Zufälligkeit und Wahrscheinlichkeit: Eine algorithmische Begründung der Wahrscheinlichkeitstheorie

Lecture Notes in Mathematics A collection of informal reports and seminars Edited by A. Dold, Heidelberg and B. Eckmann, Z0rich

218 Claus Peter Schnorr Universit#.t SaarbrScken, SaarbrOcken/Deutschland

Zuf~lligkeit und Wahrscheinlichkeit Eine algorithmische Begr(Jndung der Wahrscheinlichkeitstheorie

Springer-Verlag Berlin. Heidelberg New York

AMS Subject Classifications (1970): 02E 10, 02E 15, 02F 20, 60A 05, 68A 20

ISBN 3-540-05566-5 Spfinger-Verlag Berlin • Heidelberg • New York ISBN 0-387-05566-5 Springer-Verlag N e w ' Y o r k • Heidelberg • Berlin

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Inhalts~bersicht

V o r w o r t und E i n t e i t u n g

. . . . . . . . . . . . . . . . .

Erstes Kapitel: V o r t ~ u f i g e Einftihrun~ des K o L tektivs u n t e r B e r G c k s i c h t l g u n g der h i s t o r i s c h e n Entwicklung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.

K r i t i k der M a ~ - W a h r s c h e i n t i c h k e l t s t h e o r i e

2.

Der naive Begriff dee K o l l e k t i v s

3.

Erste A n s ~ t z e zur w l d e r s p r u c h e f r e i e n D e f i n i t i o n der K o L L e k t i v e und ihre K r i t i k durch VILLE ....

.....

nach V0N MISES

Zweites Kapitet: Eine 0bermenge der s t a t i s t i s c h e n Z u f a t t s g e s e t z e ( Z u f a L L s f o t g e n im Sinne von M A R T I N LOF) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4. 5 10 21

29

4.

Hyperzuf~tLige

. . . . . . . . . . . . . . .

32

5.

H y p e r z u f ~ L L i g e F o L g e n und das Prlnzlp vom ausgeschtossenen SpieLsyetem . . . . . . . . . . . . .

38

C h a r a k t e r i s i e r u n g h y p e r z u f ~ L L i g e r F o L g e n dutch Invarianzeigenechaften . . . . . . . . . . . . . .

45

W e i t e r e E i n w ~ n d e g e g e n den B e g r i f f der ZufaLtsfoLge im Sinne yon M A R T I N - L O F . . . . . . . . . . .

52

6. 7.

FoLgen

I

D r i t t e s Kapitet: Die s t a t i s t i s c h e n Z u f a t L s g e s e t z e (EndgUttige D e f i n i t i o n der z u f ~ L L i g e n Fotgen) . . . . . . 8.

60

C h a r a k t e r i s i e r u n g der Z u f a l L s f o t g e n dutch konstruktive N u t l m e n g e n n a c h L.E.J. B R O U W E R .....

63

C h a r a k t e r i s i e r u n g y o n Z u f a t l s f o L g e n dutch das P r i n z i p vom a u s g e s c h t o s s e n e n S p i e t s y s t e m .....

70

D a r s t e t t u n g des s t a r k e n Gesetzes der g r o ~ e n Zahlen dutch MartingaLe . . . . . . . . . . . . . .

78

11.

Invarianzelgenschaften

.....

83

12.

C h a r a k t e r l s i e r u n g der Z u f a L t s f o L g e n dutch Invarianzeigenschaften . . . . . . . . . . . . . . .

89

13.

Einige m o d i f i z l e r t e

92

14.

Zufattsfotgen

15.

Die P r o g r a m m k o m p t e x i t ~ t

9. 10.

yon ZufaLtsfotgen

Spielsysteme

. . . . . . . . .

ats optimate F o t g e n fur die B a n k nach K O L M O G O R O F F

.....

• • 98 107

IV

Viertes Kapitet: K t a s s i f i k a t i o n der Zufaltsgesetze n a c h ihrer O r d n u n g und ihrer a L g o r l t h m i schen K o m p t e x i t ~ t (Theorie der P s e u d o z u f a t L s f o t gen) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

120

16.

Die O r d n u n g

123

17.

ZufaLlsgesetze

18.

Voraussagbare

19.

D u t c h endliche A u t o m a t e n darstettbare Zufallsgesetze . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

146

R a u m - und Z e i t k o m p l e x i t ~ t r e k u r s i v e r Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

150

Die K o m p L e x i t ~ t von Z u f a L l s g e s e t z e n und der Zufatlsgrad von Folgen . . . . . . . . . . . . . .

159

I n v a r i a n z e i g e n s c h a f t e n der K o m p t e x l t ~ t s k L a s s e n von Pseudozufattsfotgen . . . . . . . . . . . . .

169

20. 21. 22.

eine8 Zufattsgesetzes von exponentieL~er und q u a s i - r e k u r s i v e

........ Ordnun~ FoLgen

.... .....

129 140

FGnftes K a p i t e l : Z u f a t L s f o t g e n zu a t L g e m e l n e n W a h r scheintichkeitsr~umen . . . . . . . . . . . . . . . . .

173

23.

Berechenbare

173

24.

VerteiLungsunabh~ngige

25.

VerteiLungsunabh~ngige Invarianzeigenschaften von ZufaLlsfotgen . . . . . . . . . . . . . . . .

183

Z u f a L L s f o L g e n zu W a h r s c h e i n ~ i c h k e i t s m a ~ e n auf R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

192

A n h a n g Gber rekursive F u n k t i o n e n

. . . . . . . . .

200

. . . . . . . . . .

202

26.

I II

Bezeichnungen

Wahrscheinlichkeitsma~e

auf [0,1}

SequentiaLtests

und A b k U r z u n g e n

......

176

III

Stichwortverzeichnls

. . . . . . . . . . . . . . .

205

IV

Literaturverzeichnis

. . . . . . . . . . . . . . .

209

Zuf~Ltigkeit (Ein Ansatz

und Wahrscheintichkeit

zur Neubegr~ndung

der Wahrscheintich-

keitstheorie.)

Vorwort und EinLeitung Die Probtematik um den Begriff der ZufattsfoLge Ans~tze u.a. von VON MISES, ZieL ftthrten, echen Begrlffe

TORNIER,

fast in 7ergessenheit der Rekursivit~t

welts Kreise von Mathematikern

WALD, CHURCH und VILLE nicht zum geraten.

Erst nachdem die Logi-

bzw. der Berechenbarkeit gefunden hatten,

in Jdngster Zeit, angeregt dutch neue Ans~tze, tung der vortiegenden

Theorle

wieder wach. Die Bedeuda B sie Hinweise

da B damit der S c h ~ s s e ~

den ist, dis noch nlcht pr~zisierten Monte-Carto-Methoden

BrGcks,

wetche

gefun-

mathematisch

Vertockend an dleser Theorie ist aber auch die

zwischen der ktasslschen Wahrscheintichkeltstheorie

der mathematischen

Logik geschLagen wird,

die notwendlgerweise

VerknUpfung von statistischen und atgorithmischen Diese Notwendigkeit, den, bereitete

zur

und somit zur SimuLation yon Zu-

gibt. Es ist zu hoffen,

exakt zu behandetn.

Eingang in

wurde das Interesse

tiegt sicher darin,

Konstruktion yon PseudozufatLsfotgen fa~Lsprozessen

war, nachdem erste

verschiedene

und

zur

Argumenten ftthrt.

Denkweisen miteinander

abet anf~ngtich gro~e Schwierigkeiten.

zu verbin-

Sp~testens

nach

den Arbeiten yon VILLE E49] (1939) und CHURCH [6] (1941) waren einerseits die wahrscheinlIchkeitstheoretischen,

andererseits

Grundlagen zur endg~ttigen Kt~rung des Begriffes geben. Denn die VILLE'sche senen Spietsystem,

Formutierung

der ZufaLlsfoLge

ge-

des Prinzips vom ausgeschtos-

wetche durch MartingaLe

ausgedrGckt wird,

wenn man noch in geeigneter Weiss konstruktivisiert, griff. Es ist daher erstauntich,

die togischen

fUhrt,

zu diesem Be-

da B dleser - so gesehen - retativ

-

kleine Schritt

2

-

erst drei~ig Jahre sp~ter in SCHNORR [40 S erfotgte.

Dieser tetzten Arbeit glngen ArtikeL von KOLMOGOROFF [4S und MARTIN-LOF

E27S voraus,

[21], CHAITIN

wetche aufbauend auf der algorlthmi-

schen Denkweise

unter Benutzung des Konzepts

Rechenprozessen

scheinbar vSttig neue Vorstetlungen von regeLtosen

FoLgen er~ffneten.

Diese ArtikeL

menhang mit den eingangs

Es zeigt slch,

genannten Arbeiten erkennen. dlese Zusammenh~nge

da B die VON MISES'sche

Idee der Invarianzeigenschaften

das Prinzlp vom ausgeschtossenen

sowie die Gedanken yon L.E.J.

yen Ma~theorie

zwischen den

Zug~ngen zum Begriff der Zuf~lLigkeit herauszuarbeiten.

(in der Form yon Auswahlregetn), SpieLsystem

yon

tassen zun~chst keinen formalen Zusam-

Es ist das ZieL dieses Buches, verschiedenen

der Kompliziertheit

jeweits

BROUWER zu einer konstrukti-

zu ~qulvatenten Definitionen

der Zuf~lLigkeit

fUhren. Es erschien mir sinnvotl, punkt kurz zu erl~utern. fotgen nach MARTIN-LOF

in Eapitet I den historischen

In Kapitet II wird die Definition der ZufatLs-

behandelt.

Es werden weitere ~quivatente

stetlungen dieses Zufaltsbegriffes getegte WitLkUr sichtbar KernstUck des Buches,

zu machen.

(15.10)

angegeben,

um die hierln zugrunde

In den KaplteLn III und IV, dem

Resultate.

Z.B. wird durch die $~tze (15.9) und

Folgen dutch ihre Programmkomptexlt~t der V0N MISES'sche Ansatz eingebettet.

verteiLungsunabh~ngige

gegeben.

in der CHURCH'schen In Paragraph

VON MISES'schen Auswahlregeln)

der zuf~ttigen

Durch Satz (17.8) wird Fassung harmonisch

2~ werden ZufaLLsfoLgen

Invarianzelgenschaften

(in Anatogie

in

durch

zu den

beschrieben.

Dem vorliegenden Buch ging elne Vortesung voraus, mer 1970 an der Universit~t

Dar-

sondern auch eine Reihe noch nicht

eine noch nicht bekannte Charakterisierung

die Theorie

Dar-

findet sich nicht nut eine zusammenfassende

steltung melner frtLheren Arbeiten, verSffenttichter

Ausgangs-

die ich im Som-

SaarbrUcken gehatten habe. Das Buch Ist

-3-

insofern unvottst~ndig, ats im wesenttichen nut bln~re Zufattsfotgen behandelt werden. Denn ein votlst~ndiger Aufbau der ktassischen Wahrscheintichkeltstheorie ist im Rahmen einer konstruktiven Ma~theorie ohne weiteres mSgLich, Dies wird in Paragraph 26 angedeutet. Eine ausfQhrliche Darstettung der konstruktlven Ma~theorie w~rde Jedoch den Rahmen dieser Abhandlung sprengen. Ich danke aLLen, weLche durch wertvotLe Ratschl~ge und durch ihr Interesse die Arbelt an diesem Buch vorangetrieben haben. Insbesondere danke ich den Herren H. Stimm, P. Krebs und P. Fuchs fur das Durchtesen der Korrekturen und vor atlem Fraulein Wagner fur das sorgf~ltige Tippen des Manuskrlpts.

C.P. Schnerr

SaarbrUcken,

Juml

1971

Erstes KapiteL

VorL~ufige EinfUhrung

des KoILektlvs

unter Ber~cksichtigung

der historischen Entwicklung

In Paragraph

I legen wir dar, da B auch vom Standpunkt

lichen Ma~-Wahrscheinlichkeitstheorie der ZufallsfoLge

w~nschenswert

wohLbekann~Schwierigkeit scheinLichkeitsbegriff kann man erwarten, nicht behandeLte

eine Pr~zisierun~

der heute ~bdes Be~riffs

ist. Diese ist notwendi~,

Uberwinden will,

physikalisch

ProblemsteLlun~en

den ma~theoretischen

zu interpretieren.

da B auf der Grundlage

wenn man die Wahr-

Andererseits

der Zuf~LLigkeit

auch bisher

wie die Simulation yon Zufallspro-

zessen in den Rahmen der WahrscheinLichkeitstheorie

einbezo~en werden

k~nnen. In Paragraph

2 behandeln wir den historischen Ansatz

rung der KoLlektive, die VorsteLlungen

wie ihn VON MISES

1919 entwarf.

ein, die diesem Konzept

zugrunde

zur Pr~zisie-

Wir gehen kurz auf

Lie~en, und zeigen

die wesentlichen Probleme auf, weLche durch diesen Ansatz aufgeworfen werden.

An diesen offenen Fragen orientierte

Entwicklung

in den 30-er Jahren,

graph 3 schildern.

sich dann die weitere

deren wichti~ste

Z~ge wit in Para-

Sie Ist dadurch gekennzeichnet, dab dutch die Ergeb-

nisse vor aLLem yon WALD zwar eine widerspruchsfreie tivbegriffs

gelang,

jedoch stetLte VILLE im Jahre

tik den VON MISES'schen mal grunds~tzlich

Fassung des Kotlek-

1937 durch seine Kri-

Zugang zum Be~riff der ZufatLsfolge

in Frage.

noch ein-

-5

-

I. Kritik der MaS-WahrscheinLichkeitstheorie

Wir wotLen hier kurz ert&utern, schein~ichkeitstheorie Interpretation ProbZematik

unbefriedigend

des Begriffs

bekannt

inwieweit

Definition

ist. Der Leser,

der Wahrschein~ichkeit

MaS-Wahr-

dem die mit der

zusammenh~ngende

ist, kann diesen Paragraphen Ubersch~aKen.

geben kurz die dbLiehe axiomatische keitstheorie

die ktassische

GrundLeKung

Wit

der WahrscheinLich-

an.

(1.1)

Ein WahrscheinLichkeitsraum

ist nach KOLMOGOROFF

[20] ein TripeL

Q = (X,3,U) mit folKenden Eigenschaften: (I) X ist eine Menge,

der Stichprobenraum.

(2) 3 ist eine ~-ALgebra yon Teilmengen von X, weLche die ~eere Menge enth~It.

Die Eiemente yon ~ hei~en Ereignisse

oder me,bare Mengen.

ist also ein System von Tei~menKen yon X, so ds~ mit A und B auch die Vereinigung

A UB,

der Durchschnitt

A n B und die Komple-

mente A c, B c in 3 liegen. Mit einer Fol~e (A. IiEN) mit A. 6 F 1

1

Liegt auch i~6N A i in 8. (3) u:3 ~ R ist ein nicht negatives,

~-additives,

bei ist R die Menge der ree%len Zahlen. ~:~ - R gi~t ~(A)

~ 0(A e~),

D.h.,

normiertes

Ma~. Da-

f~r die Funkhlon

ferner u(X) = I u n d

U(iaNU Ai ) = ~ a(A i) sofern A.~l und Ain A.j = @ (i~j). igN u(A) heist die Wahrscheintichkeit Lichkeitsma~,

oder kurz VerteiLun~.

da~ U zus~tztich

ein Lebesguema~

und BoA fotgt stets B ~

von A. U heist ein WahrscheinIm folgenden nehmen wir stets an,

ist. D.h., aus A e ~

und somit ~(B)

jedes Wahrscheintichkeitsma8 Das obige Axiomensystem

= o. Bekannttich

zu einem Lebes~uema8

wurde

mit u(A)

= o

%&St sich

erweitern.

1933 von KOLMOGOROFF

und hat sich nicht zuLetzt wegen seiner syntaktischen

vorgeschtagen Einfachheit

ge-

-6

-

genUber anderen Vorstel~ungen durchgesetzt.

Inha~t~Ich

jedoch sind

diese Axlome woh~ weniger elnfach. Die Wahrscheln~ichkeit ~(A) bedeutet soviel wie den Grad der Gewi~heit des Ereignisses A. Dieser Grad der Gewi~heit elnes Ereignisses wird als eine jedem Ereignis zukommende Grundeigenschaft aufgefa~t,

~hnlich dem Gewicht,

der Aus-

dehnung und der Farbe von KSrpern. Man wird slcher~Ich zu~eben, der Grad der Gewi~heit, erl~utern ~ t ,

da~

sofern er slch nlcht durch einfachere Begriffe

nicht sehr anschau~ich ist. Z.B. ist unklar, was der

Grad der Gewi~heit

I/2 fur ein einma~iges Ereignis bedeutet.

terpretation des Wahrschein~ichkeitsbegriffes,

so argumentiert man,

~iegt eben au~erhalb der mathematischen Aufgabenste~lun~. ~egt man imp~izit meist die V o r s t e ~ u n g

Die In-

zu~runde,

Dennoch

da~ Ereignisse mlt

einem hohen Grad der Gewi~heit h~ufig auftreten° w~hrend so~che mit einem k~einen Grad der Gewi~heit recht se~ten sind. Diese mehr anschau~iche Interpretation der Wahrscheinlichkeit kommt aber in den Ko~mogoroff'schen Axiomen nicht zum Ausdruck.

Sie kann daher auch

nicht aus ihnen abgebeitet werden. Um dies zu e r ~ u t e r n ,

diskutieren

wir kurz das starke Gesetz der gro~en Zah~en~ierzu benStigen wir den Begriff des Produktraumes ~. Zu einem Wahrscheinlichkeitsraum ~ = (X,~,~) deflnlert man in kanonischer Weise den (abz~d~bar unend~ichen)

Produktraum ~ = (X~,~,~).

Dabei ist X ~ die Menge der abz~h~bar unendlichen Foemen Uber X. FUr zaX

schreiben wir z = z~z2...zi.., mit z i ~ X.

Mit X* bezeichnen wit die Menge a ~ e r

endlichen Fo~gen mit E~emen-

ten aus X. A~X* sei die ~eere Forge. Die Aneinanderreihung Forge x e X* und y ~ X*~X ~ wird a~s Produkt xy geschrieben.

einer Dies im-

p~iziert in natUrlicher Weise ein Produkt AB~X ~ von Mengen A~X* und B~X ~ Die ~-A~gebra ~ von O und das Ma~ ~ werden fo~genderma~en defi-

-7-

niert. Zu einer Menge A ~ 8" (damit gilt A ~ X*) bezeichnet [A]

= AX ~ def

die yon A erzeugte Zytlndermenge. ~ wird auf den Zytindermengen deflnlert durch [XlX2...x n] =

?I ~ ~(x i) i=1

(XlX2...x n E~*)

und die Forderung der a-Additivit~t. Die Gesamtheit der yon d e n endlichen Mengen ~zS* erzeugten Zytindermen~en 8

= [ [A] C x ~ def

I A endtlche Teitmenge yon ~* ]

bltdet eine Mengenatgebra und ~ ist a-additiv auf 8Damit t~St sich j auf eindeutige Weise zu einem LebesguemaB erweitern. Eine Menge CoX ~ heine meSbar bzgt. ~, wenn es Fotgen (Aili ~ N ) yon endtichen Mengen Ai~8* und (Bili ~N) mlt BitS* gibt, so da B fur atte i e N : CU[Ai] - CO[Ai] c [Bi] ,

jIB i] • 2 -i. In diesem Fatle exlstlert tim ~[A i] und ist yon der Wahl der Fotgen i A i und B i unabh~ngig. Diesen Grenzwert definiert man a~s das Ma~ ~(C) yon C. Die me~baren Mengen bilden dann eine ~-Algebra @ und ist a-addltiv auf 5. Damit ist der Produktraum ~ = (X~,~,~) beschrieben. Zu AcX bezeichne im fotgenden XA : X ~ [0, I} die charakteristische Funktion von A. Die partiette Funktion H : @ x X~ ~R werde deflniert durch n H(A,z) =

tim n -I n

sonst sei H(A,z)

~i=1

XA(Zi), farts dieser Grenzwert existiert

undefiniert.

- 8

-

Das starke Gesetz der gro~en Zahlen besa~t nun, da~

[zeX~IH(A,z)

= p(A)}= I

fur alle A ~ . InhaLtLich sagt dieses Gesetz fol~endes aus. Die relative H~ufigkeit, mit der die Glieder z i einer unendlichen Folge z in der Menge A liegen, konvergiert mit dem Grad der Gewi~heit scheinlichkeit ~(A) von A. Man sagt hierzu, H(A,z)

I gegen die Wahr-

da~ die ReLation

= ~(A) fur fast atLe z E X ~ erfUILt ist. Diese Sprechweise ist

suggestiv und erweckt den Eindruck, obige Relation erf~lten, Aussage t ~ t

da~ die Menge der Fotgen, wetche

groB ~egenUber ihrem KompLement ist. Diese

eich abet nicht mathematisch pr~zisieren,

Mengen haben i.a. die gLeiche M&chtigkeit. der Menge [z eX~IH(A,z) zu p. Er nimmt fur

= w(A)}

denn beide

Der Grad der Gewi~heit

1

bezieht sich nur auf das Produktma~

andere Ma~e auch den Weft 0 an.

Dies a~les zeigt, da~ sich eine tiefer~ieEende und einsichtigere Interpretation des Grades der Gewi~heit aus den Ko~mo~oroffVschen Axiomen nicht ab~eiten ~ t . eine weltergehende K ~ r u n g

Dennoch ist es w~nschenswert, der Wahrscheinlichkeitsgesetze

sich um zu bemU-

hen. Dieses bessere Verst~ndnis der Natur der Wahrschein~ichkeit kann nicht dutch neue Erkenntnisee und S~tze innerhalb der k~assischen Wahrschein~ichkeitstheorie nut m6glich,

se~bst gewonnen werden. Dies ist

indem man den Grad der Gewi~heit nicht mehr axiomatisch

beschreibt und der Theorie voranstellt,

sondern indem man ihn aus

einem neuen tieferliegenden und unserer Anschauung besser zug&nglichen Grundbegriff ab~eitet. Dieser neue funda.menta~e Begriff sind Zufallsfolgen von Ereignissen.

Von diesen Zufal~sfoLgen hat man im

Gegensatz zum Grad der Gewi~heit eine konkrete Vorstellung,

denn uns

sind aus der Natur physika~ische Ph~nomene bekannt, yon denen wir zumindest annehmen,

daft es Z u f a ~ s p r o z e s s e

sind. Hat man einmal den

-9-

Begriff der ZufaLtsfotge eines Ereignisses keit, m i t d e r

gekt~rt,

definieren ats den Grenzwert

dieses Ereignis

Begriff der Wahrscheinlichkeit Lische Interpretation. einer Theorie kommt, inhattLich

dann kann man die Wahrscheintichkeit der reLativen H~ufig-

in der ZufaLLsfoLge

auftritt.

Dieser

hat dann eine wohL pr~zisierte

Wir werden zeigen,

die die kLaesische

(dagegen nicht formal)

echen Theorie nicht zug~ngLich

dab man auf diese Weiee

zu

WahrscheinLichkeitstheorie

enth~Lt,

hinaus auch wichtige FrageeteLLungen

phyeika-

in der sich aber darGber

behandeLn

sind. Hierunter

Lassen,

die der kLassi-

f~LLt insbesondere

die

Simulation yon ZufalLeprozessen. Der so erzieLte Fortschritt kommt darin zum Ausdruck, ProbLematik

gerund

dab ein Teil der bisher auBermathematischen

des Wahrscheinlichkeitsbegriffes

der Mathematik kauft,

in der WahrscheinLichtkeitstheorie

den exakten Methoden

zugefGhrt wird. Dieser Fortschritt

wird dadurch

er-

dab der We~ zur formaLen Definition der WehrscheinLichkeit steiniger wird. Der neue Grundbegriff

der ZufaLLsfoL~e

n~chst gut fundiert und in seiner Bedeutung ~ekL~rt werden. vieL MGhe darauf verwenden Lich fundamentaLen,

zu zei~en,

mathematiechen

L~n-

muB zu-

Wit werden

dab es sich hier um einen wirk-

Begriff handeLt.

-

10

-

2. Der naive Be~riff des KolLektivs

Der im folgenden behandelte folge) wurde yon VON MISES wickeLt.

naive Begriff des Kol~ektivs

enth~tt er einen triviaLen

Trotzdem wollen wir hier auf diesen Begriff

well er einen wesentLichen Weise wiedergibt.

Tell unserer Grundkonzeption

ALs VON MISES

WahrscheinLichkeitstheorie Lich verschiedenen

keit bedacht werden,

seinen Ansatz

vortegte,

Auffassungen

Unter den Ph~nomenen,

(Zufal~s-

in seinen GrundzUgen bereits um 1919 ent-

Ahnlich wie die naive Mengenlehre

Widerspruch.

nach V0N MISES

eingehen, in einfacher

zur Grundlegung

der

mu~te er zwischen zwei grunds~tz-

yon Wahrscheinlichkeit

die landL~ufig m i t d e r kristallisieren

unterscheiden.

Vokabel Wahrscheinlich-

sich zwei ~ro~e Kreiee heraus.

(I) Die subjektive Wahrscheintichkeit Beispiele:

die Wahrscheinlichkeit

chen Urteilen. schen au~erhaLb

von Zeugenaussagen

Die Wahrscheintichkeit

und gesetzti-

fGr die Existenz von Men-

der Erde. Die WahrscheinLichkeit

fGr die Landung

C~sars in England. ALs charakteristische

Eigenschaften

nennen. Das betrachtete

Ereignis

dieser Beispiete kann man foLgendes

(Tatbestand)

einmatig und mit anderen Ereignissen Es ist nicht gedacht, ist,

je nachdem,

scheinlichkeit

(Tatbest~nden)

dab die betreffende

ob der Tatbestand

ist von seiner Natur aus unvergteichbar.

WahrscheinLichkeit

richtig ist oder nicht.

h~ngt vielmehr v o n d e r

individuetlen

I oder 0

Die Wahr-

Betrachtungsweise

ab. Man kann sie nicht objektiv messen. (2) WahrscheinLichkeit Beispiele:

als relative H~ufigkeit

Das Auftreten

einer Kombination beim WUrfetn.

figkeit yon Todes- (Krankheits-) schen. Physikalische yon Atomen,

Die H~u-

f~Iten in gro~en Gruppen yon Men-

Massenerscheinungen,

MolekUlen.

yon Massenerscheinun~en

Atomare Prozesse.

wie z.B. das Verhatten

- 1 1

-

Wir werden uns nur mit dem zweiten Typ yon Wahrscheinlichkeit tlgen.

besch~f-

Gemelnsam an diesen BeispieSen ist, dab sie sich auf unbegrenzt

wiederholbare

g~eichartige

(odor ~hnliche)

Massenerscheinungen

hen. Daher nennen wir diese noch mathematisch Erscheinungen Kol~ektive. WUrfe~ praktisch

Z.B.

dab sich die WUrfe~ a ~ m ~ h L i c h

rate abzusch~tzen. unermeBLiche

abnutzen.

Bei den chemischen

charakteristisches

fizieren wir Kopf mit I u n d ste~lung,

n~her zu untersuchen, den M~nzwurf.

mit.

betrachten wir Dabei

identi-

Zah~ mit O. Was beinha~tet nun unsere Vor-

dab O und I die Wahrscheinlichkeit

Erfahrungstatsache,

Prozessen wirkt eine

(Elementartei~chen)

BeispleL,

steht ein

um die Todes- (Krankheits-)

(atomaren)

Molek~Le

Um die genannten Erscheinungen

wenn man davon absleht,

Den Verslcherungen

zur Verf~gung,

ZahL gLeichartiger

ein besonders

zu charakterisierenden

l~Bt slch der Wurf mit einem Paar guter

fast unbegrenzt wiederholen,

Heer von Versicherungsnehmern

bezie-

I/2 haben? Es ist eine

da B bei vie~en Langen WurffoLgen die relative H~u-

figkeit yon 0 und I im a~Lgemeinen nahe bei 1/2 ~iegt. Andererseits weiB man,

dab immer wieder TeILfoLgen auftreten,

Einsen (bzw. Nu~Len)

die ~berwiegend

bestehen.

Die Situation ~ndert sich, wenn man nicht mehr viele, serien betrachtet,

aus

Lange Wurf-

sondern wenn man eine einzige Wurfserie unbegrenzt

fortftlhrt. Hier Lehrt die Erfahrung,

dab in einer so~chen unendLichen,

bin~ren FoLge z = ZlZ2...Zn...

El0,1} ~,

die man durch fortgesetztes Werfen einer MUnze erh~It, die relative n H&ufigkeit n -I ~- z i des Auftretens der 1 sich a ~ m ~ h ~ i c h gegen 1/2 i=I stabi~isiert.

Die Differenz n

in-1

i - 1/21 i=I

wird mit wachsendem n be~iebig klein. SpieL,

Es ist ein eindrucksvoL~es

diese vieLfach beLegte Erfahrun~statsache

nachzuvo~ziehen.

-12-

VON MISES faBte dieses Ph~nomen in einer seiner Grundannahmen

zusam-

men: (I) ~ r

eine unendLiche

WurffoLge

z e[O~1] ~ gi~t:

n lim n -1 n Tats~chlich

~-" z i = 1 / 2 . i=1 l~Bt sich die Annahme

keit empirlsch nicht vol~st~ndig nur Gber endLiche,

der Konvergenz belegen.

der reLativen H~ufig-

Denn wir verfGgen stets

wenn auch sehr ~ange Wurfserien.

rung mit fortgesetzten

Wurffolgen

Aber unsere Erfah-

legt die Vermutung der Konvergenz

nahe. So spricht

z.B. die Erfahrung

der Spielbanken und Lotterieunter-

nehmen in nlcht geringem MaBe fur die Annahme lativen H~ufigkelten.

Die SpleLbanken

ft[hren in millionenfacher

in Monte Carlo und anderenorts

Wiederholun~

dasse~be

aus. Sis berechnen ihre Gewinnaussichten Grenzwerte

stabiLer Werte der re-

Spiel immer wleder

aufgrund der Annahme fester

der reLativen H~ufigkelten und ftihlen sich sehr wohl dabei.

DaD geLegentLich Voraussetzung.

eine Bank gesprengt wlrd,

spricht nicht ge~en diese

Wichtig ist nur, da B sich nach aLler Erfahrung

der Ge-

samtgewinn seit Bestehen der Bank in der erwarteten GrSBenordnung h~It. Kein vernGnftiger

Mensch wUrde ohne diese Annahme

eine SpieL-

bank betreiben. Es ist leicht einzusehen,

dab festa relative Grenzh~ufigkeiten

aLlein noch nicht unserer VorsteILung von unendlichen WurffoLKen sprechen. Folge,

Z.B.

schlieBt

ent-

es unsere Erfahrung aus, da B sine periodische

etwa

1010101010 ........ 1010 .... als Wurffolge

auftritt.

rer VorsteLLung

Es ±st ihre innere R e g e L m ~ i g k e i t ,

yon ZufallsfoLgen

widerspricht.

einer Wurffolge w~rds ein fortgesetztes ponente der Folge

sinnlos

erschelnen

die unse-

Eine sotche Struktur

WettspieL fiber die i-re Kom-

%assen. Denn nach einer gewissen

Anzshl yon WUrfen wird ein SpieLer sicher das Bildungsgesetz

der Fol-

-13

-

ge erraten. Wie aber sol~ nun die innere U n r e g e l m ~ i g k e i t

der Wurffo~gen

er-

fa~t werden? VON MISES hatte hierzu fo~gende Idee. Er wo~bte die Rege~osigkeit

elner Forge dadurch slchern,

da~ er den Aussch~u~

auf die Dauer Gewinn bringenden Sple~systems

forderte.

eines

Was s t e ~ t e

sich VON MISES unter elnem Spie~system vor? VON MISES fa~te im wesent~ichen den F a ~ unend~iche

ins Auge,

Tei~fo~ge

da~ ein Spieler auf systematische

einer Z u f a ~ s f o ~ g e

bi~det.

Weise eine

VON MISES forderte,

dab in einer so~chen Tei~fo~ge 0 und ] wieder die relative Grenzh~ufigkeit Niete,

I/2 haben. so bedeutet

der Sple~g~nge,

Interpretiert

man z.B.

] a~s Treffer und 0 a~s

dies, da B ein Spieler dutch systematische

an denen er sich betei~igt,

Auswah~

die relative H~ufigkelt

selner Treffer und Nieten nicht ver~ndern kann. Wir kommen nun zur Formulierung

der Auswahlregeln.

sei X eine be~iebige Menge. X*(X ~) sei die Menge a ~ e r end~ichen)

Fo~gen ~ber X, AeX* sei die ~eere Forge.

ne z(n) die Anfangsfolge Definition

Im fo~genden end~ichen (un-

Zu z ~ X ~ bezeich-

der L~nge no

(2.])

Unter elner Auswah~rege~

(bzg~. X) verstehen wir eine Abbi~dung

~: X* ~ [ 0 , 1 } . Einer Auswah~rege~ ~ ordnen wlr in eindeutiger Weise eine Abbi~dung ~: X* ~ X* zu durch

¢(A)

= A

=

= ¢(x)

=

fur a~le x E X*, a E X.

o.

-14-

Weiter ordnen wir einer Auswahtreget $ e i n e

partieLte Punktion

~: X ~ ~ X ~ wie folgt zu. Der Definitionsbereich D(~) sei gegeben durch D(~) = [ z E X ~ I

I~(z(n))I ist unbeschr~nkt mit n}. ~ wird wie folgt

definlert: ~(z) E ~ ( z ( n ) ) X ~

(z E D ( ~ ) , n E N).

Nun kSnnen wir den Begriff des Koltektivs, vorscnwebte,

so wie er VON MIBES

formuLieren. Es sei jedoch darauf hingewiesen,

dad es bis

auf triviale F~lle solche KoILektive Uberhaupt nicht gibt. KA bezeichne weiterhin die charakteristische Funktion zu einer Men~e AcX. Definition (2.2) Ein KoILektiv Gber X ist eine Folge z E X ~, fGr die es eine Abbildung ~: 2X - R gibt, so ds~ f~r alle AcX und fGr alle AuswahlregeLn ~: X * -

[0,1} mit zE D(~) folgendes gilt: n Lim n -I ~ - XA @(z) i = ~(A). n i=I

~(A) heist dann die Wahrscheinlichkeit yon A bezGglich des Kollektivs z. Diese Forderung besagt, da~ die relative H~ufigkeit, mit der die GLieder von ~(z) in A liegen, stets existiert und gleich ~(A) ist, sofern nur ~(z) erkt~rt ist. Diese Definition der Wahrscheinlichkeit hat den Vorzug der Anschaullchkeit. Eini~e formate Ei~enschaften des Wahrschein~ichkeitskalk~ls

lassen sich auf dieser Basis anschaulich

begr~nden. Es folgt unmittetbar das Korotlar (2.3) Ist z ein Kollektiv Uber X r dann ist die zugehDrige Funktion ~ additiv r nicht negativ r u n d

es gilt ~(X) = I. FGr endliche X ist ~ somit

eine Vertei~un~. Im folgenden betrachten wir nur Kollektive zu einer Verteilung ~. Ein

-15-

erster Widerspruch

im K o ~ e k t i v b e g r i f f

offenbart

sich in d e m

(2.4) Gibt es zu einer V e r t e i L u n g ~ ein x g X kein KoLlektiv Beweis:

zu ~.

Angenommen

h~It z unendLich ~: X * - [O,1], also ~(z)

mit 0 < p(x) < I t d a n n gibt es

z E X ~ sei ein K o L L e k t l v

oft die K o m p o n e n t e

zu ~. W e g e n ~(x) > 0 ent-

x. D a n a gibt es eine A u s w a h L r e g e l

die aus z g e n a u die K o m p o n e n t e n x ausw~hLt.

Es gilt

= xxx .... x ..... W e g e n ~(x) < I k a n n z k e i n K o L L e k t i v

zu

sein. Unabh~ngig

y o n dem o b l g e n W i d e r s p r u c h

pieLLe S c h w i e r i g k e i t e n H~ufigkelt, unendLich,

wenn man unendLlche

fordern,

fur U b e r a b z ~ h L b a r e

Sei Q = (X,~,~)

prinzi-

mit dem K o n z e p t der r e l a t i v e n

M e n g e n X betrachtet.

so mu8 m a n die a - A d d l t l v i t ~ t

zus~tzlich

xEX.

im Z u s a m m e n h a n g

gibt es noch w e i t e r e

Ist X a b z ~ h L b a r

des wle in (2.2) d e f i n i e r t e n

well sie i.a. nicht g e s i c h e r t

let. F e r n e r gilt

X das

ein W a h r s c h e l n ~ i o h k e i t s r a u m

D a n a gibt es kelne FoLge

mlt W(x)

= 0 fur aLLe

n z E X ~ mit Lim n -I ~ - XA(Z i) = ~(A) n i=I

fur aLle A E ~. Beweis:

Amgenommen

A = {zili E N } . a-additiv

es g~be ein z m i t o b i g e r E i g e n s c h a f t .

D a n n ist A E a, d e n n a

Ist, gilt ~(A)

= O. N a c h K o n s t r u k t i o n

n Lim n -1 ~ XA(Z i) = I im W i d e r s p r u c h n i=I W i % L m a n am K o n z e p t aus o b l g e m Lemma, i.a.

ist eine a-Algebra.

zu ~(A)

gilt aber

festhaLten,

so folgt

des W a h r s c h e i n l i c h k e l t s r a u m e s

a b s c h w ~ c h e n mu~. Da m a n auf die a - A d d i t i v i t ~ t

zichtenwill,

Wei%

= O.

der r e l a t i v e n H ~ u f i g k e i t

dab m a n den B e g r i f f

Setze

suchte m a n das M e n g e n s y s t e m

yon ~ nicht ver-

a einzuschr~nken.

Lange

-

Zeit glaubte man,

16

-

da B nur den JORDAN-PEANO me~baren Mengen eine

Wahrscheintichkeit

i.S. der relativen H~ufigkeit

diejenigen meObaren Mengen gebenen Topologie)

(Ereignisse),

zukomme,

das Ma~ 0 hat. Die Meinung,

wurde von TORNIER

[49 ] und WALD [51 ] Gbernommen.

eingegtiedert

dab nur den JORDANaLs relative Grenzh&u-

[48 ] vertreten und von VILLE

Dies wllrde aber bedeuten,

groOer Tell der MaO-WahrscheinLichkeitstheorie keitstheorie

Dies sind

deren Rand (bei einer vorge-

PEANO me~baren Mengen eine Wahrscheintichkeit figkeit

zukomme.

daO ein

nicht in die H~ufig-

werden kann. Eine unserer Hauptaufgaben

wird es sein, diese scheinbar grunds~tztichen

Schwierigkeiten

zu

Uberwinden. Ungeachtet dazu,

der obigen WidersprHche

einige RechenregeLn

anschautich

ei~nen sich die KotLektive

und Begriffe

zu interpretieren,

der Wahrscheintichkeitstheorie

so z.B. die AdditionsreEeL,

duktreget und die bedingten Wahrscheinlichkeiten.

VON MISES war der Ansicht,

gabe der Wahrscheintichkeitstheorie zu untersuchen, die VerteiLung

darin besteht,

die Pro-

Die zugehSrigen

Operationen an Kollektiven nannte VON MISES die Mischung, bindung und die Teilung.

gut

die Ver-

dab die Hauptaufsotche Operationen

die aus gegebenen Kotlektiven neue erzeuEen, dieser abgeteiteten Kottektive

und dann

zu bestimmen.

I. Die Mischung Eine Abbildung

g: X ~ Y L ~ t

sich in eindeutiger Weise fortsetzen

zu einer Abbitdung ~: X ~ y durch ~(z) i = g(zi)

~ (ieN,

Sei z e X ~ ein Kotlektiv ein neues Kotlektiv

zur Verteitung ~, dann fotgt,

ist. Die zugehSrige

ergibt sich durch ~'(A)

z eX~).

= ~ g-1(A). def

da~ ~ (z) ~ Y ~

neue Verteitun~ ~':

2Y ~ R

-

17-

Diese R e g e t nennt man die A d d i t i o n s r e g e t M a n sagt g(z) Etemente

geht durch M i s c h u n g

(Merkmale)

Ats Beispiet

zu K t a s s e n

betrachten

X = [1,2, .... 6}mit W(1) rade) g(6)

Es ergibt

aus z hervor,

denn man hat in X

zusammengefa~t.

wir das WUrfetn.

Es ist dann

= 6 -I, i = 1, .... 6. Sei g: X ~ [gerade,

die F u n k t i o n mit g(S) = gerade.

fur Wahrscheinlichkeiten.

= g(3)

= g(5)

= ungerade,

g(2)

unge-

= g(4)

sich also z.B. ats W a h r s c h e i n l i c h k e i t

=

fGr

gerade: ~'(gerade)

= ~(2)

+ ~(4)

+ ~(6)

= I/2.

II. Die V e r b i n d u n g Sei X n die Menge a ~ e r

n-Tupe~

Uber X. Dann werde die bijektive

Abbi~dung ~n: X = ~ definlert

(xn)=

durch

(Nn(Z))k

= (Zk.n+ 1, Zk.n+2,

Ist z E X ~ eln K o t t e k t i v neues Kotlektiv.

---, Zk.n+n)-

zur V e r t e i l u n g

Die zugehSrige

~, dann ist nn(Z) E(xn) ~ ein

Verteitung

~'

ergibt

sich durch

n ~'(a I .... , a n ) =

2 ~(a i) i=I fur atle

Dies Ist die sogenannte Ats Beisplet scheintichkeit

ProduktregeL.

betrachten

wir w i e d e r

zu berechnen,

er idealer WGrfet

(a S , ..., an) E X n.

das WUrfeln.

mit der bei g t e i c h z e i t i g e m

die K o m b i n a t l o n

[3,2,1}

reget gilt fur die Wahrscheintichkeit, zweite

Dsraus

I zeigt:

p'(3,2,1)

• ~(1)

fo~gt:

• p(2)

auftritt.

W e r f e n drei-

Nach der Produkt-

da~ der erste W~rfel

2 und der dritte WUrfet = ~(3)

Es sei die Wahr-

= 6-3.

3, der

-18-

#'[3,2,1}

= ~(3,2,1)

+ ~(2,1,3)

+ ~(1,3,2)

+ #(1,2,3)

+ #(2,3,1)

+ a(3,1,2)

= 6 -2"

III. Die Teitung Wir betrachten eine Teitmenge AcX. Zu dieser Inktusion bezeichne g: X - AriAS die Abbildung mit: g(a) = [2

falls a~Asonst.

g setzen wir fort zu einer partieLten Abbitdung

mit Definitionsbereich D(~) = [z ~ X ~ I zie A f~r unendtich viete i] und der Definition:

=

n i=I

i)

Ist nun z e X ~ ein KoLLektiv zu einer Verteilun~ ~ ~It ~(A)~O, dann foLgt, da~ g(z)E A ~ ein neues Kollektiv ist. F~r die neue VerteiLung ~': 2A ~ R gilt: ~'(B) = ~(B)~(A) -I. Zu CcX nennt man ~'(C~A) die bedingte Wahrscheinlichkeit yon C bzgt. A und schrelbt ~'(OnA) = ~(CIA). Es gilt dann

Bedingte WahrscheinLichkeiten ergeben sich also durch 0bergang zu einem neuen Kottektiv mittels der Operation der Teitung. Betrachten wir ale Beispiel wieder den idealen WGrfeL. Gesucht sei die WahrscheinLichkelt der 2 unter der Vorauesetzung,

da~ eine

gerade Zahl auftritt. Es sei A = [2,4,6]. Es gilt ~(A) = I/2 und

-

19

-

hieraus: ~(21A) = ~ ' ( 2 )

= ~(2)

~(A) -1 = 1 / 3 .

IV. Auswahlregetn als Invarianzeigenschaften yon KoLtektiven Auch die Auswahtregeln setbst erzeugen eine Operation, die gegebene Kottektive in neue ~berftthrt. Im Unterschied zu den vorangehenden Operationen haben die neugebildeten Kottektive hier die gleiche Verteilung wie die voran~ehenden. Um dies zu beweisen, zeigen wir, dab das Produkt zweier partietler Funktionen @1 ° ~2: x~ ~ X~' die yon Auswahlregetn @I' @2: X* ~ [0,I} erzeugt werden, ebenfatts yon einer Auswahtreget erzeugt wird. Die zu @IO@2 gehSrige Auswahtreget @1,2 werde wie folgt definiert: @1,2 ( z )

=

~1

@1 @2 ( x ) = l ,

[

sonst.

0

@2(x) = 1

Man verifiziert sofort, da~ die Auswahlregel @1,2 die partietle Funktion @1o@2 erzeugt. Es seien nun @1' @2: X* ~ [0,1] Auswahtregetn, die partielle Funktionen ~1' ~2: X~ ~ x~ erzeugen. @2 sel fest, @1 dumeh~aufe alte Auswahtregeln. Sei nun z ein Koltektiv zur Verteilung ~ mit zE D(~2). FUr jede partietle Funktion ~1: x~ * x~ mit ~2(z) ED(~I) girt dann: n ~im n -1 ~ XA (~1 o~2(z)) i = ~(A) n i=1

(AcX).

Denn die partielle Funktion ~1 o ~2 wird setbst yon einer Auswahtregel erzeugt. Daraus folgt, dab ~2(z) ebenfatLs ein Kottektiv zur Verteilung ~ ist. Die yon den Auswahlregeln erzeugten partietten Funktionen ~: X ~ ~ X ~ stetlen atso hinsichtlich der Eigenschaft einer Forge, Zufattsfotge zu seln, invariante Transformationen dar. Diese partietlen Funktionen bitden n~mtich Koltektive zu einer festen Vertei-

-

tung stets wieder auf Kotlektive VON MISES'sche

der gteichen Verteitung

Transformationen

tion (2.2) kann in ~quivatenter

ab. Der

zu charakterisieren.

Kotlekti-

Die Defini-

Weise wie foist formullert

werden.

(2.2)'

Die Menge der Kottektive Menge M c X

-

Ansatz kann daher ats Versuch gesehen werden,

ve durch invariante

Definition

20

zu einer Verteitung W auf X ist die gr56te

, fur die fotgendes

girt:

n

(I)

tim n -1 ~n

(2)

XA(Z i) = w(A)

i=1

(z E M, A c X).

FUr jede Auswahtreget

Diese Idee, Kot~ektive rakterisieren,

dutch invariante

Transformationen

zu cha-

wird sich an sp~terer Stette bei unserer Suche nach

einer befriedigenden weisen.

~ gilt:

Definition der KotLektive noch aLs fruchtbar

er-

-

3. Erste Ans~tze

Definition der

und ihre Kritik dutch VILLE

Der in Lemma (2.4) aufgezeigte Konzept wurde bald erkannt.

Widerspruch

zu beheben.

Naturgem~

den Begriff der Rege~losigkeit

tativ scharfe Einschr~nkung

im VON MISES'schen

In der Folge begann die Suche nach MSg-

diesen Widerspruch

n~chst daran,

-

zur widersFruchsfreien

Ko~ektive

~ichkeiten,

21

einzuschr~uken.

der Regel~osigkeit

(1928) mit dem Begriff der admissible

Eine re-

wurde yon COPELAND

numbers vorgeschlagen.

ihnen nahm COPELAND an, da~ sie bereits hinreichend schaften h~tten.

dachte man zu-

Von

regellose Eigen-

Mit anderen Definitionen wurde die gleiche Klasse

yon Polgen unter dem Namen Nachwirkungsfreie

Folgen yon POPPER

und unter dem Namen Normate Fotgen yon REICHENBACH

(1935)

(1935)

eingef~rt.

FGr diese Ktasse yon Fotgen hat sich auch vielfach die Bezeichnung Bernouittifolgen Kollektive o < ~(o)

eingebGrgert.

Bei der vorl~ufigen Diskussion der

beschr~uken wir uns nun stets auf den Fair X = {0,1} und

< I.

Eine ~o~ge z E X ~ heist B e r n o u i ~ i f o l g e f~r alte w E X* folgendes

(B)

n

tim n-1 ~ n

Das hei~t,

zur Vertei~ung ~

wenn

girt:

XX.w(Z(i))= ~ [w].

i=I der Grenzwert der re~ativen H~ufigkeit,

w a~s Tei~wort

in z auftritt,

der Wahrscheinlichkeit

yon [w] bzgt.

Wir woILen nun zeigen, KLasse yon Auswahlrege~n ~w: X* ~ {0,I)

existiert

0

v ~

fur jedes Wort w und ist gteich

der Produktverteilung

dab man die Bernouil~ifolgen charakterisieren

diejenige Auswah~rege~,

~w(V ) = ~ I

mit der ein Wort

X*w

v ~ X*w

kann.

zu ~.

durch eine

Zu w ~ X* bezeichne

die gegeben ist durch:

-

D.h.

22

-

ein GLied wird genau dann ausgew~hLt,

wenn es auf ein TeiLwort

w

foLgt. Sei ~i eine Menge von A u s w a h L r e g e L n teiLung auf X = [0,1] KoLtektiv

~: X* ~ [0,1]

mit 0 < ~(0) < 1. Eine Fotge

und ~ eine Verz E X ~ heist

zu ~ und W, wenn f~r aLLe $ E ~J mit z E D ( ~ )

n tim n -I ~- ~(z) i = W(1). n i=I

~(~)

c X ~ sei die Menge

foL~endes

ein gilt:

alter K o t L e k t i v e

zu ~ und ~. Mitder

Bezeichnung

foLgen wie foLgt Satz

~c = [$w

I w E X*]

Lassen sich die B e r n o u i t t l -

charakterisieren:

(3.1)

z E X ~ ist fienau dann eine BernouiLLifolge Beweis:

(I) A n g e n o m m e n

z erfGILt

zu ~r wenn

z E 2(~c~).

(B) fGr alte w E X*, also

re f~r w und wl E X*. W e g e n ~ [w] ~ 0 gilt dann zun~chst und aus der R e l a t i o n ~[w]~ 0 durch

z E D (~w)

(B) fur w und wl foLgt unter B e n u t z u n g

Leichte Rechnung,

auf ein Teitwort

insbesonde-

w eine

da~ die relative

I foLgt,

gerade

H~uflgkeit,

gegen ~(I)

yon mlt der

konvergiert,

d.h.

es gi~t: tim n -1 n

~ ~w(Z)i i=I

(II) Bei z E ~(~c,~).

= ~(I).

Wir b e w e i s e n

fur z die R e l a t i o n

(B) durch In-

duktion ~ber die L~nge von w. FUr w = A ist (B) trivial. fi~r w bereits

bewiesen.

gilt nacn D e f i n i t i o n

D a n n gilt insbesondere

yon 2(~c,~):

n Lim n -I ~ X[a](~w(Z)i) n i=I Unter B e n u t z u n g

= ~(a)

der I n d u k t i o n s a n n a h m e

a= 0,1.

folgt:

z E D(~w),

Sei nun (B) und somit

-

23

-

n

t i m n -1 ~ XX.w ~ z ( i ) n t=1

=

n

uCa) %ira n -1 ~ XX.w z(i) = m[wa] n i=1

(a = 0 , 1 ) ,

q.e.d.

Die Existenz der BernouillifoLgen wird durch fotgenden Satz gesichert:

satz (3.2) EUr jedes aufz~Lhtbare System yon Auswahlregeln ~ und ~ede Verteitung auf X gilt: ~(~,~I ~ ~. Es gilt sch~rfer r fast atle Folgen sind in =

1.

