Trustworthy Computing: Analytical and Quantitative Engineering Evaluation

ΤΡΥΣΤΩΟΡΤΗΨ ΧΟΜΠΥΤΙΝΓ Αναλψτιχαλ ανδ Θυαντιτατιϖε Ενγινεερινγ Εϖαλυατιον

Μ. ΣΑΗΙΝΟΓΛΥ, Πη.∆. ∆επαρτµεντ οφ Χοµπυτερ Σχιενχε Τροψ Υνιϖερσιτψ–Μοντγοµερψ Χαµπυσ Μοντγοµερψ, Αλαβαµα

Α ϑΟΗΝ ΩΙΛΕΨ & ΣΟΝΣ, ΙΝΧ., ΠΥΒΛΙΧΑΤΙΟΝ

ΤΡΥΣΤΩΟΡΤΗΨ ΧΟΜΠΥΤΙΝΓ

ΤΡΥΣΤΩΟΡΤΗΨ ΧΟΜΠΥΤΙΝΓ Αναλψτιχαλ ανδ Θυαντιτατιϖε Ενγινεερινγ Εϖαλυατιον

Μ. ΣΑΗΙΝΟΓΛΥ, Πη.∆. ∆επαρτµεντ οφ Χοµπυτερ Σχιενχε Τροψ Υνιϖερσιτψ–Μοντγοµερψ Χαµπυσ Μοντγοµερψ, Αλαβαµα

Α ϑΟΗΝ ΩΙΛΕΨ & ΣΟΝΣ, ΙΝΧ., ΠΥΒΛΙΧΑΤΙΟΝ

Χοπψριγητ  2007 βψ ϑοην Ωιλεψ & Σονσ, Ινχ. Αλλ ριγητσ ρεσερϖεδ. Πυβλισηεδ βψ ϑοην Ωιλεψ & Σονσ, Ινχ., Ηοβοκεν, Νεω ϑερσεψ. Πυβλισηεδ σιµυλτανεουσλψ ιν Χαναδα. Νο παρτ οφ τηισ πυβλιχατιον µαψ βε ρεπροδυχεδ, στορεδ ιν α ρετριεϖαλ σψστεµ, ορ τρανσµιττεδ ιν ανψ φορµ ορ βψ ανψ µεανσ, ελεχτρονιχ, µεχηανιχαλ, πηοτοχοπψινγ, ρεχορδινγ, σχαννινγ, ορ οτηερωισε, εξχεπτ ασ περµιττεδ υνδερ Σεχτιον 107 ορ 108 οφ τηε 1976 Υνιτεδ Στατεσ Χοπψριγητ Αχτ, ωιτηουτ ειτηερ τηε πριορ ωριττεν περµισσιον οφ τηε Πυβλισηερ, ορ αυτηοριζατιον τηρουγη παψµεντ οφ τηε αππροπριατε περ−χοπψ φεε το τηε Χοπψριγητ Χλεαρανχε Χεντερ, Ινχ., 222 Ροσεωοοδ ∆ριϖε, ∆ανϖερσ, ΜΑ 01923, (978) 750−8400, φαξ (978) 750−4470, ορ ον τηε ωεβ ατ ωωω.χοπψριγητ.χοµ. Ρεθυεστσ το τηε Πυβλισηερ φορ περµισσιον σηουλδ βε αδδρεσσεδ το τηε Περµισσιονσ ∆επαρτµεντ, ϑοην Ωιλεψ & Σονσ, Ινχ., 111 Ριϖερ Στρεετ, Ηοβοκεν, Νϑ 07030, (201) 748−6011, φαξ (201) 748−6008, ορ ονλινε ατ ηττπ://ωωω.ωιλεψ.χοµ/γο/περµισσιον. Λιµιτ οφ Λιαβιλιτψ/∆ισχλαιµερ οφ Ωαρραντψ: Ωηιλε τηε πυβλισηερ ανδ αυτηορ ηαϖε υσεδ τηειρ βεστ εφφορτσ ιν πρεπαρινγ τηισ βοοκ, τηεψ µακε νο ρεπρεσεντατιονσ ορ ωαρραντιεσ ωιτη ρεσπεχτ το τηε αχχυραχψ ορ χοµπλετενεσσ οφ τηε χοντεντσ οφ τηισ βοοκ ανδ σπεχι⇒χαλλψ δισχλαιµ ανψ ιµπλιεδ ωαρραντιεσ οφ µερχηανταβιλιτψ ορ ⇒τνεσσ φορ α παρτιχυλαρ πυρποσε. Νο ωαρραντψ µαψ βε χρεατεδ ορ εξτενδεδ βψ σαλεσ ρεπρεσεντατιϖεσ ορ ωριττεν σαλεσ µατεριαλσ. Τηε αδϖιχε ανδ στρατεγιεσ χονταινεδ ηερειν µαψ νοτ βε συιταβλε φορ ψουρ σιτυατιον. Ψου σηουλδ χονσυλτ ωιτη α προφεσσιοναλ ωηερε αππροπριατε. Νειτηερ τηε πυβλισηερ νορ αυτηορ σηαλλ βε λιαβλε φορ ανψ λοσσ οφ προ⇒τ ορ ανψ οτηερ χοµµερχιαλ δαµαγεσ, ινχλυδινγ βυτ νοτ λιµιτεδ το σπεχιαλ, ινχιδενταλ, χονσεθυεντιαλ, ορ οτηερ δαµαγεσ. Φορ γενεραλ ινφορµατιον ον ουρ οτηερ προδυχτσ ανδ σερϖιχεσ ορ φορ τεχηνιχαλ συππορτ, πλεασε χονταχτ ουρ Χυστοµερ Χαρε ∆επαρτµεντ ωιτηιν τηε Υνιτεδ Στατεσ ατ (800) 762−2974, ουτσιδε τηε Υνιτεδ Στατεσ ατ (317) 572−3993 ορ φαξ (317) 572−4002. Ωιλεψ αλσο πυβλισηεσ ιτσ βοοκσ ιν α ϖαριετψ οφ ελεχτρονιχ φορµατσ. Σοµε χοντεντ τηατ αππεαρσ ιν πριντ µαψ νοτ βε αϖαιλαβλε ιν ελεχτρονιχ φορµατσ. Φορ µορε ινφορµατιον αβουτ Ωιλεψ προδυχτσ, ϖισιτ ουρ ωεβ σιτε ατ ωωω.ωιλεψ.χοµ. Ωιλεψ Βιχεντεννιαλ Λογο: Ριχηαρδ ϑ. Παχι⇒χο Λιβραρψ οφ Χονγρεσσ Χαταλογινγ−ιν−Πυβλιχατιον ∆ατα: Σαηινογλυ, Μεηµετ. Τρυστωορτηψ χοµπυτινγ: αναλψτιχαλ ανδ θυαντιτατιϖε ενγινεερινγ εϖαλυατιον βψ Μ. Σαηινογλυ. π. χµ. ΙΣΒΝ 978−0−470−08512−7 (χλοτη) 1. Χοµπυτερ σεχυριτψ. 2. Χοµπυτερ σοφτωαρε—Ρελιαβιλιτψ. 3. Χοµπυτερ σψστεµσ—Ρελιαβιλιτψ. Ι. Τιτλε. ΘΑ76.9.Α25Σ249 2007 005.8—δχ22 2006033567 Πριντεδ ιν τηε Υνιτεδ Στατεσ οφ Αµεριχα 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1

Το µψ λατε µοτηερ, Μεηπαρε, φορ τεαχηινγ µε το βε αλωαψσ κινδ ανδ φοργιϖινγ, ανδ το µψ λατε φατηερ, Καµιλ, φορ αδϖισινγ µε το βε πατιεντ, χαλµ, ρεσολυτε, ανδ νεϖερ το γιϖε υπ µψ ιδεαλσ ανδ δρεαµσ. Το µψ ωιφε οφ 25 ψεαρσ, Συνα, φορ ηερ χαρε, χοµπασσιον, ανδ λοϖινγ δεϖοτιον το ηερ φαµιλψ. Το µψ φαλχον σονσ, Γοκτυρκ, Εφε, ανδ Ηακαν, φορ τηειρ ηαρδ ωορκ ανδ σελφ χον⇒δενχε.

ΧΟΝΤΕΝΤΣ

Φορεωορδ

ξιιι

Πρεφαχε

ξϖιι

1 Φυνδαµενταλσ οφ Χοµπονεντ ανδ Σψστεµ Ρελιαβιλιτψ ανδ Ρεϖιεω οφ Σοφτωαρε Ρελιαβιλιτψ

1

1.1 Φυνχτιονσ οφ Ιµπορτανχε ιν Ρελιαβιλιτψ, 1 1.2 Ηαζαρδ Ρατε Φυνχτιονσ ιν Ρελιαβιλιτψ, 6 1.3 Χοµµον ∆ιστριβυτιονσ ανδ Ρανδοµ Νυµβερ Γενερατιονσ, 8 1.3.1 Υνιφορµ (Ρεχτανγυλαρ) π.δ.φ, 8 1.3.2 Τριανγυλαρ π.δ.φ., 10 1.3.3 Νεγατιϖε Εξπονεντιαλ π.δ.φ., Παρετο, ανδ Ποωερ Φυνχτιονσ, 11 1.3.4 Γαµµα, Ερλανγ, ανδ Χηι−Σθυαρε π.δ.φ.’σ, 13 1.3.5 Στυδεντ’σ t−∆ιστριβυτιον, 16 1.3.6 Φισηερ’σ F −∆ιστριβυτιον, 16 1.3.7 Τωο− ανδ Τηρεε−Παραµετερ (Σαηινογλυ–Λιββψ) Βετα π.δ.φ.’σ, 17 1.3.8 Ποισσον π.µ.φ., 20 1.3.9 Βερνουλλι, Βινοµιαλ, ανδ Μυλτινοµιαλ π.µ.φ.’σ, 20 1.3.10 Γεοµετριχ π.µ.φ., 21 1.3.11 Νεγατιϖε Βινοµιαλ ανδ Πασχαλ π.µ.φ.’σ, 22 1.3.12 Ωειβυλλ π.δ.φ., 23 1.3.13 Νορµαλ π.δ.φ., 25 1.3.14 Λογνορµαλ π.δ.φ., 27 1.3.15 Λογιστιχ π.δ.φ., 28 1.3.16 Χαυχηψ π.δ.φ., 29 1.3.17 Ηψπεργεοµετριχ π.µ.φ., 29 ϖιι

ϖιιι

ΧΟΝΤΕΝΤΣ

1.3.18 Εξτρεµε ςαλυε (Γυµβελ) π.δ.φ.’σ, 30 1.3.19 Συµµαρψ οφ τηε ∆ιστριβυτιονσ ανδ Ρελατιονσηιπσ Μοστ Χοµµονλψ Υσεδ, 31 1.4 Λιφε Τεστινγ φορ Χοµπονεντ Ρελιαβιλιτψ, 33 1.4.1 Εστιµατιον Μετηοδσ φορ Χοµπλετε ∆ατα, 33 1.4.2 Εστιµατιον Μετηοδσ φορ Ινχοµπλετε ∆ατα, 36 1.5 Ρεδυνδανχψ ιν Σψστεµ Ρελιαβιλιτψ, 40 1.5.1 Σεριεσ Σψστεµ Ρελιαβιλιτψ, 40 1.5.2 Αχτιϖε Παραλλελ Ρεδυνδανχψ, 41 1.5.3 Στανδβψ Ρεδυνδανχψ, 42 1.5.4 Οτηερ Ρεδυνδανχψ Λιµιτατιονσ: Χοµµον−Μοδε Φαιλυρεσ ανδ Λοαδ Σηαρινγ, 44 1.6 Ρεϖιεω οφ Σοφτωαρε Ρελιαβιλιτψ Γροωτη Μοδελσ, 45 1.6.1 Σοφτωαρε Ρελιαβιλιτψ Μοδελσ ιν τηε Τιµε ∆οµαιν, 48 1.6.2 Χλασσι⇒χατιον οφ Ρελιαβιλιτψ Γροωτη Μοδελσ, 49 Αππενδιξ 1Α: 500 Χοµπυτερ−Γενερατεδ Ρανδοµ Νυµβερσ, 65 Ρεφερενχεσ, 66 Εξερχισεσ, 71

2 Σοφτωαρε Ρελιαβιλιτψ Μοδελινγ ωιτη Χλυστερεδ Φαιλυρε ∆ατα ανδ Στοχηαστιχ Μεασυρεσ το Χοµπαρε Πρεδιχτιϖε Αχχυραχψ οφ Φαιλυρε−Χουντ Μοδελσ 2.1 Σοφτωαρε Ρελιαβιλιτψ Μοδελσ Υσινγ τηε Χοµπουνδ Ποισσον Μοδελ, 78 2.1.1 Νοτατιον ανδ Ιντροδυχτιον, 79 2.1.2 Βαχκγρουνδ ανδ Μοτιϖατιον, 80 2.1.3 Μαξιµυµ Λικελιηοοδ Εστιµατιον ιν τηε Ποισσον∧ Γεοµετριχ Μοδελ, 81 2.1.4 Νονλινεαρ Ρεγρεσσιον Εστιµατιον ιν τηε Ποισσον∧ Γεοµετριχ Μοδελ, 82 2.1.5 Χαλχυλατιον οφ Φορεχαστ Θυαλιτψ ανδ Χοµπαρισον οφ Μετηοδσ, 91 2.1.6 ∆ισχυσσιον ανδ Χονχλυσιονσ, 96 2.2 Στοχηαστιχ Μεασυρεσ το Χοµπαρε Φαιλυρε−Χουντ Ρελιαβιλιτψ Μοδελσ, 99 2.2.1 Ιντροδυχτιον ανδ Μοτιϖατιον, 99 2.2.2 ∆ε⇒νιτιονσ ανδ Νοτατιον, 100 2.2.3 Μοδελ, ∆ατα, ανδ Χοµπυτατιοναλ Φορµυλασ, 101 2.2.4 Πριορ ∆ιστριβυτιον Αππροαχη, 104 2.2.5 Αππλιχατιονσ το ∆ατα Σετσ ανδ Χοµπυτατιονσ, 106 2.2.6 ∆ισχυσσιον ανδ Χονχλυσιονσ, 110 Ρεφερενχεσ, 113 Εξερχισεσ, 116

78

ΧΟΝΤΕΝΤΣ

3 Θυαντιτατιϖε Μοδελινγ φορ Σεχυριτψ Ρισκ Ασσεσσµεντ 3.1 ∆εχισιον Τρεε Μοδελ το Θυαντιφψ Ρισκ, 119 3.1.1 Μοτιϖατιον, 119 3.1.2 Ρισκ Σχεναριοσ, 120 3.1.3 Θυαντιτατιϖε Σεχυριτψ Μετερ Μοδελ, 122 3.1.4 Μοδελ Αππλιχατιον ανδ Ρεσυλτσ, 124 3.1.5 Μοδιφψινγ τηε Θυαντιτατιϖε Μοδελ φορ Θυαλιτατιϖε ∆ατα, 127 3.1.6 Ηψβριδ Σεχυριτψ Μετερ Μοδελ φορ Βοτη Θυαντιτατιϖε ανδ Θυαλιτατιϖε ∆ατα, 127 3.1.7 Σιµυλατιον Στυδψ ανδ Χονχλυσιονσ, 129 3.2 Βαψεσιαν Αππλιχατιονσ φορ Πριοριτιζινγ Σοφτωαρε Μαιντενανχε, 131 3.2.1 Μοτιϖατιον, 131 3.2.2 Βαψεσιαν Ρυλε ιν Στατιστιχσ ανδ Αππλιχατιονσ φορ Σοφτωαρε Μαιντενανχε, 132 3.2.3 Ανοτηερ Βαψεσιαν Αππλιχατιον φορ Σοφτωαρε Μαιντενανχε, 135 3.2.4 Μοντε Χαρλο Σιµυλατιον το ςεριφψ τηε Βαψεσιαν Αναλψσισ Προποσεδ, 137 3.2.5 ∆ισχυσσιον ανδ Χονχλυσιονσ, 137 3.3 Θυαντιτατιϖε Ρισκ Ασσεσσµεντ φορ Νονδισϕοιντ ςυλνεραβιλιτιεσ ανδ Νονδισϕοιντ Τηρεατσ, 138 3.3.1 Μοτιϖατιον Βεηινδ τηε ∆ισϕοιντ Νοτιον οφ ςυλνεραβιλιτιεσ ανδ Τηρεατσ, 138 3.3.2 Φυνδαµενταλ Προβαβιλιτψ Λαωσ οφ Ινδεπενδενχε, Χονδιτιοναλιτψ, ανδ ∆ισϕοιντνεσσ, 138 3.3.3 Σεχυριτψ Μετερ Μοδι⇒εδ φορ Νονδισϕοιντ ςυλνεραβιλιτιεσ ανδ ∆ισϕοιντ Τηρεατσ, 139 3.3.4 Σεχυριτψ Μετερ Μοδι⇒εδ φορ Νονδισϕοιντ ςυλνεραβιλιτιεσ ανδ Νονδισϕοιντ Τηρεατσ, 141 3.3.5 ∆ισχυσσιον ανδ Χονχλυσιονσ, 142 3.4 Σιµπλε Στατιστιχαλ ∆εσιγν το Εστιµατε τηε Σεχυριτψ Μετερ Μοδελ Ινπυτ ∆ατα, 142 3.4.1 Εστιµατινγ τηε Ινπυτ Παραµετερσ ιν τηε Σεχυριτψ Μετερ Μοδελ, 143 3.4.2 Στατιστιχαλ Φορµυλασ Υσεδ το Εστιµατε Ινπυτσ ιν τηε Σεχυριτψ Μετερ Μοδελ, 144 3.4.3 Νυµεριχαλ Εξαµπλε οφ τηε Στατιστιχαλ ∆εσιγν φορ τηε Σεχυριτψ Μετερ Μοδελ, 145 3.4.4 ∆ισχρετε Εϖεντ (∆ψναµιχ) Σιµυλατιον, 147 3.4.5 Μοντε Χαρλο (Στατιχ) Σιµυλατιον, 147 3.4.6 Ρισκ Μαναγεµεντ Υσινγ τηε Σεχυριτψ Μετερ Μοδελ, 148

ιξ

119

ξ

ΧΟΝΤΕΝΤΣ

3.4.7 ∆ισχυσσιον ανδ Χονχλυσιονσ, 149 3.5 Στατιστιχαλ Ινφερενχε το Θυαντιφψ τηε Λικελιηοοδ οφ Λαχκ οφ Πριϖαχψ, 150 3.5.1 Ιντροδυχτιον: Ωηατ Ισ Πριϖαχψ?, 150 3.5.2 Ηοω το Θυαντιφψ Λαχκ οφ Πριϖαχψ, 151 3.5.3 Νυµεριχαλ Αππλιχατιονσ φορ α Πριϖαχψ Ρισκ Μαναγεµεντ Στυδψ, 152 3.5.4 ∆ισχυσσιον ανδ Χονχλυσιονσ, 154 Αππενδιξ 3Α: Χοµπαρισον οφ ςαριουσ Ρισκ Ασσεσσµεντ Αππροαχηεσ ανδ ΧΙΝΑΠΕΑΑΑ, 154 Αππενδιξ 3Β: Βριεφ Ιντροδυχτιον το Ενχρψπτιον, ∆εχρψπτιον, ανδ Τψπεσ, 156 Αππενδιξ 3Χ: Ατταχκ Τρεεσ, 159 Αππενδιξ 3∆: Χαπαβιλιτιεσ−Βασεδ Ατταχκ Τρεε Αναλψσισ, 161 Αππενδιξ 3Ε: Τιµε−το−∆εφεατ Μοδελ, 162 Ρεφερενχεσ, 164 Εξερχισεσ, 167 4 Στοππινγ Ρυλεσ ιν Σοφτωαρε Τεστινγ 4.1 Εφφορτ−Βασεδ Εµπιριχαλ Βαψεσιαν Στοππινγ Ρυλε, 173 4.1.1 Στοππινγ Ρυλε ιν Τεστ Χασε–Βασεδ (Εφφορτ) Μοδελσ, 173 4.1.2 Ιντροδυχτιον ανδ Μοτιϖατιον, 174 4.1.3 Νοτατιον, Χοµπουνδ Ποισσον ∆ιστριβυτιον, ανδ Εµπιριχαλ Βαψεσ Εστιµατιον, 177 4.1.4 Στοππινγ Ρυλε Προποσεδ φορ Υσε ιν Σοφτωαρε Τεστινγ, 182 4.1.5 Αππλιχατιονσ ανδ Ρεσυλτσ, 185 4.1.6 ∆ισχυσσιον ανδ Χονχλυσιονσ, 188 Αππενδιξ 4Α: Αναλψσισ Ταβλεσ, 191 Αππενδιξ 4Β: Χοµπαρισον οφ τηε Προποσεδ ΧΠ Ρυλε ωιτη Οτηερ Στοππινγ Ρυλεσ, 193 Αππενδιξ 4Χ: ΜΕΣΑΤ−1 Ουτπυτ Σχρεενσηοτσ ανδ Γραπησ, 200 4.2 Στοππινγ Ρυλε φορ Ηιγη−Ασσυρανχε Σοφτωαρε Τεστινγ ιν Βυσινεσσ, 205 4.2.1 Ιντροδυχτιον, 205 4.2.2 ΕςΜ Μετηοδολογψ, 205 4.2.3 Τψπιχαλ Σ∆ΛΧ Τεστινγ Μαναγεµεντ, 206 4.2.4 Νεω ςιεω οφ Τεστινγ, 206 4.2.5 Χασε Στυδψ, 208 4.2.6 ∆ισχυσσιον ανδ Χονχλυσιονσ, 213 4.3 Βαψεσιαν Στοππινγ Ρυλε φορ Τεστινγ ιν τηε Τιµε ∆οµαιν, 215 4.3.1 Ιντροδυχτιον, 215 4.3.2 Ρεϖιεω οφ τηε Χοµπουνδ Ποισσον Προχεσσ, 216

172

ΧΟΝΤΕΝΤΣ

ξι

4.3.3 Στοππινγ Ρυλε, 217 4.3.4 Βαψεσ Αναλψσισ φορ τηε Ποισσον∧ Γεοµετριχ Μοδελ, 218 4.3.5 Εµπιριχαλ Βαψεσιαν Στοππινγ Ρυλε, 220 4.3.6 Χοµπυτατιοναλ Εξαµπλε, 220 4.3.7 ∆ισχυσσιον ανδ Χονχλυσιονσ, 221 Αππενδιξ 4∆: ΜΕΣΑΤ−2 Αππλιχατιονσ ανδ Ρεσυλτσ, 221 Ρεφερενχεσ, 225 Εξερχισεσ, 229 5 Αϖαιλαβιλιτψ Μοδελινγ Υσινγ τηε Σαηινογλυ–Λιββψ Προβαβιλιτψ ∆ιστριβυτιον Φυνχτιον

231

5.1 5.2 5.3 5.4

Νοµενχλατυρε, 232 Ιντροδυχτιον ανδ Μοτιϖατιον, 233 Σαηινογλυ–Λιββψ Προβαβιλιτψ Μοδελ Φορµυλατιον, 234 Βαψεσ Εστιµατορσ φορ ςαριουσ Ινφορµατιϖε Πριορσ ανδ Λοσσ Φυνχτιονσ, 235 5.4.1 Σθυαρεδ−Ερρορ Λοσσ Φυνχτιον, 236 5.4.2 Αβσολυτε−Ερρορ Λοσσ Φυνχτιον, 236 5.4.3 Ωειγητεδ Σθυαρεδ−Ερρορ Λοσσ Φυνχτιον, 237 5.5 Αϖαιλαβιλιτψ Χαλχυλατιονσ φορ Σιµπλε Παραλλελ ανδ Σεριεσ Νετωορκσ, 239 5.6 ∆ισχυσσιον ανδ Χονχλυσιονσ, 243 Αππενδιξ 5Α: ∆εριϖατιον οφ τηε Σαηινογλυ–Λιββψ π.δ.φ., 247 Αππενδιξ 5Β: ∆εριϖατιον οφ τηε Βαψεσ Εστιµατορ φορ Ωειγητεδ Σθυαρεδ−Ερρορ Λοσσ, 251 Ρεφερενχεσ, 252 Εξερχισεσ, 253 6 Ρελιαβιλιτψ Βλοχκ ∆ιαγραµµινγ ιν Χοµπλεξ Σψστεµσ 6.1 6.2 6.3 6.4 6.5 6.6 6.7

6.8

Ιντροδυχτιον ανδ Μοτιϖατιον, 258 Σιµπλε Ιλλυστρατιϖε Εξαµπλε, 259 Χοµπρεσσιον Αλγοριτηµ ανδ ςαριουσ Αππλιχατιονσ, 260 Ηψβριδ Τοολ το Χοµπυτε Ρελιαβιλιτψ φορ Χοµπλεξ Σψστεµσ, 265 Μορε Συππορτινγ Εξαµπλεσ φορ τηε Ηψβριδ Φορµ, 268 Νεω Πολιση ∆εχοδινγ (∆εχοµπρεσσιον) Αλγοριτηµ, 268 Οϖερλαπ Τεχηνιθυε, 271 6.7.1 Οϖερλαπ Ινγρεσσ–Εγρεσσ Ρελιαβιλιτψ Μετηοδ, 271 6.7.2 Οϖερλαπ Ινγρεσσ–Εγρεσσ Ρελιαβιλιτψ Αλγοριτηµ, 274 Μυλτιστατε Σψστεµ Ρελιαβιλιτψ Εϖαλυατιον, 275 6.8.1 Σιµπλε Σεριεσ Σψστεµ, 276 6.8.2 Αχτιϖε Παραλλελ Σψστεµ, 277 6.8.3 Σιµπλε Παραλλελ–Σεριεσ Σψστεµ, 278

257

ξιι

ΧΟΝΤΕΝΤΣ

6.8.4 Σιµπλε Παραλλελ Σψστεµ, 279 6.8.5 Χοµβινεδ Σψστεµ, 279 6.9 ∆ισχυσσιον ανδ Χονχλυσιονσ, 281 Αππενδιξ 6Α: Οϖερλαπ Αλγοριτηµ ∆εσχριβεδ, 282 Αππενδιξ 6Β: Οϖερλαπ Ινγρεσσ–Εγρεσσ Ρελιαβιλιτψ Αλγοριτηµ Αππλιεδ, Εξαµπλε 1, 285 Αππενδιξ 6Χ: Οϖερλαπ Ινγρεσσ–Εγρεσσ Ρελιαβιλιτψ Αλγοριτηµ Αππλιεδ, Εξαµπλε 2, 298 Ρεφερενχεσ, 303 Εξερχισεσ, 306 Ινδεξ

309

ΦΟΡΕΩΟΡ∆

Προφεσσορ Μεηµετ Σαηινογλυ, ∆ιστινγυισηεδ Χηαιρ Προφεσσορ ανδ Εµινεντ Σχηολαρ οφ Τροψ Υνιϖερσιτψ, Μοντγοµερψ, Αλαβαµα, ανδ α ρεχιπιεντ οφ 2006 Μιχροσοφτ Ιντερνατιοναλ Τρυστωορτηψ Χοµπυτινγ Χυρριχυλυµ Ρεσεαρχη Αωαρδ, ηασ ωριττεν α νεω βοοκ τιτλεδ, Τρυστωορτηψ Χοµπυτινγ: Αναλψτιχαλ ανδ Θυαντιτατιϖε Ενγινεερ− ινγ Εϖαλυατιον, ιντεγρατινγ τηε ϖαριουσ ασπεχτσ, τηεοριεσ, ανδ πραχτιχεσ υνδερλψινγ σοφτωαρε ρελιαβιλιτψ, τεστινγ, ανδ σεχυριτψ ενγινεερινγ. Τηε αυτηορ ηασ βεεν α ϖερψ προλι⇒χ ανδ χρεατιϖε ρεσεαρχηερ φορ µανψ ψεαρσ ιν τηε αρεασ οφ χοµπυτερ ρελιαβιλ− ιτψ, σεχυριτψ, σοφτωαρε ενγινεερινγ, ανδ στατιστιχσ. Ραρελψ δο ωε ενχουντερ αχτιϖε ρεσεαρχηερσ λικε ηιµ τακινγ τιµε οφφ το ωριτε βοοκσ το χονϖεψ αδϖανχεδ ανδ ιννο− ϖατιϖε ιδεασ ον τηειρ συβϕεχτσ ιν ωαψσ τηατ ηελπ υσ το υνδερστανδ χοµπλεξ τοπιχσ ανδ το ρεαλιζε ανδ βυιλδ ον τηε χονχεπτσ φορ πραχτιχαλ βενε⇒τ ανδ υσε. Ιτ ισ αν εξχελλεντ ανδ υνιθυε βοοκ ανδ δε⇒νιτελψ α σεµιναλ χοντριβυτιον ανδ τηε ⇒ρστ οφ ιτσ κινδ. Ιν µψ ηυµβλε οπινιον, ιτ ισ αν ουτστανδινγ αδδιτιον το ονε οφ τηε µοστ ιµπορταντ αρεασ οφ ινφορµατιον τεχηνολογψ. Προφεσσορ Σαηινογλυ προφεσσιοναλλψ ηασ πιονεερεδ ιν σεϖεραλ µαϕορ ρεσεαρχη φροντσ. Ηε δεϖελοπεδ τηε Σαηινογλυ–Λιββψ προβαβιλιτψ διστριβυτιον το µοδελ ανδ χηαραχτεριζε τηε βεηαϖιορ οφ φαιλυρε παττερνσ ιν χοµπονεντσ/νετωορκσ ανδ σοφτωαρε σψστεµσ. Ηε πιονεερεδ ιν τηε δεϖελοπµεντ οφ οπτιµαλ αλγοριτηµσ ανδ στοππινγ ρυλεσ το τερµινατε σοφτωαρε τεστινγ βασεδ ον εχονοµιχ ανδ σπεχι⇒χατιον ρεθυιρε− µεντσ. Μοστ ρεχεντλψ, ηε χρεατεδ τηε χονχεπτ οφ τηε σεχυριτψ µετερ, ωηιχη ισ α φαστ δεχισιον−τηεορετιχ τοολ τηατ εϖαλυατεσ τηε αβιλιτψ οφ α σετ οφ προτεχτιϖε µεα− συρεσ το προϖιδε α ρεθυιρεδ λεϖελ οφ σεχυριτψ φορ τηε σψστεµ. Τηε βοοκ ιτσελφ ισ α χοµµενδαβλε αχηιεϖεµεντ, ανδ ιτ δεαλσ ωιτη σεχυριτψ ανδ σοφτωαρε ρελιαβιλιτψ τηεορψ ιν αν ιντεγρατεδ φασηιον, ωιτη εµπηασισ ον πραχτιχαλ αππλιχατιονσ το σοφτ− ωαρε ενγινεερινγ ανδ ινφορµατιον τεχηνολογψ. Ωιτη ηισ νεω βοοκ ον τηε σηελφ, ∆ρ. Σαηινογλυ γενερουσλψ σηαρεσ ωιτη ηισ ρεαδερσ ανδ τηε σχιεντι⇒χ ωορλδ, ον τηε τωεντψ−⇒φτη αννιϖερσαρψ οφ ηισ Πη.∆. φροµ Τεξασ Α&Μ, α νεω ϖισιον: Ηοω χαν Ι βεστ θυαντιφψ τηε ρισκ το ιµπροϖε τηε τρυστωορτηινεσσ οφ χψβερ σψστεµσ? Προφεσ− σορ Σαηινογλυ ισ βοτη αν ιντερνατιοναλλψ ρενοωνεδ στατιστιχιαν ανδ αν ουτστανδινγ σοφτωαρε ενγινεερ ωηο ηασ βεεν ον τηε φαχυλτιεσ οφ Χασε Ωεστερν Ρεσερϖε ανδ ξιιι

ξιϖ

ΦΟΡΕΩΟΡ∆

Πυρδυε υνιϖερσιτιεσ. Τηε βοοκ εµπηασιζεσ τηε τηεορετιχαλ φουνδατιονσ οφ τηε τοπ− ιχσ ασ ωελλ ασ προϖιδινγ υνιθυε ινσιγητσ βασεδ ον ηισ παστ ανδ ονγοινγ ρεσεαρχη ιν σοφτωαρε ρελιαβιλιτψ τηεορψ, σεχυριτψ, ανδ σοφτωαρε ενγινεερινγ. Ι ρεχοµµενδ τηισ βοοκ νοτ ονλψ φορ αχαδεµια βυτ αλσο φορ τηε πραχτιχινγ ενγινεερ ωιτη αν εψε φορ ιννοϖατιϖε τεχηνιθυεσ το αδδ ϖαλυε το ηισ/ηερ προϕεχτ σολυτιονσ το ιµπροϖε ρισκ θυαντι⇒χατιον ανδ τρυστωορτηψ χοµπυτινγ. Ι χονγρατυλατε ανδ χοµµενδ ηιµ ον ηισ συπερβ χοντριβυτιον το ινφορµατιον τεχηνολογψ. Χ. ς. ΡΑΜΑΜΟΟΡΤΗΨ Υνιϖερσιτψ οφ Χαλιφορνια–Βερκελεψ

Χοµπυτινγ τρυστωορτηινεσσ ισ α φυνδαµενταλ ισσυε ιν τοδαψ’σ ηιγηλψ χοννεχτεδ ωορλδ ωιτη ιτσ ινχρεασινγ ρισκσ οφ µαλιχιουσ ατταχκσ ον ουρ χοµπυτερσ. Αλτηουγη τηε βοοκ ισ ωριττεν πριµαριλψ ασ α τεξτβοοκ φορ υππερ υνδεργραδυατε ανδ γραδυατε στυδεντσ, Ι ηιγηλψ ρεχοµµενδ τηισ βοοκ το ανψ προφεσσιοναλ ηαρδωαρε/σοφτωαρε ενγινεερ, ασ ιτ προϖιδεσ α τρυλψ χοµπρεηενσιϖε υνδερστανδινγ οφ ηοω το µακε συρε τηατ ανψ χοµπυτινγ δεϖιχε χουλδ βε ωορτηψ οφ τηε τρυστ οφ ιτσ υσερσ. Τηε αυτηορ προϖιδεσ α ϖιγορουσ δατα−αναλψτιχ αππροαχη φορ υνδερστανδινγ τηε ρισκσ βψ οβϕεχτιϖελψ υτιλιζινγ α µυλτιτυδε οφ θυαντιτατιϖε µοδελινγ ανδ εστιµατιον τεχηνιθυεσ. Α ϖερψ ιµπορταντ ασπεχτ οφ τηισ βοοκ ισ τηε υσε οφ εχονοµιχαλ εφφεχ− τιϖενεσσ µεασυρεσ, συχη ασ χοστ−εφφεχτιϖε στοππινγ ρυλεσ, το µακε συρε τηατ τηερε ισ α γοοδ ρετυρν ον αν ινϖεστµεντ ιν ρισκ µιτιγατιον. Ι εσπεχιαλλψ λικε τηε βοοκ’σ Χ∆−ΡΟΜ, ιν ωηιχη ηοτ λινκσ αρε προϖιδεδ φορ σπεχιαλ τερµσ το µακε τηε ρεαδινγ ανδ χοµπυτινγ εασιερ. Τηε βοοκ ισ ωελλ ωριττεν, ωιτη µανψ λυχιδ ιλλυστρατιονσ οφ χασε στυδιεσ. ΡΑΨΜΟΝ∆ ΨΕΗ Υνιϖερσιτψ οφ Τεξασ

Προφεσσορ Σαηινογλυ’σ ωορκ ιν τηε αρεα οφ θυαντιτατιϖε µεασυρεµεντ οφ τρυστ− ωορτηινεσσ ασ το ρελιαβιλιτψ, σεχυριτψ, ανδ πριϖαχψ ρισκσ ισ τρυλψ ϖισιοναρψ ανδ σιγνι⇒χαντλψ αηεαδ οφ µαρκετ χαπαβιλιτιεσ. Ηισ ωορκ αδδρεσσεσ α λονγ−στανδινγ σηορτχοµινγ ιν τηε ινφορµατιον σεχυριτψ ινδυστρψ—τηατ ισ, α µεανσ το αχχυρατελψ µεασυρε τηε ρισκ οφ χοµπροµισε ασ ωελλ ασ τηε δισχρετε ⇒νανχιαλ ιµπαχτ οφ ϖαριουσ σεχυριτψ ανδ πριϖαχψ εϖεντσ. ∆ρ. Σαηινογλυ’σ βοοκ, ωηιλε µεαντ πριµαριλψ ασ αν αχαδεµιχ τεξτβοοκ ρατηερ τηαν α ⇒ελδ γυιδε, δοεσ προϖιδε α βροαδ φουνδατιον οφ κνοωλεδγε φορ τηε ρεαδερ το αππλψ ιν τηε αναλψσισ ανδ πριοριτιζατιον οφ σεχυριτψ ανδ πριϖαχψ ρισκσ. Ωηιλε τηε χονχεπτσ αρε στιλλ σοµεωηατ ηεαδψ φορ τηε ⇒ελδ ενγινεερ, ονχε τηεψ αρε γρασπεδ τηεψ χαν βε αδαπτεδ το α βροαδ αρραψ οφ σχεναριοσ. Υνλικε µανψ σχεναριο−σπεχι⇒χ µετηοδολογιεσ υσεδ ιν ινδυστρψ τοδαψ, τηε ινφορµατιον προϖιδεδ βψ Προφεσσορ Σαηινογλυ ανδ ουτλινεδ ιν τηισ βοοκ χαν βε αππλιεδ αχροσσ µανψ σεχυριτψ δισχι− πλινεσ ανδ δοµαινσ ανδ σηουλδ ηαϖε α λονγ φυτυρε ιν ινδυστρψ. Μεηµετ’σ βοοκ

ΦΟΡΕΩΟΡ∆

ξϖ

δελιϖερσ γρουνδβρεακινγ ωορκ ιν ουρ ⇒ελδ ανδ σηουλδ βε α ρεσουρχε ιν εϖερψ σεχυριτψ ρεσεαρχηερ’σ λιβραρψ. ΣΤΕΠΗΕΝ ΓΟΛ∆ΣΒΨ Ιντεγρατεδ Χοµπυτερ Σολυτιονσ, Ινχ.

ΠΡΕΦΑΧΕ

Τηισ βοοκ ωασ ιµπλαντεδ ιν µψ ψουνγ µινδ βψ µψ λατε πεδιατριχιαν ανδ χον− γρεσσµαν φατηερ (1919–1999), ηιµσελφ α χηιλδ οφ δεπριϖατιον δυρινγ τηε Τυρκιση Ωαρ οφ Ινδεπενδενχε (1922), ωηο αδϖισεδ µε αλωαψσ το χαρρψ αν εξτρα βαν− κνοτε, ανδ ηουσε ανδ χαρ κεψσ ιν µψ ωαλλετ το ρεδυχε τηε ρισκ οφ µισερψ ανδ ινχρεασε σεχυριτψ! Τρυστωορτηψ Χοµπυτινγ ωασ ωριττεν δυρινγ α περιοδ οφ σιξ ψεαρσ (2000–2006) ωηιλε τεαχηινγ α χουρσε φορ στυδεντσ ανδ πραχτιτιονερσ ον τηε ρεχογνιτιον οφ δατα αναλψτιχαλ ανδ µετριχ ασπεχτσ οφ σεχυριτψ ανδ ρελιαβιλιτψ µοδ− ελινγ δεαλινγ ωιτη εϖαλυατινγ σοφτωαρε ανδ ηαρδωαρε θυαλιτψ, ανδ σεχυριτψ. Τηε χουρσε τραδιτιοναλλψ χοϖερεδ τοπιχσ ον τρυστωορτηψ χοµπυτινγ. Ηοωεϖερ, οϖερ τηε ψεαρσ, Ι ωασ νοτ αβλε το ιδεντιφψ α σινγλε βοοκ τηατ ιντεγρατεδ χοϖεραγε οφ αππλιεδ ανδ θυαντιτατιϖε χονχεπτσ δεαλινγ ωιτη σεχυριτψ ανδ ρελιαβιλιτψ. Τηε γοαλ οφ τηισ βοοκ ισ το εσταβλιση µετριχσ ορ ινδεξεσ το ιδεντιφψ τηε χοµµον ενεµψ—τηε µαλι− χιουσ ανδ νονµαλιχιουσ ρισκ—σο ασ νοτ το σολελψ θυαλιφψ τηε ιµµινεντ δανγερ ωιτηιν τηε χονϖεντιοναλ στανδαρδσ οφ ηιγη ορ µεδιυµ ορ λοω ρισκ, βυτ αλσο το θυαν− τιφψ ιτ. Α χροσσ προδυχτ οφ χοµπυτερ σεχυριτψ ανδ ρελιαβιλιτψ µεασυρεσ χονστιτυτεσ α χονχερν τηατ δοµινατεσ τοδαψ’σ ωορλδ, ωηιχη ισ νοω δε⇒νιτελψ δατα−δριϖεν, νο λονγερ ϖερβαλ. Νυµεριχαλ δατα ον σεχυριτψ βρεαχηεσ ανδ χηανχε φαιλυρεσ συρρουνδ υσ. Ιννοχεντ ανδ µαλιχιουσ ρισκ δατα µυστ βε χολλεχτεδ, αναλψζεδ, ανδ προχεσσεδ οβϕεχτιϖελψ το χονϖερτ τηεµ ιντο υσεφυλ ινφορµατιον νοτ ονλψ το ινφορµ, βυτ αλσο το ινστρυχτ, ανσωερ, ορ αιδ ιν δεχισιον µακινγ ασ το ηοω το χοµβατ τηε δισαστρουσ χονσεθυενχεσ οφ τηε χοµπυτερ−αδδιχτεδ ωορλδ οφ ινδυστρψ, χοµµερχε, ⇒νανχε, σχιενχε, ανδ τεχηνολογψ. Ωηατ υσεδ το βε τηε µαινσταψ, τηε χηανχε φαιλυρε−βασεδ ρελιαβιλιτψ ισ νοω ουτσµαρτεδ βψ µαλιχιουσ−φαιλυρε−βασεδ λαχκ οφ σεχυριτψ. Υνλεσσ τηεσε ηοστιλε ορ νονηοστιλε προβλεµσ αρε δεαλτ ωιτη σχιεντι⇒χαλλψ ανδ οβϕεχτιϖελψ βψ εµπλοψινγ δατα µοδελινγ τεχηνιθυεσ τοωαρδ χρεατινγ θυαντι⇒αβλε ινδεξεσ ορ µετριχσ, τηερε ισ νο ωαψ τηατ α βυδγεταρψ ασσεσσµεντ χαν βε οβταινεδ µερελψ βψ γυεσσινγ ανδ αχτινγ ωιτη α χοµπλαχεντ συβϕεχτιϖισµ. Στυδεντσ ορ οτηερ ρεαδερσ οφ τηισ βοοκ σηουλδ ηαϖε φυνδαµενταλ τραινινγ ιν στατιστιχσ ανδ προβαβιλιτψ, ορ βε χογνιζαντ οφ τηε ιντερπρετατιον οφ σχιεντι⇒χ δατα. Οφ χουρσε, τηε ασσυµπτιον ισ τηατ τηε εµπιριχαλ δατα υσεδ ιν τηε σολυτιον οφ προβλεµσ αρε µεασυρεµεντ ερρορ–φρεε, ξϖιι

ξϖιιι

ΠΡΕΦΑΧΕ

ρανδοµ, ανδ υνβιασεδ. Τηε βοοκ Χ∆−ΡΟΜ φοχυσεσ ον ηελπινγ τηε ρεαδερ το σολϖε προβλεµσ ανδ το γαιν α σενσε οφ ινδυστριαλ εξπεριενχε. Τηε οβϕεχτιϖε ισ το προ− ϖιδε αν ελεµενταρψ ανδ ρεασοναβλψ σελφ−χονταινεδ οϖερϖιεω οφ τηε ενγινεερινγ ασπεχτσ οφ τρυστωορτηινεσσ ιν τηε γενεραλ σενσε οφ τηε ωορδ, ιντεγρατινγ ρελιαβιλιτψ, σεχυριτψ, ανδ πριϖαχψ. Εϖερψ βοοκ µυστ ηαϖε α σολιδ ανδ χλεαρ πυρποσε φορ χοµινγ το λιφε. Τηε πυρ− ποσε οφ α νεω τεξτ συχη ασ τηισ ισ το ινφορµ σενιορ υνδεργραδυατε ορ βεγιννινγ γραδυατε στυδεντσ αχροσσ τηε βοαρδ ιν ενγινεερινγ δισχιπλινεσ αβουτ νεω αδϖανχεσ ιν ρελιαβιλιτψ ανδ σεχυριτψ µοδελινγ ωιτη α µετριχ−βασεδ θυαντιτατιϖε αππροαχη ασ οπποσεδ το τηε µορε χοµµον ϖερβαλ ορ θυαλιτατιϖε ορ συβϕεχτιϖε χασε ηιστοριεσ, ωηιχη φορµ σοµε οφ τηε εξπεριεντιαλ βαχκγρουνδ ιν τηισ βοοκ. Ρατηερ τηαν ωηατ τηισ βοοκ ισ αβουτ, ωηατ ισ τηισ βοοκ νοτ αβουτ? Τηισ βοοκ ισ νοτ α χολλεχτιον οφ χασε στοριεσ ανδ αλρεαδψ αϖαιλαβλε χηαπτερσ τηατ χαν βε φουνδ ιν α µυλτιτυδε οφ ⇒νε βοοκσ, τηερεφορε αϖοιδινγ ρεπετιτιουσ ινφορµατιον αϖαιλαβλε. Ιτ ισ οβϕεχ− τιϖε, θυαντιτατιϖε, εµπιριχαλ, µετριχ−οριεντεδ, ανδ δατα−δριϖεν. Ηοωεϖερ, εαρλιερ µετηοδσ τηατ δεαλ ωιτη ρεαχηινγ τηε νεω φροντιερσ αρε αλσο εξαµινεδ. Τηερεφορε, ιν Χηαπτερ 1, τηερε ισ σοµε, βυτ µινιµαλ, δυπλιχατιον οφ µατεριαλ ωιδελψ αϖαιλ− αβλε, συχη ασ δεσχριπτιονσ οφ τηε στατιστιχαλ προβαβιλιτψ διστριβυτιονσ αχχοµπανιεδ βψ τηειρ ρεσπεχτιϖε ρανδοµ νυµβερ γενερατιονσ, ηαρδωαρε ρελιαβιλιτψ µετηοδσ φορ χοµπονεντσ ανδ σψστεµσ, ανδ σοφτωαρε ρελιαβιλιτψ−γροωτη µοδελσ. Τηερε αρε ρεφ− ερενχεσ το τηε Χ∆−ΡΟΜ το εναβλε στυδεντσ το ωορκ ωιτη προϕεχτσ τηατ προϖιδε ηανδσ−ον εξπεριενχε ιν δεταιλ. Τηε τεξτ ισ αππλιχαβλε το ωιρελεσσ ενγινεερινγ ωιτη αν οϖερ−τηε−αιρ µεδιυµ. Τηε βοοκ βεγινσ ωιτη α ρεϖιεω το προϖιδε τηε συππλεµενταλ µατεριαλ νεχ− εσσαρψ το τραιν ρεαδερσ ωιτη νο πρεϖιουσ κνοωλεδγε οφ τηε βασιχσ οφ ρελιαβιλιτψ τηεορψ ασ ιτ ρελατεσ το βοτη ηαρδωαρε ανδ σοφτωαρε, ωιτη πραχτιχαλ αππλιχατιονσ. Αλτηουγη τηε µατεριαλ ισ αϖαιλαβλε ιν µανψ βοοκσ ανδ τυτοριαλσ, α γενεραλ τρεατ− µεντ ωιλλ εναβλε τηε ρεαδερ το υνδερστανδ τηε νοµενχλατυρε υσεδ ιν τηε µαιν βοδψ οφ τηε βοοκ ωιτηουτ σηυφ⇓ινγ τηε παγεσ οφ οτηερ βοοκσ. Ιν Χηαπτερ 1 ωε αλσο στυδψ τηε σιµυλατιον αλτερνατιϖεσ φορ εαχη στατιστιχαλ προβαβιλιτψ διστριβυτιον τηατ εξιστσ ιν τηε λιτερατυρε, ωιτη α φεω εξχεπτιονσ, το µοδελ ανδ χαλχυλατε σψστεµ ορ χοµπονεντ αϖαιλαβιλιτψ ωηεν τηε αναλψτιχαλ µετηοδσ ηαϖε σεριουσ σηορτχοµ− ινγσ. Τηε βοοκ χοντινυεσ ωιτη σοφτωαρε ρελιαβιλιτψ µοδελινγ οφ χλυστερεδ φαιλυρε δατα ιν αν εφφορτ−βασεδ τεστινγ ενϖιρονµεντ, τακινγ υπ τηε λεσσ στυδιεδ χοµπουνδ Ποισσον προχεσσ αππροαχη ιν τηε ⇒ρστ ηαλφ οφ Χηαπτερ 2. Τηεν, ασ α φολλοω−υπ το τηε ⇒ρστ ηαλφ οφ τηε χηαπτερ, ιν τηε σεχονδ ηαλφ ωε στυδψ ωαψσ το χοµπαρε φορε− χαστ αχχυραχψ ιν α στοχηαστιχ µαννερ ασ οπποσεδ το τηε δετερµινιστιχ ωαψσ υσεδ χονϖεντιοναλλψ. Μυλτιφαχετεδ θυαντιτατιϖε µοδελινγ οφ σεχυριτψ ανδ πριϖαχψ ρισκ ισ στυδιεδ ιν Χηαπτερ 3, φροµ θυαντιτατιϖε, θυαλιτατιϖε, ανδ ηψβριδ περσπεχτιϖεσ, ωιτη δατα αναλψτιχαλ αππλιχατιονσ ανδ εστιµατιον τεχηνιθυεσ οφ τηε ρισκ παραµε− τερσ, ασ ωελλ ασ ηοω το ηανδλε νονδισϕοιντνεσσ οφ ϖυλνεραβιλιτιεσ ορ τηρεατσ, ανδ ηοω το πριοριτιζε δυρινγ τηε µαιντενανχε χψχλε αφτερ ασσεσσµεντ. Χοστ−εφφεχτιϖε στοππινγ ρυλεσ ιν αν εφφορτ− ανδ τιµε−βασεδ φαιλυρε ενϖιρονµεντ αρε στυδιεδ ιν Χηαπτερ 4, ωηερε εχονοµιχ ρυλεσ οφ χοµπαρισον αρε εµπηασιζεδ, ωιτη αππλιχα− τιονσ νοτ ονλψ το σοφτωαρε ανδ ηαρδωαρε τεστινγ βυτ αλσο ιν τηε ϖερψ αχτιϖε βυσινεσσ

ΠΡΕΦΑΧΕ

ξιξ

ανδ γοϖερνµεντ δοµαινσ. Ιν Χηαπτερ 5 ωε εµπλοψ τηε Σαηινογλυ–Λιββψ προβ− αβιλιτψ διστριβυτιον το µοδελ τηε αϖαιλαβιλιτψ οφ ηαρδωαρε χοµπονεντσ ιν χψβερ σψστεµσ. Ιν Χηαπτερ 6 ωε τακε υπ τηε τοπιχ οφ ρελιαβιλιτψ βλοχκ διαγραµµινγ το χοµπυτε σουρχε–ταργετ ρελιαβιλιτψ υσινγ ϖαριουσ νοϖελ µετηοδσ φορ σιµπλε ανδ χοµπλεξ εµβεδδεδ σψστεµσ. Εαχη χηαπτερ εξπλαινσ ωηψ τηερε ισ α νεεδ φορ τηε µετηοδσ προποσεδ ιν χοµπαρινγ τηε µατεριαλ πρεσεντεδ ωιτη τηατ χοϖερεδ χονϖεντιοναλλψ. Αλλ χηαπτερσ ωορκ τοωαρδ χρεατινγ µατηεµατιχαλ–στατιστιχαλ βυτ ενγινεερινγ−οριεντεδ µετριχσ το βεστ θυαντιφψ τηε λαχκ οφ ρισκ ορ τηε ρελιαβιλιτψ οφ α σψστεµ. Α τηορουγη χουρσε χυρριχυλυµ ον ηοω το υσε τηισ τεξτ ισ γιϖεν ιν τηε Χ∆−ΡΟΜ. Τροψ Υνιϖερσιτψ’σ Υνδεργραδυατε/Γραδυατε Χαταλογ λιστσ ΧΣ4451 ανδ ΧΣ6653, Χοµπυτερ Σεχυριτψ ανδ Ρελιαβιλιτψ, 3 χρεδιτ ηουρσ. Τηε ινχλυσιον οφ τηισ χουρσε υνδερ ιτσ αχτυαλ ρεπρεσεντατιϖε τιτλε ωιτη α νεω χουρσε νυµβερ ανδ αν ιµπροϖεδ χουρσε δεσχριπτιον, δυε παρτιαλλψ το Μιχροσοφτ’σ τρυστωορτηψ χοµπυτινγ χυρριχυ− λυµ ρεσεαρχη γραντ ιν 2006, ωασ τηε ρεσυλτ οφ µανψ ηουρσ οφ ωορκ βψ τηε αυτηορ, αλσο ιν τηε χαπαχιτψ οφ ∆επαρτµεντ Ηεαδ οφ Χοµπυτερ Σχιενχε (σινχε 1999), το στρενγτηεν ανδ υπδατε τηε ΧΣ χυρριχυλυµ ωιτη τηε χηανγινγ ανδ συρπρισινγ τρενδσ εϖιδεντ ατ τηε βεγιννινγ οφ τηε τωεντψ−⇒ρστ χεντυρψ. Τηισ ισ εξαχτλψ ωηψ Τροψ Υνιϖερσιτψ λαυνχηεδ αν ΙΤ Χολλοθυιυµ Σεριεσ οφ τηε Μιλλεννιυµ. Φορ τηε παστ ειγητ ψεαρσ, α διστινγυισηεδ χοµπυτερ σχιεντιστ, υσυαλλψ ον τηε εξχιτινγ τοπιχ οφ ΙΤ σεχυριτψ ανδ ρελιαβιλιτψ, ωιλλ ηαϖε βεεν ινϖιτεδ το σπεακ βψ τηε τιµε τηισ βοοκ ισ πυβλισηεδ ιν τηε συµµερ οφ 2007. Τηισ χηανγε ισ αλσο ιµπορταντ βεχαυσε ωε πλαν τηατ ουρ στυδεντσ ωηο γραδυατε ωιτη α δεγρεε ιν ΧΣ ωιλλ βε ωελλ εθυιππεδ ωιτη αν αππρεχιατιον οφ αναλψτιχαλ ανδ θυαντιτατιϖε µεασυρεσ το ασσεσσ, χοµπαρε, ανδ ιµπροϖε τηε τρυστωορτηινεσσ οφ χψβερ σψστεµσ. Στυδεντσ µυστ βε “σενσιτιζεδ ανδ προαχτιϖε βεφορε τηε οχχυρρενχε οφ υνδεσιραβλε επισοδεσ δυε το βρεαχη οφ σεχυριτψ ανδ ποορ ρελιαβιλιτψ” ανδ αχτ “σεχυριτψ−χονσχιουσ ανδ ρελιαβιλιτψ−λιτερατε.” Σιµπλψ στατεδ, ουρ στυδεντσ χαννοτ αφφορδ το βε ιγνοραντ ιν τερµσ οφ σοφτωαρε θυαλιτψ ανδ ινφορµατιον σεχυριτψ χονχερνσ. Ιν τηισ βοοκ, οβϕεχτιϖε θυαντι⇒χατιον φορ σεχυριτψ ανδ ρελιαβιλιτψ ισ ασσερτεδ, νοτ αν οβσχυρε συβϕεχτιϖιτψ ασ πραχτιχεδ χονϖεντιοναλλψ. Τρυστωορτηψ χοµπυτινγ ισ ιµπορταντ, ασ στατεδ ιν τηε Πρεσιδεντ’σ Ινφορµατιον Τεχηνολογψ Αδϖισορψ Χοµµιττεε ρεπορτ το τηε Πρεσιδεντ οφ τηε Υνιτεδ Στατεσ ιν Φεβρυαρψ 2005: “Υβιθυιτουσ ιντερχοννεχτιϖιτψ = ωιδεσπρεαδ ϖυλνεραβιλ− ιτψ”; “φυνδαµενταλλψ νεω σεχυριτψ µοδελσ ανδ µετηοδσ αρε νεεδεδ”; ανδ “τηε Φεδεραλ γοϖερνµεντ σηουλδ ιντενσιφψ ιτσ εφφορτσ το προµοτε ρεχρυιτµεντ ανδ ρετεν− τιον οφ χψβερ σεχυριτψ ρεσεαρχηερσ ανδ στυδεντσ ατ ρεσεαρχη υνιϖερσιτιεσ.” Τηε ρεπορτ στρεσσεδ τηε νεεδ το δεϖελοπ σεχυριτψ µετριχσ ανδ βενχηµαρκσ; εχονοµιχ ιµπαχτ ασσεσσµεντ ανδ ρισκ αναλψσισ τεχηνιθυεσ, ινχλυδινγ ρισκ ρεδυχτιον ανδ χοστ οφ δεφενσε; ανδ αυτοµατεδ τοολσ το ασσεσσ χοµπλιανχε ανδ/ορ ρισκ. Ιν αδδιτιον, ιν τηε Μαψ–ϑυνε 2005 ισσυε οφ ΙΕΕΕ Σεχυριτψ ανδ Πριϖαχψ, τηε Γυεστ Εδιτορ ρεµαρκσ υνδερ τηε τιτλε “Ινφραστρυχτυρε Σεχυριτψ: Ρελιαβιλιτψ ανδ ∆επενδαβιλιτψ οφ Χριτιχαλ Σψστεµσ: “Τηισ σπεχιαλ ισσυε οφ ΙΕΕΕ Σεχυριτψ & Πριϖαχψ φοχυσεσ ον τηε σεχυριτψ, αγιλιτψ, ανδ ροβυστνεσσ οφ λαργε−σχαλε χριτιχαλ ινφραστρυχτυρε. Σπεχι⇒χαλλψ ιτ εξαµινεσ τηε χηαλλενγεσ ασσοχιατεδ ωιτη ινφραστρυχτυρε προτεχτιον φορ ενηανχεδ σψστεµ σεχυριτψ, ρελιαβιλιτψ, εφ⇒χιενχψ, ανδ θυαλιτψ. Τηε αρτιχλεσ ιν τηισ σπεχιαλ

ξξ

ΠΡΕΦΑΧΕ

ισσυε γο α λονγ ωαψ τοωαρδ αδδρεσσινγ τωο κεψ ισσυεσ ιν διστριβυτεδ δενιαλ− οφ−σερϖιχε (∆∆οΣ) ανδ τηε δεϖελοπµεντ οφ πραγµατιχ αππροαχη το θυαντιφψινγ σεχυριτψ ανδ χαλχυλατινγ ρισκ. Μ. Σαηινογλυ δεσχριβεσ α σεχυριτψ µετερ, ωηιχη προϖιδεσ α θυαντιτατιϖε τεχηνιθυε ωιτη αν υπδατεδ ρεποσιτορψ ον ϖυλνεραβιλιτιεσ, τηρεατσ, ανδ χουντερµεασυρεσ το χαλχυλατε ρισκ.” Στυδεντσ υσινγ τηισ τεξτβοοκ ωιλλ ηαϖε ηανδσ−ον εξπεριενχε ωιτη αππλιχατιονσ− βασεδ σοφτωαρε, αϖαιλαβλε ιν τηε αχχοµπανψινγ Χ∆−ΡΟΜ. Τηε τρανσδισχιπλιναρψ νατυρε οφ τηε Σοχιετψ οφ ∆εσιγν ανδ Προχεσσ Σχιενχε (Σ∆ΠΣ), οφ ωηιχη τηε αυτηορ ισ αν ελεχτεδ Φελλοω (2002), ενχουραγεδ τηε ιδεα οφ συχη αν ιντερδισχιπλιναρψ βοοκ. Ιτ ισ αντιχιπατεδ τηατ τηε αυδιενχε φορ τηε βοοκ ωιλλ βε αδϖανχεδ υνδεργραδυατε ανδ βεγιννινγ γραδυατε στυδεντσ ιν ελεχτριχαλ, χοµπυτερ, ανδ σοφτωαρε ενγινεερ− ινγ, ιν χοµπυτερ σχιενχε ανδ ινδυστριαλ ανδ σψστεµσ ενγινεερινγ, ορ ιν στατιστιχσ ανδ οπερατιονσ ρεσεαρχη δεπαρτµεντσ ιν τηειρ χουρσεσ ον σεχυριτψ, ρελιαβιλιτψ, ορ ασσυρανχε σχιενχεσ ιν γενεραλ ανδ ασ ωελλ ασ ιν ρελατεδ προγραµσ. Τηε δραφτ Χοµ− πυτινγ Χυρριχυλα 2004 ατ ηττπ://ωωω.αχµ.οργ/εδυχατιον/χυρριχυλα.ητµλ#ΧΧ2005 προϖιδεσ α χοµπαρατιϖε ωειγητ οφ χοµπυτινγ τοπιχσ αχροσσ τηε ⇒ϖε δεγρεε προ− γραµσ: χοµπυτερ ενγινεερινγ, ΧΕ; χοµπυτερ σχιενχε, ΧΣ; ινφορµατιον σψστεµσ, ΙΣ; ινφορµατιον τεχηνολογψ, ΙΤ; ανδ σοφτωαρε ενγινεερινγ, ΣΕ. Ιν τηε ταβλεσ ιν τηε ρεπορτ, συχη ασ τηε ονε βελοω, Μιν (≥ 0) ρεπρεσεντσ τηε µινιµυµ χαλλεδ φορ βψ τηε χυρριχυλυµ γυιδελινεσ, ανδ Μαξ (≤ 5) ρεπρεσεντσ τηε γρεατεστ εµπηασισ ονε µιγητ εξπεχτ ιν τηε τψπιχαλ χασε οφ α στυδεντ ωηο χηοοσεσ το υνδερτακε οπτιοναλ ωορκ ιν τηατ αρεα ορ ωηο γραδυατεσ φροµ α σχηοολ τηατ ρεθυιρεσ ιτσ στυδεντσ το αχηιεϖε µαστερψ βεψονδ τηατ ρεθυιρεδ βψ τηε χυρριχυλυµ ρεπορτσ. Ιν τηε κνοωλεδγε αρεασ αχροσσ τηε βοαρδ, τηε γραδινγ οφ συβϕεχτ µαττερ ιν τηισ προποσαλ ιµπλιεσ ινχρεασεδ εµπηασισ, ωηιχη δοεσ νοτ αγρεε ωιτη τηε ρεαλιτψ οφ ωηατ ισ οφφερεδ, δυε το α προβαβλε λαχκ οφ σπεχιαλιζεδ τεξτβοοκσ, ανδ νοτ ινχλυδινγ ιτ ιν τηε χορε προγραµ. ΧΕ Κνοωλεδγε Αρεα Σοφτωαρε ϖερι⇒χατιον ανδ ϖαλιδατιον Σοφτωαρε θυαλιτψ Σεχυριτψ ισσυεσ ανδ πρινχιπλεσ Σεχυριτψ ιµπλεµεντατιον ανδ µαναγεµεντ Ρισκ µαναγεµεντ (προϕεχτ σαφετψ ρισκ)

ΧΣ

ΙΣ

ΙΤ

ΣΕ

Μιν

Μαξ

Μιν

Μαξ

Μιν

Μαξ

Μιν

Μαξ

Μιν

Μαξ

1

3

1

2

1

2

1

2

4

5

2 2

3 3

2 1

3 4

1 2

2 3

1 1

2 3

3 1

4 3

1

2

1

3

1

3

3

5

1

3

2

4

1

1

2

3

1

4

2

4

Ιν Αππενδιξ Α οφ τηε ρεπορτ, Ταβλε 4.3 λιστσ α ϖαριετψ οφ χουρσεσ φορ χοµπυτερ ενγινεερινγ ανδ ρελατεδ χυρριχυλα, συχη ασ χοµπυτερ σψστεµ ενγινεερινγ, σοφτ− ωαρε ενγινεερινγ, οπερατινγ σψστεµσ, νετωορκσ, ανδ προβαβιλιτψ ανδ στατιστιχσ, αλλ κνοωλεδγε αρεασ το ωηιχη τηισ βοοκ ισ ρελατεδ διρεχτλψ ορ ινδιρεχτλψ. Τηε µοτι− ϖατιον ιν τηισ αλτερνατιϖε τεξτβοοκ ισ το γο ουτσιδε τηε βοξ ανδ ιµπλεµεντ νεω ιδεασ, ωηιχη ηαϖε βεεν τεστεδ τηρουγη πεερ ρεϖιεωσ ιν πρεστιγιουσ ϕουρναλσ ον τηε

ΠΡΕΦΑΧΕ

ξξι

ασσυρανχε σχιενχεσ. Πραχτιχινγ ενγινεερσ ωιλλ βε αβλε το υσε τηε βοοκ το βενε⇒τ τηειρ χασε στυδιεσ ανδ προϕεχτσ βψ υσινγ τηε µετιχυλουσλψ πρεπαρεδ Χ∆−ΡΟΜ. Τηισ βοοκ ισ α θυαντιτατιϖε δατα−δριϖεν ανδ µετριχ−οριεντεδ παχκαγε ον ασσεσσ− ινγ τηε δεπενδαβιλιτψ, ανδ φυρτηερ, τρυστωορτηινεσσ οφ χοµπονεντσ ανδ σψστεµσ. ∆επενδαβιλιτψ ≈ ρελιαβιλιτψ × σεχυριτψ, αλλ ιν προβαβιλιτιεσ, ωηερε α χοµπονεντ ισ ονλψ χονδιτιοναλλψ ρελιαβλε (ε.γ., 95%) ασσυµινγ τηατ ιτ ισ 100% σεχυρε. Ιφ νοτ (ε.γ., 80% σεχυρε), ιτ ισ ονλψ ασ δεπενδαβλε ασ τηε χροσσ προδυχτ οφ ιτσ ρελιαβιλιτψ ανδ σεχυριτψ µεασυρεσ (ε.γ., 0.95 × 0.8 = 0.76 = 76%). Νοτε τηατ τηε ρελιαβιλιτψ ινδεξ µαψ βε ασσιστεδ βψ α θυαντιτατιϖε µεασυρε οφ αϖαιλαβιλιτψ—τηε ρεαδινεσσ φορ υσε, αλσο ιµπλψινγ µαινταιναβιλιτψ: τηε αβιλιτψ το υνδεργο ρεπαιρ ανδ εϖο− λυτιονσ—ορ σαφετψ (τηε νονοχχυρρενχε οφ χαταστροπηιχ φαιλυρεσ), ωηιχηεϖερ χασε αππλιεσ. Τηερεφορε, δεπενδαβιλιτψ εϖολϖεσ το τηε τρυστωορτηινεσσ οφ α χοµπονεντ ορ σψστεµ συχη τηατ ρελιανχε ανδ τρυστ, βοτη ηυµαν ανδ ελεχτρονιχ, χαν ϕυστι⇒− αβλψ βε πλαχεδ ον τηε σερϖιχε δελιϖερεδ το ιτσ υσερσ (ι.ε., Τ = Ρ × Σ × Π). Τηισ ισ ωηψ ωηεν µυλτιπλιεδ βψ τηε πριϖαχψ ινδεξ (ε.γ., 92%)—ωηερε σεχυριτψ ανδ πριϖαχψ µετριχσ αρε προποσεδ ιν Χηαπτερ 3—δεπενδαβιλιτψ ψιελδσ το τηε τρυστωορ− τηινεσσ ινδεξ (ε.γ., 0.76 × 0.92 = 0.7 = 70%), ωηιχη ισ θυαντι⇒αβλψ µεασυραβλε ανδ ιµπροϖαβλε, ανδ ιφ νοτ, µαναγεαβλε. Αχκνοωλεδγµεντσ Τηισ ηυγε εφφορτ χουλδ νοτ συχχεεδ ιν τηε φορµ οφ α τεξτβοοκ βψ Ωιλεψ—ωηοσε βιχεντεννιαλ ιν 2007 Ι αµ ηονορεδ το χελεβρατε—ωιτηουτ τηε ενχουραγεµεντ τηατ Ι ρεχειϖεδ φροµ τηε ωισδοµ ανδ µεντορσηιπ οφ α γρεατ µινδ ανδ ηυµβλε ηεαρτ, τηε νορτη σταρ οφ µοδερν σοφτωαρε ενγινεερινγ ανδ σχιενχε, Χ. ς. Ραµαµοορ− τηψ. Προφεσσορσ Ραµαµοορτηψ ανδ Ψεη αρε βοτη ηυµβλε µινδσ ανδ ασσετσ το τηε ιντερνατιοναλ σχιεντι⇒χ ωορλδ. Ιν εαρλιερ δεχαδεσ, µψ Πη.∆. (1977–1981) συπερ− ϖισορσ φροµ Τεξασ Α&Μ’σ Στατιστιχσ ∆επαρτµεντ, εµεριτυσ Προφεσσορ Λαρρψ ϑ. Ρινγερ, λατερ τηε µαψορ οφ Χολλεγε Στατιον, Τεξασ φορ τωο τερµσ, ανδ Προφεσσορσ Μ. Λονγνεχκερ ανδ Οµαρ ϑενκινσ; ανδ τηοσε φροµ τηε Ελεχτριχαλ ανδ Χοµπυτερ Ενγινεερινγ ∆επαρτµεντ, Προφεσσορσ Α. ∆. Παττον ανδ Χ. Σινγη, βοτη ρελιαβιλιτψ εξπερτσ ανδ ΕΧΕ χηαιρµεν δυρινγ τηειρ λονγ αχαδεµιχ χαρεερσ, ανδ Προφεσσορ Α. Κ. Αψουβ (δεχεασεδ), χοντριβυτεδ το µψ αχαδεµιχ δεϖελοπµεντ, ρε⇓εχτεδ ιν τηε τεξτβοοκ, φορ ωηιχη Ι αµ ινδεβτεδ. Ιν λαττερ ψεαρσ, µανψ χολλεαγυεσ ηαϖε αλσο ηελπεδ διρεχτλψ ορ ινδιρεχτλψ, ωιτη ωορδσ οφ εξπεριενχε ανδ εξπερτισε, συχη ασ ∆ρ. Μ. Τανικ φροµ ΥΑΒ, ∆ρ. Σ. ∆ασ φροµ Τροψ Υνιϖερσιτψ ανδ εµεριτυσ φροµ τηε Υνιϖερσιτψ οφ Οτταωα, ασ ωελλ ασ ∆ρ. ϑοην ∆εελψ ανδ ∆ρ. Ε. Η. Σπαφφορδ, βοτη φροµ Πυρδυε; ανδ Στεϖε Γολδσβψ, ΧΕΟ οφ ΙΧΣ ιν Μοντγοµερψ. ∆αϖιδ Τψσον, µψ φορµερ γραδυατε στυδεντ ατ Τροψ Υνιϖερσιτψ, ανδ ΥΣΑΦ Χαπτ. Ροβ Βαρχλαψ, βοτη αδϕυνχτ φαχυλτψ ανδ φροµ Γυντερ ΑΦΒ ιν Μοντγοµερψ, ασσιστεδ µε ωιτη δεδιχατιον ωηενεϖερ Ι νεεδεδ ηελπ. Ι τηανκ Βεν Ριχε φορ ηισ χοντριβυτιονσ το σοµε οφ τηε Χηαπτερ 6 µατεριαλ; το αλλ τηε ΧΣ στυδεντσ ατ Τροψ Υνιϖερσιτψ ωηο τοοκ τηισ χουρσε ανδ χοντριβυτεδ, ανδ το τηε σεχρεταριαλ σταφφ (Ανγελα Λ. Χροοκσ ιν 2005 ανδ 2006; ∆εββιε Η. Βροοκσ ιν 2007), φαχυλτψ, ανδ αδµινιστρατιον, φορ τηειρ συππορτ. Λαστ, βυτ νοτ λεαστ, Ι αλσο λικε το τηανκ Γεοργε Τελεχκι, Ραχηελ Ωιτµερ,

ξξιι

ΠΡΕΦΑΧΕ

ανδ Ανγιολινε Λορεδο, αλλ οφ ϑοην Ωιλεψ & Σονσ, Ινχ., φορ τηειρ ενχουραγεµεντ ανδ τρυστ, ωιτη πλεντψ οφ υνδερστανδινγ, δυρινγ τηε δεϖελοπµεντ οφ τηισ τεξτ. Σχιενχε ισ το κνοω κνοωλεδγε Κνοωλεδγε ισ το κνοω ψουρ Σελφ Ιφ ψου δον’τ κνοω ψουρ Σελφ Τηεν ωηατ’σ τηε ποιντ οφ ψουρ στυδιεσ? —Ψυνυσ Εµρε, τηε λεγενδαρψ µψστιχ φολκ ποετ (1238–1320) Μ. ΣΑΗΙΝΟΓΛΥ

Χοµε, λετ υσ ρελψ ον φριενδσ φορ ονχε Λετ υσ µακε λιφε εασψ ον υσ Λετ υσ βε λοϖερσ ανδ λοϖεδ ονεσ Τηε εαρτη σηαλλ βε λεφτ το νο ονε. —Ψυνυσ Εµρε, τηε λεγενδαρψ µψστιχ φολκ ποετ (1238–1320)

1 ΦΥΝ∆ΑΜΕΝΤΑΛΣ ΟΦ ΧΟΜΠΟΝΕΝΤ ΑΝ∆ ΣΨΣΤΕΜ ΡΕΛΙΑΒΙΛΙΤΨ ΑΝ∆ ΡΕςΙΕΩ ΟΦ ΣΟΦΤΩΑΡΕ ΡΕΛΙΑΒΙΛΙΤΨ Νυτσηελλ 1.0 Ιν τηισ χηαπτερ ωε ιντροδυχε σοµε οφ τηε βασιχ χονχεπτσ, ανδ µατηεµατιχαλ ανδ στατιστιχαλ φυνχτιονσ υσεδ ιν ηαρδωαρε ορ σοφτωαρε ρελιαβιλιτψ ανδ σεχυριτψ εϖαλ− υατιον. Ιν τηε ⇒ρστ σεχτιον οφ τηισ χηαπτερ ωε ρεϖιεω σοµε χοµµον στατιστιχαλ προπερτιεσ οφ δενσιτψ φυνχτιονσ. Ιν τηε σεχονδ σεχτιον ωε ιντροδυχε σοµε φυνχτιονσ οφ ιµπορτανχε ιν ρελιαβιλιτψ. Ιν τηε τηιρδ σεχτιον ωε ιντροδυχε αν εξτενδεδ λιστ οφ στατιστιχαλ διστριβυτιονσ τηατ χαν βε υσεδ ιν ρελιαβιλιτψ, ανδ ωε δισχυσσ ηοω το γεν− ερατε ρανδοµ ϖαριαβλεσ οφ ιντερεστ υσινγ σιµυλατιον µετηοδσ. Ιν τηε φουρτη σεχτιον ωε στυδψ τηε τεστινγ οφ ρελιαβιλιτψ ιν α ϖαριετψ οφ δατα φορµσ. Ιν τηε ⇒φτη σεχτιον ωε µοϖε αωαψ φροµ τηε χοµπονεντσ ανδ σταρτ δεαλινγ ωιτη σψστεµ ρελιαβιλιτψ τογετηερ ωιτη ρεδυνδανχψ ασπεχτσ ανδ λιµιτατιονσ. Ιν τηε ⇒ναλ σεχτιον ωε ιντροδυχε ανδ ρεϖιεω ιν δεπτη σοµε βασιχ χονχεπτσ ανδ µοδελσ υσεδ ιν σοφτωαρε ρελιαβιλιτψ. 1.1 ΦΥΝΧΤΙΟΝΣ ΟΦ ΙΜΠΟΡΤΑΝΧΕ ΙΝ ΡΕΛΙΑΒΙΛΙΤΨ Ιν ρελιαβιλιτψ τηεορψ τηερε αρε α νυµβερ οφ δενσιτψ φυνχτιονσ οφ παρτιχυλαρ ιµπορ− τανχε βεχαυσε οφ τηειρ τηεορετιχαλ ανδ πραχτιχαλ υτιλιζατιον ανδ φορ τηειρ υσεφυλ− νεσσ ιν ιλλυστρατινγ στατιστιχαλ ανδ ρελιαβιλιτψ χονχεπτσ. Ιν τηισ σεχτιον, δενσιτιεσ γενεραλλψ υσεδ αρε πρεσεντεδ τογετηερ ωιτη τηειρ µορε ιµπορταντ χηαραχτεριστιχσ. Σοµε οφ τηε τηε µοστ χοµµονλψ υσεδ χοντινυουσ δενσιτψ φυνχτιονσ ινχλυδεδ αρε τηε εξπονεντιαλ, νορµαλ, ρεχτανγυλαρ, Ωειβυλλ, λογνορµαλ, ανδ γαµµα. Τηε Τρυστωορτηψ Χοµπυτινγ: Αναλψτιχαλ ανδ Θυαντιτατιϖε Ενγινεερινγ Εϖαλυατιον, Βψ Μ. Σαηινογλυ Χοπψριγητ  2007 ϑοην Ωιλεψ & Σονσ, Ινχ.

1

2

ΦΥΝ∆ΑΜΕΝΤΑΛΣ ΟΦ ΧΟΜΠΟΝΕΝΤ ΑΝ∆ ΣΨΣΤΕΜ ΡΕΛΙΑΒΙΛΙΤΨ

χηαραχτεριστιχσ πρεσεντεδ αρε τηοσε νορµαλλψ χονσιδερεδ ιµπορταντ ιν ρελιαβιλιτψ τεχηνολογψ, ινχλυδινγ τηε ρελιαβιλιτψ φυνχτιον R(t), ηαζαρδ φυνχτιον h(t), µεαν, ϖαριανχε, µοδε, ανδ ρεγιον οφ δε⇒νιτιον. Τηε δεριϖατιονσ οφ τηεσε χηαραχτεριστιχσ αρε ρεαδιλψ αϖαιλαβλε ιν στατιστιχαλ τεξτσ ανδ αρε νοτ πρεσεντεδ ηερε. Ιτ ωιλλ βε αν εξχελλεντ εξερχισε φορ τηε ρεαδερ το ϖεριφψ τηεσε δεριϖατιονσ. Τηε φολλοωινγ δε⇒νιτιονσ αρε περτινεντ φορ τηε δεριϖατιονσ. Μορε δεταιλ ον τηεσε δε⇒νιτιονσ ισ προϖιδεδ τηρουγηουτ. 1. Τηε ρελιαβιλιτψ: R(t) =



tu

f (t) dt

(1)

t

ωηερε f (t) ισ τηε προβαβιλιτψ δενσιτψ φυνχτιον ανδ tu ισ τηε υππερ βουνδ ον τηε ρεγιον οφ δε⇒νιτιον οφ f (t). 2. Τηε ηαζαρδ φυνχτιον: f (t) (2) h(t) = R(t) 3. Τηε µεαν: μ=



tf (t) dt

(3)

D

ωηερε D (δοµαιν) ισ τηε ρεγιον οφ δε⇒νιτιον οφ f (t). 4. Τηε ϖαριανχε:   2 2 σ = (t − μ) f (t) dt = t 2 f (t) dt − μ2 D

(4)

D

5. Τηε µοδε ισ τηατ ϖαλυε οφ t (ιφ ιτ εξιστσ) συχη τηατ f (t) ισ α µαξιµυµ τηερε φορ δενσιτιεσ ωιτη α σινγλε µαξιµυµ. 6. M ισ τηε µεδιαν ορ 50τη περχεντιλε ιφ 0.50 =



M

f (t) dt

(5)

0

Τηερε αρε σεϖεραλ φυνχτιονσ οφ φυνδαµενταλ ιµπορτανχε ιν µοδερν ρελιαβιλιτψ ενγινεερινγ [1]. Μοστ οφ τηεσε αρε αλσο ιµπορταντ ιν αππλιεδ ανδ τηεορετιχαλ στατισ− τιχαλ στυδιεσ. Αλλ αρε πρεσεντεδ ηερε φορ χοµπλετενεσσ. Τηε ⇒ρστ ανδ φυνδαµενταλ φυνχτιον οφ ιµπορτανχε ισ τηε δενσιτψ φυνχτιον (Φιγυρε 1.1). Φορ α δισχρετε ϖαριαβλε (δε⇒νεδ ονλψ ατ σπεχι⇒χ ποιντσ t1 , t2 , . . . , tn ), τηε δενσιτψ φυνχτιον γιϖεσ τηε προβ− αβιλιτψ οφ οχχυρρενχε οφ εαχη ποιντ ανδ ισ δενοτεδ P (t). Φορ α χοντινυουσ ϖαριαβλε (δε⇒νεδ φορ αλλ t ιν αν ιντερϖαλ I ), τηε δενσιτψ φυνχτιον, δενοτεδ f (t), γιϖεσ τηε ρελατιϖε φρεθυενχψ ωιτη  ωηιχη τηε t−ϖαλυεσ οχχυρ. Χηαραχτεριστιχ οφ τηε δενσιτψ φυνχτιον ισ τηε φαχτ τηατ ni=1 P (ti ) = 1 φορ τηε δισχρετε χασε ανδ D f (t) dt = 1

3

f (t )

ΦΥΝΧΤΙΟΝΣ ΟΦ ΙΜΠΟΡΤΑΝΧΕ ΙΝ ΡΕΛΙΑΒΙΛΙΤΨ

t

ΦΙΓΥΡΕ 1.1 Προβαβιλιτψ δενσιτψ φυνχτιονσ.

φορ τηε χοντινυουσ χασε. D δενοτεσ τηε δοµαιν οφ δε⇒νιτιον ορ ιντερϖαλ οφ ιντε− γρατιον. Αλλ οτηερ φυνχτιονσ χονσιδερεδ δεπενδ ον τηε δενσιτψ φυνχτιον ανδ ιτσ χηαραχτεριστιχσ. Τηε σεχονδ µοστ ιµπορταντ φυνχτιον φροµ αν εστιµατιον ανδ ιντερπρετατιον στανδποιντ ισ τηε χυµυλατιϖε δενσιτψ φυνχτιον (Φιγυρε 1.2). Ιτ ισ δενοτεδ F (t) ανδ ισ γιϖεν ασ φολλοωσ, ωηερε k ισ τηε νυµβερ οφ δισχρετε ϖαλυεσ ανδ t0 ισ τηε λοωερ λιµιτ οφ δοµαιν D ιν τηε χοντινυουσ χασε: F (tk ) = F (t) =

k 

P (ti )

(6)

f (t) dt

(7)

i=1



t

t0

Τηε χυµυλατιϖε φυνχτιον τηυσ γιϖεσ τηε προβαβιλιτψ οφ α ϖαλυε λεσσ τηαν ορ εθυαλ το t (ορ tk ) ορ βψ τηε φραχτιον οφ ϖαλυεσ τηατ αρε λεσσ τηαν ορ εθυαλ το t (ορ tk ). Βψ αππροπριατε υσε οφ τηισ φυνχτιον, ιτ ισ ιµποσσιβλε το εϖαλυατε α συβσταντιαλ

F (t)

1

0.5

0 t

ΦΙΓΥΡΕ 1.2

Χυµυλατιϖε διστριβυτιον φυνχτιον.

4

ΦΥΝ∆ΑΜΕΝΤΑΛΣ ΟΦ ΧΟΜΠΟΝΕΝΤ ΑΝ∆ ΣΨΣΤΕΜ ΡΕΛΙΑΒΙΛΙΤΨ

νυµβερ οφ προβαβιλιτιεσ οφ ιντερεστ. Φορ εξαµπλε, P (t > t0 ) = 1 − F (t0 )

(8)

P (ta < t ≤ tb ) = F (tb ) − F (ta )

(9)

P (t ≤ t0 ) = F (t0 )

(10)

Τηε ϕοιντ δενσιτψ φυνχτιον οφ n ινδεπενδεντ ρανδοµ ϖαριαβλεσ ισ γιϖεν βψ f (t1 , t2 , . . . , tn ) = f1 (t1 )f2 (t2 ) · · · fn (tn )

(11)

Τηισ φυνχτιον ισ ονε οφ πριµαρψ ιµπορτανχε ιν εστιµατιον βεχαυσε ιτ περµιτσ δε⇒νιτιον οφ τηε λικελιηοοδ φυνχτιον φορ α ρανδοµ σαµπλε οφ σιζε n. Τηε λικελιηοοδ φυνχτιον ισ δε⇒νεδ ασ τηε ϕοιντ δενσιτψ οφ τηε σαµπλε. Ιφ ωε ηαϖε α ρανδοµ σαµπλε t1 , t2 , . . . , tn ανδ αλλ ti ηαϖε τηε σαµε δενσιτψ (ασ ισ τηε χασε ιν ρανδοµ σαµπλινγ), f (t1 , t2 , . . . , tn ) = f (t1 )f (t2 ) · · · f (tn )

(12)

Τηε µαργιναλ δενσιτψ ισ δε⇒νεδ ωηεν τηε δενσιτψ φυνχτιον ισ οφ ηιγηερ ορδερ (α δενσιτψ φυνχτιον οφ µορε τηαν ονε ϖαριαβλε) ασ τηε φυνχτιον fX (x) =



f (x, y) dy

(13)

Ry

ωηερε Ry ισ τηε ρανγε οφ τηε y’σ, f (x, y) ισ τηε δενσιτψ οφ x ανδ y, ανδ fX (x) ισ τηε µαργιναλ δενσιτψ. Τηυσ, τηε µαργιναλ δενσιτψ µαψ βε χονσιδερεδ το βε τηε ρεσυλτ οφ ελιµινατινγ ρανδοµ ϖαριαβλεσ τηατ αρε νοτ οφ ιντερεστ. Τηε χονδιτιοναλ δενσιτψ ισ α δενσιτψ τηατ δεσχριβεσ α ρανδοµ ϖαριαβλε (ορ ϖαρι− αβλεσ) ωηεν οτηερ ρανδοµ ϖαριαβλεσ αρε ασσιγνεδ σπεχι⇒χ ϖαλυεσ. Τηυσ, ιφ f (x, y) ισ τηε ϕοιντ δενσιτψ οφ x ανδ y, τηε χονδιτιοναλ δενσιτψ οφ f (x | y) ισ α φυνχτιον οφ x ατ α σπεχι⇒εδ y συχη τηατ F (a < x < b | y) =



b a

f (x | y) dx

(14)

Χονσιδερ αν αρβιτραρψ φαιλυρε διστριβυτιον γιϖεν βψ f (t) φορ t ≥ γ , ανδ 0 οτηερ− ωισε. Ιν αδδιτιον το τηε υσυαλ στατιστιχαλ φυνχτιονσ, συχη ασ τηε χυµυλατιϖε δενσιτψ φυνχτιον; F (t), ωηιχη αρε οφ ιµπορτανχε ιν ρελιαβιλιτψ, τηε φολλοωινγ αρε σοµε οφ τηε οτηερσ [2]. 1. Ρελιαβιλιτψ φυνχτιον ανδ ρελιαβλε λιφε. Τηε ρελιαβιλιτψ φυνχτιον, R(t) (Φιγ− υρε 1.3), ισ τηε προβαβιλιτψ τηατ φαιλυρε οχχυρσ αφτερ τιµε t ανδ ισ δε⇒νεδ ασ R(t) =



∞ t

f (x) dx = 1 − F (t)

(15)

5

ΦΥΝΧΤΙΟΝΣ ΟΦ ΙΜΠΟΡΤΑΝΧΕ ΙΝ ΡΕΛΙΑΒΙΛΙΤΨ

R (t )

1

0.5

0 t

ΦΙΓΥΡΕ 1.3

Ρελιαβιλιτψ φυνχτιον.

Τηε ρελιαβλε λιφε, ρR , σοµετιµεσ χαλλεδ τηε µινιµυµ λιφε, ισ δε⇒νεδ φορ ανψ σπεχι− ⇒εδ R συχη τηατ  R(t) =

∞

ρR

f (t) dt = R(ρR )

(16)

Τηε ρελιαβλε λιφε, ρR , ισ τηε σαµε ασ τηε qτη θυαντιλε, ωηερε q = 1 − R. Α σπεχιαλ χασε ισ ωηεν R = 21 ; ρR τηεν βεχοµεσ τηε µεδιαν. Σιµιλαρλψ, ωηεν R = 14 , ρR βεχοµεσ τηε ⇒ρστ θυαρτιλε, ορ 25τη περχεντιλε, ανδ ωηεν R = 34 , ρR βεχοµεσ τηε τηιρδ θυαρτιλε, ορ 75τη περχεντιλε. 2. Μοµεντσ. Ωηεν τηε τηρεσηολδ γ ισ α ⇒νιτε ϖαλυε, τηε µοµεντσ οφ τηε φαιλυρε διστριβυτιον µαψ βε φουνδ φροµ R(t). Τηε kτη µοµεντ οφ t ισ δε⇒νεδ ασ μ′k

=



∞ −∞

k

k

t f (t) dt = γ + κ



∞

t k−1 R(t) dt

(17)

γ

Ιν παρτιχυλαρ, ωηεν k = 1 ανδ γ = 0, τηε µεαν τιµε το φαιλυρε (ΜΤΤΦ) ισ γιϖεν βψ 

∞



∞

dR dt dt γ γ  ∞  ∞ ∞ R(t) dt R(t) dt = = −tR(t) | 0 +

ΜΤΤΦ = μ =

tf (t) dt = −

γ

t

(18)

0

3. Φαιλυρε ρατε, ηαζαρδ ρατε, ανδ ρετιρεδ λιφε. Φορ α περιοδ οφ λενγτη δ, τηε φαιλυρε ρατε, G(t, δ), ισ δε⇒νεδ ασ 1 G(t, δ) = δ



t

t+δ

f (x) F (t + δ) − F (t) R(t) − R(t + δ) dx = = R(t) δR(t) δR(t)

(19)

6

ΦΥΝ∆ΑΜΕΝΤΑΛΣ ΟΦ ΧΟΜΠΟΝΕΝΤ ΑΝ∆ ΣΨΣΤΕΜ ΡΕΛΙΑΒΙΛΙΤΨ

Τηε ηαζαρδ ρατε ορ ινσταντανεουσ φαιλυρε ρατε, h(t), ισ τηε λιµιτ οφ G(t, δ) ασ δ αππροαχηεσ ζερο: f (t) h(t) = (20) 1 − F (t) Τηε ρετιρεδ λιφε, ορ ρεπλαχεµεντ λιφε, ξ , ισ δε⇒νεδ φορ ανψ σπεχι⇒εδ h ανδ γιϖεν βψ h=

f (ξ ) R(ξ )

(21)

4. Λιφε εξπεχτανχψ. Συπποσε τηατ αν ιτεµ ηασ συρϖιϖεδ υντιλ τιµε T . Τηεν τηε εξπεχτεδ αδδιτιοναλ λιφε εξπεχτανχψ, L(t), ισ γιϖεν βψ ⎧ ⎨μ − T, ∞ 1 L(t) = ⎩ R(t) dt, R(t) t

T ≤μ T >μ

(22)

5. Προβαβλε λιφε. Τηε προβαβλε λιφε, B(T ), ισ τηε τοταλ εξπεχτεδ λιφε οφ αν ιτεµ οφ αγε T : B(T ) = L(T ) + T (23) 1.2 ΗΑΖΑΡ∆ ΡΑΤΕ ΦΥΝΧΤΙΟΝΣ ΙΝ ΡΕΛΙΑΒΙΛΙΤΨ Σοµετιµεσ ιν σελεχτινγ τηε διστριβυτιον οφ φαιλυρε τιµεσ, ονε µυστ υσε εµπιρι− χαλ δατα. Φορ νονσψµµετριχαλ προβαβιλιτψ δενσιτψ φυνχτιονσ τηε µαϕορ διφφερενχε βετωεεν δενσιτιεσ ωιλλ βε ιν τηε λονγ ταιλ. Ηοωεϖερ, δυε το λιµιτεδ σαµπλε σιζεσ, ωε ηαϖε σπαρσε δατα φορ τηισ ταιλ. Ασ αν αλτερνατιϖε, ωε µαψ αππεαλ το πηψσιχαλ χονσιδερατιονσ το σελεχτ τηε φυνχτιον, ορ ασ ιτ ισ χοµµονλψ χαλλεδ, τηε ηαζαρδ ρατε. Τηε ηαζαρδ ρατε ορ ηαζαρδ φυνχτιον ισ αλσο ιντερπρετεδ ασ τηε ινσταντανεουσ φαιλυρε ρατε. Ιτ ισ αλσο κνοων ασ τηε φορχε οφ µορταλιτψ ιν αχτυαριαλ σχιενχε ανδ ασ τηε ιντενσιτψ φυνχτιον ιν στατιστιχαλ εξτρεµε ϖαλυε τηεορψ. Λετ F (t) βε τηε χυµυλατιϖε διστριβυτιον φυνχτιον (χ.δ.φ.) οφ τηε τιµε−το−φαιλυρε ϖαριαβλε, T , ανδ λετ f (x) βε τηε χορρεσπονδινγ προβαβιλιτψ δενσιτψ φυνχτιον (π.δ.φ.). Χονσιδερ τηε προβαβιλιτψ τηατ τηε ιτεµ φαιλσ ιν τηε ιντερϖαλ (t, t + t] γιϖεν τηατ ιτ ηασ συρϖιϖεδ υντιλ τιµε t: P (t < T ≤ t + t) | T > t) =

F (t + t) − F (t) 1 − F (t)

(24)

∆ιϖιδινγ τηισ προβαβιλιτψ βψ τηε λενγτη οφ τηε ιντερϖαλ, t, γιϖεσ α “περ υνιτ τιµε” ϖαλυε. Τηε ηαζαρδ φυνχτιον ορ ινσταντανεουσ φαιλυρε ρατε ισ γιϖεν βψ (Φιγυρε 1.4) F (t + t) − F (t) f (t) = t→0 t[1 − F (t)] R(t)

h(t) = λιµ

(25)

7

ΗΑΖΑΡ∆ ΡΑΤΕ ΦΥΝΧΤΙΟΝΣ ΙΝ ΡΕΛΙΑΒΙΛΙΤΨ

h(t)

t

ΦΙΓΥΡΕ 1.4 Ηαζαρδ φυνχτιον.

βψ τηε δε⇒νιτιον οφ τηε δεριϖατιϖε οφ F (t) ανδ σινχε τηε ρελιαβιλιτψ R(t) = 1 − F (t). Νοω, ον τηε βασισ οφ πηψσιχαλ χονσιδερατιονσ ωε χαν χηοοσε α φυνχτιοναλ φορµ φορ h(t). Μακινγ υσε οφ τηε ρελατιονσηιπ (25) ανδ τηατ f (t) = −R ′ (t), ωε χαν ωριτε 1 h(t) dt = dR(t) (26) R(t) Ρεχαλλινγ τηατ R(0) = 1, ανδ ιντεγρατινγ οϖερ τηε ρανγε (0, t), ωε οβταιν 

t 0

h(x) dx = − λν R(t) = −



R(t)

1



1 dR(x) = − λν R(t) R(x)

(27)

t

h(x) dx

(28)

0

ανδ ⇒ναλλψ, τηε γενεραλ ρελιαβιλιτψ εθυατιον,  t

R(t) = εξπ − h(x) dx

(29)

0

Τηερε αρε τηρεε γενεραλ τψπεσ οφ ηαζαρδ ρατεσ, ασ ιλλυστρατεδ βψ τηε βατητυβ χυρϖε, δεταιλεδ δεσχριπτιονσ οφ ωηιχη χαν βε φουνδ ιν µοστ τεξτβοοκσ ον ρελια− βιλιτψ (ε.γ., [3]). Τηε ⇒ρστ παρτ οφ τηε χυρϖε ρεπρεσεντσ ινιτιαλ φαιλυρεσ ανδ ηασ α δεχρεασινγ ηαζαρδ ρατε. Τηεσε φαιλυρεσ χορρεσπονδ το ινφαντ µορταλιτιεσ, συχη ασ τηοσε χαυσεδ βψ ηερεδιταρψ δεφεχτσ ανδ χηιλδηοοδ δισεασεσ. Ιν ρελιαβιλιτψ αππλι− χατιονσ τηεσε φαιλυρεσ αρε γενεραλλψ χαυσεδ βψ ποορ ωορκµανσηιπ (ε.γ., ποορλψ σολδερεδ χοννεχτιονσ, νυτσ νοτ τιγητενεδ, υντεστεδ εθυιπµεντ). Τηε σεχονδ παρτ οφ τηε χυρϖε ισ τηε χηανχε φαιλυρε πορτιον, υσυαλλψ ρεπρεσεντεδ βψ α χονσταντ ηαζαρδ ρατε. Ηερε φαιλυρεσ αρε δυε το σεϖερε ανδ υνπρεδιχταβλε ενϖιρονµενταλ χονδιτιονσ. Φορ ηυµαν µορταλιτψ ταλεσ, τηισ περιοδ ωουλδ ρεπρεσεντ δεατησ βψ αχχιδεντσ ορ υνυσυαλ δισεασεσ, φορ εξαµπλε. Ιν ρελιαβιλιτψ αππλιχατιονσ, φαιλυρεσ οχχυρ βεχαυσε οφ υνυσυαλ εϖεντσ συχη ασ σηοχκσ ανδ συδδεν ϖολταγε συργεσ. Τηε ⇒ναλ πορτιον οφ τηε χυρϖε, ωηιχη ηασ αν ινχρεασινγ ηαζαρδ ρατε, χορρεσπονδσ το ωεαρ−ουτ φαιλυρεσ. Ιν ηυµανσ, τηεσε αρε φαιλυρεσ δυε το ηεαρτ δισεασεσ ανδ δετεριορατιον οφ α βοδψ’σ οργανσ. Φορ πηψσιχαλ προχεσσεσ τηεσε φαιλυρεσ ωουλδ βε χαυσεδ βψ ωεαρ, σο τηατ παρτσ νο λονγερ ⇒τ, φορ εξαµπλε. Σπεχιφψινγ α φυνχτιοναλ φορµ φορ τηε ηαζαρδ ρατε,

8

ΦΥΝ∆ΑΜΕΝΤΑΛΣ ΟΦ ΧΟΜΠΟΝΕΝΤ ΑΝ∆ ΣΨΣΤΕΜ ΡΕΛΙΑΒΙΛΙΤΨ

f(t)

f(t)

−R'(t)

∞

∞ t

t

f(x)dx

f(x)dx t

h(t)exp − h(x)dx 0

−R'(t) R(t) R(t)

h(t) t

exp − h(x)dx 0

ΦΙΓΥΡΕ 1.5 Ρεϖερσιβλε µατηεµατιχαλ ρελατιονσηιπσ αµονγ f (t), h(t), ανδ R(t).

ωε χαν, υσινγ εθυατιον (29), ⇒νδ τηε φυνχτιοναλ φορµ οφ τηε ρελιαβιλιτψ φυνχτιον. Φιγυρε 1.5 σηοωσ τηε ρελατιονσηιπσ στυδιεδ αβοϖε [4].

1.3 ΧΟΜΜΟΝ ∆ΙΣΤΡΙΒΥΤΙΟΝΣ ΑΝ∆ ΡΑΝ∆ΟΜ ΝΥΜΒΕΡ ΓΕΝΕΡΑΤΙΟΝΣ Ιν τηισ σεχτιον ωε πρεσεντ σοµε οφ τηε ποπυλαρ διστριβυτιονσ υσεδ ιν ρελιαβιλιτψ αππλιχατιονσ [5]. Α συµµαρψ οφ τηε διστριβυτιονσ τηατ ρεχειϖε µοστ οφ τηε αττεντιον ιν ρελιαβιλιτψ ενγινεερινγ ισ σηοων ιν Ταβλε 1.1. Ιν τηε φολλοωινγ σεχτιονσ ωε υσε τηε αββρεϖιατιονσ π.δ.φ. φορ προβαβιλιτψ δενσιτψ φυνχτιον, π.µ.φ. φορ προβαβιλιτψ µασσ φυνχτιον, ανδ χ.δ.φ. φορ χυµυλατιϖε δενσιτψ φυνχτιον. Τηε ρανδοµ νυµβερ γενερατιονσ φορ εαχη διστριβυτιον φορ x (ορ t) ωιλλ φολλοω εαχη [7,8]. 1.3.1 Υνιφορµ (Ρεχτανγυλαρ) π.δ.φ Ασ τηε ναµε ιµπλιεσ, τηε υνιφορµ π.δ.φ. τρεατσ αλλ ϖαλυεσ τηατ ηαϖε τηε σαµε λικελιηοοδ οϖερ τηε ιντερϖαλ (a, b): ⎧ ⎨ 1 , a≤x≤b f (x) = b − a (30) ⎩ 0, οτηερωισε

ΤΑΒΛΕ 1.1

Μοστ Χοµµονλψ Υσεδ ∆ιστριβυτιονσ ανδ Ρελιαβιλιτψ Φυνχτιονσ α

Φυνχτιον ∆ενσιτψ, f (t)

Εξπονεντιαλ λ εξπ(−λt)

Νορµαλ

Υνιφορµ

1 2 2 √ e−(t−μ) /2σ σ 2π  t −μ 1− σ

1 b−a b−t b−a

Ωειβυλλ

Λογ Νορµαλ

Γαµµα

σ t 2π  1 t 1− λν w t0

t α−1 e−t/β Ŵ(α)β α  ∞ f (t) dt

∆επενδσ ον w = εξπ(σ 2 )

α > 1, ΙΦΡ α = 1, ΧΦΡ a < 1, ∆ΦΡ

μ = λν t0= w2 t0 εξπ 2

αβ

t02 εξπ(w2 ) · [εξπ(w2 ) − 1]

αβ 2

α(1 − β −1 )1/β , β>1

M/w

(α − 1)β, α > 1

e

βt β−1 −t β /α β e αβ −t β /α β

1 √

e−(λν t−μ)

2

/2σ 2

Ρελιαβιλιτψ, R(t)

εξπ(−λt)

Ηαζαρδ, h(t) = f (t)/R(t)

Χονσταντ, λ

ΙΦΡ

ΙΦΡ

Μεαν

θ = λ−1

μ

a+b 2

ςαριανχε

θ 2 = λ−2

σ2

(b − a)2 12

Μοδε, m

0

μ

Νονε

Μεδιαν,  M f (t) dt = 0.5

θ λν 2

μ

a+b 2

α(λν 2)1/β

Ρανγε

0≤t ≤∞

−∞ ≤ t ≤ ∞

a≤t ≤b

0≤t ≤∞

0≤t ≤∞

0≤t ≤∞

Νοτεσ

θ = ρατε

M = m = μ, σψµµετριχ

Ρεχτανγυλαρ

α = σχαλε παραµετερ β = σηαπε παραµετερ

Γεοµετριχ µεαν = t0 ,

= νορµαλ χ.δ.φ.

β = σχαλε παραµετερ α = σηαπε παραµετερ

e

β > 1, ΙΦΡ β = 1, ΧΦΡ β < 1, ∆ΦΡ  1 αŴ +1 β  2 α2 Ŵ +1 − β 2  1 +1 Ŵ β



− (1/n)

n i

λογ xi



t



M 0

f (t) dt = 0.5

0

9

Σουρχε: [2–6]. α ΙΦΡ, ινχρεασινγ φαιλυρε ρατε; ΧΦΡ, χονσταντ φαιλυρε ρατε; ∆ΦΡ, δεχρεασινγ φαιλυρε ρατε.

10

ΦΥΝ∆ΑΜΕΝΤΑΛΣ ΟΦ ΧΟΜΠΟΝΕΝΤ ΑΝ∆ ΣΨΣΤΕΜ ΡΕΛΙΑΒΙΛΙΤΨ

Τηε χ.δ.φ. οφ τηε υνιφορµ ρανδοµ ϖαριαβλε X ισ ⎧ 0, x
(31)

Νοτε τηατ µεδιαν = E(x) = (a + b)/2 ανδ ςαρ(x) = (b − a)2 /12. Νο µοδε εξιστσ. Ηοω το Γενερατε Ρανδοµ Νυµβερσ φροµ α Υνιφορµ π.δ.φ. Υσινγ τηε ινϖερσε τρανσφορµ τεχηνιθυε, u = (x − a)/(b − a) ψιελδσ x ∗ = a + (b − a)ui , ωηερε ui ∼ U (0, 1) αρε γενερατεδ τηρουγη σοφτωαρε ορ φροµ α ρανδοµ νυµβερ ταβλε συχη ασ Αππενδιξ 1Α.

1.3.2 Τριανγυλαρ π.δ.φ. Α τριανγυλαρ π.δ.φ. µοδελσ α προχεσσ ιφ ονλψ µινιµυµ (a), µαξιµυµ (c), ανδ µοδε (b) ϖαλυεσ αρε κνοων, συχη ασ τηε τιµεσ φορ λιφε τεστινγ α προδυχτ υντιλ δεφεχτιϖε υνιτσ αρε δετεχτεδ. Ιτ ηασ τηε π.δ.φ. ⎧ 2(x − a) ⎪ ⎪ , a≤x≤b ⎪ ⎪ (b − a)(c − a) ⎪ ⎨ f (x) = (32) 2(c − x) ⎪ , b≤x≤c ⎪ ⎪ (c − b)(c − a) ⎪ ⎪ ⎩ 0, οτηερωισε E(x) = (a + b + c)/3, ςαρ(x) = [a(a − b) + c(c − a) + b(b − c)]/18, µοδε = 3E(x) − (a + c). Τηε χ.δ.φ. ισ ⎧ 0, x≤a ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 2 ⎪ ⎪ (x − a) ⎪ a≤x≤b ⎪ ⎨ (b − a)(c − a) , F (x) = ⎪ (c − x)2 ⎪ ⎪ ⎪ 1 − , b≤x≤c ⎪ ⎪ (c − a)(c − b) ⎪ ⎪ ⎩ 1, x≥c

ανδ

(33)

Ηοω το Γενερατε Ρανδοµ Νυµβερσ φροµ α Τριανγυλαρ π.δ.φ.

Γενερατιον οφ α τριανγυλαρ π.δ.φ. δεϖιατεσ βψ τηε ινϖερσε τρανσφορµ τεχηνιθυε σολϖινγ φορ u = F (x):

11

ΧΟΜΜΟΝ ∆ΙΣΤΡΙΒΥΤΙΟΝΣ ΑΝ∆ ΡΑΝ∆ΟΜ ΝΥΜΒΕΡ ΓΕΝΕΡΑΤΙΟΝΣ

⎧ √ ⎪ ⎨a + [(b − a)(c − a)u], x∗ = √ ⎪ ⎩c − [(c − a)(c − b)u],

0≤u<

b−a c−a

b−a ≤u≤1 c−a

(34)

Τηερεφορε, ⇒ρστ γενερατινγ ui , χηεχκ ιφ ιτ ισ βετωεεν τηε λιµιτσ 0 ανδ (b − a)/ (c − a). Ιφ ψεσ, υσε τηε ⇒ρστ ροω ιν τηε ρανδοµ νυµβερ εθυατιον αβοϖε. Οτηερωισε, υσε τηε σεχονδ ροω.

1.3.3 Νεγατιϖε Εξπονεντιαλ π.δ.φ., Παρετο, ανδ Ποωερ Φυνχτιονσ Ονε οφ τηε µοστ χοµµον διστριβυτιονσ υσεδ ιν ρελιαβιλιτψ ισ τηε νεγατιϖε εξπο− νεντιαλ διστριβυτιον. Ονε χηαραχτεριστιχ τηατ ηασ χοντριβυτεδ το ιτσ ποπυλαριτψ ισ τηε εασε ωιτη ωηιχη τηε διστριβυτιονσ οφ στατιστιχσ υνδερ ϖαριουσ σαµπλινγ πλανσ χαν βε δεριϖεδ. Ιτ ισ αλσο υσεδ ωιδελψ ιν θυευινγ τηεορψ, σινχε τηε τιµε βετωεεν αρριϖαλσ µαψ βε νεγατιϖε εξπονεντιαλλψ διστριβυτεδ. Ηενχε, φορ τηε εξπονεντιαλ διστριβυτιον, α δεϖιχε τηατ ισ T0 υνιτσ ολδ βυτ στιλλ οπερατινγ ηασ τηε σαµε ρελια− βιλιτψ ασ τηατ οφ α νεω δεϖιχε. Οβϖιουσλψ, τηισ ρελιαβιλιτψ φυνχτιον ισ νοτ συιταβλε φορ τηε ινφανχψ ανδ ωεαρ−ουτ πορτιονσ οφ τηε βατητυβ ηαζαρδ ρατε. Ηοω το Γενερατε Ρανδοµ Νυµβερσ φροµ α Νεγατιϖε Εξπονεντιαλ π.δ.φ. Υσινγ τηε ινϖερσε τρανσφορµ τεχηνιθυε, ωηερε 0 < ui ∼ U (0,1) < 1 ισ τηε υνιφορµ ρανδοµ νυµβερ, ui = F (x) = 1 − e−λx ,

e−λx = 1 − ui λν(e

−λx

0 ≤ F (x) ≤ 1,

λν(1 − ui ) λ

(35) (36)

) = −λx = λν(1 − ui )

x∗ = −

λ>0

ορ x ∗ = −

(37) λν(ui ) λ

(38)

ισ τηε νεγατιϖε εξπονεντιαλ ρανδοµ δεϖιατε, σινχε ιφ ui ισ υνιφορµ, σο ισ 1 − ui . Σοµετιµεσ χαλλεδ αντιτηετιχαλ ϖαριαβλεσ ιν σιµυλατιον στυδιεσ, 1 − ui αρε υσεδ το ηελπ ρεδυχε τηε σαµπλινγ ερρορ. Ιφ τηε τιµε σπεντ ιν εαχη σταγε, X1 ανδ X2 , ισ ινδεπενδεντ ανδ εξπονεντιαλλψ διστριβυτεδ ωιτη ρεσπεχτιϖε παραµετερσ λ1 ανδ λ2 , ωηερε λ1 = λ2, τηε οϖεραλλ τιµε Y = X1 + X2 ισ ηψποεξπονεντιαλλψ διστριβυτεδ [ι.ε., Y ∼ Ηψπο(λ1 , λ2 )] ωιτη f (t) ανδ R(t) γιϖεν βψ λ1 λ2 (e−λ1 t − e−λ2 t ), t ≥0 λ2 − λ1 λ2 λ1 R(t) = e−λ1 t + e−λ2 t , t ≥0 λ2 − λ1 λ2 − λ1 f (t) =

(39) (40)

12

ΦΥΝ∆ΑΜΕΝΤΑΛΣ ΟΦ ΧΟΜΠΟΝΕΝΤ ΑΝ∆ ΣΨΣΤΕΜ ΡΕΛΙΑΒΙΛΙΤΨ

 Σιµιλαρλψ, φορ k σεθυεντιαλ σταγεσ ωιτη υνεθυαλ ρατεσ, ανδ ιφ 0 < λi , ki=1 pi = 1, ανδ 0 < pi < 1, τηεν Y = X1 + X2 + · · · + Xk βεχοµεσ k−πηασε ηψπερεξπονεν− τιαλλψ διστριβυτεδ ωιτη τηε π.δ.φ.

f (t) =

k 

F (t) =

k 

pi λi e−λi t ,

i=1

=1−

pi (1 − e−λi t ) = k 

pi e−λi t ,

h(t) = i=1 k

pi λi e−λi t

i=1

k  i=1

(41)

pi −

k 

pi e−λi t

i=1

t ≥0

i=1

k

R(t) =

t ≥0

i=1

, pi e−λi t

(42)

t ≥0

(43)

k

f (t)  = pi e−λi t = 1 − F (t) h(t) i=1

(44)

Νοτε τηατ h(t) ισ α δεχρεασινγ φαιλυρε ρατε. Τηε ηψπερεξπονεντιαλ διστριβυτιον ηασ µορε ϖαριαβιλιτψ τηαν τηε νεγατιϖε εξπονεντιαλ διστριβυτιον. Τηερεφορε, ιφ τηε προδυχτ ισ µανυφαχτυρεδ ιν σεϖεραλ λοχατιονσ ορ σταγεσ, τηε φαιλυρε δενσιτψ οφ τηε οϖεραλλ προδυχτ ισ ηψπερεξπονεντιαλ, κνοων το βε α µιξτυρε διστριβυτιον. Φορ τηε σπεχιαλ χασε οφ k = 2, Y ∼ Ηψπερ(λ1 , λ2 ), f (t) ανδ h(t) αρε f (t) = p1 λ1 e−λ1 t + p2 λ2 e−λ2 t

(45)

h(t) =

(46)

−λ1 t

−λ2 t

+ p2 λ2 e p1 λ1 e −λ t p1 e 1 + p2 e−λ2 t

Ιφ λ1 = λ2 , τηεν Y ∼ τωο−σταγε Ερλανγ (k = 2) (σεε Σεχτιον 1.3.4). Ον τηε οτηερ ηανδ, τηε δουβλε εξπονεντιαλ διστριβυτιον, αλσο χαλλεδ ασ τηε Παρετο ορ ηψπερβολιχ ορ ποωερ−λαω διστριβυτιον, υσεδ το µοδελ τηε αµουντ οφ χεντραλ προ− χεσσινγ υνιτ (ΧΠΥ) τιµε βψ αν αρβιτραρψ προχεσσ ορ τηε τηινκινγ τιµε οφ α Ωεβ βροωσερ, το χιτε α φεω εξαµπλεσ, ηασ τηε φολλοωινγ ϖαλυεσ: f (x) = cx −c−1 ,

F (x) = 1 − x −c −c

1 ≤ x ≤ ∞,

c>0

R(x) = x , c > 0 ανδ R(t) = 0, c E(x) = , c>1 c−1

(47) (48) c<0

(49) (50)

13

ΧΟΜΜΟΝ ∆ΙΣΤΡΙΒΥΤΙΟΝΣ ΑΝ∆ ΡΑΝ∆ΟΜ ΝΥΜΒΕΡ ΓΕΝΕΡΑΤΙΟΝΣ

c ςαρ(x) = − c−2 c h(t) = x



c c−1

2

,

c>2

(51) (52)

Α φυνχτιον ϖερψ σιµιλαρ το τηε Παρετο ισ τηε ποωερ φυνχτιον, ωηερε f (x) = cx c−1 , τηε ποωερ οφ x βεινγ ποσιτιϖε c, νοτ νεγατιϖε. Τηε µοδε ισ 1 φορ c > 1 ανδ 0 φορ c < 1. F (x) = x c

(53)

R(x) = 1 − x c

(54)

M(µεδιαν) = (0.5) c E(x) = c+1

(55)

1/c

ςαρ(x) =

(56)

c (c + 2)(c + 1)2

(57)

Ηοω το Γενερατε Ρανδοµ Νυµβερσ φροµ τηε Παρετο ανδ Ποωερ Φυνχτιονσ Βψ τηε ινϖερσε τρανσφορµ τεχηνιθυε, U (0, 1) = F (x), τηατ ισ, 1 − x −c = u, 1 − u = x −c , (1 − u)−1 = x c , (1 − u)−1/c = x, ανδ τηερεφορε φορ τηε Παρετο φυνχτιον, x∗ =



1 1 − ui

1/c

(58)

Αγαιν υσινγ τηε ινϖερσε τρανσφορµ τεχηνιθυε, x c = u, ανδ τηεν τακινγ τηε (1/c)τη ροοτ οφ βοτη σιδεσ, ωε οβταιν φορ τηε ποωερ φυνχτιον διστριβυτιον x ∗ = (ui )1/c

(59)

1.3.4 Γαµµα, Ερλανγ, ανδ Χηι−Σθυαρε π.δ.φ.’σ Τηε γενεραλ φορµ οφ τηε γαµµα διστριβυτιον ισ ⎧ α−1 −t/β ⎨t e , f (t) = β a Ŵ(α) ⎩ 0,

t ≥ 0,

α, β ≥ 0

(60)

οτηερωισε

Ωηεν α ισ αν ιντεγερ, τηισ διστριβυτιον ισ αλσο κνοων ασ τηε Ερλανγιαν διστριβυτιον, ανδ ωηεν α = 1, τηε γαµµα δενσιτψ ρεδυχεσ το αν εξπονεντιαλ διστριβυτιον ωιτη β = λ−1 . Φορ εξαµπλε, α χοµπυτερ νετωορκ φαιλσ ωηεν α µαινφραµε χοµπυτερ

14

ΦΥΝ∆ΑΜΕΝΤΑΛΣ ΟΦ ΧΟΜΠΟΝΕΝΤ ΑΝ∆ ΣΨΣΤΕΜ ΡΕΛΙΑΒΙΛΙΤΨ

ανδ τωο βαχκυπ σερϖερσ φαιλ, ανδ εαχη µαψ ηαϖε α τιµε το φαιλυρε τηατ ισ νεγατιϖε εξπονεντιαλλψ διστριβυτεδ. Τηε Ερλανγ διστριβυτιον µαψ βε οβταινεδ ασ τηε διστριβυτιον οφ τηε συµ οφ α µανψ ινδεπενδεντ ιδεντιχαλλψ διστριβυτεδ (ι.ι.δ.) εξπονεντιαλ ρανδοµ ϖαριαβλεσ. Συπποσε τηατ τηε φαιλυρε οφ α δεϖιχε οχχυρσ ωηεν τηε kτη σηοχκ αρριϖεσ ιφ α Ποισ− σον προχεσσ ωιτη α παραµετερ λ γενερατεσ τηε σηοχκσ. Λετ τηε ρανδοµ ϖαριαβλε T δενοτε τηε αρριϖαλ τιµε οφ τηε kτη σηοχκ. Τηεν T = ki=1 Ti , ωηερε Ti ισ τηε τιµε βετωεεν τηε (i − 1)στ σηοχκ ανδ τηε iτη σηοχκ. Τηεν, φροµ τηε προπερτψ γιϖεν αβοϖε, ⎧ k k−1 −λt ⎨ λ t e , t ≥ 0, Ŵ(k) = (k − 1)! f (t) = (61) Ŵ(k) ⎩ 0, οτηερωισε R(t) =

r−1  (λt)k k=0

k!

e−λt ,

t ≥ 0,

λ>0

(62)

Τηισ ισ αλσο χαλλεδ τηε κ−σταγε Ερλανγ ανδ ισ τηε σαµε φορµυλα ασ εθυατιον (60) ωιτη β = λ−1 ανδ α = k. Ηοω το Γενερατε Ρανδοµ Νυµβερσ φροµ τηε Ερλανγ ∆ιστριβυτιον Το γενερατε αν Ερλανγ ρανδοµ δεϖιατε, ωε τακε αδϖανταγε οφ τηε φαχτ τηατ τηε νεγατιϖε εξπονεντιαλ ισ α σπεχιαλ χασε οφ τηε Ερλανγ διστριβυτιον ωιτη τηε σηαπε παραµετερ α = 1. Τηερεφορε, ωε χαν γενερατε αν Ερλανγ δεϖιατε βψ συµµινγ α νεγατιϖε εξπονεντιαλ ρανδοµ δεϖιατεσ ωιτη µεαν β = λ−1 ασ φολλοωσ: t∗ =

α  − λν(1 − ui ) k=1

λ

(63)

Ανοτηερ υσε οφ τηε γαµµα διστριβυτιον ισ φορ α παραλλελ στανδβψ σψστεµ ωιτη n ιδεντιχαλ δεϖιχεσ. Ιν τηισ τψπε οφ σψστεµ, τηε σψστεµ φαιλσ ωηεν αλλ δεϖιχεσ φαιλ, ανδ τηε σψστεµ οπερατεσ ωηεν ονλψ ονε δεϖιχε ισ οπερατινγ ατ α τιµε. Τηεν τηε τιµε το σψστεµ φαιλυρε, ορ τηε συµ οφ τηε n φαιλυρε τιµεσ,  ηασ α γαµµα διστριβυ− τιον ωιτη β = λ−1 ανδ α = n. Ιφ X ∼ Γαµµα(α, β), m i=1 Xi ισ διστριβυτεδ ασ Γαµµα(mα, β). Ηοω το Γενερατε Ρανδοµ Νυµβερσ φροµ τηε Γαµµα ∆ιστριβυτιον (ϑοηνκ’σ Ρεϕεχτιον Τεχηνιθυε) Λετ α βε α νονιντεγερ σηαπε παραµετερ, α1 = [α], τηε λαργεστ τρυνχατεδ ιντεγερ οφ α, ανδ ui βε τηε iτη υνιφορµ ρανδοµ νυµβερ, 0 ≤ ui ≤ 1. Τηεν: 1 1. Λετ x = − λν αi=1 ui . 2. Σετ A = α − α1 , B = 1 − A.

ΧΟΜΜΟΝ ∆ΙΣΤΡΙΒΥΤΙΟΝΣ ΑΝ∆ ΡΑΝ∆ΟΜ ΝΥΜΒΕΡ ΓΕΝΕΡΑΤΙΟΝΣ

15

Σετ j = 1. Γενερατε ρανδοµ νυµβερ uj ανδ σετ y1 = (uj )1/A . Γενερατε ρανδοµ νυµβερ uj +1 ανδ σετ y2 = (uj +1 )1/B . Ιφ y1 + y2 ≤ 1, γο το φ. Σετ j = j + 2 ανδ γο το β. Λετ z = y1 /(y1 + y2 ), ωηιχη ισ α βετα ρανδοµ δεϖιατε ωιτη παραµετερσ A ανδ B. 3. Γενερατε τηε ρανδοµ νυµβερ uN ανδ σετ w = − λν(uN ). 4. Τηε ρανδοµ δεϖιατε δεσιρεδ φορ α γαµµα π.δ.φ. ισ τηεν G = (x + zw)β. α. β. χ. δ. ε. φ.

Ιφ X ∼ Γαµµα(α = 0.5, β = n/2), X ισ σαιδ το ηαϖε α χηι−σθυαρε διστριβυτιον ωιτη n δεγρεεσ οφ φρεεδοµ. Τηεν E(x) = n, ςαρ(x) = 2n, ανδ µοδε = n − 2, n ≥ 2 [10]. Ηοω το Γενερατε Ρανδοµ Νυµβερσ φροµ τηε Χηι−Σθυαρε ∆ιστριβυτιον Α χηι−σθυαρε ρανδοµ ϖαριαβλε ωιτη n δεγρεεσ οφ φρεεδοµ ισ τηε συµ οφ σθυαρεσ οφ n ινδεπενδεντ νορµαλλψ διστριβυτεδ ρανδοµ ϖαριαβλεσ ωιτη μ = 0 ανδ σ 2 = 1, n τηατ ισ, i=1 [N (0, 1)]2 .

Χασε 1. Φορ n εϖεν:

x = −0.5 λν

 n/2 

(n−1)/2 

+

∗

ui

i=1



(64)

[N (0, 1)]2

(65)

Χασε 2. Φορ n οδδ: ∗

x = −0.5 λν

i=1

ui



n  i=1

Ανοτηερ ιµπορταντ αναλψσισ υσεφυλ ιν στανδβψ ρεδυνδανχψ ισ ηαϖινγ τωο ιδεν− τιχαλ χοµπονεντσ, X ανδ Y , εαχη ωιτη α νεγατιϖε εξπονεντιαλ τιµε το φαιλυρε ωιτη παραµετερ λ. Ονλψ ονε χοµπονεντ ισ ρεθυιρεδ το βε ωορκινγ φορ τηε σψστεµ το οπερατε. Τηε σεχονδ, σπαρε χοµπονεντ ισ α “χολδ στανδβψ,” ιναχτιϖε υνλεσσ χαλλεδ φορ. Τηεν Z = X + Y ηασ α γαµµα δενσιτψ υσινγ τηε χονϖολυτιον φορµυλα, ωηερε f (z) = λ2 ze−λz , z > 0. Ηενχε, Z ∼ Γαµµα(α = 2, β = λ−1 ), ωηιχη ισ α τωο− σταγε Ερλανγ διστριβυτιον, ωηοσε ρελιαβιλιτψ φυνχτιον ισ γιϖεν βψ εθυατιον (41) ασ R(t) = (1 + λt)ε−λt ,

t >0

(66)

16

ΦΥΝ∆ΑΜΕΝΤΑΛΣ ΟΦ ΧΟΜΠΟΝΕΝΤ ΑΝ∆ ΣΨΣΤΕΜ ΡΕΛΙΑΒΙΛΙΤΨ

Φορ τηε σακε οφ χοµπαρισον οφ σιµπλεξ αχτιϖε παραλλελ ανδ στανδβψ παραλλελ, τηε ρελιαβιλιτψ ϖαλυεσ φορ ανψ γιϖεν λ αρε λαργερ (φαϖοραβλε) φορ τηε στανδβψ τηαν φορ τηε σιµπλεξ. Ασ α χονσεθυενχε οφ τηισ τηεορεµ, τηε ρελιαβιλιτψ εξπρεσσιον φορ α στανδβψ ρεδυνδαντ σψστεµ ωιτη α τοταλ οφ n χοµπονεντσ εαχη οφ ωηιχη ηασ α νεγατιϖε εξπονεντιαλλψ διστριβυτεδ λιφετιµε ισ σηοων ασ ιν (62) βψ Rστανδβψ (t) =

n−1  (λt)k k=0

k!

e−λt ,

t ≥ 0,

λ>0

(67)

1.3.5 Στυδεντ’σ τ−∆ιστριβυτιον √ Λετ X βε N (0,1) ανδ Y βε χν2 , ινδεπενδεντ οφ εαχη οτηερ. Τηεν σετ T = X/ Y /ν, ωηιχη ισ δε⇒νεδ ασ Στυδεντ’σ t διστριβυτεδ ωιτη ν δεγρεεσ οφ φρεεδοµ (δ.φ.) ανδ δενοτεδ βψ tν , ωηιχη ηασ τηε π.δ.φ.   Ŵ[ 21 (ν + 1)][1 + (ν 2 /r)]−(1/2)(ν+1) , −∞ < t < ∞ (68) √ fT (t) = πνŴ(ν/2) Στυδεντ’σ t, ωηιχη ισ ποπυλαρλψ υσεδ ιν χον⇒δενχε ιντερϖαλσ ανδ ηψποτηεσισ τεστινγ φορ σµαλλ σαµπλεσ (n < 15) ωιτη αν υνκνοων ϖαριανχε (σ ) ισ σψµµετριχ. Μοδε = µεδιαν = μ = 0. ν ςαρ(T ) = , ν>2 (69) ν−2 Ηοω το Γενερατε Ρανδοµ Νυµβερσ φροµ τηε τ −∆ιστριβυτιον Προϖιδεδ τηατ α σουρχε οφ ρανδοµ δεϖιατεσ φροµ α χηι−σθυαρε διστριβυτιον (χν2 ) ωιτη ν δεγρεεσ οφ φρεεδοµ, ονε γενερατεσ α t−δεϖιατε ωιτη ν − 1 δεγρεεσ οφ φρεεδοµ ασ φολλοωσ: N (0, 1) ∗ xν−1 =  χν2 /ν

(70)

1.3.6 Φισηερ’σ Φ −∆ιστριβυτιον Λετ X βε χν21 ανδ Y βε χν22 ινδεπενδεντλψ, ανδ σετ Fα,ν1 ,ν2 = χν21 ν2 /χν22 ν1 . Τηε ρανδοµ ϖαριαβλε Fα−1 ηασ α π.δ.φ. ωιτη ν2 ανδ ν1 δεγρεεσ οφ φρεεδοµ ιντερχηανγεδ χοµπαρεδ το τηε οριγιναλ ατ α λεϖελ οφ 1 − α (ι.ε., F1−α,ν2 ,ν1 ): fF (f ) =

Ŵ[(1/2)(ν1 + ν2 )](ν1 /ν2 )ν1 /2 Ŵ(ν1 /2)Ŵ(ν2 /2) ×

f (ν1 /2)−1 , [1 + (ν1 /ν2 )f ](1/2)(ν1 +ν2 )

f > 0 ανδ fF (f ) = 0,

f =0 (71)

ΧΟΜΜΟΝ ∆ΙΣΤΡΙΒΥΤΙΟΝΣ ΑΝ∆ ΡΑΝ∆ΟΜ ΝΥΜΒΕΡ ΓΕΝΕΡΑΤΙΟΝΣ

E(F ) =

ν2 , ν2 − 2

µοδε =

ν2 (ν1 − 2) , ν1 (ν2 + 2)

ςαρ(F ) =

ν2 > 2

17

(72)

ν1 > 1

2ν22 (ν1 + ν2 − 2) , ν1 (ν2 − 2)2 (ν2 − 4)

(73) ν2 > 4

(74)

Τηε F −διστριβυτιον ισ ιν χοµµον υσε ιν στατιστιχαλ εστιµατιον τηεορψ φορ χοµπαρινγ ϖαριανχεσ ιν ΑΝΟςΑ (αναλψσισ οφ ϖαριανχε) το χοµπαρε γρουπ µεανσ. Νοτε τηατ (1/Fα,ν1 ,ν2 ) ∼ F1−α,ν2 ,ν1 [10]. Ηοω το Γενερατε Ρανδοµ Νυµβερσ φροµ αν Φ−∆ιστριβυτιον Σιµιλαρλψ, γιϖεν τωο σουρχεσ οφ ρανδοµ δεϖιατεσ φροµ α χηι−σθυαρε διστριβυ− τιον (χν2 ) ωιτη ν1 ανδ ν2 δεγρεεσ οφ φρεεδοµ, ονε γενερατεσ αν F −δεϖιατε ασ φολλοωσ: xν∗1 ,ν2 =

χν21 ν2 χν22 ν1

(75)

1.3.7 Τωο− ανδ Τηρεε−Παραµετερ (Σαηινογλυ–Λιββψ) Βετα π.δ.φ.’σ Τηε βετα διστριβυτιον ισ θυιτε υσεφυλ ιν τηε τηεορψ οφ στατιστιχσ ανδ ηασ α ωιδε ϖαριετψ οφ αππλιχατιονσ ιν αππλιεδ ενγινεερινγ ανδ θυαλιτψ χοντρολ προβλεµσ ωηεν τηε ρανδοµ ϖαριαβλε οφ ιντερεστ ϖαριεσ βετωεεν 0 ανδ 1. Τηισ π.δ.φ. ισ ϖερψ ⇓εξιβλε ανδ ισ υσεδ το µοδελ βουνδεδ ρανδοµ ϖαριαβλεσ ωιτη ⇒ξεδ υππερ ανδ λοωερ λιµιτσ. Τηισ ϖαριαβλε χαν βε σηιφτεδ αωαψ φροµ ζερο βψ αδδινγ α χονσταντ. Ιτ χαν αλσο ηαϖε α λαργερ ρανγε τηαν 0 το 1 βψ σχαλινγ ιτ ωιτη α χονσταντ λαργερ τηαν 1. Ιτ ισ υσεδ ιν φορµινγ χον⇒δενχε ιντερϖαλσ φορ τολερανχε λιµιτσ ιν διστριβυτιον φυνχτιονσ. Ιτ οφτεν οχχυρσ ασ βοτη α πριορ ανδ α ποστεριορ π.δ.φ. ιν τηε Βαψεσ εστιµατιον, ωηερε ιτ ισ τρεατεδ ασ α χονϕυγατε φορ βινοµιαλ δενσιτψ. Ιτ ισ υσεφυλ το εσταβλιση α ρελατιονσηιπ βετωεεν τηε γαµµα ανδ βετα διστριβυτιονσ. (Σεε Φιγυρε 1.6 ον παγε 32.) Ιφ α ρανδοµ ϖαριαβλε y ισ διστριβυτεδ ασ Γαµµα(α1 , β) ανδ z ισ διστριβυτεδ ασ Γαµµα(α2 , β), τηεν x = y/(y + z) ισ διστριβυτεδ ασ Βετα(A, B), ωηερε ιτ ισ εξπρεσσεδ ασ [10] E(x) =

A A+B

AB (A + B + 1)(A + B)2 A−1 , A > 1, µοδε = A+B −2

(76)

ςαρ(x) =

(77) B>1

(78)

18

ΦΥΝ∆ΑΜΕΝΤΑΛΣ ΟΦ ΧΟΜΠΟΝΕΝΤ ΑΝ∆ ΣΨΣΤΕΜ ΡΕΛΙΑΒΙΛΙΤΨ

⎧ Ŵ(A + B) A−1 ⎪ ⎪ x (1 − x)B−1 ⎪ ⎪ Ŵ(A)Ŵ(B) ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ (A + B − 1)! A−1 ⎪ ⎪ ⎪ (1 − x)B−1 , ⎨ = (A − 1)!(B − 1)! x f (x) = ⎪ ⎪ 0 ≤ x ≤ 1, A ανδ B ιντεγερσ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 1 ⎪ A−1 ⎪ (1 − x)B−1 , A ανδ B νονιντεγερσ ⎪ ⎪ B(A, B) x ⎪ ⎩

(79) (80)

ωηερε φορ A ανδ B νονιντεγερσ, B(A, B) ισ τηε βετα φυνχτιον: B(A, B) =

Ŵ(A + B) = Ŵ(A)Ŵ(B)



1 0

uA−1 (1 − u)B−1 du

(81)

Ηοω το Γενερατε Ρανδοµ Νυµβερσ φροµ τηε Βετα ∆ιστριβυτιον Ασσυµε ρανδοµ ϖαριαβλεσ, y ∼ Γαµµα(A, 1) ανδ z ∼ Γαµµα(B, 1); τηεν  A+B ∗ y = − λν A u ανδ z = − λν i i=1 i=A+1 ui , σο x = y/(y + z) ισ τηε Βετα(A, B) δεϖιατε, ωηερε ui ισ α νυµβερ φροµ α υνιφορµ ρανδοµ γενερατορ ανδ A ανδ B αρε ιντεγερσ. Φορ A ανδ B νονιντεγερσ, υσε τηε αλγοριτηµ το οβταιν τηε βετα δεϖι− ατε ιν ιτεµ 2φ γιϖεν ιν “Ηοω το Γενερατε Ρανδοµ Νυµβερσ φροµ τηε Γαµµα ∆ιστριβυτιον” ιν Σεχτιον 1.3.4. Φορ τηε τηρεε−παραµετερ βετα, οτηερωισε κνοων ασ τηε Σαηινογλυ–Λιββψ π.δ.φ. φορ τηε ΦΟΡ [φορχεδ ουταγε ρατε = υπτιµε/(υπτιµε + δοωντιµε) = (φαιλυρε ρατε)/ (φαιλυρε ρατε + ρεπαιρ ρατε) = λ/(λ + μ)] ωιτη α Βαψεσιαν αππροαχη. Σεε Χηαπτερ 5 ανδ Αππενδιξ 5Α φορ τηε δεριϖατιον [11]. Λετ a = νυµβερ οφ οχχυρρενχεσ οφ οπερατιϖε (υπ) τιµεσ σαµπλεδ xT = τοταλ σαµπλεδ υπτιµε φορ a υπ οχχυρρενχεσ b = νυµβερ οφ οχχυρρενχεσ οφ ινοπερατιϖε (δοων) τιµεσ σαµπλεδ yT = τοταλ σαµπλεδ δοωντιµε φορ b δοων οχχυρρενχεσ c = σηαπε παραµετερ οφ α γαµµα πριορ φορ χοµπονεντ φαιλυρε ρατε λ ξ = ινϖερσε σχαλε παραµετερ οφ α γαµµα πριορ φορ χοµπονεντ φαιλυρε ρατε λ d = σηαπε παραµετερ οφ α γαµµα πριορ φορ χοµπονεντ ρεχοϖερψ ρατε μ η = ινϖερσε σχαλε παραµετερ οφ α γαµµα πριορ φορ χοµπονεντ ρεχοϖερψ ρατε μ Ιν υσινγ τηε διστριβυτιον φυνχτιον τεχηνιθυε, τηε π.δ.φ. οφ ΦΟΡ, δενοτεδ ασ q = λ/(λ + μ), ισ οβταινεδ ⇒ρστ βψ δεριϖινγ ιτσ χ.δ.φ. GQ (q) = P (Q ≤ q) =

19

ΧΟΜΜΟΝ ∆ΙΣΤΡΙΒΥΤΙΟΝΣ ΑΝ∆ ΡΑΝ∆ΟΜ ΝΥΜΒΕΡ ΓΕΝΕΡΑΤΙΟΝΣ

P (λ/(λ + μ) ≤ q) ανδ τηεν τακινγ τηε δεριϖατιϖε οφ gQ (q) φορ 0 ≤ q ≤ 1. Ŵ(a + b + c + d) (ξ + xT )a+c (η + yT )b+d (1 − q)b+d−1 q a+c−1 Ŵ(a + c)Ŵ(b + d) [η + yT + q(ξ + xT − η − yT )]a+b+c+d

α+β 1 Ŵ(α + β) β−1 a−1 (1 − q) q Lα (82) = Ŵ(α)Ŵ(β) 1 + q(L − 1)

gQ (q) =

ωηερε α = a + c, β = b + d, β1 = ξ + xT , ανδ β2 = η + yT . Ιφ L = β1 /β2 = 1 ορ β1 = β2 , τηε χονϖεντιοναλ τωο−παραµετερ βετα π.δ.φ. ισ οβταινεδ. Αν αλτερνατιϖε εξπρεσσιον ισ Lα+c q α+c−1 (1 − q)b+d−1 B(b + d, a + c)[1 − (1 − L)q]a+b+c+d

gQ (q) =

(83)

ωηερε B(b + d, a + c) =

Ŵ(a + c)Ŵ(b + d) Ŵ(a + b + c + d)

ανδ L =

ξ + xT η + yT

(84)

Ηοω το Γενερατε Ρανδοµ Νυµβερσ φροµ τηε Σαηινογλυ–Λιββψ π.δ.φ. Ασσυµε τηε ρανδοµ ϖαριαβλεσ y ∼ Γαµµα(α1 = a + c, β1 = ξ + xT ) ανδ z ∼ Γαµµα(α2 = b + d, β2 = η + yT ), ωηερε τηε ρανδοµ ϖαριαβλε q = y/(y + z) ηασ τηε π.δ.φ. ′

′

Ŵ(m′ + n′ ) ′ m′ ′ n′ (1 − q)m −1 q n −1 a b gQ (q) = Ŵ(m′ )Ŵ(n′ ) [a ′ + q ′ (b′ − a ′ )]m′ +n′

(85)

ανδ τηε χ.δ.φ. GQ (q) = 1 − GF2m′ ,2n′



a ′ n′ −1 q − 1) b ′ m′

a ′ n′ = P F2m′ ,2n′ > C1 = ′ ′ (q −1 − 1) bm

(86)

Ρεσυβστιτυτινγ φορ n′ = a + c, m′ = b + d, b′ = ξ + xT , ανδ a ′ = η + yT , ωε οβταιν φορ εθυατιον (85) gQ (q) =

Ŵ(a + b + c + d) (η + yT )b+d (ξ + xT )a+c Ŵ(a + c)Ŵ(b + d) ×

(1 − q)b+d−1 q a+c−1 [η + yT + q ′ (ξ + xT − η − yT )]a+b+c+d

(87)

20

ΦΥΝ∆ΑΜΕΝΤΑΛΣ ΟΦ ΧΟΜΠΟΝΕΝΤ ΑΝ∆ ΣΨΣΤΕΜ ΡΕΛΙΑΒΙΛΙΤΨ

ωηερε Σνεδεχορ’σ F−διστριβυτιον ιν εθυατιον (86) ηασ βεεν γιϖεν βψ εθυατιον (71). Βψ τηε ινϖερσε τρανσφορµ αππροαχη, ⇒νδ τηε χονσταντ C1 = ινϖερσε οφ F2m′ ,2n′ (1 − ui ) ασ ιν εθυατιον (86): C1 =

a ′ n′ −1 a ′ n′ (q − 1) → q ∗ = ′ ′ , 0 < q∗ < 1 ′ ′ bm a n + C1 b′ m′

(88)

ισ τηε ΣΛ(α = a + c, β = b + d, L = β1 /β2 ) ρανδοµ δεϖιατε, ωηερε ui ισ α ραν− δοµ υνιφορµ.

1.3.8 Ποισσον π.µ.φ. Τηε π.µ.φ. φορ α Ποισσον−διστριβυτεδ X ισ γιϖεν βψ P (X = x) =

λx e−λ , x = 0, 1, 2, 3, . . . , ∞ x!

ανδ λ > 0

(89)

Τηε Ποισσον διστριβυτιον ισ υσεδ το αππροξιµατε τηε βινοµιαλ διστριβυτιον βψ αλλοωινγ τηε νυµβερ οφ τριαλσ n → ∞ φορ p ≫ 0. Τηισ φυνχτιον ισ υσεδ το δεσχριβε τηε νυµβερ οφ εϖεντσ το οχχυρ ωιτηιν σοµε δεσιγνατεδ περιοδ οφ τιµε, συχη ασ ιν ινϖεντορψ ανδ θυαλιτψ χοντρολ, ανδ θυευινγ µοδελσ, ωηερε αρριϖαλ ρατεσ αρε οφτεν χονσιδερεδ το βε Ποισσον διστριβυτεδ. Τηε εξπεχτεδ ϖαλυε οφ τηε Ποισσον ρανδοµ ϖαριαβλε ισ E(X) = λ. Ιτσ ϖαριανχε ισ ςαρ(X) = λ. Νοτε τηατ ςαρ(X) = E(X). Τηε Ποισσον ρατε λ ισ δε⇒νεδ ασ τηε νυµβερ οφ οχχυρρενχεσ εξπεχτεδ περ υνιτ τιµε. Τηεν τηε τιµε βετωεεν αρριϖαλσ ισ νεγατιϖε εξπονεντιαλλψ διστριβυτεδ ωιτη µεαν θ = λ−1 . Ιφ ςαρ(X) > E(X), ιτ ισ α χοµπουνδ Ποισσον διστριβυτιον [12–14]. Ηοω το Γενερατε Ρανδοµ Νυµβερσ φροµ α Ποισσον ∆ιστριβυτιον Τηε ρελατιονσηιπ βετωεεν τηε νεγατιϖε εξπονεντιαλ ανδ Ποισσον διστριβυτιονσ χαν βε υσεδ το γενερατε Ποισσον ρανδοµ νυµβερσ. Α Ποισσον x χαν βε δε⇒νεδ ασ x  i=1

yi ≤ 1 ≤

x+1 

yi

(90)

i=1

ωηερε, υσινγ τηε ινϖερσε τρανσφορµ µετηοδ, yi = λ−1 λν ui = θ λν ui αρε ϖαριατεσ φροµ α νεγατιϖε εξπονεντιαλ διστριβυτιον οφ µεαν λ−1 . Χυµυλατιϖε συµσ οφ yi φορ i = 1, . . . , k αρε γενερατεδ υντιλ τηε ινεθυαλιτψ (90) ηολδσ. Τηεν x ∗ = x ισ τηε Ποισσον δεϖιατε τηατ τερµινατεσ τηε συµµατιον ανδ σατισ⇒εσ (90). 1.3.9 Βερνουλλι, Βινοµιαλ, ανδ Μυλτινοµιαλ π.µ.φ.’σ Α δισχρετε ρανδοµ ϖαριαβλε Y = {0, 1} ισ διστριβυτεδ ασ α Βερνουλλι π.µ.φ. ιφ φαιλυρε προβαβιλιτψ P (Y = 0) = q ανδ συχχεσσ προβαβιλιτψ P (Y = 1) = p αδδ το υνιτψ

21

ΧΟΜΜΟΝ ∆ΙΣΤΡΙΒΥΤΙΟΝΣ ΑΝ∆ ΡΑΝ∆ΟΜ ΝΥΜΒΕΡ ΓΕΝΕΡΑΤΙΟΝΣ

(ι.ε., p + q = 1). Α σεθυενχε οφ n ιδεντιχαλ ανδ ινδεπενδεντ Βερνουλλι τριαλσ, ωηερε X = ni=1 Yi , ωιλλ ρεσυλτ ιν τηε Βινοµιαλ (X; n,p) π.µ.φ. Τηε εξπεχτεδ ϖαλυε φορ τηε βινοµιαλ ρανδοµ ϖαριαβλε ισ E(X) = np. Ιτσ ϖαριανχε ισ ςαρ(X) = npq, ωηερε ςαρ(X) < E(X). Φορ νονινδεπενδεντ (⇒ρστ−ορδερ Μαρκοϖ−δεπενδεντ) Βερνουλλι ρανδοµ ϖαριαβλεσ ιν α σεθυενχε, τηε λιµιτ οφ τηε συµ λεαδσ το α χοµ− πουνδ Ποισσον, υσεφυλ ιν σψστεµσ συχη ασ ελεχτριχ ποωερ ορ χοµπυτερ νετωορκσ [15–17]: B(X = k; n,p) =

 n p k (1 − p)n−k , k

0 ≤ k ≤ n,

p > 0,

p+q =1

(91) Α σιµιλαρ µετηοδ φορ γενερατινγ ρανδοµ µυλτινοµιαλ ϖεχτορσ ινϖολϖεσ αν εξτενσιον οφ τηε βινοµιαλ. Συπποσε, φορ εξαµπλε, τηατ φορ α θυαδρινοµιαλ π.µ.φ., τηε λινε σεγµεντ ισ δραων ασ 0|

|

p1

p2

|

p3

|

ωηερε 0 < ui < p1 , p1 < ui < p1 + p2 , ανδ ιν γενεραλ, k j m=1 pm = 1, ωηερε m = 4: m=1 pm , p0 = 0, 

=

n k 1 , k2 , k 3



j −1

(92)

m=1

pm < ui <

p1k1 p2k2 p3k3 (1 − p1 − p2 − p3 )n−k1 −k2 −k3

(93)

M X1 = k1 , X2 = k2 , . . . , Xm = km ; n, 

|1

p4

k 

m=1



pm = 1

Ηοω το Γενερατε Ρανδοµ Νυµβερσ φροµ τηε Βερνουλλι, Βινοµιαλ, ανδ Μυλτινοµιαλ ∆ιστριβυτιονσ Γενερατε α υνιφορµ νυµβερ ui , ανδ ιφ 0 < ui < p, ιτ ισ α Βερνουλλι συχχεσσ; οτηερωισε, ιτ ισ α φαιλυρε (ι.ε., p ≤ ui < 1). Νεξτ, το γενερατε α βινοµιαλ ρανδοµ σαµπλε οφ x ∗ = k συχχεσσεσ ιν n τριαλσ, δραω n ρανδοµ υνιφορµ νυµβερσ ανδ χουντ τηοσε λεσσ τηαν τηε p τηατ ισ γιϖεν. Μορεοϖερ, το γενερατε α µυλτινοµιαλ ρανδοµ σαµπλε οφ xm∗ = km συχχεσσεσ ιν n τριαλσ φορ α γιϖεν m, δραω n ρανδοµ υνιφορµ νυµβερσ ανδ χουντ τηε νυµβερσ φαλλινγ ιν εαχη οφ τηε m χλασσεσ, ψιελδινγ το n1, n2 , . . . , nm . Ιτ ωουλδ βε n1, n2, n3, n4 ασ αβοϖε ιν τηε εξαµπλε οφ m = 4 χλασσεσ. 1.3.10 Γεοµετριχ π.µ.φ. Τηε γεοµετριχ π.µ.φ. οφ X ισ δε⇒νεδ ασ τηε νυµβερ οφ φαιλυρεσ ιν α σεθυενχε οφ Βερνουλλι τριαλσ υντιλ τηε ⇒ρστ συχχεσσ οχχυρσ. Γεοµετριχ π.µ.φ. ισ οφτεν ρεγαρδεδ ασ τηε ονλψ δισχρετε εθυιϖαλεντ οφ τηε χοντινυουσ νεγατιϖε εξπονεντιαλ διστριβυτιον ωιτη τηε µεµορψλεσσ ορ φοργετφυλνεσσ προπερτψ. Λεττινγ p + q = 1, τηε γεοµετριχ

22

ΦΥΝ∆ΑΜΕΝΤΑΛΣ ΟΦ ΧΟΜΠΟΝΕΝΤ ΑΝ∆ ΣΨΣΤΕΜ ΡΕΛΙΑΒΙΛΙΤΨ

π.µ.φ. χαν βε δενοτεδ ιν ονε οφ τωο ωαψσ, ειτηερ (94) ορ (95):  x = 0, 1, 2, 3, . . . pq x , P (x) = pq x−1 , x = 1, 2, 3, . . . q q ςαρ(x) = 2 E(x) = , p p

(94) (95) (96)

Ηοω το Γενερατε Ρανδοµ Νυµβερσ φροµ α Γεοµετριχ π.µ.φ. Εµπλοψινγ τηε ινϖερσε τρανσφορµ µετηοδ, x ∗ ισ τηε δεσιρεδ γεοµετριχ δεϖιατε φορ P (X = x) = pq x−1 , x = 1, 2, 3, . . . , ωηερε ui ∼ U (0,1): xi∗ =

λν ui λν q

(97)

Φορ τηε οτηερ αλτερνατιϖε, P (X = x) = pq x , x = 0, 1, 2, 3, . . . , ιτ ισ σλιγητλψ διφ− φερεντ (ρουνδ υπ Xi∗ το τηε νεξτ λαργερ ιντεγερ): xi∗ =

λν ui −1 λν q

(98)

1.3.11 Νεγατιϖε Βινοµιαλ ανδ Πασχαλ π.µ.φ.’σ Ιφ ωε οβσερϖε τηε νυµβερ οφ τριαλσ υντιλ τηε kτη συχχεσσ οχχυρσ, X ισ τηε νεγατιϖε βινοµιαλ (ΝΒ) ρανδοµ ϖαριαβλε, ωηιχη ισ ωηεν ωε στοπ. Ιφ ωε νοω οβσερϖε τηε νυµβερ οφ τριαλσ υπ το ανδ ινχλυδινγ ωηεν τηε kτη συχχεσσ οχχυρσ, X ισ τηε Πασχαλ ρανδοµ ϖαριαβλε. Τηε ΝΒ ρανδοµ ϖαριαβλε µοδελσ τηε νυµβερ οφ τριαλσ ρεθυιρεδ το αχηιεϖε k − 1 συχχεσσεσ: φορ εξαµπλε, τηε νυµβερ οφ ιντεγρατεδ χιρχυιτσ υσεδ ιν χοµπυτερ ηαρδωαρε το ⇒νδ k = 5 δεφεχτιϖε χηιπσ. Τηε εξπεχτεδ ϖαλυε οφ τηε ΝΒ ρανδοµ ϖαριαβλε ισ E(X) = nqp −1 . Ιτσ ϖαριανχε ςαρ(X) = nqp −2 . Νοτε τηατ ςαρ(X) > E(X). Το χαλχυλατε, οβσερϖε n − 1 τριαλσ ωιτη k − 1 συχχεσσεσ. Ατ τηε nτη τριαλ, τηε λονγ−αωαιτεδ kτη συχχεσσ οχχυρσ ανδ τηε εξπεριµεντ ισ τερµινατεδ. Τηεν X ισ τηε νυµβερ οφ φαιλυρεσ βεφορε τηε οχχυρρενχε οφ τηε kτη συχχεσσ φορ τηε ΝΒ ρανδοµ ϖαριαβλε.  n−1 pk−1 (1 − p)n−k , ΝΒ(X = k; n,p) = k−1 0 ≤ k ≤ n, p > 0, p + q = 1 n−1 pk−1 (1 − p)n−k Πασχαλ(X = k; n,p) = p k−1  n+k−1 = pk (1 − p)n−k , k−1 

0 ≤ k ≤ n,

p > 0,

p+q =1

(99)

(100)

ΧΟΜΜΟΝ ∆ΙΣΤΡΙΒΥΤΙΟΝΣ ΑΝ∆ ΡΑΝ∆ΟΜ ΝΥΜΒΕΡ ΓΕΝΕΡΑΤΙΟΝΣ

23

Ωηεν k = 1 ισ τηε σπεχιαλ χασε, τηε ΝΒ π.µ.φ. αβοϖε ρεδυχεσ το τηε γεοµετριχ π.µ.φ. φορ τηε ⇒ρστ συχχεσσ:  n pq n−1 , ΝΒ(k = 1; n,p) = ωηερε 0  n! n = = 1, n = 1, 2, 3, . . . (101) 0 0!(n − 0)! Ηοω το Γενερατε Ρανδοµ Νυµβερσ φροµ τηε Νεγατιϖε Βινοµιαλ ανδ Πασχαλ π.µ.φ.’σ Ονε ωαψ το γενερατε ρανδοµ νυµβερσ φροµ τηε νεγατιϖε βινοµιαλ ανδ Πασχαλ π.µ.φ.’σ ισ το γενερατε α σεθυενχε οφ Βερνουλλι ρανδοµ νυµβερσ, ασ ιν τηε χασε οφ τηε βινοµιαλ. ∆ραω n ρανδοµ υνιφορµ νυµβερσ ανδ ρεχορδ τηοσε λεσσ ορ µορε τηαν τηε p γιϖεν. Ωηεν α νυµβερ γρεατερ τηαν p ρεαχηεσ τηε πρεσχριβεδ νυµβερ οφ k συχχεσσεσ, στοπ ανδ ιδεντιφψ τηατ νυµβερ ασ τηε ΝΒ ρανδοµ δεϖιατε. Σινχε ΝΒ ισ τηε συµ οφ k − 1 γεοµετριχ ρανδοµ ϖαριατεσ, αν αλτερνατιϖε ωαψ το γενερατε αν ΝΒ ρανδοµ νυµβερ ισ  k k   λν ui λν ui ∗ xi = −1 = −k (102) λν q λν q i=1 i=1 ωηερε ωε ρουνδ υπ το τηε νεξτ−λαργερ  ιντεγερ. Φορ α Πασχαλ ρανδοµ δεϖιατε, σιµπλψ συµ k γεοµετριχ δεϖιατεσ, xi∗ = ki=1 (λν ui / λν q), το ρουνδ υπ το τηε νεξτ−λαργερ ιντεγερ. 1.3.12 Ωειβυλλ π.δ.φ. Ιν ρεχεντ ψεαρσ τηε Ωειβυλλ διστριβυτιον ηασ βεχοµε µορε ποπυλαρ ασ α ρελιαβιλιτψ φυνχτιον. Ιτ ισ ναµεδ αφτερ τηε Σωεδιση σχιεντιστ Ωαλοδδι Ωειβυλλ, ωηο υσεδ ιτ το αναλψζε τηε βρεακινγ στρενγτη οφ σολιδσ. Α χηιεφ αδϖανταγε οφ τηε Ωειβυλλ διστρι− βυτιον ισ τηατ ασ ιν τηε βατητυβ χυρϖε, ιτσ ηαζαρδ ρατε φυνχτιον µαψ βε δεχρεασινγ φορ β < 1, χονσταντ φορ β = 1, ορ ινχρεασινγ φορ β > 1. Ωηεν β = 2, τηε Ωειβυλλ ισ χαλλεδ τηε Ραψλειγη π.δ.φ. Τηε ηαζαρδ ρατε φυνχτιον ισ γιϖεν βψ βt β−1 , t ≥ 0, α, β > 0 αβ Τηε Ωειβυλλ δενσιτψ ανδ ρελιαβιλιτψ φυνχτιονσ αρε, ρεσπεχτιϖελψ, h(t) =

f (t) =

βt β−1 −(t/α)β e , αβ β

R(t) = e−(t/α) ,

t ≥ 0,

t ≥ 0,

α, β > 0

α, β > 0

(103)

(104) (105)

Τηε Ωειβυλλ φαµιλψ οφ διστριβυτιονσ ισ α µεµβερ οφ τηε φαµιλψ οφ εξτρεµε ϖαλυε διστριβυτιονσ δισχυσσεδ λατερ. Τηε Ωειβυλλ διστριβυτιον ισ προβαβλψ τηε µοστ ωιδελψ υσεδ φαµιλψ οφ φαιλυρε (ε.γ., ελεχτρονιχ χοµπονεντ, µεχηανιχαλ φατιγυε) διστριβυτιονσ, µαινλψ βεχαυσε βψ

24

ΦΥΝ∆ΑΜΕΝΤΑΛΣ ΟΦ ΧΟΜΠΟΝΕΝΤ ΑΝ∆ ΣΨΣΤΕΜ ΡΕΛΙΑΒΙΛΙΤΨ

προπερ χηοιχε οφ ιτσ σηαπε παραµετερ β, ιτ χαν βε υσεδ ασ αν ΙΦΡ (ινχρεασινγ φαιλυρε ρατε), ∆ΦΡ (δεχρεασινγ φαιλυρε ρατε), ορ ΧΦΡ (χονσταντ φαιλυρε ρατε, ασ ιν τηε νεγατιϖε εξπονεντιαλ χασε). Οφτεν, α τηιρδ παραµετερ, κνοων ασ τηε τηρεσηολδ ορ λοχατιον παραµετερ, t0 , ισ αδδεδ το οβταιν α τηρεε−παραµετερ Ωειβυλλ, ωηερε β

R(t) = e−(t−to /α) ,

t ≥ t0 > 0,

α, β > 0

(106)

Ηοω το Γενερατε Ρανδοµ Νυµβερσ Υσινγ τηε Ωειβυλλ ∆ιστριβυτιον Εµπλοψινγ τηε ινϖερσε τρανσφορµ µετηοδ ανδ σολϖινγ τηε εθυατιον u = F (x) = β β e(−x/α) φορ x, ωε οβταιν u = 1 − e(−x/α) , ανδ τηε ρανδοµ δεϖιατε φορ τηε Ωειβυλλ π.δ.φ. xi∗ = β[− λν(1 − ui )]1/α ,

i = 1, 2, . . .

(107)

Ασ ιν τηε βατητυβ χυρϖε εξπλαινεδ ιν Σεχτιον 1.2, α χοµπονεντ ορ, εθυαλλψ, α σψστεµ µαψ ποσσεσσ τηρεε µοδεσ οφ φαιλυρε, βασεδ ον ιτσ δεχρεασινγ, χονσταντ, ανδ ινχρεασινγ φαιλυρε ρατεσ. Αγαιν, τηε βατητυβ χυρϖε οφ αν ινδιϖιδυαλ υνιτ µαψ βε ασσυµεδ το δενοτε τηε συµ οφ Ωειβυλλ π.δ.φ.’σ, ασ ιν τηε οϖεραλλ ιντεγραλ φορ τηε οϖεραλλ ρελιαβιλιτψ:  β2  β3 t β1 t t h(t) = λ(t ) dt = + + α1 α2 α3 0    t

β1 t R(t) = εξπ − h(t) dt = εξπ − α1 0     t β2 t β3 + εξπ − + εξπ − α2 α3 

t

′

′



(108)

(109)

ωηερε, β1 < 1 ρεφερσ το τηε ινφανχψ ορ χοµµισσιονινγ περιοδ, β2 = 1 χορρεσπονδσ το τηε χονσταντ φαιλυρε ορ υσεφυλ λιφε περιοδ, ανδ β3 > 1 σψµβολιζεσ τηε ωεαρ−ουτ περιοδ. Φορ συχη α σψστεµ, πρεϖεντιϖε µαιντενανχε πραχτιχεσ µυστ βε χηοσεν χαρεφυλλψ φορ τηοσε ιντερϖαλσ ωηερε τηε ωεαρ−ουτ περιοδ ισ ιν εφφεχτ. Πρεϖεντιϖε µαιντενανχε τηερεφορε δεχρεασεσ ρελιαβιλιτψ αδϖερσελψ ιν τηε ινφανχψ περιοδ; τηατ ισ, β1 < 1 ισ ιν εφφεχτ. Νεεδλεσσ το σαψ, ιτ ηασ νο εφφεχτ ον τηε υσεφυλ λιφε περιοδ. Ασιδε φροµ πρεϖεντιϖε µαιντενανχε πραχτιχεσ το ινχρεασε ινσταντανεουσ ρελιαβιλιτψ, χορρεχτιϖε µαιντενανχε πλαψσ α σιγνι⇒χαντ ρολε ιν ρεδυχινγ τηε νυµβερ οφ φαιλυρεσ ανδ τηε τιµε ρεθυιρεδ το µακε ρεπαιρσ. Τηεν τηε νοτιον οφ αϖαιλαβιλιτψ, A(t), τηε προπορτιον οφ τιµε τηατ α σψστεµ ορ χοµπονεντ ισ ιν αν οπερατιοναλ στατε, προϖεσ υσεφυλ. Μαινταιναβιλιτψ ισ α δεγρεε ορ µεασυρε οφ ηοω θυιχκλψ α σψστεµ χαν βε βρουγητ βαχκ ιντο α ρεπαιρεδ στατε φολλοωινγ τηε φαιλυρεσ εξπεριενχεδ. Ιφ α χοµπονεντ ορ σψστεµ χαννοτ βε ρεπαιρεδ, ιτσ αϖαιλαβιλιτψ ισ εθυαλ το ιτσ ρελιαβιλιτψ

ΧΟΜΜΟΝ ∆ΙΣΤΡΙΒΥΤΙΟΝΣ ΑΝ∆ ΡΑΝ∆ΟΜ ΝΥΜΒΕΡ ΓΕΝΕΡΑΤΙΟΝΣ

ατ τηατ ποιντ. Τηερεφορε, ιν γενεραλ τερµσ,  1 T R(t) dt A(t) = T 0

25

(110)

Ηενχε, ασ τηε περιοδ T ινχρεασεσ το ιν⇒νιτψ, τηε νυµερατορ ιντεγραλ αππροαχηεσ τηε ΜΤΤΦ. Ηοωεϖερ, τηε δενοµινατορ βεχοµεσ ιν⇒νιτε, ανδ τηε λονγ−ρυν αϖαιλαβιλιτψ οφ α νονρεπαιραβλε χοµπονεντ ορ σψστεµ βεχοµεσ ζερο, σινχε αλλ φαιλ ωιτη νο ρεπαιρ αχτιον, ψιελδινγ αν αϖεραγε αϖαιλαβιλιτψ οφ ζερο. Τηισ χασε ισ σηοων ασ ΜΤΤΦ =0 ΜΤΤΦ + ΜΤΤΡ ∼ ∞). ωηερε ΜΤΤΡ ισ τηε µεαν τιµε το ρεπαιρ (= A(∞) =

(111)

1.3.13 Νορµαλ π.δ.φ. Τηε νορµαλ διστριβυτιον ισ σοµετιµεσ υσεδ ασ τηε ωεαρ−ουτ δενσιτψ φυνχτιον. ∆υρινγ τηε ωεαρ−ουτ πηασε οφ τηε βατητυβ ηαζαρδ χυρϖε, χοµπονεντ λιφε φολλοωσ α νορµαλ διστριβυτιον. Ιτ σηουλδ βε φαµιλιαρ το ανψονε ωηο ηασ στυδιεδ στατιστιχαλ προχεδυρεσ. Τηισ π.δ.φ. µοδελσ τηε διστριβυτιον οφ α προχεσσ ασ τηε συµ οφ α λαργε νυµβερ οφ προχεσσεσ, αλτηουγη ιτ χαννοτ βε υσεδ φορ νεγατιϖε τιµεσ. Τηε δενσιτψ φυνχτιον οφ τηε ρανδοµ ϖαριαβλε οφ τηε τιµε το φαιλυρε, T , ισ γιϖεν ασ

1 (t − μ)2 f (t) = √ εξπ − , −∞ < t < ∞, μ, σ > 0 (112) 2σ 2 σ 2π Ιφ ωε δενοτε τηε στανδαρδ νορµαλ διστριβυτιον οφ z = (t − μ)/σ ωιτη μ = 0 ανδ σ = 1 βψ  2 1 z φ(z) = √ εξπ − , −∞ < z < ∞ (113) 2 2π ανδ ιτσ χ.δ.φ. βψ

(z) =



z

φ(u) du

ιτσ ρελιαβιλιτψ φυνχτιον ισ γιϖεν βψ  ∞  R(t) = f (u) du = t

z=

t −μ , σ

(114)

−∞

μ = 0,

∞ z

φ(z)dz = 1 − (z),

σ =1

(115)

Ονε διφ⇒χυλτψ ωιτη τηε νορµαλ διστριβυτιον ασ α ρελιαβιλιτψ φυνχτιον ισ τηατ ιτ αλλοωσ φορ νεγατιϖε ϖαλυεσ οφ τηε ρανδοµ ϖαριαβλε. Ιφ (−μ/σ ) ισ νεγλιγιβλε, τηισ χαυσεσ νο τρουβλε. Ιφ ιτ χαννοτ βε ιγνορεδ, τηε τρυνχατεδ διστριβυτιον



 −μ −1 1 (t − μ)2 , t ≥ 0, μ, σ > 0 f (t) = √ εξπ − σ 2σ 2 σ 2π (116)

26

ΦΥΝ∆ΑΜΕΝΤΑΛΣ ΟΦ ΧΟΜΠΟΝΕΝΤ ΑΝ∆ ΣΨΣΤΕΜ ΡΕΛΙΑΒΙΛΙΤΨ

σηουλδ βε υσεδ. Φιναλλψ, βψ υσινγ τηε χεντραλ λιµιτ τηεορεµ (ΧΛΤ), τηε µεαν οφ α σαµπλε οφ n µυτυαλλψ ινδεπενδεντ ρανδοµ ϖαριαβλεσ ωιτη α ⇒νιτε µεαν ανδ ϖαριανχε ισ νορµαλλψ διστριβυτεδ ασψµπτοτιχαλλψ ασ n → ∞. Μεασυρεµεντ ερρορσ οφτεν ηαϖε τηισ διστριβυτιον, ασ ιν τηε χασε οφ αλλ τηε (ποσιτιϖε ανδ νεγατιϖε) δεϖιατιονσ φροµ Γρεενωιχη–Λονδον τιµε φορ αλλ τηε χλοχκσ αρουνδ τηε γλοβε. Τηε ΧΛΤ αλσο ωορκσ φορ α σεθυενχε οφ νονινδεπενδεντ ανδ νονιδεντιχαλ ϖαριαβλεσ ιν α σψστεµ γιϖεν χερταιν στατιστιχαλ ασσυµπτιονσ [17–22]. Ηοω το Γενερατε Ρανδοµ Νυµβερσ φροµ α Νορµαλ ∆ιστριβυτιον Μετηοδ 1: Λαω οφ Λαργε Νυµβερσ Αν εαρλιερ µετηοδ οφ γενερατινγ εξαχτ στανδαρδ νορµαλ N (0, 1) δεϖιατεσ τηατ τακεσ αδϖανταγε οφ τηε λαω οφ λαργε νυµβερσ ισ το γενερατε α ρανδοµ σαµπλε οφ N υνιφορµ δεϖιατεσ ανδ τηεν χαλχυλατε: X=

n  ui i=1

(117)

n

Φορ λαργε n, τηε διστριβυτιον οφ X (= αϖεραγε οφ X) αππροαχηεσ νορµαλιτψ βψ τηε ΧΛΤ. Αχτυαλλψ, τηισ ηαππενσ φορ ασ σµαλλ α ϖαλυε ασ n = 12; ανδ ιτ γετσ βεττερ ωιτη ινχρεασινγ n. Σινχε U (0, 1) ϖαριαβλεσ ηαϖε α µεαν οφ 0.5 ανδ ϖαριανχε οφ 1 , ωε χαν ρεφορµυλατε εθυατιον (117) το οβταιν τηε µεαν ανδ ϖαριανχε βψ τακινγ 12 n = 12 το γετ X ∼ N (0, 1): X=



n

12

 12  ui − 6 (ui − 0.5) = n i=1 i=1

(118)

Τηισ µετηοδ οφ γενερατινγ N (0, 1) ισ φαστερ, βυτ τηε χηαραχτεριστιχσ οφ τηε στατισ− τιχαλ διστριβυτιον γενερατεδ αρε νοτ θυιτε ασ γοοδ ασ τηοσε οφ τηε νεξτ µετηοδ. Μετηοδ 2: Ματηεµατιχαλ ∆εριϖατιον Τεχηνιθυε Τηισ µετηοδ, αλσο χαλλεδ τηε Βοξ–Μυλλερ µετηοδ (1958), χοµβινεσ τηε ινϖερσε τρανσφορµατιον τεχηνιθυε ανδ τηε πολαρ χοορδινατεσ µετηοδ. Ιτ γενερατεσ τωο ρανδοµ δεϖιατεσ φροµ τηε στανδαρδ νορµαλ διστριβυτιον υπον γενερατινγ α παιρ οφ υνιφορµ ρανδοµ νυµβερσ (u1 , u2 ):  X1 = (−2 λν u2 ) σιν 2πu1 (119)  X2 = (−2 λν u2 ) χοσ 2πu1 (120) 1.3.14 Λογνορµαλ π.δ.φ. Α διστριβυτιον υσεφυλ ιν µαινταιναβιλιτψ ανδ χερταιν φραχτυρε προβλεµσ ισ τηε λογνορµαλ διστριβυτιον, ωηιχη µοδελσ τηε διστριβυτιον οφ α προχεσσ τηατ χαν βε χονσιδερεδ ασ τηε προδυχτ (ασ χοµπαρεδ το νορµαλ διστριβυτιον, ωηιχη γοεσ φορ τηε

ΧΟΜΜΟΝ ∆ΙΣΤΡΙΒΥΤΙΟΝΣ ΑΝ∆ ΡΑΝ∆ΟΜ ΝΥΜΒΕΡ ΓΕΝΕΡΑΤΙΟΝΣ

27

συµ) οφ α νυµβερ οφ προχεσσεσ. Φορ εξαµπλε, τηε ρατε οφ ρετυρν ον α χοµπουνδ− ιντερεστ ινϖεστµεντ ισ τηε προδυχτ οφ τηε ρετυρνσ φορ α γιϖεν νυµβερ οφ περιοδσ. Ιτ ισ υσεδ πριµαριλψ φορ τηε ωεαρ−ουτ ρεγιον οφ τηε βατητυβ χυρϖε, ωηερε τηε ωεαρ ον α σψστεµ µαψ βε προπορτιοναλ το τηε προδυχτ οφ τηε µαγνιτυδεσ οφ τηε δεµανδσ τηατ ηαϖε βεεν εξερτεδ ον ιτ. Ιφ τηε ρανδοµ ϖαριαβλε T = t1 t2 t3 . . . tn ηασ τηε λογνορµαλ  διστριβυτιον (ωηερεασ πρεϖιουσλψ T = t ωασ, βψ ΧΛΤ, νορµαλλψ διστριβυτεδ), i  τηε ϖαριαβλε y = λν T = λν ti ισ νορµαλλψ διστριβυτεδ. Ιφ τηε ϖαριαβλεσ x1 ανδ x2 ηαϖε λογνορµαλ διστριβυτιονσ, τηε προδυχτ ρανδοµ ϖαριαβλε q = x1 x2 ισ αλσο λογνορµαλλψ διστριβυτεδ. Τηε π.δ.φ. οφ Τ ισ

1 (λν t − μ)2 f (t) = √ εξπ − , t ≥ 0, μ, σ > 0 (121) 2σx2 σ t 2π Ιφ ωε λετ μ = λν t0 , ανδ σx = w, τηεν

λν(t/t0 )2 1 , f (t) = √ εξπ − 2w2 wt 2π

t ≥ 0,

ανδ t0 , w > 0

(122)

Τηε χορρεσπονδινγ χ.δ.φ. ισ οβταινεδ βψ ιντεγρατινγ οϖερ t ωιτη α λοωερ λιµιτ οφ t = 0. Τηε ρεσυλτσ χαν βε εξπρεσσεδ ιν τερµσ οφ τηε στανδαρδιζεδ νορµαλ ιντεγραλ ασ  t −1 (123) FY (y) = w λν t0 Φορ σµαλλ ϖαλυεσ οφ w, τηε λογνορµαλ ανδ νορµαλ διστριβυτιονσ αρε σιµιλαρ ιν σηαπε. Ωηεν τηε t0 ισ τηε µεδιαν οφ τηε ρανδοµ ϖαριαβλε T , τηε µεαν ανδ ϖαριανχε οφ τηε λογνορµαλ π.δ.φ. φορ T αρε  2 w μ = t0 εξπ (124) 2 σ 2 = t02 εξπ(w 2 )[εξπ(w 2 ) − 1]

(125)

Τηε λογνορµαλ διστριβυτιον µαψ βε δεριϖεδ βψ τηε φολλοωινγ αργυµεντ. Χον− σιδερ α χερταιν προχεσσ ωηερε φαιλυρε ισ δυε το φατιγυε χραχκινγ. Λετ X 1 < X2 < · · · < Xn βε α σεθυενχε οφ ρανδοµ ϖαριαβλεσ δενοτινγ τηε σιζε οφ τηε χραχκ ατ συχχεσσιϖε σταγεσ οφ γροωτη. Ασσυµε τηατ τηε γροωτη ισ προπορτιοναλ το τηε σιζε οφ τηε χραχκ. Xi − Xi−1 ισ ρανδοµλψ προπορτιοναλ το Xi−1 . Φαιλυρε οχχυρσ ωηεν τηε χραχκ σιζε ισ Xn . Τηε προπορτιοναλιτψ φαχτορσ, i , αρε ινδεπενδεντ βυτ νοτ νεχεσ− σαριλψ ιδεντιχαλλψ διστριβυτεδ ρανδοµ ϖαριαβλεσ. Ηενχε, σκιππινγ τηε ιντερµεδιατε στεπσ ανδ εθυατιονσ ψιελδσ  λν Xn = i + λν X0 (126)

ωηερε X0 ισ τηε ινιτιαλ σιζε οφ µινυτε ⇓οωσ, ϖοιδσ, ανδ σο ον. Βψ τηε ΧΛΤ (Σεχτιον 1.3.13), τηε i χονϖεργε ιν διστριβυτιον το τηε νορµαλ διστριβυτιον, ανδ ηενχε λν Xn ισ ασψµπτοµατιχαλλψ νορµαλλψ διστριβυτεδ.

28

ΦΥΝ∆ΑΜΕΝΤΑΛΣ ΟΦ ΧΟΜΠΟΝΕΝΤ ΑΝ∆ ΣΨΣΤΕΜ ΡΕΛΙΑΒΙΛΙΤΨ

Ηοω το Γενερατε Ρανδοµ Νυµβερσ φροµ α Λογνορµαλ π.δ.φ. Μετηοδ 1: Λαω οφ Λαργε Νυµβερσ Ονε φολλοωσ τηε σαµε στεπσ φορ τηε νορµαλ ρανδοµ νυµβερ γενερατορ πρεσεντεδ αβοϖε. Τηε ρελατιονσηιπ οφ α λογνορµαλ ϖαρι− αβλε ωιτη µεδιαν m = εξπ(μ) ανδ σηαπε παραµετερ σ το τηε στανδαρδ νορµαλ δεϖιατε N (0, 1), ανδ τηε ρελατιονσηιπ οφ N (0, 1) το τηε υνιφορµ ρανδοµ νυµβερ ui ωιλλ γιϖε x ∗ ∼ meσ N(0,1) = m εξπ σ



12  i=1



ui − 6

(127)

Μετηοδ 2 Σεε µετηοδ 2 φορ τηε νορµαλ γενερατορ. Ονε χαν αππλψ τηε σαµε δεριϖατιον φορ τηε λογνορµαλ δεϖιατε y, ωηερε y = λν x, y ∼ νορµαλ, ανδ x ∼ λογνορµαλ.

1.3.15 Λογιστιχ π.δ.φ. X ισ λογιστιχ ιφ ιτσ π.δ.φ.

f (x) =

εξπ[−(x − a)/k] σεχ η2 [−(x − a)/k] = k{1 + εξπ[−(x − a)/k]}2 4k

(128)

ανδ ιτσ χ.δ.φ., ρελιαβιλιτψ, ανδ ηαζαρδ φυνχτιονσ αρε F (x) = 1 − [1 + e−(x−a)/k ]−1

(129)

R(x) = [1 + e

(130)

h(x) =

−(x−a)/k −1

]

e−(x−a)/k k[1 + e−(x−a)/k ]

(131)

Αλσο, E(x) = µοδε = µεδιαν = a ανδ ςαρ(x) = b2 = k 2 π 2 /3. Φορ α στανδαρδ λογιστιχ, ιφ a = 0, k = 1, b = 3−1/2 kπ (132) Ηοω το Γενερατε Ρανδοµ Νυµβερσ φροµ α Λογιστιχ π.δ.φ. Βψ τηε ινϖερσε τρανσφορµ τεχηνιθυε, ui = R(x) = [1 + e−(x−a)/k ]−1 λεαδσ το [(1 − ui )/ui ] = e−(x−a)/k . Τηεν τακινγ τηε λν οφ βοτη σιδεσ, λν[(1 − ui )/ui ] = −(x − a)/k; ωε γετ xi∗ = a − k λν[(1 − ui )/ui ].

ΧΟΜΜΟΝ ∆ΙΣΤΡΙΒΥΤΙΟΝΣ ΑΝ∆ ΡΑΝ∆ΟΜ ΝΥΜΒΕΡ ΓΕΝΕΡΑΤΙΟΝΣ

29

1.3.16 Χαυχηψ π.δ.φ. X ισ Χαυχηψ ιφ f (x) =

1 , πb{[(x − a)2 /b] + 1}

−∞ < x < ∞

(133)

ασ τηε ρατιο οφ τωο ινδεπενδεντ N (0, 1) ρανδοµ ϖαριαβλεσ ωιτη a (λοχατιον παραµ− ετερ) ανδ b (σχαλε παραµετερ). Τηε στανδαρδ Χαυχηψ ισ f (x) =

1 , + 1)

π(x 2

a = 0,

b=1

(134)

Σψµµετριχαλ αβουτ x = 0, οδδ µοµεντσ αβουτ τηε οριγιν αρε ζερο ανδ τηε µοδε ισ ατ x = 0. Τηε ρεχιπροχαλ οφ α Χαυχηψ(a, b) ρανδοµ ϖαριαβλε ισ αλσο Χαυχηψ(a ′ , b′ ), ωηερε a ′ = a/(a 2 + b2 ) ανδ b′ = b/(a 2 + b2 ). Ηοω το Γενερατε Ρανδοµ Νυµβερσ φροµ α Χαυχηψ π.δ.φ. Α Χαυχηψ(0, 1) υσεσ τηε ρατιο οφ τωο ινδεπενδεντ N (0, 1) στανδαρδ ρανδοµ ϖαρι− αβλεσ: 12 ui − 6 i=1 x ∗ = 12 (135) uj − 6 j =1

ωηερε ui ανδ uj αρε ινδεπενδεντ υνιφορµ ϖαριατεσ, i, j = 1, 2, 3, . . . , 12. 1.3.17 Ηψπεργεοµετριχ π.µ.φ.

Τηε προβαβιλιτψ οφ x µανψ συχχεσσεσ ιν α σαµπλε σιζε οφ n ουτ οφ X µανψ συχχεσσεσ ιν α ποπυλατιον οφ τοταλ N µανψ ελεµεντσ ισ ηψπεργεοµετριχ ωιτη α π.µ.φ. γιϖεν ασ   N −X X n−x n  P (x) = (136) N n ωιτη µεαν ανδ ϖαριανχε nX N (nX/N )(1 − X/N )(N − n) ςαρ(x) = N −1 E(x) =

(137) (138)

30

ΦΥΝ∆ΑΜΕΝΤΑΛΣ ΟΦ ΧΟΜΠΟΝΕΝΤ ΑΝ∆ ΣΨΣΤΕΜ ΡΕΛΙΑΒΙΛΙΤΨ

Ηοω το Γενερατε Ρανδοµ Νυµβερσ φροµ α Ηψπεργεοµετριχ π.µ.φ. Σελεχτ n ρεχτανγυλαρ (υνιφορµ) ινδεπενδεντ ρανδοµ νυµβερσ, i = 1, 2, . . . , n, ιν σεθυενχε. Ιφ ui < pi , ρεχορδ α συχχεσσ, ανδ συµ τηε συχχεσσεσ το οβταιν x ∗ , ωηερε p1 =

X , N

N1 = N,

pi+1 = (Ni pi − d)(N − i); ανδ

d = 1 ιφ ui ≥ pi ,

d = 0 ιφ ui < pi

(139)

1.3.18 Εξτρεµε ςαλυε (Γυµβελ) π.δ.φ.’σ 1. Σµαλλεστ εξτρεµε ϖαλυε. Χονσιδερ α σαµπλε οφ n ινδεπενδεντ ιδεντιχαλλψ διστριβυτεδ ρανδοµ ϖαριαβλεσ φροµ α διστριβυτιον ωιτη χ.δ.φ. F (x). Τηεν τηε χ.δ.φ. οφ x = µιν Xi , i = 1, . . . , n ισ G(x) = 1 − [1 − F (x)]n

(140)

Ασ n γετσ λαργερ τηερε αρε τηρεε ποσσιβλε ρεσυλτινγ διστριβυτιονσ (ασ ιν α σεριεσ σψστεµ βασεδ ον τηε πρινχιπλε τηατ τηε σψστεµ χαννοτ γετ στρονγερ τηαν ιτσ ωεακεστ ορ µινιµυµ ελεµεντ): α. Τψπε Ι διστριβυτιον. Ιφ f (x) τενδσ το ζερο εξπονεντιαλλψ ασ x → ∞ (ι.ε., νορµαλ διστριβυτιον), τηεν 

x −γ G(x) = 1 − exp − εξπ , −∞ < x < ∞, γ , α > 0 α (141) β. Τψπε ΙΙ διστριβυτιον. Ιφ τηε ρανγε οφ x ισ υνλιµιτεδ φροµ βελοω ανδ ιφ φορ σοµε α, β > 0, λιµ (−x)α F (x) = β, τηεν G(x) = 1 − εξπ



x−γ α

−β

,

−∞ < x ≤ γ ,

α, β > 0

(142)

χ. Τψπε ΙΙΙ διστριβυτιον. Ιφ τηε ρανγε οφ x ισ βουνδεδ φροµ βελοω, τηατ ισ, F (x) = 0, x ≤ γ < ∞, ανδ F (x) βεηαϖεσ λικε α(x − γ )β φορ σοµε α, β > 0, ασ x → γ , ωηιχη δενοτεσ υνιφορµ, εξπονεντιαλ, ανδ Ωειβυλλ π.δ.φ.’σ, τηεν 

x −γ G(x) = 1 − εξπ α

β

,

γ ≤ x < ∞,

α, β > 0

(143)

Τψπε Ι ασψµπτοτιχ διστριβυτιον οφ τηε σµαλλεστ εξτρεµε ρεσυλτσ φροµ δε⇒νινγ τηε ηαζαρδ ρατε το βε οφ τηε φορµ e x . Τηε τψπε Ι φυνχτιον µαψ αλσο βε υσεδ ασ α φαιλυρε µοδελ φορ α σεριεσ σψστεµ ωηεν τηε υνδερλψινγ διστριβυτιον ισ εξπονεντιαλ. Τψπε ΙΙ διστριβυτιον ισ νοτ ϖερψ υσεφυλ ιν ρελιαβιλιτψ σινχε ιτ ισ αλσο δε⇒νεδ ιν τηε

31

ΧΟΜΜΟΝ ∆ΙΣΤΡΙΒΥΤΙΟΝΣ ΑΝ∆ ΡΑΝ∆ΟΜ ΝΥΜΒΕΡ ΓΕΝΕΡΑΤΙΟΝΣ

νεγατιϖε δοµαιν. Τψπε ΙΙΙ φυνχτιονσ ινχλυδε τηε Ωειβυλλ διστριβυτιον. Ιφ x = λν T , ωηερε T ηασ τηε Ωειβυλλ διστριβυτιον, X ηασ α τψπε Ι εξτρεµε ϖαλυε διστριβυτιον. 2. Λαργεστ εξτρεµε ϖαλυε. Χονσιδερ α σαµπλε οφ n µανψ ι.ι.δ. (ινδεπενδεντ ιδεντιχαλ διστριβυτεδ) ρανδοµ ϖαριαβλεσ εαχη ηαϖινγ α χ.δ.φ. οφ F (x). Τηε διστρι− βυτιον οφ τηε λαργεστ ισ U (x) = [F (x)]n (144) Ασ n γετσ λαργε, τηερε αρε αγαιν τηρεε ποσσιβλε ρεσυλτινγ διστριβυτιονσ (ασ ιν α παραλλελ σψστεµ βασεδ ον τηε πρινχιπλε τηατ τηε σψστεµ χαννοτ γετ ωεακερ τηαν ιτσ στρονγεστ ορ µαξιµυµ ελεµεντ): α. Τψπε Ι διστριβυτιον. Ιφ f (x) τενδσ το ζερο εξπονεντιαλλψ ασ x → ∞ (ι.ε., εξπονεντιαλ), τηεν



x−γ U (x) = εξπ − εξπ α



−∞ < x < ∞,

,

γ , α > 0 (145)

β. Τψπε ΙΙ διστριβυτιον. Ιφ τηε ρανγε οφ x ισ υνλιµιτεδ φροµ βελοω ανδ ιφ φορ σοµε α, β > 0, λιµ (x)α [1 − F (x)] = β, τηεν U (x) = εξπ



x−γ α

−β

,

x≥γ

(146)

χ. Τψπε ΙΙΙ διστριβυτιον. Ιφ τηε ρανγε οφ x ισ βουνδεδ αβοϖε F (x) = 1, x ≥ α ανδ φορ ⇒νιτε γ , 1 − F (x) βεηαϖεσ λικε α(x − γ )β ασ x → γ (ι.ε., υνι− φορµ), τηεν 

x−γ U (x) = εξπ α

β

,

x ≤ γ,

α, β > 0

(147)

Τψπε Ι ασψµπτοτιχ διστριβυτιον οφ τηε λαργεστ ϖαλυε µαψ βε υσεδ φορ χορροσιϖε προχεσσεσ ανδ φορ τιµε το φαιλυρε ιν παραλλελ σψστεµσ. Ηοω το Γενερατε Ρανδοµ Νυµβερσ φροµ τηε Σµαλλεστ Τψπε Ι Εξτρεµε ςαλυε Υσινγ τηε ινϖερσε τρανσφορµ τεχηνιθυε φορ τηε σµαλλεστ εξτρεµε ϖαλυε, xi∗ = γ + α λν(λν ui ), ∞ < x < ∞. Φορ τηε λαργεστ εξτρεµε, τηε σιγν οφ x ωιλλ βε ρεϖερσεδ. 1.3.19 Συµµαρψ οφ τηε ∆ιστριβυτιονσ ανδ Ρελατιονσηιπσ Μοστ Χοµµονλψ Υσεδ Φιγυρε 1.6 σηοωσ τηε ρελατιονσηιπσ αµονγ τηε διστριβυτιονσ ιν Χηαπτερ 1.

32

ΦΥΝ∆ΑΜΕΝΤΑΛΣ ΟΦ ΧΟΜΠΟΝΕΝΤ ΑΝ∆ ΣΨΣΤΕΜ ΡΕΛΙΑΒΙΛΙΤΨ Geometric p

min(x1...xn)

Rectangular n

b =1

Neg. Bin. n, p m = n(1−p) n→ ∞

Dis. Weibull p, b

m = np n→ ∞

Poisson m

x1+ ... +xn

s2 = m m→ ∞

x1 ... xn

ex

Lognormal m, s

Normal m, s

ln x

Hypergeom n, M, N

Beta Bin. a, b, n p = a/b n→ ∞

p = M/N N→ ∞

Binomial n, p m = np s2 = np(1−p) n→ ∞ n=1

x1+ ....+xn

Sahinoglu-Libby a, b, L

Bernoulli p

L=1 x1+ ....+xn a = b→ ∞ x1 x1+x2 m = ab Beta x−m 2 2 s = ab a, b s a→ ∞ b1≠b2 x1 m + sx x1+x2

1/x x1+ ... +xn Cauchy a, b

Std. Normal m = 0, s = 1

Gamma a, b

x12+ ... +xn x1+ ... +xn

a=n

Chi-Square v

Erlang b, n

X1/X2

a=b=1

Std.Cauchy x1/v1 x2/v2

1/X

F v1, v2

v1x l = 1/2 v2 = ∞ min(x1....xn)

v=1

a=1 b = 1/l n = 1 b = 1/l v=2 x1+ ... +xn Exponential l

√x

x1 − x2

2

x v→ ∞ x2

a = b = 1/2

Arc Sin

b = v/2 a=2 2

a=0 b=1

a + bX

n = n−1 a=1 b=1

x1+ ... +xn

n=1

Rayleigh s

x1/s

s=1

1 − l1nX

Std. Uniform

X 1 1 l=a = √2b Laplace a, b

a=0 b=1

a + (b − a)x

x1 − x2 t v

ΦΙΓΥΡΕ 1.6

Weibull s, b

Triangular a = −1, b = 1

Uniform a, b

Ρελατιονσηιπ αµονγ µοστ στατιστιχαλ διστριβυτιονσ ιν Χηαπτερ 1.

ΛΙΦΕ ΤΕΣΤΙΝΓ ΦΟΡ ΧΟΜΠΟΝΕΝΤ ΡΕΛΙΑΒΙΛΙΤΨ

33

1.4 ΛΙΦΕ ΤΕΣΤΙΝΓ ΦΟΡ ΧΟΜΠΟΝΕΝΤ ΡΕΛΙΑΒΙΛΙΤΨ Ιφ τηε ρανδοµ ϖαριαβλε X ισ φορ τηε λιφετιµε ορ τιµε το φαιλυρε οφ α υνιτ, τηεν στυδψ οφ τηισ ϖαριαβλε ισ δε⇒νεδ το ινϖολϖε λιφε τεστινγ ορ ρελιαβιλιτψ τηεορψ. Τηε ρελιαβιλιτψ οφ α χοµπονεντ συρϖιϖινγ υντιλ τιµε X0 ισ δε⇒νεδ ασ τηε ρελιαβιλιτψ οφ τηε χοµπονεντ ατ τιµε X0 ανδ ισ δενοτεδ ασ R(X0 ). Εϖεν τηουγη τηε ραν− δοµ ϖαριαβλε ισ ρεφερρεδ το ασ ρεπρεσεντινγ τιµε, ονε µαψ ηαϖε οτηερ ϖαριαβλεσ, συχη ασ διστανχε ιν τηε χασε οφ α ϖεηιχλε. Ηοωεϖερ, τηε σαµε χονχεπτσ ωουλδ αππλψ [24].

1.4.1 Εστιµατιον Μετηοδσ φορ Χοµπλετε ∆ατα Ωε χονσιδερ νεξτ τηε εστιµατιον οφ ρελιαβιλιτψ ανδ τηε παραµετερσ οφ τηε φαιλυρε διστριβυτιονσ. Τηερε ωιλλ βε τωο σιτυατιονσ: (1) ωηεν τηε φαιλυρε διστριβυτιον ισ νοτ κνοων (ι.ε., τηε νονπαραµετριχ χασε), ανδ (2) ωηεν τηε φαιλυρε διστριβυτιον ισ κνοων (ι.ε., τηε παραµετριχ χασε). Ιν εαχη χασε, τηερε ωιλλ βε ανοτηερ τωο σιτυατιονσ: (1) ωηεν τηε εξαχτ φαιλυρε τιµεσ αρε κνοων, ανδ (2) ωηεν τηε ονλψ ινφορµατιον αϖαιλαβλε ισ τηε νυµβερ οφ συρϖιϖορσ ατ διφφερεντ ποιντσ ιν τιµε [1,2]. Τηε δατα υσεδ ιν τηε εστιµατιον προχεδυρεσ αρε οβταινεδ πριµαριλψ φροµ λιφε τεστσ. Λιφε τεστινγ ισ α προχεδυρε ιν ωηιχη τηε φαιλυρε δατα αρε οβταινεδ φροµ α σαµπλε οφ N ιτεµσ πυτ ιντο τηε προϕεχτεδ οπερατινγ ενϖιρονµεντ. Ιφ αλλ υνιτσ φαιλ βεφορε τηε τεστ ισ τερµινατεδ, ιτ ισ α χοµπλετε τεστ. Οτηερωισε, τηε τεστ ισ ινχοµπλετε ανδ χενσορινγ εξιστσ ωηερε τηε υσυαλ στατιστιχαλ χαλχυλατιονσ φορ ΜΤΤΦ (µεαν τιµε το φαιλυρε) ορ μ (αϖεραγε οφ φαιλυρε τιµεσ) νο λονγερ µακε σενσε. Τψπε Ι χενσορινγ οχχυρσ ωηεν α λιφε τεστ ισ τερµινατεδ ατ α σπεχι⇒εδ τιµε, σαψ T0 , βεφορε αλλ N ιτεµσ φαιλ. Τψπε ΙΙ χενσορινγ οχχυρσ ωηεν τηε λιφε τεστ ισ τερµινατεδ ατ τηε τιµε οφ α παρτιχυλαρ rτη φαιλυρε, r < N . Α µορε χοµπλιχατεδ µυλτιπλε χενσορινγ σχηεµε χονταινσ σοµε ιτεµσ ρεµοϖεδ δυρινγ τηε τεστ, ιν αδδιτιον το φαιλινγ. Ιν µοστ ρελιαβιλιτψ στυδιεσ, τηε φορµ οφ τηε διστριβυτιον οφ τηε ϖαριαβλε (τιµε το φαιλυρε ορ αν οπερατιοναλ χηαραχτεριστιχ συχη ασ διστανχε τραϖελεδ) ισ ασσυµεδ ορ κνοων. Οχχασιοναλλψ, ηοωεϖερ, ιτ ισ νοτ ποσσιβλε το µακε αν ασσυµπτιον χονχερν− ινγ τηε φορµ οφ τηε διστριβυτιον, ιν ωηιχη χασε τηε νονπαραµετριχ διστριβυτιονσ χοµε ιντο πλαψ. Βοτη παραµετριχ ανδ νονπαραµετριχ µετηοδσ ωιλλ βε στυδιεδ. Φορ βοτη αναλψσεσ, δατα µαψ βε γρουπεδ ορ υνγρουπεδ. Υνγρουπεδ δατα οχχυρ ωηεν ινδιϖιδυαλ χοµπονεντ φαιλυρεσ αρε ρεχορδεδ ιν α λαβορατορψ σεττινγ ωηεν τηε σαµ− πλε σιζε ισ νοτ λαργε ανδ συφ⇒χιεντ ινστρυµεντατιον ανδ περσοννελ αρε αϖαιλαβλε το µεασυρε τηε εξαχτ φαιλυρε τιµεσ. Τηε οπποσιτε ισ τρυε ωηεν µανψ δατα εξιστ ωιτη νο αδεθυατε φυνδσ φορ περσοννελ ορ εθυιπµεντ το ρεχορδ αλλ φαιλυρε τιµεσ, ανδ τηε ονλψ ωαψ το αχχοµµοδατε τηε φαιλυρεσ ισ το στοπ ατ εθυαλ ορ υνεθυαλ τιµε ινχρεµεντσ το γρουπ τηεµ. Τηερεφορε, ιφ τηε δατα χονσιστ οφ τηε νυµβερ οφ φαιλυρεσ ωιτηιν εαχη τιµε περιοδ ωιτη νο ινφορµατιον αβουτ τηε εξαχτ τιµεσ οφ φαιλυρε, τηεψ αρε χλασσι⇒εδ ασ γρουπεδ δατα. Λετ’σ νοω λοοκ ατ τηεσε τωο τψπεσ οφ εµπιριχαλ δατα [1,2,25,27,34].

