Курс математики для нематематических специальностей технических университетов: В 2 т. Т.1

ÏÐÅÄÈÑËÎÂÈÅ Êîíöåïöèÿ ìàòåìàòè÷åñêîãî îáðàçîâàíèÿ â âûñøåé òåõíè÷åñêîé øêîëå áûëà ñôîðìóëèðîâàíà åùå â íà÷àëå XX âåêà À. Í. Êðûëîâûì1 : "Èíæåíåð â ñâîåé ïðàêòè÷åñêîé äåÿòåëüíîñòè áûâàåò ïîñòîÿííî âûíóæäåí äåëàòü ñâîè çàêëþ÷åíèÿ, ðóêîâîäñòâóÿñü "çäðàâûì ñìûñëîì" èëè "ãëàçîìåðîì è ïðè ýòîì â òåõ òðóäíûõ ñëó÷àÿõ, êîãäà ðàñ÷åò áåññèëåí èëè êîãäà íàäî óñòàíàâëèâàòü ñàìè äàííûå èëè äîïóùåíèÿ äëÿ ðàñ÷åòà. Îí èçó÷àåò ìàòåìàòèêó ñ öåëüþ ïðàêòè÷åñêîé, ïðèêëàäíîé è ðàññìàòðèâàåò åå íå êàê ñàìîñòîÿòåëüíûé ïðåäìåò èçó÷åíèÿ, à êàê ïîäñîáíîå îðóäèå, êàê èíñòðóìåíò äëÿ ðåøåíèÿ ðÿäà âîïðîñîâ, âñòðå÷àåìûõ â íåêîòîðîé îãðàíè÷åííîé îáëàñòè ïðàêòè÷åñêîé äåÿòåëüíîñòè. Çäåñü ïîëíàÿ ñòðîãîñòü ðàññóæäåíèé íå ìîæåò áûòü ïðîâîäèìà öåëèêîì [. . . ] Îáîñíîâàíèå ìîæåò áûòü äàíî íå òîëüêî ÷èñòî óìîçðèòåëüíîå, ñâîäÿùåå âñå ê îñíîâíûì àêñèîìàì, íî è ïðè ïîìîùè íàãëÿäíîñòè, äåëàþùåå óòâåðæäåíèå î÷åâèäíûì. Èç ýòîãî îäíàêî íå ñëåäóåò, ÷òîáû ïðèêëàäíîå èçó÷åíèå ìàòåìàòèêè ñâîäèëîñü ê ðåöåïòóðå èëè ê óìåíèþ ïîëüçîâàòüñÿ ñïðàâî÷íèêàìè, èáî òîãäà îíî ñâîäèëî áû ìàòåìàòèêó ê îðóäèþ ñ÷åòà ïî ãîòîâûì îáðàçöàì, è åå çíà÷åíèå êàê îðóäèÿ èññëåäîâàíèÿ óòðàòèëîñü áû. Íî, ïîíÿòíî, ïðèêëàäíîé õàðàêòåð äîëæåí îêàçûâàòü ñóùåñòâåííîå âëèÿíèå íà ñîäåðæàíèå è èçëîæåíèå êóðñà." Ýòà êîíöåïöèÿ, áëåñòÿùå ïîäòâåðæäåííàÿ âñåé äåÿòåëüíîñòüþ åå àâòîðà, ñîõðàíèëà ñâîå çíà÷åíèå è ñåãîäíÿ. Îäíàêî çà ïðîøåäøèå ãîäû èçìåíèëàñü êàê ñàìà ìàòåìàòèêà, òàê è åå ðîëü â ïðèêëàäíûõ èññëåäîâàíèÿõ. Ïî-âèäèìîìó, íàèáîëåå ñóùåñòâåííûå äëÿ ïðèëîæåíèé èçìåíåíèÿ ñâÿçàíû ñ áûñòðûì ðàçâèòèåì ñðåäñòâ âû÷èñëèòåëüíîé òåõíèêè. Äî ýïîõè "êîìïüþòåðíîé ðåâîëþöèè" ìàòåìàòèêà ïîçâîëÿëà â êàæäîé îáëàñòè çíàíèÿ ýôôåêòèâíî àíàëèçèðîâàòü ñðàâíèòåëüíî íåáîëüøîé êðóã çàäà÷, ðåøàåìûõ â îñíîâíîì òî÷íûìè àíàëèòè÷åñêèìè ìåòîäàìè. Ïîýòîìó èññëåäîâàòåëü áûë âûíóæäåí ïðè ïîñòðîåíèè ìàòåìàòè÷åñêîé ìîäåëè óïðîùàòü ñâîþ ðåàëüíóþ çàäà÷ó äî òåõ ïîð, ïîêà îíà íå ñòàíåò àíàëèçèðóåìîé (äàæå çà ñ÷åò ñóùåñòâåííîãî óìåíüøåíèÿ àäåêâàòíîñòè). Ñ äðóãîé ñòîðîíû, èññëåäîâàòåëü äîëæåí áûë âëàäåòü "ìàòåìàòè÷åñêîé òåõíîëîãèåé": óìåòü âûïîëíÿòü âñÿêîãî ðîäà ìàòåìàòè÷åñêèå ïðåîáðàçîâàíèÿ, íàõîäèòü èíòåãðàëû, ðåøàòü ÷àñòíûå âèäû äèôôåðåíöèàëüíûõ 1 Àëåêñåé

Íèêîëàåâè÷ ÊÐÛËΠ(1863-1945)  ðóññêèé ìàòåìàòèê, ìåõàíèê è êîðàáëåñòðîèòåëü, ÷ëåí Ïåòåðáóðãñêîé ÀÍ è ÀÍ ÑÑÑÐ, îñíîâàòåëü òåîðèè ïðèáëèæåííûõ âû÷èñëåíèé. 1

óðàâíåíèé è ò. ï. Íà âûðàáîòêó ýòèõ çíàíèé è óìåíèé è íàïðàâëåí ñóùåñòâóþùèé äî ñèõ ïîð òðàäèöèîííûé êóðñ ìàòåìàòèêè äëÿ òåõíè÷åñêèõ è åñòåñòâåííîíàó÷íûõ ñïåöèàëüíîñòåé. Íî íåïðåðûâíûé ðîñò áûñòðîäåéñòâèÿ è îáúåìà ïàìÿòè êîìïüþòåðà, ðàçðàáîòêà âûñîêîýôôåêòèâíûõ ïðèêëàäíûõ ïðîãðàìì è ñðåä êîíå÷íîãî ïîëüçîâàòåëÿ ðàñøèðÿåò êðóã äîñòóïíûõ äëÿ àíàëèçà ìàòåìàòè÷åñêèõ ìîäåëåé, ïîçâîëÿåò èñïîëüçîâàòü èíûå ìåòîäû èõ èññëåäîâàíèÿ. Ïîýòîìó ìàòåìàòè÷åñêàÿ ïîäãîòîâêà ñîâðåìåííîãî èññëåäîâàòåëÿ äîëæíà áûòü ñóùåñòâåííî óñèëåíà.  òî æå âðåìÿ ïðèêëàäíîå ìàòåìàòè÷åñêîå îáåñïå÷åíèå êîìïüþòåðà áåðåò íà ñåáÿ âñå âîçðàñòàþùóþ ÷àñòü "ìàòåìàòè÷åñêîé òåõíîëîãèè è ìû ñ÷èòàåì öåëüþ ïðàêòè÷åñêèõ çàíÿòèé ïî ìàòåìàòèêå óãëóáëåííîå çíàêîìñòâî ñ îñíîâíûìè ìàòåìàòè÷åñêèìè ïîíÿòèÿìè, ñòðóêòóðàìè è ìîäåëÿìè, à íå ïîäãîòîâêó âèðòóîçîâ àíàëèòè÷åñêèõ ïðåîáðàçîâàíèé, êîòîðûõ íåìàëî áûëî â ïðîøëûå âðåìåíà. Ïðåäëàãàåìûé êóðñ ìàòåìàòèêè ïðåñëåäóåò äâå îñíîâíûå öåëè: 1) ïîäãîòîâèòü ñòóäåíòà ê èçó÷åíèþ îáùåòåõíè÷åñêèõ è ñïåöèàëüíûõ äèñöèïëèí, ïîçíàêîìèâ åãî ñ èñïîëüçóåìûìè â ýòèõ äèñöèïëèíàõ ìàòåìàòè÷åñêèìè ìîäåëÿìè; 2) íàó÷èòü ñòóäåíòà ðåøàòü è àíàëèçèðîâàòü òèïîâûå (äëÿ èçáðàííîãî èì íàïðàâëåíèÿ ïîäãîòîâêè) çàäà÷è, ýôôåêòèâíî èñïîëüçóÿ ñîâðåìåííîå ìàòåìàòè÷åñêîå îáåñïå÷åíèå êîìïüþòåðà. Ñîîòâåòñòâåííî, ïðè èçó÷åíèè êàæäîé òåìû  íà ëåêöèè ñòóäåíòó ñëåäóåò îáúÿñíèòü, "êàê óñòðîåíà" èçó÷àåìàÿ ìàòåìàòè÷åñêàÿ ìîäåëü, è, ïî âîçìîæíîñòè, óñòàíîâèòü ñâÿçè ñ ââåäåííûìè ðàíåå ïîíÿòèÿìè è ìîäåëÿìè. Ïðè ýòîì ìíîãèå äîêàçàòåëüñòâà ìîæíî çàìåíÿòü ïðàâäîïîäîáíûìè ðàññóæäåíèÿìè, íå âûäàâàÿ èõ, êîíå÷íî, çà äîêàçàòåëüñòâà;  íà ïðàêòè÷åñêèõ çàíÿòèÿõ â àóäèòîðèè ñòóäåíò äîëæåí íàó÷èòüñÿ èññëåäîâàòü ýòó ìîäåëü "âðó÷íóþ" â ïðîñòåéøèõ (íå ñîäåðæàùèõ òåõíè÷åñêèõ òðóäíîñòåé) ñëó÷àÿõ;  íà ëàáîðàòîðíûõ çàíÿòèÿõ â äèñïëåéíîì êëàññå ñòóäåíò äîëæåí áûòü îçíàêîìëåí ñ ñîâðåìåííûìè ïðîãðàììíûìè ñðåäñòâàìè, ïîçâîëÿþùèìè ðåøàòü ðåàëüíûå çàäà÷è ïî èçó÷àåìîé òåìå. Ïðè ýòîì îñîáîå âíèìàíèå äîëæíî áûòü óäåëåíî ðàáîòå â ñðåäàõ êîíå÷íîãî ïîëüçîâàòåëÿ (MAPLE, MATLAB) è èñïîëüçîâàíèþ áèáëèîòåê ñòàíäàðòíûõ ïðîãðàìì íà Ôîðòðàíå (òàêèõ êàê NAG, IMSL). Ñåðüåçíîå ïðåäóïðåæäåíèå. Öèâèëèçîâàííûé ïîëüçîâàòåëü, íà ïîä2

ãîòîâêó êîòîðîãî ðàññ÷èòàí ýòîò êóðñ, äîëæåí íàó÷èòüñÿ ïîëüçîâàòüñÿ ïðè ðåøåíèè ìàòåìàòè÷åñêèõ çàäà÷ áèáëèîòåêàìè ñòàíäàðòíûõ ïðîãðàìì è íå äîëæåí äàæå ïûòàòüñÿ ïðîãðàììèðîâàòü âû÷èñëèòåëüíûå àëãîðèòìû ñàì. Ñîçäàíèå "ñàìîïàëüíûõ" ïðîãðàìì ïî âäîõíîâåíèþ ïîëüçîâàòåëÿ èëè íà îñíîâå ìíîãî÷èñëåííûõ "ðóêîâîäñòâ äëÿ ÷àéíèêîâ" ìîæåò ïðèâåñòè ê ïîñëåäñòâèÿì, íå ìåíåå ïå÷àëüíûì, ÷åì èçãîòîâëåíèå ñàìîäåëüíûõ âçðûâíûõ óñòðîéñòâ. Ýòî íå îçíà÷àåò, ÷òî "ñàìîïàë" íå ñðàáîòàåò íèêîãäà. Îäíàêî ìîæíî óâåðåííî óòâåðæäàòü, ÷òî ïðàâèëüíûé îòâåò áóäåò ïîëó÷åí ëèøü â òàêîé çàäà÷å, êîòîðàÿ ìîæåò áûòü ðåøåíà êàê óãîäíî, äàæå "ïðè ïîìîùè âåðåâî÷íîé ïåòëè è ïàëêè".  ñëó÷àå çàäà÷è ñêîëü-íèáóäü áîëåå ñëîæíîé ïîëó÷åííûé "îòâåò" íå áóäåò èìåòü íè÷åãî îáùåãî ñ äåéñòâèòåëüíîñòüþ. Êóðñ ñîñòîèò èç òðåõ ðàçäåëîâ: "Ìàòåìàòè÷åñêèé àíàëèç "Ëèíåéíàÿ àëãåáðà è åå ïðèëîæåíèÿ "Äîïîëíèòåëüíûå ãëàâû". Êîìïîíîâêà ðàññ÷èòàíà íà îäíîâðåìåííîå ÷òåíèå ëåêöèé ïî ïåðâûì äâóì ðàçäåëàì, ñîñòàâèâøèõ ïåðâûé òîì äâóõòîìíèêà. Ïåðâîíà÷àëüíûé âàðèàíò íàøåãî êóðñà ÷èòàëñÿ â òå÷åíèå ðÿäà ëåò â Ñàíêò-Ïåòåðáóðãñêîì ãîñóäàðñòâåííîì ýëåêòðîòåõíè÷åñêîì óíèâåðñèòåòå è íà õèìè÷åñêîì ôàêóëüòåòå Ñàíêò-Ïåòåðáóðãñêîãî ãîñóäàðñòâåííîãî óíèâåðñèòåòà. Îí áûë íàïå÷àòàí â âèäå îòäåëüíûõ áðîøþð â 1992-1994 ãîäàõ. Ïåðåðàáîòàííûé êóðñ âûøåë â òðåõ òîìàõ â 1996-2000 ãîäàõ. Ïðè ïîäãîòîâêå íàñòîÿùåãî èçäàíèÿ íåêîòîðûå ïàðàãðàôû êóðñà ïîäâåðãëèñü ñóùåñòâåííîé ïåðåðàáîòêå ñ ó÷åòîì çàìå÷àíèé, ñäåëàííûõ íàøèìè êîëëåãàìè. Áûëè èñïðàâëåíû òàêæå çàìå÷åííûå îïå÷àòêè.  ðàçíûå ãîäû îòäåëüíûå ãëàâû ðóêîïèñè ïî íàøåé ïðîñüáå ÷èòàëè ß.È. Áåëîïîëüñêàÿ, Í.À. Áîäóíîâ, Þ.À. Èëüèí, Ì.Â. Ëåâèò, À.Ñ. Ìåðêóðüåâ, Ì.À. Íàðáóò, Â.Â. Íåêðóòêèí, À.Í. Ïîäêîðûòîâ, Â.È. Ïîëèùóê, Ñ.È. Ðåïèí, Â.Ì. Ðÿáîâ, Ã.Ñ. Ñâåòëîâà, Â.Â. Ñêèòîâè÷. Ìû ïðèçíàòåëüíû íàøèì êîëëåãàì, êîòîðûå ñïîñîáñòâîâàëè óìåíüøåíèþ êîëè÷åñòâà îøèáîê. Îñîáåííî áëàãîäàðíû ìû ïðîôåññîðó Ñàíêò-Ïåòåðáóðãñêîãî Ïîëèòåõíè÷åñêîãî óíèâåðñèòåòà Âëàäèìèðó Ìàòâååâè÷ó ×èñòÿêîâó, òðàãè÷åñêè ïîãèáøåìó ëåòîì 2006 ãîäà. Îí âíèìàòåëüíåéøèì îáðàçîì ïðî÷åë âåñü êóðñ è âûñêàçàë áîëåå ñòà çàìå÷àíèé. Ìû çàðàíåå ïðèçíàòåëüíû âñåì ÷èòàòåëÿì, êîòîðûå ïîæåëàþò ïðèñëàòü íàì ñâîè çàìå÷àíèÿ2 . 2 Ïðîùå

âñåãî ýòî ñäåëàòü ïî e-mail [email protected] 3

Ðàçäåë 1 ÌÀÒÅÌÀÒÈ×ÅÑÊÈÉ ÀÍÀËÈÇ

6

Ãëàâà 1. ÍÅÊÎÒÎÐÛÅ ÎÑÍÎÂÍÛÅ ÏÎÍßÒÈß 1.1. Âûñêàçûâàíèÿ. Ëîãè÷åñêèå îïåðàöèè Ïðåäëîæåíèå, ñîäåðæàùåå èñòèííîå èëè ëîæíîå óòâåðæäåíèå, ìû áóäåì íàçûâàòü âûñêàçûâàíèåì. Ïðèìåðû. 1. Òèãð  ìëåêîïèòàþùåå. 2. "À"  ïåðâàÿ áóêâà ðóññêîãî àëôàâèòà. 3.  êîëîäå äëÿ ïðåôåðàíñà 52 êàðòû. 4. 2+3=6. Ïåðâûå äâà âûñêàçûâàíèÿ èñòèííû, âòîðûå äâà  ëîæíû. Ñëåäóþùèå ïðåäëîæåíèÿ âûñêàçûâàíèÿìè íå ÿâëÿþòñÿ: Ïðîñòèòå ïåõîòå, ÷òî òàê íåðàçóìíà áûâàåò îíà. Ñîöèàëèñòè÷åñêàÿ ïåðñïåêòèâà. Ðîçîâîå ïëàòüå êðàñèâåå, ÷åì ãîëóáîå. Ïåðâûå äâà ïðåäëîæåíèÿ íå ñîäåðæàò óòâåðæäåíèé; èñòèííîñòü óòâåðæäåíèÿ, ñîäåðæàùåãîñÿ â òðåòüåì ïðåäëîæåíèè, çàâèñèò îò âêóñà. Îïðåäåëåíèå. Ïóñòü A  âûñêàçûâàíèå. Îòðèöàíèåì âûñêàçûâàíèÿ A íàçûâàåòñÿ âûñêàçûâàíèå "íåâåðíî, ÷òî A" (èëè "íå A"), êîòîðîå ëîæíî, åñëè A èñòèííî, è èñòèííî, åñëè A ëîæíî. Ïðè çàïèñè âìåñòî "íå A" îáû÷íî óïîòðåáëÿþò çíàê ¬A. Ýòî îïðåäåëåíèå êîðîòêî çàïèñûâàåòñÿ â âèäå òàê íàçûâàåìîé òàáëèöû èñòèííîñòè (çäåñü È îáîçíà÷àåò èñòèíó, Ë  ëîæü):

A ¬A

È Ë

Ë È

Îïðåäåëåíèå. Ïóñòü A, B  âûñêàçûâàíèÿ. Êîíúþíêöèåé ýòèõ âûñêàçûâàíèé íàçûâàåòñÿ âûñêàçûâàíèå "A è B" (ïèøóò A&B èëè V A B), êîòîðîå çàäàåòñÿ ñëåäóþùåé òàáëèöåé èñòèííîñòè:

A B

È È Ë Ë

A

È Ë È Ë

V

È Ë Ë Ë 7

B

V

Ïðèìåðû. 1. Âûñêàçûâàíèå (Â îêòÿáðå 31 äåíü) (π > 3) èñòèííî, èáî èñòèííû îáà îïåðàíäà êîíúþíêöèè. V 2. Âûñêàçûâàíèå (Ñòðåëêà êîìïàñà âñåãäà óêàçûâàåò íà çàïàä) (3 · 3 = 9) ëîæíî, òàê êàê ëîæåí ïåðâûé îïåðàíä êîíúþíêöèè. Îïðåäåëåíèå. Ïóñòü A, B  âûñêàçûâàíèÿ. Äèçúþíêöèåé ýòèõ W âûñêàçûâàíèé íàçûâàåòñÿ âûñêàçûâàíèå "A èëè B" (ïèøóò A B), êîòîðîå çàäàåòñÿ ñëåäóþùåé òàáëèöåé èñòèííîñòè:

A B

È È Ë Ë

A

È Ë È Ë

W

B

È È È Ë W

Ïðèìåðû. 1. Âûñêàçûâàíèå ( îêòÿáðå 31 äåíü) (Ñòðåëêà êîìïàñà âñåãäà óêàçûâàåò íà çàïàä) èñòèííî, èáî ïåðâûé îïåðàíä äèçúþíêöèè èñòèííûé. W 2. Âûñêàçûâàíèå (1900 ãîä  âèñîêîñíûé) (2 · 2 = 5) ëîæíî, òàê êàê ëîæíû îáà îïåðàíäà äèçúþíêöèè. Çàìå÷àíèÿ. 1. Îáðàòèòå âíèìàíèå íà òî, ÷òî ñîþç "èëè" íå èìååò â ìàòåìàòèêå ðàçäåëèòåëüíîãî ñìûñëà "èëè-èëè îáû÷íîãî äëÿ óïîòðåáëåíèÿ ýòîãî ñîþçà â ðóññêîì ÿçûêå. 2. Äëÿ çàïîìèíàíèÿ óäîáíû ñëåäóþùèå îïèñàíèÿ: êîíúþíêöèÿ èñòèííà òîëüêî ïðè èñòèííîñòè îáîèõ åå îïåðàíäîâ; äèçúþíêöèÿ ëîæíà òîëüêî ïðè ëîæíîñòè îáîèõ åå îïåðàíäîâ. Îïðåäåëåíèå. Ïóñòü A, B  âûñêàçûâàíèÿ. Èìïëèêàöèåé íàçûâàåòñÿ âûñêàçûâàíèå "åñëè A, òî B" (ïèøóò A =⇒ B), êîòîðîå çàäàåòñÿ ñëåäóþùåé òàáëèöåé èñòèííîñòè:

A B

È È Ë Ë

A =⇒ B

È Ë È Ë

È Ë È È

Ïðèìåðû. 1. Âûñêàçûâàíèå (π > 3) =⇒ (2 · 2 = 3) ëîæíî. 2. Âûñêàçûâàíèå (2 · 2 = 5) =⇒ (2 · 2 = 3) èñòèííî. 8

Çàìå÷àíèÿ. 1. Êàê âèäíî èç âòîðîãî ïðèìåðà, çíà÷åíèå ñîþçà "åñëè. . . òî" â ìàòåìàòèêå íå âñåãäà ñîâïàäàåò ñ åãî çíà÷åíèåì â ðóññêîì ÿçûêå. Ïîýòîìó ìû ñîâåòóåì íå ïûòàòüñÿ èíòåðïðåòèðîâàòü èìïëèêàöèþ íà ñîäåðæàòåëüíîì óðîâíå, à çàïîìíèòü òàáëèöó èñòèííîñòè è ïîëüçîâàòüñÿ åþ. 2.  îòëè÷èå îò êîíúþíêöèè è äèçúþíêöèè èìïëèêàöèÿ íå ñèììåòðè÷íà: B =⇒ A íå òî æå ñàìîå, ÷òî A =⇒ B. Îïðåäåëåíèå. Ïóñòü A, B  âûñêàçûâàíèÿ. Ýêâèâàëåíöèåé íàçûâàåòñÿ âûñêàçûâàíèå "A ðàâíîñèëüíî B" (ïèøóò A ⇐⇒ B), êîòîðîå çàäàåòñÿ ñëåäóþùåé òàáëèöåé èñòèííîñòè:

A B

È È Ë Ë

A ⇐⇒ B

È Ë È Ë

È Ë Ë È

V

W

Ïðèìåðû. 1. (¬(A B)) ⇐⇒ ((¬A) (¬B)). W V 2. (¬(A B)) ⇐⇒ ((¬A) (¬B)). V 3.((A =⇒ B) (B =⇒ A)) ⇐⇒ (A ⇐⇒ B). Ïðîâåðüòå èñòèííîñòü ýòèõ âûñêàçûâàíèé, ïîñòðîèâ òàáëèöû èñòèííîñòè.

1.2. Ìíîæåñòâà Ìíîæåñòâî  ïîíÿòèå ïåðâè÷íîå, íåîïðåäåëÿåìîå. Ñèíîíèìàìè ñëîâà ìíîæåñòâî ÿâëÿþòñÿ: ñåìåéñòâî, êëàññ, ñòàäî, à òàêæå ðÿä äðóãèõ ñëîâ. Ìíîæåñòâî ñîñòîèò èç ýëåìåíòîâ. Îïèñàíèå ìíîæåñòâà äîëæíî áûòü íàñòîëüêî ïîäðîáíûì, ÷òîáû ïðàêòè÷åñêè î ëþáîì ïðåäìåòå (âåùè) ìîæíî áûëî ñêàçàòü, ÿâëÿåòñÿ ýòîò ïðåäìåò (ýòà âåùü) ýëåìåíòîì äàííîãî ìíîæåñòâà èëè íåò. Ìû áóäåì îáîçíà÷àòü ìíîæåñòâà áîëüøèìè áóêâàìè ëàòèíñêîãî àëôàâèòà, à èõ ýëåìåíòû  ìàëûìè. Åñëè a  ýëåìåíò ìíîæåñòâà A (ãîâîðÿò òàêæå "a ïðèíàäëåæèò ìíîæåñòâó A"), áóäåì ïèñàòü a ∈ A; åñëè a íå ÿâëÿåòñÿ ýëåìåíòîì ìíîæåñòâà A (a íå ïðèíàäëåæèò ìíîæåñòâó A), áóäåì ïèñàòü a ∈ / A. 9

×àñòî âñòðå÷àþùèåñÿ ÷èñëîâûå ìíîæåñòâà èìåþò ñòàíäàðòíûå îáîçíà÷åíèÿ: N  ìíîæåñòâî íàòóðàëüíûõ ÷èñåë; Z  ìíîæåñòâî öåëûõ ÷èñåë; R  ìíîæåñòâî âåùåñòâåííûõ ÷èñåë. Î÷åâèäíà èñòèííîñòü ñëåäóþùèõ âûñêàçûâàíèé: 2 ∈ N, 3.62 ∈ / N, 3.62 ∈ R. Åñëè ìíîæåñòâî ñîñòîèò èç êîíå÷íîãî (è íå ñëèøêîì áîëüøîãî) êîëè÷åñòâà ýëåìåíòîâ, ïðîùå âñåãî çàäàòü ýòî ìíîæåñòâî, ïðîñòî ïåðå÷èñëèâ âñå åãî ýëåìåíòû. Íàïðèìåð, çàïèñü

X = {−1, 0, 1} îçíà÷àåò, ÷òî ìíîæåñòâî ñîñòîèò èç òðåõ ýëåìåíòîâ: (−1), (0), (1). Îòìåòèì, ÷òî ïîðÿäîê ïåðå÷èñëåíèÿ ýëåìåíòîâ ìíîæåñòâà íå èãðàåò ðîëè. Òàê, íàïðèìåð,

{−1, 0, 1} = {1, −1, 0}. Åñëè ïèøóò A = B , òî èìåþò â âèäó, ÷òî A è B  äâà èìåíè îäíîãî è òîãî æå ìíîæåñòâà (èíà÷å ãîâîðÿ, ñëåâà è ñïðàâà îò çíàêà ðàâåíñòâà ñòîÿò äâà ýêçåìïëÿðà îäíîãî è òîãî æå ìíîæåñòâà). Óñëîâèìñÿ ñ÷èòàòü âñå ýëåìåíòû ìíîæåñòâà ðàçëè÷íûìè (âî ìíîæåñòâå íå ìîæåò áûòü îäèíàêîâûõ ýëåìåíòîâ). Íàïðèìåð, åñëè ïîëîæèòü â êîøåëåê ïÿòü òîëüêî ÷òî îòïå÷àòàííûõ ñòîðóáëåâîê, òî ýëåìåíòàìè ìíîæåñòâà ñëåäóåò ñ÷èòàòü íå ñòîðóáëåâêè, à ïðîíóìåðîâàííûå ñòîðóáëåâêè, òàê êàê îäíà êóïþðà îòëè÷àåòñÿ îò äðóãîé òîëüêî ñâîèì íîìåðîì. Íåñêîëüêî ðóáëåâûõ ìîíåò ìîæíî ðàññìàòðèâàòü êàê ìíîæåñòâî òîëüêî ïðè óñëîâèè, ÷òî îíè ðàçëè÷èìû (íàïðèìåð, ïî ãîäó âûïóñêà). Åñëè ìíîæåñòâî êîíå÷íî, íî ñîäåðæèò î÷åíü ìíîãî ýëåìåíòîâ, òî öåëåñîîáðàçíî âìåñòî ïåðå÷èñëåíèÿ ýòèõ ýëåìåíòîâ ñôîðìóëèðîâàòü õàðàêòåðèñòè÷åñêîå ñâîéñòâî, êîòîðûì îáëàäàþò âñå ýëåìåíòû ýòîãî ìíîæåñòâà è òîëüêî ýëåìåíòû ýòîãî ìíîæåñòâà. Çàïèñü

A = {a|P(a)} ÷èòàåòñÿ òàê: "A ñîñòîèò èç âñåõ òåõ è òîëüêî òåõ ýëåìåíòîâ, êîòîðûå îáëàäàþò ñâîéñòâîì P (äëÿ êàæäîãî èç êîòîðûõ âûñêàçûâàíèå P(a) èñòèííî)". Íàïðèìåð, "A  ìíîæåñòâî âñåõ íàòóðàëüíûõ ÷èñåë, 10

êâàäðàò êîòîðûõ ìåíüøå ìèëëèàðäà" (ïîïðîáóéòå çàäàòü ýòî ìíîæåñòâî ïåðå÷èñëåíèåì åãî ýëåìåíòîâ!). Î÷åâèäíî, ÷òî çàäàòü ìíîæåñòâî ñ áåñêîíå÷íûì êîëè÷åñòâîì ýëåìåíòîâ ìîæíî òîëüêî óêàçàíèåì õàðàêòåðèñòè÷åñêîãî ñâîéñòâà ýòèõ ýëåìåíòîâ. Òàê, ìíîæåñòâîì ÷åòíûõ ÷èñåë íàçûâàþò ìíîæåñòâî öåëûõ ÷èñåë, äåëÿùèõñÿ íà 2 áåç îñòàòêà, ìíîæåñòâîì ïðàâèëüíûõ äðîáåé íàçûâàþò ìíîæåñòâî îáûêíîâåííûõ äðîáåé, ó êîòîðûõ ìîäóëü ÷èñëèòåëÿ ñòðîãî ìåíüøå ìîäóëÿ çíàìåíàòåëÿ, è ò.ä. Çàìå÷àíèÿ. 1. Ìíîæåñòâî óäîáíî ïðåäñòàâëÿòü ñåáå êàê ìåøîê, â êîòîðûé ñâàëåíû ñîñòàâëÿþùèå ýòî ìíîæåñòâî ýëåìåíòû. Ìû íàìåðåííî èñïîëüçîâàëè ñëîâî "ñâàëåíû" , ÷òîáû åùå ðàç ïîä÷åðêíóòü íåóïîðÿäî÷åííîñòü ýëåìåíòîâ ìíîæåñòâà. 2. Íå ñëåäóåò îòîæäåñòâëÿòü áëèçêèå ïî ñìûñëó ñëîâà ðóññêîãî ÿçûêà "ìíîãî" è "ìíîæåñòâî". Âî ìíîæåñòâå (ìàòåìàòè÷åñêîì) ìîæåò áûòü ìàëî ýëåìåíòîâ, ìîæåò áûòü îäèí ýëåìåíò (åñòü äàæå òåðìèí "îäíîýëåìåíòíîå ìíîæåñòâî") è, íàêîíåö, ìîæåò âîîáùå íå áûòü íè îäíîãî ýëåìåíòà (ïóñòîå ìíîæåñòâî). Ïîýòîìó ÷àñòî óïîòðåáëÿåìîå "øêîëüíîå" âûðàæåíèå "óðàâíåíèå èìååò ìíîæåñòâî ðåøåíèé" áåññîäåðæàòåëüíî: ó óðàâíåíèÿ âñåãäà åñòü ìíîæåñòâî ðåøåíèé (äàæå åñëè ó íåãî íåò íè îäíîãî ðåøåíèÿ). 3. Ïóñòîå ìíîæåñòâî ïðèíÿòî îáîçíà÷àòü ñèìâîëîì ∅. 4. Åñëè ìíîæåñòâî çàäàåòñÿ õàðàêòåðèñòè÷åñêèì ñâîéñòâîì åãî ýëåìåíòîâ, òî ýòî ñâîéñòâî äîëæíî áûòü ïðîâåðÿåìûì. Âðÿä ëè ìîæíî ãîâîðèòü î ìíîæåñòâå ñòóäåíòîâ-ñïîðòñìåíîâ, òàê êàê ñóùåñòâóþò ðàçëè÷íûå òî÷êè çðåíèÿ íà òî, ñëåäóåò ëè ñ÷èòàòü ñïîðòñìåíîì ñòóäåíòà, èãðàþùåãî íà ëåêöèè â áðèäæ3 . 3 Ñëåäóåò

âîîáùå èçáåãàòü îáñóæäåíèÿ íåñôîðìóëèðîâàííûõ ïðîáëåì. Òàê, â ñåðåäèíå ïðîøëîãî âåêà ó ôèëîñîôîâ áûëà ìîäíàÿ òåìà äèñêóññèé: "Ìîæåò ëè ìàøèíà ìûñëèòü?". Ïðè ýòîì íå îïðåäåëÿëèñü íè ïîíÿòèå "ìàøèíà íè ïîíÿòèå "ìûñëèòü". Ìàòåìàòèê Òüþðèíã "ïðîáëåìó" çàêðûë, îïóáëèêîâàâ ñòàòüþ ïîä íàçâàíèåì "Ìîæåò ëè ìàøèíà ìûñëèòü? â êîòîðîé îïðåäåëèë ïîíÿòèÿ "ìàøèíà" è "ìûñëèòü" è äîêàçàë, ÷òî ìàøèíà (â ñìûñëå Òüþðèíãà) ìîæåò ìûñëèòü (â ñìûñëå Òüþðèíãà). Ðåêîìåíäóåì ïðî÷åñòü ýòó âåñüìà ëþáîïûòíóþ ðàáîòó (ðóññêèé ïåðåâîä: À. Òüþðèíã. Ìîæåò ëè ìàøèíà ìûñëèòü, Ôèçìàòãèç, Ì.: 1960). Àëàí Ìàòèñîí ÒÜÞÐÈÍà (A.M. Turing, 1912-1954)  àíãëèéñêèé èíæåíåð è ìàòåìàòèê, ÷ëåí Ëîíäîíñêîãî êîðîëåâñêîãî îáùåñòâà. Âîçãëàâëÿë ðàáîòó ïî ñîçäàíèþ âû÷èñëèòåëüíûõ ìàøèí â Íàöèîíàëüíîé ôèçè÷åñêîé ëàáîðàòîðèè â Òåääèíãòîíå. Ìàòåìàòè÷åñêèå ðàáîòû Òüþðèíãà â îñíîâíîì ïîñâÿùåíû ìàòåìàòè÷åñêîé ëîãèêå è âû÷èñëèòåëüíûì ìàøèíàì. 11

1.3. ×àñòè ìíîæåñòâà. Îïåðàöèè íàä ìíîæåñòâàìè Ïî-âèäèìîìó, íåò íåîáõîäèìîñòè îáúÿñíÿòü, ÷òî òàêîå ÷àñòü ìíîæåñòâà, åñëè ñàìî ìíîæåñòâî óæå çàäàíî. Îòìåòèì òîëüêî, ÷òî èíîãäà âìåñòî ïîíÿòíûõ ñëîâ "÷àñòü ìíîæåñòâà" óïîòðåáëÿþò ìåíåå ïîíÿòíûé ñèíîíèì "ïîäìíîæåñòâî". Íàïðèìåð, ìíîæåñòâî ÷åòíûõ ÷èñåë åñòü ÷àñòü ìíîæåñòâà öåëûõ ÷èñåë (ïîäìíîæåñòâî ìíîæåñòâà öåëûõ ÷èñåë). Åñëè ìíîæåñòâî A ÿâëÿåòñÿ ÷àñòüþ ìíîæåñòâà B , òî ïèøóò A ⊂ B . Ïðè ýòîì íå èñêëþ÷àåòñÿ, ÷òî A = B , ò.å. âñÿêîå ìíîæåñòâî ñ÷èòàåòñÿ ïî îïðåäåëåíèþ ñâîåé ÷àñòüþ. Î÷åâèäíî, ÷òî

(A ⊂ B)

^

(B ⊂ A) ⇐⇒ A = B.

Ìû áóäåì ñ÷èòàòü ïóñòîå ìíîæåñòâî ïî îïðåäåëåíèþ ÷àñòüþ ëþáîãî ìíîæåñòâà.  ÷àñòíîñòè, ∅ ⊂ ∅. Ýòî ñîãëàøåíèå íåèçáåæíî, òàê êàê óòâåðæäåíèå, ÷òî ∅ íå ÿâëÿåòñÿ ÷àñòüþ X , îçíà÷àëî áû, ÷òî âî ìíîæåñòâå ∅ (ïóñòîì) åñòü ýëåìåíò, íå ñîäåðæàùèéñÿ âî ìíîæåñòâå X ! Ðàññìîòðèì íåêîòîðûå îïåðàöèè íàä ìíîæåñòâàìè. Îïðåäåëåíèå. Ïåðåñå÷åíèåì ìíîæåñòâ A è B (îáîçíà÷àåòñÿ A ∩ B ) íàçûâàåòñÿ ìíîæåñòâî, ñîñòîÿùåå èç âñåõ ýëåìåíòîâ, âõîäÿùèõ è â A, è â B (ò.å. èõ ìàêñèìàëüíàÿ îáùàÿ ÷àñòü). Óòâåðæäåíèå A ∩ B = ∅ ÷èòàåòñÿ "ìíîæåñòâà A è B íå ïåðåñåêàþòñÿ". Èç îïðåäåëåíèÿ î÷åâèäíî, ÷òî äëÿ ëþáûõ ìíîæåñòâ A, B, C

A ∩ B = B ∩ A;

A ∩ A = A;

A ∩ ∅ = ∅;

(A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C). Îïðåäåëåíèå. Îáúåäèíåíèåì ìíîæåñòâ A è B íàçûâàåòñÿ ìíîæåñòâî, ñîñòîÿùåå èç âñåõ ýëåìåíòîâ, âõîäÿùèõ õîòÿ áû â îäíî èç îáúåäèíÿåìûõ ìíîæåñòâ. Åñëè îáúåäèíÿåìûå ìíîæåñòâà A è B ïðåäñòàâëÿòü ñåáå â âèäå çàïîëíåííûõ èõ ýëåìåíòàìè ìåøêîâ, òî îáúåäèíåíèå ïîëó÷àåòñÿ òàê: áåðóò ïóñòîé ìåøîê C , ññûïàþò â íåãî âñå ñîäåðæèìîå ìåøêîâ A è B , à çàòåì óäàëÿþò äóáëèêàòû ýëåìåíòîâ (åñëè òàêîâûå íàéäóòñÿ). Ïèøóò C = A ∪ B . Èç îïðåäåëåíèÿ î÷åâèäíî, ÷òî äëÿ ëþáûõ ìíîæåñòâ

A, B, C A ∪ B = B ∪ A;

A ∪ A = A;

A ∪ ∅ = A;

(A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C). 12

Ãðàôè÷åñêîå èçîáðàæåíèå ñêàçàííîãî âûøå íàçûâàåòñÿ äèàãðàììîé Âåííà4 (ðèñ.1.1). Íà ýòîé äèàãðàììå îäíî èç èñõîäíûõ ìíîæåñòâ çàøòðèõîâàíî ãîðèçîíòàëüíî, äðóãîå  âåðòèêàëüíî. Ïåðåñå÷åíèå (îáùàÿ ÷àñòü) íåñåò íà ñåáå îáå øòðèõîâêè, îáúåäèíåíèå  õîòÿ áû îäíó.

Ðèñ.1.1 Íåñêîëüêî ìåíåå î÷åâèäíû äèñòðèáóòèâíûå ñâîéñòâà ïåðåñå÷åíèÿ è îáúåäèíåíèÿ ìíîæåñòâ: äëÿ ëþáûõ ìíîæåñòâ A, B, C

A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C);

A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C).

Ïðîâåðüòå ýòè ñâîéñòâà íà äèàãðàììå Âåííà (ðèñ.1.2):

C A

B

Ðèñ.1.2 Îïðåäåëåíèå. Ðàçíîñòüþ ìíîæåñòâ A è B (îáîçíà÷åíèå A \ B ) íàçûâàåòñÿ ìíîæåñòâî, ñîñòîÿùåå èç âñåõ òåõ ýëåìåíòîâ ìíîæåñòâà A, êîòîðûå íå âõîäÿò â ìíîæåñòâî B . Äëÿ ëþáûõ ìíîæåñòâ A è B

(A \ B) ∪ (A ∩ B) = A.  ÷àñòíîñòè, åñëè A ∩ B = ∅, òî A \ B = A. 4 Äæîí

ÂÅÍÍ (J. Venn, 1834-1923)  àíãëèéñêèé ëîãèê è ìàòåìàòèê. 13

Îïðåäåëåíèå. Ïðÿìûì ïðîèçâåäåíèåì íåïóñòûõ ìíîæåñòâ A è B (îáîçíà÷åíèå A × B ) íàçûâàåòñÿ ìíîæåñòâî, ñîñòîÿùåå èç âñåõ óïîðÿäî÷åííûõ ïàð (a, b), ãäå a ∈ A, b ∈ B. Çàìå÷àíèÿ. 1. Îáðàòèòå âíèìàíèå íà òî, ÷òî ïåðâûé ýëåìåíò óïîðÿäî÷åííîé ïàðû (a, b) äîëæåí ïðèíàäëåæàòü ïåðâîìó ñîìíîæèòåëþ â äåêàðòîâîì ïðîèçâåäåíèè, à âòîðîé  âòîðîìó. Îòñþäà î÷åâèäíî, ÷òî A × B 6= B × A, åñëè A 6= B . 2. Âìåñòî A × A îáû÷íî ïèøóò A2 , è âîîáùå, An = |A × A × {z. . . × A} . n ñîìíîæèòåëåé 3. Ïðÿìîå ïðîèçâåäåíèå ìíîæåñòâ íàçûâàþò òàêæå èõ äåêàðòîâûì5 ïðîèçâåäåíèåì.

1.4. Ôóíêöèÿ, îòîáðàæåíèå, îïåðàòîð Ñ÷èòàÿ ïîíÿòèÿ ôóíêöèÿ, îòîáðàæåíèå, îïåðàòîð ïåðâè÷íûìè, îïèøåì ïðàâèëà èõ èñïîëüçîâàíèÿ. Ïóñòü X è Y  ïðîèçâîëüíûå íåïóñòûå ìíîæåñòâà. Åñëè êàæäîìó ýëåìåíòó èç X ïîñòàâëåí â ñîîòâåòñòâèå ðîâíî îäèí ýëåìåíò èç Y , ìû áóäåì ãîâîðèòü:  íà ìíîæåñòâå X çàäàíà ôóíêöèÿ ñî çíà÷åíèÿìè â Y , èëè  çàäàíî îòîáðàæåíèå X â Y , èëè  çàäàí îïåðàòîð, äåéñòâóþùèé èç X â Y . Òàêèì îáðàçîì, ñëîâà ôóíêöèÿ, îòîáðàæåíèå, îïåðàòîð ìû áóäåì ñ÷èòàòü ñèíîíèìàìè6 . Åñëè èìÿ ôóíêöèè (îòîáðàæåíèÿ, îïåðàòîðà) åñòü f , òî ïèøóò

f : X → Y. Ýëåìåíò y ∈ Y (åäèíñòâåííûé), êîòîðûé ôóíêöèÿ f ñòàâèò â ñîîòâåòñòâèå ýëåìåíòó x ∈ X , íàçûâàþò çíà÷åíèåì ôóíêöèè f â òî÷êå x ∈ X èëè îáðàçîì òî÷êè x ∈ X ïðè îòîáðàæåíèè f . Ýëåìåíò x ∈ X íàçûâàþò ïðîîáðàçîì òî÷êè y ∈ Y ïðè îòîáðàæåíèè f . Ïèøóò y = f (x). Äîãîâîðèìñÿ ñ÷èòàòü, ÷òî íà íàøèõ ðèñóíêàõ ïðîîáðàç ñîåäèíÿåòñÿ ñ îáðàçîì ñòðåëêîé, íàïðàâëåííîé îò ïðîîáðàçà ê îáðàçó (ðèñ.1.3). 5 Ðåíå

ÄÅÊÀÐÒ (R. Descartes, 1596-1650)  ôðàíöóçñêèé ôèëîñîô, ìàòåìàòèê, ôèçèê è ôèçèîëîã. Âïåðâûå ââåë ïîíÿòèÿ ïåðåìåííîé è ôóíêöèè, ñôîðìóëèðîâàë îñíîâíóþ òåîðåìó àëãåáðû, ñîçäàë ìåòîä êîîðäèíàò. 6 Èíîãäà â ìàòåìàòè÷åñêîé ëèòåðàòóðå ìåæäó ýòèìè ñëîâàìè ïðîâîäÿò ðàçëè÷èå. Íàïðèìåð, íàçûâàþò îïåðàòîðîì òîëüêî îòîáðàæåíèå ìíîæåñòâà â ñåáÿ. 14

Y

y

r

X

+

rx

Ðèñ.1.3 Ñåðüåçíîå ïðåäóïðåæäåíèå. Îáðàùàåì âíèìàíèå ÷èòàòåëÿ íà òî, ÷òî ôóíêöèÿ (îòîáðàæåíèå, îïåðàòîð)  ýòî òðîéêà (X, Y, f ), ò.å. âñÿêèé ðàç, êîãäà óïîòðåáëÿåòñÿ îäíî èç ñëîâ "ôóíêöèÿ "îòîáðàæåíèå "îïåðàòîð äîëæíû áûòü íàçâàíû ìíîæåñòâî X (îáëàñòü îïðåäåëåíèÿ ôóíêöèè), ìíîæåñòâî Y (ìíîæåñòâî, â êîòîðîì ëåæàò çíà÷åíèÿ ôóíêöèè7 ) è ïðàâèëî f , ïîçâîëÿþùåå äëÿ êàæäîãî x ∈ X íàéòè ñîîòâåòñòâóþùèé åìó åäèíñòâåííûé y ∈ Y . Íàïðèìåð, f : R → R; y = f (x) = x2 . Îòìåòèì ÷àñòî äîïóñêàåìóþ âîëüíîñòü: ãîâîðÿò î ôóíêöèè sin(x), õîòÿ â òî÷íîì ïîíèìàíèè sin(x) íå ôóíêöèÿ, à çíà÷åíèå ôóíêöèè sin â òî÷êå x. Ìû íàñòîÿòåëüíî ðåêîìåíäóåì âñåãäà ïðîâîäèòü ðàçëè÷èå ìåæäó ôóíêöèåé è åå çíà÷åíèåì â òî÷êå. Òåðìèíîëîãè÷åñêîå çàìå÷àíèå.  ôèçèêå óïîòðåáëÿåòñÿ ïîíÿòèå "âåëè÷èíà" (òî, ÷òî ìîæíî èçìåðèòü èëè âû÷èñëèòü, íàïðèìåð, ìàññà, òåìïåðàòóðà è ò.ä.).  ìàòåìàòèêå àíàëîãîì ýòîãî ïîíÿòèÿ ñëóæèò ïåðåìåííàÿ8 . Îáúÿâëÿÿ êàêóþ-íèáóäü áóêâó ïåðåìåííîé, ìû îäíîâðåìåííî äîëæíû óêàçàòü íåêîòîðîå íåïóñòîå ìíîæåñòâî, ýëåìåíòû êîòîðîãî ìîãóò â äàëüíåéøåì çàìåùàòü ýòó áóêâó. Òàê, íàïðèìåð, åñëè n  öåëàÿ ÷èñëîâàÿ ïåðåìåííàÿ (n ∈ Z), òî â âûðàæåíèè n2 + 4 ìîæíî âìåñòî n ïîäñòàâëÿòü ëþáîå öåëîå ÷èñëî. Åñëè p è q  ëîãè÷åñêèå W ïåðåìåííûå, òî â âûðàæåíèè p q ìîæíî âìåñòî íèõ ïîäñòàâëÿòü ëèáî È (èñòèíà), ëèáî Ë (ëîæü). Åñëè x  ïåðåìåííàÿ ñ ìíîæåñòâîì çíà÷åíèé X , y  ïåðåìåííàÿ ñ ìíîæåñòâîì çíà÷åíèé Y , f : X → Y  ôóíêöèÿ, òî â âûðàæåíèè 7Â

ýòîì êîíòåêñòå Y íå åñòü ìíîæåñòâî çíà÷åíèé ôóíêöèè f ! â ìàòåìàòèêå  èìÿ ñóùåñòâèòåëüíîå.

8 Ïåðåìåííàÿ

15

y = f (x) ïåðåìåííóþ x ÷àñòî íàçûâàþò íåçàâèñèìîé, à ïåðåìåííóþ y  çàâèñèìîé.  íàøåì êóðñå ýòè òåðìèíû íå èñïîëüçóþòñÿ.

1.5. Êîìïîçèöèÿ ôóíêöèé Ðàññìîòðèì òàêóþ ñèòóàöèþ (ðèñ.1.4):

Z

Y

+ r+

X

r+

r

z = g(y) = h(x) y = f (x) x g: Y →Z f : X→Y h=g◦f : X →Z Ðèñ.1.4 Çàäàíû ôóíêöèè f : X → Y è g : Y → Z . Ïîñòàâèì â ñîîòâåòñòâèå êàæäîìó ýëåìåíòó x ∈ X ðîâíî îäèí ýëåìåíò z ∈ Z ïî ñëåäóþùåìó ïðàâèëó: 1) ïî çàäàííîìó x ∈ X íàéòè ñîîòâåòñòâóþùèé åìó y = f (x) ∈ Y ; 2) ïî ïîëó÷åííîìó y ∈ Y íàéòè ñîîòâåòñòâóþùèé åìó z = g(y) ∈ Z . Òàêèì îáðàçîì, îêàçûâàåòñÿ ïîñòðîåííîé íîâàÿ ôóíêöèÿ h : X → Z . Åå íàçûâàþò êîìïîçèöèåé (èíîãäà  ñóïåðïîçèöèåé) ôóíêöèé f è g . Ïèøóò h = g ◦ f (îáðàòèòå âíèìàíèå íà ïîðÿäîê êîìïîíåíò!). Ãîâîðÿò òàêæå "ñëîæíàÿ ôóíêöèÿ íî ìû íå ñîâåòóåì èñïîëüçîâàòü ýòîò òåðìèí. Èòàê, z = g(y) = g (f (x)) = (g ◦ f )(x) = h(x). Åñëè èçîáðàæàòü ôóíêöèþ â âèäå "÷åðíîãî ÿùèêà" ñî âõîäîì x, âûõîäîì y è èìåíåì f , òî êîìïîçèöèÿ ôóíêöèé ïðåäñòàâèòñÿ ïîñëåäîâàòåëüíûì ñîåäèíåíèåì êîìïîíåíò (ðèñ.1.5).

z

¾

g

¾

y h Ðèñ.1.5 16

f

¾

x

Ãëàâà 2. ×ÈÑËÎÂÛÅ ÌÍÎÆÅÑÒÂÀ 2.1. Ìíîæåñòâî âñåõ âåùåñòâåííûõ ÷èñåë (R) Ìû íå áóäåì ïûòàòüñÿ îïðåäåëèòü ïîíÿòèå "âåùåñòâåííîå ÷èñëî ñ÷èòàÿ, ÷òî íåêîòîðîå ïðåäñòàâëåíèå ÷èòàòåëü î íåì óæå èìååò (â ÷àñòíîñòè, çíàåò, ÷òî êàæäîå âåùåñòâåííîå ÷èñëî èçîáðàæàåòñÿ òî÷êîé íà ÷èñëîâîé îñè). Êàê ïðàâèëî, ìû áóäåì èìåòü äåëî ñî ñëåäóþùèìè ÷àñòÿìè R (çäåñü a, b ∈ R, a < b): 1) [a, b] = {x | a ≤ x ≤ b}  çàìêíóòûé ïðîìåæóòîê, èëè ñåãìåíò; 2) ]a, b[= {x | a < x < b}  îòêðûòûé ïðîìåæóòîê, èëè èíòåðâàë; 3) ïîëóèíòåðâàë ]a, b] = {x | a < x ≤ b}; 4) ïîëóèíòåðâàë [a, b[= {x | a ≤ x < b}; Ñåðüåçíîå ïðåäóïðåæäåíèå. ×èòàòåëþ, íåñîìíåííî, ïðèõîäèëîñü è ïðèäåòñÿ â äàëüíåéøåì ïîëüçîâàòüñÿ êîìïüþòåðîì äëÿ âû÷èñëåíèé. Ìû ñ÷èòàåì íåîáõîäèìûì ïîä÷åðêíóòü, ÷òî ëþáîé êîìïüþòåð ðàáîòàåò íå ñ ìíîæåñòâîì âñåõ âåùåñòâåííûõ ÷èñåë (R), à ëèøü ñ êîíå÷íîé (è íå î÷åíü áîëüøîé) åãî ÷àñòüþ  òàê íàçûâàåìûìè ìàøèííûìè ÷èñëàìè. Ó÷åò ýòîãî ôàêòà ïîìîæåò èçáåæàòü ìíîãèõ äîñàäíûõ îøèáîê ïðè ðåøåíèè âû÷èñëèòåëüíûõ çàäà÷. Ïîýòîìó ìû íàñòîÿòåëüíî ðåêîìåíäóåì îçíàêîìèòüñÿ ñ ìàøèííûìè ÷èñëàìè õîòÿ áû â îáúåìå Ïðèëîæåíèÿ. Ââåäåì òåïåðü ðàñøèðåííîå ìíîæåñòâî âåùåñòâåííûõ ÷èñåë (R), êîòîðîå ïîëó÷àåòñÿ äîáàâëåíèåì ê R äâóõ ýëåìåíòîâ: −∞ (ìèíóñ S áåñêîíå÷íîñòü) è +∞ (ïëþñ áåñêîíå÷íîñòü), ò.å. R = R {−∞, +∞}. Ýòè ýëåìåíòû íå ÿâëÿþòñÿ, êîíå÷íî, âåùåñòâåííûìè ÷èñëàìè. Ñëåäóþùèå ïðàâèëà îáðàùåíèÿ ñ ýëåìåíòàìè ìíîæåñòâà R ââîäÿòñÿ ïî îïðåäåëåíèþ (çäåñü x  ïðîèçâîëüíîå âåùåñòâåííîå ÷èñëî):

−∞ < x < +∞; x + (−∞) = −∞; x + (+∞) = +∞; (−∞) + (−∞) = −∞; (+∞) + (+∞) = +∞; (+∞) + (−∞) íå îïðåäåëåíî! x > 0 =⇒ x · (±∞) = ±∞; x < 0 =⇒ x · (±∞) = ∓∞; 0 · (±∞) íå îïðåäåëåíî! (−∞) · (−∞) = (+∞) · (+∞) = +∞; (−∞) · (+∞) = −∞; x x = 0; íå îïðåäåëåíî! ±∞ 0 Äåëèòü íà íóëü äàæå â R íåëüçÿ! 17

Îïðåäåëåíèå. Ïóñòü X  íåïóñòàÿ ÷àñòü R. Åñëè ñóùåñòâóåò òàêîå âåùåñòâåííîå ÷èñëî M , ÷òî äëÿ âñÿêîãî x ∈ X âûïîëíÿåòñÿ íåðàâåíñòâî x ≤ M (â X íåò ÷èñëà, áîëüøåãî, ÷åì M ), òî ãîâîðÿò, ÷òî ìíîæåñòâî X îãðàíè÷åíî ñâåðõó, à ÷èñëî M íàçûâàþò âåðõíåé ãðàíèöåé ìíîæåñòâà X . Îáðàòèòå âíèìàíèå íà òî, ÷òî íåðàâåíñòâî íåñòðîãîå ! Åñëè ÷èñëà ñ îïèñàííûì âûøå ñâîéñòâîì íå ñóùåñòâóåò, ò.å. êàêîå áû ìû íè âçÿëè âåùåñòâåííîå ÷èñëî, âî ìíîæåñòâå X íàéäåòñÿ á
îëüøåå ÷èñëî, òî ãîâîðÿò, ÷òî ìíîæåñòâî X íå îãðàíè÷åíî ñâåðõó. Ãåîìåòðè÷åñêè X ïðåäñòàâëÿåòñÿ ìíîæåñòâîì òî÷åê âåùåñòâåííîé îñè. Åñëè M  âåðõíÿÿ ãðàíèöà ìíîæåñòâà X , òî ïðàâåå òî÷êè M íåò òî÷åê èç X . ßñíî, ÷òî ëþáîå ÷èñëî, á
îëüøåå âåðõíåé ãðàíèöû ìíîæåñòâà, òàêæå áóäåò âåðõíåé ãðàíèöåé ýòîãî ìíîæåñòâà. Ïîñêîëüêó x ∈ R =⇒ x < +∞, áóäåì ñ÷èòàòü +∞ âåðõíåé ãðàíèöåé ëþáîé íåïóñòîé ÷àñòè R. Åñëè æå ó X íåò âåðõíèõ ãðàíèö èç R, òî +∞ áóäåò åãî åäèíñòâåííîé âåðõíåé ãðàíèöåé â R. Àíàëîãè÷íî îïðåäåëÿåòñÿ îãðàíè÷åííîñòü ñíèçó íåïóñòîé ÷àñòè R è åå íèæíÿÿ ãðàíèöà. Îòìåòèì, ÷òî íå âî âñÿêîì íåïóñòîì ìíîæåñòâå âåùåñòâåííûõ ÷èñåë åñòü íàèáîëüøåå ÷èñëî. Ïîêàæåì, íàïðèìåð, ÷òî â èíòåðâàëå íåò íàèáîëüøåãî ÷èñëà. Äåéñòâèòåëüíî, âîçüìåì ëþáîå ÷èñëî x èç èíòåðâàëà ]a, b[. Òîãäà

x ∈]a, b[ =⇒

³x + b 2

´ ^³ x + b ´ ∈]a, b[ >x . 2

 òî æå âðåìÿ ìîæíî ïîêàçàòü, ÷òî9 ñðåäè âåðõíèõ ãðàíèö ëþáîãî íåïóñòîãî ìíîæåñòâà X ⊂ R åñòü íàèìåíüøàÿ. Åå íàçûâàþò òî÷íîé âåðõíåé ãðàíèöåé èëè âåðõíåé ãðàíüþ ìíîæåñòâà X è îáîçíà÷àþò ñèìâîëîì sup(X) (îò ëàòèíñêîãî supremum). Ïðè ýòîì åñëè X îãðàíè÷åíî ñâåðõó, òî sup(X) ∈ R, èíà÷å sup(X) = +∞. Àíàëîãè÷íî ââîäèòñÿ ïîíÿòèå òî÷íîé íèæíåé ãðàíèöû (íèæíåé ãðàíè) ìíîæåñòâà  íàèáîëüøåé èç åãî íèæíèõ ãðàíèö. Íèæíþþ ãðàíü ìíîæåñòâà X îáîçíà÷àþò ñèìâîëîì inf(X) (îò ëàòèíñêîãî inmum). Î÷åâèäíî, ÷òî åñëè â ìíîæåñòâå åñòü íàèáîëüøåå (íàèìåíüøåå) ÷èñëî, îíî, è ÿâëÿåòñÿ âåðõíåé (íèæíåé) ãðàíüþ ýòîãî ìíîæåñòâà. 9 Âûðàæåíèå

"ìîæíî ïîêàçàòü, ÷òî" çäåñü è äàëåå îçíà÷àåò: "Ìû íå ìîæåì èëè íå õîòèì ïðèâîäèòü äîêàçàòåëüñòâî. Èíòåðåñóþùèìñÿ ïðåäîñòàâëÿåòñÿ âîçìîæíîñòü îçíàêîìèòüñÿ ñ íèì ïî áîëåå ïîëíûì êóðñàì". 18

2.2. Ìíîæåñòâî âñåõ êîìïëåêñíûõ ÷èñåë (C) Èçâåñòíî, ÷òî êàæäàÿ òî÷êà M , ëåæàùàÿ â ïëîñêîñòè, âçàèìíî îäíîçíà÷íî îïðåäåëÿåòñÿ ñâîèìè äåêàðòîâûìè êîîðäèíàòàìè: óïîðÿäî÷åííîé ïàðîé âåùåñòâåííûõ ÷èñåë (x, y) (ðèñ.2.1)10 :

y

O

© * ©© r © ©

©© ϕ © ©

bM

x

Ðèñ.2.1 Óñëîâèìñÿ, ÷òî â ýòîì ïóíêòå áóêâà z (êàê ñ èíäåêñîì, òàê è áåç) áóäåò îáîçíà÷àòü óïîðÿäî÷åííóþ ïàðó âåùåñòâåííûõ ÷èñåë. Èçâåñòíî òàêæå, ÷òî êàæäîé òî÷êå M âçàèìíî îäíîçíà÷íî ñîîòâåòñòâóåò −−→ íàïðàâëåííûé îòðåçîê OM . Íàçîâåì ñóììîé äâóõ óïîðÿäî÷åííûõ ïàð âåùåñòâåííûõ ÷èñåë

z1 = (x1 , y1 ),

z2 = (x2 , y2 )

óïîðÿäî÷åííóþ ïàðó âåùåñòâåííûõ ÷èñåë (x1 + x2 , y1 + y2 ) :

z1 + z2 = (x1 , y1 ) + (x2 , y2 ) = (x1 + x2 , y1 + y2 ). −−→ −−→ Ïðè ýòîì ñîîòâåòñòâóþùèå íàïðàâëåííûå îòðåçêè OM1 è OM2 ñêëàäûâàþòñÿ ïî èçâåñòíîìó ïðàâèëó ïàðàëëåëîãðàììà (ðèñ.2.2). y

bM ©© 7£ ¶ © ¶ £ © ¶£ y1 © b © £± M1 ¶ £ ¶ £ £ ¶ £ £ ¶ £ £ £ ¶ £ y2 £ ¶ © b£M2 £ ¶ ©©* £¶ ©© © £¶ x1 x2 x

Ðèñ.2.2 10 Òàêèì

îáðàçîì, ïëîñêîñòü ìîæíî ðàññìàòðèâàòü èíòåðïðåòàöèþ äåêàðòîâà ïðîèçâåäåíèÿ R × R = R2 . 19

êàê

ãåîìåòðè÷åñêóþ

Î÷åâèäíî, ÷òî ïðè ëþáûõ z1 , z2 , z3

z1 + z2 = z2 + z1 ;

z1 + (z2 + z3 ) = (z1 + z2 ) + z3

(ñëîæåíèå óïîðÿäî÷åííûõ ïàð âåùåñòâåííûõ ÷èñåë êîììóòàòèâíî è àññîöèàòèâíî). Íàçîâåì ïðîèçâåäåíèåì äâóõ óïîðÿäî÷åííûõ ïàð âåùåñòâåííûõ ÷èñåë

z1 = (x1 , y1 ), z2 = (x2 , y2 ) óïîðÿäî÷åííóþ ïàðó âåùåñòâåííûõ ÷èñåë ((x1 x2 − y1 y2 ), (x1 y2 + x2 y1 )) :

z1 · z2 = (x1 , y1 ) · (x2 , y2 ) = ((x1 x2 − y1 y2 ), (x1 y2 + x2 y1 )) . Óáåäèòåñü, ÷òî óìíîæåíèå êîììóòàòèâíî, àññîöèàòèâíî è äèñòðèáóòèâíî îòíîñèòåëüíî ñëîæåíèÿ. Èçáàâèìñÿ òåïåðü îò íåîáõîäèìîñòè ïîâòîðÿòü äëèííîå ñëîâîñî÷åòàíèå "óïîðÿäî÷åííàÿ ïàðà âåùåñòâåííûõ ÷èñåë" è çàìåíèì åãî áîëåå êîðîòêèì "êîìïëåêñíîå ÷èñëî". Îïðåäåëåíèå. Äåêàðòîâî ïðîèçâåäåíèå R×R ñ îïðåäåëåííûìè â íåì âûøå äâóìÿ îïåðàöèÿìè  ñëîæåíèåì è óìíîæåíèåì  áóäåì íàçûâàòü ìíîæåñòâîì âñåõ êîìïëåêñíûõ ÷èñåë, à åãî ýëåìåíòû  óïîðÿäî÷åííûå ïàðû âåùåñòâåííûõ ÷èñåë  êîìïëåêñíûìè ÷èñëàìè. Ìíîæåñòâî âñåõ êîìïëåêñíûõ ÷èñåë îáîçíà÷àåòñÿ ñèìâîëîì C. Âñå ñðåäû êîíå÷íîãî ïîëüçîâàòåëÿ, ïðåäíàçíà÷åííûå äëÿ ðåøåíèÿ âû÷èñëèòåëüíûõ çàäà÷, "çíàþò" êîìïëåêñíûå ÷èñëà è "óìåþò" ðàáîòàòü ñ íèìè. Ïîýòîìó íå ñëåäóåò ñòàðàòüñÿ âñåãäà "ïðèâîäèòü âûðàæåíèÿ ê âåùåñòâåííîé ôîðìå". Èìååò ìåñòî î÷åâèäíîå âçàèìíî îäíîçíà÷íîå ñîîòâåòñòâèå ìåæäó òî÷êàìè ïëîñêîñòè è êîìïëåêñíûìè ÷èñëàìè. Ðàññìîòðèì ÷àñòü C, ñîîòâåòñòâóþùóþ òî÷êàì, ëåæàùèì íà îñè àáñöèññ. Âñå ýòè êîìïëåêñíûå ÷èñëà èìåþò íóëåâóþ âòîðóþ êîìïîíåíòó ïàðû. Ïîêàæåì, ÷òî ýòî ìíîæåñòâî çàìêíóòî îòíîñèòåëüíî îïåðàöèé ñëîæåíèÿ è óìíîæåíèÿ, ò.å. ÷òî ñóììà è ïðîèçâåäåíèå ÷èñåë èç ýòîãî ìíîæåñòâà íàõîäÿòñÿ â íåì æå:

z1 = (x1 , 0)

^

z2 = (x2 , 0) =⇒ z1 + z2 = (x1 + x2 , 0) 20

^

z1 · z2 = (x1 x2 , 0).

Âèäíî, ÷òî ôàêòè÷åñêè ìû îïåðèðóåì ëèøü ñ ïåðâûìè êîìïîíåíòàìè ïàð, ñîîòâåòñòâåííî ñêëàäûâàÿ èëè ïåðåìíîæàÿ èõ êàê âåùåñòâåííûå ÷èñëà. Ýòî äàåò îñíîâàíèå îòîæäåñòâèòü êîìïëåêñíîå ÷èñëî (x, 0) ∈ C ñ âåùåñòâåííûì ÷èñëîì x ∈ R, è â äàëüíåéøåì íå ðàçëè÷àòü èõ. Ïðè òàêîì ñîãëàøåíèè êàæäîå êîìïëåêñíîå ÷èñëî z = (x, y) ìîæåò áûòü ïðåäñòàâëåíî â âèäå

z = (x, y) = (x, 0) + (y, 0) · (0, 1).

(2.2.1)

Åñëè ââåñòè îáîçíà÷åíèå i = (0, 1), òî (2.2.1) ïåðåïèøåòñÿ áîëåå êîìïàêòíî: z = x + y · i èëè z = x + i · y. (2.2.2) Âûðàæåíèå (2.2.2) íàçûâàþò àëãåáðàè÷åñêîé ôîðìîé çàïèñè êîìïëåêñíîãî ÷èñëà. Òî÷êó, îáîçíà÷àþùóþ óìíîæåíèå, ÷àñòî îïóñêàþò è ïèøóò z = x + iy = x + yi. Ãîâîðÿò, ÷òî x  âåùåñòâåííàÿ ÷àñòü êîìïëåêñíîãî ÷èñëà z = x + i y , à y  åãî ìíèìàÿ ÷àñòü (íå ñòîèò äîèñêèâàòüñÿ èñòîðè÷åñêèõ ïðè÷èí ïîÿâëåíèÿ òàêèõ íàçâàíèé  ïðîùå çàïîìíèòü èõ è ïîëüçîâàòüñÿ èìè). Ïèøóò

x = Re(z) = Re(x + i y),

y = Im(z) = Im(x + i y).

(Re è Im  ñîêðàùåíèÿ îò Real  âåùåñòâåííûé è Imaginary  ìíèìûé). Íåòðóäíî çàìåòèòü, ÷òî èç "òàáëèöû óìíîæåíèÿ" êîìïëåêñíûõ ÷èñåë ñóùåñòâåííî òîëüêî îäíî ïðàâèëî

i 2 = i · i = −1 (ìû íàäååìñÿ, ÷òî ÷èòàòåëü óáåæäåí â îòñóòñòâèè âåùåñòâåííîãî ÷èñëà, êâàäðàò êîòîðîãî îòðèöàòåëåí, è íàäååìñÿ, ÷òî ýòà óâåðåííîñòü ó íåãî ñîõðàíèòñÿ. Ñëåäîâàëî áû ïèñàòü (0, 1)2 = (−1, 0). Îäíàêî óäîáíåå çàïèñü i 2 = −1, è òàê ïèøóò âñå). Ñôîðìóëèðóåì ïðàâèëà âûïîëíåíèÿ àðèôìåòè÷åñêèõ îïåðàöèé ñ êîìïëåêñíûìè ÷èñëàìè, çàäàííûìè â àëãåáðàè÷åñêîé ôîðìå. Ïóñòü z1 = x1 + i y1 , z2 = x2 + i y2 . Òîãäà

z1 + z2 = (x1 + iy1 ) + (x2 + i y2 ) = (x1 + x2 ) + i (y1 + y2 ); z1 · z2 = (x1 + iy1 ) · (x2 + iy2 ) = (x1 x2 − y1 y2 ) + i(x1 y2 + x2 y1 ). 21

Âèäíî, ÷òî êîìïëåêñíûå ÷èñëà ñêëàäûâàþòñÿ è ïåðåìíîæàþòñÿ êàê äâó÷ëåíû. Íóæíî òîëüêî ïîìíèòü, ÷òî ïðè ïîÿâëåíèè ïðîèçâåäåíèÿ i · i åãî ñëåäóåò ñðàçó æå çàìåíèòü ÷èñëîì (−1). Çàìåòèì åùå, ÷òî óìíîæåíèå êîìïëåêñíîãî ÷èñëà íà âåùåñòâåííîå âûïîëíÿåòñÿ ïîêîìïîíåíòíî:

α · (x + i y) = (αx) + i (αy), ÷òî ñîîòâåòñòâóåò èçâåñòíîìó ïðàâèëó óìíîæåíèÿ íàïðàâëåííîãî −−→ îòðåçêà OM íà ÷èñëî α. Âû÷èòàíèå êîìïëåêñíûõ ÷èñåë îïðåäåëÿåòñÿ åñòåñòâåííûì îáðàçîì:

z1 − z2 = (x1 + i y1 ) − (x2 + i y2 ) = (x1 − x2 ) + i (y1 − y2 ). Îïðåäåëåíèå. ×èñëà x + i y è x − i y íàçûâàþòñÿ ñîïðÿæåííûìè êîìïëåêñíûìè ÷èñëàìè. Ïèøóò

x − i y = x + i y èëè x + i y = x − iy. Òî÷êè ïëîñêîñòè, ñîîòâåòñòâóþùèå ïàðå ñîïðÿæåííûõ êîìïëåêñíûõ ÷èñåë, ñèììåòðè÷íû îòíîñèòåëüíî îñè àáñöèññ. Êîìïëåêñíûå ÷èñëà ñ íóëåâîé ìíèìîé ÷àñòüþ (ïî íàøåìó ñîãëàøåíèþ  âåùåñòâåííûå ÷èñëà), è òîëüêî îíè, ñîâïàäàþò ñ ñîïðÿæåííûìè èì, ò.å.

z=z

⇐⇒

z ∈ R ⊂ C.

Èìåþò ìåñòî î÷åâèäíûå ðàâåíñòâà:

Re(z) =

1 · (z + z); 2

Im(z) =

1 · (z − z). 2i

Çàìåòèì, ÷òî

z · z = (x + i y) · (x − i y) = x2 + y 2 , ò.e. ïðîèçâåäåíèå ïàðû êîìïëåêñíî ñîïðÿæåííûõ ÷èñåë ðàâíî êâàäðàòó ðàññòîÿíèÿ îò òî÷åê ïëîñêîñòè, ñîîòâåòñòâóþùèõ ýòèì ÷èñëàì, äî íà÷àëà êîîðäèíàò. Îïðåäåëåíèå. Ìîäóëü êîìïëåêñíîãî ÷èñëà  ýòî ðàññòîÿíèå îò íà÷àëà êîîðäèíàò äî òî÷êè ïëîñêîñòè, ñîîòâåòñòâóþùåé ýòîìó ÷èñëó (äëèíà íàïðàâëåííîãî îòðåçêà, ñîîòâåòñòâóþùåãî ýòîìó ÷èñëó). Ïèøóò

|x + iy| =

p

22

x2 + y 2 .

Èìååò ìåñòî î÷åâèäíîå íåðàâåíñòâî òðåóãîëüíèêà

|z1 + z2 | ≤ |z1 | + |z2 | (äëèíà ñòîðîíû òðåóãîëüíèêà íå áîëüøå ñóììû äëèí äâóõ äðóãèõ åãî ñòîðîí).

2.3. Ïîëÿðíàÿ ñèñòåìà êîîðäèíàò íà ïëîñêîñòè è ýêñïîíåíöèàëüíàÿ ôîðìà çàïèñè êîìïëåêñíûõ ÷èñåë Ïîëîæåíèå âñÿêîé òî÷êè M íà ïëîñêîñòè (êðîìå íà÷àëà êîîðäèíàò) ìîæíî çàäàòü ñ ïîìîùüþ óïîðÿäî÷åííîé ïàðû ÷èñåë: r  ðàññòîÿíèå îò íà÷àëà êîîðäèíàò äî ýòîé òî÷êè è ϕ  óãîë (â ðàäèàíàõ), îòñ÷èòûâàåìûé −−→ ïðîòèâ ÷àñîâîé ñòðåëêè îò îñè àáñöèññ äî íàïðàâëåííîãî îòðåçêà OM (ðèñ.2.1). Ýòó óïîðÿäî÷åííóþ ïàðó ÷èñåë íàçûâàþò ïîëÿðíûìè êîîðäèíàòàìè òî÷êè M ; r íàçûâàþò ïîëÿðíûì ðàäèóñîì, à ϕ  ïîëÿðíûì óãëîì òî÷êè. Ïåðåõîä îò ïîëÿðíûõ êîîðäèíàò òî÷êè ê åå äåêàðòîâûì êîîðäèíàòàì îñóùåñòâëÿåòñÿ ïî ôîðìóëàì

x = r · cos(ϕ); Ïîëÿðíûé ðàäèóñ òî÷êè êîîðäèíàòàì òàêæå îäíîçíà÷íî:

r=

p

y = r · sin(ϕ). îïðåäåëÿåòñÿ

ïî

åå

äåêàðòîâûì

x2 + y 2 = |z|.

À âîò ïîëÿðíûé óãîë îïðåäåëåí ëèøü ñ òî÷íîñòüþ äî öåëîãî ÷èñëà ïåðèîäîâ ñèíóñà (êîñèíóñà). Äåéñòâèòåëüíî, íà ðèñ.2.1 âìåñòî ϕ ñ îäèíàêîâûì îñíîâàíèåì ìîæíî íàïèñàòü

ϕ ± 2π, ϕ ± 4π, . . . , ϕ + 2kπ, k ∈ Z. Èíîãäà, ÷òîáû óñòðàíèòü ýòó íåîäíîçíà÷íîñòü, óñëàâëèâàþòñÿ ñ÷èòàòü, ÷òî 0 ≤ ϕ < 2π èëè − π < ϕ ≤ π. Òîãäà ó êàæäîé òî÷êè ïëîñêîñòè (êðîìå íà÷àëà êîîðäèíàò) ïîëÿðíûé óãîë îïðåäåëÿåòñÿ îäíîçíà÷íî11 . Äëÿ òî÷êè (0, 0) (íà÷àëî êîîðäèíàò) ïîëÿðíûé óãîë íå îïðåäåëåí. 11 Èíîãäà

âñòðå÷àþùàÿñÿ ôîðìóëà ϕ = arctg (y/x) íåâåðíà, òàê êàê îïðåäåëÿåìûé π ïî íåé óãîë âñåãäà áóäåò ëåæàòü â ïðîìåæóòêå [− π 2 , 2 ].  ñðåäàõ êîíå÷íîãî ïîëüçîâàòåëÿ èìåþòñÿ ôóíêöèè, âîçâðàùàþùèå ïðàâèëüíîå çíà÷åíèå ïîëÿðíîãî óãëà. 23

Ìû â ýòîì êóðñå íå ââîäèì îãðàíè÷åíèé íà âåëè÷èíó ïîëÿðíîãî óãëà. Ïóñòü êîìïëåêñíîå ÷èñëî çàäàíî â àëãåáðàè÷åñêîé ôîðìå. Âûðàæàÿ äåêàðòîâû êîîðäèíàòû òî÷êè ÷åðåç ïîëÿðíûå, ïîëó÷èì

z = x + i · y = r · cos(ϕ) + i · r · sin(ϕ) = |z| · (cos(ϕ) + i · sin(ϕ)) . Âûðàæåíèå |z|·(cos(ϕ) + i · sin(ϕ)) íàçûâàþò òðèãîíîìåòðè÷åñêîé ôîðìîé çàïèñè êîìïëåêñíîãî ÷èñëà. Ïîëÿðíûé óãîë òî÷êè ïëîñêîñòè, ñîîòâåòñòâóþùåé êîìïëåêñíîìó ÷èñëó, íàçûâàþò òàêæå àðãóìåíòîì ýòîãî ÷èñëà. Ïèøóò arg(z) = ϕ. Îòìåòèì, ÷òî

z = x − i y = |z| · (cos(ϕ) − i · sin(ϕ)) , îòêóäà

|z| = |z|,

arg(z) = −arg(z).

Ó÷èòûâàÿ, ÷òî êîíñòðóêöèÿ cos(ϕ) + i · sin(ϕ) áóäåò ïîñòîÿííî âñòðå÷àòüñÿ, ââåäåì äëÿ íåå ñïåöèàëüíîå îáîçíà÷åíèå

exp(i ϕ) = cos(ϕ) + i · sin(ϕ) è óñòàíîâèì íåêîòîðûå ñâîéñòâà ôóíêöèè exp : R → C (èíîãäà âìåñòî exp(i ϕ) ïèøóò ei ϕ , íî ìû ïðåäïî÷èòàåì ýòîãî íå äåëàòü):

1. 2. 3. 4. 5.

exp(0) = 1. exp (i (ϕ + 2kπ)) ≡ exp(i ϕ) ïðè k ∈ Z. |exp(i ϕ)| ≡ 1. exp(i ϕ) · exp(i ψ) ≡ exp (i (ϕ + ψ)) . (exp(iϕ))n ≡ exp(i nϕ) ïðè n ∈ N.

Äîêàçàòåëüñòâî. 1-2. Î÷åâèäíî èç îïðåäåëåíèÿ.

¡ ¢1/2 3. |exp(i ϕ)| = cos2 (ϕ) + sin2 (ϕ) = 1. 4. exp(i ϕ) · exp(i ψ) = (cos(ϕ) + i · sin(ϕ)) · (cos(ψ) + i · sin(ψ)) = (cos(ϕ) · cos(ψ) − sin(ϕ) · sin(ψ))+i ·(cos(ϕ) · sin(ψ) + sin(ϕ) · cos(ψ)) = cos(ϕ + ψ) + i · sin(ϕ + ψ) = exp (i (ϕ + ψ)). 2 5. Ïîëàãàÿ â 4 ψ = ϕ, ïîëó÷àåì (exp(i ϕ)) = exp(2i ϕ). 3 2 Äàëåå, (exp(iϕ)) = (exp(i ϕ)) · exp(i ϕ) = exp(2i ϕ) · exp(i ϕ) = exp(3i ϕ), è ò.ä. ¥ 24

Îòìåòèì ãåîìåòðè÷åñêóþ èíòåðïðåòàöèþ ñâîéñòâà 2: òî÷êè ïëîñêîñòè, ñîîòâåòñòâóþùèå çíà÷åíèÿì ôóíêöèè exp(i ϕ), ϕ ∈ R, ëåæàò íà åäèíè÷íîé îêðóæíîñòè ñ öåíòðîì â íà÷àëå êîîðäèíàò. Èñïîëüçóÿ ââåäåííîå îáîçíà÷åíèå, áóäåì çàïèñûâàòü êîìïëåêñíîå ÷èñëî òàêæå â âèäå

z = |z| · exp (i · arg(z)) è íàçûâàòü ýòî âûðàæåíèå ýêñïîíåíöèàëüíîé ôîðìîé êîìïëåêñíîãî ÷èñëà. Ïðè ýòîì, åñëè z1 = |z1 | · exp(i ϕ1 ) è z2 = |z2 | · exp(iϕ2 ), òî

çàïèñè

z1 · z2 = |z1 | · |z2 | · exp (i(ϕ1 + ϕ2 )) . Ïðè óìíîæåíèè íåíóëåâûõ êîìïëåêñíûõ ÷èñåë èõ ìîäóëè ïåðåìíîæàþòñÿ, à àðãóìåíòû ñêëàäûâàþòñÿ. Íàçîâåì ÷àñòíûì îò äåëåíèÿ z1 íà z2 òàêîå êîìïëåêñíîå ÷èñëî z , ÷òî z · z2 = z1 . Î÷åâèäíî, ÷òî ïðè z2 = 0, z · z2 = 0 äëÿ ëþáîãî z ∈ C. Êàê è âî ìíîæåñòâå âåùåñòâåííûõ ÷èñåë, äåëåíèå íà íóëü â C íå îïðåäåëåíî. Î÷åâèäíî òàêæå, ÷òî åñëè z2 6= 0 è z1 = 0, òî z = zz1 = 0. 2 Ïóñòü òåïåðü z1 6= 0, z2 6= 0. Çàïèøåì äåëèìîå, äåëèòåëü è ÷àñòíîå â ýêñïîíåíöèàëüíîé ôîðìå:

z1 = |z1 | · exp(i ϕ1 ),

z2 = |z2 | · exp(i ϕ2 ),

z = |z| · exp(i ϕ).

Òîãäà ïî îïðåäåëåíèþ

¡ ¢ |z| · |z2 | · exp i (ϕ + ϕ2 ) = |z1 | · exp(i ϕ1 ). Îòñþäà

|z| · |z2 | = |z1 |, |z| =

|z1 | , |z2 |

ϕ + ϕ2 = ϕ1 + 2kπ, k ∈ Z; ϕ = ϕ1 − ϕ2 + 2kπ, k ∈ Z, 25

è ÷àñòíîå îïðåäåëÿåòñÿ åäèíñòâåííûì îáðàçîì:

z=

z1 |z1 | |z1 | = · exp (i(ϕ1 − ϕ2 + 2kπ)) = · exp (i (ϕ1 − ϕ2 )) . (2.3.1) z2 |z2 | |z2 |

Åñëè äåëèìîå è äåëèòåëü çàäàíû â àëãåáðàè÷åñêîé ôîðìå, òî ÷àñòíîå íàõîäÿò òàê: óìíîæàÿ ÷èñëèòåëü è çíàìåíàòåëü äðîáè zz1 íà z2 , 2 èìååì

z1 x1 + i y1 (x1 + i y1 ) · (x2 − i y2 ) x1 x2 + y1 y2 y 1 x2 − x1 y 2 = = = +i · . 2 2 z2 x2 + i y2 (x1 + i y1 ) · (x2 − i y2 ) x2 + y2 x22 + y22 Ïðèìåð.

(1 + i ) · (2 + 3i ) 1+i 1 + 5 i. = − 13 2 2 13 2 − 3i = 2 +3

×èñëî z1 îáîçíà÷àþò òàêæå z −1 . Èç ôîðìóëû (2.3.1) ïîëó÷àåì

z −1 = −1

 ÷àñòíîñòè, (exp(i ϕ))

z 1 · exp(−i ϕ) = 2 . |z| |z|

= exp(iϕ) = exp(−i ϕ).

2.4. Óðàâíåíèå z n = c, n ∈ N. Êâàäðàòíîå óðàâíåíèå Ïóñòü c = |c| · exp(i ϕ) 6= 0  çàäàííîå êîìïëåêñíîå ÷èñëî, n  íàòóðàëüíîå ÷èñëî. Ïîñêîëüêó, î÷åâèäíî, z = 0  íå êîðåíü, áóäåì èñêàòü êîðíè â ýêñïîíåíöèàëüíîé ôîðìå. Ïóñòü z = |z| · exp(i ψ). Òîãäà

|z|n · exp(i nψ) = |c| · exp(iϕ). Îòñþäà

|z|n = |c|;

nψ = ϕ + 2πk,

k ∈ Z.

Ïîýòîìó âñå êîðíè óðàâíåíèÿ èìåþò îäèí è òîò æå ìîäóëü |z| = |c|1/n , à

ϕ + 2πk

, k ∈ Z. èõ àðãóìåíòû âû÷èñëÿþòñÿ ïî ôîðìóëå ψk = n Ëåãêî âèäåòü, ÷òî ïðè k = 0, 1, 2, . . . , n − 1 ïîëó÷àþòñÿ n ðàçëè÷íûõ êîðíåé óðàâíåíèÿ. Òî÷êè, èçîáðàæàþùèå ýòè êîðíè, ëåæàò íà îêðóæíîñòè ñ öåíòðîì â íà÷àëå êîîðäèíàò è ðàäèóñîì |c|1/n è äåëÿò ýòó îêðóæíîñòü íà n ðàâíûõ ÷àñòåé.  òî æå âðåìÿ ïðè m ∈ Z ψk+mn = ψk + 2mπ . Ïîýòîìó âñåì çíà÷åíèÿì k , äàþùèì îäèíàêîâûé îñòàòîê ïðè äåëåíèè íà n, ñîîòâåòñòâóåò îäèí è òîò æå êîðåíü. Ñëåäîâàòåëüíî, äðóãèõ êîðíåé íåò. 26

Çàìå÷àíèå. Ïðè c = 0 êîðíè óðàâíåíèÿ ñëèâàþòñÿ: zk = 0, k = 0, 1, . . . , n − 1. Ìû áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî óðàâíåíèå z n = 0 òàêæå èìååò ðîâíî n êîðíåé (êàæäûé èç íèõ ðàâåí íóëþ). Ðåøèì òåïåðü êâàäðàòíîå óðàâíåíèå

az 2 + bz + c = 0;

a, b, c ∈ C,

a 6= 0.

Ïðîäåëàåì òîæäåñòâåííîå ïðåîáðàçîâàíèå

Ã

µ ¶2 µ ¶2 ! b b c b az 2 + bz + c = a z 2 + 2z + + − = 2a 2a a 2a õ ¶2 à µ ¶2 !! b c b =a z+ + − . 2a a 2a

Îáîçíà÷èâ

b W =z+ , 2a

µ G=

b 2a

¶2

c − , a

ïîëó÷èì óðàâíåíèå W 2 = G, èìåþùåå, êàê áûëî ïîêàçàíî âûøå, äâà êîðíÿ (ñîâïàäàþùèå ïðè G = 0). Ìû ïîêàçàëè, ÷òî âñÿêîå êâàäðàòíîå óðàâíåíèå èìååò ðîâíî äâà êîìïëåêñíûõ êîðíÿ. Ðàññìîòðèì îñîáî ñëó÷àé, êîãäà ÷èñëà a, b, c  âåùåñòâåííûå. Âîçìîæíû òðè ñëó÷àÿ:

³

b 1. G = 2a

´2

− ac > 0. Òîãäà |G| = G,

W1 = |G|1/2 exp(0) = |G|1/2 ,

arg(G) = 0,

W2 = |G|1/2 exp(i

2π ) = −|G|1/2 , 2

èëè

p p 2 −b + b − 4ac −b − b2 − 4ac z1 = , z2 = 2a 2a (óðàâíåíèå èìååò äâà ðàçëè÷íûõ âåùåñòâåííûõ êîðíÿ). ³ ´2 b − ac = 0. Òîãäà 2. G = 2a W1 = W2 = 0,

z1 = z2 = −

b 2a

(óðàâíåíèå èìååò äâà ñîâïàäàþùèõ âåùåñòâåííûõ êîðíÿ). Ñëó÷àè 1 è 2 áûëè èçó÷åíû â øêîëå. 27

³

b 3. G = 2a

´2

− ac < 0. Òîãäà |G| = −G,

π W1 = |G|1/2 exp(i ) = i |G|1/2 , 2 èëè

arg(G) = π,

W2 = |G|1/2 exp(i

p −b + i 4ac − b2 z1 = , 2a

3π ) = −i |G|1/2 , 2

p −b − i 4ac − b2 z2 = 2a

(óðàâíåíèå èìååò äâà ðàçëè÷íûõ êîìïëåêñíî ñîïðÿæåííûõ êîðíÿ). Çàìå÷àíèå. Èìåþò ìåñòî òàê íàçûâàåìûå ôîðìóëû Âèåòà12 (ïðîâåðÿþòñÿ âû÷èñëåíèåì):

b z1 + z2 = − , a

12 Ôðàíñóà

c z1 · z2 = . a

ÂÈÅÒ (F. Viete, 1540-1603)  ôðàíöóçñêèé ìàòåìàòèê. 28

Ãëàâà 3. ÏÎËÈÍÎÌÛ (ÌÍÎÃÎ×ËÅÍÛ) 3.1. Îïðåäåëåíèå è ñòàíäàðòíîå ïðåäñòàâëåíèå Îïðåäåëåíèå. Ïîëèíîìîì ñòåïåíè n (n = 0, 1, . . .) ôóíêöèÿ f : C → C, äåéñòâóþùàÿ ïî ïðàâèëó

f (z) = a0 + a1 z + . . . + an z n ,

íàçûâàåòñÿ

(3.1.1)

ãäå a0 , a1 , . . . , an  çàäàííûå ÷èñëà (êîýôôèöèåíòû ïîëèíîìà), è an 6= 0. Êîýôôèöèåíò an íàçûâàåòñÿ ñòàðøèì êîýôôèöèåíòîì ïîëèíîìà, à a0  ìëàäøèì êîýôôèöèåíòîì, èëè ñâîáîäíûì ÷ëåíîì. Ê ïîëèíîìàì îòíîñÿò òàêæå ôóíêöèþ, ðàâíóþ íóëþ âî âñåõ òî÷êàõ C . Ñòåïåíü ýòîãî ïîëèíîìà íå îïðåäåëåíà. Ïðèìåðû.

f (z) ≡ 0 f (z) ≡ 5 f (z) = 1 − 5z f (z) = 2z − 5z 7

(íóëü-ïîëèíîì, ñòåïåíü íå îïðåäåëåíà); (ïîëèíîì íóëåâîé ñòåïåíè); (ïîëèíîì ïåðâîé ñòåïåíè); (ïîëèíîì ñåäüìîé ñòåïåíè).

Îòìåòèì, ÷òî ïîëèíîìû è èõ îòíîøåíèÿ (òàê íàçûâàåìûå ðàöèîíàëüíûå äðîáè, ðàññìàòðèâàåìûå â ãë. 4)  ýòî åäèíñòâåííûå ôóíêöèè, âû÷èñëÿåìûå êîìïüþòåðîì íåïîñðåäñòâåííî, èáî êîìïüþòåð âûïîëíÿåò òîëüêî ñëîæåíèå, âû÷èòàíèå, óìíîæåíèå è äåëåíèå ÷èñåë. Ïîýòîìó ïîëèíîìû è ðàöèîíàëüíûå äðîáè ÿâëÿþòñÿ ñåãîäíÿ èñòèííûìè "ýëåìåíòàðíûìè ôóíêöèÿìè è ñëåäóåò îñâîèòü òåõíèêó ðàáîòû ñ íèìè.  çàâèñèìîñòè îò çàäà÷è îäèí è òîò æå ïîëèíîì öåëåñîîáðàçíî çàïèñûâàòü â ðàçíûõ ôîðìàõ. Ôîðìó (3.1.1) ìû áóäåì íàçûâàòü ñòàíäàðòíûì ïðåäñòàâëåíèåì ïîëèíîìà. Ðàññìîòðèì åùå îäíî ïðåäñòàâëåíèå: ïîêàæåì, ÷òî ìîæíî ðàçëîæèòü ïîëèíîì íå ïî ñòåïåíÿì ïåðåìåííîé z (êàê â ñòàíäàðòíîì ïðåäñòàâëåíèè), à ïî ñòåïåíÿì äâó÷ëåíà (z − p) :

f (z) = b0 + b1 (z − p) + . . . + an (z − p)n ,

(3.1.2)

ãäå p  ïðîèçâîëüíîå ÷èñëî. Çäåñü bk , k = 0, . . . , n − 1  íåêîòîðûå ÷èñëà (çàâèñÿùèå, êîíå÷íî, îò p).  ÷àñòíîñòè, b0 = f (p). Äëÿ äîêàçàòåëüñòâà (3.1.2) çàìåíèì â ñòàíäàðòíîì ïðåäñòàâëåíèè ïîëèíîìà z íà w + p: 29

f (w + p) = a0 + a1 (w + p) + . . . + an (w + p)n . Ðàñêðûâ ñêîáêè è ïðèâåäÿ ïîäîáíûå ÷ëåíû, ïîëó÷èì

f (w + p) = b0 + b1 w + . . . + bn−1 wn−1 + an wn , Ïîëîæèâ w = 0, ïîëó÷èì b0 = f (p). Çàìåíèâ w íà z − p, ïðèäåì ê (3.1.2).

3.2. Cõåìà Ãîðíåðà Ïðè ñòàíäàðòíîì ïðåäñòàâëåíèè ïîëèíîìà åãî çíà÷åíèÿ ñëåäóåò âû÷èñëÿòü ïî òàê íàçûâàåìîé ñõåìå Ãîðíåðà13

f (z) = a0 + a1 z + a2 z 2 + . . . + an z n = = (. . . . . . ( an z + an−1 ) · z + an−2 ) + . . . + a1 ) · z + a0 . | {z } n−1

Òàêîé ñïîñîá âû÷èñëåíèÿ èìååò äâà ïðåèìóùåñòâà. Ïåðâîå  î÷åâèäíîå: ìèíèìèçèðóåòñÿ êîëè÷åñòâî àðèôìåòè÷åñêèõ îïåðàöèé. Äåéñòâèòåëüíî, äëÿ âû÷èñëåíèÿ çíà÷åíèÿ ïîëèíîìà ñòåïåíè n ïî ñõåìå Ãîðíåðà òðåáóåòñÿ n ñëîæåíèé è n óìíîæåíèé. Ïðè âû÷èñëåíèè

n(n + 1)

æå ïî ôîðìóëå (3.1.1) ïîòðåáóåòñÿ n ñëîæåíèé è óìíîæåíèé 2 (ïðîâåðüòå!). Âòîðîå  ñîâñåì íå î÷åâèäíîå: ïðè âû÷èñëåíèè ïî ñõåìå Ãîðíåðà ñóùåñòâåííî óìåíüøàåòñÿ âû÷èñëèòåëüíàÿ ïîãðåøíîñòü. ×òîáû óáåäèòüñÿ â ýòîì, âû÷èñëèòå, èñïîëüçóÿ ìèêðîêàëüêóëÿòîð, f (199), åñëè

f (z) = 2z 6 − 396z 5 − 396z 4 − 396z 3 − 396z 2 − 396z − 197, äâóìÿ ñïîñîáàìè: ïî ôîðìóëå (3.1.1) è ïî ñõåìå Ãîðíåðà.

3.3. Êîðíè ïîëèíîìà. Ðàçëîæåíèå ïîëèíîìà íà ìíîæèòåëè ïåðâîé ñòåïåíè Îïðåäåëåíèå. ×èñëî c ∈ C íàçûâàåòñÿ êîðíåì ïîëèíîìà f , åñëè f (c) = 0. Ïðèìåðû. 1. Ïîëèíîì íóëåâîé ñòåïåíè íå èìååò êîðíåé:

f (z) = a0 6= 0. 2. Ïîëèíîì ïåðâîé ñòåïåíè èìååò îäèí êîðåíü: 13 Âèëüÿì

Äæîðäæ ÃÎÐÍÅÐ (W.J. Horner, 1786-1837)  àíãëèéñêèé ìàòåìàòèê. 30

f (z) = a0 + a1 z = 0

=⇒

z1 = −

a0 . a1

Îòìåòèì, ÷òî ïîëèíîì ïåðâîé ñòåïåíè ïðåäñòàâèì â âèäå

f (z) = a0 + a1 z = a1 · (z − z1 ). 3. Ïîëèíîì âòîðîé ñòåïåíè èìååò äâà êîðíÿ (îíè ìîãóò è ñîâïàäàòü): 2

f (z) = a0 + a1 z + a2 z = 0

=⇒

z1,2

a1 =− ± 2a2

sµ

a1 2a2

¶2 −

a0 a2

√

(çäåñü ñèìâîë A îáîçíà÷àåò ëþáîå èç ðåøåíèé óðàâíåíèÿ z 2 = A). Èñïîëüçóÿ ôîðìóëû Âèåòà, ëåãêî ïðîâåðèòü, ÷òî ïîëèíîì âòîðîé ñòåïåíè ïðåäñòàâèì â âèäå

f (z) = a0 + a1 z + a2 z 2 = a2 · (z − z1 ) · (z − z2 ). Ýòà ôîðìóëà âåðíà è ïðè z1 = z2 .

Ìîæíî ïîêàçàòü, ÷òî âñÿêèé ïîëèíîì ñòåïåíè n èìååò ðîâíî n êîðíåé è ìîæåò áûòü ïðåäñòàâëåí â âèäå

f (z) = a0 + a1 z + a2 z 2 + . . . + an z n = an · (z − z1 ) · . . . · (z − zn ), (3.3.1) ãäå z1 , . . . , zn  êîðíè ïîëèíîìà (íå îáÿçàòåëüíî ïîïàðíî ðàçëè÷íûå). Ýòî óòâåðæäåíèå íàçûâàþò îñíîâíîé òåîðåìîé àëãåáðû. Åñòåñòâåííî îáúåäèíèòü îäèíàêîâûå ñîìíîæèòåëè â (3.3.1):

f (z) = an · (z − z1 )k1 . . . (z − zm )km .

(3.3.2)

Çäåñü z1 , . . . , zm  ïîïàðíî ðàçëè÷íûå êîðíè ïîëèíîìà, à íàòóðàëüíûå ÷èñëà k1 , . . . , km íàçûâàþòñÿ êðàòíîñòÿìè ñîîòâåòñòâóþùèõ êîðíåé. Î÷åâèäíî, ÷òî k1 + . . . + km = n. Êîðåíü êðàòíîñòè 1 îáû÷íî íàçûâàþò ïðîñòûì. Ôîðìóëó (3.3.2) íàçûâàþò ðàçëîæåíèåì ïîëèíîìà íà ìíîæèòåëè ïåðâîé ñòåïåíè èëè ìóëüòèïëèêàòèâíûì ïðåäñòàâëåíèåì ïîëèíîìà. Åñëè âûïîëíèòü óìíîæåíèå â ïðàâîé ÷àñòè (3.3.2), ïîëó÷àòñÿ ôîðìóëû, ñâÿçûâàþùèå êîýôôèöèåíòû ïîëèíîìà ñ åãî êîðíÿìè (òàê æå, êàê â ñëó÷àå êâàäðàòíîãî óðàâíåíèÿ, îíè íàçûâàþòñÿ ôîðìóëàìè Âèåòà). Ïðèâåäåì äâå èç íèõ: n X

n Y

an−1 zj = − ; a n j=1

j=1

31

zj = (−1)n

a0 an

(çäåñü êàæäûé êîðåíü ñ÷èòàåòñÿ ñòîëüêî ðàç, êàêîâà åãî êðàòíîñòü). Ïðèìåð. Åñëè f (z) = 3 · (z − 2) · (z − 5)3 · (z − i )2 , òî z1 = 2  ïðîñòîé êîðåíü, z2 = −5  êîðåíü êðàòíîñòè 3, z3 = i  êîðåíü êðàòíîñòè 2. Ñåðüåçíîå ïðåäóïðåæäåíèå. Çàäà÷à îòûñêàíèÿ êîðíåé ïîëèíîìà ÷èñëåííî íåóñòîé÷èâà, ò.å. ìàëûå èçìåíåíèÿ êîýôôèöèåíòîâ ïîëèíîìà ìîãóò âûçûâàòü áîëüøèå èçìåíåíèÿ åãî êîðíåé. Ïðèâåäåì ïðîñòîé ïðèìåð. Ïóñòü òðåáóåòñÿ íàéòè êîðíè ïîëèíîìà f (z) = (z − 1)n , è â ñâîáîäíîì ÷ëåíå èìååòñÿ àáñîëþòíàÿ ïîãðåøíîñòü ε, ò.å. ôàêòè÷åñêè âìåñòî óðàâíåíèÿ (z − 1)n = 0 ðåøàåòñÿ óðàâíåíèå (z − 1)n = ε. Âñå åãî êîðíè 1 ðàñïîëîæåíû íà îêðóæíîñòè ñ öåíòðîì â òî÷êå (1, 0) è ðàäèóñîì ε n . Àáñîëþòíàÿ ïîãðåøíîñòü íàéäåííûõ êîðíåé (îíà æå è 1 îòíîñèòåëüíàÿ) ðàâíà ε n . Ñëåäîâàòåëüíî, ïîãðåøíîñòü îïðåäåëåíèÿ 1 êîðíÿ ïðåâûøàåò îòíîñèòåëüíóþ ïîãðåøíîñòü ñâîáîäíîãî ÷ëåíà â ε n −1 ðàç. Íàïðèìåð, äîïóñòèâ ïîãðåøíîñòü â ñâîáîäíîì ÷ëåíå ïîëèíîìà øåñòîé ñòåïåíè âñåãî â ñåäüìîé çíà÷àùåé öèôðå (ε = 10−6 ), ïîëó÷èì "êîýôôèöèåíò óñèëåíèÿ" ïîãðåøíîñòè 105 !

3.4. Äåëåíèå ïîëèíîìà íà ïîëèíîì Èç êóðñà ëèíåéíîé àëãåáðû èçâåñòíî, ÷òî ïðîñòðàíñòâîì ïîëèíîìîâ ïîðÿäêà n íàçûâàåòñÿ ìíîæåñòâî, ñîñòîÿùåå èç âñåõ ïîëèíîìîâ, ñòåïåíü êîòîðûõ ñòðîãî ìåíüøå, ÷åì n, è íóëü-ïîëèíîìà. Ïóñòü P  ïîëèíîì ñòåïåíè n, Q  ïîëèíîì ñòåïåíè m (m ≤ n). Ìîæíî ïîêàçàòü, ÷òî ñóùåñòâóþò òàêèå ïîëèíîìû S (ñòåïåíè n − m) è R (ïîðÿäêà m), ÷òî

P = Q · S + R,

(3.4.1)

ïðè÷åì ïîëèíîìû S è R îïðåäåëÿþòñÿ åäèíñòâåííûì îáðàçîì. Ïî àíàëîãèè ñ äåëåíèåì ÷èñåë ïîëèíîì P íàçûâàþò äåëèìûì, ïîëèíîì Q  äåëèòåëåì, ïîëèíîì S  ÷àñòíûì è ïîëèíîì R  îñòàòêîì. Ñôîðìóëèðîâàííîå óòâåðæäåíèå ìû ïðîèëëþñòðèðóåì ïðèìåðîì, èç êîòîðîãî áóäåò ÿñåí ñïîñîá äîêàçàòåëüñòâà. Èòàê, ïóñòü

P (z) = p5 z 5 + p4 z 4 + p3 z 3 + p2 z 2 + p1 z + p0 (p5 6= 0) Q(z) = q2 z 2 + q1 z + q0 (q2 6= 0) Ïîëèíîì S äîëæåí èìåòü ñòåïåíü 3, à ïîëèíîì R  ïîðÿäîê 2. Çàïèøåì ýòè ïîëèíîìû â âèäå (çäåñü r0 , r1 , s0 , s1 , s2 , s3 ïîäëåæàò îïðåäåëåíèþ)

S(z) = s3 z 3 + s2 z 2 + s1 z + s0 (s3 6= 0), 32

R(z) = r1 z + r0 .

Ïîäñòàâèâ P, Q, S, R â (3.4.1), ïîëó÷èì

p5 z 5 + p4 z 4 + p3 z 3 + p2 z 2 + p1 z + p0 = (q2 z 2 + q1 z + q0 ) · (s3 z 3 + s2 z 2 + s1 z + s0 ) + r1 z + r0 . Ðàñêðûâ ñêîáêè è ïðèðàâíÿâ êîýôôèöèåíòû ïðè îäèíàêîâûõ ñòåïåíÿõ ïåðåìåííîé â îáåèõ ÷àñòÿõ óðàâíåíèÿ, ïîëó÷èì ëèíåéíóþ ñèñòåìó îòíîñèòåëüíî èñêîìûõ êîýôôèöèåíòîâ.

¯ z 5 ¯¯ q2 s3 z 4 ¯¯ q1 s3 + q2 s2 z 3 ¯¯ q0 s3 + q1 s2 + q2 s1 q0 s2 + q1 s1 + q2 s0 z 2 ¯¯ 1¯ q0 s1 + q1 s0 + 1 · r1 z ¯ 0¯ z q0 s0 + 0 · r1 + 1 · r0

= = = = = =

p5 p4 p3 . p2 p1 p0

Îïðåäåëèòåëü ìàòðèöû êîýôôèöèåíòîâ ýòîé ñèñòåìû (íèæíåé òðåóãîëüíîé) îòëè÷åí îò íóëÿ (îí ðàâåí q24 ), ñëåäîâàòåëüíî, ñèñòåìà èìååò åäèíñòâåííîå ðåøåíèå. Êðîìå òîãî, èç ïåðâîãî óðàâíåíèÿ p ïîëó÷àåì s3 = q 5 6= 0, ò.å., äåéñòâèòåëüíî, ÷àñòíîå  ïîëèíîì òðåòüåé 2 ñòåïåíè.  òî æå âðåìÿ îñòàòîê  ïîëèíîì âòîðîãî ïîðÿäêà (â òîì ÷èñëå ìîæåò îêàçàòüñÿ è íóëü-ïîëèíîìîì  òîãäà ãîâîðÿò, ÷òî P äåëèòñÿ íà Q áåç îñòàòêà).

3.5. Íåïðåðûâíîñòü ïîëèíîìà Ïóñòü f (z) = a0 + a1 z + . . . + an z n  ïðîèçâîëüíûé ïîëèíîì ñòåïåíè n. Çàôèêñèðóåì íà êîìïëåêñíîé ïëîñêîñòè òî÷êó p, à òî÷êó z ñäåëàåì ïåðåìåííîé. Ïîëîæèì â ôîðìóëå (3.1.2) z = p + h:

f (p + h) − f (p) = f (p) + b1 · h + . . . + bn · hn − f (p) = h · (b1 + . . . + bn · hn−1 ). Îöåíèì ìîäóëü ýòîé ðàçíîñòè, ñ÷èòàÿ, ÷òî òî÷êà z ëåæèò âíóòðè êðóãà ñ öåíòðîì â òî÷êå p è ðàäèóñîì ρ, ò.å. |h| = |z − p| < ρ (ðèñ.3.1).

|b1 + . . . + bn · hn−1 | ≤ |b1 | + . . . + |bn | · ρn−1 . Îòñþäà

|f (z) − f (p)| ≤ M · |h| = M · |z − p|, ãäå M = |b1 | + . . . + |bn | · ρn−1  ïîëîæèòåëüíîå ÷èñëî. 33

y '$

pr zr &%

x

Ðèñ.3.1 Èç ïîñëåäíåãî íåðàâåíñòâà ñëåäóåò, ÷òî çíà÷åíèå ïîëèíîìà â òî÷êå z ìîæíî ñäåëàòü êàê óãîäíî áëèçêèì ê åãî çíà÷åíèþ â òî÷êå p çà ñ÷åò ïðèáëèæåíèÿ z ê p. Òî÷íåå, Äëÿ ëþáîãî ïîëîæèòåëüíîãî ÷èñëà ε ìîæíî óêàçàòü òàêîå ïîëîæèòåëüíîå ÷èñëî δ , ÷òî

|z − p| < δ

=⇒

|f (z) − f (p)| < ε.

(3.5.1)

Î÷åâèäíî, ÷òî äîñòàòî÷íî âçÿòü δ = min{ρ, ε }.

M Îïðåäåëåíèå. Ôóíêöèÿ, îáëàäàþùàÿ ñâîéñòâîì (3.5.1), íàçûâàåòñÿ íåïðåðûâíîé â òî÷êå p. Ïîñêîëüêó â íàøåì ñëó÷àå êîìïëåêñíîå ÷èñëî p ïðîèçâîëüíî, ìû äîêàçàëè, ÷òî ïîëèíîì íåïðåðûâåí â ëþáîé òî÷êå ñâîåé îáëàñòè îïðåäåëåíèÿ (êîìïëåêñíîé ïëîñêîñòè).

34

Ãëàâà 4. ÐÀÖÈÎÍÀËÜÍÛÅ ÄÐÎÁÈ (ÄÐÎÁÍÎ-ÐÀÖÈÎÍÀËÜÍÛÅ ÔÓÍÊÖÈÈ) 4.1. Îïðåäåëåíèå è âàæíîå ñîãëàøåíèå Îïðåäåëåíèå. Äðîáíî-ðàöèîíàëüíîé äðîáüþ) íàçûâàåòñÿ îòíîøåíèå ïîëèíîìîâ

am z m + am−1 z m−1 + . . . + a1 z + a0 f (z) = , bn z n + bn−1 z n−1 + . . . + b1 z + b0

ôóíêöèåé

(ðàöèîíàëüíîé

(am 6= 0, bn 6= 0, n > 0).

Âàæíîå ñîãëàøåíèå Ìîæåò îêàçàòüñÿ, ÷òî ïîëèíîì-÷èñëèòåëü è ïîëèíîì-çíàìåíàòåëü èìåþò îáùèé êîðåíü  ÷èñëî c. Òîãäà îáà ïîëèíîìà äåëÿòñÿ áåç îñòàòêà íà äâó÷ëåí (z − c), è ðàöèîíàëüíóþ äðîáü ìîæíî ñîêðàòèòü, ò.å. ðàçäåëèòü è ÷èñëèòåëü è çíàìåíàòåëü íà ýòîò äâó÷ëåí.

Äîãîâîðèìñÿ íå ðàññìàòðèâàòü ðàöèîíàëüíûå äðîáè, êîòîðûå ìîæíî ñîêðàòèòü, ò.å. áóäåì âñåãäà ñ÷èòàòü, ÷òî ÷èñëèòåëü è çíàìåíàòåëü íå èìåþò îáùèõ êîðíåé.

Åñëè m < n (ñòåïåíü ÷èñëèòåëÿ ñòðîãî ìåíüøå ñòåïåíè çíàìåíàòåëÿ), ðàöèîíàëüíàÿ äðîáü íàçûâàåòñÿ ïðàâèëüíîé, åñëè m ≥ n  íåïðàâèëüíîé. Íåïðàâèëüíàÿ ðàöèîíàëüíàÿ äðîáü ìîæåò áûòü (ñì. ï.3.4) åäèíñòâåííûì îáðàçîì ïðåäñòàâëåíà â âèäå ñóììû ïîëèíîìà è ïðàâèëüíîé ðàöèîíàëüíîé äðîáè. Äåéñòâèòåëüíî, èç (3.4.1) ñëåäóåò, ÷òî

P R =S+ , Q Q è äðîáü R  ïðàâèëüíàÿ (ñëó÷àé, êîãäà ÷èñëèòåëü äåëèòñÿ íà

Q çíàìåíàòåëü áåç îñòàòêà, èíòåðåñà, î÷åâèäíî, íå ïðåäñòàâëÿåò). Ïîýòîìó â äàëüíåéøåì ìû ðàññìàòðèâàåì, â îñíîâíîì, ïðàâèëüíûå ðàöèîíàëüíûå äðîáè. Èòàê, ìû ðàññìàòðèâàåì ïðàâèëüíûå è íåñîêðàòèìûå ðàöèîíàëüíûå äðîáè. Êîðíè çíàìåíàòåëÿ òàêîé äðîáè íàçûâàþòñÿ åå ïîëþñàìè. Êðàòíîñòü êîðíÿ çíàìåíàòåëÿ íàçûâàåòñÿ êðàòíîñòüþ ïîëþñà. Ðàöèîíàëüíàÿ äðîáü îïðåäåëåíà íà âñåé êîìïëåêñíîé ïëîñêîñòè çà èñêëþ÷åíèåì ïîëþñîâ. 35

4.2. Ðàçëîæåíèå ïðàâèëüíîé ðàöèîíàëüíîé äðîáè íà ïðîñòåéøèå A (A, c  êîìïëåêñíûå (z − c)k ÷èñëà, k  íàòóðàëüíîå ÷èñëî) íàçûâàåòñÿ ïðîñòåéøåé äðîáüþ. Îïðåäåëåíèå. Ðàöèîíàëüíàÿ äðîáü

Òåîðåìà. Âñÿêàÿ ïðàâèëüíàÿ ðàöèîíàëüíàÿ äðîáü ìîæåò áûòü ïðåäñòàâëåíà â âèäå ñóììû ïðîñòåéøèõ äðîáåé (ðàçëîæåíà íà ïðîñòåéøèå äðîáè). Äîêàçàòåëüñòâî.  ñèëó Âàæíîãî ñîãëàøåíèÿ (ï.4.1) ÷èñëèòåëü è çíàìåíàòåëü äðîáè íå èìåþò îáùèõ êîðíåé. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî íàøà äðîáü èìååò ïîëþñ c êðàòíîñòè k , ò.å. îíà èìååò âèä

f (z) =

P (z) , (z − c)k Q(z)

P (c) 6= 0,

Q(c) 6= 0.

Ïîêàæåì, ÷òî ñóùåñòâóåò åäèíñòâåííûé ïîëèíîì R ïîðÿäêà k è åäèíñòâåííûé ïîëèíîì S , òàêèå ÷òî

f (z) =

P (z) R(z) S(z) = + . (z − c)k Q(z) (z − c)k Q(z)

Ðàññìîòðèì ðàçíîñòü

P (z) R(z) P (z) − R(z) · Q(z) − = , (z − c)k Q(z) (z − c)k (z − c)k Q(z)

(4.2.1)

ãäå R  ïðîèçâîëüíûé ïîëèíîì ïîðÿäêà k . Ïîïðîáóåì ïîñòðîèòü ýòîò ïîëèíîì òàê, ÷òîáû ðàçíîñòü P − R · Q äåëèëàñü áåç îñòàòêà íà (z − c)k . Äëÿ ýòîãî ðàñïîëîæèì ïîëèíîìû P, Q, R ïî âîçðàñòàþùèì ñòåïåíÿì äâó÷ëåíà (z − c) (ñì. (3.1.2)):

P (z) = p0 + p1 (z − c) + . . . + pk−1 (z − c)k−1 + . . . , Q(z) = q0 + q1 (z − c) + . . . + qk−1 (z − c)k−1 + . . . , R(z) = r0 + r1 (z − c) + . . . + rk−1 (z − c)k−1 (ìíîãîòî÷èÿ â ïîëèíîìàõ P è Q îçíà÷àþò, ÷òî ýòè ïîëèíîìû ìîãóò ñîäåðæàòü è áîëåå âûñîêèå ñòåïåíè äâó÷ëåíà (z − c)). Çàìåòèì, ÷òî q0 = Q(c) 6= 0. Âû÷èñëèì òåïåðü êîýôôèöèåíòû ïðè ñòåïåíÿõ äâó÷ëåíà â ÷èñëèòåëå äðîáè (4.2.1) âïëîòü äî (k − 1)-ãî è ïðèðàâíÿåì èõ íóëþ: 36

¯ (z − c)0 ¯¯ p0 − r0 q0 = 0 1 ¯ (z − c) ¯ p1 − r0 q1 − r1 q0 = 0 2 ¯ (z − c) ¯ p2 − r0 q2 − r1 q1 − r2 q0 = 0 . ¯ ... ¯ .................................................... (z − c)k−1 ¯ pk−1 − r0 qk−1 − r1 qk−2 − r2 qk−3 − · · · − pk−1 q0 = 0 Ïîëó÷åííàÿ äëÿ îïðåäåëåíèÿ êîýôèöèåíòîâ ïîëèíîìà R ñèñòåìà óðàâíåíèé èìååò âèä:



     q0 0 0 ... 0 r0 p0  q1     q0 0 ... 0    r1   p 1   q2     q1 q0 . . . 0    ×  r2  =  p 2  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  . . .   . . .  qk−1 qk−2 qk−3 . . . q0 rk−1 pk−1

Îïðåäåëèòåëü ìàòðèöû êîýôôèöèåíòîâ ýòîé ñèñòåìû ðàâåí q0k 6= 0. Ïîýòîìó ÷èñëà r0 , . . . , rk−1 (à ïîòîìó è ïîëèíîì R) îïðåäåëÿþòñÿ îäíîçíà÷íî. Òåïåðü ïîëèíîì P (z) − R(z) · Q(z) äåëèòñÿ íà (z − c)k áåç îñòàòêà (ïî ïîñòðîåíèþ). Îáîçíà÷àÿ ïîëèíîì-÷àñòíîå S , ïîëó÷èì

P (z) − R(z) · Q(z) = (z − c)k · S(z), îòêóäà

R(z) S(z) P (z) = + . k k Q(z) (z − c) Q(z) (z − c) Âûäåëÿÿ òàêèì îáðàçîì ïîñëåäîâàòåëüíî âñå ïîëþñû, ïîëó÷èì ïðåäñòàâëåíèå ïðàâèëüíîé íåñîêðàòèìîé ðàöèîíàëüíîé äðîáè â âèäå f (z) =

f (z) =

P (z) R1 (z) Rm (z) = + . . . + . (4.2.2) (z − c1 )k1 . . . (z − cm )km (z − c1 )k1 (z − cm )km

Ïîñêîëüêó ïîëèíîìû Rj (j = 1, . . . , m) óæå ðàñïîëîæåíû ïî âîçðàñòàþùèì ñòåïåíÿì (z − cj ), ïîëó÷èì äàëåå

r0,j + r1,j (z − cj ) + . . . + rkj −1,j (z − cj )kj −1 Rj (z) = = (z − cj )kj (z − cj )kj rkj −1,j r1,j r0,j + + . . . + , = z − cj (z − cj )kj (z − cj )kj −1 ÷òî çàâåðøàåò äîêàçàòåëüñòâî òåîðåìû. 37

¥

Ìîæíî ïîêàçàòü, ÷òî ðàçëîæåíèå ïðàâèëüíîé ðàöèîíàëüíîé äðîáè íà ïðîñòåéøèå åäèíñòâåííî. ×èñëà, ñòîÿùèå â ÷èñëèòåëÿõ ïðîñòåéøèõ äðîáåé, ìîãóò áûòü íàéäåíû òàê íàçûâàåìûì ìåòîäîì íåîïðåäåëåííûõ êîýôôèöèåíòîâ, êîòîðûé ìû ïðîäåìîíñòðèðóåì íà ïðèìåðå. Ïðèìåð. Ðàçëîæèòü íà ïðîñòåéøèå äðîáè

z2 + 1 . (z − 1)3 (z 2 + 3) Âûäåëèì ïîëþñû è ïðåäñòàâèì ýòó äðîáü â âèäå (4.2.2) ñ íåèçâåñòíûìè ïîêà êîýôôèöèåíòàìè:

z2 + 1 √ √ = (z − 1)3 (z + i 3)(z − i 3) r0 + r1 (z − 1) + r2 (z − 1)2 s v √ + √ . = + 3 (z − 1) z+i 3 z−i 3 Ïðèâåäåì ïðàâóþ ÷àñòü ê îáùåìó çíàìåíàòåëþ è ïðèðàâíÿåì â ÷èñëèòåëÿõ äðîáåé, ñòîÿùèõ ñëåâà è ñïðàâà îò çíàêà ðàâåíñòâà, êîýôôèöèåíòû ïðè îäèíàêîâûõ ñòåïåíÿõ ïåðåìåííîé z :

¯ z ¯ z 3 ¯¯ ¯ z2 ¯ ¯ z1 ¯ ¯ z0 ¯ 4¯

r2 + s + v √ √ − (3 − 3i )v r1 − 2r2 − (3 + 3i )s √ √ r0 − r1 + 4r2 + (3 √ + 3i )s + (3 −√ 3i)v 3r1 − 6r2 − (1 + 3√ 3i )s −√(1 − 3 3i )v 3r0 − 3r1 + 3r2 + 3i s − 3i v

= = = = =

0 0 1 . 0 1

Ïðèìåíÿÿ àëãîðèòì ïîëíîãî èñêëþ÷åíèÿ, ïîëó÷èì

√ √ r0 = 1/2, r1 = 1/4, r2 = 0, s = −i 3/24, v = i 3/24.

Ñåðüåçíîå ïðåäóïðåæäåíèå. Ñ "äîêîìïüþòåðíûõ" âðåìåí ó ÷åëîâåêà ñîõðàíèëîñü åñòåñòâåííîå îòâðàùåíèå ê ðàáîòå ñ êîìïëåêñíûìè ÷èñëàìè. Ïîýòîìó ïðè ðàçëîæåíèè âåùåñòâåííûõ ðàöèîíàëüíûõ äðîáåé íà ïðîñòåéøèå èíîãäà èñïîëüçóþò â ñëó÷àå ñîïðÿæåííûõ êîìïëåêñíûõ ïîëþñîâ òàê íàçûâàåìûå "ïðîñòåéøèå äðîáè âòîðîãî òèïà":

Ax + B , x + px + q 2

ãäå A, B, p, q  âåùåñòâåííûå ÷èñëà, à êîðíè êâàäðàòíîãî òðåõ÷ëåíà â çíàìåíàòåëå  êîìïëåêñíûå. 38

Ýòî ñóùåñòâåííî óñëîæíÿåò çàäà÷ó è íå äàåò íèêàêîãî âûèãðûøà, ïîñêîëüêó (â îòëè÷èå îò ÷åëîâåêà) êîìïüþòåð ëåãêî ñïðàâëÿåòñÿ ñ "êîìïëåêñíîé àðèôìåòèêîé". Ìû íàñòîÿòåëüíî ðåêîìåíäóåì íå ïîëüçîâàòüñÿ ïðîñòåéøèìè äðîáÿìè âòîðîãî òèïà.

4.3. Íåïðåðûâíîñòü ðàöèîíàëüíîé äðîáè Ðàññìîòðèì ïðîñòåéøóþ äðîáü f (z) = 1n ñ ïîëþñîì â íà÷àëå z êîîðäèíàò. Çàôèêñèðóåì òî÷êó p 6= 0 è îöåíèì ðàçíîñòü f (z) − f (p), ñ÷èòàÿ, ÷òî ïåðåìåííàÿ òî÷êà z áåðåòñÿ âíóòðè êðóãà ñ öåíòðîì â òî÷êå p è ðàäèóñîì |p|/2 (ðèñ.4.1). Òîãäà

y '$

pr zr &%

x

Ðèñ.4.1

pn − z n pn−1 + pn−2 z + . . . + pz n−2 + z n−1 f (z) − f (p) = n n = (p − z) · . p z pn z n |f (z)−f (p)| ≤

¢ |p − z| ¡ n−1 n−2 n−2 n−1 · |p| +|p| |z|+. . .+|p||z| +|z| . (4.3.1) |p|n |z|n

|p|

3|p|

Òàê êàê 2 < |z| < 2 , óñèëèì íåðàâåíñòâî (4.3.1), çàìåíèâ â ïðàâîé åãî ÷àñòè: â çíàìåíàòåëå |z|  íà ìåíüøåå ÷èñëî |p|/2, à â ñêîáêå |z|  íà áîëüøåå ÷èñëî 3|p|/2.

¡

¡ ¢n−1 n−1 ¢ |p|n−1 + 23 |p|n−1 + . . . + 23 |p| = |f (z) − f (p)| ≤ |p − z| · |p|n n |p| 2n 2(3n − 2n ) = |z − p| · = M · |z − p|. |p|n+1 2(3n − 2n )  ïîëîæèòåëüíîå ÷èñëî. |p|n+1 Èç ïîëó÷åííîãî íåðàâåíñòâà ñëåäóåò, ÷òî çíà÷åíèå íàøåé ïðîñòåéøåé äðîáè â òî÷êå z ìîæíî ñäåëàòü êàê óãîäíî áëèçêèì ê

Çäåñü M =

39

åå çíà÷åíèþ â òî÷êå p çà ñ÷åò ïðèáëèæåíèÿ z ê p. Òî÷íåå: äëÿ ëþáîãî ïîëîæèòåëüíîãî ÷èñëà ε ìîæíî óêàçàòü òàêîå ïîëîæèòåëüíîå ÷èñëî © ª δ = min |p|/2, ε/M , ÷òî

|z − p| < δ

=⇒

|f (z) − f (p)| < ε.

Ïîñêîëüêó òî÷êà p ïðîèçâîëüíà, ìû äîêàçàëè íåïðåðûâíîñòü íàøåé ïðîñòåéøåé äðîáè â ëþáîé òî÷êå åå îáëàñòè îïðåäåëåíèÿ. Íåáîëüøîå óñëîæíåíèå ïðîâåäåííîãî âûøå ðàññóæäåíèÿ ïîçâîëÿåò 1 óñòàíîâèòü è íåïðåðûâíîñòü ïðîñòåéøåé äðîáè n â ëþáîé òî÷êå

(z − c)

åå îáëàñòè îïðåäåëåíèÿ.

Äîêàæåì òåïåðü âàæíîå âñïîìîãàòåëüíîå óòâåðæäåíèå. Ïóñòü ôóíêöèè f1 è f2 îïðåäåëåíû â íåêîòîðîé îêðåñòíîñòè òî÷êè p, è ñóùåñòâóåò òàêîå ïîëîæèòåëüíîå ÷èñëî M , ÷òî â ýòîé îêðåñòíîñòè âûïîëíÿþòñÿ íåðàâåíñòâà

|f1 (z) − f1 (p)| ≤ M |z − p|,

|f2 (z) − f2 (p)| ≤ M |z − p|.

Òîãäà äëÿ ëèíåéíîé êîìáèíàöèè ýòèõ ôóíêöèé f = α1 f1 + α2 f2 èìååì

¯ ¯ ¯ ¯ |f (z) − f (p)| = ¯(α1 f1 + α2 f2 ) (z) − (α1 f1 + α2 f2 ) (p)¯ ≤ ≤ |α1 ||f1 (z) − f1 (p)| + |α2 ||f2 (z) − f2 (p)| ≤ ≤ (|α1 | + |α2 |)M · |z − p|.

Ýòî óòâåðæäåíèå î÷åâèäíûì îáðàçîì ðàñïðîñòðàíÿåòñÿ íà ëèíåéíóþ êîìáèíàöèþ ëþáîãî êîíå÷íîãî ÷èñëà ôóíêöèé. Ó÷èòûâàÿ, ÷òî ëþáàÿ ðàöèîíàëüíàÿ äðîáü ïðåäñòàâèìà â âèäå ñóììû ïîëèíîìà è ëèíåéíîé êîìáèíàöèè êîíå÷íîãî ÷èñëà ïðîñòåéøèõ äðîáåé, ïîëó÷àåì Ñëåäñòâèå. Ëþáàÿ ðàöèîíàëüíàÿ äðîáü íåïðåðûâíà â ëþáîé òî÷êå îáëàñòè åå îïðåäåëåíèÿ.

4.4. Ïîâåäåíèå ðàöèîíàëüíîé äðîáè â îêðåñòíîñòè ïîëþñà Îãðàíè÷èìñÿ ðàññìîòðåíèåì ñëó÷àÿ ïðîñòåéøåé äðîáè

f (z) =

1 . (z − c)n

Ïåðåéäåì ê ïîëÿðíûì êîîðäèíàòàì ñ íà÷àëîì â ïîëþñå

z = c + r · exp(i ϕ)

=⇒

f (z) = 40

exp(−iϕ) rn

=⇒

|f (z)| =

1 . rn

Î÷åâèäíî, ÷òî ìîäóëü f (z) ìîæíî ñäåëàòü êàê óãîäíî áîëüøèì çà ñ÷åò ïðèáëèæåíèÿ òî÷êè z ê ïîëþñó. Òî÷íåå: äëÿ ëþáîãî ïîëîæèòåëüíîãî ÷èñëà E ìîæíî óêàçàòü òàêîå ïîëîæèòåëüíîå ÷èñëî δ = E −1/n , ÷òî

0 < |z − c| < δ

=⇒

|f (z)| > E.

Ïîëó÷åííûé ðåçóëüòàò îáû÷íî âûðàæàþò ñëîâàìè: "ïðîñòåéøàÿ äðîáü íå îãðàíè÷åíà â îêðåñòíîñòè ñâîåãî ïîëþñà". Ìîæíî ïîêàçàòü, ÷òî âñÿêàÿ ðàöèîíàëüíàÿ äðîáü íå îãðàíè÷åíà â îêðåñòíîñòè êàæäîãî ñâîåãî ïîëþñà.

4.5. Ïî÷åìó íå ñëåäóåò ðàáîòàòü ñ ñîêðàòèìûìè ðàöèîíàëüíûìè äðîáÿìè Íà÷íåì ñ ïðèìåðà. Ïóñòü

f (x) = x (x ∈ R);

g(x) =

x2 (x ∈ R, x 6= 0) (ðèñ.4.2). x 2 g(x) = xx

¡ ¡

f (x) = x

¡

¡ ¡ ¡

¡

¡

¡

¡

¡

¡

¡ ¡

¡

x

e¡ ¡ ¡ ¡

¡

¡

¡

¡

x

¡

¡

¡ ¡

¡

¡

Ðèñ.4.2 Ýòè ôóíêöèè ñîâïàäàþò âñþäó, êðîìå îäíîé òî÷êè (x = 0), ãäå g íå îïðåäåëåíà (ãðàôèê ôóíêöèè g ïîëó÷åí óäàëåíèåì èç ãðàôèêà f íà÷àëà êîîðäèíàò). Åñëè äîîïðåäåëèòü g , ïîëîæèâ g(0) = 0, òî îíà ñîâïàäåò ñ f óæå âñþäó è, â ÷àñòíîñòè, ñòàíåò íåïðåðûâíîé â òî÷êå x = 0.  òî æå âðåìÿ î÷åâèäíî, ÷òî ôîðìàëüíî f ïîëó÷àåòñÿ èç g ñîêðàùåíèåì ïîñëåäíåé íà x. Äàëåå âîçìîæíû äâà ïóòè: 1. Îòêàçàòüñÿ îò ðàññìîòðåíèÿ ñîêðàòèìûõ ðàöèîíàëüíûõ äðîáåé, ò.å., â ÷àñòíîñòè, íå ðàçëè÷àòü ôóíêöèè

x2 (x ∈ R, x 6= 0), f (x) = x (x ∈ R) è g(x) = x 41

÷òî ðàâíîñèëüíî äîîïðåäåëåíèþ ôóíêöèè g â íóëå ïî íåïðåðûâíîñòè. 2. Ñ÷èòàòü f è g ðàçíûìè ôóíêöèÿìè, à ÷èñëî íîëü íàçûâàòü ïðåäåëîì ôóíêöèè g â òî÷êå x = 0. Ïèøóò:

lim g(x) = 0 (èëè x=0

lim g(x) = 0).

x→0

Ñ íàøåé òî÷êè çðåíèÿ ïåðâûé ïóòü ïðîùå, è ïîñëåäîâàòåëüíîå åãî ïðîâåäåíèå ñóùåñòâåííî îáëåã÷àåò ïîëüçîâàòåëþ èçó÷åíèå ìàòåìàòèêè.  òî æå âðåìÿ íàì íå èçâåñòíû ñëó÷àè âîçíèêíîâåíèÿ íà ýòîì ïóòè êàêèõ-ëèáî çàòðóäíåíèé è, òåì áîëåå, ïðîòèâîðå÷èé. Ïîýòîìó ìû íå áóäåì ðàáîòàòü ñ ñîêðàòèìûìè ðàöèîíàëüíûìè äðîáÿìè (à ïîçæå  è ñ äðóãèìè ôóíêöèÿìè, èìåþùèìè òî÷êè óñòðàíèìîãî ðàçðûâà).

Ìû áóäåì òàêèå ðàçðûâû óñòðàíÿòü!

Ïðè ýòîì ïðåäåë ôóíêöèè â òî÷êå ëèáî áóäåò ñîâïàäàòü ñ åå çíà÷åíèåì (è ïîýòîìó íå áóäåò ïðåäñòàâëÿòü èíòåðåñà), ëèáî íå áóäåò ñóùåñòâîâàòü. Òàê, íàïðèìåð, â ïîëþñå, ò.å. â òî÷êå, ÿâëÿþùåéñÿ êîðíåì çíàìåíàòåëÿ íåñîêðàòèìîé ðàöèîíàëüíîé äðîáè, íèêàêèì äîîïðåäåëåíèåì ýòîé äðîáè ñäåëàòü åå íåïðåðûâíîé íåëüçÿ  ðàöèîíàëüíàÿ äðîáü â ïîëþñå íå èìååò ïðåäåëà. Òàêàÿ òî÷êà çðåíèÿ ñîãëàñóåòñÿ ñî âçãëÿäàìè ìàòåìàòèêîâ XX âåêà Í. Í. Ëóçèíà14 è Ë. Áåðñà15 . Ðàññìàòðèâàÿ ðàöèîíàëüíóþ äðîáü

xm φ(x) · , xn ψ(x)

ãäå ψ(0) 6= 0

èçâåñòíûõ

è m ≥ n,

Í.Í.Ëóçèí ïèøåò: "Åñòåñòâåííî ðàññìàòðèâàòü ýòîò ñëó÷àé êàê ñëó÷àé êàæóùåãîñÿ ðàçðûâà, îáÿçàííîãî íå íåäîñòàòêàì ñàìîé ôóíêöèè (â ãåîìåòðè÷åñêîì ñìûñëå), à ëèøü íåêîòîðîìó íåäîñòàòêó äàþùåé ýòó ôóíêöèþ ôîðìóëû, óòðà÷èâàþùåé ñâîé ÷èñëîâîé ñìûñë ïðè x = 0. ×òî 14 Íèêîëàé

Íèêîëàåâè÷ ËÓÇÈÍ (1883-1950)  äåéñòâèòåëüíûé ÷ëåí ÀÍ ÑÑÑÐ è ðÿäà çàðóáåæíûõ àêàäåìèé, îñíîâàòåëü ìîñêîâñêîé øêîëû òåîðèè ôóíêöèé. Öèòèðóåòñÿ ó÷åáíèê Â. Ãðýíâèëü è Í. Ëóçèí, Ýëåìåíòû äèôôåðåíöèàëüíîãî è èíòåãðàëüíîãî èñ÷èñëåíèÿ, "ÃÈÇ Ì.-Ë.:, 1931. 15 Ëèïìàí ÁÅÐÑ (L. Bers, 1914-1993)  ïðîôåññîð Êîëóìáèéñêîãî óíèâåðñèòåòà (ÑØÀ), ïðåçèäåíò Àìåðèêàíñêîãî ìàòåìàòè÷åñêîãî îáùåñòâà, ãëàâà îòäåëåíèÿ ìàòåìàòèêè Íàöèîíàëüíîé Àêàäåìèè íàóê ÑØÀ. Öèòèðóåòñÿ ó÷åáíèê Ë. Áåðñ, Ìàòåìàòè÷åñêèé àíàëèç, "Âûñøàÿ øêîëà Ì.:, 1975. 42

ïîäîáíîãî ðîäà óòðàòà ÷èñëîâîãî ñìûñëà òîé èëè èíîé ôîðìóëîé ìîæåò ïðîèçîéòè ÷èñòî ñëó÷àéíî, ÷èòàòåëü çàìåòèò èç òîãî îáñòîÿòåëüñòâà, ÷òî

x · f (x)

äîñòàòî÷íî íàïèñàòü ëþáóþ íåïðåðûâíóþ ôóíêöèþ f (x) â âèäå x èëè â âèäå 1/x+f (x)−1/x, êàê óæå íîâàÿ ôîðìóëà óòðà÷èâàåò ÷èñëîâîé ñìûñë â òî÷êå x = 0". Ë. Áåðñ: "Ðàáîòàÿ ñ ðàöèîíàëüíûìè ôóíêöèÿìè, ìû ÷àñòî áóäåì ïðåäïîëàãàòü, ÷òî êàæäûé ëèíåéíûé ìíîæèòåëü, âõîäÿùèé îäíîâðåìåííî â ÷èñëèòåëü è â çíàìåíàòåëü, óæå ñîêðàùåí, è ÷òî îáëàñòü îïðåäåëåíèÿ ôóíêöèè ñîîòâåòñòâóþùèì îáðàçîì ðàñøèðåíà". Ïðîòèâ ýòîé òî÷êè çðåíèÿ êàòåãîðè÷åñêè âîçðàæàþò ëèøü ïðåïîäàâàòåëè-ðåïåòèòîðû, èáî îíà îòíèìàåò ó íèõ âîçìîæíîñòü "îáó÷àòü" âñåâîçìîæíûì õèòðîóìíûì ïðèåìàì "âû÷èñëåíèÿ" ïðåäåëîâ.

43

Ãëàâà 5. ×ÈÑËÎÂÀß ÏÎÑËÅÄÎÂÀÒÅËÜÍÎÑÒÜ È ÅÅ ÏÐÅÄÅË 5.1. Îñíîâíûå ïîíÿòèÿ. Ïðèìåðû Îïðåäåëåíèå. ×èñëîâîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòüþ íàçûâàþò ÷èñëîâóþ ôóíêöèþ, çàäàííóþ íà ìíîæåñòâå íàòóðàëüíûõ ÷èñåë (f : N → C). ×èñëîâàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü êàæäîìó íàòóðàëüíîìó ÷èñëó  íîìåðó  ñòàâèò â ñîîòâåòñòâèå îäíî êîìïëåêñíîå ÷èñëî. Çàìå÷àíèÿ. 1. ×àñòî îáëàñòüþ îïðåäåëåíèÿ ÷èñëîâîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ñ÷èòàþò ìíîæåñòâî íàòóðàëüíûõ ÷èñåë, ïîïîëíåííîå íóëåì (íà÷èíàþò ñ÷èòàòü íå ñ åäèíèöû, à ñ íóëÿ). 2. Ïî òðàäèöèè çíà÷åíèÿ ôóíêöèè-ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ¡ ¢ ¡ ÷àñòî ¢+∞ îáîçíà÷àþò íå f (n), à fn , ñàìó æå ïîñëåäîâàòåëüíîñòü  fn èëè fn 1 . 3. Óäîáíî ïðåäñòàâëÿòü ñåáå ïîñëåäîâàòåëüíîñòü â âèäå áåñêîíå÷íîé âïðàâî òàáëèöû, â ïåðâîé ñòðîêå êîòîðîé  íîìåðà, à âî âòîðîé  ñîîòâåòñòâóþùèå èì çíà÷åíèÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòè:

n 1 2 3 ... fn f1 f2 f3 . . . Ïðèìåðû. 1. f (n) ≡ 1. Ìíîæåñòâî çíà÷åíèé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ñîñòîèò èç îäíîãî ÷èñëà. Òàêóþ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ïðèíÿòî íàçûâàòü ïîñëåäîâàòåëüíîñòü-êîíñòàíòà. Ñåðüåçíîå ïðåäóïðåæäåíèå. Íå ñëåäóåò ïóòàòü ôóíêöèþ-êîíñòàíòó (â ÷àñòíîñòè, ïîñëåäîâàòåëüíîñòü-êîíñòàíòó) è ÷èñëî  åäèíñòâåííîå çíà÷åíèå ýòîé ôóíêöèè.

¡ ¢ 2. f (n) = exp i π n 2 ;

n = 0, 1, 2, . . . . Ìíîæåñòâî çíà÷åíèé ýòîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ñîñòîèò èç ÷åòûðåõ © ª ÷èñåë: 1, i , −1, −i . ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ïåðèîäè÷åñêàÿ, è åå ïåðèîä ðàâåí ÷åòûðåì: f (n + 4 · m) = f (n) äëÿ âñåõ n, m = 0, 1, 2, . . . . q √ 2 2 2 4 3. fn = n + i · n ; |fn | = n + n = n · 1 + 12 . n Âèäíî, ÷òî ïðè óâåëè÷åíèè íîìåðà ìîäóëü çíà÷åíèÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòè íåîãðàíè÷åííî ðàñòåò. ¡ 4 ¢ + i ¡2 + 3 ¢. 4. fn = 1 + n n2 44

Ïðè áîëüøèõ íîìåðàõ çíà÷åíèÿ ýòîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ìàëî îòëè÷àþòñÿ îò ÷èñëà 1 + 2i :

r r ¯ ¯4 16 9 1 5 3¯ 9 ¯ |fn − (1 + 2i)| = ¯ + i 2 ¯ = 16 + 2 ≤ . 2 + 4 = n n n n n n n

Òî÷íåå: äëÿ ëþáîãî ïîëîæèòåëüíîãî ÷èñëà ε ìîæíî óêàçàòü íîìåð16 ¡5¢ n0 = entier ² + 1, íà÷èíàÿ ñ êîòîðîãî âûïîëíÿåòñÿ íåðàâåíñòâî

|fn − (1 + 2i )| < ε.

