canonică poate fi definită şi ca asocierea între o suprafaţă R şi o clasă de descompuneri canonice echivalente ale lui Rj unde prin descompuneri canonice echivalente înţelegem două descompuneri care se obţin una din alta printr-un omeomorfism surjectiv f : R -> P, omotop cu 1 R . 1°. Orice descompunere canonică d determină un poligon fundamental şi un sistem canonic de generatori a. Fie d* o descompunere echivalentă cu d prin omeomorfismul f şi a* sistemul canonic corespunzător. Să demonstrăm că a este echivalent cu a* : Cum / este un omeomorfism surjectiv omotop cu 1RJ din teoremele 1.1,4° şi 5.3", Cap. I, rezultă că fp este un izomorfism surjectiv echivalent cu lni(R,V). Există deci izomorfismele permise со şi со* generate de drumurile ypp şi y*f{V)V astfel încît diagrama

să fie comutativă. Prin ipoteză fp(a) = a*, iar din această diagramă rezultă fp(a) = со* о с о - 1 (a) = со х (а), unde am notat cu cox izomorfismul permis generat de drumul y*(p)p y pp . Prin urmare, S fiind o clasă de descompuneri canonice echivalente pe P, lui (P, 8) îi putem asocia univoc (P, а), а fiind clasa sistemului canonic de generatori corespunzător unei descompuneri din 8. 2'°. Eeciproc, în orice clasă а există un sistem canonic de generatori а determinat printr-o descompunere canonică : Fie d o descompunere canonică arbitrară a lui R şi ă = (a1?. . ., ă2g) sistemul canonic de generatori ai lui тт^Р, p) corespunzător. Dacă а* = (а*, . . ., a*lg) este un sistem canonic de generatori din clasa a, avem automorfismul 9 al lui тг^Р, p) determinat prin condiţia : <р(а) = a*. După teorema 5.1 există omeomorfismul Ф al lui P pe el însuşi, astfel încît Фр să fie echivalent cu cp. Să notăm cu d descompunerea canonică dedusă din d prin Ф. Sistemul canonic de generatori а corespunzător lui d aparţine clasei а. 2 //0 . Fie а şi a* două sisteme canonice echivalente, care corespund la descompunerile canonice d respectiv d*, cu poligoane normale P şi P*. Există izomorfismul permis со : ^ ( P , p) -кг (P, q) cu proprietatea co(a) = a*. Construim un omeomorfism surjectiv : dP -> 3P*, care duce fiecare aîn со (%) astfel încît puncte echivalente de pe dP să se transforme în puncte echivalente de pe ЭР*. Prelungim acest omeomorfism la omeomorfism surjectiv : P -> P,* care induce prin identificarea punctelor echivalente un omeomorfism surjectiv / : P P. Deoarece fp = со,

Clase de aplicaţii omotope ale suprafeţelor riemanniene 335

deducem imediat că fp este echivalent cu l*l{RtPi. După consecinţa l.lf omeomorfismul/, care transformă d în d*, este omotop cu 1д. 16) 2. Fie R' o suprafaţă riemanniană omeomorfă cu R. Un omeomorfism surjectiv f :R -> R' se numeşte reprezentare a lui (R, a) pe (R', a') şi se notează (R, a) -> (R% a'), dacă există un punct p£Rj astfel încît fp să transforme un sistem canonic de generatori din a într-un sistem canonic de generatori din a'. Observaţia 6.1. Definiţia dată nu depinde de punctul p luat pe R şi nici de sistemul din a. Să presupunem că pentru un sistem a =(av.. .r « J S a , cu a5 Ç n^Rj p) 17) avem fp(a) = (/*(%),. . / „ ( a ^ ) ) Ça', să considerăm un alt sistem b = (6 1 ? .. .,b2g) Ç a, cu b^iz^R, q) şi să arătăm că fq(b) = (f^b^j . . . , fqibzg)) g a'. Prin ipoteză există izomorfismul permis. G>0 : 7TJ (JS, p)->^i(R,q) pentru care CO0(a) = b. Pe de altă parte, după teorema 1.1, 2° din Cap. I, fp şi / a sînt echivalente, deci există izomorfismele permise n1(R, q). Luînd
= (to'c/.ooo- 1 )^) - co'[/ p (a)], deci / e (6)€

