Ìèíèñòåðñòâî îáðàçîâàíèÿ ÐÔ
ÐÎÑÒÎÂÑÊÈÉ ÃÎÑÓÄÀÐÑÒÂÅÍÍÛÉ ÓÍÈÂÅÐÑÈÒÅÒ
Ò.È. Êîðøèêîâà, Ë.È. Êàëèíè÷åíêî, È.Ñ. Øàáàðøèíà
Ô...
9 downloads
195 Views
320KB Size
Report
This content was uploaded by our users and we assume good faith they have the permission to share this book. If you own the copyright to this book and it is wrongfully on our website, we offer a simple DMCA procedure to remove your content from our site. Start by pressing the button below!
Report copyright / DMCA form
Ìèíèñòåðñòâî îáðàçîâàíèÿ ÐÔ
ÐÎÑÒÎÂÑÊÈÉ ÃÎÑÓÄÀÐÑÒÂÅÍÍÛÉ ÓÍÈÂÅÐÑÈÒÅÒ
Ò.È. Êîðøèêîâà, Ë.È. Êàëèíè÷åíêî, È.Ñ. Øàáàðøèíà
ÔÓÍÊÖÈÎÍÀËÜÍÛÅ ÐßÄÛ Ìåòîäè÷åñêèå óêàçàíèÿ ê êóðñó ëåêöèé ïî ìàòåìàòè÷åñêîìó àíàëèçó äëÿ ñòóäåíòîâ 2 êóðñà ìåõàíèêî-ìàòåìàòè÷åñêîãî ôàêóëüòåòà ÐÃÓ
Ðîñòîâ-íà-Äîíó 2003 ã.
Äàííûå ìåòîäè÷åñêèå óêàçàíèÿ ïðåäíàçíà÷åíû äëÿ ñòóäåíòîâ 2-ãî êóðñà îòäåëåíèÿ Ìàòåìàòèêà ìåõàíèêîìàòåìàòè÷åñêîãî ôàêóëüòåòà ÐÃÓ, ñîñòàâëåíû ñ ó÷åòîì ëåêöèé ïî ìàòåìàòè÷åñêîìó àíàëèçó. Ìåòîäè÷åñêèå óêàçàíèÿ ïå÷àòàþòñÿ â ñîîòâåòñòâèè ñ ðåøåíèåì êàôåäðû ìàòåìàòè÷åñêîãî àíàëèçà ÐÃÓ, ïðîòîêîë îò 2003 ã.
1 Ïîòî÷å÷íàÿ è ðàâíîìåðíàÿ ñõîäèìîñòè ôóíêöèîíàëüíîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè Ïóñòü X íåïóñòîå ÷èñëîâîå ìíîæåñòâî, D(X) ñîâîêóïíîñòü âñåõ âåùåñòâåííîçíà÷íûõ ôóíêöèé, îïðåäåë¼ííûõ íà ìíîæåñòâå X . Îòîáðàæåíèå F : N −→ D(X) íàçûâàþò ôóíêöèîíàëüíîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòüþ, îïðåäåë¼ííîé èëè çàäàííîé íà X. Îáðàç F (n) ÷èñëà n ïðè ýòîì îòîáðàæåíèè îáîçíà÷èì ÷åðåç fn , à âñþ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ÷åðåç {fn (x)}. Êàæäûé ýëåìåíò fn ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ÿâëÿåòñÿ ôóíêöèåé, îïðåäåë¼ííîé íà ìíîæåñòâå
X. Ôóíêöèîíàëüíàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {fn (x)} ñîïîñòàâëÿåò êàæäîìó x0 ∈ X ÷èñëîâóþ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {fn (x0 )}. Îïðåäåëåíèå 1.1. Åñëè x0 ∈ X è ÷èñëîâàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {fn (x0 )} ñõîäèòñÿ, òî x0 íàçûâàþò òî÷êîé ñõîäèìîñòè ôóíêöèîíàëüíîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè {fn (x)} è ãîâîðÿò, ÷òî ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {fn (x)} ñõîäèòñÿ â òî÷êå x0 . f Ìíîæåñòâî X ⊂ X âñåõ òî÷åê ñõîäèìîñòè ôóíêöèîíàëüíîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè íàçûâàþò îáëàñòüþ å¼ ñõîäèìîñòè è ãîâîðÿò, ÷òî ôóíêöèîíàëüíàÿ ïîñëåäîâàf òåëüíîñòü ïîòî÷å÷íî ñõîäèòñÿ íà ìíîæåñòâå X .
Îïðåäåëåíèå 1.2. Ïóñòü ôóíêöèîíàëüíàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {fn (x)} ïî-
f f òî÷å÷íî ñõîäèòñÿ íà ìíîæåñòâå X . Ôóíêöèþ f : x ∈ X → n→∞ lim fn (x) íàçûâàþò ïðåäåëüíîé ôóíêöèåé äàííîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè.
Òîò ôàêò, ÷òî ôóíêöèîíàëüíàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {fn (x)} ïîòî÷å÷íî ñõîf äèòñÿ ê ôóíêöèè f íà ìíîæåñòâå X çàïèñûâàþò ñèìâîëè÷åñêè ñëåäóþùèì îáX ðàçîì: fn (x) −→ f (x) èëè f (x) = n−→∞ lim fn (x), ∀x ∈ X . Òàêèì îáðàçîì, ôóíêöèÿ f ÿâëÿåòñÿ ïðåäåëüíîé äëÿ ôóíêöèîíàëüíîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè {fn (x)} íà ìíîæåñòâå X (èëè èíà÷å : ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {fn (x)} f ïîòî÷å÷íî ñõîäèòñÿ ê f (x) íà ìíîæåñòâå X ), åñëè äëÿ ëþáîãî ε > 0 è êàæäîãî f x ∈ X íàéä¼òñÿ òàêîé íîìåð N = N (ε, x), ÷òî äëÿ âñåõ n > N âûïîëíÿåòñÿ íåðàâåíñòâî
|fn (x) − f (x)| < ε.
(1.1)
Î÷åâèäíî, ÷òî èç êðèòåðèÿ Êîøè ñõîäèìîñòè ÷èñëîâîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè âûòåêàåò êðèòåðèé ïîòî÷å÷íîé ñõîäèìîñòè ôóíêöèîíàëüíîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè.
Òåîðåìà 1.1.
Äëÿ òîãî ÷òîáû ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {fn (x)} ïîòî÷å÷íî f ñõîäèëàñü íà ìíîæåñòâå X, íåîáõîäèìî è äîñòàòî÷íî, ÷òîáû äëÿ ëþáîãî f ε > 0 è êàæäîãî x ∈ X íàø¼ëñÿ íîìåð N = N (ε, x) òàêîé, ÷òî äëÿ âñåõ n > N âûïîëíÿåòñÿ íåðàâåíñòâî |fn (x) − fm (x)| < ε. 3
Ïðèìåð 1.1. Ôóíêöèîíàëüíàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {fn (x)}: fn (x) = xn ,
n ∈ N, îïðåäåëåíà íà R. Òàê êàê n
lim x =
n−→∞
åñëè |x| < 1, åñëè x = 1, åñëè |x| > 1,
0, 1, ∞,
è íå ñóùåñòâóåò ïðåäåë â òî÷êå x0 = −1, òî ïðîìåæóòîê (−1; 1] ÿâëÿåòñÿ îáëàñòüþ ñõîäèìîñòè äàííîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè, à ôóíêöèÿ
f (x) =
0, 1,
åñëè |x| < 1, åñëè x = 1
f ÿâëÿåòñÿ å¼ ïðåäåëüíîé íà ìíîæåñòâå X = (−1; 1]. Îòìåòèì, ÷òî ôóíêöèÿ f òåðïèò ðàçðûâ â òî÷êå x = 1, õîòÿ âñå ÷ëåíû äàííîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè íåïðåðûâíû â íåé.
Îïðåäåëåíèå 1.3. Ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {fn (x)}, îïðåäåëåííàÿ íà X , íàçû-
âàåòñÿ ðàâíîìåðíî ñõîäÿùåéñÿ ê ôóíêöèè f íà ìíîæåñòâå X0 ⊂ X , åñëè äëÿ ëþáîãî ε > 0 íàéä¼òñÿ íîìåð N = N (ε) òàêîé, ÷òî äëÿ âñåõ n > N è âñåõ x ∈ X0 ñïðàâåäëèâî íåðàâåíñòâî |fn (x) − f (x)| < ε. Òîò ôàêò, ÷òî ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {fn (x)} ðàâíîìåðíî ñõîäèòñÿ ê ôóíêöèè X
f (x) íà X , ñèìâîëè÷åñêè çàïèñûâàþò: fn (x) ⇒ f (x). Çàìå÷àíèÿ.
1.  îïðåäåëåíèè ðàâíîìåðíîé ñõîäèìîñòè ôóíêöèîíàëüíîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè â îòëè÷èå îò ïîòî÷å÷íîé ñõîäèìîñòè íîìåð N çàâèñèò òîëüêî îò ε è íå çàâèñèò îò òî÷åê x ìíîæåñòâà X0 . 2. Èç îïðåäåëåíèÿ 1.3 íåïîñðåäñòâåííî âûòåêàåò, ÷òî åñëè ôóíêöèîíàëüíàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {fn (x)} ðàâíîìåðíî ñõîäèòñÿ ê ôóíêöèè f íà ìíîæåñòâå X0 , òî îíà ïîòî÷å÷íî ñõîäèòñÿ ê f íà X0 . Ñëåäîâàòåëüíî, ðàâíîìåðíàÿ ñõîäèìîñòü ÿâëÿåòñÿ áîëåå ñèëüíîé ñõîäèìîñòüþ ïî ñðàâíåíèþ ñ ïîòî÷å÷f íîé è X0 ⊂ X . 3. Åñëè êàæäàÿ ôóíêöèÿ ôóíêöèîíàëüíîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè {fn (x)} ÿâëÿåòñÿ ïîñòîÿííîé íà ìíîæåñòâå X , ò.å. fn (x) = cn , ∀x ∈ X , ∀n ∈ N, è ÷èñëîX
âàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {cn } ñõîäèòñÿ, ïðè÷¼ì n→∞ lim cn = c, òî fn (x) ⇒ c.
f 4. Íà êàæäîì êîíå÷íîì ïîäìíîæåñòâå ìíîæåñòâà X cõîäèìîñòè ôóíêöèîíàëüíîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ýòà ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ñõîäèòñÿ ðàâíîìåðíî.
4
5. Åñëè ôóíêöèîíàëüíàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ðàâíîìåðíî ñõîäèòñÿ íà ìíîæåS f ñòâàõ X1 è X2 , òî îíà ðàâíîìåðíî ñõîäèòñÿ íà ìíîæåñòâå X = X1 X2 , è íàîáîðîò. Ãåîìåòðè÷åñêè ðàâíîìåðíàÿ ñõîäèìîñòü ôóíêöèîíàëüíîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè {fn (x)} ê ôóíêöèè f íà ìíîæåñòâå X0 îçíà÷àåò, ÷òî äëÿ ëþáîé ε-ïîëîñû
Gε = {(x, y) ∈ R2 | f (x) − ε < y < f (x) + ε, x ∈ X}
íàéä¼òñÿ òàêîé íîìåð N = N (ε), ÷òî ãðàôèêè ôóíêöèé y = fn (x) ñ íîìåðàìè n > N ïðèíàäëåæàò ïîëîñå Gε (ñì. ðèñ.1).
(ðèñ.1)
Ïðèìåð 1.2. Ïîêàæåì, ÷òî ôóíêöèîíàëüíàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü fn (x) =
= xn ñõîäèòñÿ ðàâíîìåðíî ê ïðåäåëüíîé ôóíêöèè f (x) ≡ 0 íà ëþáîì îòðåçêå [−q; q], åñëè 0 < q < 1, è íåðàâíîìåðíî ñõîäèòñÿ íà ïðîìåæóòêå [0, 1]. Â ñàìîì äåëå, äëÿ q ∈ (0; 1) ðàññìàòðèâàåìàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ñõîäèòñÿ ê ôóíêöèè f (x) ≡ 0 (ñì. ïðèìåð 1.1) è |fn (x) − f (x)| = |xn | ≤ q n , ∀x ∈ [−q; q], ∀n > N.
(1.2)
Ïîñêîëüêó lim q n = 0, òî äëÿ ëþáîãî ε > 0 ñóùåñòâóåò íîìåð N = N (ε) òàêîé, ÷òî q n < ε, ∀n > N . Â ñèëó íåðàâåíñòâà (1.2) èìååì:
|fn (x) − f (x)| < ε, ∀n > N, ∀x ∈ [−q; q]. Ñëåäîâàòåëüíî, [−q;q]
fn (x) ⇒ 0, åñëè q ∈ (0; 1). 5
Íà îòðåçêå [0, 1] ïðåäåëüíàÿ ôóíêöèÿ ðàññìàòðèâàåìîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ðàâíà 0, åñëè x ∈ [0; 1), f (x) = . 1, åñëè x = 1
(ðèñ.2) Äëÿ äîêàçàòåëüñòâà íåðàâíîìåðíîé ñõîäèìîñòè ïîñëåäîâàòåëüíîñòè {xn } ê ôóíêöèè f íà îòðåçêå [0; 1] ñëåäóåò íàéòè òàêîå ε0 > 0, ÷òî äëÿ ëþáîãî N ∈ N ñóùåñòâóåò íîìåð n > N è òî÷êà xn ∈ [0; 1], äëÿ êîòîðûõ
|fn (xn ) − f (xn )| ≥ ε0 . Çàìåòèì, ÷òî òî÷êè
1 ∈ [0; 1], ∀n ∈ N, n ! 1 n |fn (xn ) − f (xn )| = 1 − . n xn = 1 −
Ïîñêîëüêó lim 1 −
1 n n
= 1e , òî ñóùåñòâóåò òàêîå n0 , ÷òî äëÿ âñåõ n > n0 1 1− n
Cëåäîâàòåëüíî, åñëè ε0 = = (1 − n1 ) ∈ [0; 1] è
1 2e ,
!n
>
1 . 2e
òî ∀N > n0 íàéä¼òñÿ òàêîå n > N , ÷òî xn =
1 = ε0 . 2e Ïîñëåäíåå îçíà÷àåò, ÷òî äàííàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü íåðàâíîìåðíî ñõîäèòñÿ íà [0; 1]. Íåðàâíîìåðíóþ ñõîäèìîñòü ïîñëåäîâàòåëüíîñòè {xn } ê ôóíêöèè f (x) íà |fn (xn ) − f (xn )| >
6
[0;1]
îòðåçêå [0; 1] ìîæíî äîêàçàòü èíà÷å. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî x ⇒ f (x). Òîãäà äëÿ ÷èñëà ε = 31 ñóùåñòâóåò íîìåð N , òàêîé, ÷òî ïðè n > N äëÿ âñåõ x ∈ [0; 1) 1 âûïîëíÿåòñÿ íåðàâåíñòâî |xn − 0| = xn < 13 . Îäíàêî äëÿ xn = √ ∈ [0; 1), n ∈ N n 2 èìååì: n
1 1 > , n ∈ N. 2 3 Ïîëó÷åííîå ïðîòèâîðå÷èå äîêàçûâàåò, ÷òî ïðåäïîëîæåíèå íåâåðíî è ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {xn } íåðàâíîìåðío ñõîäèòñÿ ê ôóíêöèè f íà îòðåçêå [0; 1]. (xn )n =
Çàìå÷àíèÿ. 1. Èç ïðèâåä¼ííûõ äîêàçàòåëüñòâ âòîðîé ÷àñòè ïðèìåðà 1.2 ñëåäóåò, ÷òî n
[0;1)
x 6⇒ f (x) = 0. 2. Íåðàâíîìåðíaÿ ñõîäèìîñòü ïîñëåäîâàòåëüíîñòè {xn } ê ôóíêöèè f (x) íà [0; 1] èëè ïðîìåæóòêå [0; 1) ïîíÿòíà è èç ðèñóíêà 2. Äåéñòâèòåëüíî, äëÿ ëþáîãî ε ∈ (0; 1) íà [0, 1) ãðàôèêè ôóíêöèé y = xn íå âõîäÿò öåëèêîì â ïîëîñó ìåæäó ïðÿìûìè y = 0 è y = ε.
2 Àðèôìåòè÷åñêèå îïåðàöèè ñ ðàâíîìåðíî ñõîäÿùèìèñÿ ôóíêöèîíàëüíûìè ïîñëåäîâàòåëüíîñòÿìè Òåîðåìà 2.1.
