Функциональные ряды. Методические указания к лекциям по математическому анализу для студентов 2 курса механико-математического факультета РГУ

Ìèíèñòåðñòâî îáðàçîâàíèÿ ÐÔ

ÐÎÑÒÎÂÑÊÈÉ ÃÎÑÓÄÀÐÑÒÂÅÍÍÛÉ ÓÍÈÂÅÐÑÈÒÅÒ

Ò.È. Êîðøèêîâà, Ë.È. Êàëèíè÷åíêî, È.Ñ. Øàáàðøèíà

ÔÓÍÊÖÈÎÍÀËÜÍÛÅ ÐßÄÛ Ìåòîäè÷åñêèå óêàçàíèÿ ê êóðñó ëåêöèé ïî ìàòåìàòè÷åñêîìó àíàëèçó äëÿ ñòóäåíòîâ 2 êóðñà ìåõàíèêî-ìàòåìàòè÷åñêîãî ôàêóëüòåòà ÐÃÓ

Ðîñòîâ-íà-Äîíó 2003 ã.

Äàííûå ìåòîäè÷åñêèå óêàçàíèÿ ïðåäíàçíà÷åíû äëÿ ñòóäåíòîâ 2-ãî êóðñà îòäåëåíèÿ Ìàòåìàòèêà ìåõàíèêîìàòåìàòè÷åñêîãî ôàêóëüòåòà ÐÃÓ, ñîñòàâëåíû ñ ó÷åòîì ëåêöèé ïî ìàòåìàòè÷åñêîìó àíàëèçó. Ìåòîäè÷åñêèå óêàçàíèÿ ïå÷àòàþòñÿ â ñîîòâåòñòâèè ñ ðåøåíèåì êàôåäðû ìàòåìàòè÷åñêîãî àíàëèçà ÐÃÓ, ïðîòîêîë  îò 2003 ã.

1 Ïîòî÷å÷íàÿ è ðàâíîìåðíàÿ ñõîäèìîñòè ôóíêöèîíàëüíîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè Ïóñòü X  íåïóñòîå ÷èñëîâîå ìíîæåñòâî, D(X)  ñîâîêóïíîñòü âñåõ âåùåñòâåííîçíà÷íûõ ôóíêöèé, îïðåäåë¼ííûõ íà ìíîæåñòâå X . Îòîáðàæåíèå F : N −→ D(X) íàçûâàþò ôóíêöèîíàëüíîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòüþ, îïðåäåë¼ííîé èëè çàäàííîé íà X. Îáðàç F (n) ÷èñëà n ïðè ýòîì îòîáðàæåíèè îáîçíà÷èì ÷åðåç fn , à âñþ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü  ÷åðåç {fn (x)}. Êàæäûé ýëåìåíò fn ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ÿâëÿåòñÿ ôóíêöèåé, îïðåäåë¼ííîé íà ìíîæåñòâå

X. Ôóíêöèîíàëüíàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {fn (x)} ñîïîñòàâëÿåò êàæäîìó x0 ∈ X ÷èñëîâóþ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {fn (x0 )}. Îïðåäåëåíèå 1.1. Åñëè x0 ∈ X è ÷èñëîâàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {fn (x0 )} ñõîäèòñÿ, òî x0 íàçûâàþò òî÷êîé ñõîäèìîñòè ôóíêöèîíàëüíîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè {fn (x)} è ãîâîðÿò, ÷òî ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {fn (x)} ñõîäèòñÿ â òî÷êå x0 . f Ìíîæåñòâî X ⊂ X âñåõ òî÷åê ñõîäèìîñòè ôóíêöèîíàëüíîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè íàçûâàþò îáëàñòüþ å¼ ñõîäèìîñòè è ãîâîðÿò, ÷òî ôóíêöèîíàëüíàÿ ïîñëåäîâàf òåëüíîñòü ïîòî÷å÷íî ñõîäèòñÿ íà ìíîæåñòâå X .

Îïðåäåëåíèå 1.2. Ïóñòü ôóíêöèîíàëüíàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {fn (x)} ïî-

f f òî÷å÷íî ñõîäèòñÿ íà ìíîæåñòâå X . Ôóíêöèþ f : x ∈ X → n→∞ lim fn (x) íàçûâàþò ïðåäåëüíîé ôóíêöèåé äàííîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè.