Îïðåäåëåíèå. Áóäåì íàçûâàòü r-îêðåñòíîñòüþ òî÷êè a ∈ C âíóòðåííîñòü êðóãà ¯ © ª ñ öåíòðîì â ýòîé òî÷êå è ðàäèóñîì r, ò.å. ìíîæåñòâî x ∈ C ¯ |x − a| < r . Èñïîëüçóÿ ýòî ïîíÿòèå, ìîæíî îïèñàòü ïîâåäåíèå ïîñëåäîâàòåëüíîñòè èç ïðèìåðà 4 òàê: Êàêîâî áû íè áûëî ïîëîæèòåëüíîå ÷èñëî ε, íàéäåòñÿ íîìåð n0 , íà÷èíàÿ ñ êîòîðîãî âñå çíà÷åíèÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ëåæàò â ε-îêðåñòíîñòè òî÷êè 1 + 2i . Èíà÷å, âíå ëþáîé îêðåñòíîñòè òî÷êè 1 + 2i ëåæàò çíà÷åíèÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ëèøü äëÿ êîíå÷íîãî ÷èñëà íîìåðîâ17 . È, ¡íàêîíåö, ¢÷òî ÷èñëî 1 + 2i åñòü ïðåäåë ïîñëåäîâàòåëü¢ ãîâîðÿò, ¡ 3 4 íîñòè 1 + n + i 2 + 2 , è ïèøóò

n ³¡ ¡ 4¢ 3 ¢´ lim 1 + + i 2 + 2 = 1 + 2i . n n Îïðåäåëåíèå. ×èñëî A ∈ C íàçûâàåòñÿ ïðåäåëîì ïîñëåäîâàòåëü¡ ¢ íîñòè an , åñëè äëÿ ëþáîãî ïîëîæèòåëüíîãî ÷èñëà ε íàéäåòñÿ òàêîé íîìåð n0 , ÷òî n ≥ n0

=⇒

|an − A| < ε;

èëè

¡ ¢ âíå ëþáîé îêðåñòíîñòè òî÷êè A ëåæàò çíà÷åíèÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòè an ëèøü äëÿ êîíå÷íîãî ÷èñëà íîìåðîâ; èëè âíóòðè ¡ ¢ ëþáîé îêðåñòíîñòè òî÷êè A ëåæàò çíà÷åíèÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòè an ïî÷òè äëÿ âñåõ íîìåðîâ. 16 entier

(ôð.)  öåëûé; entier(x)  öåëàÿ ÷àñòü âåùåñòâåííîãî ÷èñëà x, ò.å. íàèáîëüøåå öåëîå ÷èñëî, íå ïðåâîñõîäÿùåå x. 17 Åñëè íåêîòîðîå ñâîéñòâî íå âûïîëíÿåòñÿ ëèøü äëÿ êîíå÷íîãî ÷èñëà íîìåðîâ, ìû áóäåì ãîâîðèòü, ÷òî îíî âûïîëíÿåòñÿ ïî÷òè äëÿ âñåõ íîìåðîâ. 45

¡ ¢

Åñëè ïîñëåäîâàòåëüíîñòü an èìååò ïðåäåë A, òî ïèøóò

lim an = A èëè

lim an = A.

n→+∞

¡ ¢

Ãîâîðÿò òàêæå, ÷òî ïîñëåäîâàòåëüíîñòü an ñõîäèòñÿ ê ÷èñëó A, è ïèøóò

an → A. Íåòðóäíî çàìåòèòü, ÷òî ïðåäåëîì ïîñëåäîâàòåëüíîñòè-êîíñòàíòû ÿâëÿåòñÿ çíà÷åíèå ýòîé êîíñòàíòû (ïðèìåð 1). Îïðåäåëåíèå. Åñëè âñå çíà÷åíèÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ëåæàò âíóòðè íåêîòîðîãî êðóãà, òî ïîñëåäîâàòåëüíîñòü íàçûâàåòñÿ îãðàíè÷åííîé. Ñðàâíèâàÿ ýòî îïðåäåëåíèå ñ îïðåäåëåíèåì ïðåäåëà, óñòàíàâëèâàåì, ÷òî âñÿêàÿ ñõîäÿùàÿñÿ (èìåþùàÿ ïðåäåë) ïîñëåäîâàòåëüíîñòü îãðàíè÷åíà. Îáðàòíîå, î÷åâèäíî, íå âåðíî. Òàê, ïåðèîäè÷åñêàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü (ïðèìåð 2) îãðàíè÷åíà, íî ïðåäåëà íå èìååò. Îïðåäåëåíèå. Åñëè âíå ëþáîãî êðóãà íàéäóòñÿ çíà÷åíèÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòè, òî ýòó ïîñëåäîâàòåëüíîñòü íàçûâàþò íåîãðàíè÷åííîé. Íåîãðàíè÷åííàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ïðåäåëà íå èìååò. Òàêîâà, â ÷àñòíîñòè, ïîñëåäîâàòåëüíîñòü èç ïðèìåðà 3.

5.2. Ñâîéñòâà ïðåäåëîâ Ñëåäóþùèå óòâåðæäåíèÿ íîñÿò íàçâàíèå òåîðåì î ïðåäåëàõ:

1. fn ≡ a

=⇒

lim fn = a.

Ýòî ñâîéñòâî áûëî óñòàíîâëåíî â ïðåäûäóùåì ïóíêòå.

2.

(lim fn = a)

^

(lim gn = b)

=⇒

lim(f + g)n = a + b.

Äîêàçàòåëüñòâî. Èç î÷åâèäíîãî íåðàâåíñòâà

|(f + g)n − (a + b)| = |(fn − a) + (gn − b)| ≤ |fn − a| + |gn − b| ñëåäóåò, ÷òî ïðè ïîïàäàíèè fn â ε/2-îêðåñòíîñòü òî÷êè a, à gn  â ε/2 -îêðåñòíîñòü òî÷êè b, (f + g)n ïîïàäàåò â ε-îêðåñòíîñòü òî÷êè a + b. Íî ïî óñëîâèþ ¡ ¢âíå ε/2-îêðåñòíîñòè òî÷êè a ëåæàò çíà÷åíèÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòè fn ëèøü äëÿ êîíå÷íîãî ÷èñëà íîìåðîâ,¡è ¢âíå ε/2îêðåñòíîñòè òî÷êè b ëåæàò çíà÷åíèÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòè gn òàêæå 46

ëèøü äëÿ êîíå÷íîãî ÷èñëà íîìåðîâ. Ñëåäîâàòåëüíî, ¡ âíå εîêðåñòíîñòè ¢ òî÷êè a + b ëåæàò çíà÷åíèÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòè (f + g)n ëèøü äëÿ êîíå÷íîãî ÷èñëà íîìåðîâ.  ñèëó ïðîèçâîëüíîñòè ïîëîæèòåëüíîãî ÷èñëà

ε

lim(f + g)n = a + b. ¡ ¢ ^¡ ¢ 3. lim fn = a lim gn = b 4.

¡

¥ =⇒

lim(f · g)n = a · b.

¢ ^¡ ¢^ lim fn = a lim gn = b (b 6= 0)

=⇒

lim(f /g)n = a/b.

Äîêàçàòåëüñòâà óòâåðæäåíèé 3 è 4 ìû íå ïðèâîäèì. Îòìåòèì ëèøü, ÷òî ¡ ¢ êîíöåíòðàöèÿ çíà÷åíèé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè fn îêîëî òî÷êè (÷èñëà) a, ¡ ¢ à çíà÷åíèé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè gn îêîëî òî÷êè (÷èñëà) ¡ b ïðèâîäèò, ¢ î÷åâèäíî, ê êîíöåíòðàöèè çíà÷åíèé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè (f · g) n îêîëî ¡ ¢ òî÷êè (÷èñëà) a·b, à çíà÷åíèé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè (f /g)n  îêîëî òî÷êè (÷èñëà) a/b.  ïîñëåäíåì ñëó÷àå îñîáî îãîâîðåíî, ÷òî b 6= 0.

5.

¡

lim fn = 0

¢ ^¡

(gn ) îãðàíè÷åíà

¢

=⇒

lim(f · g)n = 0.

Êàê è â óòâåðæäåíèè 3, çäåñü ðàññìàòðèâàåòñÿ ïðåäåë ïðîèçâåäåíèÿ äâóõ ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé. Íî çäåñü íå òðåáóåòñÿ ñóùåñòâîâàíèå ïðåäåëà âòîðîãî ñîìíîæèòåëÿ! Ïóñòü âñå çíà÷åíèÿ îãðàíè÷åííîé ïîñëåäîâàòåëüÄîêàçàòåëüñòâî. ¡ ¢ íîñòè gn ëåæàò â M -îêðåñòíîñòè íà÷àëà êîîðäèíàò, ò.å. |gn | < M . Òîãäà

|fn · gn | < M · |fn |. Âîçüìåì ïðîèçâîëüíîå ïîëîæèòåëüíîå ÷èñëî ε. Âíå ε/M ¡ ¢ îêðåñòíîñòè íóëÿ ëåæàò çíà÷åíèÿ fn ëèøü äëÿ êîíå÷íîãî ÷èñëà íîìåðîâ. ¡ ¢ Ïîýòîìó âíå M · ε/M =ε-îêðåñòíîñòè íóëÿ ëåæàò çíà÷åíèÿ (f · g)n äëÿ òåõ æå (êîíå÷íîãî ÷èñëà) íîìåðîâ. ¥

6.

¡ ¢ ^¡ ¢ lim fn = a+ib (a, b ∈ R) ⇐⇒ lim Re(fn ) = a lim Im(fn ) = b .

Äîêàçàòåëüñòâî. Îáîçíà÷èì xn = Re(fn ), yn = Im(fn ). Åñëè lim xn = a è lim yn = b, òî ñîãëàñíî óòâåðæäåíèÿì 1  3,

lim(xn + i yn ) = lim xn + lim(i · yn ) = a + lim(i ) · lim yn = a + i b. Íàîáîðîò, ïóñòü lim fn = a + i b. Èç î÷åâèäíîãî ðàâåíñòâà

|fn − (a + i b)| = |fn − (a + i b)| = |fn − (a − ib)| 47

ñëåäóåò, ÷òî lim fn = a − i b. Òåïåðü óòâåðæäåíèÿ 1  3 äàþò:

³1

´ ³1´ lim xn = lim (fn + fn ) = lim · (lim fn + lim fn ) = 2 2 1 = · (a + i b + a − i b) = a, 2 lim yn = lim

1 1 (fn − fn ) = · (a + i b − a + ib) = b. 2i 2i

¥

Óòâåðæäåíèÿ 1  6 âåðíû äëÿ ëþáûõ êîìïëåêñíûõ ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé. Ïðè èçó÷åíèè âåùåñòâåííûõ ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé âàæíóþ ðîëü èãðàåò ñëåäóþùàÿ Òåîðåìà. Åñëè ïîñëåäîâàòåëüíîñòü âåùåñòâåííûõ ÷èñåë óáûâàåò è îãðàíè÷åíà ñâåðõó, òî îíà èìååò ïðåäåë.

¡ ¢ xn íå ¡

¢

Äîêàçàòåëüñòâî. Ìíîæåñòâî X çíà÷åíèé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè xn îãðàíè÷åíî ñâåðõó è, ñëåäîâàòåëüíî (ñì. ï.2.1), èìååò âåðõíþþ ãðàíü. Îáîçíà÷èì x = sup(X) è ïîêàæåì, ÷òî lim xn = x. Äåéñòâèòåëüíî, xn ≤ x ïðè âñåõ n ∈ N (èç îïðåäåëåíèÿ âåðõíåé ãðàíèöû ìíîæåñòâà). Äàëåå, äëÿ ëþáîãî ε > 0 ñóùåñòâóåò òàêîå n0 ∈ N, ÷òî xn0 > x − ε (èíà÷å ÷èñëî x − ε áûëî áû âåðõíåé ãðàíèöåé ìíîæåñòâà ¡ ¢ X , ÷òî ïðîòèâîðå÷èò îïðåäåëåíèþ sup(X). Íî ïîñëåäîâàòåëüíîñòü xn íå óáûâàåò, è ïîòîìó äëÿ âñåõ n ≥ n0

x − ε < xn ≤ x, îòêóäà |xn − x| < ε.

¥ ¡ ¢ Àíàëîãè÷íî, åñëè ïîñëåäîâàòåëüíîñòü âåùåñòâåííûõ ÷èñåë xn íå âîçðàñòàåò è îãðàíè÷åíà ñíèçó, òî lim xn = inf(X).

48

Ãëàâà 6. ×ÈÑËÎÂÛÅ ÐßÄÛ 6.1. Îïðåäåëåíèå. Ïðèìåðû Ðàññìîòðèì äâå ïîñëåäîâàòåëüíîñòè:

1) fn = 2n + 3i /n; 2) g1 = 1; g2 = 1;

ïðè n > 2 gn = gn−1 + gn−2 .

 ïåðâîì ñëó÷àå çíà÷åíèå ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ñ ëþáûì íîìåðîì ìîæíî âû÷èñëèòü, íå âû÷èñëÿÿ åå çíà÷åíèÿ ñ ïðåäøåñòâóþùèìè íîìåðàìè. Âî âòîðîì  äëÿ âû÷èñëåíèÿ, íàïðèìåð, g6 , ïðèäåòñÿ íàéòè g3 , g4 , g5 : g3 = g2 + g1 = 2, g4 = g3 + g2 = 3, g5 = g4 + g3 = 5 è, íàêîíåö, g6 = g5 + g4 = 8 . Áóäåì ãîâîðèòü, ÷òî ïîñëåäîâàòåëüíîñòü (fn ) çàäàíà ÿâíî, à ïîñëåäîâàòåëüíîñòü (gn )  íåÿâíî. Èíîãäà (ê ñîæàëåíèþ, ðåäêî) óäàåòñÿ ïðåâðàòèòü íåÿâíîå çàäàíèå ïîñëåäîâàòåëüíîñòè â ÿâíîå. Íàïîìíèì äâà ïðèìåðà èç øêîëüíîãî êóðñà: Ãåîìåòðè÷åñêàÿ ïðîãðåññèÿ: u0 = a 6= 0; ïðè n > 0 un = q · un−1 (q 6= 0). Èçâåñòíî, ÷òî un = a · q n äëÿ âñåõ n = 0, 1, 2 . . .. Àðèôìåòè÷åñêàÿ ïðîãðåññèÿ: v0 = a; ïðè n > 0 vn = q + vn−1 (q 6= 0). Èçâåñòíî, ÷òî vn = a + q · n äëÿ âñåõ n = 0, 1, 2 . . .. Ïóñòü òåïåðü ÿâíî çàäàíà ïîñëåäîâàòåëüíîñòü (an ). Îïðåäåëèì íåÿâíî íîâóþ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü (An ) òàê:

A1 = a1 , A2 = A1 + a2 = a1 + a2 , ........................................ An = An−1 + an = a1 + a2 + . . . + an , ........................................ Òàêóþ ïàðó ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé íàçûâàþò ÷èñëîâûì ðÿäîì. Ïðè ýòîì ÿâíî çàäàííàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü (an ) íàçûâàåòñÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ÷ëåíîâ ðÿäà, à íåÿâíî çàäàííàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü (An )  ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ÷àñòíûõ ñóìì ðÿäà. Ìû áóäåì îáîçíà÷àòü ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ÷ëåíîâ ðÿäà ìàëûìè ëàòèíñêèìè áóêâàìè, à ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ÷àñòíûõ ñóìì  ñîîòâåòñòâóþùèìè áîëüøèìè. Îïðåäåëåíèå. Åñëè ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ÷àñòíûõ ñóìì ðÿäà ñõîäèòñÿ (èìååò ïðåäåë), òî ãîâîðÿò, ÷òî ðÿä ñõîäèòñÿ, à ýòîò ïðåäåë (÷èñëî) íàçûâàþò ñóììîé ðÿäà. 49

Åñëè lim An = A, òî ïèøóò a1 + a2 + . . . + an + . . . =

+∞ P n=1

an = A.

Åñëè lim An íå ñóùåñòâóåò, òî ãîâîðÿò, ÷òî ðÿä ðàñõîäèòñÿ. Çàìå÷àíèÿ. 1. Ñèìâîëû a1 + a2 + . . . + an + . . . è

+∞ P n=1

an ïî

îïðåäåëåíèþ îáîçíà÷àþò ñóììó ñõîäÿùåãîñÿ ðÿäà, ò.å. ÷èñëî. Îäíàêî ïî òðàäèöèè ýòèìè ñèìâîëàìè îáîçíà÷àþò è ñàì ðÿä (äàæå â ñëó÷àå åãî ðàñõîäèìîñòè). Ìîæíî âñòðåòèòü, íàïðèìåð, óòâåðæäåíèå: "ðÿä

+∞ P

n=1

1 n

ðàñõîäèòñÿ". 2. Åñëè èçìåíèòü çíà÷åíèÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ÷ëåíîâ ðÿäà äëÿ k íîìåðîâ, âçÿâ a0n1 âìåñòî an1 , a0n2 âìåñòî an2 ,. . . ,a0nk âìåñòî ank (íîìåðà èäóò â ïîðÿäêå âîçðàñòàíèÿ), òî, íà÷èíàÿ ñ íîìåðà nk äëÿ ÷àñòíûõ ñóìì èñõîäíîãî ðÿäà  An è èçìåíåííîãî  A0n áóäåò âûïîëíÿòüñÿ óñëîâèå

A0n − An = (a0n1 − an1 ) + . . . + (a0nk − ank ),

n ≥ nk .

Òàêèì îáðàçîì, ýòè ÷àñòíûå ñóììû îòëè÷àþòñÿ íà ôèêñèðîâàííîå ÷èñëî, è ëèáî îáà ðÿäà  èñõîäíûé è èçìåíåííûé  ñõîäÿòñÿ, ëèáî îáà ðàñõîäÿòñÿ. Áîëåå òîãî, åñëè îáà ðÿäà ñõîäÿòñÿ, òî èõ ñóììû îòëè÷àþòñÿ íà òî æå ÷èñëî:

A0 − A = (a0n1 − an1 ) + . . . + (a0nk − ank ). Ñëåäîâàòåëüíî, ïðè ðåøåíèè âîïðîñà î ñõîäèìîñòè ðÿäà ìîæíî íå îáðàùàòü âíèìàíèÿ íà çíà÷åíèÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòè åãî ÷ëåíîâ äëÿ ëþáîãî êîíå÷íîãî ÷èñëà íîìåðîâ.  ÷àñòíîñòè, åñëè íåêîòîðîå ñâîéñòâî èìååò ìåñòî ïî÷òè äëÿ âñåõ íîìåðîâ (ò.å. çà èñêëþ÷åíèåì êîíå÷íîãî èõ ÷èñëà), òî ïðè ðåøåíèè âîïðîñà î ñõîäèìîñòè ìîæíî ñ÷èòàòü, ÷òî îíî âûïîëíåíî äëÿ âñåõ íîìåðîâ. Èíîãäà ýòîò ïðèåì ñóùåñòâåííî óïðîùàåò ðàññóæäåíèÿ. Ðàññìîòðèì òðè ïðèìåðà.

1. fn = a · q n (a 6= 0, q 6= 0, n = 0, 1, . . .). Fn = a + a · q + . . . + a · q n . Åñëè q = 1, òî Fn = a · n.

Åñëè æå q 6= 1, òî

a a − · q n+1 . 1−q 1−q a . Åñëè |q| ≥ 1, Åñëè |q| < 1, òî lim q n+1 = 0, è F = lim Fn = 1 − q òî lim Fn íå ñóùåñòâóåò (ðÿä ðàñõîäèòñÿ). Ïðè |q| > 1 ýòî î÷åâèäíî, òàê êàê (Fn ) íå îãðàíè÷åíà. Ñëó÷àé |q| = 1 áóäåò ðàññìîòðåí íèæå.

(1 − q) · Fn = Fn − q · Fn = a · (1 − q n+1 )

50

=⇒

Fn =

Èòàê,

+∞ P

a ïðè |q| < 1. aq n = 1 − q n=0

2. gn = a + n · q (q 6= 0, n = 0, 1, . . .). Gn = (n + 1) · a +

n(n + 1) · q. 2

(Gn ) íå îãðàíè÷åíà è, ñëåäîâàòåëüíî, ïðåäåëà íå èìååò. Ðÿä ðàñõîäèòñÿ. ½ 1 ïðè ÷åòíîì n . 3. hn = (−1)n (n = 0, 1, . . .). Hn = 0 ïðè íå÷åòíîì n (Hn )  ïåðèîäè÷åñêàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü (ïåðèîä ðàâåí äâóì) è, ñëåäîâàòåëüíî, ïðåäåëà íå èìååò. Ðÿä ðàñõîäèòñÿ.  ýòèõ ïðèìåðàõ ìû ñìîãëè îòâåòèòü íà âîïðîñ î ñõîäèìîñòè ðÿäà "ïî îïðåäåëåíèþ òàê êàê íàì óäàëîñü ïîëó÷èòü ÿâíîå âûðàæåíèå äëÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé ÷àñòíûõ ñóìì. Ñôîðìóëèðóåì äâå îñíîâíûå çàäà÷è òåîðèè ÷èñëîâûõ ðÿäîâ: 1) ïî èçâåñòíûì ñâîéñòâàì (an )  ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ÷ëåíîâ ðÿäà  ðåøèòü âîïðîñ î ñõîäèìîñòè (An )  ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ÷àñòíûõ ñóìì ýòîãî ðÿäà (íå íàõîäÿ ÿâíîãî âûðàæåíèÿ äëÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ÷àñòíûõ ñóìì). 2. åñëè ðÿä ñõîäèòñÿ, òî âû÷èñëèòü åãî ñóììó, ò.å. lim An . Òåîðåìû, ïîçâîëÿþùèå ðåøèòü ïåðâóþ çàäà÷ó, íàçûâàþò îáû÷íî ïðèçíàêàìè ñõîäèìîñòè ðÿäîâ. Òåîðåìà (ïðèçíàê ðàñõîäèìîñòè ðÿäà). Åñëè íåâåðíî, ÷òî lim an = 0, òî ðÿä ðàñõîäèòñÿ. Äîêàçàòåëüñòâî. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî ðÿä ñõîäèòñÿ, ò.å. ñóùåñòâóåò lim An = A. Òàê êàê an = An − An−1 , òî ïî òåîðåìå î ïðåäåëå ñóììû

lim an = lim(An − An−1 ) = lim An − lim An−1 = A − A = 0, ÷òî ïðîòèâîðå÷èò óñëîâèþ.

¥

Çàìå÷àíèå. Èç ýòîé òåîðåìû ñëåäóåò, â ÷àñòíîñòè, ðàñõîäèìîñòü ðÿäà â ïðèìåðå 1 ïðè |q| = 1. Ïðèâåäåì åùå íåñêîëüêî óòâåðæäåíèé, ïîëåçíûõ ïðè èññëåäîâàíèè ðÿäîâ. Îíè ÿâëÿþòñÿ î÷åâèäíûìè ïåðåôîðìóëèðîâêàìè òåîðåì 2, 3 è 6 î ïðåäåëàõ ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé (ï.5.2). 51

1. Åñëè ðÿäû

+∞ P n=1

an è

+∞ P n=1

bn ñõîäÿòñÿ, è èõ ñóììû ðàâíû A è B

ñîîòâåòñòâåííî, òî ñõîäèòñÿ è ðÿä åãî ñóììà ðàâíà αA + βB .

2.

+∞ X

an = A

n=1

⇐⇒

+∞ X

+∞ P n=1

(αan + βbn ) (α, β ∈ C), ïðè÷åì

Re(an ) = Re(A)

+∞ ^X

n=1

Im(an ) = Im(A).

n=1

6.2. Ïîëîæèòåëüíûå ðÿäû Îïðåäåëåíèå. Åñëè çíà÷åíèÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ÷ëåíîâ ðÿäà  âåùåñòâåííûå íåîòðèöàòåëüíûå ÷èñëà, òî ðÿä íàçûâàåòñÿ ïîëîæèòåëüíûì. Ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ÷àñòíûõ ñóìì ïîëîæèòåëüíîãî ðÿäà íå óáûâàåò, òàê êàê ïðè an ≥ 0 An = An−1 + an ≥ An−1 . Ñëåäîâàòåëüíî, ëèáî îíà íå îãðàíè÷åíà, ëèáî (òåîðåìà èç ï.5.2) èìååò ïðåäåë. Îïðåäåëåíèå. Åñëè äëÿ âñåõ íîìåðîâ 0 ≤ an ≤ bn , òî ãîâîðÿò, ÷òî ïîñëåäîâàòåëüíîñòü (an ) ìàæîðèðóåòñÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòüþ bn . Ìîæíî òàêæå ãîâîðèòü, ÷òî ïîñëåäîâàòåëüíîñòü (bn ) áîëüøå ïîñëåäîâàòåëüíîñòè (an ) (ïîñëåäîâàòåëüíîñòü (an ) ìåíüøå ïîñëåäîâàòåëüíîñòè (bn )). Òå æå òåðìèíû ïðèìåíÿþòñÿ è ïî îòíîøåíèþ ê ïîëîæèòåëüíûì ðÿäàì. Òåîðåìà (ïðèçíàê ñðàâíåíèÿ ïîëîæèòåëüíûõ ðÿäîâ). Èç ñõîäèìîñòè áîëüøåãî ðÿäà ñëåäóåò ñõîäèìîñòü ìåíüøåãî. Èç ðàñõîäèìîñòè ìåíüøåãî ðÿäà ñëåäóåò ðàñõîäèìîñòü áîëüøåãî. Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü 0 ≤ an ≤ bn ,

P+∞

n=1 bn

= B. Òîãäà

An = a1 + . . . + an ≤ b1 + . . . + bn ≤ B, ò.å. íåóáûâàþùàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü (An ) îãðàíè÷åíà è, ñëåäîâàòåëüíî, èìååò ïðåäåë. Âòîðîå óòâåðæäåíèå äîêàçûâàåòñÿ îò ïðîòèâíîãî.

¥

Òåîðåìà (ïðåäåëüíàÿ ôîðìà ïðèçíàêà ñðàâíåíèÿ). Åñëè ñóùåñòâóåò

³

´ a n ïðåäåë lim = L, òî: bn 1) ïðè L 6= 0 ëèáî îáà ðÿäà ñõîäÿòñÿ, ëèáî îáà ðàñõîäÿòñÿ; 2) ïðè L = 0 èç ñõîäèìîñòè (Bn ) ñëåäóåò ñõîäèìîñòü (An ), à èç ðàñõîäèìîñòè (An )  ðàñõîäèìîñòü (Bn ). 52

Äîêàçàòåëüñòâî. 1) Ïî îïðåäåëåíèþ ïðåäåëà ïîñëåäîâàòåëüíîñòè â ëþáîé îêðåñòíîñòè òî÷êè L ëåæàò çíà÷åíèÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ïî÷òè äëÿ âñåõ íîìåðîâ. Ïîëîæèì ε = L/2. Òîãäà, ó÷èòûâàÿ çàìå÷àíèå 2 èç ï.6.1, ìîæíî ñ÷èòàòü, ÷òî äëÿ âñåõ íîìåðîâ

¯a ¯ L ¯ n ¯ ¯ − L¯ < bn 2

Ïóñòü

+∞ P n=1

èëè

L an 3L < < , 2 bn 2

èëè

L 3L bn < a n < bn . 2 2

bn = B . Òîãäà

An = a1 + . . . + an <

3L 3LB (b1 + . . . + bn ) < , 2 2

ò.å. íåóáûâàþùàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü (An ) îãðàíè÷åíà è, ñëåäîâàòåëüíî, èìååò ïðåäåë. Åñëè æå

+∞ P n=1

an = A, òî

Bn = b1 + . . . + bn <

2 2A (a1 + . . . + an ) < L L

ò.å. íåóáûâàþùàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü (Bn ) îãðàíè÷åíà è, ñëåäîâàòåëüíî, èìååò ïðåäåë. 2) Ðàññìîòðèì ε-îêðåñòíîñòü íóëÿ. Äëÿ âñåõ íîìåðîâ (ñì. çàìå÷àíèå 2 èç ï.6.1) èìååì

¯a ¯ ¯ n ¯ ¯ − 0¯ < ε èëè bn

Ïóñòü

+∞ X

−ε<

an <ε bn

=⇒

an < εbn .

bn = B. Òîãäà An = a1 + . . . + an < ε(b1 + . . . + bn ) < εB,

n=1

ò.å. íåóáûâàþùàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü (An ) îãðàíè÷åíà è, ñëåäîâàòåëüíî, èìååò ïðåäåë. Âòîðàÿ ÷àñòü óòâåðæäåíèÿ 2) äîêàçûâàåòñÿ îò ïðîòèâíîãî.

¥

Ïîëüçîâàòüñÿ ïðèçíàêàìè ñðàâíåíèÿ ìîæíî, èìåÿ ýòàëîííûå ïîëîæèòåëüíûå ðÿäû (êàê ñõîäÿùèåñÿ, òàê è ðàñõîäÿùèåñÿ). Ïðèìåðàìè òàêèõ ýòàëîíîâ ÿâëÿþòñÿ óæå èçâåñòíûå: 1) ñåìåéñòâî, ïîðîæäåííîå àðèôìåòè÷åñêèìè ïðîãðåññèÿìè

a > 0, q > 0 (âñå ðÿäû ýòîãî ñåìåéñòâà ðàñõîäÿòñÿ); 53

+∞ P

n=1

(a + nq),

+∞ P

2) ñåìåéñòâî, ïîðîæäåííîå ãåîìåòðè÷åñêèìè ïðîãðåññèÿìè

n=1

(a · q n ),

a > 0, q > 0 (ðÿäû ñõîäÿòñÿ ïðè q < 1 è ðàñõîäÿòñÿ ïðè q ≥ 1). +∞ P 1 Ðàññìîòðèì åùå ñåìåéñòâî ïîëîæèòåëüíûõ ðÿäîâ p (ðÿäû n=1 n Äèðèõëå18 ). Ïóñòü p > 1. Ñðàâíèì ðÿä Äèðèõëå ¶ µ ¶ µ ¶ µ +∞ X 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 p = p+ p + p + p + p + p + p + p + ... + p +. . . n 1 2 3 4 5 6 7 8 15 n=1 (â êàæäîé ñëåäóþùåé ñêîáêå âäâîå áîëüøå ñëàãàåìûõ, ÷åì â ïðåäûäóùåé) ñ ðÿäîì

1 + 1p

µ

1 1 + 2p 2p

µ

¶ +

1 1 1 1 + + + 4p 4p 4p 4p

µ

¶ +

1 1 + . . . + 8p 8p

¶ + ....

Î÷åâèäíî, ÷òî âòîðîé ðÿä áîëüøå. Ïåðåïèøåì åãî â âèäå

1+

2 4 8 1 1 1 + + + . . . = 1 + + + + .... 2p 4p 8p 2p−1 (2p−1 )2 (2p−1 )3

Ìû ïîëó÷èëè ðÿä, ïîðîæäåííûé ãåîìåòðè÷åñêîé ïðîãðåññèåé ñî çíàìåíàòåëåì q = 1/2p−1 < 1 (p > 1), êîòîðûé ñõîäèòñÿ. Ïîýòîìó ñõîäèòñÿ è ìåíüøèé ðÿä Äèðèõëå. Ïóñòü òåïåðü p ≤ 1. Ñðàâíèì ðÿä Äèðèõëå

µ ¶ µ ¶ µ ¶ +∞ X 1 1 1 1 1 1 1 1 1 p = p+ p+ p + p + p + ... + p + p + ... + p +. . . n 1 2 3 4 5 8 9 16 n=1 ñ ðÿäîì

1 1 p + p + 1 2

µ

1 1 p + p 4 4

¶

µ +

1 1 1 1 p + p + p + p 8 8 8 8

¶

µ +

1 1 p + ... + 16 16p

Î÷åâèäíî, ÷òî âòîðîé ðÿä ìåíüøå. Ïåðåïèøåì åãî â âèäå

1 1 2 4 8 1 · + + + + + . . . = 1 + 1p 2p 4p 8p 16p 2 18 Ïüåð

µ

1 2p−1

+

1 (2p−1 )2

+

1 (2p−1 )3

¶ +....

¶ + ... .

Ãóñòàâ Ëåæåí ÄÈÐÈÕËÅ (P.G.L. Dirichlet, 1805-1859)  íåìåöêèé ìàòåìàòèê. 54

Ïîëó÷åííûé ðÿä ðàñõîäèòñÿ, òàê êàê ïîðîæäåí ãåîìåòðè÷åñêîé ïðîãðåññèåé, çíàìåíàòåëü êîòîðîé q = 1/2p−1 ≥ 1 (p ≤ 1). Ïîýòîìó ðàñõîäèòñÿ è áîëüøèé ðÿä Äèðèõëå. ¥ +∞ P

1 ñõîäèòñÿ ïðè p > 1 è ðàñõîäèòñÿ ïðè p ≤ 1. p n n=1 +∞ P 1  ÷àñòíîñòè, ðàñõîäèòñÿ òàê íàçûâàåìûé ãàðìîíè÷åñêèé ðÿä n. Èòàê, ðÿä Äèðèõëå

n=1

Çàìå÷àíèå. Ïðè èññëåäîâàíèè ðÿäà Äèðèõëå ìû "ðàññòàâëÿëè ñêîáêè ò.å. çàìåíÿëè ãðóïïû ñîñåäíèõ ïî íîìåðàì ñëàãàåìûõ èõ ñóììàìè. Ìîæíî ïîêàçàòü, ÷òî òàêàÿ îïåðàöèÿ ïðåîáðàçóåò ñõîäÿùèéñÿ ðÿä â ñõîäÿùèéñÿ ðÿä ñ òîé æå ñóììîé, à ðàñõîäÿùèéñÿ ïîëîæèòåëüíûé (!) ðÿä  â ðàñõîäÿùèéñÿ. Äëÿ ïðîèçâîëüíîãî ÷èñëîâîãî ðÿäà ýòà îïåðàöèÿ, âîîáùå ãîâîðÿ, íåäîïóñòèìà. Âîçüìåì, íàïðèìåð, ðàñõîäÿùèéñÿ ðÿä (ñì. ïðèìåð 3 ï.6.1) +∞ X

(−1)n = 1 − 1 + 1 − 1 + . . .

n=1

è ðàññòàâèì â íåì ñêîáêè äâóìÿ ñïîñîáàìè:

(1 − 1) + (1 − 1) + . . . = 0;

1 + (−1 + 1) + (−1 + 1) + . . . = 1.

Ðåçóëüòàò íå íóæäàåòñÿ â êîììåíòàðèÿõ.

6.3. Âåùåñòâåííûé ðÿä ñ ÷åðåäîâàíèåì çíàêîâ Îïðåäåëåíèå. Ðÿä +∞ X

(−1)n+1 an = a1 − a2 + a3 − a4 + . . . ,

n=1

ãäå an > 0 äëÿ âñåõ íîìåðîâ, íàçûâàåòñÿ ðÿäîì ñ ÷åðåäîâàíèåì çíàêîâ. Òåîðåìà (ïðèçíàê Ëåéáíèöà19 ). Åñëè

1) lim an = 0;

2) an+1 < an äëÿ âñåõ n,

òî ðÿä ñ ÷åðåäîâàíèåì çíàêîâ ñõîäèòñÿ, ïðè÷åì |A − An | < an+1 . 19 Ãîòôðèä

Âèëüãåëüì ËÅÉÁÍÈÖ (G.W. Leibniz, 1646-1716)  íåìåöêèé ìàòåìàòèê, ôèçèê è ôèëîñîô. Îäèí èç îñíîâîïîëîæíèêîâ ìàòåìàòè÷åñêîãî àíàëèçà, îðãàíèçàòîð è ïåðâûé ïðåçèäåíò Áåðëèíñêîé ÀÍ. ×ëåí Ëîíäîíñêîãî Êîðîëåâñêîãî îáùåñòâà è Ïàðèæñêîé ÀÍ. 55

Äîêàçàòåëüñòâî. Ðàññìîòðèì ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ÷åòíûõ ÷àñòíûõ ñóìì (A2n ):

A2n = (a1 − a2 ) + . . . + (a2n−1 − a2n ) = A2n−2 + (a2n−1 − a2n ). Ïî óñëîâèþ (2) a2n−1 − a2n > 0, ò.å. A2n > A2n−2 . Äàëåå,

A2n = a1 − (a2 − a3 ) − . . . − (a2n−2 − a2n−1 ) − a2n . Ïî óñëîâèþ (2) âñå ñêîáêè ïîëîæèòåëüíû, ò.å. A2n < a1 . Âîçðàñòàþùàÿ îãðàíè÷åííàÿ ñâåðõó ïîñëåäîâàòåëüíîñòü (A2n ) èìååò ïðåäåë. Îáîçíà÷èì A = lim A2n . Ïî óñëîâèþ (1) lim a2n+1 = 0. Ïîýòîìó

lim A2n+1 = lim(A2n + a2n+1 ) = lim A2n + lim a2n+1 = lim A2n = A. Èòàê, lim A2n = lim A2n+1 = A. Ýòî çíà÷èò, ÷òî â ëþáîé îêðåñòíîñòè ÷èñëà A ëåæàò ïî÷òè âñå ÷àñòíûå ñóììû (êàê ÷åòíûå, òàê è íå÷åòíûå), ò.å. lim An = A, è ïåðâîå óòâåðæäåíèå òåîðåìû äîêàçàíî. Äëÿ äîêàçàòåëüñòâà âòîðîãî óòâåðæäåíèÿ çàìåòèì, ÷òî

A − An = (−1)n+2 an+1 + (−1)n+3 an+2 + . . . = (−1)n+2 (an+1 − an+2 + . . .). Ðàññìîòðèì ðÿä ñ ÷åðåäîâàíèåì çíàêîâ

an+1 − an+2 + an+3 − an+4 + . . . Âñå åãî ÷àñòíûå ñóììû ïîëîæèòåëüíû, èáî

(an+1 − an+2 ) + (an+3 − an+4 ) + . . . + (an+2m−1 − an+2m ) > 0, (an+1 − an+2 ) + (an+3 − an+4 ) + . . . + (an+2m−1 − an+2m ) + an+2m+1 > 0; â òî æå âðåìÿ âñå îíè ìåíüøå, ÷åì an+1 :

an+1 − (an+2 − an+3 ) − . . . − an+2m < an+1 , an+1 − (an+2 − an+3 ) − . . . − (an+2m − an+2m+1 ) < an+1 Ñëåäîâàòåëüíî, |A − An | = an+1 − an+2 + an+3 − an+4 + . . . < an+1 . +∞ P

¥

(−1)n+1 1 = 0 è 1 < 1. ñõîäèòñÿ, òàê êàê lim n Ïðèìåð. Ðÿä n n+1 n n=1 56

6.4. Èññëåäîâàíèå ñõîäèìîñòè ïðîèçâîëüíûõ ÷èñëîâûõ ðÿäîâ Åñëè ðÿä

+∞ P n=1

an íå ÿâëÿåòñÿ íè ïîëîæèòåëüíûì, íè ðÿäîì ñ

÷åðåäîâàíèåì çíàêîâ, òî ðåêîìåíäóåòñÿ ñëåäóþùèé ïóòü èññëåäîâàíèÿ åãî íà ñõîäèìîñòü. 1. Ïðèìåíèòü ïðèçíàê ðàñõîäèìîñòè, ò.å. ïîïûòàòüñÿ âû÷èñëèòü ïðåäåë lim an . Åñëè ýòîò ïðåäåë íå ñóùåñòâóåò, èëè ñóùåñòâóåò, íî íå ðàâåí íóëþ, òî âîïðîñ ðåøåí  ðÿä ðàñõîäèòñÿ. 2. Åñëè lim an = 0, òî ïðèçíàê ðàñõîäèìîñòè íå ðàáîòàåò.  ýòîì ñëó÷àå ñëåäóåò ðàññìîòðåòü ïîëîæèòåëüíûé ðÿä ìîæíî ïðèìåíèòü òåîðåìó ñðàâíåíèÿ. Òåîðåìà. Åñëè ðÿä

+∞ P

n=1

|an |, ê êîòîðîìó

|an | ñõîäèòñÿ, òî ñõîäèòñÿ è ðÿä

n=1 +∞ P

ñëó÷àå ãîâîðÿò, ÷òî ðÿä

+∞ P

n=1

+∞ P n=1

an (â ýòîì

an àáñîëþòíî ñõîäèòñÿ).

Äîêàçàòåëüñòâî. Ðàññìîòðèì ñíà÷àëà ñëó÷àé, êîãäà ïîñëåäîâàòåëüíîñòü (an )  âåùåñòâåííàÿ, è ðÿä +∞ P n=1

bn è

+∞ P n=1

+∞ P

n=1

|an | ñõîäèòñÿ. Ðàññìîòðèì äâà ðÿäà:

cn , ãäå bn = |an | + an ,

bn

cn = |an | − an .

Î÷åâèäíî, ÷òî äëÿ âñåõ íîìåðîâ ëèáî bn = 0, cn = 2 · |an |, ëèáî = 2 · |an |, cn = 0, ò.å. ýòè ðÿäû ïîëîæèòåëüíû è êàæäûé èç íèõ

ìåíüøå ñõîäÿùåãîñÿ ðÿäà

+∞ P

n=1

2 · |an |  îáà ðÿäà ñõîäÿòñÿ. Òîãäà ñõîäèòñÿ

è èõ ïî÷ëåííàÿ ðàçíîñòü (ñì. ï.6.1)  ðÿä

+∞ P n=1

(bn − cn )=

+∞ P n=1

an .

Ïóñòü òåïåðü ïîñëåäîâàòåëüíîñòü (an )  êîìïëåêñíàÿ. Òîãäà |Re(an )| ≤ |an |, |Im(an )| ≤ |an |, è ïî ïðèçíàêó ñðàâíåíèÿ ñõîäÿòñÿ ïîëîæèòåëüíûå ðÿäû äîêàçàííîìó ñõîäÿòñÿ ðÿäû ñõîäèìîñòè ðÿäà

+∞ P n=1

+∞ P

n=1 +∞ P

n=1

|Re(an )| è

Re(an ) è

+∞ P

n=1 +∞ P

n=1

|Im(an )|. Òîãäà ïî óæå

Im(an ), ÷òî ðàâíîñèëüíî

an (óòâåðæäåíèå 2 â êîíöå ï.6.1). 57

¥

Ïðèìåð.

Äàí

ïîëîæèòåëüíûé ðÿä

êîìïëåêñíûé

ðÿä

+∞ P

1 . n=1 n + i · n 2

Ïîñòðîèì

¯ X +∞ ¯ X ¯ ¯ +∞ 1 1 ¯= ¯ p . ¯ n2 + i · n ¯ 4 + n2 n n=1 n=1

+∞ P 1 1 1 p Ýòîò ðÿä ñõîäèòñÿ, òàê êàê < 2 , à ðÿä Äèðèõëå 2, n n=1 n n4 + n2 êàê èçâåñòíî, ñõîäèòñÿ. Ìû ïîêàçàëè, òàêèì îáðàçîì, ÷òî èññëåäóåìûé +∞ P 1 êîìïëåêñíûé ðÿä ñõîäèòñÿ àáñîëþòíî. 2 n=1 n + i · n Çàìå÷àíèÿ. 1. Ïðîâåðêà ðÿäà íà àáñîëþòíóþ ñõîäèìîñòü ðåçóëüòàòèâíà òîëüêî ïðè ïîëîæèòåëüíîì îòâåòå: àáñîëþòíî ñõîäÿùèéñÿ ðÿä ñõîäèòñÿ. Åñëè æå àáñîëþòíîé ñõîäèìîñòè íåò, òî âîïðîñ î ñõîäèìîñòè îñòàåòñÿ îòêðûòûì. 2. Äëÿ àáñîëþòíî ñõîäÿùåãîñÿ ðÿäà èìååò ìåñòî íåðàâåíñòâî ¯ ¯ +∞ +∞ ¯X ¯ X ¯ ¯ an ¯ ≤ |an |. ¯ ¯ ¯ n=1

n=1

Ðàññìîòðèì äâà ïðîñòûõ ïðèçíàêà ñõîäèìîñòè, ïðèìåíèìûõ ê ïðîèçâîëüíûì ÷èñëîâûì ðÿäàì. Òåîðåìà. (Ïðèçíàê Êîøè20 ). Åñëè ñóùåñòâóåò ïðåäåë

K = lim |an |1/n , òî 1) ïðè K < 1 ðÿä

+∞ P n=1

an ñõîäèòñÿ (àáñîëþòíî);

2) ïðè K > 1 ýòîò ðÿä ðàñõîäèòñÿ. 3) ïðè K = 1 ïðèçíàê Êîøè íå ðàáîòàåò  ñóùåñòâóþò è ñõîäÿùèåñÿ, è ðàñõîäÿùèåñÿ ðÿäû ñ K = 1. Äîêàçàòåëüñòâî. 1. Ïóñòü K < 1. Ïî îïðåäåëåíèþ ïðåäåëà ïî÷òè äëÿ âñåõ íîìåðîâ âûïîëíÿåòñÿ íåðàâåíñòâî

¯ ¯ 1−K ¯ ¯ 1/n ¯|an | − K ¯ < 2

20 Îãþñòåí

µ

¶ 1−K >0 . 2

Ëóè ÊÎØÈ (A.L. Cauchi, 1789-1857)  ôðàíöóçñêèé ìàòåìàòèê, ÷ëåí Ëîíäîíñêîãî Êîðîëåâñêîãî îáùåñòâà è ïî÷òè âñåõ àêàäåìèé ìèðà, îäèí èç êðóïíåéøèõ ìàòåìàòèêîâ XIX âåêà. 58

Îòñþäà

1−K |an |1/n − K < 2

=⇒

|an |1/n

1+K < 2

µ =⇒

Ìû ïîêàçàëè, ÷òî ïîëîæèòåëüíûé ðÿä

+∞ P n=1

|an | <

1+K 2

¶n .

|an | ìàæîðèðóåòñÿ

ñõîäÿùèìñÿ ðÿäîì, ïîðîæäåííûì ãåîìåòðè÷åñêîé ïðîãðåññèåé ñî çíàìåíàòåëåì 1 +2 K < 1. Óòâåðæäåíèå äîêàçàíî. 2. Ïóñòü K > 1. Ïî îïðåäåëåíèþ ïðåäåëà ïî÷òè äëÿ âñåõ íîìåðîâ

¯ ¯ K −1 ¯ ¯ 1/n ¯|an | − K ¯ < 2

µ

¶ K −1 >0 , 2

îòêóäà

1+K K −1 < |an |1/n − K =⇒ |an |1/n > > 1, 2 2 ò.å. |an | > 1, è íåâåðíî, ÷òî lim an = 0. Ïî ïðèçíàêó ðàñõîäèìîñòè ðÿä ðàñõîäèòñÿ. 3. Äëÿ î÷åâèäíî ðàñõîäÿùåãîñÿ ðÿäà ñ an ≡ 1 K = 1, íî è äëÿ ³ ´1/n +∞ P 1 1 = 1. ¥ ñõîäÿùåãîñÿ ðÿäà Äèðèõëå 2 òîæå K = lim n2 n=1 n −

Òåîðåìà (ïðèçíàê Ä'Àëàìáåðà21 ). Åñëè ñóùåñòâóåò ïðåäåë

¯ ¯ ¯ an+1 ¯ ¯, D = lim ¯¯ an ¯

òî 1) ïðè D < 1 ðÿä

+∞ P n=1

an ñõîäèòñÿ (àáñîëþòíî);

2) ïðè D > 1 ýòîò ðÿä ðàñõîäèòñÿ. 3) ïðè D = 1 ïðèçíàê Ä'Àëàìáåðà íå ðàáîòàåò  ñóùåñòâóþò è ñõîäÿùèåñÿ è ðàñõîäÿùèåñÿ ðÿäû ñ D = 1. Äîêàçàòåëüñòâî àíàëîãè÷íî ïðåäûäóùåé òåîðåìå. Ïîïðîáóéòå ïðîâåñòè åãî ñàìîñòîÿòåëüíî. Åñëè ðàññìîòðåííûå âûøå ïðîñòåéøèå ïðèåìû èññëåäîâàíèÿ ðÿäà íà ñõîäèìîñòü íå ñðàáàòûâàþò, ìû ðåêîìåíäóåì îáðàòèòüñÿ çà êîíñóëüòàöèåé ê ìàòåìàòèêó-ïðîôåññèîíàëó. 21 Æàí

Ëåðîí Ä'ÀËÀÌÁÅÐ (J. le Rond d'Alembert, 1717-1783)  ôðàíöóçñêèé ìàòåìàòèê è ìåõàíèê, ÷ëåí ìíîãèõ àêàäåìèé, îäèí èç àâòîðîâ çíàìåíèòîé "Ýíöèêëîïåäèè íàóê, èñêóññòâ è ðåìåñåë". 59

6.5. Îöåíèâàíèå ñóììû ñõîäÿùåãîñÿ ÷èñëîâîãî ðÿäà Åñëè ÷èñëîâîé ðÿä ñõîäèòñÿ, òî åãî ñóììà A = lim An = íåêîòîðîå êîìïëåêñíîå ÷èñëî.

∞ P

n=1

an åñòü

Îïðåäåëåíèå. Îöåíêîé ñóììû ñõîäÿùåãîñÿ ÷èñëîâîãî ðÿäà áóäåì íàçûâàòü ëþáîé êðóã íà êîìïëåêñíîé ïëîñêîñòè, íàêðûâàþùèé òî÷êó A (ñóììó ðÿäà). Êðóã çàäàåòñÿ ñâîèìè öåíòðîì è ðàäèóñîì. Î÷åâèäíî, èç äâóõ êðóãîâ-îöåíîê ëó÷øå òîò, ðàäèóñ êîòîðîãî ìåíüøå. Ïðèìåðû. 1. Äëÿ âåùåñòâåííîãî ðÿäà ñ ÷åðåäîâàíèåì çíàêîâ

∞ P

n=1

an ,

óäîâëåòâîðÿþùåãî óñëîâèÿì òåîðåìû Ëåéáíèöà, |A − An | < an+1 , ò.å. ñóììà A ëåæèò âíóòðè êðóãà ñ öåíòðîì â òî÷êå An è ðàäèóñîì an+1 . Âñëåäñòâèå âåùåñòâåííîñòè ðÿäà ýòîò êðóã ïðåâðàùàåòñÿ â èíòåðâàë

]An − an+1 , An + an+1 [. 2. Ïóñòü ñõîäèìîñòü ðÿäà

∞ P n=1

an óñòàíîâëåíà ñ ïîìîùüþ ïðèçíàêà

Êîøè, ò.å. ñóùåñòâóåò êîíå÷íûé ïðåäåë K = lim |an |1/n < 1. Âûáåðåì ÷èñëî q ìåæäó K è åäèíèöåé (K < q < 1). Ïî îïðåäåëåíèþ ïðåäåëà ïîñëåäîâàòåëüíîñòè, íà÷èíàÿ ñ íåêîòîðîãî íîìåðà n1 áóäåò âûïîëíÿòüñÿ íåðàâåíñòâî |an |1/n < q , èëè |an | < q n . Ïîýòîìó ïðè n ≥ n1

q n+1 . |A − An | ≤ |an+1 | + |an+2 | + . . . < q +q + ... = 1−q Ïóñòü òðåáóåòñÿ ïîñòðîèòü êðóã-îöåíêó ñ ðàäèóñîì ε. Åñëè q n1 +1 âûïîëíåíî íåðàâåíñòâî 1 − q < ε, òî â êà÷åñòâå öåíòðà êðóãà ìîæíî âçÿòü ÷èñëî An1 . Èíà÷å ñëåäóåò íàéòè òàêîé íîìåð n2 (áîëüøèé, ÷åì n1 ), q n2 +1 ÷òî 1 − q ≤ ε. Òàêîé íîìåð, î÷åâèäíî, íàéäåòñÿ. ¯ 2 ¯1/n ∞ 2 P ¯n ¯ n Ðàññìîòðèì ðÿä = 13 . Âîçüìåì q = 21 n . Çäåñü K = lim¯ n ¯ 3 n=1 3 ¯ 2 ¯1/n ¯ ¯ è íàéäåì íîìåð n1 , íà÷èíàÿ ñ êîòîðîãî ¯ nn ¯ ≤ 12 . Ïåðåáîðîì ïåðâûõ 3 íàòóðàëüíûõ ÷èñåë íàõîäèì, ÷òî n1 = 13. Ïóñòü, íàïðèìåð, ε = 10−6 . n −6 Ðåøàÿ íåðàâåíñòâî 1 0.5 − 0.5 < 10 , íàéäåì, ÷òî n2 = 20. Èòàê, êðóã ñ 20 P n2 ≈ 1.4999999 è ðàäèóñîì 10−6 çàâåäîìî öåíòðîì â òî÷êå A20 = n n=1 3 íàêðûâàåò ñóììó ðÿäà (ìîæíî ïîêàçàòü, ÷òî ñóììà ðàâíà 1.5). n+1

60

n+2

3. Àíàëîãè÷íî ñòðîèòñÿ îöåíêà ñóììû, åñëè ñõîäèìîñòü ðÿäà óñòàíîâëåíà ñ ïîìîùüþ ïðèçíàêà Ä'Àëàìáåðà. Îöåíèì, íàïðèìåð, ñóììó ¯ ¯

∞ P 1 . Çäåñü D = lim¯¯ 1/(n + 1)! ¯¯ = lim 1 = 0. n+1 n! 1/n! n=1 ¯ ¯ ¯ an+1 ¯ 1 1 < 1 íàõîäèì, Âîçüìåì q = 5 . Òîãäà èç íåðàâåíñòâà ¯ a ¯ = n + 1 5 n ÷òî n1 = 5. Ñëåäîâàòåëüíî, ïðè n ≥ 5 0.25 |A − An | = an + an+1 + . . . < an · (0.2 + 0.22 + . . .) = . n! Ïîëàãàÿ, íàïðèìåð, ε = 10−6 è ðåøàÿ (ïåðåáîðîì íàòóðàëüíûõ ÷èñåë) íåðàâåíñòâî 0.25 < 10−6 , íàõîäèì, ÷òî n2 = 9. Ìû óñòàíîâèëè, n! ÷òî êðóã ñ öåíòðîì â òî÷êå A9 = 1 + 1 + 1 + . . . + 1 ≈ 2.7182815 è 1! 2! 9! ðàäèóñîì 10−6 çàâåäîìî íàêðûâàåò ñóììó ðÿäà.

ðÿäà22

Çàìå÷àíèÿ. 1. Ñóììà ðÿäà èç ïîñëåäíåãî ïðèìåðà âñòðå÷àåòñÿ òàê

∞ P 1. n! n=1 2. Îòìåòèì, ÷òî çà óëó÷øåíèå îöåíêè, ò.å. çà óìåíüøåíèå ðàäèóñà êðóãà-îöåíêè, âñåãäà ïðèõîäèòñÿ ïëàòèòü óâåëè÷åíèåì êîëè÷åñòâà ñëàãàåìûõ â ÷àñòíîé ñóììå An , ïðèíèìàåìîé çà öåíòð ýòîãî êðóãà. 3.  ïðàêòè÷åñêèõ âû÷èñëåíèÿõ ÷àñòî óïîòðåáëÿþò òåðìèí "ñêîðîñòü ñõîäèìîñòè ðÿäà". Ðàññìîòðèì äâà ïðèìåðà. ∞ ∞ X X (−1)n+1 (−1)n+1 ; 2) 1) . 4 lg(n + 1) n n=1 n=1

÷àñòî, ÷òî äëÿ íåå ââåäåíî ñòàíäàðòíîå îáîçíà÷åíèå e =

Ïðèçíàê Ëåéáíèöà ïîêàçûâàåò, ÷òî îáà ðÿäà ñõîäÿòñÿ. Îäíàêî äëÿ ïîëó÷åíèÿ êðóãà-îöåíêè ñ ðàäèóñîì 10−4 íåîáõîäèìî ïðîñóììèðîâàòü: äëÿ ïåðâîãî ðÿäà 9 ñëàãàåìûõ, òàê êàê |A − A9 | < a10 = 10−4 ; 4 äëÿ âòîðîãî ðÿäà 1010 −1 ñëàãàåìûõ, òàê êàê òîëüêî íà÷èíàÿ ñ ýòîãî 1 < 10−4 . íîìåðà âûïîëíÿåòñÿ íåðàâåíñòâî

lg(n + 1)

ßñíî, ÷òî âû÷èñëèòü ñóììó äåâÿòè ñëàãàåìûõ â ïåðâîì ïðèìåðå íåòðóäíî (ìîæíî è âðó÷íóþ). ×òî æå êàñàåòñÿ âòîðîé ñóììû, òî äàæå ðàñïîëàãàÿ êîìïüþòåðîì, êîòîðûé âû÷èñëÿåò îäíî ñëàãàåìîå ðÿäà çà 4 10−10 ñåêóíäû, ïðèäåòñÿ çàòðàòèòü íà åå âû÷èñëåíèå 1010 −10 = 109990 ñåêóíä, ò.å. ïðèìåðíî 109983 ëåò (!!!). Ýòè äâà ïðîñòûõ ïðèìåðà ïîêàçûâàþò, êàêîé ñìûñë âêëàäûâàþò â ñëîâà "ñêîðîñòü ñõîäèìîñòè ðÿäà". 22 Äëÿ

ëþáîãî íàòóðàëüíîãî ÷èñëà n n! = 1 · 2 · 3 . . . · n (÷èòàåòñÿ "n-ôàêòîðèàë"). Ïî îïðåäåëåíèþ ïîëàãàþò 0! = 1. 61

Ãëàâà 7. ÑÒÅÏÅÍÍÎÉ ÐßÄ. ÀÍÀËÈÒÈ×ÅÑÊÈÅ ÔÓÍÊÖÈÈ 7.1. Ñòåïåííîé ðÿä Îïðåäåëåíèå. Ñòåïåííûì ðÿäîì íàçûâàþò ñåìåéñòâî ÷èñëîâûõ ðÿäîâ âèäà n

a0 + a1 z + . . . + an z + . . . =

+∞ X

an z n ,

(7.1.1)

n=0

¡ ¢+∞ ãäå an 0  çàäàííàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü êîìïëåêñíûõ ÷èñåë , à z  êîìïëåêñíàÿ ïåðåìåííàÿ. Ôèêñèðóÿ çíà÷åíèå ýòîé ïåðåìåííîé, ìû èçâëå÷åì èç ñåìåéñòâà ðàçëè÷íûå ÷èñëîâûå ðÿäû. ×èñëà ak , k = 0, 1, . . ., íàçûâàþò êîýôôèöèåíòàìè ñòåïåííîãî ðÿäà. Çàìå÷àíèå. Ïðè z = 0 è n = 0 â (7.1.1) âîçíèêàåò íåîïðåäåëåííîñòü:

a0 ·00 . Ïîýòîìó ëó÷øå áûëî áû ïèñàòü a0 + 

+∞ P n=0

an z n , ïîíèìàÿ ýòî êàê a0 +

+∞ P n=1

+∞ P

n=1

an z n . Îäíàêî ïèøóò êîðî÷å

an z n .

Ïðèìåð. Ïóñòü äàí ñòåïåííîé ðÿä +∞ n X z z2 zn z 1 + + + ... + + ... = 1 + . 1 2 n n n=1

Ïîëîæèâ z = −1, ïîëó÷èì ÷èñëîâîé ðÿä +∞

X (−1)n 1 1 1 − 1 + − + ... = 2 3 n n=2

(ñõîäÿùèéñÿ!).

Ïîëîæèâ z = 1, ïîëó÷èì ÷èñëîâîé ðÿä +∞ X 1 1 1 1 + 1 + + + ... = 2 + 2 3 n n=2

(ðàñõîäÿùèéñÿ!).

Èç ýòîãî ïðèìåðà âèäíî, ÷òî ïðè îäíèõ çíà÷åíèÿõ ïåðåìåííîé ñòåïåííîé ðÿä ìîæåò ïðåâðàùàòüñÿ â ñõîäÿùèéñÿ ÷èñëîâîé ðÿä, à ïðè äðóãèõ  â ðàñõîäÿùèéñÿ. Ïîýòîìó ïðåäñòàâëÿåò èíòåðåñ ìíîæåñòâî òî÷åê êîìïëåêñíîé ïëîñêîñòè, â êîòîðûõ ñòåïåííîé ðÿä ñõîäèòñÿ. 62

Îòìåòèì ñíà÷àëà, ÷òî ïðè z = 0 ñõîäèòñÿ ëþáîé ñòåïåííîé ðÿä, òàê êàê åãî ñóììà åñòü ïðîñòî a0 . Åñëè z 6= 0,òî ïðèìåíèì ê ñòåïåííîìó ðÿäó (7.1.1) ïðèçíàê Ä'Àëàìáåðà, ò.å. ïîïðîáóåì âû÷èñëèòü ïðåäåë

¯ a z n+1 ¯ ¯a ¯ ¯ n+1 ¯ ¯ n+1 ¯ D(z) = lim¯ ¯. n ¯= |z| · lim¯ an z an Ìû ñîçíàòåëüíî îáîçíà÷èëè ýòîò ïðåäåë D(z), ÷òîáû ïîä÷åðêíóòü, ÷òî (â îòëè÷èå îò ñëó÷àÿ ÷èñëîâîãî ðÿäà) îí çàâèñèò îò òî÷êè z , â êîòîðîé âû÷èñëÿåòñÿ. ¯ ¯ ¯ an+1 ¯ Åñëè lim¯ a ¯= 0, òî D(z) = 0 ïðè âñåõ z ∈ C, ò.å. ñòåïåííîé ðÿä n

ñõîäèòñÿ (àáñîëþòíî) ¯ ¯ íà âñåé ïëîñêîñòè.

¯a

¯

Åñëè lim¯ an+1 ¯= +∞, òî D(z) = +∞ ïðè âñåõ z 6= 0, ò.å. ñòåïåííîé n ðÿä ñõîäèòñÿ ¯òîëüêî ¯ â íóëå. ¯ an+1 ¯ Åñëè lim¯ a ¯= α > 0, òî ñòåïåííîé ðÿä ñõîäèòñÿ (àáñîëþòíî) ïðè n

D(z) = α · |z| < 1, ò.å. âíóòðè êðóãà ñ öåíòðîì â íà÷àëå êîîðäèíàò è 1 . Âíå ýòîãî êðóãà D(z) = α · |z| > 1, ò.å. ñòåïåííîé ðÿä ðàäèóñîì R = α ðàñõîäèòñÿ. Íà ãðàíèöå êðóãà D(z) = 1, è ïðèçíàê Ä'Àëàìáåðà íå äàåò îòâåòà íà âîïðîñ î ñõîäèìîñòè ñòåïåííîãî ðÿäà. Çàìå÷àíèÿ. 1. Àíàëîãè÷íûå óòâåðæäåíèÿ ìîæíî áûëî áû ïîëó÷èòü, ïîëüçóÿñü âìåñòî ïðèçíàêà Ä'Àëàìáåðà ¯ ¯ ïðèçíàêîì Êîøè. ¯ an+1 ¯ 2. Åñëè ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ¯ a ¯ è |an |1/n íå èìåþò ïðåäåëîâ, òî n ïðèçíàêè Ä'Àëàìáåðà è Êîøè íå ðàáîòàþò. Îäíàêî ìîæíî ïîêàçàòü, ÷òî è â ýòîì ñëó÷àå ó ñòåïåííîãî ðÿäà ñóùåñòâóåò êðóã ñõîäèìîñòè ñ öåíòðîì â íà÷àëå êîîðäèíàò. Åñëè äîãîâîðèòüñÿ ñ÷èòàòü íà÷àëî êîîðäèíàò "êðóãîì" íóëåâîãî ðàäèóñà, à êîìïëåêñíóþ ïëîñêîñòü  "êðóãîì" áåñêîíå÷íîãî ðàäèóñà, òî ìû âèäèì, ÷òî ñïðàâåäëèâà Òåîðåìà. Ó âñÿêîãî ñòåïåííîãî ðÿäà åñòü êðóã ñõîäèìîñòè (ñ öåíòðîì â íà÷àëå êîîðäèíàò). Âíóòðè ýòîãî êðóãà ñòåïåííîé ðÿä ñõîäèòñÿ (àáñîëþòíî), à âíå åãî  ðàñõîäèòñÿ. Ðàäèóñ êðóãà ñõîäèìîñòè ñòåïåííîãî ðÿäà ïðèíÿòî íàçûâàòü ðàäèóñîì ñõîäèìîñòè ðÿäà. +∞ P

z n ïðèçíàê Ä'Àëàìáåðà: n! n=0 ¯ z n+1 n! ¯ 1 ¯ ¯ D(z) = lim¯ ≡0 n ¯ = |z| · lim (n + 1)!z n+1

Ïðèìåðû. 1. Ïðèìåíèì ê ðÿäó

63

Ðÿä ñõîäèòñÿ àáñîëþòíî íà âñåé êîìïëåêñíîé ïëîñêîñòè. 2. Ê ðÿäó êàê ïðåäåë

+∞ P¡

n=0

¢ 2 + (−1)n · z n ïðèçíàê Ä'Àëàìáåðà íåïðèìåíèì, òàê

¯¡ ¯ ¯ 2 + (−1)n+1 ¢ · z n+1 ¯ 2 + (−1)n+1 ¯ ¯ ¢ D(z) = lim ¯ ¡ = |z| · lim ¯ ¯ 2 + (−1)n · z n ¯ 2 + (−1)n

íå ñóùåñòâóåò íè ïðè êàêîì çíà÷åíèè ïåðåìåííîé z (êðîìå íóëÿ). Èñïîëüçóÿ ïðèçíàê Êîøè

¯1/n ¯¡ ¢ K(z) = lim ¯ 2 + (−1)n · z n ¯ = |z| · lim |2 + (−1)n |1/n = |z|,

ïîëó÷àåì, ÷òî ýòîò ðÿä ñõîäèòñÿ âíóòðè êðóãà åäèíè÷íîãî ðàäèóñà. Îòäåëüíî ñëåäóåò èçó÷èòü ïîâåäåíèå ðÿäà íà ãðàíèöå êðóãà, ¯¡ ãäå ïðèçíàê ¢ ¯ Êîøè íå ðàáîòàåò. Íåòðóäíî âèäåòü, ÷òî ïðè |z| = 1 lim ¯ 2 + (−1)n z n ¯ íå ñóùåñòâóåò, è, ñëåäîâàòåëüíî, âî âñåõ òî÷êàõ ãðàíèöû êðóãà ðÿä ðàñõîäèòñÿ (ïðèçíàê ðàñõîäèìîñòè!). 3. Ïðèìåíèâ ê ðÿäó

+∞ P n=1

z n ïðèçíàê Ä'Àëàìáåðà, ïîëó÷èì n

¯ z n+1 n ¯ n ¯ ¯ D(z) = lim¯ = |z|. n ¯ = |z| · lim (n + 1)z n+1 Ðÿä ñõîäèòñÿ àáñîëþòíî ïðè |z| < 1 è ðàñõîäèòñÿ ïðè |z| > 1. Êàê ïîêàçàíî âûøå, íà îêðóæíîñòè |z| = 1 åñòü òî÷êè, â êîòîðûõ ðÿä ñõîäèòñÿ (íàïðèìåð, z = −1), è òî÷êè, â êîòîðûõ ðÿä ðàñõîäèòñÿ (íàïðèìåð, z = 1). +∞ P

z n ïðèçíàê Ä'Àëàìáåðà, ïîëó÷èì 2 n=1 n ¯ z n+1 n2 ¯ n2 ¯ ¯ D(z) = lim¯ = |z|. ¯ = |z| · lim (n + 1)2 z n (n + 1)2

4. Ïðèìåíèâ ê ðÿäó

Ðÿä ñõîäèòñÿ àáñîëþòíî ïðè |z| < 1 è ðàñõîäèòñÿ ïðè |z| > 1. Âî âñåõ òî÷êàõ ãðàíèöû êðóãà ñõîäèìîñòè ðÿä ñõîäèòñÿ àáñîëþòíî (  ðÿä Äèðèõëå c p > 1). 5. Ïðèìåíèâ ê ðÿäó

+∞ P n=0

nn · z n ïðèçíàê Êîøè, ïîëó÷èì

K(z) = lim |nn z n |1/n = lim(|z| · n) = +∞ (z 6= 0). 64

+∞ P

1 2 n n=1

Ýòîò ðÿä ñõîäèòñÿ òîëüêî â íóëå. Çàìå÷àíèÿ. 1. Êàê âèäíî èç ïðèìåðîâ 2  4, íà ãðàíèöå êðóãà ñõîäèìîñòè ñòåïåííûå ðÿäû ìîãóò âåñòè ñåáÿ ïî-ðàçíîìó. 2. Ìîæíî ðàññìàòðèâàòü ñòåïåííûå ðÿäû, öåíòð êðóãà ñõîäèìîñòè êîòîðûõ ðàñïîëîæåí íå â íóëå, à â íåêîòîðîé òî÷êå p êîìïëåêñíîé ïëîñêîñòè. Ýòè ðÿäû èìåþò âèä n

a0 + a1 (z − p) + . . . + an (z − p) + . . . =

+∞ X

an (z − p)n .

n=0

7.2. Àíàëèòè÷åñêèå ôóíêöèè Åñëè ðàäèóñ êðóãà ñõîäèìîñòè ñòåïåííîãî ðÿäà îòëè÷åí îò íóëÿ, òî âíóòðè ýòîãî êðóãà (à ìîæåò áûòü, è â íåêîòîðûõ òî÷êàõ åãî ãðàíèöû) çàäàíà ôóíêöèÿ n

f (z) = a0 + a1 z + . . . + an z + . . . =

+∞ X

an z n .

n=0

Îïðåäåëåíèå. Àíàëèòè÷åñêîé ôóíêöèåé íàçûâàåòñÿ ôóíêöèÿ, ÿâëÿþùàÿñÿ ñóììîé ñòåïåííîãî ðÿäà. Çàìå÷àíèå.  äàëüíåéøåì, åñëè íå îãîâîðåíî ïðîòèâíîå, ìû ðàññìàòðèâàåì òîëüêî àíàëèòè÷åñêèå ôóíêöèè, îïðåäåëÿåìûå ñòåïåííûìè ðÿäàìè, ó êîòîðûõ öåíòð êðóãà ñõîäèìîñòè ðàñïîëîæåí â íà÷àëå êîîðäèíàò. Àíàëèòè÷åñêàÿ ôóíêöèÿ åñòü åñòåñòâåííîå îáîáùåíèå ïîëèíîìà è íàñëåäóåò ðÿä åãî ïîëåçíûõ ñâîéñòâ. Òàê, íàïðèìåð, ìîæíî ïîêàçàòü, ÷òî îíà íåïðåðûâíà âíóòðè êðóãà ñõîäèìîñòè.  ñâîþ î÷åðåäü, ïîëèíîì îêàçûâàåòñÿ ÷àñòíûì ñëó÷àåì àíàëèòè÷åñêîé ôóíêöèè (âñå êîýôôèöèåíòû îïðåäåëÿþùåãî åãî ðÿäà, íà÷èíàÿ ñ íåêîòîðîãî, ðàâíû íóëþ). Ìîæíî ïîêàçàòü, ÷òî ñóììà è ïðîèçâåäåíèå äâóõ àíàëèòè÷åñêèõ ôóíêöèé ñóòü àíàëèòè÷åñêèå ôóíêöèè (â ìåíüøåì èç èõ êðóãîâ ñõîäèìîñòè), ïðè÷åì ñëîæåíèå è óìíîæåíèå àíàëèòè÷åñêèõ ôóíêöèé âûïîëíÿþòñÿ òàê æå, êàê ñîîòâåòñòâóþùèå îïåðàöèè íàä ïîëèíîìàìè. Äåëåíèå àíàëèòè÷åñêèõ ôóíêöèé ðàññìîòðèì íà ïðèìåðå. Ïóñòü

f (z) = 1 − z + z 2 − . . . + (−1)n z n + . . . g(z) = 1 + z + z 2 + . . . + z n + . . . 65

(|z| < 1),

(|z| < 1).

Çàïèøåì ôóíêöèþ-÷àñòíîå â âèäå ñòåïåííîãî ðÿäà, êîýôôèöèåíòû êîòîðîãî ïîäëåæàò îïðåäåëåíèþ.

1 − z − . . . + (−1)n z n + . . . (f /g) (z) = = a0 + a1 z + a2 z 2 + . . . + an z n + . . . n 1 + z + ... + z + ... Ïðèâåäåì îáå ÷àñòè ðàâåíñòâà ê îáùåìó çíàìåíàòåëþ è ïðèðàâíÿåì êîýôôèöèåíòû ïðè îäèíàêîâûõ ñòåïåíÿõ ïåðåìåííîé â ÷èñëèòåëÿõ:

a0 = 1 a0 + a1 = −1 a0 + a1 + a2 = 1 a0 + a1 + a2 + a3 = −1 ........................ Îòñþäà

a0 = 1, a1 = −2, a2 = 2, a3 = −2, . . . , an = 2 · (−1)n , . . . Èòàê,

(f /g) (z) = 1 − 2z + 2z 2 − . . . + 2(−1)n z n + . . .

(|z| < 1).

Àíàëîãè÷íî ïðîèçâîäèòñÿ äåëåíèå ëþáûõ àíàëèòè÷åñêèõ ôóíêöèé (ïðè óñëîâèè, ÷òî g(0) 6= 0). Çàìå÷àíèå. Ìîæíî ïîêàçàòü, ÷òî åñëè R  ìåíüøèé èç ðàäèóñîâ ñõîäèìîñòè ðÿäîâ, îïðåäåëÿþùèõ ôóíêöèè f è g , à r  íàèìåíüøèé èç ìîäóëåé íóëåé ôóíêöèè g , òî ðàäèóñ ñõîäèìîñòè ðÿäà-÷àñòíîãî åñòü ìåíüøåå èç ÷èñåë R è r.

7.3. Ïðèìåðû àíàëèòè÷åñêèõ ôóíêöèé Çíàêîìñòâî ñ àíàëèòè÷åñêèìè ôóíêöèÿìè íà÷íåì ñ ýêñïîíåíòû +∞

X zn z z2 zn exp(z) = 1 + + + . . . + + ... = . 1 2! n! n! n=0 Êàê áûëî óñòàíîâëåíî â ïðèìåðå 1 ï.7.1, ýòà ôóíêöèÿ îïðåäåëåíà íà âñåé êîìïëåêñíîé ïëîñêîñòè. Ðàññìîòðèì íåêîòîðûå åå ñâîéñòâà. 1. exp(0) = 1 (ïîëó÷àåòñÿ ïîäñòàíîâêîé). 2. exp(x) · exp(y) = exp(x + y). 66

Äîêàçàòåëüñòâî. Ïåðåìíîæàÿ ðÿäû

x x2 x3 + + ..., exp(x) = 1 + + 1 2! 3! ïîëó÷èì exp(x)·exp(y) = 1+ =1+

y y2 y3 exp(y) = 1 + + + + ..., 1 2! 3!

x + y x2 + 2xy + y 2 x3 + 3x2 y + 3xy 2 + y 3 + + +. . . = 1! 2! 3!

x + y (x + y)2 (x + y)3 + + + . . . = exp(x + y). 1! 2! 3!

¥

3. exp(z) · exp(−z) = exp (z + (−z)) = exp(0) = 1. Èç ýòîãî òîæäåñòâà ñëåäóåò, âî-ïåðâûõ, ÷òî ýêñïîíåíòà íå îáðàùàåòñÿ â íóëü, à, âî-âòîðûõ, ÷òî

exp(−z) =

1 . exp(z)

+∞ P

1 = e. Äàëåå, åñëè m ∈ N, òî n! n=0 ¡ ¢m exp(m) = exp(1| + 1 +{z. . . + 1}) = exp(1) = em . m ñëàãàåìûõ

4. exp(1) =

5. Íà âåùåñòâåííîé îñè ýêñïîíåíòà ïîëîæèòåëüíà è âîçðàñòàåò. Äîêàçàòåëüñòâî. Åñëè x ∈ R, x > 0, òî

x x2 xn exp(x) = 1 + + + ... + + . . . > 0; 1! 2! n! y>x

=⇒

y−x>0

=⇒

exp(−x) =

1 > 0. exp(x)

exp(y − x) > 1,

exp(y) = exp(y − x + x) = exp(y − x) · exp(x)

=⇒

exp(y) > exp(x). ¥

6. Íà ìíèìîé îñè (y ∈ R)

exp(i y) =

+∞ X (iy)n n=0

=

+∞ X k=0

n!

=

+∞ X (i y)2k k=0

+∞ 2k 2k+1 X i y +i · = (2k)! (2k + 1)! k=0

+∞ 2k+1 X y 2k k y (−1) +i · (−1) . (2k)! (2k + 1)! k

k=0

67

(7.3.1)

Íå èìåÿ âîçìîæíîñòè â ðàìêàõ íàøåãî êóðñà äîêàçàòü ýòî, ñîîáùèì, ÷òî ðÿäû, ñòîÿùèå â âåùåñòâåííîé è ìíèìîé ÷àñòÿõ ôîðìóëû (7.3.1) îïðåäåëÿþò "âñåì èçâåñòíûå" ôóíêöèè êîñèíóñ è ñèíóñ +∞ X

y 2m cos(y) = (−1) , (2m)! m=0 m

+∞ X

y 2m+1 sin(y) = (−1) . (2m + 1)! m=0 m

(7.3.2)

Ïîâòîðèì: ýòè ôîðìóëû  íå îïðåäåëåíèÿ. Îíè ìîãóò áûòü äîêàçàíû. Òåïåðü ìû ìîæåì çàïèñàòü (7.3.1) â âèäå

exp(i y) = cos(y) + i · sin(y)

(7.3.3)

(ýòà ôîðìóëà óæå áûëà "äåêëàðèðîâàíà" â ï.2.3). Çàìåíÿÿ y íà (−y) è ó÷èòûâàÿ ÷åòíîñòü êîñèíóñà è íå÷åòíîñòü ñèíóñà (êîòîðûå, êñòàòè, ñëåäóþò èç ôîðìóë (7.3.2)), ïîëó÷èì

exp(−iy) = cos(y) − i · sin(y).

(7.3.4)

Ôîðìóëû (7.3.3) è (7.3.4) íàçûâàþòñÿ ôîðìóëàìè Ýéëåðà23 . Ôîðìóëû Ýéëåðà ìîæíî ïåðåïèñàòü òàê (çäåñü y ∈ R):

exp(i y) + exp(−i y) exp(i y) − exp(−i y) , sin(y) = . (7.3.5) 2 2i Îïðåäåëåíèå. Àíàëèòè÷åñêèå ôóíêöèè êîñèíóñ è ñèíóñ çàäàþòñÿ íà êîìïëåêñíîé ïëîñêîñòè ôîðìóëàìè Ýéëåðà (7.3.5) cos(y) =

exp(iz) + exp(−i z) exp(i z) − exp(−i z) , sin(z) = ; z ∈ C. 2 2i Çàìå÷àíèå. Íå ñëåäóåò îæèäàòü, ÷òî ó ýòèõ íîâûõ ôóíêöèé (èìåíà òå æå, íî îáëàñòü îïðåäåëåíèÿ äðóãàÿ!) ñîõðàíÿòñÿ âñå, èçâåñòíûå èç øêîëû, ñâîéñòâà. Íàïðèìåð, "îñíîâíîå òðèãîíîìåòðè÷åñêîå òîæäåñòâî" ñîõðàíÿåòñÿ ³ exp(i z) + exp(−i z) ´2 ³ exp(i z) − exp(−i z) ´2 + = cos2 (z) + sin2 (z) = 2 2i exp(2i z) + 2 + exp(−2ix) − exp(2i z) + 2 − exp(−2i z) = ≡ 1, 4 cos(z) =

23 Ëåîíàðä

ÝÉËÅÐ (L. Euler, 1707-1783)  ìàòåìàòèê, ôèçèê, ìåõàíèê è àñòðîíîì, ÷ëåí Ïåòåðáóðãñêîé ÀÍ, Ïàðèæñêîé ÀÍ, îäèí èç ñîçäàòåëåé âàðèàöèîííîãî èñ÷èñëåíèÿ, àíàëèòè÷åñêîé òåîðèè ÷èñåë, äèôôåðåíöèàëüíîé ãåîìåòðèè, àâòîð ìíîãî÷èñëåííûõ îòêðûòèé â ìàòåìàòè÷åñêîì àíàëèçå è äðóãèõ îáëàñòÿõ ìàòåìàòèêè. 68

à íåðàâåíñòâà |cos(z)| ≤ 1,

cos(i ) =

|sin(z)| ≤ 1  íåò. Íàïðèìåð,

exp(i · i ) + exp(−i · i ) exp(−1) + exp(1) e + 1/e = = > 1. 2 2 2

7. Åñëè z = x + i y

(x, y ∈ R), òî

¡ ¢ exp(z) = exp(x + i y) = exp(x) · exp(i y) = exp(x) · cos(y) + i · sin(y) . Ýòà ôîðìóëà ñâîäèò âû÷èñëåíèå êîìïëåêñíîé ýêñïîíåíòû ê âû÷èñëåíèþ âåùåñòâåííûõ ýêñïîíåíòû, êîñèíóñà è ñèíóñà. 8. Èç 7 ñëåäóåò, ÷òî êîìïëåêñíàÿ ýêñïîíåíòà  ïåðèîäè÷åñêàÿ ôóíêöèÿ ñ ïåðèîäîì 2πi :

¡ ¢ exp(z + 2πi) = exp x + i (y + 2π) = ¡ ¢ = exp(x) · cos(y + 2π) + i · sin(y + 2π) = ¡ ¢ = exp(x) · cos(y) + i · sin(y) = exp(x + i y) = exp(z).

9. Èç ñâîéñòâà 7 ñëåäóåò òàêæå, ÷òî

¡ ¢ |exp(z)| = exp Re(z) ,

¡ ¢ arg exp(z) = Im(z).

7.4. Îáðàòíàÿ ôóíêöèÿ Ïóñòü f : X → Y,

x ∈ X,

y = f (x) ∈ Y (ðèñ.7.1).

Y

X f :X→Y

» 9 » r y

xr

: » »

f −1 : Y → X Ðèñ.7.1  ñîîòâåòñòâèè ñ ïðèíÿòûì ïîíèìàíèåì ñëîâà ôóíêöèÿ (îïåðàòîð, îòîáðàæåíèå) èç êàæäîé òî÷êè ìíîæåñòâà X , íà êîòîðîì îïðåäåëåíà f , âûõîäèò ðîâíî îäíà ñòðåëêà.  ìíîæåñòâå Y , ãäå ëåæàò çíà÷åíèÿ ôóíêöèè f (îíè íå îáÿçàòåëüíî èñ÷åðïûâàþò ýòî ìíîæåñòâî) ñèòóàöèÿ èíàÿ: â íåêîòîðûõ åãî òî÷êàõ ìîæåò íå îêàçàòüñÿ íè îäíîãî îêîí÷àíèÿ ñòðåëêè, â äðóãèõ òî÷êàõ ìîæåò îêàí÷èâàòüñÿ êàê óãîäíî ìíîãî ñòðåëîê 69

è, íàêîíåö, â êàêèõ-òî òî÷êàõ ìîæåò îêàí÷èâàòüñÿ ðîâíî ïî îäíîé ñòðåëêå. Äîãîâîðèìñÿ ñ÷èòàòü â ýòîì ïóíêòå, ÷òî Y  ìíîæåñòâî çíà÷åíèé ôóíêöèè f , ò.å. â êàæäîé åãî òî÷êå îêàí÷èâàåòñÿ õîòÿ áû îäíà ñòðåëêà.  òàêîì ñëó÷àå ãîâîðÿò, ÷òî f îòîáðàæàåò X íà (à íå â) Y è ïèøóò Y = f (X). Ïðèìåðû. 1. f : C → C, w = f (z) = z 2 .  òî÷êå w = 0 îêàí÷èâàåòñÿ òîëüêî îäíà ñòðåëêà: åäèíñòâåííûì ïðîîáðàçîì íóëÿ ÿâëÿåòñÿ íîëü. Âî âñåõ îñòàëüíûõ òî÷êàõ ïëîñêîñòè îêàí÷èâàåòñÿ ïî ´ äâå ñòðåëêè ³

arg(w) è z2 = −z1 ). 2 2. f : C → {0}, w = f (z) ≡ 0. Ìíîæåñòâî çíà÷åíèé ýòîé ôóíêöèè (ôóíêöèè-êîíñòàíòû) ñîñòîèò âñåãî èç îäíîé òî÷êè, â êîòîðîé îêàí÷èâàþòñÿ ñòðåëêè, âûõîäÿùèå èç âñåõ òî÷åê êîìïëåêñíîé ïëîñêîñòè  îáëàñòè îïðåäåëåíèÿ f . 3. sin : R → [−1, 1], y = sin(x).  ñèëó ïåðèîäè÷íîñòè "øêîëüíîãî" ñèíóñà â êàæäîé òî÷êå ñåãìåíòà [−1, 1] îêàí÷èâàåòñÿ áåñêîíå÷íî ìíîãî ñòðåëîê. Òàê, íàïðèìåð, ïîëíûé ïðîîáðàç íóëÿ ñîñòîèò èç òî÷åê xk = kπ , k ∈ Z. 4. sin : [−π/2, π/2] → [−1, 1], y = sin(x). Ýòà ôóíêöèÿ îòëè÷íà îò ðàññìîòðåííîé â ïðèìåðå 3, ïîñêîëüêó ó íèõ ðàçíûå îáëàñòè îïðåäåëåíèÿ. Ôóíêöèþ èç ïðèìåðà 4 ïðèíÿòî íàçûâàòü ñóæåíèåì "øêîëüíîãî" ñèíóñà íà ñåãìåíò [−π/2, π/2]. Òåïåðü â êàæäîé òî÷êå ìíîæåñòâà çíà÷åíèé îêàí÷èâàåòñÿ ðîâíî îäíà ñòðåëêà. Ãîâîðÿò, ÷òî ïîëíûé ïðîîáðàç òî÷êè y ∈ [−1, 1] ñîñòîèò èç îäíîé òî÷êè x ∈ [−π/2, π/2]. (ó êàæäîé èç íèõ äâà ïðîîáðàçà z1 = |w|1/2 · exp i ·

Ïîñòàâèì òåïåðü âîïðîñ îá èçìåíåíèè "íàïðàâëåíèÿ äåéñòâèÿ" îòîáðàæåíèÿ f . Ïðè ýòîì êàæäûé îáðàç äîëæåí ïîìåíÿòüñÿ ìåñòàìè ñî ñâîèì ïîëíûì ïðîîáðàçîì. Î÷åâèäíî, ÷òî ýòî âîçìîæíî òîëüêî â ñèòóàöèè, êîãäà ïîëíûé ïðîáðàç êàæäîé òî÷êè y = f (x) ∈ Y ñîñòîèò ðîâíî èç îäíîé òî÷êè x ∈ X , ò.å. êîãäà â êàæäîé òî÷êå ìíîæåñòâà Y îêàí÷èâàåòñÿ ðîâíî îäíà ñòðåëêà. Åñëè ýòî óñëîâèå âûïîëíåíî, òî ñëåäóåò ëèøü èçìåíèòü íàïðàâëåíèå êàæäîé ñòðåëêè. Òîãäà îáðàçû ñòàíóò ïðîîáðàçàìè, à ïðîîáðàçû  îáðàçàìè, ìíîæåñòâî çíà÷åíèé  îáëàñòüþ îïðåäåëåíèÿ, à îáëàñòü îïðåäåëåíèÿ  ìíîæåñòâîì çíà÷åíèé. Òåì ñàìûì áóäåò ïîñòðîåíà íîâàÿ ôóíêöèÿ, êîòîðóþ íàçûâàþò îáðàòíîé ê ôóíêöèè f è îáîçíà÷àþò f −1 (ðèñ.7.1). Èç ÷åòûðåõ ðàññìîòðåííûõ âûøå ïðèìåðîâ ëèøü â ÷åòâåðòîì âûïîëíåíû óñëîâèÿ äëÿ ïîñòðîåíèÿ îáðàòíîé ôóíêöèè. Ýòó ôóíêöèþ 70

ñëåäóåò íàçâàòü sin−1 : [−1, 1] → [−π/2, π/2] (åå ÷àñòî îáîçíà÷àþò arcsin). Òî÷íî òàê æå ñóæåíèå êîñèíóñà íà [0, π] èìååò îáðàòíóþ ôóíêöèþ cos−1 : [−1, 1] → [0, π], îáîçíà÷àåìóþ ÷àñòî arccos. Äëÿ ïàðû ôóíêöèé

f : X → Y = f (X),

è f −1 : Y → X = f −1 (Y )

èìååò ìåñòî òîæäåñòâî

¡ −1 ¢ f ◦ f (x) ≡ x,

x ∈ X.

"Åñëè èç ïðîèçâîëüíîé òî÷êè x ∈ X ïåðåéòè ïî åäèíñòâåííîé, íà÷èíàþùåéñÿ â íåé ñòðåëêå, â òî÷êó y ∈ Y , à èç íåå ïîéòè ïî åäèíñòâåííîé, îêàí÷èâàþùåéñÿ â íåé ñòðåëêå â îáðàòíîì íàïðàâëåíèè, òî ïðèäåì îïÿòü â òî÷êó x". Àíàëîãè÷íî, ¡ ¢

f ◦ f −1 (y) ≡ y, y ∈ Y. ¡ ¢−1 = f , è åñòåñòâåííî íàçûâàòü f è f −1 Îòìåòèì, íàêîíåö, ÷òî f −1 âçàèìíî îáðàòíûìè ôóíêöèÿìè.

7.5. Ëîãàðèôì. Ñòåïåííàÿ ôóíêöèÿ Âñëåäñòâèå ñâîåé ïåðèîäè÷íîñòè ýêñïîíåíòà íå èìååò îáðàòíîé ôóíêöèè.  ýòîì ïóíêòå ìû ðàññìîòðèì ñóæåíèå ýêñïîíåíòû íà ïîëîñó

−π < Im(z) ≤ π, êîòîðîå áóäåì ïî-ïðåæíåìó îáîçíà÷àòü exp. Ïîêàæåì, ÷òî

exp(z1 ) = exp(z2 )

=⇒

z1 = z2 .

1. Èç ðàâåíñòâà exp(x1 + i y1 ) = exp(x2 + i y2 ), ñëåäóåò, ÷òî

exp(x1 ) = |exp(x1 + iy1 )| = |exp(x2 + i y2 )| = exp(x2 ). Íî íà âåùåñòâåííîé îñè ýêñïîíåíòà âîçðàñòàåò (ï.7.3, ñâîéñòâî 5). Ïîýòîìó èç ðàâåíñòâà exp(x1 ) = exp(x2 ) ñëåäóåò, ÷òî x1 = x2 . 2. Èç ðàâåíñòâà exp(z1 ) = exp(z2 ) ñëåäóåò, ÷òî

y2 = arg (exp(z2 )) = arg (exp(z1 )) + 2kπ = y1 + 2kπ, Íî y1 , y2 ∈] − π, π] è, ñëåäîâàòåëüíî, y1 = y2 . 71

k ∈ Z.

Òàêèì îáðàçîì, z1 = z2 , ò.å. ó êàæäîãî îáðàçà åñòü åäèíñòâåííûé ïðîîáðàç! Èòàê, ñóæåíèå ýêñïîíåíòû íà ïîëîñó −π < Im(z) ≤ π îáðàòèìî. Îáðàòíàÿ ôóíêöèÿ íàçûâàåòñÿ ëîãàðèôì è îáîçíà÷àåòñÿ ln èëè loge . Çàìå÷àíèå. Ðàññìàòðèâàåìûé íàìè ëîãàðèôì íàçûâàåòñÿ íàòóðàëüíûì èëè íåïåðîâûì24 .  äîêîìïüþòåðíóþ ýïîõó øèðîêî ïðèìåíÿëñÿ ïðè âû÷èñëåíèÿõ äåñÿòè÷íûé (áðèããîâ25 ) ëîãàðèôì

ln(x) .  òåîðèè èíôîðìàöèè óäîáåí äâîè÷íûé ëîãàðèôì, ln(10) ln(x) îïðåäåëÿåìûé ðàâåíñòâîì log2 (x) = . Ðåïåòèòîðû äî ñèõ ïîð ln(2) ëþáÿò ïðîòèâîåñòåñòâåííûå èãðû â íèêîìó, êðîìå íèõ ñàìèõ, íå íóæíûå "ëîãàðèôìû x ïî îñíîâàíèþ a" (íàïðèìåð, log√5 (x)). log10 (x) =

Ëîãàðèôì îïðåäåëåí íà ìíîæåñòâå çíà÷åíèé ýêñïîíåíòû, ò.å. íà âñåé êîìïëåêñíîé ïëîñêîñòè, êðîìå íóëÿ. Çíà÷åíèÿ ëîãàðèôìà çàïîëíÿþò ïîëîñó −π < Im(z) ≤ π . Èìåþò ìåñòî òîæäåñòâà

exp(ln(z)) ≡ z (z 6= 0);

ln(exp(z)) ≡ z (−π < Im(z) ≤ π).

Èç ñâîéñòâà 9 ýêñïîíåíòû èìååì

Re(ln(z)) = ln(|z|); Im(ln(z)) = arg(z) =⇒ ln(z) = ln(|z|)+i ·arg(z). Ýòà ôîðìóëà ñâîäèò âû÷èñëåíèå êîìïëåêñíîãî ëîãàðèôìà ê âû÷èñëåíèþ âåùåñòâåííîãî ëîãàðèôìà. Ìîæíî ïîêàçàòü, ÷òî ëîãàðèôì  àíàëèòè÷åñêàÿ ôóíêöèÿ â ëþáîì êðóãå, íå ñîäåðæàùåì íà÷àëà êîîðäèíàò. Ñòåïåííîé ðÿä, ñóììîé êîòîðîãî ÿâëÿåòñÿ ëîãàðèôì, áóäåò ïîëó÷åí ïîçæå. Ðàññìîòðèì òåïåðü ñòåïåííóþ ôóíêöèþ. Åñëè n ∈ N, òî âûðàæåíèå z , z ∈ C  ýòî ñîêðàùåííàÿ çàïèñü ïðîèçâåäåíèÿ: n

zn =

z| · z ·{z. . . · z} . n ñîìíîæèòåëåé

24 Äæîí

ÍÅÏÅÐ (J. Napier, 1550-1617)  øîòëàíäñêèé ìàòåìàòèê.  ðàáîòå "Îïèñàíèå òàáëèö ëîãàðèôìîâ" (1614) Íåïåð èçëîæèë ñâîéñòâà ëîãàðèôìîâ, ïðàâèëà ïîëüçîâàíèÿ òàáëèöàìè è ïðèìåðû èõ ïðèìåíåíèé. 25 Ãåíðè ÁÐÈÃà (H. Briggs, 1561-1630)  àíãëèéñêèé ìàòåìàòèê. Ñîñòàâèë è èçäàë òàáëèöû ëîãàðèôìîâ ñ 14 äåñÿòè÷íûìè çíàêàìè. Îïóáëèêîâàë íåñêîëüêî àñòðîíîìè÷åñêèõ è ãåîãðàôè÷åñêèõ ðàáîò, â êîòîðûõ ïðîïàãàíäèðîâàë èäåè È. Êåïëåðà. Äåñÿòè÷íûå ëîãàðèôìû áûëè íåîáõîäèìûì ïîñîáèåì â âû÷èñëåíèÿõ äî ïîÿâëåíèÿ êàëüêóëÿòîðîâ. Ñåé÷àñ îíè ïðàêòè÷åñêè çàáûòû. 72

Âûðàæåíèå z −n , z ∈ C, z 6= 0, n ∈ N  ýòî ðàöèîíàëüíàÿ äðîáü 1n .

z

À êàê ïîíèìàòü âûðàæåíèÿ z π èëè z i ? Êàê âû÷èñëèòü ïðîèçâåäåíèå, â êîòîðîì π ñîìíîæèòåëåé èëè i ñîìíîæèòåëåé? Ïðè z, x ∈ C, z 6= 0 ïîëàãàþò ïî îïðåäåëåíèþ

¡ ¢ z x = exp x · ln(z) .

Ýòà ôóíêöèÿ ïðè ôèêñèðîâàííîì x ∈ C îïðåäåëåíà íà âñåé êîìïëåêñíîé ïëîñêîñòè, çà èñêëþ÷åíèåì íà÷àëà êîîðäèíàò. Äëÿ âåùåñòâåííûõ z è x îíà îïðåäåëåíà ïðè z > 0 è âñåõ x ∈ R. Çàìåòèì, ÷òî ïðè öåëûõ ïîêàçàòåëÿõ ñòåïåíè ïîëó÷àåì èçâåñòíûé ðàíåå ðåçóëüòàò (ïðîâåðüòå ýòî, èñïîëüçóÿ ñâîéñòâà ýêñïîíåíòû).

7.6. Ìàòðè÷íàÿ ýêñïîíåíòà Ïóñòü A  êâàäðàòíàÿ (n × n)-ìàòðèöà. Ðàññìîòðèì ìàòðè÷íûé ñòåïåííîé ðÿä +∞

X Ak A A2 A3 An I+ + + + ... + + ... = . 1! 2! 3! n! k!

(7.6.1)

k=0

Ïîêàæåì, ÷òî ýòîò ðÿä ñõîäèòñÿ àáñîëþòíî ïðè ëþáîé ìàòðèöå A, ò.å. àáñîëþòíî ñõîäÿòñÿ âñå n2 ÷èñëîâûõ ðÿäîâ

¡ ¢ +∞ Ak X jm k!

k=0

¡

,

(j, m = 1, . . . , n).

¢

Îáîçíà÷èì M = max |ajm | . Òîãäà ïðè âñåõ j, m = 1, . . . , n j,m

n n ¯ 2 ¯ ¯X ¯ X ¯(A )jm ¯ = ¯ ¯ ajr arm ≤ |ajr | · |arm | ≤ nM 2 ; r=1

r=1

n ¯ ¯ 3 ¯ ¯X ¡ 2¢ ¯(A )jm ¯ = ¯ A jr · arm ¯ ≤ n · (nM 2 ) · M = n2 M 3 , r=1

¯ ¯ è âîîáùå ¯(Ak )jm ¯ ≤ nk−1 M k . Ïîýòîìó ¯ K ¯¯ X (Ak )jm ¯ nM 2 nK−1 M K ≤1+M + + ... + ≤ k! 2! K! k=0

(nM )2 (nM )K ≤ 1 + nM + + ... + ≤ exp(nM ). 2! K! 73

(7.6.2)

Èç îãðàíè÷åííîñòè ÷àñòíûõ ñóìì ïîëîæèòåëüíîãî ðÿäà ñëåäóåò, êàê èçâåñòíî, åãî ñõîäèìîñòü. Òàêèì îáðàçîì, âñå ðÿäû (7.6.2) ñõîäÿòñÿ àáñîëþòíî. Îïðåäåëåíèå. Ñóììà ðÿäà (7.6.1), ò.å. ìàòðèöà, ýëåìåíòû êîòîðîé  ñóììû ÷èñëîâûõ ðÿäîâ (7.6.2), íàçûâàåòñÿ ýêñïîíåíòîé ìàòðèöû A è îáîçíà÷àåòñÿ exp(A).

·

¸ 0 x . Òîãäà Ïðèìåð. Ïóñòü A = −x 0 ¸ ¸ · 4 ¸ · · 2 ¸ · 5 3 x 0 0 x −x 0 0 −x 5 3 , , A4 = A2 = 4 , A = 2 , A = 3 0 −x x 0 0 x −x5 0

è ò.ä. Òàêèì îáðàçîì,



 2 4 3 5 x x x x 1− + − ... x− + − ... 2! 4! 3! 5!   = exp(A) =   ¡  ¢ 3 5 2 4 x x x x − x− + − ... 1 − + − ... 3! 5! 2! 4! · ¸ cos(x) sin(x) = . −sin(x) cos(x)

Îòìåòèì íåêîòîðûå ñâîéñòâà ìàòðè÷íîé ýêñïîíåíòû.

¡

¢

1. exp(Ax) · exp(Ay) = exp A(x + y) (x, y ∈ C, A  êâàäðàòíàÿ ìàòðèöà). Äåéñòâèòåëüíî, ïåðåìíîæàÿ ðÿäû

A2 x2 A3 x3 + +. . . , exp(Ax) = I+Ax+ 2! 3! ïîëó÷èì

A2 y 2 A3 y 3 exp(y) = I+Ay+ + +. . . , 2! 3!

exp(Ax) · exp(Ay) = A3 3 A2 2 2 = I + A(x + y) + (x + 2xy + y ) + (x + 3x2 y + 3xy 2 + y 3 ) + . . . = 2! 3! 2 2 3 ¡ ¢ A (x + y) A (x + y)3 = I + A(x + y) + + + . . . = exp A(x + y) . 2! 3! ¡

¢

Ñëåäñòâèå. exp(A) · exp(−A) = exp A + (−A)

= exp(O) = I. ¡ ¢−1 Ïîýòîìó ìàòðèöà exp(A) îáðàòèìà, è exp(A) = exp(−A). 74

Ñåðüåçíîå ïðåäóïðåæäåíèå. Äëÿ äâóõ ïðîèçâîëüíûõ êâàäðàòíûõ ìàòðèö îäíîãî ïîðÿäêà ðàâåíñòâî exp(A) · exp(B) = exp(A + B), âîîáùå ãîâîðÿ, ìåñòà íå èìååò. Òîëüêî åñëè ìàòðèöû A è B êîììóòèðóþò (AB = BA), òî

exp(A) · exp(B) = exp(B) · exp(A) = exp(A + B). 2. Åñëè A = diag[a1 , . . . , an ], òî ëåãêî ïðîâåðèòü, ÷òî

exp(A) = diag[exp(a1 ), . . . , exp(an )]. 3. Ïîêàæåì, ÷òî åñëè ìàòðèöû A è B ïîäîáíû (A = S −1 BS), òî ìàòðèöû exp(A) è exp(B) ïîäîáíû ñ òîé æå ìàòðèöåé, îñóùåñòâëÿþùåé ïîäîáèå, ò.å. exp(A) = S −1 · exp(B) · S. Äåéñòâèòåëüíî,

A2 = (S −1 BS)2 = S −1 BSS −1 BS = S −1 B 2 S. Àíàëîãè÷íî, ïðè âñåõ k ∈ N

exp(A) =

+∞ X Ak k=0

k!

=

+∞ −1 k X S B S k=0

k!

Ak = S −1 B k S. Ïîýòîìó =S

−1

·

+∞ X Bk k=0

k!

· S = S −1 · exp(B) · S.

Ïðèìåð. Íåïîñðåäñòâåííûì âû÷èñëåíèåì ìîæíî ïîëó÷èòü, ÷òî

·

¸ · ¸−1 · ¸· ¸ 0 x 1 −i ix 0 1 −i = · · ; −x 0 −i 1 0 −i x −i 1

·

1 −i −i 1

¸−1 · ¸ 1 1 −i = . 2 −i 1

Ïîýòîìó

µ· exp

0 x −x 0

¸¶

¸ ¸ · · ¸ · 1 1 −i 1 −i exp(ix) 0 = · = · −i 1 0 exp(−i x) 2 −i 1 ¸ · cos(x) sin(x) . = −sin(x) cos(x)

Çàìå÷àíèå. Àíàëîãè÷íî ìîæíî îïðåäåëèòü äðóãèå àíàëèòè÷åñêèå ôóíêöèè, çàäàííûå íà ìíîæåñòâå êâàäðàòíûõ ìàòðèö. Íåêîòîðûå èç íèõ ðåàëèçîâàíû â ñðåäàõ êîíå÷íîãî ïîëüçîâàòåëÿ.

75

Ãëàâà 8. ÏÐÎÈÇÂÎÄÍÀß 8.1. Îïðåäåëåíèå ïðîèçâîäíîé Íàïîìíèì îäíó èçâåñòíóþ èç øêîëüíîãî êóðñà çàäà÷ó, ïðèâîäÿùóþ ê ïîíÿòèþ ïðîèçâîäíîé. ¡ ¢ Íà ãðàôèêå ôóíêöèè ¡ ¢f âçÿòû äâå òî÷êè  ôèêñèðîâàííàÿ a, f (a) è ïåðåìåííàÿ x, f (x) (ðèñ.8.1). ×åðåç ýòè òî÷êè ïðîâåäåíà ïðÿìàÿ (ñåêóùàÿ)

y − f (a) = kc · (x − a).

f (x) f (a)

s

s

a

x Ðèñ.8.1

Óãëîâîé êîýôôèöèåíò ýòîé ñåêóùåé

f (x) − f (a) . x−a ×òî ïðîèçîéäåò, åñëè ïåðåìåííàÿ òî÷êà ñîâïàäåò ñ ôèêñèðîâàííîé? Ïóñòü, íàïðèìåð, f (x) = x2 . Òîãäà kc =

x2 − a2 kc = =x+a x−a (åñëè ðàöèîíàëüíàÿ äðîáü ñîêðàòèìà, òî åå íåîáõîäèìî ñîêðàòèòü!). Ïîýòîìó ¯ x2 − a2 ¯ = x + a¯ = 2a. lim x=a x − a x=a Òàêèì îáðàçîì, ïðè ñîâïàäåíèè ïåðåìåííîé òî÷êè (x, x2 ) ñ ôèêñèðîâàííîé (a, a2 ) ñåêóùàÿ ïðåâðàòèòñÿ â ïðÿìóþ, ïðîõîäÿùóþ ÷åðåç òî÷êó (a, a2 ) è èìåþùóþ óãëîâîé êîýôôèöèåíò k = 2a: y − a2 = 2a · (x − a). 76

Êàê èçâåñòíî, ýòà ïðÿìàÿ èìåíóåòñÿ êàñàòåëüíîé ê ãðàôèêó ôóíêöèè y = x2 â òî÷êå (a, a2 ). Ââåäåì òåïåðü Îïðåäåëåíèå. Ïóñòü çàäàíà ôóíêöèÿ f : C → C. Çàôèêñèðóåì òî÷êó a ∈ C, òî÷êó z ∈ C ñäåëàåì ïåðåìåííîé è ðàññìîòðèì ðàçíîñòíîå îòíîøåíèå

f (z) − f (a) . z−a Çíà÷åíèå ýòîãî ðàçíîñòíîãî îòíîøåíèÿ ïðè z = a (åñëè îíî îïðåäåëåíî â ýòîé òî÷êå) íàçûâàåòñÿ ïðîèçâîäíîé ôóíêöèè f â òî÷êå a è îáîçíà÷àåòñÿ f 0 (a). Èòàê, f (z) − f (a) ¯¯ f (z) − f (a) 0 . f (a) = ¯ = lim z=a z=a z−a z−a Ïðèìåð. f (z) = z n

(n ∈ N).

z n − an (z − a) · (z n−1 + z n−2 a + . . . + zan−2 + an−1 ) f (a) = lim = lim = z=a z − a z=a z−a ¯ n−1 n−2 n−2 n−1 ¯ = (z + z a + . . . + za + a )¯ = nan−1 . 0

z=a

 ðàññìîòðåííîì ïðèìåðå òî÷êà a, â êîòîðîé âû÷èñëÿåòñÿ ïðîèçâîäíàÿ ôóíêöèè f (x) = xn , ïðîèçâîëüíà. Ýòî äàåò îñíîâàíèå ðàññìàòðèâàòü íîâóþ ôóíêöèþ, çíà÷åíèå êîòîðîé â êàæäîé òî÷êå (÷èñëî) åñòü ïðîèçâîäíàÿ ôóíêöèè f â ýòîé òî÷êå. Ýòó íîâóþ ôóíêöèþ íàçûâàþò ïðîèçâîäíîé ôóíêöèåé îò ôóíêöèè f è îáîçíà÷àþò f 0 (÷èòàåòñÿ "ýô øòðèõ"). Èòàê,

f (z) = z n

=⇒

f 0 (z) = nz n−1 .

Äàëåå ìîæíî ââåñòè ïîíÿòèå âòîðîé ïðîèçâîäíîé ôóíêöèè îò ôóíêöèè f

f 0 (z) − f 0 (a) . f = (f ) ; f (a) = lim z=a z−a Àíàëîãè÷íî ââîäèòñÿ (ïî èíäóêöèè) ïîíÿòèå ïðîèçâîäíîé ôóíêöèè ïîðÿäêà n îò ôóíêöèè f . 00

f

(n)

= (f

0 0

(n−1) 0

);

00

f

(n)

f (n−1) (z) − f (n−1) (a) (a) = lim . z=a z−a 77

Ïðèìåð. f (z) = z 4 . Ïîñëåäîâàòåëüíî âû÷èñëÿåì

f 0 (z) = 4 · z 3 ;

f 00 (z) = 3 · 4 · z 2 ;

f (3) (z) = 2 · 3 · 4 · z;

f (4) (z) = 1 · 2 · 3 · 4 = 4! = const.

Ïðåæäå, ÷åì âû÷èñëÿòü ïÿòóþ ïðîèçâîäíóþ ôóíêöèþ, ïîêàæåì, ÷òî â ñèëó íàøèõ îïðåäåëåíèé ïðîèçâîäíàÿ ôóíêöèÿ îò ôóíêöèèêîíñòàíòû ðàâíà íóëþ òîæäåñòâåííî. Äåéñòâèòåëüíî, ïóñòü f (z) ≡ p ∈ C. Âû÷èñëèì ïðîèçâîäíóþ ýòîé ôóíêöèè â òî÷êå a ∈ C:

f (z) − f (a) p−p 0 ¯¯ f (a) = lim = lim = ¯ . z=a z=a z − a z−a z − a z=a 0

0 ðàâíà íóëþ âî âñåõ òî÷êàõ, êðîìå z = a, ãäå îíà íå Äðîáü z − a îïðåäåëåíà.  ñèëó íàøåãî Âàæíîãî ñîãëàøåíèÿ îíà äîîïðåäåëÿåòñÿ â ýòîé òî÷êå ïî íåïðåðûâíîñòè, ò.å. íóëåì. Ïîýòîìó 0 = 0. z=a z − a

f 0 (a) = lim Èòàê, f (n) (z) ≡ 0 ïðè n > 4.

8.2. Òåõíèêà äèôôåðåíöèðîâàíèÿ  íàøåì ðàñïîðÿæåíèè åñòü ñëåäóþùèå ñïîñîáû "êîíñòðóèðîâàíèÿ ôóíêöèé". 1. Îáðàçîâàíèå ëèíåéíûõ êîìáèíàöèé: çàäàíû (íà îäíîì è òîì æå ìíîæåñòâå Z ⊂ C) ôóíêöèè f1 , . . . , fn . Íîâàÿ ôóíêöèÿ f = (α1 , . . . , αk  çàäàííûå ÷èñëà) ñòðîèòñÿ ïî ïðàâèëó

f (z) =

n X

n P

αk fk

k=1

αk fk (z) äëÿ âñåõ z ∈ Z.

k=1

2. Ñòåïåííîé ðÿä.

f (z) =

+∞ X

ak z k

(ôóíêöèÿ çàäàíà âíóòðè êðóãà ñõîäèìîñòè ðÿäà).

k=0

78

3. Óìíîæåíèå: çàäàíû (íà îäíîì è òîì æå ìíîæåñòâå Z ⊂ C) ôóíêöèè f1 è f2 . Íîâàÿ ôóíêöèÿ f = f1 · f2 ñòðîèòñÿ ïî ïðàâèëó

f (z) = f1 (z) · f2 (z) äëÿ âñåõ z ∈ Z. 4. Äåëåíèå: çàäàíû (íà îäíîì è òîì æå ìíîæåñòâå Z ⊂ C) ôóíêöèè f1 è f2 ; f2 íå îáðàùàåòñÿ â íóëü. Íîâàÿ ôóíêöèÿ f = f1 /f2 ñòðîèòñÿ ïî ïðàâèëó f (z) = f1 (z)/f2 (z) äëÿ âñåõ z ∈ Z. 5. Êîìïîçèöèÿ ôóíêöèé (ñì. ï.1.5). 6. Îáðàòíàÿ ôóíêöèÿ (ñì. ï.7.4). Äëÿ âû÷èñëåíèÿ ïðîèçâîäíûõ ôóíêöèé (äèôôåðåíöèðîâàíèÿ ôóíêöèé), ïîñòðîåííûõ ñ ïîìîùüþ îïèñàííûõ âûøå ïðèåìîâ, íåîáõîäèìî: 1) çíàòü òàáëèöó ïðîèçâîäíûõ ôóíêöèé äëÿ íåêîòîðîãî íàáîðà "ïðîñòåéøèõ" ôóíêöèé; 2) óìåòü íàõîäèòü ïðîèçâîäíûå ôóíêöèè äëÿ àíàëèòè÷åñêîé ôóíêöèè, äëÿ ëèíåéíîé êîìáèíàöèè, ïðîèçâåäåíèÿ, ÷àñòíîãî, êîìïîçèöèè, îáðàòíîé ôóíêöèè. Ñâîäêó òàêèõ ïðàâèë è íàçûâàþò îáû÷íî "òåõíèêîé äèôôåðåíöèðîâàíèÿ". 1. Åñëè ñóùåñòâóþò

f1 (z) − f1 (a) fn (z) − fn (a) , . . . , fn0 (a) = lim z=a z=a z−a z−a

f10 (a) = lim èf =

n P k=1

αk fk , òî

³X f (z) − f (a) ´ f (z) − f (a) k k = lim αk = f (a) = lim z=a z=a z−a z−a n

0

=

k=1 n X k=1

n fk (z) − fk (a) X αk lim = αk fk0 (a). z=a z−a k=1

Ïðîèçâîäíàÿ ëèíåéíîé êîìáèíàöèè ôóíêöèé ðàâíà ëèíåéíîé êîìáèíàöèè ïðîèçâîäíûõ ýòèõ ôóíêöèé (ñ òåìè æå êîýôôèöèåíòàìè). 79

Ïðèìåð: ïðîèçâîäíàÿ ïîëèíîìà. Åñëè 2

n

f (z) = a0 + a1 z + a2 z + . . . + an z =

n X

ak z k ,

k=0

òî 0

f (z) = a1 + 2a2 z + . . . + nan z

n−1

=

n X

kak z k−1 ,

k=1 00

f (z) = 2a2 + . . . + n(n − 1)an z

n−2

=

n X

k(k − 1)ak z k−2 ,

k=2

... f (n) (z) = n!,

f (m) (z) ≡ 0 ïðè m > n. Îáðàòèòå âíèìàíèå íà íèæíèé ïðåäåë ñóììèðîâàíèÿ! 2. Ìîæíî ïîêàçàòü, ÷òî àíàëèòè÷åñêàÿ ôóíêöèÿ âíóòðè êðóãà ñõîäèìîñòè îïðåäåëÿþùåãî åå ñòåïåííîãî ðÿäà èìååò ïðîèçâîäíûå âñåõ ïîðÿäêîâ, è îíè íàõîäÿòñÿ "ïî÷ëåííûì äèôôåðåíöèðîâàíèåì ò.å. +∞ ³X

ak z

k

´0

=

+∞ X k=1

k=0 +∞ ³X

kak z k−1 ,

ak z

k

´00

=

+∞ X

k(k − 1)ak z k−2

k=2

k=0

è ò.ä. (Ñðàâíèòå ñ ïðîèçâîäíîé ïîëèíîìà!). Ïðèìåð. 0

exp (z) =

+∞ k ´ ³X z 0 k=0

k!

=

+∞ X kz k−1 k=1

k!

+∞ +∞ k X X z k−1 z = = = exp(z). (k − 1)! k! k=1

k=0

exp0 (z) ≡ exp(z). Àíàëîãè÷íûì âû÷èñëåíèåì ïîëó÷àåì (ïðîâåðüòå ýòî!), ÷òî

sin0 (z) ≡ cos(z);

cos0 (z) ≡ −sin(z). 80

3. Åñëè ñóùåñòâóþò f10 (a), f20 (a), è f = f1 · f2 , òî

f (z) − f (a) f1 (z) · f2 (z) − f1 (a) · f2 (a) = lim = z=a z=a z−a z−a f1 (z) · f2 (z) − f1 (a) · f2 (z) + f1 (a) · f2 (z) − f1 (a) · f2 (a) = lim = z=a z−a ³ f (z) − f (a) ´ ³ f2 (z) − f2 (a) ´ 1 1 = lim · f2 (z) + lim f1 (a) · = z=a z=a z−a z−a f 0 (a) = lim

= f10 (a) · f2 (a) + f1 (a) · f20 (a). (f1 · f2 )0 = f10 · f2 + f1 · f20 . 4. Åñëè ñóùåñòâóþò f10 (a), f20 (a), f2 (a) 6= 0 è f = f1 /f2 , òî

f1 (z)/f2 (z) − f1 (a)/f2 (a) f (z) − f (a) = lim = z=a z=a z−a z−a f1 (z) · f2 (a) − f1 (a) · f2 (z) = lim = z=a f2 (z) · f2 (a) · (z − a) f1 (z) − f1 (a) f2 (z) − f2 (a) · f2 (a) − f1 (a) · z−a z−a = lim = z=a f2 (z) · f2 (a) f10 (a) · f2 (a) − f1 (a) · f20 (a) = . f22 (a)

f 0 (a) = lim

f10 · f2 − f1 · f20 (f1 /f2 ) = . f22 0

Ïðèìåð.

³ sin ´0

sin0 (z) · cos(z) − sin(z) · cos0 (z) tg (z) = (z) = = cos cos2 (z) cos2 (z) + sin2 (z) = 1 + tg 2 (z). = 2 cos (z) 0

tg 0 (z) ≡ 1 + tg 2 (z) ≡ 81

1 . cos2 (z)

Àíàëîãè÷íûì âû÷èñëåíèåì ïîëó÷àåì (ïðîâåðüòå ýòî!), ÷òî

¡ ¢ ctg 0 (z) ≡ − 1 + ctg 2 (z) ≡ −

1 . sin2 (z)

5. Ïðîèçâîäíàÿ êîìïîçèöèè (ðèñ.8.2).

C » 9 s» ¾

h(a) = g(b)

G⊂C

F⊂C

s¾

s

b = f (a)

» 9 s» ¾

a

s¾

h(z) = g(w)

s

w = f (z)

z

g:G→C f :F→G h=g◦f :F→C Ðèñ.8.2

h(z) − h(a) g(w) − g(b) f (z) − f (a) = lim · . z=a z=a z−a w−b z−a Ïîñêîëüêó èç z = a ñëåäóåò w = b, ïîëó÷àåì f (z) − f (a) g(w) − g(b) · lim = g 0 (b) · f 0 (a). h0 (a) = lim z=a w=b w−b z−a h0 (a) = lim

Ïðîèçâîäíàÿ êîìïîçèöèè ðàâíà ïðîèçâåäåíèþ ïðîèçâîäíûõ ôóíêöèé, ñîñòàâëÿþùèõ ýòó êîìïîçèöèþ. Êîíå÷íî, êàæäàÿ èç ýòèõ ïðîèçâîäíûõ âû÷èñëÿåòñÿ â "ñâîåé" òî÷êå! Ïðèìåð. w = f (z) = sin(z), g(w) = w2 ; h(z) = (g ◦ f )(z) = sin2 (z).

h0 (z) = g 0 (w) · f 0 (z) = 2w · cos(z) = 2sin(z) · cos(z). 6. Ïðîèçâîäíàÿ îáðàòíîé ôóíêöèè (ðèñ.8.3).

G⊂C

F⊂C

» 9 s»

X X zs

b = f (a)

a = f −1 (b)

w = f (z)

z = f −1 (w)

s y X X

» : »

Ðèñ.8.3 82

s

z−a f −1 (w) − f −1 (b) (f ) (b) = lim = lim = z=a f (z) − f (a) w=b w−b 1 1 = lim = 0 . z=a f (z) − f (a) f (a) z−a 0 Çäåñü ïðåäïîëàãàåòñÿ, ÷òî f (a) 6= 0. −1 0

¡ −1 ¢0 f (z) =

0

¡

f f

1 −1

¢. (z)

Ïðèìåðû. 1. ln = exp−1 .

w = ln(z);

z = exp(w);

ln0 (z) =

1 1 1 = = . exp0 (w) exp(w) z

1 ln0 (z) = . z 2. arctg = tg −1 .

w = arctg(z);

z = tg(w);

arctg 0 (z) =

arctg 0 (z) =

1 1 1 = = . 2 tg (w) 1 + tg (w) 1 + z 2 0

1 . 1 + z2

3. Íàéäåì òåïåðü ïðîèçâîäíóþ ñòåïåííîé ôóíêöèè z α , z 6= 0.

(z α )0 = (exp (α · ln(z)))0 = exp (α · ln(z)) · α ·

1 = α · z α−1 . z

(z α )0 = α · z α−1 .

8.3. Ðÿä Òåéëîðà Ïóñòü àíàëèòè÷åñêàÿ ôóíêöèÿ f îïðåäåëåíà â íåêîòîðîì êðóãå ñ öåíòðîì â òî÷êå p:

f (z) = a0 + a1 (z − p) + a2 (z − p)2 + a3 (z − p)3 + . . . + an (z − p)n + . . . 83

Ïîëàãàÿ z = p, ïîëó÷èì f (p) = a0 . Ïðîäèôôåðåíöèðóåì f :

f 0 (z) = a1 + 2a2 · (z − p) + 3a3 · (z − p)2 + . . . + nan · (z − p)n−1 + . . . Ïîëàãàÿ z = p, ïîëó÷èì f 0 (p) = a1 . Äàëåå,

f 00 (z) = 2 · 1 · a2 + 3 · 2a3 · (z − p) + . . . + n · (n − 1)an · (z − p)n−2 + . . . Ïîëàãàÿ z = p, ïîëó÷èì f 00 (p) = 2 · 1 · a2 . Íåòðóäíî óâèäåòü, ÷òî f (n) (p) = n!an , îòêóäà

an =

f (n) (p) . n!

Ýòà ôîðìóëà âåðíà è ïðè n = 0 (ïîëàãàþò ïî îïðåäåëåíèþ f (0) = f ). Ìû ïîëó÷èëè ïðåäñòàâëåíèå àíàëèòè÷åñêîé ôóíêöèè â âèäå

f (z) =

+∞ (n) X f (p) n=0

n!

(z − p)n .

(8.3.1)

Ðÿä, ñòîÿùèé â ïðàâîé ÷àñòè ôîðìóëû (8.3.1) íàçâàåòñÿ ðÿäîì Òåéëîðà26 àíàëèòè÷åñêîé ôóíêöèè f â îêðåñòíîñòè òî÷êè p. Ïðèìåðû. 1. Äëÿ ëþáîãî íàòóðàëüíîãî n exp(n) (p) = exp(p). Ïîýòîìó

exp(z) =

+∞ X exp(p) n=0

n!

n

(z − p) = exp(p) ·

+∞ X (z − p)n n=0

n!

.

Çàìåòèì, ÷òî ìû ïîëó÷èëè èçâåñòíîå òîæäåñòâî

exp(z) ≡ exp(p) · exp(z − p). 2. f (z) = ln(1 + z), ïîëó÷àåì

f (0) = 0. Ïîñëåäîâàòåëüíî äèôôåðåíöèðóÿ,

f 0 (z) = (1 + z)−1 , f 00 (z) = (−1) · (1 + z)−2 , f 000 (z) = (−1) · (−2) · (1 + z)−3 , ... f (n) (z) = (−1)n−1 (n − 1)! · (1 + z)−n ,

26 Áðóê

f 0 (0) = 1; f 00 (0) = −1; f 000 (0) = 1 · 2; ... f (n) (0) = (−1)n−1 (n − 1)!.

ÒÅÉËÎÐ (B. Taylor, 1685-1731)  àíãëèéñêèé ìàòåìàòèê, ó÷åíûé ñåêðåòàðü Ëîíäîíñêîãî Êîðîëåâñêîãî îáùåñòâà. 84

Èòàê, â íåêîòîðîé îêðåñòíîñòè íóëÿ

ln(1 + z) =

+∞ X (−1)n−1 (n − 1)! n=1

Íàéäåì ðàäèóñ Ä'Àëàìáåðà:

D(z) = lim

n!

n

z =

+∞ X (−1)n−1 n=1

ñõîäèìîñòè

ýòîãî

ðÿäà,

|z|k (k − 1) k−1 = |z| · lim = |z| k k|z|k−1

n

zn.

èñïîëüçóÿ

=⇒

ïðèçíàê

R = 1.

Õîòÿ ôóíêöèÿ ln(1 + z) îïðåäåëåíà íà âñåé êîìïëåêñíîé ïëîñêîñòè, êðîìå òî÷êè z = −1, åå ðÿä Òåéëîðà (â îêðåñòíîñòè íóëÿ) ñõîäèòñÿ òîëüêî ïðè |z| < 1. Ýòî îáúÿñíÿåòñÿ òåì, ÷òî òî÷êà z = −1 "íå äàåò" êðóãó ñõîäèìîñòè ñòàòü áîëüøå. 3. Ïóñòü f  ïîëèíîì ñòåïåíè n: f (z) = a0 +a1 z +. . .+an z n ,

f (n) (z) = n! · an

an 6= 0.

f (k) (z) ≡ 0 k > 0.

=⇒

Ïîýòîìó ðÿä (8.3.1) ïðåâðàùàåòñÿ â êîíå÷íóþ ñóììó

f (z) =

n X f (k) (p) k=0

k!

(z − p)k .

Ýòî òîæäåñòâî îòíîñèòåëüíî z è p íàçûâàþò ôîðìóëîé Òåéëîðà äëÿ ïîëèíîìà  ìû ïîëó÷èëè åùå îäíî ïðåäñòàâëåíèå ïîëèíîìà (ñì. ôîðìóëó (3.1.2)).

85

Ãëàâà 9. ÔÓÍÊÖÈÈ èç R â R 9.1. Ïðèìåðû  ýòîé ãëàâå áóäóò ðàññìîòðåíû ôóíêöèè, çàäàííûå íà R èëè íà ÷àñòè R (íàïðèìåð, íà ïðîìåæóòêå) è ïðèíèìàþùèå çíà÷åíèÿ â R. Èõ ÷àñòî íçûâàþò "âåùåñòâåííûå ôóíêöèè âåùåñòâåííîé ïåðåìåííîé". Òàêèå ôóíêöèè ïîëó÷àþòñÿ ïðåæäå âñåãî èç ðàññìîòðåííûõ íàìè ðàíåå àíàëèòè÷åñêèõ ôóíêöèé ïóòåì ñóæåíèÿ èõ íà òó ÷àñòü R, ãäå îíè ïðèíèìàþò âåùåñòâåííûå çíà÷åíèÿ. Ïðè ýòîì îêàæåòñÿ, ÷òî ëîãàðèôì, íàïðèìåð, îïðåäåëåí òîëüêî íà ïîëîæèòåëüíîé ïîëóîñè, à ñèíóñ è êîñèíóñ, "êàê â øêîëå îãðàíè÷åíû ïî ìîäóëþ åäèíèöåé. Óñòàíîâèì íåêîòîðûå ïîëåçíûå ñâîéñòâà ýêñïîíåíòû è ëîãàðèôìà íà âåùåñòâåííîé îñè. 1. exp : R → R;

x xn xn+1 exp(x) = 1 + + . . . + + + ... 1! n! (n + 1)!

(9.1.1)

Èç ôîðìóëû (9.1.1) âèäíî, ÷òî ïðè x > 0 exp(x) > x è, ñëåäîâàòåëüíî, ýêñïîíåíòà íà âåùåñòâåííîé îñè íåîãðàíè÷åííî âîçðàñòàåò. Ýòîò ôàêò çàïèñûâàþò òàê:

lim exp(x) = +∞.

x=+∞

Ïðèâåäåì òî÷íûé ñìûñë ýòîãî âûðàæåíèÿ: äëÿ ëþáîãî ïîëîæèòåëüíîãî ÷èñëà E ìîæíî óêàçàòü òàêîå ÷èñëî xE , ÷òî ïðè x > xE exp(x) > E. Îòñþäà âûòåêàåò, ÷òî

1 1 = =0 x=+∞ exp(x) +∞

lim exp(x) = lim exp(−x) = lim

x=−∞

x=+∞

(äëÿ ëþáîãî ïîëîæèòåëüíîãî ÷èñëà ε ìîæíî óêàçàòü òàêîå ÷èñëî xε , ÷òî ïðè x < xε exp(x) < ε). Äàëåå, èç (9.1.1) ñëåäóåò, ÷òî ïðè x > 0

exp(x) >

xn+1 (n + 1)!

èëè

xn (n + 1)! < . exp(x) x

Çàôèêñèðóåì â ïîñëåäíåì íåðàâåíñòâå n. Òîãäà ïîëó÷èì

xn lim = 0. x=+∞ exp(x) 86

Ýêñïîíåíòà ðàñòåò íà +∞ áûñòðåå, ÷åì ëþáàÿ ïîëîæèòåëüíàÿ ñòåïåíü åå îïåðàíäà. 2. ln : ]0, +∞[→ R. Èç âîçðàñòàíèÿ ýêñïîíåíòû íà âåùåñòâåííîé îñè (ï.7.3, ñâîéñòâî 5) ñëåäóåò

x1 > x 2

⇐⇒

exp(x1 ) > exp(x2 ).

Îáîçíà÷èâ y1 = exp(x1 ), y2 = exp(x2 ), ïîëó÷èì

y1 > y 2

⇐⇒

ln(y1 ) > ln(y2 ),

ò.å. ëîãàðèôì âîçðàñòàåò íà ïîëîæèòåëüíîé âåùåñòâåííîé ïîëóîñè. Èç lim exp(x) = +∞ ñëåäóåò, ÷òî lim ln(y) = +∞  ëîãàðèôì x=+∞ y=+∞ âîçðàñòàåò íåîãðàíè÷åííî.

ln(y) x = 0 ñëåäóåò, ÷òî lim y = 0 è, íàêîíåö, ïðè x=+∞ exp(x) y=+∞ ëþáîì α > 0 èìååì Èç lim

ln(x) 1 1 ln(xα ) ln(y) lim = = · lim · lim = 0. x=+∞ xα α x=+∞ xα α y=+∞ y Ëîãàðèôì ðàñòåò íà +∞ ìåäëåííåå, ÷åì ëþáàÿ ïîëîæèòåëüíàÿ ñòåïåíü åãî îïåðàíäà.

9.2. Îöåíèâàíèå âåùåñòâåííûõ êîðíåé âåùåñòâåííûõ ôóíêöèé Ñôîðìóëèðóåì áåç äîêàçàòåëüñòâà äâà âàæíûõ ñâîéñòâà ôóíêöèé R → R. Òåîðåìà Âåéåðøòðàññà27 . 1. Ìíîæåñòâî çíà÷åíèé íåïðåðûâíîé íà ñåãìåíòå, âåùåñòâåííîé ôóíêöèè îãðàíè÷åíî. 2. Ñðåäè çíà÷åíèé íåïðåðûâíîé íà ñåãìåíòå, âåùåñòâåííîé ôóíêöèè åñòü íàèáîëüøåå è íàèìåíüøåå (åñëè Y  ìíîæåñòâî çíà÷åíèé ýòîé ôóíêöèè, òî sup(Y ) ∈ Y, inf(Y ) ∈ Y ). 27 Êàðë

Òåîäîð Âèëüãåëüì ÂÅÉÅÐØÒÐÀÑÑ (K.T.W. Weierstraß, 1815-1897)  íåìåöêèé ìàòåìàòèê, ïðîôåññîð Áåðëèíñêîãî óíèâåðñèòåòà. Åãî ó÷åíèêàìè áûëè ìíîãèå èçâåñòíûå ìàòåìàòèêè èç ðàçíûõ ñòðàí, â òîì ÷èñëå Ñ.Â. Êîâàëåâñêàÿ. 87

Çàìå÷àíèå. Îáðàòèòå âíèìàíèå íà òî, ÷òî çäåñü ñóùåñòâåííà íå òîëüêî íåïðåðûâíîñòü ôóíêöèè, íî è åå çàäàíèå íà ñåãìåíòå. Íàïðèìåð, ôóíêöèÿ f (x) = 1/x íåïðåðûâíà íà ïîëóèíòåðâàëå ]0, 1], íî íå îãðàíè÷åíà íà íåì, õîòÿ îãðàíè÷åíà íà ëþáîì ñåãìåíòå, öåëèêîì ëåæàùåì â ]0, 1]. Ôóíêöèÿ, f (x) = x2 íåïðåðûâíà è îãðàíè÷åíà íà ]0, 1], íî ñðåäè åå çíà÷åíèé íåò íàèìåíüøåãî. Ïîïðîáóéòå ïðèäóìàòü ïðèìåð ôóíêöèè, íåïðåðûâíîé è îãðàíè÷åííîé íà [0, 1], íî íå äîñòèãàþùåé íè âåðõíåé, íè íèæíåé ãðàíè ñâîåãî ìíîæåñòâà çíà÷åíèé. Òåîðåìà Êîøè. Åñëè âåùåñòâåííàÿ ôóíêöèÿ íåïðåðûâíà íà ñåãìåíòå, è ìíîæåñòâî åå çíà÷åíèé Y ñîäåðæèò äâà ðàçëè÷íûõ ÷èñëà y1 < y2 (ò.å ýòà ôóíêöèÿ  íå êîíñòàíòà), òî Y ñîäåðæèò è âñå "ïðîìåæóòî÷íûå" ÷èñëà: [y1 , y2 ] ⊂ Y. Çàìå÷àíèÿ. 1. Ýòà òåîðåìà êàæåòñÿ ñîâåðøåííî î÷åâèäíîé: îíà óòâåðæäàåò, ÷òî íåïðåðûâíàÿ ôóíêöèÿ íå ìîæåò íè "ïåðåïðûãíóòü" ÷åðåç êàêîå-íèáóäü ÷èñëî, íè "îáîãíóòü" åãî. Íà ñàìîì æå äåëå ýòîò ôàêò  ôóíäàìåíòàëüíîå è äîâîëüíî òîíêîå ñâîéñòâî ìíîæåñòâà R. Çàìåòèì òàêæå, ÷òî íà êîìïëåêñíîé ïëîñêîñòè ìíîæåñòâî çíà÷åíèé íåïðåðûâíîé ôóíêöèè ìîæåò èìåòü "äûðû". Íàïðèìåð, ýêñïîíåíòà ïðèíèìàåò âñå çíà÷åíèÿ èç C, êðîìå íóëÿ! 2. Òåîðåìû Âåéåðøòðàññà è Êîøè ÷àñòî ôîðìóëèðóþò â âèäå îäíîãî êîðîòêîãî óòâåðæäåíèÿ: íåïðåðûâíàÿ ôóíêöèèÿ, äåéñòâóþùàÿ èç R â R, îòîáðàæàåò ñåãìåíò íà ñåãìåíò. Îòìåòèì îäíî âàæíîå ïðèëîæåíèå òåîðåìû Êîøè. Ïóñòü f íåïðåðûâíà íà ñåãìåíòå [a, b], è f (a)·f (b) < 0. Òîãäà ìíîæåñòâî çíà÷åíèé f ñîäåðæèò íóëü, ò.å. íàéäåòñÿ õîòÿ áû îäíà òàêàÿ òî÷êà c ∈]a, b[, ÷òî f (c) = 0. Ýòó òî÷êó íàçûâàþò êîðíåì óðàâíåíèÿ f (x) = 0 èëè íóëåì ôóíêöèè f . Ïîñêîëüêó óñëîâèå f (a) · f (b) < 0 ãàðàíòèðóåò (ïðè íåïðåðûâíîñòè f ), ÷òî èíòåðâàë ]a, b[ íàêðûâàåò õîòÿ áû îäèí êîðåíü óðàâíåíèÿ f (x) = 0, íàçîâåì ýòîò èíòåðâàë îöåíêîé êîðíÿ. Êà÷åñòâîì ýòîé îöåíêè åñòåñòâåííî ñ÷èòàòü äëèíó èíòåðâàëà. Ïðîöåññ ïîñòðîåíèÿ îöåíêè êîðíÿ óðàâíåíèÿ ñ çàäàííûì êà÷åñòâîì (ïðîöåññ "ðåøåíèÿ" óðàâíåíèÿ) ñîñòîèò èç äâóõ ýòàïîâ: 1) ïîèñê êàêîé-íèáóäü îöåíêè (ïîèñê èíòåðâàëà, ãàðàíòèðîâàííî íàêðûâàþùåãî êîðåíü)  ýòîò ýòàï, âîîáùå ãîâîðÿ, íåàëãîðèòìèçèðóåì; 2) óòî÷íåíèå èìåþùåéñÿ îöåíêè. 88

Ðàññìîòðèì îäèí øàã èçâåñòíîãî àëãîðèòìà óòî÷íåíèÿ îöåíêè êîðíÿ âåùåñòâåííîé íåïðåðûâíîé ôóíêöèè  àëãîðèòìà áèñåêöèè ("ïîëîâèííîãî äåëåíèÿ"). Ïóñòü f íåïðåðûâíà íà [a, b] è f (a) · f (b) < 0.

b Âîçüìåì ñåðåäèíó ñåãìåíòà  òî÷êó x = a + 2 è âû÷èñëèì f (x). Âîçìîæíû òðè ñëó÷àÿ: 1) f (x) = 0; 2) f (x) · f (a) < 0; 3) f (x) · f (b) < 0.  ñëó÷àå (1) ìû ïîëó÷èëè íå îöåíêó êîðíÿ, à åãî çíà÷åíèå.  ñëó÷àå (2) îöåíêîé êîðíÿ ñòàíîâèòñÿ èíòåðâàë ]a, x[, â ñëó÷àå (3)  èíòåðâàë ]x, b[. Òàêèì îáðàçîì, ìû ëèáî íàøëè êîðåíü, ëèáî âäâîå ñîêðàòèëè äëèíó èíòåðâàëà-îöåíêè. Ïîâòîðÿÿ áèñåêöèþ, òåîðåòè÷åñêè ìîæíî ïîëó÷èòü îöåíêó ëþáîãî íàïåðåä çàäàííîãî êà÷åñòâà. Ïðàêòè÷åñêè æå ïðåäåë óòî÷íåíèþ îöåíêè êëàäåò "ìàøèííàÿ àðèôìåòèêà" (ñì. Ïðèëîæåíèå). Ñåðüåçíîå ïðåäóïðåæäåíèå.

Ïðè

ìàøèííîì

ñ÷åòå

íàõîäèòü

b ñåðåäèíó ñåãìåíòà ïî ôîðìóëå x = a + 2 íåëüçÿ: èç-çà âû÷èñëèòåëüíûõ ïîãðåøíîñòåé òî÷êà ìîæåò îêàçàòüñÿ âíå ñåãìåíòà! Ïðàâèëüíûé a ðåçóëüòàò äàåò ôîðìóëà x = a + b − 2 . Ýòîò íåñëîæíûé ïðèìåð ïîäòâåðæäàåò íàø ñîâåò: ïîëüçîâàòåëü íå äîëæåí ïûòàòüñÿ ñàìîñòîÿòåëüíî ïèñàòü ïðîãðàììû, ðåàëèçóþùèå âû÷èñëèòåëüíûå àëãîðèòìû. Åãî óäåë  èñïîëüçîâàíèå ãîòîâûõ áèáëèîòåê.

9.3. Êóñî÷íî çàäàííûå ôóíêöèè Óæå äàâíî íàøëè øèðîêîå ïðèìåíåíèå êóñî÷íî çàäàííûå ôóíêöèè, ïðîñòåéøèì ïðèìåðîì êîòîðûõ ÿâëÿåòñÿ êóñî÷íî ïîëèíîìèàëüíàÿ ôóíêöèÿ. Çàäàåòñÿ îíà òàê. 1. Ñòðîèòñÿ ñåòêà, ò.å. óïîðÿäî÷åííûé ïî âîçðàñòàíèþ êîíå÷íûé íàáîð ïîïàðíî ðàçëè÷íûõ âåùåñòâåííûõ ÷èñåë

x0 < x 1 < . . . < x n . 2. Íà êàæäîì èíòåðâàëå Jk =]xk−1 , xk [, k = 1, . . . , n, çàäàåòñÿ ïîëèíîì fk : Jk → R. 3. Çàäàþòñÿ çíà÷åíèÿ ôóíêöèè â óçëàõ ñåòêè f (x0 ), . . . , f (xn ). 89

Ïðèìåðû. 1. sign(x) (ðèñ.9.1)28 .

 −1 åñëè x < 0; sign(x) = 0 åñëè x = 0;  1 åñëè x > 0.