Der erste Tell des Satzes wurde zuerst von WALD [50] bewiesen. WAZD zeigte ferner, da~ 2(~,u) die M~chti~keit des Kontinuums hat. Im Fatte 0 < ~(0) < 1 ist dies eine Eolgerung aus ~ ~(~,U) = I. Uns interessiert im fol~enden nicnt nur das Resuttat dieses Satzes, sondern ebenso die yon uns zum Beweis benutzte Methode. Eine partietle Funktion H: X ~ *

X ~ heine ma~verkteinernd bzgl.

einer Verteitung ~ auf X ~, wenn f~r alle meBbaren C c X ~ folgendes gilt: ~ H-S(c) ~ ~(C). Lemma (3.3) Die yon einer Auswahlrege% ~ erzeugte partielle Funktion ~: X ~ ~ X ~ ist ma~verk%einernd bzgl.

jeder Produktverteilun~ ~ auf X ~.

Beweis: Zun~chst zeigen wit, dab die Urbilder ~-1[x] der von den endLichen Folgen x erzeugten ZyLindermengen meSbar sind. Wit definieren zu x E X*: Yx = [w ~ X*

I ¢(w) = x

und

~(w) = I].

Es gilt dann ~-1[x] c [Yx] und weiter

-

-IExj =/A n E

N

24

-

w E X n [Yxw]"

Da die meSbaren Mengen eine q-Algebra bilden und ferner jede Zy~indermenge me,bar ist, foist, dab auch @-1Ix] me,bar ist. Nun zeigen wir dutch Induktion Uber die L~nge yon x:

(i)

J [Yx ] ~ ~ Ix].

FUr x = A ist (i) trivial, denn es gilt [A]= X ~. Sei (i) nun fur x bewiesen und a E X. Aus der Definition yon Yx folgt unmittetbar,

da~

Yxa ~ Yx a X* und somit

[Yx~ ] c [Yx ~]" Aus der Induktionsannahme und der Produkteigenschaft yon U folgt sodann: [xa]= j Ix] p(a) ~ j [Yx] U(a) = j [Yx a] ~ j [Yxa]. Damit ist (i) fur a~le x E X* bewiesen. Wegen ~-1[x] c [Yx] fotgt

aus (i): j @-1Ix] & U [x] Hieraus f o ~ t ,

(x E X*).

well ~ q-addltiv ist:

~-I[A] ~ j [A]

(A ~ x*).

Durcn eine Standardkonstruktion kann man diese Ungteichun~ nun auf aLle me~baren Mengen C c X ~ Ubertragen q.e.d. Beweis zu (3.2): Wit benutzen das starke Gesetz der gro~en Zah~, wetches in Paragraph 9 noch exp%izit bewiesen wird. Mit der Bezeichnung n

= X ~ - [z E X ~ 1 % i m n %autet dieses Gesetz:

n -I ~ z i = ~(I)] i=I

~(~) = O.

Nach Definition yon ~(~,U) girt:

-

=

x®

25

-

_

Welt ~ aufz~htbar ist und well alte p a r t i e ~ e n ma~verkteinernd

Funktionen ~ mit ~ ~

sind, folgt ~ ~(~,~) = 1. Damit ist (3.2) bewiesen.

Eine besondere RoLLe werden im fotgenden noch die ma~invarianten partielten Funktionen H: X ~ ~ X ~ spieten. H heist ma~invariant

bzgl.

einer Verteilung ~ auf X ~, wenn ~ H-I(c) = ~(C) fur atle meBbaren C c X ~. Lemma (3.3) impliziert das Korottar (3.4) Sei ~: X ~ - X ~ eine von einer Auswahtreget ~ erzeu~te partieLte Funktion~ fur die ~ D(6) = I erfGtLt ist. Dann ist ~ ma~invariant bzgl. der Produktverteitung

7.

Beweis: Well ~ ma~verkteinernd

(1)

~ ~-1(0) ~ ~(0)

(2)

~ ~-l(x=

ist, gilt fur jedes me6bare C c X~:

- C) a ~(X = - C).

Wegen ~ ~ - I ( x ~ )

= ~ D(~) = 1 mu# dann i n (1) und (2) sogar G t e i c h h e i t

gelten. Insbesondere

sind damit die von den Auswahlrege~n

Funktionen ~: X ~ - X ~ mapinvariant

bzgl.

erzeu~ten tota~en

jeder Produktverteilun~

auf X ~. Das gleiche gilt f~r die partiellen Funktionen ~w: x~ " x~' die von den Auswahlregetn Sw erzeugt werden. Denn es gilt ~ D(~w) = I fur jede Produktverteilung

~. Auf die MaBinvarianz

der von den Aus-

wahtregeln erzeugten totaten Funktionen ~: X ~ ~ X ~ wies aLs erster DOOB (1936) hin. Wit bemerken noch, dap man gewisse Klassen ~(~,~) von KoLlektiven auch durch Invarianzeigenschaften

charakterisieren kann. Eine Klasse

yon AuswahtregeLn heist abgeschlossen gegenUber Komposition, mit$,

wenn

~ E ~ stets ein y in ~ ist mit 6 ~ = ~. Aus Paragraph 2 Ab-

-

26

-

schnitt IV wissen wir, da~ die Menge aller Auswahlregeln abgeschlossen gegen~ber Komposition ist. Die Kollektive zu diesen Auswahlregeln lassen sich wie fo~gt durch Invarianzeigenschaften charakterisieren. Satz (3.5) Die Men~e ~ yon Auswah~regeln sei abgeschlossen ge~enGber Komposition. Dann ist ~(~,W) die ~rS~te Menge M ~ X ~ mit T"

n

(2)

=

i=1

~(M N D(~)) ~ M

fur al~e ~ ~ ~.

Der Beweis ist trivial. Aufgrund des Satzes (3.2) glaubte man, der Charakterisierung der Ko~lektive einen wesent~ichen Schritt. n~hergekommen zu sein. CHURCH [ 6 ] sch~ug vor, die aufz~h~bar vie~en, mS,lichen Auswah~re~e~n als die rekursiven Auswahlregeln zu spezifizieren. Dabei heist elne Auswah~rege~ ~ rekursiv, wenn die Funktion ~: X* ~ [0,1} rekursiv ist (zu "rekursiv" siehe [10,17,19 ] ). Es sei ~r die Men~e der rekursiyen Auswah~rege~n. CHURCH sch~u~ a~so vor, die Folgen in ~(~r,~) a~s Ko~lektive zur Verteilung p zu betrachten. Die Folgen in ~(~r,~) haben einige vernt[uftige Eigenschaften. ~(~r,~) riante Transformationen charakterisieren,

l&~t sich durch inva-

denn ~r ist abgeschlossen

gegenGber Komposition. Ferner kommen die Kol~ektive zu ~r unserer intuitiven Vorstellung von Regellosigkeit insoweit nahe, als diese Folgen selbst nicht rekursiv sind. Eine F o ~ e

z E X ~ heist rekursiv,

wenn [n I zn = I} eine rekursive Menge ist. Korollar (3.6) Die im CHURCH'schen Sinne zuf&l~igen Fo~gen sind nicht rekursiv. Beweis: Sei z E X ~ rekursiv. Die Auswahlregel ~i: X* ~ [O,I) definiere man durch

(i = 0,1)

- 27 ~i(x) = {10 Da z r e k u r s i v z E D(~I).

sonstZlxl +i '1. =

ist,

~o(Z)

fotgt ~irekursiv.

besteht

intuitiven Beispie%

da~ die K o L l e k t i v e

VorsteLtungen

yon VILLE

im Jahre

wurde bereits

Gesetz vom i t e r i e r t e n

z e X~

entsprechen,

Ic

setzte

In der k L a s s i s c h e n

H~ufigkeit

Logarithmus

lautet

ein Ma~-

1924 eine w e s e n t l i c h e wetche

n~/qer spezifiziert.

in unserem Fall

n ~" Z i - n ~A(1) i=1 + ) D 4 2 n Log tog n" =c--)I

~

%iegen.

der gro~en Zah% bewiesen,

der relativen

We-

im Sinne von CHURCH allen u n s e r e n

1939 ein Ende.

des starken Gesetzes

Art der K o n v e r g e n z

in R(~r,~)

von Z u f a L L s f o L g e n

Wahrscheinlichkeitstheorie sch~rfung

z E D(~ o) oder

nur aus N u L t e n und ~l(Z) nur aus Einsen.

gen 0 < ~(I) < 1 k a n n z somit nicht Dem Glauben,

Es gilt entweder

Verdie Dieses

(X = [0,1]):

} = I

n Dabei D =

ist D die Streuung ~(1)

- 2(1)°

der Zufaltsvariablen,

. Das Gesetz vom iterierten

warten,

da B fur jede ZufalLsfolge n ~" Z i - n I.L(1) i=1 + ,, =C-~I ~'--~-) D ~/2 n Log to~ n'

erfUttt

Lo~arithmus

Fall t~t

er-

die R e l a t i o n

ist.

DemgegenUber Satz

in unserem

hat VILLE

foL~endes

gezeigt:

[49 ]

Sei • ein abz~htbares notone

P u n k t i o n mit

System von A u s w a h t r e ~ e t n tim n-lf(n) n

ein K E N und ein z E R(~t~), o ~ n -1 £ i=I

z i - ~(1)

und f: N ~ N eine mo-

= O und lim f(n) = ~. D a n n gibt es n

so da B fur a L l e n K (I + f(n)).

folgendes

mitt:

-

In a~len Anfangsst~cken

28

-

dieser Forge z kommt die I h~uflger vor als

die O. Setzt man f~r die Funktion f z.B. f(n) = [log n] ([ ] sei die grS~te ganze Zaht kteiner gLeich),

dann fotgt

n

zi Lim

-

nl,.~.(1)

i=I

= O. ....

n

Der Schwankungsbereich geringer,

j

D ~2 n log log n der retativen H&ufigkeit yon 0 und I i s t

ats das Gesetz vom iterierten Logarithmus

Von einigen Anh~ngern der V0N MISES'schen zeit bestritten,

angibt.

Ideen wurde

in der Fotge-

da6 dem Gesetz vom iterierten Lo~arithmus

sikaLische Bedeutun~

zukomme.

Sie argumentierten,

in einem formaten Katk~t abgeteitet wurde, nicht best&tigen kSnne.

dann

eine phy-

dab dieses Gesetz

den man experimentett

Zweltes Kapitet

Eine Obermenge der statistischen

(Zufa~%sfoLgen

im Sinne yon MARTIN-LOP)

Angeregt durch die Untersuchungen MARTIN-L6F

Zufat~sgesetze

[21] griff

yon KOLMOGOROFF

1966 [27] dle Diekussion um den Begriff der ZufatlsfoL~e

wieder auf und rHckte einen Gesichtspunkt Ansatz bereits spruchsfreien

in der Arbeit yon VILLE

den Erwartungen

da~ die Eigenschaften decken,

tichkeltstheorle

der im

[49 ] steckt. Die ersten wider-

ModetLe fHr ZufaLlsfolgen

scheltern daran,

in den Vordergrund,

yon COPELAND,

WALD und CHURCH

dieser Pot~en sich nicht mlt

die man aus der herkSmmLlchen Ma~-Wahrschein-

ableitet.

Die yon dieser Seite erwarteten Eigen-

schaften yon Zufat~sfo~gen wie z.B. das starke Gesetz der gro~en Zahten und das Gesetz vom iterierten Lo~arithmus in X ~. Wenn man daher das ErfHllteein Kriterlum

fHr die Vertr~gtichkeit

keitetheorie

ansieht,

dieser FastHberaltgeeetze

herein in der Definition der Zufattsfotgen Dle slch so anbietende Charakterislerung grob gesprochen wie fotgt. Eine Forge

diesem Umstand von vornRechnung zu tragen. der ZufaltsfoLgen

nicht

der Wahrscheintichkeitstheorle

(PUG) zu formatisieren.

jede Nuttmen~e

ein statistisches

VernHnftigerweise

in X ~ ats ein etatietisches

Gesetz mu~ man notwendigerweise

dargeeteltt

werden.

erfHttt.

den Begriff des Fastkann man

Gesetz ansehen,

denn

explizit angeben.

Damit mu~ die zugehSrlge NuLtmenge auf konstruktlve tele Atgorlthmen

lautet

z E X ~ ist genau dann zuf~llig,

Aus dieeer Sicht tiegt dae Problem nun darin, Hberatlgesetzes

ats

mit der Hbtichen Wahrscheinbich-

ist es nur natHrtich,

wenn sie atle FastHberattgesetze

entsprechen Nuttmengen

Weise,

Die Notwendigkeit

d.h. mit-

dieser Forde-

-

30

-

rung sieht man auch wie folgt ein. Es ~ibt keine Forge z E X ~, die in keiner Nuttmenge

liegt. Betrachtet

man jedoch nur so~che Nublmengen,

die auf eine bestimmte Weise durch A ~ o r i t h m e n sind diese Nuttmengen aufz~hlbar. eine Menge vom MaB dieser NuLlmengen

dargestellt

Diese Nul~mengen

werden,

definieren

1, n~mtich die Menge alter Folgen,

somlt

die in keiner

liegt. Diese Folgen kSnnen als Zufa~Isfolgen

Lich des betrachteten

Types einer konstruktiven

so

NulLmenge

bez~g-

angesehen

werden. MARTIN-LOF

schtug in E 27]

in der Form yon rekursiven ZufaLLsfoLgen

eine Pr~zisierung Sequentiattests

nennen wit hyperzuf~llig.

zum Begriff der ZufaLligkeit,

der FastfiberaLlgesetze

vor. Die so definierten

Es ist dies der erste Ansatz

der aLLe statistischen

Zufallsgesetze

wie das Gesetz der groBen Zanlen und das Gesetz vom iterierten Logarithmus

berGcksichtigt.

Um den Begriff der hyperzuf~lligen

FoL~e volt zu erfassen,

tieren wir in diesem KapiteL verschiedene In Paragraph

in Paragraph

Folgen durch Spie~systeme. Charakterisierung

get FoLgen zeigen,

In den Para~raphen

6 und 7 findet

verhatten,

Fot~en durch Invarianzeigen-

~quiva~enten

Beschreibungen

und rechtfertigen

hyperzuf~LLi-

Fotgen wird deuttich,

die These,

da~ diese Fotgen

sind.

Bei allen drei der obengenannten

Definitionen

der hyperzuf~Ltigen

dab von diesen Folgen Ei~enschaften

die zwar mit Rechenprozessen

zusammenh~ngen,

in effektiver Weise in diesen zum Ausdruck kommen. rekursiven Sequentialtests das entsprecnende

sich eine

dab sicn diese FoLgen in vieLer Hinsicht wie ideale

ideale ZufaLlsfoLgen

werden,

Gber rekursive

5 eine Definition der hyperzuf~lligen

der hyperzuf~lLigen

Die verschiedenen

Zufaltsfolgen

zu diesem Be~riff.

4 behandetn wir den Ansatz yon MARTIN-LOF

Sequentiattests,

schaften.

Zu~n~e

disku-

liefert

FastGberattgesetz

verlangt

die jedoch nicht

Die Definition

zum Beispiel keinen Hinweis, an einer vorgegebenen

des

wie

FoLge effek-

-

tiv nachzuprUfen

-

ist. Einem statistischen

eine physika%ische

Bedeutung

dieses Gesetz nachgeprGft al~en Eigenschaften, physika%ische

31

Gesetz kommt aber nur dann

zu, wenn man exp%izit angeben kann,

werden so%%. Damit ist nicht gesichert,

die man von hyperzuf~%%igen

Bedeutung

zukommt.

Fo%~en ver%an~t,

Die Invarianzei~enschaften

zuf~%%igen Fo%gen sind Funktionen,

Spie%systeme gedr~ckt,

werden die Eins~tze

die ebenfa%%s

ob eine

yon hyper-

die i.a. nicht "effektiv"

tuitiven Sinne sind. Bei der Beschreibun~ hyperzuf~%%iger

wie

im in-

Fo%~en durch

eines Spie%ers durch Funktionen aus-

i.a. nicht berechenbar und somit auch nicht

effektiv sind. Daneben wird in der Beschreibung hyperzuf~%%iger systeme noch eine besondere Unsymmetrie 8 n~er

untersucht

wird. Dutch Beseiti~un~

man zu einem sch~rferen Konzept Sinne von MARTIN-L~F

we%che in Paragraph

dieser Unsymmetrie

der Zufa%%sfo%~e.

sind nicht die al%gemeinsten

konstruktiv beschreibbar keit Konzepte

sichtbar,

Fo%gen durch SpieL-

~e%angt

Die Nu%%mengen Nu%%men~en,

im

we%che

sind. Vie%mehr kann man ohne gro~e Schwierig-

fur "nicht effektive"

Zufa%%stests

entwicke%n,

Fo%gen be%iebig hoher K%assen der KLEENE Hierarchie

a%s nicht

die aLLe zuf~%-

%ig ab%ehnen. Diese MSg%ichkeit, Zufa%%stests

zu entwicke%n,

nigen Nu%%mengen A%gorithmen

immer sch~rfere Konzepte konstruktivistischer

entscheidend

beschreiben

fektiv nachpr~fbaren se statistischen

%egt es nshe,

dab nicht die Men~e derje-

ist, die sich in irgendeiner Form dutch

%assen,

sondern da~ es auf die Men~e der ef-

statistischen

Zufa%%sgesetze

Zufa%%seigenschaften

ankommt.

Die-

werden in Kapite% III charakterisiert.

-

32

-

4. H2perzuf~llige

?otgen

Wir behandeLn nun den VorschLag MARTIN-L6F'e Zufallefotgen. Nuttmenge

"konstruktiven"

"konstruktlven

kurslve N u ~ m e n g e n . Existenz

schlug vor, den herkSmmlichen

Begriff

auf elne speziette Weiee zu konstruktivisieren

deflnierten Diese

MARTIN-L~F

zur Definition von

und die so

NuL~mengen ate F~G'e zu interpretieren.

Nu~mengen

i.S. yon MARTIN-L6F nennen wir re-

Das charakteristische

einer universetten

der

an diesem Konzept

rekursiven Nu~Imenge,

iet die

die aLbe anderen

rekursiven NutLmengen umfapt. Es sei X = [0,13 und ~ die GteichverteiLun~ ~(0)

auf X, d.h.

= ~(I) = 1/2. Wit betracnten auf X ~ das Produktma~ ~ und die

Produkttopo~ogie

zur diekreten TopoLogie auf X. D.h. B c X

dann offen, wenn B Zyllndermenge

ist genau

ist, also B = CA] fur ein geeignetes

A ~ X*. Definition

(4.1)

B c X ~ heist rekureiv offen (r.o.),

wenn es ein rekursiv aufz~htba-

res A c X* gibt mit B = ~A~. ~ X ~ sol~ nun genau damn eine rekursive Nut~menge betiebig kLeine rekurslv offene Umgebungen v o n •

eein, wenn man

effektiv angeben

kann. Definition

(4.2)

~ X ~ ist eine rekurslve Nultmenge,

wenn ee eine rekurslv aufz~ht-

bare Menge Y c N x X* gibt mit (I) ~ EYi] ~ 2 -i (2) ~ c i ~ N

CYi]" Dabei sei Yi = Ix E X*

Y heist ein rekursiver 8equentiaLtest rekursive N u ~ m e n g e

ist ~y = i ~ N

(i E N),

I (i,x) E Y).

zu ~. Die von Y erzeugte

CYi]" Man sagt, die Fotgen in ~y

bestehen den rekursiven Sequentia~test

Y nicht. Da Y rekursiv aufz~hL-

-

33

-

bar Ist, sind die Umgebungen [Yi] yon ~y rekursiv offen. In Anatogie zu den p.r. Funktlonen gilt nun fotgendes Aufz~htungstheorem fur die rekursiven Sequentiattests. Satz (4.3) Die Men~e alter rekursiven SequentiaLtests ist rekursiv aufz~htbar. Das heIBt,

es gibt eine rekursiv aufz~htbare Menge Y c N x N x X*,

so da B Yi = {(n,x)

I (i,n,x) E Y] mit i E N aILe rekursiven Sequen-

tiattests durchL~uft. Beweis: Da die rekursiv aufz~htbaren Mengen gerade die Definitionsbereiche der p.r. Funktionen sind, folgt aus dem Aufz~htungstheorem fur die p.r. Funktionen (slehe Anhang), dab es eine rekursiv aufz~htbare Menge Y c N ~ N ~ X* gibt, so dab Yi m i t i aufz~htbaren Teilmengen von N ~ X *

E N alte rekursiv

durchL~uft. Da Y nicht Leer ist,

kann man eine rekursive Funktion H: N ~ N x N ~ X * konstruieren mit h(N) = Y. Wit ~Ludern nun Y rekursiv so ab, dab aus allen Projektionen Yi rekurslve Sequentiattests werden. Es bezeichne

~ (i,n m) = {x E x*

I (i,n,x)

E j U~ m

(j)}

~mdern wlr rekursiv ab zu einer rekursiven Funktion h: N ~ N x N ~ X *

{

h(m)

h(m)

=

I

U {I}. Dabei sei I ein noch unbenutztes Symbol. falls H(m) = (i,n,x) mit

=(m) ] ~[Yi,n

2-n

sonst.

Es bezeiehne Y = h ( N ) - {I}" Dann ist nach Konstruktion jede Projektlon Yi ein rekursiver Sequentiattest, und atte rekursiven Sequentlattests kommen unter den Yi vor, q.e.d. Sei Y c N x N a X * eine rekursive Aufz~htung atler rekursiven Sequentialtests. Dann wlrd durch

-

Ui = k ~ N

34

-

Yk,i+k+l

ein rekursiver SequentiaLtest U c N ~ X *

definiert. Denn U ist rekur-

siv a u f z ~ L b a ~ und es gi~t: ~[Ui] ~

~ kEN ~ j=1

~ [Yk i+k+l ]

2-i-J ~ 2 -i

U hat die besondere Eigenschaft,

da6 fGr jeden rekursiven Sequential-

test Yk der Aufz~h%ung foLgendes gilt: [Yi+k+1] c [Ui]

(i 6 N).

Somit ergibt sich der folgende Satz (¢.4) Es gibt einen rekursiven Sequentiattest U c N ~X*~ so da~ es zu jedem rekursiven Sequentiattest Y c N x X * [Yi+k] c [Ui]

ein k E N gibt mit

(i E N). Ein soLcher rekursiver Sequentiattest

heist

universelt. Fdr einen universelten rekursiven SequentiaLtest U gilt / ~ [YiS ~ ~ [Ui] f~r jeden rekursiven SequentiaLtest Y. Also i6N i6N foLgt fdr die von U erzeugte Nub~menge ~U das KoroLLar (4.5) Ist U ein universeLier rekursiver SequentiaLtest r dann enth~lt ~U jede rekursive NuL%menge.

~U hei@t die universel~e rekursive Nullmen-

~e.

Definition (4.6) Die FoLgen in R h

= X~ - ~U hei~en hyperzuf~lLig. def

-

Korottar

35

-

(4.7)

~(~h ) = I, d~h. fast al~e Folgen sind hyperzuf~l~ig. Wir zeigen nun eine erste Eigenschaft die wir Intuitiv yon jeder Z u f a ~ s f o ~ g e

yon hyperzuf~l~igen

Folgen,

erwarten.

Satz (4.8) Keine hyperzuf~l~ige Beweis:

Wir zeigen,

Folge ist rekursiv. da~ es zu jeder rekursiven Folge z E X ~ einen re-

kursiven Sequentialtest

gibt, den die Folge z nicht besteht.

Zu einer

rekursiven Folge z E X ~ definieren wir einen rekursiven Sequentialtest Y c N ~ X * wie fo~gt: und es gilt ~[Yi]

= ~[z(i)]

Yi = [z(i)]. Y ist rekursiv aufz~hlbar, = 2 -i. Nach Konetruktion

gilt welter

z E ~ [Yi ] . iEN Mit Korotlar im Komplement

(4.8)

ist also gezeigt,

der universeLten

ist es aber auch fragLich, sehen kann. Denn dies hieSe

da~ es keine rekursive

rekursiven Nuttmenge

ob man ~U ale ein statistisches

Gesetz an-

Andererseits

dab die effektive Nachpr~fbarkeit

immer wit darunter verstehen, konstruieren,

Damit

Ja, da~ man zu diesem statistischen

keine Folge konstruleren kann, die es erfUttt. nahe zu erwarten,

~U gibt.

es gerade gestattet,

die das FOG erfGLLen.

Gerade deshatb,

FoLge

Gesetz

liegt es

sines F~G'es,

was

sotche Folgen zu well wir das star-

ke Gesetz der gro~en Zahten dadurch nachprGfen k8nnen,

indem wir die

~Anzahl der Nullen und Einsen in den Anfangsabschnitten

vergteichen

kSnnen,

ist es mSgtich,

Folgen zu konstruieren,

der groSen Zahlen erf~llen,

etwa die Folge 01010101 ....

Was soil es aber ~berhaupt heiSen, ge zugeh~rige F~G nachzupr~fen? tiattest.

das zu einer rekursiven Nullmen-

Sei Y c N ~ X* ein rekursiver

Zu x E X* und i E N bedeutet der Wert

21xl ~([ri] n Ix])

die das starke Gesetz

Sequen-

-

die Wahrscheinlichkeit beginnt,

dafUr,

in der r.o. Umgebung

36

-

da~ eine unendtiche FoL~e,

die mit x

[Yi] der rekurslven NuLLmenge

~y = ~ [Yi] tiegt. Dieser Wert sagt also etwas darGber aus, iEN

inwie-

welt die Anfangsfolge

Ist der

Wert hoch,

x dem zu ~y zugehSrigen F~G entspricht.

dann entspricht x eben diesem FOG in retativ geringem Ma6e.

Nun haben wir aber bei der Definition neswegs

gefordert,

rekursiver

da B man diese Werte effektiv berechnen kann.

s~chtich ist dies, wie wir noch sehen werden, besondere

SequentiaLtests

fGr einen universetten

im attgemeinen

rekursiven Sequentiattest

keiTat-

und ins-

auch nicht

der FALL. Daher ist nicht gesichert, hyperzuf~Ltigen

da6 atte Eigenschaften,

FoLgen vertangt werden,

die formal von

auch physikaLisch

interpre-

tierbar sind. Wirbenutzen

im foLgenden

ve Sequentiattests.

eine NormierungsmSglichkeit

Eine Menge A c

X* heist prefix-frei,

fGr rekursiwenn

A O AXX* = ~. D.h. kein Wort von A ist Prefix

(Vorsitbe)

eines anderen.

Das inter-

essante an den prefix-freien Mengen Ist, da~ f~r Jede solche Menge A foLgendes

gilt:

~CA] = ~- 2 -Ixl. xEA Lemma (4.9) Man kann zu ~eder rekursiv aufz~htbaren Menge A c X* eine prefix-freie, rekursive Menge B c X* so konstruieren I da~ [A] = [B]. Beweis:

Zu jeder rekursiv aufz~htbaren Menge A c X* kann man eine re-

kursive Funktion h: N ~ X* U [I} konstruieren mit A = h(N) 0 X*. Das Zeichen nen A n =

Iist

notwendig

zur Darstellung

der Leeren Menge.

Wir bezeich-

~ h(i) N X*. Die L~nge der l~ngsten Forge in A n sei r(n). i~n Wir setzen r(n) = O, wenn A n = ~. Die charakteristische Funktion

-

37

-

XB: X* ~ [O,1] von B wird wie folgt definlert: =

o

fur alle x, so dab XB(X) mlt

Ixl

=

]xl ~ r(n) + n

fur a l t e n

E N.

Ixl = r(n) + n wird rekurslv wie foLgt bestimmt: r(o):

XB(X) = [~

x = h(O) sonst,

fur

Ix]

= r(n) + n, n • I

XB(X) = I~

x E

A

X* - An_IX*

sonst. Aus der Kenstruktion foLgt, da~ B rekursiv und prefix-frei ist. Ferner gilt fGr a l l e n [An] = [BX* D xr(n)+n]. Daraus fo~gt [A] = [B], q.e.d. Wendet man obiges Lemma auf rekursive SequentiaLtests an, so ergibt sich das Korollar (4.10) Zu Jedem rekursiven SequentiaLtest Y ~ N ~ X* kann man einen rekurslyen SequentiaLtest Y c N x X * mit ~y = ~

so konstruieren+

da~ Y eine

rekursive TeiLmenge yon N ~ X * und Yi fur aLLe i preflx-frel ist. Will man den Begriff des rekursiven SequentiaLtests Y versch~rfen, was eines unserer Ziele ist, dann genUgt es also nicht zu fordern, da~ Y rekursive TeiLmenge yon N x X* ist, setbst wenn man zus~tzlich fordert, da~ alle Yi prefix-frei sind. Wir werden im FoLgenden yon einem vorgegebenen rek. Sequentialtest Y ~ N x X* auch ohne ausdr~ckLichen Hinweis stets annehmen, dab Y c N x X * elne rekursive Menge ist.

-

38

-

5. Hyperzuf~ltige FoLgen und das Prinzip vom ausgesch%ossenen Spietsystem

Historisch sind die Begrlffe Wahrschein%ichkeit und Zuf~t%igkeit eng mit den G%Gcksspie%en verbunden. Man hat attgemein die VorsteLtung, da~ ein Spieler bei einem G%GcksspieL auf die Dauer nicht gewinnen kann, sofern dem Spiel eine echte ZufaL%sfo%ge zugrundetiegt und die Auszah%ungsbedingungen auf Chancenglelchheit beruhen. Wir wiesen schon darauf hin, da~ auch das VON MISES'sche Mode%% des KoLtektivs an einem sotchen Spie%modelt orientiert ist. Nun wo%ten wir die hyperzuf~lLigen Totgen durch das Prinzip vom ausgesch%ossenen Spietsystem charakterisieren. Ein Spiel in unserem naiven Sinne soLL gegeben sein durch zwei Funktionen Bi: X* - R +

i = 0,1

Dabei sei R + die Menge der nicht negativen reetten ZahLen. Bezogen auf eine unendtlche FoLge z E X ~ bedeutet Bi(Zl...z n) den Einsatz, den der SpieLer nach Kenntnis der ersten n G~ieder der Fotge auf das Erelgnis Zn+ I = i setzt. Die Einsatzfunktionen B i

(i = 0,1) erzeugen aus einem Anfangs-

vermSgen V(A) E R eine VermSgensfunktion V: X* ~ R. Dabei bedeutet V(Zl...z n) das VermSgen nach den ersten n Spie%runden, wenn der ZufatLsgenerator mit zlz2...z n beginnt. Das VermSgen ~ndert sich yon der n-ten zur n+l-ten Spie%runde wie foLgt: V(ZlZ2...Zn+ I) = V(ZlZ2...Zn)

(A) +

(2

i=0,1

81 Zn+1

1)

-

39

-

Dabel ist 8 ki das KroneckersymboL. Die Auszah~ungsbedingung (A) bedeutet, da B der Spieler den Einsatz, den er auf das eintretende Erelgnis gesetzt hat, zurUckerh~tt und dazu noch den gLelchen Betrag ats Pr~mie. Der auf das nicht eintretende Ereignis gesetzte Betrag geht lhm verLoren. Hieraus fotgt f~r das VermSgen V die FunktionatgLeichung

(M)

V(x) =2 -1V(xo) +2 - 1 V ( x l )

(x E X*).

Diese G~eichgewichtsbedingung dr~ckt aus, dab das VermSgen nach der n-ten Spietrunde gteich dem Erwartungswert fGr das VermSgen nach der (n+l)-ten Spletrunde ist. Funktionen V: X* * R mlt (M) hei~en Martingale oder auch VermSgensfunktionen.

(M) nennen wlr die Martingatelgen-

schaft. MartingaLe wurden im Zusammenhang mit ZufallsfoLgen zum ersten Mat von VILLE E49 ~ betrachtet. Lemma (5.1) Jedes MartingaL V: X* ~ R wird yon ~eeigneten Einsatzfunktionen aus dem AnfangsvermSgen V(A) erzeugt. Beweis: Man setze Bi(x) = 2 - 1

v(xl)

Dann gi~t mit der Bezeichnung 0 = I, ~ = O: V(x) +

~ (2 8~ - 1) Bi(x)_ _ i=O, 1

= V(x) + 2-1V(xj) - 2-1V(x~) =

V(xj)

(j=0,1).

Atso Ist die AuszahLungsbedingung (A) fGr diese Einsatzfunktionen erfUttt. V wird somit yon obigen Einsatzfunktlonen erzeugt. Wir bemerken noch, dab man die Einsatzfunktionen nat~r~ich so ab~ndern kann, dab sie nicht negativ sind.

-

ALtgemein

istes

40

-

in SpieLbanken Ub~ich,

da~ ein Spieler w~hrend

des Spiels keine Sohulden bei der Bank machen darf, d.h. er darf nle mehr einsetzen,

als sein augenbtickLiches

VermSgen betr~gt.

Wir for-

dern daher im foLgenden die Einsatzbedingung

(E)

Bo(X) + Bl(X) ~ V(x)

Die Bedingung

(x ~ X*).

(E) sichert gerade,

rerseits V nicht negativ,

Bi(x) = 2-1V(xi) Einsatzfunktionen,

da B V nicht negatlv ist. Ist ande-

so sind

i = o,I

die V erzeugen.

Aus der Martingal-Eigenschaft

fotgt,

da~ B 0 und B I dann (E) erf~Lten. Von einer ZufalLsfotge

z wird man erwarten,

da~ ein Spieler auf

die Dauer in einem Spiel Gber z nicht gewinnen kann, VermSgen beschr~nkt satzfunktionen zun~chet

bteibt.

NatUrLich mu~ man verLangen,

in irgendeiner Form konstruktiv

da~ die hyperzuf~Lligen

Einsatzfunktionen Definition

charakterieiert

da B sein

dab die Ein-

sind. Wir betrachten

einen sehr weiten Typ yon konstruktlven

und zeigen,

d.h.,

Einsatzfunktionen

Folgen durch Spiele mit eolchen

werden.

(5.2)

Eine Funktion F: X* ~ R heist subberechenbar, Eunktion g: N ~ X * (I)

g(i,X)

(2)

tim g(i,x) i

- Q gibt mlt

~ g(i+1,x) = F(x)

(i E N, x E X*), (x ~ X*).

Eine Funktion F: X* ~ R Ist berechenbar dann, wenn F u n d

-F subberechenbar

sind.

im Gb~ichen Sinn genau

Genau die berechenbaren

Funktione~ sind im intuitiven Sinne effektiv. see Paragraphen

wenn es eine rekursive

Das Hauptresuttat

die-

ist der

Satz (5.3) Eine FoLge z E X ~ let genau dann hyperzuf~tlig,

wenn es kein eubbe-

-41

-

rechenbares Martingal V: X* ~ R + gibt mit l~-mV(z(n)) = ~. n Aus dem Satz folgt sofort das Korollar (5.4) Eine Fol~e z Ist genau dann hyperzuf~llig, wenn bei Jedem Spiel Uber z mlt subberechenbaren Einsatzfunktionen,

die (E) erfUllen~ das Ver-

mSgen beschr~nkt bleibt. Zum Beweis ziehen wir ein Lemma vor. Zu V: X* - R + bezelchne V (k) = Ix E X* I V(x) > k]. Zu A c X* sei i = ~x E A I x ~ AXX*]. ist die Menge alter Folgen in A, die nlcht Fortsetzung einer k~drzeren Folge in A sind. F~r A c X* gilt stets (i)

~ [A S = ~ _ 2 -IxI, xEA

und f~r Jede VermSgensfunktlon V: X* ~ R + gilt (ii)

2-1YlV(y) ~

_ ~ V(x) 2 -IxI xEA N yX*

(y E X*, A ~ X*).

Nun beweisen wir das Lemma (5.5) F~r eln Martingat V: X* - R + und k > 0 gilt stets: ~[v (k) n yx*] ~ V(y)

~Ey]k -I

(y E X*).

Beweis: Es gilt wegen (i), (ii):

2-1ylv(y) ~

~

v(x)2-1xl ~ k

~

2-1xl

= k ~ Iv(k~ n yX*]. Wir bsmerken noch, da~ wir zum Beweis yon (5.5) nur einen Tell der (M) ausnutzten, n~mlich die Ungleichung V(x) ~ I/2 (V(xO) + V(xl)). Zu einem Martingal V: X* ~ R + bezeichnen wir:

-

~V = [z E X~[ i't'Tm V ( z ( n ) ) n

42

-

= --] = f'~ [ v ( n ) ] . nEN

Aufgrund von Lemma (5.5) ist ~V elne Nullmenge, denn es gilt

[V ( n ) ] = ~ [V (n) N AX*] g V(A) n - 1 . Ein Martingal V: X* ~ R + und die zugehSrige Nullmenge ~V sind in einer besonders sinnf~%ligen Welse miteinander verknUpft. Die GrSBe des Wertes V(x) gibt gerade an, inwieweit die Fo%ge x dem FastUberal%gesetz entspricht, das durch die Nuttmenge ~V gegeben ist. GroBe Werte V(x) bedeuten, dab x diesem FastUberattgesetz wenig entsprlcht. Dieser Zusammenhang l~Bt sich durch Lemma (5.5) noch pr~zisieren.

Sei V(^)>S.

Dann ist fur jedes m E N,[V (k) N XmX *] eine Umgebung yon ~V' und ihre Gr~e

kann man absch~tzen durch ~ IV (k) O xmx *] ~ k -I. Zu x E X* bedeu-

tet ~ [V (k) N xX*] die Wahrschein%ichkeit dafUr, dab eine Forge, die mit x beginnt, in der Umgebung IV (k) N xlXlx * ] v o n

~V tiegt. Lemma (5.5)

besagt, da B man diese Wahrscheintichkeit mit HiLfe des Funktionswertes V(x) absch~tzen kann. Da dies fur alle k > O gilt, enth~It der Wert V(x) eine Bewertung der Folge x hinsichtLich beLiebig kLelner Umgebungen yon ~V" Beweis yon (5.3):

(I) Angenommen z E X ~ ist hyperzuf~Itig, und

V: X* ~ R + ist ein subberechenbares Martlngal. Man w~hLe k E N so, dab k > V(A). Dann definieren wir einen rekursiven Sequentialtest y c N xX* dureh:

Yi = Ix ~ x * l v ( x ) > 2 i k ~ . Aus V subberechenbar folgt Y rekursiv aufz~hlbar. Lemma (5.5) impliziert, da B Y ein rekursiver Sequentia%test ist. Es gilt ~y = ~V" (II) Angenommen es geLte i ~ V(z(n)) < ~ fur jedes subberechenbare n Martingat V: X* ~ R +. Sei Y c N ~ X * ein rekursiver Sequentialtest mit Yi N YiXX * = ~ V: X* ~ R + durch

(i E N). Nun definieren wir ein Martingal

-

vCb

=

iEN

(

2-Taf baEY i

ist subberechenbar, V die Eigenschaft

÷

43

-

@

XYiXx*(b)

wei~ Y rekurslv aufz~hhLbar let. Wir zeigen,

(M) erfUILt.

da~

FUr j E X ~iefert bja E Yi foLgende

Beitr~ge zu V(b)

den Beitrag

zu V(bj) den Beitrag

i 2 -ljal i 2 -lal

zu V(b~) den Beitrag FUr diese Beitr~ge

0

gilt die ReLation

(M):

i 2 -ljaI = 2-I(i 2 -IaI + 0). b E Yi ~iefert foLgende Beltr~ge zu V(b)

den Beitrag

i

(innere Summe)

zu V(bO) den Beitrag

i

(XYiXx.(bO)

zu V(bl) den Beitrag

i

(XYiXx.(bl).

SchLie~Lich

Liefert b E YiXX * JeweiLs den Beitrag i zu V(b), V(bO),

V(bl) und zwar dutch XYiXX.. Da fur a~Le Summanden yon V(b), V(bO), V(bl) einze~n die Relation

(M) gi~t, genUgt V se~bst der ReLation

(M).

Die Bedingung Yi O YiXX* = ~ Imp~izlert V(A) = ~ i ~ [Yi] g ~ i 2 -i. iEN iEN Damit sind aLOe Werte V(b) endLich, ein eubberechenbares Angenommen,

Martinga~

und es ist gezeigt,

da~ V: X* ~ R +

ist.

es geLte z E ~y. Zu i E N gibt es dann ein n E N mit

z(n) E Yi" Es fo~gt V(z(n))

~ i. A~so impLiziert

l-i-mV(z(n)) = ~ im Widerspruch

zur Armahme.

z E ~y die ReLation

Somit ist z h y p e r z u f ~ i g ,

n

q.e.d. Die D a r s t e ~ u n g

der rekursiven NuL~mengen

durch subberechenbare

-

Martingale

macht es deutlich,

ats effektiv nachpr~fbare

44

-

da~ man dlese Nul~mengen nicht durehweg

Fast~beratlgesetze

endtlchen Folge x gibt der Wert V(x)

deuten kann.

zwar an, inwieweit

dem zu ~V gehSrigen PastUberatLgesetz

entspricht.

desto weniger erfUltt die Folge x dieses Gesetz. kann i.a. nicht effektiv bestimmt werden, bar. Es tiegt also nahe,

Zu einer

die Folge x

Je grS~er V(x) ist, Aber der Weft V(x)

denn er ist nur subberechen-

da~ zur Charakterlsierung

der effektiv nach-

prUfbaren Zufaltseigenschaften

nur berechenbare

in Betracht kommen.

wird man ein FastUberaltgesetz

Naturgem~

sonders wichtig halten,

Martingale

V: X* ~ R + fur be-

wenn man eine zugehSrige VermSgensfunktion

V

auf einfache Weise berechnen kann. Zum Abschlu~

des Kapitets

satz (5.3) nicht ~ndert, ein subberechenbares

zeigen wir noch,

wenn man il-~ durch tim ersetzt.

D.h. wenn es

Martingal V: X* ~ R + gibt mlt tim v(z(n)) n

dann gibt es auch ein subberechenbares tim V(z(n)) n

da~ sich der ~quivatenz-

= ~,

Martlngat V: X* ~ R + mit

= ~.

Satz (5.6) Es gibt ein subberechenbares ~z E X'Itim V(z(n)) n Beweis:

Martingal V: X* ~ R +, so da B

= ~) die universelte

Es sei U c N ~ X *

ten rekursiven Nullmenge

ein rekursiver

rekursive Nutlmenge

Sequentiattest

~U" U sei so normiert,

ist.

zur universet-

da~

U i O UiXX* = ~ (i E N). Wir betrachten das zu U gehSrige Martingat V: X* * R +, das wie im Beweis

v(b) =

( iEN

2-I I

zu (5.3) definiert

+

baEU i

)

ist:

@

XUiXx*(b)

Sei z E ~U = iEN~ KUiJ. Dann gibt es zu jedem i E N ein n E N, so da6 z(n) E U i. Daraus i gilt,

fotgt V(z(m))

folgt die Behauptung.

~ i fGr alle m ~ n. Da dies fur atle

-

45

-

6. Charakterisierung hyperzuf~l~iger Folgen durch Invarianzei~enschaften

Wir wiesen bereits darauf hin, da~ man den VON MISES'schen Ansatz zur Definition der K o ~ e k t i v e auch unter dem Gesichtspunkt der Invarianzeigenschaften sehen kann. Eine Forge solute n~m~ich genau dann zuf~ig

sein, wenn sie das starke Gesetz der gro~en Zah~en e r f ~ t

und wenn durch Anwendung yon S t e ~ e n a u s w a h ~ e n aus dieser Forge stets wieder ZufaL~sfo~gen entstehen. Nachdem aus der VIZZE'schen Kritik hervorging, da~ die rekursiven S t e ~ e n a u s w a h ~ e n nicht zur Charakterisierung a ~ e r

Zufa~Lseigenschaften ausreichten, versuchte man, den

Begriff der Auswah~rege~ zu vera~Lgemeinern. So kann man z.B. die G~ieder der Fo~gen zuerst permutieren und dann eine Auswah~rege~ anwenden. D.h. die G~ieder werden nicht mehr notwendigerweise in der Reihenforge lhres Auftretens in der Forge ausgew~h~t° So~che v e r a ~ g e m e i n e r ten S t e ~ e n a u s w a h ~ e n wurden yon KOLMOGOROFF [22 ~ und LOVELAND E24 ] betrachtet. (Siehe auch Beispie~ E2] in Paragraph 11.) Sofern man dlese verat~gemeinerten Ste~Lenauswah~en immer so vornimmt, da~ ein Glied stets ohne Ansehen des G~iedes se~bst ausgew~h~t wird (a~so nur in Abh~ngigkeit yon den Ubrigen G~iedern), eind die so erzeugten partie~fen Transformationen yon X ~ ma~verk~einernd bezUg~ich jedes Produktma~es. Dies beweist man mit einer ~hn~ichen Argumentation, wie wir sie hinslcht~ich der VON MISES'schen Auswah~rege~n benutzten (siehe (3.3)). Damit fo~gt nach der g~eichen Sch~u~weise wie zum Beweis yon Satz (5.2), da~ es zu abz~h~bar vie~en so~cher Transformationen stets K o ~ e k t i v e gibt, die das starke Gesetz der gro~en Zah~en e r f G ~ e n und durch diese Transformationen stets wieder in so~che K o ~ e k t l v e abgebi~det werden. Wir wotten nun diesen Zusammenhang in seiner Umkehrung betrachten

-

und zeigen,

da~ alte stetigen,

n e n H: X " ~ X ~, die z u s ~ t z % i c h struktlv

sind,

Andererseits

-

maSverkteinernden,

Funktio-

F o l g e n w i e d e r in so%che abbltden.

%assen sich die h y p e r z u f ~ % % i g e n

Eine p a r t i e L % e

partietten

in elnem sehr s c h w a c h e n Sinne k o n -

stets h y p e r z u f ~ % L i g e

varianzeigenschaften

H(xy)

46

F o l g e n durch diese In-

auch c h a r a k t e r l s i e r e n .

F u n k t i o n H: X* - X* heist monoton,

wenn

E H ( x ) X * fdr atte x , x y E D(H).

Einer partietten, d e u t i g e r Weise

m o n o t o n e n F u n k t i o n H: X* ~ X* o r d n e n wlr in ein-

eine partie%%e

F u n k t i o n H: X ~ ~ X ~ zu, i n d e m wir d e f l -

nieren:

D(H) = nEN H(z) E [H(z(i))] D(H)

(z E D(H),

z(i) E D(H)).

b e s t e h t aus a ~ % e n F o % g e n z E X ~,

glbt mit

IH(z(i)) I > n. D u r c h H Ist H in e i n d e u t i g e r

Wir sagen~ monotone

H w e r d e y o n H erzeugt.

Funktionen

Funktionen

partieL%e,

F u n k t i o n H erzeugen.

dab die y o n den p a r t i e ~ e n ,

monotonen

H: X* ~ X* e r z e u g t e n p a r t i e % l e n F u n k t i o n e n H: X ~ ~ X ~ im

wesentLichen

die partie~%en,

Wir e r i n n e r n daran,

s t e t i g e n F u n k t i o n e n y o n X ~ n a c h X ~ sind.

da B eine F u n k t i o n H: X ~ ~ X ~ genau dann stetig

ist, w e n n das U r b i l d H-] o f f e n ist. E i n e p a r t i e L L e

~ogie),

Weise bestimmt.

Dabei kSnnen versohiedene

H diese%be p a r t i e l % e

Wir w o L % e n n u n zeigen,

(bzgL.

so da~ es zu jedem n E N ein i

[A] einer o f f e n e n Menge

F u n k t i o n H: X ~ ~ X ~ ist genau d a n n stetig

der d u r c h die I n k L u s i o n D(H) c X ~ auf D(H) w e n n es zu jeder o f f e n e n M e n g e

[B] = X " gibt sit H-I

[A] stets w i e d e r

induzierten

Topo-

[A] c X ~ eine offene M e n g e

[A] = [B] 0 D(H).

_T.,e a (6. t). Eine p a r t i e ~ % e

F u n k t i o n F: X ~ ~ X ~ Ist genau dann stetig T w e n n es

-

47

-

eine partiette, monotone Funktion H: X* -X* gibt mit (I),(2).

(I)

D(~) c DCH)

(2)

~(z) = HCz)

(z ~ D(~)).

Beweis: (I) Es sei H: X* ~ X* eine pattie%re, monotone Funktion. Dann girt H -1 [A] = [H-I(AX*)] 0 D(H) fur atte A c X*. Damit ist stetig und somit auch Jede Einschr~nkung von H. (II) Sei F: X ~ - X ~ eine partie%%e stetige Funktion. Dann gibt es zu Jedem y E X* eine Menge A c X*, so da~ ~-1[y] = [A S 0 D(F). Ferner kann man A stets in dem Sinne "k%ein" w~h%en, da~ [ a ] N

D(F) $

f~r a%Le a E A. Beachtet man, da~ [A] = [AX] fur aL%e A c X*, dann gibt es zu Jedem y E X* eine Menge A y c

~-l(y) = lAyS N D(P)

X*, so da~

(y E X*), (a E Ay), (y E X*, x ¢ XX*).

Ay x c AyXX*

Nun definiere man die partiette Funktion H: X* ~ X * wie folgt: H(b) = y

(b E Ay).

Nach Konstruktion ist H: X* ~ X* eine partielte, monotone Punktion mit D(H) ~ D(~) und H(z) = P(z)

f~r alZe z E D(~).

Definition (6.2) Eine partie%le Funktion H: X ~ -

X~ heine subberechenbar stetig

m

(sb. s.), wenn H yon einer pattie%% rekursiven, monotonen ~unktion H: X* ~ X* erzeugt wird. Es zeigt sich, dab die strengere Forderung H rekursiv nicht zu einer Versch~rfung yon (6.2) fUhrt. Mit einer ~hn%ichen Konstruktion, wie wlr sie zum Beweis des Lemmas (4.9) benutzten, beweist man das

-

Lemma

48

-

(6.3)

Es glbt elnen A~gorlthmus T der zu jeder partie~l

rekursiven~

nen F u n k t i e n

F u n k t i o n HI: X* ~ X*

konstrulert Beweis:

H: X* * X* elne rekurslve r monotone

monoto-

mlt HI=H.

H sel gegeben dutch eine rekursive

Funktlon h: N ~ X * × X *

U [I}

mlt h(N)

O X* × X* = {(x,y)

Zu x E X* bezeichne A(x)

=

~-~

Die F u n k t i o n FaLls

A(x)

I H(x)

= y}.

(a E X* × X* sei gegeben als a = (as,a2))

H(x(i))

N

~

h(i)

HI: X* ~ X* berechne

man nun rekursiv

~ ~, setze man

Hi(x)

= y

mit

IYI = max Izl zEA(x)

und y E A(x).

In diesem Fall w~hLt man also die l~ngste setze man HI(X)=A. Dagegen

wie fotgt:

erglbt

da~ die L ~ n g e n

Nach K o n s t r u k t l o n

se gegen u n e n d l l c h bar stetigen

fur atte

konvergieren.

(b.s.)

in A(x).

FaLts

yon (6.2),

wenn man verLangt,

z E D(H) mlt n in k o n s t r u k t i v e r Dies ftthrt zum Begriff

der b e r e c h e n -

monotonen

Funktlon

H: X* ~ X* und einer rekursi-

wen F u n k t i o n h: N - N ordnen wlr wie fotgt eine b e r e c h e n b a r

D(Hh)

Funktion

= H(z)

stetige,

Hh: X ~ ~ X ~ zu:

= [z E X ~

Hh(Z)

Wel-

F u n k t i o n H: X ~ ~ X ~.

Einer rekursiven,

partlelle

A(x)=~,

gilt dann H=HI"

slch elne V e r s c h ~ r f u n g

IH(z(n))l

Folge

I IH(z(h(n)))l ~ n

(n E N)}.

(z E D(Hh)).

h ist ein S t e t i g k e i t s m o d u ~

zu Hh"

Definltlon(6.4) Eine partielte

F u n k t i o n F: X ~ - X ~ heist

berechenbar

stetig,

wenn es

-

eine rekursive,

monotone

49

-

F u n k t i o n H: X* - X* und eine r e k u r s i v e

Funk-

Lion h: N - N gibt mit P = Hh" Wir b e m e r k e n noch, nen a b g e s c h L o s s e n zwei rekursive, und monoton, rekursive

dab die o b i g e n K L a s s e n y o n p a r t i e I L e n F u n k t i o -

gegenUber

monotone

Zusammensetzung

Funktionen,

und es gilt H~ = ~ .