Òîò ôàêò, ÷òî ôóíêöèîíàëüíàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {fn (x)} ïîòî÷å÷íî ñõîf äèòñÿ ê ôóíêöèè f íà ìíîæåñòâå X çàïèñûâàþò ñèìâîëè÷åñêè ñëåäóþùèì îáX ðàçîì: fn (x) −→ f (x) èëè f (x) = n−→∞ lim fn (x), ∀x ∈ X . Òàêèì îáðàçîì, ôóíêöèÿ f ÿâëÿåòñÿ ïðåäåëüíîé äëÿ ôóíêöèîíàëüíîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè {fn (x)} íà ìíîæåñòâå X (èëè èíà÷å : ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {fn (x)} f ïîòî÷å÷íî ñõîäèòñÿ ê f (x) íà ìíîæåñòâå X ), åñëè äëÿ ëþáîãî ε > 0 è êàæäîãî f x ∈ X íàéä¼òñÿ òàêîé íîìåð N = N (ε, x), ÷òî äëÿ âñåõ n > N âûïîëíÿåòñÿ íåðàâåíñòâî

|fn (x) − f (x)| < ε.

(1.1)

Î÷åâèäíî, ÷òî èç êðèòåðèÿ Êîøè ñõîäèìîñòè ÷èñëîâîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè âûòåêàåò êðèòåðèé ïîòî÷å÷íîé ñõîäèìîñòè ôóíêöèîíàëüíîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè.

Òåîðåìà 1.1.

Äëÿ òîãî ÷òîáû ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {fn (x)} ïîòî÷å÷íî f ñõîäèëàñü íà ìíîæåñòâå X, íåîáõîäèìî è äîñòàòî÷íî, ÷òîáû äëÿ ëþáîãî f ε > 0 è êàæäîãî x ∈ X íàø¼ëñÿ íîìåð N = N (ε, x) òàêîé, ÷òî äëÿ âñåõ n > N âûïîëíÿåòñÿ íåðàâåíñòâî |fn (x) − fm (x)| < ε. 3

Ïðèìåð 1.1. Ôóíêöèîíàëüíàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {fn (x)}: fn (x) = xn ,

n ∈ N, îïðåäåëåíà íà R. Òàê êàê n

    

lim x = 

n−→∞

  

åñëè |x| < 1, åñëè x = 1, åñëè |x| > 1,

0, 1, ∞,

è íå ñóùåñòâóåò ïðåäåë â òî÷êå x0 = −1, òî ïðîìåæóòîê (−1; 1] ÿâëÿåòñÿ îáëàñòüþ ñõîäèìîñòè äàííîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè, à ôóíêöèÿ  

f (x) = 

0, 1,

åñëè |x| < 1, åñëè x = 1

f ÿâëÿåòñÿ å¼ ïðåäåëüíîé íà ìíîæåñòâå X = (−1; 1]. Îòìåòèì, ÷òî ôóíêöèÿ f òåðïèò ðàçðûâ â òî÷êå x = 1, õîòÿ âñå ÷ëåíû äàííîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè íåïðåðûâíû â íåé.

Îïðåäåëåíèå 1.3. Ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {fn (x)}, îïðåäåëåííàÿ íà X , íàçû-

âàåòñÿ ðàâíîìåðíî ñõîäÿùåéñÿ ê ôóíêöèè f íà ìíîæåñòâå X0 ⊂ X , åñëè äëÿ ëþáîãî ε > 0 íàéä¼òñÿ íîìåð N = N (ε) òàêîé, ÷òî äëÿ âñåõ n > N è âñåõ x ∈ X0 ñïðàâåäëèâî íåðàâåíñòâî |fn (x) − f (x)| < ε. Òîò ôàêò, ÷òî ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {fn (x)} ðàâíîìåðíî ñõîäèòñÿ ê ôóíêöèè X

f (x) íà X , ñèìâîëè÷åñêè çàïèñûâàþò: fn (x) ⇒ f (x). Çàìå÷àíèÿ.

