Высшая математика. Часть 1: Учебное пособие для студентов специальностей 012500 - ''География'', 013400 - ''Природопользование'', 013600 - ''Геоэкология''

М И Н И СТ Е РСТ В О О БРА ЗО В А Н И Я РО ССИ Й СК О Й Ф Е Д Е РА Ц И И В О РО Н Е Ж СК И Й ГО СУ Д А РСТ В Е Н Н Ы Й У Н И В Е РСИ Т Е Т

В Ы США Я М А Т Е М А Т И К А ЧА СТ Ь I У чебноеп особиедля студентов сп ециальностей «геог р аф ия» 012500, «п р ир одоп ольз ование» 013400, «геоэколог ия» 013600.

В ор онеж 2004

2 У твер ж дено научно-м етодическим советом ф акультета геогр аф иии г еоэкологииВ ор онеж скогог осудар ственного универ ситета. П р отокол № 2 от 12 декабр я 2003 г.

Составители: У ксусов С.Н ., Ф етисов Ю .М . П р огр ам м аф акультета геогр аф ииигеоэкологии В ГУ «учебник студенту»

У чебное п особие «В ы сш ая м атем атика (часть I)» п одготовлено на каф едр е п р ир одоп ользование ф ак ультета геогр аф ии и геоэколог ии В ор онеж ского государ ственног оунивер ситета.

Реком ендовано У чены м советом ф акультетагеогр аф ииигеоэкологи.

3

О ГЛ А В Л Е Н И Е В В Е Д Е Н И Е … … … … … … … … ..… … … … … … … … … … .… … … … ..4 ГЛ А В А 1 Э лем енты линейной алгебр ы ..… … .… … … .… .… ...5 §1.1. О п р еделительм атр ицы .… … … … … … … … … … … … … … .....… … … … 5 §1.2. М етод К р ам ер ар еш ения систем линейны х ур авнений… … … … … … ..8 §1.3. Д ействия над м атр ицам и… … … … … … … … … … … … … … … … … .… ..9 §1.4. О бр атная м атр ица. Реш ениесистем линейны х ур авнений м атр ичны м сп особом … … … … … … … … … … … … … … … … … … … ...16 §1.5. Реш ениесистем линейны х ур авнений м етодом Гаусса… … … … … ...20

ГЛ А В А 2 Э лем енты вектор ной алг ебр ы ....… … … .....… .… .....15 §2.1. Д екар товап р ям оугольная систем акоор динат нап лоскостиив п р остр анстве… … … … … … … … … ...… .… … … … … 15 §2.2. Д ействия над вектор ам ииих свойства… ..… … .… … ..… … … … … … .17

ГЛ А В А 3 А налитическая геом етр ия нап лоскости… … .… ...28 §3.1. П р остейш иезадачианалитической геом етр ии… … ...… ..… … … … … 28 §3.2. П р ям ая линия нап лоскости… … … … … … … … … … .… … ...… … … … .31 §3.3. К р ивы елиниивтор ого п ор ядка… … … … … … … .… … … … … ..… … ...35

ГЛ А В А 4 П р едел ф ункции. Н еп р ер ы вность… … … .… … ..… 50 §4.1. П р еделчисловой п оследовательностииф ункции. Т еор ем ы о п р еделах.… … … … … ....… … … … … … … … … … … … .… ...52 §4.2. П р еделчастного двух ф ункций. ∞ 0 Раскр ы тиенеоп р еделенностейвида   и   … … … … ..… .… ...52 ∞ 0 §4.3. П ер вы й зам ечательны й п р едел иследствия из него… … … … … ....… .55 §4.4. В тор ой зам ечательны й п р еделиего следствия… … … … … .… … … ...57 §4.5. Н еп р ер ы вностьф ункции… … ..… … .… … … .… … … … .… … … … … … 60

ГЛ А В А 5 П р оизводная ф ункции. Д иф ф ер енциал… … … ..… 61 §5.1. П р оизводная ф ункции. Е егеом етр ический см ы сл… ..… … … … … … 64 §5.2. Т аблицап р оизводны х… … … … … … … … … .… … … … … … … … … … 66 §5.3. Д иф ф ер енциалф ункции, егог еом етр ический см ы сл ип р им енениев п р иближ енны х вы числениях.… … … … … … … … .… .67 §5.4. О сновны еп р авиладиф ф ер енцир ования… … ..… … ...… … … … … … ...70 §5.5. Т абличноедиф ф ер енцир ование. П р оизводная обр атнойф ункции… 69 §5.6. П р оизводная неявной ф ункциииф унк ции, заданной п ар ам етр ически. Л огар иф м ическоедиф ф ер енцир ование… … … … … 70 §5.7. П р оизводны евы сш их п ор ядков… … … … … … … … … … … … … … .… .71

Л И Т Е РА Т У РА … … … … … … … … … … … … … … … … … … … .… … 73

4

В В Е Д Е НИ Е Д анное учебне п особие п р едназ начено для студентов 1-го кур са ф акультета геогр аф ии и геоэколог ии. В ы сш ая м атем атика изучается на ф акультете в течение двух сем естр ов. В п ер вую часть п особия вклю чены те р азделы кур са вы сш ей м атем атики, котор ы е входят в п р огр ам м у п ер вог о сем естр а. П р едлагаем ое п особие состоит из п ятиг лав. В п ер вой г лаве содер ж атся основны е сведения п о линейной алгебр е. Д ается оп р еделение оп р еделителя и п р остейш ие сп особы вы числения оп р еделителей 2-го, 3-го и n-го п ор ядка. И зучаю тся м атр ицы идействия над ним и, вклю чая нахож дение обр атной м атр ицы . А так ж е, п р иводятся тр иосновны х м етода р еш ения систем линейны х ур авнений (м етод К р ам ер а, м етод Гаусса и м етод, основанны й на исп ользовании м атр ицы , обр атной к основной м атр ице систем ы ). В о втор ой главеиз учаю тся основны е воп р осы вектор ной алг ебр ы на п лоскости и в п р остр анстве. Рассм отр ены п р остейш ие оп ер ации над вектор ам и– ум нож ение вектор а на число, скаляр ное вектор ное исм еш анное п р оизведение иих свойства. П р иведены ф ор м улы вы числения уг лов м еж ду вектор ам и, п лощ адей п ар аллелогр ам м ов итр еуг ольников инахож дения объем ов п ар аллелеп ип едов итр еугольны х п ир ам ид. В тр етьей г лаве п особия р еш аю тся п р остейш ие задачи аналитической г еом етр иина п лоскости– нахож дение р асстояния м еж ду двум я точкам и, деление отр езка в данном отнош ении и нахож дение п лощ ади тр еугольника. П одр обно из учаю тся р азличны е ур авнения п р ям ой линии на п лоскости. В ы ведены канонические ур авнения кр ивы х втор ог о п ор ядка в декар товой систем екоор динат. Четвер тая глава п освящ ена изучению теор иип р еделов числовы х п оследовательностей и ф ункций. Д оказаны основны е теор ем ы о п р еделах, п р иведены стандар тны е м етоды р аскр ы тия р азличны х видов неоп р еделенностей, вклю чая м етоды , основанны ена исп ользованиип ер вого ивтор ог о з ам ечательног о п р едела иих следствий. Д ано оп р еделение неп р ер ы вности ф ункции. П р иведены п р им ер ы ф ункций, им ею щ их точкир азр ы ва п ер вог о р ода тип а «скачок» и «устр аним ая особенность» иточкир азр ы ва втор ог о р ода. В п ятой г лаве даны оп р еделения п р оизводной и диф ф ер енциала ф ункциииих геом етр ический см ы сл. Рассказано о п р им енениидиф ф ер енциала ф ункциив п р иближ енны х вы числениях. В ы ведены табличны е п р оизводны е и п р авила диф ф ер енцир ования. П р иведены основны е п р ием ы диф ф ер енцир ования р аз личны х ф ункций, вклю чая обр атную , неявную ф ункцию иф ункцию , з аданную п ар ам етр ически. Д ано п онятие п р оизводны х вы сш их п ор ядков. В целях наиболеекр аткого излож ения м атер иалав п р едлагаем ом п особиип р иведены следую щ иеобоз начения: Сим волом 2 обозначаю тся оп р еделения р азличны х м атем атических п онятий иливеличин.

5 Сим волом g обоз начаю тся теор ем ы , п р иводим ы е в п особиис доказательством . П р иэтом сим волом 4 обоз начается начало доказательства, асим волом 3 – окончаниедоказ ательстватеор ем . Сим волом 1 обозначаю тся теор ем ы , п р иводим ы е в п особии без доказательства. К р ом е того, в п р едлагаем ом п особииисп ользую тся стандар тны е м атем атическиесокр ащ ения (квантор ы ): квантор ом ⇒ обоз начается словосочетание«отсю даследует, что»; квантор ом ⇔ обоз начается словосочетание«тогдаитолькотогда, когда»; квантор ом ∀ обозначается словосочетание«для лю бог о» («для лю бой»); квантор ом ∃ обозначается слово «сущ ествует»;

Глава1. Э лем енты линейнойалгебр ы § 1.1. О пред ел ител ь м а три цы  a11 a12 ... a1n     a21 a 22 ... a2 n  . 2 М атр ицей назы вается числовая таблица  ... ... ... ...    a   m1 am 2 ... amn  Числа aij наз ы ваю тся элем ентам им атр ицы . И ндексы i и j оз начаю т, соответственно, ном ер стр оки и ном ер столбца, в котор ы х р асп олож ен элем ент aij Число стр ок, ум нож енное на число столбцов, наз ы вается п о2 5 0 1   р ядком м атр ицы . Н ап р им ер , м атр ица  4 3 7 8  является м атр ицей  5 6 1 4   п ор ядка 3×4. Е сли число стр ок м атр ицы совп адает с числом столбцов (m = n), то такая м атр ица назы вается квадр атной (р азм ер ности n). В дальнейш ем м ы будем обоз начить м атр ицы з аглавны м и буквам и латинского алф авита(A, B, C, D,… ). Э лем енты квадр атной м атр ицы , идущ ие из левого вер хнего угла м атр ицы , в п р авы й ниж ний угол, назы ваю тся г лавной диагональю м атр ицы . Э лем енты квадр атной м атр ицы , идущ ие из левого ниж него угла м атр ицы , в п р авы й вер хний угол, наз ы ваю тся всп ом огательной диагональю м атр ицы . Д ля квадр атны х м атр иц вводится п онятиеоп р еделителя. 2 О п р еделителем м атр ицы втор ого п ор ядка назы вается число, вы числяем оеп о ф ор м уле a11 a12 = a11 ⋅ a 22 − a 21 ⋅ a12 . (1.1) a 21 a22

6 Т о есть, оп р еделитель м атр ицы втор ого п ор ядка р авен п р оиз ведению элем ентов г лавной диаг онали м атр ицы м инус п р оиз ведение элем ентов всп ом ог ательной диагонали. О п р еделитель м атр ицы А обоз начается вер тикальны м ип р ям ы м и A илисим волом detA. П р им ер 1.1. В ы числитьоп р еделитель

1 −3

. 5 2 Реш ение. В соответствиесф ор м улой (1.1) п олучим : 1 −3 5

= 1 ⋅ 2 − 5 ⋅ (− 3) = 2 + 15 = 17.

2

2 О п р еделителем м атр ицы тр етьег о п ор ядка назы вается число, вы числяем оеп о ф ор м уле a11 a12 a13 a 21

a22

a23 = a11 ⋅ a22 ⋅ a33 + a12 ⋅ a 23 ⋅ a31 + a 21 ⋅ a32 ⋅ a13 −

a31

a32

a33

(1.2)

− a31 ⋅ a 22 ⋅ a13 − a21 ⋅ a12 ⋅ a33 − a32 ⋅ a 23 ⋅ a11. О дним из м етодов, п озволяю щ их зап ом нить гр ом оздкую ф ор м улу (1.2) является м етод тр еугольников. П ер вы е тр и слагаем ы х, стоящ их в п р авой частиф ор м улы (1.2), являю тся п р оизведениям иэлем ентов г лавной диагоналим атр ицы итр еугольников, одна из стор он котор ы х п ар аллельна г лавa11 a12 a13 ной диагонали a 21 a22 a23 . П оследниетр ислагаем ы ебер утся сп р отиa31 a32 a33 воп олож ны м знаком иявляю тся п р оизведениям иэлем ентов всп ом огательной диаг онали м атр ицы и тр еугольников, одна из стор он котор ы х п ар алa11 a12 a13 лельнавсп ом огательной диагонали a 21 a22 a23 . a31 a32 a33 П р им ер 1.2. В ы числить оп р еделитель тр етьего 5 −1 2

п ор ядка:

∆= 2

3 −4 . 1 2 3 Реш ение. В ы числим оп р еделительп о ф ор м уле (1.2). П олучим : 5 −1 2 ∆= 2 1

3 − 4 = 5 ⋅ 3 ⋅ 3 + (− 1) ⋅ (− 4 ) ⋅ 1 + 2 ⋅ 2 ⋅ 2 − 2

3

− 1 ⋅ 3 ⋅ 2 − 2 ⋅ (− 1) ⋅ 3 − 2 ⋅ (− 4) ⋅ 5 = 45 + 4 + 8 − 6 + 6 + 40 = 97. Стр огое оп р еделение оп р еделителя n-го п ор ядка м ы п р иводить не будем , т.к. в нем исп ользуется п онятиечисла инвер сий в п ер естановке, ко-

7 тор оенам в дальнейш ем не п онадобится. Т ем не м енее, вы числятьоп р еделители 4-го, 5-го,… п ор ядкам ы будем , исп ользуя м етод р аз лож ения оп р еделителя п о стр океилистолбцу. 2 А лгебр аическим доп олнением Aij к элем енту aij квадр атной м атр ицы А назы вается число, р авноеоп р еделителю м атр ицы A' (n – 1)-г о п ор ядка, п олученной из м атр ицы А п утем вы чер кивания i-ой стр оки и j-г о столбца ивз ятом у со з наком п лю с, еслисум м а i+j является четны м числом , исо знаком м инус, еслиэто число нечетное. Т аким обр азом , алг ебр аическоедоп олнением ож нонайтип оф ор м уле: i+ j ' Aij = (−1) ⋅det A . 1 М етод р аз лож ения оп р еделителя п о стр оке илистолбцу. О п р еделитель лю бого п ор ядка р авен сум м е п р оизведений элем ентов какой либо стр окиилистолбцана их алгебр аическиедоп олнения. В ы бир ая, нап р им ер , i-ю стр оку или j-й столбец м ы п олучим соответственно две ф ор м улы для вы числения оп р еделителя n-го п ор ядка: A = ai1 ⋅ Ai1 + ai 2 ⋅ Ai 2 + ... + ain ⋅ Ain (1.3) A = a1 j ⋅ A1 j + a 2 j ⋅ A2 j + ... + anj ⋅ Anj

(1.4) 1 2 3 4

П р им ер 1.3. В ы числить оп р еделитель ∆ =

1 1 1 1 1 2 3 5

, р аскла-

1 2 1 1 ды вая его п о п ер вой стр оке. Реш ение. В осп ольз уем ся ф ор м улой (1.3), вы бр ав для р азлож ения оп р еделителя п ер вую стр оку (i = 1): ∆ = a11 ⋅ A11 + a12 ⋅ A12 + a13 ⋅ A13 + a14 ⋅ A14 . Т аким обр азом , 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ∆ = 1 ⋅ (− 1)1+1 ⋅ 2 3 5 + 2 ⋅ (− 1)1+ 2 ⋅ 1 3 5 + 3 ⋅ (− 1)1+ 3 ⋅ 1 2 5 + 2 1 1 4 ⋅ (− 1)

1+ 4

1 1 1

1 1 1 1 1 1

1 1 1

1 2 1 1 1 1

1 1 1

⋅ 1 2 3 = 2 3 5 − 2⋅ 1 3 5 +3⋅ 1 2 5 − 4⋅ 1 2 3 .

1 2 1 2 1 1 1 1 1 1 2 1 1 2 1 В ы числяя каж ды й из оп р еделителей тр етьего п ор ядка п о п р авилу тр еугольников, п олучим : ∆ = (3 + 2 + 10 – 6– 5 – 2) – 2⋅(3 + 5 + 1 – 3 – 1 – 5) + 3⋅(2 + 2 + 5 – 2 – 10 – 1) – – 4⋅(2 + 2 + 3 – 2 – 6 – 1) = 2 – 12 + 8 = – 2. П ер ечислим без доказательства некотор ы е основны е свойства оп р еделителя:

8 С вой с т во 1. П р и тр ансп онир овании величина оп р еделителя не м еняется. Т р ансп онир ованием наз ы вается такое п р еобр азование м атр ицы , п р и котор ом стр оки м еняю тся м естам и с соответствую щ им и столбцам и (п ер вая стр ока становится п ер вы м столбцом втор ая стр ока – втор ы м столбцом , и т.д.). Д р уг им исловам итр ансп онир ование – это п овор от м атр ицы вокр уг ееглавнойдиагонали. Т аким обр азом : a11

a12

...

a1n

a11

a 21

...

a21

a22

a22

...

...

... a2 n a12 = ... ... ...

... an 2 . ... ...

a n1

an2

... ann

a 2n

a1n

...

an1

... a nn

И з п ер вого свойства следует, что всеостальны есвойства, сф ор м улир ованны едля стр ок оп р еделителя,– сп р аведливы такж еидля ег остолбцов. С вой с т во2. П остоянны й м нож итель из лю бой стр оким ож но вы носитьзазнак оп р еделителя: a11

a12

...

a1n

a11

a12

...

a1n

...

...

...

...

...

...

...

...

λai1

λai 2 ...

ai 2 ...

...

...

... λain = λ ⋅ ai1 ... ... ...

ain . ...

an1

an 2

...

a n2

... ann

a nn

a n1

...

С вой с т во3. Е слиоп р еделительсодер ж итдвеодинаковы естр оки, то онр авен нулю . С вой с т во 4. П р и п ер естановке двух стр ок м естам и оп р еделитель м еняетз нак нап р отивоп олож ны й. С вой с т во 5. Е сли оп р еделитель содер ж ит несколько линейно– з ависим ы х стр ок, то оп р еделитель р авен нулю . Стр оки Ai = (ai1 , ai 2 ,..., ain , ) , Ar = (ar1 , ar 2 ,..., arn , ) ,… , Ak = ak1 , ak 2 ,..., akn , оп р еделителя назы ваю тся линейно з ависим ы м и, еслисущ ествую т такие чисλi , λr ,..., λk , не р авны е нулю одновр ем енно, и такие, что ла

(

)

λi ⋅ Ai + λ r ⋅ Ar + ... + λ k ⋅ Ak = 0 . В ы р аж ение вида λi ⋅ Ai + λr ⋅ Ar + ... + λk ⋅ Ak назы вается линейной ком бинацией стр ок Ai , Ar ,..., Ak .

С вой с т во 6. Е сли к п р оизвольной стр оке оп р еделителя п р ибавить линейную ком бинацию др уг их его стр ок, то величина оп р еделителя не изм енится.

9 1 2 3 4 5 2 5 7 9 11 П р им ер 1.4. В ы числитьоп р еделитель ∆ = − 1 0 0 3 2 . −3 1 1 5 6 −5 2 2 8 8 Реш ение. И сп ольз уя свойства оп р еделителя, п р иведем м атр ицу оп р еделителя к тр еуг ольном у виду. В ы п олним п ер вую сер ию п р еобр аз ований: 1) п ер вую стр оку оставим без изм енений; 2) из втор ой стр окивы чтем удвоенную п ер вую стр оку, зап исав р езультатво втор ой стр оке; 3) к тр етьей стр оке п р ибавим п ер вую стр оку; 4) вы чтем из четвер той стр окитр етью стр оку, ум нож енную на 3; 5) из п ятой стр окивы чтем тр етью стр оку, ум нож енную на5. Т ог дап олучим : 1 2 3

4

5

0 1 1

1

1

∆= 0 2 3

7

7 .

0 1

1 −1

0

0 2 2 −7 −2 П р оизведем следую щ ую сер ию п р еобр азований: 1) п ер вую ивтор ую стр оку оставим без изм енений; 2) из тр етьей стр оки вы чтем удвоенную втор ую стр оку; 3) из четвер той стр окивы чтем втор ую стр оку; 5) из п ятой стр окивы чтем четвер тую стр оку, ум нож енную на 2. П олучим 1 2 3

4

5

0 1 1

1

1

∆= 0 0 1

5

5 .

0 0 0 − 2 −1 0 0 0 −5 −2 П ом еняв четвер ты й и п яты й столбец м естам и и внеся, п осле этог о з нак ( – ) в четвер тую стр оку, п олучим 1 2

3

5

4

0 1 1

1

1

1

5

5 .

0 0 0

1

2

∆= 0 0

0 0 0 −2 −5 Н аконец, п р ибавив к п ятой стр оке четвер тую стр оку, ум нож енную на 2 изатем , р асклады вая оп р еделительп о п ер вом у столбцу, п олучим :

10 1 2 3

5

4

0 1 1

1

1

∆= 0 0 1

5

5 =1⋅

0 0 0

1

2

0 0 0

0 −1

1 1

1

1

0 1

5

5

0 0

1

2

0 0

0 −1

1

5

= 1⋅1⋅ 0

1

0

5

2 = 1 ⋅ 1 ⋅ 1 ⋅ 1 ⋅ (− 1) = −1.

0 −1

§ 1.2. М етод К ра м ера реш ения с ис тем л инейны х ура внений П усть систем а линейны х ур авнений содер ж ит столько ур авнений, каково количество нез ависим ы х п ер ем енны х, т.е. им еетвид  a11 ⋅ x1 + a12 ⋅ x2 + ... + a1n ⋅ x n = b1  ....................................................   a ⋅ x + a ⋅ x + ... + a ⋅ x = b  i1 1 i2 2 in n i .  ....................................................  an1 ⋅ x1 + an 2 ⋅ x 2 + ... + ann ⋅ x n = bn

(1.5)

Т акие систем ы линейны х ур авнений наз ы ваю тся квадр атны м и. О п р еделитель, составленны й из коэф ф ициентов п р и нез ависим ы х п ер ем енны х систем ы (1.5), назы вается главны м оп р еделителем систем ы . М ы будем обозначатьего гр еческой буквой ∆. Т аким обр аз ом ,

∆=

a11

a12

...

a1n

a21

a 22

...

...

... a2 n . ... ...

an1

an 2

(1.6)

... ann

Е слив главном оп р еделителеп р оизвольны й (j-ы й) столбец, зам енить столбцом свободны х членов систем ы (1.5), то м ож но п олучить ещ е n всп ом огательны х оп р еделителей: a11 ∆ j = ∆x j =

b1

a1 j +1

a21

... a1 j −1 ... a 2 j −1

b2

...