Funktionen,

sind.

Seien H,G: X * ~ X *

d a n n ist HG ebenfalls

S e i e n z u s ~ t z l i c h h und g: N - N

dann gilt: H h G g = ~ ( h g ) "

s e t z u n g der S t e t i g k e i t s m o d u L n

rekursiv

D.h. die Z u s a m m e n -

y o n H und G: X ~ ~ X ~ ist 8 t e t i g k e i t s m o -

dul v o n ~ - ~ . Es zeigt sich nun, berechenbar zuf~ILige

stetige,

dab h y p e r z u f ~ t l i g e ma~verkleinernde

Folgen abgebildet

"ma~verkleinernd"

werden.

geringfUgig.

Funktionen

Hierzu

stets w i e d e r

sub-

in h y p e r -

e r w e i t e r n wir den B e g r i f f

Eine F u n k t i o n H: X ~ ~ X ~ heine m a ~ b e -

schr~nkt,

w e n n es ein K E N gibt,

folgendes

gilt:

H-I(A)

F o l g e n durch partietle,

so dab fGr able m e ~ b a r e n A c X

~ K ~(A).

Satz (6.5) Sei ~: X ~ - X ~ eine p a r t i e l l e r sb.s. und m a ~ b e s c h r ~ n k t e

Funktion.

D a n n ~Itt ~(R h O D(F)) = R h. Zum Beweis Lemma

ziehen wit ein L e m m a vor.

(6.6)

Sei ~ c X ~ eine r e k u r s i v e sb.s. und m a ~ b e s c h r ~ n k t e

NuILmenge

und H: X ~ - X ~ eine partiel~e,

F u n k t i o n r d a n n Ist H-](~)

ebenfalls

eine re-

k u r s i v e NuLlmenge. Beweis:

Sei Y c N × X* ein r e k u r s i v e r

H: X * ~ X* eine p a r t i e I L rekursive, Es gette

~ H I(A) m 2k~(A)

Sequentia%test

zu • und

m o n o t o n e Funktion,

die H erzeugt.

-

50

-

fur alle me~baren A c X ~. Den rekursiven Sequentialtest ~ zu 2-I(~) definieren wit durch Ti = H-S(Yi+k x*)

(i E N).

Es gilt dann [Yi ] = ~ [ H - 1 ( Y i + k X * ) ] ~

2 -I [Yi+k] ~ 2 k ~ [Yi+k ] ~ 2 -i.

Y ist rekursiv aufz~ihlbar, well Y rekursiv aufz~hlbar und weil H partieL! rekursiv ist. Somit ist Z ein rekursiver Sequentlaltest. Konstruktion

Nach

gilt:

2 -I [Yi+k 3 = [Ti ] Daraus fo%gt H-1(~) c ~ ,

(i E N). also ist H-1(~)

Beweis zu (6.51: Angenommen,

eine rekursive Nu%lmenge.

es gilt ~(z) ~ ~h fur ein z 6 ~h" Dann

gibt es eine rekursive Nutlmenge • c X ~ mit H(z) E ~. Es fotgt z E 2-I(~). Da 2-I(~) nach Lemma (6.6) ebenfatls eine rekursive NutLmenge ist, ergibt sich ein Widerspruch

zur Annahme z E ~h-

Wir versch~rfen den Satz (6.5) und zeigen, da~ man die hyperzuf~tr Ligen FoLgen dutch Invarianzeigenschaften

charakterisieren kann.

Satz (6.7) F~r jede rekursive FoLge x E X ~ gilt: Eine Forge z ist genau dann hyperzuf~Ltig~

wenn es keine partielte~

ma~verkLeinernde Beweis:

subberechenbar

stetige und

Funktion H: X ~ - X ~ gibt mit H(z) = x.

(I) Aus z E ~h fotgt nach (6.5), daO H(z) nicht rekursiv ist.

(II) Sei z ~ ~h" Dann gibt es einen rekursiven Sequentiattest Y mit z E ~y. O.B.d.A. nehmen wir an, da~ Yi+l c Yi x* (i E N). Es genUgt, eine partielle, struieren,

sb.s. ma~verkleinernde

Funktion H: X ~ - X ~ zu kon-

so dap 2(~y) = Ix]. Man definiert hierzu die p.r., monotone

Funktion H: X* - X* durch Es gilt dann:

H(u) = x(i)

D(H) = / ~ [ Y i ] . iEN

fur atLe u E Yi-

-51

-

Die so erzeugte partiette Funktion H ist subberechenbar stetig und ma~verkteinernd. Es gilt H(~y) = ~x}. Abschtle~end weisen wir darauf bin, da~ die subberechenbar stetigen Funktionen und somit die Invarianzeigenschaften der hyperzuf~tLigen Fo~gen nicht effektiv im intuitiven Sinne sind. Effektiv im intuitiven Sinne sind dagegen die berechenbar stetigen Punktionen° Es erhebt sich somit die Frage, welche Klasse yon FoLgen durch sotche "effektiven" Invarianzeigenschaften charakterisiert wird. Diese Frage wird in den Paragraphen 11 und 12 beantwortet. Die Charakterisierung der hyperzuf~LLigen FoL~en

dutch Invarianzelgenschaften in (6.7)

ist inhaLtlich triviaL. Eine eigenst~ndige Bedeutun~ ertan~t dieser Zugang zum Begriff der Zuf~ttigkeit erst, wenn man sich auf "effektive" ZufaLLstests beschr~nkt.

-

52

-

7. Weitere Einw~nde gegen den Begriff der Zuf~lllgkeit Im Sinne yon MARTIN-LOF

Die Z u f a ~ s f o ~ g e n

im Sinne von MARTIN-LOF werden durch subbere-

chenbare Martingale V: X* * R + charakterisiert. Die a~gorithmische Struktur dieser Martlnga~e ist nicht symmetrisch. Es gibt keinen naheliegenden Grund, subberechenbare Martingale V denjenlgen Martingalen V vorzuziehen,

f~r die -V subberechenbar ist. Es erhebt sich

daher die Frage, welche Zufallseigenschaften dutch die letztere K~asse von Martinga~en erfaBt werden. Definition (7.]) Ein Martinga~ V: X* ~ R + ist ein (O)-Test, wenn -V subberechenbar ist. ~V d~f [z E X ~ I ~ V ( z ( n ) ) n

= ~) ist die Menge der Folgen, die

den (O)-Test V nicht bestehen. Eine Forge z E X ~ heIBe ( O ~ z u f ~ i g ,

wenn sie jeden (O)-Test be-

steht. Wir behande~n nun die Frage, ob die ( O ) - z u f ~ i g e n den h y p e r z u f ~ I g e n

Folgen mit

Folgen Ubereinstimmen. Es erscheint a~s eine

Schw~che des Konzepts der Z u f ~ l i g k e i t

im Sinne von MARTIN-LOF,

dab

dies nicht der Falb ist. Darin drUckt sich n~m~ich ein Mangel an Symmetrie in dlesem Konzept aus. Satz (7.2) Es gibt (O)-zuf~l~Ige Folgen t die nicht hyperzuf~lli~ slnd. Zun~chst beweisen wlr folgendes Lemma (7.3) Sei V e i n

(O)-Test und a ~ O rational. Dann glbt es eine rekurslve

~olge z E X~T so da B V(z(n)) ~ V(A) + a

(n E N). Das heIBt z $ ~V"

-

53

-

Beweis: Der (O)-Test V sel gegeben durch die rekursive Funktion g: N × X* ~ Q, so da~ g(i,x) ~ g(i + 1,x) und lim g(i,x) = V(x). i Sel b e i n e

rationale Zahl mit V(A) - a/2 ~ b ~ V(A). Die Folge z kon-

struieren wir rekursiv wie fotgt: Angenommen,

z(n) sei bereits so konstruiert,

da B

n

V(z(±))

~ b + a ~ 2 -j-S j=O

(i • n)

erf~tlt ist. (Man beachte, da~ diese Induktionsvoraussetzung fur n = 0 trlvlat ist.) Aus der Induktionsvoraussetzung foLgt, dab es ein x E X gibt mit n

V(z(n)x) ~ b + a ~ 2 -S-I. j=O Demnach kann man auf effektive Weise ein i E N und ein x E X bestimmen, so dab

g(i,z(n)x)

n+1 ~ b + a ~ 2 -j-1 j=O

Wir definieren z(n+1) = z(n)x. Aus dieser Konstruktion folgt die Behauptung:

V(z(n)) ~ b + a ~

V(^) + a

(n ~ N), q.e.d.

Beweis yon (7.2): Sei (viii E N) eine Aufz~hlung alter (O)-Tests mit VI(A) ~ I. Es genUgt, eine Folge z zu definieren, f~ttig ist und fur die tim Vi(z(n)) K ~

die nicht hyperzu-

(i E N).

n

Sei U c N × X* ein universetter rekursiver Sequentialtest. Wir definieren z E X ~ induktiv wie folgt. Wit nehmen an, dab z(n k) mlt n k E N berelts so definiert ist, dab [z(nk)] c [Uk] und k

k 2-ni -i gi(z(j)) ~ ~ 2 -i i=O i=O (Man beachte, dab die Induktionsannahme

(j ~ nk).

fur k = O triviat ist, wenn

-

54

-

man n 0 = 0 w~h%t.) Nun betrachten wir Vk+ I. Offensicht%ich 2

Vk+1(z(nk))

gateigensehaft.

• 2 -k. Dies fo~gt aus Vk+I(A)

~ Iund

gi%t

der Martin-

Fotglich gibt es ein rekursives y E X ~, so dab

Y(nk) = z(nk) und dab k+J

Z

k+1

2-ni -ivi(y(j)) • ~

i=O

2-i

(2 ~ N).

i=O

Dies fo%gt nim%ioh im wesent%iohen aus der Konstruktion,

die wir im

Beweis zu (7.5) benu%zten. Wei% y rekursiv ist, gibt es ein nk+ I > nk, so da B [Y(nk+1) ] c [Uk+1]. Wir definieren z(nk+ I) = Y(nk+1). Diese Definition yon z imp~iziert "U~ ~ 2-ni -i Vi(z(j)) ~ 2 J I=0 Folg%ich gi%t z ~ ~V. l

z 6 ~U" Andererseits

gilt

(i E N).

(i E N), q.e.d.

DieseIbe Beweismethode

fffhrt zu dem

Lemma (7.4) Jede hyperzuf~%%ige

Forge Ist (0)-zuf~t%i~.

Beweis: Sei V: X* ~ R + ein (O)-Test,

der gegeben ist durch die rekur-

sire Punktion g: N x X* ~ Q mit g(i+1,x) Wir konstruieren

zu V e i n

~ g(l,x) und Lim g(i,x)=V(x). I

rekursives Martinga% P: X* - Q+ mit

~V c ~V" Dabei sel Q+ die Menge der nicht negativen rationaLen Zahten. Wir konstruieren V rekursiv wie fo%gt:

~(A) = g(O,A) + 2. Sei V(x) bereits so konstruiert, V(xl) mtt

=

g(i,xl)

i = min Kjlg(J,xa)

+

2-

da B V(x) > V(x) + 2- Ixl. Man setze

Ixl-1

+ g(j,xO)

~ 2(~(x)

- 2-

Ixl))

-

und

V(xo)

= 2 V(x)

-

= ~(xl).

Aus der Rekursionsannahme

folgt,

men kann. Wir verifizieren

V(xo) = ~ ~(x)

da B man das obige i effektiv bestim-

noch die Rekurslonsannahme

-

g(i,xO)

g(i,xl)

-

2-

Ixl-1

+ 2- Ixl-1

(naeh Def. yon i)

+ 2- i x o t .

V: X* ~ Q+ ist somit ein rekursives Wir haben insgesamt

entwickeln,

Ergebnis,

da B es fur ein

ist, ob man V oder -V als subberechen-

ALs n~chstes wollen wir ein Konzept der Zuf~Lligkeit

das auf Martingalen V: X* * R + beruht,

sche Struktur symmetrisch Definition

Martingal mit ~V ~ ~V' q.e.d.

das Uberraschende

Martingal V: X* ~ R + wesentlich bar voraussetzt.

fGr V(xO):

= ~(xl)

= 2 V(x)

> v(~o)

55

deren atgorithmi-

ist.

(7.5)

Ein MartingaL V: X* ~ R + ist ein (1)-Test,

wenn es elne rekursive

Funktion g: N x X* ~ q gibt mit tim g(i,x) i

= V(x) fur atle x ~ X*.

~V

= [z E X = def

I ~ T ~ V(z(n)) n

= =]ist

die Menge der Folgen,

die den

(1)-Test V nlcht bestehen. Eine Fotge z E X ~ heine steht. Wir zeigen, Zuf~lLigkeit

(1)-zuf~llig,

dab (1)-Zuf~lligkeit

im Sinne von MARTIN-L~F.

wenn sie jeden (1)-Test bewesenttich

Offensichtlich

rechenbare Martlngat V: X* - R + ein (1)-Test. f~ttige Folge auch hyperzuf~llig. hierzu nicht gilt,

sch~rfer ist als ist jedes subbe-

$omit Ist Jede (1)-zu-

Um zu beweisen,

da~ die Umkehrung

betrachten wir die Kteene Hierarchie

der arithme-

tischen Mengen. Die Kleene Hierarchie

der Pr~dikate

klassifiziert

schen" Mengen wie folgt in K~assen ~m' ~n

die "arithmeti-

n = O,1...:

E n ist die

-

Klasse

56

-

aller M e n g e n A der Form A = [al(QsXl)(Q2x2)...(QnXn)

P(a,xl,x2,...Xn)~.

Dabei

sind E x i s t e n z q u a n t o r e n -Quantoren).

Ist P ein rekurslves

(I) E 0 = 9 0 = E 1 D

91

und die I n k L u s i o n

sind.

[38 ]:

aL~er rekurslven

(A c ist das Komptement

fur a ~ e

nut da~

Generatisierungen

Z n und ~n slnd bekannt

ist die K~asse

(3) Z n U 9 n c Zn+ 1 0 ~n+l

(4) A E Zn+ 1 ~

und die Q2k+S

der K L a s s e n

(2) A E Z n ~ A c E 9 n

n

(fUr atLe

Die Klasse a n von M e n g e n wird ebenso definiert,

Beziehungen

B E H

die Q2k+1

und die Q2k sind G e n e r a t i s i e r u n g e n

hier die Q2k E x i s t e n z q u a n t o r e n Fotgende

Pr~dikat,

Mengen.

yon A).

n ~ 0

ist echt fGr n > O.

A ist rekursiv

aufz~uLbar

bezGgtlch

einer Menge

.

(5) A E Zn+ 1 D

9n+ I ~ A ist rekursiv

bezGgtich

Die Ktasse a n 0 Z n wird UbLicherweise z E X ~ gehSrt

per D e f i n i t i o n

einer Menge

mit &n bezeichnet.

zur Ktasse

B E H n.

Eine Forge

Z n (bzw. Hn), w e n n

[nlz n = 13 in Z n (bzw. 9 n) tiegt.

Satz (7..6) Es ~ibt h y p e r z u f ~ t t i g e Beweis:

Folgen

in A 2.

8ei V: X* - R + ein unlversettes

d.h. ~h = X ~ - ~V" Die Existenz daraus,

eines

da~ es zu jedem r e k u r s i v e n

ein subberechenbares

Beweis

V sei gegeben

g: N × X* - Q m ~ g ( i + 1 , x )

foLgt

z.B.

Y (also auch zu Je-

V gibt mit ~y c ~V (siehe den

durch die rekursive

~ g(i,x),

Martingat,

solchen Martingats

Sequentiattest

dem universe~ten) zu (5.3)).

subberechenbares

tim g(i,x) i

Funktion

= V(x).

Ferner nehmen

-

wir o.B.d.A,

-

an, dab V(^) < I. D a n n Ist das fo%gende

P: X* ~ [0,1] P(x)

57

in

= I ~

Pr~dikat

I: V g(i,x) < 1. 16N

Aus P k a n n m a n z E X ~ rekursiv wie fotgt konstruleren: zi+ 1 = 1 ~ P(z(i)1)

= 1.

Aus der o b l g e n Eigenschaft z sicher%

(5) fo~gt,

dab z E A 2. Die K o n s t r u k t i o n

yon

z $ ~V' q.e.d.

Z u s s m m e n mit

(7.6)

kelt w e s e n t ~ I c h

drUckt der folgende

sch~rfer

$atz aus, da B (1)-Zuf~%%ig-

let ale Z u f ~ L i g k e i t

Im Sinne von MARTIN-LOF.

Satz (7.7) Es gibt keine F o l g e n

in E 2 U ~2'

die ( 1 ) - z u f ~ l l g

Beweis:

(I) Es sei z E X ~ eine Folge

nition,

da~ [nlz n = I] in E 2 %iegt.

dlkat P: N 3 ~ [0,1], zn = I

~

Wir d e f i n i e r e n Funktion

Die end%iche stlmmen.

Is Fa%te

3 ~ P(J,i,n) JEN iEN

= [Jl

~ P(J,r,n) r~i

Menge

= I

D a n n gibt es ein rekursives

Pr~-

= I.

f(i,n)

Wir b e z e i c h n e n = I, J ~ i].

kann man zu g e g e b e n e m

wir g(i,x)

rekursiv

i und n effektiv

wie fo%gt:

(i E N).

(f(i,n)

~ @ ^ Yn = 1) v (f(i,n)

= @ ^ Yn = O)

definierenwir: g(i,y(n))

nach Defi-

einen (S)-Test V mit z E ~V' indem wir eine rekursive

Nun b e r e c h n e n

g(i,^)

aus E 2. Dies bedeutet

so da~ fur al%e n E N:

g: N X X * " Q angeben.

f(i,n)

sind.

= 2 g(i,y(n

- I))

(y E X~).

be-

-

58

-

Im Fable (f(i,n) ~ ~ ^ Yn = 0) v (f(i,n) = ~ ^ Yn = I) deflnieren wir: g(i,y(n))

= 0

(y E X~).

Daraus fotgt:

tim g(i,y(n)) i Fotgtich ist V e i n V(y(n))

=

2 lim g(i,y(n-1)) i 0

(1)-Test,

= Ii n

Zn = Yn' Zn ~ Yn"

und es foLgt:

y(n) = z(n), y(n) ~ z(n).

Das bedeutet z E ~V" (II) Sei z sine Forge in H2" Das bedeutet,

da~ [nlz n = O} in E 2 Liegt.

Nach dem gleichen Argument wie in (I) fotgt somit, dab z nicht (1)-zuf~ttig ist, q.e.d. Somit Ist gezeigt,

da~ man die Zuf~tLigkeit

im Sinne yon MARTIN-LOF

welter versch~rfen kann. Vergleiche hierzu auch den Vorschtag yon D.W. M~LLER [33 ], der ebenfatls ZufatLsfotge

eine Versch~rfung des Begriffs der

im Sinne yon MARTIN-LOF

auf hingewiesen,

enth~tt. AuSerdem sei noch dar-

dab man den Begriff des rekursiven Sequentiattests

U c N × X* natUrtich dadurch erweitern kann, indem man fur U alte Mengen aus den Klassen En, gn

n m 0

der Kteene Hierarchie

zulgSt,

mlt ~ [Ui] g 2 -i. Auf diese Weise kommt man zu einem Konzept der Zuf~Itlgkeit,

f~r das atte arithmetischen Fotgen, d.h. Fotgen in den

Ktassen Zn' Hn

n ~ 0 , nicht zuf~ttig sind.

Einem Vorschtag yon WALD [50] zufotge sottte die Menge der statistischen Gesetze durch die Klasse derjenigen NulLmengen (der Vorschtag yon WALD bezog sicn damaLs nut auf Auswahtregetn) werden,

pr~zisiert

die sich in einem festen Logischen System ausdrGcken

tassen.

-

59

-

Das Komptement der Vereinigung dieser NulLmengen hat dann das Ma6 1 (denn in einer togischen Sprache kSnnen nur abz~htbar viete Nuttmengen bezeichnet werden) und kSnnte somit aLs die Menge der Zufatlsfotgen definlert werden. Da man aber Jede togische Sprache noch erweitern kann, erscheint es nicht mSgtich, auf dieee Weise zu einem endg~ttig ech~rfsten Konzept der ZufaLLsfoLge zu geLangen. Beispletsweiee hat MARTIN-L~F E28~ die Menge atLer hyperarlthmetiecnen Zufa~Iseigenschaften betrachtet. Die Klasse A1 1 = E1 1 O H 1 I der hyperarithmetischen Mengen besteht gerade aus denjenigen Mengen, die eich in beiden 1-Funktionsquantorenformen daretelten laesen (siehe z.B. ROGERS E38]). Die Gesamtheit der Mengen der arithmetiechen Hierarchie biLdet eine echte Teilktasse von AII

MARTIN-L6F

hat gezeigt, da~ der Durchschnitt alLer hyperarithmetiechen Mengen vom Ma~ I setbst keine hyperarithmetische Menge ist. Die Menge der Folgen, weLche atte hyperarithmetischen ZufaLtseigenschaften erfGlLen, f~hrt daher gerade aus der Klaese der hyperarithmetischen Mengen hinaus. Diese Argumente best~rken unsere ~berzeugung, da~ logischer Formatismus alleine nicht zur endgGttigen Pr~zisierung des Zufattebegriffs fUhrt. Dagegen mu~, wie im folgenden noch ausgeftihrt wird, der intuitive Begriff dee effektiv nachprGfbaren statietischen ZufaLtegesetzee gekt~rt werden.

Drittes Kmpitet

Die statistischen (Endg~ttige

Eine Schw~che darin,

Definition der zuf~lligen Folgen)

des MARTIN-LOF'schen

dab Zufa~Iseigenschaften

sche Bedeutung haben.

Die Existenz

gefordert werden,

der Zufal~sfo~gen und die Theorie

wie diese Fo~gen auf effektive al~es beruht im wesentlichen

darauf,

Die effektive Nachpr~fbarkeit elner Forge z E X ~ kann nur in Zu einer dichten Nul~menge

liegt

die keine physikali-

im Sinne von MARTIN-L~F die dieses Ge-

im Sinne yon MARTIN-LOF liefert keinen Hinweis,

Weise approximiert

werden kSnnen.

dab F a s t ~ b e r a ~ g e s e t z e

die nicht in einem effektiven

end~ich vie~en Schritten

der Z u f a ~ s f o l g e n

keine Forge effektiv angeben,

beruht auf dem Auswah~axiom,

sen wurden,

Konzepts

Zu einem Zufa~Isgesetz

kann man im a ~ g e m e i n e n setz e r f ~ t .

Zufallsgesetze

zuge~as-

Sinne nachprGfbar

eines F a s t U b e r a ~ g e s e t z e s asymptotischer

Dies

sind. bzg~.

Weise gemeint sein.

• c X ~ ist die Relation z E • nicht in

entscheidbar.

einem end~ichen Anfangsst~ck

Denn z E ~ h~hugt nicht von

von z ab. Z°B. kann man zu einer vorge-

gebenen Folge nicht in endlich vie~en Schritten festste~len, das starke Gesetz der gro~en Zahlen e r f ~ L t ,

d.h. ob

n ~im n -I ~ z i = I/2. Aber wir kSnnen zu jeder Anfangsfolge n i=I

effektiver Weise die relative H~ufigkeit

n -I

ob sie

n ~

z(n) in

z i bidden und somit

i=I messen,

inwieweit

Zahlen entspricht.

diese Anfangsfo~ge A~gemein

dem starken Gesetz der gro~en

postu~ieren wir, da~ ein nachpr~fbares

-61

Zufaltsgesetz

mit einer effektiven Bewertung verbunden Ist, die zu

jeder endlichen Forge angibt, spricht.

inwieweit

diese Forge dem Gesetz

ent-

Eine sotche Bewertung ist dann ein effektiver Zufattstest.

Die effektiven Zufatlstests fattsfoLgen kommen.

-

erfassen,

sollen genau die Eigenschaften

die in Rechenprozessen

Es sind dies genau dlejenigen

sikalische

effektiv zum Ausdruck

Zufaltseigenschaften,

Bedeutung haben und die durch statistische

werden k6nnen. Rechenproze~

wird. Andererseits

indem diese Nicht-Zuf~tligkeit

die phy-

Erfahrung

Eine FoLge ist genau dann nicht zuf~tLig,

gibt,

yon Zu-

beLegt

wenn es einen

effektiv sichtbar

ist es ktar, wenn es keinen Rechenproze~

gibt,

in

dem sich die Forge in effektiver Weise ats nicht zuf~ltig erweist, dann verh~lt

sich diese Forge wie eine ideale Zufallsfotge.

nition der Zuf~LLigkeit per definitionem

mu~ daher so angetegt

da~ die geforderte

griffs des effektiven Z u f a ~ s t e s t s matischen Beweis nachgewiesen

werden kann. Die Vie~fa~t

zu einer Definition.

a~s ~quiva~ent

tion der Z u f a ~ s f o ~ g e n CHURCH'schen gesetzt,

Daher ist jede Pr~zi-

Dieser Vorsch~ag

nur

erh~rtet slch,

Zug~ngen zum Begriff des effek-

erweisen.

mu~ letzt~ich

zum Ausdruck

vom effektiven Z u f a ~ s t e s t

wenn sich eine Reihe von verschiedenen tiven Z u f a ~ s t e s t s

des Be-

der M8g~ich-

in Rechenprozessen

ist nicht a priori ~berschaubar.

sierung unserer intultiven V o r s t e ~ u n g ein Vorsch~ag

Abso~utheit

nicht durch einen formalen mathe-

mit denen Zufal~seigenschaften

kommen k~nnen,

sein, da~ diese Fotge

zuf~tLig ist.

Es ist unsere ~berzeugung,

keiten,

Die Defi-

Der Vorsch~ag

zur Defini-

elne These sein, ~hn~ich der

These. Dabei wlrd die CHURCH'sche

These bereits voraus-

denn jeder der Zug~nge zum Begriff des effektiven Z u f a ~ s -

tests b e r u h t

auf dem Begriff der effektiven arlthmetischen

In den Paragraphen tel behande~ten

8 - 12 wird gezeigt,

Charakterisierungen

da~ a ~ e

Funktion.

im zweiten Kapi-

der h y p e r z u f ~ i g e n

Fo~gen ~qui-

-

62

-

vatente Definitionen der Zuf~ttigkeit liefern, wenn man sich jeweits auf dieJenigen Zufattstests beschr~nkt, die effektlv slnd. Daneben teiten wir noch weitere ~qulvaLente Darstetlungen der effektiven Zufattstests her. In Paragraph 14 zeigen wir, dab ZufatLsfoLgen durch Optimatit~tseigenschaften fur die Bank ausgezeichnet sind. In Paragraph 15 behandetn wir die ProgrammkompLexit~t nach KOLMOGOROFF. Es ist elne weitere Rechtfertigung unserer Theorie, dab sich ZufaLlsfotgen durch die von uns definierte "effektlve" Programmkomplexit~t charakterlsieren lassen.

-

8. Charakterisierung

63

-

von Zufattsfolgen

durch konstruktive

Nullmen~en nach L.E.J. BROUWER In Paragraph

4 wiesen wlr darauf hln, da~ rekurslve Sequential-

tests im aLlgemeinen nicht als effektive kSnnen.

Dies

Liegt daran,

Tests interpretiert

werden

da~ f~r elnen rekursiven Sequentiattest

Y c N x X* die Werte ([Yi] n [x])2 Ixl im allgemeinen

x E X*, i E N

nicht effektiv berechnet

gibt gerade die WahrscheinLichkeit in der r.o. Umgebung

werden kSnnen. Der obige Wert

an, da~ eine mit x beginnende

[Yi ] yon ~y tiegt. Er sagt etwas darUber aus, in-

wieweit die Forge x dem zu ~y geh~rigen Fastflberattgesetz

entspricht.

Wir behandetn nun einen Typ einer NutLmenge mit entsprechend ren Konstruktivit~tseigenschaften. in intuitionistischer

Diese Nutlmengen

Funktion g: N x N ~ Q gibt mit

sofort,

-f subberechenbar

(n, i E N).

Weise fGr Funktlo-

effektiv aufz~hlbare

da~ f genau dann berechenbar

ist,

i.S. yon (5.2) sind.

Eine reeLLe Zaht r hei~t berechenbar,

Definition

~ 2 -i

gilt wie GbLich in entsprechender

tlon h: N ~ Q gibt mit

Nutlmen-

wenn es elne rekursive

If(n) - g(n,i)1

nen f: Y ~ R, wobei Y eine ohne Wiederhotung

wenn f u n d

den

der Ideen yon BROUWER findet slch in [18].

Eine Funktion f: N ~ R heist berechenbar,

Menge ist. Man veriflziert

sch~rfe-

entsprechen

Form von L.E.J. BROUWER untersuchten

gen E 3 ]. Eine Obersicht

Diese Definition

FoLge

lh(i) - rl ~ 2 -i

wenn es eine rekursive

Funk-

(i E N).

(8.1)

Ein rekurslver

Sequentiattest

Y c N x X* heist total rekursiv,

durch f(n) = ~ [Yn ] eine berechenbare

wenn

Funktion f: N ~ R definiert

wird. Eine Menge ~ c ~y hei~t dann eine total rekursive NutLmen~e.

-

64

-

Wir bezeichnen diese Nullmengen als total rekursiv,

well wir sie

a~s Gegenst~ck der total rekursiven Funktionen ansehen, rekursiven Nullmengen p.r. Funktionen

entsprechen.

(18.2)

Korollar

Ist Y c N x X* ein total rekursiver ~(i,x)

w~hrend die

= ~ (EY i] N[x~)

Sequentialtest,

2 Ixl eine berechenbare

so wird durch

Punktion g: N x X* ~ R

definiert. Beweis:

Zur Berechnung yon g(i,x)

stimme man eine endliche I~ EA~ - ~

bis auf elne Genauigkelt

2 -n be-

Teilmenge A c Yi' so da~

[Yi ~ I ~ 2-1xl

2-n.

Dann bestimme man ~ (EA~ 0 [x~)= ~ [A X Ixl 0 xX*]. Es folgt dann

I~ ([A] O I x ] ) - ~ ( [ Y i ] n I x ] ) Wit geben nun eine erste Definition Definition

2-1xl,

der zuf~lligen Folgen.

(8.3)

Eine Folge z E X ~ heist zuf~llig, Nullmenge

I ~ 2-n

wenn sie in keiner total rekursiven

enthalten ist. ~ c X ~ sei die Menge aller zuf~lligen Folgen.

Es gilt ~h c ~ und somlt ~(~)

= I. Nach dem gleichen Sch~u~ wie

zum Beweis yon (4.7) folgt das Korollar Keine

(8.4)

zufallige Fol~e ist rekursiv.

Der wesentLiche

strukture~le

Unterschied

zwischen rekursiven und

total rekursiven Nultmengen kommt darin zum Ausdruck, der total rekursiven Nullmenge

da~ man zu je-

eine rekursive Folge im Komplement

geben kann. Hierzu stGtzen wir uns auf das Lemma (8.5) Es sei A c X* rekurslv aufz~hlbar t a = ~ ~A~ sei berechenbar

und

an-

-

a < 1. b > 0 sei eine rationale ([z I ... Zr] 0 [A]) < a bestimmen, Beweis:

65

Zahl~

und es sei

2 -r. D a n n kann man ein Zr+ I 6 X e ffektiv

so da B ~ ([z I ... Zr+1]

U m Zr+ I zu bestimmen,

([z I ... Zrl ] D [ A ] )

-

0 [AS)< a

genGgt

2 -r-1

+ b.

es, i ([z I ... Zr0 ] O [A]) und

bis auf eine Genauigkeit

b/2 zu berechnen.

satz (8.6) Zu jeder r e k u r s i v

aufz~hLbaren

Men~e

[A] < I k a n n man eine rekursive Beweis:

Wegen

z = ZlZ2...

A c X* und b e r e c h e n b a r e m

FoLge

z E X ~ - [A] bestimmen.

(8.5) kann man eine rekursive

z i ... E X ~ so berechnen,

Forge

dab f~r r = 1,2,...:

([z I ... Zr] n [AS)< 2 -I ~ ([z I ... Zr_13

+ (1 - ~ [ A ] ) Durch I n d u k t i o n

0 [A])

2- 2 r .

Gber r folgt: r

([z 1 ...

Zr]

0 [A])

< 2- r

p[A]

+ (1 - ~ [ A ] )

2- 2 j

2-r+j

J=l 2 -r (p[A 3 + (I - ~[A]))

Damit

= 2 -r.

gibt es k e i n r E N, so da B [z(r)] c [A]. Well

folgt daraus Koroltar

z ~ [A].

(8.7)

Zu Jeder total r e k u r s i v e n Eomplement Korollar

[A] offen ist,

NuLlmenge

k a n n man eine rekursive

Nullmen~e

ist keine

FoLge

an~eben.

(8.8)

Die u n i v e r s e l l e

rekursive

total rekursive

Nu%l-

menge. Korol%ar

im

(8.9)

Es gibt keine

total rekursive

N u ~ l m e n g e r die at%e total r e k u r s i v e n

-

66

-

Nu%tmengen umfa~t. (8.9) fotgt aus (8.7) und (8.4). Eine Menge ~ yon total rekursiven

Sequentialtests

hei6t rekursiv

aufz~/qtbar, wenn es eine rekursiv aufz~/qlbare Menge Y c N × N × X* gibt, so dab dutch f(i,n)

= ~ [Yi,n] eine berechenbare

Funktion

f: N x N - R definiert wird, und wenn ferner ~ = [Yi I i E N}. In Analogie

zu den rekursiven Nul%mengen

gilt der

Satz, (8.10) Zu einer rekursiv aufz~hlbaren tia%tests struieren~

Menge ~ yon total rekursiven

kann man stets einen total rekursiven so da B

~

Sequen-

Sequentia~test

U kon-

~Yi c ~U"

YiE~ Beweis: ~ sei gegeben durch die rekursiv aufz~hlbare Y c N x N x X*. U c N × X* wird definiert Uk = 0 Yi,i+k i=O

Menge

durch

(k E N).

Damit ist U ein rekursiver

Sequentialtest

(vergleiche

den Beweis

zu

(4.4)). Wegen n I ~ [U k] - ~ [ ~ Yi,i+k ] I ~ 2-k-n i=O n von j [Uk] die Werte i [ W Yi,i+k ] hini=I n-1 reichend genau zu berechnen. Zur Berechnung von j [ [J Yi,i+k ] his i=O

gen~gt es, zur Berechnung

auf eine Genauigkeit

k%einer gleich 2 -r genUgt es, end%iche

gen Ai, k c Yi,i+k so zu bestimmen,

da~

] ~ [Ai, k] - J [Yi,i+k ] I g 2-r n-lDann gilt

Teilmen-

-

n-1 I ~ [ I~/ Ai,k] - ~ i=O Damit ist gezeigt, Nach Konstruktion

67

-

n-1 [ U Yi,i+k 3 • 2-r" i=O

da~ U ein total rekursiver Sequentialtest gilt

ist.

~ ~y c ~U (verglelche den Beweis zu (4.4)). YiE~ i

Zusammen mit Korollar (8.7) folgt aus (8.10) das Korollar

(8.11)

Zu einer rekursiv aufz~htbaren Menge yon total rekursiven Sequentialtests kann man stets sine rekursive Folge konstruieren~

die a%le die-

se Tests besteht. Es folgt welter das Koroltar (8.12) Die Menge alter total rekursiven Sequentlattests

ist nicht rekursiv

aufz~htbar. Bel dem obigen Ansatz zur Pr~zisierung von Zufallsfotgen wurde im wesentlichen die Vorstel%ung

zugrundegelegt,

da~ eine Folge genau

dann zuf~tlig ist, wenn sie in kelner konstruktiven Nul%menge

elnes

gewissen Typs %iegt. Stattdessen k6nnte man ebenso gut davon ausgehen, da~ eine Folge genau dann zuf~llig ist, wenn sie in Jeder konstruktiven Menge erwartungsgem~ ats Durchschnitt

vom Ma~ 1 llegt. Wir zeigen, da~ beide Ans~tze

~quivatent sind. Wir haben eine rekursive Nultmenge von rekursiv offenen Mengen definiert. Daher %iegt

es nahe, konstruktlve

Mengen vom Ma~ 1 a%s Vereinigung von rekursiv

abgeschlossenen Mengen darzustetlen. Eine Menge A c X ~ ist genau dann bezUg%ich der Produkttopo%ogle (zur dlskreten Topologie auf X) abgeschlossen, B c X* gibt mit A = ~

wenn es eine Menge

[B O xn]. Genau dann gilt n~mlich fGr das

nEN Komplement von A: A c = ~ nEN

[B c D xn], und somit ist A c offen. Wir

-

nannten A c X~ rekursiv ge B ~ X* gibt mit A =

offen,

68

-

w e n n es eine r e k u r s i v a u f z & h l b a r e

U [B O xn]. Dies ist ~ q u i v a l e n t nEN

zur E x i s t e n z

einer r e k u r s i v e n Menge B c X* mit A = ~ [B N X n] ( v e r g l e i c h e nEN Dementsprechend

heist

eine Menge

A c c X~ r e k u r s i v

Men-

(4.9)).

abgeschlossen,

w e n n es eine r e k u r s i v e M e n g e B c c X* gibt mit A c = ~ [B c N xn]. nEN D a n n fotgt, kursiv

da B A c genau d a n n r e k u r s i v

(8.13)

Eine M e n g e

~ c X ~ ist eine r e k u r s i v e

kursive Menge

Z c N × X* gibt,

Z (i) = / ~ Ix E X n nEN

I (i,x)

~ Z (i) ~ I - 2 -i

~Z = ~ Z(i) heist iEN Korottar

Nenge v o m Ma~

I, w e n n es eine re-

so dab mit der B e z e i c h n u n g

E Z] fo~gendes

(iEN),

(2)

gi~t:

~_~ iEN

Z (i) c e.

die y o n Z erzeugte Menge v o m Map

I.

(8.14)

Eine M e n g e

~ c X ~ ist genau d a n n eine rekursive

~c eine r e k u r s i v e Bewels:

ist, w e n n A re-

o f f e n ist.

Definition

(I)

abgeschtossen

Nullmenge

rekursiv,

I t wenn

ist.

(I) Sei Y c N × X* ein r e k u r s i v e r

sei eine r e k u r s i v e

M e n g e v o m Ma~

Teilmenge.

D a n n ist Z

Sequentialtest.

Y c N × X*

= yC c N × X* ebenfa~Is def

und es gi~t:

[Yi] = (z(i)) c Daraus-fo%gt,

(i E N).

dab (~y)C = ~Z eine r e k u r s i v e

(II) Sei Z c N × X* sine r e k u r s i v e (i E N). D a n n gilt fur Y Y i = (z(i))c

= Ze : def

(i E N),

Menge vom Map

Iist.

Teilmenge mit ~ Z (i) ~ I - 2 -i

-

und somit

und dab durch f(i) niert wird.

NuLlmenge.

(8.15)

Sel Z c N x X* eine rekursive

Menge,

so da~ ~ Z (i) ~ I - 2 -i

= ~ Z (i) eine berechenbare

D a n n helot

jede Menge

f: N ~ R defi-

~ o ~Z eine total rekursive

(8.14)

bewelst

Menge

man das

(8.16)

c X ~ ist genau dann eine total rekursive total rekursive Koro~tar

Funktion

(i E N)

1.

Ebenso wie K o r o t l a r Korottar

-

ist ~y = (~Z)c eine rekursive

Definition

vom Ma~

69

Menge vom Ma~

Nullmenge~

wenn ~c eine

Iist.

(8.17)

Eine ~o~ge

z E X ~ ist genau dann h ~ p e r z u f ~ l l i g t wenn sie in ~eder

rekursiven

Menge vom Ma~

I liegt.

Eine Folge

zuf~ttig t w e n n sie in jeder total r e k u r s i v e n

z E X

ist genau dann

Menge vom Ma~

I liegt.

-

9. Charakterisierun~

70

-

von Zufallsfotgen

zip vom ausgeschlossenen

Bei der Charakterisierung wiesen wir darauf hin,

durch das Prin-

Spielsystem

hyperzuf~lliger

da~ subberechenbare

Folgen durch Martingale

Einsatz- und Verm~gens-

funktionen i.a. keine effektiven Funktionen sind. Um diejenigen fatIseigenschaften Ausdruck kommen,

nicht,

die in Rechenprozessen

mu~ man sich auf effektive,

gale beschr~nken. geschtossenen

zu fassen,

Spielsystem

ats r e g e t m ~ i g

I n E N) unbeschr~nkt

d.h. berechenbare

zu erkennen,

genGgt

fektive Methoden verf~gt, Martingal

in jedem Fall,

Martin-

es aber

Martingal V: X* ~ R + die Folge

ist. Denn das Wachstum dieser Folge

kSnnte so Langsam sein, da~ es fur einen Beobachter,

rechenbares

zum

Um eine Folge z E X ~ aufgrund des Prinzips vom aus-

da~ fGr ein berechenbares

~(z(n))

effektiv

Zu-

~berhaupt

nicht erkennbar

V: X* ~ R + bedeutet i ~ n

da~ eine R e g e l m ~ i g k e i t

dernur

Gber ef-

ist. FUr ein be-

V(z(n))

= ~ also nicht

in der Folge z effektiv sicht-

bar wird. Gibt es dagegen ein berechenbares wachsenden Werten V(z(n)), m~ig

ansehen.

Martingal V: X* ~ R + mit rasch

so wird man die Folge z aLs stark regel-

Ein solcher Zufallsgenerator

wGrde in kurzer Zeit zum

Konkurs

der Spielbank ftLhren. Man sieht also,

V(z(n))

allein,

der Folge

sondern vor allem die Geschwindigkeit

(V(z(n))

Ordnungsfunktionen

des Wachstums

I n E N) Auskunft ~ber R e g e l m ~ i g k e i t e n

z gibt. Um diese Geschwindigkeit

des Wachstums

zu messen,

der Folge f~hren wir

ein.

Unter elner Ordnun~sfunktion ne und unbeschr~nkte Dann sagen wir,

da~ nicht der Wert

verstehen wir eine rekursive,

monoto-

Funktion h: N ~ N. Sei f: N ~ R eine Funktion.

die Folge (f(n)

I n E N) wachse mit der Ordnung h,

-

wenn ~

(f(n)

- h(n))

71

-

> O.

n

Wir

schreiben

kVi-m f(n)

abkGrzend = ~,

n

wenn

es eine

Ordnungsfunktion

h:

N ~ N gibt

mit ~

(f(n)

- h(n))

> O.

n Ferner

bedeute

klim n dab

f(n)

es eine

Ordnungsfunktion

(inf f(i) i~n

n

Man

- h(n))

verifiziert

Lemma (a)

= ~,

f(n)

g: N - N und

klim n

= ~ gilt

eine

f(n)

gibt

= ~ gilt

eine

und

i > g(n)

f~r a l l e

Beweis:

Man

({mlg(m)

man

in b e i d e n

den

f(i)

genau

f(i)

Fgllen

benutzt

man

obigen, und

gemachten

der

einen

zum B e w e i s

= min

es zu

jedem

rekursive fur

Funktion aIlen

E M

Richtung

yon

[mlh(m)

yon

lim und V ~ .

man

stets

unter

der

in der k o n s t r u k t i v e n

nach

Analysis Diese

nur M = N zul~t.

dab

links

rechts

> n}.

in der k o n s t r u k t i v e n

indem

Voraussetzung,

Funktio n

> n Kilt.

und

g(n)

es eine

M ~ N gibt r so da~

zum B e w e i s

< n},~O})

rekursive

> n.

Menge

stets

es eine

M c N gibt r so da~

dann r wenn

Konstruktivisierungen

Grenzwertes rell

Aquivalenzen.

dann r wenn Menge

mit

jeweils

= max

st~rkere

genau

unendliche

setze

Oblicherweise

aus

folgende

unendliche

g: N - N und

setze

> O.

leicht

n E M e i n i < g(n)

h(n)

so dab

(9.1) k I~ n

(b)

h: N - N gibt,

ergeben

Im F a l l e

Analysis

f: N - R b e r e c h e n b a r

inhattlich

des

h~ufig ist,

sich oberen gene-

stimmen

-

beide D e f i n i t i o n e n Lemma

~berein.

72

-

Es girt fotgendes,

teicht n a c h p r ~ f b a r e s

(9.2)

FGr eine b e r e c h e n b a r e

Funktion

f: N ~ R sind fotgende

Aussagen

~qui-

vatent:

n (ii) Es gibt eine rekursive n E N ein i < h(n) (iii) Die Folge

(f(i)li

Funktlon

gibt mit f(i) > n. E N) ist nicht

Zu einer V e r m S g e n s f u n k t i o n h definieren

I ~

beschr~nkt.

V: X* ~ R + und einer O r d n u n g s f u n k t i o n

wir die Nullmenge

~V,h = [z E X ~

g: N ~ N~ so da B es zu jedem

der Ordnung h zu V dutch:

(V(z(n))

h(n) -I) > 0].

n ~V,h besteht

aus a~Len F o ~ g e n

einen k o n s t a n t e n

Wegen

rekursive

ist ~V,h eine N u ~ m e n g e .

Nu~Imenge

Es genGgt uns,

yon V bis auf einen k o n s t a n t e n

Dies wird sich in P a r a g r a p h

(5.5)

In E N) bis auf

Faktor mit der Ordnun~ h w~chst.

Wachstumsgeschwindigkeit trachten.

z, fur die (V(z(n))

ist,

Faktor

16 noch a~s sinnvoL~ Wir zeigen,

sofern V b e r e c h e n b a r

da~ ~V,h

ist.

die

zu be-

erweisen. eine total

Zun~chst

beweisen

wir das Lemma

(9.3)

Zu einer gegebenen, n E N k a n n man stets

berechenbaren

eine rekursive

k o n s t r u i e r e n t so da B V(x) Dabei

sei Q+ die Menge

Bewels: so da~

VermSgensfunktion

~ V(x)~

VermSgensfunktion

V: X* ~ Q+

IV(x) - V(x) l~ 2 - n

(x E x*).

der nicht n e g a t i v e n

M a n k a n n elne rekursive

V: X* ~ R + und

Funktion

rationalen

Zahlen.

f: X* ~ Q konstruieren,

-

73

-

l~(x) - v(x) + V(xl)l ~ 2-~-3 2-1xl. V: X* ~ Q+ berechne IV(A) + 2 -n-1

man wle folgt. V(A)

- V(A)I

E Q+ berechne

man so, da~

m 2 -n-2. D a n n berechne man rekurslv

fur a~le

x E X*:

V(xl) ~ V(x) - f(x) V(xo) = V(x) + f(x) V erfGL!t

dann die F u n k t i o n a l g l e i c h u n g

iV(x)

+ 2 -n-1

-V(x)l

~ 2- n - 2

(M), und es gilt:

+ 2- n - 3

I ¢ -1 2 - i

< 2- n - 1 .

i=O Hieraus Damit Satz

folgt V(x)

~ V(x)

, IV(x) - V(x) I ~ 2 -n fur alle x E X*.

ist V: X* ~ Q+ eine V e r m S g e n s f u n k t i o n

der gesuchten

Art.

(9.4)

Zu einem gegebenen r b e r e c h e n b a r e n nungsfunktion

f kann man stets

Y konstruleren Beweis:

Martinga~

V: X* ~ R + und einer Ord-

einen total rekursiven

Sequentialtest

mit ~V,f c ~y.

Zu V konstruiere

V: X* " Q+ mit V(x)

man eine rekursive

~ V(x)

VermSgensfunktion

f~r aLle x E X*. Y c N x X* definiere

man

wie fo~gt :

~i =

~ x* I V(x)2 V(x) ~~z(}xl) 2i V(^) I

Y ist eine rekurslve (5.5).

Teilmenge

yon N x X*. ~[Yi ] ~ 2 -i folgt nach

Also Ist Y ein r e k u r s i v e r

gilt ~V,f c ~V,f c ~y. U m ~[Yi] 2 -r zu berechnen, und b e s t i ~ e

besti~e

Sequentia~test.

mlt einer Genauigkelt

klelner

g~elch

man ein n E N so, da~ f(n) > (2 r V(A)) 2,

die Menge A n = Yi - X ~ * .

Yi - An = Ix E X*

Nach K o n s t r u k t i o n

Es gilt d a M :

I V(x) > 2 r V(A)},

-

74

-

und wegen Lemma (5.5) folgt

I~EAn] - ~EYi]l

~ 2- r .

Damit ist Y ein total rekursiver Sequentiattest, und nach Konstruktion gilt: ~V,f ~ ~Y" Die Umkehrung von (9.4) liefert der foLgende Satz (9.5) Zu einem total rekursiven Sequentialtest Y kann man stets eine berechenbare Verm6gensfunktion V und eine Ordnungsfunktion f konstruieren mit ~y c ~V,f" Beweis: Sei Y c N × X* ein total rek. Sequentiattest. Es sei Y c N × X* rek. Teilmenge und Yi (iEN) prefix-frei (siehe (4.9)). Wit setzsn B = U Yi" Dann ist ~ 2 -Ixl berechenbar, dsnn ms gilt iEN xEB

IZ

2- I x l

xEB

n

- ~EkJ Y i ] l

~ 2-n,

i=O

und ~ [ k ~ Yi ] kann man fur a l l e n i=O

berechnen. Da die Folge

2-1xl xEB N xnl * mit wachsendem n monoton gegen 0 konvergiert, kann man eine Ordnungsfunktion f: N ~ N konstruleren,

xCB~-xnx *n

2-1xl

so dap

~ 2-2f(n)"

Es gilt dann

2-1xt 2 Z ( l x l ) xEB

f(

~ 2-2m 2m =

2-m

)=m

Daraus folgt xEB

2-Ixl 2 f(ixl) ~ ~ 2 -m = 2. m=O

-

Also ist

~ 2- I x l xEB

2f ( I x l )

Z

-

berechenbar,

funktion g: N * N konstruieren,

(I)

75

und man kann eine Ordnungs-

so da~

2-1xl 2~(Ixl) ~ 2-n.

xEB N xg(n)x * Durch ~n = B O xg(n)x *

(n E N) wird nun ein neuer total rekursiver

Sequentiattest T c N × X* definiert, ~y = ~ .

und man verifiziert

sofort,

da~

Nun deflnieren wir die VermSgensfunktion V: X* ~ R + wie

fo lgt : V(b

:

72 ( iEN

2- l a l

2f ( I b a [ )

+ ~___2:c(n)

taCT i

n
Wir zeigen, da~ V die Bedingung (M) erf~llt, Beweis yon (5.3) vorgehen und zeigen, zu V(b), V(bO) und V(bl)

tiefert,

x.Ti

(b(n))~

indem wir analog zum

da~ die Beitr~ge,

die x E ~.I jeweils die Bedingung (M) erf~llen.

FUr j E X liefert bja E ~i folgende Beitr~ge: zu V(b)

den Beitrag

2 -ljal

2 f(Ibjal)

zu V(bj)

den Beitrag

2 -Ial

2 f(IbjaI)

zu V(b~)

den Beitrag

0.