Åñëè ôóíêöèîíàëüíûå ïîñëåäîâàòåëüíîñòè {fn (x)} è {φn (x)} ðàâíîìåðíî ñõîäÿòñÿ íà ìíîæåñòâå X , òî èõ ñóììà {fn (x) + φn (x)} ðàâíîìåðíî ñõîäèòñÿ íà ìíîæåñòâå X . X
X
/ Ôèêñèðóåì ε > 0. Òàê êàê fn (x) ⇒ f (x) è φn (x) ⇒ φ(x), òî ïî îïðåäåëåíèþ 1.3 ∃N = N (ε) ∈ N : ∀n > N, ∀x ∈ X ε |fn (x) − f (x)| < , 2
|φn (x) − φ(x)| <
ε 2
Ïîýòîìó ∀n > N, ∀x ∈ X
|(fn (x) + φn (x)) − (f (x) + φ(x))| ≤ |fn (x) − f (x)| + |φn (x) − φ(x)| < ε. .
Òåîðåìà 2.2. Åñëè ÷èñëîâàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {αn } ñõîäèòñÿ, à ôóíê-
öèîíàëüíàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {fn (x)} ñõîäèòñÿ ðàâíîìåðíî íà ìíîæåñòâå X ê îãðàíè÷åííîé íà ìíîæåñòâå X ôóíêöèè f , òî ïðîèçâåäåíèå ýòèõ ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé {αn · fn (x)} ðàâíîìåðíî ñõîäèòñÿ íà ìíîæåñòâå X . 7
/ Áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî lim αn = α. ßñíî, ÷òî ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {αn · fn (x)} ïîòî÷å÷íî ñõîäèòñÿ íà ìíîæåñòâå X ê ôóíêöèè α · f (x) è |αn · fn (x) − α · f (x)| ≤ |αn ||fn (x) − f (x)| + |f (x)||αn − α|
(2.1)
Èç îãðàíè÷åííîñòè ïîñëåäîâàòåëüíîñòè {αn } è ôóíêöèè f íà ìíîæåñòâå X ñëåäóåò, ÷òî íàéä¼òñÿ M > 0 òàêîå, ÷òî
|αn | ≤ M, ∀n ∈ N, è
|f (x)| ≤ M, ∀x ∈ X. X
Äàëåå, ïîñêîëüêó αn → α è fn (x) ⇒ f (x), òî íàéä¼òñÿ íîìåð N = N (ε) òàêîé, ÷òî
ε , ∀n > N 2M ε |fn (x) − f (x)| < , ∀n > N, ∀x ∈ X. 2M Ñëåäîâàòåëüíî, ∀n > N è ∀x ∈ X. |αn − α| <
|αn fn (x) − α · f (x)| ≤ |αn | · |fn (x) − f (x)| + |f (x)| · |αn − α| ≤ M ÷òî çàâåðøàåò äîêàçàòåëüñòâî.
ε ε +M = ε, 2M 2M .
Çàìå÷àíèå. Ìîæíî äîêàçàòü, ÷òî åñëè ôóíêöèîíàëüíàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {fn (x)} ðàâíîìåðíî ñõîäèòñÿ íà ìíîæåñòâå X , òî äëÿ ëþáîãî ÷èñëà α ôóíêöèîíàëüíàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {αfn (x)} ðàâíîìåðíî ñõîäèòñÿ íà ìíîæåñòâå X . Ïðåäëàãàåì ÷èòàòåëþ äîêàçàòü ýòî óòâåðæäåíèå.
3 Êðèòåðèé ðàâíîìåðíîé ñõîäèìîñòè ôóíêöèîíàëüíîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè Òåîðåìà 3.1. Ïóñòü ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {fn (x)} ñõîäèòñÿ ïîòî÷å÷íî ê
ôóíêöèè f íà ìíîæåñòâå X . Äëÿ òîãî ÷òîáû {fn (x)} ñõîäèëàñü ê f (x) ðàâíîìåðíî íà ìíîæåñòâå X , íåîáõîäèìî è äîñòàòî÷íî, ÷òîáû ÷èñëîâàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {αn } :
αn = sup |fn (x) − f (x)|, n ∈ N, x∈X
áûëà áåñêîíå÷íî ìàëîé. 8
/ Íåîáõîäèìîñòü. Ïóñòü ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {fn (x)} ðàâíîìåðíî ñõîäèòñÿ ê ôóíêöèè f íà ìíîæåñòâå X . Òîãäà, ñîãëàñíî îïðåäåëåíèþ 1.3, äëÿ ëþáîãî ε > 0 ñóùåñòâóåò íîìåð N = N (ε) òàêîé, ÷òî ∀n > N ∀x ∈ X ε |fn (x) − f (x)| < . 2 Ïîýòîìó ε sup |fn (x) − f (x)| ≤ < ε, ∀n > N, 2 x∈X ò.å. ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {αn } ÿâëÿåòñÿ áåñêîíå÷íî ìàëîé. Çàìåòèì, ÷òî äëÿ íåêîòîðûõ íîìåðîâ n âåëè÷èíà αn ìîæåò áûòü ðàâíà +∞, íî, íà÷èíàÿ ñ íåêîòîðîãî íîìåðà, αn ∈ R. Äîñòàòî÷íîñòü. Ïî óñëîâèþ lim αn = 0, ïîýòîìó äëÿ ëþáîãî ε > 0 íàéä¼òñÿ íîìåð N = N (ε) òàêîé, ÷òî αn < ε, ∀n > N , ò.å.
sup |fn (x) − f (x)| < ε, ∀n > N.
x∈X
Ïîýòîìó
|fn (x) − f (x)| < ε, ∀n > N, ∀x ∈ X, X
à ýòî îçíà÷àåò, ÷òî fn (x) ⇒ f (x) Î÷åâèäíî ñïðàâåäëèâà
.
Òåîðåìà 3.2. Ïóñòü íà ìíîæåñòâå X îïðåäåëåíà ôóíêöèÿ f (x) è çàäà-
íà ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {fn (x)}. Åñëè ñóùåñòâóåò òàêàÿ áåñêîíå÷íî ìàëàÿ ïîëîæèòåëüíàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {αn }, ÷òî ∀n ∈ N
|fn (x) − f (x)| ≤ αn , ∀x ∈ X, òî ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {fn (x)} ðàâíîìåðíî ñõîäèòñÿ ê ôóíêöèè f íà ìíîæåñòâå X .
Ïðèìåð 3.1. Èññëåäóåì íà ðàâíîìåðíóþ ñõîäèìîñòü ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {fn (x)} : fn (x) = arctg nx íà ìíîæåñòâàõ [δ, +∞), δ > 0 è (0; +∞).
/ Î÷åâèäíî,÷òî ïðåäåëüíàÿ ôóíêöèÿ äàííîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ðàâíà π f (x) = , ∀x ∈ (0; +∞). 2 Òàê êàê ! π π π − arctg nx = − arctg nδ −→ 0, n → ∞, 0 ≤ sup − arctg nx = sup 2 x≥δ 2 x≥δ 2 9
[δ;∞)
òî arctg nx ⇒ π sup x>0 2
−
π 2.
Ñ äðóãîé ñòîðîíû,
arctg(nx) (0;+∞)
Ïîýòîìó arctg nx 6⇒
≥
π π π π − arctg(n · 1/n) = − = , ∀n ∈ N. 2 2 4 4
π 2.
.
Òåîðåìà 3.3 (êðèòåðèé Êîøè). Ïóñòü fn : X ⊂ R → R, n ∈ N. Äëÿ
òîãî ÷òîáû ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {fn (x)} ðàâíîìåðíî ñõîäèëàñü íà ìíîæåñòâå X , íåîáõîäèìî è äîñòàòî÷íî, ÷òîáû äëÿ ëþáîãî ε > 0 ñóùåñòâîâàë òàêîé íîìåð N = N (ε), ÷òî äëÿ âñåõ íàòóðàëüíûõ n > N, ëþáîãî p ∈ N è âñåõ òî÷åê x ∈ X âûïîëíÿëîñü óñëîâèå
|fn+p (x) − fn (x)| < ε.
(3.1)
/ Íåîáõîäèìîñòü. Ïóñòü {fn (x)} ðàâíîìåðíî ñõîäÿùàÿñÿ íà X ïîñëåäîâàòåëüíîñòü è f (x) å¼ ïðåäåëüíàÿ ôóíêöèÿ. Ïî îïðåäåëåíèþ 1.3 äëÿ ëþáîãî ε > 0 íàéä¼òñÿ N = N (ε) ∈ N òàêîå, ÷òî ∀n > N, ∀x ∈ X ε |fn (x) − f (x)| < . 2 Òîãäà ∀n > N, ∀p ∈ N, ∀x ∈ X |fn+p (x) − fn (x)| ≤ |fn+p (x) − f (x)| + |f (x) − fn (x)| < ε,
ò. å. âûïîëíåíî óñëîâèå Êîøè (3.1) ðàâíîìåðíîé ñõîäèìîñòè ôóíêöèîíàëüíîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè. Äîñòàòî÷íîñòü. Ïóñòü âûïîëíåíî óñëîâèå (3.1), òîãäà äëÿ êàæäîãî ôèêñèðîâàííîãî x ∈ X âûïîëíåíî óñëîâèå Êîøè ñõîäèìîñòè ÷èñëîâîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè {fn (x)}, à ïîòîìó îíà ñõîäèòñÿ. Ñëåäîâàòåëüíî, ôóíêöèîíàëüíàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {fn (x)} ïîòî÷å÷íî ñõîäèòñÿ íà ìíîæåñòâå X . Ïóñòü f (x) ïðåäåëüíàÿ ôóíêöèÿ äàííîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè. X
Äîêàæåì, ÷òî fn (x) ⇒ f (x). Â ñèëó óñëîâèÿ (3.1) äëÿ ëþáîãî ε > 0 íàéä¼òñÿ íîìåð N = N (ε) òàêîé, ÷òî äëÿ ëþáûõ n > N, p ∈ N è x ∈ X âûïîëíÿåòñÿ óñëîâèå
ε |fn+p (x) − fn (x)| < . 2 Çàìå÷àÿ, ÷òî f (x) = p→∞ lim fn+p (x), ∀x ∈ X , ∀n ∈ N, ïåðåõîäÿ â ïîñëåäíåì íåðàâåíñòâå ê ïðåäåëó ïðè p → +∞, ïîëó÷èì ε |f (x) − fn (x)| ≤ < ε, ∀x ∈ X, ∀n > N. 2 Ýòî îçíà÷àåò ðàâíîìåðíóþ ñõîäèìîñòü ïîñëåäîâàòåëüíîñòè {fn (x)} ê f (x) íà X. . 10
4 Ñõîäèìîñòü ôóíêöèîíàëüíîãî ðÿäà Ðàññìîòðèì ôóíêöèîíàëüíóþ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {fn (x)}, îáëàñòüþ îïðåäåëåíèÿ êîòîðîé ÿâëÿåòñÿ ìíîæåñòâî X ⊂ R. Ôîðìàëüíî çàïèñàííóþ ñóììó
f1 (x) + f2 (x) + · · · + fn (x) + . . .
(4.1)
íàçûâàþò ôóíêöèîíàëüíûì ðÿäîì, à ìíîæåñòâî X îáëàñòüþ îïðåäåëåíèÿ ðÿäà (4.1). Êàê è äëÿ ÷èñëîâûõ ðÿäîâ èçó÷åíèå ôóíêöèîíàëüíîãî ðÿäà (4.1) ýêâèâàëåíòíî èçó÷åíèþ ôóíêöèîíàëüíîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè {Sn (x)} :
Sn (x) =
n X
k=1
åãî ÷àñòè÷íûõ ñóìì.
fk (x), n ∈ N,
f Îïðåäåëåíèå 4.1. Ìíîæåñòâî X òåõ òî÷åê x ∈ X, â êîòîðûõ ñõîäèòñÿ
(àáñîëþòíî ñõîäèòñÿ) ñîîòâåòñòâóþùèé ÷èñëîâîé ðÿä, íàçûâàþò îáëàñòüþ ñõîäèìîñòè (àáñîëþòíîé ñõîäèìîñòè) ðÿäà (4.1). f Èíûìè ñëîâàìè: îáëàñòü X ñõîäèìîñòè ðÿäà (4.1) åñòü îáëàñòü ñõîäèìîñòè f ñîîòâåòñòâóþùåé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè {Sn (x)} ÷àñòè÷íûõ ñóìì åãî. ×àñòî X íàf çûâàþò îáëàñòüþ ïîòî÷å÷íîé ñõîäèìîñòè ðÿäà (4.1). Íà ìíîæåñòâå X îïðåäåëåíà ôóíêöèÿ S(x), êîòîðàÿ ÿâëÿåòñÿ ïðåäåëüíîé ôóíêöèåé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè {Sn (x)} ÷àñòè÷íûõ ñóìì ýòîãî ðÿäà (4.1), å¼ íàçûâàþò ñóììîé ðÿäà (4.1).
Îïðåäåëåíèå 4.2. Ãîâîðÿò, ÷òî ôóíêöèîíàëüíûé ðÿä (4.1) ðàâíîìåðíî ñõî-
äèòñÿ íà ìíîæåñòâå X , åñëè ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {Sn (x)} åãî ÷àñòè÷íûõ ñóìì ðàâíîìåðíî ñõîäèòñÿ íà X. Èç îïðåäåëåíèÿ (4.2) è êðèòåðèåâ 3.1 è 3.3 ñëåäóþò
Òåîðåìà 4.1. Ïóñòü S(x) ñóììà ðÿäà (4.1) íà ìíîæåñòâå X . Äëÿ òîãî
÷òîáû ðÿä (4.1) ðàâíîìåðíî ñõîäèëñÿ íà X , íåîáõîäèìî è äîñòàòî÷íî, ÷òîáû ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {αn } :
αn = sup |Sn (x) − S(x)| = sup |Rn (x)|, x∈X
ãäå Rn (x) =
∞ P
k=n+1
x∈X
fk (x), ÿâëÿëàñü áåñêîíå÷íî ìàëîé.
Òåîðåìà 4.2 (Êîøè). Ïóñòü X îáëàñòü îïðåäåëåíèÿ ôóíêöèîíàëüíîãî
ðÿäà (4.1). Äëÿ òîãî ÷òîáû ðÿä (4.1) ðàâíîìåðíî ñõîäèëñÿ íà ìíîæåñòâå X , íåîáõîäèìî è äîñòàòî÷íî, ÷òîáû äëÿ ëþáîãî ε > 0 íàø¼ëñÿ íîìåð N = N (ε) òàêîé, ÷òî äëÿ âñåõ n > N , äëÿ ëþáûõ p ∈ N è âñåõ x ∈ X âûïîëíÿåòñÿ óñëîâèå
|
n+p X
fk (x)| < ε.
k=n+1
11
Ñëåäñòâèå 4.2.1. (íåîáõîäèìîå óñëîâèå ðàâíîìåðíîé ñõîäèìîñòè ðÿäà). Åñëè ôóíêöèîíàëüíûé ðÿä (4.1) ðàâíîìåðíî ñõîäèòñÿ íà ìíîæåñòâå X , òî ôóíêöèîíàëüíàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {fn (x)} ðàâíîìåðíî ñõîäèòñÿ ê ôóíêöèè f (x) = 0, íà ìíîæåñòâå X . Ðàññìîòðèì ïðèìåð.
Ïðèìåð 4.1. Èññëåäóåì íà ðàâíîìåðíóþ ñõîäèìîñòü íà ìíîæåñòâå R ðÿä (−1)n . 2 n=1 n + x ∞ X
/ Ïðè êàæäîì ôèêñèðîâàííîì x ∈ R äàííûé ðÿä ÿâëÿåòñÿ ðÿäîì ëåéáíèöåâñêîãî òèïà, ïîýòîìó â ñèëó îöåíêè îñòàòêîâ ëåéáíèöåâñêîãî ðÿäà
Ïîýòîìó
X ∞ k=n+1
(−1)k 1 1 ≤ ≤ , ∀n ∈ N, ∀x ∈ R. k + x2 n + x2 + 1 n + 1
1 , ∀n ∈ N, n+1 x∈R è, ñîãëàñíî òåîðåìå 4.1, ðàññìàòðèâàåìûé ðÿä ðàâíîìåðíî ñõîäèòñÿ íà ìíîæåñòâå R. . αn = sup |Rn (x)| ≤
5 Äîñòàòî÷íûå ïðèçíàêè ðàâíîìåðíîé ñõîäèìîñòè ôóíêöèîíàëüíîãî ðÿäà ∞ P
Òåîðåìà 5.1 (ïðèçíàê Âåéåðøòðàññà). Åñëè äëÿ ôóíêöèîíàëüíîãî ðÿäà
n=1
fn (x) ñóùåñòâóåò ñõîäÿùèéñÿ ÷èñëîâîé ðÿä
∀n ∈ N, ∀x ∈ X, òî ðÿä / Ïî óñëîâèþ ðÿä
∞ P
∞ P
n=1
n=1
∞ P
n=1
cn òàêîé, ÷òî |fn (x)| ≤ cn ,
fn (x) ñõîäèòñÿ àáñîëþòíî è ðàâíîìåðíî íà X .
cn ñõîäèòñÿ, ïîýòîìó ïî êðèòåðèþ Êîøè ñõîäèìîñòè
÷èñëîâîãî ðÿäà ∀ε > 0 ∃N = N (ε) ∈ N : ∀n > N, ∀p ∈ N
Íî ∀x ∈ X
p X
k=1
X p c n+k k=1
|fn+k (x)| ≤
p X
k=1
< ε.
cn+k (x), ∀n ∈ N, ∀p ∈ N.