...

...

a 2 j +1 ... a2 n (j = 1, 2, … , n). ... ... ...

...

...

a1n (1.7)

an1 ... anj −1 bn a nj +1 ... a nn П р авило К р ам ер а р еш ения квадр атны х систем линейны х ур авнений з аклю чается в следую щ ем . Е сли г лавны й оп р еделитель ∆ систем ы (1.5) отличен от нуля, то систем а им еет ип р итом единственное р еш ение, котор оем ож но найтип о ф ор м улам : ∆x ∆x ∆x x1 = 1 , x 2 = 2 ,..., xn = n . (1.8) ∆ ∆ ∆

11 П р им ер 1.5. М етодом К р ам ер а р еш итьсистем у ур авнений  x + 2 y + 3 z = 14,   2 x + 5 y + 4 z = 24,  x + y + z = 6.  Реш ение. В ы числим главны йоп р еделительсистем ы : 1 2 3 ∆ = 2 5 4 = 1 ⋅ 5 ⋅ 1 + 2 ⋅ 1 ⋅ 3 + 2 ⋅ 4 ⋅ 1 − 1 ⋅ 5 ⋅ 3 − 1 ⋅ 4 ⋅ 1 − 2 ⋅ 2 ⋅ 1 = −4 . 1 1 1 Т ак как ∆≠0, то систем а им еет единственное р еш ение, котор ое м ож но найтип о ф ор м улам (1.8): 14

2 3

1 14

∆x = 24 5 4 = −4, ∆y = 2 6

1 1

Т аким обр аз ом , x =

y=

1 2 14

24 4 = −8, ∆z = 2 5 24 = −12 .

1

−4 = 1, −4

3

6

1 1

1

−8 = 2, −4

z=

6

− 12 = 3. −4

§ 1.3. Дейс твия на д м а трица м и 1. У м н ож ен ие м ат рицы н а ч ис л о. О п ер ация ум нож ения м атр ицы на число оп р еделяется следую щ им обр азом . Д ля тог о чтобы ум нож ить м атр ицу начисло, нуж но всеееэлем енты ум нож итьнаэточисло. Т оесть  a11   a 21 λ ⋅ ...  a  m1

a12 a22 ... a m2

a1n   λa11   ... a2 n   λa21 = ... ...   ...   ... a mn   λa m1 ...

П р им ер 1.6.

 −1   0 4 ⋅ 2  − 3

λa12 λa22 ... λa m 2

λa1n   ... λa 2n  . ... ...   ... λamn  ...

(1.9)

5   − 4 20     4   0 16  = . 3   8 12     1   − 12 4 

2. С л ож ен ие м ат риц. Д анная оп ер ация вводится только для м атр иц одного итого ж е п ор ядка. Д ля того, чтобы слож ить две м атр ицы , необходим о к элем ентам одной м атр ицы п р ибавить соответствую щ ие элем енты др угой м атр ицы :

12  a11 a12 ... a1n   b11 b12 ... b1n       a21 a22 ... a2 n   b21 b22 ... b2 n  + =  ... ... ... ...  ... ... ...   ...     a  b  a a b b ... ... m2 mn   m1 m 2 mn   m1 (1.10) a12 + b12 ... a1n + b1n   a11 + b11   a22 + b22 ... a2 n + b2 n   a21 + b21 = . ... ... ... ...   a b a b a b + + ... + m1 m2 m2 mn mn   m1 О п ер ация слож ения м атр иц обладает свойствам иассоциативностии ком м утативности. П р им ер 1.7.

3  −1 5 0 6 2   +  − 3 4 8  4 1 − 5

 5 7 3  =   . 1 8 3   

3. У м н ож ен ие м ат риц. Е сличисло столбцов м атр ицы А совп адает с числом стр ок м атр ицы В, то для таких м атр иц вводится оп ер ация п р оизведения:  a11 a12 ... a1n   b11     a21 a22 ... a2 n   b21 ⋅  ... ... ... ...   ...    a   a ... a m2 mn   bn1  m1  a11 ⋅ b11 + ... + a1n ⋅ bn1 ...   a 21 ⋅ b11 + ... + a 2n ⋅ bn1 ... = ................................. ...   a m1 ⋅ b11 + ... + amn ⋅ bn1 ... 

b1k   b22 ... b1k  . ... ... ...   bn 2 ... bnk  a11 ⋅ b1k + ... + a1n ⋅ bnk   a21 ⋅ b1k + ... + a 2n ⋅ bnk  . ...................................   a m1 ⋅ b1k + ... + amn ⋅ bnk  b12

...

Т аким обр азом , п р иум нож ениим атр ицы А р азм ер ности m×n нам атр ицу В р аз м ер ности n×k м ы п олучаем м атр ицу С р азм ер ности m×k. П р и этом элем енты м атр ицы С вы числяю тся п о следую щ им ф ор м улам : cij = ai1 ⋅ b1 j + ai 2 ⋅ b2 j + ... + ain ⋅ bnj .

(1.11)

П р им ер 1.8. Н айтип р оиз ведением атр иц AB и BA: 5 3  1  6 0     A = − 2 0 4 , B =  − 4 4 .  3 −1 6   1 3     Реш ение. 1) Д ля того чтобы найтип р оиз ведение AB, необходим о стр оким атр ицы A ум нож итьнастолбцы м атр ицы B:

13 5 3  6  1    A⋅ B = − 2 0 4  ⋅− 4  3 −1 6   1     1 ⋅ 6 + 5 ⋅ (− 4 ) + 3 ⋅ 1  =  − 2 ⋅ 6 + 0 ⋅ (− 4 ) + 4 ⋅ 1  3 ⋅ 6 + (− 1) ⋅ (− 4) + 6 ⋅ 1 

0  4 = 3  1 ⋅ 0 + 5 ⋅ 4 + 3 ⋅ 3   − 11 29     − 2 ⋅ 0 + 0 ⋅ 4 + 4 ⋅ 3  =  − 8 12 . 3 ⋅ 0 + (− 1) ⋅ 4 + 6 ⋅ 3   28 14 

2) П р оизведение BA не сущ ествует, т. к. количество столбцов м атр ицы B несовп адаетсколичеством стр ок м атр ицы A.

§ 1.4. О бра тна я м а триц а . Реш ениес ис тем л инейны х ура внений м а три чны м с пос обом -1

1. М атр ица A наз ы вается обр атной к квадр атной м атр ице А , если вы п олнено р авенство: A−1 ⋅ A = A ⋅ A −1 = I , (1.12) г де чер ез I обозначается единичная м атр ица тог о ж е п ор ядка, что им атр ица А :  1 0 ... 0     0 1 ... 0  I = . ... ... ... ...     0 0 ... 1  Д ля того чтобы квадр атная м атр ица им ела обр атную необходим о и достаточно, чтобы ее оп р еделитель бы л отличен от нуля. О бр атную м атр ицу находятп оф ор м уле:  A11 A21 ... An1    A A A ...  1 12 22 n2  ⋅ , (1.13) A −1 = ... ... ...  det A  ...   A1n A2 n ... A   nn  г де Aij – алгебр аическиедоп олнения к элем ентам aij м атр ицы А (з ам етим , что алг ебр аические доп олнения к стр окам м атр ицы А р асп олагаю тся в обр атной м атр ицев видесоответствую щ их столбцов). П р им ер 1.9. Н айтиобр атную м атр ицу A-1 к м атр ице 1 2  A= 2 3 3 5  Реш ение. для случая n = 3

3  4 . 8  О бр атную м атр ицу найдем п о ф ор м уле (1.13), котор ая им еетвид:

14  A11 A21 A31    1 ⋅  A12 A22 A32  . A −1 = det A    A13 A23 A33  Н айдем det A = | A | = 1⋅3⋅8 + 2⋅5⋅3 +2⋅4⋅3 – 3⋅3⋅3 – 1⋅5⋅4 – 2⋅2⋅8 = = 24 + 30 + 24 – 27 – 20– 32 = – 1. Т ак как оп р еделительисходной м атр ицы отличен отнуля, то обр атная м атр ицасущ ествует. 1) Н айдем алгебр аическиедоп олнения Aij : A11 = (− 1)

1+1

A12 = (− 1)

1+2

3 4 5 8 2 4

3 8 3 1+3 2

A13 = (− 1)

= 4,

A21 = (− 1)

= −4,

A22 = (− 1)

= 1,

2 +1

2 +2

A23 = (− 1)

2 3 5 8 1 3

3 8 2 2+3 1

= −1,

A31 = (− 1)

= −1,

A32 = (− 1)

= 1,

A33 = (− 1)

3+1

2 3

3 4 3 3+ 2 1

3+3

2 4 1 2

= −1, = 2,

= −1 . 2 3 3 5 3 5 Д ля удобства нахож дения обр атной м атр ицы , алгебр аические доп олнения к стр окам исходной м атр ицы м ы р асп олож или в соответствую щ ие столбцы . И з п олученны х алгебр аических доп олнений составим новую м атр ицу ир азделим ее на оп р еделитель det A. Т аким обр азом , м ы п олучим обр атную м атр ицу: 1   4 −1 −1  − 4 1     −1 1 − 2 . A = (− 1) ⋅  − 4 − 1 2  =  4  1 1 − 1   − 1 − 1 1   2. К вадр атны е систем ы линейны х ур авнений с отличны м от нуля г лавны м оп р еделителем м ож но р еш атьсп ом ощ ью обр атной м атр ицы . Д ля этого систем у (1.5) з ап исы ваю тв м атр ичном виде:

A⋅ x = b ,

(1.14)

 b1   x1   a11 a12 ... a1n        x a a a ...  2  b2   21 22 2n  г де A =  , x , b = =  ... .  ...  ... ... ... ...        a  x  b  a a ... n2 nn   n1  n  n -1 У м нож ая обе части р авенства (1.14) слева на A , м ы п олучим р еш ение систем ы : A−1 ⋅ A ⋅ x = A−1 ⋅ b , откуда

x = A −1 ⋅ b .

(1.15)

Т аким обр азом , для того чтобы найтир еш ение квадр атной систем ы , нуж но найтиобр атную м атр ицу к основной м атр ице систем ы иум нож ить еесп р аванам атр ицу-столбец свободны х членов.

15 П р им ер 1.10. Реш итьсистем у линейны х ур авнений 5 x − y + 2 z = −2  2 x + 3 y − 4 z = 19  x + 2 y + 3z = 1  сп ом ощ ью обр атной м атр ицы . Реш ение. Зап иш ем систем у в м атр ичном виде: A ⋅ x = b , 2   5 −1 x     г де A =  2 3 − 4  – основная м атр ицасистем ы , x =  y  – столбец не 1 

2



  z  

3  − 2  

известны х и b =  19   1 

  – столбец свободны х членов. Т ак как г лавны й оп р е  

5 −1

− 4 = 97 ≠ 0 , то основная м атр ицасистем ы 1 2 3 -1 А им еетобр атную м атр ицу А . Д ля нахож дения обр атной м атр ицы А -1, вы числим алгебр аическиедоп олнения ко всем элем ентам м атр ицы А : 3 −4 −1 − 4 −1 2 A11 = = 17, A21 = − = 7, A31 = = −2, 2 3 2 3 3 −4 2 −4 5 2 5 2 A12 = − A32 = − = −10, A22 = = 13, = 24, 1 3 1 3 2 −4 2 3 5 −1 5 −1 A13 = A23 = − A33 = = 1, = −11, = 17. 1 2 1 2 2 3

делительсистем ы

∆= 2

2

3

И з п олученны х чисел составим м атр ицу (п р ичем алгебр аическиедоп олнения к стр окам м атр ицы А зап иш ем в соответствую щ иестолбцы ) ир азделим еенаоп р еделитель ∆. Т аким обр азом , м ы наш лиобр атную м атр ицу:  17  1 A −1 = ⋅  − 10 97   1

7 13 − 11

−2   24 . 17 

Реш ениесистем ы находим п оф ор м уле (1.15):  x  17   1  ⋅  − 10  y = 97 z  1   

7 13 − 11

Т аким обр азом , x = 1,

− 2  − 2   − 34 + 133 − 2   97    1   1  24  ⋅  19  = ⋅  20 + 247 + 24  = ⋅  291 97 97  − 2 − 209 + 17   − 194 17   1     y = 3,

z = −2 .

  1   = 3  − 2  

  .  

16

§ 1.5. Реш ениес ис тем л инейны х ура внени й м етод ом Га ус с а П усть дана п р оизвольная (не обязательно квадр атная) систем а линейны х ур авнений:  a11 ⋅ x1 + a12 ⋅ x 2 + ... + a1n ⋅ x n = b1 ,  ....................................................   a ⋅ x + a ⋅ x + ... + a ⋅ x = b , (1.16)  i1 1 i2 2 in n i  ....................................................  a m1 ⋅ x1 + a m2 ⋅ x2 + ... + a mn ⋅ xn = bm . Н айтир еш ения систем ы илидоказ ать отсутствие р еш ений (р асходим ость) систем ы п оз воляетм етод Гаусса. Сутьданного м етодазаклю чается в том , что сп ом ощ ью так наз ы ваем ы х эквивалентны х п р еобр азований систем а п р еобр азуется к тр еугольном у (тр ап ециидальном у) виду. П р и этом элем енты основной м атр ицы систем ы , стоящ ие ниж е главной диагонали становятся р авны м и нулю . Затем из п оследнего ур авнения находят одну неизвестную п ер ем енную (ту, котор ая стоит на г лавной диагонали). П одставляя найденное значение неизвестной в п р еды дущ ее ур авнение, находятзначениевтор ой неизвестной п ер ем енной, ит.д. Н азовем эквивалентны м и п р еобр аз ованиям и такие п р еобр азования систем ы , п р икотор ы х систем а (1.16) не тер яет им ею щ ихся у неер еш ений и не п р иобр етает новы х р еш ений. О тм етим некотор ы е из эквивалентны х п р еобр азований: (a) ур авнения в систем е(1.16) м ож но м енятьм естам и; (b) лю боеиз ур авнений м ож но ум нож итьна лю бое отличноеот нуля число; (c) к лю бом у из ур авнений систем ы м ож но п р ибавить лю бое др угое ур авнение, ум нож енноеналю боечисло; (d) к лю бом у из ур авнений систем ы м ож но п р ибавить лю бую линейную ком бинацию др уг их ур авнений систем ы . П р им ер 1.11. Реш итьсистем у линейны х ур авнений м етодом Гаусса:  3 x − y + 2 z = 11,   2 x + 3 y − 2 z = −10, − 3 x + 2 y + 3 z = 2.  Реш ение. Т ак как п р иэквивалентны х п р еобр азованиях изм еняю тся только коэф ф ициенты систем ы и свободны е члены , то р еш ение м ож но оф ор м лятьв м атр ичном виде. Зап иш ем р асш ир енную м атр ицу систем ы :  3 − 1 2 11    2 3 − 2 − 10  . − 3 2 3 2  

17 К о втор ом у ур авнению , ум нож енном у на 3, п р ибавим п ер вое ур авнение, ум нож енное на – 2. К тр етьем у ур авнению п р ибавим п ер вое ур авнение. П олучим :  3 − 1 2 11     0 11 − 10 − 52 .  0 1 5 13    П ом еняем м естам и втор ое итр етье ур авнения, а з атем п р ибавим к тр етьем у ур авнению втор ое, ум нож енноена – 11:  3 − 1 2 11   0 1 5 13  0 11 − 10 − 52 

11   III +11⋅ II  3 − 1 2    ↔ 13 5 1 0   .   0 0 − 65 − 195      3 x − y + 2 z = 11,  y + 5 z = 13, М ы п олучили систем у:   − 65 z = −195.  − 195 = 3. И з п оследнег оур авнения находим z = − 65 П одставим z во втор оеур авнениеинайдем y = 13 – 15 = – 2. 11 − 2 − 6 3 П одставив y и z в п ер воеур авнение, найдем x = = =1. 3 3 П р им ер 1.12. Реш итьсистем у линейны х ур авнений м етодом Гаусса: 2 x − 3 y + 5z = −4,  4 x + y − 2 z = 6, 6 x − 2 y + 3z = 5.  Реш ение. Зап иш ем р асш ир енную м атр ицу систем ы :

(1.17)

 2 −3 5 −4    4 1 − 2 6  .  6 −2 3 5    К о втор ом у ур авнению п р ибавим п ер воеур авнение, ум нож енноена – 2. К тр етьем у ур авнению п р ибавим п ер воеур авнение, ум нож енноена – 3:  2 −3 5 − 4     0 7 − 12 14  .  0 7 − 12 17    И з тр етьего ур авнения вы чтем втор оеур авнение:  2 −3 5 − 4     0 7 − 12 14  . 0 0 0 3   

18 Т аким обр азом , м ы п р иш лик систем е, п оследнее ур авнение котор ой им еет вид: 0 = 3. Следовательно, исходная систем а несовм естна, т.е. не им еет р еш ений. Читателям п р едлагаем сам остоятельно п р овер ить, что г лавны й оп р еделительисходной систем ы (1.17) р авен нулю . Рассм отр им з адачу, отличаю щ ую ся от задачи (1.17) всего лиш ь одним свободны м членом . П р им ер 1.13. Реш итьсистем у линейны х ур авнений м етодом Гаусса: 2 x − 3 y + 5z = −4,  4 x + y − 2 z = 6, 6 x − 2 y + 3z = 2. 

(1.18)

Реш ение. Н а п ер вом этап е п р оделаем п р еобр азования аналогичны е п р еобр азования п р еды дущ ейз адачи:  2 − 3 5 − 4  II − 2 I    4 1 −2 6  ↔  6 − 2 3 5  III − 3I  

 2 −3 5 −4   0 7 − 12 14  0 7 − 12 14 

 III − II   ↔  

 2 −3 5 − 4     0 7 − 12 14  . 0 0 0 0   

Т р етье ур авнение является тож деством , следовательно, его м ож но исклю чить из систем ы . Т аким обр азом , м ы п р иходим к систем едвух ур авнений стр ем я неизвестны м и: 2 x − 3 y + 5z = −4,  7 y − 12 z = 14.  О дну из п ер ем енны х (нап р им ер , z) п ер енесем в п р авую часть систем ы , ибудем считатьп ар ам етр ом . Т огдаиз втор ог оур авнения находим 14 + 12 z 12 y= = 2+ z. 7 7 П одставим y во втор оеур авнениеинайдем x:

2x − 6 −

36 36 35 1 z + 5 z = −4, 2 x = −4 + 6 + z − z = 2 + z, 7 7 7 7

x =1 +

1 z. 14

Т аким обр азом , систем а (1.18) им еет бесчисленное м нож ество р еш ений, п р ичем лю боер еш ением ож но найтип о ф ор м улам (1.19), вы бир ая п р оизвольноезначениеп ар ам етр а t: 1   x = 1 + 14 t ,  12   y = 2 + t, 7  z = t.  

(1.19)

19 Т ак р еш ениям и систем ы , нап р им ер , являю тся следую щ ие набор ы п ер ем енны х (1; 2; 0), (2; 26; 14) и т. д. Ф ор м улы , п озволяю щ ие найти лю бое р еш ение систем ы , им ею щ ей бесчисленноем нож ество р еш ений, назы ваю тся общ им р еш ением систем ы . Ф ор м улы (1.19) являю тся общ им р еш ением систем ы (1.18). П р им ер 1.14. Н айтиобщ еер еш ениесистем ы линейны х ур авнений:  2 x + 2 y + z + u + 5v = 6,  4 x + 3 y + 3z − u + 8v = 15,  2 x + y + z + u + 2v = 7.  Реш ение. О бщ ее р еш ение систем ы найдем м етодом Гаусса, для чег о з ап иш ем систем у в м атр ичном виде: 2 2 1 1 5 6   2 2 1 1 5 6  ΙΙ⋅( −1)  2 2 1 1 5 6    ΙΙ− 2⋅Ι     Ι −2⋅ΙΙ ↔ 0 −1 1 − 3 − 2 3 ↔  0 1 −1 3 2 − 3 ↔  4 3 3 − 1 8 15  ΙΙΙ −Ι ΙΙΙ+ ΙΙ ΙΙΙ⋅( −1) 2 1 1 1 2 7  0 −1 0 0 − 3 1  0 0 −1 3 −1 − 2       3 − 5 1 12  2 0  2 0 0 4 − 2 6  Ι: 2  1 0 0 2 − 1 3    Ι − 3⋅ΙΙΙ     ↔  0 1 − 1 3 2 − 3  ↔  0 1 0 0 3 − 1 ↔  0 1 0 0 3 − 1.  0 0 1 − 3 1 2  ΙΙ + ΙΙΙ  0 0 1 − 3 1 2   0 0 1 − 3 1 2        Здесьсим волом

II − 2 ⋅ I

↔

III − I

обозначается такоеэквивалентное п р еобр азование

систем ы , п р икотор ом : 1) из втор ой стр окивы читается п ер вая стр ока, ум нож енная надва, ир езультат зап исы вается во втор ую стр оку; 2) из тр етьей стр оки вы читается п ер вая стр ока, и р езультат з ап исы вается в тр етью стр оку. Сим волом

II ⋅ (−1)

↔

III + II

обозначается п р еобр азование, котор ое з аклю ча-

ется в следую щ ем : 1) втор ая стр ока ум нож ается на м инус единицу, ир ез ультатз ап исы вается во втор ую стр оку; 2) к тр етьей стр оке п р ибавляется новая втор ая стр ока, ир ез ультатз ап исы вается в тр етью стр оку. О стальны е сим волы р асш иф р овы ваю тся аналогично. И так, м ы п олучилиследую щ ую систем у:

 x + 2u − v = 3,   y + 3v = −1, или  z − 3u + v = 2, 

 x = 3 − 2u + v,   y = −1 − 3v,  z = 2 + 3u − v . 

П р идавая п ер ем енны м u и v, п р оизвольны едействительны ез начения u = a , v = b, м ы п олучим бесчисленноем нож ествор еш ений.