Observaţia de mai sus permite să introducem următoarea notaţie : Fie / un omeomorfism surjectiv : R -> R' şi a o clasă de sisteme canonice echivalente pe R. Luînd un punct p arbitrar din R şi a un sistem canonic de generatori ai lui ^(J?, p), vom nota /(a) clasa formată pe R' de sistemele canonice echivalente cu fp(a). Oricare ar fi omeomorfismul surjectiv f :R -> R' şi suprafaţa riemanniană canonică (R, a), putem deci scrie / : (R, a) -> (R% /(a) ). Fie / o reprezentare a lui (E, a) pe a'). După c u m / : R Rr păstrează sau schimbă orientarea, spunem că suprafeţele riemanniene canonice (R, a) şi (R', a') aw aceiaşi orientare sau orientări opuse. 3. Noţiunea de suprafaţă riemanniană canonică prezintă o importanţă deosebită în studiul claselor de omotopie ale omeomorfismelor lui R pe R', datorită următoarelor teoreme : 16 ) Folosind TCj (Д) o clasă de sisteme canonice de generatori echivalente devine o clasă de sisteme canonice de generatori ai lui (i?), echivalente în sensul că se obţin unul dintr-altul printr-un automorfism interior (propoziţia 1.6 din Сар. I). 17 ) Peste tot In această demonstraţie j = 1, . . 2 g .

336

Suprafeţe riusmanniene 336

TEOREMA 6 . 1 . Omeomorfismele f şi h ale suprafeţei riemanniene închise В de gen g ]> 1 pe suprafaţa riemanniană B' sînt omotope, dacă si numai dacă, a fiind o clasă de sisteme canonice echivalente pe В, avem /(a) = Л(а). 1°. într-adevăr, dacă /(а) = fe(a), iar a este nn sistem canonic de generatori ai grupului n^B, p) din clasa a, atunci fv(a) şi hp(a) sînt echivalente, deci există izomorfismul permis со' : ^ [ P ' , f(p)] -> щ[В', Цр)] pentru care hp(a) = to'cfp(a). Cum a formează un sistem de generatori ai grupului Tt^Bj p), deducem hp = со'ofPJ deci hp şi fp sînt echivalente, iar consecinţa 1.1 arată că h şi f sînt omotope. 2°. Beciproc, dacă / şi й sînt omotope, după teorema 5.3" din Cap. I, fp şi hp sînt echivalente oricare ar fi p 6 -ß? deci există izomorfismele permise со şi со', astfel încît hp = c o ' o / p o со -1 . Fie a un sistem canonic de generatori ai lui тг^Р, p) din clasa a. Atunci co_1(a)Ç a, deci/ p [co _ 1 (a)]g/(a) şi hp(a), care se obţine din fp[со prin izomorfismul permis с*/, aparţine de asemenea lui f (a). Prin urmare fe(a) = f(а).

Teorema 6.1 se putea formula şi astfel : Dată reprezentarea f : (P, а ) - > (P', a'), omeomorfismul surjectiv h :P->P' este omotop cu f dacă şi numai dacă h : (P, а ) - ^ ( Р ' , а'). TEOREMA 6 . 2 . Fie В şi B' două suprafeţe riemanniene compacte de acelaşi gen g 1, iar OL şi OL' două clase de sisteme canonice echivalente pe В respectiv B'. Există o reprezentare f : (P, а) -> (P', а'). Conform teoremei 5.1, notînd cu p şi p' un punct arbitrar din P respectiv P', cu a şi a' un sistem canonic de generatori ai lui ^ ( P , p) din clasa a, respectiv al lui тг^Р', p') din clasa a' şi cu 9 : щ(В, p)-> тс^Р', p') izomorfismul definit prin condiţia 9(a) = a', deducem că există un omeomorfism / , astfel încît fp şi 9 să fie echivalente. Din raţionamentul dezvoltat la punctul 2° al teoremei 6.1, rezultă a t u n c i / ( а ) = а'. Consecinţa 6.1. Fie P şi B' suprafeţe riemanniene de acelaşi gen g > - 1 . Teoremele 6.1 şi 6.2 arată că, alegînd o clasă de sisteme canonice echivalente а pe В şi fixînd astfel suprafaţa canonică (P, a), există o bijecţie între clasele de omeomorfisme surjective omotope P - > P ' şi suprafeţele canonice (P', а'). într-adevăr, putem asocia clasei unui omeomorfism / : В -> В' suprafaţa canonică (P', /(а)). 4. Dacă (P, a) şi (P', a') sînt două suprafeţe riemanniene compacte canonice, numim reprezentare conformă a lui (P, а) pe (P', а') o reprezentare / : (P, а) (P', a'), astfel încît / este aplicaţie conformă a lui P pe P'. î n multe probleme de teoria funcţiilor se consideră identice două suprafeţe riemanniene conform echivalente. î n cele ce urmează, vom identifica două suprafeţe riemanniene canonice (В, а) şi (P', a') dacă există o reprezentare conformă : (В, а) (P', а').