Ýòà ôóíêöèÿ åñòü ïðîñòåéøàÿ ìîäåëü çàâèñèìîñòè ñèëû ñóõîãî òðåíèÿ îò ñêîðîñòè äâèæåíèÿ: åñëè ñêîðîñòü ðàâíà íóëþ  òðåíèå îòñóòñòâóåò, åñëè ñêîðîñòü îòëè÷íà îò íóëÿ, ñèëà òðåíèÿ îïðåäåëÿåòñÿ òîëüêî íàïðàâëåíèåì äâèæåíèÿ. s c

s

−3 −2 −1

s c

s s s

Ðèñ.9.1

c

s

c

1

c

c

2

3

c

c

Ðèñ.9.2

2. entier(x) (ñì. ï.5.1; íà ðèñ.9.2 ïðèâåäåí ôðàãìåíò åå ãðàôèêà). Ïðèìåðû 1 è 2  ýòî ïðèìåðû êóñî÷íî ïîñòîÿííûõ ôóíêöèé. 3. x − entier(x)  "äðîáíàÿ ÷àñòü ÷èñëà" (íà ðèñ.9.3 ïðèâåäåí ôðàãìåíò åå ãðàôèêà  íà êàæäîì èíòåðâàëå ôóíêöèÿ çàäàíà ïîëèíîìîì ïåðâîé ñòåïåíè).

y = fl (x) c ¡ s

¡ ¡

c ¡ ¡

s¡

s¡

c ¡ ¡

−3 −2 −1

c ¡ ¡

s¡

c

c

¡ ¡ ¡ ¡ s¡ s¡ s

1

2

3

c sf (a) r

a

b

y = fr (x) Ðèñ.9.3 28 sign

Ðèñ.9.4

(àíãë.)  çíàê. 90

Ðàññìîòðèì òåïåðü ïîâåäåíèå êóñî÷íî ïîëèíîìèàëüíîé ôóíêöèè â îêðåñòíîñòè óçëà ñåòêè (ðèñ.9.4). Ïóñòü ýòîò óçåë x = a, è

½ f (x) =

fl (x) ïðè x < a, fr (x) ïðè x > a,

ãäå fl è fr  ïîëèíîìû. Âîñïîëüçóåìñÿ òåì, ÷òî ïîëèíîìû fl è fr îïðåäåëåíû íà âñåé îñè, è âû÷èñëèì fl (a) è fr (a). Òàêèì îáðàçîì, â òî÷êå a îïðåäåëåíû: 1) fl (a)  âû÷èñëåííîå â òî÷êå a çíà÷åíèå ïîëèíîìà fl , çàäàþùåãî ôóíêöèþ f ëåâåå ýòîé òî÷êè, 2) f (a)  çíà÷åíèå ôóíêöèè f â òî÷êå a, 3) fr (a)  âû÷èñëåííîå â òî÷êå a çíà÷åíèå ïîëèíîìà fr , çàäàþùåãî ôóíêöèþ f ïðàâåå ýòîé òî÷êè. ×èñëî fl (a) íàçûâàþò ëåâûì ïðåäåëîì ôóíêöèè f â òî÷êå a, ÷èñëî fr (a)  ïðàâûì ïðåäåëîì ôóíêöèè f â òî÷êå a . Ïèøóò

lim f (x) = fl (a),

èëè

lim f (x) = fr (a),

èëè f (a + 0) = fr (a),

x=a− x=a+

f (a − 0) = fl (a),

èëè f (a−) = fl (a). èëè

f (a+) = fr (a).

×èñëî f (a+) − f (a−) íàçûâàåòñÿ ñêà÷êîì ôóíêöèè f â òî÷êå a. Çàìå÷àíèÿ. 1. Åñëè ñêà÷îê ôóíêöèè â òî÷êå a ðàâåí íóëþ, ò.å. ëåâûé è ïðàâûé ïðåäåëû ðàâíû ìåæäó ñîáîé, ìû áóäåì ñ÷èòàòü ýòó ôóíêöèþ â òî÷êå a íåïðåðûâíîé, ïîëàãàÿ f (a) = f (a+) = f (a−). Òåì ñàìûì ìû èñêëþ÷àåì èç ðàññìîòðåíèÿ òàê íàçûâàåìûå "óñòðàíèìûå ðàçðûâû ñ÷èòàÿ, ÷òî åñëè ðàçðûâ ìîæíî óñòðàíèòü, òî åãî ñëåäóåò óñòðàíèòü. Ýòà òî÷êà çðåíèÿ óæå ðàçúÿñíÿëàñü â ï.4.5. 2. Åñëè ñêà÷îê ôóíêöèè â òî÷êå îòëè÷åí îò íóëÿ, òî çíà÷åíèå ôóíêöèè â ýòîé òî÷êå ìîæåò ñîâïàäàòü ñ îäíèì èç åå îäíîñòîðîííèõ ïðåäåëîâ. Åñëè f (a) = f (a+), òî ãîâîðÿò, ÷òî ôóíêöèÿ f íåïðåðûâíà â òî÷êå a ñïðàâà. Åñëè æå f (a) = f (a−), òî ãîâîðÿò, ÷òî ôóíêöèÿ f íåïðåðûâíà â òî÷êå a ñëåâà. Î÷åâèäíî, ÷òî íåïðåðûâíîñòü ôóíêöèè â òî÷êå ðàâíîñèëüíà åå íåïðåðûâíîñòè â ýòîé òî÷êå ñïðàâà è ñëåâà. 3. Åñëè f îïðåäåëåíà â òî÷êå a, èìååò â ýòîé òî÷êå êîíå÷íûå îäíîñòîðîííèå ïðåäåëû, è åå ñêà÷îê â ýòîé òî÷êå îòëè÷åí îò íóëÿ, òî 91

a íàçûâàþò òî÷êîé ðàçðûâà ïåðâîãî ðîäà äëÿ ôóíêöèè f . Ôóíêöèÿ, âñå òî÷êè ðàçðûâà êîòîðîé  ïåðâîãî ðîäà, ïðè÷åì êîëè÷åñòâî èõ íà ëþáîé êîíå÷íîé ÷àñòè åå îáëàñòè îïðåäåëåíèÿ êîíå÷íî, íàçûâàåòñÿ êóñî÷íî íåïðåðûâíîé. Ïðèìåðû. 1. sign(0−) = −1, sign(0+) = +1, sign(0) = 0 (ñì. ðèñ.9.1). sign  êóñî÷íî íåïðåðûâíàÿ ôóíêöèÿ (èìååò îäíó òî÷êó ðàçðûâà ïåðâîãî ðîäà). Ñêà÷îê åå â íóëå ðàâåí sign(0+) − sign(0−) = 2. Ôóíêöèÿ sign íå ÿâëÿåòñÿ íåïðåðûâíîé â íóëå íè ñëåâà, íè ñïðàâà. 2. entier(1−) = 0, entier(1) = 1, entier(1+) = 1 (ñì. ðèñ.9.2). Ïîýòîìó ôóíêöèÿ entier íåïðåðûâíà â òî÷êå x = 1 ñïðàâà. Òî÷íî òàê æå îíà íåïðåðûâíà ñïðàâà â ëþáîé òî÷êå x ∈ Z. Ôóíêöèÿ entier òàêæå êóñî÷íî íåïðåðûâíà (õîòÿ êîëè÷åñòâî åå òî÷åê ðàçðûâà ïåðâîãî ðîäà è áåñêîíå÷íî, íî íà ëþáîé êîíå÷íîé ÷àñòè îñè îíî êîíå÷íî). Âñå ïîíÿòèÿ, ââåäåííûå âûøå äëÿ êóñî÷íî ïîëèíîìèàëüíûõ ôóíêöèé, åñòåñòâåííûì îáðàçîì ðàñïðîñòðàíÿþòñÿ íà ëþáûå êóñî÷íî àíàëèòè÷åñêèå ôóíêöèè ïðè óñëîâèè, ÷òî êàæäàÿ àíàëèòè÷åñêàÿ ôóíêöèÿ fk îïðåäåëåíà íå òîëüêî íà èíòåðâàëå Jk , íî è íà åãî êîíöàõ.

9.4. Ïîëèíîìèàëüíûå ñïëàéíû Êóñî÷íî ïîëèíîìèàëüíûå ôóíêöèè ïðèíÿòî íàçûâàòü 29 ïîëèíîìèàëüíûìè ñïëàéíàìè . Ó÷èòûâàÿ âñå âîçðàñòàþùóþ ðîëü ïîëèíîìèàëüíûõ ñïëàéíîâ â ïðèëîæåíèÿõ, ðàññìîòðèì êðàòêî èõ îñíîâíûå êîíñòðóêöèè. Ïîðÿäêîì ïîëèíîìèàëüíîãî ñïëàéíà ìû áóäåì íàçûâàòü ïîðÿäîê îáðàçóþùèõ åãî ïîëèíîìîâ, à ïîëèíîì fk , çàäàþùèé ñïëàéí íà èíòåðâàëå Jk =]xk−1 , xk [,  k -é ïîðöèåé ñïëàéíà. Ïðîñòåéøèé ïîëèíîìèàëüíûé ñïëàéí  ñïëàéí ïåðâîãî ïîðÿäêà  êóñî÷íî ïîñòîÿííàÿ ôóíêöèÿ. Îí èìååò, âîîáùå ãîâîðÿ, ðàçðûâû ïåðâîãî ðîäà â óçëàõ ñåòêè (ñì. ðèñ.9.1 è ðèñ.9.2). Ïðèìåð ñïëàéíà âòîðîãî ïîðÿäêà, èìåþùåãî ðàçðûâû âî âñåõ óçëàõ ñåòêè, ïðèâåäåí íà ðèñ.9.3. Îäíàêî ïðè ïîñòðîåíèè ñïëàéíà âòîðîãî ïîðÿäêà óæå ìîæíî îáåñïå÷èòü åãî íåïðåðûâíîñòü. Òàêîé ñïëàéí çàäàåòñÿ òàáëèöåé åãî çíà÷åíèé â óçëàõ ñåòêè.

x x0 . . . xn f (x) y0 . . . yn 29 spline

(àíãë.)  ðåéêà (ïðèñïîñîáëåíèå, êîòîðîå ïðèìåíÿëè ÷åðòåæíèêè äëÿ ïðîâåäåíèÿ ãëàäêèõ êðèâûõ ÷åðåç çàäàííûå òî÷êè). 92

Çàïèøåì åãî k -þ ïîðöèþ â âèäå

fk (x) = ak (x − xk−1 ) + bk . Êîýôôèöèåíòû ak è bk îïðåäåëÿþòñÿ èç óñëîâèé íåïðåðûâíîñòè â óçëàõ:

fk (xk−1 ) = bk = yk−1 ;

fk (xk ) = ak (xk − xk−1 ) + bk = yk .

Îòñþäà

yk − yk−1 · (x − xk−1 ). xk − xk−1 Ãåîìåòðè÷åñêàÿ èíòåðïðåòàöèÿ íåïðåðûâíîãî âòîðîãî ¡ ¢ ¡ ñïëàéíà ¢ ïîðÿäêà  ëîìàíàÿ, ñîåäèíÿþùàÿ òî÷êè x0 , y0 , . . . , xn , yn . Íà ðèñ.9.5 èçîáðàæåí ñïëàéí âòîðîãî ïîðÿäêà, ïîñòðîåííûé ïî òàáëèöå 1. fk (x) = yk−1 +

Òàáëèöà 1

x 0 2 5 10 12 y 3 4 2 3 5 ¡ ¡

¡ ¡

s ©©QQ

©©

s © ©

¡

Q

Q

Q

Q

Q

à QQà s ÃÃ

r

0

r

2

s

s á à ÃÃà à à à ÃÃÃ

r

5

r

Ðèñ.9.5

10

r

12

Ïðîèçâîäíàÿ íåïðåðûâíîãî ñïëàéíà âòîðîãî ïîðÿäêà, âîîáùå ãîâîðÿ, íå îïðåäåëåíà â óçëàõ ñåòêè. Ñïëàéí òðåòüåãî ïîðÿäêà ìîæåò íå òîëüêî áûòü íåïðåðûâíûì, íî è îáëàäàòü íåïðåðûâíîé ïåðâîé ïðîèçâîäíîé. Çàïèøåì åãî k -þ ïîðöèþ â âèäå

fk (x) = ak (x − xk−1 )2 + bk (x − xk−1 ) + ck .

Ôèêñàöèÿ çíà÷åíèé ïîðöèè ñïëàéíà íà êîíöàõ èíòåðâàëà äàñò äâà óðàâíåíèÿ

fk (xk−1 ) = ck = yk−1 , fk (xk ) = ak (xk − xk−1 )2 + bk (xk − xk−1 ) + ck = yk . 93

(9.4.1) (9.4.2)

Òàêèõ ïàð óðàâíåíèé áóäåò n (ïî ÷èñëó ïîðöèé ñïëàéíà). Ïîòðåáîâàâ íåïðåðûâíîñòè ïåðâîé ïðîèçâîäíîé âî âíóòðåííèõ óçëàõ ñåòêè (k = 1, . . . , n − 1), ïîëó÷èì åùå n − 1 óðàâíåíèå 0 fk0 (xk ) = 2ak (xk − xk−1 ) + bk = bk+1 = fk+1 (xk ).

(9.4.3)

Äëÿ îïðåäåëåíèÿ 3n ïàðàìåòðîâ ñïëàéíà (ak , bk , ck ; k = 1, . . . , n) ìû ïîëó÷èëè 2n + (n − 1) = 3n − 1 óðàâíåíèé  ñèñòåìà íåîïðåäåëåííàÿ! Ïîäñòàâèâ (9.4.1) â (9.4.2), ïîëó÷èì

½ ak (xk − xk−1 )2 + bk (xk − xk−1 ) = yk − yk−1 . 2ak (xk − xk−1 ) + bk = bk+1 Ïåðåïèñàâ ýòó ñèñòåìó èíà÷å

  ak

b k+1

yk − yk−1 bk 2 − xk − xk−1 (xk − xk−1 ) , = 2ak (xk − xk−1 ) + bk

=

(k = 1, . . . , n − 1),

ïîëó÷èì ðåêóððåíòíûå ôîðìóëû äëÿ îïðåäåëåíèÿ (ïðè ôèêñèðîâàííûõ çíà÷åíèÿõ ñïëàéíà â óçëàõ ñåòêè) ïî çàäàííîìó ïðîèçâîëüíî b1 îñòàëüíûõ ïàðàìåòðîâ ñïëàéíà:

b 1 → a 1 → b2 → . . . . Ïðîèçâîë â âûáîðå b1 ìîæåò áûòü èñïîëüçîâàí êàê óãîäíî (êàê è âñÿêèé äðóãîé ïðîèçâîë). Íà ðèñ.9.6 èçîáðàæåíû ñïëàéíû òðåòüåãî ïîðÿäêà, ïîñòðîåííûå ïî òîé æå òàáëèöå 1 ïðè b1 = 0.3 (æèðíàÿ ëèíèÿ) è b1 = 1.2 (òîíêàÿ ëèíèÿ). 6 5 4 3 2 1 0 -1

0

2

4

6

Ðèñ. 9.6 94

8

10

12

Ðàññìîòðèì åùå íàøåäøèé íàèáîëüøåå ïðèìåíåíèå ïîëèíîìèàëüíûé ñïëàéí ÷åòâåðòîãî ïîðÿäêà ñ äâóìÿ íåïðåðûâíûìè ïðîèçâîäíûìè. Åãî k -ÿ ïîðöèÿ èìååò âèä

fk (x) = ak (x − xk−1 )3 + bk (x − xk−1 )2 + ck (x − xk−1 ) + dk . Ïîäëåæèò îïðåäåëåíèþ 4n ïàðàìåòðîâ ñïëàéíà (ak , bk , ck , dk ; k = 1, . . . n). Ôèêñèðóÿ çíà÷åíèÿ ïîðöèè ñïëàéíà íà êîíöàõ èíòåðâàëà, ïîëó÷èì äëÿ êàæäîé ïîðöèè äâà óðàâíåíèÿ

fk (xk−1 ) = dk = yk−1 ,

(9.4.4)

fk (xk ) = ak (xk − xk−1 )3 + bk (xk − xk−1 )2 + ck (xk − xk−1 ) + dk = yk . (9.4.5) Íåïðåðûâíîñòü ïåðâîé ïðîèçâîäíîé âî âíóòðåííèõ óçëàõ ñåòêè (k = 1, . . . , n − 1) äàåò n − 1 óðàâíåíèå 0 fk0 (xk ) = 3ak (xk − xk−1 )2 + bk (xk − xk−1 ) + ck = ck+1 = fk+1 (xk ). (9.4.6)

È, íàêîíåö, íåïðåðûâíîñòü âòîðîé ïðîèçâîäíîé â òåõ æå óçëàõ äàåò åùå n − 1 óðàâíåíèå 00 fk00 (xk ) = 6ak (xk − xk−1 ) + 2bk = 2bk+1 = fk+1 (xk ).

(9.4.7)

Âñåãî, òàêèì îáðàçîì, äëÿ îïðåäåëåíèÿ 4n ïàðàìåòðîâ ñïëàéíà èìååì 2n + 2(n − 1) = 4n − 2 óðàâíåíèé (2 ïàðàìåòðà çàäàþòñÿ ïðîèçâîëüíî). Ïîäñòàâèâ (9.4.4) â (9.4.5), ïîëó÷èì ïîñëå íåñëîæíûõ ïðåîáðàçîâàíèé ñèñòåìó ðåêóððåíòíûõ ñîîòíîøåíèé

    ak

ck+1    bk+1

yk − yk−1 bk ck 3 − 2 − xk − xk−1 (xk − xk−1 ) (xk − xk−1 ) 2 , (k = 1, . . . , n−1), = 3ak (xk − xk+1 ) + 2bk (xk − xk−1 ) + ck = 3ak (xk − xk+1 ) + bk

=

êîòîðàÿ ïîçâîëÿåò (ïðè ôèêñèðîâàííûõ çíà÷åíèÿõ ñïëàéíà â óçëàõ ñåòêè) ïî çàäàííûì ïðîèçâîëüíî c1 , b1 îïðåäåëèòü îñòàëüíûå ïàðàìåòðû ñïëàéíà.

c1 , b 1 → a1 → c2 , b 2 → . . . . Îòìåòèì, ÷òî ìíîæåñòâî ñïëàéíîâ ïîðÿäêà `, èìåþùèõ m íåïðåðûâíûõ ïðîèçâîäíûõ, îáðàçóåò ëèíåéíîå ïðîñòðàíñòâî. Ìîæíî ïîêàçàòü, ÷òî åãî ðàçìåðíîñòü ðàâíà n · (` − m − 1) + m + 1, ãäå n  êîëè÷åñòâî ïîðöèé ñïëàéíà. 95

Ãëàâà 10. ËÎÊÀËÜÍÎÅ ÈÑÑËÅÄÎÂÀÍÈÅ ÃËÀÄÊÈÕ ÔÓÍÊÖÈÉ R → R 10.1. Òåîðåìà Ðîëëÿ Ðàññìîòðèì íåïðåðûâíóþ ôóíêöèþ f , ïðèíèìàþùóþ íà êîíöàõ ñåãìåíòà [a, b] îäèíàêîâûå çíà÷åíèÿ. ×åòûðå ïðèìåðà òàêèõ ôóíêöèé èçîáðàæåíû íà ðèñ.10.1. s

s

r

r

s s r

a

(1)

r

r

a

r

rP PP P

(2)

b

PP P

PP¡ s

a

(3)

b

a

(4)

b ¡ ¡

r

b

Ðèñ.10.1 Âèäíî, ÷òî â ñëó÷àå (1) íà ãðàôèêå åñòü îäíà òî÷êà, â êîòîðîé êàñàòåëüíàÿ ãîðèçîíòàëüíà.  ñëó÷àå (2) òàêèõ òî÷åê óæå òðè.  ñëó÷àå (3) êàñàòåëüíàÿ ãîðèçîíòàëüíà â êàæäîé âíóòðåííåé òî÷êå ãðàôèêà. À âîò â ñëó÷àå (4) íà ãðàôèêå íåò òî÷åê ñ ãîðèçîíòàëüíîé êàñàòåëüíîé. Ýòîò ñëó÷àé îòëè÷àåòñÿ îò ïðåäûäóùèõ òåì, ÷òî êàñàòåëüíóþ ê ãðàôèêó ìîæíî ïðîâåñòè íå âî âñÿêîé åãî òî÷êå (â îòìå÷åííîé òî÷êå ôóíêöèÿ íå èìååò ïðîèçâîäíîé!). Ìîæíî ïîêàçàòü, ÷òî ñïðàâåäëèâà Òåîðåìà Ðîëëÿ30 . Ïóñòü ôóíêöèÿ f : [a, b] → R: 1) íåïðåðûâíà, 2) èìååò ïðîèçâîäíóþ â êàæäîé òî÷êå èíòåðâàëà ]a, b[, 3) f (a) = f (b). Òîãäà íà ]a, b[ íàéäåòñÿ õîòÿ áû îäíà òî÷êà, â êîòîðîé ïðîèçâîäíàÿ ôóíêöèè f ðàâíà íóëþ. 30 Ìèøåëü

ÐÎËËÜ (M. Rolle, 1652-1719)  ôðàíöóçñêèé ìàòåìàòèê, ÷ëåí Ïàðèæñêîé ÀÍ. 96

10.2. Ôîðìóëà Òåéëîðà Ïóñòü f  àíàëèòè÷åñêàÿ â r-îêðåñòíîñòè òî÷êè a ∈ R ôóíêöèÿ:

f 0 (a) f (n) f (x) = f (a) + · (x − a) + . . . + · (x − a)n + . . . 1! n!

¡

¢ |x − a| < r .

Ïðè ïðàêòè÷åñêèõ âû÷èñëåíèÿõ ðàáîòàþò íå ñ ðÿäîì, à ñ åãî ÷àñòíîé ñóììîé, îáðûâàÿ ñóììèðîâàíèå íà íåêîòîðîì ñëàãàåìîì è îöåíèâàÿ âîçíèêàþùóþ ïðè ýòîì ïîãðåøíîñòü. Ðàññìîòðèì îäèí èç íàèáîëåå óïîòðåáèòåëüíûõ ñïîñîáîâ îöåíêè ïîãðåøíîñòè, âîçíèêàþùåé ïðè çàìåíå âåùåñòâåííîé ôóíêöèè ÷àñòíîé ñóììîé åå ðÿäà Òåéëîðà. Ïóñòü ñïåðâà ÷àñòíàÿ "ñóììà" ñîñòîèò èç îäíîãî ñëàãàåìîãî:

f (x) ∼ f (a) (∼ îáîçíà÷àåò "çàìåíÿåòñÿ íà"). Çàôèêñèðóåì òî÷êó x ∈]a, a + r[ è ââåäåì ÷èñëî A ïî ôîðìóëå

f (x) − f (a) A= x−a

³

´ f (x) = f (a) + A · (x − a) .

Ðàññìîòðèì ôóíêöèþ ψ : [a, x] → R :

ψ(t) = f (x) − f (t) − A · (x − t). Ýòà ôóíêöèÿ íåïðåðûâíà è äèôôåðåíöèðóåìà íà [a, x], òàê êàê íàñëåäóåò ñâîéñòâà àíàëèòè÷åñêîé ôóíêöèè f è ïîëèíîìà. Êðîìå òîãî, ψ(a) = ψ(x) = 0. Ñëåäîâàòåëüíî, ïî òåîðåìå Ðîëëÿ íà ]a, x[ íàéäåòñÿ òàêàÿ òî÷êà ξ , ÷òî ψ 0 (ξ) = 0, èëè −f 0 (ξ) + A = 0, ò.å. A = f 0 (ξ). Òîò æå ðåçóëüòàò ïîëó÷èòñÿ, åñëè x ∈]a − r, a[. Èòàê, äëÿ êàæäîãî x ∈]a − r, a + r[ íàéäåòñÿ òàêàÿ òî÷êà ξ , ÷òî

f (x) − f (a) = f 0 (ξ), x−a èëè

f (x) = f (a) + f 0 (ξ) · (x − a).

(10.2.1)

Ýòî óòâåðæäåíèå íàçûâàåòñÿ òåîðåìîé Ëàãðàíæà31 , à ôîðìóëà (10.2.1)  ôîðìóëîé Ëàãðàíæà èëè ôîðìóëîé êîíå÷íûõ ïðèðàùåíèé. 31 Æîçåô

Ëóè ËÀÃÐÀÍÆ (J.L. Lagrange, 1736-1813)  ôðàíöóçñêèé ìàòåìàòèê è ìåõàíèê, ïðåçèäåíò Áåðëèíñêîé ÀÍ, ÷ëåí ìíîãèõ àêàäåìèé ìèðà, îäèí èç ðàçðàáîò÷èêîâ ìåòðè÷åñêîé ñèñòåìû ìåð.

97

Åñëè èçâåñòíà êàêàÿ-íèáóäü îöåíêà äëÿ ïðîèçâîäíîé ôóíêöèè f â ðàññìàòðèâàåìîé îêðåñòíîñòè òî÷êè a (íàïðèìåð, |f 0 | ≤ M1 ), òî èç ôîðìóëû Ëàãðàíæà âèäíî, ÷òî ïîãðåøíîñòü îò çàìåíû f (x) íà f (a) íå ïðåâîñõîäèò M1 · |x − a|. Ôîðìóëà Ëàãðàíæà èìååò ïðîñòóþ ãåîìåòðè÷åñêóþ èíòåðïðåòàöèþ:

f (x) − f (a)  óãëîâîé êîýôôèöèåíò õîðäû, ñîåäèíÿþùåé êîíöû ãðàôèêà x−a ôóíêöèè y = f (t) íà [a, x]; f 0 (ξ)  óãëîâîé êîýôôèöèåíò êàñàòåëüíîé ê ýòîìó ãðàôèêó â òî÷êå ξ ∈]a, x[. Òàêèì îáðàçîì, ¡òåîðåìࢠËàãðàíæà óòâåðæäàåò, ÷òî íà ãðàôèêå ôóíêöèè èìååòñÿ òî÷êà ξ, f (ξ) , â êîòîðîé êàñàòåëüíàÿ ïàðàëëåëüíà õîðäå (ðèñ.10.2). s

© ©© ©© © s © © ©© ©© © © ©© ©©

©

s©©

a

ξ Ðèñ.10.2

x

Ñåðüåçíîå ïðåäóïðåæäåíèå. Ñ÷èòàåì íåîáõîäèìûì ïîä÷åðêíóòü, ÷òî â ôîðìóëå (10.2.1), òàê æå êàê è âî âñåõ ïîñëåäóþùèõ àíàëîãè÷íûõ ôîðìóëàõ, òî÷êà ξ çàâèñèò îò x. Çàìåíèì òåïåðü ôóíêöèþ f ñóììîé äâóõ ïåðâûõ ñëàãàåìûõ îïðåäåëÿþùåãî åå ðÿäà Òåéëîðà (ïîëèíîìîì âòîðîãî ïîðÿäêà):

f 0 (a) f (x) ∼ f (a) + (x − a). 1! Äëÿ îöåíèâàíèÿ ïîãðåøíîñòè, âîçíèêàþùåé ïðè òàêîé çàìåíå, çàôèêñèðóåì x ∈]a, a + r[ è ââåäåì ÷èñëî A ïî ôîðìóëå

f 0 (a) (x − a) f (x) − f (a) − 1! A= (x − a)2

³

´ f 0 (a) 2 f (x) = f (a)+ (x−a)+A·(x−a) . 1!

Ðàññìîòðèì ôóíêöèþ ψ : [a, x] → R :

f 0 (t) ψ(t) = f (x) − f (t) − (x − t) − A · (x − t)2 . 1! 98

Ýòà ôóíêöèÿ íåïðåðûâíà è äèôôåðåíöèðóåìà íà [a, x], òàê êàê íàñëåäóåò ñâîéñòâà àíàëèòè÷åñêîé ôóíêöèè f è ïîëèíîìà. Êðîìå òîãî, ψ(a) = ψ(x) = 0. Ñëåäîâàòåëüíî, ïî òåîðåìå Ðîëëÿ íà ]a, x[ íàéäåòñÿ òàêàÿ òî÷êà ξ , ÷òî ψ 0 (ξ) = 0. Âû÷èñëÿåì

f 00 (t) (x − t) + 2A · (x − t), ψ (t) = −f (t) + f (t) − 1! 0

0

0

f 00 (ξ) ψ (ξ) = − (x − ξ) + 2A · (x − ξ) = 0. 1! f 00 (ξ) Ñîêðàùàÿ íà (x − ξ) 6= 0, ïîëó÷èì A = , îòêóäà 2! 0

f 00 (ξ) f 0 (a) (x − a) + (x − a)2 . f (x) = f (a) + 1! 2! Òîò æå ðåçóëüòàò ïîëó÷èòñÿ, åñëè x ∈]a − r, a[. Ïðîäîëæåíèå î÷åâèäíî: çàìåíèì f ïåðâûìè n ñëàãàåìûìè îïðåäåëÿþùåãî åå ðÿäà Òåéëîðà:

f 0 (a) f (n−1) (a) f (x) ∼ f (a) + (x − a) + . . . + (x − a)n−1 1! (n − 1)! è îöåíèì óæå èçâåñòíûì ñïîñîáîì âîçíèêàþùóþ ïðè ýòîì ïîãðåøíîñòü. Ïîëó÷èì óòâåðæäåíèå: Äëÿ âñÿêîãî x ∈]a − r, a + r[ ìåæäó a è x íàéäåòñÿ òàêàÿ òî÷êà ξ , ÷òî

f (x) =

n−1 (k) X f (a) k=0

k!

f (n) (ξ) (x − a) + (x − a)n . n! k

Ìû ïîñòðîèëè ôîðìóëó Òåéëîðà ïîðÿäêà n, êîòîðàÿ ïðåäñòàâëÿåò ôóíêöèþ f â âèäå ñóììû äâóõ ñëàãàåìûõ: 1) ïîëèíîì Òåéëîðà (ïîðÿäêà n)

f (n−1) (a) f 0 (a) · (x − a) + . . . + (x − a)n−1 ; Tf (n, a, x) = f (a) + 1! (n − 1)! 2) îñòàòî÷íûé ÷ëåí ôîðìóëû Òåéëîðà

f (n) (ξ) (x − a)n . n! 99

Çàìå÷àíèÿ. 1. Îáðàòèòå âíèìàíèå íà òî, ÷òî îñòàòî÷íûé ÷ëåí ôîðìóëû Òåéëîðà ïîõîæ íà ñëàãàåìûå ïîëèíîìà Òåéëîðà. Îäíàêî âñå çíà÷åíèÿ ïðîèçâîäíûõ ôóíêöèè f , ñîäåðæàùèåñÿ â ïîëèíîìå Òåéëîðà, âû÷èñëåíû â èçâåñòíîé òî÷êå a. Ïðî òî÷êó æå ξ , ôèãóðèðóþùóþ â îñòàòî÷íîì ÷ëåíå, èçâåñòíî ëèøü òî, ÷òî îíà ëåæèò ìåæäó a è x. Èç ñêàçàííîãî ñëåäóåò, ÷òî çíà÷åíèå ïîëèíîìà Òåéëîðà ìîæíî âû÷èñëèòü, à çíà÷åíèå îñòàòî÷íîãî ÷ëåíà  ëèøü îöåíèòü. Îáû÷íî áûâàåò èçâåñòíà êàêàÿ-íèáóäü îöåíêà ìîäóëÿ n-é ïðîèçâîäíîé  |f (n) (x)| ≤ Mn . Òîãäà äëÿ îñòàòî÷íîãî ÷ëåíà èìååì îöåíêó

¯ ¯ ¯ f (n) (x) ¯ M ¯ n n¯ · (x − a) ¯ ≤ · |x − a|n . ¯ ¯ n! ¯ n!

2. Àíàëèç ðàññóæäåíèé, ïðèâåäøèõ ê ôîðìóëå Òåéëîðà, ïîêàçûâàåò, ÷òî òðåáîâàíèå àíàëèòè÷íîñòè ôóíêöèè f èçëèøíå. Ñïðàâåäëèâîñòü ðàâåíñòâà

f (n) (ξ) · (x − a)n n! îáåñïå÷èâàåòñÿ ñóùåñòâîâàíèåì íåïðåðûâíîé n-é ïðîèçâîäíîé ôóíêöèè f â ðàññìàòðèâàåìîé îêðåñòíîñòè òî÷êè a. f (x) = Tf (n, a, x) +

Ðàññìîòðèì ñõåìó ïðèìåíåíèÿ ôîðìóëû Òåéëîðà íà ïðèìåðå âû÷èñëåíèÿ çíà÷åíèé ýêñïîíåíòû â îêðåñòíîñòè íóëÿ.

exp(n) (ξ) n exp(x) = Texp (n, 0, x) + ·x . n! 1. Çàìåíÿåì ýêñïîíåíòó åå ïîëèíîìîì Òåéëîðà:

x xn−1 exp(x) ∼ Texp (n, 0, x) = 1 + + . . . + . 1! (n − 1)! 2. Îöåíèâàåì ïîãðåøíîñòü òàêîé çàìåíû, ò.å. ìîäóëü îñòàòî÷íîãî ÷ëåíà ôîðìóëû Òåéëîðà: (n) ¯ ¯ ¯ ¯ ¯exp(x) − Texp (n, 0, x)¯ = ¯ exp (ξ) · xn ¯ = exp(ξ) · |x|n . n! n!

Ïóñòü, íàïðèìåð, çàìåíà îñóùåñòâëÿåòñÿ íà ñåãìåíòå [0, 1]. Òîãäà 0 < ξ < 1, exp(ξ) < exp(1) = e. Ïîýòîìó n ¯ ¯ ¯exp(x) − Texp (n, 0, x)¯ < e · x < e . n! n!

100

Åñëè n = 7, òî e < 5.4 · 10−4 . Òàêèì îáðàçîì, çàìåíà

7!

x2 x3 x4 x5 x6 exp(x) ∼ 1 + x + + + + + 1.5 6 24 120 720 îáåñïå÷èâàåò ïðè 0 ≤ x ≤ 1 àáñîëþòíóþ ïîãðåøíîñòü, ìåíüøóþ, ÷åì 5.4 · 10−4 .

10.3. Ëîêàëüíûå ýêñòðåìóìû Ôîðìóëà Òåéëîðà ñëóæèò îñíîâíûì èíñòðóìåíòîì ëîêàëüíîãî èññëåäîâàíèÿ ãëàäêèõ ôóíêöèé (ò.å. ôóíêöèé, èìåþùèõ äîñòàòî÷íî ïðîèçâîäíûõ äëÿ ïîñòðîåíèÿ ôîðìóëû Òåéëîðà íóæíîãî ïîðÿäêà). Ìîæíî ñêàçàòü, ÷òî ãëàäêàÿ ôóíêöèÿ â äîñòàòî÷íî ìàëîé îêðåñòíîñòè òî÷êè "âåäåò ñåáÿ òàê æå, êàê åå ïîëèíîì Òåéëîðà". Ýòî ðàñïëûâ÷àòîå óòâåðæäåíèå êîíêðåòèçèðóåòñÿ â ï.ï. 10.3 è 10.4. Áóäåì ñ÷èòàòü â ýòèõ ïóíêòàõ, ÷òî ôóíêöèÿ f çàäàíà íà íåêîòîðîì ñåãìåíòå, è òî÷êà a íå ÿâëÿåòñÿ êîíöîì ýòîãî ñåãìåíòà. Îïðåäåëåíèå. Òî÷êà a íàçûâàåòñÿ òî÷êîé ëîêàëüíîãî ìàêñèìóìà (ìèíèìóìà) ôóíêöèè f , åñëè ó ýòîé òî÷êè ñóùåñòâóåò îêðåñòíîñòü, äëÿ âñåõ ¡ x èç êîòîðîé ¢ (êðîìå x = a) âûïîëíÿåòñÿ íåðàâåíñòâî f (x) < f (a) f (x) > f (a) . Òî÷êè ëîêàëüíîãî ìàêñèìóìà è òî÷êè ëîêàëüíîãî ìèíèìóìà ôóíêöèè íàçûâàþò òî÷êàìè åå ëîêàëüíîãî ýêñòðåìóìà. Òåîðåìà Ôåðìà32 . Íåïðåðûâíî äèôôåðåíöèðóåìàÿ ôóíêöèÿ íå èìååò ýêñòðåìóìà â òî÷êàõ, ãäå åå ïðîèçâîäíàÿ îòëè÷íà îò íóëÿ. Äîêàçàòåëüñòâî. Çàïèøåì â òî÷êå a ôîðìóëó Òåéëîðà âòîðîãî ïîðÿäêà

f 0 (a) f 00 (ξ) f (x) = f (a) + (x − a) + (x − a)2 . 1! 2! 0 Ïóñòü f (a) 6= 0. Âûáåðåì íàñòîëüêî ìàëóþ îêðåñòíîñòü òî÷êè a, ÷òîáû â íåé çíàê ïðèðàùåíèÿ ôóíêöèè f (x) − f (a) =

f 00 (ξ) f 0 (a) (x − a) + (x − a)2 1! 2!

32 Ïüåð

ÔÅÐÌÀ (P. Fermat, 1601-1665)  ôðàíöóçñêèé þðèñò è ìàòåìàòèê, îäèí èç îñíîâàòåëåé àíàëèòè÷åñêîé ãåîìåòðèè, àâòîð îñíîâíîãî ïðèíöèïà ãåîìåòðè÷åñêîé îïòèêè. Îäíà èç ñôîðìóëèðîâàííûõ èì òåîðåì  òàê íàçûâàåìàÿ "âåëèêàÿ òåîðåìà Ôåðìà"  áûëà äîêàçàíà òîëüêî â 1995 ãîäó. 101

îïðåäåëÿëñÿ ïåðâûì ñëàãàåìûì ýòîãî ïðèðàùåíèÿ:

µ

¶ f 0 (a) sign (f (x) − f (a)) = sign (x − a) . 1!

Ýòî óñëîâèå çàâåäîìî áóäåò âûïîëíÿòüñÿ, åñëè

¯ 0 ¯ ¯ f (a) ¯ M2 ¯ ¯> (x − a) (x − a)2 , ¯ 1! ¯ 2!

ãäå M2  íàèáîëüøåå çíà÷åíèå ìîäóëÿ âòîðîé ïðîèçâîäíîé ôóíêöèè f íà ðàññìàòðèâàåìîì ñåãìåíòå. Ïîñëåäíåå íåðàâåíñòâî âûïîëíÿåòñÿ ïðè âñåõ x 6= a, åñëè M2 = 0, è

2|f 0 (a)|

ïðè |x − a| < M2 , åñëè M2 > 0. Åñëè çíàê ïðèðàùåíèÿ ôóíêöèè ñîâïàäàåò ñî çíàêîì ïðîèçâåäåíèÿ

f 0 (a) (x−a), òî î÷åâèäíî, ÷òî ïðèðàùåíèå ôóíêöèè ìåíÿåò çíàê â ëþáîé 1! îêðåñòíîñòè òî÷êè a è, ñëåäîâàòåëüíî, â ýòîé òî÷êå íåò ýêñòðåìóìà. ¥ Çàìå÷àíèå. Ìû äîêàçàëè òåîðåìó, ïðåäïîëàãàÿ ñóùåñòâîâàíèå ó ôóíêöèè âòîðîé ïðîèçâîäíîé. Íà ñàìîì äåëå òåîðåìà ñïðàâåäëèâà ïðè íàëè÷èè ó ôóíêöèè ëèøü íåïðåðûâíîé ïåðâîé ïðîèçâîäíîé. Îïðåäåëåíèå. Òî÷êè, â êîòîðûõ ïðîèçâîäíàÿ ôóíêöèè ðàâíà íóëþ, íàçûâàþòñÿ ñòàöèîíàðíûìè òî÷êàìè ýòîé ôóíêöèè. Ïóñòü òåïåðü a  ñòàöèîíàðíàÿ òî÷êà ôóíêöèè f . Ïðåäïîëîæèì, ÷òî f (a) 6= 0, è èññëåäóåì ïîâåäåíèå ôóíêöèè â ìàëîé îêðåñòíîñòè òî÷êè a. Çàïèøåì ôîðìóëó Òåéëîðà òðåòüåãî ïîðÿäêà 00

f 00 (a) f 000 (ξ) (x − a)2 + (x − a)3 2! 3! (íàïîìíèì, ÷òî f 0 (a) = 0) è íàéäåì òàêóþ îêðåñòíîñòü òî÷êè a, ãäå âûïîëíÿåòñÿ íåðàâåíñòâî ¯ 00 ¯ ¯ f (a) ¯ M3 2 ¯ ¯> (x − a) |x − a|3 . ¯ 2! ¯ 3! f (x) = f (a) +

(Çäåñü M3  íàèáîëüøåå çíà÷åíèå ìîäóëÿ òðåòüåé ïðîèçâîäíîé ôóíêöèè íà íàøåì ñåãìåíòå).

3|f 00 (a)| Ðåøåíèå íåðàâåíñòâà äàåò |x − a| < M3 .  ýòîé îêðåñòíîñòè òî÷êè a µ 00 ¶ ¡ ¢ f (a) sign f (x) − f (a) = sign (x − a)2 = sign (f 00 (a)) . 2! 102

Î÷åâèäíî, ÷òî ïðè f 00 (a) < 0 f èìååò â òî÷êå a ëîêàëüíûé ìàêñèìóì, à ïðè f 00 (a) > 0  ëîêàëüíûé ìèíèìóì. Åñëè a  ñòàöèîíàðíàÿ òî÷êà è f 00 (a) = 0, òî ïîâåäåíèå ãëàäêîé ôóíêöèè f â îêðåñòíîñòè òî÷êè x = a îïðåäåëÿåòñÿ ïîâåäåíèåì ïîëèíîìà Òåéëîðà áîëåå âûñîêîãî ïîðÿäêà. Ðàññìàòðèâàòü ýòîò ñëó÷àé ìû íå áóäåì.

10.4. Íàïðàâëåíèå âûïóêëîñòè ãðàôèêà ãëàäêîé ôóíêöèè Ðàññìîòðèì ãðàôèê ôóíêöèè sin : [−π, π] → R (ðèñ.10.3):

-π

π Ðèñ. 10.3

 êàêîé áû òî÷êå èíòåðâàëà ] − π, 0[ íè ïðîâåñòè êàñàòåëüíóþ ê ãðàôèêó, â íåêîòîðîé îêðåñòíîñòè ýòîé òî÷êè ãðàôèê îêàæåòñÿ íàä ýòîé êàñàòåëüíîé.  êàêîé áû òî÷êå èíòåðâàëà ]0, π[ íè ïðîâåñòè êàñàòåëüíóþ ê ãðàôèêó, â íåêîòîðîé îêðåñòíîñòè ýòîé òî÷êè ãðàôèê îêàæåòñÿ ïîä ýòîé êàñàòåëüíîé. Îïðåäåëåíèå. Ãîâîðÿò, ÷òî íà èíòåðâàëå ãðàôèê ôóíêöèè íàïðàâëåí âûïóêëîñòüþ ââåðõ (âíèç), åñëè îí ëåæèò ïîä (íàä) êàñàòåëüíîé, ïðîâåäåííîé ê íåìó â ëþáîé òî÷êå ýòîãî èíòåðâàëà. Ôóíêöèÿ f â ýòîì ñëó÷àå íàçûâàåòñÿ âûïóêëîé ââåðõ (âíèç) íà èíòåðâàëå. Òåîðåìà. Íà èíòåðâàëå, ãäå f 00 < 0 (f 00 > 0), ôóíêöèÿ f âûïóêëà ââåðõ (ñîîòâåòñòâåííî, âíèç). Äîêàçàòåëüñòâî. Óðàâíåíèå êàñàòåëüíîé, ïðîâåäåííîé ê ãðàôèêó ôóíêöèè y = f (x) â òî÷êå (a, f (a)), èìååò âèä

Y = f (a) + f 0 (a) · (x − a). Íàéäåì ðàçíîñòü îðäèíàò ãðàôèêà è ýòîé êàñàòåëüíîé â îêðåñòíîñòè òî÷êè êàñàíèÿ

y − Y = f (x) − f (a) − f 0 (a) · (x − a). 103

Èç ôîðìóëû Òåéëîðà ñëåäóåò, ÷òî ìåæäó òî÷êàìè a è x íàéäåòñÿ òàêàÿ òî÷êà ξ , ÷òî

(x − a)2 y − Y = f (ξ) . 2! Ïîýòîìó ïðè f 00 < 0 y − Y < 0, ò.å ãðàôèê ôóíêöèè ëåæèò ïîä êàñàòåëüíîé, à ïðè f 00 > 0 y − Y > 0  ãðàôèê ôóíêöèè ëåæèò íàä êàñàòåëüíîé. ¥ 00

Îïðåäåëåíèå. Òî÷êà, ðàçäåëÿþùàÿ èíòåðâàë, ãäå ôóíêöèÿ âûïóêëà ââåðõ, è èíòåðâàë, ãäå ôóíêöèÿ âûïóêëà âíèç, íàçûâàåòñÿ òî÷êîé ïåðåãèáà (òî÷êà 0 íà ðèñ.10.3). Î÷åâèäíî, ÷òî â òî÷êàõ ïåðåãèáà âòîðàÿ ïðîèçâîäíàÿ ôóíêöèè ëèáî ðàâíà íóëþ, ëèáî íå ñóùåñòâóåò. Îáðàòíîå óòâåðæäåíèå, âîîáùå ãîâîðÿ, íå âåðíî. Íàïðèìåð, åñëè f (x) = x4 , òî f 00 (0) = 0, îäíàêî òî÷êà 0 íå ÿâëÿåòñÿ òî÷êîé ïåðåãèáà äëÿ ôóíêöèè f (íà âñåé îñè ýòà ôóíêöèÿ âûïóêëà âíèç). Òåðìèíîëîãè÷åñêîå çàìå÷àíèå.  ìàòåìàòè÷åñêîé ëèòåðàòóðå âìåñòî "ôóíêöèÿ âûïóêëà âíèç" ÷àñòî ãîâîðÿò ïðîñòî "ôóíêöèÿ âûïóêëà à âìåñòî "ôóíêöèÿ âûïóêëà ââåðõ"  "ôóíêöèÿ âîãíóòà".

104

Ãëàâà 11. ÔÓÍÊÖÈÈ Rn → Rm 11.1. Îñíîâíûå îïðåäåëåíèÿ Ôóíêöèåé íåñêîëüêèõ âåùåñòâåííûõ ïåðåìåííûõ ïðèíÿòî íàçûâàòü îòîáðàæåíèå ÷àñòè Rn â Rm (n, m ∈ N, n > 1), ò.å.

f : X ⊂ Rn → Rm . Òàêóþ ôóíêöèþ èíà÷å íàçûâàþò âåêòîðíûì ïîëåì. Ñõåìàòè÷åñêè âåêòîðíîå ïîëå ìîæíî èçîáðàçèòü â âèäå "÷åðíîãî ÿùèêà" ñ n âõîäàìè è m âûõîäàìè (ðèñ.11.1).

¡ ¢ y1 = f1 x1 , . . . , xn ¡ ¢ ym = fm x1 , . . . , xn

¾

f

¾

¾

x1

¾

xn

Ðèñ.11.1  ÷àñòíîì ñëó÷àå (m = 1) ïîëó÷àåòñÿ ñêàëÿðíîå ïîëå (ôóíêöèîíàë)

f : X ⊂ Rn → R. Î÷åâèäíî, ÷òî âåêòîðíîå ïîëå  óïîðÿäî÷åííûé íàáîð ñêàëÿðíûõ ïîëåé, êàæäîå èç êîòîðûõ ìîæåò èçó÷àòüñÿ íåçàâèñèìî îò îñòàëüíûõ. Ïîýòîìó ìû íà÷íåì ñî ñëó÷àÿ ñêàëÿðíîãî ïîëÿ. Èòàê, ïóñòü f : X ⊂ Rn → R, è ïóñòü a = [a1 , . . . , an ]T  âíóòðåííÿÿ33 òî÷êà ìíîæåñòâà X . Çàôèêñèðóåì âñå êîîðäèíàòû òî÷êè x, êðîìå k -é, ïîëàãàÿ xj = aj (j 6= k), è ðàññìîòðèì ôóíêöèþ îäíîé "îñòàâøåéñÿ" ïåðåìåííîé xk (ñóæåíèå f íà ïðÿìóþ, ïðîõîäÿùóþ ÷åðåç òî÷êó a ïàðàëëåëüíî k -é îñè êîîðäèíàò)

¡ ¢ ψk (xk ) = f a1 , . . . , ak−1 , xk , ak+1 , . . . , an .

a ∈ X ⊂ Rn íàçûâàåòñÿ âíóòðåííåé äëÿ X , åñëè îíà îêðåñòíîñòü, ª © ¯èìååò 2 ¯ ñîñòîÿùóþ òîëüêî èç òî÷åê X . Íàïðèìåð, âî ìíîæåñòâå V = x x1 + x22 ≤ 1 ⊂ R2 òî÷êà [0, 0.5]T  âíóòðåííÿÿ, à òî÷êà [0, 1]T  íåò (ïðîâåðüòå ýòî!). Ìíîæåñòâî X ⊂ Rn , âñå òî÷êè  âíóòðåííèå, íàçûâàåòñÿ îòêðûòûì â Rn . Íàïðèìåð, ìíîæåñòâî ª © ¯ 2êîòîðîãî U = x¯ x1 + x22 < 1  îòêðûòî â R2 (ñðàâíèòå åãî ñ ìíîæåñòâîì V ). 33 Òî÷êà

105

Ïðîèçâîäíàÿ ýòîé ôóíêöèè, âû÷èñëåííàÿ ïðè xk = ak , íàçûâàåòñÿ ÷àñòíîé ïðîèçâîäíîé ôóíêöèè f â òî÷êå a ïî k -é ïåðåìåííîé.

ψk (xk ) − ψk (ak ) = xk =ak xk − ak ¡ ¢ ¡ ¢ f a1 , . . . , ak−1 , xk , ak+1 , . . . , an − f a1 , . . . , ak−1 , ak , ak+1 , . . . , an = lim xk =ak xk − ak (êîíå÷íî, åñëè ýòîò ïðåäåë ñóùåñòâóåò). Òàêèì îáðàçîì, â òî÷êå a îïðåäåëÿþòñÿ n ÷èñåë: D1 f (a), . . . , Dn f (a). Èõ çàïèñûâàþò â âèäå ñòðîêè, íàçûâàþò ýòó ìàòðèöó-ñòðîêó ïðîèçâîäíîé ôóíêöèè (ñêàëÿðíîãî ïîëÿ) f â òî÷êå a è îáîçíà÷àþò f 0 (a) èëè Df (a): £ ¤ f 0 (a) = Df (a) = D1 f (a), . . . , Dn f (a) . Dk f (a) = lim

Åñëè ïðîèçâîäíàÿ ñóùåñòâóåò âî âñåõ òî÷êàõ íåêîòîðîãî ìíîæåñòâà, òî ìû ïîëó÷àåì çàäàííóþ íà ýòîì ìíîæåñòâå ôóíêöèþ-ñòðîêó, êîòîðóþ íàçûâàþò ïðîèçâîäíîé ôóíêöèåé îò ôóíêöèè f . Ïðèìåð. Åñëè f (x) = x1 x22 x33 ,

x ∈ R3 , òî

D1 f (x) = x22 x33 ,

D2 f (x) = 2x1 x2 x33 , D3 f (x) = 3x1 x22 x23 , £ ¤ f 0 (x) = Df (x) = x22 x33 , 2x1 x2 x33 , 3x1 x22 x23 .

Åñëè òðàíñïîíèðîâàòü ïðîèçâîäíóþ ñêàëÿðíîãî ïîëÿ, òî ïîëó÷èòñÿ âåêòîð (ìàòðèöà-ñòîëáåö), êîòîðûé íàçûâàåòñÿ ãðàäèåíòîì ñêàëÿðíîãî ïîëÿ. Ïèøóò

¡ ¢T £ ¤T grad(f ) = ∇f = f 0 = D1 f, . . . , Dn f .

Ââåäåíèå äâóõ îáúåêòîâ  ïðîèçâîäíîé è ãðàäèåíòà  îïðàâäàíî òåì, ÷òî â îäíèõ ñëó÷àÿõ óäîáíî ðàáîòàòü ñî ñòðîêîé, à â äðóãèõ  ñî ñòîëáöîì. Îïðåäåëåíèå. Ïðîèçâîäíîé (ìàòðèöåé ßêîáè34 ) âåêòîðíîãî ïîëÿ f : Rn → Rm íàçûâàåòñÿ (m×n)-ìàòðèöà, ñòðîêè êîòîðîé  ïðîèçâîäíûå êîìïîíåíò ýòîãî ïîëÿ (ñêàëÿðíûõ ïîëåé). Òàêèì îáðàçîì, åñëè f = £ ¤T f1 , . . . , fm , òî



   f10 D1 f1 D2 f1 . . . Dn f1 f 0 = Df =  ...  = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0 D1 fm D2 fm . . . Dn fm fm


Ãóñòàâ ßêîá ßÊÎÁÈ (K.G.J. Jacobi, 1804-1851)  íåìåöêèé ìàòåìàòèê, ÷ëåí Ëîíäîíñêîãî Êîðîëåâñêîãî îáùåñòâà è ìíîãèõ àêàäåìèé Åâðîïû. 34 Êàðë

106

Åñëè ìàòðèöà ßêîáè êâàäðàòíàÿ, òî åå îïðåäåëèòåëü íàçûâàåòñÿ ÿêîáèàíîì âåêòîðíîãî ïîëÿ.

Âàæíîå ñîãëàøåíèå Ìû áóäåì ðàññìàòðèâàòü â äèôôåðåíöèàëüíîì èñ÷èñëåíèè òîëüêî ãëàäêèå ôóíêöèè íåñêîëüêèõ ïåðåìåííûõ, ò.å. áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî ÷àñòíûå ïðîèçâîäíûå ñóùåñòâóþò è íåïðåðûâíû âñþäó â îáëàñòè îïðåäåëåíèÿ ôóíêöèè. Ïðèìåðû. 1. Ïóñòü A  ïîñòîÿííàÿ (m × n)-ìàòðèöà; f : Rn → Rm , f (x) = Ax. Ïîêàæèòå, ÷òî f 0 (x) = A.  ÷àñòíîñòè, åñëè m = 1,­ òî ®ëèíåéíûé ôóíêöèîíàë f : Rn → R ìîæíî çàïèñàòü â âèäå f (x) = x, a = aT x, ãäå a ∈ Rn . Ñîîòâåòñòâåííî, f 0 (x) = aT , ∇f (x) = a. 2. Ïóñòü f : [0, +∞[×[0, 2π[→ R2 ,

x1 = f1 (ρ, ϕ) = ρ · cos(ϕ);

x2 = f2 (ρ, ϕ) = ρ · sin(ϕ).

Êàê èçâåñòíî (ï.2.3), ýòî îòîáðàæåíèå çàäàåò ïåðåõîä îò ïîëÿðíûõ êîîðäèíàò òî÷êè íà ïëîñêîñòè ê åå äåêàðòîâûì êîîðäèíàòàì. Âû÷èñëèì ìàòðèöó ßêîáè è åå îïðåäåëèòåëü (ÿêîáèàí).

D1 f1 (ρ, ϕ) = cos(ϕ),

D2 f1 (ρ, ϕ) = −ρ · sin(ϕ),

D1 f2 (ρ, ϕ) = sin(ϕ), D2 f2 (ρ, ϕ) = ρ · cos(ϕ); · ¸ cos(ϕ) −ρ · sin(ϕ) 0 f (ρ, ϕ) = ; det (f 0 (ρ, ϕ)) = ρ. sin(ϕ) ρ · cos(ϕ)

11.2. Êðèâàÿ è ïóòü Ðàññìîòðèì äâå ñîäåðæàòåëüíûå ââåäåííûõ â ïðåäûäóùåì ïóíêòå.

èíòåðïðåòàöèè

ïîíÿòèé,

ÊÐÈÂÀß. Èíòóèòèâíîå ïðåäñòàâëåíèå î "êðèâîé" (èëè "ëèíèè") ìîæíî ïîëó÷èòü òàê: âîçüìåì ðåçèíîâóþ íèòü, çàêðåïèì îäèí åå êîíåö â òî÷êå A, äðóãîé  â òî÷êå B , è ðàñòÿãèâàÿ íèòü, ñäåëàåì èç íåå íóæíóþ íàì "êðèâóþ".  ñîîòâåòñòâèè ñ ýòèì ïðåäñòàâëåíèåì åñòåñòâåííî íàçâàòü êðèâîé îáðàç ñåãìåíòà [a, b] ïðè íåïðåðûâíîì îòîáðàæåíèè

r : [a, b] → R3 :

x1 = r1 (t), x2 = r2 (t). x3 = r3 (t). 107

(11.2.1)

Îäíàêî âðÿä ëè êòî-íèáóäü ñîãëàñèòñÿ ñ÷èòàòü "ëèíèåé" êâàäðàò, à ìåæäó òåì ñóùåñòâóåò íåïðåðûâíîå îòîáðàæåíèå ñåãìåíòà [0, 1] íà êâàäðàò [0, 1] × [0, 1] (òàê íàçûâàåìàÿ êðèâàÿ Ïåàíî35 ). Èìåÿ â âèäó öåëè íàøåãî êóðñà, ìû îãðàíè÷èìñÿ ðàññìîòðåíèåì ãëàäêèõ êðèâûõ, èñêëþ÷àþùèõ ïîäîáíûå ïàòîëîãèè. Îïðåäåëåíèå. Ïóñòü îòîáðàæåíèå r : [a, b] → R3 íåïðåðûâíî äèôôåðåíöèðóåìî è îáëàäàåò ñëåäóþùèìè ñâîéñòâàìè: 1. r0 (t) 6= θ (ïðîèçâîäíàÿ îòîáðàæåíèÿ r íèãäå íå îáðàùàåòñÿ â íóëü); 2. r(t1 ) = r(t2 ) =⇒ t1 = t2 (íåò ñàìîïåðåñå÷åíèé). Òîãäà ìíîæåñòâî çíà÷åíèé ýòîãî îòîáðàæåíèÿ ` = r([a, b]) íàçûâàåòñÿ ãëàäêîé êðèâîé (ñì. ðèñ.11.2).

R3

x3

6

B ¡

¡

r

µ ¡ ¡

x2 T

¡ ¡

r

A

r

r

-

x1

r

a

r

t

b

-

Ðèñ.11.2 Ïðèìåð. Êðèâàÿ, çàäàííàÿ îòîáðàæåíèåì

r(t) = a + (b − a) · t,

a, b ∈ R3 , (a 6= b),

t ∈ [0, 1]

 ýòî îòðåçîê ïðÿìîé, ñîåäèíÿþùåé òî÷êè a è b (ðèñ.11.3).

− → r * b©© ¡

©© ¡ © ¡ © ¡ ©© © ¡ ©© r ¡ » : » © »» ©© − → »»» » © a » » © » » r©

R3

r

0

r

1

-

Ðèñ.11.3 35 Äæóçåïïå

ÏÅÀÍÎ (G. Peano, 1858-1932)  èòàëüÿíñêèé ìàòåìàòèê, ÷ëåí Òóðèíñêîé ÀÍ. 108

Çàìå÷àíèÿ. 1. Òî÷êà A = r(a) íàçûâàåòñÿ íà÷àëîì êðèâîé, òî÷êà B = r(b)  åå êîíöîì. 2. Óñëîâèå âçàèìíîé îäíîçíà÷íîñòè îòîáðàæåíèÿ (óñëîâèå 2 èç îïðåäåëåíèÿ) ìîæåò íàðóøàòüñÿ íà êîíöàõ ñåãìåíòà [a, b].  ýòîì ñëó÷àå A = r(a) = r(b) = B , è òàêàÿ ãëàäêàÿ êðèâàÿ íàçûâàåòñÿ çàìêíóòîé. 3. Ìîæíî ðàññìàòðèâàòü îòîáðàæåíèå ñåãìåíòà íå â R3 , à â R2 (óäîâëåòâîðÿþùåå ïåðå÷èñëåííûì â îïðåäåëåíèè óñëîâèÿì). Ìíîæåñòâî çíà÷åíèé òàêîãî îòîáðàæåíèÿ íàçûâàåòñÿ ïëîñêîé ãëàäêîé êðèâîé. 4. Óðàâíåíèÿ (11.2.1) íàçûâàþòñÿ ïàðàìåòðè÷åñêèìè óðàâíåíèÿìè êðèâîé, à ïåðåìåííàÿ t  ïàðàìåòðîì. Îïðåäåëåíèå. Åñëè ãëàäêàÿ êðèâàÿ çàäàíà îòîáðàæåíèåì r : [a, b] → R , è t0 ∈ [a, b], òî íåíóëåâîé âåêòîð r0 (t0 ) íàçûâàåòñÿ êàñàòåëüíûì âåêòîðîì ê ýòîé êðèâîé â åå òî÷êå x(0) = r(t0 ). 3

Ïðèìåð. Ðàññìîòðèì ãðàôèê íåïðåðûâíî äèôôåðåíöèðóåìîé ôóíêöèè f : [a, b] → R. Ýòî ìíîæåñòâî â R2  îáðàç ñåãìåíòà [a, b] ïðè îòîáðàæåíèè

· ¸ · ¸ t x1 = r(t) = , x= f (t) x2

·

¸ 1 ïðè÷åì r0 (t) = 0 6= θ. f (t)

Ïîýòîìó òàêîé ãðàôèê  ãëàäêàÿ ïëîñêàÿ êðèâàÿ. £ ¤T Êàê èçâåñòíî, êàñàòåëüíàÿ ê ãðàôèêó â òî÷êå x(0) = t0 , f (t0 ) çàäàåòñÿ óðàâíåíèåì

x2 − f (t0 ) f 0 (t0 ) x2 − f (t0 ) = f (t0 ) · (x1 − t0 ) èëè = . x1 − t0 1 £ ¤T £ ¤T Ïîýòîìó âåêòîðû x−x(0) = x1 −t0 , x2 −f (t0 ) è r0 (t0 ) = 1, f 0 (t0 ) ëèíåéíî çàâèñèìû, ò.å. êàñàòåëüíàÿ ê êðèâîé â òî÷êå x(0) = r(t0 ) −−−→ ïàðàëëåëüíà íàïðàâëåííîìó îòðåçêó r0 (t0 ) (ðèñ.11.4). Ìîæíî ïîêàçàòü, ÷òî ýòîò ôàêò èìååò ìåñòî è â îáùåì ñëó÷àå. 0

x2 6 (0) © © xs©

©©

©

© * ©© © ©

−− −→ r0 (t0 )

©

-

Ðèñ.11.4 109

x1

Çàìå÷àíèÿ. 1. Óñëîâèå r0 (t) 6= θ, t ∈ [a, b] îáåñïå÷èâàåò ñóùåñòâîâàíèå êàñàòåëüíîé ê êðèâîé âî âñåõ åå òî÷êàõ è, òàêèì îáðàçîì, îïðàâäûâàåò íàçâàíèå "ãëàäêàÿ êðèâàÿ". Ïðè íàðóøåíèè ýòîãî óñëîâèÿ ó êðèâîé ìîæåò íå áûòü êàñàòåëüíîé äàæå ïðè íåïðåðûâíî äèôôåðåíöèðóåìîì îòîáðàæåíèè r. Ïðîâåðüòå, ÷òî êðèâàÿ íà ðèñ.11.5 åñòü îáðàç £ ¤T îòîáðàæåíèÿ r(t) = t · |t|, t2 , t ∈ [−1, 1] (r0 (0) = θ).

@ @

¡ ¡ ¡

@

@

¡

@

¡ ¡

@

@

−1

¡

@¡

Ðèñ.11.5

1

2. Íàðÿäó ñ ãëàäêèìè êðèâûìè â ñîäåðæàòåëüíûõ çàäà÷àõ âñòðå÷àþòñÿ êóñî÷íî ãëàäêèå. Ìû áóäåì íàçûâàòü êóñî÷íî ãëàäêîé êðèâîé îáúåäèíåíèå êîíå÷íîãî ÷èñëà ãëàäêèõ êðèâûõ, êîòîðûå 1) îáðàçóþò óïîðÿäî÷åííûé íàáîð, 2) íå ïåðåñåêàþò äðóã äðóãà è 3) ñöåïëåíû ìåæäó ñîáîé òàê, ÷òî êîíåö ïðåäûäóùåãî êóñêà ÿâëÿåòñÿ íà÷àëîì ñëåäóþùåãî. Åñëè êîíåö ïîñëåäíåãî êóñêà ñîâïàäàåò ñ íà÷àëîì ïåðâîãî, òî êóñî÷íî ãëàäêàÿ êðèâàÿ íàçûâàåòñÿ çàìêíóòîé. Ïðèìåð. Ãðàíèöà êâàäðàòà [0, 1] × [0, 1]  êóñî÷íî ãëàäêàÿ (ïëîñêàÿ, çàìêíóòàÿ) êðèâàÿ, ñîñòîÿùàÿ èç ÷åòûðåõ êóñêîâ (îòðåçêîâ ïðÿìûõ). ÏÓÒÜ.  ïðèëîæåíèÿõ ê ìåõàíèêå åñòåñòâåííî ñ÷èòàòü ïàðàìåòð t âðåìåíåì, à òàêæå îòêàçàòüñÿ îò òðåáîâàíèÿ âçàèìíîé îäíîçíà÷íîñòè îòîáðàæåíèÿ t → r(t). Îïðåäåëåíèå. Ãëàäêèì ïóòåì íàçûâàåòñÿ íåïðåðûâíî 3 äèôôåðåíöèðóåìîå îòîáðàæåíèå ñåãìåíòà â R , ïðîèçâîäíàÿ êîòîðîãî íå îáðàùàåòñÿ â íóëü. Àíàëîãè÷íî îïðåäåëèì ïëîñêèé ãëàäêèé ïóòü. Ìíîæåñòâî çíà÷åíèé ãëàäêîãî ïóòè  ìíîæåñòâî òî÷åê â R3 (R2 )  íàçûâàåòñÿ íîñèòåëåì ýòîãî ïóòè. Óäîáíî ïðåäñòàâëÿòü ñåáå íîñèòåëü ïóòè êàê "ðåëüñû ïî êîòîðûì äâèæåòñÿ òî÷êà. Íàïðèìåð, òðè ðàçëè÷íûõ ïëîñêèõ ïóòè

r(1) (t) = [cos(t), sin(t)]T , r(2) (t) = [cos(2t), sin(2t)]T , r(3) (t) = [cos(t), −sin(t)]T (t ∈ [0, 2π]) 110

èìåþò îäèí è òîò æå íîñèòåëü  îêðóæíîñòü åäèíè÷íîãî ðàäèóñà ñ öåíòðîì â íà÷àëå êîîðäèíàò, íî ïåðâàÿ òî÷êà ïðîõîäèò ýòó îêðóæíîñòü îäèí ðàç, à âòîðàÿ  äâàæäû (çà òî æå âðåìÿ), à òðåòüÿ  îäèí ðàç, íî â ïðîòèâîïîëîæíîì íàïðàâëåíèè. Âåêòîð r0 (t) åñòü ìãíîâåííàÿ ñêîðîñòü äâèæåíèÿ òî÷êè. Ïðîâåðüòå, ÷òî â íàøåì ïðèìåðå kr(1)0 (t)k = kr(3)0 (t)k = 1, kr(2)0 (t)k = 2. Çàìå÷àíèÿ. 1.  ìàòåìàòèêå íåâîçìîæíî "ïðîéòè îäèí è òîò æå ïóòü ñ ðàçíûìè ñêîðîñòÿìè"! Ýòî áóäóò ðàçíûå ïóòè (õîòÿ è ñ îáùèì íîñèòåëåì). 2. Êóñî÷íî ãëàäêèé ïóòü îïðåäåëÿåòñÿ àíàëîãè÷íî êóñî÷íî ãëàäêîé êðèâîé. 3. Îòîáðàæåíèå, çàäàþùåå ãëàäêóþ êðèâóþ, ÿâëÿåòñÿ, î÷åâèäíî, ãëàäêèì ïóòåì.  ýòîì ñëó÷àå âåêòîð ñêîðîñòè ñîâïàäàåò ñ êàñàòåëüíûì âåêòîðîì ê êðèâîé.

11.3. Ïîâåðõíîñòü Ïðèäàòü òî÷íûé ñìûñë îáùåìó ïîíÿòèþ "ïîâåðõíîñòü" åùå ñëîæíåå, ÷åì ïîíÿòèþ "êðèâàÿ". Ìû îãðàíè÷èìñÿ ÷àñòíûì ñëó÷àåì. Îïðåäåëåíèå. Ïóñòü Ω ⊂ R2  ÷àñòü ïëîñêîñòè, îãðàíè÷åííàÿ çàìêíóòîé êóñî÷íî ãëàäêîé êðèâîé. Ãëàäêîé ïîâåðõíîñòüþ G = r(Ω) íàçûâàåòñÿ îáðàç ìíîæåñòâà Ω â R3 ïðè îòîáðàæåíèè

r : Ω → R3 ;

x1 = r1 (u), x2 = r2 (u) x3 = r3 (u),

(11.3.1)

îáëàäàþùåì ñëåäóþùèìè ñâîéñòâàìè: ¡ ¢ 1) âçàèìíàÿ îäíîçíà÷íîñòü r(u) = r(v) =⇒ u = v ; 2) íåïðåðûâíàÿ äèôôåðåíöèðóåìîñòü; 3) ëèíåéíàÿ íåçàâèñèìîñòü ñòîëáöîâ ìàòðèöû ßêîáè Dr. Çàìå÷àíèå. Ýòè óñëîâèÿ ìîãóò íàðóøàòüñÿ íà ãðàíèöå Ω. Ïðèìåðû. 1. r : [0, 2π] × [0, H] → R3 ;

£ ¤T r(ϕ, z) = R · cos(ϕ), R · sin(ϕ), z ,

  −R · sin(ϕ) 0 Dr(ϕ, z) =  R · cos(ϕ) 0 . 0 1

Ïðîâåðüòå, ÷òî ýòî îòîáðàæåíèå çàäàåò áîêîâóþ ïîâåðõíîñòü ïðÿìîãî êðóãîâîãî öèëèíäðà âûñîòû H è ðàäèóñà R. Çàìåòüòå, ÷òî

r(2π, z) ≡ r(0, z). 111

2. r : [0, π] × [0, 2π] → R3 ;

£ ¤T r(ϑ, ϕ) = R · sin(ϑ) · cos(ϕ), R · sin(ϑ) · sin(ϕ), R · cos(ϑ) . Ïðîâåðüòå, ÷òî ýòî îòîáðàæåíèå çàäàåò ñôåðó ðàäèóñà R ñ öåíòðîì â íà÷àëå êîîðäèíàò, ïðè÷åì r(0, ϕ) ≡ [0, 0, R]T  "ñåâåðíûé ïîëþñ r(π, ϕ) ≡ [0, 0, −R]T  "þæíûé ïîëþñ r(ϑ, 0) ≡ r(ϑ, 2π)  "íóëåâîé ìåðèäèàí r(π/2, ϕ)  "ýêâàòîð". Óáåäèòåñü, ÷òî ñòîëáöû ìàòðèöû



 R · cos(ϑ) · cos(ϕ) −R · sin(ϑ) · sin(ϕ) Dr(ϑ, ϕ) = R · cos(ϑ) · sin(ϕ) R · sin(ϑ) · cos(ϕ)  −R · sin(ϑ) 0

ëèíåéíî íåçàâèñèìû âî âñåõ òî÷êàõ ñôåðû, êðîìå ïîëþñîâ.

· ¸ a1 Ïóñòü a =  âíóòðåííÿÿ òî÷êà Ω. Ðàññìîòðèì ñóæåíèÿ a2 îòîáðàæåíèÿ r íà îòðåçêè, ïðîõîäÿùèå ÷åðåç ýòó òî÷êó ïàðàëëåëüíî îñÿì Ou1 è Ou2 : ρ1 (u1 ) = r(u1 , a2 ), ρ2 (u2 ) = r(a1 , u2 ) (ðèñ.11.6). Èõ îáðàçû  êðèâûå, ïðîõîäÿùèå ÷åðåç òî÷êó A = r(a) è ëåæàùèå íà ïîâåðõíîñòè G. Ëåãêî âèäåòü, ÷òî êàñàòåëüíûå âåêòîðû ê ýòèì êðèâûì â òî÷êå A  ñòîëáöû ìàòðèöû ßêîáè îòîáðàæåíèÿ r â òî÷êå a: ρ01 (a1 ) = D1 r(a),

ρ02 (a2 ) = D2 r(a).

 ñèëó ëèíåéíîé íåçàâèñèìîñòè âåêòîðîâ D1 r(a) è D2 r(a) ñîîòâåòñòâóþùèå èì íàïðàâëåííûå îòðåçêè íåêîëëèíåàðíû è îïðåäåëÿþò åäèíñòâåííóþ ïëîñêîñòü, ïðîõîäÿùóþ ÷åðåç òî÷êó A. Åå íàçûâàþò êàñàòåëüíîé ïëîñêîñòüþ ê ïîâåðõíîñòè G â òî÷êå A.

R3 R2 '

$

Ω

G

A

u

r(u1 , a2 )

a &

r(a1 , u2 )

Ðèñ.11.6 112

u

%

Ïðèìåð. Ïóñòü G  ãðàôèê íåïðåðûâíî äèôôåðåíöèðóåìîé ôóíêöèè f : Ω → R. Òîãäà ïîâåðõíîñòü G çàäàåòñÿ îòîáðàæåíèåì

£ ¤T r(u1 , u2 ) = u1 , u2 , f (u1 , u2 ) , ïðè÷åì



 1 0 Dr(a) =  0 1 , D1 f (a) D2 f (a)

a ∈ Ω.

Î÷åâèäíî, ÷òî ñòîëáöû ìàòðèöû Dr(a) ëèíåéíî íåçàâèñèìû, è £ ¤T âåêòîð v = D1 f (a), D2 f (a), −1 îðòîãîíàëåí èì îáîèì. Ñëåäîâàòåëüíî, ñîîòâåòñòâóþùèé íàïðàâëåííûé îòðåçîê ïåðïåíäèêóëÿðåí êàñàòåëüíîé ïëîñêîñòè ê ïîâåðõíîñòè G â åå òî÷êå A = r(a). Èç êóðñà ëèíåéíîé ­ ® àëãåáðû èçâåñòíî, ÷òî óðàâíåíèå ýòîé ïëîñêîñòè èìååò âèä x−A, v = 0, èëè

x3 − f (a1 , a2 ) = D1 f (a1 , a2 ) · (x1 − a1 ) + D2 f (a1 , a2 ) · (x2 − a2 ). (11.3.2) Ïðèìåð. Ïóñòü f (x1 , x2 ) = x21 /4 + x22 /9 (ãðàôèê ýòîé ôóíêöèè  ýëëèïòè÷åñêèé ïàðàáîëîèä). Óáåäèòåñü, ÷òî òî÷êà (2, 3, 2) ëåæèò íà ïàðàáîëîèäå. Ïðîâåäåì â ýòîé òî÷êå êàñàòåëüíóþ ïëîñêîñòü ê ïàðàáîëîèäó (íàïèøåì óðàâíåíèå ýòîé ïëîñêîñòè). Çäåñü

·

¸ 2x1 2x2 Df (x1 , x2 ) = , , 4 9

D1 f (2, 3) = 1,

D2 f (2, 3) = 2/3.

Óðàâíåíèå êàñàòåëüíîé ïëîñêîñòè èìååò âèä

x3 − 2 = 1 · (x1 − 2) + 2/3 · (x2 − 3) èëè x1 + 2/3 · x2 − x3 = 2. Çàìå÷àíèÿ. 1. Óñëîâèå ëèíåéíîé íåçàâèñèìîñòè âåêòîðîâ D1 r è D2 r îáåñïå÷èâàåò íàëè÷èå êàñàòåëüíîé ïëîñêîñòè âî âñåõ òî÷êàõ ïîâåðõíîñòè è, òàêèì îáðàçîì, îïðàâäûâàåò íàçâàíèå "ãëàäêàÿ ïîâåðõíîñòü". 2. Ìîæíî ðàññìàòðèâàòü êóñî÷íî ãëàäêèå ïîâåðõíîñòè, ò.å. ïîâåðõíîñòè, ñîñòîÿùèå èç íåñêîëüêèõ ãëàäêèõ êóñêîâ, ñöåïëåííûõ ñâîèìè êðàÿìè. Ïðîñòåéøèé ïðèìåð êóñî÷íî ãëàäêîé ïîâåðõíîñòè  ìíîãîãðàííèê.

11.4. Êîìïîçèöèÿ ôóíêöèé è åå ïðîèçâîäíàÿ Ïóñòü çàäàíû âåêòîðíûå ïîëÿ f : Rn → Rm è g : Rm → Rk . Òîãäà íà Rn îïðåäåëåíà èõ êîìïîçèöèÿ  âåêòîðíîå ïîëå h = g ◦ f : Rn → Rk . 113

 ñîîòâåòñòâèè ñ Âàæíûì ñîãëàøåíèåì (ï.11.1) áóäåì ïðåäïîëàãàòü, ÷òî f è g íåïðåðûâíî äèôôåðåíöèðóåìû. Òîãäà èõ ïðîèçâîäíûå (ìàòðèöû ßêîáè) èìåþò ðàçìåðû k × m è m × n ñîîòâåòñòâåííî. Èçâåñòíî, ÷òî â ñëó÷àå ôóíêöèé îäíîé ïåðåìåííîé íåïðåðûâíàÿ äèôôåðåíöèðóåìîñòü ôóíêöèé f è g âëå÷åò çà ñîáîé íåïðåðûâíóþ äèôôåðåíöèðóåìîñòü èõ êîìïîçèöèè h = g ◦ f , ïðè÷åì (ï.8.2)

h0 (x) = (g ◦ f )0 (x) = g 0 (f (x)) · f 0 (x). Ìîæíî ïîêàçàòü, ÷òî â ìíîãîìåðíîì ñëó÷àå èìååò ìåñòî àíàëîãè÷íàÿ Òåîðåìà. Åñëè ôóíêöèè f è g èìåþò íåïðåðûâíûå ïðîèçâîäíûå, òî èõ êîìïîçèöèÿ h = g ◦ f òàêæå íåïðåðûâíî äèôôåðåíöèðóåìà, ïðè÷åì

h0 = (g ◦ f )0 = (g 0 ◦ f ) · f 0 .

(11.4.1)

Ïðîâåðüòå ñîãëàñîâàííîñòü ðàçìåðîâ ïåðåìíîæàåìûõ ìàòðèö ßêîáè! Ïðèìåðû. 1. Ïóñòü äàíû ÷èñëîâûå ìàòðèöû A (ðàçìåðà m × n) è B (ðàçìåðà k × m); f (x) = Ax, g(y) = By . Òîãäà

h(x) = (g ◦ f )(x) = B(Ax) = (BA)x (BA  ìàòðèöà ðàçìåðà k × n). Èç ïðèìåðà 1 (ï.11.1) ñëåäóåò, ÷òî

f 0 (x) = A,

g 0 (y) = B,

h0 (x) = BA.

2. Ïóñòü ãëàäêàÿ êðèâàÿ ` çàäàíà îòîáðàæåíèåì r : [a, b] → R3 , à íåïðåðûâíî äèôôåðåíöèðóåìàÿ ôóíêöèÿ f âçàèìíî îäíîçíà÷íî îòîáðàæàåò [α, β] íà [a, b], ïðè÷åì f 0 íå îáðàùàåòñÿ â íóëü. Òîãäà êîìïîçèöèÿ ρ = r ◦ f çàäàåò òó æå êðèâóþ `. Ïðè ýòîì ïî ôîðìóëå (11.4.1)

ρ0 (t) = r0 (f (t)) · f 0 (t),

t ∈ [α, β],

îòêóäà âèäíî, ÷òî êàñàòåëüíûå âåêòîðû ρ0 (t) è r0 (f (t)) ðàçëè÷íû, íî ëèíåéíî çàâèñèìû. Ïîýòîìó ñîîòâåòñòâóþùèå èì íàïðàâëåííûå îòðåçêè êîëëèíåàðíû, è, ñëåäîâàòåëüíî, çàäàþò îäíó è òó æå êàñàòåëüíóþ ê êðèâîé. Ìàòðè÷íîå ñîîòíîøåíèå êîîðäèíàòíîé ôîðìå:

(11.4.1)

ìîæåò

áûòü

 Dj f1 (x) £ ¤ .. , Dj (g◦f )i (x) = D1 gi (f (x)) , . . . , Dm gi (f (x)) · . Dj fm (x)

çàïèñàíî

â



114

i = 1, . . . , k; j = 1, . . . , n.

Îïåðèðîâàòü ìàòðè÷íûì ñîîòíîøåíèåì (11.4.1) ãîðàçäî ïðîùå, îäíàêî ïðè "ðó÷íîì" ñ÷åòå ìîæåò âîçíèêíóòü ïîòðåáíîñòü è â åãî êîîðäèíàòíîé ôîðìå.

11.5. Ïîíÿòèå î êîíôîðìíîì îòîáðàæåíèè  ýòîì ïóíêòå êîîðäèíàòû òî÷êè íà ïëîñêîñòè îáîçíà÷àþòñÿ x è y , z = x + i y. Íàïîìíèì, ÷òî àíàëèòè÷åñêàÿ ôóíêöèÿ áûëà ââåäåíà íàìè â ï.7.1 êàê ñóììà ñòåïåííîãî ðÿäà. Îíà îïðåäåëåíà â êðóãå ñõîäèìîñòè ýòîãî ðÿäà è èìååò òàì ïðîèçâîäíûå âñåõ ïîðÿäêîâ.  ÷àñòíîñòè,

f (z) − f (z0 ) . z=z0 z − z0

f 0 (z0 ) = lim

(11.5.1)

Ôóíêöèÿ f ïîðîæäàåò ïàðó âåùåñòâåííûõ ôóíêöèé, çàäàííûõ âíóòðè êðóãà ñõîäèìîñòè:

F1 (x, y) = Re (f (z)) ,

F2 (x, y) = Im (f (z)) .

Èñïîëüçóÿ ýòè ôóíêöèè, ìîæíî ïåðåïèñàòü (11.5.1) â âèäå

f 0 (z0 ) = x=x lim

0

y=y0

F1 (x, y) − F1 (x0 , y0 ) + i (F2 (x, y) − F2 (x0 , y0 )) . x − x0 + i(y − y0 )

Ïðè îäíîì ïîðÿäêå âû÷èñëåíèÿ ïðåäåëîâ ïîëó÷èì

µ 0

f (z0 ) = lim

y=y0

F1 (x, y) − F1 (x0 , y0 ) + i (F2 (x, y) − F2 (x0 , y0 )) lim x=x0 x − x0 + i (y − y0 )

¶ =

F1 (x0 , y) − F1 (x0 , y0 ) + i (F2 (x0 , y) − F2 (x0 , y0 )) = y=y0 i(y − y0 )

= lim

= D2 F2 (x0 , y0 ) − i · D2 F1 (x0 , y0 ).

(11.5.2)

Èçìåíåíèå ïîðÿäêà äàñò

µ 0

f (z0 ) = lim

x=x0

F1 (x, y) − F1 (x0 , y0 ) + i (F2 (x, y) − F2 (x0 , y0 )) lim y=y0 x − x0 + i (y − y0 )

¶ =

F1 (x, y0 ) − F1 (x0 , y0 ) + i (F2 (x, y0 ) − F2 (x0 , y0 )) = x=x0 x − x0

= lim

= D1 F1 (x0 , y0 ) + i · D1 F2 (x0 , y0 ). 115

(11.5.3)

Èç (11.5.2) è (11.5.3) âûòåêàþò òîæäåñòâà, èçâåñòíûå êàê óñëîâèÿ ÊîøèÐèìàíà36 :

D1 F1 (x, y) ≡ D2 F2 (x, y) ≡ Re (f 0 (z)) , D1 F2 (x, y) ≡ −D2 F1 (x, y) ≡ Im (f 0 (z)) . £

Ìàòðèöà ßêîáè îòîáðàæåíèÿ F = F1 , F2

·

¤T

ïðèíèìàåò òåïåðü âèä

¸ Re (f 0 (z)) −Im (f 0 (z)) F (x, y) = . Im (f 0 (z)) Re (f 0 (z)) 0

Ìàòðèöà Ãðàìà äëÿ F 0 (x, y) ðàâíà

¡

¢∗ F 0 (x, y) · F 0 (x, y) = |f 0 (z)|2 · I2 ,

è, ñëåäîâàòåëüíî, åñëè f 0 (z) 6= 0, òî ìàòðèöà 01 · F 0 (x, y)  îðòîãî|f (z)| íàëüíàÿ. Ðàññìîòðèì òåïåðü ïàðó ïëîñêèõ êðèâûõ z = r(t) è z = s(τ ), ïðîõîäÿùèõ ÷åðåç òî÷êó z0 = r(t0 ) = s(τ0 ). Óãëîì ìåæäó êðèâûìè â òî÷êå èõ ïåðåñå÷åíèÿ íàçûâàþò óãîë ìåæäó íàïðàâëåííûìè îòðåçêàìè, ñîîòâåòñòâóþùèìè êàñàòåëüíûì âåêòîðàì ê êðèâûì â ýòîé òî÷êå (ðèñ.11.7a). 3 ´´

σ(τ )

ρ(t)

´

´ ´ ´α Q Q Q

Q

­J ­ βJ ­ J J ­ J ­ JJ ­ ^ À ­

QQ s

s(τ )

(b)

r(t) (a)

Ðèñ.11.7 Èç êóðñà ëèíåéíîé àëãåáðû èçâåñòíî, ÷òî

­ 0 ® r (t0 ), s0 (τ0 ) cos(α) = 0 . kr (t0 )k · ks0 (τ0 )k

36 Ãåîðã

Ôðèäðèõ Áåðíãàðä ÐÈÌÀÍ (G.F.B. Riemann, 1826-1866)  íåìåöêèé ìàòåìàòèê, îäèí èç îñíîâàòåëåé íååâêëèäîâîé ãåîìåòðèè. Àâòîð ìíîãèõ ôóíäàìåíòàëüíûõ ðåçóëüòàòîâ â ðàçëè÷íûõ ðàçäåëàõ ìàòåìàòèêè. 116

Îáðàçû íàøèõ êðèâûõ ïðè îòîáðàæåíèè F çàäàþòñÿ êîìïîçèöèÿìè ρ = F ◦ r è σ = F ◦ s ñîîòâåòñòâåííî. Èç òåîðåìû î ïðîèçâîäíîé êîìïîçèöèè èìååì

ρ0 (t0 ) = F 0 (x0 , y0 ) · r0 (t0 ),

σ 0 (τ0 ) = F 0 (x0 , y0 ) · s0 (τ0 ).

Ñëåäîâàòåëüíî, êîñèíóñ óãëà ìåæäó ýòèìè îáðàçàìè â òî÷êå ρ(t0 ) = σ(τ0 ) ðàâåí (ðèñ.11.7b) ­ ®

ρ0 (t0 ), σ 0 (τ0 ) cos(β) = 0 . kρ (t0 )k · kσ 0 (τ0 )k Íî äëÿ ëþáûõ äâóõ âåêòîðîâ a, b ∈ R2 ­ 0 ® ­ ® ∗ F (x0 , y0 ) · a, F 0 (x0 , y0 ) · b = (F 0 (x0 , y0 )) · F 0 (x0 , y0 ) · a, b = ­ ® = |f 0 (z0 )|2 · a, b ; ¡­ ®¢1/2 kF 0 (x0 , y0 ) · ak = F 0 (x0 , y0 ) · a, F 0 (x0 , y0 ) · a = |f 0 (z0 )| · kak. Ïîýòîìó, åñëè f 0 (z0 ) 6= 0, òî

­ ® |f 0 (z0 )|2 · r0 (t0 ), s0 (τ0 ) = cos(α). cos(β) = 0 |f (z0 )| · kr0 (t0 )k · |f 0 (z0 )| · ks0 (τ0 )k

Ìû ïîêàçàëè, ÷òî â òî÷êàõ, ãäå f 0 (z) 6= 0, îòîáðàæåíèå F ñîõðàíÿåò óãëû ìåæäó ãëàäêèìè êðèâûìè. Ïîýòîìó îòîáðàæåíèå, ïîðîæäàåìîå àíàëèòè÷åñêîé ôóíêöèåé, ïðîèçâîäíàÿ êîòîðîé íå îáðàùàåòñÿ â íóëü, íàçûâàåòñÿ êîíôîðìíûì. Ïðèìåð. Ïîñêîëüêó exp0 (z) = exp(z) 6= 0, ýêñïîíåíòà ïîðîæäàåò êîíôîðìíîå îòîáðàæåíèå. Ïðîâåðüòå, ÷òî îðòîãîíàëüíûå äðóã äðóãó ñåìåéñòâà ïðÿìûõ Re(z) = const è Im(z) = const ïåðåõîäÿò ïðè îòîáðàæåíèè w = exp(z) â îðòîãîíàëüíûå äðóã äðóãó ñåìåéñòâî îêðóæíîñòåé |w| = const è ñåìåéñòâî ëó÷åé arg(w) = const ñîîòâåòñòâåííî.

11.6. Ïðîèçâîäíûå âûñøèõ ïîðÿäêîâ Ñêàëÿðíîå ïîëå f : Rn → R ïîðîæäàåò n ñêàëÿðíûõ ïîëåé D1 f ,. . .,Dn f : Rn → R.  ñèëó Âàæíîãî ñîãëàøåíèÿ (ï.11.1) ìû ðàññìàòðèâàåì òîëüêî ñèòóàöèè, â êîòîðûõ âñå îíè íåïðåðûâíî äèôôåðåíöèðóåìû. Ïîýòîìó êàæäîå èç íèõ, â ñâîþ î÷åðåäü, ïîðîæäàåò n ñêàëÿðíûõ ïîëåé

D1 (D1 f ), . . . , Dn (D1 f ), ......................... D1 (Dn f ), . . . , Dn (Dn ), 117

êîòîðûå íàçûâàþò âòîðûìè ÷àñòíûìè ïðîèçâîäíûìè ôóíêöèè f . Êàæäàÿ âòîðàÿ ÷àñòíàÿ ïðîèçâîäíàÿ ïîðîæäàåò n òðåòüèõ ÷àñòíûõ ïðîèçâîäíûõ è ò.ä. Âòîðûå ÷àñòíûå ïðîèçâîäíûå ñâîäÿòñÿ â êâàäðàòíóþ ìàòðèöó ïîðÿäêà n. Îíà íàçûâàåòñÿ âòîðîé ïðîèçâîäíîé ñêàëÿðíîãî ïîëÿ f èëè åãî ìàòðèöåé Ãåññå37 :



 D1 (D1 f ) . . . Dn (D1 f ) f 00 = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . D1 (Dn f ) . . . Dn (Dn f )

Ïðèìåð. f (x1 , x2 ) = x31 x22 .

D1 f (x1 , x2 ) = 3x21 x22 , D2 f (x1 , x2 ) = 2x31 x2 , D1 (D1 f )(x1 , x2 ) = 6x1 x22 , D2 (D1 f )(x1 , x2 ) = 6x21 x2 , D1 (D2 f )(x1 , x2 ) = 6x21 x2 , D2 (D2 f )(x1 , x2 ) = 2x31 . Ìàòðèöà Ãåññå èìååò âèä

¸ 2 2 6x x 6x x 1 2 2 1 . f 00 (x1 , x2 ) = 6x21 x2 2x31 ·

Îáðàòèòå âíèìàíèå íà òî, ÷òî â íàøåì ïðèìåðå D1 D2 f = D2 D1 f . Ìîæíî ïîêàçàòü, ÷òî èç íåïðåðûâíîñòè âòîðûõ ñìåøàííûõ ÷àñòíûõ ïðîèçâîäíûõ Di Dj f è Dj Di f ñëåäóåò èõ ðàâåíñòâî è, ñëåäîâàòåëüíî, ñèììåòðè÷íîñòü ìàòðèöû Ãåññå. Çàìå÷àíèå.  îòëè÷èå îò ôóíêöèè îäíîé ïåðåìåííîé ìû íå ìîæåì íàïèñàòü f 00 = (f 0 )0 (òàê êàê f 0  ñòðîêà, à íå ñòîëáåö!). Ïðîâåðüòå, ÷òî âåðíà ôîðìóëà ¡ ¢ ¡ ¢ 0

0

f 00 = (f 0 )T = ∇f . ­ ® Ïðèìåð. Ïóñòü f (x) = Ax, x è A = AT . Ïîêàæèòå, ÷òî ∇f (x) = 2Ax,

f 00 (x) = 2A.

11.7. Ôîðìóëà Òåéëîðà âòîðîãî ïîðÿäêà Ïóñòü f : Rn → R. Ðàññìîòðèì ïðèðàùåíèå ôóíêöèè f ïðè ïåðåõîäå èç òî÷êè a ∈ Rn â òî÷êó a + h ∈ Rn :

f (a + h) − f (a). 37 Ëþäâèã

Îòòî ÃÅÑÑÅ (L.O. Hesse, 1811-1874)  íåìåöêèé ìàòåìàòèê. 118

Ïóñòü ýòîò ïåðåõîä ïðîèñõîäèò ïî "îòðåçêó ïðÿìîé" â Rn

r(t) = a + t · e,

0 ≤ t ≤ khk,

ãäå e = h/khk  åäèíè÷íûé âåêòîð, ñîíàïðàâëåííûé ñ h. Ïîñòðîèì ôóíêöèþ

φ = f ◦ r;

φ(t) = f (a + t · e).

(11.7.1)

Òîãäà f (a + h) − f (a) = φ(khk) − φ(0). Ïî ôîðìóëå Òåéëîðà âòîðîãî ïîðÿäêà äëÿ ôóíêöèè φ

khk2 , φ(khk) − φ(0) = φ (0) · khk + φ (ξ) · 2 0

00

(11.7.2)

ãäå ξ  íåêîòîðàÿ òî÷êà èç èíòåðâàëà ]0, khk[. Ïî òåîðåìå î ïðîèçâîäíîé êîìïîçèöèè

φ0 (t) = f 0 (a + t · e) · e,

φ0 (0) = f 0 (a) · e.

(11.7.3)

Äàëåå,

¢0 ¡ ¢0 ¡ φ00 (t) = f 0 (a + t · e) · e = eT · ∇f (a + t · e) = ¡ ¢0 = eT · ∇f (a + t · e) = eT · f 00 (a + t · e) · e.

(11.7.4)

Ïîäñòàâëÿÿ çíà÷åíèÿ ôóíêöèè φ è åå ïðîèçâîäíûõ â (11.7.2), ïîëó÷èì ôîðìóëó Òåéëîðà âòîðîãî ïîðÿäêà äëÿ ñêàëÿðíîãî ïîëÿ (ñðàâíèòå ñ (10.2.2))

f (a + h) = f (a) + f 0 (a) · h +

1 T 00 · h · f (a + ξ · e) · h. 2

(11.7.5)

Çàìåòüòå, ÷òî f 0 (a), hT  ñòðîêè, f 00 (a + ξ · e)  êâàäðàòíàÿ ìàòðèöà, à h  ñòîëáåö, ïîýòîìó îáà ñëàãàåìûõ â ïðàâîé ÷àñòè (11.7.5)  ÷èñëà. Ôîðìóëó (11.7.5) ìîæíî ïåðåïèñàòü èíà÷å, èñïîëüçóÿ ïîíÿòèå ãðàäèåíòà:

­ ® 1 ­ ® f (a + h) = f (a) + ∇f (a), h + · f 00 (a + ξ · e) · h, h = 2

­ ® ­ 00 ® khk2 = f (a) + ∇f (a), e · khk + f (a + ξ · e) · e, e · . (11.7.6) 2 Åñëè F : Rn → Rm  âåêòîðíîå ïîëå, òî, îáúåäèíèâ ôîðìóëû (11.7.5) äëÿ âñåõ åãî êîìïîíåíò, ïîëó÷èì ôîðìóëó Òåéëîðà 119

khk2 F (a + h) = F (a) + F (a) · h + α · , (11.7.7) 2 ãäå F 0  (m × n)-ìàòðèöà ßêîáè, α  m-ìåðíûé âåêòîð, êîìïîíåíòû êîòîðîãî âûðàæàþòñÿ ÷åðåç çíà÷åíèÿ âòîðûõ ïðîèçâîäíûõ êîìïîíåíò ïîëÿ F . Ôîðìóëà Òåéëîðà ïîçâîëÿåò äîêàçàòü òåîðåìó î ëîêàëüíûõ ýêñòðåìóìàõ ñêàëÿðíîãî ïîëÿ (ñðàâíèòå åå ñ òåîðåìîé Ôåðìà). 0

Òåîðåìà. Åñëè ∇f (a) 6= θ, òî â òî÷êå a ñêàëÿðíîå ïîëå f íå èìååò ýêñòðåìóìà. Äîêàçàòåëüñòâî. Ïîëîæèì â ôîðìóëå (11.7.6) h = t · ∇f (a) :

¡ ­ ® t¢ f (a + h) − f (a) = k∇f (a)k2 1 + f 00 (a + ξ · e) · e, e · · t. 2 Îáîçíà÷èì ­ ® M2 = sup | f 00 (a + ξ · e) · e, e |, ãäå ε = k∇f (a)k. ξ∈[−ε,ε]

³ ´ 2 Òîãäà ïðè äîñòàòî÷íî ìàëûõ çíà÷åíèÿõ |t| |t| < M2 âûðàæåíèå â ñêîáêàõ ïîëîæèòåëüíî è, ñëåäîâàòåëüíî, ¡ ¢ sign f (a + h) − f (a) = sign(t). Ïîñëåäíåå ðàâåíñòâî ãîâîðèò î òîì, ÷òî ïðèðàùåíèå ôóíêöèè ìåíÿåò çíàê â ëþáîé îêðåñòíîñòè òî÷êè a, ò.å. â ýòîé òî÷êå íåò ýêñòðåìóìà. ¥ Çàìå÷àíèÿ. 1. Òî÷êè, â êîòîðûõ ∇f = θ , íàçûâàþòñÿ ñòàöèîíàðíûìè òî÷êàìè ôóíêöèè f . 2. Ìû äîêàçàëè òåîðåìó â ïðåäïîëîæåíèè ñóùåñòâîâàíèÿ âòîðîé ïðîèçâîäíîé ó ôóíêöèè f . Îäíàêî îíà ñïðàâåäëèâà è ïðè íàëè÷èè ó f ëèøü ïåðâîé íåïðåðûâíîé ïðîèçâîäíîé.

11.8. Ôîðìóëà Òåéëîðà òðåòüåãî ïîðÿäêà. Èññëåäîâàíèå ãëàäêîãî ôóíêöèîíàëà â îêðåñòíîñòè ñòàöèîíàðíîé òî÷êè Çàïèøåì äëÿ ôóíêöèè φ (ñì. (11.7.1)) ôîðìóëó Òåéëîðà òðåòüåãî ïîðÿäêà

khk2 khk3 (3) φ(khk) − φ(0) = φ (0) · khk + φ (0) · + φ (ξ) · 2! 3! 0

00

120

è âû÷èñëèì ñ åå ïîìîùüþ ïðèðàùåíèå ñêàëÿðíîãî ïîëÿ:

f (a + h) − f (a) = φ(khk) − φ(0). Ñîãëàñíî (11.7.3) è (11.7.4) èìååì

φ0 (0) = f 0 (a)e,

φ00 (0) = eT f 00 (a)e

(íàïîìíèì, ÷òî e = h  åäèíè÷íûé âåêòîð, ñîíàïðàâëåííûé ñ h).

khk

 ñèëó Âàæíîãî ñîãëàøåíèÿ f èìååò íåïðåðûâíûå ÷àñòíûå ïðîèçâîäíûå òðåòüåãî ïîðÿäêà, ò.å. φ(3) ñóùåñòâóåò è íåïðåðûâíà. Èìååì

1 T 00 khk3 (3) f (a + h) − f (a) = f (a)h + h · f (a) · h + φ (ξ) 2! 3! 0

(11.8.1)

èëè

­ ® 1 ­ 00 ® khk3 (3) f (a + h) = f (a) + ∇f (a), h + f (a) · h, h + φ (ξ) 2! 3! (çäåñü ïî-ïðåæíåìó ξ  íåêîòîðàÿ òî÷êà íà èíòåðâàëå ]0, khk[). Ôîðìóëà (11.8.1) íàçûâàåòñÿ ôîðìóëîé Òåéëîðà òðåòüåãî ïîðÿäêà äëÿ ñêàëÿðíîãî ïîëÿ. Èññëåäóåì ñ ïîìîùüþ ýòîé ôîðìóëû âîïðîñ î íàëè÷èè ýêñòðåìóìà ôóíêöèè f â ñòàöèîíàðíîé òî÷êå a. Òàê êàê ∇f (a) = θ, òî

® 1 ­ 00 khk3 (3) f (a + h) − f (a) = f (a) · h, h + φ (ξ) . 2 6 Èç êóðñà ëèíåéíîé àëãåáðû èçâåñòíî, ÷òî êâàäðàòè÷íàÿ ôîðìà óäîâëåòâîðÿåò íåðàâåíñòâó

­ ® λmin khk2 ≤ f 00 (a)h, h ≤ λmax khk2 , ãäå λmin è λmax  íàèìåíüøåå è íàèáîëüøåå ñîáñòâåííûå ÷èñëà ñèììåòðè÷íîé ìàòðèöû Ãåññå f 00 (a). Åñëè ìàòðèöà f 00 (a) ïîëîæèòåëüíî îïðåäåëåíà, òî λmin > 0 è

λmin khk3 2 (3) f (a + h) − f (a) > · khk + φ (ξ) = 2 6

µ

¶ λmin khk + φ(3) (ξ) khk2 . 2 6

Ìîæíî âçÿòü âåêòîð h íàñòîëüêî ìàëûì ïî íîðìå, ÷òîáû îáåñïå÷èòü

khk (3) âûïîëíåíèå íåðàâåíñòâà λmin 2 + φ (ξ) 6 > 0 â îêðåñòíîñòè òî÷êè a.  121

ýòîé îêðåñòíîñòè f (a + h) − f (a) > 0, åñëè h 6= θ, ò.å. ôóíêöèÿ f èìååò â ñòàöèîíàðíîé òî÷êå a ëîêàëüíûé ìèíèìóì. Àíàëîãè÷íî äîêàçûâàåòñÿ, ÷òî â ñëó÷àå îòðèöàòåëüíî îïðåäåëåííîé ìàòðèöû Ãåññå f 00 (a) ôóíêöèÿ f èìååò â ñòàöèîíàðíîé òî÷êå a ëîêàëüíûé ìàêñèìóì. Åñëè ìàòðèöà Ãåññå çíàêîïåðåìåííà, ò.å. ñðåäè åå ñîáñòâåííûõ ÷èñåë åñòü õîòÿ áû îäíî îòðèöàòåëüíîå (îáîçíà÷èì åãî λm ) è õîòÿ áû îäíî ïîëîæèòåëüíîå (îáîçíà÷èì åãî λp ), òî, âûáðàâ â êà÷åñòâå h ñîáñòâåííûé âåêòîð hp ýòîé ìàòðèöû, ñîîòâåòñòâóþùèé λp , ïîëó÷èì

khp k3 λp 2 (3) = f (a + hp ) − f (a) = khp k + φ (ξ) 2 6

µ

¶ λp kh k p + φ(3) (ξ) khp k2 . 2 6

Âçÿâ âåêòîð hp äîñòàòî÷íî ìàëûì ïî íîðìå, ïîëó÷èì

f (a + hp ) − f (a) > 0. Âûáðàâ â êà÷åñòâå h ñîáñòâåííûé âåêòîð hm ìàòðèöû Ãåññå, ñîîòâåòñòâóþùèé λm , ïîëó÷èì

µ

f (a + hm ) − f (a) =

¶ λm khm k (3) khm k2 . + φ (ξ) 2 6

Âçÿâ âåêòîð hm äîñòàòî÷íî ìàëûì ïî íîðìå, ïîëó÷èì

f (a + hm ) − f (a) < 0. Ìû ïîêàçàëè, ÷òî ïðèðàùåíèå ôóíêöèè f ìåíÿåò çíàê â ëþáîé îêðåñòíîñòè òî÷êè a. Ñëåäîâàòåëüíî, â ýòîé òî÷êå ëîêàëüíîãî ýêñòðåìóìà íåò. Åñëè ìàòðèöà Ãåññå ïîëóîïðåäåëåííàÿ (èìååò õîòÿ áû îäíî ñîáñòâåííîå ÷èñëî λ0 = 0, à âñå íåíóëåâûå  îäíîãî çíàêà), òî âûáðàâ â êà÷åñòâå h åå ñîáñòâåííûé âåêòîð h0 , ñîîòâåòñòâóþùèé λ0 , ïîëó÷èì

kh0 k3 f (a + h0 ) − f (a) = φ (ξ) . 6 (3)

Âèäíî, ÷òî ôîðìóëà Òåéëîðà òðåòüåãî ïîðÿäêà â ýòîì ñëó÷àå íå äàåò âîçìîæíîñòè ñóäèòü î çíàêå ïðèðàùåíèÿ ôóíêöèè â îêðåñòíîñòè ñòàöèîíàðíîé òî÷êè. Èñïîëüçîâàíèå æå ôîðìóëû Òåéëîðà áîëåå âûñîêèõ ïîðÿäêîâ âûõîäèò çà ðàìêè íàøåãî êóðñà.

122

Ãëàâà 12. ÒÅÎÐÅÌÀ Î ÍÅßÂÍÎ ÇÀÄÀÍÍÎÉ ÔÓÍÊÖÈÈ È ÅÅ ÏÐÈËÎÆÅÍÈß 12.1. Íåÿâíî çàäàííûå ôóíêöèè Íà÷íåì ñ ïðèìåðà. Ïóñòü çàäàíî îäíî óðàâíåíèå ñ äâóìÿ âåùåñòâåííûìè ïåðåìåííûìè

x2 + y 2 − 1 = 0. Áóäåì çàäàâàòü ïðîèçâîëüíûå çíà÷åíèÿ x è ðåøàòü ïîëó÷èâøååñÿ óðàâíåíèå îòíîñèòåëüíî y (íàïîìèíàåì, ÷òî íàñ èíòåðåñóþò òîëüêî âåùåñòâåííûå ðåøåíèÿ!). Âîçìîæíû òðè ñèòóàöèè: 1. Ïðè äàííîì x óðàâíåíèå íå èìååò ðåøåíèé. Íàïðèìåð, ïðè x = 2 ïîëó÷àåì óðàâíåíèå y 2 = −3. 2. Ïðè äàííîì x óðàâíåíèå èìååò íåñêîëüêî ðåøåíèé. Íàïðèìåð, ïðè x = 0 ïîëó÷àåì óðàâíåíèå y 2 = 1, ò.å. y1 = 1, y2 = −1. 3. Ïðè äàííîì x óðàâíåíèå èìååò ðîâíî îäíî ðåøåíèå. Íàïðèìåð, ïðè x = 1 ïîëó÷àåì óðàâíåíèå y 2 = 0, ò.å. y = 0. Îïðåäåëåíèå. Ïóñòü íà îòêðûòîì ïðÿìîóãîëüíèêå ]a, b[×]c, d[ çàäàíà âåùåñòâåííàÿ ôóíêöèÿ F . Åñëè äëÿ âñÿêîãî x ∈ ]a, b[ óðàâíåíèå F (x, y) = 0 èìååò ðîâíî îäíî ðåøåíèå y ∈ ]c, d[, òî ãîâîðÿò, ÷òî ýòî óðàâíåíèå íåÿâíî çàäàåò íà èíòåðâàëå ]a, b[ ôóíêöèþ ñî çíà÷åíèÿìè èç èíòåðâàëà ¡ ¢ ]c, d[. Åñëè îáîçíà÷èòü ýòó ôóíêöèþ f , òî ïðè âñåõ x ∈ ]a, b[ F x, f (x) = 0. Çàìå÷àíèå. Îòëè÷èòåëüíîé îñîáåííîñòüþ íåÿâíîãî çàäàíèÿ ôóíêöèè ÿâëÿåòñÿ íàëè÷èå â àëãîðèòìå âû÷èñëåíèÿ åå çíà÷åíèÿ îïåðàöèè "ðåøèòü óðàâíåíèå" (åñòåñòâåííî, áåç óêàçàíèÿ ñïîñîáà ôàêòè÷åñêîãî âûïîëíåíèÿ ýòîé îïåðàöèè). Ðàññìîòðèì äëÿ íà÷àëà ëèíåéíîå óðàâíåíèå

a · (x − x0 ) + b · (y − y0 ) = 0,

(12.1.1)

ãäå a, b, x0 , y0  çàäàííûå ÷èñëà, è b 6= 0. Î÷åâèäíî, ÷òî ýòî óðàâíåíèå ïðè ëþáîì x îäíîçíà÷íî ðàçðåøèìî îòíîñèòåëüíî y , ò.å. çàäàåò íåÿâíî ôóíêöèþ f : R → R. Íåòðóäíî ïîëó÷èòü ÿâíîå âûðàæåíèå äëÿ ýòîé ôóíêöèè:

y = f (x) = y0 − b−1 a · (x − x0 ) 123

(çàìåòüòå, ÷òî

f (x0 ) = y0 ).

Òåïåðü ïåðåéäåì ê óðàâíåíèþ îáùåãî âèäà F (x, y) = 0 è ïðåäïîëîæèì, ÷òî ïàðà ÷èñåë (x0 , y0 ) åñòü ðåøåíèå ýòîãî óðàâíåíèÿ, ò.å.

F (x0 , y0 ) = 0. Èñïîëüçóÿ äëÿ ôóíêöèè F ôîðìóëó Òåéëîðà38 (11.7.5) è ïîëàãàÿ · ¸ · ¸ · ¸ x0 x − x0 x a= , h= , a+h= , y0 y − y0 y ïåðåïèøåì íàøå óðàâíåíèå â âèäå

·

¸ x − x 0 F (x, y) = F (x0 , y0 ) + F 0 (x0 , y0 ) · + α(x, y) = 0, y − y0

èëè

Dx F (x0 , y0 ) · (x − x0 ) + Dy F (x0 , y0 ) · (y − y0 ) + α(x, y) = 0,

(12.1.2)

T 00 ãäå α(x, y) = 1 2 · h · F (a + ξe) · h  îñòàòî÷íûé ÷ëåí ôîðìóëû Òåéëîðà. Ìû âèäèì, ÷òî óðàâíåíèå (12.1.2) îòëè÷àåòñÿ îò óðàâíåíèÿ (12.1.1) òîëüêî îñòàòî÷íûì ÷ëåíîì ôîðìóëû Òåéëîðà. Ïîñêîëüêó ïðè F 0 (x0 , y0 ) 6= θ è (x, y), áëèçêèõ ê (x0 , y0 ), îñòàòî÷íûé ÷ëåí α(x, y) ìàë ïî ñðàâíåíèþ ñ ïåðâûìè ñëàãàåìûìè, ìîæíî îæèäàòü, ÷òî ïðè Dy F (x0 , y0 ) 6= 0 óðàâíåíèå (12.1.2), êàê è (12.1.1) áóäåò îäíîçíà÷íî ðàçðåøèìî îòíîñèòåëüíî y ïðè ëþáîì x õîòÿ áû â ìàëîé îêðåñòíîñòè òî÷êè (x0 , y0 ). Äåéñòâèòåëüíî, ìîæíî ïîêàçàòü, ÷òî ñïðàâåäëèâà

Òåîðåìà. Ïóñòü íà îòêðûòîì ïðÿìîóãîëüíèêå J = ]a, b[×]c, d[ çàäàíà íåïðåðûâíî äèôôåðåíöèðóåìàÿ ôóíêöèÿ F : J → R. Ïóñòü (x0 , y0 ) ∈ J , ïðè÷åì F (x0 , y0 ) = 0, à Dy F (x0 , y0 ) 6= 0. Òîãäà ñóùåñòâóþò òàêèå Jx ⊂]a, b[ (îêðåñòíîñòü òî÷êè x0 ) è Jy ⊂]c, d[ (îêðåñòíîñòü òî÷êè y0 ), ÷òî 1) ïðè ëþáîì x ∈ Jx óðàâíåíèå F (x, y) = 0 èìååò åäèíñòâåííîå ðåøåíèå y ∈ Jy (îáðàòèòå âíèìàíèå: íå âîîáùå åäèíñòâåííîå ðåøåíèå, à åäèíñòâåííîå ðåøåíèå, ëåæàùåå â Jy !). Òàêèì îáðàçîì, óðàâíåíèå F (x, y) = 0 íåÿâíî çàäàåò ôóíêöèþ f : Jx → Jy ;

¡

¢

2) F x, f (x) = 0 ïðè âñåõ x ∈ Jx ; 3)f (x0 ) = y0 ; 4) f íåïðåðûâíî äèôôåðåíöèðóåìà íà Jx . ñîîòâåòñòâèè ñ Âàæíûì ñîãëàøåíèåì ìû ñ÷èòàåì, ÷òî ôóíêöèÿ èìååò âñå íóæíûå íàì ïðîèçâîäíûå. 38 Â

124

Ãåîìåòðè÷åñêèé ñìûñë ýòîé òåîðåìû î÷åíü ïðîñò: â íåêîòîðîé îêðåñòíîñòè òî÷êè (x0 , y0 ) ìíîæåñòâî ðåøåíèé óðàâíåíèÿ F (x, y) = 0 åñòü ãðàôèê ãëàäêîé ôóíêöèè f . Ïðèìåðû. 1. (ðèñ.12.1a). Ïóñòü F (x, y) = x2 + y 2 − 1, è (x0 , y0 )  íåêîòîðàÿ òî÷êà, ëåæàùàÿ íà âåðõíåé äóãå åäèíè÷íîé îêðóæíîñòè, ò.å. F (x0 , y0 ) = 0, y0 > 0. Òîãäà Dy F (x0 , y0 ) = 2y0 6= 0. Èç ðèñóíêà âèäíî, ÷òî â íåêîòîðîé îêðåñòíîñòè òî÷êè (x0 , y0 ) ìíîæåñòâî ðåøåíèé óðàâíåíèÿ x2 + y 2 − 1 = 0 ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ãðàôèê ôóíêöèè y = f (x), ò.å. äëÿ êàæäîãî x, äîñòàòî÷íî áëèçêîãî ê x0 , ñóùåñòâóåò ðîâíî îäèí y , áëèçêèé ê y0 , òàêîé, ÷òî x2 + y 2 − 1 = 0. Âèäíî, ÷òî åñëè íå òðåáîâàòü áëèçîñòè y ê y0 , òî íàøëîñü áû íå îäíî, à äâà ðåøåíèÿ óðàâíåíèÿ: y è −y . Ôðàãìåíò ãðàôèêà ôóíêöèè y = f (x) èçîáðàæåí íà ðèñ.12.1b. 6

y0 (−1, 0)

y0

x0

-

x0

Ðèñ.12.1a

Ðèñ.12.1b

Ê ñîæàëåíèþ, òåîðåìà íå äàåò ñâåäåíèé îá îêðåñòíîñòÿõ Jx è Jy . Î÷åâèäíî, ÷òî íà ðèñóíêå îíè âçÿòû íå íàèáîëüøèìè èç âîçìîæíûõ. Çàìåòèì, ÷òî â íàøåì ïðèìåðå íåòðóäíî íàéòè ÿâíîå âûðàæåíèå √ ôóíêöèè f : f (x) = + 1 − x2 (çäåñü ó÷òåíî, ÷òî y0 > 0).  òî÷êå æå (−1, 0) Dy F = 0. Èç ðèñóíêà âèäíî, ÷òî â ëþáîé îêðåñòíîñòè ýòîé òî÷êè ìíîæåñòâî ðåøåíèé óðàâíåíèÿ íå ÿâëÿåòñÿ ãðàôèêîì ôóíêöèè. 2. Ïóñòü F (x, y) = x7 − xy + y 6 − 1, x0 = 0, y0 = 1. Òîãäà F (0, 1) = 0, Dy F (0, 1) 6= 0.  ñèëó ñôîðìóëèðîâàííîé âûøå òåîðåìû óðàâíåíèå x7 − xy +y 6 −1 = 0 îïðåäåëÿåò â íåêîòîðîé îêðåñòíîñòè òî÷êè (0, 1) ôóíêöèþ y = f (x), îäíàêî íåòðóäíî âèäåòü, ÷òî åå ÿâíîå çàäàíèå ïîëó÷èòü íå óäàñòñÿ. Ôðàãìåíò ãðàôèêà ýòîé ôóíêöèè èçîáðàæåí íà ðèñ.12.2. Çàìå÷àíèå.  ñëó÷àå Dy F (x0 , y0 ) = 0 òåîðåìà íå äàåò íèêàêèõ çàêëþ÷åíèé î ñòðóêòóðå ìíîæåñòâà ðåøåíèé óðàâíåíèÿ â îêðåñòíîñòè òî÷êè (x0 , y0 ). Ïðèâåäåì íåñêîëüêî ïðîñòûõ ïðèìåðîâ (âî âñåõ x0 = y0 = 0 è Dy F (0, 0) = 0). 125

1.2

1

0.8 -0.95

0

0.95

Ðèñ.12.2 1. x − y 2 = 0 (ðèñ.12.3). Çäåñü ïðè x > 0 óðàâíåíèå èìååò äâà ðåøåíèÿ, ïðè x = 0  îäíî, à ïðè x < 0  íè îäíîãî. 2. x − y 3 = 0 (ðèñ.12.4). Çäåñü ïðè âñåõ x ∈ R óðàâíåíèå èìååò îäíî ðåøåíèå.

Ðèñ.12.3

Ðèñ.12.4

3. x2 − y 2 = 0 (ðèñ.12.5). Çäåñü ïðè âñåõ x 6= 0 óðàâíåíèå èìååò äâà ðåøåíèÿ. 4. x2 + y 2 = 0 (ðèñ.12.6). Çäåñü ïðè ëþáîì x 6= 0 óðàâíåíèå íå èìååò íè îäíîãî ðåøåíèÿ.

y @

y

6

@

¡ ¡

@

@

¡

@

¡

¡

¡ ¡

6

¡

¡

-x

¡

@ ¡ ¡ @

u

-x

@

@

@

@ @

Ðèñ.12.6

Ðèñ.12.5

Îáðàòèòå âíèìàíèå íà òî, ÷òî ìíîæåñòâà ðåøåíèé óðàâíåíèé â ïðèìåðàõ 1, 3, 4 íå ÿâëÿþòñÿ ãðàôèêàìè ôóíêöèé íè â êàêîì 126

îòêðûòîì ïðÿìîóãîëüíèêå, ñîäåðæàùåì íà÷àëî êîîðäèíàò, â òî âðåìÿ êàê â ïðèìåðå 2 óðàâíåíèå çàäàåò íåÿâíî ôóíêöèþ áåç êàêèõ-ëèáî îãðàíè÷åíèé íà ïåðåìåííûå (íåòðóäíî íàéòè åå ÿâíîå âûðàæåíèå: f (x) = sign(x) · |x|1/3 ). Ïóñòü òåïåðü óñëîâèÿ òåîðåìû âûïîëíåíû, è óðàâíåíèå F (x, y) = 0 çàäàåò íåÿâíî â íåêîòîðîé îêðåñòíîñòè òî÷êè x0 ôóíêöèþ y = f (x) ñî çíà÷åíèÿìè èç îêðåñòíîñòè òî÷êè y0 . Ïîëó÷èì ôîðìóëó äëÿ âû÷èñëåíèÿ ïðîèçâîäíîé íåÿâíî çàäàííîé ôóíêöèè f (ñóùåñòâîâàíèå ýòîé ïðîèçâîäíîé ãàðàíòèðîâàíî òåîðåìîé). Ïîäñòàâèâ â óðàâíåíèå F (x, y) = 0 åãî ðåøåíèå y = f (x), ïîëó÷èì òîæäåñòâî ¡ ¢ ¡ ¢ F ◦ ϕ (u) = F u, f (u) ≡ 0, (12.1.3) ãäå îòîáðàæåíèå ϕ (ñì. ðèñ.12.7) îïðåäåëåíî íà Jx .

¾

x=u

F

¾

ϕ ¾

u

¾

y = f (u)

Ðèñ.12.7 Äèôôåðåíöèðóåì òîæäåñòâî (12.1.3):

¡ 0 ¢ F ◦ ϕ (u) · ϕ0 (u) ≡ 0. Ïîäñòàâèâ ñþäà

¤ F (x, y) = Dx F (x, y), Dy F (x, y) , 0

ïîëó÷èì

£

¸ 1 , ϕ (u) = 0 f (u) ·

0

¡ ¢ ¡ ¢ Dx F u, f (u) + Dy F u, f (u) · f 0 (u) ≡ 0,

îòêóäà

¡ ¢ ³ ´−1 ¡ ¢ ¡ ¢ D F u, f (u) x ¡ ¢ . (12.1.4) f 0 (u) = − Dy F u, f (u) · Dx F u, f (u) = − Dy F u, f (u) 127

¡

¢

Çàìå÷àíèÿ. 1.  ôîðìóëå (12.1.4) äåëåíèå íà Dy F u, f (u) âîçìîæíî, òàê êàê ïî óñëîâèþ òåîðåìû Dy F îòëè÷íà îò íóëÿ â òî÷êå (x0 , y0 ), à ñëåäîâàòåëüíî, ïî íåïðåðûâíîñòè, è â íåêîòîðîé åå îêðåñòíîñòè (âíå êîòîðîé ýòà ôîðìóëà, åñòåñòâåííî, íå ðàáîòàåò). 2. Äëÿ ôàêòè÷åñêîãî âû÷èñëåíèÿ çíà÷åíèÿ ïðîèçâîäíîé íåÿâíî çàäàííîé ôóíêöèè f ïî ôîðìóëå (12.1.4), íåîáõîäèìî ïðåäâàðèòåëüíî íàéòè çíà÷åíèå ýòîé ôóíêöèè, ò.å. ðåøèòü (íàïðèìåð, ÷èñëåííî) óðàâíåíèå F (x, y) = 0.

Âåðíåìñÿ ê íàøèì ïðèìåðàì. Åñëè F (x, y) = x2 +y 2 −1, x > 0, y > 0, x . òî Dx F (x, y) = 2x, Dy F (x, y) = 2y . Ïîýòîìó f 0 (x) = − 2x 2y = −

√ f (x) Çäåñü ìîæíî íàéòè ÿâíîå âûðàæåíèå äëÿ ôóíêöèè: f (x) = + 1 − x2 . Ïîýòîìó f 0 (x) = − p x , ÷òî ëåãêî ïðîâåðèòü íåïîñðåäñòâåííî. 1 − x2 Åñëè æå F (x, y) = x7 − xy + y 6 − 1, òî 6

Dx F (x, y) = 7x − y,

5

Dy F (x, y) = −x + 6y ,

7x6 − y f (x) = − 5 . 6y − x 0

Çäåñü ïîëó÷èòü ÿâíîå âûðàæåíèå äëÿ ôóíêöèè íåâîçìîæíî, îäíàêî ïðè x = 0 èìååì y = 1 è

¯ 6 ¯ 7x − y 1 ¯ f 0 (0) = − 5 = . 6y − x ¯x=0, y=1 6

Îáðàòèìñÿ òåïåðü ê íåÿâíîìó çàäàíèþ âåêòîðíîãî ïîëÿ. Ïóñòü çàäàíà ñèñòåìà èç n óðàâíåíèé ñ n + m ïåðåìåííûìè:

F (x, y) = θn . (12.1.5) £ ¤T ãäå x ∈ Rm , y ∈ Rn , F (x, y) = F1 (x, y), . . . , Fn (x, y)  ôóíêöèÿ èç Rm × Rn â Rn . Åñëè ñóùåñòâóþò òàêèå ìíîæåñòâà U ⊂ Rm è V ⊂ Rn , ÷òî äëÿ âñÿêîãî x ∈ U ñèñòåìà (12.1.5) èìååò ðîâíî îäíî ðåøåíèå y ∈ V , òî ãîâîðÿò, ÷òî ýòà ñèñòåìà ¡ çàäàåò¢ íåÿâíî ôóíêöèþ f : U → V . Î÷åâèäíî, ÷òî ïðè âñåõ x ∈ U F x, f (x) = θn . Âíîâü íà÷íåì ñ ðàññìîòðåíèÿ ëèíåéíîé ñèñòåìû A · (x − x(0) ) + B · (y − y (0) ) = θn , ãäå A è B  ìàòðèöû ðàçìåðîâ n × m è n × n ñîîòâåòñòâåííî. 128

(12.1.6)

Î÷åâèäíî, ÷òî ïðè det(B) 6= 0 ñèñòåìà (12.1.6) îäíîçíà÷íî ðàçðåøèìà îòíîñèòåëüíî y è çàäàåò íåÿâíî ôóíêöèþ f : Rm → Rn . Íåòðóäíî ïîëó÷èòü ÿâíîå çàäàíèå ýòîé ôóíêöèè:

y = f (x) = y (0) − B −1 A · (x − x(0) );

f (x(0) ) = y (0) .

Ïóñòü òåïåðü äàíà ñèñòåìà îáùåãî âèäà (12.1.5),¡ è èçâåñòíî åå ¢ (0) (0) (0) (0) ðåøåíèå  óïîðÿäî÷åííàÿ ïàðà âåêòîðîâ (x , y ) : F x , y = θn . Èñïîëüçóÿ ôîðìóëó Òåéëîðà (11.7.7), çàïèøåì ñèñòåìó (12.1.5) â âèäå ¸ ·

¡ ¢ x − x(0) F 0 x(0) , y (0) · + α(x, y) = θn , y − y (0)

(12.1.7)

ãäå

¡ ¢ £ ¡ ¢ ¡ ¢¤ F 0 x(0) , y (0) = Dx F x(0) , y (0) , Dy F x(0) , y (0)  ìàòðèöà ßêîáè ðàçìåðà n × (m + n) (åå áëîêè  ìàòðèöû Dx F è Dy F , ñîñòàâëåííûå èç ÷àñòíûõ ïðîèçâîäíûõ êîìïîíåíò F ïî êîîðäèíàòàì âåêòîðîâ x è y ñîîòâåòñòâåííî,  èìåþò ðàçìåðû n × m è n × n); · ¸ x − x(0)  ñòîëáåö âûñîòû m + n; y − y (0) α(x, y)  îñòàòî÷íûé ÷ëåí ôîðìóëû Òåéëîðà  ñòîëáåö âûñîòû n. Ðàñïèñàâ ôîðìóëó (12.1.7) ïîäðîáíåå:

¡ ¢ ¡ ¢ Dx F x(0) , y (0) · (x − x(0) ) + Dy F x(0) , y (0) · (y − y (0) ) + α(x, y) = θn , âèäèì, ÷òî îíà îòëè÷àåòñÿ îò (12.1.6) òîëüêî îñòàòî÷íûì ÷ëåíîì α(x, y). Ïîýòîìó ìîæíî îæèäàòü, ÷òî ïðè

³ ¡ (0) (0) ¢´ det(B) = det Dy F x , y 6= 0 ñèñòåìà ïðè çàäàííîì çíà÷åíèè x áóäåò îäíîçíà÷íî ¡ (0) ðàçðåøèìà ¢ îòíîñèòåëüíî y â äîñòàòî÷íî ìàëîé îêðåñòíîñòè òî÷êè x , y (0) . Ñôîðìóëèðóåì ñîîòâåòñòâóþùóþ òåîðåìó. Òåîðåìà. Ïóñòü

Jm =]a1 , b1 [×]a2 , b2 [× . . . ×]am , bm [  ïàðàëëåëåïèïåä â Rm ; Jn =]c1 , d1 [×]c2 , d2 [× . . . ×]cn , dn [  ïàðàëëåëåïèïåä â Rn ; Jmn = Jm × Jn  ïàðàëëåëåïèïåä â Rm+n ; F : Jmn → Rn  íåïðåðûâíî äèôôåðåíöèðóåìàÿ âåêòîð-ôóíêöèÿ; ³ ¡ (0) (0) ¢ ¡ (0) (0) ¢ ¡ (0) (0) ¢´ x ,y ∈ Jmn , F x , y = θn , det Dy F x , y 6= 0. 129

Òîãäà ñóùåñòâóþò òàêèå U ⊂ Jm  îêðåñòíîñòü òî÷êè x(0) è V ⊂ Jn  îêðåñòíîñòü òî÷êè y (0) , ÷òî 1) äëÿ êàæäîãî x ∈ U ñóùåñòâóåò åäèíñòâåííûé y ∈ V  ðåøåíèå ñèñòåìû F (x, y) = θn , ò.å. ýòà ñèñòåìà íåÿâíî çàäàåò ôóíêöèþ f : U → V ; 2) F (x, f (x)) = θn ïðè âñåõ x ∈ U ;

¡

¢

3) f x(0) = y (0) ; 4) f íåïðåðûâíî äèôôåðåíöèðóåìà íà U . Äëÿ âû÷èñëåíèÿ ìàòðèöû ßêîáè íåÿâíî çàäàííîé ôóíêöèè f ðàññìîòðèì âíîâü ðèñ.12.7 (îòîáðàæåíèå ϕ ïðè ýòîì îïðåäåëåíî íà U ). Äèôôåðåíöèðóÿ òîæäåñòâî (F ◦ ϕ)(u) = F (u, f (u)) ≡ θn , âûïîëíÿþùååñÿ íà U , ïîëó÷èì

(F ◦ ϕ)0 (u) = (F 0 ◦ ϕ)(u) · ϕ0 (u) = Θn×m (Θn×m  íóëü-ìàòðèöà ðàçìåðà n × m). Ïîäñòàâëÿÿ ñþäà · ¸0 · ¸ u I ϕ0 (u) = = 0m f (u) f (u) (Im  åäèíè÷íàÿ ìàòðèöà ïîðÿäêà m), ïîëó÷èì

¡ ¢ ¡ ¢ Dx F u, f (u) + Dy F u, f (u) · f 0 (u) = Θn×m (ïðîâåðüòå ñîãëàñîâàííîñòü ðàçìåðîâ ìàòðèö!), îòêóäà

³ ¡ ¢´−1 ¡ ¢ f 0 (u) = − Dy F u, f (u) · Dx F u, f (u) .

(12.1.8)

Çàìå÷àíèÿ. 1. Ïîñêîëüêó det(Dy F ) íå ðàâåí íóëþ â òî÷êå (x0 , y0 ), ïî íåïðåðûâíîñòè îí îòëè÷åí îò íóëÿ è â íåêîòîðîé åå îêðåñòíîñòè, â êîòîðîé, ñëåäîâàòåëüíî, îáðàòèìà ìàòðèöà Dy F è ïðèìåíèìà ôîðìóëà (12.1.9). Îñòàåòñÿ òàêæå â ñèëå çàìå÷àíèå 2 íà ñòð.128. 2.  ðåàëüíîé çàäà÷å ïåðåìåííûå, êîíå÷íî, íå ïîäåëåíû èçíà÷àëüíî íà íåçàâèñèìûå ("èêñû") è çàâèñèìûå ("èãðåêè"). Ïîñòàíîâùèê çàäà÷è ñàì âûáèðàåò òå ïåðåìåííûå, îòíîñèòåëüíî êîòîðûõ îí õî÷åò ðàçðåøèòü ñèñòåìó, è ïðîâåðÿåò âûïîëíåíèå óñëîâèé òåîðåìû. Ïðèìåð. Ïóñòü

m = n,

x, y ∈ Rn ,

g : Rn → Rn , 130

F (x, y) = x − g(y).

Òîãäà óðàâíåíèåì x − g(y) = θn çàäàåòñÿ íåÿâíî ôóíêöèÿ g −1 , îáðàòíàÿ ê ôóíêöèè g . Ïîñêîëüêó Dy F = −g 0 , òåîðåìó î íåÿâíî çàäàííîé ôóíêöèè ìîæíî ïåðåôîðìóëèðîâàòü â ýòîì ÷àñòíîì ñëó÷àå òàê: Ïóñòü Jn ¡=]c1 , d1 [× . . . ×]cn , dn [  ïàðàëëåëåïèïåä â Rn ; g : Jn → Rn , ¢ y (0) ∈ Jn , det g 0 (y (0) ) 6= 0. Òîãäà â íåêîòîðîé îêðåñòíîñòè òî÷êè y (0) ôóíêöèÿ g îáðàòèìà, îáðàòíàÿ åé ôóíêöèÿ g −1 íåïðåðûâíî äèôôåðåíöèðóåìà, è

¡ −1 ¢0 £ 0 −1 ¤−1 g = g ◦g .

(12.1.9) ¡

¢0

1 . g 0 ◦ g −1 Çàìå÷àíèå.  ôîðìóëå (12.1.9) èìååò ìåñòî "êîëëèçèÿ ñèìâîëîâ": £ 0 −1 ¤−1 g −1 îáîçíà÷àåò ôóíêöèþ, îáðàòíóþ ôóíêöèè g , à g ◦g  ìàòðèöó, £ 0 −1 ¤ îáðàòíóþ ìàòðèöå g ◦ g .  ñëó÷àå n = 1 ýòà ôîðìóëà äàåò èçâåñòíûé ðåçóëüòàò: g −1

=

12.2. Çàäàíèå ãëàäêîé ïîâåðõíîñòè â R3 óðàâíåíèåì Ðàññìîòðèì óðàâíåíèå

F (x) = c,

(12.2.1)

ãäå F : R3 → R  íåïðåðûâíî äèôôåðåíöèðóåìûé ôóíêöèîíàë, à c  ÷èñëî. Íàïîìíèì, ÷òî ìíîæåñòâî ðåøåíèé ýòîãî óðàâíåíèÿ íàçûâàåòñÿ ìíîæåñòâîì óðîâíÿ ôóíêöèîíàëà F . Ïðåäïîëîæèì, ÷òî òî÷êà a óäîâëåòâîðÿåò óðàâíåíèþ (12.2.1), è ∇F (a) 6= θ. Òîãäà, íå óìàëÿÿ îáùíîñòè, ìîæíî ñ÷èòàòü, íàïðèìåð, ÷òî D3 F (a) 6= 0. Ïðèìåíÿÿ ê óðàâíåíèþ òåîðåìó î íåÿâíî çàäàííîé ôóíêöèè (çäåñü m = 2, n = 1), ïîëó÷àåì, ÷òî â íåêîòîðîé îêðåñòíîñòè òî÷êè a óðàâíåíèå ìîæíî îäíîçíà÷íî ðàçðåøèòü îòíîñèòåëüíî x3 , ò.å. ìíîæåñòâî óðîâíÿ ôóíêöèîíàëà â ýòîé îêðåñòíîñòè ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ãðàôèê ôóíêöèè x3 = f (x1 , x2 ), è

F (x1 , x2 , f (x1 , x2 )) − c ≡ 0,

f (a1 , a2 ) = a3 .

Ôóíêöèÿ f íåïðåðûâíî äèôôåðåíöèðóåìà, è, ñëåäîâàòåëüíî (ñì. ï.11.3), åå ãðàôèê åñòü ãëàäêàÿ ïîâåðõíîñòü. Ïðîâåäåì â òî÷êå a êàñàòåëüíóþ ïëîñêîñòü ê ýòîé ïîâåðõíîñòè. Èç ôîðìóëû (12.1.8) ïîëó÷àåì

£ ¤ f 0 (a1 , a2 ) = −D3−1 F (a1 , a2 , a3 ) · D1 F (a1 , a2 , a3 ), D2 F (a1 , a2 , a3 ) . 131

Îòñþäà

D1 f (a1 , a2 ) = −

D1 F (a) , D3 F (a)

D2 f (a1 , a2 ) = −

D2 F (a) . D3 F (a)

Ïîäñòàâëÿÿ ðåçóëüòàò â ôîðìóëó (11.3.2), ïîëó÷èì

x3 − a3 = −

D1 F (a) D2 F (a) · (x1 − a1 ) − · (x2 − a2 ) D3 F (a) D3 F (a)

èëè, ïîñëå óìíîæåíèÿ íà D3 F (a) 6= 0,

D1 F (a) · (x1 − a1 ) + D2 F (a) · (x2 − a2 ) + D3 F (a) · (x3 − a3 ) = 0, èëè

F 0 (a) · (x − a) = 0,

èëè, íàêîíåö,

h∇F (a), (x − a)i = 0.

(12.2.2)

 ñèëó ñèììåòðèè ýòîãî óðàâíåíèÿ îòíîñèòåëüíî êîîðäèíàò îíî áóäåò âûïîëíÿòüñÿ è â òîì ñëó÷àå, êîãäà íå òðåòüÿ, à êàêàÿ-íèáóäü äðóãàÿ êîìïîíåíòà ∇F (a) îòëè÷íà îò íóëÿ. Èòàê, åñëè F (a) = c è ∇F (a) 6= θ, òî â íåêîòîðîé îêðåñòíîñòè òî÷êè a ìíîæåñòâî óðîâíÿ ôóíêöèîíàëà åñòü ãëàäêàÿ ïîâåðõíîñòü. Åñëè æå ãðàäèåíò îòëè÷åí îò íóëÿ âî âñåõ òî÷êàõ ìíîæåñòâà óðîâíÿ ôóíêöèîíàëà, òî åñòåñòâåííî ñêàçàòü, ÷òî âñå ýòî ìíîæåñòâî åñòü ãëàäêàÿ ïîâåðõíîñòü (åå íàçûâàþò ïîâåðõíîñòüþ óðîâíÿ ôóíêöèîíàëà F ). Ïðèìåðû. 1. F (x1 , x2 , x3 ) ≡ x21 + x22 + x23 = 1.

∇F (x) = 2x, î÷åâèäíî, íå îáðàùàåòñÿ â íóëü íè â îäíîé òî÷êå ìíîæåñòâà óðîâíÿ. Êàê èçâåñòíî, ýòî ìíîæåñòâî åñòü ñôåðà  ãëàäêàÿ ïîâåðõíîñòü (ñì. ïðèìåð 2 ï.11.3). 2. x21 + x22 + x23 = 0. Ýòî  äðóãîå ìíîæåñòâî óðîâíÿ òîãî æå ôóíêöèîíàëà. Î÷åâèäíî, îíî ñîñòîèò èç îäíîé òî÷êè θ, ïðè÷åì ∇F (θ) = θ. 3. F (x1 , x2 , x3 ) ≡ x21 + x22 − x23 = −1.

∇F (x) = 2[x1 , x2 , −x3 ]T . Ãðàäèåíò, î÷åâèäíî, íå îáðàùàåòñÿ â íóëü íè â îäíîé òî÷êå ìíîæåñòâà óðîâíÿ. Êàê èçâåñòíî èç êóðñà ëèíåéíîé àëãåáðû, ýòî ìíîæåñòâî  äâóõïîëîñòíûé ãèïåðáîëîèä  ïîâåðõíîñòü, "ãëàäêàÿ" è â íåìàòåìàòè÷åñêîì, îáûäåííîì ñìûñëå. 132

2. x21 + x22 − x23 = 0. Ýòî  äðóãîå ìíîæåñòâî óðîâíÿ òîãî æå ôóíêöèîíàëà. Òåïåðü íà÷àëî êîîðäèíàò (òî÷êà, â êîòîðîé ∇F îáðàùàåòñÿ â íóëü) ïðèíàäëåæèò ìíîæåñòâó óðîâíÿ. Òåîðåìà î íåÿâíî çàäàííîé ôóíêöèè íå ðàáîòàåò â îêðåñòíîñòè ýòîé òî÷êè. Êàê èçâåñòíî èç êóðñà ëèíåéíîé àëãåáðû, ðàññìàòðèâàåìîå ìíîæåñòâî óðîâíÿ  êîíóñ, "íåãëàäêèé" â âåðøèíå. Âî âñåõ îñòàëüíûõ ñâîèõ òî÷êàõ îí ÿâëÿåòñÿ ãëàäêîé ïîâåðõíîñòüþ  êàê â ñìûñëå íàøåãî îïðåäåëåíèÿ, òàê è â îáûäåííîì ñìûñëå. Åäèíè÷íûé íàïðàâëåííûé îòðåçîê, ïåðïåíäèêóëÿðíûé êàñàòåëüíîé ïëîñêîñòè, íàçûâàåòñÿ íîðìàëüþ ê ïîâåðõíîñòè â òî÷êå êàñàíèÿ. Èç −−−−→ (12.2.2) âèäíî, ÷òî ∇F (a) ïåðïåíäèêóëÿðåí êàñàòåëüíîé ïëîñêîñòè, ò.å. êîëëèíåàðåí íîðìàëè. Ãîâîðÿò, ÷òî ãðàäèåíò ôóíêöèîíàëà îðòîãîíàëåí ïîâåðõíîñòè óðîâíÿ ýòîãî ôóíêöèîíàëà.