1.  îïðåäåëåíèè ðàâíîìåðíîé ñõîäèìîñòè ôóíêöèîíàëüíîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè â îòëè÷èå îò ïîòî÷å÷íîé ñõîäèìîñòè íîìåð N çàâèñèò òîëüêî îò ε è íå çàâèñèò îò òî÷åê x ìíîæåñòâà X0 . 2. Èç îïðåäåëåíèÿ 1.3 íåïîñðåäñòâåííî âûòåêàåò, ÷òî åñëè ôóíêöèîíàëüíàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {fn (x)} ðàâíîìåðíî ñõîäèòñÿ ê ôóíêöèè f íà ìíîæåñòâå X0 , òî îíà ïîòî÷å÷íî ñõîäèòñÿ ê f íà X0 . Ñëåäîâàòåëüíî, ðàâíîìåðíàÿ ñõîäèìîñòü ÿâëÿåòñÿ áîëåå ñèëüíîé ñõîäèìîñòüþ ïî ñðàâíåíèþ ñ ïîòî÷å÷f íîé è X0 ⊂ X . 3. Åñëè êàæäàÿ ôóíêöèÿ ôóíêöèîíàëüíîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè {fn (x)} ÿâëÿåòñÿ ïîñòîÿííîé íà ìíîæåñòâå X , ò.å. fn (x) = cn , ∀x ∈ X , ∀n ∈ N, è ÷èñëîX

âàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {cn } ñõîäèòñÿ, ïðè÷¼ì n→∞ lim cn = c, òî fn (x) ⇒ c.

f 4. Íà êàæäîì êîíå÷íîì ïîäìíîæåñòâå ìíîæåñòâà X cõîäèìîñòè ôóíêöèîíàëüíîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ýòà ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ñõîäèòñÿ ðàâíîìåðíî.

4

5. Åñëè ôóíêöèîíàëüíàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ðàâíîìåðíî ñõîäèòñÿ íà ìíîæåS f ñòâàõ X1 è X2 , òî îíà ðàâíîìåðíî ñõîäèòñÿ íà ìíîæåñòâå X = X1 X2 , è íàîáîðîò. Ãåîìåòðè÷åñêè ðàâíîìåðíàÿ ñõîäèìîñòü ôóíêöèîíàëüíîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè {fn (x)} ê ôóíêöèè f íà ìíîæåñòâå X0 îçíà÷àåò, ÷òî äëÿ ëþáîé ε-ïîëîñû

Gε = {(x, y) ∈ R2 | f (x) − ε < y < f (x) + ε, x ∈ X}

íàéä¼òñÿ òàêîé íîìåð N = N (ε), ÷òî ãðàôèêè ôóíêöèé y = fn (x) ñ íîìåðàìè n > N ïðèíàäëåæàò ïîëîñå Gε (ñì. ðèñ.1).

(ðèñ.1)

Ïðèìåð 1.2. Ïîêàæåì, ÷òî ôóíêöèîíàëüíàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü fn (x) =

= xn ñõîäèòñÿ ðàâíîìåðíî ê ïðåäåëüíîé ôóíêöèè f (x) ≡ 0 íà ëþáîì îòðåçêå [−q; q], åñëè 0 < q < 1, è íåðàâíîìåðíî ñõîäèòñÿ íà ïðîìåæóòêå [0, 1]. Â ñàìîì äåëå, äëÿ q ∈ (0; 1) ðàññìàòðèâàåìàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ñõîäèòñÿ ê ôóíêöèè f (x) ≡ 0 (ñì. ïðèìåð 1.1) è |fn (x) − f (x)| = |xn | ≤ q n , ∀x ∈ [−q; q], ∀n > N.

(1.2)

Ïîñêîëüêó lim q n = 0, òî äëÿ ëþáîãî ε > 0 ñóùåñòâóåò íîìåð N = N (ε) òàêîé, ÷òî q n < ε, ∀n > N . Â ñèëó íåðàâåíñòâà (1.2) èìååì:

|fn (x) − f (x)| < ε, ∀n > N, ∀x ∈ [−q; q]. Ñëåäîâàòåëüíî, [−q;q]

fn (x) ⇒ 0, åñëè q ∈ (0; 1). 5

Íà îòðåçêå [0, 1] ïðåäåëüíàÿ ôóíêöèÿ ðàññìàòðèâàåìîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ðàâíà   0, åñëè x ∈ [0; 1), f (x) =  . 1, åñëè x = 1