337

Clase de aplicaţii omotope ale suprafeţelor riemanniene A

Fie В o suprafaţă riemanniană de tip iperbolic, В = TJ suprafaţa ei de acoperire universală şi G grupul Fuchs al transformărilor de acoperire. Un omeomorfism surjectiv / : В В se numeşte compatibil cu grupul 6r, dacă grupul G'=f G f '1 este format din reprezentări conforme. Evident, G' este un grup discret, fără punct fix, prin urmare el constituie grupul transformărilor de acoperire pentru (В, П 0 ,, B'=B/G'), după propoziţia 2.3 din Cap. II. Consideraţii analoge au loc în cazul cînd В este de tip parabolic cu deosebirea că В este conform echivalent cu planul euclidian. î n virtutea propoziţiei 5.3 din Cap. I, dacă omeomorfismul surjectiv / : В В este compatibil cu 6?, el induce omeomorfismul surjectiv f : В —> B' şi reciproc, dacă / induce / , / e compatibil cu G. Omeomorfismele / şi / sînt simultan reprezentări conforme, UG şi UG- fiind local reprezentări conforme, i a r / e s t e o reprezentare conformă (В, a) a)) unde (B, a) este o suprafaţă riemanniană canonică, dacă В şi B' sînt compacte. Putem formula astfel Л

A

6.2. Suprafeţele riemanniene В = B/G şi Вf = B/G' de acelaşi tip sînt conform echivalente, atunci şi numai atunci cînd subgrupurile G şi G' sînt conjugate în grupul H al reprezentărilor conforme ale lui В pe В. PROPOZIŢIA

Capitolul

IV

Reprezentări cvasiconforme

§ 1. Propoziţii auxiliare

1. Pentru rezolvarea problemei clasificării suprafeţelor riemanniene topologic — dar nu conform — echivalente, Teichmüller foloseşte reprezentările cvasiconforme şi diferenţialele pătratice. î n acest paragraf prezentăm pe scurt definiţia reprezentărilor cvasiconforme şi proprietăţile necesare pentru studierea reprezentărilor Teichmüller şi demonstrarea teoremelor fundamentale din Cap. Y, bazîndu-ne pe expunerea dezvoltată în lucrarea [9]. Fie G un domeniu din planul г şi Q un număr real, Q > - 1 . Yom numi reprezentare Q-cvasiconformă a domeniului G un omeomorfism w = = w(z) al lui G în planul w, care păstrează orientarea şi verifică următoarea inegalitate a lui Grötzsch : oricare ar fi patrulaterul P din 6?, de modul Ж, dacă M* este modulul patrulaterului P* =ю(Р), atunci M* < QM. !)

(1.1)

Dacă în problema considerată valoarea constantei Q nu prezintă importanţă, vom folosi pentru w = w(z) denumirea de reprezentare cvasieonformă. Se demonstrează că a.p. 2) în G omeomorfismul w(z) este diferenţiabil (în sensul Stolz-Fréchet) şi are iacobian Jw/z (z) 4= 0. ([9], Cap. III, teorema 2.1 şi propoziţia 1.2). г ) Numim patrulater un domeniu jordanian pe frontiera căruia s-au distins patru puncte — vîrfurile. Din punct de vedere conform, un patrulater este caracterizat printr-un singur invariant : modulul său, care este egal cu raportul laturilor unui dreptunghi conform echivalent cu el (a se vedea [9], p. 239). Pe lingă această definiţie geometrică datorită lui A. Pfluger şi L. V. Ahlfors, se pot da şi alte definiţii echivalente : definiţia lui M. A. Lavrentiev dezvoltată de B.V. Şabat, L. I. Volkovîskii, I. N. Peşin, definiţia analitică a lui G. B. Morrey, L. Bers, R. Cacciopoli, precum şi definiţia luată ca punct de plecare de I. N. Vekua, L. Bers şi alţii, după care reprezentările cvasiconforme sînt soluţii generalizate ale ecuaţiei Beltrami ([9], Cap. II). 2 ) Vom folosi prescurtarea a.p. pentru aproape pretutindeni, i.e. cu excepţia unei mulţimi de măsură Lebesgue nulă. Integralele ce intervin în lucrare sînt de asemenea luate în sensul lui Lebesgue.

Reprezentări cvasiconforme

339-

într-пп astfel de punct z de diferenţiabilitate cu ia-cobian nenul, w(z) transformă în cercuri infinitezimale cu centrul în w(z) elipse infinitezimale cu centrul în 2, raportul axelor p (z), 1 p (z) <; Q şi, în ipoteza p(z) > 1, argumentul axei mari —0(2?), 0 -< 0(г) < 7t, (p(z) se numeşte şi citul de dilatare). î n punctul z, (1.2) w? = [i (z) wz, unde (1.2')

=

p+ 1

se numeşte dilatare complexă sau coeficient Beltrami. ([9], Cap. II, § 1). Funcţia (x {z) este definită a.p. în 6?, măsurabilă şi mărginită 0 < | (x | < q = = ^

< 1, iar w(z) este soluţia generalizată a ecuaţiei Beltrami (1.2).