12.3. Óñëîâíûé ýêñòðåìóì  ïðèëîæåíèÿõ ÷àñòî âîçíèêàþò çàäà÷è î íàõîæäåíèè ýêñòðåìóìà ôóíêöèîíàëà ïðè íåêîòîðûõ äîïîëíèòåëüíûõ óñëîâèÿõ, Îäíó èç òàêèõ çàäà÷ ìû ðàññìîòðèì â ýòîì ïóíêòå. Ïóñòü F, G : R3 → R  íåïðåðûâíî äèôôåðåíöèðóåìûå ôóíêöèîíàëû. Òðåáóåòñÿ íàéòè ëîêàëüíûå ýêñòðåìóìû ôóíêöèîíàëà F íà ãëàäêîé ïîâåðõíîñòè óðîâíÿ ôóíêöèîíàëà G, çàäàííîé óðàâíåíèåì G(x) = c. Ïóñòü òî÷êà a ëåæèò íà ýòîé ïîâåðõíîñòè óðîâíÿ. Âñëåäñòâèå ãëàäêîñòè ïîâåðõíîñòè ∇G(a) 6= θ, è ìû ìîæåì ðàçðåøèòü óðàâíåíèå G(x) = c â îêðåñòíîñòè òî÷êè a îòíîñèòåëüíî õîòÿ áû îäíîé èç êîîðäèíàò. Ïóñòü, íàïðèìåð, D3 G(a) 6= 0. Òîãäà ïîâåðõíîñòü G(x) = c â îêðåñòíîñòè òî÷êè a ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ãðàôèê ôóíêöèè x3 = f (x1 , x2 ). Ïîýòîìó íàëè÷èå â òî÷êå a ëîêàëüíîãî ýêñòðåìóìà ó ôóíêöèîíàëà F íà ïîâåðõíîñòè óðîâíÿ ôóíêöèîíàëà G ðàâíîñèëüíî íàëè÷èþ ëîêàëüíîãî ýêñòðåìóìà ó ôóíêöèîíàëà

φ(x1 , x2 ) = F (x1 , x2 , f (x1 , x2 )) â òî÷êå (a1 , a2 ) ∈ R2 . Êàê èçâåñòíî, òî÷êà ëîêàëüíîãî ýêñòðåìóìà ãëàäêîãî ôóíêöèîíàëà φ îáÿçàíà áûòü åãî ñòàöèîíàðíîé òî÷êîé. Òàêèì îáðàçîì ∇φ(a1 , a2 ) = θ. Èç ðèñ.12.8 âèäíî, ÷òî φ0 = (F ◦ ϕ)0 = (F 0 ◦ ϕ) · ϕ0 . 133

x1 = u1

¾ ¾

F

x2 = u2

¾ ¾

¾

u1

¾

u2

ϕ

x3 = f (u1 , u2 )

Ðèñ.12.8 Ïîñêîëüêó (F 0 ◦ ϕ)(u1 , u2 ) = F 0 (u1 , u2 , f (u1 , u2 )) è



 1 0 , ϕ0 (u) =  0 1 D1 f (u) D2 f (u) èìååì

T

·

∇φ(a1 , a2 ) = (φ0 (a1 , a2 )) =

¸ D1 F (a) · 1 + D2 F (a) · 0 + D3 F (a) · D1 f (a1 , a2 ) = . D1 F (a) · 0 + D2 F (a) · 1 + D3 F (a) · D2 f (a1 , a2 ) Îòñþäà

D1 F (a) + D3 F (a) · D1 f (a1 , a2 ) = D2 F (a) + D3 F (a) · D2 f (a1 , a2 ) = 0 Âñïîìèíàÿ ôîðìóëû (12.2.2), ïîëó÷àåì

D1 F (a) − D3 F (a) ·

D2 G(a) D1 G(a) = D2 F (a) − D3 F (a) · =0 D3 G(a) D3 G(a)

èëè

£ ¤ D3 F (a) £ ¤ D1 F (a), D2 F (a), D3 F (a) = · D1 G(a), D2 G(a), D3 G(a) , D3 G(a) èëè

∇F (a) = λ · ∇G(a),

(12.3.1)

D3 F (a)  ÷èñëî. D3 G(a) Åñëè ïðåäïîëîæèòü, ÷òî îòëè÷íà îò íóëÿ äðóãàÿ êîìïîíåíòà âåêòîðà ∇G(a), òî ïîñëå àíàëîãè÷íûõ ïðåîáðàçîâàíèé ïðèäåì îïÿòü ê ñîîòíîøåíèþ (12.3.1).

ãäå λ =

134

Òàêèì îáðàçîì, åñëè âåêòîðû ∇F (a) è ∇G(a) ëèíåéíî íåçàâèñèìû, òî â òî÷êå a ôóíêöèîíàë F íå ìîæåò èìåòü ëîêàëüíîãî ýêñòðåìóìà íà ïîâåðõíîñòè óðîâíÿ ôóíêöèîíàëà G. Òî÷êè ïîâåðõíîñòè G(x) = c, â êîòîðûõ âûïîëíåíî óñëîâèå (12.3.1), íàçûâàþòñÿ ñòàöèîíàðíûìè òî÷êàìè ôóíêöèîíàëà F íà ýòîé ïîâåðõíîñòè. Ìîæíî ïîêàçàòü, ÷òî àíàëîãè÷íûé ðåçóëüòàò èìååò ìåñòî â ïðîñòðàíñòâå ëþáîé ðàçìåðíîñòè: åñëè F, G : Rn → R  íåïðåðûâíî äèôôåðåíöèðóåìûå ôóíêöèîíàëû, à óðàâíåíèå G(x) © ¯ = c çàäàåò ª ãëàäêóþ "ïîâåðõíîñòü" (ò.å. ∇G 6= θ íà ìíîæåñòâå x¯ G(x) = c ), òî â òî÷êàõ ýòîé ïîâåðõíîñòè, ãäå ãðàäèåíòû ∇F è ∇G ëèíåéíî íåçàâèñèìû, ôóíêöèîíàë F íå ìîæåò èìåòü ëîêàëüíîãî ýêñòðåìóìà íà ïîâåðõíîñòè óðîâíÿ ôóíêöèîíàëà G. Ýòî óòâåðæäåíèå íàçûâàåòñÿ òåîðåìîé Ýéëåðà. Ïî èñòîðè÷åñêèì ïðè÷èíàì ðàññìîòðåííóþ çàäà÷ó îáû÷íî íàçûâàþò çàäà÷åé îá ýêñòðåìóìå ôóíêöèîíàëà F ïðè äîïîëíèòåëüíîì óñëîâèè G(x) = c, èëè çàäà÷åé îá óñëîâíîì ýêñòðåìóìå. Âàæíî ïîíèìàòü, ÷òî ýòî ïðîñòî çàäà÷à îá ýêñòðåìóìå íîâîãî ôóíêöèîíàëà (èçìåíÿåòñÿ îáëàñòü îïðåäåëåíèÿ ôóíêöèîíàëà F )! 1 0 -1

−π

(b)

(a)

0

π

(c)

Puc.12.9 Ïðèìåð (ñì. ðèñ.12.9). Èçâåñòíî, ÷òî ëèíåéíûé ôóíêöèîíàë

F : R2 → R;

F (x1 , x2 ) = x1 + x2

(ôðàãìåíò åãî ãðàôèêà  íàêëîííîé ïëîñêîñòè  èçîáðàæåí íà ðèñ.12.9à) íå èìååò ëîêàëüíûõ ýêñòðåìóìîâ. Îäíàêî åñëè ðàññìàòðèâàòü ïîâåäåíèå ýòîãî ôóíêöèîíàëà íå íà âñåé êîîðäèíàòíîé ïëîñêîñòè, à íà îêðóæíîñòè G(x) = x21 + x22 = 1, òî ýêñòðåìóìû ïîÿâëÿþòñÿ. Äåéñòâèòåëüíî, ïàðàìåòðè÷åñêèå óðàâíåíèÿ íàøåé îêðóæíîñòè

x1 = cos(t), x2 = sin(t); 135

t ∈ [−π, π],

ãðàôèê ñóæåíèÿ F íà íåå (ïðîñòðàíñòâåííàÿ êðèâàÿ) èçîáðàæåí íà ðèñ.12.9b, à åãî ðàçâåðòêà  íà ðèñ.12.9c. Òåîðåìà Ýéëåðà èìååò â R2 è R3 ïðîñòóþ ãåîìåòðè÷åñêóþ èíòåðïðåòàöèþ. Ðàíåå (ï.11.7) áûëî ïîêàçàíî, ÷òî ôóíêöèîíàë F íå ìîæåò èìåòü ëîêàëüíîãî ("áåçóñëîâíîãî") ýêñòðåìóìà â òî÷êå a, â êîòîðîé åãî ãðàäèåíò îòëè÷åí îò íóëÿ, òàê êàê F âîçðàñòàåò â íàïðàâëåíèè ãðàäèåíòà ∇F (a) è óáûâàåò â íàïðàâëåíèè àíòèãðàäèåíòà −∇F (a).  çàäà÷å îá óñëîâíîì ýêñòðåìóìå ñèòóàöèÿ îñëîæíÿåòñÿ. Ðàññìîòðèì ñèòóàöèè, ñõåìàòè÷åñêè èçîáðàæåííûå íà ðèñ.12.10.

−−−−→ ∇G(b) −−−−→ 6 ∇F (b) −−−−→ ∇G(a)

½ > ½

½ u

b

½G(x)

½ =½

@ I u¡ @¡ a −−−−→ ¡ @ R∇F (a) @

=c

Ðèñ.12.10 Ìû íå ìîæåì "âûéòè" èç òî÷êè a â ïðîèçâîëüíîì íàïðàâëåíèè, à ìîæåì "äâèãàòüñÿ" òîëüêî ïî ïîâåðõíîñòè G(x) = c. Ïîýòîìó ãðàäèåíò ôóíêöèîíàëà íå îáÿçàí îáðàùàòüñÿ â íóëü â òî÷êå óñëîâíîãî ýêñòðåìóìà ýòîãî ôóíêöèîíàëà. Íî åñëè (êàê â òî÷êå b íà ðèñ.12.10) ïðîåêöèÿ

−−−−→ ∇F (b) íà êàñàòåëüíóþ ïëîñêîñòü íå îáðàùàåòñÿ â íóëü, òî ìîæíî "ïîéòè" èç òî÷êè b ïî ïîâåðõíîñòè â íàïðàâëåíèè ýòîé ïðîåêöèè, è ôóíêöèÿ áóäåò âîçðàñòàòü, à â ïðîòèâîïîëîæíîì íàïðàâëåíèè  óáûâàòü. Ñëåäîâàòåëüíî, â îêðåñòíîñòè òî÷êè b ôóíêöèîíàë F ïðèíèìàåò íà ïîâåðõíîñòè óðîâíÿ çíà÷åíèÿ è áîëüøèå è ìåíüøèå, ÷åì F (b), ò.å. óñëîâíîãî ýêñòðåìóìà â ýòîé òî÷êå íåò. Îáðàùåíèå æå (êàê â òî÷êå −−−−→ a) â íóëü ïðîåêöèè ∇F (a) íà êàñàòåëüíóþ ïëîñêîñòü îçíà÷àåò îðòîãî−−−−→ íàëüíîñòü ∇F (a) ïîâåðõíîñòè óðîâíÿ ôóíêöèîíàëà G. Ïîñêîëüêó, êàê −−−−→ èçâåñòíî (ï.12.2), ∇G(a) çàâåäîìî îðòîãîíàëåí ýòîé ïîâåðõíîñòè, ïîëó−−−−→ −−−−→ ÷àåì, ÷òî ∇F (a) êîëëèíåàðåí ∇G(a), ÷òî è ïðèâîäèò ê (12.3.1). Ïîä÷åðêíåì, ÷òî ýòî ðàññóæäåíèå  íå äîêàçàòåëüñòâî òåîðåìû Ýéëåðà, à èëëþñòðàöèÿ ê íåé. Ñîîòíîøåíèå (12.3.1) ìîæåò áûòü ïåðåïèñàíî òàê: ∇(F − λG) = θ, 136

ò.å. ñòàöèîíàðíûå òî÷êè ôóíêöèîíàëà F íà ïîâåðõíîñòè óðîâíÿ ôóíêöèîíàëà G  ýòî â òî÷íîñòè ñòàöèîíàðíûå òî÷êè ôóíêöèîíàëà F − λG (ñ äîïîëíèòåëüíîé ïåðåìåííîé λ, íàçûâàåìîé ìíîæèòåëåì Ëàãðàíæà). Çàìå÷àíèå. Äëÿ ïîèñêà ñòàöèîíàðíûõ òî÷åê ôóíêöèîíàëà F , êàê èçâåñòíî (ï.11.7), ñëåäóåò ðåøèòü ñèñòåìó èç n óðàâíåíèé ñ n ïåðåìåííûìè: ∇F (x) = θn . Ïîèñê ñòàöèîíàðíûõ òî÷åê ôóíêöèîíàëà F íà ïîâåðõíîñòè óðîâíÿ ôóíêöèîíàëà G ïðèâîäèò ê ñèñòåìå èç n óðàâíåíèé

∇(F − λG)(x) = θn

(12.3.2)

ñ n + 1 ïåðåìåííûìè: x1 , . . . , xn ; λ. Êàæåòñÿ, ÷òî ó íàñ íå õâàòàåò îäíîãî óðàâíåíèÿ. Îäíàêî ñîîòíîøåíèå (12.3.2) äîëæíî âûïîëíÿòüñÿ â òî÷êå óñëîâíîãî ýêñòðåìóìà, íåçàâèñèìî îò òîãî, íà êàêîé èìåííî ïîâåðõíîñòè óðîâíÿ ôóíêöèîíàëà G ìû èùåì ýêñòðåìóì ôóíêöèîíàëà F . Ïîýòîìó ê ñèñòåìå (12.3.2) ìû äîëæíû äîáàâèòü èñõîäíîå óñëîâèå G(x) = c, êîòîðîå è áóäåò "íåäîñòàþùèì" óðàâíåíèåì. Ïðèìåðû. 1. Íàéòè ðàññòîÿíèå îò òî÷êè x(0) ∈ R3 äî ïëîñêîñòè Π : hx, ai = c, a 6= θ3 , íå ïðîõîäÿùåé ÷åðåç ýòó òî÷êó.

¡

¢

Ïî îïðåäåëåíèþ, dist x(0) , Π = min kx(0) − xk. Ìèíèìèçèðóÿ, êàê x∈Π

îáû÷íî, êâàäðàò íîðìû, ïîëó÷èì çàäà÷ó íà óñëîâíûé ýêñòðåìóì: íàéòè ìèíèìóì ôóíêöèîíàëà kx(0) − xk2 ïðè óñëîâèè hx, ai = c. Ñîñòàâèì óðàâíåíèå (12.3.1):

∇kx(0) − xk2 = λ · ∇hx, ai,

èëè

¡ ¢ 2 · x − x(0) = λ · a.

(12.3.3)

−−−−−→

→ Êàê èçâåñòíî, − a ⊥Π. Îòñþäà è èç (12.3.3) ñëåäóåò, ÷òî x − x(0) ⊥Π, è ìû ïîëó÷èëè èçâåñòíûé ðåçóëüòàò: èç âñåõ îòðåçêîâ, ñîåäèíÿþùèõ äàííóþ òî÷êó ñ òî÷êàìè ïëîñêîñòè, íàèìåíüøóþ äëèíó èìååò ïåðïåíäèêóëÿð. (Íà ñàìîì äåëå ìû äîêàçàëè òîëüêî, ÷òî íèêàêîé äðóãîé îòðåçîê íå ìîæåò äàòü ìèíèìóìà; òî, ÷òî ïåðïåíäèêóëÿð äàåò ìèíèìóì, òðåáóåò åùå ïðîâåðêè!). 2. Ïóñòü A  âåùåñòâåííàÿ ñèììåòðè÷íàÿ ìàòðèöà ïîðÿäêà n. Íàéòè ýêñòðåìóìû êâàäðàòè÷íîé ôîðìû hAx, xi íà ñôåðå kxk2 = r2 . Ïîñêîëüêó (ñì. ïðèìåð â ï.11.6) ∇hAx, xi = 2Ax, ∇kxk2 = 2x, ñèñòåìà (12.3.2) ïðèîáðåòàåò âèä (A − λIn )x = θn . 137

Òàêèì îáðàçîì, ñòàöèîíàðíûå òî÷êè êâàäðàòè÷íîé ôîðìû íà ñôåðå  ñîáñòâåííûå âåêòîðû ìàòðèöû ýòîé êâàäðàòè÷íîé ôîðìû, à ìíîæèòåëè Ëàãðàíæà  ñîîòâåòñòâóþùèå ñîáñòâåííûå ÷èñëà. Èç êóðñà ëèíåéíîé àëãåáðû èçâåñòíî, ÷òî ãëîáàëüíûå ýêñòðåìóìû êâàäðàòè÷íîé ôîðìû íà ñôåðå äåéñòâèòåëüíî äîñòèãàþòñÿ íà ñîáñòâåííûõ âåêòîðàõ, ñîîòâåòñòâóþùèõ íàèáîëüøåìó è íàèìåíüøåìó ñîáñòâåííûì ÷èñëàì. Ìîæíî ïîêàçàòü, ÷òî ñîáñòâåííûå âåêòîðû, ñîîòâåòñòâóþùèå îñòàëüíûì ñîáñòâåííûì ÷èñëàì, íå äàþò êâàäðàòè÷íîé ôîðìå äàæå ëîêàëüíûõ óñëîâíûõ ýêñòðåìóìîâ.

138

Ãëàâà 13. ÂÛ×ÈÑËÈÒÅËÜÍÛÅ ÀËÃÎÐÈÒÌÛ, ÈÑÏÎËÜÇÓÞÙÈÅ ÏÐÎÈÇÂÎÄÍÛÅ 13.1. Ðåøåíèå íåëèíåéíûõ óðàâíåíèé è ñèñòåì ìåòîäîì ïðîñòîé èòåðàöèè Ðàññìîòðèì óðàâíåíèå, çàïèñàííîå â ñïåöèàëüíîì âèäå

x = f (x),

(13.1.1)

ãäå f  íåïðåðûâíî äèôôåðåíöèðóåìàÿ ôóíêöèÿ èç R â R. Òåîðåìà 1. Åñëè |f 0 (x)| ≤ q < 1 ïðè âñåõ x ∈ R, òî 1) óðàâíåíèå (13.1.1) èìååò åäèíñòâåííîå ðåøåíèå (îáîçíà÷èì åãî x e); 2) äëÿ ëþáîãî x0 ∈ R ïîñëåäîâàòåëüíîñòü

x1 = f (x0 ), . . . , xk = f (xk−1 ), . . .

(13.1.2)

ñõîäèòñÿ ê x e; 3) |xk − x e| ≤ q k · |x0 − x e|. Äîêàçàòåëüñòâî. Çàìåòèì äëÿ íà÷àëà, ÷òî ïî ôîðìóëå Ëàãðàíæà (ï.10.2) äëÿ âñåõ x, y ∈ R

|f (x) − f (y)| = |f 0 (ξ) · (x − y)| ≤ q · |x − y|

(13.1.3)

(çäåñü ξ  íåêîòîðàÿ òî÷êà ìåæäó x è y ). Äîêàæåì ñóùåñòâîâàíèå ðåøåíèÿ. Åñëè f (0) = 0, òî äîêàçûâàòü íå÷åãî. Åñëè f (0) 6= 0, òî èç (13.1.3) èìååì |f (x) − f (0)| ≤ q · |x|, èëè

f (0) − q · |x| − x ≤ f (x) − x ≤ f (0) + q · |x| − x.

(13.1.4)

Ïðè x b1 = |f (0)|/(1 − q) > 0 ïðàâàÿ ÷àñòü íåðàâåíñòâà (13.1.4) äàñò

f (b x1 ) − x b1 ≤ f (0) + (q − 1) · |f (0)|/(1 − q) = f (0) − |f (0)| ≤ 0. Ïðè x b2 = −|f (0)|/(1 − q) < 0 ëåâàÿ ÷àñòü íåðàâåíñòâà (13.1.4) äàñò

f (b x2 ) − x b2 ≥ f (0) + (1 − q) · |f (0)|/(1 − q) = f (0) + |f (0)| ≥ 0. Òåîðåìà Êîøè (ï.9.2) ãàðàíòèðóåò ñóùåñòâîâàíèå õîòÿ áû îäíîãî ðåøåíèÿ óðàâíåíèÿ f (x) − x = 0 íà ñåãìåíòå [b x2 , x b1 ]. Òåïåðü äîêàæåì åäèíñòâåííîñòü ðåøåíèÿ. Åñëè x e1 è x e2  äâà ðåøåíèÿ óðàâíåíèÿ (13.1.1), òî 139

|e x1 − x e2 | = |f (e x1 ) − f (e x2 )| ≤ q · |e x1 − x e2 |

=⇒

|e x1 − x e2 | · (1 − q) ≤ 0,

îòêóäà x e1 = x e2 . Äàëåå, äëÿ ëþáîãî x0 ∈ R çíà÷åíèÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòè (13.1.2) óäîâëåòâîðÿþò íåðàâåíñòâó

|xk − x e| = |f (xk−1 ) − f (e x)| ≤ q · |xk−1 − x e| ≤ . . . ≤ q k · |x0 − x e|, ò.å. èòåðàöèè ñõîäÿòñÿ ê åäèíñòâåííîìó ðåøåíèþ óðàâíåíèÿ íå ìåäëåííåå, ÷åì ãåîìåòðè÷åñêàÿ ïðîãðåññèÿ ñî çíàìåíàòåëåì q . ¥ Çàìå÷àíèÿ. 1. Îòîáðàæåíèå, óäîâëåòâîðÿþùåå óñëîâèþ (13.1.3), íàçûâàåòñÿ ñæèìàþùèì îòîáðàæåíèåì èëè ñæàòèåì. Èç äîêàçàòåëüñòâà òåîðåìû âèäíî, ÷òî åå óòâåðæäåíèå âåðíî äëÿ ëþáîãî ñæèìàþùåãî îòîáðàæåíèÿ R → R. Âûïîëíåíèå óñëîâèÿ |f 0 (x)| ≤ q < 1 ãàðàíòèðóåò, ÷òî f  ñæàòèå. Ðåøåíèå óðàâíåíèÿ (13.1.1) íàçûâàåòñÿ íåïîäâèæíîé òî÷êîé îòîáðàæåíèÿ f . 2. Óñëîâèå |f 0 (x)| ≤ q < 1 â òåîðåìå íåëüçÿ çàìåíèòü óñëîâèåì |f 0 (x)| < 1. Ïðèâåäåì ïðîñòîé ïðèìåð.

x . Ïîñêîëüêó (x + 1)1/2 |x| < (x2 + 1)1/2 , èìååì |f 0 (x)| < 1. Îäíàêî óðàâíåíèå x = (x2 + 1)1/2 , î÷åâèäíî, íå èìååò ðåøåíèé. Ïóñòü f (x) = (x2 + 1)1/2 . Òîãäà f 0 (x) =

2

Ïðàêòè÷åñêàÿ öåííîñòü äîêàçàííîé òåîðåìû íåâåëèêà  îãðàíè÷åíèÿ, íàêëàäûâàåìûå íà ôóíêöèþ f , ñëèøêîì æåñòêèå. Ïîýòîìó íà ïðàêòèêå óäîáíîé îêàçûâàåòñÿ ñëåäóþùàÿ ëîêàëüíàÿ åå ìîäèôèêàöèÿ.

e  ðåøåíèå óðàâíåíèÿ (13.1.1), ïðè÷åì |f 0 (e x)| < 1. Òåîðåìà 2. Ïóñòü x Òîãäà ñóùåñòâóåò òàêàÿ îêðåñòíîñòü òî÷êè x e, ÷òî ïðè x0 , âçÿòîì èç ýòîé îêðåñòíîñòè, ïîñëåäîâàòåëüíîñòü (13.1.2) ñõîäèòñÿ ê x e. x)| = q < 1.  ñèëó íåïðåðûâíîñòè f 0 Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü |f 0 (e 1+q

íàéäåòñÿ òàêàÿ îêðåñòíîñòü òî÷êè x e, â êîòîðîé |f 0 (x)| ≤ qe = 2 < 1. Åñëè âçÿòü òî÷êó x0 èç ýòîé îêðåñòíîñòè è ïîñòðîèòü ïîñëåäîâàòåëüíîñòü (13.1.2), òî

|x1 − x e| = |f (x0 ) − f (e x)| ≤ qe · |x0 − x e|. Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî x1 ëåæèò â ýòîé æå îêðåñòíîñòè. Ïîýòîìó

|x2 − x e| ≤ qe · |x1 − x e| ≤ qe 2 · |x0 − x e|, è ò.ä. 140

Òàêèì îáðàçîì, åñëè |f 0 (e x)| < 1, òî èòåðàöèîííûé ïðîöåññ (13.1.2), íà÷àòûé èç ëþáîé òî÷êè, ëåæàùåé â íåêîòîðîé îêðåñòíîñòè òî÷êè x e (ðåøåíèÿ óðàâíåíèÿ), ñõîäèòñÿ ê ýòîìó ðåøåíèþ. Íåïîäâèæíóþ òî÷êó x e îòîáðàæåíèÿ f íàçûâàþò â ýòîì ñëó÷àå òî÷êîé ïðèòÿæåíèÿ èòåðàöèîííîãî ïðîöåññà (13.1.2). ¥ Åñëè æå x e  ðåøåíèå óðàâíåíèÿ (13.1.1), íî |f 0 (e x)| > 1, òî â 0 íåêîòîðîé îêðåñòíîñòè òî÷êè x e èìååì |f (x)| > 1, è âçÿâ x0 = 6 x e èç ýòîé îêðåñòíîñòè, ïîëó÷èì

|x1 − x e| = |f (x0 ) − f (e x)| = |f 0 (ξ) · (x0 − x e)| > |x0 − x e|. Òåïåðü ïîñëåäîâàòåëüíîñòü èòåðàöèé "âûòàëêèâàåòñÿ" èç îêðåñòíîñòè òî÷êè x e (ðåøåíèÿ óðàâíåíèÿ). Òàêóþ íåïîäâèæíóþ òî÷êó îòîáðàæåíèÿ f íàçûâàþò òî÷êîé îòòàëêèâàíèÿ èòåðàöèîííîãî ïðîöåññà (13.1.2). Ïðèìåð. Ïóñòü f (x) = exp(ax), a > 0. Óðàâíåíèå x = exp(ax) èìååò ïðè a < 1/e äâà ðåøåíèÿ (ðèñ.13.1). Ïðè ýòîì 0 < f 0 (x1 ) < 1, f 0 (x2 ) > 1, ò.å. x1  òî÷êà ïðèòÿæåíèÿ, à x2  òî÷êà îòòàëêèâàíèÿ èòåðàöèîííîãî ïðîöåññà.  ýòîì íåòðóäíî óáåäèòüñÿ, âûïîëíèâ íåñêîëüêî øàãîâ (õîòÿ áû ñ ïîìîùüþ ìèêðîêàëüêóëÿòîðà). Ïðîäåëàéòå ýòî è íàéäèòå x1 äëÿ êàêîãî-íèáóäü êîíêðåòíîãî çíà÷åíèÿ a.

x1

x2

x˜ = e Ðèñ.13.2

Ðèñ.13.1

Åñëè ôóíêöèÿ f èìååò îáðàòíóþ, òî íåïîäâèæíûå òî÷êè f ÿâëÿþòñÿ è íåïîäâèæíûìè òî÷êàìè f −1 . Èç ôîðìóëû äëÿ ïðîèçâîäíîé îáðàòíîé ôóíêöèè (ï.8.2) ñëåäóåò, ÷òî

(f −1 )0 (e x) =

1 1 ¡ ¢ = . 0 f (e x) f 0 f −1 (e x) 141

Âèäíî, ÷òî òî÷êè îòòàëêèâàíèÿ ôóíêöèè f áóäóò òî÷êàìè ïðèòÿæåíèÿ äëÿ ôóíêöèè f −1 . Íàéäèòå â íàøåì ïðèìåðå x2 , ïðåîáðàçîâàâ óðàâíåíèå

ln(x) a . Çàìå÷àíèå. Ïðè a = 1/e ðåøåíèÿ óðàâíåíèÿ ñëèâàþòñÿ (ðèñ.13.2), ïðè÷åì f 0 (e x) = 1.  ýòîì ñëó÷àå òåîðåìà íå ðàáîòàåò. Ìîæíî ïîêàçàòü, ÷òî â äàííîì ïðèìåðå ïðè x0 < x e = e ïîñëåäîâàòåëüíîñòü (13.1.2) ñõîäèòñÿ ê x e, à ïðè x0 > x e = e  íåò. Ïðè a > 1/e óðàâíåíèå ðåøåíèé íå èìååò. x = exp(ax) ê âèäó x =

Ïî àíàëîãèè ñ óðàâíåíèåì (13.1.1) ðàññìîòðèì ñèñòåìó óðàâíåíèé ñïåöèàëüíîãî âèäà

x = F (x),

x ∈ Rn ,

F : Rn → Rn .

(13.1.5)

Ìîæíî ïîêàçàòü, ÷òî ñïðàâåäëèâ ñëåäóþùèé àíàëîã òåîðåìû 1: Òåîðåìà 1'. Ïóñòü F : Rn → Rn  íåïðåðûâíî äèôôåðåíöèðóåìîå âåêòîðíîå ïîëå, è äëÿ ëþáîãî x ∈ Rn kF 0 (x)k ≤ q < 1 (çäåñü k · k  íîðìà ìàòðèöû). Òîãäà 1) ñèñòåìà (13.1.5) èìååò åäèíñòâåííîå ðåøåíèå (îáîçíà÷èì åãî x e); 2) äëÿ ëþáîãî x(0) ∈ Rn ïîñëåäîâàòåëüíîñòü

x(1) = F (x(0) ), . . . , x(k) = F (x(k−1) ), . . .

(13.1.6)

ñõîäèòñÿ ê x e; 3) kx(k) − x ek ≤ q k · kx(0) − x ek. Ïðèìåð. Ïóñòü F (x) = Ax + b, A  êâàäðàòíàÿ ìàòðèöà ïîðÿäêà n, b ∈ Rn . Ïîñêîëüêó F 0 (x) = A, òåîðåìà â ýòîì ñëó÷àå ñîâïàäàåò ñ èçâåñòíîé èç êóðñà ëèíåéíîé àëãåáðû òåîðåìîé î ñõîäèìîñòè ìåòîäà ïðîñòîé èòåðàöèè. Çàìå÷àíèå. Óñëîâèÿ òåîðåìû ãàðàíòèðóþò, ÷òî îòîáðàæåíèå F ÿâëÿåòñÿ ñæàòèåì. Ìîæíî ïîêàçàòü, ÷òî ëþáîå ñæèìàþùåå îòîáðàæåíèå Rn â ñåáÿ èìååò åäèíñòâåííóþ íåïîäâèæíóþ òî÷êó. Ýòî óòâåðæäåíèå ñïðàâåäëèâî è äëÿ ëþáîãî êîíå÷íîìåðíîãî íîðìèðîâàííîãî ïðîñòðàíñòâà (ò.å. ïðîñòðàíñòâà, â êîòîðîì ââåäåíà íîðìà). Ïðèâåäåì òàêæå àíàëîã òåîðåìû 2 äëÿ ñèñòåì: Òåîðåìà 2'. Ïóñòü íåïðåðûâíî äèôôåðåíöèðóåìîå îòîáðàæåíèå F : R → Rn èìååò íåïîäâèæíóþ òî÷êó x e, è kF 0 (e x)k < 1. Òîãäà x e  òî÷êà ïðèòÿæåíèÿ èòåðàöèîííîãî ïðîöåññà (13.1.6), ò.å. ñóùåñòâóåò òàêàÿ n

142

îêðåñòíîñòü òî÷êè x e, ÷òî äëÿ ëþáîãî x(0) èç íåå ïîñëåäîâàòåëüíîñòü (13.1.6) ñõîäèòñÿ ê ýòîé òî÷êå. Çàìå÷àíèÿ. 1. Òåîðåìû 2 è 2' îáëàäàþò äâóìÿ îáùèìè íåäîñòàòêàìè: âî-ïåðâûõ, íåîáõîäèìî çíàòü çàðàíåå, ÷òî íåïîäâèæíàÿ òî÷êà åñòü; âî-âòîðûõ, íåèçâåñòíà îêðåñòíîñòü, â êîòîðîé ñëåäóåò áðàòü íà÷àëüíîå ïðèáëèæåíèå. 2.  ìíîãîìåðíîì ñëó÷àå íåò ïðîñòîãî ñïîñîáà ïðåâðàòèòü òî÷êó îòòàëêèâàíèÿ ¡â òî÷êó ïðèòÿæåíèÿ (ïåðåõîäîì ê îáðàòíîé ôóíêöèè). ¢ −1 0 Õîòÿ ìàòðèöà F (e x) îáðàòíà ìàòðèöå F 0 (e x), íî èç òîãî, ÷òî kAk > 1, âîâñå íå ñëåäóåò, ÷òî kA−1 k < 1.

13.2. Ìåòîä Íüþòîíà äëÿ ðåøåíèÿ íåëèíåéíûõ óðàâíåíèé è ñèñòåì Íà÷íåì ñ ðàññìîòðåíèÿ îäíîãî óðàâíåíèÿ

f (x) = 0.

(13.2.1)

Ïóñòü x e  ðåøåíèå ýòîãî óðàâíåíèÿ, x0 ∈ R  ïðîèçâîëüíàÿ òî÷êà, è f (x0 ) 6= 0. Çàïèøåì ëåâóþ ÷àñòü óðàâíåíèÿ (13.2.1) ïî ôîðìóëå Òåéëîðà: 0

f 00 (ξ) f (x0 ) + f (x0 ) · (x − x0 ) + · (x − x0 )2 = 0 2 è îòáðîñèì îñòàòî÷íûé ÷ëåí. Ïîëó÷èì ëèíåéíîå óðàâíåíèå 0

f (x0 ) + f 0 (x0 ) · (x − x0 ) = 0,

(13.2.2)

ðåøåíèå êîòîðîãî îáîçíà÷èì x1 :

x1 = x0 −

f (x0 ) . f 0 (x0 )

Åñëè òî÷êà x e ëåæèò äîñòàòî÷íî áëèçêî ê x0 , òî îñòàòî÷íûé ÷ëåí ôîðìóëû Òåéëîðà ìàë ïî ñðàâíåíèþ ñ åå ïåðâûìè ñëàãàåìûìè, è ìîæíî îæèäàòü, ÷òî ðåøåíèÿ óðàâíåíèé (13.2.2) è (13.2.1), ò.å. òî÷êè x1 è x e, áóäóò ìàëî îòëè÷àòüñÿ äðóã îò äðóãà. Ýòî íàâîäèò íà ìûñëü, ÷òî ïîñëåäîâàòåëüíîñòü

x1 = x0 −

f (x0 ) f (xk−1 ) , . . . , xk = xk−1 − 0 ,... 0 f (x0 ) f (xk−1 )

äîëæíà ñõîäèòüñÿ ê x e. 143

(13.2.3)

Äåéñòâèòåëüíî, ðàññìîòðèì óðàâíåíèå

x = φ(x) ≡ x −

f (x) , f 0 (x)

êîòîðîå ðàâíîñèëüíî (13.2.1), åñëè f 0 (e x) 6= 0. Òàê êàê

(f 0 )2 (x) − f (x) · f 00 (x) f (x) · f 00 (x) = , φ (x) = 1 − (f 0 )2 (x) (f 0 )2 (x) 0

òî φ0 (e x) = 0, è ïî òåîðåìå 2 èç ï.13.1 x e  òî÷êà ïðèòÿæåíèÿ èòåðàöèîííîãî ïðîöåññà (13.2.3), ò.å. ïîñëåäîâàòåëüíîñòü (13.2.3) äåéñòâèòåëüíî ñõîäèòñÿ ê ðåøåíèþ óðàâíåíèÿ, åñëè íà÷àëüíîå ïðèáëèæåíèå âçÿòî äîñòàòî÷íî áëèçêî ê ðåøåíèþ. Àëãîðèòì, îñíîâàííûé íà èòåðàöèÿõ ïî ôîðìóëàì (13.2.3), íàçûâàþò àëãîðèòìîì Íüþòîíà39 . Çàìå÷àíèÿ. 1. Ìû äîêàçàëè ñõîäèìîñòü àëãîðèòìà Íüþòîíà, ïðåäïîëàãàÿ íàëè÷èå ó ôóíêöèè âòîðîé ïðîèçâîäíîé. Ìîæíî ïîêàçàòü, ÷òî äëÿ ñõîäèìîñòè äîñòàòî÷íî ñóùåñòâîâàíèÿ ëèøü íåïðåðûâíîé ïåðâîé ïðîèçâîäíîé è îòëè÷èÿ åå îò íóëÿ â òî÷êå-ðåøåíèè. 2. Åñòåñòâåííî, çíàíèå òîãî ôàêòà, ÷òî èñêîìîå ðåøåíèå x e åñòü òî÷êà ïðèòÿæåíèÿ èòåðàöèîííîãî ïðîöåññà (13.2.3), íè÷åãî íàì íå ãîâîðèò îá îêðåñòíîñòè, â êîòîðîé ýòîò ïðîöåññ ñõîäèòñÿ. Îäíàêî àëãîðèòì Íüþòîíà îáëàäàåò ïðèÿòíûì ñâîéñòâîì: îí ñõîäèòñÿ íå âñåãäà, íî åñëè óæ ñõîäèòñÿ, òî îáû÷íî î÷åíü áûñòðî. Ýòî äàåò âîçìîæíîñòü ïðîâîäèòü ìàøèííûé ýêñïåðèìåíò: áðàòü ðàçëè÷íûå íà÷àëüíûå ïðèáëèæåíèÿ x0 è ñìîòðåòü, ñõîäèòñÿ ëè ïîñëåäîâàòåëüíîñòü èòåðàöèé. Ïðèìåð. Ðåøèì óðàâíåíèå arctg(x) = 0. Èòåðàöèîííàÿ ôîðìóëà ïðèíèìàåò âèä

xk = xk−1 −

arctg(xk−1 ) = xk−1 − (1 + x2k−1 ) · arctg(xk−1 ). 0 arctg (xk−1 )

Ïîïðîáóéòå âûïîëíèòü íåñêîëüêî èòåðàöèé, íà÷èíàÿ ñ x0 = 1, à çàòåì  ñ x0 = 1.5. 39 Èñààê

ÍÜÞÒÎÍ (I. Newton, 1643-1727)  êðóïíåéøèé àíãëèéñêèé ìàòåìàòèê, ôèçèê è àñòðîíîì, ïðåçèäåíò Ëîíäîíñêîãî Êîðîëåâñêîãî îáùåñòâà, ÷ëåí Ïàðèæñêîé ÀÍ, îäèí èç îñíîâàòåëåé (íàðÿäó ñ Ã.Â. Ëåéáíèöåì) ìàòåìàòè÷åñêîãî àíàëèçà. Íüþòîíó ïðèíàäëåæèò ñîâðåìåííàÿ ôîðìóëèðîâêà çàêîíîâ êëàññè÷åñêîé ìåõàíèêè è çàêîíà âñåìèðíîãî òÿãîòåíèÿ, à òàêæå âàæíåéøèå îòêðûòèÿ â îïòèêå. 144

Ãåîìåòðè÷åñêàÿ èíòåðïðåòàöèÿ ìåòîäà Íüþòîíà î÷åíü ïðîñòà: óðàâíåíèå y = f (x0 )+f 0 (x0 )·(x−x0 ) îïðåäåëÿåò êàñàòåëüíóþ ê ãðàôèêó ôóíêöèè f â òî÷êå x0 . Ïîýòîìó çàìåíà óðàâíåíèÿ (13.2.1) óðàâíåíèåì (13.2.2) îçíà÷àåò, ÷òî ìû âìåñòî òî÷êè ïåðåñå÷åíèÿ ñ îñüþ àáñöèññ ãðàôèêà ôóíêöèè áåðåì òî÷êó ïåðåñå÷åíèÿ ñ îñüþ àáñöèññ êàñàòåëüíîé ê ýòîìó ãðàôèêó (ðèñ.13.3). Ïîýòîìó ìåòîä Íüþòîíà íàçûâàþò òàêæå ìåòîäîì êàñàòåëüíûõ.

x˜

x1

x0

Ðèñ.13.3 Ïåðåéäåì òåïåðü ê ðàññìîòðåíèþ ñèñòåìû óðàâíåíèé

F (x) = θn ,

(13.2.4)

ãäå x ∈ Rn , F : Rn → Rn  âåêòîðíîå ïîëå. Áóäåì äåéñòâîâàòü àíàëîãè÷íî ñëó÷àþ îäíîãî óðàâíåíèÿ. Ïóñòü x e  ðåøåíèå ñèñòåìû (13.2.4). Åñëè ìàòðèöà F 0 (e x) íå âûðîæäåíà, òî â íåêîòîðîé îêðåñòíîñòè òî÷êè x e ñèñòåìà (13.2.4) ðàâíîñèëüíà ñèñòåìå −1

x = ψ(x) ≡ x − (F 0 (x))

· F (x).

Êàê è â ñëó÷àå îäíîãî óðàâíåíèÿ, ìîæíî ïîêàçàòü, ÷òî ψ 0 (e x) = Θ n (íóëü-ìàòðèöà ðàçìåðà n × n). Ïîýòîìó kψ 0 (e x)k = 0, è ïî òåîðåìå 2' èç ï.13.1 ðåøåíèå x e ÿâëÿåòñÿ òî÷êîé ïðèòÿæåíèÿ èòåðàöèîííîãî ïðîöåññà

x

(k)

=x

(k−1)

³ ´−1 0 (k−1) − F (x ) · F (x(k−1) ).

(13.2.5)

Çàìå÷àíèÿ. 1. Êîíå÷íî, íå ñëåäóåò íà êàæäîì øàãå àëãîðèòìà îáðàùàòü ìàòðèöó F 0 (x(k−1) ). Ñëåäóåò ïðîñòî ðåøèòü ëèíåéíóþ ñèñòåìó F 0 (x(k−1) ) · y = F (x(k−1) ) è ïîëîæèòü x(k) = x(k−1) − y . 2. Ìàòðèöà ßêîáè ψ 0 ñóùåñòâóåò ëèøü ïðè íàëè÷èè âòîðîé ïðîèçâîäíîé (ìàòðèöû Ãåññå) ó âåêòîðíîãî ïîëÿ F . Îäíàêî, êàê è 145

â ñëó÷àå îäíîãî óðàâíåíèÿ, äëÿ ñõîäèìîñòè èòåðàöèîííîãî ïðîöåññà (13.2.5) äîñòàòî÷íî ñóùåñòâîâàíèÿ íåïðåðûâíîé ïåðâîé ïðîèçâîäíîé ýòîãî ïîëÿ (ïðè óñëîâèè, êîíå÷íî, ÷òî íà÷àëüíîå ïðèáëèæåíèå âûáðàíî äîñòàòî÷íî áëèçêî ê ðåøåíèþ). Îñòàåòñÿ òàêæå â ñèëå çàìå÷àíèå 2 ê îäíîìåðíîé çàäà÷å.

13.3. Ïðîèçâîäíàÿ ñêàëÿðíîãî ïîëÿ ïî íàïðàâëåíèþ. Ìåòîä ãðàäèåíòíîãî ñïóñêà Îïðåäåëåíèå. Ïóñòü f : U ⊂ Rn → R  íåïðåðûâíî äèôôåðåíöèðóåìûé ôóíêöèîíàë (ñêàëÿðíîå ïîëå), e ∈ Rn , kek = 1. Ïðîèçâîäíîé ñêàëÿðíîãî ïîëÿ f â òî÷êå a ∈ U ïî íàïðàâëåíèþ âåêòîðà e íàçûâàåòñÿ ÷èñëî

f (a + te) − f (a) . t=0+ t Çàïèøåì ôîðìóëó Òåéëîðà ïåðâîãî ïîðÿäêà äëÿ ôóíêöèè φ(t) = f (a + te): De f (a) = lim

φ(t) − φ(0) = φ0 (ξ)t = f 0 (a + ξe) · et Îòñþäà

(ξ ∈]0, t[).

f 0 (a + ξe) · et = f 0 (a) · e = h∇f (a), ei. De f (a) = lim t=0+ t

Òàêèì îáðàçîì, ïðîèçâîäíàÿ ñêàëÿðíîãî ïîëÿ ïî íàïðàâëåíèþ íåêîòîðîãî âåêòîðà ðàâíà ïðîåêöèè ãðàäèåíòà ýòîãî ïîëÿ íà ýòî íàïðàâëåíèå. Çàìå÷àíèå. Åñëè e = e(k)  âåêòîð èç ñòàíäàðòíîãî áàçèñà, òî De f (a) = Dk f (a)  ÷àñòíàÿ ïðîèçâîäíàÿ ôóíêöèîíàëà f â òî÷êå a ïî ïåðåìåííîé xk . Ïî íåðàâåíñòâó ÊîøèÁóíÿêîâñêîãîØâàðöà (ñì. ï.7.1 ðàçäåëà "Ëèíåéíàÿ àëãåáðà")

|h∇f (a), ei| ≤ k∇f (a)k · kek = k∇f (a)k. −−−−→ → → Ðàâåíñòâî äîñòèãàåòñÿ, êîãäà − e êîëëèíåàðåí ∇f (a). Ïðè ýòîì, åñëè − e −−−−→ − → ñîíàïðàâëåí ∇f (a), òî De f (a) = k∇f (a)k, åñëè æå e ïðîòèâîíàïðàâëåí −−−−→ ∇f (a), òî De f (a) = −k∇f (a)k. Òàêèì îáðàçîì, cêàëÿðíîå ïîëå "áûñòðåå âñåãî âîçðàñòàåò" â íàïðàâëåíèè ñâîåãî ãðàäèåíòà è "áûñòðåå âñåãî óáûâàåò" â íàïðàâëåíèè ñâîåãî àíòèãðàäèåíòà, ò.å. âåêòîðà −∇f (a). Ïðîèçâîäíàÿ ñêàëÿðíîãî ïîëÿ ïî íàïðàâëåíèþ, îðòîãîíàëüíîìó ãðàäèåíòó, ðàâíà íóëþ. 146

Îïèøåì òåïåðü òàê íàçûâàåìûé ìåòîä ãðàäèåíòíîãî ñïóñêà  âû÷èñëèòåëüíûé àëãîðèòì, ïîçâîëÿþùèé íàõîäèòü ëîêàëüíûå ýêñòðåìóìû ôóíêöèîíàëà. Äëÿ îïðåäåëåííîñòè áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî ìû èùåì òî÷êè ëîêàëüíîãî ìèíèìóìà (äëÿ ïîèñêà ìàêñèìóìà ñëåäóåò ïðîñòî çàìåíèòü f íà (−f )). Òàêæå ïðåäïîëîæèì, êàê îáû÷íî, ÷òî ôóíêöèîíàë íåïðåðûâíî äèôôåðåíöèðóåì íà Rn . Àëãîðèòì. 1. Âçÿòü ïðîèçâîëüíóþ òî÷êó x(0) ∈ Rn . 2. Âû÷èñëèòü ∇f (x(0) ). 3. Åñëè ∇f (x(0) ) = θn , òî x(0)  ñòàöèîíàðíàÿ òî÷êà. Åñëè îíà ÿâëÿåòñÿ òî÷êîé ìèíèìóìà, òî ðàáîòà àëãîðèòìà çàêîí÷åíà. Èíà÷å ñëåäóåò âçÿòü íîâóþ íà÷àëüíóþ òî÷êó è ïåðåéòè ê ï.2. Åñëè ∇f (x(0) ) 6= θn , òî ïîñòðîèòü ¡ ñóæåíèå ¢ f íà ëó÷ ñ íà÷àëîì â (0) òî÷êå x è íàïðàâëÿþùèì âåêòîðîì −∇f (a) :

¡ ¢ ψ(t) = f x(0) − t · ∇f (x(0) ) ,

t ≥ 0.

4. Âûéäÿ èç òî÷êè x(0) , äâèãàòüñÿ ïî ëó÷ó x = x(0) − t · ∇f (x(0) ) äî òåõ ïîð, ïîêà ôóíêöèîíàë óáûâàåò, ò.å. ñëåäóåò íàéòè t0  íàèìåíüøèé ïîëîæèòåëüíûé êîðåíü óðàâíåíèÿ

ψ 0 (t) = 0 èëè

¡ ¢ − f 0 x(0) − t · ∇f (x(0) ) · ∇f (x(0) ) = 0.

Åñëè ýòî óðàâíåíèå íå èìååò ïîëîæèòåëüíûõ êîðíåé, òî ðàáîòà àëãîðèòìà çàêîí÷åíà  ìèíèìóì íå íàéäåí. 5. Çàìåíèòü x(0) íà x(0) − t0 · ∇f (x(0) ) è ïåðåéòè ê ï.2. Èäåÿ àëãîðèòìà ÷ðåçâû÷àéíî ïðîñòà: íà êàæäîì åãî øàãå "âûõîäÿò" èç òî÷êè x(0) â íàïðàâëåíèè àíòèãðàäèåíòà (íàïðàâëåíèè íàèñêîðåéøåãî óáûâàíèÿ ôóíêöèîíàëà â òî÷êå x(0) ) è äâèæóòñÿ äî òåõ ïîð, ïîêà ôóíêöèîíàë â ýòîì íàïðàâëåíèè óáûâàåò. Êîíå÷íî, àëãîðèòì íå ãàðàíòèðóåò íàõîæäåíèå ëîêàëüíîãî ìèíèìóìà, òàê êàê, âî-ïåðâûõ, ýòîò ìèíèìóì ìîæåò ïðîñòî îòñóòñòâîâàòü, à âîâòîðûõ, ìû ìîæåì åãî "íå òàì èñêàòü". Îäíàêî îáñóæäåíèå òåõíè÷åñêèõ ïðîáëåì âûõîäèò çà ðàìêè íàøåãî êóðñà.

147

Ãëàâà 14. ÈÍÒÅÃÐÀË ÐÈÌÀÍÀ 14.1. Ñóììû Äàðáó. Îïðåäåëåíèå èíòåãðàëà  ýòîì ïóíêòå ìû áóäåì ðàññìàòðèâàòü âåùåñòâåííûå, êóñî÷íî íåïðåðûâíûå ôóíêöèè, çàäàííûå íà íåêîòîðîì ñåãìåíòå. Íàïîìíèì, ÷òî ôóíêöèÿ íàçûâàåòñÿ êóñî÷íî íåïðåðûâíîé íà ñåãìåíòå, åñëè îíà  èëè íåïðåðûâíà íà ýòîì ñåãìåíòå,  èëè èìååò íà ýòîì ñåãìåíòå êîíå÷íîå ÷èñëî òî÷åê ðàçðûâà è âî âñåõ ýòèõ òî÷êàõ ñóùåñòâóþò êîíå÷íûå îäíîñòîðîííèå ïðåäåëû. Ìû áóäåì ãîâîðèòü î ðàçáèåíèè ñåãìåíòà [a, b], åñëè íà ýòîì ñåãìåíòå çàäàíà ñåòêà, ñîäåðæàùàÿ êîíöû ñåãìåíòà  òî÷êè a è b. Çàïèñûâàòü ðàçáèåíèå P ìû áóäåì òàê:

© ª P = x0 , x 1 , . . . , x n . Çäåñü a = x0 < x1 < . . . < xn = b. Èòàê, ïóñòü íà ñåãìåíòå [a, b] çàäàíà êóñî÷íî íåïðåðûâíàÿ âåùåñòâåííàÿ ôóíêöèÿ f . Âîçüìåì êàêîå-íèáóäü ðàçáèåíèå P ýòîãî ñåãìåíòà. Îáîçíà÷èì

Jk = [xk−1 , xk ];

© ª mk = inf f (x) ; x∈Jk

© ª Mk = sup f (x) ;

k = 1, . . . , n.

x∈Jk

Íàçîâåì íèæíåé ñóììîé Äàðáó40 ôóíêöèè f ïðè ðàçáèåíèè P ÷èñëî

L(f, P ) = m1 (x1 − x0 ) + . . . + mn (xn − xn−1 ) =

n X

mk (xk − xk−1 ),

k=1

à âåðõíåé ñóììîé Äàðáó ôóíêöèè f ïðè ðàçáèåíèè P ÷èñëî

U (f, P ) = M1 (x1 − x0 ) + . . . + Mn (xn − xn−1 ) =

n X

Mk (xk − xk−1 ).

k=1

Ïðèìåð. (Ðèñ.14.1). f : [0, 3] → R;

  x + 1 ïðè 0 ≤ x < 1; f (x) = x ïðè 1 ≤ x ≤ 2;  3(x − 2) ïðè 2 < x ≤ 3. 40 Æàí

Ãàñòîí ÄÀÐÁÓ (J.G. Darboux, 1842-1917)  ôðàíöóçñêèé ìàòåìàòèê, ÷ëåí Ïàðèæñêîé ÀÍ, ÷ëåí-êîðð. Ïåòåðáóðãñêîé ÀÍ. 148

3

u

2 1

³³

³ ³³

³³

³³ u r

r

³ ³³

¡ ¡

u ³³

³³

¡

u ³³

1

¡ ¡

¡

¡ ¡ ¡

r

Ðèñ.14.1

r

2

3

ª

©

2, 3, 3 . Âîçüìåì ðàçáèåíèå P = 0, 3 2 2 5 Íà ñåãìåíòå J1 = [0, 3 ] èìååì m1 = f (0) = 1, M1 = f ( 2 3) = 3. ©

ª

©

ª

2 , 3 ] íàèáîëüøåãî çíà÷åíèÿ íåò, íî sup f (x) = Íà ñåãìåíòå J2 = [ 3 2 x∈J2 lim f (x) = 2; ïîýòîìó M2 = 2. Äàëåå, m2 = f (1) = 1.

x=1−

3 , 3] íàèìåíüøåãî çíà÷åíèÿ íåò, íî inf f (x) = Íà ñåãìåíòå J3 = [ 2 x∈J3 lim f (x) = 0; ïîýòîìó m3 = 0. Äàëåå, M3 = f (3) = 3.

x=2+

Âû÷èñëÿåì ñóììû Äàðáó:

2 3 2 3 3 L(f, P ) = 1 · ( − 0) + 1 · ( − ) + 0 · (3 − ) = , 3 2 3 2 2 5 2 3 2 3 131 U (f, P ) = · ( − 0) + 2 · ( − ) + 3 · (3 − ) = . 3 3 2 3 2 18 Óñòàíîâèì íåêîòîðûå ñâîéñòâà ñóìì Äàðáó. 1. L(f, P ) ≤ U (f, P ). Äîêàçàòåëüñòâî. Î÷åâèäíî èç ïîñòðîåíèÿ. 2. Ïðè äîáàâëåíèè ê ñåòêå íîâîé òî÷êè âåðõíÿÿ ñóììà Äàðáó íå óâåëè÷èâàåòñÿ, à íèæíÿÿ  íå óìåíüøàåòñÿ. e

xk−1 e

xk−1 Jk0

e

Jk u

xk Jk00

x e

Ðàçáèåíèå P

e

xk

Ðàçáèåíèå P1

Ðèñ.14.2 Äîêàçàòåëüñòâî. Íà ðèñ.14.2 èçîáðàæåíû ðàçáèåíèå P è ïîëó÷åííîå èç íåãî äîáàâëåíèåì òî÷êè x e ðàçáèåíèå P1 . Î÷åâèäíî, ÷òî âåðõíèå ñóììû Äàðáó äëÿ ýòèõ ðàçáèåíèé îòëè÷àþòñÿ ëèøü òåì, ÷òî U (f, P1 ) âìåñòî 149

îäíîãî ñëàãàåìîãî Mk (x äâà: Mk0 (e x −xk−1 )+Mk00 (xk −e x) k −xk−1 ) ñîäåðæèò © ª © ª 0 00 (çäåñü Mk = sup f (x) , Mk = sup f (x) ). x∈Jk0

x∈Jk00

Ïîýòîìó

U (f, P ) − U (f, P1 ) = Mk (xk − xk−1 ) − (Mk00 (xk − x e) + Mk0 (e x − xk−1 )) = = Mk ((xk − x e) + (e x − xk−1 )) − Mk00 (xk − x e) − Mk0 (e x − xk−1 ) = = (Mk − Mk00 ) · (xk − x e) + (Mk − Mk0 ) · (e x − xk−1 ). Ñåãìåíòû Jk0 è Jk00 ñóòü ÷àñòè ñåãìåíòà Jk . Ïîýòîìó Mk0 ≤ Mk è Mk00 ≤ Mk . Îòñþäà U (f, P ) − U (f, P1 ) ≥ 0, ò.å. U (f, P1 ) ≤ U (f, P ). Àíàëîãè÷íî äîêàçûâàåòñÿ, ÷òî L(f, P1 ) ≥ L(f, P ). ¥ Çàìå÷àíèå. Î÷åâèäíî, ÷òî ýòî ñâîéñòâî âûïîëíÿåòñÿ äîáàâëåíèþ ê ðàçáèåíèþ ëþáîãî êîíå÷íîãî êîëè÷åñòâà òî÷åê.

ïðè

3. Äëÿ ëþáûõ ðàçáèåíèé P1 è P2

L(f, P1 ) ≤ U (f, P2 ). Äîêàçàòåëüñòâî. Åñëè P1 = P2 , òî íåðàâåíñòâî î÷åâèäíî (ïî ïîñòðîåíèþ). Åñëè P1 6= P2 , òî ïîñòðîèì ðàçáèåíèå P , ñîäåðæàùåå âñå òî÷êè P1 è âñå òî÷êè P2 . Òîãäà íà îñíîâàíèè ñâîéñòâà 2

L(f, P1 ) ≤ L(f, P ),

U (f, P ) ≤ U (f, P2 ).

Ó÷èòûâàÿ, ÷òî L(f, P ) ≤ U (f, P ), ïîëó÷èì L(f, P1 ) ≤ U (f, P2 ).

¥

Ïîäâåäåì èòîãè. Íàèìåíüøåå êîëè÷åñòâî òî÷åê â ñåòêå  äâå. Ñîîòâåòñòâóþùåå "ðàçáèåíèå" ñåãìåíòà [a, b] ñîäåðæèò åäèíñòâåííûé ñåãìåíò J1 = [a, b]. Ýòîìó ðàçáèåíèþ ñîîòâåòñòâóþò íàèìåíüøàÿ íèæíÿÿ ñóììà Äàðáó m(b ñóììà Äàðáó M (b − a) (çäåñü © − a)ª è íàèáîëüøàÿ © âåðõíÿÿ ª m = inf f (x) , M = sup f (x) ). x∈[a,b]

x∈[a,b]

Åñëè èñêëþ÷èòü òðèâèàëüíûé ñëó÷àé ôóíêöèè-êîíñòàíòû, êîãäà m = M , òî ìíîæåñòâî âñåõ (êàê âåðõíèõ, òàê è íèæíèõ) ñóìì Äàðáó ñîäåðæèòñÿ©â ñåãìåíòå ª [m(b − a),©M (b − a)] ª è ïîòîìó îãðàíè÷åíî. Ïóñòü L(f ) = sup L(f, P ) , U (f ) = inf U (f, P ) . Âîçìîæíû äâà ñëó÷àÿ: 1. Íà ñåãìåíòå [m(b − a), M (b − a)] åñòü "ïóñòîé" ïðîìåæóòîê, ðàçäåëÿþùèé âåðõíèå è íèæíèå ñóììû Äàðáó (ðèñ.14.3a). 2. Íà ñåãìåíòå [m(b − a), M (b − a)] åñòü åäèíñòâåííàÿ òî÷êà, ðàçäåëÿþùàÿ âåðõíèå è íèæíèå ñóììû Äàðáó (ðèñ.14.3b). 150

m(b − a) (a)

L(f )

r

U (f )

r

L(f, P )

r

r

r

U (f, P )

íåò ñóìì Äàðáó

m(b − a) (b)

M (b − a)

L(f ) = U (f )

M (b − a)

r

L(f, P )

U (f, P )

r

Ðèñ.14.3

Ìîæíî ïîêàçàòü, ÷òî ñïðàâåäëèâà ñëåäóþùàÿ Òåîðåìà. Åñëè f  âåùåñòâåííàÿ, êóñî÷íî íåïðåðûâíàÿ íà [a, b] ôóíêöèÿ, òî ñóùåñòâóåò åäèíñòâåííîå ÷èñëî L(f ) = U (f ), óäîâëåòâîðÿþùåå íåðàâåíñòâó

L(f, P ) ≤ L(f ) = U (f ) ≤ U (f, P ) ïðè ëþáîì ðàçáèåíèè P . Ýòî ÷èñëî íàçûâàþò èíòåãðàëîì Ðèìàíà ôóíêöèè f ïî ñåãìåíòó [a, b] è îáîçíà÷àþò

Zb

f. a

Íå èìåÿ âîçìîæíîñòè â ðàìêàõ íàøåãî êóðñà äîêàçàòü ýòó òåîðåìó, ïîêàæåì, ÷òî òðåáîâàíèå êóñî÷íîé íåïðåðûâíîñòè ôóíêöèè ñóùåñòâåííî. Ðàññìîòðèì îäèí "ïàòîëîãè÷åñêèé" ïðèìåð  òàê íàçûâàåìóþ ôóíêöèþ Äèðèõëå:

½ 1, åñëè x  ðàöèîíàëüíîå ÷èñëî; f (x) = 0, åñëè x  èððàöèîíàëüíîå ÷èñëî.

f : [0, 1] → R,

Ãðàôèê ýòîé ôóíêöèè ìîæíî ïðåäñòàâèòü ñåáå òàê: ñëåäóåò "âûíóòü" èç îòðåçêà [0, 1] ÷èñëîâîé îñè âñå òî÷êè ñ ðàöèîíàëüíûìè êîîðäèíàòàìè è ïîäíÿòü ýòè òî÷êè ââåðõ íà îäíó åäèíèöó äëèíû. Ïîëó÷àòñÿ äâà "äûðÿâûõ" îòðåçêà (ðèñ.14.4). r

Ðàöèîíàëüíûå ÷èñëà

r b

r

b

r

r

r

r

Èððàöèîíàëüíûå ÷èñëà b

b

b

Ðèñ.14.4 151

b

b

r

Âîçüìåì ïðîèçâîëüíîå ðàçáèåíèå ñåãìåíòà [0, 1]. Íà ëþáîì ýëåìåíòàðíîì ñåãìåíòå Jk ýòîãî ðàçáèåíèÿ íàéäóòñÿ è ðàöèîíàëüíûå, è èððàöèîíàëüíûå òî÷êè, ò.å. ìíîæåñòâî çíà÷åíèé ôóíêöèè Äèðèõëå íà Jk áóäåò ñîñòîÿòü èç äâóõ ÷èñåë  íóëÿ è åäèíèöû. Ïîýòîìó mk ≡ 0, Mk ≡ 1. Èòàê, âñå íèæíèå ñóììû Äàðáó äëÿ ôóíêöèè Äèðèõëå ðàâíû íóëþ, à âñå âåðõíèå  åäèíèöå. Äëÿ ýòîé ôóíêöèè èíòåãðàë Ðèìàíà íå ñóùåñòâóåò! Çàìå÷àíèÿ. 1. Ñèìâîë

Zb f a

ñîäåðæèò âñå íåîáõîäèìûå ñâåäåíèÿ îá èíòåãðàëå Ðèìàíà. Ôóíêöèþ f îáû÷íî íàçûâàþò ïîäûíòåãðàëüíîé ôóíêöèåé, à ÷èñëà a è b  êîíöû ñåãìåíòà  ïðåäåëàìè èíòåãðèðîâàíèÿ ( a  íèæíèì, b  âåðõíèì). Îòìåòèì (íà âñÿêèé ñëó÷àé), ÷òî â ýòîì êîíòåêñòå ñëîâî "ïðåäåë" íè÷åãî îáùåãî ñ ïîíÿòèåì "ïðåäåë ôóíêöèè" íå èìååò! Ïî òðàäèöèè ñèìâîë èíòåãðàëà Ðèìàíà (èëè, êàê åãî åùå äî ñèõ ïîð íàçûâàþò, "îïðåäåëåííîãî èíòåãðàëà") çàïèñûâàþò òàê:

Zb f (x) dx, a

à áóêâó x íàçûâàþò "ïåðåìåííàÿ èíòåãðèðîâàíèÿ"41 . Î÷åâèäíî, íå õóæå âûãëÿäÿò çàïèñè

Zb

Zb f (Û) dÛ,

f (y) dy, a

Zb

a

f (·) d(·),

...

a

Îòìåòèì, ÷òî â ñëó÷àå ôóíêöèè íåñêîëüêèõ ïåðåìåííûõ òàêîå îáîçíà÷åíèå îêàçûâàåòñÿ öåëåñîîáðàçíûì. Íàïðèìåð, â âûðàæåíèè

Zb f (x, y)dy a 41 Âñòðå÷àëèñü

äàæå "òåîðåìû" ïåðåìåííîé èíòåãðèðîâàíèÿ.

î íåçàâèñèìîñòè èíòåãðàëà îò îáîçíà÷åíèÿ 152

âèäíî, ÷òî ïåðåìåííàÿ x ôèêñèðîâàíà, è f ðàññìàòðèâàåòñÿ êàê ôóíêöèÿ îäíîé ïåðåìåííîé  y . 2. Ïåðâîíà÷àëüíî îïðåäåëåíèå èíòåãðàëà Ðèìàíà áûëî äðóãèì  ÷åðåç ïðåäåë èíòåãðàëüíûõ ñóìì. Íàçîâåì ðàíãîì ðàçáèåíèÿ P ÷èñëî λ(P ) = max(xk − xk−1 )  íàèk

áîëüøóþ èç äëèí ýëåìåíòàðíûõ ñåãìåíòîâ ýòîãî ðàçáèåíèÿ, à èíòåãðàëüíîé ñóììîé  ÷èñëî

S(f, P ) =

n X

f (ξk ) · (xk − xk−1 ),

k=1

ãäå ξk  êàêàÿ-íèáóäü òî÷êà íà ñåãìåíòå [xk−1 , xk ]. Îáðàòèòå âíèìàíèå íà òî, ÷òî ïðè çàäàííîì ðàçáèåíèè ìîæíî ïîñòðîèòü ñêîëüêî óãîäíî èíòåãðàëüíûõ ñóìì, âàðüèðóÿ òî÷êè ξk , â êîòîðûõ âû÷èñëÿþòñÿ çíà÷åíèÿ ôóíêöèè. Ìîæíî ïîêàçàòü, ÷òî èìååò ìåñòî Òåîðåìà. Ïóñòü f êóñî÷íî íåïðåðûâíà íà ñåãìåíòå. Òîãäà äëÿ âñÿêîãî ïîëîæèòåëüíîãî ÷èñëà ε ìîæíî óêàçàòü òàêîå ïîëîæèòåëüíîå ÷èñëî δ , ÷òî ïðè ëþáîì ðàçáèåíèè, ðàíã êîòîðîãî ìåíüøå, ÷åì δ , âñå èíòåãðàëüíûå ñóììû îòëè÷àþòñÿ îò èíòåãðàëà Ðèìàíà ìåíüøå, ÷åì íà ε, ò.å.

λ(P ) < δ

=⇒

¯ ¯S(f, P ) −

Zb

¯ f ¯ < ε.

a

Ýòîò ëþáîïûòíûé ôàêò ìû â äàëüíåéøåì èñïîëüçîâàòü íå áóäåì. 3.  ìàòåìàòèêå ñóùåñòâóþò äðóãèå êîíñòðóêöèè, â íàçâàíèè êîòîðûõ ïðèñóòñòâóåò ñëîâî "èíòåãðàë" (èíòåãðàë Ëåáåãà, èíòåãðàë Ðàäîíà...). Ïîñêîëüêó â íàøåì êóðñå ðàññìàòðèâàåòñÿ òîëüêî èíòåãðàë Ðèìàíà, ìû áóäåì èíîãäà ïîçâîëÿòü ñåáå ãîâîðèòü ïðîñòî "èíòåãðàë ïîäðàçóìåâàÿ èíòåãðàë Ðèìàíà. Êðîìå òîãî, åñëè íå îãîâîðåíî ïðîòèâíîå, ìû áóäåì ñ÷èòàòü ïî óìîë÷àíèþ, ÷òî ïîäûíòåãðàëüíàÿ ôóíêöèÿ  âåùåñòâåííàÿ. 4. Åñëè f = const, òî ïðè ëþáîì ðàçáèåíèè P ñåãìåíòà [a, b] èìååì L(f, P ) = U (f, P ) = const · (b − a) è, ñëåäîâàòåëüíî,

Zb const = const · (b − a). a

153

14.2. Ôèçè÷åñêèå è ãåîìåòðè÷åñêèå èíòåðïðåòàöèè èíòåãðàëà Ðèìàíà  ýòîì ïóíêòå ìû ðàññìîòðèì òðè ñîäåðæàòåëüíûå çàäà÷è, ïðèâîäÿùèå ê èíòåãðàëó Ðèìàíà. Çàäà÷à 1. Ýëåêòðè÷åñêèé çàðÿä ðàñïðåäåëåí âäîëü ñòåðæíÿ äëèíû L ñ ëèíåéíîé ïëîòíîñòüþ ρ (êóëîíîâ íà ìåòð). Íàéòè ïîëíûé çàðÿä ñòåðæíÿ. Ñîâìåñòèì íà÷àëî êîîðäèíàò ñ íà÷àëîì ñòåðæíÿ. Òîãäà êîíåö ñòåðæíÿ áóäåò èìåòü êîîðäèíàòó x = L, è ïî óñëîâèþ çàäà÷è íà ñåãìåíòå [0, L] áóäåò îïðåäåëåíà âåùåñòâåííàÿ ôóíêöèÿ x → ρ(x). Áóäåì ñ÷èòàòü åå êóñî÷íî íåïðåðûâíîé (íàì íå óäàëîñü ïðèäóìàòü ðåàëüíóþ ôèçè÷åñêóþ çàäà÷ó, ãäå ýòî óñëîâèå íå âûïîëíåíî). Âîçüìåì ïðîèçâîëüíîå ðàçáèåíèå ñåãìåíòà [0, L]

© ª P = 0 = x0 , . . . , xk−1 , xk , . . . , xn = L .

Îáîçíà÷èì

Jk = [xk−1 , xk ];

© ª mk = inf ρ(x) ;

© ª Mk = sup ρ(x) ;

x∈Jk

k = 1, . . . , n.

x∈Jk

Âåðõíÿÿ ñóììà Äàðáó U (ρ, P ) =

n P k=1

Mk (xk − xk−1 ) ìîæåò ðàññìà-

òðèâàòüñÿ êàê ïîëíûé çàðÿä ñòåðæíÿ ïðè êóñî÷íî ïîñòîÿííîé ïëîòíîñòè ðàñïðåäåëåíèÿ (íà êàæäîì ýëåìåíòàðíîì ñåãìåíòå Jk ïëîòíîñòü ïîñòîÿííà è ðàâíà Mk ). Àíàëîãè÷íî, íèæíþþ ñóììó Äàðáó ìîæíî ðàññìàòðèâàòü êàê ïîëíûé çàðÿä ñòåðæíÿ ñ êóñî÷íî ïîñòîÿííîé ïëîòíîñòüþ ðàñïðåäåëåíèÿ, íî òåïåðü íà êàæäîì ýëåìåíòàðíîì ñåãìåíòå ïëîòíîñòü ðàñïðåäåëåíèÿ çàðÿäà ðàâíà mk . Î÷åâèäíî (äëÿ ôèçèêà) íåðàâåíñòâî, êîòîðîìó äîëæíî óäîâëåòâîðÿòü ÷èñëî Q (çàðÿä ñòåðæíÿ) ïðè ëþáîì ðàçáèåíèè P :

L(ρ, P ) ≤ Q ≤ U (ρ, P ). Îäíàêî èçâåñòíî, ÷òî ñóùåñòâóåò åäèíñòâåííîå ÷èñëî, îáëàäàþùåå òàêèì ñâîéñòâîì, è ýòî ÷èñëî  èíòåãðàë îò ôóíêöèè ρ ïî ñåãìåíòó [0, L]. Òàêèì îáðàçîì,

ZL

Q=

ρ. 0

154

Çàäà÷à 2. Ïëîñêàÿ ôèãóðà îãðàíè÷åíà îñüþ àáñöèññ, ïðÿìûìè x = a è x = b è ãðàôèêîì íåîòðèöàòåëüíîé íåïðåðûâíîé ôóíêöèè f (ðèñ.14.5). Íàéòè ïëîùàäü ýòîé "êðèâîëèíåéíîé òðàïåöèè".

a

xk−1 xk Ðèñ.14.5

b

Âîçüìåì ïðîèçâîëüíîå ðàçáèåíèå ñåãìåíòà [a, b]

© ª P = a = x0 , . . . , xk−1 , xk , . . . , xn = b .

Âåðõíÿÿ ñóììà Äàðáó ôóíêöèè f äëÿ ýòîãî ðàçáèåíèÿ ìîæåò áûòü èñòîëêîâàíà êàê ïëîùàäü "ñòóïåí÷àòîé ôèãóðû ñîñòàâëåííîé èç ïðÿìîóãîëüíèêîâ, îñíîâàíèÿìè êîòîðûõ ñëóæàò ýëåìåíòàðíûå ñåãìåíòû ðàçáèåíèÿ, à âûñîòàìè  íàèáîëüøèå îðäèíàòû ãðàôèêà íà ýòèõ ñåãìåíòàõ. Àíàëîãè÷íî, íèæíÿÿ ñóììà Äàðáó  ïëîùàäü ñòóïåí÷àòîé ôèãóðû, ñîñòàâëåííîé èç ïðÿìîóãîëüíèêîâ ñ òåìè æå îñíîâàíèÿìè, íî âûñîòû òåïåðü  íàèìåíüøèå îðäèíàòû ãðàôèêà. Î÷åâèäíî (äëÿ ãåîìåòðà) íåðàâåíñòâî, êîòîðîìó äîëæíî óäîâëåòâîðÿòü ÷èñëî S (ïëîùàäü ôèãóðû) ïðè ëþáîì ðàçáèåíèè P :

L(f, P ) ≤ S ≤ U (f, P ). Îäíàêî èçâåñòíî, ÷òî ñóùåñòâóåò åäèíñòâåííîå ÷èñëî, îáëàäàþùåå òàêèì ñâîéñòâîì, è ýòî ÷èñëî  èíòåãðàë îò ôóíêöèè f ïî ñåãìåíòó [a, b]. Òàêèì îáðàçîì,

Zb

S=

f. a

Çàäà÷à 3. Çàäàí êóñî÷íî ãëàäêèé ïóòü r : [a, b] → R3 . Íàéòè äëèíó ýòîãî ïóòè. Âîçüìåì ïðîèçâîëüíîå ðàçáèåíèå ñåãìåíòà [a, b]

© ª P = a = t0 , . . . , tk−1 , tk , . . . , tn = b . 155

Åñëè áû íà Jk = [tk−1 , tk ] ñêîðîñòü r0 áûëà ïîñòîÿííîé, òî, î÷åâèäíî, äëèíà ïóòè, ïðîéäåííîãî ñ ìîìåíòà tk−1 äî ìîìåíòà tk , áûëà áû ðàâíà kr0 k · (tk − tk−1 ). Äàëåå, î÷åâèäíî (äëÿ ôèçèêà), ÷òî èñòèííàÿ äëèíà ïóòè, ïðîéäåííîãî ñ ìîìåíòà tk−1 äî ìîìåíòà tk , äîëæíà óäîâëåòâîðÿòü íåðàâåíñòâó

© ª © ª inf kr0 (t)k · (tk − tk−1 ) ≤ Sk ≤ sup kr0 (t)k · (tk − tk−1 ).

t∈Jk

t∈Jk

Ñêëàäûâàÿ òàêèå íåðàâåíñòâà ïî âñåì k = 1, . . . , n, ïîëó÷èì íåðàâåíñòâî

L(kr0 k, P ) ≤ S ≤ U (kr0 k, P ), êîòîðîå äîëæíî âûïîëíÿòüñÿ äëÿ ëþáîãî ðàçáèåíèÿ P . Ïîñêîëüêó äëÿ êóñî÷íî íåïðåðûâíîé (ïî îïðåäåëåíèþ êóñî÷íî ãëàäêîãî ïóòè) ôóíêöèè kr0 k ýòîìó íåðàâåíñòâó óäîâëåòâîðÿåò òîëüêî èíòåãðàë Ðèìàíà, ìû ïðèõîäèì ê ôîðìóëå

Zb S=

Zb q (r10 )2 + (r20 )2 + (r30 )2 . kr0 k =

a

(14.2.1)

a

Çàìå÷àíèÿ. 1.  ñëó÷àå, êîãäà ïóòü ïëîñêèé, âûðàæåíèå ïîä êîðíåì â (14.2.1), åñòåñòâåííî, ñîäåðæèò äâà ñëàãàåìûõ. 2. Åñëè îòîáðàæåíèå r çàäàåò ãëàäêóþ êðèâóþ, äëèíà ïóòè íàçûâàåòñÿ òàêæå äëèíîé êðèâîé. Ïðèìåð. Êàê èçâåñòíî, ãðàôèê íåïðåðûâíî äèôôåðåíöèðóåìîé ôóíêöèè f : [a, b] → R  ãëàäêàÿ êðèâàÿ (ñì. ïðèìåð â ï.11.2). Äëÿ ýòîãî ñëó÷àÿ ôîðìóëà (14.2.1) ïåðåïèøåòñÿ òàê:

S=

Zb p

1 + (f 0 )2 .

a

Ðàññìîòðåííûå ïðèìåðû äåìîíñòðèðóþò, êàê ðàçëè÷íûå ïî ñîäåðæàíèþ ïðèêëàäíûå çàäà÷è ñâîäÿòñÿ ê îäíîé è òîé æå ìàòåìàòè÷åñêîé ìîäåëè  èíòåãðàëó Ðèìàíà.

14.3. Ïðîñòåéøèå ñâîéñòâà èíòåãðàëà Ðèìàíà Èç îïðåäåëåíèÿ èíòåãðàëà ñëåäóåò, ÷òî íèæíèé ïðåäåë èíòåãðèðîâàíèÿ (ëåâûé êîíåö ñåãìåíòà) äîëæåí áûòü ìåíüøå âåðõíåãî ïðåäåëà 156

(ïðàâîãî êîíöà ñåãìåíòà). ×òîáû îñâîáîäèòüñÿ îò ýòîãî ñòåñíèòåëüíîãî óñëîâèÿ, ïðè ëþáîé ôóíêöèè f ïîëàãàþò ïî îïðåäåëåíèþ

Za f =0

(14.3.1)

a

(çàðÿä ñòåðæíÿ íóëåâîé äëèíû åñòåñòâåííî ñ÷èòàòü ðàâíûì íóëþ). Åñëè a > b, òî òàêæå ïî îïðåäåëåíèþ ïîëàãàþò

Za

Zb f =− a

f.

(14.3.2)

b

Äîêàçàòåëüñòâà ñëåäóþùèõ äâóõ ñâîéñòâ íå ïðèâîäÿòñÿ èç-çà èõ òåõíè÷åñêîé ñëîæíîñòè, íî ìû ðåêîìåíäóåì ÷èòàòåëþ èíòåðïðåòèðîâàòü ýòè ñâîéñòâà ôèçè÷åñêè (íà ïðèìåðå çàðÿæåííîãî ñòåðæíÿ) è ãåîìåòðè÷åñêè (íà ïðèìåðå ïëîùàäè êðèâîëèíåéíîé òðàïåöèè). 1. Åñëè ôóíêöèÿ f êóñî÷íî íåïðåðûâíà íà ñåãìåíòå [a, c], à òî÷êà b ëåæèò íà ýòîì ñåãìåíòå, òî

Zc

Zb f=

a

Zc f+

a

f.

(14.3.3)

b

("Åñëè çàðÿæåííûé ñòåðæåíü ðàçðåçàòü íà ÷àñòè, òî çàðÿä âñåãî ñòåðæíÿ ðàâåí ñóììå çàðÿäîâ ÷àñòåé". Íå ïðèìèòå ýòó ôðàçó çà äîêàçàòåëüñòâî!). Ó÷èòûâàÿ îïðåäåëåíèÿ (14.3.1) è (14.3.2), ìîæíî ðàñïðîñòðàíèòü ôîðìóëó (14.3.3) íà ñëó÷àé ïðîèçâîëüíîãî ðàñïîëîæåíèÿ òî÷åê íà ÷èñëîâîé îñè (ëèøü áû f áûëà êóñî÷íî íåïðåðûâíà íà âñåõ ó÷àñòâóþùèõ â ðàâåíñòâå ñåãìåíòàõ). 2. Åñëè ôóíêöèè f1 è f2 êóñî÷íî íåïðåðûâíû íà [a, b], òî ïðè ëþáûõ ÷èñëàõ α1 è α2

Zb

Zb (α1 f1 + α2 f2 ) = α1 ·

a

Zb f1 + α2 ·

a

f2 .

(14.3.4)

a

Ýòî ðàâåíñòâî ïîçâîëÿåò íàçâàòü èíòåãðàë Ðèìàíà ëèíåéíûì ôóíêöèîíàëîì, çàäàííîì íà ìíîæåñòâå ôóíêöèé, êóñî÷íî íåïðåðûâíûõ íà [a, b]. 3. Èíòåãðàë íå èçìåíèòñÿ, åñëè ïðîèçâîëüíî èçìåíèòü çíà÷åíèÿ ïîäûíòåãðàëüíîé ôóíêöèè â êîíå÷íîì ÷èñëå òî÷åê ñåãìåíòà. 157

Äîêàçàòåëüñòâî. Ðàññìîòðèì ôóíêöèþ φc , ðàâíóþ åäèíèöå â òî÷êå c ñåãìåíòà [a, b], à â îñòàëüíûõ òî÷êàõ ýòîãî ñåãìåíòà ðàâíóþ íóëþ. Ïðè ëþáîì ðàçáèåíèè ñåãìåíòà íàèìåíüøåå çíà÷åíèå φc íà êàæäîì ýëåìåíòàðíîì ñåãìåíòå áóäåò ðàâíî íóëþ, ò.å. áóäóò ðàâíû íóëþ âñå íèæíèå ñóììû Äàðáó. Ïîýòîìó áóäåò ðàâíà íóëþ è âåðõíÿÿ ãðàíü ìíîæåñòâà íèæíèõ ñóìì Äàðáó (îíà æå  èíòåãðàë Ðèìàíà îò ôóíêöèè φc ). Èòàê,

Zb φc = 0. a

Ïóñòü òåïåðü f  ïðîèçâîëüíàÿ ôóíêöèÿ, êóñî÷íî íåïðåðûâíàÿ íà [a, b]. Èçìåíèì åå çíà÷åíèå â òî÷êå c ∈ [a, b] íà âåëè÷èíó A. Ïîëó÷èì íîâóþ ôóíêöèþ g = f + A · φc . Äàëåå, âñëåäñòâèå ëèíåéíîñòè èíòåãðàëà,

Zb

Zb g=

a

Zb f +A

a

Zb φc =

a

f. a

Ðàñïðîñòðàíåíèå äîêàçàòåëüñòâà íà ñëó÷àé ôóíêöèè â íåñêîëüêèõ òî÷êàõ î÷åâèäíî.

èçìåíåíèÿ

çíà÷åíèé

¥

Çàìå÷àíèå. Ýòî ñâîéñòâî äàåò îñíîâàíèå èíòåãðèðîâàòü êóñî÷íî íåïðåðûâíûå ôóíêöèè, íå îïðåäåëåííûå â êîíå÷íîì ÷èñëå òî÷åê ñåãìåíòà (ðåçóëüòàò, î÷åâèäíî, íå çàâèñèò îò ñïîñîáà äîîïðåäåëåíèÿ).

14.4. Ñðåäíåå çíà÷åíèå ôóíêöèè íà ñåãìåíòå Îïðåäåëåíèå. Ñðåäíèì çíà÷åíèåì êóñî÷íî íåïðåðûâíîé ôóíêöèè f íà ñåãìåíòå [a, b] íàçûâàåòñÿ ÷èñëî

1 fcp = b−a ½ Ïðèìåð. Ïóñòü f (x) =

1 fcp = · 2−0

Z2 0

Zb f. a

1 ïðè 0 ≤ x < 1; Òîãäà 2 ïðè 1 ≤ x ≤ 2.

1 f= · 2

µ Z1 0

Z2 ¶ 1 3 1 + 2 = (1 + 2) = . 2 2 1

Îòìåòèì, ÷òî â ýòîì ïðèìåðå ñðåäíåå çíà÷åíèå ôóíêöèè íå ñîäåðæèòñÿ âî ìíîæåñòâå åå çíà÷åíèé! 158

Ñèòóàöèÿ ìåíÿåòñÿ, åñëè ôóíêöèÿ íåïðåðûâíà. Òåîðåìà. Åñëè ôóíêöèÿ f íåïðåðûâíà íà ñåãìåíòå [a, b], òî åå ñðåäíåå çíà÷åíèå ÿâëÿåòñÿ åå çíà÷åíèåì. Òî÷íåå, íàéäåòñÿ òàêàÿ òî÷êà ξ ∈ [a, b], ÷òî f (ξ) = fcp . Äîêàçàòåëüñòâî. Ïî òåîðåìå Âåéåðøòðàññà ñðåäè çíà÷åíèé íåïðåðûâíîé íà [a, b] ôóíêöèè f åñòü íàèáîëüøåå (M ) è íàèìåíüøåå (m). Ïî îïðåäåëåíèþ èíòåãðàëà

Zb m(b − a) ≤

f ≤ M (b − a), a

1 èëè m ≤ b−a

Zb f ≤ M, a

ò.å. ñðåäíåå çíà÷åíèå íåïðåðûâíîé ôóíêöèè ëåæèò íà ñåãìåíòå [m, M ]. Ïî òåîðåìå Êîøè âñå ÷èñëà ýòîãî ñåãìåíòà  çíà÷åíèÿ ôóíêöèè f . Ñëåäîâàòåëüíî, ñðåäíåå çíà÷åíèå íåïðåðûâíîé ôóíêöèè ÿâëÿåòñÿ åå çíà÷åíèåì. ¥ Ýòó òåîðåìó îáû÷íî íàçûâàþò òåîðåìîé î ñðåäíåì è ïèøóò

Zb (ξ  íåêîòîðàÿ òî÷êà íà [a, b]).

f = f (ξ)(b − a) a

Çàìå÷àíèÿ. 1. Ìû âûäåëèëè ñëîâî "íåêîòîðàÿ ÷òîáû ïîä÷åðêíóòü, ÷òî òåîðåìà î ñðåäíåì ëèøü óòâåðæäàåò ñóùåñòâîâàíèå òàêîé òî÷êè, íî íå äàåò àëãîðèòìà åå îòûñêàíèÿ. 2.  äîêàçàòåëüñòâå ïðåäïîëàãàëîñü, ÷òî a < b. Îäíàêî ëåãêî âèäåòü, ÷òî óòâåðæäåíèå òåîðåìû ñîõðàíÿåòñÿ è ïðè a > b.

14.5. Èíòåãðèðîâàíèå íåðàâåíñòâ Òåîðåìà. Åñëè f êóñî÷íî íåïðåðûâíà íà [a, b], è f ≥ 0, òî

Rb

f ≥ 0.

a

Äîêàçàòåëüñòâî. Åñëè f ≥ 0, òî m = inf {f (x)} ≥ 0, è ïî îïðåäåx∈[a,b]

ëåíèþ èíòåãðàëà

Zb f ≥ m(b − a) ≥ 0.

¥

a

Ñëåäñòâèÿ. 1. Åñëè f1 è f2  ôóíêöèè, êóñî÷íî íåïðåðûâíûå íà [a, b],

f1 ≥ f2 è a < b, òî

Rb a

f1 ≥

Rb a

f2 . 159

Äîêàçàòåëüñòâî.

Zb

Zb (f1 − f2 ) ≥ 0 =⇒

f1 ≥ f2 =⇒ f1 − f2 ≥ 0 =⇒ a

Zb f1 ≥

a

f2 . ¥ a

2. Åñëè âåùåñòâåííàÿ ôóíêöèÿ f êóñî÷íî íåïðåðûâíà íà [a, b], òî

¯Z b ¯ Z b ¯ ¯ ¯ f ¯ ≤ |f |. a

a

Äîêàçàòåëüñòâî. Çàìåòèì, ÷òî ôóíêöèÿ |f | òàêæå êóñî÷íî íåïðåðûâíà íà [a, b]. Èíòåãðèðóÿ î÷åâèäíîå íåðàâåíñòâî −|f | ≤ f ≤ |f |, ïîëó÷èì

Zb −

Zb |f | ≤

a

Zb f≤

a

èëè

|f |, a

¯Z b ¯ Z b ¯ ¯ ¯ f ¯ ≤ |f |. a

¥

a

Çàìå÷àíèå.  ýòîì ïóíêòå ïðåäïîëàãàåòñÿ, ÷òî a < b. Åñëè íèæíèé ïðåäåë èíòåãðèðîâàíèÿ áîëüøå âåðõíåãî, òî ïðè èíòåãðèðîâàíèè íåðàâåíñòâà åãî çíàê ìåíÿåòñÿ!

14.6. Èíòåãðàë îò êîìïëåêñíîçíà÷íîé ôóíêöèè Âñÿêóþ ôóíêöèþ f : [a, b] → C ìîæíî çàïèñàòü â âèäå f = f1 +i ·f2 , ãäå f1 è f2  âåùåñòâåííûå ôóíêöèè:

¡ ¢ f1 (x) = Re f (x) ,

¡ ¢ f2 (x) = Im f (x) .

Ýòè ôóíêöèè åñòåñòâåííî îáîçíà÷àòü Re(f ) è Im(f ) ñîîòâåòñòâåííî. Åñëè Re(f ) è Im(f ) êóñî÷íî íåïðåðûâíû íà [a, b], ïîëîæèì ïî îïðåäåëåíèþ

Zb

Zb

f= a

Zb

Re(f ) + i a

Im(f ). a

Äîêàæåì, ÷òî äëÿ êîìïëåêñíîçíà÷íîé ôóíêöèè f ñïðàâåäëèâî íåðàâåíñòâî (ñðàâíèòå ñî ñëåäñòâèåì 2 â ï.14.5)

¯Z b ¯ Z b ¯ ¯ ¯ f ¯ ≤ |f |. a

a

160

(14.6.1)

Îáîçíà÷èì A =

Rb a

Re(f ), B =

Rb a

Im(f ). Òîãäà

Rb a

f = A + i · B.

Zb Zb Zb ¯Z b ¯2 ¡ ¢ ¯ ¯ 2 2 f = A +B = A· Re(f )+B · Im(f ) = A·Re(f )+B ·Im(f ) . ¯ ¯ a

a

a

a

Ïî íåðàâåíñòâó ÊîøèÁóíÿêîâñêîãîØâàðöà

q ¢ ¡ ¢ p ¡ ¢ ¡ ¢ 2 2 A · Re f (x) + B · Im f (x) ≤ A + B · Re2 f (x) + Im2 f (x) ≤ ¡

p ≤ A2 + B 2 · |f (x)|. Ïîýòîìó

¯ Z b ¯2 Z b ¡ p ¢ ¯ ¯ A2 + B 2 · |f | . ¯ f¯ ≤ a

a

¯Rb ¯ √ ¯ ¯ Ñîêðàùàÿ íà ¯ f ¯ = A2 + B 2 , ïîëó÷èì a

¯Rb ¯ Rb ¯ ¯ ¯ f ¯ ≤ |f |. a

¥

a

14.7. Èíòåãðàëû ñ ïåðåìåííûìè ïðåäåëàìè. Ïåðâîîáðàçíàÿ ôóíêöèÿ Åñëè f êóñî÷íî íåïðåðûâíà íà [a, b], òî îíà êóñî÷íî íåïðåðûâíà íà ëþáîì ñåãìåíòå, ñîäåðæàùåìñÿ â [a, b]. Çàôèêñèðóåì òî÷êó c ∈ [a, b] è îïðåäåëèì ïðè âñåõ x ∈ [a, b] íîâóþ ôóíêöèþ

Zx F (x) =

f,

(14.7.1)

c

íàçûâàåìóþ èíòåãðàë ñ ïåðåìåííûì âåðõíèì ïðåäåëîì. Óñòàíîâèì íåêîòîðûå ñâîéñòâà èíòåãðàëà ñ ïåðåìåííûì âåðõíèì ïðåäåëîì (14.7.1). 1. F íåïðåðûâíà íà [a, b]. Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü x, y ∈ [a, b] è x < y . Òîãäà

Zy F (y) − F (x) =

Zx f−

c

161

Zy f=

c

f. x

©

ª

Åñëè M = sup |f (x)| , òî |f | ≤ M . Ïîýòîìó x∈[a,b]

Zy ¯Zy ¯ Zy ¯ ¯ |F (y) − F (x)| = ¯ f ¯≤ |f | ≤ M = M · (y − x) x

x

x

(çäåñü èñïîëüçîâàíî òî, ÷òî x < y ). Ïóñòü òåïåðü ε  ïðîèçâîëüíîå ïîëîæèòåëüíîå ÷èñëî. Âçÿâ δ = ε , M ïîëó÷èì

|y − x| = y − x < δ

=⇒

|F (y) − F (x)| ≤ M · δ = ε.

Äîêàçàíà íåïðåðûâíîñòü ñïðàâà ôóíêöèè F â ëþáîé òî÷êå x ∈ [a, b[ è íåïðåðûâíîñòü åå ñëåâà â ëþáîé òî÷êå x ∈]a, b], ò.å. íåïðåðûâíîñòü F íà [a, b]. ¥ 2. Åñëè f íåïðåðûâíà â òî÷êå x ∈]a, b[, òî F 0 (x) = f (x) (ýòî óòâåðæäåíèå íàçûâàþò òåîðåìîé Áàððîó42 ). Äîêàçàòåëüñòâî. Êóñî÷íî íåïðåðûâíàÿ ôóíêöèÿ f ïî îïðåäåëåíèþ ìîæåò èìåòü íà [a, b] ëèøü êîíå÷íîå ìíîæåñòâî òî÷åê ðàçðûâà ïåðâîãî ðîäà. Ïóñòü òî÷êà y âûáðàíà òàê, ÷òî íà [x, y] (èëè íà [y, x]) f íåïðåðûâíà. Òîãäà ïî òåîðåìå î ñðåäíåì ìåæäó x è y íàéäåòñÿ òàêàÿ òî÷êà ξ , ÷òî

Ry

f = f (ξ) · (y − x). Ñëåäîâàòåëüíî, x Zy F (y) − F (x) F (y) − F (x) = f = f (ξ) · (y − x), èëè = f (ξ). y−x x

Ïåðåõîäèì ê ïðåäåëó, ó÷èòûâàÿ, ÷òî ξ ëåæèò ìåæäó x è y , à f íåïðåðûâíà â òî÷êå x:

F (y) − F (x) = lim f (ξ) = f (x). y=x y=x y−x

F 0 (x) = lim

¥

Èòàê, åñëè f êóñî÷íî íåïðåðûâíà íà [a, b], òî ôóíêöèÿ F , îïðåäåëåííàÿ ðàâåíñòâîì (14.7.1), íåïðåðûâíà âî âñåõ òî÷êàõ [a, b], à â òî÷êàõ, ãäå f íåïðåðûâíà, F èìååò ïðîèçâîäíóþ, ïðè÷åì F 0 (x) = f (x). Îïðåäåëåíèå. Åñëè f êóñî÷íî íåïðåðûâíà íà íåêîòîðîì ïðîìåæóòêå, òî âñÿêàÿ íåïðåðûâíàÿ íà ýòîì ïðîìåæóòêå ôóíêöèÿ, ïðîèçâîäíàÿ 42 Èñààê

ÁÀÐÐÎÓ (I. Barrow, 1630-1677)  àíãëèéñêèé ìàòåìàòèê è áîãîñëîâ. Ó÷èòåëü È. Íüþòîíà. 162

êîòîðîé â òî÷êàõ íåïðåðûâíîñòè f ñîâïàäàåò ñ f , íàçûâàåòñÿ ïåðâîîáðàçíîé ôóíêöèåé äëÿ ôóíêöèè f . Ïðèìåðû. 1. Êàê áûëî ïîêàçàíî âûøå, èíòåãðàë ñ ïåðåìåííûì âåðõíèì ïðåäåëîì åñòü ïåðâîîáðàçíàÿ (îáû÷íî ãîâîðÿò íå "ïåðâîîáðàçíàÿ ôóíêöèÿ à "ïåðâîîáðàçíàÿ") äëÿ ïîäûíòåãðàëüíîé ôóíêöèè. 2. Ôóíêöèÿ ½ −x ïðè x < 0 abs(x) = x ïðè x ≥ 0  ïåðâîîáðàçíàÿ äëÿ ôóíêöèè sign, èáî îíà âñþäó íåïðåðûâíà, è abs0 (x) = sign(x) ïðè x 6= 0. Çàìåòèì, ÷òî âîîáùå ïåðâîîáðàçíàÿ äëÿ ïîëèíîìèàëüíîãî ñïëàéíà ñàìà ÿâëÿåòñÿ ïîëèíîìèàëüíûì ñïëàéíîì. Ëåãêî âèäåòü, ÷òî ïåðâîîáðàçíàÿ ó êóñî÷íî íåïðåðûâíîé ôóíêöèè íå åäèíñòâåííà. Òàê, ïðèáàâëÿÿ ê ïåðâîîáðàçíîé F ôóíêöèþ-êîíñòàíòó, ìû ïîëó÷àåì íîâóþ ïåðâîîáðàçíóþ, òàê êàê F + const íåïðåðûâíà è

(F + const)0 = F 0 . Îäíàêî ïðîèçâîë â âûáîðå ïåðâîîáðàçíîé ýòèì è îãðàíè÷èâàåòñÿ.

Òåîðåìà. Ðàçíîñòü äâóõ ïåðâîîáðàçíûõ êóñî÷íî íåïðåðûâíîé ôóíêöèè åñòü ôóíêöèÿ-êîíñòàíòà. Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü F1 è F2  ïåðâîîáðàçíûå äëÿ f íà íåêîòîðîì ïðîìåæóòêå. Ðàññìîòðèì èõ ðàçíîñòü F = F1 − F2 è ïîêàæåì ñíà÷àëà, ÷òî îíà ïîñòîÿííà íà èíòåðâàëàõ íåïðåðûâíîñòè f . Äåéñòâèòåëüíî, äëÿ ëþáûõ äâóõ òî÷åê x1 < x2 èç èíòåðâàëà íåïðåðûâíîñòè f ôîðìóëà êîíå÷íûõ ïðèðàùåíèé (ï.10.2) äàåò

¡ ¢ F (x2 )−F (x1 ) = F 0 (ξ)·(x2 −x1 ) = F10 (ξ)−F20 (ξ) ·(x2 −x1 ) = f (ξ)−f (ξ) = 0 (çäåñü ξ  íåêîòîðàÿ òî÷êà èç ]x1 , x2 [). Èòàê, F êóñî÷íî ïîñòîÿííà íà ïðîìåæóòêå. Íî ïîñêîëüêó îíà íåïðåðûâíà (êàê ðàçíîñòü íåïðåðûâíûõ ôóíêöèé), îíà ïîñòîÿííà! ¥ Ïðèìåð. Ïóñòü f êóñî÷íî íåïðåðûâíà íà [a, b]. Çàôèêñèðóåì òî÷êó d ∈ [a, b] è îïðåäåëèì íà [a, b] èíòåãðàë ñ ïåðåìåííûì íèæíèì ïðåäåëîì

Zd Φ(x) =

f. x

163

Ëåãêî âèäåòü, ÷òî ôóíêöèÿ −Φ ÿâëÿåòñÿ èíòåãðàëîì ñ ïåðåìåííûì âåðõíèì ïðåäåëîì îò f . Ïîýòîìó îíà óäîâëåòâîðÿåò ñâîéñòâàì 1 è 2 è, ñëåäîâàòåëüíî, ÿâëÿåòñÿ ïåðâîîáðàçíîé äëÿ f . Ñîãëàñíî äîêàçàííîé òåîðåìå,

−Φ = F + const, Íî ýòî î÷åâèäíî, òàê êàê

Rx c

f+

èëè

F (x) + Φ(x) = const.

Rd

Rd

f=

x

f.

c

Èíòåãðàëû ñ ïåðåìåííûìè ïðåäåëàìè ÷àñòî èñïîëüçóþòñÿ êàê ñïîñîá çàäàíèÿ ôóíêöèé. Ïðèìåðû. 1. "Ôóíêöèÿ îøèáîê" erf : R → R

2 erf (x) = √ · π

Zx exp(−t2 ) dt. 0

2. "Èíòåãðàëüíûé ñèíóñ" Si : R → R

Zx Si(x) = 0

sin(t) dt. t

3. Èíòåãðàëû Ôðåíåëÿ43 S, C : R → R

Zx S(x) = 0

Zx

π sin( t2 ) dt, 2

C(x) = 0

π cos( t2 ) dt. 2

Çàìå÷àíèå. Ïðèâåäåííûå â ýòèõ ïðèìåðàõ ôóíêöèè íå âûðàæàþòñÿ ÷åðåç "øêîëüíûå" (êîòîðûå ïðèíÿòî íàçûâàòü "ýëåìåíòàðíûìè") ñ ïîìîùüþ êîíå÷íîãî ÷èñëà àðèôìåòè÷åñêèõ îïåðàöèé è êîìïîçèöèé. Ïî ýòîé ïðè÷èíå èõ óâàæèòåëüíî èìåíóþò "ñïåöèàëüíûìè ôóíêöèÿìè". Òàêîå äåëåíèå ôóíêöèé íà ýëåìåíòàðíûå è ñïåöèàëüíûå íå ïðåäñòàâëÿåòñÿ ñåãîäíÿ îïðàâäàííûì. Íà ñàìîì äåëå âñå ôóíêöèè ìîæíî ðàçäåëèòü íà äâå ãðóïïû: 1) ïîëèíîìû è ðàöèîíàëüíûå äðîáè, íåïîñðåäñòâåííî âû÷èñëÿåìûå êîìïüþòåðîì; 2) ôóíêöèè, àïïðîêñèìèðóåìûå ïîëèíîìàìè è ðàöèîíàëüíûìè äðîáÿìè. 43 Îãþñòåí

Æàí ÔÐÅÍÅËÜ (A.-J. Fresnel, 1788-1827)  ôðàíöóçñêèé èíæåíåð, ôèçèê è ìàòåìàòèê, ÷ëåí Ïàðèæñêîé ÀÍ. 164

Îòíîøåíèå êîíêðåòíîãî ïîëüçîâàòåëÿ ê ôóíêöèÿì èç âòîðîé ãðóïïû îïðåäåëÿåòñÿ åãî êîíêðåòíîé "âîîðóæåííîñòüþ": çíàíèåì ñâîéñòâ ôóíêöèè è íàëè÷èåì ïðîãðàììíûõ ñðåäñòâ äëÿ ýôôåêòèâíîãî âû÷èñëåíèÿ åå çíà÷åíèé. Ïðè òàêîì ïîäõîäå èíòåãðàëüíûé ñèíóñ íè÷åì íå õóæå îáû÷íîãî "øêîëüíîãî" ñèíóñà. Ìû ðåêîìåíäóåì ÷èòàòåëþ îçíàêîìèòüñÿ ñ êíèãîé ïîä ðåäàêöèåé Ì. Àáðàìîâèöà è È. Ñòèãàí "Ñïðàâî÷íèê ïî ñïåöèàëüíûì ôóíêöèÿì Ì.: Íàóêà, 1979. Òàêèå ñðåäû êîíå÷íîãî ïîëüçîâàòåëÿ, êàê MAPLE, MATHEMATICA "çíàþò" âñå ïðèâåäåííûå â ýòîé êíèãå ôóíêöèè, óìåþò âû÷èñëÿòü èõ çíà÷åíèÿ ñ çàäàííîé ïîëüçîâàòåëåì òî÷íîñòüþ è äàæå âûïîëíÿþò íàä íèìè ìíîãèå "àíàëèòè÷åñêèå" îïåðàöèè (âû÷èñëÿþò ïðåäåëû, äèôôåðåíöèðóþò è ò.ï.)

14.8. Òåîðåìà ÍüþòîíàËåéáíèöà. Ôîðìàëüíîå èíòåãðèðîâàíèå Òåîðåìà ÍüþòîíàËåéáíèöà. Åñëè f êóñî÷íî íåïðåðûâíà íà [a, b] è Ψ  êàêàÿ-íèáóäü åå ïåðâîîáðàçíàÿ, òî

Zb f = Ψ(b) − Ψ(a)

(14.8.1)

a

¯b ¯ (ïðàâóþ ÷àñòü ýòîãî ðàâåíñòâà îáîçíà÷àþò òàêæå Ψ¯ ). a Rx Äîêàçàòåëüñòâî. Ïî òåîðåìå Áàððîó f  îäíà èç ïåðâîîáðàçíûõ äëÿ f . Ñëåäîâàòåëüíî, Ψ(x) =

const = Ψ(a), è

Rx a

Rx a

a

f + const. Ïîëîæèâ x = a, ïîëó÷èì

f = Ψ(x) − Ψ(a). Ïîëîæèâ çäåñü x = b, ïîëó÷èì

ôîðìóëó (14.8.1), êîòîðàÿ íàçûâàåòñÿ ôîðìóëîé ÍüþòîíàËåéáíèöà.

Èíòåãðàë îò êóñî÷íî íåïðåðûâíîé ôóíêöèè ïî ñåãìåíòó ðàâåí ïðèðàùåíèþ ëþáîé ïåðâîîáðàçíîé ýòîé ôóíêöèè íà ýòîì ñåãìåíòå. Ôîðìóëà ÍüþòîíàËåéáíèöà ñâîäèò çàäà÷ó î âû÷èñëåíèè èíòåãðàëà ê îòûñêàíèþ ïåðâîîáðàçíîé äëÿ ïîäûíòåãðàëüíîé ôóíêöèè 165

è âû÷èñëåíèþ ïðèðàùåíèÿ ýòîé ïåðâîîáðàçíîé íà ñåãìåíòå èíòåãðèðîâàíèÿ. Ýòîò ïóòü âû÷èñëåíèÿ èíòåãðàëà ìû áóäåì íàçûâàòü "ôîðìàëüíûì èíòåãðèðîâàíèåì". Äåëî â òîì, ÷òî ïðè îòñóòñòâèè íóæíîé ïåðâîîáðàçíîé â ñïðàâî÷íèêå íåò èíîãî àëãîðèòìà åå îòûñêàíèÿ, êðîìå ïðåäñòàâëåíèÿ åå â âèäå èíòåãðàëà ñ ïåðåìåííûì ïðåäåëîì! (Ìû, åñòåñòâåííî, íå ñ÷èòàåì àëãîðèòìîì ôðàçó èç èçâåñòíîãî ó÷åáíèêà ýëåìåíòàðíîé ìàòåìàòèêè "... à òåïåðü íàäî äîãàäàòüñÿ..."). Òåì íå ìåíåå îïèøåì äâà ïðèåìà ïðåîáðàçîâàíèÿ èíòåãðàëà, èíîãäà ïîìîãàþùèå âûïîëíèòü ôîðìàëüíîå èíòåãðèðîâàíèå. Ïðèåì 1. Èíòåãðèðîâàíèå ïî ÷àñòÿì. Òàê èìåíóþò ïðèåì, îñíîâàííûé íà èçâåñòíîì ïðàâèëå äèôôåðåíöèðîâàíèÿ ïðîèçâåäåíèÿ

¡ ¢0 f1 · f2 = f10 · f2 + f1 · f20 .

Îòñþäà ñëåäóåò ðàâåíñòâî èíòåãðàëîâ

Zb

¡ ¢0 f1 · f2 =

a

Zb

Zb f10 · f2 +

f1 · f20 .

a

a

¡

(14.8.2)

¢0

Ó÷èòûâàÿ, ÷òî ïåðâîîáðàçíîé äëÿ ôóíêöèè f1 · f2 ÿâëÿåòñÿ f1 · f2 , è ïðèìåíÿÿ ê ëåâîé ÷àñòè ðàâåíñòâà (14.8.2) ôîðìóëó ÍüþòîíàËåéáíèöà, ïîëó÷èì b b

¡

¢

¡ ¢ f1 · f2 (b) − f1 · f2 (a) =

Z

Z

f10 a

f1 · f20 ,

· f2 + a

îòêóäà è âûòåêàåò ïðàâèëî èíòåãðèðîâàíèÿ "ïî ÷àñòÿì":

Zb

¯b Z b ¡ ¡ ¢ ¡ ¢ ¢ ¯ f1 · f20 = f1 · f2 ¯ − f10 · f2 . a

a

(14.8.3)

a

Îòìåòèì, ÷òî èíòåãðèðîâàíèå "ïî ÷àñòÿì" ïîçâîëÿåò íå âû÷èñëèòü èíòåãðàë, à ëèøü çàìåíèòü âû÷èñëåíèå îäíîãî èíòåãðàëà íà âû÷èñëåíèå äðóãîãî. Åñëè ïîëüçîâàòåëü óìååò âû÷èñëÿòü ýòîò äðóãîé, òî ïðèìåíåíèå èíòåãðèðîâàíèÿ "ïî ÷àñòÿì" îïðàâäàíî. Ðàññìîòðèì òåõíîëîãèþ èíòåãðèðîâàíèÿ "ïî ÷àñòÿì" íà ïðèìåðàõ. Ïðèìåðû. 1.

Rb a

x · exp(x) dx. Ïóñòü f1 (x) = x, f20 (x) = exp(x). Òîãäà

f10 (x) ≡ 1, f2 (x) = exp(x). 166

Ïî ôîðìóëå (14.8.3)

Zb

¯b Z b ¯ x · exp(x) dx = x · exp(x)¯ − 1 · exp(x) dx. a

a

a

Ìû ñâåëè âû÷èñëåíèå îäíîãî èíòåãðàëà  äðóãîãî 

Rb a

Rb a

x · exp(x) dx ê âû÷èñëåíèþ

exp(x) dx, ó êîòîðîãî èçâåñòíà ïåðâîîáðàçíàÿ äëÿ ïîäûíòå-

ãðàëüíîé ôóíêöèè. Ïðèìåíÿÿ ôîðìóëó ÍüþòîíàËåéáíèöà, ïîëó÷àåì

Zb

¯b ¯ exp(x) dx = exp(x)¯ . a

a

Èòàê,

Zb

¯b ¯b ¯ ¯ x · exp(x) dx = x · exp(x)¯ −exp(x)¯ = (b − 1) · exp(b) − (a − 1) · exp(a). a

a

a

R2

1, ln(x) dx. Ïîëîæèì f1 (x) = ln(x), f20 (x) ≡ 1. Òîãäà f10 (x) = x 1 f2 (x) = x, è ïî ôîðìóëå (14.8.3) 2.

Z2 1

¯2 Z2 1 ¯ ln(x) dx = ln(x) · x¯ − · x dx. 1 x 1

Ìû îïÿòü íå âû÷èñëèëè èíòåãðàë, à çàìåíèëè åãî äðóãèì. Íî ýòîò äðóãîé (èíòåãðàë îò ôóíêöèè-êîíñòàíòû) ëåãêî âû÷èñëÿåòñÿ:

Z2

R2 1

1 = 1. Èòàê,

¡ ¢ ln(x) dx = ln(2) · 2 − ln(1) · 1 − 1 = 2 ln(2) − 1.

1

Ïðèåì 2. Ïîäñòàíîâêà (èíîãäà ãîâîðÿò "çàìåíà ïåðåìåííîé íî ìû íå ïîëüçóåìñÿ ýòèì èñòîðè÷åñêèì íàçâàíèåì.) Ïóñòü íåïðåðûâíî äèôôåðåíöèðóåìàÿ ôóíêöèÿ ϕ âçàèìíî îäíîçíà÷íî îòîáðàæàåò ñåãìåíò [α, β] íà ñåãìåíò [a, b] . Íàéäåì òàêóþ íåïðåðûâíóþ ôóíêöèþ ψ : [α, β] → R, ÷òîáû äëÿ âñåõ t ∈ [α, β] âûïîëíÿëîñü ðàâåíñòâî 167

Zt

Zϕ(t) ψ= f.

α

a

Äèôôåðåíöèðóÿ ýòî òîæäåñòâî, ïîëó÷èì

¡ ¢ ψ(t) = f ϕ(t) · ϕ0 (t),

Èòàê,

Zt

ψ = (f ◦ ϕ) · ϕ0 .

èëè

Zϕ(t) (f ◦ ϕ) · ϕ0 = f.

α

Ïîëàãàÿ t = β

a

(ϕ(β) = b), ïîëó÷àåì ïðàâèëî ïîäñòàíîâêè: Zb

Zβ (f ◦ ϕ) · ϕ0 .

f= a

Äàäèì

ôèçè÷åñêóþ

òðàêòîâàòü èíòåãðàë

Rb a

α

èíòåðïðåòàöèþ

ýòîãî

ïðàâèëà.

Áóäåì

f (÷èñëî!) êàê âåëè÷èíó ýëåêòðè÷åñêîãî çàðÿäà,

ðàñïðåäåëåííîãî ïî ñòåðæíþ [a, b] ñ íåïðåðûâíîé ëèíåéíîé ïëîòíîñòüþ f . Ïîäâåðãíåì ýòîò ñòåðæåíü äåôîðìàöèè, ò.å. çàäàäèì íåïðåðûâíî äèôôåðåíöèðóåìóþ ôóíêöèþ ϕ, âçàèìíî îäíîçíà÷íî îòîáðàæàþùóþ ñåãìåíò [α, β] íà ñåãìåíò [a, b], ïðè÷åì ϕ(α) = a è ϕ(β) = b (ðèñ.14.6).

a = ϕ(α) x = ϕ(t)

x

r

x + k = ϕ(t + h) b = ϕ(β)

r ¢¸ ¢ ¢

r 3 ´´ ´

´

´

¢

t

r

α

¢ r¢

t

r

´

´

r´

´

t+h

Ðèñ.14.6

r

β

Çàðÿä ñòåðæíÿ ïðè òàêîé äåôîðìàöèè ñîõðàíÿåòñÿ, à ïëîòíîñòü åãî ðàñïðåäåëåíèÿ âäîëü ñòåðæíÿ èçìåíèòñÿ. Îáîçíà÷èì íîâóþ ïëîòíîñòü ψ . Îòðåçîê ñòåðæíÿ [t, t + h] ïðåîáðàçóåòñÿ ïðè äåôîðìàöèè â îòðåçîê [x, x+k]. Ïóñòü q  çàðÿä îòðåçêà [t, t+h] (îí æå çàðÿä îòðåçêà [x, x+k]). q Çàïèøåì âûðàæåíèÿ äëÿ ñðåäíèõ ïëîòíîñòåé çàðÿäà ψcp = (íà îòðåçêå

q [t, t + h]) è fcp = (íà îòðåçêå [x, x + k]). Îòñþäà k 168

h

k ϕ(t + h) − ϕ(t) = fcp · . h h Ïî òåîðåìå î ñðåäíåì ψcp = ψ(τ ), fcp = f (ξ), ãäå τ è ξ  íåêîòîðûå òî÷êè íà ñåãìåíòàõ [t, t+h] è [x, x+k] ñîîòâåòñòâåííî. Ïåðåõîäÿ ê ïðåäåëó (h = 0), ïîëó÷èì (âñëåäñòâèå íåïðåðûâíîñòè ôóíêöèé f è ψ ) ψcp = fcp ·

ψ(t) = f (x) · ϕ0 (t) = (f ◦ ϕ)(t) · ϕ0 (t). Çàìå÷àíèÿ. 1. Îáðàòèòå âíèìàíèå, ÷òî ðèñ.14.6 ñîîòâåòñòâóåò âîçðàñòàþùåé ôóíêöèè ϕ, êîãäà ϕ0 > 0. Åñëè æå ϕ0 < 0, òî îòðåçîê [a, b] ïðè îòîáðàæåíèè "ïåðåâîðà÷èâàåòñÿ" (åñëè a < b, òî α > β ). 2. Ïîäñòàíîâêà (êàê è èíòåãðèðîâàíèå "ïî ÷àñòÿì") ëèøü ïðåîáðàçóåò îäèí èíòåãðàë â äðóãîé. Èñêóññòâî ïîëüçîâàòåëÿ ñîñòîèò â âûáîðå òàêîé ïîäñòàíîâêè, â ðåçóëüòàòå êîòîðîé ïîëó÷èòñÿ "òàáëè÷íûé" (èçâåñòíûé ïîëüçîâàòåëþ) èíòåãðàë. Ïðèìåðû. 1.

Ra √

a2 − x2 dx,

a > 0.

0

Ôóíêöèÿ x = a·sin(t) âçàèìíî îäíîçíà÷íî îòîáðàæàåò ñåãìåíò [0, π 2] íà ñåãìåíò [0, a] è íåïðåðûâíî äèôôåðåíöèðóåìà. Ïîýòîìó

Za p

Zπ/2q a2 − x2 dx =

0

¢0 ¡ ¢2 ¡ a2 − a · sin(t) · a · sin(t) dt = a2

Zπ/2 cos2 (t) dt. 0

0

Ïîêà ÷òî ìû òîëüêî çàìåíèëè îäèí èíòåãðàë äðóãèì. Íî èçâåñòíàÿ èç øêîëû ôîðìóëà cos2 (t) =

1 + cos(2t) äàåò 2

π/2 Zπ/2 Zπ/2 ´ π sin(2t) ¯π/2 π ³Z 1 ¯ 2 cos(2t) dt = + cos (t) dt = 1 dt + ¯ = . 0 2 4 4 4 0

0

0

Ra √

2 a2 − x2 dx = πa 4 (çàìåòèì, ÷òî ìû âû÷èñëèëè ïëîùàäü 0 ÷åòâåðòè êðóãà ñ ðàäèóñîì a). R2 sin(x) √ 2. dx. Îòìåòèì, ÷òî õîòÿ ïîäûíòåãðàëüíàÿ ôóíêöèÿ íå x 0 îïðåäåëåíà â íóëå, ýòî íå ìåøàåò èíòåãðàëó ñóùåñòâîâàòü â ñèëó íàëè÷èÿ sin(x) êîíå÷íîãî ïðàâîãî ïðåäåëà: lim √ = 0. x=0+ x

Èòàê,

169

2 √2 Ôóíêöèÿ x = π 2 t âçàèìíî îäíîçíà÷íî îòîáðàæàåò ñåãìåíò [0, π ] íà ñåãìåíò [0, 2] è íåïðåðûâíî äèôôåðåíöèðóåìà. Ïîýòîìó √ 2/ Z π

√ π 2 2/ π Z sin( t ) π √ sin(x) π √ r2 ( t2 )0 dt = 2π dx = sin( t2 ) dt. 2 x π 2 2 t 0 0 0 2 Îïÿòü ìû ëèøü ïðåîáðàçîâàëè îäèí èíòåãðàë â äðóãîé. Íî åñëè Rx ïîëüçîâàòåëü çíàåò î ñóùåñòâîâàíèè ôóíêöèè S(x) = sin( π t2 ) dt, 2 0 íàçûâàåìîé èíòåãðàëîì Ôðåíåëÿ (ìû î íåé óïîìèíàëè â ï.14.7), òî ñèòóàöèÿ ìåíÿåòñÿ: √ 2/ π Z Z2 ³ 2 ´ √ √ sin(x) π 2 √ dx = 2π sin( t ) dt = 2πS √ . 2 x π

Z2

0

0

Ñåðüåçíîå ïðåäóïðåæäåíèå. Ýòîò ïðèìåð ïîêàçûâàåò, ÷òî óñïåõ ôîðìàëüíîãî èíòåãðèðîâàíèÿ çàâèñèò îò òåçàóðóñà ïîëüçîâàòåëÿ (êîòîðûé, êîíå÷íî, ñëåäóåò ðàñøèðÿòü) è îò åãî èñêóññòâà, êîòîðîå ïðèîáðåòàåòñÿ ëèøü äîëãîé òðåíèðîâêîé è äàåòñÿ äàëåêî íå âñåì. Ñóùåñòâóþò äîñòàòî÷íî áîãàòûå òàáëèöû ïåðâîîáðàçíûõ, íàçûâàåìûõ ïî ñòàðèíêå "íåîïðåäåëåííûìè èíòåãðàëàìè è äàæå èíòåãðàëîâ ñ òèïè÷íûìè ïðåäåëàìè èíòåãðèðîâàíèÿ. Íàèáîëåå ïîëíûå èç íèõ:  È.Ñ. Ãðàäøòåéí è È.Ì. Ðûæèê. Òàáëèöû èíòåãðàëîâ, ñóìì, ðÿäîâ è ïðîèçâåäåíèé. Íàóêà. Ì:. 1971;  À.Ï. Ïðóäíèêîâ è äð. Èíòåãðàëû è ðÿäû. Íàóêà, Ì:. 1981;  À.Ï. Ïðóäíèêîâ è äð. Èíòåãðàëû è ðÿäû (ñïåöèàëüíûå ôóíêöèè). Íàóêà, Ì:. 1983;  À.Ï. Ïðóäíèêîâ è äð. Èíòåãðàëû è ðÿäû (äîïîëíèòåëüíûå ãëàâû). Íàóêà, Ì:. 1986. Ñëåäóåò ó÷åñòü, ÷òî ðîëü ýòèõ ïðåâîñõîäíûõ òàáëèö â íàøå âðåìÿ óìåíüøàåòñÿ, òàê êàê îñíîâíîå èõ ñîäåðæàíèå ðåàëèçîâàíî â òàêèõ ñðåäàõ êîíå÷íîãî ïîëüçîâàòåëÿ, êàê MATHEMATICA è MAPLE, êîòîðûå "óìåþò" è âûïîëíÿòü ôîðìàëüíîå èíòåãðèðîâàíèå, è íàõîäèòü çíà÷åíèå èíòåãðàëà  ÷èñëî  ñ çàäàííîé ïîëüçîâàòåëåì òî÷íîñòüþ. Ìû ñ÷èòàåì, ÷òî "öèâèëèçîâàííûé ïîëüçîâàòåëü" äîëæåí ïîìíèòü íåñêîëüêî ïðîñòåéøèõ ïåðâîîáðàçíûõ, óìåòü ãðàìîòíî ïðîâåñòè èíòåãðèðîâàíèå "ïî ÷àñòÿì" è ïîäñòàíîâêó, íî îòíþäü íå äîëæåí âëàäåòü èñêóññòâîì ïîäáîðà ïîäõîäÿùèõ ïóòåé ïðåîáðàçîâàíèÿ èíòåãðàëà. 170

Ñëåäóåò íàó÷èòüñÿ ðàáîòàòü ñ ïîèìåíîâàííûìè âûøå òàáëèöàìè è ñðåäàìè êîíå÷íîãî ïîëüçîâàòåëÿ, à â ñëîæíûõ ñëó÷àÿõ  êîíñóëüòèðîâàòüñÿ ñî ñïåöèàëèñòàìè.

14.9. ×èñëåííîå èíòåãðèðîâàíèå  ðåàëüíûõ çàäà÷àõ îáû÷íî òðåáóåòñÿ íàéòè íå ñàì èíòåãðàë (÷èñëî), à íåêîòîðóþ åãî îöåíêó, ò.å. èíòåðâàë äîñòàòî÷íî ìàëîé äëèíû, ãàðàíòèðîâàííî íàêðûâàþùèé ýòî ÷èñëî. Îäèí èç ñïîñîáîâ ïîëó÷åíèÿ îöåíêè èíòåãðàëà ìû îïèøåì. Äëÿ îöåíêè èíòåãðàëà

Rb a

f ïîäûíòåãðàëüíàÿ ôóíêöèÿ çàìåíÿåòñÿ íå-

êîòîðîé ôóíêöèåé φ, êîòîðàÿ äîëæíà óäîâëåòâîðÿòü äâóì òðåáîâàíèÿì: 1) äîëæíà áûòü èçâåñòíà åå ïåðâîîáðàçíàÿ, ÷òîáû ìîæíî áûëî ïðèìåíèòü ôîðìóëó ÍüþòîíàËåéáíèöà; 2) àáñîëþòíàÿ ïîãðåøíîñòü îò çàìåíû èíòåãðàëà îò f íà èíòåãðàë îò φ íå äîëæíà ïðåâûøàòü çàäàííîå ïîëîæèòåëüíîå ÷èñëî ε.

Zb ¯ ¯Z b ¯ ¯ R = ¯ f − φ¯≤ ε. a

a

 êà÷åñòâå àïïðîêñèìèðóþùåé ôóíêöèè ÷àñòî óïîòðåáëÿþòñÿ ïîëèíîìèàëüíûå ñïëàéíû. Ïðè ýòîì

Rb a

f

îêàçûâàåòñÿ ëèíåéíîé

êîìáèíàöèåé çíà÷åíèé ïîäûíòåãðàëüíîé ôóíêöèè â óçëàõ ñòàíäàðòíîé ñåòêè è ñî ñòàíäàðòíûìè êîýôôèöèåíòàìè. Ýòó ëèíåéíóþ êîìáèíàöèþ íàçûâàþò êâàäðàòóðíîé ôîðìóëîé. Ïðîèëëþñòðèðóåì èçëîæåííîå íà ïðîñòåéøåì ïðèìåðå. Âîçüìåì íà [a, b] ðàâíîìåðíóþ ñåòêó

xk = a + k · h (k = 0, . . . , n),

h=

b−a . n

Âû÷èñëèì çíà÷åíèÿ ïîäûíòåãðàëüíîé ôóíêöèè â ñåðåäèíå êàæäîãî ñåãìåíòà Jk = [xk−1 , xk ] è ïîñòðîèì êóñî÷íî ïîñòîÿííûé ñïëàéí

Spl(x) = f

³x

+ xk ´ ïðè x ∈ Jk . 2

k−1

Çàìåòèì, ÷òî ñîãëàñíî ñâîéñòâó 3 èç ï.14.3 çíà÷åíèÿ ñïëàéíà â óçëàõ ñåòêè íå âëèÿþò íà çíà÷åíèÿ èíòåãðàëà. 171

Âû÷èñëèì èíòåãðàë îò ïîñòðîåííîãî ñïëàéíà

Zb Spl =

Zxk n X k=1 x

a

Zxk ³ n n ´ ³x X X xk−1 + xk ´ k−1 + xk Spl = f dx = h · f . 2 2 k=1 x

k−1

k=1

k−1

Èòàê, ìû ïîëó÷èëè êâàäðàòóðíóþ ôîðìóëó

Zb

Zb f∼ a

a

n ´ ³x X k−1 + xk Spl = h · , f 2

(14.9.1)

k=1

êîòîðàÿ èç-çà åå î÷åâèäíîé ãåîìåòðè÷åñêîé èíòåðïðåòàöèè íàçûâàåòñÿ ôîðìóëîé ñðåäíèõ ïðÿìîóãîëüíèêîâ. Íàïîìèíàåì, ÷òî çíà÷îê ∼ ÷èòàåòñÿ "çàìåíÿåòñÿ íà". Ìû îáðàùàåì âíèìàíèå ÷èòàòåëÿ íà áåññìûñëåííîñòü ÷àñòî óïîòðåáëÿþùåãîñÿ âûðàæåíèÿ "ïðèáëèæåííîå ðàâåíñòâî". Îñòàëîñü îöåíèòü ïîãðåøíîñòü êâàäðàòóðíîé ôîðìóëû. È, õîòÿ èíòåãðàë Ðèìàíà îïðåäåëåí äëÿ âñåõ êóñî÷íî íåïðåðûâíûõ ôóíêöèé, ýôôåêòèâíóþ îöåíêó ïîãðåøíîñòè ìîæíî ïîëó÷èòü òîëüêî ïðè ñóùåñòâåííîì óæåñòî÷åíèè òðåáîâàíèé ê ïîäûíòåãðàëüíîé ôóíêöèè. Ìû ïîòðåáóåì íàëè÷èÿ ó íåå íåïðåðûâíîé âòîðîé ïðîèçâîäíîé ! Îáîçíà÷èì (k)

M2 = max {|f 00 (x)|} ,

M2 = max {|f 00 (x)|} . x∈Jk

x∈[a,b]

(k)

Î÷åâèäíî, ÷òî M2 ≤ M2 äëÿ âñåõ k . Ïóñòü x ∈]xk−1 , xk [. Ïî ôîðìóëå Òåéëîðà

³x

³ ´ ³ + xk ´ xk−1 + xk ´ 0 xk−1 + xk f (x) = f +f · x− + 2 2 2 xk−1 + xk ´2 f 00 (ξ(x)) ³ · x− , + 2! 2 ãäå ξ(x)  íåêîòîðàÿ (íåèçâåñòíàÿ) òî÷êà íà èíòåðâàëå ]xk−1 , xk [. Îòñþäà k−1

Zxk (f − Spl) = f 0 xk−1

Zxk + xk−1

³x

Zxk ³ ´ xk−1 + xk ´ k−1 + xk · x− dx+ 2 2 xk−1

xk−1 + xk ´2 f 00 (ξ(x)) ³ · x− dx = 2! 2 172

Zxk xk−1

xk−1 + xk ´2 f 00 (ξ(x)) ³ · x− dx 2! 2

(óáåäèòåñü â òîì, ÷òî

Rxk ³ xk−1

x +x x − k−12 k

´ dx = 0). Äàëåå,

¯ Zxk ¯ 1 ¯ Zxk ³ xk−1 + xk ´2 ¯¯ ¯ ¯ ¯ 00 f (ξ(x)) · x − dx¯ ≤ ¯ (f − Spl)¯ = ¯ 2 2 xk−1

1 ≤ 2

Zxk xk−1

xk−1

x (k) Z k ³ ³ ´2 xk−1 + xk ´2 M x + x k−1 k 2 00 x− dx ≤ · dx = |f (ξ(x))|· x− 2 2 2 xk−1

(k)

M = 2 6

¯x (k) (k) ³ xk−1 + xk ´3 ¯¯ k M2 h3 M2 (b − a)3 = · x− = . 3 ¯ 2 24 24n xk−1

È, íàêîíåö,

Zxk n n ¯ Zxk ¯Z b ¯ ¯X ¯ X ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ R = ¯ (f − Spl)¯ = ¯ (f − Spl)¯ ≤ ¯ (f − Spl)¯ ≤ k=1 x

a

k=1 x

k−1

k−1

n

(b − a)3 (b − a)3 X (k) M ≤ M2 · . ≤ 24n3 k=1 2 24n2 Íàìè äîêàçàíà Òåîðåìà. Åñëè ôóíêöèÿ f èìååò íåïðåðûâíóþ âòîðóþ ïðîèçâîäíóþ, òî

Rb a

f ∈ ]Sn − ∆n , Sn + ∆n [, ãäå n b − a X ³ xk−1 + xk ´ Sn = · f , n 2 k=1

(b − a)3 ∆n = M2 · . 24n2

Âèäíî, ÷òî êà÷åñòâî îöåíêè ìîæíî óëó÷øàòü, óâåëè÷èâàÿ êîëè÷åñòâî òî÷åê ñåòêè. Ïðè ýòîì, óâåëè÷èâ âäâîå îáúåì âû÷èñëèòåëüíîé ðàáîòû, ìû óìåíüøàåì ðàäèóñ îöåíêè â ÷åòûðå ðàçà. Çàìå÷àíèÿ. 1. Ïîëó÷åííàÿ îöåíêà ðàáîòàåò ïðè íàëè÷èè ó ïîäûíòåãðàëüíîé ôóíêöèè íåïðåðûâíîé âòîðîé ïðîèçâîäíîé. Ìîæíî ïîêàçàòü, ÷òî ïðè íàëè÷èè ó ïîäûíòåãðàëüíîé ôóíêöèè òîëüêî íåïðåðûâíîé ïåðâîé ïðîèçâîäíîé îöåíêà óõóäøàåòñÿ:

(b − a)3 ∆n = M1 · , 24n

ãäå 173

M1 = max {|f 0 (x)|} . x∈[a,b]

Òåïåðü â çíàìåíàòåëå ïåðâàÿ ñòåïåíü ÷èñëà óçëîâ ñåòêè âìåñòî âòîðîé, ò.å. óâåëè÷èâ âäâîå îáúåì âû÷èñëèòåëüíîé ðàáîòû, ìû óìåíüøàåì ðàäèóñ îöåíêè òîëüêî â äâà ðàçà! Ïîñêîëüêó îáû÷íî ïðèõîäèòñÿ èíòåãðèðîâàòü êóñî÷íî àíàëèòè÷åñêèå ôóíêöèè, èìåþùèå íà ñåãìåíòå ëèøü íåñêîëüêî îñîáûõ òî÷åê, öåëåñîîáðàçíî ïðèìåíÿòü êâàäðàòóðíóþ ôîðìóëó íå êî âñåìó ñåãìåíòó ñðàçó, à îöåíèâàòü èíòåãðàëû ïî êàæäîìó èç îòðåçêîâ àíàëèòè÷íîñòè ïîäûíòåãðàëüíîé ôóíêöèè â îòäåëüíîñòè. 2. Ïîëó÷åíèå îöåíêè ïîãðåøíîñòè êâàäðàòóðíîé ôîðìóëû ñâÿçàíî ñ íåîáõîäèìîñòüþ íàõîäèòü íàèáîëüøåå çíà÷åíèå (èëè êàêóþíèáóäü âåðõíþþ ãðàíèöó) ìîäóëÿ âòîðîé ïðîèçâîäíîé (äëÿ ìåòîäà ñðåäíèõ ïðÿìîóãîëüíèêîâ) èëè ïðîèçâîäíîé áîëåå âûñîêîãî ïîðÿäêà (äëÿ íåêîòîðûõ äðóãèõ ìåòîäîâ). Ýòà çàäà÷à íå ìîæåò áûòü àëãîðèòìèçèðîâàíà. Ïîýòîìó ñòàíäàðòíûå ïðîãðàììû ÷èñëåííîãî èíòåãðèðîâàíèÿ èñïîëüçóþò òàê íàçûâàåìûå àïîñòåðèîðíûå (ïîëó÷àåìûå â ïðîöåññå âû÷èñëåíèé) îöåíêè ïîãðåøíîñòè. Ïðîñòåéøèé ñïîñîá ñîñòîèò â ïîñëåäîâàòåëüíîì óäâîåíèè êîëè÷åñòâà óçëîâ ñåòêè. Ïðè ýòîì ñðàâíèâàþò "ñîñåäíèå" ðåçóëüòàòû, ïîëó÷åííûå ïî êâàäðàòóðíîé ôîðìóëå (S2 ñ S4 ; S4 ñ S8 è ò.ä.) Ïðîöåññ çàêàí÷èâàåòñÿ ïðè âûïîëíåíèè íåðàâåíñòâà |Sn − S2n | < ε (àáñîëþòíàÿ ïîãðåøíîñòü) èëè íåðàâåíñòâà |Sn − S2n | < ε · |S2n | (îòíîñèòåëüíàÿ ïîãðåøíîñòü). Ôîðòðàí-áèáëèîòåêè (NAG, IMSL) ñîäåðæàò áîëüøîå êîëè÷åñòâî ïðîöåäóð, äàþùèõ, êàê ïðàâèëî (åñëè ïîäûíòåãðàëüíàÿ ôóíêöèÿ íå î÷åíü ïëîõàÿ), äîñòîâåðíûå îöåíêè èíòåãðàëîâ. Ñðåäû êîíå÷íîãî ïîëüçîâàòåëÿ (MATHEMATICA, MAPLE, MATLAB) ïîçâîëÿþò ïîëó÷àòü îöåíêè èíòåãðàëîâ, íå ïðèáåãàÿ ê ïîìîùè àëãîðèòìè÷åñêîãî ÿçûêà. Ñåðüåçíîå ïðåäóïðåæäåíèå. Íåîáõîäèìî ïîìíèòü, ÷òî ïðè îòñóòñòâèè àïðèîðíûõ îöåíîê (îñíîâàííûõ íà çíàíèè âåðõíèõ ãðàíèö ìîäóëÿ ïðîèçâîäíûõ) ãàðàíòèðîâàòü äîñòîâåðíîñòü ðåçóëüòàòîâ íåëüçÿ. Ñïðàâåäëèâî óòâåðæäåíèå: äëÿ ëþáîãî àëãîðèòìà ÷èñëåííîãî èíòåãðèðîâàíèÿ, îñíîâàííîãî íà àïîñòåðèîðíûõ îöåíêàõ, ìîæíî ïîñòðîèòü ïðèìåð, íà êîòîðîì ýòîò àëãîðèòì "ñëîìàåòñÿ". Ïîñòðîèì òàêîé ïðèìåð äëÿ ìåòîäà ñðåäíèõ ïðÿìîóãîëüíèêîâ. Òðåáóåòñÿ îöåíèòü èíòåãðàë

Z2π 0

1 sin2 (32x) dx = 2

µ Z2π ¯2π ¶ 1 1 ¯ (1 − cos(64x)) dx = 2π − sin(64x)¯ = π. 0 2 64 0

174

Íà÷èíàåì âû÷èñëåíèÿ êîëè÷åñòâî óçëîâ ñåòêè.

ïî

êâàäðàòóðíîé

ôîðìóëå,

óäâàèâàÿ

µ ¶ 2π π 3π S2 = · sin(32 ) + sin(32 ) = 0. 2 2 2

µ ¶ 2π π 3π 5π 7π S4 = · sin(32 ) + sin(32 ) + sin(32 ) + sin(32 ) = 0. 4 4 4 4 4 Äâà "ñîñåäíèõ" ðåçóëüòàòà ñîâïàëè, è ïðîãðàììà âûäàñò îòâåò: "íîëü!". Äàæå åñëè ìû (íà âñÿêèé ñëó÷àé) åùå ðàç óäâîèì êîëè÷åñòâî óçëîâ, îòâåò íå èçìåíèòñÿ: ìû îïÿòü ïîïàäåì â òî÷êè, ãäå ïîäûíòåãðàëüíàÿ ôóíêöèÿ ðàâíà íóëþ. Èç ýòîãî ïðèìåðà íå ñëåäóåò, êîíå÷íî, ÷òî ñòàíäàðòíûå ïðîãðàììû ÷èñëåííîãî èíòåãðèðîâàíèÿ íåëüçÿ èñïîëüçîâàòü. Îäíàêî åñëè ïîëüçîâàòüñÿ èìè áåç ïðåäâàðèòåëüíîãî èññëåäîâàíèÿ ïîâåäåíèÿ ïîäûíòåãðàëüíîé ôóíêöèè, ïîëó÷åííûé ðåçóëüòàò ìîæåò íå èìåòü íèêàêîãî îòíîøåíèÿ ê ïðàâèëüíîìó îòâåòó.

175

Ãëàâà 15. ÊÐÀÒÍÛÅ ÈÍÒÅÃÐÀËÛ ÐÈÌÀÍÀ 15.1. Îïðåäåëåíèå äâîéíîãî èíòåãðàëà Ïóñòü ∆ = [a, b] × [c, d]  ïðÿìîóãîëüíèê, è f : ∆ → R  êóñî÷íî íåïðåðûâíàÿ ôóíêöèÿ. Áóäåì âðåìåííî îáîçíà÷àòü êîîðäèíàòû òî÷êè íà ïëîñêîñòè íå x1 è x2 , êàê îáû÷íî, à x è y . Ïîñòðîèì íà ñåãìåíòàõ [a, b] è [c, d] ñåòêè

ª © ª © a = x0 , . . . , x k = b è c = y0 , . . . , y n = b . Ýòè ñåòêè ïîðîæäàþò ðàçáèåíèå P ïðÿìîóãîëüíèêà ∆, ñîñòîÿùåå èç k · n ýëåìåíòàðíûõ ïðÿìîóãîëüíèêîâ

∆ij = [xi−1 , xi ] × [yj−1 , yj ],

(i = 1, . . . , k; j = 1, . . . , n).

Îáîçíà÷èì Sij = (xi − xi−1 ) · (yj − yj−1 ) ïëîùàäü ýëåìåíòàðíîãî ïðÿìîóãîëüíèêà ∆ij . Ïî àíàëîãèè ñ îäíîìåðíûì èíòåãðàëîì Ðèìàíà ââåäåì ñóììû Äàðáó, ñîîòâåòñòâóþùèå ðàçáèåíèþ P :

L(f, P ) =

k X n X

mij Sij ,

U (f, P ) =

i=1 j=1

k X n X

Mij Sij .

i=1 j=1

Çäåñü mij = inf {f (x, y)} è Mij = sup {f (x, y)}  ñîîòâåòñòâåííî ∆ij

∆ij

íèæíÿÿ è âåðõíÿÿ ãðàíè ìíîæåñòâà çíà÷åíèé ôóíêöèè f íà ýëåìåíòàðíîì ïðÿìîóãîëüíèêå ∆ij . Ñâîéñòâà ñóìì Äàðáó äëÿ äâîéíîãî èíòåãðàëà ñîâïàäàþò ñ óæå èçâåñòíûìè ñâîéñòâàìè ýòèõ ñóìì äëÿ îäíîìåðíîãî èíòåãðàëà.  ÷àñòíîñòè, åñëè ñåòêè íà îáåèõ îñÿõ ñîñòîÿò èç äâóõ òî÷åê êàæäàÿ, òî "ðàçáèåíèå" ñîäåðæèò âñåãî îäèí ïðÿìîóãîëüíèê, è ýòîìó ðàçáèåíèþ ñîîòâåòñòâóþò: m(b−a)(d−c)  íàèìåíüøàÿ èç íèæíèõ è M (b−a)(d−c)  íàèáîëüøàÿ èç âåðõíèõ ñóìì Äàðáó. Êðîìå òîãî, ëþáàÿ íèæíÿÿ ñóììà Äàðáó íå áîëüøå ëþáîé âåðõíåé. Òåîðåìà. Åñëè f : ∆ → R  êóñî÷íî íåïðåðûâíàÿ ôóíêöèÿ, òî ñóùåñòâóåò ðîâíî îäíî ÷èñëî, êîòîðîå íå ìåíüøå ëþáîé íèæíåé ñóììû Äàðáó è íå áîëüøå ëþáîé âåðõíåé. Ýòî ÷èñëî, ðàçäåëÿþùåå ìíîæåñòâî íèæíèõ è ìíîæåñòâî âåðõíèõ ñóìì Äàðáó, íàçûâàþò äâîéíûì èíòåãðàëîì Ðèìàíà îò ôóíêöèè f ïî ïðÿìîóãîëüíèêó ∆. 176

Îáîçíà÷àþò äâîéíîé èíòåãðàë Ðèìàíà òàê:

ZZ

ZZ

èëè

f

f (x, y) dxdy.

