Waves in Nonlinear Pre-Stressed Materials

^ SpringerWienNewYork CISM COURSES AND LECTURES Series Editors: The Rectors Giulio Maier - Milan Jean Salençon - Pal...

Author: Destrade M. | Saccomandi G.

20 downloads 613 Views 4MB Size Report

This content was uploaded by our users and we assume good faith they have the permission to share this book. If you own the copyright to this book and it is wrongfully on our website, we offer a simple DMCA procedure to remove your content from our site. Start by pressing the button below!

Report copyright / DMCA form

DOWNLOAD PDF

2 =O 2 ?O 6P PN UTGNNF7 # # #

C > < 6 >UN6 > > >7

: O 2 : O 2 : O 3 >PL >PL >PL &! . 3 !$ ! 3$ ! ) , .- G &

$ ) ,- -$ ! ! ) , $ & O > U U!D+ D0 .-G? NFFF7 . U$-? PLLN77 . !-- ! ! !! - .- . 1!2. ! . ,! 2 . 2 3$33-D-!) 3.! $ ! G ! . !$-. . .

$ ! ! , .- . 2 . U! 2.! $.- )7

232

P. Joly

.? . . $? .! ! .- 2 . $- ! ! U,! .$ D 2. !.-- -!2! !. !(! !X 2. !17G & ! 2 . 3 $$-- . .. 3 Y! ! 2.! ,! 2. -$2 .G &! ! $ . . ! . 3 .!! 2. -$2! ! - . , .! ! .- 2 H N U ;7 ,! & O P? P U NL7 ,! & O T? T U N87 ,! & O 6? F U PN7 ,! & O 8? NC U PC7 ,! & O ; . N; U T87 ,! & O >@ ' !2! T? 2 .2 )! $3- . . $ .2 . . ( 2! !Y$- G $? 2.! . 2$ . ! . 2$ 2 2-!. !2-2 . -$ ! ! ) , $ & O T U U!D+ D 0 .-G? NFFF77G (? ! ! 2$ - -. . ! P . 3.$ 2. -$2! $! . -. !. ! $23 2G ( U !-- - 2!.-7 !2 - .- . 1!2. ! .? .- $ ! !-- !. $ ! .- 2? -. . !.

. . 2G . $ .! ! . 2 . $- ! ! H . .- .! ! .- . G ! .? & O P U / O NL ! T7 , . (# . !=? % (# % 2

/ (# O PT2

UTGNPL7

. . NT .! ! .- 2 H NP . . ! ! G ;6-

* ' + / <

' ! ! ? , . ! ! !2 ! ! . ! 2!D! 3D -2 3 .! . =! -2 . 1!2. ! ! .G 4 .-- ! $-(

=! !X 2 G & (. !( . $ UG (. ! 7

.3 . ,.( $. ! UPGP;7 . 3 . . $ !2 (!3!-!

! $. ! G &. ! , , .-- !(!- =! !X 2 ,! ( $ . . ! -(-G ' ! ! ? , !.-- 2 3.)

. ! ! -. !( .3 . ( -$ ! 3-2G & ' 3 * 6 $ ! . !2 \ 6 L . 3 ! , . . 1!2. ! ! U 7 , O \2 G & !2- =! !X 2 . 1!2. ! UTG87 ! D.-- -.D 2? P! < ! ! 2 % 7 < +U! 2 % 7 O UU 72 % 72 % , 2 UTGNPN7 \

! $ . . 1!2. ! .-$-. ! U! 2 % 7 U$ U! 2 % 7 7 . +U! 2 % 7 U$ + U! 2 % 77 U$! ! . $.. $ 2$-. .-$-. ! ! .-7 U

P! < ! ! 2 % 7 < + U! 2 % 7 O UU 72 % 7 2 \ ' ! $ . U, 7 = 3? U

U ! 2 % 7 O +U! 2 % 7

UTGNPN72

% , 2

UTGNPP7

U ! 2 % 7 O + U! 2 % 7 UTGNPP72

Numerical Methods for Elastic Wave Propagation

233

2 . 3 ,! .? ! P! < ! < ! O 2 \

UTGNPT7

, , ! = 3? U 2 % 7 O UU 72 % 7 UTGNPN72

U 2 % 7 O UU 72 % 7

UTGNPP72

! $! . 3.! ) , ? , . = ' . ( 2 ! ,! UTGNPN7

' P' < ' < ' O L3 \

UTGNP67

, . . !(- 2. . !X 2. !G . D . ! ! 3$ . , 2. !1 ! 3.! ) ! G $ ! ? UTGNPT7 ! 1-!! G ' 2. 2. !1 ! !. .-? ,! ! . ,! =! -2 ! .-! . 2. -$2! $ U " ! TG67? ! ! SD .--9 1-!! ! ! .-- , $ 2$ ' 2 -$ ! . , (! $ !2 $ . !2- 2. !1D( $ ? ' O P' ' < \ ' 3

UTGNP87

$? UTGNP67 U UTGNPN77 2$ 3 2- 3 . . D$ $ $! !! !.- ! ! 2$ ! . ! G 4 2! ! !2-!! G $ ! ? ! 2 ! .$. ! !2G 4 1 , ,

!2 ( .$. ! 2G * 6 ' ! !3- $ ! 2 U,! ! . ! ! . $.- , $! ! =! -2 ! .7 ,! 2.! 1-!! . G ' . !$-.? .-- 2.! $D0$ . 2 !. !X !.- $. ! ! .(.!-.3-G $ . . -.!.- . .? D.-- 2 != $. ! . .G ! .? $ . $ 2? , . 3 -

)! . $. ! UTGNPT7? ! U 7 P! U 7 < ! U 7

! \ ! O U 7 < U 7 < U\ 73 \

NP *! $. ! . != 3 ! ? ,

! ! ?

! U 7 P! U 7 < ! U 7

! \ ! U 7 < U\ 73 O U 7 < \

NP ,! -. -- ,! $ 2 ! !2? ! P! < ! \ ! O L2 < ! \ NP

UTGNP;7

234

P. Joly

. . 3 !2-2 ! $ . ,. . . !2 !( -( - P .-!. !

. ? $! # Q $-? ! O P! ! \ U$

\ 7 ! 3 NP

.--? . 1-!! 2 P/ ! !2 ! !( 3? P! < ! ! < U\7 ! O L2 \

U\7 O % U \72

UTGNP>7

, - 2!.- % U.7 ! = 3? % U.7 O N < P

%

UN7

. 3 UP* < P7@

UTGNPC7

*! ..! # Q $- . ! - 2!.- % 2! $ .-$-. ! !

/ $!( .-!. ! . G ' , ? 2$ . ! .- !2 2 P/ ! - / !2 -. . 2$ . ! .- !2 2 PG '+& ''&6 4 3- , !$ ..- ! U

7 .3!-! UTGNPN7 UTGNPT7G #? .3!-! 2. 3! .3- 3 .! " / !2. ? $ E &

$ 0E 0 & 2

UTGNPF7

, . # . . . !$ $ 3-2 3$

\ . G 4! 1-!! 2 $ . UTGNPT7? ! ! !3- 3 .! $ !2. . (.-$ \ . G ' . !2 2$ 3 .! 3 . .3!-! ! ! . G &! ! ,. , . ! ,G *'# ;6;86 4 , $ =! -2 ,! 2. -$2! -. .2! $. ! ? $ . ! ! . 3 ! $! !(- $

G '? . , . ! =! (- ! .. ! -$ ! ! U. $!(.- !$ $ 3-27G !-? 3! !. .-? . .2 % ! U!GG? .2 !7 . G . $ . !-$ ! 2 ? . !2 . ? $ ! . ! - H . =! $! -2 2 . != $ ! - O - - 4 - - .O 3 ' , ? . . !2 ? $ -$ ! . . !2 3 -. -2 2G $- .)! !.2 $

-$ ! !. 3 PG

Numerical Methods for Elastic Wave Propagation

235

! !? $.. ( 2 ? ( . $ . 1!2. -$ ! .! $ 1. H ..D ! (- ! ! -$ ! U 4 7 2$ 3 -. .

1. -$ ! G &! .-. (! . $ 3 $ \4G .) !2-!! ? , .-- ! . , !! !.- . . . - . . 3-2 UU7 O L7? ! ,! . -$ ! 2!D! 3-2 UTG87 . != . (. ! H = 3 UTGN67 ! . ! !2G & !. ! = 2! . ! U! !27 $!(.- ! (. ! G & !!- ! ! .)! . $ ! % ! UTGNPN7 ,! ! . ! $!(.- !2 !(. !( ! U7 . !2 ? .2-? % O

! ! 3 P\

4 3( . U, $ ! . !$-. 22 +U2 77? " ! ! ! ! P! < ! ! ! ! N

2 7O 2 U P\ P\ P\ \ \

+U! 2 ! ! 7 O N (+U! 2 ! 7 +U! 2 ! 7+ 3 P\ P\ $22. ! ? , $.-! ! -. ! (. ! ?

,

O

\

O L2

! N N ! < +U! 2 ! 73 P \ P

UTGNTL7

& . .3!-! $- ? ! ! . ( . ! . ! !( ,! ! 3(! $ ! 2 ! UTGNTL7 . . ! ! !G # ,( . ,!-- 3 - ! . +U! 2 ! 7 ,!-- 3 1 . ? ! \ ! 2.-- $? ! S.-2 ! !(9G !-? ! , = )

!

O

N ! < ! 2 P

, . ,!

! N N ! ) ) < +U! 2 ! 7 P \ P ! ! ! \ ! +U 2 73 C \ \ ' $! 2 . = 3?

O

0 0 O

$ " '

+U! 2 ! 7 2 !

UTGNTN7

UTGNTP7

236

P. Joly

, . - , 3 $

'

?

4 ! ! \ N 1 N ) ) N 0 0 < +U! 2 ! 73 P 6 \ P

UTGNTT7

&! ! 3.! !2. (! -- ,! .3!-! $- G * ;6806 "J +0* HG?DED3 9 \ 0 0 & N3 6

UTGNT67

*'# ;6;96 & !$.-! UTGNTT7 ( .3!-! 2 $ ! ! ? \ 0 0 & =2 = 5 N3 6 (! .3!-! $- = O N $! 2 .! ! .- X U U+ -? PLLT77G *'# ;6;;6 &! .3!-! $- ..- 2 22 H & ! ! UTGNT67 ! . ! ! . $Y! .3!-! ! ! G # ,(? ! ! !2- .? $ . . . 3 !. .-! ? / $2. ..-! . 3 .-! ( . ! ! ! ! .- .G ' $Y -

) . -$ ! 2 ! O + % 2

+ '2

, % ! !( . !. ! . !(.-$ < O 0 0G *'# ;6;,6 & ! ! UTGNT67 .. . . .3 . ! ! G ' .-!. ! $. ! ? ! . !$-. =! -2 . 1!2. ! -. .2! $. ! ? ! ! !3- . 3 $ 0 0 2? 0 0 &

6 2

, ! . ! !( . ,! ! 2 $ . (- ! . -

!$ $ 3-2H ! ! !.-- -. 2.1!2$2 ,.( (- ! !$ $ 3-2G & ? . U,.)7 $Y! .3!-! ! ! .) 2? \ & N3 * . .$2 ! $! 2 $-.! U U!.- ? NFCP7 . =! ! 7 2$ . ! .- 2? ! ! .- !3- , . U, & ! .- 2 $

. (- ! 7? 6 0 0 ' 2 . . . .3!-! ! ! !? \ & N3

Numerical Methods for Elastic Wave Propagation

237

*'# ;6;-6 & !--$ . S$.!D !2.-9 . $ . . $Y! ! ! 2.) UTGT67? ! $Y 2.) . ? ! . , 2.! _ . . .$-. ..---!! .? 2!$2 ! 2 $ . $ . $! 2 2 ! ? . ,? $! $! !$ U 2 !- 3 2$ ! ..- !.-- !(.-$ 7? . 0 0 "

6 2

U $ L73

, . 6 L ! ..! 2 $ . (- ! G 4 .