Dacă w(z) este diferenţiabilă în z notînd cu (\ U) iz} Dşw(z) = lim —— — = (wx (z) cos cp + wy (z) sin cp) е~гф p->0 lt z' — Z z' -2 = pe ? derivata lui w(z) pe direcţia 9, are loc inegalitatea, luată ca punct de plecare în definiţia analitică a cvasiconformităţii, ([9], Cap. II, (1.27)) max 11)ф w (z) |2 < Q Jwlz (z).

(1.3)

Dilatarea 11>ф w {z) | este maximă pentru 9 = 6 + -^- şi minimă pentru cp = 0( [9], Cap. II, (1.8) ). O reprezentare cvasiconformă este un omeomorfism Beppo-Levi, i.e. absolut continuu liniar şi cu derivate parţiale local 2-sumabüe în G ([9], Cap. I, § 2, pct. 4, şi Cap. III, propoziţia 1.1). Ea este măsurabilă şi oricare ar fi mulţimea măsurabilă E a G, măsura mulţimii w (E) este (1.4)

m [w(E)] = ^ Jw/z (z) dx dy

([9], Cap. III, propoziţia 1.2 şi Cap. I, teorema 2.3). 2. Amintim următoarele proprietăţi ale reprezentărilor cvasiconforme, pe care le vom aplica, în cele ce urmează : 2.1. Proprietăţi

relative la compunerea reprezentărilor

cvasiconforme

PROPOZIŢIA 1 . 1 . Inversa unei reprezentări Q-cvasiconforme reprezentare Q-cvasiconformă, ([9], Cap. III, propoziţia 3.2).

este o

PROPOZIŢIA 1 . 2 . Compunînd o reprezentaare Q-cvasiconformă cu o reprezentare Q'-cvasiconformă se obţine o reprezentare Q Q'-cvasiconformă

Suprafeţe riusmanniene 340

340

<[9], Cap. III, propoziţia 3.6). Deoarece reprezentările conforme coincid cu reprezentările 1-cvasiconforme ([9], Cap. III, teorema 3.1), PRM compunerea unei reprezentări Q-cvasiconforme cu o reprezentare conformă sau a unei reprezentări conforme cu una Q-cvasiconformă se obţine tot o reprezentare cvasiconformă. Mai mult, dacă w(z) este o reprezentare Q-cvasiconformă a domeniului G, soluţie generalizată a ecuaţiei Beltrami (1.2), iar ca = <ù(w) <este o reprezentare conformă a lui w(G), atunci oÙ[W(Z)'] este o reprezentare -Q-cvasiconformă a lui G, soluţie generalizată a aceleiaşi ecuaţii Beltrami. Beciproc, orice reprezentare Q-cvasiconformă a lui G, care verifică în sens generalizat ecuaţia Beltrami (1.2) este de forma CÙ[W(Z)], unde oÙ(W) este 0 reprezentare conformă a lui w(G) ([9], Cap. III, propoziţia 3.6"). 2.2. Teoreme de existenţă şi unicitate TEOREMA 1 . 1 . (Teorema de existenţă a Ini M . A . Lavrentiev) Dată în domeniul G o funcţie (x (z) măsurabilă şi care verifică inegalitatea | (x (z) \ <; < G < 1, există o reprezentare Q-cvasiconformă w = w(z) a lui G, avînd a.p. în G dilatarea complexă (х(г) (i.e. soluţie generalizată a ecuaţiei Beltrami (1.2)), pentru Q = :LlbJZ? si w(z) esfe determinată pînă la o repre1-q zentare conformă ([9], p. 290). De aici rezultă : TEOREMA 1 . 2 . (Teorema lui Eiemann pentru reprezentări Ç-cvasiconforme). Dacă G şi G* sînt două domenii simplu conexe, conform echivalente, iar (л(г) este o funcţie definită în G cu proprietăţile de mai sus, atunci există o reprezentare Q-cvasiconformă a lui G pe G*, soluţie generalizată a unei ecuaţii Beltrami (1.2) ([9], p. 291). Dacă G şi G* sînt domenii jordaniene, reprezentarea se extinde la un omeomorfism al lui G pe G* ([9], Cap. IV, § 1) şi este unic determinată cerînd să se corespundă sau trei perechi de puncte frontieră sau o pereche de puncte interioare şi o pereche de puncte frontieră respectiv cîte o direcţie prin punctele interioare ([9], Cap. VI, § 6).