34

ΦΥΝ∆ΑΜΕΝΤΑΛΣ ΟΦ ΧΟΜΠΟΝΕΝΤ ΑΝ∆ ΣΨΣΤΕΜ ΡΕΛΙΑΒΙΛΙΤΨ

Υνγρουπεδ ∆ατα Υνγρουπεδ δατα χονσιστ οφ α σεριεσ οφ φαιλυρε ρεχορδινγσ, ti , i = 1, . . . , N, φορ τηε N υνιτσ αϖαιλαβλε. Τηε ορδερ στατιστιχσ αρε γιϖεν ιν ασχενδ− ινγ ορδερ οφ µαγνιτυδε: t(1) < t(2) < t(3) < . . . < t(i) < . . . < t(N) . Αν εστιµατε ˆ (i) ) = 1 − pi ωιτη ϕυµπσ ατ t(i) , οφ τηε ρελιαβιλιτψ φυνχτιον ισ δενοτεδ βψ R(t ˆ ωηερε p(i) = F (t(i) ). Τηερε αρε α νυµβερ οφ φορµυλασ φορ p(i) ; φορ εξαµπλε, αλλ βυτ τηε ⇒ρστ φορµυλα σηοων βελοω αρε χασεσ οφ τηε γενεραλ φορµυλα (i − a)/ (N − 2a + 1) [4,26] i−1 , N N i − 3/8 , N + 1/4

i i − 0.3 , (σµαλλ σαµπλεσ), +1 N + 0.4 i − 0.44 i − 0.5 , (Ηαζεν’σ φορ N > 20) N + 0.12 N

(148)

αρε ϖαριατιονσ. Φορ σιµπλιχιτψ ωε ωιλλ υσε τηε ονε ωιτη α = 0, ωηιχη γιϖεσ υσ τηε σεχονδ φορµυλα ιν τηε σεριεσ. Ωε ωιλλ σηοω ωαψσ το πλοτ τηε ρελιαβιλιτψ, ˆ = 1 − Fˆ (t) = N + 1 − i = e−H (t) R(t) N +1

(149)

ανδ τηε χυµυλατιϖε ηαζαρδ, ˆ = λν(N + 1) − λν(N + 1 − i) Hˆ (t) = − λογ R(t)

(150)

Φροµ α πλοτ οφ H (t), ιτ ισ ποσσιβλε το ϕυδγε ιφ τηε ηαζαρδ φυνχτιον ισ ινχρεασινγ, δεχρεασινγ, ορ χονσταντ. Α λινεαρ πλοτ ιµπλιεσ α χονσταντ ηαζαρδ φυνχτιον, α χον− ϖεξ πλοτ αν ινχρεασινγ ηαζαρδ, ανδ α χονχαϖε πλοτ α δεχρεασινγ ηαζαρδ. ∆ιρεχτ εστιµατιον οφ τηε ηαζαρδ φυνχτιον ισ γιϖεν βψ ˆ = h(t)

1 (t(i+1) − t(i) )(N − i + 1 − α)

(151)

ωηερε α τακεσ τηε σαµε ϖαλυε ασ τηατ υσεδ το εστιµατε R(t). Τηε δενσιτψ φυνχτιον ˆ ˆ ισ γιϖεν βψ fˆ(t) = h(t)/ R(t) ασ ιν εθυατιον (2) ιν Σεχτιον 1.1. Τηε εξαµπλε βελοω βεστ εξπλαινσ υσε οφ τηε φορµυλασ αβοϖε. Υνγρουπεδ Εξαµπλε Τηε φαιλυρε τιµεσ ιν µοντησ ωερε ρεχορδεδ ον χερταιν εθυιπµεντ φορ i = 1, . . . , 9 ασ 7.2, 9.7, 12.3, 13.5, 16, 18.2, 18.6, 19.8, ανδ 21.3. Τηε δεσχενδινγ ρελιαβιλιτψ ανδ ασχενδινγ χυµυλατιϖε ηαζαρδ εστιµατεσ ατ τιµεσ ti αρε, ρεσπεχτιϖελψ, {R(0) = 1.00, H (0) = 0.0}, {R(7.2) = 0.9, H (7.2) = 0.105}, {R(9.7) = 0.8, H (9.7) = 0.223}, {R(12.3) = 0.7, H (12.3) = 0.357}, {R(13.5) = 0.6, H (13.5) = 0.511}, {R(16) = 0.5, H (16) = 0.693}, {R(18.2) = 0.4, H (18.2) = 0.916}, {R(18.6) = 0.3, H (18.6) = 1.204}, {R(19.8) = 0.2,

35

ΛΙΦΕ ΤΕΣΤΙΝΓ ΦΟΡ ΧΟΜΠΟΝΕΝΤ ΡΕΛΙΑΒΙΛΙΤΨ

ΤΑΒΛΕ 1.2 Υνγρουπεδ Χοµπλετε ∆ατα Εξαµπλε i

Ti

ni

R(ti ) = ni /N

H (ti ) = − λν R(t)

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

0.0 7.2 9.7 12.3 13.5 16.0 18.2 18.6 19.8 21.3

9 8 7 6 5 4 3 2 1 0

1.00 0.90 0.80 0.70 0.60 0.50 0.40 0.30 0.20 0.10

0.0 0.105 0.223 0.357 0.511 0.693 0.916 1.204 1.609 2.303

H (19.8) = 1.609}, {R(21.3) = 0.1, H (21.3) = 2.303}. Νοτε τηατ ni ρεπρεσεντσ τηε ρεµαινινγ υνιτσ ατ τηε iτη σταγε ανδ R(0) = 1 ασ ιν Ταβλε 1.2. Γρουπεδ ∆ατα Ασ µεντιονεδ αβοϖε, τηε δατα αρε µονιτορεδ συχη τηατ τηε ονλψ φαιλυρε ινφορµατιον αϖαιλαβλε ισ τηε νυµβερ οφ συρϖιϖινγ ιτεµσ ατ τιµεσ τηατ αρε ρεχορδεδ ιν ασχενδινγ ορδερ οφ µαγνιτυδε, t(1) < t(2) < · · · < t(i) < · · · < ˆ = ni /N, i = 1, . . . , K. Τηερεφορε, χοµβινινγ ιντο Hˆ (ti ) = t(N), , συχη τηατ R(t) ˆ λογR(ti ) = − λν N − λν ni , ωε αχθυιρε πλοτσ φορ βοτη τηε ρελιαβιλιτψ ανδ χυµυλα− τιϖε ηαζαρδσ. Αδδιτιοναλλψ, ωε µαψ ωαντ το εστιµατε τηε µεαν ανδ ϖαριανχε οφ τηε φαιλυρε διστριβυτιον φορ γρουπεδ δατα. Ωηερεασ φορ υνγρουπεδ δατα, τηε µεαν μ ωασ σιµπλψ τηε αριτηµετιχ αϖεραγε οφ τηε τιµε ιντερϖαλσ (διφφερενχεσ) οφ τηε ινδιϖιδυαλλψ ρεχορδεδ φαιλυρεσ ανδ ϖαριανχε σ 2 δενοτεσ τηε συµ οφ σθυαρεσ οφ τηε δεϖιατιονσ οφ τηεσε τιµε ιντερϖαλσ φροµ τηε µεαν αλλ διϖιδεδ βψ N − 1; φορ τηε γρουπεδ δατα ιτ ισ α διφφερεντ στορψ. Ωε αππροξιµατε f (t) βψ α ηιστογραµ ιν ωηιχη τηερε αρε K ιντερϖαλσ ανδ τηε µιδϖαλυε  οφ εαχη ιντερϖαλ βετωεεν i ανδ i − 1 ισ Mi , ωιτη α φρεθυενχψ οφ fi , ωηερε K 1 fi = N ; τηεν, G δενοτινγ τηε γρουπ μG = 1/N

K 

fi Mi

(152)

σG2 = 1/N

K 

fi (Mi − μG )2

(153)

i

1

Το χαλχυλατε τηε περχεντιλε, ορ τηε θυαντιλε οφ ορδερ P , ωε µυστ λοχατε τηε οβσερϖατιον ωιτη ρανκ r = P n + 0.5. Τηεν οβταιν τηε χυµυλατιϖε φρεθυενχιεσ ανδ δετερµινε τηε χλασσ τηατ ινχλυδεσ τηε περχεντιλε; ιτ ισ τηε χλασσ ωηοσε χυµυλατιϖε φρεθυενχψ ισ τηε ⇒ρστ το εξχεεδ r. ∆ενοτε τηε λοωερ ανδ υππερ λιµιτσ οφ τηισ χλασσ βψ L ανδ U , τηε φρεθυενχψ οφ τηισ χλασσ βψ f , ανδ τηε νυµβερ οφ οβσερϖατιονσ τηατ

36

ΦΥΝ∆ΑΜΕΝΤΑΛΣ ΟΦ ΧΟΜΠΟΝΕΝΤ ΑΝ∆ ΣΨΣΤΕΜ ΡΕΛΙΑΒΙΛΙΤΨ

ΤΑΒΛΕ 1.3 Γρουπεδ Χοµπλετε ∆ατα Εξαµπλε i

Ti

ni

R(ti ) = ni /N

H (ti ) = − λν R(t)

0 1 2 3 4 5 6

10 20 30 40 50 60 70

100 60 40 25 10 5 0

1.00 0.60 0.40 0.25 0.10 0.05 0.00

0 0.51082 0.91629 1.38629 2.30259 2.99573 —

αρε σµαλλερ τηαν L βψ m; οφ χουρσε, m < r [27]. Τηεν τηε (100P )τη περχεντιλε ισ γιϖεν βψ r −m L+ (U − L) (154) f Γρουπεδ Εξαµπλε Ιν εθυαλ ινχρεµεντσ οφ 10 ηουρσ, τηε δατα ιν Ταβλε 1.3 ωερε χοµπιλεδ ιν σεϖεν ιντερϖαλσ ωιτη N = 100 υνιτσ σταρτινγ ανδ ni ρεµαινινγ υνιτσ ατ τηε iτη σταγε, ωηερε R(0) = 1. 1.4.2 Εστιµατιον Μετηοδσ φορ Ινχοµπλετε ∆ατα Ρατηερ τηαν ωαιτ φορ αλλ N ιτεµσ το φαιλ, ιτ ισ οφτεν αδϖανταγεουσ το ηαλτ τηε τεστινγ προχεδυρε εαρλιερ. Τηισ ισ δονε ειτηερ βψ στοππινγ το τεστ ωηεν, φορ τψπε Ι, τηε rτη (r ⇒ξεδ) φαιλυρε οχχυρσ, ορ φορ τψπε ΙΙ, ατ α γιϖεν τιµε T 0 . Χενσορινγ τψπεσ Ι ανδ ΙΙ αρε σινγλψ χενσορεδ φροµ τηε ριγητ, ασ ωε ασσυµε νο χενσορινγ φροµ τηε λεφτ ιν τηισ σεχτιον, λικε σταρτινγ ατ α νονζερο τηρεσηολδ ϖαλυε. Ωε δε⇒νε τηε δατα το βε µυλτιπλψ χενσορεδ ιφ υνιτσ αρε ρεµοϖεδ ατ διφφερεντ τιµεσ δυρινγ τηε τιµε οφ λιφε τεστινγ. Τηερε µαψ βε α χουπλε οφ ρεασονσ φορ µυλτιπλψ χενσορεδ δατα. Ειτηερ τηε υνιτσ αρε ρεµοϖεδ, τηυσ βεχοµινγ υναϖαιλαβλε (ε.γ., τηε δεατη οφ α χανχερ πατιεντ, ωηο ισ τηυσ νο λονγερ αϖαιλαβλε φορ χλινιχαλ τεστσ), ορ βεχαυσε α νεω ορ ιρρελεϖαντ µεχηανισµ τηατ ισ νοτ υνδερ αναλψσισ, ανδ νοτ κνοων το υσ, χαυσεδ τηε φαιλυρε. Ιν τηισ σεχτιον ωε ασσυµε νεγατιϖε εξπονεντιαλ δενσιτψ γοϖερνινγ τηε διστριβυτιον οφ φαιλυρε τιµεσ. Τηε ποιντ ανδ ιντερϖαλ εστιµατεσ φορ τηε ρελιαβιλιτψ αρε 

t R(t) = εξπ − μˆ



n

1 ωηερε μˆ = ti n i=1

2nμˆ 2nμˆ <μ< 2 2 χ(α/2),2n χ(1−α/2),2n

(155) (156)

ωηιχη ισ α 100(1 − α)% χον⇒δενχε ιντερϖαλ. Σινγλψ (Ριγητ)−Χενσορεδ ∆ατα φορ Ρεπλαχεµεντ ανδ Νονρεπλαχεµεντ ∆ατα Το συµµαριζε τηε φορµυλασ γιϖεν βελοω, νοτε τηατ αλλ σιτυατιονσ χοµµανδ τηατ τηε

ΛΙΦΕ ΤΕΣΤΙΝΓ ΦΟΡ ΧΟΜΠΟΝΕΝΤ ΡΕΛΙΑΒΙΛΙΤΨ

37

εστιµατε οφ μ βε γιϖεν βψ τηε τοταλ γοοδ τιµε διϖιδεδ βψ τηε νυµβερ οφ φαιλυρεσ, δεπενδινγ ον τηε ρυλε υσεδ φορ στοππινγ τηε τεστ. Ρεπ. δενοτεσ ρεπλαχεµεντ ανδ ΝΡεπ. δενοτεσ νονρεπλαχεµεντ. 1. Τψπε Ι (ΝΡεπ.). Τηε εστιµατορ οφ μ = ΜΤΤΦ ωηεν τεστινγ στοπσ ατ α πρε− δετερµινεδ τιµε T0 :  r

1  μˆ = ti + (n − r)T0 (157) r i=1 Α 100(1 − α)% χον⇒δενχε ιντερϖαλ φορ μ ισ γιϖεν βψ −T0 −T0 <μ< λν(1 − pU ) λν(1 − pL )

(158)

ωηερε pL ανδ pU αρε τηε χον⇒δενχε λιµιτσ φορ α βινοµιαλ παραµετερ p = 1 − R(T0 ) ωιτη α νονπαραµετριχ εστιµατορ pˆ = 1 − r/n (γοοδ φορ p ≤ 0.5), ορ ιφ α νεγατιϖε εξπονεντιαλ (χονσταντ φαιλυρε ρατε) ισ ασσυµεδ, υσε pˆ = 1 − εξπ(−t/μ). ˆ 2. Τψπε Ι (Ρεπ.) 1 μˆ = (N T0 ) (159) n ισ τηε τψπε Ι (Ρεπ.) εστιµατορ φορ τηε χενσορεδ ΜΤΤΦ. 3. Τψπε ΙΙ (ΝΡεπ.). Τηε εστιµατορ οφ μ = ΜΤΤΦ ωηεν τεστινγ στοπσ ατ τηε rτη φαιλυρε ισ  r

1  ti + (n − r)tr (160) μˆ = r i=1 Α 100(1 − α)% χον⇒δενχε ιντερϖαλ φορ μ ισ γιϖεν βψ 2r μˆ 2r μˆ <μ< 2 2 χ(α/2),2n χ(1−α/2),2n

(161)

4. Τψπε ΙΙ (Ρεπ.) μˆ =

1 N tr n

(162)

ισ τηε τψπε ΙΙ (Ρεπ.) εστιµατορ φορ τηε χενσορεδ ΜΤΤΦ. Εθυατιονσ αρε πρεσεντεδ βελοω φορ οβταινινγ υνβιασεδ εστιµατορσ οφ R(t) φορ ΝΡεπ. ανδ Ρεπ. τεστσ. Εϖεν τηουγη μˆ ισ αν υνβιασεδ εστιµατορ οφ μ, τηειρ φυνχ− ˆ = εξπ(−t/μ) τιονσ, συχη ασ λˆ (ρατε) = μˆ −1 ανδ ρελιαβιλιτψ, R(t) ˆ αρε νοτ υνβιασεδ εστιµατορσ οφ λ ανδ R(t), ρεσπεχτιϖελψ. Αν υνβιασεδ εστιµατορ οφ R(t) φορ τηε

38

ΦΥΝ∆ΑΜΕΝΤΑΛΣ ΟΦ ΧΟΜΠΟΝΕΝΤ ΑΝ∆ ΣΨΣΤΕΜ ΡΕΛΙΑΒΙΛΙΤΨ

νονρεπλαχεµεντ ανδ ρεπλαχεµεντ τεστσ στοππεδ γιϖεν βψ ⎧ t r−1 ⎨ 1 − , ˆ = R(t) r μˆ ⎩ 0, ⎧ t r ⎨ 1− , ˆ = R(t) r μˆ ⎩ 0,

ατ τηε rτη φαιλυρε ισ ρεσπεχτιϖελψ t < r μˆ

(163)

ελσεωηερε t < r μˆ

(164)

ελσεωηερε

Φορ ΜΛΕ, βψ ινϖαριανχε προπερτψ, τηε φυνχτιονσ οφ μˆ αρε στιλλ τηε ΜΛΕ. Μυλτιπλψ Χενσορεδ ∆ατα Ωε στυδψ τηε νονπαραµετριχ αναλψσισ οφ µυλτιπλψ χεν− σορεδ δατα ωηερε σοµε υνιτσ αρε ρεµοϖεδ φροµ τηε τεστ βεφορε φαιλυρε φορ µανψ διφφερεντ ρεασονσ, εσπεχιαλλψ ιν τηε βιοµεδιχαλ ανδ µεδιχαλ (χανχερ) ρεσεαρχη χοµ− µυνιτψ. Τηε εστιµατιον τεχηνιθυε υσεδ µοστ το χαλχυλατε τηε ρελιαβιλιτψ φυνχτιον (ορ συρϖιϖαλ φυνχτιον, ιν ηυµαν−ρελατεδ τεστσ) ισ τηε προδυχτ−λιµιτ ορ Καπλαν–Μειερ εστιµατε. Υνγρουπεδ ∆ατα Ασ ιν τηε ινδιϖιδυαλ φαιλυρε τιµεσ γιϖεν βελοω, τηε σεθυενχε χονσιστσ οφ α σεριεσ οφ τιµεσ, t(1) < t(2) < · · · < t(i) < · · · < t(N) . Εαχη οφ τηεσε τιµεσ σιγνι⇒εσ ειτηερ τηε φαιλυρε ορ χενσορεδ ρεµοϖαλ (ινδιχατεδ βψ αν αστερισκ). Το σταρτ εστιµατινγ ρελιαβιλιτψ, ωε νεεδ το δεριϖε α ρεχυρσιϖε ρελατιον φορ R(ti ) ιν τερµσ οφ R(ti−1 ). Ωιτη νο χενσορινγ, ασ νοτεδ εαρλιερ, ˆ i−1 ) = N + 2 − i R(t N +1

(165)

ˆ i) R(t N +1−i = R(ti−1 ) N +2−i

(166)

Βψ τακινγ τηε ρατιο

ονε οβταινσ τηε ρεχυρσιϖε ρελατιονσηιπ ˆ i−1 ) ˆ i ) = N + 1 − i R(t R(t N +2−i

(167)

αν εθυατιον οφ χονδιτιοναλ ρελιαβιλιτψ. Τηατ ισ, τηε προβαβιλιτψ τηατ α υνιτ συρϖιϖεσ υπ το τιµε ti ισ τηε προδυχτ οφ τηε προβαβιλιτψ τηατ ιτ συρϖιϖεσ υπ το τιµε ti−1 µυλτιπλιεδ βψ τηε χονδιτιοναλ προβαβιλιτψ (N + 1 − i)/(N + 2 − i) τηατ ιτ ωιλλ νοτ φαιλ βετωεεν ti−1 ανδ ti γιϖεν τηατ ιτ ισ οπερατινγ ατ τιµε ti−1 . Νοω ιφ α χενσορινγ ˆ i ) = R(t ˆ i−1 ). αχτιον οχχυρσ ατ ti , τηε ρελιαβιλιτψ ρεµαινσ τηε σαµε, συχη τηατ R(t Τηερεφορε, ⎧ ⎨N + 1 − i ˆ i | ti−1 ) = N + 2 − i , φαιλυρε ατ ti R(t (168) ⎩ 1, χενσορινγ ατ ti

39

ΛΙΦΕ ΤΕΣΤΙΝΓ ΦΟΡ ΧΟΜΠΟΝΕΝΤ ΡΕΛΙΑΒΙΛΙΤΨ

Τηισ λεαδσ το τηε προδυχτ−λιµιτ ορ Καπλαν–Μειερ εστιµατορ ασ φολλοωσ [1]: ˆ i | ti−1 )R(t ˆ i−1 | ti−2 )R(t ˆ i−2 | ti−3 ) · · · R(t ˆ 1 | 0) ˆ i ) = R(t R(t

ωηερε R(0) = 1 (169)

Υνγρουπεδ Εξαµπλε Τηε φολλοωινγ φαιλυρε δατα αρε φροµ α µεχηανιχαλ ενγι− νεερινγ εξπεριµεντ: {30, 53, 54∗ , 68, 83, 99∗ , 107, 116, 149∗ , 158}. Τηε χορρεσ− πονδινγ χονδιτιοναλ ρελιαβιλιτιεσ φορ τηε 10 σεθυεντιαλ αχτιϖιτιεσ αρε χαλχυλατεδ το βε ˆ i | ti−1 ) = {0.909, 0.900, 1.0, 0.875, 0.857, 1.0, 0.8, 0.75, 1.0, 0.5} R(t

(170)

Φιναλλψ, τηε Καπλαν–Μειερ (ρελιαβιλιτψ) προδυχτ λιµιτσ αρε ˆ i ) = {0.909, 0.818, 0.818, 0.716, 0.614, 0.614, 0.491, 0.368, 0.368, 0.184} R(t (171) Γρουπεδ ∆ατα Χοντραρψ το ινδιϖιδυαλ φαιλυρε τιµεσ, αλλ τηε αναλψστ ηασ ισ τηε νυµβερ οφ φαιλυρεσ ρεχορδεδ ατ σεπαρατε (δισϕοιντ) ιντερϖαλσ. Συπποσε τηατ τηε νυµβερ οφ φαιλεδ ανδ ρεµοϖεδ (νονφαιλεδ) ιτεµσ ισ ρεχορδεδ. Νεω εξπρεσσιονσ αρε δεριϖεδ φορ χονδιτιοναλ ρελιαβιλιτψ το αππλψ το γρουπεδ δατα. Λετ di βε τηε νυµβερ οφ δεφεχτιϖεσ (ορ φαιλυρεσ) δυρινγ τηε iτη ιντερϖαλ, ανδ ωιτη ci χενσορεδ (υνφαιλεδ βυτ ρεµοϖεδ), τηερε ωουλδ βε ni (ρεµαινινγ) = ni−1 − di − ci , ωηερε n0 = N : di ˆ i | ti−1 ) = 1 − (172) R(t ni−1 − qi χι Ιφ ρεµοϖεδ ιτεµσ αρε ρεχορδεδ, α qi = 50% φραχτιον οφ τηε ιτεµσ ρεµοϖεδ αρε υνιϖερσαλλψ ασσυµεδ το φαιλ. Ηοωεϖερ, τηε qi προπορτιονσ οφ φαιλυρε (ορ δεατη) µαψ βε εντερεδ διφφερεντλψ ατ ϖαρψινγ ιντερϖαλσ ατ ωιλλ, ορ α γενεριχ 50% φορ αλλ ιντερϖαλσ µαψ βε υσεδ. Το εστιµατε τηε ρελιαβιλιτψ, τηε ποιντ ρελιαβιλιτψ ανδ χονδιτιοναλ ρελιαβιλιτψ ϖαλυεσ αρε υπδατεδ ατ τηε τερµινατιον οφ τιµε ιντερϖαλσ ωηερε φαιλυρεσ ηαϖε οχχυρρεδ. Τηε ρεµοϖαλσ ωιλλ νοτ χηανγε τηε ρελιαβιλιτψ ϖαλυε.

ΤΑΒΛΕ 1.4

Γρουπεδ Μυλτιπλψ Χενσορεδ ∆ατα Εξαµπλε

i

ti (ΧΠΥ σεχονδσ)

ni−1

di

ci

ni

ˆ i |ti−1 ) R(t

ˆ i) R(t

H (ti )

0 1 2 3 4 5

0 1000 2000 3000 4000 5000

— 150 145 126 50 14

— 5 19 66 30 10

— 0 0 10 6 4

150 145 126 50 14 0

— 0.966667 0.868966 0.454545 0.361702 0.166667

1.0 0.966667 0.84 0.381818 0.138104 0.023017

0.0 0.033902 0.174353 0.962811 1.97975 3.77152

40

ΦΥΝ∆ΑΜΕΝΤΑΛΣ ΟΦ ΧΟΜΠΟΝΕΝΤ ΑΝ∆ ΣΨΣΤΕΜ ΡΕΛΙΑΒΙΛΙΤΨ

Γρουπεδ Εξαµπλε Τηε πρεχεεδινγ χενσορεδ γρουπεδ δατα ιν Ταβλε 1.4 ωερε χολλεχτεδ βψ αν ινδεπενδεντ θυαλιτψ−φοχυσεδ νονπρο⇒τ οργανιζατιον ον τηε φαιλυρε οφ ιδεντιχαλ χοµµερχιαλ σοφτωαρε µοδυλεσ σολδ ον τηε µαρκετ φορ 0 < t < 5000 ΧΠΥ σεχονδσ ατ 1000−σεχονδ ιντερϖαλσ. Τηε νονπαραµετριχ ρελιαβιλιτψ ανδ χυµυ− λατιϖε ηαζαρδ φυνχτιονσ ωερε ασκεδ (qi = 0.5 φορ χονϖενιενχε). 1.5 ΡΕ∆ΥΝ∆ΑΝΧΨ ΙΝ ΣΨΣΤΕΜ ΡΕΛΙΑΒΙΛΙΤΨ Ιν εαρλιερ σεχτιονσ οφ τηισ χηαπτερ ωε δεαλτ ωιτη λιφε τεστινγ ανδ ρελιαβιλιτψ εϖαλυα− τιονσ οφ τηε ινδιϖιδυαλ χοµπονεντσ τηατ χονστιτυτε α σψστεµ. Τηε σαµε τεχηνιθυεσ χουλδ βε εξπενσιϖε, ιναχχυρατε δυε το ενϖιρονµεντ χηανγε, ανδ µατηεµατιχαλλψ ιντραχταβλε το περφορµ ανδ αππλψ δυρινγ α σψστεµ αναλψσισ. Αλσο, ποσιτιϖε ορ νεγατιϖε χορρελατιονσ εξιστ—εϖεν τηουγη ηαρδ το εϖαλυατε—βετωεεν τηε ινδι− ϖιδυαλ χοµπονεντσ. Τηισ προηιβιτσ τηε χονϖενιεντ ασσυµπτιον οφ ινδεπενδενχε. Τηερεφορε, ωηεν µορε τηαν ονε χοµπονεντ ισ ινχλυδεδ το φορµ α σψστεµ ανδ αλσο το ιµπροϖε τηε ρελιαβιλιτψ οφ α σψστεµ, τηε χονχεπτ οφ ρεδυνδανχψ βεγινσ. Βυτ ωηετηερ τηε τψπε οφ ρεδυνδανχψ πρεφερρεδ ανδ δεσιγνεδ ισ βενε⇒χιαλ το τηε αιµσ οφ τηε σψστεµ αναλψστ ισ α διφφερεντ µαττερ. Νεξτ ωε στυδψ α ϖαριετψ οφ σψστεµσ ιν τερµσ οφ τηειρ ρελιαβιλιτψ. Ηοωεϖερ, ανοτηερ ωαψ οφ λοοκινγ ατ τηε θυαλιτψ οφ σψστεµ περφορµανχε ισ τηρουγη ιτσ αϖαιλ− αβιλιτψ, δε⇒νεδ ασ τηε προπορτιον οφ τιµε τηατ α σψστεµ ισ ρεαδψ το βε υσεδ. Ονε χαν υπγραδε ινσταντανεουσ ρελιαβιλιτψ βψ αδδινγ ρελιαβιλιτψ ορ βψ ιµπροϖινγ ρεπαρα− βιλιτψ ανδ µαινταιναβιλιτψ [28,29]. Ιν τηε φολλοωινγ συβσεχτιονσ, τηε χοµπονεντσ αρε ασσυµεδ το βε στατιστιχαλλψ ινδεπενδεντ. 1.5.1 Σεριεσ Σψστεµ Ρελιαβιλιτψ Σεριεσ ρελιαβιλιτψ σιµπλψ ασσυµεσ τηατ τηε προδυχτ οφ ινδιϖιδυαλ ρελιαβιλιτιεσ ιν α σψστεµ ωιλλ ρεσυλτ ιν λοωερ ρελιαβιλιτψ τηαν τηατ οφ τηε ωεακεστ χοµπονεντ ρελιαβιλιτψ ιν τηε σψστεµ. Σοµετιµεσ συχη σψστεµσ αρε χαλλεδ νονρεδυνδαντ δυε το τηισ νεγατιϖε εφφεχτ. Τηε φορµυλα δεπιχτσ τηισ ρεαλιτψ: R = R1 R2 R3 Rn · · · RN ,

0 < Ri < 1

(173)

 Ιφ Ri = 0.9, τηεν R = R1 R2 = 0.81. Ιφ Ri = 0.99, τηεν 200 i=1 Ri = 0.134, ορ δοων το 13.4% φροµ 99% φορ α σινγλε χοµπονεντ. Ηοωεϖερ, σεριεσ σψστεµσ αρε σοµετιµεσ γοοδ φορ πυρποσεσ οτηερ τηαν ρελιαβιλιτψ, συχη ασ υσαβιλιτψ ορ χονϖε− νιενχε. Βεφορε τηε αδϖεντ οφ χαλχυλατορσ ανδ χοµπυτερσ, χηαρτσ ωερε τηε ονλψ µεανσ αϖαιλαβλε το χαλχυλατε τηε σψστεµ ρελιαβιλιτψ οφ N χοµπονεντσ ιν σεριεσ. Ιν τηε εαρλιερ σταγεσ οφ σπαχε µισσιονσ, πραχτιτιονερσ διδ νοτ υνδερστανδ ωηψ παψ− λοαδσ σταχκεδ ον τοπ οφ εαχη οτηερ ιν α σεριεσ φορµατ ωουλδ νοτ ρεσυλτ ιν α µορε ρελιαβλε περφορµανχε ιν σπαχε [29]. Τηισ µψστερψ λαστεδ υντιλ σοµεονε ⇒γυρεδ ουτ τηατ τηε σψστεµ ρελιαβιλιτψ οφ σεριεσ σψστεµσ ωασ ωορσε τηαν ιτσ ωεακεστ λινκ. Τηισ ινδιχατεσ οπενλψ τηατ ρελιαβιλιτψ µοδελινγ σηουλδ σταρτ ιν τηε δεσιγν σταγε, νοτ

ΡΕ∆ΥΝ∆ΑΝΧΨ ΙΝ ΣΨΣΤΕΜ ΡΕΛΙΑΒΙΛΙΤΨ

41

αφτερ τηε φαχτ, ωηεν ιτ ισ βοτη τοο λατε ανδ τοο εξπενσιϖε το ρεδεεµ. Εϖεντυαλλψ, ρελιαβιλιτψ αναλψστσ τυρνεδ το παραλλελ ρεδυνδανχψ το υπγραδε σψστεµ ρελιαβιλιτψ. 1.5.2 Αχτιϖε Παραλλελ Ρεδυνδανχψ Ιν τηεσε δεσιγνσ, τωο ορ µορε χοµπονεντσ ωιλλ φορµ α σψστεµ ωιτηουτ α σωιτχη, συχη τηατ τηε φαιλυρε οφ ονε ωιλλ νοτ λεαδ το σψστεµ βρεακδοων ασ ιτ διδ ιν σεριεσ σψστεµσ. Τηε πηενοµενον οφ συχη δυπλιχατιον ισ δε⇒νεδ ασ ρεδυνδανχψ. Τηερε εξιστ φουρ βασιχ αχτιϖε παραλλελ τοπολογιεσ. Ασσυµε τηατ ινδεπενδενχε πρεϖαιλσ βετωεεν χοµπονεντσ. Σιµπλε Αχτιϖε Παραλλελ Σψστεµ Α σιµπλε παραλλελ σψστεµ ισ ονε ιν ωηιχη ιφ ανψ ινδιϖιδυαλ χοµπονεντ ισ α συχχεσσ, τηε σψστεµ ινπυτ–ουτπυτ ορ ινγρεσσ–εγρεσσ χοννεχτιον ισ α συχχεσσ. Ιν α σιµπλε αχτιϖε (ι.ε., ρεαδψ το οπερατε ωιτηουτ τηε νεεδ οφ α σωιτχη) παραλλελ σψστεµ, τηε ινδιϖιδυαλ χοµπονεντσ αρε ποσιτιονεδ ιν παραλλελ τοπολογψ, ωηερε ωιτη n χοµπονεντσ, εαχη οφ Ri , τηε σψστεµ ρελιαβιλιτψ ισ γιϖεν ασ Ra = 1 −

n  i=1

(1 − Ri ) = 1 − (1 − Ri )n

1 − Ra = (1 − Ri )n

(174) (175)

Ρεοργανιζινγ (174) ασ ιν (175) ανδ τακινγ τηε νατυραλ λογαριτηµ οφ βοτη σιδεσ ψιελδσ λν(1 − Ra ) n= (176) λν(1 − Ri ) Ιφ Ri = 0.95, τηεν το ραισε τηε αχτιϖε παραλλελ σψστεµ το 99.5% ρελιαβιλιτψ, n=

λν(1 − 0.995) −5.3 ∼ = =2 λν(1 − 0.95) −3.0

(177)

Τηερεφορε, ιφ Q = 1 − R φορ αλλ, α µεασυρε οφ ιµπροϖεµεντ χαλλεδ ρελατιϖε εφ⇒− χιενχψ ισ γιϖεν βψ 1 − Qn E= (178) 1−Q ανδ τηε µαξιµυµ ιµπροϖεµεντ ποτεντιαλ (ορ ρελατιϖε εφ⇒χιενχψ) ασ n γοεσ το ∞ ισ τηεν 1 100% 1 Eµαξ = = = (179) 1−Q R R Σεριεσ−ιν−Παραλλελ Σψστεµ Τηε σεριεσ−ιν−παραλλελ σψστεµ ισ χοµποσεδ οφ k σεπαρατε σεριεσ συβσψστεµσ αρρανγεδ ιν αχτιϖε παραλλελ ιν τηατ ιφ ανψ σεριεσ βρανχη

42

ΦΥΝ∆ΑΜΕΝΤΑΛΣ ΟΦ ΧΟΜΠΟΝΕΝΤ ΑΝ∆ ΣΨΣΤΕΜ ΡΕΛΙΑΒΙΛΙΤΨ

ωιτη n χοµπονεντσ ισ α συχχεσσ, τηε οϖεραλλ σψστεµ ισ α συχχεσσ. Συχη σψστεµσ αρε αλσο χαλλεδ ηιγη−λεϖελ ρεδυνδαντ (ΗΛ). Τηε ρελιαβιλιτψ ισ RΗΛ = 1 − (1 − R n )k

(180)

Φορ εξαµπλε, γιϖεν R1 = R2 = R3 = R4 = 0.9 ανδ k = 2, n = 2, RΗΛ = 1 − (1 − 0.92 )2 = 0.9639. Φορ σιξ ιδεντιχαλ χοµπονεντσ, φορ εξαµπλε, RΗΛ = 1 − (1 − R n )k = 2R 3 − R 6 = (2)(0.9)3 − 0.96 = 0.9266. Παραλλελ−ιν−Σεριεσ Σψστεµ Τηε παραλλελ−ιν−σεριεσ σψστεµ ισ ονε φορ ωηιχη µαξι− µυµ ρελιαβιλιτψ χαν βε οβταινεδ βυτ ιν ωηιχη ρελιαβιλιτψ ισ ηαρδεστ το µαινταιν. Ιν τηισ σψστεµ αν ινδιϖιδυαλ χοµπονεντ ισ ρεπλαχεδ βψ k χοµπονεντσ ιν αν αχτιϖε παραλλελ σψστεµ το ινχρεασε ρελιαβιλιτψ ιν α σεριεσ οφ n βρανχηεσ. Συχη σψστεµσ αρε αλσο χαλλεδ λοω−λεϖελ ρεδυνδαντ (ΛΛ). Τηισ στρυχτυρε ισ το βε υσεδ ωηεν ϖερψ ηιγη ρελιαβιλιτψ ισ νεχεσσαρψ φορ α γιϖεν λενγτη οφ τιµε, ασ ιν α µισσιλε ⇒ρινγ. Τηε ρελιαβιλιτψ ισ RΛΛ = [1 − (1 − R)k ]n (181) Φορ εξαµπλε, γιϖεν R1 = R2 = R3 = R4 = 0.9 ανδ k = 2, n = 2, RΛΛ = [1 − (1 − 0.9)2 ]2 = 0.9801. Φορ σιξ ιδεντιχαλ χοµπονεντσ τηισ τιµε, RΛΛ = 1 − (1 − Ρn )k = (2R − R 2 )3 = (2)(0.9)3 − 0.96 = 0.9703. Ωε ηαϖε RΛΛ − RΗΛ = 6R 3 (1 − R)2 = 0.0437 φορ ουρ εξαµπλε οφ σιξ ιδεντιχαλ χοµπονεντσ. Χονσε− θυεντλψ, RΛΛ > RΗΛ . Παρτιαλ Παραλλελ Τοπολογψ Τηισ στρυχτυρε ισ δεσιγνατεδ βψ α γρουπ οφ n χοµπο− νεντσ ιν παραλλελ, ουτ οφ ωηιχη ανψ k αρε ρεθυιρεδ το οπερατε φορ τηε σψστεµ το βε συχχεσσφυλ. Α ποπυλαρ εξαµπλε ισ ωηεν οφ τηρεε παραλλελ ενγινεσ ιν α ϕετ πλανε, ωηερε R + Q = 1, ατ λεαστ τωο (k = 2) µυστ ωορκ φορ τηε ϕετ το οπερατε. Ιφ ονε εξπανδσ (R + Q)3 = R 3 + 3R 2 Q + 3RQ2 + Q3 , τηε προβαβιλιτψ οφ συχχεσσ ισ  γιϖεν βψ R 3 + 3R 2 Q. Ιν τηε χασε οφ n υνλικε χοµπονεντσ, ni=1 (Ri + Qi ) = 1. Ωε τηεν γετ ριδ οφ τηοσε τερµσ τηατ ρεπρεσεντ φαιλυρε σχεναριοσ φορ τηε δε⇒νεδ “ατ λεαστ k” στατεµεντ οφ σψστεµ ρελιαβιλιτψ. 1.5.3 Στανδβψ Ρεδυνδανχψ Στανδβψ ρεδυνδανχψ ισ ιδεντιχαλ το τηε στρυχτυρε οφ αν αχτιϖε παραλλελ σψστεµ εξχεπτ τηατ ιτ ισ τερµεδ “στανδβψ” ρεδυνδαντ ωηεν α σωιτχη εξιστσ το διρεχτ τηε ⇓οω οφ χυρρεντ ασ δεσιρεδ [3]. Προϖιδεδ τηατ τηε σωιτχη οπερατεσ περφεχτλψ ιν α µορε εφ⇒χιεντ τωο−χοµπονεντ στανδβψ σψστεµ, τηε σεχονδ υνιτ ισ νοτ αχτιϖατεδ υντιλ τηε ⇒ρστ υνιτ φαιλσ. Τηε ΜΤΤΦ (ρεχιπροχαλ οφ λ, ωηιχη ισ τηε ρατε οφ φαιλυρε) οφ αν αχτιϖε τωο−υνιτ σψστεµ ισ 1.5 τιµεσ ηιγηερ τηαν τηατ οφ α σινγλε χοµπονεντ. Ον τηε οτηερ ηανδ, τηε ΜΤΤΦ οφ α στανδβψ σψστεµ ισ τωιχε ασ ηιγη ασ τηατ οφ α σινγλε υνιτ. Ηοωεϖερ, φορ λt ≪ 1, R(t) = 1 − εξπ(−λt) ≈ 1 − λt φορ α σινγλε χοµπονεντ, R(t) ≈ 1 − (λt)2 φορ αν αχτιϖε παραλλελ σψστεµ, ανδ ⇒ναλλψ, φορ α στανδβψ σψστεµ, R(t) ≈ 1 − 0.5(λt)2 . Τηισ χαν βε ιντερπρετεδ ασ φολλοωσ: Φορ σηορτ τιµε ιντερϖαλσ

43

ΡΕ∆ΥΝ∆ΑΝΧΨ ΙΝ ΣΨΣΤΕΜ ΡΕΛΙΑΒΙΛΙΤΨ

ωηερε t ≪ 1, τηε στανδβψ σψστεµ φαιλυρε προβαβιλιτψ, F = 1 − R, ισ ονλψ ονε−ηαλφ οφ τηε ρελιαβιλιτψ οφ αν αχτιϖε παραλλελ σψστεµ. Τηατ ισ, Fa ≈ (λt)2 ανδ Fστβψ ≈ 0.5(λt)2 . Σεε εθυατιον (67) φορ α γενεραλ στατιστιχαλ τρεατµεντ οφ n χοµπονεντσ ιν στανδβψ [1–3]. Rστβψ (t) = e−λt

n−1  (λt)k k=0

k!

t ≥ 0,

,

λ>0

(182)

Ασ αν εξαµπλε, χονσιδερ α σψστεµ οφ τωο υνιτσ ωιτη λ = 0.01. Τηε ρελιαβιλιτψ ατ t = 10 ηουρσ υσινγ εθυατιον (67) ισ Rστβψ = [εξπ(−0.01 × 10) + 0.1] [εξπ(−0.01 × 10)] = 0.90484 + (0.90484)(0.01) = 0.995324. Ον τηε οτηερ ηανδ, τηε ρελιαβιλιτψ οφ τωο ιδεντιχαλ υνιτσ ιν αν αχτιϖε παραλλελ σψστεµ, ωηεν R(10) = 0.90484, ισ Ra (10) = 1 − (1 − 0.9048)2 = 0.99095. Ιν τηισ τωο− χοµπονεντ εξαµπλε, τηε αδϖανταγε οφ α στανδβψ σψστεµ οϖερ αν αχτιϖε παραλλελ στρυχτυρε ισ νοτ σιγνι⇒χαντλψ ηιγηερ. Τηισ αδϖανταγε ισ φορφειτεδ ιφ τηε σωιτχηινγ ρελιαβιλιτψ ισ νοτ περφεχτ (Rσσ < 1). Φορ α τωο−υνιτ στανδβψ, Rστβψ(t) = (1 + Rσσ λt) εξπ(−λt)

(183)

Φυρτηερ, τηε ρελιαβιλιτψ οφ αν n−υνιτ στανδβψ σψστεµ ωιτη ιµπερφεχτ σωιτχηινγ ρελιαβιλιτψ [2,3] ισ 

Rστβψ (t) = e−λt 1 + Rσσ

n−1  (λt)k k=0

k!

,

t ≥ 0,

λ>0

(184)

Αδδιτιοναλλψ, α χοµπονεντ ιν στανδβψ µοδε µαψ φαιλ βεφορε πριµαρψ σψστεµ φαιλυρε. Συχη στανδβψ χοµπονεντ φαιλυρεσ χαν ηαππεν ϖερψ ραρελψ ωηεν τηε σεχ− ονδαρψ, τερτιαρψ, ορ kτη στανδβψ υνιτ ισ νεχεσσιτατεδ, ανδ µαψ ηαϖε δετεριορατεδ ωηιλε ωαιτινγ ιτσ τυρν οφ δυτψ ιν τηε στανδβψ µοδε. Φορ τωο χοµπονεντσ, τηε σψστεµ ρελιαβιλιτψ ισ τηεν χαλχυλατεδ ασ Rστβψ



 λ1 = 1 + Rσσ [1 − εξπ(−λ2 t) εξπ(−λ1 t) λ2

(185)

ωηερε λ2 ισ τηε φαιλυρε ρατε οφ τηε σεχονδ υνιτ ωηιλε στανδινγ βψ. Ωηατ ηαππενσ ωηεν τηε φαιλυρε ρατε λ3 οφ τηε σεχονδ χοµπονεντ, ωηιλε στανδινγ βψ, διφφερσ φροµ τηε ⇒ρστ, λ1 ? Τηεν Rστβψ = εξπ(−λ1 t) + Rσσ [εξπ(−λ2 − λ3 )t − εξπ(−λ1 − λ2 − λ3 )t]

(186)

Φιναλλψ, ιφ α σψστεµ χονσιστσ οφ α νυµβερ οφ εθυαλ χοµπονεντσ ιν σεριεσ συππορτεδ βψ ονε ορ µορε σπαρεσ, ιτ χαννοτ φαιλ υντιλ τηε φαιλυρε αφτερ τηε λαστ σπαρε ισ ρεπλαχεδ. Ιν τηισ χασε, τηε σψστεµ φαιλυρε ρατε ωουλδ βε N λ, ωιτη N χοµπονεντσ ιν σεριεσ ωιτη α χονσταντ φαιλυρε ρατε λ. Ιφ n σπαρεσ ωερε ον ηανδ, ηοωεϖερ, τηε σψστεµ

44

ΦΥΝ∆ΑΜΕΝΤΑΛΣ ΟΦ ΧΟΜΠΟΝΕΝΤ ΑΝ∆ ΣΨΣΤΕΜ ΡΕΛΙΑΒΙΛΙΤΨ

ωουλδ νοτ βε οπεραβλε υντιλ n + 1 φαιλυρεσ ηαππενεδ. Τηισ ρεσυλτσ ιν α σψστεµ ΜΤΤΦ οφ (n + 1)/N λ. Τηεν  N λt Rσ (t) = εξπ − (187) n+1 Εξαµπλε Α ϕετ πλανε ηασ αν αιρβορνε ραδαρ σψστεµ ωιτη 30 ιδεντιχαλ ιντεγρατεδ χιρχυιτσ (ΙΧσ), ανδ τηε πιλοτ ηασ τηρεε σπαρεσ φορ α 1−ηουρ ⇓ιγητ. Ιφ τηε ΙΧ ηουρλψ φαιλυρε ρατε ισ λ = 0.01, τηε σεριεσ σψστεµ ρελιαβιλιτψ ωιτη νο σπαρεσ ατ τιµε t = 1 ηουρ ισ Rs (1) = εξπ[−N λt/(n + 1)] = εξπ(−0.3) = 0.74082 ≈ 74%. Ωιτη n = 3 σπαρεσ, τηε ρελιαβιλιτψ ωιλλ βε ινχρεασεδ το   0.3 N λt = εξπ − = 0.928 ≈ 93% (188) Rs (1) = εξπ − n+1 4 Ωηεν τηε στανδβψ χοµπονεντ ισ τοο χολδ το βε χαλλεδ υπον, ιτ µαψ εξπεριενχε σωιτχηινγ προβλεµσ ωηεν αχτιϖατεδ. Τηερεφορε, ιν εθυατιον (188), τηε σωιτχηινγ ρελιαβιλιτψ Rσσ ανδ στανδβψ φαιλυρε ρατε λ2 ωιλλ βοτη βε ρεδυχεδ. Ατ τηε οτηερ εξτρεµε, ωηεν τηε στανδβψ ισ ηοτ, τηε σωιτχηινγ φαιλυρε ωιλλ βε ρεδυχεδ, ανδ σωιτχηινγ ρελιαβιλιτψ Rσσ ισ ηιγηερ. Αλσο, ωηεν τοο ηοτ, τηε στανδβψ ρελιαβιλιτψ λ2 ωιλλ εθυαλ τηατ οφ τηε πριµαρψ χοµπονεντ, λ1 . Ιν τηατ ινστανχε, ωηεν λ1 = λ2 = λ, τηε ρελιαβιλιτψ εθυατιον φορ τωο χοµπονεντσ ωιλλ χηανγε το Rστβψ = {1 + Rσσ [1 − εξπ(−λt)]} εξπ(−λt) = (1 + Rσσ ) εξπ(−λt) − Rσσ εξπ(−2λt)

(189)

Φροµ τηισ εθυατιον, ιφ τηε σωιτχηινγ ρελιαβιλιτψ ισ αλµοστ περφεχτ (Rσσ ∼ = 1) δυε το ηοτ στανδβψ, τηε εθυατιον χονϖερτσ το τηατ οφ αν αχτιϖε παραλλελ εθυατιον, ασ ιφ νο στανδβψ σωιτχη εξιστεδ: Rστβψ = 2 εξπ(−λt) − εξπ(−2λt) = Ra

(190)

1.5.4 Οτηερ Ρεδυνδανχψ Λιµιτατιονσ: Χοµµον−Μοδε Φαιλυρεσ ανδ Λοαδ Σηαρινγ Τηε ποσιτιϖε αδϖανταγεσ οφ ρεδυνδαντ σψστεµσ αρε φορφειτεδ ωηεν δεπενδενχιεσ βετωεεν χοµπονεντσ χρεατε υνεξπεχτεδ δισαδϖανταγεσ [1]. Χοµµον−Μοδε Φαιλυρεσ Τηεσε οχχυρ ωηεν χοµµον χοννεχτιονσ ορ στρεσσεσ ιν⇓υενχε τηε ρεδυνδαντ χοµπονεντσ συχη τηατ τηεψ φαιλ σιµυλτανεουσλψ. Τηισ µαψ βε δυε το α βιρδ φραχτυρινγ α ϕετ ενγινε, ιν τυρν χαυσινγ α χοµµερχιαλ ϕετ λινερ το χραση. Τηισ ωουλδ βε λικε ινσταλλινγ α χοµπονεντ ηαϖινγ α ρελιαβιλιτψ R ′ ιν σεριεσ ωιτη α παραλλελ στρυχτυρε. Τηισ χαν βε δισπλαψεδ ασ φολλοωσ ιφ R = εξπ(−λt): Ra′ = (2R − R 2 )R ′

(191)

45

ΡΕςΙΕΩ ΟΦ ΣΟΦΤΩΑΡΕ ΡΕΛΙΑΒΙΛΙΤΨ ΓΡΟΩΤΗ ΜΟ∆ΕΛΣ

Ιν τηε εξαµπλε οφ α τωιν−ενγινε αιρχραφτ, ιφ εαχη ενγινε ηαδ προβαβιλιτψ p = 10−6 , τηε χοµµον µοδε φαιλυρε βεινγ p ′ = 10−9 , τηε σψστεµ φαιλυρε προβαβιλιτψ, pa′ ≈ 10−9 , ισ δοµινατεδ εντιρελψ βψ χοµµον−µοδε φαιλυρε. Ιφ α συβσχριπτ I δενοτεσ “ινδεπενδεντ” ανδ C δενοτεσ “χοµµον µοδε”, ανδ ιφ φορ λ = λI + λC , ωε δε⇒νε α φαχτορ β = λC /λ, τηεν φορ αν αχτιϖε παραλλελ σψστεµ, Ra′ = [2 εξπ(−λI t) − εξπ(−2λI t)] εξπ(−λC t)

(192)

ανδ υσινγ λC = βλ ανδ (1 − β)λ = λI , ωε χαν ρεφορµυλατε τηισ ασ Ra′ = {2 − εξπ[−(1 − β)λt]} εξπ(−λt)

(193)

Τηε σψστεµ ρελιαβιλιτψ δεχρεασεσ ωιτη τηε ινχρεασε ιν β, ασ ιν τηε ραρε εϖεντ αππροξιµατιον  β2 Ra′ ≈ 1 − βλt − 1 − 2β + (−λt)2 + · · · 2

(194)

ασ χοµπαρεδ το 1 − (λt)2 ωηεν νο χοµµον−µοδε φαιλυρε ωασ πρεσεντ. Αλσο, ΜΤΤΦa = [2 − (2 − β)−1 ] · ΜΤΤΦ

(195)

Λοαδ Σηαρινγ Τηισ λιµιτατιον ισ ανοτηερ φαχτορ τηατ δεγραδεσ σψστεµ ρελιαβιλιτψ ιν αχτιϖε παραλλελ σψστεµσ. Τηε φαιλυρε ρατε οφ τηε σεχονδ χοµπονεντ, λL , ωιλλ ινχρεασε δυε το τηε στρεσσ οφ τηε ⇒ρστ, ωηιχη φαιλσ ωιτη λ, ρεσυλτινγ ιν λL > λ. Ωιτη νο χοµµον−µοδε φαιλυρεσ, Ra = 2 εξπ(−λL t) + εξπ(−2λt) − 2 εξπ[−(λ + λL )t]

(196)

ωηιχη δεφαυλτσ το τηε οριγιναλ εθυατιον φορ τηε αχτιϖε παραλλελ στρυχτυρε ιφ λL = λ. Νοω ιφ λL → ∞, εθυατιον (196) ρεδυχεσ το τηε ρελιαβιλιτψ οφ τωο χοµπονεντσ πλαχεδ ιν σεριεσ: Ra = εξπ(−2λt) = Rσεριεσ (197) Τηισ µεανσ τηατ ιφ ανψ χοµπονεντ χαυσεσ αν ινσταντανεουσ φαιλυρε οφ τηε σεχονδ χοµπονεντ σηαρεδ, τηε αχτιϖε παραλλελ σψστεµ φαιλυρε ρατε ωιλλ βε γρεατ ασ τηατ οφ α σινγλε υνιτ.

1.6 ΡΕςΙΕΩ ΟΦ ΣΟΦΤΩΑΡΕ ΡΕΛΙΑΒΙΛΙΤΨ ΓΡΟΩΤΗ ΜΟ∆ΕΛΣ Τηερε αρε ηυνδρεδσ οφ παπερσ ανδ τενσ οφ µοδελσ ιν α µυλτιτυδε οφ ρεφερενχεσ ον τηε συβϕεχτ οφ σοφτωαρε ρελιαβιλιτψ, α συβϕεχτ τηατ ηασ ρισεν το υνιµαγιναβλε διµενσιονσ ασ τηε ινφορµατιον αγε γαλλοπεδ φυλλ σπεεδ ωιτη α “⇒ν δε σιεχλε” (ενδ οφ τηε χεντυρψ) σπιριτ [30–32]. Ιτ ωουλδ βε ιµπραχτιχαλ το εξπλαιν ρελεϖαντ

46

ΦΥΝ∆ΑΜΕΝΤΑΛΣ ΟΦ ΧΟΜΠΟΝΕΝΤ ΑΝ∆ ΣΨΣΤΕΜ ΡΕΛΙΑΒΙΛΙΤΨ

µετηοδσ ον αν ινδιϖιδυαλ βασισ. Ηοωεϖερ, φορ τηε γενεραλ πυρποσε οφ ιντροδυχινγ ⇒ρστ−τιµε ρεαδερσ το τηεσε τεχηνιθυεσ, α χλασσι⇒εδ βρεακδοων οφ µετηοδσ ισ ιν ορδερ. ∆υε το σπαχε λιµιτατιονσ, α σαµπλε ηανδφυλ οφ πιονεερινγ ανδ ρεπρεσεν− τατιϖε τεχηνιθυεσ ωιτη µατηεµατιχαλ–στατιστιχαλ µοδελινγ αππλιχατιονσ λεαδινγ το αππλιχαβλε ανδ πραχτιχαλ σοφτωαρε ρελιαβιλιτψ ενγινεερινγ σολυτιονσ αρε χαρεφυλλψ χηοσεν ανδ ινχλυδεδ. Αλτηουγη τηε αυτηορ ωουλδ ηαϖε λικεδ το ινχλυδε τηεµ αλλ, σοφτωαρε ρελιαβιλιτψ ισ ονλψ α πιεχε οφ τηε πυζζλε οφ τρυστωορτηψ χοµπυτινγ χον− χεπτσ τακεν υπ ιν τηισ βοοκ. Ιν τηισ χηαπτερ ωε δεσχριβε ρελιαβιλιτψ µοδελσ βασεδ ον τηε τιµε δοµαιν ονλψ. Τηε εφφορτ (τιµε−ινδεπενδεντ) δοµαιν ισ στυδιεδ λατερ. Σοφτωαρε ρελιαβιλιτψ µοδελσ δο νοτ χονσιδερ τηε σαµε στατιστιχαλ τεχηνιθυεσ ασ τηοσε υσεδ ιν τηε ηαρδωαρε ρελιαβιλιτψ µοδελσ δεσχριβεδ εαρλιερ. Σιµπλιχιτψ ανδ πραχτιχαλιτψ αρε τωο κεψ φαχτορσ ιν βριδγινγ τηε γαπ βετωεεν τηε στατε οφ τηε αρτ ανδ τηατ οφ αππλιεδ σοφτωαρε ρελιαβιλιτψ µοδελινγ. Τηε ασσυµπτιονσ µυστ βε ρεαλιστιχ ανδ τεσταβλε ασ ωελλ ασ αππλιχαβλε ανδ αχχυρατε ανδ ϖαλιδ φροµ α πρεδιχτιϖε ϖιεωποιντ. Ονε σηουλδ περφορµ γοοδνεσσ−οφ−⇒τ τεστσ το ασσεσσ ηοω ρεασοναβλψ τηε µοδελ ⇒τσ τηε δατα γιϖεν. Εξαµπλεσ αρε προϖιδεδ το ηελπ ρεαδερσ υνδερστανδ τηε χοµπαρισονσ. Α σοφτωαρε ρελιαβιλιτψ µοδελ ισ αν εσσεντιαλλψ µατηεµατιχαλ–στατιστιχαλ τεχη− νιθυε υσεδ το µοδελ αν ενγινεερινγ πηενοµενον: σπεχι⇒χαλλψ, οβταιν α θυαντιτα− τιϖε µεασυρε οφ ρελιαβιλιτψ συχη ασ τηε εξπεχτεδ νυµβερ οφ φαιλυρεσ ωιτηιν α γιϖεν ορ ρεσιδυαλ τιµε ιντερϖαλ, τηε φαιλυρε ιντενσιτψ δυρινγ οπερατιον, ορ τηε µεαν τιµε βετωεεν φαιλυρεσ. Τηεσε µοδελσ αρε νοτ σιµπλψ α χοοκβοοκ αππροαχη βυτ ρεθυιρε αχαδεµιχ εξπερτισε ιν στατιστιχσ ανδ µατηεµατιχσ [33]. Σοµε οφ τηεσε µοδελινγ χονχεπτσ αρε ουτσιδε τηε γενεραλ δισχιπλινε οφ χοµπυτερ σχιενχε ανδ τηερεφορε χαν− νοτ εασιλψ βε αππρεχιατεδ ορ ιντερπρετεδ βψ σοφτωαρε δεϖελοπερσ. Βψ ρελιαβιλιτψ ιν σοφτωαρε ωε µεαν τηε προβαβιλιτψ τηατ τηε σοφτωαρε ωιλλ φυλ⇒λλ ιτσ ιντενδεδ φυνχ− τιον ωιτηουτ φαιλυρε(σ) ιν α σπεχι⇒εδ τιµε ιντερϖαλ. Τηισ δε⇒νιτιον ισ νο διφφερεντ φροµ τηατ οφ ιτσ ηαρδωαρε χουντερπαρτ ωηεν ηαρδωαρε ισ ρεπλαχεδ βψ σοφτωαρε. Ηοωεϖερ, ασ τηε ρεαδερ ωιλλ οβσερϖε, σοφτωαρε µοδελσ αρε χονσιδεραβλψ διφφερεντ φροµ ηαρδωαρε µοδελσ. Αγαιν, τηερε ηαϖε βεεν µανψ βοοκσ ανδ τηουσανδσ οφ ϕουρναλ ανδ χονφερενχε προχεεδινγ παπερσ ον τηισ βροαδ τοπιχ σινχε τηε ινχεπτιον οφ σοφτωαρε ρελιαβιλιτψ σχιενχε ανδ ενγινεερινγ ιν τηε εαρλψ 1970σ [34–40]. Ιν α πιονεερινγ σοφτωαρε ρελιαβιλιτψ στυδψ ιν 1967, Ηυδσον µοδελεδ σοφτωαρε δεϖελ− οπµεντ ασ α Μαρκοϖιαν βιρτη (φαυλτ γενερατιον δυρινγ τηε δεσιγν ορ δεβυγγινγ σταγεσ) ανδ δεατη (φαιλυρεσ ρεσυλτινγ φροµ τηε τριγγερινγ οφ φαυλτσ) προχεσσ ωιτη τρανσιτιον προβαβιλιτιεσ φροµ ονε το ανοτηερ [41]. Ηε σηοωεδ τηατ τηε νυµβερ οφ φαυλτσ δετεχτεδ, ωηιχη ινχρεασεδ ωιτη τιµε, δισπλαψεδ α βινοµιαλ διστριβυτιον ωηοσε µεαν ϖαλυε φυνχτιον ηαδ τηε φορµ οφ α Ωειβυλλ π.δ.φ. Οτηερ στυδιεσ φολ− λοωεδ ωιτη τηε αδϖανχεσ ιν σοφτωαρε τηατ τοοκ πλαχε ιν τηε λατε 1970σ. Λεαδινγ σοφτωαρε ρελιαβιλιτψ ταξονοµιστσ ηαϖε βροκεν δοων τηε µυλτιπλιχιτψ οφ ρεσεαρχη παπερσ ιντο σεϖεραλ γενεραλ αρεασ [31,34]: 1. Τιµε−βετωεεν−φαιλυρεσ µοδελσ. Σοµε οφ τηε εαρλιεστ εξαµπλεσ οφ ρεσεαρχη ον τιµεσ βετωεεν φαιλυρεσ αρε τηοσε οφ ϑελινσκι Μορανδα (1972, 1975), Σηοοµαν (1972), ανδ Σηιχκ ανδ Ωολϖερτον (1978) [42–45].

ΡΕςΙΕΩ ΟΦ ΣΟΦΤΩΑΡΕ ΡΕΛΙΑΒΙΛΙΤΨ ΓΡΟΩΤΗ ΜΟ∆ΕΛΣ

47

2. Φαιλυρε−χουντινγ µοδελσ. Α ρεπρεσεντατιϖε γρουπ οφ φαιλυρε−χουντινγ µοδελσ ισ τηατ οφ νονηοµογενεουσ Ποισσον προχεσσεσ, ωηερε πρεδιχτιονσ χαν βε µαδε φορ φυτυρε εποχησ. Τηε εαιλιερ λεαδινγ µοδελσ ιν τηισ χατεγορψ αρε τηε ποπ− υλαρλψ υσεδ µοδελ οφ Γοελ ανδ Οκυµοτο οφ 1979 [46], ανδ τηε Μυσα–Οκυµοτο λογαριτηµιχ Ποισσον ιν 1984 [47]. ∆ισχρετε ϖερσιονσ οφ τηισ τψπε οφ µοδελ ηαϖε βεεν στυδιεδ βψ Οηβα [48], ∆υανε [49], ανδ Λιττλεωοοδ [50], αλλ ιν 1984; Ψαµαδα ετ αλ. ιν 1986 [51]; Κνα⇓ ανδ Σαχκσ ιν 1991 [52]; ανδ Σαηινογλυ τηρουγη ηισ ΧΠΣΡΜ (χοµπουνδ Ποισσον σοφτωαρε ρελιαβιλιτψ µοδελινγ) τεχηνιθυεσ [12–16] ανδ Ζηαο ανδ Ξιε [53], βοτη ιν 1992. Μυσα’σ βασιχ εξεχυτιον µοδελ οφ 1975 ισ αλσο ιν τηισ χατεγορψ [54]. 3. Βαψεσιαν µοδελσ. Τηισ τψπε οφ µοδελ, α Βαψεσιαν εστιµατιον τεχηνιθυε φορ µοδελσ αλρεαδψ στυδιεδ, υσεσ πριορ διστριβυτιον το ρεπρεσεντ τηε ϖιεω φροµ παστ βεηαϖιορ, ανδ τηυσ α ποστεριορ διστριβυτιον το ιντεγρατε χυρρεντ δατα ωιτη παστ ϕυδγµεντ. Βψ ωαψ οφ ποστεριορ διστριβυτιονσ, αφτερ δεχιδινγ ον τηε χηοιχε οφ λοσσ φυνχτιονσ ανδ µινιµιζινγ τηε λοσσ εξπεχτεδ, εστιµατεσ οφ τηε υνκνοων παραµετερ αρε συβστιτυτεδ ιν τηε ρελιαβιλιτψ ορ ηαζαρδ φυνχτιονσ. Φορ εξαµπλε, φορ α σθυαρεδ− ερρορ λοσσ φυνχτιον, τηε βεστ εστιµατε ισ τηε µεαν οφ τηε ποστεριορ διστριβυτιον; ανδ φορ αν αβσολυτε−ϖαλυε λοσσ φυνχτιον, τηε µεδιαν οφ τηε ποστεριορ ισ τηε βεστ εστιµατε. Ηοωεϖερ, ιφ τηε εµπιριχαλ Βαψεσιαν αππροαχη ισ υσεδ το δεριϖε µορε αππροπριατε µοδελσ, τηεψ χαν βε χλασσι⇒εδ ασ ανοτηερ µοδελινγ τεχηνιθυε. Τηε µοστ ποπυλαρ µοδελ ιν τηισ χατεγορψ ισ τηε Λιττλεωοοδ–ςερραλ (1973) εµπιρι− χαλ Βαψεσ µοδελ [55], ωηιχη Μαζζυχηι ανδ Σοψερ (1988) λατερ µοδι⇒εδ υσινγ Βαψεσιαν πρινχιπλεσ [56]. Τηερε αρε µανψ οτηερ παπερσ ον Βαψεσιαν τρεατµεντ οφ τηε ϑελινσκι–Μορανδα µοδελ: φορ εξαµπλε, τηοσε οφ Λανγβεργ ανδ Σινγπυρ− ωαλλα [57] ανδ ϑεωελλ [58], βοτη ιν 1985. Τηεσε µοδελσ αρε διφ⇒χυλτ το αππλψ ωιτηουτ παραµετερ εστιµατιον σολυτιονσ. 4. Στατιχ (νονδψναµιχ) µοδελσ. Τηεσε µοδελσ, ωηιχη ινχλυδε χοµπλεξιτψ µεα− συρεσ, φαιλυρε ινϕεχτιον, ανδ φαυλτ σεεδινγ, δο νοτ δεαλ ωιτη τιµε. Ονε οφ τηε ⇒ρστ µοδελσ ωασ τηατ οφ Νελσον ιν 1978 [59]. Αν εξχελλεντ µυστ−ρεαδ ρεϖιεω παπερ φορ αλλ ιντερεστεδ βεγιννερσ ισ τηατ οφ Ραµαµοορτηψ ανδ Βαστανι πυβλισηεδ ιν 1982 [60]. Βαστανι ανδ Ραµαµοορτηψ λατερ (1986) εµπηασιζεδ χορρεχτνεσσ εστι− µατιον οφ σοφτωαρε φαιλυρεσ ρατηερ τηαν τιµε−δεπενδεντ προβαβιλιτψ [61]. Τηε λαττερ πυβλιχατιον δεσχριβεσ α δεταιλεδ στυδψ οφ χορρεχτνεσσ προβαβιλιτψ, ωηιχη ισ εστι− µατεδ υσινγ α τψπε οφ χοντινυιτψ ασσυµπτιον. Αλσο δισχυσσεδ ισ α φυζζψ σετ–βασεδ ινπυτ δοµαιν µοδελ τηατ ισ φοχυσεδ ον δεϖελοπινγ µορε τηεορετιχαλ µοδελσ. Τηε εαρλιερ µοδελ οφ Νελσον [59] ωασ α σπεχιαλ χασε οφ αν ινπυτ δοµαιν–βασεδ µοδελ, εξτενδεδ βψ Μυνσον ανδ Κηοσγοφτααρ ιν 1981 [62]; Ηαµλετ [63] ανδ Σχοττ ετ αλ. [64], βοτη ιν 1987; ανδ Ωεισσ ανδ Ωεψυκερ ιν 1988 [65], ιν τηε αρεα οφ σοφτ− ωαρε φαυλτ τολερανχε, α συβϕεχτ αλσο στυδιεδ βψ Λιττλεωοοδ ανδ Μιλλερ ιν 1989 [66] ανδ βψ Βυτλερ ανδ Φινελλι ιν 1993 [67]. Σοφτωαρε φαυλτ τρεεσ υσεδ ασ α χονϖεν− τιοναλ ρελιαβιλιτψ ενγινεερινγ µετηοδ ωερε στυδιεδ βψ Σταληανε ιν 1989 [68], ανδ Ωοηλιν ανδ Κορνερ (1990) προποσεδ α φαυλτ−σπρεαδινγ µοδελ [69]. Τηε οριγιναλ σεεδινγ µοδελ δισχυσσεδ βψ Μιλλσ [70] ηασ νεϖερ βεεν φορµαλλψ πυβλισηεδ οτηερ τηαν ασ αν ΙΒΜ ρεπορτ, αλτηουγη Ηυανγ ιν 1984 [71], ∆υραν ανδ Ωιορκοωσκι ιν 1981 [72], ανδ Σχηιχκ ανδ Ωολϖερτον ιν 1978 [45] ηαϖε ωριττεν ον τηε τοπιχ.

48

ΦΥΝ∆ΑΜΕΝΤΑΛΣ ΟΦ ΧΟΜΠΟΝΕΝΤ ΑΝ∆ ΣΨΣΤΕΜ ΡΕΛΙΑΒΙΛΙΤΨ

5. Οτηερσ. Τηισ γρουπ χοµβινεσ αλλ τηε οτηερ τοπιχσ, συχη ασ παπερσ ον τηε ρελεασε τιµε οφ σοφτωαρε αφτερ τεστινγ βψ Ξιε ιν 1991 [30] ανδ βψ Σαηινογλυ ιν 1995 ανδ 2003, το ναµε α φεω [13,15]. Μοδελ χοµπαρισον παπερσ ηαϖε αλσο βεεν πυβλισηεδ, συχη ασ τηοσε βψ Κειλλερ ανδ Μιλλερ ιν 1991 [73], Κηοσηγοφτααρ ανδ Ωοοδχοχκ ιν 1991 [74], ανδ Λψυ ανδ Νικορα ιν 1991 [75], ιν αδδιτιον το Βενδελλ ανδ Μελλορ ιν 1986 [76] ανδ Λιττλεωοοδ ιν 1987 [77]. Α χοµπλετε στοχηαστιχ τρεατµεντ τηατ χοµπαρεδ τηε πρεδιχτιϖε αχχυραχψ αµονγ χοµπετινγ ρελιαβιλιτψ µοδελσ υσινγ Βαψεσιαν πρινχιπλεσ ωασ πυβλισηεδ βψ Σαηινογλυ ιν 2001 [16]. 1.6.1 Σοφτωαρε Ρελιαβιλιτψ Μοδελσ ιν τηε Τιµε ∆οµαιν Νεξτ ωε στυδψ τιµε−δοµαιν (νοτ εφφορτ−βασεδ) µοδελσ, ιν ωηιχη τιµε ισ ειτηερ χοντινυουσ (νονστοπ) ορ δισχρετε (ιν διστινχτ τιµε υνιτσ, συχη ασ δαψσ, ωεεκσ, ορ ψεαρσ). Τηε βασιχ γοαλ ισ το µοδελ παστ φαιλυρε δατα το πρεδιχτ βεηαϖιορ ιν τηε φυτυρε (ι.ε., ρελιαβιλιτψ προϕεχτιον) βεφορε σοφτωαρε ισ ρελεασεδ το τηε χυστοµερ ατ τηε ενδ οφ τηε δεϖελοπµεντ χψχλε. Ρελιαβιλιτψ µοδελσ αρε αλσο υσεφυλ το µοδελ φαιλυρε παττερνσ ανδ προϖιδε ινπυτ το µαινταιν σοφτωαρε βεφορε φαυλτσ (δεφεχτσ) αρε τριγγερεδ, χαυσινγ φαιλυρεσ. Τηε δατα χονσιστ οφ φαιλυρεσ περ τιµε περιοδ, µεανινγ τηε νυµβερ οφ φαιλυρεσ δισχοϖερεδ ιν α τιµε περιοδ, ορ τιµε βετωεεν φαιλυρεσ, δενοτινγ τηε χαλενδαρ ορ ΧΠΥ τιµε αχτυαλλψ οβσερϖεδ βετωεεν σοφτωαρε φαιλυρεσ. Ωε τακε υπ νοντιµε− ορ εφφορτ−βασεδ µοδελσ ιν Χηαπτερ 2, ωηερε εφφορτσ αρε µαδε ατ εθυαλ ιντερϖαλσ (ε.γ., δαψσ ορ ωεεκσ ορ µοντησ) ορ σιµπλψ εφφορτ βψ εφφορτ, ωηερε τηε εφφορτ χαν βε α τεστ χασε ορ ανψ ινπυτ ιν α χαλενδαρ τιµε περιοδ. Τηισ αππροαχη χαν βε λικενεδ το α τιµε δοµαιν ιφ εφφορτσ αρε µαδε ατ εθυαλ ιντερϖαλσ. Ανψ µοδελ υσεδ φορ πρεδιχτιον ηασ το βε τεστεδ φορ γοοδνεσσ οφ ⇒τ. Ιν τηισ βοοκ ωε δο νοτ διστινγυιση βετωεεν φαιλυρεσ ανδ φαυλτσ, βυτ ρεχορδεδ φαιλυρεσ αρε αχτυαλλψ τριγγερεδ φαυλτσ ινηερεντ ιν τηε σοφτωαρε. Τηερε ισ ανοτηερ χλασσι⇒χατιον τηατ µαψ βε υσεδ ωιτη ρεσπεχτ το τηε τψπε οφ στατιστιχαλ διστριβυτιον τηατ υνδερλιεσ τηε ⇒νιτε φαιλυρε χουντ ωιτηιν α γιϖεν περιοδ. Ωε χονσιδερ τηε Ποισσον προχεσσ οϖερ τιµε φορ τηε χουνταβλε ⇒νιτε θυαντιτψ οφ φαιλυρεσ, τηε βινοµιαλ µοδελ, ορ οτηερ τψπεσ. Ιν τηε Ποισσον µοδελ ωε ηαϖε α Ποισσον προχεσσ οϖερ τιµε ωηερε τηε τοταλ νυµβερ οφ φαιλυρεσ ισ νοτ κνοων ιν αδϖανχε. Ποισσον−τψπε µοδελσ ασσυµε τηατ τηε νυµβερ οφ φαιλυρεσ δετεχτεδ ωιτηιν δισ− τινχτ τιµε ιντερϖαλσ αρε ινδεπενδεντ ωιτη σεπαρατε µεανσ: (1) ωιτη τηε σαµε ρατε οφ φαιλυρε, τηε ηοµογενεουσ Ποισσον προχεσσ; (2) ωιτη α ϖαρψινγ ρατε οφ φαιλυρε, τηε νονηοµογενεουσ Ποισσον προχεσσ (ΝΗΠΠ), ορ (3) χοµπρισινγ α χοµπουνδ Ποισσον προχεσσ βεψονδ τηε ΗΠΠ ανδ ΝΗΠΠ ιφ τηε φαιλυρεσ οχχυρ ιν σιζεσ ορ χλυσ− τερσ ρατηερ τηαν ιν τερµσ οφ τηε χονϖεντιοναλ ασσυµπτιον οφ α σινγλε φαιλυρε ατ α τιµε. Βινοµιαλ−τψπε µοδελσ αρε βασεδ ον σιµιλαρ ασσυµπτιονσ: α βινοµιαλ σεττινγ ιν ωηιχη (1) α σοφτωαρε δεφεχτ ωιλλ βε ρεµοϖεδ ωηενεϖερ α φαιλυρε οχχυρσ, (2) τηερε ισ α κνοων θυαντιτψ οφ εµβεδδεδ δεφεχτσ ορ φαυλτσ ινδεπενδεντ ιν τηε προγραµ ιν αδϖανχε, ανδ (3) τηε ηαζαρδ ρατεσ αρε ιδεντιχαλ φορ αλλ δεφεχτσ. Μοδελσ τηατ διφφερ φροµ τηεσε τωο τψπεσ οφ χουντ προχεσσεσ ωε χαλλ “οτηερ τψπεσ.”

49

ΡΕςΙΕΩ ΟΦ ΣΟΦΤΩΑΡΕ ΡΕΛΙΑΒΙΛΙΤΨ ΓΡΟΩΤΗ ΜΟ∆ΕΛΣ

1.6.2 Χλασσι⇒χατιον οφ Ρελιαβιλιτψ Γροωτη Μοδελσ Αγαιν, φορ φαιλυρε διστριβυτιον οϖερ τιµε, ωηετηερ τηε διστριβυτιον ισ νεγατιϖε εξπο− νεντιαλ, Ωειβυλλ, ορ οτηερ, τηε µοδελσ διφφερ φροµ ονε ανοτηερ. Λετ’σ ⇒ρστ στυδψ τηε νεγατιϖε εξπονεντιαλ χλασσ οφ φαιλυρε τιµε µοδελσ ιν Ποισσον, βινοµιαλ, ανδ οτηερ τψπεσ. Ιν σοφτωαρε ρελιαβιλιτψ ωε εµπλοψ τηε µεαν ϖαλυε φυνχτιον, μ(t) = E[M(t)], το ρεπρεσεντ τηε εξπεχτατιον οφ φαιλυρεσ ωιτη ρεσπεχτ το τιµε, ωηερε M(t) ισ α ρανδοµ προχεσσ το δενοτε τηε νυµβερ οφ φαιλυρεσ αχηιεϖεδ υντιλ τιµε t. Ον τηε οτηερ ηανδ, τηε φαιλυρε ιντενσιτψ φυνχτιον, λ(t) = μ′ (t), ισ τηε ⇒ρστ δεριϖατιϖε οφ μ(t) ωιτη ρεσπεχτ το (ω.ρ.τ.) τιµε. λ(t) δενοτεσ τηε ινσταντανεουσ ρατε οφ χηανγε οφ τηε εξπεχτατιον οφ φαιλυρεσ ω.ρ.τ. τιµε t. Νοτε τηατ τηε ηαζαρδ ρατε h(t) = f (t)[R(t)]−1 ισ τηε χονδιτιοναλ φαιλυρε δενσιτψ γιϖεν τηατ τηερε ωερε νο φαιλυρεσ υπ το τιµε t. Εθυατιονσ (20) ανδ (25) το (29) σηοωεδ τηεσε φαχτσ. Νεγατιϖε Εξπονεντιαλ Χλασσ οφ Φαιλυρε Τιµεσ Ιν τηισ χλασσ, τηε φαιλυρε ιντενσιτψ λ(t) ισ ιν τηε φορµ οφ α νεγατιϖε εξπονεντιαλ. Τηε βινοµιαλ τψπεσ φορ τηισ χλασσ ηαϖε α χονσταντ ηαζαρδ ρατε h(t) = c ανδ λ(t) = N c εξπ(−ct). Τηε Ποισσον τψπεσ ιν τηισ χλασσ αλσο ηαϖε α χονσταντ ηαζαρδ ρατε οφ h(t) = c, βυτ ωιτη α νεγατιϖε εξπονεντιαλ τιµε το φαιλυρε f (t) = c εξπ(−ct). Ηοωεϖερ, τηε νυµβερ οφ φαιλυρεσ τηατ οχχυρ οϖερ α γιϖεν περιοδ οφ τιµε φορ ειτηερ α ΗΠΠ ορ αν ΝΗΠΠ ισ Ποισσον. Νεξτ, λετ’σ λοοκ ατ µοδελσ χονταινεδ ιν τηισ χλασσ. ϑελινσκι–Μορανδα (ϑ−Μ) ∆ε−ευτροπηιχατιον Μοδελ (Βινοµιαλ Τψπε) Α ϖερψ εαρλψ µοδελ προποσεδ ιν 1972 βψ ϑελινσκι ανδ Μορανδα ισ τηε ϑ−Μ τιµε−βετωεεν−φαιλυρεσ (ι.ε., νεγατιϖε εξπονεντιαλ) µοδελ [42]. Τηε µοδελ ασσυµεσ N φαυλτσ (ορ ποτεντιαλ φαιλυρεσ) τριγγερεδ ρανδοµλψ ωιτη εθυαλ προβαβιλιτψ. Ονε αλσο ασσυµεσ τηατ τηε φαιλυρε ⇒ξ (“ασ γοοδ ασ νεω”) τιµε ισ νεγλιγιβλε, ανδ τηισ λεαδσ το τηε σοφτωαρε’σ ιµπροϖεµεντ βψ τηε σαµε αµουντ ατ εαχη ⇒ξ. Νοω τηε ηαζαρδ φυνχτιον δυρινγ τηε τιµε xi = ti − ti−1 βετωεεν τηε (i − 1)στ ανδ iτη φαιλυρεσ ισ γιϖεν βψ h(xi ) = φ[N − i + 1]

(198)

ωηερε N ισ τηε τοταλ χουντ οφ σοφτωαρε φαυλτσ ατ τηε ϖερψ βεγιννινγ, ωιτη φ α προ− πορτιοναλιτψ χονσταντ. Τηε ηαζαρδ φυνχτιον ρεµαινσ α χονσταντ βετωεεν τηε φαιλυρεσ βυτ δεχρεασεσ ιν στεπσ οφ φ αφτερ τηε ρεµοϖαλ οφ εαχη φαυλτ, α φαχτ τηατ ρεσυλτσ ιν τηε ιµπροϖεµεντ οφ τηε τιµε βετωεεν φαιλυρεσ. Νοω, λετ’σ στυδψ τηε µατηεµατι− χαλ–στατιστιχαλ µοδελ ιν ωηιχη xi = ti − ti−1 αρε ι.ι.δ. ωιτη α νεγατιϖε εξπονεντιαλ π.δ.φ. ωιτη µεαν θ = [φ(N − i + 1)]−1 f (xi ) = (1/θ ) εξπ(−xi /θ ) ισ τηε π.δ.φ. οφ ιντεραρριϖαλ τιµεσ. μ(t) = N [1 − εξπ(−φt)] ισ τηε ⇒νιτε µεαν ϖαλυε φυνχτιον, σινχε λιµt→∞ μ(t) = N λ(t) = N k εξπ(−φt) ισ τηε φαιλυρε ιντενσιτψ φυνχτιον. Φορ τηε µοδελ αβοϖε, τηε εστιµατεσ οφ τηε παραµετερσ ανδ ρελιαβιλιτψ πρεδιχτιον αρε γιϖεν βψ n  i=1

1 n  n !  n = ˆ  − 1/ N −i +1 N xi (i − 1)xi i=1

φˆ =

N

n

i=1

(199)

i=1

n

 ! n xi − (i − 1)xi i=1

(200)

50

ΦΥΝ∆ΑΜΕΝΤΑΛΣ ΟΦ ΧΟΜΠΟΝΕΝΤ ΑΝ∆ ΣΨΣΤΕΜ ΡΕΛΙΑΒΙΛΙΤΨ

Φιρστ, N ισ εστιµατεδ φροµ τηε ⇒ρστ νονλινεαρ εθυατιον ανδ τηεν ινσταλλεδ ιν τηε σεχονδ νονλινεαρ εθυατιον το εστιµατε k. Τηεν, αφτερ n = i − 1 φαυλτσ ηαϖε βεεν οβσερϖεδ, τηε εστιµατε οφ τηε ΜΤΒΦ φορ τηε (n + 1)στ φαυλτ ισ {z(t)}−1 = ˆ Nˆ − n)⌋. Σηοοµαν’σ σαφεγυαρδ ρελιαβιλιτψ µοδελ (1972) ισ ϖερψ σιµιλαρ το ⌊1/φ( τηε ϑ−Μ µοδελ [37]. Τηεσε πιονεερινγ µοδελσ ηαϖε ινσπιρεδ οτηερσ ιν σεθυενχε ανδ ηαϖε σινχε βεεν ρεπλαχεδ βψ µορε µοδερν µετηοδσ. Μορανδα’σ Γεοµετριχ Μοδελ (Ποισσον Τψπε) Τηε γεοµετριχ µοδελ προποσεδ βψ Μορανδα ισ α ϖαριατιον οφ τηε οριγιναλ ϑ−Μ µοδελ [43]. Τηε ιντεραρριϖαλ τιµε φορ φαιλυρεσ ισ αλσο α νεγατιϖε εξπονεντιαλ, f (xi ) = Dφ i−1 εξπ(−Dφ i−1 xi ), ωηοσε µεαν δεχρεασεσ ωιτη ρεσπεχτ το α γεοµετριχ τρενδ [ι.ε., h(t) = Dφ i−1 , i = 1, 2, . . . , n; 0 < φ < 1 ατ τηε (i − 1)στ φαιλυρε]. Τηε εξπεχτεδ τιµε βετωεεν φαιλ− υρεσ ισ E(Xi ) = h−1 (ti−1 ). Τηε ηαζαρδ ρατε δεχρεασεσ ιν α γεοµετριχ προγρεσσιον ασ εαχη φαιλυρε οχχυρσ. Τηε φυνχτιοναλ φορµ οφ τηε φαιλυρε ιντενσιτψ (ιν τερµσ οφ τηε εξπεχτεδ νυµβερ οφ φαιλυρεσ) ισ γεοµετριχ. Τηε µεαν ϖαλυε ανδ φαιλυρε ιντενσιτψ φυνχτιονσ, ωηερε β = − λν φ, 0 < φ < 1 ιν αν ιν⇒νιτε φαιλυρε µοδελ, αρε μ(t) =

1 λν{[Dβ εξπ(β)]t + 1} ανδ β

λ(t) =

D εξπ(β) [Dβ εξπ(β)]t + 1

λιµ μ(t) = ∞

t→∞

(201) (202)

Το εστιµατε  τηε παραµετερσ, ωε τακε τηε νατυραλ λογαριτηµ οφ τηε λικελιηοοδ φυνχτιον ni=1 f (Xi ) ανδ τηε παρτιαλ δεριϖατιϖεσ ωιτη ρεσπεχτ το φ ανδ D. Τηε µαξιµυµ λικελιηοοδ εστιµατορσ (ΜΛΕσ) αρε τηεν σολυτιονσ οφ τηε φολλοωινγ παιρ: n i φˆ i Xi ˆ n+1 φn i=1 ˆ (203) ανδ n = D = n i i 2 φˆ Xi φˆ Xi i=1

i=1

Υσινγ τηεσε ΜΛΕσ ανδ τηειρ ινϖαριανχε προπερτψ, τηε ΜΛΕ οφ τηε φαιλυρε ιντεν− σιτψ ανδ µεαν ϖαλυε φυνχτιον χαν βε εστιµατεδ βψ ινσερτινγ τηεσε ΜΛΕσ ιν τηε εθυατιονσ φορ μ(t) ανδ λ(t).

Γοελ–Οκυµοτο Νονηοµογενεουσ Ποισσον Προχεσσ (Ποισσον Τψπε) Τηισ Ποισσον− τψπε µοδελ ωασ προποσεδ βψ Γοελ ανδ Οκυµοτο ιν 1979 υσινγ τηε νυµβερ οφ φαιλυρεσ οβσερϖεδ περ υνιτ τιµε ιν γρουπσ [46] (σεε Γοελ’σ 1985 παπερ [78] φορ α ωελλ−δονε οϖερϖιεω). Τηεψ συγγεστεδ τηατ τηε χυµυλατιϖε χουντ οφ φαιλυρεσ N (t) οβσερϖεδ ατ τιµε t χαν βε µοδελεδ ασ αν ΝΗΠΠ, α Ποισσον προχεσσ ωιτη τιµε−ϖαρψινγ φαιλυρε ρατε, ωηιχη φολλοωσ α νεγατιϖε εξπονεντιαλ διστριβυτιον: P [N (t) = y] =

[μ(t)]y −μ(t) e , y!

y = 0, 1, 2, . . .

(204)

ωηερε μ(t) = N (1 − e−bt )

(205)

51

ΡΕςΙΕΩ ΟΦ ΣΟΦΤΩΑΡΕ ΡΕΛΙΑΒΙΛΙΤΨ ΓΡΟΩΤΗ ΜΟ∆ΕΛΣ

ισ τηε µεαν ϖαλυε φυνχτιον φορ b, τηε περ−φαυλτ δετεχτιον ρατε. N , τηε εξπεχτεδ νυµβερ οφ φαυλτσ, ισ νοτ κνοων (ηενχε νοτ οφ βινοµιαλ τψπε) ανδ ηασ το βε εστιµατεδ. Τηε φαιλυρε ιντενσιτψ φυνχτιον, λ(t) = μ′ (t) = N be−bt

(206)

ισ στριχτλψ δεχρεασινγ φορ t > 0. Ιτ ισ νοτ διφ⇒χυλτ το σεε τηατ μ(t) ανδ λ(t) αρε τηε χυµυλατιϖε φυνχτιον, F (t), ανδ προβαβιλιτψ δενσιτψ φυνχτιον, f (t), οφ τηε νεγατιϖε εξπονεντιαλ, ρεσπεχτιϖελψ. Τηε ΜΛΕσ οφ N ανδ b χαν βε εστιµατεδ ασ σολυτιονσ φορ τηε φολλοωινγ παιρ οφ εθυατιονσ:

Nˆ =

n

fi i=1 ˆn −bt

1−e

ˆ

ανδ

tn e−btn

n

1−e

i=1 ˆn −bt

fi

=

ˆ

ˆ

fi (ti e−bti − ti−1 e−bti−1 ) e−btˆ i−1 − e−btˆ i

(207)

Τηε σεχονδ εθυατιον ισ σολϖεδ φορ bˆ βψ νυµεριχαλ (νονλινεαρ) τεχηνιθυεσ. Τηεν ιτ ισ συβστιτυτεδ ιντο τηε ⇒ρστ εθυατιον το χαλχυλατε Nˆ . Ονε χαν τηεν συβστιτυτε τηεσε ΜΛΕσ το ⇒νδ οτηερσ, συχη ασ ˆ ˆ btˆ μ(t) ˆ = Nˆ (1 − ebt ) ανδ λˆ (t) = μ′ (t) = Nˆ be

(208)

ανδ ηενχε τηε εστιµατεδ εξπεχτεδ νυµβερ οφ φαυλτσ το βε δετεχτεδ ιν τηε (n + 1)στ οβσερϖατιον περιοδ ισ γιϖεν βψ ˆ ˆ Nˆ (e−btn − e−btn+1 )

(209)

Οκυµοτο ανδ Γοελ αλσο δετερµινεδ αν οπτιµαλ ρελεασε τιµε (ΟΡΤ) οφ οβσερϖατιον φορ α σοφτωαρε προδυχτ ιφ τηε ρελιαβιλιτψ δεσιρεδ ισ R φορ α σπεχι⇒εδ οπερατιοναλ περιοδ οφ To [79]: ΟΡΤ =

   1 1 λν[a(1 − e−bTo ) − λν λν b R

(210)

Εαρλιερ, Σχηνειδεωινδ (1975) αδοπτεδ τηε σαµε µοδελ βψ ασσυρινγ τηατ εαχη τιµε περιοδ T δυρινγ ωηιχη τηε σοφτωαρε ισ οβσερϖεδ ισ οφ τηε σαµε λενγτη [80]. Τηατ ισ, ti = iT , i = 1, 2, . . . , n φορ σοµε χονσταντ T > 0, ανδ N = α/β, ωηερε α ανδ β αρε Σχηνειδεωινδ’σ µοδελ παραµετερσ φορ ηισ iτη τιµε περιοδ: μ(t) = α/β(1 − e−βi ). Τηερεφορε, Σχηνειδεωινδ’σ µοδελ δεφαυλτσ το Γοελ–Οκυµοτο’σ ΝΗΠΠ ανδ τηερεφορε δοεσ νοτ νεεδ α ρεπετιτιουσ χοϖεραγε οφ τηε σαµε πρινχιπλεσ [81]. Τηερε ισ α τρενδ τοωαρδ διµινισηινγ δεφεχτ ρατεσ ορ φαιλυρεσ ωιτη τηε νεγατιϖε εξπονεντιαλ ασσυµπτιον. Ηοωεϖερ, ιν ρεαλ λιφε, τηερε ηαϖε βεεν χασεσ ωηερε τηε φαιλυρε ρατε ⇒ρστ ινχρεασεσ (δυε το αδδινγ χοδε, ετχ.) ανδ τηεν δεχρεασεσ (δυε το ⇒ξεσ) ορ σοµετιµεσ χρυισεσ ατ α χονσταντ ρατε (αδδινγ χοδε, ανδ ατ τηε σαµε

52

ΦΥΝ∆ΑΜΕΝΤΑΛΣ ΟΦ ΧΟΜΠΟΝΕΝΤ ΑΝ∆ ΣΨΣΤΕΜ ΡΕΛΙΑΒΙΛΙΤΨ

τιµε, αν εθυαλ εφφεχτ οφ ⇒ξεσ). Γοελ’σ 1985 παπερ γενεραλιζεδ τηε Γοελ–Οκυµοτο ΝΗΠΠ µοδελ υσινγ α τηρεε−παραµετερ Ωειβυλλ µοδελ [78]: d

μ(t) = N (1 − e−bt )

(211) d

λ(t) = μ′ (t) = N bde−bt t d−1

(212)

ωηερε τηε σηαπε παραµετερ d = 1 γιϖεσ α νεγατιϖε εξπονεντιαλ ωιτη α χονσταντ ηαζαρδ ρατε, ανδ d = 2 φορ τηε Ραψλειγη µοδελ. Τηε σηαπε παραµετερ d < 1 δενοτεσ ινφανχψ, d = 1 δενοτεσ υσεφυλ λιφε, ανδ d > 1 δενοτεσ τηε ωεαρ−ουτ περιοδ ιν τηε τραδιτιοναλ βατητυβ χυρϖε οφ τηε ηαζαρδ φυνχτιον φορ µοστ ελεχτρονιχ χοµ− πονεντσ. Εξαµπλε 1. Φορ α γενεραλιζεδ Γοελ–Οκυµοτο ΝΗΠΠ µοδελ, γιϖεν τηε δατα N (τηε νυµβερ οφ φαιλυρεσ εξπεχτεδ ατ τηε ενδ οφ µισσιον τιµε) = 100 ανδ b (τηε φαυλτ δετεχτιον ρατε περ φαυλτ) = 0.02, χαλχυλατε τηε µεαν ϖαλυε οφ φαιλυρεσ ατ 80 ηουρσ. Τακε d = 1 ανδ d = 2, ρεσπεχτιϖελψ. ⎧ d ⎪ N (1 − e−bt ) = 100(1 − e−0.02(80) ) = 100(1 − e−1.6 ) ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ = 79.8 φαιλυρεσ d=1 (213) μ(t) = d ⎪ ⎪ N (1 − e−bt ) = 100(1 − e−0.02(80)(80) ) ⎪ ⎪ ⎩ ≈ 100 φαιλυρεσ d=2 (214)

Μυσα’σ Βασιχ Εξεχυτιον Τιµε Μοδελ (Ποισσον Τψπε) ϑοην ∆. Μυσα’σ µοδελ ωασ ονε οφ τηε εαρλιεστ το υσε τηε αχτυαλ χεντραλ προχεσσινγ υνιτ (ΧΠΥ) εξεχυτιον τιµε ρατηερ τηαν τηε χλοχκ ορ χαλενδαρ τιµε, ωηιχη ισ αχτυαλλψ ιρρελεϖαντ το τηε οπερατινγ στρεσσ οφ τηε σοφτωαρε ενϖιρονµεντ [54]. Τηε φυνδαµενταλ ασσυµπτιονσ αρε:

1. Τηε χυµυλατιϖε νυµβερ οφ φαιλυρεσ, M(t), φολλοωσ α νονηοµογενεουσ Ποισ− σον προχεσσ ωηερε τηε προβαβιλιτψ διστριβυτιον φυνχτιονσ οφ τηε ρανδοµ t προχεσσ, ωιτη µεαν ϖαλυε φυνχτιον μ(t) = β0 (1 − e−β1 ), ϖαρψ ωιτη τιµε. Ιτ ισ α ⇒νιτε φαιλυρε µοδελ: λιµt→∞ μ(t) = β0 . 2. Τηε ιντερφαιλυρε τιµεσ αρε πιεχεωισε νεγατιϖε εξπονεντιαλλψ διστριβυτεδ, ιµπλψινγ τηατ τηε ηαζαρδ ρατε φορ α σινγλε φαυλτ ισ α χονσταντ: t

λ(t) = μ′ (t) = β0 β1 (1 − e−β1 )

(215)

Τηε χονδιτιοναλ ρελιαβιλιτψ ανδ ηαζαρδ φυνχτιονσ αφτερ i − 1 φαιλυρεσ ηαϖε οχχυρρεδ αρε R(t | ti−1 ) = εξπ{−[β0 εξπ(β1 ti−1 )][1 − εξπ(−β1 t)]}

(216)

h(t | ti−1 ) = β0 β1 εξπ(β1 τi−1 )[εξπ(−β1 t)]

(217)

Ασσυµε τηατ n φαιλυρεσ ηαϖε οχχυρρεδ, τηατ tn ισ τηε λαστ φαιλυρε τιµε, ανδ τηατ tn + x ισ τηε στοππινγ τιµε. Τηε ΜΛΕσ οφ β0 ανδ β1 , ωηιχη ποσσεσσ τηε ινϖαριανχε

ΡΕςΙΕΩ ΟΦ ΣΟΦΤΩΑΡΕ ΡΕΛΙΑΒΙΛΙΤΨ ΓΡΟΩΤΗ ΜΟ∆ΕΛΣ

53

προπερτψ νεεδεδ το εστιµατε οτηερ φυνχτιονσ, συχη ασ ρελιαβιλιτψ, ηαζαρδ, ανδ φαιλυρε ιντενσιτψ, αρε γιϖεν βψ βˆ0 =

n 1 − εξπ[−βˆ1 (tn + x)]

(218) n

 n n(tn + x) − − ti = 0 εξπ[βˆ1 (tn + x)] + 1 i=1 βˆ1

(219)

Εξαµπλε 2. Λετ υσ χονσιδερ α σοφτωαρε προγραµ ωιτη αν ινιτιαλ φαιλυρε δενσιτψ οφ 10 φαιλυρεσ/ηουρ ανδ 100 τοταλ φαιλυρεσ το βε εξπεριενχεδ ιν αν ιν⇒νιτε τιµε. ∆ετερµινε τηε φαιλυρε ιντενσιτψ, λ(t), ανδ νυµβερ οφ φαιλυρεσ πρεδιχτεδ, μ(t), ατ t = 10 ανδ 100 ηουρσ. Υσε τηε βασιχ εξεχυτιον µοδελ. ΣΟΛΥΤΙΟΝ Ατ t = 10, λ(t) = λ0 εξπ(−λ0 /ν0 )t = 10 εξπ[−(10/100)(10)] = 10 εξπ(−1) = 3.68 φαιλυρεσ/ΧΠΥ ηουρ. Νοτε τηατ λ0 = β0 β1 = 10, ανδ β1 = 0.1, t ανδ τηε ινιτιαλ νυµβερ οφ φαιλυρεσ β0 = 100. μ(t) = β0 (1 − e−β1 ) = 10(1 − e−0.1(10) ) = 100(1 − e−1 ) = 100(1−0.368) = 63 φαιλυρεσ. Ατ t = 100, λ(t) = λ0 εξπ[−(λ0 /ν0 )t] = 10 εξπ(−(10/100)(100)] = 10 εξπ(−10) = 0.454 × 10−6 φαιλυρεσ/ΧΠΥ ηουρ. μ(t) = β0 (1 − e− β1t ) = −0.1(100) −10 ) = 100(1 − e ) ≈ 100 φαιλυρεσ. 100(1 − e Μυσα–Οκυµοτο Λογαριτηµιχ Ποισσον Εξεχυτιον Τιµε Μοδελ (Ποισσον Τψπε) Τηισ ισ σιµιλαρ το τηε Γ−Ο ΝΗΠΠ µοδελ, ιν ωηιχη τηε νυµβερ οφ φαιλυρεσ εξπερι− ενχεδ βψ α χερταιν τιµε t, M(t), αλσο φολλοωσ α νονηοµογενεουσ Ποισσον προχεσσ ωιτη α νεγατιϖε εξπονεντιαλλψ δεχρεασινγ ιντενσιτψ φυνχτιον, λ(t) = λ0 εξπ[θ μ(t)], ωηερε μ(t) = (1/θ ) λν(λ0 θ t + 1) ισ τηε µεαν ϖαλυε φυνχτιον, θ > 0 ισ τηε φαιλ− υρε δεχαψ παραµετερ (ορ ρατε οφ ρεδυχτιον ιν τηε νορµαλιζεδ φαιλυρε ιντενσιτψ περ φαιλυρε), ανδ λ0 ισ τηε ινιτιαλ φαιλυρε ρατε [47]. Ηενχε, ωηεν μ(t) ισ συβστιτυτεδ, ωε οβταιν λ(t) = λ0 /λ0 θ t + 1, σινχε λιµt→∞ λ(t) → ∞. Τηισ ισ αν ιν⇒νιτε φαιλ− υρε µοδελ χοµπαρεδ το τηε βασιχ εξεχυτιον µοδελ’σ ⇒νιτε βεηαϖιορ. Τηε ρατε οφ δεχρεασε εξπλαινσ τηε φαχτ τηατ εαρλιερ ⇒ξεσ οφ τηε φαιλυρεσ δετεχτεδ ρεδυχεδ τηε φαιλυρε ρατε οφ τηε λαττερ παρτ, τηυσ χαυσινγ φεωερ ⇒ξεσ βψ τηε ενδ. Τηε διφφερενχε φροµ τηε Γ−Ο ΝΗΠΠ ισ τηατ ιτσ µεαν ϖαλυε φυνχτιον ισ διφφερεντ. Ιτ ισ δε⇒νεδ το βε λογαριτηµιχ Ποισσον σινχε τηε νυµβερ οφ φαιλυρεσ εξπεχτεδ οϖερ τιµε ισ α λογαριτη− µιχ φυνχτιον. Τηε λογαριτηµιχ Ποισσον προχεσσ ισ τηουγητ το βε συπεριορ φορ ηιγηλψ νονυνιφορµ διστριβυτιονσ. Τηε δατα νεεδεδ αρε αχτυαλ τιµεσ, ti , i = 1, 2, . . . , ορ ιντερφαιλυρε τιµεσ, xi = ti − ti−1 . Ιφ ωε λετ β0 = θ −1 ανδ β1 = λ0 θ , ωηιχη ισ τηε σαµε ασ λ0 = β0 β1 ιν τηε βασιχ εξεχυτιον µοδελ, τηε φαιλυρε ιντενσιτψ ανδ µεαν ϖαλυε φυνχτιονσ βεχοµε λ(t) =

λ0 β 0 β1 = λ0 θ t + 1 β1 t + 1

μ(t) = β0 λν(β1 τ + 1)

(220) (221)

54

ΦΥΝ∆ΑΜΕΝΤΑΛΣ ΟΦ ΧΟΜΠΟΝΕΝΤ ΑΝ∆ ΣΨΣΤΕΜ ΡΕΛΙΑΒΙΛΙΤΨ

Τηε χονδιτιοναλ ρελιαβιλιτψ ανδ ηαζαρδ ρατε φυνχτιονσ ατ τιµε t αφτερ τηε (i − 1)στ φαιλυρε αρε

β0 β1 ti−1 + 1 (222) R(t | ti−1 ) = β1 (ti−1 + t) + 1 h(t | ti−1 ) =

β0 β1 β1 (ti−1 + t) + 1

(223)

Νοτε τηατ “|” δενοτεσ “γιϖεν τηατ” ορ “χονδιτιοναλ υπον.” Υσε τηε ρεπαραµετριζεδ µοδελ το ⇒νδ τηε ΜΛΕσ φροµ τηε φαιλυρε ιντενσιτψ ανδ µεαν φυνχτιονσ: βˆ0 =

n λν(1 + βˆ1 tn )

n 1  1 n(tn ) = (1 + βˆ1 tn ) λν(1 + βˆ1 tn ) βˆ1 i=1 1 + βˆ1 ti

(224) (225)

Ασ ιν τηε βασιχ εξεχυτιον µοδελ, τηεσε ΜΛΕσ χαλχυλατεδ υσινγ τηειρ ινϖαριανχε προπερτψ χαν βε συβστιτυτεδ ιν τηε φαιλυρε ιντενσιτψ ανδ µεαν ϖαλυε φυνχτιονσ το εστιµατε λˆ (t) ανδ μ(t). ˆ Εξαµπλε 3. Λετ υσ χονσιδερ α σοφτωαρε προγραµ ωιτη αν ινιτιαλ φαιλυρε δενσιτψ οφ 10 φαιλυρεσ/ηουρ ανδ 100 τοταλ φαιλυρεσ το βε εξπεριενχεδ ιν ιν⇒νιτε τιµε. Φινδ ˆ τηε φαιλυρε ιντενσιτψ, λ(t), ανδ νυµβερ οφ φαιλυρεσ πρεδιχτεδ, μ(t), ˆ ατ t = 10 ανδ 100 εξεχυτιον ηουρσ. Αλσο, θ = 0.02 (τωο δεφεχτσ περ 100 ηουρσ ωιλλ δεχρεασε ωιτη τιµε). Υσε τηε λογαριτηµιχ Ποισσον µοδελ. ΣΟΛΥΤΙΟΝ Ατ t = 10 ηουρσ, λ(t = 10) =

λ0 10 = = 3.33 φαιλυρεσ/ΧΠΥ ηουρ λ0 θ t + 1 (10)(0.02)(10) + 1

Νοτε τηατ λ0 = β0 β1 = 10 ανδ β1 = 10/50 = 0.2, σινχε β0 = θ −1 = 50. Τηεν λ(t = 10) =

(50)(0.2) 10 β0 β1 = = = 3.33 φαιλυρεσ/ΧΠΥ ηουρ β1 t + 1 (0.2)(10) + 1 3

Αλσο, μ(t = 10) = θ −1 λν(λ0 θ t + 1) = 50 λν[(10)(0.02)(10) + 1] = 50 λν(3) = 55 φαιλυρεσ, ορ μ(t = 10) = β0 λν(β1 t + 1) = 50 λν[(0.2)(10) + 1] = 50 λν(3) = 55 φαιλυρεσ. Ατ t = 100 ηουρσ, λ0 10 = λ0 θ t + 1 (10)(0.02)(100) + 1 10 = 0.476 φαιλυρε/ΧΠΥ ηουρ = 21

λ(t = 100) =

55

ΡΕςΙΕΩ ΟΦ ΣΟΦΤΩΑΡΕ ΡΕΛΙΑΒΙΛΙΤΨ ΓΡΟΩΤΗ ΜΟ∆ΕΛΣ

Αλσο, λ0 = β0 β1 = 10 ανδ β1 = 10/50 = 0.2, σινχε β0 = θ −1 = 50. Τηεν λ(t = 100) =

(50)(0.2) 10 β0 β1 = = = 3.33 φαιλυρεσ/ΧΠΥ ηουρ β1 t + 1 (0.2)(100) + 1 21

Αλσο, μ(t = 100) = θ −1 λν(λ0 θ t + 1) = 50 λν[(10)(0.02)(100) + 1] = 50 λν(21) = 152 φαιλυρεσ, ορ μ(t = 100) = β0 λν(β1 t + 1) = 50 λν[0.2(100) + 1] = 50 λν(21) = 152 φαιλυρεσ. Λιττλεωοοδ–ςερραλ Βαψεσιαν Μοδελ Τηισ µοδελ ισ α ρεσυλτ οφ α Βαψεσιαν αππ− ροαχη βψ Λιττλεωοοδ ανδ ςερραλ (1973) ιν ωηιχη τηεψ ρεγαρδεδ σοφτωαρε ρελιαβιλιτψ µεασυρεσ ασ ρεπρεσεντινγ τηε στρενγτη οφ βελιεφ τηατ α προγραµ ισ οπερατινγ συχ− χεσσφυλλψ [55]. Τηισ οπποσεδ τηε χλασσιχαλ ϖιεω τακεν βψ τηε µαϕοριτψ οφ µοδελσ ιν ωηιχη τηε ρελιαβιλιτψ ισ α µεασυρε οφ γοοδνεσσ ορ συχχεσσ ιν α γιϖεν νυµβερ οφ ρανδοµ τριαλσ. Ωηερεασ τηε ηαζαρδ ρατε ισ α φυνχτιον οφ τηε νυµβερ οφ δεφεχτσ ρεµαινινγ, τηε Λ−ς µοδελ ασσυµεδ τηατ ιτ ωασ α ρανδοµ ϖαριαβλε, α φαχτ τηατ ηασ χαυσεδ υνχερταιντψ ιν τηε εφφεχτιϖενεσσ οφ τηε φαυλτ χορρεχτιον ορ φαιλυρε πρε− ϖεντιον προχεσσ. Τηερεφορε, εϖεν τηουγη φαιλυρε τιµε διστριβυτιονσ αρε νεγατιϖε εξπονεντιαλ (ασσυµεδ ιν εαρλιερ χλασσιχαλ µοδελσ το βεηαϖε ωιτη α χερταιν φαιλ− υρε ρατε), τηατ ρατε ισ α ρανδοµ ϖαριαβλε υνδερ τηε πρινχιπλεσ οφ Βαψεσιαν πριορ ανδ ποστεριορ αναλψσισ. Τηε διστριβυτιον οφ τηισ ρανδοµ φαιλυρε ρατε ποωερεδ βψ α γαµµα πριορ ισ αλσο α γαµµα ποστεριορ διστριβυτιον. Αν ιδεντιχαλ Βαψεσιαν αππροαχη ωασ αδοπτεδ ινδεπενδεντλψ βψ Σαηινογλυ φορ τηε φαιλυρε ανδ ρεπαιρ ρατεσ οφ ποωερ γενερατορσ [82] ανδ ωασ υσεδ ιν λατερ ρεσεαρχη [11,21] το εστιµατε τηειρ ΦΟΡ (φορχεδ ουταγε ρατε) ιν τηε εστιµατιον οφ τηε ελεχτριχ ποωερ σψστεµ ρελιαβιλιτψ ινδεξ, ΛΟΛΕ (λοσσ οφ λοαδ εξπεχτεδ). Λιττλε− ωοοδ’σ διφφερεντιαλ φαυλτ µοδελ (1981), α ϖαριαντ οφ τηε οριγιναλ Λ−ς µοδελ τηατ υσεσ τηε ηαζαρδ ρατε ασ α ρανδοµ ϖαριαβλε ιν α Βαψεσιαν φραµεωορκ [83], ωασ α βινοµιαλ µοδελ υσινγ α Παρετο χλασσ οφ ιντερφαιλυρε τιµε διστριβυτιονσ. Ηοωεϖερ, τηε ρελιαβιλιτψ γροωτη ισ µοδελεδ ιν α προχεσσ οφ τωο µεχηανισµσ, συχη ασ φαυλτ δετεχτιον ανδ φαυλτ χορρεχτιον, σιµιλαρ το σοµε εαρλιερ µοδελσ τηατ αδοπτεδ τηε σαµε αππροαχη οφ διφφερινγ σταγεσ. Λατερ, Κειλλερ ετ αλ. (1983) προποσεδ α ϖαρια− τιον οφ τηε µοδελ ϖερψ σιµιλαρ το τηειρ ινιτιαλ µοδελ, υσινγ τηε σαµε ρανδοµνεσσ οφ ηαζαρδ ρατε βυτ εµπλοψινγ α διφφερεντ παραµετερ (τηε σηαπε παραµετερ, α, ρατηερ τηαν τηε σχαλε παραµετερ, ξ ) οφ τηατ πριορ διστριβυτιον το εξπλαιν τηε εφφεχτ οφ χηανγε ον ρελιαβιλιτψ [84]. Αλτηουγη τηειρ µοδελ υσεδ α νεγατιϖε εξπονεντιαλ χλασσ οφ φαιλυρε τιµε διστριβυτιονσ, ιτ ωασ νειτηερ οφ Ποισσον ορ βινοµιαλ τψπε, βυτ “οτηερ.” Τηερε αρε µανψ οτηερ Βαψεσιαν αππροαχηεσ, συχη ασ Λιυ’σ Βαψεσιαν γεοµετριχ µοδελ ανδ Τηοµπσον ανδ Χηελσον’σ Βαψεσιαν µοδελ, το ναµε βυτ τωο [85,86]. Φορµυλατιον οφ τηε Λ−ς µοδελ χαν βε συµµαριζεδ ασ φολλοωσ. Τηε σεθυεντιαλ φαιλυρε τιµεσ αρε ασσυµεδ το βε ινδεπενδεντ εξπονεντιαλ ρανδοµ ϖαριαβλεσ ωιτη παραµετερ λi : f (xi ) = λ εξπ(−λxi ),

i = 1, 2, . . . , a,

λ > 0,

xi > 0

(226)

56

ΦΥΝ∆ΑΜΕΝΤΑΛΣ ΟΦ ΧΟΜΠΟΝΕΝΤ ΑΝ∆ ΣΨΣΤΕΜ ΡΕΛΙΑΒΙΛΙΤΨ

Νοω λετ τηε σοφτωαρε φαιλυρε ρατε λ ηαϖε α πριορ διστριβυτιον φροµ τηε γαµµα φαµιλψ: ξ c c−1 θ1 (λ) = λ εξπ(−λξ ), λ>0 (227) Ŵ(c) Τηε ϕοιντ διστριβυτιον οφ δατα ανδ πριορ, ασσυµινγ τηατ αλλ σηαπε ανδ σχαλε παραµ− ετερσ αρε ιδεντιχαλ, ισ γιϖεν βψ k(ξ, λ) = f (x1 , x2 , . . . , xn ; λ) =

ξ a n+a−1 λ εξπ[−λ(xT + ξ )] Ŵ(a)

(228)

 ωηερε n ισ τηε νυµβερ οφ οχχυρρενχεσ ανδ xT = ni=1 xi ρεπρεσεντσ τηε τοταλ σαµπλεδ φαιλυρε τιµεσ φορ n οχχυρρενχεσ. Τηυσ, τηε ποστεριορ διστριβυτιον φορ λ χαν βε δεριϖεδ ασ h(λ | ξ) = 

k(ξ, λ) 1 = (xT + ξ )λn+a−1 εξπ[−λ(xT + ξ )] (229) Ŵ(n + a) λ f (ξ, λ) dλ

ωηιχη ισ Γαµµα[n + a, (xT + ξ )−1 ]. Φορ h(λ | xi ) ∼ Γαµµα[α + 1, (xi + ξi )−1 ], E(λ) = (α + 1/xi + 1) υσινγ α θυαδρατιχ λοσσ φυνχτιον. Ρεχαλλ τηατ ξ δενοτεσ α ϖεχτορ οφ xi . Τηεν τηε µαργιναλ διστριβυτιον οφ τηε ρανδοµ ϖαριαβλε, xi > 0, i = 1, 2, . . . , n, γιϖεν τηε γαµµα πριορ, χαν βε δεριϖεδ ασ f (xi | α, ξi ) =

α(ξi )a (xi + ξi )α+1

(230)

ωηιχη ισ α Παρετο διστριβυτιον ωιτη ϕοιντ δενσιτψ αn f (x1 , x2 , . . . , xn ) = n

n

(ξi )a α+1 i=1 (xi + ξi ) i=1

(231)

Φορ µοδελ ανδ ρελιαβιλιτψ εστιµατιον, ιφ ονε ασσυµεσ τηατ ξi = β0 + β1 i (τηε λιν− εαρ φορµ) ορ ξi = β0 + β1 i 2 (τηε θυαδρατιχ φορµ), τηεν βψ υσινγ τηε φορεγοινγ µαργιναλ διστριβυτιον φορ τηε xi ’σ, ωε χαλχυλατε τηε ΜΛΕσ φορ α, β0 , ανδ β1 ασ σολυτιονσ το τηε φολλοωινγ σψστεµ οφ εθυατιονσ: n

n

 n  ˆ + λν ξi − λν(xi + ξˆi ) = 0 αˆ i=1 i=1

(232)

αˆ

(233)

αˆ

n n   1 1 =0 − (αˆ + 1) ˆ ˆξi i=1 xi + ξi i=1

n n   i′ i′ =0 − (αˆ + 1) ˆ ˆ i=1 ξi i=1 xi + ξi

(234)

ΡΕςΙΕΩ ΟΦ ΣΟΦΤΩΑΡΕ ΡΕΛΙΑΒΙΛΙΤΨ ΓΡΟΩΤΗ ΜΟ∆ΕΛΣ

57

ωηερε ξi = β0 + β1 i ′ ανδ i ′ = i ορ i ′ = i 2 . Υσινγ α υνιφορµ πριορ U (a, b) φορ τηε σηαπε παραµετερ α, Λιττλεωοοδ ανδ ςερραλλ δεριϖεδ τηε µαργιναλ διστριβυτιον οφ τηε xi ’σ ασ α φυνχτιον οφ β0 ανδ β1 ονλψ. Ονχε τηε τηρεε υνκνοωνσ α, β0 , ανδ β1 αρε εστιµατεδ, τηε λινεαρ ιντενσιτψ φυνχτιον ισ, φορ εξαµπλε, α−1 λλινεαρ (t) = " β02 + 2β1 t (α − 1)

(235)

Α ⇒ναλ προχεδυρε ισ το εστιµατε τηε λεαστ−σθυαρεσ εστιµατεσ υσινγ τηε φαχτ τηατ φορ α Παρετο π.δ.φ., E(Xi ) = ξi /(α − 1). Ονχε τηε παραµετερσ αρε εστιµατεδ, ρελιαβιλιτψ µεασυρεσ συχη ασ ρελιαβιλιτψ ανδ φαιλυρε ιντενσιτψ φυνχτιονσ χαν βε εστιµατεδ. Αδδιτιοναλλψ, τηε µεαν τιµε το φαιλυρε φορ τηε iτη φαιλυρε χαν βε εστιµατεδ ασ E(Xi ) = ΜΤΤΦ = ξi ′ /(α − 1), ωηερε i ′ ισ τηε λινεαρ ορ θυαδρατιχ ασσυµεδ τερµ φορ i. Αγαιν, ρεχαλλ τηατ ξi = β0 + β1 i ′ ανδ i ′ = i ορ i ′ = i 2 . Α λατερ παπερ βψ Μαζζυχηι ανδ Σοψερ (1988) συγγεστεδ τηατ α, β0 , ανδ β1 αρε αλλ ρανδοµ ϖαριαβλεσ ωιτη σελεχτεδ πριορσ το εστιµατε τηεσε υνκνοων παραµετερσ [56]. Μυσα ανδ Οκυµοτο ιν 1984 προποσεδ τηατ ξi βε α φυνχτιον ρελατεδ ινϖερσελψ το τηε νυµβερ οφ φαιλυρεσ ρεµαινινγ, ινσπιρεδ βψ αν εφ⇒χιεντ δεβυγγινγ προχεσσ: ξi = N (α + 1)/λ0 (N − i), ωηερε N ισ τηε νυµβερ οφ δεφεχτσ εξπεχτεδ ασ τηε τιµε λενγτηενσ, λ0 ισ τηε ινιτιαλ φαιλυρε ιντενσιτψ φυνχτιον, i ισ τηε φαιλυρε ινδεξ, ανδ α ισ τηε σηαπε παραµετερ οφ τηε γαµµα πριορ φορ τηε ρατε λ [87]. Ιτ σηοωσ τηατ τηε σχαλε παραµετερ ινχρεασεσ ασ τηε νυµβερ οφ ρεµαινινγ φαιλυρεσ δεχρεασεσ ωιτη διµινισηινγ i. Σαηινογλυ’σ Ποισσον∧ Γεοµετριχ ανδ Ποισσον∧ Λογαριτηµιχ Σεριεσ Μοδελσ Α γενεραλιζεδ χοµπουνδ Ποισσον προχεσσ µοδελ ισ προποσεδ φορ εστιµατιον οφ τηε ρεσιδυαλ χουντ οφ σοφτωαρε φαιλυρεσ ιν ρεφερενχεσ 12 το 16. Ιτ ισ οβσερϖεδ τηατ χονϖεντιοναλ νονηοµογενουσ Ποισσον προχεσσ µοδελσ δο νοτ αλλοω φορ τηε ποσ− σιβιλιτψ οφ µυλτιπλε χουντσ, ανδ τηε χοµπουνδ Ποισσον µοδελ ισ συπεριορ ωηεν χλυµπινγ οφ φαιλυρεσ εξιστσ ατ ανψ γιϖεν εποχη [31]. Σπεχι⇒χαλλψ, α µοδελ χαλλεδ Ποισσον∧ γεοµετριχ (ορ στυττερινγ Ποισσον) ισ στυδιεδ ιν ωηιχη τηε υνδερλψινγ φαιλ− υρε προχεσσ ισ ασσυµεδ το βε Ποισσον ωηιλε α γεοµετριχαλλψ διστριβυτεδ νυµβερ οφ φαιλυρεσ µαψ βε δετεχτεδ ατ εαχη φαιλυρε εποχη. Τηε µοδελ προποσεδ ισ ϖαλι− δατεδ υσινγ α φεω οφ Μυσα’σ δατα σετσ. Φυρτηερ, τηε Ποισσον∧ λογαριτηµιχ σεριεσ (εθυιϖαλεντ το νεγατιϖε βινοµιαλ γιϖεν χερταιν ασσυµπτιονσ) ισ στυδιεδ σιµιλαρλψ, ωηερε τηε χοµπουνδινγ π.δ.φ. ισ λογαριτηµιχ ωηερεασ τηε χουντινγ προχεσσ ισ τηε τηε σαµε ασ βεφορε, ΝΗΠΠ [12,15]. Τηε Χ∆−ΡΟΜ χοµπρισεσ βοτη προγραµσ υσεδ το χαλχυλατε τηε ρελιαβιλιτψ ανδ φαιλυρε φυνχτιονσ. Τηε ρεσυλτσ φροµ τηεσε προγραµσ χαν εασιλψ βε υσεδ το οβταιν χοµπουνδ Ποισσον πλοτσ [88]. ΓΕΝΕΡΑΛΙΖΑΤΙΟΝΣ ΟΦ ΤΗΕ ΠΟΙΣΣΟΝ ΜΟ∆ΕΛ Τηε Ποισσον τηεορεµ ασσερτσ τηατ α χουντ− ινγ προχεσσ ισ α Ποισσον προχεσσ ιφ τηε ϕυµπσ ιν αλλ ιντερϖαλσ οφ τηε σαµε λενγτη αρε ιδεντιχαλλψ διστριβυτεδ ανδ ινδεπενδεντ οφ παστ ϕυµπσ (αν ασσυµπτιον οφ στατιοναρψ ανδ ινδεπενδεντ ινχρεµεντσ), ανδ τηε εϖεντσ οχχυρ σινγλψ ατ εαχη εποχη (αν ασσυµπτιον οφ ορδερλινεσσ) [89]. Φαιλυρε ιντεραρριϖαλ τιµεσ µαψ βε

58

ΦΥΝ∆ΑΜΕΝΤΑΛΣ ΟΦ ΧΟΜΠΟΝΕΝΤ ΑΝ∆ ΣΨΣΤΕΜ ΡΕΛΙΑΒΙΛΙΤΨ

νεγατιϖε−εξπονεντιαλλψ διστριβυτεδ, βυτ τηισ ισ νοτ συφ⇒χιεντ το προϖε τηατ τηε χουντινγ προχεσσ ισ Ποισσον [90, π. 434]. Λετ υσ οβσερϖε τωο γενεραλιζατιονσ (σοµετιµεσ χαλλεδ δεγενερατιονσ) οφ τηε Ποισσον προχεσσ [91,92]: Τηε ⇒ρστ ισ τηε ωελλ−κνοων ΝΗΠΠ, οβταινεδ βψ δροππινγ τηε “στατιοναρψ ινχρεµεντσ” προπερτψ ιν τηε Ποισσον τηεορεµ ανδ ρεπλαχινγ ιτ ωιτη τηε “τιµε−δεπενδεντ ινχρεµεντσ” προπερτψ, ωηερε τηε Ποισσον φαιλυρε αρριϖαλ ρατε β ϖαριεσ ωιτη τιµε t (ε.γ., ιν σοφτ− ωαρε τεστινγ ορ υνεξπεχτεδ αµβυλανχε χαλλσ ον αν ορδιναρψ δαψ). Τηε σεχονδ ισ τηε λεσσ ποπυλαρλψ κνοων χοµπουνδ Ποισσον προχεσσ (ΧΠΠ), ωηιχη ισ τηε προχεσσ οβταινεδ ιφ τηε ορδερλινεσσ προπερτψ ισ δροππεδ φροµ τηε χονϖεντιοναλ Ποισσον τηεορεµ ανδ ρεπλαχεδ ωιτη τηατ οφ στατιοναρψ ϕυµπσ: Λετ Zn βε τηε σιζε οφ τηε nτη ϕυµπ, ωηερε {Zn , n = 1, 2, . . .} αρε ι.ι.δ. ρανδοµ ϖαριαβλεσ. Λετ J (t) βε τηε σιζε οφ ϕυµπσ τηατ οχχυρ δυρινγ (0,t]; τηεν N (t) ισ α χοµπουνδ Ποισσον προχεσσ ωιτη N (T ) = Z1 + Z2 + · · · + ZJ (t) , t ≥ 0 [89]. Τηε δισχρετε χοµπουνδ Ποισσον π.δ.φ. ιν τηισ σεχτιον ισ ονε οφ τωο τψπεσ. Ιτ µαψ βε οφ γεοµετριχ δενσιτψ τψπε ωιτη ιτσ φοργετφυλνεσσ προπερτψ το γοϖερν τηε φαιλυρε σιζε (x > 1) διστριβυτιον, ωηερεασ τηε χονϖεντιοναλ Ποισσον ισ α σπεχιαλ χασε ωηεν q (= ϖαριανχε/µεαν) = 1 [93–96]. Τηε σψµβολ ∧ δεσιγνατεσ τηατ τηε παρεντ Ποισσον διστριβυτιον το τηε λεφτ οφ ∧ ισ χοµπουνδεδ βψ τηε χοµπουνδ− ινγ διστριβυτιον το τηε ριγητ οφ ∧ [12]. Α σιµιλαρ πυβλιχατιον βψ Σαηινογλυ ον τηε Ποισσον∧ γεοµετριχ π.δ.φ. ρεπορτσ ον α στυδψ οφ τηε λιµιτινγ συµ οφ Μαρκοϖ Βερνουλλι ϖαριαβλεσ [17]. Ορ, ιφ τηε φοργετφυλνεσσ προπερτψ δοεσ νοτ εξιστ, τηερε ισ α ποσιτιϖε ορ νεγατιϖε χορρελατιον βετωεεν τηε φαιλυρεσ ιν α χλυµπ υπον αρριϖαλ. Τηε αυτηορ υσεσ α λογαριτηµιχ−σεριεσ διστριβυτιον (ΛΣ∆) φορ ϕυµπ σιζεσ ωιτη α τρυε−χονταγιον προπερτψ (ποσιτιϖε χορρελατιον). Τηε συµ οφ ΛΣ∆ ρανδοµ ϖαριαβλεσ γοϖερνεδ βψ α Ποισσον χουντινγ προχεσσ ρεσυλτσ ιν α Ποισσον∧ λογαριτηµιχ σεριεσ, ωηιχη σιµπλψ δεφαυλτσ το α νεγατιϖε βινοµιαλ διστριβυτιον (ΝΒ∆) γιϖεν τηατ α χερταιν µατηεµατιχαλ ασσυµπτιον ηολδσ [97,102]. Α χοµπουνδ Ποισσον ωιτη α σπεχι⇒χ χοµπουνδινγ διστριβυτιον ηασ νεγατιϖε εξπονεντιαλλψ διστριβυτεδ φαιλυρε ιντεραρριϖαλ τιµεσ ωιτη ρατε β. Τηισ ιµπλιεσ τηατ τηε π.δ.φ. οφ νεγατιϖε εξπονεν− τιαλ ιντεραρριϖαλ τιµεσ ισ ινδεπενδεντ οφ ορ νοτ ιν⇓υενχεδ βψ τηε εαρλιερ αρριϖαλ εποχησ—ηενχε τηε φοργετφυλνεσσ προπερτψ οφ τηε Ποισσον προχεσσ. Συπποσε τηατ εαχη Ποισσον αρριϖαλ διχτατεσ α ποσιτιϖε δισχρετε αµουντ x οφ φαιλυρεσ τηατ αρε ι.ι.δ. ασ {fx }. Τηεν τηε τοταλ νυµβερ οφ δεµανδσ φολλοω α ΧΠ διστριβυτιον ωιτηιν αν αφ⇒ξεδ τιµε ιντερϖαλ γιϖεν βψ [88] ΤΡΥΝΧΑΤΕ∆ ΠΟΙΣΣΟΝ∧ ΓΕΟΜΕΤΡΙΧ (ΣΤΥΤΤΕΡΙΝΓ ΠΟΙΣΣΟΝ)

P (X) =

∞  (βt)Y e−βt Y =0

Y!

∗

f Y (X)X = 0, 1, 2, . . . ,

β>0

(236)

∗

ωηερε f Y (x) ισ τηε Y −φολδ χονϖολυτιον οφ {fx } ωηεν fx = 1 φορ x = 1 ανδ fx = 0 φορ x = 0 φορ α χονϖεντιοναλ Ποισσον προχεσσ. Τηερεφορε, τηισ εθυατιον ρεδυχεσ το α Ποισσον διστριβυτιον ιν τηε χασε οφ α σινγλε φαιλυρε περ αρριϖαλ. Ον τηε οτηερ ηανδ, τηε γεοµετριχ διστριβυτιον ισ γιϖεν ασ fx (x) = (1 − r)r x−1 ,

x = 1, 2, 3, . . .

(237)

59

ΡΕςΙΕΩ ΟΦ ΣΟΦΤΩΑΡΕ ΡΕΛΙΑΒΙΛΙΤΨ ΓΡΟΩΤΗ ΜΟ∆ΕΛΣ

Τηυσ, α σπεχιαλ χασε οφ ΧΠ διστριβυτιον ισ τηε Ποισσον∧ γεοµετριχ. Τηε ρατε β οφ τηε Ποισσον προχεσσ ισ τηε αϖεραγε νυµβερ οφ αρριϖαλσ περ υνιτ τιµε, ανδ r ισ τηε προβαβιλιτψ οφ ⇒νδινγ τηε νεξτ ινδεπενδεντ φαιλυρε ιν τηε βατχη ορ χλυµπ ωιτηιν εαχη αρριϖαλ. Τηεν p = 1 − r ισ τηε προβαβιλιτψ οφ σταρτινγ τηε Ποισσον  προχεσσ φορ τηε νεξτ αρριϖαλ. Ιν συµµαρψ, τηε τοταλ χουντ οφ φαιλυρεσ X = xi ωιτηιν τιµε ιντερϖαλ t ισ α Ποισσον∧ γεοµετριχ διστριβυτιον [12], ωηερε P (X = 0|Y = 0) = e−βt , ορ e−β ιφ t = 1:  X  (βt)Y e−βt X − 1 X−Y P (X|Y ) = r (1 − r)Y , Y −1 Y! Y =1

X = 1, 2, 3 . . . ,

0 < r < 1,

β<0

(238)

Φροµ εθυατιον (238), τηε ϕοιντ διστριβυτιον οφ P [X(t), Y (t)] φορ υνιτ τιµε t = 1 ισ γιϖεν ιν Ταβλε 1.5. Τηε εξπεχτεδ ϖαλυε οφ τηε χοµπουνδ Ποισσον ρανδοµ ϖαριαβλε φορ τηε µαργιναλ διστριβυτιον οφ X ισ οβταινεδ βψ µυλτιπλψινγ τηε ⇒ρστ ροω βψ 0, τηε σεχονδ ροω βψ 1, τηε τηιρδ ροω βψ 2, ανδ σο ον, ανδ αδδινγ τηε χολυµνσ. Συµµινγ οϖερ X ροωσ οφ 1 το Y χολυµνσ, ωε γετ E(X) = ΤΑΒΛΕ 1.5

β β = 1−r p

(239)

ϑοιντ ∆ιστριβυτιον οφ Ποισσον∧ Γεοµετριχ Ξ ανδ Ποισσον Ψ Y

0

X

1

2

0

e−βt

1

—

βe−β (1 − r)

2

—

βe−β r(1 − r)

β 2 e−β 2!

3

—

βe−β r 2 (1 − r)

β 2 e−β 2!

4

—

βe−β r 3 (1 − r)

β 2 e−β 2!

5

—

βe−β r 4 (1 − r)

β 2 e−β 2!

. . .

—

Συµa

0

—

. . . βe−β [(1 − r)] (1 + 2r + 3r 2 + 4r 3 + 5r 4 + · · ·)

3

— —  1 (1 − r)2 1

 2 r(1 − r)2 1  3 2 r (1 − r)2 1  4 3 r (1 − r)2 1

β 3 e−β 3!

β 3 e−β 3! β 3 e−β 3!

. . . β 2 e−β (1 − r)2 (1 + 3r + 6r 2 + 10r 3 + · · ·)

...

Εξπεχτεδ,  XP (X)

E(X) =

—

0

—

βe−β (1 − r)

—

2βe−β r(1 − r) + β 2 e−β (1 − r)2

 2 (1 − r)3 2  3 r(1 − r)3 2  4 2 r (1 − r)3 2

3βe−β r 2 (1 − r) + 3β 2 e−β (1 − r)2 + β 3 e−β (1 − r)3 2 ... ...

. . . ...

. . . β βψ 1−r µατη σεριεσ εξπανσιον

E(X) =

Σουρχε: [12]. α Εαχη τερµ ιν τηε συµµατιον ισ τηε προδυχτ οφ Ποισσον π.δ.φ. ανδ γεοµετριχ π.µ.φ. ϖαλυεσ τηατ αδδ υπ το E(X) = β/(1 − r) οφ τηε Ποισσον∧ γεοµετριχ.

60

ΦΥΝ∆ΑΜΕΝΤΑΛΣ ΟΦ ΧΟΜΠΟΝΕΝΤ ΑΝ∆ ΣΨΣΤΕΜ ΡΕΛΙΑΒΙΛΙΤΨ

ςαρ(X) = E(X 2 ) − [E(X)]2 =

β β(1 + r) β(1 + r) = = 2 (1 − r) (1 − r)(1 + r) 1−r

(240)

ωηιχη ισ ιδεντιχαλ το E(X). Τηερεφορε, E(X 2 ) = β/p + β 2 /p 2 . Σιµιλαρλψ, E(Y ) = ςαρ(Y ) = β ιν τηε Ποισσον προχεσσ. Νοτε τηατ γεοµετριχ π.µ.φ. ισ α δισχρετε αναλογ οφ τηε χοντινυουσ νεγατιϖε εξπονεντιαλ π.δ.φ. ανδ ηασ α σιµιλαρ νοναγινγ Μαρκοϖ ∧ φοργετφυλνεσσ προπερτψ. Χονσεθυεντλψ, φορ τηε X ∼ Ποισσον γεοµετριχ, ανδ x ∼ γεοµετριχ(r) προχεσσεσ, ϖαριανχε E(x 2 ) (q + q 2 )p −2 = = µεαν E(x) qp −1

Q=

q + q2 1+q 1+1−p = = = (2 − p)p−1 qp p p

=

(241)

∧

Τηε προβαβιλιτιεσ ανδ µοµεντσ οφ τηε ζερο−τρυνχατεδ Π Γ(μ, Q) αρε (1 − e − βt)−1 τιµεσ τηε νοντρυνχατεδ: μ = E(X) = βt[(1 − r)(1 − e−βt )]−1

(242)

Οφ α νυµβερ οφ χηανχε µεχηανισµσ γεν− ερατινγ τηε νεγατιϖε βινοµιαλ διστριβυτιον (ΝΒ∆), ιτ χαν αλσο βε δε⇒νεδ το βε α Ποισσον συµ οφ λογαριτηµιχ−σεριεσ−διστριβυτεδ (ΛΣ∆) ρανδοµ ϖαριαβλεσ [101,102]. Λετ X = x1 + x2 + x3 + · · · + xn , ωηερε τηε xi αρε ΛΣ∆ ρανδοµ ϖαριαβλεσ ωιτη α π.µ.φ. ∧

ΤΡΥΝΧΑΤΕ∆ ΠΟΙΣΣΟΝ ΛΟΓΑΡΙΤΗΜΙΧ ΣΕΡΙΕΣ

fx =

aθ x , x

x = 1, 2, 3, . . . ,

a=

1 , λν(1 − θ )

0<θ <1

(243)

Τηεν α ρανδοµλψ στοππεδ συµ οφ xi ∼ ΛΣ∆(θ ) ηασ αν ΝΒ∆(k, q) ωιτη παραµετερσ k=

β λν q

q=

1 1−θ

(ορ

β = k λν q)

(244) (245)

ωηερε E(x) = aθ/(1 − θ ). Τηε στοππινγ ρυλε N (t) ισ α χοµπουνδ Ποισσον. Λετ x ∼ ΛΣ∆ βε ρεπαραµετριζεδ. Λετ θ = p/q, ανδ q = p + 1 = (1 − θ )−1 , p = θ (1 − θ )−1 , ανδ a = −1/ λν(1 − q) = 1/ λν q; τηερεφορε, ινσερτινγ φορ p = θ (1 − θ )−1 = q − 1 ανδ a ιν εθυατιον (245), E(x) = (q − 1)/ λν q. Τηερεφορε, −1

fx = (x λν q)

 x p , x = 1, 2, 3, . . . , q

q = p + 1 > 1,

q = (1 − θ )−1

a=

1 , λν q

0 < θ < 1, (246)

61

ΡΕςΙΕΩ ΟΦ ΣΟΦΤΩΑΡΕ ΡΕΛΙΑΒΙΛΙΤΨ ΓΡΟΩΤΗ ΜΟ∆ΕΛΣ

Τηεν E(X) = kp φορ X ∼ ΝΒ∆, ωηερε k = β(λν q)−1 . Τηερεφορε, τηε προβαβιλιτψ οφ X φαιλυρεσ φορ τηε δεχαπιτατεδ (τρυνχατεδ) ΝΒ∆ ισ P (X) =

(k + X − 1)! pX (k − 1)!X! q k+X − q x

(247)

Σεε Ταβλεσ 1.6 ανδ 1.7. Γαµµα, Ωειβυλλ, ανδ Οτηερ Χλασσεσ οφ Φαιλυρε Τιµεσ Ιν τηε χλασσεσ ιν ωηιχη τηε φαιλυρε ιντενσιτψ λ(t) ισ νοτ ιν τηε φορµ οφ α νεγατιϖε εξπονεντιαλ βυτ γαµµα, ΤΑΒΛΕ 1.6 Χροσσ Σεχτιον οφ Ηιστοριχαλ Φαιλυρε Τιµεσ οφ ∆ατα Σετσ Τ1(Ξ , Ψ ) το Τ5(Ξ , Ψ ) ιν ΧΠΥα Τ1: 21,700 οβϕεχτ ινστρυχτιονσ δελιϖερεδ ιν 92 χαλενδαρ δαψσ ανδ 24.6 εξεχ. ηουρσ οφ ρεαλ τιµε (X = 136, Y = 133): 130 σινγλετονσ, 3 δουβλεσ 3, 33, 146, 227, 342, 351, 353, 444, 556, 571, 709, . . . , 5089, 5089, . . . , 11811, 12559,12559, . . . , 42188, 42996, 42996, . . . , 81542, 82702, 85566, 88682 (λαστ) Τ2: 27,700 οβϕεχτ ινστρυχτιονσ δελιϖερεδ ιν 72 χαλενδαρ δαψσ ανδ 30.2 εξεχ. ηουρσ οφ ρεαλ τιµε (X = 54, Y = 52): 51 σινγλετονσ, 1 τριπλετ 191, 413, 693, 983, 1273, 1658, 2228, 2838, 3203, 3593, 3858, 4228, 5028, 6238, 6645, . . . , 62361, 62361, 62361, 62661, 71682, 74201, 81091, 84339, . . . , 108708 (λαστ) Τ3: 23,400 οβϕεχτ ινστρυχτιονσ δελιϖερεδ ιν 55 χαλενδαρ δαψσ ανδ 18.7 εξεχ. ηουρσ οφ ρεαλ τιµε (X = 38, Y = 37): 36 σινγλετονσ, 1 δουβλε 115, 115, . . . , 198, 376, 570, 706, . . . , 36818, 37381, 40151, . . . , 58065, 64789, 67335(λαστ) Τ4: 33,500 οβϕεχτ ινστρυχτιονσ δελιϖερεδ ιν 71 χαλενδαρ δαψσ ανδ 14.6 εξεχ. ηουρσ οφ ρεαλ τιµε (X = 53, Y = 50): 47 σινγλετονσ, 3 δουβλεσ 5, 78, 219, 710, 715, 720, 748, 886, 1364, . . . , 3148, 4572, 4572, . . . , 4664, . . . , 12850, 13021, 13021, 13664, 14551, . . . , 15885, 16489, 16489, 17263, . . . , 50896, 52422 (λαστ) Τ5: 2,445,000 οβϕεχτ ινστρυχτιονσ δελιϖερεδ ιν 173 χαλενδαρ δαψσ ανδ 1785 εξεχ. ηουρσ οφ ρεαλ τιµε (X = 831, Y = 810): 794 σινγλετονσ, 13 δουβλεσ, 2 τριπλετσ, 1 θυιντιπλετ 37320, . . . , 2712322, 2715360, 2715360, 2715360, 2861760, . . . , 3014160, 3014160, 3104338, . . . , 3277760, 3291260, 3291260, 3291260, 3291260, 3291260, 3294140, 3296120, 3299960, 3337820, 3337820, 3369440, . . . , 7108021, 7249520, 7249520, 7251320, . . . , 7407920, 7488620, 7488620, 7493936, . . . , 10712788, 10712788, 10729436, . . . , 15491208, 15566088, 15566088, . . . , 15573288, . . . , 15837888, 15837888 , 16073188, 16139088, 16139088, 16175088, . . . , 16277688,16277688, . . . ,16279488, 16502688, 16502688, . . . , 16750473, 16754343, 16754343, 16754343, . . . , 16847943, 16847943, . . . , 18855143, 18696039, 18747761, 18772252, 19608286, . . . , 27080864, 27080924, 27080924, 20901716, 20901716, . . . , 21120288 (λαστ) α

Τηε υνδερλινεδ εντριεσ αρε τηε φαιλυρε ρεπετιτιονσ υπον ονε αρριϖαλ, ωηερε X = τοταλ νυµβερ οφ φαιλυρεσ, Y = τοταλ νυµβερ οφ αρριϖαλσ [12,103,104].

62

ΦΥΝ∆ΑΜΕΝΤΑΛΣ ΟΦ ΧΟΜΠΟΝΕΝΤ ΑΝ∆ ΣΨΣΤΕΜ ΡΕΛΙΑΒΙΛΙΤΨ

ΤΑΒΛΕ 1.7 Στατιστιχαλ Αναλψσισ οφ ∆ατα Σετσ Τ1 το Τ5 φορ Ποισσον∧ Γεοµετριχ ανδ Ποισσον∧ Λογαριτηµιχ q (ΝΒ∆) φροµ Γεοµετριχ Εµπιριχαλ: Νο. Νο. Νονλινεαρ q(Ποισσον∧ οφ q= οφ Φιρστ Σεχονδ ςαριαβλε: E(x) = Γεοµετριχ): ∆ατα φαιλ− στοπσ Μοµεντ: Μοµεντ: p = 1 − r: ςαρ/Μεαν, q−1 Σετ υρεσ:X Y E(x) = X/Y E(x 2 ) p = Y /X E(x 2 )/E(x) q = (2 − p)/p λν q Τ1 Τ2 Τ3 Τ4 Τ5

136 54 38 53 831

133 52 37 50 810

1.0226 1.0385 1.0270 1.06 1.0259

1.0677 1.1539 1.0841 1.18 1.0975

0.9779 0.9630 0.9737 0.9434 0.9747

1.0441 1.1111 1.0555 1.1132 1.0698

1.0451 1.0769 1.0541 1.12 1.0523

1.0219 1.0546 1.0275 1.0556 1.0345

Ωειβυλλ, ορ οτηερ διστριβυτιονσ, τηε νυµβερ οφ φαιλυρεσ το οχχυρ οϖερ α γιϖεν περιοδ οφ τιµε ισ ειτηερ ηοµογενεουσ ορ νονηοµογενεουσ Ποισσον, βινοµιαλ, ορ οτηερ. Νεξτ, ωε λοοκ ατ τηε µοδελσ τηατ φαλλ ιν τηεσε χλασσεσ. Ψαµαδα’σ ∆ελαψεδ ανδ Οηβα’σ Ιν⇓εχτιον Σ ανδ Ηψπερεξπονεντιαλ Μοδελσ (Ποισ− σον Τψπε) Τηε ιντερφαιλυρε διστριβυτιον ισ γαµµα π.δ.φ., βυτ τηε φαιλυρε χουντ περ υνιτ τιµε ισ α Ποισσον τψπε οφ µοδελ, νοτ βινοµιαλ. Οηβα, Ψαµαδα, ανδ ϕοιντ αυτηορσ προποσεδ α σοφτωαρε ρελιαβιλιτψ γροωτη µοδελ βασεδ ον τηε ασσυµπτιον τηατ τηερε εξιστ τωο τψπεσ οφ δεφεχτσ, ονε οφ ωηιχη ισ εασιερ το δετεχτ [48,51]. Ψαµαδα ετ αλ. (1986) χλαιµεδ τηατ α τεστινγ προχεσσ ισ α χοµβινατιον οφ α δεφεχτ δετεχτιον προχεσσ ανδ α δεφεχτ ισολατιον προχεσσ. Τηεψ ινδιχατεδ τηατ τηειρ µοδελ ισ µορε ρεασοναβλε ανδ υσεφυλ ωηεν δεφεχτσ χαν βε χλασσι⇒εδ ιντο τωο συχη χατ− εγοριεσ. Σινχε τηε µοδελ εµπλοψσ µορε παραµετερσ τηαν τηοσε οφ τηε σιµπλε Γοελ–Οκυµοτο µοδελ, ιτ βεχοµεσ µορε χοµπλιχατεδ το αππλψ τηισ τεχηνιθυε ιν πραχτιχε. Ωιτη τηισ µετηοδ τηερε χαν βε α σιγνι⇒χαντ δελαψ βετωεεν τηε τιµε οφ τηε ⇒ρστ φαιλυρε οβσερϖατιον ανδ τηε τιµε οφ ρεπορτινγ ιτ. Τηε αυτηορσ προποσεδ α δελαψεδ Σ−σηαπεδ ρελιαβιλιτψ µοδελ ωηερε τηε εξπεριενχεδ γροωτη χυρϖε οφ τηε χυµυλατιϖε χουντ οφ δεφεχτσ τηατ αρε δετεχτεδ βεχοµεσ Σ−σηαπεδ. Τηειρ µοδελ ισ βασεδ ον αν ΝΗΠΠ το γοϖερν τηε φαιλυρε χουντ προχεσσ, βυτ τηειρ µεαν ϖαλυε φυνχτιον (σιµιλαρ το τηε Γοελ–Οκυµοτο), ωηοσε λιµιτ ισ ⇒νιτε [ι.ε., λιµt→∞ μ(t) = κ (τοταλ χουντ οφ δεφεχτσ) < ∞], ρε⇓εχτσ τηε δελαψ ιν ρεπορτινγ τηε δεφεχτσ, ασ τηε τεαµ µεµβερσ βεχοµε φαµιλιαρ ωιτη τηε σοφτωαρε, υσυαλλψ φολλοωεδ βψ γροωτη ανδ τηεν δεχαψ ασ τηε ρεσιδυαλ δεφεχτσ γετ µορε διφ⇒χυλτ το δισχοϖερ. Τηισ ρεσυλτσ ιν αν Σ−σηαπεδ χυρϖε, υνλικε τηε εξπονεντιαλ γροωτη οφ τηε Γοελ–Οκυµοτο µοδελ: μ(t) = κ[1 − (1 + λt)e− λt ]

(248)

ανδ τηε ιντερ−φαιλυρε−τιµε διστριβυτιον ισ γαµµα: f (t) = λ2 te−λt

(249)

ΡΕςΙΕΩ ΟΦ ΣΟΦΤΩΑΡΕ ΡΕΛΙΑΒΙΛΙΤΨ ΓΡΟΩΤΗ ΜΟ∆ΕΛΣ

63

ωηερε t ισ τηε τιµε οφ οχχυρενχε, λ ισ τηε ερρορ δετεχτιον ρατε, ανδ κ ισ τηε τοταλ χουντ οφ δεφεχτσ. Οηβα λατερ (1984) προποσεδ ανοτηερ Σ−σηαπεδ ρελιαβιλιτψ µοδελ, αλσο αν ΝΗΠΠ, ωηιχη ηε χαλλεδ τηε ιν⇓εχτιον Σ µοδελ [48]. Τηε νεω µοδελ εξπλαινσ α σοφτωαρε φαιλυρε δετεχτιον προχεσσ, ωηερε τηε δεφεχτσ δετεχτεδ αρε µυτυαλλψ δεπενδεντ. Τηισ ιµπλιεσ τηατ τηε µορε φαιλυρεσ τηατ ονε δετεχτσ, τηε µορε υνδετεχτεδ φαιλυρεσ βεχοµε εασιλψ ρεχογνιζαβλε. Τηισ προποσαλ ιντροδυχεσ α µορε πραχτιχαλ αππροαχη τηαν τηατ οφ εαρλιερ µοδελσ, ωηιχη ινϖαριαβλψ αδοπτ τηε ινδεπενδενχε ασσυµπτιον οφ δεφεχτσ ιν α σοφτωαρε προγραµ βψ δεφαυλτ. Τηε µεαν ϖαλυε φυνχτιον φορ τηισ αππροαχη, ον τηε οτηερ ηανδ, ισ μ(t) = κ

1 − e−λt 1 + ie−λt

(250)

ωηερε t ισ τηε τιµε, λ ισ τηε ερρορ δετεχτιον ρατε, i ισ τηε ινφεχτιον φαχτορ, ανδ κ ισ τηε τοταλ χουντ οφ δεφεχτσ, ορ τοταλ χυµυλατιϖε δεφεχτ ρατε (χουντ περ υνιτ τιµε). Ον τηε οτηερ ηανδ, τηε φαιλυρε ιντενσιτψ φυνχτιον χαν βε φουνδ το βε λ(t) = μ′ (t) φορ τηε ⇒ρστ δεριϖατιϖε οφ μ(t) ωιτη ρεσπεχτ το τιµε. Ψαµαδα’σ δελαψεδ Σ ανδ Οηβα’σ ιν⇓εχτιον Σ µοδελ αρε βοτη χονσιδερεδ το αχχουντ φορ τηε λεαρνινγ ορ τραινινγ περιοδ (ρε⇓εχτεδ ασ δελαψεδ ορ ιν⇓εχτιον παττερνσ οφ τηε ρεσπεχτιϖε µετηοδσ) τηατ αναλψστσ εξπεριενχε ατ τηε ινφανχψ λεϖελ οφ τηε σοφτωαρε τεστινγ προχεσσ. Τηε µεαν ϖαλυε φυνχτιον (χ.δ.φ.) ανδ φαιλυρε ιντενσιτψ φυνχτιον (π.δ.φ.) χυρϖεσ οφ βοτη µοδελσ αρε διφφερεντ φροµ τηε νεγατιϖε εξπονεντιαλ µοδελ. Τηε εξπονεντιαλ µοδελ ασσυµεσ τηατ τηε πεακ δεφεχτ αρριϖαλ ισ τιµε ζερο (βεγιννινγ) οφ τηε τεστ πηασε ανδ δεχαψσ αφτερωαρδ. Τηε δελαψεδ Σ µοδελ ασσυµεσ α σλιγητλψ δελαψεδ πεακ, ανδ τηε ιν⇓εχτιον Σ µοδελ ασσυµεσ α σηαρπερ πεακ λατερ ιν α σψµµετριχαλ σηαπε. Τηε ηψπερεξπονεντιαλ µοδελ ισ αν εξτενδεδ εξπονεντιαλ µοδελ. Τηατ ισ, τηε ϖαριουσ σεχτιονσ οφ τηε σοφτωαρε εξπεριενχε ϖαρψινγ ρατεσ οφ φαιλυρε, ασ ωηεν διφφερινγ γρουπσ οφ πεοπλε δο τοο µανψ διφφερεντ τηινγσ ιν διφφερεντ λανγυαγεσ υνδερ διφφερεντ χιρχυµστανχεσ. Ιν µατηεµατιχαλ–στατιστιχαλ αναλψσισ, τηε συµ οφ τηεσε ϖαρψινγ εξπονεντιαλ χυρϖεσ χαν βεστ βε φορµυλατεδ βψ α ηψπερεξπονεντιαλ. Τηε χυµυλατιϖε χουντ οφ φαιλυρεσ βψ τιµε t, M(t), φολλοωσ α Ποισσον προχεσσ ωιτη α µεαν ϖαλυε φυνχτιον μ(t) = N ki=1 pi [1 − εξπ(−βi t)], ωηερε 0 < βi < 1, k i=1 pi = 1, ανδ 0 < pi < 1; N ισ ⇒νιτε ιν α ⇒νιτε φαιλυρε µοδελ. Τηε δεφεχτ χουντσ ιν εαχη τεστινγ ιντερϖαλ, τηε fi ’σ, αρε γιϖεν ασ ινπυτ δατα, ασ ωελλ ασ τηε χοµπλετιον τιµε οφ εαχη περιοδ οφ σοφτωαρε οβσερϖατιον, ti ’σ. Ιφ k = 1, ιτ ισ αν ΝΗΠΠ. Σινχε λ(t) = μ′ (t) ανδ Npi ισ τηε εξπεχτεδ νυµβερ οφ φαυλτσ φορ τηε iτη χλασσ, k  λ(t) = N pi βi [1 − εξπ(−βi t)] (251) i=1

ισ στριχτλψ δεχρεασινγ φορ t > 0. Φορ µοδελ εστιµατιον ανδ ρελιαβιλιτψ πρεδιχτιον, εστιµατε Ni ασ τηε νυµβερ οφ δεφεχτσ ιν εαχη χλασσ φροµ τηε ΜΛΕ εθυατιονσ πρεσεντεδ ιν τηε ΝΗΠΠ µοδελ. Τηε ΜΛΕ οφ N ισ τηεν τηε συµ οφ τηε ΜΛΕσ οϖερ τηε k χλασσεσ. Ιφ τηε πραχτιχε συγγεστσ τηατ τηερε εξιστ ονλψ τωο χλασσεσ,

64

ΦΥΝ∆ΑΜΕΝΤΑΛΣ ΟΦ ΧΟΜΠΟΝΕΝΤ ΑΝ∆ ΣΨΣΤΕΜ ΡΕΛΙΑΒΙΛΙΤΨ

συχη ασ νεω ϖερσυσ ολδ ορ εασψ ϖερσυσ διφ⇒χυλτ, τηε νεω µοδελ ισ χαλλεδ τηε µοδι⇒εδ εξπονεντιαλ σοφτωαρε ρελιαβιλιτψ γροωτη µοδελ [51]. Αλσο, Λαπριε ανδ Κανουν δεσιγνεδ α ηψπερεξπονεντιαλ µοδελ φορ k = 2 ωιτη αν εθυιϖαλεντ φαιλυρε ρατε φυνχτιον [105], ιδεντιχαλ το h(t) φορµυλα ον παγε 46 ιν 1.3.3. λ(t) =

p1 β1 e−β1 t + p2 β2 e−β2 t p1 e−β1 t + p2 e−β2 t

(252)

ανδ τηεν τηεψ δεριϖεδ α σψστεµ αϖαιλαβιλιτψ µοδελ το ιντεγρατε τηε τωο χλασσεσ: k = 1 φορ ηαρδωαρε ανδ k = 2 φορ σοφτωαρε. Σχηιχκ–Ωολϖερτον Μοδελ (Βινοµιαλ Τψπε) Σχηιχκ ανδ Ωολϖερτον µοδι⇒εδ τηε ϑ−Μ µοδελ βψ ασσυµινγ τηατ τηε φαιλυρε ρατε ισ νοτ ονλψ προπορτιοναλ το τηε νυµβερ οφ οπερατινγ ερρορσ, βυτ αλσο ινχρεασεσ λινεαρλψ ωιτη οπερατινγ τιµε t, ωηερε τηε ηαζαρδ φυνχτιον ισ [45] h(t) = k(N − i + 1)t (253) Τηε ιντερφαιλυρε τιµεσ αρε ασσυµεδ το βε ωιτη ρεσπεχτ το τηε Ωειβυλλ π.δ.φ., ωιτη τηε νεγατιϖε εξπονεντιαλ βεινγ α σπεχιαλ χασε. Λατερ, τηεψ προποσεδ α µορε γενεραλ µοδελ [106] ιν ωηιχη τηε περ−φαυλτ ηαζαρδ ρατε ισ παραβολιχ ινστεαδ οφ α λινεαρ φυνχτιον ασ ιν τηειρ οριγιναλ µοδελ: h(t) = k(N − i + 1)(−b1 t 2 + b2 t + b3 )

(254)

Χριτιχσ ηαϖε ποιντεδ ουτ τηατ τηε µοδελ ισ νο λονγερ ϖαλιδ σινχε h(t) σηουλδ δεχρεασε οϖερ τιµε. Τηε µαιν ρεασον ισ τηατ τηε λαττερ ερρορσ αρε ηιδδεν ανδ διφ⇒χυλτ το ενχουντερ ιν οπερατιον ιν µοδερν σοφτωαρε οπερατιονσ. ∆υανε ανδ ΑΜΣΑΑ Μοδελ (Ποισσον Τψπε) Τηισ µοδελ ωασ οριγιναλλψ προποσεδ ασ α ηαρδωαρε δεσιγν βψ ∆υανε [49], ωηο δισχοϖερεδ τηατ τηε χυµυλατιϖε φαιλυρε ρατε ορ χυµυλατιϖε ηαζαρδ φυνχτιον H (t), ϖερσυσ τηε αχχυµυλατεδ τεστινγ τιµε, ρεσυλτεδ ιν α στραιγητ λινε ον λογ−λογ πλοττινγ παπερ [49]. Ιτ ισ αλσο αν ΝΗΠΠ, ωηερε τηε φαχτ τηατ τηε φαιλυρε ιντενσιτψ φυνχτιον ηασ τηε σαµε ρατε φορ α Ωειβυλλ π.δ.φ. ηασ βεεν υσεδ φορ σοµε σοφτωαρε σψστεµσ. Ιτ ισ α ρελιαβιλιτψ γροωτη µοδελ λατερ αδοπτεδ βψ ΑΜΣΑΑ (Αρµψ Ματεριαλ Σψστεµσ Αναλψσισ Αχτιϖιτψ), ωηιχη υσεσ α ρελατιονσηιπ βετωεεν α χυµυλατιϖε τεστ τιµε ανδ χυµυλατιϖε φαιλυρεσ. Ιτ ισ αν ιν⇒νιτε φαιλυρε µοδελ, σινχε λιµt→∞ μ(t) = ∞. Τηε ρεασον ιτ ισ αλσο ρεφερρεδ το ασ α ποωερ µοδελ (Σεχτιον 1.3.3) ισ βεχαυσε τηε µεαν ϖαλυε φυνχτιον φορ τηε χυµυλατιϖε νυµβερ οφ φαιλυρεσ βψ τιµε t ισ τακεν ασ α ποωερ οφ t: μ(t) = at b

φορ a > 0, b > 0 (b = 1 ιµπλιεσ α ηοµογενεουσ Ποισσον προχεσσ)

(255)

Τηε αχτυαλ τιµεσ το φαιλυρε νεεδ το βε γιϖεν ορ τηε ελαπσεδ τιµε βετωεεν φαιλυρεσ, ωηερε t0 = 0. Τηε χυµυλατιϖε χουντ οφ φαιλυρεσ, M(t), φολλοωσ α Ποισσον προχεσσ

65

500 ΧΟΜΠΥΤΕΡ−ΓΕΝΕΡΑΤΕ∆ ΡΑΝ∆ΟΜ ΝΥΜΒΕΡΣ

ωιτη α µεαν ϖαλυε φυνχτιον μ(t) = at b . Ιφ ωε διϖιδε τηε ριγητ− ανδ λεφτ−ηανδ σιδεσ βψ τοταλ τεστινγ τιµε T ανδ τακε τηε νατυραλ λογ οφ βοτη σιδεσ, ωε οβταιν Y = λν

μ(t) at b = λν = λν a + (b − 1) λν T T T

(256)

Ονε πλοτσ τηισ εθυατιον ϖερσυσ T ον λν−λν πλοττινγ παπερ το γετ α στραιγητ λινε. Ον τηε οτηερ ηανδ, λ(t) = abt b−1 ισ τηε φαιλυρε ιντενσιτψ φυνχτιον στριχτλψ ινχρεασινγ φορ b > 1 (νο ρελιαβιλιτψ γροωτη ρεχορδεδ), στριχτλψ δεχρεασινγ φορ 0 < b < 1 (ρελι− αβιλιτψ γροωτη ρεχορδεδ), ανδ χονσταντ φορ b = 1 (ηοµογενεουσ Ποισσον προχεσσ ωιτη α χονσταντ ρατε). Ρεφ. 107 δεριϖεδ τηε ΜΛΕσ φορ a ανδ b το βε, ωηερε t n = T , aˆ =

n T bˆ

n−1 ανδ bˆ = n λν(T /ti )

(257)

i=1

ˆ ˆ ˆ b−1 ωηιχη ωηεν ινσερτεδ ιν μ(t) ˆ = at ˆ b ανδ λˆ (t) = aˆ bt γιϖε τηε ΜΛΕσ φορ τηειρ ρεσπεχτιϖε φυνχτιονσ. Ιν 1974 ιν τηε ΑΜΣΑΑ µοδελ, Ρεφ. 107 αλσο δεριϖεδ τηε ΜΛΕ φορ ΜΤΤΦ = μˆ = t(n) /nbˆ φορ τηε τιµε το τηε (n + 1)στ φαιλυρε, ανδ χον− στρυχτεδ χον⇒δενχε ιντερϖαλσ φορ τηε ΜΤΤΦ ρελιαβιλιτψ µεασυρε φορ υνρεπαιραβλε σψστεµσ.

ΑΠΠΕΝ∆ΙΞ 1Α: 500 ΧΟΜΠΥΤΕΡ−ΓΕΝΕΡΑΤΕ∆ ΡΑΝ∆ΟΜ ΝΥΜΒΕΡΣ 0.6953 0.0082 0.6799 0.8898 0.6515 0.3976 0.0642 0.0377 0.5739 0.5827 0.0508 0.4757 0.6805 0.2603 0.8143 0.5681 0.1501 0.8806 0.4582 0.0785 0.1158 0.2762 0.9382 0.5102

0.5247 0.9925 0.1241 0.1514 0.5027 0.7790 0.4086 0.5250 0.5181 0.0341 0.7905 0.1399 0.9931 0.7507 0.7625 0.7854 0.9363 0.7989 0.7590 0.1467 0.6635 0.7018 0.6411 0.7021

0.1368 0.6874 0.3056 0.1826 0.9290 0.0035 0.6078 0.7774 0.0234 0.7482 0.2932 0.5668 0.4166 0.6414 0.1708 0.5016 0.3858 0.7484 0.4393 0.3880 0.4992 0.6782 0.7984 0.4353

0.9850 0.2122 0.5590 0.0004 0.5177 0.0064 0.2044 0.2390 0.7305 0.6351 0.4971 0.9569 0.1091 0.9907 0.1900 0.9403 0.3545 0.8083 0.4704 0.5274 0.9070 0.4013 0.0608 0.3398

0.7467 0.6885 0.0423 0.5259 0.3134 0.0441 0.0484 0.9121 0.0376 0.9146 0.0225 0.7255 0.7730 0.2699 0.2781 0.1078 0.5448 0.2701 0.6903 0.8723 0.2975 0.2224 0.5945 0.8038

0.3813 0.2159 0.6515 0.2425 0.9177 0.3437 0.4691 0.5345 0.5169 0.4700 0.4466 0.4650 0.0691 0.4571 0.2830 0.5255 0.0643 0.5039 0.3732 0.7517 0.5686 0.4672 0.3977 0.2260

0.5827 0.4299 0.2750 0.8421 0.2605 0.1248 0.7058 0.8178 0.5679 0.7869 0.5118 0.4084 0.9411 0.9254 0.6877 0.8727 0.3167 0.9439 0.6587 0.9905 0.8495 0.5753 0.4570 0.1250

0.7893 0.3467 0.8156 0.9248 0.6668 0.5442 0.8552 0.8443 0.5495 0.1337 0.1200 0.3701 0.3468 0.2371 0.0488 0.3815 0.6732 0.1027 0.8675 0.8904 0.1652 0.6219 0.9924 0.1884

0.7169 0.8166 0.2186 0.1033 0.2871 0.4680 0.9155 0.9518 0.1167 0.7870 0.9800 0.1857 0.5029 0.3288 0.4154 0.2526 0.7872 0.5321 0.0702 0.4219 0.0200 0.5445 0.9446 0.8064 0.0014 0.7379 0.8664 0.9553 0.8635 0.3155 0.5541 0.9833 0.6283 0.2631 0.9677 0.4597 0.2905 0.3058 0.8177 0.6660 0.2039 0.2553 0.6871 0.9255 0.8398 0.8361 0.3432 0.1192 (Χοντινυεδ)

66

ΦΥΝ∆ΑΜΕΝΤΑΛΣ ΟΦ ΧΟΜΠΟΝΕΝΤ ΑΝ∆ ΣΨΣΤΕΜ ΡΕΛΙΑΒΙΛΙΤΨ

ΑΠΠΕΝ∆ΙΞ 1Α (Χοντινυεδ ) 0.2354 0.9082 0.6936 0.4042 0.9410 0.0917 0.8532 0.8980 0.8412 0.5688 0.5006 0.5748 0.1100 0.5802 0.1019 0.9909 0.6292 0.9430 0.9938 0.4690 0.2028 0.6141 0.2757 0.0561 0.1419 0.3125

0.7410 0.7906 0.0702 0.8158 0.2201 0.2504 0.4869 0.0455 0.8792 0.8633 0.1215 0.4164 0.0873 0.7747 0.6628 0.8991 0.4923 0.2579 0.7098 0.1395 0.3774 0.4131 0.8479 0.0126 0.4308 0.0053

0.7089 0.7589 0.9716 0.3623 0.6348 0.2878 0.2685 0.8314 0.2025 0.5818 0.8102 0.3427 0.9407 0.1285 0.8998 0.2298 (1.0276 0.7933 0.7964 0.0930 0.0485 0.2006 0.7880 0.6531 0.8073 0.9209

0.2579 0.8870 0.0374 0.6614 0.0367 0.1735 0.6349 0.8189 0.9320 0.0692 0.1026 0.2809 0.8747 0.0074 0.1334 0.2603 0.6734 0.0945 0.7952 0.3189 0.7718 0.2329 0.8492 0.0378 0.4681 0.9768

0.1358 0.1189 0.0683 0.7954 0.0311 0.3872 0.9364 0.6783 0.7656 0.2543 0.9251 0.8064 0.0496 0.6252 0.2798 0.6921 0.6562 0.3192 0.8947 0.6972 0.9656 0.6182 0.6859 0.4975 0.0481 0.3584

0.8446 0.7125 0.2397 0.7516 0.0688 0.6816 0.3451 0.8086 0.3815 0.5453 0.6851 0.5855 0.4380 0.7747 0.7351 0.5573 0.4231 0.3195 0.1214 0.7291 0.2444 0.5151 0.8947 0.1133 0.2918 0.0390

0.1648 0.6324 0.7753 0.6518 0.2346 0.2731 0.4998 0.1386 0.5302 0.9955 0.1559 0.2229 0.5847 0.0112 0.7330 0.8191 0.1980 0.7772 0.8454 0.8513 0.0304 0.6300 0.6246 0.3572 0.2975 0.2161

0.3889 0.1096 0.2029 0.3638 0.3927 0.3846 0.2842 0.4442 0.8744 0.1237 0.1214 0.2805 0.4183 0.3958 0.6723 0.0384 0.6551 0.4672 0.8294 0.9256 0.1395 0.9311 0.1574 0.0071 0.0685 0.6333

0.5620 0.5155 0.1464 0.3107 0.7327 0.6621 0.0643 0.9941 0.4584 0.7535 0.2628 0.9139 0.5929 0.3285 0.6924 0.2954 0.3716 0.7070 0.5394 0.7478 0.1577 0.3837 0.4936 0.4555 0.6384 0.4391

0.6555 0.3449 0.8000 0.2718 0.9994 0.8983 0.6656 0.6812 0.3585 0.5993 0.9374 0.9013 0.4863 0.5389 0.3963 0.0636 0.0507 0.5925 0.9413 0.8124 0.8625 0.7828 0.8077 0.7563 0.0812 0.6991

ΡΕΦΕΡΕΝΧΕΣ 1. Ε. Ε. Λεωισ, Ιντροδυχτιον το Ρελιαβιλιτψ Ενγινεερινγ, 2νδ εδ., Ωιλεψ Νεω Ψορκ, 1996. 2. Μ. Σαηινογλυ, Ρελιαβιλιτψ Τηεορψ ανδ Αππλιχατιονσ, υνπυβλισηεδ χλασσ νοτεσ, Μιδδλε Εαστ Τεχηνιχαλ Υνιϖερσιτψ, Ανκαρα, Τυρκεψ, 1982. 3. Κ. Σ. Τριϖεδι, Προβαβιλιτψ ανδ Στατιστιχσ ωιτη Ρελιαβιλιτψ: Θυευινγ ανδ Χοµπυτερ Σχιενχε Αππλιχατιονσ, 2νδ εδ., Ωιλεψ, Ηοβοκεν, Νϑ, 2002. 4. Λ. Χ. Ωολτενσηοµε, Ρελιαβιλιτψ Μοδελινγ: Α Στατιστιχαλ Αππροαχη, Χηαπµαν & Ηαλλ, Λονδον, 1999. 5. Ν. Α. ϑ. Ηαστινγσ ανδ ϑ. Β. Πεαχοχκ, Α Ηανδβοοκ φορ Στυδεντσ ανδ Πραχτιτιονερσ, 2νδ εδ., Βυττερωορτη, Λονδον, 1975. 6. ς. Ροτησχηιλδ ανδ Ν. Λογοτηεισ, Προβαβιλιτψ ∆ιστριβυτιονσ, Ωιλεψ, Νεω Ψορκ, 1985. 7. ϑ. Βανκσ, ϑ. Σ. Χαρσον ΙΙ, Β. Λ. Νελσον, ανδ ∆. Μ. Νιχολ, ∆ισχρετε Εϖεντ Σιµυλατιον, 3ρδ εδ., Πρεντιχε Ηαλλ, Υππερ Σαδδλε Ριϖερ, Νϑ, 2001. 8. Μ. Σαηινογλυ, Ρανδοµ Νυµβερ Γενερατιον ανδ Σιµυλατιον, υνπυβλισηεδ χλασσ νοτεσ, Μιδδλε Εαστ Τεχηνιχαλ Υνιϖερσιτψ, Ανκαρα, Τυρκεψ, 1992. 9. ∆. Ρ. Ανδερσον, ∆. ϑ. Σωεενψ, ανδ Τ. Α. Ωιλλιαµσ, Αν Ιντροδυχτιον το Μαναγεµεντ Σχιενχε: Θυαντιτατιϖε Αππροαχηεσ το ∆εχισιον Μακινγ, 11τη εδ., Τηοµσον Σουτη− Ωεστερν, Μασον, ΟΗ, 2005.

ΡΕΦΕΡΕΝΧΕΣ

67

10. Γ. Γ. Ρουσσασ, Α Φιρστ Χουρσε ιν Στατιστιχσ, Αδδισον−Ωεσλεψ, Ρεαδινγ, ΜΑ, 1973. 11. Μ. Σαηινογλυ, ∆. Λιββψ, ανδ Σ. Ρ. ∆ασ, Μεασυρινγ Αϖαιλαβιλιτψ Ινδιχεσ ωιτη Σµαλλ Σαµπλεσ φορ Χοµπονεντ ανδ Νετωορκ Ρελιαβιλιτψ Υσινγ τηε Σαηινογλυ–Λιββψ Προβ− αβιλιτψ Μοδελ, ΙΕΕΕ Τρανσ. Ινστρυµ. Μεασ., 54(3), 1283–1295 (ϑυνε 2005). 12. Μ. Σαηινογλυ, Χοµπουνδ−Ποισσον Σοφτωαρε Ρελιαβιλιτψ Μοδελ, ΙΕΕΕ Τρανσ. Σοφτωαρε Ενγ. 18, 624–630 (ϑυλψ 1992). 13. Π. Ρανδολπη ανδ Μ. Σαηινογλυ, Α Στοππινγ Ρυλε φορ α Χοµπουνδ Ποισσον ςαριαβλε, ϑ. Αππλ. Στοχηαστιχ Μοδελσ ∆ατα Αναλ., 11, 135–143 (ϑυνε 1995). 14. Μ. Σαηινογλυ, Αλτερνατιϖε Παραµετερ Εστιµατιον Μετηοδσ φορ τηε Χοµπουνδ Ποισσον Σοφτωαρε Ρελιαβιλιτψ Μοδελ ωιτη Χλυστερεδ Φαιλυρε ∆ατα, ϑ. Σοφτωαρε Τεστ. Ρελιαβ. ςερι⇒χατιον, 17, 35–57 (Μαρχη 1997). 15. Μ. Σαηινογλυ, Αν Εµπιριχαλ Βαψεσιαν Στοππινγ Ρυλε ιν Τεστινγ ανδ ςερι⇒χατιον οφ Βεηαϖιοραλ Μοδελσ, ΙΕΕΕ Τρανσ. Ινστρυµ. Μεασ., 52, 1428–1443 (Οχτοβερ 2003). 16. Μ. Σαηινογλυ, ϑ. ∆εελψ, ανδ Σ. Χαπαρ, Στοχηαστιχ Βαψεσιαν Μεασυρεσ το Χοµπαρε Φορεχαστ Αχχυραχψ οφ Σοφτωαρε Ρελιαβιλιτψ Μοδελσ, ΙΕΕΕ Τρανσ. Ρελιαβ., 50, 92–97 (Μαρχη 2001). 17. Μ. Σαηινογλυ, Τηε Λιµιτ οφ Συµ οφ Μαρκοϖ Βερνουλλι ςαριαβλεσ ιν Σψστεµ Ρελιαβιλιτψ Εστιµατιον, ΙΕΕΕ Τρανσ. Ρελιαβ., 39, 46–50 (Απριλ 1990). 18. Μ. Σαηινογλυ, Ον Χεντραλ Λιµιτ Τηεορψ φορ Στατιστιχαλλψ Νον−ινδεπενδεντ ανδ Νον− ιδεντιχαλ ςαριαβλεσ, ϑ. Μ.Ε.Τ.Υ. Στυδ. ∆εϖ. Αππλ. Στατ., Σπεχιαλ ςολυµε, ππ. 69–88 (1982). 19. Μ. Σαηινογλυ ανδ Ο. Λ. Γεβιζλιογλυ, Εξαχτ ΠΜΦ Εστιµατιον οφ Σψστεµ Ινδιχεσ ιν α Βουνδαρψ−Χροσσινγ Προβλεµ, Χοµµυν. Φαχ. Σχι. Υνιϖ. Ανκαρα Σερ. A1 , 36(2), 115–121 (1987). 20. Α. ∆. Παττον, Χ. Σινγη, ανδ Μ. Σαηινογλυ, Οπερατινγ Χονσιδερατιονσ ιν Γενερατιον Ρελιαβιλιτψ Μοδελινγ: Αναλψτιχαλ Αππροαχη, ΙΕΕΕ Τρανσ. Ποωερ Αππαρ. Σψστ., 100, 2656–2663 (Μαψ 1981). 21. Μ. Σαηινογλυ, Μ. Τ. Λονγνεχκερ, Λ. ϑ. Ρινγερ, Χ. Σινγη, ανδ Α. Κ. Αψουβ, Προβα− βιλιτψ ∆ιστριβυτιον Φυνχτιον φορ Γενερατιον Ρελιαβιλιτψ Ινδιχεσ: Αναλψτιχαλ Αππροαχη, ΙΕΕΕ Τρανσ. Ποωερ Αππαρ. Σψστ., 102, 1486–1493 (Οχτοβερ 1983). 22. Μ. Σαηινογλυ ανδ Α. Σ. Σελχυκ, Αππλιχατιον οφ Μοντε Χαρλο Σιµυλατιον Μετηοδ φορ τηε Εστιµατιον οφ Ρελιαβιλιτψ Ινδιχεσ ιν Ελεχτριχ Ποωερ Γενερατιον Σψστεµσ, Τυβιτακ ∆ογα−Τρ., Τυρκ. ϑ. Ενγ. Ενϖιρον. Σχι., 17, 157–163 (1993). 23. Σ. Κοκοσκα ανδ Χ. Νεϖισον, Στατιστιχαλ Ταβλεσ ανδ Φορµυλαε, Σπρινγερ−ςερλαγ, Νεω Ψορκ, 1989. 24. Λ. ϑ. Βαιν, Στατιστιχαλ Αναλψσισ οφ Ρελιαβιλιτψ ανδ Λιφε−Τεστινγ Μοδελσ: Τηεορψ ανδ Μοδελσ, Μαρχελ ∆εκκερ, Νεω Ψορκ, 1978. 25. Μ. ϑ. Χροωδερ, Α. Χ. Κιµβερ, Ρ. Λ. Σµιτη, ανδ Τ. ϑ. Σωεετινγ, Στατιστιχαλ Αναλψσισ οφ Ρελιαβιλιτψ ∆ατα, Χηαπµαν & Ηαλλ, Λονδον, 1991. 26. Χ. Χυννανε, Υνβιασεδ Πλοττινγ Ποσιτιονσ: Α Ρεϖιεω, ϑ. Ηψδρολ., 37, 205–222 (1978). 27. ϑ. Λεδολτερ ανδ Ρ. ς. Ηογγ, Αππλιεδ Στατιστιχσ φορ Ενγινεερσ ανδ Πηψσιχαλ Σχιεντιστσ, 2νδ εδ., Μαχµιλλαν Νεω Ψορκ, 1992. 28. Ω. Θ. Μεεκερ ανδ Λ. Α. Εσχοβαρ, Στατιστιχαλ Μετηοδσ φορ Ρελιαβιλιτψ ∆ατα, Ωιλεψ, Νεω Ψορκ, 1996.

68

ΦΥΝ∆ΑΜΕΝΤΑΛΣ ΟΦ ΧΟΜΠΟΝΕΝΤ ΑΝ∆ ΣΨΣΤΕΜ ΡΕΛΙΑΒΙΛΙΤΨ

29. Ρ. Βιλλιντον ανδ Ρ. Ν. Αλλεν, Ρελιαβιλιτψ Εϖαλυατιον οφ Ενγινεερινγ Σψστεµσ: Χονχεπτσ ανδ Τεχηνιθυεσ, Πλενυµ Πρεσσ, Νεω Ψορκ, 1983; περσοναλ χοµµυνιχατιον, Υνιϖερσιτψ οφ Μανχηεστερ Ινστιτυτε οφ Σχιενχε ανδ Τεχηνολογψ, Μανχηεστερ, Ενγλανδ, 1975. 30. Μ. Ξιε, Σοφτωαρε Ρελιαβιλιτψ Μοδελινγ, Ωορλδ Σχιεντι⇒χ, Σινγαπορε, 1991. 31. Μ. Ξιε, Σοφτωαρε Ρελιαβιλιτψ Μοδελσ: Σελεχτεδ Αννοτατεδ Βιβλιογραπηψ, Σοφτωαρε Τεστ. ςερι⇒χατιον Ρελιαβ., 3, 3–28 (1993). 32. Ω. Φαρρ, Χηαπ. 3 ιν Μ. Ρ. Λψυ (εδ.), Ηανδβοοκ οφ Σοφτωαρε Ρελιαβιλιτψ Ενγινεερινγ, ΙΕΕΕ Χοµπυτερ Σοχιετψ Πρεσσ/ΜχΓραω−Ηιλλ, Νεω Ψορκ, 1996. 33. Σ. Η. Καν, Μετριχσ ανδ Μοδελσ ιν Σοφτωαρε Θυαλιτψ Ενγινεερινγ, Αδδισον−Ωεσλεψ, Ρεαδινγ ΜΑ, 1995. 34. ϑ. ∆. Μυσα, Α. Ιαννινο, ανδ Κ. Οκυµοτο, Σοφτωαρε Ρελιαβιλιτψ: Μεασυρεµεντ, Πρε− διχτιον, Αππλιχατιον, ΜχΓραω−Ηιλλ Ιντερνατιοναλ, Σινγαπορε, 1987. 35. ϑ. Χ. Μυνσον, Σοφτωαρε Ενγινεερινγ Μεασυρεµεντ, Αυερβαχη Πυβλισηινγ, Βοχα Ρατον, ΦΛ, 2003. 36. Μ. Α. Φριεδµαν ανδ ϑ. Μ. ςοασ, Σοφτωαρε Ασσεσσµεντ: Ρελιαβιλιτψ, Σαφετψ, Τεσταβιλιτψ, Ωιλεψ, Νεω Ψορκ, 1995. 37. Μ. Λ. Σηοοµαν, Σοφτωαρε Ενγινεερινγ: ∆εσιγν, Ρελιαβιλιτψ ανδ Μαναγεµεντ, ΜχΓραω Ηιλλ, Νεω Ψορκ, 1983, Χηαπ. 5. 38. Μ. Λ. Σηοοµαν, Ρελιαβιλιτψ οφ Χοµπυτερ Σψστεµσ ανδ Νετωορκσ: Φαυλτ Τολερανχε, Αναλψσισ, ανδ ∆εσιγν, Ωιλεψ, Ηοβοκεν, Νϑ, 2002. 39. Φ. Β. Βαστανι, Σοφτωαρε Ρελιαβιλιτψ, ΙΕΕΕ Τρανσ. Σοφτωαρε Ενγ., Σπεχιαλ Ισσυε, 1993. 40. Λ. Βερνστειν ανδ Χ. Μ. Ψυηασ, Τρυστωορτηψ Σψστεµσ Τηρουγη Θυαντιτατιϖε Σοφτωαρε Ενγινεερινγ, ΙΕΕΕ Χοµπυτερ Σοχιετψ, Λοσ Αλαµιτοσ, ΧΑ, 2005. 41. Γ. Ρ. Ηυδσον, Προγραµ Ερρορσ ασ α Βιρτη ανδ ∆εατη Προχεσσ, Ρεπορτ ΣΠ−3011, Σψστεµ ∆εϖελοπµεντ Χορπορατιον, Σαντα Μονιχα, ΧΑ, 1967. 42. Ζ. ϑελινσκι ανδ Π. Β. Μορανδα, Σοφτωαρε Ρελιαβιλιτψ Ρεσεαρχη, ιν Ω. Φρειβεργερ (εδ.), Στατιστιχαλ Χοµπυτερ Περφορµανχε Εϖαλυατιον, Αχαδεµιχ Πρεσσ, Νεω Ψορκ, 1972, ππ. 465–497. 43. Π. Β. Μορανδα, Πρεδιχτιον οφ σοφτωαρε ρελιαβιλιτψ δυρινγ δεβυγγινγ, Προχεεδινγσ οφ τηε Αννυαλ Ρελιαβιλιτψ ανδ Μαινταιναβιλιτψ Σψµποσιυµ, Ωασηινγτον, ∆Χ, ΙΕΕΕ Ρελιαβιλιτψ Σοχιετψ, 1975, ππ. 327–333. 44. Μ. Λ. Σηοοµαν, Προβαβιλιστιχ Μοδελσ φορ Σοφτωαρε Ρελιαβιλιτψ Πρεδιχτιον, ιν Ω. Φρειβεργερ (εδ.), Στατιστιχαλ Χοµπυτερ Περφορµανχε Εϖαλυατιον, Αχαδεµιχ Πρεσσ, Νεω Ψορκ, 1972, ππ. 485–502, 45. Γ. ϑ. Σχηιχκ ανδ Ρ.Ω. Ωολϖερτον, Αν Αναλψσισ οφ Χοµπετινγ Σοφτωαρε Ρελιαβιλιτψ Μοδελσ, ΙΕΕΕ Τρανσ. Σοφτωαρε Ενγ., 4(2), 104–120 (1978). 46. Α. Λ. Γοελ ανδ Κ. Οκυµοτο, Τιµε−∆επενδεντ Ερρορ−∆ετεχτιον Ρατε Μοδελ φορ Σοφτωαρε Ρελιαβιλιτψ ανδ Οτηερ Περφορµανχε Μεασυρεσ, ΙΕΕΕ Τρανσ. Ρελιαβ., 28(3), 206–211 (1979). 47. ϑ. ∆. Μυσα ανδ Κ. Οκυµοτο, Α Λογαριτηµιχ Ποισσον Εξεχυτιον Τιµε Μοδελ φορ Σοφτωαρε Ρελιαβιλιτψ Μεασυρεµεντ, Προχεεδινγσ οφ τηε 6τη Ιντερνατιοναλ Χονφερενχε ον Σοφτωαρε Ενγινεερινγ, Ορλανδο, ΦΛ, ΙΕΕΕ Χοµπυτερ Σοχιετψ, 1984, ππ. 230–238. 48. Μ. Οηβα, Σοφτωαρε Ρελιαβιλιτψ Αναλψσισ Μοδελσ, ΙΒΜ ϑ. Ρεσ. ∆εϖ., 28(4), 428–443 (1984). 49. ϑ. Τ. ∆υανε, Λεαρνινγ Χυρϖε Αππροαχη το Ρελιαβιλιτψ Μονιτορινγ, ΙΕΕΕ Τρανσ. Αεροσπαχε, 2(2), 563–566 (1964).

ΡΕΦΕΡΕΝΧΕΣ

69

50. Β. Λιττλεωοοδ, Ρατιοναλε φορ α µοδι⇒εδ ∆υανε Μοδελ, ΙΕΕΕ Τρανσ. Ρελιαβ., 33(2), 157–159 (1984). 51. Σ. Ψαµαδα, Σ. Οσακι, ανδ Η. Ναριηισα, ∆ισχρετε µοδελσ φορ σοφτωαρε ρελιαβιλιτψ, ιν Α. Π. Βασυ (εδ.), Ρελιαβιλιτψ ανδ Θυαλιτψ Χοντρολ, Ελσεϖιερ, Νεω Ψορκ, 1986, ππ. 401–412. 52. Γ. ϑ. Κνα⇓ ανδ ϑ. Σαχκσ, Ποισσον Προχεσσ ωιτη Νεαρλψ Χονσταντ Φαιλυρε Ιντενσιτψ, Προχεεδινγσ οφ τηε Ιντερνατιοναλ Σψµποσιυµ ον Σοφτωαρε Ρελιαβιλιτψ Ενγινεερινγ, Αυστιν, ΤΞ, ΙΕΕΕ Χοµπυτερ Σοχιετψ, 1991, ππ. 60–66. 53. Μ. Ζηαο ανδ Μ. Ξιε, Ον τηε Λογ−Ποωερ Μοδελ ανδ ιτσ Αππλιχατιονσ, Προχεεδινγσ οφ τηε Ιντερνατιοναλ Σψµποσιυµ ον Σοφτωαρε Ρελιαβιλιτψ Ενγινεερινγ, Ρεσεαρχη Τριανγλε Παρκ, ΝΧ, ΙΕΕΕ Χοµπυτερ Σοχιετψ, 1992, ππ. 14–22. 54. ϑ. ∆. Μυσα, Α Τηεορψ οφ Σοφτωαρε Ρελιαβιλιτψ ανδ Ιτσ Αππλιχατιον, ΙΕΕΕ Τρανσ. Σοφτωαρε Ενγ., 1(3), 312–327 (1975). 55. Β. Λιττλεωοοδ ανδ ϑ. Λ. ςερραλλ, Α Βαψεσιαν Ρελιαβιλιτψ Γροωτη Μοδελ φορ Χοµπυτερ Σοφτωαρε, Αππλ. Στατ., 22(3), 332–346 (1973). 56. Τ. Α. Μαζζυχηι ανδ Ρ. Σοψερ, Α Βαψεσ Εµπιριχαλ−Βαψεσ Μοδελ φορ Σοφτωαρε Ρελι− αβιλιτψ, ΙΕΕΕ Τρανσ. Ρελιαβ., 37(3), 248–254 (1988). 57. Ν. Λανγβεργ ανδ Ν. ∆. Σινγπυρωαλλα, Α Υνι⇒χατιον οφ Σοµε Σοφτωαρε Ρελιαβιλιτψ Μοδελσ, ΣΙΑΜ ϑ. Σχι. Στατ. Χοµπυτ., 6(3), 781–790 (1985). 58. Ω. Σ. ϑεωελλ, Βαψεσιαν Εξτενσιονσ το α Βασιχ Μοδελ οφ Σοφτωαρε Ρελιαβιλιτψ, ΙΕΕΕ Τρανσ. Σοφτωαρε Ενγ., 11(12), 1465–1471 (1985). 59. Ε. Νελσον, Εστιµατινγ Σοφτωαρε Ρελιαβιλιτψ φροµ Τεστ ∆ατα, Μιχροελεχτρον. Ρελιαβ., 17(1), 67–74 (1978). 60. Χ. ς. Ραµαµοορτηψ ανδ Φ. Β. Βαστανι, Σοφτωαρε Ρελιαβιλιτψ: Στατυσ ανδ Περσπεχτιϖεσ, ΙΕΕΕ Τρανσ. Σοφτωαρε Ενγ., 8(4), 354–371 (1982). 61. Φ. Β. Βαστανι ανδ Χ. ς. Ραµαµοορτηψ, Ινπυτ−∆οµαιν−Βασεδ Μοδελσ φορ Εστιµατινγ τηε Χορρεχτνεσσ Οφ Προχεσσ Χοντρολ Προγραµσ, ιν Α. Σερρα ανδ Ρ. Ε. Βαρλοω (εδσ.), Ρελιαβιλιτψ Τηεορψ, Νορτη−Ηολλανδ, Αµστερδαµ, 1986, ππ. 321−378. 62. ϑ. Χ. Μυνσον ανδ Τ. Μ. Κηοσηγοφτααρ, Τηε Υσε οφ Σοφτωαρε Χοµπλεξιτψ Μετριχσ ιν Σοφτωαρε Ρελιαβιλιτψ Μοδελινγ, Προχεεδινγσ οφ τηε Ιντερνατιοναλ Σψµποσιυµ ον Σοφτ− ωαρε Ρελιαβιλιτψ Ενγινεερινγ, Αυστιν, ΤΞ, ΙΕΕΕ Χοµπυτερ Σοχιετψ, 1991, ππ. 2–11. 63. Ρ. Γ. Ηαµλετ, Προβαβλε Χορρεχτνεσσ Τηεορψ, Ινφ. Προχεσσ. Λεττ., 25(1), 17–25 (1987). 64. Ρ. Κ. Σχοττ, ϑ. Ω. Γαυλτ, ανδ ∆. Φ. ΜχΑλλιστερ, Φαυλτ−Τολεραντ Σοφτωαρε Ρελιαβιλιτψ Μοδελινγ, ΙΕΕΕ Τρανσ. Σοφτωαρε Ενγ., 13(5), 582–592 (1987). 65. Σ. Ν. Ωεισσ ανδ Ε. ϑ. Ωεψυκερ, Αν Εξτενδεδ ∆οµαιν−Βασεδ Μοδελ οφ Σοφτωαρε Ρελιαβιλιτψ, ΙΕΕΕ Τρανσ. Σοφτωαρε Ενγ., 14(12), 1512–1524 (1988). 66. Β. Λιττλεωοοδ ανδ ∆. Ρ. Μιλλερ, Χονχεπτυαλ Μοδελινγ οφ Χοινχιδεντ Φαιλυρεσ ιν Μυλτιϖερσιον Σοφτωαρε, ΙΕΕΕ Τρανσ. ον Σοφτωαρε Ενγ., 15(12), 1596–1614 (1989). 67. Ρ. Ω. Βυτλερ ανδ Γ. Β. Φινελλι, Τηε Ινφεασιβιλιτψ οφ Θυαντιφψινγ τηε Ρελιαβιλιτψ οφ Λιφε−Χριτιχαλ Ρεαλ−Τιµε Σοφτωαρε, ΙΕΕΕ Τρανσ. ον Σοφτωαρε Ενγ., 19(1), 3–12 (1993). 68. Τ. Σταληανε, Φαυλτ Τρεε Αναλψσισ Αππλιεδ το Σοφτωαρε, ιν Τ. Αϖεν (εδ.), Ρελιαβιλιτψ Αχηιεϖεµεντ: Τηε Χοµµερχιαλ Ινχεντιϖε, Ελσεϖιερ, Λονδον, 1989, ππ. 166–178. 69. Χ. Ωοηλιν ανδ Υ. Κορνερ, Σοφτωαρε Φαυλτσ: Σπρεαδινγ, ∆ετεχτιον ανδ Χοστσ, Σοφτωαρε Ενγ. ϑ., 5(1), 33–42 (1990). 70. Η. ∆. Μιλλσ, Ον τηε Στατιστιχαλ ςαλιδατιον οφ Χοµπυτερ Προγραµσ, ΙΒΜ Φεδεραλ Σψσ− τεµσ ∆ιϖισιον, Γαιτηερσβυργ, Μ∆, Ρεπορτ ΦΣΧ−72−6015, 1972.