, ) 3 .23 .-G UNFCL7 ! . . =! -2 G *'# ;6;.6 & .3 ( .3!-! ..-! .- .-! ! 2 UTGNP>7 3$ ! ! 2-!. 3 . . 2$ (! . . U\7 ! ! !(? ,! .-. !2 . $ 3 $ \G *! / $2. ..-!?

. , . . $Y! U 3.3- . 7 .3!-! ! ! ! !( 3? \ 0 0 & =% 2 6

UTGNT87

, , .( =? =% O $ = 4

. :L2 =B2 L & . % U.7 & 6 3

UTGNT;7

' ! $ !Y$- 2$ 1-!! - =% 1 = (.-$ /G . ! . !$-. U 1. D 3$ ( 2-!. D 1! = ? ,

U& %2.? NFF877?

= O T2

8 < 8 8 2 N3CFT2 = O P

= O 83T>LT2

UTGNT>7

' ! . !$-.- ! ! #. $ 2? ! .-- ,

.) . !2 ,! ! N3>TP UO T7 !2 -. . 2? ,! .-2 3.-. . . !2 ! ,! -.G # ' .2 ,.? ,! 2 C? . .) . !2 P3TN>TF UO 83T>LT7 !2 -. U,!- . !2 $ !2 2 7G "$!!-? 2 ; 2 - ! !H .3!-! ! ! ! 2 .!! . . $ 2G " ''&6 & -.!.- ( -! !2. G 4 !( - . A.( $

U. ! $

, $- ! $ .!-7 ! . , , .$2 . 1. -$ ! ! ! 2

$ ! !2G $ ! $ ? O ! ! U 72 4 .( !22!. -?

U, ! U7 ! 1. -$ ! UTG8773

P < < O E 2 \

UTGNTC7

UTGNTF7

238

P. Joly

, $. ! E = 3? E O

! U 7 P! U 7 < ! U 7 < ! U 72 \

UTGN6L7

L ,! \ U ! !2. $ &.- 1.! . $! 2 !2.

2!D! -$ ! 7G !.- !2. !? $ E & \

$ 0

! U 7 U70

U& U!2 # 7 \ 73

UTGN6N7

$ ! $ ?

O

N N < +U 2 73 P \ P

UTGN6P7

2 UTGNTF7? , .!- $ ! ! ?

\

73 P\

O UE 2

UTGN6T7

$2 . ? \ 0 0 & = 5 N3 6 2 UTGNTT7? , $ ! . !$-. . ?

& UN = 7 \

P

2

. . ?

& UN = 7 P\

P

<

P

3

*! ! !$.-! ! UTGN6T7 -.

\

&

#

P UN = 7 E 3

$22. ! ( ? , =.-- . !2. ! 2 ? # & < P UN = 7 E \2 UTGN667

, . ,!-- ! . ?

$ . 1!2. ! !! !.- ! ! ?

Numerical Methods for Elastic Wave Propagation

& 2

239

E \ ! . ! UL2 K 7 2 $. ! ? !

U\ 7G 2 UTGN667? !(. ! !2. ! . !. 2 ! - . $ !

!.- .!- . , ,. . ! .2, ) ! 1 ! ! G *'# ;6;06 & !2. UTGN667 3- , $ , = NG &! ! . !2.$- ,! . 3 ! . !2 ( ,! 2 , ) U U+ -? PLLT77G ;6.

* ''&

'& '6 & 2$-. UTGNP87 , . ? . . !2 1D !( . .- ! 2 ! (.-$. ! ' 3

UTGN687

$? ! !( -( 2$ . ! 2. !1D( $ ' . !(! . 2 ,! 2. 2. !1 G $ . $-( . , 2. -$2! ! .-!? ! ,! . !(! . . 2.! . . !2 ! (.-$. ! . 2. !1D( $ ? , O ' 3 & 2 . $.- U .!(7 ,. !2-2 ! ! 2 . 2. !1 G ' .. . ! ! Y! - , U !.--7 3$ !

G 4 !3 ! 1 ! . .- .- ! 2 2$ ! 2. !1D ( $ . .. 3 Y! ! =! -2 U$$A? PLL;K .$$$1? PLLT7G *'# ;6;26 & Y! .- ! 2 ! 1 ! . 3 (.-$. ! . !$-. . .- -2 ,! . , .2 .$D 3. 2$-. . $ (.-$. ! 2. . !X 2. ! U$$A? PLL;K .$$$1? PLLT7G 4! . ! -- ,! ! ? !2! - .- =! -2 . .-. $ ! . $23 $.. $ ! ! . -2 . !( 3 O O U& < N7 3 $ . .. ! .! ! .- .(. . ! ! ! . 2. ! % 2$ . ! U 22. TGNC7 .( 2 ! . . ! ! 1 ? $

!.- . $ - .- 3.! $ ! ) $% ,! 2! $ 2$D . ! .- ! $G = '&* '& '' & * 6 4 ! . .- .D . =! -2 . 1!2. ! . U! 2.) TGNL7 $ ,! . 2 ' -2 G 4 .$2 . ! =! ! UTG6P7 . (# ! 2? $ O $ 2 (# O %# O %$ , # 2 %$ (

240

P. Joly

$ ! . . .-. 2

$ ! ! $ O G 4 ! . $ $ ,! / , ,% 2 N & / & . 3 ) $% -. .. $! -( ! 3.!? ,% 7 O B% 3 $% U ) $% $ 2 ) & 2 ! 2 N & " & O

&

,% 72 N & / & 3 # U

#

4 .$2 . ? .-$-. ! !X 2. !1? , = $ 22 U.7 U,! !- EU!7 O -!7 ,! 3!-!. 2 +U!2 %7 .? ! +U!2 %7 O -! H -% .2 UTGN6;7

$ ,! $.. $ ! $ O , 2 N & * & . . , $ . $.. $ 2$-. ! ,! : 2 N & * & G ' ,

+ U! 2 % 7 O

+# U!# 2 %# 72

#

,? 3 =! ! ! +# U!# 2 %# 7 O O

#

1

4

-$ !# H # -$ %# ($# $ . # UTGN6>7

,7 : ($# U

, 7 U , 7 -$ , 7 H U , 7 -$ ,7 3 U ! U % U # # # #

!2-2 . ! ? ! ! $$- 2 ( 2 .-3.! . 2. !1 . ! G &! ! .! ,. . $! 2 2.-!2G 4 . 1.! - .- =- ! $# . %$# . ! $# O

'#'% ) $% 2

%$# O

%

,#' ) $ 2

UTGN6C7

. , ! $ ( '# U. .2 ,# 7 - .- 2 . . -2 U' 7 ,! 3- ) 2 ! ! ? '#' O '#'

'#

,

'#'%

'#'% O '#'%

' 3

UTGN6F7

Numerical Methods for Elastic Wave Propagation

241

4 .-- $! U' 7 ,! ! . $.- ! $ U'2 , 7' O

'% ,% 3

UTGN8L7

%

. ! ,!-- 3 $$- , ) ,! U' 7 ? O U 7 2

U' 72

N & * & 2

. , $! ,! ! $ U2 # 7 O

H#3

UTGN8N7

4 .-- ! $ .- -!. 2.! 2 U' 7 ! U' 7 ? 4 1 U' 7 2 U' 7 3 . ! . 3 3 . .2!- $.

2. !? % 2 N & & 2 N & * & 2 N & / & 3 UTGN8P7 ' 3 -!.! ' O U'% 7 % U' 7 O+ ' O U' 7 U' 7 2 ! $ . ? U' 7 O

% '% 2

1 4 % ' 2 U' 7 2

UTGN8T7

%

4 1 .? . . -2 ' 2 U' 7 , . ,! ? . U*2 /7 U! '% O

U'% 7 7?

% '% O

% '% 2

% U' 72

N & & 3

UTGN867

.

.% ! $ . . ? 4 1 U' 7 2 U' 7 2

! = 3? 4 1 O U 7% U' 7 2

U 7% ' . U 7 % O

% H 3

UTGN887

242

P. Joly

'? $! UTGN8T7 . UTGN867? U'2 7' O

U' 7 H O

'%

%

% H 3

1 , ! $? . * N2 2 2. !1

, , 7 # U , 7 U , 7 # # O : ($# U U 73

UTGN8;7

*'# ;6;56 4 . ,! # . $ , 2. !? .2-

, , 7 # U 7 # 2 # O ($# U , 7 U , 7 ! $- .-!. ! -!. 2.! , # O U # , 7 U' 7 2. !1 U , 7 U' 7G U # & , ! $ 3- ) !. .- 2. !1 U,! !. .- 3- )7

L # GG # O 2 G L # . , .-- ! . . 3- ) !. .- .-!. ! 2 U' 7 ! ! -? 1 4 # U' 7 2 U' 7 2 ! . ? O U 7

U' 7

O+

# O U# 7

U' 7 3

& 2.! $- ! $ -- ,!? $ 0 H -3 + UU$ 7 2 U$ 7 7 ++= **' ;6826 H HG?D4E39 HG?D4G39 HG?D4233 0 /+9 $ O - :) ,7 $% B U %

UTGN8>7

+ 9 +# U!# 2 %# 7 O

1

4 # $ '# 2 ,# $ #

$

3

? =! ! 2. ! # ? , $ 2 UTGN6>7 . +# U!# 2 %# 7 O

, 7 H -$ , 72 # -$ !# U %# U

UTGN8C7

Numerical Methods for Elastic Wave Propagation , , .( $ .

243

. ? ! U2 2 7 U' 7 ? H O H 3

"$3 ! $ ! UTGN6C7 ! .3 ( 2$-.? , +# U!# 2 %# 7 O

'#'% ,#'

% 1 4 , 7 H - ) , 7 # - ) $ U 3 $% U

.? $ # $ '# 2 ,# 7 U '

O

U3 UTGN8N77

O

$ '# 2 $ ,# 7 U# '

$ '# 7 H U $ ,# 7 U#

U3 UTGN8T77

O

$ % '#'% 7 H U $ ,#' 7 U # %

U3 UTGN8677

O

$ ' 7 H U $ , 77 U # #'% % #' %

O

$ H $ 7 ' , 3 U# % #'% #'

%

.!- -$ 3 ! !=. ! ,! 1! +# U!# 2 %# 7G *'# ;6,76 & . ,!-- . . 2. !1 . - -$2 -2 ? .2- G !-? $ 7 ' O U %

8) $% U 72 8.

$ 7' O L2 U %

.O 3

UTGN8F7

4 , 1-.! , !2-2 2. !1D( $ 1 O ' ? , U' 2 1 7 ' ' G 4 2! . ? . -? 1! . $23! $ ! ? "# H N2 2 $ N2 2 2 $ . . -. - 3.- .-. .. 3.! $ ! ) - .- ) $% U . $! ( .-- -2 - "# U/72 N & / & =-- N2 2 7? $! 2$-. 3 $% , # ) % # O )

244

P. Joly

& -. ! ! 3 , ( ' O '' ' . ( '# U' 7 !? # '# *+ '# O # ' 2 ' O #

/ O # '# ' ! $ . ? , '

/

' % O '#'% 2

/ O L '

! " 4 "# U/72 N & / & 2

UTGN;L7

/# O ' ! $ . ? ,!- ' # /# 7 % O '

U' % 3

UTGN;N7

& .- ! 2 $ 1 O ' ! . -- , - ? NG 2! '# O # ' ? $ '# PG 2$ Z# U' 7 3 Z# O

*+

UZ# 7 O

$ ' ? % #'%

%

TG 2$ ^# U' 7 3 ^# O # Z# $ ^# U' 7 6G 2$ 1# O

*+

*+

U^# 7 O # UZ# 7 ?