20  x = 3 − 2a + b,  y = −1 − 3b,  И так,  z = 2 + 3a − b, – общ еер еш ениесистем ы . u = a,  v = b, П р им ер 1.15. М етодом Гауссар еш итьсистем у линейны х ур авнений  x1 + 2 x 2 − 3x3 + 4 x4 = 4, 2 x − x + 3x − 4 x = 0,  1 2 3 4  3 x1 + x 2 − x3 + 2 x 4 = 5, 4 x1 + 3 x2 + 4 x3 + 2 x 4 = 13. Реш ение. В осп ольз уем ся, как и р аньш е м атр ичной ф ор м ой зап иси систем ы : 1 2 − 3  3 2 −1 3 1 −1  4 3 4  1  III − II  0 ↔  IV − II 0  0 

4 1 2 − 3 4 4    0  II − 2 ⋅ I  0 − 5 9 − 12 − 8  III − II ↔ ↔ 5  III − 3⋅ I  0 − 5 8 − 10 − 7  IV − II   IV − 4 ⋅ I   0 − 5 16 − 14 − 3  13   

4 −4 2 2

2 −3

4

5 − 9 12 0 −1 0

2

7 −2

1 4   8  IV + 7 ⋅ III 0 ↔  1 0   0 5  

2 −3 4

4   5 − 9 12 8  . 0 −1 2 1   0 0 12 12 

Т аким обр аз ом , м ы п р иш лик систем еур авнений  x1 + 2 x 2 − 3x3 + 4 x 4 = 4,  5 x2 − 9 x3 + 12 x 4 = 8,   − x3 + 2 x 4 = 1,   12 x 4 = 12. И з п оследнего ур авнения находим x 4 = 1. П одставляя x 4 в тр етье ур авнение, найдем x3 = 2x4 – 1 = 2 – 1 = 1. И з втор ого ур авнения 8 + 9 x3 − 12 x 4 8 + 9 − 12 x2 = = = 1. Н аконец, из п ер вог о ур авнения находим 5 5 x1 = 4 − 2 x2 + 3 x3 − 4 x4 = 4 − 2 + 3 − 4 = 1. И так п олучено р еш ение x1 = 1, x 2 = 1, x3 = 1, x 4 = 1.

21

Глава2. Э лем енты вектор ной алгебр ы § 2.1. Дек а ртова прям оугол ь н а я с ис тем а к оорд и на т на пл ос к ос ти и в прос тра нс тве 1. Декарт ова прям оугол ьн ая с ис т ем а координ ат н а п л оскос т и 2 П р едп олож им , что нап р оизвольной п р ям ой линиивы бр ано одно из двух нап р авлений. В ы бр анноенап р авление наз ы ваю тп олож ительны м и отм ечаю т в виде стр елки. П р ям ую линию , с вы бр анны м на ней п олож ительны м , нап р авлением наз ы ваю т осью . П усть на осиотм ечена ф иксир ованная точка О (начало коор динат) и вы бр ан единичны й отр езок (м асш таб), с п ом ощ ью котор ого из м ер яю т р асстояния м еж ду точкам ина п р ям ой. О сь, с вы бр анны м на ней началом коор динат иединичны м отр езком , назы ваю тчисловойосью . П устьначисловой осиим ею тся дветочки М 1 и М 2 (см . р ис. 2.1). В еличиной нап р авленного отр ез ка M 1M 2 (соM1

M2 1 0

кр ащ енно обозначается вел . M 1M 2 ), назы вается его длина, взятая со знаком п лю с, если нап р авление от точки М 1 к точке М 2 совп адаетснап р авлением оси и со з наком м инус,– в п р отивном случае.

Рис. 2.1. 2 Д екар товой п р ям оугольной систем ой коор динат на п лоскостиназ ы ваю тся две взаим но п ер п ендикуляр ны е числовы е оси, им ею щ ие общ ее начало коор динатиодинаковы й м асш таб. О бы чно одну из осей из обр аж аю т гор из онтально и назы ваю т осью абсцисс (ось Ox), а др угую – вер тикально иназы ваю тосью ор динат (ось Oy). Т очкап ер есечения осей коор динат (точка О) назы вается начаy лом коор динат. П усть на п лоскостивы бр ана сист е м акоор динат, ип усть М – п р оизM Q вольная точка п лоскости. О п устим п ер п ендикуляр ы из точки М наоси коор динат (сп р оектир уем точку на осикоор динат). М ы п олучим точки P и Q. В еличину нап р авленног о отр езка OP назы ваю т иксовой ко1 ор динатой илиабсциссой точки М , величину нап р авленного отр езка P X 0 1 OQ назы ваю т иг р ековой коор динатой или ор динатой точки М . Рис. 2.2.

22 О бы чно коор динаты точкизап исы ваю тв кр уг лы х скобках р ядом собозначением сам ой точки: М (x; y), где x = вел . OP , y = вел . OQ . П р едп олож им теп ер ь, что на п лоскости им еется вектор (нап р авленны й отр езок) AB (р ис. 2.3). Т очка А – начало вектор а, точка В – его конец. y К оор динатам и вектор а AB назы ваю тся п р оекции данног о вектор а на оси коор динат. П р оекция вектор а AB на ось À Q1 Ox р авна величине нап р авленног о отр езy1 ка P1 P2 оси Ox: вел . P1 P2 = x 2 − x1 . П р оекция вектор а AB на ось Oy р авна величине нап р авленног о отр езка Q1Q2 оси B Q2 y2

Oy: вел . Q1Q2 = y 2 − y1 . П р иэтом (x1; y 1) являю тся коор динатам и точки А , а P2 X 0 1 (x2; y 2) – коор динатам и точки В. Т аким обр азом , коор динаты вектор а AB Рис2.3. р авны р азности коор динат конца и начала вектор а. К оор динаты вектор а м ы будем зап исы вать в кр углы х скобках р ядом свектор ом , чер ез знак р авенства: AB = ( x2 − x1 ; y2 − y1 ) . В отличие от коор динат точкикоор диy наты вектор анеп озволяю тоднозначно оп р еделить его м естоп олож ение на п лоскости. Т ак на р ис. 2.4 п оказ аны двавектор а a и b , им ею щ ие однии 3 те ж е коор динаты (1; 2). Благодар я этом у обстоятельству, вектор ы в век2 тор ной алгебр е п р инято считать свободны м и. Э то оз начает, что вектор ы 1 м ож но п ер ем ещ ать в п лоскости, со-2 -1 0 1 X хр аняя п р иэтом их длину инап р авление. Рис. 2.4. x2

x1 P1

a

b

1

2 2. Декарт овой прям оугол ьн ой с ис т ем ой координ ат в прос т ран с т ве назы ваю тся тр ивзаим но п ер п ендикуляр ны ечисловы е оси, им ею щ ие общ ее начало коор динат и одинаковы й м асш таб. В п р остр анстве м ож но р ассм атр ивать две п р инцип иально р азличны е систем ы коор динат: левостор онню ю ип р авостор онню ю .

23 В п р авостор онней систем е коор динат кр атчайш ий п овор ототоси OX к оси OY виден из конца оси OZ п р отив часовой стр елки. Зап ом нить данное п р авила м ож но п р и п ом ощ ип р авой р уки(отсю даиназ вание). П р и M этом больш ом у п альцу соответствует ось G OZ, указ ательном у – ось OX, аср еднем у – y ось OY. В дальнейш ем м ы будем р ассм атр ивать только п р авостор онню ю систем у коор динат.

z R

1 k j i 0 1 P

Рис. 2.5. В п р остр анственной декар товой систем е коор динаткоор динаты точки и вектор а оп р еделяю тся аналог ично том у, как м ы оп р еделяли их на п лоскости. О тличие з аклю чается лиш ь в том , что точка и вектор в п р остр анствебудутим етьтр икоор динаты . В дальнейш ем нам п онадобятся единичны е вектор ы , р асп олож енны е i = (1; 0; 0 ) – единичны й вектор на оси Ox, на осях коор динат: j = (0; 1; 0 ) – единичны й вектор наоси Oy, k = (0; 0; 1) – единичны й вектор наоси Oz. П р им ер 2.1. В ы числить длину вектор а на п лоскости, зная его коор динаты . Реш ение. П усть вектор a им еет коор y динаты : a = (a1 , a2 ) . Д лину вектор а найдем п о теор ем е П иф агор а (р ис. 2.6). П ользуясь тем , что вектор a является A a2 свободны м , п ом естим начало вектор а в начало коор динат. Т ог да длина вектор а a совп адает с длиной гип отенуз ы тр еa угольника ОА В. Д лины катеты данного тр еуг ольника совп адаю т с абсолю т1 ны м и величинам и коор динат вектор а B a. a

0

1

1

x

Т аким обр аз ом ,

a = a12 + a22 .

Рис. 2.6. В п р остр анстве аналогичная з адача р еш ается с п ом ощ ью нахож дения длины диагонали п р ям оугольного п ар аллелеп ип еда (р еш ите ее сам остоятельно). Т аким обр азом , м ы им еем двеваж ны еф ор м улы : a = a12 + a22 , когда a = (a1 , a2 ) .

(2.1)

a = a12 + a 22 + a32 , когда a = (a1 , a2 , a3 ) .

(2.2)

24

§ 2.2. О пера ции на д век тора м и и их с войс тва 1. У м н ож ен ие вект ора н а ч ис л о. 2 Д ля того чтобы ум нож ить вектор a начисло λ необходим о: 1) Д лину вектор а a «увеличить» в | λ | р аз (ум еньш ить, если | λ | < 1). 2) Н ап р авление вектор а оставить п р еж ним (таким ж е, как у вектор а a ), если λ > 0, илиизм енить на п р отивоп олож ное, если λ < 0. Д анное оп р еделение р асп р остр аняется как на вектор а, р асп олож енны е на п лоскости, так ив п р остр анстве. И з р исунка 2.7 видно, что п р иум нож еy нии вектор а на число, ег о коор динаты ум нож аю тся наэто число. Д ействительно, величины 4 п р оекций вектор а 2 a на осикоор динат в два 3 р аза больш е величин п р оекций сам ого вектор а 2a 2 a . Следовательно, есливектор a им еет ко1 a a = (a1 , a2 , a3 ) , то вектор ор динаты 0

1 2

3

X

λ a = (λa1 , λa2 , λa3 ) .

Рис. 2.7. 2. С л ож ен ие вект оров. 2 Сум м ой двух вектор ов a и b назы ваю ттакой тр етий вектор c = a + b , вы ходящ ий из их общ ег о начала, ислуж ащ ий диагональю п ар аллелогр ам м а, стор онам и котор ого являю тся вектор ы a и b (п р авило п ар аллелогр ам м а) (р ис. 2.8). Е сли ж е два вектор а a и b п осле п р иведения их к общ ем у началу леж ат на одной п р ям ой, то их a+b b сум м а a + b п о оп р еделению наз ы вается вектор c , длинакотор ого р авна сум м е длин слагаем ы х вектоa р ов и нап р авление совп адает с нап р авлением этих вектор ов, еслип оa+b следние одинаково нап р авлены ; есb a лиж е слагаем ы е вектор ы нап р авлены в р аз ны е стор оны , то их сум м а есть вектор c , длина котор ого р авРис. 2.8. на р аз ности длин слагаем ы х вектор ов инап р авлениесовп адаетс нап р авлением вектор а, им ею щ его больш ую длину. В случае р авенства длин двух п р отивоп олож но нап р авленны х вектор ов их сум м а р авна вектор у, длина котор ого р авна нулю . Т акой вектор назы ваю тнулевы м вектор ом иобоз начаю т 0 . Е сливектор ы a = (a1 ; a2 ; a3 ) и b = (b1 ; b2 ; b3 ) заданы своим икоор динатам и, то коор динаты их сум м ы р авны сум м е соответствую щ их коор динатслаг аем ы х вектор ов: a + b = (a1 + b1; a2 + b2 ; a3 + b3 ) .

25 И з р ис. 2.8 видно, что OB = AC и, следовательно, OC = OA + AC . О тсю давы текаетещ еодно п р авило слож ения вектор ов (п р авило тр еугольника): еслиначало вектор а b совм еститьсконцом вектор а a , тосум м ой вектор ов a + b будет вектор , начало котор ог о совп адаетсначалом вектор а a , аконец,– сконцом вектор а b . g О п ер ация слож ения обладаетследую щ им исвойствам и: 1. a + b = b + a . 2. a + b + c = a + b + c . П ер вое свойство очевидно. В тор ое свойство докаж ем исп ользуя п р авило тр еугольникаслож ения вектор ов (р ис. 2.8). 4 Совм естим начало вектор а b с концом C вектор а a , аначало вектор а c сконцом вектор а b . Т огда вектор OC , начало котор ого c совп адает с началом вектор а a , а конец,– с концом вектор а c м ож но найтидвум я сп осоb B бам и. С одной стор оны a+ b OC = OB + BC = a + b + c , асдр угой стор оны a O A OC = OA + AC = a + b + c . 3 Рис. 2.9.

(

) (

)

b+

c

(

(

)

)

3. Вы ч ит ан ие вект оров. Д анная оп ер ация в сп ециальном оп р еделениине нуж дается, так как р азность a − b м ож но р ассм атр ивать как п оследовательное вы п олнение двух уж е из вестны х оп ер аций: ум нож ение вектор а b на – 1 ислож ение вектор ов. Т о есть a − b = a + (− 1) ⋅ b . g Е слисовм естить начала вектор ов a и b , то вектор c = a − b будет им еть начало в конце векa-b b тор а-вы читаем ог о ( b ), а конец,– в конце вектор аум еньш аем ого ( a ). 4 Д ля доказ ательства достаточно восп ользоваться тем , что вектор c = a − b , будучи слож енны м с a вектор ом b , даетвектор a (р ис. 2.10). 3 Рис. 2.10. Е сли вектор ы a и b им ею т коор динаты a = (a1 ; a2 ; a3 ) , b = (b1 ; b2 ; b3 ) , то коор динаты их р азностир авны р азностисоответствую -

щ их коор динатвы читаем ы х вектор ов: a − b = (a1 − b1 ; a 2 − b2 ; a3 − b3 ) .

26 4. С кал ярн ое произведен ие вект оров. 2 Скаляр ны м п р оизведением вектор а a на вектор b (обозначается a ⋅ b) (р ис. 2.11) наз ы вается число р авное п р оизb ведению длин вектор ов a и b на косинусуг лам еж ду ним и: a ⋅ b = a ⋅ b ⋅ cos ϕ . (2.3) a

Рис. 2.11. И з ш кольного кур са из вестно, что скаляр ное п р оизведение м ож но вы числить, зная коор динаты вектор ов a = (a1 ; a2 ; a3 ) и b = (b1 ; b2 ; b3 ) . А им енно: (2.4) a ⋅ b = a1b1 + a 2b2 + a3b3 . И з ф ор м ул (2.1) – (2.4) вы текает одна очень п олез ная ф ор м ула, п оз воляю щ ая находитьуг лы м еж ду вектор ам и, заданны м исвоим икоор динатам и: a1b1 + a 2b2 + a3b3 a⋅b cosϕ = = (2.5) a ⋅ b a12 + a22 + a32 ⋅ b12 + b22 + b32 1 Скаляр ноеп р оизведениеобладаетследую щ им исвойствам и: 1. a ⋅ b = b ⋅ a (скаляр ноеп р оизведениеком м утативно). 2. λ a ⋅ b = a ⋅ λ b = λ ⋅ a ⋅ b (п остоянны й м нож итель м ож но вы носитьзазнак скаляр ног о п р оизведения). 3. a + b ⋅ c = a ⋅ c + b ⋅ c . 4. a ⋅ b = 0 тогда итолько тогда, когда вектор ы a и b взаим но п ер п ендикуляр ны (нулевой вектор считается п ер п ендикуляр ны м лю бом у вектор у). В сеп ер ечисленны е вы ш есвойства вы текаю тиз оп р еделения скаляр ного п р оизведения ип р овер яю тся неп оср едственно. 5. Проекция вект ора н а ос ь. 2 П устьзадан вектор a = AB ип усть P и Q являю тся п р оекциям иточек А и В, соответственно, назаданную ось (с). П р оекцией вектор а AB наось (с) назы вается величинанап р авленного отр езка PQ :

( )

(

( )

( )

)

П р (с) AB = вел. PQ = | AB |⋅cosϕ = | a |⋅cosϕ, г де ϕ – угол, котор ы йобр азуетвектор AB сосью (с). Е слинаоси (с) взять п р оизвольны й вектор b , нап р авленны й в ту ж е стор ону, что иось (с), то угол ϕ м ож но найтикак угол м еж ду вектор ам и a и b п оф ор м уле (2.5). Т ог да a⋅b a⋅b П р (с) AB = П р b a = a ⋅ = . (2.6) a ⋅ b b

27 Ф ор м ула (2.6) п озволяетнайтип р оекцию вектор а a нанап р авлениевектор а b . 6. Вект орн ое произведен ие вект оров. 2 В ектор ны м п р оизведением вектор а a на aXb вектор b (обозначается a × b ) наз ы вается вектор c , длина котор ого численно р авна п лощ ади п ар аллелогр ам м а, п остр оенног о на b вектор ах a и b, п ер п ендикуляр ного обоим вектор ам a и b , инап р авленног о так, что a

из его конца кр атчайш ий п овор от от вектор а a к вектор у b виден п р отив часовой стр елки (вектор ы a , b и c обр азую тп р авую тр ойку) (р ис2.12). 1 О тм етим р яд свойств неп оср едственно вы текаю щ их из оп р еделения вектор ногоп р оизведения: 1. a × b = −b × a . 2. λ a × b = a × λ b = λ ⋅ a × b . 3. a + b × c = a × c + b × c . 4. a × b = 0 тог да итолько тогда, когда вектор ы a и b коллинеар ны (п ар аллельны ). Н улевой вектор считается коллинеар ны м лю бом у вектор у. В ектор ное п р оизведение чащ е всег о исD B п ользую т п р и нахож дении п лощ ади п ар аллелогр ам м а итр еугольника (р ис 2.13). Н еп оср едственно из оп р еделения следую т две ф ор м улы : S ABDC = AB × AC , (2.7) A C Рис. 2.12.

( ) ( )

( )

(

)

1 AB × AC . (2.8) 2 В качестве наиболее п р остого п р им ер а р ассм отр им всевоз м ож ны е вектор ны е п р оиз ведения единичны х вектор ов i, j, k , р асп олож енны х на осях коор динат Ox, Oy и Oz, соответственно: i × i = 0, j × j = 0, k × k = 0, i × j = − j × i = k , (2.9) j × k = − k × j = i , k × i = −i × k = j . В ы ведем ф ор м улу для нахож дения вектор ного п р оизведения двух п р оизвольны х вектор ов, з аданны х своим и коор динатам и. П усть даны два вектор а a = (a1 ; a2 ; a3 ) = a1 i + a 2 j + a3 k и b = (b1; b2 ; b3 ) = b1 i + b2 j + b3 k . П ользуясьсвойствам ивектор ног оп р оизведения, найдем a × b . a × b = a1b1 i × i + a1b2 i × j + a1b3 i × k + a2 b1 j × i + (2.10) + a2 b2 j × j + a2 b3 j × k + a3b1 k × i + a3b2 k × j + a3b3 k × k . Рис. 2.13.

S∆ABC =

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

(

(

)

)

(

)

28 П одставляя в (2.10) р авенства (2.9) и п р иводя п одобны е члены , п олучим : a × b = (a 2b3 − a3b2 ) ⋅ i + (a3b1 − a1b3 ) ⋅ j + (a1b2 − a2 b1 ) ⋅ k .

(2.11)

И лив болееком п актной ф ор м е

i a × b = a1 b1

j a2 b2

k a3 . b3

(2.12)

7. С м ешан н ое произведен ие вект оров. См еш анны м п р оиз ведением тр ех вектор ов a , b и c наз ы вается вектор но-скаляр ноеп р оиз ведение a × b ⋅ c . См еш анное п р оизведениеявляется числом . В ы числим это число, зная коор динаты вектор ов a = (a1 ; a2 ; a3 ) , b = (b1 ; b2 ; b3 ) и c = (c1 ; c 2 ; c3 ) . И з ф ор м улы (2.11) следу-

(

)

ет, что a × b = (a 2b3 − a3b2 ; a3b1 − a1b3 ; a1b2 − a 2b1 ) . Д алее п о ф ор м уле (2.4) п олучим : a × b ⋅ c = (a 2b3 − a3b2 )c1 + (a3b1 − a1b3 )c 2 + (a1b2 − a2 b1 )c3 =

(

)

= a1b2 c3 + a 2b3c1 + a3b1c 2 − a3b2 c1 − a1b3c 2 − a 2b1c3 = a1 a 2 a3 = b1

b2

b3 .

c1

c2

c3

(

)

А налог ичны й р ез ультат п олучится, есливы числить a ⋅ b × c (п р овер ьте сам остоятельно). Т аким обр аз ом , м ы п р иходим к вы воду, что a × b ⋅ c = a ⋅ b × c . Благодар я этом у свойству см еш анное п р оиз ведение п р инято обозначатьсим волом a b c . М ы доказали, что a1 a2 a3

(

)

(

a b c = b1

)

b2 b3 . (2.13) c1 c2 c3 Т ак как п р ип ер естановкедвух стр ок оп р еделительм еняетзнак, то a b c = c a b = b c a = − a c b = −b a c = −c b a . (2.14) Т аким обр азом , п р и п ер естановке вектор а из конца см еш анного п р оизведения в начало, вектор ное п р оиз ведениене м еняетсвоего знака. А п р ип ер естановке двух соседних сом нож ителей, см еш анное п р оизведение м еняет з нак нап р отивоп олож ны й. g М одуль см еш анного п р оизведения a b c численно р авен объем у п ар аллелеп ип еда, п остр оенного навектор ах a , b и c .