2.3. Propoziţii conforme

relative la convergenţa şirurilor de reprezentări cvasi-

PROPOZIŢIA 1 . 3 . Dacă un şir de reprezentări Q-cvasiconforme w = = wn (z) ale unui domeniu G converge uniform local în G la un omeomorfism w =w(z) al lui G, atunci w (z) este reprezentare Q-cvasiconformă, ([9], Cap. III, propoziţia 3.5).

Fie [in(z) un şir de funcţii măsurabile în G, cu 1 t*n (s) I ^ Ï < astfel încît [in(z) (x (z) a.p. în G. Dacă wn(z) sînt reprezentări cvasiconforme ale domeniului G cu dilatarea complexă [Ln (z) a.p. în G şi dacă şirul wn (z) converge uniform local în G la un omeomorfism PROPOZIŢIA 1 . 4 .

Reprezentări cvasiconforme

341-

w(z), atunci w(z) este o reprezentare cvasiconformă a lui G cu dilatarea complexă [X(£) a.p. în G ([9], Cap. VI, propoziţia 3.1). PROPOZIŢIA 1 . 5 . Fie w = wn (z) un şir de reprezentări Q-cvasiconforme : (\z\ < 1) — (\w\ < 1) cu wn(0) =0. Şirul conţine un subsir uniform convergent pe \z \ <; 1 către o reprezentare Q-cvasiconformă w(z) : (\z\ <1)-*( M < 1 ) .

Bacă şirul de reprezentări Q-cvasiconforme wn(z) : (| z | < 1) (| w | < l)r cu W N ( 0 ) = 0 , converge uniform pe | Г | < ; 1 la reprezentarea Q-cvasiconformă w(z) :(\z\ <1) (\w\ <1), şirul reprezentărilor inverse zn(w) = w~l (w) converge uniform pe \w\ 1 la reprezentarea inversă z(w) = w~x (w)* ([£], Cap. V, §3). Pe lîngă aceste propoziţii vom folosi şi următoarele consecinţe ale lor : PROPOZIŢIA 1 . 6. Fie nn(z) un şir de funcţii definite în \z\ < LY măsurabile şi satisfăcînd inegalitatea | (xn (z) | <; q < 1. Să presupunem ca şirul (хл(г) converge a.p. în \z \ < 1 la funcţia şi să notăm cu wu(z) respectiv w(z) omeomorfismul cercului unitate pe el însuşi, soluţie generalizată a ecuaţiei WZ = (JLH WZ respectiv W? = FX WZ, unic determinat prin una dincondiţiile următoare : 1°. wn şi w invariază originea şi un punct a din \z\ = 1. 2°. wn şi w invariază trei puncte a, ß ji у din \z\ = 1. în aceste condiţii atît şirul wn(z) cît şi w'1 (w) converge uniform la w (z) respectiv w~1(w) în\z \ <; 1 respectiv \ w\ <; 1. 1°. Conform propoziţiei 1.5, putem extrage din orice sufoşir al lui wn (z) un subşir Wnk (z) uniform convergent pe | z | <; 1 la reprezentarea cvasiconformă w (z) a lui | z | < 1 pe el însuşi cu aceeaşi normare. Propoziţia 1.4 arată că îo(z) este o reprezentare cvasiconformă cu dilatarea complexă (х(г) a.p. în \ z\ < 1 , deci w(z) =w(z). Cum limita w(z) este independentă de subşirul considerat, rezultă imediat că wn (z) -> w (z) uniform în |z| < 1 . 2°. Pentru a demonstra cazul 2°, cît şi alte extinderi imediate ale propoziţiilor de mai sus pentru diferite domenii jordaniene sau diferite normări, care determină univoc reprezentarea, să facem Observaţia 1.1. Fie M1, M2 şi M3 mulţimi din spaţii metrice oarecare, fn : Mx M2 un şir de aplicaţii continue, uniform convergent pe Mx la aplicaţia continuă / : M1 M2 şi gn : M2 M3 un şir de aplicaţii continue, uniform convergent pe M2 la o aplicaţie g : M2 M3, care este uniform continuă pe M2. Atunci gn o fn converge uniform pe Мг la g o f. Eevenind la demonstraţia cazului 2°, să prelungim wn şi w prin simetrie peste arcul a ß у din | z | = 1 la domeniul Д — planul complex tăiat în lungul arcului rămas y a din | z \ = 1 — şi să păstrăm notaţia pentru reprezentările cvasiconforme astfel obţinute ale lui Д pe el însuşi şi