$ H U^# 7 ? U1# 7% O %

8G '2 1 O 1 < # 1# G . 22 . !? D ' $. 22 ! 2. ! # ? $ G D U$23 ! 7 $. 2. ! % ,!- 2$ . ! .- !? . - U, .) ! . $ $ 7? . !$-. . $ $ 2. ! %

D P . ! PG D P . ! TG D P . ! 6G D . ! 8G

,68

!

' 2. !2 . ! != .. $ . !? D $ !( !? 2! ! ? G? , .- ,! ,.( .. ! ! $3 $ 2!.G 4 $! =!

Numerical Methods for Elastic Wave Propagation

245

!X =! -2 2 !2$-. ! ,.( .. ! 2. . .. ! $ .-!. ! , 2- . !.- . 2 3 $.!

.!- $. 2$ . ! .- 2.!G . $ . 2 !

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

$3% . . 2 2- -! . 3 $ ! (!, . U!( -!? PLL6K #. 2? NFFF? PLL87G -. ! ,.(? ! $. ! ! -! - 2 2-1G ! ? .. D ! ! ? ??? 1. ! ! -. ! 2.- . !-.2 . -!

$ ! ,.(? ! - . .-. 3$ . 2. !1 ! D!X !.- -. ! G ' .D 1!2. ! 3 . !.- !X !.- $. ! ? ,! ! $$.- ,. $ Q? -. . ( 2-1 2 $. ! ? !.-- ! 2 G & .3!-! $- 3-2 2 -. .2! 2 2- 3 . !=!.- ! ! ! ( !Y$- ..- . ! $. ! ! ( 2 ! !. , ! ! . ! ! ! U.-!.? NFC>7G & ( 2 !YD $- ! #! UNFFN? NFFP7 23! (.- = 3 $. ! ! ! ,.( $. ! ? . 2 . !. ,! ! $ ,.( (- ! . ,.( (- ! G & ! ! . !.-- .3- U#! ? NFFL7? -. !(- . !2-2 ? . Y! ,.( .(--! ! . ! ! -

2.- . !=!.- 3 $.!G & . 3 .. . $. ,.(

U" .)! .-G? NFC>7G # ,(? ! ! .. ! ? !2 D . $! $ A ! 2. $G " 2 .$ ? . & ) UNFF87 ! .? .( !2! Y! #! Q 2 ! 2.) A ! .G # ,(? $2!.- 1!2 !-- , -. !(- $!D

$ A ! ! 2 ! $. ! . .3!-! 3-2 , ! $2!.2 . $ U"!2 . # -2? NFFC7G -- ,! . . - .- Q -. ! ,.( $. ! , ! . ..-! ! .3 3! 3 $. ! ! . . 3 . $.-- $- ,! . (.!. ! .- 2$-. ! G & $ ! . ..-! Q ,!-- 3 ! " ! 6GPG & 2.! !.(. . Q ! . .

. !2-2 ? !.-- . ! ,! . . 3 .!! . .$. -$ ! G &! .-! . ! . 3 $! !) U --! ? NFFT7G . 3$ -. Q . $$.-- ! 2 $ ! ! 2!. . (

246

P. Joly

, , ) 1! ! . (.!.3- Y! UG (!, . U#. 2? PLL87 . !7 . .! ! 2!.G . 2 - . . .- . !( QG & !. ! $ $ 2.! ! 3 2 . !=!.- .3 3! -. ! ,! ,.( . . . . $. G &! !. 2 $! . $.- . ,. = ! $ 3 ! ! >LQG -. ! ,.(? (.- 2 - .( 3 G ! .? " .)! .-G UNFC>7 $ .! !! -. 2 . $. ! 2? ! .- = !2 !(. !( !-.2 -. .2! $. ! G &! !$? !! 3 !? ! $! -!. ! . !G & 2.! !Y$- ! . ? , ! -.? ,.( S9 . ! !2. 2!$2 . ! A . !=!.-- ! 2.! ! G & $ 2

.

! . $. ! =- .-- , $ ,.) !Y$- 3$ $! $ !) -. U'.-! . .? NFCN7G & S( -$ ! .9 !. ! ! 2.! .2 3 +GG M ! QF6 UM? NFF67G # !( - 2. -. U7 . . ! A ! . ! . 3 , 2!$2 . . !=!.- .3D 3! 2!$2G & !! !.- ,. ! .1,--Q $. ! U- 2. ! ,.(7 UM? NFF6? NFF;? NFF>7 . ! , 2 ,!- $ 2 2 -! ,.( .. ! ! $3 $ 2.! U. . .--.!? NFF;K &!1!. . ,? NFFCK &$)- . ? NFFCK #. 2? NFFF? PLL87G ! . . ! . !$-.- . !2-2 ? ! , ) ( Y! - 2-1 3-2 U( , !.-

. -.)!7 . . ! , ! 3.2 ( $-.G -D $ !.- $ ! ! ,--D . .3!-! 3-2 , . ! U. . .--.!? NFF;K 3.3.- . -!3? NFF>K $D - .-G? NFFCK M. . + -? PLLPK M. .-G? PLLT7 . !-- 2 $ ! ? $ . ! .3- .! ! -. ! 2!.G ' " ! 6GT , ,!-- $ ! . ..-! (- ! 2$-. ! -. .2! U --! . & ).? PLLN7G ,.

$ -. ! ,.( ,. ! U#. ! .-G? NFF;7 , .$ . 2! .- . . !.- 2$-. ! G . -. . 3 - $ ! 2 $ ! ! 2!.G ,69

'& '++ + '

-- ,! . . - .- Q -. ! ,.( $. ! , ! ! ! ! . ..-! ! .3 3! 3 $. ! ! G $ 2.!

3% !( ! !( Q . . 3 . $.-- $- ,! . (.!. ! .- 2$-. ! . . 3 .!- ! . ! . =! -2 ! ! . ! 2G . ! ! 3(! $? .? ! . !$-.? ! ! . !=? 1.2-? 3 ! 3 $. ! ! 3 #! UNFFN? NFFP7G * & +& * ' &

*' *' 6 4 ! -.D

.2! 3-2 ! . 2 $? ! ! 2. !.- . .$2 . !! !.-

Numerical Methods for Elastic Wave Propagation

247

! ! .( . 2. $ ! .-D. ' UO ' ' 7G $ 3-2 !? 8!

M !(UEU!77 O L2 ! ' BL2 # :2

8

!U.2 2 L7 O ! U.2 72 ! ' 2

8! U.2 2 L7 O ! U.2 72 ! ' 2 8

U6GN7

, , .-- . ! O U!$ 2 ! 7 ! !-.2 ? EU!7 .! ? M ! . -. !! G $ .!2 ! 2$ . . 1!2. ! -$ ! ! 3 -(!? ! .? . 3-2 ! .- . ' ? 8%

M !(UEU%77 O L2 ! ' BL2 # :2

8

. O L2 % O L2

%U.2 2 L7 O ! U.2 72

8% U.2 2 L7 O ! U.2 72

8

! ' 2

U6GP7

! ' 3

& ! ! % O L2 . O L3

U6GT7

! .! 3 . .. U1. 7 ! ! !? .-- !! !.- . . ! . ! ? , % O !' 3

& ! Q . . 3 .!- ! . ! . (.!. ! .- 2$-. ! ? ! 2 . $.- ) .. ! ! . . -. ! 3 , 2.- . !-.2 ? -. ! ,! ! .- .-- !!- $2. 2.G &! ! . ,--D) , . . !! !.-- ! U#.-? NFCL7 . , 3!A .-- ! ,. -- ,G $ = = ! $U&2 2 :7? !

!

! $U&2 2 :7 O

!U.2 2 7+$ . 2

U6G67

$! . 2 !U.2 2 7 ,! (.!.3- U.2 7G 4 ) , . ! $U&2 2 :7 .2! . -. ,.( 2 ! ! ? ? ! , ? ! .-D. ' ? ! . 3 ,! ! -- ,! 2?

; & $ U&2 :7 , 2 $ U&2 :7 ; < U6G87 ! $U&2 2 :7 O & ,

248 ,! ?

P. Joly : ;

O & 2 , ,

; : O & 3 , ,

U6G;7

# , ? , . $ . . ,.( (- ! ! = 3 UPG8L7? ,. ; ? ; . ; O : & , 2 ; O : & , 2 # ,! $.

$ 3! = . . . D. !( !2.!. . U ! 1 . . !.- -$ ! U6GN7 . !. 1 D $ . !.-- ! 7G ' -- ,!? !2-! . ! ? , 2! $ U&2 :7G . !=!.- 3 $. O L , ?

$ 2 $ < ;

! $$ U&2 L2 :7 O & , U6G>7

; $

$ ! & 2 $ U&2 L2 :7 O ,

$ !$ ; $ ;

$ 2

< U&2 L2 :7 O U&7 , , U6GC7

$ ! ;

; $

$ 2 U&7 U&2 L2 :7 O

, , . " ; $ :

$

H $ U&2 L2 :7 O 7 U&7 < & < &$ ! U&2 :7 2

$ , , "

:

$ U&7 ; $ <
U6GF7 *$.-- .. ! ! O L ! 3 .! ! -- ,! ,.H = $! $ . $ . . $ ! ! U6G>7 , 2$ $$ . ! $ G & 3 .! 1! $ 7 . -. ! U6GF7 . , $ , $. ! . -. 2.- U$ H$ 2 H

!-.2 G ' ! =.- 1! $ ! & <

; ; , ,

U6GNL7

$

..? ,! ! !Y$- . 1!2. G 4 ! . ) $ ! $ . . $) , 3-2 . ,! .. ! ! . . 2 $ $. ! ,! $ $) ,G & 2.! .(. . ! . , $ ! U6GNL7 .. ! U6G>7DU6GF7 . !(. ! Q 2 . 1!2. ! .. ! ! 3 2 - 2-!. G &$ 3 ! $! # U.2 7 . # U.2 7 $ D!X !.- . = 3 $ $ #

O ; 2 # O ; 2

Numerical Methods for Elastic Wave Propagation

249

, . D,! 2 U6G>7DU6GF7? .

" N 8 8 N 8 :# B 8!

H$ O 7 < < 2

, 8. 8. , 8 8.

"

N 8

8

N 8 :# B 8!$

2 << H O U< < P77 , 8. 8. , 8 8.

N 8

< !$ O :# B 2

8. ,

! O N :# B 8 2 , 8.

U6GNN7

. 2 2.!$-. !

" N 8 8!

H O 7 < P 2 $

8. , 8

N 8

8!$

2 P7 H O U< < P77 8. , 8

8

N

!$ O :# B 2 <

8. ,

! O N :# B 8 3 , 8.

U6GNP7

" 2 U6GNP7 2 !2- . D- .- . # . # .. - ! -. , $. ! G ' ! . , . -$ ! 3-2 U6GP7 ,! U6GNP7 . 3 $. ! ! O L U,! % ! . !7? !! ,! ! ! ! ! ' ? ! 3! -$ ! !! !.- 3-2 U6GN7G &! 2. . . !=!.3 $. . O L ! $ . A ! ? ??? ! ! U6GNP7 ! . .. ! ! G & . # . # . .. ! U6GNP7 . - .- ! . . !2 . . ( !Y$- . 1!2. $2!.--G & !!- .3 3! 3 $. ! ! ! 3. . . 1!2. ! 23 - . G & $- ! . 1!2. ! ! $$.-- !( -( . . . - .- ! . . !2 3$ . - .. U??? ! . A ! ! $ 3 . !=!.- 3 $.7G 4 ! $ . .2!- $ .3 3! 3 $. ! ! ! 1 ! G

250

P. Joly

' )*' 6 . 3 ,! ! -- ,! .- 2?

& .3 3! 3 $. ! !

" N 8 8!

H$ O 7

8. , 8

N 8

8!$

H O U< < P77 P7 8. 2 , 8

# N 8

!$ O < # 2

8. ,

#

! O N # 8 2

, 8.