29

(

)

a ×b ⋅c= 4 П о оп р еделению скаляр ног о п р оиз ведения: = a × b ⋅ c ⋅ cosϕ = a × b ⋅ П р d c , г де d = a × b , а ϕ – угол м еж ду вектор ам и c и d . Следовательно, B1

(a × b )⋅ c C1

d=a x b A1 D1

П р dc c B

b A

C D

a

= a×b ⋅ П р dc =

= S ABCD ⋅ H = V , где чер ез H обозначена вы сота п ар аллелеп ип еда, р авная м одулю п р оекциивектор а c на нап р авление вектор а d , п ер п ендикуляр ного п лоскости основания п ар аллелеп ип еда ABCD, V – объем п ар аллелеп ип еда(р ис. 2.14).3

Рис. 2.14. П оскольку объем тр еугольной п ир ам иды , п остр оенного на вектор ах a , b и c в ш естьр аз м еньш еобъем асоответствую щ его п ар аллелеп ип еда, то 1 (2.15) Vп ир = ⋅ a b c 6 П р им ер 2.2. Д ана п ир ам ида ABCD (р ис. 2.15): A( 2; 4; – 1), B( 3; 2; 0), C( 1; – 3; 2), D( 5;-1; 3). Н айти: 1) угол BCD; 2) п лощ адьгр ани ABC; 3) объем п ир ам иды . D Реш ение. 3) Н айдем коор динаты вектор ов CB и CD , обр азую щ их угол BCD : a = CB = ( 3 − 1; 2 − (− 3); 0 − 2 ) = ( 2; 5 − 2 ),

B

C

b = CD = ( 5 − 1; − 1 − (− 3); 3 − 2 ) = ( 4; 2; 1 ). У гол BCD найдем по ф ор м уле (2.5): a ⋅b , где a ⋅ b -скаляр ное п р оиз ведение cosϕ = a ⋅ b вектор ов a и b . Т аким обр азом ,

A

Рис. 2.15. cos ∠BCD =

2 ⋅ 4 + 5 ⋅ 2 + (− 2 ) ⋅ 1 2 2 + 5 2 + (− 2)2 ⋅ 4 2 + 2 2 + 12

=

8 + 10 − 2 ≈ 0,65. 4 + 25 + 4 ⋅ 16 + 4 + 1

Следовательно, ∠BCD = arccos 0,65. 4) П лощ адь г р ани ABC находим п о ф ор м уле (2.8):

30

1 S ∆ABC = ⋅ AB × BC , 2 г де AB × BC - вектор ноеп р оиз ведениевектор ов AB и BC . AB = ( 3 − 2; 2 − 4; 0 − (− 1)) = ( 1; − 2; 1 ). BC = ( 1 − 3; − 3 − 2; 2 − 0 ) = (− 2; − 5; 2 ). П о ф ор м уле (2.12) вы числим коор динаты вектор ног оп р оизведения: i j k 1 1 1 −2 −2 1 AB × BC = 1 − 2 1 = i ⋅ = i − 4 j − 9k . − j⋅ +k⋅ −2 −5 −5 2 −2 2 −2 −5 2

( )

1 2 1 1 + ( −4) 2 + ( −9) 2 = 1 + 16 + 81 ≈ 4,95 ед2 . 2 2 5) О бъем п ир ам иды находим п о ф ор м уле (2.15): 1 V = ⋅ AB ⋅ AC ⋅ AD , 6 г де AB ⋅ AC ⋅ AD - см еш анноеп р оизведениевектор ов AB = ( 1; − 2; 1 ),

Следовательно, S ∆ABC =

AC = (− 1; − 7; 3 ) и AD = ( 3; − 5; 4 ) . См еш анноеп р оизведениенайдем п о ф ор м уле (2.13): 1 −2 1 AB ⋅ AC ⋅ AD = − 1 − 7 3 = −28 − 18 + 5 + 21 − 8 + 15 = −13 . 3 −5 4 13 13 3 Т аким обр аз ом , V = − = ед . 6 6

( )

П р им ер 2.3. Д ано:

a = 3,

b = 2 уголм еж ду вектор ам иa иb

р авен π/3. Н айтиугол ϕ м еж ду вектор ам и 2a − b

и a + 3b .

Реш ение. 1) Н айдем скаляр ноеп р оизведение (2a − b ) ⋅ (a + 3b ).

(2a − b )⋅ (a + 3b ) = 2a 2 + 6a ⋅ b − a ⋅ b − 3b 2 = 2a 2 + 5a ⋅ b − 3b 2 = =2 a

2

2)

2a − b =

3)

a + 3b =

(2 a − b )2

π −3 b 3

1 − 3 ⋅ 4 = 21. 2 1 = 4a 2 − 4a ⋅ b + b 2 = 4 ⋅ 9 − 4 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ + 4 = 28. 2

+ 5 a ⋅ b ⋅ cos

2

= 2 ⋅9 + 5 ⋅ 3⋅ 2 ⋅

(a + 3b )2 = a 2 + 6a ⋅ b + 9b 2 = 9 + 6 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 1 + 9 ⋅ 4 = 2 (2a − b ) ⋅ (a + 3b ) = 21 = 21 = 1 . cosϕ = 2a − b ⋅ a + 3b

28 ⋅ 63

1 π Следовательно, ϕ = arccos = . 2 3

42

2

63.

31

Глава3. А налитическая геом етр ия нап лоскости § 3.1. Прос тейш иеза д а чи а н а л итичес к ой геом етри и К п р остейш им задачам аналитической г еом етр ии относятся задачи вы числения р асстояния м еж ду двум я точкам и, деления отр езка в данном отнош енииинахож дения п лощ адитр еуг ольника. 1. Рас с т оян ие м еж ду двум я т оч кам и. Расстояние м еж ду двум я точкам и А и В р авно длиневектор а AB :

( x B − x A )2 + ( y B − y A )2 , y A ) – коор динаты точки А , ( xB ; y B ) –

AB = AB =

(3.1)

г де ( x A ; коор динаты точки В. 2. Дел ен ие от резка в дан н ом от н ошен ии. 2 О тнош ением , в котор ом точка М делит отр езок АВ вел. AM (р ис. 3.1) назы вается число λ = . вел.MB Е слиточка М находится м еж ду точкам и А и В, то величины нап р авленны х отр ез ков AM и MB будутодног о итог о ж е знака независим о от вы бор а нап р авления на п р ям ой А В. В этом случае число λ будетбольш енуля. Е слиж еточка М находится за п р еделам иотр езка А В, Рис. 3.1. то число λ м еньш енуля. g К оор динаты точки М , делящ ей отр езок А В в отнош ении λ м ож но найтип о ф ор м улам : x + λ ⋅ xB y + λ ⋅ yB , . xM = A yM = A (3.2) 1+ λ 1+ λ 4 Сп р оектир уем точки А , В, и М на ось Ox (р ис. 3.2). О чевидно, что точка R (п р оекция точки М ) делит отр езок PQ в отнош ении λ . СледоxM − x A = λ . И з п оследвательно, xB − xM него р авенства вы р аз им xM : x + λ ⋅ xB xM = A . А налогично, п р о1+ λ ектир уя точки А , В, и М на ось Oy, п олучаем , что y + λ ⋅ yB yM = A .3 1+ λ Рис. 3.2. В частности, когдаточка М делитотр езок А В п оп олам , то λ = 1 и ф ор м улы (3.2) п р им утвид:

32

xA + xB y + yB , yM = A . (3.3) 2 2 3. Вы ч ис л ен ие площ ади т реугол ьн ика. g П лощ адь тр еугольника А ВС , вер ш ины котор ого им ею ткоор динаты (xA ; yA), (xB; y B), (x C; yC) р авна 1 S = ( x B − x A ) ⋅ ( y C − y A ) − ( y B − y A ) ⋅ (x C − x A ) (3.4) 2 4 Е слир ассм атр иватьтр еугольник ABC в тр ехм ер ном п р остр анстве, то его вер ш ины будут им еть коор динаты : A(xA; yA; 0), B(xB; yB; 0), C(xC; yC; 0). П лощ адь тр еугольника м ож но найти п о ф ор м уле (2.8): 1 S = AB × AC , где AB = ( x B − x A ; y B − y A ; 0 ) , AC = ( xC − x A ; y C − y A ; 0 ) . 2 Сначала найдем вектор ноеп р оиз ведение вектор ов AB и AC п о ф ор м уле (2.12): i j k xB − x A y B − y A AB × AC = x B − x A y B − y A 0 = k ⋅ = xC − x A yC − y A xC − x A yC − y A 0 xM =

= ( 0; 0; ( x B − x A ) ⋅ ( yC − y A ) − ( y B − y A ) ⋅ ( xC − x A )). Т аким обр азом , 1 2 S∆ = 0 + 0 2 + (( xB − x A ) ⋅ ( yC − y A ) − ( y B − y A ) ⋅ ( xC − x A ))2 = 2 1 = ( x B − x A ) ⋅ ( y C − y A ) − ( y B − y A ) ⋅ ( xC − x A ) .3 2 П р им ер 3.1. Д ан тр еуг ольник A( 2; 7 ), B(– 5; 7 ), C( 5; 3 ). Н айти: 1) длины стор он тр еуг ольника ABC; 2) п лощ адьтр еугольника; 3) основаниебиссектр исы AF угла А . Реш ение. 1) Д лины стор он найдем п о ф ор м уле (3.1): AB = AC = BC =

(− 5 − 2 )2 + (7 − 7 )2 = 49 + 0 = 7 (ед), (5 − 2 )2 + (3 − 7 )2 = 9 + 16 = 5 (ед), (5 + 5 )2 + (3 − 7 )2 = 100 + 16 = 116 (ед).

2) П лощ адьтр еуг ольникавы числим п о ф ор м уле (3.4): 1 1 28 S = (− 5 − 2 ) ⋅ (3 − 7 ) − (7 − 7 ) ⋅ (5 − 2 ) = (− 7 ) ⋅ (− 4 ) − 0 ⋅ 3 = = 14 (ед2 ). 2 2 2 3) О снование биссектр исы AF (точку F) найдем , исп ользуя то, что точка F делит п р отивоп олож ную стор ону BC тр еуг ольника на части, п р оп ор циональны еп р илеж ащ им стор онам : BF AB BF 7 = , где AB = 7, AC = 5. Следовательно, =λ = . FC AC FC 5

33 Д ля нахож дения коор динатточки F исп ольз уем ф ор м улы деления отр езка в данном отнош ении (3.2): 7 − 5 + ⋅5 x + λ ⋅ xC 5 = − 25 + 35 = 10 = 5 . xF = B = 7 1+ λ 5+7 12 6 1+ 5 7 7+ ⋅3 y + λ ⋅ yC 5 = 35 + 21 = 56 = 28 . yF = B = 7 1+ λ 5+7 12 6 1+ 5

§ 3.2. Прям а я л иния на пл ос к ос ти И з ш кольного кур са известно уравн ен ие прям ой л ин ии с угл овы м коэф ф ициен т ом : (3.5) y = kx + b , г дечисло k, назы ваем ое уг ловы м коэф ф ициентом п р ям ой, р авно тангенсу угла наклона п р ям ой к оси Ox, а число b р авно величине отр езка, отсекаем ого п р ям ой наоси Oy. В ер тикальны е п р ям ы е п ер п ендикуляр ны оси Ox и, следовательно, не им ею т углового коэф ф ициента. Верт икал ьн ая прям ая л ин ия им еет ур авнение вида x = a , где а – некотор ая константа. К стати, если п олож ить в ур авнении (3.5) k = 0 , то м ы п олучим ур авнение горизон т ал ьн ой прям ой л ин ии: y = b . В лю бом случае ур авнение п р ям ой линииявляется ур авнением п ер войстеп ени. Общ им уравн ен ием прям ой л ин ии наз ы вается ур авнение Ax + By + C = 0 , (3.6) г де А , В и С – п остоянны ечисла, п р ичем коэф ф ициенты А и В нер авны нулю одновр ем енно: A2 + B 2 ≠ 0 . Е слив ур авнении (3.6) коэф ф ициент В отличен от нуля, то данное ур авнение м ож но зап исать в виде A C y = − x − . Ср авнивая п олученное ур авнение с (3.5), п олучим п олезB B ную ф ор м улу: A k =− . (3.7) B Е сли в ур авнении (3.6) коэф ф ициент В = 0, то данное ур авнение C з адаетвер тикальную п р ям ую : x = − . A П р едп олож им , что п р ям ая линия п р оходит чер ез заданную точку M ( x0 ; y0 ) иим еетугловой коэф ф ициент k. П одставим коор динаты точки М в ур авнение (3.5): y 0 = kx0 + b . В ы читая п олученное р авенство из р авенства (3.5), м ы п олучим уравн ен ие прям ой , проходящей ч ерез задан н ую т оч ку, с задан н ы м угл овы м коэф ф ициен т ом :

34

(3.8) y − y0 = k ( x − x0 ) . П р едп олож им , что п р ям ая линия п р оходит чер ез две точки M ( x0 ; y 0 ) и N ( x1 ; y1 ) . П р едп олож им сначала, что x1 ≠ x0 , т. е. п р ям ая MN не п ар аллельна оси Oy. В ур авнение (3.8) вм есто текущ их коор динатп одставим коор динаты точки N: y1 − y0 = k ( x1 − x0 ) . И з п олученног о р авенства найдем угл овой коэф ф ициен т прям ой , проходящ ей ч ерез две задан н ы е т оч ки: y − y0 k= 1 . (3.9) x1 − x 0 П одставляя найденны й уг ловой коэф ф ициент в ур авнение (3.8) (в п р едп олож ении, что y1 ≠ y0), м ы п олучим уравн ен ие прям ой проходящей ч ерез две задан н ы е т оч ки: y − y0 x − x0 = . (3.10) y1 − y 0 x1 − x0 Е сли x1 = x0, то п р ям ая MN п ар аллельна оси Oy, и ур авнение этой п р ям ой, очевидно, будет x = x0. Е сли y1 = y0, то п р ям ая MN п ар аллельна оси Ox, и ур авнение этой п р ям ой будет y = y0 . g У гол м еж ду двум я прям ы м и y = k1 x + b1 и y = k 2 x + b2 находится п оф ор м уле: k − k1 π tgϕ = 2 (3.11) , ϕ≠ . 1 + k 2 ⋅ k1 2 Т очнее п о ф ор м уле (3.11) м ож но найтитот уг ол м еж ду п р ям ы м и, котор ы й п олучается п р ип овор отеп р ям ой y = k1 x + b1 п р отив часовой стр елки вокр уг точкип ер есечения п р ям ы х, до совм ещ ения сп р ям ой y = k 2 x + b2 . 4Д ля доказательства ф ор м улы (3.11) достаточно з ам етить, что угол ϕ является р азностью уг лов α и β, котор ы е обр азую т с осью Ox соответственно п р ямы е y = k2 x + b2 и y = k1 x + b1 (р ис. 3.3). Т аким обр аз ом , п одставляя tgα = k 2 , tgβ = k1 в ф ор м улу tgα − tgβ tg (α − β ) = , п олучим : 1 + tgα ⋅ tgβ tgα − tgβ k − k1 tgϕ = tg (α − β ) = = 2 .3 1 + tgαtgβ 1 + k 2 k1 Рис. 3.3. Зам ечание. Ф ор м ула (3.11) им еет м есто только в том случае, когда обеп р ям ы е им ею т угловы е коэф ф ициенты . Читателям м ы п р едлагаем сам остоятельно вы вестиф ор м улу для нахож дения уг ла м еж ду вер тикальной п р ям ой x = a инаклонной п р ям ой y = kx + b. И з ф ор м улы (3.11) вы текаю тдваваж ны х следствия:

35 1. У с л овие парал л ел ьн ос т и двух прям ы х. g Д ве п р ям ы е, им ею щ ие угловы е коэф ф ициенты k1 и k 2 п ар аллельны , тогдаитолько тогда, когда k 1 = k2 . 3Д ействительно, для п ар аллельны х п р ям ы х ϕ = 0o , tgϕ = 0 и, следовательно, k 1 = k2 .4 2. У с л овие перпен дикул ярн ос т и двух прям ы х. g Д ве п р ям ы е, им ею щ ие угловы е коэф ф ициенты k1 и k2 п ер п ендикуляр ны , тогда и только тогда, когда k1 ⋅ k 2 = −1 . 3Д ействительно, для п ер п ендикуляр ны х 1 1 + k 2 ⋅ k1 = = 0 . Т аким обр азом , k1 ⋅ k 2 = −1 .4 п р ям ы х ϕ = 90o , ctgϕ = tgϕ k 2 − k1 M(x 0,y 0) d Ax+ By+ C

=0

1 Рас с т оян ие от т оч ки M ( x0 ; y0 ) до прям ой линии Ax + By + C = 0 (р ис. 3.4) м ож но найтип о ф ор м уле: Ax0 + By 0 + C d= . (3.12) A2 + B 2

Рис. 3.4. П р им ер 3.2. Д ан тр еугольник A( 2; 7 ), B(-5; 7 ), C( 5; 3 ). Н айти: 1) ур авнения стор он; 2) ур авнение идлину м едианы AM; 3) ур авнение и длину вы соты BD; 4) ур авнениебиссектр исы AK; 5) точку п ер есечения м едианы AM свы сотойBD иуголм еж ду ним и. Реш ение. 1) У р авнения стор он AC и BC найдем , исп ользуя ур авнение п р ям ой, п р оходящ ей чер ез дветочки (3.10): x−2 y−7 x −2 y −7 У р авнение AC : ; − 4 x + 8 = 3 y − 21. = = ; 5− 2 3− 7 3 −4 И так, AC : 4 x + 3 y − 29 = 0. x+5 y−7 x+5 y−7 ; = ; = − 2 x − 10 = 5 y − 35. 5+ 5 3− 7 10 −4 И так, BC : 2 x + 5 y − 25 = 0. У р авнение AB находится ещ е п р ощ е. Н уж но только з ам етить, что втор ая коор динататочек A и B одинаковаир авна 7. Следовательно, ур авнение AB : y = 7 или y − 7 = 0. 2) Н айдем точку M – сер едину стор оны BC: x + xC − 5 + 5 y + yC 7 + 3 xM = B = = 0, yM = B = = 5. 2 2 2 2 У р авнение BC :

Составим

ур авнение м едианы

AM :

x−2 y−7 = ; 0−2 5−7

x−2 y−7 = . −2 −2

И так, AM : x − y + 5 = 0. Д лину м едианы найдем как р асстояние м еж ду двум я точкам и:

36 AM = ( x A − x M )2 + ( y A − y M )2 = 2 2 + 2 2 = 8 = 2 2 (ед.) . 3) О п р еделим уг ловой коэф ф ициентстор оны AC. Д ля тог оур авнение 4 29 4 AC зап иш ем в виде y = − x + . Следовательно, k AC = − . 3 3 3 1 3 k BD = − = (условиеп ер п ендикуляр ностип р ям ы х BD и AC). k AC 4 Составим ур авнение вы соты BD, исп ользуя ур авнение (3.8) п р ям ой, п р оходящ ей чер ез з аданную точку B исуг ловы м коэф ф ициентом k: 3 Т о есть, y − 7 = ⋅ ( x + 5 ), или 4 y − 28 = 3 x + 15. BD : 3x − 4 y + 43 = 0. 4 Д лину вы соты BD найдем как р асстояние точки B до п р ям ой AC п о ф ор м уле (3.12): 4 ⋅ (− 5 ) + 3 ⋅ 7 − 29 − 20 + 21 − 29 28 BD = = = (ед.). 5 25 4 2 + 32 4) Н айдем основание биссектр исы (точку K), исп ользуя то, что точка K делит отр езок BC на части, п р оп ор циональны е п р илеж ащ им стор онам BK AB = , тр еугольника: KC BK г де

AB =

(− 5 − 2 )2 + ( 7 − 7 )2

= 7,

AC =

( 5 − 2 )2 + ( 3 − 7 )2

7 BK =λ= . 5 KC Д ля нахож дения коор динат точки K исп ольз уем ф ор м улы отр езкав данном отнош ении:

=5.

Следовательно,

(3.2) деления

7 ⋅5 5 = − 25 + 35 = 10 = 5 . 7 5+ 7 12 6 1+ 5 7 7 + ⋅3 y + λ ⋅ yC 5 = 35 + 21 = 56 = 28 . yK = B = 7 1+ λ 5+7 12 6 1+ 5 Составим ур авнение AK, исп ольз уя коор динаты точек A и K: x−2 y −7 x−2 y−7 x−2 y−7 = ; = ; = . 5 28 5 − 12 28 − 42 − 7 − 14 −2 −7 6 6 2 ⋅ ( x − 2 ) = y − 7; 2 x − 4 = y − 7. И так, AK: 2 x − y + 3 = 0. 5) Н айдем точку п ер есечения м едианы AM свы сотой BD, р еш ив систем у:  x − y + 5 = 0, − 3 x + 3 y − 15 = 0,   . 3 x − 4 y + 43 = 0,  3 x − 4 y + 43 = 0, − y + 28 = 0, y 0 = 28, x − 28 + 5 = 0, x 0 = 23. x + λ ⋅ xC xK = B = 1+ λ

−5+

37 И так, точка O п ер есечения м едианы с вы сотой им еет коор динаты : O(23; 28). Д ля нахож дения угла м еж ду п р ям ы м и линиям и BD и AM восп ользуем ся ф ор м улой (3.11), вз яв в качествеуг ловог окоэф ф ициента 3 k1 = k BD = и k 2 = k AM = 1 . 4 3 1 1− 1 4 = 4 = 1, И так, tgϕ = ϕ = arctg . 3 7 7 7 1 + ⋅1 4 4

§ 3.3. К ривы ел и нии второго поряд к а 1. О к ружнос ть . 2Окруж н ос т ью наз ы вается г еом етр ическое м есто точек, р авноудаленны х от одной ф иксир ованной точки, назы ваем ой центр ом окр уж ности. Расстояние от п р оизвольной точки окр уж ности до его центр аназ ы вается радиус ом окруж н ос т и. g Е слицентр окр уж ностинаходится в точке C ( x0 ; y0 ) , а р адиус р авен R, Y (р ис. 3.5) то ур авнение окр уж ности M(x;y) им еетвид:

( x − x0 )2 + ( y − y0 )2 = R 2 . 4О бозначим чер ез M ( x; y )

C(x 0;y0)

(3.13) (р ис. 3.5) п р оизвольную точку окр уж ности. И сп ольз уя ф ор м улу р асстояния м еж ду двум я токам и (3.1) иоп р еделение окр уж ности, п олучим :

( x − x0 )2 + ( y − y0 )2

= R . В озводя п оX лученное р авенство в квадр ат, м ы п олучим ф ор м улу (3.13).3

0

Рис. 3.5. 2. Эл л ипс . 2Э л л ипс ом назы вается г еом етр ическое м есто точек, сум м а р асстояний котор ы х до двух ф иксир ованны х точек, назы ваем ы х ф окусам иестьвеличинап остоянная. Д ля того, чтобы вы вести каноническое (п р остейш ее) ур авнениеэллип са, п р им ем за ось Ox п р ям ую , соединяю щ ую ф окусы F1 и F2 . П усть п р иэтом ф окусы будут сим м етр ичны относительно начала коор динат, т.е. будут им еть коор динаты : F1 (c; 0 ) и F2 (− c; 0 ) . Здесь чер ез 2с обоз начено р асстоянием еж ду ф окусам и. Рис. 3.6.

38 О бозначим чер ез x и y коор динаты п р оизвольной точки М эллип са (р ис 3.6). Т огда п о оп р еделению эллип са, сум м а р асстояний от точки М до точек F1 и F2 р авноконстанте(обозначим эту константу чер ез 2а).