342

Suprafeţe riusmanniene 342

pentru coeficienţii lor Beltrami. Fie h reprezentarea conforma a lui Д pe cercul unitate |Ç| < 1, cu proprietatea = 0 şi h (a) = 1. Reprezentările cvasiconforme Wn = h o wn o h'1 converg la reprezentarea cvasiconformă W = how o h ' 1 uniform pe cercul unitate închis după punctul 1° al propoziţiei 1.6, iar inversele lor Ж" 1 converg la W'1 uniform pe cercul unitate închis, după propoziţia 1.5. Aplicînd observaţia 1.1, deducem că şirul wn converge uniform pe | z | <; 1 la w şi analog, şirul w~1 converge uniform pe \ w\ <; 1 la w"1. Iată una dintre aplicaţiile propoziţiei de mai sus, care va interveni în demonstrarea teoremei de existenţă din Cap. V. PROPOZIŢIA 1 . 7 . Dacă [in este un şir de funcţii măsurabile pe U, I Pnl Я. < 1 Şi [t-n Iх a-P• U dacă wn respectiv w sînt omeomorfisme surjective : U U, cvasiconforme în U cu dilatare complexă [л>г respectiv (x a.p. şi invariază trei puncte din dTJ, atunci wn converg în TJ (converg uniform local în TJ) la w. Notînd cu т un omeomorfism surjectiv : 1, conform în TJ, reprezentările cvasiconforme Wn = t°wn от-1 converg uniform pe |Ç| 1 la reprezentarea cvasiconformă F^TO^OT-1, Inversele acestor reprezentări şi au aceleaşi proprietăţi. __ ___ Observaţia 2.1. Fie wn si vn două şiruri de omeomorfisme U U, cvasiconforme în TJ, cu proprietatea că т fiind un omeomorfism < 1 , conform în TJ, omeomorfismele WN respectiv _1 Vn = T O vn O T converg uniform pe | Ç К 1 la omeomorfismele W respectiv cvasiconforme în j Ç | < 1 . Atunci şirul wn o vn are aceeaşi proprietate : т o (wn o vn) o = o Vn converge uniform în j Z i < 1 la W о V, (deci wn o vn converge în U (converge uniform local în TJ) la w o v, unde w — T"1 O W o i şi v = Т - 1 О V О Т). 2.4. Vom aplica de asemenea PROPOZIŢIA 1 . 8 . Fie w = tv (z) un omeomorfism al unui domeniu 6r, care este Q-cvasiconform în O — y, unde у este un arc analitic. Atunci w(z) este Q-cvasiconform în O ([9], Cap. III, propoziţia 3.11).

§ 2. Reprezentări cvasiconforme între suprafeţe riemanniene

1. Fie P şi P ' două suprafeţe riemanniene, iar / : P P' un omeomorfism surjectiv. Fie p0 un punct din P şi p'0 =f(po) din P'. Dacă vv este o vecinătate parametrică a punctului p0 pe P , reprezentată conform prin omeomorfismul z = g (p) pe cercul parametric \ z\ < 1 , cu g(p0) = 0, iar v'pf) o vecinătate parametrică a punctului p'0 pe P', reprezentată conform prin w = h(p') pe cercul parametric \w\ < 1, cu h(p'ö) = 0, atunci / determină omeomorfismul w = (h °f ° g'1) (z), pe care-1 vom nota w = w (z) : g-1 [f'1 « , ) П ^pj h Wvb П Prin definiţie, / se numeşte

Reprezentări cvasiconforme

343-

reprezentare Q-cvasiconformă, (1 <; Q < + oo), dacă oricare ar fi punctul p0 Ç R şi parametrii locali z şi w corespunzători punctelor p0 şi p'Q = f(p0), omeomorfismul w(z), asociat lui / prin procedeul de mai sus, este o reprezentare Q-cvasiconformă într-o vecinătate conexă a lui 0 = 0. Această definiţie este independentă de parametrii locali aleşi, deoarece o schimbare de parametru revine la o reprezentare conformă. Yom folosi şi acum denumirea de reprezentare cvasiconformă ori de cîte ori valoarea constantei Q nu prezintă importanţă în problema considerată. După cum omeomorfismul surjectiv f : R R' este sau nu cvasiconform, vom nota (2.1) Q [ / ] = inf Q, infimum fiind luat relativ la numerele Q, pentru care / este ф-cvasiconform, respectiv {2.1') Q[f] = + 00 şi vom numi Q [ / ] dilatarea maximă a lui f . Din propoziţiile 1.1 şi 1.2 rezultă imediat 1°. e w - e r 1 ] ; Q [/] = 1? dacă şi numai dacă / este conformă ; 3°. Q[f* of] < Q[f+] Q [/], /* fiind un omeomorfism R' R" şi R" o altă suprafaţă riemanniană. Uneori se foloseşte notaţia

surjectiv

~ 1 QU] + 1 ' legată de dilatarea complexă a lui /. 2. Fie / o reprezentare Q-cvasiconformă a lui R pe R', iar z w o pereche de parametri locali în puncte corespunzătoare p0 respectiv f(p0) ; atunci w (z) asociat este soluţie generalizată a unei ecuaţii Beltrami (2.1")