Ïîýòîìó âûïîëíÿåòñÿ óñëîâèå Êîøè ðàâíîìåðíîé ñõîäèìîñòè ôóíêöèîíàëüíîãî ðÿäà. . 12
Ñëåäñòâèå 5.1.1. Ïóñòü
è
fn : X ⊂ R −→ R
∞ P
αn = sup |fn (x)|, x∈X
∀n ∈ N. Åñëè ÷èñëîâîé ðÿä αn ñõîäèòñÿ, òî ðÿä (4.1) ðàâíîìåðíî è àán=1 ñîëþòíî ñõîäèòñÿ íà ìíîæåñòâå X .
Ñëåäñòâèå 5.1.2. Åñëè αn = sup |fn (x)| 6→ 0, òî ðÿä (4.1) íå ÿâëÿåòñÿ x∈X
ðàâíîìåðíî ñõîäÿùèìñÿ íà ìíîæåñòâå X . ∞ P
Çàìå÷àíèå. Åñëè αn −→ 0, íî ðÿä
n=1
αn ðàñõîäèòñÿ, òî íè÷åãî îïðåäåë¼í-
íîãî î ðàâíîìåðíîé ñõîäèìîñòè ðÿäà (4.1) íà ìíîæåñòâå X ñêàçàòü íåëüçÿ. Ðàññìîòðèì ñîîòâåòñòâóþùèé ïðèìåð.
Ïðèìåð 5.1. Èññëåäóåì íà îòðåçêå [0;1] íà ðàâíîìåðíóþ ñõîäèìîñòü ðÿä ∞ X
fn (x),
n=2
ãäå
fn (x) =
1 ; 1], åñëè x ∈ [0; 21n ) ∪ ( 2n−1
0,
1 n
sin 2n πx,
1 åñëè x ∈ [ 21n , 2n−1 ],
/ Ïðåæäå âñåãî çàìåòèì, ÷òî â òî÷êàõ
#
1 1 x = 0, xk = k , k ∈ N, x ∈ , 1 2 2
÷ëåíû ðÿäà ðàâíû íóëþ. Äàëåå, äëÿ ëþáîãî x ∈ (0; 12 ) è x 6= 21k , k ∈ N, ñóùå1 ñòâóåò åäèíñòâåííîå k ∈ N, k ≥ 2 òàêîå, ÷òî x ∈ ( 21k , 2k−1 ). Ïîýòîìó äëÿ !
1 1 x ∈ k , k−1 , k ≥ 2 è k ≥ n + 1 2 2 Rn (x) =
1 · sin 2k πx. k
Ñëåäîâàòåëüíî,
0 ≤ sup |Rn (x)| ≤ x∈[0,1]
1 , n ∈ N, n ≥ 2, n+1
ò.å.
lim sup |Rn (x)| −→ 0,
x∈[0,1]
13
÷òî îçíà÷àåò ðàâíîìåðíóþ ñõîäèìîñòü äàííîãî ðÿäà íà îòðåçêå [0;1] (ñì. òåîðåìó 4.1). Ñ äðóãîé ñòîðîíû,
αn = sup |fn (x)| = x∈[0;1]
1 , n≥1 n
∞ P
αn ðàñõîäèòñÿ. Ïðèâåä¼ì åù¼ ïðèìåð.
è ðÿä
.
n=1
Ïðèìåð 5.2. Äîêàçàòü, ÷òî ðÿä ∞ X
1 n (x + 3x−n ) n=1 n! ñõîäèòñÿ ðàâíîìåðíî íà îòðåçêå [ 21 ; 2]
/ Î÷åâèäíî, ÷òî ∀n ∈ N, ∀x ∈ [ 12 ; 2]
Ïîñêîëüêó ðÿä
1 n 1 1 (x + 3x−n ) ≤ 2n + 3 · n! n! 2
!−n
4 · 2n = . n!
4 · 2n n=1 n! ñõîäèòñÿ, òî â ñèëó ïðèçíàêà Âåéåðøòðàññà äàííûé ðÿä ñõîäèòñÿ ðàâíîìåðíî íà îòðåçêå [ 12 ; 2]. . ∞ X
Îïðåäåëåíèå 5.1. Ôóíêöèîíàëüíàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {fn (x)} íàçûâàåò-
ñÿ ðàâíîìåðíî îãðàíè÷åííîé íà ìíîæåñòâå X, åñëè ñóùåñòâóåò òàêîå ÷èñëî M > 0, ÷òî |fn (x)| ≤ M, ∀n ∈ N, ∀x ∈ X
Òåîðåìà 5.2 (ïðèçíàê Äèðèõëå). Åñëè ÷ëåíû ôóíêöèîíàëüíîãî ðÿäà ∞ X
(5.1)
an (x)bn (x)
n=1
òàêîâû, ÷òî
X
1) an (x) ⇒ 0; 2) äëÿ êàæäîãî x0 ∈ X ÷èñëîâàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {an (x0 )} ìîíîòîííà; ∞ P 3) ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {Bn (x)} ÷àñòè÷íûõ ñóìì ðÿäà bn (x) ðàâíîìåðíî
îãðàíè÷åíà íà ìíîæåñòâå X ; òî ðÿä (5.1) ðàâíîìåðíî ñõîäèòñÿ íà ìíîæåñòâå X.
n=1
/ Äîêàçàòåëüñòâî òåîðåìû áàçèðóåòñÿ íà êðèòåðèè Êîøè ðàâíîìåðíîé ñõîäèìîñòè ôóíêöèîíàëüíîãî ðÿäà è ïîâòîðÿåò, ïî÷òè äîñëîâíî, äîêàçàòåëüñòâî ïðèçíàêà Äèðèõëå ñõîäèìîñòè ÷èñëîâîãî ðÿäà. . 14
Ïðèìåð 5.3. Ðàññìîòðèì ðÿä ∞ X
sin nx n=1 n + x
(5.2)
à) íà îòðåçêå [ε; 2π − ε], ε ∈ (0; π); á) íà èíòåðâàëå (0; 2π).
/ a) Äëÿ x ∈ [ε; 2π − ε], |Bn (x)| =
X n sin kx k=1
≤
1
1 x ≤ ε , ∀n ∈ N, | sin | sin 2 2
ïîýòîìó ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {Bn (x)} ÷àñòè÷íûõ ñóìì ðÿäà
∞ P
n=1
(5.3)
sin nx ðàâíîìåð-
íî îãðàíè÷åíà íà îòðåçêå [ε; 2π − ε], ε ∈ (0; π), è óñëîâèå 3) ïðèçíàêà Äèðèõëå âûïîëíåíî. Ðàññìîòðèì òåïåðü ïîñëåäîâàòåëüíîñòü
{an (x)} : an (x) =
1 . n+x
Î÷åâèäíî, ÷òî îíà ÿâëÿåòñÿ â êàæäîé òî÷êå x ∈ [ε; 2π−ε] ìîíîòîííî óáûâàþùåé è áåñêîíå÷íî ìàëîé. Ïîñêîëüêó
sup x∈[ε;2π−ε]
|an (x)| =
1 −→ 0, n+ε
[ε;2π−ε]
òî â ñèëó òåîðåìû 3.1 an (x) ⇒ 0. Âñå òðåáîâàíèÿ ïðèçíàêà Äèðèõëå (òåîðåìû 5.2) âûïîëíåíû, ïîýòîìó ðÿä (5.2) ðàâíîìåðíî ñõîäèòñÿ íà ëþáîì îòðåçêå [ε; 2π − ε], ε ∈ (0; π). á) Íà èíòåðâàëå (0; 2π) îöåíêà òèïà (5.3) íå èìååò ìåñòà. Îäíàêî ∀x ∈ (0; 2π) îíà äàåò ïðàâî óòâåðæäàòü, ÷òî ðÿä (5.2) ïîòî÷å÷íî ñõîäèòñÿ íà èíòåðâàëå (0; 2π). Ïîêàæåì, ÷òî ðÿä (5.2) ñõîäèòñÿ íåðàâíîìåðíî íà ýòîì ìíîæåñòâå. Âîñïîëüçóåìñÿ êðèòåðèåì Êîøè, ò.å. óêàæåì òàêîå ε0 > 0, ÷òî äëÿ ëþáîãî N ∈ N íàéäóòñÿ òàêèå çíà÷åíèÿ p ∈ N, n ∈ N, n > N è xn ∈ (0; 2π), ÷òî n+p X k=n+1
Çàìåòèì, ÷òî â òî÷êàõ xn =
π 6n
sin kxn ≥ ε0 . k + xn
ïðè k ∈ N, k ∈ [n; 5n] èìååì:
1 sin kxn ≥ . 2 15
Ïîýòîìó äëÿ ïðîèçâîëüíîãî N , âçÿâ n > N, pn = 4n, xn = ïîëó÷èì: n+p X k=n+1
π 6n
∈ (0; 2π),
5n 5n sin πk X 1 sin kxn 6n ≥ 1 X > = π k + xn k=n+1 k + 2 k=p+1 k + 1 6n 1 1 4(n − 1) > · · (4n − 1) > . 2 5n + 1 2 · 5(n + 1)
n−1 → 1 ïðè n → +∞, òî íàéä¼òñÿ òàêîé íîìåð N0 , ÷òî ∀n > N0 n+1 π > 12 , à ïîýòîìó ∀N > N0 ∀n > N íàìè íàéäåíû pn = 4n, xn = 6n òàêèå,
Òàê êàê n−1 n+1
÷òî
n+p X k=n+1
sin kxn 1 > . k + xn 5
Ïîýòîìó â êà÷åñòâå ε0 ìîæíî âçÿòü íåðàâíîìåðíî íà èíòåðâàëå (0; 2π).
1 5.
Ìû ïîêàçàëè, ÷òî ðÿä (5.2) ñõîäèòñÿ
.
Òåîðåìà 5.3 (ïðèçíàê Àáåëÿ). Åñëè ÷ëåíû ôóíêöèîíàëüíîãî ðÿäà (5.1)
òàêîâû, ÷òî 1) ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {an (x)} ðàâíîìåðíî îãðàíè÷åíà íà X, 2) äëÿ êàæäîãî x0 ∈ X ÷èñëîâàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {an (x0 )} ìîíîòîííà, ∞ P 3) ðÿä bn (x) ðàâíîìåðíî ñõîäèòñÿ íà ìíîæåñòâå X , n=1
òî ðÿä (5.1) ðàâíîìåðíî ñõîäèòñÿ íà ìíîæåñòâå X .
/ Ñîãëàñíî 1) ñóùåñòâóåò M > 0 òàêîå, ÷òî |an (x)| ≤ M , ∀n ∈ N, ∀x ∈ X. Ôèêñèðóåì ïðîèçâîëüíîå ε > 0.  ñèëó óñëîâèÿ 3) ñóùåñòâóåò òàêîé íîìåð N = N (ε), ÷òî ïðè âñåõ n > N, âñåõ p ∈ N è âñåõ x ∈ X âûïîëíÿåòñÿ íåðàâåíñòâî p X ε . | bn+k (x)| < 3M k=1 Ó÷èòûâàÿ óñëîâèå 2), â ñèëó íåðàâåíñòâà Àáåëÿ äëÿ âñåõ n > N , âñåõ p ∈ N è âñåõ x ∈ X ïîëó÷èì:
|
p X
k=1
an+k (x)bn+k (x)| <
ε (|an+1 (x)| + 2|an+p (x)|) ≤ ε. 3M
Ñîãëàñíî êðèòåðèþ Êîøè, ýòî îçíà÷àåò ðàâíîìåðíóþ ñõîäèìîñòü ðÿäà (5.1). .
Çàìå÷àíèå. íûì.
Óñëîâèå 2) â ïðèçíàêàõ Äèðèõëå è Àáåëÿ ÿâëÿåòñÿ ñóùåñòâåí16
Ðàññìîòðèì ïðèìåð ïîäòâåðæäàþùèé âûñêàçûâàíèå.
Ïðèìåð 5.4. Ðàññìîòðèì ðÿä ∞ X
π 3π x ∈ [ ; ]. 4 4
(1 − cos nx) cos nx , n n=1
1 − cos nx , bn (x) = cos nx, n ∈ N. n Ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {Bn (x)} ÷àñòè÷íûõ ñóìì ðÿäà
/ Ïóñòü an (x) =
îãðàíè÷åíà íà îòðåçêå [ π4 ; 3π 4 ], òàê êàê
∞ P
n=1
cos nx ðàâíîìåðíî
"
#
1 π 3π 1 |Bn (x)| ≤ ≤ , ∀n ∈ N, ∀x ∈ ; . sin x2 sin π8 4 4 Äàëåå,
1 − cos nx 2 ≤ , ∀x ∈ R, n n ò.å. ïîñëåäîâàòåëüíîñòüh {an (x)} ðàâíîìåðíî ñòðåìèòñÿ ê íóëþ íà ìíîæåñòâå R, i π 3π à çíà÷èò è íà îòðåçêåh 4 ; 4i (ñì. òåîðåìó 3.1).  òî÷êå x0 = π2 ∈ π4 ; 3π 4 0≤
0, 0,
(1 − cos nx0 ) cos nx0 = n −
1 , 2k + 1
0,
åñëè n = 4k, åñëè n = 4k + 1, åñëè n = 4k + 2,
, k ∈ N,
åñëè 4k + 3
Ïîýòîìó ðàññìàòðèâàåìûé ðÿä â ýòîé òî÷êå èìååò âèä: ∞ X
−1 . 2k + 1 k=1
(5.4)
Òàê êàê ðÿä (5.4) ðàñõîäèòñÿ, òî äàííûé ðÿä ðàñõîäèòñÿ â òî÷êå x0 = π2 , à ïîýòîh i ìó îí íå ìîæåò ðàâíîìåðíî ñõîäèòüñÿ íà îòðåçêå π4 ; 3π 4 . Çàìåòèì ïðè ýòîì, ÷òî äëÿ äàííîãî ðÿäà âûïîëíåíû óñëîâèÿ 1) è 3) ïðèçíàêà Äèðèõëå. Çíà÷èò, òðåáîâàíèå ìîíîòîííîñòè ÷èñëîâîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè {an (x0 )} äëÿ ëþáîãî x0 ∈ X íå âûïîëíåíî è ñóùåñòâåííî. .
6 Ñâîéñòâà ïðåäåëüíîé ôóíêöèè è ñóììû ðÿäà Òåîðåìà 6.1 (î ïðåäåëå ïðåäåëüíîé ôóíêöèè). Ïóñòü ôóíêöèîíàëü-
íàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {fn (x)} ðàâíîìåðíî ñõîäèòñÿ íà ìíîæåñòâå X ê 17
ôóíêöèè f (x), a ïðåäåëüíàÿ òî÷êà ìíîæåñòâà X è ñóùåñòâóåò êîíå÷íûé ïðåäåë n→a lim fn (x) = an , ∀n ∈ N. Òîãäà ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {an } ñõîäèòñÿ, ñóùåñòâóåò êîíå÷íûé ïðåäåë ôóíêöèè f â òî÷êå a è
lim f = lim an , a ò.å.
lim lim f (x) x→a n→∞ n
= n→∞ lim x→a lim fn (x).