U6GNT7

, # . # . . 1!2. ! $ D!X !.- . # . # G ' 3 .! - .- . ? # . # . $ 3 . 1!2. ! 23 - # . # ,! . - 2!.- . . ! .- $ ! G ' . !$-.? , ! U&2 :7 $ . ? . . . . . . . &, . . 5 N K . &, . 5 N2 . . : . . : . ,! .. ! ,.( . , . )! . . 1!2. ! $.

: & ,

.

: & , 3

4 2.) . /U:7 6 L? , .(

/

: & ,

6L

*+

:

N . 2 O 2 2

,! & & 2 . 5 N . . O 2 . 5 N3 :, :, # N . . 3 3 .! 1.2- - 2!.- . 1!2. ! $.

$! . &.- ! 1.! G &! ! ( . !. ,(? . ! -.

!--D 3-2 U . -. . , 7 U$! . .%.? NF>>7G .- . !( ! ! !! . . ! .- . 1!2. ! 2? . O

N . N ?

. 3 N = .

& ,--D 3-2 U6GP7 ,! U6GNT7 . 3 $. ! ! O L

! Y! = . ? U& . #.-? NFC;K 23 .-G? NFCC7G !-? .-. . $ ! 3-2? & . #.- UNFC;7 ,? $! 0! ! ! ? . 3-2 ! ,--D ! . - ! = .

Numerical Methods for Elastic Wave Propagation ? . $ . ?

251

L & = & = & 333 & = 5 N2

?

5 N K ? ' L3

N=

- ? &G #. $ . G + - $! ,--D .2 3-2 ,! !$ ! U$ . + -? NFFL7? , .3-! . -!) 3 , 0! ! ! . G -. .2! 3-2? , . 1!2. # UG # 7 3 # UG # 7 ,! ; . ; ? = 3 0

? & ,

; O : N 2

: = , & 0

? & ,

3 ; O : N : = , &

# = . ? . = 3 .M . 1!2. ! ? ??? *A

= O P < N 2 * O N2 332 2

*A P

? O ! 2 * O N2 332 3 P < N P < N

U6GN67

-.! 1! ; . ; ! -. , $. ! U6GNT7 , ? 0

? & , N

$ : : $ <

$$ O U&7 2

= , & ! , : 0 U6GN87

? & , N $

! $

3 $ O U&7 < , : : : = , & 4 ! $ , .$1!-!. $ ! G U.2 7 . G U.2 7 U,! $! . 2 G$ U&2 :7 . G$ U&2 :77 = 3 $ 2 * O N2 332 2 U: = , & 7G$ O & , U6GN;7 $ 2 * O N2 332 3 U: = , & 7G$ O & , 2.) . G U.2 7 . G$ U.2 7 . -$ ! N ,.( $. ! ?

8 G

8 G 8

= , O , 2 * O N2 332 2 8 8. 8.

8 G = , 8 G O , 8 2 * O N2 332 3 8 8. 8.

U6GN>7

252

P. Joly

23!! U6GN87 . U6GN;7 , 3 .!?

? $ N

$ $

! $ O U&7 < : : G 2

$ , ,

? $

N

$ $

! $ O U&7 < : : G 2

, ,

? ! !2 2.!?

N 8 ? 8G 8

< 2 ! O

$ 8. , 8 , 8

N 8 ? 8G

8

3 ! O 8. , 8 < , 8

U6GNC7

& =.- 2 .3 3! 3 $. ! ! ! 3 .! 2 U6GNT7 $! U6GNC7 . U6GN>7? " N 8 8!

H O 7 < P 2

8. , 8

N 8

8!$

H O U< < P77

P7 8. 2

, 8

N 8 ? 8G 8

< 2 ! O $ 8. , 8 , 8

N 8 ? 8G

8

! < 2 O

8. , 8 , 8

8 G

8 G 8

= , , O L2

8 8. 8.

8 G = , 8 G , 8 O L3 8 8. 8.

U6GNF7

' ! ! ! 2.) . , . ,! ! ! . . $3. !

Numerical Methods for Elastic Wave Propagation ,-- ) , = 3 $. ! ! ?

8! 7 8

? 8 G 7 8!$

H O P7 < < 7 < 2

, 8 8. , 8.8 , 8

8!$ < < P7 8 < < P7 8! ? 8 G

H O P7 < U< < P77 < 2

, 8 8. , 8.8 , 8

N 8 8

? 8G

< !$ O 2 , 8 8. , 8

8 N 8

? 8G

< < ! 2 O

, 8 8. , 8

8 G = , 8 G , 8 O L2 * O N2 3332 2

8 8. 8.

8 G

8 G 8 = , , O L2 * O N2 3332 3 8 8. 8.

253

U6GPL7

'+& ''&6 *! 0! ! ! ? , ,!-- ( ! ! ! . 3D -2 U6GP7 23! ,! U6GNT7 . 3 $. ! ! O L ! - ,--D G !- , .( -- ,! $- G * ,686 ' L & = 5 N2 ? ' L2 N & * & 2

N

? 6 L2 N=

U6GPN7

/ H2?E3=H2?DG3 * )**= -? ? $ ! -$ ! 2 U6GP7DU6GNT7 ! -- ,! 2? .

. & ;

. . $ , $ . ! = $ $ + 2 < = $ $U&2 :2 . 7 O ;

.

. & . , . . . $ $ + 2 U. 2 7 O $ $ + 3 . U. 2 7 O U6GPP7 4 , $- -!) ( . . -$ ! ! 2 . . !? & '2 & .O L2 U6GPT7 $/U:7 & L2 : .O L3

254

P. Joly

&! ! . $ -- ,! $- ,! ! !2-! 3 ..-! .! $ ! . .-. ,.( $. ! UG U& . #.-? NFC;77G & ' $. ! ? ; < ; O L2 U6GP67 ; < ; O L2 .2! . -$ ! : ! .- . $/U:7 & LG & ( 2 - $ 2.) . 3 $ ! U6GPP7 . ! U6GP7G &$ , %$ (! . 3 $. ! ! U6GNT7 . .- . !=G ! $! $ . $ 7? $ 2 U6GPP7 ! U6GNT7 , 3 .! . -!. 2 ! U$ = 2 = ;

: ;

7 U&7 < & < U&7 = $ & = $ = $ = $

, , ,

7

$ < P7U&7 ; =

O : $ & = $ 2

, ,

: ; ;

$ U< < P77 & = $ < U&7 = $ <
, , , U6GP87 ; < < P7 $

: P7U&7 & = $ = $ 2 O

,

,

;

$ 2 $ < ; $ O & & = $ =

, ,

;

;

$ 2 $ < = $ & = $ O & , , ,! , , $- -!) , . ! .2! - !(!.- U 7 ! ! G 2 = $. ! U6GP87 , ? : : $ & $ O $ 2 = $ < & = < P& = , ,

$!(.- -?

,! !2-! . ?

4 : 1 $ O L2 $ = , $ 3 : .O L2 = $ O

"!2!-.-? $. ! U6GP87 . 3 D,! ? : < < P7 $ U< < P77 & $ O P7& = $ : 2 = $ <& = , , ,! !(?

4 : 1 $ O L2 $ = ,

U6GP;7

Numerical Methods for Elastic Wave Propagation . $?

$ 3 : .O L2 = $ O

255

U6GP>7

*! U6GP;7 . U6GP>7 ! -. , $. ! U6GP87 , 3 .!? N

= O L2 , U; < ; 7$

N

U; < ; 7$ = O L2 , ,! !2-! $ O L2 = $ O = . $

$ O L2 $ O

3.$ , ) , . ; < ; .O L . ; < ; .O LG ' ''&6 !2- ,. $. ! !! .3 3! 3 $. ! ! ! 2$ A ! Y! -. ,.( . . $ ! .- !! DG !-? , ! . !! -. ,.( . , 2$ A =-G 4 .-- A ! Y! . ! .2-! $ A ,.( ( .2-! $ !! ,.(G ' ! . , -- ,! $- H * ,696 # : J +0 0 0 " + H2?DG3 + + " *+ )+%9

O

UD7 !

UD7 2 UD7 < !

UD7

O L3 + + *+ )+%9 O

UD7 !

UD7 2 UD7 < !

UD7

O L2 ) !

UD7 O N

? ! UD7 3 N = ! UD7

4 2!

! 2 . ! ! $! .! ,.G *! 1! .M Y! U6GN67 !

. ? ! ! . ( -- ,! 22.G **' ,6;6 +0 0 0 " + H2?DG3 ) = + ? + C + ./+ H2?D23 ) 0+

256

P. Joly

+ " *+ )+%9

O

U UD7 N7 2 U UD7 < N7

O L3 + + *+ )+%9 O

U UD7 N7 2 U UD7 < N7

O L3 &! 22. !2-!? ! . !$-.? . . .3 3! 3 $. ! ! . $ . ! .- . ! ,

O UD 72 O L2 O UD 72

O L3

&! ! . ( ! . $!! $- 3.$ ! !!. . ! ,.( D (! U 2 !(-7 .3 3! 3 $.G ( A ,.( , 3 .! .2 Y! . .-. . $ ! .G & $ ) ,- ! ! $ 2 1! ! - .- 3 $. ! ! -. .2! U!( -!? PLL6K #. 2? NFFF? PLL8K #! ? NFFN? NFFL7G 4 . .- 2.) . ! 2 $? ! ! 2!. , 3 .! 1. - .2 $- ! , = 2 -. .2! 3-2 ! , ,.( $. ! U$! 2! .- . . !.- 2$-. ! 7 . .- ! Q U --! ? NFFTK !( -!? PLL6K #. 2 . #.!..? NFFCK #. 2? NFF>7 .-. ,.( $. !

. 3 .! $. ! G - $ $- . .2? . . ! ! ! ! 2 .- . $- 3 .-! .! ! .? ,! .3 ( 2 ! . . , ) . ! 2! .- . . !.- 2$-. ! G ,6;

& *' &'

& *' &' ' '& "& +& *6 -- ,! --! UNFF;7 , ! ! ! 3.! !!- 2 ! .- . . = -!. 3 -! 2G & !2-! . ! , ! $-( , !2! .- .G ! . .- ( -$ ! 3-2

-- ,! 2 U+7 8 % $ 8$ % 8 % O L 2 U6GPC7 U07 %U O L7 O % 3 , % ! . /D( ? $ ? . / / 2. ! ,! .- Y! ? U.2 7 ' . .$2 . !! !.- ! ! % ! ! .-D. U. 6 L7G 4 , $- -!) -. 3-2 U6GPC7 3 . $!(.- ! - .-D .G & 3.! !!- 2 -? ! "* "+ * +*= + ) + "+ +*=+ " + # +

Numerical Methods for Elastic Wave Propagation

257

+9 + + )+% +*=+? 2.- $ ! -! 2 - ! ! -- ,! , H ! , 2 $) , %U.2 2 7 !? % O %$ < % 2

U6GPF7

, % $ . % . -$ ! ? 8 % $ $ 8$ U% $ < % 7 O L 2 U7 8 % 8 U% $ < % 7 O L 2

U7

U6GTL7

' ! = , .( . . ! ? ??? ! U% $ 2 % 7 ! . -$ ! U6GTL7 % $ < % ! -$ ! U6GPC7G 2.) . ! U6GTL7DU!7 , ) - !(. !( ,! ! 2.- ! .? .D!(. !(? ,!- ! U6GTL7DU!!7 , ) - !(. !( . ! .? ??? D!(. !(G . . ! !2! . !(. !( , $- 3 2 D!(. !(G " -? , ! $ . .2! 2 @U.7% $ - ! $. ! U6GTL7DU!7G @U.7 ! . .2! $ ! ? ,! ! - .-D. . ! !( ! .-D.G $ =? ! O !$ < ! ? -$ ! -- ,! 2 8 !$ < @U.7!$ $ 8$ U!$ < ! 7 O L 2 8 ! 8 U!$ < ! 7 O L 2 % 2 !$ O ! O P

U6GTN7

' ! . . ! . != .2 2 $. ! . % ! - .-D.G ( , . ( . -. ,.( -$ ! 2 U6GTN7 . 3 ,! ! 2 ! &$ $ ! O % 1:U&$ . < & :7B 1: @U7 B 2 : . . != H ! % ! - .-D.? . & L? ,! 2. . , .( A ! . ! . H -. 2 - ! - 2. G ! ! .2 ! ! .-D.? .2! Y! ! .3 3! .-D. ! ! &$ $ 0!U.70 O 1: @U7 B 3 U6GTP7 =/ O 0%U.70 : *'# ,686 -. ! U6GTP7 !2-! . ,.( . 1 !.-- ! .3D 3! .-D.G (? , . . .2! Y! =/ ! ! .. ! ,.( U(!. 2 &$ 4:7? ??? .2! ! .! !G !-? =/ ? . ( . . ,.( .. ! 2.-- ! . . . 2 . 2 - ,- . ! ! .. ! 3 2 ..---

! .G

258

P. Joly

*'# ,696 ' . ! , -( 2 U6GTN7 (,? , ! . )

!!.- 2 U6GPC7 ! !.- 2.! U . 5 L7 . -( 2 U6GTN7 - ! -. U . 6 L7G & , 2.! . $- . ! . . O L $ ! ! % O !$ < ! G *'# ,6;6 4 . 2.) .