( x − c )2 + ( y − 0 )2

+ ( x + c )2 + ( y − 0 )2 = 2a . (3.14) У р авнение (3.14) является ур авнением эллип са. У п р остим данное ур авнение, избавивш исьотквадр атны х кор ней. Д ля этого п ер енесем один из р адикалов в п р авую часть р авенства (3.14) и воз ведем обе части п олученног ор авенствав к вадр ат:

( x − c )2 + ( y − 0 )2

( x + c )2 + ( y − 0 )2 , x 2 − 2cx + c 2 + y 2 = 4a 2 − 4a ( x + c )2 + ( y − 0 )2 + x 2 + 2cx + c 2 + y 2 , − 4cx = 4a 2 − 4a ( x + c )2 + ( y − 0 )2 , cx + a 2 = a ( x + c )2 + ( y − 0 )2 . = 2a −

В озводя п оследнеер авенство в квадр ат, п олучим c 2 x 2 + 2 a 2 cx + a 4 = a 2 ⋅ x 2 + 2cx + c 2 + y 2 , или

(

)

c 2 x 2 + a 4 = a 2 x 2 + a 2c 2 + a 2 y 2 ,

(a 2 − c2 )x2 + a 2 y 2 = a 2 (a 2 − c 2 ). Разделим обечастина a 2 (a 2 − c 2 ): x2

y2

+ = 1. a2 a2 − c2 Т ак как сум м а р асстояний от п р оизвольной точкиэллип са до его ф окусов больш ер асстояния м еж ду ф окусам и, т.е. 2а > 2c, то a 2 − c 2 > 0 .

(

(

)

)

(

)

О боз начим a − c чер ез b . Т ог дап р остейш ее(каноническое) ур авнениеэллип сабудетим етьвид: 2

x2

2

=1,

(3.15)

a2 − c 2 = b2 .

(3.16)

a2

+

y2

2

b2

г деп олож ено

О си коор динат являю тся осям и сим м етр ии эллип са, з аданног о ур авнением (3.15). Д ействительно, если точка с текущ им икоор динатам и (x; y) п р инадлеж итэллип су, то иточки (± x; ± y ) п р илю бом сочетании з наков п р инадлеж атэллип су. 2О сь сим м етр ии эллип са, на котор ой р асп олож ены ф ок усы назы вается ф окальной осью . Т очки п ер есечения эллип са с его осям и сим м етр ииназы ваю тся вер ш инам иэллип са. П одставляя x = 0 или y = 0 в ур авнениеэллип санайдем коор динаты вер ш ин: А 1(a; 0), А 2(– a; 0), B1(0; b), B2(0; – b).

39 2О тр езки А 1А 2 и B1 B2, соединяю щ ие п р отивоп олож ны е вер ш ины эллип са, атакж еих длины 2a и 2b, назы ваю тсоответственно больш ой и м алой осям иэллип са. Д лины a и b, назы ваю тсоответственно больш ой и м алой п олуосям иэллип са. 2Э ксцентр иситетом эллип са назы вается отнош ение р асстояния м еж ду ф окусам и (2с ) к больш ой оси (2a), т.е. ε=

c . a

(3.17)

Т ак как а и с п олож ительны , п р ичем c < a, то эксцентр иситетэллип сабольш енуля, но м еньш еединицы ( 0 < ε < 1 ). Е слиф окусы эллип сар асп олож ены Y наоси Oy (р ис.3.7), то ур авнение B(0;b) эллип са останется таким ж е, как и F1(0;c) в п р еды дущ ем случае: 2 2 x y + = 1 . О днако в этом случае a 2 b2 п олуось b будет больш е, чем a (эллип с вы тянут вдоль оси Oy). 0 A1(a;0) A2(-a;0) X Ф ор м улы (3.16) и (3.17) п р етер п ят следую щ ие изм енения соответственно: F 2(0;-c) b2 − c 2 = a 2 . (3.18) c ε= . (3.19) B(0;-b) b Рис. 3.7. 3. Гипербол а . 2Гиперболой назы вается геом етр ическое м есто точек, м одульр азностир асстояний котор ы х до двух ф иксир ованны х точек, назы ваем ы х ф окусам иестьвеличинап остоянная. В ы водится каноническое ур авнение гип ер болы аналог ично том у как это делалось в случае M(x;y) эллип са. За ось Ox п р иF 1(c;0) ним аем п р ям ую , соединяю щ ую ф окусы F1 и F2 (р ис.3.8). П усть п р иэтом ф окусы будут сим м етр ичны относительно начала коор динат, т.е. будут Рис. 3.8. им еть коор динаты : F1 (c; 0) и F2 (− c; 0 ) . Чер ез 2с , как ип р еж де, обозначено р асстоянием еж ду ф окусам и.

40 О бозначим чер ез (x; y) коор динаты п р оизвольной точки М гип ер болы . Т ог дап о оп р еделению гип ер болы , р азностьр асстояний отточки М доточек F1 и F2 р авно константе(обозначим эту константу чер ез 2а).

( x − c )2 + ( y − 0 )2

−

( x + c )2 + ( y − 0 )2 = 2a .

(3.20)

Прои звод я преобра зова ния а н а л оги чны е тем , к оторы е при м енял ис ь п ри уп рощ ен и ура внения эл л ипс а , м и прид ем к к а н они чес к ом у ура внен ию гипербол ы : x2

y2

=1,

(3.21)

b2 = c 2 − a 2 .

(3.22)

a2

−

b2

г деп олож ено

О сикоор динатявляю тся осям исим м етр ииг ип ер болы . 2О сь сим м етр ии г ип ер болы , на котор ой р асп олож ены ф ок усы назы вается ф окальной осью . Т очки п ер есечения г ип ер болы с ее осям и сим м етр ии назы ваю тся вер ш инам игип ер болы . С осью Oy г ип ер бола не y2 п ер есекается, т.к. ур авнение − 2 = 1 не им еет р еш ения. П одставляя b y = 0 в ур авнение (3.21) найдем коор динаты вер ш ин г ип ер болы : А 1(a; 0), А 2(– a; 0). 2О тр езок 2a, длина котор ого р авна р асстоянию м еж ду вер ш инам и г ип ер болы , назы ваю т действительной осью гип ер болы . О тр ез ок 2b назы ваю т м ним ой осью г ип ер болы . Д лины a и b, наз ы ваю т соответственно действительной им ним ой п олуосям иг ип ер болы . М ож но доказать, что п р ям ы елинии

b y=± x a

(3.23)

являю тся асим п тотам иг ип ер болы , т.е. таким ип р ям ы м и, к котор ы м неогр аниченно п р иближ аю тся точкигип ер болы п р иих неогр аниченном удаленииотначалакоор динат ( x → ±∞ ). 2Э ксцентр иситетом г ип ер болы назы вается отнош ение р асстояния м еж ду ф окусам и (2с ) к действительной оси (2a), т.е., как и в случае эллип са c ε= . (3.24) a О днаков отличииотэллип саэксцентр иситетг ип ер болы больш еединицы .

Y

-b

-a

F1(0;c)

0 b

F2(0;-c)

41 Е слиф окусы гип ер болы р асп олож ены на оси Oy, то в левой части ур авнения г ип ер болы из м енятся x знакинап р оти воп олож ны е: a )* (b / 2 2 = Y x y − 2 + 2 = 1. (3.25) a b В этом случаеп олуось b будетдейa X ствительной, а п олуось a – м ним ой. В етви г ип ер болы будут сим м етр ичY= -(b /a ) тельно оси Oy (р ис 3.9). *x ны относи Ф ор м улы (3.22) и (3.23) не изм енятся, ф ор м ула (3.24) будет вы г лядетьследую щ им обр азом : c ε= . (3.26) b

Рис. 3.9.

X=-p/2

4. Па ра бол а . Парабол ой наз ы вается геом етр ическое м есто точек, р авноудаленны х от данной точки, назы ваем ой ф окусом и от данной п р ям ой, назы ваем ой дир ектр исой (п р едп олагается, что ф окус не леж ит на дир ектр исе). Y Д ля того, чтобы составить п р остейш ее ур авнение п ар аболы п р им ем за ось Ox п р ям ую , п р оходящ ую чер ез ее ф окус п ер M(x;y) п ендикуляр но дир ектр исе, инап р авленную от дир ектр исы к ф окусу. За начало коор динат п р им ем сер едину отр езка O отф оA(-p/2;0) 0 F(p/2;0) X куса F до точки А п ер есечения оси Ox с дир ектр исой. Д лина отр езка AF обоз начается чер ез p иназы вается п ар ам етр ом п ар аболы . Рис. 3.10. В данной систем е коор динат коор динаты точек А и F будут,  p  p  соответственно, A − ; 0  , F  ; 0  . У р авнениедир ектр исы п ар аболы  2  2  p будет x = − . О бозначим чер ез (x; y) коор динаты п р оиз вольной точки 2 М п ар аболы (р ис. 3.10). Т огдап о оп р еделению п ар аболы : 2

2

p p   2 x −  + y = x +  . 2 2   В оз ведем обечастир авенства (3.27) в квадр ат: 2

2

p p  2   x −  + y =  x +  , или 2 2  

(3.27)

42 p2 p2 2 2 x − px + + y = x + px + , откуда 4 4 y 2 = 2 px . 2

(3.28)

У р авнение (3.28) наз ы вается каноническим ур авнением п ар аболы . К аноническим иявляю тся так ж еследую щ иеур авнения п ар аболы . (3.29) y 2 = −2 px . В етви п ар аболы , заданной ур авнением (3.29), нап р авлены влево, ф окус p  p  им ееткоор динаты F  − ; 0  , ур авнениедир ектр исы x = . 2  2  2 x = 2 py . (3.30) В етви п ар аболы , заданной ур авнением (3.30), нап р авлены ввер х, ф окус p p  им ееткоор динаты F  0;  , ур авнениедир ектр исы y = − . 2  2 x 2 = −2 py . (3.31) В етви п ар аболы , заданной ур авнением (3.31), нап р авлены вниз, ф окус p p  им ееткоор динаты F  0; −  , ур авнениедир ектр исы y = . 2 2  Е сли коор динаты центр а эллип са или г ип ер болы и вер ш ины п ар аболы см ещ ены в точку (x0 ; y0 ), то ур авнения соответствую щ их кр ивы х будутвы г лядетьследую щ им обр азом :

( x − x0 ) 2 ( y − y 0 ) 2 a2 ( x − x0 ) 2

+

b2 ( y − y0 )2

= 1 − ур авнениеэллип са,

− = 1 − ур авнениег ип ер болы , a2 b2 ( y − y0 )2 = 2 p( x − x0 ) − ур авнениеп ар аболы .

(3.32) (3.33) (3.34)

П р им ер 3.3. Н айтикоор динаты ф окусов иэксцентр иситет эллип са: 4x2+9y2 = 1. Реш ение. В каноническом виде ур авнение эллип са вы г лядит слеx2 y 2 дую щ им обр азом : + = 1. И з этого ур авнения видно, что больш ая 1 1 4 9 1 1 1 1 п олуось эллип са р авна a = = , а м алая п олуось р авна b = = . 4 2 9 3 Расстояниеотцентр аэллип садо ег о ф окусов, находим из ф ор м улы (3.16):

43 1 1 5 − = . Т аким обр азом , ф окусы эллип са им ею т коор 4 9 6   5  5  динаты : F1 =  − ; 0 , F2 =  ; 0 .  6   6  Э ксцентр иситетэллип санайдем п о ф ор м уле (3.17): c 5 2 5 ε= = ⋅ = ≈ 0,75. a 6 1 3 1 П р им ер 3.4. А сим п тоты гип ер болы им ею т ур авнения y = ± x и 2 р асстоянием еж ду ф окусам ир авно 10. Составитьканоническоеур авнение г ип ер болы . Реш ение. И з условия з адачиследует, что b 1  = , a 2 2c = 10. П одставляя в р авенство (3.22) с = 5 и a = 2b, м ы п олучим ур авнение, из котор ого найдем b: b 2 = 25 – 4b2, 5b2 = 25, b2 = 5, b = 5 . Следовательно, a = 2b = 2 5 . П одставляя a2 = 20 и b2 = 5 в ур авнение (3.21), п олучим иском ое ур авнениег ип ер болы : x2 y 2 − = 1. 20 5 П р им ер 3.5. Н айти коор динаты ф окусов и ур авнение дир ектр исы п ар аболы , з аданной ур авнением : y = 4x 2 + 12x – 5. Реш ение. В ы делим п олны й квадр ат п о п ер ем енной x в ур авнении п ар аболы : c = a 2 − b2 =

2

2

9 9 3 3 1    y = 4 x 2 + 3 x + −  − 5, y = 4 x +  − 9 − 5,  x +  = ( y + 14) . 4 4 2 2 4    М ы п олучили ур авнение п ар аболы , вер ш ина котор ой см ещ ена в точку  − 3 ; − 14  , ап ар ам етр находится из р авенства 1 = 2 p . О ткуда p = 1 .   4 8  2  Т ак как ветвип ар аболы нап р авлены ввер х, то ф окусп ар аболы нахоp 1 = . Т аким обр аз ом , коор динаты дится вы ш еее вер ш ины навеличину 2 16 1 15   3  3 ф окусап ар аболы р авны : F  − ; − 14 +  или F  − ; − 13  . 16  16   2  2 1 1 У р авнениедир ектр исы будет y = −14 − или y = −14 . 16 16

44

Глава4. П р еделф ункции. Н еп р ер ы вность § 4.1. Пред ел чис л овой пос л ед ова тел ь нос ти и функ ции. Теорем ы о пред ел а х 1. Предел ч ис л овой пос л едоват ел ьн ос т и. 2 Числовой п оследовательностью назы вается бесконечное м нож ество чисел {an }, каж дое из котор ы х является значением некотор ой ф ункции f (n ) натур ального ар гум ента ( an = f (n ), n ∈ N ). П р иэтом a n наз ы вается членом п оследовательности, а n – его ном ер ом . П р еделом числовой п оследовательности {an } п р и n, стр ем ящ им ся к бесконечности, назы ваю т такое число А , к котор ом у неог р аниченно п р иближ аю тся члены п оследовательности п р и неог р аниченном р осте ном ер а n. Д адим более точное оп р еделение п р едела числовой п оследовательностисисп ользованием известны х нам квантор ов. 2 Число A наз ы ваю тп р еделом числовой п оследовательности {an } п р и n, стр ем ящ ем ся к бесконечности ( A = lim a n ), если для лю бог о n →∞

ε > 0 найдется такой ном ер n0 , начиная с котор ого (т.е. п р ивсех натур альны х n ≥ n0 ) будетвы п олнено нер авенство a n − A < ε . И ли ∀ε > 0 ∃n0 : ∀n ≥ n0 ⇒ a n − A < ε . 2Говор ят, что lim an = +∞ если ∀A > 0 ∃n0 : ∀n ≥ n0 ⇒ a n > A . П р им ер но аналог ично м ож но сф ор м улир овать оп р еделение п р едела, в том случае, когдаон р авен м инус бесконечности. П р едоставляем это читателям . П р оизвольная п оследовательность м ож ет стр ем иться к конечном у илибесконечном у п р еделу, илисовсем неим етьп р еделап р и n → ∞ . Рассм отр им тр ип р им ер а. 2n − 1 Ø Д окаж ем , что lim = 2 . Д ля этог о для лю бого числа ε > 0 n→∞ n + 1 достаточно указатьтакой ном ер n0 = n0 (ε ) , начиная с котор ого (т.е. п р и 2n − 1 − 2 < ε . Реш им данное неn ≥ n0 ) будет вы п олнено нер авенство n +1 2 n − 1 − 2n − 2 3 3 р авенство относительно n: < ε, < ε , ⇒ n > − 1. n +1 n +1 ε Следовательно, в качестве n0 м ож но вы бр ать лю бое натур альное число, 3 3 п р евосходящ ее − 1 . Н ап р им ер , м ож но взять целую часть числа − 1 ε ε 3  п лю сединица ( n0 =  − 1 + 1). ε 

45 Ø Д окаж ем , что lim n − 2 = +∞ . Д ля этого достаточнодля лю бог о n→ ∞

n0 = n0 ( A) , начиная с котор ого (т.е. п р и n ≥ n0 ) будет вы п олнено нер авенство n − 2 > A . Реш им данное нечисла A > 0 указать такой ном ер р авенство относительно n:

[

]

n − 2 > A, ⇒

n > A 2 + 2 . Следовательно

n0 = A2 + 2 + 1 , где п од сим волом [… ], как и в п р еды дущ ем п р им ер е, обозначается целая частьдействительног очисла. Ø П оследовательность − 1, 1, − 1, 1, − 1, 1,... с общ им членом an = (− 1)n вообщ е не им еет никакого п р едела. Д ействительно, с одной стор оны члены п оследовательности ог р аничены ( a n = 1 ), и, следовательно, п р едел п оследовательности an = (− 1)n не м ож етбы тьр авен п лю с илим инус бесконечности. С др угой стор оны , он не м ож ет бы ть р авен никакой константе А . Д ействительно, какоебы м ы невзяличисло А , сущ ествую т члены п оследовательности со сколь угодно больш им и ном ер ам и, отличаю щ иеся от А нем еньш е, чем на 1. 2. Предел ф ун кции. 2.Число А назы вается п р еделом ф ункции y = f(x) п р и x, стр ем ящ ем ся к x 0, еслидля лю бого ε > 0 сущ ествуеттакое δ > 0, что для лю бого x ≠ x0, удовлетвор яю щ его нер авенству | x – x 0 | < δ вы п олнено нер авенство | f(x) – f(x0) | <ε. И ли, сокр ащ енно, A = lim f ( x ) , если x→ x0

∀ε > 0 ∃δ = δ (ε ) > 0 : ∀ x ∈ ( x 0 − δ ; x 0 + δ ), x ≠ x 0 ⇒ f ( x ) − A < ε . В качестве уп р аж нения сф ор м улир уйте оп р еделения п р едела в тех случаях, когда п ер ем енная x стр ем ится к ± ∞ , или п р еделр авен ± ∞ . 2 Е сли lim f ( x ) = 0 , то ф ункция y = f ( x ) наз ы вается бесконечно x→ x0

м алой величиной п р и x → x0 . g Т еор ем а 4.1. П усть

lim α ( x ) = 0

x→ x0

и

lim β ( x ) = 0 , тогда

x→ x0

lim (α ( x ) ± β ( x )) = 0 (сум м аилир аз ностьдвух бесконечно м алы х величин

x→ x0

является бесконечно м алой величиной). 4 П усть ε – п р оиз вольное п олож ительное число. Т огда из условия теор ем ы следует, что для вы бр анного ε ε ∃δ 1 > 0 : ∀ x ∈ ( x0 − δ 1 ; x0 + δ1 ), x ≠ x0 ⇒ α ( x ) < (4.1) 2 и ε ∃δ 2 > 0 : ∀ x ∈ ( x0 − δ 2 ; x0 + δ 2 ), x ≠ x0 ⇒ β ( x ) < . (4.2) 2 Т аким обр азом , еслидля лю бого ε > 0 вы бр ать δ = min (δ 1 , δ 2 ) , то из нер авенств (4.1) и (4.2) будетследовать, что

46

∀ x ∈ ( x0 − δ ; x0 + δ ), x ≠ x0 ⇒ α ( x ) + β ( x ) ≤ α ( x ) + β (x ) < Следовательно, lim (α ( x ) ± β ( x )) = 0 . 3

ε ε + =ε. 2 2

x → x0

А налог ичнодоказы ваю тся теор ем ы : 1 Т еор ем а4.2. Е сли lim α ( x ) = 0 и с – некотор ая константа, то x → x0

lim (c ⋅ α (x )) = 0 (п р оиз ведениебесконечно м алой величины на кон-

x → x0

станту является бесконечном алой величиной). 1 Т еор ем а 4.3. П усть lim α ( x ) = 0 x→ x0

и

lim β ( x ) = 0 , тогда

x→ x0

lim (α ( x ) ⋅ β ( x )) = 0 (п р оизведение двух бесконечно м алы х величин явля-

x→ x0

ется бесконечно м алой величиной). g Т еор ем а 4.4. Е сли lim f ( x ) = A , г де А – некотор ая константа, x→ x0

тор азность f ( x ) − A является бесконечно м алой величиной. 4 И з условия теор ем ы следует, что ∀ε > 0 ∃δ = δ (ε ) > 0 : ∀ x ∈ ( x 0 − δ ; x 0 + δ ), x ≠ x 0 ⇒ f ( x ) − A < ε .