(ðèñ.2) Äëÿ äîêàçàòåëüñòâà íåðàâíîìåðíîé ñõîäèìîñòè ïîñëåäîâàòåëüíîñòè {xn } ê ôóíêöèè f íà îòðåçêå [0; 1] ñëåäóåò íàéòè òàêîå ε0 > 0, ÷òî äëÿ ëþáîãî N ∈ N ñóùåñòâóåò íîìåð n > N è òî÷êà xn ∈ [0; 1], äëÿ êîòîðûõ

|fn (xn ) − f (xn )| ≥ ε0 . Çàìåòèì, ÷òî òî÷êè

1 ∈ [0; 1], ∀n ∈ N, n ! 1 n |fn (xn ) − f (xn )| = 1 − . n xn = 1 −



Ïîñêîëüêó lim 1 −

 1 n n

= 1e , òî ñóùåñòâóåò òàêîå n0 , ÷òî äëÿ âñåõ n > n0 1 1− n

Cëåäîâàòåëüíî, åñëè ε0 = = (1 − n1 ) ∈ [0; 1] è

1 2e ,

!n

>

1 . 2e

òî ∀N > n0 íàéä¼òñÿ òàêîå n > N , ÷òî xn =

1 = ε0 . 2e Ïîñëåäíåå îçíà÷àåò, ÷òî äàííàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü íåðàâíîìåðíî ñõîäèòñÿ íà [0; 1]. Íåðàâíîìåðíóþ ñõîäèìîñòü ïîñëåäîâàòåëüíîñòè {xn } ê ôóíêöèè f (x) íà |fn (xn ) − f (xn )| >

6

[0;1]

îòðåçêå [0; 1] ìîæíî äîêàçàòü èíà÷å. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî x ⇒ f (x). Òîãäà äëÿ ÷èñëà ε = 31 ñóùåñòâóåò íîìåð N , òàêîé, ÷òî ïðè n > N äëÿ âñåõ x ∈ [0; 1) 1 âûïîëíÿåòñÿ íåðàâåíñòâî |xn − 0| = xn < 13 . Îäíàêî äëÿ xn = √ ∈ [0; 1), n ∈ N n 2 èìååì: n

1 1 > , n ∈ N. 2 3 Ïîëó÷åííîå ïðîòèâîðå÷èå äîêàçûâàåò, ÷òî ïðåäïîëîæåíèå íåâåðíî è ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {xn } íåðàâíîìåðío ñõîäèòñÿ ê ôóíêöèè f íà îòðåçêå [0; 1]. (xn )n =

Çàìå÷àíèÿ. 1. Èç ïðèâåä¼ííûõ äîêàçàòåëüñòâ âòîðîé ÷àñòè ïðèìåðà 1.2 ñëåäóåò, ÷òî n

[0;1)

x 6⇒ f (x) = 0. 2. Íåðàâíîìåðíaÿ ñõîäèìîñòü ïîñëåäîâàòåëüíîñòè {xn } ê ôóíêöèè f (x) íà [0; 1] èëè ïðîìåæóòêå [0; 1) ïîíÿòíà è èç ðèñóíêà 2. Äåéñòâèòåëüíî, äëÿ ëþáîãî ε ∈ (0; 1) íà [0, 1) ãðàôèêè ôóíêöèé y = xn íå âõîäÿò öåëèêîì â ïîëîñó ìåæäó ïðÿìûìè y = 0 è y = ε.

2 Àðèôìåòè÷åñêèå îïåðàöèè ñ ðàâíîìåðíî ñõîäÿùèìèñÿ ôóíêöèîíàëüíûìè ïîñëåäîâàòåëüíîñòÿìè Òåîðåìà 2.1.

Åñëè ôóíêöèîíàëüíûå ïîñëåäîâàòåëüíîñòè {fn (x)} è {φn (x)} ðàâíîìåðíî ñõîäÿòñÿ íà ìíîæåñòâå X , òî èõ ñóììà {fn (x) + φn (x)} ðàâíîìåðíî ñõîäèòñÿ íà ìíîæåñòâå X . X

X

/ Ôèêñèðóåì ε > 0. Òàê êàê fn (x) ⇒ f (x) è φn (x) ⇒ φ(x), òî ïî îïðåäåëåíèþ 1.3 ∃N = N (ε) ∈ N : ∀n > N, ∀x ∈ X ε |fn (x) − f (x)| < , 2

|φn (x) − φ(x)| <

ε 2

Ïîýòîìó ∀n > N, ∀x ∈ X

|(fn (x) + φn (x)) − (f (x) + φ(x))| ≤ |fn (x) − f (x)| + |φn (x) − φ(x)| < ε. .