2 - ! ! !2- $3 ! $ !

8$ $ 8$ O

: 8$ 2 : < @U.7

,! !2-! 2-1 . (.!.3- ! $ @U7 3 .RU.7 O . : *'# ,6,6 - $ -. ,.( 2 ! ! !!. . 2 - ! .3 3!? ! ..-! ! 2- 3.$ -$ ! ! ! .- . $ ! !

-. ,.(? ! ,! . $- ! $ (- ! ! . . (- ! G UG " ! 6GT7G * & &' '*6 ' ! ! , 2 - !$ $ -. .2! 3-2G , .( ! (! $ ! ? , ) , , $ . 2 - . ( -$ ! 3-2 2 U6GPC7G &$? !

.- !$ !3 (! $- -. .2!? , ,! -. .2! 3-2 ! 2 2 U6GPC7G &! . 3 .!- , ! 2!1 (- ! D 2$-. ! ? M8 % "H

O L2

8 H EU%7

O L2

U6GTT7

,! !! !.- ! ! G 4 .$2? . ! (! $ ! ? . !! !. ! ! ! $ ! - .-D.G ! !! H ,! -- ,! ( U !-- 3 H7 H O :H 2 H 2 H B 2 H O H$$ K H O H K H O H$ 2 , . ,! U6GTT7 ! -- ,! 2. !1 2 M8 % O 8 H < $ 8$ H2 8 H O 8 % < $ 8$ %2 ,!

3

O 3 O

L

L N

L

N L

L L

L

3

$

O

2

N

N4P L

3

2

$ O

N

L L

L

L N

N

L

L

L N4P

L

2 3

Numerical Methods for Elastic Wave Propagation 4 .- , .2 !$ . ! (! $ ! . ! - . . U. 6 L7

259 -- ,! 2

% O % < %$

K

H O H < H$ 2

M8 % O 8 H

K

8 H O 8 % 2

MU8 < @U.77% $ O $ 8$ H

K

U8 < @U.77H $ O $ 8$ % 3

' . 2 $? ! ! -. ! 2!$2? 2. !1 .2M YD ! U<2 77 2!$2G ' ! . 2 - . 3 ,! ! -- ,! 2 K H O H < H$ 2 % O % < %$ M U8 < @U.77%$$ O 8$ H$$

K M 8 %$ O 8 H$ 2

M U8 < @U.77%$ O 8$ H$

K M 8 % O 8 H 2

$ U8 < @U.77H$$ O U< < P778$ %$

K 8 H$$ O <8 % 2

$ O <8$ %$ U8 < @U.77H

K 8 H O U< < P778 % 2

$ U8 < @U.77H$ O 78$ %

K 8 H$ O 78 %$ 3

U6GT67

% * , , ! .-D. 3-2G ' . ! , $$.-- -. . $3 $ 2.! 3 . =! G & , ! $ . .$-. 2.! . , $ $ 3 -. . !--$ . ! !$ 6G & 2 $. ! ! $ ! !?

,6 & !X -. H ! 3 @ $ . @ . ! !( ,!- @ O L UG @ $ O L7 !! -. ! . UG 7 ! ! G

% O % < %$

K

H O H < H$ 2

MU8 < @ U77% O 8 H

K

U8 < @ U77H O 8 % 2

MU8 < @ $ U.77% $ O $ 8$ H

K

U8 < @ $ U.77H $ O $ 8$ % 3

260

P. Joly

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

U6GT87

, , . , . $ . . ,.( (- ! ! = 3 UPG8L7? D !( ! ! ,.( .. ! ? L 2 " O 2 ? = ! ! . !- 2 ! . + 2 " O 2 ! .2-! $ ,.(G 4 . 2.) . !-.2 / U " O 2 7? -$ ! 2 U6GT67 . 3 ,! . -. ,.(? ' . < !UD7 / O + L 1::, U UD7R ' 7B 2 , . < UD7 / O + L 1::, U !UD7R ' 7B 2 ,

U6GT;7

R 2 " O 2 ? = ! , , !2- $3 ! $ . R 2 " O 2 2 . ! U6GT87? ,! . .2 ,. . ! ! 6GT U: -. 3 :, 7H ! $ @U7 2 " O 2 3 . R U.7 O . :, / 2 " O 2 ? . != H ( ! . 3 , . ' / ' ' 2 " O 2 ? ! - .-D. . & L U A ! 7? / 2 " O 2 ? ! .2 ! ! .-D.? ' .2! Y! ! .3 3! -. ! ! / U.70 D $ 0' O 1: @U7 B2 0' U.70 , ! / U.70 D $ 0' O 1: @U7 B 3 0' U.70 ,

Numerical Methods for Elastic Wave Propagation

261

% ' . !? , .) . =! .3 3! -. 3 ! $! . 3 $. . . O B? ,! . !!- ! ! G &! , 3 $. $ . A ! ? 3$ ! ,.( . 1 !.-- ! -.? A ! Y! 3 2 $!)- ( 2.--G &! Y! ! @U.7 . ! B -.G ' $ ! 2 - ! ! .? , .-- 2 -.!.$- -. .2! 3-2G ! -. .2! 3-2 ,! . 2 $ !!- ! ! UL% O L7

3 $. . O L . , ! !$ 8G &.) 1.2- . . !! -. ,.(

L L. 7B2 L O U D2 ! D73 ' O + L 1::, U , 4 ) , UG U3.? NFC67? ( - N? 8G;? G N>T7 .

y

!! ,.( !

y

r

r

8s

8p

r

r

8p

8s Q2

Q1

Q2

x

Q

Q1

x

Q

inc

inc

8p

8s

-6 "2. ! (!, A ! . !! ,.( U- 7 . . !! " ,.( U! 7 ! . . 2 $ !!- 3 $. ! ! G A ! . $ ,.( ' . . . ,.( ' !( 3

L L. 7B2 ,

L L. ' O + L 1::, U 7B2 ,

' O + L 1::, U

L O U D 2 ! D 7 2

L O U ! D 2 D 72

L O U D 2 ! D 7 2

. , .( A ! Y! 0' 0 UD D 7 O 2 0' 0 UD < D 7 0' 0 ! D O O 2 0' 0 UD < D 7

O

262

P. Joly

,! ! D O , ! D4, G "!2!-.- ! . . !! -. ,.( " , .( !UD < D 7 0' 0 O 2 0' 0 !UD D 7 0' 0 ! D O 2 O 0' 0 !UD D 7

O

,! D O , D4, G 4 . ! , . =! -.G !( . -. ,.(? ' 2 " O 2 ? ! -$ ! 2 U6GTT7 . !( 3 $. ! U6GT87? , . 2$ A ! Y! !$ 3 -. ,! BG % , .( , (! $- ! A ! . / . - 2!$2G .(--! ! . . O L , -. ,.( ' / $! 2$-. U6GT;7? 3 .!! . - B , . 2$ ' / O ' 1: D ' ,

!

1

@U7 B 3

/ ? !( . 3 $. . O B? , A ,.( ' / . ' / ? & -. ,.( '

,! . .2 !-- . ! ..! -. ! 2!$2 . ! . . O LG ' ! . . A ! Y! ! !( ! ! . 3 ! / U.70 0' D 1

O

1:P @U7 B2 . 5 L 2 0' U.70 , ! / U.70 0' D 1 O 1:P O @U7 B2 . 5 L 3 0' U.70 ,

1

O 1

U6GT>7

% ' . . !! -. ,.( "? , 3 .!? !2!-.-? ! / U.70 0' D 1 1 O 1:P O @U7 B2 . 5 L 2 0' U.70 , U6GTC7 ! / U.70 0' D 1

1 O 1:P O @U7 B2 . 5 L 3

0' U.70 , *'# ,6.6 4 ! . . !!- 3 $. ! ! U% O L7 . -.G !2!-. ..-! . 3 .! $ $2. 3 $. ! ! UH O L7G & !. X! 2 , $- .- $ . .3 3! 3 $. ! ! U7 . . O BG ' ! . $- . 3 .-

!3 3 U6GT>7 . U6GTC7 , A ! Y!

? ? .

$- 3 -. 3 ! Q $ UG U!. ? PLL877G -. ! U6GT>7 . U6GTC7 !2- . A ! . 3 2. . ,.) . ! 3

! .2! . @U.7 -. $G # ,( ! ! - $ , , ! ! 2 -G &. ! . $ $2!.- !! ?

Numerical Methods for Elastic Wave Propagation

263

,! ! $ . A ! . ! .G . 2 . . .2! . -- ,! 2 @2 . 6 L2 @U.7 O L2 . & L2 , . , . A ! Y! . ! . . O L ! 2 UG U --! . )? NFFC.K --! . & ).? PLLN7 2 .!-7 O @ \. < U\. 72

U6GTF7

\. 3! ! ! . ! G (? 3.$ =! - , . A ! . . O B? ,! ! .2 2 . !$ $ 3-2G 4! $ - .-! - $ -

) . A ,.( $ . !! ,.(G ' ! . , .(? /1

O 1

UN < U\. 773

U6G6L7

2.) . ! !.! ,! @ ,!- ! .!G &! 2. . , .

. .3! .!- ! (.-$ .2! Y! 3.$ ! ,.(

. . ! 2!$2G & . !. ,. .- ,! ! 3-2 ! .) . (.!.3- @ =- . ! . 2!!2! .- A ! ! !. 2.! UG U --! . )? NFFC.77G ' . !? 3.$ !2! . ! 3-2 . 3 $! 1!(? ! ! $Y! $ . !$ $? !.! (1 $ ! U2 .$ $ . $.. ! $ ! 7G '+& ''&6 -- ,! M. .-G UPLLT7 , ! = .- D 3 -! 2 U6GPC7G ' $ .3!-! 2 - , ! . . Y! ? ??? 2. ! $ . U.2 7 . .2! Y! ! . @U.7 O @G - $ ! 2! 3 .-! ! .-!. ! ? ! .-- , $ . $ .3!-! ..-! U3. $! !$7 . ! ! = ,. 2 2-!. (.!.3- Y! .G $ % .-- =! ! 3 -!! G

$ = 3!A

/ ,686 U&7 O &$ $ < & 3 / H2?E<3 0 * 9 & $ 9 %+*" U&7 + +*? $ * 0 * +

U&7 + 0

+ +* + )+&* 0 * ? +**9 * 0 * 9 & $ 9 %+*" U&7 + +* + ? 4 2.) -- ,! .$2 ! H * ,686 4 ,. ! ' ?