(2.2)

q[f] =

Q [ n

Wz = [i (z) wz,

cu [x (z) funcţie măsurabilă şi mărginită : | jx (z) j -< g, Iq = - — - < 1 j La o l Q +1 ; schimbare de parametru z «-» z* pe i?, se verifică imediat că funcţia asociată 3 ) w(z*) satisface o ecuaţie Beltrami (2.2') w2* = [L*(Z*)W *, unde ăz /О ox * -г—* (2.3) (x* = Ц—г~ dz d z Z

3 ) S-a notat funcţia prin variabilele pe care le leagă. Dacă w (z) — 9 (z) şi w (z*) = 9* (z*) în intersecţia domeniilor lor de definiţie 9* (z*) = 9 (z(z*)].

344

sau (2.3')

Suprafeţe riusmanniene 344

ţx* d z ' - i d z * = [ L d z ' ^ z .

într-adevăr, dacă vp* este vecinătatea parametrică corespunzătoare parametrului local z*, (vPo f| vp* ф 0), şi g* omeomorfismul conform « \z* | < 1 , omeomorfismul w(z*) este diferenţiabil a.p. pe g* (vPo f| Vp*) dz dz şi într-un punct de diferenţiabilitate wz* = wK , iar w5* = Wz .

ceea ce arată că w(z*) este soluţie generalizată a ecuaţiei Beltrami (2.2')# Fie m şi n două numere întregi arbitrare. Se numeşte diferenţială de tip (m, n) pe suprafaţa riemanniană В o lege care asociază fiecărui parametru local z în domeniul său de definiţie v CZ В o funcţie măsurabilă ф (z), zţv, astfel încît ф(г) dz m dzn să fie invariant la schimbarea de parametru. Două diferenţiale фл (z) dzm d2*, (Ic = 1, 2), coincid dacă ф1 = фг a.p. pe В. Conform (2.3'), orice reprezentare Q-cvasiconformă / : В -> В' defineşte pe В o diferenţială de tip (—1, 1 ) : [i(z) dz"1 dz şi evident o funcţie sau un scalar invariant la schimbarea de parametru | jx | <; q

Yom numi diferenţială Beltrami respectiv coeficient Beltrami, o diferenţială fxdz-1 dz respectiv coeficientul ei [x, dacă există o constantă q g [0,1 ), astfel încît | (x | < q. TEOREMA 2 . 1 . Există o corespondenţă biunivocă între omeomorfismele cvasiconforme ale suprafeţelor riemanniene В şi diferenţialele Beltrami definite pe В. După cele de mai sus, oricărei reprezentări cvasiconforme a lui В îi corespunde o diferenţială Beltrami. Reciproc, o diferenţială Beltrami jxdz -1 dz defineşte pe spaţiul topologic В o nouă suprafaţă riemanniană B[x, pentru care parametrii locali sînt daţi în modul următor : Fie vPo o vecinătate parametrică pe Bf z un parametru local asociat lui p0 şi z = g(p) reprezentarea parametrică corespunzătoare, g : vPo <-+ (\z\ < 1), cu normarea g(p0) = 0. După teorema 1.1, există un omeomorfism Ç = Ç (z) : (\z\ < 1) — (|Ç| < 1), cu Ç (0) = 0, soluţie generalizată a ecuaţiei tz = [x Kz • Definim В ^ luînd ca vecinătăţi parametrice vPo şi ca reprezentări parametrice ţ = ţ[g(p)]. Se verifică imediat că relaţiile de vecinătate pe B* sînt reprezentări conforme : într-adevăr, un alt parametru Ç* va fi definit plecînd de la vecinătatea parametrică v9* şi reprezentarea parametrică 2* = g* (p) de pe B, ca omeomorfism : (\z* | < 1) <-» (| Ç* | -> 1), soluţie generalizată

345-

Reprezentări cvasiconforme

а ecuaţiei = jx* С*, cu Ç* (0) = 0. Dacă VpţtÇ\Vpьф 0, calculul efectuat mai sus în legătură cu comportarea ecuaţiei Beltrami la o schimbare de parametru z<->z*, arată că £ (z*) = Ç [z(z*)~\ satisface în g*(Vp*C\vPo) ecuaţia Beltrami = jx* în sens generalizat. Deoarece ţ(z*) şi £*(«*) sînt reprezentări cvasiconforme cu aceeaşi dilatare complexă a.p. in 9* TYP* П vPO)I reprezentarea Ç* (Ç) este conformă, după propoziţia 1.2. Aplicaţia identică : P -> P1*, care asociază fiecărui p g P acelaşi 1 punct p € P *, este o reprezentare cvasiconformă, deoarece se exprimă în parametri locali z şi Ç prin Ç = Numim reprezentarea naturală indusă de [xdz - 1 dz. PROPOZIŢIA 2 . 1 . Orice reprezentare cvasiconformă f : R -> R' se poate interpreta ca reprezentare naturală indusă de diferenţiala ei Beltrami [i dz~1 dz. într-adevăr, acestei diferenţiale îi corespunde reprezentarea naturală f* : R B*, iar 9 = o / 1 : P' P^ este o reprezentare conformă. Identificînd P' cu P^ prin
(2.4) 11 [x dz~x dz\ I = I |[x 11 = adevăratul max | [x | = inf sup | [х(г) |, E