FUr diese Beitr~ge gilt die Relation (M). b E ~i Liefert folgende Beitr~ge: zu V(b)

den Beitrag

2 -0 2 f(Ibl)

(erste innere Summe)

zu V(bO)

den Beitrag

2 f(Ibl)

(zweite inhere Summe)

zu V(bS)

den Beitrag

2 f(ibl)

(zweite inhere Summe)

Schlie~ich

liefert b E YiXX * jeweils den Beitrag 2 f(IbI) zu V(b),

V(BO) und V(bl). Da also fur die entsprechenden Beitr~ge zu V(b), V(bO) und V(bl) jeweils die Relation (M) gilt, erfG~It V setbst die Relation (M). Sofern V(A) beschr~nkt

ist, folgt, da~ V eine Verm~gens-

-

76

-

funktion ist. Wlr zeigen, dab V(A) beschr~nkt ist. Es gi~t wegen (I):

v(^) =~__

~

iEN

2-1~1 2f(l~l)

~ 7__ 2-I <

aEY i

~.

iEN

Nun zeigen wit, da~ V berechenbar ist. V ist zun~chst subberechenbar. V(A) ist berechenbar,

denn es gi~t

n IV(A) - ~

~

2 -lal 2f(lal)[

~ 2 -n

i=1 aE~ i und

I~__

2-1al 2f(lal)

_~_. 2-1al 2f(lal)t

aETi

aET i

n

< 2-r.

xg(r)x *

Daher kann man V(A) mit einer vorgegebenen Genauigkeit berechnen. V(xO) und V(xl) zu einer vorgegebenen

Genauigkeit

Um

~ > 0 zu berechnen,

gendgt es, V(x) bis auf ~/4 zu berechnen und ferner zwei Werte A 0 ~ V(xO) und A I ~ V(xl) zu berechnen,

12~(x) -

Ao

so da~

- All <~/2.

Es gilt dann IA0 - V(xO) I <~,

IAI - V(xl)] <£.

Damit fo~gt aus V(A) berechenbar und V subberechenbar,

da~ V berechen-

bar ist. Nach Konstruktion von V gilt nun ~y c ~V,f" Denn zu z E ~y und i E N gibt es ein z(n) E [ i "

Dieser Anfangsabschnitt

z(n) Liefert zu

V(z(n)) den Beitrag 2 f(n), q.e.d. Aus (9.4) und (9.5) foLgt insgesamt der Satz (9.6) Eine Forge z is t genau dann zuf~t/ig, tinga;

V: X* -

R+gibt

mit

k 1T'~ V ( z ( n ) ) n

wenn es kein berechenbares = ~.

Mar-

-

77

-

D i e s e n Satz k a n n m a n wie folgt m o d i f i z i e r e n . Satz

(9.7)

Eine EoLge

z ist genau d a n n zuf~LLig~

tinga~ V: X * ~ R + gibt mit Beweis: ziert,

k t i m V(z(n)) n

Da die R e L a t i o n k t l m V(z(n)) n gen~gt

e s zu z e i g e n ,

sin b e r e c h e n b a r e s

Martlngal

w e n n es k e i n b e r e c h e n b a r e s

da~ es

= ~.

= ~ stets k i ~ n

zu e i n e r

nicht

Y c N x X* ein tota% r e k u r s i v e r

SequentiaLtest

im Beweis

Martingat.

z(n) E [ i "

D a n n foLgt n a c h D e f i n i t i o n

menge Dies

8 h a b e n wir gezeigt,

sine echte Teitmenge schtie~t

schreibung

(7.2),

f ~ L l l g sind.

In (7.2) wurde bewiesen,

Martingat

dap es zuf~Ltige

auch zuf~ILig, Satz

k L i m V(z(n)) n

= ~.

NULL-

rekursiven NuLLmenge

ausschSpfen.

durch M a r t i n g a L e

F o % g e n gibt,

ist.

Aus der Be-

foLgt

zusam-

die nicht h y p e r z u -

da B es (O)-zuf~l%ige

(O)-Test.

-V i n s b e s o n d e r e

Fo%gen

subberechenbar

Somit ist jede ( O ) - z u f ~ t % i g e

und es gi%t der

(9.8)

Es gibt zuf~LLi~e

fur

sind. Da abet fur jedes b e r e c h e n b a r e

V: X * - R + die F u n k t i o n

ist jedes so%che V e i n

2 f(n)

da~ jede total r e k u r s i v e

NuLtmengen

die nicht h y p e r z u f ~ l L i g

Bsi

mit z E ~y. V sei das

ist, foLgt

NuLLmenge

m e n mit Satz

gibt,

= ~.

da~ aL%e total r e k u r s i v e n N u % L m e n g e n

rekursive

total r e k u r s i v e r

~o~ge z

Zu i E N gibt es sin

der u n i v e r s e L L e n

Jedoch nicht aus,

z u s a m m e n die u n i v e r s e l L e

= ~ impli-

zufNlligen

yon V, da~ V ( z ( m ) ) ~

aLLe m m n. Da f sine O r d n u n g s f u n k t i o n In P a r a g r a p h

V(z(n))

V: X * ~ R + glbt mit k~im V(z(n)) n

zu (9.5) k o n s t r u i e r t e

Mar-

F o ~ g e n r die n i c h t hyperzuf~LLig sind.

ist,

FoLge

- 78

10. DarstelLung

-

des starken Gesetzes

der gro~en Zahten

durch Martingale

AIs Beispiel

eines FastUberatLgesetzes,

misch sehr elnfache VermSgensfunktionen funktionen darstelLen ~en Zahlen. sagen,

l~t,

und schneLl wachsende

betrachten wir das starke Gesetz

Zu x E X* bezeichne

eine Folge

das sich durch atgorith0rdnungsder gro-

s(x) die Anzahl der Einsen in x. Wir

z E X ~ erfULtt das starke Gesetz der gro~en Zahten,

wenn lim n -1 s(z(n))

= 1/2. Es erhebt sich die Frage, wie ein SpieLer

n

seine Eins~tze nerator,

zu berechnen hat, wenn er annimmt,

den die Bank benutzt,

nlcht erfGllt.

Es liegt nahe,

da~ der ZufaILsge-

das starke Gesetz der gro~en ZahLen da~ der Spieler im FaLL

i ~ n -I s(z(n)) > 1/2 immer etwas mehr ats die H~Lfte seines VermSn gens auf das Ereignis Zn+ S = I u n d etwas weniger ats die H~tfte auf das Ereignis

Zn+ 1 = 0 setzen mu~. Tats~chLich k~nnen wir zelgen,

dab

eine sotche Strategie

in diesem FaLL dazu ftUart, da~ das VermSgen des

Spielers

w~chst.

exponentiell

Zu einem rationaten

q mit - I < q < I deflnieren wir eine Funktion

Vq: X* " Q+ durch

Vq(^)

= i

Vq(X)(1+q) Vq(Xa)

a = I

I

LVq(x)(q-q)

: o

Es gilt:

Vq(X) = ( l - q ) Ix} - s(x) ( l + q ) S ( X ) und man verifiziert £

Vq(xi)

= Vq(X)(1+q)

i=0,1 =

2

Vq(X).

+ Vq(X)(1-q)

-

79

-

Damit ist Vq: X* ~ Q+ eine rekursive algorithmischer

Struktur,

VermSgensfunktion

denn Vq(xi)/Vq(X)

einfachster

ist nut von i abh~ngig.

Vq entsteht aus Vq(A) = 1, indem Immer das (1+q)/2-fache gens auf das Ereignis a = I u n d

das (1-q)/2-fache

des VermS-

des VermSgens

auf

das Ereignis a = 0 gesetzt wlrd. Im fo~genden stehe ~Vq,b mit b > I stets f~r ~Vq,f b mit fb(n) = [bn], wobei [

] die gr~#te ganze Zah~ k~einer gleich bedeu-

tet.

(10.1)

Satz

FUr. z e X ~ gilt genau dann limn n-1 s(z(n)) fur alls rationalen Bewels:

q~b mit q E (-I,1)r

Wir setzen R(z(n))

= s(z(n))

= I/2, wenn z ~ ~Vq,b

b E (Ir~).

- 2-In.

Es gilt dann Vq(z(n))

=

(l-q) 2-In - R(z(n)) + R(z(n))

(1+q)2-1n

Es folgt In Vq(z(n)) (10.2)

= 2-In [ln(1+q) + R(z(n))

(In bezeichnet

+ In(l-q)]

[In(l+q)

- In(l-q)].

den Logarlthmus

zur Basis

e)

(I) Wir nehmen an, dab l~i-m n -I s(z(n)) > I/2, d.h. l-i-m n -I R(z(n)) > a n n fur ein geeignetes n

n -I

tn Vq( z(n))

FUr ein hinreichend gr~er

a > O. Aus (10.2) folgt dann fur alle q E (-1,1) ~ 2 -I

[In(1+q)

+ In(l-q)]

+

[ln(1+q)

-

a

kleines

tn(1-q)].

q > 0 ist hler die rechte Selte echt

als null. Denn In(1+q)

+ In(l-q)

strebt fur q ~ 0 mit h~herer

-

80

-

Ordnung gegen 0 als die fur q > O positiven Werte ln(l+q) - In(l-q). Es folgt also ~R-m n-ln

tn Vq(z(n)) ~ c fur ein geeignetes

c > O. Das

hei6t aber Vq(z(n)) > enc fGr unendlich viele n E N. Somit wichst Vq(z(n))

exponentie%l,

(0,1),

q E

und es gilt z E ~Vq,b fGr geeignete rationale

(1,~).

b E

Symmetrisch hierzu folgert man aus lim n -I s(z(n)) < 1/2, da~ n z E ~Vq,b fur geeignete rationale q 6 (-1,0) und b E (I,~). Insgesamt ist eine Richtung des Satzes gezeigt. (II) Nun nehmen wir an, da~ tim n -I s(z(n)) = I/2, und betrachten die Relation ( 1 0 . 2 ) . Lim n -I R(z(n))

F~r alle

q gilt

%n(l+q)

+ ;n(1-q)

g O.

= 0 implizlert also lim n -I In Vq(z(n))

n

~ O. Hieraus

n

folgt

l"l~'m V q ( z ( n ) ) e - n c n

~ 1

fgr

aLte

c > O. P o t g l i c h

gilt

z $ ~V , b q

fGr aLle rationalen q 6 (-1,1) und b E (I,~). Wir erweitern das Ergebnis nun, indem wir nach den VermSgensfunktionen fragen, die zu der allgemeinen Relation n

(B)

%im n -I ~ XX.w z(i) = ;[w] = 2 -lwI n i=I

fur alle w E X* fGhren. Die Folgen z E X ~, welche fGr alte w E X* die Relation (B) erf~llen, folgen bekannt.

slnd uns aus Paragraph 5 als Bernouilli-

Sei ~w: X* ~ [0,1] die Auswah%regel mit

Sw(V) = 1 1 0

falls v E X*w falls v ~ X'w,

und seien ~w: X* - X*, ~w: X ~ Funktionen. nouillifolge

x~ die hiervon erzeugten partiellen

Dann wissen wir aus Satz (3.1), da6 z genau dann Berist, wenn fGr alte ~w mit z E D(~w) die Folge ~w(z) das

starke Gesetz der gro~en Zahlen erfUIlt. Diesen Umstand nutzen wir nU~

aus.

-

81

-

Zu einer FoLge w E X* und einem ratlonaten q mit q E (-1,1) definieren wir eine rekursive VermSgensfunktion V(q,w)(A)

V(q,w)(X~) =

V(q,w): X* - Q+ durch

= I

V(q,w)(X)(1+q)

xa E X*wl

V(q,w)(X)(1-q)

xa E X*wO

V(q,~)(x)

x

I

V(q,w ) ist offensichttich

~ X*w

eine rekursive VermSgensfunktion.

h~ngt mit Vq und der AuswahlregeL

V(q,w )

Sw zusammen durch die Beziehung

V(q,w)(x) = Vq(~w(x)). Indem man (9.4) auf ~w(z) anwendet und die Bezeichnung

Zwd~w(Z)

benutzt,~L~t

fur atte z E D(~w) die Aquivatenz yon (I) und (2):

(I)

tim n n -I

s(z(n))

(2)

Zw ~ ~V ,b fur a ~ e q

= 1/2 rationa~en

q E (-1,1) und b ~ (I,~).

Unter der zus~tztichen Voraussetzung (3)

tim n -I l~w(Z(n)) I > 0

ist (2) noch ~quivatent mit (4): (4)

z ~ ~V(q,w),b

f~r a~te rationaten

q E (-1,1) und b E (I,~).

Hieraus k~nnen wir mit der gleichen Argumentation

wie zu Satz (3.1)

den fotgenden Satz beweisen. Satz (10.3) z E X ~ ist genau dann Bernouitlifotge

zur GleichverteiLung

wenn fur atte w E X* und fur atle rationaLen b E (Ir~) stets z ~ ~V(q,w),b

girt.

auf X,

qrb mit ~ E (-I~I),

-

82

-

Beweis: (I) Wenn z BernouilLifolge zur Gleichverteitung auf X Ist, dann gilt fur Jedes w E X*

tim n -I n

d i e Z u s a t z v o r a u s a e t z u n g (3) s t e t s

l~w(Z(n)) I = 2 -lwI, also ist

erf~ttt.

Es f o t g t

z ~ ~V(q,w),b fur alte rationalen q E (-1,1) und b E

somit (I,~).

(II) Unter der umgekehrten Annahme z ~ ~V(q,w),b fur alle rationaten q E (-1,1) und b E (I,~) beweist man die Relation (B) durch Induktion Uber die L~nge yon w. FGr w = A ist (B) triviaL. Angenommen,

(B) gilt

fur w. Dann foLgt lim n -I l~w(Z(n)) I = 2 -IwI. Also ist die Zusatzvorn aussetzung (3) erfULLt und es foLgt tim n -I S(Zw(n)) = I/2. Somit '

n

gilt die Relation (B) fur wl und wO, q.e.d. Die Eigenschaft einer Zufallsfolge, Bernouillifolge zu sein, hat sich damit als eine besonders wichtige ZufatLseigenschaft herausgesteLlt. Denn wenn eine Folge z nicht BernouiLlifolge Ist, dann gibt es eine Verm~gensfunktion V und ein festes n E N, so dab V(xa)/V(x) nut yon den letzten n Gliedern von xa abh~ngt und V(z(n)) exponentieLl w~chst. Bemerkung (10.4) Aufgrund der Beweise zu (10.1) und (10.3) kann die Formulierung "fUr a~le rationaten q und b mit q E (-1,1), b E (I,~)" stets ersetzt werden durch die Formulierung "fUr aLle rationaLen q E B und b E B", wobel B c (-1,1) und B ~ (I,~) beliebige Mengen berechenbarer Zahlen sind, so da# B N (0,1) und B N (-1,0) in 0 und B in 1 einen H~ufungspunkt haben.

-

83

11. Invarianzeigenschaften

In diesem Paragraph

Fo~gen,

gerade Invarianzeigenschaften

Zufal~sfolgen subberechenbar

berechenbar

die im intuitiven Sinne effektiv

von Zufa~bsfolgen stetige,

rianzeigenschaften

Das hei~t,

Funktion fGhrt

sofern man yon ihnen noch

der Ma~invarianz

verlangt,

Zufallsfolgen

geben wlr einige Beispiele

von Zufallsfolgen

sind,

Uber (11.1). Auch die partle~len,

stetigen Funktionen bilden,

wieder in so~che ab. Schlie~lich

darstel~en.

ma~beschr~nkte

wieder in Zufallsfolgen

die strengere Eigenschaft

Satz

von Zufallsfolgen

zeigen wir, da~ diejenigen Invarianzeigenschaf-

ten der hyperzuf~l~igen

jede partielle,

-

von Inva-

an.

(11.1)

Sei Hh: x~ ~ x~ eine partie~le t berechenbar

stetige r ma#beschr&nkte

Funktlon t dann ~ilt Hh(~ 0 D(Hh)) c ~. In Analogie

zum Beweis von Satz (6.5) genGgt es, fo~gendes

Lemma zu

zeigen. Lemma (11.2) Sei ~ c X ~ elne total rekurslve Nul~menge tielle t berechenbar ~-I(~)

ebenfall8

stetige r ma#beschr&nkte

eine total rekursive

Beweis: Die total rekursive Nullmenge ven Sequentialtest

und Hh: x~ ~ x~ eine par-

Y ~ N x X* gegeben,

Funktion.

Dann ist

Nullmenge. ~ sei dutch den total rekursiHh sei durch die rekursive,

monotone Funktion H: X* ~ X* und die Ordnungsfunktion

h: N ~ N ge-

geben. PGr das feste k E N gelte fur alle me#baren A c E . ~

Hh-I(A)

m k ~(A). Den total rekursiven

Sequentialtest

definiere man wie folgt: Yi = (x E H-1(Yi+k x*)

I f.a. Ixl ~nh(n)EN ~ IH(x) I ~ n}.

.

Y zu Hh-l(~)

- 84 -

Es ist kLar, da~ Y ein rekursiver Sequentiattest Hh-1(~) c ~

ist mit

(vergleiche hierzu den Beweis zu (6.6)). Es bLeibt zu

zeigen, da~ Y total rekurslv ist. O.B.d.A. kSnnen wlr annehmen,

da~ Yi 0 YiXX* = ~ (i 6 N). Dann gilt

tim ~ [Yi 0 xnx *] = O. Um ~ [Yi ] b i s auf 2 -n zu berechnen, n wle folgt vor. Man bestimme eln m E N, so da~

gehe man

[Yi+k 0 xmx *] ~ 2-k2 -m. Dann kann man die endLiche Menge Ai,m d~f Yi 0 Ix I Ixl ~ h(m)}

effektiv bestimmen.

Es foLgt Leicht,

da~

J~ [Ai, m] - ~ [Yi]l ~ 2 -m. Bomit kann man ~[~i] gLeichfSrmig

fur atle i berechnen,

Wir interessieren uns nun fur subberechenbar

q.e.d.

stetige,

Funktlonen H: X ~ ~ X ~, so da~ H(z) fur a~Le Zufa~LsfoLgen ist, d.h. ~ c D(H). Diese Eigenschaft

partielte z definlert

L~St sich fur aLOe p a r t i e ~ e n ,

sb. s. Funktionen H reLativ unabh~ngig yon ~ formu~ieren: Satz (11.3) FUr Jede ~artieL~e T subberechenbar c D(H) ~quiva~ent Beweis:

stetige Funktion H: X ~ ~ X ~ ist

zu ~ D(H) = I.

(I) Wegen ~(~) = I foLgt aus ~ ~ D(H), da~ ~ D(H) = I.

(II) Sei nun ~ D(H) = I. H werde v o n d e r

rekursiven,

monotonen Funk-

tion H: X* ~ X* erzeugt. Wir deflnieren: A n = Ix E D(H)

I IH(x) l ~ n].

A n Ist rekursiv aufz~h~bar, und wegen ~ D(H) = 1 fo~gt ~EA n] = I. ALs n~chstes zeigen wit, da~ X ~ - [A n] elne total rekursive NuLLmenge

ist.

Man kann eine rekursive Menge B n ~ N x X* mit foLgenden Eigenschaften konstruieren: (1)

Bin c X* ist endLich, ~[Bin ] > I - 2 i

(i E N),

-

(2)

An = ~

85

-

Bin.

IEN Zu B n k a n n man eine rekurslve i cin c X* end~ich, Damit

Menge

[cin ] = X ~ - [Bin ]

ist C n ein tota~ r e k u r s i v e r X ~ - [An] c / ~ [Bin ] i s t IEN

menge. X~

Damit

cn~ N x X* konstruieren,

so da#

(i E N).

8equentialtest.

X ~ - [An]

Wegen

elne tota; rekursive

NuI~-

ist auch

-

=

(x =

-

[A])

nEN eine tota~ rekursive = D(H),

wir partielle,

die ma#invariant

sind.

~ H-I(x~)

jede partieILe,

stetige Funktionen,

F u n k t i o n H: X ~ ~ X ~ hei#e ma~-

fur alle me#baren

= I. Aufgrund

H: X ~ - X ~, da# 2 ~ D(H).

Satz

= ~(A)

subberechenbar

Invarlanzeigenschaften

subberechenbar

Eine partlelLe

wenn ~ H-I(A)

insbesondere

Somit fo~gt

q.e.d.

Nun b e t r a c h t e n

invariant,

Nullmenge.

yon Satz (11.3)

stetige,

Es ergibt

A c X ~. Damit folgt damlt

ma#Invariante

gilt fur

Funktion

sich nun eine weitere K l a s s e

von

von ZufaILsfoLgen.

(11.4)

FUr jede part!elSe t subberechenbar

stetige t ma~Invariante

~unktion

H: X ~ ~ X ~ gilt H(~) c 2. In Analogie

zu den B e w e i s e n

der S&tze

(6.5) und (11.1)

folgt

der 8atz

sofort aus dem

Lemma (11.5) Sei • ~ X ~ eine tota~ rekursive le, subberechenbar ~-1(~)

ebenfalls

stetige

Nul~menge

und H: X ~ ~ X ~ eine partlet-

und m a ~ i n v a r i a n t e

eine tota~ rekursive

Funktion.

Nul~menge.

Dann Ist

-

Beweis:

86

-

Sei Y c N x X* ein total rekursiver Sequentialtest

sei dutch die rekursive, Dann wird offensichttich ~i = H-I(Yi X*)

zu ~.

monotone Funktion H: X* * X* gegeben.

durch

(i E N)

ein rekursiver Sequentiattest Y definiert mit H-I(~) c ~

(vergtei-

che den Beweis zu (6.6)). Wir zeigen, dab Y total rekursiv ist. Es gilt: ~[~i ] = ~[H-I(YiX*)] , und wegen H-I[Yi] = [H-I(YiX*)] ~[Yi ] = ~ H-I[Yi]

D D(H) und ~ D(H) = I folgt welter

= ~[Yi].

Wegen ~[Yi] = ~[Yi] ist Y total rekursiv,

Beispiele fur Invarianzeigenschaften 111

Sei $: X* ~ [0,1]

q.e.d.

yon ZufatLsfoL~en

eine rekursive AuswahLfunktion

eine rekursive Funktion. ~ erzeugt eine rekursive,

und h: N ~ N

monotone Funktion

¢: X* ~ X*. Die hiervon erzeugte partieLle Funktion ~h: x~ ~ x~ ist berechenbar

stetig und maBverklelnernd.

rianzeigenschaft

fur ZufatLsfolg~qbzgl.

~h steLlt somit eine Invajeder Verteilung ~ dar.

Das foLgende BelspieL sei ohne volLst~ndigen Beweis angegeben. 121

LOVELAND

weitern,

[ 24] schlug vor, den Begriff der Auswahlregel

zu er-

indem man die Auswahl von Gliedern nicht an die Relhenfolge

bindet, m i t d e r

diese GLieder in der vorgegebenen FoLge auftreten.

Um die MaBinvarianz

der so erzeugten Funktion H: X ~ ~ X ~ zu sichern,

muB man darauf achten, dab die Auswahl eines Glledes stets ohne eein Ansehen erfolgt, also unabh~ngig vom G~ied setbst ist. Wir formatisieren einen soLchen Typ von S t e ~ e n a u s w a h L e n . Zu z E X~ und n E N bezeichne: z[n] = zlz 2 ... Zn_lZn+iZn+ 2 ..... E X ~.

-

87

-

Einer rekursiven Funktion h: X* - N - [0) ordnen wir wie folgt eine Abbildung H: X ~ - X ~ zu. H(z) = y werde zusammen mit der Fo%ge (zili E N) mit z i E X ~ konstrulert: z

z

0

=

i+I

z

=

,

zi[h(y(i))]

y(0)

=

y(i+1)

,

A

= y(i)

zi h(y(i))"

y(i) besteht aus den i ersten yon z ausgew~h%ten

G%iedern.

steht aus z durch Entfernen der i ersten ausgew~h%ten

z i ent-

G%ieder.

Die

Auswah% des n~chsten G%iedes h~ngt dabei nur von den bereits ausgew~hLten G%iedern ab. Somit ist die Auswah% von dem betreffenden

G%ied se%bst.

eines Gliedes unabh~ngig

Dies fthhrt dazu, da~ die durch

H(z) = y definierte Funktion H: X ~ ~ X ~ ma~invariant Produktma~es

bezUglich

jedes

~ ist. Wei% h rekursiv ist, mu~ H nach Konstruktion

be-

rechenbar stetig sein. 131

Die Zusammensetzung

yon Beispie% Auswah%rege%n

HhH dsr Abbi%dungen Hh von Beispie%

111 und

121 entsprechen gerade denjenigen veral%gemeinerten nach LOVELAND,

die berechenbar

stetige,

partie%%e

Trans-

formationen von X ~ %iefern. I¢I

Die Funktion H: X ~ ~ X ~, die aL%e Einsen durch NuLlen und a%le

Nu%%en durch Einsen ersetzt, variant fur das Produktma~

ist berechenbar

stetig.

zur G%eichvertei%ung

auf X.

In Paragraph 3 benutzten wir das foLgende Beispie% sb, s., ma~invarianten

Funktion

Sie ist matin-

einer partie%len,

zur Charakterisierung

der Bernoui%%i-

fo%gen: 151

Sei Sw: X* ~ [0,1] ~ w (v) = ~ 1

lO

dieJenige

rekursive Auswah%rege%

mit

v 6 X*w sonst.

S w erzeugt sine rekursive,

monotone Funktion ~w: X* ~ X*. Die hiervon

erzeugte Funktion ~w : X~

~ x~ ist partie%%.

Aufgrund des starken

-

Gesetzes

-

der g r o ~ e n Zahlen gilt ~ D(~w)

6w m a ~ i n v a r i a n t 161

88

bzgl.

jedes Produktma~es

Es sei f: X* × X n ~ X n e i n e

y E X* die einsteILige X n liefert.

Funktion

H: X* ~ X* werde

H/xn = f(A,*).

= 1, und daraus

dab

ist.

rekursive f(y,*):

folgt,

Funktion,

X n ~ X neine

folgenderma~en

so da~ fGr Jedes Permutation

yon

definiert:

Zu y l , Y 2 , . . , y k E X n definiere

man rekursiv:

~(YlY2'''Yk) = H(ylY2"''Yk-I) f(YlY2"''Yk-~'Yk)" H ist rekursiv

und monoton,

ist m a ~ i n v a r i a n t

bez~glich

somit

ist H: X ~ ~ X ~ b e r e c h e n b a r

des Produktma~es

stetig.

zur G L e i c h v e r t e i l u n g

auf X. 171

Sei Hi X* ~ X* eine Funktion,

fur die es eine F u n k t i o n

~: X n ~ X* gibt mit H(xy)

= ~(x)y

D a n n ist H b e r e c h e n b a r

(x E X n, y E X*). stetig und m a ~ b e s c h r ~ n k t

ma~es ~ mit 0 < ~(x) < I fGr alle x E X.

bzgl.

Jedes Produkt-

-

89

-

12. Charakterisierung der Zufattsfot~en durch Invarianzelgenschaften Wir woLten in diesem Paragraph zeigen, da~ man ZufatLsfoLgen dutch ihre Invarianzeigenschaften charakterlsieren kann. Somit ergibt sich ein weiterer Zugang zum Begriff der Zuf&tligkeit. Die entsprechende Definition schtie~t sich eng an den ursprGnglichen VON MISES'schen Ansatz an. Diesen kann man wle folgt aussprechen. Eine Folge z ist genau dann ein KoLLektiv, wenn atLe unendLichen Folgen, die aus ihr dutch Auswahtregetn gebildet werden kSnnen, das starke Gesetz der

gro-

~en ZahLen erfUtLen. Wit zeigen nun, da B eine Fotge z genau dann zuf<ig in unserem Sinne ist, wenn H(z) fur jede berechenbar stetlge, ma~Invariante Transformation H: X ~ ~ X ~ das starke Gesetz der gro~en Zahten erfGtlt. Zum Beweis benutzen wir den Batz

(12.1)

Sei ~V,f eine total rekursive NuLLmenge der Ordnung f. Dann gibt es eine berechenbar steti~e r ma~invariante Funktion H: X ~ * X~t so da B kein z E H(~V,f) das starke Gesetz der ~ro~en Zshlen erfGLLt. Beweis: O.B.d.A. nehmen wit an, da~ V: X* ~ q+ rekursiv ist. Es sel r > 3 und g: N ~ N eine Ordnungsfunktion, f g(n) > V(A) 2 rn

so da~

(n E N).

Eerner sei g streng monoton. Man sieht nun teicht, da B man eine rekurslve, monotone Funktlon H: X* ~ X* mit fotgenden Eigenschaften konstruieren kann. Vorab gette H(X g(n)) c xn! ferner (a) und (b): (a)

I] H-l(x) N X g(n) II = 2g(n)-n

(x E xn).

( ]III bedeute hier die Kardinalzaht einer Menge.) (b)

F~r al~e y E X g(n+l) mit

max V(y(i)) > V(A) 2n+l girt i~g(n+1)

- 90 -

H(y)

= H(y(g(n)))

I.

Hierzu m U s s e n wir tediglich mit der E i g e n s c h a f ~ der M o n o t o n i e hSchstens und

(a), welche

von H in K o n f t i k t

2g ( n + l ) - n - 1 W o r t e

max V(y(i)) i•g(n+1)

Aus dem Lemma

nachweisen,

(5.5)

> V(A)

da# die E i g e n s c h a f t

die MaSinvarianz ger~t.

(b) nicht

yon H sichert,

und

Daher darf es zu einem x E X n

y E xg(n+1)

geben mit H(y(g(n)))

= x

2 n+1.

fotgt aber u n m i t t e t b a r

fotgende

sch~rfere

Absch~t-

zung: II [Y E X g(n+1)

Es btelbt z E H(~V,f)

I

max V(y(i)) i•g( n+l )

zum Beweis die R e l a t i o n

z = H(y) mit i ~ n

V(y(n))

yon

Damit gibt

max i~g(j) Daraus

V(y(i))

>

es u n e n d t i c h

V(y(i))

fotgt,

>

2 n+1]

noch zu zelgen,

II • 2g(n+1)-n-1

da~ fur k e i n

n tim n -1 ~ z i = I/2 erfUtLt n i=I

Ist.

f(n) -I > O. Wegen f g(n) > V(A)

mit r > 3 gibt es unendtich max i•g(n)

(12.1)

> V(A)

Es sei

2 rn

(n E N)

viete n, so da#

V(A)

2 3n.

viete n mit

V(A)

2j

da# es u n e n d L i c h

(n • J • 3n).

viele n gibt,

so da# die

tetzten 2 n

Gtieder von

H(y(g(3n)))

e X 3n

nut aus E i n s e n bestehen.

Das bedeutet,

da# H(y)

g r o # e n Zahlen nicht erfGttt. Aus

(12.1)

fotgt

zusammen mit

(11.5)

der

das starke

Gesetz

der

-

91

-

Satz (12.2) Eine F o ~ e

Ist genau dann z u f ~ l l g t wenn H(z) fur ~ede berechenbar

stetige r ma~Invarlante Funktlon H: X ~ ~ X ~ das starke Gesetz der groBen Zah~en e r f ~ I t . Beweis:

(I) Wenn z nicht zuf~lllg ist, dann ~legt z in elner tota~

rekursiven Nullmenge ~. Dann gibt es nach (12.1) eine b.s., ma~invariante Funktlon H: X ~ ~ X ~, so dab H(z) das starke Gesetz der gro~en Zah~en nicht erfUllt. (II) Die Umkehrung folgt aus (11.5). Bemerkung: Mit etwas Mehraufwand zeigt man ~40 ], dab man in (12.2) das starke Gesetz der gro~en Zahlen durch ein beliebiges Z u f a ~ s g e s e t z ersetzen kann, fGr das es einen total rekursiven Sequentia~test Y gibt mlt ~y c ~ und so da B ~y dicht in X = Ist. ~1 sei die Menge der p a r t l e ~ e n ,

berechenbar stetigen, ma~beschr~nk-

ten Funktionen H: X ~ ~ X ~. ~2 sel die Menge der p a r t i e ~ e n , bar stetigen, ma~verkleinernden Funktionen H: X = ge der p a r t i e ~ e n ,

berechen-

X ~. 9~ sei die Men-

subberechenbar stetlgen, ma~Invarianten Funktionen

H: X~ " X~" ~4 sei die Menge der berechenbar stetlgen, ma~invarianten Funktlonen H: X ~ ~ X ~. Wir haben folgenden Satz bewiesen: Satz (12.3) F~r i = 1~2t3r4 ~i~t folgendes: Eine Folge z E X ~ ist ~enau dann zuf~ttlg~ wenn fur jede Funktion H E ~i mit z E D(H) die Fo%ge H(z) das starke Gesetz der gro~en Zah%en erfH%%t.

-

92

-

13. Einige modifizierte SpieLsysteme In diesem Paragraph charakterisleren wir Zufattsfotgen durch berechenbare Supermartingale.

Wir untersuchen,

ob eine Beschr~unkung der

E i n s a t z f u n k t i o n e n die GewlnnmSglichkeiten eines Spielers auf range Sicht einschr~nken.

Ferner behandeln wit Spiete,

in denen es erlaubt

ist, Schulden zu machen. In den v o r a n g e h e n d e n Paragraphen war eine V e r m S g e n s f u n k t i o n V: X* ~ R

(M)

elne Funktion mit

v(x) = I/2(v(xo)

+ v(xl))

(x ~ x*).

Den Begriff des Martingals kann man abschw~chen,

indem man nur noch

fordert

(sz) F(x) ~ I/2(F(xo)

+ F(xl))

Eine Funktion F: X* - R

(x ~ X*).

mlt (SM) nennt man ein Supermartingal.

Das

Zustandekommen eines Supermartingals kann man sich so vorstellen, F das VermSgen in einem Spiel angibt,

da~

in dem die Auszahlungsbedingun-

gen zugunsten der Bank ver~ndert wurden. D.h. die Bank schSpft vom VermSgen des SpieLers zus~tzZich ab. Den Satz (9.6) kann man nun leicht erweltern: Satz (13.1) Eine Fo%ge z ist genau dann zuf~%~Ig T wenn es kein b e r e c h e n b a r e s permartinga% F: K* ~ R + gibt mlt k i ~

F(z(n))

Su-

= ~.

n

Hierzu Gbertragen wir zun~chst Lemma (9.3) auf Supermartingale. Lemma (13.2) Zu einem ~egebenen r berechenbaren Supermartinga% F: X* - R + und n E N kann man stets ein rekurslves Supermartingal F: X* ~ Q+ k o n s t r u i e r e n mit

-

Beweis: ieren,

Man kanm rekurslve

93

-

~unktionen

fi: X* - Q, i = 0,1 so k o n s t r u -

da~ fGr atLe x:

Ifi(x)

- V(x)

o(X) +

+ V(xi)I

1(x)

F(A) E Q+ berechne

o. man so, da~

rechne man F rekursiv

(xi) = erfUttt

~ 2 -n-3 2 -Ixl,

IF(A) + 2 -n-1 - ~(A)l

+ fi(x)

(x

x*).

(SM) und hat die g e w ~ n s c h t e n

A H: XX* - R durch A H(xa) Zum Beweis yon (13.1)

Lemma

D a n n be-

durch

Eigenschaften.

Zu einer F u n k t i o n H: X* ~ R d e f i n i e r e n

weiterhin

~ 2-n-2.

noch nUtztich

= H(xa)

wir die Differenz

- H(x)

(x E X*, a E X).

zeigen wit nun foL~endes

Lemma,

das auch

ist.

(13.3)

Zu elnem g e g e b e n e n eln rskursives A V(xa)

rekurslven

Martingat

Supermartlngat

~: X* - Q+ k a n n man stets

V: X* - Q+ so k o n s t r u l e r e n T da~ F(A)

m A F(xa)r

IA V(xa)l

= max IA F(xOIT

V berechne

man rekursiv

A F(xl),O I f~r x E X*,

a EX. Beweis:

V(A )

= F(A ).

V(xa)

= V(x)

+ A F(xa),

wie fotgt:

fatls A F(xa)

m O.

FaLLs d F(xa) < O, setze man (es sei ~ = I und T = 0): V(xa)

= V(x),

V(xa)

= V(x)

- A F(xa),

= V(A),

farts A F(xa)

~ 0

farts A F(x~)

> O.

-

Man verifiziert

Leicht,

94

-

da~ V eine Verm6gensfunktlon

Art ist. Es gltt V(x) ~ ~(x)

der gesuchten

(x E X*), und hieraus foLgt der Satz

(13.1) Im at%gemeinen pro SpieLrunde

ist es in SpieLbanken ~btlch,

zu beschr~nken.

Gewinnaussichten

den maximaten Einsatz

Es erhebt sich die Frage,

der Spieler betroffen werden.

ob davon die

Es gilt der

Satz (13.4) Zu einer ge~ebenen

total rekurslven NuLLmenge

stets eine Ordnungsfunktion

• und n E N kann man

g und eine berechenbare

V: X* * R + so konstruieren T da~

IA V(x)l

~ 2 -n

VermSgensfunktion

(x E XX*) und

c ~V,g" Beweis: Die total rekursive NuLlmenge chenbare VermSgensfunktion da~ • c ~ , ~

• sei gegeben durch die bere-

V: X* ~ R + und die Ordnungsfunktion

g, so

und V(^) m I. Wir betrachten die Funktlon F: X* ~ R + mit

F(x) = 2 -n-2 tn (I + V(x)). Datn

eine konvexe Funktion ist, fotgt,

martingat

ist. Wegen V(xa)

tn (V(xa) und somit

+ 1%

2 V(x)

da~ F ein berechenbares + 2

Super-

fol~t die Relation

+ I) ~ tn (~(x) + I) + Ln 2

A F(x~)

~ 2 -n-2 Ln 2.

Indem man nun zun~chst Lemma (13.2) und dann Lemma (13.3) anwendet, kann man eine rekursive VermSgensfunktion so da~ V(x) ~ E(x) und

IA V(xa) I ~ 2 -n

man die Ordnungsfunktion

dann gilt ~ , ~

eine Bank keinen idealen ZufaLlsgenerator,

Spieler trotz Beschr~nkung gem.

(x E X*, a E X). Definiert

g: N - N dutch g(n) = [2 -n tn g(n)]

deute grS~te ganze Zaht kLeiner gLelch), Benutzt

V: X* ~ Q+ ~onstruieren,

Die Beschr~nkung

des Einsatzes

des Einsatzes

([ ] be-

c ~V,g'

q.e.d.

so kann ein

sein VermSgen beLieblg stei-

wirkt sich hSchstens

auf die

- 95 -

mSg%iche

Wachstumsgeschwindigkeit

des VermSgens

der Satz gilt auch fur eine B e s c h r ~ n k u n g

aus. Ein e n t s p r e c h e n -

des Einsatzes

reLativ

zum

Verm~gen. Satz

(13.5)

Zu einer g e g e b e n e n stets

total r e k u r s i v e n

eine O r d n u n ~ s f u n k t i o n

NutLmenge

g und eine berechenbare

V: X* ~ R + k o n s t r u i e r e n r so da~ IAV(xa)/V(x)[ c

• und n E N k a n n man VermSgensfunktion

• 2 -n (x E X*ra

E X) und

~V,g"

Beweis:

Es sei • gegeben

durch eine berechenbare

und eine O r d n u n g s f u n k t i o n ein berechenbares Fm(X)

=

g mlt • c ~ , ~ .

SupermartingaL

VermSgensfunktion

Zu m E N definiere

F m durch

F(X) I/m.

F~r aL%e x E X*, a E X gilt dann In Fm(Xa)/Fm(X) gilt fur ein geeignetes

• m -I In 2. D a n n

k E N fGr alte m E N, da 8

F m ( X a ) / ~ m ( X ) - I • m -I k. Das heist

aber A Fm(Xa)/Fm(X)

Man wende nun zun~chst

und dann Lemma

konstrulere

Lemma

(13.2)

zu F m elne rekursive

VermSgensfunktion

[A Vm(xa)/Vm(X) : • 2 -n

genug ist. Setzt man gm(n)

• m -I k.

(13.3)

an und

Vm: X* - Q+, so

aa8 Vm(X) • Fro(x) una ]a Vm(X~) [ • m -I (k + I) Fro(x) D a n n gilt

man

(x ~ X*, a ~ X).

(x E X*, a E A), sofern nur m gro~

= [g(n)I/m],

dann gilt stets • c ~Vm)gm,

q.e.d. Wir b e t r a c h t e n machen.

~r

nun SpleLe,

den Rest des P a r a g r a p h e n

V: X* - R mit n e g a t i v e n da~ 2 V(x)

in denen es erlaubt

= V(xl)

Werten

+ V(xO)

Es sei z eine ZufaLtsfo%ge

ist, S c h u t d e n

zu

tassen wir V e r m S g e n s f u n k t i o n e n

zu. Es wird aber welter vorausgesetzt,

fur alle x E X* gilt.

und V: X* - Q eine rekursive

Verm5gens-

-

96

-

funktion V, deren Differenz AV beschr~nkt ist. Es sei f: N - N sine 0rdnungsfunktion mit i ~ (V(z(n)) - f(n)) ~ 0. Dann gibt es sine Ordn nungsfunktiongmit ~ (- V(z(n)) - g(n)) • 0. n

Zusatz: Dies girt speziett fGr jede 0rdnun~sfunktion g, fur die es sine Ordnungsfunktion h: N ~ N gibt mit fh(n+1) > 2 n fh(n) und g(h(n+l) < fh(n-1)

(n ~ I).

Beweis: Es seien g, h 0rdnungsfunktionen,

die die Zusatzbedingungen

erf~tLen. Im Widerspruch zur Behauptung nehmen wit an, da B

n

(V(z(n)) - f(n)) ~ 0, il~ (-V(z(n)) - g(n)) < O. n

Da man die Funktion V fur k~eine FoL~en geeignet ab~ndern kann, kSnnen wir sogar o.B.d.A, annehmen, dab V(z(n)) > g(n)

(n E N). Unter

dieser Annahme zeigen wir, da B

def

l

i ~ n (V(y(n)) - f(n)) ~ 0 1 y E X~ V(y(n)) ~ -g(n)

(n E N)

eine totat rekursive Nuttmenge ist. Dann fol~t z E ~ und somit ein Widerspruch zur Zuf~tligkeit yon z. Wit definieren eine rekursive VermSgensfunktion V: X* ~ Q

wie

fo tgt : farts V(x(i)) ~ -g(i)

(i g Ixl).

farts V(x(i)) < -g(i) und V(x(r)) ~ -g(r) Nach Konstruktion girt

V(x) ~-g(Ixl)

2 V(x) = V(x0) + V(xl)

(r < i). (x E X*) und

(x ~ x*).

Nun definieren wir eine rekursive Funktion 3: X* * Q+ wie foist: D(x) = V(x) + gh(n + 1) Nach Konstruktion gilt

fur atte x mit

h(n) g lxl < h(n + I).

-

(I)

5(x) ~ o

97

-

(x ~ x~(°)x*),

(2)

~ [y E X~l i ~ n

(3)

2 ~(x) = D(xO)

(D(y(n))

+ D(xl)

- f(n)) ~ 0},

f~r a~le x mit Ixl ~ [h(n+1)-11

n E N}.

F~r die rekursive Menge

gi~t nun

~ c / ~ [Bn]. nEN

Dabei bezeichnet Um zu beweisen, zu zeigen,

B n = (B N xnx *) X*. da B • eine tota~ rekursive N u ~ m e n g e

dab ~[Bn] mit n konstruktlv

F~r jedes x E Bh(n) O X h(n+l)-1

ist, genU~t es

gegen nut~ konvergiert.

gi~t D(x)

~ fh(n). Damit f o ~ t

analog

zu Lemma (5.5) fotgende Absch~tzun~:

~[~(n)

n x h(n+1)-1]

(~(A) + gh(n+1))/fh(n) g (V(A) + fh(n-1))/fh(n)

(nach Voraussetzung

~ber g)

• (V(A) + I) 2 -n+1. Somit gi~t ~[Bh(n)]

eine tota~ rekursive

• (~(A) + 1) 2 -n-2. Dies beweist,

Nu~menge

ist, q.e.d.

dab / ~ [B n] nEN

-

1.4" Zufa.ttsfolgen

Die Idee, Prinzips ~iegt,

a~s optima.Le ?otgen fur die Bank

vom a u s g e s c h l o s s e n e n

besagt,

den D e f i n i t i o n e n

get F o ~ g e n

fur die Bank gibt.

Definition

(14.1)

Eine Fotge

z E X ~ hei#t

[y E X ~

dab sie ge-

nicht haben.

Nun

besonders

sind gUnsti-

wenn fur jedes berechenbare

jede rekursive

Funktion

f: N ~ Q und

jede

gilt:

I i~ n

(V(y(n))

- f(n)) < O} = I

~

(V(z(n))

- f(n) g(n))

impLiziert

einer Bank un-

im Sinne der v o r a n g e h e n -

noch eine KLasse

g: N ~ N foLgendes

des

9 zugrunde

F o t g e n aus der Sicht der Bank

(sup)-optimat,

V: X* ~ R + und

aufgrund

wir also,

Eigenschaften

zu, ob Zufa~tsfolgen

oder ob es unter den Z u f a L t s f o L g e n

Ordnungsfunktion

in Paragraph

verlangten

negative

auch optimaLe

Fot~en

gerade das Sprengen

Von den Z u f a ~ s f o ~ g e n

w e n d e n wir uns der Frage

zuf~tLiger

Spie~system

dab Z u f a ~ L s f o t ~ e n

fur die Bank eindeutig

Martingat

-

die der C h a r a k t e r i s i e r u n g

mSg~ich machen. wisse

98

{ O.

n Das hei#t, in GestaLt

wenn eine Bank bei einer gewissen

des MartingaLs

gen y E X ~ das V e r m b g e n w~chst

fur eine optimate

sentLich

V(y(n)) Forge

des SpieLers

dab fur fast a.Lle Fot-

dutch f(n) m a j o r i s i e r t z das VermSgen V(z(n))

wird,

dann

stets nicht we-

starker a~s f(n).

Definition

(14.2)

Eine Forge

z E X ~ hei#t

Martingat

V damit rechnen kann,

Strategie

V: X* ~ R + und

Ordnungsfunktion

(inf)-optimal, jede rekursive

g: N ~ N fotgendes

[ y E X~ I t i m n

wenn fur jedes berechenbare

(V(y(n))-

f(n))<

Funktion

gilt:

O} = 1

f: N ~ Q und

jede

-

imptiziert Satz

tim n

(V(z(n))

99

-

- f(n)

g(n))

~ O.

(14,3) I

Eine F o ! g e

z E X ~ ist g e n a u

dann

z u f ~ t L i g t w e n n sie ( s u p ) - o p t i m a t

ist. Beweis:

(I) Es sei

z E X~ ( s u p ) - o p t i m a % .

chenbare

Martingat

Relation

li~-m (V(z(n)) n

f(n)

= [g(n)I/2]. ~y E X ~

V: X* ~ R + und

Dann

I L-~ n

Da z ( s u p ) - o p t i m a L

(V(z(n))

- g(n))

(V(z(n))

- g(n))

jedes

bere-

g: N ~ N die

Wir s e t z e n

(5.5):

- f(n))

foLgt:

fGr

jede O r d n u n g s f u n k t l o n

~ 0 zu zeigen.

gilt n a c h

ist,

Es genU~t,

~ OJ = I.

Lim (V(z(n)) n

- f2(n))

~ 0 und

somit

~ O, q.e.d.

n (II)

Sei z E X ~ zuf~Ltig.

[y E X ~ tinga% dabel

I I~ n

(V(y(n))

V: X* * R + u n d sogar

o.B.d.A,

eine O r d n u n g s f u n k t l o n . tim ~ Ix E X m m

I V(x)

Angenommen, - f(n)) < O}

eine r e k u r s i v e an,

g(h(n))

= I fGr ein b e r e c h e n b a r e s Funktion

Nach Voraussetzun~ > f(m)]

Mar-

f: N ~ Q. W i r n e h m e n

da6 V: X* ~ Q+ r e k u r s i v

tion h: N ~ N so b e r e c h n e n ,

(I)

es geLte

ist.

g: N ~ N sei

gilt

= O. D a n n k a n n m a n eine r e k u r s i v e

Funk-

da~

> 2 n+1

und

(2)

Ix E x h(n)

Den total

I v(x) > f(n)S

rekursiven

~ 2 -n-1.

Sequentiattest

Y c N × X* d e f i n i e r e

fotgt: Yi

= ~x E X *

I Ixl ~ h(i),

V(x)

~ f ( [ x I) g ( I x l ) } .

m a n wie

-

1 0 0

-

Aus (I) und (2) fotgt z u s a m m e n mit Lemma (5.5):

EY i n xh(n)x*~

• 2 -n

und somlt i n s b e s o n d e r e Sequentlaltest. ~y E X =

~ EYI~ • 2 -i. D a m l t Ist Y eln total r e k u r s i v e r

Nach K o n s t r u k t i o n

I ~

(V(y(n))

girt

- f(n) g(n))

> O) c ~y.

n FGr eine Z u f a t ~ s f o t g e

z gltt f o L g ~ i c h 1 1 - ~ n

D a m i t ist n a c h g e w i e s e n , Ein ~hnLiches

da~

Argument

(V(z(n))

jede Z u f a t l s f o t g e

fUhrt

- f(n) g(n))

z (sup)-optimal

• O.

ist.

zu dem

Satz (14.4) Jede zuf~Ltige Ohne Beweis nicht z u f ~ t t i g Bewels:

Fot~e

z Ist ( i n f ) - o p t i m a L .

sei angemerkt,

da~ es ( I n f ) - o p t i m a t e

I tim (V(y(n)) n

und es ~ette

- f(n)) < 0} = I f~r ein b e r e c h e n b a r e s

tingat V: X* ~ R + und f~r eine r e k u r s i v e m e n o.B.d.A,

Nach V o r a u s s e t z u n ~

F u n k t i o n f: N ~ Q. W i r n e h -

gilt dann f~r Jedes fest m E N:

Ex ~ x m x * - x~x * I v(x) < f(Ixl)J

D a n n k a n n m a n eine r e k u r s i v e (I)

g(h(

(2)

~ Ix ~ xnx * - X h ( n )

F u n k t i o n h: N

= ~. ~ N so berechnen,

da~

n )) > 2 n+1 X*

I V(x) < f(Ixl)] > I - 2 -n-1

Aus (I) und (2) folgt u n t e r B e n u t z u n g y o n Lemma (5.5):

(3)

Mar-

an, da~ V: X* ~ Q+ sogar r e k u r s i v Ist. g: N - N sei eine

Ordnungsfunktion. ~im ~ n

die

sind.

Es sei z E X = zuf~Ltlg,

~y E X ~

F o t g e n gibt,

~ Ex e x h ( n )

x* I v(x) ~ f(Ixl) g(Ixl)] • 2 -n.

Die rekursive M e n g e Y c N x X* d e f i n i e r e

man durch

(m ~ N).

-

Yi = ~x E x h ( i ) x * Y ist ein r e k u r s i v e r ~Yi S ~ 2 -i

IV(x)

101

-

~ f(Ixl)

Sequentiattest,

g(Ixl)~-

denn nach (3) gilt

(i E N). Y ist ferner

total rekursiv,

denn aus (3)

foLgt w e l t e r KY i Q xh(n)s Nach K o n s t r u k t i o n

i

KY ~ X "

~ 2 -n

(i,n E N).

gilt:

li__2m(V(y(n))

- f(n) g(n)) > 0) c ~y.

n

FUr eine ZufalLsfolge lim (V(z(n)) n fallsfolge

- f(n)

z gilt folglich

g(n))

~ 0. Damit

(inf)-optimal

ist nachgewiesen,

Korollar

(14.7)

V: X* ~ R + an, die nicht nur fast Gberall die sogar auf fast allen F o l g e n

malen r e l a t i v e n ten Einsatz

n~mlich

eine Klasse beschr~nkt

z exponentiell

betr~ge

Gesamteinsatz.

Hierzu

sind,

sondern

gegen null k o n v e r g i e -

ist es notwendig,

mini-

den b e r e i n i g -

zu definieren.

die V e r m S g e n s f u n k t i o n

winn bzw. Verlust.

Deshalb

satz zu betrachten,

sondern

die aus einem A n f a n ~ s v e r -

V: X* ~ R erzeugen.

auf x0 und xl n e u t r a l i s i e r e n

Gleiche

sich in ihrer W i r k u n g

ist es sinnvotl, stattdessen

nicht

diesen

den Betrag,

in dem Sinne aufts

Spiel

setzt,

da B e r

oder h i n z u g e w i n n e n

kann.