/ H2?E<3 * 0 *?

$ ,--D . .3!-! -- ,! .$ 3-2 8 !$ < @!$ $ 8$ !$ $ 8$ ! O L2 U6G6N7 8 ! 8 !$ 8 ! O L2

264

P. Joly

,! @ 6 LG " ' O U!$ 2 ! 7? . - $ .-- =! ! ,--D G / ,696 # +" 0*/ H2?2D3 + + +* ++ ' )+&* H? *3 )**= + ' U2 L7 O ' % 0 *% + 9 6 L H? O L39 H2?2D3 + / + "" *" ' U7 + +7 + /+ 0' U2 70 & -, 0' 0 3

U6G6P7

4 2.) . =! ! ,--D .-- , -$ ! 3 1 D !.-- !.! ! !2G &! ! $ ( $$- , ! ! ! .3 3! 3 $.!? 3.$ $! . . . 1 !.- !.! -$ ! 2 .

!.G &. ! , , .- ! $ UG UM. .-G? PLLT77 -- ,! ! .3!-! G / ,6;6 # +" 0*/ H2?2D3 ,.)- UG -7 .3- )+&* H? *3 )**= + *" ' U7 +7 + /+ U6G6T7 0' U2 70 & -UN < 7 0' 0 ) 6 L H? O L3? ' ,. -- , , ,!-- . . . 2 ! +0* ! ! ! . -. ,.)- .3-G 4 ,. $ ! ,--D . .3!-! $! $! !$G &

? , ) -. ,.( -$ ! 2 U6G6N7 2? ' U.2 7 O +($ 2

& ' 2

'% 2

: 3

U6G667

! !! !.- 3 -! 2 U6GPC7 8 ! $ 8$ ! 8 ! O L2 , ) , . ! .2! -. ,.( -$ ! 2 !U.2 7 O +($ 2

& ' 2

'% 2

: 2

! . - ! & . : . -. 3 !! -. ! U:2 &7 O L2

U6G687

U:2 &7 O U:$ &$ $ & 72

U6G6;7

, ! . 2 $ - 2!.- ! : . & /G !! U6G687 . . $. ! ! :? , 2 $2 ! 6GN U??? 3 -!! 2 U6GPC77 . -$ ! U6G687 . .-? : O : U&72

" O N2 3332 /2

!(.-$ U&73

(? : U&7 . 2 $ $ ! G & !2-! . ! , .- 2.) -- ,! .$2 ! H

Numerical Methods for Elastic Wave Propagation

265

* ,696 # +* / H2?E<3 + / @ = %+*" 9 : U&7 .O L2 & .O L9 " O N2 3332 9 H: U&7 .O : U&7 .O "39 %+*" K O / 9 : O L9 " O < N2 3332 /3 & 2 ! . D .. ! 2 ? . , ,!-- .-- 2 +* / G &! -. -- ,! 1! U:2 &7 O : 3

U: : U&773

U6G6>7

. $ $2 ! 6GP? !.- 2 :U&7 O : U&72 " O N2 2 . !X !.3- ,! &? . , . = -- ,! U- O &4&7 & . (- ! :U&7 :U-73 U6G6C7 U-7 O & & - , (

U-7 O

& O 3 U-7 :U&7

U6G6F7

& $ (- ! , U&7 O , U-7 O - : U&7 O

8 U:U&72 &7 8:

- U:U&72 &73

U6G8L7

& $ (- ! ! .- - , $(? = . ! ? ! -. - , ( U-7? . . ! UN2 U-77 O L3

U6G8N7

4 .-- 3 U,$ U&72 , U&77 , 2 , U&7 . 3 U$ U&72 U&77 U-7 U .- " ! PG6 2 .!- $ (- ! ! . - , ( 7G ! 3.) $! ..-! 2 U6G6N7? , . U6G6N7 . -$ ! 2 U6G667 ! . - ! : . & . -. 3 2 != !! -. ! ? U6G8P7 % U:2 &2 C7 U:U: !C72 & :2 & U: !C77 O L3 U6G8P7 ! . - 2!.- P/ ! : . !! -. ! = P/ 2 ? : U&2 @7? " O N2 3332 P/G . ! , .( $3- $23 $) , ,! -! !? ! ! . $.- . $23 2 ! .-

$3-G 4 . , -. =! ! ,--D . .3!-! 2 U U0! . ? NFCF7 2 .!-7G

266

P. Joly

$% & 2 U6G6N7 ! * **= ! 1! 2 1 D !.-- ,! 2 ? . !? 1/ :U&2 @7 $ (2

, & $ <(2

U6G8T7

,! ! ! . -. )+&* )**= G % & 2 U6G6N7 ! +0* ! =! ! 6GT ! . - ! & '% 2 -$ ! :U&2 @7 . ! 1/ :U&2 @7 ' L3

U6G867

$ 2.) . 3 ! $! : O : < !: , . ,! -. ,.( -$ ! .? !U.2 7 O + + ($ 3 4 , . 1! -$ ! : ,! . !( !2.!. . , $- D -. ,.( -$ ! ,! 1 !.- , ! !2G +0* 2 .2! $ -$ ! G 2 U6G8T7 , . ,--D . .3!-! 2 U6G6N7 -! . ! $ ..-! 2 U??? -$ ! 6G8P7G &! ..-! ,. .! $ ! UM. .-G? PLLT7 . -- ,! $- , 3 .!G * ,6,6 ' "/ 2?D + 2?E / H2?E<39 / H2?2D3 )**= ? * ,6-6 " " + / H2?E<3 +7 +"/ 2?D + 2?E? + +0* / * . H2?2D3 +9 +** +* / "* / H2?E<39 ) +% - O U-$ 2 - 7 4 - O N2

$ U-7 ,$ ' L3

U6G887

. U6G887 ! - . . 3$ $Y! ! ! G ' ! ! !

-

) . ! 2 ! ! . ! H U6G887 1 . . ? .- - , $(? - , ( . $ (- ! . ! .2 ,. ,! D .1!G &! $- , !2 . $ (- ! ! .3!-! ..-! 2 -G &! ,. = ! $ 3 & UNFCP7 U .- U& ? NFCT? NFC677 .3!-! ..-! =! !X 2 -!. 3 -! 2 . 3 #! UNFC;7 ,--D ..-! !! !.- 3 $. (.-$ 3-2 -!. 3 -! 2G ! .3!-! ..-! 2 -? , , $- -!) 2 ! U&.2 .-G? NFFC7 , .$ .( -. ! .3!-! ! 3( ,! -!.! $- $. ! ?

1! ,.( ,! $ (- ! . . (- ! .(- !

! ! ! G '+& &' '* 3 * *6 & $ ) ,- ! .3!-! $- ! . .- -. .2!G ' UM. .-G? PLLT7 .$ $! .3!-! ! ! 2!.? ??? . . !$-. -.

Numerical Methods for Elastic Wave Propagation x2

267 x2

Vg (K)

Vg (K)

S(K)

S(K)

1RWVWDEOH

Stable

.6 &, !X =$. ! G H - , ( . $ (- ! , . ! ! .2 ,. ,! .1!G ! H . , . ! ! .2 ,. ,! .1!G

.! ! 2!.G 4! $ ! .!- .-$-. ! , ,!-- $22.! ! ,. -- , 2.! $- G $ = .-- =! ! ! 2!. UG U$-? NF>T77H ' . D ! 2!$2 , !!.- .1 !! ,! U.2 7? , .( O O L

. -. !! 2. !1 3 2?

O L

L

L L 3

,! U 2 ! !(! 7?

6 L2 6 L2 6 L2

6 L3

U6G8;7

. ! ! 2!$2? ,! ! . . !$-. ! 2. !.-? Y! . 3 1 ! 2 .2MQ Y! < 6 L . 7 ' LH

O O < < P72 O <2 O 73

U6G8>7

& = $- . .3!-! ! ! & 2 6G8 ,! 3 2H * ,6.6 $ + *+ / "/ + +0* H2?443 "%+* 9 U 7

U < 7

U 7 U < 7 < U 7 & L3

(? -- ,! $Y! ! ! ,. !( UG UM. .-G? PLLT77H * ,606 # / .= + *+ / "/

268

P. Joly

+0* ) ** ) +7 @ U$ 7

U < 7 5 U

7 U 7

H3

U$ 7

H3

H3

U

7 U 7 & U < 7 & 2.1 U 72

U 7 U

7

5 U

< 7 U < 7

U D - 7G 4 , $- -!) ! $ . $- . 3. ! !$ $ 3-2 . ! ! . ! $ U!2!-. $- , ? , .- 3 .! ,! ! ! . ! 2 (- ! UM. .-G? PLLN? PLLP77G ' .-- !2$-. ! ? !! !.- . . .

0.2

t 2

0

Absorbing Layers

–0.2

2

²

–0.6 ²

0

²

0.2

0.6

r

06 2$ . ! .- 2.! U- 7 D $ ! U7 U 7 D $ ! U7 U! 7 .) $.- . $ ! ! $ . . ! . ! ! $. ! U6GTT7? U.2 7 O U7 U. . 7 L$ 2

U6G8C7

, L$ = ( . !.- 3.! ' . ! D.--

!) !.- ,! .- $ $.- O L3F # ? .2- U .- !$ > 7? # U6G8F7 U7 O PA U N7 N 0 3 & $ ! U7 ! .$!. $ ! = 3 U !$ > ! 7H

U7 O

) 2

U6G;L7

,! ! . ! . 2.-- !) .!$ O L382G ' $ 1!2 ? $ ! . ! - . - .3 3! -. UP 2 .,. 2 . -.7 U

Numerical Methods for Elastic Wave Propagation

269

!$ > - 7G ' -- ,! 1!2 ! ! F O N032 . !( -. !! Y! ! .G & .2! . ! . -- ,H @U.7 O

T - UN47. 2 PB

U6G;N7

, O NL ! !.- A ! Y! 2 2!. ! A ! 3 $.! . O 63823 ! . $ 3 $ ,.( (- ! ! ! .-- ! 2. !.-G 4 ? . 1!2 H U.7 - , $( . ,.( 2. !.-? U37 ! !3$ ! ! . 2 !-.2 =- U. 7 . (.!2G & %

' ! 1.2-? -. !! Y! . !( 3H

O 62

O PL2

O P2

O T3C3

U6G;P7

& - , $( . ,.( ! !$ C !--$ . .!

2!$2G . ! ! 2!. , $.!D$ . $.!D ". ,.( ! . $ . . ,.(G 4 2.) . ! 2!$2 U'7 - 3 - , $( 2.! (1 . ! ! ! . U! ,! , .-- . . !-7 G & . ! $2!.- 1!2 . !( ! !$ NNG & , . , ) ,--G ' . !$-.? 4

0.6

0.4 2

0.2

–0.6

–0.4

–0.2

0

0.2

0.4

0.6

–2

–1

1

2

–0.2 –2

–0.4

–0.6

–4

26 "- , $( . ,.( 2!$2 U'7G . .3-H -$ ! 3- , $? ( . . - !2G & % &! !2? 2. !.- ! .. ! 3 ! -. !! Y! H

O O PL2 O P2 O T3C3 U6G;T7 ' !$ F? 2!$2 .. 3 2$ 2 .! ! . (! $ G ' . !$-.? - 3 - , $( ,.( ! - (1?