/ Ïðåæäå âñåãî äîêàæåì, ÷òî ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {an } ÿâëÿåòñÿ ñõîäÿùåéñÿ. X
Ïî óñëîâèþ fn (x) ⇒ f (x), ïîýòîìó â ñèëó òåîðåìû 3.3
∀ε > 0 ∃N = N (ε) ∈ N : ∀n > N, ∀p ∈ N, ∀x ∈ X ε |fn+p (x) − fn (x)| < . 2 Ïåðåõîäÿ â ýòîì íåðàâåíñòâå ê ïðåäåëó ïðè x → a, ïîëó÷èì ε |an+p − an | ≤ < ε, ∀n > N, ∀p ∈ N, 2 ÷òî îçíà÷àåò ñõîäèìîñòü ÷èñëîâîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè {an }. Ïîëîæèì, ÷òî lim an = d. Òåïåðü äîêàæåì, ÷òî ñóùåñòâóåò x→a lim f (x) = d. Î÷åâèäíî, ÷òî ∀x ∈ X , ∀n0 ∈ N |f (x) − d| = |f (x) − fn0 (x) + fn0 (x) − an0 + an0 − d| ≤ ≤ |f (x) − fn0 (x)| + |fn0 (x) − an0 | + |an0 − d|. X
Òàê êàê an → d è fn (x) ⇒ f (x), òî ∀ε > 0 ∃N = N (ε) ∈ N : ∀n > N, ∀x ∈ X
ε ε è |an − d| < . 3 3 Åñëè n0 > N, òî äëÿ íåãî âûïîëíåíû ïðåäûäóùèå íåðàâåíñòâà è, ó÷èòûâàÿ ÷òî x→a lim fn0 (x) = an0 , ïîëó÷èì: |fn (x) − f (x)| <
∃Ua : ∀x ∈ X Ñëåäîâàòåëüíî, ∀x ∈ X
T o Ua
\ o Ua
|f (x) − d| <
ε |fn0 (x) − an0 | < . 3
ε ε ε + + = ε, 3 3 3
ò.å.
∃ lim f = d. . a 18
Òåîðåìà 6.2. (î íåïðåðûâíîñòè ïðåäåëüíîé ôóíêöèè â òî÷êå).
Ïóñòü ôóíêöèîíàëüíàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {fn (x)} ðàâíîìåðíî ñõîäèòñÿ íà ìíîæåñòâå X ê ôóíêöèè f (x) è a ∈ X. Åñëè ôóíêöèè fn íåïðåðûâíû â òî÷êå a äëÿ âñåõ n ∈ N, òî ïðåäåëüíàÿ ôóíêöèÿ f íåïðåðûâíà â òî÷êå a.
/ Åñëè a ∈ X è ÿâëÿåòñÿ èçîëèðîâàííîé òî÷êîé ìíîæåñòâà X, òî f íåïðåðûâíà â íåé. Åñëè a ∈ X è ÿâëÿåòñÿ ïðåäåëüíîé òî÷êîé ìíîæåñòâà X, òî â ñèëó íåïðåðûâíîñòè ôóíêöèè fn â òî÷êå a lim fn = fn (a), ∀n ∈ N. a Ïîýòîìó ñîãëàñíî òåîðåìå 6.1 è ñõîäèìîñòè ôóíêöèîíàëüíîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè â òî÷êå a
lim f (x) = n→∞ lim fn (a) = f (a),
x→a
÷òî îçíà÷àåò íåïðåðûâíîñòü ôóíêöèè f â òî÷êå a.
.
Ñëåäñòâèå 6.2.1. Åñëè ïîñëåäîâàòåëüíîñòü íåïðåðûâíûõ íà ìíîæåñòâå
X ôóíêöèé ñõîäèòñÿ ðàâíîìåðíî íà X, òî å¼ ïðåäåëüíàÿ ôóíêöèÿ íåïðåðûâíà íà X.
Ñëåäñòâèå 6.2.2.
Ïóñòü ôóíêöèîíàëüíàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {fn (x)} ïîòî÷å÷íî ñõîäèòñÿ ê ôóíêöèè f íà ìíîæåñòâå X è fn (x) ∈ C(X), ∀n ∈ N. X
Åñëè ôóíêöèÿ f íå ÿâëÿåòñÿ íåïðåðûâíîé íà X, òî fn (x) 6⇒ f (x). ∞ P
Òåîðåìà 6.3 (î ïðåäåëå ñóììû ðÿäà).
n=1
Ïóñòü ôóíêöèîíàëüíûé ðÿä fn (x) ðàâíîìåðíî ñõîäèòñÿ íà ìíîæåñòâå X è åãî ñóììà ðàâíà S(x),
a ïðåäåëüíàÿ òî÷êà ìíîæåñòâà X lim fn = cn , ∀n ∈ N. Òîãäà ÷èñëîâîé ðÿä a ∞ X
è ñóùåñòâóåò êîíå÷íûé ïðåäåë
(6.1)
cn
n=1
ñõîäèòñÿ, ñóùåñòâóåò ïðåäåë x→a lim S(x) è
lim S(x) = x→a ò.å.
lim x→a
∞ X
fn (x) =
n=1
∞ X
∞ X
n=1
19
cn ,
n=1
lim f (x), x→a n
(6.2)
Òåîðåìó 6.3 ÷àñòî íàçûâàþò òåîðåìîé î ïî÷ëåííîì ïåðåõîäå ê ïðåäåëó äëÿ ôóíêöèîíàëüíîãî ðÿäà. ∞ P / Ïîñêîëüêó ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {Sn (x)} ÷àñòè÷íûõ ñóìì ðÿäà fn (x) ðàâíîìåðíî ñõîäèòñÿ íà ìíîæåñòâå X ê ôóíêöèè S(x) è
lim S (x) = x→a n
n X
k=1
n=1
ck := Cn , n ∈ N,
òî ïî òåîðåìå 6.1 ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {Cn } ñõîäèòñÿ è ñóùåñòâóåò
lim S(x) = n→∞ lim Cn .
x→a
Íî Cn ÷àñòè÷íûå ñóììû ðÿäà (6.1), ïîýòîìó ìû äîêàçàëè ñõîäèìîñòü ðÿäà (6.1) è ðàâåíñòâî (6.2). .
Òåîðåìà 6.4 (î íåïðåðûâíîñòè ñóììû ðÿäà). ðÿä
∞ P
n=1
Åñëè ôóíêöèîíàëüíûé fn (x) ðàâíîìåðíî ñõîäèòñÿ íà ìíîæåñòâå X, a ∈ X è fn íåïðåðûâ-
íû â òî÷êå a (íà ìíîæåñòâå X ), òî ñóììà ðÿäà íåïðåðûâíà â òî÷êå a (íà ìíîæåñòâå X ).
Òåîðåìà ñëåäóåò èç òåîðåìû 6.3 ñ ó÷¼òîì îïðåäåëåíèÿ íåïðåðûâíîñòè ôóíêöèè â òî÷êå.
Ñëåäñòâèå 6.4.1. Åñëè ôóíêöèîíàëüíûé ðÿä íåïðåðûâíûõ íà ìíîæåñòâå
X ôóíêöèé ïîòî÷å÷íî ñõîäèòñÿ íà X è ñóììà ðÿäà íå ÿâëÿåòñÿ íåïðåðûâíîé íà X, òî ðàññìàòðèâàåìûé ðÿä ñõîäèòñÿ íåðàâíîìåðíî íà ìíîæåñòâå X .
Çàìå÷àíèå 1. Òðåáîâàíèå ðàâíîìåðíîé ñõîäèìîñòè ðÿäà ñóùåñòâåííî äëÿ ñïðàâåäëèâîñòè òåîðåìû 6.4 è ñëåäñòâèÿ. Äëÿ ïîäòâåðæäåíèÿ ñêàçàííîãî ðàññìîòðèì
Ïðèìåð 6.1. Èññëåäóåì ðÿä x2 2 n n=1 (1 + x ) ∞ X
íà îòðåçêå [−1, 1].
/ Çàìåòèì, ÷òî ðÿä ÿâëÿåòñÿ ðÿäîì ãåîìåòðè÷åñêîé ïðîãðåññèè ñî çíàìå1 x2 íàòåëåì q = 1+x 2 è ïåðâûì ÷ëåíîì a1 = 1+x2 . Îí ñõîäèòñÿ â êàæäîé òî÷êå ìíîæåñòâà R. Äîêàæåì, ÷òî äàííûé ðÿä íåðàâíîìåðíî ñõîäèòñÿ íà îòðåçêå [−1; 1]. Äåéñòâèòåëüíî, Rn (0) = 0, à ïðè x 6= 0 Rn (x) =
x2
2 n+1
(1 + x )
1 1− 1 + x2 20
!
=
1 , (1 + x2 )n
∀n ∈ N.
Ïîñêîëüêó
1 1 sup |Rn (x)| ≥ Rn √ = 1 + n n x∈[−1;1]
!−n
1 −→ , e
[−1;1]
òî ïî òåîðåìå 3.1 Rn (x) 6⇒ 0, à ïîýòîìó ðàññìàòðèâàåìûé ðÿä ñõîäèòñÿ íåðàâíîìåðíî íà îòðåçêå [−1; 1]. Çàìåòèì, ÷òî åãî ñóììà S(x) òåðïèò ðàçðûâ â òî÷êå x = 0, õîòÿ ÷ëåíû ðÿäà íåïðåðûâíû íà R. . Çàìå÷àíèå 2. Òðåáîâàíèå ðàâíîìåðíîé ñõîäèìîñòè ðÿäà íåïðåðûâíûõ íà X ôóíêöèé ÿâëÿåòñÿ äîñòàòî÷íûì, íî íå íåîáõîäèìûì óñëîâèåì íåïðåðûâíîñòè ñóììû ðÿäà. Íàïðèìåð, ðÿä ∞ X
(n − 1)x nx − 2 2 1 + (n − 1)2 x2 n=1 1 + n x èìååò íà îòðåçêå [0; 1] ñóììó S(x) = 0, ÷ëåíû ðÿäà íåïðåðûâíû íà [0; 1], à ñõîäèòñÿ ðÿä íåðàâíîìåðíî íà [0; 1]. Îäíàêî â íåêîòîðûõ ñëó÷àÿõ ðàâíîìåðíàÿ ñõîäèìîñòü ïîñëåäîâàòåëüíîñòè (ðÿäà) ÿâëÿåòñÿ íåîáõîäèìûì óñëîâèåì íåïðåðûâíîñòè ïðåäåëüíîé ôóíêöèè (ñóììû ðÿäà) íà ìíîæåñòâå X . Ñïðàâåäëèâà ñëåäóþùàÿ
Òåîðåìà 6.5 (Äèíè).
Ïóñòü ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {fn (x)} íå óáûâàåò (èëè íå âîçðàñòàåò) â êàæäîé òî÷êå x çàìêíóòîãî îãðàíè÷åííîãî ìíîæåñòâà X ⊂ R è ñõîäèòñÿ íà X ê ôóíêöèè f (x). Åñëè âñå ÷ëåíû fn (x) ïîñëåäîâàòåëüíîñòè è ïðåäåëüíàÿ ôóíêöèÿ f (x) íåïðåðûâíû íà X , òî ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {fn (x)} ðàâíîìåðíî ñõîäèòñÿ íà ìíîæåñòâå X .
/ Äëÿ îïðåäåë¼ííîñòè áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {fn (x)} íå óáûâàåò â êàæäîé òî÷êå x ∈ X. Ïîëîæèì rn (x) = f (x) − fn (x). Ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {rn (x)} îáëàäàåò ñâîéñòâàìè: 1) ôóíêöèè rn (x) íåîòðèöàòåëüíû è íåïðåðûâíû íà êîìïàêòå X;
2) â êàæäîé òî÷êå x ∈ X ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {rn (x)} íå âîçðàñòàåò; 3) â êàæäîé òî÷êå x ∈ X ñóùåñòâóåò ïðåäåë n→∞ lim rn (x) = 0.
Äîêàæåì, ÷òî ñõîäèìîñòü ïîñëåäîâàòåëüíîñòè {rn (x)} ê r(x) = 0 íà X ÿâëÿåòñÿ ðàâíîìåðíîé.Âîñïîëüçóåìñÿ ìåòîäîì "îò ïðîòèâíîãî". Äîïóñòèì, ÷òî ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {rn (x)} ñõîäèòñÿ ê ôóíêöèè r(x) = 0 íà X íåðàâíîìåðíî, ò.å. äëÿ íåêîòîðîãî ε0 > 0 è ëþáîãî n ∈ N íàéä¼òñÿ õîòÿ áû îäíà òî÷êà xn ìíîæåñòâà X òàêàÿ, ÷òî
rn (xn ) ≥ ε0 . 21
 ñèëó îãðàíè÷åííîñòè ìíîæåñòâà X è ëåììû Áîëüöàíî-Âåéåðøòðàññà èç ïîñëåäîâàòåëüíîñòè {xn } ìîæíî âûäåëèòü ïîäïîñëåäîâàòåëüíîñòü {xnk }, ñõîäÿùóþñÿ ê íåêîòîðîé òî÷êå c ∈ X (X çàìêíóòîå ìíîæåñòâî). Ïî óñëîâèþ ôóíêöèè rn (x) íåïðåðûâíû â òî÷êå c, ïîýòîìó rn (xnk ) → rn (c) ïðè k → ∞, ∀n ∈ N. Ïîñêîëüêó
rnk (xnk ) ≥ ε0 ,
à ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {rn (x)} íå âîçðàñòàåò â êàæäîé òî÷êå x ∈ X, òî, âûáðàâ äëÿ êàæäîãî m ∈ N íîìåð nk òàêîé, ÷òî nk > m, ïîëó÷èì
rm (xnk ) ≥ rnk (xnk ), à çíà÷èò ∀nk : nk > m,
rm (xnk ) ≥ ε0 .
Ïåðåõîäÿ â ïîñëåäíåì íåðàâåíñòâå ê ïðåäåëó ïðè k → +∞, ïîëó÷èì
rm (c) ≥ ε0 , ∀m ∈ N, ÷åãî áûòü íå ìîæåò, ò.ê. rm (c) → 0 ïðè m → +∞. Ïîëó÷åííîå ïðîòèâîðå÷èå äîêàçûâàåò òåîðåìó. . Çàìå÷àíèå1. Òðåáîâàíèå ìîíîòîííîñòè ïîñëåäîâàòåëüíîñòè {fn (x)} â òî÷êàõ ìíîæåñòâà X ñóùåñòâåííî äëÿ òåîðåìû Äèíè. Íàïðèìåð, ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {fn (x)}:
fn (x) =
h
i
sin nx,
åñëè x ∈ 0; πn ,
0,
åñëè x ∈
π n; π
i
èìååì íà [0; π] ïðåäåëüíóþ ôóíêöèþ f (x) = 0, ∀x ∈ [0; π], íî íå ñõîäèòñÿ íà ýòîì îòðåçêå ðàâíîìåðíî, òàê êàê ∀n ∈ N
sup |fn (x) − f (x)| ≥
x∈[0;π]
fn
π 2n
!
!
π = 1. = sin n · 2n
Çàìå÷àíèå 2. Òðåáîâàíèå êîìïàêòíîñòè ìíîæåñòâà X ñóùåñòâåííî äëÿ òåîðåìû Äèíè. Íàïðèìåð, ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {xn } ñõîäèòñÿ ïîòî÷å÷íî ê ôóíêöèè f (x) ≡ 0 íà ìíîæåñòâå X = [0; 1), êàæäàÿ ôóíêöèÿ fn (x) è f (x) íåïðåðûâíà íà X , â êàæäîé òî÷êå x ∈ [0; 1) ÷èñëîâàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {xn } óáûâàåò. Îäíàêî [0;1)
fn (x) 6⇒ 0 (ñì. çàìå÷àíèå ê ïðèìåðó 1.2). Ïðèâåä¼ì ôîðìóëèðîâêó òåîðåìû Äèíè äëÿ ôóíêöèîíàëüíûõ ðÿäîâ. 22
Òåîðåìà 6.6.