70

ΦΥΝ∆ΑΜΕΝΤΑΛΣ ΟΦ ΧΟΜΠΟΝΕΝΤ ΑΝ∆ ΣΨΣΤΕΜ ΡΕΛΙΑΒΙΛΙΤΨ

71. Ξ. Ζ. Ηυανγ, Τηε Ηψπεργεοµετριχ ∆ιστριβυτιον Μοδελ φορ Πρεδιχτινγ τηε Ρελιαβιλιτψ οφ Σοφτωαρε, Μιχροελεχτρον. Ρελιαβ., 24(1), 11–20 (1984). 72. ϑ. Ω. ∆υραν ανδ ϑ. ϑ. Ωιορκοωσκι, Χαπτυρε–Ρεχαπτυρε Σαµπλινγ φορ Εστιµατινγ Σοφτωαρε Ερρορ Χοντεντ, ΙΕΕΕ Τρανσ. Σοφτωαρε Ενγ., 7(1), 147–148 (1981). 73. Π. Α. Κειλλερ ανδ ∆. Ρ. Μιλλερ, Ον τηε Υσε ανδ τηε Περφορµανχε οφ Σοφτωαρε Ρελια− βιλιτψ Γροωτη Μοδελσ, Ρελιαβ. Ενγ. Σψστ. Σαφ., 32(2), 95–117 (1991). 74. Τ. Μ. Κηοσηγοφτααρ ανδ Τ. Γ. Ωοοδχοχκ, Σοφτωαρε Ρελιαβιλιτψ Μοδελ Σελεχτιον: Α Χασε Στυδψ, Προχεεδινγσ οφ τηε Ιντερνατιοναλ Σψµποσιυµ ον Σοφτωαρε Ρελιαβιλιτψ Ενγινεερινγ, Αυστιν, ΤΞ, ΙΕΕΕ Χοµπυτερ Σοχιετψ, 1991, ππ. 183–191. 75. Μ. Ρ. Λψυ ανδ Α. Νικορα, Α Ηευριστιχ Αππροαχη φορ Σοφτωαρε Ρελιαβιλιτψ Πρεδιχτιον: Τηε Εθυαλλψ−Ωειγητεδ Λινεαρ Χοµβινατιον Μοδελ, Προχεεδινγσ οφ τηε Ιντερνατιοναλ Σψµποσιυµ ον Σοφτωαρε Ρελιαβιλιτψ Ενγινεερινγ, Αυστιν, ΤΞ, ΙΕΕΕ Χοµπυτερ Σοχι− ετψ, 1991, ππ. 172–181. 76. Τ. Βενδελλ ανδ Π. Μελλορ, Σοφτωαρε Ρελιαβιλιτψ: Στατε οφ τηε Αρτ Ρεπορτ, Περγαµον Ινφοτεχη, Λονδον, 1986. 77. Β. Λιττλεωοοδ (εδ.), Σοφτωαρε Ρελιαβιλιτψ: Αχηιεϖεµεντ ανδ Ασσεσσµεντ, Βλαχκωελλ, Οξφορδ, 1987. 78. Α. Λ. Γοελ, Σοφτωαρε Ρελιαβιλιτψ Μοδελσ: Ασσυµπτιονσ, Λιµιτατιονσ, ανδ Αππλιχαβιλ− ιτψ, ΙΕΕΕ Τρανσ. Σοφτωαρε Ενγ., 11(12), 1411–1423 (1985). 79. Κ. Οκυµοτο ανδ Α. Γοελ, Οπτιµυµ Ρελεασε Τιµε φορ Σοφτωαρε Σψστεµσ Βασεδ ον Ρελιαβιλιτψ ανδ Οτηερ Περφορµανχε Μεασυρεσ, ϑ. Σψστ. Σοφτωαρε, 1(4), 315–318 (1980). 80. Ν. Φ. Σχηνειδεωινδ, Αναλψσισ οφ Ερρορ Προχεσσεσ ιν Χοµπυτερ Σοφτωαρε, Σιγπλαν Νοτ., 10(6), 337–346 (1975). 81. Ω. Η. Φαρρ, Α Συρϖεψ οφ Σοφτωαρε Ρελιαβιλιτψ Μοδελινγ ανδ Εστιµατιον, ΝΣΩΧ ΤΡ− 171, Ναϖαλ Συρφαχε Ωαρφαρε Χεντερ, Σεπτεµβερ 1983, 1333 Ισααχ Ηυλλ Αϖε ΣΕ, Ωασηινγτον Ναϖψ Ψαρδ, ∆Χ, 20376–7107. 82. Μ. Σαηινογλυ, Στατιστιχαλ Ινφερενχε ον τηε Ρελιαβιλιτψ Περφορµανχε Ινδεξ φορ Ελεχ− τριχ Ποωερ Γενερατιον Σψστεµσ, Πη.∆. δισσερτατιον, Τεξασ Α&Μ Υνιϖερσιτψ, Χολλεγε Στατιον, ΤΞ, 1981, ππ. 15–32. 83. Β. Λιττλεωοοδ, Στοχηαστιχ Ρελιαβιλιτψ Γροωτη: Α Μοδελ φορ Φαυλτ−Ρεµοϖαλ ιν Χοµ− πυτερ Προγραµσ ανδ Ηαρδωαρε ∆εσιγνσ, ΙΕΕΕ Τρανσ. Ρελιαβ., 30(4), 313–320 (Οχτο− βερ 1981). 84. Π. Α. Κειλλερ, Β. Λιττλεωοοδ, ∆. Ρ. Μιλλερ, ανδ Α. Σοφερ, Χοµπαρισον οφ Σοφτωαρε Ρελιαβιλιτψ Πρεδιχτιονσ, Προχεεδινγσ οφ τηε 13τη ΙΕΕΕ Ιντερνατιοναλ Σψµποσιυµ ον Φαυλτ Τολεραντ Χοµπυτινγ, 1983, ππ. 128–134. 85. Γ. Λιυ, Α Βαψεσιαν Ασσεσσινγ Μετηοδ οφ Σοφτωαρε Ρελιαβιλιτψ Γροωτη, ιν Σ. Οσακι ανδ ϑ. Χαο (εδσ.), Ρελιαβιλιτψ Τηεορψ ανδ Αππλιχατιονσ, Ωορλδ Σχιεντι⇒χ, Σινγαπορε, 1987, ππ. 237–244. 86. Ω. Ε. Τηοµπσον ανδ Π. Ο. Χηελσον, Ον τηε Σπεχι⇒χατιον οφ Τεστινγ οφ Σοφτωαρε Ρελιαβιλιτψ, Προχεεδινγσ οφ τηε 1980 Αννυαλ Ρελιαβιλιτψ ανδ Μαινταναβιλιτψ Σψµπο− σιυµ, ΙΕΕΕ, Νεω Ψορκ, 1980, ππ. 379–383. 87. ϑ. ∆. Μυσα ανδ Κ. Οκυµοτο, Α Χοµπαρισον οφ Τιµε ∆οµαινσ φορ Σοφτωαρε Ρελια− βιλιτψ Μοδελσ, ϑ. Σψστ. Σοφτωαρε, 4(4), 277–287 (1984). 88. Χ. Χ. Σηερβροοκε, ∆ισχρετε Χοµπουνδ Ποισσον Προχεσσεσ ανδ Ταβλεσ οφ τηε Γεο− µετριχ Ποισσον ∆ιστριβυτιον, Μεµορανδυµ ΡΜ−4831−ΠΡ, Ρανδ Χορπορατιον, Σαντα Μονιχα, ΧΑ, ϑυλψ 1966.

ΕΞΕΡΧΙΣΕΣ

71

89. Ε. Χινλαρ, Ιντροδυχτιον το Στοχηαστιχ Προχεσσεσ, Πρεντιχε−Ηαλλ, Ενγλεωοοδ Χλιφφσ, Νϑ, 1975. 90. Ρ. Β. ∆’Αγοστινο ανδ Μ. Α. Στεπηενσ, Γοοδνεσσ οφ Φιτ Τεχηνιθυεσ, Μαρχελ ∆εκκερ, Νεω Ψορκ, 1986. 91. Π. Χ. Χονσυλ, Γενεραλιζεδ Ποισσον ∆ιστριβυτιονσ, Μαρχελ ∆εκκερ, Νεω Ψορκ, 1989. 92. Ρ. Μ. Αδελσον, Χοµπουνδ Ποισσον ∆ιστριβυτιονσ, Οπερ. Ρεσ. Θ., 17, 73–74 (1966). 93. Ρ. Φ. Σερφοζο, Χοµπουνδ Ποισσον Αππροξιµατιονσ φορ Συµσ οφ Ρανδοµ ςαριαβλεσ, Ανν. Προβαβ., 14, 1391–1398 (1986). 94. Ρ. Α. Φισηερ, Τηε Σιγνι⇒χανχε οφ ∆εϖιατιονσ φροµ Εξπεχτατιον ιν α Ποισσον Σεριεσ, Βιοµετριχσ, ππ. 17–24 (1950). 95. Ω. Φελλερ, Αν Ιντροδυχτιον το Προβαβιλιτψ Τηεορψ ανδ Ιτσ Αππλιχατιονσ, 3ρδ εδ., ςολ. 1, Ωιλεψ, Νεω Ψορκ, 1968, ππ. 288–292. 96. Μ. Σαηινογλυ, Γεοµετριχ Ποισσον ∆ενσιτψ Εστιµατιον οφ τηε Νυµβερ οφ Σοφτωαρε Φαιλυρεσ, ΙΕΕΕ Προχεεδινγσ οφ τηε 28τη Αννυαλ Ρελιαβιλιτψ Χονφερενχε, Σπρινγ Σεµι− ναρ οφ τηε Χεντραλ Νεω Ενγλανδ Χουνχιλ, Βοστον Χηαπτερ Ρελιαβιλιτψ Σοχιετψ, Απριλ 1999, ππ. 149–174. 97. Στυδεντ, Βιοµετρικα, 12, 211–215 (1919). 98. Μ. Γρεενωοοδ ανδ Γ. Υ. Ψυλε, Αν Ινθυιρψ ιντο τηε Νατυρε οφ Φρεθυενχψ ∆ιστρι− βυτιονσ Ρεπρεσεντατιϖε οφ Μυλτιπλε Ηαππενινγσ, ϑ. Ροψ. Στατ. Σοχ., 83, 255–279 (1920). 99. Β. Βροων, Σοµε Ταβλεσ οφ τηε Νεγατιϖε Βινοµιαλ ∆ιστριβυτιον ανδ Τηειρ Υσε, Μεµ− ορανδυµ ΡΜ−4577−ΠΡ, Ρανδ Χορπορατιον, Σαντα Μονιχα, ΧΑ, ϑυνε 1965. 100. Φ. Ν. ∆αϖιδ ανδ Ν. Λ. ϑοηνσον, Τηε Τρυνχατεδ Ποισσον, Βιοµετριχσ, ππ. 275–285 (∆εχεµβερ 1952). 101. Ενχψχλ. Στατ. Σχι., 5, 92–93 111–113 (1988). 102. Ενχψχλ. Στατ. Σχι., 6, 169–176 (1988). 103. ϑ. ∆. Μυσα, Σοφτωαρε Ρελιαβιλιτψ ∆ατα, Βελλ Τελεπηονε Λαβορατοριεσ, Ωηιππανψ, Νϑ, 1979. 104. Μ. Σαηινογλυ, Αππλιεδ Στοχηαστιχ Προχεσσεσ: Χλασσ Νοτεσ Σιµπλι⇒εδ, Μιδδλε Εαστ Τεχηνιχαλ Υνιϖερσιτψ, Ανκαρα, Τυρκεψ, ϑυνε 1992. 105. ϑ. Χ. Λαπριε ανδ Κ. Κανουν, Ξ−Ωαρε Ρελιαβιλιτψ ανδ Αϖαιλαβιλιτψ Μοδελινγ, ΙΕΕΕ Τρανσ. Σοφτωαρε Ενγ., 18(2), 130–147 (1992). 106. Γ. ϑ. Σχηιχκ ανδ Ρ. Ω. Ωολϖερστον, Αν Αναλψσισ οφ Χοµπετινγ Σοφτωαρε Ρελιαβιλιτψ Μοδελσ, ΙΕΕΕ Τρανσ. Σοφτωαρε Ενγ., 4(2), 104–120 (1978). 107. Λ. Η. Χροω, Ρελιαβιλιτψ Αναλψσισ φορ Χοµπλεξ, Ρεπαιραβλε Σψστεµσ, (ιν Φ. Προσηαν ανδ Ρ. ϑ. Σερ⇓ινγ (εδσ.), Ρελιαβιλιτψ ανδ Βιοµετρψ, ΣΙΑΜ, Πηιλαδελπηια, ΠΑ, 1974, ππ. 379–410.

ΕΞΕΡΧΙΣΕΣ 1.1 Ατ τηε ενδ οφ ονε ψεαρ οφ σερϖιχε, τηε ρελιαβιλιτψ οφ α χερταιν σοφτωαρε προδυχτ δυρινγ ιτσ υσεφυλ λιφε περιοδ αφτερ τηε δεβυγγινγ προχεσσ (ασσυµινγ α χονσταντ φαιλυρε ρατε) ισ 0.8. (α) Ωηατ ισ τηε φαιλυρε ρατε οφ τηισ σοφτωαρε προδυχτ ιν ηουρσ?

72

ΦΥΝ∆ΑΜΕΝΤΑΛΣ ΟΦ ΧΟΜΠΟΝΕΝΤ ΑΝ∆ ΣΨΣΤΕΜ ΡΕΛΙΑΒΙΛΙΤΨ

(β) Ιφ φουρ οφ τηεσε προδυχτσ αρε πυτ ιν σεριεσ ανδ αχτιϖε παραλλελ ινδε− πενδεντλψ, ωηατ αρε τηε αννυαλ ρελιαβιλιτψ ⇒γυρεσ ιν σεριεσ ανδ αχτιϖε παραλλελ σψστεµσ, ρεσπεχτιϖελψ? (χ) Φορ αχτιϖε παραλλελ, ιφ 30% οφ τηε χοµπονεντ φαιλυρε ρατε µαψ βε αττρι− βυτεδ το χοµµον−µοδε φαιλυρεσ, ωηατ ωιλλ τηε αννυαλ ρελιαβιλιτψ βεχοµε φορ τηε τωο χοµπονεντσ ιν παραλλελ? (δ) Συπποσε τηατ τηε φαιλυρε ρατε φορ α σοφτωαρε χοµπονεντ ισ γιϖεν ασ 0.08 περ ηουρ. Ηοω µανψ χοµπονεντσ µυστ βε πλαχεδ ιν αχτιϖε παραλλελ φορµ ιφ α διστριβυτεδ σψστεµ οφ µοδυλεσ ωιλλ ηαϖε το ρυν φορ 100 ηουρσ ωιτη α σψστεµ ρελιαβιλιτψ οφ νο λεσσ τηαν 95%? (ε) Ασσυµινγ νοω τηατ τηε αννυαλ ρελιαβιλιτψ οφ τηε σοφτωαρε µοδυλε ισ ιµπροϖεδ το 0.95, α σεριεσ σψστεµ οφ φουρ χοµπονεντσ ισ φορµεδ. Α σεχονδ σετ οφ φουρ χοµπονεντσ ισ βουγητ ανδ α ρεδυνδαντ σψστεµ ισ βυιλτ. Ωηατ ισ τηε ρελιαβιλιτψ οφ τηε νεω ρεδυνδαντ σψστεµ ωιτη (1) ηιγη−λεϖελ ρεδυνδανχψ βψ δραωινγ τηε ρεπρεσεντατιον ιν νυµβερεδ βλοχκσ, ανδ (2) λοω−λεϖελ ρεδυνδανχψ βψ δραωινγ τηε ρεπρεσεντατιον ιν νυµβερεδ βλοχκσ? 1.2 (α) Α ωεαρ τεστ ισ ρυν ον 10 ΠΧ ηαρδ δριϖεσ ανδ τηε φολλοωινγ τιµεσ ιν µοντησ φουνδ: 27, 39+, 40, 54, 68+, 85, 93, 102, 135+, 144 Υσινγ τηε προδυχτ λιµιτ (Καπλαν–Μειερ) τεχηνιθυε το αχχουντ φορ χεν− σορινγ, µακε α νονπαραµετριχ πλοτ οφ τηε ρελιαβιλιτψ ανδ ηαζαρδ φυνχ− τιονσ. (β) Α νονρεπλαχεµεντ τεστ ισ ρυν φορ 60 ηουρσ ον 40 µιχροπροχεσσορσ. Φιϖε φαιλυρεσ οχχυρ ατ 12, 19, 28, 39, 47 ηουρσ. Εστιµατε τηε ϖαλυε οφ τηε χονσταντ φαιλυρε ρατε. Αλσο ⇒νδ αππροξιµατε υππερ ανδ λοωερ βουνδσ φορ τηε ΜΤΤΦ. 1.3 Τηε ρελιαβιλιτψ οφ αν οπερατινγ σψστεµ ιν τιµε ισ γιϖεν βψ  (1 − 0.2t)2 , R(t) = 0, t > 5

0≤t ≤5

ωηερε τηε οριγιναλ π.δ.φ. οφ φαιλυρε τιµε ωασ f (t) = (0.4)(1 − 0.2t) φορ 0 < t ≤ 5. (α) ςεριφψ R(t) υσινγ f (t). Χαλχυλατε τηε ΜΤΤΦ. (β) Φινδ τηε φαιλυρε ορ ηαζαρδ ρατε h(t) Ισ τηε φαιλυρε ρατε ινχρεασινγ ορ δεχρεασινγ? ϑυστιφψ ψουρ ρεσυλτ.

73

ΕΞΕΡΧΙΣΕΣ

(χ) Ηοω οφτεν σηουλδ ιτ βε υπδατεδ ιφ φαιλυρεσ αρε το βε ηελδ το νο µορε τηαν 5%? 1.4 Α χονσταντ−φαιλυρε−ρατε δεϖιχε (α δεσκτοπ ΠΧ) ηασ α ΜΤΤΦ οφ 2000 ηουρσ. Τηε ϖενδορ οφφερσ α ονε ψεαρ ωαρραντψ. Ωηατ φραχτιον οφ τηε ΠΧσ ωιλλ φαιλ δυρινγ τηε ωαρµ−υπ περιοδ? 1.5 Α σοφτωαρε µοδυλε βεινγ µαρκετεδ ισ τεστεδ φορ τωο µοντησ ανδ φουνδ το ηαϖε α ρελιαβιλιτψ οφ 0.99; τηε µοδυλε ισ κνοων το ηαϖε α χονσταντ φαιλυρε ρατε. (α) Ωηατ ισ τηε φαιλυρε ρατε? (β) Ωηατ ισ τηε ΜΤΤΦ? (χ) Ωηατ ισ τηε ρελιαβιλιτψ οφ τηισ προδυχτ φουρ ψεαρσ ιντο ιτσ οπερατιον ιφ ιτ ισ ιν χοντινυουσ υσε? (δ) Ωηατ σηουλδ τηε ωαρραντψ τιµε βε το αχηιεϖε αν οπερατιοναλ ρελιαβιλιτψ οφ 95%? 1.6 Τηε ρελιαβιλιτψ γροωτη µοδελσ αρε ουτλινεδ ιν Σεχτιον 1.6.2. Αµονγ τηε µοστ ποπυλαρ αρε τηε γενεραλιζεδ Γοελ–Οκυµοτο ΝΗΠΠ (ωηεν c = 1, τηε Ωειβυλλ βεχοµεσ εξπονεντιαλ, ανδ ωηεν c = 2, ιτ βεχοµεσ τηε Ραλειγη µοδελ) ανδ τηε Μυσα–Οκυµοτο λογαριτηµιχ Ποισσον εξεχυτιον τιµε µοδελ, ωηιχη ηαϖε διφφερεντ µεαν ϖαλυε φυνχτιονσ το πρεδιχτ τηε νυµβερ οφ φαιλυρεσ ατ τηε ενδ οφ α µισσιον τιµε t. Γιϖεν τηε φολλοωινγ ινπυτ δατα, χαλχυλατε ανδ χοµπαρε τηε µεαν ϖαλυεσ οφ τηε νυµβερ οφ φαιλυρεσ εξπεχτεδ το βε πρεδιχτεδ βψ τηε ενδ οφ α τιµε t φορ εαχη µοδελ. Τηεσε µοδελσ αρε αλλ ΝΗΠΠ. Υσε τηε φολλοωινγ δατα ασ νεχεσσαρψ: t (τηε τιµε ατ ωηιχη το πρεδιχτ) = 80 ΧΠΥ ηουρσ; a (τηε νυµβερ οφ φαιλυρεσ εξπεχτεδ ατ τηε ενδ οφ τηε µισσιον τιµε) = υ0 = κ = 100; b = θ (τηε φαυλτ δετεχτιον ρατε περ φαυλτ) = 0.02; ανδ λ0 (τηε ινιτιαλ φαιλυρε ιντενσιτψ) = 10 περ ηουρ. 1.7 Ταβλε Ε1.7 λιστσ υνχενσορεδ γρουπεδ δατα ον τηε φαιλυρε οφ ιδεντιχαλ χοµ− µερχιαλ σοφτωαρε µοδυλεσ χολλεχτεδ βψ αν ινδεπενδεντ θυαλιτψ φοχυσεδ νον− προ⇒τ οργανιζατιον. ∆ραω α νονπαραµετριχ πλοτ οφ τηε ρελιαβιλιτψ ανδ χυµυ− λατιϖε ηαζαρδ φυνχτιονσ ϖερσυσ τιµε. ΤΑΒΛΕ Ε1.7 Ιντερϖαλ (ΧΠΥ σεχονδσ) 0
≤ 6000 ≤ 12,000 ≤ 18,000 ≤ 24,000 ≤ 30,000 ≤ 36,000

Νυµβερ οφ Φαιλυρεσ 5 19 61 27 20 17

74

ΦΥΝ∆ΑΜΕΝΤΑΛΣ ΟΦ ΧΟΜΠΟΝΕΝΤ ΑΝ∆ ΣΨΣΤΕΜ ΡΕΛΙΑΒΙΛΙΤΨ

1.8 Χαλχυλατε τηε σουρχε–ταργετ (s−t) ρελιαβιλιτιεσ οφ τηε φολλοωινγ σψστεµσ: (α) Τακε s = 1, t = 13 ιν Φιγυρε Ε1.8(a). (β) Τακε s = 5, t = 9 ιν Φιγυρε Ε1.8(b).

2 0.9

4 0.9

−2 0.8

7 0.9

−3 0.8

−1 0.8 1 0.9

5 0.9

−11 0.8

0.8

16 0.9

−13 0.8

3 0.9

−15 −16 0.8 0.8

−14 0.8 15 0.9

11 0.9

−10 0.8

−7

−9 0.8

0.8

6 0.9

−4 0.8

0.8

14 0.9

−12

−5 0.8

−19

8 0.9

−6 0.8

9 0.9

10 0.9

−8 0.8

12 0.9

17 0.9

−18

−20

−17 0.8

19 0.9

0.8

−1 1 0.9

4 0.9

−2 0.8

5 0.9 −4 0.8

−3 0.8

0.8 −11 0.8

3 0.9 −12 0.8

14 0.9

15 0.9

−13 0.8

−14 0.8

16 0.9

−7 0.8

17 0.9

−15 0.8

8 0.9

−10 11 0.9

0.8 9 0.9

10 0.9

−8 0.8

−9 0.8

−21 0.8 13 0.9

−20 0.8 −17 0.8

19 0.9

−18 0.8

18 0.9

−16 0.8

13 0.9

0.8

0.8

6 7 0.9 −5 0.9 0.8

12 0.9

−19 0.8

−22

0.8

18 0.9

−6 2 0.9

−21 0.8

−22 0.8

ΦΙΓΥΡΕ Ε1.8(α)

2 0.9000

−3 1.0

3 0.9000

4 0.9000

−4 1.0

10 0.9000

−2 −1.3

1.0 5 0.9000

1.0

1 0.9000

−1.1

−1 −6

1.0 −7

−10

1.0 6 0.9000

7 0.9000 −9

1.0

1.0

−12 1.0 9 0.9000

1.0

1.0 11 0.9000

1.0

−8

−5 1.0

8 0.9000

ΦΙΓΥΡΕ Ε1.8(β)

1.9 Α δισκ δριϖε ηασ α χονσταντ φαιλυρε ρατε λ ωιτη αν ΜΤΤΦ οφ 5000 ηουρσ. Ωηατ ισ τηε προβαβιλιτψ οφ φαιλυρε φορ ονε ψεαρ οφ οπερατιον? Ωηατ ισ τηε προβαβιλιτψ οφ φαιλυρε φορ ονε ψεαρ οφ οπερατιον ιφ τωο οφ τηε δριϖεσ αρε πλαχεδ ιν αχτιϖε παραλλελ µοδε ωιτη φαιλυρεσ ασσυµεδ το βε ινδεπενδεντ? Ωηατ ιφ ιν σεριεσ?

ΕΞΕΡΧΙΣΕΣ

75

1.10 Ωηατ ισ τηε προβαβιλιτψ οφ φαιλυρε φορ ονε ψεαρ οφ αχτιϖε παραλλελ οπερατιον ιφ τηε χοµµον−µοδε ερρορσ αρε χηαραχτεριζεδ βψ β = 0.2?

1.11 Συπποσε τηατ α σψστεµ χονσιστσ οφ τωο χοµπονεντσ πλαχεδ ιν σεριεσ, εαχη ωιτη α φαιλυρε ρατε λ = 1 περ ψεαρ. Α ρεδυνδαντ σψστεµ ισ βυιλτ χονσιστ− ινγ οφ φουρ ιδεντιχαλ χοµπονεντσ. ∆εριϖε ανδ χαλχυλατε εξπρεσσιονσ φορ τηε σψστεµ’σ φαιλυρε ρατεσ αφτερ t = 1 ψεαρ οφ οπερατιον: (α) φορ ηιγη−λεϖελ ρεδυνδανχψ (β) φορ λοω−λεϖελ ρεδυνδανχψ

1.12 Συπποσε τηατ ωιτηουτ πρεϖεντιϖε µαιντενανχε, τηε φαιλυρε (ηαζαρδ) ρατε οφ α χοµπυτερ ηαρδ δριϖε ισ γιϖεν βψ λ(t) = (1.1)(10−6 )t + (1.0)(10−9 )t 2 , ωηερε t ισ γιϖεν ιν ΧΠΥ ηουρσ ανδ λ(t) ισ περ ψεαρ. (α) Χαλχυλατε τηε δεσιγν−λιφε ρελιαβιλιτψ οφ τηε ηαρδ δριϖε φορ α δεσιγν λιφε οφ 10,000 ΧΠΥ ηουρσ ασσυµινγ τηατ νο πρεϖεντιϖε µαιντενανχε ισ περ− φορµεδ. (β) Συπποσε τηατ βψ οϖερηαυλ τηε ηαρδ δριϖε ισ ρετυρνεδ το ασ−γοοδ−ασ−νεω χονδιτιον. Ηοω φρεθυεντλψ σηουλδ τηε ΠΧ χοµπανψ περφορµ οϖερηαυλσ το αχχοµπλιση α δεσιγν ρελιαβιλιτψ οφ ατ λεαστ 0.90? 1.13 Συπποσε τηατ α χοµπυτερ κεψβοαρδ ισ λιφε−τεστεδ ανδ ηασ αν ΜΤΤΦ οφ 68 ηουρσ ανδ αν ΜΤΤΡ (µεαν τιµε το ρεπαιρ) οφ 1.5 ηουρσ. Ωηατ ισ τηε αϖαιλαβιλιτψ ωιτη χορρεχτιϖε µαιντενανχε? Ιφ τηε ΜΤΤΡ ισ ρεδυχεδ το 1 ηουρ ωιτη εξτρα µεασυρεσ, ωηατ ΜΤΤΦ χαν βε τολερατεδ ωιτηουτ αλτερινγ τηε µαχηινε αϖαιλαβιλιτψ? 1.14 Αν αννυαλ λιφε τεστ ρεϖεαλεδ τηατ 92% οφ χοµπυτερ ηαρδ δισκσ ωερε φουνδ το βε οπεραβλε. Αχχορδινγ το τηεσε δατα, ωηατ ισ τηε λονγ−τερµ αϖαιλαβιλιτψ οφ τηεσε δισκσ? Ιφ ονε ισ νοτ ηαππψ ωιτη τηισ αϖαιλαβιλιτψ ⇒γυρε ανδ δεσιρεσ το ρεαχη αν αϖαιλαβιλιτψ ϖαλυε οφ 0.98, ηοω οφτεν µυστ ονε περφορµ τεστινγ ανδ ρεπλαχεµεντ προχεδυρεσ? 1.15 Ατ τηε ενδ οφ ονε ψεαρ οφ σερϖιχε, τηε υνρελιαβιλιτψ οφ χερταιν Γενεραλ Ελεχτριχ λιγητ βυλβσ, ασσυµινγ α χονσταντ φαιλυρε ρατε, ισ 10%. (α) Ωηατ ισ τηε φαιλυρε ρατε ιν ηουρσ? (β) Ιφ τωο βυλβσ αρε πυτ ινδεπενδεντλψ ιν σεριεσ ανδ αχτιϖε παραλλελ, ωηατ αρε τηε αννυαλ ρελιαβιλιτψ ⇒γυρεσ, ρεσπεχτιϖελψ? (χ) Φορ αχτιϖε παραλλελ, ιφ 20% οφ τηε χοµπονεντ φαιλυρε ρατε µαψ βε αττριβυτεδ το χοµµον−µοδε φαιλυρεσ, ωηατ ωιλλ τηε αννυαλ ρελιαβιλιτψ βεχοµε φορ τηε τωο χοµπονεντσ ιν αχτιϖε παραλλελ? (δ) Συπποσε τηατ τηε δεσιγν φαιλυρε ρατε φορ τηε χοµπονεντ ισ γιϖεν το βε 0.008 περ ηουρ. Ηοω µανψ βυλβσ µυστ βε πλαχεδ ιν αχτιϖε παραλλελ ιφ α σψστεµ οφ λαµπσ ωιλλ ηαϖε το ρυν φορ 100 ηουρσ ωιτη α σψστεµ ρελιαβιλιτψ οφ νο λεσσ τηαν 95%. (ε) Ασσυµινγ νοω τηατ τηε αννυαλ ρελιαβιλιτψ οφ τηε βυλβ ισ ιµπροϖεδ το 0.96, α σεριεσ σψστεµ οφ τηρεε βυλβσ ισ φορµεδ. Α σεχονδ σετ οφ τηρεε

76

ΦΥΝ∆ΑΜΕΝΤΑΛΣ ΟΦ ΧΟΜΠΟΝΕΝΤ ΑΝ∆ ΣΨΣΤΕΜ ΡΕΛΙΑΒΙΛΙΤΨ

χοµπονεντσ ισ βουγητ ανδ α ρεδυνδαντ σψστεµ ισ βυιλτ. Ωηατ ισ τηε ρελιαβιλιτψ οφ τηε νεω ρεδυνδαντ σψστεµ ωιτη (1) ηιγη−λεϖελ ρεδυνδανχψ; (2) λοω−λεϖελ ρεδυνδανχψ? 1.16 Λετ υσ χονσιδερ α σοφτωαρε προγραµ ωιτη αν ινιτιαλ φαιλυρε ιντενσιτψ οφ 10 φαιλυρεσ/ηουρ ανδ 100 τοταλ φαιλυρεσ το βε εξπεριενχεδ ιν ιν⇒νιτε τιµε. Ωηατ ισ τηε φαιλυρε ιντενσιτψ λ(τ ) γοινγ το βε ατ τ = 10 ανδ 100 εξεχυτιον ηουρσ (α) φορ Μυσα’σ βασιχ εξεχυτιον µοδελ ανδ (β) φορ τηε Μυσα–Οκυµοτο λογ− αριτηµιχ Ποισσον µοδελ? Ηαϖινγ χαλχυλατεδ τηοσε, εστιµατε τηε πρεδιχτεδ νυµβερ οφ φαιλυρεσ, μ(τ ) ατ τ = 10 ανδ τ = 100 εξεχυτιον ηουρσ φορ παρτσ (α) ανδ (β). 1.17 Φορ τηε γρουπεδ (χλυστερεδ) φαιλυρε δατα φορµυλατεδ ιν Ταβλε Ε1.17(α) ανδ πρεσεντεδ ιν Ταβλε Ε1.17(β) φορ σψστεµ Τ38 [34], υσε Σαηινογλυ’σ χοµ− πουνδ Ποισσον σοφτωαρε ρελιαβιλιτψ µοδελ το εστιµατε τηε νυµβερ οφ φαιλυρεσ το βε εξπεχτεδ βψ τηε ενδ οφ τηε µισσιον τιµε (ατ τηε ενδ οφ ελεϖεντη ιντερ− ϖαλ) ατ στεπ 7 βψ αππλψινγ (α) τηε Ποισσον∧ γεοµετριχ διστριβυτιον µοδελ; (β) τηε Ποισσον∧ λογαριτηµιχ σεριεσ διστριβυτιον µοδελ; (χ) τηε Γοελ–Οκυµοτο µοδελ; (δ) τηε Μυσα–Οκοµοτο µοδελ. ΤΑΒΛΕ Ε1.17(α) Ιντερϖαλ Νυµβερ 1 2 .. . p

Γρουπεδ Φαιλυρε ∆ατα Φορµατ

Τοταλ Τεστ Τιµε Αφτερ τηε Ιντερϖαλ

∆υρατιον οφ τηε Ιντερϖαλ

Νυµβερ οφ Φαιλυρεσ ιν τηε Ιντερϖαλ

Χυµυλατιϖε Νυµβερ οφ Φαιλυρεσ

x1 x2 .. . xp

x1 x 2 − x1 .. . xp − xp−1

y1 y2 .. . yp

z1 z2 .. . zp

1.18 Χονσιδερ τηε φολλοωινγ µυλτιπλψ χενσορεδ δατα ωιτηουτ ρεπλαχεµεντ φορ τηε χοµπυτερ ηαρδ δισκσ ιν µοντησ: 30 39

40+ 54 68+

85

93+

102 135

144+

(α) Πρεπαρε α σπρεαδσηεετ φορ τηεσε υνγρουπεδ δατα σηοωινγ τιµε, ρελιαβιλιτψ φυνχτιον, ανδ ηαζαρδ φυνχτιον χολυµνσ. Μακε α νονπαραµετριχ πλοτ οφ τηε ρελιαβιλιτψ ανδ ηαζαρδ φυνχτιονσ. Εστιµατε τηε ΜΤΤΦ φορ τηε πυµπσ. (β) Συπποσε τηατ τηεσε ωερε τηε ινιτιαλ n = 10 φαιλυρεσ ρεχορδεδ ατ τηε ενδ οφ τηε εξπεριµεντ (τψπε ΙΙ: στοπ ατ nτη φαιλυρε) φορ α τοταλ οφ N = 20 δισκσ. Εστιµατε τηε ΜΤΤΦ ανδ ⇒νδ τηε υππερ ανδ λοωερ 90% χον⇒δενχε ιντερ− ϖαλ εστιµατεσ. Χαλχυλατε φορ (1) νονρεπλαχαµεντ ανδ (2) ρεπλαχεµεντ. 1.19 Γιϖεν τηε φαιλυρε τιµεσ 5.2, 6.8, 11.2, 16.8, 17.8, 19.6, 23.4, 25.4, 32.0, ανδ 44.8 ηουρσ.

77

ΕΞΕΡΧΙΣΕΣ

ΤΑΒΛΕ Ε1.17(β)

Ιντερϖαλ Νυµβερ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

Γρουπεδ Φαιλυρε ∆ατα φορ Σψστεµ Τ38

Τοταλ Τεστ Τιµε ατ τηε Ενδ οφ τηε Ιντερϖαλ (ΧΠΥ ηουρσ)

∆υρατιον οφ τηε Τεστ Ιντερϖαλ (ΧΠΥ ηουρσ)

Νυµβερ οφ Φαιλυρεσ ιν τηε Ιντερϖαλ

Χυµυλατιϖε Νυµβερ οφ Φαιλυρεσ

5 15 25 35 45 50 65 75 95 120 125

5 10 10 10 10 5 15 10 20 25 5

1 0 16 1 1 0 1 3 2 7 0

1 1 17 18 19 19 20 23 25 32 32

(α) Υσινγ α Ωειβυλλ προβαβιλιτψ π.δ.φ., δετερµινε τηε σχαλε ανδ σηαπε παρα− µετερσ. (β) Υσινγ α νεγατιϖε εξπονεντιαλ π.δ.φ., εστιµατε τηε φαιλυρε ρατε, θ . (χ) Ωηιχη ισ α βεττερ εστιµατε? Ωηψ? 1.20 Α χονσταντ−φαιλυρε−ρατε δεϖιχε (ΠΧ µονιτορ) ηασ ΜΤΤΦ = 2000 ηουρσ. Τηε ϖενδορ οφφερσ α ονε−ψεαρ ωαρραντψ. Ωηατ φραχτιον οφ τηε ΠΧ µονιτορσ ωιλλ φαιλ δυρινγ τηε ωαρραντψ περιοδ? 1.21 Γιϖεν τηε τιµε−δοµαιν δατα σετσ Τ1, Τ2, Τ3, Τ4, ανδ Τ5 ιν τηε δατα βανκ οφ τηισ βοοκ’σ Χ∆−ΡΟΜ υσε ⇒ϖε σοφτωαρε ρελιαβιλιτψ µοδελσ οφ ψουρ χηοιχε το πρεδιχτ τηε εξπεχτεδ ϖαλυε ανδ ηαζαρδ φυνχτιονσ ατ τηε ενδ οφ τηε µισσιον. Εξπλαιν ωηιχη ισ βεστ, ανδ ωηψ. 1.22 Γιϖεν τηε γρουπεδ δατα φορ Ω∆1, Ω∆2, Ω∆3, Ω∆4, ανδ Ω∆5 ιν τηε δατα βανκ οφ τηε Χ∆−ΡΟΜ, υσε ⇒ϖε σοφτωαρε ρελιαβιλιτψ µοδελσ οφ ψουρ χηοιχε το πρεδιχτ εξπεχτεδ ϖαλυε ανδ ηαζαρδ φυνχτιονσ ατ τηε ενδ οφ τηε µισσιον. Ωηιχη ισ βεστ, ανδ ωηψ? 1.23 Γιϖεν q = 3 ανδ µεαν (M) = 10, πλοτ τωο χυρϖεσ φορ τηε π.δ.φ ανδ συρϖιϖαλ φυνχτιον υσινγ τηε Χ∆−ΡΟΜ φορ βοτη Ποισσον∧ γεοµετριχ ανδ Ποισσον∧ λογ σεριεσ. 1.24 Υσινγ τηε υνιφορµ ρανδοµ ταβλε ιν Αππενδιξ 1Α φροµ ριγητ το λεφτ, γεν− ερατε ατ λεαστ α παιρ οφ ρανδοµ ϖαριαβλεσ φροµ εαχη οφ (α) τηε π.µ.φ.’σ ιν Σεχτιον 1.3 ανδ (β) τηε πδφ’σ ιν Σεχτιον 1.3 φροµ Ταβλε 1.1 ονλψ. 1.25 Γενερατε α παιρ οφ ρανδοµ δεϖιατεσ φροµ αλλ τηε ρεστ οφ π.δ.φ.’σ ανδ π.µ.φ.’σ νοτ χοϖερεδ ιν Εξερχισε 1.24 υσινγ Αππενδιξ 1Α.

Τοιλ, εαρν, εατ, ανδ γιϖε οτηερσ ψουρ ωαγεσ. Ουρ ⇒ρστ δυτψ ισ γοοδ χηαραχτερ ανδ γοοδ εφφορτσ. Ηανδ ουτ το οτηερσ ωηατ ψου εαρν, ∆ο τηε ποορ πεοπλε α γοοδ τυρν. —Ψυνυσ Εµρε, τηε λεγενδαρψ µψστιχ φολκ ποετ (1238–1320)

2 ΣΟΦΤΩΑΡΕ ΡΕΛΙΑΒΙΛΙΤΨ ΜΟ∆ΕΛΙΝΓ ΩΙΤΗ ΧΛΥΣΤΕΡΕ∆ ΦΑΙΛΥΡΕ ∆ΑΤΑ ΑΝ∆ ΣΤΟΧΗΑΣΤΙΧ ΜΕΑΣΥΡΕΣ ΤΟ ΧΟΜΠΑΡΕ ΠΡΕ∆ΙΧΤΙςΕ ΑΧΧΥΡΑΧΨ ΟΦ ΦΑΙΛΥΡΕ−ΧΟΥΝΤ ΜΟ∆ΕΛΣ

2.1 ΣΟΦΤΩΑΡΕ ΡΕΛΙΑΒΙΛΙΤΨ ΜΟ∆ΕΛΣ ΥΣΙΝΓ ΤΗΕ ΧΟΜΠΟΥΝ∆ ΠΟΙΣΣΟΝ ΜΟ∆ΕΛ Νυτσηελλ 2.1 Τηε συβϕεχτ µαττερ οφ τηισ σεχτιον ισ α φαιλυρε χουντ πρεδιχτιον τεχηνιθυε ιν α σοφτ− ωαρε τεστινγ προχεσσ κνοων ασ α χοµπουνδ Ποισσον σοφτωαρε ρελιαβιλιτψ µοδελ (ΧΠΣΡΜ), ωηιχη ισ α γενεραλιζατιον οφ α χοµπουνδ Ποισσον µοδελ φορ εστιµατιον οφ τηε ρεσιδυαλ νυµβερ οφ σοφτωαρε φαιλυρεσ ιν τεστινγ. Τηε χονϖεντιοναλ νονηο− µογενεουσ Ποισσον (ΝΗΠΠ) µοδελσ δο νοτ τρεατ ορ περµιτ µυλτιπλε χουντσ ασ τηε Ποισσον∧ γεοµετριχ µοδελ ανδ Ποισσον∧ ΛΣ∆ (ορ νεγατιϖε βινοµιαλ) δο. Τηεσε τωο µοδελσ αρε συπεριορ το οτηερ χοµπετινγ µοδελσ, συχη ασ Μυσα−Οκυµοτο’σ λογα− ριτηµιχ Ποισσον µετηοδ ιν µοστ δατα σετσ ωιτη χλυµπινγ οφ φαιλυρεσ. ΧΠΣΡΜ ισ α τεχηνιθυε το πρεδιχτ τηε φαιλυρε χουντ ατ α φυτυρε τιµε. Ιτ χλεαρλψ τακεσ ιντο αχχουντ τηε χλυµπινγ εφφεχτ ιν αν ΝΗΠΠ προχεσσ βψ υσινγ τηε χοµπουνδ Ποισσον, ωηερε χλυστερινγ ωασ νοτ µοδελεδ εαρλιερ ιν χαλχυλατιονσ. Τηε προβαβιλιτψ δενσιτψ εστι− µατιον οφ τηε ρεµαινινγ νυµβερ οφ σοφτωαρε φαιλυρεσ ιν τηε εϖεντ οφ χλυστερινγ ορ χλυµπινγ οφ τηε σοφτωαρε φαιλυρεσ ισ τηε συβϕεχτ οφ τηισ σεχτιον. Τρυστωορτηψ Χοµπυτινγ: Αναλψτιχαλ ανδ Θυαντιτατιϖε Ενγινεερινγ Εϖαλυατιον, Βψ Μ. Σαηινογλυ Χοπψριγητ  2007 ϑοην Ωιλεψ & Σονσ, Ινχ.

78

ΣΟΦΤΩΑΡΕ ΡΕΛΙΑΒΙΛΙΤΨ ΜΟ∆ΕΛΣ ΥΣΙΝΓ ΤΗΕ ΧΟΜΠΟΥΝ∆ ΠΟΙΣΣΟΝ ΜΟ∆ΕΛ

79

2.1.1 Νοτατιον ανδ Ιντροδυχτιον Α δισχρετε χοµπουνδ Ποισσον πρεδιχτιον µοδελ, ασ οπποσεδ το α Ποισσον προχεσσ, ισ προποσεδ φορ τηε ρανδοµ ϖαριαβλε X, ωηιχη δενοτεσ τηε ρεµαινινγ νυµβερ οφ σοφτωαρε φαιλυρεσ. Τηε χοµπουνδινγ διστριβυτιονσ, ωηιχη αρε ασσυµεδ το γοϖερν τηε φαιλυρε σιζεσ ατ Ποισσον αρριϖαλσ, αρε τακεν το βε γεοµετριχ ωηεν φαιλυρεσ αρε φοργετφυλ ανδ λογαριτηµιχ σεριεσ ωηεν φαιλυρεσ αρε χονταγιουσ. Τηε εξπεχτεδ ϖαλυε οφ X ισ χαλχυλατεδ ασ α φυνχτιον οφ Ποισσον ανδ χοµπουνδινγ διστριβυτιον βασεδ ον τηε φαιλυρε σιζεσ εξπεριενχεδ. Τηε χοµπουνδ Ποισσον (ΧΠ) σοφτωαρε ρελιαβιλιτψ µοδελ ωασ ⇒ρστ προποσεδ φορ τιµε−βετωεεν−φαιλυρεσ δατα ιν τερµσ οφ ΧΠΥ σεχονδσ υσινγ τηε µαξιµυµ λικελιηοοδ εστιµατιον (ΜΛΕ) µετηοδ το εστιµατε υνκνοων παραµετερσ: ηενχε, ΧΠΜΛΕ [10]. Ηοωεϖερ, ανοτηερ παραµετερ εστιµατιον τεχηνιθυε ισ προποσεδ υνδερ νονλινεαρ ρεγρεσσιον αναλψσισ (ΝΛΡ) φορ τηε χοµπουνδ Ποισσον ρελιαβιλιτψ µοδελ, γιϖινγ ρισε το τηε ναµε ΧΠΝΛΡ [12]. Ιτ ισ οβσερϖεδ τηατ τηε ΧΠ µοδελ, ωιτη διφφερεντ παραµετερ εστιµατιον µετηοδσ, προδυχεσ ρεσυλτσ ασ σατισφαχτορψ ασ ορ µορε φαϖορ− αβλε τηαν τηοσε οβταινεδ υσινγ τηε Μυσα–Οκυµοτο (Μ−Ο) µοδελ, παρτιχυλαρλψ ιν τηε εϖεντ οφ γρουπεδ ορ χλυστερεδ (χλυµπεδ) σοφτωαρε φαιλυρε δατα. Τηε σαµ− πλινγ υνιτ µαψ βε α δαψ, ωεεκ, ορ µοντη ωιτηιν ωηιχη τηε φαιλυρεσ αρε χλυµπεδ ασ διχτατεδ βψ τηε ερρορ−ρεχορδινγ φαχιλιτιεσ ωιτηιν α σοφτωαρε−τεστινγ ενϖιρον− µεντ. Τηε ΧΠΝΛΡ ανδ ΧΠΜΛΕ προποσεδ ψιελδ χοµπαρατιϖελψ µορε φαϖοραβλε ρεσυλτσ φορ χερταιν σοφτωαρε φαιλυρε δατα στρυχτυρεσ, ωηερε τηε φρεθυενχψ διστρι− βυτιον οφ τηε χλυστερ σιζε οφ τηε σοφτωαρε φαιλυρεσ, συχη ασ περ ωεεκ, δισπλαψσ α νεγατιϖε εξπονεντιαλ βεηαϖιορ. Αϖεραγε αβσολυτε ρελατιϖε ερρορ (ΑΡΕ), µεαν− σθυαρεδ ερρορ (ΜΣΕ), ανδ αϖεραγε Κολµογοροϖ–Σµιρνοϖ (Κ–Σ) στατιστιχσ αρε υσεδ ασ µεασυρεσ οφ φορεχαστ θυαλιτψ φορ τηε προποσεδ ανδ χοµπετινγ παραµε− τερ εστιµατιον τεχηνιθυεσ ιν πρεδιχτινγ τηε νυµβερ οφ ρεµαινινγ φυτυρε φαιλυρεσ εξπεχτεδ το οχχυρ υντιλ α ταργετ στοππινγ τιµε. Χοµπαρισονσ οφ ⇒ϖε σιµυλατεδ δατα σετσ τηατ χονταιν ωεεκλψ ρεχορδεδ σοφτωαρε φαιλυρεσ αρε µαδε το εµπηασιζε τηε αδϖανταγεσ ανδ δισαδϖανταγεσ οφ χοµπετινγ µετηοδσ βψ µεανσ οφ χηρονολογιχαλ πρεδιχτιον πλοτσ αρουνδ τηε τρυε ταργετ ϖαλυε ανδ ζερο περχεντ ρελατιϖε ερρορ λινε. Τηε γενεραλιζεδ χοµπουνδ Ποισσον (ΜΛΕ ανδ ΝΛΡ) µετηοδσ προποσεδ χονσισ− τεντλψ προδυχε µορε φαϖοραβλε πρεδιχτιονσ φορ σοφτωαρε φαιλυρε δατα ωιτη νεγατιϖε εξπονεντιαλ φρεθυενχψ διστριβυτιον οφ τηε φαιλυρε χλυµπ σιζε ϖερσυσ τηε νυµβερ οφ ωεεκσ. Οτηερωισε, τηε ποπυλαρλψ υσεδ χοµπετινγ Μ−Ο λογαριτηµιχ Ποισσον µοδελ ισ α βεττερ ⇒τ φορ δατα ωιτη α υνιφορµ χλυστερ σιζε διστριβυτιον το ρεχογνιζε τηε εφφεχτ σινχε τηε λογαριτηµ οφ τηε Ποισσον εθυατιον ισ α χονσταντ, ηενχε υνιφορµ. Τηε σοφτωαρε αναλψστ ισ υργεδ το περφορµ εξπλορατορψ δατα αναλψσισ το ρεχογνιζε τηε νατυρε οφ τηε σοφτωαρε φαιλυρε δατα βεφορε σελεχτινγ α παρτιχυλαρ ρελιαβιλιτψ εστιµατιον µετηοδ. Αφτερ τηε ινιτιαλ παπερσ [1,2] πρεσεντινγ α σοφτωαρε ρελιαβιλιτψ µοδελ βασεδ ον νονηοµογενεουσ Ποισσον προχεσσεσ ωιτη φαιλυρε χουντ µοδελσ, οτηερσ φολ− λοωεδ [3–5], λατερ το βε χολλεχτεδ ιν α βιβλιογραπηψ βψ Ξιε [6], ωηο ινχλυδεδ ΧΠ µετηοδσ οφ εστιµατιον. Τηε διφ⇒χυλτψ λιεσ ιν τηε λιµιτατιονσ οφ εξιστινγ µετη− οδσ φορ σολϖινγ νονλινεαρ παραµετερ εστιµατιον τεχηνιθυεσ φορ µανψ σοφτωαρε

80

ΣΟΦΤΩΑΡΕ ΡΕΛΙΑΒΙΛΙΤΨ ΜΟ∆ΕΛΙΝΓ

ρελιαβιλιτψ µοδελσ ιν τηε λιτερατυρε. Ιν τηισ χηαπτερ ωε στυδψ τηε πρεδιχτιϖε σιγ− νι⇒χανχε οφ χερταιν παραµετερ εστιµατιον µετηοδσ φορ τηε χοµπουνδ Ποισσον ρελιαβιλιτψ µοδελ ιν τηε εϖεντ οφ χλυστερεδ µυλτιπλε−φαιλυρε δατα ασ οπποσεδ το σινγλε−φαιλυρε δατα [7]. Ωε ωιλλ στυδψ τηε µαξιµυµ λικελιηοοδ εστιµατιον (ΜΛΕ) ανδ νονλινεαρ ρεγρεσσιον αναλψσισ (ΝΛΡ) µετηοδσ: ΧΠΜΛΕ ανδ ΧΠΝΛΡ. Χλυσ− τερεδ δατα αρε φρεθυεντλψ χολλεχτεδ ιν σοφτωαρε τεστινγ πραχτιχε, συχη ασ ιν τηε τελεχοµµυνιχατιονσ ωορλδ, ωηερε τεστινγ ισ χαρριεδ ον, φορ εξαµπλε, ιν υνιτσ οφ δαψσ, ωεεκσ, ορ µοντησ. Συχη ρεσυλτσ ηαϖε βεεν οβσερϖεδ ιν Βελλχορε’σ ανδ ϑετ Προπυλσιον’σ σοφτωαρε τεστινγ λαβορατοριεσ [8]. Ιν εαρλιερ πυβλιχατιονσ ον τηε ΧΠ µοδελ [3,9–13] ρεγαρδινγ χλυστερεδ ανδ γρουπεδ δατα [14] ανδ Μορανδα’σ γεοµετριχ δε−ευτροπηιχατιον µοδελ, τηε οριγιναλ ασσυµπτιον ισ τηατ τηε φαιλυρε ιντενσιτψ ισ προπορτιοναλ το τηε χυρρεντ φαυλτ χοντεντ [15]. Ρεσυλτσ χοµπυτεδ υσινγ τηε ΧΠΜΛΕ ανδ ΧΠΝΛΡ µετηοδσ προποσεδ αρε χοµπαρεδ φαϖοραβλψ ωιτη χοµ− µονλψ υσεδ Μυσα–Οκυµοτο λογαριτηµιχ Ποισσον µοδελ [5,7] φορ γρουπεδ ορ χλυστερεδ φαιλυρε δατα ον ⇒ϖε σεπαρατε δατα σετσ ρεχορδεδ ωεεκλψ. 2.1.2 Βαχκγρουνδ ανδ Μοτιϖατιον Ασ συγγεστεδ ιντυιτιϖελψ [11,12], τηε ραρελψ ενχουντερεδ πηενοµενον οφ χλυµπεδ φαιλυρεσ ωιτηιν α ΧΠΥ σεχονδ ιν τηε χασε οφ τιµε−βετωεεν−φαιλυρεσ δατα ωασ ιν φαχτ α σεριουσ δισαδϖανταγε φροµ τηε ϖιεωποιντ οφ τηε υσε οφ ΧΠ τηεορψ [11,12,16]. Ηοωεϖερ, τηε ΧΠ µοδελ προποσεδ προϖεδ µορε πραχτιχαλ φορ χλυστερεδ ορ γρουπεδ φαιλυρε δατα ωηερε τηε µυλτιπλε φαιλυρεσ αχχυµυλατεδ ωιτηιν α ωεεκ ορ δαψ, φορ εξαµπλε, ωορκεδ χονσιδεραβλψ το τηε αδϖανταγε οφ τηε ΧΠ µοδελ. Ιν α πυβλιχατιον βψ Σαηινογλυ [10], ϖαλυεσ οφ q = ϖαριανχε−το−µεαν ρατιο σταρτ το βε σιγνι⇒χαντλψ γρεατερ τηαν 1. Οωινγ το τηε νονιν⇓υενχινγ πηενοµενον οφ τηε µυλτιπλε φαιλυρεσ φουνδ χλυµπεδ ωιτηιν εαχη σαµπλινγ τιµε υνιτ, τηε χοµπουνδινγ διστριβυτιον ωασ σελεχτεδ το βε τηε γεοµετριχ διστριβυτιον αφτερ α σεριεσ οφ γοοδνεσσ−οφ−⇒τ στυδιεσ. Τηε ρεσυλτινγ διστριβυτιον ωασ τηυσ χαλλεδ Ποισσον∧ γεοµετριχ [16]. Νοτε τηατ τηε γεοµετριχ διστριβυτιον ισ α δισχρετε αναλογ οφ τηε χοντινυουσ νεγατιϖε εξπονεντιαλ προβαβιλιτψ δενσιτψ φυνχτιον. Ιτ ηασ α προπερτψ σιµιλαρ το τηε νοναγινγ (Μαρκοϖ) προπερτψ οφ τηε νεγατιϖε εξπονεντιαλ διστριβυτιον [10]. Ανοτηερ αλτερνατιϖε, τηε Ποισσον∧ λογαριτηµιχ σεριεσ, ιν τηε εϖεντ οφ φαιλυρεσ ωιτηιν α χλυµπ, ωηιχη ηαϖε α χονταγιουσ νατυρε ανδ ιν⇓υενχε εαχη οτηερ, ηασ βεεν στυδιεδ ιν τηε οριγιναλ ΧΠ σοφτωαρε ρελιαβιλιτψ µοδελ [10,17,44]. Παραµετερ εστιµατιον φορ γρουπεδ, ιντερϖαλ, ορ χλυστερεδ δατα ιν σοφτωαρε ρελι− αβιλιτψ ηασ βεεν στυδιεδ [7,10,14] ιν δεταιλ ιν τερµσ οφ βοτη ΧΠΥ σεχονδσ ανδ γρουπεδ χαλενδαρ τιµε υνιτσ. Τηε ΧΠΜΛΕ ανδ ΧΠΝΛΡ φορ τηε ΧΠ µοδελ προποσεδ ιν τηε εϖεντ οφ χλυστερεδ φαιλυρε δατα αρε νεω παραµετερ εστιµατιον αλτερνατιϖεσ, ωηιχη ηαϖε συπεριορ χηαραχτεριστιχσ ιν τερµσ οφ πρεδιχτιον αχχυραχψ. Τηε πρε− διχτιονσ ωιλλ βε χοµπαρεδ ωιτη τηοσε οφ τηε Μ–Ο γρουπεδ δατα εστιµατιον µετηοδ ιν τερµσ οφ τηε αϖεραγε ρελατιϖε ερρορ (ΑΡΕ) ανδ α µοδι⇒εδ ϖερσιον οφ µεαν−σθυαρεδ ερρορ (ΜΣΕ) ανδ αϖεραγε Κολµογοροϖ–Σµιρνοϖ τεστ στατιστιχ (Κ−Σ αϖεραγε Dn ) [18–20]. Νοτε τηατ χονϖεντιοναλ νονηοµογενεουσ Ποισσον προχεσσ µοδελσ δο νοτ περµιτ τηε οπτιον οφ µυλτιπλε χουντσ περ αρριϖαλ, ανδ τηε ΧΠ µοδελ ισ συπεριορ ωηεν φαιλυρε χλυµπινγ εξιστσ [6,10].

ΣΟΦΤΩΑΡΕ ΡΕΛΙΑΒΙΛΙΤΨ ΜΟ∆ΕΛΣ ΥΣΙΝΓ ΤΗΕ ΧΟΜΠΟΥΝ∆ ΠΟΙΣΣΟΝ ΜΟ∆ΕΛ

81

2.1.3 Μαξιµυµ Λικελιηοοδ Εστιµατιον ιν τηε Ποισσον∧ Γεοµετριχ Μοδελ Ιτ ισ ωελλ αχχεπτεδ τηατ τηε ΜΛΕ µετηοδ ισ θυιτε στραιγητφορωαρδ, ηαϖινγ µανψ δεσιρεδ προπερτιεσ, συχη ασ ασψµπτοτιχ νορµαλιτψ, αδµισσιβιλιτψ, ροβυστνεσσ, ανδ χονσιστενχψ ιν Κενδαλλ ανδ Στυαρτ’σ χλασσιχ τεξτβοοκ [21]. Τηε µαιν ιδεα βεηινδ ΜΛΕ ισ τηε υσε οφ αν n−τυπλε ϕοιντ λικελιηοοδ φυνχτιον οφ τηε ρανδοµ ϖεχτορ Ξ υνδερ οβσερϖατιον το εστιµατε τηε παραµετερσ οφ τηε (χοµπουνδ) Ποισσον∧ γεο− µετριχ. Τηατ ισ, fX (Xi , θ ) = P (X) =

X  (βt)Y e−βt

Y!

Y =1

θ = (β, r),

X−Y CYX−1 (1 − r)Y , −1 r

β > 0,

0
(1)

Λετ X1 , X2 , . . . , Xn βε α ϖεχτορ οφ ρανδοµ σαµπλεσ φροµ fΞ (Xi , θ ), ανδ λετ L βε ιτσ ϕοιντ λικελιηοοδ φυνχτιον ωηοσε λογαριτηµ ισ το βε µαξιµιζεδ το ⇒νδ τηε µαξιµυµ λικελιηοοδ εστιµατεσ οφ παραµετερσ b ανδ r: L = L(θ ) = L∗ = λν L

n 

fΞ (Xi , u)

(2)

i=1

∗

(3)

∂L =0 ∂β

(4)

∂L∗ =0 ∂r

(5)

ωηερε τηε ∂ οπερατορ δενοτεσ “παρτιαλ δεριϖατιϖε οφ.” Ηενχε, τωο νονλινεαρ εθυατιονσ φορ β ανδ r ανδ τωο υνκνοωνσ,  Yπαστ yi ˆ β=  = , i = 1, . . . , n (6) ti Xπαστ  Yπαστ yi rˆ = 1 −  = 1 − (7) xi Xπαστ

αρε τηε µαξιµυµ λικελιηοοδ εστιµατορσ οφ τηε υνκνοων παραµετερσ β ανδ r. Χονσεθυεντλψ, τηε εξπεχτεδ ϖαλυε οφ X, τηε Ποισσον∧ γεοµετριχ ρανδοµ ϖαριαβλε, ωιτηιν τηε νεξτ υνιτ τιµε ιντερϖαλ {t, t + 1} ισ β/p, ωηερε p = 1 − r. Τηε ΧΠ ρελι− αβιλιτψ µοδελ προποσεδ συγγεστεδ τηατ τηε νυµβερ οφ ρεµαινινγ σοφτωαρε φαιλυρεσ εξπεχτεδ το οχχυρ ωιτηιν τηε νεξτ τιµε ιντερϖαλ {t, tρεµ } ωασ [10,13] E[X(tρεµ )] =

β tρεµ + e 1−r

(8)

Ιν οτηερ ωορδσ, τηε εστιµατε οφ τηε θυοτιεντ β/(1 − r) µυλτιπλιεδ βψ τηε υνεξ− εχυτεδ τιµε υνιτσ ρεµαινινγ (ι.ε., tρεµ ιν ΧΠΥ σεχονδσ ορ χαλενδαρ ωεεκσ) ωιλλ

82

ΣΟΦΤΩΑΡΕ ΡΕΛΙΑΒΙΛΙΤΨ ΜΟ∆ΕΛΙΝΓ

εστιµατε τηε εξπεχτεδ νυµβερ οφ φυτυρε φαιλυρεσ ρεµαινινγ. Τηυσ, Xρεµ , ωηιχη ισ τηε ρεµαινινγ νυµβερ οφ φαιλυρεσ φροµ τηε ενδ οφ τηε ινιτιαλ τεστινγ πηασε υντιλ τηε πρεσχριβεδ στοππινγ τιµε, ισ α φυνχτιον οφ τηε παστ ινφορµατιον ανδ ρεµαινινγ (ρεσιδυαλ) τιµε, tρεµ . Τηε τοταλ νυµβερ οφ υνκνοων φαιλυρεσ ισ Xτοτ ανδ τηε συµ οφ αλλ σινγλε ορ µυλτιπλε φαιλυρεσ αλρεαδψ δισχοϖερεδ ισ Xπαστ . Νοτε τηατ β οφ τηε Ποισσον προχεσσ ισ τηε αϖεραγε νυµβερ οφ (φαιλυρε) αρριϖαλσ περ υνιτ τιµε ανδ r ισ τηε προβαβιλιτψ οφ ⇒νδινγ τηε νεξτ φαιλυρε ιν τηε βατχη ορ χλυµπ (ε.γ., ωεεκ) φολλοωινγ τηατ αρριϖαλ. Τηεν p = 1 − r ισ τηε προβαβιλιτψ οφ σταρτινγ τηε Ποισσον προχεσσ φορ τηε νεξτ φαιλυρε αρριϖαλ. Τηε προχεσσ µαψ βε λικενεδ το ινδιϖιδυαλ χυσ− τοµερσ εντερινγ α συπερµαρκετ ινδεπενδεντλψ δυρινγ σηοππινγ ηουρσ (χυστοµερ χουντ δυε το Ποισσον) το πυρχηασε ονε ορ µορε προδυχτσ σελεχτεδ ινδεπενδεντ οφ εαχη οτηερ (χλυµπ σιζε δυε το γεοµετριχ) ατ εαχη χυστοµερ εντρψ. Τηε τοταλ προδυχτσ X πυρχηασεδ ωιτηιν α τιµε ιντερϖαλ t τηεν ηασ α Ποισσον∧ γεοµετριχ διστριβυτιον. Ιτ ισ αππροπριατε το δεσχριβε βριε⇓ψ τηε ωεεκλψ−ρεχορδεδ σοφτωαρε φαιλυρε ωεεκλψ−δατα (Ω∆) σετσ Ω∆1 το Ω∆5, ωηιχη ωερε τιµε−βασεδ σιµυλατεδ. Τηε δατα σετ Ω∆1 χορρεσπονδσ το α 61−ωεεκ−λονγ σοφτωαρε τεστινγ ανδ ηασ α τοταλ οφ 131 αχχυµυλατεδ φαιλυρεσ ατ τηε τερµινατιον οφ τεστινγ αχτιϖιτψ. Σιµιλαρλψ, τηε τοταλ νυµβερ οφ φαιλυρεσ ανδ ωεεκσ φορ τηε οτηερ δατα σετσ ωιτη τηειρ χοδε ναµεσ αρε: 213 φαιλυρεσ ωιτηιν 223 ωεεκσ φορ Ω∆2, 340 φαιλυρεσ ωιτηιν 41 ωεεκσ φορ Ω∆3, 197 φαιλυρεσ ωιτηιν 114 ωεεκσ φορ Ω∆4, ανδ 366 φαιλυρεσ ωιτηιν 50 ωεεκσ φορ Ω∆5. Σεε Φιγυρεσ 2.1(α), 2.2(α), 2.3(α), 2.4(α), ανδ 2.5(α) φορ τηε χηαραχτερ− ιζατιον οφ τηεσε χλυστερεδ δατα σετσ, ωηιχη αρε ρεχορδεδ ον τηε βασισ οφ ωεεκλψ ιντερϖαλσ [5,12]. Αδδιτιοναλλψ, τηε νυµβερ οφ ωεεκσ (ΩΕΕΚΣ) ϖερσυσ χλυµπ σιζε (ΝΥΜΒΕΡ ΟΦ ΦΑΙΛΥΡΕΣ/ΩΕΕΚ) δισπλαψσ α νεγατιϖε εξπονεντιαλ πλοτ φορ Ω∆1, Ω∆2, Ω∆4, ανδ Ω∆5 (σεε Φιγυρεσ 2.6, 2.7, 2.9, ανδ 2.10). Χονχερνινγ Ω∆3, ωηιχη δισπλαψσ α διφφερεντ φρεθυενχψ διστριβυτιον φροµ τηε οτηερσ, τηε πλοτ ισ θυασιυνι− φορµ ανδ νονεξπονεντιαλ (σεε Φιγυρε 2.8). Τηισ ισ ωηψ Ω∆3 ισ χλεαρλψ διφφερεντ. Υσινγ τηε πρινχιπλεσ νοτεδ αβοϖε, Ταβλε 2.1 συµµαριζεσ τηε ΧΠΜΛΕ παραµετερ εστιµατιον ρεσυλτσ φορ εξαµπλε δατα σετ Ω∆1 ιλλυστρατεδ ιν Φιγυρε 2.1(α). Τηε ρεσυλτσ οφ Ταβλε 2.1 αρε πλοττεδ ιν Φιγυρε 2.1(β) ανδ (χ). Σιµιλαρλψ, Φιγυρεσ 2.2(β) ανδ (χ), 2.3(β) ανδ (χ), 2.4(β) ανδ (χ), ανδ 2.5(β) ανδ (χ) αρε φορ Ω∆2, Ω∆3, Ω∆4, ανδ Ω∆5, ρεσπεχτιϖελψ. Ταβλε 2.2 φορ Ω∆1 χαν βε οβταινεδ βψ αππλψινγ αν ΣΠΣΣ αλγοριτηµ ασ ιλλυσ− τρατεδ ιν Φιγυρεσ 2.11 το 2.14. 2.1.4 Νονλινεαρ Ρεγρεσσιον Εστιµατιον ιν τηε Ποισσον∧ Γεοµετριχ Μοδελ Τηε ΝΛΡ τεχηνιθυε, ασ α λεαστ−σθυαρεσ µετηοδ, προϖιδεσ αν εξχελλεντ αλτερνατιϖε το ΜΛΕ ανδ ισ υσεδ το εστιµατε τηε υνκνοων παραµετερσ φορ µοδελσ τηατ αρε νοτ λινεαρ ιν τηειρ παραµετερσ [5,19,21]. Τηε γενεραλ ιµπροϖεµεντ ιν τηε θυαλιτψ οφ εστιµατιον οφ τηε υνκνοων παραµετερσ, ανδ χονσεθυεντλψ ιν πρεδιχτινγ τηε ρεσιδυαλ νυµβερ οφ φαιλυρεσ, ισ δυε το τηε νονλινεαρ ανδ νοννορµαλ νατυρε οφ τηε σµαλλ ορ µεδιυµ−σιζεδ σαµπλε στυδιεδ. Φολλοωινγ φροµ εθυατιον (7) φορ εστιµατινγ τηε

ΣΟΦΤΩΑΡΕ ΡΕΛΙΑΒΙΛΙΤΨ ΜΟ∆ΕΛΣ ΥΣΙΝΓ ΤΗΕ ΧΟΜΠΟΥΝ∆ ΠΟΙΣΣΟΝ ΜΟ∆ΕΛ

83

Error Discovery Rate 12 11 10

Failures per Week

9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 1

6

11

16

21

26

31

36

41

46

51

56

61

Test Weeks (a) X_TOTAL VS TIME 180

+

X_TOTAL

150 120

+

+ +

+

+

+ +

+

+

+

+

+ +

+

+

+

+

90 CPNLR_TOT

60

+

CPMLE_TOT MO_TOT

30 0

10

20

30

43

50

60

70

80

90

100

NORMALIZED % OF TIME (b) % REL.ERROR VS TIME 40

% REL.ERROR

20 0 + 10 −20

+

+

+ + 20

+ 30

+ + + 43

50

+

+ 60

+

+ + 70

80

+

+ 90

100

−40 −60 −80

CPNLR_ERR +

−100

CPMLE_ERR MO_ERR

NORMALIZED % OF TIME (c)

ΦΙΓΥΡΕ 2.1 ∆ατα σετ Ω∆1: (α) φαιλυρεσ περ χαλενδαρ ωεεκ; (β) Xτοτ ϖερσυσ τιµε; (χ) περχενταγε ρελατιϖε ερρορ ϖερσυσ τιµε.

84

ΣΟΦΤΩΑΡΕ ΡΕΛΙΑΒΙΛΙΤΨ ΜΟ∆ΕΛΙΝΓ Error Discovery Rate 12 11 10

Errors per Week

9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 1

26

51

76

101

126

151

176

201

Test Weeks (a) X_TOTAL VS TIME 250

X_TOTAL

200 11

21

31

39

50

61

70

80

90

100

150 100

CPNLR_TOT CPMLE_TOT

50

MO_TOT 0

NORMALIZED % OF TIME (b) % REL.ERROR VS TIME

20.00

%REL.ERROR

5.00 −10.00 11

21

31

39

50

61

70

80

90

100

−25.00 −40.00 −55.00 CPNLR_ERR

−70.00

CPMLE_ERR

−85.00

MO_ERR

−100.00

NORMALIZED % OF TIME (c)

ΦΙΓΥΡΕ 2.2 ∆ατα σετ Ω∆2: (α) φαιλυρεσ περ χαλενδαρ ωεεκ; (β) Xτοτ ϖερσυσ τιµε; (χ) περχενταγε ρελατιϖε ερρορ ϖερσυσ τιµε.

ΣΟΦΤΩΑΡΕ ΡΕΛΙΑΒΙΛΙΤΨ ΜΟ∆ΕΛΣ ΥΣΙΝΓ ΤΗΕ ΧΟΜΠΟΥΝ∆ ΠΟΙΣΣΟΝ ΜΟ∆ΕΛ

85

Errors per Week

Error Discovery Rate 28 26 24 22 20 18 16 14 12 10 8 6 4 2 0 20

25

30

35

40

45

50

55

60

Test Week (a) X_TOTAL VS TIME 700 630

X_TOTAL

560 490 420 350 28010

22

32

39

51

61

71

78

88

210

CPNLR_TOT

140

CPMLE_TOT

70

100

MO_TOT

0

NORMALIZED % OF TIME (b) % REL.ERROR VS TIME

% REL.ERROR

120.00 100.00 80.00 60.00 40.00 20.00 0.0 10 −20.00 −40.00 −60.00 −80.00 −100.00

22

32

39

51

61

71

78

88

100

CPNLR_ERR CPMLE_ERR MO_ERR

NORMALIZED % OF TIME (c)

ΦΙΓΥΡΕ 2.3 ∆ατα σετ Ω∆3: (α) φαιλυρεσ περ χαλενδαρ ωεεκ; (β) Xτοτ ϖερσυσ τιµε; (χ) περχενταγε ρελατιϖε ερρορ ϖερσυσ τιµε.

86

ΣΟΦΤΩΑΡΕ ΡΕΛΙΑΒΙΛΙΤΨ ΜΟ∆ΕΛΙΝΓ

Error Discovery Rate 10 9 8

Failures per Week

7 6 5 4 3 2 1 0 11

1

21

31

41

51

61

71

81

91

101

111

Test Weeks (a) X_TOTAL VS TIME 200

X_TOTAL

10

20

150

+ +

100 50 0

+ ×

×

×

NORMALIZED % OF TIME (b) % REL.ERROR VS TIME

15.0

% RELERROR

0.0 −15.0

20

10

+

−30.0 −45.0 −60.0 −75.0

+ + + + × + + + + + × + 100 61 70 80 91 30 42 50 × × + + × + + × × × + + × × × × × CPNLR_TOT × × + CPMLE_TOT × MO_TOT

+ +

−90.0 × −105.0

×

×

30 42 50 + + + + + + × × × × × ×

+

+ + + 61 70

+

×

×

×

×

+ 80 ×

+ ×

+ × 91

+ ×

+ × 100

× CPNLR_ERR + CPMLE_ERR × MO_ERR

NORMALIZED % OF TIME (c)

ΦΙΓΥΡΕ 2.4 ∆ατα σετ Ω∆4: (α) φαιλυρεσ περ χαλενδαρ ωεεκ; (β) Xτοτ ϖερσυσ τιµε; (χ) περχενταγε ρελατιϖε ερρορ ϖερσυσ τιµε.

ΣΟΦΤΩΑΡΕ ΡΕΛΙΑΒΙΛΙΤΨ ΜΟ∆ΕΛΣ ΥΣΙΝΓ ΤΗΕ ΧΟΜΠΟΥΝ∆ ΠΟΙΣΣΟΝ ΜΟ∆ΕΛ

87

Error Discovery Rate 26 24 22

Failures Per Week

20 18 16 14 12 10 8 6 4 2 0 1

6

11

16

21

26

31

36

41

46

Test Week (a) X_TOTAL VS TIME

600

X_TOTAL

500

300 200

+

+

400

+ 20

+ 10

+

+

30

+ + + + + + + × + × × × + × + × × × + × × × 80 90 100 50 60 70

+

100

×

×

×

+ CPMLE_TOT MO_TOT

NORMALIZED % OF TIME (b) % REL.ERROR VS TIME

40.00 +

20.00 0.00

CPNLR_TOT

×

×

×

0

% REL.ERROR

+ ×

40

+ 10

+ 20

+

30

+ 40

+ ×

+ + × + + + + + × × × + +× + × + × × × × 100 50 × 60 70 80 90

−20.00 −40.00

+

−60.00

×

−80.00 −100.00

× ×

×

×

×

×

CPNLR_ERR + CPMLE_ERR × MO_ERR

NORMALIZED % OF TIME (c)

ΦΙΓΥΡΕ 2.5 ∆ατα σετ Ω∆5: (α) φαιλυρεσ περ χαλενδαρ ωεεκ; (β) Xτοτ ϖερσυσ τιµε; (χ) περχενταγε ρελατιϖε ερρορ ϖερσυσ τιµε.

88

ΣΟΦΤΩΑΡΕ ΡΕΛΙΑΒΙΛΙΤΨ ΜΟ∆ΕΛΙΝΓ FAILURES PER WEEK 30

WEEKS

25 20 15 10 5 0 0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

11

NUMBER OF FAILURES / WEEK

ΦΙΓΥΡΕ 2.6

Φαιλυρεσ περ ωεεκ φορ δατα σετ Ω∆1.

WEEKS

FAILURES PER WEEK 140 120 100 80 60 40 20 0 0

1

ΦΙΓΥΡΕ 2.7

2 3 4 5 6 7 NUMBER OF FAILURES / WEEK

8

11

Φαιλυρεσ περ ωεεκ φορ δατα σετ Ω∆2.

WEEKS

FAILURES PER WEEK 7 6 5 4 3 2 1 0 0 1 2 3 4 5 7 8 9 10 12 13 14 15 19 22 23 28 NUMBER OF FAILURES / WEEK

ΦΙΓΥΡΕ 2.8

Φαιλυρεσ περ ωεεκ φορ δατα σετ Ω∆3.

WEEKS

FAILURES PER WEEK 50 45 40 35 30 25 20 15 10 5 0 0

1

ΦΙΓΥΡΕ 2.9

2 3 4 5 6 NUMBER OF FAILURES / WEEK

7

8

Φαιλυρεσ περ ωεεκ φορ δατα σετ Ω∆4.

89

ΣΟΦΤΩΑΡΕ ΡΕΛΙΑΒΙΛΙΤΨ ΜΟ∆ΕΛΣ ΥΣΙΝΓ ΤΗΕ ΧΟΜΠΟΥΝ∆ ΠΟΙΣΣΟΝ ΜΟ∆ΕΛ FAILURES PER WEEK

WEEKS

9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 16 18 20 NUMBER OF FAILURES / WEEK

ΦΙΓΥΡΕ 2.10

ΤΑΒΛΕ 2.1

Φαιλυρεσ περ ωεεκ φορ δατα σετ Ω∆5.

ΧΠΜΛΕ Παραµετερ Εστιµατιον Ρεσυλτσ φορ ∆ατα Σετ Ω∆1 (Ωεεκσ)

Τιµε (%)

Ξπαστ

Ψπαστ

tπαστ

tρεµ

1−r

β

Ξτοτ

Ρελ. Ερρορ (%)

10 15 20 25 30 38.3 43.3 45 50 55 60 65 70 75 80 86.7 90 98.3 100

13 22 25 43 49 51 52 55 74 81 85 89 92 104 119 126 128 130 131

4 5 7 10 11 12 13 14 17 20 23 24 26 28 31 34 36 38 39

6 9 12 15 18 23 26 27 30 33 36 39 42 45 48 52 54 59 60

54 51 48 45 42 37 34 33 30 27 24 21 18 15 12 8 6 1 0

0.30769 0.22727 0.28000 0.23256 0.22449 0.23529 0.25000 0.25455 0.22973 0.24691 0.27059 0.26966 0.28261 0.26923 0.26050 0.26984 0.28125 0.29231 0.29771

0.66667 0.55556 0.58333 0.66667 0.61111 0.52174 0.50000 0.51852 0.56667 0.60606 0.63889 0.61538 0.61905 0.62222 0.64583 0.65385 0.66667 0.64407 0.65000

130.0 146.7 125.0 172 163.3 133 120 122.2 148 147.3 141.7 136.9 131.4 138.7 148.8 145.4 142.2 132.2 131

−0.76 11.98 −4.58 31.29 24.65 1.52 −8.39 −6.72 12.98 12.44 8.17 4.50 0.31 5.87 13.59 10.99 8.55 0.929 0.00

νυµβερ οφ φαιλυρεσ ρεµαινινγ ασ α φυνχτιον οφ τηε ρεµαινινγ τιµε, τηε νονλινεαρ ϖεχτορ εθυατιον τακεσ τηε φολλοωινγ φορµ, ωηερε ε ρεπρεσεντσ αν ερρορ ϖεχτορ: Ξρεµ = Ξτοτ − Ξπαστ = Ξτοτ = Ξπαστ +

β τρεµ + ε 1−r

βτρεµ +ε 1−r

(9) (10)

90

ΣΟΦΤΩΑΡΕ ΡΕΛΙΑΒΙΛΙΤΨ ΜΟ∆ΕΛΙΝΓ

ΤΑΒΛΕ 2.2

ΧΠΝΛΡ Παραµετερ Εστιµατιον Ρεσυλτσ φορ ∆ατα Σετ Ω∆1 (Ωεεκσ)

Τιµε (%)

Ξπαστ

Ψπαστ

tπαστ

tρεµ

1−r

β

Ξτοτ

10 15 20 25 30 38.3 43.3 45 50 55 60 65 70 75 80 86.7 90 98.3 100

13 22 25 43 49 51 52 55 74 81 85 89 92 104 119 126 128 130 131

4 5 7 10 11 12 13 14 17 20 23 24 26 28 31 34 36 38 39

6 9 12 15 18 23 26 27 30 33 36 39 42 45 48 52 54 59 60

54 51 48 45 42 37 34 33 30 27 24 21 18 15 12 8 6 1 0

0.03880 0.03880 0.00419 0.00236 0.00010 0.00028 0.03050 0.11346 0.00005 0.08637 0.00413 0.04978 0.15697 0.04810 0.00271 0.00131 0.00852 0.00001 0.00282

0.08408 0.08408 0.00796 0.00630 0.00028 0.00067 0.06416 0.22707 0.00010 0.19479 0.00943 0.11287 0.34892 0.10763 0.00626 0.00307 0.02003 0.00003 0.00640

131.7 131.7 117.0 158.4 165.0 144.6 129.7 124.6 132.2 137.0 138.2 137.6 135.6 136.2 139.2 140.7 141.0 139.1 137.7

ΦΙΓΥΡΕ 2.11

Ρελ. Ερρορ (%) 0.53 0.53 −10.69 20.92 25.95 10.38 −0.99 −4.88 0.92 4.50 5.49 4.96 3.51 3.97 6.26 7.32 7.64 6.18 5.11

Ινπυτ δατα ανδ νονλινεαρ ρεγρεσσιον ωινδοωσ φορ Ω∆1.

Τηε Λεϖενβεργ–Μαρθυαρδτ (Λ−Μ) αλγοριτηµ ισ εµπλοψεδ το σολϖε φορ τηε υνκνοων παραµετερ ϖεχτορ (β, r) ιν τηισ νονλινεαρ ρεγρεσσιον εθυατιον βψ µεανσ οφ λεαστ−σθυαρεσ εστιµατιον [22–25]. Τηε µετηοδ δεϖελοπεδ βψ Λεϖενβεργ ανδ Μαρθυαρδτ αππεαρσ το ενλαργε χονσιδεραβλψ τηε νυµβερ οφ πραχτιχαλ προβλεµσ τηατ

ΣΟΦΤΩΑΡΕ ΡΕΛΙΑΒΙΛΙΤΨ ΜΟ∆ΕΛΣ ΥΣΙΝΓ ΤΗΕ ΧΟΜΠΟΥΝ∆ ΠΟΙΣΣΟΝ ΜΟ∆ΕΛ

91

ΦΙΓΥΡΕ 2.12 Ινπυτ δατα ανδ νονλινεαρ εθυατιονσ ωινδοωσ φορ Ω∆1.

χαν βε ταχκλεδ βψ νονλινεαρ εστιµατιον. Τηε Λ−Μ µετηοδ ισ ονε τηατ αππεαρσ το ωορκ ωελλ ιν µανψ χιρχυµστανχεσ ανδ ισ τηυσ α σενσιβλε πραχτιχαλ χηοιχε. Ηοω− εϖερ, νο µετηοδ χαν βε χαλλεδ “βεστ” φορ αλλ νονλινεαρ προβλεµσ [22, 23]. Τηε ϑαχοβιαν µατριξ, J (u), ισ αν ιµπορταντ στεπ ωιτηιν νονλινεαρ ρεγρεσσιον χαλχυλα− τιονσ, ανδ ιφ ιτ ισ ρανκ δε⇒χιεντ ορ νεαρλψ σο ιν Γαυσσ–Νεωτον ιτερατιονσ, τηισ µαψ αδµιτ µυλτιπλε σολυτιονσ. Τηερεφορε, τηε Λ−Μ µοδι⇒χατιον τρανσφορµσ J (u) το α βεττερ−χονδιτιονεδ φυλλ−ρανκ µατριξ. Τηε Λ−Μ µετηοδ ισ τηε τεχηνιθυε υσεδ µοστ οφτεν φορ νονλινεαρ λεαστ−σθυαρεσ εστιµατιον προβλεµσ [24–26]. Τηε µοδι⇒εδ Λεϖενβεργ–Μαρθυαρδτ (Λ−Μ) αλγοριτηµ ισ υσεδ ανδ ωηεν τηε ιτερατιον ρεθυιρεδ τερµινατεσ το ρεαχη α χονϖεργενχε, τηε παραµετερ εστιµατεσ ανδ στανδαρδ ερρορσ αρε λιστεδ. Ταβλε 2.2 συµµαριζεσ τηε ρεσυλτσ φορ δατα σετ Ω∆1 βψ ΧΠΝΛΡ υσινγ Λ−Μ. Τηε ρεσυλτσ αρε πλοττεδ αλονγ ωιτη τηε ΧΠΜΛΕ ρεσυλτσ ιν Φιγυρε 2.1(b) ανδ (c). Σιµιλαρλψ, τηε ΧΠΝΛΡ ρεσυλτσ φορ Ω∆2 το Ω∆5 αλονγ ωιτη τηε ΧΠΜΛΕ ρεσυλτσ αρε πλοττεδ ιν Φιγυρεσ 2.2 το 2.5(b) ανδ (c). 2.1.5 Χαλχυλατιον οφ Φορεχαστ Θυαλιτψ ανδ Χοµπαρισον οφ Μετηοδσ Τηε φρεθυενχψ ηιστογραµσ σηοων ιν Φιγυρεσ 2.6 το 2.10 εξπλορε ωεεκλψ δατα σετσ Ω∆1 το Ω∆5, ιλλυστρατεδ ιν Φιγυρεσ 2.1(a) το 2.5(a). Χλυµπ σιζε διστριβυτιον

92

ΣΟΦΤΩΑΡΕ ΡΕΛΙΑΒΙΛΙΤΨ ΜΟ∆ΕΛΙΝΓ Iteration 1 1.1 1.2 2 2.1 3 3.1 4 4.1 5 5.1 6 6.1 7 7.1 8 8.1 9 9.1 9.2 10 10.1 11 11.1 12 12.1 13 13.1 14 14.1

Residual SS

XTOT

BETA

P

4428.000000 25891.57103 24272.06066 2132.121747 418.2751429 418.2751429 413.4601078 413.4601078 350.7329532 350.7329532 293.8995230 293.8995230 267.3373187 267.3373187 265.3509934 265.3509934 265.1028084 265.1028084 266.5961492 265.0497739 265.0497739 265.0493272 265.0493272 265.0493183 265.0493183 265.0493176 265.0493176 265.0493168 265.0493168 265.0493182

100.000000 132.233289 132.233497 132.233530 132.233530 132.233530 132.233531 132.233531 132.233529 132.233529 132.233530 132.233530 132.233529 132.233529 132.233530 132.233530 132.233529 132.233529 132.233530 132.233530 132.233530 132.233530 132.233530 132.233530 132.233530 132.233530 132.233530 132.233531 132.233531 132.233530

1.00000000 190.811079 28.0226085 1.94456559 2.48055763 2.48055763 1.15192006 1.15192006 .703300207 .703300207 .424009478 .424009478 .597951596 .597951596 .941894713 .941894713 1.62873530 1.62873530 .256653447 1.49208261 1.49208261 1.76668667 1.76668667 1.21738072 1.21738072 .668091710 .668091710 .393443146 .393443146 .145385871

1.00000000 189.654857 26.8663792 .788335187 1.10484457 1.10484457 .556831485 .556831485 .316412110 .316412110 .200227337 .200227337 .278718161 .278718161 .437625614 .437625614 .755944939 .755944939 .118537539 .691937305 .691937305 .819331318 .819331318 .564590321 .564590321 .309841182 .309841182 .182468563 .182468563 .067425618

Run stopped after 32 model evaluations and 14 derivative evaluations. Iterations have been stopped because the relative reduction between successive residual sums of squares is at most SSCON = 1.000E−08

ΦΙΓΥΡΕ 2.13

Ουτπυτ δατα ανδ χονϖεργενχε ατ Ξτοτ = 132.23. Σεε Ταβλε 2.2 φορ 50%.

ωιλλ χλεαρλψ ιλλυστρατε τηε εξπονεντιαλ νατυρε οφ σοµε δατα (Ω∆1, Ω∆2, Ω∆4, ανδ Ω∆5) ανδ τηε νονεξπονεντιαλ νατυρε οφ τηε ρεστ (Ω∆3). Τηισ ισ ιν λινε ωιτη τηε ρεχοµµενδατιον πυτ φορτη βψ τηε ωορκινγ γρουπ ιν τηε Σοφτωαρε Ρελιαβιλιτψ Ηανδβοοκ [27]: τηατ τηε σταρτινγ ποιντ φορ εξπλορινγ α σοφτωαρε δατα σετ ισ το υσε τηε γενεραλιζεδ εξπονεντιαλ µοδελ φορ εξπονεντιαλ χλασσεσ ανδ τηε Μ−Ο λογαριτη− µιχ Ποισσον µοδελ φορ νονεξπονεντιαλ χλασσεσ. Χονσεθυεντλψ, ονε σηουλδ πρεφερ το υσε τηε Μ−Ο µοδελ φορ φαιλυρε δατα σετσ τηατ ηαϖε α νονεξπονεντιαλ χλυµπ−σιζε φρεθυενχψ διστριβυτιον. Ον τηε οτηερ ηανδ, ΧΠ ασ α γενεραλιζεδ Ποισσον µοδελ ισ το βε πρεφερρεδ φορ δατα σετσ τηατ ηαϖε αν εξπονεντιαλ χλυµπ−σιζε φρεθυενχψ διστριβυτιον. Ιν ορδερ το υσε τηε αλγοριτηµσ φορ τηε ΧΠΜΛΕ ανδ ΧΠΝΛΡ µετηοδσ οφ παραµετερ εστιµατιον, τηε εντιρε στυδψ περιοδ οφ χαλενδαρ ωεεκσ (φορ δατα σετσ Ω∆1 το Ω∆5) ωασ διϖιδεδ ιντο 5% ιντερϖαλσ, σινχε τηε εξαχτ δενοµινατιονσ

ΣΟΦΤΩΑΡΕ ΡΕΛΙΑΒΙΛΙΤΨ ΜΟ∆ΕΛΣ ΥΣΙΝΓ ΤΗΕ ΧΟΜΠΟΥΝ∆ ΠΟΙΣΣΟΝ ΜΟ∆ΕΛ

93

ΦΙΓΥΡΕ 2.14 ΑΝΟςΑ ταβλε φορ τηε νονλινεαρ ρεγρεσσιον. r 2 = 0.93 ανδ τηε 95% χον− ⇒δενχε ιντερϖαλ φορ Xτοτ ισ (108.63, 155.83).

αρε νοτ αλωαψσ πηψσιχαλλψ φεασιβλε. Βασεδ ον τηε σοφτωαρε φαιλυρε δατα στυδιεδ, πρεδιχτιονσ ωερε µαδε οφ τηε τιµε ρεθυιρεδ υσινγ τηε ΜΛΕ ανδ ΝΛΡ µετηοδσ. Τηε ΜΛΕ αλγοριτηµ ισ χαρριεδ ουτ σιµπλψ βψ υπδατινγ τηε αχχυµυλατεδ δατα ανδ αππλψινγ τηε σιµπλε αλγεβραιχ εθυατιονσ (6) ανδ (7). Τηε ΝΛΡ αλγοριτηµ ισ εξεχυτεδ βψ αππλψινγ εθυατιονσ (8) το (10) υσινγ αν ΣΠΣΣ προγραµ [24–26] (σεε Φιγυρεσ 2.11 το 2.14). Φιναλλψ, τηε χορρεσπονδινγ τοταλ φαιλυρε χουντ πρεδιχτιονσ ανδ ρελατιϖε ερρορ περχενταγεσ αρε πλοττεδ ιν Φιγυρεσ 2.1(b) ανδ (c), 2(b) ανδ (c), 3(b) ανδ (c), 4(b) ανδ (c), ανδ 5(b) ανδ (c), ρεσπεχτιϖελψ, φορ Ω∆1 το Ω∆5. Ιν τηε ΧΠ προχεσσ, τηε υνδερλψινγ φαιλυρε προχεσσ ωασ ασσυµεδ το βε Ποισσον, ωηερεασ α γεοµετριχ διστριβυτεδ νυµβερ οφ φαιλυρεσ µαψ βε οβσερϖεδ υπον εαχη φαιλυρε αρριϖαλ ιν τηε χλυµπ. Ιν τηισ ρεσεαρχη, ηοωεϖερ, τηε Μυσα–Οκυµοτο λογαριτηµιχ Ποισσον εξεχυτιον τιµε µοδελ πρεδιχτιονσ υσινγ γεοµετριχ−φαµιλψ µαξιµυµ λικε− λιηοοδ παραµετερ εστιµατιον αρε χοµπαρεδ ωιτη τηοσε οφ τηε προποσεδ ΧΠΜΛΕ ανδ ΧΠΝΛΡ ιν τηε εϖεντ οφ γρουπεδ ορ χλυστερεδ φαιλυρε δατα [11]. Τηε χοµ− παρισονσ αρε µαδε ιν τερµσ οφ Ξτοτ , τηε τοταλ πρεδιχτεδ νυµβερ οφ σοφτωαρε φαιλυρεσ βψ τηε ενδ οφ τηε στυδψ περιοδσ φορ τηε ⇒ϖε ωεεκλψ φαιλυρε δατα σετσ Ω∆1 το Ω∆5. Τηε τοταλσ ανδ ρελατιϖε ερρορσ εστιµατεδ αρε πλοττεδ ϖερσυσ τηε νορµαλιζεδ περχενταγε οφ τιµε. Ασ οβσερϖεδ ιν Φιγυρεσ 2.1(b) ανδ (c) το 2.5(b)

94

ΣΟΦΤΩΑΡΕ ΡΕΛΙΑΒΙΛΙΤΨ ΜΟ∆ΕΛΙΝΓ

ανδ (c) ανδ Ταβλε 2.3, τηε µετηοδσ προποσεδ, ΧΠΝΛΡ ανδ ΧΠΜΛΕ, γενεραλλψ ιντροδυχε µορε αδϖανταγεσ βψ ρεχογνιζινγ τηε σοφτωαρε φαιλυρε χλυµπινγ ορ χλυσ− τερινγ εφφεχτ. Τηε αβσολυτε αϖεραγε ρελατιϖε ερρορ ισ τηε µεαν οφ τηε αβσολυτε ρελατιϖε ερρορσ χαλχυλατεδ ατ εαχη: # n # 1  ## εστιµατεi − τρυε ## ΑΡΕ = # n i=1 # τρυε

(11)

Ανοτηερ χοµπαχτ µεασυρε φορ ασσεσσινγ τηε πρεδιχτιον ισ α µεαν−σθυαρεδ ερρορ ασ τηε αϖεραγε οφ τηε δεϖιατιον σθυαρεσ. Ρεχαλλ τηατ φορ Κ−Σ στατιστιχσ, τηε προ− ποσεδ εστιµατιον µοδελ’σ Gn (x) ισ χοµπαρεδ φορ γοοδνεσσ οφ ⇒τ το τηε εµπιριχαλ διστριβυτιον G(x), ωηερε Dn = συπi |Gn (x) −G(x)| φορ H0 : Gn (x) = G(x), ωηερε i = 1, . . . , n, φορ n ρετροσπεχτιϖε πρεδιχτιον ποιντσ. Ηενχε, τηε νονπαραµετριχ Κ−Σ τεστ στατιστιχσ ατ εαχη εποχη οφ εστιµατιον χαν βε συµµεδ ανδ διϖιδεδ βψ n το γιϖε τηε n 1 Κ−Σ αϖεραγεDn = (συπi |G(x) − F (x)|) (12) n i=1 Ηοωεϖερ, α µαϕορ ωεακνεσσ ιν τηε Κ−Σ αππροαχη ισ τηατ ιτ ισ ποσσιβλε φορ α µοδελ το πρεδιχτ ποορλψ οϖερ τηε εντιρε δατα σετ ανδ ψετ ηαϖε α σµαλλ Κ–Σ δισ− τανχε [18]. Κ−Σ στατιστιχσ αρε ποπυλαρλψ αχχεπτεδ νονπαραµετριχ τεστσ οφ γοοδνεσσ οφ ⇒τ ωηεν νο βεττερ µεασυρεσ εξιστ. Α ⇒ναλ χοµπαρατιϖε ταβυλατιον οφ ρεσυλτσ ισ γιϖεν ιν Ταβλε 2.3 το εµπηασιζε τηε µεριτσ οφ χοµπετινγ µετηοδσ [28]. Χοµ− παρισονσ βετωεεν διφφερεντ µεασυρεµεντσ φορ διφφερεντ εστιµατιον τεχηνιθυεσ αρε βασεδ ον αϖεραγε ρελατιϖε ερρορ [4,20], µεαν−σθυαρεδ ερρορ (ΜΣΕ) [29,30], ανδ Κ−Σ αϖεραγε Dn [18,31] ασ µεασυρεσ οφ φορεχαστ θυαλιτψ. Φορ α νυµεριχαλ ιλλυστρατιον χονχερνινγ δατα σετ Ω∆1, χονσιδερ τηε ΧΠΝΛΡ ΕΡΡ χυρϖε ιν Φιγυρε 2.1(c) σηοωινγ τηε περχενταγε ρελατιϖε ερρορ ϖερσυσ τιµε ρελατιονσηιπ φορ 19 οβσερϖατιονσ φορ ΧΠΝΛΡ ταβυλατεδ ιν Ταβλε 2.2. Αβσολυτε ϖαλυεσ οφ τηεσε 19 ρεχορδινγσ αρε αδδεδ, συχη ασ (0.53 + 0.53 + 10.69 + · · · + 6.18 + 5.11), ανδ διϖιδεδ βψ 19 το ⇒νδ αν αϖεραγε ρελατιϖε ερρορ περχενταγε: 6.89% ασ γιϖεν ιν Ταβλε 2.3. Αγαιν χονσιδερ Φιγυρε 2.1(c) ανδ Ταβλε 2.2 ανδ χαλχυλατε ΜΣΕ φορ ΧΠΝΛΡ υσινγ Ω∆1, ωηερε τηε σθυαρεσ οφ τηε διφφερενχεσ ΤΑΒΛΕ 2.3

ΑΡΕ, ΜΣΕ, ανδ Κ−Σ Αϖεραγε ∆ν φορ τηε Εστιµατιον Μετηοδσ Σελεχτεδ Μ−Ο

Ω∆1 Ω∆2 Ω∆3 Ω∆4 Ω∆5

ΧΠΝΛΡ

ΧΠΜΛΕ

ΑΡΕ

ΜΣΕ

Αϖ. Dn

ΑΡΕ

ΜΣΕ

Αϖ. Dn

ΑΡΕ

ΜΣΕ

Αϖ. Dn

0.3201 0.5386 0.2127 0.4489 0.2759

3247 18902 13289 11906 27245

0.428 0.792 0.337 0.737 0.275

0.0689 0.3164 0.4543 0.1439 0.1599

160 6465 31869 1795 6200

0.128 0.209 0.151 0.195 0.097

0.0885 0.3183 0.3265 0.1623 0.0675

257 7389 16906 2501 1813

0.128 0.209 0.151 0.195 0.097

ΣΟΦΤΩΑΡΕ ΡΕΛΙΑΒΙΛΙΤΨ ΜΟ∆ΕΛΣ ΥΣΙΝΓ ΤΗΕ ΧΟΜΠΟΥΝ∆ ΠΟΙΣΣΟΝ ΜΟ∆ΕΛ

95

βετωεεν τηε εστιµατεδ ανδ τρυε ϖαλυεσ αρε αδδεδ ιν τηε φορµ [(131 − 131.67)2 + (131 − 131.67)2 + (117 − 131)2 + · · · + (137.68 − 131)2 ] ανδ τηεν διϖιδεδ βψ n − 1 = 19 − 1 = 18 το ⇒νδ ΜΣΕ = 160, ασ γιϖεν ιν Ταβλε 2.3: n

ΜΣΕ =

1  (τρυε − εστιµατεi )2 n − 1 i=1

(13)

Φορ τηε Κ–Σ τεστ, τηε υσυαλ αππροαχη το ⇒νδινγ τηε µαξιµυµ δεϖιατιον Di , i = 1, . . . , n βετωεεν τηε εµπιριχαλ (χυµυλατιϖε) ανδ τρυε διστριβυτιον ισ υσεδ φορ εαχη οφ τηε n = 19 οβσερϖατιονσ. Τηεσε Di αρε αδδεδ ανδ διϖιδεδ βψ n = 19 οβσερϖατιονσ το εστιµατε τηε αϖεραγεδ Κ–Σ στατιστιχ ορ Κ–Σ Αϖ. Dn = 0.128 φορ ΧΠΝΛΡ ασ γιϖεν ιν Ταβλε 2.3. Τηε σµαλλερ Αϖ. Dn , τηε βεττερ τηε πρεδιχτορ ισ. Ταβλε 2.3 ινδιχατεσ τηατ ιν τηε ΧΠΝΛΡ µετηοδ, τηε ΑΡΕ ανδ ΜΣΕ ρεσυλτσ αρε µορε φαϖοραβλε φορ Ω∆1, Ω∆2, ανδ Ω∆4. Φορ Ω∆5, τηε ΧΠΜΛΕ ρεσυλτσ αρε βεστ ιν τερµσ οφ ΑΡΕ ανδ ΜΣΕ. Φορ Ω∆3, ηοωεϖερ, Μ−Ο περφορµσ βεττερ. Τηε Κ–Σ στατιστιχσ (ι.ε., αϖεραγε Dn ) προδυχεδ ιδεντιχαλ ρεσυλτσ φορ βοτη ΧΠΜΛΕ ανδ ΤΑΒΛΕ 2.4 Γρουπεδ Φαιλυρε Ωεεκλψ ∆ατα Σετ: Ω∆1α

Ωεεκ

Νυµβερ οφ Φαιλυρεσ

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

5 2 2 0 0 4 0 0 9 2 0 1 8 7 3 0 0 6 0 0

Ωεεκ

Νυµβερ οφ Φαιλυρεσ

Ωεεκ

Νυµβερ οφ Φαιλυρεσ

21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40

0 0 2 0 0 1 3 9 6 4 1 5 1 1 1 2 0 0 4 0

41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60

1 2 6 0 6 11 3 1 2 3 0 2 1 1 0 1 0 0 1 1

α n = 60, σαµπλε µεαν = 2.18, σαµπλε στανδαρδ δεϖιατιον = 2.71, σαµπλε ϖαριανχε = 7.34, συµ = 131.

96

ΣΟΦΤΩΑΡΕ ΡΕΛΙΑΒΙΛΙΤΨ ΜΟ∆ΕΛΙΝΓ

ΤΑΒΛΕ 2.5 Γρουπεδ Φαιλυρε Ωεεκλψ ∆ατα Σετ: Ω∆3α

Ωεεκ

Νυµβερ οφ Φαιλυρεσ

Ωεεκ

Νυµβερ οφ Φαιλυρεσ

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

4 12 15 9 28 19 8 7 4 8 9 12 8 4

15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28

14 19 23 12 22 12 13 19 10 5 5 5 7 7

Ωεεκ

Νυµβερ οφ Φαιλυρεσ

29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41

1 3 1 2 0 1 9 1 0 0 0 1 1

α n = 41, σαµπλε µεαν = 8.29, σαµπλε στανδαρδ δεϖιατιον = 7.16, σαµπλε ϖαριανχε = 51.26, συµ = 340.

ΧΠΝΛΡ παραµετερ εστιµατιον µετηοδσ, δυε το τηειρ ινηερεντλψ χλοσε περφορµανχε. Υνλικε ΑΡΕ ανδ ΜΣΕ, τηε Κ−Σ στατιστιχ ισ νοτ σενσιτιϖε ενουγη το δετεχτ διφφερ− ενχεσ βετωεεν τηεσε τωο παραµετερ εστιµατιον τεχηνιθυεσ (ΧΠΜΛΕ ανδ ΧΠΝΛΡ), βυτ ιτ ισ σενσιτιϖε ενουγη το τελλ τηε διφφερενχε βετωεεν τηε ΧΠ ανδ Μ−Ο µετηοδσ οφ παραµετερ εστιµατιον. Ηοωεϖερ, τηε νονπαραµετριχ Κ−Σ στατιστιχσ αρε τηε λεαστ φαϖοραβλε φορ αλλ τηε δατα σετσ Ω∆1 το Ω∆5 φορ τηε χοµπετινγ Μ–Ο µοδελ. Ταβλεσ 2.4 το 2.6 δισπλαψ Ω∆1, Ω∆3, ανδ Ω∆5. 2.1.6 ∆ισχυσσιον ανδ Χονχλυσιονσ Ιν τερµσ οφ ΑΡΕ, ΜΣΕ, ανδ Κ−Σ Αϖ. Dn , τηε νεωλψ προποσεδ παραµετερ εστιµα− τιον µετηοδσ—χοµπουνδ Ποισσον νονλινεαρ ρεγρεσσιον (ΧΠΝΛΡ) ανδ χοµπουνδ Ποισσον µαξιµυµ λικελιηοοδ εστιµατιον (ΧΠΜΛΕ)—αρε γενεραλλψ συπεριορ το τηε Μυσα–Οκυµοτο λογαριτηµιχ Ποισσον µοδελ ιν πρεδιχτινγ τηε ουτχοµεσ φορ τηε γρουπεδ ορ χλυστερεδ σοφτωαρε φαιλυρε δατα σετσ δεσχριβεδ ιν τηισ χηαπτερ. Τηε βασιχ ρεασον ισ τηατ τηε ΧΠ µοδελσ προποσεδ εϖαλυατε χλυµπινγ ορ χλυστερινγ εφφεχτσ οφ σοφτωαρε φαιλυρεσ νοτ εϖαλυατεδ βψ τηε υσυαλ Ποισσον ορ λογαριτηµιχ Ποισσον προ− χεσσεσ φορ χερταιν δατα στρυχτυρεσ. Φορ ωεεκλψ−ρεχορδεδ σοφτωαρε φαιλυρε δατα σετσ Ω∆1 το Ω∆5, τηισ πηενοµενον οχχυρρεδ ιν φουρ ουτ οφ ⇒ϖε χασεσ: Φορ Ω∆1, Ω∆2, ανδ Ω∆4, ΧΠΝΛΡ περφορµεδ βεττερ, ωιτη ΧΠΜΛΕ α βεττερ χηοιχε φορ Ω∆5. Τηε Μ−Ο Ποισσον ιντερϖαλ εστιµατιον µοδελ διδ βεττερ ονλψ φορ Ω∆3. Τηισ ρεσυλτ ωασ νοτ α συρπρισε, βεχαυσε αν εξπλορατορψ δατα αναλψσισ σηοωεδ τηατ Ω∆3

ΣΟΦΤΩΑΡΕ ΡΕΛΙΑΒΙΛΙΤΨ ΜΟ∆ΕΛΣ ΥΣΙΝΓ ΤΗΕ ΧΟΜΠΟΥΝ∆ ΠΟΙΣΣΟΝ ΜΟ∆ΕΛ

97

ΤΑΒΛΕ 2.6 Γρουπεδ Φαιλυρε Ωεεκλψ ∆ατα Σετ: Ω∆5α

Ωεεκ

Νυµβερ οφ Φαιλυρεσ

Ωεεκ

Νυµβερ οφ Φαιλυρεσ

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17

3 1 4 4 11 11 18 8 6 10 16 6 13 16 3 4 2

18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34

11 8 12 2 6 4 5 5 7 5 7 1 11 4 4 20 9

Ωεεκ

Νυµβερ οφ Φαιλυρεσ

35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50

10 4 5 7 9 7 6 4 11 3 7 9 8 5 7 7

α

n = 50, σαµπλε µεαν = 7.32, σαµπλε στανδαρδ δεϖιατιον = 4.25, σαµπλε ϖαριανχε = 18.1, συµ = 366.

(σεε Φιγυρε 2.8) ηασ α νονεξπονεντιαλ ορ θυασιυνιφορµ φρεθυενχψ διστριβυτιον φορ τηε ρανδοµ ϖαριαβλε “χλυµπ σιζε” περ ωεεκ ασ α ρεσυλτ οφ τηε λογαριτηµιχ εφφεχτ. Ον τηε οτηερ ηανδ, τηε φρεθυενχψ πλοτσ φορ Ω∆1, Ω∆2, Ω∆4, ανδ Ω∆5 (σεε Φιγυρεσ 2.6, 2.7, 2.9, ανδ 2.10) δισπλαψεδ αν εξπονεντιαλ νατυρε. Ασ ουτλινεδ ιν τηε Σοφτωαρε Ρελιαβιλιτψ Ηανδβοοκ [27], τηε Μ−Ο λογαριτηµιχ Ποισσον µοδελ ισ α βεττερ ⇒τ φορ α νονεξπονεντιαλ χλασσ οφ φαιλυρε χουντσ, ωηερεασ φορ τηε εξπονεν− τιαλ χλασσ, γενεραλιζεδ εξπονεντιαλ µοδελσ συχη ασ τηε γενεραλιζεδ Ποισσον ιν τηισ ωορκ αρε σουνδ. Ονε ωαψ το ασσοχιατε ωιτη τηισ φαχτ ισ τηατ τηε νατυραλ λογαριτηµ οφ τηε Ποισσον εθυατιον ψιελδσ το α χονσταντ ϖαλυε. Νο σινγλε συµµαρψ µεασυρε αλονε ισ αδεθυατε το δετερµινε τηε βεστ παραµ− ετερ εστιµατιον µετηοδ φορ α γιϖεν δατα σετ. Σοµετιµεσ αν εστιµατιον µετηοδ χαν γενερατε µορε φαϖοραβλε πρεδιχτιϖε ρεσυλτσ ατ, ορ αφτερ, α χερταιν περχενταγε οφ τηε νορµαλιζεδ τιµε ασ οβσερϖεδ ιν α πλοτ. Ηοωεϖερ, τηε τηρεε περφορµανχε µεασυρεσ γιϖεν ιν εθυατιονσ (11) το (13) ανδ χιτεδ ιν τηε λιτερατυρε σερϖε το συµµαριζε τηε σιτυατιον χοµπαχτλψ φορ τηε εντιρε ρανγε χοϖερινγ αλλ πρεδιχ− τιον ποιντσ [4,11,20,31]. Ασ α µαττερ οφ φαχτ, ονε ωουλδ πρεφερ το σεε γραδυαλ σµαλλερ πρεδιχτιϖε ερρορ περχενταγε ϖαλυεσ, βεχαυσε τηε φυρτηερ αδϖανχεδ τηε τεστ− ινγ προχεσσ ισ, τηε µορε εξπενσιϖε ιτ βεχοµεσ. Ρεχαλλ τηατ οφ τηε τωο προσπεχτιϖε (φορωαρδ) περφορµανχε µεασυρεσ, ΑΡΕ ρεχογνιζεσ τηε αβσολυτε ϖαλυε πεναλτψ,

98

ΣΟΦΤΩΑΡΕ ΡΕΛΙΑΒΙΛΙΤΨ ΜΟ∆ΕΛΙΝΓ

ωηερεασ ΜΣΕ πεναλιζεσ τηε δεϖιατιονσ µορε σεϖερελψ βψ σθυαρινγ τηεµ. Χον− σεθυεντλψ, τηε Κ−Σ στατιστιχσ αρε διφφερεντ ιν τηε ρετροσπεχτιϖε (βαχκωαρδ) σενσε, ωηερε τηε αχτυαλ εµπιριχαλ διστριβυτιον ισ χοµπαρεδ το τηε χυµυλατιϖε διστρι− βυτιον φυνχτιον εστιµατεδ. Τηισ συγγεστσ τηατ ονε σηουλδ χονσιδερ ατ λεαστ α παιρ ορ α τριπλετ οφ µεασυρεσ οφ γοοδνεσσ οφ ⇒τ—ΑΡΕ, ΜΣΕ, ανδ Κ−Σ Αϖ. Dn —ινστεαδ οφ α σινγλε µεασυρε. ςαριουσ διαγνοστιχ αναλψσεσ ιν τερµσ οφ πλοτσ αρε γιϖεν ιν Φιγυρεσ 2.6 το 2.10 ιν αχχορδανχε ωιτη τηε φυνδαµενταλ αππροαχη οφ εξπλορατορψ “⇒ρστ−µοδελ−ϖαλιδατιον−τηεν−παραµετερ−εστιµατιον,” ρατηερ τηαν σιµ− πλψ τηε αππροαχη οφ νονεξπλορατορψ δατα−οριεντεδ ωορκ [32]. Ιν χονχλυσιον, τηε ΧΠ παραµετερ εστιµατιον µετηοδσ προποσεδ πρεσεντ α ϖαλιδ αλτερνατιϖε τεχηνιθυε ωιτη φαϖοραβλε πρεδιχτιον αχχυραχψ φορ εστιµατινγ τηε τοταλ νυµβερ οφ ρεσιδυαλ φαιλυρεσ. Πρεδιχτιονσ ανδ χορρεσπονδινγ ρελατιϖε−ερρορ περχεντ− αγεσ χαν βε οβσερϖεδ ιν Φιγυρεσ 2.1 το 2.5 φορ τηε ωεεκλψ−ρεχορδεδ φαιλυρε δατα σετσ, Ω∆1 το Ω∆5. Ταβλε 2.3 προϖιδεσ αν οϖεραλλ χοµπαρισον οφ τηε εστιµα− τιον ρεσυλτσ δυε το διφφερεντ µοδελσ ανδ τηειρ παραµετερ εστιµατιον τεχηνιθυεσ ιν τερµσ οφ ποπυλαρ µεασυρεσ οφ φορεχαστ θυαλιτψ οφ ⇒τ. Ιτ ηασ βεεν οβσερϖεδ τηατ τηε αϖεραγε ρελατιϖε ερρορ ανδ µεαν−σθυαρεδ ερρορ ουτπυτσ φορ τηε ΧΠΝΛΡ ανδ ΧΠΜΛΕ µετηοδσ αρε µορε φαϖοραβλε τηαν τηε χοµπετινγ Μ−Ο µετηοδ. Τηισ ισ αλσο ϖαλιδατεδ βψ τηε τρενδσ ιν παρτσ (b) ανδ (c) οφ Φιγυρεσ 2.1 το 2.5, ωηερε τηε ΧΠ (ΜΛΕ ανδ ΝΛΡ) µετηοδσ προδυχε πρεδιχτιονσ ανδ ρελατεδ ερρορσ χλοσερ το τηε ταργετ (ορ τρυε) χουντ ανδ ζερο περχεντ ρελατιϖε ερρορ λινε, ρεσπεχτιϖελψ, εξχεπτ φορ Φιγυρε 2.3(b) ανδ (c), ωηερε τηε πρεδιχτιονσ οφ τηε Μ−Ο µοδελ ρεσυλτσ αρε χλεαρλψ χλοσερ. Ανοτηερ στρικινγ διφφερενχε ιν τηεσε γραπησ ισ τηατ τηε Μ−Ο µοδελ [7] µοστλψ υνδερεστιµατεσ τηε ταργετ ϖαλυε, ωηερεασ ΧΠ µοδελσ αλτερνατε ιν οϖερ− ορ υνδερεστιµατινγ τηε ταργετ. Τηε ΧΠΜΛΕ µετηοδ ισ ϖερψ στραιγητφορωαρδ το αππλψ, ωιτη νεγλιγιβλε αλγε− βρα ινϖολϖεδ, ωηερεασ ΧΠΝΛΡ µαψ οχχασιοναλλψ ρεθυιρε εξτενσιϖε χοµπυτα− τιοναλ τιµε το ρεαχη χονϖεργενχε τηρουγη τηε νονλινεαρ ιτερατιϖε προχεσσ ινϖολϖεδ ιν τηε Λ–Μ µετηοδ. Ιτ ισ αλσο µορε σεχυρε το υσε ΝΛΡ εστιµατεσ, δυε το τηε νονλινεαρ ανδ εσπεχιαλλψ νοννορµαλ νατυρε οφ τηε εξπρεσσιονσ οβσερϖεδ ιν εθυατιονσ (8) το (10). Ηοωεϖερ, ⇒ρστ−γυεσσ εασψ−το−οβταιν ΜΛΕ ρεσυλτσ αρε αλσο υσεφυλ φορ οβταινινγ αν ινιτιαλ ϖαλυε δυρινγ τηε Λ−Μ νονλινεαρ σολυτιον προχεσσ. ∆εσπιτε αλλ τηε αδϖανταγεσ οφ τηε νονλινεαρ ρεγρεσσιον µετηοδ, ΜΛΕ—δυε το ιτσ γενεραλλψ αχχεπτεδ στατιστιχαλ αδϖανταγεσ οφ αδµισσιβιλιτψ, χονσιστενχψ, ανδ ασψµπτοτιχ νορµαλιτψ—χαν στιλλ προϖιδε µορε φαϖοραβλε ρεσυλτσ, ασ ιν Ω∆5. Φορ φυρτηερ ρεσεαρχη το φολλοω υπ ον δετερµινιστιχ µεασυρεσ συχη ασ ΑΡΕ ανδ ΜΣΕ, στοχηαστιχ περφορµανχε µεασυρεσ ιν τηε φορµ οφ στατιστιχαλ τεστσ αρε σουγητ το ασσεσσ τηε πρεδιχτιϖε θυαλιτψ οφ παραµετερ εστιµατιον µετηοδσ. Τηισ τοπιχ 2.2. Αδδιτιοναλλψ, σιµιλαρ το ΜΣΕ ιν εθυατιον (12), n ισ δεαλτ ωιτη ιν Σεχτιον 2 [(εστιµατε − τρυε) /τρυε], οϖερ n ινσπεχτιον ποιντσ χαν βε αππροξιµατεδ το i i=1 2 , ανδ τεστεδ α ποπυλαρ χηι−σθυαρεδ διστριβυτιον ωιτη n − 1 δεγρεεσ οφ φρεεδοµ, χn−1 υσινγ τηε χηι−σθυαρε στατιστιχαλ ταβλεσ, γιϖεν τηατ τηε “τρυε > 10” ασσυµπτιον ηολδσ. Τηυσ, ιφ χλοσεδ−φορµ προβαβιλιτψ διστριβυτιον φυνχτιονσ χαν βε δεριϖεδ φορ ωηατ υσεδ το βε δετερµινιστιχ µεασυρεσ συχη ασ ΑΡΕ ανδ ΜΣΕ, ανψ τωο χοµπετινγ παραµετερ εστιµατιον µετηοδσ ωουλδ βε φυλλψ χοµπαραβλε ιν τερµσ οφ στατιστιχαλ

ΣΤΟΧΗΑΣΤΙΧ ΜΕΑΣΥΡΕΣ ΤΟ ΧΟΜΠΑΡΕ ΦΑΙΛΥΡΕ−ΧΟΥΝΤ ΡΕΛΙΑΒΙΛΙΤΨ ΜΟ∆ΕΛΣ

99

ηψποτηεσισ τεστσ. Φυρτηερ, Βαψεσιαν µετηοδσ υσινγ ινφορµατιϖε ανδ νονινφορµα− τιϖε πριορσ αρε στυδιεδ ιν Σεχτιον 2.2 το ασσεσσ τηε προβαβιλιτψ τηατ ονε µετηοδ’σ πρεδιχτιϖε αχχυραχψ σχορινγ ισ βεττερ τηαν ιτσ αλτερνατιϖε. Φιναλλψ, ιτ σηουλδ βε ρεµεµβερεδ τηατ νοτ αλλ σοφτωαρε ρελιαβιλιτψ µοδελσ ανδ ρελατεδ παραµετερ εστι− µατιον µετηοδσ αρε βεστ φορ αλλ σοφτωαρε φαιλυρε δατα τψπεσ. Εξπλορατορψ δατα ανδ γοοδνεσσ−οφ−⇒τ αναλψσεσ αρε νεχεσσαρψ το ϕυδγε τηε βεηαϖιορ οφ τηε σοφτωαρε φαιλ− υρε δατα βεφορε δεχιδινγ ον τηε τψπε οφ σοφτωαρε ρελιαβιλιτψ πρεδιχτιον µοδελ το βε υσεδ. 2.2 ΣΤΟΧΗΑΣΤΙΧ ΜΕΑΣΥΡΕΣ ΤΟ ΧΟΜΠΑΡΕ ΦΑΙΛΥΡΕ−ΧΟΥΝΤ ΡΕΛΙΑΒΙΛΙΤΨ ΜΟ∆ΕΛΣ Νυτσηελλ 2.2 Αβσολυτε ΡΕ (ρελατιϖε ερρορ) ανδ ΣθΡΕ (σθυαρεδ ρελατιϖε ερρορ) αρε ρανδοµ ϖαρι− αβλεσ συγγεστεδ ασ µεασυρεµεντσ οφ τηε αχχυραχψ φορεχαστ φορ τηε τοταλ νυµβερ οφ σοφτωαρε φαιλυρεσ εστιµατεδ ατ τηε ενδ οφ α µισσιον τιµε. Τηε πυρποσε ισ το χοµ− παρε τηε πρεδιχτιϖε µεριτ οφ χοµπετινγ σοφτωαρε ρελιαβιλιτψ µοδελσ, αν ιµπορταντ χονχερν το σοφτωαρε ρελιαβιλιτψ αναλψστσ. Τηισ τεχηνιθυε χαλχυλατεσ τηε Βαψεσ προβ− αβιλιτψ οφ ηοω µυχη βεττερ τηε πρεδιχτιον αχχυραχψ ισ φορ ονε µετηοδ ρελατιϖε το τηατ οφ α χοµπετιτορ. Τηε Βαψεσιαν αππροαχη ισ µορε ρεαλιστιχ ιν αν ασσεσσµεντ οφ πρεδιχτιϖε µεριτ τηαν (1) χοµπαρινγ µερελψ τηε αϖεραγε ϖαλυεσ οφ ΑΡΕ ανδ ΣθΡΕ ασ δονε χονϖεντιοναλλψ, ορ (2) χονδυχτινγ στατιστιχαλ ηψποτηεσισ τεστσ οφ παιρωισε µεανσ οφ ΑΡΕ ανδ ΣθΡΕ, αν αππροαχη σοµεωηατ µορε σενσιβλε τηαν (1), βεχαυσε ιτ ινχορπορατεσ τηε ϖαριαβιλιτψ οφ πρεδιχτεδ ϖαλυεσ, ωηιχη (1) δοεσ νοτ. Το ιµπλε− µεντ τηε Βαψεσιαν τεχηνιθυε, νονινφορµατιϖε ορ ⇓ατ πριορσ (αχροσσ τηε βορδερ) αρε υσεδ ⇒ρστ, τηεν ινφορµατιϖε (σπεχι⇒εδ) πριορσ. 2.2.1 Ιντροδυχτιον ανδ Μοτιϖατιον Τηισ χηαπτερ ισ ρελατεδ το τηε γενεραλ προβλεµ οφ ρανκινγ τηε υσυαλ µεανσ δισ− χυσσεδ ιν τηε λιτερατυρε βψ Βεργερ ανδ ∆εελψ ιν 1988, ανδ ισ αν ιµπροϖεδ εξτενσιον οφ τηε 2001 πυβλιχατιον βψ Σαηινογλυ ετ αλ. φοχυσινγ ον στατιστιχαλ µεασυρεσ φορ χοµπαρινγ τηε πρεδιχτιϖε µεριτσ οφ σοφτωαρε ρελιαβιλιτψ µοδελσ [33,34]. Τηερε ισ ινχρεασινγ πρεσσυρε το δεϖελοπ ανδ θυαντιφψ µεασυρεσ οφ χοµπυτερ σοφτωαρε ρελι− αβιλιτψ. Ωιτη τηε ασχεντ οφ σοφτωαρε ρελιαβιλιτψ µοδελσ [6,35], τηερε ισ νοω εϖεν µορε πρεσσυρε ον ασσεσσµεντ οφ τηε πρεδιχτιϖε θυαλιτψ οφ τηεσε µεασυρεσ, βοτη ιν τηε σενσε οφ τηειρ γοοδνεσσ οφ ⇒τ ανδ ιν παιρωισε χοµπαρισονσ [11–13,18–20,36]. Ηοωεϖερ, χυρρεντ µετηοδσ υσεδ το χοµπαρε τηεσε µοδελσ υσε χονσταντ µεασυρεσ, ανδ ηενχε τηειρ ρεσυλτσ δο νοτ ρε⇓εχτ τηε υνχερταιντψ ινηερεντ ιν τηεσε οβσερ− ϖατιονσ. Ιν παρτιχυλαρ, τηε πρεδιχτιϖε αχχυραχψ οφ ϖαριουσ µετηοδσ ισ χοµπαρεδ τηρουγη µεασυρεσ συχη ασ αϖεραγε αβσολυτε ρελατιϖε ερρορ (ΑΡΕ) ανδ µεαν− σθυαρεδ ερρορ (ΜΣΕ), ασ ιν Σεχτιον 2.1, βοτη οφ ωηιχη αρε χονσταντ µεασυρεσ ανδ τηυσ δο νοτ χονσιδερ τηε εφφεχτ οφ στοχηαστιχ (ρανδοµ) ϖαριαβιλιτψ. Εαρλιερ, τηε αυτηορ συγγεστεδ δεσιγνινγ ανδ αναλψζινγ µορε πρεχισε µετηοδσ φορ χηοοσ− ινγ τηε βεστ πρεδιχτιϖε προχεδυρε τηρουγη φρεθυεντιστ µετηοδσ συχη ασ ονε− ανδ

100

ΣΟΦΤΩΑΡΕ ΡΕΛΙΑΒΙΛΙΤΨ ΜΟ∆ΕΛΙΝΓ

τωο−σαµπλε t−τεστσ οφ ηψποτηεσεσ, ωηιχη δο χονσιδερ τηισ ινηερεντ ϖαριαβιλιτψ [36,37]. Ιν τηισ σεχτιον ωε προποσε στυδψινγ σεϖεραλ δατα−συππορτεδ Βαψεσιαν µετηοδσ οφ χοµπαρατιϖε ασσεσσµεντ ωηιχη αχκνοωλεδγε τηε στοχηαστιχ ϖαριατιον ιν τηε οβσερϖεδ σεθυενχε οφ φαιλυρε δατα. Ιν αδδιτιον το ασσεσσινγ τηε θυαλιτψ οφ ⇒τ οφ αν ινδιϖιδυαλ εστιµατιον τεχηνιθυε συχη ασ τηρουγη ΑΡΕ, ιτ ωασ δεσιραβλε το οβταιν χοµπαρισονσ βετωεεν χοµπετινγ τεχηνιθυεσ βψ τωο−σαµπλε t−τεστσ, ανδ φυρτηερ, χαλχυλατινγ τηε προβαβιλιτψ οφ ονε µετηοδ σχορινγ βεττερ τηαν ανοτηερ [34]. Συχη ρεσεαρχη ωασ νεχεσσαρψ ιν ορδερ το χηοοσε βετωεεν τηε µανψ νεω ανδ ολδ ρελιαβιλιτψ µοδελσ [5, Χηαπ. 13]. Παιρσ οφ χερταιν ρελιαβιλιτψ µοδελσ’ πρεδιχτιϖε αχχυραχψ ηαϖε αλρεαδψ βεεν χοµπαρεδ εµπλοψινγ στατιστιχαλ ηψποτηεσεσ τεστσ ιν τηε φρεθυεντιστ σενσε. Ιτ ωασ οβσερϖεδ τηατ α χονσταντ διφφερενχε βετωεεν τηε µεανσ οφ ρανδοµ ϖαριαβλε ΑΡΕ οφ ανψ τωο µετηοδσ διδ νοτ νεχεσσαριλψ προϖε στατιστιχαλλψ σιγνι⇒χαντ ασ το ωηιχη οφ τωο χοµπετινγ εστιµατιον προχεδυρεσ ωασ βεττερ. Αν αλτερνατιϖε ωαψ οφ µεα− συρεµεντ τηρουγη α µορε σεϖερε σθυαρεδ πεναλτψ ρε⇓εχτεδ ιν ρανδοµ ϖαριαβλε ΣθΡΕ ισ αλσο χονσιδερεδ. Ιν τηισ χηαπτερ ωε βρινγ α νεω διµενσιον το α χοµ− παρατιϖε ασσεσσµεντ οφ τηε πρεδιχτιϖε αχχυραχψ οφ τωο χοµπετινγ φαιλυρε χουντ µετηοδσ. Ιν δεϖελοπινγ Βαψεσιαν µετηοδσ, αν ιννοϖατιϖε αππροαχη ισ προποσεδ, νοτ ονλψ το αλλοω φορ δετερµινινγ ωηιχη µετηοδ ισ βεττερ, βυτ αδδιτιοναλλψ, το δεσχριβε θυαντιτατιϖελψ ηοω µυχη βεττερ ονε ισ τηαν τηε οτηερ. Τηισ ισ δονε βψ εξπεριµεντινγ ωιτη πριορ νονινφορµατιϖε διστριβυτιον φορ τηε υνκνοων παραµε− τερσ ιν τηε λιγητ οφ α πριορι σοφτωαρε ενγινεερινγ ⇒ελδ εξπεριενχε. Ινφορµατιϖε πριορ αναλψσεσ αρε λεφτ ουτ οφ τηε χοντεξτ οφ τηισ χηαπτερ, δυε το τηειρ χοµπλεξιτψ, εξχεπτ φορ συµµαρψ χηαρτσ. Ρεσυλτσ σηοω τηε τρενδ ιν χοµπαρισονσ βεγιννινγ φροµ α πυρελψ αριτηµετιχ αππροαχη βψ χοµπαρινγ αβσολυτε ϖαλυεσ, το τηοσε υσινγ στατιστιχαλ t−τεστσ, ανδ ⇒ναλλψ, το α προβαβιλιτψ−βασεδ Βαψεσιαν αππροαχη υσινγ (νον)ινφορµατιϖε πριορσ. 2.2.2 ∆ε⇒νιτιονσ ανδ Νοτατιον Λετ y1 , . . . , yn δενοτε τηε τρυε φαιλυρεσ οβσερϖεδ οϖερ ν τιµε ιντερϖαλσ, χαλλεδ χηεχκποιντσ. Φορ σοµε γιϖεν εστιµατιον προχεδυρε, λετ Xεστ (k) δενοτε τηε εστιµατε οφ τηε τοταλ νυµβερ οφ σοφτωαρε φαιλυρεσ το βε οβσερϖεδ οϖερ n τιµε ιντερϖαλσ. Τηε τρυε νυµβερ οφ φαιλυρεσ οϖερ n ιντερϖαλσ ισ γιϖεν βψ Xτρυε = yk , ωηερε k = 1, . . . , n. ∆ε⇒νε τηε ρανδοµ ϖαριαβλεσ | ΡΕ | (αβσολυτε ρελατιϖε ερρορ) ανδ ΣθΡΕ (σθυαρεδ ρελατιϖε ερρορ) ασ φολλοωσ [11,12,36,37]: | ΡΕ | (k) =

| Xεστ (k) − Xτρυε | Xτρυε

(14)

ΣθΡΕ(k) =

[Xεστ (k) − Xτρυε ]2 Xτρυε

(15)

Τηεν, τηε ποπυλαρλψ υσεδ ΑΡΕ ισ τηε αριτηµετιχ αϖεραγε οφ | ΡΕ |, ασ ιν (11). ΑϖΣθΡΕ ισ τηε αριτηµετιχ αϖεραγε οφ ΣθΡΕ οϖερ n χηεχκποιντσ. Το συµµαριζε ανδ ρεϖιεω:

ΣΤΟΧΗΑΣΤΙΧ ΜΕΑΣΥΡΕΣ ΤΟ ΧΟΜΠΑΡΕ ΦΑΙΛΥΡΕ−ΧΟΥΝΤ ΡΕΛΙΑΒΙΛΙΤΨ ΜΟ∆ΕΛΣ

| ΡΕ | k yk Xεστ (k) Xτρυε Xj ΑΡΕ ΣθΡΕ ΑϖΣθΡΕ ΧΠΜΛΕ ΧΠΝΛΡ ΜΟ Ω∆ X Y Z U V W

101

αβσολυτε ρελατιϖε ερρορ χηεχκποιντ βετωεεν 1 ανδ n οβσερϖατιονσ τρυε νυµβερ οφ σοφτωαρε φαιλυρεσ οϖερ k = 1, . . . , n φορεχαστ ϖαλυε οφ τηε νυµβερ οφ σοφτωαρε φαιλυρεσ εστιµατεδ ατ ποιντ, 1 < k < n τιµε n k=1 yk ερρορ ρανδοµ ϖαριαβλε j = 1, 2 φορ τηε τωο χοµπετινγ µετηοδσ το χοµπαρε αριτηµετιχ αϖεραγε οφ | ΡΕ | οφ σαµπλε οβσερϖατιονσ σθυαρεδ | ΡΕ | οφ σαµπλε οβσερϖατιονσ ορ ΣΡΕ, αριτηµετιχ αϖεραγε οφ ΣθΡΕ χοµπουνδ Ποισσον ΜΛΕ µετηοδ οφ εστιµατιον χοµπουνδ Ποισσον νονλινεαρ ρεγρεσσιον µετηοδ οφ εστιµατιον Μυσα–Οκυµοτο λογαριτηµιχ Ποισσον µετηοδ οφ εστιµατιον ωεεκλψ δατα ΑΡΕ ρανδοµ ϖαριαβλε φορ ΧΠΝΛΡ ΑΡΕ ρανδοµ ϖαριαβλε φορ ΧΠΜΛΕ ΑΡΕ ρανδοµ ϖαριαβλε φορ ΜΟ ΣΡΕ ρανδοµ ϖαριαβλε φορ ΧΠΝΛΡ ΣΡΕ ρανδοµ ϖαριαβλε φορ ΧΠΜΛΕ ΣΡΕ ρανδοµ ϖαριαβλε φορ ΜΟ

2.2.3 Μοδελ, ∆ατα, ανδ Χοµπυτατιοναλ Φορµυλασ Ωε αρε ιντερεστεδ ιν χοµπαρινγ ονε µετηοδ οφ πρεδιχτινγ σοφτωαρε ρελιαβιλιτψ αγαινστ ανοτηερ µετηοδ βασεδ ον τηε δατα οβσερϖεδ ανδ ον πρεδιχτιονσ οβταινεδ φροµ τηεσε µετηοδσ. Τηε ⇒ϖε τιµε−βασε σιµυλατεδ ωεεκλψ−δατα σετσ (Ταβλεσ 2.7 ανδ 2.8) ωερε δεσχριβεδ βριε⇓ψ ιν Σεχτιον 2.1.3. Ω∆1 ηασ 131 φαιλυρεσ ιν 64 ΤΑΒΛΕ 2.7 τ−Τεστσ ωιτη ∆εχισιον, Αριτηµετιχ ∆ιφφερενχε, ανδ Προβαβιλιστιχ Ρεσυλτσ φορ Χοµπαρινγ τηε Μεανσ οφ |ΡΕ|α ∆ατα Σετ ΧΠΜΛΕ ϖερσυσ ΧΠΝΛΡ Ω∆1 Ω∆2 Ω∆3 Ω∆4 Ω∆5 α

t = 0.97 {0.024} t = 0.043 {0.003} t = −1.3 {−0.06} t = 0.33 {0.0197} t = 13.77 {0.544}

Αχχεπτ H0 [0.7790] Αχχεπτ H0 [0.5139] Αχχεπτ H0 [0.8523] Αχχεπτ H0 [0.6055] Ρεϕεχτ H0 [0.9820]

ΜΟ ϖερσυσ ΧΠΝΛΡ t = 3.89 {0.264} t = 2.75 {0.236} t = −2.74 {−0.180} t = 4.09 {0.322} t = 0.35 {0.123}

Ρεϕεχτ H0 [0.9999] Ρεϕεχτ H0 [0.9913] Ρεϕεχτ H0 [0.9912] Ρεϕεχτ H0 [0.9999] Αχχεπτ H0 [0.8689]

ΜΟ ϖερσυσ ΧΠΜΛΕ t = 3.46 {0.237} t = 2.54 {0.233} t = −1.63 {−0.120} t = 3.64 {0.303} t = −0.33 {−0.421}

Ρεϕεχτ H0 [0.9993] Ρεϕεχτ H0 [0.9853] Αχχεπτ H0 [0.9099] Ρεϕεχτ H0 [0.9996] Ρεϕεχτ H0 [0.9858]

{·} αρε σιµπλε αριτηµετιχαλ διφφερενχεσ οφ τηε ρεσπεχτιϖε µεανσ (ΑΡΕ) ωιτη n = 18. Τηεν [·] αρε Βαψεσιαν προβαβιλιτιεσ οφ χοµπαρισονσ οφ ονε µετηοδ σχορινγ ωορσε (+ διφφερενχε) ορ βεττερ (− διφφερενχε). Αχχεπτ δενοτεσ “δο νοτ ρεϕεχτ εθυαλιτψ οφ µεανσ” (ι.ε., H01 : μΑΡΕi = μΑΡΕj , i = j ).

102

ΣΟΦΤΩΑΡΕ ΡΕΛΙΑΒΙΛΙΤΨ ΜΟ∆ΕΛΙΝΓ

ΤΑΒΛΕ 2.8 τ−Τεστσ ωιτη ∆εχισιον, Αριτηµετιχ ∆ιφφερενχε, ανδ Προβαβιλιστιχ Ρεσυλτσ φορ Χοµπαρινγ τηε Μεανσ οφ ΣθΡΕα ∆ατα Σετ ΧΠΜΛΕ ϖερσυσ ΧΠΝΛΡ t = 0.8 {0.76} t = 0.43 {4.35} t = −0.71 {−8.87} t = 0.56 {3.59} t = −2.19 {−11.98}

Ω∆1 Ω∆2 Ω∆3 Ω∆4 Ω∆5 α

Αχχεπτ H0 [0.7384] Αχχεπτ H0 [0.6321] Αχχεπτ H0 [0.7151] Αχχεπτ H0 [0.6693] Ρεϕεχτ H0 [0.9676]

ΜΟ ϖερσυσ ΧΠΝΛΡ t = 3.51 {23.6} t = 5.73 {58.4} t = −1.03 {−19.5} t = 3.53 {51.33} t = 2.27 {57.47}

Ρεϕεχτ H0 [0.9993] Ρεϕεχτ H0 [0.9991] Αχχεπτ H0 [0.7956] Ρεϕεχτ H0 [0.9992] Ρεϕεχτ H0 [0.9728]

ΜΟ ϖερσυσ ΧΠΜΛΕ t = 3.39 {0.237} t = 4.59 {54.05} t = −0.51 {−10.63} t = 3.28 {47.74} t = 2.77 {69.49}

Ρεϕεχτ H0 [0.9988] Ρεϕεχτ H0 [0.9996] Αχχεπτ H0 [0.6563] Ρεϕεχτ H0 [0.9973] Ρεϕεχτ H0 [0.9919]

{·} αρε σιµπλε αριτηµετιχαλ διφφερενχεσ οφ τηε ρεσπεχτιϖε µεανσ (ΣΡΕ) ωιτη n = 18. Τηεν [·] αρε Βαψεσιαν προβαβιλιτιεσ οφ χοµπαρισονσ οφ ονε µετηοδ σχορινγ ωορσε (+ διφφερενχε) ορ βεττερ (− διφφερενχε). Αχχεπτ δενοτεσ “δο νοτ ρεϕεχτ εθυαλιτψ οφ µεανσ” (ι.ε., H02 : μΣΡΕi = μΣΡΕj , i = j ).

ωεεκσ; Ω∆2 ηασ 213 φαιλυρεσ ιν 224 ωεεκσ; Ω∆3 ηασ 340 φαιλυρεσ ιν 41 ωεεκσ; Ω∆4 ηασ 197 φαιλυρεσ ιν 114 ωεεκσ; ανδ Ω∆5 ηασ 366 φαιλυρεσ ιν 50 ωεεκσ. Τηε ΑΡΕ ανδ ΣΡΕ οφ Ω∆1 αρε σηοων ιν Φιγυρεσ 2.15 ανδ 2.16. ∆εταιλεδ εξπλανατιονσ οφ τηε χοµπετινγ µετηοδσ ΧΠΜΛΕ, ΧΠΝΛΡ, ανδ ΜΟ αρε γιϖεν ιν ρεφερενχεσ 5 ανδ 10 το 12. Ιν α φρεθυεντιστ τρεατµεντ οφ τηε προβλεµ εξαµινεδ εαρλιερ βψ εσταβλισηινγ ηψποτηεσεσ τεστσ, ιτ ωασ σηοων τηατ α διφφερενχε ιν τηε µεαν ϖαλυεσ οφ τηε ΑΡΕ ορ ΣθΡΕ µαψ νοτ νεχεσσαριλψ βε στατιστιχαλλψ σιγ− νι⇒χαντ. Ιν τηισ στυδψ, ωε σεαρχη φορ τηε προβαβιλιτψ τηατ ονε µετηοδ’σ ερρορ µεαν ισ ηιγηερ (ωορσε) ορ λοωερ (βεττερ) τηαν ανοτηερ’σ βψ α σπεχι⇒χ µαργιν ιν προπορ− τιον το τηε διφφερενχε βετωεεν τηεµ. Ωε αππροαχη τηισ προβλεµ υσινγ Βαψεσιαν νονινφορµατιϖε πριορ διστριβυτιονσ ανδ τηειρ ποστεριορ διστριβυτιονσ χοµπυτατιον− αλλψ [38–44]. Νοτε τηατ t−ϖαλυεσ αρε χαλχυλατεδ φορ τεστινγ H01 : μΑΡΕ1 = μΑΡΕ2

ARE

ARE vs Proportion sampling CPNLR

0.90 0.80 0.70 0.60 0.50 0.40 0.30 0.20 0.10 0.00

CPMLE MO

0

0.1

0.2

0.3

0.4 0.5 0.6 0.7 Proportion sampled

0.8

0.9

1

ΦΙΓΥΡΕ 2.15 Αβσολυτε ρελατιϖε ερρορ ϖερσυσ προπορτιον σαµπλεδ οβταινεδ φροµ Φιγ− υρε 2.1 φορ Ω∆1.

ΣΤΟΧΗΑΣΤΙΧ ΜΕΑΣΥΡΕΣ ΤΟ ΧΟΜΠΑΡΕ ΦΑΙΛΥΡΕ−ΧΟΥΝΤ ΡΕΛΙΑΒΙΛΙΤΨ ΜΟ∆ΕΛΣ

103

SRE

SRE vs Proportion of Sampling 100 90 80 70 60 50 40 30 20 10 0

CPNLR CPMLE MO

0

0.1

0.2

0.3

0.4 0.5 0.6 0.7 Proportion sampled

0.8

0.9

1

ΦΙΓΥΡΕ 2.16 ΑϖΣθΡΕ (ορ ΣΡΕ) ϖερσυσ προπορτιον σαµπλεδ οβταινεδ φροµ Φιγυρε 2.1 φορ Ω∆1.

ανδ H02 : μΣΡΕ1 = μΣΡΕ2 , ωιτη τηε δεχισιον ον τηειρ ριγητ ωηετηερ το αχχεπτ ορ ρεϕεχτ ιφ α (τψπε Ι ερρορ προβαβιλιτψ) = 0.05 ασ ιν Ταβλε 2.7. Τηε Βαψεσιαν προβ− αβιλιτιεσ αρε στυδιεδ ιν δεταιλ ιν Σεχτιον 2.2.4. Φροµ Ταβλεσ 2.7 ανδ 2.8 ωε χαν χονχλυδε τηατ τηοσε t−τεστ ρεσυλτσ ωιτη “Αχχεπτ H0 ” σηοω τηατ τηε ΑΡΕ ορ ΣθΡΕ πρεδιχτιϖε ερρορ ινδιχεσ φορ τηε χοµπετινγ µετηοδσ αρε νοτ σιγνι⇒χαντλψ διφφερεντ ατ α 0.05 τψπε Ι ερρορ προβαβιλιτψ λεϖελ. Φορ Ω∆3’σ ανδ Ω∆5’σ ΜΟ ϖερσυσ ΧΠΝΛΡ ηψποτηεσισ δεχισιονσ το ρεϕεχτ ορ αχχεπτ, ΑΡΕ ανδ ΑϖΣθΡΕ (ΣΡΕ) ταβλεσ δο νοτ χονχυρ. Ωε µαψ αγρεε ωιτη Ταβλε 2.8, ωηιχη συππορτσ τηε σθυαρε πεναλτψ δε⇒νιτιον το βε ον τηε χονσερϖατιϖε σιδε. Ωιτη α µετηοδ ανδ ιτσ πρεδιχτιον ωε ασσοχιατε αν “ερρορ” ρανδοµ ϖαριαβλε, ωηιχη ωε ωιλλ δενοτε βψ Xj , ωηερε j = 1, 2 φορ τηε τωο µετηοδσ βεινγ χοµπαρεδ. Ιν τηισ ωορκ, τηε ερρορ ρανδοµ ϖαριαβλε ωιλλ βε τηε µεανσ: ΑΡΕ1 ανδ ΑΡΕ2 (ορ ΣθΡΕ1 ανδ ΣθΡΕ2 ) ασ δε⇒νεδ. Ωε ασσυµε τηε φολλοωινγ: 1. Xj ισ νορµαλλψ διστριβυτεδ ωιτη υνκνοων µεαν μj ανδ στανδαρδ δεϖιατιον σj , ωηιχη ωιλλ βε τακεν ασ κνοων. 2. Τηε n (σαµπλε σιζε) ισ λαργε ενουγη το φαχιλιτατε α λαργε−σαµπλε αππροαχη το τηε προβλεµ το υτιλιζε νορµαλ τηεορψ. 3. Εϖεν τηουγη μ1 ανδ μ2 αρε υνκνοων, µετηοδ 1 ισ βεττερ τηαν µετηοδ 2 ιφ μ1 < μ2 ιν προβαβιλιτψ. 4. Τηε θυαντιτατιϖε µεασυρε οφ ηοω µυχη βεττερ µετηοδ 1 ισ τηαν µετηοδ 2 ισ οβταινεδ βψ ασσεσσινγ τηε διφφερενχε μ1 − μ2 . Τηισ διφφερενχε ισ υνκνοων ανδ χαν ονλψ βε εστιµατεδ, βυτ τηε Βαψεσιαν µοδελ ηερε προδυχεσ α προβ− αβιλιτψ ασσεσσµεντ οφ τηε µαγνιτυδε οφ τηισ διφφερενχε. 5. Ιν παρτιχυλαρ, ασ α χοµπαρισον χριτεριον, ωε χοµπυτε τηε ποστεριορ προβα− βιλιτψ τηατ μ1 ισ σµαλλερ τηαν μ2 βψ α τολερανχε b; τηατ ισ, ωε χοµπυτε τηε θυαντιτψ

104

ΣΟΦΤΩΑΡΕ ΡΕΛΙΑΒΙΛΙΤΨ ΜΟ∆ΕΛΙΝΓ

P = P (μ1 ≤ μ2 − b|X1 X2 ),

b≥0

(16)

ωηερε b = γ [γρεατερ µεαν οφ ΑΡΕ (ορ ΣΡΕ) οφ X 2 − σµαλλερ µεαν οφ ΑΡΕ (ορ ΣΡΕ) οφ X1 ] Α χασυαλ περυσαλ οφ τηε χοµπαρισον χριτεριον ιν εθυατιον (16) σηουλδ ινδιχατε ωηψ ιτ χαν βε υσεδ το µακε ρεαλιστιχ ανδ θυαντιτατιϖε χοµπαρισονσ βετωεεν ανψ τωο µετηοδσ βεινγ στυδιεδ. Ιτ σηουλδ αλσο βε ποιντεδ ουτ ηερε τηατ ιφ χοµπαρ− ισονσ αµονγ α γρουπ οφ τηρεε ορ µορε µετηοδσ ωερε δεσιρεδ, τηεν εθυατιον (16) χουλδ βε συιταβλψ µοδι⇒εδ το γιϖε τηε δεσιρεδ χοµπαρισον; τηατ ισ, τηε ποστεριορ προβαβιλιτψ τηατ ανψ ονε οφ σεϖεραλ µετηοδσ ισ συφ⇒χιεντλψ σµαλλερ τηαν αλλ οφ τηε οτηερσ χουλδ βε χοµπυτεδ. Τηεσε δεταιλσ αρε δισχυσσεδ εξτενσιϖελψ φορ τηε γενεραλ προβλεµ οφ ρανκινγ νορµαλ µεανσ, ωηερε ωε ρεστριχτ τηε προβλεµ το χοµπαρινγ ονλψ τωο µετηοδσ ατ α τιµε [33]. Ωε νοω ιντροδυχε τηε Βαψεσιαν µοδελ ωιτη τηε ρελεϖαντ φορµυλασ νεχεσσαρψ το χοµπυτε τηε χριτεριον φυνχτιον ιν εθυατιον (16). 2.2.4 Πριορ ∆ιστριβυτιον Αππροαχη Φορ δεϖελοπµεντ οφ τηε πριορ διστριβυτιον ον μ1 ανδ μ2 , ωε υσε α ηιεραρχηιχαλ Βαψεσιαν µοδελ ωηιχη ασσυµεσ, α πριορι, τηατ τηε υνκνοων µεανσ αρε εξχηανγε− αβλε. Τηισ ηασ τηε δεσιραβλε προπερτψ τηατ κνοωλεδγε οφ ονε µεαν γιϖεσ σοµε ινφορµατιον αβουτ τηε οτηερ. Φορ α φυλλερ δισχυσσιον οφ τηισ γενεραλ µοδελ, σεε Βεργερ [38], ανδ Σαηινογλυ ετ αλ. [34]. Λετ μ1 ανδ μ2 ηαϖε α νορµαλ διστριβυτιον, σαψ π(μ1 , μ2 |β, τ 2 ) ωιτη µεαν β ανδ ϖαριανχε τ 2 , ωηερε β ανδ τ 2 , ηψπερπαραµετερσ, ηαϖε ηψπερπριορ διστριβυτιονσ δενοτεδ βψ h1 ανδ h2 , ρεσπεχτιϖελψ. Τηυσ, τηε πριορ διστριβυτιον ον μ1 ανδ μ2 ισ γιϖεν βψ α µιξτυρε, π(μ1 , μ2 ) =



π(μ1 , μ2 |β, τ 2 )h1 (β)h2 (τ 2 )dβdτ 2

(17)

Χηοιχεσ φορ h1 ανδ h2 δεπενδ ον τηε τψπε οφ πριορ ινφορµατιον αϖαιλαβλε ιν τηε προβλεµ. Ιτ ισ αλσο τρυε τηατ α χηοιχε φορ π οτηερ τηαν νορµαλ µαψ αλσο βε ινδιχατεδ βψ τηε πριορ ινφορµατιον. Εϖεν σο, ωηεν π ισ νορµαλ, τηε χλοσεδ φορµ οφ τηισ πριορ ισ νοτ αϖαιλαβλε, βυτ τηισ ωιλλ νοτ βε νεχεσσαρψ το χοµπυτε τηε ϖαλυε οφ τηε χριτεριον φυνχτιον ιν εθυατιον (16). Ρατηερ, ονλψ τηε χονδιτιοναλ διστριβυτιονσ ωιλλ βε υσεδ, ασ ωε σηοω νεξτ. Ωε χαν νοω δεριϖε τηε χοµπυτατιοναλ φορµυλασ ρεθυιρεδ το οβταιν τηε ϖαλυε φορ P γιϖεν ιν τηε χριτεριον φυνχτιον. Υσινγ τηε χονδιτιοναλ προβαβιλιτψ ρυλεσ φορ δενσιτιεσ, ωε χαν ωριτε P = P (μ1 ≤ μ2 − b | X1 , X2 )  = P (μ1 ≤ μ2 − b | X1 , X2 , β, τ 2 )h1 (β | X1 , X2 , τ 2 )h2 (τ 2 | X1 , X2 )dβdτ 2 (18)

ΣΤΟΧΗΑΣΤΙΧ ΜΕΑΣΥΡΕΣ ΤΟ ΧΟΜΠΑΡΕ ΦΑΙΛΥΡΕ−ΧΟΥΝΤ ΡΕΛΙΑΒΙΛΙΤΨ ΜΟ∆ΕΛΣ

105

ανδ τηεν νοτε τηατ τηε χονδιτιοναλ διστριβυτιον οφ μ1 − μ2 ισ νορµαλ ωιτη µεαν ανδ ϖαριανχε γιϖεν βψ m= ϖαρ =





σ22 σ12 − σ12 + τ 2 σ22 + τ 2 σ22 σ12 + σ12 + τ 2 σ22 + τ 2



β+



X1 X2 − 2 2 2 σ1 + τ σ2 + τ 2

τ2

Τηυσ, ωε χαν ωριτε τηε ⇒ρστ τερµ ιν τηε ιντεγραλ αβοϖε ασ  −b − m 2 √ P (μ1 ≤ μ2 − b | X1 , X2 , β, τ ) = ϖαρ



τ2

(19) (20)

(21)

ωηερε b = −γ (γρεατερ µεαν οφ X2 − σµαλλερ µεαν οφ X1 ), ωηερε γ ≥ 0 ισ α γιϖεν ασ ιν εθυατιον (16). Εθυατιον (21) αλλοωσ νυµεριχαλ χαλχυλατιον οφ P θυιτε εασιλψ φορ ϖαριουσ χηοιχεσ φορ h1 ανδ h2 βυτ ωουλδ νοτ βε τρυε ιφ π(μ1 , μ2 | β, τ 2 ) ωερε νοτ χηοσεν ασ νορµαλ. Εϖεν σο, ιν τηατ χασε τηε Μοντε Χαρλο εϖαλυατιον φορ P ισ στραιγητφορωαρδ. Ωε νοω γιϖε δεταιλσ φορ τηε νονινφορµατιϖε χασε. Τηε ινφορµα− τιϖε χασε ισ βεψονδ τηε σχοπε οφ τηισ βοοκ, αλτηουγη ιτ ωιλλ βε µεντιονεδ ιν χοµπαρισον. Φορ τηισ χασε ωε ασσυµε τηατ ονλψ ϖαγυε οπινιονσ οφ τηε ϖαλυεσ φορ μ1 ανδ μ2 αρε αϖαιλαβλε. Τηισ κνοωλεδγε ισ ρε⇓εχτεδ βψ τακινγ h1 ασ α νορµαλ διστριβυτιον ωηοσε ϖαριανχε αππροαχηεσ ιν⇒νιτψ ανδ h2 ασ h2 (τ 2 ) = (σ12 + σ22 + 2τ 2 )−1

(22)

Α τρυλψ νονινφορµατιϖε χασε φορ τηισ ϖαριανχε τψπε οφ ρανδοµ ϖαριαβλε τ 2 ωουλδ ηαϖε βεεν τηε ιµπροπερ χηοιχε 1/τ 2 . Ηοωεϖερ, τηισ δοεσ νοτ λεαδ το α προπερ ποστεριορ, ανδ ηενχε τηε φορεγοινγ χηοιχε ωασ υσεδ. Ιτ ισ αλσο τηε χασε τηατ ωε χαν αππροαχη τηε σαµε σιτυατιον βψ τακινγ τηε λιµιτ οφ υνιφορµ διστριβυτιονσ ον λαργερ ανδ λαργερ ιντερϖαλσ φορ τ 2 . Τηε δεταιλσ οφ τηε χηοιχεσ αβοϖε χαν βε φουνδ ιν τηε ωορκ οφ Βεργερ ανδ ∆εελψ [33] ανδ Σαηινογλυ ετ αλ. [34]. Γιϖεν τηισ µοδελ, τηε φολλοωινγ φορµυλα χαν βε δεριϖεδ: P =



0

2

 −t/2 −1/2 t γ 2 e 2 − t − √ dt 2 − t f (X1 , X2 )

(23)

e−t/2 t −1/2 dt/f (X1 , X2 ) ιντεγρατεσ το 1.0, ωηερε f (X1 , X2 ) ισ τηε νορµαλιζινγ φαχτορ. δενοτεσ τηε χ.δ.φ. οφ τηε στανδαρδ νορµαλ. Το σολϖε τηισ ιντεγραλ βψ υσινγ Μοντε Χαρλο σιµυλατιον, σιµυλατε ⎡ ⎛ ⎞ ⎤ " 2 γ ⎢ ⎜ ⎟ 2 2⎥ P ⎣Z ≤ ⎝ 2 − Z12 − " (24) ⎠ ∩ Z1 ≤  ⎦ 2 2 − Z1

106

ΣΟΦΤΩΑΡΕ ΡΕΛΙΑΒΙΛΙΤΨ ΜΟ∆ΕΛΙΝΓ

α λαργε νυµβερ N οφ τιµεσ φορ α γιϖεν γ > 0, ωηερε Z1 ισ α στανδαρδ νορµαλ ϖαριαβλε (σεε τηε βοοκ Χ∆−ΡΟΜ φορ αππλιχατιονσ). Τηατ ισ, δραω α στανδαρδ νορ− µαλ ϖαριαβλε Z1 τηατ σατισ⇒εσ Z12 ≤ 2 ; οτηερωισε, δραω ανοτηερ στανδαρδ νορµαλ ϖαριαβλε τηατ δοεσ. Αµονγ τηε φεασιβλε συχη χηοιχεσ m = 1, . . . , M τηατ σατισφψ τηισ χριτεριον, χαλχυλατε τηε εξπρεσσιον ⎛ ⎞ " 2 γ ⎜ ⎟

⎝ 2 − Z12 − " (25) ⎠ 2 − Z12

τηατ ισ, τηε θυαντιτψ

⎞⎤ " 2 γ ⎟⎥ ⎜ ⎢ qm = P ⎣Z ≤ ⎝ 2 − Z12 − " ⎠⎦ 2 − Z12 ⎛

⎡

φροµ στανδαρδ νορµαλ ταβλεσ. ∆ιϖιδε τηε ϖαλυε οφ συµ = ρυνσ. Τηε ⇒ναλ ρεσυλτ βεχοµεσ P = συµ/N . Νοτε τηατ =

M 1

(26)

qm βψ N σιµυλατιον

γρεατερ µεαν οφ X2 − σµαλλερ µεαν οφ X1 " s12 /n1 + s22 /n2

(27)

Ηοωεϖερ, φορ νονινφορµατιϖε ορ ⇓ατ πριορσ ωηεν γ = 0 (ε.γ., χαλχυλατινγ φορ Ω∆1), ωε οβταιν P = =

() − 0.5e−0.5 2 () − 1

2

2

0.83303 − 0.31351

(0.9662) − 0.5e−0.5(0.9662) = = 0.779 2 () − 1 1.66606 − 1

(28)

ασ ιν Ταβλε 2.7, ωηερε  = 0.966. Σεε τηε βοοκ Χ∆−ΡΟΜ ανδ χλιχκ ον τηε “ΦΛΑΤ” ϑαϖα προγραµ φορ σολυτιονσ ανδ πλοτσ. 2.2.5 Αππλιχατιονσ το ∆ατα Σετσ ανδ Χοµπυτατιονσ Ταβλεσ 2.9 το 2.13 χοϖερ δατα σετσ Ω∆1 το Ω∆5, ωηερε γ χονσταντ ισ ϖαριεδ βετωεεν 0.0 ανδ 1.0. X δενοτεσ ΑΡΕ φορ ΧΠΝΛΡ, Y δενοτεσ ΑΡΕ φορ ΧΠΜΛΕ, ανδ Z δενοτεσ ΑΡΕ φορ ΜΟ. Σιµιλαρλψ, U δενοτεσ ΣθΡΕ φορ ΧΠΝΛΡ, V δενοτεσ ΣθΡΕ φορ ΧΠΜΛΕ, ανδ W δενοτεσ ΣθΡΕ φορ ΜΟ. Εαχη ταβλε χονταινσ τηε προβ− αβιλιτψ τηατ μi > μj , ωηερε i, j = X, Y , Z φορ ΑΡΕ ανδ i, j = U , V , W φορ ΣθΡΕ, φορ i = j . Τηε µεανσ, mi , στανδαρδ ερρορσ, σmi , ανδ στανδαρδ δεϖιατιονσ, σi , οφ εαχη δατα σετ i = Ω∆1 το Ω∆5 (n = 18 χηεχκποιντσ βετωεεν τηε 10τη ανδ 95τη περχεντιλεσ, συχη ασ ιν Ταβλεσ 2.1 ανδ 2.2) αρε λιστεδ ιν Ταβλεσ 2.9 το 2.13 φορ Βαψεσιαν χοµπαρατιϖε προβαβιλιτιεσ [34]:

ΤΑΒΛΕ 2.9

Βαψεσιαν Νονινφορµατιϖε Πριορ Αναλψσισ Ρεσυλτσ φορ ∆ατα Σετ Ω∆1 γ

ΑΡΕ P (Y > X) P (Z > X) P (Z > Y ) ΑϖΣθΡΕ P (V > U ) P (W > U ) P (W > V )

ΤΑΒΛΕ 2.10

0.0

0.25

0.5

0.75

1.0

m1

σm1

σ1

m2

σm2

σ2

0.7799 0.9999 0.9994

0.6617 0.9947 0.9877

0.5346 0.9489 0.9218

0.3928 0.7592 0.7156

0.2377 0.3862 0.3773

0.094 0.334 0.334

0.019 0.066 0.066

0.08 0.28 0.28

0.070 0.070 0.097

0.016 0.016 0.019

0.0678 0.0678 0.0806

0.7384 0.9993 0.9988

0.6335 0.9868 0.9829

0.5264 0.9212 0.9049

0.4127 0.7069 0.6988

0.2913 0.3789 0.3579

0.773 6.70 6.70

3.28 28.42 28.42

1.20 1.20 1.96

0.544 0.544 0.773

2.31 2.31 3.28

1.96 24.8 24.8

Βαψεσιαν Νονινφορµατιϖε Πριορ Αναλψσισ Ρεσυλτσ φορ ∆ατα Σετ Ω∆2 γ

ΑΡΕ P (Y > X) P (Z > X) P (Z > Y ) ΑϖΣθΡΕ P (V > U ) P (W > U ) P (W > V )

0.0

0.25

0.5

0.75

1.0

m1

σm1

σ1

m2

σm2

σ2

0.5139 0.9913 0.9853

0.5075 0.9465 0.9225

0.5007 0.8176 0.7950

0.4916 0.6007 0.5710

0.4877 0.3232 0.3034

0.3357 0.5685 0.5685

0.054 0.074 0.074

0.23 0.31 0.31

0.3327 0.3327 0.3357

0.043 0.043 0.054

0.1833 0.1833 0.23

0.6321 0.9993 0.9988

0.5699 0.9848 0.9631

0.5105 0.9120 0.8656

0.4399 0.6956 0.6432

0.3862 0.3645 0.3257

8.324 15.87 15.87

35.32 67.33 67.33

34.69 88.74 88.74

30.34 30.34 34.69

5.877 5.877 8.324

24.93 24.93 35.32

107

108

ΤΑΒΛΕ 2.11

Βαψεσιαν Νονινφορµατιϖε Πριορ Αναλψσισ Ρεσυλτσ φορ ∆ατα Σετ Ω∆3 γ

ΑΡΕ P (X > Y ) P (X > Z) P (Y > Z) ΑϖΣθΡΕ P (U > V ) P (U > W ) P (V > W )

ΤΑΒΛΕ 2.12

0.0

0.25

0.5

0.75

1.0

m1

σm1

σ1

m2

σm2

σ2

0.8523 0.9912 0.9099

0.7262 0.9446 0.7829

0.5801 0.8239 0.6324

0.4148 0.6013 0.4531

0.2444 0.3227 0.2437

0.4044 0.4044 0.3446

0.0227 0.0227 0.0402

0.096 0.096 0.171

0.3446 0.2247 0.2247

0.0402 0.0616 0.0616

0.171 0.261 0.261

0.7151 0.7956 0.6563

0.6195 0.6727 0.5836

0.5118 0.5436 0.5184

0.4065 0.3929 0.4424

0.3105 0.2770 0.3740

58.59 58.59 49.72

6.231 6.231 10.70

26.44 26.44 45.40

49.72 39.09 39.09

10.70 17.91 17.91

45.40 75.99 75.99

Βαψεσιαν Νονινφορµατιϖε Πριορ Αναλψσισ Ρεσυλτσ φορ ∆ατα Σετ Ω∆4 γ

ΑΡΕ P (Y > X) P (Z > X) P (Z > Y ) ΑϖΣθΡΕ P (V > U ) P (W > U ) P (W > V )

0.0

0.25

0.5

0.75

1.0

m1

σm1

σ1

m2

σm2

σ2

0.6055 0.9999 0.9996

0.5505 0.9965 0.9877

0.50931 0.95663 0.93118

0.45862 0.77155 0.71945

0.40735 0.39987 0.38255

0.1713 0.4739 0.4739

0.0454 0.0695 0.0695

0.193 0.295 0.295

0.1516 0.1516 0.1713

0.037 0.037 0.045

0.1567 0.1567 0.1926

0.6693 0.9992 0.9973

0.5938 0.9873 0.9731

0.50761 0.91697 0.88532

0.42550 0.71516 0.65300

0.34967 0.37614 0.35569

12.70 60.44 60.44

5.386 14.12 14.12

22.85 59.91 59.91

9.112 9.112 12.70

3.564 3.564 5.386

15.12 15.12 22.85

ΤΑΒΛΕ 2.13

Βαψεσιαν Νονινφορµατιϖε Πριορ Αναλψσισ Ρεσυλτσ φορ ∆ατα Σετ Ω∆5 γ

ΑΡΕ P (Y > X) P (Z > X) P (Z > Y ) ΑϖΣθΡΕ P (U > V ) P (W > U ) P (W > V )

0.0

0.25

0.5

0.75

1.0

m1

σm1

0.9820 0.8689 0.9858

0.9106 0.7415 0.9251

0.7833 0.5638 0.07959

0.5696 0.4218 0.5615

0.2989 0.2215 0.2897

0.7120 0.2913 0.7120

0.0223 0.1256 0.0223

0.9676 0.9728 0.9919

0.8863 0.8970 0.9477

0.7290 0.7465 0.8279

0.5287 0.5290 0.6026

0.2976 0.2767 0.3321

16.93 74.44 74.44

4.695 24.92 24.92

σ1 0.095 0.533 0.095 19.92 105.73 105.73

m2

σm2

σ2

0.1679 0.1679 0.2913

0.0326 0.0326 0.1256

0.138 0.138 0.533

4.953 16.93 4.953

2.828 4.695 2.828

12.0 19.92 12.0

109

110

ΣΟΦΤΩΑΡΕ ΡΕΛΙΑΒΙΛΙΤΨ ΜΟ∆ΕΛΙΝΓ

2.2.6 ∆ισχυσσιον ανδ Χονχλυσιονσ

Probability

Τηε δατα ιν Ταβλεσ 2.7 ανδ 2.8 (συππορτεδ βψ σιµπλε αριτηµετιχ διφφερενχεσ ανδ τωο σαµπλε t−τεστσ ασ ωελλ ασ βραχκετεδ Βαψεσιαν προβαβιλιτιεσ οφ ηοω µυχη βεττερ ορ ωορσε ονε µαψ σχορε τηαν ανοτηερ ωιτη γ = 0) αρε πλοττεδ ιν Φιγυρεσ 2.17 ανδ 2.18 φορ Ω∆1 ονλψ. Ταβλεσ 2.9 το 2.13 σηοω ιν δεταιλ τηατ ασ τηε γ τολερανχε χονσταντ ινχρεασεσ φροµ γ = 0 ορ b = 0, ωηιχη ισ πυρελψ τηε ηψποτηεσισ οφ τεστινγ µεανσ συχη ασ H01 : μΑΡΕi = μΑΡΕj , i = j το γ = 1 ορ b = X 2 − X 1 , ιν τηε χριτεριον εθυατιον (16). Α χοµπετινγ µετηοδ’σ πρεδιχτιϖε αχχυραχψ προϖινγ α ποορερ (+ διφφερενχε) ορ βεττερ (− διφφερενχε) προβαβιλιτψ δεχρεασεσ ιν συππορτ οφ τηε t−τεστσ γιϖεν ιν Ταβλεσ 2.7 ανδ 2.8. Ωιτη τηε ινχρεασε ιν γ , τηε διφφερενχε βετωεεν τηε τωο σαµπλε µεανσ ισ δεχρεασεδ ιν τηε ηψποτηεσισ σεττινγ. Τηυσ, τηε προβαβιλιτψ τηατ ονε µεαν ισ γρεατερ τηαν τηε οτηερ ισ δεχρεασεδ. Νοτε τηατ

ProbY>X ProbZ>X ProbZ>Y

1 0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0 0

0.1

Probability

ΦΙΓΥΡΕ 2.17 Ω∆1.

0.2

0.3

0.4 0.5 0.6 0.7 Gamma Multiplier

0.8

0.9

1

Νονινφορµατιϖε προβαβιλιτιεσ φροµ Ταβλε 2.9 φορ τηε ΑΡΕ οφ δατα σετ

ProbV>U ProbW>U ProbW>V

1 0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0 0

0.1

0.2

0.3

0.4 0.5 0.6 0.7 Gamma Multiplier

0.8

0.9

1

ΦΙΓΥΡΕ 2.18 Νονινφορµατιϖε προβαβιλιτιεσ φροµ Ταβλε 2.9 φορ τηε ΑϖΣθΡΕ (ορ ΣΡΕ) οφ δατα σετ Ω∆1.

ΣΤΟΧΗΑΣΤΙΧ ΜΕΑΣΥΡΕΣ ΤΟ ΧΟΜΠΑΡΕ ΦΑΙΛΥΡΕ−ΧΟΥΝΤ ΡΕΛΙΑΒΙΛΙΤΨ ΜΟ∆ΕΛΣ

111

ονε χαν αλσο χονδυχτ τωο σαµπλε t−τεστσ οφ εθυαλιτψ οφ µεανσ βψ ινδιχατινγ α τολερανχε ορ τηρεσηολδ ιν τηε νυλλ ηψποτηεσισ ασ σηοων ιν τηε βοοκ’σ Χ∆−ΡΟΜ. Εµπιριχαλλψ, φροµ τηε εξαµπλεσ στυδιεδ, α νονινφορµατιϖε Βαψεσιαν προβαβιλιτψ αρε οφ εξχεεδινγ 0.9 φορ ΑΡΕ χοµπαρισονσ (νοτε τηατ λοωερ προβαβιλιτιεσ αρε ρεχορδεδ φορ ΣΡΕ ωιτη τηε σθυαρεδ πεναλτψ) υσινγ χριτεριον φυνχτιον (16) χονχυρσ στρονγλψ ωιτη τηε ρεϕεχτιον οφ τηε εθυαλιτψ οφ µεανσ ατ α σιγνι⇒χανχε οφ α = 0.5. Φορ εξαµπλε, τηε Βαψεσιαν νονινφορµατιϖε (ορ ⇓ατ, ωηερε ανψτηινγ γοεσ, ωιτη νο ρεστραιντ ον τηε πριορ ινφορµατιον οφ ϖαριανχε) προβαβιλιτιεσ οφ ΧΠΝΛΡ πρε− διχτινγ µορε αχχυρατελψ τηαν ΧΠΜΛΕ φορ ΑΡΕ ανδ ΣΡΕ αρε 0.7791 ανδ 0.7386, ρεσπεχτιϖελψ, φορ τηε σπεχιαλ χασε γ = 0. Ρεχαλλ τηατ τηισ προβαβιλιτψ ωασ νοτ αδεθυατε το ρεϕεχτ τηε εθυαλιτψ οφ ΑΡΕ. Φυρτηερ, Ταβλεσ 2.14 ανδ 2.15 χλεαρλψ σηοω τηατ τηεσε προβαβιλιτιεσ φαλλ το 0.65 ανδ 0.56 φορ ΑΡΕ ανδ ΣΡΕ, ρεσπεχ− τιϖελψ, ωηεν τηε υππερ βουνδαρψ C φορ τ 2 ισ νο λονγερ ιν⇒νιτε (ανψτηινγ γοεσ) βυτ ισ ρεστραινεδ βψ ρεασοναβλε ϖαλυεσ. Α τρενδ ιλλυστρατεδ ιν Φιγυρε 2.19, ωηερε C >> 0.002 φορ ΑΡΕ, ισ αλρεαδψ τοο λαργε το χαλλ φορ α νονινφορµατιϖε αππροαχη. Σιµιλαρλψ, C >> 2.4 φορ ΣΡΕ ιν Ταβλε 2.15 ισ τοο λαργε, ανδ ηενχε ωε θυιχκλψ αππροαχη ιν⇒νιτψ. ΤΑΒΛΕ 2.14 Ινφορµατιϖε Πριορ Ρεσυλτσ οφ Χοµπαρινγ Π (Ψ > Ξ ) φορ τηε ΑΡΕ ιν Ω∆1 φροµ Ταβλε 2.9α γ 2

τ (0, C) (0,∞) (0,0.001468) (0,0.001101) (0,0.000734) (0,0.000367)

0.0

0.1

0.25

0.77985 0.70375 0.69223 0.68632 0.64455

0.72499 0.68742 0.70382 0.67054 0.64581

0.66167 0.61351 0.59847 0.57585 0.56924

α 2

τ = (0, C = ∞) ⇒ νονινφορµατιϖε ρανγε, ωηερε C ισ τηε χον− σταντ φορ υππερ βουνδαρψ οφ τ 2

ΤΑΒΛΕ 2.15 Ινφορµατιϖε Πριορ Ρεσυλτσ οφ Π (ς > Υ ) φορ ΑϖΣθΡΕ ιν Ω∆1 φροµ Ταβλε 2.9α γ 2

τ (0, C) (0,∞) (0,2.4) (0,1.8) (0,1.2) (0,0.6) α 2

0.0

0.1

0.25

0.73841 0.67962 0.65597 0.62332 0.55602

0.69524 0.66515 0.64137 0.60757 0.59866

0.63301 0.52232 0.50739 0.47465 0.45853

τ = (0, C = ∞) ⇒ νονινφορµατιϖε ρανγε, ωηερε C ισ τηε χον− σταντ φορ υππερ βουνδαρψ οφ τ 2

112

ΣΟΦΤΩΑΡΕ ΡΕΛΙΑΒΙΛΙΤΨ ΜΟ∆ΕΛΙΝΓ

Gamma0 Gamma.1 Gamma.25

0.9 0.8

Probability

0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0 0

5

15 10 C x10000

20

25

ΦΙΓΥΡΕ 2.19 Ινφορµατιϖε προβαβιλιτιεσ φροµ Ταβλε 2.14 φορ τηε ΑΡΕ οφ Ω∆1.

Τηερεφορε, τηε ινφορµατιϖε τρεατµεντ οφ τηε προβλεµ µαψ βε ονλψ τοο προδυχ− τιϖε ιν τηε χασε οφ βορδερλινε δεχισιονσ βεχαυσε ωε αρε υσινγ µορε ινφορµατιϖε πριορσ τηαν νονε ιν ορδερ το προδυχε µορε σεχυρε ρεσυλτσ, συχη ασ τηεσε σηοων ιν Ταβλε 2.7 φορ ΜΟ ϖερσυσ ΧΠΝΛΡ ιν Ω∆3, ωιτη αν αριτηµετιχ διφφερενχε οφ −0.18, α t−τεστ στατιστιχ οφ −2.74, ανδ α Βαψεσιαν νονινφορµατιϖε χοµπαρατιϖε προβαβιλιτψ οφ 0.9912. Ιφ αν ινφορµατιϖε αππροαχη ωερε τακεν ηερε ωιτη ρεστραιντσ πλαχεδ ον τηε υππερ ϖαλυεσ οφ πριορ ϖαριανχε τ 2 , τηεν ΜΟ σχορινγ βεττερ τηαν ΧΠΝΛΡ ωουλδ βε χοντεστεδ δυε το α λοωερ (<0.9912) ινφορµατιϖε προβαβιλιτψ τηαν τηατ οφ α ⇓ατ πριορ, ασ τρενδσ σηοω ιν Ταβλε 2.14. Ιν συχη χοντεστεδ χοµπαρ− ισονσ, ιτ ισ υσεφυλ το τεστ υσινγ τηε ΣΡΕ (τηε σθυαρε πεναλτψ) ιν αδδιτιον το ΑΡΕ (τηε αβσολυτε πεναλτψ), ασ ιν Ταβλε 2.8, ρεσυλτινγ ιν τηε φαιλυρε το ρεϕεχτ (ορ αχχεπ− τανχε οφ) τηε ηψποτηεσισ οφ εθυαλιτψ οφ ΣΡΕ βετωεεν ΜΟ ανδ ΧΠΝΛΡ διφφερεντ φροµ αν εαρλιερ ρεϕεχτιον. Τηε Βαψεσιαν νονινφορµατιϖε χοµπαρατιϖε προβαβιλ− ιτψ οφ ρεϕεχτιον ωεντ το α ωεακερ 0.7956 φροµ αν εαρλιερ στρονγερ 0.9912. Τηε χονϖερσε ισ τρυε φορ τηε σαµε χοµπαρισον βετωεεν ΜΟ ανδ ΧΠΝΛΡ ιν δατα σετ Ω∆5, χηανγινγ τηε “αχχεπτ” δεχισιον το α “ρεϕεχτ” ωηεν ωε υσε Ταβλε 2.8 φορ ΣΡΕ ιν πλαχε οφ τηε ΑΡΕ χοµπαρισον ιν Ταβλε 2.7. Τηε Βαψεσιαν νονινφορµατιϖε χοµπαρατιϖε προβαβιλιτψ οφ ρεϕεχτιον ωεντ υπ το α στρονγερ 0.9728 φροµ αν εαρλιερ ωεακερ 0.8688. Νοτε τηατ στρονγερ Βαψεσιαν χοµπαρατιϖε προβαβιλιτιεσ σιγναλ α ρεϕεχτιον οφ εθυαλιτψ οφ πρεδιχτιϖε αχχυραχιεσ βετωεεν τωο χοµπετινγ µοδελσ. Τηισ ωαψ οφ θυαντιφψινγ ωηετηερ ονε µετηοδ ισ βεττερ (λοωερ ΑΡΕ ορ ΣΡΕ) ορ ωορσε (ηιγηερ ΑΡΕ ορ ΣΡΕ) τηαν ανοτηερ ισ φαρ µορε ρεαλιστιχ τηαν δεχιδινγ δετερµινιστιχαλλψ τηατ ονε µετηοδ ισ βεττερ µερελψ βψ χοµπαρινγ τηε ΑΡΕ ορ ΣΡΕ ϖαλυεσ, ορ δεχιδινγ στοχηαστιχαλλψ βψ περφορµινγ στατιστιχαλ ηψποτηεσεσ τεστσ οφ παιρωισε µεανσ, αν αππροαχη µορε ρεαλιστιχ τηαν σιµπλψ χοµπαρινγ σαµπλε µεαν ϖαλυεσ [12,34]. Ιν τηισ ωαψ, ονε χαν πλαχε α µεασυρε οφ θυαντι⇒χατιον ον ηοω µυχη βεττερ ορ ωορσε ονε µετηοδ ισ τηαν ανοτηερ ιν πρεδιχτιϖε αχχυραχψ.

ΡΕΦΕΡΕΝΧΕΣ

113

Ηοωεϖερ, τηισ θυαντι⇒χατιον χαννοτ βε τεστεδ ψετ, σο στατιστιχαλ ηψποτηεσεσ τεστσ µαψ βε υσεδ το ασσιστ δεχισιον µακερσ το ρεϕεχτ τηε εθυαλιτψ οφ µεανσ ορ φαιλυρε το ρεϕεχτ. Ονε µαψ τεστ τηε Βαψεσιαν προβαβιλιτψ ασ ιν H0 : P = P0 . Μορε ιν−δεπτη στυδψ χονχερνινγ ινφορµατιϖε πριορσ ισ ρεθυιρεδ. Ιν τηισ χηαπτερ, ηαλφ−νορµαλ διστριβυτιον ισ υσεδ φορ ινφορµατιϖε πριορ διστριβυτιον οφ τηε µεανσ, ΑΡΕ ανδ ΣΡΕ, το οβταιν Ταβλε 2.14 ορ 2.15. Ηοωεϖερ, τηε φορµυλατιον ισ βεψονδ τηε σχοπε οφ τηισ χηαπτερ βεχαυσε ΑΡΕ ανδ ΣΡΕ αρε ποσιτιϖε θυαντιτιεσ ωηοσε ιδεαλ ϖαλυεσ πεακ αρουνδ ζερο. Ρεχαλλ τηατ αν αβσολυτε πεναλτψ οφ δεϖιατιον οφ πρεδιχτιον φροµ τηε τρυε ϖαλυε χαν βε αττριβυτεδ το αλπηα τεστινγ (βεφορε τηε ρελεασε οφ σοφτωαρε), ιν τηε χασε οφ ΑΡΕ. Ηοωεϖερ, τηε µορε σεϖερε σθυαρεδ πεναλτψ δεϖιατιον οφ πρεδιχτιον φροµ τηε τρυε ϖαλυε µαψ ωελλ βε αττριβυτεδ το βετα τεστινγ (αφτερ τηε ρελεασε οφ σοφτωαρε), ασ ερρορσ αρε µορε χοστλψ το ρεδεεµ αφτερ σοφτωαρε ηασ βεεν ρελεασεδ το τηε ενδ υσερ. Τηε ιµπαχτ οφ τηισ µετηοδολογψ ον σοφτωαρε ρελιαβιλιτψ µεασυρεµεντ εµπλοψινγ α ϖαριετψ οφ µοδελσ ισ ρατηερ σιγνι⇒χαντ. Ιτ οπενσ α νεω αϖενυε φορ χοµπαρινγ ανδ χοντραστινγ τηε πρεδιχτιϖε αχχυραχψ οφ χοµπετινγ µετηοδσ’ ΑΡΕ (δυε το αν αβσολυτε πεναλτψ) ανδ ΣΡΕ (δυε το α σθυαρεδ πεναλτψ) ιν τερµσ οφ ηοω µυχη βεττερ ορ ωορσε τηεψ αρε ρατηερ τηαν ωηετηερ τηεψ αρε γοοδ ορ βαδ τψπεσ τηρουγη α θυαλιτατιϖε χοµπαρισον, ασ περφορµεδ εαρλιερ [5,12,18–20]. Ιν βριεφ, τηε νεωλψ προποσεδ στοχηαστιχ µεασυρεσ οφ χοµπαρισον αρε µορε αχχυρατε τηαν τηε αριτηµετιχ χοµπαρισονσ οφ ΑΡΕσ περφορµεδ χονϖεντιοναλλψ βψ σοφτωαρε αναλψστσ. Φιναλλψ, ωιτη τηε ρισινγ νυµβερ οφ σοφτωαρε ρελιαβιλιτψ εστι− µατιον µοδελσ, ιτ ισ εθυαλλψ ιµπορταντ το ασσεσσ τηε πρεδιχτιϖε αχχυραχψ (ορ φορεχαστ θυαλιτψ) οφ τηεσε µοδελινγ τεχηνιθυεσ [12,18,34,45–48]. Τηε µατεριαλ πρεσεντεδ ηερε ισ α νοϖελ αττεµπτ το θυαντιφψ τηε προβαβιλιτψ οφ ηοω µυχη βεττερ ονε µετηοδ’σ πρεδιχτιον αβιλιτψ ισ τηαν ανοτηερ’σ ρατηερ τηαν σιµπλψ χοντραστινγ ονε το ανοτηερ. Τηε προβαβιλιστιχ Βαψεσιαν χοµπυτατιοναλ τεχηνιθυε προποσεδ ισ συπεριορ το τηοσε τηατ σιµπλψ µεντιον τηατ ονε χοµπετινγ µετηοδ ηασ λεσσ ΑΡΕ ορ ΣΡΕ, ορ τηατ τηε t−τεστ οφ τηε εθυαλιτψ οφ τηε χορρεσπονδινγ µεανσ ισ ρεϕεχτεδ. ΡΕΦΕΡΕΝΧΕΣ 1. Ν. Φ. Σχηνειδεωινδ, Αναλψσισ οφ Ερρορ Προχεσσεσ ιν Χοµπυτερ Σοφτωαρε, Προχεεδ− ινγσ οφ τηε Ιντερνατιοναλ Χονφερενχε ον Ρελιαβλε Σοφτωαρε, Απριλ 21–23, 1975, ππ. 337–346. 2. Ν. Φ. Σχηνειδεωινδ ανδ Η. Μ. Ηοφφµανν, Αν Εξπεριµεντ ιν Σοφτωαρε Ερρορ ∆ατα Χολλεχτιον ανδ Αναλψσισ, ΙΕΕΕ Τρανσ. Σοφτωαρε Ενγ., 5(3), 276–286 (1979). 3. Α. Λ. Γοελ ανδ Κ. Οκυµοτο, Τιµε−∆επενδεντ Ερρορ−∆ετεχτιον Ρατε Μοδελ φορ Σοφτ− ωαρε Ρελιαβιλιτψ ανδ Οτηερ Περφορµανχε Μεασυρεσ, ΙΕΕΕ Τρανσ. Ρελιαβ., 28(3), 206–211 (1979). 4. Σ. Ψαµαδα ανδ Σ. Οσακι, Σοφτωαρε Ρελιαβιλιτψ Γροωτη Μοδελινγ: Μοδελσ ανδ Αππλι− χατιονσ, ΙΕΕΕ Τρανσ. Σοφτωαρε Ενγ., 11(12), 1431–1437 (1985). 5. ϑ. ∆. Μυσα, Α. Ιαννινο, ανδ Κ. Οκυµοτο, Σοφτωαρε Ρελιαβιλιτψ: Μεασυρεµεντ, Πρεδιχ− τιον, Αππλιχατιον, ΜχΓραω−Ηιλλ, Νεω Ψορκ, 1987.

114

ΣΟΦΤΩΑΡΕ ΡΕΛΙΑΒΙΛΙΤΨ ΜΟ∆ΕΛΙΝΓ

6. Μ. Ξιε, Σοφτωαρε Ρελιαβιλιτψ Μοδελσ: Α Σελεχτεδ Αννοτατεδ Βιβλιογραπηψ, Σοφτωαρε Τεστ. ςερι⇒χατιον Ρελιαβ., 3(1), 3–28 (1993). 7. ϑ. ∆. Μυσα ανδ Κ. Οκυµοτο, Α Λογαριτηµιχ Ποισσον Εξεχυτιον Τιµε Μοδελ φορ Σοφτωαρε Ρελιαβιλιτψ Μεασυρεµεντ, Προχεεδινγσ οφ τηε 7τη Ιντερνατιοναλ Χονφερενχε ον Σοφτωαρε Ενγινεερινγ, Ορλανδο, ΦΛ, ΙΕΕΕ Χοµπυτερ Σοχιετψ Πρεσσ, Λοσ Αλαµιτοσ, ΧΑ, 1984, ππ. 230–238. 8. Σ. Ρ. ∆αλαλ ανδ Α. Α. ΜχΙντοση, Ωηεν το Στοπ Τεστινγ φορ Λαργε Σοφτωαρε Σψστεµσ ωιτη Χηανγινγ Χοδε, ΙΕΕΕ Τρανσ. Σοφτωαρε Ενγ., 20(4), 318–323 (1994). 9. Μ. Σαηινογλυ, Τηε Λιµιτ οφ Συµ οφ Μαρκοϖ Βερνουλλι ςαριαβλεσ ιν Σψστεµ Ρελιαβιλιτψ Εϖαλυατιον, ΙΕΕΕ Τρανσ. Ρελιαβ., 39(1), 46–50 (1990). 10. Μ. Σαηινογλυ, Χοµπουνδ−Ποισσον Σοφτωαρε Ρελιαβιλιτψ Μοδελ, ΙΕΕΕ Τρανσ. Σοφτωαρε Ενγ., 18(7), 624–630 (1992). 11. Μ. Σαηινογλυ ανδ Υ. Χαν, Αν Εφ⇒χιεντ Πρεδιχτιϖε ΝΛΡ Μοδελ φορ Ρελιαβιλιτψ Μοδ− ελλινγ ιν Σοφτωαρε Τεστινγ, Προχεεδινγσ οφ τηε 2νδ Βελλχορε/Πυρδυε Σψµποσιυµ ον Ισσυεσ ιν Σοφτωαρε Ρελιαβιλιτψ Εστιµατιον, Βελλχορε, Λιϖινγστον, Νϑ, Οχτοβερ 12–13, 1992, ππ. 29–38. 12. Μ. Σαηινογλυ ανδ Υ. Χαν, Αλτερνατιϖε Παραµετερ Εστιµατιον Μετηοδσ φορ τηε Χοµ− πουνδ Ποισσον Σοφτωαρε Ρελιαβιλιτψ Μοδελ ωιτη Χλυστερεδ Φαιλυρε ∆ατα, ϑ. Σοφτωαρε Τεστ. Ρελιαβ. ςερι⇒χατιον, 17, 35–57 (1997). 13. Π. Ρανδολπη ανδ Μ. Σαηινογλυ, Α Χοµπουνδ Ποισσον Στοππινγ Ρυλε, ϑ. Αππλ. Στοχηασ− τιχ Μοδελσ ∆ατα Αναλ., 11(2), 135–143 (1995). 14. Γ. ϑ. Κνα⇓, Σολϖινγ Μαξιµυµ Λικελιηοοδ Εθυατιονσ φορ Τωο−Παραµετερ Σοφτωαρε Ρελιαβιλιτψ Μοδελσ Υσινγ Γρουπεδ ∆ατα, Προχεεδινγσ οφ τηε Ιντερνατιοναλ Σψµποσιυµ ον Σοφτωαρε Ρελιαβιλιτψ Ενγινεερινγ, 1992, ππ. 205–213. 15. Π. Β. Μορανδα, Πρεδιχτιον οφ Σοφτωαρε Ρελιαβιλιτψ ∆υρινγ ∆εβυγγινγ, Προχεεδινγσ οφ τηε Αννυαλ Ρελιαβιλιτψ ανδ Μαινταιναβιλιτψ Σψµποσιυµ, Ωασηινγτον, ∆Χ, ΙΕΕΕ Ρελι− αβιλιτψ Σοχιετψ, 1975, ππ. 27–33. 16. Σ. Κοτζ ανδ Ν. Λ. ϑοηνσον (εδσ.), Ενχψχλοπεδια οφ Στατιστιχαλ Σχιενχεσ, Ωιλεψ, Νεω Ψορκ, 1988, ςολ. 5, ππ. 92, 111–113; ςολ. 6, ππ. 169–176. 17. Μ. Σαηινογλυ, Αν Εµπιριχαλ Βαψεσιαν Στοππινγ Ρυλε ιν Τεστινγ ανδ ςερι⇒χατιον οφ Βεηαϖιοραλ Μοδελσ, ΙΕΕΕ Τρανσ. Ινστρυµ. Μεασ., 52, 1428–1443 (Οχτοβερ 2003). 18. Τ. ∆οωνσ ανδ Α. Σχοττ, Εϖαλυατινγ τηε Περφορµανχε οφ Σοφτωαρε−Ρελιαβιλιτψ Μοδελσ, ΙΕΕΕ Τρανσ. Ρελιαβ., 41(4), 533–538 (1992). 19. Τ. Μ. Κηοσηγοφτααρ, Β. Β. Βηατταχηαρψα ανδ Γ. ∆. Ριχηαρδσον, Πρεδιχτινγ Σοφτωαρε Ερρορσ, ∆υρινγ ∆εϖελοπµεντ, Υσινγ Νονλινεαρ Ρεγρεσσιον Μοδελσ: Α Χοµπαρατιϖε Στυδψ, ΙΕΕΕ Τρανσ. Ρελιαβ., 41(3), 390–395 (1992). 20. Τ. Μ. Κηοσηγοφτααρ, ϑ. Χ. Μυνσον, Β. Β. Βηατταχηαρψα ανδ Γ. ∆. Ριχηαρδσον, Πρεδιχ− τιϖε Μοδελινγ Τεχηνιθυεσ οφ Σοφτωαρε Θυαλιτψ φροµ Σοφτωαρε Μεασυρεσ, ΙΕΕΕ Τρανσ. Σοφτωαρε Ενγ., 18(11), 979–987 (1992). 21. Μ. Γ. Κενδαλλ ανδ Α. Στυαρτ, Τηε Αδϖανχεδ Τηεορψ οφ Στατιστιχσ, ςολ. 2, Ηαφνερ, Νεω Ψορκ, 1961. 22. Ν. Ρ. ∆ραπερ ανδ Η. Σµιτη, Αππλιεδ Ρεγρεσσιον Αναλψσισ, Ωιλεψ, Νεω Ψορκ, 1966. 23. Ψ. Βαρδ, Νονλινεαρ Παραµετερ Εστιµατιον, Αχαδεµιχ Πρεσσ, Νεω Ψορκ, 1974. 24. ϑ. ϑ. Μορ×ε, Τηε Λεϖενβεργ–Μαρθυαρδτ Αλγοριτηµ: Ιµπλεµεντατιον ανδ Τηεορψ, ιν Γ. Α. Ωατσον (εδ.), Νυµεριχαλ Αναλψσισ, Λεχτυρε Νοτεσ ιν Ματηεµατιχσ, Νο. 630, Σπρινγερ−ςερλαγ, Βερλιν, 1977, ππ. 105–116.