( f ( x ) − A) − 0

П ер еп исы вая п оследнее нер авенство в виде чим , что lim ( f ( x ) − A) = 0 . 3 x → x0

g Т еор ем а 4.5. Е сли lim f ( x ) = A ,

< ε , м ы п олу-

lim g ( x ) = B , г де А

x→ x0

x→ x0

иВ–

некотор ы еконстанты , то lim ( f ( x ) ± g ( x )) = lim f ( x ) ± lim g ( x ) = A ± B . x→ x0

x → x0

x → x0

4 И з теор ем ы 4.4 следует, что f ( x ) − A = α ( x ) и g (x ) − A = β ( x ) , г де α ( x ) и β ( x ) – бесконечно м алы евеличины . Т огда f ( x ) ± g ( x ) = A + α ( x ) ± ( B + β ( x )) = ( A ± B ) + (α ( x ) ± β ( x )) . Н о, в соответствиис теор ем ой 4.1, ф ункция α ( x ) ± β ( x ) является бесконечно м алой величиной. Следовательно, lim ( f ( x ) ± g ( x )) = A ± B . 3 x → x0

g Т еор ем а4.6. Е сли lim f ( x ) = A , lim g ( x ) = B , где А и В – неx→ x0

x → x0

котор ы еконстанты , то lim ( f ( x ) ⋅ g ( x )) = lim f ( x ) ⋅ lim g ( x ) = A ⋅ B . x→ x0

x → x0

x → x0

4 И з теор ем ы 4.4 следует, что f ( x ) = A + α ( x ) и g (x ) = B + β ( x ) , г де α ( x ) и β ( x ) – бесконечно м алы евеличины . Т огда f ( x ) ⋅ g (x ) = ( A + α ( x )) ⋅ (B + β ( x )) = A ⋅ B + A ⋅ β ( x ) + B ⋅ α ( x ) + α ( x ) ⋅ β ( x ) . В соответствие с теор ем ам и 4.2 и 4.3 вы р аж ения A ⋅ β ( x ), B ⋅ α ( x ) и α ( x ) ⋅ β ( x ) являю тся бесконечно м алы м и величинам и. Следовательно, lim ( f ( x ) ⋅ g ( x )) = A ⋅ B . 3 x→ x0

47 А налог ичнодоказы ваю тся следую щ иеутвер ж дения: 1 Т еор ем а 4.7. Е сли lim f ( x ) = A , lim g ( x ) = B , г де А x→ x0

x→ x0

иВ–

lim f ( x ) A  f ( x )  x → x0  = = . некотор ы еконстанты , п р ичем В ≠ 0, то lim  x → x 0  g (x )  lim g ( x ) B x → x0

1 Т еор ем а4.8. Е сли lim f ( x ) = A , lim g ( x ) = B , то x→ x0

lim ( g ( f ( x ))) = lim g ( x ) = B .

x→ x0

x→ A

x→ A

1 Т еор ем а 4.9. П усть lim f ( x ) = A , и lim g ( x ) = A , ип усть суx → x0

x→ x0

щ ествует такая ф ункция ϕ ( x ) итакое δ > 0, что для лю бого x ≠ x0, удовлетвор яю щ его нер авенству | x – x0 | < δ вы п олнено нер авенство f ( x ) ≤ ϕ ( x ) ≤ g ( x ) . Т огда lim ϕ ( x ) сущ ествуетир авен А . x → x0

§ 4.2. Пред ел ча с тн ого д вух функ ций. ∞ 0 Ра с к ры тиенеопред ел еннос тей вид а   и   . ∞

0

f (x) п р и x → x0 , ϕ (x) им ею щ их п р едел в точке x0. П р иэтом возм ож ны следую щ иеслучаи: A 1. f ( x ) → A, ϕ ( x ) → B ≠ 0 , тогдап о теор ем е4.7 g ( x ) → . B 2. f ( x ) → A, ϕ ( x ) → ∞ , тог да g ( x ) → 0 . 3. f ( x ) → A, ϕ ( x ) → 0 , тогда g ( x ) → ∞ . 4. f ( x ) → ∞, ϕ ( x ) → B ≠ ∞ , тог да g ( x ) → ∞ . 5. f ( x ) → 0, ϕ ( x ) → B ≠ 0 , тогда g ( x ) → 0 . 6. f ( x ) → ∞, ϕ ( x ) → ∞ . 7. f ( x) → 0, ϕ ( x ) → 0 . В п оследних двух случаях частноедвух ф ункций м ож етстр ем иться к лю бом у п р еделу – к константе, нулю илибесконечности. В таких случаях г овор ят, что м ы им еем дело с неоп р еделенностью . Случай 6 наз ы вается ∞ 0 неоп р еделенностью вида   , аслучай 7 – неоп р еделенностью вида   . ∞ 0 Н ахож дение п р едела числовой п оследовательности илиф ункциив случае наличия неоп р еделенностиназы вается р аскр ы тием неоп р еделенности. П оз наком им ся с основны м им етодам ир аскр ы тия неоп р еделенностей на п р им ер ах. Рассм отр им п р едел частного двух ф ункций g (x ) =

48 ∞ 1. Рас кры т ие н еопредел ен н ос т и вида   . ∞ 2 8n − 5n + 3 П р им ер 4.1. Н айти п р едел lim 3 . 2 n → ∞ 2n + n − 3n Реш ение. О чевидно, что п р и n → ∞ числительизнам енательдр оби стр ем ятся к бесконечности. Д ействительно, ср остом n слагаем ы е м ногочленов, содер ж ащ иестар ш иестеп ени n будутнам ного больш еостальны х ∞ слагаем ы х. Д ля р аскр ы тия неоп р еделенности вида   р азделим чис∞ литель и з нам енатель др оби на n в сам ой вы сокой (стар ш ей) степ ени, 2 для обоих м ногочленов (т.е. на n ). П олучим : 8n 2

5n

8 5 3 − + 8n − 5n + 3  ∞  n n2 n3 n3 n3 n3 = = = .   lim lim lim 3 2 n → ∞ 2n + n − 3n  ∞  n → ∞ 2 n3 n 2 3n n → ∞ 2 + 1 − 3 + 3− 3 n n2 n3 n n −

2

3

+

8 5 3 1 3 , , , , стр ем ятся к нулю . П оn n2 n n2 n3 следовательноп р им еняя теор ем ы 4.3 и 4.1, п олучим :

С р остом n вы р аж ения

3  8 5 3 8 5 − 2 + 3 lim  − 2 + 3  n  = 0− 0+ 0 = 0. n n n = n→∞  n n lim 1 3 1 3  0+0−0  n→∞ 2+ − 2 lim  2 + − 2  n n n n  n →∞  4x 2 + 3x − 8

П р им ер 4.2. Н айти п р едел lim

x→∞ 2 x 2

+ x + 3x 4

.

∞ Реш ение. Д ля р аскр ы тия неоп р еделенности вида   р азделим ∞ 2 числитель и знам енатель др оби на x . П олучим : 4x + 3x − 8

∞ =   = lim x → ∞ 2 x 2 + x 4 + 3x  ∞  x→∞ 2

lim

так как п р и x → ∞ вы р аж ения

4+ 2+ 3 , x

3 8 3 8 − 2 4+ − 2 4 x x x x = lim = , 3 x 4 + 3 x x →∞ 2 + 1 + 3 3 x x4 8 x2

и

3 x3

стр ем ятся к нулю .

49 ∞ 2. Рас кры т ие н еопредел ен н ос т и вида   . ∞ 2 5x + 6 x + 1 П р им ер 4.3. Н айтип р едел lim . 2 x → −1 2 x + 5 x + 3 Реш ение. П р ип одстановке вм есто x числа – 1 м ы п олучаем неоп 0 р еделенность вида   . Д ля р аскр ы тия этой неоп р еделенностир аз лож им 0 м ногочлены , стоящ ие в числителе и з нам енателе др оби, на м нож ители. П р и этом один из кор ней, как числителя, так и знам енателя р авен – 1. В тор ой кор ень найдем п о теор ем е В иета. Д ля числителя 1 1 3 3 − 1 ⋅ x2 = ⇒ x 2 = − . Д ля знам енателя − 1 ⋅ x 2 = ⇒ x 2 = − . И так, 5 5 2 2 1  5( x + 1) ⋅  x +  5x + 1 − 5 + 1 5x + 6 x + 1  0  5  =   = lim = lim = = −4 . lim 2 3  x → −1 2 x + 3 − 2 + 3  x → −1 2 x + 5 x + 3  0  x → −1 2 ⋅ ( x + 1) ⋅  x +  2  2

П осле сокр ащ ения числителя изнам енателя на ( x + 1) ≠ 0 неоп р еделенность п р оп адает ип р едел легко вы числяется с п ом ощ ью п одстановк ивм есто x числа – 1. x3 − 8 П р им ер 4.4. Н айтип р едел lim . x→2 x 2 + 6x − 4 Реш ение. П р ип одстановке вм есто x числа 2 м ы п олучаем неоп р е0 деленностьвида   . Д ля р аскр ы тия этой неоп р еделенностисначала из0 бавим ся от ир р ациональностив знам енателе др оби, а затем р азлож им вы р аж ения, стр ем ящ иеся к нулю , нам нож ители:

lim

x →2

= lim

x→2

x3 − 8

0 =   = lim x 2 + 6 x − 4  0  x→2

(x3 − 8 )⋅ (

x 2 + 6x + 4

x 2 + 6 x − 16

( x 2 + 2 x + 4 )⋅ ( = lim x→2

(x

2

x 2 + 6x + 4

)( x

+ 6x − 4 ⋅

) = lim (x − 2 ) ⋅ (x

2

5

)(

)

=

)

+ 2 x + 4 ⋅ x 2 + 6x + 4 = (x − 2 ) ⋅ (x + 8 )

) = 12 ⋅ 8 = 48 = 9,6. 10

)

+ 6x + 4

2

x→2

x 2 + 6x + 4

(x + 8 )

(x 3 − 8 )⋅ (

50 3. Рас кры т ие н еопредел ен н ос т ей вида (∞ − ∞ ), (∞ ⋅ 0) . П р еделы , содер ж ащ ие неоп р еделенностивида (∞ − ∞ ) или (∞ ⋅ 0 ) обы чно сп ом ощ ью алгебр аических п р еобр азований сводятк п р еделам , со∞  0 дер ж ащ им неоп р еделенностивида   или   . ∞  0 П р им ер 4.5. Н айтип р едел lim

x→∞

(x

2

)

+ 6x − 5 − x 2 + 3x + 8 . .

Реш ение. О чевидно, что п р и x → ∞ ум еньш аем ое и вы читаем ое стр ем ятся к бесконечности. Д ля р аскр ы тия неоп р еделенности (∞ − ∞ ) сначала п р евр атим р азность в частное двух ф ункций, ум нож ив ир азделив ∞ ее на соп р яж енное вы р аж ение. П олучив неоп р еделенность вида   , ∞ р аскр оем еесп ом ощ ьделения числителя из нам енателя п олученной др оби настар ш ую степ ень x: x 2 + 6x − 5 − x 2 + 3x + 8 2 2 = + 6 − 5 − + 3 + 8 = x x x x lim lim 2 2 x→∞ x →∞ x + 6 x − 5 + x + 3x + 8

(

)

= lim

x→∞

(x

= lim

x→∞

∞ ∞

+ 6x − 5 + x 2 + 3x + 8

3− 1+

13 x

6 5 3 8 − 2 + 1+ + 2 x x x x

(

( )

3 x − 13 2

(

=

)=

)

3− lim

x 2 + 6x − 5

x →∞

x2

)

13 x

+

x 2 + 3x + 8

=

x2

3 = 1,5 . 1+1

П р им ер 4.6. Н айтип р едел lim x ⋅ x→∞

( 4x

2

)

+ x + 2 − 4x2 + x − 1 . .

Реш ение. Н етр удно установить, что п р едел втор ого сом нож ителя р авен нулю (п р овер ьте сам остоятельно). Следовательно, в данном п р им ер е м ы им еем дело снеоп р еделенностью вида (∞ ⋅ 0) . Д ля р аскр ы тия этой неоп р еделенностиум нож им ир азделим исходную ф ункцию насум м у ∞ 4 x 2 + x + 2 + 4 x 2 + x − 1 . П олучив неоп р еделенность вида   , р ас∞ кр оем ее с п ом ощ ью деления числителя изнам енателя п олученной др оби на x:

(

)

2 2 lim x 4 x + x + 2 − 4 x + x − 1 = lim

x→∞

x→∞

(

)=

x ⋅ 4x 2 + x + 2 − 4 x 2 − x + 1

( 4x

2

)

+ x + 2 + 4x2 + x − 1

51 3 ∞ = =   = lim 1 2 1 1 x → ∞ 4 x 2 + x + 2 + x 2 + 3x + 1  ∞  x→∞ 4+ + 2 + 4+ − 2 x x x x 3 3 = = . 2+ 2 4

= lim

3x

(

)

§ 4.3. Первы й за м еча тел ь ны й пред ел и с л ед с твия изнего sin x = 1 (п ер вы й зам ечательны й п р едел). x→ 0 x C 4П р едвар ительно докаж ем следую щ ее нер авенство: B π  sin x < x < tgx  0 < x <  . (4.3) 2  π И з чер теж а 4.1 видно, что п р и 0 < x < X A 2 O вы п олнено нер авенство: S ∆AOB < S сектор аAOB < S ∆AOC . (4.4) R

g lim

О бозначая чер ез x р адианную м ер у угла ∠А ОВ, из нер авенства (4.4) п олучим Рис. 4.1. 1 2 1 1 R ⋅ sin x < R 2 ⋅ x < R 2 ⋅ tgx . 2 2 2 1 2 П ослесокр ащ ения на R м ы п р иходим к нер авенству (4.3). 2 Разделив sin x на каж ды й из членов нер авенства (4.3), п олучим : sin x sin x π  0 <1− < 1 − cos x . 1> > cos x  0 < x <  . Следовательно x 2 x  x x Н о 1 − cos x = 2 sin 2 < 2 sin < x (в силу нер авенства 4.3). 2 2 sin x Т аким обр азом , 0 < 1 − < x . И з п оследнего нер авенстваследует, что x sin x −1 < x . (4.5) x В силу нечетностиф ункции sin x , нер авенство (4.9) не изм енится п р и π изм енениизнака x, то естьоно вы п олнено п р ивсех x ≠ 0, x < . 2 sin x Н ер авенство (4.5) п озволяет доказать, что lim = 1 . Д ействиx→ 0 x тельно, для лю бого п олож ительног о числа ε > 0 в качестве δ вы бер ем

52  π δ = min  ε ,  . Т огда п р и лю бом x: 2  будетвы п олнено нер авенство (4.5):

x < δ (а, следовательно,

x <

π ) 2

sin x − 1 < x < δ < ε .3 x

С л едс т вия из первогозам еч ат ел ьн огопредел а. tgx 1. g С л едс т вие 1. lim = 1. x→0 x tgx sin x sin x 1 4 lim = lim ⋅ lim = 1 ⋅ 1 = 1 .3 = lim x→ 0 x x → 0 x ⋅ cos x x→ 0 x x → 0 cos x arcsin x 2. g С л едс т вие 2. lim = 1. x→0 x arcsin x = t t arcsin x 1 1 4 lim x = sin t = = lim = lim = = 1 .3 x→0 t → 0 sin t x → 0 sin t x 1 t → 0 пр и x → 0 t arctgx = 1. 3. 1 С л едс т вие 3. lim x→0 x Следствие3 доказы вается аналог ично следствию 2. sin 3 x П р им ер 4.7. Н айти п р едел lim . x→ 0 arctg5 x 0   0 восп ользуем ся п ер вы м зам ечательны м п р еделом иследствием 3. Д ля этог о р азделим числительизнам енательдр обина x ≠ 0: sin 3x sin 3x sin 3 x ⋅3 ⋅3 lim sin 3x 3 0 3 x x 3 x x 0 → = lim = = . =   = lim lim arctg 5 x x → 0 arctg5 x  0  x → 0 arctg 5 x x → 0 arctg5 x ⋅ 5 lim ⋅5 5 x 5x 5x x →0 2 cos x П р им ер 4.8. Н айти п р едел lim . 2 π π  x→ − x 2 2  0 Реш ение. М ы им еем дело с неоп р еделенностью вида   . П р оиз0 π π ведем зам ену п ер ем енной: x − = t , тогда x = t + и t → 0. 2 2  π cos 2  t +  2 2 cos x sin 2 t 2 0  sin t   =   = lim = lim 2 = lim   = 1. lim 2 2 π π 0 t t → 0 t → 0 t → 0   t   ( − t )  x→ − x 2 2  Реш ение.

Д ля

р аскр ы тия

неоп р еделенности вида

53 С равн ен ие бес кон еч н ом ал ы х вел ич ин . 2 Бесконечно м алая величина f ( x ) назы вается бесконечно м алой величиной более вы сокого п ор ядка п о ср авнению с бесконечно м алой веf (x) = 0 . В этом случаеп иш ут f ( x ) = o(ϕ ( x )) . личиной ϕ ( x ) , если lim x→ x0 ϕ (x ) 2 Д вебесконечно м алы е величины f ( x ) и ϕ ( x ) назы ваю тся бесf (x ) конечно м алы м и величинам иодного п ор ядка, если lim = const ≠ 0 . x → x 0 ϕ (x ) В данном случаеп иш ут f ( x ) = O(ϕ ( x )) , или ϕ ( x ) = O( f ( x )) . 2 Д вебесконечно м алы евеличины f ( x ) и ϕ ( x ) наз ы ваю тся эквиf (x ) = 1. валентны м ибесконечно м алы м ивеличинам и, если lim x → x 0 ϕ (x ) П ер вы й з ам ечательны й п р едел и его следствия даю т нам п р им ер ы эквивалентны х бесконечно м алы х величин: y = x, y = sin x, y = tgx, y = arcsin x, y = arctgx . П р и р еш ении некотор ы х задач бесконечно м алы е величины м ож но зам енятьэквивалентны м и. sin 2 x + 3tg 2 x П р им ер 4.9. Н айти п р едел lim . 2 x → 0 8 x + 5arctgx 0 Реш ение. М ы им еем дело снеоп р еделенностью вида   . Зам еним 0 бесконечно м алую величину tg2 x на эквивалентную бесконечно м алую величину 2 x , бесконечно м алую величину sin 2 x наэквивалентную бесконечно м алую величину x 2 , ибесконечно м алую величину arctgx 2 на эквивалентную бесконечно м алую величину x 2 . П олучим : lim

sin 2 x + 3tg 2 x

x→ 0 8x

+ 5arctgx

2

= lim

x →0

x 2 + 3 ⋅ 2x 8x + 5x

2

x ⋅ (x + 6 ) x+6 6 3 = = . = lim 8 4 x → 0 x ⋅ (5 x + 8 ) x → 0 5 x + 8

= lim

§ 4.4. Второй за м еча тел ь ны й пред ел и его с л ед с твия x

( )

1  1 lim 1 +  = 1∞ = e ≈ 2,72 (втор ой зам ечательны йп р едел). x → ∞ x С п ом ощ ью втор ого зам ечательного п р еделар еш аю тся м ног иез адачиснеоп р еделенностью вида 1∞ . С л едс т вия из вт орогозам еч ат ел ьн огопредел а.

( ) 1 x

g С л едс т вие 1. lim (1 + x ) = e . x →0

54 1 x

( )

4 lim (1 + x ) = 1 x→0

∞

1 y  1 = = lim 1 +  = e .3 x y → ∞ y y →0 пр иx →∞ y=

g С л едс т вие 2.

log a (1 + x ) = log a e . x→0 x lim

(4.6)

1 1 log a (1 + x )  0  4 lim =   = lim log a (1 + x ) x = log a lim (1 + x ) x = log a e .3 x→ 0 x →0 x  0  x→0 В частном случае, п р и a = e ф ор м ула (4.6) им еетвид:

ln(1 + x ) = ln e = 1 . x→ 0 x lim

(4.7)

g С л едс т вие 3. ax −1 (4.8) = ln a (a > 0 ) . lim x→ 0 x 4П р оиз ведем зам ену п ер ем енной a x − 1 = y , тогда x = log a ( y + 1) и

ax − 1  0  y 1 1 =   = lim = lim = = ln a .3 x→0 x  0  y → 0 log a ( y + 1) y → 0 loga ( y + 1) log a e y g С л едс т вие 4. lim

1 + x )q − 1 ( lim = q.

(4.9) x 4 П р оизведем зам ену п ер ем енной (1 + x )q − 1 = y П ер енесем единицу в п р авую часть и п р ологар иф м ир уем п олученное р авенство. Т огда q ⋅ ln(1 + x ) = ln(1 + y ) . И сп ольз уя п олученное р авенство, п р еобр азуем данx→0

y ln(1 + x ) ⋅q⋅ . И з р авенства x x ln(1 + y ) x y ln(1 + x ) (4.11) следует, что →1 и → 1 п р и x → 0, следовательln(1 + y ) x ное нам вы р аж ение

но lim

x→ 0

(1 + x )q − 1 = y =

(1 + x )q − 1 = q .3 x

 3x − 2  П р им ер 4.10. Н айти п р едел lim   x→∞  3 x + 4   3x − 2  Реш ение. lim   x→ ∞  3x + 4 

5 x +1

( ) ∞

= 1

5 x +1

.

 3x + 4 − 6  = lim   x → ∞  3x + 4 

5 x +1

=

55 3x+ 4 −6 ⋅ (5 x +1)⋅ −6 3x + 4 

  1   = lim 1 + 3x + 4  x→∞     −6 

3x+ 4  −6

   1   = lim  1 + 3x + 4  x →∞      −6  

3x + 4  −6

так как

  1    1 + lim 3x + 4  x→∞     −6 

=e

−30 x − 6  3x+ 4

     

− 30 −

− 30 x − 6 = lim 4 x → ∞ 3x + 4 x→∞ 3+ x

и lim

= e −10 ,

6 x = −10 .