zţR-E

unde E este o mulţime de măsură nulă, arbitrară în P. Cu această notaţie reprezentarea naturală indusă de [x dz~1 dz satisface ecuaţia (2.5)

q [ n = | | n||. § 3. Teorema de existenţa a reprezentărilor cvasiconforme pentru suprafeţe riemanniene canonice

1. Ne propunem să aplicăm rezultatele stabilite pentru omeomorfisme, în cazul unei reprezentări cvasiconforme / a unei suprafeţe riemanniene P pe suprafaţa riemanniană P'. Conform teoremei 5.1 din capitolul I, orice omeomorfism / este indus de un omeomorfism / : В R' al suprafeţelor universale de acoperire. Ţinînd seama de relaţia (5.1) şi de faptul că IIG şi П P ' este cvasiconformă, dacă si numai dacă f : В R' este cvasiconformă. 2. Fie R o suprafaţă riemanniană de tip iperbolic, В = TJ = (9z > 0) suprafaţa deA acoperire universală, G grupul transformărilor acoperirii lui В prin В şi n G proiecţia acestei acoperiri. Deoarece П 0 este local o reprezentare conformă putem alege ca parametru local atît z, cît şi orice T (z) cu T Ç G. Obţinem atunci

346

Suprafeţe riusmanniene 346

PROPOZIŢIA 3 . 2 . Orice diferenţială Beltrami pe В se poate scrie sub forma fx (г) dz-1 dz, unde ja (г) este о funcţie măsurabilă pe TJ, verificînd inegalitatea (3.1) In(s)|
V T

[T(Z)]=

L

L(Z)^P

T (z)

oricare ar fi transformarea T £ (?. Invers, vom numi coeficient Beltrami compatibil cu un grup Fuchs G, orice funcţie JA (г) definită pe U, măsurabilă şi cu proprietăţile (3.1) şi (3.2) din propoziţia 3.2. PROPOZIŢIA 3 . 2 ' . Bacă JA (2) este un coeficient Beltrami compatibil cu grupul Fuchs G, atunci [L(Z) dz'1 d z este o diferenţială Beltrami pe suprafaţa riemanniană В = U/G (Cap. II, propoziţia 3.1). TEOREMA 3 . 1 . Fie G grupul Fuchs al transformărilor de acoperire pentru (U, ПQ, B) şi [A(Z) un coeficient Beltrami compatibil cu G. Există un omeomorfism w = w (z), soluţie generalizată a ecuaţiei Beltrami wz = \iwz, care reprezintă topologic TJ pe el însuşi jm păstrarea orientării, se prelungeşte la un omeomorfism al lui U pe U şi este compatibil cu grupul G. Suprafaţa riemanniană В' = TJ/wGw~1 este conform echivalentă cu В* şi, identificînd Bf cu w induce reprezentarea naturală : В -> B[X. Din teorema 1.2 rezultă existenţa omeomorfismului w(z) a lui TJ pe TJ, soluţie generalizată a ecuaţiei Beltrami dată, care păstrează orientarea şi prelungeşte la un omeomorfism al lui U pe U. Oricare ar fi TţG, după cum se verifică imediat folosind ( 3 . 2 ) , w1(z) =w[T(z)] satisface aceeaşi ecuaţie Beltrami ca şi w(z). Prin urmare, există A Ç H, astfel încît

w[T(z)]

=

A[w(z)]

deci ivGw~1c:H, i.e. w este compatibil cu grupul G. A(Cap. III, § 6, pct. 4). Conform propoziţiei 5.3 din Cap. I, aplicată pentru / = w , acest omeomorfism induce un omeomorfism f : U/G U/G', unde G' = wGwDupă propoziţia 3.1, reprezentarea / este cvasiconformă. Yom demonstra acum că B' = UjG' şi JS:a sînt conform echivalente: Fie p0£B, ZqÇUg1 (p0), w0 — w(z0) şi po =f(p0). Putem lua vecinătatea v a lui z0 suficient de mică pentru ca I1G şi Г Ь / s ă fie omeomorfisme conforme. Să notăm cu