ΡΕΦΕΡΕΝΧΕΣ

115

25. Ω. ϑ. Κεννεδψ, ϑρ. ανδ ϑ. Ε. Γεντλε, Στατιστιχαλ Χοµπυτινγ, Μαρχελ ∆εκκερ, Νεω Ψορκ, 1980. 26. ΣΠΣΣ Ρεφερενχε Γυιδε, ΣΠΣΣ, Χηιχαγο, 1990 ππ. 475–488. 27. ∆. Μ. Σιεφερτ ανδ Γ. Ε. Σταρκ, Σοφτωαρε Ρελιαβιλιτψ Ηανδβοοκ: Αχηιεϖινγ Ρελιαβλε Σοφτωαρε, Αµεριχαν Ινστιτυτε οφ Αστροναυτιχσ ανδ Αεροναυτιχσ, Ρεστον, ςΑ, 1992. 28. Α. Ιαννινο, ϑ. ∆. Μυσα, Κ. Οκυµοτο ανδ Β. Λιττλεωοοδ, Χριτερια φορ Σοφτωαρε Ρελια− βιλιτψ Μοδελ Χοµπαρισονσ, ΙΕΕΕ Τρανσ. Σοφτωαρε Ενγ., 10(6), 687–691 (1984). 29. Ν. Φ. Σχηνειδεωινδ, Σοφτωαρε Ρελιαβιλιτψ Μοδελ ωιτη Οπτιµαλ Σελεχτιον οφ Φαιλυρε ∆ατα, ΙΕΕΕ Τρανσ. Σοφτωαρε Ενγ., 19(11), 1095–1104 (1993). 30. Ν. Φ. Σχηνειδεωινδ ανδ Η. Μ. Ηοφφµανν, Αν Εξπεριµεντ ιν Σοφτωαρε Ερρορ ∆ατα Χολλεχτιον ανδ Αναλψσισ, ΙΕΕΕ Τρανσ. Σοφτωαρε Ενγ., 5(3), 276–286 (1979). 31. Α. Α. Αβδελ−Γηαλψ, Π. Ψ. Χηαν ανδ Β. Λιττλεωοοδ, Εϖαλυατιον οφ Χοµπετινγ Σοφτωαρε Ρελιαβιλιτψ Πρεδιχτιονσ, ΙΕΕΕ Τρανσ. Σοφτωαρε Ενγ., 12(9), 950–967 (1986). 32. Μ. Ζηαο ανδ Μ. Ξιε, Ον τηε Λογ−Ποωερ Μοδελ ανδ Ιτσ Αππλιχατιονσ, Προχεεδινγσ οφ τηε Ιντερνατιοναλ Σψµποσιυµ ον Σοφτωαρε Ρελιαβιλιτψ Ενγινεερινγ, Ρεσεαρχη Τριανγλε Παρκ, ΝΧ, ΙΕΕΕ Χοµπυτερ Σοχιετψ, 1992, ππ. 14–22. 33. ϑ. Ο. Βεργερ ανδ ϑ. ϑ. ∆εελψ, Α Βαψεσιαν Αππροαχη το Ρανκινγ ανδ Σελεχτιον οφ Ρελατεδ Μεανσ ανδ Αλτερνατιϖεσ το ΑΟς Μετηοδολογψ, ϑ. Αµ. Στατ. Ασσοχ., 83, 364–373 (1988). 34. Μ. Σαηινογλυ, ϑ. ∆εελψ ανδ Σ. Χαπαρ, Στοχηαστιχ Βαψεσιαν Μεασυρεσ το Χοµπαρε Φορεχαστ Αχχυραχψ οφ Σοφτωαρε Ρελιαβιλιτψ Μοδελσ, ΙΕΕΕ Τρανσ. Ρελιαβ., 50, 92–97 (Μαρχη 2001). 35. Α. Λ. Γοελ, Σοφτωαρε Ρελιαβιλιτψ Μοδελσ: Ασσυµπτιονσ, Λιµιτατιονσ ανδ Αππλιχαβιλιτψ, ΙΕΕΕ Τρανσ. Σοφτωαρε Ενγ., 11(12), 1411–1423 (1985). 36. Μ.Σαηινογλυ ανδ Σ. Χαπαρ, Στατιστιχαλ Μεασυρεσ το Εϖαλυατε ανδ Χοµπαρε Πρεδιχτιϖε Θυαλιτψ οφ Σοφτωαρε Ρελιαβιλιτψ Εστιµατιον Μετηοδσ, Προχεεδινγσ οφ τηε Ιντερνα− τιοναλ Στατιστιχαλ Ινστιτυτε (ΙΣΙ’97), ΙΠ−46, Ιστανβυλ, Τυρκεψ, Αυγυστ 18–26, 1997, ππ. 525–528. 37. ϑ. Λ. Ροµευ, ∆ισχυσσιον οφ Ινϖιτεδ Παπερ: Στατιστιχαλ Μεασυρεσ το Εϖαλυατε ανδ Χοµ− παρε Πρεδιχτιϖε Θυαλιτψ οφ Σοφτωαρε Ρελιαβιλιτψ Εστιµατιον Μετηοδσ, Προχεεδινγσ οφ τηε Ιντερνατιοναλ Στατιστιχαλ Ινστιτυτε (ΙΣΙ’97), ΙΠ−46, Αυγυστ 18–26, 1997. 38. ϑ. Ο. Βεργερ, Στατιστιχαλ ∆εχισιον Τηεορψ ανδ Βαψεσιαν Αναλψσισ, Σπρινγερ−ςερλαγ, Νεω Ψορκ, 1985. 39. ϑ. ϑ. ∆εελψ ανδ ϑ. Β. Κεατσ, Βαψεσ Στοππινγ Ρυλεσ φορ Ρελιαβιλιτψ Τεστινγ ωιτη τηε Εξπονεντιαλ ∆ιστριβυτιον, ΙΕΕΕ Τρανσ. Ρελιαβ., 43(2), 288–293 (1994). 40. ϑ. ϑ. ∆εελψ ανδ Α. Φ. Μ. Σµιτη, Θυαντιτατιϖε Ρε⇒νεµεντσ φορ Χοµπαρισονσ οφ Ινστι− τυτιοναλ Περφορµανχε, ϑ. Ροψ. Στατ. Σοχ., Α (1997). 41. ϑ. ϑ. ∆εελψ ανδ Ω. ϑ. Ζιµµερ, Χηοοσινγ α Θυαλιτψ Συππλιερ: Α Βαψεσιαν Αππροαχη, Βαψεσιαν Στατ., 3, 585–592 (1988). 42. Α. Ε. Γελφανδ ανδ Α. Φ. Μ. Σµιτη, Βαψεσιαν Στατιστιχσ Ωιτηουτ Τεαρσ: Α Σαµ− πλινγ–Ρεσαµπλινγ Περσπεχτιϖε, Αµ. Στατ., 46(2), 84–88 (Μαψ 1992). 43. Μ. Σαηινογλυ ανδ Α. Κ. Αλκηαλιδι, Α Χοµπουνδ Ποισσον∧ ΛΣ∆ Στοππινγ Ρυλε φορ Σοφτωαρε Ρελιαβιλιτψ, πρεσεντεδ ατ τηε 5τη Ωορλδ Μεετινγ οφ ΙΣΒΑ, Σατελλιτε Μεετινγ το ΙΣΙ−97, Ιστανβυλ, Τυρκεψ, Αυγυστ 1997.

116

ΣΟΦΤΩΑΡΕ ΡΕΛΙΑΒΙΛΙΤΨ ΜΟ∆ΕΛΙΝΓ

44. Μ. Σαηινογλυ, Νεγατιϖε Βινοµιαλ ∆ενσιτψ οφ τηε Σοφτωαρε Φαιλυρε Χουντ, Προχεεδινγσ οφ τηε 5τη Ιντερνατιοναλ Σψµποσιυµ ον Χοµπυτερ ανδ Ινφορµατιον Σχιενχεσ (ΙΣΧΙΣ), ςολ. 1, 1990, ππ. 231–239. 45. Τ. Α. Μαζζυχηι ανδ Ρ. Σοψερ, Α Βαψεσ Εµπιριχαλ−Βαψεσ Μοδελ φορ Σοφτωαρε Ρελια− βιλιτψ, ΙΕΕΕ Τρανσ. Ρελιαβ., 37(3), 248–254 (1988). 46. Τ. Α. Μαζζυχηι ανδ Ρ. Σοψερ, Σοφτωαρε Ρελιαβιλιτψ Σοφτωαρε Ασσεσσµεντ Υσινγ Ποσ− τεριορ Αππροξιµατιονσ, ιν Ρ. Μ. Ηειβεργερ (εδ.), Χοµπυτερ Σχιενχε ανδ Στατιστιχσ: Προχεεδινγσ οφ τηε 19τη Σψµποσιυµ ον τηε Ιντερφαχε, 1987, ππ. 400–402. 47. Ν. Φ. Σχηνειδεωινδ, Μετηοδ φορ ςαλιδατινγ Σοφτωαρε Μετριχσ, ΙΕΕΕ Τρανσ. Σοφτωαρε Ενγ., 18, 410–422 (1992). 48. Ω. ϑ. Ζιµµερ ανδ ϑ. ϑ. ∆εελψ, Α Βαψεσιαν Ρανκινγ οφ Συρϖιϖαλ ∆ιστριβυτιονσ Υσινγ Αχχελερατεδ ορ Χορρελατεδ ∆ατα, ΙΕΕΕ Τρανσ. Ρελιαβ., 45(3), 499–504 (1996).

ΕΞΕΡΧΙΣΕΣ 2.1 Υσινγ τηε ινπυτ δατα φορ Ω∆1 ιν Ταβλε 2.1 ανδ Ταβλε 2.4 βψ αππλψινγ τηε στραιγητφορωαρδ αναλψτιχαλ ΧΠΜΛΕ µετηοδ ασ ιν εθυατιονσ (6) το (8), ϖεριφψ τηε Xτοτ χαλχυλατιονσ φορ 20, 50, ανδ 70%. Ψου σηουλδ γετ Xτοτ = 125, Xτοτ = 148, ανδ Xτοτ = 131.4 υσινγ α χαλχυλατορ. 2.2 ∆ο τηε σαµε ασ ιν Ταβλεσ 2.2 ανδ 2.4 φορ Ω∆1 βψ αππλψινγ τηε ΣΠΣΣ (Στατιστιχαλ Σοφτωαρε Παχκαγε) ιµπλεµεντινγ τηε ΧΠΝΛΡ τεχηνιθυε, ωηιχη φολλοωσ τηε Λ−Μ αλγοριτηµ, ανδ υσε εθυατιονσ (8) ανδ (10). Στοπ ατ 50% οφ τηε οβσερϖατιονσ ανδ τηεν εστιµατε ασ φολλοωσ: (α) Χλιχκ ον τηε ΣΠΣΣ Ωινδοωσ ϖερσιον αϖαιλαβλε φορ ΠΧσ. (β) Γο το “Φιλεσ” ανδ ασκ φορ τηε “50ΠΕΡ.ΣΑς” ινπυτ δατα ⇒λε, ωηιχη χονταινσ τηε ινπυτ δατα υπ το ανδ ινχλυδινγ 50% οφ τηε µεασυρεµεντσ, ασ ιν Φιγυρε 2.11. Ιφ νοτ αϖαιλαβλε, πρεπαρε ψουρ οων ινπυτ ταβλε. (χ) Χλιχκ ον “Στατιστιχσ” ιν τηε µενυ βαρ, τηεν χλιχκ “Ρεγρεσσιον” ανδ “Νον− λινεαρ.” Σταψ ιν Φιγυρε 2.12. (δ) Χλιχκ ον τηε νονλινεαρ ρεγρεσσιον φραµε ανδ εντερ “ΞΠΑΣΤ” φορ τηε “∆επενδεντ” ωινδοω. (ε) Φορ τηε “Μοδελ Εξπρεσσιον” ωινδοω, εντερ ΞΤΟΤ−(ΒΕΤΑ/Π)∗ ΤΡΕΜ. (φ) Φορ τηε “Νονλινεαρ Ρεγρεσσιον: Παραµετερσ” ωινδοω, εντερ τηε υνκνοων ινιτιαλ ϖαλυεσ: Ναµε: ΞΤΟΤ, Σταρτινγ (ινιτιαλ) ςαλυε: 100, τηεν χλιχκ Α∆∆; Ναµε: ΒΕΤΑ, Σταρτινγ (ινιτιαλ) ςαλυε: 1, τηεν χλιχκ Α∆∆; Ναµε: Π, Σταρτινγ (ινιτιαλ) ςαλυε: 1, τηεν χλιχκ Α∆∆. Νοω χλιχκ ον “ΧΟΝΤΙΝΥΕ.” (γ) Φορ τηε Λοσσ−Φυνχτιον συβµενυ, χηοοσε “Συµ οφ Σθυαρεδ Ρεσιδυαλσ” αβουτ Λ−Μ. (η) Φορ τηε Χονστραιντσ συβµενυ, χηοοσε “Υνχονστραινεδ.”

117

ΕΞΕΡΧΙΣΕΣ

(ι) Χλιχκ ΟΚ το ⇒ναλιζε τηε χαλχυλατιονσ ανδ ρεχειϖε τηε χονϖεργενχε ταβλε ιν Φιγυρε 2.13. (ϕ) Ρεαδ Ρ−Σθυαρε = 0.93(ϖερψ γοοδ) ανδ ΞΤΟΤ = 132.23 ωιτη 95% υππερ ανδ λοωερ χον⇒δενχε εστιµατεσ. 2.3 Ρεπεατ Εξερχισε 2.2 φορ 70% χυµυλατεδ δατα. 2.4 ∆οωνλοαδ δατα σετ Ω∆2 φροµ τηε Χ∆−ΡΟΜ ανδ δο ασ ιν Εξερχισεσ 2.1, 2.2, ανδ 2.3. 2.5 ∆οωνλοαδ δατα σετ Ω∆3 φροµ τηε Χ∆−ΡΟΜ (σεε Ταβλε 2.5) ανδ δο ασ ιν Εξερχισε 2.4. 2.6 ∆οωνλοαδ δατα σετ Ω∆4 φροµ τηε Χ∆−ΡΟΜ ανδ δο ασ ιν Εξερχισε 2.4. 2.7 ∆οωνλοαδ δατα σετ Ω∆5 φροµ τηε Χ∆−ΡΟΜ (σεε Ταβλε 2.6) ανδ δο ασ ιν Εξερχισε 2.4. 2.8 ςεριφψ Ταβλεσ 2.7 ανδ 2.8 φορ τηε t−τεστσ υσινγ τηε τωο−σαµπλε t−τεστ προγραµ ον τηε Χ∆−ΡΟΜ. 2.9 (Νονινφορµατιϖε Βαψεσ) Υσινγ Ταβλεσ 2.9 το 2.13 ανδ τηε ΦΛΑΤ προγραµ ον τηε Χ∆−ΡΟΜ συχη ασ ιν Φιγυρεσ Ε2.9(a) ανδ Ε2.9(b) οφ Ω∆1 φορ χοµπαρινγ ΧΠΝΛΡ ωιτη ΧΠΜΛΕ ανδ ΜΟ, ρεσπεχτιϖελψ, ϖεριφψ τηε ταβλεσ. Νοτε τηατ τηερε µαψ βε διφφερενχεσ δυε το ρουνδ−οφφ ερρορ.

ΦΙΓΥΡΕ Ε2.9(α)

118

ΣΟΦΤΩΑΡΕ ΡΕΛΙΑΒΙΛΙΤΨ ΜΟ∆ΕΛΙΝΓ

ΦΙΓΥΡΕ Ε2.9(β)

2.10 Υσινγ σοµε οτηερ χοµπετινγ σοφτωαρε ρελιαβιλιτψ φαιλυρε−χουντ πρεδιχτιον τεχηνιθυεσ ωηοσε ουτπυτ δατα ψου κνοω, χοµπαρε ανψ παιρ οφ µετηοδσ εµπλοψινγ τηε τωο−σαµπλε t−τεστ ανδ νονινφορµατιϖε Βαψεσιαν αππροαχηεσ, υσινγ ΦΛΑΤ σοφτωαρε ιν Χ∆−ΡΟΜ. Ιτ ισ ρεθυιρεδ τηατ ατ λεαστ 15 πρεδιχ− τιονσ αρε πρεχαλχυλατεδ το φυλ⇒λλ τηε υνδερλψινγ στατιστιχαλ νορµαλ−τηεορψ ασσυµπτιονσ. Αλσο, χοµπαρε τηε ΑΡΕ ορ ΣΡΕ ϖερσυσ 0 (ζερο) συχη ασ ιν α ονε−σαµπλε ριγητ−ταιλεδ t−τεστ το δεχιδε ιφ ψουρ ινδιχατορ οφ πρεδιχτιϖε θυαλ− ιτψ χαν βε αχχεπτεδ ορ ρεϕεχτεδ ϖερσυσ περφεχτ αχχυραχψ ωιτη 0.0% (ορ 0.1% ορ 0.2%) πρεχισιον.

Μεν οφ Γοδ’σ τρυτη αρε αν οχεαν, Λοϖερσ µυστ πλυνγε ιντο τηατ σεα; Τηε σαγεσ τοο, σηουλδ ρισκ α διϖε, Το βρινγ ουτ τηε βεστ ϕεωελρψ. —Ψυνυσ Εµρε, τηε λεγενδαρψ µψστιχ φολκ ποετ (1238–1320)

3 ΘΥΑΝΤΙΤΑΤΙςΕ ΜΟ∆ΕΛΙΝΓ ΦΟΡ ΣΕΧΥΡΙΤΨ ΡΙΣΚ ΑΣΣΕΣΣΜΕΝΤ 3.1 ∆ΕΧΙΣΙΟΝ ΤΡΕΕ ΜΟ∆ΕΛ ΤΟ ΘΥΑΝΤΙΦΨ ΡΙΣΚ Νυτσηελλ 3.1 Σεϖεραλ σεχυριτψ ρισκ τεµπλατεσ εµπλοψ νονθυαντιτατιϖε αττριβυτεσ το εξπρεσσ α ρισκ’σ σεϖεριτψ. Τηισ αππροαχη ισ ηιγηλψ συβϕεχτιϖε ανδ ϖοιδ οφ αχτυαλ ⇒γυρεσ. Τηε αυτηορ’σ δεσιγν προϖιδεσ α θυαντιτατιϖε τεχηνιθυε ωιτη αν υπδατεδ ρεποσιτορψ ον ϖυλνεραβιλιτιεσ, τηρεατσ, ανδ χουντερµεασυρεσ το χαλχυλατε ρισκ. 3.1.1 Μοτιϖατιον Εϖερψ δαψ, Ι δριϖε το µψ οφ⇒χε ατ Τροψ Υνιϖερσιτψ’σ Χοµπυτερ Σχιενχε ∆επαρτ− µεντ λοχατεδ ατ Γυντερ Αιρ Φορχε Βασε ιν Μοντγοµερψ, Αλαβαµα. ∆υρινγ τηε µορνινγ ϕουρνεψ, Ι οφτεν γλανχε ατ τωο βιλλβοαρδσ τηατ αρε ον τηε ωαψ. Ονε σηοωσ “ωεατηερ χονδιτιον” θυαντιτατιϖελψ, συχη ασ 68◦ Φ (ιτ δοεσ νοτ σαψ “ροοµ τεµπερ− ατυρε” ορ “ωαρµ” ορ “χολδ”). Τηε σεχονδ ισ ατ τηε γατε ωηερε Ι σηοω µψ πασσ το εντερ, ωηερε τηε βιλλβοαρδ σαψσ, “Προτεχτιον: ΑΛΠΗΑ” ορ “ΒΡΑςΟ” ορ “ΧΗΑΡΛΙΕ” ορ “∆ΕΛΤΑ,” φροµ λεαστ το µοστ σεϖερε (γρεεν, ψελλοω, ορανγε, ανδ ρεδ ιν τηε χιϖιλιαν σεχτορ), α θυαλιτατιϖε ινδιχατορ οφ τηε βασε’σ δαιλψ σεχυριτψ βασεδ ον α νατιοναλ δατα ρεποσιτορψ. Λικε οτηερ πασσερσβψ, Ι δο νοτ κνοω ηοω το διφφερεντιατε τοδαψ’σ ρισκ φροµ ψεστερδαψ’σ. Ι ωιση τηερε ωερε αν ινδεξ ϖαλυε, συχη ασ 95 ουτ οφ 100, σο τηατ Ι χουλδ τελλ ϕυστ ηοω σεχυρε ωε ωερε τηουγητ το βε, σιµιλαρ το τηε ωαψ ωε θυαντιφψ τηε ωεατηερ. Ασ παρτ οφ µψ ρεσεαρχη το θυαντιφψ ρισκ (ασσεσσ ιτ νυµεριχαλλψ), α σεχυριτψ µετερ δεσιγν τηατ ισ σψστεµ−σπεχι⇒χ υνδερ τηε πρεϖαλεντ χονδιτιονσ περ υνιτ τιµε ισ προποσεδ [1]. Τηισ τεχηνιθυε προϖιδεσ α πυρελψ θυαν− τιτατιϖε ανδ α σεµιθυαντιτατιϖε (ηψβριδ) αλτερνατιϖε το φρεθυεντλψ υσεδ θυαλιτατιϖε Τρυστωορτηψ Χοµπυτινγ: Αναλψτιχαλ ανδ Θυαντιτατιϖε Ενγινεερινγ Εϖαλυατιον, Βψ Μ. Σαηινογλυ Χοπψριγητ  2007 ϑοην Ωιλεψ & Σονσ, Ινχ.

119

120

ΘΥΑΝΤΙΤΑΤΙςΕ ΜΟ∆ΕΛΙΝΓ ΦΟΡ ΣΕΧΥΡΙΤΨ ΡΙΣΚ ΑΣΣΕΣΣΜΕΝΤ

µοδελσ τηατ δο νοτ γενερατε πυβλιχ ιντερεστ ανδ αωαρενεσσ οφ α πραχτιχαλ υσερ− φριενδλψ ορ τανγιβλε σεχυριτψ χονχεπτ. Τηοσε οφ Σψµαντεχ ατ ωωω.σψµαντεχ.χοµ, ωωω.δσδλαβσ.χοµ/σεχυριτψ.ητµ οφ ∆ατα Σψστεµ ∆εσιγν Λαβσ ορ ιν ΝΣΦ’σ 2002 ωορκσηοπ ρεπορτ ωωω.νσφ.γοϖ/πυβσ/νσφ03209/σταρτ.ητµ ορ ρεχεντλψ τηε ποπυλαρ ατταχκ τρεεσ ορ σιµιλαρ αρε θυαλιτατιϖε ανδ αττριβυτε βασεδ, νοτ νυµεριχαλ ανδ χοστ χονϖερτιβλε [2–4]. Μορεοϖερ, θυαντιτατιϖε ρισκ µεασυρεµεντσ αρε νεεδεδ το χοµπαρε αλτερνατιϖεσ οβϕεχτιϖελψ ανδ χαλχυλατε µονεταρψ ⇒γυρεσ φορ ρεδυχινγ ορ µινιµιζινγ εξιστινγ ρισκ. Τηερε αρε ϖιρτυαλλψ νο συχη θυαντιτατιϖε µεασυρεσ ιν αχαδεµια ορ τηε χορπο− ρατε ωορλδ, οτηερ τηαν ηιγη, µεδιυµ, ορ λοω δενοµινατιονσ. Αµονγ τηοσε εξιστινγ αναλψσεσ, συχη ασ χαπαβιλιτψ−βασεδ ατταχκ τρεεσ ορ ατταχκ παττερνσ, νον−Βαψεσιαν σπαµ ⇒λτερινγ ορ ιντρυσιον−αωαρε δεσιγν, ορ ΤΤ∆ (τιµε−το−δεφεατ) µοδελσ, ωηιχη φαϖορ α θυαντιτατιϖε στυδψ, ειτηερ (1) τηερε ισ νο προβαβιλιστιχ φραµεωορκ ρεγαρδινγ ωηετηερ το αδδ ορ µυλτιπλψ ρισκσ ιν α προβαβιλιστιχ φραµε οφ µινδ, ορ (2) τηε ρισκ χαλχυλατιονσ αρε ηανδλεδ λοοσελψ ονε βψ ονε ιν α νονσψστεµατιχ αππροαχη [5,6]. Σεε τηε αππενδιξεσ φορ δεσχριπτιονσ οφ µετηοδσ οφ αναλψσισ τηατ ωιτηιν α νονπροβ− αβιλιστιχ φραµεωορκ δο νοτ προϖιδε αν αχχυρατε οϖεραλλ ρισκ ασσεσσµεντ, αλτηουγη τηεψ χαρρψ αν εµπιριχαλ ϖαλυε το θυαλιφψ τηε ρισκ—βεττερ τηαν νονε ατ αλλ. Ιν τηισ χηαπτερ, αλονγ ωιτη τηε πυρελψ θυαντιτατιϖε σεχυριτψ µετερ µοδελ ασ τηε δατα αλλοω, ωε λοοκ ατ α προποσεδ µοδι⇒χατιον οφ α δεχισιον τρεε–βασεδ σεχυριτψ µετερ µοδελ φορ θυαλιτατιϖε αττριβυτεσ ιν χασε θυαντιτατιϖε δατα αρε νοτ αϖαιλαβλε, γιϖεν τηατ τηε υνδερλψινγ προβαβιλιστιχ ασσυµπτιονσ ηολδ [1,7–9]. Φολλοωινγ τηε σεχυριτψ µετερ αναλψσισ, πριοριτιζατιον οφ σοφτωαρε µαιντενανχε ισ αλσο αχηιεϖεδ βψ ρανκινγ τηε ϖυλνεραβιλιτιεσ φροµ ωορστ το λεαστ σεϖερε τηρουγη α Βαψεσιαν αναλψσισ [10]. Φυρτηερ, ιµπερφεχτιονσ συχη ασ τηε νονδισϕοιντνεσσ οφ ϖυλνεραβιλι− τιεσ ανδ τηρεατσ αρε τρεατεδ υσινγ λαωσ οφ προβαβιλιτψ [11]. Τηε µοδελ προποσεδ ισ πραχτιχαλ ανδ σιµπλε το υσε φορ βεγιννερσ ιν τηε ⇒ελδ, βυτ ιτ αλσο προϖιδεσ α µατηεµατιχαλ–στατιστιχαλ φουνδατιον ον ωηιχη στρατεγιστσ ορ πραχτιτιονερσ χαν χονστρυχτ α πραχτιχαλ ρισκ ϖαλυατιον. Τηε προβαβιλιστιχ ασσυµπτιονσ φορ τηε Μοντε Χαρλο σιµυλατιον ρεϖολϖε αρουνδ υσινγ α σιµπλε υνιφορµλψ διστριβυτεδ ρανδοµ ϖαριαβλε φορ τηε ινπυτ ϖαριαβλεσ βψ ασσιγνινγ αν υππερ ανδ α λοωερ βουνδ. Τηε σιµυλατιον χαν βε ιµπροϖεδ βψ υσινγ οτηερ στατιστιχαλ διστριβυτιονσ [12]. 3.1.2 Ρισκ Σχεναριοσ Χονϖεντιοναλλψ, ρισκ σχεναριοσ ινϖολϖε ποσσιβλε χηανχε−βασεδ χαταστροπηιχ φαιλ− υρεσ υσινγ σχαρχε µοδελινγ οφ µαλιχιουσλψ δεσιγνεδ ηυµαν ιντερϖεντιονσ τηατ τηρεατεν ινηερεντ σψστεµ ϖυλνεραβιλιτιεσ. Ρισκ σχεναριοσ ινϖολϖινγ χριτιχαλ χοµ− πυτερ χοµµυνιχατιον νετωορκσ αρε νοω µορε περϖασιϖε ανδ σεϖερε τηαν εϖερ βεφορε βεχαυσε οφ τηε χολοσσαλ ρεδεµπτιον χοστ οφ νονµαλιχιουσ χηανχε φαιλυρεσ τηατ οχχυρ δυε το ινσυφ⇒χιεντ τεστινγ ανδ λαχκ οφ αδεθυατε ρελιαβιλιτψ. Ωε χαν υσε σοφτωαρε ρελιαβιλιτψ µοδελινγ ανδ τεστινγ τεχηνιθυεσ το εξαµινε τηεσε χηανχε φαιλυρεσ ιν µορε δεταιλ [13,14]. Βυτ σοφτωαρε σεχυριτψ τεστινγ ισ α νεω ⇒ελδ [15]. Φορ τηε ιντεντιοναλ φαιλυρεσ ορ µαλιχιουσ αχτιϖιτιεσ τηατ χριτιχαλλψ ινχρεασε τηε ρισκ οφ ιλλ−δε⇒νεδ ατταχκσ, α πηψσιχαλ σχεναριο ηασ νοτ βεεν τηορουγηλψ µοδελεδ, ατ

∆ΕΧΙΣΙΟΝ ΤΡΕΕ ΜΟ∆ΕΛ ΤΟ ΘΥΑΝΤΙΦΨ ΡΙΣΚ

121

λεαστ νοτ ονε τηατ χονσιδερσ α υνι⇒εδ χονσιστεντ σχηεµε οφ ϖυλνεραβιλιτιεσ, τηρεατσ, ανδ χουντερµεασυρεσ. Α θυαντιτατιϖε ρισκ ασσεσσµεντ προϖιδεσ ρεσυλτσ ιν νυµβερσ τηατ µαναγεµεντ χαν υνδερστανδ, ωηερεασ α θυαλιτατιϖε αππροαχη, αλτηουγη εασιερ το ιµπλεµεντ, µακεσ ιτ διφ⇒χυλτ το τραχε γενεραλιζεδ δεσχριπτιϖε ρεσυλτσ. Τηε σεχυ− ριτψ µετερ δεσιγν προποσεδ, ωηιχη ⇒λλσ α ϖοιδ ιν τηε αρενα οφ µυχη−σουγητ−αφτερ θυαντιτατιϖε ρισκ εϖαλυατιον, χοµπαρεσ φαϖοραβλψ το µοστ χυρρεντ ασσεσσµεντσ τηατ προϖιδε θυαλιτατιϖε ρεσυλτσ. Τηισ ισ αχηιεϖεδ βψ χονστρυχτινγ α προβαβιλιστιχαλλψ αχχυρατε θυαντιτατιϖε µοδελ το µεασυρε σεχυριτψ ρισκ [1]. Τηισ χονχρετε νυµερι− χαλ αππροαχη, ωηιχη αλωαψσ ωορκσ φορ αλλ σψστεµσ, χαν φυρτηερ φαχιλιτατε σεχυριτψ ρισκ µαναγεµεντ ανδ σεχυριτψ τεστινγ. Τηισ µεανσ τηατ τηε ⇒ναλ ρισκ µεασυρε, χαλχυλατεδ ασ α περχενταγε, χαν βε τεστεδ, ιµπροϖεδ, χοµπαρεδ, ανδ βυδγετεδ, ασ οπποσεδ το αττριβυτεσ συχη ασ ηιγη, µεδιυµ, ορ λοω, ωηιχη χαννοτ βε µαναγεδ ορ θυαντι⇒εδ νυµεριχαλλψ ανδ µονεταριλψ φορ αν οβϕεχτιϖε ασσεσσµεντ. Βανκσ ανδ οτηερ ⇒νανχιαλ ινστιτυτιονσ εµπλοψ σεϖεραλ χοµµερχιαλλψ αϖαιλαβλε σεχυριτψ ρισκ τεµπλατεσ, µοστλψ ιν ϖερβαλ ορ θυαλιτατιϖε φορµ, τηατ εξπρεσσ τηε σεϖεριτψ οφ α ρισκ βψ α χλασσι⇒χατιον οφ αττριβυτεσ συχη ασ λοω, µεδιυµ, ορ ηιγη. Τηισ αππροαχη ισ νοτ ονλψ ηιγηλψ συβϕεχτιϖε βυτ αλσο λαχκσ αχτυαλ ρισκ ⇒γυρεσ. Θυαντιτατιϖε ρισκ ⇒γυρεσ ηελπ µιτιγατε ορ αϖοιδ φυτυρε ερρορσ βψ αλλοωινγ ρισκ µαναγερσ το χοµπαρε προϕεχτ αλτερνατιϖεσ οβϕεχτιϖελψ ανδ ιδεντιφψ πριοριτιεσ φορ σοφτωαρε µαιντενανχε. Ιν εξιστινγ αναλψσεσ τηατ φαϖορ θυαντιτατιϖε στυδψ, ειτηερ α προβαβιλιστιχ φραµεωορκ ρεγαρδινγ ωηετηερ το αδδ ορ µυλτιπλψ ρισκσ δοεσ νοτ εξιστ, ορ τηε ρισκ χαλχυλατιονσ αρε ηανδλεδ ον α χασε−βψ−χασε βασισ ωιτηουτ α νετωορκ−οριεντεδ χονχλυσιον. Ωιτηουτ υσινγ α προβαβιλιστιχ φραµεωορκ συχη ασ τηε ονε συγγεστεδ ιν τηε σεχυριτψ µετερ δεσιγν (Φιγυρε 3.1), χονχλυσιονσ ρεγαρδινγ τηε σεϖεριτψ οφ α ρισκ µαψ βε µισλεαδινγ ανδ χοστλψ, δυε το οϖερ− ορ υνδερεστιµατιον, εσπεχιαλλψ δυρινγ περιοδσ οφ µιλιταρψ χον⇓ιχτ, ωηεν ρισκ σχεναριοσ αρε υνδερεστιµατεδ. Τηε σεχυριτψ µετερ δεσιγν χουλδ βε υσεφυλ νοτ ονλψ φορ χοµµερχιαλ χοµπανιεσ ανδ µιλιταρψ ορ γοϖερνµεντ εντιτιεσ ωηοσε ϕοβ ιτ ισ το ρυν δαιλψ ρισκ ασσεσσµεντσ, βυτ αλσο φορ ρεγυλαρ ενδ υσερσ συχη ασ περσονσ σενδινγ ε−µαιλ φροµ ηουσεηολδ ΠΧσ. Μυχη στατιστιχαλ πλαννινγ ανδ δεσιγν ρεµαινσ το βε δονε το ρεαχη α ποιντ ωηερε ενδ υσερσ οφ αλλ τψπεσ ηαϖε α χονσιστεντλψ υπδατεδ ρεποσιτορψ οφ ϖυλνεραβιλιτψ, τηρεατ, ανδ χουντερµεασυρε ιν χοντινυουσ τιµε.

Probabilistic Inputs: Vulnerability Constants:

Threat

Lack of countermeasure

Utility Cost Criticality

Security Meter Probability Model

Output: Residual risk and expected maximum cost to avoid risk

ΦΙΓΥΡΕ 3.1 Θυαντιτατιϖε σεχυριτψ µετερ προβαβιλιτψ µοδελ ωιτη προβαβιλιστιχ ανδ δετερ− µινιστιχ ινπυτσ, ωηερε τηε βλαχκ βοξ ισ α προβαβιλιστιχ δεχισιον τρεε διαγραµ τηατ περφορµσ τηε οπερατιονσ.

122

ΘΥΑΝΤΙΤΑΤΙςΕ ΜΟ∆ΕΛΙΝΓ ΦΟΡ ΣΕΧΥΡΙΤΨ ΡΙΣΚ ΑΣΣΕΣΣΜΕΝΤ

3.1.3 Θυαντιτατιϖε Σεχυριτψ Μετερ Μοδελ Λετ’σ λοοκ µορε χλοσελψ ατ τηε σεχυριτψ µετερ µοδελ, ωηιχη ινχλυδεσ α δεσχριπ− τιον οφ ινπυτ ανδ ουτπυτ, αλλ δεσχριβεδ ιν α προβαβιλιστιχ δεχισιον τρεε διαγραµ αππροαχη. Τηε σαµε πρινχιπλεσ ωιλλ βε αππλιεδ το τηοσε χασεσ ωιτηιν α µοδι⇒εδ αππροαχη το τηε µετηοδ ιν ωηιχη νοτ αλλ θυαντιτατιϖε δατα αρε αλωαψσ αϖαιλαβλε φορ τηε ινπυτ παραµετερσ. Ρισκ Μαναγεµεντ Ρισκ µαναγεµεντ ισ τηε τοταλ προχεσσ οφ ιδεντιφψινγ, µεασυρ− ινγ, ανδ µινιµιζινγ τηε υνχερταιν εϖεντσ τηατ χαν αφφεχτ ρεσουρχεσ. Τηισ δε⇒νιτιον αλσο ιµπλιεσ τηε προχεσσ οφ βρινγινγ µαναγεµεντ (ρεµεδιαλ αχτιον) ανδ χοντρολ ιντο τηε ρισκ αναλψσισ. Α βασιχ ινγρεδιεντ οφ ρισκ ασσεσσµεντ ανδ αναλψσισ ισ τηε χονχεπτ οφ ϖυλνεραβιλιτψ. ςυλνεραβιλιτψ ισ α ωεακνεσσ ιν ανψ ινφορµατιον σψστεµ, σψστεµ σεχυριτψ προχεδυρε, ιντερναλ χοντρολσ, ορ ιµπλεµεντατιον τηατ αν ατταχκερ χουλδ εξπλοιτ. Ιτ χαν αλσο βε α ωεακνεσσ, συχη ασ α χοδινγ βυγ ορ δεσιγν ⇓αω ιν α σψστεµ. Αν ατταχκ οχχυρσ ωηεν αν ατταχκερ ωιτη α ρεασον το στρικε τακεσ αδϖαν− ταγε οφ α ϖυλνεραβιλιτψ το τηρεατεν αν ασσετ [16–19]. Τηε σεχονδ µοστ ιµπορταντ ινγρεδιεντ ιν ρισκ ασσεσσµεντ ισ τηε χονχεπτ οφ τηρεατ: ανψ χιρχυµστανχε ορ εϖεντ ωιτη τηε ποτεντιαλ το αφφεχτ αν ινφορµατιον σψστεµ αδϖερσελψ τηρουγη υναυτηο− ριζεδ συχχεσσ, δεστρυχτιον, δισχλοσυρε, µοδι⇒χατιον οφ δατα, ορ δενιαλ οφ σερϖιχε. Σιµιλαρλψ, α τηρεατ το α σψστεµ ισ α ποτεντιαλ εϖεντ τηατ ωιλλ ηαϖε αν υνωελχοµε χονσεθυενχε ιφ ιτ βεχοµεσ αν ατταχκ ον αν ασσετ [20]. Χοµπυτερ ϖυλνεραβιλιτιεσ ρεπλαχε σοφτωαρε φαιλυρεσ [21]. Ωε χαν δε⇒νε ρισκ ασ τηε ποσσιβιλιτψ τηατ α παρτιχυλαρ τηρεατ ωιλλ αφφεχτ αν ινφορµατιον σψστεµ αδϖερσελψ βψ εξπλοιτινγ α παρτιχυλαρ ϖυλνεραβιλιτψ. Τηε τηιρδ ινγρεδιεντ ιν τηε ρισκ αναλψσισ αφτερ ϖυλνεραβιλιτψ ανδ τηρεατ ισ α χουντερµεασυρε ορ λαχκ τηερεοφ. Α χουντερµεασυρε ισ αν αχτιον, δεϖιχε, προχεδυρε, τεχηνιθυε, ορ µεασυρε τηατ ρεδυχεσ ρισκ το αν ινφορµατιον σψστεµ. Χονσεθυεντλψ, ρεσιδυαλ ρισκ ισ τηε πορτιον οφ ρισκ ρεµαινινγ αφτερ α χουντερµεασυρε ισ αππλιεδ. Ιφ α περφεχτ χουντερµεασυρε εξιστσ, τηερε ωουλδ βε νο ρεσιδυαλ ρισκ. Τηε σεχυριτψ µετερ δεσιγν ιδεντι⇒εσ τηε δετερµινιστιχ (χονσταντ) ανδ προβαβιλιστιχ (ρανδοµ) ινπυτσ φορ τηε ταργετεδ ουτπυτ οφ ρεσιδυαλ ρισκ: ναµελψ, αν ατταχκ, ασ ωελλ ασ τηε προϕεχτεδ χοστ το αϖοιδ ορ µιτιγατε τηε ρισκ τηατ ηασ βεεν χαλχυλατεδ. Φυνδαµενταλ Λαωσ οφ Προβαβιλιτψ ανδ Στατιστιχσ Λαω 1: Τηε προβαβιλιτψ P (V ) οφ ανψ εϖεντ V σατισ⇒εσ 0 ≤ P (V ) ≤ 1 [22]. Λαω 2: Ιφ S ισ τηε σαµπλε σπαχε ιν α προβαβιλιτψ µοδελ, τηε συµ οφ τηε προβαβιλ− ιτιεσ οφ αλλ ουτχοµεσ, P (S) = 1. Λαω 3: Τωο εϖεντσ V1 ανδ V2 αρε µυτυαλλψ εξχλυσιϖε (ορ δισϕοιντ) ιφ τηεψ ηαϖε νο ουτχοµεσ ιν χοµµον ανδ τηερεφορε χαν νεϖερ οχχυρ σιµυλτανεουσλψ. Ιφ V1 ανδ V2 αρε δισϕοιντ, Π(V1 ορ V2 ) = P (V1 ) + P (V2 ). Τηισ ισ τηε αδδιτιον ρυλε φορ δισϕοιντ εϖεντσ. Λαω 4: Τηε χοµπλεµεντ οφ ανψ εϖεντ V ισ τηε εϖεντ τηατ V δοεσ νοτ οχχυρ, δενοτεδ V Χ . Τηε χοµπλεµεντ ρυλε στατεσ τηατ P (V Χ ) = 1 − P (V ).

∆ΕΧΙΣΙΟΝ ΤΡΕΕ ΜΟ∆ΕΛ ΤΟ ΘΥΑΝΤΙΦΨ ΡΙΣΚ

123

Προβαβιλιστιχ Ινπυτσ Τηε συγγεστεδ ϖυλνεραβιλιτψ ϖαλυεσ ϖαρψ βετωεεν 0.0 ανδ 1.0 (ζερο το 100%), αδδινγ υπ το υνιτψ. Ιν α προβαβιλιστιχ σαµπλε σπαχε οφ φεασιβλε ουτχοµεσ οφ τηε ρανδοµ ϖαριαβλε οφ ϖυλνεραβιλιτψ, τηε συµ οφ προβαβιλιτιεσ σηουλδ αδδ υπ το 1. Τηισ ισ λικε τηε προβαβιλιτιεσ οφ τηε φαχεσ οφ α διε, συχη ασ 1 το 6, τοταλινγ το 1 ωηετηερ τηε διε ισ φαιρ ορ τιλτεδ. Ιφ α χιτεδ ϖυλνεραβιλιτψ ισ νοτ εξπλοιτεδ ιν ρεαλιτψ, ιτ χαννοτ βε ινχλυδεδ ιν τηε µοδελ ορ Μοντε Χαρλο σιµυλατιον στυδψ (ωηιχη ωε εξαµινε ιν µορε δεταιλ λατερ). ςυλνεραβιλιτψ ηασ φροµ ονε το σεϖεραλ τηρεατσ. Α τηρεατ ισ δε⇒νεδ ασ τηε προβαβιλιτψ οφ τηε εξπλοιτατιον οφ α ϖυλνεραβιλιτψ ορ ωεακνεσσ ωιτηιν α σπεχι⇒χ τιµε φραµε. Εαχη τηρεατ ηασ α χουντερµεασυρε (ΧΜ) τηατ ρανγεσ βετωεεν 0 ανδ 1 (ωιτη ρεσπεχτ το τηε ⇒ρστ λαω οφ προβαβιλιτψ) ωηοσε χοµπλεµεντ γιϖεσ τηε λαχκ οφ χουντερµεασυρε (ΛΧΜ). Τηε βιναρψ ΧΜ ανδ ΛΧΜ ϖαλυεσ σηουλδ αδδ υπ το 1, κεεπινγ ιν µινδ τηε σεχονδ λαω οφ προβαβιλιτψ. Τηε σεχυριτψ ρισκ αναλψστ χαν δε⇒νε, φορ ινστανχε, α νετωορκ σερϖερ (v 1 ) ασ α ϖυλνεραβιλιτψ λοχατεδ ιν α ρεµοτε υνοχχυπιεδ ηυτ ιν ωηιχη α τηρεατ (t11 ), συχη ασ περσονσ ωιτηουτ προπερ αχχεσσ, ορ α ⇒ρε (t12 ), χουλδ ρεσυλτ ιν τηε δεστρυχτιον οφ ασσετσ ωιτηουτ χουντερµεασυρεσ συχη ασ α µοτιον σενσορ (ΧΜ111 ) ορ α ⇒ρε αλαρµ (ΧΜ121 ), ρεσπεχτιϖελψ. Λετ’σ γο οϖερ σοµε ωορδσ ρεγαρδινγ µαλιχιουσ φαιλυρεσ: τηατ ισ, ωορδσ τηατ αρε παρτ οφ µαλωαρε (σοφτωαρε τηατ ηασ αν εϖιλ πυρποσε) ταξονοµψ. ςαρψινγ φορµσ οφ µαλωαρε εξιστ. Φορ ινστανχε, α χοµπυτερ ϖιρυσ, ωηιχη ινφεχτσ σοφτωαρε βψ ινσερτινγ ιτσελφ, ισ α σελφ−ρεπλιχατινγ χοδε ατταχηεδ το ανοτηερ χοδε ωιτη α παψλοαδ τηατ ϖαριεσ φροµ τηε ιννοχεντ (ε.γ., σχαρινγ ψου) το τηε ηαρµφυλ (ε.γ., δισχαρδινγ ορ χηανγινγ υσεφυλ εξιστινγ ⇒λεσ). Α ωορµ ρεπλιχατεσ, τοο, βυτ ιτ δοεσ νοτ ινφεχτ. Τηε διστινχτιον ισ νοτ αλλ τηατ οβϖιουσ ανδ ισ υσυαλλψ χονφυσεδ. Α λογιχ βοµβ ισ µαλωαρε εξεχυτεδ ονλψ ωηεν σπεχι⇒χ τριγγερ χονδιτιονσ αρε µετ. Α Τροϕαν ηορσε ισ µαλωαρε ωιτη ηιδδεν σιδε εφφεχτσ νοτ ινχλυδεδ ιν τηε σπεχι⇒χατιονσ ανδ τηερεφορε νοτ ιντενδεδ βψ τηε υσερ εξεχυτινγ τηε σοφτωαρε. Α ηαχκερ (α βλαχκ−ηατ) ισ α περσον ωηο ηαρµσ ψουρ σοφτωαρε υνετηιχαλλψ; ωηιτε−ηατσ υσε τηειρ σκιλλσ το ηελπ δεϖελοπ σοφτωαρε. Τηοσε ωηο ατταχκ βψ βορροωινγ σοφτωαρε τοολσ αρε σχριπτ κιδδιεσ ορ ανκλεβιτερσ [2]. (Αχτυαλλψ, αχχορδινγ το τηε διχτιοναρψ, α ηαχκερ ισ α περσον ωηο µακεσ φυρνιτυρε υσινγ αν αξε!) ∆ετερµινιστιχ Ινπυτσ Σψστεµ χριτιχαλιτψ, α χονσταντ τηατ ινδιχατεσ ηοω χριτιχαλ ορ δισρυπτιϖε α σψστεµ ισ ιν τηε εϖεντ οφ εντιρε λοσσ, ισ τακεν το βε α σινγλε ϖαλυε ρανγινγ φροµ 0.0 το 1.0 (ζερο το 100%). Χριτιχαλιτψ ισ λοω ιφ ρεσιδυαλ ρισκ ισ οφ λιττλε ορ νο σιγνι⇒χανχε, συχη ασ τηε µαλφυνχτιονινγ οφ αν οφ⇒χε πριντερ. Βυτ ιν τηε χασε οφ α νυχλεαρ ποωερ πλαντ, χριτιχαλιτψ ισ χλοσε το 100%, βεχαυσε ιτσ σεχυριτψ ηασ ϖιταλ σαφετψ ραµι⇒χατιονσ φορ ηυµανσ. Χαπιταλ (ινϖεστµεντ) χοστ ισ τηε τοταλ εξπεχτεδ ασσετ λοσσ ιν µονεταρψ υνιτσ (δολλαρσ, ετχ.) φορ α παρτιχυλαρ σψστεµ ιφ ιτ ισ δεστροψεδ χοµπλετελψ ανδ χαν νο λονγερ βε υτιλιζεδ, εξχλυδινγ τηε οτηερ χοστσ ηαδ τηε σψστεµ χοντινυεδ το γενερατε αδδεδ ϖαλυε φορ τηε σψστεµ. Ιφ τηερε ισ α σηαδοω ορ εχονοµιχ ριππλε εφφεχτ, α µυλτιπλιερ ισ νεεδεδ. ∆εχισιον Τρεε ∆ιαγραµ Γιϖεν τηατ α σιµπλε σαµπλε σψστεµ ορ χοµπονεντ ηασ τωο ορ µορε ουτχοµεσ φορ εαχη ρισκ φαχτορ, ϖυλνεραβιλιτψ, τηρεατ,  ανδ χουντερ− µεασυρε, τηε φολλοωινγ προβαβιλιστιχ φραµεωορκ ηολδσ φορ τηε συµσ vi = 1 ανδ

124

ΘΥΑΝΤΙΤΑΤΙςΕ ΜΟ∆ΕΛΙΝΓ ΦΟΡ ΣΕΧΥΡΙΤΨ ΡΙΣΚ ΑΣΣΕΣΣΜΕΝΤ

T1

LCM → (V1* T1*LCM) CM

V1 T2 T1 V2

T2 T3

LCM → (V1* T2*LCM) CM LCM → (V2* T1*LCM) CM LCM → (V2* T2*LCM) CM LCM → (V2* T3*LCM) CM + Output: Total Residual Risk

ΦΙΓΥΡΕ 3.2

Γενεραλ−πυρποσε δεχισιον τρεε διαγραµ φορ τηε µοδελ προποσεδ.



tij = 1 φορ εαχη i, ανδ τηε συµ οφ ΛΧΜ + ΧΜ = 1 φορ εαχη ij , ωιτηιν τηε τρεε διαγραµ στρυχτυρε ιν Φιγυρε 3.2. Υσινγ τηε προβαβιλιστιχ ινπυτσ, ωε γετ τηε ρεσιδυαλ ρισκ: ρεσιδυαλ ρισκ = ϖυλνεραβιλιτψ × τηρεατ × λαχκ οφ χουντερµεασυρε

(1)

Ωε χαν χαλχυλατε τηε ρεσιδυαλ ρισκσ φορ αλλ ϖυλνεραβιλιτιεσ ωιτη τηρεατσ ανδ ΛΧΜσ, ασ ωελλ ασ τηε τοταλ ρεσιδυαλ ρισκ. Τηατ ισ, ιφ ωε αδδ αλλ τηε ρεσιδυαλ ρισκσ δυε το λαχκ οφ χουντερµεασυρεσ ασ ιν Φιγυρε 3.2, ωε χαν ⇒νδ τηε οϖεραλλ ρεσιδυαλ ρισκ. Ωε αππλψ τηε χριτιχαλιτψ φαχτορ το τηε ρεσιδυαλ ρισκ το χαλχυλατε τηε ⇒ναλ ρισκ. Τηεν ωε αππλψ τηε χαπιταλ ινϖεστµεντ χοστ το τηε ⇒ναλ ρισκ το δετερµινε τηε εξπεχτεδ χοστ οφ λοσσ (ΕΧΛ), ωηιχη ηελπσ υσ το βυδγετ το αϖοιδ (βεφορε τηε ατταχκ) ορ ρεπαιρ (αφτερ τηε ατταχκ) τηε εντιρε ρισκ: ⇒ναλ ρισκ = ρεσιδυαλ ρισκ × χριτιχαλιτψ ΕΧΛ = ⇒ναλ ρισκ × χαπιταλ χοστ

(2) (3)

3.1.4 Μοδελ Αππλιχατιον ανδ Ρεσυλτσ Α ρισκ αναλψστ χονδυχτσ Μοντε Χαρλο σιµυλατιον το µιµιχ τηε ρελατιονσηιπ αµονγ ϖυλνεραβιλιτιεσ, τηρεατσ, ανδ χουντερµεασυρεσ ασ τηεψ εξιστ ιν ρεαλ λιφε. Τηατ ισ, χερταιν ϖυλνεραβιλιτψ ισ χηαλλενγεδ βψ α τηρεατ, ανδ τηερεφορε βεχοµεσ αν ατταχκ ατ τηε νεξτ λεϖελ ιφ τηε τηρεατ ισ νοτ χουντερµεασυρεδ βψ α ⇒ρεωαλλ ιν α χοµπυτερ ορ µοτιον σενσορ ιν τηε χασε οφ ιντρυσιον, ορ α ⇒ρε αλαρµ ιν τηε χασε οφ ⇒ρε, αχχορδινγ το ωηατ τηε αχτυαλ σιτυατιον χουλδ πρεσεντ. Ιφ φυλλψ χουντερµεασυρεδ (ι.ε., ΧΜ = 1 ορ ΛΧΜ = 0), νο ατταχκ οχχυρσ, ασ ισ χλεαρ φροµ εθυατιον (1), ωηερε τηε ρεσιδυαλ ρισκ ισ ζερο σινχε ονε οφ τηε φαχτορσ ισ ζερο. Τηε εξπεχτεδ χοστ οφ λοσσ (ποστηυµουσλψ, ιφ νο αχτιον ισ τακεν) ορ τηε εξπεχτεδ χοστ οφ ρεπαιρ το αϖοιδ τηε εντιρε ρισκ (ιφ α χουντερµεασυρε ισ τακεν προαχτιϖελψ) χαν βε δετερµινεδ υσινγ εθυατιον (3). Ρισκ αναλψσισ ηασ ϖαριουσ ινπυτσ, συχη ασ ϖυλνεραβιλιτψ τψπεσ

∆ΕΧΙΣΙΟΝ ΤΡΕΕ ΜΟ∆ΕΛ ΤΟ ΘΥΑΝΤΙΦΨ ΡΙΣΚ

125

ανδ εαχη τηρεατ’σ χουντερµεασυρε; χριτιχαλιτψ ανδ χαπιταλ χοστ αρε χονσταντσ, ασ ισ τηε νυµβερ οφ σιµυλατιονσ. Φροµ τηεσε ινπυτ ϖαλυεσ, ωε δετερµινε τηε εξπεχτεδ µονεταρψ λοσσ το µιτιγατε τηε ρεσιδυαλ ρισκ. Το ρεπρεσεντ εαχη ρισκ φαχτορ, συχη ασ ϖυλνεραβιλιτψ (vi ), τηρεατ (tij ), ανδ χουντερµεασυρε (ΧΜij k ), βψ αν εδυχατεδ γυεσσ, ωε ασσυµε υνιφορµ (ορ ρεχτανγυλαρ) δενσιτψ παραµετερσ ωηιχη χαν τακε ον ϖαλυεσ βετωεεν α λοωερ λιµιτ a ανδ αν υππερ λιµιτ b. Τηε λοωερ ανδ υππερ λιµιτσ αρε ταβυλατεδ ιν Ταβλε 3.1 φορ αλλ ρισκ φαχτορσ. Τηε αϖεραγε ορ εξπεχτεδ ϖαλυε οφ α υνιφορµλψ διστριβυτεδ ρανδοµ ϖαριαβλε ισ μ = (a + b)/2. Τηατ ισ, ωηεν πλαχεδ ιν α δεχισιον τρεε διαγραµ ασ ιν Φιγυρεσ 3.2 ανδ 3.3, τηε ϖαλυεσ εξπεχτεδ ωιλλ ρεσυλτ ιν αν εξπεχτεδ ουτπυτ, ωηιχη σηουλδ βε ϖερι⇒εδ βψ τηε Μοντε Χαρλο σιµυλατιον, ιν ωηιχη τηουσανδσ οφ ρυνσ αρε χονδυχτεδ, χονϖεργινγ ιν τηε ουτπυτ εξπεχτεδ. Λετ’σ εξαµινε α σαµπλε αππλιχατιον ωηοσε ινπυτ δατα, ταβυλατεδ ιν Ταβλε 3.1, ρεϖολϖεσ αρουνδ α ηοµε οφ⇒χε ΠΧ. Ιν τηισ ηψποτηετιχαλ εξαµπλε, ωε ασσυµε τηατ τηερε εξιστ ⇒ϖε ρεπορτεδλψ ρεχογνιζεδ τψπεσ οφ ϖυλνεραβιλιτιεσ (v1 το v5 ), ωηοσε προϕεχτεδ τηρεατσ φορ ανψ ϖυλνεραβιλιτψ µαψ βε ειτηερ τωο− ορ τηρεεφολδ. Αγαιν, φορ εαχη τηρεατ τηερε ισ α χουντερµεασυρε (ΧΜ) ορ λαχκ οφ ονε (ΛΧΜ), ωηοσε προβαβιλιτιεσ συµ το 1. Φιγυρε 3.3 σηοωσ τηε ϖαλυεσ εξπεχτεδ φορ τηε ινπυτ ρανδοµ ϖαριαβλεσ ιν Ταβλε 3.1 ιν ορδερ το προδυχε τηε τηεορετιχαλ ουτπυτ εξπεχτεδ. Ρεσιδυαλ ρισκ ισ ωηατ ισ λεφτ οφ τηε ρισκ αφτερ τακινγ τηε προδυχτ οφ τηε ϖυλνεραβιλιτψ ανδ τηρεατ φολλοωινγ τηε αππλιχατιον οφ α χουντερµεασυρε το χιρχυµϖεντ τηε ρισκ. Τηατ ισ, ρεσιδυαλ ρισκ = ρισκ × ΛΧΜ. Ιφ ωε ηαϖε περφεχτ ΧΜ (ΧΜ = 1), τηε ΛΧΜ ισ νυλλ (ΛΧΜ = 1 − ΧΜ), ωηιχη ρεσυλτσ ιν ζερο ρεσιδυαλ ρισκ. Τηε ρεσιδυαλ ρισκσ χορρεσπονδινγ το εαχη τηρεατ οφ α γιϖεν ϖυλνεραβιλιτψ αρε αδδεδ το ⇒νδ τηε τοταλ

ΦΙΓΥΡΕ 3.3 Σπρεαδσηεετ φορ τηε ρεσυλτσ εξπεχτεδ φορ τηε ⇒ρστ αππλιχατιον ιν Ταβλε 3.1.

126

ΘΥΑΝΤΙΤΑΤΙςΕ ΜΟ∆ΕΛΙΝΓ ΦΟΡ ΣΕΧΥΡΙΤΨ ΡΙΣΚ ΑΣΣΕΣΣΜΕΝΤ

ΤΑΒΛΕ 3.1 Προβαβιλιστιχ Ινπυτ ∆ατα φορ ςυλνεραβιλιτιεσ, Τηρεατσ, ανδ Χουντερµεασυρεσ φορ α Ηοµε ΠΧ ςυλνεραβιλιτψ v1 (a = 0.1, b = 0.3), μv1 = 0.2

Τηρεατ

Λαχκ οφ Χουντερµεασυρε

t1 (a = 0.1, b = 0.6), μt1 = 0.35

ΛΧΜ1 (a = 0.1, b = 0.5), μΛΧΜ1 = 0.3, μΧΜ1 = 0.7; βψ συβτραχτιον ΛΧΜ2 (a = 0.2, b = 0.6), μΛΧΜ1 = 0.4, μΧΜ2 = 0.6; βψ συβτραχτιον ΛΧΜ1 (a = 0.1, b = 0.7), μΛΧΜ1 = 0.4, μΧΜ1 = 0.6; βψ συβτραχτιον ΛΧΜ2 (a = 0.0, b = 0.2), μΛΧΜ1 = 0.1, μΧΜ2 = 0.9; βψ συβτραχτιον ΛΧΜ3 (a = 0.1, b = 0.4), μΛΧΜ1 = 0.25, μΧΜ3 = 0.75; βψ συβτραχτιον ΛΧΜ1 (a = 0.1, b = 0.4), μΛΧΜ1 = 0.25, μΧΜ1 = 0.75; βψ συβτραχτιον ΛΧΜ2 (a = 0.0, b = 0.3), μΛΧΜ1 = 0.15, μΧΜ2 = 0.85; βψ συβτραχτιον ΛΧΜ1 (a = 0.1, b = 0.4), μΛΧΜ1 = 0.25, μΧΜ1 = 0.75; βψ συβτραχτιον ΛΧΜ2 (a = 0.2, b = 0.6), μΛΧΜ2 = 0.4, μΧΜ2 = 0.60; βψ συβτραχτιον ΛΧΜ3 (a = 0.2, b = 0.6), μΛΧΜ3 = 0.4, μΧΜ3 = 0.60; βψ συβτραχτιον ΛΧΜ1 (a = 0.1, b = 0.3), μΛΧΜ1 = 0.2, μΧΜ1 = 0.80; βψ συβτραχτιον ΛΧΜ2 (a = 0.0, b = 0.3), μΛΧΜ2 = 0.15, μΧΜ2 = 0.85; βψ συβτραχτιον

t2 βψ συβτραχτιον, μt2 = 0.65 v2 (a = 0.0, b = 0.4), μv2 = 0.2

t1 (a = 0.2, b = 0.6), μt1 = 0.40 t2 (a = 0.1, b = 0.3), μt2 = 0.20 t3 βψ συβτραχτιον, μt3 = 0.40

v3 (a = 0.0, b = 0.2), μv3 = 0.1

t1 (a = 0.1, b = 0.5), μt1 = 0.30 t2 βψ συβτραχτιον, μt2 = 0.70

v4 (a = 0.0, b = 0.1), μv4 = 0.05

t1 (a = 0.1, b = 0.4), μt1 = 0.25 t2 (a = 0.0, b = 0.5), μt2 = 0.25 t3 βψ συβτραχτιον, μt3 = 0.50

v5 βψ συβτραχτιον, μv5 = 0.45

t1 (a = 0.1, b = 0.5), μt1 = 0.30 t2 βψ συβτραχτιον, μt2 = 0.70

ρεσιδυαλ ρισκ ρεσυλτινγ φροµ τηε εντιρε σετ οφ ϖυλνεραβιλιτιεσ, ανδ τηειρ ατταχηεδ τηρεατσ, ειτηερ χουντερµεασυρεδ (το χιρχυµϖεντ τηε ρισκ) βψ α πρεϖεντιϖε µεασυρε συχη ασ α ⇒ρεωαλλ αγαινστ α ηαχκερ τηρεατ, ορ νοτ χουντερµεασυρεδ. Ωε οβταιν τηε ⇒ναλ ρισκ, υσινγ εθυατιον (2), βψ µυλτιπλψινγ τηε ρεσυλτινγ τοταλ ρεσιδυαλ ρισκ βψ τηε χριτιχαλιτψ φαχτορ. Ασ εξπλαινεδ εαρλιερ, ιφ τηε χριτιχαλιτψ ισ ζερο, τηερε ισ νο ⇒ναλ ρισκ. Ιφ τηισ εθυιπµεντ ισ χριτιχαλ φορ ψουρ ϕοβ ορ σχηοολ ορ τηε

∆ΕΧΙΣΙΟΝ ΤΡΕΕ ΜΟ∆ΕΛ ΤΟ ΘΥΑΝΤΙΦΨ ΡΙΣΚ

127

νατιον, ασ ιν τηε εϖεντ οφ α τηρεατ το α νυχλεαρ ποωερ πλαντ, ψου ατταχη το ιτ α ηιγη χριτιχαλιτψ φαχτορ, συχη ασ 1.0. Φορ τηε ηοµε ΠΧ εξαµπλε αβοϖε, ωηεν ωε υσε εθυατιον (2) εµπλοψινγ α χριτιχαλιτψ φαχτορ οφ 0.4, ωε ⇒νδ α ⇒ναλ ρισκ οφ 0.09575, ορ 9.58%. Νοω υσινγ εθυατιον (3) ανδ εµπλοψινγ α σαµπλε ινϖεστεδ χαπιταλ χοστ οφ ∃2500, τηε εξπεχτεδ χοστ οφ λοσσ δυε το ⇒ναλ ρισκ ισ χαλχυλατεδ το βε ∃239.38: ⇒ναλ ρισκ = ρεσιδυαλ ρισκ × χριτιχαλιτψ = (0.239375)(0.4) = 0.09575

(4)

ΕΧΛ = ⇒ναλ ρισκ × χαπιταλ χοστ = (0.09575)(∃2500) = ∃239.38

(5)

Α Μοντε Χαρλο σιµυλατιον στυδψ προδυχεδ ∃239.377 χοµπαρεδ το τηε ϖαλυε οφ ∃239.38 εξπεχτεδ αφτερ τηε ⇒ρστ 5000 ρυνσ υσινγ εθυατιονσ (2) ανδ (3). Τηε διφφερ− ενχε βετωεεν τηε εξπεχτεδ (τηεορετιχαλ) ρεσυλτ ιν Φιγυρε 3.3 ανδ ΜΧ σιµυλατιον ισ νεγλιγιβλε. Τηε πυρποσε οφ Μοντε Χαρλο σιµυλατιον, εξπλαινεδ λατερ, ισ το µιµιχ αχτυαλ οπερατιον, ϖεριφψ τηε τηεορετιχαλ ρεσυλτσ, ανδ χοµε υπ ωιτη α ρεαλιζατιον. Α µυλτιπλιερ οφ 1.0 ισ υσεδ φορ σηαδοω χοστ ορ ριππλε εφφεχτ, το ινδιχατε τηατ τηερε ωιλλ βε νο ρεπερχυσσιονσ βεψονδ τηε κνοων ϖαλυε οφ τηε ασσετ. 3.1.5 Μοδιφψινγ τηε Θυαντιτατιϖε Μοδελ φορ Θυαλιτατιϖε ∆ατα Ιν τηε εϖεντ τηατ ωε δο νοτ ποσσεσσ πυρελψ θυαντιτατιϖε ϖαλυεσ φορ εαχη οφ τηε αττριβυτεσ ιν τηε δεχισιον τρεε διαγραµ ιν Φιγυρε 3.2, ανδ αλλ ωε ηαϖε αρε θυαλ− ιτατιϖε αδϕεχτιϖεσ συχη ασ Η (ηιγη; οφτεν), Μ (µεδιυµ; σοµετιµεσ), ορ Λ (λοω; σελδοµ), ωε νεεδ το µοδιφψ ουρ αππροαχη ασ σηοων ιν Φιγυρε 3.4. Ωε χαν τηεν υσε τηε προβαβιλιτιεσ οφ Η, Μ, ανδ Λ [ι.ε., P (Η), P (Μ), ανδ P (Λ)] ασ λονγ ασ τηε αδδιτιον ρυλε οφ υνιτψ ηολδσ φορ δισϕοιντ εϖεντσ (τηε σεχονδ ανδ τηιρδ λαωσ οφ προβαβιλιτψ). Συχη ουτχοµεσ οφ ϖυλνεραβιλιτψ (⇒ρστ βρανχη οφ τηε τρεε δια− γραµ) ορ τηρεατ (σεχονδ βρανχη) µαψ ινχλυδε Η + Λ = 1, ορ Μ + Λ + Λ = 1, ορ Λ + Λ + Λ + Λ = 1, ωηερε Η = 0.75, Μ = 0.5, ανδ Λ = 0.25 ηολδ, ωηερε φορ σιµπλιχιτψ ωε ηαϖε δροππεδ τηε προβαβιλιτψ σψµβολ P . Ανοτηερ φεασιβλε ποσσιβιλιτψ ισ ωηεν Η + Λ = 1, ορ Μ + Λ + Λ + Λ = 1, ορ 5Λ = 1 το σιγνιφψ ⇒ϖε ουτχοµεσ ατ µοστ φορ ειτηερ ϖυλνεραβιλιτψ ορ α τηρεατ ϖαρι− αβλε, ωηερε Η = 0.8, Μ = 0.4, ανδ Λ = 0.2 ηολδ. Φορ υπ το ⇒ϖε ϖυλνεραβιλιτιεσ, Η + Μ = 1, ορ Μ + Λ + Λ + Λ = 1, ορ 5Λ = 1; τηεν Η = 0.6, Μ = 0.4, ανδ Λ = 0.2. Ιφ, φορ εξαµπλε, ασ σηοων ιν Φιγυρε 3.4, Η = 0.75, Μ = 0.5, ανδ Λ = 0.25, τηε τοταλ ρισκ = ΗΗΛ + ΗΛΛ + ΛΜΗ + ΛΛΗ + ΛΛΗ = ΗΗΛ + 3ΛΛΗ + ΛΜΗ = (0.752 )(0.25) + (3)(0.252 )(0.75) + (0.25)(0.5)(0.75) = 0.140625 + 0.140625 + 0.09375 = 0.375, ορ α 37.5% ρισκ οφ λοσινγ τηε σψστεµ’σ σεχυριτψ. Εαχη βρανχη νοω ηασ λεττερσ το σιγνιφψ χερταιν θυαντιτιεσ φορ τηε ϖυλνεραβιλιτψ, τηρεατ, ανδ χουντερµεασυρε ωηερε τηε φουρ φυνδαµενταλ λαωσ οφ προβαβιλιτψ ον π. 122 ηολδ. 3.1.6 Ηψβριδ Σεχυριτψ Μετερ Μοδελ φορ Βοτη Θυαντιτατιϖε ανδ Θυαλιτατιϖε ∆ατα Ιφ ωε δο νοτ ποσσεσσ πυρελψ θυαντιτατιϖε δατα, ανδ αλλ ωε ηαϖε ισ α ηψβριδ οφ θυαν− τιτατιϖε ρισκ ϖαλυεσ (ι.ε., προβαβιλιτιεσ βετωεεν 0 ανδ 1) ανδ θυαλιτατιϖε αττριβυτεσ

128

ΘΥΑΝΤΙΤΑΤΙςΕ ΜΟ∆ΕΛΙΝΓ ΦΟΡ ΣΕΧΥΡΙΤΨ ΡΙΣΚ ΑΣΣΕΣΣΜΕΝΤ L → H*H*L H H L

H L → H*L*L H H → L*M*H

M L L

L

L

H → L*L*H L H → L*L*H L

ΦΙΓΥΡΕ 3.4

Πυρελψ θυαλιτατιϖε δεχισιον τρεε διαγραµ µοδι⇒εδ ον τηε σεχυριτψ µετερ.

L → H*H*L H H

H L → H*L*L

L

H .2 → L*4*2 A .8 L

.3 → L*35*3 35

L

.7 .4 → L*L*.4 .6

ΦΙΓΥΡΕ 3.5

Μοδι⇒εδ ηψβριδ δεχισιον τρεε διαγραµ οφ τηε σεχυριτψ µετερ.

συχη ασ Η, Μ, ορ Λ, τηε πυρελψ θυαλιτατιϖε µοδελ οφ Φιγυρε 3.4 ωιλλ τρανσφορµ το τηε ηψβριδ µοδελ σηοων ιν Φιγυρε 3.5. Τηερε ωιλλ βε σοµε βρανχηεσ ωιτη λετ− τερσ ουτ οφ υνχερταιντψ (ρεπρεσεντεδ βψ προβαβιλιτιεσ αχχορδινγ το τηε φυνδαµενταλ λαωσ οφ προβαβιλιτψ) ανδ σοµε θυαντιτατιϖε προβαβιλιτψ ϖαλυεσ τηατ αρε οβταινεδ φροµ παστ δατα µονιτορινγ ωιτη χερταιντψ. Φιγυρε 3.5 διφφερσ φροµ Φιγυρε 3.4 ιν τηατ τηε βρανχηεσ µαψ χαρρψ θυαλιτατιϖε αττριβυτεσ ανδ θυαντιτατιϖε ϖαλυεσ, βοτη φορ τηε σαµε ϖυλνεραβιλιτψ ορ τηρεατ ϖαριαβλε. Τηισ µοδελ ισ θυιτε φεασιβλε ιφ τηε αναλψστ αβιδεσ βψ τηε λαωσ οφ τηε προβαβιλιτψ ασ ωελλ ασ ρεσπεχτινγ τηε δεταιλσ οφ τηε λοω, µεδιυµ, ορ ηιγη αττριβυτεσ φορ τηε προβλεµ υνδερ σχρυτινψ. Τηερε ωιλλ βε χοµπροµισεσ το οβεψ τηε σεχυριτψ µετερ πρινχιπλεσ, βυτ τηατ ισ α σµαλλ πριχε το παψ φορ τηε νυµεριχαλ ασσεσσµεντ οφ σεχυριτψ ρισκ τηρουγη α σιµπλε ανδ τρυστωορτηψ σεχυριτψ µετερ µοδελ. Ωε χαν χοµβινε α µιξτυρε οφ τηεσε ινπυτσ ασ λονγ ασ τηε

∆ΕΧΙΣΙΟΝ ΤΡΕΕ ΜΟ∆ΕΛ ΤΟ ΘΥΑΝΤΙΦΨ ΡΙΣΚ

129

φυνδαµενταλ λαωσ οφ προβαβιλιτψ ηολδ. Τηισ νεχεσσιτψ αρισεσ ωηεν α ρισκ αναλψστ ωιλλ νοτ βε συρε αβουτ τηε ρισκ ϖαλυεσ βυτ χαν ονλψ ιδεντιφψ χερταιν θυαντιτατιϖε ρισκσ χοµβινεδ ωιτη υνχερταιν αδϕεχτιϖεσ ασ το ηιγη, µεδιυµ, ορ λοω. Φορ εξαµπλε, ωε µαψ ηαϖε Η + 0.25 = 1, ορ Μ + 0.25 + 0.25 = 1, ορ 0.3 + 0.2 + Λ + Λ = 1, ορ 4 Λ = 1, ωηερε Η = 0.75, Μ = 0.5, ανδ Λ = 0.25 ηολδ. Ιν Φιγυρε 3.5, φορ σοµε βρανχηεσ τηε ρισκ προβαβιλιτιεσ αρε κνοων, ανδ ιν οτηερσ, Η, Μ, ορ Λ ισ γιϖεν, ασ λονγ ασ τηε φυνδαµενταλ λαωσ οφ προβαβιλιτψ ηολδ. Φορ Φιγυρε 3.5’σ εξαµπλε, Η = 0.75 ανδ Λ = 0.25 ηολδ τρυε ωηερε Μ ισ νοτ υσεδ. Τηεν τηε τοταλ ρισκ = ΗΗΛ + ΗΛΛ + Λ(0.4)(0.2) + Λ(0.35)(0.3) + ΛΛ(0.4) = (0.752 )(0.25) + (0.75)(0.252 ) + (0.25)(0.4)(0.2) + (0.25)(0.35)(0.3) + (0.252 )(0.4) = 0.140625 + 0.046875 + 0.02 + 0.02625 + 0.025 = 0.25875, ορ 25.9% ρισκ. Ασ φορ τηε θυαλιτατιϖε ορ ηψβριδ µοδελ, τηερε µιγητ βε λιµιτα− τιονσ το τηε δενοµινατιονσ οφ ϖυλνεραβιλιτιεσ ορ τηρεατσ αχχορδινγ το τηε χηοιχε οφ εστιµατεδ ϖαλυεσ φορ Η, Μ, ανδ Λ, ρε⇓εχτινγ τηε βεστ εδυχατεδ γυεσσ. Τηε αναλψστ µαψ σοµετιµεσ ηαϖε το γο αν εξτρα στεπ ανδ χηοοσε Η (ηιγη), Μ (µεδιυµ), Λ (λοω), ανδ Ω (ραρε). Φορ εξαµπλε, ωηερε 8Ω = 1, Μ + 3Λ = 1 ανδ Η + 2Ω = 1, ιµπλψινγ τηατ Η = 0.75, Μ = 0.40, Λ = 0.2, ανδ Ω = 0.125, τηερε µαψ εξιστ ατ µοστ ειγητ ποσσιβλε ουτχοµεσ οφ τηε ϖυλνεραβιλιτψ ορ τηρεατ ϖαριαβλε. Τηισ σχεναριο ισ ονε οφ µανψ φεασιβλε σχεναριοσ. 3.1.7 Σιµυλατιον Στυδψ ανδ Χονχλυσιονσ Τηε σεχυριτψ µετερ’σ προποσεδ µατηεµατιχαλ αχχυραχψ ισ ϖερι⇒εδ βψ α Μοντε Χαρλο στατιστιχαλ σιµυλατιον στυδψ. Φιϖε τηουσανδ ρυνσ, ονε οφ ωηιχη ισ σηοων ιν Φιγυρε 3.6, ρεσυλτινγ ιν 24.85%, αρε χονδυχτεδ βψ γενερατινγ ρανδοµ ϖαρι− αβλεσ φροµ εαχη ϖυλνεραβιλιτψ, τηρεατ, ορ χουντερµεασυρε. Τηεν τηε σεχυριτψ µετερ

ΦΙΓΥΡΕ 3.6 Σχρεενσηοτ οφ α σπρεαδσηεετ φορ τηε ρεσιδυαλ ρισκ οφ τηε σεχυριτψ µετερ σιµυλατιον ρυνσ.

130

ΘΥΑΝΤΙΤΑΤΙςΕ ΜΟ∆ΕΛΙΝΓ ΦΟΡ ΣΕΧΥΡΙΤΨ ΡΙΣΚ ΑΣΣΕΣΣΜΕΝΤ

µετηοδ τακεσ εφφεχτ βψ µυλτιπλψινγ τηε χονδιτιοναλ προβαβιλιτιεσ ατ εαχη βρανχη ωιτη ρεσπεχτ το εθυατιον (1) ανδ Φιγυρεσ 3.2, 3.3, ανδ Ταβλε 3.1 το χαλχυλατε τηε ρεσιδυαλ ρισκσ ανδ συµ τηεµ υπ φορ τηε τοταλ ρεσιδυαλ ρισκ. Τηε αϖεραγε οφ α σελεχτεδ νυµβερ οφ ρυν χψχλεσ, συχη ασ 10,000, ωιλλ ψιελδ τηε ⇒ναλ Μοντε Χαρλο ρεσυλτ αφτερ 50 µιλλιον ρυνσ. Τηεν εθυατιονσ (2) ανδ (3) αρε υσεδ το ρεαχη τηε ⇒ναλ ρισκ ανδ χοστ. Φιγυρε 3.6 δισπλαψσ τηε ινπυτ δατα φορ v(a, b), t (a, b), ανδ ΧΜ(a, b), ωηιχη αρε τακεν το βε υνιφορµλψ διστριβυτεδ, U (a, b). Τηε λοωερ ανδ υππερ βουνδ ϖαλυεσ φορ τηε λαστ ωινδοωσ ιν τηε χασε οφ ⇒φτη ϖυλνεραβιλιτψ, ορ σεχονδ ορ τηιρδ τηρεατσ ιν Φιγυρε 3.6, αρε λεφτ βλανκ, ασ τηε σοφτωαρε ωιλλ χοµπλε− µεντ ιτ το 1.0 το οβεψ τηε φυνδαµενταλ προβαβιλιτψ λαω οφ αδδιτιον. Οτηερωισε, ιτ ωιλλ ρεφυσε τηε ρανδοµ δεϖιατε το σεεκ α νεω ονε. Τηε βυδγεταρψ πορτφολιο ατ τηε ενδ οφ συχη θυαντιτατιϖε αναλψσεσ ισ αν ασσετ. Ιν τηισ ηψποτηετιχαλ ορ εδυχατιοναλ εξαµπλε, ∃239.38 ισ νεεδεδ φορ προαχτιϖε δεφενσε ορ το ρεπαιρ δαµαγε αφτερ τηε φαχτ. Φιγυρε 3.6 σηοωσ τηε ⇒ναλ Μοντε Χαρλο σιµυλατιον ρεσυλτ φορ τηε ⇒ναλ ρισκ ανδ µονεταρψ εξτεντ οφ πηψσιχαλ δαµαγε. Αν ινδυστριαλ προδυχτ τηατ µιγητ ρεσυλτ τηρουγη α σεχυριτψ µετερ (ΣΜ) προϕεχτ φροµ τηε δεσιγν σταγε ιντο τηε αππλιχατιον σταγε φορ χοµπανψ ορ ενδ−υσερ βενε⇒τ ισ ενϖισιονεδ. Σεχυριτψ ισ α προχεσσ υνδερ χονστρυχτιον, νοτ α προδυχτ, βυτ ωε νεεδ αχχυρατε ανδ ρελιαβλε προδυχτσ ιν ορδερ το χαλχυλατε σεχυριτψ θυαντιτατιϖελψ, τηυσ ιµπροϖινγ σεχυριτψ ινχη βψ ινχη ρατηερ τηαν ωορδ βψ ωορδ ασ ισ δονε χον− ϖεντιοναλλψ. Α υβιθυιτουσ υσε οφ τηισ πραχτιχαλ τεχηνιθυε ισ το ινσταλλ ιν εϖερψονε’σ ΠΧ σεχυριτψ µετερ σοφτωαρε αχχοµπανιεδ βψ α ρεθυιρεδ δατα βανκ ορ ρεποσιτορψ το προϖιδε α δαιλψ ρεπορτ. Ψουρ ηοµε ορ οφ⇒χε ΠΧ’σ σεχυριτψ ινδεξ (%) ρανκινγ ωιλλ προϖιδε α φραµεωορκ φορ ρελατιϖε ιµπροϖεµεντ. Α µαρριεδ χουπλε ενρολλεδ ιν µψ χουρσε ατ Τροψ Υνιϖερσιτψ ιν 2002 ωουλδ ηαϖε βεεν ηελπεδ ηαδ τηεψ τακεν τηε σεχυριτψ µετερ χονχεπτ σεριουσλψ. Α ωεεκ βεφορε τηεψ συφφερεδ α ηαρδ δριϖε χραση ανδ λοστ αλλ τηειρ χψβερ−βελονγινγσ, τηειρ σεχυριτψ µετερ χλασσ προϕεχτ ηαδ ινδιχατεδ α ρελατιϖελψ ηιγη (60%) ρεσιδυαλ ρισκ. Τηεψ τηουγητ τηισ ωασ τηε χουρσε ινστρυχτορ’σ φαντασψ, βυτ ιτ βεχαµε α σταρκ ρεαλιτψ. Εϖιδεντλψ, τηεψ ηαδ νο ⇒ρεωαλλ ορ ϖιρυσ προτεχτιον σοφτωαρε αγαινστ ωελλ−κνοων ϖυλνεραβιλιτιεσ, ανδ ηαδ πλεντψ οφ τηρεατσ βασεδ ον τηειρ ηοµε ΠΧ’σ ρεαλ δατα. Ινχλυσιον οφ α σχηεµε τηατ χατερσ το α δψναµιχ χριτιχαλιτψ ρατινγ οφ αν ινφορ− µατιον σψστεµ, ορ αν ασσετ ωιτη ρεσπεχτ το τιµε ρατηερ τηαν α στατιχ φαχτορ, ισ ϖερψ ρεαλιστιχ το χονσιδερ. Τηε σψστεµ ασσετ µαψ βε µορε χριτιχαλλψ ϖαλυαβλε ιν µονε− ταρψ τερµσ ον χερταιν δαψσ οφ τηε µοντη, συχη ασ τηε ⇒ρστ τηρεε ορ λαστ τωο δαψσ, τηαν ον οτηερσ. Αλσο, α τιµε−δεπενδεντ σηαδοω ορ οππορτυνιτψ χοστ (ορ ριππλε− εφφεχτ) φαχτορ ασ α µυλτιπλιερ νεεδσ το βε ιντεγρατεδ ιντο τηε ρεαλµ οφ χαλχυλατιονσ. Ιφ ονε λοσεσ αν ασσετ ωορτη, σαψ, ∃5000, τηε λοστ οππορτυνιτψ µαψ βε µορε τηαν τηατ οφ τηε φαχε ϖαλυε αλονε; ιτ µαψ αµουντ το 10 τιµεσ ασ µυχη, ∃50,000, δυε το λοστ οππορτυνιτιεσ, ορ σηαδοω ανδ ριππλε εφφεχτσ. Τηε οππορτυνιτψ χοστ φαχτορ µαψ βε τιµε χριτιχαλ, βασεδ ον τηε ασσετ’σ υτιλιτψ ⇓υχτυατιονσ. Τηε σαµε ιδεα ηολδσ φορ α σεχυριτψ µετερ φυνχτιονινγ ασ α δψναµιχ τιµε− ⇓οωινγ ινδιχατορ, νοτ ασ α δετερµινιστιχ χονσταντ. Νο µαττερ ηοω γρανυλατεδ τηε περ−υνιτ τιµε µαψ αππεαρ, τηε ωαρ βετωεεν τηρεατσ ανδ χουντερµεασυρεσ ωιτη χηανγινγ ϖυλνεραβιλιτιεσ ωιλλ οφφερ αν ΣΜ(t) σναπσηοτ. Ιτ χαν αλσο αππεαρ τηατ

ΒΑΨΕΣΙΑΝ ΑΠΠΛΙΧΑΤΙΟΝΣ ΦΟΡ ΠΡΙΟΡΙΤΙΖΙΝΓ ΣΟΦΤΩΑΡΕ ΜΑΙΝΤΕΝΑΝΧΕ

131

τηερε µαψ βε µορε τηαν α σινγλε σεχυριτψ µετερ πρεϖαιλινγ ιν α σψστεµ οφ µυλτιπλε χοµπονεντσ. Τηερεφορε ϖαριουσ βυχκετσ οφ ϖυλνεραβιλιτιεσ ανδ τηρεατσ (ρατηερ τηαν σινγλψ σελεχτεδ ονεσ ιν αν ιδεαλιζεδ σεχυριτψ µετερ µοδελ) χαν βε τρεατεδ ιν α δψναµιχ τιµε ⇓οω ασ ηαππενσ ιν ρεαλ τιµε.

3.2 ΒΑΨΕΣΙΑΝ ΑΠΠΛΙΧΑΤΙΟΝΣ ΦΟΡ ΠΡΙΟΡΙΤΙΖΙΝΓ ΣΟΦΤΩΑΡΕ ΜΑΙΝΤΕΝΑΝΧΕ Νυτσηελλ 3.2 Θυαντιτατιϖε ρισκ ⇒γυρεσ αρε νεεδεδ το χοµπαρε αλτερνατιϖεσ οβϕεχτιϖελψ ανδ το θυαντιφψ µονεταρψ µεασυρεσ το εναβλε βυδγετινγ το ρεδυχε ορ µινιµιζε τηε εξιστινγ ρισκ. Τηεψ αρε αλσο νεεδεδ το δετερµινε χοστσ ρελατεδ το µαινταιν ϖυλνεραβιλιτιεσ ορ ωεακνεσσεσ οφ τηε σοφτωαρε. Τηε µαιντενανχε πριοριτιεσ χαν βε ασσεσσεδ βψ υσινγ τηε σεχυριτψ µετερ τεχηνιθυε χοµβινεδ ωιτη Βαψεσιαν προχεδυρεσ. Σοµε εξαµπλεσ αρε χιτεδ φροµ ηψποτηετιχαλ αππλιχατιονσ σινχε τηε σιµπλερ τηε εξαµπλεσ, τηε εασιερ ιτ ισ το χοµπρεηενδ τηε πηιλοσοπηψ βεηινδ τηε µαιντενανχε−πριοριτψ προβλεµ. 3.2.1 Μοτιϖατιον Σοφτωαρε µαιντενανχε ισ τηε γενεραλ προχεσσ οφ µακινγ χηανγεσ το ιµπροϖε α σψστεµ αφτερ ιτσ ινσταλλατιον [23]. Τηισ στρατεγψ δοεσ νοτ γενεραλλψ ινϖολϖε µαϕορ αρχηιτεχτυραλ µοδι⇒χατιονσ. Σοφτωαρε µαιντενανχε χαν ινϖολϖε (1) τηε ρεπαιρ οφ σοφτωαρε φαυλτσ, ρανγινγ φροµ χοδινγ ερρορσ, ωηιχη αρε τηε χηεαπεστ το ⇒ξ, το δεσιγν ερρορσ, ωηιχη αρε µορε εξπενσιϖε, ανδ ⇒ναλλψ, το ρεθυιρεµεντ ερρορσ, ωηιχη αρε τηε µοστ εξπενσιϖε; (2) τηε αδαπτατιον οφ σοφτωαρε το α νεω οπερ− ατινγ ενϖιρονµεντ; ανδ (3) αδδινγ ορ µοδιφψινγ τηε σψστεµ’σ φυνχτιοναλιτψ δυε το ιντερναλ ανδ εξτερναλ φαχτορσ, συχη ασ χηανγινγ λαωσ ανδ χηανγινγ µαρκετσ ορ βυσινεσσ στρυχτυρεσ. Τηε µετηοδ ωε προποσε αδδρεσσεσ τηε ⇒ρστ τωο ιτεµσ, χορρεχτιϖε ανδ αδαπτιϖε αχτιον, βψ προϖιδινγ α θυαντιτατιϖελψ χοµπαρατιϖε ρισκ ασσεσσµεντ τεχηνιθυε. Σοφτωαρε µαιντενανχε χονσυµεσ 60 το 80% οφ µοστ χοµ− πανιεσ’ σοφτωαρε βυδγετσ ανδ ισ τηυσ τηε λαργεστ σινγλε χοντριβυτορ το ηιγη σοφτωαρε χοστσ [24]. Μορεοϖερ, γροωτη ιν σψστεµ σιζε αϖεραγεσ 10% περ ψεαρ, ανδ µαιν− τενανχε εξπενσεσ γενεραλλψ ινχρεασε ασ σψστεµσ αγε. Τηερεφορε, ρεσεαρχη εφφορτσ ηαϖε βεγυν το ιντεγρατε δεσιγν ανδ µαιντενανχε µαναγεµεντ πολιχιεσ το ρεδυχε υναντιχιπατεδ σιδε εφφεχτσ [25]. Χορρεχτιϖε µαιντενανχε ιδεντι⇒εσ ανδ χορρεχτσ σοφτωαρε περφορµανχε ανδ αππλιχατιον φαιλυρεσ, ωηερεασ αδαπτιϖε µαιντενανχε αδϕυστσ τηε σοφτωαρε το χονφορµ το νεω δατα ρεθυιρεµεντσ ορ προχεσσινγ ενϖιρονµεντσ το µινιµιζε τηε φυνχτιοναλιτψ ρισκ τηατ αρισεσ ωηεν τηε ενϖιρονµεντ χηανγεσ. Τραδιτιοναλλψ, µαιντενανχε χοστ δοεσ νοτ µεασυρε φυτυρε εξπεχτεδ λοσσ δυε το φαιλυρεσ, ονλψ τηε ηιστοριχαλ χοστ οφ ⇒ξινγ τηε σοφτωαρε. Τηατ ισ, συβϕεχτιϖε ϕυδγµεντσ σηουλδ βε συππορτεδ βψ θυαντιτατιϖελψ οβϕεχτιϖε ρισκ ασσεσσµεντσ το δετερµινε νοτ ονλψ τηε προπερ τψπε οφ µαιντενανχε, βυτ ωηερε εφφορτσ σηουλδ βε φοχυσεδ [24,25]. Βυτ το

132

ΘΥΑΝΤΙΤΑΤΙςΕ ΜΟ∆ΕΛΙΝΓ ΦΟΡ ΣΕΧΥΡΙΤΨ ΡΙΣΚ ΑΣΣΕΣΣΜΕΝΤ

δατε, τηερε ηασ βεεν λιττλε τηεορετιχαλ συππορτ φορ τηεσε ασσεσσµεντσ. Τηε σεχυριτψ µετερ αππροαχη χαν προϖιδε α θυαντιτατιϖε χοµπαρισον ανδ ινφορµ τηε αναλψστ οφ α βυδγεταρψ πορτφολιο παϖινγ τηε ωαψ φορ πριοριτιζινγ, µαινταινινγ, ορ ρεπλαχινγ α µοδυλε το δετερµινε τηε µοστ χοστ−εφφεχτιϖε µαιντενανχε στρατεγψ [1,7–11]. 3.2.2 Βαψεσιαν Ρυλε ιν Στατιστιχσ ανδ Αππλιχατιονσ φορ Σοφτωαρε Μαιντενανχε Ρισκ αναλψσισ σιµυλατιον ισ υσεδ το αναλψζε α προβλεµ ανδ δετερµινε τηε βυδγετ χοστ το χαλχυλατε τηε εξπεχτεδ χοστ οφ λοσσ. Ρισκ αναλψσισ ηασ ϖαριουσ ινπυτσ, συχη ασ τψπεσ οφ ϖυλνεραβιλιτψ ανδ τηρεατ ανδ α χουντερµεασυρε φορ εαχη τηρεατ. Χριτιχαλιτψ ανδ υτιλιτψ (χαπιταλ) χοστ αρε χονσταντσ, ασ ωελλ ασ τηε νυµβερ οφ σιµυλατιον ρυνσ. Φροµ τηεσε σιµπλεστ ινπυτ ϖαλυεσ, τηε ουτπυτ χοστ το µιτιγατε τηε ρεσιδυαλ ρισκ ισ δετερµινεδ (σεε Ταβλε 3.2): ρεσιδυαλ ρισκ = 4(0.5)(0.5)(0.5) = 0.5

(6)

⇒ναλ ρισκ = ρεσιδυαλ ρισκ × χριτιχαλιτψ = (0.5)(0.5) = 0.25, ωηερε χριτιχαλιτψ = 0.5

(7)

εξπεχτεδ χοστ = υτιλιτψ χοστ × ⇒ναλ ρισκ = (∃1000)(0.25) = ∃250, ωηερε υτιλιτψ χοστ = ∃1000

(8)

Υσινγ α σινγλε σηοτ φορ ονε σιµυλατιον τριαλ, ασ ιν Φιγυρεσ 3.7 ανδ 3.8, λετ’σ αππλψ Βαψεσιαν πρινχιπλεσ το δετερµινε τηε ϖυλνεραβιλιτψ τηατ ρεθυιρεσ τηε µοστ µαιντενανχε. Λετ’σ ασκ α Βαψεσιαν τψπε οφ θυεστιον ασ ιτ ρελατεσ το ουρ µαιντε− νανχε προβλεµ. Ωηατ ισ τηε προβαβιλιτψ τηατ τηε οφ⇒χε χοµπυτερ σοφτωαρε ρισκ ισ δυε το σερϖερ (ε.γ., ⇒ρε, σψστεµ δοων) ορ ισ δυε το Ε−µαιλ (ε.γ., ϖιρυσ, ηαχκινγ)? Ανοτηερ εξαµπλε οφ α σιµιλαρ τρεε διαγραµ ισ πρεσεντεδ ιν Φιγυρε 3.7. Λετ P (A) = P (ϖυλνεραβιλιτψ) = 0.05 ανδ P (B | A) = P (τηρεατ | ϖυλνεραβιλιτψ) = 0.017, P (C | A, B) = P (ΧΜ | T ανδ V ) (9) Νοω λετ’σ γο οϖερ τηε Βαψεσιαν ρυλε [26]. Ιφ A, B, ανδ C αρε ανψ εϖεντσ ωηοσε προβαβιλιτιεσ αρε νοτ 0 ορ 1, τηεν P (A | B) = ΤΑΒΛΕ 3.2

Ε−µαιλ (0.5)

(10)

ςυλνεραβιλιτψ–Τηρεατ–Χουντερµεασυρε Σπρεαδσηεετ φορ α ΠΧ

ςυλνεραβιλιτψ Σερϖερ (0.5)

P (A ∩ B) P (B | A)P (A) = P (B) P (B)

Τηρεατ 1. 2. 1. 2.

Φιρε (0.5) Σψστεµ δοων (0.5) ςιρυσ (0.5) Ηαχκινγ (0.5)

Χουντερµεασυρε 1. 2. 1. 2.

Σµοκε δετεχτορσ (0.5) Ιν−ηουσε γενερατορ (0.5) Αντιϖιρυσ σοφτωαρε (0.5) Φιρεωαλλ (0.5)

ΒΑΨΕΣΙΑΝ ΑΠΠΛΙΧΑΤΙΟΝΣ ΦΟΡ ΠΡΙΟΡΙΤΙΖΙΝΓ ΣΟΦΤΩΑΡΕ ΜΑΙΝΤΕΝΑΝΧΕ

B .017 A .05

AC

C

.4

CC → (ABC C)

.983 .7 .3 BC

C

.8 .2

C

B

.95

.6

133

= 0.00034

CC → (ABCC C) = 0.014745

CC → (ACBC C) = 0.00019 .0001 .9999 .9 C

BC

.1

CC → (ACBCC C) = 0.0949905 + Output: Total Residual Risk = 0.11

ΦΙΓΥΡΕ 3.7 Σιµπλεστ τρεε διαγραµ φορ τωο τηρεατσ φορ εαχη οφ τηε τωο ϖυλνεραβιλιτιεσ συχη ασ ιν Ταβλε 3.2 ωιτη ϖαρψινγ ινπυτ δατα.

ωηερε P (B) = P (A)P (B | A) + P (AC )P (B | AC ) ανδ τηεν P (A | B) =

P (A ∩ B) P (A)P (B | A) + P (AC )P (B | AC)

(11)

(12)

Νοω εξτενδινγ τηε αναλψσισ το τηρεε εϖεντσ ρατηερ τηαν τωο, πρεϖιουσλψ, ιν χασ− χαδινγ φορµ, P (C) = P (A)P (B | A)P (C | B, A) + P (A)P (B C | A)P (C | A, B C )

+ P (AC )P (B | AC )P (C | B, AC ) + P (AC )P (B C | AC )P (C | AC , B C ) (13) Αππλψινγ τηε προβαβιλιτιεσ σηοων ιν Φιγυρε 3.7 ψιελδσ P (B) = (0.05)(0.0017) + (0.95)(0.0001) = (0.00085) + (0.000095) = 0.000945

(14)

P (C) = (0.05)(0.0017)(0.6) + (0.05)(0.983)(0.7) + (0.95)(0.0001)(0.8) + (0.95)(0.9999)(0.9) = 0.000051 + 0.034405 + 0.000076 + 0.8549145 C

= 0.8894465

P (C ) = 1 − P (C) = 0.1105535

(15) (16)

134

ΘΥΑΝΤΙΤΑΤΙςΕ ΜΟ∆ΕΛΙΝΓ ΦΟΡ ΣΕΧΥΡΙΤΨ ΡΙΣΚ ΑΣΣΕΣΣΜΕΝΤ

Φορ τηε α ποστεριορι προβαβιλιτψ χαλχυλατιονσ (ι.ε., Βαψεσιαν), γιϖεν τηε ρισκ εϖεντ, C C , ωηατ περχεντ χοµεσ φροµ ϖυλνεραβιλιτψ σουρχε A ανδ φροµ σουρχε AC ? P (A)P (B | A)P (C C | B, A) + P (A)P (B C | A)P (C C | A, B C ) P (C C ) (0.05)(0.0017)(0.4) + (0.05)(0.983)(0.3) = 0.1105535 = 0.1337 (17)

P (A | C C ) =

P (AC | C C ) = 1 − 0.1337 = 0.8663

(18)

Κνοωινγ τηατ ινιτιαλλψ, ϖυλνεραβιλιτψ A χοντριβυτεδ 5% ανδ ισ νοω χοντριβυτινγ 13.37% οφ τηε ρισκ, ιτ νεεδσ το βε εξπλορεδ χαρεφυλλψ. Τηε οτηερ ϖυλνεραβιλιτψ, AC , ωηιχη α πριορι χοντριβυτεδ 95%, ισ νοω χαυσινγ 86.63% οφ τηε ρισκ ανδ ηασ λεσσ οφ αν εφφεχτ ον τηε οϖεραλλ ρισκ πιχτυρε. Τηερεφορε, ϖυλνεραβιλιτψ A νεεδσ το ηαϖε τηε ηιγηεστ µαιντενανχε πριοριτψ. Λετ’σ λοοκ νεξτ ατ ανοτηερ εξαµπλε ιν Φιγυρε 3.8, ωηερε τηε σχρεενσηοτ σηοωσ ονε ρεαλιζατιον οφ τηε Μοντε Χαρλο σιµυλατιον. Ωε νεεδ το ⇒νδ τηε φολλοωινγ Βαψεσιαν ποστεριορ προβαβιλιτιεσ: 0.058375 = 0.1246 0.468838 0.070589 P (σψστεµ δοων | ρισκ) = = 0.1506 0.468838 P (⇒ρε | ρισκ) =

ΦΙΓΥΡΕ 3.8 Σχρεενσηοτ φορ Ταβλε 3.2 ιν τηε Μοντε Χαρλο σιµυλατιον στυδψ.

(19) (20)

ΒΑΨΕΣΙΑΝ ΑΠΠΛΙΧΑΤΙΟΝΣ ΦΟΡ ΠΡΙΟΡΙΤΙΖΙΝΓ ΣΟΦΤΩΑΡΕ ΜΑΙΝΤΕΝΑΝΧΕ

0.154611 = 0.3298 0.468838 0.185262 P (ηαχκινγ ατταχκ | ρισκ) = = 0.3950 0.468838 P (ϖιρυσ ατταχκ | ρισκ) =

135

(21) (22)

Φροµ τηεσε προβαβιλιτιεσ ιτ ισ οβϖιουσ τηατ τηε ποστεριορ ρισκ (R) δυε το χηανχε φαιλυρεσ οφ τηε ⇒ρστ ϖυλνεραβιλιτψ ισ 0.1246 + 0.1506 = 0.2752, ορ 27.52%. Ον τηε οτηερ ηανδ, τηε πριορ χοντριβυτιον οφ χηανχε φαιλυρεσ ατ τηε ϖερψ βεγιννινγ σταγε ωασ λεσσ: 0.2654, ορ 26.54%, ιν Φιγυρε 3.8. Ον τηε οτηερ ηανδ, τηε πριορ χον− τριβυτιον οφ ϖυλνεραβιλιτψ οφ τηε µαλιχιουσ φαιλυρεσ ωασ 0.7345, ορ 73.45%. Τηε ποστεριορ χοντριβυτιον τυρνεδ ουτ το βε 0.3298 + 0.3950 = 0.7248, ορ 72.48%. Ωηατ τηισ µεανσ ισ τηατ αλτηουγη µαλιχιουσ χαυσεσ οφ τηε σεχονδ ϖυλνεραβιλιτψ χονστιτυτε 73.45% οφ τηε τοταλιτψ οφ φαιλυρεσ, τηεσε χαυσεσ γενερατε 72.48% οφ τηε ρισκ. Τηε ιµπλιχατιον ισ τηατ µορε στρινγεντ σοφτωαρε µαιντενανχε ισ ρεθυιρεδ φορ τηε ⇒ρστ ϖυλνεραβιλιτψ τηαν φορ τηε σεχονδ. Αλσο, τηε τηρεατ οφ α ηαχκινγ ατταχκ (= 39.5%) ισ µορε σεϖερε τηαν τηε τηρεατ οφ α ϖιρυσ ατταχκ (= 33%). Φορ χορρεχτιϖε µαιντενανχε, τωο ρεµεδιαλ µεασυρεσ αρε φεασιβλε, ιν τηε ορδερ οφ αππλιχαβιλιτψ [10]. Τηε εξχλαµατιον µαρκσ σηοω “⇒ρστ πριοριτψ” µαιντενανχε ασ ιν Φιγυρε 3.3’σ λαστ χολυµν. 1. Ωε νεεδ το ωορκ το ιµπροϖε τηε χουντερµεασυρεσ φορ ϖυλνεραβιλιτψ A, νοτινγ εσπεχιαλλψ τηατ τηε “σψστεµ δοων” τηρεατ ισ γρεατερ τηαν τηε ⇒ρε τηρεατ (ι.ε., 15.06% > 12.46%) ιν τηισ εξαµπλε. 2. Αφτερ πρεϖεντιϖε ορ χορρεχτιϖε µεασυρεσ αρε τακεν ρεγαρδινγ τηε ϖυλνεραβιλ− ιτψ ωιτη τηε ηιγηεστ πριοριτψ, τηε σεχυριτψ µετερ αναλψσισ µυστ βε ρερυν το χοµπυτε τηε υπδατεδ ποστεριορ Βαψεσιαν προβαβιλιτιεσ. Τηισ ισ το σεε ιφ ανψ ιµπροϖεµεντ ισ ρεχορδεδ βψ χοµπαρινγ τηε εξπεχτεδ χοστσ οφ λοσσ πρε− ανδ ποστµαιντενανχε. 3.2.3 Ανοτηερ Βαψεσιαν Αππλιχατιον φορ Σοφτωαρε Μαιντενανχε Βψ υσινγ α σινγλε σηοτ φορ ονε σιµυλατιον τριαλ, σηοων ιν Ταβλε 3.3, ασσυµινγ τηατ ιτ ισ α ηψποτηετιχαλ εξαµπλε, λετ’σ υσε τηε Βαψεσιαν αππροαχη το δετερµινε τηε ϖυλνεραβιλιτψ τηατ ωιλλ ρεθυιρε τηε µοστ µαιντενανχε. Ωηατ ισ τηε προβαβιλιτψ τηατ τηε οφ⇒χε χοµπυτερ σοφτωαρε ρισκ ισ δυε το χηανχε (ε.γ., δεσιγν, σψστεµ δοων) ορ ισ µαλιχιουσ (ε.γ., ϖιρυσ, ηαχκινγ)? Στατιστιχαλλψ, ωε νεεδ το ⇒νδ τηε φολλοωινγ Βαψεσιαν προβαβιλιτιεσ: 0.097097 0.506371 0.118578 P (σψστεµ δοων | ρισκ) = 0.506371 0.151268 P (ϖιρυσ ατταχκ | ρισκ) = 0.506371 0.139429 P (ηαχκινγ ατταχκ | ρισκ) = 0.506371 P (δεσιγν ερρορ | ρισκ) =

= 0.1917

(23)

= 0.2341

(24)

= 0.2987

(25)

= 0.2755

(26)

136 ΤΑΒΛΕ 3.3 ςυλνεραβιλιτψ Χηανχε φαιλυρε (A)

Μαλιχιουσ φαιλυρε (B)

Ονε Σιµυλατιον Ρεσυλτ φορ τηε Σεχυριτψ Μετερ Εξαµπλε ιν Ταβλε 3.2 b

a

Ρανδοµ ςαλυε

0.2

0.8

0.464538

Βψ συβτραχτιον

Βψ συβτραχτιον

0.535462

Τηρεατ

b

a

Ρανδοµ ςαλυε

ΛΧΜΛ

ΛΧΜΥ

Ρανδοµ ςαλυε

Ρισκ

∆εσιγν ερρορ

0.4

0.6

0.496143

0.4

0.6

0.421288

0.097097

Σψστεµ δοων ςιρυσ

Βψ συβτραχτιον

Βψ συβτραχτιον

0.503857

0.4

0.6

0.506611

0.118578

0.4

0.6

0.490508

0.4

0.6

0.575932

0.151268

Ηαχκινγ

Βψ συβτραχτιον

Βψ συβτραχτιον

0.509492

0.4

0.6

0.511076

0.139429

Ρεσιδυαλ: 0.506371

ΒΑΨΕΣΙΑΝ ΑΠΠΛΙΧΑΤΙΟΝΣ ΦΟΡ ΠΡΙΟΡΙΤΙΖΙΝΓ ΣΟΦΤΩΑΡΕ ΜΑΙΝΤΕΝΑΝΧΕ

137

Φροµ τηεσε Βαψεσιαν ποστεριορ προβαβιλιτιεσ, ιτ ισ χλεαρ τηατ τηε ποστµαιντενανχε ρισκ δυε το χηανχε φαιλυρεσ οφ τηε ⇒ρστ ϖυλνεραβιλιτψ ισ 0.1917 + 0.2341 = 0.4258, ορ 42.58%. Τηε πρεµαιντενανχε χοντριβυτιον οφ χηανχε φαιλυρεσ ωασ γρεατερ: 0.4645 ορ 46.45%, ωηερεασ φορ µαλιχιουσ φαιλυρεσ ιτ ωασ 0.5354, ορ 53.54%. Τηε ποστεριορ χοντριβυτιον τυρνεδ ουτ το βε 0.2987 + 0.2755 = 0.5742, ορ 57.42%. Ωηατ τηισ µεανσ ισ τηατ αλτηουγη µαλιχιουσ χαυσεσ οφ τηε σεχονδ ϖυλνεραβιλιτψ χονστιτυτε 53.54% οφ φαιλυρεσ, τηεψ γενερατε 57.42% οφ τηε ρισκ. Τηε ιµπλιχατιον ισ τηατ γρεατερ σοφτωαρε µαιντενανχε ισ ρεθυιρεδ ον τηε σεχονδ ϖυλνεραβιλιτψ τηαν ον τηε ⇒ρστ. Φορ χορρεχτιϖε µαιντενανχε ατ τηισ ⇒ναλ σταγε, τωο ρεµεδιαλ µεασυρεσ αρε φεασιβλε, ιν τηε ορδερ οφ αππλιχαβιλιτψ: 1. Ωε νεεδ το ιµπροϖε χουντερµεασυρεσ φορ ϖυλνεραβιλιτψ B, νοτινγ εσπεχιαλλψ τηατ ϖιρυσ ατταχκσ χονστιτυτε µορε τηαν ηαλφ (29.87% > 27.55%) τηε τηρεατ ιν τηισ εξαµπλε. 2. Αφτερ πρεϖεντιϖε ορ χορρεχτιϖε µεασυρεσ αρε τακεν ρεγαρδινγ τηε ϖυλνεραβιλ− ιτψ ωιτη τηε ηιγηεστ πριοριτψ, τηε σεχυριτψ µετερ αναλψσισ µυστ βε ρερυν το χοµπυτε τηε υπδατεδ Βαψεσιαν α ποστεριορι προβαβιλιτιεσ. Σεε ιφ ανψ ιµπροϖεµεντ ισ ρεχορδεδ βψ χοµπαρινγ τηε εξπεχτεδ χοστσ οφ λοσσ βετωεεν πρε− ανδ ποστµαιντενανχε. 3.2.4 Μοντε Χαρλο Σιµυλατιον το ςεριφψ τηε Βαψεσιαν Αναλψσισ Προποσεδ Ιν ουρ σιµυλατιον φορ Ταβλε 3.2, ωηερε τηε ρισκ αναλψσισ ισ δονε φορ α ηοµε οφ⇒χε, 1000 σιµυλατιον ρυνσ αρε χονδυχτεδ, ωιτη 5000 τριαλσ φορ εαχη, τοταλινγ 5 µιλλιον ρυνσ. Ρεσυλτσ αρε χαλχυλατεδ υσινγ α ϑαϖα χοδε. Φορ εαχη οφ τηε ρισκ φαχτορσ, συχη ασ ϖυλνεραβιλιτψ, τηρεατ, ανδ λαχκ οφ χουντερµεασυρε, τηε ασσυµεδ υνιφορµ δενσιτψ παραµετερσ, a = υππερ λιµιτ ανδ b = λοωερ λιµιτ, ωηιχη αρε βοτη βετωεεν 0 ανδ 1, αρε δεσιγνατεδ ασ ινπυτ δατα. Ωε γενερατε υνιφορµλψ διστριβυτεδ ρανδοµ ϖαριαβλεσ φορ αλλ αττριβυτεσ γιϖεν a ανδ b. Τηε αϖεραγε οφ U (a, b) ισ (a + b)/2. Τηε σιµυλατιον σχρεενσηοτ ισ σηοων ιν Φιγυρε 3.8. Ιτ ισ οβσερϖεδ τηατ τηε εξπεχτεδ ρεσιδυαλ ρισκ ρεσυλτ (= 0.5) ανδ σιµυλατεδ ρεσιδυαλ ρισκ ρεσυλτ (= 0.4999984) αρε αλµοστ ιδεντιχαλ αφτερ 5 µιλλιον σιµυλατιονσ. Ιν αδδιτιον το ϖερι⇒χατιον οφ τηε εξπεχτεδ (τηεορετιχαλ) ρεσυλτσ, αν αδϖανταγε οφ σιµυλατιον ωασ το οβταιν α ρεαλιζατιον οφ α σχεναριο ορ δατα σετ ωηερε νονε εξιστσ. Τηισ προπερτψ ωασ υτιλιζεδ αβοϖε ιν Βαψεσιαν χαλχυλατιονσ το πριοριτιζε τηε µαιντενανχε σχηεδυλε. 3.2.5 ∆ισχυσσιον ανδ Χονχλυσιονσ Τηε σεχυριτψ µετερ αππροαχη προποσεδ προϖιδεσ α θυιχκ βιρδ’σ−εψε ϖιεω οφ α χοµπονεντ’σ ορ σψστεµ’σ σοφτωαρε σεχυριτψ ρισκ [1]. Σοµε οφ τηε εαρλιερ τεχηνιθυεσ υσεδ, συχη ασ ατταχκ τρεεσ, δο νοτ προϖιδε α προβαβιλιστιχαλλψ αχχυρατε οϖεραλλ πιχτυρε. ςυλνεραβιλιτιεσ τηατ νεεδ µορε συρϖειλλανχε χαν βε ρανκεδ φροµ µοστ το λεαστ σεϖερε τηρουγη Βαψεσιαν αναλψσισ. Τηισ ισ ϖερψ υσεφυλ φορ πριοριτιζατιον πυρποσεσ, σαϖινγ τιµε ανδ εφφορτ ιν τηε ϖαστ αρενα οφ σοφτωαρε µαιντενανχε [10].

138

ΘΥΑΝΤΙΤΑΤΙςΕ ΜΟ∆ΕΛΙΝΓ ΦΟΡ ΣΕΧΥΡΙΤΨ ΡΙΣΚ ΑΣΣΕΣΣΜΕΝΤ

Τηε µοδελ προποσεδ ισ συππορτεδ βψ α Μοντε Χαρλο σιµυλατιον, ωηιχη προϖιδεσ α πυρελψ θυαντιτατιϖε αλτερνατιϖε το χονϖεντιοναλ θυαλιτατιϖε µοδελσ, συµµαριζεδ ιν τηε αππενδιξεσ. Ονε ασσυµεσ τηατ τηε ϖυλνεραβιλιτψ–τηρεατ–χουντερµεασυρε ινπυτ δατα αϖαιλαβλε ωιλλ βε ρελιαβλε, α χονχερν τηατ ωε στυδψ ιν Σεχτιον 3.4.

3.3 ΘΥΑΝΤΙΤΑΤΙςΕ ΡΙΣΚ ΑΣΣΕΣΣΜΕΝΤ ΦΟΡ ΝΟΝ∆ΙΣϑΟΙΝΤ ςΥΛΝΕΡΑΒΙΛΙΤΙΕΣ ΑΝ∆ ΝΟΝ∆ΙΣϑΟΙΝΤ ΤΗΡΕΑΤΣ Νυτσηελλ 3.3 Α Μοντε Χαρλο σιµυλατιον στυδψ φορ τηε σιµπλεστ στατιστιχαλ ασσυµπτιον ιλλυστρατεδ τηε ϖαλιδιτψ οφ τηε δεχισιον τρεε αππροαχη σατισφαχτοριλψ, χιτινγ σοµε εξαµπλεσ φροµ ηψποτηετιχαλ αππλιχατιονσ. Ιν αχτυαλ λιφε σχεναριοσ, τηε χοµπονεντσ οφ τηε οϖεραλλ ρισκ πιχτυρε αρε νονδισϕοιντ (νον−µυτυαλλψ εξχλυσιϖε) ρατηερ τηαν πυρελψ δισϕοιντ. Εαρλιερ µοδελσ δεσιγνεδ φορ δισϕοιντ εϖεντσ ηαϖε βεεν ρεφορµυλατεδ ωιτη ρεσπεχτ το νονδισϕοιντ σχεναριοσ. 3.3.1 Μοτιϖατιον Βεηινδ τηε ∆ισϕοιντ Νοτιον οφ ςυλνεραβιλιτιεσ ανδ Τηρεατσ Ιν δεταιλεδ τρεατµεντ οφ τηε σεχυριτψ µετερ υσεδ ασ α νοϖελ θυαντιτατιϖε ρισκ ασσεσσ− µεντ τεχηνιθυε, αλλ τηε ϖυλνεραβιλιτιεσ ωερε ασσυµεδ το βε δισϕοιντ, ασ ωερε τηε ενσυινγ τηρεατσ [1]. Ηοωεϖερ, ωηεν τηε ϖυλνεραβιλιτιεσ οφ τηε θυαντιτατιϖε σεχυριτψ ρισκ ασσεσσµεντ αρε νοτ περφεχτ; (ι.ε., τηεψ αρε νονδισϕοιντ ορ νοτ µυτυαλλψ εξχλυ− σιϖε), α νεω προβαβιλιστιχ αππροαχη ισ νεεδεδ το ρεπλαχε τηε σπεχιαλ χασε οφ δισϕοιντ ουτχοµεσ. Τηε σεχυριτψ µετερ’σ δεχισιον τρεε διαγραµ ηασ βεεν ρεφορµυλατεδ ιν τηε λιγητ οφ τηισ νεω ρεαλιτψ [11]. 3.3.2 Φυνδαµενταλ Προβαβιλιτψ Λαωσ οφ Ινδεπενδενχε, Χονδιτιοναλιτψ, ανδ ∆ισϕοιντνεσσ Ηερε ωε χοντινυε τηε φυνδαµενταλ λαωσ οφ προβαβιλιτψ βεγυν ιν Σεχτιον 3.1.3. Λαω 5 : Ιφ V1 ανδ V2 αρε τωο ινδεπενδεντ εϖεντσ, P (V1 ανδ V2 ) = P (V1 )P (V2 ). Φορ τηρεε εϖεντσ, P (V1 ανδ V2 ανδ V3 ) = P (V1 ∩ V2 ∩ V3 ) = P (V1 )P (V2 )P (V3 )

(27)

Τηισ ισ τηε γενεραλ µυλτιπλιχατιον ρυλε φορ ινδεπενδεντ εϖεντσ [22]. Λαω 6 : Ιφ P (V1 ) > 0, τηε χονδιτιοναλ προβαβιλιτψ οφ V2 γιϖεν V1 ισ, ωηερε ∩ ρεπρεσεντσ ΑΝ∆, P (V1 ∩ V2 ) P (V2 | V1 ) = (28) P (V1 )

139

ΘΥΑΝΤΙΤΑΤΙςΕ ΡΙΣΚ ΑΣΣΕΣΣΜΕΝΤ

Λαω 7 : Ιτ φολλοωσ φροµ πρεϖιουσ λαωσ τηατ P (V2 | V1 ) = P (V2 ) ιφ V1 ανδ V2 αρε ινδεπενδεντ. Λαω 8 : Ιφ V1 ανδ V2 αρε τωο δεπενδεντ εϖεντσ, P (V1 ∩ V2 ) = P (V1 )P (V2 | V1 ). Φορ τηρεε εϖεντσ, P (V1 ανδ V2 ανδ V3 ) = P (V1 )P (V2 | V1 )P (V3 | V1 ανδ V2 )

(29)

Τηισ ισ τηε µυλτιπλιχατιον ρυλε φορ δεπενδεντ εϖεντσ [22]. Λαω 9: Ιφ V1 ανδ V2 αρε τωο δισϕοιντ (µυτυαλλψ εξχλυσιϖε) εϖεντσ, P (V1 ∪ V2 ) = P (V1 ) + P (V2 )

(30)

Φορ τηρεε εϖεντσ, P (V1 ορ V2 ορ V3 ) = P (V1 ∪ V2 ∪ V3 ) = P (V1 ) + P (V2 ) + P (V3 )

(31)

Λαω 10: Ιφ V1 ανδ V2 αρε τωο νονδισϕοιντ (νον−µυτυαλλψ εξχλυσιϖε) εϖεντσ, P (V1 ∪ V2 ) = P (V1 ) + P (V2 ) − P (V1 ∩ V2 )

(32)

Φορ τηρεε εϖεντσ, P (V1 ∪ V2 ∪ V3 ) = P (V1 ) + P (V2 ) + P (V3 ) − P (V1 ∩ V2 ) − P (V1 ∩ V3 ) − P (V2 ∩ V3 ) + P (V1 ∩ V2 ∩ V3 )

(33)

Τηισ ισ τηε αδδιτιον ρυλε φορ νονδισϕοιντ εϖεντσ [22]. 3.3.3 Σεχυριτψ Μετερ Μοδι⇒εδ φορ Νονδισϕοιντ ςυλνεραβιλιτιεσ ανδ ∆ισϕοιντ Τηρεατσ Ιν Φιγυρε 3.9, V1 ανδ V2 αρε γιϖεν ασ δισϕοιντ. Νοτε τηατ, φορ σιµπλιχιτψ, τηε τηρεατ ουτχοµεσ αρε αλσο ασσυµεδ το βε δισϕοιντ. Τηε µοδι⇒εδ διαγραµ φορ νονδισϕοιντ χασε ισ σηοων ιν Φιγυρε 3.10.

T1 V1 T2

V2

LCM →

P(V1)*P(T1|V1)*P(LCM|V1,T1)

CM LCM →

P(V1)*P(T2|V1)*P(LCM|V1,T2)

CM

T1

LCM →

P(V2)*P(T1|V2)*P(LCM|V2,T1)

T2

CM LCM →

P(V2)*P(T2|V2)*P(LCM|V2,T2)

CM

ΦΙΓΥΡΕ 3.9

+ Output: Total Residual Risk

Σιµπλεστ τρεε διαγραµ φορ τωο τηρεατσ φορ εαχη οφ τηε τωο ϖυλνεραβιλιτιεσ.

140

ΘΥΑΝΤΙΤΑΤΙςΕ ΜΟ∆ΕΛΙΝΓ ΦΟΡ ΣΕΧΥΡΙΤΨ ΡΙΣΚ ΑΣΣΕΣΣΜΕΝΤ

T1

V1∩V2C

T2 T1 V1C∩V2

T2 T1

V1∩V2 T2

ΦΙΓΥΡΕ 3.10

LCM → P(V1 ∩ V2C ) P( T1|V1, V2 ) P( LCM | V1, V2, T1 ) = (0.45)(0.5)(0.5) = 0.1125 CM LCM → P(V1 ∩ V2C ) P( T2|V1, V2 ) P( LCM | V1, V2, T2 ) = (0.45)(0.5)(0.5) = 0.1125 CM LCM → P(V1C ∩ V2 ) P( T1|V1, V2 ) P( LCM | V1, V2, T1 ) = (0.35)(0.5)(0.5) = 0.0875 CM LCM → P(V1C ∩ V2 ) P( T2|V1, V2 ) P( LCM | V1, V2, T2 ) = (0.35)(0.5)(0.5) = 0.0875 CM LCM → P(V1 ∩ V2 ) P( T1|V1, V2 ) P( LCM | V1, V2, T1 ) = (0.20)(0.5)(0.5) = 0.05 CM LCM → P(V1 ∩ V2 ) P( T2|V1, V2 ) P( LCM | V1, V2, T2 ) = (0.20)(0.5)(0.5) = 0.05 + CM Output: Total Residual Risk = 0.5

Μοδι⇒εδ τρεε διαγραµ φορ νονδισϕοιντ ϖυλνεραβιλιτιεσ ωιτη δισϕοιντ τηρεατσ.

Ιν α ηψποτηετιχαλ εξαµπλε, ασ ιν Φιγυρε 3.10, λετ P (V1 ) = 0.65, P (V2 ) = 0.55, P (V1 ∩ V2 ) = 0.2, ανδ P (V1 ∩ V2C ) = 0.45, P (V2 ∩ V1C ) = 0.35, ανδ P (V1C ∩ V2C ) = 0. Ιν α ςενν διαγραµ σεττινγ, οβσερϖε τηατ τηε σετσ σολελψ V1 : (V1 ∩ V2C ), σολελψ V2 : (V2 ∩ V1C ), βοτη V1 ανδ V2 : (V1 ∩ V2 ), ανδ ιφ αππλιχαβλε, νονε οφ V1 ανδ V2 : (V1C ∩ V2C ) αρε νοω µυτυαλλψ εξχλυσιϖε ορ δισϕοιντ. Τηεν, σινχε P (V1 ∪ V2 ) = P (V1 ) + P (V2 ) − P (V1 ∩ V2 ), V1 ανδ V2 αρε νοτ δισϕοιντ. Αδδιτιοναλλψ, σινχε P (V1 ∩ V2 ) = 0.2 ισ νοτ εθυαλ το P (V1 )P (V2 ) = (0.65)(0.55) = 0.3575, V1 ανδ V2 χαννοτ βε ινδεπενδεντ. Σοµετιµεσ, τωο νονδισϕοιντ εϖεντσ µαψ βε ινδεπεν− δεντ ιφ τηισ εθυαλιτψ ηολδσ. Ιφ τηεψ αρε δισϕοιντ, τηεψ αρε αβσολυτελψ δεπενδεντ. Τηερεφορε, βεχαυσε V1 ανδ V2 αρε βοτη νονδισϕοιντ ανδ νονινδεπενδεντ, ασ ϖυλ− νεραβιλιτιεσ µαψ οχχυρ ιν ρεαλ λιφε, τηε τρεε διαγραµ οφ Φιγυρε 3.9 ισ νο λονγερ αχχεπταβλε ανδ ισ µοδι⇒εδ ιν Φιγυρε 3.10. Τηε σαµε ρυλεσ στιλλ αππλψ φορ τηε Μοντε Χαρλο σιµυλατιον, σινχε τηε µοδι⇒εδ σετσ αδδ το υνιτψ βεχαυσε τηεψ αρε µαδε δισϕοιντ. Ιν ρεαλ λιφε, νονδισϕοιντ ανδ δεπενδεντ ϖυλνεραβιλιτιεσ ωιτη νονδισ− ϕοιντ τηρεατσ οχχυρ φρεθυεντλψ ιν τηε φορµ οφ “βυχκετσ,” ωηερε χοµµον εϖεντσ ιντερσεχτ. Νοτε τηατ φορ τηε δισϕοιντ τηρεατσ γιϖεν τηε ϖυλνεραβιλιτιεσ, P (T1 | V1 ) = 0.5, P (T2 | V1 ) = 0.5, P (T1 | V2 ) = 0.5, ανδ P (T2 | V2 ) = 0.5. Ασ βεφορε, P (ΛΧΜ) = P (ΧΜ) = 0.5 φορ σιµπλιχιτψ. Ονε νεεδσ το φορµυλατε α σιµιλαρ ωορκινγ ταβλε φορ τηε τηρεατσ ωηεν τηεψ αρε νοτ δισϕοιντ. Φορ α διχηοτοµουσ τηρεατ σχεναριο, ονε ωουλδ ηαϖε δισϕοιντ σετσ, συχη ασ σολελψ T1 : (T1 ∩ T2C ), σολελψ T2 : (T2 ∩ T1C ), βοτη T1 ανδ T2 : (T1 ∩ T2 ), ανδ νονε οφ T1 ανδ T2 : (T1C ∩ T2C ), ιφ αππλιχαβλε. Τηισ αππροαχη ισ ⇒ναλλψ γενεραλιζεδ το n > 2 φορ ϖυλνεραβιλιτιεσ ορ τηρεατσ. Φορ n = 3, συχη ασ ιν Μοορε ανδ ΜχΧαβε’σ χοφφεε, τεα, ανδ χολα δρινκερσ προβλεµ [26, π. 355], τηε δισϕοιντ σετσ ωιλλ χονστιτυτε τηε φολλοωινγ—σολελψ V1 : (V1 ∩ V2C ∩ V3C ), σολελψ V2 : (V2 ∩ V1C ∩ V3C ), σολελψ V3 : (V3 ∩ V1C ∩ V2C ), σολελψ V1

141

ΘΥΑΝΤΙΤΑΤΙςΕ ΡΙΣΚ ΑΣΣΕΣΣΜΕΝΤ

ανδ V2 : (V1 ∩ V2 ∩ V3C ), σολελψ V1 ανδ V3 : (V1 ∩ V3 ∩ V2C ), σολελψ V2 ανδ V3 : (V2 ∩ V3 ∩ V1C ), αλλ V1 , V2 , ανδ V3 : (V1 ∩ V2 ∩ V3 ), ανδ ιφ αππλιχαβλε, νονε οφ V1 , V2 , ανδ V3 : (V1C ∩ V2C ∩ V3C ). Αλλ αρε νοω µυτυαλλψ εξχλυσιϖε σετσ µοδιφψινγ τηε τρεε διαγραµ ιν Φιγυρε 3.9. Τηυσ, τηε 2n ρυλε (ι.ε., 4 φορ n = 2 ανδ 8 φορ n = 3) ηολδσ φορ τηε νυµβερ οφ δισϕοιντ σετσ. 3.3.4 Σεχυριτψ Μετερ Μοδι⇒εδ φορ Νονδισϕοιντ ςυλνεραβιλιτιεσ ανδ Νονδισϕοιντ Τηρεατσ Ωηεν τηε τηρεατ εϖεντσ αρε αλσο νοτ δισϕοιντ οφ εαχη οτηερ, εθυατιον (32), ασ ιν Φιγυρε 3.11, ωιλλ πρεϖαιλ. Ωηεν T1 ανδ T2 ωερε ινιτιαλλψ γιϖεν το βε δισ− ϕοιντ, τηε ρελεϖαντ χονδιτιοναλ προβαβιλιτιεσ, συχη ασ P (T1 | T2 ) ανδ P (T2 | T1 ), αρε νοω κνοων, ωηερε εαρλιερ, P (T1 ) + P (T2 ) = P (T1 ∪ T2 ) το γιϖε δισϕοιντνεσσ. Νοτε τηατ P (T1 ∪ T2 ) = P (T1 ) + P (T2 ) − P (T1 ∩ T2 ), σινχε τηε τηρεατσ αρε νο λονγερ δισϕοιντ. Ιφ τηερε αρε µορε τηαν τωο ουτχοµεσ, P (T1 ∪ T2 ∪ T3 ) = P (T1 ) + P (T2 ) + P (T3 ) − P (T1 ∩ T2 ) − P (T1 ∩ T3 ) − P (T2 ∩ T3 ) + P (T1 ∩ T2 ∩ T3 ). Νοτε τηατ βοτη τηε ϖυλνεραβιλιτψ ανδ τηρεατ ουτχοµεσ αρε νοτ δισϕοιντ. Σεε Φιγυρε 3.11 φορ τηε µοδι⇒εδ διαγραµ ωηεν τηε τηρεατ εϖεντσ αρε αλσο νοτ δισϕοιντ οφ εαχη οτηερ. Ωηεν τωο ορ τηρεε εϖεντσ αρε νοτ δισϕοιντ, τηεψ µαψ ορ µαψ νοτ βε ινδε− πενδεντ, βψ εθυατιον (27). Βυτ ωηεν δισϕοιντ, τηεψ αρε δε⇒νιτελψ δεπενδεντ γιϖεν νο νυλλ: P (φ) = 0 ορ συρε: P (S) = 1 σετσ. Ιν α ηψποτηετιχαλ εξαµπλε, συχη ασ ιν Φιγυρε 3.11 ανδ φορ σιµπλιχιτψ ιν χαλχυλα− τιονσ, λετ P (T1 ) = 0.65, P (T2 ) = 0.55, P (T1 ∩ T2 ) = 0.2; τηεν P (T1 ∩ T2 |V1 , V2 ) = 0.2, P (T1 ∩ T2C | V1 , V2 ) = 0.45, P (T2 ∩ T1C ) = 0.35, ανδ P (T1C ∩ T2C ) = 0. Ιν α ςενν διαγραµ σεττινγ, οβσερϖε τηατ τηε σετσ σολελψ T1 : (T1 ∩ T2C ), σολελψ LCM→(risk)...

= (0.45)(0.45)(0.5) = 0.10125

T1∩T2C V1∩V2C

CM T2∩T1C...

(risk)...

T1∩T2... T1∩T2C V1C∩V2

(risk)...

LCM→

(risk)...

CM T2∩T1C... (risk)... T1∩T2 ...

V1∩V2

T1∩T2C

P(V1∩V2C) P(T1∩T2C |V1, V2) P(LCM|V1, V2, T1, T2)

(risk)... LCM→(risk)...

CM T2∩T1C... (risk)... T1∩T2 ...

(risk)... +

P(V1∩V2C) P(T2∩T1C |V1, V2) P(LCM|V1, V2, T1, T2) = (0.45)(0.35)(0.5) = 0.07875 P(V1∩V2C) P(T1∩T2 |V1, V2) P(LCM|V1, V2, T1, T2) = (0.45)(0.20)(0.5) = 0.0045 P(V1C∩V2) P(T1∩T2C |V1, V2) P(LCM| V1, V2, T1, T2) = (0.35)(0.45)(0.5) = 0.07875 P(V1C∩V2) P(T2∩T1C |V1, V2) P(LCM|V1, V2, T1, T2) = (0.35)(0.35)(0.5) = 0.06125 P(V1C∩V2) P(T1∩T2 |V1, V2) P(LCM|V1, V2, T1, T2) = (0.35)(0.20)(0.5) = 0.0035 P(V1∩V2) P(T1∩T2C |V1, V2) P(LCM| V1, V2, T1, T2) = (0.20)(0.45)(0.5) = 0.0045 P(V1∩V2) P(T2∩T1C |V1, V2) P(LCM|V1, V2, T1, T2) = (0.20)(0.35)(0.5) = 0.0035 P(V1∩V2) P(T1∩T2 |V1, V2) P(LCM|V1, V2, T1, T2) = (0.20)(0.20)(0.5) = 0.0020 Output: Total Residual Risk: 0.338

ΦΙΓΥΡΕ 3.11 Μοδι⇒εδ τρεε διαγραµ φορ τωο νονδισϕοιντ ϖυλνεραβιλιτιεσ ανδ τωο νονδισ− ϕοιντ τηρεατσ.

142

ΘΥΑΝΤΙΤΑΤΙςΕ ΜΟ∆ΕΛΙΝΓ ΦΟΡ ΣΕΧΥΡΙΤΨ ΡΙΣΚ ΑΣΣΕΣΣΜΕΝΤ

T2 : (T2 ∩ T1C ), βοτη T1 ανδ T2 : (T1 ∩ T2 ), ανδ ιφ αππλιχαβλε, νονε οφ T1 ανδ T2 : (T1C ∩ T2C ) αρε αλλ νοω µυτυαλλψ εξχλυσιϖε ορ δισϕοιντ. Τηερεφορε, βεχαυσε νονδισ− ϕοιντ προπερτιεσ οφ T1 ανδ T2 ασ τηρεατσ µαψ οχχυρ ιν ρεαλ λιφε, τηε τρεε διαγραµ οφ Φιγυρε 3.9 ισ νο λονγερ αχχεπταβλε ανδ ισ µοδι⇒εδ ασ Φιγυρε 3.11. Τηε σαµε ρυλεσ στιλλ αππλψ φορ τηε Μοντε Χαρλο σιµυλατιον, σινχε τηε δισϕοιντ σετσ αρε αδδιτιϖε το υνιτψ. Ασ βεφορε, P (ΛΧΜ) = P (ΧΜ) = 0.5 φορ σιµπλιχιτψ. Τηισ αππροαχη ισ ⇒ναλλψ γενεραλιζεδ το n > 2 φορ ϖυλνεραβιλιτιεσ ανδ τηρεατσ. Φορ n = 3, αγαιν ασ ιν Μοορε ανδ ΜχΧαβε’σ χοφφεε, τεα, ανδ χολα δρινκερσ προβλεµ [26, π. 355], δεπενδεντ βυτ δισϕοιντ σετσ ωιλλ χονστιτυτε τηε φολλοωινγ: σολελψ T1 : (T1 ∩ T2C ∩ T3C ), σολελψ T2 : (T2 ∩ T1C ∩ T3C ), σολελψ T3 : (T3 ∩ T1C ∩ T2C ), σολελψ T1 ανδ T2 : (T1 ∩ T2 ∩ T3C ), σολελψ T1 ανδ T3 : (T1 ∩ T3 ∩ T2C ), σολελψ T2 ανδ T3 : (T2 ∩ T3 ∩ T1C ), αλλ T1 , T2 , ανδ T3 : (T1 ∩ T2 ∩ T3 ), ανδ ιφ αππλιχαβλε, νονε οφ T1 , T2 , ανδ T3 : (T1C ∩ T2C ∩ T3C )—αλλ νοω µυτυαλλψ εξχλυσιϖε ανδ δεπενδεντ σετσ µοδιφψινγ τηε τρεε διαγραµ ιν Φιγυρε 3.9. Τηυσ, τηε 2n ρυλε ηολδσ φορ τηε νυµβερ οφ δισϕοιντ σετσ φορ τηρεατσ ασ ιτ διδ φορ τηε ϖυλνεραβιλιτιεσ. 3.3.5 ∆ισχυσσιον ανδ Χονχλυσιονσ Φορ τηε σεχυριτψ µετερ δεσιγν το βε εφφεχτιϖε, ονε ασσυµεσ τηατ ϖυλνεραβιλιτψ, τηρεατ, ανδ χουντερµεασυρε δατα αρε αϖαιλαβλε ανδ ρελιαβλε. Α στατιστιχαλ δεσιγν, ωηιχη ισ στυδιεδ ιν τηε νεξτ σεχτιον, µυστ βε δεϖισεδ το ασσιστ ιν ρελιαβλε δατα χολλεχτιον ανδ εστιµατιον οφ παραµετερσ. Ιν τηισ σεχτιον ωε στυδιεδ, φορµυλατεδ, ανδ ινχορπορατεδ τηε εφφεχτ οφ λαχκ οφ δισϕοιντνεσσ αµονγ τηε ϖυλνεραβιλιτιεσ ορ τηρεατσ τηεµσελϖεσ. Τηε χλασσιχαλ ασσυµπτιον οφ στατιστιχαλ δισϕοιντνεσσ ορ µυτυαλλψ εξχλυσιϖενεσσ νο λονγερ ηολδσ φορ µοστ ρεαλ−λιφε προβλεµσ. Τηε διφ⇒χυλτψ ιν δατα χολλεχτιον ανδ παραµετερ εστιµατιον ισ α χηαλλενγε φορ πραχτιτιονερσ ιν τηε τεστινγ ⇒ελδ. Τηε βυδγεταρψ πορτφολιο ιν τερµσ οφ εξπεχτεδ χοστ οφ λοσσ ατ τηε ενδ οφ τηε προποσεδ θυαντιτατιϖε αναλψσεσ ισ αν αδδιτιοναλ ασσετ ωηεν χοµπαρινγ µαιντενανχε πραχτιχεσ το ασσεσσ αν οβϕεχτιϖε ιµπροϖεµεντ οϖερ χονϖεντιοναλλψ ποπυλαρ συβϕεχτιϖε ρουτινεσ.

3.4 ΣΙΜΠΛΕ ΣΤΑΤΙΣΤΙΧΑΛ ∆ΕΣΙΓΝ ΤΟ ΕΣΤΙΜΑΤΕ ΤΗΕ ΣΕΧΥΡΙΤΨ ΜΕΤΕΡ ΜΟ∆ΕΛ ΙΝΠΥΤ ∆ΑΤΑ Νυτσηελλ 3.4 Τηε σεχυριτψ µετερ δεσιγν προϖιδεσ χονϖενιενχεσ ιν τηε θυαντιτατιϖε φορµ ηιγηλψ δεσιρεδ ιν τηε σεχυριτψ ωορλδ. Τηε ϖαλιδιτψ οφ τηε δεχισιον τρεε αππροαχη ωιλλ ινχρεασε ονλψ ιφ τηε ινπυτ ϖαλυεσ φεδ ιντο τηε σεχυριτψ µετερ µοδελ αρε χαλχυλατεδ χορρεχτλψ. Τηισ ισ ποσσιβλε ονλψ ωιτη α χαρεφυλλψ χραφτεδ στατιστιχαλ δεσιγν τηατ µιµ− ιχσ ρεαλ−λιφε εϖεντσ ρατηερ τηαν βεινγ σιµπλψ α ηψποτηετιχαλ σιτυατιον. Αν εµπιριχαλ στυδψ ισ πρεσεντεδ ανδ ϖερι⇒εδ βψ δισχρετε εϖεντ ανδ Μοντε Χαρλο σιµυλατιονσ. Τηε δεσιγν ιµπροϖεσ οϖερ τιµε ασ µορε δατα αρε χολλεχτεδ.

ΣΕΧΥΡΙΤΨ ΜΕΤΕΡ ΜΟ∆ΕΛ ΙΝΠΥΤ ∆ΑΤΑ

143

3.4.1 Εστιµατινγ τηε Ινπυτ Παραµετερσ ιν τηε Σεχυριτψ Μετερ Μοδελ Υσινγ αν αχχυρατε στατιστιχαλ εστιµατιον δεσιγν τηατ µιµιχσ αχτυαλ εϖεντσ, ωε χαν εϖαλυατε ρισκ [27,31]. Τηε νεξτ χηαλλενγε ισ το χρεατε α πραχτιχαλ στατιστιχαλ δατα χολλεχτιον σχηεµε το εστιµατε α ρισκ µοδελ’σ ινπυτ παραµετερσ ιν τερµσ οφ προβα− βιλιτιεσ. Ιν πυρσυιτ οφ α πραχτιχαλ βυτ αχχυρατε στατιστιχαλ σαµπλινγ πλαν ωηερε τηε σεχυριτψ βρεαχηεσ αρε ρεχορδεδ ανδ τηε ρισκσ εστιµατεδ, λετ’σ στυδψ τηεσε σεχυριτψ πρινχιπλεσ βριε⇓ψ ονε βψ ονε. Υνδεσιραβλε τηρεατσ τηατ τακε αδϖανταγε οφ ηαρδωαρε ανδ σοφτωαρε ωεακνεσσεσ ορ ϖυλνεραβιλιτιεσ χαν αφφεχτ τηε ϖιολατιον ανδ βρεακδοων οφ αϖαιλαβιλιτψ (ρεαδινεσσ φορ υσε), ιντεγριτψ (αχχυραχψ), χον⇒δεντιαλιτψ, ανδ νον− ρεπυδιατιον ασ ωελλ ασ συχη οτηερ ασπεχτσ οφ σοφτωαρε σεχυριτψ ασ αυτηεντιχατιον, πριϖαχψ, ανδ ενχρψπτιον [2,28]. Ιφ ψου κεεπ τηε σεχυριτψ µετερ’σ τρεε µοδελ ασ ιν Φιγυρεσ 3.1 το 3.3 ανδ ωορκ φροµ τηε ⇒ναλ σταγε τοωαρδ τηε βεγιννινγ, ⇒ρστ ανδ φορεµοστ, αν ατταχκ ηαππενσ. Ιφ τηερε ισ νο ατταχκ, τηερε ισ νο νεεδ φορ α σεχυριτψ µετερ µοδελ ανδ νο νεεδ φορ σεχυριτψ πρεχαυτιονσ ορ µοδελινγ. Εαρλιερ τηερε ωερε νο βρεαχηεσ οφ χψβερ σεχυριτψ βεχαυσε τηερε ωερε νο χοµπυτερσ, ορ ρατηερ, νονε ωερε ιντερχοννεχτεδ. Ωε µυστ τηερεφορε χολλεχτ δατα φορ µαλιχιουσ ατταχκσ, βοτη πρεϖεντεδ ανδ νοτ πρεϖεντεδ. Λετ’σ σταρτ ρετροσπεχτιϖελψ ωιτη τηε θυαντιτιεσ κνοων. Συπποσε τηατ αν ατταχκ οχχυρσ ανδ ιτ ισ ρεχορδεδ. Ον τηε οτηερ ηανδ, ωε αλσο ηαϖε σοµεηοω το µονιτορ αττεµπτσ τηατ διδ νοτ τυρν ιντο αν ατταχκ. Ατ λεαστ ωε νεεδ το χοµε υπ ωιτη α περχενταγε οφ φαιλεδ ατταχκσ (πρεϖεντιονσ) ανδ συχχεσσφυλ ατταχκσ (πενετρατιονσ). Οφ 100 συχη αττεµπτσ, ωε µυστ δετερµινε ηοω µανψ βεχαµε συχχεσσφυλ, ωηιχη ωιλλ προϖιδε αν εστιµατε οφ τηε περχενταγε οφ ΛΧΜ (λαχκ οφ χουντερµεασυρε). Ωε χαν τηεν τραχε τηε χαυσε οφ τηε τηρεατ λεϖελ ρετροαχτιϖελψ ιν τηε τρεε διαγραµ. Λετ’σ ιµαγινε τηατ τηε ⇒ρεωαλλ διδ νοτ χατχη ιτ, ρεσυλτινγ ιν α ϖιρυσ ατταχκ, ωηιχη ρεϖεαλσ τηε τηρεατ εξαχτλψ. Φορ εξαµπλε, ασ α ρεσυλτ οφ τηισ ατταχκ, ωηοσε τηρεατ ισ κνοων, τηε ε−µαιλ σψστεµ µαψ βε δισαβλεδ. Τηε ϖυλνεραβιλιτψ ισ τηυσ τηε ε−µαιλ ιτσελφ. Ωε ηαϖε χοµπλετεδ τηε ταξονοµιχαλ “λινε οφ ατταχκ” ον τηε τρεε διαγραµ ασ ιλλυστρατεδ ιν Φιγυρεσ 3.2 ανδ 3.10 ασ ωελλ ασ ιν Ταβλεσ 3.1, 3.2, ανδ 3.3. Τηε ονλψ διφ⇒χυλτ δατα το χολλεχτ αρε τηοσε τηατ ωουλδ ηελπ υσ εστιµατε εϖεντσ τηατ δο νοτ ηαππεν. Οϖεραλλ, ωε ρεσορτ το τηε ουτχοµε φρεθυενχψ αππροαχη. Τηατ ισ, οφ 100 συχη χψβερ ατταχκσ, ωηιχη αχτυαλλψ διδ ηαρµ τηε ταργετ οπερ− ατιον µαλιχιουσλψ ιν σοµε µαννερ? Ηοω µανψ ατταχκσ ωερε νοτ πρεϖεντεδ ορ ωερε χουντερµεασυρεδ βψ σµοκε δετεχτορσ ορ αντιϖιρυσ σοφτωαρε ορ ⇒ρεωαλλσ? Οφ ατταχκσ νοτ πρεϖεντεδ βψ α ΧΜ δεϖιχε, ηοω µανψ ωερε χαυσεδ βψ τηρεατ 1, τηρεατ 2, ανδ σο ον, οφ χερταιν ϖυλνεραβιλιτψ? Ωε χαν τηεν χαλχυλατε τηε περχενταγε οφ ϖυλνεραβιλιτιεσ A ορ B ορ C. Τηε ονλψ ωαψ τηατ ωε χαν χαλχυλατε τηε χουντ οφ ΧΜ πρεϖεντιονσ ισ ειτηερ βψ γυεσσινγ α ηεαλτηψ εστιµατορ οφ αν ατταχκ ρατιο (1 το 5% οφ αλλ ατταχκσ αρε πρεϖεντεδ βψ ΧΜ δεϖιχεσ) ορ βψ ηαϖινγ σνιφ⇒νγ σοφτωαρε ρεαδψ το χουντ α προβαβλε ατταχκ δετεχτεδ πρεµατυρελψ εϖεν ιφ ιτ δοεσ νοτ ρεσυλτ ιν αχτυαλ ηαρµ. Α σνιφ⇒νγ εϖεντ ισ φεασιβλε ωηεν ιτ χοµεσ το α πηψσιχαλ ατταχκ συχη ασ α ⇒ρε, ωηιχη ισ ϖισιβλε ανδ τηυσ χαν βε πρεϖεντεδ βψ α σµοκε δετεχτορ. Βυτ ηοω δοεσ ονε σνιφφ αν ιντανγιβλε ϖιρυσ ορ α ηαχκερ ωηο αττεµπτσ το ατταχκ βυτ δοεσ νοτ θυιτε µακε ιτ το τηε ενδ? Ατ πρεσεντ, α παρτιαλ ανσωερ το τηισ θυεστιον ισ το υσε

144

ΘΥΑΝΤΙΤΑΤΙςΕ ΜΟ∆ΕΛΙΝΓ ΦΟΡ ΣΕΧΥΡΙΤΨ ΡΙΣΚ ΑΣΣΕΣΣΜΕΝΤ

εφφεχτιϖε χοµµερχιαλ τοολσ ορ χερταιν ποπυλαρ ⇒ρεωαλλσ ωιτη ωηιχη ονε χαν δετεχτ ανδ θυαραντινε ορ σιµπλψ ρεµοϖε ποσσιβλε χαυσεσ οφ α χραση. Τηοσε δετεχτεδ χαν βε χουντεδ ασ τηε νυµβερ χουντερµεασυρεδ, ανδ τηοσε τηατ χαυσε τηε χψβερ χρασηεσ χαν βε χουντεδ ασ ονεσ τηατ χουλδ νοτ βε χουντερµεασυρεδ. Το τηισ ενδ, στατιστιχαλ τεχηνιθυεσ συχη ασ τηε ρατιο οφ ρεσπονδερσ το α πολλ το νονρεσπονδερσ χαν βε υσεδ [29, Χηαπ.13]. Ιτ ισ αλωαψσ α χηαλλενγινγ ρεσεαρχη τοπιχ το εστιµατε τηοσε πολλεδ ανονψµουσλψ ωηο διδ νοτ ρεσπονδ σινχε ψου δο νοτ ηαϖε αν αχχυρατε νυµβερ οφ τηοσε ωηο ωερε πολλεδ. Τηε τρουβλε ισ τηατ ψου δο νοτ κνοω ηοω µανψ ρεσπονδεντσ το−βε αχτυαλλψ ρεχειϖεδ α θυεστιονναιρε ορ ωερε ρεαχηεδ βψ ηαρδ (τραδιτιοναλ) ορ σοφτ (ελεχτρονιχ) µαιλ.

3.4.2 Στατιστιχαλ Φορµυλασ Υσεδ το Εστιµατε Ινπυτσ ιν τηε Σεχυριτψ Μετερ Μοδελ Ωε ωιλλ εµπλοψ τηε ρελατιϖε φρεθυενχψ (βασεδ ον τηε λαω οφ λαργε νυµβερσ) αππροαχη [22]. Λετ X βε τηε τοταλ νυµβερ οφ σαϖεσ ορ χρασηεσ πρεϖεντεδ βψ α ΧΜ δεϖιχε ωιτηιν α τιµε υνιτ συχη ασ α µοντη ορ α ψεαρ. Λετ Y βε τηε νυµ− βερ οφ υνπρεϖενταβλε χρασηεσ τηατ χαυσεδ α βρεακδοων φορ ϖαριουσ ρεασονσ. Λετ’σ ασσυµε τηατ α τραχκ αναλψσισ σηοωεδ τηε φολλοωινγ ιν αν αλλ−δουβλεσ 2 × 2 × 2 σεχυριτψ µετερ µοδελ συχη ασ τηατ ιν Φιγυρε 3.9 ανδ Ταβλε 3.2. Οφ Y χρασηεσ, τηερε ωερε Y11 (v1 , t1 ) χουντσ δυε το τηρεατ t1 ανδ Y12 (v1 , t2 ) χουντσ δυε το τηρεατ t2 , αλλ στεµµινγ φροµ ϖυλνεραβιλιτψ 1. Φυρτηερ, ιτ ωασ δετερµινεδ τηατ τηερε ωερε Y21 (v2 , t1 ) χρασηεσ δυε το τηρεατ t1 ανδ Y22 (v2 , t2 ) χρασηεσ δυε το τηρεατ t2 , αλλ στεµ− µινγ φροµ ϖυλνεραβιλιτψ 2. Ονε χουλδ γενεραλιζε τηισ το Y (vi , tj ) = Yij χαυσεδ βψ τηε iτη ϖυλνεραβιλιτψ ανδ ιτσ j τη τηρεατ. Σιµιλαρλψ, ονε ασσυµεσ τηατ τηερε ωερε X(vi , tj ) = Xij “σαϖεσ” ωηιχη χουλδ ηαϖε ηαππενεδ ον τηε iτη ϖυλνεραβιλιτψ ανδ ιτσ j τη τηρεατ. Y (νο. οφ σαϖεσ) =

 i

j

Y (vi , tj ) =

 i

Yi,j

j

ωηερε i = 1, 2, . . . , I ανδ j = 1, 2, . . . , J   X(νο. οφ χρασηεσ) = X(vi , tj ) = Xi,j

(34)

ωηερε i = 1, 2, . . . , I ανδ j = 1, 2, . . . , J

(35)

i

j

i

j

Τηεν ωε χαν ⇒νδ τηε προβαβιλιτψ εστιµατεσ φορ τηε τηρεατσ, P (vi , tj ), βψ τακινγ τηε ρατιοσ ασ φολλοωσ: Xij + Yij φορ α γιϖεν i ανδ j = 1, 2, . . . , J, Yi + Xi   Yij , Xi = Xij αλλ φορ j = 1, 2, . . . , J Yi =

Pij =

j

j

(36)

145

ΣΕΧΥΡΙΤΨ ΜΕΤΕΡ ΜΟ∆ΕΛ ΙΝΠΥΤ ∆ΑΤΑ

Ιτ φολλοωσ τηατ φορ τηε προβαβιλιτιεσ οφ ϖυλνεραβιλιτιεσ,  (Xij + Yij ) j φορ i = 1, 2, . . . , I, Pi =   (Xij + Yij ) i

j = 1, 2, . . . , J

(37)

j

Φιναλλψ, τηε προβαβιλιτψ οφ ΛΧΜ, P (ΛΧΜij ) φορ i = 1, 2, . . . , I ανδ j = 1, 2, . . . , J , ισ εστιµατεδ: P (ΛΧΜij ) =

Yij Yij + Xij

φορ α γιϖεν i ανδ j

P (ΧΜij ) = 1 − P (ΛΧΜij )

(38) (39)

3.4.3 Νυµεριχαλ Εξαµπλε οφ τηε Στατιστιχαλ ∆εσιγν φορ τηε Σεχυριτψ Μετερ Μοδελ Ασσυµε τωο ϖυλνεραβιλιτιεσ ανδ τωο τηρεατσ ιν α ΧΜ–ΛΧΜ σετυπ ασ ιν Φιγυρε 3.9 ανδ Ταβλε 3.2: X(τοταλ νυµβερ οφ ατταχκσ δετεχτεδ ορ χρασηεσ πρεϖεντεδ) = αππροξ. 360/ψεαρ ωηερε λετ X11 = 98, X12 = 82, X21 = 82, X22 = 98. Y (τοταλ νυµβερ οφ ατταχκσ υνδετεχτεδ ορ χρασηεσ νοτ πρεϖεντεδ) = αππροξ. 10/ψεαρ ωηερε λετ Y11 = 2, Y12 = 3, Y21 = 3, Y22 = 2. Ωηεν ωε ιµπλεµεντ εθυατιονσ (34) το (39), ωε οβταιν P11 (τηρεατ 1 προβαβιλιτψ φορ ϖυλνεραβιλιτψ 1) 100 X11 + Y11 = 0.54 = X11 + Y11 + X12 + Y12 185 P12 (τηρεατ 2 προβαβιλιτψ φορ ϖυλνεραβιλιτψ 1) =

85 X12 + Y12 = 0.46 = X11 + Y11 + X12 + Y12 185 P21 (τηρεατ 1 προβαβιλιτψ φορ ϖυλνεραβιλιτψ 2) =

85 X21 + Y21 = = 0.46 X21 + Y21 + X22 + Y22 185 P22 (τηρεατ 2 προβαβιλιτψ φορ ϖυλνεραβιλιτψ 2) =

=

100 X22 + Y22 = 0.54 = X21 + Y21 + X22 + Y22 185

146

ΘΥΑΝΤΙΤΑΤΙςΕ ΜΟ∆ΕΛΙΝΓ ΦΟΡ ΣΕΧΥΡΙΤΨ ΡΙΣΚ ΑΣΣΕΣΣΜΕΝΤ

P1 (προβαβιλιτψ φορ ϖυλνεραβιλιτψ 1) 185 X11 + Y11 + X12 + Y12 = 0.5 = X11 + X12 + X21 + X22 + Y11 + Y12 + Y21 + Y22 370 P2 (προβαβιλιτψ φορ ϖυλνεραβιλιτψ 2) =

=

185 X21 + Y21 + X22 + Y22 = 0.5 = X11 + X12 + X21 + X22 + Y11 + Y12 + Y21 + Y22 370

Τηε προβαβιλιτιεσ οφ ΛΧΜ ανδ ΧΜ φορ τηε ϖυλνεραβιλιτψ–τηρεατ παιρσ ιν Φιγυρε 3.9: Y11 X11 + Y11 Y12 P (ΛΧΜ12 ) = X12 + Y12 Y21 P (ΛΧΜ21 ) = X21 + Y21 Y22 P (ΛΧΜ22 ) = X22 + Y22

P (ΛΧΜ11 ) =

2 = 0.02, 100 3 = 0.035, = 85 3 = 0.035, = 85 2 = 0.02, = 100 =

ηενχε, P (ΧΜ11 ) = 1 − 0.02 = 0.98 ηενχε, P (ΧΜ12 ) = 1 − 0.035 = 0.965 ηενχε, P (ΧΜ21 ) = 1 − 0.035 = 0.965 ηενχε, P (ΧΜ22 ) = 1 − 0.02 = 0.98

Ωε πλαχε τηε εστιµατεδ ινπυτ ϖαλυεσ φορ τηε σεχυριτψ µετερ ιν Φιγυρε 3.12 το χαλχυλατε τηε ρεσιδυαλ ρισκ. Τηερεφορε, ονχε ψου βυιλδ τηε προβαβιλιστιχ µοδελ φροµ τηε εµπιριχαλ δατα, ασ αβοϖε, ωηιχη σηουλδ ϖεριφψ τηε ⇒ναλ ρεσυλτσ, ψου χαν φορεχαστ ορ πρεδιχτ ανψ ταξονοµιχ αχτιϖιτψ, ωηατεϖερ τηε νυµβερ οφ ϖυλνεραβιλιτιεσ ορ τηρεατσ ορ χρασηεσ (Φιγυρε 3.13). Φορ τηε στυδψ αβοϖε, τηε τοταλ νυµβερ οφ χρασηεσ ισ 10 οφ 370, α ρατιο οφ 10/370 = 0.027. Υσινγ τηισ προβαβιλιστιχαλλψ αχχυρατε µοδελ, ωε χαν πρεδιχτ ωηατ ωιλλ ηαππεν ιν α διφφερεντ σεττινγ ορ ψεαρ φορ α γιϖεν εξπλανατορψ σετ οφ δατα. Ιφ α χλυε συγγεστσ το υσ 500 επισοδεσ οφ ϖυλνεραβιλιτιεσ οφ V1 , τηεν βψ τηε αϖαλανχηε εφφεχτ, ωε χαν ⇒λλ ιν LCM = .02

V1 = .5

→P(V1)*P(T1|V1)*P(LCM|V1, T1) =.5*.54*.02 = .0054

T1 = .54

CM = .98 LCM = .035 →P(V1)*P(T2|V1)*P(LCM|V1, T2) = .5*.46*.035 = .00805

T1 = .46

CM = .965 LCM = .035 →P(V2)*P(T1|V2)*P(LCM|V2, T1) = .5*.46*.035 = .00805

T1 = .46 V2 = .5 T2 = .54

CM = .965 LCM = .02

→P(V2)*P(T2|V2)*P(LCM|V2, T2) = .5*.54*.02 = .0054

CM = .98 + Output: Total Residual Risk = 0.0269 (or 2.69%)

ΦΙΓΥΡΕ 3.12 Σιµπλεστ τρεε διαγραµ φορ τωο τηρεατσ ανδ τωο ϖυλνεραβιλιτιεσ.

147

ΣΕΧΥΡΙΤΨ ΜΕΤΕΡ ΜΟ∆ΕΛ ΙΝΠΥΤ ∆ΑΤΑ

αλλ τηε οτηερ βλανκσ, συχη ασ φορ V2 = 500. Τηεν (0.5405)(500) = 270.2 οφ T1 ανδ (0.4595)(500) = 229.7 οφ T2 . Οφ 270.2 T1 επισοδεσ, (0.02)(270.2) = 5.4054 φορ ΛΧΜ, ψιελδινγ 5.4 χρασηεσ. Τηερεφορε, αντιϖιρυσ δεϖιχεσ ορ ⇒ρεωαλλσ ηαϖε λεδ το 264.8 πρεϖεντιονσ ορ σαϖεσ. Αγαιν, φορ T2 οφ V1 τηερε αρε (0.035)(229.7) = 8.1081 χρασηεσ ανδ (0.965)(229.7) = 221.6 σαϖεσ. Τηε σαµε ηολδσ φορ V2 ιν τηισ εξαµπλε, δυε το σψµµετριχ δατα. Σεε Φιγυρε 3.13 φορ 1000 ατταχκσ. Ιφ τηε ασσετ ισ ∃2500 ανδ τηε χριτιχαλιτψ χονσταντ ισ 0.4, τηε εξπεχτεδ χοστ οφ λοσσ: ΕΧΛ = ρεσιδυαλ ρισκ × χριτιχαλιτψ × ασσετ = (0.027)(0.4)(∃2500) = ∃27

(40)

3.4.4 ∆ισχρετε Εϖεντ (∆ψναµιχ) Σιµυλατιον Τηε αναλψστ ισ εξπεχτεδ το σιµυλατε α χοµπονεντ, συχη ασ α σερϖερ, 10 τιµεσ φροµ τηε βεγιννινγ οφ τηε ψεαρ (ε.γ., 1/1/2008) υντιλ τηε ενδ οφ 1000 ψεαρσ (ι.ε., 1/1/3008) ιν αν 8,760,000−ηουρ περιοδ, ωιτη α λιφε χψχλε οφ χρασηεσ ανδ σαϖεσ. Τηε ινπυτ ανδ ουτπυτ αρε γιϖεν ιν Φιγυρε 3.14 φορ τηε σιµυλατιον οφ ρανδοµ δεϖιατεσ. Ατ τηε ενδ οφ τηισ πλαννεδ τιµε περιοδ, τηε αναλψστ ωιλλ ⇒λλ ιν τηε ελεµεντσ οφ τηε τρεε διαγραµ φορ α 2 × 2 × 2 σεχυριτψ µετερ µοδελ ασ ιν Φιγυρε 3.12. Ρεχαλλ τηατ τηε ρατεσ αρε τηε ρεχιπροχαλσ οφ τηε µεανσ φορ τηε ασσυµπτιον οφ α νεγατιϖε εξπονεντιαλ προβαβιλιτψ δενσιτψ φυνχτιον το ρεπρεσεντ τηε διστριβυτιον οφ τιµε το χραση. Φορ εξαµπλε, ιφ λ = 98 περ 8760 ηουρσ, τηε µεαν τιµε το χραση ισ 8760/98 = 89.38 ηουρσ. Υσε τηε ινπυτ ασ ιν Σεχτιον 3.4.3 [30]. 3.4.5 Μοντε Χαρλο (Στατιχ) Σιµυλατιον Υσινγ τηε ινφορµατιον ιν Σεχτιον 3.4.4, τηε αναλψστ ισ εξπεχτεδ το υσε τηε πριν− χιπλεσ οφ Μοντε Χαρλο σιµυλατιον το σιµυλατε τηε 2 × 2 × 2 σεχυριτψ µετερ ιν Ταβλε 3.2 ανδ Φιγυρεσ 3.9 ανδ 3.12. Ονε εµπλοψσ τηε Ποισσον διστριβυτιον φορ γενερατινγ ρατεσ φορ εαχη λεγ ιν τηε τρεε διαγραµ οφ τηε 2 × 2 × 2 µοδελ σηοων ιν Φιγυρε 3.15. Τηε ρατεσ αρε γιϖεν ασ τηε χουντ οφ σαϖεσ ορ χρασηεσ αννυαλλψ. Τηε

(a)

(b)

ΦΙΓΥΡΕ 3.13 (a) Εστιµατιον οφ τηε µοδελ παραµετερσ γιϖεν τηε βρεακδοων οφ ατταχκσ; (b) πρεδιχτιον.

148

ΘΥΑΝΤΙΤΑΤΙςΕ ΜΟ∆ΕΛΙΝΓ ΦΟΡ ΣΕΧΥΡΙΤΨ ΡΙΣΚ ΑΣΣΕΣΣΜΕΝΤ

ΦΙΓΥΡΕ 3.14

∆ισχρετε εϖεντ σιµυλατιον ρεσυλτσ οφ τηε 2 × 2 × 2 σεχυριτψ µετερ δεσιγν.

ΦΙΓΥΡΕ 3.15 δεσιγν.

Μοντε Χαρλο σιµυλατιον ρεσυλτσ οφ τηε 2 × 2 × 2 σεχυριτψ µετερ σαµπλινγ

νεχεσσαρψ ρατεσ οφ οχχυρρενχε φορ Ποισσον ρανδοµ ϖαλυε γενερατιον ωερε γιϖεν ιν τηε εµπιριχαλ δατα εξαµπλε αβοϖε. Φορ εαχη σεχυριτψ µετερ ρεαλιζατιον, γετ α ρισκ ϖαλυε ανδ αϖεραγε ιτ οϖερ n = 10,000 ιν 1000 ινχρεµεντσ. Ωηεν ψου αϖεραγε οϖερ n = 1000 ρυνσ, ψου σηουλδ γετ τηε σαµε ϖαλυε ασ ιν Φιγυρε 3.15. Υσινγ τηε σαµε δατα, ωε γετ τηε σαµε ρεσυλτσ [30]. 3.4.6 Ρισκ Μαναγεµεντ Υσινγ τηε Σεχυριτψ Μετερ Μοδελ Ονχε τηε σεχυριτψ µετερ ηασ βεεν αππλιεδ ανδ τηε ρεσιδυαλ ρισκ χαλχυλατεδ, α σεχυριτψ ρισκ µαναγερ ωουλδ ωαντ το χαλχυλατε ηοω µυχη ηε ορ σηε νεεδσ το σπενδ ον ιµπροϖινγ χουντερµεασυρεσ (⇒ρεωαλλ, Ι∆Σ, ϖιρυσ προτεχτιον, ετχ.) το µιτιγατε ρισκ. Ον τηε νεγατιϖε σιδε, τηερε ισ α χοστ εξπενσε αχχρυεδ περ 1% ιµπροϖεµεντ οφ τηε ΧΜ, τηε ονλψ παραµετερ οφ τηε µοδελ τηατ ονε µαψ αλτερ ϖολυνταριλψ. Τηε

149

ΣΕΧΥΡΙΤΨ ΜΕΤΕΡ ΜΟ∆ΕΛ ΙΝΠΥΤ ∆ΑΤΑ Vulnerab. Threat 0.35 0.48 0.16 0.32 0.04 0.26

0.32 0.02 0.66

0.39

0.32 0.59 0.09

BASE SERVER Asset= $8000 Criticality= 0.40

CM & LCM Res. Risk 0.7 0.3 0.0504 0.42 0.58 0.03248 0.7 0.3 0.0336 0.8 0.2 0.0028 0.7 0.3 0.02496 0.7 0.3 0.00156 0.97 0.03 0.005148 0.7 0.3 0.03744 0.7 0.3 0.06903 0.46 0.54 0.018954 Total Risk 0.276372 Percentage 27,64% Final Risk 0.1105488 ECL $884.39

CM & LCM Res. Risk 0.99 0.01 0.00168 0.72 0.28 0.01568 0.79 0.21 0.02352 0.86 0.14 0.00196 0.9 0.1 0.00832 0.9 0.1 0.00052 0.97 0.03 0.005148 0.94 0.06 0.007488 0.9 0.1 0.02301 0.64 0.36 0.012636 Total Risk 0.099962 Percentage 10,00% Final Risk 0.0399848 ECL $341.58 Delta ECL -$542.84

Change 0.29 0.3

Cost C = COST per 1% $89.32 $3.08 $92.40

0.09

$27.72

0.06

$18.48

2

$61.60

2

$61.60

24

$73.92

2

$61.60

18

$55.44

$0.00

1.76

$542.84 IMPROVED SERVER

ΦΙΓΥΡΕ 3.16 Ρισκ µαναγεµεντ τεµπλατε το βρεακ εϖεν ατ ∃542.84 φορ α τοταλ 170% ΧΜ ιµπροϖεµεντ.

αϖεραγε χοστ C περ 1% ωιλλ βε κνοων το χοϖερ περσοννελ, εθυιπµεντ, ανδ αλλ οτηερ εξπενσεσ. Ον τηε ποσιτιϖε σιδε, τηε εξπεχτεδ χοστ οφ λοσσ (ΕΧΛ) ωιλλ δεχρεασε ωιτη α γαιν ιν ΕΧΛ ωηιλε τηε σοφτωαρε ανδ ηαρδωαρε ιµπροϖεµεντσ αρε αππλιεδ ον τηε ΧΜ φαχιλιτιεσ. Ατ τηε βρεακ−εϖεν ποιντ τηε προσ ανδ χονσ αρε εθυαλ, γυιδινγ τηε σεχυριτψ µαναγερ ρεγαρδινγ ηοω ονε χαν µοϖε το α βεττερ σταγε φροµ τηατ ποιντ ον. Ιν τηε βασε σερϖερ οφ τηε Φιγυρε 3.16, τηε πολιχψ ρεθυιρεµεντ φορ µιτιγατινγ τηε ρεσιδυαλ ρισκ φροµ 27.64% δοων το ατ λεαστ 10% ιν τηε ιµπροϖεδ σερϖερ ηασ βεεν ιλλυστρατεδ τηρουγη αν οπτιµιζατιον σχηεµε. Ιφ τηε χοστ C = ∃3.08 περ υνιτ− περχεντ ιµπροϖεµεντ ιν τηε ΧΜ, τηεν φορ εαχη ιµπροϖεµεντ, συχη ασ ινχρεασινγ φροµ 70% το 99% φορ τηε βρανχη οφ v1 t1 , (29)(∃3.08) = ∃89.32 ισ χαλχυλατεδ. Τηε συµ τοταλ, (176%) (∃3.08 περ 1%) = ∃542.84 ιµπροϖεµεντ χοστ, ανδ ΕΧΛ = ∃884.39 − ∃341.55 = ∃542.84 το λοωερ τηε ρεσιδυαλ ρισκ, αρε νοω ιδεντιχαλ ατ βρεακ−εϖεν. Τηισ ισ αν εξαµπλε οφ ηοω α σεχυριτψ µετερ χαν βε υσεδ εφφεχτιϖελψ φορ ρισκ µιτιγατιον [54]. 3.4.7 ∆ισχυσσιον ανδ Χονχλυσιονσ Τηε ινχεντιϖεσ το εϖαλυατε σεχυριτψ ρισκσ αρε συφ⇒χιεντ τηατ ωε σηουλδ ανδ χουλδ, ρατηερ τηαν µιγητ, βε µακινγ µεανινγφυλ εστιµατεσ. Ιν τηισ σεχτιον ωε δεϖελοπ α νεω σχιεντι⇒χ ωαψ το εστιµατε ανδ ινφερ προβαβιλιτιεσ: εµπιριχαλλψ βψ οβσερϖινγ τηε φρεθυενχιεσ οφ ουτχοµεσ ανδ βψ χαλχυλατινγ λοσσεσ ασσοχιατεδ ωιτη σεχυριτψ ουτχοµεσ [31]. Ιν τηισ ωαψ ωε αρε κεπτ ινφορµεδ αβουτ τηε εξτεντ οφ τηε χοστ οφ βρινγινγ ηαρδωαρε ανδ σοφτωαρε σψστεµσ το α δεσιραβλε περχενταγε οφ σεχυριτψ. Τηε διφ⇒χυλτψ ιν δατα χολλεχτιον ανδ παραµετερ εστιµατιον ποσεσ α χηαλλενγε το πραχτιτιονερσ ιν τηε τεστινγ ⇒ελδ. Τηε αυτηορ ηασ εµπλοψεδ τηε χονχεπτ οφ σιµπλε

150

ΘΥΑΝΤΙΤΑΤΙςΕ ΜΟ∆ΕΛΙΝΓ ΦΟΡ ΣΕΧΥΡΙΤΨ ΡΙΣΚ ΑΣΣΕΣΣΜΕΝΤ

ρελατιϖε φρεθυενχψ, οτηερωισε κνοων ασ α χουντινγ τεχηνιθυε [22]. Αλτηουγη ωε χαννοτ πρεδιχτ τηε ουτχοµε οφ α ρανδοµ εξπεριµεντ, ωε χαν, φορ λαργε ϖαλυεσ οφ N (ηενχε, τηε λαω οφ λαργε νυµβερσ), πρεδιχτ τηε ρελατιϖε φρεθυενχψ (ωηιχη ισ τηε νυµβερ οφ δεσιραβλε εϖεντσ διϖιδεδ βψ τηε σαµπλε σιζε) ωιτη ωηιχη τηε ουτχοµε ωιλλ βε ινχλυδεδ ωιτηιν α δεσιραβλε σετ [22]. Φυρτηερ, ασ τιµε ελαπσεσ, σαµπλε σιζε n ωιλλ αππροαχη N ανδ τηε ρελατιϖε φρεθυενχψ (f ) ωιλλ αππροαχη τηε αξιοµατιχ προβαβιλιτψ (p), ωιτη τηε σαµπλινγ ερρορ βεχοµινγ νεγλιγιβλε. Ονε χαν τηεν εσταβλιση α φαµιλψ οφ στατιστιχαλ διστριβυτιονσ, συχη ασ (τρυνχατεδ) σψµµετ− ριχ νορµαλ ορ νονσψµµετριχ γαµµα προβαβιλιτψ διστριβυτιον φυνχτιονσ, το ⇒τ τηε ρανδοµ ϖαριαβλεσ οφ ιντερεστ φορ α νυµβερ οφ σαϖεσ ορ χρασηεσ ωιτηιν α γιϖεν τιµε περιοδ ιν α γιϖεν ωορκ ενϖιρονµεντ ασ τηε σαµπλε σιζε ινχρεασεσ. Τηισ ισ ωηψ τηισ ιντροδυχτορψ προποσεδ σαµπλινγ πλαν ισ σιγνι⇒χαντ ιν σηοωινγ υσ ηοω το βρεακ τηε ιχε ρεγαρδινγ σεχυριτψ προφεσσιοναλσ’ ινερτια ορ δισινχλινατιον το υσε θυαντιτατιϖε δεσιγνσ. Φιναλλψ, τηε δψναµιχ ορ τιµε−δεπενδεντ δισχρετε εϖεντ σιµυλατιον οφ τηε σεχυ− ριτψ µετερ µοδελ το ϖεριφψ τηε στατιστιχαλ σαµπλινγ δεσιγν συγγεστεδ προϖεσ τηε δεσιγν’σ ϖαλιδιτψ. Τηε σαµε αππλιεσ ιφ ονε εµπλοψσ στατιχ ορ τιµε−ινδεπενδεντ Μοντε Χαρλο σιµυλατιον. Ωε γετ τηε σαµε ρεσυλτ, 2.69%, ιν Φιγυρεσ 3.12, 3.14, ανδ 3.15. Φορ φυρτηερ ρεσεαρχη, τηε χηαλλενγε λιεσ ιν ιµπλεµεντατιον οφ τηισ θυαν− τιτατιϖε µοδελ ασ το ηοω το χλασσιφψ ιντο ταξονοµιεσ ρεχορδινγ τηε χουντ οφ σαϖεσ ανδ χρασηεσ φορ α δεσιρεδ ϖυλνεραβιλιτψ–τηρεατ–χουντερµεασυρε τραχκ ιν τηε σεχυ− ριτψ µοδελ. Φιναλλψ, α ρισκ µαναγεµεντ εξαµπλε [54] ισ αδδεδ το σηοω ηοω τηε σεχυριτψ µετερ µοδελ χαν βε εµπλοψεδ εφφεχτιϖελψ το µιτιγατε τηε ρεσιδυαλ ρισκ ιν τερµσ οφ ρεαλ δολλαρσ. Τηισ ισ αχηιεϖεδ βψ χαλχυλατινγ α βρεακ−εϖεν ποιντ: ωηεν τηε τοταλ εξπενσεσ αχχρυεδ φορ ιµπροϖεµεντ οφ τηε ΧΜ δεϖιχεσ εθυαλ τηε ποσιτιϖε γαιν ιν τηε εξπεχτεδ χοστ οφ λοσσ δυε το λοωερινγ τηε ρεσιδυαλ ρισκ. Τηισ πραχτιχε ωιλλ γιϖε ρισκ µαναγερσ α σολιδ βασε φροµ ωηιχη το ωορκ τοωαρδ ρισκ µιτιγατιον. Σιµυλατιον οφ χψβερ−βρεαχη αχτιϖιτιεσ χαν βε εµυλατεδ τηρουγη τηε ιµπλεµεντα− τιον οφ σοφτωαρε προϕεχτσ το µιµιχ τηε εξπενσιϖε, ρισκψ, ανδ χοµπροµισινγ ρεαλ γλοβαλ χονδιτιονσ οφ ινφορµατιον σεχυριτψ ιν ινφορµατιον µαναγεµεντ [32]. 3.5 ΣΤΑΤΙΣΤΙΧΑΛ ΙΝΦΕΡΕΝΧΕ ΤΟ ΘΥΑΝΤΙΦΨ ΤΗΕ ΛΙΚΕΛΙΗΟΟ∆ ΟΦ ΛΑΧΚ ΟΦ ΠΡΙςΑΧΨ Νυτσηελλ 3.5 Ιν τηισ σεχτιον ωε αναλψζε βριε⇓ψ τηε φορµυλατιον οφ προβαβιλιτψ διστριβυτιον φυνχ− τιονσ φορ τηε εστιµατιον οφ λαχκ οφ πριϖαχψ. Τηε πριϖαχψ µετερ αππροαχη ισ τιµε δεπενδεντ. Εξαµπλεσ αρε γιϖεν το θυαντιφψ ανδ ιµπροϖε τηε ρισκ οφ πριϖαχψ τηρουγη ρισκ µαναγεµεντ. 3.5.1 Ιντροδυχτιον: Ωηατ Ισ Πριϖαχψ? Πριϖαχψ ισ α χονχερν βεχαυσε οφ τηε ανξιετψ ρελατεδ το ανψ περχειϖεδ ποτεντιαλ ρισκ οφ χοµινγ το ηαρµ ιφ ινφορµατιον χολλεχτεδ ανδ στορεδ ισ αβυσεδ ορ µισυσεδ.

ΛΙΚΕΛΙΗΟΟ∆ ΟΦ ΛΑΧΚ ΟΦ ΠΡΙςΑΧΨ

151

Πριϖαχψ ϖιολατιονσ χαυσε ποσσιβλε νεγατιϖε ανδ αδϖερσε χονσεθυενχεσ. Τρυστ ορ πρι− ϖαχψ ισ βασεδ ον τηε λικελιηοοδ τηατ ινφορµατιον ωιλλ νοτ βε αβυσεδ [55]. Τηε τηιν λινε βετωεεν τηε χοµµονσενσε ρυλεσ οφ τηυµβ οφ χονσεντ–τρανσπαρενχψ–προπορτι− οναλιτψ ανδ τηε φαιρ υσε οφ ινφορµατιον ορ ιτσ ϖιολατιον ισ ϖερψ διφ⇒χυλτ το ιδεντιφψ, ασ τηε λαωσ αρε νοτ αβσολυτελψ χλεαρ ορ αχχεπτεδ ιντερνατιοναλλψ [56,57]. Πριϖαχψ ισ αλλ αβουτ δατα προτεχτιον, νοτ αβουτ δατα ρεστριχτιον [58]. Α βρεαχη οφ πριϖαχψ ορ ινφορµατιον πιραχψ χαν βε δε⇒νεδ διφφερεντλψ ατ ϖαρψινγ λοχατιονσ, ανδ χονδιτιονσ, ινχλυδινγ τηε τιµε ανδ χιρχυµστανχεσ τηατ διχτατε τηε εϖεντ. Προτεχτινγ ινφορµατιον πριϖαχψ ανδ φαιρ υσε οφ ινφορµατιον αρε χοµπλεµενταρψ, ιν τηατ περσοναλ δατα φροµ υναυτηοριζεδ εξποσυρε µυστ βε προτεχτεδ, ανδ ιτ µυστ βε ενσυρεδ τηατ τηισ ινφορ− µατιον ωιλλ βε υσεδ φαιρλψ ιν τηε εχονοµψ ασ α πιλλαρ οφ χορπορατε σεχυριτψ [59]. Λαστ βυτ νοτ λεαστ, σοµε αργυε τηατ α στρονγ σενσε οφ σεχυριτψ ιµπλιεσ λεσσ περσοναλ πριϖαχψ. Οτηερσ αργυε τηατ σεχυριτψ ατταχκσ χουλδ νοτ ηαππεν ωιτηουτ ιδεντιτψ τηεφτ, ωηιχη ποιντσ το α λαχκ οφ πριϖαχψ [55]. Τηερεφορε, τηε χονσενσυσ ισ τηατ α σενσε οφ σεχυριτψ ισ νεεδεδ φορ τηε πριϖαχψ οφ τηε γενεραλ ποπυλατιον ιν δαιλψ λιφε. Σεχυριτψ ισ τηυσ τηε εξτερναλ σηιελδ οφ τηε ιντερναλ ωορλδ οφ πριϖαχψ, ανδ ωηερεασ σεχυριτψ ισ τανγιβλε, πριϖαχψ ισ γενεραλλψ ιντανγιβλε ανδ αβστραχτ. Σο φαρ, τηε θυαντι⇒χατιον οφ πριϖαχψ, ορ ιτσ λαχκ, ηασ βεεν ονλψ ατ τηε λεϖελ οφ σπρεαδσηεετσ ανδ ταβυλατιονσ τηατ προϖιδε αϖεραγεσ ανδ µεανσ, ορ περχενταγεσ [60]. Ιν τηισ βριεφ αναλψσισ αρε ουτλινε α τεχηνιθυε το χονδυχτ α σιµπλε στατιστιχαλ ινφερενχε το χαλχυλατε ανδ µαναγε τηε λικελιηοοδ οφ α λαχκ οφ πριϖαχψ. Ονλψ ιφ τηε σουρχε περµιτσ χαν ωε θυαντιφψ ανδ εστιµατε τηε λικελιηοοδ οφ α βρεαχη οφ πριϖαχψ. Α ρεαλ εξαµπλε φολλοωσ [61–63]. 3.5.2 Ηοω το Θυαντιφψ Λαχκ οφ Πριϖαχψ Γιϖεν α σετ οφ δατα το ινδιχατε πριϖαχψ ινϖασιονσ, συχη ασ ιν τηε χασε οφ πηισηινγ, σπαµµινγ, σποο⇒νγ, ορ ταµπερινγ, προβαβιλιτψ διστριβυτιον φυνχτιονσ αρε προποσεδ το χονδυχτ α στατιστιχαλ ινφερενχε. Τηε οβϕεχτιϖε ισ το εστιµατε τηε προβαβιλιτψ (λικελιηοοδ) οφ τηε νυµβερ οφ βρεαχηεσ ωιτηιν α γιϖεν περιοδ οφ τιµε υνδερ τηε χονδιτιονσ ενχουντερεδ. Ονχε τηε π.δ.φ. ηασ βεεν δετερµινεδ, τηε χυµυλατιϖε ανδ συρϖιϖαλ προβαβιλιτψ φυνχτιονσ χαν βε εστιµατεδ, περµιττινγ υσ το εστιµατε τηε προβ− αβιλιτψ οφ ενχουντερινγ φεωερ ορ µορε τηαν α γιϖεν νυµβερ οφ πριϖαχψ βρεαχηεσ ορ ινχιδεντσ. Σινχε τηε ρατε οφ βρεαχη ισ νοτ χονσταντ τηρουγηουτ τηε τιµε περιοδ οφ ιντερεστ, ανδ βεχαυσε βρεαχηεσ µαψ οχχυρ ιν χλυµπσ ορ χλυστερσ ρατηερ τηαν ασ σινγλε ουτχοµεσ, τηε νατυρε οφ τηε νονηοµογενεουσ Ποισσον προχεσσ ισ α σπεχιαλ χασε. Α χοµπυτερ χοδε ωιλλ ιλλυστρατε ηοω το χαλχυλατε τηε προβαβιλιτψ λικελιηοοδ (ορ εξαχτ δενσιτψ), τηεν τηε χυµυλατιϖε προβαβιλιτψ, ανδ ⇒ναλλψ, τηε συρϖιϖαλ (τηε χοµπλεµεντ οφ τηε χυµυλατιϖε) προβαβιλιτψ, ωηεν τηε βρεαχηεσ ωιτηιν α χλυστερ αρε ασσυµεδ το βε χονταγιουσ (ποσιτιϖελψ χορρελατεδ) ορ υνχορρελατεδ. Ιν ρεπαιραβλε σψστεµ ρελιαβιλιτψ, ρεπαιρ αχτιονσ τακε πλαχε ιν ρεσπονσε το τηε φαιλυρεσ οβσερϖεδ, ανδ τηε σψστεµ ισ ρετυρνεδ το τηε ⇒ελδ ασ γοοδ ασ νεω. Ασ εξπλαινεδ ιν Χηαπτερ 1, α ρανδοµ ορ στοχηαστιχ µοδελ χουλδ βε εξπεριενχινγ α χονσταντ φαιλυρε ρατε (ΧΦΡ), αν ινχρεασινγ φαιλυρε ρατε (ΙΦΡ), ορ α δεχρεασινγ φαιλυρε ρατε (∆ΦΡ). Ιν α ηοµογενεουσ Ποισσον προχεσσ (ΗΠΠ; σιµπλψ χαλλεδ α Ποισσον προχεσσ) τηερε αρε νο τρενδσ ανδ τηε ρατε ισ ΧΦΡ.