270

P. Joly 4

0.6

0.4 2 0.2

–0.6

–0.4

–0.2

0

0.2

0.4

0.6

–4

–2

2

4

–0.2 –2 –0.4

–0.6

–4

56 "- , $( . ,.( 2!$2 U''7G

,! !( ! !-!. ! ,.( G # ,(? . ! !$ NP . 2 - !-- , ) ( ,-- . -. . ! .3!-! G & % &! 2!$2 ! .. ! 3 -- ,! -.D !! Y! H U6G;67

O 62 O PL2 O P2 O >383 ..!? ! ! . 2!$2 ,! !( ! !-!. ! " ,.( U !$ NL7G . U !$ NT7? , . , ! .3!-! ! ..! 0.8 4

0.6 0.4

2

0.2 –1

–0.5

0.5

1

–2

–1

0

1

2

–0.2 –0.4

–2

–0.6 –4

–0.8

876 "- , $( . ,.( 2!$2 U'''7G (

! , -.G & ! .3!-! ! -.- $ , " ,.( . .3 3! -.G & $2!.- $- !--$ . . 2 - ! .3- 2!. U'7 . U''7 ,!- ! ! -.- $ .3- 2!$2 U'''7G & ! .3!-! ! . 3 1-.! ,! & 2 6G8 $!(.- - & 2 6G;G '? , 2.) -- ,! ' 2!. U'7 . U''7 .-- - , .( $ U-7 ,$ ' L . U-7 , ' L U 3 . " ,.(7 . . .3!-! ! ! ! . != -. 3 ! . . ! ! G ' 2!$2 U'''7? " ,.( 1! 2 ( - U, 1 2! ! !3 !) -! =$ N67 ,!

Numerical Methods for Elastic Wave Propagation

W V

t=2s

271

886 " 2 . . !X

W V

t=2s

W V

!2 2!$2 U'7G

W V

896 " 2 . . !X

t=2s

W V

t=20s

W V

!2 2!$2 U''7G

W V

8;6 " 2 . . !X

t=20s

!2 2!$2 U'''7G

,$ U-7$ U-7 5 LG - ? . 2 ( - U, 1 2! ! D !3 -! 2!$2 !) =$7 ,! , U-7 U-7 5 L ,! 2. . 2 !.- ! ! ! . != ! ! . ! G , .-. 2 ! ! ! ! & 2 6G8 U $!(.- - & 2 6G;7 ! . . . $Y! ! ! G ' ! . (! . 2!. U'7 . U''7 .-

. ! $Y! ! ! !( ! & 2 6G>G $ , , . 1.2- . 2. !.- . . != . ! ! 3$ $Y! G & % -. !! Y! H

O NL2

$ -. 2!$2 ! .. ! 3 -- ,! O PL2

O ;2

O P383

272

P. Joly

0.8

0.6

0.6 0.4

0.4 0.2

–0.6

–0.4

–0.2

0.2

0

0.2

0.4

0.6

–1

–0.5

0.5

1

–0.2

–0.2

–0.4 –0.4

–0.6 –0.6

–0.8

8,6 "- , !..2G H2. !.- U''7? ! H2. !.- U'''7G

' !$ N8? , - , !..2 U- 7 . ,.( U! 7G ' ! -. . ! $ . ! ! . . != 3 . . -. ! - , $( . (1G 4 ! .2 2$ . ! .- 2.! . 0.4 4

0.2

–0.4

–0.2

2

0.2

–0.2

0.4

–3

–2

–1

1

2

3

–2

–4

–0.4

8-6 "- , $( . ,.( ! 2!$2 U'/7G 3 ? ! ,! , , -( 2 - ! . ! ! ,! . . .2D ! Y! $.- P3;G & $- ! = 3 U6G8C7DU6G;L7 . $ ! ! - . . 2$ . ! .- 2.!G & . 1!2 U'/7 . !( ! =$ N;G 3!! .D .3 3 ( ,-- ,.(G $ . . ,!-? . ! .3!-! ..@ ' -$! ? !( . ! 2!$2 , ) , ! ! ! 3 .3- G 4 ) , ,(? , !( .3- 2!. .

. ! $Y! ! ! & 2 6G>G &

, ! . . ! ! 2!$2 $Y! ! ! ! . != . $ 2 - ! .3-G 4 , 2 $2!.- $- ! ! ! 2!. ! -- ,! ! G

* '& &6 4 ! ! ! 2 $2!.- $- !

!--$ . Y! G $ $2!.- 1!2 . 1- !( $ - . . ! O U. 2 7 ! $? . ! U.2 7 O U7L U73

Numerical Methods for Elastic Wave Propagation

W V

W V

273

W V

8.6 1!2 U'/7 H 2 . . !X

- . G

& $ ! U7 ! = 3 PA U 70 U7 O L

t=200s

!2 2!$2 U'/7 ,!

! & P ! 6 P

2

U6G;87

, O N4 ? O , 4U 7 ! .- $? . ! $23 ! " ,.(D- G & $ ! LU7 ! . .!.- $ ! !( 3 . . 2 N LU7 O N 2 + O U. . 7 7

, B ! ,! -. . @ ! . $ ! !.- A ! Y! 1 U O

7 U -. ! U6GT>7 D O L7H N U < N7, 3 U6G;C7 @ O - PB & - 2!.- U 7 ,!-- 3 ! ! . 1.2-G " % 4 ! . $ ! ! -. ! 2!$2 . ! .. ! 3 (- ! 2 - ! !$ N>G ! 2!$2 , .( 2.1 , O P3N2! , . , O N3;, G ! ! . ! , . , . !,! . U (.-$ -2 7G & ! ! ! PLL PLL ,! . ! ! . ! O L3N82 . O NLG & $ ! - . . ! UN822 T27G 4 ? ! !$ NC? 2 (- ! .- 3 . . PL 1!2 ! !X .3 3! -.G !- -. ! U6G;>7

274

P. Joly

above 1365 1300 - 1365 1235 - 1300 1170 - 1235 1105 - 1170 1040 - 1105 975 - 1040 910 - 975 845 - 910 780 - 845 715 - 780 below 715

806 & (- ! 2 - $ 2!$2? , O N3;, G

2.1 , O P3N . 2! ,

. U6G;C7 . $ ,! O P? B O 8 O L3LN? B O NL O L3LLN . B O PL O L3LLLNG $ .-- . (.-$ !.U

7 A ! Y! G & A ! Y! 3 .! $2!.-- . -

!.- G &! ! - $ ! $23 2 !! -. !

2.-- H 2.-- ! -. -. ,! ! $!G &! 2 ! $

$2!.- !! U --! . )? NFFC.7G

1 = 6 ' ! ! , 2$ $2!.-- A ! YD ! 3 .! ,! . , 2. 2 3 .! Q 3 #! UNFFN? NFFP7G & , ! . 2 $ ! ! -. ! -! ,! , O 83>NL2I . , O P3FT2IG & 2$ A ! Y! , = ! -$ ! -. .2! 3-2 . ! - . . $ 3 $. 2.! U ! . .$-. 2.! ! PLL2 NLL2 . . -. 2 - ! $ .-- 3 $.! 2.!7G 4 3 U, 7 (- ! ( . ! G & 3 .! . -$ ! . ! , 2 ( $ 3 $. 2.! 8L2 .3 (G &. !? , -( -. .2! 3-2 ! 2.! U. .- ! PLL2 N8L27G 4 .- $ -. 2 - .-- 3 $.! 2.! . , 3 U, 7 (- ! ( . ! G & 2 3-2 ,! , 2$ . ! .- 2.! ! , ! !$ NFG ' . . $ D,.( $ , = A ! Y! 3

Numerical Methods for Elastic Wave Propagation 8

275 NL

PL

826 ". PD -. ! =! D-2 !2$-. ! ? ! . $ 2!$2? $! .3 3! -. 2 - ,! B O 8? B O NL . B O PLG & . ! 2 (- ! . O N63P2 .- 3 . . PLG !(U' 7 !(U' 7 2 !(U' 7 $-U' 7 $-U' 7 U 7UD 7 O 3 $-U' 7 U

7UD 7 O

U6G;F7

' .2 ,. , = $-U' 7 $-U' 7 2 $-U' 7 !(U' 7 !(U' 7 U 7UD 7 O 2 !(U' 7

U 7UD 7 O

! . . $ " ,.( $G $ 1.2- , $ D,.( $ $ ! !( 3 U6G;8?6G;;7 ,! O N;G ! $ $ ! $- (- ! ! 2.-- . !( 3 . . NL H A ! Y! ! - G *'# ,606 -. ! U6G;F7 ! $ 2$ , A ! Y! . . !2

276

P. Joly

S

PML

D1

Qi

Mi

Mi

Qi

S

PML

D2

856 2 2$ ! A ! Y! G &, 2$ . ! .- 2.! . = H PLL2 NLL2 . PLL2 N8L2G

G & $- ! !$ PL ! 2. (.-$ ( :L2 # B? # O P8G & ! ! ! 6LL PLL ? 6LL TLL . O L382 3 2.!G & $ ! - . . ! UPLL2 CL7 !G ' -.? , .) O T? B O 8 O NL ? B O NL O NL . B O PL O NL G & 1.2! 2. 2 -? 2.! ,! N ? P . T #! Q .3 3! 3 $. ! ! . 2G 0 -20 -40

-60 -80 -100 Higdon 1 Higdon 2 Higdon 3 PML 5 PML 10 PML 20

-120 -140 -160 -180 0

10

20

30 40 50

60

70

80

976 2.!

#! Q . G

Numerical Methods for Elastic Wave Propagation

277

*'# ,626 & A ! Y! .3 3! 3 $. ! ! 3 #! . !.- G 4 3 .! 2 3 .-! . . 2 % 8 8 ? < , 2 8 8 ,! / O N K ? O N? / O P K ? O N2 ? O , 4, UO N3F87? / O T K ? O N2 ? O N382 ? O , 4, UO N3F87G , . ! !$ PL? .-2 .-- .- !!? .3 3! -. 2 - !( 3 $- . .3 3! 3 $. ! ! = . . ! . ( 8 - .3 3! -.G 2. ! .3 3! ! ! -. NL . PL . $3 . !.-- 3 1 . ;L .-G 4 ,. ! $ . ! ! 1.2- , 2. A ! Y! (! 3 !$ $ #! 2 - !( 3 ! 2 -G ' ! ) , . #! A ! Y! !. , ! ! . ! ! $G

"G 3.3.- . G -!3G 2. 2. !.- ..-! 2 G ( "+*

/"+ +* ? NT6HT8>EP;T? NFF>G +GG 3.G 1+% ++ *+ * G -(!? NFC6G G G -? G Y? . G "G .-)G 1!2. ! 3 $.!-. .- =! -2 G +? /?? >NUPTF7HFLFEFPP U- !7? PLLPG '"" LLP8D8>NCG GG $-G " * + *+ 1+% * G + 4!-? NF>TG GG .) . /GG $.-!G & X $.. $ =! -2 .D 1!2. ! D 3 -! $. ! G $ ( "+* "/+* +*? NTH8>>E8FC? NF>;G G .23? G .( ? . G .!--G $ M2. $2M!$ -QM-. .2!$ -!M.!G &!.- 6N? ' '? 3 NFCLG G .23? +GDG $!-- ? . G + -G $2!.- !X. ! 3 . $! 2 !G $ ( "+* "/+* +*? P8H>8TE>CT? NFCCG G M.? "G .$$$1? . G + -G " .3!-! - 2. -.? $ (- ! ! . .! ! ,.(G ( "+* /"+ +* ? NCCHTFFE6TT? PLLTG G M. . G + -G ..-! - 2. -. .1,-$. ! G +/++* ** + "/+* +*? T;HC>ENPL? PLLPG G M.? G + -? . G & ).G ! ! ! $ 2.!? 2!1 . PD -. .2!G ( "+* /"+ +* "? FHNN>8ENPLN? PLLNG G M.? G + -? . G & ).G , .2!- 2!1 =! -2 -!. -. .2! 3-2G $ ( "+* "/+* +*? TFHPNLFEPNTP? PLLPG G 23? G $! ? G #.-? . G + -G #! ..1!.- . 1!D 2. ! ,.( $. ! G $ ( "+* * +/+? 6CHNPFEN86? NFCCG

278

P. Joly

+GG MG - 2. -. .3 ! - 2. ! ,.(G ( "+* /"+ +* ? NN6HNC8EPLL? NFF6G +GG MG &D!2! .- - 2. -. .3 ! - D 2. ! ,.(G ( "+* /"+ +* ? NP>HT;TET>F? NFF;G +GG MG '2 ( & -$ ! ,.(D $ $ ! . ! 3-2 G $ #++ + + ++ ? 68H6;;E6>T? NFF>G G .-!.G

+". / 7** " * "+ *F*+ +/"G !? *!(! M ".! D !? NFC>G G+G"G !D+ D0 ? 4GG $-? . G /. /-$! G #!D !.$-. . ..- =! -2 ,! 2. -$2! -(! ,.( $. ! G ( "+* +/+? T8H6L8E6P;? NFFFG GG !.- G # */ ** 0*/G D# --.? NFCPG G G != "/+* #+ 1+% "+ G "!? PLLPG G ? G + -? +G G 3 ? . G & %2.G #! !.$-. =! -2 ,! 2. -$2! ,.( $. ! G $ ( "+* "/+* +*? TC? PLLNG G --! G #! .3 3! 3 $. ! ! ,.( .. ! 2 -H .! -! 3 $. . .G ' "'? !-.-!.? ! ?