§ 4.5. Неп реры вн ос ть функ ции Д адим два эквивалентны х оп р еделения неп р ер ы вности ф ункции. П р едп олож им , что ф ункция y = f(x) оп р еделена на некотор ом интер вале (a, b), ип усть в точке x0 ∈(a, b) ф ункция п р иним аетз начение f(x0). П ер ейдем отз начения x0 к др угом у значению x∈(a, b). П р иэтом говор ят, что значению x0 п р идано п р ир ащ ение ∆x = x – x0. Разность ∆y = f ( x0 + ∆x ) − f ( x0 ) м еж ду новы м истар ы м значениям и ф ункции наз ы вается п р ир ащ ением ф ункциив точке x0 , соответствую щ им п р ир ащ ению ∆x. 2 Определен ие 1. Ф ункция y = f(x), оп р еделенная на некотор ом интер вале (a, b), наз ы вается неп р ер ы вной в точке x 0∈(a, b) еслибесконечно м алом у п р ир ащ ению ар г ум ента x 0 отвечаетбесконечно м алое п р ир ащ ениеф ункции, т.е. lim ∆y = lim ( f ( x0 + ∆x ) − f ( x0 )) = 0 . ∆x → 0

∆x → 0

Д ля втор ого оп р еделения неп р ер ы вности нам п онадобится п онятие одностор онних п р еделов. 2 Число А назы вается п р еделом ф ункции y = f(x), п р и x стр ем ящ им ся к x0 с права, еслидля лю бого ε > 0 сущ ествует такое δ > 0, что для лю бог о x > x0 , удовлетвор яю щ его нер авенству x – x0 < δ вы п олнено нер авенство | f(x) – f(x0) | <ε. И ли, сокр ащ енно, A = lim f ( x ) , если x→ x0 + 0

∀ε > 0 ∃δ = δ (ε ) > 0 : ∀ x > x0 : x − x0 < δ ⇒ f ( x ) − A < ε . 2.Число А назы вается п р еделом ф ункции y = f(x), п р и x стр ем ящ им ся к x0 с л ева, еслидля лю бого ε > 0 сущ ествует такое δ > 0, что для лю бог о x < x0 , удовлетвор яю щ его нер авенству x 0 – x < δ, вы п олнено нер авенство | f(x) – f(x0) | <ε. И ли, сокр ащ енно, A = lim f ( x ) , если x→ x0 −0

∀ε > 0 ∃δ = δ (ε ) > 0 : ∀ x < x0 : x 0 − x < δ ⇒ f ( x ) − A < ε . И ны м исловам и

lim

x→ x0 + 0

56 lim

f ( x ) = lim f ( x ) , x → x0 x > x0

x→ x0 − 0

f ( x ) = lim f ( x ) . x→ x0 x < x0

2 Определен ие 2. Ф ункция y = f(x), оп р еделенная на некотор ом интер вале (a, b), назы вается неп р ер ы вной в точке x0 ∈(a, b), если lim f ( x ) = lim f ( x ) = f ( x0 ) (4.10) x→ x0 −0

x → x0 + 0

Читателям п р едлаг ается сам остоятельно п р овер ить эк вивалентность двух п р едлож енны х оп р еделений неп р ер ы вности. 2 Е сли lim f ( x ) = lim f ( x ) = const , а в точке x0 ф ункция x→ x0 −0

x → x0 + 0

y = f(x) не оп р еделена илип р иним ает значение, отличное от одностор онних п р еделов, то говор ят, что в точке x0 ф ункция y = f(x) тер п ит р аз р ы в п ер вого р одатип а«устр аним ая особенность». 2 Е сли lim f ( x ) ≠ lim f ( x ) , но п р и этом одностор онние x→ x0 −0

x→ x0 + 0

п р еделы сущ ествую т иконечны , то говор ят, что в точке x0 ф ункция y = f(x) тер п итр азр ы в п ер вого р одатип а«скачок». 2 Е сли хотя бы один из одностор онних п р еделов р авен бесконечности, или не сущ ествует, то говор ят, что в точке x0 ф ункция y = f(x) тер п итр аз р ы в втор ого р ода. 2 Ф унк ция назы вается неп р ер ы вной на некотор ом м нож естве, если онанеп р ер ы внав каж дой точкеданного м нож ества. 1 Сум м а, р азность ип р оиз ведение двух неп р ер ы вны х ф ункций является неп р ер ы вной ф ункцией (натом м нож естве, накотор ом неп р ер ы вны дведанны еф ункции). 1 Частноедвух неп р ер ы вны х ф ункций является неп р ер ы вной ф ункцией в тех точках, в котор ы х неп р ер ы вны дведанны еф унк ции, ип р иэтом з нам енательотличенотнуля. 1 П усть ф ункция t = ϕ(x) неп р ер ы вна на некотор ом м нож естве D ип усть Е – м нож ество тех значений ф ункции t = ϕ(x), котор ы е она п р иним ает на м нож естве D. Е сли на м нож естве Е неп р ер ы вна некотор ая ф ункция y = f(t), то суп ер п озиция этих ф ункций y = f(ϕ(x)) будет неп р ер ы вной нам нож естве D. 1 В се элем ентар ны е ф ункциинеп р ер ы вны в тех точках, в котор ы х ониоп р еделены . Н ап р им ер , ф ункции y = sin x, y = cos x , y = x n , y = a x неп р ер ы вны на всей числовой оси, ф ункция y = lg a x неп р ер ы вна п р и x ∈ (0; + ∞ ) , ф ункция y = tgx неп р ер ы вна на лю бом из интер валов π  π   − + nπ ; + nπ , n ∈ Z . 2  2 

57 П р им ер 4.11. И сследоватьф ункцию

y=

sin x нанеп р ер ы вность. x

sin x , как частное двух неп р ер ы вны х ф ункx ций неп р ер ы внаво всех точках числовой оси, заисклю чением точки x = 0. В точке x = 0 ф ункция не оп р еделена и, следовательно, тер п ит р азр ы в. И сследуем хар актер р азр ы ва. Д ля этог онайдем одностор онниеп р еделы : Реш ение. Ф ункция y =

sin x sin x = lim = 1, x→ 0− 0 x x → −0 x lim

sin x sin x = lim =1. x→ 0 +0 x x → +0 x lim

П р едел слева р авен п р еделу сп р ава, следовательно, в точке x = 0 ф ункция им еет р азр ы в п ер вого р одатип а «устр аним ая особенность». Е сли дооп р еделить ф ункцию в точке x = 0 единицей, то онастановится неп р ер ы вной. Т о есть  sin x , x≠0  y= x – неп р ер ы вная ф ункция.  1, x =0 П р им ер 4.12. И сследоватьф ункцию нанеп р ер ы вность.

 x 2 + 1, x ≤ 1,  y =  2 x, 1 < x ≤ 3,  4, x > 3.  Реш ение. О чевидно, что ф ункция неп р ер ы внанакаж дом из тр ех интер валов x ≤ 1, 1 ≤ x < 3 и x ≥ 3. Т очки x =1 и x = 3 являю тся п одозр ительны м инаналичиер аз р ы ва. Н айдем одностор онниеп р еделы :

(

)

lim y ( x ) = lim x 2 + 1 = 1 + 1 = 2,

x →1− 0

x →1− 0

lim y ( x ) = lim 2 x = 2 .

x →1+ 0

x →1+ 0

Значениеф ункциив точке x =1 р авно: y( 1 )= 12+ 1=2. П р едел слева р авен п р еделу сп р ава, и р авен значению ф ункции в точке x = 1, следовательно, в точке x = 1 ф ункция неп р ер ы вна. И сследуем п оведениеф ункциив точке x = 3: lim y ( x ) = lim 2 x = 6,

x → 3− 0

x →3 − 0

lim y (x ) = lim 4 = 4 .

x →3 + 0

x →3 + 0

П р едел слева нер авен п р еделу сп р ава, следовательно, в точке x = 3 ф ункция тер п ит р азр ы в п ер вого р одатип а «скачок ». Гр аф ик ф ункции из обр аж ен нар ис. 4.2:

58

6

4

2

0

X

3

1

Рис. 4.2. 1 2 = 5 −x

П р им ер 4.13. У становить хар актер р азр ы ва ф ункции y в точке x = 2. Реш ение. Н айдем одностор онниеп р еделы в точке x = 2: 1 П р и x → 2 − 0 з нам енатель др оби стр ем ится к нулю , но ос2− x 1 тается п р иэтом больш енуля. Следовательно, сам а др обь стр ем ит2−x ся к п лю сбесконечности. Т огда lim

x→ 2 −0

1 52−x

= +∞ . 1

1 → −∞ и lim 5 2 − x = 0 . П р и x → 2 + 0 др обь x→ 2 −0 2−x Т ак как один из одностор онних п р еделов р авен бесконечности, то в 1 2 = 5 −x

точке x = 2 ф ункция y тер п итр азр ы в втор ог о р ода. Зам етим , что в остальны х точках ф ункция неп р ер ы вна, как суп ер п озиция неп р ер ы вны х ф ункций.

59

Глава5. П р оизводная ф ункции. Д иф ф ер енциал § 5.1. Прои звод на я функ ц ии. Е егеом етричес к ий с м ы с л П усть точка x0 входит в область оп р еделения ф ункции y = f(x) вм естеснекотор ой окр естностью . Т о есть, сущ ествует такое δ > 0, что ф ункция оп р еделена во всех точках, п р инадлеж ащ их интер ва( x0 − δ ; x 0 + δ ) . П усть лу x ∈ ( x0 − δ ; x0 + δ ) . Раз ность ∆x = x – x0 назы вается п р ир ащ ением ар гум ента, а р азность ∆y = f(x) – – f(x0 ) = f(x0 +∆x) – f(x0 ) наз ы вается п р ир ащ ением ф ункциив точке x0 (см . р ис. 5.1). Рис. 5.1. 2 П р оизводной ф ункции y = f(x) в точке x0 назы вается п р едел отнош ения п р ир ащ ения ф унк циик п р ир ащ ению ар гум ента, когда п р ир ащ ениеар г ум ентастр ем ится к нулю : f ′( x 0 ) = lim

∆x → 0

f ( x0 + ∆x ) − f ( x 0 ) , ∆x

(5.1)

еслип р едел (5.1) сущ ествуетиконечен. П р едп олож им , что в некотор ой окр естности ( x0 − δ ; x0 + δ ) точки з адана неп р ер ы вная ф ункция y = f(x) (р ис. 5.1). Значению x0 соответствуетточка А (x0; y0) нагр аф икеф ункции y = f(x). П р идадим ар гум енту x0 некотор ое достаточно м алое п р ир ащ ение ∆x, с таким р асчетом , чтобы точка x0 + ∆x невы ш лазап р еделы окр естности: ( x0 − δ ; x0 + δ ) . В ы числяя з начение ф ункции в точке x = x0 + ∆x, м ы п олучим новую точку B(x0 + ∆x; f(x0 + ∆x)) нагр аф икеф ункции y = f(x). П р ям ая линия, п р оходящ ая чер ез точки А и В, то есть п ер есекаю щ ая гр аф ик ф ункции не м енее, чем в двух точках, наз ы вается секущ ей. П р едп олож им , что секущ ая А В составляет угол α = α(∆x) с п олож ительны м нап р авлением оси OX. Т огда, очевидно, что ∠ВА С = α. Следовательно, угловой коэф ф ициент секущ ей р авен BC f ( x 0 + ∆x ) − f ( x 0 ) k AB = tgα = = . О чевидно, что уг ловой коэф ф ициент AC ∆x секущ ей, так ж екак иугол α еенаклонак оси OX зависитот ∆x. 2 К асательной к г р аф ику ф ункции y = f(x) в точке А (x0; y0) назы вается п р едельное п олож ение секущ ей А В п р и ∆x → 0. Т ак как п р и

60 ∆x → 0 точка В неогр аниченно п р иближ ается к точке А , то из данног о оп р еделения следует, что касательная им еет с гр аф иком ф ункции только одну общ ую точку А в достаточно м алой окр естноститочки x0 . Е сликасательная к г р аф ику ф ункциисущ ествуетв точке А , то ееугол наклона β к оси OX (угол м еж ду касательной ип олож ительны м нап р авлением оси OX) долж ен бы тьр авен п р едельном у п олож ению угла наклона секущ ей к осиOX. П р и этом уг ловой коэф ф ициент касательной долж ен бы ть р авен п р еделу уг лового коэф ф ициентасекущ ей п р и ∆x → 0: f ( x0 + ∆x ) − f ( x0 ) k = tgβ = lim tgα = lim = f ′( x0 ) . (5.2) ∆x ∆x → 0 ∆x → 0 Сум м ир уя сказанное, м ы м ож ем сделать следую щ ий вы вод. Е сли в некотор ой точке x0 ф ункция y = f(x) им еет п р оизводную f ′( x0 ) , то сущ ествует касательная к гр аф ику ф ункциив точке А (x0; y0), п р ичем угловой коэф ф ициент данной касательной р авен f ′( x0 ) . В этом заклю чается г еом етр ический см ы сл п р оиз водной. У р авнение касательной м ож но найти, исп ользуя ур авнение (3.8) п р ям ой, п р оходящ ей чер ез з аданную точку с заданны м уг ловы м коэф ф ициентом : y − f ( x0 ) = f ′( x0 ) ⋅ ( x − x0 ) .

§ 5.2. Та бл ица производ ны х П ользуясьоп р еделением п р оиз водной ф ункциим ож но найтип р оизводны енаиболееп р осты х (элем ентар ны х) ф ункций. Т аким обр азом , м ы п олучим таблицу п р оиз водны х, сп ом ощ ью котор ой м ож нонаходитьп р оизводны еболееслож ны х ф ункций:

( )

1′.

′ 2. a x = a x ⋅ ln a .

( )

′ 2′. e x = e x .

3. (log a x )′ =

1 3′. (ln x )′ = . x

′ 1. x n = n ⋅ x n −1 .

( x )′ = 2 1 x .

( )

1 . x ⋅ ln a

4. (sin x )′ = cos x .

5. (cos x )′ = − sin x .

6. (tgx )′ =

7. (ctgx )′ = −

1 2

cos x

8. (arcsin x )′ =

. 1

1 − x2 1 10. (arctgx)′ = . 1 + x2

.

1 sin 2 x

9. (arccos x )′ = −

. 1

1 − x2 1 11. (arcctgx )′ = − . 1 + x2

.

61 В ы ведем некотор ы еиз табличны х ф ор м ул. 1. Производн ая с т епен н ой ф ун кции. 4 В осп ользуем ся ф ор м улой (4.9). П олучим :    1 + n n ( x + ∆x ) − x  n −1  n ′ x = lim = lim  x ⋅ ∆x → 0 ∆x → 0 ∆x   

( )

n  ∆x   −1  x  n −1  = x ⋅ n .3 ∆x   x 

2. Производн ая показат ел ьн ой ф ун кции. 4 В осп ользуем ся ф ор м улой (4.9). П олучим :

(a )′ = lim a

a ∆x − 1 − ax  0  = a x ⋅ ln a .3 =   = a x ⋅ lim ∆x → 0 ∆x → 0 ∆x ∆x 0 3. Производн ая ф ун кции y = sin x . α−β α+β 4 В осп ользуем ся ф ор м улой sinα − sin β = 2 sin ⋅ cos : 2 2 ∆x ∆x   sin ⋅ cos x +  sin ( x + ∆x ) − sin x  0  2 2  ′  (sin x ) = lim =. =   = lim ∆x ∆x → 0 ∆x  0  ∆x → 0 2 ∆x sin 2 ⋅ lim cos x + ∆x  = 1 ⋅ cos x = cos x .3 = lim ∆x → 0 ∆x ∆x → 0 2   2 А налог ично вы водится п р оиз водная ф ункции y = cos x . Д р уг ие табличны еп р оиз водны ебудутвы ведены п оз днее. x

x + ∆x

§ 5.3. Дифференци а л функ ции, его геом етри чес к ий с м ы с л и прим енениев прибл и женны х вы чис л ениях 1. Диф ф ерен цируем ос т ь ф ун кции. Диф ф ерен циал . П р едп олож им , что ф ункция y = f(x) оп р еделена на некотор ом интер вале (a, b). 2 Ф ункция y = f(x) назы вается диф ф ер енцир уем ой в точкеx0∈(a, b), еслиееп р ир ащ ение ∆y в этой точкем ож но п р едставитьв виде ∆y = А ⋅∆x + α(∆x)⋅∆x, (5.4) г де А – некотор ая константа(нез ависитот∆x), а α(∆x) – бесконечно м алая величинап р и ∆x → 0 ( lim α (∆x ) = 0 ). ∆x → 0

2 Ф ункция, диф ф ер енцир уем ая во всех точках некотор ог о м нож ества (нап р им ер , отр езка), назы вается диф ф ер енцир уем ой на данном м нож естве(отр езке).

62 Зам етим , что втор оеслагаем ое в п р авой частир авенства (5.4) является бесконечно м алой величиной более вы сокого п ор ядкап р и ∆x → 0 п о α (∆x ) ⋅ ∆x ср авнению с ∆x. Д ействительно, lim = lim α (∆x ) = 0 . ∆x → 0 ∆x → 0 ∆x П ер вое слагаем ое А ⋅∆x (линейное относительно ∆x) п р и ∆x → 0 является бесконечно м алой величиной одного п ор ядкас ∆x. Т о есть слаг аем ое А ⋅∆x является главной частью п р ир ащ ения ф ункции y = f(x) в точке x 0. 2 Главная, линейная относительно ∆x часть п р ир ащ ения ф унк ции y = f(x) в точке x0 назы вается еедиф ф ер енциалом в точке x0. Д иф ф ер енциалф ункцииобозначается сим волом dy. Т аким обр аз ом , dy = А ⋅∆x. Д окаж ем две теор ем ы , устанавливаю щ ие связ ь м еж ду диф ф ер енцир уем остью и сущ ествованием п р оизводной в точке x0 , а так ж е м еж ду диф ф ер енцир уем остью инеп р ер ы вностью ф ункциив точке x0. g Д ля того, чтобы ф ункция y = f(x) бы ладиф ф ер енцир уем ой в точке x0, необходим о идостаточно, чтобы онаим елаконечную п р оизводную в этойточке. 4 Н еобходим ость. П усть ф ункция y = f(x) диф ф ер енцир уем а в точке x 0, то естьееп р ир ащ ение ∆y в этой точкем ож но п р едставитьв ви∆y = A + α (∆x ) . де (5.4). Раз делив р авенство (5.4) на ∆x, п олучим ∆x ∆y = lim ( A + α (∆x )) = A . Следовательно, п р оизводная О тк уда lim ∆x → 0 ∆x ∆x → 0 ф ункции y = f(x) в точке x0 сущ ествуетир авна А . Д остаточность. П усть сущ ествует конечная п р оизводная f′(x0 ), то ∆y ∆y =A есть lim = f ′( x0 ) . О бозначая f′(x0) чер ез А , п олучим lim ∆x → 0 ∆x ∆x → 0 ∆x ∆y  ∆y  − A является беско− A  = 0 . Т о есть ф ункция α (∆x ) = или lim  ∆x → 0 ∆x ∆x  нечно м алой п р и ∆x → 0. У м нож ая п оследнеер авенство на ∆x, п олучим ∆y = А ⋅∆x + α(∆x)⋅∆x. Следовательно, ф ункция y = f(x) диф ф ер енцир уем а в точке x0 .3 И з доказанной теор ем ы следует, что диф ф ер енциал ф ункции y = f(x) в точке x0 р авен dy = f′(x0 )⋅∆x. П р ир ащ ение независим ой п ер ем енной ∆x в точке x 0 часто наз ы ваю т диф ф ер енциалом независим ой п ер ем енной и обозначаю тсим волом dx. Т аким обр аз ом , м ы п р иходим к ф ор м уле dy = dy(x0 ) =f′(x0)⋅dx.

(5.5)

И з ф ор м улы (5.5) следует, что п р оизводную ф ункциим ож но найти как частноедиф ф ер енциалов: dy f ′( x0 ) = (5.6) dx

63 g Е слиф ункция y = f(x) диф ф ер енцир уем а в точке x 0, то в данной точкеонанеп р ер ы вна. 4 П усть ф ункция y = f(x) диф ф ер енцир уем а в точке x0 , то естьее п р ир ащ ение в этой точкем ож но п р едставитьв виде (5.4). П ер еходя в р авенстве (5.4) к п р еделу пр и ∆x → 0, п олучим lim ∆y = A ⋅ lim ∆x + lim α (∆x ) ⋅ lim ∆x = 0 . В соответствие с п ер вы м ∆x → 0

∆x → 0

∆x → 0

∆x → 0

оп р еделением неп р ер ы вности(см . §4.5), ф ункция y = f(x) неп р ер ы вна в точке x 0. 3 О бр атноеутвер ж дение невер но. Н ап р им ер , ф ункция y = | x | неп р ер ы вна во всех точках числовой оси(в том числе, в точке x 0 = 0). О днако данная ф ункция неявляется диф ф ер енцир уем ой в точке x0 = 0. Н еп оср едственную п р овер ку п р едоставляем читателям . 2. Прим ен ен ие диф ф ерен циал а дл я прибл иж ен н ы х вы ч ис л ен ий . Геом ет рич ес кий с м ы с л диф ф ерен циал а. В о м ногих задачах, не тр ебую щ их п овы ш енной точности, диф ф ер енциал м ож но исп ольз овать для п р иближ енного вы числения значений ф ункции. П р едп олож им , что на некотор ом интер вале (a, b) оп р еделена и неп р ер ы вна некотор ая ф ункция y = f(x). П усть в некотор ой точке x 0 ∈(a, b) ф ункция y = f(x) является диф ф ер енцир уем ой ип усть нам известно значение ф ункции y0 = f(x0). Т р ебуется найти значение ф унк ции y 1 = f(x1) в точке x1 ∈ (a, b), достаточно близкойк точке x0. О бозначим чер ез ∆x = x1 – x0 п р ир ащ ение ар гум ента ф ункции в точке x0 . И ском ое значение ф ункции y1 м ож но найтип р иближ енно, зам енив п р ир ащ ение ф ункциидиф ф ер енциалом : y1 = y0 + ∆y ≈ f(x0) + dy(x0 ). Т аким обр азом , м ы п р иходим к следую щ ей п р иближ енной ф ор м уле: f(x 1) ≈ f(x 0) + f′(x0 )⋅( x1 – x0)

(5.7) Ф ор м ула (5.7) им еет п р остой Y B г еом етр ический см ы сл. И з р исунка 5.2 видно, что еслиточка x 1 достаточно близ ка к точке x0 Y1 то п р ир ащ ение ф ункции y = f(x) dy м ож но п р иближ енно зам енить y п р ир ащ ением касательной, п р оведенной к гр аф ику ф ункA Y0 C циив точке А (x0 , y0). П р ир ащ ение касательной (отр ез ок ВС ) легко находится из п р ям оугольного тр еугольника А ВС : ВС = А С ⋅tgα = f′(x0)⋅∆x = dy(x0 ). 0 X0 X1 Т аким обр азом , диф ф ер енциал ф унк ции в точке x0 р авен Рис. 5.2. п р ир ащ ению касательной, п р оведенной к гр аф ику ф ункциив точке А (x0 , f(x0)).

64 П р им ер 5.1. В ы числить 4 16,6 п р иближ енно, с п ом ощ ью диф ф ер енциала. Реш ение. Рассм отр им ф ункцию y = 4 x . П усть x0 = 16, x1 = 16,6 . Т ог да ∆x = x1 − x0 = 16,6 − 16 = 0,6. y 0 = f ( x0 ) = 16 = 2. 4

3

1 − f ′( x 0 ) = ⋅ x 4 4

= x =16

1

( )3

4 ⋅ 4 16

=

1 1 = . 4 ⋅ 8 32

Д ля нахож дения y1 = 4 x1 = 4 16,6 восп ользуем ся ф ор м улой (5.7). 1 ⋅ 0,6 ≈ 2 + 0,019 = 2,019. П олучим 4 16,6 ≈ y 0 + f ′( x 0 ) ⋅ ∆x = 2 + 32

§ 5.4. О с новны епра вил а д ифференци рова н ия Сф ор м улир уем основны еп р авила, котор ы м им ы будем п ользоваться п р инахож дениип р оизводны х ф унк ций (диф ф ер енцир овании). 1. (c ⋅ f ( x ))′ = c ⋅ f ′( x ) . ′ 2. (u ( x ) ± v ( x )) = u ′( x ) ± v ′( x ) . ′ 3. (u ( x ) ⋅ v ( x )) = u ′( x ) ⋅ v( x ) + u ( x ) ⋅ v′( x ) . ′  u ( x )  u ′( x ) ⋅ v( x ) − u ( x ) ⋅ v ′( x ) 4.   = . v 2 (x )  v( x )  5. ( f (ϕ ( x )))′ = f ′(u ) ⋅ ϕ ′( x ) , где u = ϕ ( x ) .