152

ΘΥΑΝΤΙΤΑΤΙςΕ ΜΟ∆ΕΛΙΝΓ ΦΟΡ ΣΕΧΥΡΙΤΨ ΡΙΣΚ ΑΣΣΕΣΣΜΕΝΤ

P [N (t) = n] =

(λt)n e−λt , n!

n = 0, 1, 2, . . . , ∞

(41)

ωηερε E[N (t)] = ςαρ[N (t)] = λt

(42)

Ιφ τηερε αρε νο τρενδσ ιν τηε φαιλυρε δατα, ιτ ισ δε⇒νεδ το βε α ρενεωαλ προχεσσ, ωηερε τηε ιντεραρριϖαλ τιµεσ µαψ χοµε φροµ ανψ ι.ι.δ. (ινδεπενδεντ ιδεντιχαλ δισ− τριβυτεδ) Ti ∼ F (·), ωηερε F (·) ισ ⇒νιτε. Φορ α νονηοµογενεουσ Ποισσον προχεσσ (ΝΗΠΠ), τηερε αρε τρενδσ συχη ασ α ∆ΦΡ ορ ΙΦΡ ωηερε P [N (t) = n] =

[(t)]n −(t) e , n!

n = 0, 1, 2, . . . , ∞

(43)

Τηε φαιλυρε προβαβιλιτιεσ φορ αν ιντερϖαλ σταρτινγ ατ s ανδ ενδινγ ατ s + t αρε γιϖεν βψ 

E[N (t)] =

u(x) dx

s

P [N (t + s) − N (s) = n] = ωηερε

t+s



n!

e

−

 t+s s

u(x) dx

(44)

t+s

u(x) dx

(45)

s

Φυρτηερµορε, τηερε µαψ οχχυρ µορε τηαν α σινγλε βρεαχη ατ αν ιντερϖαλ φορ τηε ΝΗΠΠ ωηερε τηε σιζε οφ εϖεντσ ατ εαχη ιντερϖαλ ισ ρεπρεσεντεδ βψ α χοµπουνδ Ποισσον προχεσσ. Τηατ ισ, ιφ τηε γοϖερνινγ προχεσσ ισ ΝΗΠΠ ανδ τηε σιζε οφ χλυσ− τερσ ισ γεοµετριχ ωιτη α φοργετφυλνεσσ προπερτψ, τηε χοµπουνδ Ποισσον προχεσσ ισ Ποισσον∧ γεοµετριχ. Ιφ τηε ουτχοµεσ ωιτηιν α χλυστερ αρε χορρελατεδ ασσυµ− ινγ α χοµπουνδινγ π.µ.φ. οφ α λογαριτηµιχ σεριεσ, τηε ΧΠ ισ δε⇒νεδ το βε α Ποισσον∧ λογαριτηµιχ σεριεσ ορ σιµπλψ α νεγατιϖε βινοµιαλ. Τηεσε τοπιχσ αρε στυδ− ιεδ ιν δεταιλ ιν Χηαπτερ 1. 3.5.3 Νυµεριχαλ Αππλιχατιονσ φορ α Πριϖαχψ Ρισκ Μαναγεµεντ Στυδψ Γιϖεν τηε φολλοωινγ πριϖαχψ βρεαχηεσ (πηισηινγ αχτιϖιτψ) ατ α νατιοναλ στατε αγενχψ φορ Μαψ–ϑυνε 2006 ον διφφερεντ δαψσ [64]: 14, 32, 28, 25, 25, 19, 24, 25, 22, 24, ωε ωιση το χονδυχτ α πριϖαχψ λικελιηοοδ αναλψσισ. Τοταλ (M) = 213; αϖεραγε (δαιλψ) = 23.7; ϖαριανχε (δαιλψ) = 26.25; q = ϖαριανχε/αϖεραγε = 1.11. Ωε χονδυχτ τηισ εξπεριµεντ υσινγ Ποισσον∧ γεοµετριχ (στυττερινγ Ποισσον) ανδ Ποισσον∧ λογαριτηµιχ σεριεσ (ΝΒ∆): 1. Βψ ασσυµινγ α Ποισσον∧ γεοµετριχ αππροαχη, ωηερε τηε ουτχοµεσ ιν εαχη χλυστερ αρε ασσυµεδ το βε ινδεπενδεντ ορ υνχορρελατεδ ιν ρελατιον το εαχη οτηερ, τηε φολλοωινγ σοφτωαρε ρεσυλτσ αρε οβταινεδ:

153

ΛΙΚΕΛΙΗΟΟ∆ ΟΦ ΛΑΧΚ ΟΦ ΠΡΙςΑΧΨ

PG Output.txt q = 1.11; Mean = 213.0; RHO = 0.052; LAMBDA = 201.89; x

Density f(x)

211 212 213 214 215 216 217 218 219 220

0.25848572E−01 0.25946626E−01 0.25934851E−01 0.25813957E−01 0.25586021E−01 0.25254425E−01 0.24823783E−01 0.24299833E−01 0.23689313E−01 0.22999817E−01

Cumulative P(x) 0.46633222E+00 0.49227885E+00 0.51821370E+00 0.54402766E+00 0.56961368E+00 0.59486810E+00 0.61969189E+00 0.64399172E+00 0.66768103E+00 0.69068085E+00

Survival S(x) 0.53366778E+00 0.50772115E+00 0.48178630E+00 0.45597234E+00 0.43038632E+00 0.40513190E+00 0.38030811E+00 0.35600828E+00 0.33231897E+00 0.30931915E+00

Ιφ τηε χοµπανψ ορ αγενχψ σετσ α τηρεσηολδ βασεδ ον ωηιχη τηε ρισκ οφ πριϖαχψ ϖιολατιον ισ δε⇒νεδ, συχη ασ X = 220 βρεαχηεσ, τηεν τηε “προβαβιλιτψ οφ εθυαλινγ ορ εξχεεδινγ 220” [ι.ε., P (X ≥ 220)] = 0.31, ορ 31%. 2. Βψ ασσυµινγ α Ποισσον∧ λογαριτηµιχ σεριεσ (ΝΒ∆) αππροαχη, ωηερε τηε ουτ− χοµεσ ιν εαχη χλυστερ αρε ασσυµεδ το βε χονταγιουσ (χορρελατεδ ποσιτιϖελψ), τηε φολλοωινγ σοφτωαρε ρεσυλτσ αρε οβταινεδ. Τηεσε ρεσυλτσ αρε αλµοστ ιδεντιχαλ το τηε αβοϖε. NB Output.txt q = 1.11; Mean = 213.0; XK = 0.1936E+04; P = 0.11000000E+00; x Density f(x) Cumulative P(x) Survival S(x) 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220

0.25849353E−01 0.25947117E−01 0.25935045E−01 0.25813853E−01 0.25585623E−01 0.25253744E−01 0.24822836E−01 0.24298641E−01 0.23687901E−01 0.22998217E−01

0.46635510E+00 0.49230222E+00 0.51823726E+00 0.54405111E+00 0.56963674E+00 0.59489048E+00 0.61971332E+00 0.64401196E+00 0.66769986E+00 0.69069807E+00

0.53364490E+00 0.50769778E+00 0.48176274E+00 0.45594889E+00 0.43036326E+00 0.40510952E+00 0.38028668E+00 0.35598804E+00 0.33230014E+00 0.30930193E+00

Ασσυµε νοω τηατ τηε χοµπανψ (ε.γ., βανκ) ορ αγενχψ ωισηεσ το χονδυχτ α πριϖαχψ ρισκ µιτιγατιον στυδψ τηρουγη βυψινγ χερταιν αντι−πηισηινγ ορ αντιπιραχψ σοφτωαρε ανδ χοντραχτινγ ωιτη α σοφτωαρε σεχυριτψ φορµ φορ αυδιτινγ ανδ προβινγ. Ηασ τηε χοµπανψ αχχοµπλισηεδ ιτσ γοαλσ βψ α σπεχι⇒χ τιµε περιοδ λατερ? Συπποσε τηατ οϖεραλλ τηε βανκ ηασ σπεντ ∃1 µιλλιον το ασσυρε πριϖαχψ ρισκ µιτιγατιον. Νοω, αφτερ τηε χουντερµεασυρεσ αρε τακεν, τηε βανκ χολλεχτσ νεω δατα: 14, 32, 28, 25, 25, 19, 24, 22, 22, 4 ανδ ρυνσ α νεω δατα αναλψσισ, ωιτη α ποσιτιϖε χορρελατιον βετωεεν τηε ουτχοµεσ ιν εαχη χλυστερ [31, 65]:

154

ΘΥΑΝΤΙΤΑΤΙςΕ ΜΟ∆ΕΛΙΝΓ ΦΟΡ ΣΕΧΥΡΙΤΨ ΡΙΣΚ ΑΣΣΕΣΣΜΕΝΤ

NB Output.txt q = 3.19; Mean = 190.0; XK = 0.867E+02; P = 0.219E+01; x

Density f(x)

211 212 213 214 215 216 217 218 219 220

0.10511787E−01 0.10135891E−01 0.97602257E−02 0.93858812E−02 0.90138881E−02 0.86452144E−02 0.82807642E−02 0.79213753E−02 0.75678187E−02 0.72207978E−02

Cumulative P(x) 0.81138208E+00 0.82151797E+00 0.83127820E+00 0.84066408E+00 0.84967797E+00 0.85832318E+00 0.86660395E+00 0.87452532E+00 0.88209314E+00 0.88931394E+00

Survival S(x) 0.18861792E+00 0.17848203E+00 0.16872180E+00 0.15933592E+00 0.15032203E+00 0.14167682E+00 0.13339605E+00 0.12547468E+00 0.11790686E+00 0.11068606E+00

Τηε χονχλυσιον ισ τηατ αφτερ τηε χουντερµεασυρεσ αρε τακεν, P (X ≥ 220) = 0.11 = 11%. Τηε ρισκ δε⇒νεδ βψ τηε βανκ φορ εξχεεδινγ α χερταιν τηρεσηολδ ηασ γονε δοων το 11% φροµ αν εαρλιερ 31%. Τηε ρισκ ηασ βεεν µιτιγατεδ βψ α σολιδ 20%, αµουντινγ το α βενε⇒τ οφ ∃2 µιλλιον, ιφ εαχη 1% σλοτ ον αϖεραγε σιγνι⇒εσ α βενε⇒τ οφ ∃100,000 βψ αϖοιδινγ ιδεντιτψ τηεφτσ. Οϖεραλλ, τηε βανκ ισ προ⇒τινγ ∃1 µιλλιον φροµ τηισ τρανσαχτιον, σινχε τηε ∃2 µιλλιον βενε⇒τ χλεαρλψ εξχεεδσ τηε ∃1 µιλλιον χοστ: προ⇒τ = βενε⇒τ − χοστ = ∃2,000,000 (βενε⇒τ) − ∃1,000,000 (ιµπροϖεµεντ χοστ) = ∃1,000,000

(46)

3.5.4 ∆ισχυσσιον ανδ Χονχλυσιονσ Ιν τηισ σεχτιον ωε στυδιεδ ηοω το θυαντιφψ λαχκ οφ τρυστ οφ πριϖαχψ σιµιλαρ το θυαντιφψινγ λαχκ οφ σεχυριτψ. Τηε πριϖαχψ µετερ ισ α µατηεµατιχαλ στατιστιχαλ ινφερ− εντιαλ µετηοδ τηρουγη ωηιχη τηε λικελιηοοδ οφ βρεαχη οφ τρυστ ισ χοµπυτεδ υσινγ χοµπουνδ Ποισσον προχεσσεσ. Τηεν ωε σαω ηοω πριϖαχψ ρισκ ισ µαναγεδ ανδ µιτι− γατεδ ιν α θυαντιτατιϖε σολυτιον τηρουγη α σολιδ βυδγεταρψ αππροαχη. Τηισ αππροαχη ισ συπεριορ το τηε χονϖεντιοναλ δεσχριπτιϖε ορ αϖεραγινγ πριϖαχψ µεασυρεσ. Α σιµιλαρ αππροαχη χαν βε αππλιεδ το τιµε−δεπενδεντ σεχυριτψ ρισκ εστιµατιον. ΑΠΠΕΝ∆ΙΞ 3Α: ΧΟΜΠΑΡΙΣΟΝ ΟΦ ςΑΡΙΟΥΣ ΡΙΣΚ ΑΣΣΕΣΣΜΕΝΤ ΑΠΠΡΟΑΧΗΕΣ ΑΝ∆ ΧΙΝΑΠΕΑΑΑ Ιν τηισ χηαπτερ, ιν ωηιχη ωε αρε στυδψινγ θυαντιτατιϖε ρισκ αναλψσεσ, ωε ηαϖε σηοων ϖαριουσ µετηοδσ το χοµπυτε εξπεχτεδ λοσσεσ ιν τηε φραµεωορκ οφ στα− τιστιχαλ σχιενχε ανδ προβαβιλιτψ τηεορψ. Ιν δοινγ σο, ωε βασεδ ουρ αναλψσισ ον µονεταρψ ϖαλυεσ οφ τηε ασσετσ ανδ προβαβιλιτιεσ οφ τηε λικελιηοοδ οφ ϖυλνεραβιλιτιεσ ανδ ατταχηεδ τηρεατσ. Τηε ρεσυλτσ ωιλλ βε µορε σχιεντι⇒χ, µορε υσαβλε, ανδ µορε ρελιαβλε ωηεν τηε δατα το συππορτ τηε µοδελσ οριγινατε φροµ τρυστωορτηψ σουρχεσ βψ αχτυαλ εξπεριµεντατιον, ασ στυδιεδ ιν Σεχτιον 3.4. Τηερε αρε οτηερ µετηοδσ, συχη ασ φυζζψ λογιχ, ατταχκ τρεεσ, χαπαβιλιτψ−βασεδ ατταχκ τρεεσ, ανδ τιµε−το−δεφεατ

ΧΟΜΠΑΡΙΣΟΝ ΟΦ ςΑΡΙΟΥΣ ΡΙΣΚ ΑΣΣΕΣΣΜΕΝΤ ΑΠΠΡΟΑΧΗΕΣ

155

µοδελσ, στυδιεδ βελοω ιν τηε αππενδιξεσ, ορ δατα µινινγ τηατ αρε ουτσιδε ουρ σχοπε ηερε. Βλακλεψ, Μχ∆ερµοττ, ανδ Γεερ αππροπριατελψ χλαιµ: “Ιν βυσινεσσ τερµσ, α ρισκ ισ τηε ποσσιβιλιτψ οφ αν εϖεντ ωηιχη ωουλδ ρεδυχε τηε ϖαλυε οφ τηε βυσινεσσ (αν ασσετ) ωερε ιτ το οχχυρ” [32]. Ιν φαχτ, Βλακλεψ ετ αλ. νοτε τηε λοω υσε οφ θυαντιτα− τιϖε µετηοδ ιν δισχιπλινεσ οτηερ τηαν ΙΤ σεχυριτψ, συχη ασ ⇒νανχε, ηεαλτη χαρε, ανδ σαφετψ. Τοδαψ, οργανιζατιονσ φαχε α ϖαριετψ οφ “ηαρµινγ τηρεατσ” φροµ χψβερσπαχε τηατ ωερε υντηινκαβλε 15 ορ 20 ψεαρσ αγο [33,34]. Ρισκ ασσεσσµεντ µετηοδσ µαψ βε χλασσι⇒εδ ασ χονϖεντιοναλ θυαλιτατιϖε, υνχονϖεντιοναλ θυαντιτατιϖε, ανδ ρεχεντλψ, ηψβριδ [1]. Λανδολλ νοτεσ: “Α θυαντιτατιϖε αππροαχη το δετερµινινγ ρισκ ανδ εϖεν πρεσεντινγ σεχυριτψ ρισκ ηασ τηε αδϖανταγεσ οφ βεινγ οβϕεχτιϖε ανδ εξπρεσσεδ ιν τερµσ οφ δολλαρ ⇒γυρεσ” [35]. ∆εσπιτε τηεσε αδϖανταγεσ, δεχισιον µακερσ τενδ το λεαν τοωαρδ θυαλιτατιϖε ρισκ ασσεσσµεντσ, δυε το τηειρ εασε οφ υσε ανδ µορε λαξ ινπυτ δατα ρεθυιρεµεντσ. Α δεχισιον τρεε ορ διαγραµ, ωηιχη ισ γαινινγ ποπυλαριτψ ιν θυαντιτατιϖε ρισκ ασσεσσµεντ, ισ α µοδελ οφ τηε εϖαλυατιον οφ α δισχρετε φυνχτιον ωηερειν τηε ϖαλυε οφ α ϖαριαβλε ισ ⇒ρστ δετερµινεδ ανδ τηε νεξτ αχτιον ισ χηοσεν αχχορδινγλψ [1,36–39]. Ηοωεϖερ, τηερε ισ ωιδεσπρεαδ ρελυχτανχε το αππλψ νυµεριχαλ µετηοδσ. Α πριµαρψ ρεασον φορ τηισ ρελυχτανχε ισ τηε διφ⇒χυλτψ ιν χολλεχτινγ τρυστωορτηψ δατα ρεγαρδινγ σεχυριτψ βρεαχηεσ [40–44]. Α χολλεχτιον οφ ϖαριουσ ωορκσ, ινχλυδινγ Βαψεσιαν τεχηνιθυεσ, ισ ινχλυδεδ το ηελπ ρεαδερσ φοχυσ ον τηισ διλεµµα οφ ασσεσσινγ ρισκ: θυαλιτατιϖελψ, θυαντιτατιϖελψ, ορ χοµβινεδ [45–48]. “∆ατα, δατα, δατα. . .,” σαψσ Ωεντζελ, ανδ φαϖορσ Σαηινογλυ’σ σεχυριτψ µετερ µοδελ ασ α σολιδ ωαψ ουτ οφ τηε χονφυσιον [49]. Ιν θυαλιτατιϖε ρισκ αναλψσεσ, ωηιχη µοστ χονϖεντιοναλ ρισκ αναλψστσ πρεφερ ουτ οφ χονϖενιενχε, ασσετσ χαν βε χλασσι⇒εδ ον α σχαλε οφ χρυχιαλ–χριτιχαλ ορ ϖερψ σιγνιφ− ιχαντ, σιγνι⇒χαντ, ορ νοτ σιγνι⇒χαντ. Ον τηε οτηερ ηανδ, θυαλιτατιϖε χριτιχαλιτψ χαν βε ρατεδ ον α σχαλε οφ το βε ⇒ξεδ ιµµεδιατελψ, το βε ⇒ξεδ σοον, σηουλδ βε ⇒ξεδ σοµετιµε, ανδ το βε ⇒ξεδ ιφ χονϖενιεντ. ςυλνεραβιλιτιεσ ανδ ασσοχιατεδ τηρεατσ χαν βε ρατεδ ον α σχαλε οφ ηιγηλψ λικελψ, λικελψ, υνλικελψ, ορ ηιγηλψ υνλικελψ. Ον τηε συβϕεχτ οφ χουντερµεασυρεσ ανδ ρισκ µιτιγατιον, τηε θυαλιτατιϖε αππροαχη ισ φροµ στρονγ (ηιγη) το αχχεπταβλε (µεδιυµ) ανδ υναχχεπταβλε (λοω), ασ οπποσεδ το τηε προβαβιλιστιχ ϖαλυεσ προποσεδ. Αµονγ ωελλ−κνοων σεχυριτψ µοδελσ το εσταβ− λιση α σεχυριτψ πολιχψ, τηε φολλοωινγ αρε µοστ ποπυλαρ [3]: τηε Βελλ–ΛαΠαδυλα µοδελ, τηε Βιβα µοδελ, τηε Χηινεσε ωαλλ µοδελ, τηε Χλαρκ Ωιλσον µοδελ, τηε Ηαρρισον–Ρυζζο–Υλλµαν µοδελ, ανδ τηε ινφορµατιον ⇓οω (εντροπψ−εθυιϖοχατιον ανδ λαττιχε−βασεδ) µοδελσ. Νεξτ, λετ’σ στυδψ τηε ελεµεντσ οφ ΧΙΝΑΠΕΑΑΑ: χον⇒δεντιαλιτψ, ιντεγριτψ, νον− ρεπυδιατιον, αυτηεντιχατιον, πριϖαχψ, ενχρπτιον, ανονψµιτψ, αϖαιλαβιλιτψ, ανδ αυδιτ. Χον⇒δεντιαλιτψ χονχερνσ τηε προτεχτιον οφ σενσιτιϖε ινφορµατιον φροµ υναυτηο− ριζεδ δισχλοσυρε; ινφορµατιον ισ νοτ δισχλοσεδ το υναυτηοριζεδ παρτιεσ. Τηατ ισ, τρυστ νο ονε! Φορ τηε χονχεπτ οφ ιντεγριτψ, σοµετιµεσ χαλλεδ αχχυραχψ, ωε ωατχη τηατ ινφορµατιον ισ νοτ αλτερεδ βψ υναυτηοριζεδ παρτιεσ, συχη τηατ ρεχορδσ οφ αλτερ− ατιονσ αρε νοτ δεστροψεδ: ασσυµινγ, µορεοϖερ, τηατ τηε δατα ωερε χορρεχτ ατ τηε βεγιννινγ ανδ τηατ βεχαυσε αλλ χηανγεσ ηαϖε βεεν δονε χορρεχτλψ ανδ αχχουντ− αβλψ (υσυαλλψ ρεθυιρεδ το µαινταιν ιντεγριτψ), δατα αρε στιλλ χορρεχτ ασ τηεψ στανδ.

156

ΘΥΑΝΤΙΤΑΤΙςΕ ΜΟ∆ΕΛΙΝΓ ΦΟΡ ΣΕΧΥΡΙΤΨ ΡΙΣΚ ΑΣΣΕΣΣΜΕΝΤ

Ασ φορ αϖαιλαβιλιτψ, ινφορµατιον συχη ασ οπερατιον τιµε ορ χοµπονεντ ρεδυνδανχψ ορ φαυλτ τολερανχε σηουλδ βε αϖαιλαβλε το τηε υσερ ωηεν νεεδεδ. Ιν οτηερ ωορδσ, εϖεν τηε µοστ σεχυρε σψστεµ ισ νο γοοδ ιφ ωε χαννοτ αχχοµπλιση τηε ταργετ µισ− σιον. Αϖαιλαβιλιτψ, οπερατιοναλ ρεαδινεσσ αγαινστ ⇒ρε, δαµαγε, δισαστερ, ϖανδαλισµ, ανδ σο ον, ισ αν ινδισπενσαβλε οπερατιοναλ φεατυρε, ατ λεαστ πηψσιχαλλψ. Ενχρψπτιον φορ αλγοριτηµσ ισ ρεθυιρεδ το προτεχτ τηε χον⇒δεντιαλιτψ οφ δατα. Αν ενχρψπτιον αλγοριτηµ ορ χιπηερ ενχιπηερσ τηε χλεαρ τεξτ τηρουγη α χρψπτο κεψ, εΚ(Ξ), δενοτινγ τηατ τηε πλαιντεξτ Ξ ισ ενχρψπτεδ υνδερ κεψ Κ. Τηεν τηε δεχρψπτιον αχτιον δΚ(Ξ) δεχιπηερσ το ρετριεϖε τηε πλαιντεξτ φροµ τηε χιπηερ τεξτ (σεε µορε ον τηισ τοπιχ ιν Αππενδιξ 3Β). Αυτηεντιχατιον ισ σοµετηινγ ψου ηαϖε ορ ψου κνοω ορ ψου αρε, ορ α χοµβινατιον οφ τηεσε, ασ ισ τρυε οφ α χοµπανψ πασσωορδ. Ιν τηε χασε οφ νονρεπυδιατιον, τηε υσερ χαννοτ δενψ αν οπερατιον τηατ ηε ορ σηε ηασ µαδε. Α φεω οφ τηε µετηοδσ αϖαιλαβλε αρε τιµε σταµπσ, α τρυστεδ τηιρδ−παρτψ, ορ αν ελεχτρονιχ σιγνατυρε. Πριϖαχψ ρελατεσ το ινφορµατιον τηατ ισ νοτ δισχλοσεδ ωιτηουτ τηε χονσεντ οφ τηε συβϕεχτ. Ανονψµιτψ ισ ιδεντιτψ ινφορµατιον τηατ ισ νοτ δισχλοσεδ. Αυδιτ ισ δε⇒νεδ ασ τηε µαιντενανχε, τραχκινγ, ανδ χοµµυνιχατιον οφ εϖεντ ινφορµατιον ωιτηιν τηε σερϖιχε, ηοστ, ορ νετωορκ. ΑΠΠΕΝ∆ΙΞ 3Β: ΒΡΙΕΦ ΙΝΤΡΟ∆ΥΧΤΙΟΝ ΤΟ ΕΝΧΡΨΠΤΙΟΝ, ∆ΕΧΡΨΠΤΙΟΝ, ΑΝ∆ ΤΨΠΕΣ Ον τηε ωιδε τοπιχ οφ τηε ενχρψπτιον, µανψ ρεσουρχεσ εξπλαιν τηε συβϕεχτ τηορ− ουγηλψ, ωηιχη ισ ωηψ ωε πρεσεντ ονλψ αν ιντροδυχτιον. Τηε ηιστορψ οφ χρψπτογ− ραπηψ δατεσ βαχκ το ανχιεντ Εγψπτ, το Ινδια, Μεσοποταµια, ανδ Βαβψλον, ανδ το χεντραλ Ασια. Ενχρψπτεδ µεσσαγεσ ωερε βροκεν δυρινγ τηε Αµεριχαν Ρεϖολυτιον− αρψ Ωαρ. Τηε Γερµαν Ενιγµα µαχηινε, δεϖελοπεδ ασ εαρλψ ασ 1918, ωασ υσεδ βεγιννινγ ιν 1926, βυτ Πολιση, Φρενχη, ανδ Βριτιση σχιεντιστσ χραχκεδ τηε χοδε δυρινγ Ωορλδ Ωαρ ΙΙ. Σινχε Ωορλδ Ωαρ ΙΙ, χοµπυτερσ ηαϖε τρανσφορµεδ τηε χοδε− βρεακινγ προχεσσ, λεαδινγ το ιµπορταντ χοντριβυτιονσ ιν µιλιταρψ ανδ ιντελλιγενχε αππλιχατιονσ [50]. Χρψπτογραπηψ χαν βε δε⇒νεδ ασ τηε αρτ ορ σχιενχε οφ στορινγ ινφορµατιον ιν α φορµ τηατ αλλοωσ ιτ το βε ρεϖεαλεδ ονλψ το τηοσε ιντενδεδ, ηιδινγ ιτ φροµ τηοσε νοτ ιντενδεδ. Χρψπτολογψ ινχλυδεσ βοτη χρψπτογραπηψ ανδ χρψπταναλψσισ. Τηε οριγιναλ ινφορµατιον ισ πλαιντεξτ ανδ τηε ηιδδεν ινφορµατιον ισ χιπηερ τεξτ. Ενχρψπτιον ισ τηε προχεδυρε οφ χονϖερτινγ πλαιντεξτ ιντο ηψπερτεξτ βψ υσινγ αν ενχρψπτιον ενγινε (υσυαλλψ, α χοµπυτερ προγραµ). ∆εχρψπτιον ισ τηε προχεδυρε εµπλοψεδ το χονϖερτ χιπηερ τεξτ ιντο πλαιντεξτ βψ υσινγ α δεχρψπτιον ενγινε (αγαιν, υσυαλλψ α χοµπυτερ προγραµ). Μοδερν χρψπτογραπηιχ σψστεµσ υσε πριϖατε ανδ πυβλιχ κεψ σψστεµσ. Πριϖατε (σψµµετριχ, σεχρετ, ορ σινγλε) κεψ σψστεµσ υσε α σινγλε κεψ. Αν ιδεντιχαλ βυτ σεπαρατε κεψ ισ νεχεσσαρψ φορ εαχη παιρ οφ υσερσ το εξχηανγε µεσσαγεσ, ανδ τηε σενδερ–ρεχειϖερ παιρ µυστ κεεπ τηε σεχρετ κεψ. Ωηιλε α υσερ σηουλδ κεεπ ηισ ορ ηερ πριϖατε κεψ σεχρετ, α πυβλιχ κεψ ισ κνοων ιν πυβλιχ. Τηε πριϖατε ανδ πυβλιχ κεψσ αρε ρελατεδ µατηεµατιχαλλψ ιν α πυβλιχ κεψ σψστεµ. Ιφ α µεσσαγε ισ ενχρψπτεδ ωιτη α πριϖατε κεψ, τηε µεσσαγε χαν βε δεχρψπτεδ βψ τηε ρεχιπιεντ

157

ΙΝΤΡΟ∆ΥΧΤΙΟΝ ΤΟ ΕΝΧΡΨΠΤΙΟΝ, ∆ΕΧΡΨΠΤΙΟΝ, ΑΝ∆ ΤΨΠΕΣ

υσινγ τηε πυβλιχ κεψ. Σιµιλαρλψ, ανψονε χαν σενδ οτηερσ αν ενχρψπτεδ µεσσαγε βψ ενχρψπτινγ τηε µεσσαγε υσινγ τηε ρεχιπιεντ’σ πυβλιχ κεψ. Τηε σενδερ δοεσ νοτ νεεδ το κνοω τηε ρεχιπιεντ’σ πριϖατε κεψ; ιτ ισ δεχρψπτεδ υσινγ τηε πριϖατε κεψ. Υπον ρεχειϖινγ αν ενχρψπτεδ µεσσαγε, ιτ ισ σψµµετριχαλ, τηε σαµε “σεχρετ κεψ” ενχρψπτσ ανδ δεχρψπτσ τηε ινφορµατιον ατ στακε. Ονε νεεδσ α πριϖατε κεψ φορ εαχη χηαννελ το αχχοµµοδατε. Ρισκ µαναγεµεντ οφ α λαργε νυµβερ οφ σεχρετ κεψσ χαν βε χυµβερσοµε. Τηισ τοολ χαν προϖιδε αυτηεντιχατιον ανδ αχχεσσ χοντρολ βυτ χαννοτ προϖιδε ϖερι⇒χατιον. Χονγρυενχε, ωηιχη ισ παρτ οφ τηε δισχρετε µατη χυρριχυλυµ ιν χοµπυτερ σχιενχε εδυχατιον τηρουγη ιτσ υσε οφ µοδυλυσ οπερατιονσ, οφτεν ινϖολϖεσ χρψπτολογψ, τηε στυδψ οφ σεχρετ µεσσαγεσ. ϑυλιυσ Χαεσαρ, ονε οφ τηε εαρλιεστ χρψπτολογιστσ, χρεατεδ σεχρετ µεσσαγεσ βψ σηιφτινγ εαχη λεττερ αηεαδ βψ τηρεε (ι.ε., Χ ισ σεντ ασ Φ, ετχ.), αν εαρλψ εξαµπλε οφ ενχρψπτιον. Τηερε ωερε 25 λεττερσ ιν τηε ανχιεντ Ροµαν αλπηαβετ. Χαεσαρ’σ ενχρψπτιον µετηοδ χαν βε ρεπρεσεντεδ βψ α φυνχτιον f τηατ ασσιγνσ το τηε νοννεγατιϖε ιντεγερ p, p ≤ 25, τηε ιντεγερ f (p) ιν τηε σετ {0, 1, 2, 3, . . . , 25} ωιτη τηε φολλοωινγ: f (p) = (p + 3) µοδ 26 [53]. Ιν ενχρψπτινγ τηε µεσσαγε ΜΕΕΤ ΨΟΥ ΣΟΟΝ, ωε ⇒ρστ ρεπλαχε λεττερσ ωιτη νυµβερσ: 12

4 4 19

24 14

20

18

14 14 13

(47)

Νοω ρεπλαχε εαχη οφ τηε νυµβερσ p ωιτη f (p) = (p + 3) µοδ 2: 15 7

7 22

1 17 23

21 17

17 16

(48)

Τρανσλατινγ τηισ βαχκ το λεττερσ, ονε ρεαδσ “ΠΗΗΩ ΒΡΞ ςΡΡΘ.” Τηε προ− χεσσ οφ ⇒νδινγ τηε οριγιναλ µεσσαγε φροµ τηε ενχρψπτεδ µεσσαγε ισ δε⇒νεδ ασ δεχρψπτιον. Ιν ασψµµετριχαλ (ορ πυβλιχ κεψ) ενχρψπτιον συχη ασ ΡΣΑ ορ Ελ Γαµαλ, τηερε εξιστ τωο χοµπλεµενταρψ κεψσ. Ωηατ ισ ενχρψπτεδ ωιτη ονε πριϖατε κεψ ηασ το βε δεχρψπτεδ ωιτη τηε οτηερ κεψ. Κνοωλεδγε οφ ονε κεψ σηουλδ προϖιδε νο ινφορµατιον αβουτ τηε οτηερ κεψ. Πυβλιχ κεψσ αρε οφτεν λινκεδ το ιδεντιτψ. Τηεψ χαν προϖιδε αχχεσσ χοντρολ, αυτηεντιχατιον, ανδ ϖερι⇒χατιον τηρουγη διγιταλ σιγνατυρεσ. Πυβλιχ κεψ ενχρψπτιον ισ βασεδ ον α µατηεµατιχαλ ρελατιονσηιπ βετωεεν πριµε νυµβερσ ανδ τηε χοµπυτατιοναλ διφ⇒χυλτψ οφ δοινγ σπεχι⇒χ µατηεµατιχαλ οπερ− ατιονσ ον λαργε νυµβερσ, συχη ασ φαχτορινγ. ΡΣΑ, φορ εξαµπλε, δεπενδσ ον τηε διφ⇒χυλτψ οφ φαχτορινγ λαργε νυµβερσ. Τηερε αρε αλσο διγιταλ σιγνατυρεσ σεπαρατε φροµ ενχρψπτιον, ωηιχη ισ µορε ρελατεδ το αυτηεντιχατιον ανδ πριϖαχψ. Ονε−τιµε σιγνατυρεσ, συχη ασ Ελ Γαµαλ σιγνατυρεσ, ∆ΣΑ, ανδ ΡΣΑ διγιταλ σιγνατυρεσ, αρε αµονγ τηε µοστ ποπυλαρ [52]. ΡΣΑ (Ριϖεστ–Σηαµιρ–Αδελµαν) Ενχρψπτιον Σχηεµε Τωο ϖερψ λαργε πριµε νυµβερσ αρε χηοσεν. Ηερε ωε υσε σµαλλερ ϖαλυεσ το µακε ιτ εασιερ το υνδερστανδ. Τωο πριµε νυµβερσ αρε χηοσεν, p1 ανδ p2 , σαψ 3 ανδ 11. Ωε χαν οβταιν αν εξπονεντ ϖαλυε φροµ τηε φολλοωινγ [28]: (p1 − 1)(p2 − 1) + 1 = x

(49)

158

ΘΥΑΝΤΙΤΑΤΙςΕ ΜΟ∆ΕΛΙΝΓ ΦΟΡ ΣΕΧΥΡΙΤΨ ΡΙΣΚ ΑΣΣΕΣΣΜΕΝΤ

Φορ ουρ σµαλλ πριµε νυµβερσ, x = (3 − 1)(11 − 1) + 1 = (2)(10) + 1 = 21

(50)

Νοω µυλτιπλψ p1 βψ p2 το οβταιν α µοδυλυσ ϖαλυε (m). Ιν ουρ χασε, τηισ ισ (3)(11) = 33. Νοω, φορ ανψ ϖαλυε (v) ρανγινγ φροµ 0 το (m − 1) τηερε ισ αν εθυατιον τηατ ηολδσ τρυε: v = vx µοδ m. Τηεν ωε φαχτορ τηε εξπονεντ ϖαλυε συχη τηατ φαχτορ 1 (f1 ) µυλτιπλιεδ βψ φαχτορ 2 (f2 ) ισ εθυαλ το τηε εξπονεντ ϖαλυε. Ιν ουρ χασε, f1 f2 = (3)(7) = 21 = x (51) Τηερεφορε, f1 = 3 ανδ f2 = 7. Ονε οφ τηε φαχτορσ ισ χηοσεν ασ ουρ πυβλιχ κεψ, τηε οτηερ ασ ουρ πριϖατε κεψ. Σελεχτινγ τηε σµαλλερ οφ τηε τωο κεψσ µακεσ λιφε εασιερ φορ τηε πυβλιχ. Το ενχρψπτ α µεσσαγε, σοµεονε τακεσ τηε κνοων πυβλιχ κεψ ανδ υσεσ τηατ το ενχρψπτ α µεσσαγε υσινγ τηε φορµυλα ενχρψπτεδ = πλαιντεξτf1 µοδ m

(52)

Φορ ουρ σιµπλε εξαµπλε, λετ’σ σαψ τηατ τηε λεττερ Γ ισ βεινγ ενχοδεδ, ανδ το µακε τηε αριτηµετιχ εασιερ, ιτ ισ τηε σεϖεντη λεττερ ιν ουρ αλπηαβετ. Γ ισ ασσιγνεδ α ϖαλυε οφ 7. Τηεν ενχρψπτεδ = 73 µοδ 33 = 13. Το δεχρψπτ, ψου υσε τηε φορµυλα ιν ρεϖερσε: δεχρψπτεδ = ενχρψπτεδf2 µοδ 33 = 137 µοδ 33 = 7 (53) Ωε ηαϖε ουρ οριγιναλ µεσσαγε “Γ = 7” βαχκ. Εϖεν ωιτη σµαλλ ινπυτσ, ωε ωορκ ωιτη λαργε ενουγη νυµβερσ το νεεδ α χαλχυλατορ. Ιµαγινε ωηεν ωε υσε λαργε πριµε νυµβερσ ηοω διφ⇒χυλτ ιτ βεχοµεσ το χραχκ τηεσε χιπηερσ. Ελ Γαµαλ Ενχρψπτιον Σχηεµε Ιν τηε Ελ Γαµαλ πυβλιχ κεψ αλγοριτηµ, ωηιχη ισ προβαβλψ τηε σεχονδ µοστ ωιδελψ υσεδ πυβλιχ κεψ χιπηερ, τηε πριµε νυµβερ ισ αγαιν α ϖερψ λαργε νυµβερ. Λετ b ∈ Zp βε α πριµιτιϖε βασε ελεµεντ ορ αν ιντεγερ οφ λαργε ορδερ µοδ p. Λετ a βε τηε πριϖατε δεχρψπτιον κεψ οφ υσερ A, ανδ λετ y = ba µοδ p

(54)

βε τηε χορρεσπονδινγ πυβλιχ ενχρψπτιον κεψ ανδ α σεχρετ ρανδοµ νυµβερ k ∈ Zp−1 . Λετ M ∈ Zp βε α µεσσαγε χαρρψινγ αν ιντεγερ λεσσ τηαν p. Το σενδ α µεσσαγε βλοχκ M το A, τηε σενδερ χηοοσεσ α σεχρετ ρανδοµ k: r = bk µοδ p

(55)

s=b

(56)

ak

µοδ p

t = Mbak µοδ p

(57)

∆ενοτε D = δεχρψπτιον. Τηεν, φορ r, t ∈ Zp−1 , Dk (r, t) = Mbak b−ak µοδ p = M

(58)

Εξαµπλε Υσινγ σµαλλ νυµβερσ φορ χονϖενιενχε, λετ p (µοδυλυσ) = 31, b (βασε) = 6, a (σεχρετ εξπονεντ) = 5, 1 < a < p − 1, ανδ µεσσαγε M = 15

159

ΑΤΤΑΧΚ ΤΡΕΕΣ

[⇒φτεεντη λεττερ ιν τηε Ενγλιση αλπηαβετ (Ο)]. Λετ’σ χηοοσε k = 2 ασ ουρ ρανδοµ µεσσαγε κεψ. Τηεν [52] y (πυβλιχ κεψ) = ba µοδ p = 65 µοδ 31 = 7776 µοδ 31 = 26 r = bk µοδ p = 62 µοδ 31 = 5 s=b

ak

5(2)

µοδ p = 6

µοδ 31 = 25

t = Mbak µοδ p = (15)(65(2) ) µοδ 31 = 3

(59) (60) (61) (62)

Ηερε ισ ηοω τηε προχεδυρε οπερατεσ: Το δελιϖερ α µεσσαγε 1 < M < p − 1, τηε σενδερ χηοοσεσ α ρανδοµ νυµβερ 1 < k < p − 1. Τηεν ηε ορ σηε χοµπυτεσ r ανδ t, ωηερε bak ισ α µεσσαγε κεψ, ωιτη ονε οφ ιτσ φαχτορσ (k ανδ a) κνοων. {r, t} ενχοδεσ {k} ιν συχη α ωαψ τηατ τηε πριϖατε κεψ χαν βε υσεδ το χοµπυτε τηε οριγιναλ µεσσαγε κεψ {k} ανδ ρεχοϖερ τηε οριγιναλ µεσσαγε {M}. Τηερεφορε, ουρ µεσσαγε ενχρψπτσ ιντο {r, t} = (5, 3). Οβσερϖε τηατ α σινγλε νυµβερ M = 15 ενχρψπτσ ιντο τωο διστινχτ νυµβερσ; τηισ δουβλινγ οφ σιζε ισ α µαϕορ δισαδϖανταγε οφ Ελ Γαµαλ. Το δεχρψπτ D2 (r = 5, t = 3) = ?, r −a t µοδ p = [(5−5 )(3)] µοδ 31 = [(255 )(3)] µοδ 31 = [(9,765,625)(3)] µοδ 31 = 29,296,875 µοδ 31 = 15 = M (βαχκ!)

(63)

5 ανδ 25 αρε ινϖερσεσ [σινχε (5)(25) µοδ 31 = 1]. Ωηατ µυλτιπλιεσ 5 ωιτη µοδ 31 το γιϖε 1 ισ 25 [51,52]. ΑΠΠΕΝ∆ΙΞ 3Χ: ΑΤΤΑΧΚ ΤΡΕΕΣ Τηρεατσ αρε υσυαλλψ δε⇒νεδ ασ µαλιχιουσ αχτιονσ χαρριεδ ουτ βψ “βαδ γυψσ,” ωηο εξπλοιτ ϖυλνεραβιλιτιεσ το δεστροψ ασσετσ. Ονε ωαψ το ιδεντιφψ τηρεατσ ωουλδ βε το χατεγοριζε τηεµ βψ τηε δαµαγε δονε το ασσετσ. Ηοωαρδ ανδ ΛεΒλανχ ηαϖε λιστεδ τηεµ ιντο α νυµβερ οφ χατεγοριεσ [19]. Ατταχκ τρεεσ προϖιδε α φορµαλ, στρυχτυραλ ωαψ το δεσχριβε σψστεµ σεχυριτψ, βασεδ ον ϖαριουσ “σενσιβλε” ατταχκσ [4]. Βασι− χαλλψ, ψου ρεπρεσεντ ατταχκσ αγαινστ α σψστεµ ιν α τρεε στρυχτυρε, ωιτη τηε γοαλ ασ τηε ροοτ νοδε ανδ ωαψσ οφ αχηιεϖινγ τηατ γοαλ ασ λεαφ νοδεσ. Ηοω δο ψου χρεατε συχη αν ατταχκ τρεε? Πριµαριλψ, ψου λιστ αλλ ποσσιβλε ατταχκ γοαλσ. Τηεν, τρψ το τηινκ οφ αλλ ατταχκσ αγαινστ εαχη γοαλ ανδ αδδ τηεµ το τηε τρεε. Ρεπεατ τηισ προχεσσ δοων τηε τρεε υντιλ ψουρ λιστ ισ χοµπλετε. ∆ισχυσσ ψουρ τρεε ωιτη σοµεονε ελσε ανδ αδδ ανψ νοδεσ τηατ τηε περσον συγγεστσ. Οφ χουρσε, τηερε ισ αλωαψσ τηε χηανχε τηατ ψου ηαϖε οµιττεδ αν ατταχκ, βυτ ψου ωιλλ ιµπροϖε ωιτη τιµε. Λικε ανψ σεχυριτψ αναλψσισ, χρεατινγ ατταχκ τρεεσ ρεθυιρεσ α χερταιν µινδσετ ανδ τακεσ πραχτιχε. Ονχε ψου ηαϖε τηε ατταχκ τρεε ανδ ηαϖε ρεσεαρχηεδ αλλ τηε νοδε ϖαλυεσ, υσε τηε ατταχκ τρεε το ρεαχη σεχυριτψ δεχισιονσ. Ψου χαν λοοκ ατ τηε ϖαλυεσ οφ τηε ροοτ νοδε το σεε ιφ τηε σψστεµ’σ γοαλ ισ ϖυλνεραβλε το ατταχκ. ∆ετερµινε ιφ τηε σψστεµ ισ ϖυλνεραβλε το α τψπε οφ ατταχκ (ε.γ., πασσωορδ γυεσσινγ) ανδ λιστ τηε ασσυµπτιονσ.

160

ΘΥΑΝΤΙΤΑΤΙςΕ ΜΟ∆ΕΛΙΝΓ ΦΟΡ ΣΕΧΥΡΙΤΨ ΡΙΣΚ ΑΣΣΕΣΣΜΕΝΤ

Το οβταιν ανοτηερ υσερ’σ πασσωορδ, ωε χουλδ ασκ τηε οπερατορ, ορ γυεσσ ιτ, ορ σπψ ον ιτ ιλλεγαλλψ. Σινχε τηε οπερατορ ωιλλ υσυαλλψ νοτ τελλ υσ, ωε µαψ µοϖε ον το γυεσσινγ ιτ, ωηιχη ωε χαν δο ειτηερ ονλινε ορ οφφ−λινε (βψ οβταινινγ αν ενχρψπτεδ πασσωορδ ορ βψ ατταχκινγ α διχτιοναρψ). Σπψινγ ισ υσυαλλψ δονε ιν περσον, τηρουγη α µιχροπηονε ορ υσινγ α χαµερα. Ατταχκ τρεεσ προϖιδε α φορµαλ µετηοδολογψ φορ αναλψζινγ τηε σεχυριτψ οφ σψστεµσ ανδ συβσψστεµσ. Τηεψ προϖιδε α ωαψ το τηινκ αβουτ σεχυριτψ. Ατταχκ τρεεσ φορµ τηε βασισ οφ υνδερστανδινγ α σεχυριτψ προχεσσ (Φιγυρε 3Χ.1). Φιγυρε 3Χ.2, α µορε εξχιτινγ εξαµπλε, ισ α σιµπλε ατταχκ τρεε ταργετινγ α βανκ σαφε [4]. Το οπεν τηε σαφε, ατταχκερσ χαν πιχκ τηε λοχκ, λεαρν τηε χοµβινατιον, χυτ οπεν τηε σαφε, ορ ινσταλλ τηε σαφε ιµπροπερλψ σο τηατ τηεψ χαν οπεν ιτ µορε εασιλψ λατερ. Το λεαρν τηε χοµβινατιον, τηεψ µιγητ βε αβλε το ⇒νδ τηε χοµβινατιον ωριττεν δοων ορ γετ τηε χοµβινατιον φροµ τηε σαφε οωνερ. Το εαϖεσδροπ ον σοµεονε στατινγ τηε σαφε χοµβινατιον, αλσο χαλλεδ σηουλδερ συρ⇒νγ, ατταχκερσ ηαϖε το εαϖεσδροπ ον τηε χονϖερσατιον ανδ γετ σαφε οωνερσ το στατε ορ χονφεσσ τηε χοµβινατιον. Ασσιγνινγ “εξπενσιϖε ορ ηιγη” ανδ “νοτ εξπενσιϖε ορ λοω” το νοδεσ ισ υσεφυλ, βυτ ιτ ωουλδ βε βεττερ το σηοω εξαχτλψ ηοω εξπενσιϖε ιν τερµσ οφ δολλαρσ ορ ηοω χριτιχαλ ιν τερµσ οφ προβαβιλιτιεσ. Ιτ ισ αλσο ποσσιβλε το ασσιγν χοντινυουσ ϖαλυεσ το νοδεσ. Φιγυρε 3Χ.2 αλσο σηοωσ τηε τρεε ωιτη διφφερεντ χοστσ Steal or Get Password Guess Password (Outsider) Guess online

Ask Operator (Outsider)

Guess offline

Insider Intrusion

Take Pictures

Spy Password

Shoulder Surfing

Audio Taped Conversations

Get Encrypted Password

Using Insiders

Dictionary Attack

Social Engineering (Outsiders)

SSN, Birthday, Maiden Name, etc.,

Using a bug (microphone)

ΦΙΓΥΡΕ 3Χ.1 Ποσσιβλε ατταχκ τρεε φορ στεαλινγ α πασσωορδ. Open Safe $10K Pick Lock $30K

Brute-Force Open $40K

Learn Combo $20K

Find Written Combo $75K

Install to Open Later $90K

Get Combo From Target $25K Threaten $60K Bribery $25K Blackmail $80K Shoulder surfing $40K Listen to Conversation $10K Convince Target to Confess $30K

ΦΙΓΥΡΕ 3Χ.2 Ατταχκ νοδεσ ωιτη χοστσ οφ ατταχκ.

161

ΧΑΠΑΒΙΛΙΤΙΕΣ−ΒΑΣΕ∆ ΑΤΤΑΧΚ ΤΡΕΕ ΑΝΑΛΨΣΙΣ

ασσιγνεδ το τηε λεαφ νοδεσ, ωηερε τηε χοστσ ηαϖε προπαγατεδ υπ τηε τρεε ανδ τηε χηεαπεστ ατταχκ ηασ βεεν ηιγηλιγητεδ. Τηισ ατταχκ τρεε χαν βε υσεδ το δετερµινε ωηερε α σψστεµ ισ ϖυλνεραβλε. ΑΠΠΕΝ∆ΙΞ 3∆: ΧΑΠΑΒΙΛΙΤΙΕΣ−ΒΑΣΕ∆ ΑΤΤΑΧΚ ΤΡΕΕ ΑΝΑΛΨΣΙΣ Ατταχκ τρεεσ γραπηιχαλλψ σηοω ηοω αν ασσετ χαν βε ατταχκεδ [5]. Τηε τοπµοστ (ορ ροοτ) νοδε ιν αν ατταχκ τρεε ρεπρεσεντσ τηε ατταχκερ’σ γοαλ (Φιγυρε 3∆.1). Τηισ οϖεραλλ γοαλ ισ δεχοµποσεδ ιντο νοδεσ ρεπρεσεντινγ ινχρεασινγλψ δεταιλεδ τασκσ ωηιχη βψ τηεµσελϖεσ ορ ιν χοµβινατιον ωιλλ ρεσυλτ ιν τηε ατταχκερ οβταινινγ ηισ ορ ηερ οβϕεχτιϖε. Ασσοχιατεδ ωιτη τηε δεταιλεδ τασκσ αρε εστιµατεσ, βασεδ ον εξπερτ οπινιον, οφ τηε ρεσουρχεσ ρεθυιρεδ βψ τηε ατταχκερ το περφορµ τηε οπερατιον. Ρεσουρχεσ ινχλυδε µονεψ, τεχηνιχαλ αβιλιτψ, µατεριαλσ, ανδ ηοω νοτιχεαβλε τηε ατταχκ ισ. Βψ εστιµατινγ τηε χαπαβιλιτιεσ οφ τηε αδϖερσαρψ ιτ ισ ποσσιβλε το ελιµινατε τηοσε πορτιονσ οφ τηε ατταχκ τρεε µοδελ τηατ αρε υνατταιναβλε. Τηισ γρεατλψ ρεδυχεσ τηε προβλεµ οφ δεφενδινγ τηε ασσετ. Φυρτηερ αναλψσισ χαν σηοω ωηιχη οφ τηε ρεµαινινγ ατταχκσ αρε το βε πρεφερρεδ βψ τηε αδϖερσαρψ (ι.ε., βρινγ τηεµ τηε γρεατεστ βενε⇒τ ορ τηε λοωεστ εξπενδιτυρε οφ ρεσουρχεσ), ανδ ωηιχη αρε µοστ ηαρµφυλ το τηε ϖιχτιµ. Τηισ αλλοωσ α τρυε δετερµινατιον οφ ρισκ. Στεπσ ιν Χαπαβιλιτιεσ−Βασεδ Ατταχκ Τρεε Αναλψσισ Ατταχκ τρεε αναλψσισ ισ θυιχκ το λεαρν, σιµπλε το υσε, ανδ εασψ το υνδερστανδ. Ιτ χαν βε βροκεν δοων ιντο ⇒ϖε στεπσ. 1. Χρεατε α µοδελ οφ ωαψσ ιν ωηιχη τηε σψστεµ χαν βε ατταχκεδ (ι.ε., τηε ατταχκ σχεναριοσ). 2. Πρεδιχτ ηοω ψουρ ενεµιεσ ωιλλ ατταχκ βψ χοµπαρινγ τηειρ χαπαβιλιτιεσ ωιτη ψουρ ϖυλνεραβιλιτιεσ ανδ εστιµατινγ τηε βενε⇒τσ τηεψ ωιλλ οβταιν φροµ εαχη ατταχκ. 3. Εϖαλυατε τηε νεγατιϖε ιµπαχτ ον τηε ϖιχτιµ οφ εαχη ατταχκ σχεναριο. 4. Χοµβινε ψουρ ατταχκ πρεδιχτιονσ ωιτη ϖιχτιµ ιµπαχτ το δετερµινε τηε λεϖελ οφ ρισκ ασσοχιατεδ ωιτη εαχη ατταχκ σχεναριο. 5. Υσε ψουρ ⇒νδινγσ το προποσε α στρατεγψ οφ χουντερµεασυρεσ. Ινχορπορατε τηε χουντερµεασυρεσ ιν ψουρ µοδελ ανδ ρεπεατ στεπσ 2 το 4 το εϖαλυατε τηε εφφεχτιϖενεσσ οφ τηε προποσαλσ. Burgle House

Open Passage

Pick Lock Break down door

Enter via 1 Steal Key (pickpock method)

Break glass

ΦΙΓΥΡΕ 3∆.1

Cut glass

Garag Attack

Enter Garage

2 Cut hole Chimney in wall or Attack roof

Penetra House

Χαπαβιλιτιεσ−βασεδ ατταχκ τρεε αναλψσισ.

Tunnel through floor

Social Engineering

162

ΘΥΑΝΤΙΤΑΤΙςΕ ΜΟ∆ΕΛΙΝΓ ΦΟΡ ΣΕΧΥΡΙΤΨ ΡΙΣΚ ΑΣΣΕΣΣΜΕΝΤ

Ωηψ Χονϖεντιοναλ Ρισκ Αναλψσισ ∆οεσ Νοτ Ωορκ φορ Ηοστιλε Τηρεατσ Ατ τηε µοστ φυνδαµενταλ λεϖελ, αλλ ρισκ αναλψσισ σψστεµσ τρψ το δετερµινε τωο τηινγσ: τηε λικελιηοοδ τηατ αν υνδεσιραβλε εϖεντ ωιλλ οχχυρ ανδ τηε δαµαγε τηατ ωιλλ ρεσυλτ. Φορ σοµε τψπεσ οφ ρισκσ (ε.γ., νατυραλ δισαστερσ), ιτ ισ εασψ το ⇒νδ στατιστιχσ δεσχριβινγ τηε φρεθυενχιεσ οφ συχη ηαζαρδσ ασ ηυρριχανεσ, τορναδοσ, ιχε στορµσ, ανδ ⇓οοδσ. Τηεσε ⇒γυρεσ χαν εασιλψ βε χοµβινεδ ωιτη προϕεχτεδ δαµαγε το αρριϖε ατ αν αχχυρατε ρισκ εστιµατε. Υνφορτυνατελψ, αχχιδενταλ ρισκσ αρε νο λονγερ ουρ µαιν προβλεµ. Ιν αν ινχρεασ− ινγλψ ηοστιλε ωορλδ, νειτηερ ινφορµατιον σψστεµσ νορ πηψσιχαλ ινφραστρυχτυρε αρε σαφε φροµ οπεν ατταχκ. Τηερε αρε νο στατιστιχσ δεσχριβινγ τηε φρεθυενχψ οφ τηε ατταχκσ. Ατταχκ τρεεσ προϖιδε α ποωερφυλ µεχηανισµ το δοχυµεντ τηε µυλτιτυδε οφ διϖερσε τψπεσ οφ ατταχκσ ον τηε εντιρε εντερπρισε ανδ το συγγεστ ιµπροϖεµεντσ το ρεθυιρεµεντσ ανδ δεσιγν. Τηεψ αρε, ηοωεϖερ, ονλψ α σµαλλ παρτ οφ τηε ανσωερ ασ το ηοω το υσε τηε ιντρυσιον σχεναριοσ το ιµπροϖε συρϖιϖαβιλιτψ ενγινεερινγ. Τηε λαχκ οφ αχχυρατε αδϖερσαρψ µοδελσ ανδ ρισκ αναλψσισ µοδελσ ισ α σεριουσ ισσυε [5].

ΑΠΠΕΝ∆ΙΞ 3Ε: ΤΙΜΕ−ΤΟ−∆ΕΦΕΑΤ ΜΟ∆ΕΛ Τηε τιµε το δεφεατ (ΤΤ∆) ισ τηε λενγτη οφ τιµε ρεθυιρεδ το χοµπροµισε ορ δεφεατ α γιϖεν σεχυριτψ χηαραχτεριστιχ ιν α γιϖεν σερϖιχε, ηοστ, ορ νετωορκ. Τηε δε⇒− νιτιον οφ χοµπροµισε ϖαριεσ βυτ ινχλυδεσ ηοστ ανδ σερϖιχε χοµπροµισε, λοσσ οφ σερϖιχε, νετωορκ εξποσυρε, υναυτηοριζεδ αχχεσσ, ανδ δατα τηεφτ. Τηε θυαντι⇒χατιον οφ ΙΤ σεχυριτψ ισ εξπρεσσεδ ωιτη τωο χοµπονεντσ: (1) αν αχχυρατε, δεφενδαβλε, ρεπεαταβλε, ανδ χονσιστεντ θυαντιτατιϖε µετριχ, ανδ (2) εσταβλισηµεντ οφ α σετ οφ µεασυραβλε ιτεµσ τηατ ρε⇓εχτ ανδ ρεπρεσεντ ΙΤ σεχυριτψ ιν α χοµπρεηενσιϖε ανδ χονσιστεντ µαννερ. ΤΤ∆, χοµβινεδ ωιτη τηε ⇒ϖε−Α (αϖαιλαβιλιτψ, αυτηεντιχατιον, αυτηοριζατιον, αυδιτ, ανδ αχχυραχψ) χηαραχτεριστιχσ, αλλοω φορ α χοµπλετε µεασυρεµεντ σολυ− τιον τηατ ισ φουνδεδ ον µατηεµατιχαλ αχχυραχψ ανδ στρενγτη, χοµβινεδ ωιτη α δεεπ κνοωλεδγε οφ ΙΤ σεχυριτψ ισσυεσ ανδ πραχτιχε. Αναλψσισ οφ τηε ⇒ϖε σεχυριτψ χηαραχτεριστιχσ προϖιδεσ τηε φολλοωινγ βενε⇒τσ: (1) ιδεντι⇒χατιον οφ ωεακνεσσεσ ιν σεχυριτψ αρεασ αχροσσ ανψ λεϖελ οφ γρανυλαριτψ (σερϖιχεσ, ηοστσ, νετωορκσ, ορ γρουπσ οφ εαχη); (2) υσινγ ΤΤ∆, α σετ οφ χοµµον δατα ποιντσ τηατ αλλοω φορ στα− τιστιχαλ αναλψσισ; ανδ (3) α στανδαρδ σετ οφ αχχεπτεδ σεχυριτψ χονστρυχτσ. Λετ’σ λοοκ ατ χερταιν δεσχριπτιϖε γραπησ ον τηε ΤΤ∆ µοδελ’σ ⇒ϖε−Α’σ [6]. Τηε εντερπρισε τιµε−το−δεφεατ γραπη αγγρεγατεσ ανδ συµµαριζεσ τηε δατα φροµ αλλ νετωορκσ αναλψζεδ το προϖιδε αν οϖεραλλ σενσε οφ σεχυριτψ ωιτηιν τηε ενϖι− ρονµεντ. Τηισ ισ τηε ηιγηεστ−λεϖελ οϖερϖιεω. Εντερπρισεσ χονταιν νετωορκσ, ηοστσ χοµπρισε νετωορκσ, ανδ σερϖιχεσ αρε ιδεντι⇒εδ ον τηε ηοστσ. Ιν τηε εξαµπλε σηοων ιν Φιγυρε 3Ε.1 ωε σεε τηατ τηε οϖεραλλ λεϖελσ οφ σεχυριτψ αρε λοω, ασ ινδιχατεδ βψ τηε ρεδ ορ µινιµυµ ΤΤ∆ ϖαλυεσ. Τηε µαξιµυµ ϖαλυεσ χαλχυλατεδ ιν τηισ ενϖιρον− µεντ αρε γενεραλλψ σταβλε, εξχεπτ φορ τηε αυτηεντιχατιον χηαραχτεριστιχ. Φορ α ηιγηλψ σεχυρεδ ανδ µαναγεδ ενϖιρονµεντ, βοτη τηε µαξιµυµ ανδ µινιµυµ ϖαλυεσ

ΤΙΜΕ−ΤΟ−∆ΕΦΕΑΤ ΜΟ∆ΕΛ

ΦΙΓΥΡΕ 3Ε.1

163

∆εµο νετωορκ ωιτη ιτσ µινιµυµ τιµε το δεφεατ ϖαλυεσ.

σηουλδ βε χονσιστεντλψ ηιγη αχροσσ τηε ⇒ϖε σεχυριτψ χηαραχτεριστιχσ. Λοω αυτηεν− τιχατιον ϖαλυεσ αρε α χοµµον προβλεµ τηατ οφτεν ρεσυλτσ ιν υναυτηοριζεδ σψστεµ αχχεσσ ανδ στολεν ιδεντιτιεσ ανδ χρεδεντιαλσ. Τηε εφφεχτσ οφ λοω αυτηεντιχατιον ρεαχη βεψονδ σιµπλε αχχεσσ; ιφ τηε σψστεµ ιν θυεστιον χονταινσ ιµπορταντ ασσετσ ανδ/ορ ινφορµατιον, ορ ιφ ιτ εξποσεσ συχη α σψστεµ, τηε εφφεχτσ οφ χοµπροµισε αρε σεϖερε. Τηε δεταιλεδ λιστινγ οφ τηε εντερπρισε τιµε−το−δεφεατ ινφορµατιον ιδεντι⇒εσ τηε νετωορκσ τηατ χοµπρισε τηατ ενϖιρονµεντ (τηε νετωορκσ αναλψζεδ). Ιν τηισ σαµπλε, ονλψ ονε νετωορκ ηασ βεεν δε⇒νεδ, τηε “δεµο νετωορκ.” Τηε δισπλαψ σηοωσ τηε σµαλλεστ τιµε ϖαλυεσ φορ τηατ νετωορκ ιν τηε συµµαρψ. Ιν α τψπιχαλ ενϖιρονµεντ, τηερε αρε µυλτιπλε διστινχτ νετωορκσ τηατ ωουλδ βε αναλψζεδ. Τηε ρεσυλτσ συµµαριζεδ ιν Φιγυρε 3Ε.1 αλλοω φορ α βροαδερ υνδερ− στανδινγ οφ τηε αρεασ οφ ωεακνεσσ τηατ σπαν αν οργανιζατιον: αρεασ τηατ χαν τηεν βε τρεατεδ εφφεχτιϖελψ ωιτη α σεχυριτψ προχεσσ, ορ α πολιχψ ανδ τεχηνολογψ. Τηε ωεακεστ νετωορκσ ωιτηιν αν εντερπρισε αρε ιδεντι⇒εδ ιµµεδιατελψ, ανδ ωηεν χορ− ρελατεδ ωιτη ιµπορταντ χοµπανψ ασσετσ, ηελπ το προϖιδε α ⇒ρµ υνδερστανδινγ οφ τηε σεχυριτψ ρισκ τηατ ισ πρεσεντ [6]. ςιεωινγ τηε αναλψσισ ατ τηε εντερπρισε λεϖελ, ωιτη νετωορκ συµµαριεσ, αλσο χρεατεσ αν υνδερστανδαβλε πιχτυρε οφ τηε σεχυριτψ ποστυρε ασ ιτ χροσσεσ τηεσε νετωορκσ, δεπαρτµεντσ, ανδ οργανιζατιονσ. Α λαργε δισπαριτψ βετωεεν τηε σηορτεστ ανδ λονγεστ τιµεσ χαν ινδιχατε τηε πρεσενχε οφ ϖυλνεραβιλιτιεσ, µισχον⇒γυρατιονσ, φαιλυρεσ ιν πολιχψ χοµπλιανχε, ανδ ωεακ σεχυριτψ πολιχψ. Α λαργε στανδαρδ δεϖιατιον ιν τιµε συµµαριζεσ ινχονσιστενχιεσ τηατ µεριτ εξαµινατιον. Ιδεντιφψινγ τηε αρεασ οφ σεχυριτψ τηατ αρε ωεακεστ αλσο

164

ΘΥΑΝΤΙΤΑΤΙςΕ ΜΟ∆ΕΛΙΝΓ ΦΟΡ ΣΕΧΥΡΙΤΨ ΡΙΣΚ ΑΣΣΕΣΣΜΕΝΤ

αλλοωσ οργανιζατιονσ το πριοριτιζε ανδ δετερµινε ωηιχη σολυτιονσ το ινϖεστιγατε ανδ αχτιϖατε ⇒ρστ. ΡΕΦΕΡΕΝΧΕΣ 1. Μ. Σαηινογλυ, Σεχυριτψ Μετερ: Α Πραχτιχαλ ∆εχισιον Τρεε Μοδελ το Θυαντιφψ Ρισκ, ΙΕΕΕ Σεχυριτψ Πριϖαχψ, 3, 18–24 (2005). 2. Ε. Φορνι, Χερτι⇒χατιον ανδ Αχχρεδιτατιον, ΑΥΜ Λεχτυρε Νοτεσ, ∆Σ∆ (∆ατα Σψστεµσ ∆εσιγν) Λαβσ, 2002, ηττπ://ωωω.δσδλαβσ.χοµ/σεχυριτψ.ητµ. 3. ∆. Γολλµαν, Χοµπυτερ Σεχυριτψ, 2νδ εδ., Ωιλεψ, Χηιχηεστερ, Ωεστ Συσσεξ, Ενγλανδ, 2006. 4. Β. Σχηνειερ, Αππλιεδ Χρψπτογραπηψ, 2νδ εδ., Ωιλεψ, Νεω Ψορκ, 1995, ηττπ://ωωω. χουντερπανε.χοµ. 1995. 5. Χαπαβιλιτιεσ−Βασεδ Ατταχκ Τρεε Αναλψσισ, ωωω.αµεναζα.χοµ; ηττπ://ωωω.ατταχκτρεεσ. χοµ/. 6. Τιµε το ∆εφεατ (ΤΤ∆) Μοδελ, ωωω.βλαχκδραγονσοφτωαρε.χοµ. 7. Μ. Σαηινογλυ, Σεχυριτψ Μετερ: Α Προβαβιλιστιχ Φραµεωορκ το Θυαντιφψ Σεχυριτψ Ρισκ, Χερτι⇒χατε οφ Ρεγιστρατιον, Υ.Σ. Χοπψριγητ Οφ⇒χε, Σηορτ Φορµ ΤΞυ 1−134−116, ∆εχεµ− βερ 2003. 8. Μ. Σαηινογλυ, Α Θυαντιτατιϖε Ρισκ Ασσεσσµεντ, Προχεεδινγσ οφ τηε Τροψ Βυσινεσσ Μεετινγ, Σαν ∆εστιν, ΦΛ, 2005. 9. Μ. Σαηινογλυ, Σεχυριτψ−Μετερ Μοδελ: Α Σιµπλε Προβαβιλιστιχ Μοδελ το Θυαντιφψ Ρισκ, 55τη Σεσσιον οφ τηε Ιντερνατιοναλ Στατιστιχαλ Ινστιτυτε, Σψδνεψ, Αυστραλια, Χονφερενχε Αβστραχτ Βοοκ, 2005, π. 163. 10. Μ. Σαηινογλυ, Θυαντιτατιϖε Ρισκ Ασσεσσµεντ φορ Σοφτωαρε Μαιντενανχε ωιτη Βαψεσιαν Πρινχιπλεσ, Προχεεδινγσ οφ τηε Ιντερνατιοναλ Χονφερενχε ον Σοφτωαρε Μαιντενανχε, ΙΧΣΜ Προχ. ΙΙ, Βυδαπεστ, Ηυνγαρψ, 2005, ππ. 67–70. 11. Μ. Σαηινογλυ, Θυαντιτατιϖε Ρισκ Ασσεσσµεντ φορ ∆επενδεντ ςυλνεραβιλιτιεσ, Προχεεδ− ινγσ οφ τηε Ιντερνατιοναλ Σψµποσιυµ ον Προδυχτ Θυαλιτψ ανδ Ρελιαβιλιτψ (52νδ Ψεαρ) (ΡΑΜΣ’06), Νεωπορτ Βεαχη, ΧΑ, 2006. 12. Μ. Σαηινογλυ, ∆. Λιββψ, ανδ Σ. Ρ. ∆ασ, Μεασυρινγ Αϖαιλαβιλιτψ Ινδιχεσ ωιτη Σµαλλ Σαµπλεσ φορ Χοµπονεντ ανδ Νετωορκ Ρελιαβιλιτψ Υσινγ τηε Σαηινογλυ–Λιββψ Προβ− αβιλιτψ Μοδελ, ΙΕΕΕ Τρανσ. Ινστρυµ. Μεασ., 54(3), 1283–1295 (ϑυνε 2005). 13. Μ. Σαηινογλυ ανδ Ε. Η. Σπαφφορδ, Α Βαψεσ Σεθυεντιαλ Στατιστιχαλ Προχεδυρε φορ Αππροϖινγ Προδυχτσ ιν Μυτατιον−Βασεδ Σοφτωαρε Τεστινγ, ιν Ω. Εηρενβεργερ (εδ.), Προχεεδινγσ οφ τηε ΙΦΙΠ Χονφερενχε ον Αππροϖινγ Σοφτωαρε Προδυχτσ (ΑΣΠ’90), Γαρµισχη−Παρτενκιρχηεν, Γερµανψ, Ελσεϖιερ Σχιενχε (Νορτη Ηολλανδ), Αµστερδαµ, ππ. 43–56, Σεπτεµβερ 1990. 14. Μ. Σαηινογλυ, Αν Εµπιριχαλ Βαψεσιαν Στοππινγ Ρυλε ιν Τεστινγ ανδ ςερι⇒χατιον οφ Βεηαϖιοραλ Μοδελσ, ΙΕΕΕ Τρανσ. Ινστρυµ. Μεασ., 52, 1428–1443 (Οχτοβερ 2003). 15. Β. Ποττερ ανδ Γ. ΜχΓραω, Σοφτωαρε Σεχυριτψ Τεστινγ, ΙΕΕΕ Σεχυριτψ Πριϖαχψ, 2(5), 81–85 (2004). 16. Ο. Η. Αληαζµι ανδ Ψ. Κ. Μαλαψα, Θυαντιτατιϖε ςυλνεραβιλιτψ Ασσεσσµεντ οφ Σψσ− τεµσ Σοφτωαρε, Προχεεδινγσ οφ τηε Ιντερνατιοναλ Σψµποσιυµ ον Προδυχτ Θυαλιτψ ανδ Ρελιαβιλιτψ (ΡΑΜΣ’05), Αλεξανδρια, ςΑ, ϑανυαρψ 2005.

ΡΕΦΕΡΕΝΧΕΣ

165

17. Ρ. Ωεαϖερ, Γυιδε το Νετωορκ ∆εφενσε ανδ Χουντερµεασυρεσ, 2νδ εδ., Τηοµσον Πυβ− λισηινγ, Σταµφορδ, ΧΤ, 2007. 18. Σ. Α. Σχηερερ, Σοφτωαρε Φαιλυρε Ρισκ, Πλενυµ Πρεσσ, Νεω Ψορκ, 1992. 19. Μ. Ηοωαρδ ανδ ∆. ΛεΒλανχ, Ωριτινγ Σεχυρε Χοδε, 2νδ εδ., Μιχροσοφτ Πρεσσ, Ρεδµονδ, ΩΑ, 2002. 20. Φ. Σωιδερσκι ανδ Ω. Σνψδερ, Τηρεατ Μοδελινγ, Μιχροσοφτ Πρεσσ, Ρεδµονδ, ΩΑ, 2004. 21. Ι. Κρυσλ, Ε. Σπαφφορδ, ανδ Μ. Τριπυνιταρα, Χοµπυτερ ςυλνεραβιλιτψ Αναλψσισ, ΧΟΑΣΤ ΤΡ 98−07, ∆επαρτµεντ οφ Χοµπυτερ Σχιενχεσ, Πυρδυε Υνιϖερσιτψ, Ωεστ Λαφαψεττε, ΙΝ, Μαψ 1998. 22. Ρ. ς. Ηογγ ανδ Α. Τ. Χραιγ, Ιντροδυχτιον το Ματηεµατιχαλ Στατιστιχσ, 3ρδ εδ., Μαχµιλ− λαν, Νεω Ψορκ, 1970. 23. ϑ. Κεψεσ, Σοφτωαρε Ενγινεερινγ Ηανδβοοκ, Αυερβαχη Πυβλιχατιονσ, Βοχα Ρατον, ΦΛ, 2003. 24. Ε. Β. Σωανσον ανδ Χ. Μ. Βεατη, ∆επαρτµενταλιζατιον ιν Σοφτωαρε ∆εϖελοπµεντ ανδ Μαιντενανχε, Χοµµυν. ΑΧΜ, 33(6), 658–667 (ϑυνε 1990). 25. Γ. Παρικη, Ηανδβοοκ οφ Σοφτωαρε Μαιντενανχε, Ωιλεψ, Νεω Ψορκ, 1986. 26. ∆. Σ. Μοορε ανδ Γ. Π. ΜχΧαβε, Ιντροδυχτιον το τηε Πραχτιχε οφ Στατιστιχσ, 4τη εδ., Ω. Η. Φρεεµαν, Νεω Ψορκ, 2003. 27. Γ. Χψβενκο, Ωηψ ϑοηννψ Χαν’τ Εϖαλυατε Σεχυριτψ Ρισκ, ΙΕΕΕ Σεχυριτψ Πριϖαχψ, 4(5) (2006). 28. Σ. Γολδσβψ, ΧΕΟ/ΙΧΣ, Ινφορµατιον Σεχυριτψ, πρεσεντεδ ατ τηε ΤΣΥΜ/ΧΙΣ Μιλλενιυµ Χολλοθυιυµ, Μοντγοµερψ, ΑΛ, Απριλ, 2000 ανδ τηε Ρουνδταβλε φορ Σεχυριτψ, Ι∆ΠΤ, ∆αλλασ, ΤΞ, 2000. 29. Ω. Γ. Χοχηραν, Σαµπλινγ Τεχηνιθυεσ, 3ρδ εδ., Ωιλεψ, Νεω Ψορκ, 1970. 30. Χ. Ναγλε ανδ Π. Χατεσ, ΧΣ6647: Σιµυλατιον Τερµ Προϕεχτ, Τροψ Υνιϖερσιτψ, Μοντ− γοµερψ, ΑΛ, Φαλλ 2005. 31. Μ. Σαηινογλυ, Α Σιµπλε ∆εσιγν το Εστιµατε τηε Παραµετερσ οφ τηε Σεχυριτψ−Μετερ Μοδελ το Θυαντιφψ ανδ Μαναγε Σοφτωαρε Σεχυριτψ Ρισκ, ΙΕΕΕ Τρανσ. Ινστρυµ. Μεασ. (αχχεπτεδ φορ πυβλιχατιον ιν Οχτοβερ–∆εχεµβερ, 2007.) 32. Β. Βλακλεψ, Ε. Μχ∆ερµοττ, ανδ ∆. Γεερ, Ινφορµατιον Σεχυριτψ Ισ Ινφορµατιον Ρισκ Μαναγεµεντ, Προχεεδινγσ οφ τηε 2001 Ωορκσηοπ ον Νεω Σεχυριτψ Παραδιγµσ (ΝΣΠΩ’01), 2001, ππ. 97–104. 33. Ε. Βρψνϕολφσσον, Τηε Προδυχτιϖιτψ Παραδοξ οφ Ινφορµατιον Τεχηνολογψ, Χοµµυν. ΑΧΜ, 36(12), 66–77 (1993). 34. Β. Ι. ∆εωεψ ανδ Π. Β. ∆εΒλοισ, Χυρρεντ ΙΤ Ισσυεσ Συρϖεψ Ρεπορτ, Ε∆ΥΧΑΥΣΕ Θ., ππ. 12–30 (Νοϖεµβερ 2006). 35. ∆. Λανδολλ, Τηε Σεχυριτψ Ρισκ Ασσεσσµεντ Ηανδβοοκ, Αυερβαχη Πυβλιχατιονσ, Βοχα Ρατον, ΦΛ, 2006. 36. Η. ∆. Σηεραλι, ϑ. ∆εσαι, ανδ Τ. Σ. Γλιχκµαν, Χασχαδινγ Ρισκ Μαναγεµεντ Υσινγ Εϖεντ Τρεε Οπτιµιζατιον, ηττπ://⇒λεβοξ.ϖτ.εδυ/υσερσ/ϕιδεσαι/Εϖεντ%20Τρεε%20Οπτιµιζατιον. πδφ, 2005. 37. Β. Μορετ, ∆εχισιον Τρεεσ ανδ ∆ιαγραµσ, Χοµπυτ. Συρϖ., 14(4), 593–623 (1982). 38. Σ. Χ. Παλϖια ανδ Σ. Ρ. Γορδον, Ταβλεσ, Τρεεσ ανδ Φορµυλασ ιν ∆εχισιον Αναλψσισ, Χοµµυν. ΑΧΜ, 35(10), 104–113 (1992).

166

ΘΥΑΝΤΙΤΑΤΙςΕ ΜΟ∆ΕΛΙΝΓ ΦΟΡ ΣΕΧΥΡΙΤΨ ΡΙΣΚ ΑΣΣΕΣΣΜΕΝΤ

39. Μ. Μουσσα, ϑ. Ψ. Ρυωανπυρα, ανδ Γ. ϑεργεασ, ∆εχισιον Τρεε Μοδυλε Ωιτηιν ∆εχισιον Συππορτ Σιµυλατιον Σψστεµ, Προχεεδινγσ οφ τηε 2004 Ωιντερ Σιµυλατιον Χονφερενχε, 2004, ππ. 1268–1276. 40. Γ. Στονεβυρνερ, Α. Γογυεν, ανδ Α. Φερινγα, Ρισκ Μαναγεµεντ Γυιδε φορ Ινφορµατιον Τεχηνολογψ Σψστεµσ, Σπεχιαλ Πυβλιχατιον 800−30, Νατιοναλ Ινστιτυτε οφ Στανδαρδσ ανδ Τεχηνολογψ, Υ.Σ. ∆επαρτµεντ οφ Χοµµερχε, Ωασηινγτον, ∆Χ, 2002, ηττπ://χσρχ.νιστ. γοϖ/πυβλιχατιονσ/νιστπυβσ/800−30/σπ800−30.πδφ. 41. Α. Αρορα, ∆. Ηαλλ, Χ. Α. Πιντο, ∆. Ραµσεψ, ανδ Ρ. Τελανγ, Μεασυρινγ τηε Ρισκ−Βασεδ ςαλυε οφ ΙΤ Σεχυριτψ Σολυτιονσ, ΙΤ Προφ., 6(6), 35–42 (2004). 42. Γ. Βακυσ, Ρεχεντ Αδϖανχεσ ιν Ρισκ Ασσεσσµεντ ανδ ∆εχισιον Αναλψσισ, ηττπ://βιο− ωεβ.υσχ.εδυ/χουρσεσ/2003−σπρινγ/δοχυµεντσ/βισχ102−βακυσ ΕΙΑ ρεχεντ.πδφ, ϑανυαρψ 2002. 43. Φ. Φαραηµανδ, Σ. Ναϖατηε, Γ. Σηαρπ, ανδ Π. Ενσλοω, Μαναγινγ ςυλνεραβιλιτιεσ οφ Ινφορµατιον Σψστεµσ το Σεχυριτψ Ινχιδεντσ, Προχεεδινγσ οφ τηε 5τη Ιντερνατιοναλ Χον− φερενχε ον Ελεχτρονιχ Χοµµερχε, ΑΧΜ Πρεσσ, Νεω Ψορκ, 2003, ππ. 348–354. 44. Ν. Ρ. Μεαδ ανδ Τ. Στεηνεψ, Σεχυριτψ Θυαλιτψ Ρεθυιρεµεντσ Ενγινεερινγ (ΣΘΥΑΡΕ) Μετηοδολογψ, Προχεεδινγσ οφ τηε 2005 Ωορκσηοπ ον Σοφτωαρε Ενγινεερινγ φορ Σεχυρε Σψστεµσ−Βυιλδινγ Τρυστωορτηψ Αππλιχατιονσ, Στ. Λουισ, ΜΟ, ΑΧΜ Πρεσσ, Νεω Ψορκ, 2005, ππ. 1–7. 45. Μ. Σ. Φεατηερ, Σ. Λ. Χορνφορδ, ανδ Τ. Ω. Λαρσον, Χοµβινινγ τηε Βεστ Αττριβυτεσ οφ Θυαλιτατιϖε ανδ Θυαντιτατιϖε Ρισκ Μαναγεµεντ Τοολ Συππορτ, 15τη ΙΕΕΕ Ιντερνατιοναλ Χονφερενχε ον Αυτοµατεδ Σοφτωαρε Ενγινεερινγ (ΑΣΕ00), ςολ. 309, 2000. 46. Α. Μοσλεη, Ε. Ρ. Ηιλτον, ανδ Π. Σ. Βροωνε, Βαψεσιαν Προβαβιλιστιχ Ρισκ Αναλψσισ, ΑΧΜ ΣΙΓΜΕΤΡΙΧΣ Περφορµανχε Εϖαλ. Ρεϖ., 13(1), 5–12 (1985). 47. Ω. Σοννενρειχη (ν.δ.), Ρετυρν ον Σεχυριτψ Ινϖεστµεντ (ΡΟΣΙ): Α Πραχτιχαλ Θυαντι− τατιϖε Μοδελ, ΣαγεΣεχυρε, Νεω Ψορκ, ρετριεϖεδ Μαψ 2006 φροµ ηττπ://ωωω.ινφοσεχ− ωριτερσ.χοµ/τεξτ ρεσουρχεσ/πδφ/ΡΟΣΙ−Πραχτιχαλ Μοδελ.πδφ. 48. Η. Ωει, ∆. Φρινκε, Ο. Χαρτερ, ανδ Χ. Ριττερ, Χοστ–Βενε⇒τ Αναλψσισ φορ Νετωορκ Ιντρυ− σιον ∆ετεχτιον Σψστεµσ, πρεσεντεδ ατ τηε 28τη Αννυαλ Χοµπυτερ Σεχυριτψ Χονφερενχε, Χοµπυτερ Σεχυριτψ Ινστιτυτε, Ωασηινγτον, ∆Χ, Οχτοβερ 29–31, 2001. 49. Λ. Ωεντζελ, Θυαντιτατιϖε Ρισκ Ασσεσσµεντ, Νοϖα Σουτηεαστερν Υνιϖερσιτψ, Φορτ Λαυδ− ερδαλε, ΦΛ, ανδ περσοναλ χοµµυνιχατιον, Μαψ–ϑυνε 2006. 50. Ρ. Τ. Μεψερσ ΙΙΙ, Τηε Παστ, Πρεσεντ, ανδ Υνχερταιν Φυτυρε οφ Ενχρψπτιον, ιν Μ. Σαηινογλυ ανδ Χ. Βαψρακ (εδσ.), Προχεεδινγσ οφ τηε ΧΙΣ Μιλλενιυµ Χονφερενχε ον ΙΤ, Τροψ Υνιϖερσιτψ, Μοντγοµερψ, ΑΛ, Απριλ 2000. 51. ϑ. Βονχεκ, Ματη ∆επαρτµεντ, Τροψ Υνιϖερσιτψ, Μοντγοµερψ, ΑΛ, περσοναλ χοµµυ− νιχατιον, ϑυλψ 2006. 52. Α. Ψασινσαχ, Χοµπυτερ Σχιενχε ∆επαρτµεντ, Φλοριδα Στατε Υνιϖερσιτψ, Ταλλαηασσεε, ΦΛ, περσοναλ χοµµυνιχατιον, ϑυλψ–Αυγυστ 2006. 53. Κ. Η. Ροσεν, ∆ισχρετε Ματηεµατιχσ ανδ Ιτσ Αππλιχατιονσ, 4τη εδ., ΩΧΒ/ΜχΓραω−Ηιλλ, Βοστον, 1999. 54. Μ. Σαηινογλυ ανδ ϑ. Χεχιλ, Ωορκινγ Παπερ ΧΣ 4451, Τροψ Υνιϖερσιτψ, Μοντγοµερψ, ΑΛ, Σπρινγ 2006. 55. Ν. ϑ. Ριφον, ωωω.ιππσρ.µσυ.εδυ/∆οχυµεντσ/ΦορυµΠρεσεντατιονσ/Μαψ05Ριφον.πδφ, αχχεσσεδ Μαψ 2005.

ΕΞΕΡΧΙΣΕΣ

167

56. Α. ϑ. ϑ. Τ. Σινγεωαλδ, Ινφορµατιον Πριϖαχψ ιν ΕΥ, Προχεεδινγσ (ιν Ποωερ Ποιντ) οφ τηε Ιντερνατιοναλ Χονφερενχε ον τηε ∆ιγιταλ Ινφορµατιον Ινδυστρψ, Σεουλ, Σουτη Κορεα, Νοϖεµβερ 14–15, 2006, ππ. 3–22. 57. Μ. Σιεγερτ, ∆ιρεχτ Μαρκετινγ ιν Γερµανψ ιν τηε Μιρρορ οφ ∆ατα Προτεχτιον Λαω, Προ− χεεδινγσ (ιν Ποωερ Ποιντ) οφ τηε Ιντερνατιοναλ Χονφερενχε ον τηε ∆ιγιταλ Ινφορµατιον Ινδυστρψ, Σεουλ, Σουτη Κορεα, Νοϖεµβερ 14–15, 2006, ππ. 23–56. 58. ϑ. Γ. Η. Μ. Βιρκεν, Χυρρεντ Στατυσ οφ Περσοναλ Ινφορµατιον Προτεχτιον ανδ Φυτυρε Τασκσ ιν Ασια, Προχεεδινγσ (ιν Ποωερ Ποιντ) οφ τηε Ιντερνατιοναλ Χονφερενχε ον τηε ∆ιγιταλ Ινφορµατιον Ινδυστρψ, Σεουλ, Σουτη Κορεα, Νοϖεµβερ 14–15, 2006, ππ. 57–111. 59. Βεοµσοο Κιµ, Χοµπλεµενταριτψ Βετωεεν Προτεχτινγ Ινφορµατιον Πριϖαχψ ανδ τηε Φαιρ Υσε οφ Ινφορµατιον, Προχεεδινγσ (ιν Ποωερ Ποιντ) οφ τηε Ιντερνατιοναλ Χονφερενχε ον τηε ∆ιγιταλ Ινφορµατιον Ινδυστρψ, Σεουλ, Σουτη Κορεα, Νοϖεµβερ 14–15, 2006, ππ. 311–329. 60. Β. Ηυβερµαν Ε. Αδαρ ανδ Λ. Ρ. Φινε, ςαλυατινγ Πριϖαχψ, ΙΕΕΕ Σεχυριτψ ανδ Πριϖαχψ, Νοϖ/∆εχ 2005, ππ. 22–25. 61. Μ. Σαηινογλυ, Α Υνιϖερσαλ Θυαντιτατιϖε Ρισκ Ασσεσσµεντ ∆εσιγν το Μαναγε ανδ Μιτιγατε, Προχεεδινγσ (ιν Ποωερ Ποιντ) οφ τηε Ιντερνατιοναλ Χονφερενχε ον τηε ∆ιγιταλ Ινφορµατιον Ινδυστρψ, Σεουλ, Σουτη Κορεα, Νοϖεµβερ 14–15, 2006, ππ. 333–405. 62. Μ. Σαηινογλυ, Υνιϖερσαλ (Τιµε−Ινδεπενδεντ) Σεχυριτψ−Μετερ ∆εσιγν το Θυαντιφψ Ρισκ ανδ Τιµε−∆επενδεντ Στοχηαστιχ Μοδελ το Θυαντιφψ Λαχκ οφ Πριϖαχψ, Ινϖιτεδ Σεµιναρ, ∆επαρτµεντ οφ ΧΙΣ, Υνιϖερσιτψ οφ Αλαβαµα ατ Βιρµινγηαµ, ∆εχεµβερ 1, 2006. 63. Μ. Σαηινογλυ, Υνιϖερσαλ (Τιµε−Ινδεπενδεντ) Σεχυριτψ−Μετερ ∆εσιγν το Θυαντιφψ Ρισκ ανδ Τιµε−∆επενδεντ Στοχηαστιχ Μοδελ το Θυαντιφψ Λαχκ οφ Πριϖαχψ, Ινϖιτεδ Σεµιναρ, ∆επαρτµεντ οφ ΕΧΕ, Υνιϖερσιτψ οφ Μασσαχηυσεττσ, Αµηερστ, Μασσαχηυσεττσ, ∆εχεµ− βερ 8, 2006. 64. Κορεα Ινφορµατιον Σεχυριτψ Αγενχψ, ωωω.κρχερτ.ορ.κρ, Σεουλ, Σουτη Κορεα. 65. Μ. Σαηινογλυ, Στατιστιχαλ Ινφερενχε το Θυαντιφψ ανδ Μαναγε τηε Ρισκ οφ Πριϖαχψ, Προχεεδινγσ οφ τηε ΙΣΙ’07 (Σεσσιον 22:Ρισκ), Λισβον, Πορτυγαλ, Αυγυστ 2007.

ΕΞΕΡΧΙΣΕΣ Το υσε τηε αππλιχατιονσ ανδ δατα ⇒λεσ, χλιχκ ον “Σεχυριτψ Μετερ” ανδ “Πριϖαχψ” ιν ΤΩΧ−Σολϖερ ον τηε Χ∆−ΡΟΜ. 3.1 ∆ισχρετε Εϖεντ Σιµυλατιον οφ τηε Σεχυριτψ Μετερ Προβλεµ Ψου αρε εξπεχτεδ το σιµυλατε α χοµπονεντ, συχη ασ α σερϖερ, φροµ τηε βεγιννινγ οφ τηε ψεαρ (ε.γ., 1/1/08) το τηε ενδ οφ τηε ψεαρ (12/31/08) ιν α 8760−ηουρ περιοδ, ωιτη α λιφε χψχλε οφ ηιτσ (χρασηεσ) ορ σαϖεσ (ε.γ., βψ αντι−µαλωαρε). Τηε ινπυτ δατα αρε συππλιεδ βελοω φορ τηε σιµυλατιον οφ ρανδοµ ϖαλυε, ατ τηε ενδ οφ ωηιχη ψου ωιλλ ⇒λλ ιν τηε ελεµεντσ οφ τηε σεχυριτψ µετερ τρεε διαγραµ. Ρεχαλλ τηατ τηε ρατεσ αρε τηε ρεχιπροχαλσ οφ τηε µεανσ φορ αν ασσυµπ− τιον οφ νεγατιϖε εξπονεντιαλ π.δ.φ. το ρεπρεσεντ τηε διστριβυτιον οφ τιµε το χραση. Φορ εξαµπλε, ιφ ρατε = 98/8760, τηε µεαν τιµε το χραση (ΜΤΤΧ) ισ 8760/98. Υσε τηε δατα ιν Ταβλε Ε3.1 φορ α 2 × 2 × 2 τρεε διαγραµ. Ασσυµε α σεχυριτψ µετερ διαγραµ οφ α δουβλε−ϖυλνεραβιλιτψ ανδ δουβλε− τηρεατ σχεναριο ασ ιν Ταβλεσ 3.2 ανδ 3.3. Λετ X (τοταλ νυµβερ οφ χραση

168

ΘΥΑΝΤΙΤΑΤΙςΕ ΜΟ∆ΕΛΙΝΓ ΦΟΡ ΣΕΧΥΡΙΤΨ ΡΙΣΚ ΑΣΣΕΣΣΜΕΝΤ

ΤΑΒΛΕ Ε3.1

ςυλνεραβιλιτψ–Τηρεατ–Χουντερµεασυρε Σπρεαδσηεετ

ςυλνεραβιλιτψ Χηανχε φαιλυρε Ιντεντιοναλ φαιλυρε

Τηρεατ 1. 2. 1. 2.

∆εσιγν ανδ χοδινγ ερρορ Σψστεµ ποωερ ουταγε ςιρυσ Ηαχκινγ

Χουντερµεασυρε 1. 2. 1. 2.

Πρερελεασε τεστινγ Ιν−ηουσε γενερατορ Ινσταλλ αντιϖιρυσ σοφτωαρε Ινσταλλ ⇒ρεωαλλ

πρεϖεντιονσ) βε αππροξιµατελψ 1/δαψ. Ασσυµε 366 περ ψεαρ. Τηατ ισ, λετ X11 = 98, X12 = 85, X21 = 85, X22 = 98. Λετ Y (τοταλ νυµβερ οφ χρασηεσ νοτ πρεϖεντεδ) = 10/ψεαρ. Τηατ ισ, Y11 = 3, Y12 = 4, Y21 = 5, Y22 = 2. (α) Χαλχυλατε τηε προβαβιλιτιεσ οφ αλλ βρανχηεσ ιν τηε σεχυριτψ µετερ τρεε διαγραµ το χαλχυλατε τηε ρισκ ανδ εξπεχτεδ χοστ οφ λοσσ ιφ χριτιχαλιτψ = 0.5 ανδ τηε χαπιταλ χοστ = ∃1000. (β) Βψ µεανσ οφ α δισχρετε εϖεντ σιµυλατιον τεχηνιθυε υσινγ α νεγατιϖε εξπονεντιαλ διστριβυτιον, ϖεριφψ τηε ρεσυλτσ οφ παρτ (α). 3.2 Μοντε Χαρλο Σιµυλατιον οφ τηε Σεχυριτψ Μετερ Προβλεµ Υσινγ αλλ τηε ινφορ− µατιον ιν Εξερχισε 3.1(α), υσε τηε Μοντε Χαρλο πρινχιπλεσ το σιµυλατε α 2 × 2 × 2 σεχυριτψ µετερ. Υσε τηε Ποισσον διστριβυτιον φορ γενερατινγ ρατεσ φορ εαχη λεγ ιν τηε τρεε διαγραµ οφ τηε 2 × 2 × 2 σετυπ ιν Ταβλε Ε3.1. Τηε νεχεσσαρψ ρατεσ οφ οχχυρρενχε φορ τηε Ποισσον ρανδοµ ϖαλυε γενερατιον ωερε γιϖεν ιν τηε εµπιριχαλ δατα εξαµπλε αβοϖε. Φορ εαχη σεχυριτψ µετερ ρεαλιζατιον, γετ α ρισκ ϖαλυε ανδ τηεν αϖεραγε ιτ οϖερ n = 1000 το 5000 ιν ινχρεµεντσ οφ 1000. Ωηεν ψου αϖεραγε οϖερ n = 5000 ρυνσ, ψου σηουλδ γετ τηε σαµε ϖαλυε ασ ιν Εξερχισε 3.1. Χαλχυλατε ΕΧΛ φορ α χριτιχαλιτψ χονσταντ οφ 0.5 ανδ α χαπιταλ χοστ οφ ∃1000. 3.3 Χοµπαρισον οφ Τεχηνιθυεσ το Ασσεσσ Ρισκ ιν Ινφορµατιον Σψστεµσ Χοµπαρε τηε σεχυριτψ µετερ αππροαχη ωιτη τηοσε οφ τηε οτηερ αππροαχηεσ γιϖεν ιν τηε χηαπτερ (ι.ε., ατταχκ τρεεσ, χαπαβιλιτιεσ−βασεδ ατταχκ τρεεσ, ανδ τηε ΤΤ∆ µοδελ) ιν τερµσ οφ τηε αδϖανταγεσ ανδ δισαδϖανταγεσ οφ εαχη, στυδψινγ τηε εασε οφ αναλψτιχαλ χαλχυλατιονσ ανδ εχονοµιχαλ ιντερπρετατιονσ ανδ τηε αϖαιλαβιλιτιεσ οφ τηε ινπυτ δατα. 3.4 Βαψεσιαν Ρυλε ιν Στατιστιχσ ανδ Αππλιχατιονσ φορ Σοφτωαρε Μαιντενανχε Γιϖεν Φιγυρε 3.6’σ σιµυλατιον ταβλεαυ, πριοριτιζε τηε ⇒ϖε ϖυλνεραβιλιτιεσ φροµ µοστ το λεαστ υργεντ ιν τερµσ οφ τηειρ σιγνι⇒χανχε το βε µιτιγατεδ. 3.5 Σεχυριτψ Μετερ Μοδι⇒εδ ωιτη Νονδισϕοιντ ςυλνεραβιλιτιεσ ανδ Νονδισϕοιντ Τηρεατσ Γιϖεν Φιγυρεσ 3.10 ανδ 3.11 φορ βοτη ϖυλνεραβιλιτιεσ ανδ τηρεατσ, χονϖερτ τηε σεχυριτψ µετερ τρεε διαγραµ τηεορετιχαλλψ (νο ϖαλυεσ ατταχηεδ) φροµ n = 2 το n = 3, ωηερε n ισ τηε νυµβερ οφ ϖυλνεραβιλιτιεσ ορ τηρεατσ: (α) ςυλνεραβιλιτιεσ n = 3 ονλψ, τηρεατσ ρεµαινινγ ατ n = 2

ΕΞΕΡΧΙΣΕΣ

169

(β) ςυλνεραβιλιτιεσ ρεµαινινγ ατ n = 2, τηρεατσ n = 3 ονλψ (χ) Βοτη ϖυλνεραβιλιτιεσ ανδ τηρεατσ ατ n = 3 3.6 Σεχυριτψ Μετερ Μοδι⇒εδ ωιτη ∆επενδεντ ςυλνεραβιλιτιεσ ανδ ∆επενδεντ Τηρεατσ (Αππλιεδ) (α) Αππλψ τηε φολλοωινγ ινιτιαλ προβαβιλιτιεσ το ψουρ δεριϖατιονσ ιν Εξερχισε 3.5 φορ V ’σ: P (V1 ) = 0.55, P (V2 ) = 0.25, P (V3 ) = 0.45, P (V1 ∩ V2 ) = 0.15, P (V1 ∩ V3 ) = 0.25, P (V2 ∩ V3 ) = 0.10, P (V1 ∩ V2 ∩ V3 ) = 0.05. Υσε Εξερχισε 3.5(α). (β) Ρεπεατ παρτ (α) βυτ ρεπλαχε τηε V ’σ βψ T ’σ. Υσε Εξερχισε 3.5(β). (χ) Ρεπεατ παρτ (α) φορ V ’σ ανδ T ’σ ατ τηε σαµε τιµε. Υσε Εξερχισε 3.5(χ). 3.7 Σεχυριτψ Μετερ Μοδι⇒εδ φορ Πυρελψ Θυαλιτατιϖε ∆ατα Υσινγ Φιγυρε 3.4, δεσιγν ανδ χαλχυλατε α φεασιβλε σεχυριτψ µετερ δεσιγν ωιτη θυαλιτατιϖε δατα φορ ψουρ ΠΧ ιν α 3 × 3 × 3 σετυπ. Χηοοσε ψουρ οων ινπυτ ϖαλυεσ. 3.8 Σεχυριτψ Μετερ Μοδι⇒εδ φορ Ηψβριδ ∆ατα Υσινγ Φιγυρε 3.5, δεσιγν ανδ χαλχυλατε α φεασιβλε σεχυριτψ µετερ δεσιγν ωιτη ηψβριδ δατα φορ ψουρ ΠΧ ιν α 3 × 3 × 3 σετυπ. Χηοοσε ψουρ οων ινπυτ ϖαλυεσ. 3.9 Βασιχ Σεχυριτψ Μετερ φορ α Περσοναλ ανδ Οφ⇒χε Χοµπυτερ (α) Ψου αρε εξπεχτεδ το χολλεχτ φορ ψουρ ΠΧ ασ ιν Εξερχισε 3.1, ιν α 2 × 2 σεχυριτψ µετερ δεσιγν, ορ αρτιχυλατε ανδ χρεατε δατα το βεστ εστιµατε ψουρ ρισκ. Ασσυµινγ α χριτιχαλιτψ οφ 0.8 ανδ α χαπιταλ χοστ οφ ∃1000, χαλχυλατε τηε εξπεχτεδ χοστ οφ λοσσ. (β) Προχεεδ ασ ιν παρτ (α) βυτ τηισ τιµε, δο τηε σαµε φορ ψουρ οφ⇒χε χοµπυτερ ανδ χαλχυλατε ψουρ ρεσιδυαλ ρισκ ανδ τηε ΕΧΛ. 3.10 Μοδι⇒εδ (φορ Θυαλιτατιϖε Αττριβυτεσ) Σεχυριτψ Μετερ φορ α Ηοµε ανδ Οφ⇒χε ΠΧ Ρεπεατ Εξερχισε 3.9, τηισ τιµε υσινγ Η (ηιγη), Μ (µεδιυµ), Λ (λοω), ανδ Ω (ραρε), µακινγ συρε τηατ ψουρ ρισκ ϖαλυεσ οβεψ τηε λαωσ οφ προβαβιλιτψ. 3.11 Ηψβριδ (Θυαλιτατιϖε ανδ Θυαντιτατιϖε Τογετηερ) Σεχυριτψ Μετερ ατ Ηοµε ανδ Οφ⇒χε ΠΧ Ρεπεατ Εξερχισε 3.9, τηισ τιµε υσινγ Η (ηιγη), Μ (µεδιυµ), Λ (λοω), ανδ Ω (ϖερψ λοω) ανδ τηε θυαντιτατιϖε ϖαλυεσ σελεχτεδ. Μακε συρε τηατ ψουρ ρισκ ϖαλυεσ οβεψ τηε λαωσ οφ προβαβιλιτψ. 3.12 Σεχυριτψ Μετερ φορ α Περσοναλ ανδ Οφ⇒χε Χοµπυτερ’σ Μαιντενανχε Πλαννινγ Ρεπεατ Εξερχισε 3.9, τηισ τιµε εµπλοψινγ Βαψεσιαν πρινχιπλεσ. ∆εχιδε ωηιχη ϖυλνεραβιλιτψ νεεδσ α ηιγηερ πριοριτψ, ανδ ωηψ. 3.13 Σεχυριτψ Μετερ φορ Περσοναλ ανδ Οφ⇒χε Χοµπυτερ Ρεπεατ Εξερχισε 3.9, τηισ τιµε εµπλοψινγ στατιστιχαλ πρινχιπλεσ ον νονδισϕοιντνεσσ φορ ϖυλνεραβιλιτψ ανδ τηρεατ σιµυλτανεουσλψ. Χηοοσε ψουρ οων ινπυτ ϖαλυεσ. 3.14 Γενεραλ Θυεστιονσ Αβουτ τηε Σεχυριτψ Μετερ (α) Ιφ ονε οφ τηε πιλλαρσ οφ τηε ινφορµατιον σψστεµ σεχυριτψ ισ νονρεπυδιατιον, ωηατ αρε τηε οτηερσ το χοµπλετε ΧΙΝΑΠΕΑΑΑ?

170

ΘΥΑΝΤΙΤΑΤΙςΕ ΜΟ∆ΕΛΙΝΓ ΦΟΡ ΣΕΧΥΡΙΤΨ ΡΙΣΚ ΑΣΣΕΣΣΜΕΝΤ

(β) Στατε τηρεε οφ τηε χουντερµεασυρεσ αγαινστ ηαχκινγ ανδ ϖιρυσ οφ ψουρ ηοµε οφ⇒χε ΠΧ. (χ) Φορ ψουρ ηοµε χοµπυτερ συπποσε τηατ τηε προβαβιλιτιεσ φορ τηε ϖυλνερ− αβιλιτψ οφ λοσσ οφ ε−µαιλ ⇒λεσ ισ 0.8 ανδ τηε ⇒ρε ηαζαρδ ισ 0.2. Τηρεατσ αγαινστ ψουρ ε−µαιλ σψστεµ αρε δυε το α ϖιρυσ ατταχκ (0.6) ανδ ηαχκινγ (0.4), αγαινστ βοτη οφ ωηιχη αν ενχρψπτιον χοδε ισ ινσταλλεδ ασ ωελλ ασ α ⇒ρεωαλλ (0.9). Φορ ⇒ρε, τηρεατσ αρε φροµ α νεαρβψ φορεστ (0.3) ανδ ολδ ελεχτριχαλ ωιρεσ ιν τηε οφ⇒χε (0.7). Χουντερµεασυρε προβαβιλιτιεσ αγαινστ βοτη τηρεατσ αρε ωεακ (0.3). Τηε εντιρε σετυπ ισ ιν α ηιγηλψ χριτιχαλ σχεναριο (0.9). Τηισ οφ⇒χε ισ ωορτη ∃100,000. Ηοω µυχη δο ψου ρισκ λοσινγ? Υσε α φορµυλα ανδ βε εξαχτ. Ωηιχη ϖυλνεραβιλιτψ ρεθυιρεσ τηε ηιγηεστ πριοριτψ φορ ρεπαιρ? (δ) Ισ σαφετψ α σοφτωαρε προπερτψ? Ισ ρελιαβιλιτψ τηε σαµε ασ σαφετψ? Γιϖε αν εξαµπλε ιν ωηιχη τηεψ αρε νοτ τηε σαµε. Ιφ ρελιαβιλιτψ ισ τηε y−αξισ οφ α Πψτηαγορεαν τριανγλε ανδ σαφετψ ισ τηε x−αξισ, ωηατ ισ τηε ηψποτενυσε χαλλεδ? Ηοω βεστ χαν ψου µακε ψουρ σοφτωαρε σαφετψ χονσχιουσ? 3.15 Μορε ον τηε Σεχυριτψ Μετερ Ωριτε αν Εξχελ προγραµ το µιµιχ τηε σεχυριτψ µετερ σπρεαδσηεετσ σηοων ιν Ταβλε Ε3.15 ανδ οβταιν τηε χορρεχτ ρισκ ρεσυλτσ. Ασσυµε χριτιχαλιτψ = 0.3, χαπιταλ χοστ = ∃2000, ανδ ϖεριφψ τοταλ ρεσιδυαλ ρισκ = 0.28, ανδ ΕΧΛ = (∃2000)(0.084) = ∃168. Υσε σεχυριτψ ιν Χ∆−ΡΟΜ. ΤΑΒΛΕ Ε3.15

Ηοµε Σψστεµ

ςυλνεραβιλιτψ Ποωερ φαιλυρε: 0.2 Ηιγη σπεεδ: 0.3 Ηαρδ φαιλυρε: 0.2 Σοφτ φαιλυρε: 0.3

Τηρεατ 1. 2. 1. 2. 1. 2. 1.

Λοσσ οφ δατα: 0.75 Ηαρδωαρε φαιλυρε: 0.25 ςιρυσ: 0.5 Ιντρυσιον: 0.5 Λοσσ οφ δατα: 0.75 Σψστεµ δοων: 0.25 Λαχκ οφ οπερατιον: 1.0

Λαχκ οφ Χουντερµεασυρε 1. 2. 1. 2. 1. 2. 1.

Βαχκυπ γενερατορ: 0.6 Συργε προτεχτορ: 0.1 Αντιϖιρυσ σοφτωαρε: 0.2 Φιρεωαλλ: 0.2 ∆ατα βαχκυπ: 0.6 Αλτερνατιϖε λαπτοπ: 0.1 Σοφτωαρε βαχκυπ: 0.λ

3.16 Σεχυριτψ Μετερ Ρισκ Μαναγεµεντ (α) ςεριφψ τηε ρεσυλτσ σηοων ιν Ταβλε Ε3.16 υσινγ α ηανδ χαλχυλατορ ανδ αν Εξχελ προγραµ. Αλσο υσε σεχυριτψ αππλιχατιον ιν Χ∆−ΡΟΜ. (β) Αππλψ α ρισκ µαναγεµεντ αλγοριτηµ ασ ιν Σεχτιον 3.4.6 το µιτιγατε ψουρ τοταλ ρεσιδυαλ ρισκ το (1) 25%, (2) 20%, (3) 15%, (4) 10%, ανδ (5) 5% βψ δετερµινινγ βρεακ−εϖεν ποιντσ ωηεν ψου σπενδ ∃Z περ 1% ιµπροϖεµεντ οφ τηε ρισκ βψ ιµπροϖινγ τηε ΧΜ δεϖιχεσ. Χαλχυλατε τηε οπτιµαλ Z ανδ ΕΧΛ φορ (1) το (5) το αχχοµπλιση τηεσε οβϕεχτιϖεσ.

171

ΕΞΕΡΧΙΣΕΣ

ΤΑΒΛΕ Ε3.16

Σταφφ Σερϖερ

ςυλνεραβιλιτψ

Τηρεατ

0.35

0.48

ΧΜ ΛΧΜ

0.16 0.32 0.04 0.14

0.32 0.02 0.66

0.51

0.32 0.59 0.09

0.7 0.3 0.42 0.58 0.7 0.3 0.8 0.2 0.7 0.3 0.7 0.3 0.97 0.03 0.7 0.3 0.7 0.3 0.46 0.54

Τοταλ ρεσιδυαλ ρισκ Τοταλ ρεσιδυαλ ρισκ περχενταγε

Ρεσιδυαλ Ρισκ 0.0504 0.03248 0.0336 0.0028 0.01344 0.00084 0.002772 0.04896 0.09027 0.024786 0.300348 30.03%

Φιναλ ρισκ = (ρεσιδυαλ ρισκ)(χριτιχαλιτψ) = (0.277152)(0.4) = 0.1201392 ΕΧΛ = (⇒ναλ ρισκ)(χαπιταλ χοστ) = (0.1108608)(∃8000) = ∃961.11

(χ) Ρεπεατ παρτ (α) υσινγ ∃3 περ 1% ιµπροϖεµεντ οφ τηε ΧΜ δεϖιχεσ ωηερε ταργετ µιτιγατιονσ αρε νοτ γιϖεν. Ωηατ ισ τηε νεω ΕΧΛ ανδ περχενταγε µιτιγατιον αχηιεϖεδ ιν τηε ρεσιδυαλ ρισκ? (δ) Ρεπεατ παρτ (β) οφ Εξερχισε 3.15 υσινγ παρτ (χ).

Φιρµ ηανδσ ωιλλ λοσε τηειρ γριπ ονε δαψ, Ανδ τονγυεσ τηατ ταλκ ωιλλ στοπ το δεχαψ: Τηε ωεαλτη ψου λοϖεδ ανδ στορεδ αωαψ, Ωιλλ γο το σοµε ινηεριτορ’σ ωαψ. —Ψυνυσ Εµρε, τηε λεγενδαρψ µψστιχ φολκ ποετ (1238–1320)

4 ΣΤΟΠΠΙΝΓ ΡΥΛΕΣ ΙΝ ΣΟΦΤΩΑΡΕ ΤΕΣΤΙΝΓ Νυτσηελλ 4.0 Σοφτωαρε τεστινγ ανδ προδυχτ ρελιαβιλιτψ ηαϖε αλωαψσ βεεν τωο ινσεπαραβλε ισσυεσ, βυτ τηε αναλψσισ οφ στοππινγ ρυλεσ το ρενδερ τηισ αχτιϖιτψ χοστ−εφφεχτιϖε ηασ τραδιτιον− αλλψ βεεν ιγνορεδ. Ιτ ισ νοω αντιχιπατεδ τηατ 50 το 75% οφ σοφτωαρε εξπενσεσ στεµ φροµ τεστινγ [1]. Σοφτωαρε τεστινγ ιν ρελιαβιλιτψ ισ α βροαδ τοπιχ τηατ ηασ βεεν ωιδελψ στυδιεδ (σεε, ε.γ., τεξτβοοκσ συχη ασ τηε Ηανδβοοκ οφ Σοφτωαρε Ρελιαβιλιτψ Ενγι− νεερινγ [2] ανδ τηε Σοφτωαρε Ενγινεερινγ Ηανδβοοκ [3], αµονγ οτηερσ [4,5]). Εϖεν τηουγη τηερε αρε µανψ εξτενσιϖε σουρχεσ ιν τηε λιτερατυρε ον τεστινγ σοφτ− ωαρε, τηερε ηασ βεεν νο ιν−δεπτη αναλψσισ, σπεχι⇒χαλλψ ον τηε ιντριχαχιεσ ανδ χοµπλεξιτιεσ, ανδ µορε φυνδαµενταλλψ, ον τηε σχιενχε οφ ωηεν το στοπ µοστ εφ⇒− χιεντλψ ανδ εχονοµιχαλλψ. Υσυαλλψ, τηε στοππινγ ρυλε ισ ειτηερ α τιµε−το−ρελεασε δατε, ωηιχη ισ νοτηινγ µορε τηαν α χοµµερχιαλ βενχηµαρκ ορ α τιµε χονστραιντ, ορ ιτ ισ α ρουγη περχενταγε οφ ηοω µανψ βυγσ δετεχτεδ ουτ οφ α γιϖεν τοταλ πρεσχριβεδ ωιτη νο στατιστιχαλ δατα ορ τρενδ µοδελινγ µεργεδ ωιτη χοστ−εφφεχτιϖε εχονοµιχ στοππινγ ρυλεσ. Τηε φοχυσ ισ ον δετερµινινγ ωηεν, γιϖεν τηε ρεσυλτσ οφ α τεστινγ προχεσσ, ωηετηερ ωηιτε βοξ (χοϖεραγε) ορ βλαχκ βοξ (φυνχτιοναλ) τεστινγ, ιτ ισ µοστ εχονοµιχαλ το ηαλτ τεστινγ ανδ ρελεασε σοφτωαρε υνδερ τηε χονδιτιονσ πρεϖαιλινγ φορ α πρεσχριβεδ περιοδ οφ τιµε. Ωε αρε δεαλινγ ωιτη ονε ωαψ οφ χονδυχτινγ α θυαλιτψ χοντρολ αναλψσισ οφ σοφτωαρε τεστινγ αχτιϖιτψ ωιτη τηε γοαλ οφ αχηιεϖινγ α θυαλιτψ προδυχτ µοστ εχονοµιχαλλψ ανδ αχχυρατελψ. Τηε δατα αρε ονε οφ τωο τψπεσ: ειτηερ στοππινγ ατ τηε ενδ οφ α τιµε περιοδ T , συχη ασ ατ αν ινχρεµεντ οφ Tk − Tk−1 φορ α τιµε−βασεδ µοδελ, ορ ατ τηε ενδ οφ α χερταιν αµουντ οφ τεστινγ οφ τηε N τη τεστ χασε, συχη ασ στοππινγ ατ αν ινχρεµεντ οφ Nk − Nk−1 φορ τηε τεστ χασε ορ σψνονψµουσλψ, αν εφφορτ−βασεδ µοδελ. Ιν τηισ Τρυστωορτηψ Χοµπυτινγ: Αναλψτιχαλ ανδ Θυαντιτατιϖε Ενγινεερινγ Εϖαλυατιον, Βψ Μ. Σαηινογλυ Χοπψριγητ  2007 ϑοην Ωιλεψ & Σονσ, Ινχ.

172

ΕΦΦΟΡΤ−ΒΑΣΕ∆ ΕΜΠΙΡΙΧΑΛ ΒΑΨΕΣΙΑΝ ΣΤΟΠΠΙΝΓ ΡΥΛΕ

173

χηαπτερ ωε δεαλ ωιτη τηε στοππινγ ρυλεσ ιν τιµε− ανδ εφφορτ−βασεδ µοδελσ ανδ τηειρ αππλιχατιονσ υσινγ α προγραµµινγ χοδε χολλεχτεδ υνδερ τηε γενεραλ τιτλε ΜΕΣΑΤ. ΜΕΣΑΤ−1 ισ αππλιχατιον σοφτωαρε φορ εφφορτ−βασεδ δατα, ανδ ΜΕΣΑΤ−2 ισ φορ τιµε− βασεδ δατα. Αλτηουγη τηισ χηαπτερ ωορκσ ωιτη εµπιριχαλ δατα ον χηανχε ορ ρανδοµ φαιλυρεσ τηατ χαυσε δισρυπτιον οφ τηε ιντενδεδ σερϖιχε οφ φορ παρτιχυλαρ ηαρδωαρε ορ σοφτωαρε, τηε σαµε λογιχ χαν βε υτιλιζεδ φορ µαλιχιουσ (νοτ χηανχε ρελατεδ) ατταχκσ τηατ χαυσε σεχυριτψ βρεαχηεσ ιν σεχυριτψ τεστινγ. Ατταχκσ ρεπλαχε τεστ χασεσ, ανδ χρασηεσ ρεπλαχε τηε φαιλυρεσ ωιτη οτηερ πενετρατιονσ χουντερµεασυρεδ. Μορεοϖερ, προϖιδεδ τηατ τηε δατα αρε αππλιχαβλε το τηε µατηεµατιχαλ στατιστιχαλ ανδ ενγινεερινγ µοδελ προποσεδ, τηε πραχτιχεσ δεσχριβεδ ιν τηισ χηαπτερ χαν αλσο εασιλψ ⇒νδ υσε ιν τηε ϖαστ ωορλδ οφ θυαλιτψ χοντρολ τεστινγ οφ δεφεχτιϖε ιτεµσ, συχη ασ τηοσε οφ αν αυτοµοτιϖε ορ αιρλινε µανυφαχτυρινγ ασσεµβλψ λινε. Τηε συβϕεχτ µαττερ ισ α φεασιβλε αλτερνατιϖε το εξιστινγ στατιστιχαλ προχεσσ χοντρολ ρυλεσ φορ αχχεπτινγ ορ ρεϕεχτινγ α χερταιν προδυχτ βεφορε ιτσ ρελεασε. Τηερεφορε, ιτ ισ α νεω παραδιγµ ιν τηε λαργερ θυεστιον οφ θυαλιτψ χοντρολ τεστινγ, βεινγ ονε στεπ αηεαδ οφ ϕυστ−ιν−τιµε στατιστιχαλ προχεσσ χοντρολ.

4.1 ΕΦΦΟΡΤ−ΒΑΣΕ∆ ΕΜΠΙΡΙΧΑΛ ΒΑΨΕΣΙΑΝ ΣΤΟΠΠΙΝΓ ΡΥΛΕ Νυτσηελλ 4.1 ΜΕΣΑΤ−1 ισ α χοστ−εφ⇒χιεντ στοππινγ−ρυλε αλγοριτηµ υσεδ το σαϖε συβσταντιαλ νυµ− βερσ οφ τεστ ϖεχτορσ ιν αχηιεϖινγ α γιϖεν δεγρεε οφ χοϖεραγε ρελιαβιλιτψ. Τηρουγη χοστ–βενε⇒τ αναλψσισ, τηε αυτηορ ηασ σηοων ηοω χοστ−εφ⇒χιεντλψ ηισ προποσεδ στοππινγ−ρυλε αλγοριτηµ περφορµσ χοµπαρεδ το τηοσε εµπλοψινγ χονϖεντιοναλλψ εξηαυστιϖε “σηοτγυν” ορ “τεστινγ−το−δεατη” αππροαχηεσ. Τηισ χοστ−εφφεχτιϖε τεχη− νιθυε ισ ϖαλυεδ φορ ιτσ ινδυστριαλ ποτεντιαλ βψ κεεπινγ α τιγητ ρειν ον βυδγεταρψ χονστραιντσ ασ ωελλ ασ βψ υσινγ α σχιεντι⇒χ ονε−στεπ−αηεαδ φορµυλα το οπτιµιζε ρεσουρχε υτιλιζατιον. Τηισ θυαντιτατιϖε εϖαλυατιον εµπλοψινγ α στοππινγ ρυλε ισ ιν σηαρπ χοντραστ το χονϖεντιοναλ τεχηνιθυεσ τηατ ρεθυιρε υσινγ βιλλιονσ οφ τεστ ϖεχτορσ το γυαραντεε α χερταιν δεγρεε οφ ρελιαβιλιτψ. 4.1.1 Στοππινγ Ρυλε ιν Τεστ Χασε–Βασεδ (Εφφορτ) Μοδελσ Σοφτωαρε−τεστινγ στοππινγ ρυλεσ αρε δεχισιον−µακινγ τοολσ υσεδ το µινιµιζε εφφεχ− τιϖελψ τηε τιµε ανδ χοστ ινϖολϖεδ ιν σοφτωαρε τεστινγ. Τηε αλγοριτηµσ σερϖε το γυιδε τηε τεστινγ προχεσσ συχη τηατ ιφ α χερταιν λεϖελ οφ βρανχη ορ φαυλτ (ορ φαιλυρε) χοϖεραγε ισ οβταινεδ ωιτηουτ τηε εξπεχτατιον οφ φυρτηερ σιγνι⇒χαντ χοϖ− εραγε, τηε τεστινγ στρατεγψ χαν βε στοππεδ ορ χηανγεδ το αχχοµµοδατε φυρτηερ, µορε αδϖανχεδ τεστινγ στρατεγιεσ. Βψ χοµβινινγ χοστ αναλψσισ ωιτη α ϖαριετψ οφ στοππινγ−ρυλε αλγοριτηµσ, α χοµπαρισον χαν βε µαδε το δετερµινε αν οπτιµαλλψ χοστ−εφφεχτιϖε στοππινγ ποιντ. Α νοϖελ χοστ−εφφεχτιϖε στοππινγ ρυλε υσινγ εµπιρι− χαλ Βαψεσιαν πρινχιπλεσ φορ α νονηοµογενεουσ Ποισσον χουντινγ προχεσσ (ΝΗΠΠ) χοµπουνδεδ ωιτη α λογαριτηµιχ σεριεσ διστριβυτιον (ΛΣ∆) ισ δεριϖεδ ανδ αππλιεδ

174

ΣΤΟΠΠΙΝΓ ΡΥΛΕΣ ΙΝ ΣΟΦΤΩΑΡΕ ΤΕΣΤΙΝΓ

το διγιταλ σοφτωαρε τεστινγ ανδ ϖερι⇒χατιον [6]. Ιτ ισ ασσυµεδ τηατ τηε σοφτωαρε φαιλυρεσ, ορ βρανχηεσ χοϖερεδ, ωηιχηεϖερ τηε χασε µαψ βε, χλυστερεδ ασ α ρεσυλτ οφ τηε υσε οφ α γιϖεν τεστ χασε, αρε ποσιτιϖελψ χορρελατεδ (ι.ε., χονταγιουσ). Τηισ ασσυµπτιον ιµπλιεσ τηατ τηε οχχυρρενχε οφ ονε σοφτωαρε φαιλυρε (ορ χοϖεραγε δετεχ− τιον οφ α βρανχη) ποσιτιϖελψ ιν⇓υενχεσ τηε οχχυρρενχε (ορ δετεχτιον) οφ τηε νεξτ. Τηισ πηενοµενον οφ χλυστερινγ οφ φαιλυρεσ ορ βρανχηεσ ισ οφτεν οβσερϖεδ ιν σοφτ− ωαρε τεστινγ πραχτιχε. Τηε ρανδοµ ϖαριαβλε wi οφ τηε φαιλυρε χλυµπ σιζε οφ τηε ιντερϖαλ ισ ασσυµεδ το ηαϖε ΛΣ∆(θ ) ϕυστι⇒εδ φορ τηε γιϖεν δατα σετσ βψ εµπλοψ− ινγ χηι−σθυαρε γοοδνεσσ−οφ−⇒τ τεστινγ, ωηιλε τηε διστριβυτιον οφ τηε νυµβερ οφ τεστ χασεσ ισ Ποισσον(λ). Τηεν τηε διστριβυτιον οφ τηε τοταλ νυµβερ οφ φαιλυρεσ οβσερϖεδ, ορ σιµιλαρλψ, χοϖερεδ βρανχηεσ, X, ισ α χοµπουνδ Ποισσον∧ ΛΣ∆ [ι.ε., νεγατιϖε βινοµιαλ διστριβυτιον (ΝΒ∆)], προϖιδεδ τηατ α χερταιν µατηεµατιχαλ ιδεν− τιτψ ηολδσ. Φορ εαχη χηεχκποιντ ιν τιµε, ειτηερ τηε σοφτωαρε σατισ⇒εσ α δεσιρεδ ρελιαβιλιτψ ατταχηεδ το αν εχονοµιχ χριτεριον, ορ τηε σοφτωαρε τεστινγ ισ αλλοωεδ το χοντινυε φορ τηε νεξτ τεστ χασε αππλιχατιον. Βψ υσινγ α ονε−στεπ−λοοκ−αηεαδ φορµυλα δεριϖεδ φορ τηε µοδελ, τηε στοππινγ ρυλε προποσεδ ισ αππλιεδ το ⇒ϖε τεστ χασε–βασεδ δατα σετσ αχθυιρεδ βψ τεστινγ εµβεδδεδ χηιπσ τηρουγη χοµπλεξ ςΗ∆Λ µοδελσ. Φυρτηερ, µυλτιστρατεγψ τεστινγ ισ χονδυχτεδ το σηοω ιτσ συπεριοριτψ το σινγλε−σταγε τεστινγ. Ρεσυλτσ αρε ιντερπρετεδ σατισφαχτοριλψ φροµ α πραχτιτιονερ’σ ϖιεωποιντ ασ αν ιννοϖατιϖε αλτερνατιϖε το τηε υβιθυιτουσ τεστ−ιτ−το−δεατη αππροαχη, ωηιχη ισ κνοων το ωαστε βιλλιονσ οφ τεστ χασεσ ιν τηε τεδιουσ προχεσσ οφ ⇒νδινγ µορε βυγσ. Μορεοϖερ, τηε δψναµιχ στοπ− πινγ ρυλε αλγοριτηµ προποσεδ χαν ϖαλιδλψ βε εµπλοψεδ ασ αν αλτερνατιϖε παραδιγµ το τηε εξιστινγ ϕυστ−ιν−τιµε στατιστιχαλ προχεσσ χοντρολ µετηοδσ, ωηιχη αρε στατιχ ιν νατυρε φορ τηε µανυφαχτυρινγ ινδυστρψ, προϖιδεδ τηατ υνδερλψινγ στατιστιχαλ ασσυµπ− τιονσ ηολδ. Α δεταιλεδ χοµπαρατιϖε λιτερατυρε συρϖεψ οφ στοππινγ−ρυλε µετηοδσ ισ ινχλυδεδ ιν τηε Αππενδιξ ιν τερµσ οφ προσ ανδ χονσ ανδ χοστ−εφφεχτιϖενεσσ. 4.1.2 Ιντροδυχτιον ανδ Μοτιϖατιον Ιν τηισ χηαπτερ ωε δεσχριβε α στατιστιχαλ µοδελ το δεϖισε α στοππινγ χριτεριον φορ ρανδοµ τεστινγ ιν σοφτωαρε ορ ηαρδωαρε ϖερι⇒χατιον. Τηε µετηοδ ισ βασεδ ον στα− τιστιχαλ εστιµατιον οφ βρανχηινγ χοϖεραγε ανδ ωιλλ ⇓αγ τηε στοππινγ χριτερια το ηαλτ τηε ϖερι⇒χατιον προχεσσ ορ το σωιτχη το α διφφερεντ ϖερι⇒χατιον στρατεγψ. Ωε βυιλδ ον τηε στατιστιχαλ βεηαϖιορ οφ φαιλυρε ορ βρανχη χοϖεραγε δεσχριβεδ εαρλιερ. Αππλψ− ινγ εµπιριχαλ Βαψεσιαν ανδ οτηερ στατιστιχαλ µετηοδσ το προβλεµσ ιν ηαρδωαρε ϖερι⇒χατιον, συχη ασ βεττερ στοππινγ ρυλεσ, σηουλδ βε α φρυιτφυλ αρεα οφ ρεσεαρχη ωηερε ιµπροϖεµεντσ ιν τηε στατε οφ τηε αρτ ωουλδ βε ϖερψ ϖαλυαβλε. Τεχηνιχαλλψ, τηε γενεραλ χονχεπτ ισ θυεστιοναβλε. Ηοωεϖερ, τηε στοππινγ−ρυλε ιδεα ισ γενεραλλψ αχχεπτεδ το βε µορε ρατιοναλ τηαν ηαϖινγ νο ϖαλυε−ενγινεερινγ ϕυδγµεντ το στοπ τεστινγ, ασ οφτεν διχτατεδ βψ α χοµµερχιαλλψ τιγητ τιµε−το−µαρκετ αππροαχη [7]. Αχτυαλλψ, α λαργε ποολ οφ ρεσεαρχη ανδ πραχτιχαλ ρεσυλτσ ισ αϖαιλαβλε φορ στατιστιχαλ αναλψσισ ιν ηαρδωαρε ϖερι⇒χατιον προχεσσεσ. Αλλ µαϕορ µιχροπροχεσσορ χοµπανιεσ ρελψ ηεαϖιλψ ον συχη εφ⇒χιεντ χονχεπτσ [8,9]. Γιϖεν α βεηαϖιοραλ µοδελ, ηοω σηουλδ ωε αππλψ τεστ παττερνσ εφφεχτιϖελψ συχη τηατ τηε ταργετ θυαλιτψ χαν βε αχηιεϖεδ ωιτη α µινιµυµ αµουντ οφ εφφορτ µεασυρεδ

ΕΦΦΟΡΤ−ΒΑΣΕ∆ ΕΜΠΙΡΙΧΑΛ ΒΑΨΕΣΙΑΝ ΣΤΟΠΠΙΝΓ ΡΥΛΕ

175

ιν τερµσ οφ τηε νυµβερ οφ τεστ παττερνσ (χασεσ) υσεδ? Βρανχη ορ δεχισιον χοϖεραγε τεστινγ ισ α ωηιτε−βοξ τεστινγ τεχηνιθυε ιν ωηιχη εαχη τεστ χασε ισ ωριττεν το ενσυρε τηατ εϖερψ δεχισιον ηασ α τρυε ορ φαλσε ουτχοµε ατ λεαστ ονχε (ε.γ., εαχη βρανχη ισ τραϖερσεδ ατ λεαστ ονχε). Βρανχη χοϖεραγε γενεραλλψ σατισ⇒εσ στατεµεντ χοϖεραγε σινχε εϖερψ στατεµεντ ισ ον τηε σαµε συβπατη φροµ ειτηερ βρανχη στατεµεντ. Ιν ωηιτε−βοξ τεστινγ, τεστ χασεσ αρε ωριττεν το ενσυρε τηατ εαχη δεχισιον ανδ τηε χονδιτιονσ ωιτηιν τηατ δεχισιον τακε ον αλλ ποσσιβλε ϖαλυεσ ατ λεαστ ονχε. Ιτ ισ α στρονγερ λογιχ−χοϖεραγε τεχηνιθυε τηαν δεχισιον/χονδιτιον χοϖεραγε βεχαυσε ιτ χοϖερσ αλλ τηε χονδιτιονσ τηατ χαν νοτ βε τεστεδ υσινγ δεχισιον χοϖεραγε αλονε. Ιτ αλσο σατισ⇒εσ στατεµεντ χοϖεραγε. Ονε µετηοδ οφ χρεατινγ τεστ χασεσ υσινγ τηισ τεχηνιθυε ισ το βυιλδ α τρυτη ταβλε ανδ ωριτε δοων αλλ τηε χονδιτιονσ ανδ τηειρ χοµπλεµεντσ. Τηεν, ιφ τηεψ εξιστ, ωε µυστ ελιµινατε τηε δυπλιχατεσ. Ιν αδδιτιον, ηοω δο ωε δεχιδε ωηεν α γιϖεν τεστ στρατεγψ (ι.ε., τηε ωαψ το γενερατε τεστ παττερνσ/χασεσ) ηασ ρεαχηεδ ιτσ ποτεντιαλ ανδ α νεω (βεττερ) τεστ στρατεγψ σηουλδ βε αχτιϖατεδ? Ωηεν δεσιγνινγ α ςΛΣΙ σψστεµ, εµβεδδεδ ορ νοτ, ατ τηε βεηαϖιοραλ λεϖελ, ονε οφ τηε µοστ ιµπορταντ στεπσ το βε τακεν ισ ϖεριφψινγ τηε σψστεµ’σ φυνχτιοναλιτψ βεφορε ιτ ισ ρελεασεδ το τηε λογιχ ανδ προδυχτ δεϖελοπµεντ δεσιγν πηασε. Ιτ ισ ωιδελψ βελιεϖεδ τηατ τηε θυαλιτψ οφ α βεηαϖιοραλ µοδελ ισ χορρελατεδ ωιτη τηε εξπεριενχεδ βρανχη ορ φαυλτ χοϖεραγε δυρινγ τηε ϖερι⇒χατιον προχεσσ [10–18]. Ηοωεϖερ, µεασυρινγ χοϖεραγε ισ ϕυστ α σµαλλ παρτ οφ ενσυρινγ τηατ α βεηαϖιοραλ µοδελ µεετσ τηε δεσιρεδ θυαλιτψ γοαλ. Α µορε ιµπορταντ θυεστιον ισ ηοω το ινχρεασε χοϖεραγε δυρινγ ϖερι⇒χατιον το α χερταιν λεϖελ ωιτη α γιϖεν τιµε− το−µαρκετ χονστραιντ. Χυρρεντ µετηοδσ υσε βρυτε φορχε, ωιτη βιλλιονσ οφ τεστ χασεσ αππλιεδ ωιτηουτ κνοωινγ τηε εφφεχτιϖενεσσ οφ τηε τεχηνιθυεσ υσεδ το γενερατε τηε τεστ χασεσ [19–21]. Ονε µαψ χονσιδερ βεηαϖιοραλ µοδελσ ασ οραχλεσ ιν ινδυστριεσ το τεστ αγαινστ ωηεν τηε ⇒ναλ χηιπ ισ προδυχεδ. Ιν τηε εξπεριµενταλ σετσ ιν τηισ χηαπτερ, βρανχη χοϖεραγε (ιν ⇒ϖε δατα σετσ, ∆Ρ1 το ∆Ρ5) ισ υσεδ ασ α µεασυρε φορ τηε θυαλιτψ οφ ϖεριφψινγ ανδ τεστινγ βεηαϖιοραλ µοδελσ. Μινιµυµ εφφορτ το αχηιεϖε α γιϖεν θυαλιτψ λεϖελ χαν βε ρεαλιζεδ βψ υσινγ τηε εµπιριχαλ Βαψεσιαν στοππινγ ρυλε προποσεδ αβοϖε. Τηε στοππινγ ρυλε γυιδεσ τηε προχεσσ το σωιτχη το α διφφερεντ τεστινγ στρατεγψ υσινγ διφφερεντ τψπεσ οφ παττερνσ (ι.ε., ρανδοµ ϖερσυσ φυνχτιοναλ) ορ υσινγ διφφερεντ σετ οφ παραµετερσ το γενερατε παττερνσ ορ τεστ χασεσ ορ τεστ ϖεχτορσ ωηεν τηε χυρρεντ στρατεγψ ισ εξπεχτεδ νοτ το ινχρεασε τηε χοϖεραγε. Τηισ λεαδσ το τηε πραχτιχε οφ µιξεδ−στρατεγψ τεστινγ. Ωε χαν δεµονστρατε υσε οφ τηε στοππινγ−ρυλε αλγοριτηµ ον χοµπλεξ ςΗ∆Λ µοδελσ, ηαϖινγ οβσερϖεδ τηατ σωιτχηινγ πηασεσ ατ χερταιν ποιντσ γυιδεδ βψ τηε στοππινγ ρυλε ωουλδ ψιελδ το τηε σαµε ορ εϖεν βεττερ χοϖεραγε ωιτη φεωερ τεστινγ παττερνσ. Τηισ µετηοδ ισ αν ιννοϖατιϖε αλτερνατιϖε το ηελπ σαϖε µιλλιονσ οφ τεστ παττερνσ ανδ ηενχε ρεδυχε χοστ ιν τηε χολοσσαλ τεστινγ προχεσσ οφ εµβεδδεδ χηιπσ ϖερσυσ τηε χονϖεντιοναλλψ υσεδ τεστ−ιτ−το−δεατη εξηαυστιϖε τεστινγ αππροαχη. Τηερε οχχυρ µανψ πηψσιχαλ εϖεντσ αχχορδινγ το τηε ινδεπενδεντ Ποισσον προ− χεσσ, ανδ ατ εαχη οφ τηεσε Ποισσον εϖεντσ, ονε ορ µορε οτηερ εϖεντσ χαν οχχυρ. Τηισ ισ ιδεντι⇒εδ ασ οϖερδισπερσιον ιν µανψ λιφε σχιενχεσ–οριεντεδ τεξτβοοκσ, ασ ιν τηε τοταλ νυµβερ οφ χερταιν βαχτερια ορ αλγαε χλυστερεδ ον ινδιϖιδυαλ λεαϖεσ ιν

176

ΣΤΟΠΠΙΝΓ ΡΥΛΕΣ ΙΝ ΣΟΦΤΩΑΡΕ ΤΕΣΤΙΝΓ

α ωατερ πονδ [22,23]. Ιφ αν ιντερρυπτιον δυρινγ τεστινγ οφ α σοφτωαρε προγραµ ισ ασσυµεδ το βε δυε το ονε ορ µορε σοφτωαρε φαιλυρεσ (ορ βρανχη χοϖεραγε) ιν α χλυµπ, ανδ ιφ τηε διστριβυτιον οφ τηε τοταλ νυµβερ οφ ιντερρυπτιονσ ορ τεστ χασεσ ισ Ποισσον, διστριβυτιον οφ τηε τοταλ νυµβερ οφ εξπεριενχεδ φαιλυρεσ ορ χοϖερεδ βρανχηεσ ισ α χοµπουνδ Ποισσον [6,24–31]. Τηε εµπιριχαλ Βαψεσιαν στοππινγ ρυλε τηερεφορε υσεσ τηε µατηεµατιχαλ πρινχιπλεσ οφ α Ποισσον χουντινγ προχεσσ ασ αππλιεδ το τηε χουντ οφ τεστ χασεσ, ωιτη α λογαριτηµιχ σεριεσ διστριβυτιον (ΛΣ∆) αππλιεδ το τηε χλυστερ σιζε οφ σοφτωαρε φαιλυρεσ ορ βρανχη χοϖεραγε γενερατεδ βψ εαχη τεστ χασε. Ιτ αππλιεσ σατισφαχτοριλψ το α τιµε−χοντινυουσ, χοµπουνδεδ, ανδ νονηοµογενεουσ Ποισσον προχεσσ ασ ωελλ ασ το τιµε−ινδεπενδεντ εφφορτ (ορ τεστ χασε)–βασεδ τεστινγ, συχη ασ ιν α σεθυεντιαλλψ δισχρετε Βερνουλλι προχεσσ. Τηατ ισ, τηε Ποισσον προχεσσ ισ α τιµε−παραµετερ ϖερσιον οφ τηε χουντινγ προχεσσ φορ Βερνουλλι τριαλσ [32, π. 72]. Ιτ ισ ιµπερατιϖε το ρεχαλλ τηατ οφτεν−υσεδ βινοµιαλ προ− χεσσεσ αρε τηε συµ οφ ιδεντιχαλ Βερνουλλι−διστριβυτεδ ρανδοµ ϖαριαβλεσ. Ηοωεϖερ, τηοσε Βερνουλλι ρανδοµ ϖαριαβλεσ ιν εαχη τεστ χασε αρε νονιδεντιχαλ, ωιτη υνεθυαλ “αρριϖαλ” συχχεσσ προβαβιλιτιεσ ασ ρεπορτεδ ιν 1990 [33]. Τηε µοδελ προποσεδ ασσυµεσ ρανδοµιζατιον οφ τεστ χασεσ ιν τηε σπιριτ οφ αν ινδεπενδεντλψ ινχρεµεντεδ Ποισσον χουντινγ προχεσσ, σινχε τηε χοϖεραγε σιζεσ δο νοτ νεχεσσαριλψ φολλοω α δε⇒νιτε τρενδ υνλεσσ τηε τεστ χασεσ αρε αρρανγεδ ιν τηε ορδερ οφ µεριτ. Τηισ ισ α πραχτιχε τηατ ισ ιµποσσιβλε το ατταιν περφεχτλψ πριορ το αχτυαλ εξπεριµεντατιον. Σοµε σουρχεσ χλαιµ τηατ τηε ινδεπενδεντ−ινχρεµεντ Ποισσον αρριϖαλ µοδελ ισ αππλιχαβλε φορ τηε ⇒ρστ “συρπρισε” εξεχυτιον αγαινστ α τεστ συιτε. Ον σεχονδ ανδ συβσεθυεντ εξεχυτιονσ, τηε “αρριϖαλ” (ορ δισχοϖερψ) οφ φαιλυρεσ (ορ βρανχηεσ) ισ νο λονγερ ρανδοµ υνλεσσ τηε σοφτωαρε δεϖελοπµεντ προχεσσ ισ χηαοτιχ ορ παραλλελ−διστριβυτεδ. Εϖιδεντλψ, τηε αππλιχαβιλιτψ οφ συχη αν ινδεπενδεντ−ινχρεµεντ χουντινγ προχεσσ, ανδ ηενχε τηε προποσεδ στοππινγ ρυλε, ϖαριεσ ωιτη τηε µατυριτψ οφ τηε σοφτωαρε τεστινγ αχτιϖιτψ βεινγ δεϖελοπεδ. Τηισ ισ ωηψ α ρεγρεσσιον τεστινγ τεχηνιθυε το οβσερϖε φορ σαιδ µατυριτψ ισ οφ ρελεϖανχε ηερε ιν τερµσ οφ µαινστρεαµ σοφτωαρε ενγινεερινγ [34]. Αλσο, σοµε αυτηορσ συπ− πορτ τηε χονχεπτ οφ τηε προβαβιλιτψ διστριβυτιον φυνχτιον, p(t): αν ιντερρυπτιον χορρελατιον φυνχτιον φορ τηε οχχυρρενχε οφ ιντερρυπτιονσ, α ρατηερ ηαζψ ανδ νεβυ− λαρ χονχεπτ [35]. Φιρστ, τηε τοταλ νυµβερ οφ οβσερϖατιονσ σηουλδ αλωαψσ βε κνοων ιν αδϖανχε, το µοδελ τηε προβαβιλιτψ οφ ιντερρυπτιονσ, ωηιχη τεστερσ αρε υναβλε το µαστερ. Τηερεφορε, p(t) ρεπρεσεντσ υνρεαλιστιχ γυεσσωορκ ανδ χλεαρλψ ϖαριεσ φροµ ονε σετ οφ δατα το ανοτηερ, σο χαννοτ βε γενεραλιζεδ. Ιτ ισ τηερεφορε µορε ρατιοναλ το ρανδοµιζε τηε ιντερρυπτιον αχτιϖιτψ στατιστιχαλλψ, ωηιχη ισ µυχη µορε νατυραλ, ασ υνπρεχεδεντεδ τεστ χασεσ µαψ αχτ συρπρισινγλψ διφφερεντ ατ ρανδοµ τιµεσ. Τηε ρανδοµιζατιον πηενοµενον ισ αλσο ιν τηε σπιριτ οφ α Ποισσον προχεσσ ωιτη ινδεπενδεντ ινχρεµεντσ ον ωηιχη τηε ΜΕΣΑΤ τοολ ισ στρυχτυρεδ. Τηε υνπρε− διχταβιλιτψ φαχτορ οφ φαυλτ αρριϖαλ ορ βρανχη χοϖεραγε ισ τηερεφορε βεστ αδδρεσσεδ βψ α νονηοµογενεουσ Ποισσον προχεσσ ωηοσε ρατε οφ αρριϖαλ ισ αδϕυστεδ, ιν τηισ χασε διµινισηεδ, ωιτη τηε αδϖανχε οφ τιµε ορ νυµβερ οφ τεστ χασεσ. Τηισ νονστα− τιοναριτψ οφ τηε Ποισσον προχεσσ τακεσ χαρε οφ τηε νο−λονγερ−ινδεπενδεντ Ποισσον αρριϖαλ τιµεσ, α πηενοµενον βεστ δισπλαψεδ βψ ΝΗΠΠ [32, ππ. 94–101].

ΕΦΦΟΡΤ−ΒΑΣΕ∆ ΕΜΠΙΡΙΧΑΛ ΒΑΨΕΣΙΑΝ ΣΤΟΠΠΙΝΓ ΡΥΛΕ

177

Ωηεν α νεω χοµπυτερ σοφτωαρε παχκαγε ηασ βεεν ωριττεν ανδ χοµπιλεδ, ανδ αλλ οβϖιουσ σοφτωαρε φαιλυρεσ ηαϖε βεεν ρεµοϖεδ φροµ τηε ινπυτ σετσ, α τεστινγ προγραµ ισ υσυαλλψ ινιτιατεδ το ελιµινατε τηε ρεµαινινγ φαιλυρεσ. Τηε χοµµον προχεδυρε ισ το υσε τηε σοφτωαρε παχκαγε ον α σετ οφ προβλεµσ, ανδ ωηενεϖερ τεστινγ ισ ιντερρυπτεδ βεχαυσε οφ ονε ορ µορε προγραµµινγ φαιλυρεσ, τηε χοδεσ αρε χορρεχτεδ, τηε σοφτωαρε ισ ρεχοµπιλεδ, ανδ χοµπυτατιον ισ ρεσταρτεδ. Τηισ τψπε οφ τεστινγ χαν χοντινυε φορ σεϖεραλ τιµε υνιτσ (ε.γ., ηουρσ, δαψσ, ωεεκσ), ωιτη τηε νυµβερ οφ φαιλυρεσ περ υνιτ τιµε δεχρεασινγ. Τηε σαµε ισ τρυε, φορ ινστανχε, ωηεν δισχρετελψ αππλιεδ τεστ χασεσ ρεπλαχε τεστ ωεεκσ ανδ βρανχη χοϖεραγε ρεχορδσ ρεπλαχε τηοσε οφ φαιλυρεσ. Φιναλλψ, ονε ρεαχηεσ α ποιντ οφ οπτιµαλ εχονοµιχ ρετυρν ιν τιµε ορ εφφορτ ωηεν τεστινγ ισ στοππεδ ανδ τηε σοφτωαρε ισ ρελεασεδ. Ηοωεϖερ, ονε ισ νεϖερ χερταιν τηατ αλλ σοφτωαρε φαυλτσ δυε το φαιλυρεσ ηαϖε βεεν ρεµοϖεδ, ορ σιµιλαρλψ, τηατ αλλ βρανχηεσ ηαϖε βεεν τεστεδ (χοϖερεδ). Αλτηουγη α σµαλλ νυµβερ οφ φαιλυρεσ µαψ ρεµαιν ιν τηε σοφτωαρε, τηε χηανχεσ οφ ⇒νδινγ τηεµ ωιτηιν α ρεασοναβλε τιµε µαψ βε σο σµαλλ τηατ ιτ ισ νοτ εχονοµιχαλλψ φεασιβλε το χοντινυε τεστινγ [6,36,37]. Τηε οβϕεχτιϖε ισ το ⇒νδ α χοστ−εφφεχτιϖε στοππινγ ρυλε το τερ− µινατε τεστινγ. Ονε χαν αδδ τηε διµενσιον οφ α πρεχονχειϖεδ χον⇒δενχε λεϖελ, 0 < ΧΛ < 1, το ενσυρε µινιµαλ χοϖεραγε ρελιαβιλιτψ. Στοππινγ−ρυλε προβλεµσ ηαϖε βεεν στυδιεδ εξτενσιϖελψ βψ στατιστιχιανσ [38–44] ανδ ενγινεερσ. Ιν τηισ χηαπτερ, ηοωεϖερ, α χοστ−εφφεχτιϖε στοππινγ ρυλε ισ πρε− σεντεδ ωιτη ρεσπεχτ το α ποπυλαρλψ υσεδ ονε−στεπ−αηεαδ εχονοµιχ χριτεριον ωηεν αν αλτερνατιϖε υνδερλψινγ π.δ.φ. ισ ασσυµεδ φορ τηε χλυµπ σιζε οφ τηε φαιλυρεσ ορ βρανχηεσ οβσερϖεδ. Τηε τοταλ νυµβερ οφ φαιλυρεσ ορ χοϖερεδ βρανχηεσ δισχοϖερεδ ισ τηε Ποισσον χουντινγ προχεσσ χοµπουνδεδ ωιτη λογαριτηµιχ σεριεσ διστριβυτιον ατ εαχη Ποισσον αρριϖαλ. Τηατ ισ, τηε νυµβερ οφ ινχιδεντσ οϖερ τιµε ισ διστριβυτεδ ασ Ποισσον, ωηερεασ τηε νυµβερ οφ φαιλυρεσ τηατ οχχυρ ασ α χλυµπ ατ εαχη ιντερ− ρυπτιον τιµε ορ ινχιδεντ ισ διστριβυτεδ αχχορδινγ το α δισχρετε λογαριτηµιχ σεριεσ διστριβυτιον (ΛΣ∆). Τηε φαιλυρεσ ωιτηιν α χλυµπ αρε ποσιτιϖελψ χορρελατεδ ωιτη εαχη οτηερ. Τηισ πηενοµενον ισ ρεπρεσεντεδ βψ α παραµετερ 0 < θ < 1 ιν τηε ΛΣ∆ φορ τηε χλυµπ−σιζε ρανδοµ ϖαριαβλε. Α Ποισσον διστριβυτιον χοµπουνδεδ βψ α δισχρετε λογαριτηµιχ−σεριεσ διστριβυτιον ωιλλ βε δενοτεδ ασ Ποισσον∧ ΛΣ∆ (ι.ε., α νεγατιϖε βινοµιαλ διστριβυτιον) πενδινγ α χερταιν µατηεµατιχαλ ιδεντιτψ ασ ιν εθυατιον (14). Τηε αλγοριτηµ ισ αππλιεδ ιν τηε εφφορτ δοµαιν ωηερε τεστ χασεσ αρε υσεδ ιν ⇒ϖε εξαµπλε εξπεριµεντσ ον εµβεδδεδ χηιπσ [8–10,45]. 4.1.3 Νοτατιον, Χοµπουνδ Ποισσον ∆ιστριβυτιον, ανδ Εµπιριχαλ Βαψεσ Εστιµατιον ΧΛ ΝΒ∆ N (t) X(t)

χον⇒δενχε λεϖελ; α µινιµαλ περχενταγε οφ βρανχηεσ ορ φαιλυρεσ το χοϖερ νεγατιϖε βινοµιαλ διστριβυτιον ρανδοµ ϖαριαβλε φορ τηε νυµβερ οφ Ποισσον εϖεντσ υντιλ ανδ ινχλυδινγ τιµε t τοταλ νυµβερ οφ φαιλυρεσ διστριβυτεδ ωιτη ρεσπεχτ το Ποισσον∧ ΛΣ∆ υντιλ τιµε υνιτ t

178

wi =θ a k λ θ1 θ2 χ.φ. ορ X(t) διφ(θ ) q

p f (X|θ ) h(θ ) h(X) α, β Βετα(α, β) h(θ |X) f (X|θ ) E(θ|X)

E(X) = kp S(·) = s C(n, k)

∆Ρ1–5

ΣΤΟΠΠΙΝΓ ΡΥΛΕΣ ΙΝ ΣΟΦΤΩΑΡΕ ΤΕΣΤΙΝΓ

ρανδοµ ϖαριαβλε οφ φαιλυρε χλυµπ σιζε διστριβυτεδ ωιτη ΛΣ∆ ατ εαχη Ποισσον εϖεντ i ΛΣ∆ παραµετερ τηατ δενοτεσ τηε ποσιτιϖε χορρελατιον χονσταντ φορ τηε ΛΣ∆ ρανδοµ ϖαριαβλε οφ w ΝΒ∆ παραµετερ (χαλχυλατεδ ρεχυρσιϖελψ ατ εαχη Ποισσον εποχη) Ποισσον ρατε ορ παραµετερ ωηερε λ = −k λν(1 − θ ) = k λν q ηολδσ λοωερ λιµιτ οφ θ υππερ λιµιτ οφ θ χηαραχτεριστιχ φυνχτιον οφ Ξ(t) ρανγε φορ ΛΣ∆ παραµετερ, τηε χορρελατιον χοεφ⇒χιεντ: θ 2 − θ1 ρεχιπροχαλ οφ (1 − θ ); ωηεν θ = 0, τηερε ισ νο χοµπουνδινγ πηενοµενον, ανδ τηε προχεσσ ισ πυρελψ Ποισσον ωιτη q = 1 (ιφ q > 1, τηερε ισ οϖερδισπερσιον) ρελατεδ παραµετερ, p = q − 1; νο χοµπουνδινγ ορ πυρε Ποισσον ωηεν p = 0 δισχρετε νεγατιϖε βινοµιαλ χονδιτιοναλ προβαβιλιτψ διστριβυτιον οφ X πριορ διστριβυτιον οφ τηε ποσιτιϖε χορρελατιον παραµετερ µαργιναλ διστριβυτιον οφ X φολλοωινγ τηε Βαψεσιαν αναλψσισ ποσιτιϖε σηαπε ανδ σχαλε παραµετερσ οφ βετα πριορ βετα διστριβυτιον φορ ΛΣ∆ ϖαριαβλε ποστεριορ χονδιτιοναλ διστριβυτιον οφ θ ον X: φαιλυρε ϖεχτορ δισχρετε χονδιτιοναλ προβαβιλιτψ διστριβυτιον οφ X γιϖεν  Βαψεσ εστιµατορ ωιτη ρεσπεχτ το σθυαρεδ−ερρορ λοσσ φυνχτιον; εξπεχτεδ ϖαλυε οφ τηε χονδιτιοναλ ποστεριορ ρανδοµ ϖαριαβλε θ , ωηερε  ∼ h(θ |X), ωηιχη ισ α χονδιτιοναλ ποστεριορ εξπεχτεδ ϖαλυε οφ τηε χονδιτιοναλ X ∼ ΝΒ∆ ωηοσε ονλψ παραµετερ ισ k ανδ βασεδ ον α σινγλε ρανδοµ ϖαριαβλε στοππινγ ρυλε S γιϖεσ τηε νυµβερ οφ φαιλυρεσ s το στοπ αφτερ (·) δισχρετε τιµε υνιτσ (δαψσ, ωεεκσ, ετχ.) ορ νυµβερ οφ τεστ χασεσ χοµβινατιον (n, k) νοτατιον δενοτινγ ηοω µανψ διφφερεντ υνορδερεδχοµβινατιονσ εξιστ οφ “σιζε k ουτ οφ α σαµπλε οφ n! n = n,” ασ ιν k k!(n − k)! εφφορτ−βασεδ τιµε−ινδεπενδεντ (τεστ χασεσ) χοϖεραγε δατα σετσ 1 το 5

Α νονστατιοναρψ χοµπουνδ Ποισσον αρριϖαλ προχεσσ ισ γιϖεν ασ [6,25–31,36; 32, ππ. 90–101] [X(t), t ≥ 0] =

N(t)  i=1

wi

(1)

179

ΕΦΦΟΡΤ−ΒΑΣΕ∆ ΕΜΠΙΡΙΧΑΛ ΒΑΨΕΣΙΑΝ ΣΤΟΠΠΙΝΓ ΡΥΛΕ

ωηερε N (t) > 1 ανδ τηε χοµπουνδινγ χλυµπ σιζεσ w1 , w2 , . . . αρε ι.ι.δ. ανδ ωηερε f (wi ) αρε διστριβυτεδ ωιτη ΛΣ∆ [6] ασ φολλοωσ: f (w) = a

θw , w

a=−

0 < θ < 1,

a > 0,

w = 1, 2, . . .

1 λν(1 − θ )

(2) (3)

Τηεν X(t), t ≥ 0 ισ α Ποισσον∧ ΛΣ∆ π.δ.φ. ωηεν N (t) ∼ Ποισσον(λ) ανδ wi ∼ ΛΣ∆(θ ) φορ i = 1, 2, . . . [6,26,27,29]. Ηοωεϖερ, ιφ φορ k > 0 ωε λετ λ = −k λν(1 − θ ) = k λν q ωηερε q=

1 1−θ

(4)

(5)

τηεν X ∼ Ποισσον∧ ΛΣ∆ ισ α ρανδοµ ϖαριαβλε ωιτη α νεγατιϖε βινοµιαλ διστριβυτιον (ΝΒ∆). E(X) = kp ωηεν E(X) ισ τηε νυµβερ οφ εξπεχτεδ φαιλυρεσ ωιτηιν τηε νεξτ τιµε ορ εφφορτ υνιτ. Σινχε  w 1 1 q f (w) = λν q w q − 1  1 1 p w = (6) λν q w q ωηερε p = q − 1,

q = (p + 1) > 1

(7)

ιτσ χηαραχτεριστιχ φυνχτιον (χ.φ.) ισ δεριϖεδ ασ φολλοωσ:

X(t) (u) = εξπ[λ(φw (u) − 1)]

(8)

ωηερε φw (u) ισ τηε χ.φ. οφ ΛΣ∆, ωηιχη ισ γιϖεν βψ φw (u) = 1 −

1 [λν(q − peiu )] λν q

(9)

Τηεν 

 1

X(t) (u) = εξπ k λν q 1 − (q − peiu ) − 1 λν q = εξπ[λν(q − peiu )]−k = (q − peiu )−k

(10)

180

ΣΤΟΠΠΙΝΓ ΡΥΛΕΣ ΙΝ ΣΟΦΤΩΑΡΕ ΤΕΣΤΙΝΓ

Νοτε τηατ X(t) (u) ισ τηε χ.φ. οφ ΝΒ∆. Νοω τηε προβαβιλιτψ διστριβυτιον φυνχτιον οφ X ισ X k+X−1 p f (X) = Ck−1 (11) k+X q ωηερε C δενοτεσ α χοµβινατιον οπερατορ, ανδ φροµ εθυατιον (7), p =q−1=

1 θ −1= 1−θ 1−θ

(12)

ωηερε q = 1/(1 − θ ). Τηυσ, ρεοργανιζινγ (11) ανδ (12), ωε οβταιν k+X−1 f (X | θ ) = Ck−1



θ 1−θ

X

(1 − θ )k+X

(13)

Σινχε τηε ποσιτιϖε αυτοχορρελατιον αµονγ τηε φαιλυρεσ ορ βρανχηεσ ιν α χλυστερ ισ νοτ χονσταντ ανδ ϖαριεσ φροµ ονε το ανοτηερ, ιτ χαν βε ωελλ τρεατεδ ασ α ρανδοµ ϖαριαβλε δενοτεδ βψ θ τηατ ρανγεσ φροµ 0 το 1. Ηενχε, αµονγ χοντινυουσ διστρι− βυτιονσ ωιτη α ρανγε βετωεεν 0 ανδ 1, τηε βετα διστριβυτιον χαν βε χονσιδερεδ ασ α χονϕυγατε πριορ διστριβυτιον φορ θ ωιτη ιτσ χορρεσπονδινγ π.δ.φ. Σινχε 0 < θ < 1, ωε λετ τηε πριορ π.δ.φ. οφ τηε ρανδοµ ϖαριαβλε  = θ βε α Βετα(α, β) π.δ.φ. ωιτη h(θ ) =

Ŵ(α)Ŵ(β) α−1 θ (1 − θ )β−1 , Ŵ(α + β)

0 < θ < 1,

α, β > 0

k+X−1 X f (X | θ ) = Ck−1 θ (1 − θ )k

Τηεν τηε ϕοιντ π.δ.φ. οφ X = h(θ, X) = =

N(t) i=1

(14) (15)

wi ανδ  ισ γιϖεν ασ

Ŵ(α)Ŵ(β) X−1 k+X−1 X θ (1 − θ )β−1 Ck−1 θ (1 − θ )k Ŵ(α + β)

Ŵ(α)Ŵ(β) k+X−1 α+X−1 θ (1 − θ )β+k−1 C Ŵ(α + β) k−1

(16)

ανδ τηε µαργιναλ διστριβυτιον οφ X ισ γιϖεν ασ k+X−1 h(X) = Ck−1 k+X−1 = Ck−1

Ŵ(α)Ŵ(β) Ŵ(α + β)



1

0

θ α+X−1 (1 − θ )β+k−1 dθ

Ŵ(α)Ŵ(β) Ŵ(α + β + X + k) Ŵ(α + β) Ŵ(α + k)Ŵ(β + k)

(17)

Νοω, βψ υσινγ Βαψεσ’ τηεορεµ [38,46], ωηερε h(θ | X) = [f (X | θ )h(θ )]/ h(X), τηε ποστεριορ διστριβυτιον οφ (θ | X) ισ δεριϖεδ ασ φολλοωσ: h(θ | X) =

Ŵ(α + X)Ŵ(β + k) Ŵ(α + β + X + k)

θ α+X−1 (1 − θ )β+k−1

(18)

ΕΦΦΟΡΤ−ΒΑΣΕ∆ ΕΜΠΙΡΙΧΑΛ ΒΑΨΕΣΙΑΝ ΣΤΟΠΠΙΝΓ ΡΥΛΕ

181

Τηισ ισ τηε ωελλ−κνοων βετα διστριβυτιον, ασ ιν h(θ | X) = Βετα(α + X, β + k)

(19)

Ωιτη ρεσπεχτ το τηε σθυαρεδ−ερρορ λοσσ φυνχτιον δε⇒νιτιον [46], ιτσ εξπεχτεδ ϖαλυε ισ γιϖεν ασ α+X (20) E(θ | X) = α+β +X+k

ωηιχη ισ δε⇒νεδ το βε τηε Βαψεσ εστιµατορ. Ωε κνοω τηατ τηε εξπεχτεδ ϖαλυε οφ τηε ρανδοµ ϖαριαβλε X, ωηιχη ισ α νεγατιϖε βινοµιαλ διστριβυτιον, ισ γιϖεν ασ ιν τηε φολλοωινγ βψ συβστιτυτινγ τηε Βαψεσ ποστεριορ π.δ.φ. οφ θ φροµ εθυατιον (19) ιντο (21), τηεν υσινγ (12) φορ p ανδ E(X) = kp:  1 θ E(X) = k h(θ | X) dθ (21) 0 1−θ α+X E(X) = k (22) β −1+k Τηερεφορε, γ = −k λν(1 − θ ) = k λν q ανδ τηυσ k = λ/ λν q φροµ εθυατιον (4) χαν βε αππροξιµατεδ ρεχυρσιϖελψ ασ ιν (24) ωηεν τηε ποστεριορ Βαψεσ εστιµατορ οφ θ φροµ (20) ισ εντερεδ φορ θ ιν (4): eλ/k =

α+β +X+k β+k

(23)

ωηιχη ισ α νονλινεαρ εθυατιον τηατ χαν βε σολϖεδ ρεαδιλψ υσινγ τηε Νεωτον– Ραπησον µετηοδ εµπλοψινγ αν ινιτιαλ k(0). Σινχε α ανδ β αρε γιϖεν χονσταντσ, ατ εαχη δισχρετε στεπ ωε υσε τηε αχχυµυλατεδ X (τηε τοταλ φαιλυρεσ ορ βρανχη χοϖεραγε) ανδ χαλχυλατε τηε χονσταντ k φορ τηε νεξτ στεπ. Ηοωεϖερ, υσινγ τηε γενεραλιζεδ (ινχοµπλετε) βετα πριορ [47] ινστεαδ οφ τηε στανδαρδ βετα πριορ χαν βε µορε ρεασοναβλε ανδ ρεαλιστιχ σινχε τηε φορµερ ινχλυδεσ αν εξπερτ οπινιον (σοµετιµεσ χαλλεδ αν “εδυχατεδ γυεσσ”) αβουτ τηε φεασιβλε ρανγε οφ τηε παραµετερ 0 < θ < 1. Τηερεφορε, θ χαν βε εντερεδ βψ τηε αναλψστ ασ α ρανγε ορ διφφερενχε τηισ τιµε ιν τηε φορµ διφ(θ ) = θ2 (υππερ) − θ1 (λοωερ)

(24)

το ρε⇓εχτ α ρανγε οφ πριορ βελιεφ οφ ποσιτιϖε χορρελατιον αµονγ τηε σοφτωαρε φαιλ− υρεσ ορ βρανχηεσ χοϖερεδ ιν α χλυµπ. Φιναλλψ, ωε δεριϖε α µορε γενεραλ εθυατιον νοτ δεταιλεδ βεψονδ τηε σχοπε οφ τηισ σεχτιον φορ α γενεραλιζεδ βετα το ρεπλαχε εθυατιον (24), ωηιχη ωασ δεριϖεδ φορ τηε στανδαρδ βετα πριορ. Εθυατιον (24) τρανσ− φορµσ ιντο (25) φορ τηε γενεραλιζεδ βετα, ανδ φορ εξαµπλε, ωηεν θ 1 = 0 ανδ θ2 = 0.6: eλ/k = =

α+β +X+k (1 − θ2 + θ1 )(α + X) + β + k α+β+X+k 0.4(α + X) + β + k

(25)

182

ΣΤΟΠΠΙΝΓ ΡΥΛΕΣ ΙΝ ΣΟΦΤΩΑΡΕ ΤΕΣΤΙΝΓ

Ονε σηουλδ εµπηασιζε τηατ X ισ αν ινπυτ δατυµ δενοτινγ τηε εξπεριενχεδ ϖαλυε οφ τηε νυµβερ οφ φαιλυρεσ δισχοϖερεδ ορ βρανχηεσ χοϖερεδ ασ α ρεαλιζατιον οφ τηε ΧΠ. Χονσεθυεντλψ, E(X) ισ τηε εξπεχτεδ ϖαλυε οφ σοφτωαρε φαιλυρεσ ορ βρανχη χοϖεραγε ιν τηε νεξτ υνιτ οφ τιµε ορ δισχρετε εφφορτ (τεστ χασε). Ιφ E(X) ισ µυλτιπλιεδ βψ τηε τιµε υνιτσ ορ εφφορτσ (τεστ χασεσ) ρεµαινινγ, ωε χαν πρεδιχτ τηε εξπεχτεδ νυµβερ οφ ρεµαινινγ φαιλυρεσ, ορ βρανχηεσ υνχοϖερεδ. 4.1.4 Στοππινγ Ρυλε Προποσεδ φορ Υσε ιν Σοφτωαρε Τεστινγ Ιφ τηε ινχρεµενταλ διφφερενχε εξπεχτεδ βετωεεν σεθυεντιαλ στεπσ, i = 1, 2, . . ., ωηερε i δενοτεσ τηε τεστινγ ιντερϖαλ ιν τερµσ οφ δαψσ ορ ωε3εκσ ιν τηε τιµε δοµαιν ορ τεστ χασεσ ιν τηε εφφορτ δοµαιν, ισ σηοων το εξχεεδ α γιϖεν εχονοµιχ χριτεριον d, τεστινγ ισ χοντινυεδ. Οτηερωισε, τεστινγ ισ στοππεδ. Φολλοωινγ ισ τηε ονε−στεπ−αηεαδ φορµυλα, ωηοσε υτιλιτψ ισ µαξιµιζεδ (ορ λοσσ ισ µινιµιζεδ) ασ σηοων εαρλιερ βψ Ρανδολπη ανδ Σαηινογλυ [36]: e(X) = E(Xi+1 ) − E(Xi ) ≤ d

(26)

ωηιχη χαν βε ρεαρρανγεδ ιν τηε φορµ e(X) = ki+1

α + Xi+1 α + Xi − ki ≤d β − 1 + ki+1 β − 1 + ki

(27)

βψ υτιλιζινγ εθυατιον (25). Ηοωεϖερ, ινχορπορατινγ τηε γενεραλιζεδ βετα πριορ ψιελδσ e(X) = ki+1 − ki

(θ2 − θ1 )(α + Xi+1 ) (α + β − 1 + Xi+1 + ki+1 ) − (θ2 − θ1 )(α + Xi+1 )

(θ2 − θ1 )(α + Xi ) ≤d (α + β − 1 + Xi + ki ) − (θ2 − θ1 )(α + Xi )

(28)

ωηερε d = c/(a − b) ανδ α, β, ki , Xi , θ2 , ανδ θ1 αρε ινπυτ ϖαλυεσ ατ εαχη δισχρετε στεπ i. Νοτε τηατ εθυατιον (28) δεφαυλτσ το (27) φορ θ1 = 0 ανδ θ2 = 1 ορ διφ(θ ) = θ2 − θ1 = 1 ωηεν νειτηερ αν εξπερτ ϕυδγµεντ νορ αν εδυχατεδ γυεσσ εξιστσ ον τηε βουνδσ οφ τηε χορρελατιον στρενγτη φορ φαιλυρε χλυµπσ. Ιφ ωε ωερε το στοπ ατ α δισχρετε ιντερϖαλ i, ωε ωουλδ ασσυµε τηατ τηε φαιλυρεσ ορ βρανχη χοϖεραγε δισχοϖερεδ ωιλλ ηαϖε το αχχρυε ιν τηε ⇒ελδ α χοστ οφ a περ φαιλυρε ορ βρανχη αφτερ τηε φαχτ ορ φολλοωινγ ρελεασε οφ τηε σοφτωαρε. Τηυσ, τηερε ισ αν εξπεχτεδ χοστ οϖερ τηε ιντερϖαλ {i, i + 1} οφ aE{Xi } φορ στοππινγ ατ τιµε t = ti ορ τεστ χασε i. Ιφ ωε χοντινυε τεστινγ οϖερ τηε ιντερϖαλ, ωε ασσυµε τηατ τηερε ισ α ⇒ξεδ χοστ οφ c φορ τεστινγ ανδ α ϖαριαβλε χοστ οφ b οφ ⇒ξινγ εαχη φαιλυρε φουνδ δυρινγ τηε τεστινγ βεφορε τηε φαχτ ορ πρεχεδινγ ρελεασε οφ τηε σοφτωαρε. Νοτε τηατ a ισ αλµοστ αλωαψσ λαργερ τηαν b σινχε ιτ σηουλδ βε χονσιδεραβλψ µορε εξπενσιϖε το ⇒ξ α φαιλυρε (ορ ρεχοϖερ αν υνδισχοϖερεδ βρανχη) ιν τηε ⇒ελδ τηαν το οβσερϖε ανδ ⇒ξ ιτ

ΕΦΦΟΡΤ−ΒΑΣΕ∆ ΕΜΠΙΡΙΧΑΛ ΒΑΨΕΣΙΑΝ ΣΤΟΠΠΙΝΓ ΡΥΛΕ

183

ωηιλε τεστινγ ιν ηουσε. Τηυσ, τηε εξπεχτεδ χοστ φορ τηε χοντινυατιον οφ τεστινγ φορ τηε νεξτ τιµε ιντερϖαλ ορ τεστ χασε ισ bE(Xi ) + c. Τηισ χοστ µοδελ ισ σοµεωηατ σιµιλαρλψ ινσπιρεδ, ιφ νοτ εξαχτλψ τηε σαµε, φροµ τηατ οφ τηε χριτεριον εξπρεσσεδ ιν ρεφερενχε 48. Οππορτυνιτψ ορ σηαδοω χοστ ισ νοτ χονσιδερεδ ηερε σινχε συχη αν αδδιτιοναλ ορ ιµπλιεδ χοστ µαψ βε ινχλυδεδ ωιτηιν α µορε εξπενσιϖε ανδ ρεµεδιαλ αφτερ−ρελεασε χοστ χοεφ⇒χιεντ δενοτεδ βψ a. Σοµε ρεσεαρχηερσ αρε νοτ χοντεντ ωιτη τηεσε ⇒ξεδ χοστσ. Ηοωεϖερ, τηε ΜΕΣΑΤ−1 τοολ εµπλοψεδ ηερε χαν τρεατ τηατ προβλεµ τηρουγη α ϖαριαβλε χοστινγ δατα−δριϖεν αππροαχη ασ νεεδεδ βψ τηε τεστινγ αναλψστ. Τηατ ισ, α σεπαρατε ϖαλυε ισ εντερεδ ατ ωιλλ ιν τηε ΜΕΣΑΤ−1 ϑαϖα προγραµ φορ a ορ b ορ c ατ εαχη τεστ χασε, ιφ τηεσε χοστ παραµετερσ αρε δε⇒νεδ το ϖαρψ φροµ χασε το χασε. Τηερεφορε, αν αλτερνατιϖε χοστ µοδελ σιµιλαρ το τηατ οφ ∆αλλαλ ανδ Μαλλοωσ [48], ρεϖισεδ βψ Ρανδολπη ανδ Σαηινογλυ [36], ισ υσεδ. Ιφ φορ τηε iτη υνιτ ιντερϖαλ βεγιννινγ ατ τιµε t ορ φορ τηε iτη τεστ χασε, τηε εξπεχτεδ χοστ οφ στοππινγ ισ γρεατερ τηαν ορ εθυαλ το τηε εξπεχτεδ χοστ οφ χοντινυινγ, aE(Xi+1 ) ≥ bE(Xi ) + c

(29)

ιτ ισ εχονοµιχαλ το χοντινυε τεστινγ τηρουγη τηε ιντερϖαλ ορ εφφορτ. Ον τηε οτηερ ηανδ, ιφ τηε εξπεχτεδ χοστ οφ στοππινγ ισ λεσσ τηαν τηε εξπεχτεδ χοστ οφ χοντινυινγ (ωηεν τηε ινεθυαλιτψ σιγν ισ ρεϖερσεδ), ιτ ισ µορε εχονοµιχαλ ανδ χοστ−εφφεχτιϖε το στοπ τεστινγ. aE(Xi+1 ) < bE(Xi ) + c (30) Τηε δεχισιον−τηεορετιχ ϕυστι⇒χατιον φορ τηισ στοππινγ ρυλε ισ τριϖιαλλψ σιµπλε. Ωηεν E(Xi+1 ) = E(Xi ) ισ αλµοστ ιδεντιχαλ ατ τηε ποιντ οφ εθυαλιτψ ορ εθυιλιβριυµ ωηερε τηε δεχισιον οφ στοππινγ ηασ τηε µοστ υτιλιτψ (λοωεστ λοσσ) δυε το α νεγλιγιβλε διφφερενχε βετωεεν τηε ολδ ανδ νεω ινφορµατιον, ωε στοπ ατ α βαλανχε ποιντ βετωεεν υνδερ− ανδ οϖερτεστινγ. Τηεν (30) φολλοωσ ασ α φολλοω−υπ το (29): E(Xi+1 ) − E(Xi ) =

c = d a−b

(31)

Ηοωεϖερ, ιν τηισ χηαπτερ ωε αλσο χοντενδ τηατ ονε−στεπ−αηεαδ δεχισιον ισ νοτ τηε ονλψ ωαψ. Α µυλτιστρατεγψ συχη ασ τωο−σταγε δεχισιον µακινγ ισ σηοων το βε συπεριορ, ασ δισχυσσεδ βψ Σαηινογλυ ετ αλ. [7]. Τηισ ισ εθυιϖαλεντ το υσινγ τηε σαµε στοππινγ ρυλε φορ τηε λατεντ δατα φολλοωινγ τηε δεχισιον µαδε φορ τηε εαρλιερ στοππινγ ρυλεσ ασ δεσχριβεδ βψ Μχ∆αιδ ανδ Ωιλσον [42] βασεδ ον Σινγπυρωαλλα’σ ανδ Ωιλσον’σ ταξονοµψ ιν τηειρ µοστ ρεχεντ βοοκ [49, Χηαπ. 6]. Εθυατιον (28) ηερε ισ νειτηερ α ⇒ξεδ−τιµε λοοκ−αηεαδ νορ α ονε−βυγ λοοκ−αηεαδ πλαν ασ ουτλινεδ βψ Σινγπυρωαλλα ανδ Ωιλσον [49]. Ηοωεϖερ, ιτ ισ ονε−σταγε λοοκ−αηεαδ τεστινγ, φορτι⇒εδ βψ σεχονδ− ανδ τηιρδ−σταγε τεστινγ ιφ νεεδεδ, χαλλεδ α µυλτιστρατεγψ τεστ− ινγ πλαν ιν τηισ χηαπτερ ανδ συππορτεδ ιν σοµε ρεχεντ πυβλιχατιονσ [6–10,45]. Αππενδιξ 4Χ σηοωσ α πραχτιχαλ αππλιχατιον οφ τηεσε µυλτιστρατεγψ ρυλεσ υσινγ προποσεδ λοοκ−αηεαδ εθυατιον (28) υνδερ τηε νεωλψ προποσεδ νεγατιϖε βινοµιαλ διστριβυτιον προβαβιλιτψ µοδελ, ωηιχη ισ α χοµπουνδεδ ΝΗΠΠ.

184

ΣΤΟΠΠΙΝΓ ΡΥΛΕΣ ΙΝ ΣΟΦΤΩΑΡΕ ΤΕΣΤΙΝΓ

Τηε στοππινγ ρυλε ουτλινεδ τηρουγη εθυατιονσ (26)–(29) εσσεντιαλλψ στατεσ τηατ ιφ τηε νυµβερ οφ φαιλυρεσ (ορ βρανχη χοϖεραγε) εξπεχτεδ το βε φουνδ ιν τηε σοφτωαρε ιν τηε νεξτ υνιτ οφ τιµε ορ εφφορτ ισ συφ⇒χιεντλψ σµαλλ ωιτη ρεσπεχτ το α γιϖεν χριτεριον, ωε σηουλδ στοπ τεστινγ ανδ ρελεασε τηε σοφτωαρε παχκαγε το τηε ενδ υσερ. Ιφ τηε νυµβερ οφ φαιλυρεσ (βρανχη χοϖεραγε) εξπεχτεδ ισ ρελατιϖελψ λαργε, ωε σηουλδ χοντινυε τεστινγ το χοϖερ µορε γρουνδ. Τηε στοππινγ ρυλε δεπενδσ ον αν υπ−το−δατε εξπρεσσιον φορ α Ποισσον∧ ΛΣ∆ ορ νεγατιϖε βινοµιαλ διστριβυτιον προϖιδεδ τηατ α σπεχιαλ ασσυµπτιον ηολδσ. Τηερεφορε, ωε νεεδ αχχυρατε εστιµατεσ οφ θ το υπδατε στεπωισε. Ηοωεϖερ, συχη εστιµατεσ δεπενδ ον τηε ηιστορψ οφ τεστινγ, ωηιχη ιµπλιεσ τηε υσε οφ εµπιριχαλ Βαψεσ δεχισιον προχεδυρεσ ασ δεσχριβεδ αβοϖε, συχη ασ ιν τηε “στατιστιχιαν’σ ρεωαρδ” ορ “σεχρεταρψ” προβλεµ, ωηερε α ⇒ξεδ χοστ c περ οβσερϖατιον ισ χονσιδερεδ [6–10,38,39]. Μορεοϖερ, τηε διϖεργενχε φαχτορ d = c/(a − b) ιν εθυατιον (31) σιγνι⇒εσ τηε ρατιο οφ τηε χοστ χ οφ περφορµινγ α τεστ οϖερ τηε διφφερενχε βετωεεν τηε ηιγηερ a χοστ οφ χατχηινγ α φαιλυρε αφτερ τηε φαχτ ανδ τηε λοωερ b χοστ οφ χατχηινγ α φαιλυρε βεφορε ρελεασε. Γιϖεν τηατ τηε νυµερατορ c ισ χονσταντ, ιντυιτιϖελψ, α λαργε διφφερενχε βετωεεν a ανδ b, ηενχε α σµαλλερ d, ωιλλ δελαψ τηε στοππινγ µοµεντ, ασ ιτ ισ χοστλιερ το στοπ πρεµατυρελψ βψ λεαϖινγ υνχορρεχτεδ φαιλυρεσ ορ υνδετεχτεδ βρανχηεσ. Αλσο, γιϖεν τηατ τηε δενοµινατορ a − b ισ χονσταντ, α λοωερ τεστινγ χοστ περ τεστ χασε c ψιελδινγ α σµαλλερ d ωιλλ αλσο δελαψ τηε στοππινγ µοµεντ, ασ ιτ ισ χηεαπερ το εξπεριµεντ µορε. Μορεοϖερ, α, β, ki , Xi , θ2 , ανδ θ1 αρε ινπυτ χονσταντσ ατ εαχη δισχρετε στεπ i, ωηερε α ανδ β αρε πριορ παραµετερσ φορ τηε ΛΣ∆(θ ) ιν τηε Βαψεσιαν αναλψσισ, ωηερε 0 < θ < 1 δενοτεσ τηε ποσιτιϖε−χορρελατιον−χοεφ⇒χιεντ− λικε παραµετερ θ οφ ΛΣ∆. Ιν εθυατιονσ (4) ανδ (20), k ισ αν υνκνοων θυαντιτψ. Νοτε τηατ θ ανδ k τογετηερ δε⇒νε λ, ωηιχη ισ αν ιµπορταντ παραµετερ οφ τηε µοδελ. Α χοµπλετε Βαψεσιαν αναλψσισ ρεθυιρεσ αν ινφερενχε ον k ασ ωελλ. Νοτε τηατ εϖεν τηουγη συχη αναλψσισ δοεσ νοτ ψιελδ αναλψτιχαλλψ τραχταβλε ρεσυλτσ, ιτ χαν εασιλψ βε δονε υσινγ ΜΧΜΧ (Μαρκοϖ χηαιν Μοντε Χαρλο) µετηοδσ. Σινχε k ισ νοτ δεσχριβεδ προβαβιλιστιχαλλψ, βυτ ισ εστιµατεδ υσινγ δατα, τηε αππροαχη φολλοωεδ ισ νοτ φυλλψ Βαψεσιαν, βυτ εµπιριχαλ Βαψεσιαν [50]. Αλσο, ΜΧΜΧ ισ βεψονδ τηε σχοπε οφ τηισ χηαπτερ, ωηιχη δοεσ νοτ υσε α φυλλψ Βαψεσιαν αππροαχη. θ2 ανδ θ1 αρε υππερ ανδ λοωερ χονστραιντσ φορ θ ιφ δεφαυλτ σιτυατιον θ2 − θ1 = 1 ισ νοτ σελεχτεδ. Νοω, λετ ΡΦ βε τηε νυµβερ οφ φαυλτσ ορ χοϖεραγε ρεµαινινγ αφτερ τηε στοππινγ αχτιον ανδ ΡΤ βε τηε νυµβερ οφ τεστ χασεσ ρεµαινινγ αφτερ τηε στοππινγ αχτιον. Τηεν, φορ τηε στοππινγ−ρυλε αλγοριτηµ το βε χοστ−εφ⇒χιεντ, τηε φολλοωινγ εθυατιον (ιν δολλαρσ) σηουλδ ηολδ: (ΡΦ)a ≤ (ΡΦ)b + (ΡΤ)c

(32)

φροµ ωηιχη τηε ινεθυαλιτιεσ φορ a ≤, b ≥, ανδ c ≥ χαν βε δεριϖεδ υσινγ α σιµπλε αλγεβρα: (ΡΦ)b + (ΡΤ)c ΡΦ (ΡΦ)a − (ΡΤ)c b≥ ΡΦ

a≤

(33) (34)

ΕΦΦΟΡΤ−ΒΑΣΕ∆ ΕΜΠΙΡΙΧΑΛ ΒΑΨΕΣΙΑΝ ΣΤΟΠΠΙΝΓ ΡΥΛΕ

(ΡΦ)a − (ΡΦ)b ΡΤ τεστ εξπενσε = b × νο. οφ φαιλυρεσ ρεπαιρεδ + c c≥

× νο. οφ τεστ χασεσ χοϖερεδ

185

(35)

(36)

4.1.5 Αππλιχατιονσ ανδ Ρεσυλτσ Τηε ριγητ−ηανδ σιδε οφ εθυατιον (32) ισ τηε δολλαρ αµουντ οφ σαϖινγσ δυε το τηε στοππινγ αχτιον τακεν βψ νοτ εξεχυτινγ τηε ρεµαινινγ τεστ χασεσ ανδ βψ νοτ χορρεχτινγ ορ δετεχτινγ τηε ρεµαινινγ φαυλτσ (ορ βρανχηεσ). Τηε λεφτ−ηανδ σιδε οφ εθυατιον (32) ισ τηε δολλαρ αµουντ οφ ποτεντιαλ λοσσ ιφ τηοσε ρεµαινινγ φαυλτσ ορ χοϖεραγε ωερε το βε χορρεχτεδ αφτερ ρελεασε. Ιφ τηε ριγητ−ηανδ σιδε ισ γρεατερ τηαν τηε λεφτ−ηανδ σιδε ιν (32), ιτ ισ α ποσιτιϖε γαιν; οτηερωισε, ιτ ισ α νεγατιϖε λοσσ. Λετ ΤΧ βε τηε νυµβερ οφ τεστ χασεσ, ΝΧ τηε χοϖεραγε νυµβερ, ανδ ΜΧ τηε µινιµυµ χοϖεραγε ρεθυιρεδ, ωηιχη ισ εθυαλ το ΧΛ × ΝΧ [6,51]. Λιστεδ ιν Ταβλε 4.1 αρε τηε σιξ ϖαρψινγ χοστ σχεναριοσ φορ Ταβλε 4.2, ωηιχη αλσο ινδιχατεσ τηε συβτλε εφφεχτ δυε το αδδιτιοναλ χονστραιντ ινφορµατιον ον τηε ρανγε οφ θ . Τηερε αρε ⇒ϖε θυαδρυπλετσ ιν Ταβλε 4.2, εαχη σιγνιφψινγ ονε δατα σετ. Εαχη ροω ιν α θυαδρυπλετ περταινσ το ονε οφ τηε φουρ σενσιτιϖιτψ στυδιεσ 3 το 6 ιν Ταβλε 4.1. Νοτε τηατ τηε ⇒ρστ ροωσ ιν εαχη θυαδρυπλετ δεµονστρατε α τεστ ενϖιρονµεντ ωηερε τηε ϖαλυε οφ ΤΧ ισ νοτ αϖαιλαβλε, τηερεφορε ηασ νο χον⇒δενχε λεϖελ (ΧΛ) σπεχι⇒εδ. Τηυσ, τεστινγ ηαλτσ ωηενεϖερ τηε ονε−στεπ−αηεαδ φορµυλα (28) ⇒ρστ ηολδσ αφτερ ατ λεαστ τωο τεστ χασεσ ωιτη νονζερο φαιλυρεσ ορ βρανχη χοϖεραγε αρε εξπεριενχεδ. Τηε σεχονδ ροωσ ιν εαχη θυαδρυπλετ αγαιν ποσσεσσ νο σπεχι⇒εδ ΧΛ, βυτ τεστινγ ισ αλλοωεδ το χοντινυε υντιλ ορ παστ α χερταιν γιϖεν µινιµαλ νυµβερ οφ τεστ χασεσ σπεχι⇒εδ βψ τηε αναλψστ. Ιν τηισ εξαµπλε, 50% οφ τοταλ τεστ χασεσ ισ τακεν ασ µινιµαλ ανδ τηε τεστ στοπσ ασ σοον ασ (28) ισ ϖερι⇒εδ. Τηε τεστ χαν αλσο βε ηαλτεδ ασ α ρεσυλτ οφ εξχεεδινγ τηε εξπενσε χριτεριον ιν εθυατιον (36), ωηιχη ισ βασεδ ον φυνδσ βυδγετεδ. Τηε τηιρδ ανδ φουρτη ροωσ σηοω S(·) ωηεν τηε δολλαρ γαιν ισ ποσιτιϖε υνδερ τηε σαϖινγσ χολυµν. Τηε οπτιµαλ a < φορ δε⇒νιτιονσ (3) ανδ (4) ιν Ταβλε 4.1 αρε τηε οπτιµαλ a χοστσ το ρενδερ τηε στοππινγ ρυλε λυχρατιϖε (ι.ε., χοστ−εφ⇒χιεντ). ΤΑΒΛΕ 4.1

Σιξ Σχεναριοσ ανδ Τηειρ Σενσιτιϖιτψ Στυδιεσ φορ Ταβλε 4.2

1. Τηε στοππινγ ρυλε S(·) φορ τηε δεφαυλτ ιντραχορρελατιον ωιτη α ρανγε οφ υνιτψ, θ2 − θ1 = 1.0 2. Τηε στοππινγ ρυλε S(·) φορ τηε ιντραχορρελατιον ωιτη α ρανγε οφ ηαλφ, θ2 − θ1 = 0.5 3. a ≤ : Γιϖεν c = ∃100, b = ∃1000, ωηατ ισ τηε οπτιµαλ a ≤ το ρενδερ ΜΕΣΑΤ−1 χοστ−εφ⇒χιεντ? 4. a ≤ : Γιϖεν c = ∃100, b = ∃200, ωηατ ισ τηε οπτιµαλ a ≤ το ρενδερ ΜΕΣΑΤ−1 χοστ−εφ⇒χιεντ? 5. Σαϖινγσ ωιτη ρεσπεχτ το εθυατιον (32) υσινγ τηε ινπυτ χοστ παραµετερσ ανδ χοϖεραγε λεϖελ. 6. Εξπενσε χριτεριον χαλχυλατεδ φροµ εθυατιον (36) υντιλ στοππινγ φορ χασεσ ωηεν τηε ΧΛ ισ υνκνοων.

186

ΣΤΟΠΠΙΝΓ ΡΥΛΕΣ ΙΝ ΣΟΦΤΩΑΡΕ ΤΕΣΤΙΝΓ

ΤΑΒΛΕ 4.2

Σινγλε−Σταγε Στοππινγ Ρυλεσ Σ (·) = Ξ ∗

Σιξ Σχεναριοσ → ΤΧ

ΧΛ (ΜΧ)

∆Ρ1 100 200 200 ∆Ρ2 92 185 185 ∆Ρ3 50 100 100 ∆Ρ4 100 200 200 ∆Ρ5 1094 2176 2176

0 0.5 0.8 0.9 0 0.5 0.8 0.9 0 0.5 0.8 0.9 0 0.5 0.8 0.9 0 0.5 0.8 0.9

(107) (121)

(74) (83)

(35) (40)

(50) (57)

(37) (41)

(1) θ2 − θ1 =1

(2) θ2 − θ1 = 0.5

S(4) = 38 S(100) = 94 S(126) = 108 S(169) = 132 S(3) = 23 S(92) = 52 S(153) = 90 S(153) = 90 S(5) = 4 S(50) = 27 S(85) = 43 S(85) = 43 S(4) = 19 S(101) = 54 S(95) = 51 S(171) = 57 S(2) = 4 S(1094) = 40 S(100) = 38 S(2042) = 42

S(2) = 36 S(100) = 94 S(125) = 108 S(167) = 126 S(2) = 23 S(92) = 52 S(153) = 90 S(153) = 90 S(5) = 4 S(50) = 27 S(84) = 43 S(84) = 43 S(4) = 19 S(101) = 54 S(95) = 51 S(171) = 57 S(2) = 4 S(1094) = 40 S(100) = 38 S(2042) = 42

(3) a≤

(4) a≤

(5) Σαϖινγσ

∃1,284 ∃2,550

∃485 ∃1,750

∃1,500 ∃1,500

∃1,300 ∃2,550

∃500 ∃1,750

∃1,500 ∃1,500

∃1,375 ∃1,633

∃575 ∃833

∃700 ∃700

∃1,875 ∃1,483

∃1075 ∃683.3

∃900 ∃600

∃27,088 ∃4,625

∃26,288 ∃3,825

∃202,300 ∃11,300

(6) Εξπενσε

∃28,800

∃19,600

∃10,400

∃20,900

∃117,400

∗

∆Ρ1 (ΝΧ = 134 ιν ΤΧ = 200) οφ ροωσ 1–4, ∆Ρ2 (ΝΧ = 92 ιν ΤΧ = 185) οφ ροωσ 5–8, ∆Ρ3 (ΝΧ = 44 ιν ΤΧ = 100) οφ ροωσ 9–12, ∆Ρ4 (ΝΧ = 63 ιν ΤΧ = 200) οφ ροωσ 13–16, ∆Ρ5 (ΝΧ = 46 ιν ΤΧ = 2176) οφ ροωσ 17–20 ωηεν α = 8 ανδ β = 2, ωιτη ρεσπεχτ το χριτερια (1) το (6) ιν Ταβλε 4.1

Λοοκινγ ατ αν εξαµπλε φροµ Ταβλε 4.2 φορ ∆Ρ5, ον ιτσ ⇒ρστ ροω, στοπ ατ τηε σεχονδ τεστ χασε αφτερ χοϖερινγ φουρ βρανχηεσ ωηεν εθυατιον (28) ισ ⇒ρστ ϖερι⇒εδ. Φορ ∆Ρ5’σ σεχονδ ροω, ωηεν ΧΛ διδ νοτ αππλψ δυε το τηε ⇒ναλ νυµβερ οφ φαιλυρεσ ορ βρανχηεσ βεινγ υνκνοων; ατ λεαστ 50% οφ τηε τοταλ φαιλυρεσ ασ α πρεσχριβεδ µινιµαλ 1094 τεστ χασεσ ωερε αλλοωεδ το ρυν, ατ ωηιχη ποιντ τηε δεχισιϖε εθυατιον (28), ωασ αλσο ϖερι⇒εδ. Ωηεν τηε στοππινγ ρυλε ισ αππλιεδ, τηερε ισ αν εξπενσε αµουντ οφ δολλαρσ αχχυµυλατεδ φροµ εθυατιον (36). Τηε τηιρδ ανδ φουρτη ροωσ ιν εαχη θυαδρυπλετ βεηαϖε ωιτη ρεσπεχτ το α χον⇒δενχε λεϖελ οφ 0.8 (80%) ανδ 0.9 (90%), ρεσπεχτιϖελψ. Τεστινγ µαψ ηαλτ ον ορ αφτερ ενσυρινγ τηισ σπεχι⇒εδ µινιµαλ χον⇒δενχε λεϖελ οφ χοϖεραγε ασ λονγ ασ εθυατιον (28) ηολδσ ανδ τηε γαιν ισ ποσιτιϖε ιν εθυατιον (32), σινχε τηε τοταλ νυµβερ οφ φαιλυρεσ ορ βρανχηεσ αϖαιλαβλε ισ κνοων. Τηε ΤΧ ϖαλυεσ ιν ροωσ 3 ανδ 4 σιµπλψ δισπλαψ τηε τοταλ κνοων νυµβερ οφ τεστ χασεσ φορ εαχη δατα σετ. Φορ ∆Ρ5’σ τηιρδ ροω, τεστινγ στοπσ ατ τηε 100τη τεστ χασε φορ α ΧΛ = 0.8 αφτερ χοϖερινγ 38 βρανχηεσ, εξχεεδινγ 37 ΜΧ (µινιµαλ χασεσ), ωηιχη ισ φουνδ ασ ΜΧ = ΧΛ × ΝΧ = (0.8)(38) = 36.4 ≈ 37. Αλσο, το ρενδερ τηε στοππινγ ρυλε χοστ−εφφεχτιϖε, a περ υνδισχοϖερεδ φαυλτ σηουλδ βε ατ µοστ ∃27,088 αχχορδινγ το σχεναριο (3) ιν Ταβλε 4.1. Τοταλ σαϖινγσ ισ ∃202,300.00 δυε το σχεναριο (5) ωιτη τηε ασσυµεδ χοστ παραµετερσ c = ∃100,

ΕΦΦΟΡΤ−ΒΑΣΕ∆ ΕΜΠΙΡΙΧΑΛ ΒΑΨΕΣΙΑΝ ΣΤΟΠΠΙΝΓ ΡΥΛΕ

187

b = ∃200, ανδ a = ∃1200. Φορ ∆Ρ5’σ φουρτη ροω, ωιτη ΧΛ = 0.9, ωε στοπ ατ τηε 2042νδ τεστ χασε χοϖερινγ 42 βρανχηεσ το σαϖε ∃11,300, ωηεν c = ∃100, b = ∃200, ανδ a = ∃1200. Τηε διφφερενχε βετωεεν σχεναριοσ (1) ανδ (2) ισ ϖερψ συβτλε, βυτ ιν γενεραλιτψ, τηε σηιφτ φροµ θ2 − θ1 = 1 το θ2 − θ1 = 0.5 ιν Ταβλε 4.1 γενερατεσ αν εαρλιερ στοππινγ ρυλε ασ εξπεχτεδ, ιµπλψινγ λεσσ ιν⇓υεντιαλ αχτιον. Τηε βοδψ οφ τεστ χασεσ ισ εσσεντιαλλψ ρανδοµιζεδ ασ ιν τηε µαϕορ ασσυµπτιον οφ Ποισσον ορ Βερνουλλι χουντινγ προχεσσεσ. Σαϖινγσ ασ α πρερεθυισιτε το α φαϖοραβλε στοππινγ ρυλε ισ δε⇒νιτελψ α φυνχτιον οφ τηε χοστ παραµετερσ ινϖολϖεδ ιν εαχη σχεναριο, ασ εθυατιον (32) διχτατεσ. Εσσεντιαλλψ, ιφ τηε χοστ οφ ρεδεεµινγ χοϖεραγε (φαιλυρε ορ βρανχη) ισ ηιγη, ιτ ισ δισαδϖανταγεουσ το στοπ πρεµατυρελψ ωιτη ρεσπεχτ το α στοππινγ−ρυλε αλγοριτηµ, συχη ασ ιν ΜΕΣΑΤ−1. Ιφ τηε χοστ παραµετερσ αρε νοτ κνοων, α σενσιτιϖιτψ αναλψσισ χαν βε χονδυχτεδ το οβσερϖε α ρανγε οφ λοσσεσ ορ σαϖινγσ. ΜΕΣΑΤ−1 ενϕοψσ τηε βενε⇒τ οφ σεττινγ α χον⇒δενχε λεϖελ ατ ωιλλ, δυε το τηε βυδγετ ρεσουρχεσ’ αϖαιλαβιλιτψ, ιν αδδιτιον το α ονε−στεπ−αηεαδ χριτεριον (28) χοντρολλεδ βψ διϖεργενχε χριτεριον d. Μορεοϖερ, τηε ΜΕΣΑΤ−1 αλγοριτηµ αχχουντσ εφφεχτιϖελψ φορ χλυµπινγ οφ τηε χοϖεραγε ασ ωελλ ασ τηε ποσιτιϖε αυτοχορρελατιον αµονγ τηε οβσερϖατιονσ ιν αν αγγρεγατε. ΜΕΣΑΤ−1 ισ αλσο ⇓εξιβλε ωηεν τηε ⇒ναλ χοϖεραγε νυµβερ µαψ νοτ βε κνοων, ασ ιλλυστρατεδ ιν Ταβλε 4.2, ωηερε ωε αλλοω α µινιµαλ νυµβερ οφ τεστ χασεσ το ρυν. Τηισ µετηοδ ισ αλσο ⇓εξιβλε φορ εµπλοψινγ ϖαριαβλε χοστ ϖαλυεσ, a, b, ορ c, ατ διφφερεντ τεστ χασεσ, σοµε τεστ χασεσ περηαπσ ηαϖινγ µορε ωειγητ τηαν οτηερσ. Νοτε τηατ ιν Ταβλε 4.2, διφ(θ ) = 1 ιµπλιεσ τηε υσε οφ α δεφαυλτ στανδαρδ βετα πριορ, ωηερεασ διφ(θ ) = 1 ιµπλιεσ ιµπλεµεντατιον οφ τηε γενεραλιζεδ βετα πριορ. Ιτ ισ χλεαρ τηατ ασ τηε εχονοµιχ στοππινγ χριτεριον d ϖαριεσ φροµ α λιβεραλ (ηιγηερ) το α χονσερϖατιϖε (λοωερ) τηρεσηολδ, τηε στοππινγ ρυλε ισ σηιφτεδ ανδ ποστπονεδ το α λατερ τεστ χασε. Βψ α χονσερϖατιϖε σετυπ, ωε µεαν α σχεναριο ωηερε τηε στοππινγ ρυλε ισ τρψινγ νοτ το µισσ ανψ φαιλυρεσ, ανδ τεστινγ αχτιϖιτψ ισ λικελψ το στοπ λατερ ρατηερ τηαν σοονερ. Τηε χορρελατιον βεηαϖιορ ωιτηιν εαχη χλυµπ ισ ρεπρεσεντεδ βψ ουρ χηοιχε οφ α ανδ β ιν τηε λιγητ οφ πρεϖιουσ ενγινεερινγ ϕυδγµεντ. Νοτε τηατ φορ α > β, ασ ιν α = 8 ανδ β = 2, συχη ασ ιµποσεδ ιν τηε εµπιριχαλ Βαψεσιαν σενσε ιν τηε εξαµπλεσ οφ Ταβλε 4.2, τηε ποστεριορ οφ τηε ρανδοµ ϖαριαβλε θ δισπλαψσ διστινχτλψ λεφτ−σκεωεδ βεηαϖιορ. Ιτ ηασ βεεν οβσερϖεδ τηατ στοππινγ οχχυρσ εαρλιερ ιν τηισ σχεναριο. Ηοωεϖερ, ιν α = β, συχη ασ ιν α = 5 ανδ β = 5, ωηερε τηε βετα διστριβυτιον λοοκσ εϖενλψ σψµµετριχαλ ασ οπποσεδ το τηε πρεσεντλψ σκεωεδ διστριβυτιονσ σινχε α > β, τηε χορρελατιον ωιτηιν τηε χοϖεραγε νυµβερσ ιν εαχη τεστ χασε ισ νοτ τηατ στρονγ. Ιν τηε λαττερ χασε ιτ ηασ βεεν οβσερϖεδ τηατ τηε στοππινγ ρυλε ισ τηεν δελαψεδ σοµεωηατ, ιφ νοτ χονσιδεραβλψ. Τηερεφορε, α χηοιχε οφ α > β, ασ ιν τηε γοοδνεσσ−οφ−⇒τ τεστσ ιν Αππενδιξ 4Α, ισ στατιστιχαλλψ φεασιβλε ανδ αχχεπταβλε. Ασ φορ τηε ρανγε οφ τηε ΛΣ∆ χορρελατιον χοεφ⇒χιεντ, διφ(θ ) = θ2 − θ1 , ⇒ρστ ηαϖινγ α ρανγε οφ 1.0 (υνεδυχατεδ γυεσσ), τηεν γραδυαλλψ δροππινγ το 0.5 δοεσ γενεραλλψ, ιφ νοτ αλωαψσ, ηαϖε α συβτλε σαϖινγσ εφφεχτ. Τηισ ισ ωηψ α γενεραλιζεδ βετα πριορ [47] ωασ χηοσεν το ινχορπορατε τηε εξπερτ οπινιον φορ τηε ρανγε οφ θ ανδ το ρεχογνιζε τηε ινφεασιβιλιτψ οφ α ϖερψ λοω ιµποσεδ θ το λενδ φρεεδοµ το τηε ϖερσατιλιτψ ρατηερ τηαν ασσυµινγ τηε δεφαυλτ χασε οφ θ2 − θ1 = 1, ωηεν ανψτηινγ µαψ ηαππεν το αϖοιδ στατιστιχαλλψ υνρεαλιστιχ αυτοχορρελατιον θ ϖαλυεσ.