Hierzu

definieren

M(x)

yon M a r t i n g a l e n

Spiele mit einem vorgeschriebenen,

Es seien Bi: X* ~ R + Einsatzfunktionen, mSgen V(A)

jede Zu-

ist.

Wir geben im f o l g e n d e n

ten. Wir b e t r a c h t e n

da6

ihn entweder

Einsatz-

auf den Ge-

formalen Ein-

den der Spieler echt v e r l i e r e n

wir

= min ~Bo(x) , B1(x))

und setzen Bi(x)

= Bi(x)

Dann erzeugen

- M(x)

i = 0,1.

die E i n s a t z f u n k t i o n e n

~0,$I:

V: X* ~ R + wie B0, B 1. Es gilt entweder

X* - R + dasselbe

S0(x)

= 0 oder Bs(x)

Martingal = 0.

-

Be' B1 b e z e i c h n e n

1 0 2

-

wir ats bereinigte

ten E i n s a t z f u n k t i o n e n

Einsatzfunktionen.

zu einem Martin~aL

Die b e r e i n i g -

V: X* ~ R sind wie foLgt

ein-

deutlg bestlmmt: Bo(x)

+ Bl(X)

=I ~ V(xl)l

= IA V(xO)l

~i(x)

~ o

~ ~ V(xi)

> o.

Die Funktion

B: X* - R + mit

~(x) = ~o(X) + ~1(x) bezeichnen

wir aLs den (bereinigten)

Nun b e t r a c h t e n Gesamteinsatz.

wir Spiete mit einem MinimaLwert

D.h.,

B(x) / V(x) > a > O Satz

Gesamteinsatz.

wir u n t e r s u c h e n

MartingaLe

fur den r e L a t i v e n

V: X* ~ R + mit

fur aLLe x E X*.

(14.5)

FUr eine FeLge

z E X ~ slnd die belden

folgenden

Aussagen

(I) und (2)

~quivaLent. (1) Es gibt ein rekursives i~ n

V(z(n))

NartingaL

> 0 und a <

(2) Es glbt ein rekursives i~ n

(V(z(n))

I A V(xa)/V(x) Martingal

sein V e r m S g e n vertiert,

rater

z zugrunde

dab (2) in (16.5)

der stets

wenn dem Spiel

aus.

VermSgensfunktion

gilt. U m g e k e h r t Setzt

die Dauer sein V e r m S g e n die erhebLiche

einsetzt,

ein ideater

auf die

ZufatLsgene-

nlcht,

kLeine

stets

ein, und verLiert

dann mu~ dem Spiel

Regetm~Sigkeiten NuLLmenge

NuLLmenge,

z

V: X* ~ Q+ und c > 1, so

sagt der Satz sogar noch etwas

ein SpieLer

g l b t ~ e i n e total rekursive eine besonders

a E X).

Liegt. D e n n fur einen ideaben Z u f a L L s g e n e r a t o r

es keine rekursive

tiegen,

(x E X*,

F: X* - Q+ und ein c > 1 mit

dab ein Spieler,

Dauer

fer foLgendes

I

- o n ) ~ O.

Der Satz bedeutet,

gibt

V: X* ~ Q+ und ein a > O, so da~

aufweist.

eine Forge

schgr-

er auf zugrunde

D e n n in d i e s e m Fall

von exponentieILer

Ordnung,

also

in der z Liegt. Man kann den Satz

-

auch yon

so a u f f a s s e n , exponentieLter

exponentiett KLasse

yon

tente

0rdnung

wachsenden

Beschreibungen

]]emma( 14.6

er eine

stGtzen

-

Charakterisierung

tlefert.

Diese

ist

fur die w i r n o c h

angeben w i r uns

der Z u f a t t s g e s e t z e

Ktasse

Ordnungsfunktionen

ZufatLsgesetzen,

Zum B e w e i s

Es

da~

I03

der N u L t m e n g e n

eine

eini~e

mit

ausgezeichnete weitere

~quiva-

werden.

auf das

foLgende

),

sei f: N ~ R eine

Funktion

mit

0 < a <

If(n) l g I f~r a L t e

n E N

n

und

I~ n

Zahten

rn

(f(i)

+ 1) > 0 f~r a t l e

r >

I. D a n n

gibt

es r a t i o n a l e

i=1 eTd I~ u n d

eine

unbeschr~nkte

Funktion

h: N ~ N~

so da~

h(n)

(I)

h(n)-1 Z i=1

XCe,d] I f ( i )

I >~> o

(nEN),

h(n)

} (2)

×[e,a] f(i)

i=1

h(n)

> i=1 Beweis:

>

1/2

(n~

+

N).

XEe,d] I f ( i ) I

Es

sei

a ~ e < d mit

(I + d)(1

- e)

es s i c h e r

rationate

Id - e l ~ a2/2.

Dann

= I - de + d - e ~ I - a 2 + a2/2 e,d m i t

Id - el

~ a2/2,

girt

= I - a2/2.

Nun

gibt

so da~

n

V~g n -I ~n Sofern

×[e,~] I f(1) T >

o.

i=I es zu d i e s e m

Retationen

(I)

und

[e,d] (2)

kein

E > 0 und h: N ~ N gibt,

erf~tLt

sind,

+ I) < r -n

fur

foLgt,

da~

fur

so da~

die

ein g e e i g n e t e s

r>1 n

(f(i) i=S If(i)IEKe,d]

atte

bis

auf

endtich

viele

n E N.

-

I 0 4

-

n In d i e s e m FaLL mu8 es wegen tim r n H (f(i) + I) > 0 fur a L t e r n i=I rationale

e',d' geben mlt

H

(f(i)

> I,

Id' - e' I g a2/2 sowie ein s > I, so dab

+ I) >

sn

fur unendtich vieLe n.

i=I

If(i]E[e',d'] PUr dieses IntervaLt

[e',d'] gibt es dann notwendigerweise

und ein unbeschr~nktes

ein

~ > 0

n: N ~ N, so dab die R e t a t i o n e n (I) und (2)

des Lemmas getten. Nun beweisen wir (14.5): Beweis

(1) ~

(2):

Es seien V,a wie in (14.5)

(I) gegeben. Es gilt att-

gemein

v(~ ~= ~(x~(~ ~Ix~I+~) und somit n

V(z(i

~(~(n>~ = v(^ ~ i=1 ~ ( ~ ~.~_~I I ~ Setze nun f(i) = A V(z(i)) V(z(i-1)) setzungen des Lemmas (14.6) geeignetes h: N - N (14.6)

)

.

Wegen ]~-m V(z(n)) > O sind die Vorausn erfUltt.

W&hle nun [e,d] so, dab fur ein

(I), (2) gilt. Zu rationatem q mit

0 < q < I definieren wir nun die VermSgensfunktion

Vq: X* ~ Q+ wie

folgt: Vq(A) = I, und falls

IA V(xa) / V(x) I ~ [e,d]:

Vq(X~) = Vq(X), und im andern Fair: Vq(Xa)

= ~Vq(X)

(l+q)

( Vq(X) (l-q)

V(x~) > 0 V(xa) < O.

Es gilt nun h(n)

h(n)

X[e,d]f(i) V(z(h(n)))

= (1+q) i=I

~ (l-q) i=I

X[e,d]-f(i)

-

Aufgrund

y o n (1),

V(z(h(n)))

(2) in (14.6)

-

kann man nun absch~tzen:

~ (1+q) £ h ( n ) ( I / 2 + £ ) ( 1 - q ) E h ( n ) ( 1 / 2 - ~ )

W&hte nun q so klein,

(Vq(Z(n))

I05

dab (1+q) I/2+~ (l-q) I/2- ~

- 0 8n)

> c > 1. D a n n fotgt

>0.

n

: Sei nun ? u n d c

> I wie in (14.5)

da~ (I - c') > c -1. Wir d e f i n i e r e n durch V(A)

= ?(A);

v(x~) = v(x)

farts

(2) ge~eben.

W~h%e

die V e r m S g e n s f u n k t i o n

IA ?(xa) / V(x)i

c' > 0 so, V: X* ~ Q+

> 0'/4:

(1 + ~(x)

und sonst

I

V(x)

(1

+ A V(xa)

+ o'/2)

a = I

~(x)

v(x~)=Iv(x)

Nach K o n s t r u k t i o n

(i + ~ V(x~) _ o'/2) V(x)

=

ist V eine VermSgensfunktion,

und es ~itt:

O.

-1 Weiter fotgt nach K o n s t r u k t i o n V(z(n))

~ V(z(n))

yon V:

(I - 3/4 c') n > V(z(n))

(1 - 0') n

> ~(z(n))/o n. Wegen 3~l-m (V(z(n)) n E8 ist nicht

- c n) ~ 0 fotgt nun i ~ n

schwer,

den Satz (14.5)

V(z(n))

> O.

zu versch&rfen.

Z.B.

~i%t das

fotgende Korottar

(14.7)

Sei z eine ideate gensfunktion

Zufa%tsfo%ge

mit 0 < a <

und V: X* - Q+ eine rekursive

IA V(xa)/V(x)l

VermS-

fGr a%te x E X*~ a E X. Dann

-

gibt %e

es

106

ein r > S t so da~ V ( z ( n ) )

-

< r -n f~r atte

bis

auf

endtich

vie-

n.

Beweis:

Angenommen,

auf

endLich

nun

f(i)

viete

es g i b t n. D.h.,

kein

r >

I mit V(z(n))

dab ll-m r n v ( z ( n ) ) n

= A V(z(i))/V(z(i-1)),

dann

sind

< r -n f G r a t % e

> 0 f~r a % % e

r >

bis

I. S e t z e

wegen

n

v(z(n)) = v(A) ~

(I + f(i))

i=1 die V o r a u s s e t z u n g e n Beweis

zu

(14.5)

und

ein c >

zur

Zuf~ttigkeit

ein r >

I mit

I mit

des

gezeigt

Lemmas wurde,

Lim ( V q ( z ( n ) ) n von

V(z(n))

(14.6)

z. D a m i t

eine

ge~eben.

Dann

rekursive

- c n) > O. D i e s

ist

obi~e

< r -n fGr a L L e

bis

Annahme auf

gibt

es,

wie

VermS~ensfunktion steht

Vq

im W i d e r s p r u c h

fatsch,

endLich

im

und

viete

es ~ i b t n.

-

107

-

15. Die Programmkomptexit~t nach KOLMOGOROPF KOLMOGOROFF hatte die ldee, da~ die R e g e t m ~ i g k e i t geLm~igkeit

bzw. die Unre-

yon endtichen Fotgen in der k~rzest mSglichen Beschrei-

bung der Fotgen dutch ein Programm zum Ausdruck kommen mUsse E 21 S; vergLeiche hierzu aUch CHAITIN E 4 S, ~ 5 S. Zum Beisplet t~St slch eine endtiche Fot~e x G X*, die nur aus NuLten besteht, beschreiben,

indem man ihre L~nge angibt und dazu den

Text: "Nutlfotge". Sieht man ferner die L~n~e der Fol~e ats gegeben an und nicht zur Beschreibung gehSrig, dann besteht die Beschreibun~ alter endtichen NuLtfolgen nur noch aus dem Text "NuttfoL~e". Somit tassen slch auch sehr lange NulLfotgen elnfach beschreiben. Die Vorstettung Legt es nahe, da~ dies nicht fur alLe Folgen der Fail ist, sondern da~ die Beschreibung yon u n r e g e t m ~ i g e n ,

lan~en Fot~en not-

wendigerweise entsprechend tang sein mu~. Um den Begriff der kGrzest mSgtichen Beschreibung zu pr~zisieren, gehen wir yon einem festen ALgorithmus, d.h. einer partiett rekursiyen Funktion A: X* × N - N mit fotgender Eigenschaft aus: (15.1) (x,n) G D(A) $ A(x,n) E X n. Ist (x,n) E D(A), so hei6t x ein Programm (bzw. Beschreibun~) yon A(x,n) relativ zu dem Atgorithmus A. Die Pro~rsmmkomptexit~t KA(W) eines Wortes w E X* bezU~Lich des Atgorithmus A wird definiert durch KA(W) = inf [IPl

IA(p,lwl) = w}.

Es wird dabei die Konvention inf ~ = = zugrunde gelegt. Da nach diesem Ansatz die L~nge einer Forge nicht in ihrer Beschreibung enthat-

-

1 0 8

ten ist, spricht man auch v o n d e r

-

retativen Komptexit~t

zur L~nge und

schreibt h ~ u f i g auch K A ( W I lw]) statt KA(W). Beispiet:

Sei A: X* x N ~ X* definiert

D a n n girt KA(X)

= Ix I

E i n wichtiges kompLexit~t

Ixl) = x

(x E X*).

(x E X*).

Resuttat

eines Wortes

Len Algorithmus

durch A(x,

yon K O L M O G O R O F E im w e s e n t l i c h e n

A definieren

kann,

ist, da~ man die P r o g r a m m unabh~ngig

yon einem speziet-

siehe hierzu auch SOLOMONOFF

E46~.

Satz (15.2) Man kann eine p.r.

Funktion

A: X* × N ~ X* mit (15.1)

da~ es zu jeder p.r. F u n k t i o n ~ibt~

derart angeben,

B: X* x N ~ X* mit (15.1)

ein c(B) E N

so da~ fur aLOe w 6 X*: KA(W)

m KB(W)

Grob g e s p r o c h e n schreibung

tiefert

AIm

aLLer endLichen

elnen u n i v e r s e L t e n Bewels:

+ o(B). wesentLichen F o t g e n durch

ein Programm.

Sei h: N × X* × N ~ X* eine p.r. Funktion,

durch%~uft.

atte p.r. F u n k t i o n e n

Wir b e t r a c h t e n

bijektive,

tion 8: N × X* ~ X* werde jektiv,

denn aus a ( n ) x

yon Y, da 8 a(n)

= a(n')

8 -I und 8 slnd partieLt finlere

Wir n e n n e n A

rekursive

definiert

= a(n')x'

so dab mit der E i ~ e n s c h a f t

die Teitmenge Y = [ 0 0 , 1 1 ) ~

X*. Y kann man effektiv und ohne W i e d e r h o t u n g eine entsprechende

Be-

ALgorlthmus.

hi: X* x N ~ X* mlt i genau (15.1)

die kdrzest mSgLiche

aufz~h%en,

Funktion.

dutch

8(n,x)

a: N ~ Y sei

Die rekursive = a(n)x.

rekursiv.

Funk-

8 ist in-

foLgt wegen der spezieLlen

und x = x'.

01 yon

Struktur

8 -I sei die inverse F u n k t i o n

Den A%gorithmus

zu ~.

A: X* × N * X* de-

man durch

A(x,n)

= h(~-1(x),n)

A ist p.r., welt h und

8 -I p.r.

(x E D(8-I),

(~-1(x),n)

E D(h)).

sind.

Sei nun B: X* × N * X* Irgendeine

p.r. F u n k t i o n mit (15.1).

Damn

-

I09

-

gibt es ein i E N mit B = h i . Fo%glich gi~t fur al%e x E D(B): B(x,n) = h(i,x,n)

= h( ~-I B( i ,x) ,n) = A(B(i,x),n ) = A(a(i)x,n).

Daraus fotgt KA(X) ~ KB(X) + la(i)l

(x E X*), q.e.d.

Im foLgenden sei A nun ein fester universetter Atgorithmus A: X* × N ~ X*. Es zeigt sich, dab die rekursiven Fotgen durch eine niedrige KomplexitRt ausgezeichnet sind. Satz (15.3) Ist z E X ~ rekursiv~ dann ist KA(Z(n)) mit n beschrRnkt. Beweis: Zu einer rekursiven Forge z E X ~ gibt es eine rekursive Funktion ~: X* × N ~ X* mit der Eigenschaft (15.1), so dab

~(A,n) = z(n)

(n E N).

Damit girt K~ (z(n)) = O KA(z(n)) ~ c(A)

(n E N), und es fotgt nach (15.2), da B

(n E N) mit einer geeigneten Konstanten c(~) E N.

Die Umkehrung yon (15.3), dab n~m%ich jede Fo%ge z E X ~, f~r die KA(Z(n)) mlt n besehr~ukt ist, rekursiv ist, wurde yon A.R. MEYER bewiesen, siehe [25 ]. Der Satz (15.2) %egt es nshe, die Programmkomp%exit~t KA(X) einer end%ichen Fo%ge x E X* retatlv zu einem universel%en A a%s MaB fur ihre UnregeLm~Bigkeit zu betrachten. Es erhebt sich die Frage, wie komp%iziert end%iche Fotgen bezUglich K A werden kSnnen. Einerseits gilt das Lemma (15.4) Es gibt eln e 6 N mit KA(X ) ~ Ixl + c

(x 6 X*).

Dies foLgt aus Satz (15.2), indem man B: X* × N ~ X* so deflniert, da~ B(x, ixl) = x

(x E X*). Andererseits gilt das

-

Lemma

110

-

(15.5)

Zu c E N ~i~t: KA(X)

x ~ xn

~ Ixl - c fur m l n d e s t e n s

2n(I - 2 -c) ~ o ~ g e n

(n ~ N).

Beweis:

Es glbt n u r 2 n-c - 1 F o ~ g e n

2 -n-c - I P r o g r a m m e

der L ~ n g e k l e i n e r

es zu jedem n m l n d e s t e n s t~t g r 6 ~ e r g ~ e i c h

in

2 n - 2 n-c

~X i . Also gibt es n u r i~n-c-1 gleich n - c - 1. D e s h a ~ b

+ I F o e m e n in X n, d e r e n K o m p l e x i -

n - c Ist.

Die b e i d e n o b i g e n L e m m a t a g e b e n zur V e r m u t u n g Anla~, y E X =, fur die

gibt

In - KA(Y(n))I

sind. D i e s e r V e r s u c h

mlt n b e s c h r ~ n k t

zur C h a r a k t e r i s l e r u n E

dab die F o ~ g e n

ist, Z u f a ~ s f o ~ g e n

von Zufa~sfol~en

scheitert

an f o l g e n d e m Lemma

(15.6)

Es gibt ein c E N T so da B f~r aLOe y E X~: i ' ~ (n - K A ( Y ( n ) ) n Das helot,

-2tog n) ~ -c.

zu jeder Polge y E X ~ gibt

ke, die r e L a t i v r e g e L m ~ i g Beweis:

bezGgLich

des Ma~es K A sind.

Es sei T: N ~ X* eine b i j e k t i v e

P o t g e n in X * der L~nge n a c h g e o r d n e t scher ReihenfoLge. mit der E i g e n e c h a f t

B(x,o(x)) (Dabei

es u n e n d l l c h viele AnfangssttLk-

(15.1),

Ee fotgt

z.B. in L e x i k o g r a p h i -

so da B fur aLle x E X*:

x.

= IT(ix l)xl.) Zu jedem z E X n gibt es ein i mlt

2 n ~ i ~ 2 n+l mit T(i) B(x,n+i)

aufz~htt,

die die

D a n n gibt es eine p.r. F u n k t i o n B: X * x N ~ X*

= ~(Ixl)

sei o(x)

rekursive Funktion,

= z. F~r alle x E X i gilt dann:

= zx.

IzxI - KB(ZX) 2tog

(n

+

~ IzI = n

2 n+1)

-

2

~

2log

(n

+

i)

-

2

~ 21og

IzxI

-

2.

-

Zu y E X ~ gibt es u n e n d L i c h zx. Daraus

foL~t ~

111

-

vieLe A n f a n g s a b e c h n i t t e

(n - KB(Y(n))

der o b i g e n F o r m

-2Log n) • - 2. Nach Satz (15.2)

n foLgt dann die A u s s a g e

des Lemmas.

Das obige L e m m a k a n n mit etwas M e a r a u f w a n d MARTIN-L~F

hat g e z e i g t

E 291,

dab fur a~Le F o L ~ e n y E X ~ und

F u n k t i o n f: N ~ N mit ~ 2 -f(n) nEN ~ - ~ (n - K A ( Y ( n ) ) n

noch v e r s c h ~ r f t

werden° jede

= ~ die R e L a t i o n

- f(n)) > - ~ gilt.

Zwar ist damit die u r s p r G n g L i c h e von Z u f a L L s f o L g e n

Intention

zur C h a r a k t e r i s i e r u n ~

d u r c h ihre P r o g r a m m k o m p ~ e x i t ~ t

noch k a n n m a n zeigen,

fehLgesch~agen.

da~ die P r o g r a m m k o m p L e x i t ~ t

Den-

eng mit der R e g e l -

m & ~ i g k e i t y o n F o L ~ e n zusammenh~ngt. MARTIN-L6F Satz (15.7) Jede F o ~ e

bewies den

E 29

]

z E X ~ mit

~im (n - KA(Z(n)))

< ~ ist h y p e r z u f & L ~ i ~ .

Menge der F o L g e n z mit Lim (n - KA(Z(n))) n Beweis:

(I) Es sei U ~ N x X* eln u n i v e r s e L L e r

test mit U i = U i X * zu f e s t e m i,m mit

h so konstrulert,

Laufendem naLLe

h o L u n g aufz&h~t. der E i g e n s c h a f t

SequentiaL-

, da~ h(i,m,n)

die AnzahL der F o L ~ e n in X m N U i i s t , mit

I ~ j ~ r(i,m)

F u n k t i o n g: N 2 ~ X* so definiert,

dann sei

definiert

ist.

da~

..., 2 k fur Jede8 k E N die F o L ~ e n in X ~ ohne W i e d e r D a n n k a n n m a n eine p.r. F u n k t i o n B: X* x N ~ X* mit (15.1)

B ( g ( m - i,n),m)

so k o n s t r u i e r e n ,

= h(i,m,n)

Da in X m N U i h S c h s t e n s ohne weiteres

I.

F o L ~ e n in X m N U i ohne W i e d e r h o ~ u n ~

da~ genau h(i,m,j)

F e r n e r sei die p;r. n = I,

rekursiver

(i E N). h : N 3 ~ X * sei p.r. derart

aufz~dILt. W e n n r(i,m)

g(k,n)

< ~ hat das Ma~

Die

erfGLLbar.

2 m-i F o L g e n

da~

(i,m,n) Lie~en,

E D(h). ist die obige F o r d e r u n g

112 -

-

8ei n u n z E [Ui]. m ~ s gibt B(g(m

es somit

- i,n),m)

m - KB(Z(m)) ALso

Dann

gibt

es ein s E N mit

eln n E N mit h ( i , m , n )

= h(i,m,n)

= z(m)

= z(m).

foist KB(Z(m))

~ i. F~r z E ~U f o L g t h i e r m i t

ist g e z e i g t ,

hyperzuf~LLig

da6

Ist.

jede F o r g e

Wegen

(15.2)

z(s) E U i. Zu jedem

g m - i und

damit

tim (n - K B ( Z ( n ) ) ) n

z E X ~ mit ist der

Wegen

= ~.

tim (n - K B ( z ( n ) ) ) n

erste

Tell y o n

(15.7)

< bewie-

sen. (II)

FGr c E N bezeichnen Acn = [z

Inl

E

D a es w e n i g e r

aLs

wir

-

KA(Z(n))

2 n-c F o L g e n

g

c}.

der L ~ n g e

kLeiner

aLs n - c gibt,

foLgt

A c n > 1 - 2 -c. Hieraus

foLgert

man

(/~ ~) A c n ) ~ I - 2 - c . mE N n > m Das

imptiziert [z E X°=Itim (n - K A ( Z ( n ) ) ) n (X ~ -

Dagegen Satz

U f~ U Acn) cEN m E N n>m

kSnnen

w l r zeigen,

= 0,

q.e.d.

dab die U m k e h r u n g

y o n (15.7)

nicht

gilt.

(15.8)

Es g l b t h y p e r z u f ~ L L i g e Beweis:

FoLgen

z E X ~ mit

Lim (n - K A ( Z ( n ) ) ) n

Es sei V: X* ~ R + ein s u b b e r e c h e n b a r e s

E h = X ~ - ~V und V(A) < g: N × X* ~ Q mlt graph

= oo} =

g(i,x)

7 definierten

= 1

=

~ g(i

+ 1,x) und

wir f o t g e n d e r m a ~ e n

z E A 2. P: X * ~ [O,1) P(x)

I. V sei g e g e b e n

se± f o L g e n d e s

V g(i,x) iEN

~ 1.

Martin~at

dutch

mit

elne r e k u r s i v e

Lim g(i,x) ±

= V(x).

eine h y p e r z u f ~ L L i g e

Pr&dikat

= ~.

in ~I:

Funktion In P a r a -

Forge

-

z E X~ ~ r d

113

-

zu gegebenem P rekursiv definiert durch

zi+ S = min [J E X I P(z(i)j) = 1}. Es gilt dann i ~ n

V(z(n)) ~ 1, und somit ist z hyperzuf&LLi~.

Wir zeigen, da~ tim (n - KA(Z(n))) = ~. n h: N ~ N x X* x Q sei ein( rekursive F u ~ t i o n nCN)

=

[(i,x,q)

I

gCi,x)

=

mit

q}.

Dann gibt es eine p.r. F u ~ t i o n

B: X* x N ~ X* mit der Ei~enschaft

(15.1), so dab f~r atte x E X*: B(x,i + Ixl) = r(i,x)x. Dabei wird r(i,x) E X i rekursiv wie fot~t definiert: r(o,x)

= A

(x

x*).

r(i + 1,x) = r(i,x) a(i,x) mlt { a(i,x)= min

I fur aLLe m ~ Ixl mit h(m) = (i,r( i, x ) ~ , q ) } ~ E X gilt q ~

I

und der Vereinbarun~ min ~ = I. Nach Kenstruktion gilt dann fur jedes i E N und aLLe hinreichend tangen FoLgen x die Beziehung: B(x,i

+ Ixl)

= z(i)

x.

Daraus fotgt tim (n - KB(Z(n))) = ~, und wegen (15.2) imptiziert dies n

tim (n - KA(Z(n))) = ~. n Aufgrund der vorangehenden S&tze ist es etwas ~berraschend,

da~

man die ZufaLtsfolgen in unserem Sinn auf eine vernUnftige Weise durch ihre Programmkomptexit~t charakterisieren kann. Hierzu besinnen wir uns auf unsere PhiLosophie,

da~ elne Fot~e genau dann nicht zu-

f~Ltig ist, wenn sie von einem effektiven Zufattstest abgetehnt wird°

-

Darter f r a g e n

wir,

wann

eine R e g e l m ~ B i g k e i t

z.B.

11&

durch

-

die R e t a t i o n

tim (n - K A ( Z ( n ) ) ) n

in der F o l g e

z in e f f e k t i v e r

Weise

notwendlg,

da B (n - K A ( Z ( n ) ) )

=

zum A u s d r u c k

kommt. Hierzu

ist

einmal

tiv p r ~ z i s i e r t e n innert

(siehe

tion klim

Weise

mit n g e g e n ~ k o n v e r g i e r t .

Paragraph

f(n)

9), dab

tion g: N * N und

eine u n e n d l i c h e

mit n ~ m E M stets

f(n)

Es sei d a r a n

fur eine F u n k t i o n

= ~ nach Definition

bedeutet, Menge

~ g(m).

Ferner

in einer k o n s t r u k er-

f: N ~ R die R e l a -

da B es eine O r d n u n g s f u n k -

M c N gibt, bedeutet

so da~

k~

f(n)

fur a l l e n = ~,

da~

n

es eine

Ordnungsfunktion

g gibt mit ~

(f(n)

- g(n))

> O.

n

Zum a n d e r e n

verlangen

w i r dazu,

me zu d e n A n f a n g s a b s c h n i t t e n anderen

Worten,

sichtigt

w i r verLangen,

werden,

n u n g v o n A(p,n) Unter

durch

t i o n ist

z.B.

natUrlich,

Komplexit~t

U m uns n i c h t

auf

im Sinne

ler A l g o r i t h m u s . verstehen

wir

die

Eine

Mit

p E X* b e r U c k zur B e r e c h -

absch~tzen kann man

andere

Speicherpt~tze.

die durch

Program-

kann.

eine M a s c h i n e

der U n r e g e L m ~ B i g k e i t

als a u c h

kann.

z.B.

zur B e r e c h Interpreta-

Es let n u r

von FoLgen

den R e c h e n a u f w a n d

sowohl ausge-

eingehen. ein s p e z i e L l e s durch

Maschinenmodell

[ 2

Unter

SchrittmaB

einem

~. A: X* x N ~ X* sei

rekursive

Eigenschaften

festzutegen,

ein m a s c h i n e n u n a b h ~ n g i g e s

y o n M. B L U M

eine p a r t i e l l

den f o l g e n d e n

r(p,n)

v o n A(p,n)

Funktion

(KI) und(K2):

mes-

Komplexi-

ein u n i v e r s e l -

fur den R e c h e n a u f w a n d

~: X* × N ~ N mit

bestimmen

der R e c h e n s c h r i t t e

ausfUhrt.

der b e n 6 t l g t e n

s e n w i t den R e c h e n a u f w a n d t~tsma~

(p,n)

kurzen

Programme

Funktion

verstehen,

in den B e g r i f f

die P r o g r a m m k o m p t e x i t ~ t drUckte

solche

zur B e r e c h n u n g

bei g e g e b e n e m

die A n z a h l

dab

effektiv

da~ n u r

eine r e k u r s i v e

der R e c h e n s c h r i t t e

n u n g y o n A(p,n)

auch

fur die m a n die A n z a h l

dem R e c h e n a u f w a n d

die A n z a h l

z(n)

da B m a n die r e l a t i v

zu A

-

(K1)

115

-

D(~) = D(A) Die Funktion

(K2)

M(x,n,m) = I~

~(x,n) msonst =

ist rekursiv. Die Axiome (K1) und (K2) bedeuten im wesentLichen, dab man die Anzaht der Rechenschritte zu einer gegebenen Rechnung effektiv bestimmen kann. Diese Axiome sind so schwach, dab jeder vernUnftige KompLexitRtsbegriff fur den Rechenaufwand sie erfGtLen mu~. Zu einem universetten Atgorithmus A: X* × N ~ N und einem Schrittma~ ~: X* × N - N zu A definieren wir eine KomptexitRtsfunktion KA,~: X* × N "

N U [o~}

durch A(p,lxl)

=

KA,~ (x,m) = Min ~ IPl I ~(p, lx I ) g m

S

und die Konvention Min ~ = ~. KA,~ist eine rekursive Funktion und somit ein effektives Komplexit~tsma~. Wir nennen KA, ~ die effektive Programmkomp~exitat. Es gilt: KA(X ) = min KA,~(x,m ). mEN FUr jeden universeLten Atgorithmus A: X* x N ~ X* und fur jede zugehSrlge Schrittfunktion ~: X* x N ~ N gilt der Satz (15.9) Eine FoLge z E X ~ ist genau dann zuf~Llig r wenn es keine Ordnungsfunktion g: N ~ N gibt, so da B kLim (n - KA,~(z(n),g(n))) Beweis: (I) Angenommen,

= ~.

es gibt zu z E X ~ Ordnungsfunktionen

g,f: N ~ N und eine unendliche Menge M c N, so da B fGr a L t e n n~mEM: n - KA,~(z(n),g(n)) > f(m).

mit

116

-

Zun~chst konstruiert

h(n) ~ 2 2n

-

m a n sich eine O r d n u n g s f u n k t i o n

~).

(n ~

Mit Vn: X * ~ Q+ b e z e i c h n e n w i r d a s j e n i ~ e mit

Ix I ~ h(n) ¥ n (x) =

fotgendes fa~s

h(n)

Lo

sonst. Funktion.

? o l g e n x E X h(n) mit Vn(X) Daraus

Martinga~,

so da B fGr a ~ e

x

gi~t:

~2 n

V n ist eine r e k u r s i v e

h: N ~ N mit

- KA,~(x(h(n)),g

h(n)) > f h ( n - I)

Es gibt h S c h s t e n s

2h(n)

- f h ( n - 1)

= 2 n.

folgt

Vn(A ) ~ 2-f h ( n - I) 2 n ~ 2-n + 2 Das b e r e c h e n b a r e

Martinga~

V: X * - R + d e f i n i e r e n wir dutch

nEN W e g e n Vn(A)

2 -n+2 ist V: X* - R + ein b e r e c h e n b a r e s

<

Nach der eingangs h(n)

gemachten Annahme

- KA,~(z(h(n)),g

~i~t f~r u n e n d l l c h v i e l e n:

h(n)) > f h ( n - I).

D a m i t gilt fur u n e n d ~ i c h vie~e n, dab Vn(Z(h(n))) abet V ( z ( h ( n ) ) ) k ~ - ~ V(z(n)) n

~ 2 n fur u n e n d ~ i c h

ein r e k u r s i v e s

E X ~ ist n i c h t

Martinga~

zufR~Ig.

m 2 m+1 . Wei~ V r e k u r s l v

unmitte~bar

D a n n gibt es n a c h

(9.7)

= 1 und k ~ I m V(z(n)) n

ist, k a n n m a n eine r e k u r s i v e (15.1) k o n s t r u l e r e n ,

n E N und m ~ n:

B(xn-m,n)

fo~t

= ~.

2 n - m F o ~ g e n x E X n mit

tion B: X* × N - X* mit der E i g e n s c h a f t fEr a ~ e

= 2 n. Das b e d e u t e t

zuf~ig.

V: X * - Q+ mit V(A)

Zu jedem n E N gibt es h S c h s t e n s 2 m < V(x)

v i e ~ e n. Daraus

= ~, und somit Ist z n l c h t

(II) A n g e n o m m e n , . z

Martinga~.

= [x E xn[2 m < V(x)

~ 2m+13.

Funk-

so dab

-

Nach K o n s t r u k t i o n

~ 2tog V(z(n))

fotgt,

- I.

da~ f~r ein c E N:

n - KA(Z(n)) Da B rekursiv

-

gilt dann f~r atte n E N:

n - KB(Z(n)) Aus (15.2)

117

~ 2Log V(z(n))

ist,

- c

(n E N).

fotgt i n s b e s o n d e r e ,

da~ f~r eine g e e i g n e t e

Ord-

n u n g s f u n k t i o n h: N ~ N sogar: n - KA,~(z(n),h(n)) Aus k t i m V(z(n)) n

~ 2Log V(z(n))

(n E N).

= -- fotgt h i e r a u s

k t i m (n - K A , ~ ( z ( n ) , h ( n ) ) ) n

= ~,

Mit einer ~ h n t i c h e n B e w e i s i d e e de, besonders

- c

merkw~rdige

ihre P r o g r a m m k o m p l e x i t ~ t

q.e.d.

wie zu Satz (15.9) k a n n m a n f o l g e n -

Beschrelbung herLelten.

yon ZufattsfoL~en

durch

Zu jedem u n i v e r s e l t e n

A: X* × N ~ X* und zu Jedem S c h r l t t m a B

Atgorithmus

~ zu A gilt der

Satz (15.10) (I) Gibt es zu e i n e r Forge (h(n)

z E X~ O r d n u n g s f u n k t i o n e n

- KA,~(z(h(n)),g(n))

gThtf mit

- f(n)) > O, so da~ ~

n

2 -f(n) < ~ und

nEN

berechenbar

ist r d a n n ist z nicht

(II) Ist z nicht

zuf~LLig.

z u f ~ L t i g r d a n n gibt es zu jeder O r d n u n g s f u n k t i o n

Ordnungsfunktionen

g und h mit ~

(h(n)

- KA,~(z(h(n)),~(n))

f

- f(n))

n

Die B e d l n g u n g erscheint

im FaLte

aus f o L g e n d e m

(I), dab

G r u n d interessant.

fotgt aus einer K o n s t r u k t i o n Fotge

z E X ~ und b e l i e b i g e n

2 -f(n) nEN

~ 2 -f(n) < ~ und b e r e c h e n b a r nEN

von MARTIN-L6F

D e n n im K o n t r a s t h i e r z u [29 ], dab es zu jeder

Ordnungsfunktionen

= ~ und h streng m o n o t o n

fund

h mit

stets eine O r d n u n g s f u n k t i o n

g

ist,

-

gibt mit ~

1 1 8

(h(n) - KA,~(z(h(n)),

-

g(n)) - f(n)) > 0. Zwar wird in

n E29 S nur h = id und K A statt KA, ~ betrachtet; struktlon t~t

die angegebene Kon-

slch aber mGheLos auf die oblge Form erweitern.

Bewels (I): Zun~chst konstruiere man zu f zwel O r d n u n ~ s f u n k t i o n e n fl,f2 mit f(n) • fiCn) + f2(n)

(n E N)

und so aa~ ~-.2-fI (n) < = nEN

berechenbar ist.

Hierzu gehe man wle fot~t vor. Zu k E N bestimme man ein mk,

2- f ( n )

so da B

< 2-2(~+1)

n~m k und dab m k _ I < m k. Dann setze man

f2(i)

= 0

( i < mO)

f2(i) = k

(m k ~ i < mk+1).

D a n n k a n n m a n eine 0 r d n u n g s f u n k t l o n - I ~ f(j) - f1(j) - f2(j) ~ 0

fl so konstruieren,

dab

(j E N).

Es fotgt dann sofort mk+l-1

2- f l ( j )

< 2-2(k+l)

2k+1 = 2 - k - 1 .

J=m k Damit ist ~ 2-fi (j) < ~ und berechenbar. JEN Mit Vn: X* - Q+ bezelchne man nun dasjenige Martingat, atte x mit

so da B fur

Ixl ~ h(n):

Vn(x) =

I

2 f2(n) , farts h(n) - KA,~(x(h(n)),g(n)) 0

sonst.

> f(n)

-

Es gibt h S c h s t e n s Daraus

2h(n)

119

-

2 -f(n) F o t g e n x E X h(n) mit Vn(X)

=

2f2 (n)

fotgt

Vn(A)

• 2f2 (n) 2-f(n)

• 2fl (n)

Daher wird durch

V = ~ Vn nEN ein b e r e c h e n b a r e s

Martinga%

gilt fur u n e n d % i c h h(n)

V: X* - R + definiert.

Nach V o r a u s s e t z u n g

vie%e n

- KA,~(z(h(n)),g(n))

> f(n).

(n) Damit gi%t fur u n e n d % i c h zur Fo%ge,

dab V(z(h(n)))

vieLe n, da B Vn(Z(h(n)))

2f2 (n)

~

fur unend%ich

tet k!i-m V(z(n)) n

= ~, und somit ist z nicht

(II) Angenommen,

z sei nicht

des Beweises

zu (15.8)

zuf~%lig.

gezeigt wurde,

= 2 f2

. Dies hat

vieLe n. Das bedeu-

zuf~L%ig.

D a n n gibt es, wie in Tei% II eine 0 r d n u n g s f u n k t i o n

h mit

k%im (n - K A , ~ ( z ( n ) , h ( n ) ) ) = ~. Somit ~ibt es eine O r d n u n ~ s f u n k t i o n n g und eine u n e n d % i c h e Menge M c N, so da B fur a%%e n mit n ~ m E M n - KA,~(z(n),h(n))

> g(m).

Es sei r eine 0 r d n u n g s f u n k t i o n g r (i - I) > f(i) dann foLgt auf e%ementare r(n)

mit

(i 6 N), Weise,

- KA,~(z(r(n)),h(r(n)))

fur u n e n d L i c h

viete n, q.e.d.

dab > f(n)

Viertes Ka~itet

K%assifikation

der Zufa%%s~esetze

nach ±hrer 0rdnun~ und

ihrer a~gorithmischen Komptexit~t (Theorie

der Pseudozufa%lsfo%gen)

Wenn es zu einer Forge z E X ~ ein berechenbares V: X* ~ R + gibt,

so da~ V(z(n))

Martinga%

mlt n sehr rasch w~chst,

das Verhalten der FoLge z von dem einer Zufaltsfo%ge ab. In Paragraph Martingalen

eine partietle

Ordnung unter den statlstischen

Die Nu%tmengen,

stark yon

Zufa%%sge-

Zufa%lsgeset-

bestehen nur aus end%ich

Die rekursiven FoLgen sind somit in unserer

Theorie der RegetLosigkeit

in elner gewissen Weiss a%s besonders

re-

ausgezeichnet.

In Paragraph

17 behande~n wir die Zufa%~sgesetze

Ordnungsk%asse,

n~m%ich die Z u f a ~ s g e s e t z e ,

wachsende Martingale in diese K%asse.

ders wichtiges

Zufa%%sgesetz.

auch zu erwarten ist, a~s ein beson-

Welter zeigen wir, da~ a~%e Zufa%%sge-

0rdnung aus dem starken Gesetz der gro~en

Zah~en dutch Transformationen

Produktma~es

hervorgehen,

Diese Transformationen und h~ngen nicht v o n d e r

fo%gt,

zu denen es exponentie%~

Damit erwelst sich das starke Gesetz der groBen Zah-

setze von exponentie%%er

zeugt werden.

der n~chst h~heren

gibt. Das s%arke Gesetz der groBen Zah%en f ~ t

ten, wie dies vern~nftigerweise

besondere

die den statlstischen

hSchsten Ordnung entsprechen,

vie%en rekursiven Po%gen.

getm~ig

besonders

16 zeigen wir, dab die Wachstumsgeschwindigkeit

setzen definiert. zen v o n d e r

dann weicht

dab die Ko~%ektive

die von Auswah%rege%n

slnd ma~invariant spezie~en

bzg%.

Vertei~ung

er-

jedes ab. Ins-

im Sinne yon CHURCH a%%e exponen-

-

121

tieLten und somit die wichtigsten Die Ktassifizierung

-

Zufaltsgesetze

der ZufaLtsgesetze

erfUtten.

nach ihrer aLgorithmischen

Kompliziertheit

soLl die VorsteLlung pr~zisieren,

Zufattsgesetzen

eotche gibt, die sich nur in Rechenprozessen

~em Aufwand an Rechenzeit w~hrend

es demgegen~ber

in aLgorithmisch

und Speicherkapazit~t

auch soLche ZufatLsgesetze

setze behandeLn wit in Paragraph Um die ZufaLLsgesetze fizieren,

tr~chtlichem

Struktur wer-

19.

allgemein nach dem Rechenaufwand Zufaltsgesetzes

werden mu~, gehen wir yon der DarstelLung

setze durch Martingale komptiziert

zum Ausdruck kommen.

Die zugehSrigen ZufatLsge-

der zum Testen des betreffenden

aufgewendet

gibt, die bereits

mit der einfachsten aLgorithmischen

den von endLichen Automaten dargestettt.

mit gro-

bemerkbar machen,

sehr einfachen Rechenprozessen

Die Rechenprozesse

da B es unter den

Aufwand an Rechenzeit

mindestens

der ZufaLlsge-

aus. Wir sehen ein ZufaLlsgesetz

an, wenn jede VermSgensfunktion

zu kLassi-

• c X ~ aLs

V mit • c ~V nur mit be-

bzw. Speicherkapazit~t

berechnet

werden kann. Um den Aufwand an Rechenzeit bei der Berechnung ist,

legen

bzw. Speicherkapazit~t

einer rekursiven VermSgensfunktion

zugrunde.

Zu einer 0rdnungsfunktion

eine Klasse yon Martingaten V: X* ~ R + die Funktionen

in C~(M) derart berechnen

die Berechnung von V(z(n+1)),

weitere

C~(M)

nachdem V(z(n))

T(n+1) weitere 0perationen

SpeicherpL~tze

bereits berechnet wurde,

in dem Sinne,

rekursiv a u f z ~ L e n

der zugehSrigen Funktionen C~(M) durchL~uft. die Menge der Fotgen,

T(n+1)

benStigt.

Die KLassen C~(M) eind rekureiv aufz~hLbar eine Menge yon GSdeLnummern

sich

da B f~r jedes z E X ~

(~ = 0) bzw. hSchstens

(~ = I) zus~tzLich

Tu-

T: N ~ N gehSrt dann

(~ = 0,1), wobei

Laseen,

der

V notwendlg

wir zur ersten N~herung das ModelL der mehrb~ndrigen

ringmaschine

hSchstens

zu messen,

kann,

dab man

so dab die Forge

Mit IT] bezeichnen wit

wetche aLle ZufaLLstests

der Zeit- bzw. Raum-

-

122

-

komp~exit~t bestehen. Wir ordnen dlesen Fo~gen den Z u f a ~ s g r a d des Raum- bzw. Zeitma~es zu. Die Fo~gen mit s c h n e ~

T bzgl.

wachsendem (sprlch

hohem) Zufa~Isgrad sind selbst notwendigerweise aufwendig zu berechnen. Es glbt keine Fo~gen vom Z u f a ~ s g r a d

T, we~che sich mlt elnem

Aufwand T berechnen ~assen. Die Auswah~rege~n der Komplexit~t T llefern Invarlanzelgenschaften yon IT] . Mittens a~gorithmisch einfacher Auswah~rege~n kann man die Fo~gen in ~T]~ stets so komprimleren, hohem Z u f a ~ s g r a d

erh~t.

da~ man Fo~gen yon be~iebig

-

123

-

16. Die Ordnung elnes Zufatlsgesetzes

Wit gehen v o n d e r

Vorstetlung aus, dab die Bedeutung eines Zufatts-

gesetzes fur die Anwendung dann besonders gro~ Ist, wenn die Eigenschaften yon unendlichen Folgen, welche das Gesetz beinhattet,

im

Mittet bereits an retatlv kurzen Fotgen sichtbar werden. Diese intuitive Vor6tellung wird dutch den Begrlff der 0rdnung eines Zufatlsgesetzes pr~zisiert. nung f i s t

Wir erinnern,

dab ein ZufalIsgesetz v o n d e r

(f sel eine 0rdnungsfunktlon),

wenn es ein berechenbares

MartingaL V: X* - R + gibt, so dab die Nullmenge, beschreibt,

Ord-

TeiLmenge yon ~V,f = [z E X ~ I tim n

die das ZufaLLsgesetz V(z(n))

f(n) -1 > O}

ist. FUr die Ordnungsfunktionen

f, we~che das Wachstum yon Martinga~en

messen, wob~en wir stets f(n+1) ~ 2 f(n) fur al~e n E N voraussetzen. Dies ist s i n n v o ~ , gung V(xa)

denn jedes Martinga~ V: X* ~ R + genUgt der Bedln-

~ 2 V(x) fur a ~ e

x E X*, a E X.

Sind fl und f2 zwel 0rdnungsfunktionen, (fl (n) f2(n) -I

so dab die Folgen

I n E N) und (f2(n) f1(n) -I I n E N) beschr~nkt

slnd,

so stimmen die Nullmengen der 0rdnung fl nach Definition mlt denen der Ordnung f2 Uberein. A~s n~chstes Zufa~sgesetze

zelgen wlr, dab die Menge der

durch den Begriff der Wachstumsordnung von Martinga~en

in nicht trivia~er Welse partie~l geordnet wlrd. Satz (16.1) Es seien fl' f20rdnungsfunktlonen, gen 0 konverglert.

Dann gibt es eine total rekurslve Nullmenge • der

Ordnung ~I' die nicht v o n d e r

Ordnung f2 ist.

Zusatz: Man kann ~ so konstruieren, Nu~menge

so da~ f1(n) f2(n) -I monoton ge-

dab man zu Jeder total rekurelven

~2 der Ordnung f2 eine rekursive Forge z E • - ~2 effektlv

angeben kann.

124

-

Beweis:

Wit setzen ~(n)

h(n) = [2Log f1(n)]+ 2

fl(n)

m

¥(n)

Wir konstruieren

[2i12i

= min

I gilt ~(n) >

-

fl(n)

> fl(n)}. D.h., mit

= 2h(n). Nach Konstruktion

girt dann

(n E N).

eine rekursive VermSgensfunktion

V: X* ~ Q+, die

auf den Fotgen der L~nge n nur die Werte 0 und 2h(n) annimmt. V(A)

V(x~)=

Es geLte:

= 1,

2 V(x)

faLLs

h(lxl)

=h(lxl+l)

V(x)

ZaLts

h(Ixl)

< h(lxl+l),

~ = I

0

fails

h(Ixl)


= = O.

Es girt dann: ~V,f I = ~V,Y = [z E X ~ I V(z(n)) Wir setzen ~ = ~V,fl und betrachten

(n ~ ~)}.

= ~(n)

nun irgendein berechenbares

Mar-

tlngat V: X* - R +. Nach Lemma (9.3) gibt es zu ~ ein rekurslves

Mar-

tingat 7: X* ~ Q+ mit ~V'f2 c ~V,f2. Die FoLge z E X = konstruiere (I)

V(z(i))

= ~(i)

(2)

V(z(i+1))

man dann rekursiv,

so dab fotgendes

(i E N),

= rain [~(z(i)a)

I V(z(i)a)

= ~(i+I)]

(± ~ ) .

Aus der spezietten Struktur yon V und (2) foLgt durch Induktlon dber i:

V(z(i)) ~ v(z(i)) ~(a) 2 f l ( i ) ~(A)

=

¥(i) V(A) (i E N).

Somit gilt z E ~V,fl. Wegen Limn f1(n) f2(n)-1

= 0 fo%gt

z ~ ~v,f2 = ~'f2" Man kann den Satz (16.1) noch fo~genderma~en

erweltern.

gi~t:

-

125

-

(16.2)

Satz

Es s e i e n

fl,f20rdnungsfunktfonen

0 konver~iert.

r so da B f l ( n )

f 2 ( n ) -1 monoton Regen

Dann k a n n man e i n e i o t a % r e k u r s i v e

Ordnung fl angebenT ven NuLlmengen

die nicht in der Vereinigung

Nul%menge • d e r

a~%er tota~ rekursi-

der Ordnung f2 Liegt.

Da es zu jeder rekursiven FoLge z eine berechenbare tion gibt mit V(z(n))

= 2 n (n E N), %iegt insbesondere

Folge in einer NuLLmenge somit nicht konstruktiv

Nuttmenge

sein. Wir benutzen das Auswahlaxiom. ~, die VermGgensfunktlon

~V,~ konstruiere

(vil i E N) eine Aufz~h~ung mit Vi(A)

jede rekursive

der Ordnung f2" Der Bewels von (16.2) kann

Beweis: Die Ordnungsfunktion rekurslve

VermSgensfunk-

V und die %ota~

man wie im Beweis zu (16.1).

a%Ler berechenbaren

Sei

VermSgensfunktionen

= I. Wir setzen

=

vi

2 -i

iEN ist eine Verm~gensfunktion mit V(A) = I. Die Forge z E X ~ definiere man dann induktiv, (1)

V(z(i))

= ¥(i)

(2)

V(z(i+1))

gilt:

(i ~ N)

= min [V(z(i)a)

Unter Ausnutzung

so da# foLgendes

I V(z(i)~)

= ~(i+1)].

der speziel%en Struktur von V fo~gt aus (2) dutch

Induktion ~ber i: V(z(i))

~

V(z(i))

= 7(i) < 2 f1(i)

Daraus foLgt z E ~V,~ und z ~ ~Vi'f2

Wir untersuchen festen Ordnung.

nun Absch%uSeigenschaften

(i E N). (i E N), q.e.d.

der Nu%Imengen

einer

-

126

-

Satz (16.3) Bel (~ill E N) elne rekursive Forge yon total rekurslven Nu~Imengen der Ordnung f. Dann ist ~ ~i ebenfalls yon der 0rdnung f. iEN Bewels: Sel (Viii E N) eine rekurslve Folge yon berechenbaren Martingalen ¥I: X* ~ R + mit Vi(A) ~ I. Dann ist V = ~- 2 -i V i eln berecheniEN bares Martlnga~ mit

~Vi,f c ~V,f

(i E N).

Sei • eine total rekursive Nultmenge und x E X*, dann ist die Nultmenge x~ von derselben 0rdnung wle ~. Denn zu einem Martingal V: X*~Q + gibt es stets ein Martinga% V: X* ~ Q+ mit V(xy) = V(y)

(y E X*).