Ïóñòü âñå ÷ëåíû ôóíêöèîíàëüíîãî ðÿäà íåïðåðûâíû è íåîòðèöàòåëüíû (èëè ïîëîæèòåëüíû) íà çàìêíóòîì îãðàíè÷åííîì ìíîæåñòâå X ⊂ R. Åñëè ðÿä ïîòî÷å÷íî ñõîäèòñÿ íà X è åãî ñóììà ÿâëÿåòñÿ íåïðåðûâíîé íà ìíîæåñòâå X ôóíêöèåé, òî ðÿä ðàâíîìåðíî ñõîäèòñÿ íà ìíîæåñòâå X .  êà÷åñòâå ïðèìåðà ïðèìåíåíèÿ òåîðåìû Äèíè ðàññìîòðèì
Ïðèìåð 6.2. Èññëåäîâàòü íà ðàâíîìåðíóþ ñõîäèìîñòü ïîñëåäîâàòåëüíîñòü
{fn (x)}: fn (x) = xn íà [0; q], q ∈ (0; 1). Ïðåäåëüíàÿ ôóíêöèÿ äàííîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ðàâíà f (x) ≡ 0. Ôóíêöèè fn (x) = xn è f (x) = 0 íåïðåðûâíû íà êîìïàêòå X = [0; q], q ∈ (0; 1) è â êàæäîé òî÷êå x ∈ [0; q] ÷èñëîâàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {xn } íå âîçðàñòàåò. Ïîýòîìó, ñîãëàñíî òåîðåìå 6.5, ðàññìàòðèâàåìàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ñõîäèòñÿ ðàâíîìåðíî íà îòðåçêå [0; q], q ∈ (0; 1).
Òåîðåìà 6.7. (î ïî÷ëåííîì èíòåãðèðîâàíèè ôóíêöèîíàëüíîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè). Ïóñòü ôóíêöèè fn èíòåãðèðóåìû íà îòðåçêå [a; b],
n ∈ N, è ôóíêöèîíàëüíàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ðàâíîìåðíî ñõîäèòñÿ íà [a; b]. Òîãäà ïðåäåëüíàÿ ôóíêöèÿ f èíòåãðèðóåìà íà îòðåçêå [a; b], ÷èñëîâàÿ ïîñëåRb
äîâàòåëüíîñòü { fn (x)dx} ñõîäèòñÿ è a
lim
n→∞
ò.å.
lim
n→∞
Zb
Zb
fn (x)dx =
a
Zb
(6.3)
f (x)dx,
a
fn (x)dx =
a
Zb a
lim f (x)dx. n→∞ n
/ Äëÿ äîêàçàòåëüñòâà èíòåãðèðóåìîñòè ôóíêöèè f íà îòðåçêå [a; b] âîñïîëüçóåìñÿ êðèòåðèåì Äàðáó. [a;b]
Ôèêñèðóåì ïðîèçâîëüíîå ε > 0. Ïî óñëîâèþ fn (x) ⇒ f (x), ïîýòîìó íàéä¼òñÿ íîìåð N = N (ε) òàêîé, ÷òî
|fn (x) − f (x)| < Ïîýòîìó
ε , ∀n > N, ∀x ∈ [a; b]. 3(b − a)
ε , ∀x ∈ [a; b]. 3(b − a) Èç èíòåãðèðóåìîñòè ôóíêöèè fN +1 íà [a; b] è êðèòåðèÿ Äàðáó íàéä¼òñÿ òàêîå ðàçáèåíèå τε = {xk }m k=1 îòðåçêà [a; b], ÷òî |fN +1 (x) − f (x)| <
m−1 X i=0
ε f ωi N +1 ∆xi < , 3 23
f
ãäå ωi =
sup x0 ,x00 ∈[xi ,xi+1 ]
|f (x0 ) − f (x00 )|. Äëÿ ïðîèçâîëüíûõ òî÷åê x0 , x00 i−ãî îòðåçêà
íàéäåííîãî ðàçáèåíèÿ
Îòñþäà
|f (x0 ) − f (x00 )| ≤ |f (x0 ) − fN +1 (x0 )| + |fN +1 (x0 ) − fN +1 (x00 )| + 2ε f + |fN +1 (x00 ) − fN +1 (x00 )| < + ωi N +1 . 3(b − a)
2ε f + ωi N +1 , i = 0, 1, . . . , m − 1. 3(b − a) Ïîýòîìó äëÿ ðàçáèåíèÿ τε ωif ≤
m−1 X i=0
f
ωi N +1 ∆xi ≤
m−1 X X 2ε m−1 f ∆xi + ωi N +1 ∆xi < ε 3(b − a) i=0 i=0
è ïî êðèòåðèþ Äàðáó ôóíêöèÿ f ∈ R[a; b]. Îñòà¼òñÿ äîêàçàòü âòîðóþ ÷àñòü Rb
óòâåðæäåíèÿ òåîðåìû î òîì, ÷òî ïîñëåäîâàòåëüíîñòü { fn (x)dx} ñõîäèòñÿ è å¼ a
ïðåäåë ðàâåí èíòåãðàëó
Rb
f (x)dx. Äîñòàòî÷íî äîêàçàòü, ÷òî äëÿ ëþáîãî ε > 0 íàéä¼òñÿ íîìåð N = N (ε) òàêîé, ÷òî äëÿ âñåõ n > N a
Zb fn (x)dx a
−
f (x)dx a
Zb
< ε.
È ñèëó ðàâíîìåðíîé ñõîäèìîñòè ïîñëåäîâàòåëüíîñòè {fn (x)} ê f (x) íà îòðåçêå [a; b] íàéä¼òñÿ íîìåð N = N (ε) òàêîé, ÷òî äëÿ âñåõ x ∈ [a; b]
|fn (x) − f (x)| <
ε . 2(b − a)
(6.4)
Èç ñâîéñòâ îïðåäåë¼ííîãî èíòåãðàëà è ðàâåíñòâà (6.4) ïîëó÷èì: Zb fn (x)dx a
−
f (x)dx a
Zb
=
Zb (fn (x)dx a
−
f (x))dx
≤
Zb a
|fn (x)dx − f (x)|dx ≤
Zb ε ε dx = < ε, ≤ 2(b − a) a 2
÷òî çàâåðøàåò äîêàçàòåëüñòâî óòâåðæäåíèÿ.
.
Çàìå÷àíèå. Åñëè â óñëîâèÿõ òåîðåìû 6.7 ïîòðåáîâàòü äîïîëíèòåëüíî íåïðåðûâíîñòü ôóíêöèé fn (x), n ∈ N, íà îòðåçêå [a; b], òî äîêàçàòåëüñòâî èíòåãðèðóåìîñòè ôóíêöèè f íà îòðåçêå [a; b] ñëåäîâàëî áû èç ñëåäñòâèÿ 1 òåîðåìû 6.3 è 24
äîñòàòî÷íûõ óñëîâèé èíòåãðèðóåìîñòè ôóíêöèè.  ýòîì ÷àñòíîì ñëó÷àå ìîæíî áûëî áû äîêàçàòü, ÷òî ïîñëåäîâàòåëüíîñòü èíòåãðàëîâ ñ ïåðåìåííûì âåðõíèì Rx ïðåäåëîì {Fn (x)} : Fn (x) = fn (t)dt, c ∈ [a; b) ðàâíîìåðíî ñõîäèòñÿ íà îòðåçêå c
Rx
[a; b] ê ôóíêöèè F (x) = f (t)dt, x ∈ [a; b]. Ñôîðìóëèðóåì ðåçóëüòàò, ñîîòâåòc ñòâóþùèé òåîðåìå 6.7, äëÿ ôóíêöèîíàëüíûõ ðÿäîâ.
Òåîðåìà 6.8. (î ïî÷ëåííîì èíòåãðèðîâàíèè ôóíêöèîíàëüíîãî ðÿ∞ P äà). Åñëè ôóíêöèè fn ∈ R[a; b], n ∈ N, è ðÿä fn (x) ðàâíîìåðíî ñõîäèòñÿ n=1
íà îòðåçêå [a; b], òî åãî ñóììà S(x) èíòåãðèðóåìà íà îòðåçêå [a; b], ÷èñëîâîé ðÿä
∞ Rb P
n=1 a
fn (x)dx, ïîëó÷åííûé èç äàííîãî ïî÷ëåííûì èíòåãðèðîâàíèåì íà
[a; b], ñõîäèòñÿ è
ò.å.
Zb
S(x)dx =
fn (x)dx,
n=1 a
a
Zb X ∞
∞ Zb X
fn (x)dx =
a n=1
∞ Zb X
fn (x)dx.
n=1 a
Çàìå÷àíèå. Åñëè â óñëîâèÿõ òåîðåìû 6.8 èíòåãðèðóåìîñòü ôóíêöèé fn , n ∈ N, çàìåíèòü íåïðåðûâíîñòüþ, òî ìîæíî äîêàçàòü åù¼, ÷òî ôóíêöèîíàëüíûé ðÿä ∞ Zx X
fn (t)dt,
n=1 c
ãäå c ∈ [a; b], ðàâíîìåðíî ñõîäèòñÿ íà îòðåçêå [a; b] è ∞ Zx X
fn (t)dt =
n=1 c
Zx X ∞
fn (t)dt.
c n=1
Òåîðåìà 6.9. (î ïî÷ëåííîì äèôôåðåíöèðîâàíèè ôóíêöèîíàëüíîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè). Ïóñòü ôóíêöèè fn äèôôåðåíöèðóåìû íà îòðåçêå [a; b], n ∈ N, ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {fn0 (x)} ïðîèçâîäíûõ ñõîäèòñÿ ðàâíîìåðíî íà îòðåçêå [a; b], à ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {fn (x)} ñõîäèòñÿ õîòÿ áû â îäíîé òî÷êå x0 ∈ [a; b]. Òîãäà ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {fn (x)} ðàâíîìåðíî ñõîäèòñÿ íà îòðåçêå [a; b], ïðåäåëüíàÿ ôóíêöèÿ f (x) äèôôåðåíöèðóåìà íà [a; b] è f 0 (x) = φ(x), ∀x ∈ [a; b], ãäå φ(x) ïðåäåëüíàÿ ôóíêöèÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòè {fn0 (x)}, ò.å. ∀x ∈ [a; b] (n→∞ lim fn (x))0 = n→∞ lim fn0 (x). / Âîñïîëüçîâàâøèñü êðèòåðèåì Êîøè, äîêàæåì ðàâíîìåðíóþ ñõîäèìîñòü íà îòðåçêå [a; b] ïîñëåäîâàòåëüíîñòè {fn (x)}. 25
Äëÿ ëþáûõ ôèêñèðîâàííûõ íîìåðîâ n è p è x ∈ [a; b]
|fn+p (x) − fn (x)| ≤ |(fn+p (x) − fn (x)) − (fn+p (x0 ) − fn (x0 ))| + |fn+p (x0 ) − fn (x0 )|. Ôóíêöèÿ fn+p (x) − fn (x) äèôôåðåíöèðóåìà íà îòðåçêå [a; b], ïîýòîìó äëÿ êàæäîãî ôèêñèðîâàííîãî x ∈ [a; b] îíà óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèÿì òåîðåìû Ëàãðàíæà íà îòðåçêå, îãðàíè÷åííîì òî÷êàìè x0 è x.Çíà÷èò ìåæäó x0 è x íàéä¼òñÿ òî÷êà cx òàêàÿ, ÷òî 0 (fn+p (x) − fn (x)) − (fn+p (x0 ) − fn (x0 )) = (fn+p (cx ) − fn0 (cx ))(x − x0 ). [a;b]
Ïî óñëîâèþ òåîðåìû fn0 (x) ⇒ φ(x) è ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {fn (x0 )} ñõîäèòñÿ. Ñîãëàñíî êðèòåðèþ Êîøè ðàâíîìåðíîé ñõîäèìîñòè ôóíêöèîíàëüíîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè äëÿ ëþáîãî ε > 0 íàéä¼òñÿ íîìåð N = N (ε) òàêîé, ÷òî ∀n > N ,
∀p ∈ N, ∀x ∈ [a; b]
0 |fn+p (x) − fn0 (x)| <
ε ε , |fn+p (x0 ) − fn (x0 )| < . 2(b − a) 2
Ñëåäîâàòåëüíî, ∀n > N, ∀p ∈ N, ∀x ∈ [a; b] 0 |fn+p (x) − fn (x)| ≤ |fn+p (cx ) − fn0 (cx )||x − x0 | + |fn+p (x0 ) − fn (x0 )| < ε ε |x − x0 | + ≤ ε. < 2(b − a) 2
Ýòî îçíà÷àåò, â ñèëó êðèòåðèÿ Êîøè, ðàâíîìåðíóþ ñõîäèìîñòü íà îòðåçêå [a; b] ïîñëåäîâàòåëüíîñòè {fn (x)} ê ôóíêöèè f (x). Îñòà¼òñÿ äîêàçàòü, ÷òî ôóíêöèÿ f äèôôåðåíöèðóåìà íà îòðåçêå [a; b], è óêàçàòü å¼ ïðîèçâîäíóþ. Ôèêñèðóåì ïðîèçâîëüíóþ òî÷êó xe îòðåçêà [a; b] è íàéä¼ì
lim
Òàê êàê ∀x ∈ [a; b]
È íàì ñëåäóåò íàéòè
x→e x (x∈[a;b]\{e x})
lim f (x) n→∞ n
e f (x) − f (x) . x − xe
= f (x), òî
e e f (x) − f (x) fn (x) − fn (x) = n→∞ lim . x − xe x − xe
lim n→∞ lim
x→e x
e fn (x) − fn (x) . x − xe
26
(6.5)
Ïóñòü
e fn (x) − fn (x) , ∀n ∈ N, x − xe òîãäà ôóíêöèè gn : [a; b] \ xe −→ R, ∀n ∈ N. Äîêàæåì, ÷òî ïîñëåäîâàòåëüíîñòü e {gn (x)} ðàâíîìåðíî ñõîäèòñÿ íà ìíîæåñòâå [a; b] \ x. Ïðè ôèêñèðîâàííûõ n, p ∈ N è x ∈ [a; b] \ xe
gn (x) :=
gn+p (x) − gn (x) =
1 e e (fn+p (x) − fn+p (x)) − (fn+p (x) − fn (x)) = x − xe
1 e − fn (x)) e (fn+p (x) − fn (x)) − (fn+p (x) . x − xe Ïî òåîðåìå Ëàãðàíæà, ïðèìåíåííîé ê ôóíêöèè fn+p (x) − fn (x) íà îòðåçêå ñ e íàéä¼ì òî÷êó ηx ìåæäó x è x e òàêóþ, ÷òî êîíöàìè x è x,
=
0 e − fn (x)) e e fn+p (x) − fn (x) − (fn+p (x) = (fn+p (ηx ) − fn0 (ηx ))(x − x).
e Ïîýòîìó ∀n ∈ N, ∀p ∈ N, ∀x ∈ [a; b] \ {x}
0 |gn+p (x) − gn (x)| = |fn+p (ηx ) − fn0 (ηx )|.
Ïîñêîëüêó
(6.6)
[a;b]
⇒ φ(x), òî ïî êðèòåðèþ Êîøè ∀ε > 0 ∃N = N (ε) : ∀n > N, ∀p ∈ N, ∀x ∈ [a; b] 0 |fn+p (x) − fn0 (x)| < ε. fn0 (x)
e Âîçâðàùàÿñü ê (6.6), ïîëó÷èì, ÷òî ∀n > N, ∀p ∈ N, ∀x ∈ [a; b] \ {x}
|gn+p (x) − gn (x)| < ε.
Ïîýòîìó ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {gn (x)} ðàâíîìåðíî ñõîäèòñÿ íà ìíîæåñòâå e [a; b] \ {x}. Íàêîíåö, òàê êàê
lim gn (x) = fn0 (x), ∀n ∈ N,
x→e x
òî, âîñïîëüçîâàâøèñü òåîðåìîé 6.1 è ðàâåíñòâîì (6.5), ïîëó÷èì e e f (x) − f (x) fn (x) − fn (x) e = φ(x), e = lim n→∞ lim = n→∞ lim fn0 (x) ∀xe ∈ [a; b]. e e x→e x x→e x x−x x−x
lim
e = Ýòî îçíà÷àåò äèôôåðåíöèðóåìîñòü ôóíêöèè f â òî÷êå xe è ðàâåíñòâî f 0 (x)
e ∀x e ∈ [a; b]. = φ(x), Äëÿ ôóíêöèîíàëüíûõ ðÿäîâ ñïðàâåäëèâà
27
.