∆

∆

Ïðèâîäÿ ýòó òåîðåìó áåç äîêàçàòåëüñòâà, åùå ðàç ïîä÷åðêíåì, ÷òî äâîéíîé èíòåãðàë Ðèìàíà  åäèíñòâåííîå ÷èñëî, óäîâëåòâîðÿþùåå íåðàâåíñòâó ZZ

L(f, P ) ≤

f ≤ U (f, P )

(15.1.1)

∆

ïðè ëþáîì ðàçáèåíèè P ïðÿìîóãîëüíèêà ∆, è ýòà åäèíñòâåííîñòü îáåñïå÷èâàåòñÿ êóñî÷íîé íåïðåðûâíîñòüþ ôóíêöèè f . Ïðè ïðîèçâîëüíîé f ìîæåò áûòü ìíîãî ÷èñåë, óäîâëåòâîðÿþùèõ íåðàâåíñòâó (15.1.1). Ïóñòü òåïåðü Ω  ÷àñòü ïëîñêîñòè, îãðàíè÷åííàÿ çàìêíóòîé êóñî÷íî ãëàäêîé êðèâîé, è f : Ω → R  êóñî÷íî íåïðåðûâíàÿ ôóíêöèÿ. Ïîñòðîèì êàêîé-íèáóäü ïðÿìîóãîëüíèê ∆, ñîäåðæàùèé Ω, è îïðåäåëèì íà íåì ôóíêöèþ ½ f (x, y), åñëè (x, y) ∈ Ω; F (x, y) = (15.1.2) 0, åñëè (x, y) ∈ ∆ \ Ω. Äâîéíîé èíòåãðàë Ðèìàíà îò f ïî îáëàñòè Ω îïðåäåëèì òàê:

ZZ

ZZ

f= Ω

F. ∆

"Ôèçè÷åñêîå" îáîñíîâàíèå ýòîãî îïðåäåëåíèÿ ïîíÿòíî; íåñëîæíî óâèäåòü òàêæå, ÷òî ýòî îïðåäåëåíèå íå çàâèñèò îò âûáîðà ∆, èáî òå ýëåìåíòàðíûå ïðÿìîóãîëüíèêè, íà êîòîðûõ F = 0, äàþò íóëåâîé âêëàä â ñóììû Äàðáó. Çàìå÷àíèå. Åñëè f (x, y) ≡ 1, à ∆ = [a, b] × [c, d], òî, î÷åâèäíî,

ZZ

f = (b − a) · (d − c) = S(∆) (ïëîùàäü ïðÿìîóãîëüíèêà ∆). ∆

Åñëè Ω  ÷àñòü ïëîñêîñòè, îãðàíè÷åííàÿ êóñî÷íî ãëàäêîé êðèâîé, à f ≡ const = 1, òî ÷èñëî Z Z ZZ

f= Ω

1 dxdy Ω

åñòåñòâåííî ñ÷èòàòü ïî îïðåäåëåíèþ ïëîùàäüþ ôèãóðû Ω. Ìû áóäåì îáîçíà÷àòü ýòó ïëîùàäü S(Ω). 177

Äâîéíîé èíòåãðàë Ðèìàíà, òàê æå, êàê è îäíîêðàòíûé, äîïóñêàåò ðàçëè÷íûå ôèçè÷åñêèå è ãåîìåòðè÷åñêèå èíòåðïðåòàöèè. Ïðèâåäåì äâà ïðèìåðà. 1. Ýëåêòðè÷åñêèé çàðÿä ðàñïðåäåëåí ïî ïëàñòèíå ñ ïîâåðõíîñòíîé ïëîòíîñòüþ ρ RR (êóëîíîâ íà êâàäðàòíûé ìåòð). Òîãäà ïîëíûé çàðÿä ïëàñòèíû Q = ρ. Ω

2. Ðàññìîòðèì öèëèíäð ñ ïîïåðå÷íûì ñå÷åíèåì Ω è îáðàçóþùåé, ïàðàëëåëüíîé îñè Oz . Ïóñòü òåëî M  ÷àñòü ýòîãî öèëèíäðà, îãðàíè÷åííàÿ ñíèçó ïëîñêîñòüþ z = 0, à ñâåðõó  ãðàôèêîì íåîòðèöàòåëüíîé RR íåïðåðûâíîé ôóíêöèè f : Ω → R (ðèñ.15.1). Òîãäà V (M ) = f  îáúåì òåëà M .

Ω

z 6 Á ­­ ­ ­ ­

z = f (x, y) y Ω

x -

Ðèñ.15.1 Â ñëåäóþùåì ïóíêòå ìû ðàññìîòðèì åùå îäíó èíòåðïðåòàöèþ äâîéíîãî èíòåãðàëà.

15.2. Ïëîùàäü ïîâåðõíîñòè Ïóñòü G = r(Ω)  ãëàäêàÿ ïîâåðõíîñòü. Ìû õîòèì ïðèäàòü ñìûñë ïîíÿòèþ ïëîùàäü ïîâåðõíîñòè. Äëÿ íà÷àëà áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî Ω  ïðÿìîóãîëüíèê. Âîçüìåì êàêîåíèáóäü åãî ðàçáèåíèå P è ðàññìîòðèì ýëåìåíòàðíûé ïðÿìîóãîëüíèê ýòîãî ðàçáèåíèÿ ∆ij = [ui − ui−1 ] × [vj − vj−1 ]. Åñëè áû íà ∆ij ìàòðèöà ßêîáè r0 áûëà ïîñòîÿííîé, òî ñóæåíèå r íà ∆ij èìåëî áû âèä

¸ u − ui−1 , r(u, v) = r(ui−1 , vj−1 ) + A · v − vj−1 ·

ãäå A = r0 = [a(1) , a(2) ]  (3 × 2)-ìàòðèöà. Îáðàçîì ïðÿìîóãîëüíèêà ∆ij ïðè òàêîì îòîáðàæåíèè áûë áû ïàðàëëåëîãðàìì (ðèñ.15.2), ïîñòðîåííûé íà íàïðàâëåííûõ îòðåçêàõ

−→ −→ − → → p = a(1) · (ui − ui−1 ) è − q = a(2) · (vj − vj−1 ). 178

z

v

6

6

y

­

Á ­­ ­ ­ ­ ­

vj

´ ´ ­ ´ ­ ´ ­ → − q´ ­ ­ ­ ­Á → ´ 3− ­ ´ p ´ ­´ ´ u ­

∆ij vj−1

u

-

x Ðèñ.15.2

ui−1

-

ui u

Èç êóðñà ëèíåéíîé àëãåáðû èçâåñòíî, ÷òî ïëîùàäü ýòîãî ïàðàëëåëîãðàììà ðàâíà ¯ ³ ´¯

¯ ¯ ¯det [a(1) , a(2) , w] ¯ · Sij ,

ãäå Sij  ïëîùàäü ∆ij , à w  íîðìèðîâàííûé âåêòîð, îðòîãîíàëüíûé a(1) è a(2) . Ïîñêîëüêó îïðåäåëèòåëü ìàòðèöû íå ìåíÿåòñÿ ïðè åå òðàíñïîíèðîâàíèè,

¯ ³ ´¯ ³ ³ ´´1/2 ¯ ¯ (1) (2) (1) (2) T (1) (2) = ¯det [a , a , w] ¯ = det [a , a , w] · [a , a , w] 



1/2 b11 b12 0 ¡ ¢1/2 , = det b21 b22 0 = det(B) 0 0 1 · ¸ b b ãäå B = 11 12 = AT · A = (r0 )T · r0 . b21 b22 Èòàê, åñëè áû r0 áûëà ïîñòîÿííîé íà ∆ij , òî ïëîùàäü êóñêà ïîâåðõíîñòè r(∆ij ) ðàâíÿëàñü áû ¡ ¡ 0 T 0 ¢¢1/2 det (r ) · r · Sij . Åñòåñòâåííî ïðåäïîëîæèòü, ÷òî èñòèííàÿ ïëîùàäü σij êóñêà ïîâåðõíîñòè r(∆ij ) äîëæíà óäîâëåòâîðÿòü íåðàâåíñòâó

n¡ ¡ n¡ ¡ ¢¢ o ¢¢ o 0 T 0 1/2 0 T 0 1/2 inf det (r ) · r · Sij ≤ σij ≤ sup det (r ) · r · Sij . ∆ij

∆ij

Ñóììèðóÿ òàêèå íåðàâåíñòâà ïî âñåì i è j , ïîëó÷èì

³¡ ¡ ´ ³¡ ¡ ´ ¢¢ ¢¢ 0 T 0 1/2 0 T 0 1/2 L det (r ) · r , P ≤ σ ≤ U det (r ) · r ,P . 179

Ïîñêîëüêó ëèøü îäíî ÷èñëî  äâîéíîé èíòåãðàë  óäîâëåòâîðÿåò ýòîìó íåðàâåíñòâó ïðè ëþáîì ðàçáèåíèè P , ìû çàêëþ÷àåì, ÷òî

ZZ

σ=

¡ ¡ 0 T 0 ¢¢1/2 det (r ) · r .

(15.2.2)

Ω

Çàìå÷àíèå. Ôîðìóëà (15.2.2) îïðåäåëÿåò ïëîùàäü ãëàäêîé ïîâåðõíîñòè. Åñòåñòâåííî ðàñïðîñòðàíèòü ýòî îïðåäåëåíèå íà ñëó÷àé êóñî÷íî ãëàäêîé ïîâåðõíîñòè, à òàêæå íà ñëó÷àé, êîãäà Ω  ïðîèçâîëüíàÿ îáëàñòü â R2 , îãðàíè÷åííàÿ êóñî÷íî ãëàäêîé çàìêíóòîé êðèâîé. Ïðèìåðû. 1. Êàê èçâåñòíî, ãðàôèê íåïðåðûâíî äèôôåðåíöèðóåìîé ôóíêöèè f : Ω → R  ãëàäêàÿ ïîâåðõíîñòü (ñì. ïðèìåð â ï.11.3).  ýòîì ñëó÷àå



 1 0 r0 =  0 1 , Du f D v f

·

¸ 2 1 + (D f ) D f · D f u u v (r0 )T · r0 = , Du f · Dv f 1 + (Dv f )2

è ôîðìóëà (15.2.2) ïðèíèìàåò âèä

ZZ

σ=

¡ ¢1/2 1 + (Du f )2 + (Dv f )2 dudv.

Ω

2. Ïóñòü íåïðåðûâíî äèôôåðåíöèðóåìàÿ ôóíêöèÿ ϕ : Ω → G âçàèìíî îäíîçíà÷íî îòîáðàæàåò îáëàñòü Ω ⊂ R2 íà îáëàñòü G ⊂ R2 . Òîãäà îáëàñòü G ìîæíî ðàññìàòðèâàòü êàê ãëàäêóþ ïîâåðõíîñòü, çàäàâàåìóþ îòîáðàæåíèåì (ðèñ.15.3)

r : Ω → R3 ;

  ϕ1 (u, v) r(u, v) = ϕ2 (u, v) ; 0

y

(r0 )T · r0 = (ϕ0 )T · ϕ0 .

v

6

6

G z≡0

Ω

-

-

x

u

Ðèñ.15.3 180

¡

¡

Ïîñêîëüêó ϕ0  êâàäðàòíàÿ ìàòðèöà, det (ϕ0 )T · ϕ0 è ôîðìóëà (15.2.2) â ýòîì ñëó÷àå ïåðåïèøåòñÿ òàê:

¢¢1/2

= |det(ϕ0 )|,

ZZ

|det(ϕ0 )|.

S(G) = Ω

 ÷àñòíîì ñëó÷àå, êîãäà G = Ω, ìû èìååì ϕ0 = I2 è S(G) =

(15.2.3) RR

1, ò.å. ìû

Ω

âíîâü ïðèøëè ê ôîðìóëå (15.1.3).

15.3. Ñâåäåíèå äâîéíîãî èíòåãðàëà ê ïîâòîðíîìó  ýòîì ïóíêòå ìû ïðîâåäåì ïðàâäîïîäîáíîå ðàññóæäåíèå (íå ñëåäóåò ïðèíèìàòü åãî çà äîêàçàòåëüñòâî), îñíîâàííîå íà èíòåðïðåòàöèè äâîéíîãî èíòåãðàëà êàê ýëåêòðè÷åñêîãî çàðÿäà, ðàñïðåäåëåííîãî ïî ïðÿìîóãîëüíèêó ∆ = [a, b] × [c, d] ñ ïîâåðõíîñòíîé ïëîòíîñòüþ f . Âîçüìåì íà ñåãìåíòå [a, b] ïðîèçâîëüíóþ òî÷êó ñ àáñöèññîé x è "ñîáåðåì" â íåé çàðÿä èç âñåõ òî÷åê ïðÿìîóãîëüíèêà, èìåþùèõ ýòó àáñöèññó (ðèñ.15.4).

y

6

d Âåñü çàðÿä ýòîãî îòðåçêà ñîáèðàåòñÿ â òî÷êå (x, 0)

¾

c u

a

-

x b x Ðèñ.15.4

Ïðîäåëàâ òàêóþ îïåðàöèþ äëÿ âñåõ òî÷åê ñåãìåíòà [a, b], ìû ñîáåðåì çàðÿä ïðÿìîóãîëüíèêà íà ýòîì ñåãìåíòå. "Ôèçè÷åñêè î÷åâèäíî ÷òî ëèíåéíàÿ ïëîòíîñòü çàðÿäà áóäåò ðàâíà

Zd q(x) =

f (x, y) dy c

(ïîäûíòåãðàëüíàÿ ôóíêöèÿ åñòü ôóíêöèÿ òîëüêî ïåðåìåííîé y , òàê êàê x ôèêñèðîâàí. Ýòà ôóíêöèÿ  ñóæåíèå f íà îòðåçîê, èçîáðàæåííûé æèðíîé ëèíèåé íà ðèñ.15.4). 181

Ïîëíûé çàðÿä ñåãìåíòà (áûâøèé ðàíåå ïîëíûì ïðÿìîóãîëüíèêà) íàõîäèòñÿ ïî óæå èçâåñòíîìó ïðàâèëó:

çàðÿäîì

Zb q(x) dx.

Q= a

Íàøå ðàññóæäåíèå ïðèâåëî ê ôîðìóëå

Zb µ Zd

ZZ f=

f (x, y) dy dx. a

∆

¶ (15.3.1)

c

Ìîæíî ïîêàçàòü, ÷òî ýòà ôîðìóëà ñïðàâåäëèâà äëÿ âñÿêîé êóñî÷íî íåïðåðûâíîé ôóíêöèè f . Ðàâíîïðàâèå êîîðäèíàò ïîçâîëÿåò çàïèñàòü ôîðìóëó, àíàëîãè÷íóþ (15.3.1):

Zd µ Zb

ZZ f= ∆

¶ f (x, y) dx dy.

c

(15.3.2)

a

Èíòåãðàëû, ñòîÿùèå â ïðàâûõ ÷àñòÿõ ôîðìóë (15.3.1) è (15.3.2), íàçûâàþò ïîâòîðíûìè. Ïðèìåð. Ïóñòü ∆ = [0, 2] × [0, 1], f (x, y) = sin(x + 2y). Âû÷èñëèì äâîéíîé èíòåãðàë äâóìÿ ñïîñîáàìè  ïî ôîðìóëàì (15.3.1) è (15.3.2).

Z2 µ Z1

ZZ 1)

f= ∆

¶ sin(x + 2y) dy dx.

0

0

Âû÷èñëÿåì "âíóòðåííèé" èíòåãðàë (x ôèêñèðîâàí):

Z1 0

¯y=1 ¯ 1 1 = · (cos(x) − cos(x + 2)) . sin(x + 2y) dy = − · cos(x + 2y)¯¯ 2 2 y=0

Âû÷èñëÿåì "âíåøíèé" èíòåãðàë:

1 · 2

Z2 0

¯2 1 ¯ (cos(x) − cos(x + 2)) dx = · (sin(x) − sin(x + 2))¯ = 0 2 =

1 sin(4) · (sin(2) − sin(4) + sin(2)) = sin(2) − . 2 2 182

Z1 µ Z2

ZZ 2)

f=

sin(x + 2y) dx dy. 0

∆

¶

0

Âû÷èñëÿåì "âíóòðåííèé" èíòåãðàë (y ôèêñèðîâàí):

Z2

¯x=2 ¯ sin(x + 2y) dx = −cos(x + 2y)¯ = cos(2y) − cos(2 + 2y). x=0

0

Âû÷èñëÿåì "âíåøíèé" èíòåãðàë:

Z1 0

¯1 1 ¯ (cos(2y) − cos(2 + 2y)) dy = · (sin(2y) − sin(2 + 2y))¯ = 0 2

1 sin(4) · (sin(2) − sin(4) + sin(2)) = sin(2) − . 2 2 Çàìå÷àíèå. Ïðè ñâåäåíèè äâîéíîãî èíòåãðàëà ê ïîâòîðíîìó òåõíè÷åñêàÿ ñëîæíîñòü âû÷èñëåíèÿ ïîëó÷àþùèõñÿ îäíîìåðíûõ èíòåãðàëîâ ìîæåò ñóùåñòâåííî çàâèñåòü îò âûáðàííîãî ïîðÿäêà èíòåãðèðîâàíèÿ. =

15.4. Âû÷èñëåíèå äâîéíîãî èíòåãðàëà îò ôóíêöèè, çàäàííîé íà "êðèâîëèíåéíîé òðàïåöèè" "Êðèâîëèíåéíîé òðàïåöèåé" ìû íàçûâàåì îáëàñòü Ω ⊂ R2 , îãðàíè÷åííóþ ïðÿìûìè x = a, x = b (b > a) è ãðàôèêàìè êóñî÷íî ãëàäêèõ ôóíêöèé ϕ, ψ , çàäàííûõ íà [a, b] è óäîâëåòâîðÿþùèõ íåðàâåíñòâó ϕ ≤ ψ (ðèñ.15.5).

y

6

d ¾

Ω

y = ψ(x)

y = ϕ(x) ?

c

u

a

x b

-

x

Ðèñ.15.5 Ïóñòü f : Ω →RR R  êóñî÷íî íåïðåðûâíàÿ ôóíêöèÿ. Òðåáóåòñÿ âû÷èñëèòü èíòåãðàë f. Ω

183

Îáîçíà÷èì

© ª c = min ϕ(x) ,

© ª d = max ψ(x) .

[a,b]

[a,b]

Òîãäà ïðÿìîóãîëüíèê ∆ = [a, b] × [c, d] áóäåò ñîäåðæàòü Ω. Îïðåäåëèì íà ∆ ôóíêöèþ F ïî ôîðìóëå (15.1.2) è ñâåäåì äâîéíîé èíòåãðàë ê ïîâòîðíîìó

ZZ

Zb µ Zd

ZZ

f= Ω

F =

F (x, y) dy dx. a

∆

¶

c

Âû÷èñëèì "âíóòðåííèé" èíòåãðàë (x ôèêñèðîâàí  ñì. ðèñ.15.5)

Zd

ϕ(x) ψ(x) Z Z Zd F (x, y) dy + F (x, y) dy. (15.4.1) F (x, y) dy = F (x, y) dy +

c

0

ϕ(x)

ψ(x)

Åñëè c ≤ y < ϕ(x) èëè ψ(x) < y ≤ d, òî òî÷êà (x, y) íå ïðèíàäëåæèò Ω, è ïî ïîñòðîåíèþ F (x, y) = 0. Åñëè ϕ(x) ≤ y ≤ ψ(x), òî òî÷êà (x, y) ïðèíàäëåæèò Ω, è F (x, y) = f (x, y). Òàêèì îáðàçîì, ïîäûíòåãðàëüíàÿ ôóíêöèÿ â ïåðâîì è òðåòüåì èíòåãðàëàõ èç (15.4.1) ðàâíà íóëþ òîæäåñòâåííî, è

Zd

ψ(x) ψ(x) Z Z F (x, y) dy = F (x, y) dy = f (x, y) dy.

c

ϕ(x)

ϕ(x)

Ìû ïîëó÷èëè ïðàâèëî ñâåäåíèÿ äâîéíîãî èíòåãðàëà ê ïîâòîðíîìó äëÿ ñëó÷àÿ ôóíêöèè, çàäàííîé íà "êðèâîëèíåéíîé òðàïåöèè":

ZZ Ω

ψ(x) ¶ Zb µ Z f= f (x, y) dy dx. a

ϕ(x)

Àíàëîãè÷íî, åñëè "êðèâîëèíåéíàÿ òðàïåöèÿ" Ω ⊂ R2 îãðàíè÷åíà ïðÿìûìè y = a, y = b (b > a) è ãðàôèêàìè êóñî÷íî ãëàäêèõ ôóíêöèé ϕ, ψ , çàäàííûõ íà [a, b] è óäîâëåòâîðÿþùèõ íåðàâåíñòâó ϕ ≤ ψ (ðèñ.15.6), òî

ZZ Ω

ψ(y) ¶ Zb µ Z = f (x, y) dx dy. a

ϕ(y)

184

y b6 x = ϕ(y)

x = ψ(y) ¡ ¡ ª

@ R @

Ω

a -

x

Ðèñ.15.6

Ïðèìåð. Ïóñòü Ω  ÷àñòü ïëîñêîñòè, îãðàíè÷åííàÿ ëèíèÿìè y = 0, ¡ ¢ 2 2 y = x, x = 1 (ðèñ.15.7), f (x, y) = exp −(x + y ) · y . Òîãäà

Z1 µ Zx

ZZ f=

¶ ¡ ¢ 2 2 exp −(x + y ) · y dy dx.

Ω

0

0

y

6 ¡ ¡

y=x

¡

¡

¡

¡

¡ ¡

¡

Ω

¡

¡

¡

Ðèñ.15.7 Âû÷èñëÿåì "âíóòðåííèé" èíòåãðàë:

Zx

¡ ¢ exp −(x2 + y 2 ) · y dy = exp(−x2 ) ·

0

-

x

1 Zx

y · exp(−y 2 ) dy = 0

¯y=x 1 ¡ ¢ 1 2 2 ¯ = − · exp(−x ) · exp(−y )¯ = · exp(−x2 ) − exp(−2x2 ) . y=0 2 2 Âû÷èñëÿåì "âíåøíèé" èíòåãðàë: ZZ Z1 ¢ 1 ¡ f= exp(−x2 ) − exp(−2x2 ) dx = 2 0 Ω √ µ ³ 1 ´¶ π 1 = erf (1) − √ · erf √ . 4 2 2 185

Çäåñü èñïîëüçîâàíà ôîðìóëà (ñì. ïðèìåð 1 ï.13.7)

Zx 0

1 exp(−a2 t2 ) dt = · |a|

√

x/|a| Z

π exp(−u2 ) du = · erf 2|a|

0

µ

¶ x . |a|

Ïîïðîáóéòå âû÷èñëèòü ýòîò äâîéíîé èíòåãðàë, èñïîëüçóÿ âìåñòî ôîðìóëû (15.3.1) ôîðìóëó (15.3.2). Âû óáåäèòåñü, ÷òî ðàçíûå ñïîñîáû ñâåäåíèÿ äâîéíîãî èíòåãðàëà ê ïîâòîðíîìó ìîãóò îêàçàòüñÿ ñóùåñòâåííî ðàçíûìè ïî òåõíè÷åñêîé ñëîæíîñòè èõ ðåàëèçàöèè.

15.5. Ïðîñòåéøèå ñâîéñòâà äâîéíîãî èíòåãðàëà Êàê è â ñëó÷àå îäíîìåðíîãî èíòåãðàëà, îãðàíè÷èìñÿ ïåðå÷èñëåíèåì: äîêàçàòåëüñòâà ñëîæíû, à òî, ÷òî âûäàåòñÿ îáû÷íî çà äîêàçàòåëüñòâà,  â ëó÷øåì ñëó÷àå ïðàâäîïîäîáíûå ðàññóæäåíèÿ. Íà÷èíàÿ ñ ýòîãî ïóíêòà ìû âîçâðàùàåìñÿ ê îáû÷íûì îáîçíà÷åíèÿì: x è y  òî÷êè ïëîñêîñòè (âåêòîðû â R2 ), x1 , x2 è y1 , y2 -èõ êîîðäèíàòû. 1. Åñëè f  ôóíêöèÿ-êîíñòàíòà f ≡ c ∈ R, òî

RR

f = c · S(Ω).

Ω

S

2. Åñëè Ω = Ω1 Ω2 , ïðè÷åì Ω1 è Ω2 íå èìåþò îáùèõ òî÷åê, êðîìå ãðàíè÷íûõ ("íå íàëåãàþò" äðóã íà äðóãà), è èìåþò êóñî÷íî ãëàäêèå ãðàíèöû, à f êóñî÷íî íåïðåðûâíà íà Ω, òî

ZZ

ZZ

ZZ

f+

f= Ω1

Ω

f. Ω2

(Åñëè çàðÿæåííóþ ïëàñòèíó ðàçðåçàòü íà ÷àñòè, òî çàðÿä âñåé ïëàñòèíû ðàâåí ñóììå çàðÿäîâ åå ÷àñòåé). 3. Äëÿ ëþáûõ êóñî÷íî íåïðåðûâíûõ íà Ω ôóíêöèé f1 , f2 è ëþáûõ ÷èñåë α1 , α2

ZZ

ZZ

(α1 f1 + α2 f2 ) = α1

ZZ

f1 + α2

Ω

Ω

f2 Ω

(ëèíåéíîñòü èíòåãðàëà). 4. Åñëè f1 , f2 : Ω → R  êóñî÷íî íåïðåðûâíûå ôóíêöèè, ïðè÷åì f1 ≤ f1 , òî ZZ ZZ

f1 ≤ Ω

f2 . Ω

186

5. Ñðåäíèì çíà÷åíèåì ôóíêöèè f íà Ω íàçûâàþò ÷èñëî

1 · S(Ω)

ZZ f. Ω

Êàê è â ñëó÷àå îäíîìåðíîãî èíòåãðàëà, ñðåäíåå çíà÷åíèå ôóíêöèè íå âñåãäà ÿâëÿåòñÿ îäíèì èç åå çíà÷åíèé, îäíàêî åñëè f íåïðåðûâíà íà Ω, òî íàéäåòñÿ òàêàÿ òî÷êà xcp ∈ Ω, ÷òî

1 · S(Ω)

ZZ f = f (xcp ). Ω

Ýòî óòâåðæäåíèå íàçûâàåòñÿ òåîðåìîé î ñðåäíåì.

15.6. Ïðåîáðàçîâàíèå äâîéíîãî èíòåãðàëà ïîäñòàíîâêîé Áóäåì ïî-ïðåæíåìó èíòåðïðåòèðîâàòü äâîéíîé èíòåãðàë êàê ýëåêòðè÷åñêèé çàðÿä îáëàñòè Ω ⊂ R2 , ðàñïðåäåëåííûé íà íåé ñ ïîâåðõíîñòíîé ïëîòíîñòüþ f . Ïîäâåðãíåì îáëàñòü äåôîðìàöèè, ò.å. çàäàäèì íåïðåðûâíî äèôôåðåíöèðóåìóþ ôóíêöèþ φ, âçàèìíî îäíîçíà÷íî îòîáðàæàþùóþ G ⊂ R2 íà Ω. Çàðÿä îáëàñòè ïðè òàêîé åå äåôîðìàöèè, î÷åâèäíî, ñîõðàíèòñÿ, à åãî ðàñïðåäåëåíèå, ò.å. ïîâåðõíîñòíàÿ ïëîòíîñòü, èçìåíèòñÿ. Îáîçíà÷èì íîâóþ ïëîòíîñòü ðàñïðåäåëåíèÿ çàðÿäà g . (0) (0) (0) (0) Âîçüìåì â G ïðÿìîóãîëüíèê ∆ = [y1 , y1 + h] × [y2 , y2 + k]. Îáðàçîì ýòîãî ïðÿìîóãîëüíèêà â Ω ïðè îòîáðàæåíèè φ áóäåò íåêîòîðûé "êðèâîóãîëüíèê" P (ðèñ.15.8).

x

y 62

62

P u (0)

φ(y )

∆ y

φ -

x1

u (0) -

Ðèñ.15.8 187

y1

Ïðÿìîóãîëüíèê ∆ è "êðèâîóãîëüíèê" P íåñóò íà ñåáå îäèí è òîò æå çàðÿä, ò.å. ZZ ZZ

f= P

g. ∆

Åñëè ïðåäïîëîæèòü äëÿ ïðîñòîòû ðàññóæäåíèé, ÷òî îáå ïëîòíîñòè (f è g ) íåïðåðûâíû, òî, ïî òåîðåìå î ñðåäíåì, íàéäóòñÿ òî÷êè xcp ∈ P è ycp ∈ ∆, äëÿ êîòîðûõ

ZZ

ZZ

g = g(ycp ) · S(∆).

f=

f (xcp ) · S(P ) =

∆

P

Îòñþäà

g(ycp ) = f (xcp ) ·

S(P ) . S(∆)

Ñòÿãèâàÿ ïðÿìîóãîëüíèê ∆ ê òî÷êå y (0) , ò.å. ïåðåõîäÿ ê ïðåäåëó (h = 0, k = 0), ïîëó÷èì

¡ ¢ S(P ) g(y (0) ) = f φ(y (0) ) · lim . h=k=0 S(∆) Íî ïî ôîðìóëå (15.2.2)

ZZ |det(φ0 )|.

S(P ) = ∆

Ïî òåîðåìå î ñðåäíåì (φ  íåïðåðûâíî äèôôåðåíöèðóåìà) íàéäåòñÿ òàêàÿ òî÷êà c ∈ ∆, ÷òî

S(P ) = |det(φ0 (c))| · S(∆). Ïðè ñòÿãèâàíèè ∆ ê òî÷êå y (0) èìååì

¡ ¢ S(P ) = |det φ0 (y (0) ) |, h=k=0 S(∆) è, ñëåäîâàòåëüíî, èñêîìàÿ ñâÿçü ìåæäó ïëîòíîñòÿìè ðàñïðåäåëåíèÿ çàðÿäà íà G è íà Ω èìååò âèä lim

g(y) = f (φ(y)) · |det (φ0 (y)) |. Äåéñòâèòåëüíî, ìîæíî ïîêàçàòü, ÷òî èìååò ìåñòî Òåîðåìà. Åñëè f : Ω ⊂ R2 → R  êóñî÷íî íåïðåðûâíàÿ ôóíêöèÿ, à φ  íåïðåðûâíî äèôôåðåíöèðóåìîå âçàèìíî îäíîçíà÷íîå îòîáðàæåíèå G ⊂ R2 íà Ω, òî ñïðàâåäëèâà ôîðìóëà 188

ZZ

ZZ (f ◦ φ)|det(φ0 )|.

f= Ω

G

Ñðàâíèòå ýòó ôîðìóëó ñ ïðàâèëîì ïîäñòàíîâêè äëÿ ïðåîáðàçîâàíèÿ îäíîìåðíîãî èíòåãðàëà â ï.14.8. Çàìå÷àíèå. Óñëîâèå âçàèìíîé îäíîçíà÷íîñòè îòîáðàæåíèÿ ìîæåò íàðóøàòüñÿ íà ãðàíèöå îáëàñòè  òåîðåìà ðàáîòàåò è â ýòîì ñëó÷àå. Ïðèìåð. Âû÷èñëèì èíòåãðàë

ZZ

¡ ¢ exp −(x21 + x22 ) dx1 dx2 ,

Ωr

ãäå Ωr  êðóã ðàäèóñà r ñ öåíòðîì â íà÷àëå êîîðäèíàò, ÿâëÿþùèéñÿ îáðàçîì ïðÿìîóãîëüíèêà G: 0¸ ≤ ρ ≤ r, 0 ≤ ϕ ≤ 2π (ðèñ.15.9) ïðè îòî·

x1 = ρ · cos(ϕ) . x2 = ρ · sin(ϕ)

áðàæåíèè φ :

x2 6

ρ6 r

Ω'$ r

G

&%

x1

2π

-

ϕ

Ðèñ.15.9 Ýòî îòîáðàæåíèå íå âçàèìíî îäíîçíà÷íî: ïðàâàÿ è ëåâàÿ ãðàíèöû ïðÿìîóãîëüíèêà "ñêëåèâàþòñÿ à âñÿ åãî íèæíÿÿ ãðàíèöà ïåðåõîäèò â îäíó òî÷êó  íà÷àëî êîîðäèíàò. Íî, ñîãëàñíî çàìå÷àíèþ ê òåîðåìå, ïðàâèëî ïîäñòàíîâêè ðàáîòàåò.  ï.11.1 áûëî ïîêàçàíî, ÷òî det(φ0 ) = ρ. Ïîýòîìó

ZZ

¡

¢ exp −(x21 + x22 ) dx1 dx2 =

Ωr

ZZ

exp(−ρ2 ) · ρ dρdϕ = G

Z2πµ Zr

¶

¡ ¢ exp(−ρ ) · ρ dρ dϕ = π · 1 − exp(−r2 ) . 2

= 0

0

189

15.7. Òðîéíîé èíòåãðàë Êîíñòðóêöèÿ òðîéíîãî èíòåãðàëà àíàëîãè÷íà êîíñòðóêöèè äâîéíîãî, ïîýòîìó ìû îãðàíè÷èìñÿ îïðåäåëåíèåì è ïåðå÷èñëåíèåì åãî ñâîéñòâ. Ïóñòü ∆ = [a, b]×[c, d]×[q, r]  ïðÿìîóãîëüíûé ïàðàëëåëåïèïåä â R3 , è f : ∆ → R  êóñî÷íî íåïðåðûâíàÿ ôóíêöèÿ. Ïîñòðîèì êàêèå-íèáóäü ðàçáèåíèÿ ñåãìåíòîâ [a, b], [c, d] è [q, r]. Ïîðîæäàåìîå èìè ðàçáèåíèå ïàðàëëåëåïèïåäà îáîçíà÷èì P . Ïîñòðîèì ñóììû Äàðáó

L(f, P ) =

XXX i

ãäå

j

mijk Vijk ,

U (f, P ) =

XXX i

k

mijk = inf {f (x, y, z)} ,

j

Mijk Vijk ,

k

Mijk = sup {f (x, y, z)} ,

∆ijk

∆ijk

∆ijk  ýëåìåíòàðíûé ïàðàëëåëåïèïåä ðàçáèåíèÿ P , Vijk  åãî îáúåì. Èìååò ìåñòî Òåîðåìà. Ñóùåñòâóåò åäèíñòâåííîå ÷èñëî J , óäîâëåòâîðÿþùåå íåðàâåíñòâó

L(f, P ) ≤ J ≤ U (f, P ) ïðè ëþáîì ðàçáèåíèè P . Åãî íàçûâàþò òðîéíûì èíòåãðàëîì îò ôóíêöèè f ïî ïàðàëëåëåïèïåäó ∆. Îáîçíà÷àþò òðîéíîé èíòåãðàë òàê:

ZZZ

J=

ZZZ

f

èëè

J=

f (x, y, z) dxdydz.

∆

∆

Åñëè G  ïðîèçâîëüíîå òåëî â R3 , îãðàíè÷åííîå êóñî÷íî ãëàäêîé ïîâåðõíîñòüþ, è f  âåùåñòâåííàÿ êóñî÷íî íåïðåðûâíàÿ ôóíêöèÿ, çàäàííàÿ íà G, òî ïîëàãàþò ïî îïðåäåëåíèþ

ZZZ

ZZZ

f= G

F, ∆

ãäå ∆  ïðîèçâîëüíûé ïðÿìîóãîëüíûé ïàðàëëåëåïèïåä, ñîäåðæàùèé G, à ôóíêöèÿ F ñîâïàäàåò ñ f íà G è ðàâíà íóëþ âíå G. Îáúåìîì òåëà G ⊂ R3 , îãðàíè÷åííîãî êóñî÷íî ãëàäêîé ïîâåðõíîñòüþ, íàçûâàþò ÷èñëî ZZZ

V (G) =

1. G

190

Åñëè G  ÷àñòü öèëèíäðà, ïîïåðå÷íîå ñå÷åíèå êîòîðîãî  ïëîñêàÿ ôèãóðà Ω, à îáðàçóþùàÿ ïàðàëëåëüíà îñè àïïëèêàò, ïðè÷åì G îãðàíè÷åíà ñâåðõó ãðàôèêîì êóñî÷íî ãëàäêîé ôóíêöèè ψ , à ñíèçó  ãðàôèêîì êóñî÷íî ãëàäêîé ôóíêöèè ϕ (ϕ ≤ ψ ; ñì. ðèñ.15.10), òî

ZZZ

¶ Z Z Z µ ψ(x,y) = f (x, y, z) dz dxdy.

G

Ω

ϕ(x,y)

z = ψ(x, y)

z 6

z = ϕ(x, y) y ­ ­Á ­ ­ ­ ­ ­

Ω -

x

Ðèñ.15.10

S

Àääèòèâíîñòü òðîéíîãî èíòåãðàëà. Åñëè G = G1 G2 , ïðè÷åì G1 è G2 íå èìåþò îáùèõ òî÷åê, êðîìå ãðàíè÷íûõ ("íå íàëåãàþò" äðóã íà äðóãà), è èìåþò êóñî÷íî ãëàäêèå ãðàíèöû, à f êóñî÷íî íåïðåðûâíà íà G, òî ZZZ ZZZ ZZZ

f= G

f+ G1

f. G2

(Åñëè çàðÿæåííîå òåëî ðàçðåçàòü íà ÷àñòè, òî çàðÿä âñåãî òåëà ðàâåí ñóììå çàðÿäîâ åãî ÷àñòåé.) Ëèíåéíîñòü òðîéíîãî èíòåãðàëà. Äëÿ ëþáûõ êóñî÷íî íåïðåðûâíûõ íà G ôóíêöèé f1 , f2 è ëþáûõ ÷èñåë α1 , α2

ZZZ

ZZZ

(α1 f1 + α2 f2 ) = α1 G

f1 + α2 G

191

ZZZ

f2 . G

Èíòåãðèðîâàíèå íåðàâåíñòâ. Åñëè f1 , f2 : G → R  êóñî÷íî íåïðåðûâíûå ôóíêöèè, ïðè÷åì f1 ≤ f1 , òî

ZZZ

ZZZ

f1 ≤ G

f2 . G

Òåîðåìà î ñðåäíåì. Åñëè f íåïðåðûâíà íà G, òî íàéäåòñÿ òàêàÿ òî÷êà c ∈ G, ÷òî ZZZ

1 · V (G)

f = f (c). G

Ïðàâèëî ïîäñòàíîâêè. Åñëè G  òåëî â R3 , îãðàíè÷åííîå êóñî÷íî ãëàäêîé ïîâåðõíîñòüþ, f  êóñî÷íî íåïðåðûâíàÿ âåùåñòâåííàÿ ôóíêöèÿ, çàäàííàÿ íà G, à φ  íåïðåðûâíî äèôôåðåíöèðóåìîå âçàèìíî îäíîçíà÷íîå îòîáðàæåíèå òåëà H ⊂ R3 íà G, òî

ZZZ

ZZZ

(f ◦ φ) · |det(ϕ0 )|.

f= G

H

Çàìå÷àíèÿ. 1. Ïðàâèëî ïîäñòàíîâêè ðàáîòàåò è â ñëó÷àå íàðóøåíèÿ íà ãðàíèöå âçàèìíîé îäíîçíà÷íîñòè îòîáðàæåíèÿ φ. 2. Íåòðóäíî çàìåòèòü, ÷òî àíàëîãè÷íûì îáðàçîì ìîæíî îïðåäåëèòü èíòåãðàëû ëþáîé êðàòíîñòè  "÷åòâåðíîé "ïÿòåðíîé" è ò.ä. (íî, êîíå÷íî, óæå áåç ãåîìåòðè÷åñêîé èõ èíòåðïðåòàöèè). 3. Ïîñêîëüêó ïèñàòü áîëüøîå êîëè÷åñòâî "êðþ÷êîâ"  çíàêîâ èíòåãðàëà  óòîìèòåëüíî, ÷àñòî èíòåãðàë êðàòíîñòè n çàïèñûâàþò â âèäå R f, ãäå G  çàäàííàÿ ÷àñòü Rn . G

192

Ãëàâà 16. ÍÅÑÎÁÑÒÂÅÍÍÛÅ ÈÍÒÅÃÐÀËÛ 16.1. Íåñîáñòâåííûé èíòåãðàë îò íåîãðàíè÷åííîé ôóíêöèè Íà÷íåì ñ ïðèìåðà. Ðàññìîòðèì ôóíêöèþ f : [0, 1] → R

( f (x) =

√1 ïðè x 6= 0; x A ∈ R ïðè x = 0.

¢ lim √1 = +∞ . Ïîýòîìó íå ñóx=0+ x ùåñòâóþò âåðõíèå ñóììû Äàðáó, è íå ñóùåñòâóåò èíòåãðàë Ðèìàíà îò f ïî [0, 1]. Âîçüìåì íà èíòåðâàëå ]0, 1[ òî÷êó α è ðàññìîòðèì ôóíêöèþ fα  ñóæåíèå f íà [α, 1]. Îíà íåïðåðûâíà, è ñóùåñòâóåò èíòåãðàë Îíà íå îãðàíè÷åíà íà ñåãìåíòå [0, 1]

Z1

Z1 fα =

α

α

¡

√ ¯¯1 √ 1 √ dx = 2 x ¯ = 2 − 2 α, α x

ïðåäåë êîòîðîãî ïðè α = 0+ êîíå÷åí:

Z1 lim

α=0+

√ fα = lim (2 − 2 α) = 2. α=0+

α

Ýòîò ïðåäåë íàçûâàþò íåñîáñòâåííûì èíòåãðàëîì îò ôóíêöèè f ïî [0, 1]. Ïèøóò

Z1

Z1

f = lim

f = 2.

α=0+ α

0

Çàìå÷àíèå. Òàê êàê çíà÷åíèå ôóíêöèè f â íóëå íå èãðàåò íèêàêîé ðîëè, ìîæíî ñ÷èòàòü, ÷òî îíà â íóëå íå çàäàíà (çàäàíà íà ïîëóèíòåðâàëå ]0, 1] ) è ïèñàòü

Z1 0

1 √ = lim x α=0+

Z1 α

1 √ = 2. x

Ïðèâåäåì ïðîñòóþ ôèçè÷åñêóþ èíòåðïðåòàöèþ ýòîãî ïðèìåðà. Ýëåêòðè÷åñêèé çàðÿä ðàñïðåäåëåí âäîëü ñòåðæíÿ [0, 1] ñ ëèíåéíîé ïëîòíîñòüþ √1 (çíà÷åíèå ïëîòíîñòè â òî÷êå x = 0 ðîëè íå èãðàåò). Ýòà

x

193

ïëîòíîñòü íå îãðàíè÷åíà. Îäíàêî ïîëíûé çàðÿä ñòåðæíÿ êîíå÷åí è ðàâåí äâóì åäèíèöàì çàðÿäà. 1. Ïîïðîáóåì ïîñòóïèòü òàê æå ñ ôóíêöèåé g : ]0, 1] → R g(x) = x

Z1 lim

α=0+ α

1 dx = lim (ln(1) − ln(α)) = +∞. α=0+ x

R1 1 Ñèìâîëó x dx íåâîçìîæíî ïðèïèñàòü íèêàêîãî ÷èñëîâîãî çíà÷åíèÿ. 0 Îáû÷íî èñïîëüçóþò ìàòåìàòè÷åñêèå ýâôåìèçìû è ãîâîðÿò "íåñîáñòâåííûé èíòåãðàë íå ñóùåñòâóåò" èëè "íåñîáñòâåííûé èíòåãðàë ðàñõîäèòñÿ". Ïîëüçóÿñü òîé æå ôèçè÷åñêîé èíòåðïðåòàöèåé, ìîæíî ñêàçàòü, ÷òî òàêàÿ ëèíåéíàÿ ïëîòíîñòü ðàñïðåäåëåíèÿ çàðÿäà áûëà áû âîçìîæíà òîëüêî ïðè áåñêîíå÷íî áîëüøîì ïîëíîì çàðÿäå ñòåðæíÿ. Îïðåäåëåíèå. Åñëè ôóíêöèÿ f : ]a, b] → C íå îãðàíè÷åíà â îêðåñòíîñòè òî÷êè a, íî êóñî÷íî íåïðåðûâíà íà ñåãìåíòå [α, b] ïðè ëþáîì α ∈

]a, b[, è ñóùåñòâóåò êîíå÷íûé ïðåäåë lim

Rb

α=a+ α

f , òî ýòîò ïðåäåë íàçûâàþò

íåñîáñòâåííûì èíòåãðàëîì îò f ïî [a, b] è ïèøóò

Zb

Zb f = lim

f.

α=a+

a

α

Àíàëîãè÷íî îïðåäåëÿþò íåñîáñòâåííûé èíòåãðàë îò ôóíêöèè f , çàäàííîé íà [a, b[, íå îãðàíè÷åííîé â îêðåñòíîñòè òî÷êè b è êóñî÷íî íåïðåðûâíîé íà [a, β] ïðè ëþáîì β ∈]a, b[:

Zβ

Zb

f.

f = lim

β=b− a

a

Ïîíÿòèå "íåñîáñòâåííûé èíòåãðàë îò íåîãðàíè÷åííîé ôóíêöèè" ìîæíî îïèñàòü òàê: åñëè îäèí èç êîíöîâ ñåãìåíòà, ïî êîòîðîìó õîòÿò ïðîèíòåãðèðîâàòü ôóíêöèþ, ÿâëÿåòñÿ äëÿ ýòîé ôóíêöèè îñîáîé òî÷êîé (â åå îêðåñòíîñòè ôóíêöèÿ íå îãðàíè÷åíà), òî ìàëóþ îêðåñòíîñòü îñîáîé òî÷êè óäàëÿþò è âû÷èñëÿþò èíòåãðàë Ðèìàíà ïî îñòàâøåéñÿ ÷àñòè ñåãìåíòà (ãäå ôóíêöèÿ âåäåò ñåáÿ ïðèëè÷íî). Çàòåì äëèíó óäàëåííîé ÷àñòè ñåãìåíòà óñòðåìëÿþò ê íóëþ. Åñëè ïðè ýòîì èíòåãðàë Ðèìàíà 194

èìååò êîíå÷íûé ïðåäåë, òî ýòîò ïðåäåë íàçûâàþò íåñîáñòâåííûì èíòåãðàëîì (ýòî óæå ÍÅ èíòåãðàë Ðèìàíà!). Åñëè êîíå÷íîãî ïðåäåëà íåò, òî ãîâîðÿò, ÷òî "íåñîáñòâåííûé èíòåãðàë íå ñóùåñòâóåò" (ðàñõîäèòñÿ). Îñòàåòñÿ ðàññìîòðåòü ñëó÷àé, êîãäà îñîáàÿ òî÷êà ëåæèò âíóòðè ñåãìåíòà, ïî êîòîðîìó âåäåòñÿ èíòåãðèðîâàíèå. Ïóñòü ôóíêöèÿ f çàäàíà âî âñåõ òî÷êàõ ñåãìåíòà, êðîìå åãî âíóòðåííåé òî÷êè c, íå îãðàíè÷åíà â îêðåñòíîñòè òî÷êè c, íî ñóæåíèå ýòîé S ôóíêöèè íà [a, α] [β, b], (a < α < c < β < b) êóñî÷íî íåïðåðûâíî. Òîãäà íåñîáñòâåííûé èíòåãðàë îò ôóíêöèè f ïî ñåãìåíòó [a, b] îïðåäåëÿþò êàê ñóììó íåñîáñòâåííûõ èíòåãðàëîâ ïî [a, c] è [c, b], ò.å.

Zb

Zc f=

a

Zb f+

Zα f = lim

f + lim

α=c−

a

c

Zb f

β=c+

a

β

(åñëè îáà ýòè ïðåäåëà êîíå÷íû). Åñëè õîòÿ áû îäèí èç íèõ íå ñóùåñòâóåò, òî íåñîáñòâåííûé èíòåãðàë

Rb a

f íå ñóùåñòâóåò.

Ïðèìåð. Íåñîáñòâåííûé èíòåãðàë

R1 1 x dx íå ñóùåñòâóåò, òàê êàê

−2

R1 1 x dx. 0 Åñëè îñîáàÿ òî÷êà c ëåæèò âíóòðè ñåãìåíòà [a, b], è íåñîáñòâåííûé Rb èíòåãðàë f íå ñóùåñòâóåò, òî ìîæíî ïîïûòàòüñÿ ïðèäàòü ñìûñë ñèìóæå áûëî ïîêàçàíî, ÷òî íå ñóùåñòâóåò íåñîáñòâåííûé èíòåãðàë

âîëó

Rb a

a

f , èñïîëüçóÿ åùå îäíî ïîíÿòèå.

Îïðåäåëåíèå. Ãëàâíûì çíà÷åíèåì (ïî Êîøè) íåñîáñòâåííîãî èíòåãðàëà

Rb a

f íàçûâàåòñÿ ÷èñëî Zb V.P.44

Zb ´ ³ Zc−ε f+ f . f = lim ε=0+

a

a

c+ε

Çàìå÷àíèå. Îáðàòèòå âíèìàíèå íà òî, ÷òî 1) â îïðåäåëåíèè ãëàâíîãî çíà÷åíèÿ óäàëÿåìûé ïðîìåæóòîê (ñ ïëîõèì ïîâåäåíèåì ôóíêöèè) ñèììåòðè÷åí îòíîñèòåëüíî îñîáîé òî÷êè; 44 valeur

principal (ôð.)  ãëàâíîå çíà÷åíèå. 195

2) âû÷èñëÿåòñÿ ïðåäåë ñóììû âìåñòî ñóììû ïðåäåëîâ (èçâåñòíî, ÷òî ïðåäåë ñóììû ñóùåñòâóåò ïðè ñóùåñòâîâàíèè ïðåäåëîâ ñëàãàåìûõ, íî ìîæåò ñóùåñòâîâàòü è ïðè îòñóòñòâèè ïîñëåäíèõ). Ïðèìåðû.

Z1 1.

V.P. −2

1 dx = lim ε=0+ x

µ Z0−ε −2

1 dx + x

Z1

1 dx x

0+ε

¶ =

¡ ¢ = lim ln(ε) − ln(2) + ln(1) − ln(ε) = −ln(2). ε=0+

Z1 2. V.P. −1

µ Z0−ε ¶ Z1 ´ ³2 1 1 1 − 2 = +∞. dx = lim dx + dx = lim ε=0+ ε=0+ ε x2 x2 x2 −1

0+ε

Ïîêàçàâ, ÷òî íå ñóùåñòâóåò ãëàâíîå çíà÷åíèå íåñîáñòâåííîãî èíòåãðàëà, ìû ïîêàçàëè òàêæå, ÷òî íå ñóùåñòâóåò è íåñîáñòâåííûé èíòåãðàë (â îáû÷íîì ñìûñëå).

16.2. Íåñîáñòâåííûé èíòåãðàë ïî áåñêîíå÷íîìó ïðîìåæóòêó Îïðåäåëåíèå. Ïóñòü a ∈ R è f : [a, +∞[ → C  ôóíêöèÿ, êóñî÷íî íåïðåðûâíàÿ íà ëþáîì ñåãìåíòå [a, A] (a < A < +∞). Åñëè ñóùåñòâóåò êîíå÷íûé ïðåäåë lim

RA

A=+∞ a

f , òî åãî íàçûâàþò íåñîá-

ñòâåííûì èíòåãðàëîì îò ôóíêöèè f ïî [a, +∞[ è ïèøóò

Z+∞ ZA f = lim f. A=+∞

a

a

Åñëè êîíå÷íûé ïðåäåë íå ñóùåñòâóåò, òî ãîâîðÿò, ÷òî íåñîáñòâåííûé èíòåãðàë íå ñóùåñòâóåò (ðàñõîäèòñÿ). Ïðèìåðû.

Z+∞ 1. 0 +∞ Z

2. 0

dx = lim 1 + x2 A=+∞

x dx = lim 1 + x2 A=+∞

ZA 0

ZA 0

¡ ¢ π dx = lim arctg(A) − arctg(0) = . 2 1 + x2 A=+∞

¡ ¢ x · dx 1 2 = · lim ln(1 + A ) − ln(1) = +∞ 2 A=+∞ 1 + x2

(íåñîáñòâåííûé èíòåãðàë ðàñõîäèòñÿ). 196

3.

Z+∞ ZA ¡ ¢ cos(x) dx = lim cos(x) dx = lim sin(A) − sin(0) . A=+∞

0

A=+∞

0

Ïðåäåë íå ñóùåñòâóåò (íåñîáñòâåííûé èíòåãðàë ðàñõîäèòñÿ). Àíàëîãè÷íî îïðåäåëÿåòñÿ íåñîáñòâåííûé èíòåãðàë ïî ] − ∞, b]

Zb

Zb

f.

f = lim

B=−∞

−∞

B

Íåñîáñòâåííûé èíòåãðàë ïî ]−∞, +∞[ îïðåäåëÿåòñÿ êàê ñóììà ïðåäåëîâ (ïðè óñëîâèè, ÷òî îáà ïðåäåëà ñóùåñòâóþò è êîíå÷íû)

Z+∞ Zc ZA f = lim f + lim f B=−∞

−∞

A=+∞

(c  ëþáîå âåùåñòâåííîå ÷èñëî).

c

B

Åñëè õîòÿ áû îäèí èç ïðåäåëîâ íå ñóùåñòâóåò, òî ãîâîðÿò, ÷òî íåñîáñòâåííûé èíòåãðàë ðàñõîäèòñÿ. +∞ R

x dx ðàñõîäèòñÿ, òàê êàê 2 −∞ 1 + x +∞ R x dx óæå áûëî ïîêàçàíî, ÷òî ðàñõîäèòñÿ íåñîáñòâåííûé èíòåãðàë 2. 0 1+x  ñëó÷àå íåñîáñòâåííîãî èíòåãðàëà ïî ] − ∞, +∞[ ìîæíî ââåñòè ïîíÿòèå ãëàâíîãî çíà÷åíèÿ (ïî Êîøè) Z+∞ ZA V.P. f = lim f. Íàïðèìåð, íåñîáñòâåííûé èíòåãðàë

−∞

A=+∞ −A

Òàê æå, êàê è â ñëó÷àå íåñîáñòâåííîãî èíòåãðàëà îò íåîãðàíè÷åííîé ôóíêöèè, ãëàâíîå çíà÷åíèå îòëè÷àåòñÿ îò íåñîáñòâåííîãî èíòåãðàëà â îáû÷íîì ñìûñëå òåì, ÷òî, âî-ïåðâûõ, èíòåãðèðîâàíèå âåäåòñÿ ïî ñèììåòðè÷íîìó îòíîñèòåëüíî íà÷àëà êîîðäèíàò ïðîìåæóòêó, è, âîâòîðûõ, âû÷èñëÿåòñÿ íå ñóììà ïðåäåëîâ, à ïðåäåë ñóììû, êîòîðûé ìîæåò ñóùåñòâîâàòü è ïðè îòñóòñòâèè ïðåäåëîâ ñëàãàåìûõ. Ïðèìåð.

Z+∞ V.P. −∞

x dx = lim 1 + x2 A=+∞

ZA

−A

¡ ¢ 1 x dx 2 2 · lim ln(1 + A ) − ln(1 + A ) = 0. = 2 A=+∞ 1 + x2 197

Ðåêîìåíäóåì ÷èòàòåëþ óáåäèòüñÿ â òîì, ÷òî ñèìâîëó

+∞ R −∞

x2 dx íåëüçÿ

ïðèïèñàòü ÷èñëîâîå çíà÷åíèå íè îäíèì èç ðàññìîòðåííûõ ñïîñîáîâ. Çàìå÷àíèå. Ìû ââåëè äâà ðàçëè÷íûõ òèïà íåñîáñòâåííûõ èíòåãðàëîâ: èíòåãðàëû îò íåîãðàíè÷åííûõ ôóíêöèé è èíòåãðàëû ïî áåñêîíå÷íîìó ïðîìåæóòêó.  äàëüíåéøåì ìû áóäåì óïîòðåáëÿòü òåðìèí "èíòåãðàë, íåñîáñòâåííûé íà ïðàâîì êîíöå ïðîìåæóòêà [a, b[" êàê â ñëó÷àå, êîãäà b = +∞, òàê è â ñëó÷àå, êîãäà b ∈ R, íî ïîäûíòåãðàëüíàÿ ôóíêöèÿ íå îãðàíè÷åíà â îêðåñòíîñòè òî÷êè b. Àíàëîãè÷íî îïðåäåëèì è òåðìèí "èíòåãðàë, íåñîáñòâåííûé íà ëåâîì êîíöå ïðîìåæóòêà ]a, b]".

16.3. Ïðèçíàêè ñõîäèìîñòè íåñîáñòâåííûõ èíòåãðàëîâ Ìîæíî ïîêàçàòü, ÷òî äëÿ íåñîáñòâåííûõ èíòåãðàëîâ ñïðàâåäëèâû òåîðåìû, àíàëîãè÷íûå òåîðåìàì î ñõîäèìîñòè ÷èñëîâûõ ðÿäîâ. Òåîðåìà 1 (ïðèçíàê ñðàâíåíèÿ äëÿ èíòåãðàëîâ îò ïîëîæèòåëüíûõ ôóíêöèé). Ïóñòü f ≥ g ≥ 0 íà [a, b[, è èíòåãðàëû íà ïðàâîì êîíöå ïðîìåæóòêà. Åñëè ñõîäèòñÿ ÷åì

Rb a

g≤

Rb a

f , à åñëè ðàñõîäèòñÿ

Rb a

Rb a

Rb a

f,

Rb a

g  íåñîáñòâåííûå

f , òî ñõîäèòñÿ è

g , òî ðàñõîäèòñÿ è

Rb a

Rb a

g , ïðè-

f.

Òåîðåìà 2 (ïðåäåëüíàÿ ôîðìà ïðèçíàêà ñðàâíåíèÿ). Ïóñòü f ≥ 0,

g ≥ 0 íà [a, b[, è èíòåãðàëû

Rb a

f,

Rb a

g  íåñîáñòâåííûå íà ïðàâîì êîíöå

g(x) = L ∈ R, òî: x=b− f (x) 1) ïðè L 6= 0 ëèáî îáà èíòåãðàëà ñõîäÿòñÿ, ëèáî îáà ðàñõîäÿòñÿ; Rb Rb 2) ïðè L = 0 åñëè ñõîäèòñÿ f , òî ñõîäèòñÿ è g ; åñëè ðàñõîäèòñÿ

ïðîìåæóòêà. Åñëè ñóùåñòâóåò lim

Rb a

g , òî ðàñõîäèòñÿ è

Rb a

a

a

f.

Òåîðåìà 3. Ïóñòü f : [a, b[ → C, è èíòåãðàë ïðàâîì êîíöå ïðîìåæóòêà. Åñëè ñõîäèòñÿ

Rb a

Rb a

f  íåñîáñòâåííûé íà

|f |, òî ñõîäèòñÿ è

Rb a

f , ïðè-

¯Rb ¯ Rb Rb ÷åì ¯ f ¯ ≤ |f | (â ýòîì ñëó÷àå ãîâîðÿò, ÷òî èíòåãðàë f àáñîëþòíî a

ñõîäèòñÿ).

a

a

198

Ýòè òåîðåìû åñòåñòâåííûì îáðàçîì ïåðåíîñÿòñÿ íà ñëó÷àé èíòåãðàëîâ, íåñîáñòâåííûõ íà ëåâîì êîíöå ïðîìåæóòêà. Ïðèìåð. Ðàññìîòðèì ïàðàìåòðîì x:

ñåìåéñòâî

íåñîáñòâåííûõ

èíòåãðàëîâ

ñ

Z+∞ tx−1 exp(−t) dt. 0

Äîêàæåì, ÷òî ïðè x > 0 ýòè íåñîáñòâåííûå èíòåãðàëû ñóùåñòâóþò. Îòìåòèì, ÷òî ïðè x < 1 ýòè èíòåãðàëû  íåñîáñòâåííûå íà îáîèõ êîíöàõ ïðîìåæóòêà: íà ïðàâîì ïðîìåæóòîê áåñêîíå÷íûé, à íà ëåâîì  ïîäûíòåãðàëüíàÿ ôóíêöèÿ íå îãðàíè÷åíà â îêðåñòíîñòè íóëÿ. Ïîýòîìó ðàññìîòðèì îòäåëüíî äâà èíòåãðàëà:

Z1

Z+∞ H2 = tx−1 exp(−t) dt.

tx−1 exp(−t) dt,

H1 = 0

1

Ââèäó î÷åâèäíîãî íåðàâåíñòâà 0 ≤ tx−1 exp(−t) ≤ tx−1 èìååì

Z1

Z1 x−1

t

x−1

dt = lim

t

α=0+ α

0

1 tx ¯¯1 1 − αx = . dt = lim ¯ = lim α=0+ x α α=0+ x x

Ïî ïðèçíàêó ñðàâíåíèÿ èíòåãðàë H1 ñóùåñòâóåò. Äëÿ èññëåäîâàíèÿ H2 èñïîëüçóåì ñâîéñòâî ýêñïîíåíòû (ñì. ï.9.1)

¡ ¢ lim tx+1 exp(−t) = 0,

t=+∞

ò.å.

tx−1 exp(−t) lim = 0. t=+∞ t−2

Òàê êàê

Z+∞ ZA ³ 1 ´¯A ¯ −2 −2 t dt = lim t dt = lim − ¯ = 1, A=+∞ A=+∞ t 1 1

1

ïî ïðèçíàêó ñðàâíåíèÿ â ïðåäåëüíîé ôîðìå èíòåãðàë H2 ñóùåñòâóåò. Ìû ïîêàçàëè, ÷òî íà ]0, +∞[ îïðåäåëåíà ôóíêöèÿ

Z+∞ Γ(x) = tx−1 exp(−t) dt, 0

èìåíóåìàÿ Ãàììà-ôóíêöèåé. Èìååò ìåñòî ðåêóððåíòíîå ñîîòíîøåíèå 199

Γ(x + 1) = x · Γ(x),

x > 0.

Äîêàçàòåëüñòâî. Èíòåãðèðóÿ "ïî ÷àñòÿì ïîëó÷àåì

Z+∞ Z+∞ ¯+∞ ¯ Γ(x+1) = tx exp(−t) dt = −tx exp(−t) ¯ +x· tx−1 exp(−t) dt = 0

0

0

Z+∞ = x · tx−1 exp(−t) dt = x · Γ(x) 0

(çäåñü âíîâü èñïîëüçîâàíî ñîîòíîøåíèå lim (tx exp(−t)) = 0). t=+∞

¥

 ÷àñòíîñòè,

Z+∞ ¯+∞ ¯ Γ(1) = exp(−t) dt = −exp(−t)¯ = 1. 0

0

Îòñþäà Γ(2) = Γ(1 + 1) = 1 · Γ(1) = 1, Γ(3) = Γ(2 + 1) = 2 · Γ(2) = 2, Γ(4) = Γ(3 + 1) = 3 · Γ(3) = 6 è âîîáùå

Γ(n) = (n − 1)!,

n ∈ N.

Âû÷èñëèì åùå Γ(1/2). Ïîäñòàíîâêà t = x2 äàåò

Z+∞ Z+∞ Z+∞ Γ (1/2) = t−1/2 exp(−t) dt = x−1 exp(−x2 )·2x dx = 2 exp(−x2 ) dx. 0

Î÷åâèäíî, ÷òî

0 +∞ R

0

R0

exp(−x2 ) dx =

−∞

0

exp(−x2 ) dx (îäèí èç ýòèõ èíòå-

ãðàëîâ ñâîäèòñÿ ê äðóãîìó ïîäñòàíîâêîé x = −t). Ïîýòîìó Z+∞

exp(−x2 ) dx.

Γ (1/2) = −∞

Ýòîò èíòåãðàë íàçûâàåòñÿ èíòåãðàëîì Ïóàññîíà45 . Âû÷èñëèòü åãî ìîæíî, íàïðèìåð, òàê: ðàññìîòðèì èíòåãðàë 45 Ñèìåîí

Äåíè ÏÓÀÑÑÎÍ (S.D. Poisson, 1781-1840)  ôðàíöóçñêèé ìåõàíèê, ôèçèê è ìàòåìàòèê, ÷ëåí Ïàðèæñêîé ÀÍ. Åãî ðàáîòû ñûãðàëè âàæíóþ ðîëü â ñòàíîâëåíèè òåîðèè âåðîÿòíîñòåé è ìàòåìàòè÷åñêîé ôèçèêè. 200

ZA exp(−x2 ) dx.

H(A) = −A

Èìååì

µ ZA H 2 (A) =

¶ µ ZA ¶ exp(−x2 ) dx · exp(−y 2 ) dy

−A

−A

(áóêâà, îáîçíà÷àþùàÿ "ïåðåìåííóþ èíòåãðèðîâàíèÿ íåñóùåñòâåííà!)  ñèëó ëèíåéíîñòè èíòåãðàëà

¶ ZA µ ZA H 2 (A) = exp(−y 2 ) · exp(−x2 ) dx dy = −A

−A

ZA µ ZA

¶ exp(−x2 ) · exp(−y 2 ) dx dy.

= −A

−A

Ïðåîáðàçóåì ýòîò ïîâòîðíûé èíòåãðàë â äâîéíîé

ZZ

H 2 (A) =

ZZ

exp(−x2 ) · exp(−y 2 ) dxdy = ∆A

¡ ¢ exp −(x2 + y 2 ) dxdy,

∆A

ãäå ∆A  êâàäðàò [−A, A] × [−A, A].

ΩA

∆A ª R

ΩA√2 µ

Ðèñ.16.1 Î÷åâèäíî, ÷òî (ñì. ðèñ.16.1) ΩA ⊂ ∆A ⊂ ΩA√2 , ãäå ΩA  êðóã ðàäèóñà A, √ ΩA√2  êðóã ðàäèóñà A 2 (îáà ñ öåíòðàìè â íà÷àëå êîîðäèíàò).  ñèëó ïîëîæèòåëüíîñòè ïîäûíòåãðàëüíîé ôóíêöèè èìååò ìåñòî íåðàâåíñòâî 201

ZZ

¡

¢ exp −(x + y ) dxdy ≤ H 2 (A) ≤ 2

ZZ

2

¡ ¢ exp −(x2 + y 2 ) dxdy.

ΩA√2

ΩA

Âîñïîëüçîâàâøèñü ðåçóëüòàòîì ïðèìåðà èç ï.15.6, ïîëó÷àåì

¡ ¢ ¡ ¢ π · 1 − exp(−A2 ) ≤ H 2 (A) ≤ π · 1 − exp(−2A2 ) .

Ïåðåõîäÿ ê ïðåäåëó, ïîëó÷èì, íàêîíåö, ÷òî lim H 2 (A) = π , è

Γ (1/2) =

√

A=+∞

π.

Çàìå÷àíèå. Îòñþäà ñëåäóåò, ìåæäó ïðî÷èì, ÷òî

2 lim erf (x) = √ x=+∞ π

Z+∞ exp(−t2 ) dt = 1. 0

16.4. Ïðåîáðàçîâàíèå Ëàïëàñà Îïðåäåëåíèå. Áóäåì íàçûâàòü îðèãèíàëîì ôóíêöèþ f : R → C, åñëè 1) f (t) = 0 ïðè t < 0; 2) f êóñî÷íî íåïðåðûâíà; 3) f ýêñïîíåíöèàëüíî îãðàíè÷åíà, ò.å. ñóùåñòâóþò òàêèå ïîëîæèòåëüíûå ÷èñëà a è M , ÷òî ïðè t ≥ 0 |f (t)| ≤ M · exp(at).

½ 0 ïðè t < 0 Ïðèìåðû. 1. δ1 (t) = . Ýòó ôóíêöèþ íàçûâàþò ôóíê1 ïðè t ≥ 0 öèåé Õåâèñàéäà46 (åäèíè÷íûì ñêà÷êîì, åäèíè÷íîé ñòóïåíüêîé). Ôóíêöèÿ Õåâèñàéäà  îðèãèíàë, òàê êàê îíà êóñî÷íî íåïðåðûâíà (èìååò â íóëå åäèíñòâåííóþ òî÷êó ðàçðûâà ïåðâîãî ðîäà), îãðàíè÷åíà è, ñëåäîâàòåëüíî, ýêñïîíåíöèàëüíî îãðàíè÷åíà (ìîæíî ïîëîæèòü, íàïðèìåð, M = 1, a = 0). 2. f (t) = exp(zt) · δ1 (t), z ∈ C. f êóñî÷íî íåïðåðûâíà. Äîêàæåì åå ýêñïîíåíöèàëüíóþ îãðàíè÷åííîñòü. Ïóñòü x = Re(z). Òîãäà |f (t)| = exp(xt), ò.å. ìîæíî ïîëîæèòü M = 1, a = x. Èòàê, f  îðèãèíàë. 46 Îëèâåð

ÕÅÂÈÑÀÉÄ (O. Heaviside, 1850-1925)  àíãëèéñêèé ôèçèê è èíæåíåð, ÷ëåí Ëîíäîíñêîãî Êîðîëåâñêîãî îáùåñòâà. Ïðåäñêàçàë îòêðûòèå òàê íàçûâàåìîãî ñëîÿ Õåâèñàéäà â àòìîñôåðå. Îäèí èç ñîçäàòåëåé îïåðàöèîííîãî èñ÷èñëåíèÿ. 202

3. g(t) = exp(t2 ) · δ1 (t). Ïóñòü M è a  ïðîèçâîëüíûå ïîëîæèòåëüíûå ÷èñëà. Ðåøèì (îòíîñèòåëüíî ïåðåìåííîé t) íåðàâåíñòâî exp(t2 ) ≤ M · exp(at). Ñîêðàùàÿ íà exp(at) > 0, ïîëó÷èì

exp(t2 − at) ≤ M,

èëè t2 − at ≤ ln(M ).

Ïîñëåäíåå íåðàâåíñòâî íå ìîæåò âûïîëíÿòüñÿ ïðè âñåõ ïîëîæèòåëüíûõ t, òàê êàê lim (t2 − at) = +∞. Ñëåäîâàòåëüíî, g  íå îðèãèíàë. t=+∞

Óñòàíîâèì íåêîòîðûå ñâîéñòâà îðèãèíàëîâ. 1. Î÷åâèäíî, ÷òî ëèíåéíàÿ êîìáèíàöèÿ îðèãèíàëîâ åñòü îðèãèíàë. Ïðèìåð. Îðèãèíàëàìè ÿâëÿþòñÿ ôóíêöèè

cos(ωt) · δ1 (t) =

1 1 · exp(iωt) · δ1 (t) + · exp(−iωt) · δ1 (t); 2 2

1 1 · exp(i ωt) · δ1 (t) − · exp(−i ωt) · δ1 (t). 2i 2i Rt 2. Åñëè f  îðèãèíàë, òî åå ïåðâîîáðàçíàÿ F (t) = f  òîæå îðèsin(ωt) · δ1 (t) =

ãèíàë. Äåéñòâèòåëüíî, ïðè t < 0 f (t) ≡ 0 è íåðàâåíñòâà |f (t)| ≤ M · exp(at) ñëåäóåò

Rt 0

0

f = 0, à ïðè t > 0 èç

¯Z t ¯ Z t ¯ ¯ |F (t)| = ¯ f ¯ ≤ |f | ≤ sup(|f |) · t ≤ M · exp(at) · t ≤ M · exp((a + 1)t). 0

0

[0,t]

Òàêèì îáðàçîì, ïåðâîîáðàçíàÿ ýêñïîíåíöèàëüíî îãðàíè÷åíà è ïîòîìó ÿâëÿåòñÿ îðèãèíàëîì. Ïðèìåð. Îðèãèíàëàìè ÿâëÿþòñÿ ôóíêöèè tn · δ1 (t) (n ∈ N), òàê êàê

Zt

Zt δ1 (t) dt; t2 ·δ1 (t) = 2

t·δ1 (t) = 0

Zt t·δ1 (t) dt; . . . , tn·δ1 (t) = n tn−1·δ1 (t) dt.

0

0

Çàìå÷àíèå. Äàæå åñëè ó îðèãèíàëà åñòü ïðîèçâîäíàÿ, îíà íå îáÿçàíà áûòü îðèãèíàëîì. Îïðåäåëåíèå. Ïóñòü f1 , f2 : R → C. Òîãäà íåñîáñòâåííûé èíòåãðàë ñ âåùåñòâåííûì ïàðàìåòðîì x 203

Z+∞ f1 (t) · f2 (x − t) dt −∞

îïðåäåëÿåò íà òîé ÷àñòè R, ãäå îí ñõîäèòñÿ, ôóíêöèþ, íàçûâàåìóþ ñâåðòêîé ôóíêöèé f1 è f2 , è îáîçíà÷àåìóþ f1 ⊗ f2 . Îòìåòèì ñëåäóþùèå ñâîéñòâà ñâåðòêè: 1. f1 ⊗ f2 = f2 ⊗ f1 . 2. f1 ⊗ (f2 + f3 ) = f1 ⊗ f2 + f1 ⊗ f3 . 3. Ñâåðòêà äâóõ îðèãèíàëîâ  îðèãèíàë. Äîêàçàòåëüñòâî. 1. Ïîäñòàíîâêà τ = x − t äàåò

Z

Z

+∞

+∞

f (t) · g(x − t) dt = −∞

f (x − τ ) · g(τ ) dτ. −∞

2. Cëåäóåò èç ëèíåéíîñòè èíòåãðàëà. 3. Ïóñòü f è g  îðèãèíàëû. Òîãäà

Z+∞ (f ⊗ g)(x) = f (t) · g(x − t) dt = −∞

Z0 =

Zx

Z+∞ f (t) · g(x − t) dt + f (t) · g(x − t) dt.

0

x

f (t) · g(x − t) dt + −∞

 ïåðâîì èíòåãðàëå t < 0, ñëåäîâàòåëüíî, îðèãèíàë f  òîæäåñòâåííûé íóëü, â òðåòüåì èíòåãðàëå x − t < 0, ñëåäîâàòåëüíî, îðèãèíàë g  òîæäåñòâåííûé íóëü. Èòàê,

Zx

(f ⊗ g)(x) =

f (t) · g(x − t) dt.

(16.4.1)

0

Îòñþäà âèäíî, ÷òî ñâåðòêà îðèãèíàëîâ îïðåäåëåíà ïðè âñåõ x ∈ R. Äàëåå, åñëè x < 0, òî (f ⊗ g)(x) =

Rx 0

f (t) · g(x − t) dt = 0, òàê êàê f (t) ≡ 0.

Íà ïîëîæèòåëüíîé ïîëóîñè èìåþò ìåñòî îöåíêè

|f (t)| ≤ M · exp(at) ≤ M · exp(ct),

|g(t)| ≤ N · exp(bt) ≤ N · exp(ct)

(çäåñü c = max{a, b}). Ïîýòîìó 204

¯Zx ¯ Zx ¯ ¯ ¯ f (t) · g(x − t) dt¯ ≤ |f (t)| · |g(x − t)| dt ≤ 0

0

Zx

≤ MN ·

Zx

exp(ct) · exp(c(x − t)) dt = M N · 0

exp(cx) dt = 0

= M N · x · exp(cx) < M N · exp ((c + 1)x). Òàêèì îáðàçîì, ñâåðòêà ýêñïîíåíöèàëüíî îãðàíè÷åíà è, ñëåäîâàòåëüíî, ÿâëÿåòñÿ îðèãèíàëîì. ¥ Ðàññìîòðåâ ñâîéñòâà ôóíêöèé-îðèãèíàëîâ, ïåðåéäåì ê îïðåäåëåíèþ ïðåîáðàçîâàíèÿ Ëàïëàñà47 . Ïóñòü f  îðèãèíàë. Ðàññìîòðèì ñåìåéñòâî íåñîáñòâåííûõ èíòåãðàëîâ ñ êîìïëåêñíûì ïàðàìåòðîì s = σ + i ω (σ, ω ∈ R)

Z+∞ f (t) · exp(−st) dt. 0

Îöåíèì ïîäûíòåãðàëüíóþ ôóíêöèþ. Ïîñêîëüêó f ýêñïîíåíöèàëüíî îãðàíè÷åíà, ñóùåñòâóþò òàêèå ÷èñëà M è a, ÷òî |f (t)| ≤ M · exp(at). Ñ ó÷åòîì ðàâåíñòâà |exp(−st)| = exp(−σt) ïîëó÷àåì

|f (t) · exp(st)| ≤ M · exp (−(σ − a)t) .

(16.4.2)

Ïðè σ > a

Z+∞ ZA exp (−(σ − a)t) dt = lim exp (−(σ − a)t) dt = A=+∞

0

0

1 − exp (−(σ − a)A) 1 exp (−(σ − a)t) ¯¯A = . = lim ¯ = lim A=+∞ A=+∞ 0 σ−a σ−a σ−a Ïðèçíàê ñðàâíåíèÿ è íåðàâåíñòâî (16.4.2) äîêàçûâàþò ñõîäèìîñòü íåñîáñòâåííîãî èíòåãðàëà

+∞ R 0

íåñîáñòâåííîãî èíòåãðàëà

|f (t) · exp(st)| dt, ò.å. àáñîëþòíóþ ñõîäèìîñòü

+∞ R 0

f (t) · exp(st) dt.

47 Ïüåð

Ñèìîí ËÀÏËÀÑ (P.S. Laplace, 1749-1827)  ôðàíöóçñêèé ìàòåìàòèê, ôèçèê è àñòðîíîì, ÷ëåí ìíîãèõ àêàêäåìèé è íàó÷íûõ îáùåñòâ, àâòîð ôóíäàìåíòàëüíûõ ðàáîò ïî òåîðèè âåðîÿòíîñòåé, ìàòåìàòè÷åñêîé ôèçèêå, íåáåñíîé ìåõàíèêå. 205

Ìû ïîêàçàëè, ÷òî íà ÷àñòè êîìïëåêñíîé ïëîñêîñòè, ëåæàùåé ïðàâåå ïðÿìîé Re(s) > a, îïðåäåëåíà ôóíêöèÿ

Z+∞ fe(s) = f (t) · exp(−st) dt. 0

Ýòó ôóíêöèþ íàçûâàþò èçîáðàæåíèåì îðèãèíàëà f . Ìû áóäåì çàïèñûâàòü ñîîòâåòñòâèå ìåæäó îðèãèíàëîì è åãî èçîáðàæåíèåì òàê:

fe = L(f ). Îïåðàòîð L, êîòîðûé êàæäîìó îðèãèíàëó (ôóíêöèè) ñîïîñòàâëÿåò åãî èçîáðàæåíèå (ôóíêöèþ), íàçûâàþò ïðåîáðàçîâàíèåì Ëàïëàñà. Òåðìèíîëîãè÷åñêîå çàìå÷àíèå. Ìû óñëîâèëèñü ñ÷èòàòü ñëîâà îòîáðàæåíèå, ôóíêöèÿ, îïåðàòîð ñèíîíèìàìè. Òåïåðü ê ýòîìó ñïèñêó äîáàâëÿåòñÿ åùå îäèí ñèíîíèì  ïðåîáðàçîâàíèå. Ïîäóìàéòå, êàê áóäåò çâó÷àòü ôðàçà, åñëè èç âñåõ ñèíîíèìîâ îñòàâèòü òîëüêî îäèí (íàïðèìåð, "ôóíêöèÿ"): "ôóíêöèÿ ñîïîñòàâëÿåò êàæäîé ôóíêöèè-îðèãèíàëó ôóíêöèþ-èçîáðàæåíèå". Íàëè÷èå ñèíîíèìîâ äåëàåò ðå÷ü áîëåå ïîíÿòíîé. Ïðèìåð. Íàéäåì èçîáðàæåíèå ôóíêöèè Õåâèñàéäà.

Z+∞ Z+∞ δe1 (s) = 1 · exp(−st) dt = lim exp(−st) dt = A=+∞

0

0

exp (−(σ + i ω)t) ¯¯A 1 − exp(−σA) · exp(−i ωA) 1 = lim = . ¯ = lim A=+∞ A=+∞ 0 −s s s Èòàê, L(δ1 ) = 1s , (Re(s) > 0). Äîêàæåì íåêîòîðûå ñâîéñòâà ïðåîáðàçîâàíèÿ Ëàïëàñà. 1. Ëèíåéíîñòü ïðåîáðàçîâàíèÿ Ëàïëàñà: äëÿ ëþáûõ îðèãèíàëîâ f1 è f2 è ëþáûõ êîìïëåêñíûõ ÷èñåë α1 è α2

L(α1 f1 + α2 f2 ) = α1 · L(f1 ) + α2 · L(f2 ). Äîêàçàòåëüñòâî. Ñëåäóåò èç ëèíåéíîñòè èíòåãðàëà. 2. Òåîðåìà ñìåùåíèÿ. Åñëè L(f ) = fe è α ∈ C, òî

L (f (t) · exp(αt)) = fe(s − α). 206

Äîêàçàòåëüñòâî.

Z+∞ Z+∞ (f (t)exp(αt))·exp(−st) dt = f (t)·exp (−(s − α)t) dt = fe(s−α). ¥ 0

0

3. Òåîðåìà çàïàçäûâàíèÿ. Åñëè L(f ) = fe è τ > 0, òî

¡ ¢ L f (t − τ ) = exp(−sτ ) · fe(s).

Äîêàçàòåëüñòâî. Ïîäñòàíîâêà x = t − τ äàåò

Z+∞ Z+∞ f (t − τ ) · exp(−st) dt = f (x) · exp (−s(τ + x)) dx. −τ

0

Ïîñêîëüêó f  îðèãèíàë, f (x) = 0 ïðè x < 0, è èíòåãðàë ðàâåí

Z+∞ f (x) · exp(−sτ ) · exp(−sx) dx = 0

Z+∞ = exp(−sτ ) · f (x) · exp(−sx) dx = exp(−sτ ) · fe(s).

¥

0

Íàçâàíèå "òåîðåìà çàïàçäûâàíèÿ" îáúÿñíÿåòñÿ òåì, ÷òî ãðàôèê ôóíêöèè fτ (t) = f (t − τ ) ïîëó÷àåòñÿ ñäâèãîì ãðàôèêà ôóíêöèè f (t) âïðàâî íà âåëè÷èíó τ ("íîâàÿ ôóíêöèÿ íà÷èíàåò ðàáîòàòü íà τ åäèíèö âðåìåíè ïîçæå, ÷åì ñòàðàÿ"). 4. Èçîáðàæåíèå ïåðâîîáðàçíîé. Åñëè f  îðèãèíàë, òî

³ Zt ´ 1 f = · L(f ). L s 0

Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü g(t) =

Rt 0

f . Òîãäà (ïî ñâîéñòâó 2 îðèãèíàëîâ)

g  òîæå îðèãèíàë. Êðîìå òîãî, g(0) = 0. Èíòåãðèðóÿ "ïî ÷àñòÿì èìååì Z+∞ ¯+∞ ¯ e f (s) = f (t) · exp(−st) dt = g(t) · exp(−st)¯ + 0

0

Z+∞ +s· g(t) · exp(−st) dt = lim (g(t) · exp(−st)) + s · ge(s). t=+∞

0

207

Èç îöåíêè |g(t)| ≤ M · exp(at) ñëåäóåò (ñì. (16.4.2)), ÷òî ïðè σ = Re(s) > a ïðåäåë ðàâåí íóëþ. Ïîýòîìó fe(s) = s · ge(s). ¥ 5. Èçîáðàæåíèå ïðîèçâîäíîé. Ïóñòü ôóíêöèÿ f èìååò íà R íåïðåðûâíóþ ïðîèçâîäíóþ, ïðè÷åì f · δ1 è f 0 · δ1  îðèãèíàëû. Òîãäà

L(f 0 · δ1 ) = s · L(f · δ1 ) − f (0). Äîêàçàòåëüñòâî. Ïî ôîðìóëå Íüþòîíà-Ëåéáíèöà

Zt (f 0 · δ1 ) = (f (t) − f (0)) · δ1 (t) = (f · δ1 )(t) − f (0) · δ1 (t). 0

Ïî òåîðåìå îá èçîáðàæåíèè ïåðâîîáðàçíîé

L (f · δ1 − f (0) · δ1 ) =

1 · L(f 0 · δ1 ). s

Ó÷èòûâàÿ,÷òî L(δ1 ) = 1s , ïîëó÷àåì

L(f 0 · δ1 ) = s · L(f · δ1 ) − f (0) · s · L(δ1 ) = s · L(f · δ1 ) − f (0).

¥

Ñëåäñòâèå. Åñëè f (n) · δ1  îðèãèíàë, òî

L(f (n) δ1 ) = s · L(f (n−1) · δ1 ) − f (n−1) (0) = ³ ´ (n−2) (n−2) = s · s · L(f · δ1 ) − f (0) − f (n−1) (0) = . . . . . . = sn · L(f · δ1 ) − sn−1 f (0) − . . . − f (n−1) (0). 6. Èçîáðàæåíèå ñâåðòêè. Åñëè f1 è f2  îðèãèíàëû, òî

L (f1 ⊗ f2 ) = L(f1 ) · L(f1 ). Äîêàçàòåëüñòâî. Ñîãëàñíî ôîðìóëå (16.4.1) äëÿ ñâåðòêè îðèãèíàëîâ,

Zt g(t) = (f1 ⊗ f2 )(t) =

f1 (x) · f2 (t − x) dx. 0

Îòñþäà

¶ Z+∞ Z+∞µ Z t ge(s) = g(t) · exp(−st) dt = f1 (x) · f2 (t − x) dx · exp(−st) dt = 0

0

0

ZAµ Z t = lim

¶ f1 (x) · f2 (t − x) · exp(−st) dx dt.

A=∞ 0

0

208

Ïðåîáðàçóåì ïîâòîðíûé èíòåãðàë â äâîéíîé:

ZZ

ge(s) = lim

f1 (x) · f2 (t − x) · exp(−st) dxdt,

A=∞ ∆

x

¡ ¡

6

¡

¡

¡

¡

¡ ¡

•A

-

t

Ðèñ.16.2 ãäå ∆  òðåóãîëüíèê (0 ≤ x ≤ t ≤ A) (ðèñ.16.2). Äâîéíîé èíòåãðàë ñíîâà ïðåîáðàçóåì â ïîâòîðíûé, íî ñ äðóãèì ïîðÿäêîì èíòåãðèðîâàíèÿ:

ZAµ ZA ge(s) = lim

¶ f1 (x) · f2 (t − x) · exp(−st) dx dt.

A=∞ x

0

Âî âíóòðåííåì èíòåãðàëå ñäåëàåì ïîäñòàíîâêó t = x + y (x çäåñü ôèêñèðîâàí!)

¶ ZAµ A−x Z ge(s) = lim f1 (x) · f2 (y) · exp (−s(x + y)) dy dx = A=+∞

0 0 +∞ +∞ µ Z Z

=

¶

f1 (x) · f2 (y) · exp (−s(x + y)) dy dx. 0

0

Íàêîíåö, â ñèëó ëèíåéíîñòè èíòåãðàëà

¶ Z+∞µ Z+∞ ge(s) = f1 (x) · exp(−sx) f2 (y) · exp(−sy) dy dx = 0

µ

¶ µ f1 (x) · exp(−sx) dx ·

Z+∞

= 0

0 +∞ Z

¶

f2 (y) · exp(−sy) dy

= fe1 (s) · fe2 (s).

0

Ïðèìåðû. 1. Ìû ïîêàçàëè, ÷òî L(δ1 ) = 1s . Îòñþäà ïî òåîðåìå ñìåùåíèÿ ïîëó÷àåì

L(exp(αt) · δ1 (t)) = 209

1 . s−α

2. Èñïîëüçóÿ ëèíåéíîñòü ïðåîáðàçîâàíèÿ Ëàïëàñà, ïîëó÷èì äàëåå

µ

¶ ¢ 1¡ exp(i ωt) · δ1 (t) + exp(−i ωt) · δ1 (t) = L(cos(ωt)δ1 (t)) = L 2 1³ 1 1 ´ s = + = 2 . 2 s − iω s + i ω s + ω2 µ

¶ ¢ 1¡ L(sin(ωt)δ1 (t)) = L exp(i ωt) · δ1 (t) − exp(−i ωt) · δ1 (t) = 2i 1 ´ ω 1³ 1 − = 2 . = 2i s − i ω s + iω s + ω2 3. Ïî òåîðåìå îá èçîáðàæåíèè ïåðâîîáðàçíîé

L (t · δ1 (t)) = 1s · L (δ1 (t)) = 12 ; s µ ¶ 2 t L 2 · δ1 (t) = 1s · L (t · δ1 (t)) = 13 ; s .....................µ . . . . . . . . . . . . . . . .¶ .......... ³ n ´ n−1 t 1 . L t · δ1 (t) = 1s · L · δ (t) = n+1 n! (n − 1)! 1 s 4. Ïðèìåíÿÿ ê ïîñëåäíåìó ðàâåíñòâó òåîðåìó ñìåùåíèÿ, ïîëó÷èì î÷åíü âàæíóþ äëÿ ïðèëîæåíèé ôîðìóëó:

´ ³ tn 1 L · exp(αt) · δ1 (t) = n! (s − α)n+1 ïðè n = 0, 1, 2, . . . è ëþáîì α ∈ C .

210

Ðàçäåë 2 ËÈÍÅÉÍÀß ÀËÃÅÁÐÀ È ÅÅ ÏÐÈËÎÆÅÍÈß

216

Ãëàâà 1. ÑÈÑÒÅÌÛ ËÈÍÅÉÍÛÕ ÀËÃÅÁÐÀÈ×ÅÑÊÈÕ ÓÐÀÂÍÅÍÈÉ 1.1. Ìåòîä ïîëíîãî èñêëþ÷åíèÿ Ñèñòåìà m ëèíåéíûõ àëãåáðàè÷åñêèõ óðàâíåíèé ñ n ïåðåìåííûìè48 èìååò âèä 

a11 x1 + a12 x2 + . . . + a1n xn = b1    a21 x1 + a22 x2 + . . . + a2n xn = b2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .    am1 x1 + am2 x2 + . . . + amn xn = bm

(1.1.1)

Çäåñü áóêâîé a ñ äâóìÿ èíäåêñàìè îáîçíà÷åíû çàäàííûå ÷èñëà  êîýôôèöèåíòû ñèñòåìû (ïåðâûé èíäåêñ  íîìåð óðàâíåíèÿ, âòîðîé  íîìåð ïåðåìåííîé), áóêâîé b ñ îäíèì èíäåêñîì îáîçíà÷åíû çàäàííûå ÷èñëà  ñâîáîäíûå ÷ëåíû óðàâíåíèé. Áóêâîé x ñ îäíèì èíäåêñîì îáîçíà÷åíû ÷èñëîâûå ïåðåìåííûå. Ðåøåíèåì ñèñòåìû (1.1.1) íàçûâàåòñÿ óïîðÿäî÷åííûé íàáîð èç n ÷èñåë x e1 , . . . , x en , ïîäñòàíîâêà êîòîðûõ âìåñòî ïåðåìåííûõ (x e1 âìåñòî x1 ,. . . , x en âìåñòî xn ) ïðåâðàùàåò âñå óðàâíåíèÿ ñèñòåìû â âåðíûå ÷èñëîâûå ðàâåíñòâà. Ñèñòåìó (1.1.1) ìîæíî çàïèñàòü êîðî÷å, åñëè ââåñòè óäîáíûå îáîçíà÷åíèÿ. Îïðåäåëåíèå. Ïðÿìîóãîëüíóþ ÷èñëîâóþ òàáëèöó èç m ñòðîê è n ñòîëáöîâ áóäåì íàçûâàòü ìàòðèöåé ðàçìåðà m × n èëè (m × n)ìàòðèöåé. Ïðèìåðû.

·

¸ 1 2 3  ìàòðèöà ðàçìåðà 2 × 3; 4 5 6   1 2 3 4  ìàòðèöà ðàçìåðà 3 × 2. 5 6

Ìàòðèöà ðàçìåðà m × m íàçûâàåòñÿ êâàäðàòíîé, à ÷èñëî m  åå ïîðÿäêîì. Ýëåìåíòû êâàäðàòíîé ìàòðèöû, ó êîòîðûõ ñîâïàäàþò ÷òî ïîä ïåðåìåííîé ïîíèìàåòñÿ áóêâà, âìåñòî êîòîðîé ðàçðåøåíî ïîäñòàâëÿòü ýëåìåíòû íåêîòîðîãî çàäàííîãî ìíîæåñòâà (âìåñòî ÷èñëîâîé ïåðåìåííîé ìîæíî ïîäñòàâëÿòü ëþáûå ÷èñëà). 48 Íàïîìíèì,

217

íîìåð ñòðîêè è íîìåð ñòîëáöà, íàçûâàþòñÿ äèàãîíàëüíûìè; îñòàëüíûå  âíåäèàãîíàëüíûìè. Ìàòðèöó ðàçìåðà n × 1 áóäåì íàçûâàòü ìàòðèöåé-ñòîëáöîì (èëè ïðîñòî ñòîëáöîì), à ÷èñëî n  âûñîòîé ñòîëáöà. Ìàòðèöó ðàçìåðà 1 × m áóäåì íàçûâàòü ìàòðèöåé-ñòðîêîé (èëè ïðîñòî ñòðîêîé), à ÷èñëî m  øèðèíîé ñòðîêè. Êâàäðàòíóþ ìàòðèöó 1-ãî ïîðÿäêà (îäíîýëåìåíòíóþ) ìû áóäåì îòîæäåñòâëÿòü ñ åå ýëåìåíòîì  ÷èñëîì. Ïðèìåðû.

· ¸ £ ¤ 1  ñòîëáåö âûñîòû 2; 1 2 3  ñòðîêà øèðèíû 3; 2 · ¸ 1 2  êâàäðàòíàÿ ìàòðèöà ïîðÿäêà 2. 3 4 Èñïîëüçóÿ ââåäåííûå òåðìèíû, çàäàäèì ñèñòåìó (1.1.1) ìàòðèöåé åå êîýôôèöèåíòîâ  

a11 . . . a1n . . . . . . . . . . . . .  A= . . . . . . . . . . . . . am1 . . . amn

è ñòîëáöîì ñâîáîäíûõ ÷ëåíîâ



 b1 b =  ...  . bm

Èíîãäà ìàòðèöó êîýôôèöèåíòîâ è ñòîëáåö ñâîáîäíûõ ÷ëåíîâ îáúåäèíÿþò â ðàñøèðåííóþ ìàòðèöó ñèñòåìû



a11 . . . a1n  .............   ............. am1 . . . amn

¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯

 b1 ..  . ..  bm

Ïðèìåð. Ñèñòåìà

 

x2 + 3x3 − x4 = 5 x1 + 2x2 + x4 = 0 .  3x1 + x2 − x3 + 2x4 = −1 218

èìååò ìàòðèöó êîýôôèöèåíòîâ

 0 1 3 −1 A=1 2 0 1 3 1 −1 2 

è ñòîëáåö ñâîáîäíûõ ÷ëåíîâ



 5 b =  0 . −1

Ìîæíî îáúåäèíèòü èõ â ðàñøèðåííóþ ìàòðèöó ñèñòåìû

¯  0 1 3 −1 ¯¯ 5  1 2 0 1 ¯ 0 . ¯ 3 1 −1 2 ¯ −1 

Ïðè ðàññìîòðåíèè ñèñòåìû (1.1.1) âîçíèêàþò äâà âîïðîñà: 1) ñóùåñòâóþò ëè ðåøåíèÿ ó ýòîé ñèñòåìû? 2) åñëè ðåøåíèÿ ñóùåñòâóþò, òî ñêîëüêî èõ è êàê èõ íàéòè? Ïðåæäå ÷åì îòâå÷àòü íà ýòè âîïðîñû, ðàññìîòðèì äâà ÷àñòíûõ ñëó÷àÿ. 1. ×èñëî óðàâíåíèé ñèñòåìû ðàâíî ÷èñëó ïåðåìåííûõ, à êâàäðàòíàÿ ìàòðèöà êîýôôèöèåíòîâ èìååò ñïåöèàëüíûé âèä (òàêóþ ìàòðèöó íàçûâàþò åäèíè÷íîé):

  1 0 ... 0 0 1 . . . 0   . . . . . . . . . . .  .   . . . . . . . . . . .  0 0 ... 1 Çàïèøåì ýòó ñèñòåìó â "øêîëüíîé" ôîðìå  1 · x 1 + 0 · x 2 + . . . + 0 · x n = b1      0 · x 1 + 1 · x 2 + . . . + 0 · x n = b2 ............................... .   ...............................    0 · x 1 + 0 · x 2 + . . . + 1 · x n = bn

(1.1.2)

Î÷åâèäíî, ÷òî ñèñòåìà èìååò ðåøåíèå, îíî åäèíñòâåííî, è, áîëåå òîãî, óæå ôàêòè÷åñêè íàéäåíî:

x 1 = b1 , x 2 = b2 , . . . , x n = bn . 219

2. ×èñëî óðàâíåíèé ñèñòåìû (m) ìåíüøå ÷èñëà ïåðåìåííûõ (n), è (m × n)-ìàòðèöà êîýôôèöèåíòîâ èìååò âèä

  1 0 . . . 0 a1,m+1 . . . a1n 0 1 . . . 0 a2,m+1 . . . a2n    . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0 0 . . . 1 am.m+1 . . . amn

(1.1.3)

Çàïèøåì ýòó ñèñòåìó â "øêîëüíîé" ôîðìå

 1 · x1 + a1,m+1 xm+1 + . . . + a1n xn = b1      1 · x2 + a2,m+1 xm+1 + . . . + a2n xn = b2 ....................................... ,    .......................................   1 · xm + am,m+1 xm+1 + . . . + amn xn = bm à çàòåì ïåðåïèøåì åå â âèäå

 x1 = b1 − a1,m+1 xm+1 − . . . − a1n xn      x2 = b2 − a2,m+1 xm+1 − . . . − a2n xn .................................... .   ....................................    xm = bm − am,m+1 xm+1 − . . . − amn xn

(1.1.4)

Çàäàâ ïðîèçâîëüíî çíà÷åíèÿ ïåðåìåííûõ xm+1 , . . . , xn è âû÷èñëèâ x1 , . . . , xm ïî ôîðìóëàì (1.1.4), ìû ïîëó÷èì, î÷åâèäíî, ðåøåíèå ñèñòåìû. Ïóñòü òåïåðü ïðîèçâîëüíàÿ ñèñòåìà âèäà (1.1.1) çàäàíà ñâîåé ðàñøèðåííîé ìàòðèöåé. Ïîïûòàåìñÿ ïðèâåñòè ìàòðèöó åå êîýôôèöèåíòîâ ê îäíîìó èç âèäîâ (1.1.2) èëè (1.1.3) ñ ïîìîùüþ òàê íàçûâàåìûõ ýëåìåíòàðíûõ ïðåîáðàçîâàíèé, êîòîðûå íå èçìåíÿþò ìíîæåñòâî ðåøåíèé ñèñòåìû. Ïîä ýëåìåíòàðíûìè ïðåîáðàçîâàíèÿìè ñèñòåìû ëèíåéíûõ àëãåáðàè÷åñêèõ óðàâíåíèé ìû ïîíèìàåì: 1) èçìåíåíèå ïîðÿäêà óðàâíåíèé â ñèñòåìå (ïåðåñòàíîâêà ñòðîê åå ðàñøèðåííîé ìàòðèöû); 2) èçìåíåíèå ïîðÿäêà ðàñïîëîæåíèÿ ïåðåìåííûõ â óðàâíåíèÿõ (ïåðåñòàíîâêà ñòîëáöîâ â ìàòðèöå êîýôôèöèåíòîâ); 3) óìíîæåíèå îáåèõ ÷àñòåé óðàâíåíèÿ (ñòðîêè ðàñøèðåííîé ìàòðèöû) íà îòëè÷íîå îò íóëÿ ÷èñëî; 220

4) ïðèáàâëåíèå ê îäíîìó èç óðàâíåíèé ñèñòåìû äðóãîãî, óìíîæåííîãî ïðåäâàðèòåëüíî íà íåêîòîðîå ÷èñëî (ïðèáàâëåíèå ê îäíîé ñòðîêå ðàñøèðåííîé ìàòðèöû ñèñòåìû äðóãîé åå ñòðîêè, óìíîæåííîé íà ÷èñëî). Çàìå÷àíèÿ. 1. Íåòðóäíî óáåäèòüñÿ â òîì, ÷òî ïåðå÷èñëåííûå ýëåìåíòàðíûå ïðåîáðàçîâàíèÿ ñèñòåìû äåéñòâèòåëüíî íå èçìåíÿþò ìíîæåñòâî åå ðåøåíèé. 2. Ïîðÿäîê ðàñïîëîæåíèÿ ïåðåìåííûõ â óðàâíåíèè âàæåí, è åãî èçìåíåíèÿ äîëæíû çàïîìèíàòüñÿ. Òåïåðü ìû ìîæåì ñôîðìóëèðîâàòü àëãîðèòì ïîëíîãî èñêëþ÷åíèÿ, ñ ïîìîùüþ êîòîðîãî íàõîäÿòñÿ âñå ðåøåíèÿ ïðîèçâîëüíîé ñèñòåìû ëèíåéíûõ àëãåáðàè÷åñêèõ óðàâíåíèé ñ ðàñøèðåííîé ìàòðèöåé

        

¯ ¯ ¯ ¯ ¯ (0) (0) (0) ¯ a21 a22 . . . a2n ¯ ¯ .............. ¯ ¯ . . . . . . . . . . . . . . ¯¯ (0) (0) (0) am1 am2 . . . amn ¯ (0) a11

(0) (0) a12 . . . a1n

(0) b1



  (0)  b2  . ...   ...  (0) bm

Àëãîðèòì ïîëíîãî èñêëþ÷åíèÿ. 1-é øàã. 1) Íàõîäèì â ìàòðèöå êîýôôèöèåíòîâ ñèñòåìû âåäóùèé (íàèáîëüøèé ïî ìîäóëþ) ýëåìåíò. Åñëè íàèáîëüøèõ ïî ìîäóëþ ýëåìåíòîâ íåñêîëüêî, òî â êà÷åñòâå âåäóùåãî ìîæåò áûòü âçÿò ëþáîé èç íèõ. Çàìå÷àíèå. Ìû ïðåäïîëàãàåì, åñòåñòâåííî, ÷òî íå âñå ýëåìåíòû ìàòðèöû êîýôôèöèåíòîâ ðàâíû íóëþ. 2) Ïåðåñòàâëÿÿ (åñëè íóæíî) ñòðîêè ðàñøèðåííîé ìàòðèöû è ñòîëáöû ìàòðèöû êîýôôèöèåíòîâ, ïîìåùàåì âåäóùèé ýëåìåíò â ïåðâóþ ñòðîêó è â ïåðâûé ñòîëáåö. Ïåðåñòàíîâêè ñòîëáöîâ ïðè ýòîì çàïîìèíàåì! 3) Äåëèì ïåðâóþ ñòðîêó ðàñøèðåííîé ìàòðèöû íà âåäóùèé ýëåìåíò, (0) Ïðè ýòîì íà ìåñòå ýëåìåíòà a11 ïîÿâëÿåòñÿ åäèíèöà. Åñëè ìàòðèöà ñîñòîèò èç îäíîé ñòðîêè, ðàáîòà àëãîðèòìà çàêàí÷èâàåòñÿ. Èíà÷å ïåðåõîäèì ê ï.4. 4) Ïðèáàâëÿÿ êî âòîðîé, òðåòüåé è ò.ä. ñòðîêàì ðàñøèðåííîé (0) (0) ìàòðèöû åå ïåðâóþ ñòðîêó, óìíîæåííóþ ñîîòâåòñòâåííî íà −a21 , −a31 è ò.ä., ïðåîáðàçóåì ýòó ìàòðèöó ê âèäó 221

¯ (1)  (1) . . . a1n ¯¯ b1  ¯   ¯   (1) (1) ¯ (1)  0 a22 . . . a2n ¯ b2  . ¯  . . . . . . . . . . . . . . . .¯ . . .   ¯  . . . . . . . . . . . . . . . .¯ . . .  ¯ (1) (1) ¯ (1) 0 am2 . . . amn bm 

(1)

1 a12

(1.1.5)

Åñëè â ðàñøèðåííîé ìàòðèöå ïîÿâèëèñü íóëåâûå ñòðîêè, ýòè ñòðîêè ñëåäóåò îòáðîñèòü, óìåíüøèâ òåì ñàìûì ÷èñëî óðàâíåíèé â ñèñòåìå. Äåéñòâèòåëüíî, íóëåâàÿ ñòðîêà ñîîòâåòñòâóåò óðàâíåíèþ

0 · x1 + . . . + 0 · xn = 0, êîòîðîå óäîâëåòâîðÿåòñÿ òîæäåñòâåííî. £ (1) ¤ Åñëè â ðàñøèðåííîé ìàòðèöå ïîÿâèëàñü ñòðîêà âèäà 0 . . . 0 | br , (1)

ãäå br 6= 0, ñîîòâåòñòâóþùàÿ óðàâíåíèþ

0 · x1 + . . . + 0 · xn = b(1) r 6= 0, êîòîðîå íå óäîâëåòâîðÿåòñÿ íè ïðè êàêèõ çíà÷åíèÿõ ïåðåìåííûõ, òî ïðåîáðàçîâàííàÿ ñèñòåìà íåñîâìåñòíà, è, ñëåäîâàòåëüíî, íåñîâìåñòíà ðàâíîñèëüíàÿ åé èñõîäíàÿ ñèñòåìà. Ðàáîòà àëãîðèòìà çàêîí÷åíà. Åñëè ïîñëå ïåðâîãî øàãà ðàáîòà àëãîðèòìà íå çàêîí÷èëàñü (íå îáíàðóæåíà íåñîâìåñòíîñòü ñèñòåìû è ÷èñëî ñòðîê â ïðåîáðàçîâàííîé ðàñøèðåííîé ìàòðèöå áîëüøå îäíîé), òî ïåðåõîäèì êî âòîðîìó øàãó. 2-é øàã. 1) Ðàññìîòðèì âûäåëåííóþ æèðíûì øðèôòîì ïîäìàòðèöó ïðåîáðàçîâàííîé ìàòðèöû49 (1.1.5):



(1) (1) a22 . . . a2n

  ..........   .......... (1) (1) as2 . . . asn

   . 

Íàõîäèì â ýòîé ïîäìàòðèöå âåäóùèé ýëåìåíò. 49 Îòìåòèì,

÷òî êîëè÷åñòâî ñòðîê â ýòîé ìàòðèöå îáîçíà÷åíî áóêâîé s, à íå m, òàê êàê ïîñëå ïåðâîãî øàãà êîëè÷åñòâî ñòðîê ìîãëî óìåíüøèòüñÿ çà ñ÷åò îòáðàñûâàíèÿ íóëåâûõ (s ≤ m). 222

2) Ïåðåñòàâëÿÿ (åñëè íóæíî) ñòðîêè ðàñøèðåííîé ìàòðèöû è ñòîëáöû ìàòðèöû êîýôôèöèåíòîâ, ïîìåùàåì âåäóùèé ýëåìåíò âî âòîðóþ ñòðîêó è âî âòîðîé ñòîëáåö. Ïåðåñòàíîâêè ñòîëáöîâ çàïîìèíàåì! 3) Äåëèì âòîðóþ ñòðîêó ðàñøèðåííîé ìàòðèöû íà âåäóùèé ýëåìåíò, (1) Ïðè ýòîì íà ìåñòå ýëåìåíòà a22 ïîÿâëÿåòñÿ åäèíèöà. 4) Ïðèáàâëÿÿ êî âñåì ñòðîêàì ðàñøèðåííîé ìàòðèöû, êðîìå âòîðîé, (1) (1) åå âòîðóþ ñòðîêó, óìíîæåííóþ ñîîòâåòñòâåííî íà −a12 , −a32 è ò.ä., ïðåîáðàçóåì ýòó ìàòðèöó ê âèäó

¯   (2) (2) ¯ (2) 1 0 a13 . . . a1n ¯ b1  ¯   ¯  ¯ (2)   (2) (2) 0 1 a23 . . . a2n ¯ b2  ¯    ¯  ¯   0 0 a(2) . . . a(2) ¯ b(2)  . ¯ 3   . . . . . . .33. . . . . . . . .3n . .¯¯ . . .     ¯  . . . . . . . . . . . . . . . . . .¯ . . .  (2) (2) ¯ (2) 0 0 as3 . . . asn ¯ bs

Åñëè ïîñëå âòîðîãî øàãà îáíàðóæåíà íåñîâìåñòíîñòü ñèñòåìû èëè (ïîñëå óäàëåíèÿ âîçìîæíî ïîÿâèâøèõñÿ íóëåâûõ ñòðîê) ðàñøèðåííàÿ ìàòðèöà ñîäåðæèò äâå ñòðîêè, òî ðàáîòà àëãîðèòìà çàêàí÷èâàåòñÿ. Èíà÷å  ïåðåõîäèì ê 3-ìó øàãó. Ïóñòü òåïåðü âûïîëíåí (k −1)-é øàã, íå îáíàðóæåíà íåñîâìåñòíîñòü ñèñòåìû è â ìàòðèöå îñòàëîñü s ≥ k ñòðîê. Ïåðåõîäèì ê k -ìó øàãó.

k -é øàã. 1) Ðàññìîòðèì ïîäìàòðèöó ïðåîáðàçîâàííîé ìàòðèöû êîýôôèöèåíòîâ   (k−1) (k−1) akk . . . akn    ..............   .  ..............  (k−1) (k−1) ask . . . ask Íàõîäèì â ýòîé ïîäìàòðèöå âåäóùèé ýëåìåíò. 2) Ïåðåñòàâëÿÿ (åñëè íóæíî) ñòðîêè ðàñøèðåííîé ìàòðèöû è ñòîëáöû ìàòðèöû êîýôôèöèåíòîâ, ïîìåùàåì âåäóùèé ýëåìåíò â k -þ ñòðîêó è â k -é ñòîëáåö. Ïåðåñòàíîâêè ñòîëáöîâ ïðè ýòîì çàïîìèíàåì! 3) Äåëèì k -þ ñòðîêó ðàñøèðåííîé ìàòðèöû íà âåäóùèé ýëåìåíò. (k−1) Ïðè ýòîì íà ìåñòå ýëåìåíòà akk ïîÿâëÿåòñÿ åäèíèöà. 223

4) Ïðèáàâëÿÿ êî âñåì ñòðîêàì ðàñøèðåííîé ìàòðèöû, êðîìå k -é, (k−1) (k−1) åå k -þ ñòðîêó, óìíîæåííóþ ñîîòâåòñòâåííî íà −a1k , . . . , −ak−1,k , (k−1)

(k−1)

−ak+1,k , . . . , −as,k , ïðåîáðàçóåì ýòó ìàòðèöó ê âèäó ¯   (k) (k) ¯ (k) 1 0 . . . 0 a1,k+1 . . . a1n ¯ b1  ¯   ¯   (k) (k) ¯ (k)   0 1 . . . 0 a2,k+1 . . . a2n ¯ b2   ¯   ......................... ¯ . . . .  ¯   0 0 . . . 1 a(k) . . . a(k) ¯ b(k)   kn ¯ k  k,k+1  ¯   ......................... ¯ . . .  (k) ¯ (k) (k) 0 0 . . . 0 as,k+1 . . . asn ¯ bs Åñëè ïîñëå k -ãî øàãà îáíàðóæåíà íåñîâìåñòíîñòü ñèñòåìû èëè (ïîñëå óäàëåíèÿ âîçìîæíî ïîÿâèâøèõñÿ íóëåâûõ ñòðîê) ðàñøèðåííàÿ ìàòðèöà ñîäåðæèò k ñòðîê, òî ðàáîòà àëãîðèòìà çàêàí÷èâàåòñÿ. Èíà÷å  ïåðåõîäèì ê k + 1-ìó øàãó. Î÷åâèäíî, ÷òî ïîñëå âûïîëíåíèÿ íå áîëåå, ÷åì m øàãîâ (m  ÷èñëî óðàâíåíèé ñèñòåìû) ðàáîòà àëãîðèòìà ïîëíîãî èñêëþ÷åíèÿ çàêàí÷èâàåòñÿ îäíèì èç òðåõ èñõîäîâ: 1) îáíàðóæèâàåòñÿ íåñîâìåñòíîñòü ñèñòåìû; 2) ðàñøèðåííàÿ ìàòðèöà ñèñòåìû èìååò âèä



1 0 ... 0  0 1 ... 0   .......... 0 0 ... 1

¯ (r) ¯ b1 ¯ (r) ¯ b ¯ 2 ¯ ... ¯ ¯ (r) bn

    

(r  ÷èñëî øàãîâ),

ò.å. íà ìåñòå ñòîëáöà ñâîáîäíûõ ÷ëåíîâ ïîëó÷åíî åäèíñòâåííîå ðåøåíèå ñèñòåìû. Íàïîìíèì, ÷òî â ïðîöåññå èñêëþ÷åíèÿ ñòîëáöû ìàòðèöû êîýôèöèåíòîâ ìîãëè ìåíÿòüñÿ ìåñòàìè (ïåðåñòàíîâêè ñòîëáöîâ çàïîìèíàëèñü!). Ïîýòîìó ýëåìåíòû ïîëó÷åííîãî ñòîëáöà ñâîáîäíûõ ÷ëåíîâ ñëåäóåò ïåðåóïîðÿäî÷èòü (ñì. ïðèìåð íèæå); 3) ðàñøèðåííàÿ ìàòðèöà ñèñòåìû èìååò âèä

    

(r)

(r)

1 0 . . . 0 a1,s+1 . . . a1,n (r) (r) 0 1 . . . 0 a2,s+1 . . . a2,n ......................... (r) (r) 0 0 . . . 1 as,s+1 . . . as,n 224

¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯

(r)

b1 (r) b2 ... (r) bs



  , 

ò.å. ñèñòåìà èìååò áåñêîíå÷íî ìíîãî ðåøåíèé, êîòîðûå íàõîäÿòñÿ ïî ôîðìóëàì (1.1.4). Òåðìèíîëîãè÷åñêîå çàìå÷àíèå. Àëãîðèòì ïîëíîãî íàçûâàþò òàêæå àëãîðèòìîì ÃàóññàÉîðäàíà50 .

èñêëþ÷åíèÿ

Ñåðüåçíîå ïðåäóïðåæäåíèå. Ìû ïðåäïîëàãàåì, ÷òî ýëåìåíòû ðàñøèðåííîé ìàòðèöû ñèñòåìû çàäàíû òî÷íî, à âñå àðèôìåòè÷åñêèå îïåðàöèè âûïîëíÿþòñÿ áåç îêðóãëåíèÿ èëè óñå÷åíèÿ. Òîëüêî â ýòîì ðåäêî âñòðå÷àþùåìñÿ ñëó÷àå âåðíû äîêàçàííûå âûøå óòâåðæäåíèÿ. Âëèÿíèå ïîãðåøíîñòåé èñõîäíûõ äàííûõ è ïîãðåøíîñòåé, âíîñèìûõ ïðè âû÷èñëåíèÿõ, áóäåò ðàññìîòðåíî â ãëàâå 13. Ðàññìîòðèì íåñêîëüêî íåñëîæíûõ ïðèìåðîâ, çàäàâàÿ ñèñòåìû èõ ðàñøèðåííûìè ìàòðèöàìè. Íàä ñòîëáöàìè ìàòðèöû êîýôôèöèåíòîâ áóäåì óêàçûâàòü èç ïîðÿäêîâûå íîìåðà. Ïðèìåð 1.



1 1  4 7

2 2 5 9

3 3 6 8

¯  ¯ ¯ ¯ 14  ¯  ¯ 32  . ¯ ¯ 49

1-é øàã. (0)

1) Âåäóùèé ýëåìåíò 1-ãî øàãà a32 = 9. 2) Ìåíÿåì ìåñòàìè ïåðâóþ è òðåòüþ ñòðîêè, ïåðâûé è âòîðîé ñòîëáöû. Ïåðåñòàíîâêè ñòîëáöîâ (èçìåíåíèå ïîðÿäêà ïåðåìåííûõ) çàïîìèíàåì!



2 9  5 2

1 7 4 1

3 8 6 3

¯  ¯ ¯ ¯ 49   ¯ ¯ 32  . ¯ ¯ 14

50 Êàðë

Ôðèäðèõ ÃÀÓÑÑ (K.F. Gauss, 1777-1855)  íåìåöêèé ìàòåìàòèê, àñòðîíîì, ôèçèê è ãåîäåçèñò, âíåñøèé ñóùåñòâåííûé âêëàä ïðàêòè÷åñêè âî âñå îáëàñòè ìàòåìàòèêè, ïî÷åòíûé ÷ëåí Ïåòåðáóðãñêîé ÀÍ. Âèëüãåëüì ÉÎÐÄÀÍ (W. Jordan, 1842-1899)  íåìåöêèé ãåîäåçèñò. ×àñòî ìåòîä ïîëíîãî èñêëþ÷åíèÿ îøèáî÷íî ñâÿçûâàþò ñ èìåíåì ôðàíöóçñêîãî ìàòåìàòèêà Ê.Ì.Ý. ÆÎÐÄÀÍÀ (C.M.E. Jordan). 225

3) Äåëèì ïåðâóþ ñòðîêó ðàñøèðåííîé ìàòðèöû íà âåäóùèé ýëåìåíò.

¯ 2 1 3 ¯¯  1 7 8 ¯ 49  9 9 ¯ 9  5 4 6 ¯ 32 ¯ 2 1 3 ¯ 14 



 . 

4) Ïðèáàâëÿÿ êî âòîðîé è òðåòüåé ñòðîêàì ðàñøèðåííîé ìàòðèöû åå ïåðâóþ ñòðîêó, óìíîæåííóþ ñîîòâåòñòâåííî íà −5 è −2, ïîëó÷àåì ðàñøèðåííóþ ìàòðèöó

    

2 1 7 1 9 1 0 9 0 − 59

¯ 3 ¯¯ 8 ¯ 9 ¯ 14 ¯ ¯ 9 ¯ 11 ¯ 9



49 9 43 9 28 9

  . 

2-é øàã. (1) 1) Âåäóùèé ýëåìåíò 2-ãî øàãà a23 = 14 9. 2) Ïîìåùàåì âåäóùèé ýëåìåíò âî âòîðóþ ñòðîêó è âòîðîé ñòîëáåö, ïåðåñòàâëÿÿ âòîðîé è òðåòèé ñòîëáöû. Ïåðåñòàíîâêè ñòîëáöîâ çàïîìèíàåì! ¯  

   

2 1 0 0

3

8 9 14 9 11 9

1 ¯¯ 7 ¯ 9 ¯ 1 ¯ ¯ 9 ¯ −5 ¯ 9

49 9 43 9 28 9

  . 

3) Äåëèì âòîðóþ ñòðîêó ðàñøèðåííîé ìàòðèöû íà âåäóùèé ýëåìåíò.

    

2 1 0 0

¯ 3 1 ¯¯ 8 7 ¯ 9 9 ¯ 1 ¯ 1 14 ¯ ¯ 5 ¯ 11 − 9 9



49 9 43 14 28 9

  . 

4) Ïðèáàâëÿÿ ê ïåðâîé è òðåòüåé ñòðîêàì ðàñøèðåííîé ìàòðèöû 8 è − 11 , ïîëó÷àåì åå âòîðóþ ñòðîêó, óìíîæåííóþ ñîîòâåòñòâåííî íà − 9 9 ðàñøèðåííóþ ìàòðèöó

    

2 1 0 0

3 1 5 0 7 1 1 14 9 0 − 14 226

¯ ¯ ¯ ¯ 19 ¯ 7 ¯ 43 ¯ 14 ¯ ¯ −9 14



  . 

3-é øàã. Ïîäìàòðèöà, ïîëó÷àþùàÿñÿ èç ìàòðèöû êîýôôèöèåíòîâ ïðè óäàëåíèè ïåðâîé è âòîðîé ñòðîê, ïåðâîãî è âòîðîãî ñòîëáöà, ñîñòîèò èç åäèí9 . Îí è ÿâëÿåòñÿ âåäóùèì ýëåìåíòîì 3-ãî øàãà è ñòâåííîãî ýëåìåíòà − 14 ñòîèò íà ïîëîæåííîì åìó ìåñòå. Ïóíêòû 1) è 2) óæå âûïîëíåíû. 3) Äåëèì òðåòüþ ñòðîêó ðàñøèðåííîé ìàòðèöû íà âåäóùèé ýëåìåíò.

    

2 1 0 0

3 0 1 0

¯ 1 ¯¯ 5 ¯ 7 ¯ 1 ¯¯ 14 ¯ 1¯



19 7 43 14

  . 

1

4) Ïðèáàâëÿÿ ê ïåðâîé è âòîðîé ñòðîêàì ðàñøèðåííîé ìàòðèöû åå 5 è − 1 , ïîëó÷àåì ðàñòðåòüþ ñòðîêó, óìíîæåííóþ ñîîòâåòñòâåííî íà − 7 14 øèðåííóþ ìàòðèöó ¯  

2 1  0 0

3 0 1 0

¯ ¯ ¯ 2 ¯ . ¯ 3 ¯ ¯ 1

1 0 0 1

Ðàáîòà àëãîðèòìà çàêîí÷åíà. Íà ìåñòå ñòîëáöà ñâîáîäíûõ ÷ëåíîâ ñòîèò åäèíñòâåííîå ðåøåíèå ñèñòåìû. Ïîðÿäîê ïåðåìåííûõ óêàçàí â ñòðîêå, ñòîÿùåé íàä ìàòðèöåé êîýôôèöèåíòîâ. Ó÷èòûâàÿ åãî, ïîëó÷àåì

x2 = 2, Ïðèìåð 2.



1 1  4 7

x3 = 3, 2 2 5 8

3 3 6 9

¯ ¯ ¯ ¯ 6 ¯ ¯ 15 ¯ ¯ 24

x1 = 1.   . 

1-é øàã. 

1 2  1 2   4 5 7 8

3 3 6 9

¯   ¯ 3 2 ¯  9 8 ¯ 6    ¯ ¯ 15  ⇔  6 5 ¯ ¯ 24 3 2

1 7 4 1

¯ ¯   ¯ ¯ 3 2 1 ¯ 8 ¯ 7 8  ¯ ¯ 24  ⇔ 1 9 9 ¯ 3 ¯ ¯ 15   6 5 4 ¯ 15 ¯ ¯ ¯ 6 3 2 1 ¯ 6 227





  ⇔   

¯ 3 2 1 ¯¯ 8 8 7 ¯ 1 3 9 9 ¯ ¯ 0 − 13 − 23 ¯ − 1 ¯ 0 − 23 − 43 ¯ − 2

   . 

2-é øàã.     

¯   3 2 1 ¯¯ 8  8 7 ¯ 1 3 ⇔ 9 9 ¯   1 2 ¯ 0 − 3 −3 ¯ − 1  ¯ 0 − 23 − 43 ¯ − 2

¯   3 1 2 ¯¯ 8  7 8 ¯ 1 3 ⇔ 9 9 ¯   4 2 ¯ 0 − 3 −3 ¯ − 2  ¯ 0 − 23 − 13 ¯ − 1

3 1 2 7 8 1 9 9 1 0 1 2 0 − 23 − 13

¯   ¯ ¯ ¯ 8  ¯ 3  ¯ 3 ⇔ ¯ 2 ¯ ¯−1

3 1 0 0

¯  1 2 ¯ ¯ 0 12 ¯¯ 32  . 1 12 ¯¯ 32  0 0 ¯ 0

Óäàëÿåì ïîëó÷åííóþ íóëåâóþ ñòðîêó. Ðàáîòà àëãîðèòìà çàêîí÷åíà. Ñ ïîìîùüþ ðàâíîñèëüíûõ ïðåîáðàçîâàíèé ñèñòåìà óðàâíåíèé ïðèâåäåíà ê âèäó (1.1.3).

¯ 3 1 2 ¯¯  ¯  1 0 12 ¯ ¯ 0 1 12 ¯





3 2 3 2

 .

Ïåðåíîñÿ ñëàãàåìûå, ñîäåðæàùèå x2 , â ïðàâóþ ÷àñòü, ïîëó÷èì

x3 =

3 1 − · x2 ; 2 2

x1 =

3 1 − · x2 . 2 2

(1.1.6)

Ýòà ñèñòåìà óðàâíåíèé (à, ñëåäîâàòåëüíî, è ðàâíîñèëüíàÿ åé èñõîäíàÿ) èìååò áåñêîíå÷íî ìíîãî ðåøåíèé, êîòîðûå ïîëó÷àþòñÿ èç (1.1.6) ïðè ïðîèçâîëüíî çàäàííîì çíà÷åíèè x2 . Ïðèìåð 3.



1 1  4 7

2 2 5 8

3 3 6 9

¯ ¯ ¯ ¯ 6 ¯ ¯ 12 ¯ ¯ 15

  . 

1-é øàã. 

1  1   4 7

2 2 5 8

3 3 6 9

¯ ¯ ¯ ¯ 6 ¯ ¯ 12 ¯ ¯ 15





3  9  ⇔  6  3

2 8 5 2

1 7 4 1

¯   ¯ ¯  ¯ 15  ⇔ ¯ ¯ 12   ¯ ¯ 6

¯ 3 2 1 ¯¯ 1 89 79 ¯¯ 53 6 5 4 ¯¯ 12 3 2 1 ¯ 6

2-é øàã. 228





  ⇔   

¯ 3 2 1 ¯¯ 8 7 ¯ 5 1 9 9 ¯ 3 ¯ 1 0 − 3 − 23 ¯ 2 ¯ 0 − 23 − 43 ¯ 1

   . 

    

¯   3 2 1 ¯¯  8 7 ¯ 5 1 9 9 ¯ 3 ⇔  ¯   0 − 13 − 23 ¯ 2   ¯ 2 4 ¯ 0 −3 −3 1

¯   3 1 2 ¯¯  7 8 ¯ 5 1 9 9 ¯ 3 ⇔  ¯   0 − 43 − 23 ¯ 1   ¯ 2 1 ¯ 0 −3 −3 2

3 1 2 7 8 1 9 9 1 0 1 2 0 − 23 − 13

¯   ¯ ¯ ¯ 5  ¯ 3  ¯ 3⇔ ¯ 4  ¯ ¯ 2

3 1 0 0

¯  1 2 ¯¯ 0 12 ¯¯ 94   3 . 1 ¯ 1 2 ¯ −4  ¯ 0 0 ¯ 32

Ðàáîòà àëãîðèòìà çàêîí÷åíà. Òðåòüå óðàâíåíèå ïîëó÷åííîé ñèñòåìû èìååò âèä 3 0 · x3 + 0 · x1 + 0 · x 2 = . 2 Îíî íå óäîâëåòâîðÿåòñÿ íè ïðè êàêèõ çíà÷åíèÿõ ïåðåìåííûõ. Ïîëó÷åííàÿ ñèñòåìà (à, ñëåäîâàòåëüíî, è ðàâíîñèëüíàÿ åé èñõîäíàÿ) íåñîâìåñòíà.

1.2. Îäíîðîäíûå ñèñòåìû ëèíåéíûõ óðàâíåíèé Îïðåäåëåíèå. Ñèñòåìà ëèíåéíûõ óðàâíåíèé íàçûâàåòñÿ îäíîðîäíîé, åñëè âñå åå ñâîáîäíûå ÷ëåíû ðàâíû íóëþ. Òåîðåìà. Åñëè ÷èñëî óðàâíåíèé â îäíîðîäíîé ñèñòåìå ìåíüøå, ÷åì ÷èñëî ïåðåìåííûõ, òî ñèñòåìà èìååò áåñêîíå÷íî ìíîãî ðåøåíèé. Äîêàçàòåëüñòâî. 1. Âñÿêàÿ îäíîðîäíàÿ ñèñòåìà èìååò íóëåâîå ðåøåíèå. Ýòî óòâåðæäåíèå ïðîâåðÿåòñÿ ïîäñòàíîâêîé. Ñëåäîâàòåëüíî, îäíîðîäíàÿ ñèñòåìà íå ìîæåò áûòü íåñîâìåñòíîé. 2.  èñõîäíîé ñèñòåìå êîëè÷åñòâî ñòðîê ìåíüøå êîëè÷åñòâà ñòîëáöîâ. Ïðè ðàáîòå àëãîðèòìà ÃàóññàÉîðäàíà êîëè÷åñòâî ïåðåìåííûõ íå ìåíÿåòñÿ, à êîëè÷åñòâî óðàâíåíèé íå ðàñòåò (óìåíüøèòüñÿ îíî ìîæåò çà ñ÷åò îòáðàñûâàíèÿ íóëåâûõ ñòðîê ðàñøèðåííîé ìàòðèöû). Ñëåäîâàòåëüíî, ðåçóëüòèðóþùàÿ ìàòðèöà êîýôôèöèåíòîâ êâàäðàòíîé áûòü íå ìîæåò, ò.å. ðåøåíèå íå ìîæåò áûòü åäèíñòâåííûì. Òåîðåìà äîêàçàíà. ¥

229

Ãëàâà 2. ÀËÃÅÁÐÀ ÌÀÒÐÈÖ Ìàòðèöû, ââåäåííûå íàìè äëÿ êîìïàêòíîé çàïèñè ñèñòåì ëèíåéíûõ óðàâíåíèé, èìåþò ïðàâî è íà ñàìîñòîÿòåëüíîå ñóùåñòâîâàíèå.  ýòîé ãëàâå ìû ðàññìîòðèì îïåðàöèè íàä ìàòðèöàìè  ìàòðè÷íóþ àëãåáðó. Îòìåòèì ñðàçó, ÷òî âñå îïåðàöèè ìàòðè÷íîé àëãåáðû ðåàëèçîâàíû â ñðåäàõ êîíå÷íîãî ïîëüçîâàòåëÿ è â âèäå Ôîðòðàí-ïðîãðàìì.

2.1. Òðàíñïîíèðîâàíèå è ýðìèòîâî ñîïðÿæåíèå Îïðåäåëåíèå. Åñëè A  ñòðîêà øèðèíû n, òî ìàòðèöó-ñòîëáåö âûñîòû n, ýëåìåíòû êîòîðîé ðàâíû ñîîòâåòñòâóþùèì ýëåìåíòàì A, íàçûâàþò òðàíñïîíèðîâàííîé ïî îòíîøåíèþ ê A è îáîçíà÷àþò AT . Åñëè B  ñòîëáåö âûñîòû n, òî ìàòðèöó-ñòðîêó øèðèíû n, ýëåìåíòû êîòîðîé ðàâíû ñîîòâåòñòâóþùèì ýëåìåíòàì B , íàçûâàþò òðàíñïîíèðîâàííîé ïî îòíîøåíèþ ê B è îáîçíà÷àþò B T . Ïðèìåðû.

· ¸ £ ¤ 4 Åñëè B = 4 5 , òî B T = ; 5

  1 £ ¤ åñëè A = 2 , òî AT = 1 2 3 . 3

Îïðåäåëåíèå. Åñëè A  (m×n)-ìàòðèöà, òî (n×m)-ìàòðèöó, ñòîëáöû êîòîðîé ðàâíû ñîîòâåòñòâóþùèì òðàíñïîíèðîâàííûì ñòðîêàì A (ñòðîêè ðàâíû ñîîòâåòñòâóþùèì òðàíñïîíèðîâàííûì ñòîëáöàì A), íàçûâàþò òðàíñïîíèðîâàííîé ïî îòíîøåíèþ ê A è îáîçíà÷àþò AT .

aTij = aji Ïðèìåð.

(i = 1, . . . , m; j = 1, . . . , n).

  1 4 Åñëè A = 2 5 , 3 6

¸ 1 2 3 . òî AT = 4 5 6 ·

Îïðåäåëåíèå. Êâàäðàòíàÿ ìàòðèöà A, óäîâëåòâîðÿþùàÿ óñëîâèþ AT = A, íàçûâàåòñÿ ñèììåòðè÷íîé. Äëÿ ñèììåòðè÷íîé ìàòðèöû ïîðÿäêà n âûïîëíåíû ðàâåíñòâà

aTij = aji = aij

(i = 1, . . . , n; j = 1, . . . , n).

Îïðåäåëåíèå. Åñëè òðàíñïîíèðîâàòü ìàòðèöó A, à çàòåì çàìåíèòü êàæäûé åå ýëåìåíò êîìïëåêñíî ñîïðÿæåííûì åìó ÷èñëîì, òî ïîëó÷èòñÿ 230

ìàòðèöà, êîòîðóþ íàçûâàþò ýðìèòîâî51 ñîïðÿæåííîé (èëè ïðîñòî ñîïðÿæåííîé) ïî îòíîøåíèþ ê A è îáîçíà÷àþò A∗ .

a∗ij = aji (i = 1, . . . , m; j = 1, . . . , n). Ïðèìåð.

  1 + 2i 4 Åñëè A =  2 − i 5 + 3i , 3 6 − 2i

·

¸ 1 − 2i 2 + i 3 òî A = . 4 5 − 3i 6 + 2i ∗

Èìåþò ìåñòî î÷åâèäíûå ñîîòíîøåíèÿ

¡

AT

¢T

(A∗ )∗ = A.

= A;

Îïðåäåëåíèå. Êâàäðàòíóþ ìàòðèöó, óäîâëåòâîðÿþùóþ óñëîâèþ A = A, íàçûâàþò ñàìîñîïðÿæåííîé èëè ýðìèòîâîé. Äëÿ ýðìèòîâîé ìàòðèöû ∗

a∗ij = aji = aij

(i = 1, . . . , n; j = 1, . . . , n)

(ýëåìåíòû, ñèììåòðè÷íûå îòíîñèòåëüíî äèàãîíàëè, êîìïëåêñíî ñîïðÿæåíû). Îòñþäà, â ÷àñòíîñòè, ñëåäóåò, ÷òî äèàãîíàëüíûå ýëåìåíòû ýðìèòîâîé ìàòðèöû âåùåñòâåííû.

2.2. Ëèíåéíûå îïåðàöèè íàä ìàòðèöàìè Ëèíåéíûìè îïåðàöèÿìè íàçûâàþò óìíîæåíèå ìàòðèöû íà ÷èñëî è ñëîæåíèå ìàòðèö. Ëèíåéíûå îïåðàöèè âûïîëíÿþòñÿ ïîýëåìåíòíî. Îïðåäåëåíèå. Åñëè A  (m × n)-ìàòðèöà, à α  ÷èñëî, òî ñèìâîëîì αA îáîçíà÷àþò ìàòðèöó, ïîëó÷àþùóþñÿ èç A óìíîæåíèåì êàæäîãî åå ýëåìåíòà íà α.

B = αA ⇐⇒ bij = α · aij Ïðèìåð.

(i = 1, . . . , m; j = 1, . . . , n).

·

¸ · ¸ 1 2 3 −1.5 −3.0 −4.5 (−1.5) · = . 4 5 6 −6.0 −7.5 −9.0

Îïðåäåëåíèå. Åñëè A è B  (m × n)-ìàòðèöû îäíîãî ðàçìåðà, òî èõ ñóììîé íàçûâàþò ìàòðèöó, ïîëó÷àþùóþñÿ ñëîæåíèåì ñîîòâåòñòâóþùèõ ýëåìåíòîâ A è B . 51 Øàðëü

ÝÐÌÈÒ (C. Hermite, 1822-1901)  ôðàíöóçñêèé ìàòåìàòèê, ÷ëåí Ïàðèæñêîé ÀÍ, ïî÷åòíûé ÷ëåí Ïåòåðáóðãñêîé ÀÍ. 231

C = A + B ⇐⇒ cij = aij + bij Ïðèìåð.

·

(i = 1, . . . , m; j = 1, . . . , n).

¸ · ¸ · ¸ 1 2 3 7 8 9 8 10 12 + = . 4 5 6 10 11 12 14 16 18

Ìàòðèöû ðàçíûõ ðàçìåðîâ ñêëàäûâàòü íåëüçÿ! Èç îïðåäåëåíèé î÷åâèäíû ñëåäóþùèå ñâîéñòâà ëèíåéíûõ îïåðàöèé íàä ìàòðèöàìè (ìàòðèöû A, B, C, Θ  îäíîãî ðàçìåðà!):

1) B + A = A + B; 2) A + (B + C) = (A + B) + C; 3) A + Θ = Θ + A = A (çäåñü Θ  íóëåâàÿ ìàòðèöà, ò.å. ìàòðèöà, âñå ýëåìåíòû êîòîðîé  íóëè); 4) α(A + B) = αA + αB; (α + β)A = αA + βA; 5) (A + B)T = AT + B T ; (A + B)∗ = A∗ + B ∗ ; 6) (αA)T = αAT ; (αA)∗ = αA∗ (çäåñü α è β  ÷èñëà).

2.3. Óìíîæåíèå ìàòðèö Óìíîæåíèå ìàòðèöû íà ìàòðèöó îïðåäåëèì ñíà÷àëà äëÿ ñëó÷àÿ, êîãäà ëåâûé ñîìíîæèòåëü  ñòðîêà øèðèíû n, à ïðàâûé ñîìíîæèòåëü  ñòîëáåö âûñîòû n.

  b1 [a1 , . . . , an ] ·  ...  = [a1 · b1 + . . . + an · bn ] = a1 · b1 + . . . + an · bn . bn Ïðîèçâåäåíèå ñòðîêè (ñëåâà) è ñòîëáöà (ñïðàâà) åñòü (1 × 1)-ìàòðèöà, êîòîðóþ ìû ðàíåå äîãîâîðèëèñü îòîæäåñòâëÿòü ñ ÷èñëîì. Ïðèìåð.

  £ ¤ 4 1 2 3 · 5 = 1 · 4 + 2 · 5 + 3 · 6 = 32. 6 232

Ðàññìîòðèì òåïåðü îáùèé ñëó÷àé. Ïóñòü ëåâûé ñîìíîæèòåëü  A  èìååò ñòðîêè øèðèíû n, à ïðàâûé  B  ñòîëáöû âûñîòû n. Òîãäà ìàòðèöà-ïðîèçâåäåíèå C = A · B îïðåäåëÿåòñÿ òàê: ýëåìåíò cik åñòü ïðîèçâåäåíèå i-é ñòðîêè ëåâîãî ñîìíîæèòåëÿ íà k -é ñòîëáåö ïðàâîãî.

C = A · B ⇐⇒ cik = ai1 b1k + . . . + ain bnk =

n X

aij bjk .

j=1

Ïðèìåð.

·

  · ¸ 7 10 50 68 1 2 3  . · 8 11 = 4 5 6 122 167 9 12 ¸

1 · 10 + 2 · 11 + 3 · 12 = 68. Çàìå÷àíèå. Èç îïðåäåëåíèÿ ñëåäóåò, ÷òî ïðîèçâåäåíèå (m × p)ìàòðèöû íà (p × n)-ìàòðèöó åñòü (m × n)-ìàòðèöà. Ìàòðèöû, ðàçìåðû êîòîðûõ íå ñîãëàñîâàíû, ò.å. øèðèíà ëåâîé íå ðàâíà âûñîòå ïðàâîé, ïåðåìíîæàòü íåëüçÿ! Èçâåñòíî, ÷òî óìíîæåíèå ÷èñåë à) êîììóòàòèâíî: a · b = b · a, á) àññîöèàòèâíî: a · (b · c) = (a · b) · c, â) äèñòðèáóòèâíî îòíîñèòåëüíî ñëîæåíèÿ: a · (b + c) = a · b + a · c. Ïîêàæåì, ÷òî óìíîæåíèå ìàòðèö, âîîáùå ãîâîðÿ, íå êîììóòàòèâíî. Âî-ïåðâûõ, ïðè èçìåíåíèè ïîðÿäêà ñîìíîæèòåëåé ìîæåò íàðóøèòüñÿ ñîãëàñîâàííîñòü ðàçìåðîâ. Íàïðèìåð, åñëè A  (3 × 4)-ìàòðèöà, à B  (4 × 2)-ìàòðèöà, òî AB  (3 × 2)-ìàòðèöà, à ïðîèçâåäåíèå BA íå îïðåäåëåíî. r

=

;

r

ïðîèçâåäåíèå íå îïðåäåëåíî.

Âî-âòîðûõ, äàæå åñëè ïðîèçâåäåíèÿ äâóõ ìàòðèö îïðåäåëåíû ïðè ëþáîì ïîðÿäêå ñîìíîæèòåëåé, òî ðàçìåðû ýòèõ ïðîèçâåäåíèé ìîãóò áûòü ðàçëè÷íûìè. Òàê, íàïðèìåð, åñëè A  (2 × 4)-ìàòðèöà, à B  (4 × 2)ìàòðèöà, òî AB  (2 × 2)-ìàòðèöà, à BA  (4 × 4)-ìàòðèöà. 233

r

=

;

r

=

.

Íàêîíåö, ïðîèçâåäåíèÿ êâàäðàòíûõ ìàòðèö îäíîãî ïîðÿäêà çàâåäîìî îïðåäåëåíû ïðè ëþáîì ðàñïîëîæåíèè ñîìíîæèòåëåé è ïðåäñòàâëÿþò ñîáîé êâàäðàòíûå ìàòðèöû òîãî æå ïîðÿäêà. Îäíàêî è â ýòîì ñëó÷àå ïðîèçâåäåíèÿ ìîãóò çàâèñåòü îò ðàñïîëîæåíèÿ ñîìíîæèòåëåé. Íàïðèìåð:

·

¸ · ¸ · ¸ 1 0 0 1 0 1 · = ; 0 0 0 0 0 0

·

¸ · ¸ · ¸ 0 1 1 0 0 0 · = . 0 0 0 0 0 0

 òî æå âðåìÿ ñóùåñòâóþò òàêèå ïàðû êâàäðàòíûõ ìàòðèö, ÷òî AB = BA.  òàêîì ñëó÷àå ãîâîðÿò, ÷òî ìàòðèöû A è B êîììóòèðóþò. Íàïðèìåð:

·

¸ · ¸ · ¸ · ¸ · ¸ 1 2 0 2 0 2 1 2 6 8 · = · = . 3 4 3 3 3 3 3 4 12 18

Îïðåäåëåíèå. Êâàäðàòíàÿ ìàòðèöà, ó êîòîðîé âñå âíåäèàãîíàëüíûå ýëåìåíòû ðàâíû íóëþ, íàçûâàåòñÿ äèàãîíàëüíîé. Ìû áóäåì ïèñàòü

  d1 0 . . . 0  0 d2 . . . 0   diag[d1 , d2 , . . . , dn ] =  . . . . . . . . . . . . . . . 0 0 . . . dn

Îòìåòèì, ÷òî óìíîæåíèå ìàòðèöû A íà äèàãîíàëüíóþ ìàòðèöó D ñëåâà ïðèâîäèò ê óìíîæåíèþ ñòðîê A íà ñîîòâåòñòâóþùèå (ïî íîìåðàì) ýëåìåíòû äèàãîíàëè D, à óìíîæåíèå íà D ñïðàâà  ê óìíîæåíèþ íà òå æå ýëåìåíòû ñòîëáöîâ A. Ïðèìåðû.