Dann gilt X~v, f c ~ , f

f~r alte Ordnungsfunktlonen f. Aus (16.3) foLgt

somit das Korotlar (16.4) Mit einer total rekursiven Nullmenge • ist X*~ stets elne Nuttmenge yon derselben Ordnung. Ausgehend von total rekurslven Sequentiattests geLangt man zu einer Klassifizierung der Zufattsgesetze, weLche im wesentllchen m i t d e r 0rdnung Ubereinstimmt.

Zu einem rekursiven Sequentialtest Y c N × X*

deflniert man die Niveaufunktion my: X* - N durch: my(x) = rain ~n I x E YnX*}.

Batz (16.5) Sei ~V,f eln Zufallsgesetz der 0rdnung f. Dann kann man einen total rekursiven Sequentiattest Y c N × X* so konstruieren T da~ ~V,f c [z E X = I ~

(my(z(n)) - 2%og f(n)) > - ~ ] . n

-

Beweis:

M a n seize Yn = I x

voraussetzen

kann,

tal r e k u r s i v e r Satz

E X*

127

-

I V(x)

z

2 n V(A)}

dab V: X* - Q+ rekursiv

SequentiaLtest

X*. Da man o.B.d.A.

ist, fo%gt,

da 8 Y ein to-

ist und somit die Behauptung.

(16.6)

Sei Y c N x X* ein total rekursiver funktion.

D a n n k a n n m a n ein berechenbaree

struleren~ [z E X ~

SequentiaLtest

da~ zu v o r g e g e b e n e m

I ~

(my(z(n))

und f eine O r d n u n g s -

MartlngaL

V: X* ~ R + so k o n -

E > O die Men~e.

- 2log f(n)) > - ~ }

i_nn~V,f(1-~)

llegt.

n Beweis:

O.w.E.

k S n n e n wit annehmen,

dab Yi D YiXX * = ~

(i E N). Wir

eetzen:

V(b) = ~

2(~-~)~ ( " ~

nEN Wegen V(A)

baEY n

n

2 -~n < ~ ist V e i n

=

Xx.(b)).

2-1"1 + ×y

berechenbares

MartingaL

(verglei-

nEN

che den Beweis

zu (5.3)).

Aus ~

(my(z(n))

- 21og f(n)) > - ~ fotgt,

n dab es zu z ein k E N gibt mit z(n) E Y [ 2 L o g

Daraus

foLgt V(z(n))

fnf

- k fur unendLich

fur unendtich = 2 (1-£)Q~og

Dae bedeutet i ~ n Im Bewele

f(n)]

V(z(n))

vieLe n.

vieLe n: f(n) - k - I).

f(n) -1+~ > O , q.e.d.

zu (16.6) k a n n man sogar etwas sch~rfer

v(z(i))

:, z ( 1 - E ) ( ÷

°g f(n)

- k -

schLie~en

auf:

1)

i>n

fur u n e n d t i c h KoroLlar

viele n E N. Zusammen mit (16.5)

ftthrt dies

zu dem

(16.7)

Sei • eine total rekursive

Nultmenge

vonder

Ordnung

f. D a n n gibt ee

-

zu ~edem

~ > 0 ein berechenbares

c [z 6 X °° I ~ n

(inf V(z(i)) i>n

128

-

Martingal

V: X* ~ R + mit

) f(n) -I+~ > 0].

-

17. Die ZufaLlsgesetze Nach u n s e r e r zen N u t l m e n g e n

VorstetLung

-

yon exponentietter

entsprechen

mit schnetl w a c h s e n d e n

tietl w a c h s e n d e n deutung.

129

0rdnungsfunktionen

Aufgrund

der S~tze

(16.5)

Ordnung

den w i c h t i g s t e n

Zufattsgeset-

Ordnun~sfunktionen.

sind hierbei und (16.6)

Die exponen-

yon b e s o n d e r e r

folgt sofort

Be-

die foL-

gende ~quivalenz: Satz (17.1) Sei ~ c X ~ eine NuLLmenge.

Dann slnd foLgende

(I) Es gibt ein berechenbares c [z E X ~

Martin~aL

I L - ~ V(z(n)) n

Wir sagen,

SequentiaLtest

I i~ n

(my(z(n))

Y c N x X* und ein

eine NutLmenge

- bn) > 0}.

~ eel von exponentieLter

eine der b e i d e n Aussagen yon (17.1) in (17.1)

zugrunde,

NutLmengen

Sei

V: X* - R + und ein a > 1 mit

mit ~ [z E X ~

Satz

~uivatent:

a -n > 0].

(2) Es gibt einen total r e k u r s i v e n b>O

Aussa~en

so ergibt

gilt.

wenn

Legt man die R e L a t i o n

sich fotgende

yon exponentietter

0rdnung,

AbschLu6eigenschaft

(2) der

Ordnun~.

(17.2) • c X~ e i n e

NuLLmen~e von

eine p a r t i e L t e t b e r e c h e n b a r n e a r e m StetigkeitsmoduL. von e x p o n e n t i e L t e r Beweis: Funktion

Zu 6 gibt

exponentieLLer

stetige~

0rdnung

ma~beschr~nkte

D a n n ist ~-1(~)

ebenfatts

~:

X~ ~ X~

AbbiLdun~

mit

eine Nuttmenge

Ordnun~. es nach V o r a u s s e t z u n ~

eine rekursive,

H: X* - X* und ein c E N, so da~

D(6) = [z E X ~ = H(z)

und

l IH(z(c (z

•

n))l ~ n

(n E N)]

monotone

Li-

-

130

-

Ferner gibt es ein k E N, so da~ fGr atte me~baren A ~ X~: ~-I(A)

~ k ~(A).

Sei nun Y c N x X* ein total rekursiver da~ f~r ~ die Relation

(2) in (17.1)

Ti = H-l(Yi+k X*)

Sequentialtest

und b > 0 so,

erfGltt ist. Dann wlrd durch

(i E N)

ein total rekursiver Sequentiattest

T c N x X* zu 6-1(~)

definiert,

und es gilt: ~-I(~) c ~Z E X~i~-~-m (m~(z(n)) n ALso ist ~-I(~) yon exponentieller

- b o-ln ) > 0}. Ordnung.

Wir interessieren uns insbesondere alle Zufattsgesetze

fur diejenigen Fot~en,

yon exponentielter

Ordnun~ erf~ILen.

wetche

Wir bezeich-

nen die Menge dieser Folgen mlt R e. Die Folgen in R e erfUlten somit in unserem Sinne die wichtigsten

Zufatlsgesetze.

Aus Paragraph

10 er-

gibt sich das Korollar

(17.3)

Die Folgen in R e erfGtlen das starke Gesetz der gro~en Zahlen. Wir wollen dieses Ergebnis wesentlich versch~rfen und zeigen,

da~

die Folgen in R e durch das starke Gesetz der gro~en Zahlen und eine ausgezeichnete

Ktasse von Invarianzeigenschaften

charakterisiert

wer-

den. Hierzu betrachten wir zun~chst Spiete mit beschr~nktem Einsatz, in denen Schutden ertaubt sind. D.h. wir betrachten VermSgensfunktionen V: X* ~ ~ fGr die AV beschr~nkt der ZufaIlsgesetze

ist. Eine erste Charakterisierung

yon exponentieller

0rdnun~ liefert der

Satz (17.4) Eine Forge

z erf~ttt genau dann alte Zufattsgesetze

ler Ordnungt

wenn fGr jede berechenbare

mit beschr~[nkter Differenz

tim V(z(n))/n m

yon exponentiet-

VermSgensfunktion = 0 erfGllt Ist.

V: X* * R

-

151

-

Ats ersten TeiL h i e r v o n b e w e i s e n wir Satz (17.5) Sei V: X* - R eine berechenbare V e r m S g e n s f u n k t i o n mit beschr~a~_kter Differenz r dann wird durch ~a = [z E X~I ~

IV(z(n))/nl > a} mit n a > 0 eine total rekursive N u ~ m e n g e y o n e x p o n e n t i e t L e r O r d n u n g d e f i -

niert. Beweis:

0.B.d.A.

nehmen wir an, aa~

IAV(x)I ~ 1/2

(x E XX*).

Zu einer

ganzen Zaht m $ 0 d e f i n i e r e n wir eine VermSgensfunktion V : X* ~ R + m wie folgt: Vm(A) = I Vm(Xa ) = Vm(X)(1

+ m -1 AV(xa)).

Es folgt sofort, dab Vm: X* - R + eine VermS~ensfunktion

ist, und es

gilt: n Vm(z(n))

= exp ( ~-. tn (I + m -1 AV(z(i))). i=I

Wir b e t r a c h t e n zun~chst die Menge + ~a = [z E X~I ~

V ( z ( n ) ) / n > a}. n

Aus der Tayl, o r e n t w i c k l , u n g 1,n(1 + x)

lav(x) l

x2 x3 = x - ~ + 3

... fotgt w e g e n

i/2:

n-1

n-1

I ~ ~n(1 + m -1 AV(z(i + 1 ) ) ) i=O

m- 2

m-1 ~ AV(z(i + 1)) I i=O

n-1 ~ AV(z(i + 1)) 2 ~ m-22-2n. i=O

W~hte nun m so

n

'

da~ m-la > m-22 -2

n -I Ln Vm(z(n) ) = I ~ n

'

dann fotgt aus z E ~+a '

da~

n n -I ~ In(1 + m -I AV(z(i))) i=1

-

m -11-~ n Daraus

fo~gt,

V(z(n))

132

-

n -1 - m-22 -2 > O.

dad es ein b > I gibt mlt

~ - ~ (Vm(z(n)) - b n) ~ 0 n + Somit ist ~a yon e x p o n e n t i e t L e r Aus S y m m e t r i e g r G n d e n

(z E ~ ) . Ordnun~°

ist dann auch

~a = [z E X~I ti___mmV ( z ( n ) ) / n < - a] m i t a n ponentie~er

von ex-

Ordnung und somit auch ~a = ~+a U ~a, q.e.d

Um d~n Beweis yon (17.4) umgekehrt

> 0 eine Nuttmenge

jede NuL~menge

zu vervo~Lst&ndigen,

yon e x p o n e n t i e L t e r

der obigen Form ~a einbetten

zelgen wir,

Ordnung

da~ sich

in eine NuL~menge

l~t.

satz (I?.6) Z~ elner totat r e k u r s l v e n man stets

eine berechenbare

schr~nkter

Differenz

c ~a d~f [z E X ~

Beweis:

NuLLmenge

yon e x p o n e n t i e ~ e r

VermSgensfunktlon

V: X* ~ R mit be-

angeben t so da~ f~r ein a > O fo~gendes I i~ n

V(z(n))

gilt:

n -1 > a).

Es sei V: X* ~ R + eine berechenbare

betrachten

O r d n u n g kann

zu b > 1 ale Menge ~(b)

= [z E X ~

VermSgensfunktion. I ~

(~(z(n))

Wir

- bn)~o]

n und zeigen,

da~ ~(b)

f~r ein geeignetes

V und a > 0 in ~a Liegt.

Durch F(x)

= in(1

+ V(x))

wird ein S u p e r m a r t i n g a L schr~nkt

F definiert,

ist. Indem man die Lemmata

man eine berechenbare

v(x) ~ F(x) IAVI

(x E X*) dessen Differenz (13.2) und

VermSgensfunktion

benutzt,

V: X* - R + k o n s t r u l e r e n

(x ~ x*)

ist beschr~nkt.

Nach K o n s t r u k t l o n

(13.3)

nach oben be-

gilt fGr a~Le z E ~(b):

kann mit:

-

V(z(n))/n

133

-

~ In b , q.e.d.

n

Wir geben noch eine ~quivaLente

FormuLierung

zu (17.4) an, die er-

kennen Lg~t, da~ es sich bei den ZufaLLsgesetzen

yon exponentieLLer

0rdnung im wesentLichen um die Gesetze Uber die relative keit yon NuLLen und Einsen handeLt.

= ~U

Grenzh~ufig-

Es bezeichne

sonst.

Satz (17.7) Eine FoLge z E X ~ erf~LLt genau dann alle ZufaLLsgesetze

von exponen-

tieLLer Ordnung r wenn fur ~ede beschr~nkte T berechenbare

Funktion

n-1 H: X* - R + mit Lim n -I ~ H(z(i)) n i=O n-1 (R) him( ~ H(z(1)) n i=O

n-1 81 ~(~ H(z(i))) - 1 zi+1 i=0

NatUrLich ~ndert sich die Relation 0 6 ersetzt. Zi+l Bemerkung: tlonswert

> 0 fotgendes

dann bedeutet

Funktion,

(R) gerade,

figkeit der Einsen in z im Grenzwert Beweis:

I/2.

(R) nicht, wenn man 8 1 durch zi+1

Setzt man fur H die konstante 1 annimmt,

gilt:

die nur den Funk-

dab die relative

H~u-

gLeich I/2 ist.

(I) Zun~chst nehmen wir an, dab (R) in (17.7) fur Jedes be-

schr~nkte,

berechenbare

n-1 H(z(i)) > 0 erH: X* ~ R + mit Lim n -I n i=O

fUttt ist. Sei nun V: X* ~ R eine berechenbare beschr~nkter Differenz. satzfunktionen

VermSgensfunktion

Dann gibt es berechenbare

beschr~nkte

mit

Ein-

n-1 Bi: X* * R + mit Lira n -1 ~ Bi(z(j)) > O, die V aLs n j=O

VermSgensfunktlon

in einem Spiel erzeugen.

Eine Einsatzfunktlon

aLtein genommen erzeugt eine VermSgensfunktion

Vi: X* ~ R mit

Bi

-

mit Vi(A) (1)

154

-

= 0 und

Vi(x~ ) = Vi(x ) + Bi(x)(2

6ia -

(x E X*, a 6 X).

I)

Es gilt also n

n

(2)

6i = z j+1

j=O Um tim V ( z ( n ) ) / n n die R e l a t i o n e n

= 0 nachzuweisen,

%im V i ( z ( n ) ) / n n

Nach V o r a u s s e t z u n g n

(3) Wegen

tim(~

n -j=o

2-I Vi(z(n+1))

+

genUgt

= 0

2-1~

Bi(zi'j)).

j=O

es wegen V = V I + V 2 + V(A),

(i = 0,1) nachzuweisen.

gilt: n

Bi(z(j)) 6zj+1

(2) ist dies ~quivalent

Bi(z(j))

-I =

I/2.

j=o zu: n

2 -I V i ( z ( n

(4)

j=O

llm

Bi(z(j))

--1/2.

n ~ Bi(z(j)) j=O

n Dies

ist ~quivatent

(5)

tim n

+ I)) + 2 -1

zu

V i ( z ( n + I)) = 0. n ~ Bi(z(J))

j=O Welt B i beschr~nkt

ist,

fotgt

(II) Wir n e h m e n nun umgekehrt

Vi(z(n)) n

Lim n

O.

an, da~ fur jede berechenbare

funktion V: X* ~ R mit b e s c h r ~ n k t e r Sei H: X* ~ R+eine

=

berechenbare,

Differenz

beschr~nkte

VermSgens-

%im V ( z ( n ) ) / n n

= 0 gilt.

F u n k t i o n mit

n (6)

%im ~ H(z(n))/n n i=O

Wir b e t r a c h t e n

wieder

aus einer einzigen Definition

> O. die V e r m S g e n s f u n k t i o n e n

Einsatzfunktion

(I) ergeben.

Wir k e h r e n

V i, die sich

jeweils

B i mit B i = H fur i = 0,1 aus der den Schlu~

in (I) um. Aus

-

135

-

tlm vi(z(n))

= 0 fol~t wegen (6) die Relation (5), und diese ist m n ~qulvalent mit (3), q.e.d. Aus (17.7) lelten wir foLgende abschlie~ende Charakterisierung der Zufallsgesetze von exponentieILer Ordnung her. Satz

(17.8),

Eine Folge z erfUllt genau dann alle Zufallsgesetze von exponentieLler Ordnung r wenn die Folge ~(z) E X~ fur jede rekursivs Auswahlrsgel ~: X* ~ IOtl] mit inf }~(x)} xEX*

}xl -I > 0 das starke Gesstz der gro~en

Zahlen erfUllt. Dieser Satz enth~tt eine Rechtfertigung des ursprGnglichen VON MISES'schen Ansatzes, Zufallsfolgen durch AuswahlregeLn zu charakterisieren. Insbesondere erfGllen somit die Kollektive im Sinne yon CHURCH (siehe Paragraph 3) alle Zufallsgesetze von exponentleller Ordnung. Bemerkenswert an obigem Satz ist, da~ die Invarianzelgenschaften, welche ~e zusammen mlt dem starken Gesetz der gro~en Zahlen charakterisieren, unabh~ngig yon der zugrunde gelegten Verteilung slnd. Denn die yon Auswahtregeln erzeugten Funktionen ~: X ~ ~ X ~ slnd ma~verkleinernd bezUgllch Jedes Produktma~es ~. Damlt folgt aber, da~ man sine anatoge Menge R e fGr jede Verteilun~ W auf [0,13 definieren kann, unabh~ngig davon, ob u(O) berechenbar Ist. Dies legt die Vermutung nahe, da~ die Theorie der Kollektive auch f~r nicht konstruktive Verteilungen einen Sinn hat. Man ka~n aus Satz (17.8) entnehmen, da~ es ein einzlges Gesetz der gro~en Zahlen glbt r welches yon exponentleller Ordnung Ist. Der Satz (17.8) wirft daher die Frage nach einer ~bersicht ~ber atle Gesetze der gro~en Zahten auf. Es erhebt sich n~mlich die Frage, ob ein ~hnlicher Struktursatz auch fGr ZufaLlsgesetze yon niedrigerer Ordnung gilt, wenn man etwa noch weitere Gesetze der gro~en Zahlen wle z.B.

136

-

-

das Gesetz vom iterierten Logarithmus Ansicht nach ein wichtiges Der Bedeutung

berUcksichtigt.

Dies ist melner

noch offenes ProbLem.

dee obigen Satzes wegen geben wir zwei unabh~ngige

Beweise. Erster Bewels yon (17.8): yon exponentietter Auswahtregs%

n

(I) Wir nehmen an, da B z atte ZufaL%sgesetze

Ordnung erfHttt.

mit inf xEX*

Sei $: X* - {0,1}

eine rekursiv~

I~(x) I Ix1-1 > o. Dann gilt wegen (17.7)

I

Zi+l lim i=O

= I/2.

n

n

Z i=O Das bedeutet

gerade,

da B {(z) das starke Gesetz der gro~en Zah%en er-

fGtLt. (II) Nun nehmen wit umgekehrt an, dab z nicht atte Zufattsgesetze exponentietLer bare,

Ordnung erfGLtt.

beschr~nkte

Dann gibt es nach (17.7)

Funktion H: X* - R +, ein

n

yon

eine berechen-

~ > 0 und ein a E X, so da B

-1

],im ~ H(z(i)) n i=O

n

>

~,

n

i=O n

n

8a H(z(i)) Zi+l > 1/2 +£.

H(z(i)) i=O

Dann gibt es eine rekursive Funktion H: X* ~ Q, die nur endtich viete Werte ql,q2, .... qm annimmt mit

IH(x) - H(x)l ~

(x E X*). Es gilt dann n

i--o n

Zi+l

IH(z(i)) - H(z(i))l

n ~. i=O

< E/2 H(z(i))

E2/2, H(x)

~ H(x)

-

137

-

und somit n

8a H(z(i)) Zi+l tim i=0

> 1/2 + [ / 2 .

n

n

H(z(i)) i=0

Zu j mit I ~ j ~ m bezeichne Hj: X* ~ Q+ die Funktion mit ~qj, fails H(x) = qj, Hi(x) = ~ 0

sonst.

Dan~ gibt es ein J, so da# (I)

n tim n -I ~ Hj(z(i)) > 0 n i=O

und n

6a

(2)~

i=o n

zi+ I HS(

z(i))

n ~ Hj(z(i)) i=0

> 1/2.

Es ist unmittetbar ktar, da~ man Hj noch so ab~ndern kann, da~ Hj rekursiv bteibt und auger (2) noch inf Ixl -I

Ixl i=O

fUttt ist. Nun definiere man die Auswahlregel $: X* - [0,1} dutch ~(x) = {01

faLtSsonst.Hj(x)= qj,

Dann girt inf Ixl -I l~(x)l xEX* n

]~ ~ IT~ i=0 n

zi+1

> o, und aus (2) fotgt

~1('(i)) > 1/2.

rI

Letzteres bedeutet gerade, da~ ~(z) das starke Gesetz der gro~en Zahten nicht erfGLLt. Die retative H~ufigkeit von a in ~(z) ist zu gro~.

-

138

-

Damit ist (17.8) bewiesen. Der zweite Beweis ist direkter und verzichtet auf die Benutzung von Satz (17.7). Zweiter Beweis yon (17.8): (I) Es sei $: X* ~ [0,1} eine rekursive AuswahlregeL mlt inf l~(x) I Ixl -I > O. • c X = sei die Menge der FotxEX* gen, wetche das starke Gesetz der gro~en Zahten nicht erfGtten. • ist eine Verelnigung yon NuLtmengen mit exponentieLLer Ordnung. Wegen (17.2) ist dann auch 6-I(~) eine Vereinlgung von NuLLmengen yon exponentlelLer Ordnung. Somlt gilt ~e D 6-I(~) = ~. (II) Angenommen z ~ ~e" Dann gibt es ein rekursives Martingat V: X* ~ Q+ und ein a > I mit i ~ n n n

&V 1

V(z(n)) a -n > O. Damit gilt

~

a -n > O.

i=1

Daraus foLgt unmittetbar, da~ es rationale Zahten e, d, E > 0 und eine unbeschr~nkte Funktion h: N - N gibt, so dap f~r atle n E N:

h(n) (1)

h(n)-1

x[e,e] IAV(z(i)) V(z(i - I))-11 > 5 , i=1

und

h(n) X[e,d] AV(Z(1)) V(z(i - 1)) -1 (2)

±=1 h(n)

.... XKe,d]

> 1/2 +

IAV(z(i)) V(z(i - 1))-11

i=1 Wir definleren zwel rekursive Auswahlregeln ~0,$i: X* " ~O,I] wie fo tgt : falls AV(xO) V(x) -I E [e,d]

~°(x) =

o

"1 (x) =110

sonst. falls ~V(xl) V(x) -I E Ke,d] @onst.

-

139

-

Dann fotgt, da~ f~r mindestens ein i E

[0,1}

erstens

Lira I$i(z(n))In -1 > 0 gilt und zweitens ~i(z) das starke Gesetz tier n gro~en

Zahten nich% erf~ltt. Nun sieht man unmittetbar, da~ man die-

ses ~i noch so ab~ndern kann, da B sogar inf {~i(x){ xEX*

{xl -1 > 0 erf~tLt

ist, q.e.d. Es sotLte darauf hingewiesen werden, dab der Satz (17.8) unabh~ngig yon dem hier zugrundegeLegten KaLkGL der rekursiven Funktionen einen rein statistischen Inhatt hat. Aus dem zweiten Beweis kann man n~mtich fotgendes entnehmen. Koroltar (17.9) Sei • c X ~ eine Nuttmenge von exponentletter Ordnung (wobel ~ nicht notwendigerweise konstruktiv definiert ist)T dann gibt es zwei Auswahtregetn m0,$I: X* * [0,1], so da# fur atte z E ~ nie T0(z) und ~1(z) das starke Gesetz der gro#en ZahLen erfGtLen. Aus (17.8) erglbt sich zusammen mit (17.2) das KoroLLar (17.10) ~e ist die grS#te TeiLmenge yon X ~, weLche invariant gegenGber allen berechenbar stetigen~ ma#invarianten AbbiLdungen mit tinearem StetigkeitsmoduL ist und deren ELemente das starke Gesetz der gro#en ZahLen erfGlten.

-

18. V o r a u s s a g b a r e In e i n e r Theorie te m a n erwarten, Rege%m~igkeit

-

und q u a s i - r e k u r s i v e

der U n r e g e t m ~ i g k e i t

da~ r e k u r s i v e

ausgezeichnet

yon der O r d n u n g

140

Fotgen

yon u n e n d t i c h e n F o t g e n

F o % g e n in I r g e n d e i n e r W e i s e

sind.

Tats~chtlch

so~t-

d u r c h ihre

b e s t e h e n die N u % % m e n g e n

f(n) = 2 n nur aus r e k u r s i v e n Fo%gen.

Satz ( 1 8 . 1 )

Jede r e k u r s i v e entha~ten.

2o%ge i s t

i n e i n e r Nu%%menge d e r Ordnung f ( n )

Jede tota% rekursive

Nu~%men~e

der O r d n u n g f(n)

= 2n = 2n be-

besteht n u r aus r e k u r s i v e n Fo%gen. Beweis:

(I) Sei z E X ~ eine r e k u r s i v e

rekursivee

Vz(X)

Martinga~

=

(Es b e z e i c h n e

fa%%s z 6 xX*

0

fa~%s

z ~ xX*.

= [z E X ~

I i~ n

V(z(n))

(II) Sei V: X * ~ R + ein b e r e c h e n b a r e s kursives Martingat zu zeigen, fo%gt, (1)

Zu z d e f i n l e r e n wir eln

Vz: X* ~ Q+ d u r c h

2 Ixl

~V,2

Po%ge.

2 -n > 0)).

MartingaL.

V: X* ~ R + mit V(x) > V(x)

dab ~V,2

nur aus r e k u r s i v e n

Zu V gibt es ein re(x E X*). Es genGgt

F o % g e n besteht.

Aus

z E ~q,2

da~ es ein k E N glbt m i t

~

(k

• V(z(n))

-

2n )

> O.

n Da a u s ist

(2)

(1)

k

• V(z(i))

< 2i

~quiva~ent

k " V(z(n))

stets

• V(z(J))

< 2j

f~r

a~%e j

g i

fo~gt,

zu:

> 2n

(n E N).

Zu f e s t e m k k a n n es h S c h s t e n s mit (2) geben,

k

[k • V(A)] v e r s c h i e d e n e

und diese sind aL%e rekursiv.

schaft imp%izlert,

Fo%gen

D e n n die M a r t i n g a % e i g e n -

da~ es zu jedem n E N in X n h S c h s t e n s

F o L g e n x gibt mlt k • V(x) > 2 n.

z E X~

[k • V(A)]

-

141

-

Im S i n n e der 0 r d n u n g y o n Z u f a l l s g e s e t z e n gen d u r c h ihre R e g e l m ~ B i g k e i t Satz (18.1),

Welter ersleht m a n aus

dab die 0 r d n u n g eines Z u f a l l s g e s e t z e s

Klassifikation tens

ausgezeichnet.

sind die r e k u r s i v e n F o t -

der r e k u r s i v e n F o l g e n h l n s i c h t t i c h

keinen Hinweie

zur

ihres Z u f a L t s v e r h a l -

tiefert.

W i r w o t l e n n u n d i e j e n i g e n F o l g e n betrachten, 0rdnung von Zufallsgesetzen s t e n sind.

Es Liegt nahe,

aussagbaren

da B h i e r z u d l e j e n i g e n F o t g e n gehSren,

Diese V o r s t e l l u n g

Potge.

e r w e i t e r n wir zum B e g r i f f

Wir s t e L l e n uns dabei vor, da~ eine Folge

der v o r z E X~

ist, w e n n fur eine r e k u r s i v e

tion T: X * ~ X die R e l a t i o n

= Zn+ I "sehr h~ufig"

zu pr~zisieren,

gen n a t G r l i c h e r

T(z(n))

deren

in g e w i s s e m Sinne h ~ u f i g

in e i n e m g e w i s s e n Grad v o r a u s s a g b a r

U m dies

der

nach den r e k u r s i v e n P o l g e n am r e g e l m ~ B i g -

G l i e d e r mit d e n e n einer r e k u r s i v e n F o l g e Ubereinstimmen.

die h i n s i c h t L i c h

Funk-

e r f U l l t ist.

e r k l ~ r e n wir zun~chst die Dichte yon T e i l m e n -

Zahlen.

Zu einer T e i l m e n g e M c N d e f i n i e r e n wit die Dichte DM: N ~ N d u r c h

DN(0) = 0 und n-1

DM(n) = ~-

×~(i)

(n ~ I).

i=O D a n n ist jede F u n k t i o n D: N ~ N mit D(0) (n E N) Dichte

einer e i n d e u t i g b e s t i m m t e n

der M e n g e N setbst ist die I d e n t i t ~ t

= 0 und 0 ~ D ( n + 1 ) - D ( n ) ~ 1 Teilmenge M c N. Die D i c h t e

id: N ~ N. FUr das K o m p l e m e n t

M c einer Teitmenge M c N gilt DMC = id - D M. P e r n e r gilt DAu B = DA+DB, falls

A und B d i s j u n k t

sind.

Genau die e n d l i c h e n M e n g e n h a b e n eine

beschr~inkte Dichte. Definition

(18.2)

Sei f: N ~ R + eine m o n o t o n w a c h s e n d e f-voraussagbar,

Funktion.

w e n n es eine r e k u r s i v e

dab fur die Menge M(~)

Dann heist

z E X~

F u n k t i o n ~: X* - X gibt,

= ~i E N I ~ ( z ( i ) ) def

$ zi+1~

die R e l a t i o n

so

-

tim (DM(~)(n)

142

-

- f(n)) ~ 0 gilt.

n

Ist f beschr~nkt,

so bedeutet

obige Forderung,

da B auch DM(~) be-

schr~nkt und somit M(~) endtlch ist. Die f - v o r a u s s a g b a r e n F o L g e n mit b e s c h r & u k t e m f slnd daher genau die rekursiven FoLgen. Satz ( 1 8 . 3 ) Jede Forge z e X ~ ist f - v o r a u s s a g b a r mit f(n) = n 2 -I . Beweis: Es seien ~ 1 , ~ 2 : ~l(X) ~ Y2(x) oder ~2(z(i))

X* ~ X zwei rekursive F u n k t i o n e n mit

(x E X*). FUr Jedes i E N gilt entweder ~l(z(i))=zi+ I = zi+ I. FGr mindestens

ein J = 0,1 gilt daher

tim (DM( ~ )(n) - n/2) ~ O. n

J

Wit zeigen, da~ sich d i e j e n i g e n FoLgen, weLche aLte Zufattsgesetze yon exponentietLer

Ordnung erfUtten,

durch ihre V o r a u s s a g b a r k e i t

be-

schreiben lassen. Satz (18.4) Eine FoLge z erfULtt genau dann aLLe ZufaLLsgesetze

von exponentiet-

ter Ordnungr wenn es kein a < I/2 glbt r so da B z f - v o r a u s s a g b a r mit f(n) = a • n

(n E N ) .

Beweis: Wir zeigen,

tim n

n-1~

da B z genau dann in ~e tiegt, wenn

zi

8~(z(i_1) ) = I/2 fur Jede rekursive F u n k t i o n ~: X* * X

i=1

erfUtlt ist. (I) Angenommen,

es gibt eine rekursive Funktion ~: X* ~ X mit n

In -1 ~

(1) n

zi 8~(z(i_1)

) -

1/21 > o.

i=1

Wir d e f i n i e r e n ein rekursives M a r t i n g a t V: X* ~ Q dutch V(A) = 0 und

ist

-

Y(X~)

143

-

~V(x) + I

ZUr a = ~(x)

~V(x)

fur a ~ ~(x).

- I

Aus (1) folgt sofort,

}V(z(n))

da~ i ~ n

n-t1 > O. Wegen Satz (17.2)

tiegt dann z nicht in ~e" (II) Angenommen,

z tiegt nicht in ~e" Wir behandetn zuerst den FALL,

da~ z das starke Gesetz der gro~en Zahten nicht erfGttt. FaLL gilt die ReLation

In diesem

(I) fGr die Funktion ~: X* ~ X, weLche kon-

stant 0 ist. z erfGtte nun das starke Gesetz der gro6en Zahten. gibt eine rekursive l~(z(n))In -I > b

Auswahtrege~ ~: X* ~ [0,1}

und ein b > O, so da~

(n E N) und so da~ ~(z) das starke Gssetz der gro-

~en Zahten nicht erfGtLt. Anfangsabschnitt

Es

Wir setzen ~ = $. $berwlegen nun in einem

z(n) unter den ausgew~htten

die Einsen (bzw. Nutten)

stark,

dann mGssen wegen

n tim n -I ~ z i unter den nicht ausgew~htten n i=I NuLten (bzw. Einsen)

GLiedern z i mit i ~ n

Uberwiegen.

Gtiedern entsprechend

die

In dem Ausdruck

n -I

n

zi

~

~(z(i-~))

i--I werden die re~ativen H~ufigkeiten

der Einsen unter den ausgew~htten

und der Nutten unter den nicht ausgew~hLten foLgt daher stets die ReLation

Gtiedern gemittett.

Es

(1), q.e.d.

Uns interessleren nun Fotgen,

wetche

f-voraussagbar

sind mit einem

schwach wachsenden f. Definition

(18.5)

Eine Fotge z heine quasi-rekursiv,

wenn sie f-voraussagbar

ist mit

tim f(n) n -I = O. n Auch die quasi-rekursiven

FoLgen sind im Sinne der Ordnung yon Zu-

-

144

-

f a t t s g e s e t z e n durch ihre R e g e l m ~ i g k e i t Satz

ausgezeichnet.

(18.6)

Eine Fot~e z ist genau dann ~uasi-rekursiv ~ wenn es ein berechenbares Martinga~

V: X* ~ R + g i b t ,

so da~ ~

(V(z(n))

r -n)

> 0 f~r

Jedes

n

r<2. Beweis:

(I) Angenommen,

es gibt zu z eln berechenbares M a r t l n g a l

V: X* ~ R + mit lim V(z(n)) r -n > 0 f~r jedes r < 2. Zu V k a n n man ein n rekursives M a r t i n g a t V: X* ~ Q+ so konstruieren, (x E X*) und da~ V(xa) ~ V(x)

da~ V(x) ~ V(x)

(x E X*, a E X). Die rekursive Funktlon

~: X* ~ X definiere man dutch T(x)

= ~1 o

Aus ~

(V(z(n))

V(XS)

>

V(x)

V(xO) > V(x) r -n) > 0 f~r atle r < 2 foLgt f~r die Menge

n M = [i E N I ~(z(i))

~ zi+ I} die R e l a t i o n ~im DM(n) n -I = O. A~so ist s

z quasi-rekursiv. (II) Angenommen, ve Funktion,

z ist quasi-rekursiv.

Es sei ~: X* ~ X eine rekursi-

so da~ fGr die Menge M = [i E N I ~(z(i))

~ zi+ 1} die

Relation tim D M ( n ) n -I = 0 erf~ltt ist. n Zu r a t i o n a t e m q mit 0 < q < I definieren wir das M a r t i n g a t Vq: X* - Q+ rekursiv durch Vq(A )

= I

= ~ vq(x) (I + q) Vq(Xa)

( Vq(X)

(I - q)

farts ~(x) = a, Fa~s

~(x) ~ a.

Es girt nach K o n s t r u k t i o n Vq(z(n))

= (I + q)n - DM(n)

(I - q) DM(n).

-

Wegen

tim DM(n) n

l - ~ Vq(z(n)) n V =

145

n -I = 0 foLgt hieraus

(I + q,)-n = ~

~ 2 -i iEN

Nach K o n s t r u k t i o n

-

f~r jedes q' < q die B e z i e h u n g

Nun d e f i n i e r e n

wir

VI_2_ i .

gi~t dann i ~ n

V(z(n))

r -n > 0 fGr atLe r < 2.

-

146

-

19. Durch endtiche Automaten darstetlbare ZufaLlsgesetze Die end%ichen Automaten erzeugen eine KLasse besonders

einfacher

A%gorithmen. Der end%iche Automat ist das in vieLer Hinsicht einfachste Mode%% einer Maschine. Er kann end%Ich vie% Information speichern und auf diese

jederzeit zur~ckgreifen.

Zur Theorie endticher Automa-

ten eiehe z.B. E14 , 47 , 52 ~. Wir werden bier zeigen, dab die entlichen Automaten auch eine charakteristische K%asse yon Zufa%%sgesetzen beschreiben.

Intereesanterweise

%iefern sowoh% die yon end%ichen

Automaten erzeugbaren VermSgensfunktionen a%s auch die h i e r v o n erzeugbaren Invarianzeigenschaften die gteiche Klasse yon Zufa%%sgesetzen. Im fo%genden benutzen wir das als genera%ized sequential machine bezeichnete

teicht vera%tgemeinerte ModelL des end%ichen Automaten.

Die Ergebnisse

in diesem Paragraphen geben wir ohne Beweis an~ sie

werden in E53

S mitgetei%t.

Definition (19.1) Ein Automat ist ein 6-Tupe% ~ = (X,Y,Z,8,~,ao).

Dabei sind X,Y,Z Men-

gen, n~mlich das Eingabea%phabet X, das AusgabeaLphabet Y und die Zustandsmenge Z. Die Funktion 8: X × Z ~ Z ist die Uberfthhrungsfunktion, ~: X × Z ~ Y* ist die Ausgabefunktion.

a 0 E Z Ist der Anfangszustand.

Ein Automat N heist end%ich, wenn X,Y,Z end%iche Mengen sind. Die Funktion 8: X × Z - Z wird wie fotgt erweitert zu 6: X * x Z - X*: 8(A,z)

= z

~(x~,z)

= ~(~,

~(x,z))

Dem Automaten ~ ordnen wir ferner eine Funktion ~ : zu :

X* ~ Y* wle fo%gt

-

147

-

¢~(A) = A

Wir wotten nun die VermSgensfunktion V: X* ~ R + charakterisieren, die durch endLiche Automaten beschrleben werden. Hierzu betrachten wit endLiche Automaten ~ = (X,Y,Z,8,~,ao) mit Y c Q+, k(X,Z) c Y und (E') ~-- X(~,z) ~ I aEX

(Z E Z).

Die Ausgabefunktion k interpretieren wir wie foLgt. Nachdem die Anfangs foLge x E X* bekannt ist und der SpieLer das VermSgen V(x) E Q+ besitzt, setzt er in Abh~ngigkeit yon x und a E X die Betr~ge

Ba(x) = V(x) • k ( a , 6(X,aO)) darauf, da B ~ das n~chste GLied der FoLge Ist. D.h., der Bruchtei~ des VermSgens, den der SpieLer auf a setzt, h~ngt nur von dem augenbLickLichen Zustand 8(X,aO) des Automaten und yon a ab. Aufgrund der Bedlngung (E') foLgt, dab die Einsatzfunktlonen die Bedlngung

(E)

~ B~(x) ~ V(x) aEX

(x ~ X*)

erf~LLen. Somit wlrd einem endLichen Automaten der obigen Art auf elndeutlge Weise eln MartingaL V~: X* ~ Q+ mit V~(A) = I zugeordnet. ~r

diese VermSgensfunktion V~ h~ngt V~(xa)/V~(x) nut von a und dem

Zustand 8 ( x , a O) ab. Der foLgende Satz zeigt, da B die von endLichen Automaten erzeugten VermSgensfunktionen gerade die BernouiLtifotgen charakterisieren. Es sel wieder X = ~O,I]. Satz (19.2) Sei z eine BernouiLLifolge zur GLelchverteiLung auf X, und sei

148

-

-

V: X* ~ Q+ eine v o n e i n e m e n d L i c h e n A u t o m a t e n tion. D a n n gilt e n t w e d e r ein r < 1 mit V(z(n)) Umgekehrt Korottar

V(z(n))

~ rn

folgt aus (10.3)

= V ( z ( n + 1)

erzeugte V e r m S ~ e n s f u n k (n ~ no), oder es gibt

(n ~ no). das fotgende

(19.3)

Ist z n i c h t B e r n o u i l t i f o t g e r d a n n gibt es eine yon einem e n d l i c h e n Automaten

erzeugte

VermSgensfunktion

endtich viele n V(z(n)) Nun betrachten

V und ein r > 1T so da B fur un-

~ r n.

wir die von e n d t i c h e n A u t o m a t e n

rianzeigenschaften

yon Zufattsfotgen.

Im f o t g e n d e n

chef A u t o m a t mit X = Y. D i e s e r erzeugt ~:

X* ~ X* und somit X

~ X

definierten

eine partiet~e,

Inva-

se± ~ ein endti-

eine m o n o t o n e

Funktion

subberechenb~stetige

Fu~ktion

.

Ohne Beweis n o t i e r e n wir den f o t g e n d e n Satz ( 1 9 . 4 )

S e i z E X~ e i n e

Bernoui~tifotge

~ I : X~ ~ X~ e i n e p a r t i e l t e ~ maten erzeugte f~ltt

Funktion.

das starke

Gesetz

zur G~eichverteitung

ma~beschr~nkte~ Dann g i l t

entweder

yon einem endlichen z ~ D(~),

oder ~(z)

Autoe~-

der gro~en Zah~en.

Die v o n e n d ~ i c h e n A u t o m a t e n

erzeugten partie~en

Funktionen

somit I n v a r i a n z e i g e n s c h a f t e n

von BernouillifoLgen

F u n k t i o n e n nur m a 6 b e s c h r ~ n k t

sind. Diese F u n k t i o n e n

nicht b e r e c h e n b a r

a u f X und

stetig,

dar,

s o n d e r n nut s u b b e r e c h e n b a r

ste~en

s o f e r n diese

sind somit i.a. stetig.

Anderer-

seits gilt der f o l g e n d e Satz (19.5) Ist z E X ~ n i c h t B e r n o u i t t i f o t g e r dann gibt es eine v o n e i n e m endtichen A u t o m a t e n

erzeugte r berechenbar

stetige r m a ~ i n v a r i a n t e

Funktion

149

-

~:

X~ *

-

X ~, so da b ~N(z) das starke Gesetz der gro~en Zahlen nicht

erf~ltt. Unter die von endlichen Automaten erzeugten partietten, maCbesohr~nkten Funktionen th: X" ~ X ~ fallen insbesondere dlejenigen Funktionen, die durch AuswahtregeLn 9: X* ~ [0,1} definiert werden, wetche von endlichen Automaten erzeugt sind. $ ist dabei von dem endtichert Automaten ~ erzeugt, wenn $(x) nur yon 8(x,ao) abh&ngt. Speziet% fdr diese Funktionen wurde der Satz (19.4) von AGAPONOW [ 1

~ bewie-

sen. Die Ktasse der partieL%en, ma~beschr~nkten, yon endlichen Automaten erzeugten Funktionen ist jedoch noch grS~er, wie das fotgende Beispiel zeigt. Beispiet:

Sei &: X n ~ X n eine Permutation mit festem n. Man definiere

die Funktion $: X* - X* wie fol~t:

~(A) = A, ~(xy) = ~(x)

x E X k'n,

~(xy) = ~(x)8(y) x E x k'n,

lyl < n lyl = n.

Man kann sofort einen endlichen Automaten ~ angeben mit ~

= ¢.

~: X ~ - X ~ ist ma~invariant. Wir geben noch eine weitere Darsteltun~ der durch endliche Automaten beschriebenen ZufaLlsgesetze mittets des Konzepts der Voraussagbarkeit an. Satz (19.6) Eine Folge z ist genau dann eine Bernouiltifotge (zur Gleichverteilung) r wenn es keinen endtichen Automaten ~ = (X,X,Z,8,k,a O) gibt I so da B fGr M d~f [i 6 N 1 k(Zi+l, 8(z(i),a0)) ~ zi+ 1] die Relation

i"L'i~ I n-1 DM(n) - 2 - 1 n

I > 0 gilt.

-

~50

-

20. Raum- und Zeitkomptexit~t Wir wotlen in diesem Paragraphen h: X* ~ X* hinelchttlch zeit, welche

des Aufwands

h~ngen yon dem zugrunde

(siehe z.B. SCH6NHAGE

[ 45

ab. Da die Suche nach

Charakter.

ist

Turingmaschlne

Wir teiten sotche spezietten sondern verweisen

Dagegen sind die prinzipieLten

Aussagen,

dabei

wetche

ergeben, weitgehend unabh~n-

gig yon dem betrachteten Maschinenmodett.

Diese Ergebnisse

sich n~mtich in einer maschinenunabh~ngigen S) herteiten,

Funktlonen

S), haben die spezielten Komptexit~tsab-

sich aus der Komptexit~tsklasslfizlerung

2

Die

noch nicht abgeschtossen

daher nicht im einzetnen her,

auf die Literatur.

he BLUM E

rekursiver

wetche auf dem ModeLL der mehrb~ndrigen

nur vorl~ufigen

bzw. Rechen-

ist, klassifizleren.

getegten MaschinenmodeLt

Maschinenmodell

Absch~tzungen

an Speicherkapazit~t

ZeitkompLexit~tsktassen

einem ausgezeichneten

aufbauen,

die rekursiven Funktionen

zu ihrer Berechnung notwendlg

so erhabtenen Raum- bzw.

sch~tzungen,

rekureiver Punktionen

taesen

Komplexit~tstheorie

wobei sie alterdings

(sie-

an Anschautlchkeit

vertieren. Eine n-b~ndrige st~nde,

Turingmaschine

n zweiseitig unendliche

seitig unendLiches dlskretem Takt.

besitzt endtich vlete interne Zu-

Arbeitsb~nder,

Ein- bzw. Ausgabeband.

In Abh~ngigkeit

dem Eingabeband

taseen,

internen Zu-

(2) zur Beobachtung

ZetLe Gbergehen bzw. weiter diesetbe

Zette beobach-

(3) in einen neuen internen Zustand ~bergehen.

darf nicht geschrieben,

getesen oder Gberschrieben eine

in

Zetten kann sie (I) den Inhatt

dieser ZeLten ver~ndern bzw. unver~ndert

ten und schlie~tich

ein ein-

Die Maschine arbeitet

von dem augenbticklichen

stand und dem InhaLt der beobachteten

einer benachbarten

sowie Jeweite

werden.

Richtung bewegt werden.

auf dem Ausgabeband

Auf

darf nichts

Ein- und Ausgabeband kSnnen nur in

-

c

151

-

) Bn Arbeitsb~nder

<

B2

/

I|

Interner

Eingabeband

]

Speicher

Ausgabeband

B0

Bn+l

n-b~ndrige Definition

(I)

-

Turingmaschine

(20.1)

Eine n-b~ndrige zit

B I

Turingmaschine

(TM) ist ein 4-Tupel M = (Z,Y,ao,8)

(~).

(I) Z ist eine endliche Menge von Zust~nden,

a 0 E Z Ist der Anfangs-

zustand.

(2) Y ist das end~iche Alphabet. (3) 8: Z x yn+1 ~ Z x yn+1×cn+2mit

C = ~l,O,r}

ist die Oberf~Lhrungs-

funktion. (4) G(silx 0 ..... x n) = (sjly I .... 'Yn+l; Co' .... Cn+1) imp~Iziert

c o + l, Cn+ I ~ I.

Die Arbeitsweise

yon M ergibt sich,

indem man die Zuordnung

G: (si! x O, ..., x n) ~ (sj! Yl .... 'Yn+l; CO ..... Cn+1)

stets

-

152

-

fotgenderma~en als Maschinenoperation deutet: siist

der augenblickliche Zustand der Maschine. x k ist das SymboL,

Uber dem sich Im Augenblick der Lese-Schreibkopf des Bandes B k befindet. Yk Ist das Symbol, das auf dem Band B k an die Stelle geschrieben wird, die der Lese-Schreibkopf augenblicklich beobachtet,

c k gibt die

Bewegungsrichtung des Bandes B k an. Das Band B k rUckt anschlie6end um eine Einheit nach rechts, wenn ck = r bzw. nach Links, wenn c k = l und bleibt unverrGckt, wenn c k = O. Sodann geht die Maschine in den Zustand sj Uber. Diese Ausftihrung einer Zuordnung von 8 bezeichnen wir als Maschinenoperation. Es seien

Zl,...,z n E Y*. Dann bezeichnen wit mit M(A, Zs,...,z n)

den Rechenvorgang,

der beginnt, wenn (I) z i auf dem Band B i steht und

B i sonst nur Leersymbole enth~It,

(2) der Lese-Schreibkopf des Bandes

B i die Zelle links neben z i beobachtet, bandes eine leere Zelle beobachtet,

(3) der Lesekopf des Eingabe-

(4) das Ausgabeband Leer Ist und

die Maschine sich im Anfangszustand a 0 befindet. Der Rechenvorgang M(A, Zs,...,z n) ist beendet, sobald das Eingabeband um eine Einheit nach rechts geschoben ist. Zu x E Y* und a E X bezeichnet M(xa, Zs,...,z n) den Rechenvorgang,

der beginnt, sobald M(x,z1,°..,Zn)

abgeschLossen ist und der Lesekopf von B 0 nach Abschlu~ von M(x,z I .... ,Zn) auf das Symbol a rGckt. Er endet, sobaLd das Eingabeband um eine Einheit nach rechts geschoben ist. Ein endlicher Rechengang M(x,zl,...,z n) bestimmt elndeutig ein Wort A(x,ZS, .... Zn) E Y*, welches in diesem Rechengang auf dem Ausgabeband ausgedruckt wird. A(x,ZS,...,Zn) heist die Ausgabe dieses Rechengangs. Einem Rechengang M(x,z I ..... Zn) ordnen wir folgende Schrittma~e ZU:

RO(x,zl,...,Zn)

ist die Anzahl der Operatlonen r welche M(x,ZS,...,z n)

ausftlhrt. R1(x,zl,...,Zn ) Ist die Anzahl der ZeLlen, welche ~nnerhalb yon

-

153

-

M(x,z I .... ,Zn) auf den A r b e i t s b ~ n d e r n zu den b e r e i t s

verwendeten

und dem Ausgabeband~

zus~tzlich

S p e i c h e r z e L % e n T benutzt werden.

Wir s c h r e i b e n a b k U r z e n d M ( x , z l , . . . , z k ) , A(x,zl,...,Zk), R~(X,Zl, .... Zk) fur eine TM

u = 0,1, w e n n Zk+ i = A fur i = I, ..., n - k. Ist

M fur aLLe x E Y * der R e c h e n g a n g M(x)

durch A: Y * ~ Y * eine r e k u r s i v e rechnet A. M a n weiB,

F u n k t i o n definiert.

schinen.

i E N) eine A u f z ~ h t u n g

Wir schreiben

senden Funktion xit~tskLassen Definition FUr U = 0,1

so w i r d

Wit s a g e n r M be-

dab m a n auf diese Weise genau die r e k u r s i v e n

F u n k t i o n e n h: Y * ~ Y* b e r e c h n e n kann. Es sei (Mil

endLich,

entsprechend

Zum Beweis

siehe DAVIS

alter m e h r b ~ n d r i g e n

[ 10

].

Turingma-

Ri 0, Ril , A i. E i n e r m o n o t o n w a c h -

T: N ~ N o r d n e n wir wie fo%gt R a u m - bzw.

C~ (~ = 0,1) y o n r e k u r s l v e n F u n k t i o n e n

Zeitkomple-

zu.

(20.2) Liegt h: Y* ~ Y* in C~, w e n n es elne TM

gibt mit A i = h und R~(x) Nach D e f i n i t i o n

~ K

• T(Ixl)

M i und eln K E N

fur aLte x E Y*.

geht der A u f w a n d a n S p e i c h e r k a p a z i t ~ t

bzw. a n Re-

c h e n z e i t nur bis auf einen k o n s t a n t e n F a k t o r in die K o m p % e x i t ~ t s k t a s sen ein. Dies ist deshaLb

sinnvoLL,

s~gen und n i c h t a n s p e z i e L L e n Sei M i eine TM, w e % c h e es zu e i n e r n - b ~ n d r i g e n A(X,Yl,...,yn)

= Ai(x)

wei% wir nur an p r i n z i p i e % t e n

Absch~tzungen

eine r e k u r s i v e

interessiert

sind.

Funktion A i berechnet.

TM M Worte y l , . . . , y n E Y*,

Gibt

so dab

f~r a%te x E Y*, dann sagen wit, M k a n n M i

simutieren.