Òåîðåìà 6.10. (î ïî÷ëåííîì äèôôåðåíöèðîâàíèè ôóíêöèîíàëüíîãî ðÿäà). Ïóñòü ôóíêöèè fn äèôôåðåíöèðóåìû íà îòðåçêå [a; b], ðÿä èç ïðîèçâîäíûõ ýòèõ ôóíêöèé ∞ P
n=1
∞ P
n=1
fn0 (x) ðàâíîìåðíî ñõîäèòñÿ íà îòðåçêå [a; b] è ðÿä
fn (x) ñõîäèòñÿ õîòÿ áû â îäíîé òî÷êå x0 îòðåçêà [a; b]. Òîãäà ïîñëåäíèé
ðÿä ñõîäèòñÿ ðàâíîìåðíî íà [a; b], åãî ñóììà S(x) äèôôåðåíöèðóåìà íà îòðåçêå [a; b] è 0
S (x) =
∞ X
n=1
ò.å. ïðîèçâîäíàÿ ñóììû ðÿäà
fn0 (x), ∀x ∈ [a; b],
∞ P
fn (x) åñòü ñóììà ðÿäà, ïîëó÷åííîãî èç äàííîãî ïî÷ëåííûì äèôôåðåíöèðîâàíèåì. n=1
Çàìå÷àíèå1. Åñëè, íàïðèìåð, â óñëîâèè òåîðåìû 6.9 äîïîëíèòåëüíî ïîòðåáîâàòü, ÷òî ôóíêöèè fn íåïðåðûâíî äèôôåðåíöèðóåìû íà îòðåçêå [a; b], òî ìû äîñòàòî÷íî ëåãêî ïîëó÷àåì åù¼, ÷òî ïðåäåëüíàÿ ôóíêöèÿ f (x) ôóíêöèîíàëüíîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè {fn (x)} íåïðåðûâíî äèôôåðåíöèðóåìà íà [a; b]. Çàìå÷àíèå2. Òåîðåìû 6.9 è 6.10 ñïðàâåäëèâû íà ïðîìåæóòêå X , îòëè÷íîì îò îòðåçêà. Çàìå÷àíèå3. Ðàâíîìåðíàÿ ñõîäèìîñòü ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ïðîèçâîäíûõ 0 {fn (x)} íà îòðåçêå [a; b] íå âûòåêàåò äàæå èç ðàâíîìåðíîé ñõîäèìîñòè ïîñëåäîâàòåëüíîñòè {fn (x)}.
Ïðèìåð 6.3. Èññëåäóåì ïîñëåäîâàòåëüíîñòü
sin nx {fn (x)} : fn (x) = √ , x ∈ [0; 1]. n / Äëÿ ëþáîãî x ∈ R n→∞ lim fn (x) = 0. Ïîýòîìó ïðåäåëüíàÿ ôóíêöèÿ ðàññìàòðèâàåìîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè f (x) = 0, ∀x ∈ R. Â ñèëó êðèòåðèÿ 3.1 ïîñëåäîâàòåëüíîñòü R
fn (x) ⇒ f (x). Ïîýòîìó [0;1]
fn (x) ⇒ f (x). √ √ Ôóíêöèÿ fn0 (x) = n cos nx, ∀x ∈ [0; 1], ∀n ∈ N. Ïîñêîëüêó fn0 (0) = n, òî fn0 (0) −→ +∞ ïðè n → ∞ è ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {fn0 (x)} íå ÿâëÿåòñÿ ïîòî÷å÷íî ñõîäÿùåéñÿ íà îòðåçêå [0; 1]. .
28
7 Ñòåïåííîé ðÿä Îïðåäåëåíèå 7.1. Ïóñòü {an }∞ n=1 íåêîòîðàÿ ÷èñëîâàÿ ïîñëåäîâàòåëü-
íîñòü, a ∈ R. Ñòåïåííûì ðÿäîì ñ íà÷àëüíîé òî÷êîé a íàçûâàåòñÿ ðÿä ∞ X
k=0
ak (x − a)k ,
ïðè ýòîì ÷èñëà ak íàçûâàþòñÿ êîýôôèöèåíòàìè ñòåïåííîãî ðÿäà. Ïîñêîëüêó ïðè a 6= 0 ëèíåéíàÿ ôóíêöèÿ t = x − a ïåðåâîäèò ñòåïåííîé ðÿä ∞ P ñ íà÷àëüíîé òî÷êîé a â ñòåïåííîé ðÿä an tn ñ íà÷àëüíîé òî÷êîé â íóëå, òî n=0
ñâîéñòâà ñòåïåííûõ ðÿäîâ, êîòîðûå íå ìåíÿþòñÿ ïðè ëèíåéíîì ïðåîáðàçîâàíèè, óäîáíî ôîðìóëèðîâàòü äëÿ ñòåïåííîãî ðÿäà ∞ X
an xn .
(7.1)
n=0
Îïðåäåëåíèå 7.2. Òî÷êà x0 ∈ R, â êîòîðîé ñòåïåííîé ðÿä (7.1)
(ïðè
x = x0 ) ñõîäèòñÿ, íàçûâàåòñÿ òî÷êîé ñõîäèìîñòè ðÿäà (7.1). Ìíîæåñòâî X ⊂ R âñåõ òî÷åê ñõîäèìîñòè ñòåïåííîãî ðÿäà (7.1) íàçûâàåòñÿ îáëàñòüþ ñõîäèìîñòè åãî. Çàìå÷àíèå. Ëþáîé ñòåïåííîé ðÿä (7.1) ñõîäèòñÿ â òî÷êå x = 0, ïîýòîìó îáëàñòü åãî ñõîäèìîñòè íå ïóñòà. Ðàññìîòðèì íåñêîëüêî ïðèìåðîâ.
Ïðèìåð 7.1. Îáëàñòü ñõîäèìîñòè ðÿäà ∞ X
n!xn
n=0
ñîñòîèò èç îäíîé òî÷êè x = 0, ïîñêîëüêó ïðè êàæäîì ôèêñèðîâàííîì x0 ∈ R \ 0
lim n!xn = ∞.
Ïðèìåð 7.2. Îáëàñòü ñõîäèìîñòè ñòåïåííîãî ðÿäà xn n=0 n! ∞ X
(7.2)
ñîâïàäàåò ñ ìíîæåñòâîì R. Äåéñòâèòåëüíî, â ñèëó ïðèçíàêà Äàëàìáåðà äëÿ ëþáîãî x0 ∈ R \ 0 ñõîäèòñÿ
|x0 |n ÷èñëîâîé ðÿä . Ïîýòîìó ðÿä (7.2) ñõîäèòñÿ àáñîëþòíî â êàæäîé òî÷êå n=0 n! ìíîæåñòâà R. ∞ X
29
Ïðèìåð 7.3. Ñòåïåííîé ðÿä xn , α ∈ [0; ∞) α n=0 n ∞ X
ñõîäèòñÿ àáñîëþòíî â òî÷êàõ x ∈ (−1; 1), ðàñõîäèòñÿ â òî÷êàõ x : |x| > 1.  òî÷êå x = 1 îí ñõîäèòñÿ , åñëè α > 1, è ðàñõîäèòñÿ ïðè α ∈ [0; 1].  òî÷êå x = −1 îí ñõîäèòñÿ ïðè α > 0 è ðàñõîäèòñÿ ïðè α = 0. Ïîýòîìó îáëàñòü ñõîäèìîñòè ñîâïàäàåò ñ (−1; 1), åñëè α = 0; ñ [−1; 1), åñëè α ∈ (0; 1]; ñ [−1; 1], åñëè α > 1.
Òåîðåìà 7.1 (ïåðâàÿ òåîðåìà Àáåëÿ òåîðèè ñòåïåííûõ ðÿäîâ). Åñ-
ëè ñòåïåííîé ðÿä (7.1) ñõîäèòñÿ â òî÷êå x0 6= 0, òî îí ñõîäèòñÿ àáñîëþòíî â êàæäîé òî÷êå x ∈ R, óäîâëåòâîðÿþùåé íåðàâåíñòâó |x| < |x0 |.
/ Ïóñòü ÷èñëîâîé ðÿä (7.1) ñõîäèòñÿ â òî÷êå x0 6= 0.  ñèëó íåîáõîäèìîãî ïðèçíàêà ñõîäèìîñòè ÷èñëîâîãî ðÿäà lim an xn0 = 0, ïîýòîìó ∃c > 0 ∃N0 ∈ N : ∀n > N0 |an xn0 | ≤ c, è ñïðàâåäëèâà îöåíêà
n
n
|x| |x| |an xn | = |an xn0 | · ≤ c , ∀n > N0 . |x0 | |x0 | Eñëè x òàêîå, ÷òî |x| < |x0 |, òî
|x| |x0 |
= q < 1 è ðÿä
ïðèçíàêà ñðàâíåíèÿ ïîëîæèòåëüíûõ ðÿäîâ ðÿä
∞ P
q n ñõîäèòñÿ. Â ñèëó
n=0 ∞ P |an xn | n=0
ñõîäèòñÿ, à çíà÷èò
ñòåïåííîé ðÿä (7.1) ñõîäèòñÿ àáñîëþòíî â êàæäîé òî÷êå x òàêîé, ÷òî |x| < |x0 |.
.
Åñëè X ⊂ R îáëàñòü ñõîäèìîñòè ñòåïåííîãî ðÿäà (7.1), òî ñóùåñòâóåò âåëè÷èíà (êîíå÷íàÿ èëè áåñêîíå÷íàÿ) R = sup{|x| : x ∈ X}.
Òåîðåìà 7.2. Åñëè R = sup{|x| : x ∈ X}, òî
1) ïðè R = 0 ñòåïåííîé ðÿä (7.1) ðàñõîäèòñÿ â êàæäîé òî÷êå x 6= 0;
2) ïðè R = +∞ ñòåïåííîé ðÿä (7.1) cõîäèòñÿ àáñîëþòíî â êàæäîé òî÷êå x ∈ R;
3) ïðè R ∈ (0; +∞) ðÿä (7.1) ñõîäèòñÿ â èíòåðâàëå (−R; R), ðàñõîäèòñÿ
â òî÷êàõ x ∈ R òàêèõ, ÷òî |x| > R, è ìîæåò êàê ñõîäèòüñÿ, òàê è ðàñõîäèòüñÿ â òî÷êàõ x = ±R 30
/ Åñëè R = 0, òî ìíîæåñòâî X = {0}, ïîýòîìó óòâåðæäåíèå 1) òåîðåìû âåðíî. Åñëè R = +∞, òî ìíîæåñòâî {|x| : x ∈ X} íåîãðàíè÷åííî ñâåðõó, ïîýòîìó äëÿ ëþáîãî x0 ∈ R \ 0 íàéä¼òñÿ òî÷êà x ∈ X òàêàÿ, ÷òî |x0 | < |x|.  ñèëó 1-îé òåîðåìû Àáåëÿ ñòåïåííîé ðÿä (7.1) ñõîäèòñÿ àáñîëþòíî â òî÷êå x0 . Ñëåäîâàòåëüíî, ðÿä (7.1) ñõîäèòñÿ àáñîëþòíî â êàæäîé òî÷êå x0 ∈ R. Ïóñòü R ∈ (0; +∞). Ôèêñèðóåì òî÷êó x0 ∈ R \ 0 òàêóþ, ÷òî |x0 | < R, è ïîëîæèì ε = R − |x0 | > 0.Ïî îïðåäåëåíèþ òî÷íîé âåðõíåé ãðàíèöû ÷èñëîâîãî ìíîæåñòâà ñóùåñòâóåò xε ∈ X : |x0 | = R − ε < |xε | ≤ R. Ó÷èòûâàÿ ïåðâóþ òåîðåìó Àáåëÿ, ïîëó÷èì, ÷òî ðÿä (7.1) àáñîëþòíî ñõîäèòñÿ â òî÷êå x0 , ïîýòîìó â òî÷êàõ x0 ∈ (−R; R) ðÿä (7.1) ñõîäèòñÿ àáñîëþòíî. Ïî îïðåäåëåíèþ ÷èñëà R ëþáàÿ òî÷êà x0 ∈ R, äëÿ êîòîðîé |x0 | > R, íå ïðèíàäëåæèò ìíîæåñòâó X ñõîäèìîñòè ñòåïåííîãî ðÿäà. Ïîýòîìó ñòåïåííîé ðÿä ðàñõîäèòñÿ â òî÷êå x0 . . Ïðèìåð 7.3 ïîêàçûâàåò, ÷òî äëÿ íåãî R = 1, ∀α ∈ [0; +∞), è â òî÷êàõ x = ±R ñòåïåííîé ðÿä ìîæåò êàê ñõîäèòüñÿ, òàê è ðàñõîäèòüñÿ â çàâèñèìîñòè îò åãî êîýôôèöèåíòîâ.
Îïðåäåëåíèå 7.3. Âåëè÷èíà R = sup{|x| : x ∈ X} íàçûâàåòñÿ ðàäèóñîì
ñõîäèìîñòè ñòåïåííîãî ðÿäà (7.1). Åñëè R ∈ (0; +∞), òî èíòåðâàë (−R; R) íàçûâàåòñÿ èíòåðâàëîì ñõîäèìîñòè ñòåïåííîãî ðÿäà (7.1). Åñëè R = +∞, òî îáëàñòü ñõîäèìîñòè ñîâïàäàåò ñ ìíîæåñòâîì (−∞; +∞).
Òåîðåìà q7.3 (ôîðìóëà Êîøè-Àäàìàðà).
Ïóñòü äëÿ ñòåïåííîãî ðÿäà (7.1) ρ = lim n |an |.Òîãäà ðàäèóñ ñõîäèìîñòè R ñòåïåííîãî ðÿäà (7.1) âû÷èñëÿåòñÿ ïî ôîðìóëå 0, åñëè ρ = +∞, R = 1/ρ, åñëè ρ ∈ (0; +∞), +∞, åñëè ρ = 0. Ôîðìàëüíî ôîðìóëó Êîøè-Àäàìàðà çàïèñûâàþò :
R=
1
q
lim n |an |
.
/ Ôèêñèðóåì òî÷êó x 6= 0 è ðàññìîòðèì ïîëîæèòåëüíûé ðÿä ∞ X
n=0
Ïî ñâîéñòâó âåðõíåãî ïðåäåëà q
lim |an ||x|n = n
|an ||x|n .
|x| · ρ, +∞, 31
åñëè ρ ∈ [0; +∞), åñëè ρ = +∞.
(7.3)
 ñèëó ïðèçíàêà Êîøè (ïðåäåëüíàÿ ôîðìà) ïðè ρ = +∞ ðÿä (7.3) ðàñõîäèòñÿ â òî÷êàõ x 6= 0, ïðè÷¼ì äëÿ íåãî íå âûïîëíÿåòñÿ íåîáõîäèìûé ïðèçíàê ñõîäèìîñòè. Çíà÷èò ñòåïåííîé ðÿä (7.1) ðàñõîäèòñÿ â êàæäîé òî÷êå x 6= 0 è ðàäèóñ ñõîäèìîñòè åãî ðàâåí R = 0. Åñëè ρ = 0, òî â êàæäîé òî÷êå x ∈ R ðÿä (7.3) ñõîäèòñÿ, à ðÿä (7.1) àáñîëþòíî ñõîäèòñÿ. Ñëåäîâàòåëüíî, ñòåïåííîé ðÿä (7.1) ñõîäèòñÿ àáñîëþòíî íà ìíîæåñòâå R è åãî ðàäèóñ ñõîäèìîñòè áåñêîíå÷åí. Åñëè æå ρ ∈ (0; +∞), òî ðÿä (7.3) ñõîäèòñÿ ïðè ρ · |x| < 1, ò.å. ïðè |x| < ρ1 , è ðàñõîäèòñÿ ïðè |x| > ρ1 , ïðè ýòîì |an | · |x|n 6−→ 0 ïðè n → ∞. Ïîýòîìó ñòåïåííîé ðÿä (7.1) ñõîäèòñÿ àáñîëþòíî íà ìíîæåñòâå |x| < ρ1 è ðàñõîäèòñÿ â òî÷êàõ |x| > ρ1 . Ïîñëåäíåå îçíà÷àåò, ÷òî R = ρ1 . .