   1 1 2 diag[2, 3, 4] · 1 1 = 0 1 1 0    1 1 1 1 1 · diag[2, 3] = 1 1 1 1

     0 0 1 1 2 2 3 0 · 1 1 = 3 3 ; 0 4 1 1 4 4    ¸ 1 · 2 3 2 0 1 · = 2 3 . 0 3 1 2 3

Îïðåäåëåíèå. Ìàòðèöà I = diag[1, 1, . . . , 1] íàçûâàåòñÿ åäèíè÷íîé. Ýòî íàçâàíèå îáúÿñíÿåòñÿ òåì, ÷òî îíà êîììóòèðóåò ñ ëþáîé êâàäðàòíîé 234

ìàòðèöåé òîãî æå ïîðÿäêà, ïðè÷åì A·I = I ·A = A. Åñëè íåîáõîäèìî óêàçàòü ïîðÿäîê åäèíè÷íîé ìàòðèöû, ïèøóò In . Åñëè A  (m × n)-ìàòðèöà, òî Im · A = A · In = A. Îñòàëüíûå äâà ñâîéñòâà óìíîæåíèÿ ÷èñåë  àññîöèàòèâíîñòü è äèñòðèáóòèâíîñòü îòíîñèòåëüíî ñëîæåíèÿ  âåðíû è äëÿ ìàòðèö (êîíå÷íî, ïðè óñëîâèè ñîãëàñîâàííîñòè ðàçìåðîâ). Äîêàæåì ýòî. Àññîöèàòèâíîñòü. Ïóñòü ìàòðèöà A èìååò ðàçìåð (m × n), ìàòðèöà B  (n × k) è ìàòðèöà C  (k × s). Òîãäà

(A · B) · C = A · (B · C). Äîêàçàòåëüñòâî. Îïðåäåëèì ìàòðèöû

P = A · B,

Q = B · C,

U = P · C = (A · B) · C,

V = A · Q = A · (B · C)

(ïðîâåðüòå ñîãëàñîâàííîñòü ðàçìåðîâ!). Äîêàæåì ðàâåíñòâî ìàòðèö U è V , èìåþùèõ îáùèé ðàçìåð (m × s), ðàññìîòðåâ èõ ñîîòâåòñòâóþùèå ýëåìåíòû:

uij =

vij =

k X

pir crj =

à n k X X

r=1

r=1

n X

n X

ait qtj =

t=1

!

ait btr

crj =

t=1

Ã

ait

t=1

k X

ait btr crj ;

r=1 t=1

! btr crj

k X n X

=

n X k X

r=1

ait btr crj ;

t=1 r=1

Âèäíî, ÷òî uij è vij ïðåäñòàâëÿþò ñîáîé ñóììû îäíèõ è òåõ æå ñëàãàåìûõ è ïîýòîìó ñîâïàäàþò. ¥ Äèñòðèáóòèâíîñòü îòíîñèòåëüíî ñëîæåíèÿ. Ïóñòü A  ìàòðèöà ðàçìåðà (m × n), à B è C  ìàòðèöû ðàçìåðà (n × k). Òîãäà

A · (B + C) = A · B + A · C. Äîêàçàòåëüñòâî. Îïðåäåëèì ìàòðèöû

R = A · (B + C),

P = A · B,

Q = A · C.

(ïðîâåðüòå ñîãëàñîâàííîñòü ðàçìåðîâ!). Äîêàæåì, ÷òî R = P + Q. Äåéñòâèòåëüíî,

rij =

n X t=1

ait (btj + ctj ) =

n X t=1

235

ait btj +

n X t=1

ait ctj = pij + qij .

¥

Òî÷íî òàê æå äîêàçûâàåòñÿ ðàâåíñòâî

(L + M ) · N = L · N + M · N, ãäå L, M , N  ìàòðèöû ñ ñîãëàñîâàííûìè ðàçìåðàìè. Âçàèìîäåéñòâèå óìíîæåíèÿ ìàòðèö ñ îïåðàöèÿìè òðàñïîíèðîâàíèÿ è ýðìèòîâà ñîïðÿæåíèÿ çàäàåòñÿ ñîîòíîøåíèÿìè

(A · B)T = B T · AT ;

(A · B)∗ = B ∗ · A∗ .

Ïðîâåðüòå ýòè ðàâåíñòâà, îáðàòèâ âíèìàíèå íà ïîðÿäîê ñîìíîæèòåëåé ñëåâà è ñïðàâà.  òåðìèíàõ óìíîæåíèÿ ìàòðèö ìîæåò áûòü çàïèñàíà ñèñòåìà ëèíåéíûõ àëãåáðàè÷åñêèõ óðàâíåíèé. Ïóñòü A  çàäàííàÿ ÷èñëîâàÿ ìàòðèöà ðàçìåðà (m × n), b  çàäàííûé ÷èñëîâîé ñòîëáåö âûñîòû m, x  ïåðåìåííûé ñòîëáåö âûñîòû n, ò.å. x = [x1 , . . . , xn ]T , ãäå x1 , . . . , xn  ÷èñëîâûå ïåðåìåííûå. Òîãäà

     a11 . . . a1n x1 b1 . . . . . . . . . . . . .  . .   . .        . . . . . . . . . . . . . ·  . .  =  . .  am1 . . . amn xn bm 

Ax = b

èëè

åñòü êðàòêàÿ çàïèñü ñèñòåìû ëèíåéíûõ óðàâíåíèé

 a11 x1 + . . . + a1n xn = b1    ......................... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .    am1 x1 + . . . + amn xn = bm

2.4. Ìàòðè÷íûå óðàâíåíèÿ Ðàññìîòðèì óðàâíåíèå

AX = B,

(2.4.1)

ãäå A  çàäàííàÿ ÷èñëîâàÿ (m × n)-ìàòðèöà, B  çàäàííàÿ ÷èñëîâàÿ (m × p)-ìàòðèöà, X  ïåðåìåííàÿ (n × p)-ìàòðèöà:

     b11 . . . b1p x11 . . . x1p a11 . . . a1n . . . . . . . . . . . . .   . . . . . . . . . . . .   . . . . . . . . . . . .        . . . . . . . . . . . . .  ·  . . . . . . . . . . . .  =  . . . . . . . . . . . .  . bm1 . . . bmp xn1 . . . xnp am1 . . . amn 

236

Ðåøåíèåì ýòîãî óðàâíåíèÿ íàçûâàåòñÿ òàêàÿ ÷èñëîâàÿ (n × p)e , ïîäñòàíîâêà êîòîðîé âìåñòî ïåðåìåííîé ìàòðèöû X ïðåìàòðèöà X e = B. âðàùàåò óðàâíåíèå â ðàâåíñòâî ìàòðèö AX Âñïîìèíàÿ ïðàâèëî óìíîæåíèÿ ìàòðèö, çàïèøåì óðàâíåíèå (2.4.1) "ïî ñòîëáöàì":



       x11 b11 x1p b1p . . . A ·  ..  =  ..  ; . . . ; A ·  ..  =  ...  . xn1 bm1 xnp bmp

(2.4.2)

Îòñþäà âèäíî, ÷òî ñèñòåìà ëèíåéíûõ óðàâíåíèé (1.1.1) åñòü ÷àñòíûé ñëó÷àé ìàòðè÷íîãî óðàâíåíèÿ (2.4.1) ïðè p = 1, è ÷òî ìàòðè÷íîå óðàâíåíèå (2.4.1) ðàâíîñèëüíî p ñèñòåìàì ëèíåéíûõ óðàâíåíèé. Âñå ñèñòåìû â (2.4.2) èìåþò îáùóþ ìàòðèöó êîýôôèöèåíòîâ. Ïðèìåíÿÿ ê íèì àëãîðèòì ÃàóññàÉîðäàíà, ìû áóäåì ìíîãîêðàòíî ïîâòîðÿòü îäíè è òå æå âû÷èñëåíèÿ  îòëè÷èå áóäåò òîëüêî ïðè ðàáîòå ñî ñâîáîäíûìè ÷ëåíàìè. Ïîýòîìó ñëåäóåò ðåøàòü ýòè ñèñòåìû îäíîâðåìåííî. Òåõíîëîãèÿ âèäíà èç ïðèâåäåííîãî íèæå ïðèìåðà.

    1 2 4 17 8 1 2 3 · X = 14 6 . 2 3 4 20 9 Çàïèñûâàåì ðàñøèðåííóþ ìàòðèöó (íàä ÷åðòîé  íîìåðà ñòîëáöîâ). ¯ 1 2 3 ¯¯ 1 2 4 ¯¯ 17 8 . 1 2 3 ¯¯ 14 6 2 3 4 ¯ 20 9 Ïðèìåð.

1-é øàã. 1 1 1 2

2 2 2 3

3 4 3 4

¯ ¯ 3 2 ¯ ¯ 17 8 4 2 ¯ ¯ 14 6 ⇔ 3 2 ¯ ¯ 20 9 4 3

1 1 1 2

¯ ¯ ¯ ¯ ¯ 3 2 1 ¯ 3 2 1 ¯ ¯ ¯ ¯ 17 8 2 1 12 14 ¯¯ 17 1 12 14 ¯¯ 4 ¯ ¯ 14 6 ⇔ 3 2 1 ¯ 14 6 ⇔ 0 1 1 ¯ ¯ ¯ 2 4 ¯ ¯ 20 9 4 3 2 ¯ 20 9 0 1 1 ¯

2-é øàã. 3 2 1 1 12 14 0 12 14 0 1 1

¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯

¯ 3 2 1 ¯ ¯ 17 1 1 ¯ 2 1 4 2 4 ¯ ⇔ 5 ¯ 0 1 1 0 ¯ 4 1 ¯ 1 3 1 0 2 4

3 17 2 1 4 ⇔ 3 1 0 5 0 0 4

237

¯ 2 1 ¯ ¯ 3 0 − 14 ¯¯ 11 4 2 . 1 1 1 ¯¯ 3 0 − 14 ¯ − 14 − 12

17 4 5 4

2 . 0 3 1

3-é øàã. 3 1 0 0

¯ ¯ ¯ 2 1 ¯ 3 2 1 ¯ ¯ 11 3 1 ¯ 1 ¯ 0 −4 ¯ 4 2 ⇔ 1 0 −4 ¯ ¯ 1 1 1 ¯ 3 0 1 1 ¯¯ 0 0 1 ¯ 0 − 14 ¯ − 14 − 21

  1 2 X = 2 −1 . 3 2

3 3 11 1 4 2 ⇔ 0 3 1 0 1 2

2 0 1 0

1 0 0 1

¯ ¯ ¯ ¯ 3 2 ¯ ¯ 2 −1 . ¯ ¯ 1 2

Îáðàòèòå âíèìàíèå íà ïîðÿäîê ñòðîê!

Ìàòðè÷íîå óðàâíåíèå

XA = B

(2.4.3)

ïðèâîäÿò ê âèäó (2.4.1), òðàíñïîíèðóÿ îáå åãî ÷àñòè:

AT X T = B T . Íàéäÿ îïèñàííûì âûøå ñïîñîáîì ìàòðèöó X T , åùå ðàç ïðèìåíÿþò îïåðàöèþ òðàíñïîíèðîâàíèÿ:

¡ ¢T X = XT .

2.5. Îáðàòíàÿ ìàòðèöà Îïðåäåëåíèå. Åñëè A  (m×n)-ìàòðèöà, è ñóùåñòâóåò ðåøåíèå óðàâíåíèÿ AX = Im , òî ýòî ðåøåíèå  (n × m)-ìàòðèöó X  íàçûâàþò ïðàâîé îáðàòíîé ìàòðèöåé äëÿ A. Àíàëîãè÷íî, åñëè ñóùåñòâóåò ðåøåíèå óðàâíåíèÿ Y A = In , òî (n × m)-ìàòðèöó Y íàçûâàþò ëåâîé îáðàòíîé ìàòðèöåé äëÿ A. Ïîêàæåì, ÷òî èç ñóùåñòâîâàíèÿ ó ìàòðèöû è ëåâîé è ïðàâîé îáðàòíûõ ñëåäóåò èõ ñîâïàäåíèå.

(AX = Im )

^

=⇒

(Y A = In )

=⇒

Y = Y Im = Y (AX) = (Y A)X = In X = X. (2.5.1)

 ýòîì ñëó÷àå ìàòðèöó X = Y íàçûâàþò îáðàòíîé ê A è îáîçíà÷àþò A−1 , à ñàìó ìàòðèöó A íàçûâàþò îáðàòèìîé. 238

Ïðèìåð. Ðåøèâ ìàòðè÷íîå óðàâíåíèå

 1 2 4  1 2 3  · X = I, 2 3 4 

 1 −4 2 ïîëó÷èì X =  −2 4 −1  . 1 −1 0 

Óáåäèòåñü â òîì, ÷òî XA = I è, ñëåäîâàòåëüíî, X = A−1 . Åñëè ìàòðèöà A îáðàòèìà, òî ðåøåíèå ìàòðè÷íîãî óðàâíåíèÿ (2.4.1) ñóùåñòâóåò, åäèíñòâåííî è çàäàåòñÿ ôîðìóëîé

X = A−1 B.

(2.5.2)

Äåéñòâèòåëüíî, óìíîæèâ (2.4.1) íà A−1 ñëåâà, ïîëó÷èì (2.5.2), óìíîæèâ æå (2.5.2) íà A ñëåâà, ïîëó÷èì (2.4.1). Àíàëîãè÷íî, åñëè A îáðàòèìà, òî ðåøåíèå ìàòðè÷íîãî óðàâíåíèÿ (2.4.3) ñóùåñòâóåò, åäèíñòâåííî è çàäàåòñÿ ôîðìóëîé

X = BA−1 .

(2.5.3)

Åñëè ìàòðèöà A îáðàòèìà, òî îáðàòèìû è ìàòðèöû A−1 , AT , A∗ . Óáåäèòåñü â ñïðàâåäëèâîñòè ðàâåíñòâ

¡

A−1

¢−1

= A;

¡ T ¢−1 ¡ −1 ¢T A = A ;

¡ ¢∗ (A∗ )−1 = A−1 .

Òåîðåìà. Íåêâàäðàòíàÿ ìàòðèöà íå ìîæåò èìåòü îáðàòíîé. Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü A  (m × n)-ìàòðèöà, è m < n. Ïðèìåíèì ìåòîä ÃàóññàÉîðäàíà ê óðàâíåíèþ AX = Im . Ïîñêîëüêó ÷èñëî ïåðåìåííûõ â ïðîöåññå èñêëþ÷åíèÿ íå ìåíÿåòñÿ, à ÷èñëî óðàâíåíèé ðàçâå ÷òî óìåíüøàåòñÿ, ðåøåíèå åäèíñòâåííûì áûòü íå ìîæåò  A íåîáðàòèìà. Åñëè m > n, òî òàêîå æå ðàññóæäåíèå ïîêàçûâàåò, ÷òî íåîáðàòèìà (n × m)-ìàòðèöà AT , à, ñëåäîâàòåëüíî, íåîáðàòèìà è A. ¥ Èòàê, îáðàòèìûìè ìîãóò áûòü òîëüêî êâàäðàòíûå ìàòðèöû. Óñëîâèÿ îáðàòèìîñòè êâàäðàòíûõ ìàòðèö áóäóò ïîëó÷åíû â ï.3.4. Ñåðüåçíîå ïðåäóïðåæäåíèå. Ìîæåò ñîçäàòüñÿ âïå÷àòëåíèå, ÷òî äëÿ ðåøåíèÿ ìàòðè÷íîãî óðàâíåíèÿ AX = B íóæíî íàéòè ìàòðèöó A−1 è âîñïîëüçîâàòüñÿ ôîðìóëàìè (2.5.2) èëè (2.5.3). Íà ñàìîì äåëå ýòîò ïóòü áåññìûñëåí, òàê êàê äëÿ íàõîæäåíèÿ îáðàòíîé ìàòðèöû âñå ðàâíî íóæíî 239

ðåøèòü ìàòðè÷íîå óðàâíåíèå AX = I . Áîëåå òîãî, ìàòðèöà ìîæåò áûòü íåîáðàòèìîé, à óðàâíåíèå AX = B  âñå-òàêè ðàçðåøèìûì. Ïîýòîìó ôîðìóëû (2.5.2) è (2.5.3) ïðèìåíÿþòñÿ äëÿ òåîðåòè÷åñêèõ ïîñòðîåíèé è íèêîãäà íå èñïîëüçóþòñÿ â âû÷èñëåíèÿõ.

2.6. Ñâåäåíèå êîìïëåêñíîãî ìàòðè÷íîãî óðàâíåíèÿ ê âåùåñòâåííîìó Ðàññìîòðèì ìàòðè÷íîå óðàâíåíèå

CZ = W.

(2.6.1)

Çäåñü C = A+i B  çàäàííàÿ êîìïëåêñíàÿ (m×n)-ìàòðèöà, W = U + i V  çàäàííàÿ êîìïëåêñíàÿ (m × p)-ìàòðèöà è Z = X + i Y  ïåðåìåííàÿ êîìïëåêñíàÿ (n×p)-ìàòðèöà, à A, B, U, V, X, Y  âåùåñòâåííûå ìàòðèöû ñîîòâåòñòâóþùèõ ðàçìåðîâ. Ïåðåïèøåì (2.6.1) â âèäå

(A + i B) · (X + i Y ) = U + i V.

(2.6.2)

Ïðèðàâíèâàÿ ïî îòäåëüíîñòè âåùåñòâåííûå è ìíèìûå ÷àñòè óðàâíåíèé (2.6.2), ïîëó÷èì ñèñòåìó âåùåñòâåííûõ ìàòðè÷íûõ óðàâíåíèé

½

AX − BY = U . BX + AY = V

Íåòðóäíî âèäåòü, ÷òî ýòà ñèñòåìà ðàâíîñèëüíà îäíîìó ìàòðè÷íîìó óðàâíåíèþ      

A | −B X U −− − −− ·  −  = − , B | A Y V

(2.6.3)

êîòîðîå íàçûâàþò îâåùåñòâëåíèåì óðàâíåíèÿ (2.6.1). Çàìåòèì, ÷òî ðàáîòàòü ñ óðàâíåíèåì (2.6.1) âûãîäíåå, ÷åì ñ (2.6.3), òàê êàê îíî òðåáóåò â äâà ðàçà ìåíüøå îïåðàòèâíîé ïàìÿòè êîìïüþòåðà. Îäíàêî ïðîãðàììû, ðàáîòàþùèå ñ êîìïëåêñíûìè óðàâíåíèÿìè, ê ñîæàëåíèþ, äî ñèõ ïîð âñòðå÷àþòñÿ ó íàñ ðåæå, ÷åì ïîòðåáíîñòü â íèõ.

240

Ãëàâà 3. ÎÏÐÅÄÅËÈÒÅËÜ ÊÂÀÄÐÀÒÍÎÉ ÌÀÒÐÈÖÛ 3.1. Îïðåäåëåíèå. Ïðèìåðû Çàäàäèì íà ìíîæåñòâå âñåõ êâàäðàòíûõ ÷èñëîâûõ ìàòðèö ôóíêöèþ, êîòîðàÿ ñòàâèò â ñîîòâåòñòâèå êàæäîé òàêîé ìàòðèöå ÷èñëî, íàçûâàåìîå åå îïðåäåëèòåëåì (äåòåðìèíàíòîì). Îïðåäåëèòåëü êâàäðàòíîé ìàòðèöû A ïðèíÿòî îáîçíà÷àòü ñèìâîëîì det(A). Îïðåäåëåíèå ýòîé ôóíêöèè ïîñòðîèì èíäóêòèâíî. Îïðåäåëåíèå. Îïðåäåëèòåëåì ìàòðèöû ïåðâîãî ïîðÿäêà íàçûâàåòñÿ ÷èñëî  åå åäèíñòâåííûé ýëåìåíò:

det [a11 ] = a11 . Îïðåäåëåíèå. Ïóñòü òåïåðü n > 1  ïîðÿäîê ìàòðèöû, è ìû óìååì âû÷èñëÿòü îïðåäåëèòåëü ìàòðèöû (n − 1)-ãî ïîðÿäêà. Óäàëèâ èç ìàòðèöû îäíó ñòðîêó (i-þ) è îäèí ñòîëáåö (k -é), ïîëó÷èì ìàòðèöó (n − 1)-ãî ïîðÿäêà. Åå îïðåäåëèòåëü (êîòîðûé ìû ïî ïðåäïîëîæåíèþ óìååì âû÷èñëÿòü) íàçîâåì äîïîëíèòåëüíûì ìèíîðîì ýëåìåíòà aik (ñòîÿùåãî íà ïåðåñå÷åíèè óäàëåííûõ ñòðîêè è ñòîëáöà). Îáîçíà÷àåòñÿ äîïîëíèòåëüíûé ìèíîð Mik . ×èñëî Aik = (−1)i+k · Mik èìåíóåòñÿ àëãåáðàè÷åñêèì äîïîëíåíèì ýëåìåíòà ìàòðèöû aik . Ïðèìåð.

  1 2 3 A = 4 5 6 ; 7 8 9

·

M11

¸ 5 6 = det ; 8 9

A11 = (−1)1+1 · M11 = M11 ;

·

M23

¸ 1 2 = det ; 7 8

A23 = (−1)2+3 · M23 = (−1) · M23 .

Îïðåäåëåíèå. Îïðåäåëèòåëåì êâàäðàòíîé ÷èñëîâîé ìàòðèöû A ïîðÿäêà n > 1 íàçûâàåòñÿ ÷èñëî

det(A) = a1k A1k + . . . + ank Ank =

n X

aik Aik ;

(k = 1, . . . , n).

(3, 1, 1)

i=1

Îïðåäåëèòåëü êâàäðàòíîé ìàòðèöû ðàâåí ñóììå ïðîèçâåäåíèé ýëåìåíòîâ ëþáîãî åå ñòîëáöà íà èõ àëãåáðàè÷åñêèå äîïîëíåíèÿ. 241

Çàìå÷àíèÿ. 1. Ñôîðìóëèðîâàííîå îïðåäåëåíèå áóäåò êîððåêòíî, åñëè äîêàçàòü, ÷òî ïîëó÷àåìîå ÷èñëî íå çàâèñèò îò âûáîðà ñòîëáöà. Ìû íå ïðèâîäèì äîêàçàòåëüñòâî èç-çà åãî òåõíè÷åñêîé ñëîæíîñòè. 2. Âûðàæåíèå (3.1.1) îáû÷íî íàçûâàþò ðàçëîæåíèåì îïðåäåëèòåëÿ ïî k -ìó ñòîëáöó ìàòðèöû.

·

¸ a11 a12 Ïðèìåðû. 1. A = . a21 a22 Ðàçëîæèì îïðåäåëèòåëü ìàòðèöû ïî åå ïåðâîìó ñòîëáöó

det(A) = a11 A11 + a21 A21 = a11 (−1)1+1 M11 + a21 (−1)2+1 M21 = = a11 det[a22 ] − a21 det[a12 ] = a11 a22 − a21 a12 . Óáåäèòåñü â òîì, ÷òî ðåçóëüòàò íå èçìåíèòñÿ, åñëè ðàçëîæåíèå âûïîëíèòü ïî âòîðîìó ñòîëáöó. Îïðåäåëèòåëü ìàòðèöû âòîðîãî ïîðÿäêà ðàâåí ðàçíîñòè ìåæäó ïðîèçâåäåíèåì åå äèàãîíàëüíûõ ýëåìåíòîâ è ïðîèçâåäåíèåì åå âíåäèàãîíàëüíûõ ýëåìåíòîâ.

  a11 a12 a13 2. A = a21 a22 a23 . a31 a32 a33 Ðàçëîæèì îïðåäåëèòåëü ýòîé ìàòðèöû ïî åå òðåòüåìó ñòîëáöó det(A) = a13 A13 + a23 A23 + a33 A33 = = a13 (−1)1+3 M13 + a23 (−1)2+3 M23 + a33 (−1)3+3 M33 = ¸ · ¸ · ¸ · a11 a12 a11 a12 a21 a22 = + a33 det − a23 det = a13 det a31 a32 a21 a22 a31 a32 = a13 (a21 a32 − a22 a31 ) − a23 (a11 a32 − a12 a31 ) + a33 (a11 a22 − a12 a31 ). Óáåäèòåñü, ÷òî ðåçóëüòàò íå èçìåíèòñÿ, åñëè ðàçëàãàòü îïðåäåëèòåëü ïî ïåðâîìó èëè ïî âòîðîìó ñòîëáöó. Çàìå÷àíèå. Âû÷èñëåíèå îïðåäåëèòåëÿ ìàòðèöû âòîðîãî ïîðÿäêà òðåáóåò âûïîëíåíèÿ äâóõ óìíîæåíèé è äâóõ ñëîæåíèé. Âû÷èñëåíèå îïðåäåëèòåëÿ ìàòðèöû òðåòüåãî ïîðÿäêà ñâîäèòñÿ (â ñîîòâåòñòâèè ñ îïðåäåëåíèåì) ê âû÷èñëåíèþ òðåõ îïðåäåëèòåëåé ìàòðèö âòîðîãî ïîðÿäêà, âûïîëíåíèþ òðåõ óìíîæåíèé è òðåõ ñëîæåíèé. Ñîîòâåòñòâåííî, 242

âû÷èñëåíèå îïðåäåëèòåëÿ ìàòðèöû ïîðÿäêà n ñâîäèòñÿ ê âû÷èñëåíèþ n îïðåäåëèòåëåé ìàòðèö (n − 1)-ãî ïîðÿäêà è âûïîëíåíèþ n óìíîæåíèé è n ñëîæåíèé. Îáîçíà÷èì F (n) êîëè÷åñòâî àðèôìåòè÷åñêèõ îïåðàöèé, çàòðà÷èâàåìûõ íà âû÷èñëåíèå îïðåäåëèòåëÿ ìàòðèöû ïîðÿäêà n. Èç ïðåäûäóùèõ ðàññóæäåíèé ñëåäóåò, ÷òî

F (n) > n · F (n) > F (n − 1),

ò.å.

F (n) > n!

Ýòà ïðîñòàÿ îöåíêà ïîêàçûâàåò, ÷òî "ïî îïðåäåëåíèþ" (3.1.1) îïðåäåëèòåëè ìàòðèö âû÷èñëÿòü íåëüçÿ. Äåéñòâèòåëüíî, åñëè ïðèíÿòü, ÷òî îäíà àðèôìåòè÷åñêàÿ îïåðàöèÿ âûïîëíÿåòñÿ çà 10−9 ñåê., òî äëÿ âû÷èñëåíèÿ îïðåäåëèòåëÿ ìàòðèöû 20-ãî ïîðÿäêà ïîòðåáóåòñÿ áîëåå 20! · 10−9 ñåê.≈ 77 ëåò, à äëÿ âû÷èñëåíèÿ îïðåäåëèòåëÿ ìàòðèöû 30-ãî ïîðÿäêà  îêîëî 1016 ëåò! Îòìåòèì îäèí êëàññ êâàäðàòíûõ ìàòðèö, îïðåäåëèòåëè êîòîðûõ (â îòëè÷èå îò îáùåãî ñëó÷àÿ) ëåãêî âû÷èñëÿòü "ïî îïðåäåëåíèþ". Ýòî òàê íàçûâàåìûå òðåóãîëüíûå ìàòðèöû, ò.å. êâàäðàòíûå ìàòðèöû, ó êîòîðûõ ðàâíû íóëþ ëèáî âñå ïîääèàãîíàëüíûå ýëåìåíòû (âåðõíèå òðåóãîëüíûå ìàòðèöû), ëèáî âñå íàääèàãîíàëüíûå ýëåìåíòû (íèæíèå òðåóãîëüíûå ìàòðèöû). Ðàçëîæèì îïðåäåëèòåëü âåðõíåé òðåóãîëüíîé ìàòðèöû ïî ýëåìåíòàì ïåðâîãî ñòîëáöà:

    a11 a12 a13 . . . a1n a a . . . a 22 23 2n  0 a22 a23 . . . a2n    0 a33 . . . a3n      det  0 0 a33 . . . a3n  = a11 · det  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0 0 . . . ann 0 0 0 . . . ann

Ïîëó÷åííûé îïðåäåëèòåëü îïÿòü ðàçëàãàåì ïî ýëåìåíòàì ïåðâîãî ñòîëáöà

    a22 a23 . . . a2n a . . . a 33 3n  0 a33 . . . a3n     = a11 · a22 · det . . . . . . . . . . . . . a11 · det  . . . . . . . . . . . . . . . . 0 . . . ann 0 0 . . . ann

Ïîâòîðÿÿ ýòó îïåðàöèþ, ïîëó÷èì

det(A) = a11 a22 . . . ann . 243

Òîò æå ðåçóëüòàò, î÷åâèäíî ïîëó÷èòñÿ äëÿ íèæíåé òðåóãîëüíîé ìàòðèöû, åñëè ðàçëàãàòü åå îïðåäåëèòåëü ïî ýëåìåíòàì ïîñëåäíåãî ñòîëáöà. Èòàê, Îïðåäåëèòåëü òðåóãîëüíîé ìàòðèöû ðàâåí ïðîèçâåäåíèþ åå äèàãîíàëüíûõ ýëåìåíòîâ.

¡

¢

 ÷àñòíîñòè, det(I) = det diag[1, 1, . . . , 1] = 1. Ýôôåêòèâíûé ìåòîä âû÷èñëåíèÿ îïðåäåëèòåëÿ ïðîèçâîëüíîé êâàäðàòíîé ìàòðèöû áóäåò èçëîæåí â ï.4.2.

3.2. Ñâîéñòâà îïðåäåëèòåëÿ Äëÿ íà÷àëà óñëîâèìñÿ î êîìïàêòíîé çàïèñè ìàòðèöû, ïðè êîòîðîé óêàçûâàþòñÿ íå âñå åå ýëåìåíòû, à òîëüêî èìåíà åå ñòîëáöîâ:

h i (1) (n) A = a ,...,a ,

ãäå

a(1) = [a11 , . . . , an1 ]T ,

...,

a(n) = [a1n , . . . , ann ]T .

1. Ïåðåñòàíîâêà äâóõ ñòîëáöîâ ìàòðèöû ïðèâîäèò ê óìíîæåíèþ åå îïðåäåëèòåëÿ íà (−1). Äîêàçàòåëüñòâî. Ïåðåñòàâèì â ìàòðèöå A äâà ñîñåäíèõ ñòîëáöà, ñòîÿùèõ íà k -ì è (k + 1)-ì ìåñòàõ: (k) (k+1)

A = [. . . p

q

(k) (k+1) 0

. . . ];

A = [. . . q

p

. . . ].

Ðàçëîæèì det(A) ïî ýëåìåíòàì k -ãî ñòîëáöà, à det(A0 )  ïî ýëåìåíòàì (k + 1)-ãî ñòîëáöà:

det(A) = p1 A1k + · · · + pn Ank ; det(A0 ) = p1 A01,k+1 + · · · + pn A0n,k+1 . Ïîñêîëüêó ïðè óäàëåíèè èç ìàòðèö A è A0 ñòîëáöà p ïîëó÷àåòñÿ 0 îäíà è òà æå ìàòðèöà, èìååì Mik = Mi,k+1 (i = 1, . . . , n). Ïîýòîìó 0 A0i,k+1 = (−1)i+k+1 Mi,k+1 = (−1)(−1)i+k Mik = (−1) · Aik ,

244

îòêóäà det(A0 ) = (−1) · det(A), ò.å. ïðè ïåðåñòàíîâêå ñîñåäíèõ ñòîëáöîâ îïðåäåëèòåëü ìàòðèöû óìíîæàåòñÿ íà (−1). Ðàññìîòðèì òåïåðü ïðîèçâîëüíóþ ïàðó ñòîëáöîâ (i)

(k)

(i)

(k)

0

A = [. . . p . . . q . . . ];

A = [. . . q . . . p . . . ].

Ïîìåíÿåì èõ ìåñòàìè, ïîñëåäîâàòåëüíî ïåðåñòàâëÿÿ ñîñåäíèå ñòîëáöû:

i ↔ i+1,

i+1 ↔ i+2, . . . , k −1 ↔ k,

k −1 ↔ k −2, . . . , i+1 ↔ i.

Òàêèõ ïåðåñòàíîâîê 2(k − i) − 1. Ïðè êàæäîé èç íèõ îïðåäåëèòåëü óìíîæàåòñÿ íà (−1), ñëåäîâàòåëüíî, â ðåçóëüòàòå îí óìíîæèòñÿ íà (−1)2(k−i)−1 = −1. ¥ 2. Îïðåäåëèòåëü ìàòðèöû ñ äâóìÿ îäèíàêîâûìè ñòîëáöàìè ðàâåí íóëþ. Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü â ìàòðèöå åñòü äâà îäèíàêîâûõ ñòîëáöà. Ïîìåíÿâ èõ ìåñòàìè, ìû ìàòðèöó íå èçìåíèì, ò.å. A0 = A, è ïîòîìó det(A0 ) = det(A). Íî, ñîãëàñíî ñâîéñòâó 1, det(A0 ) = (−1) · det(A). Îòñþäà det(A) = 0. ¥ Çàôèêñèðóåì â ìàòðèöå âñå ñòîëáöû, êðîìå k -ãî, à k -é ñäåëàåì ïåðåìåííûì. Òîãäà êàæäîìó çíà÷åíèþ ýòîãî ñòîëáöà áóäåò ñîîòâåòñòâîâàòü ÷èñëî  çíà÷åíèå îïðåäåëèòåëÿ ìàòðèöû, ò.å. íà ìíîæåñòâå ñòîëáöîâ áóäåò çàäàíà ôóíêöèÿ

¡ ¢ f (x) = det [a(1) , . . . , a(k−1) , x, a(k+1) , . . . , a(n) ] . Ïîêàæåì, ÷òî f  ëèíåéíàÿ ôóíêöèÿ, ò.å. ÷òî

f (αx + βy) = αf (x) + βf (y) äëÿ ëþáûõ ÷èñëîâûõ ñòîëáöîâ x, y è ëþáûõ ÷èñåë α, β . 3. Îïðåäåëèòåëü ìàòðèöû  ëèíåéíàÿ ôóíêöèÿ êàæäîãî åå ñòîëáöà.  ÷àñòíîñòè, óìíîæåíèå ñòîëáöà ìàòðèöû íà ÷èñëî ïðèâîäèò ê óìíîæåíèþ íà ýòî ÷èñëî åå îïðåäåëèòåëÿ. 245

Äîêàçàòåëüñòâî. Ðàçëàãàÿ îïðåäåëèòåëü

¡ ¢ f (αx + βy) = det [. . . , αx + βy, . . . ]

ïî ýëåìåíòàì ïåðåìåííîãî k -ãî ñòîëáöà, ïîëó÷èì

f (αx + βy) = ¡

n X

(αxi + βyi ) Aik = α

i=1

n X

xi Aik + β

i=1

n X

yi Aik =

i=1

¢ ¡ ¢ = α · det [. . . , x, . . . ] + β · det [. . . , y, . . . ] = αf (x) + βf (y). 4. Îïðåäåëèòåëü ìàòðèöû íå èçìåíèòñÿ, åñëè ê íåêîòîðîìó åå ñòîëáöó ïðèáàâèòü äðóãîé ñòîëáåö, óìíîæèâ åãî ïðåäâàðèòåëüíî íà ëþáîå ÷èñëî. Äîêàçàòåëüñòâî. Âûäåëèì â ìàòðèöå äâà ñòîëáöà: A = [. . . p ... q . . . ]. Òîãäà â ñèëó ñâîéñòâà 3 äëÿ ëþáîãî ÷èñëà α

¡ ¢ ¡ ¢ ¡ ¢ det [. . . p + αq . . . q . . . ] = det [. . . p . . . q . . . ] + α · det [. . . q . . . q . . . ] . ¡ ¢ Íî, ñîãëàñíî ñâîéñòâó 2, det [. . . q . . . q . . . ] = 0, ò.å. ¡ ¢ ¡ ¢ det [. . . p + αq . . . q . . . ] = det [. . . p . . . q . . . ] . ¥ 5. Ñóììà ïðîèçâåäåíèé ýëåìåíòîâ ñòîëáöà ìàòðèöû íà àëãåáðàè÷åñêèå äîïîëíåíèÿ ñîîòâåòñòâóþùèõ ýëåìåíòîâ äðóãîãî åå ñòîëáöà ðàâíà íóëþ.

Äîêàçàòåëüñòâî. Ñäåëàåì k -é ñòîëáåö ìàòðèöû A ïåðåìåííûì. Òîãäà ïîëó÷èì òîæäåñòâî îòíîñèòåëüíî x:

£ ¤ det . . . x . . . = x1 A1k + · · · + xn Ank .

Ïîäñòàâèâ âìåñòî x m-é ñòîëáåö (m 6= k), ïîëó÷èì îïðåäåëèòåëü ìàòðèöû ñ îäèíàêîâûìè ñòîëáöàìè, êîòîðûé ðàâåí íóëþ: (k) (m) ¡ ¢ (m) 0 = det [. . . a . . . a(m) . . . ] = a1m A1k + · · · + anm Ank .

¥

Äîêàçàòåëüñòâî ñëåäóþùåãî óòâåðæäåíèÿ òåõíè÷åñêè ñëîæíî, è ìû åãî îïóñêàåì. 246

6. Òðàíñïîíèðîâàíèå ìàòðèöû ¡ T ¢ íå ìåíÿåò åå îïðåäåëèòåëÿ: det A = det(A). Ñëåäñòâèÿ. 1. Óòâåðæäåíèÿ 1  5, äîêàçàííûå äëÿ ñòîëáöîâ ìàòðèöû, âåðíû è äëÿ åå ñòðîê. 2. Èìååò ìåñòî ðàçëîæåíèå îïðåäåëèòåëÿ ìàòðèöû ïî ýëåìåíòàì ëþáîé åå ñòðîêè:

det(A) = ak1 Ak1 + . . . + akn Akn =

n X

aki Aki (k = 1, . . . , n).

i=1

3. Èç ñâîéñòâà 6 è îïðåäåëåíèÿ ýðìèòîâà ñîïðÿæåíèÿ ñëåäóåò,÷òî 7. Îïðåäåëèòåëè ýðìèòîâî ñîïðÿæåííûõ ìàòðèö  ñîïðÿæåííûå êîìïëåêñíûå ÷èñëà: det (A∗ ) = det(A). Äîêàçàòåëüñòâî ñëåäóþùåãî ñâîéñòâà òàêæå îïóñêàåòñÿ èç-çà åãî òåõíè÷åñêîé ñëîæíîñòè. 8. Îïðåäåëèòåëü ïðîèçâåäåíèÿ äâóõ êâàäðàòíûõ ìàòðèö ðàâåí ïðîèçâåäåíèþ îïðåäåëèòåëåé ñîìíîæèòåëåé: det(AB) = det(A) · det(B). Äëÿ ìàòðèö âòîðîãî ïîðÿäêà ïðîâåðèì ýòî ñâîéñòâî ïðÿìûì âû÷èñëåíèåì. ¸ · · ¸ Ïóñòü A =

a11 a12 , a21 a22

B=

b11 b12 . Òîãäà b21 b22

¸ a11 b11 + a12 b21 a11 b12 + a12 b22 . det(AB) = det a21 b11 + a22 b21 a21 b12 + a22 b22 ·

Ðàññìàòðèâàÿ ïåðâûé ñòîëáåö ìàòðèöû-ïðîèçâåäåíèÿ êàê ñóììó äâóõ ñòîëáöîâ, ïîëó÷èì ïî ñâîéñòâó 3:

¸ ¸ · a12 b21 a11 b12 + a12 b22 a11 b11 a11 b12 + a12 b22 . + det det(AB) = det a22 b21 a21 b12 + a22 b22 a21 b11 a21 b12 + a22 b22 ·

Òåïåðü âòîðûå ñòîëáöû ìàòðèö ïðåäñòàâëåíû â âèäå ñóìì. Ïîýòîìó 247

¸ ¸ · a11 b11 a11 b12 a11 b11 a12 b22 + + det det(AB) = det a21 b11 a22 b22 a21 b11 a21 b12 · ¸ · ¸ a12 b21 a11 b12 a12 b21 a12 b22 +det + det . a22 b21 a21 b12 a22 b21 a22 b22 ·

Ýëåìåíòû ìàòðèöû B  îáùèå ìíîæèòåëè â ñòîëáöàõ. Ïî ñâîéñòâó 3

·

¸ · ¸ a11 a11 a11 a12 det(AB) = b11 b12 · det + b11 b22 · det + a21 a21 a21 a22 · ¸ · ¸ a12 a11 a12 a12 +b21 b12 · det + b21 b22 · det . a22 a21 a22 a22

Òåïåðü âî âòîðîì è â òðåòüåì ñëàãàåìîì îïðåäåëèòåëè ìàòðèö ðàâíû ñîîòâåòñòâåííî det(A) è −det(A), à â ïåðâîì è â ÷åòâåðòîì  íóëþ (ñâîéñòâî 2). Ïîýòîìó

det(AB) = det(A) · (b11 b22 − b21 b12 ) = det(A) · det(B). Ðàññìîòðåííûå ñâîéñòâà îïðåäåëèòåëÿ ïîçâîëÿþò âû÷èñëÿòü åãî ïóòåì ïðåîáðàçîâàíèÿ ìàòðèöû â òðåóãîëüíóþ (îïðåäåëèòåëü êîòîðîé ðàâåí ïðîèçâåäåíèþ äèàãîíàëüíûõ ýëåìåíòîâ). Òåõíîëîãèþ ðàññìîòðèì íà ïðèìåðå òàê íàçûâàåìîé ìàòðèöû Âàíäåðìîíäà52 (z1 , . . . , zn  êîì  ïëåêñíûå ÷èñëà) 1 z z 2 . . . z n−1 1

1

1

1 z2 z22 . . . z2n−1   E= . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  . 1 zn zn2 . . . znn−1

Îáîçíà÷èì îïðåäåëèòåëü ìàòðèöû Âàíäåðìîíäà V (z1 , z2 , . . . , zn ). Âû÷òåì èç n-ãî ñòîëáöà ìàòðèöû åå (n−1)-é ñòîëáåö, óìíîæåííûé íà z1 ; âû÷òåì èç (n − 1)-ãî ñòîëáöà ìàòðèöû åå (n − 2)-é ñòîëáåö, óìíîæåííûé íà z1 ; . . . ; âû÷òåì èç 2-ãî ñòîëáöà ìàòðèöû åå 1-é ñòîëáåö, óìíîæåííûé íà z1 .  ñèëó ñâîéñòâà 4 îïðåäåëèòåëü íå èçìåíèòñÿ:

 1 0 0 ... 0 1 z2 − z1 z2 (z2 − z1 ) . . . z2n−2 (z2 − z1 )   V (z1 , z2 , . . . , zn ) = det  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 zn − z1 zn (zn − z1 ) . . . znn−2 (zn − z1 ) 

Ðàçëîæèì îïðåäåëèòåëü ïî 1-é ñòðîêå: 52 Àëåêñàíäð

Òåîôèë ÂÀÍÄÅÐÌÎÍÄ (A.T. ôðàíöóçñêèé ìàòåìàòèê, ÷ëåí Ïàðèæñêîé ÀÍ. 248

Vandermonde,

1735-1796)





 z2 − z1 z2 (z2 − z1 ) . . . z2n−2 (z2 − z1 ) V (z1 , z2 , . . . , zn ) = 1 · det . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . zn − z1 zn (zn − z1 ) . . . znn−2 (zn − z1 ) Â ñèëó ñâîéñòâà 3 ìîæíî âûíåñòè çà çíàê îïðåäåëèòåëÿ îáùèå ìíîæèòåëè ñòðîê (z2 − z1 ), . . . , (zn − z1 ):   n−2

1 z2 . . . z2 V (z1 , z2 , . . . , zn ) = (z2 − z1 ) · . . . · (zn − z1 ) · det . . . . . . . . . . . . . . . . 1 zn . . . znn−2

Ìû âèäèì, ÷òî îñòàâøèéñÿ îïðåäåëèòåëü ðàâåí V (z2 , . . . , zn ). Ïîâòîðÿÿ ýòó îïåðàöèþ, ïîíèæàþùóþ ïîðÿäîê ìàòðèöû, â êîíöå êîíöîâ ïîëó÷èì

V (z1 , z2 , . . . , zn ) =

n Y k=2

(zk − z1 ) ·

n Y

(zk − z2 ) · . . . · (zn − zn−1 ) =

k=3

Y

(zm − zk ).

m>k

Çàìåòèì, ÷òî åñëè z1 , z2 , . . . , zn  ïîïàðíî ðàçëè÷íûå ÷èñëà, òî îïðåäåëèòåëü ìàòðèöû Âàíäåðìîíäà îòëè÷åí îò íóëÿ.

3.3. Ìàòðè÷íûå óðàâíåíèÿ ñ êâàäðàòíîé ìàòðèöåé êîýôôèöèåíòîâ Îïðåäåëåíèå. Êâàäðàòíàÿ ìàòðèöà, îïðåäåëèòåëü êîòîðîé ðàâåí íóëþ, íàçûâàåòñÿ âûðîæäåííîé. Ïðèìåíèì ê óðàâíåíèþ ñ êâàäðàòíîé ìàòðèöåé êîýôôèöèåíòîâ àëãîðèòì ÃàóññàÉîðäàíà. Èñïîëüçóåìûå â íåì ýëåìåíòàðíûå ïðåîáðàçîâàíèÿ ëèáî íå ìåíÿþò îïðåäåëèòåëÿ ìàòðèöû êîýôôèöèåíòîâ, ëèáî óìíîæàþò îïðåäåëèòåëü íà îòëè÷íîå îò íóëÿ ÷èñëî (ïðîâåðüòå ýòî!). 1. Åñëè îïðåäåëèòåëü ìàòðèöû êîýôôèöèåíòîâ îòëè÷åí îò íóëÿ, òî â ðåçóëüòàòå ðàáîòû àëãîðèòìà îí íå ìîæåò ñòàòü íóëåì. Ïîýòîìó â ìàòðèöå êîýôôèöèåíòîâ íå ìîæåò ïîÿâèòüñÿ íóëåâàÿ ñòðîêà, è ïî çàâåðøåíèè ðàáîòû àëãîðèòìà ýòà ìàòðèöà ïðåâðàòèòñÿ â åäèíè÷íóþ. Ìàòðè÷íîå óðàâíåíèå ñ êâàäðàòíîé íåâûðîæäåííîé ìàòðèöåé êîýôôèöèåíòîâ èìååò ðåøåíèå, è ýòî ðåøåíèå åäèíñòâåííî. Ýòî óòâåðæäåíèå èçâåñòíî êàê òåîðåìà Êðàìåðà53 . 53 Ãàáðèåëü

ÊÐÀÌÅÐ (G. Cramer, 1704-1752)  øâåéöàðñêèé ìàòåìàòèê. 249

2. Åñëè îïðåäåëèòåëü ìàòðèöû êîýôôèöèåíòîâ ðàâåí íóëþ, òî ðàáîòà àëãîðèòìà ÃàóññàÉîðäàíà íå ìîæåò çàâåðøèòüñÿ ïðåâðàùåíèåì ýòîé ìàòðèöû â åäèíè÷íóþ. Ñëåäîâàòåëüíî, Ìàòðè÷íîå óðàâíåíèå ñ êâàäðàòíîé âûðîæäåííîé ìàòðèöåé êîýôôèöèåíòîâ ëèáî íå èìååò ðåøåíèÿ, ëèáî èìååò áåñêîíå÷íî ìíîãî ðåøåíèé. Îäíîðîäíîå óðàâíåíèå íå ìîæåò áûòü íåñîâìåñòíûì. Ïîýòîìó Îäíîðîäíîå ìàòðè÷íîå óðàâíåíèå ñ êâàäðàòíîé âûðîæäåííîé ìàòðèöåé êîýôôèöèåíòîâ èìååò áåñêîíå÷íî ìíîãî ðåøåíèé.

3.4. Ñòðóêòóðà îáðàòíîé ìàòðèöû. Ôîðìóëû Êðàìåðà Ðàññìîòðèì òåïåðü âîïðîñ îá îáðàòèìîñòè êâàäðàòíîé ìàòðèöû A, ò.å. î ñóùåñòâîâàíèè ðåøåíèÿ ìàòðè÷íûõ óðàâíåíèé AX = XA = I . Äëÿ íà÷àëà çàìåòèì, ÷òî åñëè ìàòðèöà A îáðàòèìà, òî

det(A) · det(A−1 ) = det(A · A−1 ) = det(I) = 1.

(3.4.1)

Ïîýòîìó âûðîæäåííàÿ ìàòðèöà íå ìîæåò èìåòü îáðàòíîé. Äëÿ äàëüíåéøåãî ââåäåì ïîíÿòèå ìàòðèöû, ïðèñîåäèíåííîé ê ìàòðèöå A. Ïóñòü A  êâàäðàòíàÿ ìàòðèöà. Çàìåíèì êàæäûé åå ýëåìåíò åãî àëãåáðàè÷åñêèì äîïîëíåíèåì è òðàíñïîíèðóåì ðåçóëüòàò. Ïîëó÷åííóþ e: ìàòðèöó íàçûâàþò ïðèñîåäèíåííîé ê A è îáîçíà÷àþò A



 a11 . . . a1n A = . . . . . . . . . . . . ; an1 . . . ann



 A11 . . . An1 e = . . . . . . . . . . . . . . A A1n . . . Ann

e Âû÷èñëèì ïðîèçâåäåíèÿ P = AA Pik =

n X

e : è Q = AA

air Akr = δik · det(A)

r=1

250

è, àíàëîãè÷íî,

Qik =

n X

Ari ark = δik · det(A).

r=1

½ 1 ïðè i = k Çäåñü δik =  òàê íàçûâàåìûé ñèìâîë Êðîíåêåðà54 . 0 ïðè i 6= k e = AA e = I · det(A). Èòàê, AA Åñëè det(A) 6= 0, òî

µ

A·

¶ µ ¶ 1 1 e = e · A = I, ·A ·A det(A) det(A)

ò.å.

1 e · A. (3.4.2) det(A) Ìû íå òîëüêî äîêàçàëè îáðàòèìîñòü íåâûðîæäåííîé ìàòðèöû, íî è ïîëó÷èëè "ÿâíîå âûðàæåíèå" äëÿ îáðàòíîé ìàòðèöû. A−1 =

Ñåðüåçíîå ïðåäóïðåæäåíèå. Ôîðìóëà (3.4.2) èñïîëüçóåòñÿ òîëüêî â òåîðåòè÷åñêèõ ïîñòðîåíèÿõ. Âû÷èñëÿòü îáðàòíóþ ìàòðèöó ñëåäóåò, ðåøàÿ óðàâíåíèå AX = I . Óáåäèòüñÿ â ýòîì ìîæíî, õîòÿ áû ñðàâíèâ êîëè÷åñòâà îïåðàöèé, íåîáõîäèìûõ äëÿ ðåàëèçàöèè ýòèõ äâóõ ìåòîäîâ. Ïóñòü òåïåðü Ax = b  ñèñòåìà óðàâíåíèé ñ êâàäðàòíîé íåâûðîæäåííîé ìàòðèöåé. 1 ·A e: Íàéäåì ðåøåíèå, óìíîæèâ åå ñëåâà íà A−1 =

det(A)    b1 A11 . . . An1 1 1 e·b = x= ·A · . . . . . . . . . . . . . ·  . .  . det(A) det(A) A1n . . . Ann bn 

Îòñþäà

xk =

b1 A1k + · · · + bn Ank det(Bk ) = , det(A) det(A)

(k = 1 . . . , n),

(3.4.3)

ãäå Bk - ìàòðèöà, ïîëó÷àþùàÿñÿ èç A çàìåíîé åå k -ãî ñòîëáöà ñòîëáöîì ñâîáîäíûõ ÷ëåíîâ. Ôîðìóëû (3.4.3) íàçûâàþò ôîðìóëàìè Êðàìåðà. Îíè äàþò ïðåäñòàâëåíèå î ñòðóêòóðå ðåøåíèÿ ñèñòåìû ëèíåéíûõ óðàâíåíèé ñ êâàäðàòíîé ìàòðèöåé è íå äîëæíû èñïîëüçîâàòüñÿ äëÿ ÷èñëåííîãî ðåøåíèÿ ñèñòåì âñëåäñòâèå èõ î÷åâèäíîé íåýôôåêòèâíîñòè. 54 Ëåîïîëüä

ÊÐÎÍÅÊÅÐ (L. Kronecker, 1823-1891)  íåìåöêèé ìàòåìàòèê, ÷ëåí Áåðëèíñêîé ÀÍ è Ïåòåðáóðãñêîé ÀÍ. 251

Ãëàâà 4. ÒÐÅÓÃÎËÜÍÎÅ ÐÀÇËÎÆÅÍÈÅ ÊÂÀÄÐÀÒÍÎÉ ÌÀÒÐÈÖÛ 4.1. LU-ðàçëîæåíèå Ïðè ðåøåíèè ðàçëè÷íûõ çàäà÷ ìàòðè÷íîé àëãåáðû îêàçûâàåòñÿ ïîëåçíûì ïðåäñòàâèòü çàäàííóþ ìàòðèöó â âèäå ïðîèçâåäåíèÿ íåñêîëüêèõ ìàòðèö ñïåöèàëüíîé ñòðóêòóðû. Îäèí èç ñïîñîáîâ ôàêòîðèçàöèè (ðàçëîæåíèÿ íà ìíîæèòåëè) ìàòðèöû ìû ñåé÷àñ ðàññìîòðèì. Èòàê, ïóñòü çàäàíà êâàäðàòíàÿ ìàòðèöà A. 1-é øàã. Íàéäåì âåäóùèé (íàèáîëüøèé ïî ìîäóëþ) ýëåìåíò A. Ïåðåñòàâëÿÿ (åñëè íóæíî) ñòðîêè è ñòîëáöû, ïîìåñòèì âåäóùèé ýëåìåíò â 1-þ ñòðîêó è â 1-é ñòîëáåö. Äàëåå îáíóëèì ïîääèàãîíàëüíûå ýëåìåíòû 1-ãî ñòîëáöà, ¡ïðèáàâëÿÿ ê m-é ñòðîêå (m = 2, . . . , n) ïåðâóþ ñòðîêó, ¢ a m1 óìíîæåííóþ íà − a . 11

Ïîëó÷åííóþ ìàòðèöó îáîçíà÷èì A(1) . 2-é øàã. Íàéäåì âåäóùèé ýëåìåíò â ïîäìàòðèöå, ïîëó÷àþùåéñÿ èç A(1) âû÷åðêèâàíèåì 1-ãî ñòîëáöà è 1-é ñòðîêè. Ïåðåñòàâëÿÿ (åñëè íóæíî) ñòðîêè è ñòîëáöû, ïîìåñòèì âåäóùèé ýëåìåíò âî 2-þ ñòðîêó è âî 2-é ñòîëáåö. Äàëåå îáíóëèì ïîääèàãîíàëüíûå ýëåìåíòû 2-ãî ñòîëáöà,¡ïðèáà⢠ëÿÿ ê m-é ñòðîêå (m = 3, . . . , n) âòîðóþ ñòðîêó, óìíîæåííóþ íà − aam2 . (2)

Ïîëó÷åííóþ ìàòðèöó îáîçíà÷èì A .

22

k -é øàã. Ðàññìîòðèì â ìàòðèöå A(k−1) , ïîëó÷åííîé íà ïðåäûäóùåì øàãå, ïîäìàòðèöó   (k−1)

(k−1)

a . . . akn  kk  . . . . . . . . . . . . . . . .  . . . . . . . . . . . . . . . . . (k−1) (k−1) ank . . . ann

Íàéäåì åå âåäóùèé ýëåìåíò. Ïåðåñòàâëÿÿ (åñëè íóæíî) ñòðîêè è ñòîëáöû, ïîìåñòèì âåäóùèé ýëåìåíò â k -þ ñòðîêó è â k -é ñòîëáåö. Äàëåå îáíóëèì ïîääèàãîíàëüíûå ýëåìåíòû k -ãî ñòîëáöà,¡ïðèáàâëÿÿ ê m-é ñòðîêå ¢ a (m = k + 1, . . . , n) k -þ ñòðîêó, óìíîæåííóþ íà − amk . kk Åñëè íà êàêîì-òî øàãå âåäóùèé ýëåìåíò îêàæåòñÿ íóëåì, ðàáîòà àëãîðèòìà çàêàí÷èâàåòñÿ. Òàêèì îáðàçîì, ïîñëå íå áîëåå, ÷åì (n − 1) øàãîâ ìû ïðåîáðàçóåì ìàòðèöó A â âåðõíþþ òðåóãîëüíóþ ìàòðèöó, êîòîðóþ ïðèíÿòî îáîçíà÷àòü U (îò àíãëèéñêîãî "Upper"). 252

 ðàññìîòðåííîì âûøå àëãîðèòìå èñïîëüçîâàëèñü äâà ýëåìåíòàðíûõ ïðåîáðàçîâàíèÿ ìàòðèöû  ïðèáàâëåíèå ê åå ñòðîêå äðóãîé ñòðîêè, óìíîæåííîé íà ÷èñëî, è ïåðåñòàíîâêè ñòðîê (ñòîëáöîâ). Ïîêàæåì, ÷òî ýòè ýëåìåíòàðíûå ïðåîáðàçîâàíèÿ ìàòðèöû ðàâíîñèëüíû óìíîæåíèþ åå íà ìàòðèöû ñïåöèàëüíîãî âèäà. Îáîçíà÷èì Ekm (α) (k 6= m) êâàäðàòíóþ ìàòðèöó, ïîëó÷àåìóþ èç åäèíè÷íîé çàìåíîé íóëÿ â k -é ñòðîêå è m-ì ñòîëáöå ÷èñëîì α 6= 0. Ïðèìåð. Ìàòðèöà 4-ãî ïîðÿäêà



1 0 E31 (−2) =  −2 0

0 1 0 0

0 0 1 0

 0 0 . 0 1

Çàìå÷àíèå. Åñëè k > m, òî Ekm (α)  íèæíÿÿ òðåóãîëüíàÿ, åñëè k < m  âåðõíÿÿ òðåóãîëüíàÿ. Íåòðóäíî óáåäèòüñÿ, ÷òî óìíîæèâ ìàòðèöó A íà Ekm (α) ñëåâà, ìû ïðèáàâèì ê åå k -é ñòðîêå m-þ ñòðîêó, óìíîæåííóþ íà α. Ïðèìåð.



1 0 0 1 E31 (−2) · A =  −2 0 0 0  a11  a21 = a31 − 2a11 a11

0 0 1 0

  0 a11  0  · a21 0 a31 a41 1

... ... ... ... 

 a14 a24  = a34  a44

... a14  ... a24 . . . . a34 − 2a14  ... a14

Íåñëîæíî òàêæå âèäåòü (ïðîâåðüòå ýòî!), ÷òî

Ekm (α) · Ekm (−α) = I.

(4.1.1)

Åñëè áû ìîæíî áûëî ïðîâåñòè îïèñàííûé âûøå ïðîöåññ ïðåîáðàçîâàíèÿ ìàòðèöû â âåðõíþþ òðåóãîëüíóþ áåç âûáîðà âåäóùèõ ýëåìåíòîâ (ò.å. áåç ïåðåñòàíîâîê ñòðîê è ñòîëáöîâ), òî ñ ó÷åòîì óñòàíîâëåííûõ ñâîéñòâ ìàòðèö Ekm (α) ìîæíî áûëî áû íàïèñàòü

à En,n−1 −

(n−2)

an,n−1 (n−2)

an−1,n−1

!

¶ µ ¶ µ a21 a31 · E21 − · A = U. · . . . · E31 − a11 a11 253

(4.1.2)

Çäåñü U  âåðõíÿÿ òðåóãîëüíàÿ ìàòðèöà, à êîëè÷åñòâî ñîìíîæèòåëåé ñëåâà îò A ðàâíî êîëè÷åñòâó îáíóëÿåìûõ ïîääèàãîíàëüíûõ ýëåìåíòîâ

n(n − 1) . 2 Âûðàçèì ìàòðèöó A èç (4.1.2), èñïîëüçóÿ òîæäåñòâî (4.1.1): Ã (n−2) ! µ ¶ µ ¶ an,n−1 a21 a31 A = E21 · E31 · . . . · En,n−1 · U. (4.1.3) (n−2) a11 a11 an−1,n−1

ìàòðèöû n-ãî ïîðÿäêà, ò.å.

Íåòðóäíî óáåäèòüñÿ (ïðîâåðüòå ýòî!), ÷òî ïðîèçâåäåíèå íèæíèõ òðåóãîëüíûõ ìàòðèö åñòü íèæíÿÿ òðåóãîëüíàÿ ìàòðèöà. Åñëè æå íà äèàãîíàëÿõ ñîìíîæèòåëåé ñòîÿò åäèíèöû, òî è ïðîèçâåäåíèå èìååò åäèíè÷íóþ äèàãîíàëü. Òàêèì îáðàçîì, ñëåâà îò ìàòðèöû U â (4.1.3) ñòîèò íèæíÿÿ òðåóãîëüíàÿ ìàòðèöà ñ åäèíè÷íîé äèàãîíàëüþ. Îáîçíà÷èâ åå L (îò àíãëèéñêîãî "Lower"), ïåðåïèøåì (4.1.3) â âèäå

A = LU. Îäíàêî â ðåàëüíîì àëãîðèòìå ïðèñóòñòâóþò åùå ïåðåñòàíîâêè ñòðîê è ñòîëáöîâ ìàòðèöû. Ââåäåì ìàòðèöó ýëåìåíòàðíûõ ïåðåñòàíîâîê Πkm , ïîëó÷àþùóþñÿ èç åäèíè÷íîé ïåðåìåùåíèåì åäèíèöû, ñòîÿùåé â k -é ñòðîêå â m-é ñòîëáåö, à åäèíèöû, ñòîÿùåé â m-é ñòðîêå,  â k -é ñòîëáåö.

 0 0 Π13 · A =  1 0  a b A · Π13 =  c d

Ïðèìåð.

0 1 0 0

1 0 0 0

∗ ∗ ∗ ∗

p q r s

  0 a  0  · ∗ 0  p 1 ∗   ∗ 0  ∗  · 0 ∗ 1 ∗ 0

b ∗ q ∗

c ∗ r ∗

0 1 0 0

1 0 0 0

  d p  ∗  = ∗ s a ∗ ∗   0 p  0  = q 0  r 1 s

q ∗ b ∗

r ∗ c ∗

∗ ∗ ∗ ∗

a b c d

 s ∗  d ∗  ∗ ∗ . ∗ ∗

Çäåñü çâåçäî÷êàìè îáîçíà÷åíû ýëåìåíòû ìàòðèö, íå ìåíÿþùèå ñâîåãî ïîëîæåíèÿ. Âèäíî, ÷òî óìíîæàÿ ìàòðèöó A íà Πkm ñëåâà, ìû ïåðåñòàâëÿåì â A k -þ è m-þ ñòðîêè, à óìíîæàÿ åå íà Πkm ñïðàâà, ïåðåñòàâëÿåì k -é è m-é ñòîëáöû. Îòìåòèì ñâîéñòâà ìàòðèöû ýëåìåíòàðíûõ ïåðåñòàíîâîê. 1.  êàæäîé åå ñòðîêå è êàæäîì ñòîëáöå ðîâíî îäíà åäèíèöà; îñòàëüíûå ýëåìåíòû  íóëè. 254

2. Πkm · Πkm = I (äâàæäû ïîìåíÿâ ìåñòàìè îäíó è òó æå ïàðó ñòîëáöîâ èëè ñòðîê, ïîëó÷àåì èñõîäíóþ ìàòðèöó). 3. det (Πkm ) = −1 (ïåðåñòàíîâêà äâóõ ñòðîê èëè äâóõ ñòîëáöîâ ìàòðèöû ïðèâîäèò ê óìíîæåíèþ åå îïðåäåëèòåëÿ íà (−1)). Ïðîèçâåäåíèå íåñêîëüêèõ ìàòðèö ýëåìåíòàðíûõ ïåðåñòàíîâîê åñòü ìàòðèöà, ìåíÿþùàÿ ìåñòàìè óæå íåñêîëüêî ïàð ñòîëáöîâ (ñòðîê). Òàêàÿ ìàòðèöà íàçûâàåòñÿ ìàòðèöåé ïåðåñòàíîâîê è îáëàäàåò ñâîéñòâîì 1. Åå îïðåäåëèòåëü ðàâåí ëèáî (+1), ëèáî (−1). Ìàòðèöà, îáðàòíàÿ ìàòðèöå ïåðåñòàíîâîê, òàêæå åñòü ìàòðèöà ïåðåñòàíîâîê. Òåïåðü ìîæíî ñôîðìóëèðîâàòü ñëåäóþùóþ òåîðåìó. Òåîðåìà. Äëÿ êàæäîé êâàäðàòíîé ìàòðèöû A ñóùåñòâóþò òàêèå ìàòðèöû ïåðåñòàíîâîê Π1 è Π2 , ÷òî

Π1 · A · Π2 = L · U,

(4.1.4)

ãäå L  íèæíÿÿ òðåóãîëüíàÿ ìàòðèöà ñ åäèíè÷íîé äèàãîíàëüþ, à U  âåðõíÿÿ òðåóãîëüíàÿ ìàòðèöà. Ôîðìóëà (4.1.4) íàçûâàåòñÿ LU -ðàçëîæåíèåì èëè òðåóãîëüíûì ðàçëîæåíèåì ìàòðèöû A. Äîêàçàòåëüñòâî ìû îïóñêàåì èç-çà åãî òåõíè÷åñêîé ñëîæíîñòè. Îòìåòèì, ÷òî Π1 è Π2 (à, ñëåäîâàòåëüíî, L è U ) îïðåäåëåíû íå åäèíñòâåííûì îáðàçîì. Ýòî ñëåäóåò, íàïðèìåð, èç òîãî, ÷òî ïðè âûáîðå âåäóùåãî ýëåìåíòà ìîæåò âñòðåòèòüñÿ íåñêîëüêî ðàâíûõ ïî ìîäóëþ íàèáîëüøèõ ýëåìåíòîâ è, îòäàâ ïðåäïî÷òåíèå îäíîìó èç íèõ, ìû ïîëó÷èì îäíî èç âîçìîæíûõ LU -ðàçëîæåíèé ìàòðèöû. Çàìå÷àíèå. Èíîãäà âìåñòî LU -ðàçëîæåíèÿ èñïîëüçóþò òàê íàçûâàåìîå LDU -ðàçëîæåíèå ìàòðèöû. Åñëè A  íåâûðîæäåííàÿ ìàòðèöà, òî â ôîðìóëå (4.1.3) U  òàêæå íåâûðîæäåííàÿ ìàòðèöà. Ïîëîæèì D = e = D−1 U . Òîãäà U e  âåðõíÿÿ òðåóãîëüíàÿ ìàòðèöà diag[u11 , . . . , unn ] è U ñ åäèíè÷íîé äèàãîíàëüþ, è ñïðàâåäëèâî ñîîòíîøåíèå

e, Π1 · A · Π2 = LDU êîòîðîå è íàçûâàåòñÿ LDU -ðàçëîæåíèåì ìàòðèöû A.

4.2. Íåêîòîðûå ïðèìåíåíèÿ LU -ðàçëîæåíèÿ 1. Âû÷èñëåíèå îïðåäåëèòåëåé. Èñïîëüçóÿ ôîðìóëó (4.1.4) è ñâîéñòâà îïðåäåëèòåëåé, ìû ìîæåì íàïèñàòü: 255

¡ ¢ −1 det(A) = det Π−1 · L · U · Π = 2 ¡ −1 ¢ 1 ¡ ¢ = det Π1 · det(L) · det(U ) · det Π−1 = 2 = (±1) · u11 · . . . · unn (4.2.1) (ñîãëàñíî ï.3.1., det(L) = 1, det(U ) = u11 · . . . · unn , à çíàê â ïðàâîé ÷àñòè çàâèñèò îò êîëè÷åñòâà ýëåìåíòàðíûõ ïåðåñòàíîâîê ïðè âûïîëíåíèè LU ðàçëîæåíèÿ ìàòðèöû).  ï.3.1 áûëî ïîêàçàíî, ÷òî âû÷èñëåíèå îïðåäåëèòåëÿ ìàòðèöû "ïî îïðåäåëåíèþ" íåâîçìîæíî, ïîñêîëüêó òðåáóåìîå äëÿ åãî ðåàëèçàöèè êîëè÷åñòâî îïåðàöèé ïðåâûøàåò n! (n  ïîðÿäîê ìàòðèöû). Ìîæíî ïîêà3 çàòü, ÷òî LU -ðàçëîæåíèå òðåáóåò ïîðÿäêà n3 îïåðàöèé. Ïðè n = 30 ýòî ñîñòàâèò îêîëî 3 · 104 (ñðàâíèòå ñ ïîëó÷åííîé ðàíåå îöåíêîé 3 · 1023 äëÿ âû÷èñëåíèÿ "ïî îïðåäåëåíèþ"). Ïîñëå ïîëó÷åíèÿ LU -ðàçëîæåíèÿ îïðåäåëèòåëü âû÷èñëÿåòñÿ ïî ôîðìóëå (4.2.1) ýëåìåíòàðíî.

2. Ðåøåíèå ñèñòåì ëèíåéíûõ óðàâíåíèé. Åñëè ïîëó÷åíî LU -ðàçëîæåíèå ìàòðèöû A, òî ðåøåíèå ñèñòåìû Ax = b ñâîäèòñÿ ê ïîñëåäîâàòåëüíîìó ðåøåíèþ äâóõ ñèñòåì ñ òðåóãîëüíûìè ìàòðèöàìè:

Ly = b,

U x = y.

(4.2.2)

Ðåøåíèå ñèñòåìû ñ òðåóãîëüíîé ìàòðèöåé êîýôôèöèåíòîâ òðåáóåò âûïîëíåíèÿ ïîðÿäêà n2 îïåðàöèé (ïðîòèâ n3 äëÿ ñèñòåìû ñ çàïîëíåííîé ìàòðèöåé êîýôôèöèåíòîâ). Ïðàâäà, çàòðàòû âðåìåíè íà LU -ðàçëîæåíèå ñðàâíèìû ñ âðåìåíåì ðåøåíèÿ ñèñòåìû ñ çàïîëíåííîé ìàòðèöåé è, íà ïåðâûé âçãëÿä, âûãîäû íå âèäíî. Îäíàêî â ïðèëîæåíèÿõ âåñüìà ÷àñòî ïðèõîäèòñÿ íåîäíîêðàòíî ðåøàòü ñèñòåìû ñ îäíîé è òîé æå ìàòðèöåé è ðàçëè÷íûìè ïðàâûìè ÷àñòÿìè.  ýòîì ñëó÷àå ôàêòîðèçàöèÿ ïðîèçâîäèòñÿ îäèí ðàç, à çàòåì êàæäûé ðàç ðåøàþòñÿ ñèñòåìû (4.2.2), ÷òî ïðè ìàòðèöàõ áîëüøîãî ïîðÿäêà äàåò âåñüìà çíà÷èòåëüíûé âûèãðûø âî âðåìåíè.

256

5. ËÈÍÅÉÍÎÅ ÏÐÎÑÒÐÀÍÑÒÂÎ 5.1. Îñíîâíûå ïîíÿòèÿ Ðàññìîòðèì ìíîæåñòâî âñåõ ìàòðèö-ñòîëáöîâ âûñîòû n ñ êîìïëåêñíûìè ýëåìåíòàìè. Ìàòðèöû-ñòîëáöû áóäåì îáîçíà÷àòü â ýòîì ïóíêòå ëàòèíñêèìè áóêâàìè, à ÷èñëà  ãðå÷åñêèìè. Ñòîáåö ñ íóëåâûìè ýëåìåíòàìè áóäåì îáîçíà÷àòü θ (èëè θn , åñëè íåîáõîäèìî óêàçàòü åãî âûñîòó). Ïîëîæèì ïî îïðåäåëåíèþ −x = (−1) · x è áóäåì íàçûâàòü ñòîëáåö −x ïðîòèâîïîëîæíûì ñòîëáöó x. Èçâåñòíî, ÷òî ìàòðèöû-ñòîëáöû ìîæíî ñêëàäûâàòü è óìíîæàòü íà ÷èñëà. Ïåðå÷èñëèì ñâîéñòâà ýòèõ îïåðàöèé.

1)x+y = y+x,

2)(x+y)+z = (x+z)+y,

5) 1 · x = x,

3)x+θ = x,

6) (α + β) · x = αx + βx,

4)x+(−x) = θ;

7) (αβ)x = α(βx);

8) α · (x + y) = αx + αy. Îïðåäåëåíèå. Ìíîæåñòâî âñåõ êîìïëåêñíûõ ìàòðèö-ñòîëáöîâ âûñîòû n c ââåäåííûìè âûøå îïåðàöèÿìè ñëîæåíèÿ è óìíîæåíèÿ íà ÷èñëî íàçûâàåòñÿ ëèíåéíûì (âåêòîðíûì) ïðîñòðàíñòâîì è îáîçíà÷àåòñÿ Cn . Åãî ýëåìåíòû  (n × 1)-ìàòðèöû íàçûâàþòñÿ âåêòîðàìè. Çàìå÷àíèÿ. 1. Ëèíåéíîå ïðîñòðàíñòâî Cn íàçûâàþò òàêæå êîìïëåêñíûì ëèíåéíûì ïðîñòðàíñòâîì â îòëè÷èå îò âåùåñòâåííîãî ëèíåéíîãî ïðîñòðàíñòâà Rn  ìíîæåñòâà âñåõ âåùåñòâåííûõ ìàòðèö-ñòîëáöîâ âûñîòû n, â êîòîðîì ðàçðåøåíî óìíîæåíèå òîëüêî íà âåùåñòâåííûå ÷èñëà. 2. Ëèíåéíîå ïðîñòðàíñòâî R3 èìååò î÷åâèäíóþ ãåîìåòðè÷åñêóþ èíòåðïðåòàöèþ: êàæäîìó åãî âåêòîðó x = [x1 , x2 , x2 ]T ìîæíî ñîïîñòàâèòü íàïðàâëåííûé îòðåçîê, íà÷àëî êîòîðîãî ñîâìåùåíî ñ íà÷àëîì êîîðäèíàò, à êîíåö ðàñïîëîæåí â òî÷êå ñ êîîðäèíàòàìè x1 , x2 , x3 (ðèñ.5.1).

x3 * © ©©

©©

¡

© ¡

− → x x2

x1 ¡ ¡ ¡

x = [x1 , x2 , x3 ]T Ðèñ.5.1 257

Àíàëîãè÷íî, ãåîìåòðè÷åñêóþ èíòåðïðåòàöèþ ëèíåéíîãî ïðîñòðàíñòâà R2 äàþò íàïðàâëåííûå îòðåçêè íà ïëîñêîñòè. Áóäåì îáîçíà÷àòü íàïðàâëåííûé îòðåçîê òîé æå áóêâîé, ÷òî è ñîîòâåòñòâóþùèé åìó âåêòîð, íî ñî ñòðåëêîé ñâåðõó. Íåòðóäíî âèäåòü, ÷òî

−−−→ − → x+y =→ x +− y;

− →=α·− → αx x.

5.2. Àáñòðàêòíîå ëèíåéíîå ïðîñòðàíñòâî Ìîæåò ïîêàçàòüñÿ, ÷òî óäåëåíî èçëèøíåå âíèìàíèå ïåðå÷èñëåíèþ èçâåñòíûõ ñâîéñòâ ëèíåéíûõ îïåðàöèé íàä ìàòðèöàìè. Äåëî, îäíàêî, â òîì, ÷òî ëèíåéíîå ïðîñòðàíñòâî  îäíî èç îñíîâíûõ ïîíÿòèé ñîâðåìåííîé ìàòåìàòèêè. Ëèíåéíûì ïðîñòðàíñòâîì íàçûâàþò ëþáîå íåïóñòîå ìíîæåñòâî, íàä ýëåìåíòàìè êîòîðîãî (âåêòîðàìè) ìîæíî ïðîèçâîäèòü äâå îïåðàöèè, èìåíóåìûå ñëîæåíèå è óìíîæåíèå íà ÷èñëî. Ñëîæåíèå. Êàæäîé ïàðå ýëåìåíîâ ïðîñòðàíñòâà (x, y) (âåêòîðîâ) ñòàâèòñÿ â ñîîòâåòñòâèå âåêòîð, íàçûâàåìûé èõ ñóììîé è îáîçíà÷àåìûé x + y . Ýòà îïåðàöèÿ äîëæíà óäîâëåòâîðÿòü ñëåäóþùèì ïðàâèëàì:

1. x + y = y + x. 2. (x + y) + z = x + (y + z). 3. Ñóùåñòâóåò òàêîé âåêòîð θ, èìåíóåìûé íóëåâûì, ÷òî x + θ = x äëÿ ëþáîãî âåêòîðà x. 4. Äëÿ êàæäîãî âåêòîðà x åñòü òàêîé âåêòîð (−x), èìåíóåìûé ïðîòèâîïîëîæíûì ê x, ÷òî x + (−x) = θ. Óìíîæåíèå íà ÷èñëî. Êàæäîìó âåêòîðó x è êàæäîìó ÷èñëó α ñòàâèòñÿ â ñîîòâåòñòâèå âåêòîð αx, íàçûâàåìûé èõ ïðîèçâåäåíèåì. Ïðè ýòîì

5. 1 · x = x. 6. (α + β) · x = α · x + β · x. 7. (αβ) · x = α · (β · x). 8. α · (x + y) = α · x + α · y. Ïåðå÷èñëåííûå âîñåìü ñâîéñòâ íàçûâàþò àêñèîìàìè ëèíåéíîãî ïðîñòðàíñòâà. Ïîä÷åðêíåì åùå ðàç, ÷òî ïðè ïîñòðîåíèè òåîðèè íå ñóùåñòâåííî, ÷òî ïðåäñòàâëÿþò ñîáîé ýëåìåíòû ëèíåéíîãî ïðîñòðàíñòâà  258

âåêòîðû (ëèøü áû èõ ìîæíî áûëî "ñêëàäûâàòü "óìíîæàòü íà ÷èñëà è âûïîëíÿëèñü àêñèîìû). Òîãäà áóäóò ñïðàâåäëèâû âñå âûâîäû ïîñòðîåííîé íèæå òåîðèè.  íàøåì êóðñå ìû ðàññìàòðèâàåì, â îñíîâíîì, ïðîñòåéøèå ÷àñòíûå ñëó÷àè  ïðîñòðàíñòâà Cn è Rn . Îäèí ïðèìåð ëèíåéíîãî ïðîñòðàíñòâà, îòëè÷íîãî îò Cn è Rn , áóäåò ðàññìîòðåí â ï.5.5.

5.3. Ëèíåéíàÿ çàâèñèìîñòü âåêòîðîâ Ïóñòü çàäàíû âåêòîðû a(1) , . . . , a(k) ∈ Cn . Ñîñòàâèì óðàâíåíèå

α1 a(1) + . . . + αk a(k) = θ,

(5.3.1)

â êîòîðîì èñêîìûìè ÿâëÿþòñÿ ÷èñëà α1 , . . . , αk . Óðàâíåíèå (5.3.1) ìîæåò áûòü ïåðåïèñàíî â âèäå Aα = θn , ãäå £ (1) ¤ A = a , ..., a(k)  çàäàííàÿ (n × k)-ìàòðèöà, α = [α1 , . . . , αk ]T  èñêîìûé âåêòîð-ñòîëáåö, ò.å. îíî ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé îäíîðîäíóþ ñèñòåìó ëèíåéíûõ óðàâíåíèé. Î÷åâèäíî, ÷òî ïðè ëþáûõ çàäàííûõ âåêòîðàõ ýòà ñèñòåìà èìååò íóëåâîå ðåøåíèå α1 = α2 = . . . = αk = 0 (α = θk ). Ìîæåò îêàçàòüñÿ, ÷òî íóëåâîå ðåøåíèå åäèíñòâåííî. Òàê, íàïðèìåð, åñëè a(1) = [1 0 0]T , a(2) = [0 1 0]T , òî óðàâíåíèå

α1 a(1) + α2 a(2) = θ3

⇐⇒

[α1 α2 0]T = [0 0 0]T

èìååò òîëüêî íóëåâîå ðåøåíèå α1 = α2 = 0.  òî æå âðåìÿ èçâåñòíî, ÷òî îäíîðîäíàÿ ñèñòåìà ëèíåéíûõ óðàâíåíèé ìîæåò èìåòü ðåøåíèÿ, îòëè÷íûå îò íóëåâîãî (íàïðèìåð, åñëè ÷èñëî óðàâíåíèé ìåíüøå, ÷åì ÷èñëî ïåðåìåííûõ). Îïðåäåëåíèå. Åñëè óðàâíåíèå (5.3.1) èìååò òîëüêî íóëåâîå ðåøåíèå, òî ìíîæåñòâî âåêòîðîâ {a(1) , . . . , a(k) } íàçûâàåòñÿ ëèíåéíî íåçàâèñèìûì. Åñëè æå ýòî óðàâíåíèå èìååò íåíóëåâûå ðåøåíèÿ, òî óïîìÿíóòîå ìíîæåñòâî âåêòîðîâ íàçûâàåòñÿ ëèíåéíî çàâèñèìûì. Äîêàæåì òåïåðü íåñêîëüêî óòâåðæäåíèé, ñâÿçàííûõ ñ ïîíÿòèåì ëèíåéíîé çàâèñèìîñòè ìíîæåñòâà âåêòîðîâ. 1. Ìíîæåñòâî, ñîñòîÿùåå èç îäíîãî íåíóëåâîãî âåêòîðà, ëèíåéíî íåçàâèñèìî. Äîêàçàòåëüñòâî. a 6= θ

V

αa = θ =⇒ α = 0. 259

¥

2. Ìíîæåñòâî, ñîäåðæàùåå íóëåâîé âåêòîð, ëèíåéíî çàâèñèìî. Äîêàçàòåëüñòâî. Óðàâíåíèå α1 a(1) + . . . + αk a(k) + αθ = θ èìååò î÷åâèäíîå íåíóëåâîå ðåøåíèå α1 = . . . = αk = 0, α = 1. Äëÿ äàëüíåéøåãî íàì íåîáõîäèìî ââåñòè âàæíîå íîâîå ïîíÿòèå. Îïðåäåëåíèå. Âåêòîð a = α1 a(1) + . . . + αk a(k) íàçûâàåòñÿ ëèíåéíîé êîìáèíàöèåé âåêòîðîâ a(1) , . . . , a(k) . 3. Åñëè ìíîæåñòâî âåêòîðîâ ëèíåéíî çàâèñèìî, òî õîòÿ áû îäèí èç íèõ åñòü ëèíåéíàÿ êîìáèíàöèÿ îñòàëüíûõ. Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü α1 , . . . , αk  íåíóëåâîå ðåøåíèå óðàâíåíèÿ (5.3.1), ñóùåñòâóþùåå â ñèëó ëèíåéíîé çàâèñèìîñòè ìíîæåñòâà {a(1) , . . . , a(k) }. Ïóñòü äëÿ îïðåäåëåííîñòè αm 6= 0. Ïåðåíîñÿ â (5.3.1) ñëàãàåìîå αm a(m) â ïðàâóþ ÷àñòü è äåëÿ îáå ÷àñòè íà −αm , ïîëó÷èì (m)

a

³ α ´ ³ α ´ 1 m−1 (1) = − a + ... + − a(m−1) + αm ³ α ´ αm ³ α ´ m+1 k (m+1) + − a + ... + − a(k) . αm αm

¥

4. Åñëè õîòÿ áû îäèí èç âåêòîðîâ ìíîæåñòâà åñòü ëèíåéíàÿ êîìáèíàöèÿ îñòàëüíûõ, òî ìíîæåñòâî ëèíåéíî çàâèñèìî. Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü, íàïðèìåð,

a(m) = α1 a(1) + . . . + αm−1 a(m−1) + αm+1 a(m+1) + . . . + αk a(k) . Ïåðåíîñÿ âñå ñëàãàåìûå â ïðàâóþ ÷àñòü, ïîëó÷èì

θ = α1 a(1) + . . . + αm−1 a(m−1) + (−1)a(m) + αm+1 a(m+1) + . . . + αk a(k) . Ìû ïîñòðîèëè íåíóëåâîå (αm = −1) ðåøåíèå óðàâíåíèÿ (5.3.1), ò.å. ìíîæåñòâî {a(1) , . . . , a(k) } ëèíåéíî çàâèñèìî. ¥ Çàìå÷àíèå. Äîêàçàííûå âûøå óòâåðæäåíèÿ 3 è 4 ÷àñòî ôîðìóëèðóþò òàê: ëèíåéíàÿ çàâèñèìîñòü ìíîæåñòâà âåêòîðîâ ðàâíîñèëüíà âîçìîæíîñòè ïðåäñòàâëåíèÿ îäíîãî èç íèõ â âèäå ëèíåéíîé êîìáèíàöèè îñòàëüíûõ. 260

5. Ìíîæåñòâî âåêòîðîâ, ñîäåðæàùåå ëèíåéíî çàâèñèìóþ ÷àñòü, ëèíåéíî çàâèñèìî. Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü ìíîæåñòâî a(1) , . . . , a(k) ñîäåðæèò k âåêòîðîâ, è åãî ÷àñòü a(1) , . . . , a(m) (m < k ) ëèíåéíî çàâèñèìà, ò.å. óðàâíåíèå β1 a(1) +. . .+βm a(m) = θ èìååò íåíóëåâîå ðåøåíèå (ñðåäè ÷èñåë β1 , . . . , βm åñòü îòëè÷íûå îò íóëÿ). Òîãäà è óðàâíåíèå

α1 a(1) + . . . + αm a(m) + αm+1 a(m+1) + · · · + αk a(k) = θ èìååò î÷åâèäíîå íåíóëåâîå ðåøåíèå

α1 = β1 , . . . , αm = βm ;

αm+1 = . . . = αk = 0.

¥

6. Âñÿêàÿ íåïóñòàÿ ÷àñòü ëèíåéíî íåçàâèñèìîãî ìíîæåñòâà ëèíåéíî íåçàâèñèìà. Äîêàçàòåëüñòâî. Îò ïðîòèâíîãî. Çàìå÷àíèÿ. 1. Åñëè äâà íåíóëåâûõ âåêòîðà â R2 (R3 ) ëèíåéíî çàâèñèìû, òî ñîîòâåòñòâóþùèå èì íàïðàâëåííûå îòðåçêè êîëëèíåàðíû (ëåæàò íà îäíîé ïðÿìîé). 2. Åñëè òðè íåíóëåâûõ âåêòîðà â R3 ëèíåéíî çàâèñèìû, òî ñîîòâåòñòâóþùèå èì íàïðàâëåííûå îòðåçêè êîìïëàíàðíû (ëåæàò â îäíîé ïëîñêîñòè).

5.4. Ðàçìåðíîñòü ëèíåéíîãî ïðîñòðàíñòâà è åãî áàçèñ Îïðåäåëåíèå. Åñëè â ëèíåéíîì ïðîñòðàíñòâå P ñóùåñòâóåò ëèíåéíî íåçàâèñèìîå ìíîæåñòâî èç n âåêòîðîâ, à âñÿêîå ìíîæåñòâî, ñîäåðæàùåå áîëåå, ÷åì n âåêòîðîâ, ëèíåéíî çàâèñèìî, òî ãîâîðÿò, ÷òî ïðîñòðàíñòâî èìååò ðàçìåðíîñòü n è ïèøóò55 :

dim(P ) = n. Ïðèìåð. Äîêàæåì, ÷òî dim(Cn ) = n. Äîêàçàòåëüñòâî. Ìíîæåñòâî, ñîñòîÿùåå èç n âåêòîðîâ

e(1) = [1, 0, . . . , 0]T , e(2) = [0, 1, . . . , 0]T , . . . , e(n) = [0, 0, . . . , 1]T , 55 dimension

(àíãë.)  ðàçìåðíîñòü. 261

ëèíåéíî íåçàâèñèìî, òàê êàê óðàâíåíèå α1 e(1) + . . . + αn e(n) = θ, èëè

      1 0 ... 0 α1 0 0 1 . . . 0  α2  0       . . . . . . . . . . .  ·  . .  =  .  , 0 0 ... 1 αn 0

èëè, íàêîíåö, In α = θn , èìååò åäèíñòâåííîå ðåøåíèå α1 = . . . = αn = 0.  òî æå âðåìÿ ëþáàÿ ÷àñòü Cn , ñîäåðæàùàÿ áîëüøå, ÷åì n âåêòîðîâ, ëèíåéíî çàâèñèìà, òàê êàê ïðè m > n óðàâíåíèå α1 a(1) +. . .+αm a(m) = θn èìååò íåíóëåâîå ðåøåíèå êàê îäíîðîäíàÿ ñèñòåìà, â êîòîðîé êîëè÷åñòâî ïåðåìåííûõ (m) ïðåâûøàåò êîëè÷åñòâî óðàâíåíèé (n). ¥ Çàìå÷àíèå. Èç íàøåãî ðàññóæäåíèÿ ñëåäóåò, ÷òî è dim(Rn ) = n. Åñëè íå îãðàíè÷èâàòüñÿ ëèíåéíûìè ïðîñòðàíñòâàìè Cn è Rn , òî íåëüçÿ èñêëþ÷èòü ñëó÷àé, êîãäà ñóùåñòâóþò ëèíåéíî íåçàâèñèìûå ìíîæåñòâà, ñîäåðæàùèå êàê óãîäíî ìíîãî âåêòîðîâ. Ïîýòîìó ìû ââåäåì Îïðåäåëåíèå. Åñëè äëÿ ëþáîãî íàòóðàëüíîãî ÷èñëà n â ëèíåéíîì ïðîñòðàíñòâå ñóùåñòâóåò ëèíåéíî íåçàâèñèìîå ìíîæåñòâî, ñîñòîÿùåå èç n âåêòîðîâ, òî ëèíåéíîå ïðîñòðàíñòâî íàçûâàåòñÿ áåñêîíå÷íîìåðíûì. Äëÿ êîíå÷íîìåðíûõ ëèíåéíûõ ïðîñòðàíñòâ ââåäåì ïîíÿòèå áàçèñà. Îïðåäåëåíèå. Áàçèñîì n-ìåðíîãî ëèíåéíîãî ïðîñòðàíñòâà íàçûâàåòñÿ ëþáîé óïîðÿäî÷åííûé ëèíåéíî íåçàâèñèìûé íàáîð èç n âåêòîðîâ ýòîãî ïðîñòðàíñòâà. Ïðèìåð. Âåêòîðû e(1) . . . , e(n) , ââåäåííûå âûøå, îáðàçóþò áàçèñ â Cn è â Rn . Åãî íàçûâàþò ñòàíäàðòíûì áàçèñîì. Ðîëü áàçèñà â êîíå÷íîìåðíîì ïðîñòðàíñòâå îïðåäåëÿåò Òåîðåìà. Âñÿêèé âåêòîð êîíå÷íîìåðíîãî ïðîñòðàíñòâà ìîæåò áûòü ïðåäñòàâëåí â âèäå ëèíåéíîé êîìáèíàöèè âåêòîðîâ áàçèñà, è òàêîå ïðåäñòàâëåíèå åäèíñòâåííî. Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü a(1) . . . , a(n)  áàçèñ, è b  ïðîèçâîëüíûé âåêòîð. Ïî îïðåäåëåíèþ ðàçìåðíîñòè ïðîñòðàíñòâà ìíîæåñòâî b, a(1) . . . , a(n) , ñîäåðæàùåå áîëåå, ÷åì n âåêòîðîâ, ëèíåéíî çàâèñèìî. Ïîýòîìó óðàâíåíèå αb + α1 a(1) + . . . + αn a(n) = θ èìååò íåíóëåâîå ðåøåíèå.  ÷àñòíîñòè, α 6= 0, èáî èíà÷å èìåëî áû íåíóëåâîå ðåøåíèå óðàâíåíèå α1 a(1) + . . . + αn a(n) = θ, è áàçèñ îêàçàëñÿ áû ëèíåéíî çàâèñèìûì ìíîæåñòâîì! À åñëè α 6= 0, òî 262

³ α ´ ³ α ´ 1 n b= − a(1) + . . . + − a(n) , α α è âîçìîæíîñòü ïðåäñòàâëåíèÿ ïðîèçâîëüíîãî âåêòîðà â âèäå ëèíåéíîé êîìáèíàöèè áàçèñíûõ âåêòîðîâ äîêàçàíà. Äîêàæåì åäèíñòâåííîñòü òàêîãî ïðåäñòàâëåíèÿ. Ïóñòü èìåþòñÿ äâà ïðåäñòàâëåíèÿ âåêòîðà â âèäå ëèíåéíîé êîìáèíàöèè áàçèñíûõ âåêòîðîâ: b = β1 a(1) + . . . + βn a(n) è b = γ1 a(1) + . . . + γn a(n) . Âû÷èòàÿ âòîðîå ðàâåíñòâî èç ïåðâîãî, ïîëó÷àåì θ = (β1 − γ1 )a(1) + . . . + (βn − γn )a(n) . Îòñþäà, âñëåäñòâèå ëèíåéíîé íåçàâèñèìîñòè áàçèñà, âñå êîýôôèöèåíòû ïðè åãî âåêòîðàõ  íóëè, ò.å. β1 = γ1 , . . . , βn = γn . Îïðåäåëåíèå. Ïðåäñòàâëåíèå âåêòîðà â âèäå ëèíåéíîé êîìáèíàöèè âåêòîðîâ áàçèñà íàçûâàþò ðàçëîæåíèåì âåêòîðà ïî áàçèñó, à êîýôôèöèåíòû ýòîãî ðàçëîæåíèÿ  êîîðäèíàòàìè ýòîãî âåêòîðà â ýòîì áàçèñå. Çàìå÷àíèÿ. 1. Îòìåòèì ñóùåñòâåííîñòü ôèêñàöèè ïîðÿäêà âåêòîðîâ â áàçèñå (óïîðÿäî÷åííîñòè áàçèñà). Èçìåíèâ ïîðÿäîê âåêòîðîâ â áàçèñå, ïîëó÷èì, êîíå÷íî, îïÿòü áàçèñ, íî äðóãîé! 2. Îáðàòèòå âíèìàíèå íà òî, ÷òî ðàçëîæåíèå âåêòîðà b ïî áàçèñó (1) a . . . , a(n) , ò.å. ðåøåíèå óðàâíåíèÿ

α1 a(1) + . . . + αn a(n) = b

(5.4.1)

ñâîäèòñÿ â Cn è â Rn ê ðåøåíèþ ìàòðè÷íîãî óðàâíåíèÿ

Aα = b,

(5.4.2)

ãäå, êàê âñåãäà, A = [a(1) , . . . , a(n) ], α = [α1 , . . . , αn ]T . Òàêèì îáðàçîì, (5.4.1) è (5.4.2) ïðåäñòàâëÿþò ñîáîé ïîïðîñòó äâå ðàçëè÷íûå ôîðìû çàïèñè îäíîãî è òîãî æå óðàâíåíèÿ  "âåêòîðíóþ" è "ìàòðè÷íóþ". Ñëåäñòâèÿ. 1. Åñëè ñòîëáöû êâàäðàòíîé ìàòðèöû ëèíåéíî íåçàâèñèìû (ò.å. ñîñòàâëÿþò áàçèñ Cn ( Rn )), òî ñèñòåìà ëèíåéíûõ óðàâíåíèé (5.4.2) èìååò åäèíñòâåííîå ðåøåíèå ïðè ëþáîì ñòîëáöå ñâîáîäíûõ ÷ëåíîâ. 2. Ïîñêîëüêó åäèíñòâåííîñòü ðåøåíèÿ ëèíåéíîé ñèñòåìû ñ êâàäðàòíîé ìàòðèöåé ðàâíîñèëüíà (êàê óæå èçâåñòíî) íåâûðîæäåííîñòè ýòîé 263

ìàòðèöû, òî ëèíåéíàÿ íåçàâèñèìîñòü ñòîëáöîâ êâàäðàòíîé ìàòðèöû òàêæå ðàâíîñèëüíà åå íåâûðîæäåííîñòè. Èòàê, åñëè A  êâàäðàòíàÿ ìàòðèöà ïîðÿäêà n, òî ðàâíîñèëüíû ñëåäóþùèå òðè óòâåðæäåíèÿ: 1) det(A) 6= 0; 2) ñòîëáöû ìàòðèöû A îáðàçóþò áàçèñ Cn (Rn ); 3) ñèñòåìà ëèíåéíûõ óðàâíåíèé Ax = b ïðè ëþáîì ñòîëáöå b èìååò åäèíñòâåííîå ðåøåíèå.

5.5. Ïðîñòðàíñòâî ïîëèíîìîâ ïîðÿäêà n Êàê èçâåñòíî, ïîëèíîìîì ñòåïåíè k ≥ 0 íàçûâàåòñÿ ôóíêöèÿ, äåéñòâóþùàÿ èç C â C ïî ïðàâèëó

p(z) = p1 + p2 z + . . . + pk+1 z k ,

(5.5.1)

ãäå p1 , . . . , pk+1  çàäàííûå êîìïëåêñíûå ÷èñëà, íàçûâàåìûå êîýôôèöèåíòàìè ïîëèíîìà, ïðè÷åì pk+1 6= 0. Çàìå÷àíèå. Åñëè êîýôôèöèåíòû ïîëèíîìà  âåùåñòâåííûå ÷èñëà, òî (5.5.1) îïðåäåëÿåò òàêæå ôóíêöèþ, äåéñòâóþùóþ èç R â R. Îïðåäåëåíèå. Íàçîâåì ëèíåéíûì ïðîñòðàíñòâîì ïîëèíîìîâ ïîðÿäêà n ìíîæåñòâî, ñîäåðæàùåå âñå ïîëèíîìû, ñòåïåíü êîòîðûõ ñòðîãî ìåíüøå n, è ôóíêöèþ θ(z), òîæäåñòâåííî ðàâíóþ íóëþ (íàïîìíèì, ÷òî ýòà ôóíêöèÿ íàçûâàåòñÿ íóëü-ïîëèíîìîì; ñòåïåíü íóëü-ïîëèíîìà íå îïðåäåëåíà). Èíà÷å ãîâîðÿ, ïîëèíîìîì ïîðÿäêà n áóäåì íàçûâàòü ôóíêöèþ p(z) = p1 + p2 z + . . . + pn z n−1 , ãäå p1 , . . . , pn  ïðîèçâîëüíûé íàáîð êîìïëåêñíûõ ÷èñåë (â òîì ÷èñëå îí ìîæåò ñîñòîÿòü èç îäíèõ íóëåé). Ëèíåéíîå ïðîñòðàíñòâî ïîëèíîìîâ ïîðÿäêà n áóäåì îáîçíà÷àòü Pn .  ýòîì ïðîñòðàíñòâå åñòåñòâåííûì îáðàçîì îïðåäåëåíû ñóììà ïîëèíîìîâ è ïðîèçâåäåíèå ïîëèíîìà íà ÷èñëî:

(p + q)(z) = (p1 + q1 ) + (p2 + q2 )z + . . . + (pn + qn )z n−1 ; (αp)(z) = (αp1 ) + (αp2 )z + . . . + (αpn )z n−1 . Çàìå÷àíèå. Îáðàòèòå âíèìàíèå íà òî, ÷òî ñòåïåíü ïîëèíîìà íå îáÿçàíà ñîõðàíÿòüñÿ ïðè ñëîæåíèè è óìíîæåíèè íà ÷èñëî. Íàïðèìåð, ñêëàäûâàÿ äâà ïîëèíîìà âòîðîé ñòåïåíè p(z) = z 2 +1 è q(z) = −z 2 , ïîëó÷àåì ïîëèíîì íóëåâîé ñòåïåíè (z 2 + 1) + (−z 2 ) = 1. Ïîñêîëüêó äëÿ ïîëèíîìà p(z) ëþáîé ñòåïåíè 0 · p(z) = θ(z) ≡ 0, ñòåïåíü ïðîèçâåäåíèÿ ïîëèíîìà íà ÷èñëî ìîæåò áûòü è âîâñå íå îïðåäåëåíà. Ïîýòîìó ïîðÿäîê ïîëèíîìà ÿâëÿåòñÿ äëÿ íàøèõ öåëåé áîëåå óäîáíîé õàðàêòåðèñòèêîé, ÷åì ñòåïåíü. 264

Ïðåäëàãàåì ÷èòàòåëþ óáåäèòüñÿ ñàìîñòîÿòåëüíî, ÷òî ìíîæåñòâî Pn ñ ââåäåííûìè â íåì îïåðàöèÿìè ñëîæåíèÿ è óìíîæåíèÿ íà ÷èñëî, "àâàíñîì" íàçâàííîå íàìè ëèíåéíûì ïðîñòðàíñòâîì, äåéñòâèòåëüíî ÿâëÿåòñÿ òàêîâûì (ò.å. óäîâëåòâîðÿåò àêñèîìàì, ïðèâåäåííûì â ï.5.2). Ðîëü íóëåâîãî ýëåìåíòà èãðàåò ïðè ýòîì íóëü-ïîëèíîì, à ðîëü ïðîòèâîïîëîæíîãî ïîëèíîìó p ýëåìåíòà  ïîëèíîì

(−p)(z) = (−p1 ) + (−p2 )z + . . . + (−pn )z n−1 . Òåîðåìà. Ðàçìåðíîñòü ïðîñòðàíñòâà Pn ðàâíà n. Äîêàçàòåëüñòâî. Ðàññìîòðèì ìíîæåñòâî, ñîñòîÿùåå èç n ïîëèíîìîâ

e(1) (z) ≡ 1,

e(2) (z) = z, . . . ,

e(n) (z) = z n−1 .

Âñå ýòè ïîëèíîìû, î÷åâèäíî, ïðèíàäëåæàò Pn . Ñîñòàâèì óðàâíåíèå

α1 e(1) (z) . . . + αn e(n) (z) = θ(z) ≡ 0.

(5.5.2)

Çàôèêñèðóåì n ïîïàðíî ðàçëè÷íûõ ÷èñåë z1 , . . . , zn è, ïîëàãàÿ â (5.5.2) z = zk , k = 1, . . . , n, ïîëó÷èì ñèñòåìó ëèíåéíûõ óðàâíåíèé

 n−1  α1 + α2 z1 + . . . + αn z1 = 0 ............................  α1 + α2 zn + . . . + αn znn−1 = 0

èëè, â ìàòðè÷íîé çàïèñè, Eα = θ, ãäå E  ìàòðèöà Âàíäåðìîíäà. Ïîñêîëüêó ÷èñëà z1 , . . . , zn ïîïàðíî ðàçëè÷íû, det(E) 6= 0 (ñì. ï.3.2). Ïîýòîìó óðàâíåíèå (5.5.2) èìååò òîëüêî íóëåâîå ðåøåíèå, è, çíà÷èò, ðàññìàòðèâàåìûé íàáîð ïîëèíîìîâ ëèíåéíî íåçàâèñèì. Ñ äðóãîé ñòîðîíû, åñëè ìíîæåñòâî

p(1) (z) = p11 + p21 z + . . . + pn1 z n−1 , .................................... p(k) (z) = p1k + p2k z + . . . + pnk z n−1 ñîäåðæèò áîëåå, ÷åì n ïîëèíîìîâ (k > n), òî, ïðèðàâíèâàÿ êîýôôèöèåíòû ïðè îäèíàêîâûõ ñòåïåíÿõ z â ëåâîé è ïðàâîé ÷àñòÿõ óðàâíåíèÿ

α1 p(1) (z) + . . . + αk p(k) (z) = θ(z), ïîëó÷èì îäíîðîäíóþ ñèñòåìó èç n óðàâíåíèé ñ k ïåðåìåííûìè (k > n), êîòîðàÿ èìååò íåíóëåâûå ðåøåíèÿ. Ñëåäîâàòåëüíî, âñÿêîå ìíîæåñòâî, ñîäåðæàùåå áîëåå, ÷åì n ïîëèíîìîâ èç Pn , ëèíåéíî çàâèñèìî. 265

Ìû äîêàçàëè, ÷òî dim(Pn ) = n, è ïîêàçàëè, ÷òî óïîðÿäî÷åííûé íàáîð ïîëèíîìîâ e(1) (z) ≡ 1, e(2) (z) = z, . . . , e(n) (z) = z (n−1) îáðàçóåò áàçèñ Pn . Ýòîò áàçèñ íàçûâàþò ñòàíäàðòíûì. Çàìå÷àíèÿ. 1. Ðàçëîæåíèå ïîëèíîìà ïîðÿäêà n ïî ñòàíäàðòíîìó áàçèñó î÷åâèäíî ñîâïàäàåò ñ åãî çàïèñüþ ïî âîçðàñòàþùèì ñòåïåíÿì ïåðåìåííîé. 2. Èç-çà ñïåöèôèêè êîíêðåòíûõ çàäà÷ ìîãóò îêàçàòüñÿ áîëåå óäîáíûìè ðàçëîæåíèÿ ïîëèíîìà ïî äðóãèì áàçèñàì Pn . Ñ ïðèìåðàìè òàêèõ çàäà÷ ìû ïîçíàêîìèìñÿ â ï.ï. 5.6 è 11.3. Çäåñü ñëåäóåò ëèøü îòìåòèòü, ÷òî ðàçëîæåíèÿ ïîëèíîìà â ðàçíûõ áàçèñàõ ñóòü òîæäåñòâåííûå ïðåîáðàçîâàíèÿ ýòîãî ïîëèíîìà.

5.6. Ïîëèíîìèàëüíàÿ èíòåðïîëÿöèÿ Ðàññìîòðèì çàäà÷ó, ÷àñòî âñòðå÷àþùóþñÿ â ïðèëîæåíèÿõ: ïîñòðîèòü ïîëèíîì ïî åãî çíà÷åíèÿì â çàäàííûõ òî÷êàõ. Òàêàÿ çàäà÷à íàçûâàåòñÿ çàäà÷åé ïîëèíîìèàëüíîé èíòåðïîëÿöèè. Åå ðåøåíèå áàçèðóåòñÿ íà ñëåäóþùåé òåîðåìå. Òåîðåìà. Ñóùåñòâóåò ïîëèíîì ïîðÿäêà n, êîòîðûé â çàäàííûõ n òî÷êàõ ïðèíèìàåò çàäàííûå çíà÷åíèÿ, è òàêîé ïîëèíîì îäèí. Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü z1 , . . . , zn  çàäàííûå ïîïàðíî ðàçëè÷íûå ÷èñëà. Ïîëîæèì

(z − z2 ) · (z − z3 ) · . . . · (z − zn ) ; (z1 − z2 ) · (z1 − z3 ) · . . . · (z1 − zn ) (z − z1 ) · (z − z3 ) · . . . · (z − zn ) l(2) (z) = ; (z2 − z1 ) · (z2 − z3 ) · . . . · (z2 − zn ) ............................................. (z − z1 ) · (z − z2 ) · . . . · (z − zn−1 ) l(n) (z) = . (zn − z1 ) · (zn − z2 ) · . . . · (zn − zn−1 ) l(1) (z) =

(5.6.1)

Î÷åâèäíî, ÷òî ñòåïåíü êàæäîãî èç ýòèõ ïîëèíîìîâ ðàâíà n − 1 è, ñëåäîâàòåëüíî, îíè ïðèíàäëåæàò Pn . Äàëåå, ëåãêî âèäåòü, ÷òî

l(m) (zk ) = δmk ,

k, m = 1, . . . , n

(5.6.2)

(íàïîìíèì, ÷òî δmk  ñèìâîë Êðîíåêåðà). Ñîñòàâèì óðàâíåíèå

α1 l(1) (z) + . . . + αn l(n) (z) = θ(z) ≡ 0 266

(5.6.3)

è ïîëîæèì â íåì ïîî÷åðåäíî z = z1 , . . . , z = zn . Èñïîëüçóÿ (5.6.2), íàõîäèì, ÷òî óðàâíåíèå (5.6.3) èìååò òîëüêî íóëåâîå ðåøåíèå, ò.å. ïîëèíîìû (5.6.1) ëèíåéíî íåçàâèñèìû è îáðàçóþò áàçèñ Pn . Ïîñòðîèì òåïåðü ïîëèíîì L ïîðÿäêà n, ïðèíèìàþùèé â n çàäàííûõ òî÷êàõ çàäàííûå çíà÷åíèÿ:

L(zk ) = yk ,

k = 1, . . . , n.

(5.6.4)

Èñêàòü åãî áóäåì â âèäå ðàçëîæåíèÿ ïî ïîñòðîåííîìó áàçèñó (5.6.1)

L(z) =

n X

αm l(m) (z).

m=1

Âûïèñûâàÿ óñëîâèÿ (5.6.4), ïîëó÷èì ñèñòåìó óðàâíåíèé äëÿ îïðåäåëåíèÿ êîýôôèöèåíòîâ ðàçëîæåíèÿ

L(zk ) =

n X

αm l(m) (zk ) = yk ,

k = 1, . . . , n.

m=1

Ïîäñòàâèâ ñþäà (5.6.2), ïîëó÷èì n X m=1

αm l

(m)

(zk ) =

n X

αm δmk = αk = yk ,

k = 1, . . . , n.

¥

m=1

Ìû íå òîëüêî äîêàçàëè òåîðåìó, íî è ïîëó÷èëè ÿâíîå âûðàæåíèå äëÿ åäèíñòâåííîãî ïîëèíîìà ïîðÿäêà n, ïðèíèìàþùåãî â n çàäàííûõ òî÷êàõ çàäàííûå çíà÷åíèÿ:

L(z) =

n X

ym l(m) (z).

m=1

Åãî íàçûâàþò èíòåðïîëÿöèîííûì ïîëèíîìîì â ôîðìå Ëàãðàíæà. Çàìå÷àíèå. Ñóùåñòâåííî, ÷òî â òåîðåìå ôèêñèðóåòñÿ ïîðÿäîê èíòåðïîëÿöèîííîãî ïîëèíîìà, à íå åãî ñòåïåíü. Âçÿâ, íàïðèìåð, yk ≡ 1 ïðè k = 1, . . . , n, ïîëó÷èì äëÿ ëþáîãî n L(z) ≡ 1  ïîëèíîì íóëåâîé ñòåïåíè. Ïðèìåð. Ïîñòðîèì ïîëèíîì òðåòüåãî ïîðÿäêà, ñîîòâåòñòâóþùèé òàáëèöå

z y L(z) = 4 ·

1 2 3 4 5 6

(z − 1)(z − 3) (z − 1)(z − 2) (z − 2)(z − 3) +5· +6· = z + 3. (1 − 2)(1 − 3) (2 − 1)(2 − 3) (3 − 1)(3 − 2) 267

Ãëàâà 6. ÑÎÁÑÒÂÅÍÍÛÅ ×ÈÑËÀ È ÑÎÁÑÒÂÅÍÍÛÅ ÂÅÊÒÎÐÛ ÊÂÀÄÐÀÒÍÎÉ ÌÀÒÐÈÖÛ 6.1. Îñíîâíûå ïîíÿòèÿ Ïóñòü A  ìàòðèöà ðàçìåðà (m × n). Óìíîæåíèå âåêòîðà èç Cn íà ýòó ìàòðèöó ñëåâà äàåò âåêòîð èç Cm . Òàêèì îáðàçîì, ìîæíî ñêàçàòü, ÷òî (m × n)-ìàòðèöà A ïîðîæäàåò îòîáðàæåíèå ëèíåéíîãî ïðîñòðàíñòâà Cn â ëèíåéíîå ïðîñòðàíñòâî Cm :

x −→ Ax. Îòìåòèì äâà âàæíûõ ñâîéñòâà ýòîãî îòîáðàæåíèÿ. 1. Îáðàç ñóììû äâóõ âåêòîðîâ åñòü ñóììà èõ îáðàçîâ:

¡ ¢ A x(1) + x(2) = Ax(1) + Ax(2) .

2. Ïðè óìíîæåíèè âåêòîðà íà ÷èñëî åãî îáðàç óìíîæàåòñÿ íà òî æå ÷èñëî:

A(αx) = α(Ax).

Ñâîéñòâà 1 è 2 ìîæíî îáúåäèíèòü è ïåðåôîðìóëèðîâàòü òàê: äëÿ ëþáûõ âåêòîðîâ x(1) , x(2) è äëÿ ëþáûõ ÷èñåë α1 , α2

¡ ¢ A α1 x(1) + α2 x(2) = α1 Ax(1) + α2 Ax(2) .

Îòîáðàæåíèÿ, îáëàäàþùèå ýòèì ñâîéñòâîì, íàçûâàþòñÿ ëèíåéíûìè (ñðàâíèòå ñî ñâîéñòâîì 3 îïðåäåëèòåëÿ ìàòðèöû, ï.3.2). Èòàê, ìàòðèöà ïîðîæäàåò ëèíåéíîå îòîáðàæåíèå Cn â Cm (ëèíåéíûé îïåðàòîð, äåéñòâóþùèé èç Cn â Cm ). Çàìåòèì, ÷òî åñëè A  (m × n)-ìàòðèöà ñ âåùåñòâåííûìè ýëåìåíòàìè è x ∈ Rn , òî Ax ∈ Rm , ò.å. âåùåñòâåííàÿ ìàòðèöà ïîðîæäàåò åùå è ëèíåéíûé îïåðàòîð, äåéñòâóþùèé èç Rn â Rm . Åñëè A  êâàäðàòíàÿ ìàòðèöà, òî îíà ïîðîæäàåò îòîáðàæåíèå ëèíåéíîãî ïðîñòðàíñòâà â ñåáÿ. Ðàññìîòðèì ïðèìåð òàêîãî îòîáðàæåíèÿ. Ïóñòü n = 2,

¸ 5 −6 , A= 3 −4 ·

Òîãäà

·

¸ · ¸ · ¸ 5 −6 −6 −6 Ay = · = , 3 −4 −4 −2

¸ −6 , y= −4 ·

·

· ¸ 2 . x= 1

¸ · ¸ · ¸ 5 −6 2 4 Ax = · = = 2 · x. 3 −4 1 2 268

Âèäíî (ðèñ.6.1), ÷òî óìíîæåíèå âåêòîðà y íà ìàòðèöó A íå òîëüêî "ðàñòÿãèâàåò" ñîîòâåòñòâóþùèé ýòîìó âåêòîðó íàïðàâëåííûé îòðåçîê − → − y , íî è "ïîâîðà÷èâàåò" åãî, â òî âðåìÿ êàê íàïðàâëåííûå îòðåçêè → x è −→ Ax êîëëèíåàðíû. *− → → − ©© © x* Ax © ©

− → Ay

©© ³ ³ ´ ³³´ ³³ ´ ³ ´ )³ ³ ´ ´ ´ +´ ´

→ − y

Ðèñ.6.1

Îïðåäåëåíèå. Ïóñòü A  êâàäðàòíàÿ (n × n)-ìàòðèöà. Åñëè äëÿ íåêîòîðîãî êîìïëåêñíîãî ÷èñëà λ è íåêîòîðîãî íåíóëåâîãî âåêòîðà x ∈ Cn âûïîëíÿåòñÿ ðàâåíñòâî

Ax = λx,

(6.1.1)

òî λ íàçûâàåòñÿ ñîáñòâåííûì ÷èñëîì (èëè ñîáñòâåííûì çíà÷åíèåì) ìàòðèöû A, à x  ñîáñòâåííûì âåêòîðîì ýòîé ìàòðèöû, ñîîòâåòñòâóþùèì ñîáñòâåííîìó ÷èñëó λ. Çàìå÷àíèÿ. 1.  ñëó÷àå, êîãäà ðå÷ü èäåò î ñîáñòâåííûõ ÷èñëàõ íåñêîëüêèõ ìàòðèö, íàïðèìåð, A è B , öåëåñîîáðàçíî èñïîëüçîâàòü îáîçíà÷åíèÿ λ(A) è λ(B). 2. Óñëîâèå x 6= θ äëÿ ñîáñòâåííîãî âåêòîðà ñóùåñòâåííî, òàê êàê Aθ = λθ ïðè ëþáîì λ, è ýòîò ñëó÷àé íå ïðåäñòàâëÿåò èíòåðåñà.

6.2. Ïîëíàÿ ïðîáëåìà ñîáñòâåííûõ çíà÷åíèé Ïîëíîé ïðîáëåìîé ñîáñòâåííûõ çíà÷åíèé íàçûâàþò çàäà÷ó î íàõîæäåíèè âñåõ ñîáñòâåííûõ ÷èñåë è ñîáñòâåííûõ âåêòîðîâ êâàäðàòíîé ìàòðèöû. Ýòà çàäà÷à íàðÿäó ñ çàäà÷åé î ðåøåíèè ñèñòåìû ëèíåéíûõ óðàâíåíèé ñîñòàâëÿåò îñíîâíîå ñîäåðæàíèå ëèíåéíîé àëãåáðû. Ïðåîáðàçóåì óðàâíåíèå (6.1.1), îïðåäåëÿþùåå ñîáñòâåííûå ÷èñëà è ñîîòâåòñòâóþùèå èì ñîáñòâåííûå âåêòîðû.

Ax = λx

⇐⇒

Ax − λx = θ

⇐⇒

(A − λI)x = θ.

(6.2.1)

 (6.2.1) n óðàâíåíèé (íåëèíåéíûõ!) ñ (n + 1) ïåðåìåííûìè: x1 , . . . , xn è åùå λ. 269

Çàìåòèì, îäíàêî, ÷òî ïðè ôèêñèðîâàííîì λ ýòà ñèñòåìà ñòàíîâèòñÿ ëèíåéíîé è îäíîðîäíîé, è, ñëåäîâàòåëüíî, ñóùåñòâîâàíèå ó íåå íåíóëåâûõ ðåøåíèé ðàâíîñèëüíî âûðîæäåííîñòè ìàòðèöû åå êîýôôèöèåíòîâ. Èòàê, ñîáñòâåííûå ÷èñëà ìàòðèöû A  ýòî â òî÷íîñòè êîðíè óðàâíåíèÿ

det(A − λI) = 0.

(6.2.2)

Èññëåäóåì ýòî óðàâíåíèå. Êàê èçâåñòíî, îïðåäåëèòåëü ìàòðèöû âû÷èñëÿåòñÿ ÷åðåç åå ýëåìåíòû ñ ïîìîùüþ îïåðàöèé óìíîæåíèÿ è ñëîæåíèÿ. Ñ äðóãîé ñòîðîíû, ýëåìåíòû ìàòðèöû A − λI  ýòî ïîëèíîìû îòíîñèòåëüíî λ. Ñëåäîâàòåëüíî, det(A − λI)  òîæå ïîëèíîì îòíîñèòåëüíî λ. Îí íàçûâàåòñÿ õàðàêòåðèñòè÷åñêèì ïîëèíîìîì ìàòðèöû A, è ìû áóäåì îáîçíà÷àòü åãî PA (λ). Ïðèìåðû. 1. n = 1, A = [a11 ]; PA (λ) = det[a11 − λ] = a11 − λ.

¸ a11 a12 ; 2. n = 2, A = a21 a22 ·

·

¸ a11 − λ a12 PA (λ) = det = a21 a22 − λ

= det(A) − Sp(A) · λ + λ2 (çäåñü Sp(A)  ñëåä ìàòðèöû  ñóììà åå äèàãîíàëüíûõ ýëåìåíòîâ).

  a11 a12 a13 3. n = 3, A = a21 a22 a23  ; a31 a32 a33

  a11 − λ a12 a13 PA (λ) = det a21 a22 − λ a23  = a31 a32 a33 − λ

= det(A) − (A11 + A22 + A33 ) · λ + Sp(A) · λ2 − λ3 (çäåñü Akk , k = 1, 2, 3  àëãåáðàè÷åñêèå äîïîëíåíèÿ äèàãîíàëüíûõ ýëåìåíòîâ ìàòðèöû).

Ìîæíî ïîêàçàòü, ÷òî äëÿ êâàäðàòíîé ìàòðèöû A ïîðÿäêà n õàðàêòåðèñòè÷åñêèé ïîëèíîì èìååò ñòåïåíü n, ïðè÷åì ñòàðøèé êîýôôèöèåíò åãî ðàâåí (−1)n , ñâîáîäíûé ÷ëåí ðàâåí det(A), à êîýôôèöèåíò ïðè λn−1 ðàâåí (−1)n−1 · Sp(A). Íàïîìíèì (ñì. ï.3.3 ðàçäåëà "Ìàòåìàòè÷åñêèé àíàëèç"), ÷òî âñÿêèé ïîëèíîì ñòåïåíè n ≥ 1 ìîæåò áûòü ðàçëîæåí íà ìíîæèòåëè:

p0 + p1 λ + . . . + pn λn ≡ pn · (λ − λ1 )k1 · . . . (λ − λm )km . Çäåñü ÷èñëà λ1 , . . . λm  ïîïàðíî ðàçëè÷íûå êîðíè ïîëèíîìà, à íàòóðàëüíûå ÷èñëà k1 , . . . , km  èõ êðàòíîñòè. Ïðè ýòîì k1 + . . . + km = 270

n, ò.å. ïîëíîå êîëè÷åñòâî êîðíåé ïîëèíîìà (ñ ó÷åòîì èõ êðàòíîñòè) ðàâíî ñòåïåíè ïîëèíîìà. Äàëåå, ïî ôîðìóëàì ñóììà âñåõ êîðíåé ³ Âèåòà ´ p ïîëèíîìà (ñ ó÷åòîì êðàòíîñòè) ðàâíà − pn−1 , à ïðîèçâåäåíèå ðàâíî n ³ ´ p (−1)n pn0 . Ýòè ñâîéñòâà ïîçâîëÿþò ñôîðìóëèðîâàòü ðÿä ñîäåðæàòåëüíûõ óòâåðæäåíèé î ñîáñòâåííûõ ÷èñëàõ ìàòðèöû: 1. Êàæäàÿ êâàäðàòíàÿ ìàòðèöà ïîðÿäêà n èìååò (ñ ó÷åòîì âîçìîæíîé êðàòíîñòè) ðîâíî n ñîáñòâåííûõ ÷èñåë. Çàìå÷àíèå. Îòìåòèì, ÷òî äàæå ó âåùåñòâåííîé ìàòðèöû ñîáñòâåííûå ÷èñëà íå îáÿçàòåëüíî âåùåñòâåííû. Íàïðèìåð:

·

¸ 0 1 B= ; −1 0

·

¸ −λ 1 PB (λ) = det = λ2 + 1; −1 −λ

λ1,2 = ±i .

2. Ñóììà âñåõ (ñ ó÷åòîì èõ êðàòíîñòè) ñîáñòâåííûõ ÷èñåë ìàòðèöû ðàâíà åå ñëåäó. Ïðîèçâåäåíèå æå âñåõ ñîáñòâåííûõ ÷èñåë ìàòðèöû ðàâíî åå îïðåäåëèòåëþ. n X

n Y

λr (A) = Sp(A);

r=1

λr (A) = det(A).

r=1

Ñëåäñòâèå. Âûðîæäåííîñòü ìàòðèöû ðàâíîñèëüíà íàëè÷èþ ó íåå íóëåâîãî ñîáñòâåííîãî ÷èñëà. Îñòàíîâèìñÿ òåïåðü íà âîïðîñå î êîëè÷åñòâå ñîáñòâåííûõ âåêòîðîâ ìàòðèöû. Ïðåæäå âñåãî îòìåòèì, ÷òî óìíîæèâ ñîáñòâåííûé âåêòîð íà îòëè÷íîå îò íóëÿ ÷èñëî, ïîëó÷èì âíîâü ñîáñòâåííûé âåêòîð:

x 6= θ

^

Ax = λx =⇒

^

α 6= 0 =⇒ ^ αx 6= θ A(αx) = α(Ax) = α(λx) = λ(αx).

Ïîýòîìó èìååò ñìûñë ãîâîðèòü íå î êîëè÷åñòâå ñîáñòâåííûõ âåêòîðîâ ìàòðèöû âîîáùå, à ëèøü î êîëè÷åñòâå åå ëèíåéíî íåçàâèñèìûõ ñîáñòâåííûõ âåêòîðîâ. Èìååò ìåñòî ñëåäóþùàÿ âàæíåéøàÿ Òåîðåìà. Ñîáñòâåííûå âåêòîðû ìàòðèöû, ñîîòâåòñòâóþùèå åå ïîïàðíî ðàçëè÷íûì ñîáñòâåííûì ÷èñëàì, ëèíåéíî íåçàâèñèìû. 271

Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü k ≤ n, λ1 , . . . , λk  ïîïàðíî ðàçëè÷íûå ñîáñòâåííûå ÷èñëà (n × n)-ìàòðèöû A, à x(1) , . . . x(k)  ñîîòâåòñòâóþùèå èì ñîáñòâåííûå âåêòîðû. Ñîñòàâèì óðàâíåíèå

α1 x(1) + . . . + αk x(k) = θ

(6.2.3)

è ïîêàæåì, ÷òî îíî èìååò òîëüêî íóëåâîå ðåøåíèå. Óìíîæèì (6.2.3) ñëåâà íà ìàòðèöó A. Ïî îïðåäåëåíèþ ñîáñòâåííûõ âåêòîðîâ ïîëó÷èì

α1 λ1 x(1) + α2 λ2 x(2) + . . . + αk λk x(k) = θ.

(6.2.4)

Ñ äðóãîé ñòîðîíû, óìíîæàÿ îáå ÷àñòè (6.2.3) íà λ1 , èìååì

α1 λ1 x(1) + α2 λ1 x(2) + . . . + αk λ1 x(k) = θ. Âû÷èòàíèå ïîëó÷åííîãî ðàâåíñòâà èç (6.2.4) äàåò

α2 (λ2 − λ1 )x(2) + . . . + αk (λk − λ1 )x(k) = θ.

(6.2.5)

Êîëè÷åñòâî ñëàãàåìûõ â ëåâîé ÷àñòè (6.2.5) óìåíüøèëîñü ïî ñðàâíåíèþ ñ (6.2.3) íà åäèíèöó. Óìíîæàÿ (6.2.5) ñëåâà íà ìàòðèöó A, çàòåì íà λ2 è âû÷èòàÿ èç ïåðâîãî ïðîèçâåäåíèÿ âòîðîå, óìåíüøèì êîëè÷åñòâî ñëàãàåìûõ â ëåâîé ÷àñòè åùå íà åäèíèöó. Ïîâòîðÿÿ ýòîò ïðèåì, ïðèäåì ê ðàâåíñòâó

αk (λk − λ1 ) · (λk − λ2 ) · . . . · (λk − λk−1 )x(k) = θ, èç êîòîðîãî, ó÷èòûâàÿ, ÷òî x(k) 6= θ, à ñîáñòâåííûå ÷èñëà ïîïàðíî ðàçëè÷íû, ïîëó÷èì, ÷òî αk = 0. Òàê êàê ïîðÿäîê ñîáñòâåííûõ âåêòîðîâ â óðàâíåíèè (6.2.3) ïðîèçâîëåí, ìû ïîêàçàëè, íà ñàìîì äåëå, ÷òî ðàâíû íóëþ âñå ÷èñëà αr (r = 1, . . . , k), è ëèíåéíàÿ íåçàâèñèìîñòü ñîáñòâåííûõ âåêòîðîâ, ñîîòâåòñòâóþùèõ ïîïàðíî ðàçëè÷íûì ñîáñòâåííûì ÷èñëàì, äîêàçàíà. ¥ Ýòà òåîðåìà èìååò âàæíîå Ñëåäñòâèå. Åñëè âñå n ñîáñòâåííûõ ÷èñåë (n×n)-ìàòðèöû A ïîïàðíî ðàçëè÷íû, òî ñîîòâåòñòâóþùèå èì ñîáñòâåííûå âåêòîðû îáðàçóþò áàçèñ â Cn . Òàêîé áàçèñ ïðèíÿòî íàçûâàòü ñîáñòâåííûì áàçèñîì ìàòðèöû A. Âîïðîñ î ñóùåñòâîâàíèè ñîáñòâåííîãî áàçèñà â ñëó÷àå íàëè÷èÿ êðàòíûõ êîðíåé õàðàêòåðèñòè÷åñêîãî ïîëèíîìà (êðàòíûõ ñîáñòâåííûõ ÷èñåë ìàòðèöû) îêàçûâàåòñÿ áîëåå ñëîæíûì. 272

·

¸ · ¸ 2 0 2 1 Ïðèìåð. Ïóñòü A = , B= . 0 2 0 2 Õàðàêòåðèñòè÷åñêèå ïîëèíîìû ó ýòèõ ìàòðèö ñîâïàäàþò: · ¸ · ¸ 2−λ 0 2 − λ 1 PA (λ) = det = (2 − λ)2 = det = PB (λ). 0 2−λ 0 2−λ Èòàê, îáå ìàòðèöû èìåþò ñîáñòâåííûå ÷èñëà λ = 2 äâîéíîé êðàòíîñòè. Íî ó ìàòðèöû A åñòü ñîáñòâåííûé áàçèñ (íàïðèìåð, ñòàíäàðòíûé  e(1) è e(2) ). À âîò ó ìàòðèöû B åñòü (ñ òî÷íîñòüþ äî ÷èñëîâîãî ìíîæèòåëÿ) òîëüêî îäèí ñîáñòâåííûé âåêòîð. Äåéñòâèòåëüíî, ðåøàÿ ñèñòåìó

· (B −2I)x = θ ⇐⇒

¸ · ¸ · ¸ 0 1 x1 0 · = , 0 0 x2 0

· ¸ 1 ïîëó÷èì x = γ (γ 6= 0). 0

Îäíàêî åùå Ãðèãîðèé Ñêîâîðîäà56 ñêàçàë: "Ñëàâà Ñîçäàòåëþ, ñîòâîðèâøåìó âñå íåíóæíîå òðóäíûì, à âñå òðóäíîå  íåíóæíûì". Íàèáîëåå ÷àñòî âñòðå÷àþùèéñÿ â ïðèëîæåíèÿõ êëàññ ñàìîñîïðÿæåííûõ ìàòðèö èçáàâëåí îò îòìå÷åííûõ ñëîæíîñòåé. Ó òàêèõ ìàòðèö, êàê áóäåò ïîêàçàíî â ï.8.1, âñåãäà åñòü ñîáñòâåííûé áàçèñ. Òåïåðü ìû ìîæåì çàêîí÷èòü ðàññìîòðåíèå ïðèìåðà, ñ êîòîðîãî íà÷èíàåòñÿ ýòà ãëàâà:

·

¸ 5 −6 A= , 3 −4

·

¸ 5−λ −6 PA (λ) = det = λ2 − λ − 2. 3 −4 − λ

Ñîáñòâåííûå ÷èñëà ìàòðèöû A: λ1 = 2, λ2 = −1. Íàõîäèì ñîîòâåòñòâóþùèå èì ñîáñòâåííûå âåêòîðû, ðåøàÿ îäíîðîäíûå ñèñòåìû ëèíåéíûõ óðàâíåíèé (A − λr I)x(r) = θ, r = 1, 2.

· r = 1;

¸ · ¸ 3 −6 0 · x(1) = 3 −6 0

⇐⇒

x(1)

· ¸ 2 = γ1 , 1

ãäå γ1  ïðîèçâîëüíîå, îòëè÷íîå îò íóëÿ ÷èñëî (îòìåòèì, ÷òî ïðè γ1 = 1 ìû ïîëó÷àåì óæå óïîìèíàâøèéñÿ â ï.6.1 ñîáñòâåííûé âåêòîð).

· r = 2;

¸ · ¸ 0 6 −6 · x(2) = 0 3 −3

⇐⇒

56 Ãðèãîðèé

x(2)

· ¸ 1 , = γ2 1

γ2 6= 0.

Ñàââè÷ ÑÊÎÂÎÐÎÄÀ (1722-1794)  óêðàèíñêèé ôèëîñîô, ïîýò, ïåäàãîã, âåë æèçíü ñòðàíñòâóþùåãî íèùåãî. Åãî ñî÷èíåíèÿ ðàñïðîñòðàíÿëèñü â ñïèñêàõ. 273

Âåêòîðû x(1) è x(2) îáðàçóþò ñîáñòâåííûé áàçèñ ìàòðèöû A. Èòàê, ïîñòðîåí àëãîðèòì ðåøåíèÿ ïîëíîé ïðîáëåìû ñîáñòâåííûõ çíà÷åíèé äëÿ êâàäðàòíîé ìàòðèöû: 1. Âû÷èñëèòü êîýôôèöèåíòû õàðàêòåðèñòè÷åñêîãî ïîëèíîìà PA (λ) = det(A − λI). 2. Íàéòè âñå ïîïàðíî ðàçëè÷íûå êîðíè ýòîãî ïîëèíîìà  ñîáñòâåííûå ÷èñëà λ1 , . . . , λm (m ≤ n). 3. Äëÿ êàæäîãî ñîáñòâåííîãî ÷èñëà íàéòè âñå ñîîòâåòñòâóþùèå åìó ëèíåéíî íåçàâèñèìûå ñîáñòâåííûå âåêòîðû  íåíóëåâûå ðåøåíèÿ îäíîðîäíîé ëèíåéíîé ñèñòåìû (A − λr I)x(r) = θ, r = 1, . . . , m. Ñåðüåçíîå ïðåäóïðåæäåíèå. Ýòîò, êàçàëîñü áû, åñòåñòâåííûé àëãîðèòì îáëàäàåò îäíèì óáèéñòâåííûì íåäîñòàòêîì: íå ñóùåñòâóåò ÷èñëåííî óñòîé÷èâûõ ìåòîäîâ åãî ðåàëèçàöèè. Ïîýòîìó íà ïðàêòèêå èñïîëüçóþò äðóãèå ìåòîäû ðåøåíèÿ ïîëíîé ïðîáëåìû ñîáñòâåííûõ çíà÷åíèé. Îäèí èç òàêèõ ìåòîäîâ áóäåò ðàññìîòðåí â ï.8.2. Îòìåòèì åùå íåêîòîðûå ñâîéñòâà ñîáñòâåííûõ âåêòîðîâ è ñîáñòâåííûõ ÷èñåë ìàòðèöû. 1. Åñëè ìàòðèöó óìíîæèòü íà îòëè÷íîå îò íóëÿ ÷èñëî, òî ìíîæåñòâî åå ñîáñòâåííûõ âåêòîðîâ íå èçìåíèòñÿ, à ñîáñòâåííûå ÷èñëà óìíîæàòñÿ íà ýòî æå ÷èñëî. Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü α 6= 0. Òîãäà

Ax = λx A

−1

⇐⇒

(αA)x = α(Ax) = α(λx) = (αλ)x.

¥

2. Åñëè ìàòðèöà A îáðàòèìà, òî ñîáñòâåííûå âåêòîðû ìàòðèö A è ñîâïàäàþò, à èõ ñîáñòâåííûå ÷èñëà âçàèìíî îáðàòíû.

Äîêàçàòåëüñòâî. Èç îáðàòèìîñòè A ñëåäóåò, ÷òî det(A) 6= 0 è, òàêèì îáðàçîì, âñå ñîáñòâåííûå ÷èñëà îòëè÷íû îò íóëÿ. Äàëåå,

Ax = λx =⇒ x = A−1 Ax = A−1 (λx) = λ(A−1 x) =⇒ A−1 x =

1 x. λ

¥

3. Ñîáñòâåííûå âåêòîðû ñîïðÿæåííûõ êâàäðàòíûõ ìàòðèö  ñîïðÿæåííûå êîìïëåêñíûå ÷èñëà. Äîêàçàòåëüñòâî.

PA∗ (λ) = det(A∗ − λI) = det ((A − λI)∗ ) = det(A − λI) = PA (λ). 274

Ïîýòîìó, åñëè PA (λ) = 0, òî PA (λ) = 0 è PA∗ (λ) = 0.

¥

Çàìå÷àíèå.  îòëè÷èå îò âçàèìíî îáðàòíûõ ìàòðèö ñîáñòâåííûå âåêòîðû ýðìèòîâî ñîïðÿæåííûõ ìàòðèö, âîîáùå ãîâîðÿ, íèêàê ìåæäó ñîáîé íå ñâÿçàíû.

6.3. Ïîäîáíûå ìàòðèöû Îïðåäåëåíèå. Ãîâîðÿò, ÷òî (n × n)-ìàòðèöà A ïîäîáíà (n × n)ìàòðèöå B , åñëè ñóùåñòâóåò òàêàÿ îáðàòèìàÿ (n × n)-ìàòðèöà S , ÷òî

A = S −1 BS. Î÷åâèäíî, ÷òî åñëè A ïîäîáíà B , òî è B ïîäîáíà A, òàê êàê

A = S −1 BS

⇐⇒

¡ ¢−1 B = SAS −1 = S −1 BS −1 .

Ïîýòîìó ãîâîðÿò, ÷òî ìàòðèöû A è B ïîäîáíû äðóã äðóãó, Î÷åâèäíî òàêæå, ÷òî âñÿêàÿ êâàäðàòíàÿ ìàòðèöà ïîäîáíà ñàìîé ñåáå. Äàëåå, åñëè A ïîäîáíà B è B ïîäîáíà C , òî A ïîäîáíà C . Äåéñòâèòåëüíî,

A = S1−1 BS1

^

B = S2−1 CS2 =⇒ A = S1−1 S2−1 CS2 S1 = (S2 S1 )−1 C(S2 S1 ).

Ðàññìîòðèì òåïåðü ñâîéñòâà ñîáñòâåííûõ ÷èñåë ïîäîáíûõ ìàòðèö. Òåîðåìà. Õàðàêòåðèñòè÷åñêèå ïîëèíîìû ïîäîáíûõ ìàòðèö ðàâíû. Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü A = S −1 BS . Òîãäà ñ ó÷åòîì (3.4.1) èìååì

PA (λ) = det(A − λI) = det(S −1 BS − λI) = det(S −1 BS − λS −1 IS) = ¡ ¢ = det S −1 (B − λI)S = det(S −1 ) · det(B − λI) · det(S) = = det(B − λI) = PB (λ).

¥

Ñëåäñòâèå. Ñîáñòâåííûå ÷èñëà ïîäîáíûõ ìàòðèö ïîïàðíî ðàâíû. Äëÿ äàëüíåéøåãî áîëüøîå çíà÷åíèå èìååò ñëåäóþùàÿ Òåîðåìà. Åñëè ó ìàòðèöû åñòü ñîáñòâåííûé áàçèñ, òî ñðåäè ïîäîáíûõ åé åñòü äèàãîíàëüíàÿ. Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü s(1) , . . . , s(n)  ëèíåéíî íåçàâèñèìûå ñîáñòâåííûå âåêòîðû ìàòðèöû A; λ1 , . . . , λn  ñîáñòâåííûå ÷èñëà, êîòîðûì îíè ñîîòâåòñòâóþò:

As(r) = λr s(r) ,

275

r = 1, . . . , n.

(6.3.1)

Ïåðåïèøåì ýòó ñèñòåìó ðàâåíñòâ â ìàòðè÷íîé ôîðìå

AS = SΛ,

(6.3.2)

ãäå S = [s(1) , . . . , s(n) ], Λ = diag[λ1 , . . . , λn ] (îáðàòèòå âíèìàíèå íà ïîðÿäîê ñîìíîæèòåëåé â ïðàâîé ÷àñòè (6.3.2)!). Òàê êàê âåêòîðû s(1) , . . . , s(n) îáðàçóþò áàçèñ, ìàòðèöà S îáðàòèìà. Äîìíîæèâ (6.3.2) ñëåâà íà S −1 , ïîëó÷èì S −1 AS = Λ. ¥ Âåðíî è îáðàòíîå óòâåðæäåíèå: åñëè ñðåäè ìàòðèö, ïîäîáíûõ ìàòðèöå A, åñòü äèàãîíàëüíàÿ, òî íà åå äèàãîíàëè ñòîÿò ñîáñòâåííûå ÷èñëà ìàòðèöû A, è ó A åñòü ñîáñòâåííûé áàçèñ. Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü S −1 AS = Λ. Äîìíîæèâ ýòî ðàâåíñòâî ñëåâà íà S , ïîëó÷èì AS = SΛ, ÷òî â âåêòîðíîé ôîðìå ïåðåïèñûâàåòñÿ êàê (6.3.1). Òàêèì îáðàçîì, λr  ñîáñòâåííûå ÷èñëà ìàòðèöû A, à s(r)  åå ñîáñòâåííûå âåêòîðû. Îñòàëîñü çàìåòèòü, ÷òî â ñèëó îáðàòèìîñòè ìàòðèöû S åå ñòîëáöû  ñîáñòâåííûå âåêòîðû ìàòðèöû A  îáðàçóþò áàçèñ. ¥

276

Ãëàâà 7. ÑÊÀËßÐÍÎÅ ÏÐÎÈÇÂÅÄÅÍÈÅ ÂÅÊÒÎÐΠ7.1. Îïðåäåëåíèå è ñâîéñòâà ñêàëÿðíîãî ïðîèçâåäåíèÿ Îïðåäåëåíèå. Ñêàëÿðíûì ïðîèçâåäåíèåì âåêòîðîâ x ∈ Cn (ëåâûé ñîìíîæèòåëü) è y ∈ Cn (ïðàâûé ñîìíîæèòåëü) íàçûâàåòñÿ êîìïëåêñíîå ÷èñëî, êîòîðîå îáîçíà÷àåòñÿ hx, yi è íàõîäèòñÿ ïî ïðàâèëó

hx, yi = x1 y 1 + . . . xn y n =

n X

xr y r .