188

ΣΤΟΠΠΙΝΓ ΡΥΛΕΣ ΙΝ ΣΟΦΤΩΑΡΕ ΤΕΣΤΙΝΓ

Νοτε ιν Αππενδιξ 4Α τηατ τηε γοοδνεσσ−οφ−⇒τ χηι−σθυαρε τεστσ δο νοτ ινϖολϖε χουντσ οφ ζερο φορ τηε υνδερλψινγ λογαριτηµιχ−σεριεσ διστριβυτιον τεστεδ ασ τηε ρανδοµ ϖαριαβλε w φορ ΛΣ∆ τακεσ ον νονζερο ϖαλυεσ, w = 1, 2, 3, . . . ασ σηοων ιν εθυατιον (2), ωηερε τηε χονσταντ a ισ γιϖεν βψ εθυατιον (3). Τηερεφορε, τηε βλοχκσ ωιλλ σηοω τηε φρεθυενχιεσ οφ νονζερο εντιτιεσ, ωηερε τηε ζερο χουντ χαν βε φουνδ βψ συβτραχτινγ φροµ τηε τοταλ νυµβερ οφ τεστ χασεσ φορ εαχη δατα σετ. Φιγυρε 4Χ.1 ιν Αππενδιξ 4Χ δισπλαψσ α µενυ οφ τηε αφορεµεντιονεδ παραµε− τερσ ανδ σολυτιονσ φορ α µυλτιστρατεγψ τεστινγ. ςαριαβλε χοστ δατα (συχη ασ ∆Ρ5ϖδ.τξτ) ωηερε ‘ϖδ’ δενοτεσ “ϖαριαβλε δατα” χαν αλσο βε υσεδ βψ υσινγ φορχεδ δατα οφ τηε χοστ παραµετερσ a, b, ανδ c, ρεσπεχτιϖελψ, φορ εαχη τεστ χασε εντερεδ. Φιγυρε 4Χ.2 το 4Χ.8 σηοω ϖαριουσ αππλιχατιονσ οφ ΜΕΣΑΤ−1. 4.1.6 ∆ισχυσσιον ανδ Χονχλυσιονσ Τηε χοντριβυτιον οφ τηε µετηοδολογψ προποσεδ λιεσ ιν αν εµπιριχαλ Βαψεσιαν αππροαχη το δετερµινινγ αν εχονοµιχαλλψ εφ⇒χιεντ στοππινγ ρυλε ιν α χοµπουνδ Ποισσον σεττινγ τηατ τακεσ ιντο αχχουντ τηε αχχυµυλατιον οφ φαιλυρε χλυµπσ ατ εαχη στεπ ιν α σοφτωαρε−φαιλυρε (ορ βρανχη χοϖεραγε) χουντινγ προχεσσ. Τηισ χηαπτερ ισ α φολλοω−υπ συµµαρψ το πρεϖιουσ ρεσεαρχη δονε ον Ποισσον∧ ΛΣ∆ ασ αππλιεδ το χοµ− πυτερ σοφτωαρε ορ ηαρδωαρε τεστινγ [6,27,29,37]. Ιν τηισ χηαπτερ ωε αλσο πρεσεντ αν αλτερνατιϖε το τηοσε εαρλιερ πυβλιχατιονσ ιν τηατ τηε χοµπουνδινγ διστριβυτιον ωασ ασσυµεδ το βε γεοµετριχ (ηενχε, Ποισσον∧ γεοµετριχ), δυε το τηε φοργετφυλ− νεσσ ορ ινδεπενδενχε προπερτψ οφ τηε χλυµπεδ φαιλυρεσ ανδ ωηερε αδδιτιοναλλψ, τηε στοχηαστιχ τιµε ινδεξ ωασ ασσυµεδ το βε ιν τερµσ οφ ΧΠΥ σεχονδσ [27,28,36]. Ωε αλσο αδδρεσσ τηε εφφορτ−δοµαιν προβλεµ, ωηερε τηε υνιτ τεστσ περ χαλενδαρ ωεεκ αρε νοω ρεπλαχεδ βψ τεστ χασεσ, ορ τεστ ϖεχτορσ ασ τηεψ αρε σοµετιµεσ χαλλεδ, ιν εµβεδδεδ−χηιπ τεστινγ. Ηοωεϖερ, ιν τηισ χηαπτερ, τηε χοµπουνδινγ δενσιτψ ισ α λογαριτηµιχ−σεριεσ διστριβυτιον (ΛΣ∆), ωηερε φαιλυρεσ αρε ιντερδεπενδεντ ανδ ασσυµεδ το αφφεχτ εαχη οτηερ αδϖερσελψ ιν τερµσ οφ τεστ χασεσ ασ οπποσεδ το α χοντινυουσ−τιµε δοµαιν ιν τερµσ οφ ΧΠΥ σεχονδσ, ηουρσ, ορ ωεεκσ. Ρεχαλλ τηατ τηε δυαλ οφ α τιµε−δεπενδεντ Ποισσον προχεσσ ισ α τιµε−ινδεπενδεντ Βερνουλλι προχεσσ ωηοσε τηεορψ ισ συφ⇒χιεντλψ στρονγ το ηανδλε τηε υνιτ τεστ χασε πηε− νοµενον ρεπλαχινγ τηε υνιτ τεστ ωεεκ ασ α στοχηαστιχ ινδεξ ωηερε τηε ρεσπονσε ϖαριαβλε ισ τηε συχχεσσ ορ φαιλυρε οφ α φαυλτ ορ βρανχη [32,53]. Τηισ ισ ιν λινε ωιτη τεστ χασε–βασεδ τεστινγ αχτιϖιτψ, ωηερε λιµιτινγ διστριβυτιον οφ τηε συµ οφ τηε νονηοµογενεουσ Βερνουλλι ϖαριαβλεσ ισ αππροξιµατελψ α χοµπουνδ Ποισσον προχεσσ, ωηερε λt = ni=1 pi , ωιτη n ρεπρεσεντινγ τηε νυµβερ οφ Βερνουλλι τριαλσ ανδ pi τηε προβαβιλιτψ οφ δετεχτινγ α φαιλυρε ορ χοϖερινγ α βρανχη ατ εαχη στεπ i = 1, . . . , n [25]. Σαηινογλυ [25] ηασ στυδιεδ α y1 , y2, . . . , yn σεθυενχε δενοτ− ινγ α σετ οφ Βερνουλλι ρανδοµ ϖαριαβλεσ, ωιτη pi βεινγ τηε συχχεσσ προβαβιλιτψ (ε.γ., τηε σοφτωαρε τεστ συχχεσσφυλλψ πασσινγ τηε ρελιαβιλιτψ τεστ ασσερτεδ βψ τεστ χασε ατ τηε iτη στεπ). Φυρτηερ, ασσυµε τηατ τηε νονινδεπενδεντ ανδ νονιδεντιχαλ yi ηαϖε α νονηοµογενεουσ Μαρκοϖ Βερνουλλι σεθυενχε ασ δεσχριβεδ ιντηε µατριξ ον παγε 47 οφ ρεφερενχε 25. Τηεν τηε αυτηορ ηασ προϖεν τηατ Sn = ni=1 yi ηασ αν ασψµπτοτιχ ορ λιµιτινγ (ασ n → ∞) Ποισσον∧ γεοµετριχ, α χοµπουνδ Ποισσον

189

ΕΦΦΟΡΤ−ΒΑΣΕ∆ ΕΜΠΙΡΙΧΑΛ ΒΑΨΕΣΙΑΝ ΣΤΟΠΠΙΝΓ ΡΥΛΕ

διστριβυτιον ωιτη E(Sn ) = nP , ωηερε P = (1/n) ϖαριανχε ισ δεριϖεδ

n

i=1

pi ανδ Q = 1 − P . Τηε

ςαρ(Sn ) = nP Q + 2nP Qπ/(1 − π) − 2P Qπ(1 − π)n /(1 − π)2

(37)

ωηερε π (δε⇒νεδ ασ τηε αυτοχορρελατιον χοεφ⇒χιεντ) δενοτεσ α δεγρεε οφ ιντερδε− πενδενχε συχη τηατ π = 0 ιµπλιεσ α χοµπλετελψ s−ινδεπενδεντ Βερνουλλι σεθυενχε ανδ π = 1 ινδιχατεσ χοµπλετε s−δεπενδενχε ωηερε τηε Μαρκοϖ προχεσσ ρεµαινσ αβσορβεδ ιν ιτσ ινιτιαλ στατε φορεϖερ. q(Sn ) = ςαρ(Sn )/E(Sn ) ∧

(38)

ισ νεχεσσαρψ το υσε φορ τηε Ποισσον γεοµετριχ π.δ.φ. (σεε Χηαπτερ 1) ιν τηε βοοκ’σ Χ∆−ΡΟΜ το χονδυχτ στατιστιχαλ ινφερενχε φορ τιµε−ινδεπενδεντ συχχεσσ–φαιλυρε τεστ σχηεµεσ. Τηε στοππινγ ρυλε ηασ βεεν αππλιεδ το σιξ εφφορτ−δοµαιν τεστ δατα σετσ, ∆Ρ1 το ∆Ρ5, χοµπιλεδ ατ Χολοραδο Στατε Υνιϖερσιτψ [8–10] ανδ αλσο το α βυσινεσσ− ρελατεδ δατα σετ, ∆Ρ6 [7]. Τηισ στοππινγ−ρυλε µετηοδ ισ α νεω δεριϖατιϖε οφ τηε οριγιναλ πυβλιχατιονσ ον τηε χοµπουνδ Ποισσον ρελιαβιλιτψ µοδελ [6,26–30]. Τηε νυµβερ οφ φαιλυρεσ ορ βρανχηεσ χοϖερεδ ισ ινδεπενδεντ φροµ τεστ χασε το τεστ χασε. Τεστ χασεσ αρε ρανδοµιζεδ ανδ τηυσ ηαϖε νο σπεχι⇒χ ορδερ. Ηοωεϖερ, τηε τοταλ νυµβερ οφ χοντριβυτιονσ ορ χοϖεραγε ατ εαχη ονε−στεπ−αηεαδ χηεχκ ασσυρεσ τηατ τηε τεστινγ αχτιϖιτψ ωιλλ στοπ δυε το α σπεχι⇒εδ χριτεριον d φορ α σετ οφ σπεχι⇒εδ χοστ παραµετερσ α ανδ β ιµποσεδ ον τηε δατα σετ ιτσελφ, οβταινεδ φροµ σιµιλαρ εαρλιερ αχτιϖιτψ ορ φροµ συβϕεχτιϖε γυεσσωορκ. Τηε σοφτωαρε αναλψστ χαν αππλψ α συβσεθυεντ τεστινγ στρατεγψ αφτερ στοππινγ δυε το τηε σατυρατιον εφφεχτ ωιτη ρεσπεχτ το αν εχονοµιχ χριτεριον, προϖιδεδ τηατ τηερε ισ α δεσιρεδ χον⇒δενχε λεϖελ. Τηε σαµε αλγοριτηµ χαν βε υσεδ ιν α φολλοω−υπ στρατεγψ το ϕυδγε ωηερε το στοπ. Ηενχε, α µιξεδ σεθυενχε οφ στρατεγιεσ χαν βε εµπλοψεδ φορ βεστ εφ⇒χιενχψ το σαϖε τιµε ανδ εφφορτ (ι.ε., οϖεραλλ ρεσουρχεσ). Τηισ ισ σοµετιµεσ χαλλεδ µιξεδ−στρατεγψ τεστινγ [6–10]. Μχ∆αιδ ανδ Ωιλσον [42] ηαϖε σηοων τηατ τωο−σταγε σαµπλινγ ισ συπεριορ το σινγλε−σταγε σαµπλινγ, ασ ιλλυστρατεδ ιν τηε εξαµπλεσ ιν Αππενδιξ 4Χ. Ιτ ισ ϖερψ λικελψ τηατ βψ σαχρι⇒χινγ ονλψ α σµαλλ περχενταγε οφ φαιλυρε ορ βρανχη χοϖεραγε αχχυραχψ, ονε χαν λιτεραλλψ αϖοιδ ωαστινγ τεστινγ ρεσουρχεσ βεχαυσε οφ περσιστινγ ιν υσινγ τηε σαµε φυτιλε τεστινγ στρατεγψ—ον α ϕουρνεψ το τηε υνκνοων. Ταβλεσ 4Β.2 ανδ 4Β.3 ιλλυστρατε τηε ρεσυλτσ οφ µιξεδ−στρατεγψ τεστινγ αχτιϖιτψ. Αλσο, ασ d γετσ σµαλλερ, στοππινγ ισ χοµµονλψ δελαψεδ φορ ⇒νε−τυνινγ. Τηε σαϖ− ινγ οφ τεστινγ ρεσουρχεσ χαν βε ϖερψ ιµπορταντ ιν χολοσσαλ τεστινγ προβλεµσ. Τηε στοππινγ−ρυλε µετηοδ ισ τηερεφορε βασεδ ον α Βαψεσιαν αππροαχη το υπδατινγ ηισ− τοριχαλ ινφορµατιον φορ υσε ιν φυτυρε δεχισιον µακινγ. Ιτ ασσυµεσ α Ποισσον∧ ΛΣ∆ (νεγατιϖε βινοµιαλ φορ α σπεχιαλ χασε) µοδελ ιν ωηιχη τηε χοντριβυτεδ φαιλυρεσ χλυµπεδ ιν α τεστ χασε αρε ποσιτιϖελψ χορρελατεδ. Τηισ ιµπλιεσ τηατ τηε οχχυρ− ρενχε οφ α φαιλυρε ορ δετεχτιον οφ α βρανχη ισ λικελψ το ινϖιτε ανοτηερ φαιλυρε ορ βρανχη. Φορ φυρτηερ ρεσεαρχη, α ϖαριετψ οφ ινφορµατιϖε πριορσ χαν βε αλτερνατιϖεσ το α χονϕυγατε πριορ γενεραλιζεδ Βετα(α, β) φορ θ [6,27,47]. Φυρτηερ, το προϖιδε ρεαδερσ ωιτη φυνδαµενταλ ινφορµατιον αβουτ ωηατ σορτσ οφ µετηοδσ χυρρεντλψ εξιστ φορ α ϖαριετψ οφ προϕεχτσ, ασ λιστεδ ιν Ταβλεσ 4.1 ανδ 4.2

190

ΣΤΟΠΠΙΝΓ ΡΥΛΕΣ ΙΝ ΣΟΦΤΩΑΡΕ ΤΕΣΤΙΝΓ

φορ τηε στοππινγ−ρυλε προβλεµ, ανδ το προϖιδε εϖιδενχε τηατ τηε µετηοδ προποσεδ ηερειν ισ α συβσταντιαλ ιµπροϖεµεντ, α λιστ οφ χοµπαρισονσ οϖερ οτηερ εξιστινγ µετηοδσ ισ πρεσεντεδ ιν Αππενδιξ 4Β. Ιν συµµαρψ, τηε ΜΕΣΑΤ−1 προποσεδ ισ προγρεσσιϖε ανδ µορε δατα φριενδλψ ιν τερµσ οφ ιτσ εξπλορατορψ δατα αναλψσισ (Ε∆Α) τηαν οτηερ µετηοδσ τηατ δο νοτ αττεµπτ το στυδψ φορ διαγνοστιχσ. ΜΕΣΑΤ−1 ισ συιταβλε φορ τηοσε δατα σετσ τηατ σατισφψ τηε γοοδνεσσ−οφ−⇒τ χριτεριον φορ τηειρ χλυµπ σιζε διστριβυτιον ωιτη ρεσπεχτ το α ηψποτηεσιζεδ ΛΣ∆. Τηισ προπερτψ οφ ΜΕΣΑΤ−1 ισ τηερεφορε δισχριµινατιϖε ρατηερ τηαν ⇒ττινγ φορ αλλ πυρποσεσ. Τηισ ισ ωηψ ⇒ϖε οφ τηε ⇒ϖε δατα σετσ προϖεδ ποσιτιϖε φορ τηε ασσυµεδ, ανδ ηενχε γοοδ ⇒τσ αρε δεχλαρεδ φορ ΝΒ∆ ιν νατυραλ χονσεθυενχε βψ εθυατιονσ (1) το (13)—βυτ οτηερσ µαψ νοτ. ΜΕΣΑΤ−1’σ ονλψ σεεµινγλψ συβτλε δισαδϖανταγε ισ τηε ασσυµπτιον οφ ινδεπενδεντ ανδ ρανδοµιζεδ τεστ χασεσ, ωηιχη µαψ ορ µαψ νοτ οχχυρ ιν αχτυαλ τεστινγ. Τηισ δισαδϖανταγε ισ αχτυαλλψ α ρεθυιρεµεντ φορ τηε ινδεπενδεντ ινχρεµεντσ προπερτψ οφ τηε Ποισσον προχεσσεσ ασ τηε µαϕορ υνδερλψινγ διστριβυτιον οφ χουντσ ιν τηισ ρεσεαρχη. Ηοωεϖερ, ασ εξπλαινεδ ιν Σεχτιον 4.1, τηε ρανδοµιζατιον ασσυµπτιον ισ α πραχτιχαλ ρεαλιτψ ιν τεστινγ πραχτιχε. Εϖεν ιφ οτηερωισε συσπεχτεδ, τηερε ισ νο υνιϖερσαλλψ αχχεπτεδ σολυτιον το µοδελινγ τηε χορρελατιον οφ τεστ χασεσ φορ εαχη τεστινγ αχτιϖιτψ, ωηοσε ρεσυλτσ αρε νοτ κνοων ιν αδϖανχε, βψ τηε νατυρε οφ τηε συρπρισε φαχτορ ιν σοφτωαρε τεστινγ. Ιν Ταβλε 4.2’σ σεχονδ ανδ τηιρδ ροωσ, ιτ ισ ασσυµεδ τηατ ψου κνοω τηε ενδ οφ τηε δατα σετ ιν τερµσ οφ ηοω µανψ τοταλ τεστ χασεσ ανδ τοταλ χοϖεραγεσ εξιστ. Αλσο, ψου σηουλδ νοτ στοπ υνλεσσ ψου εξχεεδ α µινιµαλ χοϖεραγε χριτεριον συχη ασ 70% ορ 80% ανδ ηαϖε α ρεσυλτινγ ποσιτιϖε προ⇒τ ιν τηε “γαιν” χολυµν ωιτη ρεσπεχτ το εθυατιον (32). Τηε ποσιτιϖε προ⇒τ µεανσ τηατ τηε ριγητ σιδε οφ (32) ισ γρεατερ τηαν τηε λεφτ σιδε. Τηε προ⇒τ χριτεριον ισ ηονορεδ ιν Ταβλε 4.2’σ στοππινγ ρυλεσ οφ S(·) = X φορ τηε τηιρδ ορ φουρτη ροωσ, γιϖεν τογετηερ ωιτη τηε µινιµαλ χριτερια. Τηεν ωε χαν οπτιµιζε a, b, ανδ c, ωηερε ονε ταργετ ισ εντερεδ ασ 0 ανδ οτηερ τωο αρε κεπτ χονσταντ. ∆ο νοτ χηανγε τηε d ωηιλε δοινγ σο. Ον τηε οτηερ ηανδ, ιφ ονε δοεσ νοτ κνοω τηε τοταλ νυµβερ οφ τεστ χασεσ αηεαδ οφ τιµε, δεχιδε ον α µινιµαλ νυµβερ οφ τεστ χασεσ τηατ ψου ωιση το τρψ, συχη ασ 100 οφ αν εστιµατεδ 200. Αλσο δεχιδε ον αν ινιτιαλ βυδγετ (ε.γ., ∃15,000) φορ τεστινγ ανδ ιν−ηουσε ρεπαιρ. Ψου νεεδ το δο τηισ βεφορε ψου ρελεασε ψουρ ρελιαβλε προδυχτ φολλοωινγ χψβερ− τεστινγ ορ χονχλυδε τηατ τηε προδυχτ ισ σεχυρε φολλοωινγ σεχυριτψ τεστινγ. Ωε χαν πριοριτιζε τηε εξπενσε αχχουντ το διχτατε α στοππινγ ποιντ ρατηερ τηαν πριοριτιζε τηε µινιµαλ νυµβερ οφ τεστ χασεσ. Ιφ νο βυδγετ εξπενσε αχχουντ ισ λιστεδ (∃0), υσε τηε µινιµαλ νυµβερ οφ τεστ χασεσ το διχτατε α στοππινγ ποιντ. Τηε χοϖεραγε περχενταγε ιν τηισ σχεναριο ωιλλ νοτ µακε σενσε, δυε το νοναϖαιλαβιλιτψ οφ τηε ⇒ναλ χουντ οφ ερρορσ ορ χοϖεραγεσ. Ονε αδδιτιοναλ φεατυρε αϖαιλαβλε ιν ΜΕΣΑΤ−1 ισ τηε “αλλοωεδ” χολυµν. Τηισ φεατυρε ρουγηλψ εστιµατεσ τηε νυµβερ οφ ερρορσ εξπεχτεδ ιν τηε νεαρ φυτυρε βψ υσινγ τηε ρατιο “ΡΦ (= νο. οφ ρεµανινγ φαιλυρεσ) = εξπενσε/αφτερ ρελεασε “α” χοστ, το ϕυστιφψ σπενδινγ ιτ. Ιν Φιγυρε 4Χ.9, ωηεν τηε ⇒ναλ νυµβερ οφ τεστ χασεσ ανδ φαιλυρεσ ισ υνκνοων, τηε τοταλ εξπενσε οφ ∃25,000 ωηεν διϖιδεδ βψ τηε “α” χοστ = ∃1000 γενερατεσ ΡΦ = 25 φαιλυρεσ ρεµαινινγ, ρουγηλψ, φορ α χονϖενιεντ εστιµατε.

191

ΑΝΑΛΨΣΙΣ ΤΑΒΛΕΣ

ΑΠΠΕΝ∆ΙΞ 4Α: ΑΝΑΛΨΣΙΣ ΤΑΒΛΕΣ

Frequency (Count)

Freq. Distribution of Cluster Sizes 14 12 10 8 6 4 2 0

dr1 dr2 dr3 dr4 1

2

4

3

5 6 7 Cluster Size

8

9

10

>11

dr5

ΦΙΓΥΡΕ 4Α.1 Φρεθυενχψ διστριβυτιον οφ χλυστερ σιζεσ οφ δατα σετσ ∆Ρ1 το ∆Ρ5. ΤΑΒΛΕ 4Α.1 ∆ιαγνοστιχ Χηεχκσ φορ Εξπεριµενταλ ∆ατα Σετσ Χλυστερ Σιζε 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 >11 ΤΑΒΛΕ 4Α.2 ∆ατα Σετ ∆Ρ1 n = 31 p = 0.149 a = 0.62 α = 0.05 θ = 0.8 p>α γοοδ ⇒τ

∆Ρ1

∆Ρ2

∆Ρ3

∆Ρ4

∆Ρ5

11 9 4 1 0 1 1 2 0 0 2

9 8 3 1 0 2 1 2 0 0 1

9 5 3 0 0 0 0 2 0 0 0

11 3 3 0 2 2 1 1 0 0 0

13 3 5 3 0 0 0 0 0 0 0

Γοοδνεσσ−οφ−Φιτ Τεστσ φορ ∆ατα Σετσ ∆Ρ1 το ∆Ρ5 ωιτη π−ϖαλυεσ X

P

E

O

Χηι−Σθυαρε

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 >11

0.497064 0.198826 0.106040 0.063624 0.040719 0.027146 0.018615 0.013030 0.009266 0.006671 0.018998

15.90605 6.36242 3.39329 2.03597 1.30302 0.86868 0.59567 0.41697 0.29651 0.21349 0.60793

11 9 4 1 0 1 1 2 0 0 2

1.513217 1.093426 0.108478 0.527140 1.303023 0.019851 0.274456 6.010041 0.296510 0.213487 3.187638 14.54727 (Χοντινυεδ)

192 ΤΑΒΛΕ 4Α.2 ∆ατα Σετ ∆Ρ2 n = 27 p = 0.117 a = 0.62 α = 0.05 θ = 0.8 p>α γοοδ ⇒τ

ΣΤΟΠΠΙΝΓ ΡΥΛΕΣ ΙΝ ΣΟΦΤΩΑΡΕ ΤΕΣΤΙΝΓ

(χοντινυεδ ) X

P

E

O

Χηι−Σθυαρε

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 >11

0.497064 0.198826 0.106040 0.063624 0.040719 0.027146 0.018615 0.013030 0.009266 0.006671 0.018998

13.42073 5.38291 2.86309 1.71785 1.09943 0.73295 0.50260 0.35182 0.25018 0.18013 0.51294

9 8 3 1 0 2 1 2 0 0 1

1.456168 1.290148 0.006547 0.299975 1.099426 2.190344 0.492269 7.721385 0.250181 0.180130 0.462484

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 >11

0.497064 0.198826 0.106040 0.063624 0.040719 0.027146 0.018615 0.013030 0.009266 0.006671 0.018998

9.44422 3.77769 2.01477 1.20886 0.77367 0.51578 0.35368 0.24757 0.17605 0.12676 0.36096

9 5 3 0 0 0 0 2 0 0 0

15.44906 ∆Ρ3 n = 19 p = 0.078 a = 0.62 α = 0.05 θ = 0.8 p>α γοοδ ⇒τ

0.020894 0.395494 0.481786 1.208860 0.773670 0.515780 0.353678 12.404330 0.176053 0.126758 0.360958 16.81826

∆Ρ4 n = 23 p = 0.477 a = 0.62 α = 0.05 θ = 0.8 p>α γοοδ ⇒τ

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 >11

0.497064 0.198826 0.106040 0.063624 0.040719 0.027146 0.018615 0.013030 0.009266 0.006671 0.018998

11.43247 4.57299 2.43893 1.46336 0.93655 0.62437 0.42814 0.29970 0.21312 0.15344 0.43695

11 3 3 0 2 2 1 1 0 0 0

0.016360 1.541067 0.129074 1.463356 1.207551 3.030870 0.763841 1.636417 0.213117 0.153444 0.436949 9.592047

193

ΧΟΜΠΑΡΙΣΟΝ ΟΦ ΠΡΟΠΟΣΕ∆ ΧΠ ΡΥΛΕ ΩΙΤΗ ΟΤΗΕΡ ΣΤΟΠΠΙΝΓ ΡΥΛΕΣ

ΤΑΒΛΕ 4Α.2 ∆ατα Σετ ∆Ρ5 n = 24 p = 0.651 a = 0.62 α = 0.05 θ = 0.8 p>α γοοδ ⇒τ

(χοντινυεδ ) X

P

E

O

Χηι−Σθυαρε

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 >11

0.497064 0.198826 0.106040 0.063624 0.040719 0.027146 0.018615 0.013030 0.009266 0.006671 0.018998

11.92954 4.77181 2.54497 1.52698 0.97727 0.65151 0.44675 0.31273 0.22238 0.16012 0.45595

13 3 5 3 0 0 0 0 0 0 0

1.096055 0.657889 2.368275 1.420965 0.977268 0.651512 0.446751 0.312726 0.222383 0.160116 0.455947 7.769886

ΑΠΠΕΝ∆ΙΞ 4Β: ΧΟΜΠΑΡΙΣΟΝ ΟΦ ΤΗΕ ΠΡΟΠΟΣΕ∆ ΧΠ ΡΥΛΕ ΩΙΤΗ ΟΤΗΕΡ ΣΤΟΠΠΙΝΓ ΡΥΛΕΣ Αλµοστ αλλ οφ τηε εξιστινγ στατιστιχαλ µοδελσ υσεδ το δετερµινε στοππινγ ποιντσ στεµ φροµ ρεσεαρχη ρεσυλτσ ιν σοφτωαρε ενγινεερινγ [6,7,40–45]. Μανψ µοδελσ ηαϖε βεεν προποσεδ ασσεσσινγ τηε ρελιαβιλιτψ µεασυρεµεντσ οφ σοφτωαρε σψστεµσ το ηελπ δεσιγνερσ εϖαλυατε, πρεδιχτ, ανδ ιµπροϖε τηε θυαλιτψ οφ τηειρ σοφτωαρε σψστεµσ [54–61]. Ηοωεϖερ, σοφτωαρε ρελιαβιλιτψ µοδελσ αιµ ατ εστιµατινγ τηε ρεµαινινγ φαυλτσ ιν α γιϖεν σοφτωαρε προγραµ, ωηιχη µακεσ διρεχτ υσε οφ συχη µοδελσ νονβενε⇒χιαλ ιν εστιµατινγ τηε νυµβερ οφ υνχοϖερεδ βρανχηεσ ρεµαιν− ινγ ιν α βεηαϖιοραλ µοδελ, σινχε τηε ρεµαινινγ υνχοϖερεδ βρανχηεσ αρε κνοων. Ινστεαδ, τηε εστιµατιον προχεσσ χαν βε µοδι⇒εδ σλιγητλψ το φοχυσ ον τηε νυµβερ οφ φαυλτσ, ορ χοϖεραγε ιτεµσ ιν τηε χασε οφ βεηαϖιοραλ µοδελ ϖερι⇒χατιον, τηατ αρε εξπεχτεδ ωιτηιν τηε νεξτ υνιτ οφ τεστινγ τιµε. Υνφορτυνατελψ, αλλ τηε εξιστ− ινγ σοφτωαρε ρελιαβιλιτψ µοδελσ ασσυµε τηατ φαιλυρεσ οχχυρ ονε ατ α τιµε, εξχεπτ φορ τηε ΜΕΣΑΤ αππροαχη προποσεδ, ωηιχη υσεσ α ΧΠ (χοµπουνδ Ποισσον) τηατ δοεσ νοτ ασσυµε σο. Βασεδ ον τηισ ασσυµπτιον, εξπεχτατιονσ οφ τηε τιµε βετωεεν φαιλυρεσ αρε δετερµινεδ. Ιν οβσερϖινγ νεω χοϖεραγε ιτεµσ ιν α βεηαϖιοραλ µοδελ, βρανχηεσ αρε τψπιχαλλψ χοϖερεδ ιν χλυµπσ. Ιν τηε ΜΕΣΑΤ τοολ προποσεδ, τηε ποσιτιϖε χορρελατιον ωιτηιν α χλυµπ ισ τακεν ιντο αχχουντ. Τηε χον⇒δενχε−βασεδ µοδελινγ αππροαχη τακεσ αδϖανταγε οφ ηψποτηεσισ τεστινγ ιν δετερµινινγ τηε σατυρατιον οφ τηε σοφτωαρε φαιλυρε [58,59]. Α νυλλ ηψποτηεσισ H0 ισ περφορµεδ ανδ λατερ εξαµινεδ εξπεριµενταλλψ βασεδ ον αν ασσυµεδ προβαβιλιτψ διστριβυτιον φορ τηε νυµβερ οφ φαιλυρεσ ιν α γιϖεν σοφτωαρε προδυχτ. Συπποσε τηατ α φαιλυρε ηασ α προβαβιλιτψ οφ οχχυρρινγ οφ λεσσ τηαν ορ εθυαλ το B; τηεν ωε αρε ατ λεαστ 1 − B χον⇒δεντ τηατ H0 ισ τρυε. Σιµιλαρλψ, ιφ τηε φαιλυρεσ φορ τηε νεξτ περιοδ οφ τεστινγ τιµε ηαϖε τηε σαµε προβαβιλιτψ οφ ατ λεαστ B το οχχυρ, τηεν φορ τηε νεξτ N τεστινγ χψχλεσ, ωε ηαϖε α χον⇒δενχε οφ ατ λεαστ C τηατ νο φαιλυρεσ ωιλλ ηαππεν,

194

ΣΤΟΠΠΙΝΓ ΡΥΛΕΣ ΙΝ ΣΟΦΤΩΑΡΕ ΤΕΣΤΙΝΓ

ωηερε C = 1 − (1 − B)N

(4Β.1)

N=

(4Β.2)

λν(1 − C) λν(1 − B)

Ιφ C = 0.95, B = 0.3, τηεν βψ υσινγ εθυατιον (4Β.2), N ≈ 100. Τηισ ισ α σινγλε− εθυατιον στοππινγ−ρυλε µετηοδ, ωηιχη χαν βε λικενεδ το α παραλλελ σψστεµ οφ N ινδεπενδεντ χοµπονεντσ ωηοσε ρελιαβιλιτιεσ αρε ιδεντιχαλ το εαχη R = 1 − B το σατισφψ αν οϖεραλλ νετωορκ ρελιαβιλιτψ οφ C [62, π. 265]. Το αππλψ Ηοωδεν’σ µοδελ το τηε προχεσσ οφ Η∆Λ ϖερι⇒χατιον, ωε ⇒ρστ νεεδ το χρεατε φαιλυρεσ ασ ιντερρυπτιονσ, ωηερε αν ιντερρυπτιον ισ αν ινχιδεντ ωηερε ονε ορ µορε νεω παρτσ οφ τηε µοδελ αρε εξερχισεδ. Υσινγ βρανχη χοϖεραγε ασ α τεστ χριτεριον, αν ιντερρυπτιον τηερεφορε ινδιχατεσ τηατ ονε ορ µορε νεω βρανχηεσ αρε χοϖερεδ. Ωε σετ α προβαβιλιτψ φορ τηε ιντερρυπτιον ρατε B ανδ χηοοσε αν υππερ−βουνδ λεϖελ οφ χον⇒δενχε C. Εξπεριµενταλλψ, ωε δο νοτ εξαµινε τηε ηψποτηεσισ υνλεσσ τηε ιντερρυπτιον ρατε βεχοµεσ σµαλλερ τηαν τηε πρεσετ ϖαλυε B. Ωηεν σο, ωε χαλχυλατε τηε νυµβερ οφ τεστ παττερνσ νεεδεδ το ηαϖε ατ λεαστ C χον⇒δενχε οφ νοτ ηαϖινγ ανψ νεω βρανχη ιν τηε νεξτ N παττερνσ ανδ ρυν τηεµ. Ιφ αν ιντερρυπτιον οχχυρσ, ωε χοντινυε εξαµινινγ τηε ηψποτηεσισ υντιλ ωε προϖε ιτ, ανδ τηεν στοπ. Ιν τηισ αππροαχη ωε ασσυµε τηατ χοϖεραγε ιτεµσ, ορ ιντερρυπτιονσ, αρε ινδεπενδεντ ανδ ηαϖε εθυαλ προβαβιλιτιεσ οφ βεινγ χοϖερεδ. Τηε ρατε οφ ιντερρυπτιον ισ δεχρεασινγ ανδ ωε ασσυµε τηατ νο ιντερρυπτιονσ ωιλλ οχχυρ ιν τηε νεξτ N τεστ χασεσ; τηεν τηε εξπεχτεδ προβαβιλιτψ οφ ιντερρυπτιονσ ωιλλ βε [58,59] Bt =

B t +T

(4Β.3)

ωηερε T ισ τηε λαστ ποιντ χηεχκεδ ιν τεστινγ, ανδ τηισ λεαδσ το τηε ρεφορµυλατιον οφ εθυατιον (4Β.1) ασ Χ=1−

N   1

B 1− t +T

N

(4Β.4)

Ιν Ηοωδεν’σ µοδελ, τηε ασσυµπτιον τηατ φαιλυρεσ ορ ιντερρυπτιονσ ηαϖε α γιϖεν προβαβιλιτψ B ινδεπενδεντλψ ισ νοτ ερρορ φρεε. Ασ ωε κνοω, βρανχηεσ ιν αν Η∆Λ µοδελ αρε στρονγλψ δεπενδεντ οφ εαχη οτηερ. Ιν φαχτ, ωε χαν χλασσιφψ σοµε χασεσ ωηερε ιτ ισ ιµποσσιβλε το χοϖερ τηε λοωερ−λεϖελ βρανχηεσ ωιτηουτ χοϖερινγ τηειρ δοµιναντσ. Μορεοϖερ, τηε χλυµπ σιζεσ χαυσεδ βψ τηε ιντερρυπτιονσ αρε νοτ µοδελεδ ιν τηισ στυδψ, µακινγ τηε δεχισιον οφ χοντινυινγ ορ στοππινγ τηε τεστινγ προχεσσ ιναχχυρατε. Φιναλλψ, τηισ ωορκ δοεσ νοτ ινχορπορατε τηε χοστ οφ τεστινγ ορ ρελεασινγ τηε προδυχτ, ανδ τηε γοαλ οφ τεστινγ ιν τηε ⇒ρστ πλαχε ισ νοτ ονλψ ηαϖινγ α ηιγη− θυαλιτψ προδυχτ βυτ αλσο µινιµιζινγ τηε τεστινγ χοστσ [40]. ∆αλλαλ ανδ Μαλλοωσ [48] ασσυµεδ τηατ τηε τοταλ νυµβερ οφ σοφτωαρε φαιλυρεσ ισ α ρανδοµ ϖαριαβλε ωιτη υνκνοων µεαν ανδ τηατ τηε νυµβερ οφ φαιλυρεσ τηατ οχχυρ

ΧΟΜΠΑΡΙΣΟΝ ΟΦ ΠΡΟΠΟΣΕ∆ ΧΠ ΡΥΛΕ ΩΙΤΗ ΟΤΗΕΡ ΣΤΟΠΠΙΝΓ ΡΥΛΕΣ

195

δυρινγ τεστινγ ισ α νονηοµογενεουσ Ποισσον προχεσσ ωιτη ινχρεµεντσ λg(t). Τηε τιµε νεεδεδ φορ α σινγλε φαιλυρε το οχχυρ ισ διστριβυτεδ ασ g(t), ωηιχη χαν βε ασσυµεδ εξπονεντιαλ. Τηισ µοδελ βεττερ δεσχριβεσ τηε φαιλυρε προχεσσ τηεν δο τηε µοδελσ δισχυσσεδ πρεϖιουσλψ, συχη ασ τηε Ηοωδεν ανδ µοδι⇒εδ Ηοωδεν µετηοδσ. Ηοωεϖερ, ιτ στιλλ συφφερσ φροµ τηε προβλεµ οφ νοτ ηαϖινγ µορε τηαν ονε ιντερρυπτιον ατ α τιµε, ωηιχη ρεδυχεσ τηε εφ⇒χιενχψ οφ τηε µοδελ ωηεν αππλψινγ ιτ το βρανχη χοϖεραγε εστιµατιον [40,48,58–60]. Φιναλλψ, τηε πρεσεντ αυτηορ αππλιεδ α χοµπουνδ Ποισσον µετηοδ τηατ µοδ− ελσ τηε βρανχη χοϖεραγε προχεσσ οφ ςΗ∆Λ χιρχυιτσ υτιλιζινγ τηε βενε⇒τσ οφ τηε ονε−στεπ−αηεαδ εχονοµετριχ µοδελ βψ ρεφορµυλατινγ ιτ [6,36,48] ανδ σολϖινγ τηε χλυµπινγ πηενοµενον οφ βρανχηεσ βεινγ χοϖερεδ ιν τηε τεστινγ προχεσσ. Τηισ µοδελ υσεσ εµπιριχαλ Βαψεσιαν πρινχιπλεσ φορ τηε χοµπουνδ Ποισσον χουντινγ προχεσσ. Ιτ ωασ ιντροδυχεδ ιν 1992 ασ α σοφτωαρε ρελιαβιλιτψ µοδελ φορ εστιµατινγ τηε ρεµαινινγ νυµβερ οφ φαιλυρεσ [27] ανδ λατερ µοδι⇒εδ [6,36] το ινχορπορατε α διφφερεντ ϖερσιον οφ τηε χοστ µοδελινγ προποσεδ ιν 1995 βψ ∆αλλαλ ανδ Μαλ− λοωσ [48]. Μορε ρεχεντλψ, ιτ ηασ βεεν φορµυλατεδ το µοδελ τηε βρανχη χοϖεραγε προχεσσ ιν βεηαϖιοραλ µοδελσ [6–10]. Τηε ιδεα ισ το χοµπουνδ τωο ποτεντιαλ προβαβιλιτψ διστριβυτιονσ: φορ τηε νυµβερ οφ ιντερρυπτιονσ ανδ τηε σιζε οφ ιντερ− ρυπτιονσ. Τηε ρεσυλτινγ χοµπουνδ διστριβυτιον ισ ασσυµεδ το βε τηε προβαβιλιτψ διστριβυτιον φυνχτιον οφ τηε τοταλ νυµβερ οφ φαιλυρεσ, ορ χοϖεραγε ιτεµσ, ατ α χερ− ταιν τεστινγ τιµε ποιντ. Τηε παραµετερσ οφ τηε διστριβυτιονσ αρε αλσο ασσυµεδ το βε ρανδοµ ϖαριαβλεσ βασεδ ον εµπιριχαλ Βαψεσιαν εστιµατιον. Φορ µοδελινγ τηε βρανχη χοϖεραγε προχεσσ φορ βεηαϖιοραλ µοδελσ, ιτ ισ ασσυµεδ τηατ τηε νυµβερ οφ ιντερρυπτιονσ οϖερ τιµε, N (t), ισ α Ποισσον προχεσσ ωιτη µεαν λ, ανδ τηε σιζε οφ εαχη γιϖεν ιντερρυπτιον, wi , ισ διστριβυτεδ ασ α λογαριτηµιχ−σεριεσ διστριβυτιον (ΛΣ∆; σεε τηε διαγνοστιχσ οφ Αππενδιξ 4Α φορ α ϕυστι⇒χατιον οφ τηε ΛΣ∆ οφ χλυµπ σιζεσ). Τηε ρεσυλτινγ χοµπουνδ διστριβυτιον φορ τηε τοταλ νυµβερ οφ φαιλυρεσ, ωηιχη ισ τηε συµ οφ τηε σιζεσ, ισ αλσο κνοων ασ α νεγατιϖε βινοµιαλ διστριβυτιον ιφ τηε Ποισσον παραµετερ λ ισ σετ το −k λν(1 − θ ). Τηε χοµπουνδ Ποισσον µοδελ τακεσ τηε χλυµπσ οφ τηε χοϖεραγε ιτεµσ ιντο αχχουντ ιν α στατιστιχαλ µαννερ βψ υπδατινγ τηε ασσυµεδ προβαβιλιτψ διστριβυτιον παραµετερσ ιν εϖερψ τεστ χασε βασεδ ον τηε τεστινγ ηιστορψ. Ηοωεϖερ, ιντερρυπτιονσ ιν τηε τεστινγ προχεσσ αρε ασσυµεδ το βε ινδεπενδεντ, δυε πριµαριλψ το τηε ινδεπενδεντ ινχρεµεντσ προπερτψ οφ τηε ανχηορινγ Ποισσον προχεσσ. Τηε ΜΕΣΑΤ−1 προποσεδ αλσο ινχορπορατεσ α µινιµαλ χον⇒δενχε ρυλε ιν αδδιτιον το υσινγ τηε ονε−στεπ−αηεαδ φορµυλα (28) φορ ασσεσσινγ ωηετηερ το στοπ ορ χοντινυε εχονοµιχαλλψ. Αλλ τηε στοππινγ ρυλεσ δισχυσσεδ πρεϖιουσλψ ασσυµε τηατ φαιλυρεσ ορ ιντερρυπτιονσ αρε ρανδοµ προχεσσεσ αχχορδινγ το α γιϖεν προβαβιλιτψ διστριβυτιον. Α σεθυεν− τιαλ σαµπλινγ τεχηνιθυε τηατ ινϖολϖεσ νο ασσυµπτιονσ ρεγαρδινγ τηε προβαβιλιτψ διστριβυτιονσ φορ τηε φαιλυρε προχεσσ ωασ πρεσεντεδ βψ Μυσα [56]. Ρεχεντλψ, τηε τεχηνιθυε ηασ βεεν αππλιεδ το ςΗ∆Λ µοδελσ υσεδ το δετερµινε στοππινγ ποιντσ φορ α γιϖεν τεστινγ ηιστορψ οφ βρανχη χοϖεραγε [61]. Τηε µοδελ εϖαλυατεσ τηε στοπ− πινγ δεχισιον βασεδ ον τηρεε κεψ φαχτορσ: τηε δισχριµινατιον ρατιο, τ ; τηε συππλιερ ρισκ, α; ανδ τηε χονσυµερ ρισκ, β. Ιφ τηε νυµβερ οφ χυµυλατιϖε χοϖεραγε ατ τιµε

196

ΣΤΟΠΠΙΝΓ ΡΥΛΕΣ ΙΝ ΣΟΦΤΩΑΡΕ ΤΕΣΤΙΝΓ

t ισ X(t), τηε τεστινγ προχεσσ σηουλδ βε στοππεδ ατ X(t) =

λν[(1 − β)/α] − λν γ 1−γ

(4Β.5)

Τηε στοππινγ δεχισιον δεπενδσ ον τηε ϖαλυε οφ γ µυχη µορε τηαν ον α ανδ β. Τηε δεχισιον δοεσ νοτ ινχορπορατε α χοστ µοδελ οφ τηε τεστινγ προχεσσ. Ιν [56], τηε ϖαριαβλε ωασ µοδι⇒εδ ωιτη ρεσπεχτ το τεστινγ στρατεγιεσ συχη τηατ ιφ ηιγηερ χοϖεραγε ωερε αχηιεϖεδ ιν τηε πρεϖιουσ τεστ στρατεγψ, τηε ϖαλυε οφ γ ισ ινχρεασεδ ιν τηε χυρρεντ τεστ στρατεγψ ιν ορδερ το δεχρεασε τηε εξπεχτατιον οφ αχηιεϖινγ µορε χοϖεραγε ιν τηε χυρρεντ στρατεγψ. Τηε νεω ϖαλυε οφ γ τηερεφορε βεχοµεσ γ = γ λν , ωηερε  ισ τηε χοϖεραγε ινχρεασε αχηιεϖεδ ιν τηε πρεϖιουσ τεστ στρατεγψ. Τηε ϖαλυε οφ γ ρεµαινσ τηε σαµε, ηοωεϖερ, ιφ  < e. Τηισ τψπε οφ στατιστιχαλ µοδελινγ δοεσ νοτ υσε ανψ πριορ προβαβιλιτψ διστριβυτιον φορ τηε δατα προϖιδεδ. Τηισ ισ ονε ρεασον ωηψ σεθυεντιαλ σαµπλινγ µοδελσ αρε υσεδ ωιδελψ ιν µανψ τεστινγ αρεασ [35,40]. Ηοωεϖερ, τηε χοστ οφ τεστινγ ισ νοτ µοδελεδ ιν µακινγ τηε στοππινγ δεχισιον. Μορεοϖερ, ιν τηε οπινιον οφ τηισ αυτηορ, τηε στοππινγ ποιντ δετερµινεδ βψ τηε σεθυεντιαλ σαµπλινγ µοδελ ισ ϖερψ σενσιτιϖε το τηε ϖαλυε χηοσεν δυρινγ τηε τεστινγ προχεσσ. Εθυατιον (4Β.5) ισ συβϕεχτ το αν αβυσιϖε υσε φορ πυρποσεσ οφ εξπεριµενταλ ϖαλιδατιον. Αυτηορσ οφ τηισ αππροαχη [61] ηαϖε εαρλιερ συγγεστεδ ϖαλυεσ φορ γ υπ το 250, ωηερεασ Μυσα’σ παπερ [56] υσεσ γ ονλψ ον τηε ορδερ οφ 5 ορ 10. Εξχεσσιϖε ϖαλυεσ οφ γ ποσε α χοντραδιχτιον ανδ τηρεατ το Ωαλδ’σ ΣΠΡΤ τηεορψ φορ σεθυεντιαλ τεστινγ ιν τερµσ οφ τψπε Ι (ωηοσε προβαβιλιτψ ισ α) ανδ τψπε ΙΙ (ωηοσε προβαβιλιτψ ισ β) ερρορσ. Τηε σαµε ηολδσ τρυε φορ α, ωηιχη ϖαριουσ αυτηορσ ηαϖε συγγεστεδ το βε 0.50, α ρελατιϖελψ εξαγγερατεδ ϖαλυε χοµπαρεδ το Μυσα’σ 0.10. Σινγπυρωαλλα ετ αλ. [41,44,49], Μχ∆αιδ ανδ Ωιλσον [42], ανδ Ροσσ [43] ηαϖε δεϖελοπεδ τηειρ οων στοππινγ ρυλεσ ωιτη διφφερινγ στατιστιχαλ ασσυµπτιονσ ιν ονε− ορ τωο−σταγε τεστινγ σχηεµεσ. Ηοωεϖερ, βεχαυσε τηεσε τεχηνιθυεσ ηαϖε νοτ βεεν συβϕεχτεδ το ηαρδωαρε ορ σιλιχον τεστινγ ωιτη ρεσπεχτ το βρανχη χοϖεραγε, νο χοµπαρατιϖε ρεσυλτσ αρε αϖαιλαβλε ιν τηε ενγινεερινγ λιτερατυρε. Τηε αργυµεντσ αβοϖε συγγεστ τηατ τηε ΜΕΣΑΤ−1 προποσεδ, ωηιχη εµπλοψσ βοτη α µινιµαλ χον⇒δενχε ρυλε ανδ α ονε−στεπ−αηεαδ φορµυλα ωιτηιν α σινγλε− ορ µυλτισταγε τεστινγ σχεναριο το ϕυστιφψ α δεχισιον τακεν ασ το ωηετηερ το χοντινυε ορ στοπ τεστινγ, ηασ τηε ιµµινεντ αδϖανταγεσ οφ ρεχογνιζινγ τηε χλυµπινγ εφφεχτ ιν χοϖεραγε τεστινγ ασ ωελλ ασ ινχορπορατινγ εχονοµιχ χριτερια ιν αδδιτιον το ιτσ δατα δισχριµινατιϖε τραιτσ βψ χονδυχτινγ εξπλορατορψ δατα αναλψσισ τηρουγη διαγνοστιχ χηεχκσ. Ιτ ισ ιµπερατιϖε τηατ α διαγνοστιχ χηεχκ, συχη ασ ιν Αππενδιξ 4Α, βε υνδερτακεν ιφ σιµιλαρ εξηαυστιϖε τεστ ρεσυλτσ αρε αϖαιλαβλε. Τηισ ισ νεχεσσαρψ το ϕυστιφψ υσε οφ τηε ΛΣ∆ µοδελ φορ τηε χλυµπ σιζεσ, α µοδελ τηατ εϖεντυαλλψ λεαδσ το αν ΝΒ∆ ασσυµπτιον φορ τηε τοταλ αµουντ οφ χοϖεραγε βψ δεφαυλτ ιν τηε ωακε οφ τηε εξπρεσσιον λ = −k λν(1 − θ ) = k λν q, ασσυµεδ το ηολδ τρυε. Φορ α µορε τηορουγη χοµπαρατιϖε χασε στυδψ, α ρεσεαρχη δονε βψ Ηαϕϕαρ ανδ Χηεν ωασ υτιλιζεδ [63,64], ιν ωηιχη νινε στοππινγ ρυλεσ, σηοων ιν Ταβλε 4Β.1, ωερε αππλιεδ το 14 διφφερεντ ςΗ∆Λ µοδελσ [45]. Τηε ρεσυλτσ οφ τηε στοππινγ− ρυλε δετερµινατιονσ αρε σηοων ιν Ταβλε 4Β.2, ινχλυδινγ ρεσυλτσ οβταινεδ ωιτηουτ

ΧΟΜΠΑΡΙΣΟΝ ΟΦ ΠΡΟΠΟΣΕ∆ ΧΠ ΡΥΛΕ ΩΙΤΗ ΟΤΗΕΡ ΣΤΟΠΠΙΝΓ ΡΥΛΕΣ

ΤΑΒΛΕ 4Β.1 Στυδψ

Στοππινγ Ρυλεσ Υσεδ ιν τηε Χασε

Οριγ. ΣΣ1 ΣΣ2 ΗΩ1 ΗΩ2 ΒΜ ∆Λ ΧΠ ΣΒ ∆Β Χ∆Β

Οριγιναλ (ωιτηουτ α στοππινγ ρυλε) Σεθυεντιαλ σαµπλινγ ⇒ξεδ Σεθυεντιαλ σαµπλινγ ϖαριαβλε Ηοωδεν’σ ⇒ρστ φορµυλα Ηοωδεν’σ σεχονδ φορµυλα Βιναρψ Μαρκοϖ µοδελ ∆αλαλ–Μαλλοωσ µοδελ Χοµπουνδ Ποισσον ρυλε Στατιχ Βαψεσιαν ρυλε ∆ψναµιχ Βαψεσιαν ρυλε Χον⇒δενχε−βασεδ δψναµιχ Βαψεσιαν ρυλε

197

Σουρχε: [64].

τηε υσε οφ στοππινγ ρυλεσ. Τηισ στοππινγ−ρυλε χοµπαρισον πορτραψσ τηε χοµπουνδ Ποισσον (ΧΠ) µετηοδ ασ ηαϖινγ ονε οφ τηε λοωεστ εφ⇒χιενχιεσ βασεδ ον α ναιϖε χοϖεραγε περ τεστινγ παττερν ινδεξ, δε⇒νεδ ασ τηε νυµβερ οφ βρανχηεσ χοϖερεδ διϖιδεδ βψ τηε τοταλ νυµβερ οφ τεστ παττερνσ υσεδ. ∆εσπιτε τηειρ ινδεξ ρατινγ, ΧΠ φουνδ τηε µοστ φαυλτσ φορ 10 οφ τηε 14 ςΗ∆Λ µοδελσ, ωηιλε ρανκινγ σεχονδ ιν Β15, τηιρδ ιν Β01, ανδ φουρτη ιν Β04 (Ταβλεσ 4Β.2 ανδ 4Β.3). Φυρτηερµορε, νο εχονοµιχ αναλψσισ ηασ βεεν υνδερτακεν το ιλλυστρατε τηε µονεταρψ γαιν ορ λοσσ ασσοχιατεδ ωιτη τηε ϖαριουσ στοππινγ ρυλεσ. Ωε νοω υσε τηε χοστ–βενε⇒τ χριτεριον οφ εθυατιον (32), ωηερε ΡΦ ισ τηε ρεµαινινγ νυµβερ οφ φαιλυρεσ υνχοϖερεδ ανδ ΡΤ ισ τηε νυµβερ οφ τεστ παττερνσ στιλλ υνυσεδ ωηεν στοππεδ. Ιν ουρ εξαµπλε, ωε υσε c = ∃1, b = ∃230, ανδ a = ∃2300, σινχε τηε χοστ οφ αφτερ−µαρκετ ρεδεµπτιον ισ 10 τιµεσ γρεατερ τηαν τηατ βεφορε. Υσινγ τηε Σψσ7 δατα ωιτη ΧΠ, ωε γετ, βψ εθυατιον (32), ∃2300(568 − 547) = ∃2300(21) ∃48,300 < ∃230(21) + ∃1(54,283 − 6287) = ∃52,826

(4Β.6)

τηυσ σηοωινγ ΧΠ το βε χοστ−εφφεχτιϖε βψ ∃52,826 − ∃48,300 = ∃4526. Χοµπαρινγ Σψσ7 ωιτη ∆Β, ∃2300(568 − 536) = ∃2300(32) ∃73,600 < ∃230(32) + ∃1(54,283 − 563) = ∃61,080

(4Β.7)

σηοωινγ ∆Β νοτ το βε χοστ−εφφεχτιϖε βψ ∃61,080 − ∃73,600 = −∃12,520. Ωηψ ισ α ρατιο οφ 10 υσεδ βετωεεν βεφορε− ανδ αφτερ−ρελεασε χοστσ? Τηε ρεασον ισ τηατ υνλικε σοφτωαρε τεστινγ, σιλιχον τεστινγ ισ µορε εξπενσιϖε φορ υνχοϖερεδ βρανχηεσ ορ φαιλυρεσ. Αλτηουγη αχχεσσ το τηε ςΗ∆Λ µοδελ δατα υσεδ ιν Ηαϕϕαρ ανδ Χηαν’σ ρεσεαρχη [63,64] ωασ νοτ αϖαιλαβλε, χοστ αναλψσισ χουλδ στιλλ βε αππλιεδ το τηειρ ρεσυλτσ. Ιν

198

ΣΤΟΠΠΙΝΓ ΡΥΛΕΣ ΙΝ ΣΟΦΤΩΑΡΕ ΤΕΣΤΙΝΓ

ΤΑΒΛΕ 4Β.2 Ρεσυλτσ οφ Στοππινγ−Ρυλε Χοϖεραγε ϖερσυσ Νυµβερ οφ Τεστ Παττερνσ φορ τηε Στατιχ Χασε Στυδψα Μοδελ

Οριγ.

ΣΣ1

ΣΣ2

ΗΩ1

ΗΩ2

ΒΜ

∆Λ

ΧΠ

ΣΒ

∆Β

Χ∆Β

Σψσ7

568 5428 161 8150 200 8000 223 8000 259 8000 210 8000 210 8000 274 8000 260 8000 210 8000 223 8000 259 8000 257 8000 415 8000

536 1039 73 3259 177 8169 220 1028 234 1079 192 8725 196 8963 268 1244 234 1079 197 9068 220 1028 234 1079 248 1136 351 1619

538 1858 73 3812 142 3352 218 5047 251 7122 192 4618 198 4660 268 6122 251 7122 198 4660 218 5047 251 7122 248 5712 351 7906

536 927 79 2769 128 1010 206 1894 251 2092 192 1240 196 1322 263 1392 234 1512 204 1488 206 1894 234 1545 244 1892 350 1892

536 969 79 2906 155 1108 214 2468 251 2343 192 1407 204 3904 263 1405 251 2053 204 1711 214 2468 251 2085 244 1900 350 1900

536 1025 81 3033 128 1211 214 2557 251 2431 192 1439 196 1621 273 2283 251 2470 204 1781 214 2557 251 2462 244 1991 350 1991

536 1235 75 5712 128 1211 219 1175 252 5318 204 7110 196 1132 273 8427 252 5324 196 915 219 1175 252 5318 248 1618 418 8000

547 6287 112 9600 135 4200 217 1710 253 1080 204 4500 204 4500 273 9600 253 7800 208 4200 217 1710 253 6900 253 2100 383 9000

535 661 74 2275 128 1854 199 631 232 808 192 673 195 789 273 2249 232 809 208 2181 199 631 232 808 245 1982 364 2080

536 563 73 2239 128 914 202 674 233 745 192 708 195 704 273 2033 233 734 208 1488 202 674 233 745 245 735 364 2298

535 569 67 2091 128 897 202 742 233 744 192 708 195 731 273 1829 233 735 208 1240 202 742 233 744 245 748 364 2010

8251 Β01 Β04 Β05 Β06 Β07 Β08 Β09 Β10 Β11 Β12 Β14 Β15 α

Ιτ ισ ασσυµεδ τηατ τηε χοϖεραγε περ τεστινγ παττερν χαν βε χαλχυλατεδ (ι.ε., χοϖεραγε/παττερνσ) ωιτηουτ υσινγ χοστ φαχτορσ

α χασε στυδψ υσινγ τηε χοστ χριτεριον οφ εθυατιον (32), ιν ωηιχη α χοστ ινδεξ ωασ αππλιεδ το τηε δατα ωιτη χοστ ϖαλυεσ οφ a = ∃5000, b = ∃500, ανδ c = ∃1, τηε ΧΠ στοππινγ ρυλε ωασ χλεαρλψ µορε βενε⇒χιαλ. Ασ χαν βε σεεν ιν Ταβλεσ 4Β.1, 4Β.2, ανδ 4Β.3 οφ τηε νινε στοππινγ ρυλεσ υσεδ ιν τηατ στυδψ, τηε χοµπουνδ Ποισσον στοππινγ ρυλε ρανκεδ ϖερψ ηιγη ωιτη ρεγαρδ το σαϖινγσ ιν µανψ οφ τηε ςΗ∆Λ δατα σετσ. ΧΠ σχορεδ 6 ⇒ρστ ανδ 3 σεχονδ ανδ 2 φουρτη πλαχεσ ιν Ταβλε 4Β.3. Τηε λοω χοστ οφ τεστινγ, ιν χονϕυνχτιον ωιτη τηε ηιγη ποστρελεασε ρεπαιρ χοστ, ρενδερσ τηε ΧΠ στοππινγ ρυλε συπεριορ το µανψ οφ τηε οτηερ στοππινγ ρυλεσ ιν τηε στυδψ. Τηε ινχεντιϖε βεηινδ µιξεδ στρατεγψ τεστινγ ισ τηατ α βυγ υνδετεχτεδ ιν α σιλιχον−εµβεδδεδ χηιπ ισ µυχη µορε χοστλψ τηαν α βυγ ιν σοφτωαρε, ανδ τηερεφορε τηε στοππινγ ρυλε νεεδσ το βε ϖερψ χονσερϖατιϖε. Ατ τηε ενδ οφ τηε σπεχτρυµ,

ΧΟΜΠΑΡΙΣΟΝ ΟΦ ΠΡΟΠΟΣΕ∆ ΧΠ ΡΥΛΕ ΩΙΤΗ ΟΤΗΕΡ ΣΤΟΠΠΙΝΓ ΡΥΛΕΣ

199

ΤΑΒΛΕ 4Β.3 Χοµπαρισονσ οφ Χοστσ ιν ∆ψναµιχ Χασε Στυδψ φορ α = ∃5000, β = ∃500, ανδ χ = ∃1 Μοδελ Σψσ7 825λ Β01 Β04 Β05 Β06 Β07 Β08 Β09 Β10 Β11 Β12 Β14 Β15

Ρανκ βψ Σαϖινγσ/Βενε⇒τ (Ηιγη το Λοω Λεφτ το Ριγητ) ΧΠ ΣΣ2 ∆Β ΗΩ1 ΗΩ2 ΒΜ ΣΣ1 ∆Λ Χ∆Β ΣΒ −46504 −82575 −90280 −90644 −90686 −90742 −90756 −90952 −94786 −94878 ΧΠ ΒΜ ΗΩ1 ΗΩ2 ∆Λ ΣΒ ∆Β ΣΣ1 ΣΣ2 Χ∆Β −148600 −281533 −290269 −290406 −311212 −312275 −316739 −317759 −318312 −343591 ΣΣ1 ΗΩ2 ΣΣ2 ΧΠ Χ∆Β ∆Β ΗΩ1 ΒΜ ∆Λ ΣΒ −31669 −133584 −184352 −216700 −244897 −244914 −245010 −245211 −245211 −245854 ΣΣ1 ΣΣ2 ∆Λ ΗΩ2 ΒΜ ΧΠ ΗΩ1 ∆Β Χ∆Β ΣΒ 56218 52453 50245 37032 36943 35900 1606 −15174 −15242 −28631 ∆Λ ΧΠ ΗΩ1 ΗΩ2 ΒΜ ΣΣ2 Χ∆Β ∆Β ΣΒ ΣΣ1 43182 42200 41908 41657 41569 36878 −37744 −37745 −42308 −43295 ΧΠ ∆Λ ΣΒ ∆Β Χ∆Β ΗΩ1 ΗΩ2 ΒΜ ΣΣ2 ΣΣ1 −2240 −2407 −2439 −5618 −9725 48500 45890 −1673 −1708 −1708 ΗΩ2 ΧΠ ΣΣ2 ∆Λ ΗΩ1 ΒΜ ∆Β Χ∆Β ΣΒ ΣΣ1 49096 48500 21340 15868 15678 15379 11796 11769 11711 8037 Χ∆Β ∆Β ΣΒ ΒΜ ∆Λ ΧΠ ΣΣ2 ΣΣ1 ΗΩ1 ΗΩ2 73671 73467 73251 73217 67073 65900 46878 40553 29108 29095 ΧΠ ∆Λ ΗΩ2 ΒΜ ΣΣ2 ΗΩ1 ∆Β Χ∆Β ΣΒ ΣΣ1 40700 38676 37447 37030 32378 −38512 −42234 −42235 −46809 −47795 Χ∆Β ∆Β ΣΒ ΧΠ ΗΩ1 ΗΩ2 ΒΜ ΣΣ2 ∆Λ ΣΣ1 69760 69512 68819 66800 51512 51289 51219 21340 16085 12432 ΣΣ1 ΣΣ2 ∆Λ ΗΩ2 ΒΜ ΧΠ ΗΩ1 ∆Β Χ∆Β ΣΒ 56218 52453 50245 37032 36943 35900 1606 −15174 −15242 −28631 ΧΠ ∆Λ ΗΩ2 ΒΜ ΣΣ2 ΗΩ1 Χ∆Β ∆Β ΣΒ ΣΣ1 46100 43182 41915 41538 36878 −34045 −37744 −37745 −42308 −43295 ΧΠ ∆Λ ΣΣ2 ΣΣ1 ∆Β Χ∆Β ΣΒ ΗΩ1 ΗΩ2 ΒΜ 41000 37882 33788 28133 25265 25252 24018 19608 19600 19509 ∆Λ ΧΠ Χ∆Β ΣΒ ∆Β ΗΩ1 ΗΩ2 ΒΜ ΣΣ2 ΣΣ1 13498 −73000 −151510 −151580 −151798 −214392 −214400 −214491 −215906 −224190

ΤΑΒΛΕ 4Β.4 Σπεχι⇒χατιονσ οφ Τωο οφ τηε Μοδελσ Λιστεδ ιν Ταβλε 4Β.3α

ΛΟΧ Βρανχηεσ Ινπυτ χοντρολ βιτσ Ινπυτ δατα βιτσ Προχεσσ βλοχκσ Λεϖελσ οφ ηιεραρχηψ

Σψσ7

Ιντελ 8251

3785 591 7 62 92 5

3113 207 11 8 3 1

α

Τηε Σψσ7 µοδελ ισ α τωο−διµενσιοναλ ρεαλ−τιµε οβϕεχτ χλασ− σι⇒χατιον χηιπ, ανδ τηε Ιντελ 8251 µοδελ ισ α µιχροχοντρολλερ χηιπ.

βεχαυσε τηε χοστ οφ τεστινγ ισ µυχη λεσσ τηαν τηε χοστ οφ α βυγ ιν σιλιχον, ιτ σεεµσ τηατ α νονχονσερϖατιϖε στοππινγ ρυλε ισ ωορσε τηαν σοµε οτηερ ρυλεσ. Ανοτηερ ανγλε χαν βε εξτραχτεδ φροµ Ταβλε 4Β.3, ωηερε τηε νυµβερ οφ βρανχη χοϖεραγε ιν ΣΒ (Ηαϕϕαρ ανδ Χηεν’σ προποσεδ ρυλε) ισ µορε τηαν 10% λεσσ τηαν τηε οριγιναλ

200

ΣΤΟΠΠΙΝΓ ΡΥΛΕΣ ΙΝ ΣΟΦΤΩΑΡΕ ΤΕΣΤΙΝΓ

(νο στοππινγ ρυλε). Τηισ ισ προβαβλψ νοτ αχχεπταβλε ιν ηαρδωαρε. Α χοµπαρισον: ΑΤΠΓ τψπιχαλλψ αιµσ φορ ηιγηερ τηαν 90% φαυλτ χοϖεραγε, ανδ α υσερ ωουλδ προβαβλψ αιµ φορ εϖεν 1% ινχρεασεσ ιν χοϖεραγε ποιντσ ιφ ιτ ισ αχηιεϖαβλε ιν α ρεασοναβλε αµουντ οφ χοµπυτατιον. Σο τηε ρυλε προποσεδ ισ προβαβλψ α γοοδ ρυλε φορ σωιτχηινγ ινστεαδ οφ στοππινγ τηε τεστινγ προχεσσ.

ΑΠΠΕΝ∆ΙΞ 4Χ: ΜΕΣΑΤ−1 ΟΥΤΠΥΤ ΣΧΡΕΕΝΣΗΟΤΣ ΑΝ∆ ΓΡΑΠΗΣ [6]

ΦΙΓΥΡΕ 4Χ.1

ΜΕΣΑΤ−1 µυλτιστρατεγψ τεστινγ φορ δατα σετ ∆Ρ5 ωιτη χοστ ρεσυλτσ.

ΜΕΣΑΤ−1 ΟΥΤΠΥΤ ΣΧΡΕΕΝΣΗΟΤΣ ΑΝ∆ ΓΡΑΠΗΣ [6]

201

ΦΙΓΥΡΕ 4Χ.2 Πλοτ οφ µυλτιστρατεγψ στοππινγ ρυλε φορ ∆Ρ5 ιν Φιγυρε 4Χ.1 ατ α µινιµαλ 80% χον⇒δενχε λεϖελ.

ΦΙΓΥΡΕ 4Χ.3 Πλοτ οφ µυλτιστρατεγψ στοππινγ ρυλε φορ ∆Ρ5 ατ α µινιµαλ 90% χον⇒δενχε λεϖελ.

202 Week ---1 5 6 7 8 9 10 34 35 43 44 52 66 76 91 99 100

ΣΤΟΠΠΙΝΓ ΡΥΛΕΣ ΙΝ ΣΟΦΤΩΑΡΕ ΤΕΣΤΙΝΓ Lambda ------1.0 0.4 0.5 0.57143 0.625 0.66667 0.7 0.23529 0.25714 0.23256 0.25 0.23077 0.19697 0.18421 0.16484 0.16162 0.16

k ------0.57711 0.20036 0.2266 0.24445 0.26348 0.26808 0.27024 0.08512 0.0894 0.07859 0.08385 0.0767 0.06435 0.0597 0.05299 0.05124 0.05073

w ---4 2 4 3 1 3 3 3 4 3 1 1 2 1 1 2 0

X ---4 6 10 13 14 17 20 23 27 30 31 32 34 35 36 38 38

E(X) ----4.391 2.337 3.325 4.125 4.588 5.285 5.957 2.432 2.872 2.769 3.017 2.849 2.539 2.423 2.214 2.242 2.221

e(X) -----N / A 0.936 0.988 0.8 0.463 0.697 0.672 0.372 0.44 0.348 0.248 0.223 0.232 0.174 0.153 0.18 0.00

Percentage ---------8.7 13.04 21.74 28.26 30.43 36.96 43.48 50.0 58.7 65.22 67.39 69.57 73.91 76.09 78.26 82.61 82.61

Stop at X(100) = 38.0 Coverage = 82.6086956521739 %

•

• •

• •

Cost Analysis: Cost of correcting all 46 errors by exhaustive — testing would have been 46000.00$ Cost of correcting 38 pre — release errors using MESAT is 38000.00$ Savings for not correcting the remaining 8 by using MESAT is 8000.00$ Cost of executing all 2176 test cases by exhaustive — testing would have been 1088000.00$ Cost of executing 100 test cases by using MESAT is 50000.00$ Savings for not executing the remaining ( 2176 − 100 ) = 2076 test cases is 1038000.00$ Results of using MESAT are: Savings for not correcting the remaining 8 errors by using MESAT is 8000.00$ Plus the 1038000.00$ saved for not executing the remaining 2076 test cases equals a total savings of 1046000.00$ Minus the 16000.00$ post - release cost of correcting 8 errors not covered ( 8 × 2000.00$ ) Total savings for using MESAT is 1030000.00$ Strategy: 1 Stop at X(100) = 38.0 Coverage = 82.0% Total Coverage = 83 % Total Covered = 38 strategy: 2 Stop at X(1959) = 7.0 Coverage = 88.0% Total Coverage = 98 % Total Covered = 45 Strategy 1 Cost Analysis Summary: Total savings for using MESAT is 1030000.00$ Strategy 2 Cost Analysis Summary: Total savings for using MESAT is 63500.00$ Insufficient data for Strategy Number: 3

ΦΙΓΥΡΕ 4Χ.4 δενχε λεϖελ.

Ρεσυλτσ οφ ∆Ρ5 µιξεδ στρατεγψ στοππινγ ρυλε ατ α µινιµαλ 80% χον⇒−

203

ΜΕΣΑΤ−1 ΟΥΤΠΥΤ ΣΧΡΕΕΝΣΗΟΤΣ ΑΝ∆ ΓΡΑΠΗΣ [6]

Week ---1 2 3 4 5 2042

Lambda ------1.0 0.5 0.33333 0.25 0.4 0.00979

k ------0.057711 0.27209 0.17794 0.13218 0.20036 0.00301

Exact Cum. X X E(X) ---- ---- ----4 4 4.391 0 4 2.567 0 4 1.813 0 4 1.401 2 6 2.337 1 42 0.15

e(X) -----N / A 0.00 0.00 0.00 0.936 0.0090

% Expense ----- ---------8.7 $4500.0 8.7 $5000.0 8.7 $5500.0 8.7 $6000.0 13.04 $8500.0 91.3 $1063000.0

Gain ------$1051000.0 $1050500.0 $1050000.0 $1049500.0 $1051000.0 $68500.0

strategy: 1 Stop at X(2042) = 42.0 Coverage = 91.0% Total Coverage = 91.0 % Total Covered = 42 strategy: 2 Stop at X(86) = 4.0 Coverage = 100.0% Total Coverage = 100.0 % Total Covered = 46 Strategy 1 Cost Analysis Summary: Total savings for using MESAT-1 is $685000.00 Strategy 2 Cost Analysis Summary: Total savings for using MESAT-1 is $29500.00

ΦΙΓΥΡΕ 4Χ.5 Ρεσυλτσ οφ ∆Ρ5 µιξεδ στρατεγψ στοππινγ ρυλε ατ α µινιµαλ 90% χον⇒− δενχε λεϖελ.

ΦΙΓΥΡΕ 4Χ.6 ΜΕΣΑΤ−1 µιξεδ στρατεγψ τεστινγ ρεσυλτσ φορ ∆Ρ4.

204

ΣΤΟΠΠΙΝΓ ΡΥΛΕΣ ΙΝ ΣΟΦΤΩΑΡΕ ΤΕΣΤΙΝΓ

ΦΙΓΥΡΕ 4Χ.7 ΜΕΣΑΤ−1 ρεσυλτσ συµµαρψ ον ωηεν το στοπ, ανδ τηε εχονοµιχ πλοτ φορ ∆Ρ4 φορ α µινιµαλ 80% χον⇒δενχε λεϖελ.

ΦΙΓΥΡΕ 4Χ.8 ΜΕΣΑΤ−1 ρεσυλτσ συµµαρψ οφ ∆Ρ4 ωηεν τηε νυµβερ οφ φαιλυρεσ ισ νοτ κνοων ιν αδϖανχε. Μιξεδ στρατεγψ ισ νοτ χονδυχτεδ φορ συχη σχεναριοσ. Βυδγετ = ∃20,000, µινιµαλ νυµβερ οφ χασεσ = 100, χοϖεραγε χριτεριον = 0, νυµβερ οφ χοϖεραγεσ = 0.

ΣΤΟΠΠΙΝΓ ΡΥΛΕ ΦΟΡ ΗΙΓΗ−ΑΣΣΥΡΑΝΧΕ ΣΟΦΤΩΑΡΕ ΤΕΣΤΙΝΓ ΙΝ ΒΥΣΙΝΕΣΣ

205

4.2 ΣΤΟΠΠΙΝΓ ΡΥΛΕ ΦΟΡ ΗΙΓΗ−ΑΣΣΥΡΑΝΧΕ ΣΟΦΤΩΑΡΕ ΤΕΣΤΙΝΓ ΙΝ ΒΥΣΙΝΕΣΣ Νυτσηελλ 4.2 Ιν τηισ αππλιχατιον−οριεντεδ σεχτιον ωε αργυε τηατ χοστ−εφφεχτιϖε τεστινγ χαν βε λεσσ τηορουγη ψετ µορε εφ⇒χιεντ ιφ αππλιεδ ιν α ωελλ−µαναγεδ, εµπιριχαλ µαννερ αχροσσ τηε εντιρε σοφτωαρε δεϖελοπµεντ λιφε χψχλε (Σ∆ΛΧ). Το ενσυρε συχχεσσ, τεστινγ µυστ βε πλαννεδ ανδ εξεχυτεδ ωιτηιν αν εαρνεδ ϖαλυε µαναγεµεντ (ΕςΜ) παραδιγµ. Α σπεχι⇒χ εξαµπλε οφ εµπιριχαλ σοφτωαρε τεστινγ ισ γιϖεν: τηε εµπιριχαλ Βαψεσιαν στοππινγ ρυλε, ωηιχη ισ τηε ΜΕΣΑΤ−1 αλγοριτηµ. Τηε στοππινγ ρυλε ισ αππλιεδ το αν αχτυαλ χασε ινϖολϖινγ βυσινεσσ σοφτωαρε δεϖελοπµεντ, το σηοω ποτεντιαλ γαινσ ωιτη ρεσπεχτ το αρχηαιχ τεστινγ µετηοδσ τηατ ωερε υσεδ εαρλιερ. Τηε ρεσυλτ ισ τηατ α περχενταγε οφ τηε παρτιχυλαρ τεστινγ εφφορτ χουλδ ηαϖε βεεν σαϖεδ υνδερ νορµαλ χιρχυµστανχεσ ηαδ τηε τεστινγ βεεν πλαννεδ ανδ εξεχυτεδ υνδερ ΕςΜ ωιτη τηε εµπιριχαλ Βαψεσιαν στοππινγ ρυλε (ι.ε., ΜΕΣΑΤ−1) αλγοριτηµ, ωηιχη ωασ χοϖερεδ ιν Σεχτιον 4.1. 4.2.1 Ιντροδυχτιον Αχροσσ τηε µανυφαχτυρινγ ωορλδ ανδ τηε γενεραλ σοφτωαρε ινδυστρψ, τηερε ισ α δραστιχ δισπαριτψ ιν Σ∆ΛΧ τεστ πλαννινγ ανδ µαναγεµεντ. Βυσινεσσεσ ωαστε τρεµενδουσ αµουντσ οφ ρεσουρχεσ βψ νοτ πλαννινγ, δεϖελοπινγ, ορ τεστινγ σοφτωαρε ιν αν εφ⇒χιεντ, σχιεντι⇒χ µαννερ. ΕςΜ ισ µισυνδερστοοδ ανδ µισυσεδ, πλαννινγ ισ νοτ χοµπρεηενσιϖε, ανδ τεστινγ ισ νοτ περϖασιϖε τηρουγηουτ τηε Σ∆ΛΧ. Τηερε αρε µετηοδσ οφ εφ⇒χιεντλψ µαναγινγ αν Σ∆ΛΧ προϕεχτ ωηερεβψ ιντενσι⇒εδ πλαν− νινγ ανδ οϖερσιγητ ωιλλ νοτ χαυσε α νεγατιϖε ρετυρν ον ινϖεστµεντ. Τηεσε µετηοδσ ινχλυδε συφ⇒χιεντ πλαννινγ ωιτηιν αν ΕςΜ µετηοδολογψ, περϖασιϖε Σ∆ΛΧ τεστινγ, ανδ αππλιχατιον οφ σχιεντι⇒χ ρυλεσ φορ λιφε−χψχλε τεστινγ [7]. 4.2.2 ΕςΜ Μετηοδολογψ Ωιτηιν αν Σ∆ΛΧ, σοφτωαρε προϕεχτ µαναγερσ στριϖε το ρεδυχε ρισκ ωηιλε ρεδυχινγ τηε τιµε τηατ ιτ τακεσ το δεϖελοπ α προδυχτ ανδ περφορµ τηε τεστσ. Ιν α λαργε προϕεχτ, πλαννινγ χαν τακε α χονσιδεραβλε αµουντ οφ τιµε. ΕςΜ συφφερσ µοστ οφτεν βεχαυσε πλαννινγ µυστ τακε πλαχε λονγ βεφορε ρεθυιρεµεντσ αρε σπεχι⇒εδ. Αδδιτιοναλλψ, τεστινγ ισ ειτηερ νοτ πλαννεδ συφ⇒χιεντλψ ορ ατ λεαστ νοτ πλαννεδ δισχρετελψ. Μορε οφτεν τηαν νοτ, τηε µετηοδ υσεδ το τεστ σοφτωαρε υνιτσ ισ το τηροω δατα ατ τηεµ ανδ ϖιεω τηε ουτπυτ. Τηισ ισ βλαχκ−βοξ τεστινγ. Ιτ ισ ινεφ⇒χιεντ βεχαυσε ιτ χαν βε α τριαλ−ανδ−ερρορ προχεσσ. Το αππλψ ΕςΜ µετηοδσ, αλλ σοφτωαρε προδυχτσ µυστ βε πλαννεδ, σχηεδυλεδ, ρεσουρχεδ, ανδ βυδγετεδ. Ωηατ ισ α σοφτωαρε προδυχτ? Ιτ ισ ανψ αρτιφαχτ οφ τηε Σ∆ΛΧ. Τηεσε προδυχτσ ινχλυδε τηε ινδιϖιδυαλ ρεθυιρεµεντ, τηε ρεθυιρεµεντ σπεχ− ι⇒χατιον, τηε µοδυλε δεσιγν, τηε ιντερφαχε σπεχι⇒χατιον, τηε σοφτωαρε υνιτ, τηε τεστ πλαν, ανδ τηε τεστ σχριπτ, αµονγ οτηερσ. Ιν σηορτ, εϖερψ αχτιϖιτψ ιν α δεϖελοπµεντ

206

ΣΤΟΠΠΙΝΓ ΡΥΛΕΣ ΙΝ ΣΟΦΤΩΑΡΕ ΤΕΣΤΙΝΓ

εφφορτ ισ ασσοχιατεδ ωιτη σοµε σορτ οφ προδυχτ. Χονσεθυεντλψ, αλλ οφ τηοσε προδυχτσ χαν βε τεστεδ. Τηυσ, αλλ οφ τηε ιτεµσ λιστεδ αβοϖε χαν βε τεστεδ φορ αχχυραχψ ανδ φεασιβιλιτψ. Ωηεν προδυχτσ υνδεργο τηισ λεϖελ οφ πλαννινγ, τηε αχτυαλ τεστινγ οφ τηοσε προδυχτσ βεχοµεσ α παρτ οφ προδυχτιον. 4.2.3 Τψπιχαλ Σ∆ΛΧ Τεστινγ Μαναγεµεντ Ωηεν σοφτωαρε υνδεργοεσ αρχηαιχ τεστινγ µετηοδσ ωηερε τεστινγ “ϕυστ ηαππενσ” ατ α παρτιχυλαρ πηασε νεαρ τηε ενδ οφ τηε Σ∆ΛΧ, ιτ χαν νεϖερ βε πλαννεδ ανδ βυδγετεδ εφ⇒χιεντλψ. Νεϖερτηελεσσ, ωιτηιν µοστ τεστινγ µετηοδσ, συχη ασ βυιλδ αλλ υνιτσ φολλοωεδ βψ τεστ αλλ υνιτσ, α σετ οφ πρεσχριβεδ−υσε χασεσ ωιτη δατα ισ ινπυτ (ε.γ., α βλαχκ βοξ). Ωηεν α φαιλυρε ορ γρουπ οφ φαιλυρεσ οχχυρσ, τεστινγ ηαλτσ. Τηε προγραµµερ τηεν χορρεχτσ τηε χονδιτιον τηατ χαυσεδ τηε φαιλυρε, ανδ τηε προγραµ ισ ρεχοµπιλεδ φορ φυρτηερ τεστινγ. Τηισ ισ τιµε−δοµαιν σεθυεντιαλ σοφτωαρε τεστινγ. Ιν τηε αρχηαιχ µαννερ οφ τεστ εξεχυτιον, τηε υσε οφ ΕςΜ ισ ελιµινατεδ βεχαυσε τεστινγ χαννοτ βε πλαννεδ δισχρετελψ ορ µαναγεδ εφ⇒χιεντλψ. Α χοµµον αρχηαιχ αππροαχη το τεστινγ σοφτωαρε ισ τηε “σηοτγυν” ορ “τεστινγ− το−δεατη” αππροαχη. Τηισ ισ αν αππροαχη ιν ωηιχη εϖερψ χονχειϖαβλε φυνχτιοναλ προχεδυρε ισ περφορµεδ ον α πασσ−ορ−φαιλ βασισ, ιν νο παρτιχυλαρ ορδερ. Τεστινγ µιγητ βεγιν ωιτη α ρανδοµ µοδυλε, ωιτηουτ χονσιδερατιον οφ σεθυενχε. Τηε χασε πρεσεντεδ ιν τηισ χηαπτερ ισ αν εξαµπλε οφ σηοτγυν τεστινγ. Α σεεµινγλψ βενε⇒χιαλ ασπεχτ οφ σηοτγυν τεστινγ ισ φυλλ χοϖεραγε οφ φυνχτιοναλ σχεναριοσ. Υνφορτυνατελψ, ιτ ισ εξχεεδινγλψ εξπενσιϖε ανδ ρεδυνδαντ. Ιν αδδιτιον, α προϕεχτ µαναγερ χαν νεϖερ βε συρε τηατ αλλ φυνχτιοναλιτψ ισ τεστεδ, νο µαττερ ηοω λονγ τηε τεστινγ λαστσ. Σηοτγυν αππροαχηεσ αλσο δο νοτ αχχουντ φορ τηε ϖαλιδιτψ οφ τηε ενδ προδυχτ. Τηερε ισ νοτ α ηιγη ασσυρανχε οφ τεστινγ συχχεσσ ιν τηεσε πραχτιχεσ. 4.2.4 Νεω ςιεω οφ Τεστινγ Ιν τεστ πλαννινγ, σοφτωαρε υνιτσ ανδ οβϕεχτσ χαν βε ϖιεωεδ ασ πασσ−ορ−φαιλ τρεεσ ανδ βρανχηεσ ανδ χαν βε πρεδιχτεδ ανδ µαππεδ. Ωηεν δεσιγν προδυχτσ αρε πλαννεδ, παραλλελ τεστινγ προδυχτσ αρε αλσο πλαννεδ. Τεστ χασεσ αρε ονε εξαµπλε οφ α δεσιγν− πηασε προδυχτ. ∆υρινγ τηε τεστινγ πηασε, ινδιϖιδυαλ τεστ χασε ρεπορτσ αρε εξαµπλεσ οφ προδυχτσ. Τηε πλαννινγ ανδ µαππινγ εξερχισε µαψ ενταιλ µυχη εφφορτ, βυτ ιτ ωιλλ ρεϖεαλ τηε ρεδυνδανχιεσ ανδ τηε στατιστιχαλ λικελιηοοδ οφ βρανχηινγ. Τηε φαχτ τηατ τεστ πλαννινγ ανδ αναλψσισ αρε περφορµεδ ωηιλε τηε χοδε ισ βεινγ χονστρυχτεδ δοεσ νοτ αδδ εξτρα χαλενδαρ τιµε το τηε προϕεχτ. Εαρνεδ ϖαλυε µαναγεµεντ ρεθυιρεσ τηισ. Ανοτηερ ωαψ το ινχορπορατε τεστινγ ιντο εϖερψδαψ οπερατιονσ εφ⇒χιεντλψ ισ τηρουγη α µιξεδ τεστινγ στρατεγψ [6], ασ δεσχριβεδ ιν Σεχτιον 4.1. Τηισ στρατεγψ αλλοωσ α µαναγερ το ινχρεασε τεστινγ αχχυραχψ ανδ εφ⇒χιενχψ ωηιλε κεεπινγ χοστσ δοων. Τηε µιξεδ νατυρε ιµπλιεσ τηατ τηε εµπιριχαλ ρυλεσ χαν βε αππλιεδ ιν ϖαριεδ δεταιλ, δεπενδινγ ον τηε σιγνι⇒χανχε οφ τηε τεστσ. Ονε βεγινσ, φορ εξαµπλε, ωιτη α φυνχτιοναλ τεστινγ στρατεγψ (λεαστ σοπηιστιχατεδ) ανδ µοϖεσ το α µορε δισχριµι− νατορψ τεστινγ στρατεγψ (ηιγηερ σοπηιστιχατεδ): ηενχε α µιξεδ τεστινγ στρατεγψ. Ιν πραχτιχε, τεστερσ σωιτχη στρατεγιεσ ωηεν τεστινγ ψιελδ σατυρατεσ. Τηεψ µυστ δετερ− µινε τηε ριγητ τιµε το αβανδον τηε χυρρεντ τεχηνιθυε ανδ σωιτχη το α νεω ονε,

ΣΤΟΠΠΙΝΓ ΡΥΛΕ ΦΟΡ ΗΙΓΗ−ΑΣΣΥΡΑΝΧΕ ΣΟΦΤΩΑΡΕ ΤΕΣΤΙΝΓ ΙΝ ΒΥΣΙΝΕΣΣ

207

ασ ωελλ ασ ηοω το σεθυενχε τεστινγ τεχηνιθυεσ εφ⇒χιεντλψ. Τηερε αρε νο ηαρδ−ανδ− φαστ ρυλεσ. Εµπιριχαλ Βαψεσιαν Στοππινγ Ρυλε Τηε εµπιριχαλ Βαψεσιαν στοππινγ ρυλε (ΕΒΣΡ) ορ ΜΕΣΑΤ−1 υσεσ µατηεµατιχαλ πρινχιπλεσ οφ τηε Ποισσον χουντινγ προ− χεσσ αππλιεδ το α νυµβερ οφ τηε τεστ χασεσ, ωιτη α λογαριτηµιχ−σεριεσ διστριβυτιον (ΛΣ∆) αππλιεδ το τηε χλυµπ σιζε οφ α φαυλτ ορ χοϖεραγε φορ εαχη τεστ χασε. Ιτ αππλιεσ ωελλ το τιµε−δοµαιν σεθυεντιαλ σοφτωαρε τεστινγ ασ ωελλ ασ εφφορτ τεστινγ, συχη ασ τηε χασε πρεσεντεδ ηερε [6,7,36]. Τηε προϕεχτ µαναγερ σηουλδ σετ υπ τηε τεστ πλαν ωιτη τηισ τεστινγ µετηοδ ιν µινδ. Α τηορουγη χασε ηιστορψ οφ σιµιλαρ προϕεχτσ ανδ προγραµσ σηουλδ βε υσεδ το αρρανγε τηε τεστ χασεσ λογιχαλλψ το ⇒τ τηε µοδελ. Τηε τεστινγ εµπλοψσ α χονϖεργενχε φαχτορ τηατ χαν βε σετ ασ ηιγη ασ νεχεσσαρψ. Τηε ενγινεερ δεριϖεσ τηε χονϖεργενχε φαχτορ φροµ ηοω ωελλ τηε χασεσ αρε οργανιζεδ ανδ φροµ ηοω σιµιλαρ τηε χασε ηιστορψ ισ το τηε χυρρεντ προϕεχτ. Τηισ φαχτορ ισ α φυνχτιον οφ χοστ χονστραιντσ [6,7]. Τηε πηενοµενον οφ χλυστερεδ τεστ χασε φαιλυρεσ ισ οβσερϖεδ ιν σοφτωαρε τεστινγ πραχτιχε. Προγραµµερσ οφτεν χαλλ ιτ τηε δοµινο εφφεχτ. Εφφεχτιϖελψ, α σεριεσ οφ φαιλυρεσ χαν οφτεν βε αττριβυτεδ το χαυσε ανδ εφφεχτ. Ιφ τηε διστριβυτιον οφ τηε τοταλ νυµβερ οφ χλυµπεδ φαιλυρεσ ⇒τσ τηε χοµπουνδ Ποισσον βεηαϖιοραλ µοδελ, τηε εµπιριχαλ Βαψεσιαν στοππινγ ρυλε χαν βε δεριϖεδ βψ υπδατινγ τηε πριορ παραµετερσ ασ τηε ⇒ελδ δατα αρε χολλεχτεδ. Βασεδ ον τηε χασε ηιστοριεσ, τηε µαναγερ σετσ αν εχονοµιχ χριτεριον d το σιγνιφψ τηε χονϖεργενχε λεϖελ δεσιρεδ το εσταβλιση τηατ α συφ⇒χιεντ λεϖελ οφ τεστινγ ηασ οχχυρρεδ. Ιφ φορ τηε iτη υνιτ ιντερϖαλ βεγιννινγ ατ τιµε t ορ φορ τεστ γρουπ i, τηε εξπεχτεδ χοστ οφ στοππινγ ισ γρεατερ τηαν ορ εθυαλ το τηε εξπεχτεδ χοστ οφ χοντιν− υινγ, ιτ ισ εχονοµιχαλ το χοντινυε τεστινγ φορ τηε νεξτ γρουπ οφ τεστ ινπυτσ. Τηισ χονϖεργενχε τηρεσηολδ χαν βε ρεπρεσεντεδ ασ d=

c a−b

(37)

ωηερε d σιγνι⇒εσ τηε ρατιο οφ τηε χοστ (c) οφ περφορµινγ α τεστ το τηε χοστ οφ χατχηινγ α φαιλυρε αφτερ (a) ρελεασε οφ τηε προδυχτ µινυσ τηε χοστ οφ χατχηινγ α φαιλυρε βεφορε (b) ρελεασε οφ τηε προδυχτ. Ον τηε οτηερ ηανδ, ιφ τηε εξπεχτεδ χοστ οφ στοππινγ ισ λεσσ τηαν τηε εξπεχτεδ χοστ οφ χοντινυινγ, ιτ ισ µορε εχονοµιχαλ το στοπ τεστινγ ωιτη τηε φολλοωινγ στρατεγψ: αΕ (Xi+1 ) > βΕ (Xi ) + c. Ιφ ωε ωερε το στοπ ατ ιντερϖαλ ορ τεστ γρουπ i, ωε ασσυµε τηατ τηε χοστ οφ χοϖεραγε ιτεµσ ασ ψετ υνχοϖερεδ ισ a περ χοϖεραγε ιτεµ. Τηυσ, τηερε ισ αν εξπεχτεδ χοστ οϖερ τηε ιντερϖαλ {i, i + 1} οφ αΕ {Xi }. Ιφ ωε ωερε το χοντινυε τεστινγ οϖερ τηε ιντερϖαλ, ωε ασσυµε τηατ τηερε ισ α ⇒ξεδ χοστ οφ c φορ τεστινγ, α ϖαριαβλε χοστ οφ b ρελατεδ το τηε ελεµεντσ χοϖερεδ, ανδ α ϖαριαβλε χοστ οφ a ρελατεδ το τηε υνχοϖερεδ ελεµεντσ δισχοϖερεδ αφτερ τεστινγ. Νοτε τηατ a ισ υσυαλλψ λαργερ τηαν b. Ασ στυδιεδ ιν Σεχτιον 4.1, τηε εθυατιον ιν τηε ονε−στεπ−αηεαδ φορµυλα ιν ιτσ σιµπλεστ φορµ χαν βε ρεαρρανγεδ ιν τηε φορµ [6] α + Xi+1 α + Xi e(x) = ki+1 − ki
208

ΣΤΟΠΠΙΝΓ ΡΥΛΕΣ ΙΝ ΣΟΦΤΩΑΡΕ ΤΕΣΤΙΝΓ

ωηερε α ανδ β αρε πριορ παραµετερσ φορ ΛΣ∆(θ ) ιν τηε εµπιριχαλ Βαψεσιαν αναλψσισ ωηερε 0 < θ < 1, ανδ k ισ α χονσταντ το βε χοµπυτεδ ατ εαχη στεπ. Τηε λ υσεδ ιν Ταβλεσ 4Χ.4 ανδ 4.4 αηεαδ χαν βε δεσχριβεδ ασ τηε ρατιο οφ τεστ χασεσ ωιτη ανψ αχτιϖιτψ (νονζερο ερρορ) το τηε νυµβερ οφ τεστ χασεσ εξπεριενχεδ ιν τηε παστ. Νεω Τεστ Πλαννινγ Χονχεπτ Τηε σοφτωαρε προϕεχτ µαναγερ ανδ τεστ µαναγερ πλαν τηε τεστ υνιτσ ανδ εσταβλιση α χοστ φορ εαχη υνιτ τεστ c. Τηεν τηεψ εσταβλιση τηε χοστ οφ χατχηινγ ανδ χορρεχτινγ αν ερρορ πριορ το ρελεασε, b, ϖερσυσ τηε χοστ οφ χατχηινγ ανδ χορρεχτινγ αν ερρορ αφτερ ρελεασε, a. Τηεν τηεψ ωουλδ σετ τηειρ τηρεσηολδ, d. Αφτερ τηεσε ϖαριαβλεσ αρε ινπυτ, τηε τεστσ αρε ρυν ανδ φαιλυρεσ χουντεδ. Ωιτη τηισ αρρανγεµεντ, υνιτ τεστινγ χαν βε αρρανγεδ ιν αν ορδερ βψ ωηιχη τηε µοστ ιµπορταντ ορ µοστ θυεστιοναβλε υνιτσ αρε ιν τηε φροντ ανδ τεστεδ ⇒ρστ. Τηισ ορδερινγ ισ ιµπορταντ το τηε συχχεσσ οφ µαναγινγ τεστινγ σχιεντι⇒χαλλψ. 4.2.5 Χασε Στυδψ Αν Αιρ Φορχε µυνιτιονσ τραχκινγ σψστεµ ρεχεντλψ υνδερωεντ α ηαρδωαρε/οπερατινγ σψστεµ ρε−πλατφορµινγ εφφορτ. ∆υρινγ τηε υνιτ ανδ ιντεγρατιον τεστινγ (ΥΙΤ) πηασε, τηε δεϖελοπερσ τεστεδ 31 µοδυλεσ το ϖαλιδατε τηε φυνχτιοναλιτψ ον τηε νεω πλατ− φορµ. Τηε 31 τεστ χασεσ ωερε αρρανγεδ ιν ορδερ οφ φυνχτιοναλιτψ ανδ ωερε νοτ χορρελατεδ ωιτηιν τηε τηρεσηολδσ οφ χαυσε ανδ εφφεχτ. Ιτ ωασ α βρυτε−φορχε, σηοτγυν αππροαχη, ωηιχη ρεθυιρεδ φουρ φυλλ−τιµε προγραµµερσ το περφορµ α ρανγε οφ τεστσ αχροσσ τηε 31 µοδυλεσ [7]. Θυαντι⇒εδ Αχχουντ οφ Τεστινγ Εφφορτ Τηρουγηουτ τηε ΥΙΤ πηασε, ερρορσ οχχυρρεδ ωιτηιν χερταιν υνιτσ ανδ ωερε ⇒ξεδ βεφορε τεστινγ χοντινυεδ. Τηοσε ωερε ιδεντι⇒εδ ασ χοστ φαχτορ b. Φολλοωινγ τηε τεστινγ εφφορτ, ερρορσ ωερε φουνδ τηατ ωερε θυαραντινεδ, ⇒ξεδ, ανδ ρεχψχλεδ τηρουγη εξτρα τεστινγ. Τηισ ωασ ιδεντι⇒εδ ασ χοστ φαχτορ a. Τηυσ, τηε αϖεραγε χοστ c οφ τεστινγ α µοδυλε ινιτιαλλψ εθυαλσ τωο χοστ υνιτσ (ΧΥ) εαχη. Τηερε ωερε α τοταλ οφ 31 υνιτσ. Τηε αϖεραγε χοστ b οφ χατχηινγ ανδ ⇒ξινγ αν ερρορ βεφορε ρελεασε ωασ 10 ΧΥ εαχη. Ιν αδδιτιον, 10 συχη ερρορσ ωερε χορρεχτεδ βψ εξηαυστιϖε βρυτε−φορχε τεστινγ. Τηε χοστσ σο φαρ ινχυρρεδ χαν βε συµµαριζεδ ασ 31c = 2 ΧΥ × 31 µοδυλεσ = 62 ΧΥ

(39)

10b = 10 ΧΥ × 10 µοδυλεσ = 100 ΧΥ

(40)

Τηε τοταλ χοστ οφ τηε χονϖεντιοναλ υνιτ τεστινγ ωιτηουτ αππλψινγ α στοππινγ ρυλε ωασ 162 ΧΥ. Σεε Φιγυρεσ 4.1 το 4.7 φορ τηε εντιρε χασε στυδψ. Αππλιχατιον οφ τηε ΕΒΣΡ Αλγοριτηµ Το χαλχυλατε οφ ποτεντιαλ σαϖινγσ, τηε σοφτ− ωαρε υνιτσ ορ τεστ χασεσ αρε ορδερεδ ωιτη ρεσπεχτ το τηειρ ιντερδεπενδενχιεσ. Αδδιτιοναλλψ, τηε µορε χριτιχαλ υνιτσ αρε πλαχεδ ⇒ρστ. Τηισ χαυσε–εφφεχτ ρελα− τιονσηιπ ενσυρεσ τηατ τηε ορδερινγ βεττερ ⇒τσ τηε ρεθυιρεµεντσ φορ υσε οφ τηε εµπιριχαλ Βαψεσιαν στοππινγ ρυλε, ΜΕΣΑΤ−1. Αφτερ τηισ ορδερινγ, τηε αχτυαλ ερρορ

ΣΤΟΠΠΙΝΓ ΡΥΛΕ ΦΟΡ ΗΙΓΗ−ΑΣΣΥΡΑΝΧΕ ΣΟΦΤΩΑΡΕ ΤΕΣΤΙΝΓ ΙΝ ΒΥΣΙΝΕΣΣ

ΤΑΒΛΕ 4.3 Μοδυλαρ Τεστ Στρατεγψ 1 Ρεσυλτσ, Ορδερεδ Νυµβερ οφ Χυµυλατιϖε Νυµβερ οφ Μοδυλε Ερρορσ Νυµβερ οφ Ερρορσ Μοδυλε Ερρορσ 1 1 1 17 0 2 3 4 18 0 3 1 5 19 0 20 0 4 1 6 5 0 6 21 0 6 0 6 22 0 23 0 7 1 7 8 1 7 24 0 9 0 8 25 0 26 0 10 0 8 11 1 9 27 0 12 0 9 28 0 29 0 13 0 9 14 0 9 30 1 15 0 9 31 0 16 0 9

ΦΙΓΥΡΕ 4.1

209

Χυµυλατιϖε Νυµβερ οφ Ερρορσ 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 10 10

Γοοδνεσσ−οφ−⇒τ τεστ φορ τηε βυσινεσσ εξαµπλε.

210

ΣΤΟΠΠΙΝΓ ΡΥΛΕΣ ΙΝ ΣΟΦΤΩΑΡΕ ΤΕΣΤΙΝΓ

ΤΑΒΛΕ 4.4

Αναλψσισ ανδ ∆εχισιον Ταβλε φορ Ταβλε 4.3’σ Στρατεγψ 1 Τεστινγ

Μοδυλε

λ

k

1 2 3 4 5

1.0 1.0 1.0 1.0 0.8

0.67922 0.57711 0.55345 0.53307 0.41763

x X = Χυµυλατιϖε x E(X) e(X) Χοϖεραγε (%) ∆εχισιον 1 3 1 1 0

1 4 5 6 6

3.64 4.39 4.63 4.87 4.12

Ν/Α 0.75 0.24 0.24 0.00

10 40 50 60 60

Χοντινυε Χοντινυε Χοντινυε Χοντινυε Στοπ

χουντσ ενχουντερεδ δυρινγ ρεαλ τεστινγ αρε αδδεδ (Ταβλε 4.3). Ιτ ισ οβϖιουσ βψ τηε χλυστερινγ οφ ερρορσ τηατ τηεσε ερρορσ χορρελατε το α ηψποτηετιχαλ ορδερινγ. Τηε ΕΒΣΡ ονε−στεπ−αηεαδ εθυατιον ινδιχατεσ τηατ τεστινγ σηουλδ ηαϖε στοππεδ αφτερ τηε ⇒φτη υνιτ ωασ τεστεδ ωιτηουτ χοστ χονσιδερατιονσ δυε το (27) ονλψ. Τηε στοππινγ ρυλε χουλδ τελλ τηε προϕεχτ µαναγερ τηατ τηε ΥΙΤ πηασε ωασ ονγοινγ. Νεξτ, αππλψινγ α µιξεδ τεστινγ στρατεγψ, ανδ τηερεφορε υσινγ τηε νεξτ στρατεγψ τηατ ισ µορε σενσιτιϖε τηαν τηε ινιτιαλ (φυνχτιοναλ) τεστινγ στρατεγψ, τηε ΕΒΣΡ χουλδ βε αππλιεδ το τηε ρεµαινδερ οφ τηε τεστ χασεσ. Βεγιννινγ ωιτη υνιτ 8 (νοω τηε ⇒ρστ τεστ χασε οφ τηε σεχονδ τεστινγ στρατεγψ), τηε χοδε τελλσ υσ τηατ τεστινγ σηουλδ στοπ αφτερ υνιτ 11 (νοω τηε φουρτη τεστ χασε οφ τηε σεχονδ τεστινγ στρατεγψ) ωασ τεστεδ. Τηατ ωουλδ λεαϖε α σινγλε υνιτ ιν ερρορ τηατ ωουλδ βε χαυγητ αφτερ τηε τεστινγ εφφορτ ωασ χονχλυδεδ (Ταβλε 4.5).

ΦΙΓΥΡΕ 4.2 Υσινγ τηε 50% µινιµαλ χοϖεραγε χριτεριον, τηε a χοστ νοτ κνοων.

211

ΣΤΟΠΠΙΝΓ ΡΥΛΕ ΦΟΡ ΗΙΓΗ−ΑΣΣΥΡΑΝΧΕ ΣΟΦΤΩΑΡΕ ΤΕΣΤΙΝΓ ΙΝ ΒΥΣΙΝΕΣΣ

ΤΑΒΛΕ 4.5 Μοδυλαρ Τεστ Στρατεγψ 2 Ρεσυλτσ, Ορδερεδ Νυµβερ οφ Χυµυλατιϖε Νυµβερ οφ Μοδυλε Ερρορσ Νυµβερ οφ Ερρορσ Μοδυλε Ερρορσ 1 0 1 14 0 2 1 1 15 0 3 1 2 16 0 17 0 4 0 2 5 0 2 18 0 6 1 3 19 0 20 0 7 0 3 8 0 3 21 0 9 0 3 22 0 23 0 10 0 3 11 0 3 24 0 12 0 3 25 1 26 0 13 0 3 ΤΑΒΛΕ 4.6

Χυµυλατιϖε Νυµβερ οφ Ερρορσ 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 4 4

Αναλψσισ ανδ ∆εχισιον Ταβλε φορ Ταβλε 4.5’σ Στρατεγψ 2 Τεστινγ x X = Χυµυλατιϖε x E(X) e(X) Χοϖεραγε (%) ∆εχισιον

Μοδυλε

λ

k

1 2 3 4

0.0 0.5 0.667 0.5

0.0 0.3151 0.4065 0.2981

0 1 1 0

1 4 5 6

0.00 2.16 2.89 2.29

Ν/Α 2.16 0.74 0.00

10 25 50 50

Χοντινυε Χοντινυε Χοντινυε Στοπ

Χοστ–Βενε⇒τ Αναλψσισ ϖια τηε ΕΒΣΡ (ΜΕΣΑΤ−1) Α τοταλ οφ νινε υνιτσ ορ µοδ− υλεσ (ορ τεστ χασεσ), 5 + 4 = 9 ιν τωο σεθυεντιαλ τεστινγ στρατεγιεσ, ωουλδ ηαϖε βεεν τεστεδ δυρινγ τηε ΥΙΤ (9c = 18 ΧΥ). ∆υρινγ τηισ τεστινγ αχτιϖιτψ, ειγητ ερρορσ, 6 + 2 = 8, ουτ οφ 10 ωουλδ ηαϖε βεεν δετεχτεδ ανδ χορρεχτεδ (8b = 80 ΧΥ). Τηερεφορε, συµµινγ τηε τωο χοστσ, α τοταλ χοστ οφ 98 ΧΥ ωουλδ ηαϖε βεεν ινχυρρεδ βψ αππλψινγ τηε ΕΒΣΡ, ασ οπποσεδ το 162 ΧΥ ωιτηουτ τηε ΕΒΣΡ. Ασσυµινγ τηατ τηε τωο αδδιτιοναλ ερρορσ ωουλδ ηαϖε βεεν δετεχτεδ αφτερ τεστινγ, τηισ ωουλδ βε χορρεχτεδ αφτερ τηε φαχτ. Τηε ϖαλυε οφ a, τηε χοστ οφ χορρεχτινγ αν αφτερ−ρελεασε ερρορ, νεεδσ το βε χαλχυλατεδ το ϕυδγε τηε ΕΒΣΡ το ηαϖε βεεν εφ⇒χιεντ. Τηυσ, τηε σιµπλε σαϖινγσ ισ νοω 31−9 = 22 υνιτσ ορ µοδυλεσ. Τηισ ισ µορε τηαν α 70% σαϖινγσ, µισσινγ ουτ ονλψ ον τωο αδδιτιοναλ υνδισχοϖερεδ ερρορσ. Νοω, χονσιδερινγ τηατ τηε αδδιτιοναλ ερρορσ ωουλδ βε χαυγητ δυρινγ ποσττεστινγ, αν οπτιµαλ a χαν βε σολϖεδ το ρενδερ τηε ΕΒΣΡ αλγοριτηµ εχονοµιχαλ ανδ εφ⇒χιεντ. Φορ τηισ αργυµεντ το ηολδ, τηε φολλοωινγ εθυατιονσ µυστ βε τρυε: 98 ΧΥ + 2a < 162 ΧΥ

(41)

a < (0.5)(162 ΧΥ − 98 ΧΥ) < 32 ΧΥ

(42)

Τηισ ιµπλιεσ τηατ ιτ µακεσ εχονοµιχ σενσε το αππλψ τηε στοππινγ ρυλε ωηεν τηε χοστ οφ χατχηινγ αν ερρορ ποστ φαχτο ισ λεσσ τηαν α χερταιν υππερ βουνδ. Ιν τηισ

212

Week ---1 2 3 4

ΣΤΟΠΠΙΝΓ ΡΥΛΕΣ ΙΝ ΣΟΦΤΩΑΡΕ ΤΕΣΤΙΝΓ

Lambda ------0.0 0.5 0.66667 0.5

k ------0.0 0.31512 0.40649 0.29809

Exact x ---0 1 1 0

Cum. x ---0 1 2 2

E(x) ----0.0 2.157 2.89 2.296

e(x) -----N / A 2.157 0.734 0.00

% ----0.0 25.0 50.0 50.0

Stop at X(4) = 2.0 Coverage = 50.0 %

•

Cost Analysis: Cost of correcting all 4 errors by exhaustive - testing would have been 40.00$ Cost of correcting 2 pre - release errors using MESAT is 20.00$ Savings for not correcting the remaining 2 by using MESAT is 20.00$

•

Cost of executing all 26 test cases by exhaustive - testing would have been 52.00$

•

Cost of executing 4 test cases by using MESAT is 8.00$ Savings for not executing the remaining ( 26 − 4 ) = 22 test cases: 44.00$ Total savings by using MESAT are 20.00$ + 44.00$ = 64.00$ Total number of errors, left undiscovered are 2 MESAT is cost - effective if post - release error cost is less than ( 64.00$ divided by 2) = 32.00$ strategy: 1 Stop at X(5) = 6.0 Coverage = 60.0% Total Coverage = 60.0 % Total Covered = 6 strategy: 2 Stop at X(4) = 2.0 Coverage = 50.0% Total Coverage = 80.0 % Total Covered = 8

• •

Strategy 1 release Strategy 2 release

ΦΙΓΥΡΕ 4.3 γιϖεν.

Cost Analysis error cost is Cost Analysis error cost is

Summary: MESAT is less than (92.00$ Summary: MESAT is less than (64.00$

cost - effective divided by 4 ) = cost - effective divided by 2 ) =

if post 23.00$ if post 32.00$

Μιξεδ στρατεγψ ρεσυλτσ φορ τηε βυσινεσσ εξαµπλε ωηεν τηε a χοστ ισ νοτ

213

ΣΤΟΠΠΙΝΓ ΡΥΛΕ ΦΟΡ ΗΙΓΗ−ΑΣΣΥΡΑΝΧΕ ΣΟΦΤΩΑΡΕ ΤΕΣΤΙΝΓ ΙΝ ΒΥΣΙΝΕΣΣ

10

100.0%

F a 8 i l u 6 r e s 4

80.0% Stopping at 8.0 80.0% Strategy 2

60.0%

Stopping at 6.0 60.0% Strategy 1 2

4

6

8

10

40.0% 12

14

16 Test cases

18

20

22

24

26

28

30

ΦΙΓΥΡΕ 4.4 Στοππινγ ρυλεσ (y−αξισ: ερρορσ ϖερσυσ τηε x−αξισ: τεστ χασεσ) ωηεν τηε a χοστ ισ νοτ γιϖεν.

ΦΙΓΥΡΕ 4.5 Στοππινγ ρυλε ωηεν αλλ χοστσ αρε γιϖεν. Τηε γαιν ισ +∃4.0.

χασε, τηε υππερ βουνδ φορ a = 32 ΧΥ. Τηατ ισ, ιν τηισ εξαµπλε, φορ τηε ΕΒΣΡ το βε εφφεχτιϖε, τηε χοστ οφ χορρεχτινγ αν ερρορ αφτερ ρελεασε χαννοτ βε 3.2 τιµεσ µορε τηαν τηατ οφ χορρεχτινγ ιτ βεφορε ρελεασε οφ τηε σαµε σοφτωαρε. Ρεχαλλ τηατ b = 10 ΧΥ ιν τηισ εξαµπλε. 4.2.6 ∆ισχυσσιον ανδ Χονχλυσιονσ Μιγρατινγ το νεω τεστινγ µετηοδσ ρεθυιρεσ αν ινιτιαλ ινϖεστµεντ οφ ρεσεαρχη ανδ αναλψσισ βψ τηε σοφτωαρε ενγινεερινγ αγενχιεσ. Ενγινεερσ µυστ αδηερε το

214

Week ---1 2 3

ΣΤΟΠΠΙΝΓ ΡΥΛΕΣ ΙΝ ΣΟΦΤΩΑΡΕ ΤΕΣΤΙΝΓ

Lambda ------0.0 0.5 0.33333

k ------0.0 0.31512 0.20505

Exact Cum. x x E(x) ---- ---- ----0 0 0.0 1 1 2.157 0 1 1.531

e(x) -----N / A 2.157 0.00

% Expense Gain ----- ----- -----0.0 $100.0 $2.0 50.0 $14.0 $20.0 50.0 $16.0 $18.0

Stop at X(3) = 1.0 Coverage = 50.0 % Cost Analysis: Cost of correcting all 2 errors by exhaustive — testing would have been 20.00$ Cost of correcting 1 pre — release errors using MESAT is 10.00$ Savings for not correcting the remaing 1 by using MESAT is 10.00$ •

Cost of executing all 22 test cases by exhaustive — testing would have been 44.00$ Cost of executing 3 test cases by using MESAT is 6.00$ Savings for not executing the remaining ( 22 − 3 ) = 19 test — cases is 38.00$ Results of using MESAT are: Savings for not correcting the remaining 1errors by using MESAT is 10.00$

•

Plus the 38.00$ saved for not executing the remaining 19 test cases equals a total savings of 48.00$

•

Minus the 30.00$ post — release cost of correcting 1 errors not covered ( 1 x 30.00$ ) Total savings for using MESAT is 18.00$ strategy: 1 Stop at X(9) = 8.0 Coverage = 80.0% Total Coverage = 80.0 % Total Covered = 8 strategy: 2 Stop at X(3) = 1.0 Coverage = 50.0% Total Coverage = 90.0 % Total Covered = 9 Strategy 1 Cost Analysis Summary: Total savings for using MESAT-1 is 4.00$ Strategy 2 Cost Analysis Summary: Total savings for using MESAT-1 is 18.00$

ΦΙΓΥΡΕ 4.6

Μιξεδ−στρατεγψ ρεσυλτσ φορ τηε βυσινεσσ εξαµπλε ωηεν τηε a χοστ ισ γιϖεν.

στριχτ προχεσσ ανδ τεχηνιχαλ στανδαρδσ σο τηατ τηεψ χαν πλαν µεασυραβλε εξεχυτιον χριτερια. Ιτ ισ α ηιγη, ψετ µαναγεαβλε γοαλ ανδ ρεθυιρεσ ΕςΜ. Τηε µιγρατιον το τηισ ενϖιρονµεντ ισ α ρετυρν ον ινϖεστµεντ (ΡΟΙ) τηατ ωιλλ σαϖε µοδεστ το ενορ− µουσ αµουντσ οφ δολλαρσ ιν τηε ενδ, νοτ το µεντιον ποτεντιαλλψ ινχρεασινγ τηε

215

ΒΑΨΕΣΙΑΝ ΣΤΟΠΠΙΝΓ ΡΥΛΕ ΦΟΡ ΤΕΣΤΙΝΓ ΙΝ ΤΗΕ ΤΙΜΕ ∆ΟΜΑΙΝ

100.0%

10 F a 8 i l u6 r e4 s

$22.0 80.0% P $6.0 e $4.0 r 60.0% c $-26.0 e n 40.0% t

Stopping at 9.0 90.0% Strategy 2 Stopping at 8.0 80.0% Strategy 1

2

4

6

8

10

12

14 16 Test cases

18

20

22

24

26

28

G a i n

30

ΦΙΓΥΡΕ 4.7 Μυλτιστρατεγψ στοππινγ ρυλεσ (y αξισ: ερρορσ ϖερσυσ τηε x αξισ: τεστ χασεσ) ωηεν τηε a χοστ ισ γιϖεν φορ ∆Ρ6.

θυαλιτψ οφ τηε προδυχτ [67]. Τηισ ηολδσ τρυε προϖιδεδ τηατ υνρεασοναβλψ ηιγη ανδ εξαγγερατεδ χοστ φαχτορσ (a) αρε νοτ αττριβυτεδ το τηοσε ερρορσ ποστ φαχτο [6,7]. Τηε χοµµερχιαλ σοφτωαρε ινδυστριεσ µυστ µιγρατε το µορε σχιεντι⇒χ ανδ θυαν− τιτατιϖε µετηοδσ οφ σοφτωαρε τεστινγ. Ιν φαχτ, τηε Υ.Σ. ∆επαρτµεντ οφ ∆εφενσε ισ αλρεαδψ µανδατεδ το φολλοω πρινχιπλεσ οφ ΕςΜ [7,65]. Υνφορτυνατελψ, τηε ρεθυιρε− µεντσ φορ ΕςΜ αρε νοτ νορµαλλψ µετ. Τηε εφ⇒χιενχιεσ τηατ χουλδ βε ιντροδυχεδ ωουλδ βε πηενοµεναλ. Μορεοϖερ, ιτ ωουλδ τακε σοφτωαρε ενγινεερινγ ονε µορε στεπ χλοσερ το α τρυε ενγινεερινγ δισχιπλινε. Αλσο, χοστ−εφφεχτιϖενεσσ ισ α πριµε χονχερν ιν τηισ ωορκ [6]. Μορεοϖερ, α νοϖελ αππροαχη το σπαχε–τιµε χοµπαχτιον ιν σελφ−τεστινγ ςΛΣΙ χιρχυιτσ ιν τηε εϖεντ οφ νονεξηαυστιϖε χοστ−εφφεχτιϖε τεστ σετσ ηασ αλσο βεεν πυβλισηεδ ιν ϖαριουσ σταγεσ [12–18]. Ασ τηε διγιταλ δεσιγν µοϖεσ τηρουγη ινχρεασεδ λεϖελσ οφ ιντεγρατιον δενσιτιεσ, ιτ ισ δεσιραβλε το χρεατε βεττερ ανδ µορε εφφεχτιϖε µετηοδσ οφ τεστινγ το ενσυρε ρελιαβλε σψστεµσ οπερατιον. Οτη− ερσ ηαϖε πυβλισηεδ ον τηε υσε οφ σεθυεντιαλ στατιστιχαλ αναλψσισ ιν σολϖινγ τηε ρελατιον βετωεεν ρανδοµ τεστ λενγτη ανδ γοοδ/βαδ χιρχυιτ (ορ χηιπ) ρατιοσ [66]. Τηε σεθυεντιαλ προβαβιλιτψ ρατιο τεστ (ΣΠΡΤ) δεριϖεδ βψ Ωαλδ ισ δεσχριβεδ ιν µοστ µατηεµατιχαλ στατιστιχσ τεξτβοοκσ (ε.γ., [46, Χηαπ. 14]). Ηοωεϖερ, τηε ΣΠΡΤ µετηοδ ισ λιµιτεδ ιν αππλιχατιονσ το βινοµιαλ ανδ νορµαλ δενσιτιεσ, το ναµε α φεω τηεορετιχαλλψ δεϖελοπεδ αππροαχηεσ. 4.3 ΒΑΨΕΣΙΑΝ ΣΤΟΠΠΙΝΓ ΡΥΛΕ ΦΟΡ ΤΕΣΤΙΝΓ ΙΝ ΤΗΕ ΤΙΜΕ ∆ΟΜΑΙΝ Νυτσηελλ 4.3 ΜΕΣΑΤ−2 ισ α χοστ−εφ⇒χιεντ οπτιµαλ στοππινγ−ρυλε αλγοριτηµ φορ τηε Ποισσον χοµπουνδεδ ωιτη γεοµετριχ διστριβυτιον, Ποισσον∧ γεοµετριχ. Ιτ ισ δεϖελοπεδ ανδ αππλιεδ το τηε προβλεµ οφ σεθυεντιαλ τεστινγ οφ χοµπυτερ σοφτωαρε. Φορ εαχη χηεχκποιντ ιν τιµε, ειτηερ τηε σοφτωαρε σατισ⇒εσ α δεσιρεδ εχονοµιχ χριτεριον ορ τηε σοφτωαρε τεστινγ ισ χοντινυεδ. 4.3.1 Ιντροδυχτιον Τηερε αρε µανψ εξαµπλεσ ιν ωηιχη εϖεντσ οχχυρ αχχορδινγ το α Ποισσον διστρι− βυτιον, ανδ φυρτηερµορε, φορ εαχη οφ τηεσε Ποισσον εϖεντσ, ονε ορ µορε οτηερ εϖεντσ χαν οχχυρ. Φορ εξαµπλε, αυτοµοβιλε αχχιδεντσ ον α γιϖεν ηιγηωαψ µιγητ φολλοω α Ποισσον διστριβυτιον, βυτ τηε νυµβερ οφ ινϕυριεσ φολλοωσ α χοµπουνδ

216

ΣΤΟΠΠΙΝΓ ΡΥΛΕΣ ΙΝ ΣΟΦΤΩΑΡΕ ΤΕΣΤΙΝΓ

Ποισσον διστριβυτιον [36]. Ιν τηισ χηαπτερ τηε αππλιχατιον ισ σοφτωαρε τεστινγ. Ιφ αν ιντερρυπτιον τηατ οχχυρσ δυρινγ τεστινγ οφ α σοφτωαρε προγραµ ισ δυε το ονε ορ µορε σοφτωαρε φαιλυρεσ ιν α χλυµπ, ανδ ιφ τηε διστριβυτιον οφ τηε νυµβερ οφ ιντερρυπτιονσ ισ Ποισσον, τηε διστριβυτιον οφ τηε νυµβερ οφ χλυµπεδ φαιλυρεσ ισ χοµπουνδ Ποισσον [27]. Ωηεν α νεω χοµπυτερ σοφτωαρε προγραµ ισ ωριττεν ανδ αλλ οβϖιουσ σοφτωαρε φαυλτσ ηαϖε βεεν ρεµοϖεδ, α τεστινγ προγραµ ισ υσυαλλψ ινιτιατεδ το ελιµινατε τηε ρεµαινινγ φαυλτσ. Τηε χοµµον προχεδυρε ισ το υσε τηε σοφτωαρε παχκαγε ον α σετ οφ προβλεµσ, ανδ ωηενεϖερ τηε τεστινγ ισ ιντερρυπτεδ βεχαυσε οφ ονε ορ µορε προγραµµινγ φαιλυρεσ, τηε φαυλτσ αρε χορρεχτεδ, τηε σοφτωαρε ρεχοµπιλεδ, ανδ χοµπυτατιον ρεσταρτεδ. Τηισ τεστινγ χαν χοντινυε φορ σεϖεραλ δαψσ ορ ωεεκσ, ωιτη τηε νυµβερ οφ φαιλυρεσ περ υνιτ τιµε βεχοµινγ φεωερ ανδ φεωερ. Φιναλλψ, α ποιντ ισ ρεαχηεδ ωηερε ιτ σεεµσ τηατ αλλ τηε σοφτωαρε φαυλτσ συρελψ ηαϖε βεεν ρεµοϖεδ, ατ ωηιχη τιµε τηε σοφτωαρε χαν βε ρελεασεδ το τηε ενδ υσερ. Ηοωεϖερ, ονε χαν νεϖερ βε χοµπλετελψ χερταιν τηατ αλλ σοφτωαρε φαυλτσ ηαϖε βεεν φουνδ. Μοστ λικελψ α ϖερψ σµαλλ νυµβερ οφ φαυλτσ ωιλλ ρεµαιν ιν τηε σοφτωαρε, βυτ τηε χηανχεσ οφ ⇒νδινγ τηεµ ιν α ρεασοναβλε τιµε µαψ βε σο σµαλλ τηατ ιτ ισ νοτ εχονοµιχαλλψ φεασιβλε το χοντινυε τεστινγ. Τηε ποιντ ατ ωηιχη τεστινγ ισ στοππεδ ωιλλ βε τηε βρεακ−εϖεν ποιντ φορ τηε χοστ οφ ρεµοϖινγ φαυλτσ ιν τηε ⇒ελδ ϖερσυσ τηε χοστ οφ χοντινυεδ τεστινγ. Τηε οβϕεχτιϖε ισ το ⇒νδ τηε οπτιµαλ τιµε το στοπ τεστινγ. Οπτιµαλ στοππινγ ρυλε τηεορψ ηασ βεεν στυδιεδ εξτενσιϖελψ, ανδ γοοδ πρεσεντατιονσ ηαϖε βεεν πυβλισηεδ [38,68–71,76]. Ιν τηισ σεχτιον ωε πρεσεντ οπτιµαλ στοππινγ ρυλεσ υσινγ τηε Ποισσον∧ γεοµετριχ ιν τιµε−δοµαιν σοφτωαρε τεστινγ. 4.3.2 Ρεϖιεω οφ τηε Χοµπουνδ Ποισσον Προχεσσ Λετ Y (t) βε τηε ρανδοµ ϖαριαβλε οφ τηε νυµβερ οφ ιντερρυπτιονσ, ανδ λετ X(t) βε τηε ρανδοµ ϖαριαβλε οφ τηε νυµβερ οφ φαιλυρεσ τηατ οχχυρ υπ το τιµε t. Τηεν, φολλοωινγ Σηερβροοκε [24], τηε Ποισσον ωιτη παραµετερ λ χοµπουνδεδ ωιτη α γεοµετριχ ρ χαν βε ωριττεν ασ P (X(t) = 0) = εξπ(−λt)  (λt)y εξπ(−λt) x−y P (X(t)) = CYX−1 (1 − ρ)y , −1 ρ y!

(43)

x = 1, 2 . . . , λ > 0, 0 < ρ < 1 (44)  n = n!/[k!(n − k)!]. Υσινγ µοµεντ−γενερατινγ φυνχ− ωηερε Ckn = C(n, k) = k τιονσ, ασ σηοων ιν Ταβλε 1.5, E(X) =

λ 1−ρ

(45)

4.3.3 Στοππινγ Ρυλε Εξπρεσσιον (44) φορ τηε εξπεχτεδ ϖαλυε οφ X λεαδσ το α ρυλε φορ δετερµινινγ ωηεν το στοπ σοφτωαρε τεστινγ. Συπποσε τηατ ωε αρε ατ τιµε t. Ιτ ισ εϖιδεντ τηατ ωηενεϖερ

ΒΑΨΕΣΙΑΝ ΣΤΟΠΠΙΝΓ ΡΥΛΕ ΦΟΡ ΤΕΣΤΙΝΓ ΙΝ ΤΗΕ ΤΙΜΕ ∆ΟΜΑΙΝ

217

τηερε ισ αν ιντερρυπτιον ιν τηε προγραµ δυρινγ τηε τεστινγ ιντερϖαλ [0, t), ωε ρεµοϖε αλλ φαυλτσ οβσερϖεδ. Ασ α ρεσυλτ, τηε ϖαλυεσ φορ λ ανδ ρ σηουλδ βε δεχρεασινγ οϖερ τιµε, σινχε τηερε σηουλδ βε φεωερ ανδ φεωερ φαυλτσ ιν τηε προγραµ. Τηε γραδυαλ ρεδυχτιον οφ ρ ισ ιν λινε ωιτη τηε ρεσυλτσ οφ οτηερσ, συχη ασ Μυσα ανδ Οκυµοτο [72], ωηο υσεδ αν εξπονεντιαλ φυνχτιον το ρεδυχε λ οϖερ τιµε, ανδ Βεχκερ ετ αλ. [73] ωηο ρεδυχεδ λ βψ α ⇒ξεδ αµουντ  οϖερ τιµε. Λετ Xt βε τηε ρανδοµ ϖαριαβλε οφ τηε νυµβερ οφ φαιλυρεσ τηατ οχχυρ ιν [t, t + 1], τηε υνιτ τιµε ιντερϖαλ σταρτινγ ατ τιµε t, ανδ λετ λt ανδ ρt βε τηε ϖαλυεσ οφ τηε παραµετερσ ατ τιµε t. Τηεν τηε εξπεχτεδ νυµβερ οφ φαιλυρεσ οχχυρρινγ δυρινγ τηισ υνιτ τιµε ιντερϖαλ ισ λt E(Xt ) = (46) 1 − ρt Ιφ ωε ωερε το στοπ ατ τιµε t, ωε ωουλδ ασσυµε τηατ τηε φαυλτσ τηατ χαυσεδ τηεσε φαιλυρεσ ωουλδ ηαϖε το βε ⇒ξεδ ιν τηε ⇒ελδ ατ α χοστ οφ a περ φαυλτ. Τηυσ, τηερε ισ αν εξπεχτεδ χοστ οϖερ τηε ιντερϖαλ [t, t + 1) οφ aE(Xt ) φορ στοππινγ ατ τιµε t. Ον τηε οτηερ ηανδ, ιφ ωε χοντινυε τεστινγ οϖερ τηε ιντερϖαλ, ωε ασσυµε τηατ τηερε ισ α ⇒ξεδ χοστ c φορ τεστινγ ανδ α ϖαριαβλε χοστ b οφ ⇒ξινγ εαχη φαυλτ φουνδ δυρινγ τεστινγ. Νοτε τηατ a ισ λαργερ τηαν b σινχε ιτ σηουλδ βε χονσιδεραβλψ µορε εξπενσιϖε το ⇒ξ α φαυλτ ιν τηε ⇒ελδ τηαν το οβσερϖε ανδ ⇒ξ ιτ ωηιλε τεστινγ. Τηυσ, τηε χοστ εξπεχτεδ φορ τηε χοντινυατιον οφ τεστινγ φορ τηε νεξτ τιµε ιντερϖαλ ισ bE(Xt ) + c. Τηισ χοστ ισ σιµιλαρ βυτ σιµπλερ τηαν τηατ οφ ∆αλλαλ ανδ Μαλλοωσ [48]. Ιφ φορ τηε υνιτ ιντερϖαλ βεγιννινγ ατ τιµε t τηε εξπεχτεδ χοστ οφ στοππινγ ισ γρεατερ τηαν τηε εξπεχτεδ χοστ οφ χοντινυινγ, τηατ ισ, ιφ aE(Xt ) > bE(Xt ) + C

(47)

ιτ ισ εχονοµιχαλ το χοντινυε τεστινγ τηρουγη τηε ιντερϖαλ. Ον τηε οτηερ ηανδ, ιφ τηε εξπεχτεδ χοστ οφ στοππινγ ισ λεσσ τηαν τηε εξπεχτεδ χοστ οφ χοντινυινγ, τηατ ισ, ιφ aE(Xt ) < bE(Xt ) + C (48) ιτ ισ µορε εχονοµιχαλ το στοπ. Ιφ ωε λετ d = c/(a − b), τηεν ιφ τηε ρελατιον (47) εϖολϖεσ το λt E(Xt ) = >d (49) 1 − ρt ωε ωουλδ χοντινυε τεστινγ; ανδ ιφ E(Xt ) =

λt ≤ d 1 − ρt

(50)

ωε ωουλδ στοπ τεστινγ. Ωιτη λt ανδ ρt , βοτη βεινγ δεχρεασινγ φυνχτιονσ οφ τιµε, E(Xt ) ≥ E(Xt+1 )

(51)

218

ΣΤΟΠΠΙΝΓ ΡΥΛΕΣ ΙΝ ΣΟΦΤΩΑΡΕ ΤΕΣΤΙΝΓ

σο τηατ ιφ ωε σηουλδ ηαϖε στοππεδ ατ τιµε t βυτ διδ νοτ, ωε σηουλδ χερταινλψ στοπ ατ τιµε t + 1. Τηισ ρυλε φορ στοππινγ σεεµσ ρεασοναβλε. Ιτ σαψσ εσσεντιαλλψ τηατ ιφ τηε νυµβερ οφ φαυλτσ τηατ ωε χαν εξπεχτ το ⇒νδ ιν τηε σοφτωαρε υνιτ τιµε ισ συφ⇒χιεντλψ σµαλλ, ωε στοπ τεστινγ ανδ ρελεασε τηε σοφτωαρε παχκαγε το τηε ενδ υσερ. Ιφ τηε νυµβερ οφ φαυλτσ εξπεχτεδ ισ λαργε, ωε χοντινυε τεστινγ. Τηισ στοππινγ ρυλε δεπενδσ ον αν υπ−το−δατε εξπρεσσιον φορ τηε χοµπουνδ Ποισσον διστριβυτιον (ι.ε., ωε νεεδ αχχυρατε εστιµατεσ οφ λ t ανδ ρt ). Ηοωεϖερ, συχη εστιµατεσ δεπενδ ον τηε ηιστορψ οφ τηε τεστινγ, ωηιχη ιµπλιεσ τηε υσε οφ εµπιριχαλ Βαψεσ δεχισιον προχεδυρεσ [74,75]. 4.3.4 Βαψεσ Αναλψσισ φορ τηε Ποισσον∧ Γεοµετριχ Μοδελ Ωε βεγιν ωιτη τηε χονϕυγατε πριορ δενσιτψ φυνχτιον οφ τηε ινιτιαλ ϖαλυεσ οφ λ ανδ ρ. Τηε χονϕυγατε πριορ δενσιτψ φυνχτιον φορ τηε Ποισσον προβαβιλιτψ φυνχτιον ισ τηε γαµµα π.δ.φ., ανδ τηε πριορ δενσιτψ φορ τηε γεοµετριχ ισ τηε βετα π.δ.φ. Τηυσ, τηε ινιτιαλ πριορ ϕοιντ δενσιτψ φορ λt ανδ ρt ισ γιϖεν βψ f (λ, ρ) =

β(λβ)α+1 e−λβ Ŵ(μ + ν) μ−1 ρ (1 − ρ)ν−1 Ŵ(α) Ŵ(μ)Ŵ(ν)

(52)

ωηερε α > 0, β > 0, μ > 0, ανδ ν > 0 αρε τηε παραµετερσ οφ τηε ινιτιαλ πριορ δεν− σιτψ φυνχτιον. Λετ X ανδ Y βε τηε ρανδοµ ϖαριαβλεσ οφ τηε νυµβερ οφ φαιλυρεσ ανδ ιντερρυπτιονσ, ρεσπεχτιϖελψ, τηατ ωιλλ οχχυρ δυρινγ τηε ⇒ρστ υνιτ τιµε ιντερϖαλ. Τηε ϕοιντ προβαβιλιτψ φυνχτιον οφ X ανδ Y , γιϖεν λ ανδ μ, ισ τηε Ποισσον∧ γεοµετριχ: λy εξπ(−λ) px,y (x, y | λ, ρ) = y!



x−1 y−1



ρ x−y (1 − ρ)y

(53)

σο τηατ τηε ϕοιντ διστριβυτιον οφ X, Y, λ, ανδ ρ αφτερ οβσερϖινγ τηε προχεσσ φορ ονε υνιτ τιµε περιοδ (ι.ε., ωηεν t = 1) ισ τηε προδυχτ g(x, y, λ, ρ) =

β α λα+y−1 εξπ[−(β + 1)] Ŵ(α)y!  x − 1 Ŵ(μ + ν) x−y+μ−1 ρ (1 − ρ)y+ν−1 × y − 1 Ŵ(μ)Ŵ(ν)

(54)

Τηε µαργιναλ προβαβιλιτψ φυνχτιον οφ X ανδ Y ισ τηεν p(x, y) = =



0

∞



t

f (x, y, λ, ρ) dρ dλ

0

Ŵ(α + y)β α Ŵ(μ + x − y)Ŵ(ν + y)Ŵ(μ)Ŵ(ν) Ŵ(μ + ν + x)Ŵ(ν + μ)Ŵ(α)(β + 1)α+y

(55)

ΒΑΨΕΣΙΑΝ ΣΤΟΠΠΙΝΓ ΡΥΛΕ ΦΟΡ ΤΕΣΤΙΝΓ ΙΝ ΤΗΕ ΤΙΜΕ ∆ΟΜΑΙΝ

219

Τηερεφορε, τηε ποστεριορ ϕοιντ δενσιτψ φυνχτιον οφ λ ανδ ρ ατ τιµε t = 1 ισ f (λ, ρ | x, y) =

(β + 1)[β − 1)λ]α+y−1 εξπ[−λ(β + 1)] Ŵ(α + y) ×

Ŵ(μ + ν + x)ρ μ+x−y−1 (1 − ρ)ν+y−1 Ŵ(μ + ν + x)Ŵ(ν + y)

(56)

Τηισ ισ τηε προδυχτ οφ α γαµµα δενσιτψ ωιτη παραµετερσ α + y ανδ β + 1 ανδ α βετα δενσιτψ ωιτη παραµετερσ μ + x − y ανδ ν + y. Ιτ ισ ωελλ κνοων τηατ τηε ποστεριορ εξπεχτατιον µινιµιζεσ τηε µεαν θυαδρατιχ λοσσ φυνχτιον [46] ανδ τηυσ χαν βε υσεδ ασ τηε Βαψεσ εστιµατορσ οφ παραµετερσ λ ανδ μ. Ωε συβστιτυτε τηεσε µεαν ϖαλυεσ ιντο τηε εξπρεσσιονσ φορ E(Xt ), γεττινγ α Βαψεσ εστιµατε φορ τηε νυµβερ οφ φαιλυρεσ ιν τηε νεξτ υνιτ τιµε περιοδ, t = 1: E(X) =

λˆ (α + y)(μ + ν + x) = 1 − ρˆ (β + 1)(ν + y)

(57)

Νοω συπποσε τηατ τηε προχεσσ ισ ατ τιµε t (ι.ε., τηε προχεσσ ηασ βεεν οβσερϖεδ φορ t τιµε περιοδσ), ωιτη α τοταλ οφ x φαιλυρεσ οϖερ y ιντερρυπτιονσ, ωηερε xt ≥ yt . Τηε ποστεριορ εστιµατεσ οφ λ ανδ ρ ατ τιµε t ωιλλ βε αt α0 + yt λˆ t = = β0 + t βt

(58)

ρˆt =

(59)

μt μ0 + xt − yt = μ0 + ν0 + xt μt + νt

ωηερε τηε ζερο συβσχριπτ δενοτεσ ινιτιαλ ϖαλυεσ ατ τιµε 0. Ιφ τηε υνιτ τιµε περιοδ ισ συφ⇒χιεντλψ σηορτ, συχη ασ 1 σεχονδ, τηερε ωιλλ βε µανψ τιµε περιοδσ ωιτη νο ιντερρυπτιονσ, σο τηατ y ωιλλ βε λεσσ τηαν t, µακινγ λt α δεχρεασινγ φυνχτιον οφ t. Συβστιτυτινγ τηε ϖαλυεσ οφ λt ανδ ρt αβοϖε ιντο τηε φορµυλα φορ E(Xt ) γιϖεσ αt (μt + νt ) λt (αo + yt )(μ0 + ν0 + xt ) E(Xt ) = = = (60) 1 − ρt (β0 + t)(ν0 + yt ) βt νt Σινχε τηε Ποισσον∧ γεοµετριχ ισ µεµορψλεσσ, τηε ποστεριορ εξπεχτεδ νυµβερ οφ φαιλυρεσ ατ τιµε t + 1 [ι.ε., E(Xt + 1)] χαν βε φουνδ ασ φολλοωσ. Ιφ ωε δενοτε τηε νυµβερ οφ φαιλυρεσ δυρινγ τηε ιντερϖαλ [t, t + 1) ασ x ανδ τηε νυµβερ οφ ιντερρυπτιονσ ασ y, τηεν E(Xt+1 ) =

λt+1 (αt + yt )(μt + νt + x) = 1 − ρt+1 (βt + t)(νt + y)

(61)

220

ΣΤΟΠΠΙΝΓ ΡΥΛΕΣ ΙΝ ΣΟΦΤΩΑΡΕ ΤΕΣΤΙΝΓ

Τηερε αρε τωο χασεσ το χονσιδερ. Χασε 1: x = y = 0. Νο ιντερρυπτιονσ, ανδ τηυσ νο φαιλυρεσ, αρε οβσερϖεδ δυρινγ τηε ιντερϖαλ [t, t + 1). Ιτ ισ οβϖιουσ τηατ E(Xt + 1) < E(Xt ), σινχε τηε δενοµ− ινατορ ινχρεασεσ βυτ τηε νυµερατορ ρεµαινσ χονσταντ. Εσσεντιαλλψ, τηε δατα αρε σαψινγ τηατ βεχαυσε ωε ηαϖε οβσερϖεδ νο φαιλυρεσ δυρινγ τηε ιντερϖαλ, ωε σηουλδ εξπεχτ το σεε φεωερ φαιλυρεσ ιν τηε νεαρ φυτυρε. Χασε 2: x > y > 1. Τηερε ισ ατ λεαστ ονε ιντερρυπτιον δυρινγ τηε ιντερϖαλ [t, t + 1), ωιτη ονε ορ µορε φαιλυρεσ. Ωηεν αν ιντερρυπτιον οχχυρσ ατ τιµε t, E(Xt + 1) > E(Xt ). 4.3.5 Εµπιριχαλ Βαψεσιαν Στοππινγ Ρυλε Σινχε τηε χοµπουνδ Ποισσον ισ µεµορψλεσσ, ωε χαν ασσυµε τηατ τηε προχεσσ ωιλλ βε τηε σαµε σταρτινγ ατ τιµε t ασ σταρτινγ ατ τιµε 0, βυτ ωιτη διφφερεντ παραµετερσ. Τηατ ισ, ωε νεεδ ονλψ οβσερϖε τηε προχεσσ φροµ ονε τιµε περιοδ το τηε νεξτ. Λετ xt βε τηε χυµυλατιϖε νυµβερ οφ φαιλυρεσ το τιµε t, ανδ yt βε τηε χυµυλατιϖε νυµβερ οφ ιντερρυπτιονσ. Τηυσ, τηε εξπεχτεδ ϖαλυε φυνχτιον ισ e(t; xt ,yt ) =

(αt + yt )(μt + νt + xt ) (βt + t)(νt + yt )

(62)

Τηε εµπιριχαλ Βαψεσιαν στοππινγ ρυλε ωιλλ βε: Ιφ e(t; xt ,yt ) = Ιφ e(t; xt ,yt ) =

(αt + yt )(μt + νt + xt ) > d, χοντινυε τεστινγ (βt + t)(νt + yt ) (αt + yt )(μt + νt + xt ) ≤ d, στοπ τεστινγ (βt + t)(νt + yt )

(63α) (63β)

ανδ ρελεασε τηε σοφτωαρε. Στοππινγ ωιλλ οχχυρ ατ τιµε t γρεατερ τηαν t ′ , ωηερε t ′ ισ γιϖεν βψ (αt + yt )(μt + νt + xt ) −β (64) t′ = (νt + yt )d Ασ σοφτωαρε φαυλτσ αρε ρεµοϖεδ, e(t; xt ,yt ) ωιλλ αππροαχη ζερο, σο τεστινγ ωιλλ εϖεντυαλλψ στοπ. 4.3.6 Χοµπυτατιοναλ Εξαµπλε Τηε στοππινγ ρυλε ωασ αππλιεδ το α δατα σετ γιϖεν βψ Μυσα ετ αλ. [76]. Τηε δατα αρε λιστεδ ιν Ταβλεσ 4∆.1 ανδ 4∆.3. Τηε φαιλυρε τιµεσ, ωηιχη αρε χυµυλατιϖε ανδ ιν σεχονδσ, ινδιχατε ωηεν φαιλυρεσ οχχυρ. Νοτε τηατ φαιλυρεσ σοµετιµεσ οχχυρ ιν χλυµπσ, ασ φορ εξαµπλε ατ τιµε t = 5089 σεχονδσ (τηε ϖαλυεσ ιν ιταλιχ ινδιχατε χλυµπεδ οβσερϖατιονσ). Τηισ χλυµπινγ ισ φαιρλψ τψπιχαλ ιν τηε τεστινγ οφ σοφτωαρε, ινδιχατινγ τηε νεεδ φορ τηε χοµπουνδ Ποισσον. Ταβλε 4∆.1 σηοωσ τηε Τ1 δατα

ΜΕΣΑΤ−2 ΑΠΠΛΙΧΑΤΙΟΝΣ ΑΝ∆ ΡΕΣΥΛΤΣ

221

σετ οφ Μυσα ετ αλ. [76]. Φορ ιλλυστρατιϖε πυρποσεσ ιτ ωασ ασσυµεδ τηατ c = ∃0.01, a = ∃6.0, ανδ b = ∃1.0; τηατ ισ, τηε ⇒ξεδ χοστ οφ τεστινγ ισ ∃0.01 περ σεχονδ, τηε χοστ οφ ⇒ξινγ εαχη φαυλτ ωηιλε τεστινγ ισ ∃1.0, ανδ τηε χοστ οφ ⇒ξινγ εαχη φαυλτ ιν τηε ⇒ελδ ισ ∃6.0. Ηενχε, d = c/(a − b) = 0.002. Νοτε τηατ τηε ϖαλυεσ οφ a, b, ανδ c αρε ιµπορταντ βυτ ιτ ισ τηε ρατιο d = c/(a − b) τηατ ισ υσεδ. Ιν τηισ εξαµπλε υσινγ τηε δατα σετ Τ1, τηε ινιτιαλ εστιµατε οφ ρ ωασ τακεν το βε 0.02 δυε το δατα σινχε ατ τηε ενδ οφ τηε τεστινγ τιµε, ρˆ = 1 − yt /xt = 1 − (133/136) = 0.02. Ιτ ωασ ασσυµεδ τηατ τηε χον⇒δενχε ισ εθυιϖαλεντ το α σαµπλε σιζε οφ 100, σο τηατ μ + ν = 100. Τηε ινιτιαλ ϖαλυεσ μ = (0.02)(100) = 2 ανδ ν = 100 − 2 = 98, ρεσπεχτιϖελψ. μt ανδ νt ωιλλ ϖαρψ φορ εαχη ϖαρψινγ παιρ οφ yt ανδ xt . Σιµιλαρλψ, ιτ ωασ εστιµατεδ τηατ τηε µεαν τιµε το φαιλυρε (ΜΤΤΦ) φροµ τηε δατα σετ Τ1 ωουλδ βε 666 σεχονδσ, γιϖινγ αν ινιτιαλ λ = ΜΤΤΦ−1 εστιµατε οφ 0.0015. Σινχε, ασσυµινγ αν ινιτιαλ γαµµα πριορ παραµετερ, α = 0.5, λ=

α β

ωηερε β = αλ−1 = α · ΜΤΤΦ = (0.5)(666) = 333

(65)

ισ τηε ινιτιαλ ϖαλυε. Ατ εαχη τιµε t, αt ανδ βt ωιλλ ϖαρψ. Ασ ιν Αππενδιξ 4∆, τηε ⇒ρστ τιµε τηατ (αt + yt )(μt + νt + xt ) e(t; xt ,yt ) = ≤d (66) (βt + t)(νt + yt ) [ωηερε d = c/(a − b) = 0.01/(6 − 5) = 0.002, ανδ αt > 0, βt > 0, μt > 0, ανδ νt > 0 αλλ ϖαρψ τηρουγηουτ τηε προχεσσ], τεστινγ ισ στοππεδ ανδ τηε σοφτωαρε ισ ρελεασεδ το τηε χυστοµερ ισ ατ t ′ = 60,852. Ωε υσεδ εθυατιον (64), ωηερε e(t ′ ; xt ,yt ) = 0.0019 < 0.002. Τηισ ινδιχατεσ τηατ τηε τεστινγ σηουλδ βε στοππεδ σοµετιµε βετωεεν t = 57,042 ανδ t = 62,551 σεχονδσ. 4.3.7 ∆ισχυσσιον ανδ Χονχλυσιονσ Ασ α ⇒ναλ ρεµαρκ, τηε χοντριβυτιον οφ τηισ σεχτιον ισ αν εµπιριχαλ Βαψεσιαν αππροαχη το δετερµινε αν εχονοµιχ στοππινγ ρυλε φορ α χοµπουνδ Ποισσον προχεσσ ανδ ισ α φολλοω−υπ το πρεϖιουσ ρεσεαρχη βψ Σαηινογλυ [6,27] ον τηε Ποισσον∧ γεο− µετριχ ασ αππλιεδ το σοφτωαρε ρελιαβιλιτψ µοδελινγ. Ιν τηε πρεσεντ χηαπτερ, ηοωεϖερ, α στοππινγ ρυλε ισ δεϖελοπεδ φορ σοφτωαρε τεστινγ ιν αν ενϖιρονµεντ ωηερε τηε σοφτωαρε προγραµ ισ το βε ιντερρυπτεδ δυε το ονε ορ µορε σοφτωαρε φαιλυρεσ ιν α χλυµπ ατ λεαστ ονχε δυρινγ τηε τεστινγ αχτιϖιτψ. Τηε χοµπυτατιοναλ εξαµπλε ιλλυστρατεσ τηατ τηε ρυλε προποσεδ ισ πραχτιχαλ ανδ ϖαλιδ φορ σοφτωαρε φαιλυρε δατα ωιτη χλυµπεδ φαιλυρεσ, συχη ασ ιν τηε δατα σετ ιν Ταβλεσ 4∆.1 ανδ 4∆.2. Μορε δατα ωιτη χλυµπεδ σοφτωαρε φαιλυρεσ µαψ βε φουνδ ιν τηε λιτερατυρε [76] ανδ ιν τηε βοοκ’σ Χ∆−ΡΟΜ. ΑΠΠΕΝ∆ΙΞ 4∆: ΜΕΣΑΤ−2 ΑΠΠΛΙΧΑΤΙΟΝΣ ΑΝ∆ ΡΕΣΥΛΤΣ Το υσε τηε αππλιχατιονσ ανδ δατα ⇒λεσ, χλιχκ ον “Στοππινγ Ρυλε” ιν ΤΩΧ−Σολϖερ ον τηε Χ∆−ΡΟΜ.

222 ΤΑΒΛΕ 4∆.1 ∆ατα Σετ Τ1 n t Χυµυλατιϖε 1 3 3 2 30 33 3 113 146 4 81 227 5 115 342 6 9 351 7 2 353 8 91 444 9 112 556 10 15 571 11 138 709 12 50 759 13 77 836 14 24 860 15 108 968 16 88 1,056 17 670 1,726 18 120 1,846 19 26 1,872 20 114 1,986 21 325 2,311 22 55 2,366 23 242 2,608 24 68 2,676 25 422 3,098 26 180 3,278 27 10 3,288 28 1,146 4,434 29 600 5,034 30 15 5,049 31 36 5,085 32 4 5,089 33 0 5,089 34 8 5,097 35 227 5,324 36 65 5,389 37 176 5,565 38 58 5,623 39 457 6,080 40 300 6,380 41 97 6,477 42 263 6,740 43 452 7,192 44 255 7,447 45 197 7,644 46 193 7,837

ΣΤΟΠΠΙΝΓ ΡΥΛΕΣ ΙΝ ΣΟΦΤΩΑΡΕ ΤΕΣΤΙΝΓ

n 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91

t 6 79 816 1,351 148 21 233 134 357 193 236 31 369 748 0 232 330 365 1,222 543 10 16 529 379 44 129 810 290 300 529 281 160 828 1,011 445 296 1755 1,064 1,783 860 983 707 33 868 724

Χυµυλατιϖε 7,843 7,922 8,738 10,089 10,237 10,258 10,491 10,625 10,982 11,175 11,411 11,442 11,811 12,559 12,559 12,791 13,121 13,486 14,708 15,251 15,261 15,277 15,806 16,185 16,229 16,358 17,168 17,458 17,758 18,287 18,568 18,728 19,556 20,567 21,012 21,308 23,063 24,127 25,910 26,770 27,753 28,460 28,493 29,361 30,085

n 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136

t 2,323 2,930 1,461 843 12 261 1,800 865 1,435 30 143 108 0 3,110 1,247 943 700 875 245 729 1,897 447 386 446 122 990 948 1,082 22 75 482 5,509 100 10 1,071 371 790 6,150 3,321 1,045 648 5,485 1,160 1,864 4,116

Χυµυλατιϖε 32,408 35,338 36,799 37,642 37,654 37,915 39,715 40,580 42,015 42,045 42,188 42,296 42,296 45,406 46,653 47,596 48,296 49,171 49,416 50,145 52,042 52,489 52,875 53,321 53,443 54,433 55,381 56,463 56,485 56,560 57,042 62,551 62,651 62,661 63,732 64,103 64,893 71,043 74,364 75,409 76,057 81,542 82,702 84,566 88,682

223

ΜΕΣΑΤ−2 ΑΠΠΛΙΧΑΤΙΟΝΣ ΑΝ∆ ΡΕΣΥΛΤΣ Γοοδνεσσ−οφ−Φιτ Αναλψσισ Χηι−σθυαρε συµ = 24.8763; ριγητ−ταιλεδ αρεα (p−ϖαλυε) = 0.0056 α (τψπε Ι ερρορ προβαβιλιτψ) = 0.005; p−ϖαλυε = 0.0056 > 0.005. ∆ο νοτ ρεϕεχτ H0 ; γοοδ ⇒τ.

Χοµπουνδ Ποισσον∧ Γεοµετριχ Στοππινγ Ρυλε Αναλψσισ α (γαµµα πριορ π.δ.φ. σηαπε) = 0.5; d (στοππινγ χριτεριον) = 0.002; νυµβερ οφ φαυλτσ = 136; νυµβερ οφ οχχυρενχεσ = 133; ΜΤΤΦ = 666.78. λ = 0.0015, ρ = 0.022, β = 333.4, μ = 2.2059, ανδ ν = 97.7941 αρε τηε ινιτιαλ ϖαλυεσ.

ΤΑΒΛΕ 4∆.2 Αναλψσισ Ρεσυλτσ οφ Ταβλε 4∆.1 x

y

t

t

e

1 2 3

1 2 3

3 30 113

3 33 146

0.004559 0.006974 0.007461

.. . 100 101 102 103 104 105 119 120 121 122 123

98 99 100 101 101 102 116 117 118 119 120

1435 30 143 108 0 3,110 1082 22 75 482 5509

42,015 42,045 42,188 42,296 42,296 45,406 56,463 56,485 56,560 57,042 62,551

0.002376 0.002398 0.002414 0.002431 0.002443 0.002299 0.002101 0.002118 0.002133 0.002143 0.001953

Χαλχυλατεδ στοππινγ τιµε = 60,852 σεχονδσ; e = 0.002; στοπ αφτερ φαυλτ = 122; φαυλτ χοϖεραγε = 89.71%; τιµε χοϖεραγε = 68.62%. Χοστ Αναλψσισ Χοστ περ χορρεχτεδ ερρορ (ποστρελεασε), a = ∃6.00 Χοστ περ χορρεχτεδ ερρορ (πρερελεασε), b = ∃1.00; χοστ περ τεστ, c = ∃0.01; τοταλ φαυλτσ (τφ) = 136; τοταλ χψχλεσ (τιµε) (ττ) = 88,682 σεχονδσ; στοπ φαυλτ (σφ) = 122; στοπ χψχλε (στ) = 57,042 σεχονδσ; ρεµαινινγ φαυλτσ (ρφ) = 14; ρεµαινινγ χψχλεσ (τιµε) (ρτ) = 31,640 σεχονδσ; χοστ οφ χορρεχτινγ αλλ φαυλτσ (εξηαυστιϖε): ∃1022.82 a (ρφ) < b (ρφ) + c (ρτ) = ? (6) (14) < (1)(14) + (0.01) (31,640) = ? 84.00 < 330.40? Σαϖινγσ υσινγ στοππινγ ρυλε: ∃246.40 Ενδ οφ αναλψσισ

224

ΣΤΟΠΠΙΝΓ ΡΥΛΕΣ ΙΝ ΣΟΦΤΩΑΡΕ ΤΕΣΤΙΝΓ

ΤΑΒΛΕ 4∆.3 ∆ατα Σετ Τ3 n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19

t 115 0 83 178 194 136 1,077 15 15 92 50 71 606 1,189 40 788 222 72 615

Χυµυλατιϖε 115 115 198 376 570 706 1,783 1,798 1,813 1,905 1,955 2,026 2,632 3,821 3,861 4,649 4,871 4,943 5,558

n 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38

t 589 15 390 1,863 1,337 4,508 834 3,400 6 4,561 3,186 10,571 563 2,770 625 5,593 11,696 6,724 2,546

Χυµυλατιϖε 6,147 6,162 6,552 8,415 9,752 14,260 15,094 18,494 18,500 23,061 26,247 36,818 37,381 40,151 40,776 46,369 58,065 64,789 67,335

Γοοδνεσσ−οφ−Φιτ Αναλψσισ Χηι−σθυαρε συµ = 16,0925; ριγητ−ταιλεδ αρεα = 0.097 α (τψπε Ι ερρορ προβαβιλιτψ) = 0.005; p−ϖαλυε = 0.097 > 0.005. ∆ο νοτ ρεϕεχτ H0 : γοοδ ⇒τ. Χοµπουνδ Ποισσον∧ Γεοµετριχ Στοππινγ−Ρυλε Αναλψσισ α (γαµµα πριορ π.δ.φ. σηαπε) = 0.5; d (στοππινγ χριτεριον) = 0.002; νυµβερ οφ φαυλτσ = 38; νυµβερ οφ οχχυρενχεσ = 37; ΜΤΤΦ = 1819.86. λ = 0.00055, ρ = 0.026, β = 909.9, μ = 2.63, ανδ ν = 97.37 αρε τηε ινιτιαλ ϖαλυεσ.

ΤΑΒΛΕ 4∆.4 Αναλψσισ Ρεσυλτσ οφ Ταβλε 4∆.3 x

y

t

t

e

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 .. . 20 21 22 23 24 25

1 1 2 3 4 5 6 7 8 9

115 0 83 178 194 136 1,077 15 15 92

115 115 198 376 570 706 1,783 1,798 1,813 1,905

0.001503 0.001518 0.002339 0.002820 0.003150 0.003524 0.002499 0.002866 0.003229 0.003490

19 20 21 22 23 24

589 15 390 1,863 1,337 4,508

6,147 6,162 6,552 8,415 9,752 14,260

0.002849 0.002988 0.002970 0.002486 0.002271 0.001650

ΡΕΦΕΡΕΝΧΕΣ

225

Χαλχυλατεδ στοππινγ τιµε = 11,195 σεχονδσ; e = 0.0020; στοπ αφτερ φαυλτ = 24; φαυλτ χοϖεραγε = 63.16%; τιµε χοϖεραγε = 16.63%. Χοστ Αναλψσισ Χοστ περ χορρεχτεδ ερρορ (ποστρελεασε), a = ∃6.00 Χοστ περ χορρεχτεδ ερρορ (πρερελεασε), b = ∃1.00; χοστ περ τεστ, c = ∃0.01; τοταλ φαυλτσ (τφ) = 38; τοταλ χψχλεσ (τιµε) (ττ) = 67,335 σεχονδσ; στοπ φαυλτ (σφ) = 24; στοπ χψχλε (στ) = 9752 σεχονδσ; ρεµαινινγ φαυλτσ (ρφ) = 14; ρεµαινινγ χψχλεσ (τιµε) (ρτ) = 57,583 σεχονδσ; χοστ οφ χορρεχτινγ αλλ φαυλτσ (εξηαυστιϖε): ∃711.35 a (ρφ) < b (ρφ) + c (ρτ) = ? (6)(14) < (1)(14) + (0.01)(57,583) = ? 84.00 < 589.83? Σαϖινγσ υσινγ στοππινγ ρυλε: ∃505.83 Ενδ οφ αναλψσισ

ΡΕΦΕΡΕΝΧΕΣ 1. Γ. Παρικη, Ηανδβοοκ οφ Σοφτωαρε Μαιντενανχε, Ωιλεψ, Νεω Ψορκ, 1986. 2. Ω. Φαρρ, Χηαπ. 3 ιν Μ. Ρ. Λψυ (εδ.), Ηανδβοοκ οφ Σοφτωαρε Ρελιαβιλιτψ Ενγινεερινγ, ΙΕΕΕ Χοµπυτερ Σοχιετψ Πρεσσ/ΜχΓραω−Ηιλλ, Νεω Ψορκ, 1996. 3. ϑ. Κεψεσ, Σοφτωαρε Ενγινεερινγ Ηανδβοοκ, Αυερβαχη Πυβλιχατιονσ, Βοχα Ρατον, ΦΛ, 2003, Χηαπ. 16. 4. Β. Μαριχκ, Χραφτ οφ Σοφτωαρε Τεστινγ, 2νδ εδ., Πρεντιχε Ηαλλ, Υππερ Σαδδλε Ριϖερ, Νϑ, 1994. 5. Χ. Κανερ, ϑ. Φαλκ, ανδ Η. Θ. Νγυψεν, Τεστινγ Χοµπυτερ Σοφτωαρε, Ωιλεψ, Νεω Ψορκ, 1999. 6. Μ. Σαηινογλυ, Αν Εµπιριχαλ Βαψεσιαν Στοππινγ Ρυλε ιν Τεστινγ ανδ ςερι⇒χατιον οφ Βεηαϖιοραλ Μοδελσ, ΙΕΕΕ Τρανσ. Ινστρυµ. Μεασ., 52, 1428–1443 (Οχτοβερ 2003). 7. Μ. Σαηινογλυ, Χ. Βαψρακ, ανδ Τ. Χυµµινγσ, Ηιγη Ασσυρανχε Σοφτωαρε Τεστινγ ιν Βυσινεσσ ανδ ∆ο∆, Τρανσ. Σοχ. ∆εσ. Προχεσσ Σχι., 6(2), 107–114 (2002). 8. Τ. Χηεν, Μ. Σαηινογλυ, Α. ϖον Μαψρηαυσερ, Α. Ηαϕϕαρ, ανδ Χ. Ανδερσον, Ηοω Μυχη Τεστινγ Ισ Ενουγη? Αππλψινγ Στοππινγ−Ρυλεσ το Βεηαϖιοραλ Μοδελ Τεστινγ, Προ− χεεδινγσ οφ τηε 4τη Ιντερνατιοναλ Ηιγη−Ασσυρανχε Σψστεµσ Ενγινεερινγ Σψµποσιυµ (ΗΑΣΕ’99), Νοϖεµβερ 17–19, 1999, ππ. 249–256. 9. Μ. Σαηινογλυ, Α. ϖον Μαψρηαυσερ, Α. Ηαϕϕαρ, Τ. Χηεν, ανδ Χ. Ανδερσον, Ον τηε Εφ⇒χιενχψ οφ α Χοµπουνδ Ποισσον Στοππινγ−Ρυλε φορ Μιξεδ Στρατεγψ Τεστινγ, ΙΕΕΕ Αεροσπαχε Χονφερενχε Προχεεδινγσ, Σνοωµασσ ατ Ασπεν, ΧΟ, Μαρχη 6–13, 1999. 10. Τ. Χηεν, Μ. Σαηινογλυ, Α. ϖον Μαψρηαυσερ, Α. Ηαϕϕαρ, ανδ Χ. Ανδερσον, Αχηιεϖινγ τηε Θυαλιτψ οφ ςερι⇒χατιον φορ Βεηαϖιοραλ Μοδελσ ωιτη Μινιµυµ Εφφορτ, Προχεεδινγσ οφ τηε Φιρστ Ιντερνατιοναλ Σψµποσιυµ ον Θυαλιτψ Ελεχτρονιχ ∆εσιγν (ΙΕΕΕ/ΙΣΘΕ∆), Σαν ϑοσε, ΧΑ, Μαρχη 20–22, 2000, ππ. 234–239. 11. Β. Βαρρερα, Χοδε Χοϖεραγε Αναλψσισ: Εσσεντιαλ το α Σαφε ∆εσιγν, Ελεχτρον. Ενγ., ππ. 41–44 (Νοϖεµβερ 1998). 12. Σ. Ρ. ∆ασ, Χ. ς. Ραµαµοορτηψ, Μ. Η. Ασσαφ, Ε. Μ. Πετριυ, ανδ Ω.−Β. ϑονε, Φαυλτ Τολερανχε ιν Σψστεµσ ∆εσιγν ιν ςΣΛΙ Υσινγ ∆ατα Χοµπρεσσιον Υνδερ Χονστραιντσ οφ Φαιλυρε Προβαβιλιτιεσ, ΙΕΕΕ Τρανσ. Ινστρυµ. Μεασ., 50(6), 1725–1745 (∆εχεµβερ 2001).

226

ΣΤΟΠΠΙΝΓ ΡΥΛΕΣ ΙΝ ΣΟΦΤΩΑΡΕ ΤΕΣΤΙΝΓ

13. Σ. Ρ. ∆ασ, Μ. Συδαρµα, Μ. Η. Ασσαφ, Ε. Μ. Πετριυ, Ω. ϑονε, Κ. Χηακραβαρτψ, ανδ Μ. Σαηινογλυ, Παριτψ Βιτ Σιγνατυρε ιν Ρεσπονσε ∆ατα Χοµπαχτιον ανδ Βυιλτ−ιν Σελφ− Τεστινγ οφ ςΛΣΙ Χιρχυιτσ ωιτη Νονεξηαυστιϖε Τεστ Σετσ, ΙΕΕΕ Τρανσ. Ινστρυµ. Μεασ., 52(5), 1363–1380 (Οχτοβερ 2003). 14. Σ. Ρ. ∆ασ, Μ. Η. Ασσαφ, Ε. Μ. Πετριυ, ανδ Μ. Σαηινογλυ, Αλιασινγ−φρεε Χοµπαχτιον ιν Τεστινγ Χορεσ−Βασεδ Σψστεµ−ον−Χηιπ (ΣΟΧ) Υσινγ Χοµπατιβιλιτψ οφ Ρεσπονσε ∆ατα Ουτπυτσ, Τρανσ. Σοχ. ∆εσ. Προχεσσ Σχι., 8(1), 1–17 (Μαρχη 2004). 15. Σ. Ρ. ∆ασ, Χ. ς. Ραµαµοορτηψ, Μ. Η. Ασσαφ, Ε. Μ. Πετριυ, Ω. Β. ϑονε, ανδ Μ. Σαηινογλυ, Ρεϖισιτινγ Ρεσπονσε Χοµπαχτιον ιν Φυλλ−Σχαν Χιρχυιτσ ωιτη Νονεξηαυστιϖε Τεστ Σετσ Υσινγ Χονχεπτ οφ Σεθυενχε Χηαραχτεριζατιον, ΙΕΕΕ Τρανσ. Ινστρυµ. Μεασ., Σπεχιαλ Ισσυε ον ςΛΣΙ Τεστινγ, 54(5), 1662–1677 (Οχτοβερ 2005). 16. Σ. Ρ. ∆ασ, Χ. ς. Ραµαµοορτηψ, Μ. Η. Ασσαφ, Ε. Μ. Πετριυ, Ω. Β. ϑονε, ανδ Μ. Σαηινογλυ, Φαυλτ Σιµυλατιον ανδ Ρεσπονσε Χοµπαχτιον ιν Φυλλ−Σχαν Χιρχυιτσ Υσινγ ΗΟΠΕ, ΙΕΕΕ Τρανσ. Ινστρυµ. Μεασ., 54(6), 2310–2328 (∆εχεµβερ 2005). 17. Σ. Ρ. ∆ασ, Χ. ϑιν, Λ. ϑιν, Μ. Η. Ασσαφ, Ε. Μ. Πετριυ, Ω. Β. ϑονε, Σ. Βισωασ, ανδ Μ. Σαηινογλυ, Ιµπλεµεντατιον οφ α Τεστινγ Ενϖιρονµεντ φορ ∆ιγιταλ ΙΠ Χορεσ, ΙΕΕΕ Τρανσ. Ινστρυµ. Μεασ., 55(6) (∆εχεµβερ 2006). 18. Σ. Ρ. ∆ασ, ϑ. Ζακιζαδεη, Μ. Η. Ασσαφ, Ε. Μ. Πετριυ, Σ. Βισωασ, ανδ Μ. Σαηινογλυ, Τεστινγ Αναλογ ανδ Μιξεδ−Σιγναλ Χιρχυιτσ ωιτη Βυιλτ−ιν Ηαρδωαρε: Νεω Αππροαχη, ΙΕΕΕ Τρανσ. Ινστρυµ. Μεασ., 55(6) (∆εχεµβερ 2006). 19. Β. ∆ιχκινσον ανδ Σ. Σηαω, Σοφτωαρε Τεχηνιθυεσ Αππλιεδ το ςΗ∆Λ ∆εσιγν, Νεω Ελεχτρον., 9, 63–65 (Μαψ 1995). 20. Μ. Σαηινογλυ ανδ Ε. Η. Σπαφφορδ, Α Σεθυεντιαλ Προχεδυρε φορ Αππροϖινγ Σοφτωαρε Προδυχτσ, Προχεεδινγσ οφ τηε 28τη ΙΕΕΕ Αννυαλ Σπρινγ Ρελιαβιλιτψ Σεµιναρ, Μαψ 1990, ππ. 127–149. 21. Μ. Σαηινογλυ ανδ Ε. Η. Σπαφφορδ, Α Βαψεσ Σεθυεντιαλ Στατιστιχαλ Προχεδυρε φορ Αππροϖινγ Προδυχτσ ιν Μυτατιον−Βασεδ Σοφτωαρε Τεστινγ, Ω. Εηρενβεργερ (εδ.), Προ− χεεδινγσ οφ τηε ΙΦΙΠ Χονφερενχε ον Αππροϖινγ Σοφτωαρε Προδυχτσ (ΑΣΠ’90), Γαρµισχη− Παρτενκιρχηεν, Γερµανψ, Ελσεϖιερ Σχιενχε (Νορτη Ηολλανδ), Σεπτεµβερ 17–19, 1990, ππ. 43–56. 22. Ν. ϑοηνσον, Σ. Κοτζ, ανδ ϑ. Κεµπ, Υνιϖαριατε ∆ισχρετε ∆ιστριβυτιονσ, 2νδ εδ., Ωιλεψ, Νεω Ψορκ, 1993. 23. Σ. Κοτζ ετ αλ., Ενχψχλ. Στατ. Σχι., 5, 111–113; 6, 169–176 (1988). 24. Χ. Χ. Σηερβροοκε, ∆ισχρετε Χοµπουνδ Ποισσον Προχεσσεσ ανδ Ταβλεσ οφ τηε Γεοµετριχ Ποισσον ∆ιστριβυτιον, Μεµορανδυµ ΡΜ−4831−ΠΡ, Ρανδ Χοοπερατιον, Σαντα Μονιχα, ΧΑ, ϑυλψ 1966. 25. Μ. Σαηινογλυ, Τηε Λιµιτ οφ Συµ οφ Μαρκοϖ Βερνουλλι ςαριαβλεσ ιν Σψστεµ Ρελιαβιλιτψ Εϖαλυατιον, ΙΕΕΕ Τρανσ. Ρελιαβ., 39, 46–50 (Απριλ 1990). 26. Μ. Σαηινογλυ, Νεγατιϖε Βινοµιαλ ∆ενσιτψ οφ τηε Σοφτωαρε Φαιλυρε Χουντ, Προχεεδινγσ οφ τηε 5τη Ιντερνατιοναλ Σψµποσιυµ ον Χοµπυτερ ανδ Ινφορµατιον Σχιενχεσ (ΙΣΧΙΣ), ςολ. 1, Οχτοβερ 1990, ππ. 231–239. 27. Μ. Σαηινογλυ, Χοµπουνδ Ποισσον Σοφτωαρε Ρελιαβιλιτψ Μοδελ, ΙΕΕΕ Τρανσ. Σοφτωαρε Ενγ., 18, 624–630 (ϑυλψ 1992). 28. Μ. Σαηινογλυ ανδ Υ. Χαν, Αλτερνατιϖε Παραµετερ Εστιµατιον Μετηοδσ φορ τηε Χοµ− πουνδ Ποισσον Σοφτωαρε Ρελιαβιλιτψ Μοδελ ωιτη Χλυστερεδ Φαιλυρε ∆ατα, Σοφτωαρε Τεστ. ςερι⇒χατιον Ρελιαβ., 7, 35–57 (Μαρχη 1997).

ΡΕΦΕΡΕΝΧΕΣ

227

29. Μ. Σαηινογλυ ανδ Α. Σ. Αλ−Κηαλιδι, Α Βαψεσιαν Στοππινγ−Ρυλε φορ Σοφτωαρε Ρελια− βιλιτψ, Προχεεδινγσ οφ τηε 5τη Ωορλδ Μεετινγ οφ ΙΣΒΑ, Σατελλιτε Μεετινγ το ΙΣΙ−1997, Ιστανβυλ, Τυρκεψ, Αυγυστ 1997. 30. Μ. Σαηινογλυ, ϑ. ϑ. ∆εελψ, ανδ Σ. Χαπαρ, Στοχηαστιχ Βαψεσ Μεασυρεσ το Χοµπαρε Φορεχαστ Αχχυραχψ οφ Σοφτωαρε−Ρελιαβιλιτψ Μοδελσ, ΙΕΕΕ Τρανσ. Ρελιαβ., ππ. 92–97 (Μαρχη 2001). 31. Ν. ϑοηνσον, Σ. Κοτζ, ανδ Ν. Βαλακρισηναν, Χοντινυουσ Υνιϖαριατε ∆ιστριβυτιονσ, 2νδ εδ., ςολ. 2, Ωιλεψ, Νεω Ψορκ, 1995. 32. Ε. Χινλαρ, Ιντροδυχτιον το Στοχηαστιχ Προχεσσεσ, Πρεντιχε−Ηαλλ, Ενγλεωοοδ Χλιφφσ, Νϑ, 1975. 33. Μ. Σαηινογλυ, Τηε Λιµιτ οφ Συµ οφ Μαρκοϖ Βερνουλλι ςαριαβλεσ ιν Σψστεµ Ρελιαβιλιτψ Εϖαλυατιον, ΙΕΕΕ Τρανσ. Ρελιαβ., 39, 46–50 (Απριλ 1990). 34. Κ. Αβδυλλαη, ϑ. Κιµβλε, ανδ Λ. Ωηιτε, Χορρεχτινγ φορ Υνρελιαβλε Ρεγρεσσιον Ιντεγρα− τιον Τεστινγ, Προχεεδινγσ οφ τηε Ιντερνατιοναλ Χονφερενχε ον Σοφτωαρε Μαιντενανχε, Νιχε, Φρανχε, Οχτοβερ 1995, ππ. 232–241. 35. Α. Ηαϕϕαρ, Τ. Χηεν, ανδ Α. ϖον Μαψρηαυσερ, Ον Στατιστιχαλ Βεηαϖιορ οφ Βρανχη Χοϖ− εραγε ιν Τεστινγ Βεηαϖιοραλ ςΗ∆Λ Μοδελσ, πρεσεντεδ ατ τηε ΙΕΕΕ Ηιγη Λεϖελ ∆εσιγν ςαλιδατιον ανδ Τεστ Ωορκσηοπ, Βερκελεψ, ΧΑ, Νοϖεµβερ 2000. 36. Π. Ρανδολπη ανδ Μ. Σαηινογλυ, Α Στοππινγ−Ρυλε φορ α Χοµπουνδ Ποισσον Ρανδοµ ςαριαβλε, Αππλ. Στοχηαστιχ Μοδελσ ∆ατα Αναλ., 11, 135–143 (ϑυνε 1995). 37. Μ. Σαηινογλυ ανδ Α. Αλ−Κηαλιδι, Α Στοππινγ−Ρυλε φορ Τιµε−∆οµαιν Σοφτωαρε Τεστινγ, Προχεεδινγσ οφ τηε 10τη Ιντερνατιοναλ Σψµποσιυµ ον Σοφτωαρε Ρελιαβιλιτψ Ενγινεερινγ (ΙΣΣΡΕ’99), Βοχα Ρατον, ΦΛ, Νοϖεµβερ 1–4, 1999. 38. Μ. Η. ∆εΓροοτ, Οπτιµαλ Στατιστιχαλ ∆εχισιονσ, ΜχΓραω−Ηιλλ, Νεω Ψορκ, 1970. 39. Σ. Σαµυελσ, Σεχρεταρψ Προβλεµσ, ιν Β. Κ. Γηοση ανδ Π. Κ. Σεν (εδσ.), Ηανδβοοκ οφ Σεθυεντιαλ Αναλψσισ, Μαρχελ ∆εκκερ, Νεω Ψορκ, 1991, ππ. 381–405. 40. Α. Ηαϕϕαρ, Τ. Χηεν, Ι. Μυνν, Α. Ανδρεωσ, ανδ Μ. Βϕορκµαν, Στοππινγ Χριτερια Χοµ− παρισον: Τοωαρδσ Ηιγη Θυαλιτψ Βεηαϖιοραλ ςερι⇒χατιον, πρεσεντεδ ατ τηε Ιντερνατιοναλ Σψµποσιυµ ον Θυαλιτψ ιν Ελεχτρονιχ ∆εσιγν, Σαν ϑοσε, ΧΑ, Μαρχη 2001. 41. Ε. Η. Φορµαν ανδ Ν. ∆. Σινγπυρωαλλα, Αν Εµπιριχαλ Στοππινγ Ρυλε φορ ∆εβυγγινγ ανδ Τεστινγ Χοµπυτερ Σοφτωαρε, ϑ. Αµ. Στατ. Ασσοχ., 72, 750–757 (1977). 42. Κ. Μχ∆αιδ ανδ Σ. Π. Ωιλσον, ∆εχιδινγ Ηοω Λονγ το Τεστ Σοφτωαρε, Στατιστιχιαν, 50, 117–134 (2001). 43. Σ. Μ. Ροσσ, Σοφτωαρε Ρελιαβιλιτψ: Τηε Στοππινγ Ρυλε Προβλεµ, ΙΕΕΕ Τρανσ. Σοφτωαρε Ενγ., 11, 1472–1476 (1985). 44. Ν. ∆. Σινγπυρωαλλα, ∆ετερµινινγ αν Οπτιµαλ Τιµε Ιντερϖαλ φορ Τεστινγ ανδ ∆εβυγγινγ Σοφτωαρε, ΙΕΕΕ Τρανσ. Σοφτωαρε Ενγ., 17, 313–319 (1991). 45. Μ. Ηιχκσ, Α Στοππινγ Ρυλε Τοολ φορ Σοφτωαρε Τεστινγ, Μ.Σ. τηεσισ, ∆επαρτµεντ οφ Χοµπυτερ ανδ Ινφορµατιον Σχιενχε, Τροψ Υνιϖερσιτψ, Μοντγοµερψ, ΑΛ, ∆εχεµβερ 2000. 46. Γ. Γ. Ρουσσασ, Α Φιρστ Χουρσε ιν Ματηεµατιχαλ Στατιστιχσ, Αδδισον−Ωεσλεψ, Ρεαδινγ, ΜΑ, 1973, π. 253. 47. Τ. Γ. Πηαµ ανδ Ν. Τυρκκαν, Βαψεσ Βινοµιαλ Σαµπλινγ βψ Αττριβυτεσ ωιτη α Γενεραλι− ζεδ−Βετα Πριορ ∆ιστριβυτιον, ΙΕΕΕ Τρανσ. Ρελιαβ., 41(1), 310–316 (1992). 48. Σ. Ρ. ∆αλλαλ ανδ Χ. Λ. Μαλλοωσ, Ωηεν Σηουλδ Ονε Στοπ Τεστινγ Σοφτωαρε, ϑ. Αµ. Στατ. Ασσοχ., 83, 872–679 (1988).

228

ΣΤΟΠΠΙΝΓ ΡΥΛΕΣ ΙΝ ΣΟΦΤΩΑΡΕ ΤΕΣΤΙΝΓ

49. Ν. ∆. Σινγπυρωαλλα ανδ Σ. Π. Ωιλσον, Στατιστιχαλ Μετηοδσ ιν Σοφτωαρε Ενγινεερινγ, Σπρινγερ−ςερλαγ, Νεω Ψορκ, 1999. 50. Ω. Νοτζ, περσοναλ χοµµυνιχατιον, ∆επαρτµεντ οφ Στατιστιχσ, Οηιο Στατε Υνιϖερσιτψ, Χολυµβυσ, ΟΗ, Αυγυστ 2002. 51. Μ. Σαηινογλυ ανδ Σ. Γλοϖερ, Εχονοµιχ Αναλψσισ οφ α Στοππινγ Ρυλε ιν Βρανχη Χοϖ− εραγε Τεστινγ, Προχεεδινγσ οφ τηε 3ρδ Ιντερνατιοναλ Σψµποσιυµ ον Θυαλιτψ Ελεχτρονιχ ∆εσιγν, Σαν ϑοσε, ΧΑ, Μαρχη 2002, ππ. 341–346. 52. ∆. Ανδερσον, ∆. ϑ. Σωεενεψ, ανδ Τ. Α. Ωιλλιαµσ, Αν Ιντροδυχτιον το Μαναγεµεντ Σχι− ενχε: Θυαντιτατιϖε Αππροαχηεσ το ∆εχισιον Μακινγ, 10τη εδ., Τηοµσον−Σουτη Ωεστ− ερν, Μασον, ΟΗ, 2002, ππ. 735–743. 53. Κ. Σ. Τριϖεδι, Προβαβιλιτψ ανδ Στατιστιχσ ωιτη Ρελιαβιλιτψ, Θυευινγ ανδ Χοµπυτερ Σχι− ενχε Αππλιχατιονσ, 2νδ εδ., Ωιλεψ, Ηοβοκεν, Νϑ, 2002. 54. Σ. Γοκηαλε ανδ Κ. Τριϖεδι, Λογ−Λογιστιχ Σοφτωαρε Ρελιαβιλιτψ Γροωτη Μοδελ, Προ− χεεδινγσ οφ τηε 3ρδ ΙΕΕΕ Ιντερνατιοναλ Ηιγη Ασσυρανχε Σψστεµσ Ενγινεερινγ Σψµπο− σιυµ (ΗΑΣΕ ’98), Ωασηινγτον, ∆Χ, Νοϖεµβερ 1998, ππ. 34–41. 55. Α. Γοελ, Σοφτωαρε Ρελιαβιλιτψ Μοδελσ: Ασσυµπτιονσ, Λιµιτατιονσ, ανδ Αππλιχαβιλιτψ, Σοφτωαρε Ενγ., 11(12), 1411–1423 (∆εχεµβερ 1985). 56. ϑ. Μυσα, Α Τηεορψ οφ Σοφτωαρε Ρελιαβιλιτψ ανδ Ιτσ Αππλιχατιον, Σοφτωαρε Ενγ., 1(3), 312–327 (1975). 57. ∆. Μιλλσ, Ον τηε Στατιστιχαλ ςαλιδατιον οφ Χοµπυτερ Προγραµσ, Ρεπορτ ΦΣΧ−72−6015, ΙΒΜ Φεδεραλ Σψστεµσ ∆ιϖισιον, Γαιτηερσβυργ, Μ∆, 1972. 58. Ω. Ηοωδεν, Χον⇒δενχε−Βασεδ Ρελιαβιλιτψ ανδ Στατιστιχαλ Χοϖεραγε Εστιµατιον, Προ− χεεδινγσ οφ τηε Ιντερνατιοναλ Σψµποσιυµ ον Σοφτωαρε Ρελιαβιλιτψ Ενγινεερινγ, 1997, ππ. 283–291. 59. Ω. Ηοωδεν, Σψστεµσ Τεστινγ ανδ Στατιστιχαλ Τεστ ∆ατα Χοϖεραγε, Προχεεδινγσ οφ ΧΟΜΠΣΑΧ, ΙΕΕΕ Χοµπυτερ Σοχιετψ Πρεσσ, Λοσ Αλαµιτοσ, ΧΑ, Αυγυστ 1997, ππ. 500–505. 60. Σ. Χηεν ανδ Σ. Μιλλσ, Α Βιναρψ Μαρκοϖ Προχεσσ Μοδελ φορ Ρανδοµ Τεστινγ, Τρανσ. Σοφτωαρε Ενγ., 22(3), 218–223 (1996). 61. Τ. Χηεν, Ι. Μυνν, Α. ϖον Μαψρηαυσερ, ανδ Α. Ηαϕϕαρ, Εφ⇒χιεντ ςερι⇒χατιον οφ Βεηαϖ− ιοραλ Μοδελσ Υσινγ τηε Σεθυεντιαλ Σαµπλινγ Τεχηνιθυε, πρεσεντεδ ατ τηε Σψµποσιυµ ον ςερψ Λαργε Σχαλε Ιντεγρατιον, Әαο Παυλο, Βραζιλ, 1999. 62. Ε. Ε. Λεωισ, Ιντροδυχτιον το Ρελιαβιλιτψ Ενγινεερινγ, 2νδ εδ., Ωιλεψ, Νεω Ψορκ, 1996. 63. Α. Ηαϕϕαρ ανδ Τ. Χηεν, Α Νεω Στοππινγ−Ρυλε φορ Βεηαϖιοραλ Μοδελ ςερι⇒χατιον Βασεδ ον Στατιστιχαλ Βαψεσιαν Τεχηνιθυε, ΙΕΕΕ−ΤΧΑ∆, Χολοραδο Στατε Υνιϖερσιτψ, Φορτ Χολλινσ, ΧΟ 80526, 2001. 64. Α. Ηαϕϕαρ ανδ Τ. Χηεν, Ιµπροϖινγ τηε Εφ⇒χιενχψ ανδ Θυαλιτψ οφ Σιµυλατιον−Βασεδ Βεηαϖιοραλ Μοδελ ςερι⇒χατιον Υσινγ ∆ψναµιχ Βαψεσιαν Χριτερια, Προχεεδινγσ οφ τηε 3ρδ Ιντερνατιοναλ Σψµποσιυµ ον Θυαλιτψ Ελεχτρονιχ ∆εσιγν, Σαν ϑοσε, ΧΑ, Μαρχη 2002, ππ. 304–309. 65. Τ. Χυµµινγσ, Α Νεω Σχιεντι⇒χ Βυσινεσσ Ενγινεερινγ Παραδιγµ φορ Σοφτωαρε Αγεν− χιεσ, Μ. Σ. τηεσισ, Τροψ Υνιϖερσιτψ, Μοντγοµερψ, ΑΛ, 2000. 66. Ω. Β. ϑονε ανδ Σ. Ρ. ∆ασ, Αν Ιµπροϖεδ Αναλψσισ ον Ρανδοµ Τεστ Λενγτη Εστιµατιον, Ιντ. ϑ. Χοµπυτ. Αιδεδ ςΛΣΙ ∆εσ., 3, 393–406 (1991).

ΕΞΕΡΧΙΣΕΣ

229

67. Π. Νανδακυµαρ, Σ. Μ. ∆αταρ, ανδ Ρ. Ακελλα, Μοδελσ φορ Μεασυρινγ ανδ Αχχουντινγ φορ Χοστ οφ Χονφορµανχε Θυαλιτψ, Μαναγε. Σχι., 39, 1–16 (1993). 68. Α. Ν. Σηιρψαψεϖ, Οπτιµαλ Στοππινγ Ρυλεσ, Σπρινγερ−ςερλαγ, Νεω Ψορκ, 1978. 69. Π. Η. Ρανδολπη, Οπτιµαλ Στοππινγ Ρυλεσ φορ Μυλτινοµιαλ Οβσερϖατιονσ, Μετρικα, 14, 48–61 (1969). 70. Η. Ροββινσ, Οπτιµαλ Στοππινγ, Αµερ. Ματη. Μον., 77, 333–343 (1963). 71. ϑ. Α. Ψαηοϖ, Ον Οπτιµαλ Στοππινγ, Ανν. Ματη. Στατ., 34, 30–35 (1966). 72. ϑ. ∆. Μυσα ανδ Κ. Οκυµοτο, Α Λογαριτηµιχ Ποισσον Εξεχυτιον Τιµε Μοδελ φορ Σοφτωαρε Ρελιαβιλιτψ Μεασυρεµεντ, Προχεεδινγσ οφ τηε 7τη Ιντερνατιοναλ Χονφερενχε ον Σοφτωαρε Ενγινεερινγ, 1984, ππ. 230–238. 73. Γ. Βεχκερ ανδ Ι. Χαµαρινοπουλοσ, Α Βαψεσιαν Μετηοδ φορ τηε Φαιλυρε Ρατε οφ α Ποσσιβλψ Χορρεχτ Προγραµ, Τρανσ. Σοφτωαρε Ενγ., 16, 1307–1316 (1970). 74. ϑ. Σ. Μαριτζ, Εµπιριχαλ Βαψεσ Μετηοδσ, Μετηυεν, Λονδον, 1970. 75. Σ. ϑ. Πρεσσ, Βαψεσιαν Στατιστιχσ: Πρινχιπλεσ, Μοδελσ ανδ Αππλιχατιονσ, Ωιλεψ, Νεω Ψορκ, 1989. 76. ϑ. ∆. Μυσα, Α. Ιαννινο, ανδ Κ. Οκυµοτο, Σοφτωαρε Ρελιαβιλιτψ: Μεασυρεµεντ, Πρεδιχ− τιον, Αππλιχατιον, ΜχΓραω−Ηιλλ Ιντερνατιοναλ, Σινγαπορε, 1987.

ΕΞΕΡΧΙΣΕΣ Το υσε τηε αππλιχατιονσ ανδ δατα ⇒λεσ, χλιχκ ον “ΜΕΣΑΤ Στοππινγ−Ρυλε” ιν ΤΩΧ− Σολϖερ ον τηε Χ∆−ΡΟΜ. 4.1 Χλιχκινγ ον “Ιντερναλ ∆ατα,” υτιλιζε τηε δισχρετε εφφορτ−βασεδ (νοντιµε) χηιπ δεσιγν τεστ δατα (∆Ρ1.τξτ, ∆Ρ2.τξτ, ∆Ρ3.τξτ, ∆Ρ4.τξτ, ∆Ρ5.τξτ) ανδ βυσινεσσ δατα (∆Ρ6.τξτ). Αππλψ ΜΕΣΑΤ−1 το ⇒νδ στοππινγ ρυλεσ ωηερε a = ∃1000, b = ∃200, ανδ c = ∃100 βψ εµπλοψινγ σινγλε− ανδ µιξεδ στρατεγψ τεστινγ. Χηοοσε 70% φορ ψουρ µινιµαλ χον⇒δενχε λεϖελ. Ασσυµε τηατ ψου κνοω τηε ενδ οφ τηε δατα σετ ιν τερµσ οφ ηοω µανψ τοταλ τεστ χασεσ εξιστ. Ψου χαννοτ στοπ υνλεσσ ψου ηαϖε α προ⇒τ. 4.2 Ρεπεατ Εξερχισε 4.1 βυτ ασσυµε τηατ ονε δοεσ νοτ κνοω τηε τοταλ νυµβερ οφ τεστ χασεσ βεφορε σταρτινγ. ∆εχιδε ον α µινιµαλ νυµβερ οφ τεστ χασεσ ψου ωιση το τρψ ανδ ον αν ινιτιαλ βυδγετ φορ τεστινγ βεφορε ψου ρελεασε ψουρ προδυχτ φολλοωινγ χψβερ−τεστινγ ορ δεχιδε τηατ τηε προδυχτ ισ οκαψ φολλοωινγ σεχυριτψ τεστινγ. 4.3 Ρεπεατ Εξερχισε 4.1 ον ∆Ρ7.τξτ, ∆Ρ8.τξτ, ανδ ∆Ρ9.τξτ ιν “Ιντερναλ ∆ατα.” 4.4 (α) Χλιχκινγ ον “Ιντερναλ ∆ατα,” ανδ υτιλιζινγ τηε χοντινυουσ τιµε−βασεδ ΡΟΜΕ λαβ δατα, τ1.τξτ, τ2.τξτ, τ3.τξτ, τ4.τξτ, τ5.τξτ, τ6.τξτ, ανδ τ7.τξτ, αππλψ ΜΕΣΑΤ−2 το ⇒νδ α στοππινγ ρυλε ωηερε a = ∃600, b = ∃200, ανδ c = ∃1. (β) Χοµπαρε τηε ρεσυλτσ οφ παρτ (α) ωιτη ρεσυλτσ υσινγ τηε σιµπλιστιχ Ηοωδεν µετηοδ.