F U r das fo%gende

chenaufwand

bei der S i m u L a t i o n auf einer festen T u r i n g m a s c h l n e

h~tt.

Aus-

ist die Frage wichtig,

H i e r z u g e b e n w i t ohne Beweis

zwei Resu%tate

wle sich der Rever-

aus der L i t e r a t u r

an: Satz (20.3,[ HENNIE [ 16 ] Z~ f e s t e m A L p h a b e t Y gibt es eine z w e l - b ~ n d r i g e

TM M, so da~ es zu

-

154

-

jeder TM Mi, we%che eine rekursive Funktion Ai: Y* ~ Y* berechnet, ein w i E Y* und ein a i E N gibt mit A(x,w i)

= Ai(x)

"

(x E Y*)

R (x) 2 og R (x)

(x

Y*).

Dagegen kann man f~r die Raumkomp%exit~t ohne weiteres fo%genden wesent%ich sch~rferen Satz beweisen: Satz (20.4) Zu festem Y gibt es eine ein-b~ndrige TM M T so da~ es zu ~eder TM Mi, wetche eine rekursive Funktion Ai: Y* - Y* berechnet r e i n

Wort

w i E Y* und eine Konstante mi E N gibt mit A(x,w i)

= Ai(x)

Rl(x,wi ) % a i R~(x)

(x E Y*) (x E Y*).

Bezeichnet man mit Z(2) c ~Orl r }* die Menge der end~ichen T nicht negativen Dua%zah%en r u n d

identiflziert die Menge der nat~rlichen Zah-

~en N mit dem yon einer elne~ementlgen Menge If} erzeugten frelen Monoid[ll* , dann Imp~izlert die Komp%exit~tsk%assifizierung der rekursiven Funktionen Insbesondere eine Komp%exlt~tselntei~ung der rekursiven Martinga%e V : X* - Z(2), der rekurslven Funktionen f: N - N sowle der rekursiven Fo~gen in X ~. Dabei identlfizleren wir eine Forge z in X ~ mit der Abbi%dung fz: N - X, die durch fz(n) = zn

(n E N) de-

finiert wird. Die entsprechenden Komp%exit~tsk%assen bezeichnen wir mit C~ (Fu) (Funktionen f: N ~ N) und C~ (Fo) (Fo%gen z E X~), ~ = O,1. Nach der bekannten Diagona~Islerungstechnik

(siehe z.B. HARTMANIS

und STEARNS [ 15 ]) kann man aus (20.3) und (20.4) Absch~tzungen fGr echte Ink~usionen yon Komp%exit~tsk~assen herleiten. auch HENNIE [ 16 ].

Siehe hierzu

-

Satz

155

-

(20.5)

Es seien UTT: N ~ N Ordnungsfunktlonen

mlt U E C~ (Fu). Dann fo~gt

aUS

T(n)2tog T(n) ~im n

= O, U(n)

eine

da~ es

Funktion h E C~

Entsprechend

gibt

mit h ~

gi~t fur die Raumkomp~exit~t

C~. der

Satz (20.6) Es selen UTT:

N ~ N Ordnungsfunktionen

mit U E C U1 (Fu). Dann fo~gt

au8

~im T ( n )

U ( n ) -1

= O,

n

1 da~ es eine Funktion h E C U7 glbt mlt h ~ C TDer Bewelsaufbau

zu (20.5) und (20°6)

ist im wesent~Ichen

Wit geben eine Bewelssklzze

zu (20.5),

struierenden

Wir setzen hier voraus,

TM elnzugehen.

Manlpulationen Beweissklzze

yon Turlngmaschinen

vertraut

der zu kon-

da B der Leser mit

ist.

zu (20.5): Die Turingmaschlne ~, we~che die gesuchte

Funktion h berechnet, (I) Die Berechnung werden,

ohne auf Detai~s

der g~eiche.

so~

vorab fo~gende Eigenschaften haben.

der Funktion U: N ~ N kann auf ~ derart slmu~iert

da B zu festem K I > O, nachdem U(i) fur a ~ e

i < n berechnet

ist, die Berechnung von U(n) auf ~ innerha~b von K I U(n) Rechenschritten erfolgt. (2) Die Berechnung

elner Funktion f: N - N, fur die

If(n) - T(n)2~og T(n) l beschr~Lukt ist, kann auf ~ simu~iert werden. (3) Sei M die nach Satz (20.3) existierende n mit

universe~e

TM. Wir Identifizieren

In und Identlflzieren

art simu~ieren kSnnen,

fur das einelementige

A~phabet Y = [I]

eine natUr~Iche

Zah~

somit Y* mit N. Dann so~l ~ die TM M der-

dab die Anzah~ der Rechenschritte

dabei hSch-

-

156

-

stens um einen konstanten Faktor w~chst. ~°(n,m) Rechenschritte,

sei die Anzah~ der

mlt denen M(n,m) auf ~ simu~lert wlrd.

(4) Auf ~ kann die Berechnung einer Funktlon g: N - N simu~lert werden, fur die g-l(n) f~r a~%e n 6 N unend~ich Ist. Dabei kann die Simulation so erfo~gen,

da~ nachdem g(i) fur a~%e i < n berechne% Ist,

die Berechnung yon g(n) hSchstens U(n) Rechenschritte Nun beschreiben wir die Recheng~nge ~(n)

erfordert.

( d.h. ~(I n) ):

Im Recnengang ~(0) werden zun~chst U(0) und g(0) berechnet.

Es

wlrd K~= 2(K 1 + K 2 + I) gespelchert und K(0)~= K, r(0);= r u n d s(O):= g(0) gesetzt. Dann wird der Rechengang M(0,s(0))

simu~iert.

Simu~tan hierzu wird die Berechnung von f(0) simu~iert. ~(0) bricht ab, wenn einer der fo~genden F~%%e eingetreten Ist. (a) die Maschine

~°(o,s(o))

erkennt,

da~

~ K(O) f(o)

(b) ~°(o) ~ K • U(O) (c) die Simulation yon M(O,s(0))

endet.

Die Ausgabe ~(0) wird entsprechend

der f o ~ e n d e n

rekursiven Fest%e-

gung yon ~(n) definiert. Im Rechengang ~(n) werden zun~chst die Werte U(n), g(n), K(n), r(n), s(n) berechnet. M(0,s(n)),

Dann werden nacheinander die Recheng~nge

M(1,s(n)) . . . . , M(n,s(n))

fortgesetzt.

simu%iert bzw. deren Simu%ation

G%ei~hzeitig wird die Berechnung yon f(0), f(1) .....

f(n) fortgesetzt. ~(n) bricht ab, wenn einer der fo~genden F ~ % e tritt: (a) Die Maschine findet ein U mit 0 ~ U ~ n mit HO(u,s(n))

~ K(n) f(~).

(b) ~O(n) ~ K U(n). (c) die Simulation von M(n,s(n))

endet.

ein-

-

157

-

Im Falte (a) wird ~(n):= 0 ausgegeben.

Der folgende Rechengang

~(n + I) beginnt dann mit der Berechnung von U(n + I), g(n + 1), K( n + I):= K(n) + I, r(n + I);= r(n) + I, s(n + I);= g(r(n + 1)). Dann werden nacheinander

die Recheng~nge

M(O,s(n + I)), M(1,s(n + 1)), ..., M(n + I, s(n + 1)) simuliert und die Berechnung yon f(0), f(1),

..., f(n + I) fortgeeetzt,

bis wieder

einer der obigen F&ILe (a), (b), (c) fur n + I statt f~r n eintritt. Im FatLe (b) wird ~(n): = 0 ausgegeben.

Der fotgende Rechengang

gang ~(n + I) beginnt dann mit der Berechnun~ von U(n + 1), g(n + 1), K(n + I):= K(n), r(n + 1):= r(n), s(n + I):= g(r(n + 1)) = s(n). Dann wird die Simulation der Recheng~nge M(O,s(n + 1)), M(1,s(n + I)),

.... M(n + S,s(n + I)) fortgesetzt und

ebenso die Berechnung der Werte f(O), f(1) . . . . .

f(n + 1). ~(n + I)

bricht ab, wenn einer der drei obigen F~tle (a), (b), (c) fGr n + I etatt fur n eintritt. Im F a ~ e

(c) wlrd die Ausgabe ~(n)

~(n) ~ A(n,s(n)).

so g e w ~ t ,

da~

Der folgende Rechengang ~(n + I) beginnt dann mit

der Berechnung yon U(n + I), g(n + I), K(n + I):= K(n) + I, r(n + I):= r(n) + I, s(n + I):= g(r(n + I)). Dann werden nacheinander die Recheng~nge M(0,s(n + I)), M(1,s(n + I)), ..., M(n + 1,s(n + I)) simutlert und die Berechnung der Werte f(0), f(1),

.... f(n + I) wird fortgesetzt.

~( n + 1) endet, wenn einer der obigen F ~ e

(a), (b), (c) fur n + I

statt fur n eingetreten ist. Wir behaupten, gerade~

da~

~

C~. Die Bedingung (b) in der Abfrage slchert

E C~. Wenn der F a ~

(b) eintritt,

Wegen ~im f(n) U(n) -I = 0 kann der F a ~ n

b~eibt K(n) unver~ndert.

(b) nicht ununterbrochen

ein-

treten. Jedesmal, wenn (a) oder (c) eintritt, wird r(n) und K(n) um I erhSht. Damlt hat s = g r nach Definition von g die Eigenschaft,

da~

158

-

Jedes v E N Funktion

unendllch

M(i,v)

mlndestens

V R°(i,v) iEN

i -- 0,1,...,~

mu~ es zu Jeder Folge

= v geben,

im R e c h e n g a n g ~(~)

Nach Satz

Wit b e n S t i g e n

Da die yon Re-

~ m T(i)

einen Wert ~ mit s(~)

~ A(*,v).

Lemma

w~chst,

wird.

i = 0,1 .... mit

mEN

M(i,v)

oft ats Wert yon s a n g e n o m m e n

K(n) mlt n unbegrenzt

cheng~ngen

-

(20.3)

so da B die S i m u l a t i o n

endet.

fotgt dann

~$

Dies

yon

impliziert

CO .

noch das folgende

(20.7)

Jede K o m p ~ e x i t ~ t s k l a s s e Wir geben den Beweis

C~ (Fu)

(~ = 0,1)

fur das Zeitma~

enth~It

Ordnungsfunktionen.

an, analog kann man fur das Raum-

ma~ vorgehen. Beweis: T(2),

Zun~chst

berechne

... und drucke

Ausgabe

A(i)

man n a c h e i n a n d e r

dabei nach

= T(O) aus,

Jewei~s

fur i = I, 2,

sobald man ein T(rl) > T(O) berechnet Fall.

S i m u l t a n mit der B e r e c h n u n g

J = I, 2,

... drucke man nach

A(n I + J) = T(rl) sobald

ein T(rm+1)

aus,

2 T(rm+ I) R e c h e n s c h r i t t e n j = O,

berechnet die Ausgabe

hat. Dies

die

die Ausgabe,

sei fur i = n I der T(r I + J)

2 T(r I) R e c h e n s c h r i t t e n .... Man fahre

ist,

so fort,

druckt man nach

und

JeweiLs

A(n m + J) = T(rm+ I) aus,

I, .... Somit ist die A u s g a b e f u n k t i o n

in C~ (Fu).

T(1),

2 • T(O) R e c h e n s c h r i t t e n

der w e i t e r e n Werte

Jeweils

T(O),

.... Man ~ndere

fur J = O, I, 2,

> T(rm)

die Werte

fur

A eine O r d n u n g s f u n k t i o n

-

159

-

21. Die Komptexit~t von Zufatlsgesetzen und der Zufatlsgrad yon Fotgen Wir kommen nun zu der wichtigen Frage, ob man Fotgen effektiv konstruieren kann, deren Verhatten dem einer ZufatlsfoLge zu pr~zisierenden

Sinne betiebig nahekommt.

dann kommt dem Begriff der Zufattsfolge

in elnem noch

Wenn dies der Fail ist,

sicher eine konkrete Bedeu-

tung zu, obwoht Zufattsfotgen selbst nur aufgrund des Auswahtaxioms exlstieren.

Hierzu gehen wir von einer Einteitung der Zufatlsgesetze

nach dem Rechenaufwand gesetzes mindeetens

aus, der zum Testen des betreffenden Zufatts-

aufgewendet werden mu~.

Definition (21.1) Ein Zufattsgesetz

ist yon der (Zeit- bzw. Raum-)Komptexit~t

T, wenn

es zu der zugehSrigen NutLmenge • ein rekursives MartingaL V: X* ~ Z(2) mit V E C~ (M) und eine Ordnungsfunktion c

g gibt mit

~V,g"

Dabei ist T irgendeine Zeitkomplexit~t

Ordnungsfunktion.

~ = 0 steht stets fur die

und ~ = I fGr die RaumkompLexit~t.

Definition (21.2) Sei C~(M) eine Komptexit~tsklasse

von Martingaten und g eine Ordnungs-

funktion. Dann sei {T]g,~ = VEC~T(M)(X ~ - ~V,g)

und

[T]~

=

~ [TSg,~. atte Ordnf. g

ETS~ ist die zu T gehSrige

(Raum- bzw. Zeit-)Komptexit~tsktasse

yon

Pseudozufattsfotgen. Wir sagen, die FoLgen in [TS~ haben den ZufaLtsgrad T bzgl. des

-

160

-

Zeit- bzw. RaummaBes. Unsere Vorste%lung sagt dabei, dab FoLgen mit einem schne%% wachsenden (sprich hohen) Zufa%%sgrad T das Verha%ten von Zufa%%sfo%gen approximieren. Da es zu jeder tota% rekursiven Nu%%menge ~ ein rekursives Martinga% V: X* ~ Z(2) und eine Ordnungsfunktion g mit • c ~V,g gibt, fo%gt das Korotlar (21.3) z E X ~ ist genau dann Zufa%%sfo%ge, wenn z bzg%. des Zeitma~es (bzw. des Raumma~es) von jedem Zufa%%sgrad ist. Die Auffassung,

dab Fo%gen von hohem Zufa%%sgrad T das Verha%ten

von Zufa%%sfo%gen approximieren, wird dadurch best~tigt, da~ diese Fo%gen - wenn Gberhaupt - dann nur mit hohem Rechenaufwand berechnet werden kSnnen. Der fo%gende Satz zelgt daher, da B die gebr~uch%ichen Pseudozufa%%sfo%gen im Sinne unserer Eintei%ung sehr sch%echt sind. Denn diese werden gerade durch wenig aufwendige A%gorithmen berechnet. Satz (21.4) FUr ~ede Ordnungsfunktion T gi%t ~T]~ 0 C~ (Fo) = ~

fur ~ = O r I.

Beweis: Es sei z elne Fo%ge in C~ (Fo). Wir ert~utern die rekursive Arbeitsweise einer TM M, weLche ein Martin~a% V E C~ (M) berechnet mit %im V(z(n)) = ~. Wegen (20.7) kSnnen wit annehmen, da B man auf M n die Berechnung einer Ordnungsfunktion h und der Funktion fz: N ~ X (mit fz(n) = zn) derart simu%ieren kann, da~ der Aufwand Ra(n) zur Berechnung yon h(n) und fz(n) im n-ten Rechengang durch ~(T(n)) beschr~nkt ist. Im Rechengang M(A) wird V(A) = I berechnet und ausgedruckt. Wir nehmen an, da~ der Rechengang M(x) mit n = Ix I die Werte h(n), Zn, V(x) berechnet und V(x) ausgedruckt hat. Im foLgenden Rechengang M(xa) wetden zun~chst h(n + I) und Zn+ I berechnet. Dann beginnt die Maschine mit der Berechnung von

2.V(x). Wir unterscheiden zwei F~%%e.

-

(a) Wenn die Berechnung von weitere Rechenschrltte

161

-

2.V(x) insgesamt hSchstens h(n + I) erfordert

(bzw. mit hSchstens h(n + I) zu-

s~tztichen Speicherpt~tzen mSgLich ist), dann wird V(xa) =

t2 v(x)

= Zn+1

O

a ~ Zn+ I

ausgegeben. (b) AndernfaILs wird V(x~)

= V(x)

(~ = o,I)

ausgegeben. Weit h e i n e

Ordnungsfunktion

chengang M(z(n)) nach Konstruktion

ist, tritt fGr unendlich viele n i m

der Fall (a) ein. Daher gilt klim V(z(n)) n

Re-

= ~, und

liegt V in C~ (M).

Wir kSnnen diesen Sachverhalt wie folgt umkehren: Satz (21. 5) Zu einem Martingal V E C~ (M) kann man stets eine FoLge z E C T

(Fo)

an~eben mit z ~ ~vBeweis: Man konstrulere

z so, da~

V(z I ...... zi+1) ~ V(z I ...... zia)

(a = 0,1).

Zur Berechnung yon zi+ 1 mu~ man im wesentlichen nur V(z1...ziO) V(Zl...zil)

berechnen.

und

Da der Aufwand an Speicherplatz bzw. Rechen-

zeit nut bis auf ~inen konstanten Faktor in die Komplexit~tskLassen eingeht,

~iegt z in C T

(Fo)

Es sei noch auf einen fur die Anwendung wichtigen VorteiL der DarsteLtung von ZufatLseigenschaften kann Zufatlseigenschaften

durch MartingaLe hingewiesen.

in dieser Form ohne vieL Aufwand GberLagern.

Korottar (21.6) Aus V i E C~ (M)

Man

i = 1, 2 foL~t VI+ V 2

E C~ (M).

-

Sei H e i n e

Ktasse berechenbarer

ga% V hei~t univsrse%t

162

-

Martingale

f~r H, wenn ~V c ~

V: X* - R +. Ein Martin-

f~r aL%e V E H. Eine wich-

tige Frage hierbel ist dis nach der Existenz universel%er zu elner Komplexlt~tsklasss

Martingale

C~ (M) von MartingaLen.

Satz (21.7) Sei C~ (M) elne Komp%exit~tsklasse

yon MartingaLen.

nerha%b yon O~ (M) kein universe%%es Beweis:

Sei V e i n

Martingal

Martinga%

Dann gibt es In-

fGr C~ (M).

in C T (M). Dann gibt es nach (21.5)

eine

Fo%ge z E C~ (Fo) mlt z ~ ~V" Nach (21.4) gibt es zu z ein Martingal ~ C~ (M) mitkLim V(z(n)) = ~. Nach (21.6) gilt V + V E C~ (M). Da n ~V+V echt grS~er ist als ~V' kann V keln universel%es Martinga% fur C~ (M) sein. Andererseits

f~ttt es nicht schwer nachzuweisen,

Komptexit~tsklasse ves Martingat

C~ (M) yon Martingaten

da~ es zu Jeder

ein universettes,

V: X* ~ Z(2) gibt. Aus (21.5) foLgt dann insbesondere,

da~ es stets rekursive Standardmethoden

Folgen in [T]~ gibt. Denn C~ (M) % ~ t

rekursiv aufz~hten.

(Vii i E N) von berechenbaren V = ~ 2 -i V i ( ^ ) - 1 V i iEN Hieraus k a n n m a n

Martingaten

Vi: X* ~ R + ist berechenbares

nach (9.3) sin rekursivss,

sivss, unlverssttes

sich mit

Zu einer rekursiven Folge

ein universetles,

V: X* - Z(2) ksnstruleren.

universslLes

Martinga%. Martingat

Im fotgenden wolten wir ein solches rekur-

Martingat

mit einer mSglichst

geringen Komplexi-

t~t angeben. Satz

rekursi-

(21.8)

Es selen TrUth Ordnungsfunktlonen

mit T E C~ (Fu) und

T(n) 2%og T(n) U(n) -1 ~ 2 -h(n)

(n E N) falls ~ = I

T(n) U(m) -1

(n E N) falls ~ = O.

~ 2 -h(n)

bzw.

-

Dann kann man ein universettee

163

-

Martingat V E C~ (M) z~u C~ (M) angeben.

Wir beschr~nken uns darauf, den Beweis f~r die Zeitkomplexit~t ben. FQr die Raumkomptexit~t

zu ge-

kann man analog vorgehen. Wir gtiedern

den Beweis in drei Abschnitte. Lemma

(21.9)

Sel T E C~ (Fu) Nit T(n) ~ O

(n E N). Dann gibt es elne Ordnungsfunk-

tion S E C~ (Fu) und KI,K 2 > O, so da ~ (I) K I < T(n) 2tog T(n) S(n) -I < K 2

(n E N).

Beweie: Umter der Z&htform einer Zah~ m E N verstehen wit das Wort Die Bin~rform yon m i s t

Im.

die eindeutige Schreibwelee yon m in Z(2)

ohne f~ahrende Nul~en und ohne Punkt. Zur Unterscheidung bezeichne die Z~htform und ~ die Bin~rform yon m. Also gilt O = ~ = A ( = das teere Wort). Enteprechend

bezeichne fur eine Funktion f: N - N

~: I* " [* die Funktion mit ~(n) = ~ mlt ~(n) = f(~)

•

und ~:

I* ~ Z(2) die Funktion

Nach Definition gilt also h E C~(Fu) ~ H E C~W *

Wichtlg ist Jetzt die Tateache,

da b e s

glbt, wetche die Z~hLform (Bin~rform) ten in die BinErform

(Zgh~form)

Turingmaechinen M (und R)

Jeder ZahL n E N in ~(n) Schrit-

von n UberftLhren. Siehe hlerzu SCH~N-

HAGE [ 44 ], S.190. Aus T E C~ ( F u ) ( d . h .

T E C~) folgt somit ~ E C~.

Es sei g: N - N die Funktion mit g(n) =

l~(n) l - I = [2Log T(n)].

Es gilt sicher ~ E C~. FUr S = T. g

gilt die obige ReLation (I). Wei-

ter erfordert die Muttiptikation von ~(n) und ~(n) nach der "Schutmethode" auf einer geeigneten TM nur ~(2tog T(n)) 2 Rechenschritte. so

gi~t ~ E C~ und somit ~ E C~. D.h, S E C~ (Fu), q.e.d.

FUr die in (21.9) konetrulerte

Ordnungsfunktion

S gilt das

Lemma (21.10) Zu T~S kann man eine 2-b&ndrige

TM M I u n d

ALphabet Y sowie

At-

-

ein K E N konstruieren, (1) fGr a L L e n (2) R~(x,n,w)

164

-

so da B (1), (2), (3) gilt.

E N, w E Y* ist Al(*,n,w) ~

X"

n • S(Ix ])

: X* ~ Z(2)

(n E N, w E Y*, x E X*),

(3) (A1(*,n,w)]n E N, w E Y*) d u r c h ~ u f t

alle MartingaLe

Beweis: M I sol~ vorab die nach (20.3) existierende kSnnen,

eln Martinga~,

in C~ (M).

TM M so simu~ieren

ohne da~ sich die Rechenzeit erhSht. Die Funktion S soL~ auf

M I derart berechnet werden kSnnen, G (S(n))

da~ die Rechenzeit ~abe± g~aich

ist. Die Ausgabe yon M I beschreiben wir rekursiv:

A1(A,n,w ) = I. Sei A](x,n,w)

bereits definiert.

Wir unterscheiden

zwei F ~ e : (a) RO(xa,n,w) ferner und

~ K • n • S(Ix]-] )

gilt

A(x,n,w)

A(xa,n,w)

(a = O,1),

E Z(2)

= 2-](A(xO,n,w)

(a = O,1) + A(xl,n,w)).

Dann setzen wir: Al(Xa,n,w)

= A(xa,n,w)

(a = O,1).

(b) Wenn eine dieser Bedingungen nicht erfUl~t ist, setzen wir: A1(xa,n,w)

= Al(X,n,w)

(a = O,1).

Ber~cksichtigt man die Eigenschaften M I nach Konstruktion

die Re~ationen

der TM M von (20.3), dann erfU~tt (1), (2), (3).

Beweis von (21.8): Wir beschreiben eine TM M2, die ein universe~les Martinga~ V zu C~(M) berechnet,

welches in C~(M)

Liegt. z E X ~ sei im

foLgenden eine be~iebige Folge. Man zer~ege ein Arbeitsband B k von M 2 wie fo~gt in unend%ich vieLe Unterb~nder ~

mit j E N. Wir identifizieren die Ze~len von ~

die ~b%iche Weise mit den ganzen Zahlen Z. ~ ZeL~en (2 j+1 - I + m 2J+llm E Z). Dann gilt ~

terb~nder B~ yon B k sind paarweise disjunkt.

auf

bestehe dann aus den = Z = U B~; die Unj=O Wir woLLen annehmen,

da~

-

165

-

man fur jedes J auf den Unterb~ndern B~ der Arbeitsb~nder B k yon M 2 die Recheng~nge Ml(Z(i),

g(J))

i = 0,1,2,3

...

(mit einer festen Abbitdung g: N ~ N x Y*) so simutieren kann, dab dabei die Rechenzeit 2j+1RV

zur Simutation yon M1(z(i),

g(J)) durch

(z(i), g(j)) beschr~nkt ist. Den Faktor 2 j+1 benStigt man des-

hatb, welt die ZeLten yon B ~ Da die B~nder ~ wit annehmen,

auf dem Band ~

fSr verschiedene

den Abstand 2 j+l haben.

j paarweise disjunkt sind, kSnnen

da B mehrere Recheng~nge M1(z(1) , g(j)) mit verschiede-

nem j gteichzeitig

simutiert werden kSnnen, wobei sich die Rechenzeit

(his auf elnen konstanten Faktor, den wit vernachl~ssigen)

summiert.

Zun~chst beschreiben wir elnen Teit der Recheng~n~e M2(z(i)) i = 0,1,2,...,

in den im Laufe der Rechnung nicht mehr eingegriffen

wird. Es werden fortLaufend

die Werte 2h(v)

v = 0,1,2,... berechnet.

Im Rechengang M2(z(1)) wlrd zun~chst S(i) berechnet.

FUr i E N sei

r(i) das Produkt aus der Konstanten K nach Lemma (21.10) und dem Maximum aus I u n d

den Werten 2h(v) mit v ~ i, wetche bereits in den Re-

cheng~ngen M2(z(~)) mit ~ < i gefunden wurden. ist, wird r(1) S(i) berechnet. ~r(i)

S(i)) Rechenschritten

Nachdem S(i) berecnnet

Der Rechengang M2(z(i))

sort nach

enden. Damit ist wegen

r(1) S(i) = O~U(i)) gesichert,

da~ M 2 eine Funktion in C~ berechnet.

Ferner soLt M 2 elne surjektive Funktion g: N ~ N x Y* derart berechnen, da~ die Berechnung yon g(i) innerhaLb von M2(z(i)) g(i) = (mi' wi) bezeichne g(i)1

erfolgt. FUr

= a i-

Nun beschreiben wir rekurslv die Ausgabe A2(z(i)) weiteren Rechnungen von M2(z(i)).

zusammen mit den

Nach ~(r(i) S(i)) Rechenschritten

des Rechengangs M2(z(i)) wird

s(i) (A)

A2(z(i))

ausgegeben.

= Ks(i) + ~ ~=0

Al(Z(i),

g(u)) 2 -f(~)

Anfangs - d.h. fur i = 0,1,2,...

- wird dabei zun~chst

-

166

-

s(i) = - I gesetzt. Es gette K_I = I. F~r s(i) = - I i s t A2(z(i))

daher definlert.

gangs M2(z(1)) M1~z(1),

die Ausgabe

FUr s(i) = J w e r d e n zu Beginn des R e c h e n -

simultan mit den ~ b r i g e n Rechnungen die Recheng~nge

g(w))

~ = 0,1 .... ,j slmuLiert.

so%ange s(i) den Weft

Dieser Tell entf~%%t also,

-1 hat. D a n n wird die Simu%ation

der R e c h e n -

g~nge M1(z(~)a , g(j + I)) f~r a = 0,1 und ~ = 0,1,2 .... so%ange fortgefHhrt (bzw.

es wird mit ihr begonnen),

his der Rechengang M2(z(i))

endet. Die F u n k t i o n s wird definlert durch s(i) = s(i - I) + 1 wenn (1) und (2) erf~%%t sind und s(i) = s(i-1)

sonst.

(1) E8 ist ein 2h(v) mit ~ ~ i gefunden,

so da~

S( -I)+1

2h(~)

7,

g(i)l

2~+1 "

u=O (2) F~r a = 0 und a = I e n d e t M1(z(i

die Simu%ation von

- 1)a, g s(i)) in M2(z(a)) mit ~ < i.

In diesem Pa%% wird der Weft f(s(i)) ~=0,1

Al(Z(i

- 1)a, g ( s ( i ) ) )

so bestimmt,

2- f ( s ( $ ) )

< 2-1

da~ Ks(i-l)"

Man definlert

Ks(i)

= Ks(i_1)

- 2-I

Dadurch wird gesichert, stante Ks(i)

A 1 ( z ( i - 1)a, g(s(i))). a=0,1

da B A2: X* - Z(2) ein Martinga% ist. Die Kon-

b%eib't stets posltiv.

Die B e d i n g u n g e n

(I) und (2) sichern gerade,

Recheng~nge Ml(Z(j),

g(~)) mit ~ = 0,1,...,

da B die Simulation der

s(j)

~(r(J) S(j)) und somit in ~(U(j)) R e c h e n s c h r i t t e n kann. Diese R e c h n u n g e n kSnnen daher f~r j ~ i yon M2(z(j))

f~r J ~ i

in

durchgefHhrt werden

stets in der R e c h e n z e i t

ausgef%thrt werden.

Die Voraussetzung,

dab h 0 r d n u n g s f u n k t i o n

ist und somlt unbe-

-

167

-

schr~unkt w~chst, sichert, da~ auch s(i) mit i unbegrenzt w~chst. Dann fo~gt aus der Fest~egung der Ausgabe in (A), da~ A2(z(i)) ~ A1(z(i), fur a ~ e

g(~)) 2-f(~)

i E N und ~ 2s(i). Somit ist A 2 ein u n i v e r s e ~ e s Martinga~

zu C~(M). Damit ist (21.8) fur die Zeitkomp~exit~t bewiesen. Aus (21.5) und (21.8) ergibt slch das Korottar (21.11) TrUth seien Ordnungsfunktionen wie in (21.8). Dann kann man eln z E [T]~ 0 C~ (Fo) effektiv angeben. In die (Raum- bzw. Zeit-) KompLexit~t einer so konstruierten Forge z E [T]~ geht im wesent~ichen nut der (Raum- bzw. Zelt-) Aufwand ein, mit dem man zu festem Y die Berechnung einer jeden Funktion f: Y* ~ Y* mit f E C~ auf einer festen TM simulieren kann. Der dadurch bedingte (Raum- bzw. Zeit-) Aufwand ist berelts notwendlg, um elne Forge z ~ C~(Fo) nach der Cantorschen Diagonalisierungstechnik zu konstruleren. Die Voraussetzun~en an T und U in (21.8) slnd nlcht wesentlich sch~rfer ats in (20.5). Damit ist die Aufgabe, eine Fot~e z von gegebenem Zufattsgrad T zu konstruieren, nicht wesentlich aufwendiger, ats die darln enthattene Aufgabe, eine Forge zu konstruieren,

deren

Komptexit~t T Ubersteigt. Abschtie~end zeigen wlr, da~ das starke Gesetz der gro~en Zahten yon geringer (Zelt- und Raum-) Komptexit~t ist. s(z(n)) bezelchne n i=I Satz

(21.12)

(a) Zeitma~: T(n) ~ n fur a ~ e

(n E N) ImpLiziert Lim n -I s(z(n)) = 2 -1 n

z E [T]o.

(b) Raumma~: fur jede Ordnungsfunktion T gi~t ~Im n -1 s(z(n)) = 2 -I n

-

168

-

fGr alle z E IT] I. Beweis: Wir benutzen die DarsteLtung des starken Gesetzes der gro~en Zahlen aus Paragraph 10. Zu rationalem q mit -I < q < I wird die VermSgensfunktion Vq: X* ~ R + definiert durch

Vq(X) =

(I + q)S(x)

(s - q)Ixl

- s(x)

(x ~ x*).

Sei A c [-1,1] eine Menge rationater Zahlen, so da~ sowohl A n [-I,O] als auch A D [O,1] in O einen H~ufungspunkt haben. Aus dem Beweis zu Satz (10.1) fol~t dann: tim n -I s(z(n)) = 2 -I gilt genau dann, wenn z $ ~V fur alte n q q E A. Nun setzen wir fGr A die foLgende Menge [~2-nln 6 N) yon Bin~rzahten. Dann ist fur Jedes q E A

Vq: X* ~ Z(2) eine rekursive Funktion.

Die Rechenzeit zur Berechnung von Vq(Xa) aus Vq(X) ist auf einer geeigneten TM yon der GrS~e G(Ixl). Damit gilt die Aussage (a). Ferner ist fur jedes q E [~2-nln E N} der zus~tztiche Speicherbedarf zur Berechnung yon Vq(Xa) aus Vq(X) fur alte x E X* durch eine Konstante beschr~nkt. Die L~nge der Bin~rdarstellung von Vq(z(n)) w~chst n~mlich linear. Hieraus folgt (b) in (21.12).

-

169

-

22. I n v a r l a n z e i g e n s c h a f t e n

der K o m p t e x i t ~ t e -

k % a s s e n von P e e u d o z u f a % % s f o % g e n Wir w o l l e n wah%regeLn monotone Lemma

das V e r h a l t e n

untersuchen.

Funktion

Eine Auswah%rege%

gegenUber

$: X* ~ [0,1]

Aus-

erzeugt

eine

$: X* ~ X*.

(22.1)

Sei ~: X* ~ ~Orl}

AuswahLregeL

V ~: X* ~ R ebenfaLls Beweis:

(M)

von P s e u d o z u f a l l s f o t g e n

Wit zelgen,

und V: X* ~ R e i n

M a r t i n R a L T dann ist

ein Martinga%.

da B V ~ die M a r t i n g a L - E i g e n s c h a f t

v ¢(x) -- 2 -1

v

x*)

1

~=O,

erfUttt. Parts $(x) V ~(xa)

= O, gilt #(xa)

= V ~(x)

gilt ~(xa) Martingal

foLgt

$, w e n n

ebenfa~ls

= V(#(x)a).

= I, Welt V

(M).

h(Ixl)

fur atle x E X*.

zu der von ~ erzeugten

zur Aue-

In diesem Fat% ist

Funktion

~: X ~ - X ~.

(22.2)

Sei h S t e t i g k e l t s m o d u l

zur Auswahlreget

und g sei eine Ordnungsfunktion. ~-l(~v,g) Beweie:

c ~V

V(~(n)) g(n)

I~(z(n))l

stV: X* - R + sei Martinga%,

D a n n gilt

¢,g h"

Sei z E X ~ und z = ~(z).

n Wegen

(M). Fails $(x)

h n e n n e n wir einen S t e t i g k e i t s m o d u L

I~(x)la

h auch S t e t i g k e i t s m o d u L Lemma

fotgt

fur a = 0,1 und somit V ~(xa)

Eine O r d n u n g s f u n k t i o n wahlreget

fur a = 0,1, und somlt fotgt

fur a = 0,1. Hieraus

= ~(x)a ist,

= ~(x)

z E ~V,g bedeutet

> 0

~ h(n) und welt g m o n o t o n

ist,

foLgt daraus:

-

~-~

v ¢(z(n))

n

~

170

-

o.

gh(n)

Das bedeutet z £ ~V ~, g h' q.e.d. Im fo~genden ~assen wir nur so$che Auswah~rege~n ~ zu, we~che eine totate ~unktion ~: X" ~ X ~ erzeugen, d.h. es so~t stets einen Stetigkeitsmodut zu ~ geben. Unter dieser Voraussetzung girt: Korottar (22.3) ?Gr ~ede Auswahtrege~ ~ E C~ gi~t ~[T]~ c [T]~ fur u = O,1. Beweis: Angenommen, es gibt ein z E [T]~, so da~ Zd;f ~(z) ~ [T]u. Dann gibt es ein rekursives Martinga~ V: X* - Z(2) in C~(M) und eine Ordnungsfunktion g mit z ~ ~V,g" Sei h eln Stetigkeitsmodu$ zu ~, dann fo~gt aus (22.2) z E ~V ~,f h" Wei~ V und ~ in C~ ~iegen, Ist auch V ~ in C~(M). Dies steht abet im Widerspruch zu z E [T]~. Z.B. $iegen a ~ e

yon end$ichen Automaten erzeugten Auswahlrege~n

in jeder Kemp~exlt~tsk~asse C~ f~r ~ = 0,1. Diese Auswah~regeSn charakterisieren zusammen mit dem starken Gesetz der gro~en Zahlen gerade die Bernoui~ifo~gen.

Daher gi~t der

Satz (22.4) Jede Komp~exit~tsk~asse IT] yon Pseudozufa~$sfo~gen e n t h ~ t

nut Ber-

noui~ifo~en. Der Beweis fo~gt auch unmitte~bar aus Satz (10.3) zusammen mit der Bemerkung (10.4). Wenn man daran denkt, Pseudozufa~sfoSgen mit einem gewissen Zuf a ~ s g r a d T zu konstruieren, erhebt sich die Frage, wie s c h n e ~

die

Ordnungsfunktion T mindestens wachsen mu~, damit die FoSgen in [T]~ das Verha~ten idea~er Z u f a ~ s f o ~ g e n berelts hinrelchend gut approximieren. Der fo~gende Satz sagt aus, da~ diese Frage in einem gewissen Sinne unerheb~ich ist. Die Fo~gen jeder Komp~exit~tsk~asse

[T~

haben

-

ngmtich universette

171

Eigenschaften,

-

die es ertauben, auf einfache Wei-

se Fotgen yon betiebig hohem Zufatlsgrad aus ihnen zu konstruleren. Hierzu genUgt es, auf die Fotgen in [T]~ Auswahtregetn anzuwenden, wetche diese Fotgen hinreichend stark komprimleren. Kompressionssatz Es seien T I u n d gel ~ angebent

(22.5) T 20rdnungsfunktionen.

so da~ ~[TI] ~ c IT2] ~ f~r ~ = O,1. ~ kann man so w~h-

ten t da~ ~ in jeder KompLexit~tsklasse Beweis:

Dann kann man eine Auswahtre-

Zu T I u n d

C~ liegt.

T 2 kann man eine Ordnungsfunktion h konstruieren,

so da~ Tl(n) m T2(h(n))

(n E N).

Hierzu genUgt es, dab h hinreichend h so wghten, A(n)

tangsam w~chst. Welter kann man

da~

= h(n) - h(n - I) E [O,1] def

fGr n ~ I.

Wie man leicht sieht, kann man ferner von h verLangen, TM M mit der obigen Ausgabefunktion R~(n) g 1

dab es eine

A gibt, so da~

(n E N, ~ = 0 , 1 ) .

Dann tiegt die Ausgabefunktlon A in Jeder Komptexit~tsktasse

C~. De-

finiert man die Auswahtregel $: X* ~ ~O,1] durch $(x) = A(Ixl) so tiegt m ebenfatts

(x E X*), in jeder Komptexlt~tsktasse

Sei z irgendeine Potge mlt z

C~. Wir zeigen

= ~(z) ~ [T2] ~. Wir behaupten def

z ~ IT1] ~. Zu z $ IT2] ~ gibt es ein Martingat V E C ~T2(M) und eine Ordnungsfunktion

g mit ~ E ~V,g" Nach (22.2) fotgt z E ~V O,g h" Es

-

genUgt daher noch nachzuweisen,

172

-

dab V ~ in C ~ tiegt. T1

Wir ert~utern zu festem ~ die Arbeitsweise nung yon V $. Wir kSnnen annehmen,

einer TM M zur Berech-

dab M die Berechnung yon V(Xl...Xm) ,

nachdem die Werte V(Xl...x j) mit j < m bereits berechnet sind, derart simutieren kann, dab der zus~tztiche Zeit- bzw. Speicheraufwand

dabei

durch K • T2(m) beschr~nkt ist. Bei der Berechnung yon V $(Xl...Xn)

im Rechengang M(Xl...Xn)

unter-

scheidet man zwei Fgtte.

(a)

~(Xl...x n) = O. Dann gi~t: V ~ (Xl...Xn) = V ¢ (Xl...Xn_1). Der Weft V O(Xl...Xn) wurde bereits mit einem Raum- bzw. Zeitaufwand k~einer g~eich

K Tl(n-1) berechnet und ausgedruckt.

Daher kann man ihn mit einem Raum- bzw. Zeitaufwand kleiner gLeich (b)

~ Tl(n) nochmats ausgeben.

$(Xl...x n) = I. Dann gilt

v ~ (Xl...x n) = v(~(xl...Xn_ I) Xn). Die Bereohnung yon V(~(Xl...Xn_l)Xn)

erfordert einen Aufwand

kteiner g~eich Z - T2 (l~(xl...xn) l). Wegen l~(x1...Xn) I = h(n) kann man diesen Aufwand absch~tzen durch Z • T2h(n) g Z • Tl(n)Da ~ in Jeder Komp~exitgtsk~asse

C~ ~iegt, ist der Aufwand zur F a ~ -

unterscheidung vernach~ssigbar.

Somit gilt V ~ E C~(M), und (22.5)

ist bewiesen.

FUnftes Kapitet

ZufattsfoLgen zu allgemeinen Wahrscheinlichkeitsr~umen

23. Berechenbare Wahrscheintichkeitsma~e auf [0,1] Wir betrachten welter bin~re Folgen, beschr~nken uns aber nicht mehr auf die GLeichverteitung auf X = [0,1]. Sei ~ irgendein WahrscheinLichkeitsma~ auf X. Ohne Sohwierigkeit kann man ausgehend von der GLeichverteitung soLche BegriffsbiLdungen Ubertragen, weLche nicht auf rekursiven Funktionen beruhen. Dies gilt u.a. fur NutLmengen und Martingate. Eine Funktion V: X* ~ R heist Martinga~ zu ~, wenn

(~)

v(x) = ~(o) v(xo) + ~(I) V(xl)

(x ~ x*).

In diesem Paragraphen sei ~ ein berechenbares Wahrscheintichkeitsma~, d.h. ~(0) und ~(I) seien berechenbare ZahLen. Dann kann man auch konstruktive Begriffe sofort Ubertragen. Ein total rekursivsr Sequentialtest zu ~ ist elne rek. TeiLmenge Y ~ N × X* mit ~ [Yi ] ~ 2 -i fur a~Le i E N, so da B f(i) = ~ Y i ] def sine berechenbare Funktion f: N

R definiert. ~ ~ ~y def =

iEN ~EYi3

hei~t eine total rekurslve NuLLmenge zu ~. Bezelchnung: Falls ~(0) E (0,1) nennen wit ~ singular. Es Gbertragen sich ohne Schwlerigkeit Aussagen und Beweise der KapiteL III und IV. Satz (23.1) FUr jedes berechenbare Wahrscheinlichkeitsma~ ~ auf X und Jede Forge z E X" sind fotgende Aussagen ~quivatent:

-

174

-

(I) Es gibt eine total rekursive Nuttmenge ~ zu ~ mit z E ~. (2) Es gibt eln berechenbares MartingaL V: X* ~ R + bzgL. m mit ki ~ n

V(z(n)) : ~.

(3) Es gibt eine sb.s.~ ma~invariante,

partieLLe Funktion H: X ~ ~ X ~,

so da B die FoLge n-ls(~(n)) mit z = H(z) nicht gegen ~(I) kondef vergiert. (4) Es ~Ibt eine b.s., ma~beschr~nkte Funktion H: X ~ ~ X ~, so da B die FoLge n-ls(~(n)) mit ~ = H(z) nicht gegen ~(I) konvergiert. def Eine FoLge z, weLche zu festem ~ keine der ReLationen (I) - (4) in (23.1) erfGLLt, hei6t ZufaLLsfoLge zu ~. ~

sei die Menge der ZufaLLs-

foLgen zu ~. Bemerkung: FGr singuL~res ~ ist (23.1) trivial; in diesem Fall foLgt der Bewels yon (23.1) nicht nach den Methoden der KaplteL III und IV. FUr ~(8) = I mit 8 E X besteht ~a nur aus der FoLge 6~. Diese Tatsache steht unverkennbar im Widerspruch zu der VON MISES'schen Auffassung. VON MISES wies n~mLich ausdrGckLich daraufhln, daft es auch in diesem Fall unendLich vieLe KoLtektive gibt. -Wir interessieren uns f~r den Zusammenhang von ZufaLLsfolgen zu verschiedenen WahrscheinLichkeitsma~en.

Es seien ~I' ~2 Wahrschein-

Lichkeitsmafle Uber X. Dann nennen wir eine partletLe AbbiLdung H H: X ~ ~ X ~

(~1,~2)-invariant, wenn ~I H-I(A) = ~2 (A) f~r atLe ~2-

me~baren A c X ~. H heist (~l,~2)-beschr~nkt, wenn es ein K E N gibt mit J 1 H - I ( A )

~ K ~2(A) fGr aLLe ~2-me~baren A c X ~.

Batz (23.2) Zu zwei gegebenen~ berechenbaren WahrscheinLichkeitsma~en ~I und u2 mit nlcht singuL~rem ~1 kann man eine sb.s. t partletLe, riante (ebenso wie eine b.s., H: X ~ ~ X ~

(~1,~2)-inva-

(~1,~2)-beschr~nkte) AbbiLdung

konstruieren. FGr ~ede soLche Abbildung gilt

-

E(~I) c

175

-

~"2"

Beweis: Die Konstruktion von H ist einfach und sei dem Leser ~ber~assen. Angenommen,

es gibt ein z E H ( ~

) mlt z ~ ~

. Dann glbt es eine ~2 total rekursive NuLtmenge • zu ~2 mit z E ~. Nach einer schon mehrfach 1

durchgef~rten

SchLu~weise ist H-I(~) eine total rekursive NuLlmenge

zu ~1" Es foLgt ~ 2

0 H-I(~) ~ ~ und somit ein Widerspruch.

Damlt

ist die Annahme fatsch. Bemerkung:

FUr singuL~res ~1 und nicht singut~res m2 gibt es keine

sb.s., partielle,

(~1,~2)-invariante

(bzw. keine b.s.,(~l,~2)-be-

schr~nkte) Abbitdung H: X ~ ~ X ~. Denn fGr jedes sotche H gilt einerseits H(R 1) c ~ 2 ;

andererseits

Forge H(8 ~) mit ~1(8) = I. Da ~ 2 dies zum Widerspruch

besteht H ( ~ I ) nur aus der rekursiven kelne rekurslve Forge enth~tt, ftLhrt

zur Existenz yon H.

-

176

24. Verteilungsunabh~ngige

-

$equentialtests

Auch der Begriff einer Zufallsfolge baren Wahrscheintichkeitsma~

~ auf X = ~0,I}

Denn man kann nicht ohne weiteres die Wahrscheintichkeit

z E X ~ zu einem nicht berechen-

von Kopf

annehmen,

berechenbar

achter eine Forge z auf ihre Zuf~tligkeit im allgemeinen nicht, grunde

da~ beim realen MGnzwurf ist. Wenn ein Beob-

hin testen will,

welches Wahrscheinlichkeitsma~

wei6 er

er dem Test zu-

legen soil. Denn selbst wenn z zuf~tlig relativ zu einem Wahr-

scheinlichkeitsma~ istes

ist durchaus wichtig.

wichtig,

lichkeitsma~

~ ist, kennt man dieses ~ a priori nicht.

Zufallstests

anwendbar

zu entwickeLn,

Daher

die fur jedes Wahrschein-

sind. Hierzu benutzen wir eine Idee von MARTIN-

L~F [27 ]. Zu einer Menge A c X* bezeichne A(n,p)

= Ix E AX* I Ixl = n, s(x) = p].

IIAII bezeichne Definition

fGr aILe n,p E N:

die Kardinatzaht

der Menge A.

(24.1)

Ein verteilungsunabh~ngiger

(v.u.)

rekurslver

Sequentiattest

ist eine

rek. Menge Y c N × X* mit IIYi(n,p)II ~ 2 -i (~) NLARTIN-LOF bezeichnet

(p,n,i ~ N).

diese Tests als Bernouilli-Tests.

Satz (24.2) FUr einen v.u. rekursiven Sequentiattest

Y gilt

~

CYi] = 0 fur iEN

jedes Produkt-Wahrscheinlichkeitsma~ v.u. rekursive

Nullmenge.

Beweis: Es gilt

~ [Yi X* 0 X n ]

- iEN ~ [YiJ heist eine ~. • c ~Ydef

-

}-

177

-

11Y±(n,p)II (1)P (o)n-P

Ogpgn

2-i (p) n

)p

n-p

2-i

Ogpgn Da dies f~r aL%e n gi%t, fotgt ~[Yi] ~ 2 -i, und somit ~(~y) = O, q.e.d. FGr eine endtiche Menge U c N x X* kann man die Eigenschaft (24.1) stets effektiv entscheiden. Denn aus

IIui(m,pJfl

2-i

(p)

f~r aLLe p g m

und

m g m a x ~Ixl

Ix E U i}

fotgt llUi(n,p)II ~ 2 -i (~)

(p,n E N).

Dies gilt wegen ( n ) + (~) = (n+1) p-1 "p " Diese Tatsache kann man dazu benutzen, um die Menge abler v.u. rekursiven SequentiaLtests rekursiv aufzuz&hLen. Zur Konstruktion einer so~chen rekursiven Aufz~hLung gen~gt es, einen ALgorithmus anzugeben, der zu Jeder rek.aufz. Menge Y c N × X* eine Teitmenge ~(Y) c Y Liefert, so dab ~(Y) stets ein v.u. rekursiver SequentiaLtest ist und da~ ~(Y) = Y, sofern Y seLbst sin v.u. rekursiver Sequentiattest ist. Der ALgorithmus ~ konstruiere angesetzt auf Y eine monoton wachsende Forge endticher Teilmengen yon Y, die atLe die Eigenschaft (24.1) erf~tten und wetche Y aussch5pfen, wenn Y ein v.u. rekursiver SequentiaLtest ist. ~(Y) sei die Vereinigung dieser Teilmengen. Atso gilt das Korot%ar (24.3) ~ 27~ Die Menge a%Ler v.u. rekursiven SequentiaLtests ist rekursiv aufz~hLbar. Ana%og zum Beweis von (4.4) kann man hieraus dl~ Existenz eines universe%%en v.u. rekursiven SequentiaLtests und einer universetLen v.u. rekursiven Nuttmenge fo%gern. Wir woLten nun obige Begriffe im

-

178

-

Sinne des total rekursiven SequentiaLtests Definition

versch~rfen.

(24.4)

Gibt es zu elnem v.u. rekursiven SequentiaLtest Y eine rekurslve Funktion h: N ~ N, so da~ fGr aIle i,p,n E N II(Yi D xh(m)x*)(n,p)II ~ 2 -m (~), dann heist Y total rekursiv. Korotlar ~24.5) Ein v.u. total rekursiver Sequentialtest Y ist bzgt. ren Wahrscheintichkeitsma~es

~edes berechenba-

~ ein total rek. Sequentiattest.

Beweis: Wir zeigen,

dab f(i) = ~[Yi ] eine berechenbare

f: N ~ R definiert.

F~r das obige h gilt

Funktion

~[Yi O X h(m) X*] g 2 -m und somit l~[Yi] - ~[Yi - xh(m) X*]I ~ 2-m" Weit man ~[Yi - xh(m) X*] effektiv berechnen kann, ist f berechenbar. Uns interessiert

der Zusammenhang

zwischen ZufaLlsfot~en und v.u.

Tests. Diesen Zusammenhang bereiten wir durch zwei Lemmata vor. Lemma (24.6) Sei ~ ein nlcht singut~res W.-Ma~ auf X T A c X* elne endtiche Menge und h: N ~ N eine Ordnungsfunktion.

Dann konvergiert

die FoLge

IiA(n,g(n))ii / ( g(n)) n gegen ~EAS und zwar gLm. fGr aLle Funktionen g: N ~ N mit

Ig(n)/n - a(1)I ~ 2 -h(n)

Bewels: Es genGgt,

(n E N).