(7.1.1)

r=1

Ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå âåêòîðîâ (îäíîñòîëáöîâûõ ìàòðèö) ìîæíî çàïèñàòü è â òåðìèíàõ ìàòðè÷íîãî óìíîæåíèÿ:

hx, yi = y ∗ x.

(7.1.2)

Ðàññìîòðèì ñâîéñòâà ñêàëÿðíîãî ïðîèçâåäåíèÿ. 1. Ñêàëÿðíûé êâàäðàò ëþáîãî âåêòîðà  âåùåñòâåííîå íåîòðèöàòåëüíîå ÷èñëî. Áîëåå òîãî, îí ìîæåò ðàâíÿòüñÿ íóëþ, òîëüêî åñëè âåêòîð íóëåâîé.

hx, xi ≥ 0;

hx, xi = 0

⇐⇒

x = θ.

Äîêàçàòåëüñòâî. Ïåðâàÿ ÷àñòü óòâåðæäåíèÿ î÷åâèäíà:

hx, xi =

n X

xr xr =

r=1

n X

|xr |2 ≥ 0.

r=1

Äàëåå, ñêàëÿðíûé êâàäðàò íóëåâîãî âåêòîðà ðàâåí, î÷åâèäíî, íóëþ. Ñ äðóãîé ñòîðîíû, åñëè ñóììà íåîòðèöàòåëüíûõ ÷èñåë  êâàäðàòîâ ìîäóëåé êîîðäèíàò âåêòîðà  ðàâíà íóëþ, òî âñå êîîðäèíàòû ðàâíû íóëþ, ò.å. âåêòîð  íóëåâîé. ¥ 2. Ïðè èçìåíåíèè ïîðÿäêà ñîìíîæèòåëåé ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå âåêòîðîâ çàìåíÿåòñÿ íà ñîïðÿæåííîå êîìïëåêñíîå ÷èñëî.

hy, xi = hx, yi. Äîêàçàòåëüñòâî.

hy, xi = y1 x1 + . . . yn xn = y 1 x1 + . . . y n xn = x1 y 1 + . . . xn y n = hx, yi. 277

¥

3. Ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå ëèíåéíî îòíîñèòåëüíî ëåâîãî ñîìíîæèòåëÿ.

h(x + y), zi = hx, zi + hy, zi;

α ∈ C =⇒ hαx, yi = αhx, yi.

Äîêàçàòåëüñòâî. Âû÷èñëåíèå ïî îïðåäåëåíèþ.

¥

Çàìå÷àíèÿ. 1. Îòíîñèòåëüíî ïðàâîãî ñîìíîæèòåëÿ ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå ëèíåéíûì íå ÿâëÿåòñÿ. Äåéñòâèòåëüíî, èç ñâîéñòâ 2 è 3 ñëåäóåò

hx, αyi = hαy, xi = αhy, xi = αhx, yi. 2.  Rn ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå ââîäèòñÿ òàêæå ïî ôîðìóëå (7.1.1), íî çíàê êîìïëåêñíîãî ñîïðÿæåíèÿ ñòàíîâèòñÿ èçëèøíèì. 3.  êîíå÷íîìåðíûõ ëèíåéíûõ ïðîñòðàíñòâàõ, îòëè÷íûõ îò Cn è Rn , ìîæíî ââåñòè ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå, ñîïîñòàâèâ êàæäîé óïîðÿäî÷åííîé ïàðå âåêòîðîâ x, y ("ïðèðîäà" êîòîðûõ íå èãðàåò ðîëè) ÷èñëî, îáîçíà÷àåìîå hx, yi. Ñâîáîäà "íàçíà÷åíèÿ" ýòîãî ÷èñëà îãðàíè÷åíà ñëåäóþùèìè àêñèîìàìè ñêàëÿðíîãî ïðîèçâåäåíèÿ, êîòîðûå áûëè ïðîâåðåíû âûøå äëÿ Cn . 1. hx, xi ≥ 0; hx, xi = 0 ⇐⇒ x = θ. 2. hy, xi = hx, yi. 3. h(x + y), zi = hx, zi + hy, zi; α ∈ C =⇒ hαx, yi = αhx, yi. Óáåäèâøèñü â âûïîëíåíèè ýòèõ àêñèîì, ìîæíî èñïîëüçîâàòü âñå ðåçóëüòàòû ïîñòðîåííîé òåîðèè. Ïðèìåð ñêàëÿðíîãî ïðîèçâåäåíèÿ â ïðîñòðàíñòâå ïîëèíîìîâ Pn áóäåò ðàññìîòðåí â ï.11.3. 4. Êîìïëåêñíîå ëèíåéíîå ïðîñòðàíñòâî ñî ñêàëÿðíûì ïðîèçâåäåíèåì íàçûâàåòñÿ óíèòàðíûì ïðîñòðàíñòâîì, âåùåñòâåííîå  åâêëèäîâûì. Äîêàæåì åùå äâà âàæíûõ ñâîéñòâà ñêàëÿðíîãî ïðîèçâåäåíèÿ. 4. Åñëè x ∈ Cn , y ∈ Cm è A  (m × n)-ìàòðèöà, òî

hx, A∗ yi = hAx, yi. Äîêàçàòåëüñòâî. Èñïîëüçóÿ (7.1.2), ïîëó÷àåì

hx, A∗ yi = (A∗ y)∗ x = y ∗ A∗∗ x = y ∗ Ax = hAx, yi. 5. Äëÿ ëþáûõ äâóõ âåêòîðîâ x, y ∈ Cn

|hx, yi|2 ≤ hx, xi · hy, yi. 278

¥

Ñâîéñòâî 5 èìåíóåòñÿ íåðàâåíñòâîì ÊîøèÁóíÿêîâñêîãîØâàðöà57 (ÊÁØ). Äîêàçàòåëüñòâî. Åñëè y = θ, òî |hx, θi|2 = 0 = hx, xi · hθ, θi. Åñëè y 6= θ, òî îáîçíà÷èì äëÿ êðàòêîñòè hy, yi = β > 0, hx, yi = γ è ðàñïèøåì ñêàëÿðíûé êâàäðàò âåêòîðà, èñïîëüçóÿ ñâîéñòâà 2 è 3:

hβx − γy, βx − γyi = β 2 hx, xi − βγhx, yi − γβhy, xi + γγhy, yi = = β 2 hx, xi − βγγ − γβγ + γγβ = β(βhx, xi − γγ) = ¡ ¢ = β hy, yi · hx, xi − |hx, yi|2 .  ñèëó ñâîéñòâà 1 ýòî âûðàæåíèå íåîòðèöàòåëüíî. Äåëÿ åãî íà ïîëîæèòåëüíîå ÷èñëî β , ïîëó÷àåì äîêàçûâàåìîå íåðàâåíñòâî. ¥ Êàê èçâåñòíî èç øêîëüíîãî êóðñà, cêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå âåêòîðîâ â R (R3 ) ðàâíî ïðîèçâåäåíèþ äëèí ñîîòâåòñòâóþùèõ èì íàïðàâëåííûõ îòðåçêîâ è êîñèíóñà óãëà ìåæäó ýòèìè îòðåçêàìè: 2

→ → − → \ hx, yi = |− x | · |− y | · cos(→ x ,− y ). Ïðè ýòîì íåðàâåíñòâî ÊÁØ ñòàíîâèòñÿ òðèâèàëüíûì. Äåéñòâèòåëüíî, åñëè x è y  íåíóëåâûå âåêòîðû, òî

|hx, yi|2 ≤ hx, xi · hy, yi ⇔ → → → → → → − → \ \ ⇔ |− x |2 · |− y |2 · cos2 (− x ,− y ) ≤ |− x |2 · |− y |2 ⇔ cos2 (→ x ,− y ) ≤ 1.

7.2. Íîðìà âåêòîðà

− → Èçâåñòíî, ÷òî â R3 hx, xi = |→ x |2 èëè |− x | = hx, xi1/2 , ò.å. äëèíà íàïðàâëåííîãî îòðåçêà ðàâíà êîðíþ êâàäðàòíîìó èç ñêàëÿðíîãî êâàäðàòà ñîîòâåòñòâóþùåãî âåêòîðà. Ïîñêîëüêó ñêàëÿðíûé êâàäðàò íåîòðèöàòåëåí è äëÿ âåêòîðîâ èç Cn , ìîæíî ââåñòè â Cn íîðìó âåêòîðà  îáîáùåíèå ïîíÿòèÿ äëèíû íàïðàâëåííîãî îòðåçêà. Îïðåäåëåíèå. Íîðìîé âåêòîðà íàçûâàåòñÿ ÷èñëî, êîòîðîå îáîçíà÷àåòñÿ kxk è íàõîäèòñÿ ïî ïðàâèëó

kxk = hx, xi1/2 . 57 Âèêòîð

ßêîâëåâè÷ ÁÓÍßÊÎÂÑÊÈÉ (1804-1889)  ðóññêèé ìàòåìàòèê, ÷ëåí Ïåòåðáóðãñêîé ÀÍ. Êàðë Ãåðìàí Àìàíäóñ ØÂÀÐÖ (K.H.A. Schwarz, 1843-1921)  íåìåöêèé ìàòåìàòèê, ÷ëåí Áåðëèíñêîé ÀÍ è Ïåòåðáóðãñêîé ÀÍ. 279

Èñïîëüçóÿ ïîíÿòèå íîðìû, ìîæíî çàïèñàòü íåðàâåíñòâî ÊÁØ â âèäå

|hx, yi| ≤ kxk · kyk. Ðàññìîòðèì ñâîéñòâà íîðìû. 1. Íîðìà ëþáîãî âåêòîðà  âåùåñòâåííîå íåîòðèöàòåëüíîå ÷èñëî. Áîëåå òîãî, îíà ìîæåò ðàâíÿòüñÿ íóëþ, òîëüêî åñëè âåêòîð íóëåâîé.

kxk ≥ 0;

kxk = 0

⇐⇒

x = θ.

Äîêàçàòåëüñòâî. Ñëåäóåò èç ñâîéñòâà 1 ñêàëÿðíîãî ïðîèçâåäåíèÿ.¥ 2. Åñëè α ∈ C, òî

kαxk = |α| · kxk. Ïåðåä òåì, êàê äîêàçûâàòü ýòî óòâåðæäåíèå, îòìåòèì, ÷òî ÷àñòî óäîáíåå ðàáîòàòü íå ñ íîðìîé, à ñ åå êâàäðàòîì. Äîêàçàòåëüñòâî. kαxk2 = hαx, αxi = ααhx, xi = |α|2 kxk2 .

¥

Îïðåäåëåíèå. Âåêòîð, íîðìà êîòîðîãî ðàâíà åäèíèöå, íàçûâàåòñÿ íîðìèðîâàííûì. Ëþáîé íåíóëåâîé âåêòîð ìîæíî íîðìèðîâàòü, ðàçäåëèâ åãî íà åãî ñîáñòâåííóþ íîðìó: ° °

1 ° x ° · kxk = 1. ° °= kxk kxk 3. Äëÿ ëþáûõ x, y ∈ Cn kx + yk ≤ kxk + kyk.

Äîêàçàòåëüñòâî. Â ñèëó àêñèîì ñêàëÿðíîãî ïðîèçâåäåíèÿ

kx + yk2 = hx + y, x + yi = hx, xi + hx, yi + hy, xi + hy, yi. Ó÷òåì òåïåðü, ÷òî ìîäóëü ñóììû äâóõ ÷èñåë íå ïðåâûøàåò ñóììû ìîäóëåé ñëàãàåìûõ. Ïðè ýòîì ó çàâåäîìî íåîòðèöàòåëüíûõ ÷èñåë çíàê ìîäóëÿ îïóñòèì.

kx + yk2 ≤ kxk2 + 2|hx, yi| + kyk2 .

Ïî íåðàâåíñòâó ÊÁØ |hx, yi| ≤ kxk · kyk, îòêóäà

kx + yk2 ≤ kxk2 + 2kxk · kyk + kyk2 = (kxk + kyk)2 . 280

¥

Äëÿ ñëó÷àÿ R3 ñâîéñòâî 3 õîðîøî èçâåñòíî: äëèíà ñòîðîíû òðåóãîëüíèêà íå áîëüøå ñóììû äëèí îñòàëüíûõ åãî ñòîðîí. Ïî ýòîé ïðè÷èíå äîêàçàííîå äëÿ ïðîèçâîëüíîãî óíèòàðíîãî ïðîñòðàíñòâà íåðàâåíñòâî íàçûâàþò íåðàâåíñòâîì òðåóãîëüíèêà. Çàìå÷àíèÿ. 1. Ââåäåííàÿ íàìè íîðìà âåêòîðà íàçûâàåòñÿ îáû÷íî åâêëèäîâîé íîðìîé èëè íîðìîé, ïîðîæäåííîé ñêàëÿðíûì ïðîèçâåäåíèåì.  Cn ìîæíî çàäàòü äðóãèå íåîòðèöàòåëüíûå ôóíêöèîíàëû, îáëàäàþùèå ñâîéñòâàìè 1  3 åâêëèäîâîé íîðìû. Âñå îíè òàêæå íàçûâàþòñÿ íîðìàìè. Êðîìå åâêëèäîâîé, îáîçíà÷àåìîé kxk2 , ÷àùå âñåãî èñïîëüçóþòñÿ ñëåäóþùèå äâå íîðìû:

kxk1 = |x1 | + . . . + |xn |;

kxk∞ = max |xr |. r=1,...,n

Ïðîâåðüòå âûïîëíåíèå ñâîéñòâ 1  3 äëÿ íîðì kxk1 è kxk∞ . 2. Êàê è ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå íîðìà ìîæåò áûòü ââåäåíà â ïðîèçâîëüíîì ëèíåéíîì ïðîñòðàíñòâå: êàæäîìó âåêòîðó ñòàâèòñÿ â ñîîòâåòñòâèå íåîòðèöàòåëüíîå âåùåñòâåííîå ÷èñëî  íîðìà ýòîãî âåêòîðà. "Ñâîáîäà íàçíà÷åíèÿ" íîðìû îãðàíè÷èâàåòñÿ ëèøü îáÿçàòåëüíîñòüþ âûïîëíåíèÿ ñâîéñòâ 1  3, êîòîðûå äëÿ åâêëèäîâîé íîðìû â Cn áûëè äîêàçàíû, à òåïåðü âûñòóïàþò â ðîëè àêñèîì íîðìû. Ïîñëå ïðîâåðêè âûïîëíåíèÿ àêñèîì ìîãóò èñïîëüçîâàòüñÿ âñå âûâîäû ïîñòðîåííîé òåîðèè.

7.3. Ìàòðèöà Ãðàìà Ïóñòü A  ïðîèçâîëüíàÿ (m × n)-ìàòðèöà. Ðàññìîòðèì êâàäðàòíóþ ìàòðèöó ïîðÿäêà n GA = A∗ A. Ïî îïðåäåëåíèþ ïðîèçâåäåíèÿ ìàòðèö

(gA )km =

n X

a∗kr arm

r=1

=

n X

arm ark .

r=1

Åñëè îáîçíà÷èòü, êàê ïðèíÿòî, k -é ñòîëáåö ìàòðèöû A a(k) ∈ Cm , òî ýëåìåíòû ìàòðèöû GA ìîæíî çàïèñàòü â òåðìèíàõ ñêàëÿðíîãî ïðîèçâåäåíèÿ:

(gA )km = ha(m) , a(k) i.

Òàêèì îáðàçîì, ìàòðèöà GA ñîäåðæèò âñå ïîïàðíûå ñêàëÿðíûå ïðîèçâåäåíèÿ âåêòîðîâ  ñòîëáöîâ ìàòðèöû A. Ýòà ìàòðèöà íàçûâàåòñÿ ìàòðèöåé Ãðàìà58 óïîðÿäî÷åííîãî íàáîðà âåêòîðîâ a(1) , . . . , a(n) . 58 Éîðãåí

Ïåäåðñåí ÃÐÀÌ (J.P. Gram, 1850-1916)  äàòñêèé ìàòåìàòèê. 281

Ðàññìîòðèì ñâîéñòâà ìàòðèöû Ãðàìà. 1. Ìàòðèöà Ãðàìà äëÿ ëþáîãî íàáîðà âåêòîðîâ  ñàìîñîïðÿæåííàÿ. Äîêàçàòåëüñòâî. G∗A = (A∗ A)∗ = A∗ A∗∗ = A∗ A = GA .

¥

2. Ëèíåéíàÿ çàâèñèìîñòü íàáîðà âåêòîðîâ ðàâíîñèëüíà âûðîæäåííîñòè åãî ìàòðèöû Ãðàìà. Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü íàáîð âåêòîðîâ a(1) , . . . , a(n) ëèíåéíî çàâèñèì. Òîãäà èìååò íåíóëåâîå ðåøåíèå îäíîðîäíîå ìàòðè÷íîå óðàâíåíèå Ax = θm . Óìíîæèâ ýòî óðàâíåíèå ñëåâà íà A∗ , ïîëó÷èì A∗ Ax = A∗ θm èëè GA x = θn ,  îäíîðîäíîå óðàâíåíèå ñ íåíóëåâûì ðåøåíèåì. Ñëåäîâàòåëüíî, GA  âûðîæäåííàÿ. Ïóñòü òåïåðü äàíî, ÷òî det(GA ) = 0. Òîãäà îäíîðîäíîå óðàâíåíèå GA x = θn áóäåò èìåòü íåíóëåâîå ðåøåíèå. Îáîçíà÷èì åãî x e è óìíîæèì ðàâåíñòâî GA x e = θn ñêàëÿðíî íà x e. Èñïîëüçóÿ ñâîéñòâà 4 è 1 ñêàëÿðíîãî ïðîèçâåäåíèÿ, ïîëó÷èì

hGA x e, x ei = 0 ⇐⇒ hA∗ Ae x, x ei = 0 ⇐⇒ hAe x, Ae xi = 0 ⇐⇒ Ae x = θ. Ìû ïîëó÷èëè îäíîðîäíóþ ñèñòåìó ñ íåíóëåâûì ðåøåíèåì, ÷òî è äîêàçûâàåò ëèíåéíóþ çàâèñèìîñòü ñòîëáöîâ ìàòðèöû A. ¥

7.4. Îðòîãîíàëüíîñòü âåêòîðîâ Îïðåäåëåíèå. Âåêòîðû x, y ∈ Cn (Rn ) íàçûâàþòñÿ îðòîãîíàëüíûìè, åñëè hx, yi = 0. Ìíîæåñòâî âåêòîðîâ íàçûâàåòñÿ îðòîãîíàëüíûì, åñëè âñå åãî âåêòîðû ïîïàðíî îðòîãîíàëüíû. Çàìå÷àíèå.  R3 îðòîãîíàëüíûì íåíóëåâûì âåêòîðàì ñîîòâåòñòâóþò ïåðïåíäèêóëÿðíûå íàïðàâëåííûå îòðåçêè. Ðàññìîòðèì íåêîòîðûå ñâîéñòâà îðòîãîíàëüíûõ âåêòîðîâ. 1. Íóëåâîé âåêòîð îðòîãîíàëåí ëþáîìó âåêòîðó: hx, θi = 0. Äîêàçàòåëüñòâî. Âû÷èñëåíèå ïî îïðåäåëåíèþ.

¥

2. Ìàòðèöà Ãðàìà îðòîãîíàëüíîãî íàáîðà âåêòîðîâ a(1) , . . . , a(k) äèàãîíàëüíà: £ ¤

GA = diag ka(1) k2 , . . . , ka(k) k2 .

Äîêàçàòåëüñòâî. (gA )jm = ha(m) , a(j) i = δjm · ka(j) k2 .

¥

3. Åñëè îðòîãîíàëüíûé íàáîð âåêòîðîâ ëèíåéíî çàâèñèì, òî îí ñîäåðæèò íóëåâîé âåêòîð. 282

Äîêàçàòåëüñòâî. Îïðåäåëèòåëü äèàãîíàëüíîé ìàòðèöû Ãðàìà ðàâåí ïðîèçâåäåíèþ åå äèàãîíàëüíûõ ýëåìåíòîâ  êâàäðàòîâ íîðì âåêòîðîâ íàøåãî íàáîðà. Íî ïî ñâîéñòâó 2 ìàòðèöû Ãðàìà ýòîò îïðåäåëèòåëü äëÿ ëèíåéíî çàâèñèìîãî íàáîðà âåêòîðîâ ðàâåí íóëþ. Ñëåäîâàòåëüíî, êâàäðàò íîðìû õîòÿ áû îäíîãî èç âåêòîðîâ íàáîðà ðàâåí íóëþ. ¥ Ñëåäóþùåå ñâîéñòâî ñòîëü âàæíî, ÷òî åìó ïðèäàåòñÿ ðàíã òåîðåìû. Òåîðåìà. Ëþáîå îðòîãîíàëüíîå ìíîæåñòâî âåêòîðîâ â Cn , íå ñîäåðæàùåå íóëåâîãî âåêòîðà, ìîæíî äîïîëíèòü äî îðòîãîíàëüíîãî áàçèñà. Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü a(1) , . . . , a(k)  îðòîãîíàëüíûé è íå ñîäåðæàùèé íóëåâîãî âåêòîðà íàáîð âåêòîðîâ. Åñëè k = n, òî ýòîò íàáîð óæå ÿâëÿåòñÿ áàçèñîì. Åñëè æå k < n, òî ïîñòðîèì åùå îäèí íåíóëåâîé âåêòîð, îðòîãîíàëüíûé óæå èìåþùåìóñÿ íàáîðó. Çàïèñûâàÿ óñëîâèÿ îðòîãîíàëüíîñòè èñêîìîãî âåêòîðà âñåì âåêòîðàì íàáîðà, ïîëó÷èì ñèñòåìó óðàâíåíèé

hx, a(1) i = 0, . . . , hx, a(k) i = 0, £ ¤ èëè, â ìàòðè÷íîì âèäå, A∗ x = θk , ãäå A = a(1) , . . . , a(k) . Ìàòðèöà A∗ èìååò ðàçìåð k × n, è â ñèëó k < n ýòà ñèñòåìà èìååò íåíóëåâîå ðåøåíèå. Îáîçíà÷èâ åãî a(k+1) , ïîëó÷àåì îðòîãîíàëüíûé (ïî ïîñòðîåíèþ) íàáîð èç k + 1 âåêòîðîâ, íå ñîäåðæàùèé íóëåâîãî âåêòîðà. Ïîâòîðÿÿ ýòó îïåðàöèþ, ïîëó÷èì îðòîãîíàëüíûé áàçèñ Cn . ¥ Çàìå÷àíèå. Ðàçëîæåíèå âåêòîðà b â Cn ïî áàçèñó a(1) , . . . , a(n) ñâîäèòñÿ, êàê èçâåñòíî, ê ðåøåíèþ ñèñòåìû ëèíåéíûõ óðàâíåíèé ñ êâàäðàòíîé íåâûðîæäåííîé ìàòðèöåé êîýôôèöèåíòîâ

x1 a(1) + . . . + xn a(n) = b

⇐⇒

Ax = b.

(7.4.1)

Óìíîæèâ â ñëó÷àå îðòîãîíàëüíîãî áàçèñà îáå ÷àñòè ìàòðè÷íîãî óðàâíåíèÿ (7.4.1) íà A∗ ñëåâà, ïîëó÷èì ðàâíîñèëüíóþ ñèñòåìó

GA x = A∗ b. Ïîñêîëüêó ìàòðèöà GA äèàãîíàëüíà, ðåøåíèå ýòîé ñèñòåìû èìååò âèä

a(k)∗ b hb, a(k) i xk = (k) 2 = , ka k ka(k) k2

k = 1, . . . , n,

è òðåáóåò âûïîëíåíèÿ ñóùåñòâåííî ìåíüøåãî (≈ 2n2 ) êîëè÷åñòâà àðèô-

3 ìåòè÷åñêèõ îïåðàöèé, ÷åì â îáùåì ñëó÷àå (≈ n3 ).

283

7.5. Óíèòàðíàÿ ìàòðèöà Îïðåäåëåíèå. Îðòîãîíàëüíûé íàáîð íîðìèðîâàííûõ âåêòîðîâ íàçûâàåòñÿ îðòîíîðìèðîâàííûì. Îïðåäåëåíèå. Êâàäðàòíàÿ ìàòðèöà, ñòîëáöû êîòîðîé îáðàçóþò îðòîíîðìèðîâàííûé íàáîð, íàçûâàåòñÿ óíèòàðíîé. Âåùåñòâåííàÿ óíèòàðíàÿ ìàòðèöà íàçûâàåòñÿ îðòîãîíàëüíîé. Ïðèìåð. Ðàññìîòðèì ìàòðèöó âòîðîãî ïîðÿäêà

¸ cos(ϕ) −sin(ϕ) . Uϕ = sin(ϕ) cos(ϕ) ·

(1)

(2)

(1)

(2)

Î÷åâèäíî, ÷òî kuϕ k = kuϕ k = 1, huϕ , uϕ i = 0. Ñëåäîâàòåëüíî, ýòà ìàòðèöà îðòîãîíàëüíà. Ïóñòü x  íåíóëåâîé âåêòîð â R2 , à y = Uϕ x. Ëåãêî âèäåòü, ÷òî − → íàïðàâëåííûé îòðåçîê → y ïîëó÷àåòñÿ èç − x ïîâîðîòîì íà óãîë ϕ ïðîòèâ ÷àñîâîé ñòðåëêè (ðèñ.7.1). Ïîýòîìó ìàòðèöó Uϕ íàçûâàþò ìàòðèöåé ïîâîðîòà.  ÷àñòíîñòè, U0 = I  ìàòðèöà ïîâîðîòà íà íóëåâîé óãîë, Uπ = −I (ïîâîðîò íà óãîë π  ýòî öåíòðàëüíàÿ ñèììåòðèÿ).

− →

­ Áy ­ − → ­ x ­ 3 ´ ´ ­ ´ ´ ­ ­ ϕ ´´ ­ ´ ­´´ ´ ­

Ðèñ.7.1 Ðàññìîòðèì ñâîéñòâà óíèòàðíûõ ìàòðèö. 1. Óíèòàðíîñòü ìàòðèöû U ðàâíîñèëüíà òîìó, ÷òî U ∗ U = I . Äîêàçàòåëüñòâî. Ñëåäóåò èç îïðåäåëåíèÿ ìàòðèöû Ãðàìà.

¥

2. Óìíîæåíèå âåêòîðîâ èç Cn íà óíèòàðíóþ ìàòðèöó íå ìåíÿåò èõ ñêàëÿðíûõ ïðîèçâåäåíèé è íîðì. Äîêàçàòåëüñòâî. hU x, U yi = hU ∗ U x, yi = hIx, yi = hx, yi.  ÷àñòíîñòè, hU x, U xi = hx, xi, ò.å. kU xk = kxk. ¥ 3. Åñëè U  óíèòàðíàÿ ìàòðèöà, òî è U ∗  óíèòàðíàÿ ìàòðèöà. Äîêàçàòåëüñòâî. Èç U ∗ U = I ñëåäóåò, ÷òî ìàòðèöû U ∗ è U âçàèìíî îáðàòíû, à òîãäà (U ∗ )∗ U ∗ = U U −1 = I . ¥ 284

4. Åñëè V  óíèòàðíàÿ ìàòðèöà òîãî æå ïîðÿäêà, ÷òî U , òî èõ ïðîèçâåäåíèå  óíèòàðíàÿ ìàòðèöà. Äîêàçàòåëüñòâî. (U V )∗ (U V ) = V ∗ (U ∗ U )V = V ∗ V = I . Ïðèìåð. Ïîêàæèòå, ÷òî Uϕ Uψ = Uϕ+ψ ;

¥

Uϕ−1 = U−ϕ .

5. Ìîäóëè âñåõ ñîáñòâåííûõ ÷èñåë óíèòàðíîé ìàòðèöû ðàâíû åäèíèöå: |λ(U )| = 1. Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü x  ñîáñòâåííûé âåêòîð ìàòðèöû U , ñîîòâåòñòâóþùèé ñîáñòâåííîìó ÷èñëó λ. Òîãäà ïî ñâîéñòâó 2

U x = λx =⇒ kU xk = |λ| · kxk =⇒ kxk = |λ| · kxk =⇒ |λ| = 1. Ïîñêîëüêó îïðåäåëèòåëü ìàòðèöû ðàâåí ïðîèçâåäåíèþ åå ñîáñòâåííûõ ÷èñåë, îòñþäà, â ÷àñòíîñòè, ñëåäóåò, ÷òî |det(U )| = 1. ¥ Ïðèìåð. Ïîêàæèòå, ÷òî ñîáñòâåííûå ÷èñëà ìàòðèöû Uϕ ðàâíû exp(i ϕ) è exp(−i ϕ). 6. Ñîáñòâåííûå âåêòîðû, ñîîòâåòñòâóþùèå ðàçëè÷íûì ñîáñòâåííûì ÷èñëàì óíèòàðíîé ìàòðèöû, îðòîãîíàëüíû. Äîêàçàòåëüñòâî. Åñëè U x = λx, U y = µy , òî ïî ñâîéñòâó 2

hx, yi = hU x, U yi = hλx, µyi = λµhx, yi =⇒ (1−λµ)hx, yi = 0. (7.5.1) 1 . Ïî óñëîâèþ λ 6= µ. Îòñþäà Íî ïî ñâîéñòâó 5 |µ| = 1, ò.å. µ = µ λ 6= 1, è èç (7.5.1) âûòåêàåò hx, yi = 0. λµ = µ ¥ Ïðèìåð. Íàéäèòå ñîáñòâåííûå âåêòîðû ìàòðèöû Uϕ â C2 è ïðîâåðüòå èõ îðòîãîíàëüíîñòü. Îáðàòèòå âíèìàíèå íà òî, ÷òî ïðè ϕ 6= kπ (k ∈ Z) ìàòðèöà Uϕ íå èìååò ñîáñòâåííûõ âåêòîðîâ â R2 . Äàéòå ýòîìó ôàêòó ãåîìåòðè÷åñêóþ èíòåðïðåòàöèþ.

7.6. Ïëîùàäü ïàðàëëåëîãðàììà è îáúåì ïàðàëëåëåïèïåäà Ñâîéñòâî 2 óíèòàðíûõ ìàòðèö èìååò â R3 âàæíóþ ãåîìåòðè÷åñêóþ èíòåðïðåòàöèþ: åñëè x, y, z  òðè ëèíåéíî íåçàâèñèìûõ âåêòîðà (ñî→ → → îòâåòñòâóþùèå èì íàïðàâëåííûå îòðåçêè − x, − y, − z íåêîìïëàíàðíû), 0 0 0 è x = U x, y = U y, z = U z , ãäå U  îðòîãîíàëüíàÿ ìàòðèöà, òî äëèíû → → → → − → îòðåçêîâ − x 0, − y 0, − z 0 è óãëû ìåæäó íèìè òå æå, ÷òî ó òðîéêè − x, → y,− z. 285

Äîêàæåì, ÷òî ñïðàâåäëèâî è îáðàòíîå óòâåðæäåíèå: åñëè äëèíû îòðåçêîâ è óãëû ìåæäó íèìè îäèíàêîâû äëÿ íåêîìïëàíàðíûõ òðîåê − → → → → − → x, − y, − z è− x 0, → y 0, − z 0 , òî

[x0 y 0 z 0 ] = U · [x y z], ãäå U  îðòîãîíàëüíàÿ ìàòðèöà. Äåéñòâèòåëüíî, èç óñëîâèÿ ñëåäóåò ðàâåíñòâî ñêàëÿðíûõ ïðîèçâåäåíèé ñîîòâåòñòâóþùèõ ïàð âåêòîðîâ

hx0 , x0 i = hx, xi;

hy 0 , y 0 i = hy, yi;

hz 0 , z 0 i = hz, zi;

hx0 , y 0 i = hx, yi;

hx0 , z 0 i = hx, zi;

hy 0 , z 0 i = hy, zi,

ò.å.

[x0 y 0 z 0 ]∗ · [x0 y 0 z 0 ] = [x y z]∗ · [x y z].

(7.6.1)

Îáîçíà÷èì U = [x0 y 0 z 0 ] · [x y z]−1 (ìàòðèöà [x y z] îáðàòèìà, òàê → − → êàê òðîéêà − x, → y, − z íåêîìïëàíàðíà è, ñëåäîâàòåëüíî, âåêòîðû x, y, z ëèíåéíî íåçàâèñèìû). Äîìíîæèâ ðàâåíñòâî (7.6.1) ñïðàâà íà [x y z]−1 , à ñëåâà íà ([x y z]∗ )−1 , ïîëó÷èì U ∗ U = I . ¥ Çàìå÷àíèå. Àíàëîãè÷íîå óòâåðæäåíèå âåðíî äëÿ íåêîëëèíåàðíûõ ïàð íàïðàâëåííûõ îòðåçêîâ â R2 . Ïðèìåð. Ïîâîðîò íà óãîë ϕ âîêðóã îñè x3 â R3 , î÷åâèäíî, ñîõðàíÿåò äëèíû îòðåçêîâ è óãëû ìåæäó íèìè. Íàïðàâëåííûå îòðåçêè − → → − e (1) , − e (2) , → e (3)  îðòû  ïåðåõîäÿò ïðè ýòîì ïîâîðîòå ñîîòâåòñòâåí− → − íî â îòðåçêè → g (1) , − g (2) , → g (3) , ãäå

g (1) = [cos(ϕ), sin(ϕ), 0]T ,

g (2) = [−sin(ϕ), cos(ϕ), 0]T ,

g (3) = e(3) .

Ïîýòîìó ìàòðèöà

  cos(ϕ) −sin(ϕ) 0 i h i−1 Vϕ = g (1) g (2) g (3) · e(1) e(2) e(3) = sin(ϕ) cos(ϕ) 0 0 0 1 h

îðòîãîíàëüíà (ïðîâåðüòå ýòî ïî îïðåäåëåíèþ). Åå íàçûâàþò ìàòðèöåé ïîâîðîòà â ïëîñêîñòè x1 Ox2 (èëè ìàòðèöåé ïëîñêîãî âðàùåíèÿ). Ïîëó÷èì òåïåðü ôîðìóëû äëÿ âû÷èñëåíèÿ ïëîùàäè ïàðàëëåëîãðàììà è îáúåìà ïàðàëëåëåïèïåäà. 1. Ïóñòü ïàðàëëåëîãðàìì â R2 ïîñòðîåí íà íàïðàâëåííûõ îòðåçêàõ − → − x è→ y . Ïîêàæåì, ÷òî åãî ïëîùàäü ðàâíà |det[x y]|. Ðàññìîòðèì ñíà÷àëà ïàðàëëåëîãðàìì, èçîáðàæåííûé íà ðèñ.7.2 (îäíà ñòîðîíà ëåæèò íà îñè àáñöèññ). 286

y2

− → y µ ¡ ¡ ¡

y1 Ðèñ.7.2

Î÷åâèäíî, ÷òî

· ¸ · ¸ x1 y x= , y= 1 ; 0 y2

¡ − → ¡ x -¡ x1

¯ · ¸¯ ¯ ¯ x y 1 1 ¯ = |det[x y]| . S = |y2 | · |x1 | = ¯¯det 0 y2 ¯

→ → Ïóñòü òåïåðü íåêîëëèíåàðíûå îòðåçêè − x, − y ðàñïîëîæåíû ïðîèçâîëüíî. Äëÿ âû÷èñëåíèÿ ïëîùàäè ïîñòðîåííîãî íà íèõ ïàðàëëåëîãðàììà ðàññìîòðèì êîíãðóýíòíûé ïàðàëëåëîãðàìì, îäíà èç ñòîðîí êîòîðîãî ëåæèò íà îñè àáñöèññ (ðèñ.7.3). ½ ¢ ½ ½ ¢ ½ ¢ ½ ¢ ½ ¢ ½ ½ → ¢− ½ ½ > x ½ ½ ½ ½ − → ½ y ½ ½ ¢¸ ½ ¢ ½ ½ ¢ © * ½© − ©© ¢ ½© →0 © © ¢½© y -©© ¢ © ½ © − →0

Ðèñ.7.3

x

Ìû äîêàçàëè ñóùåñòâîâàíèå òàêîé îðòîãîíàëüíîé ìàòðèöû U , ÷òî x0 = U x, y 0 = U y . Ïîýòîìó

S = |det[x0 y 0 ]| = |det(U · [x y])| = det(U ) · |det[x y]| = |det[x y]| . (7.6.2) Ëåãêî âèäåòü, ÷òî ôîðìóëà (7.6.2) âåðíà è â ñëó÷àå êîëëèíåàðíûõ îòðåçêîâ, êîãäà ïëîùàäü ðàâíà íóëþ. 2. Ïóñòü ïàðàëëåëåïèïåä â R3 ïîñòðîåí íà íàïðàâëåííûõ îòðåçêàõ − → → → x,− y è− z . Ïîêàæåì, ÷òî åãî îáúåì ðàâåí |det[x y z]|. Ðàññìîòðèì ñíà÷àëà ïàðàëëåëåïèïåä, èçîáðàæåííûé íà ðèñ.7.4 (îäíà ãðàíü ëåæèò â êîîðäèíàòíîé ïëîñêîñòè):

x = [x1 , x2 , 0]T ,

y = [y1 , y2 , 0]T , 287

z = [z1 , z2 , z3 ]T .

³³

³³ ¢ − → ¢ z ³³³³ ¢ ³

¢

¢¸ ¢

¢ ¢

¢

³ ³³

¢ ¢ ¢ ¢ 1− ³³ ³³ → ¢ ©©© ³ ¢ ³³ ³ ³ ³ ³ y ³ ³ ³³ ¢©© ¢ ³ ³ ³³ ³³ © -¢³³ ¢³³

Ðèñ.7.4

³³¢ ¢ ¢ ¢ ¢

³³ ³³

− → x

Îáúåì ïàðàëëåëåïèïåäà ðàâåí ïðîèçâåäåíèþ âûñîòû íà ïëîùàäü îñíîâàíèÿ:

¯  ¯ ¯ · ¯ ¸¯ ¯ x y z 1 1 1 ¯ ¯ ¯ ¯ x y 1 1 ¯ = ¯det x2 y2 z2 ¯ = |det[x y z]| . V = |z3 | · ¯¯det ¯ x2 y2 ¯ ¯¯ 0 0 z3 ¯

→ − → Ïóñòü òåïåðü íåêîìïëàíàðíûå îòðåçêè − x, → y, − z ðàñïîëîæåíû ïðîèçâîëüíî. Äëÿ âû÷èñëåíèÿ îáúåìà ïîñòðîåííîãî íà íèõ ïàðàëëåëåïèïåäà ðàññìîòðèì êîíãðóýíòíûé ïàðàëëåëåïèïåä ñ ãðàíüþ, ëåæàùåé â êîîðäèíàòíîé ïëîñêîñòè. Ìû äîêàçàëè ñóùåñòâîâàíèå òàêîé îðòîãîíàëüíîé ìàòðèöû U , ÷òî 0 x = U x, y 0 = U y , z 0 = U z . Ïîýòîìó V = |det[x0 y 0 z 0 ]| = |det(U · [x y z])| = = |det(U )| · |det[x y z]| = |det[x y z]| . (7.6.3) Óáåäèòåñü, ÷òî ôîðìóëà (7.6.3) âåðíà è â ñëó÷àå êîìïëàíàðíûõ îòðåçêîâ, êîãäà îáúåì ðàâåí íóëþ. 3. Âû÷èñëèì, íàêîíåö, ïëîùàäü ïàðàëëåëîãðàììà â R3 äëÿ ñëó÷àÿ, êîãäà îí íå ëåæèò â êîîðäèíàòíîé ïëîñêîñòè. Ïóñòü ýòîò ïàðàëëåëî→ → ãðàìì ïîñòðîåí íà íåêîëëèíåàðíûõ îòðåçêàõ − x è− y. − → → → Ïîñòðîèì òðåòèé îòðåçîê w , ïåðïåíäèêóëÿðíûé − x è− y . Êîîðäèíàòû âåêòîðà w óäîâëåòâîðÿþò óñëîâèÿì îðòîãîíàëüíîñòè

½

x1 w 1 + x2 w 2 + x3 w 3 = 0 . y1 w1 + y2 w2 + y3 w3 = 0

Îäíî èç íåíóëåâûõ ðåøåíèé ýòîé ñèñòåìû w = [∆23 , −∆13 , ∆12 ]T , ãäå

¸ x1 y1 , = det x2 y2

∆12

¸ x2 y 2 , = det x3 y 3

∆23

288

¸ x1 y1 . = det x3 y3 ·

·

·

∆13

Äåéñòâèòåëüíî,

  x1 x1 y 1 hx, wi = x1 ∆23 − x2 ∆13 + x3 ∆12 = det x2 x2 y2  = 0. x3 x3 y 3   Àíàëîãè÷íî, y1 x1 y1 hy, wi = det y2 x2 y2  = 0. y3 x3 y3 Êðîìå òîãî, w 6= θ â ñèëó ëèíåéíîé íåçàâèñèìîñòè âåêòîðîâ x è y . Íîðìèðóåì âåêòîð w:  

∆23 1 w  z= = −∆13  . kwk ¡∆2 + ∆2 + ∆2 ¢1/2 ∆12 12 23 13

Î÷åâèäíî, ÷òî îáúåì ïàðàëëåëåïèïåäà ñ åäèíè÷íîé âûñîòîé, ïîñòðîåí→ → → íîãî íà íàïðàâëåííûõ îòðåçêàõ − x ,− y ,− z , ÷èñëåííî ðàâåí ïëîùàäè åãî îñíîâàíèÿ  ïàðàëëåëîãðàììà, ïîñòðîåííîãî íà íàïðàâëåííûõ îòðåçêàõ − → − x è→ y: 1

· |det[x y w]| = kwk ¯  ¯ ¯ ¯ x y ∆ 1 1 23 ¯ ¯ · ¯¯det x2 y2 −∆13 ¯¯ = ¯ x3 y3 ∆12 ¯

S = V = |det[x y z]| =

1 =¡ ¢1/2 ∆212 + ∆223 + ∆213

¢ ¡ 2 ∆212 + ∆223 + ∆213 2 1/2 2 . (7.6.4) =¡ + ∆ + ∆ = ∆ ¢ 13 23 12 2 2 2 1/2 ∆12 + ∆23 + ∆13 − → Óáåäèòåñü, ÷òî â ñëó÷àå, êîãäà îòðåçêè → x è− y ëåæàò â êîîðäèíàòíîé ïëîñêîñòè, ôîðìóëà (7.6.4) ïðåâðàùàåòñÿ â (7.6.2). Òåðìèíîëîãè÷åñêîå çàìå÷àíèå.  "âåêòîðíîé àëãåáðå ò.å. â àë− ãåáðå íàïðàâëåííûõ îòðåçêîâ, îòðåçîê → w , ñîîòâåòñòâóþùèé âåêòîðó → T w = [∆23 , −∆13 , ∆12 ] íàçûâàþò âåêòîðíûì ïðîèçâåäåíèåì îòðåçêîâ − x → − è y . Îòìåòèì ñâîéñòâà âåêòîðíîãî ïðîèçâåäåíèÿ:

→ → 1. − w ⊥− x,

→ − → w ⊥− y. → − → 2. Ïëîùàäü ïàðàëëåëîãðàììà, ïîñòðîåííîãî íà − x è→ y , ðàâíà |− w |. → → → 3. Íàïðàâëåííûå îòðåçêè − x,− y,− w îáðàçóþò ïðàâóþ òðîéêó. Â ýòîì (1) ìîæíî óáåäèòüñÿ, ïîëîæèâ x = e , y = e(2) . Òîãäà w = e(3) .

×èñëî det[x y z] íàçûâàþò ñìåøàííûì (âåêòîðíî-ñêàëÿðíûì) ïðî→ → → èçâåäåíèåì íàïðàâëåííûõ îòðåçêîâ − x, − y, − z. 289

Òàê êàê det[e(1) e(2) e(3) ] = 1, ñìåøàííîå ïðîèçâåäåíèå ïîëîæèòåëüíî, åñëè ñîìíîæèòåëè îáðàçóþò ïðàâóþ òðîéêó, è îòðèöàòåëüíî, åñëè ëåâóþ.

7.7. Àëãîðèòì ÃðàìàØìèäòà. QR-ðàçëîæåíèå ìàòðèöû  çàêëþ÷åíèå ýòîé ãëàâû ðàññìîòðèì àëãîðèòì ÃðàìàØìèäòà59 , êîòîðûé ïîçâîëÿåò, èìåÿ ëèíåéíî íåçàâèñèìûé íàáîð èç k âåêòîðîâ â Cn (k ≤ n), ïîñòðîèòü îðòîíîðìèðîâàííûé íàáîð èç k âåêòîðîâ. Èòàê, ïóñòü a(1) , . . . , a(k)  ëèíåéíî íåçàâèñèìûå âåêòîðû. Ïîëîæèì b(1) = a(1) è b(2) = a(2) − α12 b(1) . ×èñëî α12 âûáåðåì òàê, ÷òîáû hb(2) , b(1) i = 0, ò.å. ÷òîáû b(2) è b(1) áûëè îðòîãîíàëüíû: (2)

(1)

(2)

(1)

(1)

(1)

hb , b i = ha , b i − α12 hb , b i = 0

⇐⇒

α12

ha(2) , b(1) i = (1) (1) . hb , b i

Äàëåå, åñëè óæå ïîñòðîåíû ïîïàðíî îðòîãîíàëüíûå âåêòîðû b(1) , . . . , b(m) , è m < k , òî ïîëîæèì

b(m+1) = a(m+1) − α1,m+1 b(1) − . . . − αm,m+1 b(m) .

(7.7.1)

Óìíîæàÿ (7.7.1) ñêàëÿðíî íà b(r) , 1 ≤ r ≤ m, ïîëó÷èì óðàâíåíèå

hb(m+1) , b(r) i = ha(m+1) , b(r) i − αr,m+1 hb(r) , b(r) i = 0 (îñòàëüíûå ñëàãàåìûå èñ÷åçíóò âñëåäñòâèå ïîïàðíîé îðòîãîíàëüíîñòè ± óæå ïîñòðîåííûõ âåêòîðîâ). Îòñþäà αr,m+1 = ha(m+1) , b(r) i hb(r) , b(r) i. Îñòàëîñü ïîêàçàòü, ÷òî ñðåäè ïîñòðîåííûõ îðòîãîíàëüíûõ âåêòîðîâ b(1) , . . . , b(k) íåò íóëåâîãî. Ïðåäïîëîæèì, íàïðîòèâ, ÷òî b(1) 6= θ, . . . , b(m) 6= θ, íî b(m+1) = θ. Ïîäñòàâèâ â ðàâåíñòâî

θ = a(m+1) − α1,m+1 b(1) − . . . − αm,m+1 b(m) âûðàæåíèÿ âåêòîðîâ b(1) , . . . , b(m) ÷åðåç âåêòîðû a(1) , . . . , a(m) , ïîëó÷èì

θ = a(m+1) + γ1 a(1) + . . . + γm a(m) , ãäå γr , r = 1, . . . , m  íåêîòîðûå ÷èñëà. Ïîñêîëüêó êîýôôèöèåíò ïðè a(m+1) îòëè÷åí îò íóëÿ, ïîëó÷åííîå ðàâåíñòâî ïðîòèâîðå÷èò ëèíåéíîé íåçàâèñèìîñòè èñõîäíîãî íàáîðà âåêòîðîâ. Òàêèì îáðàçîì, ñðåäè ïîñòðîåííûõ âåêòîðîâ íóëåâûõ íåò. Íîðìèðîâàâ ýòè âåêòîðû, ìû çàêîí÷èì ðàáîòó àëãîðèòìà ÃðàìàØìèäòà. 59 Ýðõàðä

ØÌÈÄÒ (E. Schmidt, 1876-1959)  íåìåöêèé ìàòåìàòèê. 290

Ïåðåïèøåì ðàâåíñòâî (7.7.1) â âèäå

a(m+1) = α1,m+1 b(1) + . . . + αm,m+1 b(m) + b(m+1) ; è îáúåäèíèì íàáîðû âåêòîðîâ â ìàòðèöû:

h i (1) (k) A = a ... a ;

h

B= b

(1)

m = 1, . . . , k − 1. (7.7.2)

... b

(k)

i .

Èç ôîðìóëû (7.7.2) âèäíî, ÷òî (m + 1)-é ñòîëáåö ìàòðèöû A ìîæåò áûòü ïîëó÷åí èç ìàòðèöû B óìíîæåíèåì ñïðàâà íà ñòîëáåö [α1,m+1 , . . . , αm,m+1 , 1, 0, . . . , 0]T , è, ñëåäîâàòåëüíî, âñÿ ìàòðèöà A ïîëó÷àåòñÿ óìíîæåíèåì ìàòðèöû B ñïðàâà íà âåðõíþþ òðåóãîëüíóþ ìàòðèöó ñ åäèíè÷íîé äèàãîíàëüþ:

A = Bα, ãäå

(7.7.3)



 1 α12 α13 . . . α1k 0 1 α23 . . . α2k   α= . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0 0 0 ... 1

Íîðìèðîâàíèå ïîñòðîåííûõ âåêòîðîâ ìîæíî îñóùåñòâèòü ñ ïîìî£ (1) ¤ −1 ùüþ óìíîæåíèÿ ñïðàâà íà ìàòðèöó D , ãäå D = diag kb k, . . . , kb(1) k . Òîãäà (7.7.3) ïåðåéäåò â A = B(D−1 D)α = QR, ãäå Q = BD−1  ìàòðèöà ñ îðòîíîðìèðîâàííûìè ñòîëáöàìè, R = Dα  âåðõíÿÿ òðåóãîëüíàÿ ìàòðèöà. Ïðåäñòàâëåíèå (n × k)-ìàòðèöû A ñ ëèíåéíî íåçàâèñèìûìè ñòîëáöàìè â âèäå ïðîèçâåäåíèÿ (n × k)-ìàòðèöû Q ñ îðòîíîðìèðîâàííûìè ñòîëáöàìè è âåðõíåé òðåóãîëüíîé (k × k)-ìàòðèöû R íàçûâàåòñÿ QRðàçëîæåíèåì ìàòðèöû A.  ÷àñòíîñòè, åñëè A  êâàäðàòíàÿ íåâûðîæäåííàÿ ìàòðèöà, òî Q  óíèòàðíàÿ ìàòðèöà. Ñåðüåçíîå ïðåäóïðåæäåíèå. Íåîáõîäèìî îòìåòèòü, ÷òî èçëîæåííûé âûøå àëãîðèòì, ñ ïîìîùüþ êîòîðîãî áûëà äîêàçàíà âîçìîæíîñòü ïîëó÷åíèÿ QR-ðàçëîæåíèÿ, ÷èñëåííî íåóñòîé÷èâ è íå ìîæåò áûòü èñïîëüçîâàí äëÿ âû÷èñëåíèé. ×èñëåííî óñòîé÷èâûå àëãîðèòìû, âûïîëíÿþùèå QR-ðàçëîæåíèå, ðåàëèçîâàíû â ñðåäàõ êîíå÷íîãî ïîëüçîâàòåëÿ è â âèäå ñòàíäàðòíûõ ïðîãðàìì íà Ôîðòðàíå.

291

Ãëàâà 8. ÑÀÌÎÑÎÏÐßÆÅÍÍÀß ÌÀÒÐÈÖÀ 8.1. Ñâîéñòâà ñîáñòâåííûõ ÷èñåë è ñîáñòâåííûõ âåêòîðîâ ñàìîñîïðÿæåííîé ìàòðèöû Íàïîìíèì, ÷òî êâàäðàòíàÿ ìàòðèöà A íàçûâàåòñÿ ñàìîñîïðÿæåííîé (ýðìèòîâîé), åñëè A∗ = A. Èçó÷èì ñâîéñòâà ñîáñòâåííûõ ÷èñåë è ñîáñòâåííûõ âåêòîðîâ ñàìîñîïðÿæåííîé ìàòðèöû. 1. Ñîáñòâåííûå ÷èñëà ñàìîñîïðÿæåííîé ìàòðèöû âåùåñòâåííû. Äîêàçàòåëüñòâî. Äëÿ íà÷àëà îòìåòèì, ÷òî óñëîâèå A∗ = A è ñâîéñòâî 4 ñêàëÿðíîãî ïðîèçâåäåíèÿ äàþò

hAx, xi = hx, A∗ xi = hx, Axi.

(8.1.1)

Ïóñòü òåïåðü A∗ = A, Ax = λx, x 6= θ. Òîãäà èç (8.1.1) èìååì

λhx, xi = hλx, xi = hAx, xi = hx, Axi = hx, λxi = λhx, xi. Ñîêðàùàÿ íà hx, xi 6= 0, ïîëó÷èì λ = λ, ò.å. λ ∈ R.

¥

2. Ñîáñòâåííûå âåêòîðû ñàìîñîïðÿæåííîé ìàòðèöû, ñîîòâåòñòâóþùèå ïîïàðíî ðàçëè÷íûì ñîáñòâåííûì ÷èñëàì, îðòîãîíàëüíû. Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü A∗ = A, Ax = λx, Ay = µy . Òîãäà èç (8.1.1) ñ ó÷åòîì µ ∈ R èìååì

λhx, yi = hλx, yi = hAx, yi = hx, Ayi = hx, µyi = µhx, yi =⇒ =⇒ (λ − µ)hx, yi = 0. Íî λ 6= µ è, ñëåäîâàòåëüíî, hx, yi = 0.

¥

Çàìå÷àíèÿ. 1. Íàïîìíèì, ÷òî â ñëó÷àå ïðîèçâîëüíîé êâàäðàòíîé ìàòðèöû ïîïàðíîå ðàçëè÷èå ñîáñòâåííûõ ÷èñåë îáåñïå÷èâàåò ëèøü ëèíåéíóþ íåçàâèñèìîñòü ñîîòâåòñòâóþùèõ ñîáñòâåííûõ âåêòîðîâ. 2. Ñðàâíèòå äîêàçàííûå ñâîéñòâà ñàìîñîïðÿæåííîé ìàòðèöû ñî ñâîéñòâàìè 6 è 7 óíèòàðíûõ ìàòðèö. Âàæíåéøåå ñâîéñòâî ñàìîñîïðÿæåííîé ìàòðèöû óñòàíàâëèâàåò Òåîðåìà. Äëÿ ëþáîé ñàìîñîïðÿæåííîé ìàòðèöû ñóùåñòâóåò îðòîíîðìèðîâàííûé áàçèñ, ñîñòîÿùèé èç åå ñîáñòâåííûõ âåêòîðîâ. Äîêàçàòåëüñòâî ïðîâåäåì èíäóêöèåé ïî ïîðÿäêó ìàòðèöû A. 292

Äëÿ ìàòðèöû ïîðÿäêà 1 óòâåðæäåíèå òåîðåìû î÷åâèäíî. Ïóñòü îíî äîêàçàíî äëÿ ìàòðèö ïîðÿäêà k − 1. Ðàññìîòðèì ïðîçâîëüíóþ ýðìèòîâó ìàòðèöó A ïîðÿäêà k è íàéäåì êàêîé-íèáóäü êîðåíü λ1 åå õàðàêòåðèñòè÷åñêîãî ïîëèíîìà PA (λ). Ïóñòü s(1)  íîðìèðîâàííûé ñîáñòâåííûé âåêòîð, ñîîòâåòñòâóþùèé λ1 . Äîïîëíèì "íàáîð ñîñòîÿùèé èç îäíîãî âåêòîðà s(1) , äî îðòîíîðìèðîâàííîãî áàçèñà â Ck âåêòîðàìè g (2) , . . . , g (k) . Ñîáñòâåííûå âåêòîðû s(2) , . . . , s(k) áóäåì èñêàòü â âèäå (r)

(r)

s(r) = α2 g (2) + · · · + αk g (k) èëè s(r) = Dα(r) , h iT £ (1) (2) ¤ (r) (r) (k) (r) . Îòìåòèì, ÷òî ãäå D = s , g , . . . , g , α = 0, α2 , . . . , αk ìàòðèöà D óíèòàðíà ïî ïîñòðîåíèþ, è ïîòîìó D∗ = D−1 . Ïî îïðåäåëåíèþ ñîáñòâåííîãî âåêòîðà

As(r) = λr s(r) èëè ADα(r) = λr Dα(r) , îòêóäà

D∗ ADα(r) = λr α(r) .

(8.1.2)

Ìàòðèöà AD èìååò âèä

h i h i (1) (2) (k) (1) (2) (k) AD = As , Ag , . . . , Ag = λ1 s , Ag , . . . , Ag .

(8.1.3)

Ïîñêîëüêó ìàòðèöà D∗ AD ýðìèòîâà (ïðîâåðüòå ýòî!), åå ìîæíî çàïèñàòü â âèäå  

 D∗ AD = 

c

d∗

d

B

 ,

ãäå B  ýðìèòîâà ìàòðèöà ïîðÿäêà k − 1, c  ìàòðèöà ïåðâîãî ïîðÿäêà (÷èñëî), d  ñòîëáåö âûñîòû k − 1. Ïðè ýòîì èç (8.1.3) ñëåäóåò

c = hλ1 s(1) , s(1) i = λ1 ;

dr = hAg (r) , s(1) i = hg (r) , As(1) i = λ1 hg (r) , s(1) i = 0,

òàê êàê g (r) îðòîãîíàëüíû s(1) ïî ïîñòðîåíèþ. Èòàê,



 λ1 0 . . . 0  0  . D∗ AD =   ··· B  0 293

Ïîñêîëüêó D∗ = D−1 , ìàòðèöû D∗ AD è A ïîäîáíû, è èõ õàðàêòåðèñòè÷åñêèå ïîëèíîìû ñîâïàäàþò:

PA (λ) = PD∗ AD (λ) = (λ1 − λ) · PB (λ). Ïîýòîìó ñîáñòâåííûå ÷èñëà ìàòðèöû B ÿâëÿþòñÿ òàêæå ñîáñòâåííûìè ÷èñëàìè ìàòðèöû A. Âåðíî è îáðàòíîå (çà èñêëþ÷åíèåì, ìîæåò áûòü, ÷èñëà λ1 ). Ñèñòåìà óðàâíåíèé (8.1.2) äëÿ îïðåäåëåíèÿ ñîáñòâåííûõ ÷èñåë λr è âåêòîðîâ α(r) èìååò âèä

     0 0 λ1 0 . . . 0  (r)  (r)   0   α2  α2    = · = λ ·    . r ··· ··· B  ··· (r) (r) 0 αk αk 

D∗ ADα(r)

Îíà, î÷åâèäíî, ðàâíîñèëüíà ñèñòåìå

    (r) (r) α α  2   2  B ·  · · ·  = λr ·  · · ·  . (r) (r) αk αk

Ïî èíäóêöèîííîìó ïðåäïîëîæåíèþ ìàòðèöà B èìååò îðòîíîðìèðîâàííûé ñîáñòâåííûé áàçèñ â Ck−1 . Îáîçíà÷èì åãî âåêòîðû a(2) , . . . , a(k) è ïîëîæèì · ¸

α(r) =

0 a(r)

,

r = 2, . . . , k.

Èç Ba(r) = λr a(r) èìååì D∗ ADα(r) = λr α(r) . Îòñþäà ñëåäóåò A(Dα(r) ) = λr (Dα(r) ), ò.å. As(r) = λr s(r) . Íî a(r) îðòîíîðìèðîâàíû, ñëåäîâàòåëüíî, è α(r) îðòîíîðìèðîâàíû. Ïîñêîëüêó óìíîæåíèå íà óíèòàðíóþ ìàòðèöó D ñîõðàíÿåò ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå è íîðìó, âåêòîðû s(2) , . . . , s(k) òàêæå îðòîíîðìèðîâàíû. Íîðìèðîâàííûé âåêòîð s(1) îðòîãîíàëåí âåêòîðàì g (2) , . . . , g (k) è, ñëåäîâàòåëüíî, îðòîãîíàëåí âåêòîðàì s(2) , . . . , s(k) . Îðòîíîðìèðîâàííûé ñîáñòâåííûé áàçèñ ìàòðèöû A ïîñòðîåí, è òåîðåìà äîêàçàíà. ¥ Ñëåäñòâèå. Âñÿêàÿ ýðìèòîâà ìàòðèöà A ïîäîáíà äèàãîíàëüíîé ìàòðèöå Λ, íà äèàãîíàëè êîòîðîé ñòîÿò ñîáñòâåííûå ÷èñëà A. Ìàòðèöà S , ñ ïîìîùüþ êîòîðîé îñóùåñòâëÿåòñÿ ïîäîáèå, óíèòàðíà, èáî åå ñòîëáöû  îðòîíîðìèðîâàííûå ñîáñòâåííûå âåêòîðû ìàòðèöû A. Ãîâîðÿò, ÷òî ìàòðèöû A è Λ = diag[λ1 , . . . , λn ] óíèòàðíî ïîäîáíû. 294

Äîìíîæèâ ðàâåíñòâî S −1 AS = Λ íà S ñëåâà è íà S ∗ = S −1 ñïðàâà, ïîëó÷èì

A = SΛS ∗ . Òàêîå ïðåäñòàâëåíèå ñàìîñîïðÿæåííîé ìàòðèöû íàçûâàåòñÿ åå ñïåêòðàëüíûì ðàçëîæåíèåì.



 0 i 1 Ïðèìåð. A = −i 0 −i . Ëåãêî âèäåòü, ÷òî A∗ = A. Ïðÿìûì 1 i 0 âû÷èñëåíèåì ïîëó÷àåì PA (λ) = det(A − λI) = −λ3 + 3λ + 3.

Êîðíè õàðàêòåðèñòè÷åñêîãî ïîëèíîìà λ1 = 2, λ2 = λ3 = −1  ñîáñòâåííûå ÷èñëà ìàòðèöû A. Äëÿ íàõîæäåíèÿ ñîáñòâåííîãî âåêòîðà s(1) ðåøèì îäíîðîäíóþ ñèñòåìó (A − λ1 · I)s(1) = θ: ¯ −2 i 1 ¯¯ 0 −i −2 −i ¯¯ 0 1 i −2 ¯ 0

⇐⇒

¯ 1 −i/2 −1/2 ¯¯ 0 0 −3/2 −3i/2 ¯¯ 0 0 3i/2 −3/2 ¯ 0

⇐⇒

¯ 1 0 −1 ¯¯ 0 0 1 i ¯¯ 0 , 0 0 0 ¯0

îòêóäà s(1) = α[1 − i 1]T . Ïîäáåðåì α èç óñëîâèÿ ks(1) k = 1:

1 α=√ ; 3

1 s(1) = √ [1 − i 1]T . 3

Äëÿ íàõîæäåíèÿ ñîáñòâåííîãî âåêòîðà s(2) ðåøèì îäíîðîäíóþ ñèñòåìó (A − λ2 · I)s(1) = θ: ¯ 1 i 1 ¯¯ 0 −i 1 −i ¯¯ 0 1 i 1 ¯0

⇐⇒

¯ 1 i 1 ¯¯ 0 0 0 0 ¯¯ 0 . 0 0 0¯ 0

Îäíî èç ðåøåíèé ýòîé ñèñòåìû s(2) = β[1 0 −1]T . Ïîäáåðåì β èç óñëîâèÿ ks(2) k = 1:

1 1 s(2) = √ [1 0 − 1]T . β=√ ; 2 2 Òðåòüå ñîáñòâåííîå ÷èñëî ðàâíî âòîðîìó. Ñëåäîâàòåëüíî, ñèñòåìà äëÿ îïðåäåëåíèÿ s(3) ñîâïàäàåò ñ ñèñòåìîé äëÿ îïðåäåëåíèÿ s(2) . Íî åñëè s(2) è s(3) îðòîãîíàëüíû s(1) "àâòîìàòè÷åñêè" (ñâîéñòâî 2 ñàìîñîïðÿæåííîé ìàòðèöû), òî óñëîâèå îðòîãîíàëüíîñòè s(2) è s(3) äàåò äîïîëíèòåëüíîå óðàâíåíèå. Èòàê, 295

1 −i 1 1

¯ i 1 ¯¯ 0 1 −i ¯¯ 0 i 1 ¯¯ 0 0 −1 ¯ 0

⇐⇒

1 0 0 0

¯ 0 −1 ¯¯ 0 1 −2i ¯¯ 0 , 0 0 ¯¯ 0 0 0 ¯0

îòêóäà s(3) = γ[1 2i 1]T . Óñëîâèå íîðìèðîâêè äàåò s(3) = √1 [1 2i 1]T .

6

Çàïèøåì ñïåêòðàëüíîå ðàçëîæåíèå ìàòðèöû A:

 1 √  i3 −√ A=  3 √1 3

√1 2 0 − √1 2

 1  √1 # √3 " 6 2 0 0  2i  √  · 0 −1 0 ·  √1  2 6 0 0 −1 1 √ √1 6 6

√i

3 0

−2i √ 6

 √1 3  1 − √  = SΛS ∗ . 2 1 √ 6

8.2. Ðåøåíèå ïîëíîé ïðîáëåìû ñîáñòâåííûõ çíà÷åíèé äëÿ ñàìîñîïðÿæåííîé ìàòðèöû. Ìåòîä ßêîáè  ï.6.2 áûëî óêàçàíî, ÷òî î÷åâèäíûé àëãîðèòì ðåøåíèÿ ïîëíîé ïðîáëåìû ñîáñòâåííûõ çíà÷åíèé, âûòåêàþùèé èç îïðåäåëåíèÿ ñîáñòâåííûõ ÷èñåë è ñîáñòâåííûõ âåêòîðîâ, íåïðèìåíèì èç-çà åãî ÷èñëåííîé íåóñòîé÷èâîñòè. Ïðàêòè÷åñêîå ïðèìåíåíèå ïîëó÷èëè ìåòîäû, îñíîâàííûå íà äðóãèõ èäåÿõ. Îäèí èç íèõ  ìåòîä ßêîáè  ðàññìàòðèâàåòñÿ íèæå. Ìû îãðàíè÷èìñÿ ñëó÷àåì, êîãäà A  âåùåñòâåííàÿ ñèììåòðè÷íàÿ ìàòðèöà. Åñëè íàéäåòñÿ òàêàÿ îðòîãîíàëüíàÿ ìàòðèöà U , ÷òî Λ = U T AU  äèàãîíàëüíàÿ ìàòðèöà, òî (ñì. ï.6.3) íà äèàãîíàëè Λ áóäóò ñòîÿòü ñîáñòâåííûå ÷èñëà ìàòðèöû A, à ñòîëáöû ìàòðèöû U îáðàçóþò ñîáñòâåííûé áàçèñ ìàòðèöû A. Áóäåì ñòðîèòü ìàòðèöû, óíèòàðíî ïîäîáíûå ìàòðèöå A, äîáèâàÿñü ïðåâðàùåíèÿ âñåõ âíåäèàãîíàëüíûõ ýëåìåíòîâ â íóëè. Íà ïåðâîì øàãå àëãîðèòìÿ ßêîáè ìû äîáüåìñÿ òîãî, ÷òîáû íàèáîëüøèé ïî ìîäóëþ âíåäèàãîíàëüíûé ýëåìåíò (íàçîâåì åãî âåäóùèì ýëåìåíòîì ïåðâîãî øàãà) îáðàòèëñÿ â íóëü. Âñëåäñòâèå ñèììåòðèè ìàòðèöû òàêèõ ýëåìåíòîâ ÷åòíîå ÷èñëî. Åñëè èõ áîëüøå äâóõ, ìîæíî âûáðàòü ëþáóþ ïàðó aik , aki (íàïðèìåð, ïàðó ñ íàèìåíüøåé ñóììîé i + k ). Áóäåì íàçûâàòü ñòðîêè è ñòîëáöû ñ íîìåðàìè i è k îòìå÷åííûìè. Íà ðèñóíêå ñõåìàòè÷åñêè èçîáðàæåíà èñõîäíàÿ ìàòðèöà A(0) = A (0) (0) ñ îòìå÷åíííîé ïàðîé âåäóùèõ ýëåìåíòîâ ïåðâîãî øàãà aik è aki ¡ (0) (0) ¢ |aik | = max |apm | . p6=m

296



A(0)

.. . .. . .. .



.. .

  (0)  · · · · · · · · · a ik   . . .. =     .. (0) · · · aki · · · . · · · .. .. . .

Ïðåäñòàâèì ðåçóëüòàò ïåðâîãî øàãà  ìàòðèöó A(1) , óíèòàðíî ïîäîáíóþ A,  â âèäå A(1) = U (1)T A(0) U (1) , ãäå U (1)  îðòîãîíàëüíàÿ ìàòðèöà, èçîáðàæåííàÿ ñõåìàòè÷åñêè íèæå.   . .. I .. O . O

U (1)

· · · c · · · −s · · · 1 1     . . . . =O . I . O.   · · · s1 · · · c1 · · · . .. O .. O . I

Çäåñü ñèìâîëîì I îáîçíà÷åíà åäèíè÷íàÿ ïîäìàòðèöà, ñèìâîëîì O  íóëåâàÿ ïîäìàòðèöà. Òàêèì îáðàçîì, ìàòðèöà U (1) ïîëó÷àåòñÿ èç åäèíè÷íîé ïóòåì çàìåíû äâóõ äèàãîíàëüíûõ è äâóõ âíåäèàãîíàëüíûõ ýëåìåíòîâ, ñòîÿùèõ íà ïåðåñå÷åíèè îòìå÷åííûõ ñòðîê è ñòîëáöîâ: (1)

(1)

uii = ukk = c1 = cos(ϕ1 );

(1)

(1)

uki = −uik = s1 = sin(ϕ1 ) (1)

(1)

(ϕ1  óãîë, ïîäëåæàùèé îïðåäåëåíèþ èç óñëîâèÿ aik = aik = 0). Ïî îïðåäåëåíèþ óìíîæåíèÿ ìàòðèö èç A(1) = U (1)T A(0) U (1) ñëåäóåò

a(1) pm

=

n X

u(1)T pr

r=1

n X

(0) (1)

arj ujm .

(8.2.1)

j=1

Ïîêàæåì, ÷òî ýëåìåíòû ìàòðèöû, íå ñòîÿùèå â îòìå÷åííûõ ñòðîêàõ è ñòîëáöàõ, íå èçìåíÿþòñÿ. Ðàññìîòðèì âíóòðåííþþ ñóììó â (8.2.1). Åñëè m-é ñòîëáåö íå îòìå÷åí, òî ýòà ñóììà ñîñòîèò èç îäíîãî ñëàãàåìîãî: n X

(0) (1)

(1) (0) arj ujm = a(0) rm umm = arm .

j=1

Åñëè p-ÿ ñòðîêà íå îòìå÷åíà, òî âíåøíÿÿ ñóììà òîæå ñîñòîèò èç îäíîãî ñëàãàåìîãî: n

a(1) pm

=

X

(0) (1)T (0) (0) u(1)T pr arm = upp apm = apm .

r=1

297

Âû÷èñëèì òåïåðü ýëåìåíò ìàòðèöû A(1) , ñòîÿùèé â îòìå÷åíííîì ñòîëáöå è â íåîòìå÷åíííîé ñòðîêå. Ïóñòü, íàïðèìåð, m = i, p 6= i, p 6= k . Òîãäà âíóòðåííÿÿ ñóììà ñîäåðæèò äâà ñëàãàåìûõ: n X

(0) (1)

(0) (1)

(0) (1)

(0)

(0)

arj uji = ari uii + ark uki = ari c1 + ark s1 ,

j=1

à âíåøíÿÿ  îäíî: (1)

(0)

(0)

(0)

(0)

api = u(1)T pp (api c1 + apk s1 ) = api c1 + apk s1 . Ïîâòîðÿÿ ðàññóæäåíèÿ äëÿ m = k , ïîëó÷èì n X

(0) (1)

(0) (1)

(0)

(0)

(0) (1)

arj ujk = ark ukk + ari uik = ark c1 − ari s1 ,

j=1 (1)

(0)

(0)

(0)

(0)

apk = u(1)T pp (apk c1 − api s1 ) = apk c1 − api s1 . Çàìåòèì, ÷òî

¡ (1) ¢2 ¡ (1) ¢2 ¡ (0) ¢2 ¡ (0) ¢2 api + apk = api + apk , ò.å. ñóììà êâàäðàòîâ ýëåìåíòîâ îòìå÷åííûõ ñòîëáöîâ, ñòîÿùèõ â îäíîé (íå îòìå÷åííîé) ñòðîêå, íå ìåíÿåòñÿ.  ñèëó ñèììåòðèè ìàòðèö íå ìåíÿåòñÿ è ñóììà êâàäðàòîâ ýëåìåíòîâ îòìå÷åííûõ ñòðîê, ñòîÿùèõ â îäíîì (íå îòìå÷åííîì) ñòîëáöå. (1) Îñòàëîñü íàéòè ýëåìåíò aik , ïîëó÷àþùèéñÿ íà ìåñòå âåäóùåãî ýëåìåíòà ïåðâîãî øàãà: (1) aik

=

n X

(1)T uir

n X

r=1

=

n X r=1

(1)T ¡ (0) (1) ari uik

uir

(0) (1)

arj ujk =

j=1 n X

(0) (1) ¢ + ark ukk =

(1)T ¡

uir

(0) (0) ¢ −ari s1 + ark c1 =

r=1

(1) ¡ (0) (0) ¢ (1) ¡ (0) (0) ¢ = uii −aii s1 + aik c1 + uik −aki s1 + akk c1 = (0)

(0)

(0)

(0)

= −aii c1 s1 + aik c21 − aki s21 + akk c1 s1 . Ïðèðàâíÿâ ïîëó÷åííîå âûðàæåíèå íóëþ è âñïîìèíàÿ, ÷òî c1 = cos(ϕ1 ), à s1 = sin(ϕ1 ), ïîëó÷èì óðàâíåíèå äëÿ îïðåäåëåíèÿ ϕ1 :

¡

¢ (0) ¡ (0) (0) ¢ cos2 (ϕ1 ) − sin2 (ϕ1 ) aik = aii − akk cos(ϕ1 )sin(ϕ1 ) 298

(0)

(0)

(0)

(çäåñü ó÷òåíî, ÷òî aik = aki ). Ïî óñëîâèþ aik 6= 0 (êàê íàèáîëüøèé ïî ìîäóëþ âíåäèàãîíàëüíûé ýëåìåíò), è ýòî óðàâíåíèå ïðèâîäèòñÿ ê âèäó

¡ (0) (0) ¢± (0) ctg (2ϕ1 ) = aii − aii 2aik . Íàéäÿ èç ýòîãî óðàâíåíèÿ ϕ1 , ïîëó÷èì ìàòðèöó A(1) , êîòîðàÿ óíèòàðíî ïîäîáíà ìàòðèöå A(0) è îáëàäàåò ñëåäóþùèìè ñâîéñòâàìè: (1)

(1)

1. aik = aki = 0. 2. Ñóììà êâàäðàòîâ îñòàëüíûõ âíåäèàãîíàëüíûõ ýëåìåíòîâ íå èçìåíèëàñü. Íà âòîðîì øàãå àëãîðèòìà ßêîáè ìû ñêîíñòðóèðóåì ìàòðèöó A = U (2)∗ A(1) U (2) , óíèòàðíî ïîäîáíóþ A(1) (à, ñëåäîâàòåëüíî, è A(0) ), ó êîòîðîé áóäóò ðàâíû íóëþ âåäóùèå ýëåìåíòû ìàòðèöû A(1) . (2)

Âîîáùå, A(p) = V (p)∗ AV (p) , ãäå V (p) = U (1) · . . . · U (p) . Çäåñü ìîæíî áûëî áû ïîñòàâèòü ñëîâà "è òàê äàëåå íî... ê ñîæàëåíèþ, íà âòîðîì øàãå òå ýëåìåíòû, êîòîðûå íà ïåðâîì øàãå áûëè îáíóëåíû, âîîáùå ãîâîðÿ, ñòàíóò ñíîâà îòëè÷íûìè îò íóëÿ! Ïîýòîìó, â îòëè÷èå, ñêàæåì, îò àëãîðèòìà ÃàóññàÉîðäàíà, ïðîöåññ ïðåîáðàçîâàíèÿ ïî àëãîðèòìó ßêîáè, âîîáùå ãîâîðÿ, áåñêîíå÷åí. Îäíàêî ñåé÷àñ ìû ïîêàæåì, ÷òî ñóììà êâàäðàòîâ âíåäèàãîíàëüíûõ ýëåìåíòîâ íà êàæäîì øàãå àëãîðèòìà óìåíüøàåòñÿ. ¡ P (p) ¢2 Îáîçíà÷èì Q(p) = arm . Òîãäà â ñèëó ñâîéñòâ 1 è 2 r6=m

Q(p+1) ¡

(p) ¢2

Íî aik

¡ (p) ¢2 = Q(p) − 2 aik = Q(p) ·

Ã

¡

1−2

(p) ¢2

aik

Q(p)

!

.

¡ (p) ¢2 ¡ (p) ¢2 = max arm . Ïîýòîìó Q(p) ≤ aik · n(n − 1), ãäå n  ïîðÿäîê r6=m

ìàòðèöû A. Îòñþäà

¡

(p) ¢2

aik

Q(p)

1 ≥ n(n − 1)

è

(p+1)

Q

≤Q

(p)

³

´ 2 · 1− . n(n − 1)

Ïîëó÷åííîå íåðàâåíñòâî ïîêàçûâàåò, ÷òî ïðè èòåðàöèÿõ ïî ìåòîäó ßêîáè ñóììà êâàäðàòîâ âíåäèàãîíàëüíûõ ýëåìåíòîâ ìàòðèöû óáûâàåò íå ìåäëåííåå, ÷åì ãåîìåòðè÷åñêàÿ ïðîãðåññèÿ: (p)

Q

(0)

≤Q

³

´p 2 · 1− , n(n − 1)

è, ñëåäîâàòåëüíî, ìîæåò áûòü ñäåëàíà êàê óãîäíî ìàëîé. 299

Èòàê, ìû ïîëó÷èëè ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ìàòðèö A(p) , óíèòàðíî ïîäîáíûõ ìàòðèöå A è ïðèáëèæàþùèõñÿ ñ ðîñòîì p ê äèàãîíàëüíîé ìàòðèöå. Ïîýòîìó ìîæíî îæèäàòü, ÷òî äèàãîíàëüíûå ýëåìåíòû ìàòðèö A(p) ñ ðîñòîì p ïðèáëèæàþòñÿ ê ñîáñòâåííûì ÷èñëàì ìàòðèöû A. Äåéñòâèòåëüíî, ìîæíî ïîêàçàòü, ÷òî â èíòåðâàëå

i h p p (p) (p) (p) (p) aii − Q , aii + Q

ñîäåðæèòñÿ õîòÿ áû îäíî ñîáñòâåííîå ÷èñëî ìàòðèöû A. Åñòåñòâåííî íàçâàòü ýòîò èíòåðâàë îöåíêîé ñîáñòâåííîãî ÷èñëà. Äëèíà èíòåðâàëàîöåíêè, î÷åâèäíî, ìîæåò áûòü ñäåëàíà êàê óãîäíî ìàëîé ïðè äîñòàòî÷íîì êîëè÷åñòâå èòåðàöèé. Ìàòðèöû V (p) = U (1) · . . . · U (p) óíèòàðíû, è èõ ñòîëáöû ÿâëÿþòñÿ ïðèáëèæåíèÿìè äëÿ ñîáñòâåííûõ âåêòîðîâ ìàòðèöû A. Òåðìèíîëîãè÷åñêîå çàìå÷àíèå. Ìàòðèöà U (1) îñóùåñòâëÿåò ïîâîðîò íà óãîë ϕ1 â ïëîñêîñòè xi Oxk , ïðîõîäÿùåé ÷åðåç i-þ è k -þ êîîðäèíàòíûå îñè â ïðîñòðàíñòâå Rn (ñðàâíèòå ñ ïðèìåðîì â ï.7.6). Ìàòðèöà V (p)  ïðîèçâåäåíèå íåñêîëüêèõ ìàòðèö ïëîñêèõ âðàùåíèé. Ïîýòîìó ìåòîä ßêîáè èíîãäà íàçûâàþò ìåòîäîì âðàùåíèé. Ýôôåêòèâíûå ÷èñëåííûå àëãîðèòìû, ðåàëèçîâàííûå â ñðåäàõ êîíå÷íîãî ïîëüçîâàòåëÿ è â áèáëèîòåêàõ ñòàíäàðòíûõ Ôîðòðàí-ïðîãðàìì, îáåñïå÷èâàþò ðåøåíèå ïîëíîé ïðîáëåìû ñîáñòâåííûõ çíà÷åíèé äëÿ ñàìîñîïðÿæåííûõ ìàòðèö ñ ìàøèííîé òî÷íîñòüþ. Ñåðüåçíîå ïðåäóïðåæäåíèå.  ñëó÷àå íåñàìîñîïðÿæåííûõ ìàòðèö ñèòóàöèÿ îñëîæíÿåòñÿ. Êàê áûëî ïîêàçàíî, òàêèå ìàòðèöû ìîãóò è íå èìåòü ïîëíîãî íàáîðà ëèíåéíî íåçàâèñèìûõ ñîáñòâåííûõ âåêòîðîâ. Ðåàëèçîâàííûå â ñðåäàõ êîíå÷íîãî ïîëüçîâàòåëÿ è â áèáëèîòåêàõ ñòàíäàðòíûõ Ôîðòðàí-ïðîãðàìì àëãîðèòìû ðåøåíèÿ ïîëíîé ïðîáëåìû ñîáñòâåííûõ çíà÷åíèé äëÿ ïðîèçâîëüíûõ ìàòðèö íå ãàðàíòèðóþò ïîëó÷åíèå ðåçóëüòàòà. Ìû íàñòîÿòåëüíî ðåêîìåíäóåì ñëåäîâàòü â ýòîì ñëó÷àå ñîâåòó Õåììèíãà60 : íå æå÷ü çðÿ ìàøèííîå âðåìÿ, à îáðàùàòüñÿ çà êîíñóëüòàöèåé ê ñïåöèàëèñòàì. 60 Ðè÷àðä

Óýñëè ÕÅÌÌÈÍà (R.W. Hamming, 1915-1998), àìåðèêàíñêèé ìàòåìàòèê, ó÷àñòíèê Ìàíõýòòåíñêîãî ïðîåêòà, àâòîð ôóíäàìåíòàëüíûõ ðåçóëüòàòîâ â ÷èñëåííîì àíàëèçå, òåîðèè èíôîðìàöèè, òåîðèè êîäèðîâàíèÿ ("êîä Õåììèíãà"), òåîðèè öèôðîâûõ ôèëüòðîâ.  1988 ã. IEEE ó÷ðåäèë ìåäàëü â åãî ÷åñòü. 300

9. ÏÐÎÑÒÅÉØÈÅ ÔÓÍÊÖÈÎÍÀËÛ ÍÀ ÏÐÎÑÒÐÀÍÑÒÂÀÕ Cn È Rn 9.1. Ëèíåéíûå ôîðìû  ï.6.1 áûëî ïîêàçàíî, ÷òî âñÿêàÿ ìàòðèöà A ðàçìåðà m × n ïîðîæäàåò ëèíåéíîå îòîáðàæåíèå Cn â Cm : x → Ax.  ÷àñòíîì ñëó÷àå, êîãäà m = 1, çíà÷åíèÿ ýòîãî îòîáðàæåíèÿ  êîìïëåêñíûå ÷èñëà. Òàêîå îòîáðàæåíèå íàçûâàþò ëèíåéíûì ôóíêöèîíàëîì (ëèíåéíîé ôîðìîé). Èòàê, (1 × n)-ìàòðèöà (ìàòðèöà-ñòðîêà) ïîðîæäàåò ëèíåéíûé ôóíêöèîíàë  îòîáðàæåíèå Cn â C. Ïóñòü A = [a1 , · · · , an ]. Òîãäà Ax = a1 x1 + . . . + an xn . Ââåäåì âåêòîð-ñòîëáåö a = A∗ = [a1 , · · · , an ]T . Òîãäà íàø ëèíåéíûé ôóíêöèîíàë ìîæåò áûòü çàïèñàí â òåðìèíàõ ñêàëÿðíîãî ïðîèçâåäåíèÿ

Ax = a∗ x = hx, ai. Ýòîò ñïîñîá çàïèñè ìû è áóäåì, êàê ïðàâèëî, èñïîëüçîâàòü. Çàìå÷àíèå. Âåêòîð ñ âåùåñòâåííûìè êîìïîíåíòàìè, î÷åâèäíî, ïîðîæäàåò òàêæå âåùåñòâåííûé ëèíåéíûé ôóíêöèîíàë íà Rn . Ðàññìîòðèì òåïåðü ãåîìåòðè÷åñêóþ èíòåðïðåòàöèþ ëèíåéíîé ôîðìû y = hx, ai, çàäàííîé íà Rn (a ∈ Rn , n = 1, 2, 3). Åñëè a = θ, òî y ≡ 0. Ïîýòîìó â äàëüíåéøåì ìû ñ÷èòàåì, ÷òî a 6= θ. Äëÿ n = 1 a = [a], x = [x], y = ax. Ãðàôèê ýòîé ôîðìû  ïðÿìàÿ íà ïëîñêîñòè, ïðîõîäÿùàÿ ÷åðåç íà÷àëî · ¸ · ¸ êîîðäèíàò. a1 x , x = 1 , y = hx, ai = a1 x1 + a2 x2 . Äëÿ n = 2 a =

a2 x2 Ãðàôèê ýòîé ôîðìû  ïëîñêîñòü, ïðîõîäÿùàÿ ÷åðåç íà÷àëî êîîðäèíàò. Ïîëåçíî ðàññìîòðåòü òàêæå ëèíèè óðîâíÿ ýòîãî ôóíêöèîíàëà, ò.å. ëèíèè â R2 , íà êîòîðûõ ôóíêöèîíàë ñîõðàíÿåò ïîñòîÿííîå çíà÷åíèå. Ïîëàãàÿ y = const, ïîëó÷èì óðàâíåíèå a1 x1 + a2 x2 = const.

(9.1.1)

Êàê èçâåñòíî, ýòî óðàâíåíèå îïðåäåëÿåò ïðÿìóþ. Èòàê, ãðàôèê âåùåñòâåííîãî ëèíåéíîãî ôóíêöèîíàëà, çàäàííîãî íà R2 ,  ýòî ïëîñêîñòü, ïðîõîäÿùàÿ ÷åðåç íà÷àëî êîîðäèíàò, à åãî ëèíèè óðîâíÿ îáðàçóþò îäíîïàðàìåòðè÷åñêîå ñåìåéñòâî ïðÿìûõ íà ïëîñêîñòè. Ðàññìîòðèì ïðÿìóþ èç ýòîãî ñåìåéñòâà 301

hx, ai = c,

c ∈ R.

(9.1.2)

Çàôèêñèðóåì íà íåé òî÷êó x(0) . Âû÷èòàÿ èç (9.1.2) ðàâåíñòâî hx(0) , ai = c, ­ ® ïîëó÷èì x−x(0) , a = 0. Òàêèì îáðàçîì, âåêòîðû x−x(0) è a îðòîãîíàëüíû, è ñîîòâåòñòâóþùèå èì íàïðàâëåííûå îòðåçêè ïåðïåíäèêóëÿðíû.

−−−−−→ Íî îòðåçîê x − x(0) , î÷åâèäíî, ïàðàëëåëåí íàøåé ïðÿìîé. → Ïîýòîìó âñå ïðÿìûå ñåìåéñòâà ïåðïåíäèêóëÿðíû − a , è, ñëåäîâàòåëüíî, ïàðàëëåëüíû ìåæäó ñîáîé (ðèñ.9.1). XXX

XXX

XXX

→ ¤º − a

¤ ¤ X¤XX XX XXX XXX XXX ¤ XXX XXX XXX ¤ XXX XX ¤ X X XXX XXX XXX XXX XX XXX XXX XXX XXX X X XXX XXX XXX XXX XX X XXX

XX

Ðèñ.9.1 Çàìå÷àíèÿ. 1. Êàê èçâåñòíî èç øêîëüíîãî êóðñà, ëþáàÿ ïðÿìàÿ íà ïëîñêîñòè çàäàåòñÿ óðàâíåíèåì (9.1.1). Ïîýòîìó ëþáàÿ ïðÿìàÿ íà ïëîñêîñòè ÿâëÿåòñÿ ëèíèåé óðîâíÿ íåêîòîðîãî ëèíåéíîãî ôóíêöèîíàëà. 2. Ìíîæåñòâî òî÷åê R2 , óäîâëåòâîðÿþùèõ ëèíåéíîìó íåðàâåíñòâó hx, ai ≤ c, î÷åâèäíî, åñòü îáúåäèíåíèå ëèíèé óðîâíÿ hx, ai = γ ïðè ëþáûõ γ ≤ c. Ýòî îäíà èç äâóõ ïîëóïëîñêîñòåé, íà êîòîðûå ïðÿìàÿ hx, ai = c äåëèò ïëîñêîñòü. Ìíîæåñòâî òî÷åê, óäîâëåòâîðÿþùèõ íåðàâåíñòâó hx, ai ≥ c , îáðàçóåò âòîðóþ ïîëóïëîñêîñòü (ðèñ.9.2). H

HH HH

HH

− → a ¢¸ ¢

¢

HH

hx, ai ≥ c

HH

HH

hx, ai ≤ c

¢ ¢

¢

Ðèñ.9.2 302

HH HH

Äëÿ n = 3

a = [a1 , a2 , a3 ]T ,

x = [x1 , x2 , x3 ]T ,

y = hx, ai = a1 x1 + a2 x2 + a3 x3 .

Ãðàôèê ýòîãî ôóíêöèîíàëà ïîñòðîèòü íåâîçìîæíî, èáî òðè îòïóùåííûå íàì ïðèðîäîé îñè äåêàðòîâîé ñèñòåìû êîîðäèíàò çàíÿòû çíà÷åíèÿìè êîìïîíåíò âåêòîðà x, è çíà÷åíèÿ ôóíêöèîíàëà äåâàòü óæå íåêóäà. Ïðèõîäèòñÿ îãðàíè÷èòüñÿ ðàññìîòðåíèåì åãî ïîâåðõíîñòåé óðîâíÿ, óðàâíåíèÿ êîòîðûõ ïîëó÷àåì, ôèêñèðóÿ çíà÷åíèÿ ôóíêöèîíàëà. Ïîëàãàÿ y = const, èìååì

hx, ai = a1 x1 + a2 x2 + a3 x3 = c  óðàâíåíèå ïëîñêîñòè. Èòàê, ïîâåðõíîñòè óðîâíÿ íàøåãî ôóíêöèîíàëà îáðàçóþò îäíîïàðàìåòðè÷åñêîå ñåìåéñòâî ïëîñêîñòåé. Çàôèêñèðîâàâ íà îäíîé èç ïëîñêîñòåé ýòîãî ñåìåéñòâà òî÷êó x(0) , äëÿ ëþáîé äðóãîé òî÷êè x ýòîé ïëîñêîñòè èìååì hx, ai = c = hx(0) , ai.

−−−−−→

Îòñþäà hx − x(0) , ai = 0 è, ñëåäîâàòåëüíî, íàïðàâëåííûé îòðåçîê x − x(0) → ïåðïåíäèêóëÿðåí − a.

−−−−−→

Ïîñêîëüêó x è x(0) ëåæàò â íàøåé ïëîñêîñòè, îòðåçîê x − x(0) êîì→ ïëàíàðåí åé. Ñëåäîâàòåëüíî, ýòà ïëîñêîñòü ïåðïåíäèêóëÿðíà − a , è, çíà÷èò, âñå ïëîñêîñòè ñåìåéñòâà ïàðàëëåëüíû ìåæäó ñîáîé. Êàê è â äâóìåðíîì ñëó÷àå, êàæäàÿ ïëîñêîñòü â R3 ÿâëÿåòñÿ ïîâåðõíîñòüþ óðîâíÿ íåêîòîðîãî ëèíåéíîãî ôóíêöèîíàëà; ìíîæåñòâî òî÷åê, óäîâëåòâîðÿþùèõ ëèíåéíîìó íåðàâåíñòâó hx, ai ≤ c, è ìíîæåñòâî òî÷åê, óäîâëåòâîðÿþùèõ ëèíåéíîìó íåðàâåíñòâó hx, ai ≥ c, îáðàçóþò äâà ïîëóïðîñòðàíñòâà, ðàçäåëÿåìûõ ïëîñêîñòüþ hx, ai = c.

9.2. Êâàäðàòè÷íûå ôîðìû Ïóñòü A  ñàìîñîïðÿæåííàÿ ìàòðèöà ïîðÿäêà n, x ∈ Cn . Òîãäà ïî ôîðìóëå (8.1.1) hAx, xi = hx, Axi, à òàê êàê ïî ñâîéñòâó 2 ñêàëÿðíîãî ïðîèçâåäåíèÿ hAx, xi = hx, Axi, òî hAx, xi ∈ R. Îïðåäåëåíèå. Ïóñòü A  ñàìîñîïðÿæåííàÿ ìàòðèöà ïîðÿäêà n. Âåùåñòâåííàÿ ÷èñëîâàÿ ôóíêöèÿ, çàäàííàÿ íà Cn ïðàâèëîì x → hAx, xi, íàçûâàåòñÿ êâàäðàòè÷íîé ôîðìîé (êâàäðàòè÷íûì ôóíêöèîíàëîì). Çàïèøåì êâàäðàòè÷íóþ ôîðìó ÷åðåç êîîðäèíàòû âåêòîðà x:

(Ax)i =

n X j=1

303

aij xj ;

hAx, xi =

n X i=1

(Ax)i xi =

n n X X

aij xj xi =

i=1 j=1

n X i=1

2

aii |xi | +

n X

aij xi xj .

j6=i

Íàëè÷èå ñëàãàåìûõ ñ ïîïàðíûìè ïðîèçâåäåíèÿìè êîîðäèíàò çàòðóäíÿåò èññëåäîâàíèå êâàäðàòè÷íîé ôîðìû. Ïîêàæåì, ÷òî îò ýòîãî çàòðóäíåíèÿ ìîæíî èçáàâèòüñÿ, åñëè èñïîëüçîâàòü äëÿ ïðåäñòàâëåíèÿ âåêòîðà îðòîíîðìèðîâàííûé ñîáñòâåííûé áàçèñ ñàìîñîïðÿæåííîé (!) ìàòðèöû A. Êàê èçâåñòíî (ï.8.1), A = SΛS ∗ , ãäå Λ = diag[λ1 , · · · , λn ]  äèàãîíàëüíàÿ ìàòðèöà, äèàãîíàëü êîòîðîé ñîñòîèò èç ñîáñòâåííûõ ÷èñåë ìàòðèöû A, S = [s(1) , · · · , s(n) ]  óíèòàðíàÿ ìàòðèöà, ñòîëáöû êîòîðîé  ñîîòâåòñòâóþùèå ýòèì ñîáñòâåííûì ÷èñëàì îðòîíîðìèðîâàííûå ñîáñòâåííûå âåêòîðû (ñîáñòâåííûé áàçèñ ìàòðèöû A â Cn ). Ðàçëîæèì âåêòîð x ïî ýòîìó áàçèñó:

x = α1 s(1) + . . . + αn s(n) èëè x = Sα,

ãäå α = [α1 , · · · , αn ]T .

Îòñþäà

hAx, xi = x∗ Ax = (Sα)∗ A(Sα) = α∗ (S ∗ AS)α = α∗ Λα = hΛα, αi, èëè, â êîîðäèíàòíîé çàïèñè,

hAx, xi =

n X

λj |αj |2 .

(9.2.1)

j=1

Âûðàæåíèå (9.2.1) íàçûâàåòñÿ êàíîíè÷åñêèì ïðåäñòàâëåíèåì êâàäðàòè÷íîé ôîðìû. Ïðè èññëåäîâàíèè êâàäðàòè÷íîé ôîðìû, êàê ÿâñòâóåò èç (9.2.1), âàæíóþ ðîëü èãðàþò ñîáñòâåííûå ÷èñëà ìàòðèöû A. Ââåäåì â ñâÿçè ñ ýòèì íåñêîëüêî ïîëåçíûõ òåðìèíîâ. Îïðåäåëåíèå. Åñëè âñå ñîáñòâåííûå ÷èñëà ìàòðèöû A ïîëîæèòåëüíû (îòðèöàòåëüíû), òî âñëåäñòâèå (9.2.1) êâàäðàòè÷íàÿ ôîðìà ïîëîæèòåëüíà (îòðèöàòåëüíà) íà Cn , çà èñêëþ÷åíèåì íóëåâîãî âåêòîðà, íà êîòîðîì îíà ðàâíà íóëþ. Òàêóþ êâàäðàòè÷íóþ ôîðìó (êàê è åå ìàòðèöó) íàçûâàþò ïîëîæèòåëüíî îïðåäåëåííîé (îòðèöàòåëüíî îïðåäåëåííîé). Åñëè âñå ñîáñòâåííûå ÷èñëà ìàòðèöû A íåîòðèöàòåëüíû (íåïîëîæèòåëüíû), òî è ñîîòâåòñòâóþùàÿ êâàäðàòè÷íàÿ ôîðìà âñþäó íåîòðèöàòåëüíà (íåïîëîæèòåëüíà). Òàêóþ êâàäðàòè÷íóþ ôîðìó (êàê è åå ìàòðèöó) íàçûâàþò íåîòðèöàòåëüíî îïðåäåëåííîé (íåïîëîæèòåëüíî îïðåäåëåííîé). 304

Ïðèìåð. Ïóñòü B  ïðîèçâîëüíàÿ (m × n)-ìàòðèöà. Ðàññìîòðèì ìàòðèöó Ãðàìà GB = B ∗ B (ñì. ï.7.3). Äëÿ x ∈ Cn èìååì

­ ® ­ ® ­ ® GB x, x = B ∗ Bx, x = Bx, Bx = kBxk2 ≥ 0.

Òàêèì îáðàçîì, ìàòðèöà Ãðàìà ëþáîãî íàáîðà âåêòîðîâ íåîòðèöàòåëüíî îïðåäåëåíà. Åñëè âåêòîðû (ñòîëáöû ìàòðèöû B ) ëèíåéíî íåçàâèñèìû, òî ïî ñâîéñòâó 2 ìàòðèöû Ãðàìà det(GB ) 6= 0. Ïîýòîìó åå ñîáñòâåííûå ÷èñëà íå ìîãóò ðàâíÿòüñÿ íóëþ è, ñëåäîâàòåëüíî, ïîëîæèòåëüíû. Òàêèì îáðàçîì, ìàòðèöà Ãðàìà ëèíåéíî íåçàâèñèìîãî íàáîðà âåêòîðîâ ïîëîæèòåëüíî îïðåäåëåíà. Åñëè ñðåäè ñîáñòâåííûõ ÷èñåë ìàòðèöû A åñòü è ïîëîæèòåëüíûå, è îòðèöàòåëüíûå, òî ñîîòâåòñòâóþùàÿ êâàäðàòè÷íàÿ ôîðìà ïðèíèìàåò êàê ïîëîæèòåëüíûå, òàê è îòðèöàòåëüíûå çíà÷åíèÿ, è íàçûâàåòñÿ çíàêîïåðåìåííîé. Äîêàæåì òåïåðü îäíî âàæíîå äëÿ ïðèëîæåíèé íåðàâåíñòâî:

λmin (A)kxk2 ≤ hAx, xi ≤ λmax (A)kxk2 .

(9.2.2)

Äåéñòâèòåëüíî, èç (9.2.1) èìååì

hAx, xi =

n X

2

λk |αk | ≤

k=1

hAx, xi =

n X k=1

n X

2

λmax |αk | = λmax

k=1 2

λk |αk | ≥

n X

n X

|αk |2 = λmax kαk2 ;

k=1 2

λmin |αk | = λmin

k=1

n X

|αk |2 = λmin kαk2 .

k=1

Îñòàåòñÿ òîëüêî çàìåòèòü, ÷òî óìíîæåíèå íà óíèòàðíóþ ìàòðèöó íå ìåíÿåò íîðìó âåêòîðà. Ñëåäîâàòåëüíî, kxk = kSαk = kαk, è (9.2.2) äîêàçàíî. ¥ Îïðåäåëåííàÿ äëÿ ëþáîãî íåíóëåâîãî âåêòîðà x ∈ Cn ôóíêöèÿ

x→

hAx, xi , kxk2

ãäå A  ñàìîñîïðÿæåííàÿ (n × n)-ìàòðèöà, íàçûâàåòñÿ îòíîøåíèåì Ðýëåÿ61 . Èç (9.2.2) ñëåäóåò, ÷òî çíà÷åíèÿ îòíîøåíèÿ Ðýëåÿ çàêëþ÷åíû ìåæäó íàèìåíüøèì è íàèáîëüøèì ñîáñòâåííûìè ÷èñëàìè ìàòðèöû A. 61 Äæîí

Âèëüÿì ÑÒÐÅÒÒ, áàðîí ÐÝËÅÉ (J.W. Rayleigh, 1842-1919)  àíãëèéñêèé ôèçèê è ìàòåìàòèê, ïðåçèäåíò Ëîíäîíñêîãî Êîðîëåâñêîãî îáùåñòâà, ëàóðåàò Íîáåëåâñêîé ïðåìèè. 305

9.3. Ãåîìåòðè÷åñêàÿ èíòåðïðåòàöèÿ êâàäðàòè÷íûõ ôîðì  ýòîì ïóíêòå ðàññìàòðèâàþòñÿ êâàäðàòè÷íûå ôîðìû ñ âåùåñòâåííîé ñèììåòðè÷íîé ìàòðèöåé, çàäàííûå íà Rn , n = 1, 2, 3. Çàìå÷àíèå. Ëåãêî âèäåòü, ÷òî ñîáñòâåííûå âåêòîðû âåùåñòâåííîé ñèììåòðè÷íîé ìàòðèöû âåùåñòâåííû. Ïîýòîìó êîîðäèíàòû âåêòîðà èç Rn â ñîáñòâåííîì áàçèñå òàêîé ìàòðèöû òîæå âåùåñòâåííû. Äàëåå ìû ñ÷èòàåì, ÷òî ìàòðèöà A íåíóëåâàÿ ("èññëåäîâàíèå" ñëó÷àÿ A = Θ òðèâèàëüíî  êâàäðàòè÷íàÿ ôîðìà òîæäåñòâåííî ðàâíà íóëþ). 1. Êâàäðàòè÷íàÿ ôîðìà íà R1 = R: A = [a]  ìàòðèöà 1-ãî ïîðÿäêà, y = hAx, xi = ax2 . Ãðàôèê ýòîé êâàäðàòè÷íîé ôîðìû  ïàðàáîëà (íà ðèñ.9.3 a > 0).

y

6

-

x

Ðèñ.9.3 2. Êâàäðàòè÷íàÿ ôîðìà íà R2 : Óñëîâèìñÿ ñðàçó çàïèñûâàòü êâàäðàòè÷íóþ ôîðìó â îðòîíîðìèðîâàííîì ñîáñòâåííîì áàçèñå åå ìàòðèöû. Òîãäà

y = hAx, xi = λ1 x21 + λ2 x22 . Ãðàôèê ýòîãî ôóíêöèîíàëà  ïîâåðõíîñòü â R3 . Äëÿ èññëåäîâàíèÿ âèäà ýòîé ïîâåðõíîñòè ðàññìîòðèì ëèíèè óðîâíÿ êâàäðàòè÷íîé ôîðìû. à) Ïóñòü êâàäðàòè÷íàÿ ôîðìà ïîëîæèòåëüíî îïðåäåëåíà (λ1 > 0, λ2 > 0). Òîãäà, ïîëîæèâ y = c > 0 (çíà÷åíèå ôîðìû âñþäó íåîòðèöàòåëüíî è ðàâíî íóëþ òîëüêî â íà÷àëå êîîðäèíàò), ïîëó÷èì óðàâíåíèå ëèíèè, âî âñåõ òî÷êàõ êîòîðîé êâàäðàòè÷íàÿ ôîðìà ðàâíà c: 306

x21 x21 + = c, èëè + = 1. c/λ1 c/λ2 p p Ýòî óðàâíåíèå ýëëèïñà ñ ïîëóîñÿìè c/λ1 è c/λ2 (ðèñ.9.4). λ1 x21

x2

λ2 x22

x3

6

6

-

x1 z

x2

+

x1

Ðèñ.9.5

Ðèñ.9.4

Òàêèì îáðàçîì, ñå÷åíèå íàøåé ïîâåðõíîñòè ãîðèçîíòàëüíîé ïëîñêîñòüþ åñòü ýëëèïñ, è ïîëóîñè ýòîãî ýëëèïñà íåîãðàíè÷åííî ðàñòóò ïî ìåðå óäàëåíèÿ ñåêóùåé ïëîñêîñòè îò íà÷àëà êîîðäèíàò. Åñëè ó÷åñòü, ÷òî ñå÷åíèÿ ïîâåðõíîñòè âåðòèêàëüíûìè êîîðäèíàòíûìè ïëîñêîñòÿìè ïðåäñòàâëÿþò ñîáîé ïàðàáîëû y = λ1 x21 è y = λ2 x22 , òî ôîðìà ïîâåðõíîñòè ñòàíåò î÷åâèäíîé. Ýòà ïîâåðõíîñòü íàçûâàåòñÿ ýëëèïòè÷åñêèì ïàðàáîëîèäîì (ðèñ.9.5). Åñëè êâàäðàòè÷íàÿ ôîðìà îòðèöàòåëüíî îïðåäåëåíà, òî åå ãðàôèê, î÷åâèäíî, òàêæå ÿâëÿåòñÿ ýëëèïòè÷åñêèì ïàðàáîëîèäîì, íî ïåðåâåðíóòûì "ââåðõ íîãàìè". Ïðè λ1 = λ2 â ñå÷åíèÿõ ïîâåðõíîñòè ãîðèçîíòàëüíûìè ïëîñêîñòÿìè ïîëó÷àþòñÿ îêðóæíîñòè. Òàêîé ïàðàáîëîèä ìîæåò áûòü ïîëó÷åí âðàùåíèåì ïàðàáîëû y = λ1 x21 , ëåæàùåé â ïëîñêîñòè x1 Oy , âîêðóã îñè Oy . Îí èìåíóåòñÿ ïàðàáîëîèäîì âðàùåíèÿ. á) Ïóñòü êâàäðàòè÷íàÿ ôîðìà çíàêîïåðåìåííà. Ïðèìåì äëÿ îïðåäåëåííîñòè, ÷òî λ1 > 0, λ2 < 0. Óðàâíåíèå ëèíèè óðîâíÿ y = c èìååò âèä

λ1 · x21 − |λ2 | · x22 = c.

Ïðè c > 0 (ñå÷åíèå ãîðèçîíòàëüíîé ïëîñêîñòüþ, ðàñïîëîæåííîé íàä êîîðäèíàòíîé) ýòî ãèïåðáîëà 307

p

x21 x21 − =1 c/λ1 c/|λ2 |

p

ñ ïîëóîñÿìè c/λ1 è c/|λ2 |, à ïðè c < 0 (ñå÷åíèå ãîðèçîíòàëüíîé ïëîñêîñòüþ, ðàñïîëîæåííîé ïîä êîîðäèíàòíîé)  ãèïåðáîëà

p

p

x21 x21 − + =1 |c|/λ1 c/λ2

ñ ïîëóîñÿìè |c|/λ1 è c/λ2 .  ñå÷åíèè ãîðèçîíòàëüíîé êîîðäèíàòíîé ïëîñêîñòüþ (c = 0) ïîëó÷àåòñÿ ëèíèÿ óðîâíÿ λ1 · x21 = |λ2 | · x22 , ïðåäñòàâëÿþùàÿ ñîáîé ïàðó ïåðåñåêàþùèõñÿ ïðÿìûõ s

x2 = ±

λ1 x1 , |λ2 |

ðàçäåëÿþùèõ äâà ñåìåéñòâà ãèïåðáîë (ðèñ.9.6).

y

6

c<0 ?

¾c ¾

>0

x23 z

c=0

Ðèñ.9.6

x1

Ðèñ.9.7

Ñå÷åíèÿ âåðòèêàëüíûìè êîîðäèíàòíûìè ïëîñêîñòÿìè  ïàðàáîëû y = λ1 x21 è y = −|λ2 |x22 . Ãðàôèê çíàêîïåðåìåííîé êâàäðàòè÷íîé ôîðìû èìååò âèä áåñêîíå÷íîãî "ñåäëà" è íàçûâàåòñÿ ãèïåðáîëè÷åñêèì ïàðàáîëîèäîì (ðèñ.9.7). â) Ïðè íàëè÷èè ó ìàòðèöû íóëåâîãî ñîáñòâåííîãî ÷èñëà (ïóñòü, íàïðèìåð, λ1 = 0) ãðàôèê êâàäðàòè÷íîé ôîðìû y = λ2 x22 åñòü ïîâåðõíîñòü, âî âñåõ ñå÷åíèÿõ êîòîðîé âåðòèêàëüíûìè ïëîñêîñòÿìè, ïåðïåíäèêóëÿðíûìè îñè Ox1 , ïîëó÷àåòñÿ îäíà è òà æå ïàðàáîëà. Ýòà ïîâåðõíîñòü íàçûâàåòñÿ ïàðàáîëè÷åñêèì öèëèíäðîì (ðèñ.9.8). 308

y

6

z

x2

¼

x1

Ðèñ.9.8 Îáðàçóþùàÿ öèëèíäðà ïàðàëëåëüíà îñè Ox1 . Ëèíèè óðîâíÿ p êâàäðàòè÷íîé ôîðìû  ýòî ïàðû ïàðàëëåëüíûõ ïðÿìûõ x2 = ± c/λ2 (çíàê c ñîâïàäàåò ñî çíàêîì λ2 ). 3. Êâàäðàòè÷íàÿ ôîðìà íà R3 : Çàïèñûâàÿ ýòó ôîðìó ïî-ïðåæíåìó â ñîáñòâåííîì áàçèñå ìàòðèöû A, ïîëó÷èì

y = hAx, xi = λ1 x21 + λ2 x22 + λ3 x23 .

Ãðàôèê ýòîé êâàäðàòè÷íîé ôîðìû, î÷åâèäíî, èçîáðàçèòü íåâîçìîæíî, íà ÷òî óêàçûâàëîñü óæå ïðè ðàññìîòðåíèè ëèíåéíûõ ôîðì. Ðàññìîòðèì ïîâåðõíîñòè óðîâíÿ. à) Åñëè êâàäðàòè÷íàÿ ôîðìà ïîëîæèòåëüíî (îòðèöàòåëüíî) îïðåäåëåíà, òî çàäàâàÿ ïîëîæèòåëüíîå (îòðèöàòåëüíîå) åå çíà÷åíèå y = c, ïîëó÷èì óðàâíåíèå ïîâåðõíîñòè óðîâíÿ

λ1 x21

+

λ2 x22

+

λ3 x23

= c,

x21 x22 x23 + + = 1. c/λ1 c/λ2 c/λ3

èëè

Ðèñ.9.9

p

p

p

Ýòî óðàâíåíèå ýëëèïñîèäà ñ ïîëóîñÿìè c/λ1 , c/λ2 è c/λ3 (ðèñ.9.9).  ñå÷åíèÿõ ýëëèïñîèäà ïëîñêîñòÿìè, ïàðàëëåëüíûìè êîîðäèíàòíûì, ïîëó÷àþòñÿ ýëëèïñû (ïðîâåðüòå ýòî!). 309

Åñëè äâå èç òðåõ ïîëóîñåé ðàâíû ìåæäó ñîáîé (íàïðèìåð, λ1 = λ2 ), òî ýëëèïñîèä ìîæåò áûòü ïîëó÷åí âðàùåíèåì ýëëèïñà λ1 x21 + λ3 x23 = c, ëåæàùåãî â êîîðäèíàòíîé ïëîñêîñòè x1 Ox3 , âîêðóã îñè Ox1 . Òàêîé ýëëèïñîèä íàçûâàåòñÿ ýëëèïñîèäîì âðàùåíèÿ. Åñëè æå âñå ïîëóîñè ðàâíû, òî ïîâåðõíîñòè óðîâíÿ êâàäðàòè÷íîé ôîðìû  ñôåðû. á) Åñëè êâàäðàòè÷íàÿ ôîðìà çíàêîïåðåìåííà, è ñðåäè åå ñîáñòâåííûõ ÷èñåë íåò íóëÿ, òî áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî λ1 > 0, λ2 > 0, λ3 < 0. Ðàññìîòðèì ñíà÷àëà ïîâåðõíîñòè óðîâíÿ, íà êîòîðûõ ýòà êâàäðàòè÷íàÿ ôîðìà ïîëîæèòåëüíà. Óðàâíåíèå òàêîé ïîâåðõíîñòè èìååò âèä

x21 x21 x23 + − = c > 0, èëè + − = 1. c/λ1 c/λ2 c/|λ3 | Ýòî îäíîïîëîñòíûé ãèïåðáîëîèä (ðèñ.9.10). Ïðîâåðüòå, ÷òî â ñå÷åíèÿõ ãîðèçîíòàëüíûìè ïëîñêîñòÿìè ïîëó÷àþòñÿ ýëëèïñû (â ÷àñòíîì ñëó÷àå  ïðè λ1 = λ2  îêðóæíîñòè), à â ñå÷åíèÿõ êîîðäèíàòíûìè ïëîñêîñòÿìè x1 Ox3 è x2 Ox3  ãèïåðáîëû. λ1 x21

λ2 x22

|λ3 |x23

Ðèñ.9.10 Ïîâåðõíîñòü óðîâíÿ, íà êîòîðîé êâàäðàòè÷íàÿ ôîðìà îòðèöàòåëüíà,  äâóõïîëîñòíûé ãèïåðáîëîèä 62 (ðèñ.9.11)  èìååò óðàâíåíèå

x22 x23 x21 + − = −1. + − = c < 0, èëè |c|/λ1 |c|/λ2 c/λ3 Èññëåäóéòå åå ñå÷åíèÿ ïëîñêîñòÿìè, ïàðàëëåëüíûìè êîîðäèíàòíûì. λ1 x21

λ2 x22

|λ3 |x23

62 Ïî

óòâåðæäåíèþ èíæåíåðà Ãàðèíà, èìåííî ýòà ïîâåðõíîñòü áûëà âçÿòà èì çà îñíîâó ïðè ïîñòðîåíèè åãî ñìåðòîíîñíîãî îðóæèÿ, Íà ñàìîì æå äåëå îïòè÷åñêèì ñâîéñòâîì, îïèñàííûì â ðîìàíå À.Í. Òîëñòîãî, îáëàäàåò ïàðàáîëîèä âðàùåíèÿ. 310

Ðèñ.9.11 Óðàâíåíèå ïîâåðõíîñòè, íà êîòîðîé êâàäðàòè÷íàÿ ôîðìà ðàâíà íóëþ,

λ1 x21 + λ2 x22 − |λ3 |x23 = 0. Ýòî êîíóñ, ðàçäåëÿþùèé ñåìåéñòâà îäíîïîëîñòíûõ è äâóõïîëîñòíûõ ãèïåðáîëîèäîâ (ðèñ.9.12). Ïðîâåðüòå, ÷òî â ñå÷åíèÿõ ãîðèçîíòàëüíûìè ïëîñêîñòÿìè ïîëó÷àþòñÿ ýëëèïñû, à â ñå÷åíèÿõ êîîðäèíàòíûìè ïëîñêîñòÿìè x1 Ox3 è x2 Ox3  ïàðû ïåðåñåêàþùèõñÿ ïðÿìûõ. Åñëè λ1 = λ2 , òî êîíóñ íàçûâàåòñÿ ïðÿìûì êðóãîâûì êîíóñîì.

Ðèñ.9.12 Ïðåëàãàåì ÷èòàòåëþ ñàìîñòîÿòåëüíî óáåäèòüñÿ, ÷òî ñëó÷àé îäíîãî ïîëîæèòåëüíîãî è äâóõ îòðèöàòåëüíûõ ñîáñòâåííûõ ÷èñåë íå äàåò ïîâåðõíîñòåé óðîâíÿ, îòëè÷íûõ îò óæå ðàññìîòðåííûõ. â) Ïóñòü òåïåðü îäíî ñîáñòâåííîå ÷èñëî (íàïðèìåð, λ3 ) ðàâíî íóëþ. Òîãäà îñòàåòñÿ ðàññìîòðåòü ñëó÷àè λ1 · λ2 > 0 è λ1 · λ2 < 0. Åñëè λ1 , λ2 (à òàêæå c) ïîëîæèòåëüíû, òî óðàâíåíèå

λ1 x21 + λ2 x22 = c 311

îïðåäåëÿåò ýëëèïòè÷åñêèé (ïðè λ1 = λ2  êðóãîâîé) öèëèíäð ñ îáðàçóþùåé, ïàðàëëåëüíîé îñè Ox3 (ðèñ.9.13). Òàêîé æå öèëèíäð ïîëó÷àåòñÿ, åñëè λ1 , λ2 è c îòðèöàòåëüíû. Åñëè λ1 > 0, λ2 < 0, òî óðàâíåíèå

λ1 x21 − |λ2 |x22 = c îïðåäåëÿåò ïðè c 6= 0 ãèïåðáîëè÷åñêèé öèëèíäð ñ îáðàçóþùåé, ïàðàëëåëüíîé îñè OX3 (ðèñ.9.14), à ïðè c = 0  ïàðó ïåðåñåêàþùèõñÿ ïëîñêîñòåé p √

λ1 x1 ±

|λ3 |x3 = 0. x3 6

x3 6

Ðèñ.9.13

Ðèñ.9.14

ã) Åñëè, íàêîíåö, ðàâíû íóëþ äâà ñîáñòâåííûõ ÷èñëà èç òðåõ, òî óðàâíåíèå ïîâåðõíîñòè óðîâíÿ èìååò âèä

λ1 x21 = c (λ1 · c ≥ 0). Ýòî óðàâíåíèå ïàðû ïàðàëëåëüíûõ ïëîñêîñòåé x1 = ± îäíîé ïëîñêîñòè).

312

q

c (ïðè c = 0  λ1

Ãëàâà 10. ËÈÍÅÉÍÛÉ ÌÅÒÎÄ ÍÀÈÌÅÍÜØÈÕ ÊÂÀÄÐÀÒΠ10.1. Ñèíãóëÿðíûå ÷èñëà è ñèíãóëÿðíûå áàçèñû ìàòðèöû Ïóñòü A  ìàòðèöà ðàçìåðà m × n. Êàê èçâåñòíî, îíà ïîðîæäàåò ëèíåéíûé îïåðàòîð x → Ax, äåéñòâóþùèé èç Cn â Cm . Îïåðàòîð y → A∗ y , ïîðîæäàåìûé ñîïðÿæåííîé ê A ìàòðèöåé A∗ , äåéñòâóåò èç Cm â Cn . Ðàññìîòðèì ìàòðèöû Ãðàìà

P = GA = A∗ A

Q = GA∗ = (A∗ )∗ A∗ = AA∗ .

è

Êàê èçâåñòíî, îíè ýðìèòîâû è íåîòðèöàòåëüíî îïðåäåëåíû. Èõ ïîðÿäêè ðàâíû n è m ñîîòâåòñòâåííî. Ïóñòü λ1 , . . . , λn ≥ 0  ñîáñòâåííûå ÷èñëà ìàòðèöû P , v (1) , . . . , v (n)  ñîîòâåòñòâóþùèå èì îðòîíîðìèðîâàííûå ñîáñòâåííûå âåêòîðû â ïðîñòðàíñòâå Cn . Ðàññìîòðèì ñâîéñòâà îáðàçîâ ýòèõ âåêòîðîâ â Cm . Òåîðåìà. 1. Âåêòîðû Av (i) è Av (j) îðòîãîíàëüíû ïðè i 6= j . 2. Åñëè λi = 0, òî Av (i) = θm . 3. Åñëè λi > 0, òî λi ÿâëÿåòñÿ òàêæå ñîáñòâåííûì ÷èñëîì ìàòðèöû Q, à Av (i)  ñîîòâåòñòâóþùèé åìó ñîáñòâåííûé âåêòîð ýòîé ìàòðèöû. Äîêàçàòåëüñòâî. Îáîçíà÷èì h(i) = Av (i) . Òîãäà

hh(i) , h(j) i = hAv (i) , Av (j) i = hA∗ Av (i) , v (j) i = = hP v (i) , v (j) i = λi hv (i) , v (j) i. (10.1.1) Ïîëàãàÿ â (10.1.1) i 6= j , ïîëó÷èì äîêàçàòåëüñòâî óòâåðæäåíèÿ 1. Ïîëàãàÿ òàì æå i = j , ïîëó÷èì

kh(i) k2 = λi kv (i) k2 = λi . Ñëåäîâàòåëüíî, ïðè λi = 0 æäåíèå 2. Äàëåå,

kh(i) k2 = 0, ò.å. h(i) = θm . Äîêàçàíî óòâåð-

Qh(i) = (AA∗ )(Av (i) ) = A(A∗ A)v (i) = A(P v (i) ) = = A(λi v (i) ) = λi (Av (i) ) = λi h(i) . (10.1.2) Èç (10.1.2) ñëåäóåò óòâåðæäåíèå 3 (ïðè λi 6= 0 h(i) 6= θm ). 313

¥

Ïîìåíÿâ ìåñòàìè ìàòðèöû P è Q è ïîâòîðèâ äîêàçàòåëüñòâî, ïîëó÷èì Ñëåäñòâèå. Íåíóëåâûå ñîáñòâåííûå ÷èñëà ìàòðèö P è Q ïîïàðíî ñîâïàäàþò.  äàëüíåéøåì áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî r  îáùåå êîëè÷åñòâî íåíóëåâûõ ñîáñòâåííûõ ÷èñåë ýòèõ ìàòðèö (ñ ó÷åòîì êðàòíîñòè). Òîãäà êðàòíîñòè íóëåâîãî ñîáñòâåííîãî ÷èñëà ó ìàòðèö P è Q áóäóò ñîîòâåòñòâåííî ðàâíû n − r è m − r.  ÷àñòíîñòè, ïðè ðàçíûõ ïîðÿäêàõ ìàòðèö ó "ìåíüøåé" ìîæåò âîîáùå íå áûòü íóëåâûõ ñîáñòâåííûõ ÷èñåë. Óïîðÿäî÷èì óáûâàíèþ:

òåïåðü

ïîëîæèòåëüíûå

ñîáñòâåííûå

÷èñëà

ïî

λ1 ≥ λ2 ≥ . . . ≥ λr > 0. Ââåäåì âåêòîðû u(j) , j = 1, . . . , m, ñëåäóþùèì îáðàçîì:

Ïðè j ≤ r u(j) = p1 h(j) (â ñèëó (10.1.3) ku(j) k = 1);

λj Ïðè r < j ≤ m u(j)  îðòîíîðìèðîâàííûå ñîáñòâåííûå âåêòîðû ìàòðèöû Q, ñîîòâåòñòâóþùèå íóëåâîìó ñîáñòâåííîìó ÷èñëó. Èç ôîðìóëû (10.1.1) âèäíî, ÷òî âåêòîðû îáðàçóþò îðòîíîðìèðîâàííûé ñîáñòâåííûé áàçèñ ìàòðèöû Q. Äàëåå, ïî ïîñòðîåíèþ p Av (j) = h(j) = λj u(j) (j ≤ r); (10.1.4) Av (j) = θm (r < j ≤ n). Àíàëîãè÷íî,

p A∗ u(j) = p1 (A∗ A)v (j) = λj v (j) (j ≤ r); λj ∗ (j)

Au

= θn

(10.1.5)

(r < j ≤ m).

Ââåäåì òåïåðü âàæíîå íîâîå ïîíÿòèå. Îïðåäåëåíèå. Êâàäðàòíûå êîðíè èç îáùèõ íåíóëåâûõ ñîáñòâåííûõ p ÷èñåë ìàòðèö P = A∗ A è Q = AA∗ (σj = λj , j = 1, . . . , r) íàçûâàþòñÿ ñèíãóëÿðíûìè ÷èñëàìè ìàòðèöû A. Îðòîíîðìèðîâàííûå áàçèñû, ñîñòîÿùèå èç ñîáñòâåííûõ âåêòîðîâ ìàòðèöû P (â ïðîñòðàíñòâå Cn ) è èç ñîáñòâåííûõ âåêòîðîâ ìàòðèöû Q (â ïðîñòðàíñòâå Cm ) íàçûâàþòñÿ ñèíãóëÿðíûìè áàçèñàìè ìàòðèöû A (ñîîòâåòñòâåííî ïðàâûì è ëåâûì). Ñâåäåì âåêòîðû ñèíãóëÿðíûõ áàçèñîâ â óíèòàðíûå ìàòðèöû

U = [u(1) , . . . , u(m) ]

è 314

V = [v (1) , . . . , v (n) ].

Òåîðåìà. (m × n)-ìàòðèöà Σ = U ∗ AV èìååò ñòðóêòóðó



 .. Σr . Or×(n−r)   Σ = U ∗ AV = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . , . O(m−r)×r .. O(m−r)×(n−r)

(10.1.6)

ãäå Σr = diag[σ1 , . . . , σr ], à O  íóëåâûå ìàòðèöû, ðàçìåðû êîòîðûõ îáîçíà÷åíû â âèäå èíäåêñîâ. Äîêàçàòåëüñòâî. Èç (10.1.4) èìååì

AV = A · [v (1) , . . . , v (r) , v (r+1) , . . . , v (m) ] = = [Av (1) , . . . , Av (r) , Av (r+1) , . . . , Av (m) ] = = [σ1 u(1) , . . . , σr u(r) , θm , . . . , θm ]. | {z } Ïîýòîìó

(n−r)

U ∗ AV = U ∗ · [σ1 u(1) , . . . , σr u(r) , θm , . . . , θm ] = | {z } (n−r)

= [u(1) , . . . , u(r) , u(r+1) , . . . , u(m) ]∗ · [σ1 u(1) , . . . , σr u(r) , θm , . . . , θm ] = Σ. | {z }

¥

(n−r)

Ðàâåíñòâî U ∗ AV = Σ ìîæíî ïåðåïèñàòü â âèäå A = U ΣV ∗ . Òàêîå ïðåäñòàâëåíèå ìàòðèöû íàçûâàåòñÿ åå ñèíãóëÿðíûì ðàçëîæåíèåì. Ñåðüåçíîå ïðåäóïðåæäåíèå. Ñèíãóëÿðíîå ðàçëîæåíèå ìàòðèöû íåñêîëüêî íàïîìèíàåò ñïåêòðàëüíîå ðàçëîæåíèå ýðìèòîâîé ìàòðèöû. Îäíàêî â îáùåì ñëó÷àå ïðàâûé è ëåâûé ñèíãóëÿðíûå áàçèñû íå ñîâïàäàþò. Äàæå åñëè ìàòðèöà ýðìèòîâà, ìîæíî óòâåðæäàòü ëèøü, ÷òî åå ñèíãóëÿðíûå ÷èñëà ðàâíû ìîäóëÿì íåíóëåâûõ ñîáñòâåííûõ ÷èñåë. Òîëüêî äëÿ íåîòðèöàòåëüíî îïðåäåëåííûõ ýðìèòîâûõ ìàòðèö ñèíãóëÿðíûå ÷èñëà ñîâïàäàþò ñ íåíóëåâûìè ñîáñòâåííûìè ÷èñëàìè, ïðàâûé è ëåâûé ñèíãóëÿðíûå áàçèñû îäèíàêîâû è ñîâïàäàþò ñ ñîáñòâåííûì áàçèñîì ìàòðèöû. Ïðèìåð.

  1 1 A = 1 1  , 1 −1

· A∗ =

¸

1 1 1 , 1 1 −1

· A∗ A =

det(A∗ A − λI) = λ2 − 6λ + 8;

¸

3 1 , 1 3

λ1 (A∗ A) = 4, 315

  2 2 0 AA∗ = 2 2 0 ; 0 0 1 λ2 (A∗ A) = 2.

√

Ñèíãóëÿðíûå ÷èñëà ìàòðèöû A: σ1 = λ1 = 2, σ2 = Íàéäåì ñîáñòâåííûå âåêòîðû ìàòðèöû A∗ A:

√

λ2 =

√

2.

1 v (1) = √ [1 1]T ; 2 1 (A∗ A − 2I)x = θ ⇐⇒ x = β[1 − 1]T , β 6= 0; v (2) = √ [1 − 1]T . 2 ∗ Äâà ñîáñòâåííûõ ÷èñëà ìàòðèöû AA ñîâïàäàþò ñ íåíóëåâûìè ñîáñòâåííûìè ÷èñëàìè ìàòðèöû A∗ A, à òðåòüå îáÿçàíî áûòü íóëåì. Èòàê, λ1 (AA∗ ) = 4, λ2 (AA∗ ) = 2, λ3 (AA∗ ) = 0. Ñîáñòâåííûå âåêòîðû ìàòðèöû AA∗ , ñîîòâåòñòâóþùèå åå íåíóëåâûì ñîáñòâåííûì ÷èñëàì, íàéäåì ïî ôîðìóëå (10.1.4): (A∗ A − 4I)x = θ

u(1) =

⇐⇒

x = α[1 1]T , α 6= 0;

1 1 Av (1) = √ [1 1 0]T , σ1 2

v (2) =

1 1 Av (2) = √ [0 0 1]T . σ2 2

Òðåòèé ñîáñòâåííûé âåêòîð íàéäåì èç ñîîòâåòñòâóþùåé îäíîðîäíîé ñèñòåìû è óñëîâèÿ íîðìèðîâêè:

AA∗ x = θ

⇐⇒

1 u(3) = √ [1 − 1 0]T . 2

x = α[1 − 1 0]T , α 6= 0;

Ñâåäåì ñîáñòâåííûå âåêòîðû â ìàòðèöû



 1  √ 0 √1 2   2 U =  √1 0 − √1 .



√1 √1 2 2 , V = 1 1 √ −√ 2 2

2 0 1

0

2

Âûïèøåì ñèíãóëÿðíîå ðàçëîæåíèå A = U ΣV ∗ :

"

 1  " #  √ 0 √1 2 0 1 2  √  2 1 =  √1 0 − √1  · 0 2 · #

1 1 1 −1

2 0 1

0

2

0

0



√1 √1 2 2 . 1 1 √ −√ 2 2

10.2. Ïñåâäîðåøåíèå ñèñòåìû ëèíåéíûõ àëãåáðàè÷åñêèõ óðàâíåíèé Ðàññìîòðèì ñèñòåìó óðàâíåíèé

Ax = b

(10.2.1)

ñ ìàòðèöåé A ðàçìåðà m × n, ñòîëáöîì ñâîáîäíûõ ÷ëåíîâ b ∈ Cm è ïåðåìåííûì âåêòîðîì x ∈ Cn . 316

Íàçîâåì âåêòîðîì íåâÿçîê ñèñòåìû (10.2.1) âåêòîð

d(x) = b − Ax. Òîãäà, î÷åâèäíî, ðåøåíèåì ñèñòåìû (10.2.1) áóäåò òàêîé âåêòîð x ∈ Cn , ÷òî d(x(0) ) = θm . Ïðè ðåøåíèè ñîäåðæàòåëüíûõ ïðèêëàäíûõ çàäà÷ ÷àñòî âñòðå÷àþòñÿ ñèòóàöèè, â êîòîðûõ ñèñòåìà ëèíåéíûõ óðàâíåíèé íåñîâìåñòíà, õîòÿ ïî "ôèçè÷åñêîìó ñìûñëó" ðåøåíèå äîëæíî ñóùåñòâîâàòü. Îáúÿñíÿåòñÿ ýòî, êàê ïðàâèëî, òåì, ÷òî êîýôôèöèåíòû è ñâîáîäíûå ÷ëåíû ñèñòåìû, ïîëó÷åííûå èç ýêñïåðèìåíòà, ñîäåðæàò ïîãðåøíîñòè.  òàêèõ ñèòóàöèÿõ ðàçóìíî âûáèðàòü ïåðåìåííûé âåêòîð â ñèñòåìå (10.2.1) òàê, ÷òîáû íîðìà íåâÿçêè, êîòîðóþ ìû íå ìîæåì ñäåëàòü ðàâíîé íóëþ, îêàçàëàñü áû ìèíèìàëüíî âîçìîæíîé. (0)

Îïðåäåëåíèå. Ïñåâäîðåøåíèåì ñèñòåìû ëèíåéíûõ àëãåáðàè÷åñêèõ óðàâíåíèé (10.2.1) íàçûâàåòñÿ òàêîé âåêòîð x e ∈ Cn , ÷òî kd(e x)k ≤ kd(x)k n äëÿ âñåõ x ∈ C , ò.å. âåêòîð, ìèíèìèçèðóþùèé åâêëèäîâó íîðìó íåâÿçêè. Îòìåòèì, ÷òî â ñëó÷àå ñîâìåñòíîé ñèñòåìû ëþáîå åå ðåøåíèå x(0) ÿâëÿåòñÿ ïñåâäîðåøåíèåì, ïîñêîëüêó 0 = kd(x(0) )k ≤ kd(x)k äëÿ âñåõ x ∈ Cn . Òåîðåìà. Âñÿêàÿ ñèñòåìà ëèíåéíûõ àëãåáðàè÷åñêèõ óðàâíåíèé èìååò ïñåâäîðåøåíèå. Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü A = U ΣV ∗  ñèíãóëÿðíîå ðàçëîæåíèå ìàòðèöû êîýôôèöèåíòîâ ñèñòåìû (íàïîìíèì, ÷òî U è V  óíèòàðíûå ìàòðèöû ñèíãóëÿðíûõ áàçèñîâ  èìåþò ïîðÿäêè m è n ñîîòâåòñòâåííî, à (m × n)-ìàòðèöà Σ èìååò âèä (10.1.6)). Ðàçëîæèì âåêòîð ñâîáîäíûõ ÷ëåíîâ b ïî ñèíãóëÿðíîìó áàçèñó â Cm :

b = c1 u(1) + . . . + cm u(m) ,

èëè

b = U c.

(10.2.2)

Âåêòîð-ïñåâäîðåøåíèå x e áóäåì èñêàòü â âèäå ðàçëîæåíèÿ ïî n ñèíãóëÿðíîìó áàçèñó â C :

x e = α1 v (1) + . . . + αn v (n) ,

èëè

x e = V α,

ãäå α  íîâûé èñêîìûé âåêòîð. Ïîäñòàâèâ (10.2.2) è (10.2.3) â óðàâíåíèå (10.2.1), ïîëó÷èì

AV α = U c. 317

(10.2.3)

Óìíîæàÿ ýòî óðàâíåíèå íà U ∗ = U −1 ñëåâà è ó÷èòûâàÿ, ÷òî U ∗ AV = Σ, èìååì

Σα = c.

(10.2.4)

Ïîêàæåì, ÷òî íîðìû íåâÿçîê ñèñòåì (10.2.1) è (10.2.4) ðàâíû, ò.å. çàäà÷à ñâåëàñü ê îòûñêàíèþ ïñåâäîðåøåíèÿ ñèñòåìû (10.2.4). Äåéñòâèòåëüíî, èç (10.2.3) èìååì α = V ∗ x e è, ñëåäîâàòåëüíî,

b − Ae x = U c − U ΣV ∗ x e = U · (c − Σα). Óìíîæåíèå íà óíèòàðíóþ ìàòðèöó ñîõðàíÿåò íîðìó âåêòîðà. Ïîýòîìó

kb − Ae xk = kU · (c − Σα)k = kc − Σαk. Íî

Σα = [σ1 α1 , . . . , σr αr , 0, . . . , 0]T , | {z } (m−r)

è êâàäðàò íîðìû íåâÿçêè äëÿ ñèñòåìû (10.2.4) ðàâåí

kc − Σαk2 = |c1 − σ1 α1 |2 + . . . + |cr − σr αr |2 + |cr+1 |2 + . . . + |cm |2 . (10.2.5) Èç (10.2.5) âèäíî, ÷òî ìèíèìóì íîðìû íåâÿçêè äîñòèãàåòñÿ ïðè

αj = ¡

è ðàâåí |cr+1 |2 + . . . + |cm |2

cj , σj

¢1/2

j = 1, . . . , r,

. Òåîðåìà äîêàçàíà.

(10.2.6) ¥

Ðàññìîòðèì ÷àñòíûå ñëó÷àè. 1. r = n.  ýòîì ñëó÷àå ðàâåíñòâà (10.2.6) îäíîçíà÷íî îïðåäåëÿþò âñå êîìïîíåíòû âåêòîðà α. Ïî ôîðìóëå (10.2.3) ïîëó÷àåì x e = Vα  åäèíñòâåííîå ïñåâäîðåøåíèå ñèñòåìû (10.2.1). 2. r < n.  ýòîì ñëó÷àå èç (10.2.6) îïðåäåëÿþòñÿ òîëüêî ïåðâûå r êîìïîíåíò âåêòîðà α. Îäíàêî ôîðìóëà (10.2.5) ïîêàçûâàåò, ÷òî îñòàâøèåñÿ êîìïîíåíòû íå âëèÿþò íà âåëè÷èíó íåâÿçêè è ìîãóò áûòü âûáðàíû ïðîèçâîëüíî.  ýòîì ñëó÷àå ïñåâäîðåøåíèå íå åäèíñòâåííî. Îáû÷íî ïîëàãàþò

αr+1 = . . . = αn = 0.