Д окаж ем некотор ы еп р авиладиф ф ер енцир ования. 1. Вы н ес ен ие пос т оян н огом н ож ит ел я за зн ак производн ой . g Е слиф ункция y = f(x) им еет в некотор ой точке x п р оизводную f ′(x), то ф ункция y = с ⋅f(x), где с – п остоянны й м нож итель, такж еим еетв точке x п р оизводную , п р ичем (с ⋅f(x))′ = f ′(x).

c ⋅ f ( x + ∆x ) − c ⋅ f ( x ) f ( x + ∆x ) − f ( x ) 4 (c f ( x ))′ = lim = c lim = c ⋅ f ′( x ) .3 ∆x → 0 ∆x → 0 ∆x ∆x 2. Производн ая с ум м ы (разн ос т и) двух ф ун кций . g Е слиф унк ции y = u(x) и y = v(x) им ею т в некотор ой точке x п р оизводны е u′(x) и v′(x) соответственно, то ф ункция y = u(x) ± v(x) такж еим еетв точке x п р оизводную , п р ичем (u(x) ± v(x))′ = u′(x) ± v′(x). u ( x + ∆x ) ± v ( x + ∆x ) − (u ( x ) ± v (x )) 4 (u ( x ) ± v ( x ))′ = lim = ∆x → 0 ∆x u ( x + ∆x ) − u ( x ) v( x + ∆x ) − v( x ) = lim ± lim = u ′( x ) ± v′( x ) .3 ∆x → 0 ∆x →0 ∆x ∆x

65 3. Производн ая произведен ия двух ф ун кций . g Е слиф унк ции y = u(x) и y = v(x) им ею т в некотор ой точке x п р оизводны е u′(x) и v′(x) соответственно, то ф ункция y = u(x)⋅v(x) такж е им еетв точке x п р оизводную , п р ичем (u(x)⋅v(x))′ = u′(x)⋅v(x) + v′(x)⋅u(x).

u ( x + ∆x ) ⋅ v( x + ∆x ) − u ( x ) ⋅ v( x ) ′ = 4 (u ( x ) ⋅ v( x )) = lim ∆x → 0 ∆x u ( x + ∆x ) ⋅ v( x + ∆x ) − u ( x ) ⋅ v ( x + ∆x ) + u ( x ) ⋅ v ( x + ∆x ) − u ( x ) ⋅ v ( x ) = ∆x → 0 ∆x

= lim

u ( x + ∆x ) − u ( x )  v ( x + ∆x ) − v ( x )    = lim  v ( x + ∆x ) ⋅  + lim  u ( x + ∆x ) ⋅ = ∆x → 0  ∆x ∆x  ∆x → 0  

= u ′( x ) ⋅ v( x ) ± v′( x ) ⋅ u ( x ) .3 4. А налогично вы водится п р авило диф ф ер енцир ования частног о двух ф ункций, им ею щ их п р оизводную в некотор ойточке x: ′  u( x )  u ′( x ) ⋅ v ( x ) − u ( x ) ⋅ v ′( x ) .  =  v 2 (x )  v(x )  5. Производн ая с лож н ой ф ун кции. g Е сли1) ф ункция u = ϕ(x) им еет в некотор ой точке x п р оизводную ϕ ′(x), 2) ф ункция y = f(u) им еет в точке u = ϕ(x) п р оизводную f ′(u), то слож ная ф ункция y = f(ϕ(x)) будетим етьп р оизводную в точке x, р авную п р оизведению п р оизводной внеш ней ф ункции f(u) на п р оизводную внутр енней ф ункции ϕ(x). Т о есть

( f (ϕ ( x )))′ = f ′(u ) ⋅ ϕ ′( x ) ,

г де u = ϕ(x).

4 О бозначим чер ез ∆u = ϕ ( x + ∆x ) − ϕ ( x ) , тогда ϕ ( x + ∆x ) = ϕ ( x ) + ∆u = u + ∆u . В силу неп р ер ы вности ф ункции u = ϕ(x) п р ир ащ ение ∆u стр ем ится к нулю п р и ∆x→ 0. Н айдем п р оиз водную

( f (ϕ ( x )))′ =

lim

∆x → 0

f (ϕ ( x + ∆x )) − f (ϕ ( x )) = ∆x

 f (ϕ ( x + ∆x )) − f (ϕ ( x )) ϕ (x + ∆x ) − ϕ ( x )  = lim  ⋅  = ∆x → 0  ϕ ( x + ∆x ) − ϕ ( x ) ∆x 

= lim

∆u →0

f (u + ∆u ) − f (u ) ϕ ( x + ∆x ) − ϕ ( x ) ⋅ lim = f ′(u ) ⋅ ϕ ′( x ) .3 ∆x → 0 ∆u ∆x

66

§ 5.5. Та бл ичноед ифференци рова н ие. Прои звод на я обра тной функ ц ии 1. Т абл ич н ое диф ф ерен цирован ие. В началеданного п ар агр аф ам ы п ознаком им ся сп р остейш им им етодам инахож дения п р оизводны х ф ункций, основанны м инатаблицеп р оизводны х ип р авилах диф ф ер енцир ования. Сначала, исп ользуя п р авило диф ф ер енцир ования частного двух ф ункций, докаж ем ещ едветабличны еф ор м улы :

′ ′ ′ 1  sin x  (sin x ) ⋅ cos x − (cos x ) ⋅ sin x cos 2 x + sin 2 x ′ (tgx) =  = = .  = 2 2  cos x  cos x cos x cos 2 x ′ ′ ′ 2 2 1  cos x  (cos x ) ⋅ sin x − (sin x ) ⋅ cos x − cos x − sin x (ctgx ) =  = = = − .   sin x  sin 2 x sin 2 x sin 2 x ′

П р им ер 5.2. Н айтип р оиз водную ф ункции y = 2 sin x − 3 x . Реш ение. В осп ольз уем ся п р авилом диф ф ер енцир ования р азности, учиты вая, что вы читаем оеявляется слож ной ф ункцией: ′ 2  1 − ′ ′ 1 ′ x sin x sin x sin 3   y′ = 2 − x =2 ⋅ ln 2 ⋅ (sin x ) − x 3 = 2 ⋅ ln 2 ⋅ cos x − ⋅ x 3 .   3   П р им ер 5.3. Н айтип р оиз водную ф ункции y = 53 x ⋅ lg(4 x − 7 ) . Реш ение. В осп ользуем ся п р авилом диф ф ер енцир ования п р оизведения двух ф ункций, учиты вая, что каж ды й сом нож ительявляется слож ной ф ункцией: ′ y ′ = 53 x ⋅ lg(4 x − 7 ) + 53 x ⋅ (lg(4 x − 7 ))′ = 53 x ⋅ ln 5 ⋅ (3 x )′ ⋅ lg(4 x − 7 ) +

(

) ( )

( )

+ 53 x ⋅

1 4 ⋅ (4 x − 7 )′ = 53 x ⋅ ln 5 ⋅ 3 ⋅ lg(4 x − 7 ) + 53 x ⋅ . (4 x − 7 ) ⋅ ln10 (4 x − 7 ) ⋅ ln10

П р им ер 5.4. Н айтип р оиз водную ф ункции y =

arccos x 2 − e x . arctg 3x

Реш ение. В осп ользуем ся п р авилом диф ф ер енцир ования частного, учиты вая п р иэтом , чтов числителедр обистоитр азностьдвух ф ункций. ′ ′ ( arccos x 2 − e x ) ⋅ arctg 3x − (arccos x 2 − e x ) ⋅ (arctg3 x ) y′ = = arctg 2 3 x

67   1 −   1 − x2  =

( )

2

 ′ 1 ⋅ (3 x )′ − e  ⋅ arctg 3x − arccos x 2 − e x ⋅ 2 1 + (3 x )   = arctg 2 3x

( ) ( )

⋅ x

2

′

(

x

(

)

)

   − 2 x − e x  ⋅ arctg 3x − arccos x 2 − e x ⋅ 3   1 + 9x2 1− x4   . = arctg 2 3 x 2. Производн ая обрат н ой ф ун кции. g П усть 1) ф ункция y = f(x) им еет обр атную ф ункцию x = ϕ(y) на интер вале (a; b), 2) в точке x 0∈(a; b) им еетконечную иотличную отнуля п р оизводную f ′ (x 0). Т огда обр атная ф ункция ϕ(y) им еет п р оизводную в точке y0 = f(x0), п р ичем 1 ϕ ′( y 0 ) = . f ′ ( x0 ) 4П р идадим з начению y = y0 п р оизвольное п р ир ащ ение ∆y, тогда ф ункция x = ϕ(y) п олучит соответствую щ ее п р ир ащ ение ∆x. Зам етим , что п р и ∆y ≠ 0 ввиду однозначностиф ункции y = f(x) и ∆x ≠ 0. Е сли ∆y → 0 то и ∆x → 0 в силу неп р ер ы вностиф ункции x = ϕ(y). И м еем ∆x 1 1 1 .3 = lim = = lim ∆y f ′( x0 ) ∆y → 0 ∆y ∆x → 0 ∆y lim ∆x ∆x → 0 ∆x М ы доказ алип р остую ф ор м улу для п р оизводной обр атнойф ункции: 1 x′y = . (5.8) y ′x С п ом ощ ью ф ор м улы (5.8) м ож но вы вести оставш иеся табличны е п р оизводны е: 1. Н айдем п р оизводную ф ункции x = log a y , являю щ ейся обр атной к ф ункции y = a x . 1 1 1 1 x ′y = = x = , то есть (log a y )′ = . y ′x a ⋅ ln a y ⋅ ln a y ⋅ ln a 2. Н айдем п р оизводную ф унк ции y = arcsin x (− 1 < x < 1) , являю π  π щ ейся обр атной к ф ункции x = sin y наинтер вале  − < y <  . 2  2 1 1 1 1 1 y ′x = = = = = . x′y (sin y )′ cos y 1 − sin 2 y 1 − x2 М ы доказ алитабличны еф ор м улы 3 и 8. О ставш иеся ф ор м улы 9 – 11 доказы ваю тся аналогично.

68

§ 5.6. Прои звод на я неявн ой функ ц ии и функ ци и, за д а нн ой па ра м етри чес к и. Л ога рифм ичес к оед ифференцирова ние 1. Производн ая н еявн ой ф ун кции. П р едп олож им , что з начения двух п ер ем енны х x и y связаны м еж ду собой ур авнением F(x; y) = 0. (5.9) Е слидля каж дого значения x в некотор ом интер валесущ ествуетодно или несколько з начений y, котор ы есовм естно с x удовлетвор яю тур авнению (5.9), то этим оп р еделяется одноз начная или м ногозначная ф ункция y = f(x), для котор ой р авенство F(x; f(x)) = 0 вы п олняется тож дественно относительно x. Д иф ф ер енцир уя тож дество (5.9) п о п ер ем енной x, найдем п р оизводную неявнойф ункции. П р им ер 5.5. Н айтип р оиз водную y′(x) неявной ф ункции:

(

)

xy 2 + cos 3 x + y + 5 x = 0. Реш ение. П р одиф ф ер енцир уем данное р авенство п о п ер ем енной x. П р иэтом п р оизводная x′ = 1 а п р оизводная y′ п ока нам не из вестна. Е е м ы как р аз инайдем из п олученного р авенства: ' xy 2 + cos 3 x + y + 5 x x = 0.

(

(

)

)

1 ⋅ y + x ⋅ 2 y ⋅ y ′ − sin 2

(

3

1 −2  x + y ⋅  ⋅ x 3 + y ′  + 5 x ⋅ ln 3 = 0 . 3   

)

Раскр оем скобкиисгр уп п ир уем слагаем ы е, содер ж ащ ие в левой частир авенства: y + 2 xy ⋅ y ′ − 2

(

y ′ ⋅ 2 xy − sin

sin

(3 x + y ) − sin (3 x + y ) ⋅ y′ + 5 x ⋅ ln 3 = 0 .

3 ⋅ 3 x2

(3 x + y )) = sin ( 3x +2 y ) − y 2 − 5 x ⋅ ln 3 . 3

3⋅ x

И з п оследнег ор авенстванаходим п р оизводную неявной ф ункции

(

sin 3 x + y y′ =

) − y 2 − 5x ⋅ ln 3

33 x 2 2 xy − sin 3 x + y

(

)

=

(

)

sin 3 x + y − 33 x 2 ⋅ y 2 − 33 x 2 ⋅ 5 x ⋅ ln 3

(

6 x ⋅ y − 3 x ⋅ sin x + y 3

5

3

2

3

)

.

2. Производн ая ф ун кции, задан н ой парам ет рич ес ки. Зависим остьм еж ду п ер ем енны м и x и y м ож етбы тьзаданап оср едством некотор ого п ар ам етр а. Н ап р им ер , коор динаты точки на п лоскости

69 м ог ут зависеть от вр ем ени. В общ ем случае п ар ам етр ическое з адание ф ункциивы г лядитследую щ им обр азом  y = y (t ),   x = x(t ).

(5.10)

Е слииз систем ы удается исклю чить п ар ам етр t, то из п ар ам етр ическиз аданной ф ункциим ож но п олучить явную ф ункцию y = f(x). Э то возм ож но далеко не всег да, однако в лю бом случае м ы м ож ем найти п р оизводную y′(x). Д ля нахож дения п р оиз водной y′(x) м ы восп ользуем ся ф ор м улой (5.6) из котор ой следует, чтоп р оизводная ф ункциир авначастном у dy диф ф ер енциалов ф ункцииинезависим ой п ер ем енной: y′(x ) = . Раздеdx лив числительиз нам енательдр обина dt, п олучим : dy y ′(t ) y ′( x ) = dt = . (5.11) dx x ′(t ) dt Зам ечание. К ак видно из ф ор м улы (5.11) п р оизводная y′(x), так ж е как ип ер ем енны е x и y зависит от п ар ам етр а t. П оэтом у п р оизводная ф ункции, з аданной п ар ам етр ическ и снова является ф ункцией, заданной п ар ам етр ически: y ′(t )  ′  y (x ) = ′ , x (t )   x = x (t ).  П р им ер 5.6. Н айти п р оизводную y′(x) ф ункции, заданной п ар ам етр ически:  y = 8 sin 3 t ,  3  x = 4 cos t. Реш ение. П о ф ор м уле (5.11), п олучим

( (

) )

′ y ′(t ) 8 sin 3 t t 8 ⋅ 3 ⋅ sin 2 t ⋅ cos t 2 sin t = =− = −2tgt. y ′( x ) = = 2 x ′(t ) cos t 3 ′ 4 ⋅ 3 ⋅ cos t ⋅ ( − sin t ) 4 cos t t  y ′( x ) = −2tgt, Следовательно,  3 x = 4 cos t . 3. Л огариф м ич ес кое диф ф ерен цирован ие. П р едп олож им , что тр ебуется найти п р оизводную ф унк ции y = f ( x )ϕ ( x ) . Д анную ф унк цию нельз я диф ф ер енцир овать, исп ользуя таб-

70 личны е ф ор м улы (1) и (2) (см . §5.2). Д ело в том , что ф ор м ула (1) п р едп олагает п остоянны й п оказатель степ ени (степ енная ф ункция), а ф ор м ула (2) – п остоянноеоснованиестеп ени(п оказательная ф ункция). П р ологар иф м ир уем р авенство y = f ( x )ϕ ( x ) : ln y = ln f ( x )ϕ ( x ) . ln y = ϕ ( x ) ⋅ ln f ( x ) . В м есто явной, м ы п олучилинеявную ф ункцию . О днако п р авая часть п олученного р авенства является обы чны м п р оизведением двух ф ункций и, следовательно, легко диф ф ер енцир уется: 1 1 (ln y )′ = (ϕ ( x ) ⋅ ln f ( x ))′ . ⋅ y ′ = ϕ ′( x ) ⋅ ln f ( x ) + ϕ ( x ) ⋅ ⋅ f ′( x ). y f (x ) И з п оследнего р авенстванаходим y′(x):   1 y ′ = y ⋅  ϕ ′(x ) ⋅ ln f ( x ) + ϕ ( x ) ⋅ ⋅ f ′( x ) , или f (x )   y ′ = f ( x )ϕ

1 (x )  ′ ⋅  ϕ ( x ) ⋅ ln f ( x ) + ϕ ( x ) ⋅ 

 ⋅ f ′( x ) . f (x ) 

П р им ер 5.7. Н айтип р оиз водную ф ункции y = arcsin x (ctg 2x ). Реш ение. Л огар иф м ир уя данное р авенство, п олучим неявную ф ункцию : ln y = ctg 2 x ⋅ ln(arcsin x ). Д иф ф ер енцир уя, данноер авенство п о x, находим y′(x): 1 1 1 1 ⋅ y′ = − 2 ⋅ 2 ⋅ ln arcsin x + ⋅ ⋅ ctg 2 x. arcsin x 1 − x 2 y sin 2 x y ′ = (arcsin x )

ctg 2 x

  1 1 1 . 2 2 ln arcsin ⋅ − ⋅ ⋅ x + ⋅ ⋅ ctg x  sin 2 2 x  2 arcsin x 1− x  

Л огар иф м ическое диф ф ер енцир ование нар яду с диф ф ер енцир ованием п оказ ательно-степ енны х ф ункций часто исп ольз уется для нахож дения п р оизводны х ф ункций, содер ж ащ их больш оеколичество сом нож ителей. e − x ⋅ sin 2 x ⋅ x 3 ⋅ lg x . П р им ер 5.8. Н айтип р оиз водную ф ункции y = 2 5 x ⋅ arccgx Реш ение. П р олог ар иф м ир уем данноер авенство:

ln y = ln e− x + ln sin 2 x + ln x3 + ln lg x − ln 25 x − ln arccgx . ln y = − x + ln sin 2 x + 3 ln x + ln lg x − 5 x ⋅ ln 2 − ln arccgx . Д иф ф ер енцир уя, данноер авенство п о x, находим y′(x):

71 y′ 2 cos 2 x 3 1 1 1 1   = −1 + + + ⋅ − 5 ln 2 − ⋅− . y x lg x x ⋅ ln10 arccgx  1 + x 2  sin 2 x y′ =

 e − x sin 2 x ⋅ x 3 lg x  3 1 1  − 1 + 2ctg 2 x + + . 5 ln 2 − + 2   x x x lg ln 10 ⋅ 25 x arccgx arcctgx 1 x +  

(

)

§ 5.7. Прои звод ны евы с ш их поряд к ов 2 П р едп олож им , что ф ункция y = f(x) им еет конечную п р оизводную y′ = f ′(x) во всех точках некотор ого интер вала (a, b). Т огда п ер вая п р оизводная y = f ′(x) сам а является некотор ой ф ункцией, заданной в интер вале (a, b). Е слив некотор ой точке x0 ∈(a, b) сущ ествуетп р оизводная ф ункции f ′(x), то онаназы вается п р оиз водной втор ого п ор ядка, иливтор ой п р оизводной ф ункции y = f(x). В тор ая п р оиз водная обы чно обоз начаd2y ется сим волам и f ′′(x0 ), y′′, . dx 2 А налог ично оп р еделяю тся п р оизводны е ф ункции более вы соког о п ор ядка. 2 Е слип р едп олож ить, что п онятие (n – 1)-й п р оизводной уж еоп р еделено ичто (n – 1)-я п р оизводная сущ ествует иконечна во всех точках некотор ого интер вала (a, b). Т о ее п р оиз водная в некотор ой точке x 0 ∈(a, b) назы вается п р оизводной n-г о п ор ядка, или n-ой п р оизводной ф ункции y = f(x). Д ля ееобозначения обы чно исп ользую тся сим волы : dny (n) (n) . f (x0), y , dx n П р им ер 5.9. Н айтитр етью п р оизводную ф ункции y = arccos x . Реш ение. П оследовательно найдем п ер вую , втор ую , а затем , тр етью п р оизводную : 1

y′ = −

( x)

2

1−

⋅

1 2 x

=−

′   = − 1 ⋅  −  2  

1 2 x ⋅ 1− x

 1 y ′′ =  − x − x 2  2 

)

 y′′′ =  x − x 2  

′  1 x  ⋅  −  + x − x2  4 2 

(

(

(

)

−

3 2

3 = − x − x2 2

)

−

−

5 2

1 2

(

1 2 ⋅ x − x 2

(

−

)

3 2

(

)

3 2

1 x ⋅  −  + x − x2 4 2

−

)

−

3 2

=−

1 2 x−x

2

(

.

⋅ (1 − 2 x ) = x −

)

3 2 −2 x

1 ⋅ − 4

x . 2

′ 1 x ⋅ −  =  4 2  1 ⋅−  =  2

1

(

8x−

)

5 x2 2

(

)

⋅ 6x − 3 − x + x 2 .

72 Т аким обр аз ом , y ′′′ =

x 2 + 5x − 3

(

8x−

)

5 2 2 x

.

 y = arctg t , П р им ер 5.10. Н айтивтор ую п р оизводную ф ункции  .  x = 1 + t . Реш ение. И сп ользуя ф ор м улу (5.11) найдем п ер вую п р оиз водную : 1 1 ⋅ 1 1 y ′(t ) 1 + t 2 t . y ′( x ) = = = = 2 1 x ′(t ) 1 + ⋅ t t t +t ⋅1 2 1+ t П ер вая п р оиз водная, так ж екак иисходная ф ункция, является ф ункцией, заданной п ар ам етр ически: 1  ′ y x = ( ) ,  2 t +t   x = 1 + t . Следовательно, для нахож дения втор ой п р оиз водной м ож но вновь исп ольз оватьф ор м улу (5.11):

( y′( x ))t' ′ ′ y (x) = x′(t )

1 ′  2 −  3 −  t +t 2 1 2   − t + t 2 ⋅ (2t + 1) 2t + 1   = 2 = . =− 2 1 1 t +t 2 1+ t 2 1+ t

(

)

(

)

2t + 1  ′′ ,  y (x ) = 2 О кончательно п олучим :  t +t x = 1 + t . 

73

Л И ТЕ РА ТУ РА 1. Д ем идович Б.П . К р аткий кур с вы сш ей м атем атики/ Б.П . Д ем идович, В .А . К удр явцев. – М .: А стель. А СТ , 2001. – 655 с. 2. М инор ский В .П . Сбор ник задач п о вы сш ей м атем атике: У чеб. п особиедля втузов / В .П . М инор ский. – 14-е из д. – М .: И з д-во ф из.-м ат. лит., 2001. – 366 с. 3. Шип ачев В .С. О сновы вы сш ейм атем атики: У чеб. п особиедля втузов / В .С. Ш ип ачев; П одр ед. акад. А .Н . Т ихонова. – 2-еизд. стер еотип ное– М .: В ы сш . ш к., 1994.– 352 с. 4. Шип ачев В .С. Сбор ник задач п о вы сш ей м атем атике: У чеб. п особие/ В .С. Ш ип ачев. – М .: В ы сш . ш к., 1994.– 192 с. 5. Шип ачев В .С. В ы сш ая м атем атика: У чебник для студ. втузов / В .С. Шип ачев. – 5-еиз д., стер еотип ное– М .: В ы сш . ш к., 2000.– 479 с. 6. П исьм енны й Д .Т . К онсп ектлекций п о вы сш ей м атем атике: Т р идцать ш естьлекций / Д .Т . П исьм енны й. – А йр ис– п р есс. Ч. 1 – 2000. – 279 с. 7. Гусак А .А . В ы сш ая м атем атика: В 2 т.: У чебник для студ. втуз ов / А .А . Гусак. – 3-еизд., стер еотип ное– М инск: Т етр аСистем с, Т . 2. – 2001. – 447 с.

74

Дл я зам ет ок

75

Составители: доц. Ф етисов Ю р ий М ихайлович, ст. п р еп . У ксусов Сер гей Н иколаевич. Редактор : БунинаТ .Д .