$+ +* +/++* + "/+* 1+% ++= H )+&9 9 D>>G3? . N;NEN>N? NFFTG G --! G - 2. .3 3! -. ..1!.- $. ! G ( "+*

/"+ +* ? NTNHN;6ENCL? NFF;G G --! . G )G !2! ! - 2. -.G /"+ +* * ++* ? N;6HN8>EN>N? NFFC.G G --! . G )G & - . . ! $(!-!.

!. G $ ( "+* 7 /"+ ? N;6HN8>EN>N? NFFC3G G --! . G & ).G -!. ! .3 3! -. 2 - -!. -. .2! 3-2 ! .! ! $ 2!.G ? ;;HPF6ETL8? PLLNG G (.$1? G + -? . G & ).G $2!.- 2 -. ! ,.( .. ! G ' /GG $.-!? +GG ). !.!? . GG 0.2.!? ! ? "/+* $G ? PLL;G +G !. G +*" "/C" 0*A/ #+/ = ++ F C/ #+ ? *+ +" "*+ *" = "" +". C " ++/ +CG !? *!(! M /.!-- ".! D$ !? PLL8G &G #. $ . G + -G .3!-! ..-! 3 $. ! ! ,.( $. ! 3 2 G . NH & 2 $ .G &!.- NTL;? ' '? NFFLG &G $ G D !2. .-)! 2 3 -! $. ! G $ ( "+* "/+* +*? NLHCCLECCF? NF>TG

Numerical Methods for Elastic Wave Propagation

279

G $$AG $C+ "/C" *C/ F *%C *"C +". "+= +.)** C/ !+/ "G !? *!(! M .! ' .$!? PLL;G G $(.$ . +GG ! G $"+* + + G "!? NF>;G G $! . G .%.G 3 3! 3 $. ! ! $2!.- !2$-. !

,.(G +/+ /"+ ? TNH;PFE;8N? NF>>G G G ! . G "G "W$$3!G *+ +/9 , *"/ $9 / G .2! ? NF>6G GG ! . G"G "W$$3!G *+ +/9 , *"/ $$9 + # G .2! ? NF>8G "G .$$$1G *C/ . +". " 0 0+ ++/ +C " *+ ++ F *+" C/ #+ G !? *!(! M .! ' .$!? PLLTG 0GG !!G 3 $.D(.-$ 3-2 -. !! . 0 Q !$.-! G +* +/+9 ? 6CH66NE6>N? NF6>G 4G .$ !G +* * /+*@ /"+ + ./+ G $2!.. 2. ! . "! != 2$ . ! G 1 *!(! ? PLL6G G 2 . . G !-.!G D12- J. -Q!M.-! M 0 .$ -22 ! C . 2.! !M$-!G ' "+ +". C%C +** *+ ? . 86NE86CG .$ !D/!--.? NFFCG G !( -!G #!D - .- DA ! 3 $. ! ! H . (!,G 1+% ? TFHTNFETP;? PLL6G G !(.G .(! -$ ! . --! ! 3 $. (.-$ 3-2 ! . -D

.- -.- 2.!G ' "/+* *" ++* I+* "+ H # / "/ 3? . PL>EP>6G .2! ? NF>;G G . +G 0--G 1. A ! 3 $. ! ! !2 ,.( $. ! G $ ( "+* * +/+? 88HPCLEPF>? NFF8G G . +G 0--G A ! 3 $. ! ! !2 . !G ( "+* /"+ +* ? NP>H8PECN? NFF;G &G #. 2G !D .!. ! 3 $. ! ! G ' G $! . GG 0!2.? ! ? /"+ +* 1+% ++ ? ( -$2 C;? . NEPNG "!? NFF>G &G #. 2G .!. ! 3 $. ! ! $2!.- !2$-. ! ,.(G + "/+? CH6>ENL;? NFFFG &G #. 2G , $- .3 3! -. . .!. ! 3 $. ! ! G ! ? PLL8G &G #. 2 . "G'G #.!..G 2$-. ! .2 ! . 1. 3 $. ! ! $! - .- . G * "/+* +/+? P>H6LTE6N;? NFFCG C G #.-G "

+". / 0 0+ " C/+ "/C" *+ + A "+ !0 *" C+G !? *!(! M .! '/? NFCLG

280

P. Joly

G #. !? +GG "!? . "GG . G -!. ! - 2. -. U7 .3 3! 3 $. ! ! -. ! ,.( .. ! G ( "+* "+* /+? NLLHTL;NE TL;F? NFF;G GG #! G '! !.-D3 $. (.-$ 3-2 -!. 3 -! 2G $ %)? PCHN>>EPN>? NFC;G GG #! G .!. ! 3 $. ! ! -. ! ,.( .. ! G $ ( "+* "/+* +*? P>HCTNEC>L? NFFLG GG #! G 3 3! 3 $. ! ! -. ! ,.(G ? 8;HPTNEP6N? NFFNG GG #! G 3 3! 3 $. ! ! . $ ! . -. ! ,.( ! . != 2!.G ( "+* /"+ +* ? NLNHTC;E6NC? NFFPG G #V 2.G & ..-! -!. . !.- !X !.- . G '''G ' " *

+/+ 1+ 5" +/+* * +/++* = ;? ( -$2 P>6G "!? NFF6G G '.-! . "GG .G 1!2. ! .!. ! 3 $. ! ! G ( "+* /"+ +* ? 6NHNN8ENT8? NFCNG G + -G /.!. ! .- 2 !2D ,.( .. ! 3-2G ' # /"+ +* 1+% ++ 9 + $% 0*/? . PLNEP;6G "? PLLTG /GG 0 . !( . GG -!!)G 0 Q !$.-! !G / " *F+ C/ +9 C $? TLCH6CTE6C>? NFCFG #DG 0! . +G G $+*= " + ,+*" 0*/ + +%= & "+ G .2! ? NFCFG G !2.G . 3 $. ! ! !2 . ,.( $. ! G ( "+* /"+ +* ? NCH;;E>C? NF>8G +GG ! . G .JG 0*A/ +". / ! / A *+ G $ ? NF;CG +G !)- ,! G & -. ! ,.( . ,.($!G ( -$2 PP =! **+

* +/+ + +G D# --.? NF>CG 4GG $-G #!D 2.D-$2 =! -2 ,.( $. ! G ( "+* /"+ +* "? FH;>NE;CL? PLLNG +GG ! G 0 Q !$.-! G $ +* "/C"? N8HPT>EP6C? NFCNG G . G G & ) G !2.- .3 3! 3 $. ! ! -. ! ,.( 2 -!G ? ;LHPF;ETLN? NFF8G GG $- ? G . ? . GG .--.!G A ! - -. .3 3! 3 $. ! ! -$ ! .1,--Q $. ! ,! !D . =! !X 2G ( "+* /"+ +* ? NTFHNC6EPLC? NFFCG G "!2 . "G # -2G ' .3!-! ! .-! .3 3! 3 $. ! !

!D !2! 2 -! .- ! 2G ? ;THNLN>ENLPT? NFFCG +G " .)!? G 0$3!)? +G ? 4GG - ? . "G "2! G 3 3! 3 $D . ! ! . $. ,.(G ? 8PH;LE>N? NFC>G G#G " $G "/+* "+ +" + *" + I+* "+ G "!? NF>6G

Numerical Methods for Elastic Wave Propagation

281

G0G4G &.2? G $!.$- ? . G .23$-!G - 2. -. . . .3 3! 3 $. ! ! -!.! $- $. ! ! . $ 2.!G ( "+* /"+ +* ? N66HPNTEPT6? NFFCG GG &.- G . !.- !X !.- $. ! G 'G ( -$2 NN8 * +/++* = G "!? NFF;G GG &!1!. . 4GG ,G .- !.- !(. ! . 2.- - 2. .3 3 - 2. ! ,.(G )+% + +* # * ? N>H PTNEPT;? NFFCG GG &!1!. . 4GG ,G *!= ..-! - 2. -. $! !XD !.- 2G )+% + +* # * ? PLHNP6ENP;? NFFFG

G & %2.G *C/ F *%C +% + + " *F"+

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

Nonlinear waves

Nonlinear Waves

Nonlinear Waves

Nonlinear Hyperbolic Waves in Multidimensions

Nonlinear hyperbolic waves in multidimensions

Nonlinear Internal Waves in Lakes

Nonlinear waves in elastic crystals

Theory of Waves in Materials

Tsunami and nonlinear waves

Nonlinear random waves (solitons)

Nonlinear random waves

Nonlinear Optical Waves

Nonlinear optical waves

Tsunami and Nonlinear Waves

Nonlinear Diffusive Waves

Amplification of nonlinear strain waves in solids

Amplification of Nonlinear Strain Waves in Solids

Nonlinear MHD Waves and Turbulence

Nonlinear MHD waves and turbulence

Nonlinear MHD Waves and Turbulence

Global Propagation of Regular Nonlinear Hyperbolic Waves

Nonlinear Waves: Classical and Quantum Aspects

Nonlinear Dispersive Waves: Asymptotic Analysis and Solitons

Nonlinear Dispersive Waves: Asymptotic Analysis and Solitons

Nonlinear MHD Waves and Turbulence (Lecture Notes in Physics 636)

Prestressed Concrete Bridges

Design of Prestressed Concrete

Design of Prestressed Concrete

Waves in Metamaterials

Waves in plasmas

Waves in Nonlinear Pre-Stressed Materials

Waves in Nonlinear Pre-Stressed Materials

Nonlinear waves

Nonlinear Waves

Nonlinear Waves

Nonlinear Hyperbolic Waves in Multidimensions

Nonlinear hyperbolic waves in multidimensions

Nonlinear Internal Waves in Lakes

Nonlinear waves in elastic crystals

Theory of Waves in Materials

Tsunami and nonlinear waves

Nonlinear random waves (solitons)

Nonlinear random waves

Nonlinear Optical Waves

Nonlinear optical waves

Tsunami and Nonlinear Waves

Nonlinear Diffusive Waves

Amplification of nonlinear strain waves in solids

Amplification of Nonlinear Strain Waves in Solids

Nonlinear MHD Waves and Turbulence

Nonlinear MHD waves and turbulence

Nonlinear MHD Waves and Turbulence

Global Propagation of Regular Nonlinear Hyperbolic Waves

Nonlinear Waves: Classical and Quantum Aspects

Nonlinear Dispersive Waves: Asymptotic Analysis and Solitons

Nonlinear Dispersive Waves: Asymptotic Analysis and Solitons

Nonlinear MHD Waves and Turbulence (Lecture Notes in Physics 636)

Prestressed Concrete Bridges

Design of Prestressed Concrete

Design of Prestressed Concrete

Waves in Metamaterials

Waves in plasmas

Recommend Documents