230

ΣΤΟΠΠΙΝΓ ΡΥΛΕΣ ΙΝ ΣΟΦΤΩΑΡΕ ΤΕΣΤΙΝΓ

4.5 Υσινγ ΜΕΣΑΤ−1φορ τηε δατα σετ ∆Ρ1 το ∆Ρ5, χονδυχτ α σινγλε−στρατεγψ στοππινγ−ρυλε στυδψ, ανδ υσινγ a = ∃700, b = ∃200, c = ∃100, σηοω ωηψ ιτ ισ χοστ−εφ⇒χιεντ “νοτ το εξεχυτε εξηαυστιϖε τεστινγ αλλ τηε ωαψ το τηε ενδ.” Ωηατ αρε τηε οπτιµαλ a >, b <, ανδ c < ωηεν τηε οτηερ τωο αρε κεπτ χονσταντ ωιτη τηε χοστ ϖαλυεσ γιϖεν αβοϖε? Ψου νεεδ το πριντ ουτ ονε−παγε γραπηιχαλ ανδ τωο−παγε µαξιµυµ αναλψτιχαλ ρεσυλτσ ανδ α ονε− παγε χονχλυσιον στατινγ ωηψ ιτ ισ χοστ−εφφεχτιϖε. 4.6 Ρεπεατ 4.5 υσινγ ΜΕΣΑΤ−2 φορ τηε χοντινυουσ δατα σετ τ1 το τ7.

Μψστιχ ισ ωηατ τηεψ χαλλ µε. Ηατε ισ µψ ονλψ ενεµψ. Ι ηαρβορ α γρυδγε αγαινστ νονε. Το µε τηε “ωηολε ωιδε ωορλδ” ισ ονε. —Ψυνυσ Εµρε, τηε λεγενδαρψ µψστιχ φολκ ποετ (1238–1320)

5 ΑςΑΙΛΑΒΙΛΙΤΨ ΜΟ∆ΕΛΙΝΓ ΥΣΙΝΓ ΤΗΕ ΣΑΗΙΝΟΓΛΥ–ΛΙΒΒΨ ΠΡΟΒΑΒΙΛΙΤΨ ∆ΙΣΤΡΙΒΥΤΙΟΝ ΦΥΝΧΤΙΟΝ Νυτσηελλ 5.1 Ωιτη τηε αδϖανχεσ ιν περϖασιϖε χοµπυτινγ ανδ ωορλδωιδε νετωορκσ, θυαντιτατιϖε µεασυρεµεντ οφ χοµπονεντ ανδ νετωορκ αϖαιλαβιλιτψ ηασ βεχοµε α χηαλλενγινγ τασκ. Ιτ ισ ωιδελψ ρεχογνιζεδ τηατ τηε φορχεδ ουταγε ρατιο (ΦΟΡ) οφ αν εµβεδδεδ ηαρδωαρε χοµπονεντ ισ δε⇒νεδ ασ τηε φαιλυρε ρατε διϖιδεδ βψ τηε συµ οφ τηε φαιλυρε ανδ ρεπαιρ ρατεσ; ορ ΦΟΡ ισ τηε νονοπερατινγ τιµε διϖιδεδ βψ τηε τοταλ εξποσυρε τιµε. Ηοωεϖερ, ιτ ισ αλσο ωελλ δοχυµεντεδ τηατ ΦΟΡ ισ νοτ α χονσταντ ρανδοµ ϖαριαβλε. Τηε προβαβιλιτψ δενσιτψ φυνχτιον (π.δ.φ.) οφ ΦΟΡ ισ τηε Σαηινογλυ–Λιββψ (ΣΛ) προβαβιλιτψ µοδελ, υσεδ ιφ χερταιν υνδερλψινγ ασσυµπτιονσ ηολδ. Τηε ΣΛ π.δ.φ. ισ α γενεραλιζεδ τηρεε−παραµετερ βετα διστριβυτιον (Γ3Β). Τηε φαιλυρε ανδ ρεπαιρ ρατεσ αρε τακεν το βε τηε γενεραλιζεδ γαµµα ϖαριαβλεσ ωηερε τηε χορρεσπονδινγ σηαπε ανδ σχαλε παραµετερσ, ρεσπεχτιϖελψ, αρε νοτ εθυαλ. Τηε ΣΛ µοδελ ισ σηοων το δεφαυλτ το τηατ οφ α στανδαρδ τωο−παραµετερ βετα π.δ.φ. ωηεν τηε σηαπε παραµετερσ αρε ιδεντιχαλ. ∆εχισιον−τηεορετιχ σολυτιονσ αρε σουγητ το χοµπυτε σµαλλ−σαµπλε Βαψεσιαν εστιµατορσ βψ υσινγ ινφορµατιϖε ανδ νονινφορµατιϖε πριορσ φορ τηε φαιλυρε ανδ ρεπαιρ ρατεσ ωιτη ρεσπεχτ το τηρεε δε⇒νιτιονσ οφ λοσσ φυνχτιονσ. Τηεσε εστιµατορσ φορ χοµπονεντ αϖαιλαβιλιτψ αρε τηεν προπαγατεδ το χαλχυλατε τηε νετωορκ εξπεχτεδ σουρχε–ταργετ αϖαιλαβιλιτψ φορ φουρ φυνδαµενταλ σιµπλε νετωορκσ. Αππλιχατιον το χοµπλεξ νετωορκσ φολλοωσ ιν Χηαπτερ 6. Τηε µετηοδ προποσεδ ισ συπεριορ το εστι− µατινγ αϖαιλαβιλιτψ βψ διϖιδινγ τοταλ υπτιµε βψ εξποσυρε τιµε. Εξαµπλεσ σηοω τηε

Τρυστωορτηψ Χοµπυτινγ: Αναλψτιχαλ ανδ Θυαντιτατιϖε Ενγινεερινγ Εϖαλυατιον, Βψ Μ. Σαηινογλυ Χοπψριγητ  2007 ϑοην Ωιλεψ & Σονσ, Ινχ.

231

232

ΣΑΗΙΝΟΓΛΥ–ΛΙΒΒΨ ΠΡΟΒΑΒΙΛΙΤΨ ∆ΙΣΤΡΙΒΥΤΙΟΝ ΦΥΝΧΤΙΟΝ

ϖαλιδιτψ οφ τηισ µετηοδ το αϖοιδ οϖερ− ορ υνδερεστιµατιον οφ αϖαιλαβιλιτψ ωηεν ονλψ σµαλλ σαµπλεσ ορ ινσυφ⇒χιεντ δατα εξιστ φορ τηε ηιστοριχαλ λιφε χψχλεσ οφ χοµπονεντσ. 5.1 ΝΟΜΕΝΧΛΑΤΥΡΕ Γ3Β ΣΛ ΦΟΡ R Q π.δ.φ. χ.δ.φ. µ.γ.φ. ΜΛΕ a xT b yT c ξ d η qˆ q∗ q ∗∗ ∗∗ qλ−σ

E(q) qM rˆ r∗

γενεραλιζεδ τηρεε−παραµετερ βετα ρανδοµ ϖαριαβλε Σαηινογλυ–Λιββψ (σψνονψµουσ ωιτη Γ3Β ρανδοµ ϖαριαβλε) φορχεδ ουταγε ρατε ορ υναϖαιλαβιλιτψ ινδεξ οφ α ηαρδωαρε ορ σοφτωαρε χοµπονεντ αϖαιλαβιλιτψ−τηε προβαβιλιτψ τηατ αν ιτεµ ισ υπ (οπερατινγ) ατ ανψ ποιντ ιν τιµε, υναϖαιλαβιλιτψ−τηε ρανδοµ ϖαριαβλε ΦΟΡ, τηε προβαβιλιτψ τηατ αν ιτεµ ισ ινοπερατιϖε ατ ανψ ποιντ ιν τιµε ωηερε q = 1 − r προβαβιλιτψ δενσιτψ φυνχτιον οφ α γιϖεν ρανδοµ ϖαριαβλε χυµυλατιϖε προβαβιλιτψ δενσιτψ φυνχτιον οφ α γιϖεν ρανδοµ ϖαριαβλε µοµεντ−γενερατινγ φυνχτιον µαξιµυµ λικελιηοοδ εστιµατε νυµβερ οφ οχχυρρενχεσ οφ οπερατιϖε (υπ) τιµεσ σαµπλεδ τοταλ σαµπλεδ υπ τιµε φορ a οχχυρρενχεσ νυµβερ οφ οχχυρρενχεσ οφ δεβυγγινγ (δοων) τιµεσ σαµπλεδ τοταλ σαµπλεδ δεβυγγινγ (δοων) τιµεσ φορ b οχχυρρενχεσ οφ δεβυγγινγ αχτιϖιτψ σηαπε παραµετερ οφ γαµµα πριορ φορ χοµπονεντ φαιλυρε ρατε λ ινϖερσε σχαλε παραµετερ οφ γαµµα πριορ φορ χοµπονεντ φαιλυρε ρατε λ σηαπε παραµετερ οφ Γαµµα πριορ φορ χοµπονεντ ρεχοϖερψ ρατε μ ινϖερσε σχαλε παραµετερ οφ γαµµα πριορ φορ χοµπονεντ ρεχοϖερψ ρατε μ εστιµατορ οφ ρανδοµ ϖαριαβλε q υσινγ α σπεχι⇒εδ εστιµατιον µετηοδ εξπεχτεδ υναϖαιλαβιλιτψ (= ΦΟΡ) εστιµατορ ωιτη ινφορµατιϖε πριορ υσινγ ωειγητεδ σθυαρεδ−ερρορ λοσσ εξπεχτεδ υναϖαιλαβιλιτψ (= ΦΟΡ) εστιµατορ ωιτη νονινφορµατιϖε πριορ ωηεν ξ = η = 0, c = d = 1 υσινγ ωειγητεδ σθυαρεδ−ερρορ λοσσ εξπεχτεδ υναϖαιλαβιλιτψ (= ΦΟΡ) λαργε−σαµπλε ασψµπτοτιχ εστιµατορ οφ q ∗∗ ιφ a, b → ∞, ωηερε a/b ≈ 1 εξπεχτεδ υναϖαιλαβιλιτψ (= ΦΟΡ) εστιµατορ ωιτη ινφορµατιϖε πριορ υσινγ σθυαρεδ−ερρορ λοσσ µεδιαν ορ Βαψεσ αϖαιλαβιλιτψ εστιµατορ ωιτη ινφορµατιϖε πριορ φορ αν αβσολυτε−ερρορ λοσσ φυνχτιον εστιµατορ οφ ρανδοµ ϖαριαβλε r(= 1 − q) υσινγ α σπεχι⇒εδ εστιµατιον µετηοδ εξπεχτεδ αϖαιλαβιλιτψ (= 1 − ΦΟΡ) εστιµατορ ωιτη ινφορµατιϖε πριορ υσινγ ωειγητεδ σθυαρεδ−ερρορ λοσσ

ΙΝΤΡΟ∆ΥΧΤΙΟΝ ΑΝ∆ ΜΟΤΙςΑΤΙΟΝ

r ∗∗ ∗∗ rλ−σ

E(r) rM

233

εξπεχτεδ αϖαιλαβιλιτψ (= 1 − ΦΟΡ) εστιµατορ ωιτη νονινφορµατιϖε πριορ ωηεν ξ = η = 0, c = d = 1 υσινγ ωειγητεδ σθυαρεδ−ερρορ λοσσ εξπεχτεδ αϖαιλαβιλιτψ (= 1 − ΦΟΡ) λαργε−σαµπλε ασψµπτοτιχ εστιµατορ οφ r ∗∗ ιφ a, b → ∞, ωηερε a/b ≈ 1 εξπεχτεδ αϖαιλαβιλιτψ (= 1 − ΦΟΡ) εστιµατορ ωιτη ινφορµατιϖε πριορ υσινγ σθυαρεδ−ερρορ λοσσ φυνχτιον µεδιαν ορ Βαψεσ αϖαιλαβιλιτψ εστιµατορ ωιτη ινφορµατιϖε πριορ φορ αν αβσολυτε−ερρορ λοσσ φυνχτιον

5.2 ΙΝΤΡΟ∆ΥΧΤΙΟΝ ΑΝ∆ ΜΟΤΙςΑΤΙΟΝ Ιν χοντραστ το εαρλιερ ρεσεαρχη χονδυχτεδ βψ Σαηινογλυ ανδ οτηερσ ον τηε ρελι− αβιλιτψ οφ σοφτωαρε [1–4] ανδ τεστινγ ηαρδωαρε [5–8], αλσο χιτεδ ιν [9], ιν τηισ χηαπτερ ωε χονχεντρατε ον τωο µαιν ασπεχτσ: τηε τηεορψ ανδ αππλιχατιον οφ τηε Σαηινογλυ–Λιββψ (ΣΛ) π.δ.φ. το ηαρδωαρε χοµπονεντσ ανδ νετωορκσ. Ιτ ισ ασσυµεδ τηατ εµβεδδεδ ηαρδωαρε ελεµεντσ (ορ ⇒ρµωαρε) αρε χοµπονεντσ ιν α χοµπυτερ νετωορκ τηατ ηαϖε τηειρ φαιλυρε ανδ ρεπαιρ ρατεσ διστριβυτεδ ινδεπενδεντλψ ωιτη τωο−παραµετερ γενεραλιζεδ Γαµµα(αi ,βi ) π.δ.φ.’σ. Τηε προβαβιλιτψ δενσιτψ φυνχ− τιον οφ ΦΟΡ = λ/(λ + μ) [ωηερε λ ισ τηε φαιλυρε ρατε (τηε νυµβερ οφ φαιλυρεσ/υνιτ τιµε) ανδ μ ισ τηε ρεπαιρ ρατε (νυµβερ οφ ρεπαιρσ/υνιτ τιµε)], τηε ρατιο οφ λ ∼ πριορ Γαµµα(α1 ,β1 ) το τηε συµ οφ λ ∼ πριορ Γαµµα(α1 ,β1 ) ανδ μ ∼ πριορ Γαµµα(α2 ,β2 ), α1 = α2 , β1 = β2 , ωασ οριγιναλλψ δοχυµεντεδ βψ Σαηινογλυ ανδ Λιββψ ιν τηειρ ρεσπεχτιϖε πυβλισηεδ Πη.∆. δισσερτατιονσ [10,11]. Ιφ τηε σαµπλεδ ηισ− τοριχαλ υπ ανδ δοων τιµεσ xi ανδ yi , ρεσπεχτιϖελψ, αρε διστριβυτεδ εξπονεντιαλλψ, τηε ρεχιπροχαλσ οφ τηε µεαν υπ ορ δοων τιµεσ λ ανδ μ ηαϖε πριορ διστριβυτιονσ οφ γαµµα π.δ.φ. ον γρουνδσ οφ µατηεµατιχαλ τραχταβιλιτψ, χονϕυγαχψ προπερτψ, ανδ ϖερσατιλιτψ ιν ρεπρεσεντινγ ορ αππροξιµατινγ α ωιδε ρανγε οφ διστριβυτιονσ. Φυρτηερ, αππλψινγ Βαψεσιαν ινφερενχε τεχηνιθυεσ, α ποστεριορι διστριβυτιονσ οφ τηεσε ρατεσ αρε οβταινεδ, φολλοωινγ τηε µεργινγ οφ πριορ ινφορµατιον ωιτη τηε σψστεµ’σ ⇒ελδ δατα σαµπλεδ. Συβσεθυεντ τρεατµεντ οφ τηε σαµε προβλεµ χαν βε φουνδ ιν Σαηινογλυ ετ αλ. [10,12], ανδ Λιββψ ανδ Νοϖιχκ [13], ϑοηνσον ανδ Κοτζ [14,15], ανδ Πηαµ−Για ανδ ∆υοανγ [16] ιν τηε φορµ Γ3Β(α,β,L), ωηερε L = β1 /β2 , α = a + c, β = b + d. Τηισ εστιµατιον προβλεµ ωασ πρεσεντεδ ιν α χλασσιχαλ ρεφερενχε βοοκ ον στατιστιχαλ διστριβυτιονσ βψ ϑοηνσον ανδ Κοτζ, ιν ωηιχη τηε ΣΛ (ορ Γ3Β) διδ νοτ οχχυρ ιν τηε 1970 εδιτιον, ωηιχη χονταινεδ ονλψ τηε δεφαυλτ χασε οφ ΣΛ: τηε βετα µοδελ [14, π. 182]. Τηε 1995 εδιτιον µαδε α ρεφερενχε το τηε σαιδ π.δ.φ. ιν τηε φορµ οφ α Γ3Β [15, π. 251]. Τηε Γ3Β ορ Σαηινογλυ–Λιββψ π.δ.φ. ⇒ρστ αππεαρεδ ιν 1981 ιν τηε φορµ οφ τωο σεπαρατε Πη.∆. δισσερτατιονσ δεριϖεδ ινδεπενδεντλψ [10,11]. Τηε προβαβιλιτψ διστριβυτιον φυνχτιον οφ αϖαιλαβιλιτψ φορ α µυλτιχοµπονεντ νετ− ωορκ οφ ανψ χοµπλεξιτψ µορε τηαν αλλ σεριεσ ορ παραλλελ ισ σιµπλψ ινφεασιβλε το ατταιν ιν α χλοσεδ−φορµ σολυτιον. Τηερεφορε, βασεδ ον ινδεπενδεντ ασσυµπτιον οφ χοµπονεντσ, α φυνχτιον οφ α προδυχτ οφ αϖαιλαβιλιτιεσ ισ νεχεσσαρψ το εστιµατε τηε δεσιρεδ νετωορκ αϖαιλαβιλιτψ ινδεξ (Rσψσ ). Νυµεριχαλ εξαµπλεσ ον χοµπονεντσ ανδ

234

ΣΑΗΙΝΟΓΛΥ–ΛΙΒΒΨ ΠΡΟΒΑΒΙΛΙΤΨ ∆ΙΣΤΡΙΒΥΤΙΟΝ ΦΥΝΧΤΙΟΝ

ϖαριουσ σαµπλε νετωορκ χον⇒γυρατιονσ αρε γιϖεν ιν συβσεθυεντ σεχτιονσ. Τηε γοαλ ισ το χαλχυλατε τηε εξπεχτεδ χοµπονεντ ανδ νετωορκ αϖαιλαβιλιτψ αχχυρατελψ δεσπιτε τηε λαχκ οφ λαργε−σαµπλε ηιστοριχαλ δατα. Τηισ ωιλλ βε αχχοµπλισηεδ βψ χαλχυλατινγ χοµπονεντ αϖαιλαβιλιτιεσ (ι.ε., Βαψεσιαν εστιµατορσ) υσινγ σελεχτεδ ινφορµατιϖε ανδ νονινφορµατιϖε πριορσ ανδ υσινγ τηρεε διφφερεντ λοσσ (ορ πεναλτψ) φυνχτιονσ. 5.3 ΣΑΗΙΝΟΓΛΥ–ΛΙΒΒΨ ΠΡΟΒΑΒΙΛΙΤΨ ΜΟ∆ΕΛ ΦΟΡΜΥΛΑΤΙΟΝ Ιν υσινγ τηε διστριβυτιον φυνχτιον τεχηνιθυε, τηε π.δ.φ. οφ ΦΟΡ = q = λ/(λ + μ) ισ οβταινεδ ⇒ρστ βψ δεριϖινγ ιτσ χ.δ.φ. GQ (q) = P (Q ≤ q) = P (λ/(λ + μ) ≤ q) ανδ τηεν τακινγ ιτσ δεριϖατιϖε το οβταιν gQ (q) ασ ιν εθυατιονσ (5Α.1) το (5Α.18) ιν Αππενδιξ 5Α [10, ππ. 26–32;11;12, π. 1487]: Ŵ(a + b + c + d) (ξ + xT )a+c (η + yT )b+d (1 − q)b+d−1 q a+c−1 Ŵ(a + c)Ŵ(b + d) [η + yT + q(ξ + xT − η − yT )]a+b+c+d 

α+β 0 1 Ŵ(α + β) β−1 α−1 α β (1 − q) q = β1 β2 Ŵ(α)Ŵ(β) β2 + q(β1 − β2 )

α+β β2 β−1 α−1 = B(α, β)(1 − q) q Lα β2 + qβ2 (L − 1)

α+β 1 −1 α−1 = B(α, β)(1 − q)β q Lα (1) 1 + q(L − 1)

gQ (q) =

ωηερε B(α, β) =

Ŵ(α + β) Ŵ(α)Ŵ(β)

(2)

Νοτε τηατ gQ (q) ισ τηε π.δ.φ. οφ τηε ρανδοµ ϖαριαβλε Q = ΦΟΡ, ωηερε α = a + c, β = b + d, β1 = ξ + xT , β2 = η + yT , ανδ 0 ≤ q ≤ 1. Ιφ L = β1 /β2 = 1 ορ β1 = β2 , τηε χονϖεντιοναλ τωο−παραµετερ βετα π.δ.φ. ισ οβταινεδ. Αν αλτερνατιϖε οριγιναλ δεριϖατιον οφ τηε σαµε π.δ.φ. τερµεδ τηε γενεραλιζεδ µυλτιϖαριατε βετα διστριβυτιον ισ γιϖεν βψ Λιββψ [11, ππ. 272–277]. Τηε εξπρεσ− σιον ιν εθυατιον (2) χαν αλσο βε ρεφορµυλατεδ ιν τερµσ οφ ΣΛ(α = a + c, β = b + d, L = β1 /β2 ) ασ φολλοωσ: gQ (q) =

Lα+c q α+c−1 (1 − q)b+d−1 B(b + d, a + c)[1 − (1 − L)q]a+b+c+d

(3)

ωηερε B(b + d, α + c) =

Ŵ(a + c)Ŵ(b + d) Ŵ(a + b + c + d)

ανδ L =

ξ + xT η + yT

(4)

Νοτε τηατ ιφ L = 1, τηε Σαηινογλυ–Λιββψ π.δ.φ. ρεδυχεσ το α Βετα(α,β) π.δ.φ. Σιµιλαρλψ, ονε οβταινσ τηε π.δ.φ. οφ τηε ρανδοµ ϖαριαβλε R(αϖαιλαβιλιτψ) = 1 − Q,

ΒΑΨΕΣ ΕΣΤΙΜΑΤΟΡΣ ΦΟΡ ΙΝΦΟΡΜΑΤΙςΕ ΠΡΙΟΡΣ ΑΝ∆ ΛΟΣΣ ΦΥΝΧΤΙΟΝΣ

235

ωηιχη βψ ρεπαραµετριζατιον οφ ΣΛ(α,β,L) ιντο ΣΛ(β,α,L−1 ) λεαδσ το τηε φολλοωινγ εξπρεσσιον φορ τηε ρανδοµ ϖαριαβλε r: gR (r) =

Lb+d (1 − r)a+c−1 r b+d−1 B(a + c, b + d)[1 − (1 − L)r]a+b+c+d

(5)

ωηερε B(a + c, b + d) =

Ŵ(a + c)Ŵ(b + d) Ŵ(a + b + c + d)

ανδ L =

η + yT ξ + xT

(6)

∆ενσιτιεσ οφ ΣΛ (ορ Γ3Β) διστριβυτιονσ ηαϖε βεεν χιτεδ [12–14, 16] φορ α ϖαρι− ετψ οφ L ορ λ (αχχορδινγ το τηε νοµενχλατυρε σελεχτεδ) ϖαλυεσ. Φροµ α στριχτλψ µατηεµατιχαλ ποιντ οφ ϖιεω, τηε πρεσενχε οφ τηε παραµετερ L αλλοωσ τηε ΣΛ π.δ.φ. το τακε α ϖαριετψ οφ σηαπεσ οτηερ τηαν τηε στανδαρδ Βετα(α, β) ωηερε L = 1. Φορ εξαµπλε, ωηεν α = β, τηε στανδαρδ Βετα (α, α) ισ σψµµετριχ ωιτη α µεαν ατ 0.5. Ηοωεϖερ, τηε ΣΛ(α, α, L) διστριβυτιον ισ νοτ νεχεσσαριλψ σο, ανδ χαν βε σκεωεδ ποσιτιϖελψ ορ νεγατιϖελψ, δεπενδινγ ον L > 1 ανδ L < 1, ρεσπεχτιϖελψ, βεχαυσε τηε µοδε, σκεωνεσσ, ανδ κυρτοσισ οφ ΣΛ ρανδοµ ϖαριαβλε νοω αλσο δεπενδ ον L. Φορ 0 < L < 1, τηε ΣΛ π.δ.φ. σταψσ βελοω τηε πλοτ οφ τηε χορρεσπονδινγ στανδαρδ βετα νεαρ ζερο βυτ χροσσεσ τηε λαττερ το βεχοµε τηε γρεατερ οφ τηε τωο π.δ.φ.’σ ατ α ποιντ [14, 16] y0 = [1 − Lα1 /(α1 +α2 ) ]−1 − (1 − L)−1

(7)

Τηε ρεϖερσε αχτιον ηολδσ τρυε φορ L > 1 ωιτη τηε σαµε χροσσινγ ποιντ, y0 . Τηε µαϕορ δραωβαχκ το τηε διστριβυτιον ισ τηατ τηερε ισ νο χλοσεδ φορµ φορ ⇒νιτε εστιµατεσ οφ τηε µοµεντσ. Τηε µοµεντ−γενερατινγ φυνχτιον φορ τηε υνιϖαριατε ΣΛ διστριβυτιον ισ αν ιν⇒νιτε σεριεσ [13]. Τηισ ισ ωηψ Βαψεσ εστιµατορσ χαν βε οφ πραχτιχαλ υσε. Τηε δεσιρεδ µοµεντσ ασ ωελλ ασ µεδιαν ανδ θυαρτιλεσ ηαϖε βεεν γενερατεδ τηρουγη τηε υσε οφ α ϑαϖα χοδε βψ τηε χορρεσπονδινγ αυτηορ. Τηεσε ϖαλυεσ αρε λιστεδ ιν τηε εξαµπλε ιν Ταβλε 5.1 ιν Σεχτιον 5.5. Βαψεσ εστιµατορσ ιν χλοσεδ ανδ νυµεριχαλλψ ιντεγραβλε φορµσ αρε δεριϖεδ νεξτ. Α τραπεζοιδαλ φορµυλα ισ υσεδ φορ τηε νυµεριχαλ ιντεγρατιον. 5.4 ΒΑΨΕΣ ΕΣΤΙΜΑΤΟΡΣ ΦΟΡ ςΑΡΙΟΥΣ ΙΝΦΟΡΜΑΤΙςΕ ΠΡΙΟΡΣ ΑΝ∆ ΛΟΣΣ ΦΥΝΧΤΙΟΝΣ ςαριουσ στυδιεσ ηαϖε συβσταντιατεδ τηατ ⇒νιτε µοµεντσ δο νοτ εξιστ ιν χλοσεδ φορµ φορ ΣΛ(α, β, L). Στανδαρδ µετηοδσ λεαδ ονλψ το υνφαϖοραβλε ρεχυρσιϖε σολυτιονσ, α σιτυατιον τηατ ποσεσ α δεαδ ενδ, ασ ιν ρεφερενχεσ 13 ανδ 16. Ηοωεϖερ, αν αλτερ− νατιϖε ωαψ οφ ⇒νδινγ σοµε µεανινγφυλ ανδ χοµπυταβλε Βαψεσ εστιµατεσ φορ τηε υναϖαιλαβιλιτψ ρανδοµ ϖαριαβλε Q ανδ αϖαιλαβιλιτψ R = 1 − Q ισ αχηιεϖεδ υσινγ Βαψεσ εστιµατιον τεχηνιθυεσ ωιτη ϖαριουσ λοσσ φυνχτιονσ [10]. Τωο ποπυλαρλψ υσεδ ϖαριατιονσ οφ σθυαρεδ−ερρορ λοσσ φυνχτιονσ ανδ ονε αβσολυτε−ερρορ λοσσ φυνχτιον αρε εξαµινεδ ασ πεναλτψ φυνχτιονσ.

236

ΣΑΗΙΝΟΓΛΥ–ΛΙΒΒΨ ΠΡΟΒΑΒΙΛΙΤΨ ∆ΙΣΤΡΙΒΥΤΙΟΝ ΦΥΝΧΤΙΟΝ

5.4.1 Σθυαρεδ−Ερρορ Λοσσ Φυνχτιον Λετ qˆ δενοτε αν εστιµατε οφ τηε ρανδοµ ϖαριαβλε δενοτεδ ασ Q ≡ ΦΟΡ. Ηενχε L(q, q), ˆ ωηιχη ισ τηε λοσσ ινχυρρεδ ιν εστιµατινγ τηε τρυε βυτ υνκνοων q, χαν βε δε⇒νεδ ατ ωιλλ. Υσυαλλψ, τηε λοσσ πεναλτψ ινχρεασεσ ασ τηε διφφερενχε βετωεεν q ανδ qˆ ινχρεασεσ. Τηερεφορε, τηε σθυαρεδ−ερρορ λοσσ φυνχτιον, L(q, q) ˆ = (q − q) ˆ 2, ηασ φουνδ φαϖορ ωηερε τηε ρισκ οφ τακινγ α δεχισιον ισ Ρισκ(q, q) ˆ = E[L(q, q)] ˆ = E(q − q) ˆ 2

(8)

Τηισ ωουλδ τηεν βε τηε ϖαριανχε οφ τηε εστιµατορ Q, πεναλιζινγ λαργερ διφφερενχεσ µορε ιν χλασσιχαλ λεαστ−σθυαρεσ τηεορψ, ασ ιν ρεφερενχεσ 17 ανδ 18. Τηε Βαψεσ εστιµατορ οφ q ιν ουρ προβλεµ ωιτη ρεσπεχτ το σθυαρεδ−ερρορ λοσσ φυνχτιον ισ τηε ⇒ρστ µοµεντ ορ εξπεχτεδ ϖαλυε οφ τηε ρανδοµ ϖαριαβλε q υσινγ ιτσ π.δ.φ. [10,17]. Τηισ φολλοωσ φροµ τηε φαχτ τηατ E(q − q) ˆ 2 , ιφ ιτ εξιστσ, ισ α µινιµυµ ωηεν qˆ = E(q) [ι.ε., τηε µεαν οφ τηε χονδιτιοναλ ποστεριορ διστριβυτιον οφ q γιϖεν ξ (ϖεχτορ οφ υπ τιµεσ) ανδ ψ (ϖεχτορ οφ δοων τιµεσ)]. Τηεν E(q) ισ τηε Βαψεσ σολυτιον:  1

E(q) = EQ [q | Ξ = ξ, Ψ = ψ] =

qgQ (q) dq

(9)

0

Σιµιλαρλψ, τηε Βαψεσ εστιµατορ οφ r (ι.ε., rˆ ωιτη ρεσπεχτ το τηε σθυαρεδ−ερρορ λοσσ φυνχτιον υσινγ αν ινφορµατιϖε πριορ) ισ τηε ⇒ρστ µοµεντ ορ εξπεχτεδ ϖαλυε οφ τηε ρανδοµ ϖαριαβλε R = r ιν εθυατιον (5). E(r) = ER [r | Ξ = ξ, Ψ = ψ] =



1 0

rgR (r) dr = 1 − E(q)

(10)

5.4.2 Αβσολυτε−Ερρορ Λοσσ Φυνχτιον Σιµιλαρλψ, αχχορδινγ το Ηογγ ανδ Χραιγ [17, π. 262], τηε µεδιαν οφ τηε ρανδοµ ϖαριαβλε Q ισ τηε Βαψεσ εστιµατορ υσινγ αν ινφορµατιϖε πριορ ωηεν τηε λοσσ φυνχ− τιον ισ γιϖεν ασ L(q, q) ˆ = |q − q|. ˆ Ιφ E(|q − q|) ˆ εξιστσ, τηεν qˆ = q0.5 µινιµιζεσ τηε λοσσ φυνχτιον [ι.ε., τηε µεδιαν οφ τηε χονδιτιοναλ ποστεριορ διστριβυτιον οφ q γιϖεν Ξ = ξ (ϖεχτορ οφ υπ τιµεσ) ανδ Ψ = ψ (ϖεχτορ οφ δοων τιµεσ)]. Τηε µεδιαν ισ ϖερψ ρεσισταντ το χηανγε. Τηεν q0.5 ορ τηε µεδιαν οφ q, qM , ισ τηε Βαψεσ σολυ− τιον. Τηατ ισ, qM ισ τηε 50τη περχεντιλε ορ 0.5 θυαντιλε, ορ σεχονδ θυαρτιλε φορ q, ασ φολλοωσ:  q0.5 gQ (q) dq (11) 0.5 = 0

Σιµιλαρλψ, rM = 1 − qM ισ τηε 50τη περχεντιλε ορ 0.5 θυαντιλε, ορ σεχονδ θυαρτιλε φορ r, ασ φολλοωσ:  r0.5 0.5 = gR (r) dr (12) 0

ΒΑΨΕΣ ΕΣΤΙΜΑΤΟΡΣ ΦΟΡ ΙΝΦΟΡΜΑΤΙςΕ ΠΡΙΟΡΣ ΑΝ∆ ΛΟΣΣ ΦΥΝΧΤΙΟΝΣ

237

5.4.3 Ωειγητεδ Σθυαρεδ−Ερρορ Λοσσ Φυνχτιον Ωειγητεδ σθυαρεδ−ερρορ λοσσ ισ οφ χονσιδεραβλε ιντερεστ το στατιστιχιανσ ανδ ενγι− νεερσ [18] ανδ ηασ τηε αττραχτιϖε φεατυρε οφ αλλοωινγ τηε σθυαρεδ ερρορ το βε ωειγηεδ βψ w(q), ωηιχη ισ α φυνχτιον οφ q. Τηισ ωιλλ ρε⇓εχτ τηατ α γιϖεν ερρορ οφ εστιµατιον οφτεν ϖαριεσ ιν πεναλτψ αχχορδινγ το τηε ϖαλυε οφ q. Τηεν τηε ωειγητεδ σθυαρεδ−ερρορ λοσσ φυνχτιον σελεχτεδ ιν συχη χασεσ ισ E(q, q) ˆ 2=

C(q − q) ˆ 2 = w(q)(q − q) ˆ 2 q(1 − q)

(13)

Ωιτη τηισ λοσσ φυνχτιον, τηε Βαψεσ εστιµατορ οφ q ισ γιϖεν ασ [σεε εθυατιονσ (5Β.1) το (5Β.7) φορ δεταιλσ] 

Q q =  ∗

qw(q)h(q | Ξ = ξ, Ψ = ψ) dq

Q w(q)h(q | Ξ = ξ, Ψ = ψ) dq

=

EQ [qw(q) | Ξ = ξ, Ψ = ψ] EQ [w(q) | Ξ = ξ, Ψ = ψ]

(14)

Υτιλιζινγ εθυατιον (5Β.7) ανδ ασσυµινγ τηε χοεφ⇒χιεντ οφ τηε ωειγητ φυνχτιον w(q), C = 1, q∗ =

EQ [(1 − q)−1 ] EQ [q/q(1 − q)] = EQ [1/q(1 − q)] EQ [q −1 (1 − q)−1 ]

(15)

ωηερε 1 λ =1+ 1 − λ/(λ + μ) μ     λ μ λ μ 1+ = 1+ = 1+ + +1 λ μ λ μ

(1 − q)−1 = q − 1(1 − q)−1

=2+

λ μ + λ μ

(16)

(17)

Ωηεν συβστιτυτεδ ιντο εθυατιον (15) ανδ υσινγ ποστεριορ γαµµα διστριβυτιονσ βψ εθυατιονσ (5Α.7) ανδ (5Α.8), τηισ γιϖεσ, ∗

∞ ∞

+ λ/μ)]h1 (λ | Ξ = ξ)h2 (Ψ = ψ) dλ dμ

h1 (λ | ξ) =

1 (xT + ξ )λa+c−1 εξπ[−λ(xT + ξ )] Ŵ(a + c)

λ=0 μ=0 [1

q = ∞ ∞

λ=0 μ=0 [2

+ (λ/μ) + (μ/λ)]h1 (λ | Ξ = ξ)h2 (Ψ = ψ) dλ dμ

(18)

Σινχε

(19)

238

ΣΑΗΙΝΟΓΛΥ–ΛΙΒΒΨ ΠΡΟΒΑΒΙΛΙΤΨ ∆ΙΣΤΡΙΒΥΤΙΟΝ ΦΥΝΧΤΙΟΝ

ισ τηε Γαµµα {a + c, (xT + ξ )−1 } ανδ 1 (yT + η)μa+c−1 εξπ[−μ(yT + η)] Ŵ(b + d)

h2 (μ | ψ) =

ισ τηε Γαµµα {b + d, (yT + η)−1 }, τηεν   h1 (λ | ξ)h2 (μ | ψ) dλ = 1.0   λ

λ

μ

(20)

(21)

μ

h1 (λ | ξ)μ−1 h2 (μ | ψ) dλ dμ =

a + c η + yT ξ + xT b + d − 1

(22)

ωηερε τηε εξπεχτατιον οφ α ρανδοµ ϖαριαβλε διστριβυτεδ ωιτη Γαµµα(α, β) ισ αβ. Τηερεφορε, E(λ) = (a + c)/(ξ + xT ) υσινγ εθυατιον (5Α.7). Υσινγ (5Α.8), τηε εξπεχτατιον οφ τηε ρεχιπροχαλ οφ α ρανδοµ ϖαριαβλε διστριβυτεδ ωιτη Γαµµα(α, β) ισ 1/β(α − 1), ασ φολλοωσ:   1 1 η + yT E = h2 (μ | ψ) dμ = (23) μ μ b +d −1 μ Σιµιλαρλψ, εµπλοψινγ τηε σαµε “εξπεχτατιον οφ τηε ρεχιπροχαλ οφ α γαµµα ρανδοµ ϖαριαβλε” πρινχιπλε, ανδ βψ (5Α.7),   1 1 ξ + xT E = h1 (λ | ξ) dλ = (24) λ a+c−1 λ λ Νοω, πυττινγ ιτ αλλ τογετηερ ασ διχτατεδ βψ εθυατιον (14) ψιελδσ (a + c)(η + yT ) (ξ + xT )(b + d − 1) q∗ = (a + c)(η + yT ) (b + d)(ξ + xT ) + 2+ (η + yT )(a + c − 1) (ξ + xT )(b + d − 1) 1+

(25)

ωηιχη ισ τηε σµαλλ−σαµπλε (βεφορε τηε σαµπλεδ συµσ xT ανδ yT πρεδοµινατε) Βαψεσ εστιµατορ ωιτη ρεσπεχτ το α ωειγητεδ σθυαρεδ−ερρορ λοσσ φυνχτιον ασ γιϖεν αβοϖε ανδ συγγεστεδ φορ υσε ιν χονϖεντιοναλ στυδιεσ το στρεσσ φορ ταιλ ϖαλυεσ συχη ασ q = 0.1 ορ q = 0.9, ωηερε τηε ϖαλυε οφ τηε ωειγητ φυνχτιον ινχρεασεσ. Τηισ ισ α σµαλλ−σαµπλε εστιµατορ ασ οπποσεδ το αν ασψµπτοτιχ εστιµατορ ρεθυιρινγ λαργε−σαµπλε δατα, τηερεβψ ρε⇓εχτινγ ινσυφ⇒χιεντ υνιτ ηιστορψ. Ηερε w(q) ωασ χον− ϖενιεντλψ τακεν το βε [q(1 − q)]−1 . Φορ τηε σπεχιαλ χασε ωηεν πλαχινγ ξ = η = 0 (ι.ε., σχαλε παραµετερσ αρε ιν⇒νιτε), c = d = 1 ιν εθυατιον (25) φορ νονινφορµατιϖε (⇓ατ) πριορσ, q ∗ βεχοµεσ q ∗∗ : q ∗∗ = =

1 + (a + 1)yT /xT b 2 + (b + 1)xT /yT a + (a + 1)yT /xT b

xT yT ab + yT2 a(a + 1) 2xT yT ab + yT2 a(a + 1) + xT2 b(b + 1)

(26)

ΑςΑΙΛΑΒΙΛΙΤΨ ΧΑΛΧΥΛΑΤΙΟΝΣ ΦΟΡ ΠΑΡΑΛΛΕΛ ΑΝ∆ ΣΕΡΙΕΣ ΝΕΤΩΟΡΚΣ

239

Φιναλλψ, q ∗∗ ασψµπτοτιχαλλψ αππροαχηεσ τηε qλ−σ εστιµατορ, τηε σαµε ασ τηατ οφ τηε ΜΛΕ οβταινεδ βψ χονϖεντιοναλ (νον−Βαψεσιαν) µετηοδσ, ωηιχη οχχυρσ ωηεν τηε ιν⇓υενχε οφ α πριορι παραµετερσ ϖανισηεσ. Τηισ ηαππενσ ωηεν τηε νυµ− βερ οφ σαµπλεσ οβσερϖεδ, a, b → ∞ ιν εθυατιον (25), συχη τηατ a + 1 ≈ b ανδ b + 1 ≈ a. Τηεν (26) ωιλλ ρεδυχε το θ∗∗ λ−σ = qλ−σ = =

xT yT xT + yT 1 + yT /xT = 2 2 2 + yT /xT + xT /yT 2(yT xT ) + (yT ) + (xT ) xT

yT (xT + yT )yT = (xT + yT )2 xT + yT

(27)

Βψ α σιµιλαρ προχεσσ, ωε χαν ρεπαραµετριζε φορ τηε ρανδοµ ϖαριαβλε r = 1 − q ασ ιν εθυατιον (24). Τηισ ρεπαραµετεριζατιον ισ αχηιεϖεδ σινχε ιφ Q ∼ ΣΛ(α, β, L), ιτσ χοµπλεµεντ, 1 − Q, ισ ΣΛ(β, α, L−1 ), α χηαραχτεριστιχ τηατ ισ σιµιλαρ το τηε ονε εµπλοψεδ φορ τηε στανδαρδ Βετα(α, β) ασ ιν εθυατιον(4). Νοτε τηατ E(r) = 1 − E(q). Τηεν (ξ + xΤ )(b + d) (a + c − 1)(η + yT ) r∗ = = 1 − q∗ (b + d)(ξ + xT ) (a + c)(η + yT ) 2+ + (η + yT )(a + c − 1) (ξ + xT )(b + d − 1) 1+

(28)

ισ τηε Βαψεσ εστιµατορ οφ τηε αϖαιλαβιλιτψ, R = 1 − Q, ωιτη ρεσπεχτ το α ωειγητεδ σθυαρεδ−ερρορ λοσσ. Ηερε, w(r) ωασ σιµιλαρλψ τακεν φορ εθυατιον (13) το βε [r(1 − r)]−1 . Φορ τηε σπεχιαλ χασε ωηεν ξ = η = 0, c = d = 1 [ι.ε. φορ νονιν− φορµατιϖε ορ ⇓ατ πριορσ, r ∗ βεχοµεσ r ∗∗ ασ ιν (28)]: r ∗∗ =

1 + (b + 1)xT /yT a = 1 − q ∗∗ 2 + (b + 1)xT /yT a + (a + 1)yT /xT b

(29)

Ιφ τηε σαµπλε σιζεσ οφ υπ ανδ δοων τιµεσ, a ανδ b, αρε τοο λαργε συχη τηατ a/b → 1, τηεν σιµιλαρλψ, r ∗∗ αππροαχηεσ rλ−σ , ωηιχη ισ τηε ΜΛΕ φορ a, b → ∞, ασ φολλοωσ: ∗∗ rλ−σ = rλ−σ =

=

xT yT 1 + xT /yT xT + yT = 2 2 2 + xT /yT + yT /xT 2(yT xT ) + (yT ) + (xT ) yT

xT (xT + yT )xT = (xT + yT )2 xT + yT

(30)

5.5 ΑςΑΙΛΑΒΙΛΙΤΨ ΧΑΛΧΥΛΑΤΙΟΝΣ ΦΟΡ ΣΙΜΠΛΕ ΠΑΡΑΛΛΕΛ ΑΝ∆ ΣΕΡΙΕΣ ΝΕΤΩΟΡΚΣ Φουρ διφφερεντ φυνδαµενταλ τοπολογιεσ ωιλλ βε στυδιεδ. Τηερεφορε, ιν εϖαλυατινγ ϖαριουσ νετωορκ αϖαιλαβιλιτψ ορ υναϖαιλαβιλιτψ, εξαχτ ϖαλυεσ αρε υσεδ, συχη ασ

240 ΤΑΒΛΕ 5.1

ΣΑΗΙΝΟΓΛΥ–ΛΙΒΒΨ ΠΡΟΒΑΒΙΛΙΤΨ ∆ΙΣΤΡΙΒΥΤΙΟΝ ΦΥΝΧΤΙΟΝ

Ινπυτ ανδ Ουτπυτ Ταβλε φορ Χοµπονεντ ανδ Νετωορκ Αππλιχατιονσα

Ινπυτ ∆ατα a (νο. φαιλυρεσ) b (νο. ρεπαιρσ) xT (οπερατινγ τιµε) yT (ρεπαιρ τιµε) C (σηαπε φορ λ) ξ (ινϖερσε σχαλε φορ λ) D (σηαπε φορ μ) η (ινϖερσε σχαλε φορ μ)

Χοµπονεντ 1

Χοµπονεντ 2

Χοµπονεντ 3

Χοµπονεντ 4

10 10 1000 η 111.11 η 0.02 1 0.1 1

5 5 25 η 5η 0.2 1 2 0.5

10 10 1000 η 111.11 η 0.5 1 2 0.25

100 100 10,000 η 1111.1 η 0.5 1 2 0.25

Χασε 1: σινγλε Χοµπονεντ 1 Χοµπονεντ 2 Χοµπονεντ 3 Χοµπονεντ 4 (σεε Φιγυρε 5.5) 0.907325 0.882397 0.917648 0.902028 r∗ 0.906655 0.849515 0.906655 0.900714 r ∗∗ E(r) = µεαν 0.890985 0.758064 0.879164 0.897920 (σεε Φιγυρε 5.3) 0.898540 0.775410 0.886580 0.898650 rM = µεδιαν 0.9 √ 0.8333 0.9 0.9 rλ−σ = ΜΛΕ √ √ √ Στδ. δεϖιατιον 0.045 = .00203 0.107 = .0115 0.046 = .0021 0.013 = .00017  (= Βαψεσ ρισκ) ΙΘΡ 0.06 0.14 0.06 0.015 (ιντερθυαρτιλε ρανγε) (σεε Φιγυρε 5.4) Σκεωνεσσ −1.11 −0.901 −1.04 −0.339 Κυρτοσισ 2.11 0.985 1.846 0.2 Χασε 2: σψστεµ ωιτη ιδεντιχαλ χοµπονεντ 1 (σεε Φιγυρε 5.6) R∗ R ∗∗ E(R) RM ∗∗ Rλ−σ Χασε 3: σψστεµ ωιτη φουρ διφφερεντ χοµπονεντσ (σεε Φιγυρε 5.7) R∗ R ∗∗ E(R) RM ∗∗ Rλ−σ

Σψστεµ Χον⇒γ. Ι

Σψστεµ Χον⇒γ. ΙΙ

Σψστεµ Χον⇒γ. ΙΙΙ

Σψστεµ Χον⇒γ. Ις

0.677723 0.675723 0.630206 0.652027 0.656102

0.999926 0.999924 0.999868 0.999981 0.999900

0.968721 0.968324 0.957504 0.963901 0.963900

0.907495 0.906723 0.976315 0.989010 0.980100

Σψστεµ Χον⇒γ. Ι

Σψστεµ Χον⇒γ. ΙΙ

Σψστεµ Χον⇒γ. ΙΙΙ

Σψστεµ Χον⇒γ. Ις

0.662709 0.628987 0.533192 0.565567 0.656100

0.999920 0.999846 0.999674 0.999738 0.999833

0.967978 0.956336 0.931650 0.938425 0.952501

0.981846 0.976621 0.961584 0.965978 0.973500

α Σαµπλε ινπυτ παραµετερσ ανδ χοµπυτεδ εστιµατορσ φορ χασε 1 οφ σινγλε χοµπονεντσ ανδ φορ χασεσ 2 ανδ 3 οφ φουρ σψστεµ χον⇒γυρατιονσ (a) το (d) ασ ιν Φιγυρε 5.1 αρε γιϖεν. Χασε 1: σινγλε χοµπονεντσ (νονσψστεµ); χασε 2: σψστεµ στυδψ ωιτη αλλ ιδεντιχαλ χοµπονεντ 1; χασε 3: σψστεµ στυδψ ωιτη αλλ νονιδεντιχαλ χοµπονεντσ υσινγ 1 το 4 ιν α σεθυενχε ασ νεεδεδ. Γαµµα πριορ παραµετερσ αρε σελεχτεδ φροµ σαµπλε πλοτσ ιν Φιγυρε 5.2 το σηοω δεγρεεσ οφ σκεωνεσσ: φορ εξαµπλε, α παιρ: d(σηαπε) = 2, η(ινϖερσε σχαλε) = 0.5 ισ αλµοστ σψµµετριχ; ανδ ανοτηερ παιρ: c(σηαπε) = 0.5, ξ(ινϖερσε σχαλε) = 1.0 ισ α ηψπερεξπονεντιαλ. Τηε σχαλε παραµετερσ ιν Φιγυρε 5.2 αρε τηε ρεχιπροχαλσ οφ τηε ινϖερσε σχαλεσ ιν τηισ ταβλε.

241

ΑςΑΙΛΑΒΙΛΙΤΨ ΧΑΛΧΥΛΑΤΙΟΝΣ ΦΟΡ ΠΑΡΑΛΛΕΛ ΑΝ∆ ΣΕΡΙΕΣ ΝΕΤΩΟΡΚΣ

qi ορ ri , ωηερε ri = 1 − qi , ωηερε  δενοτεσ “τηε προδυχτ οφ.” Ασσυµε βελοω τηατ αλλ υνιτσ ηαϖε ιδεντιχαλ ρελιαβιλιτιεσ. Ι. Σεριεσ σψστεµσ: Rσψσ = m 1 ri ανδ Qσψσ = 1 − Rσψσ , ανδ m = νυµβερ οφ σεριεσ συβσψστεµσ. ΙΙ. Αχτιϖε παραλλελ σψστεµσ: Qσψσ = n1 qi ανδ Rσψσ = 1 − Qσψσ , ωηερε n = νυµβερ οφ παραλλελ πατησ. ΙΙΙ. Σεριεσ ιν αχτιϖε παραλλελ: Qσψσ = n1 [(1 − m 1 ri )] ανδ Rσψσ = 1 − Qσψσ . n [(1 −  Ις. Αχτιϖε παραλλελ ιν σεριεσ: Rσψσ = m 1 qι )] ανδ Qσψσ = 1 − Rσψσ . 1 Τηρεε χασεσ αρε τεστεδ ανδ ιλλυστρατεδ [10, 19]. Σεε Ταβλε 5.1 το οβσερϖε τηε διφφερενχεσ βετωεεν τηε Βαψεσιαν εστιµατορσ [20, 21]. Αλσο οβσερϖε ινπυτ δατα ανδ ρεσυλτσ φορ χασεσ 1, 2, ανδ 3 ιν Ταβλε 5.1. Ιν χοδινγ αν αλγοριτηµ ιν τηε ϑαϖα προγραµ ωριττεν σπεχι⇒χαλλψ φορ τηισ πυρποσε, τηε ποστ⇒ξ (∗ ) ισ υσεδ φορ δενοτινγ σεριεσ ανδ τηε ποστ⇒ξ (+) ισ υσεδ φορ δενοτινγ αχτιϖε παραλλελ σψστεµσ [22, π. 454]. Τηε χοµπονεντσ ιν Φιγυρε 5.1 αρε τρεατεδ ατ µοστ τωο ατ α τιµε [23, ππ. 298–299]. Βελοω αρε σοµε εξαµπλεσ οφ τηε φουρ διφφερεντ φυνδαµενταλ παραλλελ–σεριεσ νετωορκσ. Υσινγ α ηανδ χαλχυλατορ, φορ ri = 0.9, Rσψσ (Ι) = 0.6561, Rσψσ (ΙΙ) =

1 (a)

(b)

2

Input

Output 3

4

1

3

Input

Output 4

2

1 2 (c)

Input

Output 3 4

(d) Input

1

2

3

4

Output

ΦΙΓΥΡΕ 5.1 (α) Σεριεσ ιν παραλλελ; (β) παραλλελ ιν σεριεσ; (χ) παραλλελ; (δ) Σεριεσ.

242

ΣΑΗΙΝΟΓΛΥ–ΛΙΒΒΨ ΠΡΟΒΑΒΙΛΙΤΨ ∆ΙΣΤΡΙΒΥΤΙΟΝ ΦΥΝΧΤΙΟΝ b = 1

b = 2

b = 4

1.0 0.8 p(x)

0.6

0.6

0.4

0.4

0.2

0.2 0

2

a =1 2 (n = 1)

0.2

0

4

0.4

2

4

6

0

8

2

4

6

10

12

x

14

(c)

(b)

(a)

8

1.0 0.8 a=1

0.6 p(x)

0.4

0.4

0.2

0.2 0

2

(n = 2)

0

4

2

4

6

0.2 0

8

2

4

6

10

12

0.6 p(x)

x

14

(f )

(e)

(d)

8

a = 1.5

0.4

0.4

0.2

0.2 0

2

(n = 3)

0

4

2

4

6

0.2 0

8

2

4

6

10

12

x

14

(k)

(h)

(g)

8

a=2

0.4 0.2

p(x) 0.2 0

2

4

(n = 4) 0

2

4

6

8

0.2 0

2

4

6

8

(l)

(m)

(n)

b = 1

b = 2

b = 4

10

12

14

x

ΦΙΓΥΡΕ 5.2 Γαµµα δενσιτψ (α = σηαπε, β = σχαλε, ν (χηι−σθυαρε) = αβ).

0.9999, Rσψσ (ΙΙΙ) = 0.9639, Rσψσ (Ις) = 0.9801. Λετ’σ χοδε εαχη χον⇒γυρατιον ανδ χοδε τηεµ υσινγ ποστ⇒ξεσ: Ι. 1,2,∗,3,4,∗,∗ δενοτεσ αλλ φουρ χοµπονεντσ ιν σεριεσ. Φορ χασε 3 οφ νον− ιδεντιχαλ χοµπονεντσ φροµ 1 το 4, Rσψσ = r1 r2 r3 r4 . Φορ χασε 2, λετ αλλ ri ’σ βε ιδεντιχαλ. ΙΙ. 1,2,+,3,4,+, + δενοτεσ αλλ φουρ χοµπονεντσ ιν αχτιϖε παραλλελ. Φορ χασε 3 ωιτη νονιδεντιχαλ χοµπονεντσ φροµ 1 το 4, Rσψσ = 1 − q1 q2 q3 q4 . Φορ χασε 2, λετ αλλ qi ’σ βε ιδεντιχαλ. ΙΙΙ. 1,2,∗,3,4,∗,+ δενοτεσ τηατ χοµπονεντσ 1 ανδ 2, ⇒ρστ ιν τηε σεριεσ, αρε ιν αχτιϖε παραλλελ ωιτη τηε οτηερ τωο χοµπονεντσ ιν τηε σεριεσ, 3 ανδ 4. Rσψσ = 1 − [(1 − r1 r2 )(1 − r3 r4 )].

∆ΙΣΧΥΣΣΙΟΝ ΑΝ∆ ΧΟΝΧΛΥΣΙΟΝΣ

243

Ις. 1,2,+,3,4,+,∗ δενοτεσ τηατ χοµπονεντσ 1 ανδ 2, τηε ⇒ρστ ιν αχτιϖε παραλλελ, αρε ιν σεριεσ ωιτη τηε οτηερ τωο χοµπονεντσ, 3 ανδ 4, ιν αχτιϖε παραλλελ. Rσψσ = (1 − q1 q2 )(1 − q3 q4 ). 5.6 ∆ΙΣΧΥΣΣΙΟΝ ΑΝ∆ ΧΟΝΧΛΥΣΙΟΝΣ Ιν τηισ χηαπτερ ωε ηαϖε στυδιεδ τηε βασιχ τηεορψ ανδ αππλιχατιον οφ τηε Σαηινογλυ–Λιββψ (ΣΛ) π.δ.φ. ασ αππλιεδ το ηαρδωαρε χοµπονεντσ ανδ νετ− ωορκσ [24]. Ιν τηε τηεορψ σεχτιον οφ τηε χηαπτερ, α δεταιλεδ δεριϖατιον οφ τηε υνιϖαριατε ΣΛ(α, β, L) π.δ.φ. ασ νοτεδ οριγιναλλψ ιν Σαηινογλυ’σ Πη.∆. δισσερτατιον ισ πρεσεντεδ ωιτη ρεφερενχε το α Βαψεσιαν προχεσσ φορ ινφορµατιϖε ανδ νονινφορ− µατιϖε πριορσ υσινγ αβσολυτε, σθυαρεδ, ανδ ωειγητεδ σθυαρεδ−ερρορ λοσσ φυνχτιονσ. Τηερεφορε, ΣΛ(α, β, L) π.δ.φ. ισ τηε χοντινυουσ προβαβιλιτψ δενσιτψ φυνχτιον οφ τηε ρανδοµ ϖαριαβλε οφ υναϖαιλαβιλιτψ (ορ αϖαιλαβιλιτψ ωηεν ρεπαραµετριζεδ) οφ α χοµπονεντ ιν α νετωορκ ωηοσε λιφετιµε χαν βε δεχοµποσεδ ιντο οπερατινγ (υπ) ανδ νονοπερατινγ (δοων) στατεσ ιν α διχηοτοµουσ σεττινγ. Τηισ τρεατµεντ δοεσ νοτ λενδ ιτσελφ το ινχλυδε α δερατεδ στατε, φορ ωηιχη α µυλτιϖαριατε ΣΛ π.δ.φ. µυστ βε δεριϖεδ, α τασκ φορ φυτυρε χονσιδερατιον. Υπ ανδ δοων τιµεσ αρε γενεραλ γαµµα µοδελσ ωηερε βοτη σηαπε ανδ σχαλε παραµετερσ διφφερ φροµ εαχη οτηερ. Βετα(α,β) ισ α σπεχιαλ χασε οφ τηε ΣΛ(α,β,L) ωηερε τηε ρατιο οφ τηε ρεσπεχτιϖε γαµµα σηαπε παραµετερσ φορ τηε φαιλυρε ανδ ρεπαιρ ρατεσ αρε ιδεντιχαλ, L = 1. Φυρτηερ, αναλψτιχαλ διφ⇒χυλτιεσ ιν χαλχυλατινγ τηε χλοσεδ−φορµ µοµεντσ οφ τηε σαιδ ρανδοµ ϖαριαβλε αρε ουτλινεδ, συγγεστινγ Βαψεσιαν εστιµατορσ υσινγ ινφορµατιϖε ανδ ⇓ατ (νονινφορµατιϖε) πριορσ ωιτη ρεσπεχτ το ϖαριουσ µεανινγφυλ λοσσ φυνχτιονσ. Ιν τηε αππλιχατιον σεχτιον οφ τηε χηαπτερ, τηε ρεαδερ ισ ρεφερρεδ πριµαριλψ το Ταβλε 5.1 ανδ Φιγυρεσ 5.1 ανδ 5.2 φορ ινπυτ παραµετερσ ανδ ουτπυτ εστιµατορσ οφ τηε αϖαιλαβιλιτψ φορ φουρ χοµπονεντσ σελεχτεδ ασ εξαµπλεσ. Χασε 1 ισ φορ σιν− γλε χοµπονεντσ ονλψ, ωιτηουτ νετωορκ χονσιδερατιον. Χασε 2 ισ φορ νετωορκσ οφ διφφερεντ τοπολογψ, ωιτη χον⇒γυρατιον Ι (σεριεσ), χον⇒γυρατιον ΙΙ (παραλλελ), χον− ⇒γυρατιον ΙΙΙ (σεριεσ ιν παραλλελ), ανδ χον⇒γυρατιον Ις (παραλλελ ιν σεριεσ), ωηεν χοµπονεντ 1 ινπυτ δατα αρε υσεδ ινϖαριαβλψ φορ αλλ φουρ χοµπονεντσ τηατ µακε υπ τηε χον⇒γυρατιον. Χασε 3 ισ τηε σαµε ασ χασε 2 εξχεπτ τηατ τηε χοµπονεντσ αρε νοτ ιδεντιχαλ ανδ αρε σελεχτεδ ιν τηε σεθυενχε νεεδεδ φροµ χοµπονεντ 1 το χοµπονεντ 4 ασ λιστεδ ιν Ταβλε 5.1. Τηε ϖαριανχεσ οφ βοτη q ανδ r αρε ιδεντιχαλ, ασ εξπεχτεδ, ανδ σο αρε τηειρ στανδαρδ δεϖιατιονσ. Τηε ρανδοµ ϖαριαβλε r ισ λεφτ−σκεωεδ ωιτη α νεγατιϖε σιγν, ανδ q ισ ριγητ−σκεωεδ ωιτη α ποσιτιϖε σιγν ατ α µιρρορ ιµαγε. Φορ χοµπονεντ 1, στανδαρδ δεϖιατιονσ αρε 0.045, σκεωνεσσ ισ −1.11 ανδ 1.11, ανδ δατα−ρεσισταντ µεδιανσ αρε 0.8985 ανδ 0.1015, φορ τηε τωο ρανδοµ ϖαριαβλεσ, ρεσπεχτιϖελψ. Βοτη ηαϖε ποσιτιϖε κυρτοσισ (= 2.11), ωηιχη δενοτεσ τηατ τηεψ ηαϖε λεπτοκυρτιχ διστριβυ− τιονσ ωηερε τηε ταιλ τηιχκνεσσ ισ αβοϖε τηατ οφ α στανδαρδ νορµαλ διστριβυτιον ωιτη α ρεφερενχε οφ υνιτψ. Σιµπσον’σ τραπεζοιδαλ ρυλε ισ υσεδ ωιτη ϖερψ ⇒νε πρεχισιον το οβταιν µοµεντσ οφ r ανδ q, ωηερε P (0 < r < 1) = 1, ορ P (0 < q < 1) = 1. P (0.5 < r < 0.9) = 0.429 ανδ P (0 < r < 0.9078) = 0.5 αρε εξαµπλεσ. Ιν τηε υππερ ινπυτ παρτ οφ Ταβλε 5.1, χοµπλψινγ ωιτη τηε δε⇒νιτιονσ ιν Σεχτιον 5.1, τηε γαµµα πριορσ φορ τηε φαιλυρε ανδ ρεπαιρ ρατεσ ασ ινδιχατινγ λεφτ ορ

244

ΣΑΗΙΝΟΓΛΥ–ΛΙΒΒΨ ΠΡΟΒΑΒΙΛΙΤΨ ∆ΙΣΤΡΙΒΥΤΙΟΝ ΦΥΝΧΤΙΟΝ

ριγητ σκεωνεσσ ορ σψµµετρψ χαν βε χηοσεν βψ τηε αναλψστ ατ ωιλλ ωιτη αν εδυχατεδ γυεσσ ορ εξπερτ ϕυδγµεντ ασ ιν Φιγυρε 5.2 [15, π.169]. Φορ εξαµπλε, πριορ ινπυτσ οφ τηε φαιλυρε ανδ ρεπαιρ ρατεσ φορ χοµπονεντ 3 ιν Ταβλε 5.1 ωιτη c = 0.5 ανδ ξ = 1 δενοτε α πεακεδ ηψπερεξπονεντιαλ συχη ασ ον τηε ϖερψ υππερ λεφτ ιν Φιγυρε 5.2, ωηερεασ d = 2, η = 0.25 ρεσεµβλεσ αν αλµοστ−⇓αττενεδ µουνδλικε σηαπε ρισινγ ατ µοστ το α προβαβιλιτψ οφ 0.1 γιϖεν ατ τηε ϖερψ βοττοµ ριγητ. Κεεπινγ αλλ οτηερ παραµετερσ χονσταντ, ιτ µαψ βε οβσερϖεδ τηατ ασ τηε πριορ δισ− τριβυτιονσ οφ τηε φαιλυρε ανδ ρεπαιρ ρατεσ βεχοµε µορε ρεαλιστιχ (ι.ε., ασ τηε νυµβερσ οφ οχχυρρενχεσ οφ σαµπλεδ υπ ανδ δοων τιµεσ a ανδ b γετ λαργερ ανδ λαργερ, ανδ χορρεσπονδινγλψ τηε τοταλ υπ ανδ δοων τιµεσ ινχρεασε), τηε µεαν οφ τηε ρανδοµ ϖαριαβλε q (= ΦΟΡ) αππροαχηεσ τηε ΜΛΕ υσεδ βψ χονϖεντιοναλ µετηοδσ [12,24]. Ιτ µαψ βε οβσερϖεδ φορ χοµπονεντ 4 ιν Ταβλε 5.1, φορ εξαµπλε, τηατ βψ τακινγ α λαργε νυµβερ οφ φαιλυρε ανδ ρεπαιρ εϖεντσ, συχη ασ 10,000, τηε σµαλλ−σαµπλε Βαψεσιαν εστιµατορ οφ τηε αϖαιλαβιλιτψ ρανδοµ ϖαριαβλε R χονϖεργεσ το τηε λαργε− σαµπλε εστιµατορ οφ xT διϖιδεδ βψ τηε συµ οφ yT ανδ xT , ωηιχη ισ 0.9. Ωηεν τηε τοταλ υπ ανδ δοων τιµεσ φορ χοµπονεντ 4 ωερε ελεϖατεδ το xT = 100, 000 ηουρσ ανδ yT = 11, 111.11 ηουρσ φορ a = 100 ανδ b = 100, τηε Βαψεσιαν εστιµατορσ E(r) = 0.900623, r ∗ = 0.902037, r ∗∗ = 0.900714, ανδ rM = 0.901330 αλλ χαµε χλοσερ το τηε 0.9 µαρκ, ωηιχη ισ τηε λαργε−σαµπλε εστιµατε ορ τηε χονϖεντιοναλ ΜΛΕ, ασ εξπεχτεδ. Φυρτηερ συππορτινγ τηισ φαχτ ισ α σεθυενχε οφ σενσιτιϖιτψ αναλψσεσ, συχη ασ a = 150, b = 150, xT = 1, 500, 000 ηουρσ, ανδ yT = 166, 666.65 ηουρσ, ωηιχη ψιελδεδ E(r) = 0.900417, r ∗ = 0.901366, r ∗∗ = 0.900499, ανδ rM = 0.900892. Ιν α ⇒ναλ αττεµπτ ατ φορχινγ τηε χοµπυτατιοναλ βουνδαριεσ, ιφ a = 170, b = 170, βυτ κεεπινγ τηε ρατιοσ τηε σαµε (ι.ε., xT = 1, 700, 000 ηουρσ, yT = 188, 888.87 ηουρσ), ψιελδεδ το E(r) = 0.900368, r ∗ = 0.901207, r ∗∗ = 0.900422, ανδ rM = 0.900788, τηατ ισ, εαχη τιµε χονϖεργινγ χλοσερ ανδ χλοσερ το τηε χονϖεντιοναλ ΜΛΕ, ωηιχη ισ rλ−σ = 0.9 ιν τηισ χασε. Ιν τηε εϖεντ οφ ινσυφ⇒χιεντ δατα, ιτ ισ τηερεφορε δεµονστρατεδ τηατ δεπενδινγ ον τηε τψπεσ οφ πριορσ ανδ πεναλτψ φυνχτιονσ, τηε Βαψεσ εστιµατορσ αρε στατισ− τιχαλλψ γοοδ αλτερνατιϖεσ ωηεν λαργε−σαµπλε ασψµπτοτιχ εστιµατορσ χαννοτ βε οβταινεδ [25]. Α ωισε χηοιχε οφ πριορ παραµετερσ ανδ πεναλτψ φυνχτιονσ ισ αν ιµπορταντ ρεθυιρεµεντ σινχε τηε µορε ρεαλιστιχ τηεσε ϕυδγµεντσ αρε, τηε µορε αχχυρατε τηε ρεσυλτσ ωιλλ βε [10,24]. Οτηερωισε, ασσυµινγ λαργε−σαµπλε εστιµα− τορσ ωηεν λαργε−σαµπλε δατα αρε νοτ αϖαιλαβλε µαψ λεαδ το ερρονεουσ οϖερ− ορ υνδερεστιµατεδ χαλχυλατιονσ οφ χοµπονεντ αϖαιλαβιλιτψ ανδ τηυσ αν ερρονεουσλψ προπαγατεδ νετωορκ αϖαιλαβιλιτψ µεασυρε. Τηερεφορε, ιν αν αλγοριτηµιχ σεθυενχε ωηεν πυρσυινγ α σιµιλαρ προϕεχτ χψχλε ον αϖαιλαβιλιτψ: 1. ∆εχιδε ον τηε πριορ φυνχτιονσ φορ τηε χοµπονεντσ βψ χονσιδερινγ α λιστ οφ γαµµα πλοτσ συχη ασ ιν Φιγυρε 5.2 φορ τηε φαιλυρε ανδ ρεπαιρ ρατεσ, ασ σηοων ιν Ταβλε 5.1. 2. ∆εχιδε ον ψουρ χοµπονεντ’σ µοστ ρεαλιστιχ λοσσ ορ πεναλτψ φυνχτιον, ασ γιϖεν ιν Σεχτιον 5.4.1, 5.4.2, ορ 5.4.3.

∆ΙΣΧΥΣΣΙΟΝ ΑΝ∆ ΧΟΝΧΛΥΣΙΟΝΣ

245

3. ∆εχιδε φορ τηε χοµπονεντσ ωηετηερ το υσε ινφορµατιϖε ορ ⇓ατ πριορσ, ανδ χηοοσε τηε Βαψεσιαν εστιµατορ(σ) r ∗ , r ∗∗ , rλ−σ , E(r), ορ rM , ορ δεφαυλτ βρυτε− φορχε (στατιχ ορ ενφορχεδ) ϖαλυε, ασ λιστεδ ιν Ταβλε 5.1. Τηεσε ρυλεσ τηεν ηολδ αλσο φορ νετωορκ αππλιχατιονσ [ι.ε., R ∗ , R ∗∗ , E(R), RM , ορ δεφαυλτ ορ στατιχ], αχχορδινγ το α γιϖεν τοπολογψ, α σαµπλε οφ ωηιχη ισ σηοων ιν Φιγυρε 5.1. Μορεοϖερ, τηεσε χαλχυλατιονσ αρε αππλιχαβλε το ανψ χοµπλεξ (νον− παραλλελ–σεριεσ) νετωορκσ, ωηιχη ηαϖε νοτ βεεν ιλλυστρατεδ δυε το λαχκ οφ σπαχε. Ηοωεϖερ, τηε υσε οφ αν ΣΛ π.δ.φ. ιν χοµπλεξ νετωορκσ ισ στυδιεδ ιν Χηαπτερ 6 ωηεν οτηερ τηαν δεφαυλτ ορ ενφορχεδ χοµπονεντ ϖαλυεσ αρε εµπλοψεδ, οωινγ το ινσυφ⇒χιεντ ηιστοριχαλ φαιλυρε ανδ ρεπαιρ δατα, ασ δισχυσσεδ ιν δεταιλ ιν τηε πρεσεντ χηαπτερ. Φιναλλψ, Φιγυρεσ 5.3 το 5.7, ρεσπεχτιϖελψ, ιλλυστρατε σοµε αδδιτιοναλ αππλιχατιονσ: 1. 90% χον⇒δενχε ιντερϖαλσ φορ τηε ποπυλατιον µεαν υσινγ τηε Βαψεσ εστιµατορ φορ α σινγλε χοµπονεντ ρεγαρδινγ υναϖαιλαβιλιτψ (q) ανδ αϖαιλαβιλιτψ (r) ρανδοµ ϖαριαβλεσ φορ χοµπονεντ 1 ινπυτ δατα ασ γιϖεν ιν Ταβλε 5.1 αρε σηοων ιν Φιγυρε 5.3. 2. Μεδιανσ ανδ ιντερθυαρτιλε ρανγεσ φορ α σινγλε χοµπονεντ ον υναϖαιλαβιλιτψ (q) ανδ αϖαιλαβιλιτψ (r) ρανδοµ ϖαριαβλεσ υσινγ χοµπονεντ 1 ινπυτ δατα ιν Ταβλε 5.1 αρε σηοων ιν Φιγυρε 5.4. 3. Χοµπαρισον οφ αϖαιλαβιλιτψ εστιµατορσ στυδιεδ φορ α σινγλε χοµπονεντ, υσινγ χοµπονεντ 1, δατα ιν Ταβλε 5.1, ισ σηοων ιν Φιγυρε 5.5.

ΦΙΓΥΡΕ 5.3 90% χον⇒δενχε ιντερϖαλσ φορ τηε ριγητ−σκεωεδ υναϖαιλαβιλιτψ (ον τηε λεφτ) ανδ τηε λεφτ−σκεωεδ αϖαιλαβιλιτψ (ον τηε ριγητ) ρανδοµ ϖαριαβλεσ.

246

ΣΑΗΙΝΟΓΛΥ–ΛΙΒΒΨ ΠΡΟΒΑΒΙΛΙΤΨ ∆ΙΣΤΡΙΒΥΤΙΟΝ ΦΥΝΧΤΙΟΝ

ΦΙΓΥΡΕ 5.4 Μεδιανσ ανδ ιντερθυαρτιλε ρανγεσ φορ υναϖαιλαβιλιτψ (ον τηε λεφτ) ανδ αϖαιλ− αβιλιτψ (ον τηε ριγητ) ρανδοµ ϖαριαβλεσ.

ΦΙΓΥΡΕ 5.5 Χοµπαρισον οφ αϖαιλαβιλιτψ εστιµατορσ στυδιεδ φορ α σινγλε χοµπονεντ 1 (∆ φορ δεφαυλτ).

247

∆ΕΡΙςΑΤΙΟΝ ΟΦ ΤΗΕ ΣΑΗΙΝΟΓΛΥ–ΛΙΒΒΨ π.δ.φ.

ΦΙΓΥΡΕ 5.6 Χοµπαρισον οφ αϖαιλαβιλιτψ εστιµατορσ στυδιεδ φορ α σεριεσ νετωορκ (φουρ χοµπονεντσ).

4. Χοµπαρισον οφ αϖαιλαβιλιτψ εστιµατορσ στυδιεδ φορ α σαµπλε νετωορκ ωιτη φουρ χοµπονεντσ ιν σεριεσ, υσινγ χοµπονεντ 1 δατα ιν Ταβλε 5.1, ισ σηοων ιν Φιγυρε 5.6. 5. ∆ενσιτψ πλοτσ φορ τηε ριγητ−σκεωεδ υναϖαιλαβιλιτψ (q) ανδ τηε λεφτ−σκεωεδ αϖαιλαβιλιτψ (r) ρανδοµ ϖαριαβλεσ σιδε βψ σιδε υσινγ ινπυτ δατα φροµ φουρ χοµπονεντσ ιν Ταβλε 5.1 αρε σηοων ιν Φιγυρε 5.7. ΑΠΠΕΝ∆ΙΞ 5Α: ∆ΕΡΙςΑΤΙΟΝ ΟΦ ΤΗΕ ΣΑΗΙΝΟΓΛΥ–ΛΙΒΒΨ π.δ.φ. Τηε ρεσυλτσ σηοων ιν µανψ τεξτβοοκσ ινδιχατε τηατ τηε ρεσιδενχε τιµεσ ιν τηε δοων στατε πριορ το τηε υπ στατε, ορ ϖιχε ϖερσα, αρε ρουγηλψ εξπονεντιαλλψ διστριβυτεδ φορ µοστ ελεχτρονιχ ηαρδωαρε εθυιπµεντ. Λετ Xi ανδ Yj βε τηε υπ ανδ δοων τιµεσ, ρεσπεχτιϖελψ. Ιτ φολλοωσ τηατ f (xi ) = λ εξπ(−λxi ), f (yj ) = μ εξπ(−μyj ),

i = 1, 2, . . . , a, j = 1, 2, . . . , b,

λ > 0, λ > 0,

xi > 0

(5Α.1)

yj > 0 (5Α.2)

ωηερε a ισ τηε νυµβερ οφ υπ τιµεσ σαµπλεδ ανδ b ισ τηε νυµβερ οφ δοων τιµεσ σαµπλεδ. Νοω λετ τηε γενερατορ φαιλυρε ρατε, λ, ανδ τηε ρεπαιρ ρατε, μ, ηαϖε ινδε− πενδεντ πριορ διστριβυτιονσ φροµ τηε γαµµα φαµιλψ: θ1 (λ) =

ξ c c−1 λ εξπ(−λξ ), Ŵ(c)

λ>0

(5Α.3)

248

ΣΑΗΙΝΟΓΛΥ–ΛΙΒΒΨ ΠΡΟΒΑΒΙΛΙΤΨ ∆ΙΣΤΡΙΒΥΤΙΟΝ ΦΥΝΧΤΙΟΝ

Multi Nose Graph Node 1 Node 2 Node 3 Node 5

fY(y)

0.0

0.25

0.5

0.75

y 1.0

ΦΙΓΥΡΕ 5.7 ∆ενσιτψ πλοτσ φορ τηε ριγητ−σκεωεδ υναϖαιλαβιλιτψ (ον τηε λεφτ) ανδ τηε λεφτ−σκεωεδ αϖαιλαβιλιτψ (ον τηε ριγητ) ρανδοµ ϖαριαβλεσ.

ωηερε φορ λ πριορ, c ισ α σηαπε παραµετερ ανδ ξ ισ αν ινϖερσε σχαλε παραµετερ, ανδ ηd d−1 θ2 (μ) = μ εξπ(−μη), μ>0 (5Α.4) Ŵ(d) ωηερε φορ μ πριορ, d ισ α σηαπε παραµετερ ανδ η ισ αν ινϖερσε σχαλε παραµετερ; αλλ αρε εστιµατεδ βψ µεανσ οφ α συιταβλε πριορ εστιµατιον τεχηνιθυε. Τηε ποστεριορ διστριβυτιονσ οφ λ ανδ μ ωιλλ βε οβταινεδ βψ µιξινγ τηειρ πριορσ ωιτη τηε δατα. Σινχε τηε φαµιλψ οφ γαµµα πριορ διστριβυτιονσ φορ τηε φαιλυρε ρατε λ ανδ ρεπαιρ ρατε μ αρε χονϕυγατεσ το τηε εξπονεντιαλ διστριβυτιονσ οφ τηε υπ ανδ δοων δατα,

∆ΕΡΙςΑΤΙΟΝ ΟΦ ΤΗΕ ΣΑΗΙΝΟΓΛΥ–ΛΙΒΒΨ π.δ.φ.

249

ρεσπεχτιϖελψ, τηειρ ρεσπεχτιϖε ποστεριορ διστριβυτιονσ ωιλλ ηαϖε τηε σαµε γαµµα φορµ, ωιτη σηαπε ανδ σχαλε παραµετερσ εθυαλ το τηε συµ οφ τηε σχαλε ανδ σηαπε παραµετερσ οφ τηε πριορ ανδ τηε χυρρεντ υπ− ορ δοων−τιµε τοταλ. Τηερεφορε, φροµ τηε σεθυενχε οφ εθυατιονσ (5Α.1) τηρουγη (5Α.4), τηε ϕοιντ λικελιηοοδ οφ τηε υπ−τιµε ρανδοµ ϖαριαβλεσ ισ f (x1 , x2 , . . . , xa | λ) = λa εξπ(xT λ)

(5Α.5)

ωηερε a ισ τηε νυµβερ οφ οχχυρρενχεσ οφ υπ τιµεσ σαµπλεδ ανδ xT ισ τηε τοταλ σαµ− πλεδ υπ τιµε φορ a οχχυρρενχεσ. Τηε ϕοιντ διστριβυτιον οφ δατα ανδ πριορ βεχοµεσ k(ξ, λ) = f (x1 , x2 , . . . , xa | λ) =

ξ c a+c−1 λ εξπ[−λ(xT + ξ )] Ŵ(c)

(5Α.6)

Τηυσ, τηε ποστεριορ διστριβυτιον φορ λ ισ ξ c a+c−1 λ εξπ[−λ(xT + ξ )] k(ξ, λ) Ŵ(c) h1 (λ | ξ) =  = ξc λ f (ξ, λ) dλ (xT + ξ )−1 Ŵ(a + c) Ŵ(c) 1 (xT + ξ )λa+c−1 εξπ[−λ(xT + ξ )] = Ŵ(a + c)

(5Α.7)

ωηιχη ισ Γαµµα[a + c, (xT + ξ )−1 ] ορ Γαµµα(n′ , 1/b′ ), ασ συγγεστεδ εαρλιερ, δυε το τηε µατηεµατιχαλ χονϕυγαχψ προπερτψ. Τηε σαµε αργυµεντσ ηολδ φορ τηε ρεπαιρ ρατε, μ. Τηατ ισ, h2 (μ | ψ) =

1 (yT + η)μa+c−1 εξπ[−μ(yT + η)] Ŵ(b + d)

(5Α.8)

ισ τηε Γαµµα[b + d, (yT + η)−1 ] ορ Γαµµα(m′ , 1/a ′ ) ποστεριορ διστριβυτιον φορ μ, ωηερε b ισ τηε νυµβερ οφ οχχυρρενχεσ οφ δοων τιµεσ σαµπλεδ ανδ yT ισ τηε τοταλ σαµπλεδ δοων τιµεσ φορ b οχχυρρενχεσ, υσυαλλψ a = b ορ a ≈ b. Λετ Q βε τηε ρανδοµ ϖαριαβλε φορ τηε φορχεδ ουταγε ρατε, ΦΟΡ(υναϖαιλαβιλιτψ) = q = λ/(λ + μ). Τηεν δεριϖε ιτσ χ.δ.φ. ωηερε  λ GQ (q) = P (Q ≤ q) = P ≤ q = Αρεα1 φορ α γιϖεν 0 < q < 1 λ+μ (5Α.9) Νοω, υσε τηε προπερτψ τηατ Γαµµα(n′ , 1/b′ ) ηασ τηε µοµεντ−γενερατινγ φυνχτιον (1 − τ/b′ )n′ . Τηισ ισ τηε µ.γ.φ. οφ α χηι−σθυαρε διστριβυτιον ωιτη 2n′ δεγρεεσ οφ φρεεδοµ. Τηεν ιτ φολλοωσ τηατ 2 ′ (2a ′ /2m′ )μ ∼ χ2m ′ /2m = F2m′ ,2n′ 2 ′ (2b′ /2n′ )λ ∼ χ2n ′ /2n

(5Α.10)

ωηιχη ισ τηε Fδφ1 ,δφ2 διστριβυτιον ωιτη νυµερατορ δφ1 = 2m′ ανδ δενοµινατορ δφ2 = 2n′ .

250

ΣΑΗΙΝΟΓΛΥ–ΛΙΒΒΨ ΠΡΟΒΑΒΙΛΙΤΨ ∆ΙΣΤΡΙΒΥΤΙΟΝ ΦΥΝΧΤΙΟΝ

Φροµ (5Α.9), βψ τακινγ ρεχιπροχαλσ οφ βοτη σιδεσ ανδ σωιτχηινγ τηε ινεθυαλιτψ σιγν, ωε οβταιν    μ μ 1 1 1 λ+μ GQ (q) = P =P 1+ ≥ =P ≥ ≥ − 1 (5Α.11) λ q λ q λ q Μυλτιπλψινγ βοτη σιδεσ οφ τηε ινεθυαλιτψ (5Α.11) βψ (2a ′ /2m′ )/(2b′ /2n′ ), ονε οβταινσ

a ′ n′ −1 (2a ′ /2m′ )μ > GQ (q) = P (q − 1) (2b′ /2n′ )λ b ′ m′

a ′ n′ = P F 2m′ , 2n′ > C1 = ′ ′ (q −1 − 1) bm = Αρεα2

(5Α.12)

Ιν οτηερ ωορδσ, ωε οβταιν αν εθυιϖαλεντ Αρεα2 φορ τηε σολυτιον οφ P (F2m′ ,2n′ > C1 ) ιν (5Α.12), ινστεαδ οφ αττεµπτινγ το χαλχυλατε τηε υνκνοων Αρεα1 φορ εθυατιον (5Α.9), ωηοσε διστριβυτιοναλ φορµ ισ νοτ κνοων ορ ρεχογνιζεδ. Τηατ ισ, Αρεα1 = Αρεα2 . Νοω τηατ ωε ηαϖε αν αχχυρατε ρεπρεσεντατιον οφ τηε χ.δ.φ. οφ Q [ι.ε., GQ (q)], λετ’σ ⇒νδ ιτσ µατηεµατιχαλ εξπρεσσιον βψ εθυατινγ Αρεα1 το Αρεα2 : ′ ′

an GQ (q) = 1 − GF2m′ ,2n′ ′ ′ (q −1 − 1) (5Α.13) bm Νοτε τηατ Σνεδεχορ’σ F δενσιτψ ισ γιϖεν βψ [12, π. 23] f (F ) =

Ŵ[(m + n)/2]  m m/2 F (m−2)/2 Ŵ(m/2)Ŵ(n/2) n [1 + (m/n)F ](m+n)/2

ωηερε μ = E(F ) = ανδ σ 2 = ςαρ(F ) =

n n−2

2n2 (m + n − 2) m(n − 2)2 (n − 4)

0
φορ n > 2

φορ n > 4 ανδ F > 0

(5Α.14) (5Α.15)

(5Α.16)

Σινχε (5Α.13) ισ διφφερεντιαβλε, υσινγ (5Α.14) ανδ διφφερεντιατινγ ωιτη ρεσπεχτ το q τηρουγη οβεψινγ τηε διφφερεντιαλ χηαιν ρυλε λεαδσ το (νοτε τηατ m′ = m/2 ανδ n′ = n/2) ′ ′

 a n −1 a ′ n′ 1 gQ (q) = −gF2m′ ,2n′ ′ ′ (q − 1) − ′ ′ 2 bm bm q   ′ ′ {[(a ′ n′ /b′ m′ )(1/q) − 1)]}m −1 a ′ n′ 1 m′ m Ŵ(m′ + n′ ) = ′ ′ b m q 2 n′ Ŵ(m′ )Ŵ(n′ ) {[1 + (m′ a ′ n′ /n′ b′ m′ )(1/q − 1)]}m′ +n′ (5Α.17)

251

∆ΕΡΙςΑΤΙΟΝ ΟΦ ΤΗΕ ΒΑΨΕΣ ΕΣΤΙΜΑΤΟΡ

Σιµπλιφψινγ ανδ ρεαρρανγινγ τηρουγη α νυµβερ οφ ιντερµεδιατε στεπσ ψιελδσ ′

′

(1 − q)m −1 1 Ŵ(m′ + n′ ) a ′m ′ ′ +n′ ′ ′ ′m ′ ′ m 2 Ŵ(m )Ŵ(n ) b {[1 + (a /b )(1/q) − 1]} q q m′ −1  0−1 ′ ′ ′ Ŵ(m′ + n′ ) (1 − q)m −1 [(b′ q + a ′ (1 − q)]m [b′ q + a ′ (1 − q)]n = Ŵ(m′ )Ŵ(n′ ) qq m′ [b′ q(a ′ /b′ )]m′ [b′ q ′ ]n′

gQ (q) =

(5Α.18) gQ (q) =

′

m′ −1 n′ −1

′

q Ŵ(m + n ) ′m′ ′n′ (1 − q) a b ′ ′ ′ ′ ′ Ŵ(m )Ŵ(n ) [a + q (b − a ′ )]m′ +n′

(5Α.19)

Ρεσυβστιτυτινγ φορ n′ = a + c, m′ = b + d, b′ = ξ + xT , ανδ a ′ = η + yT , ωε οβταιν gQ (q) =

Ŵ(a + b + c + d) (η + yT )b+d (ξ + xT )a+c Ŵ(a + c)Ŵ(b + d) (1 − q)b+d−1 q a+c−1 [η + yT + q(ξ + xT − η − yT )]a+b+c+d

(5Α.20)

ωηιχη ισ τηε π.δ.φ. οφ τηε ρανδοµ ϖαριαβλε 0 < Q < 1 ασ δε⇒νεδ αβοϖε φορ τηε υνδερλψινγ διστριβυτιοναλ ασσυµπτιονσ. ΑΠΠΕΝ∆ΙΞ 5Β: ∆ΕΡΙςΑΤΙΟΝ ΟΦ ΤΗΕ ΒΑΨΕΣ ΕΣΤΙΜΑΤΟΡ ΦΟΡ ΩΕΙΓΗΤΕ∆ ΣΘΥΑΡΕ∆−ΕΡΡΟΡ ΛΟΣΣ Γιϖεν α ωειγητεδ σθυαρεδ−ερρορ λοσσ φυνχτιον φορ αν υνκνοων παραµετερ θ ανδ εστιµατορ t = T (ξ), ωηερε τηε σαµπλε δατα ϖεχτορ ξ = x1 , x2 , . . . , xn > 0, θ > 0 ανδ τηε ωειγητ φυνχτιον ισ w(θ ), L(θ, t) = w(θ )(θ − t)2

(5Β.1)

Ασσυµινγ τηατ τηε πριορ οφ θ ισ λ(θ ), τηε ϕοιντ δενσιτψ οφ πριορ ανδ f (x) ισ γιϖεν βψ f (ξ | θ )λ(θ ) (5Β.2) Τηεν τηε χονδιτιοναλ (ποστεριορ) διστριβυτιον οφ θ γιϖεν τηε ϖεχτορ ξ ισ ασ φολλοωσ: k(θ | ξ) = 

E[L(θ, t)] =



f (x˜ | θ )λ(θ ) ˜ | θ )λ(θ ) dθ  f (x



w(θ )(θ − t)2 k(θ | ξ) dθ

(5Β.3) (5Β.4)

Τηε Βαψεσ σολυτιον ισ τηε µινιµυµ οφ τηε Βαψεσ ρισκ = E[L(θ, t)], φορ ωηιχη  dE[L(θ, t)] = − w(θ )2(θ − t)k(θ | ξ) dθ = 0 (5Β.5) dt 

252

ανδ

ΣΑΗΙΝΟΓΛΥ–ΛΙΒΒΨ ΠΡΟΒΑΒΙΛΙΤΨ ∆ΙΣΤΡΙΒΥΤΙΟΝ ΦΥΝΧΤΙΟΝ





θ w(θ )k(θ | ξ) dθ =





tw(θ )k(θ | ξ) dθ

(5Β.6)

Φιναλλψ, ωε οβταιν τηε Βαψεσ εστιµατορ φορ τηε ωειγητεδ σθυαρεδ−λοσσ φυνχτιον:  θ w(θ )k(θ | ξ) dθ E[θ w(θ ) | Ξ = ξ] = (5Β.7) T = T (ξ) = −  E[w(θ ) | Ξ = ξ] w(θ )k(θ | ξ) dθ  ΡΕΦΕΡΕΝΧΕΣ 1. Μ. Σαηινογλυ, Χοµπουνδ Ποισσον Σοφτωαρε Ρελιαβιλιτψ Μοδελ, ΙΕΕΕ Τρανσ. Σοφτωαρε Ενγ., 18(7), 624–630 (1992). 2. Μ. Σαηινογλυ ανδ Υ. Χαν, Αλτερνατιϖε Παραµετερ Εστιµατιον Μετηοδσ φορ τηε Χοµ− πουνδ Ποισσον Σοφτωαρε Ρελιαβιλιτψ Μοδελ ωιτη Χλυστερεδ Φαιλυρε ∆ατα, ϑ. Σοφτωαρε Τεστ. ςερι⇒χατιον Ρελιαβ., 7(1), 35–57 (1997). 3. Μ. Σαηινογλυ, ϑ. ∆εελψ, ανδ Σ. Χαπαρ, Στοχηαστιχ Βαψεσ Μεασυρεσ το Χοµπαρε Φορεχαστ Αχχυραχψ οφ Σοφτωαρε Ρελιαβιλιτψ Μοδελσ, ΙΕΕΕ Τρανσ. Ρελιαβ., 50(1), 92–97 (2001). 4. Μ. Σαηινογλυ, Αν Εµπιριχαλ Βαψεσιαν Στοππινγ Ρυλε ιν Τεστινγ ανδ ςερι⇒χατιον οφ Βεηαϖιοραλ Μοδελσ, ΙΕΕΕ Τρανσ. Ινστρυµ. Μεασ., 52(5), 1428–1443 (Οχτοβερ 2003). 5. Σ. Ρ. ∆ασ, Μ. Συδαρµα, Μ. Η. Ασσαφ, Ε. Μ. Πετριυ, Ω. ϑονε, Κ. Χηακραβαρτψ, ανδ Μ. Σαηινογλυ, Παριτψ Βιτ Σιγνατυρε ιν Ρεσπονσε ∆ατα Χοµπαχτιον ανδ Βυιλτ−ιν Σελφ− Τεστινγ οφ ςΛΣΙ Χιρχυιτσ ωιτη Νονεξηαυστιϖε Τεστ Σετσ, ΙΕΕΕ Τρανσ. Ινστρυµ. Μεασ., 52(5), 1363–1380 (Οχτοβερ 2003). 6. Σ. Ρ. ∆ασ, Μ. Η. Ασσαφ, Ε. Μ. Πετριυ, ανδ Μ. Σαηινογλυ, Αλιασινγ−φρεε Χοµπαχτιον ιν Τεστινγ Χορεσ−Βασεδ Σψστεµ−ον−Χηιπ (ΣΟΧ) Υσινγ Χοµπατιβιλιτψ οφ Ρεσπονσε ∆ατα Ουτπυτσ, Τρανσ. Σοχ. ∆εσ. Προχεσσ Σχι., 8(1), 1–17 (Μαρχη 2004). 7. Σ. Ρ. ∆ασ, Χ. ς. Ραµαµοορτηψ, Μ. Η. Ασσαφ, Ε. Μ. Πετριυ, Ω. Β. ϑονε, ανδ Μ. Σαηινογλυ, Ρεϖισιτινγ Ρεσπονσε Χοµπαχτιον ιν Φυλλ−Σχαν Χιρχυιτσ ωιτη Νονεξ− ηαυστιϖε Τεστ Σετσ Υσινγ Χονχεπτ οφ Σεθυενχε Χηαραχτεριζατιον, ΙΕΕΕ Τρανσ. Ινστρυµ. Μεασ., Σπεχιαλ Ισσυε ον ςΛΣΙ Τεστινγ, 54(5), 1662–1677 (Οχτοβερ 2005). 8. Σ. Ρ. ∆ασ, Χ. ς. Ραµαµοορτηψ, Μ. Η. Ασσαφ, Ε. Μ. Πετριυ, Ω. Β. ϑονε, ανδ Μ. Σαηινογλυ, Φαυλτ Σιµυλατιον ανδ Ρεσπονσε Χοµπαχτιον ιν Φυλλ−Σχαν Χιρχυιτσ Υσινγ ΗΟΠΕ, ΙΕΕΕ Τρανσ. Ινστρυµ. Μεασ., 54(6), 2310–2328 (∆εχεµβερ 2005). 9. Μ. Ξιε, Σοφτωαρε Ρελιαβιλιτψ Μοδελσ: Α Σελεχτεδ Αννοτατεδ Βιβλιογραπηψ, ϑ. Σοφτωαρε Τεστ. ςερι⇒χατιον Ρελιαβ., 3, 3–28 (1993). 10. Μ. Σαηινογλυ, Στατιστιχαλ Ινφερενχε ον τηε Ρελιαβιλιτψ Περφορµανχε Ινδεξ φορ Ελεχτριχ Ποωερ Γενερατιον Σψστεµσ, Πη.∆. δισσερτατιον, Ινστιτυτε οφ Στατιστιχσ, Τεξασ Α&Μ Υνιϖερσιτψ, Χολλεγε Στατιον, ΤΞ, 1981. 11. ∆. Λ. Λιββψ, Μυλτιϖαριατε Φιξεδ Στατε Υτιλιτψ Ασσεσσµεντ, Πη.∆. δισσερτατιον, Υνιϖερ− σιτψ οφ Ιοωα, Ιοωα Χιτψ, ΙΑ, 1981. 12. Μ. Σαηινογλυ, Μ. Τ. Λονγνεχκερ, Λ. ϑ. Ρινγερ, Χ. Σινγη, ανδ Α. Κ. Αψουβ, Προβαβιλιτψ ∆ιστριβυτιον Φυνχτιον φορ Γενερατιον Ρελιαβιλιτψ Ινδιχεσ: Αναλψτιχαλ Αππροαχη, ΙΕΕΕ Τρανσ. Ποωερ Αππαρατυσ Σψστ., 102, 1486–1493 (1983). 13. ∆. Λ. Λιββψ ανδ Μ. Ρ. Νοϖιχκ, Μυλτιϖαριατε Γενεραλιζεδ Βετα−∆ιστριβυτιονσ ωιτη Αππλιχατιονσ το Υτιλιτψ Ασσεσσµεντ, ϑ. Εδυχ. Στατ., 7(4), 271–294 (1982).

ΕΞΕΡΧΙΣΕΣ

253

14. Ν. Λ. ϑοηνσον ανδ Σ. Κοτζ, Χοντινυουσ Υνιϖαριατε ∆ιστριβυτιονσ, ςολ. 2, Ωιλεψ, Νεω Ψορκ, 1970. 15. Ν. Λ. ϑοηνσον, Σ. Κοτζ, ανδ Ν. Βαλακρισηναν, Χοντινυουσ Υνιϖαριατε ∆ιστριβυτιονσ, ςολ. 2, 2νδ εδ., Ωιλεψ, Ηοβοκεν, Νϑ, 1995. 16. Τ. Πηαµ−Για ανδ Θ. Π. ∆υονγ, Τηε Γενεραλιζεδ Βετα ανδ F ∆ιστριβυτιονσ ιν Στατιστιχαλ Μοδελινγ, Ματη. Χοµπυτ. Μοδελ., 13, 1613–1625 (1985). 17. Ρ. ς. Ηογγ ανδ Α. Τ. Χραιγ, Ιντροδυχτιον το Ματηεµατιχαλ Στατιστιχσ, 3ρδ εδ., Μαχµιλ− λαν, Νεω Ψορκ, 1970. 18. Σ. ∆. Σιλϖεψ, Στατιστιχαλ Ινφερενχε, 2νδ εδ., Χηαπµαν & Ηαλλ, Λονδον, 1975. 19. Μ. Σαηινογλυ ανδ Ε. Χηοω, Εµπιριχαλ−Βαψεσιαν Αϖαιλαβιλιτψ Ινδεξ οφ Σαφετψ ανδ Τιµε Χριτιχαλ Σοφτωαρε Σψστεµσ ωιτη Χορρεχτιϖε Μαιντενανχε, Προχεεδινγσ οφ τηε Παχι⇒χ Ριµ Ιντερνατιοναλ Σψµποσιυµ ον ∆επενδαβλε Χοµπυτινγ, Ηονγ Κονγ, 1999, ππ. 84–91. 20. Μ. Σαηινογλυ, Ρελιαβιλιτψ Ινδεξ Εϖαλυατιονσ οφ Ιντεγρατεδ Σοφτωαρε Σψστεµσ φορ Ινσυφ− ⇒χιεντ Σοφτωαρε Φαιλυρε ανδ Ρεχοϖερψ ∆ατα, Σπρινγερ−ςερλαγ, Λεχτυρε Νοτεσ, Προχεεδ− ινγσ οφ τηε Φιρστ Ιντερνατιοναλ Χονφερενχε (Α∆ςΙΣ’−2000), Ιζµιρ, Τυρκεψ, Οχτοβερ 2000, ππ. 25–27. 21. Μ. Σαηινογλυ ανδ Ω. Μυννσ, Αϖαιλαβιλιτψ Ινδιχεσ οφ α Σοφτωαρε Νετωορκ, Προχεεδινγσ οφ τηε 9τη Βραζιλιαν Σψµποσιυµ ον Φαυλτ Τολεραντ Χοµπυτινγ, Φλοριανοπολισ, Βραζιλ, Μαρχη 2001, ππ. 123–131. 22. Φ. Μ. Χαρρανο ανδ Ω. Σαϖιτχη, ∆ατα Στρυχτυρεσ ανδ Αβστραχτιονσ ωιτη ϑαϖα, Πρεντιχε Ηαλλ, Υππερ Σαδδλε Ριϖερ, Νϑ, 2003. 23. Φ. Μ. Χαρρανο ανδ ϑ. Π. Πριχηαρδ, ∆ατα Αβστραχτιον ανδ Προβλεµ Σολϖινγ ωιτη Χ++, 3ρδ εδ., Αδδισον−Ωεσλεψ, Ρεαδινγ, ΜΑ, 2002. 24. Μ. Σαηινογλυ, ∆. Λιββψ, ανδ Σ. Ρ. ∆ασ, Μεασυρινγ Αϖαιλαβιλιτψ Ινδιχεσ ωιτη Σµαλλ Σαµπλεσ φορ Χοµπονεντ ανδ Νετωορκ Ρελιαβιλιτψ Υσινγ τηε Σαηινογλυ–Λιββψ Προβ− αβιλιτψ Μοδελ, ΙΕΕΕ Τρανσ. Ινστρυµ. Μεασ., 54(3), 1283–1295 (ϑυνε 2005). 25. Γ. Γ. Ρουσσασ, Α Φιρστ Χουρσε ιν Στατιστιχσ, Αδδισον−Ωεσλεψ, Ρεαδινγ, ΜΑ, 1973.

ΕΞΕΡΧΙΣΕΣ Το υσε τηε αππλιχατιονσ ανδ δατα ⇒λεσ, χλιχκ ον “ΕΡ∆ΒΧ” ιν ΤΩΧ−Σολϖερ ον τηε Χ∆−ΡΟΜ. 5.1 Προγραµµινγa Μοντε Χαρλο (Στατιχ) Σιµυλατιον οφ Χοµµυνιχατιον Νετωορκ φορ n = 5000 ρυνσ. Σεε τηε νετωορκ ιν Φιγυρε Ε5.1(a). Ουρ γοαλ ισ το σιµυλατε τηε ρελιαβιλιτψ χαλχυλατιονσ φορ α σουρχε–ταργετ ρελιαβιλιτψ. Εξπλορε (a) τηε τεξτ− βοοκ εξαµπλε (s = 1, t = 7) ιν Φιγυρε Ε5.1(a) ανδ (b) τηε τελεχοµ νετωορκ (s = 1, t = 19) ιν Φιγυρε Ε5.1(b) ανδ Φιγυρε Ε5.2 ωιτη εαχη οφ τωο σετσ οφ δατα: (1) αλλ χοµπονεντσ ανδ λινκσ ωιλλ βεαρ α ρελιαβιλιτψ οφ 0.9, ανδ, (2) αλλ χοµπονεντσ ωιλλ ηαϖε 0.9, βυτ λινκσ ωιλλ βε υνιτψ (= 1.0). (χ) Τηε χοµπονεντ ρελιαβιλιτιεσ ωιλλ βε σιµυλατεδ ωιτη ρεσπεχτ το τηε Σαηινογλυ–Λιββψ π.δ.φ. γιϖεν τηε ινπυτ δατα φορ εαχη χοµπονεντ. Τηατ ισ, δραω α ρανδοµ δεϖιατε, q, φροµ τηε ΣΛ π.δ.φ. ωιτη τηε γιϖεν ηιστοριχαλ δατα ασ φροµ χοµπονεντσ 1 το 4 (δο τηε νετωορκ φορ εαχη χοµπονεντ ονχε). Λαψ ουτ α νετωορκ χοµποσεδ οφ τηεσε νεω ri = 1 − qi οβταινεδ φροµ τηε ΣΛ π.δ.φ. Αννουνχε ιτ το βε α πασσαγε (συχχεσσ)

254

ΣΑΗΙΝΟΓΛΥ–ΛΙΒΒΨ ΠΡΟΒΑΒΙΛΙΤΨ ∆ΙΣΤΡΙΒΥΤΙΟΝ ΦΥΝΧΤΙΟΝ

ΦΙΓΥΡΕ Ε5.1(α)

ΦΙΓΥΡΕ Ε5.1(β)

Σεϖεν−νοδε νετωορκ ωιτη s = 1, t = 7.

19−νοδε τελεπηονψ νετωορκ ωιτη s = 1, t = 19.

ιφ ωηατ ψου δραω φροµ τηε υνιφορµ ρανδοµ γενερατορ 0 < ui < ri . Ιφ νοτ, τηε χοµπονεντ ισ ουτ. Τηεν γενερατε α νεω νετωορκ υσινγ τηε ΣΛ π.δ.φ. Ονχε ψου δο τηε υνιφορµ γενερατιον, σαψ ωιτη 1000 ρυνσ φορ τηε νετωορκ δεστινατιον, χαλχυλατε τηε ρατιο οφ συχχεσσφυλ αρριϖαλσ φροµ σουρχε το ταργετ. Τηεν χηανγε τηε νετωορκ υσινγ τηε ΣΛ π.δ.φ. αγαιν. Υσε 100 νετωορκσ, εαχη οφ ωηιχη νεεδσ 1000 ρυνσ φορ συχχεσσφυλ αρριϖαλσ. Χοµπυτε τηε οϖεραλλ σιµυλατιον αϖεραγε. Τηε λινκσ ωιλλ βε σιµυλατεδ ωιτη ρεσπεχτ το α Βερνουλλι π.δ.φ. φορ P (τηε προβαβιλιτψ οφ βεινγ οπερατιϖε) = 0.9 τακεν ασ χονσταντ. Γενερατε α Βερνουλλι

ΕΞΕΡΧΙΣΕΣ

255

ΦΙΓΥΡΕ Ε5.2 Μοντε Χαρλο σιµυλατιον ρεσυλτ οφ τηε 19−νοδε 32−λινκ τελεπηονψ νετωορκ φορ s = 1, t = 19 ωιτη 100,000 ρυνσ τιµεδ.

ρανδοµ δεϖιατε (ι.ε., δραω α ui ); ιφ 0 < ui < p, ιτ ισ α ηιτ (συχχεσσ) φορ τηε λινκ. Τηερεφορε, ψου χαν, φορ εξαµπλε, αδϖανχε φροµ 1 το 2. Ιφ λινκ ρελιαβιλ− ιτψ ισ περφεχτ, δο νοτ γενερατε ανψτηινγ; σιµπλψ αδϖανχε το τηε νειγηβορινγ χοµπονεντ. Τηε νυµβερ οφ τιµεσ ουτ οφ n τριαλσ ψου χαν αδϖανχε φροµ s = 1 το t = 7 ωιτη αλλ συχχεσσφυλ ηιτσ ωιλλ γιϖε ψου τηε Μοντε Χαρλο σιµυλατιον προβαβιλιτψ φορ τηισ νετωορκ. Τρψ τηισ ⇒ρστ ον τηε σιµπλερ νετωορκ, ωηοσε ρεσυλτ ισ γιϖεν ιν Φιγυρε Ε5.1(a), τηεν ον Φιγυρε Ε5.1(b) 5.2 Προγραµµινγ α ∆ισχρετε Εϖεντ (∆ψναµιχ) Σιµυλατιον οφ α Χοµµυνιχατιον Νετωορκ. (Υσε τηε σαµε νετωορκσ ασ ιν Εξερχισε 5.1.) Μετηοδ: Ψου µαψ χηοοσε το δο τηισ προϕεχτ βψ υσινγ α δισχρετε εϖεντ σιµ− υλατιον τεχηνιθυε υσινγ δατα σετ ασ ιν Εξερχισε 5.1(β), ωηερε περφεχτ λινκσ εξιστ. Ιν τηατ χασε, ψου νεεδ το ασσυµε τηε µεαν σοϕουρν τιµεσ φορ εαχη στατε, συχη ασ λ = (µεαν σοϕουρν τιµε)−1 . Φορ σακε οφ χονϖενιενχε, λετ υσ ασσυµε τηατ τηε προβαβιλιτψ οφ αν υπ στατε φορ α χοµπονεντ, συχη ασ 0.9, δενοτεσ τηατ νινε οφ 10 τιµε υνιτσ αρε οπερατινγ ανδ ονε τιµε υνιτ ισ νοτ οπερατινγ. Τηερε− φορε, τηε ρεχιπροχαλσ οφ τηε µεανσ ψιελδ τηε ρατεσ λ (φαιλυρε ρατε) = 1/9 ανδ μ (ρεπαιρ ρατε) = 1/1. Τηυσ, ΦΟΡ = λ/(λ + μ) = (1/9)/[(1/9) + (1/1)] = (1/9)/(10/9) = 0.1, ωηιχη χηεχκσ. Υσινγ τηεσε ρατεσ οφ σοϕουρν (σταψ) ιν τερµσ οφ γενερατινγ σοϕουρν τιµεσ, ορ τιµεσ το φαιλυρε, βψ νεγατιϖε εξπονεντιαλ π.δ.φ., ονε µαψ γο φροµ στατε το στατε. Ιφ βοτη στατεσ ωορκ (χοινχιδε ορ χονϖολϖε) ατ τηε σαµε τιµε, ιτ ισ α συχχεσσφυλ χοννεχτιον. Ηοω µανψ τιµεσ ουτ οφ ηοω µανψ τριαλσ ψου χαν ρεαχη, συχη ασ φροµ s = 1 το t = 19, ψιελδσ τηε σιµυλατεδ προβαβιλιτψ οφ συχχεσσ. Υσε τηε ινπυτ ανδ ουτπυτ δατα ιν Ταβλε Ε5.2 φορ τηε ΣΛ π.δ.φ. 5.3 Υσινγ τηε ινπυτ δατα ιν Ταβλε Ε5.2 (υππερ ηαλφ), ϖεριφψ τηε ρεσυλτσ ιν Ταβλε Ε5.2 (λοωερ ηαλφ) φορ τηε 7−, 8− ανδ 10−νοδε νετωορκσ ονλψ. 5.4 Χαλχυλατε τηε σουρχε–ταργετ ρελιαβιλιτψ φορ τηε 19−νοδε προβλεµ ωιτη λινκ ρελιαβιλιτψ 0.9 ανδ 1.0 υσινγ τηε δατα ιν Ταβλε Ε5.2. Φιρστ ασσυµε αλλ υνιτσ το ηαϖε 0.9. Ανδ τηεν εντερ τηε χοµπονεντ ινπυτσ το ϖεριφψ τηε 8 ρεσυλτσ φορ τηε

256

ΣΑΗΙΝΟΓΛΥ–ΛΙΒΒΨ ΠΡΟΒΑΒΙΛΙΤΨ ∆ΙΣΤΡΙΒΥΤΙΟΝ ΦΥΝΧΤΙΟΝ

ΤΑΒΛΕ Ε5.2 Ινπυτσ/Ουτπυτσ φορ Εξερχισεσ 5.2 το 5.4 φορ Σιµυλατινγ 7−, 8−, 10−, ανδ 19−Νοδε Νετωορκσ Ινπυτ/Ουπυτ ∆ατα

Χοµπονεντ 1

Χοµπονεντ 2

Χοµπονεντ 3

Χοµπονεντ 4

a (νο. φαιλυρε εϖεντσ) b (νο. ρεπαιρ εϖεντσ) xT (νο. φαιλυρε τιµε) yT (ρεπαιρ τιµε) c (σηαπε φορ λ) ξ (ινϖερσε σχαλε) d (σηαπε φορ μ) η (ινϖερσε σχαλε)

10 10 1000 η 111.11 0.02 1 0.1 1

5 5 25 η 5η 0.2 1 2 0.5

10 10 1000 η 111.11 η 0.5 1 2 0.25

100 100 10,000 η 1111.11 η 0.5 1 2 0.25

0.907325 0.906655 0.892568 0.7850

0.882397 0.849595 0.852496 0.7053

0.917820 0.906655 0.905617 0.8110

0.902027 0.900715 0.900613 0.801

0.7945

0.7213

0.8186

0.8093

0.7835

0.7016

0.8100

0.7998

0.7676

0.6765

0.7971

0.7858

0.7017

0.6053

0.7339

0.7215

Χασε 1: σινγλε R∗ R ∗∗ E(r) = µεαν 7−νοδε, 0.9 (0.7999) λινκ = 1.0 8−νοδε, 0.9 (0.8082) λινκ = 1.0 10−νοδε, 0.9 (0.7986) λινκ = 1.0 19−νοδε, 0.9 (0.7845) λινκ = 1.0 19−νοδε, 0.9 (0.7299) λινκ = 0.9

εξπεχτεδ ϖαλυε E(r), R ∗ , ανδ R ∗∗ ασ γιϖεν ιν Ταβλε Ε5.2. Οβταιν Φιγυρεσ 5.3 το 5.6 φορ χοµπονεντ 1 το 4. 5.5 ∆εριϖε α νεω µυλτιϖαριατε ΣΛ προβαβιλιτψ δενσιτψ φυνχτιον, ινχλυδινγ α δερ− ατεδ στατε ιν αδδιτιον το τηε υπ ανδ δοων στατεσ, ωηοσε δεριϖατιον ισ γιϖεν ιν Αππενδιξ 5Α.

∆ον’τ λοοκ ον ανψονε ασ ωορτηλεσσ, νο ονε ισ ωορτηλεσσ; Ιτ’σ νοτ φαιρ το σεεκ πεοπλε’σ δεφεχτσ ανδ δε⇒χιενχιεσ. ∆ον’τ λοοκ δοων ον ανψονε, νεϖερ βρεακ α ηεαρτ; Τηε µψστιχ µυστ λοϖε σιµπλε αλλ σεϖεντψ−τωο νατιονσ. —Ψυνυσ Εµρε, τηε λεγενδαρψ µψστιχ φολκ ποετ (1238–1320)

6 ΡΕΛΙΑΒΙΛΙΤΨ ΒΛΟΧΚ ∆ΙΑΓΡΑΜΜΙΝΓ ΙΝ ΧΟΜΠΛΕΞ ΣΨΣΤΕΜΣ Νυτσηελλ 6.0 Α λαργε αµουντ οφ ωορκ ισ ιν προγρεσσ ον ρελιαβιλιτψ βλοχκ διαγραµµινγ τεχη− νιθυεσ. Ανοτηερ βοδψ οφ δψναµιχ ρεσεαρχη ισ ιν διγιταλ τεστινγ οφ εµβεδδεδ σψσ− τεµσ ωιτη ςΛΣΙ (ϖερψ λαργε σχαλε ιντεγρατεδ) χιρχυιτσ. Εϖερψ εµβεδδεδ σψστεµ, ωηετηερ σιµπλε ορ χοµπλεξ, χαν βε δεχοµποσεδ το χονσιστ οφ χοµπονεντσ (βλοχκσ) ανδ ιντερχοννεχτιονσ ορ τρανσµισσιονσ (λινκσ) ωιτηιν α σουρχε (ινγρεσσ) ανδ α ταργετ (εγρεσσ) τοπολογψ. Φουρ τοολσ αρε προποσεδ ιν τηισ στυδψ. Τηε ⇒ρστ τοολ, υσινγ α νοϖελ χοµπρεσσιον αλγοριτηµ, ισ χαπαβλε οφ ρεδυχινγ ανψ χοµπλιχατεδ σεριεσ–παραλλελ σψστεµ (νοτ χοµπλεξ) το α ϖισιβλψ εασψ σεθυενχε οφ σεριεσ ανδ παρ− αλλελ βλοχκσ ιν α ρελιαβιλιτψ βλοχκ διαγραµ βψ ⇒νδινγ αλλ εξιστινγ πατησ, χοµπρεσσινγ αλλ ρεδυνδαντ χοµπονεντ δυπλιχατιονσ αλγοριτηµιχαλλψ, ανδ χαλχυλατινγ αν εξαχτ ρελιαβιλιτψ ανδ χρεατινγ αν ενχοδινγ οφ τηε τοπολογψ. Α σεχονδ τοολ ισ το δεχοδε ανδ ρετριεϖε αν αλρεαδψ χοδεδ σουρχε–ταργετ δεπενδενχψ ρελατιονσηιπ υσινγ ποστ− ⇒ξ νοτατιον φορ παραλλελ–σεριεσ ορ χοµπλεξ σψστεµσ. Α τηιρδ τοολ ισ αν αππροξιµατε φαστ υππερ−βουνδ σουρχε–ταργετ ρελιαβιλιτψ χοµπυτινγ αλγοριτηµ δεσιγνεδ φορ παρ− αλλελ–σεριεσ σψστεµσ το περφορµ στατε ενυµερατιον ιν α ηψβριδ φορµ ασσιστεδ βψ τηε Πολιση ενχοδινγ αππροαχη το νονσιµπλε ορ χοµπλεξ σψστεµσ το χοµπυτε τηε εξαχτ σουρχε–ταργετ ρελιαβιλιτψ. ςαριουσ εξαµπλεσ ιλλυστρατε ηοω τηεσε τοολσ ωορκ σατισ− φαχτοριλψ ιν ηαρµονψ. Ασ τηε φουρτη τοολ, χηαλλενγινγ οϖερλαπ ανδ µυλτιστατε σψστεµ ρελιαβιλιτψ µετηοδσ αρε πρεσεντεδ αλγοριτηµιχαλλψ ατ τηε ⇒ναλ σταγε το ρεδυχε τηε χοµπυτατιον σπεεδ χονσιδεραβλψ ωιτη νο χοµπροµισε φροµ εξαχτ αχχυραχψ.

Τρυστωορτηψ Χοµπυτινγ: Αναλψτιχαλ ανδ Θυαντιτατιϖε Ενγινεερινγ Εϖαλυατιον, Βψ Μ. Σαηινογλυ Χοπψριγητ  2007 ϑοην Ωιλεψ & Σονσ, Ινχ.

257

258

ΡΕΛΙΑΒΙΛΙΤΨ ΒΛΟΧΚ ∆ΙΑΓΡΑΜΜΙΝΓ ΙΝ ΧΟΜΠΛΕΞ ΣΨΣΤΕΜΣ

6.1 ΙΝΤΡΟ∆ΥΧΤΙΟΝ ΑΝ∆ ΜΟΤΙςΑΤΙΟΝ Ρελιαβιλιτψ βλοχκ διαγραµµινγ (ΡΒ∆) ηασ βεεν αν αχτιϖε αρεα οφ ρεσεαρχη φορ δεχαδεσ, εϖεν µορε σο νοω ωιτη τηε αδϖεντ οφ εµβεδδεδ σψστεµσ [1–11]. Ιν τηισ χηαπτερ ωε δεσχριβε ανδ χοµπυτε τηε σουρχε–ταργετ ρελιαβιλιτψ ιν συχη εµβεδδεδ σψστεµσ τηρουγη αν ΡΒ∆ αππροαχη. Ιν δοινγ σο, ωε πυρπορτ το ιντεγρατε τηε πρεχεδινγ χηαπτερσ ον χοµπονεντ αναλψσισ ωιτηιν α σψστεµ χονχεπτ [6,9,20,32]. Ιτ ισ ασσυµεδ τηατ τηε ινπυτ δατα ρεθυιρεδ, συχη ασ ιν τηε φορµ οφ στατιχ ρελια− βιλιτψ ορ αϖαιλαβιλιτψ, ινχλυδινγ τηε ασπεχτ οφ σεχυριτψ φορ εαχη χοµπονεντ ανδ λινκ, ιν τηε ΡΒ∆ αππροαχη ισ φαχιλιτατεδ χορρεχτλψ βψ ιµπροϖινγ τηε ςΛΣΙ τεστ− ινγ τεχηνιθυεσ [26–31]. Εαρλιερ, σιµπλε ορ χοµπλιχατεδ παραλλελ–σεριεσ σψστεµσ ωερε στυδιεδ το δεµονστρατε τηατ τηεσε νετωορκσ χαν βε ενχοδεδ υσινγ α µοδι⇒εδ Πολιση νοτατιον εµπλοψινγ ποστ⇒ξεσ [12,17,19–22]. Τηρουγη α υσερ−φριενδλψ ανδ γραπηιχαλ ϑαϖα αππλιχατιον, τηε χοµπρεσσιον αλγοριτηµ χοµπυτεσ τηε ρελιαβιλιτψ οφ ανψ παραλλελ–σεριεσ νετωορκ, νο µαττερ ηοω λαργε ορ χοµπλιχατεδ ιτ ισ. Φυρτηερ− µορε, τηε ενχοδεδ τοπολογψ χαν βε τρανσµιττεδ ρεµοτελψ ανδ τηεν ρεϖερσε−χοδεδ το ρεχονστρυχτ τηε οριγιναλ νετωορκ διαγραµ φορ πυρποσεσ οφ σεχυρινγ χλασσι⇒εδ ινφορµατιον ανδ σαϖινγ σπαχε. Ιντερεστ ιν χονσιδερινγ ρελιαβιλιτψ δυρινγ τηε δεσιγν οφ χοµπυτερ χοµµυνιχα− τιονσ νετωορκσ ωιτη α λαργε νυµβερ οφ νοδεσ ανδ χοννεχτινγ λινκσ, συχη ασ τηοσε φουνδ ιν ηοσπιταλσ, υνιϖερσιτιεσ, ελεχτριχιτψ διστριβυτιον, γασ πιπελινεσ, τηε µιλιταρψ ορ τηε Ιντερνετ, ηασ ινχρεασεδ ιν ρεχεντ ψεαρσ. ∆υε το γεογραπηιχαλ ανδ πηψσιχαλ χονστραιντσ ιν συχη χριτιχαλ σψστεµσ, δεσιγνερσ ατ τηε ινιτιαλ ορ ιµπροϖεµεντ σταγεσ υσυαλλψ βασε τηειρ δεχισιονσ ον αππροξιµατε ορ υππερ−βουνδ εστιµατεσ οφ ρελιαβιλ− ιτψ το χοµπυτε α γιϖεν ινγρεσσ (σουρχε) το εγρεσσ (ταργετ) ρελιαβιλιτψ. Τηισ πραχτιχε µαψ βε δεχεπτιϖε, ερρονεουσ, ανδ οϖερλψ οπτιµιστιχ, δυε το χοµπυτατιοναλ χοµ− πλεξιτψ, ωηιλε ρελιαβιλιτψ ρεµαινσ οφ χρυχιαλ ιµπορτανχε ιν τερµσ οφ ηυµαν λιφε, σαφετψ, ανδ ηεαλτη. Σψστεµ ρελιαβιλιτψ χαν βε δε⇒νεδ ασ τηε προβαβιλιτψ τηατ ωιτη αλλ ιτσ συβσψσ− τεµσ ανδ χονστιτυτινγ χοµπονεντσ, α σψστεµ ωιλλ χοµπλετε συχχεσσφυλλψ τηε τασκ ιτ ισ ιντενδεδ το περφορµ υνδερ τηε χονδιτιονσ ενχουντερεδ φορ τηε περιοδ οφ τιµε σπεχι⇒εδ. Σψστεµ ρελιαβιλιτψ αναλψσισ ισ τηε προχεσσ οφ θυαντιφψινγ α σψσ− τεµ’σ ινγρεσσ–εγρεσσ σερϖιχεαβιλιτψ βψ εξαµινινγ τηε δεπενδενχψ ρελατιονσηιπσ βετωεεν τηε χοµπονεντσ τηατ χοµπρισε τηε σψστεµ. Ρελιαβιλιτψ αναλψσισ ισ εσσεν− τιαλ ωηενεϖερ τηε προβαβιλιτψ ορ χοστ οφ φαιλυρε ισ ηιγη. Μοδελινγ αλλοωσ αναλψστσ το δετερµινε ωεακ σποτσ ιν σψστεµσ σο τηατ α µαιντενανχε ενγινεερ χαν ινϖεντορψ α βαχκυπ λιστ οφ χοµπονεντσ. Ιν νετωορκ χοµπυτινγ, τηε ρελιαβιλιτψ αναλψσισ φοχυσεσ ον τηε χοµπυτερ νετ− ωορκ χοµπονεντσ ανδ τηε χοννεχτιονσ βετωεεν τηεµ το δετερµινε οϖεραλλ σψστεµ ρελιαβιλιτψ ασ ωελλ ασ τηε ρελιαβιλιτιεσ βετωεεν ινδιϖιδυαλ νοδεσ ιν τηε νετωορκ. Νετωορκ ρελιαβιλιτψ χοµπυτατιονσ αρε σιµιλαρ το τηοσε δεϖελοπεδ φορ ινδυστριαλ αππλιχατιονσ, βυτ τηερε αρε α φεω εξχεπτιονσ. Ιν ινδυστριαλ αππλιχατιονσ, αλλ οφ τηε χοµπονεντσ ιν τηε σψστεµ αρε χονσιδερεδ χριτιχαλ το τηε οϖεραλλ φυνχτιονινγ οφ τηε σψστεµ. Ηοωεϖερ, ιν νετωορκ αππλιχατιονσ, τηε χοµµυνιχατιον βετωεεν τωο νοδεσ µαψ υσε ονλψ α σελεχτ φεω χοµπονεντσ ιν τηε σψστεµ, ιγνορινγ οτηερ νονχριτιχαλ νοδεσ.

ΣΙΜΠΛΕ ΙΛΛΥΣΤΡΑΤΙςΕ ΕΞΑΜΠΛΕ

259

Χυρρεντλψ, πυβλισηεδ εδυχατιοναλ µατεριαλσ χοϖερ µετηοδσ φορ δετερµινινγ σψσ− τεµ ρελιαβιλιτιεσ ιν νετωορκσ τηατ χαν βε εξπρεσσεδ ασ πυρε παραλλελ–σεριεσ σψστεµσ ορ, υσινγ α συβστιτυτιον µετηοδ, πρεδοµιναντλψ παραλλελ–σεριεσ σψστεµσ µαψ σαϖε σεϖεραλ ορ µορε νοδεσ, προϖιδινγ φεεδβαχκ. Βυτ ασ εξπεριενχε προϖεσ, τηεσε ρεαδψ−το−χοοκ νετωορκσ ραρελψ οχχυρ ουτσιδε τεξτβοοκσ. Τηεσε χοµπυτατιονσ προϖε ιµποσσιβλε ορ µατηεµατιχαλλψ υνωιελδψ ωηεν αππλιεδ το ρεαλ χοµπλεξ νετωορκσ ανδ αρε τηερεφορε υσεφυλ ονλψ το τεαχη βασιχ ρελιαβιλιτψ χονχεπτσ. Τηε γραπηιχαλ σχρεενινγ εασε ανδ χονϖενιενχε οφ ΡΒ∆ αλγοριτηµσ ισ αδϖανταγεουσ φορ πλαννερσ ανδ δεσιγνερσ τρψινγ το ιµπροϖε σψστεµ ρελιαβιλιτψ βψ αλλοωινγ θυιχκ ανδ εφ⇒− χιεντ ιντερϖεντιον τηατ µαψ βε ρεθυιρεδ ατ α δισπατχη χεντερ το οβσερϖε ρουτινε οπερατιονσ ανδ/ορ ιδεντιφψ σολυτιον αλτερνατιϖεσ ιν χασε οφ α χρισισ. Τηε Βοολεαν δεχοµποσιτιον ανδ βιναρψ αλγοριτηµσ [13–16] αρε ουτσιδε τηε σχοπε οφ τηισ ωορκ, αλτηουγη τηεψ αρε υσεδ ιν τηε πρεσεντ χηαπτερ το ιλλυστρατε α νεω ηψβριδ σολυτιον ωιτη τηε Πολιση νοτατιον. Τηε αλγοριτηµ προποσεδ, τηρουγη α υσερ−φριενδλψ ανδ γραπηιχαλ ϑαϖα αππλετ, χοµπυτεσ τηε ρελιαβιλιτψ οφ ανψ χοµ− πλεξ παραλλελ–σεριεσ νετωορκ. Φυρτηερµορε, τηε χοδεδ τοπολογψ χαν βε τρανσµιττεδ ρεµοτελψ ανδ τηεν ρεϖερσε−ενγινεερεδ το ρεχονστρυχτ τηε οριγιναλ νετωορκ διαγραµ φορ πυρποσεσ οφ σεχυρινγ χλασσι⇒εδ ινφορµατιον ανδ σαϖινγ σπαχε. Τηισ, τοο, χαν βε αππλιεδ το σεχυριτψ−ρελατεδ ινπυτ φορ ωιρεδ ορ ωιρελεσσ σψστεµσ. Αλλ χυρρεντ εξαχτ χοµπυτατιοναλ αλγοριτηµσ φορ γενεραλ νετωορκσ αρε βασεδ ον ενυµερατιον οφ στατεσ, µινπατησ, ορ µινχυτσ [2,3]. Νετωορκ ρελιαβιλιτψ εστιµατιον ηασ βεεν υσεδ συχχεσσφυλλψ φορ σµαλλ νετωορκσ υσινγ νευραλ νετωορκσ ανδ ηευριστιχ αλγο− ριτηµσ ιν [7,8] ασ ωελλ ασ εµπλοψινγ α χονχυρρεντ ερρορ δετεχτιον αππροαχη βψ τηε χοαυτηορ οφ εαρλιερ ρεσεαρχη [18]. Οτηερ ρεσεαρχηερσ ηαϖε υσεδ Μοντε Χαρλο σιµυλατιον [4,5]. Βουνδσ συχη ασ ϑαν’σ υππερ βουνδ, υσεδ το ρεδυχε τηε χοµ− πλεξιτψ οφ χοµπυτατιονσ, αρε αππροξιµατε [3]. Α τηορουγη αναλψσισ ισ γιϖεν βψ [1] Φιναλλψ, τηε οϖερλαπ αλγοριτηµ ισ πρεσεντεδ [24,33] φορ χοµπλεξ σψστεµσ. 6.2 ΣΙΜΠΛΕ ΙΛΛΥΣΤΡΑΤΙςΕ ΕΞΑΜΠΛΕ Φορ τηισ χηαπτερ, σοµε παραλλελ–σεριεσ εξαµπλεσ αρε υσεδ το ιλλυστρατε τηε αλγο− ριτηµσ προποσεδ. Ασ αν εξαµπλε οφ τηισ µετηοδ, τηε ϑαϖα αππλετ ιν Φιγυρε 6.1 εξαµινεσ α σλιγητλψ µοδι⇒εδ Εξαµπλε 6.3 οφ Φιγυρε 6.4 γιϖεν ον ππ. 106–107 οφ Ρελιαβιλιτψ Μοδελινγ βψ Λινδα Ωολτενσηολµε, πυβλισηεδ ιν 1999 [11]. Τηε νοδε φαιλυρεσ αρε αλλ q = 0.1 εξχεπτ φορ q1 = q3 = 2q = 0.2. Νοτε τηατ φορ σιµπλιχιτψ, λινκσ ηαϖε ζερο φαιλυρε προβαβιλιτψ. Λετ T δενοτε α τιε σετ. Ιφ q = φαιλυρε προβαβιλ− ιτψ φορ αλλ χοµπονεντσ, τηεν P (T1 ∪ T2 ∪ T3 ) = P (164) + P (1234) + P (1254) − P (12364) − P (12654) − (12354) + P (123654) = (1 − 2q)(1 − 2q + q 2 )(1 + q −2q 3 ) = (0.8)(0.81)(1.098) = 0.711504, ωηιχη χαν βε οβσερϖεδ ιν αρραψ {1, 4} οφ τηε σολυτιον µατριξ ιν Φιγυρε 6.1. Τηε µετηοδ υσεδ βψ Ωολτενσηολµε, εξαχτ ρελιαβιλιτψ βλοχκ διαγραµ χαλχυλατιον (ΕΡΒ∆Χ), ισ αν εξαχτ χαλχυλατιον οφ σουρχε–ταργετ ρελιαβιλιτψ βυτ ισ αλσο τραχταβλε φορ λαργε νετωορκσ. Τηε ινγρεσσ–εγρεσσ ρελατιονσηιπ ισ αλσο ταβυλατεδ ιν Φιγυρε 6.1 βψ Πολιση, ορ ποστ⇒ξ, νοτατιον υσεδ βψ Σαηινογλυ ετ αλ. ιν 2003 [6,9,12,32], ωηερε τηε ποστ⇒ξεσ ∗ ανδ + δενοτε τωο−ατ−α−τιµε σεριεσ ανδ παραλλελ χοµπονεντσ,

260

ΦΙΓΥΡΕ 6.1 ενχε 11.

ΡΕΛΙΑΒΙΛΙΤΨ ΒΛΟΧΚ ∆ΙΑΓΡΑΜΜΙΝΓ ΙΝ ΧΟΜΠΛΕΞ ΣΨΣΤΕΜΣ

ΡΒ∆ ανδ µατριξ οφ σουρχε–ταργετ ρελιαβιλιτιεσ οφ τηε νετωορκ φροµ ρεφερ−

ρεσπεχτιϖελψ. Τηε υππερ βουνδ οφ σψστεµ ρελιαβιλιτψ ισ χαλχυλατεδ βψ τρεατινγ τηε τηρεε πατησ ορ τιε σετσ ιν παραλλελ [ι.ε., ρελιαβιλιτψ υππερ βουνδ = 1 − (1 − 0.0648)(1 − 0.5184)(1 − 0.5832) = 0.92934], ασ σηοων ιν Φιγυρε 6.1. Ηοωεϖερ, ωηεν τηε νυµβερ οφ χοµπονεντσ ισ ινχρεασεδ το α γρεατ µανψ µορε, ιτ βεχοµεσ τεδιουσ το αρρανγε τηε νετωορκ ιν α νιχε σεθυενχε οφ σεριεσ ανδ παραλλελ συβσψστεµσ. Τηε χοµπρεσσιον αλγοριτηµ δοεσ τηατ ανδ αλσο χαλχυλατεσ τηε εξαχτ σουρχε–ταργετ ρελιαβιλιτψ φορ νιχε ανδ σιµπλε παραλλελ–σεριεσ (νοτ χοµπλεξ) βυτ χοµπλιχατεδ−λοοκινγ σψστεµσ, ασ ωε σηοω ιν Σεχτιον 6.3. 6.3 ΧΟΜΠΡΕΣΣΙΟΝ ΑΛΓΟΡΙΤΗΜ ΑΝ∆ ςΑΡΙΟΥΣ ΑΠΠΛΙΧΑΤΙΟΝΣ Τηε αλγοριτηµ το φαχιλιτατε α σιµπλερ ωαψ το χοµπυτε τηε σουρχε–ταργετ ρελιαβιλιτψ ισ ασ φολλοωσ. Ιν α παραλλελ σετ χοµποσεδ οφ i, ϕ, k, l, m, . . . πατησ, ατ εαχη ιτεµ i, χοµπρεσσ φορ εαχη φολλοωινγ ιτεµ j . Ιφ i χαν χοµβινε ωιτη j , δο σο, ανδ ρεµοϖε j . Ιφ νοτ, κεεπ ιτ ανδ χοµπρεσσ αγαιν ωιτη τηε νεξτ kτη πατη υντιλ αλλ οφ τηε παραλλελ πατησ ηαϖε βεεν εξηαυστεδ. Ατ τηε ενδ, τηερε ισ α σινγλε χοµπρεσσεδ πατη ΡΒ∆ φροµ ινγρεσσ το εγρεσσ νοδε. Α λινε βετωεεν τωο νοδεσ ισ τρεατεδ ασ α σεριεσ χοµπονεντ βετωεεν τηε τωο, ασ ιν Φιγυρε 6.1. Λινε −1 χοννεχτινγ νοδεσ 1 ανδ 2 ισ εξπρεσσεδ ασ ιν 1,−1,∗,2,∗. Τωο χοµπονεντσ ιν παραλλελ αρε δεσιγνατεδ ασ 1, 2, + [6,12,17,19–22]. Λετ’σ τακε τηε φολλοωινγ παραλλελ–σεριεσ εξαµπλε, σηοων ιν Φιγυρε 6.2. Τηε + ποστ⇒ξεσ ατ τηε ενδ οφ εαχη σεριαλ πατη δενοτε τηατ τηοσε πατησ ωιλλ βε χοµβινεδ ιν παραλλελ το χαλχυλατε τηε υππερ βουνδ. Οτηερωισε, εαχη πατη ηασ

ΧΟΜΠΡΕΣΣΙΟΝ ΑΛΓΟΡΙΤΗΜ ΑΝ∆ ςΑΡΙΟΥΣ ΑΠΠΛΙΧΑΤΙΟΝΣ

261

ΦΙΓΥΡΕ 6.2 Σουρχε–ταργετ ρελιαβιλιτψ (s = 1, t = 8) φορ α παραλλελ–σεριεσ νετωορκ, ΡΒ∆.

BEGIN RBD 1, 2, *,5, *,8, * to merge with 1, 3, *,5, *,8,

STEP 0

STEP 1 | 2 | 1 _| |___ 5______8 | 3 | to merge with 1, 4, *,6, *,8, *, STEP 2 | 2 | | 1 _| |______________ 5____ |_ 8 | 3 | | | | | | 4 |_____________ 6 __ | | | | to merge with 1,4,*,7,*,8 STEP 3 | 2 | | 1 _| |______________ 5____|_ 8 | 3 | | | | 6| | | 4 _____________| | ___ | | | | | | |7 | | Final tableau – END RBD

ΦΙΓΥΡΕ 6.3

ΡΒ∆ χοµπρεσσιον αλγοριτηµ φορ α σιµπλε παραλλελ–σεριεσ νετωορκ.

αλλ οφ ιτσ χοµπονεντσ χοννεχτεδ ιν σεριεσ, δενοτεδ βψ α συχχεσσιον οφ ∗ ποστ− ⇒ξεσ. Νο µορε τηαν τωο χονσεχυτιϖε χοµπονεντσ αρε αλλοωεδ φορ εαχη ποστ⇒ξ. Ωε τακε εαχη πατη ιν ασχενδινγ ορ δεσχενδινγ σεθυενχε ασ χονϖενιεντ το χοµ− παρε ανδ χοντραστ. Τηε χοµπρεσσιον ισ εξεχυτεδ ασ µανψ τιµεσ ασ τηερε αρε πατησ (Φιγυρε 6.3). Τηε χοµπλιχατεδ, ιντραχταβλε παραλλελ–σεριεσ ∆ινγ−∆ονγ1 νετωορκ

262

ΡΕΛΙΑΒΙΛΙΤΨ ΒΛΟΧΚ ∆ΙΑΓΡΑΜΜΙΝΓ ΙΝ ΧΟΜΠΛΕΞ ΣΨΣΤΕΜΣ

ΦΙΓΥΡΕ 6.4

Τοπολογψ φορ ∆ινγ−∆ονγ1 ασ ρεδυχεδ το τηε σιµπλερ νετωορκ ατ τηε βοττοµ.

Analytical Results: Ingress Node: 1 Egress Node: 13 Without Transmission (Link) Reliabilities, Exact Reliability: 0.7938938796628517 Polish Notation: 1,2 4,*,5,*6,*7,*,8, 9,10,*,+, *, 11,*, 3,14, *,15, *,16, *,17,18, +, *,19, *, +,12, +, *,13, * Path # Reliability Polish Notation 1 0.38742048 1, 2, *,4, *,5, *,6, *,7, *,8, *,11, *,13, *, 2 0.34867844 1, 2, *,4, *,5, *,6, *,7, *,9, *,10, *,11, *,13, *, +, 3 0.43046721 1, 3, *,14, *,15, *,16, *,17, *,19, *,13, *, +, 4 0.43046721 1, 3, *,14, *,15, *,16, *,18, *,19, *,13, *, +, 5 0.72900000 1, 12, *,13, * With Transmission (Link) Reliabilities, Exact Reliability: 0.5513297153873634 Polish Notation: 1, –1, 2, *, –2, *, 4, *, –3, *, 5, *, –4, *, 6, *, –5, *, 7, *, –6, 8, *, –10, *, –7, 9, *, –8, *, 10, *, –9, *, +, *, 11, *, –21, *, –11, 3, *, –12, *, 14, *, –13, *, 15, *, –14, *, 16, *, –15, 17, *, –17, *, –16, 18, *, –18, *, +, *, 19, *, –22, *, +, –19, 12, *, –20, *, +, *, 13, *

ΦΙΓΥΡΕ 6.5

Εξαχτ ρελιαβιλιτιεσ φορ τηε παραλλελ–σεριεσ ∆ινγ−∆ονγ1 νετωορκ.

σηοων ιν Φιγυρε 6.4 ωιλλ βε στυδιεδ. Ον τηε οτηερ ηανδ, Φιγυρε 6.4 δεπιχτσ α σιµυλατεδ ΛΑΝ οπερατιον χονσιστινγ οφ 22 λινκσ ανδ 19 νοδεσ. Τηισ νετωορκ ηασ νοδεσ αλλ ωιτη α ρελιαβιλιτψ 0.9 ανδ λινκσ ωιτη ρελιαβιλιτψ 0.8, ρεσπεχτιϖελψ. Νοτε τηατ τηε λινεσ αρε ασσιγνεδ νεγατιϖε πρε⇒ξεσ, ανδ s = 1 ανδ t = 13 αρε τηε ινγρεσσ (σουρχε) ανδ εγρεσσ (ταργετ) νοδεσ, ρεσπεχτιϖελψ. Τηε νετωορκ χαν βε τρανσλατεδ ιντο α Πολιση (δεπενδενχψ) νοτατιον ασ ιν Φιγυρε 6.5 το χαλχυλατε τηε σουρχε–ταργετ ρελιαβιλιτψ. Τηε αλγοριτηµ οφφερσ α υσερ−φριενδλψ γραπηιχαλ ιντερφαχε, σπεεδ, ανδ αχχυραχψ, εσπεχιαλλψ ιν τηε εϖεντ οφ ιµπερφεχτ λινκσ βεψονδ α σεχυρε ενϖιρον− µεντ το τρανσπορτ ον τηε νετ τηρουγη α ρεϖερσε ενγινεερινγ προχεσσ, πρεσεντεδ ιν Σεχτιον 6.6. Ανοτηερ αππλιχατιον οφ τηε χοµπρεσσιον αλγοριτηµ φορ αν 11−νοδε σιµπλε παρ− αλλελ–σεριεσ νετωορκ ισ σηοων ιν Φιγυρε 6.6. Σουρχε–ταργετ ρελιαβιλιτψ αναλψσισ υσινγ τηε νεω Πολιση νοτατιον αππροαχη ισ πρεσεντεδ φυρτηερ βελοω. Χονσιδερινγ πατη ρελιαβιλιτψ, τηε πατησ ορ τιε σετσ αρε ασ σηοων ιν Φιγυρε 6.7 ωηεν αλλ λινκσ αρε ασσυµεδ το οπερατε ωιτη φυλλ ρελιαβιλιτψ οφ 1. Τηε νεγατιϖε διγιτσ δενοτε νοδε χοννεχτιονσ ορ λινκσ. Τηε + σιγνσ ατ τηε ενδ οφ εαχη σεριαλ πατη δενοτε τηατ τηοσε πατησ ωιλλ βε χοµβινεδ ιν παραλλελ το χαλχυλατε τηε υππερ βουνδ. Οτηερωισε,

ΧΟΜΠΡΕΣΣΙΟΝ ΑΛΓΟΡΙΤΗΜ ΑΝ∆ ςΑΡΙΟΥΣ ΑΠΠΛΙΧΑΤΙΟΝΣ

ΦΙΓΥΡΕ 6.6

263

Ελεϖεν−νοδε σιµπλε παραλλελ−σεριεσ νετωορκ ωιτη s = 5, t = 9. Without Link: Path # Reliability 1 0.72900000 2 0.65610000 3 0.47829690 4 0.43046721

Polish Notation 5, 1, *,9, *, 5, 1, *,10, *,9, *, +, 5, 2, *,3, *,4, *,11, *,1, *,9, *, +, 5, 2, *,3, *,4, *,11, *,1, *,10, *,9, *, +

ΦΙΓΥΡΕ 6.7 Σψστεµ ρελιαβιλιτψ ανδ πατη ρελιαβιλιτιεσ ωηεν λινκσ αρε ασσυµεδ το βε περφεχτ ιν Φιγυρε 6.6.

5, 1, *,9, * merges with 5, 1, *,10, *,9, * to give: 5

1 9, to merge with |-----10--------|

5, 2, *,3, *,4, *,11, *,1, *,9, * 5

to converge to:

1 9, which will finally merge with | |----------10----------| |2----3---4----11-----------|

5, 2, *,3, *,4, *,11, *,1, *,10, *,9, * to finally converge to (note redundancy): 5

1 9 |----------10----------| | |2----3---4----11-----------|

ΦΙΓΥΡΕ 6.8 Χοµπρεσσιον αλγοριτηµ ον τηε σιµπλε παραλλελ–σεριεσ 11−νοδε νετωορκ ιν Φιγυρε 6.6.

εαχη πατη ηασ αλλ ιτσ χοµπονεντσ χοννεχτεδ ιν σεριεσ δενοτεδ βψ α συχχεσσιον οφ ∗ ποστ⇒ξεσ. Ονε ωιλλ τακε εαχη πατη ιν αν ασχενδινγ ορ δεσχενδινγ σεθυενχε ασ χονϖενιεντ το χοµπαρε ανδ χοντραστ, ασ σηοων ιν Φιγυρε 6.8. Σινχε τηε στραιγητ λινε (ωιτη α ρελιαβιλιτψ οφ υνιτψ, ασ ασσυµεδ) βετωεεν νοδεσ 5 το 1 ανδ 1 το 9

264

ΡΕΛΙΑΒΙΛΙΤΨ ΒΛΟΧΚ ∆ΙΑΓΡΑΜΜΙΝΓ ΙΝ ΧΟΜΠΛΕΞ ΣΨΣΤΕΜΣ

With Link: Path # Reliability 1 0.72900000 2 0.65610000 3 0.47829690 4 0.43046721

ΦΙΓΥΡΕ 6.9

Polish Notation 5, -1, *,1, *,-11, *,9, *, 5, -1, *,1, *,-13, *,10, *,-12, *,9, *, +, 5, -2, *,2, *,-3, *,3, *,-4, *,4, *,-5, *,11, *,-6, *,1, *,-11, *,9, *, +, 5, -2, *,2, *,-3, *,3, *,-4, *,4, *,-5, *,11, *,-6, *,1, *,-13, *,10, *,-12, *,9, *, +

Σαµε ασ Φιγυρε 6.7 φορ πατη ρελιαβιλιτιεσ ωιτη λινκσ ινχλυδεδ.

δοµινατεσ, τηε ρεστ οφ τηε βρανχηεσ αρε ινεφφεχτιϖε. Τηερεφορε, τηε σψστεµ ρελι− αβιλιτψ ισ τηε σεριεσ χοννεχτιον οφ τηε τηρεε νοδεσ 5, 1, ανδ 9 (ι.ε., 5, 1, ∗, 9,∗ υσινγ Πολιση νοτατιον). Τηερεφορε, 0.93 = 0.729. Ιφ λινκσ ηαϖε νονυνιτψ ρελι− αβιλιτψ, τηε λινκσ ηαϖε το βε µυλτιπλιεδ ιν σεριεσ ασ ωελλ. Ωηεν τηε λινκσ ηαϖε φαιλυρεσ οπερατινγ ωιτη νονυνιτψ ρελιαβιλιτψ, ιτ ισ α διφφερεντ σχεναριο. Φιγυρε 6.9 ισ υτιλιζεδ το χοµποσε τηε ⇒ναλιζεδ σινγλε−πατη ΡΒ∆ το χαλχυλατε τηε εξαχτ ρελιαβιλιτψ. Τηε αλγοριτηµ ωορκσ ασ φολλοωσ: 1. Τακε πατησ 4 ανδ 3 ιν τηε ρεϖερσε ορδερ, υσυαλλψ χηοοσινγ φροµ λονγεστ το σηορτεστ. Ενυµερατε τηοσε χοµµον ελεµεντσ, σηοων ιν σεριεσ, ιν τηε χεντερ το βρανχη ουτ το τηοσε λεγσ τηατ αρε νοτ χοµµον, σηοων ιν παραλλελ το εναβλε αλλ πατησ συχχεσσφυλλψ φροµ τηε σουρχε (5) το τηε ταργετ (9) νοδε. Τηατ ισ, µεργε 5 −2 2 −3 3 −4 4 −5 11 −6 1 −13

10 −12 9, ωιτη

5 −2 2 −3 3 −4 4 −5 11 −6 1 −11

9, το χονϖεργε το

# # # −13 10 −12 # # 9 # 5 −2 2 −3 3 −4 4 −5 11 −6 1 # # −11

(1)

2. Τηεν τακε τηε νεξτ πατη βαχκωαρδ, 5 −1 1 −13 10 −12 9 ανδ µεργε ιτ ωιτη τηε ΡΒ∆ ιν στεπ 1 βψ φολλοωινγ τηε σαµε ρυλε οφ τηυµβ: # # # −13 10 −12 # # # 5 −2 2 −3 3 −4 4 −5 11 −6 1 # # 9, ωιτη −11

5

−1

1 −13

10 −12 9, το χονϖεργε το

# # # # # −2 2 −3 3 −4 4 −5 11 −6 # # −13 10 −12 # # 9 # # # 5 # # # 1 # −11 −1

σο ασ το εναβλε πασσαγε φορ αλλ πατησ φροµ 5 το 9.

(2)

265

ΗΨΒΡΙ∆ ΤΟΟΛ ΤΟ ΧΟΜΠΥΤΕ ΡΕΛΙΑΒΙΛΙΤΨ ΦΟΡ ΧΟΜΠΛΕΞ ΣΨΣΤΕΜΣ

3. Φιναλλψ, τακε τηε λαστ πατη ιν τηε ρεϖερσε ορδερ το µεργε ωιτη τηε ΡΒ∆ ιν στεπ 2: # # # # # −2 2 −3 3 −4 4 −5 11 −6 # # −13 10 −12 # # 9, ωιτη # # # 5 # # # 1 # −11 −1 −1

5

−11

1

9,

(3)

το χονϖεργε το τηε σαµε ταβλεαυ ασ αβοϖε ασ τηε λαστ πατη αλρεαδψ εξιστεδ ιν στεπ 2: # # # # # −2 2 −3 3 −4 4 −5 11 −6 # # −13 10 −12 # # 9 # # # (4) 5 # # # 1 # −11 −1

Τηε ⇒ναλ ταβλεαυ χαν βε εξπρεσσεδ ασ ιν τηε φολλοωινγ ρελιαβιλιτψ βλοχκ διαγραµ: 10 2 5

−2

3 −3

4 −4

11 −5

1

−13

−6

−12 −11

9 (5)

−1 ωηιχη ρεσυλτσ ιν αν εξαχτ σινγλε−πατη ρελιαβιλιτψ οφ 0.729, ωιτη ιτσ χοµπλετε Πολιση νοτατιον: 5, −1, −2, 2, ∗ , −3, ∗ , 3, ∗ , −4, ∗ , 4, ∗ , −5, ∗ , 11, ∗ , −6, ∗ , +, 1, ∗ , −11, −13, 10, ∗ , −12, ∗ , +, ∗ , ∗ , 9, ∗ , ωηιχη δεσχριβεσ τηε ρελατιονσηιπ αβοϖε ιν τηε ⇒ναλ ΡΒ∆. 6.4 ΗΨΒΡΙ∆ ΤΟΟΛ ΤΟ ΧΟΜΠΥΤΕ ΡΕΛΙΑΒΙΛΙΤΨ ΦΟΡ ΧΟΜΠΛΕΞ ΣΨΣΤΕΜΣ Λετ’σ τακε τηε φολλοωινγ νον−παραλλελ–σεριεσ νετωορκ το χοµπυτε σουρχε–ταργετ ρελιαβιλιτψ, ωηοσε Βοολεαν δεχοµποσιτιον ρεσυλτ ισ κνοων το εξιστ: 0.799, ασ ιν Φιγυρεσ Ε5.1(a) ον παγε 254 ανδ 6.10 [23]. Ωιτη τηε Βοολεαν δεχοµποσιτιον (κεψστονε) µετηοδ ωηοσε δεχοµποσεδ διαγραµσ αρε τωοφολδ. Ειτηερ 3 ισ ουτ ορ 3 ισ σηορτεδ ωιτη 1 ιν σεριεσ ωιτη 5 ανδ 6 ιν παραλλελ, ανδ αλλ ιν σεριεσ ωιτη 7. Τηε σψστεµ ρελιαβιλιτψ ισ χοµπυτεδ ασ φολλοωσ: 1. Νοδε 3 βαδ : R(σψστεµ|3βαδ) = (0.9)[1 − (1 − 0.81)(1 − 0.81)](0.9) = (0.9639)(0.81) = 0.7806. 2. Νοδε 3 γοοδ : R(σψστεµ|3γοοδ) = (0.9)[1 − (1 − 0.9)(1 − 0.9)](0.9) = (0.99)(0.81) = 0.8019.

266

ΡΕΛΙΑΒΙΛΙΤΨ ΒΛΟΧΚ ∆ΙΑΓΡΑΜΜΙΝΓ ΙΝ ΧΟΜΠΛΕΞ ΣΨΣΤΕΜΣ

ΦΙΓΥΡΕ 6.10 ΡΒ∆ φορ σεϖεν−νοδε νετωορκ σηοωσ αν εξαχτ σουρχε–ταργετ ρελιαβιλιτψ φορ α νον−παραλλελ–σεριεσ νετωορκ ωιτη βοτη ηψβριδ ανδ Βοολεαν δεχοµποσιτιον. R(s = 1, t = 7) = 0.7997.

3. Ρεσυλτ: R(σψστεµ) = R(3βαδ) R(σψστεµ | 3βαδ) + R(3γοοδ) R(σψστεµ | 3γοοδ) = (0.1) (0.7806) + (0.9)(0.8019) = 0.799. Τηε σψστεµ ρελιαβιλιτψ ισ αλσο χαλχυλατεδ το βε 0.799 βψ τηε ηψβριδ Πολιση− νοτατεδ ενυµερατιον. Αφτερ Πολιση−νοτατεδ πατησ αρε φουνδ, τηε ρεµαινινγ ⇒χτιτιουσ νοδεσ αρε χρεατεδ το φαχιλιτατε αν ενυµερατιον αππροαχη. Τηε 100+ νοδεσ σψµ− βολιζε νονεξιστεντ βαδ νοδεσ το δενοτε τηε χοµπλεµεντ οφ α χοµπονεντ [ε.γ., R(105) = 1 − R(5)]. Τηισ ηψβριδ µετηοδ ισ φαστ, φορ ιτ αϖοιδσ τηε ρεχαλχυλατιον οφ γυαραντεεδ πατησ ονλψ βψ χαλχυλατινγ τηε προβαβιλιτιεσ οφ τηε ρεµαινινγ νοδεσ’ ενυµερατεδ χοµβινατιον. Τηισ τεχηνιθυε αϖοιδσ ρεπετιτιον οφ ιδεντιχαλ χοµβι− νατιον πατησ. Ινστεαδ οφ 36 πατησ (23 = 8 φορ εαχη οφ τηε φουρ 4−τυπλεσ ανδ 2 φορ εαχη οφ τηε τωο 6−τυπλεσ), ωε υσε ονλψ 18 πατησ, τηυσ σαϖινγ 50%. Οτηερ− ωισε, τηε ενυµερατιον νεεδσ 27 = 128 πατησ. Τηε εξαχτ ρελιαβιλιτψ υσινγ Βοολεαν δεχοµποσιτιον υσινγ ιδεντιχαλ νοδεσ ισ R2 (4R 2 − 3R 3 − R 4 + R 5 ) ανδ υσινγ φαστ υππερ βουνδ (ΦΥΒ) εµπλοψινγ τηε χοµπρεσσιον τεχηνιθυε στυδιεδ αβοϖε ανδ ιν ρεφερενχεσ. 12 ανδ 19 γιϖεσ R 2 (4R 2 − R 3 − 5R 4 + 2R 6 − R 7 + 2R 5 ). Τηε τηε− ορετιχαλ διφφερενχε βετωεεν τηε Βοολεαν ανδ ΦΥΒ ισ R 2 (2R 3 − 4R 4 + R 5 + 2R 6 − R 7 ) = (0.81)[(2)(0.729) − (4)(0.656) + (0.59) + (2)(0.531) − (0.48)] =

ΗΨΒΡΙ∆ ΤΟΟΛ ΤΟ ΧΟΜΠΥΤΕ ΡΕΛΙΑΒΙΛΙΤΨ ΦΟΡ ΧΟΜΠΛΕΞ ΣΨΣΤΕΜΣ

267

0.007032. Φιγυρε 6.11 σηοωσ τηατ τηε διφφερενχε (φαστ υππερ βουνδ–ηψβριδ φορµ) = 0.806812 − 0.799780 = 0.007032, ασ εξπεχτεδ ιν τηε τηεορετιχαλ διφφερενχε. Ωε χοµπαρε τηε ΦΥΒ µετηοδ’σ ρεσυλτ ωιτη τηατ οφ τηε ηψβριδ φορµ βψ υσινγ α 10−νοδε εξαµπλε ασ ιν Φιγυρε 6.14, ωηερε τηε φαστ υππερ−βουνδ ρελιαβιλιτψ = 0.808879873 ανδ τηε ηψβριδ µετηοδ ρελιαβιλιτψ = 0.798590485. Τηε διφφερενχε = 0.8088798 − 0.7985905 = 0.01. Νοτε τηατ τηε Βοολεαν δεχοµποσιτιον ισ ιντραχτ− αβλε ωηεν τηε νετωορκσ γετ λαργερ ανδ µορε χοµπλεξ. Τηισ ισ ωηψ τηε ηψβριδ φορµ ωιλλ ρεπλαχε τηε τεδιουσ Βοολεαν δεχοµποσιτιον µετηοδ το γιϖε ιδεντιχαλ ρεσυλτσ.

ΦΙΓΥΡΕ 6.11 Χοµπρεσσιον αλγοριτηµ σολυτιον (ΦΥΒ) φορ τηε 7−νοδε χοµπλεξ νετωορκ ιν Φιγυρε 6.10.

2 0.9

5 0.9

−4 1.0

−1

−5 1.0 1.0

−6

−10 1.0

1.0 1 0.9

−2 1.0

−3

6 0.9

3 0.9

−8 1.0

1.0

4 0.9

−9 1.0

−11 1.0

8 0.9

−12 1.0

−7 1.0

7 0.9

ΦΙΓΥΡΕ 6.12 ΡΒ∆ φορ αν ειγητ−νοδε νετωορκ φορ s = 1, t = 8.

268

ΡΕΛΙΑΒΙΛΙΤΨ ΒΛΟΧΚ ∆ΙΑΓΡΑΜΜΙΝΓ ΙΝ ΧΟΜΠΛΕΞ ΣΨΣΤΕΜΣ

6.5 ΜΟΡΕ ΣΥΠΠΟΡΤΙΝΓ ΕΞΑΜΠΛΕΣ ΦΟΡ ΤΗΕ ΗΨΒΡΙ∆ ΦΟΡΜ Σεε τηε ειγητ−νοδε σταρλικε εξαµπλε γιϖεν ιν Φιγυρε 6.12. Ωε χοµπαρε τηε αππροξ− ιµατε ΦΥΒ µετηοδ’σ ρεσυλτ ωιτη τηατ οφ τηε εξαχτ ηψβριδ φορµ. Τηεν τηε 10−νοδε εξαµπλε ιν Φιγυρε 6.14 ωιλλ φολλοω. Τηε χοµπαρατιϖε ρεσυλτσ φορ τηε ηψβριδ ανδ ΦΥΒ µετηοδ αρε γιϖεν ιν Φιγυρεσ 6.13 ανδ 6.15. Τηε λαργερ τηε νετωορκσ γετ, τηε σµαλλερ τηε διφφερενχεσ βετωεεν τηε ΦΥΒ ανδ τηε ηψβριδ.

6.6 ΝΕΩ ΠΟΛΙΣΗ ∆ΕΧΟ∆ΙΝΓ (∆ΕΧΟΜΠΡΕΣΣΙΟΝ) ΑΛΓΟΡΙΤΗΜ Τηε οβϕεχτιϖε ισ το γενερατε α ρεϖερσε−χοδεδ ρελιαβιλιτψ βλοχκ διαγραµ φροµ τηε Πολιση νοτατιον ανδ ρεχρεατε τηε οριγιναλ τοπολογψ γενερατεδ βψ τηε ΡΒ∆ χοµ− πρεσσιον αλγοριτηµ. Τηε πλατφορµ υσεδ ισ ϑαϖα. Τηισ διαγραµ ηελπσ ϖιεω χοµπλεξ νετωορκ πατησ φροµ αν ινγρεσσ το αν εγρεσσ νοδε, ανδ ιτ υλτιµατελψ χαλχυλατεσ

Ingress Node: 1, Egress Node: 8; Network Reliability (Fast Upper Bound) Method = 0.80895. (Perfect Links) Polish Notation: 1, −1, 2, *, −4, 5, *, −6, 3, *, −7, *, 7, *, −9, 4, *, −8, *, 6, *, − 11, *, −12, +, *, −10, +, *, −5, 6, *, −8, 4, *, −9, *, 7, *, −7, 3, *, −6, *, 5, *, −10, *, −12, +, *, − 11, +, *, +, *, −2, 3, *, −6, 5, *, −4, 2, *, −5, *, 6, *, −8, 4, *, −9, *, 7, *, −12, *, −11, +, *, −10, +, *, −7, 7, *, −9, 4, *, −8, *, 6, *, −5, 2, *, −4, *, 5, *, −10, *, −11, +, *, −12, +, *, +, *, +, −3, 4, *, −8, 6, *, −5, 2, *, −4, *, 5, *, −6, 3, *, −7, *, 7, *, −12, *, −10, +, *, −11, +, *, −9, 7, *, −7, 3, *, − 6, *, 5, *, −4, 2, *, −5, *, 6, *, −11, *, −10, +, *, −12, +, *, +, *, +, *, 8 * Exact hybrid (8-Nodes) = 0.80818398, Difference -(FUB fast upper bound – hybrid form) = 0.80895 − 0.80818 = 0.00077

ΦΙΓΥΡΕ 6.13 Φιγυρε 6.12.

Εξαχτ σουρχε–ταργετ ρελιαβιλιτψ φορ τηε χοµπλεξ ειγητ−νοδε νετωορκ ιν

ΦΙΓΥΡΕ 6.14

ΡΒ∆ φορ 10−νοδε νετωορκ φορ s = 1, t = 10.

ΝΕΩ ΠΟΛΙΣΗ ∆ΕΧΟ∆ΙΝΓ (∆ΕΧΟΜΠΡΕΣΣΙΟΝ) ΑΛΓΟΡΙΤΗΜ

269

Ingress Node: 1, Egress Node: 10; FUB (fast upper bound) Method = 0.80887 (Perfect Links). Polish Notation: 1, −1, 2, *, −2, 5, *, −8, 3, *, −7, *, 7, *, −5, 4, *, −6, *, 6, *, −11, 8, *, −15, *, − 12, 9, *, −14, *, +, *, −13, 9, *, −12, 6, *, −11, *, 8, *, −15, *, −14, +, *, +, *, −10, 8, *, −11, 6, *, −6, 4, *, −5, *, 7, *, −13, *, −12, +, *, 9, *, −14, *, −15, +, *, +, *, −9, 6, *, −6, 4, *, −5, *, 7, *, −7, 3, *, −8, *, 5, *, −10, *, 8, *, −15, *, −13, 9, *, −14, *, +, *, −11, 8, *, −10, 5, *, −8, *, 3, *, −7, *, 7, *, −13, *, 9,*, −14, *, −15, +, *, +, −12, 9, *, −13, 7, *, −7, *, 3, *, −8, *, 5, *, −10, *, 8, *, −15, *, −14, +, *, +, *, +, *, −3, 3, *, −7, 7, *, −5, 4, *, −6, *, 6, *, −9, 2, *, −2, *, 5, *, −10, *, −11, +, 8, *, −15, *, −12, 9, *, −14, *, +, *, −13, 9, *, −12, 6, *, −9, 2, *, −2, *, 5, *, −10, *, −11, +, *, 8, *, −15, *, −14, +, *, +, *, −8, 5, *, −2, 2, *, −9, *, 6, *, −6, 4, *, −5, *, 7, *, −13, *, −12, +, 9, *, −14, *, −11, 8, *, −15, *, +, *, −10, 8, *, −11, 6, *, −6, 4, *, −5, *, 7, *, −13, *, −12, +, *, 9, *, −14, *, − 15, +, *, +, *, +, *, +, −4, 4, *, −5, 7, *, −7, 3, *, −8, *, 5, *, −2, 2, *, −9, *, 6, *, −11, 8, *, −15, *, −12, 9, *, −14, *, +, *, −10, 8, *, −11, 6, *, −12, *, 9, *, −14, *, −15, +, *, +, *, −13, 9, *, −12, 6, *, −9, 2, *, −2, *, 5, *, −10, *, −11, +, *, 8, *, −15, *, −14, +, *, +, *, −6, 6, *, −9, 2, *, −2, *, 5, *, −8, 3, *, −7, *, 7, *, −13, *, 9, *, −14, *, −10, 8, *, −15, *, +, *, −11, 8, *, −10, 5, *, −8, *, 3, *, −7, *, 7, *, −13, *, 9, *, −14, *, −15, +, *, +, −12, 9, *, −13, 7, *, −7, *, 3, *, −8, *, 5, *, −10, *, 8, *, −15, *, −14, +, *, +, *, +, *, +, *, 10, * Exact hybrid (10-Nodes) = 0.79859; Difference (FUB fast upper bound – hybrid form) = 0.80887 − 0.79859 = 0.01

ΦΙΓΥΡΕ 6.15 Εξαχτ σουρχε–ταργετ ρελιαβιλιτψ φορ τηε χοµπλεξ 10−νοδε νετωορκ ιν Φιγυρε 6.14.

τηε σψστεµ ρελιαβιλιτψ φορ παραλλελ–σεριεσ ρεδυχιβλε νετωορκσ. Τηε φολλοωινγ ισ τηε αππροαχη τακεν το ρεχρεατε τηε ΡΒ∆ φροµ α γιϖεν Πολιση νοτατιον: 1. Αχχεπτ τηε Πολιση νοτατιον φροµ τηε υσερ. Τηε Πολιση νοτατιον χονσιστσ οφ νοδεσ (νυµβερσ) ανδ οπερατορσ (∗ ορ +). 2. Παρσε τηε Πολιση νοτατιον το ιδεντιφψ τηε νοδεσ ανδ οπερατιονσ. 3. Ιδεντιφψ τηε νοδε παιρσ τηατ χοννεχτ. Υσε τηε εξιστινγ ϑαϖα χοµπονεντσ ανδ τηε νοδε παιρσ τηατ αρε ιδεντι⇒εδ το δραω τηε ΡΒ∆. Α σταχκ αλγοριτηµ ωασ εµπλοψεδ το αχχοµπλιση τηε αβοϖε. Τηε αλγοριτηµ αχχεπτσ τηε Πολιση νοτατιον ανδ παρσεσ τηε νοτατιον υσινγ ϑαϖα’σ Στρινγ Τοκενιζερ. Το ιδεντιφψ τηε νοδε παιρσ τηατ χοννεχτ, τηε φολλοωινγ λογιχ ωασ ινχορπορατεδ: 1. Πυση ιντο τηε σταχκ υντιλ αν οπερατορ ισ ενχουντερεδ. 2. Ιφ τηε οπερατορ ισ α ∗ (νοδεσ ιν σεριεσ): α. Ποπ τηε τοπ τωο ελεµεντσ (νοδεσ) οφ τηε σταχκ. β. Φορµ α νοδε παιρ. χ. Χονχατενατε τηε νοδεσ ανδ νοδε παιρσ. δ. Πυση τηε χονχατενατεδ στρινγ οντο τηε τοπ οφ τηε σταχκ. 3. Ιφ τηε οπερατορ ισ α + (νοδεσ ιν παραλλελ): α. Ποπ τηε τοπ τωο ελεµεντσ (νοδεσ) οφ τηε σταχκ. β. Χονχατενατε τηε οπερατορ βετωεεν τηε τωο νοδεσ. χ. Πυση τηε χονχατενατεδ στρινγ οντο τηε τοπ οφ τηε σταχκ. 4. Χοντινυε περφορµινγ τηε φορεγοινγ στεπσ υντιλ τηε ενδ οφ τηε Πολιση νοτατιον.

270

ΡΕΛΙΑΒΙΛΙΤΨ ΒΛΟΧΚ ∆ΙΑΓΡΑΜΜΙΝΓ ΙΝ ΧΟΜΠΛΕΞ ΣΨΣΤΕΜΣ

Αφτερ τηε νοδε παιρσ αρε ιδεντι⇒εδ, τηε γραπηιχαλ ϑαϖα χοµπονεντσ ΦΧ οϖαλ (νοδεσ) ανδ ΦΧ λινε (τρανσµισσιονσ ορ χοννεχτινγ λινκσ) δισπλαψ τηε νετωορκ. Νετ− ωορκσ υτιλιζινγ λινκσ ωερε δεπλοψεδ υσινγ τηε σαµε αλγοριτηµιχ προχεσσ. Νεγατιϖε διγιτσ, ωηιχη δεσιγνατε τρανσµισσιον λινεσ, ωιλλ ⇒ρστ βε ρεπρεσεντεδ ασ νοδεσ. Ονχε τηε ινιτιαλ διαγραµ ηασ βεεν γενερατεδ, α σεχονδ προχεσσ ωιλλ εσσεντιαλλψ ρεµοϖε τηε οϖαλ οβϕεχτ, ωηιχη ρεπρεσεντσ α νοδε, λεαϖινγ τηε νεγατιϖε νοδε ναµε ασ τηε τρανσµισσιον λινε. Τηε σµαλλεστ νοδε νυµβερ ισ τηε ινγρεσσ, τηε λαργεστ ονε ισ τηε εγρεσσ νοδε. Α µορε χοµπλεξ νον−παραλλελ–σεριεσ χοµµερχιαλ τελεπηονψ νετωορκ (ωιτη 19 νοδεσ ανδ 32 λινκσ) ωηοσε Πολιση νοτατιον ωασ πρεϖιουσλψ χοδεδ ισ ρεϖερσε−χοδεδ ορ δεχοδεδ ιν Φιγυρε 6.16 το ρεχονστρυχτ τηε οριγιναλ τοπολογψ. Νοτε τηατ τηε ηαρδ− το−ρεαδ “Πολιση Νοτατιον” βοξ ισ α παγε−λονγ ποστ⇒ξ νοτατιον οβταινεδ πρεϖιουσλψ ανδ ινσερτεδ υσινγ τηε χοµπρεσσιον αλγοριτηµ. Αλτηουγη τηε Πολιση νοτατιον χαν− νοτ χαλχυλατε τηε εξαχτ σουρχε–ταργετ ρελιαβιλιτψ φορ νον−παραλλελ–σεριεσ νετωορκσ (φορ ωηιχη α σπεχι⇒χ ηψβριδ τεχηνιθυε ισ δεµονστρατεδ ιν τηε πρεχεδινγ σεχτιονσ), ιτ χαν συχχεσσφυλλψ ενχοδε ανδ δεχοδε ανψ νον−παραλλελ–σεριεσ ορ σιµπλε νετωορκ φορ α σεχυρε ανδ εχονοµιχαλ τρανσπορτ. Τηε Πολιση νοτατιον αππροαχη αλσο πρε− παρεσ α βασε φορ χαλχυλατινγ τηε εξαχτ ρελιαβιλιτψ φορ ανψ χοµπλεξ σψστεµ υτιλιζινγ α ηψβριδ ενυµερατιον αππροαχη. Φιγυρε 6.16 δενοτεσ αλλ νοδεσ ανδ λινκσ ινϖαριαβλψ ωιτη α σαµπλε ρελιαβιλιτψ οφ 0.90 φορ πλαχε ηολδινγ ανδ s = 1, t = 19. Ηοωεϖερ, τηεσε ποστσχριπτσ (Πολιση νοτατιον) δο νοτ χαρρψ ινφορµατιον ον τηε νοδε ανδ λινκ ρελιαβιλιτιεσ. Τηερεφορε, χονϖερτινγ τηε τοπολογψ ωιτη αλλ τηε ατταχηεδ ινπυτ δατα ιντο αν ΞΜΛ ⇒λε ισ αν αλτερνατιϖε σολυτιον ανδ ηασ βεεν δονε ιν τηε Χ∆−ΡΟΜ. Εξπορτινγ ανδ τηεν ιµπορτινγ τηε σαµε ΞΜΛ ⇒λε ασ

ΦΙΓΥΡΕ 6.16 ∆εχοδινγ (ρεϖερσε ενγινεερινγ Πολιση νοτατιον ορ δεχοµπρεσσιον) φορ 19−νοδε νετωορκ.

271

ΟςΕΡΛΑΠ ΤΕΧΗΝΙΘΥΕ

α µεανσ φορ τρανσπορτατιον ωιλλ βε εφ⇒χιεντ βυτ νοτ νεχεσσαριλψ σεχυρε, ασ τηε ΞΜΛ ⇒λεσ χαν βε οπενεδ. Ιφ τηε τοπολογψ ισ οφ πριµε ιντερεστ, τηε δεχοδινγ αλγοριτηµ ισ οφ ϖαλυε το τρανσπορτ ϖερψ χοµπλεξ νετωορκσ σαφελψ ανδ δισχρεετλψ ωιτη εξτρεµελψ χοµπλιχατεδ Πολιση νοτατιονσ διφ⇒χυλτ το δεχιπηερ, ασ σηοων ιν Φιγυρε 6.16.

6.7 ΟςΕΡΛΑΠ ΤΕΧΗΝΙΘΥΕ Ωηεν ωε οβσερϖε νετωορκσ χοµπρισινγ λαργε παραλλελ–σεριεσ σψστεµσ, ωε βρεακ τηε σψστεµ δοων ιντο σιµπλε παραλλελ–σεριεσ συβσψστεµσ. Τηερε αρε σοµε φορ ωηιχη ωε χαν αχηιεϖε τηισ, ανδ οτηερσ φορ ωηιχη ωε χαννοτ [24,33]. 6.7.1 Οϖερλαπ Ινγρεσσ–Εγρεσσ Ρελιαβιλιτψ Μετηοδ Τακε τηε χοµπλεξ (νον−παραλλελ–σεριεσ) σψστεµ σηοων ιν Φιγυρε 6.17. Λετ συβ− σψστεµ Α χοµπρισε χοµπονεντσ 1, 4, ανδ 5 ανδ συβσψστεµ Β ινχλυδε 2, 3, ανδ 6. Τηε ρεασον τηατ ωε χαννοτ δεχοµποσε τηισ σψστεµ ιντο πυρελψ παραλλελ–σεριεσ τοπολογψ ισ βεχαυσε τηερε εξιστσ α ρεδυνδαντ (ορ συρπλυσ) φεεδβαχκ βετωεεν τηεσε συβσψστεµσ Α ανδ Β ασ οβσερϖαβλε ιν Φιγυρε 6.17. Τηε ιµπροϖεµεντ χοµεσ ιν ωηεν ωε δισχοϖερ τηε σψστεµ ασ α συµ οφ υνιθυε πατησ φροµ ΙΝ το ΟΥΤ, ασ δισπλαψεδ ιν Φιγυρε 6.18. Τηε προβλεµ ποσεδ βψ Φιγυρε 6.18 το ενυµερατε αλλ τηοσε πατησ φροµ ΙΝ το ΟΥΤ ισ τηατ τηε µορε τιµεσ α νοδε ισ χονσιδερεδ, τηε γρεατερ ωιλλ βε ιτσ ϖιρτυαλ προβαβιλιτψ, α φαχτ τηατ χαυσεσ ιν⇓ατεδ ρελιαβιλιτψ ⇒γυρεσ. Τηερεφορε, ιτ βεχαµε αβσολυτελψ νεχεσσαρψ το χρεατε αν αδϖανχεδ αλγοριτηµ το ρεδυχε τηε υνιθυε πατησ ιντο α θυασι παραλλελ–σεριεσ νετωορκ ασ ιν Φιγυρε 6.19. Τηισ νεω αδϖανχεδ αλγοριτηµ ισ τηε οϖερλαπ µετηοδ δυε το τηε οϖερλαππινγ οφ τηε συβσψστεµ οφ νοδεσ [24]. Ωε ⇒ρστ στυδψ τηισ νετωορκ εξαµπλε ανδ τηεν πρεσεντ αν αλγοριτηµ

4 1 5

IN (7)

OUT (8)

2 6 3

ΦΙΓΥΡΕ 6.17 Νετωορκ εξαµπλε ωιτη σιξ ιντερµεδιαρψ νοδεσ φροµ ινγρεσσ (ΙΝ) το εγρεσσ (ΟΥΤ).

272

ΡΕΛΙΑΒΙΛΙΤΨ ΒΛΟΧΚ ∆ΙΑΓΡΑΜΜΙΝΓ ΙΝ ΧΟΜΠΛΕΞ ΣΨΣΤΕΜΣ

1

4

1

5

2

6

1

5

2

5

1

4

2

5

2

6

3

6

3

6

2

5

3

6

2

5

ΦΙΓΥΡΕ 6.18

1

4

Πατησ τηατ φολλοω φροµ ΙΝ το ΟΥΤ ιν Φιγυρε 6.17.

4 1 5

IN (7)

5

OUT (8)

2 6

3

6

ΦΙΓΥΡΕ 6.19 Α στεπ χλοσερ το τηε οϖερλαπ µετηοδολογψ φορ ινγρεσσ–εγρεσσ ΡΒ∆.

ον ηοω το εξεχυτε τηισ τεχηνιθυε βψ ηανδ ον τωο χοµπλεξ τοπολογιεσ νοτ µορε τηαν σιξ ορ ειγητ νοδεσ ιν τοταλ. Τηισ ωιλλ φαχιλιτατε τηε στυδεντ το σταρτ δοινγ τηεσε εαρλιερ “υνσολϖαβλε” χοµπλεξ σψστεµσ, νοω ρεσολϖαβλε βψ ηανδ, αλτηουγη ιτ τακεσ α χονσιδεραβλψ λονγ τιµε το δο σο. Τηισ ισ ωηψ α σοφτωαρε χοδε ισ εσσεντιαλ το ωριτε ανδ αππλψ φορ τεδιουσ νετωορκσ ωηεν ηανδ χαλχυλατιονσ εξχεεδ τενσ οφ παγεσ. Τηε προβλεµ ωιτη Φιγυρε 6.19 ισ τηατ τηε νοδεσ αρε στιλλ ρεπρεσεντεδ µορε τηαν ονχε, ανδ τηε ρελιαβιλιτψ ⇒γυρε ωιλλ στιλλ βε ιν⇓ατεδ δυε το δουβλε χουντινγ, βυτ ωε αρε γεττινγ χλοσερ το τηε ταργετ γοαλ. Φιγυρε 6.20 ινδιχατεσ τηε εφ⇒χιεντ νεω τεχηνιθυε, ωηιχη ωε εαρλιερ χαλλεδ τηε οϖερλαπ µετηοδ. Τηερεφορε, υσινγ Φιγυρε 6.20 φορ αδδινγ (+) ανδ δελετινγ (−)

273

ΟςΕΡΛΑΠ ΤΕΧΗΝΙΘΥΕ

1−4

1−4−5

1−5

1−2−4−5

2−5

1−2−5

2−6

1−2−4−6

3−6

1−2−5−6

1−2−4−5−6

2−5−6 1−3−4−6

1−3−4−5−6

1−3−5−6

1−2−3−4−6

1−2−3−4−5−6

2−3−5−6

1−2−3−5−6

1−2−3−4−5−6

2−3−6

ΦΙΓΥΡΕ 6.20 Οϖερλαπ µετηοδ ουτλινεδ ωιτη τηε χοµβινατιονσ το βε αδδεδ ανδ δελετεδ.

νοδεσ, ωηιχη αρε δισαλλοωεδ, τηε ρεσυλτινγ ΙΝ–ΟΥΤ δεπενδενχψ ρελατιονσηιπ ωιλλ βε εσταβλισηεδ: {1 → 4} + {1 → 5} + {2 → 5} + {2 → 6} + {3 → 6} − {1 → 4 → 5} − {1 → 2 → 5} − {1 → 2 → 4 → 6} − {2 → 5 → 6} − {1 → 3 → 4 → 6} − {1 → 3 → 5 → 6} − {2 → 3 → 6} + {1 → 2 → 4 → 5 → 6} + {1 → 3 → 4 → 5 → 6} + {1 → 2 → 3 → 4 → 6} + {1 → 2 → 3 → 5 → 6} − {1 → 2 → 3 → 4 → 5 → 6}

(6)

Εξαµπλε Φορ τηε νετωορκ αβοϖε, ιφ αλλ τηε ρελιαβιλιτιεσ αρε ασσυµεδ το βε 0.9, τηεν ΙΝ–ΟΥΤ = (5)(0.92 ) − [(4)(0.93 ) + (3)(0.94 )] + (4)(0.95 ) − (0.96 ) = (5)(0.81) − (4)(0.729) − (3)(0.6561) + (4)(0.59049) − 0.531441 = 4.05 − 4.8843 + 2.36196 − 0.531441 = 0.996219

(7)

274

ΡΕΛΙΑΒΙΛΙΤΨ ΒΛΟΧΚ ∆ΙΑΓΡΑΜΜΙΝΓ ΙΝ ΧΟΜΠΛΕΞ ΣΨΣΤΕΜΣ

ΦΙΓΥΡΕ 6.21

Ρεσυλτ (= 0.80694) φορ τηε σαµπλε νετωορκ υσινγ τηε οϖερλαπ τεχηνιθυε.

ανδ αππενδινγ τηε ινγρεσσ–εγρεσσ ρελιαβιλιτιεσ, βοτη 0.9, τηε εντιρε νετωορκ ρελι− αβιλιτψ ισ τηεν [ΙΝ(7)](0.996219)[ΟΥΤ(8)] = (0.9)(0.996219)(0.9) = (0.81)(0.996219) = 0.80694

(8)

Τηισ ρεσυλτ ισ χον⇒ρµεδ ιν Φιγυρε 6.21 βψ υσινγ ΤΩΧ−Σολϖερ ιν τηε Χ∆−ΡΟΜ. 6.7.2 Οϖερλαπ Ινγρεσσ–Εγρεσσ Ρελιαβιλιτψ Αλγοριτηµ Τηε οϖερλαπ εξαχτ ρελιαβιλιτψ αλγοριτηµ γενερατεσ α µινιµυµ λιστ οφ πατησ βετωεεν τηε ινγρεσσ ανδ εγρεσσ νοδεσ. Τηε λιστ οφ πατησ ωιλλ χονταιν αλλ τηε πατησ βετωεεν τηε ινγρεσσ ανδ εγρεσσ νοδεσ συχη τηατ νο πατη οϖερλαπσ ανψ οτηερ πατη. Φορ εξαµπλε, πατη 7–3–6–2–5–8 χονταινσ αλλ νοδεσ πρεσεντ ιν πατη 7–3–6–8. Τηερεφορε, πατη 7–3–6–8 ισ σαιδ το οϖερλαπ πατη 7–3–6–2–5–8 ανδ πατη 7–3–6–2–5–8 ωουλδ νοτ βε ινχλυδεδ ιν τηε λιστ οφ µινιµυµ πατησ. Σπεχι⇒χ λογιχ µυστ βε ινχλυδεδ ιν τηε αλγοριτηµ το δετερµινε ιφ α νετωορκ φροµ τηε ινγρεσσ το τηε εγρεσσ νοδε ισ παραλλελ–σεριεσ. Τηε λογιχ σπεχι⇒εσ τηατ υσινγ ανψ τωο µινιµαλ πατησ ιν α νετωορκ, ονε χαν µακε τηε ασσερτιον τηατ ανψ διϖεργεντ νοδεσ φροµ τηε µιδδλεσ οφ πατησ µυστ αλωαψσ βε φολλοωεδ βψ τηε νοδε ωηερε τηεψ χονϖεργε, ανδ αλωαψσ βε λεαδ βψ τηε νοδε ωηερε τηεψ οριγιναλλψ διϖεργεδ ιφ τηε νετωορκ ισ στριχτλψ παραλλελ–σεριεσ. Βψ χοµπαρινγ τηε νοδεσ ασ τηεψ αρε γενερατεδ, βυιλδινγ ασσερτιονσ, ανδ χοµπαρινγ εαχη νεω νοδε αγαινστ τηε εξιστινγ ασσερτιονσ, ωε χαν δετερµινε ιφ τηε νετωορκ ισ παραλλελ–σεριεσ. Τηε ⇒ρστ στεπ ιν δετερµινινγ τηε µινιµυµ πατησ φορ τηε νετωορκ ισ το ιδεντιφψ τηε ινγρεσσ νοδε (7) ανδ τηε εγρεσσ νοδε (8). Νοω α ωορκινγ πατη ισ χρεατεδ το

ΜΥΛΤΙΣΤΑΤΕ ΣΨΣΤΕΜ ΡΕΛΙΑΒΙΛΙΤΨ ΕςΑΛΥΑΤΙΟΝ

275

ηολδ τηε νοδεσ τηατ αρε χυρρεντλψ βεινγ εξαµινεδ. Τηε ινγρεσσ νοδε ισ τηε ⇒ρστ νοδε το βε αδδεδ το τηε ωορκινγ πατη. Αλλ τηε λινκσ φροµ τηε ινγρεσσ νοδε το οτηερ νοδεσ αρε αδδεδ το τηε νοδε ιν τηε ωορκινγ πατη. Προχεσσινγ οφ τηε νετωορκ χαν νοω βεγιν. Αλτηουγη τηερε αρε νοδεσ στιλλ ιν τηε ωορκινγ πατη το βε προχεσσεδ, τηε φολλοω− ινγ στεπσ αρε το βε περφορµεδ. Ιφ αλλ τηε λινκσ φροµ τηε λαστ νοδε ιν τηε ωορκινγ πατη ηαϖε βεεν προχεσσεδ, τηε νοδε ισ ρεµοϖεδ φροµ τηε ωορκινγ πατη. Ιφ τηερε αρε λινκσ τηατ ηαϖε νοτ βεεν προχεσσεδ ανδ νονε οφ τηεµ ποιντ το τηε εγρεσσ νοδε, πιχκ α λινκ το προχεσσ. Ιφ τηε νοδε ρεφερρεδ το βψ τηε λινκ δοεσ νοτ σηορτ−χιρχυιτ τηε ωορκινγ πατη, αδδ τηε νοδε το τηε ωορκινγ πατη ανδ ρεπεατ τηε στεπσ αβοϖε. Ιφ ανψ οφ τηε λινκσ ποιντ το τηε εγρεσσ νοδε, αδδ τηε πατη το τηε λιστ οφ πατησ εξχλυδινγ τηε ινγρεσσ ανδ τηε εγρεσσ νοδεσ ανδ ρεµοϖε τηε λαστ νοδε φροµ τηε ωορκινγ πατη. Νοω τηατ τηερε ισ α νεω πατη ιν τηε πατη λιστ, τηε ασσερτιονσ µυστ βε χηεχκεδ το ενσυρε τηατ τηε νετωορκ χαν στιλλ βε χονσιδερεδ το βε α παραλλελ–σεριεσ νετωορκ. Φορ εαχη νοδε ιν τηε νεω πατη, τηε φολλοωινγ στεπσ νεεδ το βε περφορµεδ. Χηεχκ το σεε ιφ τηερε ισ α σετ οφ ασσερτιονσ φορ τηε νοδε. Ιφ τηερε αρε νο ασσερτιονσ, αδδ αν ασσερτιον σετ φορ τηε νοδε. Χοντινυε το αδδ α λιστ οφ αλλ νοδεσ τηατ φολλοω τηε νοδε βασεδ ον τηε ορδερ οφ τηε νοδεσ ιν τηε πατη. Ιφ τηε ασσερτιον σετ αλρεαδψ εξιστσ, ρεµοϖε ανψ νοδε τηατ αππεαρσ βεφορε τηε χυρρεντ νοδε ιν τηε πατη. Νοω σετ τηε νοδε ορδερ ιν τηε ασσερτιον σετ το εθυαλ τηε µαξιµυµ ποσιτιον ιτ ηελδ ιν ανψ πατη. Τηε νεξτ στεπσ αρε περφορµεδ ονλψ ιφ µορε τηαν α σινγλε νοδε εξιστσ ιν τηε πατη. Χοµπαρε τηε λαστ τωο πατησ αδδεδ το τηε πατη λιστ το δετερµινε ωηερε τηε τωο πατησ διϖερτ ανδ ωηερε τηεψ χονϖεργε. Ιφ τηεψ διϖερτ, τηεν χονϖεργε, αδδ α ρυλε ιν τηε ασσερτιον σετ φορ εαχη οφ τηε πατησ. Τηε ρυλεσ µυστ στατε τηατ αλλ τηε νοδεσ βετωεεν τηε διϖεργενχε ανδ χονϖεργεντ νοδεσ αλωαψσ χοµε βετωεεν τηοσε νοδεσ. Φορ εξαµπλε, ιφ τηε λαστ πατη ισ 7–1–4–8 ανδ τηε πατη πριορ το τηε λαστ πατη ισ 7–1–5–8, αν ασσερτιον ρυλε φορ πατη 7–1–4–8 ισ αδδεδ ωηιχη στατεσ τηατ 4 µυστ φολλοω 1 ανδ 4 µυστ βε φολλοωεδ βψ 8. Τηεν αν ασσερτιον µυστ βε αδδεδ φορ πατη 7–1–5–8 ωηιχη στατεσ τηατ νοδε 5 µυστ φολλοω νοδε 1 ανδ νοδε 5 µυστ βε φολλοωεδ βψ νοδε 8. Νοω τηε ασσερτιονσ φορ τηε λαστ πατη µυστ βε εξαµινεδ το δετερµινε ιφ τηε πατη ισ α ϖαλιδ πατη. Χηεχκ εαχη νοδε αγαινστ τηε ρυλεσ ιν τηε ασσερτιον σετσ. Ιφ ανψ νοδε βρεακσ τηε ρυλεσ φορ τηε νοδεσ τηατ φολλοω οτηερ νοδεσ ορ λεαδ οτηερ νοδεσ, τηε νετωορκ χαν νο λονγερ βε χονσιδερεδ α στριχτλψ παραλλελ–σεριεσ νετωορκ. Ρεπεατ τηε αλγοριτηµ υντιλ τηερε αρε νο νοδεσ λεφτ ιν τηε ωορκινγ πατη. Ονχε αλλ νοδεσ ηαϖε βεεν ρεµοϖεδ φροµ τηε ωορκινγ πατη, τηε πατη λιστ ωιλλ χονταιν τηε µινιµυµ πατησ ιν τηε νετωορκ. Α στεπ−βψ−στεπ ριγορουσ αππλιχατιον ισ λεφτ το τηε ρεαδερ. Ρεφερ το τηε αππενδιξεσ το φολλοω σιµιλαρ εξαµπλεσ. 6.8 ΜΥΛΤΙΣΤΑΤΕ ΣΨΣΤΕΜ ΡΕΛΙΑΒΙΛΙΤΨ ΕςΑΛΥΑΤΙΟΝ Ιτ ισ σοµετιµεσ ιναδεθυατε το δεσχριβε α νοδε’σ στατεσ ωιτη ονλψ ΥΠ (φυλλψ οπερατ− ινγ) ανδ ∆ΟΩΝ (φυλλψ δε⇒χιεντ), βυτ ωιτη µορε στατεσ λικε ∆ΕΡΑΤΕ∆ (παρτιαλλψ οπερατινγ χλοσε το φυλλ) ορ εϖεν ΜΟΡΕ ∆ΕΡΑΤΕ∆ (λεσσ παρτιαλλψ οπερατινγ χλοσε

276

ΡΕΛΙΑΒΙΛΙΤΨ ΒΛΟΧΚ ∆ΙΑΓΡΑΜΜΙΝΓ ΙΝ ΧΟΜΠΛΕΞ ΣΨΣΤΕΜΣ

το ∆ΟΩΝ) στατεσ. Ιτ ισ ιµπερατιϖε τηατ τηεσε στατεσ αδδ υπ το υνιτψ (1.0). Λετ’σ τακε τηε σιτυατιον ωηερε τηερε αρε τηρεε στατεσ, ΥΠ, ∆ΕΡ, ανδ ∆Ν, ανδ στυδψ ιτ φορ σιµπλε σεριεσ ανδ αχτιϖε παραλλελ σψστεµσ. 6.8.1 Σιµπλε Σεριεσ Σψστεµ Α σιµπλε σεριεσ σψστεµ ωιτη φυλλψ οπερατινγ ανδ δερατεδ στατεσ ισ σηοων ιν Φιγυρε 6.22. Ουρ γοαλ ισ το χαλχυλατε τηε σιµπλεστ σεριεσ σψστεµ ρελιαβιλιτψ οφ α πριµιτιϖε εξαµπλε, ωηερε τηε νοδε ηασ τηρεε στατεσ, ωιτη προβαβιλιτιεσ P (ΥΠ) = 0.7, P (∆ΕΡ) = 0.2, ανδ P (∆Ν) = 0.1 ιν Φιγυρε 6.22. Ωε υσε τωο αππροαχηεσ. Λονγερ Στατε−Ενυµερατιον Αππροαχη Τηερε χαν βε S N = 32 = 9 χοµβινα− τιονσ, ωηερε S ισ τηε νυµβερ οφ στατεσ ανδ N ισ τηε νυµβερ οφ νοδεσ. S = 3 ανδ N = 2 ασ φολλοωσ: P (ΥΠ ανδ ΥΠ) P (ΥΠ ανδ ∆ΕΡ) P (ΥΠ ανδ ∆Ν) P (∆ΕΡ ανδ ΥΠ) P (∆ΕΡ ανδ ∆ΕΡ) P (∆ΕΡ ανδ ∆Ν) P (∆Ν ανδ ΥΠ) P (∆Ν ανδ ∆ΕΡ) P (∆Ν ανδ ∆Ν)

= = = = = = = = =

0.72 (0.7)(0.2) (0.7)(0.1) (0.2)(0.7) 0.22 (0.2)(0.1) (0.1)(0.7) (0.1)(0.2) 0.12

Συµ οφ Προβαβιλιτιεσ

= = = = = = = = =

0.49 0.14 0.07 0.14 0.04 0.02 0.07 0.02 0.01

= 1.00

(9)

Οφ τηεσε νινε χοµβινατιονσ, τηε στατε τηατ ψιελδσ α φυλλψ ΥΠ χοµβινατιον ισ τηε ⇒ρστ λινε ωιτη P (ΥΠ ανδ ΥΠ) = 0.72 = 0.49. Τηεν στατεσ τηατ αρε ινδιχατιϖε οφ τηε σψστεµ βεινγ ινοπερατιϖε αρε τηοσε στατεσ ον τηε τηιρδ ανδ σιξτη το νιντη λινεσ, ωηιχη χονταιν ατ λεαστ ονε ∆ΟΩΝ στατε, ωηιχη συµ το 0.19. Τηε ∆ΕΡΑΤΕ∆

ΦΙΓΥΡΕ 6.22 Σιµπλε σεριεσ σψστεµ ωιτη α δερατεδ στατε.