Çàìå÷àíèå. Åñëè äëÿ ñòåïåííîãî ðÿäà (7.1) ñóùåñòâóåò ïðåäåë
lim n→∞ òî åãî ðàäèóñ ñõîäèìîñòè R =
|an+1 | = A ∈ R, |an |
1 A.
Ïðèìåð 7.4. Íàéòè îáëàñòü ñõîäèìîñòè ðÿäà n!xn . n n=1 n ∞ X
/ Òàê êàê an = òî
lim
(7.4)
n! , ∀n ∈ N, nn
|an+1 | 1 1 = lim = |an | e (1 + n1 )n
è R = e, èíòåðâàë (−e; e) èíòåðâàë ñõîäèìîñòè ñòåïåííîãî ðÿäà (7.4). Èññëåäóåì ïîâåäåíèå ðÿäà â òî÷êàõ x = ±e. Åñëè x = e, òî ðÿä (7.4) ïðèíèìàåò âèä
n!en . n n=1 n ∞ X
Ïîëîæèì
bn = Òîãäà
n!en , ∀n ≥ 1. nn
e |bn+1 | = → 1. |bn | (1 + n1 )n 32
Íî ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {(1 + 1/n)n } ÿâëÿåòñÿ âîçðàñòàþùåé, ïîýòîìó ïîñëåäî −n âàòåëüíîñòü e 1 + n1 ÿâëÿåòñÿ óáûâàþùåé è
|bn+1 | > 1, ∀n ∈ N. |bn |
Ñîãëàñíî ïðèçíàêó Äàëàìáåðà (íåïðåäåëüíàÿ ôîðìà) ÷èñëîâîé ðÿä
n!en n n=1 n ∞ X
ðàñõîäèòñÿ è bn 6→ 0. Ïîñëåäíåå îçíà÷àåò, ÷òî è â òî÷êå x = −e ðÿä (7.4) ðàñõîäèòñÿ, ò.å. îáëàñòü åãî ñõîäèìîñòè ñîâïàäàåò ñ èíòåðâàëîì ñõîäèìîñòè (−e; e).
.
8 Ôóíêöèîíàëüíûå ñâîéñòâà ñòåïåííîãî ðÿäà Òåîðåìà 8.1. (î ðàâíîìåðíîé ñõîäèìîñòè ñòåïåííîãî ðÿäà âíóòðè èíòåðâàëà ñõîäèìîñòè). Åñëè ðàäèóñ ñõîäèìîñòè ñòåïåííîãî ðÿäà (7.1) îò-
ëè÷åí îò íóëÿ, òî ñòåïåííîé ðÿä ðàâíîìåðíî è àáñîëþòíî ñõîäèòñÿ íà ëþáîì îòðåçêå [a; b] ⊂ (−R; R).
/ Ôèêñèðóåì îòðåçîê [a; b] ⊂ (−R; R). Ïo àêñèîìå íåïðåðûâíîñòè ìíîæåñòâà R äåéñòâèòåëüíûõ ÷èñåë íàéä¼òñÿ r0 > 0 òàêîå, ÷òî [a; b] ⊂ [−r0 ; r0 ] ⊂ (−R; R). ∞ P Òàê êàê r0 ∈ (0; R), òî ÷èñëîâîé ðÿä |an |r0n ñõîäèòñÿ. Íî ∀x ∈ [a; b], ∀n ∈ N0 n=0
|an xn | ≤ |an |r0n .
Ïîýòîìó ñòåïåííîé ðÿä (7.1), ñîãëàñíî ïðèçíàêó Âåéåðøòðàññà, àáñîëþòíî è ðàâíîìåðíî ñõîäèòñÿ íà îòðåçêå [a; b]. .
Îïðåäåëåíèå 8.1. Åñëè ñòåïåííîé ðÿä (7.1) ðàâíîìåðíî ñõîäèòñÿ íà ëþáîì
îòðåçêå, ñîäåðæàùåìñÿ â èíòåðâàëå ñõîäèìîñòè åãî, òî ãîâîðÿò, ÷òî îí ñõîäèòñÿ ðàâíîìåðíî âíóòðè èíòåðâàëà ñõîäèìîñòè. Ñ ó÷¼òîì ïîñëåäíåãî îïðåäåëåíèÿ äîêàçàííàÿ òåîðåìà 8.1 ìîæåò áûòü ñôîðìóëèðîâàíà ñëåäóþùèì îáðàçîì:
Òåîðåìà 8.2. Åñëè ðàäèóñ ñõîäèìîñòè ñòåïåííîãî ðÿäà (7.1) îòëè÷åí îò
íóëÿ, òî ðÿä (7.1) ðàâíîìåðíî ñõîäèòñÿ âíóòðè èíòåðâàëà ñõîäèìîñòè.
Ñëåäñòâèå 8.2.1. Ñóììà ñòåïåííîãî ðÿäà ñ îòëè÷íûì îò íóëÿ ðàäèóñîì
ñõîäèìîñòè íåïðåðûâíà â èíòåðâàëå ñõîäèìîñòè. 33
Òåîðåìà 8.3. Åñëè ñòåïåííîé ðÿä èìååò îòëè÷íûé îò íóëÿ ðàäèóñ ñõî-
äèìîñòè è ñõîäèòñÿ â òî÷êå x = R, òî îí ðàâíîìåðíî ñõîäèòñÿ íà îòðåçêå [0; R].
/ Ïî óñëîâèþ ÷èñëîâîé ðÿä
∞ P
n=0
an R n
ñõîäèòñÿ. Òàê êàê ∀x ∈ [0; R]
an xn = an Rn · ( Rx )n , òî â ñèëó ïðèçíàêà Àáåëÿ ñòåïåííîé ðÿä (7.1) ðàâíîìåðíî ñõîäèòñÿ íà îòðåçêå [0; R] (ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {( Rx )n } ìîíîòîííà ïðè êàæäîì ôèêñèðîâàííîì x ∈ [0; R] è ðàâíîìåðíî îãðàíè÷åíà, òàê êàê ( Rx )n ≤ 1, ∀x ∈ [0; R] è ∀n ∈ N0 ). .
Ñëåäñòâèå 8.3.1 (2-àÿ òåîðåìà Àáåëÿ). Åñëè ñòåïåííîé ðÿä (7.1) ñõî-
äèòñÿ â òî÷êå x = R, òî åãî ñóììà S(x) íåïðåðûâíà ñëåâà â òî÷êå x = R, ò.å. S(R − 0) = S(R).
Çàìå÷àíèå. Åñëè ñòåïåííîé ðÿä (7.1) èìååò îòëè÷íûé îò íóëÿ ðàäèóñ ñõîäèìîñòè è ñõîäèòñÿ â òî÷êå x = −R, òî àíàëîãè÷íî ìîæíî äîêàçàòü, ÷òî îí ðàâíîìåðíî ñõîäèòñÿ íà îòðåçêå [−R; 0] è åãî ñóììà íåïðåðûâíà â òî÷êå x = −R ñïðàâà.
Òåîðåìà 8.4 (î
ïî÷ëåííîì èíòåãðèðîâàíèè
ñòåïåííîãî ðÿäà).
Ïóñòü ñòåïåííîé ðÿä (7.1) èìååò ðàäèóñ ñõîäèìîñòè R > 0 è x ïðèíàäëåæèò îáëàñòè ñõîäèìîñòè åãî. Òîãäà ðÿä(7.1) ìîæíî ïî÷ëåííî èíòåãðèðîâàòü íà îòðåçêå [0; x]. Ïîëó÷åííûé â ðåçóëüòàòå ðÿä ∞ X
an n+1 x n=0 n + 1
(8.1)
èìååò òîò æå ðàäèóñ ñõîäèìîñòè, ÷òî è ðÿä (7.1).
/ Äëÿ ëþáîãî x èç îáëàñòè ñõîäèìîñòè (7.1) ñîãëàñíî òåîðåìàì 8.1 è 8.3 ñòåïåííîé ðÿä (7.1) ðàâíîìåðíî ñõîäèòñÿ íà îòðåçêå [0; x]. Ïîñêîëüêó ÷ëåíû ñòåïåííîãî ðÿäà íåïðåðûâíû íà R, òî â ñèëó òåîðåìû 6.8 ñóììà S(x) ðÿäà (7.1) èíòåãðèðóåìà íà îòðåçêå [0; x] è Zx
S(x)dx =
0
∞ X
an n+1 x . n + 1 n=0
Íàéä¼ì ðàäèóñ ñõîäèìîñòè ðÿäà (8.1). Òàê êàê
lim
v u u n |an−1 | t
n
q
q 1 n+1 = lim |an−1 | lim √ = lim |an | = n n n
q
n
q
= lim( n |an |) n+1 = lim n |an |,
òî ðàäèóñ ñõîäèìîñòè ðÿäà (8.1) ñîâïàäàåò c ðàäèóñîì R ñõîäèìîñòè ðÿäà (7.1).
. 34
Òåîðåìà 8.5 (î ïî÷ëåííîì äèôôåðåíöèðîâàíèè ñòåïåííîãî ðÿäà).
Ïóñòü R(> 0) ðàäèóñ ñõîäèìîñòè ñòåïåííîãî ðÿäà (7.1). Ðÿä (7.1) âíóòðè èíòåðâàëà ñõîäèìîñòè ìîæíî ïî÷ëåííî äèôôåðåíöèðîâàòü. Ðÿä, ïîëó÷åííûé ïî÷ëåííûì äèôôåðåíöèðîâàíèåì, èìååò òîò æå ðàäèóñ ñõîäèìîñòè, ÷òî è ðÿä (7.1). Åñëè S(x) ñóììà ðÿäà (7.1), òî îíà íåïðåðûâíî äèôôåðåíöèðóåìà â èíòåðâàëå (−R; R) è 0
S (x) =
∞ X
(8.2)
nan xn−1 .
n=1
/  ðåçóëüòàòå ïî÷ëåííîãî äèôôåðåíöèðîâàíèÿ ðÿäà (7.1) ïîëó÷èì ðÿä (8.2), ∞ P êîòîðûé ñõîäèòñÿ èëè ðàñõîäèòñÿ îäíîâðåìåííî ñ ðÿäîì nan xn . Ïóñòü R1 n=1
ðàäèóñ ñõîäèìîñòè ïîñëåäíåãî ñòåïåííîãî ðÿäà, à çíà÷èò è ðÿäà (8.2). Òàê êàê q
lim n n|an | = lim
q q √ n n · lim n |an | = lim n |an |,
òî R1 = R. Ïîýòîìó â ñèëó òåîðåì 8.1 è 6.10 ñòåïåííîé ðÿä (7.1) ìîæíî ïî÷ëåííî äèôôåðåíöèðîâàòü íà ëþáîì îòðåçêå [a; b] ⊂ (−R; R), ò.å. âíóòðè èíòåðâàëà ñõîäèìîñòè, ïðè÷¼ì íà [a; b], à çíà÷èò â èíòåðâàëå (−R; R) èìååò ìåñòî ðàâåíñòâî (8.2). Ó÷èòûâàÿ ñëåäñòâèå èç òåîðåìû 8.2 ïîëó÷èì, ÷òî ôóíêöèÿ S(x) íåïðåðûâíî äèôôåðåíöèðóåìà íà èíòåðâàëå (−R; R). .
Ñëåäñòâèå 8.5.1. Ïóñòü R > 0 ðàäèóñ ñõîäèìîñòè ñòåïåííîãî ðÿäà
(7.1). Ñòåïåííîé ðÿä (7.1) âíóòðè åãî èíòåðâàëà ñõîäèìîñòè ìîæíî äèôôåðåíöèðîâàòü ïî÷ëåííî ëþáîå ÷èñëî ðàç. Ðÿä, ïîëó÷åííûé n-êðàòíûì ïî÷ëåííûì äèôôåðåíöèðîâàíèåì èñõîäíîãî ñòåïåííîãî ðÿäà, èìååò òîò æå ðàäèóñ ñõîäèìîñòè, ÷òî è ðÿä (7.1). Ñóììà ðÿäà (7.1) S(x) ∈ C ∞ (−R; R).
9 Ðàçëîæåíèå ôóíêöèè â ñòåïåííîé ðÿä. Ðÿä Òåéëîðà Îïðåäåëåíèå 9.1. Áóäåì ãîâîðèòü, ÷òî ôóíêöèÿ f ìîæåò áûòü ðàçëîæåíà
â ñòåïåííîé ðÿä íà èíòåðâàëå (x0 −h, x0 +h), ãäå h > 0 è x0 ∈ R, åñëè ñóùåñòâóåò ∞ P ñòåïåííîé ðÿä an (x−x0 )n ñõîäÿùèéñÿ ê ôóíêöèè f íà óêàçàííîì èíòåðâàëå. n=0
Òåîðåìà 9.1. Äëÿ òîãî ÷òîáû ôóíêöèÿ f ìîãëà áûòü ðàçëîæåíà â ñòå-
ïåííîé ðÿä íà èíòåðâàëå (x0 − h, x0 + h), íåîáõîäèìî, ÷òîáû ýòà ôóíêöèÿ ïðèíàäëåæàëà êëàññó C ∞ (x0 − h, x0 + h). Òåîðåìà 9.1 âûòåêàåò èç ñëåäñòâèÿ ê òåîðåìå 8.5.
35
Òåîðåìà 9.2. Åñëè ôóíêöèÿ f ∈ C ∞ (Ux0 ) è f (x) =
∞ P
n=0
an (x − x0 )n ,
∀x ∈ Ux0 = (x0 − h; x0 + h), ò.å. ðàçëîæåíà â ñòåïåííîé ðÿä íà èíòåðâàëå (x0 − h, x0 + h), òî f (n) (x0 ) an = , n ∈ N0 . n! / Ïóñòü f (x) =
∞ P
n=0
an (x − x0 )n , ∀x ∈ (x0 − h; x0 + h), òîãäà f (x0 ) = a0 .
Äèôôåðåíöèðóÿ ýòîò ðÿä ïî÷ëåííî k ðàç, k ∈ N, ïîëó÷èì ∀x ∈ (x0 − h; x0 + h)
f (k) (x) = ak k! + ak+1 (k + 1)k · . . . · 2(x − x0 ) + . . . . Îòñþäà Ñëåäîâàòåëüíî,
f (k) (x0 ) = ak k!, ∀k ∈ N. f (k) (x0 ) , k ∈ N0 . ak = k!
(9.1)
.
Ñëåäñòâèå 9.2.1.
Êîýôôèöèåíòû ñòåïåííîãî ðÿäà, â êîòîðûé ìîæåò áûòü ðàçëîæåíà ôóíêöèÿ f ∈ C ∞ (Ux0 ), îäíîçíà÷íî îïðåäåëÿþòñÿ ôîðìóëîé (9.1).
Îïðåäåëåíèå 9.2. Åñëè ôóíêöèÿ f ∈ C ∞ (Ux0 ), òî ñòåïåííîé ðÿä f (n) (x0 ) (x − x0 )n n! n=0 ∞ X
(9.2)
(n)
íàçûâàåòñÿ ðÿäîì Òåéëîðà ôóíêöèè f , à ÷èñëà f n!(x0 ) êîýôôèöèåíòàìè Òåéëîðà. Åñëè æå x0 = 0, òî ðÿä (9.2) íàçûâàþò ðÿäîì Ìàêëîðåíà ôóíêöèè f. Èç òåîðåìû 9.2 ñëåäóåò íåïîñðåäñòâåííî
Òåîðåìà 9.3. Ïóñòü ñòåïåííîé ðÿä
∞ P
an (x − x0 )n èìååò îòëè÷íûé îò n=0 íóëÿ ðàäèóñ ñõîäèìîñòè. Òîãäà ýòîò ðÿä ÿâëÿåòñÿ ðÿäîì Òåéëîðà ñâîåé ñóììû. Çàìå÷àíèå. Åñëè f ∈ C ∞ (Ux0 ) è ñòåïåííîé ðÿä
∞ P
n=0
an (x−x0 )n ÿâëÿåòñÿ ðÿäîì
Òåéëîðà ôóíêöèè f , ò.å. an îïðåäåëÿþòñÿ ôîðìóëîé (9.1), òî îí íå îáÿçàòåëüíî ñõîäèòñÿ ïðè x 6= x0 è èìååò ñâîåé ñóììîé ôóíêöèþ f (x). 36
Ïðèìåð 9.1. Ïóñòü
f (x) =
1
e− x2 , x 6= 0, 0, x = 0.
/ ßñíî, ÷òî f ∈ C(R) è äëÿ x 6= 0 èìååì: 1 2 f 0 (x) = 3 e− x2 , x 1 1 6 4 f 00 (x) = − 4 e− x2 + 6 e− x2 , x x 1 36 1 8 24 1 f (3) (x) = 5 e− x2 − 7 e− x2 + 9 e− x2 . x x x Ìîæíî ïîêàçàòü, ÷òî äëÿ ëþáîãî n ∈ N ïðè x 6= 0 f (n) (x) åñòü ñóììà êîíå÷1 1 íîãî ÷èñëà ôóíêöèé âèäà xAk e− x2 , k ∈ N. Òàê êàê lim x−k e− x2 = 0, ∀k ∈ N, òî x→0
f (0) = 0, ∀n ∈ N è ôóíêöèè f íåïðåðûâíû â òî÷êå x = 0. Ñëåäîâàòåëüíî, ∞ ∞ P P ðÿä Òåéëîðà ôóíêöèè f â íóëå ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ðÿä an x n = 0 · xn (n)
(n)
n=0
n=0
(âñå êîýôôèöèåíòû an ðàâíû íóëþ). Ðàäèóñ ñõîäèìîñòè ýòîãî ðÿäà R = +∞, ò.å. ðÿä ñõîäèòñÿ â êàæäîé òî÷êå x ∈ R, ñóììà åãî S(x) = 0, ∀x ∈ R è S(x) 6= f (x), ∀x 6= 0. Ïîñêîëüêó åäèíñòâåííûì ñòåïåííûì ðÿäîì, ïðåäñòàâëÿþùèì â íåêîòîðîé îêðåñòíîñòè íóëÿ ôóíêöèþ f, ìîæåò áûòü òîëüêî å¼ ðÿä Òåéëîðà ñ íà÷àëüíîé òî÷êîé x0 = 0, òî, ðàññìàòðèâàåìàÿ ôóíêöèÿ f íå ïðåäñòàâëÿåòñÿ ñòåïåííûì ðÿäîì â îêðåñòíîñòè òî÷êè x = 0. .