(10.2.7)

Ñîîòâåòñòâóþùåå ïñåâäîðåøåíèå x e = V α íàçûâàþò íîðìàëüíûì ïñåâäîðåøåíèåì ñèñòåìû (10.2.1). 318

Î÷åâèäíî, âñÿêàÿ ñèñòåìà ëèíåéíûõ óðàâíåíèé èìååò åäèíñòâåííîå íîðìàëüíîå ïñåâäîðåøåíèå. Ñðåäè âñåõ âîçìîæíûõ ïñåâäîðåøåíèé îíî âûäåëÿåòñÿ íàèìåíüøåé íîðìîé. 3. r = m.  ýòîì ñëó÷àå ëþáîå ïñåâäîðåøåíèå îáåñïå÷èâàåò íóëåâóþ íîðìó íåâÿçêè, ò.å. ÿâëÿåòñÿ ðåøåíèåì ñèñòåìû (10.2.1). Ñåðüåçíîå ïðåäóïðåæäåíèå. Íå ñëåäóåò ïóòàòü ïîíÿòèÿ "ïñåâäîðåøåíèå" è "ïðèáëèæåííîå ðåøåíèå" ñèñòåìû ëèíåéíûõ àëãåáðàè÷åñêèõ óðàâíåíèé. Î ïðèáëèæåííîì ðåøåíèè ìîæíî ãîâîðèòü òîëüêî â ñëó÷àå ñîâìåñòíîé ñèñòåìû (âåêòîð ïðèáëèæåííîãî ðåøåíèÿ â êàêîì-òî ñìûñëå áëèçîê ê ñóùåñòâóþùåìó "òî÷íîìó" ðåøåíèþ). Íî â ýòîì ñëó÷àå ïñåâäîðåøåíèå ñîâïàäàåò ñ ðåøåíèåì.  îòëè÷èå îò ðåøåíèÿ ïñåâäîðåøåíèå ñóùåñòâóåò è ó íåñîâìåñòíîé ñèñòåìû, êîãäà ãîâîðèòü î ïðèáëèæåííîì ðåøåíèè áåñìûñëåííî, òàê êàê ðåøåíèå îòñóòñòâóåò è ïðèáëèæàòüñÿ íå ê ÷åìó! Òåðìèíîëîãè÷åñêîå çàìå÷àíèå. Ïñåâäîðåøåíèå ñèñòåìû ëèíåéíûõ óðàâíåíèé ÷àñòî íàçûâàþò ðåøåíèåì â ñìûñëå íàèìåíüøèõ êâàäðàòîâ, à ìåòîä îòûñêàíèÿ ïñåâäîðåøåíèÿ  ìåòîäîì íàèìåíüøèõ êâàäðàòîâ. Ýòî èñòîðè÷åñêîå íàçâàíèå îáúÿñíÿåòñÿ òåì, ÷òî ìèíèìèçèðóåòñÿ êâàäðàò åâêëèäîâîé íîðìû íåâÿçêè, êîòîðûé ñâîäèòñÿ ê ñóììå êâàäðàòîâ ìîäóëåé íåâÿçîê âñåõ óðàâíåíèé ñèñòåìû. Ïî÷åìó èç âñåâîçìîæíûõ ìåð áëèçîñòè âûáðàíà èìåííî åâêëèäîâà íîðìà? Ïîòîìó, ÷òî òàêîé âûáîð ïðèâîäèò ê ïðîñòîìó àëãîðèòìó ïîñòðîåíèÿ ïñåâäîðåøåíèÿ. Íèêàêèõ "áîëåå ãëóáîêèõ" îáîñíîâàíèé ó ýòîãî ìåòîäà íåò. Çàìåòèì, ÷òî èíîãäà ïîëüçóþòñÿ è äðóãèìè íîðìàìè. Çàìå÷àíèå. Ãåîìåòðè÷åñêàÿ èíòåðïðåòàöèÿ ïñåâäîðåøåíèÿ âåñüìà ïðîñòà: ýòî òàêîé âåêòîð x e ∈ Cn , êîòîðûé ïðè óìíîæåíèè íà ìàòðèöó êîýôôèöèåíòîâ ñèñòåìû ïåðåõîäèò â âåêòîð ïðîñòðàíñòâà Cm , "áëèæàéøèé" ê âåêòîðó-ñâîáîäíîìó ÷ëåíó. Ïðè ýòîì ðàññòîÿíèå ìåæäó âåêòîðàìè îïðåäåëÿåòñÿ ïî òåîðåìå Ïèôàãîðà. Ïðèìåð. Íàéäåì íîðìàëüíîå ïñåâäîðåøåíèå ñèñòåìû ëèíåéíûõ óðàâíåíèé 

 x1 + x2 = 1 x1 + x2 = 2 ,  x1 − x2 = 3

èëè, â ìàòðè÷íîì âèäå, 319

    1 1 1 · ¸ x 1 1 1  · = 2 . x2 1 −1 3 Ñèíãóëÿðíîå ðàçëîæåíèå ìàòðèöû êîýôôèöèåíòîâ ýòîé ñèñòåìû áûëî ïîëó÷åíî â ï.10.1. Èñïîëüçóÿ åãî, ïåðåïèøåì ñèñòåìó:

 1  #  " √ 0 √1 2 0 2  √  12 1  √ 0 −√  · 0 2 ·  2 0 1

0

2

0

0

 · ¸ "1# √1 √1 2 2  · x1 = 2 . x2 √1 − √1 3 2 2

Óìíîæèâ ýòî ðàâåíñòâî ñëåâà íà U ∗ = U −1 , ïîëó÷èì



#  1 √ 2 √0 0 2 · 2

0

èëè



 √3 · ¸ √1 2  · x1 =  3 2 ,   x2 √1 − √1 1 √ − 2 2 2

"

0

√ 3 1 √ 2α1 = ; 2α2 = 3 ; 0 = −√ . 2 2 Èç ïåðâûõ äâóõ óðàâíåíèé èìååì     · ¸ · ¸ 3 √ √1 √1 α1 2  · x1 =  2 2  . =  12 1 3 α x √

2

−√

2

√

2

2

2

Óìíîæèâ îáå ÷àñòè ðàâåíñòâà íà V = (V ∗ )−1 , ïîëó÷èì íîðìàëüíîå ïñåâäîðåøåíèå ñèñòåìû x e = [9/4 − 3/4]T . Ðàññìîòðèì ãåîìåòðè÷åñêóþ èíòåðïðåòàöèþ ýòîãî ïðèìåðà.

y3

»» »»»

» »»»

»» »»»

y1 = y2 −→ b Ae x¡ µ@ ¡

¡

¡

¡

¡

¡

# # #

@ @

320

− → d

@ R @ 1b ³ ³ ³ ³

¡ ³³ ³³»»» ¡ ³ ³ »» ¡ ³³ »»» ³» ³ » ¡» ³³» ³» » ¡

Ðèñ.10.1

@

y2

− → b

y1

Ïóñòü y = [y1 , y2 , y3 ]T  îáðàç âåêòîðà x = [x1 , x2 ]T ïðè îòîáðàæåíèè y = Ax. Òîãäà y1 = x1 + x2 = y2 , ò.å. ìíîæåñòâî çíà÷åíèé ýòîãî îòîáðàæåíèÿ åñòü ïëîñêîñòü y1 = y2 â R3 (ðèñ.10.1). Òî÷êà ñ êîîðäèíàòàìè (1, 2, 3) â ýòîé ïëîñêîñòè íå ëåæèò, ò.å. ñèñòåìà óðàâíåíèé íå èìååò ðåøåíèÿ. Áëèæàéøàÿ ê ýòîé òî÷êå òî÷êà ïëîñêîñòè y1 = y2 åñòü îáðàç ïñåâäîðåøåíèÿ (ñì. Çàìå÷àíèå):

    ¸ 1 1 · 3/2 9/4 Ae x = 1 1  · = 3/2 . −3/4 1 −1 3 Âåêòîð íåâÿçêè d(e x) = [− 12 , 12 , 0]T , à åãî íîðìà kd(e x)k = √1 .

2

10.3. Ïñåâäîîáðàòíàÿ ìàòðèöà. Íîðìàëüíûå óðàâíåíèÿ  ïðåäûäóùåì ïóíêòå áûëî ïîñòðîåíî ïñåâäîðåøåíèå ñèñòåìû (10.2.1). Çàïèøåì ôîðìóëû äëÿ âû÷èñëåíèÿ ïñåâäîðåøåíèÿ â ìàòðè÷íîé ôîðìå. Äëÿ ýòîãî ââåäåì (n × m)-ìàòðèöó ñëåäóþùåé ñòðóêòóðû



Σ+ r

.. . Or×(m−r)



  Σ+ = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . , . O(n−r)×r .. O(n−r)×(m−r) i h 1 1 + ãäå Σr = diag σ , . . . , σ , à O  íóëåâûå ìàòðèöû, ðàçìåðû êîòîðûõ 1 r îáîçíà÷åíû â âèäå èíäåêñîâ. Íåòðóäíî óáåäèòüñÿ â òîì, ÷òî ôîðìóëû (10.2.6) è (10.2.7) ìîæíî ïåðåïèñàòü â âèäå α = Σ+ c (ïðîâåðüòå ýòî!). Òîãäà íîðìàëüíîå ïñåâäîðåøåíèå ñèñòåìû (10.2.1) çàïèøåòñÿ â âèäå x e = V α = V Σ+ c = V Σ+ U ∗ b. Åñëè ìàòðèöà êîýôôèöèåíòîâ ñèñòåìû A êâàäðàòíàÿ è îáðàòèìàÿ, òî ðåøåíèå ýòîé ñèñòåìû ïîëó÷àåòñÿ, êàê èçâåñòíî, óìíîæåíèåì ñâîáîäíîãî ÷ëåíà ñëåâà íà îáðàòíóþ ìàòðèöó: x = A−1 b. Íàçîâåì ìàòðèöó A+ = V Σ+ U ∗ ïñåâäîîáðàòíîé. Òîãäà íîðìàëüíîå ïñåâäîðåøåíèå ïîëó÷àåòñÿ óìíîæåíèåì ñâîáîäíîãî ÷ëåíà ñëåâà íà ïñåâäîîáðàòíóþ ìàòðèöó:

x e = A+ b. 321

(10.3.1)

Çàìå÷àíèå. Åñëè r = m = n, òî ìàòðèöà Σ, î÷åâèäíî, îáðàòèìà, è Σ = Σ−1 . Ïîýòîìó +

¢−1 ¡ = (U ΣV ∗ )−1 = A−1 , A+ = V Σ+ U ∗ = V Σ−1 U −1 = U ΣV −1

ò.å. åñëè ìàòðèöà îáðàòèìà, òî åå ïñåâäîîáðàòíàÿ ñîâïàäàåò ñ åå îáðàòíîé. Ýòî ñîãëàñóåòñÿ ñ óòâåðæäåíèåì (ñì. ï.10.2), ÷òî â ýòîì ñëó÷àå ïñåâäîðåøåíèå åäèíñòâåííî (r = n) è ÿâëÿåòñÿ ðåøåíèåì ñèñòåìû (r = m). Ñåðüåçíîå ïðåäóïðåæäåíèå. Ôîðìóëà (10.3.1) åñòü íå áîëåå, ÷åì óäîáíàÿ ôîðìà çàïèñè ðåçóëüòàòà. Òàê æå êàê äëÿ íàõîæäåíèÿ ðåøåíèÿ ñèñòåìû íåçà÷åì âû÷èñëÿòü îáðàòíóþ ìàòðèöó, äëÿ íàõîæäåíèÿ íîðìàëüíîãî ïñåâäîðåøåíèÿ íåò ñìûñëà âû÷èñëÿòü ïñåâäîîáðàòíóþ ìàòðèöó, à ñëåäóåò ïîëüçîâàòüñÿ ôîðìóëàìè ï.10.2. Äîêàæåì òåïåðü, ÷òî A∗ AA+ = A∗ . Äåéñòâèòåëüíî,    .. .. Σr . Or×(n−r) Σ+ . Or×(m−r) r



    Σ · Σ+ = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . · . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . = . . O(m−r)×r .. O(m−r)×(n−r) O(n−r)×r .. O(n−r)×(m−r)   .. Ir . Or×(m−r)   = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ; . O(m−r)×r .. O(m−r)×(m−r)    .. .. Σr Ir . Or×(n−r) . Or×(m−r)   ∗ +  Σ ·Σ·Σ = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . · . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . = Σ∗ . . . O(m−r)×r .. O(m−r)×(n−r) O(m−r)×r .. O(m−r)×(m−r) Ïîýòîìó

A∗ AA+ = (U ΣV ∗ )∗ · (U ΣV ∗ ) · (V Σ+ U ∗ ) =

= V Σ∗ (U ∗ U )Σ(V ∗ V )Σ+ U ∗ = V · (Σ∗ ΣΣ+ ) · U ∗ = V Σ∗ U ∗ = A∗ .

¥

Óìíîæèâ òåïåðü îáå ÷àñòè (10.3.1) ñëåâà íà A∗ A, ïîëó÷èì

A∗ Ae x = (A∗ AA+ )b = A∗ b. Òàêèì îáðàçîì, íîðìàëüíîå ïñåâäîðåøåíèå ñèñòåìû (10.2.1) áóäåò ðåøåíèåì ñèñòåìû ∗ ∗

(A A)x = A b,

(10.3.2)

ïîëó÷àþùåéñÿ èç (10.2.1) óìíîæåíèåì îáåèõ ÷àñòåé ñëåâà íà ìàòðèöó A∗ . Óðàâíåíèÿ (10.2.3) íàçûâàþòñÿ íîðìàëüíûìè óðàâíåíèÿìè ìåòîäà íàèìåíüøèõ êâàäðàòîâ. 322

Ñåðüåçíîå ïðåäóïðåæäåíèå. Âîçíèêàåò âîïðîñ: äëÿ ÷åãî æå áûëî ìó÷èòüñÿ ñòîëüêî âðåìåíè, ââîäèòü íîâûå ïîíÿòèÿ "ñèíãóëÿðíîå ðàçëîæåíèå" è "ïñåâäîðåøåíèå"? Íå ïðîùå ëè ïîñòðîèòü ñèñòåìó íîðìàëüíûõ óðàâíåíèé è ðåøèòü åå? Îêàçûâàåòñÿ, âñå íå òàê ïðîñòî. Âî-ïåðâûõ, íèêòî íå ãàðàíòèðóåò íàì íåâûðîæäåííîñòè ìàòðèöû GA = A∗ A (êîòîðàÿ ðàâíîñèëüíà, êàê èçâåñòíî, ëèíåéíîé íåçàâèñèìîñòè ñòîëáöîâ ìàòðèöû A). Åñëè ìàòðèöà Ãðàìà îêàæåòñÿ âûðîæäåííîé, òî íàì âñå ðàâíî ïðèäåòñÿ èñêàòü ïñåâäîðåøåíèå, íî óæå ñèñòåìû (10.3.2)! Âî-âòîðûõ, åñëè äàæå ìàòðèöà ñèñòåìû (10.3.2) íå âûðîæäåíà, òî ïðè ïåðåõîäå ê íîðìàëüíûì óðàâíåíèÿì ðåçêî âîçðàñòàþò âû÷èñëèòåëüíûå òðóäíîñòè (ñì. ãëàâó 13). Ïîýòîìó ìû íàñòîÿòåëüíî ðåêîìåíäóåì íå ïîëüçîâàòüñÿ íîðìàëüíûìè óðàâíåíèÿìè (òåì áîëåå, ÷òî ÷èñëåííî óñòîé÷èâûå àëãîðèòìû ñèíãóëÿðíîãî ðàçëîæåíèÿ è ïîñòðîåíèÿ íîðìàëüíîãî ïñåâäîðåøåíèÿ ðåàëèçîâàíû è â ñðåäàõ êîíå÷íîãî ïîëüçîâàòåëÿ, è â áèáëèîòåêàõ Ôîðòðàíà). Çàìå÷àíèå. Îòìåòèì îäèí ñëó÷àé, êîãäà âñå-òàêè ìîæíî ïåðåõîäèòü ê íîðìàëüíûì óðàâíåíèÿì. Åñëè ñòîëáöû ìàòðèöû ïîïàðíî îðòîãîíàëüíû, òî ìàòðèöà Ãðàìà îêàæåòñÿ äèàãîíàëüíîé, è ðåøåíèå ñèñòåìû (10.3.2)  íîðìàëüíîå ïñåâäîðåøåíèå ñèñòåìû (10.2.1)  âûïèñûâàåòñÿ â ÿâíîì âèäå:

x ek =

(A∗ b)k

ka(k) k2

=

hb, a(k) i ka(k) k2

323

,

k = 1, . . . , n.

(10.3.3)

Ãëàâà 11. ÑÃËÀÆÈÂÀÍÈÅ ÐÅÇÓËÜÒÀÒΠÈÇÌÅÐÅÍÈÉ ÌÅÒÎÄÎÌ ÍÀÈÌÅÍÜØÈÕ ÊÂÀÄÐÀÒΠ11.1. Îäíà ñîäåðæàòåëüíàÿ çàäà÷à Îïèñàíèå ïðîáëåìû, êîòîðîé ïîñâÿùåíà ýòà ãëàâà, ìû íà÷íåì ñ ïðîñòåéøåãî ïðèìåðà  èçìåðåíèÿ ñîïðîòèâëåíèÿ ðåçèñòîðà ìåòîäîì àìïåðìåòðà è âîëüòìåòðà. Ìåòîä ýòîò, êàê èçâåñòíî, ñîñòîèò â òîì, ÷òî îäíîâðåìåííî èçìåðÿþòñÿ: òîê J , òåêóùèé ÷åðåç ðåçèñòîð, è U  ïàäåíèå íàïðÿæåíèÿ íà íåì (ðèñ.11.1). ¾»

V

½¼

¾»

A

½¼

Ðèñ.11.1 Åñëè ïðåíåáðå÷ü òîêîì, òåêóùèì ÷åðåç âîëüòìåòð, òî, â ñîîòâåòñòâèè ± ñ çàêîíîì Îìà, èñêîìîå ñîïðîòèâëåíèå íàõîäèòñÿ ïî ôîðìóëå R = U J . Äåëî, îäíàêî, îñëîæíÿåòñÿ òåì, ÷òî, ïîâòîðÿÿ èçìåðåíèÿ, ïîëó÷àþò êàæäûé ðàç íîâîå çíà÷åíèå ñîïðîòèâëåíèÿ. Âîçìîæíû äâà ðàçëè÷íûõ òîëêîâàíèÿ ýòîãî ýêñïåðèìåíòàëüíîãî ôàêòà. 1. Ñîïðîòèâëåíèå ðåçèñòîðà íå ïîñòîÿííî, à èçìåíÿåòñÿ ñî âðåìåíåì. 2. Ñîïðîòèâëåíèå ïîñòîÿííî, íî äàííûå èçìåðåíèé ñîäåðæàò îøèáêè (ïîãðåøíîñòè ïðèáîðîâ, ñóáúåêòèâíûå îøèáêè íàáëþäàòåëÿ è ïð.) Ñëåäóåò ÿñíî ïîíèìàòü, ÷òî áåç âûáîðà ìàòåìàòè÷åñêîé ìîäåëè ýêñïåðèìåíòà åãî ðåçóëüòàòû îáðàáàòûâàòü íåëüçÿ.  íàøåé çàäà÷å ìû ïîñòóëèðóåì íåèçìåííîñòü ñîïðîòèâëåíèÿ ðåçèñòîðà âî âðåìåíè (âûÿñíåíèå ïðàâîìåðíîñòè òàêîãî ïîñòóëàòà âûõîäèò, åñòåñòâåííî, çà ðàìêè êóðñà ìàòåìàòèêè) è âçâàëèâàåì îòâåòñòâåííîñòü çà åãî íàáëþäàþùèåñÿ èçìåíåíèÿ íà ïîãðåøíîñòè. Òîãäà, ïðîâåäÿ ñåðèþ èç n èçìåðåíèé, ìû ìîæåì çàïèñàòü èõ ðåçóëüòàòû â âèäå 324

  J1 R = U1 ........... ,  Jn R = Un ò.å. â âèäå ñèñòåìû èç n ëèíåéíûõ óðàâíåíèé ñ îäíîé ïåðåìåííîé  èñêîìûì ñîïðîòèâëåíèåì. Ïîñêîëüêó ýòà ñèñòåìà, î÷åâèäíî, íåñîâìåñòíà, áóäåì èñêàòü åå ïñåâäîðåøåíèå. Íåñìîòðÿ íà ïðîñòîòó çàäà÷è, ïðîäåëàåì âñå îïåðàöèè ïîäðîáíî, ÷òîáû åùå ðàç ïðîäåìîíñòðèðîâàòü ìåòîäèêó. Çàïèøåì ñèñòåìó â âèäå JR = U, (11.1.1) ãäå J = [J1 , . . . , Jn ]T , U = [U1 , . . . , Un ]T . Ìàòðèöà J ∗ J = [J12 + . . . + Jn2 ] èìååò ðàçìåð 1 × 1, à ìàòðèöà



 J12 J1 J2 . . . J1 Jn JJ ∗ = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Jn J1 Jn J2 . . . Jn2

 ðàçìåð n × n. Òàê êàê J ∗ J èìååò ðàçìåð 1 × 1, ñèíãóëÿðíîå ÷èñëî îêàçûâàåòñÿ åäèíñòâåííûì  ýòî ïîëîæèòåëüíûé êîðåíü óðàâíåíèÿ

det(J ∗ J − σ 2 I1 ) = 0,

èëè

n X

Jk2 − σ 2 = 0,

ò.å.

σ=

µX n

¶1/2 . Jk2

k=1

k=1

Ñîîòâåòñòâóþùèå ñèíãóëÿðíûå áàçèñû íàõîäÿòñÿ òàê: ïðàâûé (ñîñòîÿùèé èç îäíîãî âåêòîðà)  ïóòåì ðåøåíèÿ îäíîðîäíîé "ñèñòåìû"

(J ∗ J − σ 2 I1 )v (1) = θ1 ,

θ1 · v (1) = θ1 ,

èëè

ò.å.

v (1) = [1]

(íàïîìíèì, ÷òî ñèíãóëÿðíûé âåêòîð áåðåòñÿ íîðìèðîâàííûì). Ïî èçâåñòíîìó èç ï.10.1 ïðàâèëó íàõîäèì ñîîòâåòñòâóþùèé ñèíãóëÿðíûé âåê1 Jv (1) = 1 J è äîïîëíÿåì åãî äî îðòîíîðìèðîâàííîãî áàçèñà. òîð w(1) = σ σ Ñèíãóëÿðíîå ðàçëîæåíèå ìàòðèöû J èìååò âèä J = W ΣV ∗ , ãäå V ∗ = V = [1], W = [w(1) , . . . , wn) ]  óíèòàðíàÿ ìàòðèöà ïîðÿäêà n, à Σ = [σ, 0 . . . , 0]T  ñòîëáåö âûñîòû n. Ìàòðèöà Σ+ = [1/σ, 0, . . . , 0]  ñòðîêà øèðèíû n. Ïîýòîìó

1 (1)∗ 1 w = 2 J ∗. σ σ Òåïåðü ìîæíî ïî ôîðìóëå (10.3.1) íàéòè ïñåâäîðåøåíèå: J + = V Σ+ W ∗ =

e = J + U = 1 J ∗ U = 1 (J1 U1 + · · · + Jn Un ) = J1 U1 + · · · + Jn Un . R σ2 σ2 J12 + . . . + Jn2 325

Âíèìàòåëüíûé ÷èòàòåëü çàìåòèò, ÷òî ïðîùå áûëî áû â óðàâíåíèè (11.1.1) óìíîæèòü îáå ÷àñòè ñëåâà íà J ∗ (ïåðåéòè ê íîðìàëüíûì óðàâíåíèÿì):

J ∗U J1 U1 + · · · + Jn Un e =⇒ R = ∗ = . J J J12 + . . . + Jn2 Íî ìû, ïîâòîðÿåì, õîòåëè åùå ðàç ïðîäåìîíñòðèðîâàòü ìåòîäèêó ïîñòðîåíèÿ ïñåâäîðåøåíèÿ ñ ïîìîùüþ ñèíãóëÿðíîãî ðàçëîæåíèÿ ìàòðèöû ñèñòåìû. e ìîæíî èñòîëêîâàòü êàê çíà÷åíèå ñîïðîòèâëåÏîëó÷åííîå ÷èñëî R e = J ∗U (J J)R ∗

íèÿ ðåçèñòîðà, "íàèëó÷øèì îáðàçîì ñîãëàñóþùååñÿ" ñðàçó ñî âñåìè ðåçóëüòàòàìè èçìåðåíèÿ (ïðè ýòîì ñòåïåíü ñîãëàñîâàííîñòè ïîíèìàåòñÿ òàê, êàê áûëî ñêàçàíî â çàìå÷àíèè ï.10.2). Ìîæíî ïîëàãàòü, ÷òî òàêèì îáðàçîì ìû èçáàâèëèñü îò "ñëó÷àéíûõ" ïîãðåøíîñòåé â ðåçóëüòàòàõ èçìåðåíèé  ñãëàäèëè ýòè ðåçóëüòàòû. Ñåðüåçíîå ïðåäóïðåæäåíèå. Ïîä÷åðêíåì åùå ðàç, ÷òî ïðèâåäåííûå âûøå ðàññóæäåíèÿ èìåþò ñìûñë òîëüêî â ðàìêàõ ïðèíÿòîé ìàòåìàòè÷åñêîé ìîäåëè  ñîïðîòèâëåíèå ðåçèñòîðà ïðåäïîëàãàåòñÿ ïîñòîÿííûì âî âðåìåíè. Åñëè æå íàøà ìîäåëü íå âåðíà, è ñîïðîòèâëåíèå íà ñàìîì äåëå èçìåíÿëîñü âî âðåìÿ èçìåðåíèé, òî òàêîå "ñãëàæèâàíèå" ïðåâðàùàåòñÿ â èñêàæåíèå ðåàëüíî íàáëþäàåìîãî ÿâëåíèÿ.

11.2. Ïîëèíîìèàëüíîå ñãëàæèâàíèå Ðàññìîòðèì (ñ ìåíüøåé êîíêðåòèçàöèåé ñîäåðæàòåëüíîé ïîñòàíîâêè) åùå îäíó ðàñïðîñòðàíåííóþ ïðèêëàäíóþ çàäà÷ó. Èíôîðìàöèîííî-èçìåðèòåëüíàÿ ñèñòåìà (ÈÈÑ) ôèêñèðóåò â ðàâíîîòñòîÿùèå ìîìåíòû âðåìåíè t1 , . . . , tn çíà÷åíèÿ íåêîòîðîé èçìåðÿåìîé âåëè÷èíû y1 , . . . , yn . Òðåáóåòñÿ (êàê îáû÷íî ãîâîðÿò ïðèêëàäíèêè) "ïîäîáðàòü êàêóþíèáóäü ïðîñòóþ è óäîáíóþ ôóíêöèþ, êîòîðàÿ õîðîøî îïèñûâàëà áû ïîëó÷åííûå ðåçóëüòàòû". Ïîïûòàåìñÿ ïðèäàòü òî÷íûé ñìûñë ýòîé òóìàííîé ôðàçå. Ïî-âèäèìîìó ñëîâà "õîðîøî îïèñûâàåò" ìîæíî ïîíèìàòü òîëüêî â îäíîì ñìûñëå: ïîñêîëüêó ÈÈÑ íèêàêèõ ñâåäåíèé îá èçìåðÿåìîé âåëè÷èíå, êðîìå ïàð ÷èñåë (ti , yi ), i = 1, . . . , n, íå èìååò, ïîäîáðàííàÿ íàìè (ìû áóäåì íàçûâàòü åå àïïðîêñèìèðóþùåé) ôóíêöèÿ â òî÷êàõ t1 , . . . , tn äîëæíà ïðèíèìàòü çíà÷åíèÿ y1 , . . . , yn ñîîòâåòñòâåííî. Âòîðîå òðåáîâàíèå  "ïðîñòîòà" ôóíêöèè  îáû÷íî ñ÷èòàåòñÿ óäîâëåòâîðåííûì, åñëè ïðåäëàãàåòñÿ ïîëèíîì íå î÷åíü áîëüøîé ñòåïåíè. 326

Èòàê, ôîðìóëèðóåì ïåðâûé âàðèàíò ïîñòàíîâêè çàäà÷è: ïîñòðîèòü ïîëèíîì ìèíèìàëüíî âîçìîæíîé ñòåïåíè, êîòîðûé â çàäàííûõ òî÷êàõ t1 , . . . , tn ïðèíèìàåò çàäàííûå çíà÷åíèÿ y1 , . . . , yn . Ýòî èçâåñòíàÿ çàäà÷à ïîëèíîìèàëüíîé èíòåðïîëÿöèè. Åå ðåøåíèåì áóäåò (ñì. ï.5.6) ïîëèíîì ïîðÿäêà n (ñòåïåíü åãî, åñòåñòâåííî çàâèñèò îò èíòåðïîëèðóåìîé òàáëèöû). Îáû÷íî òàêàÿ ïîñòàíîâêà çàäà÷è îòâåðãàåòñÿ ïî äâóì ïðè÷èíàì. Âîïåðâûõ, ïðè áîëüøîì êîëè÷åñòâå èçìåðåíèé ñòåïåíü ïîëèíîìà îêàçûâàåòñÿ òàêæå áîëüøîé (îí ïåðåñòàåò áûòü "ïðîñòîé è óäîáíîé" ôóíêöèåé). Âî-âòîðûõ, èçâåñòíî, ÷òî ðåçóëüòàòû èçìåðåíèé âñåãäà ñîäåðæàò ïîãðåøíîñòè, è åñòåñòâåííî ïðåäïîëàãàòü, ÷òî ðîñò ñòåïåíè èíòåðïîëèðóþùåãî ïîëèíîìà ïðè óâåëè÷åíèè êîëè÷åñòâà èçìåðåíèé îáúÿñíÿåòñÿ ñòðåìëåíèåì ýòîãî ïîëèíîìà õîðîøî îïèñûâàòü îøèáêè! Ïîýòîìó ïðè îáðàáîòêå ðåçóëüòàòîâ èçìåðåíèé ÷àùå ïðèìåíÿåòñÿ äðóãàÿ ïîñòàíîâêà çàäà÷è: çàðàíåå ôèêñèðóåòñÿ ïîðÿäîê ïîëèíîìà (âîïðîñ î âûáîðå ýòîãî ïîðÿäêà ëåæèò âíå ðàìîê íàøåãî êóðñà  îí òðåáóåò ïîäðîáíîãî ðàññìîòðåíèÿ ñîäåðæàòåëüíîé çàäà÷è). Òðåáîâàíèå ñîâïàäåíèÿ çíà÷åíèé ïîëèíîìà â óçëàõ ñî çíà÷åíèÿìè èçìåðåííîé âåëè÷èíû çàìåíÿåòñÿ òðåáîâàíèåì "äîñòàòî÷íîé èõ áëèçîñòè" (âîïðîñ î äîñòàòî÷íîñòè äîñòèãàåìîé áëèçîñòè òàêæå òðåáóåò ðàññìîòðåíèÿ ñîäåðæàòåëüíîé ïîñòàíîâêè). Òàêîé ïîëèíîì íàçûâàþò ñãëàæèâàþùèì. Èòàê, ïóñòü m  íàçíà÷åííûé ïîðÿäîê ñãëàæèâàþùåãî ïîëèíîìà (m ≤ n). Äëÿ îïðåäåëåíèÿ åãî êîýôôèöèåíòîâ ïîëó÷àåì ñèñòåìó ëèíåéíûõ óðàâíåíèé

 m−1 = y1  p(t1 ) ≡ p1 + p2 t1 + · · · + pm t1 ........................................ ,  p(tn ) ≡ p1 + p2 tn + · · · + pm tm−1 = yn n

èëè T P = y , ãäå

 1 t1 . . . tm−1 1 T = . . . . . . . . . . . . . . . 1 tn . . . tm−1 n 

 ìàòðèöà ðàçìåðà n × m, P = [p1 , . . . , pm ]T  èñêîìûé ñòîëáåö êîýôôèöèåíòîâ ïîëèíîìà, y = [y1 , . . . , yn ]T  ñòîëáåö ðåçóëüòàòîâ èçìåðåíèé. Ýòà ñèñòåìà, êàê ïðàâèëî, áûâàåò íåñîâìåñòíîé. Îäíàêî ïî ïîñòàíîâêå çàäà÷è ñîâìåñòíîñòü íàì íå îáÿçàòåëüíà. Ïîñêîëüêó òðåáóåòñÿ íå ñîâïàäåíèå çíà÷åíèé ïîëèíîìà â óçëàõ ñ ðåçóëüòàòàìè èçìåðåíèé, à ëèøü íàèâîçìîæíàÿ èõ áëèçîñòü, áóäåì èñêàòü ïñåâäîðåøåíèå ýòîé ñèñòåìû. 327

Îòìåòèì, ÷òî öåëåñîîáðàçíî ñòàíäàðòèçîâàòü çàäà÷ó, ââåäÿ âìåñòî âðåìåíè t öåëî÷èñëåííóþ ïåðåìåííóþ (íîìåð èçìåðåíèÿ), ñâÿçàííóþ ñ t ôîðìóëîé tk = t1 + (k − 1) · ∆t, k = 1, . . . , n (íàïîìíèì, ÷òî ìîìåíòû âðåìåíè ñ÷èòàþòñÿ ðàâíîîòñòîÿùèìè; ∆t  øàã ïî âðåìåíè). Òîãäà ñãëàæèâàþùèé ïîëèíîì ïðèìåò âèä

s(k) = s1 + s2 k + · · · + sm k m−1 , è ñòîëáåö åãî êîýôôèöèåíòîâ s áóäåò ïñåâäîðåøåíèåì ëèíåéíîé ñèñòåìû TeS = y , ãäå  

1 1 ... 1 m−1 1 2 . . . 2   Te =  . . . . . . . . . . . . . . . 1 n . . . nm−1  òåïåðü óæå ñòàíäàðòíàÿ (ïðè ôèêñèðîâàííûõ çíà÷åíèÿõ n è m) ìàòðèöà, äëÿ êîòîðîé çàðàíåå ìîæåò áûòü íàéäåíî ñèíãóëÿðíîå ðàçëîæåíèå. Ïîñòðîåííûé ñãëàæèâàþùèé ïîëèíîì ñëóæèò äëÿ âû÷èñëåíèÿ çíà÷åíèé âåëè÷èíû y â òàáëè÷íûõ òî÷êàõ t1 , . . . , tn . Åãî ïðèìåíåíèå ïîçâîëÿåò õðàíèòü âìåñòî n ÷èñåë y1 , . . . , yn âñåãî ëèøü m ÷èñåë s1 , . . . , sm  êîýôôèöèåíòû ïîëèíîìà. Ïðè áîëüøîé ðàçíèöå ìåæäó n è m ýêîíîìèÿ ïàìÿòè ìîæåò îêàçàòüñÿ ñóùåñòâåííîé. Êà÷åñòâî àïïðîêñèìàöèè îöåíèâàåòñÿ ñðåäíåêâàäðàòè÷åñêîé ïîãðåøíîñòüþ ¶1/2 µ n

1X (s(k) − yk )2 n k=1

(ïî ïîñòðîåíèþ ñãëàæèâàþùèé ïîëèíîì ìèíèìèçèðóåò èìåííî ýòó ïîãðåøíîñòü íà ìíîæåñòâå âñåõ ïîëèíîìîâ ïîðÿäêà m). Ñåðüåçíîå ïðåäóïðåæäåíèå. ×àñòî äåëàþòñÿ ïîïûòêè èñïîëüçîâàòü ñãëàæèâàþùèé ïîëèíîì äëÿ ðàáîòû ñ íèì ìåæäó óçëàìè òàáëèöû. Íå èìåÿ âîçìîæíîñòè çàïðåòèòü òàêîãî ðîäà îïåðàöèè, õîòèì çàðàíåå ñíÿòü ñ ìàòåìàòèêè îòâåòñòâåííîñòü çà âîçìîæíîå "êà÷åñòâî" èõ ðåçóëüòàòîâ.

11.3. Ñãëàæèâàíèå ïîëèíîìàìè, îðòîãîíàëüíûìè íà ñåòêå Ìû ïîêàçàëè, ÷òî ïîñòðîåíèå ñãëàæèâàþùåãî ïîëèíîìà íà ðàâíîìåðíîé ñåòêå ñâîäèòñÿ ê íàõîæäåíèþ íîðìàëüíîãî ïñåâäîðåøåíèÿ ñèñòåìû ëèíåéíûõ óðàâíåíèé

Tes = y. 328

(11.3.1)

 ï.10.3 óêàçàíî, ÷òî íîðìàëüíîå ïñåâäîðåøåíèå ýòîé ñèñòåìû ÿâëÿåòñÿ ðåøåíèåì ñèñòåìû íîðìàëüíûõ óðàâíåíèé. Îäíàêî ïåðåõîä îò ñèñòåìû (11.3.1) ê ñèñòåìå íîðìàëüíûõ óðàâíåíèé íåâûãîäåí, êàê óêàçàíî â òîì æå ï.10.3. Âîò åñëè áû ñòîëáöû ìàòðèöû Te ïîïàðíî îðòîãîíàëüíû... Íî âåäü ìû çíàåì, êàê èç ëèíåéíî íåçàâèñèìîãî íàáîðà âåêòîðîâ ñäåëàòü îðòîãîíàëüíûé: ñëåäóåò ïðèìåíèòü àëãîðèòì ÃðàìàØìèäòà! Èçâåñòíî, ÷òî ìàòðèöà Âàíäåðìîíäà

  1 1 ... 1 1 2 . . . 2n−1   E= . . . . . . . . . . . . . . 1 n . . . nn−1

íå âûðîæäåíà. Ñëåäîâàòåëüíî, ìíîæåñòâî åå ñòîëáöîâ ëèíåéíî íåçàâèñèìî. Ïîýòîìó ëèíåéíî íåçàâèñèìà è åãî ÷àñòü  ìíîæåñòâî ñòîëáöîâ ìàòðèöû Te. À ëþáîå ëèíåéíî íåçàâèñèìîå ìíîæåñòâî âåêòîðîâ ìîæíî ñ ïîìîùüþ àëãîðèòìà ÃðàìàØìèäòà ïðåîáðàçîâàòü â îðòîãîíàëüíîå. Ïîëîæèì, ñîãëàñíî ï.7.7, F (1) = E (1) = [1, . . . , 1]T . Äàëåå, ïîëîæèì F (2) = E (2) − α12 F (1) , ãäå

hE (2) , F (1) i

α12 =

hF (1) , F (1) i

=

n+1 , 2

è ò.ä. Íà ÿçûêå ïîëèíîìîâ ýòîò ïðîöåññ âûãëÿäèò òàê. Âåêòîð E (j)  ýòî çíà÷åíèÿ ïîëèíîìà e(j) (t) = tj−1 íà ñòàíäàðòíîé ñåòêå {1, . . . , n}. Ïîýòîìó F (j)  çíà÷åíèÿ íà òîé æå ñåòêå ïîëèíîìà

f (j) (t) = e(j) (t) − α1j f (1) (t) − · · · − αj−1,j f (j−1) (t). 1 Íàïðèìåð, f (1) (t) ≡ 1, f (2) (t) = t − n + 2 , è ò.ä. Î÷åâèäíî, ÷òî f (j) (t)  ïîëèíîì ñòåïåíè j − 1 ñî ñòàðøèì êîýôôèöèåíòîì, ðàâíûì åäèíèöå. Óñëîâèå hF (i) , F (j) i = 0, i 6= j íà ÿçûêå ïîëèíîìîâ çàïèøåòñÿ òàê: n X

f (i) (k) · f (j) (k) = 0.

k=1

Îïðåäåëåíèå. Åñëè p(i) , p(j) ∈ Pn (ïîëèíîìû ïîðÿäêà n), òî èõ ñêàëÿðíûì ïðîèçâåäåíèåì íà ñòàíäàðòíîé ñåòêå íàçûâàåòñÿ ÷èñëî (i)

(j)

hp , p i =

n X

p(i) (k) · p(j) (k).

k=1

329

(11.3.2)

Çàìå÷àíèå. Î÷åâèäíî, ÷òî hp, pi ≥ 0 äëÿ ëþáîãî p ∈ Pn . Åñëè hp, pi = 0, òî, î÷åâèäíî, p(k) = 0 ïðè k = 1, . . . , n, ò.å. ïîëèíîì ïîðÿäêà n èìååò ïî êðàéíåé ìåðå n êîðíåé. Íî ïîëèíîì ñ òàêèìè ñâîéñòâàìè òîëüêî îäèí  íóëåâîé. Èòàê, åñëè hp, pi = 0, òî p(t) = θ(t). ×èòàòåëþ ïðåäîñòàâëÿåòñÿ âîçìîæíîñòü ñàìîìó ïðîâåðèòü, ÷òî ââåäåííîå íà ïðîñòðàíñòâå Pn ïî ôîðìóëå (11.3.2) "ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå" óäîâëåòâîðÿåò è îñòàëüíûì àêñèîìàì ñêàëÿðíîãî ïðîèçâåäåíèÿ. Åñòåñòâåííî íàçâàòü ïîëèíîìû f (j) , j = 1, . . . , n, ïîëèíîìàìè, îðòîãîíàëüíûìè íà ñòàíäàðòíîé ñåòêå. Îíè, î÷åâèäíî, îáðàçóþò áàçèñ ïðîñòðàíñòâà Pn (îðòîãîíàëüíûé â ñìûñëå ñêàëÿðíîãî ïðîèçâåäåíèÿ (11.3.2)). Áóäåì òåïåðü èñêàòü ñãëàæèâàþùèé ïîëèíîì â âèäå ëèíåéíîé êîìáèíàöèè ïîëèíîìîâ ïîñòðîåííîãî áàçèñà:

p(t) = p1 f (1) (t) + · · · + pm f (m) (t) (òàê êàê ñòåïåíü ïîëèíîìà f (j) ðàâíà j − 1, p(t)  ïîëèíîì ïîðÿäêà m). Äëÿ îïðåäåëåíèÿ êîýôôèöèåíòîâ èìååì, àíàëîãè÷íî ïðåäûäóùåìó ïóíêòó, ñèñòåìó ëèíåéíûõ óðàâíåíèé

F P = y,

(11.3.3)

ãäå F = [F (1) , . . . , F (m) ]  ìàòðèöà ðàçìåðà n × m ñ ïîïàðíî îðòîãîíàëüíûìè ñòîëáöàìè, p  èñêîìûé âåêòîð êîýôôèöèåíòîâ, y  âåêòîð ðåçóëüòàòîâ èçìåðåíèé. Óìíîæèì òåïåðü (11.3.3) ñëåâà íà F ∗ (ïåðåéäåì ê íîðìàëüíûì óðàâíåíèÿì):

(F ∗ F )P = F ∗ y.

Ðåøåíèå ýòîé ñèñòåìû (ñ äèàãîíàëüíîé ìàòðèöåé), ñîãëàñíî ôîðìóëàì (10.3.3), èìååò âèä

pk =

hy, F (k) i kF (k) k2

,

k = 1, . . . , m.

Òàêèì îáðàçîì, ïðè çàãîòîâëåííîé çàðàíåå ñòàíäàðòíîé (ïðè çàäàííûõ n è m) ìàòðèöå F ïîñòðîåíèå ñãëàæèâàþùåãî ïîëèíîìà ñâîäèòñÿ ôàêòè÷åñêè ê óìíîæåíèþ ìàòðèöû F ∗ íà ïîëó÷åííûé â ýêñïåðèìåíòå ñòîëáåö è äåëåíèþ êîîðäèíàò ñòîëáöà-ïðîèçâåäåíèÿ íà òàêæå çàðàíåå çàãîòîâëåííûå ÷èñëà kF (k) k2 . 330

Ìû ðàññìîòðåëè äâà ñïîñîáà ïîñòðîåíèÿ ñãëàæèâàþùåãî ïîëèíîìà: ñ ïîìîùüþ ñèíãóëÿðíîãî ðàçëîæåíèÿ ìàòðèöû êîýôôèöèåíòîâ ñèñòåìû è ñ ïîìîùüþ îðòîãîíàëüíûõ íà ñåòêå ïîëèíîìîâ. È òîò è äðóãîé ñïîñîá òðåáóåò âûïîëíåíèÿ áîëüøîé ïîäãîòîâèòåëüíîé ðàáîòû: â ïåðâîì ñëó÷àå  ïîñòðîåíèÿ ñèíãóëÿðíîãî ðàçëîæåíèÿ, âî âòîðîì  ïîñòðîåíèÿ îðòîãîíàëüíûõ íà ñåòêå ïîëèíîìîâ. È òà è äðóãàÿ îïåðàöèÿ ïîääåðæèâàåòñÿ óñòîé÷èâûìè âû÷èñëèòåëüíûìè àëãîðèòìàìè, ðåàëèçîâàííûìè êàê â ñðåäàõ êîíå÷íîãî ïîëüçîâàòåëÿ, òàê è â áèáëèîòåêàõ ïðîãðàìì íà Ôîðòðàíå. Ìû íå áóäåì ïûòàòüñÿ äàòü ñðàâíèòåëüíóþ îöåíêó ðàññìîòðåííûõ ìåòîäîâ. Îòìåòèì ëèøü äâà ôàêòà. 1. Åñëè ìû ïîñòðîèëè ñãëàæèâàþùèé ïîëèíîì, íî ñðåäíåêâàäðàòè÷åñêàÿ ïîãðåøíîñòü îêàçàëàñü âåëèêà è ñëåäóåò óâåëè÷èòü ïîðÿäîê ïîëèíîìà, òî â ñëó÷àå ñèíãóëÿðíîãî ðàçëîæåíèÿ ïðèäåòñÿ ïåðåñ÷èòûâàòü âñå çàíîâî. Ïðè èñïîëüçîâàíèè æå îðòîãîíàëüíûõ íà ñåòêå ïîëèíîìîâ ïîòðåáóåòñÿ äîáàâèòü ëèøü åùå îäíî ñëàãàåìîå  óæå ñîñ÷èòàííûå êîýôôèöèåíòû ðàçëîæåíèÿ ñîõðàíÿòñÿ. Ýòî  ïîëåçíîå ñâîéñòâî îðòîãîíàëüíûõ ñèñòåì ôóíêöèé. 2. Ïðè èñïîëüçîâàíèè ñèíãóëÿðíîãî ðàçëîæåíèÿ ñãëàæèâàþùèé ïîëèíîì ïîëó÷àåòñÿ â ñòàíäàðòíîé ôîðìå,

p(t) = a1 + a2 t + . . . + am tm−1 , êîòîðàÿ äîïóñêàåò ïðèìåíåíèå ñõåìû Ãîðíåðà. Ïðè èñïîëüçîâàíèè îðòîãîíàëüíûõ íà ñåòêå ïîëèíîìîâ ñãëàæèâàþùèé ïîëèíîì ïîëó÷àåòñÿ â âèäå èõ ëèíåéíîé êîìáèíàöèè

p(t) = p1 f (1) (t) + . . . + pm f (m) (t). Íå ñëåäóåò ïðèâîäèòü ïîäîáíûå ÷ëåíû â ïðàâîé ÷àñòè (ïðåîáðàçîâûâàòü ýòîò ïîëèíîì â ñòàíäàðòíóþ ôîðìó), òàê êàê ñóùåñòâóåò ïðîñòîå îáîáùåíèå ñõåìû Ãîðíåðà, ïîçâîëÿþùåå ðàáîòàòü ñ ïîëèíîìîì, ðàçëîæåííûìè ïî îðòîãîíàëüíûì íà ñåòêå ïîëèíîìàì.

11.4. Äèñêðåòíîå ïðåîáðàçîâàíèå Ôóðüå Èäåÿ ïîñòðîåíèÿ ñãëàæèâàþùåãî ïîëèíîìà ñ ïîìîùüþ îðòîãîíàëüíûõ íà ñåòêå ïîëèíîìîâ ìîæåò áûòü îáîáùåíà. Â ñàìîì äåëå, êðîìå ïîëèíîìîâ, ñóùåñòâóþò è äðóãèå ñèñòåìû "ïðîñòûõ è óäîáíûõ ôóíêöèé". Â ýòîì ïóíêòå ìû ðàññìîòðèì îäíó òàêóþ ñèñòåìó. 331

¡

¢

Ïóñòü w(r) (t) = exp i 2πr n t , r = 1, . . . , n. Ïîêàæåì, ÷òî ýòè ôóíêöèè ïîïàðíî îðòîãîíàëüíû íà ñòàíäàðòíîé ñåòêå {1, . . . , n}. Äåéñòâèòåëüíî, (j)

(r)

hw , w i =

n X

(j)

w (k) ·

w(r) (k)

=

k=1

n X k=1

³ 2πj ´ ³ 2πr ´ exp i k · exp i k = n n

n ³ ³ 2π ´ X ³ 2π ´´k = exp i (j − r)k = exp i (j − r) . n n k=1 k=1 ¡ 2π ¢ Åñëè j = r, òî exp i n (r − r) = 1, è, ñëåäîâàòåëüíî, n X

hw(r) , w(r) i = n.

(11.4.1)

Åñëè æå j 6= r, òî, ïðîñóììèðîâàâ ãåîìåòðè÷åñêóþ ïðîãðåññèþ, èìååì

³ ³ 2π ´´n ´ exp i (j − r) ³ 2π −1 (j) (r) n hw , w i = exp i (j − r) · = ³ 2π ´ n exp i (j − r) − 1 n ³ 2π ´ ³ ³ 2πn ´ ´ exp i (j − r) n = · exp i (j − r) − 1 = 0. ¥ ³ 2π ´ n exp i (j − r) − 1 n ¡ ¢ Çàìå÷àíèå. Ôóíêöèè w(r) (t) = exp i 2πr t ìîæíî îïðåäåëèòü ïðè n âñåõ r ∈ Z, è åñëè ðàññìàòðèâàòü èõ êàê ôóíêöèè, çàäàííûå íà R, òî âñå îíè ðàçëè÷íû. Îäíàêî ìû ðàññìàòðèâàåì èõ òîëüêî íà ñòàíäàðòíîé ñåòêå, ïîýòîìó t ∈ {1, . . . , n} è ³ 2π(r + n) ´ ³ ³ 2πr ´´ ³ 2πr ´ exp i t = exp i t + 2πt = exp i t . n n n Òàêèì îáðàçîì, w(r+n) (t) = w(r) (t), è ëþáàÿ ôóíêöèÿ w(r) , r ∈ Z, íà ñòàíäàðòíîé ñåòêå ñîâïàäàåò ñ îäíîé èç ôóíêöèé w(1) , w(2) , . . . , w(n) . Îòìåòèì åùå íåêîòîðûå ñâîéñòâà ðàññìàòðèâàåìûõ ôóíêöèé. 1. Ôóíêöèè w(r) n-ïåðèîäè÷íû ïî t:

³ 2πr ´ w (t + n) = exp i (t + n) = n ³ ³ ´´ ³ 2πr ´ 2πr t + 2πr = exp i t = w(r) (t). = exp i n n (r)

332

2. Ôóíêöèè w(r) è w(n−r) ïðèíèìàþò íà ñòàíäàðòíîé ñåòêå êîìïëåêñíî ñîïðÿæåííûå çíà÷åíèÿ:

³ 2πr ´ w (k) = w (k) = exp −i k = w(r) (k). n 3. w(n) (k) ≡ w(0) (k) ≡ 1 ïðè k ∈ Z. (n−r)

(−r)

Ñãëàäèì òåïåðü ðåçóëüòàòû íàáëþäåíèé (ï.11.2) ëèíåéíîé êîìáèíàöèåé ôóíêöèé w(1) , . . . , w(m) , m ≤ n. Äëÿ îïðåäåëåíèÿ êîýôôèöèåíòîâ q1 , . . . , qm ýòîé ëèíåéíîé êîìáèíàöèè ïîëó÷èì ñèñòåìó ëèíåéíûõ óðàâíåíèé

yk = q1 w(1) (k) + . . . + qm w(m) (k),

k = 1, . . . , n.

(11.4.2)

 ìàòðè÷íîé ôîðìå ñèñòåìà óðàâíåíèé (11.4.2) èìååò âèä W q = y , ãäå



 w(1) (1) . . . w(m) (1) W = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . w(1) (n) . . . w(m) (n)

 (n × m)-ìàòðèöà ñ ïîïàðíî îðòîãîíàëüíûìè ñòîëáöàìè. Ïåðåõîäÿ ê íîðìàëüíûì óðàâíåíèÿì, ïîëó÷èì (W ∗ W )q = W ∗ y , èëè, ó÷èòûâàÿ (11.4.1), diag[n, . . . , n] · q = W ∗ y . Îòñþäà

1 1 ∗ W y, èëè qr = hy, w(r) i, r = 1, . . . , m. (11.4.3) n n Åñëè â ñãëàæèâàíèè ó÷àñòâóþò âñå ôóíêöèè (m = n), òî íîðìàëüíîå ïñåâäîðåøåíèå ïðåâðàùàåòñÿ â ðåøåíèå  ïîëó÷àåì ðàçëîæåíèå âåêòîðà â Cn ïî îðòîãîíàëüíîìó áàçèñó: n ³ 2πr ´ X yk = qr exp i k , k = 1, . . . , n, (11.4.4) n r=1 q=

ãäå

qr =

n X k=1

³ 2πr ´ yk exp −i k , n

r = 1, . . . , n.

(11.4.5)

Ôîðìóëû (11.4.4) è (11.4.5) çàäàþò òàê íàçûâàåìîå äèñêðåòíîå ïðåîáðàçîâàíèå Ôóðüå63 , ïðè÷åì ôîðìóëà (11.4.5), ñ ïîìîùüþ êîòîðîé îïðåäåëÿþòñÿ êîýôôèöèåíòû ðàçëîæåíèÿ qr , íàçûâàåòñÿ ïðÿìûì ïðåîáðàçîâàíèåì, à ôîðìóëà (11.4.4), âîññòàíàâëèâàþùàÿ èñõîäíûé âåêòîð y  îáðàòíûì ïðåîáðàçîâàíèåì. 63 Æàí

Áàòèñò Æîçåô ÔÓÐÜÅ (J.-B.-J. Fourier, 1768-1830)  ôðàíöóçñêèé ìàòåìàòèê, ÷ëåí Ïàðèæñêîé ÀÍ, ïî÷åòíûé ÷ëåí Ïåòåðáóðãñêîé ÀÍ. 333

×èñëà qr íàçûâàþòñÿ êîýôôèöèåíòàìè Ôóðüå âåêòîðà y èëè åãî êîìïëåêñíûì Ôóðüå-ñïåêòðîì. Îòìåòèì, ÷òî ïðè àïïðîêñèìàöèè âåùåñòâåííîãî âåêòîðà öåëåñîîáðàçíî âûáèðàòü ïîïàðíî ñîïðÿæåííûå íà ñòàíäàðòíîé ñåòêå ôóíêöèè w(r) (ñì. ñâîéñòâî 2). Çàìå÷àíèå. Òàê æå, êàê ïðè èñïîëüçîâàíèè îðòîãîíàëüíûõ íà ñåòêå ïîëèíîìîâ, ïðè óâåëè÷åíèè ÷èñëà ñëàãàåìûõ â ñãëàæèâàþùåé ëèíåéíîé êîìáèíàöèè óæå ñîñ÷èòàííûå êîýôôèöèåíòû qr ñîõðàíÿþòñÿ.

11.5. Áûñòðîå ïðåîáðàçîâàíèå Ôóðüå Äëÿ âû÷èñëåíèÿ îäíîãî êîýôôèöèåíòà Ôóðüå ïî ôîðìóëå (11.4.5) èëè äëÿ âîññòàíîâëåíèÿ îäíîé êîìïîíåíòû èñõîäíîãî âåêòîðà ïî ôîðìóëå (11.4.4) òðåáóåòñÿ (ïðè ãîòîâîé ìàòðèöå W ) âûïîëíèòü n ïàð "óñëîâíûõ îïåðàöèé" (óìíîæåíèå + ñëîæåíèå). Òàêèì îáðàçîì, âåñü ïðîöåññ âû÷èñëåíèÿ äèñêðåòíîãî ïðåîáðàçîâàíèÿ Ôóðüå ïîòðåáóåò âûïîëíåíèÿ n2 óñëîâíûõ îïåðàöèé. Ïðè n ≈ 107 − 108 (à òàêèå ìàññèâû â ïðèëîæåíèÿõ íå ðåäêè) îáðàáîòêà ðåçóëüòàòîâ èçìåðåíèé ñòàíîâèòñÿ íåäîñòóïíîé äëÿ ñîâðåìåííûõ ÝÂÌ.  ýòîì ïóíêòå ðàññìàòðèâàåòñÿ îäíà èç ðàçíîâèäíîñòåé òàê íàçûâàåìîãî áûñòðîãî ïðåîáðàçîâàíèÿ Ôóðüå (ÁÏÔ). Áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî n = 2 p , p ∈ N. ¢ ¡ n/2 n Îáîçíà÷èì z = exp i 2π n . Òîãäà, î÷åâèäíî, z = −1, z = 1. Ôîðìóëà (11.4.4) ïðèìåò âèä

yk =

n X

qr z kr ,

k = 1, . . . , n.

(11.5.1)

r=1

Ñîáåðåì â ïðàâîé ÷àñòè (11.5.1) îòäåëüíî ñëàãàåìûå ñ ÷åòíûìè è ñ íå÷åòíûìè íîìåðàìè (ïî ïðåäïîëîæåíèþ n = 2p  ÷åòíîå ÷èñëî):

yk =

n/2 X

(q2r z 2kr + q2r−1 z k(2r−1) ) =

r=1

=

n/2 X

(e)

(q2r z 2kr + z −k q2r−1 z 2kr ) = xk + z −k x(o) , (11.5.2)

r=1

ãäå (e) xk

=

n/2 X

2 kr

q2r (z ) ,

(o) xk

r=1

=

n/2 X r=1

334

q2r−1 (z 2 )kr .

(11.5.3)

Î÷åâèäíî, ÷òî ïðè k = 1, . . . , n/2 (e) xk+n/2

=

n/2 X

q2r z 2(k+n/2)r =

r=1 (o)

n/2 X

(e)

q2r z nr (z 2 )kr = xk

r=1 (o)

è, àíàëîãè÷íî, xk+n/2 = xk . (e)

(o)

Ôîðìóëû (11.5.3) ïîêàçûâàþò, ÷òî ñòîëáöû xk è xk (âûñîòû n/2) ÿâëÿþòñÿ äèñêðåòíûìè Ôóðüå-îáðàçàìè ñòîëáöîâ, ñîñòàâëåííûõ ñîîòâåòñòâåííî èç ÷åòíûõ è íå÷åòíûõ êîìïîíåíò ñòîëáöà q . Ïðåîáðàçóåì ôîðìóëó (11.5.2):

(

(o)

(e)

yk = xk + z −k xk , (e)

(o)

(e)

(o)

yk+n/2 = xk+n/2 + z −n/2 z −k xk+n/2 = xk − z −k xk ,

k = 1, . . . , n/2.

Âèäíî, ÷òî äëÿ ïîëó÷åíèÿ ñòîëáöà y (âûñîòû n) äîñòàòî÷íî âû÷èñëèòü (e) (o) ñòîëáöû è xk è xk (âûñîòû n/2) è âûïîëíèòü åùå n óñëîâíûõ îïåðàöèé. Îáîçíà÷èì f (p) êîëè÷åñòâî óñëîâíûõ îïåðàöèé, íåîáõîäèìûõ äëÿ âû÷èñëåíèÿ äèñêðåòíîãî ïðåîáðàçîâàíèÿ Ôóðüå ñòîëáöà âûñîòû n = 2p . Òîãäà

f (p) = 2 · f (p − 1) + 2p .

Ó÷èòûâàÿ, ÷òî f (0) = 0, ìåòîäîì ìàòåìàòè÷åñêîé èíäóêöèè íåñëîæíî óáåäèòüñÿ (ïðîâåðüòå ýòî!), ÷òî

f (p) = p · 2p = n · log2 (n). Ïðè n = 224 ≈ 1.7 · 107 èìååì n · log2 (n) = 24 · 224 < 4.1 · 108  ïðè ïîìîùè ÁÏÔ âû÷èñëåíèÿ âûïîëíÿòñÿ çà íåñêîëüêî ñåêóíä, â òî âðåìÿ êàê n2 = 248 > 2.8 · 1014  áåç èñïîëüçîâàíèÿ ÁÏÔ òðåáóåìîå âðåìÿ óâåëè÷èâàåòñÿ ïî÷òè â 106 ðàç! Àëãîðèòì ÁÏÔ ðåàëèçîâàí â ñðåäàõ êîíå÷íîãî ïîëüçîâàòåëÿ è â áèáëèîòåêàõ Ôîðòðàí-ïðîãðàìì. Èìåþòñÿ âàðèàíòû àëãîðèòìà, â êîòîðûõ âûñîòà ñòîëáöà íå îáÿçàíà áûòü ñòåïåíüþ äâîéêè.

335

Ãëàâà 12. ÝËÅÌÅÍÒÛ ËÈÍÅÉÍÎÃÎ ÏÐÎÃÐÀÌÌÈÐÎÂÀÍÈß Òåðìèíîëîãè÷åñêîå çàìå÷àíèå. Ìû ñ÷èòàåì íåîáõîäèìûì îòìåòèòü, ÷òî ñëåäóåò ðàçëè÷àòü ïðîãðàììèðîâàíèå, ò.å. ñîñòàâëåíèå êîìïüþòåðíûõ ïðîãðàìì, è ìàòåìàòè÷åñêîå ïðîãðàììèðîâàíèå, ò.å. èññëåäîâàíèå è ðåøåíèå çàäà÷ îïòèìèçàöèè (ìèíèìèçàöèè èëè ìàêñèìèçàöèè) âåùåñòâåííîãî ôóíêöèîíàëà, çàäàííîãî íà Rn èëè íà åãî ÷àñòè. ×àñòíûé ñëó÷àé ìàòåìàòè÷åñêîãî ïðîãðàììèðîâàíèÿ åñòü ëèíåéíîå ïðîãðàììèðîâàíèå  îïòèìèçàöèÿ ëèíåéíîãî ôóíêöèîíàëà íà ÷àñòè Rn , çàäàííîé ëèíåéíûìè ðàâåíñòâàìè èëè íåðàâåíñòâàìè. Ëèíåéíîå ïðîãðàììèðîâàíèå âåäåò ñâîþ èñòîðèþ îò ðàáîòû Ë.Â. Êàíòîðîâè÷à64 , âûïîëíåííîé â 1938 ãîäó.

12.1. Îäíà ñîäåðæàòåëüíàÿ çàäà÷à Îïèñàíèå ïðîáëåìû, êîòîðîé ïîñâÿùåíà ýòà ãëàâà, ìû íà÷íåì ñ ïðîñòåéøåãî ïðèìåðà. Êîììåðñàíò, âûåõàâøèé äëÿ çàêóïêè äâóõ âèäîâ òîâàðà, èìååò 18 äåíåæíûõ åäèíèö (ä.å.)65 , åãî àâòîìîáèëü ìîæåò âìåñòèòü 10 åäèíèö ìàññû (å.ì.). Îäíà å.ì. òîâàðà ïåðâîãî âèäà ñòîèò 1 ä.å., âòîðîãî âèäà  3 ä.å. Ïðè ïðîäàæå 1 å.ì. òîâàðà ïåðâîãî âèäà êîììåðñàíò ðàññ÷èòûâàåò ïîëó÷èòü 0.5 ä.å. ïðèáûëè, ïðè ïðîäàæå 1 å.ì. òîâàðà âòîðîãî âèäà  0.75 ä.å. Êàê ðàñïðåäåëèòü èìåþùèåñÿ äåíüãè è âìåñòèìîñòü àâòîìîáèëÿ, ÷òîáû îæèäàåìàÿ ïðèáûëü áûëà ìàêñèìàëüíîé? Ïóñòü x1  çàêóïàåìîå êîììåðñàíòîì êîëè÷åñòâî òîâàðà ïåðâîãî âèäà, x2  âòîðîãî âèäà. Ýòè ïåðåìåííûå äîëæíû óäîâëåòâîðÿòü ñëåäóþùèì î÷åâèäíûì íåðàâåíñòâàì: 1) x1 ≥ 0, x2 ≥ 0 (êîëè÷åñòâà òîâàðîâ íåîòðèöàòåëüíû); 2) x1 + 3x2 ≤ 18 (ñóììà çàòðàò íå ìîæåò ïðåâûøàòü íàëè÷íîñòü); 3) x1 + x2 ≤ 10 (ñóììàðíàÿ ìàññà çàêóïëåííûõ òîâàðîâ íå ìîæåò ïðåâûøàòü âìåñòèìîñòü àâòîìîáèëÿ). Íà ÷àñòè R2 , ãäå âûïîëíåíû âñå ýòè íåðàâåíñòâà, òðåáóåòñÿ íàéòè íàèáîëüøåå çíà÷åíèå ëèíåéíîãî ôóíêöèîíàëà 64 Ëåîíèä

Âèòàëüåâè÷ ÊÀÍÒÎÐÎÂÈ× (1912-1986)  ñîâåòñêèé ìàòåìàòèê è ýêîíîìèñò, ëàóðåàò Íîáåëåâñêîé ïðåìèè, ÷ëåí ÀÍ ÑÑÑÐ è ðÿäà çàðóáåæíûõ àêàäåìèé, îäèí èç îñíîâîïîëîæíèêîâ ìàòåìàòè÷åñêîé ýêîíîìèêè. 65 Ìû íàìåðåííî íå óòî÷íÿåì, î êàêèõ åäèíèöàõ èäåò ðå÷ü, ÷òîáû ñîõðàíèòü êîììåð÷åñêóþ òàéíó. 336

f (x) = 0.5x1 + 0.75x2 . Ðàññìîòðèì ãåîìåòðè÷åñêóþ èíòåðïðåòàöèþ íàøåé çàäà÷è. Ìíîæåñòâî, çàäàâàåìîå îäíèì ëèíåéíûì íåðàâåíñòâîì, ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ïîëóïëîñêîñòü â R2 (ñì. ï.9.1). Ìíîæåñòâî, çàäàâàåìîå ñèñòåìîé íåðàâåíñòâ 1)-3), åñòü âûïóêëûé66 ÷åòûðåõóãîëüíèê (ñì. ðèñ.12.1).

x2 10 6

PP

PP

PP

PP P

@

@

@

@

@ @

18 x1

10 Ðèñ.12.1

Ëèíèè óðîâíÿ ôóíêöèîíàëà f  ýòî ñåìåéñòâî ïàðàëëåëüíûõ ïðÿìûõ (âñå îíè ïåðïåíäèêóëÿðíû íàïðàâëåííîìó îòðåçêó, ñîîòâåòñòâóþùåìó âåêòîðó [0.5, 0.75]T , ñì. ï.9.1). Èç ïðÿìûõ ýòîãî ñåìåéñòâà, ïåðåñåêàþùèõ íàø ÷åòûðåõóãîëüíèê, ñëåäóåò âûáðàòü òó, êîòîðàÿ ñîîòâåòñòâóåò íàèáîëüøåìó çíà÷åíèþ f . Èç ðèñ.12.2 âèäíî, ÷òî ãëîáàëüíûé ìàêñèìóì f äîñòèãàåòñÿ â âåðøèíå ÷åòûðåõóãîëüíèêà ñ êîîðäèíàòàìè x1 = 6, x2 = 4, è fmax = 0.5 · 6 + 0.75 · 4 = 6.

x2 Q

Q

f (x) ≡ 6

Q

Q

¡ Q¡ ª Q PP PP QQ PP Q PP Q PQ @Q @QQ @ Q @ QQ @ Q @ Q Q Q

4

6

Ðèñ.12.2

Q Q

x1

íàçûâàåòñÿ âûïóêëûì, åñëè âìåñòå ñ ëþáûìè äâóìÿ ñâîèìè òî÷êàìè îíî ñîäåðæèò ñîåäèíÿþùèé ýòè òî÷êè îòðåçîê. 66 Ìíîæåñòâî

337

12.2. Êàíîíè÷åñêàÿ çàäà÷à ëèíåéíîãî ïðîãðàììèðîâàíèÿ Îáîáùèì ïðèìåð, ðàññìîòðåííûé â ïðåäûäóùåì ïóíêòå. Çàäà÷à ëèíåéíîãî ïðîãðàììèðîâàíèÿ ñîñòîèò â ïîèñêå ãëîáàëüíîãî ìèíèìóìà (íàèìåíüøåãî çíà÷åíèÿ) ëèíåéíîãî ôóíêöèîíàëà

f (x) = hx, ci = c1 x1 + . . . + cn xn

(12.2.1)

íà ÷àñòè Rn , âñå òî÷êè êîòîðîé óäîâëåòâîðÿþò ñëåäóþùèì óñëîâèÿì:

ak1 x1 + . . . + akn xn ≤ bk ,

k = 1, . . . , m1;

(12.2.2)

ak1 x1 + . . . + akn xn = bk ,

k = m1 + 1, . . . , m2;

(12.2.3)

ak1 x1 + . . . + akn xn ≥ bk ,

k = m2 + 1, . . . , m.

(12.2.4)

Ñäåëàåì íåîáõîäèìûå óòî÷íåíèÿ. 1. Ñóùåñòâóþò ñîäåðæàòåëüíûå çàäà÷è (ñì. ï.12.1), â êîòîðûõ ôóíêöèîíàë íóæíî íå ìèíèìèçèðîâàòü, à ìàêñèìèçèðîâàòü. Ýòîò âàðèàíò, î÷åâèäíî, óêëàäûâàåòñÿ â íàøó ñõåìó ïðè ïîìîùè çàìåíû âåêòîðà c íà ïðîòèâîïîëîæíûé. Èíà÷å ãîâîðÿ, ìàêñèìèçàöèÿ ôóíêöèîíàëà f (x) = hx, ci  ýòî òî æå, ÷òî ìèíèìèçàöèÿ ôóíêöèîíàëà ϕ(x) = hx, −ci. 2. Ìû áóäåì ñ÷èòàòü âñå ïåðåìåííûå íåîòðèöàòåëüíûìè (xk ≥ 0, k = 1, . . . , n) è âûäåëèì ýòè íåðàâåíñòâà â îñîáóþ ãðóïïó. Ïîêàæåì, ÷òî ýòî óñëîâèå íå ÿâëÿåòñÿ ñòåñíÿþùèì. Äåéñòâèòåëüíî, åñëè ïåðåìåííàÿ xk îãðàíè÷åíà ñíèçó (xk ≥ p), ìîæíî ââåñòè íîâóþ ïåðåìåííóþ ïî ôîðìóëå x+ k = xk − p ≥ 0. Åñëè ïåðåìåííàÿ xk îãðàíè÷åíà ñâåðõó (xk ≤ p), ìîæíî ââåñòè íîâóþ ïåðåìåííóþ ïî ôîðìóëå x+ k = p − xk ≥ 0. Åñëè, íàêîíåö, ïåðåìåííàÿ xk íå îãðàíè÷åíà íè ñâåðõó, íè ñíèçó, ïîëîæèì (óâåëè÷èâàÿ êîëè÷åñòâî ïåðåìåííûõ) xk = x0k − x00k , ãäå x0k ≥ 0, x00k ≥ 0. Ìíîæåñòâî âåêòîðîâ èç Rn ñ íåîòðèöàòåëüíûìè êîîðäèíàòàìè áóäåì îáîçíà÷àòü Rn+ . 3. Ìû áóäåì ñ÷èòàòü âñå ñâîáîäíûå ÷ëåíû â ñèñòåìå (12.2.2)(12.2.4) íåîòðèöàòåëüíûìè (b ∈ Rm + ). Ýòîãî âñåãäà ìîæíî äîáèòüñÿ, óìíîæàÿ ïðè íåîáõîäèìîñòè óðàâíåíèå èëè íåðàâåíñòâî íà (−1).

Ìîæíî ïîêàçàòü, ÷òî ÷àñòü Rn , çàäàâàåìàÿ ñèñòåìîé (12.2.2) (12.2.4), åñòü 1) ëèáî ïóñòîå ìíîæåñòâî (ñèñòåìà íåñîâìåñòíà), 2) ëèáî òî÷êà, 3) ëèáî âûïóêëûé ìíîãîãðàííèê: 338

a) îãðàíè÷åííûé (ïðèìåð  ðèñ.12.3), á) íåîãðàíè÷åííûé (ïðèìåð  ðèñ.12.4).

x2 x1 + x2 ≤ 1;

XXX

0.5x1 + 2x2 ≤ 1

XXX

XXX

@

@

@

@ @

x1

Ðèñ.12.3

x2 x1 + x2 ≥ 1;

0.5x1 + 2x2 ≥ 1

@

@

@

@

@

@

@

@ @X

XXX

XX

XXX

XXX

XXX

XX

x1

Ðèñ.12.4  ñëó÷àå 1 çàäà÷à ëèíåéíîãî ïðîãðàììèðîâàíèÿ íå èìååò ðåøåíèÿ;  ñëó÷àå 2 ðåøåíèåì çàäà÷è ëèíåéíîãî ïðîãðàììèðîâàíèÿ ÿâëÿåòñÿ, î÷åâèäíî, åäèíñòâåííîå ðåøåíèå ñèñòåìû. Îáà ýòè ñëó÷àÿ òðèâèàëüíû. Èíòåðåñ ïðåäñòàâëÿåò ñëó÷àé 3.  ñëó÷àå 3à) ðàññóæäåíèåì, ïîäîáíûì ïðîâåäåííîìó â ï.12.1, ìîæíî ïîêàçàòü, ÷òî ãëîáàëüíûé ìèíèìóì ôóíêöèîíàëà ñóùåñòâóåò è äîñòèãàåòñÿ õîòÿ áû â îäíîé èç âåðøèí ìíîãîãðàííèêà.  ñëó÷àå 3á) âîçìîæíû äâà âàðèàíòà: ëèáî ìíîæåñòâî çíà÷åíèé ôóíêöèîíàëà íå îãðàíè÷åíî ñíèçó, ëèáî ìèíèìóì ñóùåñòâóåò è òàêæå äîñòèãàåòñÿ â îäíîé èç âåðøèí ìíîãîãðàííèêà. Ïîêàæåì òåïåðü, ÷òî âñå îãðàíè÷åíèÿ-íåðàâåíñòâà, êðîìå íåðàâåíñòâ xk ≥ 0, ìîæíî çàìåíèòü îãðàíè÷åíèÿìè-ðàâåíñòâàìè (çà ñ÷åò óâåëè÷åíèÿ êîëè÷åñòâà ïåðåìåííûõ â çàäà÷å). 339

Äåéñòâèòåëüíî, ìîæíî ââåñòè íîâóþ ïåðåìåííóþ xn+1 ≥ 0 è çàìåíèòü íåðàâåíñòâî (12.2.2) íà óðàâíåíèå

ak1 x1 + . . . + akn xn + xn+1 = bk , èç êîòîðîãî ñëåäóåò (12.2.2). Àíàëîãè÷íî, ââîäÿ íîâóþ ïåðåìåííóþ xn+1 ≥ 0, ìîæíî çàìåíèòü íåðàâåíñòâî (12.2.4) íà óðàâíåíèå

ak1 x1 + . . . + akn xn − xn+1 = bk , èç êîòîðîãî ñëåäóåò (12.2.4). Êîíå÷íî, äîïîëíèòåëüíûå ïåðåìåííûå íå äîëæíû âõîäèòü â ìèíèìèçèðóåìûé ôóíêöèîíàë (ñîîòâåòñòâóþùèå êîîðäèíàòû âåêòîðà c äîëæíû ðàâíÿòüñÿ íóëþ). Ñôîðìóëèðóåì òåïåðü òàê íàçûâàåìóþ êàíîíè÷åñêóþ çàäà÷ó ëèíåéíîãî ïðîãðàììèðîâàíèÿ: Ìèíèìèçèðîâàòü ëèíåéíûé ôóíêöèîíàë (12.1.1) íà ÷àñòè Rn+ , âñå òî÷êè êîòîðîé óäîâëåòâîðÿþò ñèñòåìå ëèíåéíûõ óðàâíåíèé

Ax = b,

(12.2.5)

ãäå A  ìàòðèöà ðàçìåðà m × n, à b ∈ Rn+ . Çàìå÷àíèÿ. 1. Ìû ñ÷èòàåì, ÷òî ñèñòåìà (12.2.5) èìååò áåñêîíå÷íî ìíîãî ðåøåíèé â Rn+ , èíà÷å çàäà÷à òðèâèàëüíà. Ìîæíî òàêæå ïîëàãàòü, ÷òî íè îäíî èç óðàâíåíèé íå ÿâëÿåòñÿ ñëåäñòâèåì äðóãèõ (èíà÷å åãî ìîæíî ïðîñòî âû÷åðêíóòü). Îòñþäà, êñòàòè, ñëåäóåò, ÷òî m < n. 2. Ìû ïî-ïðåæíåìó îáîçíà÷àåì áóêâîé n ðàçìåðíîñòü ïðîñòðàíñòâà (êîëè÷åñòâî ïåðåìåííûõ) è áóêâîé m  êîëè÷åñòâî îãðàíè÷åíèé-ðàâåíñòâ. Ñëåäóåò, îäíàêî, ïîìíèòü, ÷òî òåïåðü êîëè÷åñòâî ïåðåìåííûõ ìîæåò áûòü áîëüøå, ÷åì â èñõîäíîé çàäà÷å  çà ñ÷åò äîïîëíèòåëüíûõ ïåðåìåííûõ, ïîÿâëÿþùèõñÿ ïðè çàìåíå îãðàíè÷åíèé-íåðàâåíñòâ ðàâåíñòâàìè. Êîëè÷åñòâî îãðàíè÷åíèé ìîæåò îêàçàòüñÿ ìåíüøå, ÷åì â èñõîäíîé çàäà÷å  çà ñ÷åò âû÷åðêèâàíèÿ óðàâíåíèé, ÿâëÿþùèõñÿ ñëåäñòâèåì îñòàâøèõñÿ.

12.3. Ïðåîáðàçîâàíèå êàíîíè÷åñêîé çàäà÷è ëèíåéíîãî ïðîãðàììèðîâàíèÿ Èç çàìå÷àíèÿ 1 â êîíöå ï.12.2 ñëåäóåò, ÷òî ïðè ðåøåíèè ñèñòåìû (12.2.5) ìåòîäîì ÃàóññàÉîðäàíà êîëè÷åñòâî óðàâíåíèé íå óìåíüøàåòñÿ. 340

Ïîýòîìó çíà÷åíèÿ íåêîòîðûõ m ïåðåìåííûõ îäíîçíà÷íî îïðåäåëÿþòñÿ çíà÷åíèÿìè îñòàâøèõñÿ n − m ïåðåìåííûõ, à òå ìîãóò áûòü çàäàíû ïðîèçâîëüíî (çäåñü ìû ïîêà íå ó÷èòûâàåì îãðàíè÷åíèÿ x ∈ Rn+ ). Îòìåòèì òàêæå, ÷òî óêàçàííûå âûøå m ïåðåìåííûõ ìîæíî âûáðàòü íå åäèíñòâåííûì îáðàçîì. Ìû áóäåì äëÿ óäîáñòâà ñ÷èòàòü, ÷òî ýòè m ïåðåìåííûõ  x1 , . . . , xm . Ðàçîáüåì ìàòðèöó A, âåêòîð c è ïåðåìåííûé âåêòîð x íà äâå ÷àñòè:



 cB c = . . . , cN

. A = [B .. N ],



 xB x = . . . . xN

Çäåñü B  êâàäðàòíàÿ ìàòðèöà ïîðÿäêà m; N  m × (n − m)-ìàòðèöà; xB , cB  ñòîëáöû âûñîòû m; xN , cN  ñòîëáöû âûñîòû n − m. Òåïåðü ñèñòåìà (12.2.5) ïåðåïèøåòñÿ â âèäå

BxB + N xn = b,

(12.3.1)

à ôóíêöèîíàë (12.2.1)  â âèäå

f (x) = (cB )T · xB + (cN )T · xN .

(12.3.2)

Ïîñêîëüêó ñèñòåìà (12.3.1) ïðè êàæäîì çíà÷åíèè xN îäíîçíà÷íî ðàçðåøèìà îòíîñèòåëüíî xB , òî ìàòðèöà B îáðàòèìà, è ìû ïîëó÷àåì

xB = B −1 b − B −1 N xN .

(12.3.3)

Ïîäñòàâëÿÿ ïîëó÷åííûé ðåçóëüòàò â (12.3.2), èìååì

¡ ¢ f (x) = (cB )T · B −1 b + (cN )T − (cB )T · B −1 · N · xN .

Ââåäåì ñëåäóþùèå îáîçíà÷åíèÿ:

β = B −1 b (ñòîëáåö âûñîòû m), π = (cN )T − (cB )T · B −1 · N (ñòðîêà øèðèíû n − m). Òîãäà ïîëó÷èì òàê íàçûâàåìóþ ïðåîáðàçîâàííóþ çàäà÷ó ëèíåéíîãî ïðîãðàììèðîâàíèÿ: Ìèíèìèçèðîâàòü ôóíêöèîíàë

ϕ(xN ) = (cB )T · β + π · xN

(12.3.3)

ïðè óñëîâèÿõ

xN ∈ Rn−m , +

xB = β − B −1 · N · xN ∈ Rm +. 341

(12.3.4)

Êîîðäèíàòû âåêòîðà xB ïðèíÿòî íàçûâàòü áàçèñíûìè ïåðåìåííûìè, êîîðäèíàòû âåêòîðà xN  íåáàçèñíûìè. Ðåøåíèå ñèñòåìû Ax = b íàçûâàåòñÿ áàçèñíûì, åñëè xN = θn−m (xB = β ). Áàçèñíîå ðåøåíèå íàçûâàåòñÿ äîïóñòèìûì, åñëè xB = β ∈ Rm + . Åñëè áàçèñíîå ðåøåíèå äîn−m ïóñòèìî, è π T ∈ R+ , òî ýòî áàçèñíîå ðåøåíèå äîñòàâëÿåò ôóíêöèîíàëó èñêîìûé ìèíèìóì, òàê êàê ïðè xN ∈ Rn−m +

ϕ(xN ) = (cB )T · β + π · xN ≥ (cB )T · β = ϕ(θn−m ). Çàìå÷àíèå. Ñòîëáåö β è ñòðîêà π çàâèñÿò îò âûáîðà áàçèñíûõ ïåðåìåííûõ. Íàïîìíèì, ÷òî ýòîò âûáîð ìîæíî ïðîèçâåñòè íå åäèíñòâåííûì îáðàçîì. Ïðèìåð. Ìèíèìèçèðîâàòü ôóíêöèîíàë

f (x) = 3x1 + x2 + 2x3 ïðè óñëîâèÿõ

x1 + 2x2 + 3x3 = 6;

x1 ≥ 0, x2 ≥ 0, x3 ≥ 0.

Çäåñü n = 3, m = 1, A = [1, 2, 3], b = [6], c = [3, 1, 2]T . Åñëè çà áàçèñíóþ ïåðåìåííóþ ïðèíÿòü x1 , òî

B = [1],

N = [2, 3],

β = [6],

π = [1, 2] − 3 · [2, 3] = [−5, −7].

Áàçèñíîå ðåøåíèå [6, 0, 0]T äîïóñòèìî. Åñëè çà áàçèñíóþ ïåðåìåííóþ ïðèíÿòü x3 , òî

B = [3],

N = [1, 2],

β = [2],

π = [3, 1] −

2 7 1 · [1, 2] = [ , − ]. 3 3 3

Áàçèñíîå ðåøåíèå [0, 0, 2]T òàêæå äîïóñòèìî. Åñëè, íàêîíåö, çà áàçèñíóþ ïåðåìåííóþ ïðèíÿòü x2 , òî

5 1 1 · [1, 3] = [ , ]. 2 2 2 Áàçèñíîå ðåøåíèå [0, 3, 0]T äîïóñòèìî è äîñòàâëÿåò ìèíèìóì ôóíêöèîíàëó, òàê êàê π T ∈ R2+ . B = [2],

N = [1, 3],

β = [3],

π = [3, 2] −

Ïðîèëëþñòðèðóåì íàø ïðèìåð ãåîìåòðè÷åñêè. Ñèñòåìà îãðàíè÷åíèé, ñîñòîÿùàÿ èç îäíîãî óðàâíåíèÿ x1 + 2x2 + 3x3 = 6, çàäàåò ïëîñêîñòü â R3 . Ïåðåñå÷åíèå ýòîé ïëîñêîñòè ñ R3+  òðåóãîëüíèê (ðèñ.12.5). Ëåãêî âèäåòü, ÷òî äîïóñòèìûå áàçèñíûå ðåøåíèÿ [6, 0, 0]T , [0, 3, 0]T , [0, 0, 2]T 342

ñîîòâåòñòâóþò âåðøèíàì ýòîãî òðåóãîëüíèêà. Êàê óæå óêàçûâàëîñü, ìèíèìàëüíîå çíà÷åíèå ôóíêöèîíàëà f äîñòèãàåòñÿ õîòÿ áû â îäíîé èç âåðøèí. Ñðàâíèâ çíà÷åíèÿ ôóíêöèîíàëà âî âñåõ âåðøèíàõ f (6, 0, 0) = 18, f (0, 3, 0) = 3, f (0, 0, 2) = 4, âèäèì, ÷òî áàçèñíîå ðåøåíèå [0, 3, 0]T äåéñòâèòåëüíî äîñòàâëÿåò ôóíêöèîíàëó ãëîáàëüíûé ìèíèìóì.

x3 ¡ ¡ ¡

x2

¡

f (0, 0, 2) = 4 u

¡

u¡ f (0, 3, 0) = 3 H ¡ H PP PP HH ¡ PP HH ¡ PP H PP H ¡ HH PP f (6, 0, 0) = 18 ¡ PP HP ¡ Hu x1 PP

Ðèñ.12.5

12.4. Ïîíÿòèå î ñèìïëåêñ-ìåòîäå ðåøåíèÿ çàäà÷è ëèíåéíîãî ïðîãðàììèðîâàíèÿ Ýòîò ìåòîä, îòêðûòûé â 1947 ãîäó Ä. Äàíöèãîì67 , ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé êîíå÷íûé àëãîðèòì, êîòîðûé, íà÷èíàÿ ñ íåêîòîðîãî äîïóñòèìîãî áàçèñíîãî ðåøåíèÿ, ñòðîèò íîâûå äîïóñòèìûå áàçèñíûå ðåøåíèÿ, îáåñïå÷èâàÿ óìåíüøåíèå çíà÷åíèÿ ôóíêöèîíàëà. Ìû îïèøåì îäèí øàã ñèìïëåêñ-ìåòîäà, íå âäàâàÿñü, åñòåñòâåííî, â òåõíîëîãè÷åñêèå ïîäðîáíîñòè. Èòàê, ïóñòü èìååòñÿ äîïóñòèìîå áàçèñíîå ðåøåíèå



 xB x = . . . , xN

x B = β ∈ Rm +,

xN = θn−m .

Âû÷èñëèì ñòðîêó π , ñîîòâåòñòâóþùóþ íàøåìó áàçèñíîìó ðåøåíèþ. Åñëè π T ∈ Rn−m , òî, êàê óêàçàíî â ï.12.3, ìèíèìóì ôóíêöèîíàëà ϕ äî+ ñòèãíóò, è çàäà÷à ëèíåéíîãî ïðîãðàììèðîâàíèÿ ðåøåíà. Ðàáîòà àëãîðèòìà çàêàí÷èâàåòñÿ. Åñëè ñðåäè ýëåìåíòîâ ñòðîêè π åñòü îòðèöàòåëüíûå, òî, óâåëè÷èâàÿ ñîîòâåòñòâóþùèå èì êîîðäèíàòû âåêòîðà xN , ìû áóäåì óìåíüøàòü çíà÷åíèå ôóíêöèîíàëà. Ñêîðîñòü óáûâàíèÿ ôóíêöèîíàëà ïðîïîðöèîíàëüíà çíà÷åíèÿì îòðèöàòåëüíûõ ýëåìåíòîâ ñòðîêè π . Ïîýòîìó âûáåðåì 67 Äæîðäæ

Áåðíàðä ÄÀÍÖÈÃ (J.B. Dantzig, 1914-2005)  àìåðèêàíñêèé ìàòåìàòèê. 343

èç íèõ íàèìåíüøèé (íàèáîëüøèé ïî ìîäóëþ). Ïóñòü åãî ïîðÿäêîâûé íîìåð q . Áóäåì óâåëè÷èâàòü q -þ êîîðäèíàòó âåêòîðà xN , ïîêà âñå êîîðäèíàòû âåêòîðà xB åùå íåîòðèöàòåëüíû. Ïîñêîëüêó îòëè÷íà îò íóëÿ òîëüêî îäíà êîîðäèíàòà âåêòîðà xN , (12.3.4) ïðèíèìàåò âèä

¡ ¢(q) N xB = B −1 b − B −1 N xq . ¡ ¢(q) Åñëè âñå ýëåìåíòû ñòîëáöà B −1 N íåïîëîæèòåëüíû, òî êîîðäèíàòû âåêòîðà xB îñòàþòñÿ íåîòðèöàòåëüíûìè ïðè ëþáûõ ïîëîæèòåëüíûõ çíà÷åíèÿõ xN q . Ýòî çíà÷èò, ÷òî ìíîæåñòâî çíà÷åíèé ôóíêöèîíàëà ϕ íå îãðàíè÷åíî ñíèçó, è çàäà÷à íå èìååò ðåøåíèÿ. Ðàáîòà àëãîðèòìà çàêàí÷èâàåòñÿ. ¡ ¢(q) Åñëè ñðåäè ýëåìåíòîâ ñòîëáöà B −1 N åñòü ïîëîæèòåëüíûå, òî B ñîîòâåòñòâóþùèå èì êîîðäèíàòû âåêòîðà x áóäóò óáûâàòü ñ óâåëè÷åB íèåì xN q . Ïóñòü s  íîìåð òîé êîîðäèíàòû âåêòîðà x , êîòîðàÿ ïåðâîé îáðàòèòñÿ â íóëü â ýòîì ïðîöåññå. Òîãäà íàèáîëüøåå âîçìîæíîå çíà÷åíèå xN q ðàâíî µ ¶ β β j s max(xN q ) = ¡ −1 ¢(q) = min ¡ −1 ¢(q) j B N s B N j ¡ ¢(q) (ìèíèìóì áåðåòñÿ ïî òåì èíäåêñàì j , äëÿ êîòîðûõ B −1 N j > 0). B N Ïðè ýòîì çíà÷åíèè xN q ïîëó÷èì xs = 0. Òåïåðü ïåðåìåííàÿ xq âêëþ÷àåòñÿ â ñîñòàâ áàçèñíûõ, à îáíóëåííàÿ ïåðåìåííàÿ xB s èñêëþ÷àåòñÿ. Äàëüíåéøèå äåéñòâèÿ ìîæíî áûëî áû ïðåäñòàâèòü ñåáå òàê: ìåíÿåì ìåñòàìè ñòîëáöû B (s) è N (q) â ìàòðèöå A è ñîîòâåòñòâóþùèå êîîðäèíàòû âåêòîðà c. Ïîëó÷èì "íîâûå" ìàòðèöû B è N . Âû÷èñëèì íîâûé âåêòîð β è íîâóþ ñòðîêó π . Íà ïîëó÷åííîì íîâîì äîïóñòèìîì (xB = β ∈ Rm +) N áàçèñíîì (x = θn−m ) ðåøåíèè ôóíêöèîíàë ϕ ïî ïîñòðîåíèþ èìååò ìåíüøåå çíà÷åíèå, ÷åì íà ñòàðîì. Îäèí øàã àëãîðèòìà çàêîí÷åí. Çàìå÷àíèå. Êîíå÷íî, èçëîæåííàÿ ïðîöåäóðà íåýôôåêòèâíà. Ñòàíäàðòíûå ïðîãðàììû, ðåàëèçóþùèå àëãîðèòì ñèìïëåêñ-ìåòîäà, ðàáîòàþò èíà÷å. Íî ìû, íàïîìèíàåì, íå ðàññìàòðèâàåì òåõíè÷åñêèå ïîäðîáíîñòè. Ïîñêîëüêó êîëè÷åñòâî äîïóñòèìûõ áàçèñíûõ ðåøåíèé íå ïðåâîñõîäèò êîëè÷åñòâà ðàçëè÷íûõ íàáîðîâ áàçèñíûõ ïåðåìåííûõ, à îíî, â ñâîþ î÷åðåäü, íå ïðåâîñõîäèò êîëè÷åñòâà ñî÷åòàíèé èç n ñòîëáöîâ ìàòðèöû A n! ïî m, ò.å. , òî çà êîíå÷íîå ÷èñëî øàãîâ àëãîðèòì ëèáî íàõîäèò

m!(n − m)! ãëîáàëüíûé ìèíèìóì ôóíêöèîíàëà, ëèáî âûÿâëÿåò åãî îòñóòñòâèå. 344

12.5. Ïîñòðîåíèå íà÷àëüíîãî äîïóñòèìîãî áàçèñíîãî ðåøåíèÿ Äëÿ íà÷àëà ðàáîòû àëãîðèòìà ñèìïëåêñ-ìåòîäà íåîáõîäèìî èìåòü êàêîå-íèáóäü äîïóñòèìîå áàçèñíîå ðåøåíèå. Ìû îïèøåì îäèí èç âîçìîæíûõ ñïîñîáîâ åãî ïîñòðîåíèÿ. Ïóñòü òðåáóåòñÿ ìèíèìèçèðîâàòü ôóíêöèîíàë f (x) = hx, ci ïðè óñëîâèÿõ

x ∈ Rn+ ,

Ax = b ∈ Rm +.

(12.5.1)

Ðàññìîòðèì âñïîìîãàòåëüíóþ çàäà÷ó î ìèíèìèçàöèè ëèíåéíîãî ôóíêöèîíàëà ϕ(x, y) = y1 + . . . + ym ïðè óñëîâèÿõ



x ∈ Rn+ ,

 x . [A .. Im ] · · · = b. y

y ∈ Rm +,

(12.5.2)

Äëÿ çàäà÷è (12.5.2) îäíî äîïóñòèìîå áàçèñíîå ðåøåíèå î÷åâèäíî: x = θn , y = b. Ïîýòîìó ìîæíî ïðèìåíèòü ê íåé ñèìïëåêñ-ìåòîä. Ïîñêîëüêó ϕ(x, y) ≥ 0, ôóíêöèîíàë ϕ îãðàíè÷åí ñíèçó, è àëãîðèòì çà êîíå÷íîå ÷èñëî øàãîâ äàñò ðåøåíèå âñïîìîãàòåëüíîé çàäà÷è (e x, ye). Åñëè îêàæåòñÿ, ÷òî ye = θm , òî x e  äîïóñòèìîå áàçèñíîå ðåøåíèå ñèñòåìû Ax = b (ïðîâåðüòå ýòî!). Åñëè æå ye 6= θm , òî ìèíèìóì âî âñïîìîãàòåëüíîé çàäà÷å ïîëîæèòåëåí (ϕ(e x, ye) > 0). Íî åñëè äëÿ âåêòîðà x âûïîëíåíû óñëîâèÿ (12.5.1), òî ïàðà (x, θm ) óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèÿì (12.5.2), è ϕ(x, θm ) = 0, ò.å. ìèíèìóì âî âñïîìîãàòåëüíîé çàäà÷å ðàâåí íóëþ. Ïîýòîìó ðåçóëüòàò ye 6= θm óêàçûâàåò íà íåñîâìåñòíîñòü óñëîâèé (12.5.1), è èñõîäíàÿ çàäà÷à íå èìååò ðåøåíèÿ.

345

Ãëàâà 13. ÝËÅÌÅÍÒÀÐÍÛÉ ÀÍÀËÈÇ ÏÎÃÐÅØÍÎÑÒÅÉ 13.1. Ïðåäâàðèòåëüíûå çàìå÷àíèÿ  ïðåäûäóùèõ ãëàâàõ ìû ïðåäïîëàãàëè, ÷òî âñå èñõîäíûå äàííûå ðàññìàòðèâàåìûõ çàäà÷ çàäàíû òî÷íî, è òî÷íî âûïîëíÿþòñÿ àðèôìåòè÷åñêèå îïåðàöèè. Îäíàêî â äåéñòâèòåëüíîñòè è â èñõîäíûõ äàííûõ îáû÷íî èìååòñÿ íåîïðåäåëåííîñòü (òàê êàê îíè ÿâëÿþòñÿ, êàê ïðàâèëî, ëèáî ðåçóëüòàòàìè èçìåðåíèé, ëèáî ðåçóëüòàòàìè âû÷èñëåíèé), è àðèôìåòè÷åñêèå îïåðàöèè âûïîëíÿþòñÿ ëèáî ñ îêðóãëåíèåì, ëèáî ñ óñå÷åíèåì. Ýòî ïðèâîäèò ê ïîÿâëåíèþ â ðåçóëüòàòàõ íåîïðåäåëåííîñòè, áåç îöåíêè êîòîðîé ïîëüçîâàòüñÿ ýòèìè ðåçóëüòàòàìè íåëüçÿ. Ìîãóò ïîÿâëÿòüñÿ è íåñóùåñòâóþùèå íà ñàìîì äåëå "ðåøåíèÿ" çàäà÷. Ïðèìåð. Ïîïðîáóåì ðåøèòü î÷åâèäíî íåñîâìåñòíóþ ñèñòåìó

½

7x + 9y = 16 14x + 18y = 33

ìåòîäîì ÃàóññàÉîðäàíà áåç âûáîðà âåäóùåãî ýëåìåíòà (âû÷èñëåíèÿ âåäóòñÿ ñ òðåìÿ çíà÷àùèìè öèôðàìè): ·

7. 9. 16. 14. 18. 33. ⇐⇒

¸

·

¸ 1.00 1.29 2.29 ⇐⇒ 14. 18. 33. · ¸ 1.00 1.29 2.29 ⇐⇒ −0. 1.00 −9.00

·

1.00 1.29 2.29 ⇐⇒ 0. −.1 .9 · ¸ 1.00 0. 13.9 . −0. 1.00 −9.00

¸

⇐⇒

Ïîëó÷åíî "ðåøåíèå": x = 13.9, y = −9.00. Äëÿ òåõ, êòî äóìàåò, ÷òî òàêîé ýôôåêò âîçìîæåí òîëüêî ïðè ðåøåíèè "âðó÷íóþ ïðèâîäèì ïðèìåð ðåøåíèÿ íåñîâìåñòíîé (ïðîâåðüòå ýòî!) ñèñòåìû ñ ïîìîùüþ ñðåäû êîíå÷íîãî ïîëüçîâàòåëÿ MAPLE: >

restart: with(linalg):

Warning, the protected names norm and trace have been redefined and unprotected > >

fsolve({77777777777.*x+99999999999.*y=177777777776, 155555555554*x+199999999998*y=177777777777},{x,y}); {x = −0.4444444445 1010 , y = 0.3456790126 1010 }

Ïðîèëëþñòðèðóåì ïðîáëåìó ãåîìåòðè÷åñêè. Êàê èçâåñòíî, ëèíåéíîå àëãåáðàè÷åñêîå óðàâíåíèå ñ äâóìÿ ïåðåìåííûìè çàäàåò íà ïëîñêîñòè ïðÿìóþ, à ñèñòåìà èç äâóõ òàêèõ óðàâíåíèé  ïàðó ïðÿìûõ. Åñëè ìàòðèöà êîýôôèöèåíòîâ ñèñòåìû íåâûðîæäåíà, òî ïðÿìûå íåïàðàëëåëüíû 346

è èìåþò åäèíñòâåííóþ òî÷êó ïåðåñå÷åíèÿ, êîîðäèíàòû êîòîðîé  åäèíñòâåííîå ðåøåíèå ñèñòåìû (ðèñ.13.1). ©© © ©

PP

PP PP

©© © ©©

©

© © © ©

© P PP ©u©

PP

Ðèñ.13.1

PP P

PP P

Íàëè÷èå íåîïðåäåëåííîñòè â èñõîäíûõ äàííûõ (êîýôôèöèåíòàõ è ñâîáîäíûõ ÷ëåíàõ ñèñòåìû) ïðåâðàùàåò êàæäóþ ïðÿìóþ â öåëîå ñåìåéñòâî ïðÿìûõ.  ïðîñòåéøåì ñëó÷àå, êîãäà íåîïðåäåëåííîñòü ñîäåðæèòñÿ òîëüêî â ñâîáîäíûõ ÷ëåíàõ, ïðÿìûå êàæäîãî ñåìåéñòâà ïàðàëëåëüíû ìåæäó ñîáîé, è êàæäîå óðàâíåíèå ñèñòåìû ïîðîæäàåò "òîëñòóþ" ïðÿìóþ (ïîëîñó), òîëùèíà êîòîðîé ðàñòåò ñ ðîñòîì íåîïðåäåëåííîñòè. "Ðåøåíèåì" ñèñòåìû òåïåðü ÿâëÿåòñÿ ïåðåñå÷åíèå äâóõ "òîëñòûõ" ïðÿìûõ  "òîëñòàÿ" òî÷êà, ðàçìåðû êîòîðîé õàðàêòåðèçóþò íåîïðåäåëåííîñòü ðåøåíèÿ. Åñëè ìàòðèöà êîýôôèöèåíòîâ ñèñòåìû îðòîãîíàëüíà, òî ïðÿìûå ïåðïåíäèêóëÿðíû, è ðàçìåðû "ðåøåíèÿ" áóäóò òîãî æå ïîðÿäêà, ÷òî è øèðèíà ïîëîñ (ðèñ.13.2).

Ðèñ.13.2 Åñëè óãîë ìåæäó ïîëîñàìè áëèçîê ê íóëþ, òî ðàçìåðû "ðåøåíèÿ" ìîãóò âî ìíîãî ðàç ïðåâûøàòü øèðèíó ïîëîñ (ðèñ.13.3). X X X XX X XX X XX X XX X X XX » XXX XX XX X XX » » XX » » » XXX X XX » » » » X XX » » X » X » X » X XX » » X » X » X » XX » » X » X » X » X X » » X » X » X » X X » » X » X » X » X X » » X » X » X » X »» »» » » X »»»XXX XX XX XX » » » » X X » » » » »»» X XX » » » » » X » » » » » » »» » » » » » » » » » » »»

Ðèñ.13.3

Ïðè ïàðàëëåëüíûõ ïðÿìûõ ìîæåò âîçíèêíóòü "ðåøåíèå íå ñóùåñòâóþùåå â òî÷íîé àðèôìåòèêå (ðèñ.13.4). 347

Ðèñ.13.4 Ýòè ãåîìåòðè÷åñêèå ïîñòðîåíèÿ ïîêàçûâàþò (õîòÿ è íå äîêàçûâàþò), ÷òî "ïëîõèìè" ÿâëÿþòñÿ ñèñòåìû, áëèçêèå ê âûðîæäåííûì. ×òîáû ïðèäàòü ýòîìó óòâåðæäåíèþ òî÷íûé ñìûñë, íàì ïîòðåáóåòñÿ ââåñòè íåêîòîðûå íîâûå ïîíÿòèÿ.

13.2. Íîðìà ìàòðèöû Äëÿ êâàäðàòè÷íîé ôîðìû, ïîðîæäåííîé ýðìèòîâîé ìàòðèöåé A, èçâåñòíî íåðàâåíñòâî (ñì. ï.9.2)

hAx, xi ≤ λmax · kxk2 ,

(13.2.1)

ãäå λmax  íàèáîëüøåå ñîáñòâåííîå ÷èñëî ìàòðèöû A. Ïóñòü òåïåðü B  ïðîèçâîëüíàÿ ìàòðèöà ðàçìåðà m × n. Èç (13.2.1) ñëåäóåò, ÷òî 2 kBxk2 = hBx, Bxi = hB ∗ Bx, xi ≤ σmax · kxk2 ,

èëè

kBxk ≤ σmax · kxk,

(13.2.2)

ãäå σmax  íàèáîëüøåå ñèíãóëÿðíîå ÷èñëî ìàòðèöû B . Åñëè âåêòîð x íåíóëåâîé, òî, ðàçäåëèâ íà åãî íîðìó îáå ÷àñòè (13.2.2), ïîëó÷èì

kBxk ≤ σmax . kxk

(13.2.3)

Ïîêàæåì, ÷òî â (13.2.3) ðàâåíñòâî äîñòèãàåòñÿ. Åñëè v  ïðàâûé, à u  ëåâûé ñèíãóëÿðíûå âåêòîðû, ñîîòâåòñòâóþùèå íàèáîëüøåìó ñèíãóëÿðíîìó ÷èñëó, òî (ñì. (10.1.4)):

kBvk = kσmax uk = σmax = σmax kvk,

è

kBvk = σmax . kvk

Ãåîìåòðè÷åñêàÿ èíòåðïðåòàöèÿ íåðàâåíñòâà (13.2.3) î÷åâèäíà: ïðè óìíîæåíèè íåíóëåâîãî âåêòîðà íà ìàòðèöó ñëåâà åâêëèäîâà íîðìà ýòîãî âåêòîðà èçìåíÿåòñÿ. Íîðìà âåêòîðà â R3  ýòî äëèíà ñîîòâåòñòâóþùåãî åìó íàïðàâëåííîãî îòðåçêà. Ïîýòîìó åñòåñòâåííî íàçâàòü îòíîøåíèå 348

kBxk "êîýôôèöèåíòîì ðàñòÿæåíèÿ" âåêòîðà ýòîé ìàòðèöåé. Òîãäà íåkxk ðàâåíñòâî (13.2.3) ïîêàçûâàåò, ÷òî êîýôôèöèåíò ðàñòÿæåíèÿ äëÿ êàæäîé ìàòðèöû íå ìîæåò áûòü áîëüøå, ÷åì åå íàèáîëüøåå ñèíãóëÿðíîå ÷èñëî. Îïðåäåëåíèå. Íîðìîé ìàòðèöû íàçûâàåòñÿ ÷èñëî

kBk = max x6=θ

kBxk = σmax . kxk

(13.2.4)

Óñòàíîâèì ñâîéñòâà ìàòðè÷íîé íîðìû:

kBk = 0 ⇔ B = Θ  íóëåâîé îïåðàòîð (ìàòðèöà).

1. kBk ≥ 0;

2. kαBk = |α| · kBk. 3. kA + Bk ≤ kAk + kBk. 4. kABk ≤ kAk · kBk. 5. kB ∗ k = kBk. 1 . σmin (B) 7. Íîðìà íåîòðèöàòåëüíî îïðåäåëåííîé ìàòðèöû ðàâíà åå íàèáîëüøåìó ñîáñòâåííîìó ÷èñëó. 8. Íîðìà óíèòàðíîé ìàòðèöû ðàâíà åäèíèöå. 6.Åñëè B  îáðàòèìàÿ ìàòðèöà, òî kB −1 k =

Äîêàçàòåëüñòâî. 1. Èç îïðåäåëåíèÿ ìàòðè÷íîé íîðìû ñëåäóåò, ÷òî kBk ≥ 0. Äàëåå, î÷åâèäíî, kΘk = 0. Ñ äðóãîé ñòîðîíû, åñëè kBk = 0, òî äëÿ âñåõ x ∈ Cn èìååì kBxk = 0, ò.å. Bx = θ. Òàêèì îáðàçîì, B = Θ.

2. kαBk = max x6=θ

kαBxk kBxk = |α| · max = |α| · kBk. x6=θ kxk kxk

3. Äëÿ ëþáîãî x ∈ Cn èìååì

k(A + B)xk = kAx + Bxk ≤ kAxk + kBxk ≤ ≤ kAk · kxk + kBk · kxk = (kAk + kBk) · kxk. Îòñþäà

kA + Bk = max x6=θ

(kAk + kBk) · kxk k(A + B)xk ≤ max = kAk + kBk. x6=θ kxk kxk

4.Äëÿ ëþáîãî x ∈ Cn

k(AB)xk = kA(Bx)k ≤ kAk · kBxk ≤ kAk · kBk · kxk. 349

Ïîýòîìó

kABk = max x6=θ

k(AB)xk kAk · kBk · kxk ≤ max = kAk · kBk. x6=θ kxk kxk

5.  ï.10.1 äîêàçàíî, ÷òî íåíóëåâûå ñîáñòâåííûå ÷èñëà ìàòðèö B ∗ B è BB ∗ ñîâïàäàþò. Ïîýòîìó kB ∗ k = σmax (B ∗ ) = σmax (B) = kBk. 6. Ïóñòü σ  ñèíãóëÿðíîå ÷èñëî ìàòðèöû B . Òîãäà σ 2  ñîáñòâåííîå ÷èñëî ìàòðèö B ∗ B è BB ∗ . Îòñþäà 12  ñîáñòâåííîå ÷èñëî ìàòðèöû

σ 1 (BB ) = (B ) B , ò.å. σ  ñèíãóëÿðíîå ÷èñëî ìàòðèöû B −1 . Ñëåäîâàòåëüíî, 1 σmax (B −1 ) = . σmin (B) 7.  ï.10.1 äîêàçàíî, ÷òî äëÿ íåîòðèöàòåëüíî îïðåäåëåííîé ìàòðèöû ñèíãóëÿðíûå ÷èñëà ñîâïàäàþò ñ ñîáñòâåííûìè ÷èñëàìè. 8. Åñëè U  óíèòàðíàÿ ìàòðèöà, òî U ∗ U = I , è âñå ñèíãóëÿðíûå ÷èñëà ðàâíû åäèíèöå. ¥ ∗ −1

−1 ∗

−1

Îòìåòèì, ÷òî ñâîéñòâà 1  3 ìàòðè÷íîé íîðìû ñîâïàäàþò ñî ñâîéñòâàìè íîðìû âåêòîðà (ï.7.2). Çàìå÷àíèå. Ìû èñïîëüçîâàëè â îïðåäåëåíèè (13.2.4) åâêëèäîâó íîðìó âåêòîðà. Ïîýòîìó ïîëíîå íàèìåíîâàíèå ââåäåííîé ìàòðè÷íîé íîðìû  íîðìà, ïîä÷èíåííàÿ åâêëèäîâîé íîðìå âåêòîðà. Ìû óæå îòìå÷àëè ðàíåå (ï.7.2), ÷òî íîðìó âåêòîðà â ëèíåéíîì ïðîñòðàíñòâå ìîæíî ââîäèòü ðàçëè÷íûìè ñïîñîáàìè. Ñîîòâåòñòâåííî ïîÿâÿòñÿ ðàçëè÷íûå íîðìû ìàòðèöû. Åñëè â äâóõ êîíå÷íîìåðíûõ ëèíåéíûõ ïðîñòðàíñòâàõ X è Y ââåäåíû íîðìû k · kX è k · kY ñîîòâåòñòâåííî, òî ëþáîìó ëèíåéíîìó îïåðàòîðó B : X → Y ìîæíî ñîïîñòàâèòü ÷èñëî

kBkX→Y = max x6=θ

kBxkY . kxkX

Ýòî ÷èñëî íàçûâàþò íîðìîé îïåðàòîðà. Ëþáàÿ îïåðàòîðíàÿ íîðìà îáëàäàåò ñâîéñòâàìè 1  4, äîêàçàííûìè äëÿ íîðìû (13.2.4).

13.3. Òðàíñôîðìèðîâàííàÿ ïîãðåøíîñòü ðåøåíèÿ ñèñòåìû ëèíåéíûõ àëãåáðàè÷åñêèõ óðàâíåíèé. ×èñëî îáóñëîâëåííîñòè ìàòðèöû Ðåøåíèå ëþáîé âû÷èñëèòåëüíîé çàäà÷è ìîæíî çàïèñàòü ôîðìóëîé

y = F (x). 350

Çäåñü x ∈ Cn  âåêòîð èñõîäíûõ äàííûõ, y ∈ Cm  âåêòîð ðåçóëüòàòîâ, F  îòîáðàæåíèå, äåéñòâóþùåå èç Cn â Cm .  ðåàëüíîé ñèòóàöèè âåêòîð x ñîäåðæèò íåîïðåäåëåííîñòü, ò.å. "íà âõîä" ïîäàåòñÿ íå âåêòîð x, à íåêîòîðûé äðóãîé âåêòîð x e. Òî÷íî òàê æå îòîáðàæåíèå ðåàëèçóåòñÿ íåòî÷íî, ò.å. ôàêòè÷åñêè ðàáîòàåò íåêîòîðîå äðóãîå îòîáðàæåíèå Fe. Òàêèì îáðàçîì, âìåñòî òðåáóåìîãî ðåçóëüòàòà y ìû ïîëó÷àåì "íà âûõîäå" íåêîòîðûé äðóãîé ðåçóëüòàò e ye. Îáîçíà÷èâ ye = F (e x), ìîæíî çàïèñàòü

¡ ¢ ¡ ¢ ¡ ¢ ¡ ¢ ∆y = e ye − y = e ye − ye + ye − y = Fe(e x) − F (e x) + F (e x) − F (x) . Ìû ïðåäñòàâèëè ïîãðåøíîñòü ðåçóëüòàòà â âèäå ñóììû äâóõ ñëàãàåìûõ. Ïðè ýòîì ∆yT = F (e x) − F (x)  ïîãðåøíîñòü, âîçíèêàþùàÿ ïðè òî÷íîé ðåàëèçàöèè âû÷èñëèòåëüíîãî àëãîðèòìà èç-çà ïîãðåøíîñòè â èñõîäíûõ äàííûõ, à ∆yM = Fe(e x) − F (e x)  ïîãðåøíîñòü, âîçíèêàþùàÿ èç-çà íåòî÷íîé ðåàëèçàöèè àëãîðèòìà. Ñóùåñòâóþò ðàçëè÷íûå íàèìåíîâàíèÿ äëÿ ýòèõ ñîñòàâëÿþùèõ. Ìû áóäåì íàçûâàòü ∆yT òðàíñôîðìèðîâàííîé ïîãðåøíîñòüþ, à ∆yM  ïîãðåøíîñòüþ ìåòîäà. Àíàëèç ïîãðåøíîñòåé ðåøåíèÿ ñèñòåìû ëèíåéíûõ àëãåáðàè÷åñêèõ óðàâíåíèé íà÷íåì ñ ïðîñòåéøåãî ñëó÷àÿ. Ïóñòü â ñèñòåìå

Ax = b

(13.3.1)

íåâûðîæäåííàÿ n × n-ìàòðèöà A èçâåñòíà òî÷íî, è âñå àðèôìåòè÷åñêèå îïåðàöèè âûïîëíÿþòñÿ áåç îêðóãëåíèé è óñå÷åíèé, à ñâîáîäíûé ÷ëåí ñîäåðæèò ïîãðåøíîñòü ∆b, ò.å. ôàêòè÷åñêè âìåñòî ñèñòåìû (13.3.1) ðåøàåòñÿ ñèñòåìà

Ae x = b + ∆b. Âû÷èòàÿ èç ýòîãî óðàâíåíèÿ (13.3.1), ïîëó÷èì

A · (e x − x) = ∆b,

∆x = A−1 · ∆b,

èëè

ãäå ∆x = x e − x  òðàíñôîðìèðîâàííàÿ ïîãðåøíîñòü ðåøåíèÿ. Ïî ñâîéñòâàì ìàòðè÷íîé íîðìû èç (13.3.1) è (13.3.2) èìååì

kbk ≤ kAk · kxk;

k∆xk ≤ kA−1 k · k∆bk.

Ïåðåìíîæèâ ýòè íåðàâåíñòâà, ïîëó÷èì

kbk · k∆xk ≤ kAk · kA−1 k · k∆bk · kxk, 351

(13.3.2)

ò.å.

k∆xk k∆bk ≤ kAk · kA−1 k · . kxk kbk Ââåäÿ ïîíÿòèå îòíîñèòåëüíîé ïîãðåøíîñòè

k∆xk , kxk ïðèäåì ê îñíîâíîìó íåðàâåíñòâó δx =

δb =

k∆bk , kbk

δx ≤ cond(A) · δ(b),

(13.3.3)

ãäå cond(A) = kAk · kA−1 k  òàê íàçûâàåìîå ÷èñëî îáóñëîâëåííîñòè ìàòðèöû A. Èç (13.3.3) âèäíî, ÷òî îòíîñèòåëüíàÿ ïîãðåøíîñòü ðåçóëüòàòà ïðè òî÷íî èçâåñòíîé ìàòðèöå è òî÷íîì âûïîëíåíèè àðèôìåòè÷åñêèõ îïåðàöèé ìîæåò ïðåâûñèòü îòíîñèòåëüíóþ ïîãðåøíîñòü èñõîäíûõ äàííûõ íå áîëåå, ÷åì â cond(A) ðàç. Ïîêàæåì, ÷òî â (13.3.3) ìîæåò äîñòèãàòüñÿ ðàâåíñòâî. Åñëè x, δx  íîðìèðîâàííûå ïðàâûå ñèíãóëÿðíûå âåêòîðû ìàòðèöû A, ïðè÷åì x ñîîòâåòñòâóåò íàèáîëüøåìó ñèíãóëÿðíîìó ÷èñëó, à ∆x  íàèìåíüøåìó, òî

kxk = 1,

kbk = kAxk = σmax ,

k∆xk = 1,

δx = 1;

k∆bk = kA∆xk = σmin ,

δb =

σmin ; σmax

δx σmax = kAk · kA−1 k = cond(A). = δb σmin Ðåçóëüòàò, î÷åâèäíî, íå èçìåíèòñÿ, åñëè x è ∆x íå ñîâïàäàþò ñ ñèíãóëÿðíûìè âåêòîðàìè, à ëèøü êîëëèíåàðíû èì. Òàêèì îáðàçîì, ÷èñëî îáóñëîâëåííîñòè ìàòðèöû êîýôôèöèåíòîâ ñèñòåìû ëèíåéíûõ àëãåáðàè÷åñêèõ óðàâíåíèé  ýòî íàèáîëüøåå çíà÷åíèå "êîýôôèöèåíòà óñèëåíèÿ" îòíîñèòåëüíîé ïîãðåøíîñòè â çàäàíèè ñâîáîäíîãî ÷ëåíà. Ïðè ðåøåíèè "ïëîõî îáóñëîâëåííîé" ñèñòåìû, ò.å. ñèñòåìû, ìàòðèöà êîýôôèöèåíòîâ êîòîðîé èìååò áîëüøîå ÷èñëî îáóñëîâëåííîñòè, ìîæåò ïðîèñõîäèòü (äàæå ïðè òî÷íîé àðèôìåòèêå!) êàòàñòðîôè÷åñêàÿ ïîòåðÿ òî÷íîñòè. Èç ñêàçàííîãî âèäíî, ÷òî ÷èñëî îáóñëîâëåííîñòè ìàòðèöû ìîæåò ñëóæèòü ìåðîé áëèçîñòè åå ê âûðîæäåííîé. Ôîðìàëüíî ìîæíî ñ÷èòàòü, ÷òî äëÿ âûðîæäåííîé ìàòðèöû cond(A) = +∞. Ïîêàæåì, êàê ìîæíî êîíñòðóèðîâàòü ïëîõî îáóñëîâëåííûå ñèñòåìû. 352

·

¸ 1 0 Ïðèìåð. Äëÿ ìàòðèöû A = (N > 0) èìååì N 1 · ¸ 1 + N2 N ∗ A A= , PA∗ A (λ) = λ2 − (N 2 + 2)λ + 1, N 1 p 2 N + 2 + N · N2 + 4 1 λmax (A∗ A) = > N 2 +1, λmin (A∗ A) = , 2 λmax (A∗ A) µ ¶1/2 λmax (A∗ A) σmax (A) = = λmax (A∗ A) > N 2 + 1. cond(A) = ∗ σmin (A) λmin (A A) Èòàê, ïðè ðåøåíèè ýòîé ñèñòåìû (âñåãî-òî äâà óðàâíåíèÿ) îòíîñèòåëüíàÿ ïîãðåøíîñòü çàäàíèÿ ñâîáîäíîãî ÷ëåíà ìîæåò òðàíñôîðìèðîâàòüñÿ â îòíîñèòåëüíóþ ïîãðåøíîñòü ðåçóëüòàòà, óñèëèâøèñü áîëåå, ÷åì â N 2 ðàç! Àíàëèç òðàíñôîðìèðîâàííîé ïîãðåøíîñòè óñëîæíÿåòñÿ, åñëè îøèáêè èìåþòñÿ è â ìàòðèöå êîýôôèöèåíòîâ.  ïðåäïîëîæåíèè, ÷òî îòíîñèòåëüíûå ïîãðåøíîñòè èñõîäíûõ äàííûõ ìàëû, ìîæíî ïîêàçàòü, ÷òî

δx ≤ cond(A) ·

δA + δb 1 − cond(A) · δ(A)

(çäåñü δA  îòíîñèòåëüíàÿ ïîãðåøíîñòü çàäàíèÿ ìàòðèöû A). Ðàññìîòðèì íåêîòîðûå ñâîéñòâà ÷èñëà îáóñëîâëåííîñòè: 1. cond(A−1 ) = cond(A). 2. cond(A∗ ) = cond(A). 3. cond(αA) = cond(A) ïðè

α 6= 0. 4. cond(AB) ≤ cond(A) · cond(B). 5. cond(A) ≥ 1. 6. Åñëè U  óíèòàðíàÿ ìàòðèöà, òî cond(U ) = 1;

cond(AU ) = cond(U A) = cond(A).

Äîêàçàòåëüñòâî. 1. Ñëåäóåò èç îïðåäåëåíèÿ. 2. Ñëåäóåò èç kA∗ k = kAk (ñâîéñòâî 5 ìàòðè÷íîé íîðìû). 3. cond(αA) = kαAk · k(αA)−1 k = |α| · kAk · |α−1 | · kA−1 k = cond(A). 4. Ïî ñâîéñòâó 4 ìàòðè÷íîé íîðìû

cond(AB) = kABk · k(AB)−1 k ≤ ≤ kAk · kBk · kA−1 k · kB −1 k = cond(A) · cond(B). 353

5. 1 = cond(I) = cond(A · A−1 ) ≤ cond(A) · cond(A−1 ) = (cond(A))2 . 6. cond(U ) = kU k · kU −1 k = 1 · 1 = 1. Äàëåå, ïî ñâîéñòâó 4

cond(AU ) ≤ cond(A) · cond(U ) = cond(A). Íî A = (AU )U ∗ , ïîýòîìó

cond(A) ≤ cond(AU ) · cond(U ∗ ) = cond(AU ). Îòñþäà cond(AU ) = cond(A), è òî÷íî òàê æå cond(U A) = cond(A).

¥

Çàìå÷àíèå. Áûòóåò ñóåâåðèå (íåëåïîå, êàê âñå ñóåâåðèÿ), ñâÿçûâàþùåå ïîãðåøíîñòè ðåøåíèÿ ñèñòåìû ëèíåéíûõ àëãåáðàè÷åñêèõ óðàâíåíèé ñ âåëè÷èíîé îïðåäåëèòåëÿ åå ìàòðèöû êîýôôèöèåíòîâ. Èç ñâîéñòâà 3 âèäíî, ÷òî ïðîèçâîëüíî ìåíÿÿ âåëè÷èíó ýòîãî îïðåäåëèòåëÿ (óìíîæàÿ ìàòðèöó êîýôôèöèåíòîâ íà ðàçëè÷íûå ÷èñëà), ìû íå ìåíÿåì ÷èñëî îáóñëîâëåííîñòè. Ïðèâåäåííûé· æå âûøå ïðèìåð ïîêàçûâàåò, ÷òî íå ìåíÿÿ ¸

1 0 = 1 ïðè ëþáîì N ), ìû ìîæåì ïîëóN 1 ÷èòü ñêîëü óãîäíî áîëüøîå ÷èñëî îáóñëîâëåííîñòè. Ýòîò ïðèìåð òàêæå ïîêàçûâàåò, ÷òî áîëüøîå ÷èñëî îáóñëîâëåííîñòè ìîæíî ïîëó÷èòü è ó ìàòðèöû ìàëîãî ðàçìåðà. âåëè÷èíó îïðåäåëèòåëÿ (det

Ñåðüåçíîå ïðåäóïðåæäåíèå. Ïîä÷åðêíåì, ÷òî ïîãðåøíîñòè èñõîäíûõ äàííûõ íå ìîãóò áûòü èçâåñòíû ïî îïðåäåëåíèþ. Îáû÷íî óäàåòñÿ ïîëó÷èòü ëèøü íåêîòîðóþ èõ îöåíêó (íàïðèìåð, îöåíêó ñâåðõó îòíîñèòåëüíîé ïîãðåøíîñòè δb = k∆bk/kbk ≤ ε). Cîîòâåòñòâåííî, è äëÿ ïîãðåøíîñòè ðåøåíèÿ ìîæíî ïîëó÷èòü ëèøü îöåíêó ñâåðõó (íàïðèìåð, δx = k∆xk/kxk ≤ cond(A) · ε). Ïîëó÷åíèå òî÷íîãî ðåçóëüòàòà ïðè "çàøóìëåííûõ" èñõîäíûõ äàííûõ íåâîçìîæíî. Ïîýòîìó òðàíñôîðìèðîâàííóþ ïîãðåøíîñòü ÷àñòî íàçûâàþò "íåóñòðàíèìîé".

13.4. Ôàêòîðèçàöèÿ ìàòðèö è ÷èñëî îáóñëîâëåííîñòè Êàê óæå óïîìèíàëîñü, ïðè ðåøåíèè çàäà÷ ëèíåéíîé àëãåáðû èñïîëüçóþòñÿ ðàçëîæåíèÿ ìàòðèö íà ìíîæèòåëè ñïåöèàëüíîãî âèäà.  ñâÿçè ñ ýòèì ðàññìîòðèì âîïðîñ î âëèÿíèè òàêîãî ðàçëîæåíèÿ íà òðàíñôîðìèðîâàííûå ïîãðåøíîñòè. Èòàê, ïóñòü ñèñòåìà (13.3.1) ðåøàåòñÿ ñ ïîìîùüþ ôàêòîðèçàöèè ìàòðèöû A:

A = A1 · A2 ,

ò.å. âìåñòî ñèñòåìû (13.3.1) ðåøàþòñÿ ïîñëåäîâàòåëüíî äâå ñèñòåìû: 354

A1 y = b,

A2 x = y.

Åñëè âåêòîð b èìååò ïîãðåøíîñòü ∆b, òî âåêòîð y áóäåò ïîëó÷åí ñ ïîãðåøíîñòüþ ∆y = A−1 1 · ∆b, à âåêòîð x  ñ ïîãðåøíîñòüþ −1 −1 −1 ∆x = A−1 · ∆b = A−1 ∆b. 2 · ∆y = A2 · A1 · ∆b = (A1 A2 )

Êàçàëîñü áû, ïîãðåøíîñòü ðåçóëüòàòà íå çàâèñèò îò ñïîñîáà ôàêòîðèçàöèè. Îäíàêî â íàøèõ âûêëàäêàõ ìû óïóñòèëè èç âèäó, ÷òî ïðè ðåøåíèè ïåðâîé ñèñòåìû ê òðàíñôîðìèðîâàííîé ïîãðåøíîñòè ïðèáàâèòf , âûçâàííàÿ íåòî÷íîñòüþ ìàøèííîé àðèôñÿ ïîãðåøíîñòü ìåòîäà ∆y ìåòèêè. Ïðè ðåøåíèè âòîðîé ñèñòåìû ýòà ïîãðåøíîñòü èãðàåò ðîëü ïîãðåøíîñòè â èñõîäíûõ äàííûõ è ïîðæäàåò äîïîëíèòåëüíóþ òðàíñôîðf ìèðîâàííóþ ïîãðåøíîñòü A−1 2 · ∆y . Ïîýòîìó áîëüøîå çíà÷åíèå èìåþò ÷èñëà îáóñëîâëåííîñòè ìàòðèö-ñîìíîæèòåëåé, è èõ ïðîèçâåäåíèå åñòåñòâåííî ñ÷èòàòü êðèòåðèåì êà÷åñòâà ôàêòîðèçàöèè. Ïî ñâîéñòâó 4 ÷èñëà îáóñëîâëåííîñòè

cond(A1 ) · cond(A2 ) ≥ cond(A1 A2 ) = cond(A), ò.å. íèêàêàÿ ôàêòîðèçàöèÿ íå ìîæåò óëó÷øèòü "ïëîõóþ" ìàòðèöó. Îäíàêî íåóäà÷íàÿ ôàêòîðèçàöèÿ ìîæåò "èñïîðòèòü" äàæå õîðîøî îáóñëîâëåííóþ ìàòðèöó. Ïðèìåð. Ïðîèçâåäåì LU -ðàçëîæåíèå óíèòàðíîé ìàòðèöû (åå ÷èñëî îáóñëîâëåííîñòè ðàâíî åäèíèöå)

·

¸ · ¸ · ¸ cos(ϕ) −sin(ϕ) 1 0 cos(ϕ) −sin(ϕ) ± A= = LU = · . sin(ϕ) cos(ϕ) tg(ϕ) 1 0 1 cos(ϕ)

Ïðè 0 < ϕ < π â ïðèìåðå èç ï.13.3 N = tg(ϕ). Òî2 ïîëîæèì ± ãäà cond(L) ±> 1 + tg 2 (ϕ) = 1 cos2 (ϕ). Àíàëîãè÷íûå âû÷èñëåíèÿ äàþò cond(U ) > 1 cos2 (ϕ). Ïðè çíà÷åíèÿõ ϕ, áëèçêèõ ê π 2 , ïîëó÷àþòñÿ î÷åíü ïëîõî îáóñëîâëåííûå ìàòðèöû. Ýòîò ïðèìåð ïîêàçûâàåò, â ÷àñòíîñòè, ÷òî çà èñêëþ÷åíèåì ñïåöèàëüíûõ ñëó÷àåâ íå ñëåäóåò ñòðîèòü LU -ðàçëîæåíèå áåç âûáîðà âåäóùåãî ýëåìåíòà. Õîðîøèìè ñâîéñòâàìè îáëàäàåò QR-ðàçëîæåíèå. Èç ñâîéñòâà 6 ÷èñëà îáóñëîâëåííîñòè èìååì

cond(Q) = 1;

cond(R) = cond(Q∗ A) = cond(A).

Èòàê, cond(Q) · cond(R) = cond(A). 355

Òàê æå äîêàçûâàåòñÿ, ÷òî â ñèíãóëÿðíîì ðàçëîæåíèè A = U ΣV ∗ èìååò ìåñòî ðàâåíñòâî

cond(U ) · cond(Σ) · cond(V ∗ ) = cond(A). Ïðèâåäåì åùå ïðèìåð, êîãäà "õîðîøåé" îêàçûâàåòñÿ ìîäèôèêàöèÿ LU -ðàçëîæåíèÿ. Ïóñòü A  ñàìîñîïðÿæåííàÿ ïîëîæèòåëüíî îïðåäåëåííàÿ ìàòðèöà. Òîãäà ìîæíî ïîêàçàòü, ÷òî ïðîöåññ LDU -ðàçëîæåíèÿ ìîæíî âåñòè áåç ïåðåñòàíîâîê ñòðîê è ñòîëáöîâ, ïðè÷åì ýòî ðàçëîæåíèå èìååò âèä A = U ∗ DU . Åñëè x 6= θ, òî

hDx, xi = h(U ∗ )−1 AU −1 x, xi = hA · (U −1 x), U −1 xi > 0, è, â ÷àñòíîñòè, djj = hDe(j) , e(j) i > 0, Îáîçíà÷èâ D1/2 = diag

£√

j = 1, . . . , n. √ ¤ d11 , . . . , dnn , ïîëó÷èì

A = U ∗ D1/2 D1/2 U = H ∗ H,

(13.4.1)

ãäå H = D1/2 U  âåðõíÿÿ òðåóãîëüíàÿ ìàòðèöà. Èìååì

σmax (H) cond(H) = = σmin (H)

µ

λmax (A) λmin (A)

¶1/2

= (cond(A))1/2 .

Ôîðìóëà (13.4.1) íàçûâàåòñÿ ðàçëîæåíèåì Õîëåöêîãî68 ïîëîæèòåëüíî îïðåäåëåííîé ìàòðèöû, à îñíîâàííûé íà íåé ìåòîä ðåøåíèÿ ëèíåéíûõ ñèñòåì  ìåòîäîì Õîëåöêîãî èëè ìåòîäîì êâàäðàòíîãî êîðíÿ.

68 Àíäðå-Ëóè

ÕÎËÅÖÊÈÉ (A.-L. Cholesky, 1875-1918)  ôðàíöóçñêèé âîåííûé ãåîäåçèñò. Èçîáðåòåííûé èì àëãîðèòì øèðîêî ïðèìåíÿëñÿ ïðè ðåøåíèè çàäà÷ ãåîäåçèè, íî îïóáëèêîâàí áûë ëèøü ïîñëå ñìåðòè àâòîðà, â 1924 ã. 356

Ãëàâà 14. ÈÒÅÐÀÖÈÎÍÍÛÅ ÌÅÒÎÄÛ ÐÅØÅÍÈß ÑÈÑÒÅÌ ËÈÍÅÉÍÛÕ ÀËÃÅÁÐÀÈ×ÅÑÊÈÕ ÓÐÀÂÍÅÍÈÉ 14.1. Ìåòîä ïðîñòîé èòåðàöèè Âñå äî ñèõ ïîð ðàññìàòðèâàâøèåñÿ íàìè ìåòîäû ðåøåíèÿ ñèñòåì îòíîñèëèñü ê êëàññó ïðÿìûõ ìåòîäîâ: îíè ïðèâîäèëè ê ðåøåíèþ çà êîíå÷íîå ÷èñëî øàãîâ. Çäåñü ìû ðàññìîòðèì îäèí èç èòåðàöèîííûõ ìåòîäîâ69  ìåòîä ïðîñòîé èòåðàöèè. Ïóñòü ñèñòåìà n ëèíåéíûõ óðàâíåíèé ñ n ïåðåìåííûìè çàïèñàíà â âèäå

x = Ax + b.

(14.1.1)

Íà÷èíàÿ ñ ïðîèçâîëüíîãî âåêòîðà x(0) , ïîñòðîèì ïîñëåäîâàòåëüíîñòü

x(1) = Ax(0) + b, . . . , x(k) = Ax(k−1) + b, . . .

(14.1.2)

Òåîðåìà. Åñëè kAk = q < 1, òî ñèñòåìà (14.1.1) èìååò åäèíñòâåííîå ðåøåíèå, ïðè÷åì äëÿ ëþáîãî x(0) ïîñëåäîâàòåëüíîñòü (14.1.2) ñõîäèòñÿ ê ýòîìó ðåøåíèþ. Äîêàçàòåëüñòâî. Ðàññìîòðèì îäíîðîäíóþ ñèñòåìó (I−A)x = θ. Åñëè x  åå ðåøåíèå, òî

x = Ax

=⇒

kxk = kAxk ≤ qkxk

=⇒

x = θ.

Ïîýòîìó det(I − A) 6= 0, è ñèñòåìà (14.1.1) èìååò åäèíñòâåííîå ðåøåíèå. Îáîçíà÷èì åãî x e è âû÷òåì èç (14.1.2) ðàâåíñòâî x e = Ae x + b. Ïîëó÷èì

x(k) − x e = Ax(k−1) − Ae x, îòêóäà

kx(k) − x ek = kA(x(k) − x e)k ≤ q · kx(k−1) − x ek,

(14.1.3)

ò.å.

kx(k) − x ek ≤ q k · kx(0) − x ek → 0 ïðè k → +∞.

¥

Òåîðåìà äîêàçàíà è, êðîìå òîãî, óñòàíîâëåíî, ÷òî ïîñëåäîâàòåëüíîñòü (14.1.2) ñõîäèòñÿ ê ðåøåíèþ íå ìåäëåííåå, ÷åì ãåîìåòðè÷åñêàÿ ïðîãðåññèÿ ñî çíàìåíàòåëåì q . 69 Ðàíåå

ìû óæå ðàññìîòðåëè îäèí èòåðàöèîííûé ìåòîä  ìåòîä ßêîáè ðåøåíèÿ ïîëíîé ïðîáëåìû ñîáñòâåííûõ çíà÷åíèé (ñì. ï.8.2). 357

Èç (14.1.3) è íåðàâåíñòâà òðåóãîëüíèêà èìååì

kx(k−1) − x ek ≤ kx(k−1) − x(k) k + kx(k) − x ek ≤ ≤ kx(k−1) − x(k) k + q · kx(k−1) − x ek, îòêóäà

kx(k−1) − x(k) k . kx −x ek ≤ 1−q Òàêèì îáðàçîì, ïðåêðàòèâ èòåðàöèè, êîãäà íîðìà ðàçíîñòè äâóõ ñîñåäíèõ ïðèáëèæåíèé ñòàíåò ìåíüøå, ÷åì ε(1 − q), ìû ïîëó÷èì ðåøåíèå ñ ïîãðåøíîñòüþ íå áîëüøåé, ÷åì ε (ïî íîðìå!). (k−1)

Çàìå÷àíèå. Ìîæíî ïîêàçàòü, ÷òî îäíîçíà÷íàÿ ðàçðåøèìîñòü ñèñòåìû (14.1.1) è ñõîäèìîñòü ïðîöåññà ïðîñòûõ èòåðàöèé ê ðåøåíèþ îáåñïå÷èâàåòñÿ, åñëè ìîäóëè âñåõ ñîáñòâåííûõ ÷èñåë ìàòðèöû A ìåíüøå åäèíèöû. Ïðè ýòîì, ïðàâäà, íå ðàáîòàåò îöåíêà (14.1.3). Ñóùåñòâóþò ðàçëè÷íûå ìåòîäû ñâåäåíèÿ îáùåé ñèñòåìû ëèíåéíûõ óðàâíåíèé ñ êâàäðàòíîé ìàòðèöåé ê âèäó (14.1.1). Ïðèìåð. Ïóñòü B = B ∗  ïîëîæèòåëüíî îïðåäåëåííàÿ ìàòðèöà. Ñèñòåìó Bx = b ïðåîáðàçóåì òàê:

Bx = b

⇐⇒

x = (I − αB)x + αb.

Çäåñü α > 0  ïîêà ÷òî ïðîèçâîëüíîå ÷èñëî. Îáîçíà÷èì A = I − αB. Òîãäà λ(A) = 1 − αλ(B) < 1 (ïîñêîëüêó B ïîëîæèòåëüíî îïðåäåëåíà). Âèäíî, ÷òî ñ ðîñòîì α ñîáñòâåííûå ÷èñëà ìàòðèöû A "ïîëçóò" ïî ÷èñëîâîé îñè âëåâî îò åäèíèöû. Ïîñêîëüêó A ýðìèòîâà,

kAk = σmax (A) = max (|λmax (A)|, |λmin (A)|) . Íàèìåíüøåãî çíà÷åíèÿ kAk äîñòèãàåò, êîãäà λmin (A) = −λmax (A), ò.å. ïðè

1 − αλmax (B) = − (1 − αλmin (B)) . 2 Ýòî äàåò α = , è λmax (B) + λmin (B) kAk = λmax (A) = 1 −

2λmin (B) 2 =1− . (14.1.4) λmax (B) + λmin (B) 1 + cond(B)

 ïîñëåäíåì ðàâåíñòâå ó÷òåíî, ÷òî äëÿ ïîëîæèòåëüíî îïðåäåëåííîé ìàòðèöû

cond(B) =

σmax (B) λmax (B) = . σmin (B) λmin (B) 358

Àíàëèç (14.1.4) ïîêàçûâàåò, ÷òî ïðè áîëüøîì ÷èñëå îáóñëîâëåííîñòè ìàòðèöû êîýôôèöèåíòîâ ðàññìàòðèâàåìîé ñèñòåìû çíàìåíàòåëü ãåîìåòðè÷åñêîé ïðîãðåññèè â (14.1.3) áëèçîê ê åäèíèöå, ò.å. èòåðàöèè ñõîäÿòñÿ ìåäëåííî, à çà ñ÷åò âû÷èñëèòåëüíûõ ïîãðåøíîñòåé ìîãóò è ðàñõîäèòüñÿ. Íèêàêèìè ìåòîäàìè íåëüçÿ õîðîøî ðåøèòü ïëîõóþ ñèñòåìó! Íà ïðàêòèêå ñèòóàöèÿ îñëîæíÿåòñÿ íåçíàíèåì ñîáñòâåííûõ ÷èñåë ìàòðèöû êîýôôèöèåíòîâ ñèñòåìû. Âìåñòî íèõ îáû÷íî èñïîëüçóþòñÿ íåêîòîðûå èõ îöåíêè. Ïîäðîáíîå ðàññìîòðåíèå ýòîé ïðîáëåìû âûõîäèò çà ðàìêè íàøåãî êóðñà, êàê è ðàññìîòðåíèå äðóãèõ, áîëåå ñëîæíûõ èòåðàöèîííûõ ìåòîäîâ.

14.2. Èòåðàöèîííîå óòî÷íåíèå ðåøåíèé ñèñòåìû ëèíåéíûõ àëãåáðàè÷åñêèõ óðàâíåíèé  ãëàâå 1 áûë ïîäðîáíî ðàññìîòðåí îäèí èç ïðÿìûõ ìåòîäîâ ðåøåíèÿ ñèñòåìû Ax = b  ìåòîä ÃàóññàÉîðäàíà. Ïðè ýòîì ïðåäïîëàãàëîñü, ÷òî àðèôìåòè÷åñêèå îïåðàöèè âûïîëíÿþòñÿ òî÷íî.  ðåàëüíîì êîìïüþòåðå âñëåäñòâèå êîíå÷íîñòè ðàçðÿäíîé ñåòêè ýòî óñëîâèå íàðóøàåòñÿ. Ïîýòîìó íàéäåííûé ëþáûì ïðÿìûì ìåòîäîì âåêòîð x(0) íå áóäåò, âîîáùå ãîâîðÿ, ðåøåíèåì ñèñòåìû (Ax(0) 6= b), è íåâÿçêà îêàæåòñÿ îòëè÷íîé îò íóëÿ:

d(0) = b − Ax(0) 6= θ.

Ïîïðîáóåì ïîäîáðàòü òàêîé âåêòîð ∆x ("äîáàâêó" ê x(0) ), ÷òîáû âûïîëíÿëîñü ðàâåíñòâî

A(x(0) + ∆x) = b. Èñêîìûé âåêòîð ∆x(0) íàéäåì, ðåøàÿ ñèñòåìó

A∆x = b − Ax(0) = d(0) ñ òîé æå ìàòðèöåé A, òåì æå ïðÿìûì ìåòîäîì. Ïîíÿòíî, ÷òî èç-çà íåòî÷íîñòè ìàøèííîé àðèôìåòèêè ïîëó÷åííûé âåêòîð x(1) = x(0) + ∆x(0) òàêæå íå áóäåò, âîîáùå ãîâîðÿ, ðåøåíèåì ñèñòåìû (Ax(1) 6= b). Íàéäåì íîâóþ íåâÿçêó, è ò.ä. 359

Ìû ïîñòðîèëè èòåðàöèîííûé ïðîöåññ

d(k) = b − Ax(k) ,

x(k+1) = x(k) + ∆x(k) .

Çäåñü ∆x(k)  ïîëó÷åííîå ïðÿìûì ìåòîäîì "ðåøåíèå" ñèñòåìû

A∆x(k) = d(k) .

Çàìå÷àíèÿ. 1. Âû÷èñëåíèå íåâÿçîê äîëæíî âûïîëíÿòüñÿ â àðèôìåòèêå ïîâûøåííîé òî÷íîñòè, èíà÷å èòåðàöèè íå îáåñïå÷àò óòî÷íåíèÿ. 2. Åñëè ïðÿìîé ìåòîä îñíîâàí íà êàêîé-íèáóäü ôàêòîðèçàöèè ìàòðèöû êîýôôèöèåíòîâ ñèñòåìû, òî ýòó ôàêòîðèçàöèþ  ñàìóþ òðóäîåìêóþ ÷àñòü ðàáîòû  ñëåäóåò âûïîëíèòü îäèí ðàç, ïîëó÷åííûå ñîìíîæèòåëè õðàíèòü è èñïîëüçîâàòü íà êàæäîì øàãå èòåðàöèè. 3. Ïîäðîáíîå èññëåäîâàíèå îïèñàííîãî ïðîöåññà óòî÷íåíèÿ ðåøåíèÿ ïîêàçàëî, ÷òî äëÿ íå î÷åíü ïëîõî îáóñëîâëåííûõ ñèñòåì îí ñõîäèòñÿ ÷ðåçâû÷àéíî áûñòðî: òðè-÷åòûðå èòåðàöèè îáåñïå÷èâàþò ïîëó÷åíèå ðåøåíèÿ ñ ìàøèííîé òî÷íîñòüþ. Îòñóòñòâèå æå ñõîäèìîñòè ñâèäåòåëüñòâóåò îá î÷åíü áîëüøîì ÷èñëå îáóñëîâëåííîñòè, ÷òî îáû÷íî îçíà÷àåò, ÷òî ýòó ñèñòåìó ðåøàòü íå ñëåäóåò. Ìû íàñòîÿòåëüíî ðåêîìåíäóåì èñïîëüçîâàòü äëÿ ðåøåíèÿ ñèñòåì ëèíåéíûõ óðàâíåíèé òîëüêî áèáëèîòå÷íûå ïðîãðàììû ñ èòåðàöèîííûì óòî÷íåíèåì.

360