(24.6) fGr eine einelementige Menge A = [x} nachzu-

weisen. Darn gilt: II[x}(n,g(n))II / (g(n)) = (g(

x) ) / (g(n)) =

- 179 -

~(n) ( ~ ( n ) - 1 ) . . . ( ~ ( n ) - s ( x ) + 1 )

( n - ~ ( n ) ) ( n - ~ ( n ) +I )... ( n - ~ ( n ) - I x I+ s ( x ) +1)

n(n-1 ) (n-2)

=

g(n) s(x) n

Wegen

n-g(n) n

]g(n)/n-

...

(n-lxl +I)

Ixl-s(x) f(r~x)

mlt lira f(n~x) = I. n

~(1) I ~ 2 -h(n) fotgt die Behauptung.

Es sei nun p ein nicht singul~res W.-Ma~ und h: N - N elne O r d n u n g s funktion.

Es bezeichne

E~TI = [z E X~I

Is(z(n))/n - ~(1) I ~ 2 -h(n)

(n E N)].

Lemma (24.7) Sei p ein berechenbares T nicht singut~res W.-Ma~ und h e i n e funktion.

Dann kann man zu jeder rek.

Ordnungs-

Menge A c X* eine rek. Menge

B c AX* k o n s t r u i e r e n mlt (i)

[A] n E~ c [B]

(ii)

n l/B(n,p)II g 2(p) ~[A]

(n,p E N).

Beweis : Sei A c X* - xrx * eine end~iche Menge. Dann konvergiert nach (24.6)

n

IIA(n,g(n))II gegen (g(n)) ~[A] g~m. fGr a ~ e

Ig(n)/n-

g: N - N mit

~(1)] g 2 -h(n). Setze

B m = AX* 0 Ix E xml

Is(x)/m - ~(I)I < 2 -h(m)}

Dann gibt es zu jedem g > 0 ein m > r, so dab

m ~[A] + ~ IIBm(m,p)II g (p)

(p ~ m)

Daher k a n n man ein m > r effektiv finden mit IIBm(m,p)II ~ 2( mp) ~[A]

(p g m).

FGr B = B m kann m a n (i), (ii) in (24.7)

leicht nachweisen.

Der Be-

weis Gbertrggt sich ohne Schwierigkeit auf rek. Mengen A c X*. Zusatz Wenn p[A] in (24.7)

zus~tztich berechenbar

Ist, kann man zusammen

- 180

-

mit B eine rek. Punktion h: N - N konstruleren r so da~ fur alte ntp~m E N:

I1( n xh(m))Cn,p)ll

~

2 -m

Der Zusatz Ist unmitte~bar ersichtllch. Nun kSnnen wir zeigen, dab ZufaLLsfo~gen bereits durch v.u. Tests charakterisiert werden. Wir sagen, die Forge g(n) konvergiert konstruktiv gegen r (Bez.: ~im g(n)~r), n

wenn es eine 0rdnungsfunktion h gibt mit

IgCn)

- rl ~ 2 -h(n)

fur a ~ e

n E N.

Satz (24.8) Sei u ein berechenbares W.-Ma~ und z E X ~. Dann sind foLgende Aussagen ~quiva~ent:

(1)

z

(2)

llm s(z(n))/n ~ ~(I)

und z besteht atte v.u. total rekursiven

n

Seguentialtests. Beweis:

(I) ~ (2) ist triviaL.

(2) ~ (I): ~ sei nicht singular. Im Gegensatz zur Behauptung nehmen wir an z ~ ~ . Dann gibt es einen total rekursiven Sequentia~test Y zu ~ mit z E ~y. Wegen ~im s(z(n))/n ~ ~(I) gibt es sine 0rdnungsfunkn tion h mit z E E h. Wegen (24.7) kann man zu jedem i E N eine Menge U i c Yi+1 rek. aufz~h~en, (a)

[Yi+lJ D Egh c [Ui]

(b)

IIui(n,p)lJ

so da~ (a) und (b) ge~ten:

2 (p) n ~[Yi+1 ] ~

(~)

2-±

(n,p E N).

Damit ist U ~ N x X* ein v.u. rekursiver Sequentia~test mit •y n E h c ~U und somit z E ~U" Wegen des Zusatzes zu (24.7) kann man sichern, da~ U total rekursiv ist. Damit ergibt sich ein Widerspruch

-

181

-

zur Annahme z ~ Nun sei ~ singular. O.B.d.A. sei ~(0) = I. Wegen tim s(z(n))/n ~ 0 n s(z(m))/m ~ 2 -n

gibt es eine rekursive Funktion h, so dab (m ~ h(n)). Wit mUssen zeigen, da B z keine I enth~Lt.

Wir ftLhren die Annahme z E 0kl X ~ zum Widerspruch. Wit betrachten die Mengen An, m = Ix E X n N 0kl X* FaLLs p > 2-mn

I

s(x)/n

~2 -m }.

oder p = 0 gilt:

IiAn,m(n,p)ll = O. F~r 0 ~ p ~ 2 - m n gilt: n n-k-1~ n IIAn,m(n'P)ll / (p) = ( p-1 " / (p)

= p n

(n-~)

(n-p-l)

(n-l) (n-2)

::[:[[ln-p-k+l) •

n-k)

g

~ g 2-m n

"

Daher wird dutch Yi = Ah(i),i ein v.u. total rek. SequentiaLtest definiert und nach Konstruktion gilt z E ~y. FGr singuL~res ~ impLiziert nicht (1) somit nlcht (2). Das heist aber (2) $ (I), q.e.d.

Andererseits kann man einen v.u. total rekursiven SequentiaLtest Y derart angeben, da~ atLe FoLgen z, fGr die s(z(n))/n nicht konstruktiv konverglert,

in ~y tiegen. Denn mit etwas Aufwand kann man mit

Standardmethoden nachweisen, da B fGr eine hinreichend schneLL wachsende Ordnungsfunktion h durch

YI" = Ix EX* I ~ m,k ~ h(i) mit

I S(x(m))m - s(x(k)) I k

> h(i)-I/4 ]

ein v.u. total rekursiver SequentiaLtest definiert wird. Somit gilt der foLgende

-

Satz

1 8 2

-

(24.9)

Wenn elne Forge dann konvergiert

z at~e v.u.

tota~ rekursiven Sequentia~teets

besteht,

e(z(n)I/n konstruktiv.

Zueammen mit (24.8)

erglbt eich der

Satz (24.10) Sei F ein berechenbaree

W.-Ma~ auf X. Dann beeteht ff genau aus den

Fo~gen z E X ~ mit ~im e(z(n))/n = ~(1), n kursiven Sequentiatteste Durcn (24.10)

tota~ re-

scheint die fotgende Definition yon Zufattsfolgen

zu

gerechtfertigt:

(24.11)

Die Menge ~ der bin~ren Zufattefot~en atte v.u.

v.u.

bestehen.

einem betlebigen W.-Ma~ ~ auf X = [0,I} Definition

we~che a ~ e

besteht aus den Fo~gen,

tota~ rekursiven Sequentia~tests

besteht die Menge ~

der Z u f a ~ s f o t g e n

in ~ mit tim s(z(n))/n = ~(1). n

bestehen.

wetche

Zu einem W.-Ma~

zu ~ aus denJenigen Fo~gen z

-

183

-

25. Verteilungsunabh~ngige Invarianzeigenschaften E,on Zufa~Isfo~gen Es liegt nahe, neben den Sequentialtests auch die anderen Zug~nge zum Begriff der Zuf~lligkeit unabh~ngig yon einem vorgegebenen W.-Ma~ zu formutieren.

Tats~chlich kann man ZufaLtsfol~en durch verteitungs-

unabh~nglge Invarianzeigenschaften charakterisieren. Damlt gewinnen die ursprUnglichen VON MISES'schen Ideen weiter an Gewicht. Denn auch die Auswahtregeln stetlen v.u. Invarianzeigenschaften von Zufatlsfolgen dar. Se~tsamerweise erh~Lt man fur singul~re W.-Ma~e keine ~quivaLente Charakterisierung von ZufaLtsfoLgen durch v.u. Invarianzeigenschaften. Vietmehr mU6te man yon diesem Standpunkt aus auch Fotgen mit endlich vielen Einsen ats ZufaLlsfolgen zur Wahrscheintichkeit ~(0) = I zulassen. Es Ist Uberraschend,

da~ auch dlese Vorstettung

VON MISES' ihren Niederschtag in der Theorie findet. Eine stetige Abbildun~ H: X ~ ~ X ~ heine v.u. ma~invariant, wenn fur atle W.-Ma~e ~ auf X folgendes gilt: ~EA] = ~ H-I(A)

fur aLLe

~-me~baren A c X ~. Aquivalent hlerzu ist: ~ H-1~x] = ~ExS fur atle x E x* und alle W.-Ma~e p auf X. Lemma (25.1) Es seien A,B c X* - X m+1 X* endliche Mengen mit j~AS = ~[B] fur alle W.-Ma~e ~ auf X. Dann gilt IIA(m,D)II = IIB(m,p)II fur alle p E N. Beweis: O.B.d.A. gelte A,B c X m. Es gilt dann ~A]

=~IIA(m,p)II ~(I) p (1 - p(1)) m-p. P Da A endtich ist, hat man ein Polynom in W(1). Dieses ist durch endlich viele Funktionswerte eindeutig bestimmt. Da die Funktionen xP(1-x) m-p

p=O,1,...,m linear unabh~ngig sind, folgt die Behauptung.

Korollar (25.2) Die monotone A b b i t d ~ g

H: X* ~ X* erzeuge eine v.u. ma~Invariante

-

AbbiLdung ~a~

184

-

H: X ~ ~ X ~. Dann gibt es zu jedem x E X* ein n(x) E N, so

II(H-I(xx *) 0 Xn(x))(n,p)l I = ll[x](n,p)II fur aIle p ~ n und alle n ~ n(x). Beweis: W~hle n(x) so, da B H-1[x] = [H-1(xX *) 0 Xn(x)]. Dann gilt fur alle W.-Ma6e ~ auf X:

~ [x] = ~[H-I(xX *) 0 Xn(x)].

(25.2) folgt

somit aus (25.1). Korollar (25.3) Sei • c X" eine v.u. total rek. NuLlmenge und H: X ~ ~ X ~ eine b.s., v.u. ma#invariante Abbitdung. Dann ist auch H-I(~) eine v.u. total rek. Nullmenge. Beweis: Sei Y c N x X* ein v.u. total rek. Sequentialteet und H: X* ~ X* sei eine monotone rek. Abbitdung, welche H erzeugt. Man definiere die rek. Menge V ~ N x X* dutch V i = H-I(Y i)

(i E N).

Dann gilt H-I[Yi] = [Vi] dab V e i n Satz

(i E N). Unter Ausnutzung yon (25.2) f o ~ t ,

v.u., total rek. Sequentialtest ist. Es gilt ~-1(~y) c ~V"

(25.4)

Sei z E X ~ eine Zufallsfo~ge und H: X ~ ~ X ~ eine b.s., v.u. ma~invariante Abbildung. Dann existiert fur z = H(z) der Grenzwert lim s(z(n))n -1. n Beweis: z liegt in keiner v.u. total rek. Nullmenge. ~ sei eine v.u. total rek. NuLlmenge, die alte Folgen z enth~tt, fur die lim s(z(n))n -I nicht existiert. Wegen (25.3) ist H-I(~) eine v.u. n total rek. Nullmenge und somit gilt z { H-I(~). Daraus folgt H(z) { ~. Also existiert fur z = H(z) der Grenzwert lim s(z(n))n -1. n Um die Umkehrung yon (25.4) zu beweisen, benStigen wit einige Lemmata.

-

185

-

L e m m a (25.5) Sei H: X n ~ X m Abb.~ ~[x]

= #[H-l(x)]

a~e

p.

Beweis:

n ~ m und x E X m. Es girt genau dann

f~r a ~ e

FI w e n n

II(H-1(x))(n,p + s(x)II = (npm)

f~r

Es girt

~[H-1(x)] =~11(H-1(xl)(n,plfl~(1) p u(o) n-p P =~

II(H-1(x))(n,p + s(x))II ~(I) p+s(x)

~(0)n-p-s(x)

P = ~[x]

~-II(H-1(x))(n,p p

Die B e h a u p t u n g

+ s(x))II ~(I) p ~(0) n-m-p.

fotgt daher w e g e n

(25.1).

Da f~r eine Abb. H: X n - X m mit n ~ m die E i g e n s c h a f t ~[x]

= ~[H-1(x)]

f~r aLLe x E X m und aLLe ~ nut y o n der GrS~e der

Mengen H-1(x)(n,p)

abh~ngt und well es stets Abb. H: X n ~ X m mit der

genannten Eigenschaft Lemma

gibt,

fotgt das

(25.6).

W e n n f~r eine p a r t i e ~ e

Abb. H: X n ~ X m f~r a ~ e

~[H-1(x)]

~ ~[x]

gitt~

~[H-1(x)]

= ~[x]

f~r aloe x E X n und a~te u.

x E X m und a ~ e

dann k a n n m a n H so auf X n f o r t s e t z e n r da~

Lemma (25.7) Sei H: X n ~ X m m i t n ~ m Abb. und H: X n+r ~ X m+s mit r ~ s ~ O p a r tieLLe Abb.

Insgesamt

sei H monoton.

D a n n fotgt aus (I) die A u s s a g e

(2).

(1)

~[H-1(xz)

N yX*] ~ ~[z] ~[y]

fGr atle x E X m, y E H-1(x),

z E Xs

und atte ~.

(2)

M a n k a n n H a u f X n+r m o n o t o n fortsetzen, ~[H-1(xz)

N yX*]

= ~[z] ~[y]

so da~

fur alle x E X m, y E H-1(x),

z E Xs

-

186

-

und alle U. Beweis:

Ob fur eine F o r t s e t z u n g

(ohne die Monotonie) (H-S(xz)

N yX*)(n

gi%t,

yon H auf X n+r die Aussage

h~ngt nur yon der GrS~e der M e n g e n

+ r,p) ab. Das Lemma gilt daher,

well m a n

b i L d u n g H: X n ~ X m derart auf H: X n+r ~ X n+s m o n o t o n da~ ~[H-1(xz) N y X * ]

in (2)

= ~[z] U[y]

jede Ab-

fortsetzen

fur atte x E X n, y E H-1(x),

kann,

z E Xs

und atte ~. Bemerkung:

Gilt f~r H: X n ~ X m in (25.7)

zus~tztich ~[x]

= ~[H-I(x)S

fGr aLLe x E X m und alte ~, dann gltt f~r die F o r t s e t z u n g da~ ~[w] Beweis:

= ~[H-1(w)] ~[H-1(xz)]

=

in (25.7)(2),

fur a%le w E X m+s und alle ~. ~ ~[H-1(xz) yEH-1(x)

D yX*]

y~-1(x) : ;[z]

i[x]

= j[xz].

1. L G c k e n t e m m a

(25.8)

Sel ~ c X ~ eine v.u. funktion.

(I) ~

tota% rek.

Nut%menge

D a n n k a n n man elne rek. Menge

und h: N ~ N eine O r d n u n g s -

B c X* so konstruleren,

da~

fur atte x E B, aLte m >

IxI,

/~ [BO XnX*]. hEN

(2)

II(xxx* N B)(m,p)II<

2 -h(Ixl)

(~)

atte p g m. Aus

(2) fotgt B D x ( X X * -

X h(Ix[)

X*)

= ~

fur atle x E B. In diesem

Sinne hat B "L~cken". Beweis:

Es sei Y c N x X* ein v.u.

O.B.d.A.

gette YJ+I c YjXX* und Yj p r e f i x - f r e i

n i e r e n wie folgt BI c B2 c

total rek. Sequentialtest

eine aufsteigende

... c Bj c Bj+ I c

....

fur atte

Forge von r e k u r s i v e n

zu ~.

j. Wit defiMengen

-

187

-

BOdef@' B1defY1 (Yh(Ixl)+j N xX*).

Bj+idefB j U xEBj-Bj_ 1

Dann gilt fur atLe x E Bj - Bj_I, aLLe m > Ixl und p g m: m II(xXX* 0 Bj+ll(m,p)II = II(xXX* N Yh(Ixl)+j )(re'pIll ~ 2-h(Ixll-j(p)" Somit sleht man, da~ B =

Bj die obigen Eigenschaften hat. jEN

2. LGckentemma (25.9) Sei ~ c X ~ elne v.u. total rek. Nullmenge und h: N ~ N eine Ordnungsfunktion und E > 0. Dann gibt es eine rek. Menge B c X*~ so da~:

(I)

~

~

[B n xnx *]

nEN

(2)

ll(xXX* n B)(m,p)ll ~ 2 -~(Ixl) (pm fur aLte x E B und aLte m,p mit

~ )) g < p/m < I - £.

Beweis: Es gibt elne Ordnungsfunktion g, so da~ (pm - ~ ) ) / ( ~ )

~ 2-g(Ixl) fur aLLe m,p mit

~ < p/m < I -

~ (vergLei-

che den Beweis zu Lemma (24.6)). Somit foLgt (25.9) aus (25.8).

In der ebigen Menge B kann man LGcken verschieben, indem man x E B dutch xX n oder x(m) mit m <

[xl ersetzt. Dabel bteibt die ReLa-

tion (I) erhaLten. Durch Verechleben von LGcken kann man fur gewiese n hinter atten Fotgen der L~nge n in B L~cken erzwingen. Diese ~berLegung ft~hrt zu dem foLgenden Lemma. Wir verzlchten auf die schwerf~Ltige formate Ausftthrung dieeer Bewelsidee. 3. LUckenLemma (25.10) Sei ~ elne v.u. total rek. NuLLmenge und ~ > O. Dann gibt es eine rek. Menge B c X* und eine O r d n ~ s W 1 ~ k ~ n ~

~ ~+

-

(I)

h(n) - H(n-1) >

(2)

~ c ~ [B n X*X n] nEN

(5)

I'(B D xX*)(m,p)I' g mit

KoroLLar

-

2(2 n-l) (2 n-1 + 1)

2_2 n+1

fGr atte x E X H(n), alte m,p

(p_-!~xl))

~ < p/m < I - ~ .

(25.11)

Es gilt ~[B D xX*] ~ ~[x] 2 2n+1 £<

188

fur aLte x E X H(n) und atte ~ mit

#(1) < 1 - £ .

Beweis: Es sei ~(m)

A~(m)

=

[Pl

£ <

p/m

<

I

-

6] und

= [Pl p/m ~ ~ v p/m ~ 1 - E}. Dann gilt f~r x E X H(n) und

m > h(n): ~[BX*NxX*~ X m] =

< j[x]

Z

~ II(B N xx*)(m,p)II ~(1)P ~(o) m-p pEA~(m)UCg(m)

II(B n xX*)(m,p)ll u(1) p-s(x) u(o) m-lxl-p+s(x)

PEAa(m)

+ ~:~"C" "(m)Y

~(1) p ~(o)m-p

p. £~m) n+l ~(1)p-s(x) i[x]Vrm-lxl 2 -2 ~-~p-s(x) )

~(o)m-lxl-p+s(x)

P

+

~ (~) ~(I) p u(O) m-p pECk(m)

= ~[x] 2- 2n+l~(~l:l).(1)p +

. (o)m-p-lxl

~ (~) ~(I) p u(O) m-p pECk(m)

= j[x] 2-2n+I +

C(~m)( ~) .(1)p .(o)m-p. pE

Wegen

~ < u(1)<

gen O, q.e.d.

I - ~ konvergiert der zweite Ausdruck fur m - ~ ge-

-

Hauptsatz

189

-

(25.12)

Sei z E X

eine Fotge~

so da~ f~r jede b.s.,

H: X ~ ~ X ~ fur ~ = H(z) der Grenzwert ist z e n t w e d e r es girt

Beweis:

ZufaL%sfoL~e

%im s ( z ( n ) ) / n n Da id: X

nicht

tung keine

tam s(z(n))/n

zu einem nicht

~ X

eine b.s.,

in [0,1]

Zufa~%sfo%ge

~m

singu%~ren

v.u. ma~invarlante

s(z(n))/n.

ist. Dann gibt es eine v.u. ~

Ordnungsfunktion

h und eine rek. Menge B c X*,

tota% rek. Nu%%-

so da B (25.10)

~ elne (I) -

±st. eine rek., monotone

f~r at%e n ~ I: H(X ~(n)) c X h(n) ma~invariant

~ X h(n-1)

von X H ( n )

fest.

- h(n-1)

Hi%fsfunktlon

= 2n

Dabei bedeutet

und so da B H v.u.

(n~1)

so festgeLegt,

zu defimleren. da B 5[w]

=

und aL%e ~. Nun %e~en wir H auf elner

Wit b e z e i c h n e n

= 2 n-1 , ~(n)

= I Is(u) T(n)]

[ ] die grS~te

definieren

yu ( B N X h(n-1)

wit H(yu)

hierzu ~(n)

= h(n)

- h(n-1)

= d(n)/~(n) . Wlr d e f i n i e r e n

X*

und

zeigen,

derart auf X H(n)

od(n)

eine

ganze

- Is(u) v(n)]

ZahL kleiner

~

<

Is(u)/~(n)l

y (H-1(x),

und u ( X S(n) mit

< I - ~1:

= H(y) ~(u).

da B man diese partieL%e

fortsetzen

gteich.

fur atte y ( X H(n-S)

H(yu) Wit w o l % e n

so da B

~: X ~(n) - X d(n) durch: ~(u)

x ( X h(n-1),

mlt h(n)

bereits

fdr atte w ( X h(n-1)

= h(n)

Funktion H: X* ~ X*,

ist. Es genfigt H: X ~(n) - X h(n)

Sei H: X R(n-1)

Nunmehr

exl-

zur Behaup-

O, so da B ~I < 2-2. Dann glbt es zu • und

Wir k o n s t r u i e r e n

d(n)

let,

> 0, so da B ~I < t~m s(z(n))/n > I - ~ I .

~>

Tei~menge

Abb.

Wir nehmen an, da B dieser

Zu ~1 w&h~e man

j[H-1(w)]

Damn

W.-Ma@ W~ oder

liegt und da B z im Widerspruch

menge • mit z E ~. Man w~hte

(3) erf~llt

existiert.

Abb.

~ [0,1].

stiert nach V o r a u s s e t z u n g Grenzwert

v.u. m a ~ I n v a r i a n t e

kann,

F u n k t l o n H: xH(n)~x h(n)

dab H m o n o t o n

ist und da~ fur al~e

z ( X d(n) und fur a%%e W.-Ma~e

-

(I)

190

-

~[H-1(xz) n yX*] = j[y] j[z]

erfGllt ist. Dazu gen~gt es nach (25.7) und der anschlieBenden Bemerkung, fur die zun~chst deflnierte partietle Funktion H zu zeigen, dab in (I) stets "kteiner gleich" gilt. Wir unterscheiden hierzu mehrere F~Ite: Fall (a):

~I ~ s(z)/d(n)

v s(z)/d(n)

In diesem Fall ist H-1(xz) Fall (b):

~[z] ~ 2 -2n ^

~ 1 - ~I"

= ~, und somit gilt in (I) "kleiner gteich".

E1 < s(z)/d(n) < I - ~1"

Zun~chst nehmen wir an, dab p(S) ~ ~ v u ( 1 ) ~[z] = ( ~ ( I ) s(z)/d(n) ~[z] ~ E El d(n) = ~ I

~(O)I - s(z)/d(n) 2n-I

~ I -~. Dann foLgt wegen ) d(n)

der Widerspruch

< 2 -2n , denn es gilt d(n) = 2n-S und

£~I < 2-2. Daher m~ssen wit unter (b) nur noch den FaLl I - ~

behandeln.

~ < U(1) <

In dlesem FaLl fotgt naca (25.11) welt y E x~(n-1):

jIB n yX*] < 2 -2n ~[y] ~ j[z] j[y]. Nach Konstruktion yon H gilt H-1(xz) A yX* c B N yX*. Damit gilt in (I) sicher "kleiner gleich". Fall (c): S[z]< 2 -2n. Aus der Struktur yon ~ folgert man leicht, dab f~r aL%e u ( ¥ - I ( z ) ~[u] g U[z] ~(n)/d(n)

- d(n).

Hieraus folgt: j[y-l(z)] (*)

~ j[z]~(n)/d(n)

~ (2-2 n) ~(n)/d(n)

-d(n)

Es gilt: ~(n)/d(n) > 2(d(n)+1)

- d(n) 2d(n) - 1 2~(n) j[z]. (wegen (25.10)(I))

und

2n/d(n) = 2.

Damit folgt: -2 n

~(n) / d(n) + (d(n) + I)

Damit fotgt aus (*): j[~-l(z)]

2n

+ d(n) g O.

g ~[z]. Das bedeutet aber, dab in (I)

"kleiner g%eich" steht. Damit slnd atle mSg%iche F~Ite abgedeckt.

Also kann man H. geeignet

-

191

-

auf X ~(n) fortsetzen und man erh~tt durch dieses Konstruktionsverfahren eine b.s., v.u. ma~invariante

Abb. H: X ' -

X ~.

Wit betrachten z E ~[B n

z = H(z). Wegen ~I < tim s(z(n)/n < I - ~I und n N X*X n] girt fur unendtich viete n: H(z(h(n))

mit z(h(n))

= z(h(n-1))

~(u n)

= z(h(n-1)))u n. Wegen

I~(un) I = 2 n-1 = h(n-1) kann naeh

Definition yon ¥ die Forge s(z(n))/n nicht konvergieren. Voraussetzung An~nhme

ausgesch~ossen

erhalten,

Bemerkenswert

Da dies nach

war, haben wir einen Widerspruch

da B z nicht z u f ~ i g

an Satz (25.12)

zur

ist, q.e.d.

ist, da B man die Alternative

lim s(z(n)/n ( [O,1} wirk~ich zu~assen mu B. Tats~ch~ich gibt es Fo~n gen z mit ~im s(z(n))/n = O, die Einsen enthatten, so da B jede b.s., n v.u. ma~Invariante Abb. H: X ~ - X ~ eine Forge z = H(z) tiefert mit ~im s(z(n))/n = O. Dies gi~t z.B. fur jede Forge z, we~che nut endn ~ich viele Einsen enth~It. Die v.u. Invarianzeigenscnaften tegen somit fur singut~re W.-MaBe

elne andere Definition der Z u f a ~ s f o ~ g e n

nahe ats die v.u. Sequentia~tests. Aus dieser Sicht ist die VON MISES'sche folgen zur Wahrscheinlichkelt durehaus

gerechtfertigt.

im fo~genden weiterhin Wir tun dies ~edig~ich,

~(1)

Vorste~tung,

da B Zufatls-

= O auch Einsen entha~ten dGrfen,

Es ist daher ziemtich wi~tk~r~ich,

Zufattsfo~gen

durch Sequentiattests

welt Sequentiattests

wenn wir definieren.

besser zu handhaben

sind.

-

192

26. Zufaltsfotgen

-

zu W.-Ma~en auf R

Unser Ziet ist es, die in (2.5) aufgezeigte winden,

da B man im allgemeinen nicht

schein~ichkeit

zuordnen kann.

Wit

in R ~, indem wir den Begriff der v.u.,

total

Ubertragen.

Es werden die beiden folgenden FragesteLLungen chen endtich additiven

zu? Es stettt sich dabei heraus,

Wahrscheintichkeitstheorie angenommen wurde,

behandelt:

Zu weL-

(e.a.) W.-Ma~en auf R gibt es Zufallsfolgen?

Wetchen Mengen kommt eine WahrscheinLichkeit H~ufigkeit

zu Uber-

jeder me~baren Menge eine Wahr-

im Sinne der relativen H~ufigkeit

definieren Zufattsfolgen rek. NutLmenge

Schwierigkeit

-

im Sinne der retativen da B die Grundtegung

auf dem ZufaLtsbegriff

nicht,

wie fr~her

zu einem Konftikt mit den Kotmogoroff'schen

ft~art. Vielmehr ft~qrt der Begriff der Zufattsfotge

der

Axiomen

zwangst~ufig

den Kolmogoroff'schen

Axiomen in einer konstruktiven Form.

die Kolmogoroff'schen

Axlome aus dem H~ufigkeitsmodetl

zu

Man kann

heraus begr~n-

den. Die Ergebnisse

von Paragraph

24 sichern bereits,

atten endLich addltiven W.-Ma~en ZufaLLsfolgen (-n,n)

= Ix ~ R

(24.8),

gibt. Es bezeichne

I -n < x < n ] und es sei z.B. ~(-n,n)

n E N. Dann darf kein Glied elner Zufatlsfotge (-n,n)

dab es nlcht zu

= 0 fur atte

z zum W.-Ma~ ~ in

liegen (vergteiche hierzu den zweiten Tell des Beweises S. 181

zu ~ geben.

zu

). Da dies fur atle n gilt, kann es keine Zufattsfotge

Ahnliche ~berLegungen

~, zu denen es Zufallsfolgen

glbt,

fGhren dazu, da B alte e . a . W . - M a 6 e im wesenttichen

bereits

~-addidiv

sind. Wir zeigen welter,

dab allen konstruktiv me~baren Men~en eine Wahr-

scheintichkeit

im Sinne der relativen H~ufigkeit

der Standpunkt

yon TORNIER Uberwunden,

zukommt.

Damit wird

da B nur die Jordan-Peano

me~-

-

193

-

baren M e n g e n eine sotche Wahrscheinlichkeit h~tten. Die konstr, me~baren M e n g e n bilden eine im konstr.

Sinne abgeschw~chte a-Algebra.

Somit kann man den konstruktiven Telt der klassischen Ma~-Wahrscheintichkeitstheorie einbetten.

in die H~ufigkeitstheorie der Wahrscheinlichkeit

Es ist unsere Oberzeugung,

da~ dabei yon der Ma~-Wahrschein-

Lichkeitstheorie nichts Wesentliches verLoren geht.

Es kommt uns vor attem darauf an, die Vorgehensweise bei der BegrGndung der Kolmogoroff'schen Axiome durch den ZufaILsbegriff herauszuarbeiten. Wit verzichten daher auf tangatmige Beweise.

Zur Struktur

der konstr, me~baren Mengen vergLeiche man die analogen S~tze der intuitionistischen Ma~theorie nach L.E.J. BROUWER.

Siehe hierzu z.B.

HEYTING [18]. DiegLeichen Beweismethoden kSnnen hier im Prinzip benutzt werden.

I c 2R

sei die Mengenalgebra,

welche yon den Intervallen mit rati-

onalen E n d p u n k t e n erzeugt wird. Die Menge I kann man effektiv und ohne WiederhoLung aufz~hten. Daher kann man in eindeutiger Weise erkl~ren, was rekursive Funktionen h: N - I, h: I ~ I, h: I ~ N usw. sind. Auf eine exptizite Definition dieser Funktionen verzichten wir.

Lemma

(26.1

Die Zuordnun~en A - A c

.

9

(A,B) ~ A U B, (A,B) ~ A N B definieren

rekursive Funktionen l: I - I t 0 : 1 2

- I, o: 12 ~ I.

Ein endlich additives W.-Ma~ W auf I sei eine endlich additive, nicht negative Mengenfunktion ~: I ~ R mit ~(R) = ]. Wir verzichten im fotgenden bewu~t auf die a-Additivit~t.

Grundtegend ist fur das

weitere der Begriff der konstruktiv ~-me~baren Menge. Es bezeichne A

A

B

=

A

U

B

-

A D B.

-

Definition

194

(26.2)

A c R heist konstruktiv F-me,bar, f: N 2 - I u n d

A A g(n) c

(2)

~

~ f(n,j) j=h(n,O)

m ~-~ f(n,j) j=h(n,k)

Programm

wenn es rekursive Funktionen

g: N ~ I,

h: N 2 - I gibt, so dab

(I)

Das Tripel

-

(n ( N ) ,

< 2 -n-k

(k,n,m ( N ) .

(g,f,h) von rekursiven Funktionen bezeichnen wir a~s ein

zu der konstr. ~-meSbaren Menge A.

£~ die

Es sei

KLasse der konstr.

~-meSbaren Mengen.

Ohne weiteree

erkennt man das Korotlar

(26.3)

£~ ist eine Mengenatgebra.

Sofern ~ o-additiv ist, kann man das Ma~ ~ in eindeutiger auf £

fortsetzen,

beLiebiges

Weise

n&mLich dutch ~(A)

Pregramm

= Lim ~g(n), wobei (g,f,h) n zu A ist. 9~ ist eine MengenaLgebra, die im

ein

aLLgemeinen yon ~ abh~ngt. KoroLLar

(26.4)

Gibt es zu ~I' ~2 ein rekursives h: N - N so da B ~I(A) < 2 -h(n) dann gilt

nun die ALgebra I u n d

FoLgenraum R ~. I c 2R

welches

(A ( I, n £ N),

definiere~ die ProduktaLgebra

sei das System yon TeiLmengen yon R ~,

aus den ZyLindermengen m

~.~ j=1 besteht,

~2(A) < 2 -n

9~1 ~ £~2.

Wir ~bertragen im

~

h.h.

n.

~ i=1

A~

R

~

(A

es gilt: ~ = [[A]

I

A endLiche

kann man effektiv und ohne WiederhoLung in eindeutiger Weise erkL~ren, h: I - N usw.

(I

nj,m ( N )

J

aufz~hlen.

was rekursive

sind. Zu einem e . a . W . - M a ~

TeiLmenge von I*}. Damit kann man

Funktionen h: N ~ I,

~: I ~ R kann man in nat~r-

T

-

richer Weise

ein e.a. Produktma~

195

-

~: I - R definieren.

Wir t r e f f e n nun Vorbereitungen, Nutlmenge

~ = R

zu erkt~ren.

I. Wit d e f i n i e r e n

W.-Ma~e

~ sei die Ktasse

der v.u.,

totat rek.

alter e . a . W . - M a ~ e

auf

y: ~ ~ R durch

y(A) Die D e f i n i t i o n

den Begriff

= sup [

if(A)

I ~ ( ~ }

von y h~ngt nicht davon ab, ob man ~ber atle e.a.

in ~ quantifiziert

D e n n ~(A) h~ngt

oder nur ~ber atle ~-additive

W.-Ma~e.

nur yon den W e r t e n von ~ auf einer endtichen

Teit-

atgebra y o n I a b . Korottar

(26.5)

Die F u n k t i o n Beweis ~(A)

y: T ~ R ist berechenbar. mit A ( i h~ngt nur yon endLich vietem

mit A i ( I. Dabei A i paarweise

Variabten,

kann man das System der A i so bestimmen,

disJunkt

Auf diese Weise

Werten ~(Ai)

ab

da B die

sind und da~ k e i n A ic unter den A i vorkommt.

erh~Lt man ein ganzzahtiges

Potynom QA in m e h r e r e n

so da~ r

v(A) Daraus

= max [QA(~(AI),..,~(Ar)) ersieht man leicht,

Definition

I

E ~(Ai)~1 i=I

^ ~(Ai)~O

dab Y eine berechenbare

(i~r)

Funktion

}

ist.

(26.6)

Eine Menge • = R ~ heist

eine v.u.,

total rekursive

Nutlmenge,

wenn

es rek. F u n k t i o n e n f: N 2 - ~, h: N 2 ~ N gibt so dab m (1) y ~ f(n,j) < 2 -n-k (k,n,m ( N ) j=h(n,k)

n(N

j=h(n,O)

Bei n~herem H i n s e h e n

erkennt man,

da~ diese D e f i n i t i o n

der frttheren

-

196

-

f~r bin~re Folgen entspricht. Aquivalent zu (I) in (26.6) ist, da B f~r alte a-additiven W.-MaBe ~ f ~ fo%gendes gilt: ~ f(n,j) j=h(n,k)

• 2 -n-k

(k,n E N),

Demgegen~ber macht die Formutierung (I) in (26.6) v o n d e r

a-Additivi-

t~t keinen Gebrauch.

Definition (26.7) R c R ~ sei die Menge der Folgen, welche in keiner v.u., total rek. Nutlmenge liegen. R ist die Menge der reetlen Zufallsfolgen. Ebenso wie im Fatle bin~rer Fotgen zeigt man, dab die Forge -1 n

n Z XA(Z i) i=I

fur alle A f I, z E R mit n konvergiert. Es gilt also

der Satz (26.8) Zu z 6 R wird dutch n

(*)

~(A) = t i m n -I

z ×A(Zi)

(A ~ I)

i=1 ein e . a . W . - M a ~ Die Menge R

W: I - R

definiert.

der Zufattsfotgen zu einem festen e . a . W . - M a B ~: I - R

sei die Menge der Folgen z ( R, wetche die Relation (*) in (26.8) erfGt%en. Es erhebt sich die Frame, wann R

nicht leer ist. Wenn ~

~-additiv ist, fotgt fur die Fortsetzung von ~ auf die Klasse der Borelmengen in R ~ die Beziehung ~(~

) = I. In diesem Fall ist R

somit nicht leer. Wir wollen nun zeigen, da B man jedes Ma B ~ E mit R

~ ~ eindeutig auf die Ktasse ~

fortsetzen kann.

Mit ~[hnlichen Argumenten, wie sie im zweiten Tel% des Beweises zu (24.8) S.181 benutzt wurden, beweist man das entscheidende

Lemma (26.9) Sei (g,f,h) ein Programm zu A ~ ~ ,

f(n, j)

sei U n = j=h(n,0)

c

~ U n. Dann gilt: nEN

una

-

(I)

~

(21

n

II

iZ_IXuj(Zl) ~ 2-J

( N, z ( R ),

folgt der (26.10)

Sei z ( ~

und (~,f,h) -I

sei ein Programm

zu A E @~. Dann gilt:

n Z XA(Z i) = tim . ~g(j) i=I J

(I)

lim n n

(2)

Es gibt ein n E N so da~

Beweis:

(j

(i ( N, z ( R ).

"i ~ ~

Hauptsatz

-

n

-I

Aus (26.9)

197

XA(Z i) = Xg(i)(z i)

@

(I) Setze U n =

(i>n).

f(n,j). Dann gilt nach (26.9)(I):

j=h(n,O) n i~lXUj(Zi ) g 2-J.

%-f~n -I n

Hieraus

"t"i~ I

fotgt:

n- I

n Wegen

tim n n

n E Xgtj).zi . "( " ~ = ~g(j) i=1

-I

Lim ~g(j) und Lim n n

i=1 g(J)(

(nach (26.8)), -I

die Grenzwerte

n E X

n -I XA(Z i) - n i=1

z i) I ( 2-J

(jgN)

folgt nun, da B

n Z XA(Z i) existieren i=1

und gleich

sind. (2)

FUr • c

/ ~ Uj J(N

Dies impLiziert, (i>n).

gilt nach (26.9)(2):

zi ~ •

(i (N)

U

dab es ein n ( N gibt,

(Denn o.B.d.A,

Aus (26.10)

~

und z ( R

so daB:

kSnnen wir annehmen,

zi ( A

~ zi (g(i)

dab Uj+ I c Uj (j ( N ) . )

ersieht man, da B man Im FaILe ~

~ ~ ~ wie folgt auf

f o r t s e t z e n kann. Zu einem b e L i e b t g e n Programm ( g , f , h )

zu A ( ~

setzt man: u(A)

= Lim ~g(n). n

Denn fur zwei Programme stets

tim ~g(n) n

Eine Fotge Funktionen

(g,f,h),

(g,~,h)

zu A gi%t wegen (26.10)(I)

= Lira ~g(n). n

(A n (

~1

n (N)

heiBt rekursiv,

wenn es rekursive

g: N 2 - I, f: N 3 ~ I, h: N 3 ~ N gibt,

so da B fur jedes

-

n E N

198

-

(gn,fn,hn) ein Programm zu A n 6 9~ ist. Eine PoLge (A n I n ~ N)

hei~t aufsteigend,

falls A n c An+ I (n ( N ) .

setzung yon ~ auf 9

Die oben definlerte Fort-

erfGtlt die KoLmogoroff'schen Axiome in der

fotgenden konstruktiven Form:

Batz (26.11) Sei e

+ ~ und (A n E 9WI n 6 N) sei eine rekursive, aufsteigende

F oLgeT so da~ U(An) mit n konstruktiv konvergiert. Dann gilt: (I)

~J A n hEN

(2)

~

9 U'

tim u(A n) = U ~ J A n n n~N

Den Beweis yon (26.11) kann man ebenso wle den Beweis des entsprechenden Satzes in der intuitionlstischen Ma~theorie ft~hren, slehe z.B. KEYTING [18].

Der Satz (26.10) zelgt, da~ fur eine konstruktlv meObare Menge A -I 9~ und jede FoLge z g 2~ die relative Grenzh~uflgkeit tim n n

n E XA(Z i) i=I

existiert und da~ diese Grenzh~ufigkelt gleich ~(A) Ist.

Damit diese Grenzh~ufigkeit eine konkrete Bedeutung erh~tt, i s t e s au~erdem notwendig, ein Verfahren anzugeben, um sie zu bestlmmen. Von Anh~ngern der H~uflgkeitsdefinition der WahrscheinLichkeit wurde vieLfach daraufhingewlesen,

da B der Menge Q der rationaLen ZahLen keine

Wahrscheinliohkeit zukomme, well man zu einer reeLLen Zah% z, die man nut beLiebig genau messen kann, nle weir, ob sle rational ist. Um diese Ansicht zu ~berwinden, betrachten wlr den hier reLevanten PALL, da~ es eine rekursive Funktion h: N " N gibt so dab la - bl < 2 -h(n)

~

~(a,b)

< 2 -n

(a~b,

a,bE

~).

Wir sagen ~ Ist berechenbar, absoLut stetig. Aus (26.9)(2) foLgt dann, da B kelne Komponente z i einer ZufattsfoLge z ~ ~

rational ist. Damit wei~ man bereits, da~ die Menge Q der

-

199

-

rationaten Zahten die relative Grenzh~uflgkeit 0 hat. Ein Verfahren zur Bestimmung der re%ativen H~ufigkelt yon Q ist somit ~berf%~ssig.

Altgemein folgt aus (26.10): lim n -1 nZ ~A(Zi) = tim n -1 n ~IXg(i )(zi ) n i=I n i FUr aILe z ~ ~

und jedes Programm (g,f,h) zu A ~ 9~. g(i) Ist eine

endliche Vereinigung von Intervat%en. Nimmt man an, dab u berechenbar, absotut stetig ist, dann kann man -I lim n n

n E X z i) i=1 g(i)(

beliebig genau bestimmen. Denn die relative Grenzh~uflgkeit einer be%iebig k%einen Umgebung des Randes yon g(i) bzg%. einer ZufaLLsfoLge z ~ R Bestimmen,

wird dann ebenfaLls beliebig klein. Wesenttich beim der re%atlven Grenzh~ufigkeit einer konstruktiv meBbaren

Menge ist, da B man die Aussage des Satzes (26.10) benutzen kann.

I Der B e g r i f f

Anhang Gber rekurs~ve

Funktionen

der p a r t ! e l L r e k u r s i v e n F u n k t i o n f: N ~ N w l r d z.B.

in E10,17,19]

erkL~rt.

dab die M e n g e

der p a r t i e L L r e k u r s i v e n F u n k t i o n e n

hinreichend

FGr u n s e r e

gro~e K L a s s e

ist es w i c h t i g

zu wissen,

f: X ~ Y fGr eine

y o n R ~ u m e n X,Y in e i n d e u t i g e r

w e r d e n kann. Dies ist z.B. weiteres

Zwecke

Weise

erkL~rt

f~r die f o L g e n d e Klasse 2 y o n R ~ u m e n ohne

mSgLich.

Definition 2 sei die k l e i n s t e

K L a s s e y o n R ~ u m e n mit

(I),(2):

(I)

2 e n t h ~ L t N,Q und alte e n d L i c h e n Mengen.

(2)

X , Y E 2 ~ X × Y E 2, X* E 2, X U Y E 2.

Im f o L g e n d e n s e i e n X,Y E 2. Definition f: X ~ Y h e i s t Satz

rekursiv,

es gibt

= X.

A u s s a g e n ~quivalent:

eine p a r t i e t L

A = f(N) (2)

r e k u r s i v ist mit D(f)

I

Zu A c X sind f o L g e n d e (I)

wenn f partieLL

(f(N)

rekursive

F u n k t i o n f: N ~ X mit

ist W e r t e b e r e i c h

es gibt eine p a r t i e L L r e k u r s i v e

y o n f).

Funktion

f: X ~ N mit

A = D(f). (3)

es gibt eine r e k u r s i v e

F u n k t i o n f: N - X U {]} mit

A = f(N) 0 X. Dabei b e z e i c h n e

[ ein Element,

welches

nicht

in

X Liegt. Definition A c X heist rekursiv sind.

aufz~htbar,

w e n n (1) - (3) in Satz

I erfGLLt

-

201

-

Satz 2 Zu A ~ X sind fotgende

A u s s a g e n ~quivatent:

(I)

A und A c sind r e k u r s i v aufz~hlbar.

(2)

XA: X - ~0,1}

ist rekursiv.

Definition A c X h e i s t rekursiv, (HERMES

sagt,

w e n n (1) und (2) in $atz 2 erfGllt

sind.

A sei entscheidbar.)

Aufz~htungssatz Es gibt eine p a r t i e t t

rekursive

Funktion

~fili E N} genau die Menge der partieLt

f: N x X - Y, so dab rekursiven Funktionen

~: X - Y ist. Definition Eine F o L g e

z g X ~ h e i s t rekursiv,

F u n k t i o n f: N - X definiert

w e n n dutch f(n) = z n e i n e

rekursive

wirdo

Definition Eine F u n k t i o n f: X ~ R heist berechenbar, F u n k t i o n g: N × X - q gibt, n EN).

so dab

w e n n es eine r e k u r s i v e

If(x) - g(n,x)l < 2 -n

(x ~ X,

II

Bezeichnungen

und AbkGrzungen

N

Menge der nicht negativen,

Q

Menge der rationaten

Q+

Menge der nicht negativen,

ganzen Zahten

ZahLen rationalen ZahLen

R

Menge der reetLen Zahten

R+

Menge der nicht negativen,

Z(2)

Menge der endtichen,

X*

Menge der endLichen Folgen Gber X einschLie~lich

A

leere Forge

X~

Menge der abz~hLbar unendLichen Fol~en Gber X

reelten Zahten

nicht negativen Duatzahlen A

L~nge von x E X*

s(x)

Anzaht der Einsen in x E [0,1}*

Ac

Komptement

[AJ

Zytindermenge

XA

charakteristische

2x

Potenzmenge

11A11

Kardinatzaht

AcB

A ist Teitmenge yon B

xEB

x ist ELement yon B

D(F)

Definitionsbereich

In

Logarithmus

zur Basis

e

2Log

Logarithmus

zur Basis

2

V

zu A AX ~ zu A c X* Funktion zu A

zu X zu A (A=B eingeschlossen)

zu

fGr alte x (Generalisierung)

X

es existiert x (Existenzquantor) X

8k i

Kroneckersymbol

(a,b)

[ x Ia<x~b}

~(~,U) Menge der Kottektive •y

Nultmenge

22

zu • und

zum rekursiven Sequentiattest

Y

32

-

Rh

~V Zn

203

-

Menge der hyperzuf~tligen ?otgen

34

NuLLmenge zum Martingat V

4.2

I

n

An R

Klassen d e r K l e e n e - H i e r a r c h i e

56

Menge der zuf~tLigen Fotgen

64,182,196

ktim

71

ktim

71

n

Nuttmenge der Ordnung h zum Martingal V

72

A(H)

Differenz zu H: X* ~ R

93

KA

ProgrammkompLexit~t

107

KA,~

effektive Programmkomplexit~t

115

Menge der Fotgen, welche aLLe exponentieLLen Zufatlsgesetze erf~tten

130

Ro

SchrittzahLfunktion

152

R1

Speicherbedarfsfunktion

152

Raum- bzw. Zeitkomptexit~tskLasse rekursiver Funktionen

153

~V,h

e

154 (T]~

Raum- bzw. Zeitkomp~exit&tsk~asse yon Pseudozufa;;sfo~gen k

~±m g(n) = r n

konstruktlve Konvergenz

159 180

Menge der Zufallsfolgen zum Wahrscheinlichkeltsma#

174.,182,196

Ktasse der konstruktiv ~-me~baren Mengen

194

verteiLungsunabh~ngig W.-Ma~ Wahrscheinlichkeitsma# p.r.

partieLl rekursiv

Anhang

rek.

rekursiv

Anhang

r.a.

rekursiv aufz~hLbar

Anhang

r.o.

rekursiv offen

32

-

b.s.

berechenbar

sb.s.

subberechenbar

TM

Turingmaschine

..., x k E X k

mit

Zu M c X I x X 2 x

MXl

,...~x k

47 151

x I E X I,

die F u n k t i o n

48

stetig

partie%%en

,...~x k

-

stetig

Zu e i n e r

Fxl

204

Funktion

F: X I × X 2 x

... x X n ~ X

sei

= F(Xl,...,Xk,*,*...,*

den n-k

... x X n

letzten

)

Argumenten

v o n F.

und x I E X l , . . . , x k 6 X k

= [ ( X k + I, .... X n ) l ( x I ,

, .... x n)

sei

6 M}.

und

III

Stichwortverzeichnis Seite

admissible

21

number

AuswahLregel

13

berechenbar

40,

-

48

stetig

subberechenbar

40

sub

47

-

stetig

BernouiLLifoLge

21

Einsatzbedingung

40

Einsatzfunktion

38

bereinigte

Einsatzfunktion

nachwirkungsfreie

21

-

21

-

quasirekursive

14.3

-

f-voraussagbare Gesetz

101,102 21

Bernouittifot~e

normaLe

141

-

vom iterierten

Logarithmus

27

hyperzuf~tLig

34

KLeene

55

Hierarchie

14

Kottektiv konstruktlv

63,

~-me6bar

194

Martinga~

39,173

- Eigenschaft

39

Super

92

-

universe~ee

-

162

201

- 206

Seite

Ma~ Lebesgue

-

Wahrscheinlichkeits e.a.

-

-

Wahrscheinlichkeits

-

ma~beschr~nkt

49

ma~invariant

25

ma~verkleinernd

23

-beschr~nkt

174

(U],~2) -±nvariant

174

(~I,U2)

Men~e me,bare

-

rekursive total

5 - v o m Map

rekursive

68

1

- v o m Ma B I

69

Mischung

16

monoton

46 126

Niveaufunktion

Nu~Imenge rekursive total

-

32

rekursive

universe~le,

63,173

-

rekursive

vertei~ungsunabh~ngige,

-

34 rekursive

-

176

(inf)-optimal

98

(sup)-optimal

98

0rdnungsfunktion

70

prefix-frei

36

Produktraum

6

Programmkomplexit~t

107

effektive

115

Programmkomp~exit~t

-

2 0 7

-

Seite Anhang

rekursiv partie~

-

Anhang

- aufz~h~bar

Anhang

- offen

32

-

abgesch~ossen

68

Sequentia~test rekursiver

-

32

tota~ rekursiver universe~er

-

rekursiver

63,173 -

34

verteilungsunabh~ngiger,

rekursiver

vertei~ungsunabh~ngiger,

tota~ rekursiver

Simulieren

-

176 -

178 153

stetig Stetigkeitsmodu~ abso~ut stetiges W.-Ma~ berechenbar

stetige Funktion

subberechenbar

stetige Funktion

48,169,194 193 48 47

subberechenbar

4O

Supermartinga~

92

Tei~ung

18

(O)-Test

52

(1)-Test

55

Turingmaschine

151

Verbindung

17

VermSgensfunktion

39

Wahrschein~ichkeitsraum

5

Wahrscheinlichkeitsma~

5

e.a. Wahrschein~ichkeitsma~

193

- 208 -

Zufattsfolge hyperzuf~ttig

Seite 64,174,182 196 34

(O)-zuf~ttig

52

(1)-zuf~ttig

55

Zytindermenge

7

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