Çàìå÷àíèå. Ñóùåñòâóåò ôóíêöèÿ f ∈ C ∞ (R), ðÿä Ìàêëîðåíà êîòîðîé ñõîäèòñÿ ëèøü â îäíîé òî÷êå x = 0 (ñì.[6], ïðèìåð 24, ñ.91).
Òåîðåìà 9.4 (êðèòåðèé ðàçëîæèìîñòè ôóíêöèè â ðÿä Òåéëîðà).
Ïóñòü f ∈ C ∞ (x0 − h, x0 + h) è
f (k) (x0 ) (x − x0 )k + rn (x) k! k=0 n X
å¼ ðàçëîæåíèå ïî ôîðìóëå Òåéëîðà ñ îñòàòî÷íûì ÷ëåíîì rn (x). Äëÿ òîãî ÷òîáû ðÿä Òåéëîðà ôóíêöèè f ñõîäèëñÿ íà èíòåðâàëå (x0 −h, x0 +h) ê ôóíêöèè f, íåîáõîäèìî è äîñòàòî÷íî, ÷òîáû ∃ n→∞ lim rn (x) = 0, ∀x ∈ (x0 − h, x0 + h). Óòâåðæäåíèå î÷åâèäíî.
Òåîðåìà 9.5. (äîñòàòî÷íîå óñëîâèå ðàçëîæèìîñòè ôóíêöèè â ðÿä Òåéëîðà). Ïóñòü f ∈ C ∞ ((x0 − h, x0 + h)) è ñóùåñòâóþò ïîñòîÿííûå A > 0,
B > 0 òàêèå, ÷òî |f (n) (x)| ≤ A · B n , ∀x ∈ (x0 − h, x0 + h), ∀n ∈ N0 . Òîãäà f (n) (x0 ) f (x) = (x − x0 )n , n! n=0 ∞ X
37
∀x ∈ (x0 − h, x0 + h).
/ Òàê êàê f ∈ C ∞ ((x0 − h, x0 + h)), òî äëÿ ëþáîãî x ∈ (x0 − h, x0 + h) è ∀n ∈ N0 ôóíêöèþ f (x) ìîæíî ðàçëîæèòü ïî ôîðìóëå Òåéëîðà ñ îñòàòî÷íûì ÷ëåíîì â ôîðìå Ëàãðàíæà f (x) = ãäå
f (k) (x0 ) (x − x0 )k + rn (x), k! k=0 n X
f (n+1) (θx ) (x − x0 )n+1 , (n + 1)! Â ñèëó óñëîâèé òåîðåìû rn (x) =
θx = x0 + θ(x − x0 ), θ ∈ (0, 1).
A · B n+1 n+1 |rn (x)| ≤ h , (n + 1)! Ïîñêîëüêó ðÿä
∞ P
n=0
∀x ∈ (x0 − h, x0 + h).
n+1
A (Bh) (n+1)! ñõîäèòñÿ, òî (Bh)n+1 lim = 0, n→∞ (n + 1)!
à çíà÷èò, n→∞ lim rn (x) = 0. Òàêèì îáðàçîì âûïîëíåíî äîñòàòî÷íîå óñëîâèå êðèòåðèÿ ðàçëîæèìîñòè ôóíêöèè â ðÿä Òåéëîðà. .
Ñëåäñòâèå 9.5.1. Åñëè f ∈ C ∞ ((x0 − h, x0 + h)) è ñóùåñòâóåò ïîëîæè-
òåëüíîå ÷èñëî A òàêîå, ÷òî ∀x ∈ (x0 − h, x0 + h), ∀n ∈ N0
|f (n) (x)| ≤ A, òî ôóíêöèÿ f ðàçëàãàåòñÿ â ðÿä Òåéëîðà ñ íà÷àëüíîé òî÷êîé x0 . Ðàññìîòðèì ðàçëîæåíèå íåêîòîðûõ ýëåìåíòàðíûõ ôóíêöèé â ðÿä Ìàêëîðåíà.
Ëåììà 9.1.
xn e = , n=0 n! x
∞ X
∀x ∈ R.
/ Ôóíêöèÿ f (x) = ex ∈ C ∞ (R), f (n) (x) = ex , ∀n ∈ N. Ñëåäîâàòåëüíî, f (n) (0) = 1, ∀n ∈ N0 , è ∞ xn X . ex ∼ n=0 n! Åñëè h íåêîòîðîå ïîëîæèòåëüíîå ÷èñëî, òî |f (n) (x)| = |ex | ≤ eh , ∀x ∈ (−h; h) ∞ xn P è, ñîãëàñíî òåîðåìå 9.5, ex = n! , ∀x ∈ (−h; h). Ñëåäîâàòåëüíî, ∀x ∈ R n=0
xn . . e = n=0 n! x
∞ X
38
Ëåììà 9.2.
(−1)n x2n+1 sin x = , n=0 (2n + 1)! ∞ X
∀x ∈ R.
/ Ôóíêöèÿ f (x) = sin x ∈ C ∞ (R), f (n) (x) = sin(x + nπ ∀n ∈ N. Ñëåäîâà2 ), òåëüíî, nπ 0, åñëè n = 2k f (n) (0) = sin = , k ∈ N0 . (−1)k , åñëè n = 2k + 1 2 Êðîìå òîãî, |f (n) (x)| ≤ 1, ∀x ∈ R. Ñîãëàñíî òåîðåìå 9.5 ôóíêöèÿ f (x) = sin x ðàçëàãàåòñÿ â ðÿä Òåéëîðà íà ëþáîì ïðîìåæóòêå (−h; h), h > 0. Ñëåäîâàòåëüíî,
(−1)n x2n+1 sin x = , ∀x ∈ R. n=0 (2n + 1)! Çàìå÷àíèå. Àíàëîãè÷íî äîêàçûâàåòñÿ, ÷òî ∞ X
.
(−1)n x2n , x ∈ R. cos x = (2n)! n=0 ∞ X
Ëåììà 9.3. (1 + x)α = 1 + ∀x ∈ (−1; 1). è
α(α − 1) . . . (α − n + 1)xn , n! n=1 ∞ X
∀α ∈ R \ 0,
/ Åñëè f (x) = (1 + x)α , α ∈ R \ {0}, òî D(f ) = (−1; +∞), f ∈ C ∞ (D(f )) f (n) (x) = α(α − 1) . . . (α − n + 1)(1 + x)α−n ,
∀n ∈ N.
Ïîýòîìó ôóíêöèè f ñîîòâåòñòâóåò ñëåäóþùèé ðÿä Ìàêëîðåíà
α(α − 1) . . . (α − n + 1)xn 1+ . n! n=1 ∞ X
Ýòîò ðÿä îáû÷íî íàçûâàþò áèíîìèàëüíûì. Çàìåòèì, ÷òî åñëè α ∈ N, òî áèíîìèàëüíûå êîýôôèöèåíòû ïðè xα+k , k ∈ N, ðàâíû íóëþ. Èçó÷èì îñòàòî÷íûé ÷ëåí rn (x) ôîðìóëû Òåéëîðà ôóíêöèè f. Îñòàòî÷íûé ÷ëåí â ôîðìå Êîøè èìååò âèä:
rn (x) = f (n+1) (θx)
(1 − θ)n n+1 x , n!
∀x ∈ (−1; 1), ãäå θ ∈ (0; 1).
Ïîýòîìó â äàííîì ñëó÷àå
α(α − 1) . . . (α − n)(1 + θx)α−n−1 (1 − θ)n xn+1 , rn (x) = n!
39
ãäå θ ∈ (0; 1). Ïîëîæèì
α(α − 1)(α − 2) . . . (α − n) n x , n! γ2,n (x) = αx(1 + θx)α−1 , ! 1−θ n γ3,n (x) = . 1 + θx γ1,n (x) =
Òîãäà rn (x) = γ1,n (x) · γ2,n (x) · γ3,n (x). Ðÿä ∞ X
n=1
|γ1,n (x)| =
∞ X
|α − 1| . . . |α − n| · |xn |, n! n=1
ñõîäèòñÿ íà èíòåðâàëå (−1; 1) ñîãëàñíî ïðèçíàêó Äàëàìáåðà, ïîýòîìó
lim γ (x) n→∞ 1,n
= 0, ∀x ∈ (−1; 1). Äàëåå, òàê êàê 1 − |x| < 1 + θx < 1 + |x|, ∀x ∈ (−1; 1), òî ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {γ2,n (x)} îãðàíè÷åíà íà èíòåðâàëå (−1; 1). Íàêîíåö, ∀x ∈ (−1; 1) |γ3,n (x)| =
1 − θ n 1 + θx
≤
1−θ < 1. 1 − θ|x|
Ñëåäîâàòåëüíî, n→∞ lim rn (x) = 0, ∀x ∈ (−1; 1), è äëÿ ëþáîãî x ∈ (−1; 1) ñïðàâåäëèâî ðàâåíñòâî
(1 + x)α = 1 +
Ñëåäñòâèå 9.5.2.
∞ X
α(α − 1) . . . (α − n + 1) n ·x . . n! n=1
(1 + x)−1 =
∞ X
(−1)n xn ,
n=0
Ëåììà 9.4.
(−1)n xn , ln(1 + x) = n n=1 ∞ X
∀x ∈ (−1; 1).
∀x ∈ (−1; 1].
/ Ôóíêöèÿ f (x) = ln(1 + x) îïðåäåëåíà è äèôôåðåíöèðóåìà íà (−1; +∞), 1 ïðè÷¼ì f 0 (x) = 1+x . Ñ ó÷¼òîì ñëåäñòâèÿ ëåììû 9.3 f 0 (x) =
∞ X
(−1)n xn ,
n=0
∀x ∈ (−1; 1).
Ïðîèíòåãðèðóåì òîæäåñòâî íà îòðåçêå [0; x], åñëè x ∈ (−1; 1), ïîëó÷èì Zx 0
f 0 (x)dx =
(−1)n xn+1 , n+1 n=0 ∞ X
40
x ∈ (−1; 1).
Ïîñêîëüêó
Zx
f 0 (x)dx = ln(1 + x),
0
òî
(−1)k−1 xk ln(1 + x) = , k k=1 ∞ X
∀x ∈ (−1; 1).
Òàê êàê ïîñëåäíèé ñòåïåííîé ðÿä ñõîäèòñÿ â òî÷êå x = 1, òî åãî ñóììà S(x) íåïðåðûâíà â òî÷êå x = 1 ñëåâà, ò. å. S(1) = lim S(x). Íî ôóíêöèÿ ln(1 + x) 1−0 íåïðåðûâíà â òî÷êå x = 1, ïîýòîìó
S(1) = lim S(x) = lim ln(1 + x) = ln 2, x→1−0
è
ln(1 + x) =  ÷àñòíîñòè, ln 2 =
x→1−0
(−1)k−1 xk , k k=1 ∞ X
∀x ∈ (−1; 1].
∞ (−1)k−1 P . k k=1
Ëåììà 9.5. arcsin x = x +
. (2n − 1)!! x2n+1 , (2n)!! 2n + 1 k=1 ∞ X
∀x ∈ [−1; 1].
/ Çàìåòèì, ÷òî ôóíêöèÿ f (x) = arcsin x äèôôåðåíöèðóåìà íà (−1; 1) è
 ñèëó ëåììû 9.3
(arcsin x)0 = √
1 (arcsin x)0 = √ . 1 − x2 ∞ (2n − 1)!! X 1 = 1 + x2n , n 2 2 n! 1−x k=1
∀x ∈ (−1; 1).
Èíòåãðèðóÿ ïîëó÷åííîå òîæäåñòâî íà îòðåçêå [0; x], x ∈ (−1; 1), èìååì:
(2n − 1)!! x2n+1 , arcsin x = x + (2n)!! 2n + 1 k=1 ∞ X
∀x ∈ (−1; 1).
 òî÷êå x = 1 ïîëó÷åííûé ðÿä èìååò âèä ∞ X
(2n − 1)!! 1 . (2n)!! 2n + 1 k=1 Îí ñõîäèòñÿ â ñèëó ïðèçíàêà Ðààáå !
!
an 6n + 5 6 3 Rn = n −1 =n 2 −→ = > 1 . an+1 4n + 2n + 1 4 2 41
ßñíî, ÷òî îí ñõîäèòñÿ è â òî÷êå x = −1, ò.å. ñõîäèòñÿ íà îòðåçêå [−1; 1]. Ïîýòîìó åãî ñóììà S(x) íåïðåðûâíà íà îòðåçêå [−1; 1]. Ó÷èòûâàÿ íåïðåðûâíîñòü ôóíêöèè arcsin x íà îòðåçêå [−1; 1], ïîëó÷èì, ÷òî
(2n − 1)!! x2n+1 arcsin x = x + , 2n!! 2n + 1 n=1 ∞ X
Ñëåäñòâèå 9.5.3.
∀x ∈ [−1; 1]. .
∞ (2n − 1)!! X π 1 = arcsin 1 = 1 + . 2 (2n)!! 2n + 1 n=1
Ñïèñîê ëèòåðàòóðû [1] Èëüèí Â.À., Ñàäîâíè÷èé Â.À., Ñåíäîâ Áë.Õ. Ìàòåìàòè÷åñêèé àíàëèç. Ì.: Íàóêà, 1979. [2] Êóäðÿâöåâ Ë.Ä. Ìàòåìàòè÷åñêèé àíàëèç, ò. 2. Ì.: Âûñøàÿ øêîëà, 1973. [3] ÒåðÊðèêîðîâ À.Ì., Øàáóíèí Ì.È. Êóðñ ìàòåìàòè÷åñêîãî àíàëèçà. Ì.: Èçä-âî ÌÔÒÈ, 2000. [4] Àðõèïîâ Ã.È., Ñàäîâíè÷èé Â.À., ×óáàðèêîâ Â.Í. Ëåêöèè ïî ìàòåìàòè÷åñêîìó àíàëèçó. Ì.: Âûñøàÿ øêîëà, 2000. [5] Ôèõòåíãîëüö Ã.Ì. Êóðñ äèôôåðåíöèàëüíîãî è èíòåãðàëüíîãî èñ÷èñëåíèÿ, ò. II. Ì.: Íàóêà, 1966. [6] Ãåëáàóì Á., Îëìñòåä Äæ. Êîíòðïðèìåðû â àíàëèçå. Ì.: Ìèð, 1967.
Ñîäåðæàíèå 1 Ïîòî÷å÷íàÿ è ðàâíîìåðíàÿ ñõîäèìîñòè ôóíêöèîíàëüíîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè 3 2 Àðèôìåòè÷åñêèå îïåðàöèè ñ ðàâíîìåðíî ñõîäÿùèìèñÿ ôóíêöèîíàëüíûìè ïîñëåäîâàòåëüíîñòÿìè 7 3 Êðèòåðèé ðàâíîìåðíîé ñõîäèìîñòè ôóíêöèîíàëüíîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè 8 4 Ñõîäèìîñòü ôóíêöèîíàëüíîãî ðÿäà
42
11
5 Äîñòàòî÷íûå ïðèçíàêè ðàâíîìåðíîé ñõîäèìîñòè ôóíêöèîíàëüíîãî ðÿäà 12 6 Ñâîéñòâà ïðåäåëüíîé ôóíêöèè è ñóììû ðÿäà
17
7 Ñòåïåííîé ðÿä
29
8 Ôóíêöèîíàëüíûå ñâîéñòâà ñòåïåííîãî ðÿäà
33
9 Ðàçëîæåíèå ôóíêöèè â ñòåïåííîé ðÿä. Ðÿä Òåéëîðà
35
43