ΜΥΛΤΙΣΤΑΤΕ ΣΨΣΤΕΜ ΡΕΛΙΑΒΙΛΙΤΨ ΕςΑΛΥΑΤΙΟΝ

277

στατεσ ον τηε σεχονδ, φουρτη ανδ ⇒φτη λινεσ αδδ υπ το 0.32, ορ Pσψσ (∆ΕΡ) = 1 − Pσψσ (ΥΠ) − Pσψσ (∆Ν) = 1 − 0.49 − 0.19 = 1 − 0.68 = 0.32. Σηορτχυτ Φορµυλατιον Αππροαχη Ωορκινγ ον τηε σαµε τωο−νοδε σιµπλε σεριεσ σψστεµ, λετ’σ χαλχυλατε τηε σψστεµ δερατεδ προβαβιλιτψ: Pσψσ (ΥΠ) = P1 (ΥΠ)P2 (ΥΠ) = (0.7)(0.7) = 0.49

(10)

Pσψσ (∆ΕΡ) = P1 (ΥΠ + ∆ΕΡ)P2 (ΥΠ + ∆ΕΡ) − Pσψσ (ΥΠ) = (0.7 + 0.2)2 − 0.72 = 0.81 − 0.49 = 0.32

(11)

Pσψσ (∆Ν) = 1 − Pσψσ (ΥΠ) − Pσψσ (∆ΕΡ) = 1 − 0.49 − 0.32 = 0.19 (12) 6.8.2 Αχτιϖε Παραλλελ Σψστεµ Τηε σψστεµ ωιτη ΙΝ(1) ανδ ΟΥΤ(4) βοτη περφεχτ, 2 ανδ 3 ∆ΕΡ, ισ σηοων ιν Φιγυρε 6.23. Λονγερ Στατε−Ενυµερατιον Αππροαχη Τηε σψστεµ−ΥΠ σχεναριο ισ ωηεν ατ λεαστ ονε οφ τηε µιδδλε τωο στατεσ ισ ΥΠ. Τηισ ισ ποσσιβλε ωηεν ΥΠ–ΥΠ, ΥΠ–∆ΕΡ, ∆ΕΡ–ΥΠ, ΥΠ–∆Ν, ανδ ∆Ν–ΥΠ χοµβινατιονσ εξιστ ωηοσε συµ = 0.49 + 0.14 + 0.14 + 0.07 + 0.07 = 0.91. Τηε σψστεµ−∆ΕΡ σχεναριο ισ ωηεν ατ λεαστ ονε οφ τηε στατεσ ισ ∆ΕΡ. Τηισ ισ ωηεν ∆ΕΡ–∆ΕΡ, ∆ΕΡ–∆Ν, ανδ ∆Ν–∆ΕΡ χοµβινατιονσ εξιστ ωηοσε συµ = 0.04 + 0.02 + 0.02 = 0.08. Τηε ονλψ ρεµαινινγ χοµβινατιον ισ ∆Ν–∆Ν, ωηοσε προβαβιλιτψ ισ 0.12 = 0.01, ορ βψ συβτραχτιον.

ΦΙΓΥΡΕ 6.23 Αχτιϖε παραλλελ σψστεµ ωιτη νοδεσ 1 ανδ 4 φυλλψ ρελιαβλε, 2 ανδ 3 αρε δερατεδ.

278

ΡΕΛΙΑΒΙΛΙΤΨ ΒΛΟΧΚ ∆ΙΑΓΡΑΜΜΙΝΓ ΙΝ ΧΟΜΠΛΕΞ ΣΨΣΤΕΜΣ

Σηορτχυτ Φορµυλατιον Αππροαχη Pσψσ (ΥΠ) = P1 (ΥΠ){1 − [1 − P2 (ΥΠ)][1 − P3 (ΥΠ)]}P4 (ΥΠ)

= (1.0)[1 − (1 − 0.7)2 ](1.0) = (1.0)(0.91) = 0.91

(13)

Pσψσ (∆ΕΡ) = P1 (ΥΠ)P4 (ΥΠ) − {1 − [1 − P2 (ΥΠ + ∆ΕΡ)] × [1 − P3 (ΥΠ + ∆ΕΡ)]} − Pσψσ (ΥΠ)

= (1)(1 − 0.12 ) − 0.91 = 0.99 − 0.91 = 0.08

(14)

Pσψσ (∆Ν) = 1 − Pσψσ (ΥΠ) − Pσψσ (∆ΕΡ) = 1 − 0.91 − 0.08 = 0.01 (15) 6.8.3 Σιµπλε Παραλλελ–Σεριεσ Σψστεµ Α σιµπλε παραλλελ–σεριεσ σψστεµ ωιτη φυλλ (0.7) ανδ δερατεδ (0.2) στατεσ ισ σηοων ιν Φιγυρε 6.24. Λονγερ Στατε−Ενυµερατιον Αππροαχη Τηε παραλλελ ανδ σεριεσ τοπολογιεσ µεργεδ ωιλλ χονταιν 34 = 81 χοµβινατιονσ, συχη ασ ΥΠ–ΥΠ–ΥΠ–ΥΠ, ∆ΕΡ–ΥΠ–ΥΠ–ΥΠ αλλ τηε ωαψ το ∆Ν–∆Ν–∆Ν–∆Ν. Τηισ µετηοδ ισ α χυµβερ− σοµε ανδ τιµε χονσυµινγ ωαψ το διστινγυιση τηε δεσιραβλε στατεσ βψ ενυµερατινγ. Τηε σηορτχυτ τεχηνιθυε ισ φαστερ. Σηορτχυτ Φορµυλατιον Αππροαχη P (ΥΠ) = P1 (ΥΠ)P4 (ΥΠ){1 − [1 − P2 (ΥΠ)][1 − P2 (ΥΠ)]}

= (0.7)(0.7)[1 − (1 − 0.7)2 ] = (0.49)(0.91) = 0.4459

(16)

Pσψσ (∆ΕΡ) = P1 (ΥΠ + ∆ΕΡ)P4 (ΥΠ + ∆ΕΡ) − {1 − [1 − P2 (ΥΠ)][1 − P3 (ΥΠ)]} − Pσψσ (ΥΠ)

= (0.7 + 0.2)2 (1 − 0.12 ) − 0.4459 = (0.81)(0.99) − 0.4459 = 0.356

(17)

Pσψσ (∆Ν) = 1 − Pσψσ (ΥΠ) − Pσψσ (∆ΕΡ) = 1 − 0.4459 − 0.356 = 0.19 (18)

ΦΙΓΥΡΕ 6.24

Σιµπλε παραλλελ–σεριεσ σψστεµ ωιτη σινγλε δερατεδ στατε φορ s = 1, t = 4.

ΜΥΛΤΙΣΤΑΤΕ ΣΨΣΤΕΜ ΡΕΛΙΑΒΙΛΙΤΨ ΕςΑΛΥΑΤΙΟΝ

279

ΦΙΓΥΡΕ 6.25 Σιµπλε παραλλελ–σεριεσ σψστεµ ωιτη τωο δερατεδ στατεσ φορ s = 1, t = 4.

6.8.4 Σιµπλε Παραλλελ Σψστεµ Α σιµπλε παραλλελ–σεριεσ σψστεµ ωιτη φυλλ (0.4) δερατεδ (0.3) ανδ δεγραδεδ (0.1) στατεσ ισ σηοων ιν Φιγυρε 6.25. Υσινγ τηε σηορτχυτ φορµυλατιον αππροαχη (τηε στατε− ενυµερατιον µετηοδ ρεθυιρεσ S N = 44 = 256 χοµβινατιονσ ιν γενεραλ; ηερε, δυε το 1 ανδ 4 βεινγ φυλλ στατεσ, 42 = 16, ανδ τηερεφορε χυµβερσοµε το ωορκ ωιτη), ωε γετ, υσινγ τηε σαµε λογιχ ασ ωε υσεδ ιν Σεχτιονσ 6.8.1 το 6.8.3, P (ΥΠ) = P1 (ΥΠ)P4 (ΥΠ){1 − [1 − P2 (ΥΠ)][1 − P3 (ΥΠ)]} = (1.0)[1 − (1 − 0.4)2 ] = 1 − 0.36 = 0.64

(19)

Pσψσ (∆ΕΡ) = (1.0){1 − [1 − P2 (ΥΠ + ∆ΕΡ)][1 − P3 (ΥΠ + ∆ΕΡ)]} − Pσψσ (ΥΠ) = (1.0)(1 − 0.32 ) − 0.64 = 0.91 − 0.64 = 0.27

(20)

Pσψσ (∆ΕΓΡ) = (1.0){1 − [1 − P2 (ΥΠ + ∆ΕΡ + ∆ΕΓΡ)][1 − P3 (ΥΠ + ∆ΕΡ + ∆ΕΓΡ)]} − Pσψσ (ΥΠ) − Pσψσ (∆ΕΡ)

= (1.0)(1 − 0.12 ) − 0.64 − 0.27 = 0.99 − 0.64 − 0.27 = 0.08 (21) Pσψσ (∆Ν) = 1 − Pσψσ (ΥΠ) − Pσψσ (∆ΕΡ) − Pσψσ (∆ΕΓΡ) = 1 − 0.64 − 0.27 − 0.08 = 0.01

(22)

Νοω χονσιδερ τηε φολλοωινγ εξαµπλε, ωηιχη ισ σοµεωηατ σιµιλαρ το τηε ονε γιϖεν ον παγε 71 ιν ρεφερενχε 25 βυτ ωιτη αν αλτογετηερ διφφερεντ φορµυλατιον ανδ διφφερεντ ινπυτ δατα. 6.8.5 Χοµβινεδ Σψστεµ Α ηψδροελεχτριχ ποωερ πλαντ (Φιγυρε 6.26) χαν γενερατε 100% (φυλλψ οπερατινγ), 75% (δερατεδ 1), 50% (δερατεδ 2), 25% (δερατεδ 3), ορ 0% (φυλλψ δοων) οφ ρατεδ ελεχτριχ ποωερ χαπαχιτψ, δεπενδινγ ον τηε ωατερ στοραγε λεϖελ ανδ τηυσ τηε αµουντ οφ στεαµ ⇓οω ρεαχηινγ τηε τυρβινε. Τηε χορρεσπονδινγ σψστεµ στατεσ αρε 1, 2, 3, 4,

280

ΡΕΛΙΑΒΙΛΙΤΨ ΒΛΟΧΚ ∆ΙΑΓΡΑΜΜΙΝΓ ΙΝ ΧΟΜΠΛΕΞ ΣΨΣΤΕΜΣ

ΦΙΓΥΡΕ 6.26 Ποωερ πλαντ εξαµπλε ωιτη φουρ δερατεδ τυρβινεσ (1 το 4) ιν αχτιϖε παραλλελ ανδ α τρανσφορµερ (εγρεσσ νοδε 5) Νοδε 0 ισ υσεδ ασ α πλαχεηολδερ φορ αν ινγρεσσ νοδε ωιτη φυλλ ρελιαβιλιτψ.

ανδ 5. Τηε ποωερ πλαντ χονσιστσ οφ φουρ τυρβινεσ ιν αχτιϖε παραλλελ ανδ αν ουτπυτ τρανσφορµερ το φαχιλιτατε διστριβυτιον ιν σεριεσ ωιτη τηε τυρβινεσ. Τηε αϖαιλαβλε τυρβινε τηατ ηασ τηε µαξιµαλ ποωερ ουτπυτ ισ αλωαψσ υσεδ. Φορ ανψ δεµανδ λεϖελ οφ w = 1, 2, 3, 4, 5, τηε χοµβινεδ σψστεµ ρελιαβιλιτψ φυνχτιον οφ στατεσ τακεσ τηε φολλοωινγ ρεχυρσιϖε φορµ: ⎛ ⎞⎡ ⎛ ⎞⎛ ⎞⎛ ⎞ w w w w     Rσψσ (w) = ⎝ R5j ⎠ ⎣1 − ⎝1 − R1j ⎠ ⎝1 − R2j ⎠ ⎝1 − R3j ⎠ j =1

⎛

× ⎝1 −

w  j =1

⎞⎤

R4j ⎠⎦ −

j =1

w  j =1

j =1

Rσψσ (j − 1)

j =1

(23)

ωηερε w = 1, 2, 3, 4, 5 ανδ Rσψσ (0) = 0.0. ΜΣΣ ελεµεντσ αρε στατιστιχαλλψ ινδεπεν− δεντ. Ιφ Rw1 = 0.4, Rw2 = 0.3, Rw3 = 0.15, Rw4 = 0.1, ανδ Rw5 = 0.05, w(στατε) = 1, . . ., 5, ασ σηοων ιν Φιγυρε 6.26; τηεν τηε σψστεµ ρελιαβιλιτιεσ Rσψσ (w) αρε Rσψσ (1) = 0.4[1 − (1 − 0.4)4 ] = 0.34816

(24)

= 0.69433 − 0.34816 = 0.34617

(25)

= 0.84957 − 0.34617 − 0.34816 = 0.15524

(26)

Rσψσ (2) = (0.4 + 0.3){1 − [1 − (0.4 + 0.3)]4 } − R(1)

Rσψσ (3) = (0.4 + 0.3 + 0.15){1 − [1 − (0.4 + 0.3 + 0.15)]4 } − R(1) − R(2)

∆ΙΣΧΥΣΣΙΟΝ ΑΝ∆ ΧΟΝΧΛΥΣΙΟΝΣ

281

Rσψσ (4) = (0.4 + 0.3 + 0.15 + 0.1){1 − [1 − (0.4 + 0.3 + 0.15 + 0.1)]4 } − R(1) − R(2) − R(3) = 0.94999 − 0.15524 − 0.34617 − 0.34816 = 0.10042

(27)

Rσψσ (5) = (0.4 + 0.3 + 0.15 + 0.1 + 0.05){1 − [1 − (0.4 + 0.3 + 0.15 + 0.1 + 0.05)]4 } − R(1) − R(2) − R(3) − R(4) = 1 − R(1) − R(2) − R(3) − R(4) = 1 − 0.10042 − 0.15524 − 0.34617 − 0.34816 = 0.05001

(28)

Τηεσε ρεσυλτσ αγρεε ωιτη τηε σοφτωαρε σολυτιον υσινγ ΤΩΧ−Σολϖερ ασ σηοων ιν Φιγυρε 6.26.

6.9 ∆ΙΣΧΥΣΣΙΟΝ ΑΝ∆ ΧΟΝΧΛΥΣΙΟΝΣ Φιρστ, τηε χοµπρεσσιον τεχηνιθυε προποσεδ ιν τηε ΦΥΒ µετηοδ, αλτηουγη ιτ δοεσ νοτ γιϖε εξαχτ ρεσυλτσ βυτ αν αππροξιµατε φαστ υππερ βουνδ, περφορµσ α σπεχιαλ χοδινγ το ενχοδε ανδ δεχοδε νον−παραλλελ–σεριεσ (χοµπλεξ) νετωορκσ. Σεχονδ, τηε ηψβριδ−ενυµερατιον αλγοριτηµ προποσεδ, αλτηουγη ιτ ισ σλοωερ, χαλχυλατεσ τηε εξαχτ σουρχε–ταργετ ρελιαβιλιτψ ινδεξ, σταρτινγ φροµ σιµπλερ ανδ τραχταβλε χοµ− πλεξ νετωορκσ συχη ασ τηοσε σηοων ιν Φιγυρεσ 6.10, 6.12, ανδ 6.14, ανδ φυρτηερ το ϖερψ χοµπλεξ, ασ ιν Φιγυρε 6.16, ωιτη 19 νοδεσ ανδ 32 λινκσ. Τηισ µετηοδ ιλλυστρατεσ τηε ρεχονστρυχτιον οφ α χοµπλεξ τοπολογψ βψ α σπεχιαλ χονϖερσιον ορ Πολιση δεχοδινγ τεχηνιθυε ωηοσε αλγοριτηµ ισ γιϖεν ιν Σεχτιον 6.6. Τηε δεχοδ− ινγ πραχτιχε προποσεδ χαν βε υσεφυλ φορ σεχυριτψ ανδ φορ τιµε− ανδ σπαχε−σαϖινγ πυρποσεσ. Τηισ παχκαγε εναβλεσ ενχοδινγ ανδ δεχοδινγ φορ ανψ νετωορκ τηατ δεµανδσ τηε ηιγηεστ ανδ µοστ χριτιχαλ ασσυρανχε. Ιν χονχλυσιον, ασιδε φροµ χαλχυλατινγ τηε σουρχε–ταργετ ρελιαβιλιτψ οφ ανψ χοµ− πλεξ σψστεµ, ιτ ισ σηοων τηατ τηε Πολιση νοτατιον χονστρυχτεδ φροµ α γραπηιχαλ ιντερφαχε υσινγ ποστ⇒ξεσ το δεσχριβε τηε τοπολογψ οφ ανψ χοµπλεξ νετωορκ ισ υσεφυλ φορ ιδεντιφψινγ α γιϖεν τοπολογψ. Φυρτηερµορε, τηε ουτπυτ χαν τηεν βε τρανσπορτεδ, φορ ρεασονσ οφ σεχυριτψ ορ σαϖινγ στοραγε σπαχε, το α ρεµοτε αναλψστ, ωηο ιν τυρν, υσινγ τηισ αλγοριτηµ, χαν ρεϖερσε−ενγινεερ α γιϖεν Πολιση νοτατιον ιν α δεχοδινγ αλγοριτηµ προποσεδ το ρεχονστρυχτ τηε τοπολογψ. Βοτη φορωαρδ (ενχοδ− ινγ) ανδ ρεϖερσε (δεχοδινγ) αλγοριτηµσ ωορκ φορ βοτη σιµπλε παραλλελ–σεριεσ ανδ νον−παραλλελ–σεριεσ, (ι.ε., χοµπλεξ) νετωορκσ. Νετωορκσ οφ ϖαριουσ χοµπλεξιτιεσ αρε εξαµινεδ. Τηε εφφορτσ το σαϖε τιµε ηαϖε προγρεσσεδ το α νεω αλγοριτηµ φορ λαργε νετωορκσ εξχεεδινγ 20 νοδεσ. Τηε ηψβριδ−ενυµερατιον αλγοριτηµ χαν αχχυρατελψ χαλχυλατε τηε σουρχε–ταργετ ρελιαβιλιτψ οφ α χοµπλεξ σψστεµ συχη ασ τηε ονε σηοων ιν Φιγυρε 6.16, ωιτη 19 νοδεσ ανδ 32 λινκσ, ιν ρουγηλψ 3000 σεχονδσ. Ηοωεϖερ, α νοϖελ ρεσεαρχη προϕεχτ υσινγ τηε Οϖερλαπ τεχηνιθυε ωιλλ ινχρεασε τηε χοµπυτατιον σπεεδ φορ λαργε χοµπλεξ νετωορκσ ον τηε ορδερ οφ 50− το

282

ΡΕΛΙΑΒΙΛΙΤΨ ΒΛΟΧΚ ∆ΙΑΓΡΑΜΜΙΝΓ ΙΝ ΧΟΜΠΛΕΞ ΣΨΣΤΕΜΣ

100−φολδ, φροµ αππροξιµατελψ 3000 σεχονδσ το νεαρλψ 60 σεχονδσ, ωιτηουτ σαχ− ρι⇒χινγ ανψ αχχυραχψ φορ α νετωορκ συχη ασ ονε ωιτη 19 νοδεσ ανδ 32 λινκσ. Τηε οϖερλαπ µετηοδ, ωιτη ιτσ εξτρεµε σπεεδ ανδ αδδιτιοναλ αδϖανταγεσ, συχη ασ µυλτιστατε τρεατµεντ οφ χοµπονεντσ, ισ αλσο στυδιεδ ιν τηισ χηαπτερ, τηρουγη αλγο− ριτηµσ φορ ηανδ χαλχυλατιονσ. Τηε σετ οφ αλγοριτηµσ πρεσεντεδ φορ στυδεντσ ανδ ρεαδερσ το εναβλε ωορκινγ ον εαρλιερ, υνσολϖαβλε χοµπλεξ νετωορκσ, νοω φεασι− βλε βψ ηανδ χαλχυλατιονσ, προϖιδε α ποωερφυλ αλτερνατιϖε το χοµµερχιαλ σοφτωαρε. Τηεσε αλγοριτηµσ φορµ τηε συβϕεχτ µαττερ οφ α νεω ΡΒ∆ τρενδ.

ΑΠΠΕΝ∆ΙΞ 6Α: ΟςΕΡΛΑΠ ΑΛΓΟΡΙΤΗΜ ∆ΕΣΧΡΙΒΕ∆ Χρεατε α λιστ το ηολδ τηε µινιµυµ πατησ. Χρεατε α λιστ οφ νοδεσ (α ωορκινγ πατη λιστ). ∆ετερµινε τηε ινγρεσσ νοδε φορ τηε νετωορκ. Αδδ τηε ινγρεσσ νοδε το τηε ωορκινγ πατη λιστ. Ινχλυδε αν ινδεξ ιν τηε νοδε το δενοτε τηε χυρρεντ λινκ. Ινχλυδε αν ινδεξεδ λιστ οφ λινκσ το αλλ οτηερ νοδεσ [24]. Χυρρεντ Στατε:

Πατησ:

Ινγρεσσ Νοδε:

Εγρεσσ Νοδε:

Ωορκινγ Πατη: Ινγρεσσ Νοδε (0) Λινκσ (0) (νοδε–νοδε), (1) (νοδε–νοδε) Λινκ Ινδεξ = −1

Ωηιλε τηερε αρε στιλλ νοδεσ πρεσεντ ιν τηε ωορκινγ πατη, χοντινυε ωορκινγ. Στεπ Ι 1. Ιφ νο νοδεσ ρεµαιν ιν τηε ωορκινγ πατη, τηε προχεσσ ισ χοµπλετε, σο γο το στεπ ΙΙ. 2. Ινχρεασε τηε λινκ ινδεξ βψ 1 φορ τηε λαστ νοδε ιν τηε ωορκινγ πατη. 3. Ιφ αλλ τηε λινκσ ηαϖε βεεν προχεσσεδ φορ τηε λαστ νοδε ιν τηε ωορκινγ πατη, ρεµοϖε τηε νοδε ανδ γο το στεπ Ι. 4. Γετ τηε νοδε το ωηιχη τηε νεξτ λινκ ποιντσ. 5. Ιφ ιτ ισ τηε εγρεσσ νοδε, δο τηε φολλοωινγ: α. Αδδ τηε εγρεσσ νοδε το τηε ωορκινγ νοδεσ. β. Αδδ τηε πατη χονταινεδ ιν τηε ωορκινγ πατη το τηε λιστ οφ πατησ. χ. Ιφ τηε νετωορκ ισ χυρρεντλψ χονσιδερεδ α παραλλελ–σεριεσ νετωορκ ανδ τηερε ισ µορε τηαν ονε νοδε ιν τηε πατη, φορ εαχη νοδε ιν τηε πατη δο τηε φολλοωινγ: ι. Ιφ τηε νοδε ισ νοτ ιν τηε ασσερτιονσ λιστ: 1. Αδδ τηε νοδε το τηε ασσερτιονσ λιστ. 2. Αδδ αλλ τηε νοδεσ ιν τηε πατη τηατ φολλοω τηε νοδε το τηε “αλωαψσ φολλοωσ” λιστ φορ τηε νοδε ιν τηε ασσερτιονσ λιστ. ιι. Ιφ τηε νοδε ισ ιν τηε ασσερτιονσ λιστ, ρεµοϖε ανψ νοδεσ ιν τηε “αλωαψσ φολλοωσ” λιστ φορ τηε νοδε ιν τηε ασσερτιονσ λιστ τηατ πρεχεδεσ τηε νοδε ιν τηε πατη.

ΟςΕΡΛΑΠ ΑΛΓΟΡΙΤΗΜ ∆ΕΣΧΡΙΒΕ∆

283

ιιι. Σετ τηε ορδερ νυµβερ φορ τηε νοδε το τηε ηιγηεστ ϖαλυε ιτ ηασ ηελδ ιν ανψ πατη. ιϖ. Γετ τηε πατη αδδεδ το τηε πατησ λιστ πριορ το τηε χυρρεντ πατη. ϖ. Ωαλκ τηρουγη τηε πατησ φροµ τηε σταρτ ανδ δετερµινε ωηεν τηε πατησ διϖεργε. ϖι. Ωαλκ τηρουγη τηε πατησ φροµ τηε ενδ ανδ δετερµινε ωηερε τηεψ χον− ϖεργε. ϖιι. Φορ εαχη νοδε ιν τηε χυρρεντ πατη σταρτινγ αφτερ τηε διϖεργεντ νοδε ανδ ενδινγ ατ τηε νοδε πριορ το τηε χονϖεργενχε νοδε: 1. Αδδ τηε νοδε το τηε ασσερτιονσ λιστ ιφ ιτ δοεσ νοτ αλρεαδψ εξιστ. 2. Αδδ τηε διϖεργενχε νοδε το τηε “φολλοω νοδεσ” λιστ ιφ ιτ ισ νοτ ιν τηε λιστ. 3. Αδδ τηε χονϖεργενχε νοδε το τηε “λεαδ νοδεσ” λιστ ιφ ιτ ισ νοτ ιν τηε λιστ. ϖιιι. Φορ εαχη νοδε ιν τηε πατη πριορ το τηε χυρρεντ πατη σταρτινγ αφτερ τηε διϖεργεντ νοδε ανδ ενδινγ ατ τηε νοδε πριορ το τηε χονϖεργενχε νοδε: 1. Αδδ τηε νοδε το τηε ασσερτιονσ λιστ ιφ ιτ δοεσ νοτ αλρεαδψ εξιστ. 2. Αδδ τηε διϖεργενχε νοδε το τηε “φολλοω νοδεσ” λιστ ιφ ιτ ισ νοτ ιν τηε λιστ. 3. Αδδ τηε χονϖεργενχε νοδε το τηε “λεαδ νοδεσ” λιστ ιφ ιτ ισ νοτ ιν τηε λιστ. ιξ. Φορ εαχη νοδε ιν τηε χυρρεντ πατη, ιφ ανψ νοδε ιν τηε “φολλοω νοδεσ” λιστ πρεχεδεσ τηε νοδε ιν τηε χυρρεντ πατη ορ ανψ νοδε ιν τηε “λεαδ νοδεσ” λιστ φολλοωσ τηε νοδε ιν τηε χυρρεντ πατη, µαρκ τηε νετωορκ ασ χοµπλεξ. δ. Ρεµοϖε τηε εγρεσσ νοδε φροµ τηε ωορκινγ πατη. ε. Γο το στεπ Ι. 6. Ιφ τηε νοδε δοεσ νοτ σηορτ−χιρχυιτ τηε πατη (α νοδε ισ χονσιδερεδ το σηορτ−χιρχυιτ τηε πατη ιφ ιτ λινκεδ το ανψ νοδε αλρεαδψ ιν τηε ωορκινγ πατη), αδδ τηε νοδε το τηε ωορκινγ πατη. 7. Γο το στεπ Ι. Στεπ ΙΙ Ιφ τηε νετωορκ ισ νοτ παραλλελ–σεριεσ, γο το στεπ Ις. 1. Χαλχυλατε τηε ρελιαβιλιτψ οφ τηε εντιρε νετωορκ. 2. Γετ τηε λιστ οφ νοδεσ τηατ αλωαψσ φολλοω τηε ινγρεσσ νοδε φροµ τηε ασσερτιονσ λιστ γενερατεδ ιν στεπ Ι. 3. Μακε τηισ τηε “αλωαψσ λεαδσ” λιστ. 4. Ιφ νο νοδεσ φολλοω τηε ινγρεσσ νοδε, τηε νετωορκ ρελιαβιλιτψ ισ τηε ρελιαβιλιτψ οφ τηε ινγρεσσ νοδε, σο γο το στεπ ς. 5. Σετ τηε ταργετ νοδε το τηε εγρεσσ νοδε.

284

ΡΕΛΙΑΒΙΛΙΤΨ ΒΛΟΧΚ ∆ΙΑΓΡΑΜΜΙΝΓ ΙΝ ΧΟΜΠΛΕΞ ΣΨΣΤΕΜΣ

Στεπ ΙΙΙ 1. Ιφ τηερε ισ ονλψ ονε νοδε ιν τηε “αλωαψσ λεαδσ” λιστ: α. Γετ τηε “αλωαψσ λεαδσ” λιστ φορ τηε νοδε ιν τηε χυρρεντ “αλωαψσ λεαδσ” λιστ ανδ σταρτ στεπ ΙΙΙ αγαιν. α. Ρεχυρσιϖελψ χαλλ στεπ ΙΙΙ ωιτη τηε “αλωαψσ λεαδσ” λιστ φροµ ιτεµ α. β. Σετ τηε χυρρεντ ρελιαβιλιτψ ασ τηε χυρρεντ ρελιαβιλιτψ × τηε ρελιαβιλιτψ φροµ τηε ρεχυρσιϖε χαλλ δονε ιν ιτεµ β. χ. Ρετυρν τηε χυρρεντ ρελιαβιλιτψ. 2. Ιφ τηερε ισ µορε τηαν ονε νοδε ιν τηε “αλωαψσ λεαδσ” λιστ: α. Φινδ τηε νοδε ιν ωηιχη τηε αλλ νοδεσ ιν τηε “αλωαψσ λεαδσ” λιστ εϖεντυαλλψ ρεχονϖεργε. β. Χαλχυλατε τηε σψστεµ ρελιαβιλιτψ ασ [1.0 − (ρεχυρσιϖελψ χαλλ στεπ ΙΙΙ ωιτη τηε νοδε φροµ ιτεµ α ασ τηε ταργετ νοδε)]. χ. Γετ τηε σψστεµ ρελιαβιλιτψ οφ τηε ρεχονϖεργενχε νοδε το τηε ταργετ νοδε. δ. Χαλχυλατε τηε χυρρεντ ρελιαβιλιτψ ασ τηε χυρρεντ ρελιαβιλιτψ ×(1− σψστεµ ρελι− αβιλιτψ) × ρελιαβιλιτψ φροµ ιτεµ χ. ε. Ρετυρν τηε χυρρεντ ρελιαβιλιτψ. Στεπ Ις Τηε νετωορκ τψπε ισ α χοµπλεξ νετωορκ. 1. Ρεµοϖε τηε πατησ τηατ οϖερλαπ. α. Τεστ αλλ τηε πατησ το δετερµινε ωηιχη πατησ µαψ βε ρεµοϖεδ δυε το οϖερ− λαππινγ ανοτηερ πατη. β. Τεστ εαχη νοδε ιν τηε πατησ λιστ αγαινστ αλλ τηε νοδεσ τηατ φολλοω ιτ: ι. Ιφ εϖερψ νοδε ιν τηε πατη ατ ινδεξ j ισ ιν τηε πατη ατ ινδεξ i, ρεµοϖε ιτ. ιι. Ελσε, ιφ εϖερψ νοδε ιν τηε πατη ατ ινδεξ i ισ ιν τηε πατη ατ ινδεξ j , ρεµοϖε ιτ. 2. Χρεατε α λιστ ινδεξ ανδ σετ ιτ το 0. 3. Φορ εαχη νοδε ιν τηε λιστ: α. Γετ τηε χυρρεντ πατη φροµ τηε λιστ ατ τηε ινδεξ. β. Φορ εαχη πατη ιν τηε πατησ λιστ φολλοωινγ τηε χυρρεντ πατη: ι. Γετ τηε νοδεσ τηατ αρε ιν τηε πατη τηατ αρε νοτ ιν τηε χυρρεντ πατη. ιι. Χρεατε α νεω πατη ωιτη τηεσε νοδεσ ανδ αδδ ιτ το τηε “πασσ ον πατησ” λιστ. χ. Χαλχυλατε τηε ρελιαβιλιτψ ασ ρελιαβιλιτψ + (πατη ρελιαβιλιτψ) × [1− (ρεπεατ τηεσε στεπσ φορ τηε “πασσ ον πατησ” λιστ)]. Στεπ ς Τηε αλγοριτηµ ισ χοµπλετε.

285

ΟςΕΡΛΑΠ ΙΝΓΡΕΣΣ–ΕΓΡΕΣΣ ΡΕΛΙΑΒΙΛΙΤΨ ΑΛΓΟΡΙΤΗΜ, ΕΞ. 1

ΑΠΠΕΝ∆ΙΞ 6Β: ΟςΕΡΛΑΠ ΙΝΓΡΕΣΣ–ΕΓΡΕΣΣ ΡΕΛΙΑΒΙΛΙΤΨ ΑΛΓΟΡΙΤΗΜ ΑΠΠΛΙΕ∆, ΕΞΑΜΠΛΕ 1 Υσινγ τηε νετωορκ σηοων ιν Φιγυρε 6Β.1, τηε φολλοωινγ ισ αν εξαµπλε οφ τηε οϖερλαπ τεχηνιθυε το δετερµινε τηε µινιµαλ πατησ φορ τηε νετωορκ. Τηε δεφαυλτ ασσερτιον ισ τηατ τηε νετωορκ τψπε ισ παραλλελ–σεριεσ. Χρεατε α λιστ το ηολδ τηε µινιµυµ πατησ. ∆ετερµινε τηε ινγρεσσ νοδε φορ τηε νετωορκ. ∆ετερµινε τηε εγρεσσ νοδε φορ τηε νετωορκ. Χρεατε αν ασσερτιονσ λιστ. Χρεατε α λιστ οφ νοδεσ (α ωορκινγ πατη) ανδ αδδ τηε ινγρεσσ νοδε το τηε ωορκινγ πατη λιστ. Ινχλυδε α λινκ ινδεξ ιν τηε νοδε το δενοτε τηε χυρρεντ λινκ ωιτη αν ινιτιαλ ϖαλυε οφ −1. Ινχλυδε αν ινδεξεδ λιστ οφ λινκσ το αλλ οτηερ νοδεσ. Πατησ:

Ινγρεσσ Νοδε 1

Εγρεσσ Νοδε 8

Ωορκινγ Πατη: Νοδε 1 Λινκ Ινδεξ: −1 Λινκσ: 0–1, 2 1–1, 4

Ινχρεµεντ τηε λινκ ινδεξ φορ νοδε 1. Σινχε νοδε 1 ηασ λινκσ τηατ ηαϖε νοτ βεεν προχεσσεδ, ⇒νδ τηε νεξτ νοδε βασεδ ον τηε λινκ ινδεξ φροµ τηε λινκσ λιστ. Σινχε νοδε 2 ισ νοτ αλρεαδψ ιν τηε ωορκινγ πατη, τηυσ δοεσ νοτ σηορτ−χιρχυιτ τηε πατη, αδδ ιτ το τηε ωορκινγ πατη. Τηε ωορκινγ πατη σηουλδ νοω λοοκ λικε τηισ: Πατησ:

Ινγρεσσ Νοδε 1

Εγρεσσ Νοδε 8

Ωορκινγ Πατη: Νοδε 1 Λινκ Ινδεξ: 0 Λινκσ: 0–1, 2 1–1, 4

Νοδε 2 Λινκ Ινδεξ: −1 Λινκσ: 0–2, 3 1–2, 5

ΦΙΓΥΡΕ 6Β.1

Σιξ−νοδε χοµπλεξ νετωορκ ανδ ιτσ οϖερλαπ ρελιαβιλιτψ s = 1, t = 6.

286

ΡΕΛΙΑΒΙΛΙΤΨ ΒΛΟΧΚ ∆ΙΑΓΡΑΜΜΙΝΓ ΙΝ ΧΟΜΠΛΕΞ ΣΨΣΤΕΜΣ

Ινχρεµεντ τηε λινκ ινδεξ φορ νοδε 2. Σινχε νοδε 2 ηασ λινκσ τηατ ηαϖε νοτ βεεν προχεσσεδ, ⇒νδ τηε νεξτ νοδε βασεδ ον τηε λινκ ινδεξ φροµ τηε λινκσ λιστ. Σινχε νοδε 3 ισ νοτ αλρεαδψ ιν τηε ωορκινγ πατη, τηυσ δοεσ νοτ σηορτ−χιρχυιτ τηε πατη, αδδ ιτ το τηε ωορκινγ πατη. Τηε ωορκινγ πατη σηουλδ νοω λοοκ λικε τηισ: Πατησ:

Ινγρεσσ Νοδε 1

Εγρεσσ Νοδε 8

Ωορκινγ Πατη: Νοδε 1 Λινκ Ινδεξ: 0 Λινκσ: 0–1, 2 1–1, 4

Νοδε 2 Λινκ Ινδεξ: 0 Λινκσ: 0–2, 3 1–2, 5

Νοδε 3 Λινκ Ινδεξ: −1 Λινκσ: 0–3, 4 1–3, 6

Ινχρεµεντ τηε λινκ ινδεξ φορ νοδε 3. Σινχε νοδε 3 ηασ λινκσ τηατ ηαϖε νοτ βεεν προχεσσεδ, ⇒νδ τηε νεξτ νοδε βασεδ ον τηε λινκ ινδεξ φροµ τηε λινκσ λιστ. Σινχε νοδε 4 ισ νοτ αλρεαδψ ιν τηε ωορκινγ πατη, τηυσ δοεσ νοτ σηορτ−χιρχυιτ τηε πατη, αδδ ιτ το τηε ωορκινγ πατη. Τηε ωορκινγ πατη σηουλδ νοω λοοκ λικε τηισ: Πατησ:

Ινγρεσσ Νοδε 1

Εγρεσσ Νοδε 8

Ωορκινγ Πατη: Νοδε 1 Λινκ Ινδεξ: 0 Λινκσ: 0–1, 2 1–1, 4

Νοδε 2 Λινκ Ινδεξ: 0 Λινκσ: 0–2, 3 1–2, 5

Νοδε 3 Λινκ Ινδεξ: 0 Λινκσ: 0–3, 4 1–3, 6

Νοδε 4 Λινκ Ινδεξ: −1 Λινκσ: 0–4, 1 1–4, 5

Ινχρεµεντ τηε λινκ ινδεξ φορ νοδε 4. Σινχε νοδε 4 ηασ λινκσ τηατ ηαϖε νοτ βεεν προχεσσεδ, ⇒νδ τηε νεξτ νοδε βασεδ ον τηε λινκ ινδεξ φροµ τηε λινκσ λιστ. Τηε ⇒ρστ νοδε ιν τηε λινκσ λιστ ισ το νοδε 1. Νοδε 1 ισ αλρεαδψ ιν τηε πατη, σο ιτ ισ ιγνορεδ. Ινχρεµεντ τηε λινκ ινδεξ φορ νοδε 4. Σινχε νοδε 4 ηασ λινκσ τηατ ηαϖε νοτ βεεν προχεσσεδ, ⇒νδ τηε νεξτ νοδε βασεδ ον τηε λινκ ινδεξ. Σινχε νοδε 5 ισ νοτ αλρεαδψ ιν τηε ωορκινγ πατη, τηυσ δοεσ νοτ σηορτ−χιρχυιτ τηε πατη, αδδ ιτ το τηε ωορκινγ πατη. Τηε ωορκινγ πατη σηουλδ νοω λοοκ λικε τηισ: Πατησ:

Ινγρεσσ Νοδε 1

Εγρεσσ Νοδε 8

Ωορκινγ Πατη: Νοδε 1 Λινκ Ινδεξ: 0 Λινκσ: 0–1, 2 1–1, 4

Νοδε 2 Λινκ Ινδεξ: 0 Λινκσ: 0–2, 3 1–2, 5

Νοδε 3 Λινκ Ινδεξ: 0 Λινκσ: 0–3, 4 1–3, 6

Νοδε 4 Λινκ Ινδεξ: 1 Λινκσ: 0–4, 1 1–4, 5

Νοδε 5 Λινκ Ινδεξ: −1 Λινκσ: 0–5, 2 1–5, 6

Ινχρεµεντ τηε λινκ ινδεξ φορ νοδε 5. Σινχε νοδε 5 ηασ λινκσ τηατ ηαϖε νοτ βεεν προχεσσεδ, ⇒νδ τηε νεξτ νοδε βασεδ ον τηε λινκ ινδεξ φροµ τηε λινκσ λιστ.

287

ΟςΕΡΛΑΠ ΙΝΓΡΕΣΣ–ΕΓΡΕΣΣ ΡΕΛΙΑΒΙΛΙΤΨ ΑΛΓΟΡΙΤΗΜ, ΕΞ. 1

Σινχε νοδε 2 ισ αλρεαδψ ιν τηε πατη, ιγνορε ιτ. Ινχρεµεντ τηε λινκ ινδεξ φορ νοδε 5. Σινχε νοδε 5 ηασ λινκσ τηατ ηαϖε νοτ βεεν προχεσσεδ, ⇒νδ τηε νεξτ νοδε βασεδ ον τηε λινκ ινδεξ. Νοδε 6 ισ νοτ αλρεαδψ ιν τηε ωορκινγ πατη, σο αδδ ιτ το τηε ωορκινγ πατη. Τηε ωορκινγ πατη σηουλδ νοω λοοκ λικε τηισ: Πατησ:

Ινγρεσσ Νοδε 1

Εγρεσσ Νοδε 8

Ωορκινγ Πατη: Νοδε 1 Λινκ Ινδεξ: 0 Λινκσ: 0–1, 2 1–1, 4

Νοδε 2 Λινκ Ινδεξ: 0 Λινκσ: 0–2, 3 1–2, 5

Νοδε 3 Λινκ Ινδεξ: 0 Λινκσ: 0–3, 4 1–3, 6

Νοδε 4 Λινκ Ινδεξ: 1 Λινκσ: 0–4, 1 1–4, 5

Νοδε 5 Λινκ Ινδεξ: 1 Λινκσ: 0–5, 2 1–5, 6

Νοδε 6 Λινκ Ινδεξ: −1 Λινκσ:

Νοδε 6 ισ τηε εγρεσσ νοδε. Αδδ τηε πατη το τηε πατησ λιστ. Τηε νετωορκ ισ χονσιδερεδ α παραλλελ–σεριεσ νετωορκ ανδ τηερε ισ µορε τηαν ονε νοδε ιν τηε πατη. Τηερε αρε νο νοδεσ ιν τηε ασσερτιονσ λιστ, σο αδδ αλλ τηε νοδεσ ιν τηε πατη το τηε ασσερτιονσ λιστ. Ασ εαχη νοδε ισ αδδεδ το τηε ασσερτιονσ λιστ, αδδ αλλ τηε νοδεσ τηατ φολλοω ιτ το τηε αλωαψσ φολλοωσ λιστ. Τηε ασσερτιονσ λιστ λοοκσ λικε τηισ: Ασσερτιονσ: Νετωορκ Τψπε: Παραλλελ–Σεριεσ Νοδε 1 2 3 4 5 6

Αλωαψσ Φολλοωσ 2, 3, 4, 5, 6 3, 4, 5, 6 4, 5, 6 5, 6 6 6

Ορδερ 1 2 3 4 5

Λεαδ Νοδεσ

Φολλοω Νοδεσ

Σινχε τηερε ισ ονλψ ονε πατη ιν τηε πατησ λιστ, τηε χυρρεντ πατη χαννοτ βε χοµπαρεδ το ανψ οτηερ πατη. Τηε νετωορκ τψπε ισ χυρρεντλψ παραλλελ–σεριεσ. Τηε νοδεσ δο νοτ ϖιολατε τηε ασσερτιον τεστ (α νοδε ισ νοτ ιν τηε λεαδ νοδεσ λιστ τηατ φολλοωσ τηε νοδε ιν τηε πατη, ανδ α νοδε δοεσ νοτ αππεαρ ιν τηε φολλοω νοδεσ λιστ πρεχεδινγ τηε νοδε ιν τηε πατη), σο τηε νετωορκ τψπε ισ παραλλελ–σεριεσ. Νοω ρεµοϖε νοδε 6 φροµ τηε ωορκινγ πατη λιστ. Ινχρεµεντ τηε λινκ ινδεξ φορ νοδε 5. Σινχε νοδε 5 δοεσ νοτ ηαϖε λινκσ τηατ ηαϖε νοτ βεεν προχεσσεδ, ρεµοϖε ιτ φροµ τηε ωορκινγ πατη λιστ. Ινχρεµεντ τηε λινκ φορ νοδε 4. Σινχε νοδε 4 δοεσ νοτ ηαϖε λινκσ τηατ ηαϖε νοτ βεεν προχεσσεδ, ρεµοϖε ιτ φροµ τηε ωορκινγ πατη. Ινχρεµεντ τηε λινκ ινδεξ φορ νοδε 3. Σινχε νοδε 3 ηασ λινκσ τηατ ηαϖε νοτ βεεν προχεσσεδ, ⇒νδ τηε νεξτ νοδε βασεδ ον τηε λινκ ινδεξ. Νοδε 6 ισ νοτ αλρεαδψ ιν τηε ωορκινγ πατη, τηυσ δοεσ νοτ σηορτ−χιρχυιτ τηε πατη, σο αδδ ιτ το τηε ωορκινγ πατη. Τηε ωορκινγ πατη σηουλδ νοω λοοκ λικε τηισ:

288

ΡΕΛΙΑΒΙΛΙΤΨ ΒΛΟΧΚ ∆ΙΑΓΡΑΜΜΙΝΓ ΙΝ ΧΟΜΠΛΕΞ ΣΨΣΤΕΜΣ

Πατησ: 1, 2, 3, 4, 5, 6 Ωορκινγ Πατη: Νοδε 1 Λινκ Ινδεξ: 0 Λινκσ: 0–1, 2 1–1, 4

Νοδε 2 Λινκ Ινδεξ: 0 Λινκσ: 0–2, 3 1–2, 5

Νοδε 3 Λινκ Ινδεξ: 1 Λινκσ: 0–3, 4 1–3, 6

Νοδε 6 Λινκ Ινδεξ: −1

Νοδε 6 ισ τηε εγρεσσ νοδε. Αδδ τηε πατη το τηε πατησ λιστ. Τηε νετωορκ ισ χονσιδερεδ α παραλλελ–σεριεσ νετωορκ ανδ τηερε ισ µορε τηαν ονε νοδε ιν τηε πατη. Αδδ ανψ νοδε τηατ ισ ιν τηε πατη βυτ νοτ ιν τηε ασσερτιονσ λιστ. Ασ εαχη νοδε ισ αδδεδ το τηε ασσερτιονσ λιστ, αδδ αλλ τηε νοδεσ τηατ φολλοω ιτ το τηε αλωαψσ φολλοωσ λιστ. Φορ εαχη νοδε αλρεαδψ ιν τηε ασσερτιονσ λιστ, ρεµοϖε ανψ νοδεσ ιν τηε αλωαψσ φολλοωσ λιστ τηατ πρεχεδεσ τηε νοδε ιν τηε πατη. Τηε ασσερτιονσ λιστ λοοκσ λικε τηισ: Ασσερτιονσ: Νετωορκ Τψπε: Παραλλελ–Σεριεσ Νοδε 1 2 3 4 5 6

Αλωαψσ Φολλοωσ 2, 3, 4, 5, 6 3, 4, 5, 6 4, 5, 6 5, 6 6

Ορδερ 1 2 3 4 5 6

Λεαδ Νοδεσ

Φολλοω Νοδεσ

Σινχε τηερε ισ µορε τηαν ονε πατη ιν τηε πατησ λιστ, χοµπαρε τηε χυρρεντ πατη το τηε πατη αδδεδ πριορ το τηε λαστ πατη. Τηε πατησ διϖεργε ατ νοδε 3 ανδ χονϖεργε ατ νοδε 6. Αδδ τηε διϖεργενχε νοδε το τηε φολλοω νοδεσ ανδ τηε χονϖεργενχε νοδε το τηε λεαδ νοδεσ λιστ φορ εαχη νοδε βετωεεν τηε διϖεργενχε ανδ χονϖεργενχε νοδεσ φορ βοτη λιστσ. Τηε ασσερτιονσ λιστ λοοκσ λικε τηισ: Ασσερτιονσ: Νετωορκ Τψπε: Παραλλελ–Σεριεσ Νοδε 1 2 3 4 5 6

Αλωαψσ Φολλοωσ 2, 3, 4, 5, 6 3, 4, 5, 6 4, 5, 6 5, 6 6

Ορδερ 1 2 3 4 5 6

Λεαδ Νοδεσ

Φολλοω Νοδεσ

3 3

6 6

Χηεχκ το σεε ιφ ανψ νοδε ιν τηε λεαδ νοδεσ αππεαρσ αφτερ νοδε 4 ορ 5 ιν τηε λαστ πατη ανδ ιφ ανψ νοδε ιν τηε φολλοω νοδεσ λιστ προχεεδσ νοδε 4 ορ 5. Σινχε

289

ΟςΕΡΛΑΠ ΙΝΓΡΕΣΣ–ΕΓΡΕΣΣ ΡΕΛΙΑΒΙΛΙΤΨ ΑΛΓΟΡΙΤΗΜ, ΕΞ. 1

νειτηερ ισ τηε χασε, τηε νετωορκ ισ στιλλ χονσιδερεδ α παραλλελ–σεριεσ νετωορκ. Νοω ρεµοϖε νοδε 6 φροµ τηε ωορκινγ λιστ. Ινχρεµεντ τηε λινκ ινδεξ φορ νοδε 3. Σινχε νοδε 3 δοεσ νοτ ηαϖε λινκσ τηατ ηαϖε νοτ βεεν προχεσσεδ, ρεµοϖε ιτ φροµ τηε ωορκινγ πατη λιστ. Ινχρεµεντ τηε λινκ φορ νοδε 2. Σινχε νοδε 2 ηασ λινκσ τηατ ηαϖε νοτ βεεν προχεσσεδ, ⇒νδ τηε νεξτ νοδε βασεδ ον τηε λινκ ινδεξ. Σινχε νοδε 5 ισ νοτ αλρεαδψ ιν τηε ωορκινγ πατη, τηυσ δοεσ νοτ σηορτ−χιρχυιτ τηε πατη, αδδ ιτ το τηε ωορκινγ πατη. Τηε ωορκινγ πατη σηουλδ νοω λοοκ λικε τηισ: Πατησ: 1, 2, 3, 4, 5, 6 1, 2, 3, 6 Ωορκινγ Πατη: Νοδε 1 Λινκ Ινδεξ: 0 Λινκσ: 0–1, 2 1–1, 4

Νοδε 2 Λινκ Ινδεξ: 1 Λινκσ: 0–2, 3 1–2, 5

Νοδε 5 Λινκ Ινδεξ: −1 Λινκσ: 0–5, 4 1–5, 6

Ινχρεµεντ τηε λινκ φορ νοδε 5. Σινχε νοδε 5 ηασ λινκσ τηατ ηαϖε νοτ βεεν προχεσσεδ, ⇒νδ τηε νεξτ νοδε βασεδ ον τηε λινκ ινδεξ. Σινχε νοδε 4 ισ νοτ αλρεαδψ ιν τηε ωορκινγ πατη, τηυσ δοεσ νοτ σηορτ−χιρχυιτ τηε πατη, αδδ ιτ το τηε ωορκινγ πατη. Τηε ωορκινγ πατη σηουλδ νοω λοοκ λικε τηισ: Πατησ: 1, 2, 3, 4, 5, 6 1, 2, 3, 6 Ωορκινγ Πατη: Νοδε 1 Λινκ Ινδεξ: 0 Λινκσ: 0–1, 2 1–1, 4

Νοδε 2 Λινκ Ινδεξ: 1 Λινκσ: 0–2, 3 1–2, 5

Νοδε 5 Λινκ Ινδεξ: 0 Λινκσ: 0–5, 4 1–5, 6

Νοδε 4 Λινκ Ινδεξ: −1 Λινκσ: 0–4, 1 1–4, 3

Ινχρεµεντ τηε λινκ φορ νοδε 4. Σινχε νοδε 4 ηασ λινκσ τηατ ηαϖε νοτ βεεν προχεσσεδ, ⇒νδ τηε νεξτ νοδε βασεδ ον τηε λινκ ινδεξ. Νοδε 1 ισ ιν τηε πατη, σο ινχρεµεντ τηε λινκ φορ νοδε 4. Σινχε νοδε 4 ηασ λινκσ τηατ ηαϖε νοτ βεεν προχεσσεδ, ⇒νδ τηε νεξτ νοδε βασεδ ον τηε λινκ ινδεξ. Σινχε νοδε 3 ισ νοτ αλρεαδψ ιν τηε ωορκινγ πατη, τηυσ δοεσ νοτ σηορτ−χιρχυιτ τηε πατη, αδδ ιτ το τηε ωορκινγ πατη. Τηε ωορκινγ πατη σηουλδ νοω λοοκ λικε τηισ: Πατησ: 1, 2, 3, 4, 5, 6 1, 2, 3, 6 Ωορκινγ Πατη: Νοδε 1 Λινκ Ινδεξ: 0 Λινκσ: 0–1, 2 1–1, 4

Νοδε 2 Λινκ Ινδεξ: 1 Λινκσ: 0–2, 3 1–2, 5

Νοδε 5 Λινκ Ινδεξ: 0 Λινκσ: 0–5, 4 1–5, 6

Νοδε 4 Λινκ Ινδεξ: 1 Λινκσ: 0–4, 1 1–4, 3

Νοδε 3 Λινκ Ινδεξ: −1 Λινκσ: 0–3, 2 1–3, 6

290

ΡΕΛΙΑΒΙΛΙΤΨ ΒΛΟΧΚ ∆ΙΑΓΡΑΜΜΙΝΓ ΙΝ ΧΟΜΠΛΕΞ ΣΨΣΤΕΜΣ

Ινχρεµεντ τηε λινκ φορ νοδε 3. Σινχε νοδε 3 ηασ λινκσ τηατ ηαϖε νοτ βεεν προχεσσεδ, ⇒νδ τηε νεξτ νοδε βασεδ ον τηε λινκ ινδεξ. Νοδε 2 ισ ιν τηε πατη, σο ινχρεµεντ τηε λινκ φορ νοδε 3. Σινχε νοδε 3 ηασ λινκσ τηατ ηαϖε νοτ βεεν προχεσσεδ, ⇒νδ τηε νεξτ νοδε βασεδ ον τηε λινκ ινδεξ. Σινχε νοδε 6 ισ νοτ αλρεαδψ ιν τηε ωορκινγ πατη, τηυσ δοεσ νοτ σηορτ−χιρχυιτ τηε πατη, αδδ ιτ το τηε ωορκινγ πατη. Τηε ωορκινγ πατη σηουλδ νοω λοοκ λικε τηισ: Πατησ: 1, 2, 3, 4, 5, 6 1, 2, 3, 6 Ωορκινγ Πατη: Νοδε 1 Λινκ Ινδεξ: 0 Λινκσ: 0–1, 2 1–1, 4

Νοδε 2 Λινκ Ινδεξ: 1 Λινκσ: 0–2, 3 1–2, 5

Νοδε 5 Λινκ Ινδεξ: 0 Λινκσ: 0–5, 4 1–5, 6

Νοδε 4 Λινκ Ινδεξ: 1 Λινκσ: 0–4, 1 1–4, 3

Νοδε 3 Λινκ Ινδεξ: 1 Λινκσ: 0–3, 2 1–3, 6

Νοδε 6 Λινκ Ινδεξ: −1

Νοδε 6 ισ τηε εγρεσσ νοδε. Αδδ τηε πατη το τηε πατησ λιστ. Τηε νετωορκ ισ χονσιδερεδ α παραλλελ–σεριεσ νετωορκ ανδ τηερε ισ µορε τηαν ονε νοδε ιν τηε πατη. Αδδ ανψ νοδε τηατ ισ ιν τηε πατη βυτ νοτ ιν τηε ασσερτιονσ λιστ. Ασ εαχη νοδε ισ αδδεδ το τηε ασσερτιονσ λιστ, αδδ αλλ τηε νοδεσ τηατ φολλοω ιτ το τηε αλωαψσ φολλοωσ λιστ. Φορ εαχη νοδε αλρεαδψ ιν τηε ασσερτιονσ λιστ, ρεµοϖε ανψ νοδεσ ιν τηε αλωαψσ φολλοωσ λιστ τηατ πρεχεδε τηε νοδε ιν τηε πατη. Τηε ασσερτιονσ λιστ λοοκσ λικε τηισ: Ασσερτιονσ: Νετωορκ Τψπε: Παραλλελ–Σεριεσ Νοδε 1 2 3 4 5 6

Αλωαψσ Φολλοωσ 2, 3, 4, 5, 6 3, 4, 5, 6 4, 5, 6 5, 6 6

Ορδερ 1 2 3 4 5 6

Λεαδ Νοδεσ

Φολλοω Νοδεσ

3 3

6 6

Σινχε τηερε ισ µορε τηαν ονε πατη ιν τηε πατησ λιστ, χοµπαρε τηε χυρρεντ πατη το τηε πατη αδδεδ πριορ το τηε λαστ πατη. Τηε πατησ διϖεργε ατ νοδε 2 ανδ χονϖεργε ατ νοδε 3. Αδδ τηε διϖεργενχε νοδε το τηε λεαδ νοδεσ ανδ τηε χονϖεργενχε νοδε το τηε φολλοω νοδεσ φορ εαχη νοδε βετωεεν τηε διϖεργενχε ανδ χονϖεργενχε νοδεσ φορ βοτη λιστσ. Τηε ασσερτιονσ λιστ λοοκσ λικε τηισ: Ασσερτιονσ: Νετωορκ Τψπε: Παραλλελ–Σεριεσ Νοδε 1 2 3 4 5 6

Αλωαψσ Φολλοωσ 2, 3, 4, 5, 6 3, 4, 5, 6 4, 5, 6 5, 6 6 6

Ορδερ 1 2 3 4 5

Λεαδ Νοδεσ

Φολλοω Νοδεσ

3, 2 3, 2

6, 3 6, 3

ΟςΕΡΛΑΠ ΙΝΓΡΕΣΣ–ΕΓΡΕΣΣ ΡΕΛΙΑΒΙΛΙΤΨ ΑΛΓΟΡΙΤΗΜ, ΕΞ. 1

291

Χηεχκ το σεε ιφ ανψ νοδε ιν τηε λεαδ νοδεσ λιστ αππεαρσ αφτερ νοδε 4 ορ 5 ιν τηε λαστ πατη ανδ ιφ ανψ νοδε ιν τηε φολλοω νοδεσ λιστ χοµεσ βεφορε νοδε 4 ορ 5. Σινχε νοδε 3 ισ α λεαδ νοδε ανδ αππεαρσ αφτερ νοδε 4 ιν τηε χυρρεντ πατη, τηε νετωορκ ισ χονσιδερεδ χοµπλεξ. Νοω ρεµοϖε νοδε 6 φροµ τηε ωορκινγ λιστ. Ινχρεµεντ τηε λινκ ινδεξ φορ νοδε 3. Σινχε νοδε 3 δοεσ νοτ ηαϖε λινκσ τηατ ηαϖε νοτ βεεν προχεσσεδ, ρεµοϖε ιτ φροµ τηε ωορκινγ πατη λιστ. Ινχρεµεντ τηε λινκ φορ νοδε 4. Σινχε νοδε 4 δοεσ νοτ ηαϖε λινκσ τηατ ηαϖε νοτ βεεν προχεσσεδ, ρεµοϖε ιτ φροµ τηε ωορκινγ πατη λιστ. Ινχρεµεντ τηε λινκ ινδεξ φορ νοδε 5. Σινχε νοδε 5 ηασ λινκσ τηατ ηαϖε νοτ βεεν προχεσσεδ, ⇒νδ τηε νεξτ νοδε βασεδ ον τηε λινκ ινδεξ. Σινχε νοδε 6 ισ νοτ αλρεαδψ ιν τηε ωορκινγ πατη, τηυσ δοεσ νοτ σηορτ−χιρχυιτ τηε πατη, αδδ ιτ το τηε ωορκινγ πατη. Τηε ωορκινγ πατη σηουλδ νοω λοοκ λικε τηισ: Πατησ: 1, 2, 3, 4, 5, 6 1, 2, 3, 6 1, 2, 5, 4, 3, 6 Ωορκινγ Πατη: Νοδε 1 Λινκ Ινδεξ: 0 Λινκσ: 0–1, 2 1–1, 4

Νοδε 2 Λινκ Ινδεξ: 1 Λινκσ: 0–2, 3 1–2, 5

Νοδε 5 Λινκ Ινδεξ: 1 Λινκσ: 0–5, 4 1–5, 6

Νοδε 6 Λινκ Ινδεξ: −1

Νοδε 6 ισ τηε εγρεσσ νοδε. Αδδ τηε πατη το τηε πατησ λιστ. Τηε νετωορκ ισ χονσιδερεδ α χοµπλεξ νετωορκ, σο δο νοτ αδδ ορ χηεχκ τηε ασσερτιονσ. Ρεµοϖε νοδε 6 φροµ τηε ωορκινγ πατη. Ινχρεµεντ τηε λινκ ινδεξ φορ νοδε 5. Σινχε νοδε 5 δοεσ νοτ ηαϖε ανψ λινκσ τηατ ηαϖε νοτ βεεν προχεσσεδ, ρεµοϖε ιτ φροµ τηε ωορκινγ πατη. Ινχρεµεντ τηε λινκ ινδεξ φορ νοδε 2. Σινχε νοδε 2 δοεσ νοτ ηαϖε ανψ λινκσ τηατ ηαϖε νοτ βεεν προχεσσεδ, ρεµοϖε ιτ φροµ τηε ωορκινγ πατη. Ινχρεµεντ τηε λινκ ινδεξ φορ νοδε 1. Σινχε νοδε 1 ηασ λινκσ τηατ ηαϖε νοτ βεεν προχεσσεδ, ⇒νδ τηε νεξτ νοδε βασεδ ον τηε λινκ ινδεξ. Σινχε νοδε 4 ισ νοτ αλρεαδψ ιν τηε ωορκινγ πατη, τηυσ δοεσ νοτ σηορτ−χιρχυιτ τηε πατη, αδδ ιτ το τηε ωορκινγ πατη. Τηε ωορκινγ πατη σηουλδ νοω λοοκ λικε τηισ: Πατησ: 1, 2, 3, 1, 2, 3, 1, 2, 5, 1, 2, 5,

4, 5, 6 6 4, 3, 6 6

Ωορκινγ Πατη: Νοδε 1 Λινκ Ινδεξ: 1 Λινκσ: 0–1, 2 1–1, 4

Νοδε 4 Λινκ Ινδεξ: −1 Λινκσ: 0–4, 3 1–4, 5

Ινχρεµεντ τηε λινκ φορ νοδε 4. Σινχε νοδε 4 ηασ λινκσ τηατ ηαϖε νοτ βεεν προχεσσεδ, ⇒νδ τηε νεξτ νοδε βασεδ ον τηε λινκ ινδεξ. Νοδε 3 ισ νοτ αλρεαδψ ιν

292

ΡΕΛΙΑΒΙΛΙΤΨ ΒΛΟΧΚ ∆ΙΑΓΡΑΜΜΙΝΓ ΙΝ ΧΟΜΠΛΕΞ ΣΨΣΤΕΜΣ

τηε ωορκινγ πατη, τηυσ δοεσ νοτ σηορτ−χιρχυιτ τηε πατη, σο αδδ ιτ το τηε ωορκινγ πατη. Τηε ωορκινγ πατη σηουλδ νοω λοοκ λικε τηισ: Πατησ: 1, 2, 3, 1, 2, 3, 1, 2, 5, 1, 2, 5,

4, 5, 6 6 4, 3, 6 6

Ωορκινγ Πατη: Νοδε 1 Λινκ Ινδεξ: 1 Λινκσ: 0–1, 2 1–1, 4

Νοδε 4 Λινκ Ινδεξ: 0 Λινκσ: 0–4, 3 1–4, 5

Νοδε 3 Λινκ Ινδεξ: −1 Λινκσ: 0–3, 2 1–3, 6

Ινχρεµεντ τηε λινκ φορ νοδε 3. Σινχε νοδε 3 ηασ λινκσ τηατ ηαϖε νοτ βεεν προχεσσεδ, ⇒νδ τηε νεξτ νοδε βασεδ ον τηε λινκ ινδεξ. Σινχε νοδε 2 ισ νοτ αλρεαδψ ιν τηε ωορκινγ πατη, τηυσ δοεσ νοτ σηορτ−χιρχυιτ τηε πατη, αδδ ιτ το τηε ωορκινγ πατη. Τηε ωορκινγ πατη σηουλδ νοω λοοκ λικε τηισ: Πατησ: 1, 2, 3, 1, 2, 3, 1, 2, 5, 1, 2, 5,

4, 5, 6 6 4, 3, 6 6

Ωορκινγ Πατη: Νοδε 1 Λινκ Ινδεξ: 1 Λινκσ: 0–1, 2 1–1, 4

Νοδε 4 Λινκ Ινδεξ: 0 Λινκσ: 0–4, 3 1–4, 5

Νοδε 3 Λινκ Ινδεξ: 0 Λινκσ: 0–3, 2 1–3, 6

Νοδε 2 Λινκ Ινδεξ: −1 Λινκσ: 0–2, 1 1–2, 5

Ινχρεµεντ τηε λινκ φορ νοδε 2. Σινχε νοδε 2 ηασ λινκσ τηατ ηαϖε νοτ βεεν προχεσσεδ, ⇒νδ τηε νεξτ νοδε βασεδ ον τηε λινκ ινδεξ. Νοδε 1 ισ αλρεαδψ ιν τηε ωορκινγ πατη, σο ιγνορε ιτ. Ινχρεµεντ τηε λινκ φορ νοδε 2. Σινχε νοδε 2 ηασ λινκσ τηατ ηαϖε νοτ βεεν προχεσσεδ, ⇒νδ τηε νεξτ νοδε βασεδ ον τηε λινκ ινδεξ. Σινχε νοδε 5 ισ νοτ αλρεαδψ ιν τηε ωορκινγ πατη, τηυσ δοεσ νοτ σηορτ−χιρχυιτ τηε πατη, αδδ ιτ το τηε ωορκινγ πατη. Τηε ωορκινγ πατη σηουλδ νοω λοοκ λικε τηισ: Πατησ: 1, 2, 3, 1, 2, 3, 1, 2, 5, 1, 2, 5,

4, 5, 6 6 4, 3, 6 6

Ωορκινγ Πατη: Νοδε 1 Λινκ Ινδεξ: 1 Λινκσ: 0–1, 2 1–1, 4

Νοδε 4 Λινκ Ινδεξ: 0 Λινκσ: 0–4, 3 1–4, 5

Νοδε 3 Λινκ Ινδεξ: 0 Λινκσ: 0–3, 2 1–3, 6

Νοδε 2 Λινκ Ινδεξ: 1 Λινκσ: 0–2, 1 1–2, 5

Νοδε 5 Λινκ Ινδεξ: −1 Λινκσ: 0–5, 4 1–5, 6

ΟςΕΡΛΑΠ ΙΝΓΡΕΣΣ–ΕΓΡΕΣΣ ΡΕΛΙΑΒΙΛΙΤΨ ΑΛΓΟΡΙΤΗΜ, ΕΞ. 1

293

Ινχρεµεντ τηε λινκ φορ νοδε 5. Σινχε νοδε 5 ηασ λινκσ τηατ ηαϖε νοτ βεεν προχεσσεδ, ⇒νδ τηε νεξτ νοδε βασεδ ον τηε λινκ ινδεξ. Νοδε 4 ισ αλρεαδψ ιν τηε ωορκινγ πατη, σο ιγνορε ιτ. Ινχρεµεντ τηε λινκ φορ νοδε 5. Σινχε νοδε 5 ηασ λινκσ τηατ ηαϖε νοτ βεεν προχεσσεδ, ⇒νδ τηε νεξτ νοδε βασεδ ον τηε λινκ ινδεξ. Σινχε νοδε 6 ισ νοτ αλρεαδψ ιν τηε ωορκινγ πατη, τηυσ δοεσ νοτ σηορτ−χιρχυιτ τηε πατη, αδδ ιτ το τηε ωορκινγ πατη. Τηε ωορκινγ πατη σηουλδ νοω λοοκ λικε τηισ: Πατησ: 1, 2, 3, 1, 2, 3, 1, 2, 5, 1, 2, 5,

4, 5, 6 6 4, 3, 6 6

Ωορκινγ Πατη: Νοδε 1 Λινκ Ινδεξ: 1 Λινκσ: 0–1, 2 1–1, 4

Νοδε 4 Λινκ Ινδεξ: 0 Λινκσ: 0–4, 3 1–4, 5

Νοδε 3 Λινκ Ινδεξ: 0 Λινκσ: 0–3, 2 1–3, 6

Νοδε 2 Λινκ Ινδεξ: 1 Λινκσ: 0–2, 1 1–2, 5

Νοδε 5 Λινκ Ινδεξ: 1 Λινκσ: 0–5, 4 1–5, 6

Νοδε 6 Λινκ Ινδεξ: −1

Νοδε 6 ισ τηε εγρεσσ νοδε. Αδδ τηε πατη το τηε πατησ λιστ. Τηε νετωορκ ισ χονσιδερεδ α χοµπλεξ νετωορκ, σο δο νοτ αδδ ορ χηεχκ τηε ασσερτιονσ. Ρεµοϖε νοδε 6 φροµ τηε ωορκινγ πατη. Ινχρεµεντ τηε λινκ ινδεξ φορ νοδε 5. Σινχε νοδε 5 δοεσ νοτ ηαϖε ανψ λινκσ τηατ ηαϖε νοτ βεεν προχεσσεδ, ρεµοϖε ιτ φροµ τηε ωορκινγ πατη. Ινχρεµεντ τηε λινκ ινδεξ φορ νοδε 2. Σινχε νοδε 2 δοεσ νοτ ηαϖε ανψ λινκσ τηατ ηαϖε νοτ βεεν προχεσσεδ, ρεµοϖε ιτ φροµ τηε ωορκινγ πατη. Ινχρεµεντ τηε λινκ ινδεξ φορ νοδε 3. Σινχε νοδε 3 ηασ λινκσ τηατ ηαϖε νοτ βεεν προχεσσεδ, ⇒νδ τηε νεξτ νοδε βασεδ ον τηε λινκ ινδεξ. Σινχε νοδε 6 ισ νοτ αλρεαδψ ιν τηε ωορκινγ πατη, τηυσ δοεσ νοτ σηορτ−χιρχυιτ τηε πατη, αδδ ιτ το τηε ωορκινγ πατη. Τηε ωορκινγ πατη σηουλδ νοω λοοκ λικε τηισ: Πατησ: 1, 2, 3, 1, 2, 3, 1, 2, 5, 1, 2, 5, 1, 4, 3,

4, 5, 6 6 4, 3, 6 6 2, 5, 6

Ωορκινγ Πατη: Νοδε 1 Λινκ Ινδεξ: 1 Λινκσ: 0–1, 2 1–1, 4

Νοδε 4 Λινκ Ινδεξ: 0 Λινκσ: 0–4, 3 1–4, 5

Νοδε 3 Λινκ Ινδεξ: 1 Λινκσ: 0–3, 2 1–3, 6

Νοδε 6 Λινκ Ινδεξ: −1

Νοδε 6 ισ τηε εγρεσσ νοδε. Αδδ τηε πατη το τηε πατησ λιστ. Τηε νετωορκ ισ χονσιδερεδ α χοµπλεξ νετωορκ, σο δο νοτ αδδ ορ χηεχκ τηε ασσερτιονσ. Ρεµοϖε νοδε 6 φροµ τηε ωορκινγ πατη. Ινχρεµεντ τηε λινκ ινδεξ φορ νοδε 3. Σινχε νοδε 3 δοεσ νοτ ηαϖε ανψ λινκσ τηατ ηαϖε νοτ βεεν προχεσσεδ, ρεµοϖε ιτ φροµ τηε ωορκινγ

294

ΡΕΛΙΑΒΙΛΙΤΨ ΒΛΟΧΚ ∆ΙΑΓΡΑΜΜΙΝΓ ΙΝ ΧΟΜΠΛΕΞ ΣΨΣΤΕΜΣ

πατη. Ινχρεµεντ τηε λινκ ινδεξ φορ νοδε 4. Σινχε νοδε 4 ηασ λινκσ τηατ ηαϖε νοτ βεεν προχεσσεδ, ⇒νδ τηε νεξτ νοδε βασεδ ον τηε λινκ ινδεξ. Σινχε νοδε 5 ισ νοτ αλρεαδψ ιν τηε ωορκινγ πατη, τηυσ δοεσ νοτ σηορτ−χιρχυιτ τηε πατη, αδδ ιτ το τηε ωορκινγ πατη. Τηε ωορκινγ πατη σηουλδ νοω λοοκ λικε τηισ: Πατησ: 1, 2, 3, 1, 2, 3, 1, 2, 5, 1, 2, 5, 1, 4, 3, 1, 4, 3,

4, 5, 6 6 4, 3, 6 6 2, 5, 6 6

Ωορκινγ Πατη: Νοδε 1 Ινδεξ: 1 Λινκσ: 0–1, 2 1–1, 4

Νοδε 4 Ινδεξ: 1 Λινκσ: 0–4, 3 1–4, 5

Νοδε 5 Ινδεξ: −1 Λινκσ: 0–5, 2 1–5, 6

Ινχρεµεντ τηε λινκ φορ νοδε 5. Σινχε νοδε 5 ηασ λινκσ τηατ ηαϖε νοτ βεεν προχεσσεδ, ⇒νδ τηε νεξτ νοδε βασεδ ον τηε λινκ ινδεξ. Σινχε νοδε 2 ισ νοτ αλρεαδψ ιν τηε ωορκινγ πατη, τηυσ δοεσ νοτ σηορτ−χιρχυιτ τηε πατη, αδδ ιτ το τηε ωορκινγ πατη. Τηε ωορκινγ πατη σηουλδ νοω λοοκ λικε τηισ: Πατησ: 1, 2, 3, 1, 2, 3, 1, 2, 5, 1, 2, 5, 1, 4, 3, 1, 4, 3,

4, 5, 6 6 4, 3, 6 6 2, 5, 6 6

Ωορκινγ Πατη: Νοδε 1 Λινκ Ινδεξ: 1 Λινκσ: 0–1, 2 1–1, 4

Νοδε 4 Λινκ Ινδεξ: 1 Λινκσ: 0–4, 3 1–4, 5

Νοδε 5 Λινκ Ινδεξ: 0 Λινκσ: 0–5, 2 1–5, 6

Νοδε 2 Λινκ Ινδεξ: −1 Λινκσ: 0–2, 1 1–2, 3

Ινχρεµεντ τηε λινκ φορ νοδε 2. Σινχε νοδε 2 ηασ λινκσ τηατ ηαϖε νοτ βεεν προχεσσεδ, ⇒νδ τηε νεξτ νοδε βασεδ ον τηε λινκ ινδεξ. Νοδε 1 ισ ιν τηε ωορκινγ πατη, σο ιγνορε ιτ. Ινχρεµεντ τηε λινκ ινδεξ φορ νοδε 2. Σινχε νοδε 3 ισ νοτ αλρεαδψ ιν τηε ωορκινγ πατη, τηυσ δοεσ νοτ σηορτ−χιρχυιτ τηε πατη, αδδ ιτ το τηε ωορκινγ πατη. Τηε ωορκινγ πατη σηουλδ νοω λοοκ λικε τηισ: Πατησ: 1, 2, 3, 1, 2, 3, 1, 2, 5, 1, 2, 5, 1, 4, 3, 1, 4, 3,

4, 5, 6 6 4, 3, 6 6 2, 5, 6 6

295

ΟςΕΡΛΑΠ ΙΝΓΡΕΣΣ–ΕΓΡΕΣΣ ΡΕΛΙΑΒΙΛΙΤΨ ΑΛΓΟΡΙΤΗΜ, ΕΞ. 1 Ωορκινγ Πατη: Νοδε 1 Λινκ Ινδεξ: 1 Λινκσ: 0–1, 2 1–1, 4

Νοδε 4 Λινκ Ινδεξ: 1 Λινκσ: 0–4, 3 1–4, 5

Νοδε 5 Λινκ Ινδεξ: 0 Λινκσ: 0–5, 2 1–5, 6

Νοδε 2 Λινκ Ινδεξ: 1 Λινκσ: 0–2, 1 1–2, 3

Νοδε 3 Λινκ Ινδεξ: −1 Λινκσ: 0–3, 4 1–3, 6

Ινχρεµεντ τηε λινκ φορ νοδε 3. Σινχε νοδε 3 ηασ λινκσ τηατ ηαϖε νοτ βεεν προχεσσεδ, ⇒νδ τηε νεξτ νοδε βασεδ ον τηε λινκ ινδεξ. Νοδε 4 ισ ιν τηε ωορκινγ πατη, σο ιγνορε ιτ. Ινχρεµεντ τηε λινκ ινδεξ φορ νοδε 3. Σινχε νοδε 6 ισ νοτ αλρεαδψ ιν τηε ωορκινγ πατη, τηυσ δοεσ νοτ σηορτ−χιρχυιτ τηε πατη, αδδ ιτ το τηε ωορκινγ πατη. Τηε ωορκινγ πατη σηουλδ νοω λοοκ λικε τηισ: Πατησ: 1, 2, 3, 1, 2, 3, 1, 2, 5, 1, 2, 5, 1, 4, 3, 1, 4, 3,

4, 5, 6 6 4, 3, 6 6 2, 5, 6 6

Ωορκινγ Πατη: Νοδε 1 Λινκ Ινδεξ: 1 Λινκσ: 0–1, 2 1–1, 4

Νοδε 4 Λινκ Ινδεξ: 1 Λινκσ: 0–4, 3 1–4, 5

Νοδε 5 Λινκ Ινδεξ: 0 Λινκσ: 0–5, 2 1–5, 6

Νοδε 2 Λινκ Ινδεξ: 1 Λινκσ: 0–2, 1 1–2, 3

Νοδε 3 Λινκ Ινδεξ: 1 Λινκσ: 0–3, 4 1–3, 6

Νοδε 6 Λινκ Ινδεξ: −1

Νοδε 6 ισ τηε εγρεσσ νοδε. Αδδ τηε πατη το τηε πατησ λιστ. Τηε νετωορκ ισ χονσιδερεδ α χοµπλεξ νετωορκ, σο δο νοτ αδδ ορ χηεχκ τηε ασσερτιονσ. Ρεµοϖε νοδε 6 φροµ τηε ωορκινγ πατη. Ινχρεµεντ τηε λινκ ινδεξ φορ νοδε 3. Σινχε νοδε 3 δοεσ νοτ ηαϖε ανψ λινκσ τηατ ηαϖε νοτ βεεν προχεσσεδ, ρεµοϖε ιτ φροµ τηε ωορκινγ πατη. Ινχρεµεντ τηε λινκ ινδεξ φορ νοδε 2. Σινχε νοδε 2 δοεσ νοτ ηαϖε ανψ λινκσ τηατ ηαϖε νοτ βεεν προχεσσεδ, ρεµοϖε ιτ. Ινχρεµεντ τηε λινκ ινδεξ φορ νοδε 5. Σινχε νοδε 5 ηασ λινκσ τηατ ηαϖε νοτ βεεν προχεσσεδ, ⇒νδ τηε νεξτ νοδε βασεδ ον τηε λινκ ινδεξ. Σινχε νοδε 6 ισ νοτ αλρεαδψ ιν τηε ωορκινγ πατη, τηυσ δοεσ νοτ σηορτ−χιρχυιτ τηε πατη, αδδ ιτ το τηε ωορκινγ πατη. Τηε ωορκινγ πατη σηουλδ νοω λοοκ λικε τηισ: Πατησ: 1, 2, 3, 1, 2, 3, 1, 2, 5, 1, 2, 5, 1, 4, 3, 1, 4, 3, 1, 4, 5,

4, 6 4, 6 2, 6 2,

5, 6 3, 6 5, 6 3, 6

296

ΡΕΛΙΑΒΙΛΙΤΨ ΒΛΟΧΚ ∆ΙΑΓΡΑΜΜΙΝΓ ΙΝ ΧΟΜΠΛΕΞ ΣΨΣΤΕΜΣ

Ωορκινγ Πατη: Νοδε 1 Λινκ Ινδεξ: 1 Λινκσ: 0–1, 2 1–1, 4

Νοδε 4 Λινκ Ινδεξ: 1 Λινκσ: 0–4, 3 1–4, 5

Νοδε 5 Λινκ Ινδεξ: 1 Λινκσ: 0–5, 2 1–5, 6

Νοδε 6 Λινκ Ινδεξ: −1 Λινκσ:

Νοδε 6 ισ τηε εγρεσσ νοδε. Αδδ τηε πατη το τηε πατησ λιστ. Τηε νετωορκ ισ χονσιδερεδ α χοµπλεξ νετωορκ, σο δο νοτ αδδ ορ χηεχκ τηε ασσερτιονσ. Ρεµοϖε νοδε 6 φροµ τηε ωορκινγ πατη. Ινχρεµεντ τηε λινκ ινδεξ φορ νοδε 5. Σινχε νοδε 5 δοεσ νοτ ηαϖε ανψ λινκσ τηατ ηαϖε νοτ βεεν προχεσσεδ, ρεµοϖε ιτ φροµ τηε ωορκινγ πατη. Ινχρεµεντ τηε λινκ ινδεξ φορ νοδε 4. Σινχε νοδε 4 δοεσ νοτ ηαϖε ανψ λινκσ τηατ ηαϖε νοτ βεεν προχεσσεδ, ρεµοϖε ιτ φροµ τηε ωορκινγ πατη. Ινχρεµεντ τηε λινκ ινδεξ φορ νοδε 1. Σινχε νοδε 1 δοεσ νοτ ηαϖε ανψ λινκσ τηατ ηαϖε νοτ βεεν προχεσσεδ, ρεµοϖε ιτ φροµ τηε ωορκινγ πατη. Σινχε τηερε αρε νοτ ανψ νοδεσ λεφτ ιν τηε ωορκινγ πατη, τηε πατησ λιστ χονταινσ αλλ τηε πατησ φορ τηε νετωορκ. Τηε πατησ αρε: 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1,

2, 2, 2, 2, 4, 4, 4, 4,

3, 3, 5, 5, 3, 3, 5, 5,

4, 6 4, 6 2, 6 2, 6

5, 6 3, 6 5, 6 3, 6

Χαλχυλατε τηε ρελιαβιλιτψ οφ τηε νετωορκ. Ρεµοϖε ανψ πατησ τηατ αρε οϖερλαππεδ βψ ανψ οτηερ πατη. 1, 1, 1, 1,

2, 2, 4, 4,

3, 5, 3, 5,

6 6 6 6

Φορ εαχη πατη ιν τηε πατησ λιστ, χαλχυλατε τηε νετωορκ ρελιαβιλιτψ. Τακε τηε ⇒ρστ πατη ανδ χοµπαρε ιτ το τηε πατησ τηατ φολλοω το γετ τηε νοδεσ ιν εαχη πατη τηατ αρε νοτ ιν τηε ⇒ρστ πατη. Ρεµοϖε ανψ οϖερλαππεδ πατησ ιν τηε πασσ ον λιστ. Νοω ρεπεατ τηε προχεσσ φορ εαχη πατη ιν τηε πασσ ον λιστ ανδ ανψ συβ πασσ ον λιστσ. Τηε φολλοωινγ σηοωσ τηε χαλχυλατιονσ το γετ σψστεµ ρελιαβιλιτψ υσινγ τηεσε στεπσ φορ τηε ⇒ρστ πατη ιν τηε οριγιναλ λιστ οφ πατησ: Οριγιναλ πατη λιστ 1, 2, 3, 6 1, 2, 5, 6 1, 4, 3, 6 1, 4, 5, 6

ΟςΕΡΛΑΠ ΙΝΓΡΕΣΣ–ΕΓΡΕΣΣ ΡΕΛΙΑΒΙΛΙΤΨ ΑΛΓΟΡΙΤΗΜ, ΕΞ. 1

297

Πασσ ον λιστ 5 4 4, 5 Πασσ ον ωιτη τηε οϖερλαππεδ πατησ ρεµοϖεδ 5 4 Πατη 5 Πασσ ον λιστ 2 4 Πατη (φροµ τηε πασσ ον λιστ) 4 Πασσ ον λιστ 2 ρελιαβιλιτψ = 0.9 Ρελιαβιλιτψ = (χυρρεντ ρελιαβιλιτψ φορ τηισ λεϖελ) + (πατη ρελιαβιλιτψ)(1 − πασσ ον λιστ 2 ρελιαβιλιτψ) = 0.0 + (0.9)(1 − 0.9) = (0.9)(0.1) = 0.99 Πατη 4 —Τηερε αρε νο πασσεσ ον λιστ πατησ σο τηε πασσ ον λιστ ρελιαβιλιτψ = 0.0 Πασσ ον λιστ ρελιαβιλιτψ = 0.09 + (0.9)(1 − 0.0) = 0.09 + 0.9 = 0.99 Νετωορκ ρελιαβιλιτψ = 0.0 + [(0.9)(0.9)(0.9()0.9)](1 − 0.99) = (0.6561)(0.01) = 0.006561

Νοω ρεπεατ τηε προχεσσ φορ τηε ρεστ οφ τηε πατησ ιν τηε οριγιναλ πατη λιστ. Οριγιναλ πατη λιστ 1, 2, 3, 6 1, 2, 5, 6 1, 4, 3, 6 1, 4, 5, 6 Πατη 1,2,5,6 Πασσ ον λιστ 4, 3 4 Πασσ ον λιστ ωιτη τηε οϖερλαππεδ πατη ρεµοϖεδ 4 Πατη 4 Ρελιαβιλιτψ = 0.9 Νετωορκ ρελιαβιλιτψ = 0.006561 + [(0.9)(0.9)(0.9)(0.9)(1 − 0.9)] = 0.006561 + (0.6561)(0.1) = 0.072171 Οριγιναλ πατη λιστ 1, 2, 3, 6 1, 2, 5, 6 1, 4, 3, 6 1, 4, 5, 6

298

ΡΕΛΙΑΒΙΛΙΤΨ ΒΛΟΧΚ ∆ΙΑΓΡΑΜΜΙΝΓ ΙΝ ΧΟΜΠΛΕΞ ΣΨΣΤΕΜΣ

Πατη 1,4,3,6 Πασσ ον λιστ 5 Πατη 5 Ρελιαβιλιτψ = 0.9 Νετωορκ ρελιαβιλιτψ = 0.072171 + (0.9)(0.9)(0.9)(0.9)(1 − 0.9) = 0.072171 + (0.6561)(0.1) = 0.137781 Οριγιναλ πατη λιστ 1, 2, 3, 6 1, 2, 5, 6 1, 4, 3, 6 1, 4, 5, 6 Πατη 1,4,5,6 Νετωορκ ρελιαβιλιτψ = 0.137781 + (0.9)(0.9)(0.9)(0.9)(1 − 0.0) = 0.137781 + 0.6561 = 0.793881

Τηε νετωορκ ρελιαβιλιτψ ισ 0.793881, ωηιχη ισ ιδεντιχαλ το ιτσ ϖαλυε ιν Φιγυρε 6Β.1. Τηε αλγοριτηµ ηασ βεεν ιµπλεµεντεδ συχχεσσφυλλψ τηρουγη ηανδ χαλχυλατιονσ. ΑΠΠΕΝ∆ΙΞ 6Χ: ΟςΕΡΛΑΠ ΙΝΓΡΕΣΣ–ΕΓΡΕΣΣ ΡΕΛΙΑΒΙΛΙΤΨ ΑΛΓΟΡΙΤΗΜ ΑΠΠΛΙΕ∆, ΕΞΑΜΠΛΕ 2 Υσινγ τηε νετωορκ σηοων ιν Φιγυρε 6Χ.1, τηε φολλοωινγ ισ α σιµπλε εξαµπλε οφ τηε οϖερλαπ τεχηνιθυε το χαλχυλατε τηε ρελιαβιλιτψ βψ δετερµινινγ τηε µινιµαλ πατησ φορ τηε νετωορκ. ∆ετερµινε τηε ινγρεσσ ανδ εγρεσσ νοδε φορ τηε νετωορκ. Χρεατε α πατησ λιστ, αν ασσερτιονσ λιστ, ανδ α ωορκινγ πατη λιστ. Αδδ τηε ινγρεσσ νοδε το τηε ωορκινγ πατη λιστ. Ινχλυδε αν ινδεξ ιν τηε νοδε το δενοτε τηε χυρρεντ λινκ ωιτη αν ινιτιαλ ϖαλυε οφ −1. Ινχλυδε αν ινδεξεδ λιστ οφ λινκσ το αλλ οτηερ νοδεσ. Χοντινυε

ΦΙΓΥΡΕ 6Χ.1

Φιϖε−Νοδε Εξαµπλε ανδ ιτσ οϖερλαπ ρελιαβιλιτψ φορ s = 1, t = 5.

299

ΟςΕΡΛΑΠ ΙΝΓΡΕΣΣ–ΕΓΡΕΣΣ ΡΕΛΙΑΒΙΛΙΤΨ ΑΛΓΟΡΙΤΗΜ, ΕΞ. 2

αδδινγ νοδεσ υντιλ τηε εγρεσσ νοδε ισ ρεαχηεδ. Ιγνορε ανψ νοδεσ τηατ αρε αλρεαδψ ιν τηε ωορκινγ πατη. Πατησ:

Ινγρεσσ Νοδε 1

Εγρεσσ Νοδε 5

Ωορκινγ Πατη: Νοδε 1 Λινκ Ινδεξ: 0 Λινκσ: 0–1, 2 1–1, 3 2–1, 4

Νοδε 2 Λινκ Ινδεξ: 1 Λινκσ: 0–2, 1 1–2, 4 2–2, 5

Νοδε 4 Λινκ Ινδεξ: 1 Λινκσ: 0–4, 1 1–4, 3 2–4, 5

Νοδε 3 Λινκ Ινδεξ: 2 Λινκσ: 0–3, 1 1–3, 4 2–3, 5

Νοδε 5 Λινκ Ινδεξ: −1

Αδδ τηε πατη το τηε πατη λιστ ανδ χρεατε τηε ασσερτιον λιστ. Ασσερτιονσ: Νετωορκ Τψπε: Παραλλελ–Σεριεσ Νοδε 1 2 3 4 5

Αλωαψσ Φολλοωσ 2, 3, 4, 5 3, 4, 5 5 3, 5

Ορδερ 1 2 4 3 5

Λεαδ Νοδεσ

Φολλοω Νοδεσ

Ινσπεχτ τηε λινκεδ νοδεσ ανδ ⇒νδ τηε νεξτ πατη. Πατησ: 1, 2, 4, 3, 5

Ινγρεσσ Νοδε 1

Εγρεσσ Νοδε 5

Ωορκινγ Πατη: Νοδε 1 Λινκ Ινδεξ: 0 Λινκσ: 0–1, 2 1–1, 3 2–1, 4

Νοδε 2 Λινκ Ινδεξ: 1 Λινκσ: 0–2, 1 1–2, 4 2–2, 5

Νοδε 4 Λινκ Ινδεξ: 2 Λινκσ: 0–4, 1 1–4, 3 2–4, 5

Νοδε 5 Λινκ Ινδεξ: −1

Αδδ τηε πατη το τηε πατη λιστ ανδ υπδατε τηε ασσερτιονσ λιστ. Ασσερτιονσ: Νετωορκ Τψπε: Παραλλελ–Σεριεσ Νοδε 1 2 3 4 5 6

Αλωαψσ Φολλοωσ 2, 3, 4, 5, 6 3, 4, 5, 6 4, 5, 6 5, 6 6

Ορδερ 1 2 3 4 5 6

Λεαδ Νοδεσ

Φολλοω Νοδεσ

5

4

300

ΡΕΛΙΑΒΙΛΙΤΨ ΒΛΟΧΚ ∆ΙΑΓΡΑΜΜΙΝΓ ΙΝ ΧΟΜΠΛΕΞ ΣΨΣΤΕΜΣ

Τηε νετωορκ ισ στιλλ α παραλλελ–σεριεσ νετωορκ. Ινσπεχτ τηε λινκ νοδεσ ανδ ⇒νδ τηε νεξτ πατη. Πατησ: 1, 2, 4, 3, 5 1, 2, 4, 5

Ινγρεσσ Νοδε 1

Εγρεσσ Νοδε 5

Ωορκινγ Πατη: Νοδε 1 Λινκ Ινδεξ: 0 Λινκσ: 0–1, 2 1–1, 3 2–1, 4

Νοδε 2 Λινκ Ινδεξ: 2 Λινκσ: 0–2, 1 1–2, 4 2–2, 5

Νοδε 5 Λινκ Ινδεξ: −1

Αδδ τηε πατη το τηε πατησ λιστ ανδ υπδατε τηε ασσερτιονσ λιστ. Ασσερτιονσ: Νετωορκ Τψπε: Παραλλελ–Σεριεσ Νοδε 1 2 3 4 5 6

Αλωαψσ Φολλοωσ 2, 3, 4, 5, 6 3, 4, 5, 6 4, 5, 6 5, 6 6

Ορδερ 1 2 3 4 5 6

Λεαδ Νοδεσ

Φολλοω Νοδεσ

5 5

4 2

Τηε νετωορκ ισ στιλλ α παραλλελ–σεριεσ νετωορκ. Ινσπεχτ τηε λινκ νοδεσ ανδ ⇒νδ τηε νεξτ πατη. Πατησ: 1, 2, 4, 3, 5 1, 2, 4, 5 1, 2, 5

Ινγρεσσ Νοδε 1

Εγρεσσ Νοδε 5

Ωορκινγ Πατη: Νοδε 1 Λινκ Ινδεξ: 1 Λινκσ: 0–1, 2 1–1, 3 2–1, 4

Νοδε 3 Λινκ Ινδεξ: 1 Λινκσ: 0–3, 1 1–3, 4 2–3, 5

Νοδε 4 Λινκ Ινδεξ: 1 Λινκσ: 0–4, 1 1–4, 2 2–4, 5

Νοδε 2 Λινκ Ινδεξ: 1 Λινκσ: 0–2, 1 1–2, 5

Νοδε 5 Λινκ Ινδεξ: −1

Αδδ τηε πατη το τηε πατη λιστ. Σινχε νοδε 4 πρεχεδεσ νοδε 2 ιν τηε χυρρεντ πατη ανδ νοδε 2 πρεχεδεσ νοδε 4 ιν τηε ⇒ρστ πατη ιν τηε πατη λιστ, τηε νετωορκ ισ νοω χονσιδερεδ χοµπλεξ. Ινσπεχτ τηε λινκ νοδεσ ανδ ⇒νδ τηε νεξτ πατη.

301

ΟςΕΡΛΑΠ ΙΝΓΡΕΣΣ–ΕΓΡΕΣΣ ΡΕΛΙΑΒΙΛΙΤΨ ΑΛΓΟΡΙΤΗΜ, ΕΞ. 2 Πατησ: 1, 2, 4, 3, 5 1, 2, 4, 5 1, 2, 5 1, 3, 4, 2, 5

Ινγρεσσ Νοδε 1

Εγρεσσ Νοδε 5

Ωορκινγ Πατη: Νοδε 1 Λινκ Ινδεξ: 1 Λινκσ: 0–1, 2 1–1, 3 2–1, 4

Νοδε 3 Λινκ Ινδεξ: 1 Λινκσ: 0–3, 1 1–3, 4 2–3, 5

Νοδε 4 Λινκ Ινδεξ: 2 Λινκσ: 0–4, 1 1–4, 2 2–4, 5

Νοδε 5 Λινκ Ινδεξ: −1

Ινσπεχτ τηε λινκ νοδεσ ανδ ⇒νδ τηε νεξτ πατη. Πατησ: 1, 2, 4, 1, 2, 4, 1, 2, 5 1, 3, 4, 1, 3, 4,

Ινγρεσσ Νοδε 1

3, 5 5

Εγρεσσ Νοδε 5

2, 5 5

Ωορκινγ Πατη: Νοδε 1 Λινκ Ινδεξ: 1 Λινκσ: 0–1, 2 1–1, 3 2–1, 4

Νοδε 3 Λινκ Ινδεξ: 2 Λινκσ: 0–3, 1 1–3, 4 2–3, 5

Νοδε 5 Λινκ Ινδεξ: −1

Ινσπεχτ τηε λινκ νοδεσ ανδ ⇒νδ τηε νεξτ πατη. Πατησ: 1, 2, 4, 1, 2, 4, 1, 2, 5 1, 3, 4, 1, 3, 4, 1, 3, 5

Ινγρεσσ Νοδε 1

3, 5 5

Εγρεσσ Νοδε 5

2, 5 5

Ωορκινγ Πατη: Νοδε 1 Λινκ Ινδεξ: 2 Λινκσ: 0–1, 2 1–1, 3 2–1, 4

Νοδε 4 Λινκ Ινδεξ: 1 Λινκσ: 0–4, 1 1–4, 3 2–4, 5

Νοδε 3 Λινκ Ινδεξ: 1 Λινκσ: 0–3, 1 0–3, 5

Νοδε 5 Λινκ Ινδεξ: −1

302

ΡΕΛΙΑΒΙΛΙΤΨ ΒΛΟΧΚ ∆ΙΑΓΡΑΜΜΙΝΓ ΙΝ ΧΟΜΠΛΕΞ ΣΨΣΤΕΜΣ

Ινσπεχτ τηε λινκ νοδεσ ανδ ⇒νδ τηε νεξτ πατη. Πατησ: 1, 2, 4, 1, 2, 4, 1, 2, 5 1, 3, 4, 1, 3, 4, 1, 3, 5 1, 4, 3,

Ινγρεσσ Νοδε 1

3, 5 5

Εγρεσσ Νοδε 5

2, 5 5 5

Ωορκινγ Πατη: Νοδε 1 Λινκ Ινδεξ: 2 Λινκσ: 0–1, 2 1–1, 3 2–1, 4

Νοδε 4 Λινκ Ινδεξ: 2 Λινκσ: 0–4, 1 1–4, 3 2–4, 5

Νοδε 5 Λινκ Ινδεξ: −1

Ινσπεχτ τηε λινκ νοδεσ ανδ ⇒νδ τηατ αλλ τηε λινκσ ηαϖε βεεν φολλοωεδ. Τηυσ, τηε φολλοωινγ ισ τηε πατη λιστ: 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1,

2, 2, 2, 3, 3, 3, 4, 4,

4, 4, 5 4, 4, 5 3, 5

3, 5 5 2, 5 5 5

Χαλχυλατε τηε ρελιαβιλιτψ οφ τηε νετωορκ. Ρεµοϖε ανψ πατησ τηατ αρε οϖερλαππεδ βψ ανψ οτηερ πατη. 1, 2, 5 1, 3, 5 1, 4, 5

Φορ εαχη πατη ιν τηε πατη λιστ, χαλχυλατε τηε νετωορκ ρελιαβιλιτψ. Τακε τηε ⇒ρστ πατη ανδ χοµπαρε ιτ το τηε πατησ τηατ φολλοω το γετ τηε νοδεσ ιν εαχη πατη τηατ ισ νοτ ιν τηε ⇒ρστ πατη. Ρεµοϖε ανψ οϖερλαππεδ πατησ ιν τηε πασσ ον λιστ. Νοω ρεπεατ τηε προχεσσ φορ εαχη πατη ιν τηε πασσ ον λιστ ανδ ανψ συβ πασσ ον λιστσ. Τηε φολλοωινγ σηοωσ τηε χαλχυλατιονσ το γετ σψστεµ ρελιαβιλιτψ υσινγ τηεσε στεπσ φορ τηε ⇒ρστ πατη ιν τηε οριγιναλ λιστ οφ πατησ: Οριγιναλ πατη λιστ 1, 2, 5 1, 3, 5 1, 4, 5 Πασσ ον λιστ 3 4

ΡΕΦΕΡΕΝΧΕΣ

303

Πασσ ον ωιτη τηε οϖερλαππεδ πατησ ρεµοϖεδ 3, 4 Πατη 3 Πασσ ον λιστ 2 4 Πατη (φροµ τηε πασσ ον λιστ) 4 Πασσ ον λιστ 2 ρελιαβιλιτψ = 0.9 Ρελιαβιλιτψ = (χυρρεντ ρελιαβιλιτψ φορ τηισ λεϖελ) + (πατη ρελιαβιλιτψ) × (1.0 − Πασσ Ον λιστ 2 ρελιαβιλιτψ) Ρελιαβιλιτψ = 0.0 + (0.9)(1 − 0.9) = (0.9)(0.1) = 0.09 Πατη 4 Πασσ ον λιστ ρελιαβιλιτψ = 0.09 + (0.9)(1.0 − 0.0) = 0.09 + 0.9 = 0.99 Νετωορκ ρελιαβιλιτψ = 0.0 + [(0.9)(0.9)(0.9)](1.0 − 0.99) = (0.729)(0.01) = 0.00729 Οριγιναλ πατη λιστ 1, 2, 5 1, 3, 5 1, 4, 5 Πασσ ον λιστ 4 Πασσ ον ωιτη τηε οϖερλαππεδ πατησ ρεµοϖεδ 4 Πατη 4 Πασσ ον λιστ ρελιαβιλιτψ = 0.0 + (0.9)(1.0 − 0.0) = 0.9 Νετωορκ ρελιαβιλιτψ = 0.00729 + [(0.9)(0.9)(0.9)](1.0 − 0.9) = 0.00729 + (0.729)(0.1) = 0.08019 Οριγιναλ πατη λιστ 1, 2, 5 1, 3, 5 1, 4, 5 Νετωορκ ρελιαβιλιτψ = 0.08019 + [(0.9)(0.9)(0.9)](1 − 0.0) = 0.08019 + (0.729)(1.0) = 0.80919

Τηε νετωορκ ρελιαβιλιτψ ισ 0.80919 ασ ϖερι⇒εδ βψ Φιγυρε 6Χ.1. Τηε αλγοριτηµ ηασ βεεν ιµπλεµεντεδ συχχεσσφυλλψ τηρουγη ηανδ χαλχυλατιονσ. ΡΕΦΕΡΕΝΧΕΣ 1. Χ. ϑ. Χολβουρν, Χοµβινατοριαλ Ασπεχτσ οφ Νετωορκ Ρελιαβιλιτψ, Ανν. Οπερ. Ρεσ., Ρ−30, 32–35 (1981).

304

ΡΕΛΙΑΒΙΛΙΤΨ ΒΛΟΧΚ ∆ΙΑΓΡΑΜΜΙΝΓ ΙΝ ΧΟΜΠΛΕΞ ΣΨΣΤΕΜΣ

2. Κ. Κ. Αγγαρωαλ ανδ Σ. Ραι, Ρελιαβιλιτψ Εϖαλυατιον ιν Χοµπυτερ Χοµµυνιχατιον Νετ− ωορκσ, ΙΕΕΕ Τρανσ. Ρελιαβ., 30(1), 32–35 (1981). 3. Ρ. Η. ϑαν, ∆εσιγν οφ Ρελιαβλε Νετωορκσ, Χοµπυτ. Οπερ. Ρεσ., 20(1), 25–34 (1993). 4. Μ. Σ. Ψεη, ϑ. Σ. Λιν, ανδ Ω. Χ. Ψεη, Νεω Μοντε Χαρλο Μετηοδ φορ Εστιµατινγ Νετωορκ Ρελιαβιλιτψ, Προχεεδινγσ οφ 16τη Ιντερνατιοναλ Χονφερενχε ον Χοµπυτερσ ανδ Ινδυστριαλ Ενγινεερινγ, 1994, ππ. 723–726. 5. Γ. Σ. Φισηµαν, Α Χοµπαρισον οφ Φουρ Μοντε Χαρλο Μετηοδσ φορ Εστιµατινγ τηε Προβαβιλιτψ οφ σ−τ Χοννεχτεδνεσσ, ΙΕΕΕ Τρανσ. Ρελιαβ., 35(2), 145–155 (1986). 6. Μ. Σαηινογλυ ανδ ∆. Λιββψ, Σαηινογλυ–Λιββψ (ΣΛ) Προβαβιλιτψ ∆ενσιτψ Φυνχτιον− Χοµπονεντ Ρελιαβιλιτψ Αππλιχατιονσ ιν Ιντεγρατεδ Νετωορκσ, Προχεεδινγσ οφ τηε Αννυαλ Ρελιαβιλιτψ ανδ Μαινταιναβιλιτψ Σψµποσιυµ (ΡΑΜΣ’03), Ταµπα, ΦΛ, ϑανυαρψ 27–30, 2004, ππ. 280–287. 7. Β. ∆ενγιζ, Φ. Αλτιπαρµακ, ανδ Α. Ε. Σµιτη, Εφ⇒χιεντ Οπτιµιζατιον οφ Αλλ−Τερµιναλ Ρελιαβλε Νετωορκσ Υσινγ αν Εϖολυτιοναρψ Αππροαχη, ΙΕΕΕ Τρανσ. Ρελιαβ., 46(1), 18–26 (1997). 8. Β. ∆ενγιζ, Φ. Αλτιπαρµακ, ανδ Α. Ε. Σµιτη, Λοχαλ Σεαρχη Γενετιχ Αλγοριτηµ φορ Οπτιµαλ ∆εσιγν οφ Ρελιαβλε Νετωορκσ, ΙΕΕΕ Τρανσ. Εϖολ. Χοµπυτ., 1(3), 179–188 (1997). 9. Μ. Σαηινογλυ, Ρελιαβιλιτψ Ινδεξ Εϖαλυατιονσ οφ αν Ιντεγρατεδ Σοφτωαρε Σψστεµ φορ Ινσυφ⇒χιεντ Σοφτωαρε Φαιλυρε ανδ Ρεχοϖερψ ∆ατα, Σπρινγερ−ςερλαγ Λεχτυρε Νοτεσ, Προ− χεεδινγσ οφ τηε Φιρστ Ιντερνατιοναλ Χονφερενχε (Α∆ςΙΣ’2000), Ιζµιρ, Τυρκεψ, Οχτοβερ 2000, ππ. 25–27. 10. Κ. Ε. Μυρπηψ ανδ Χ. Μ. Χαρτερ, Ρελιαβιλιτψ Βλοχκ ∆ιαγραµ Χονστρυχτιον Τεχηνιθυεσ: Σεχρετσ το Ρεαλ−Λιφε ∆ιαγραµµινγ Ωοεσ, Προχεεδινγσ οφ τηε Αννυαλ Ρελιαβιλιτψ ανδ Μαινταιναβιλιτψ Σψµποσιυµ (ΡΑΜΣ’03), Τυτοριαλ Νοτεσ, Ταµπα, ΦΛ, ϑανυαρψ 2003. 11. Λ. Χ. Ωολτενσηοµε, Ρελιαβιλιτψ Μοδελλινγ: Α Στατιστιχαλ Αππροαχη, Χηαπµαν & Ηαλλ/ΧΡΧ, Βοχα Ρατον, ΦΛ, 1999, ππ. 106–107. 12. Μ. Σαηινογλυ, ϑ. Λαρσον, ανδ Β. Ριχε, Αν Εξαχτ Ρελιαβιλιτψ Χαλχυλατιον Τοολ το Ιµπροϖε Λαργε Σαφετψ−Χριτιχαλ Χοµπυτερ Νετωορκσ, Προχεεδινγσ ∆ΣΝ’2003, ΙΕΕΕ Χοµπυτερ Σοχιετψ, Σαν Φρανχισχο, ΧΑ, ϑυνε 22–25, 2003, ππ. Β38–Β39. 13. Τ. Λυο ανδ Κ. Σ. Τριϖεδι, Αν Ιµπροϖεδ Αλγοριτηµ φορ Χοηερεντ Σψστεµ Ρελιαβιλιτψ, ΙΕΕΕ Τρανσ. Ρελιαβ., 47(1), 73–78 (Μαρχη 1998). 14. Σ. Ραι, Μ. ςεεραραγηαϖαν, ανδ Κ. Σ. Τριϖεδι, Α Συρϖεψ ον Εφ⇒χιεντ Χοµπυτατιον οφ Ρελιαβιλιτψ Υσινγ ∆ισϕοιντ Προδυχτσ Αππροαχη, Νετωορκσ, 25(3), 174–163 (1995). 15. Ξ. Ζανγ, Η. Ρ. Συν, ανδ Κ. Σ. Τριϖεδι, Α Β∆∆ Αππροαχη το ∆επενδαβλε Αναλψσισ οφ ∆ιστριβυτεδ Χοµπυτερ Σψστεµσ ωιτη Ιµπερφεχτ Χοϖεραγε, ιν ∆. Αϖρεσκψ (εδ.), ∆επενδαβλε Νετωορκ Χοµπυτινγ, Κλυωερ, Αµστερδαµ, ∆εχεµβερ 1999, ππ. 167–190. 16. Η. Συν, Ξ. Ζανγ, ανδ Κ. Σ. Τριϖεδι, Α Β∆∆ Βασεδ Αλγοριτηµ φορ Ρελιαβιλιτψ Αναλψσισ οφ Πηασε Μισσιον Σψστεµσ, ΙΕΕΕ Τρανσ. Ρελιαβ., 50–60 (Μαρχη 1999). 17. Μ. Σαηινογλυ, Αν Εξαχτ ΡΒ∆ Χαλχυλατιον Τοολ το ∆εσιγν ςερψ Χοµπλεξ Σψστεµσ, Ινϖιτεδ Ταλκ, Προχεεδινγσ οφ τηε Φιρστ ΑΧΙΣ Ιντερνατιοναλ Χονφερενχε ον Σοφτωαρε Ενγινεερινγ Ρεσεαρχη ανδ Αππλιχατιονσ, Σαν Φρανχισχο, ΧΑ, ϑυνε 25–27, 2003. 18. Χ. ς. Ραµαµοορτηψ ανδ Ψ. Ω. Ηαν, Ρελιαβιλιτψ Αναλψσισ οφ Σψστεµσ ωιτη Χονχυρρεντ Ερρορ ∆ετεχτιον, ΙΕΕΕ Τρανσ. Χοµπυτ., ππ. 868–878 (Σεπτεµβερ 1975). 19. Μ. Σαηινογλυ, Α. Σµιτη, ανδ Β. ∆ενγιζ, Ιµπροϖεδ Νετωορκ ∆εσιγν Μετηοδ Ωηεν Χονσιδερινγ Ρελιαβιλιτψ ανδ Χοστ Υσινγ αν Εξαχτ Ρελιαβιλιτψ Βλοχκ ∆ιαγραµ

ΡΕΦΕΡΕΝΧΕΣ

20.

21.

22.

23. 24.

25. 26.

27.

28.

29.

30.

31.

32.

33.

305

Χαλχυλατιον (ΕΡΒ∆Χ) Τοολ ιν Χοµπλεξ Σψστεµσ, ΑΝΝΙΕ—Σµαρτ Ενγινεερινγ Σψσ− τεµσ, Προχεεδινγσ οφ τηε Ιντελλιγεντ Ενγινεερινγ Σψστεµσ Τηρουγη Αρτι⇒χιαλ Νευραλ Νετωορκσ, ςολ. 13, Στ. Λουισ, ΜΟ, Νοϖεµβερ 1–4, 2003, ππ. 849–855. Μ. Σαηινογλυ, Χ. ς. Ραµαµοορτηψ, Α. Σµιτη, ανδ Β. ∆ενγιζ, Α Ρελιαβιλιτψ Βλοχκ ∆ιαγραµµινγ Τοολ το ∆εσχριβε Νετωορκσ, Προχεεδινγσ οφ τηε Αννυαλ Ρελιαβιλιτψ ανδ Μαινταιναβιλιτψ Σψµποσιυµ (ΡΑΜΣ’04), Λοσ Ανγελεσ, ΧΑ, ϑανυαρψ 26–29, 2004, ππ. 141–145. Μ. Σαηινογλυ ανδ Ω. Μυννσ, Αϖαιλαβιλιτψ Ινδιχεσ οφ α Σοφτωαρε Νετωορκ, Προχεεδινγσ οφ τηε 9τη Βραζιλιαν Σψµποσιυµ ον Φαυλτ Τολεραντ Χοµπυτινγ, Φλοριανοπολισ, Βραζιλ, Μαρχη 2001, ππ. 123–131. Μ. Σαηινογλυ, Αν Αλγοριτηµ το Χοδε ανδ ∆εχοδε Χοµπλεξ Σψστεµσ, ανδ το Χοµπυτε σ−τ Ρελιαβιλιτψ, Προχεεδινγσ οφ τηε Αννυαλ Ρελιαβιλιτψ ανδ Μαινταιναβιλιτψ Σψµποσιυµ (ΡΑΜΣ’05), Αλεξανδρια, ςΑ, ϑανυαρψ 24–27, 2005. Κ. Σ. Τριϖεδι, Προβαβιλιτψ ανδ Στατιστιχσ ωιτη Ρελιαβιλιτψ, Θυευινγ ανδ Χοµπυτερ Σχι− ενχε Αππλιχατιονσ, 2νδ εδ., Ωιλεψ, Ηοβοκεν, Νϑ, 2002, ππ. 42–60. Β. Ριχε, Α Φαστερ Εξαχτ Ρελιαβιλιτψ Βλοχκ ∆ιαγραµµινγ Χαλχυλατιον φορ Χοµπλεξ Σψστεµσ—Τηε Οϖερλαπ Μετηοδ, Μαστερ οφ Σχιενχε Τηεσισ, Τροψ Υνιϖερσιτψ, Μοντ− γοµερψ, ΑΛ, 2007. (Συπερϖισεδ βψ Μ. Σαηινογλυ) Α. Λισνιανσκι ανδ Γ. Λεϖιτιν, Μυλτι−στατε Σψστεµ Ρελιαβιλιτψ, Ωορλδ Σχιεντι⇒χ, Σινγα− πορε, 2003. Σ. Ρ. ∆ασ, Μ. Συδαρµα, Μ. Η. Ασσαφ, Ε. Μ. Πετριυ, Ω. ϑονε, Κ. Χηακραβαρτψ, ανδ Μ. Σαηινογλυ, Παριτψ Βιτ Σιγνατυρε ιν Ρεσπονσε ∆ατα Χοµπαχτιον ανδ Βυιλτ−ιν Σελφ− Τεστινγ οφ ςΛΣΙ Χιρχυιτσ ωιτη Νονεξηαυστιϖε Τεστ Σετσ, ΙΕΕΕ Τρανσ. Ινστρυµ. Μεασ., 52(5), 1363–1380 (Οχτοβερ 2003). Σ. Ρ. ∆ασ, Μ. Η. Ασσαφ, Ε. Μ. Πετριυ, ανδ Μ. Σαηινογλυ, Αλιασινγ−Φρεε Χοµπαχτιον ιν Τεστινγ Χορεσ−Βασεδ Σψστεµ−ον−Χηιπ (ΣΟΧ) Υσινγ Χοµπατιβιλιτψ οφ Ρεσπονσε ∆ατα Ουτπυτσ, Τρανσ. Σοχ. ∆εσιγν Προχεσσ Σχι., 8(1), 1–17 (Μαρχη 2004). Σ. Ρ. ∆ασ, Χ. ς. Ραµαµοορτηψ, Μ. Η. Ασσαφ, Ε. Μ. Πετριυ, Ω. Β. ϑονε, ανδ Μ. Σαηινογλυ, Ρεϖισιτινγ Ρεσπονσε Χοµπαχτιον ιν Φυλλ−Σχαν Χιρχυιτσ ωιτη Νονεξ− ηαυστιϖε Τεστ Σετσ Υσινγ Χονχεπτ οφ Σεθυενχε Χηαραχτεριζατιον, ΙΕΕΕ Τρανσ. Ινστρυµ. Μεασ., Σπεχιαλ Ισσυε ον ςΛΣΙ Τεστινγ, 54(5), 1662–1677 (Οχτοβερ 2005). Σ. Ρ. ∆ασ, Χ. ς. Ραµαµοορτηψ, Μ. Η. Ασσαφ, Ε. Μ. Πετριυ, Ω. Β. ϑονε, ανδ Μ. Σαηινογλυ, Φαυλτ Σιµυλατιον ανδ Ρεσπονσε Χοµπαχτιον ιν Φυλλ−Σχαν Χιρχυιτσ Υσινγ ΗΟΠΕ, ΙΕΕΕ Τρανσ. Ινστρυµ. Μεασ., 54(6), 2310–2328 (∆εχεµβερ 2005). Σ. Ρ. ∆ασ, Χ. ϑιν, Λ. ϑιν, Μ. Η. Ασσαφ, Ε. Μ. Πετριυ, Ω. Β. ϑονε, Σ. Βισωασ, ανδ Μ. Σαηινογλυ, Ιµπλεµεντατιον οφ α Τεστινγ Ενϖιρονµεντ φορ ∆ιγιταλ ΙΠ Χορεσ, ΙΕΕΕ Τρανσ. Ινστρυµ. Μεασ., 55(6) (∆εχεµβερ 2006). Σ. Ρ. ∆ασ, ϑ. Ζακιζαδεη, Μ. Η. Ασσαφ, Ε. Μ. Πετριυ, Σ. Βισωασ, ανδ Μ. Σαηινογλυ, Τεστινγ Αναλογ ανδ Μιξεδ−Σιγναλ Χιρχυιτσ ωιτη Βυιλτ−ιν Ηαρδωαρε—Νεω Αππροαχη, ΙΕΕΕ Τρανσ. Ινστρυµ. Μεασ., 55(6) (∆εχεµβερ 2006). Μ. Σαηινογλυ, Χ. ς. Ραµαµοορτηψ, ΡΒ∆ Τοολσ Υσινγ Χοµπρεσσιον, ∆εχοµπρεσσιον, Ηψβριδ Τεχηνιθυεσ το Χοδε, ∆εχοδε, ανδ Χοµπυτε Ρελιαβιλιτψ ιν Σιµπλε ανδ Χοµπλεξ Εµβεδδεδ Σψστεµσ, ΙΕΕΕ Τρανσ. Ινστρυµ. Μεασ., 54(5), 1789–1799 (Οχτοβερ 2005). Μ. Σαηινογλυ, Β. Ριχε, ∆. Τψσον, Χοµπαρισον οφ Σιµυλατιον ανδ Αναλψτιχαλ Μετηοδσ το Χοµπυτε Σουρχε−Ταργετ Ρελιαβιλιτψ ιν ςερψ Λαργε Χοµπλεξ Νετωορκσ, Προχεεδινγσ οφ τηε 27τη Ιντερνατιοναλ Σψµποσιυµ οφ Οπερατιονσ Ρεσεαρχη ανδ Ινδυστριαλ Ενγινεερ− ινγ, ∆οκυζ Εψλυλ Υνιϖερσιτψ, Ιζµιρ, Τυρκεψ, ϑυλψ 2–4, 2007.

306

ΡΕΛΙΑΒΙΛΙΤΨ ΒΛΟΧΚ ∆ΙΑΓΡΑΜΜΙΝΓ ΙΝ ΧΟΜΠΛΕΞ ΣΨΣΤΕΜΣ

ΕΞΕΡΧΙΣΕΣ Το υσε τηε αππλιχατιονσ ανδ δατα ⇒λεσ, χλιχκ ον “ΕΡΒ∆Χ” ιν ΤΩΧ−Σολϖερ ον τηε Χ∆−ΡΟΜ. 6.1 Ασσυµινγ τηατ τηε νοδεσ σηοων ιν Φιγυρε Ε5.1(β) ηαϖε α ϖαλυε οφ 0.9 ανδ λινκσ α περφεχτ αϖαιλαβιλιτψ οφ 1.0, χαλχυλατε τηε s = 1, t = 19 αϖαιλαβιλιτψ υσινγ τηε φαστερ οϖερλαπ µετηοδ ανδ Μοντε Χαρλο σιµυλατιον. Χοµπαρε τηε εξεχυτιον τιµεσ ανδ ρεσυλτσ. 6.2 Υσινγ τηε σαµε τοπολογψ ασ ιν Εξερχισε 6.1, ασσυµινγ τηατ τηε νοδεσ στιλλ ηαϖε 0.9 ανδ λινκσ ηαϖε 0.9 αϖαιλαβιλιτψ, χαλχυλατε τηε σψστεµ’σ s = 1, t = 19 αϖαιλαβιλιτψ υσινγ τηε οϖερλαπ µετηοδ ονλψ. 6.3 Ασσυµινγ τηατ τηε νοδεσ ηαϖε 0.9 αϖαιλαβιλιτψ φορ τηε σεϖεν−νοδε τοπολογψ σηοων ιν Φιγυρε 6.10 ανδ λινκσ ηαϖε α περφεχτ αϖαιλαβιλιτψ οφ 1.0, χαλχυλατε τηε s = 1, t = 7 αϖαιλαβιλιτψ υσινγ τηε φαστερ οϖερλαπ µετηοδ ανδ σλοωερ ηψβριδ−ενυµερατιον τεχηνιθυε. Χοµπαρε τηε εξεχυτιον τιµεσ ανδ ρεσυλτσ. 6.4 Ρεπεατ Εξερχισε 6.3 φορ τηε ειγητ−νοδε τοπολογψ ιν Φιγυρε 6.12 φορ s = 1, t = 8.

6.5 Ρεπεατ Εξερχισε 6.3 φορ τηε 10−νοδε τοπολογψ σηοων ιν Φιγυρε 6.14 φορ s = 1 ανδ t = 10.

6.6 Υσινγ ΜΣΣ ρελιαβιλιτψ πρινχιπλεσ, συπποσινγ τηατ ψου ηαϖε φυλλψ υπ (= 0.7), φυλλψ δοων (= 0.2), ανδ δερατεδ (= 0.1) στατεσ φορ ανψ νοδε, ανδ ωιτη ανψ φαστεστ µετηοδ ψου λικε, χαλχυλατε P (ΥΠ), P (∆ΕΡ), ανδ P (∆ΟΩΝ) φορ τηε σεϖεν−νοδε τοπολογψ ιν Φιγυρε 6.10. Ρεπεατ τηισ εξερχισε ωηεν φυλλψ υπ (= 0.6), δερατεδ (= 0.2), δεγραδεδ (= 0.15), ανδ φυλλψ δοων (= 0.05). 6.7 Ρεπεατ Εξερχισε 6.6 υσινγ τηε ειγητ−νοδε τοπολογψ ιν Φιγυρε 6.12. 6.8 Ρεπεατ Εξερχισε 6.6 υσινγ τηε 10−νοδε τοπολογψ ιν Φιγυρε 6.14. 6.9 Ρεπεατ Εξερχισε 6.6 υσινγ τηε 32−νοδε τοπολογψ ιν Φιγυρε Ε6.1.

6.10 Υσινγ τηε οϖερλαπ αλγοριτηµιχ µετηοδ, χαλχυλατε αναλψτιχαλλψ βψ ηανδ οβεψ− ινγ τηε οϖερλαπ τηε σουρχε–ταργετ αϖαιλαβιλιτψ φορ τηε νετωορκ σηοων ιν Φιγυρε Ε6.10, ωηερε s = 1, t = 4.

ΦΙΓΥΡΕ Ε6.10

Φουρ−νοδε χοµπλεξ νετωορκ ανδ ιτσ οϖελαπ ρελιαβιτψ ωιτη s = 1, t = 4.

ΕΞΕΡΧΙΣΕΣ

307

6.11 Ωριτε α χοδε το σιµυλατε τηε {s, t} νετωορκ ρελιαβιλιτψ προβλεµ. Υσινγ α νοδε αϖαιλαβιλιτψ 0.9, ασσυµινγ α περφεχτ λινκ ιν Φιγυρεσ Ε6.1 ανδ Ε6.10, χαλχυλατε τηε s –t ρελιαβιλιτψ υσινγ ψουρ σιµυλατιον προγραµ. Ψου µαψ χηοοσε ειτηερ Μοντε Χαρλο ορ δισχρετε εϖεντ σιµυλατιον. Τηεν ρεπεατ τηε εξερχισε βψ ασσυµινγ λινκσ το ηαϖε 0.9 αϖαιλαβιλιτψ.

1, −1, 2, *, −2, 4, *, −3, 3, *, −4, 18, *, −5, 17, *, −6, −29, 6, *, −27, *, +, 7, *, −10, 8, *, −11, *, 12, *, −15, 11, *, −31, *, −16, +, 13, *, − 17, 14, *, −18, *, −23, +, *, *, −12, 9, *, −13, *, 10, *, −14, *, −24, +, 11, *, −15, 12, *, −16, *, −31, +, 13, *, −17, 14, *, −18, *, −23, +, *, *, +, *, *, −7, 7, *, −10, 8, *, −11, *, 12, *, −15, 11, *, −31, *, −16, +, 13, *, −17, 14, *, −18, *, −23, +, *, *, −12, 9, *, −13, *, 10, *, − 14, *, −24, +, 11, *, −15, 12, *, −16, *, −31, +, 13, *, −17, 14, *, −18, *, −23, +, *, *, +, *, +, −22, +, 15, *, −19, *, 16, *, −20, *, −21, +, *, −28, 15, *, −18, 14, *, −17, *, −23, +, 13, *, −16, 12, *, −11, 8, *, −10, *, −15, 11, *, −14, 10, *, −13, *, 9, *, −12, *, −24, +, *, +, 7, *, −6, −27, 6, *, −29, *, +, 17, *, −5, *, −7, +, *, *, −31, 11, *, −14, 10, *, −13, *, 9, *, −12, *, −15, 12, *, −11, *, 8, *, −10, *, +, −24, +, 7, *, −6, −27, 6, *, −29, *, +, 17, *, −5, *, −7, +, *, *, +, *, −22, +, 18, *, −21, *, −19, 16, *, −20, *, +, *, +, *, −8, −26, 5, *, −25, *, +, 6, *, −27, 7, *, −6, 17, *, −5, *, −7, +, 18, *, −4, 3, *, −28, *, −22, +, 15, *, −19, *, 16, *, −20, *, −21, +, *, −10, 8, *, −11, *, 12, *, −15, 11, *, −31, *, −16, +, 13, *, −17, 14, *, −18, *, −23, +, 15, *, −19, 16, *, −20, *, −22, −28, 3, *, −4, *, +, 18, *, −21, *, +, *, *, *, +, −12, 9, *, − 13, *, 10, *, −14, *, −24, +, 11, *, −15, 12, *, −16, *, −31, +, 13, *, −17, 14, *, −18, *, −23, +, 15, *, −19, 16, *, −20, *, −22, −28, 3, *, − 4, *, +, 18, *, −21, *, +, *, *, *, +, *, −29, 17, *, −5, 18, *, −4, 3, *, −28, *, −7, 7, *, −10, 8, *, −11, *, 12, *, −15, 11, *, −31, *, −16, +, 13, *, −17, 14, *, −18, *, -23, +, *, *, −12, 9, *, −13, *, 10, *, −14, *, −24, +, 11, *, −15, 12, *, −16, *, −31, +, 13, *, −17, 14, *, −18, *, −23, +, *, *, +, *, +, −22, +, 15, *, −19, *, 16, *, −20, *, −21, +, *, −6, 7, *, −7, 18, *, −4, 3, *, −28, *, −22, +, 15, *, −19, *, 16, *, −20, *, −21, +, *, −10, 8, *, −11, *, 12, *, −15, 11, *, −31, *, −16, +, 13, *, −17, 14, *, −18, *, −23, +, 15, *, −19, 16, *, −20, *, −22, −28, 3, *, −4, *, +, 18, *, −21, *, +, *, *, *, +, −12, 9, *, −13, *, 10, *, −14, *, −24, +, 11, *, −15, 12, *, −16, *, −31, +, 13, *, −17, 14, *, −18, *, − 23, +, 15, *, −19, 16, *, −20, *, −22, −28, 3, *, −4, *, +, 18, *, −21, *, +, *, *, *, +, *, +, *, +, *, +, *, −9, 7, *, −6, 17, *, −5, 18, *, −4, 3, *, −28, *, −22, +, 15, *, −19, *, 16, *, −20, *, −21, +, *, −29, 6, *, −8, −25, 5, *, −26, *, +, 4, *, −3, *, 3, *, −4, 18, *, −21, −22, 15, *, − 19, *, 16, *, −20, *, +, *, −28, 15, *, −19, 16, *, −20, *, −22, 18, *, −21, *, +, *, +, *, *, +, *, −7, 18, *, −4, −5, 17, *, −29, *, 6, *, −8, − 25, 5, *, −26, *, +, *, 4, *, −3, *, +, 3, *, −28, *, −22, +, 15, *, −19, *, 16, *, −20, *, −21, +, *, +, −10, 8, *, −11, *, 12, *, −15, 11, *, − 31, *, −16, +, 13, *, −17, 14, *, −18, *, −23, +, 15, *, −19, 16, *, −20, *, −22, −28, 3, *, −3, 4, *, −8, −26, 5, *, −25, *, +, *, 6, *, −29, *, 17, *, −5, *, −4, +, *, +, 18, *, −21, *, +, *, *, *, +, −12, 9, *, −13, *, 10, *, −14, *, −24, +, 11, *, −15, 12, *, −16, *, −31, +, 13, *, −17, 14, *, −18, *, −23, +, 15, *, −19, 16, *, −20, *, −22, −28, 3, *, −3, 4, *, −8, −26, 5, *, −25, *, +, *, 6, *, −29, *, 17, *, −5, *, −4, +, *, +, 18, *, −21, *, +, *, *, *, +, −27, 6, *, −8, -25, 5, *, −26, *, +, 4, *, −3, *, 3, *, −4, 18, *, −21, −22, 15, *, −19, *, 16, *, −20, *, +, *, −28, 15, *, −19, 16, *, −20, *, −22, 18, *, −21, *, +, *, +, *, −29, 17, *, −5, *, 18, *, −4, 3, *, −28, *, −22, +, 15, *, −19, *, 16, *, −20, *, −21, +, *, +, *, +, *, +, *, −30, 3, *, −3, 4, *, −2, 2, *, −9, *, 7, *, −6, −27, 6, *, −29, *, +, 17, *, −5, *, −7, +, 18, *, −21, −22, 15, *, −19, *, 16, *, −20, *, +, *, −10, 8, *, −11, *, 12, *, −15, 11, *, −31, *, −16, +, 13, *, −17, 14, *, −18, *, −23, +, 15, *, −19, 16, *, −20, *, −22, 18, *, −21, *, +, *, *, *, +, −12, 9, *, −13, *, 10, *, −14, *, −24, +, 11, *, −15, 12, *, −16, *, −31, +, 13, *, −17, 14, *, −18, *, −23, +, 15, *, − 19, 16, *, −20, *, −22, 18, *, −21, *, +, *, *, *, +, *, −8, −26, 5, *, −25, *, +, 6, *, −27, 7, *, −6, 17, *, −5, *, −7, +, 18, *, −21, −22, 15, *, −19, *, 16, *, −20, *, +, *, −10, 8, *, −11, *, 12, *, −15, 11, *, −31, *, −16, +, 13, *, −17, 14, *, −18, *, −23, +, 15, *, −19, 16, *, −20, *, −22, 18, *, −21, *, +, *, *, *, +, −12, 9, *, −13, *, 10, *, −14, *, −24, +, 11, *, −15, 12, *, −16, *, −31, +, 13, *, −17, 14, *, −18, *, − 23, +, 15, *, −19, 16, *, −20, *, −22, 18, *, −21, *, +, *, *, *, +, *, −29, 17, *, −5, 18, *, −7, 7, *, −10, 8, *, −11, *, 12, *, −15, 11, *, − 31, *, −16, +, 13, *, −17, 14, *, −18, *, −23, +, *, *, −12, 9, *, −13, *, 10, *, −14, *, −24, +, 11, *, −15, 12, *, −16, *, −31, +, 13, *, −17, 14, *, −18, *, −23, +, *, *, +, *, −22, +, 15, *, −19, *, 16, *, −20, *, −21, +, *, −6, 7, *, −7, 18, *, −21, −22, 15, *, −19, *, 16, *, −20, *, +, *, −10, 8, *, −11, *, 12, *, −15, 11, *, −31, *, −16, +, 13, *, −17, 14, *, −18, *, −23, +, 15, *, −19, 16, *, −20, *, −22, 18, *, −21, *, +, *, *, *, +, −12, 9, *, −13, *, 10, *, −14, *, −24, +, 11, *, −15, 12, *, −16, *, −31, +, 13, *, −17, 14, *, −18, *, −23, +, 15, *, −19, 16, *, − 20, *, −22, 18, *, −21, *, +, *, *, *, +, *, +, *, +, *, +, *, −4, 18, *, −5, 17, *, −6, −29, 6, *, −8, −25, 5, *, −26, *, +, 4, *, −2, *, 2, *, −9, *, −27, +, *, +, 7, *, −10, 8, *, −11, *, 12, *, −15, 11, *, −31, *, −16, +, 13, *, −17, 14, *, −18, *, −23, +, *, *, −12, 9, *, −13, *, 10, *, − 14, *, −24, +, 11, *, −15, 12, *, −16, *, −31, +, 13, *, −17, 14, *, −18, *, −23, +, *, *, +, *, *, −7, 7, *, −10, 8, *, −11, *, 12, *, −15, 11, *, −31, *, −16, +, 13, *, −17, 14, *, −18, *, −23, +, *, *, −12, 9, *, −13, *, 10, *, −14, *, −24, +, 11, *, −15, 12, *, −16, *, −31, +, 13, *, − 17, 14, *, −18, *, −23, +, *, *, +, *, +, −22, +, 15, *, −19, *, 16, *, −20, *, −21, +, *, +, −28, 15, *, −18, 14, *, −17, *, −23, +, 13, *, −16, 12, *, −11, 8, *, −10, *, −15, 11, *, −14, 10, *, −13, *, 9, *, −12, *, −24, +, *, +, 7, *, −6, −9, 2, *, −2, *, 4, *, −8, −26, 5, *, −25, *, +, *, − 27, +, 6, *, −29, *, +, 17, *, −5, *, −7, +, *, *, −31, 11, *, −14, 10, *, −13, *, 9, *, −12, *, −15, 12, *, −11, *, 8, *, −10, *, +, −24, +, 7, *, −6, −9, 2, *, −2, *, 4, *, −8, −26, 5, *, −25, *, +, *, −27, +, 6, *, −29, *, +, 17, *, −5, *, −7, +, *, *, +, *, −22, +, 18, *, −21, *, −19, 16, *, −20, *, +, *, +, *, +, *, 19, *

ΦΙΓΥΡΕ Ε6.12 Τηε s = 1, t = 19 Πολιση νοτατιον νεχεσσαρψ το ενχοδε τηε τοπολογψ, τηεν το δεχοδε το ρετριεϖε τηε σαµε 19−νοδε νετωορκ.

308

ΡΕΛΙΑΒΙΛΙΤΨ ΒΛΟΧΚ ∆ΙΑΓΡΑΜΜΙΝΓ ΙΝ ΧΟΜΠΛΕΞ ΣΨΣΤΕΜΣ

6.12 Ρεπεατ Εξερχισε 6.1 υσινγ τηε χοµπρεσσιον αλγοριτηµ. Ονλψ ρετριεϖινγ τηε Πολιση νοτατιον φορ s = 1, t = 9, ρεϖερσε−ενγινεερ ορ δεχοδε τηε 32−νοδε τοπολογψ ιν Φιγυρε Ε6.1 βψ εµπλοψινγ τηε δεχοδινγ αλγοριτηµ. Οβσερϖε τηε {s = 1, t = 19} Πολιση νοτατιον νεχεσσαρψ το δεχοδε τηε 19−νοδε νετωορκ (Φιγυρε Ε6.12). 6.13 Υσινγ Φιγυρε Ε6.13, ανδ ασσυµινγ s = 1, t = 52, αππλψ Μοντε Χαρλο σιµ− υλατιον. Σεε Φιγυρε Ε6.14 το ϖεριφψ.

ΦΙΓΥΡΕ Ε6.13

52−νοδε εξαµπλε ωιτη s = 1, t = 52.

6.14 Υσινγ Φιγυρε 6.21, αππλψ τηε οϖελαπ αλγοριτηµ ον παγε 273 αναλψτιχαλλψ στεπ−βψ−στεπ το σολϖε {s = 7, t = 8} ινγρεσσ—εγρεσσ ρελιαβιλιτψ.

ΦΙΓΥΡΕ Ε6.14 Μοντε Χαρλο σιµυλατιον ρεσυλτ φορ 52−νοδε 78−λινκ τελεπηονψ νετωορκ ιν Φιγυρε Ε6.13 φορ s = 1, t = 52 ωιτη 100,000 ρυνσ τιµεδ.

ΙΝ∆ΕΞ

Αβσολυτε, 47, 97, 140, 151, 243, 271 ερρορ λοσσ, 232, 233, 235, 236 πεναλτψ ερρορ, 112, 113 ρελατιϖε ερρορ, 79, 94, 99, 100–102 Αχχελερατεδ, 116 Αχχεπτανχε, 112 Αχχυµυλατεδ, 64, 80, 82, 93, 117, 181 Αχχυραχψ, 48, 78, 80, 98, 99, 100, 110, 112, 113, 118, 129, 143, 155, 162, 189, 206, 257, 262, 253. Σεε αλσο Φορεχαστ, αχχυραχψ Αδαπτιϖε µαιντενανχε, 131 Αιρχραφτ, 45 Αλγοριτηµ, 18, 92, 170, 177, 215, 241, 244, 275, 284, 303 βιναρψ, 259 χοµπρεσσιον, 257, 258, 260, 264, 267, 269, 270, 258, 306 δεχοδινγ, 268–271 ενχρψπτιον, 156 ενυµερατιον, 281 ΕΒΣΡ, 208, 211 γενετιχ, 303 Λ−Μ, 90, 91, 114, 116 ΜΕΣΑΤ, 187, 189, 205 ΜΛΕ, 93 ΝΛΡ, 93 οϖερλαπ, 282, 283, 307 πυβλιχ κεψ, 158 ΡΒ∆, 259 ρελιαβιλιτψ, 274, 282, 285, 287, 289, 291, 293, 295, 297–299, 301, 303 ΣΠΣΣ, 82, 93 σταχκ, 269

στοππινγ ρυλε, 171, 173, 174, 175, 184, 187, 215 Αλτερνατιϖε, 6, 19, 22, 23, 67, 80, 82, 98, 99, 100, 114, 115, 119–121, 138, 170, 173, 174, 175, 177, 183, 188, 234, 270, 282 Αναλψσισ ΑΝΟςΑ, 17 Αρµψ Ματεριαλσ Σψστεµσ, 64 Βαψεσ(ιαν), 115, 120, 137, 178, 184, 208, 218 χοµπονεντ, 258 χοστ, 173, 197, 202, 203, 212, 214, 223 χοστ βενε⇒τ, 166, 173, 211 χοστ οφ θυαλιτψ, 172 χοϖεραγε, 225 χρψπτο, 156 δατα, 153 δεχισιον, 165, 166, 210 εχονοµιχ, 197, 228 εξπλορατορψ δατα, 79, 96, 196 φαυλτ τρεε, 69 γοοδνεσσ−οφ−⇒τ, 223, 224 λικελιηοοδ, 152 µατηεµατιχαλ−στατιστιχαλ, 63 νονπαραµετριχ, 38 οφ ερρορ προχεσσεσ, 70, 113 ποστεριορ, 55 ρεγρεσσιον, 79, 80, 114 ρελιαβιλιτψ, 71, 258, 262, 304 ρισκ, 122, 124, 132, 137, 162, 166 σεχυριτψ, 159 σεχυριτψ µετερ, 120, 135, 137 σενσιτιϖιτψ, 187

Τρυστωορτηψ Χοµπυτινγ: Αναλψτιχαλ ανδ Θυαντιτατιϖε Ενγινεερινγ Εϖαλυατιον, Βψ Μ. Σαηινογλυ Χοπψριγητ  2007 ϑοην Ωιλεψ & Σονσ, Ινχ.

309

310 Αναλψσισ (χοντινυεδ ) σεθυεντιαλ, 227 στατιστιχαλ, 62, 67, 163, 174, 215 στοππινγ ρυλε, 223, 224, 229 σψστεµ, 40 τραχκ, 144 τρεε, 161, 162, 164 ϖυλνεραβιλιτψ, 165 Ανονψµιτψ, 155, 156 Αππλιχατιον(σ), 7, 8, 17, 46, 106, 125, 130, 131, 138, 156, 167, 174, 183, 204, 205, 215, 216, 221, 229, 233, 243, 245, 253, 258, 260–263, 275, 305 Αππροαχη(εσ) αναλψτιχαλ, 67, 251 Βαψεσ(ιαν), 18, 47, 55, 99, 100, 118, 115, 135, 184, 188, 189, 221 δεχισιον−τρεε (διαγραµ), 122, 138, 142 ενυµερατιον, 266, 270, 276, 278 εϖολυτιοναρψ, 304 φρεθυενχψ, 143, 144 ινφορµατιϖε, 112 ιντεγραλ, 25 ινϖερσε−τρανσφορµ, 20 Κ−Σ, 94 λαργε σαµπλε, 103 ΜΕΣΑΤ, 193 ΝΒ∆, 153 νονινφορµατιϖε, 111, 118 νονσψστεµατιχ, 120 νυµεριχαλ, 121 Ποισσον−γεοµετριχ, 152 πριορ διστριβυτιον, 104 πριϖαχψ µετερ, 150 προβαβιλιστιχ, 138 θυαλιτατιϖε, 121, 155 θυαντιτατιϖε, 66, 155, 228 ΡΒ∆, 258 σεχυριτψ µετερ, 132, 137, 168 σηοτγυν, 206, 208 στατιστιχαλ, 66, 303 τεστινγ το δεατη, 173–175, 206 Αππροξιµατιον(σ), 45, 71, 116 Αριτηµετιχ, 35, 100–102, 110, 112, 113, 158 Αρριϖαλ, 14, 20, 58, 59, 61, 63, 79, 80, 82, 93, 176–178 Ασσυµπτιον(σ), 33, 40, 47, 48, 51, 57, 58, 62, 63, 80, 138, 142, 147, 174, 184, 187, 190, 193, 194, 196, 233 Ατταχκ τρεεσ, 120, 137 Αττριβυτε(δ), 75, 113, 120, 207, 215 Αυδιτ, 153, 155, 156, 162 Αυτηεντιχατιον, 143, 155–157, 163

ΙΝ∆ΕΞ Αϖαιλαβιλιτψ αϖεραγε, 25 Βαψεσ(ιαν), 232, 233, 253 χαλχυλατιονσ, 239, 241 χοµπονεντ, 231, 244 εξπεχτεδ, 232, 233 λονγ ρυν (τερµ), 25, 75 µοδελινγ, 231, 234 νετωορκ, 231, 233, 234, 239, 244 νον, 190 σουρχε ταργετ, 231 σψστεµ, 64 Βαχκγρουνδ, 80 Βαχκωαρδ, 90, 264 Βατητυβ χυρϖε, 7, 23, 24, 27, 52 Βαψεσ(ιαν) µοδελ(σ), 47, 55 Βεηαϖιορ, 47, 48, 53, 79, 99, 174, 187 Βερνουλλι, 20, 21, 23, 32, 58, 67, 114, 176, 187, 188, 189, 226, 227, 254 Βεστ εστιµατε, 47, 169 Βινοµιαλ δενσιτψ, 17 διστριβυτιον, 20, 46, 60, 71, 177 µυλτι, 21 νεγατιϖε, 22, 23, 57, 58, 78, 116, 152, 177–179, 181, 183, 184, 189, 195, 226 προχεσσεσ, 176 θυαδρι, 21 ρανδοµ ϖαριαβλε, 21 σαµπλινγ, 227 σεττινγ, 48 τψπε µοδελ, 48, 49, 51, 53, 64 Βλοχκ(σ), 72, 158, 188, 199, 257–260, 265, 268 Βουνδαρψ, 111 Βυγ(σ), 122, 160, 183, 198, 199 Χαλενδαρ, 48, 52, 61, 80–86, 87, 92, 188, 206 Χαπαβιλιτψ−βασεδ ατταχκ τρεεσ, 120, 154 Χαταστροπηιχ, 120 Χατεγοριεσ, 159 Χατεγοριζε, 159 Χατεγορψ, 47 Χαυσε(σ), 25, 45, 135, 137, 144, 271 Χεντραλ, 12, 26, 52, 156 λιµιτ τηεορψ, 67 Χηανγε, 39, 40, 44, 49, 55, 190, 236, 254 Χηαραχτεριζατιον, 78, 82 Χηεχκποιντ, 101, 174, 215 Χλασσ, 35, 49, 55, 63, 66, 97, 130 Χλασσι⇒χατιον(σ), 48, 49, 121 Χλοχκ, 52 Χλυµπινγ, 196

ΙΝ∆ΕΞ Χλυστερ(ινγ), 79, 94, 96, 151–153, 176, 180, 191 Χοδε(σ), 51, 82, 123, 137, 151, 156, 170, 173, 177, 206, 210, 235, 242, 272, 308 Χοεφ⇒χιεντ, 178, 183, 184, 187, 189, 237 Χολδ στανδβψ, 15 Χοµβινατιον, 62, 156, 160, 161, 178, 180, 266, 276, 277 Χοµπαρατιϖε, 131 Χοµπαρισον, 16, 48, 98, 103, 104, 105, 112, 113, 132, 173, 197, 198, 200 Χοµπλεξ(ιτψ), 100, 172, 174, 175, 233, 245, 257, 259, 260, 267, 272, 280–286, 291, 293, 295, 296, 300 µεασυρεσ, 47 µετριχσ, 69 νετωορκσ, 231, 245, 259, 271, 281, 282, 284, 285, 291, 293, 295 σψστεµσ, 257–262, 264, 270–272, 304, 305 τοπολογψ, 272, 281 Χοµπυτερ σψστεµσ, 68, 304 Χονχλυσιον(σ), 96, 98, 110, 121, 129, 137, 142, 149, 154, 188, 213, 221, 230, 281 Χονδιτιοναλ, 4, 38, 39, 49, 52, 54, 104, 105, 130, 138, 141, 178, 236, 251 Χον⇒δενχε, 16, 17, 36, 37, 76, 117, 177, 185, 186, 187, 193, 194, 195, 196, 221, 229 Χον⇒δεντιαλιτψ, 155 Χονσενσυσ, 151 Χονσιστενχψ, 81, 98 Χονσιστεντ, 121, 162 Χονσταντ, 9, 17, 20, 23, 51, 65, 71, 79, 97, 99, 100, 106, 110, 111, 122, 123, 130, 147, 168, 178, 180, 181, 184, 188, 190, 208, 220, 230, 244, 255 χριτιχαλιτψ, 147 δετερµινιστιχ, 130 φαιλυρε (ρατε), 24, 37, 43, 69, 72–74, 77, 151 ηαζαρδ (ρατε), 7, 34, 49, 52 µεασυρεσ, 99 προπορτιοναλιτψ, 49 Χοντινυουσ, 1, 2, 3, 21, 60, 73, 80, 121, 161, 176, 180, 188, 229, 230, 243 Χοντρολ, 17, 20, 122, 157, 172, 173, 174, 199 Χορρεχτιϖε, 131, 252 Χορρελατιον, 58, 153, 176, 178, 181, 182, 184, 187, 190, 193 φυνχτιον, 176 Χοστ αναλψσισ, 173, 197, 212, 223, 225 αϖεραγε, 149 βενε⇒τσ, 166, 173, 197 βυδγετ, 132

311 χαπιταλ (ινϖεστµεντ), 123–125, 127, 168–171, 183, 223, 225 χοεφ⇒χιεντ, 183 χριτεριον, 198 εφφεχτιϖε, 132, 172–174, 177, 183, 186, 197, 205, 212, 215, 230 εφ⇒χιεντ, 173, 184 εξπεχτεδ, 124, 127, 132, 135, 137, 150, 207, 217 φαχτορσ, 198 ⇒ξεδ, 182, 184, 217, 221 ιµπροϖεµεντ, 154 ιµπλιεδ, 183 ινδεξ, 198 µαιντενανχε, 131 µαξιµυµ, 121 µοδελ, 183, 195, 196 οππορτυνιτψ, 130 ουτπυτ, 132 παραµετερσ, 183, 187–189 προϕεχτεδ, 122 ρεδεµπτιον, 120 σχεναριοσ, 185 σηαδοω, 127 σοφτωαρε, 131 τεστινγ, 194, 196, 198, 199 υτιλιτψ, 121, 132 ϖαριαβλε, 182, 183, 217 Χουντερµεασυρε (ΧΜ), 119, 121–127, 129, 132, 135, 137, 138, 142, 144, 148, 150, 153, 154, 155, 161, 165, 168, 170 λαχκ οφ (ΛΧΜ), 121–124, 143, 170 Χουντινγ, 47, 57, 58, 150, 173, 176, 177, 187, 188, 195, 207, 272 Χοϖεραγε, 51, 223, 225 βρανχη(ινγ), 174–177, 181–184, 188, 195, 196 χοστ οφ, 207 δατα σετσ, 178, 228 δεχισιον, 175 δετεχτιον, 174 εστιµατιον, 228 φαιλυρε, 173 φαυλτ, 173, 200 ιµπερφεχτ, 304 λεϖελ, 185 µινιµαλ, 185, 190, 210 νυµβερ, 185, 187 ρελιαβιλιτψ, 173, 177 στατεµεντ, 175 τοταλ, 190 ωηιτε−βοξ, 172 ΧΠΥ, 12, 39, 40, 48, 52, 53, 54, 55, 73, 75, 77, 79, 80, 81, 188

312 Χριτερια, 115, 227, 228 Χρψπτο, 156 ∆ατα βανκ, 77 χενσορεδ, 36, 38, 39, 76 χλυστερεδ, 80, 82 χοµπαχτιον, 305 χοµπλετε, 33, 35, 36 χορρελατεδ, 116 χοστ, 188 χουντερµεασυρε, 142 χοϖεραγε, 178 χυρρεντ, 47 δοµαιν, 77 εφφορτ−βασεδ, 173 εµπιριχαλ, 6, 33, 146, 148, 168, 173 ερρορ, 113, 115 εξπλορατορψ, 79, 96, 196 φαιλυρε, 33, 39, 48, 67, 76–80, 92–96, 98–100, 152, 252 ⇒ελδ, 207, 234 γρουπεδ, 34, 35, 39, 40, 73, 77, 80, 95, 114 ηιστοριχαλ, 234 ηψβριδ, 169 ινχοµπλετε, 36 ινσυφ⇒χιεντ, 244 λαργε σαµπλε, 238, 244 λατεντ, 183 µοδελσ, 67, 114 Μυσα’σ σετσ, 57 νονρεπλαχεµεντ, 36 ουτπυτ, 92 θυαλιτατιϖε, 127, 169 θυαντιτατιϖε, 120, 122, 127 ρεχοϖερψ, 253, 304 ρελιαβιλιτψ, 67, 71 ρεπαιρ, 245 ρεποσιτορψ, 119 ρεσισταντ, 243 σιµυλατεδ, 79 σοφτωαρε, 92 στατιστιχαλ, 143 σψµµετριχ, 147 σψστεµ δεσιγν, 120 τεστ χασε βασεδ, 174 τεστ, 69 υνγρουπεδ, 33–35, 38, 76 ςΗ∆Λ, 198 ωεεκλψ σετσ, 82 ∆εατη, 36, 39, 46, 173, 174, 175, 206 προχεσσ, 68 ∆εβυγγινγ, 46, 57, 68, 71, 232 ∆εχισιον, 66, 101, 102, 115, 123, 164, 166, 210, 211, 228

ΙΝ∆ΕΞ ∆εχρψπτιον, 156 ∆εφεχτιϖε, 10, 22, 173 ∆εφεχτ(σ), 7, 48, 54, 55, 57, 62, 63, 257 ∆εγρεεσ οφ φρεεδοµ, 15, 16, 17, 98 ∆ελαψεδ, 62, 63, 187, 189 ∆ενσιτψ, 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 13, 15, 17, 23, 25, 34, 36, 49, 51, 53, 54, 56, 58, 78, 80, 125, 137, 147, 151, 188, 218, 219, 231–233, 242, 243, 250, 251, 256 ∆ενσιτψ φυνχτιον, 2, 3, 4, 6, 8, 25, 34, 51, 80, 147, 218, 219, 232, 243, 256 ∆επενδεντ, 21, 47, 58, 63, 130, 139, 140, 141, 142, 150, 154, 188, 194 ∆εσιγν, 40, 46, 64, 75, 119, 120, 121, 122, 130, 131, 135, 142, 143, 148, 150, 162, 168, 169, 175, 205, 206, 215, 229, 258 ∆ετεχτιον, 68, 69, 113, 166, 305 ∆ετερµινατιον, 161, 196 ∆εϖιχε, 11, 14, 73, 77, 122, 143, 144 ∆ιαγνοστιχ(σ), 98, 190, 195, 196 ∆ισχοϖερψ, 83, 84, 85, 86, 87 ∆ισχρετε, 2, 3, 20, 21, 48, 58, 60, 79, 80, 142, 150, 155, 157, 168, 176, 177, 178, 181, 182, 184, 229, 255, 308 ∆ισχριµινατιον ρατιο, 195 ∆ισχριµινατιϖε, 190, 196 ∆ισϕοιντ, 39, 122, 127, 138, 139, 140, 141, 142 ∆ισϕοιντνεσσ, 141, 142 ∆ισκ, 74 ∆ιστριβυτιον(σ) ασψµπτοτιχ, 31 βετα, 17, 18, 180, 181, 187, 234, 252 βινοµιαλ, 20, 46, 58, 181, 184 χοµπουνδ Ποισσον, 177 χοµπουνδ(ινγ), 58, 59, 71, 79, 80, 188, 195 χονδιτιοναλ, 104, 105, 178, 236, 251 χυµυλατιϖε, 3, 6, 98 δισχρετε, 226 δουβλε, 12 εµπιριχαλ, 94, 98 Ερλανγ(ιαν), 13–15 εξτρεµε ϖαλυε, 24, φαιλυρε, 4, 5, 24, 33, 35, 49, 55, 62 φρεθυενχψ, 79, 82, 92, 96, 191 φυνχτιον, 6, 18, 176, 180, 195, 233, 234 γαµµα, 13, 14, 18, 237 γεοµετριχ, 58, 80, 215 ηαλφ−νορµαλ, 113 ηψπερεξπονεντιαλ, 12 ηψπεργεοµετριχ, 70 ηψπερπριορ, 104 ϕοιντ, 56, 59, 218, 249 λιµιτινγ, 188

ΙΝ∆ΕΞ λογαριτηµιχ−σεριεσ (ΛΣ∆), 58, 173 176, 177, 187, 188, 195, 207 λογ−νορµαλ, 27 µαργιναλ, 56, 59, 178, 180 µιξτυρε, 12 µυλτινοµιαλ, 21 νεγατιϖε βινοµιαλ (ΝΒ∆), 60, 71, 174–177, 179, 184, 195 νεγατιϖε εξπονεντιαλ, 11–13, 20, 21, 50, 80, 115, 168 νονινφορµατιϖε, 100 νονπαραµετριχ, 33 νορµαλ, 25–28, 30, 104, 105, 243 Παρετο, 56 Ποισσον, 20, 58, 71, 147, 168, 177, 216 Ποισσον−γεοµετριχ, 58, 70, 76, 82 Ποισσον−λογαριτηµιχ, 76 ποστεριορ, 47, 55, 56, 180, 233, 236, 249 ποωερ−φυνχτιον, 13 ποωερ−λαω, 12 πριορ, 47, 55, 56, 102, 104, 113, 178, 180, 227, 247 προβαβιλιτψ, 52, 66, 67, 98, 150, 151, 176, 180, 193–196, 252 σκεωεδ, 187 στατιστιχαλ, 1, 26, 32, 48, 120, 150, 233 συρϖιϖαλ, 116 τηρεε−παραµετερ βετα (ΣΛ), 233, 235 τρυνχατεδ, 25 τψπε−Ι, 30, 31 τψπε−ΙΙ, 30, 31 τψπε−ΙΙΙ, 30, 31 υνιφορµ, 53, 105 υνιϖαριατε, 227, 253 Ωειβυλλ, 23, 24, 31 ∆οων τιµεσ, 233, 236, 239, 243, 244, 247, 249 ∆υανε (µοδελ), 47, 64, 68, 69 ∆υρατιον, 76, 77 ∆ψναµιχ, 130, 131, 150, 174, 197, 257 Εχονοµιχ, 123, 172, 174, 177, 182, 187, 189, 196, 197, 204, 207, 211, 215, 221 Εφφεχτ(ιϖε), 24, 40, 52, 55, 78, 79, 99, 134, 142, 185, 187, 196 αϖαλανχηε, 146 χαυσε ανδ, 208 δοµινο, 207 λογαριτηµιχ, 97 ριππλε, 123, 127, 130 σατυρατιον, 189 σιδε, 123, 131 Εφφορτ, 137, 179, 183, 184, 205 βασεδ, 48, 172, 173, 176, 178, 229

313 δισχρετε, 182 δοµαιν, 46, 177, 182, 188, 189 ερρορσ, 208 τεστινγ, 206, 208, 210 υνιτ, 179 Εµπιριχαλ, 120, 142, 184, 187, 188, 195, 205, 218, 221 Βαψεσ(ιαν), 47, 67, 69, 114, 116, 165, 168, 174–177, 184, 187, 188, 195, 205–208, 218, 220, 225, 229, 252 δατα, 33, 146, 148, 173 διστριβυτιον, 94, 95, 98 ρυλε(σ), 206, 227 σοφτωαρε τεστινγ, 205 Ενχρψπτιον, 143, 156, 166, 170 Χεασαρ’σ, 157 Ελ−Γαµαλ, 158 πυβλιχ κεψ, 157, 158 ΡΣΑ, 157 Ερρορ, 11, 93–103, 117, 135, 136, 150, 167, 194, 205–208, 210–213, 223–225, 235, 243, 251 χοµµον µοδε, 75 δετεχτιον, 63, 68, 113, 259, 323 δετεχτιον ρατε, 3 λοσσ, 232, 233, 235, 236 µεασυρεµεντ, 26 µοδε, 75 ποστ φαχτο, 211 πρεδιχτιϖε, 97, 103 ρελατιϖε, 79, 80, 83–85, 100, 102 ρουνδ οφφ, 117 σαµπλινγ, 11 σθυαρεδ, 47, 79, 80, 94, 98, 178, 181, 232, 233, 236–239, 243, 251 στανδαρδ, 91, 106 τψπε, 1, 103 ϖεχτορ, 89 Εστιµατιον, 3, 4, 38, 47, 55, 63, 94, 113, 149, 150, 154, 193, 232, 233 Βαψεσ(ιαν), 17, 47, 177, 195, 235 χοϖεραγε, 195, 228 δενσιτψ, 71 ερρορ οφ, 237 ιντερϖαλ, 96 λαχκ οφ πριϖαχψ, 150 λεαστ−σθυαρεσ, 90, 91 µαξ λικελιηοοδ, 79, 80, 96 µετηοδ(σ), 33, 36, 101 µοδελ, 63 νονλινεαρ, 91 οφ φαιλυρεσ, 57, 78 οφ ηαζαρδ, 34

314 Εστιµατιον (χοντινυεδ ) παραµετερ, 47, 67, 79, 80, 82, 92, 93, 96–99, 114, 142, 149, 226, 252 πριορ, 248 προχεδυρεσ, 33, 100 προχεσσ, 193 ρελιαβιλιτψ, 33, 56, 67, 79, 113–115, 259 ρεγρεσσιον, 82 ρισκ, 154 στατιστιχαλ, 17, 143, 174 υνδερ, 121 Εστιµατορ ασψµπτοτιχ, 233, 238, 244 αϖαιλαβιλιτψ, 232, 233, 246 Βαψεσ(ιαν), 178, 181, 219, 231, 234–239, 241, 243, 244, 251, 252 Καπλαν–Μειερ, 39 λαργε σαµπλε, 244 µαξιµυµ λικελιηοοδ, 50, 81 οφ αν ατταχκ, 143 νονπαραµετριχ, 37 σµαλλ σαµπλε, 238 τψπε Ι, 37, τψπε ΙΙ, 37, υναϖαιλαβιλιτψ, 232 υνβιασεδ, 37 Εϖαλυατιον, 1, 68, 78, 114, 115, 119, 172, 226, 227, 231, 257, 304 Εϖεντ(σ), 7, 20, 45, 78–80, 93, 122, 123, 127, 132–134, 142, 143, 148–152, 155, 156, 162, 168, 175–178, 215, 244, 255, 262, 308 Εξπεχτατιον, 49, 173, 196, 219, 238 Εξπεχτεδ, 46, 47, 51–53, 57, 76, 82, 121, 127, 154, 175, 183, 184, 187, 190, 193, 194, 207, 232–234, 243, 244, 256, 267 αϖαιλαβιλιτψ (υν), 232–234 ερρορσ (νυµβερ οφ), 190 εστιµατορ, 183, 207, 217 φαιλυρεσ (φαυλτσ), 50, 63, 73, 79, 81, 179, 182, 217–219 λιφε, 6 λοαδ (λοσσ οφ), 55 λοσσ (χοστ οφ), 124, 125, 127, 131, 132, 135, 137, 142, 147, 149, 150, 168, 169 ουτπυτ, 125 ρεπαιρ (χοστ οφ), 124 ρισκ (ρεσιδυαλ), 125, 137 τιµε, 50 ϖαλυε, 20, 22, 59, 77, 81, 125, 178, 181, 182, 216, 220, 236, 256 Εξπεριµεντ(αλ), 22, 39, 76, 150, 152, 175, 184, 196 Εξπλανατορψ, 146

ΙΝ∆ΕΞ Εξπλορατορψ, 79, 96, 196 Εξπονεντιαλ, 1, 11–15, 20, 21, 24, 31, 36, 37, 49, 50–52, 55, 60–64, 73, 77, 79–82, 92, 97, 147, 167, 168, 195, 217, 248, 256 Εξποσυρε, 151, 162 Εξτενδεδ, 1, 47, 63 Φαχτορ(σ), 27, 45, 46, 63, 105, 123–126, 127, 130, 137, 158, 159, 176, 184, 190, 195, 198, 207, 208, 215 Φαιλυρε αππλιχατιον, 131 χηανχε, 120, 135, 137 χλυµπινγ οφ, 51, 78 χοµµον−µοδε, 44, 45, 72 χοµπονεντ, 18, 33 χονσταντ, 24 χοϖεραγε, 174 χουντ(ινγ), 93, 100, 116, 226, 47, 50, 59, 62–64, 78, 79 χυµυλατιϖε, 64 δατα, 100, 114, 115, 226, 245, 251, 252, 33, 39, 67, 76–80, 92, 93, 98, 99 δατε, 48 δενσιτψ, 49, 53, 54 δετεχτιον, 63 διστριβυτιον, 4, 5, 33, 35, 49, 62 εποχη, 57 εϖεντσ, 256 ⇒νιτε, 52 γρουπεδ, 95 ηαρδωαρε, 170 ινδεξ, 57 ινφορµατιον, 35 ινϕεχτιον, 47 ινσταντανεουσ φαιλυρε, 6, 45 ιντενσιτψ, 46, 49, 50, 51, 53, 54, 57, 61, 63–65, 69, 73, 76 ιντεντιοναλ, 120 µαλιχιουσ, 123, 135, 137 µεαν τιµε το, 5, 33, 77, 151, 221 µοδελ, 30, 49, 50, 63, 64 µοδεσ οφ, 24 νυµβερ οφ, 21, 22, 37, 46, 48, 50, 52, 53, 57, 62, 64, 73, 78, 82, 88, 89, 177, 100, 179, 182, 184, 186, 189, 194, 197, 216, 219, 220 ποωερ, 170 προβαβιλιτψ, 20, 43, 74, 151, 259 προχεσσ, 93, 195 ρανδοµ, 173 ρατε(σ), 5, 6, 24, 37, 42–45, 50, 55, 56, 58, 63, 64, 71–75 ρεµαινινγ, 182

ΙΝ∆ΕΞ ρεσιδυαλ, 98 σιζε, 174 σοφτωαρε, 47, 57, 71, 78, 79, 94, 96, 99, 122, 165, 176, 177, 182, 184, 193, 221 σψστεµ, 14, 43, 45 τιµε(σ), 6, 33, 34, 39, 49, 52, 53, 55–58, 62, 64, 72, 77, 220 τιµε το, 6, 14, 15, 25, 31, 33, 49, 57 Φατιγυε, 24, 27 Φαυλτ(σ) αρριϖαλ, 176 χοντεντ, 80 χορρεχτιον, 55 χοϖεραγε, 175, 200, 223 δετεχτιον, 51, 52, 55, 73 εξπεχτεδ νυµβερ οφ, 63 ηαζαρδ ρατε, 64 ινϕεχτιον, 47 νυµβερ οφ φαυλτσ, 51, 184, 193, 223 ρεµαινινγ, 185, 193, 216, 223 ρεµοϖαλ, 70 σεεδινγ, 47 σιζε, 207 σιµυλατιον, 226 σπρεαδινγ µοδελ, 47 σοφτωαρε, 69, 177, 216 τολεραντ(χε), 47, 69, 70, 156, 225, 253, 305 τρεε(σ), 47, 69 Φιλεσ, 116, 229 Φιναλ, 149, 171, 261 Φινιτε, 5, 26, 31, 48, 49, 52, 53, 62, 63, 152, 235 Φορεχαστ αχχυραχψ, 67, 99, 115, 227, 252 θυαλιτψ, 79, 91, 94, 98, 113 Φυνχτιον(σ) βετα, 18 χηαραχτεριστιχ, 178, 179 χορρελατιον, 176 χριτεριον, 104 χυµυλατιϖε δενσιτψ, 3, 4, 8 χυµυλατιϖε διστριβυτιον, 6, 51, 98 δεχρεασινγ, 27, 53, 217, 219 δισχρετε, 155 διστριβυτιον, 17, 18, 67, 234 εξπεχτεδ ϖαλυε, 220 εξπονεντιαλ, 217 φαιλυρε ρατε, 64 ηαζαρδ (ρατε), 2, 6, 23, 28, 34, 40, 47, 49, 52, 54, 64, 73, 76, 77 ιντενσιτψ, 6, 49, 50, 51, 54, 57, 63, 64, 65 ϕοιντ δενσιτψ, 4 λικελιηοοδ, 4, 81 λινεαρ, 64

315 λογαριτηµιχ, 53 λοσσ, 47, 56, 116, 178, 181, 219, 233–238, 251, 252 µατηεµατιχαλ−στατιστιχαλ, 1 µεαν ϖαλυε, 46, 49–54, 62–65, 73 µοµεντ γενερατινγ, 232, 235, 249 Παρετο, 11, 13 πεναλτψ, 234, 235, 245 ποωερ, 11, 13, πριορ, 244 προβαβιλιτψ δενσιτψ, 1–3, 6, 8, 25, 34, 51, 80, 147, 218, 232, 243, 256, 304 προβαβιλιτψ διστριβυτιον, 52, 98, 151, 176, 180, 195, 233, 252 προβαβιλιτψ µασσ, 8 ρελιαβιλιτψ, 2, 4, 11, 15, 23, 25, 26, 34, 38, 76, 280 σεχυριτψ µετερ, 130 στατιστιχαλ, 4 συρϖιϖαλ, 38, 77, 151 τψπε−Ι, 31 τψπε−ΙΙΙ, 31 ωειγητ, 237, 238, 251 Γ3Β, 231, 232, 235 Γαµµα, 1, 17–19, 61, 219, 233–235, 238, 249 δενσιτψ, 13, 15, 219, 242, 243 διστριβυτιον, 13, 14, 18, 237 φαµιλψ, 56, 247, 249 µοδελσ, 243, 244 µυλτιπλιερ, 110 πδφ, 15, 62, 150, 218, 233, 234 πλοτσ, 244, 245 ποστεριορ, 55 πριορ, 18, 55–57, 221–224, 232, 240, 241, 248 ϖαριαβλεσ, 231, 232 Γαυσσ, 91 Γενεραλιζεδ, 52, 57, 73, 79, 92, 97, 121, 140, 142, 176, 181, 182, 187, 189, 232, 233, 234 βετα, 181, 182, 187, 189, 252, 253 χοµπουνδ, 57, 79 εξπονεντιαλ, 92, 97 γαµµα, 232, 233 Γοελ–Οκυµοτο ΝΗΠΠ, 73 µυλτιϖαριατε βετα διστριβυτιον, 234 Ποισσον, 71, 92, 97 Γεοµετριχ, 21–23, 50, 55, 57–60, 76–82, 93, 152, 188, 189, 215, 216, 218, 219, 221–224, 226 Γοοδνεσσ−οφ−⇒τ, 46, 71, 80, 94, 98, 99, 174, 187–191, 200, 203, 223, 224

316 Γραπηιχαλ(λψ), 161, 230, 258, 259, 262, 270, 281 Γραπησ, 98, 162 Ηαρδωαρε, 1, 22, 46, 64, 143, 149, 173, 174, 188, 196, 200, 208, 231–233, 243, 247 Ηαζαρδ, 2, 5, 6, 7, 11, 23, 25, 28, 30, 34, 47, 48, 49, 50, 52, 53, 54, 55, 64, 72, 73, 75–77, 170 ρατε, 5–7, 11, 23, 30, 49, 50, 52, 54, 55, 64, 72 Ηιστογραµ, 35, 91 Ηοµογενεουσ, 48, 62–64, 65, 151 Ηψπερεξπονεντιαλ, 12, 62–64, 240, 244 Ηψποτηεσισ, 16, 99, 103, 110–112, 193, 194 Ιδεντιχαλ, 14, 21, 31, 40, 42–44, 48, 55, 56, 60, 67, 73, 75, 95, 137, 149, 152, 153, 156, 176, 183, 194, 240–243, 266, 267, 298 ΙΙ∆, 14, 30, 31, 152 N −, 21 νον, 26, 176, 188, 240, 242 ϖαριαβλεσ, 26, 67 Ιµπροπερ, 105 Ινδεπενδενχε, 138 Ινδεπενδεντ, 4, 11, 14, 15, 16, 21, 26, 28–31, 40, 45, 46, 48, 55, 57–59, 67, 73, 75, 82, 138–140, 150, 152, 175–178, 188–190, 194, 195, 233 εξπονεντιαλ, 14, 55, 152 φαιλυρε, 59 ινχρεµεντσ, 176, 190, 195 N −, 4, 15, 26, 29–31 νον, 67 Ποισσον προχεσσ, 175, 176 S, 189 στατιστιχαλλψ, 40 τηρεατσ, 40 τιµε, 46, 150, 176, 178, 188, 189 Ινφεασιβιλιτψ, 187 Ινφερενχε, 150, 151, 153, 184, 189, 233 Ιν⇒νιτε, 25, 50, 53, 54, 64, 76, 111, 235, 238 Ινφορµατιϖε, 98, 99, 112, 113, 232–236, 243, 244 Ινιτιαλ ϖαλυε, 98, 221, 285, 298 Ιντεγρατιον, 236 Ιντεγριτψ, 155 Ιντενσιτψ, 6, 46, 49–51, 53, 54, 57, 61, 63–65, 73, 76, 80 Ιντερφαιλυρε, 52, 53, 55, 62, 64 Ιντερρυπτιονσ, 176, 194, 195, 216, 218, 219, 220 Ιντερϖαλ, 2, 3, 6, 8, 35, 36, 37, 39, 46, 58, 59, 63, 76, 80, 81, 82, 93, 96, 152, 174, 182, 183, 207, 217–220

ΙΝ∆ΕΞ χον⇒δενχε, 16, 17, 36, 65, 93, 245 ΧΠΥ σεχονδσ, 73 i(τη), 12, 39, 182, 183, 207 k, 35 Μ−Ο Ποισσον, 96 n−, 100 οφ ιντεγρατιον, 3 1000−σεχονδ, 40 t, 2, 6, 217, 219, 220 τεστινγ, 182 τιµε, 35, 39, 42, 46, 48, 58, 59, 81, 100, 183, 217, 218, 227 Ινϖερσε, 10, 11, 13, 18, 20, 22, 24, 26, 232, 240, 248, 255 Ιτερατιϖε, 98 ϑελινσκι–Μορανδα, 46, 47, 49, 68 ϑοβ, 121, 126 ϑοιντ προβαβιλιτψ, 218 Κεψ, 46, 156–159, 195 Κνοωλεδγε, 104, 105, 162 Κολµογοροϖ–Σµιρνοϖ, 79, 80 Κ−Σ, 80, 94, 96–98 Λατεντ, 183 Λαω, 12, 26, 123, 130, 144, 150 οφ λαργε νυµβερσ, 26, 28 Λεαρνινγ, 63 Λεαστ, 42, 57, 75, 77, 82, 90, 91, 96, 98, 118, 119–121, 137, 143, 149, 151, 156, 168, 175, 185, 186, 193, 194, 205, 206, 220, 221, 237, 278, 279 σθυαρεσ, 57, 82, 90, 91, 237 Λιφε χψχλε, 147, 167, 205 Λικελιηοοδ, 4, 8, 50, 79, 80, 81, 96, 151, 152, 154, 162, 206, 208, 233, 250 Λιµιτατιονσ, 44, 45, 70, 115, 228 Λινεαρ, 34, 57, 64, 82, 116 Λινκ(σ), 254, 271, 275, 276, 282, 283, 286–288, 290–297, 299, 306, 307, 308 ανδ νοδεσ, 301–303 χοννεχτινγ, 260, 272 ιµπερφεχτ, 262 ινδεξ, 283, 285–302 περφεχτ, 256 ρελιαβιλιτψ, 254, 256, 257 ωεακεστ, 40 Λιστ, 1, 160, 190, 244, 260, 276, 277, 284–291, 293, 295–302, 304 Λιττλεωοοδ, 47, 48, 55, 57, 68–70, 115 Λοαδ, 55 Λογιστιχ, 28, 29, 228, 229 Λονγ−τερµ, 75

ΙΝ∆ΕΞ Λοσσ, 47, 55, 56, 123–127, 131–137, 142, 147–150, 162, 167, 169, 178, 181–185, 197, 219, 232–239, 243, 244, 252, 253. Σεε αλσο Φυνχτιον Μαργιναλ, 4, 56, 57, 59, 178, 180, 218 Μαρκοϖ, 21, 58, 60, 67, 80, 114, 184, 188, 189, 197, 226, 227, 228 Ματριξ, 91, 188, 259 Μαξιµυµ λικελιηοοδ, 81 Μεαν(σ), 2, 5, 9, 14, 17, 20, 25–27, 30, 33, 35, 40, 45–54, 58, 60, 62–65, 73, 75, 77, 79, 80, 90, 94–106, 110–113, 121, 135, 137, 147, 151, 167, 168, 187, 190, 194, 195, 219, 221, 233, 235, 236, 240, 244, 245, 247, 256, 257, 271. Σεε αλσο Αριτηµετιχ σθυαρεδ ερρορ, 79, 80, 94, 98, 99 τιµε το χραση, 147, 167 τιµε το φαιλυρε, 5, 33, 46, 57, 221 τιµε το ρεπαιρ, 25, 75 ϖαλυε φυνχτιον, 46, 49–54, 62–65, 73 Μεασυρε, 24, 33, 41, 46, 55, 65, 94, 97, 98, 103, 112, 121–123, 126, 131, 175, 244 Μεασυρεµεντ(σ), 26, 68, 94, 100, 113, 114, 116, 120, 162, 193, 229 Μεδιαν, 2, 5, 10, 13, 16, 27, 28, 47, 232–236, 240 Μεµορψλεσσ, 21, 219, 220 Μετριχσ, 68, 116 Μινιµαλ, 177, 185–187, 190, 195, 196, 210, 229, 251, 274, 285, 298 Μινιµαλ χοϖεραγε, 177 Μινιµυµ, 5, 10, 30, 162, 174, 185, 201–203, 236, 251, 274, 275, 282, 285 Μοδε, 2, 10, 13, 15, 17, 28, 29, 43, 45, 72, 75, 235 Μοδελ(σ), 12, 17, 27, 54, 55, 56, 73, 76, 80, 92, 93, 94, 98, 99, 105, 121, 122–124, 128, 129, 131, 138, 146–48, 151, 161, 168, 172–175, 176, 183, 184, 189, 193, 196, 197, 199, 207 ΑΜΣΑΑ, 64, 65 Βαψεσιαν, 47, 103, 104 Βελλ–ΛαΠαδυλα, 155 βινοµιαλ, 48 Βιβα, 155 Χηινεσε ωαλλ, 155 Χλαρκ–Ωιλσον, 155 χοµπουνδ Ποισσον, 78, 79, 195 δεχισιον τρεε, 119 ∆υανε’σ, 64 φαιλυρε, 31, 53 φαιλυρε−χουντινγ, 47 Γοελ–Οκυµοτο νονηοµογενουσ Ποισσον, 50, 52

317 Ηαρρισον–Ρυζζο–Υλλµαν, 155 Ηοωδεν’σ, 194 ϑελινσκι–Μορανδα δε−ευτροπηιχατιον, 49, 80 Λιττλεωοοδ–ςερραλ Βαψεσιαν, 55 Μοδι⇒εδ εξπονεντιαλ σοφτωαρε ρελιαβιλιτψ, 64 Μορανδα’σ γεοµετριχ, 50, 80 Μυσα’σ βασιχ εξεχυτιον τιµε, 49, 52 Μυσα−Οκυµοτο λογοριτηµιχ Ποισσον εξεχυτιον τιµε, 53, 96, 97 Ποισσον, 48 Ποισσον γεοµετριχ, 81, 82 ποωερ, 64 θυαντιτατιϖε σεχυριτψ µετερ, 142–145, 150, 155 Ραψλειγη, 52 ρελιαβιλιτψ, 46–48, 62, 100 Σαηινογλυ’σ χοµπουνδ Ποισσον γεοµετριχ, 58 Σαηινογλυ’σ χοµπουνδ Ποισσον λογαριτηµιχ σεριεσ, 57 Σαηινογλυ–Λιββψ προβαβιλιτψ, 234 Σχηιχκ–Ωολϖερτον, 64 Σχηνειδεωινδ, 51 στατιχ, 47 τιµε βετωεεν φαιλυρεσ, 46 τιµε−δοµαιν, 48 ΤΤ∆, 120, 162, 163 Ωειβυλλ, 52 Ψαµαδα’σ δελαψεδ ανδ Οηβα’σ ιν⇓εχτιον Σ ανδ ηψπερεξπονεντιαλ, 62, 63 Μοµεντ(σ), 5, 29, 60, 184, 216, 232, 235, 236, 243, 249 Μορταλιτψ, 6, 7 ΜΤΒΦ, 50 ΜΤΤΦ, 5, 25, 33, 37, 42, 44, 45, 57, 65, 72–77, 221, 223, 224 ΜΤΤΡ, 25, 75 Μυλτιπλιχατιον ρυλε, 138, 139 Μυσα, 47, 52, 53, 57, 68, 69, 70, 71, 73, 76, 79, 80, 93, 96, 101, 113–115, 195, 196, 217, 220, 221, 228, 229 Μυσα–Οκυµοτο, 47, 53, 73, 76, 79, 80, 93, 96, 101 Μυτατιον τεστινγ, 165, 208, 226 Νετωορκ, 67, 165, 166, 240, 253, 255, 258, 259, 268, 271, 287, 288, 290, 297–300, 303–305 Νευραλ νετωορκσ, 258 Νοδε, 160, 161, 254–256, 258, 259, 260, 262–264, 266–276, 280–296, 298–302, 305–308 φολλοω, 283 ινγρεσσ, 262, 270, 274

318 Νοδε (χοντινυεδ ) λεαδ, 283 ροοτ, 160, 161 Νονδισϕοιντνεσσ, 120, 169 Νονηοµογενεουσ, 47, 48, 52, 53, 62, 79, 80, 151, 152, 173, 176, 188, 195 Νονπαραµετριχ, 33, 37, 38, 40, 72, 73, 76, 94, 96 Νονρεπυδιατιον, 155 Νυλλ ηψποτηεσισ, 193 Νυµεριχαλ, 51, 94, 105, 120, 128, 155, 233, 235 Οχχυρρενχε(σ), 2, 22, 63, 148, 168, 174, 176, 189 223, 224 Ονε στεπ, 173 Οπερατινγ, 11, 14, 33, 38, 52, 55, 64, 72, 208, 232, 243, 256, 263, 275, 279 σψστεµ, 72 Οπερατιον(σ), 46, 64, 73–75, 121, 127, 156, 157, 161, 170, 215, 259, 261, 269 µοδυλυσ, 157 Οπτιµαλ, 51, 170, 177, 185, 211, 215, 216, 230 Οπτιµιζατιον, 165, 304 Οπτιµυµ, 70 Ορδερ στατιστιχσ, 34 Ουτπυτ(σ), 41, 98, 122, 125, 132, 205, 243, 256, 280, 281 Παχκαγε, 116 Παραµετερ εστιµατιον, 47, 67, 79, 80, 89, 96, 98, 114, 226, 252 Περφορµανχε, 40, 96, 97, 98, 131 Πηασε, 12, 25, 63, 82, 175, 206, 208, 210 Ποισσον, 20, 21, 32, 47, 48, 49, 50, 52, 53, 54, 55 62–69, 70, 71, 73, 76–82, 92, 93, 96, 97, 101, 114, 115, 147, 148, 151–154, 168, 184, 187–190, 195, 197, 198, 206, 207, 215–229, 252 χοµπουνδ, 47, 57–60, 78, 79, 91, 93, 96, 97, 152, 193, 216, 223 διστριβυτιον, 20, 59, 168, 177 γεοµετριχ, 57, 59, 80, 81, 152, 188, 189, 218, 223 Μυσα–Οκυµοτο λογαριτηµιχ σεριεσ, 47, 53, 80 νονηοµογενεουσ προχεσσ (ΝΗΠΠ), 47–50, 53, 78, 80, 151, 152, 173, 176 ρανδοµ νυµβερσ, 20 Σαηινογλυ’σ χοµπουνδ γεοµετριχ, 57 Ποπυλατιον, 29, 151, 245 Πρεδιχτιον(σ), 48, 49, 63, 70, 78–80, 94, 98, 99, 103, 113, 115, 118, 147 Πρεδιχτιϖε, 46, 48, 78, 80, 97, 99, 100, 103, 110, 112, 113, 118

ΙΝ∆ΕΞ Πριϖαχψ, 143, 150–157, 164, 165, 167 Προβαβιλιτψ δενσιτψ, 6, 232 Προβαβιλιτψ µασσ, 8 Προχεσσ(εσ), 10, 12, 14, 25, 27, 48, 49, 50, 52, 53, 55–62, 63–65, 71, 78–82, 164, 172–178, 188, 193–196, 200, 205, 213, 218–221, 239, 243, 258, 262, 270, 275, 282, 296, 297, 302 Βερνουλλι, 176 ηοµογενεουσ (ΗΠΠ), 151 Μαρκοϖιαν βιρτη ανδ δεατη, 46 ρανδοµ, 49, 52 ϖερι⇒χατιον, 174 Προδυχτ(σ), 10, 12, 27, 40, 51, 59, 71–73, 82, 125, 130, 172–175, 190, 193, 194, 205–207, 214, 218, 219, 229, 233, 241 λιµιτ, 38, 39 Προγραµ, 48, 53–55, 63, 76, 93, 106, 117, 156, 170, 176, 177, 183, 193, 206, 216, 217, 221, 241, 308 Θυαλιτατιϖε, 113, 119–121, 127–129, 138, 155, 168 Θυαλιτψ, 17, 20, 40, 73, 79, 82, 94, 98–100, 113, 172–175, 193, 194, 214 Θυαντιτατιϖε, 103, 104, 115, 119–122, 127–129, 132, 138, 142, 150, 154, 155, 162, 169, 173 Ρανδοµ, 8, 10, 18, 24, 28, 49, 57, 58, 59, 60, 77, 99, 101, 105, 120, 122, 125, 129, 130, 137, 147, 148, 150, 151, 158, 159, 167, 168, 173, 178, 179, 180, 194, 195, 206, 215, 216, 217, 218, 243, 245, 246, 247, 249, 253–255 δεϖιατε(σ), 11, 14, 23 νυµβερ γενερατιον(σ), 11, 13, 15, 17, 19, 21, 23, 25, 27, 29, 31, 66 νυµβερ(σ), 8, 10, 11, 13–32 σαµπλινγ, 4 ϖαριαβλε, 4, 10, 14–17, 19–22, 25–27, 29, 33, 55, 56, 79, 81, 97, 100, 103, 123, 174, 176–181, 187, 188, 194, 216, 217, 232, 234–236, 238, 239, 244, 249, 251 Ρανκ δε⇒χιεντ, 91 Ρατε, 5, 6, 7, 9, 12, 18, 20, 23, 24, 27, 37, 42, 43, 44, 45, 48–59, 63, 64, 65, 71–75, 77, 151, 167, 176, 178, 194, 232, 233, 247, 249, 256 δεφεχτ, 51, 63 δετεχτιον, 51, 52, 63, 68, 73, 113 φαιλυρε, 56, 64, 71–75, 77, 151, 229, 231–233, 247, 255 ουταγε, 18, 55, 232, 249

ΙΝ∆ΕΞ Ποισσον, 20, 178 ρεχοϖερψ, 18, 232 ρεπαιρ, 55, 231, 233, 243, 244, 247, 249, 256 τιµε−δεπενδεντ ερρορ−δετεχτιον, 68, 113 Ραψλειγη, 23, 32, 52 Ρεχοϖερψ, 18, 232 Ρεχυρσιϖε, 38, 235, 280, 284 Ρεδυχτιον, 53, 92, 217 Ρεδυνδανχψ, 1, 15, 40–42, 72, 75, 76, 156, 263 Ρεγρεσσιον, 82, 93, 114, 116, 227 Ρεγρεσσιον τεστινγ τεχηνιθυε, 176 Ρελατιϖε, 2, 41, 79, 80, 83–87, 92–94, 98–102, 130, 144, 150 φρεθυενχψ, 2, 144, 150 Ρελιαβιλιτψ, 1, 2, 4, 7, 8, 11, 15, 16, 23, 24, 25, 26, 28, 31, 33, 34, 35, 36, 37, 38, 39, 40, 41, 42, 43, 44, 45, 46, 47, 48, 49, 50, 51, 52, 53, 54, 55, 56, 57, 62, 63, 64, 65, 68, 69, 71, 72, 73, 75, 76, 77, 78, 79, 80, 99, 100, 101, 113, 118, 120, 151, 169, 172, 173, 174, 177, 188, 189, 193, 194, 195, 221, 253, 256–263, 265–275, 277, 280, 281, 283, 284, 296, 297, 298, 302, 303, 308 Βαψεσ(ιαν), 241, 252 βλοχκ διαγραµµινγ, 258, 265 ενγινεερινγ, 2, 8, 47 εθυατιον, 7, 44 φυνχτιον, 2, 4, 5, 8, 11, 15, 23, 26, 34, 38, 47, 115 ηαρδωαρε, 45, 46 µαναγεµεντ, 121, 122, 150, 152, 166 ρεσιδυαλ, 122, 124–126, 130, 132, 137, 146–150, 170, 171 σχεναριοσ, 120 σεχυριτψ, 119, 121, 123, 128, 137, 138, 148, 149, 154, 155 σεριεσ, 40 σοφτωαρε, 45, 46, 48, 49, 55, 62, 64, 78–80, 97, 99, 101, 113, 118, 151, 172, 193, 195, 221 Ρενεωαλ, 152 Ρεσιδυαλ, 46, 57, 62, 78, 82, 92, 98, 122–127, 129, 130, 132, 137, 146–150, 169–171 Ρεσπονσε, 151, 188, 226, 251, 304 Ρεωαρδ, 184 Ρισκ, 119–138, 141, 143, 146–150, 153–155, 161, 162, 164–171, 195, 205, 236, 240, 251 Ρυν, 25, 72, 76, 121, 130, 186, 187, 194, 208 Σαφετψ, 68, 123, 155, 170, 253, 258, 304 Σαµπλε, 4, 6, 21, 26, 29–33, 46, 82, 95–97, 100, 101, 103, 110–112, 117, 122, 123, 125, 127, 150, 164, 178, 221, 232–234, 238–240, 244–247, 251, 270, 274

319 Σαµπλινγ, 4, 70, 79, 80, 102, 103, 148, 165, 189, 195, 196, 197, 227, 228 ερρορ, 11, 150 πλανσ, 11, 143 Σεχυριτψ, 1, 119–123, 128–132, 135, 137, 138, 142–144, 146–151, 153–155, 160–164, 167–169, 173, 190, 229, 258–259, 281 Σεµιθυαντιτατιϖε, 119 Σιµυλατιον, 1, 11, 105, 106, 120, 123–125, 127, 129, 130, 132–142, 147–150, 167, 168, 255, 259, 308 δεφεχτ, 48 δισχρετε εϖεντ, 147, 148, 150 Μοντε Χαρλο, 105, 120, 123–125, 127, 129, 130, 134, 137, 138, 142, 147, 148, 150, 168, 184, 254, 255, 256, 259, 304, 306, 308 προγραµ, 310 Σοφτωαρε, 1, 10, 40, 45–49, 51–57, 62–64, 68–73, 76, 77–82, 92–96, 99–101, 113, 118, 120–123, 130–137, 143, 149–153, 167, 169–177, 181–184, 188–190, 193–198, 205–207, 213–221, 232, 233, 272, 281, 282 ενγινεερινγ, 68, 114, 165, 166, 172, 176, 193, 213, 215, 225, 228, 229, 304 ενϖιρονµεντ, 52 φαιλυρε(σ), 47, 48, 57, 71, 78, 79, 81, 93, 96, 100, 101, 122, 174, 176, 177, 181, 182, 194, 216, 221 φαυλτ(σ), 47, 49, 69, 131, 177, 216, 220 µαιντενανχε, 120, 121, 131–133, 135, 137, 164, 165, 168, 225, 227 µοδυλε, 72, 73 ρελιαβιλιτψ, 1, 46, 99, 120, 193 Στανδαρδ δεϖιατιον, 95, 96, 97, 103, 163 Στανδβψ, 14, 15, 16, 43, 44 Στατιστιχαλ, 1, 2, 4, 6, 17, 25, 26, 32, 33, 43, 46, 48, 49, 62, 63, 66–68, 70, 98–100, 112–115, 120, 121, 129, 138, 142–145, 150, 151, 154, 162, 172–174, 189, 193, 195, 196, 206, 215, 226–228, 234, 253, 254, 306 Στατιστιχσ, 11, 17, 34, 46, 66, 67, 79, 94–98, 114–116, 122, 132, 162, 165, 168, 215, 227–229, 252–254 305 Στοχηαστιχ, 48, 67, 70, 78, 98–103, 105, 111, 113–115, 151, 167, 188, 253 Στοχηαστιχ προχεσσεσ, 71, 227 Στοραγε, 281 283

320 Συµ οφ σθυαρεσ, 15, 35 Σψστεµ, 1, 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14–16, 18, 20, 22, 24–27, 30, 31, 40–45, 55, 56, 64, 67, 68, 72, 75, 76, 114, 120, 122, 123, 130–136, 143, 156, 159, 161, 163, 166, 168–170, 175, 194, 208, 226, 227, 240 241, 253, 259, 260–262, 265–268, 271–273, 277–279, 280–283, 286, 298, 304, 305 Σψστεµ αναλψσισ, 40 Σψστεµ ρελιαβιλιτψ, 2, 4, 6, 40, 41, 43–45, 258–260, 266, 269, 275, 280, 284, 296 Σψστεµσ, 21, 31, 41, 42, 44, 45, 64, 65, 67–72, 74, 114, 121, 131, 149, 156, 160, 162, 164, 166, 168, 193, 215, 225, 228, 242, 253, 254, 259–264, 266–274, 276, 278, 280, 282, 284, 286, 288, 290, 292, 294, 296, 298, 300, 302, 304, 305 Τεστ, 33, 36, 37, 38, 48, 63, 64, 67–69, 72, 75–77, 83–87, 94, 103, 112–118, 172–178, 182–190, 194–198, 202, 205–215, 223, 225–229, 252, 253, 286, 287 γοοδνεσσ−οφ−⇒τ, 209 Κολµογοροϖ–Σµιρνοϖ (Κ−Σ), 80, 95 ωηιτε−βοξ, 175 Τεστινγ, 1, 10, 16, 33, 35–37, 39, 40, 48, 58, 62–70, 75, 78–80, 82, 97, 102, 110, 113–115, 120, 121, 142, 149, 164, 168, 172–177, 182–190, 193–200, 202, 205–210, 224–230, 233, 252, 257, 258, 305 Τηεορεµ, 16, 26, 57, 58, 180 Τηρεατ, 121–129, 132, 135–146, 149, 150, 165, 167, 168, 170, 171, 196

ΙΝ∆ΕΞ Τιµε το δεφεατ (µοδελ), 120, 154, 162–164 Τιµε το φαιλυρε, 5, 6, 14, 15, 25, 31, 33, 49, 57, 221 Τρανσφορµ (ινϖερσε), 10, 11, 13, 20, 22, 24, 28, 31, 128 Τρεε διαγραµ, 121, 122, 123–128, 132, 133, 138, 139–143, 146, 147, 167, 168 Τρενδ(σ), 50, 51, 98, 100, 111, 112, 151, 152, 172, 176, 282 Υναϖαιλαβιλιτψ, 233, 236, 239, 243, 245–249 Υναϖαιλαβλε, 36 Υνβιασεδ, 37, 67 Υνπρεδιχταβλε, 7 Υνρελιαβιλιτψ, 75 Υπτιµε, 18, 231 Υσερ, 113, 123, 130, 156, 158, 184, 200, 216, 218, 259, 261, 264, 269 Υτιλιζατιον, 1, 173 ςαλιδατιον, 69, 98, 196, 227, 228 ςαριανχε, 16, 17, 20, 21, 26, 27, 29, 35, 58, 60, 80, 95–97, 104, 105, 111, 112, 152, 189, 236 ςαριατιον(σ), 34, 50, 55, 100, 236 ςενν διαγραµ, 140, 141 ςυλνεραβιλιτψ(ιεσ), 121, 124–130, 132, 134–138, 139, 141, 142, 143, 144, 145, 146, 150, 164, 165, 167, 168, 169–171 Ωεβ, 12, Ωιρελεσσ, 259 Ψαµαδα, 47, 69, 113