Òåîðåìà 2.2. Åñëè ÷èñëîâàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {αn } ñõîäèòñÿ, à ôóíê-

öèîíàëüíàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {fn (x)} ñõîäèòñÿ ðàâíîìåðíî íà ìíîæåñòâå X ê îãðàíè÷åííîé íà ìíîæåñòâå X ôóíêöèè f , òî ïðîèçâåäåíèå ýòèõ ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé {αn · fn (x)} ðàâíîìåðíî ñõîäèòñÿ íà ìíîæåñòâå X . 7

/ Áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî lim αn = α. ßñíî, ÷òî ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {αn · fn (x)} ïîòî÷å÷íî ñõîäèòñÿ íà ìíîæåñòâå X ê ôóíêöèè α · f (x) è |αn · fn (x) − α · f (x)| ≤ |αn ||fn (x) − f (x)| + |f (x)||αn − α|

(2.1)

Èç îãðàíè÷åííîñòè ïîñëåäîâàòåëüíîñòè {αn } è ôóíêöèè f íà ìíîæåñòâå X ñëåäóåò, ÷òî íàéä¼òñÿ M > 0 òàêîå, ÷òî

|αn | ≤ M, ∀n ∈ N, è

|f (x)| ≤ M, ∀x ∈ X. X

Äàëåå, ïîñêîëüêó αn → α è fn (x) ⇒ f (x), òî íàéä¼òñÿ íîìåð N = N (ε) òàêîé, ÷òî

ε , ∀n > N 2M ε |fn (x) − f (x)| < , ∀n > N, ∀x ∈ X. 2M Ñëåäîâàòåëüíî, ∀n > N è ∀x ∈ X. |αn − α| <

|αn fn (x) − α · f (x)| ≤ |αn | · |fn (x) − f (x)| + |f (x)| · |αn − α| ≤ M ÷òî çàâåðøàåò äîêàçàòåëüñòâî.

ε ε +M = ε, 2M 2M .

Çàìå÷àíèå. Ìîæíî äîêàçàòü, ÷òî åñëè ôóíêöèîíàëüíàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {fn (x)} ðàâíîìåðíî ñõîäèòñÿ íà ìíîæåñòâå X , òî äëÿ ëþáîãî ÷èñëà α ôóíêöèîíàëüíàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {αfn (x)} ðàâíîìåðíî ñõîäèòñÿ íà ìíîæåñòâå X . Ïðåäëàãàåì ÷èòàòåëþ äîêàçàòü ýòî óòâåðæäåíèå.

3 Êðèòåðèé ðàâíîìåðíîé ñõîäèìîñòè ôóíêöèîíàëüíîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè Òåîðåìà 3.1. Ïóñòü ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {fn (x)} ñõîäèòñÿ ïîòî÷å÷íî ê

ôóíêöèè f íà ìíîæåñòâå X . Äëÿ òîãî ÷òîáû {fn (x)} ñõîäèëàñü ê f (x) ðàâíîìåðíî íà ìíîæåñòâå X , íåîáõîäèìî è äîñòàòî÷íî, ÷òîáû ÷èñëîâàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {αn } :

αn = sup |fn (x) − f (x)|, n ∈ N, x∈X

áûëà áåñêîíå÷íî ìàëîé. 8

/ Íåîáõîäèìîñòü. Ïóñòü ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {fn (x)} ðàâíîìåðíî ñõîäèòñÿ ê ôóíêöèè f íà ìíîæåñòâå X . Òîãäà, ñîãëàñíî îïðåäåëåíèþ 1.3, äëÿ ëþáîãî ε > 0 ñóùåñòâóåò íîìåð N = N (ε) òàêîé, ÷òî ∀n > N ∀x ∈ X ε |fn (x) − f (x)| < . 2 Ïîýòîìó ε sup |fn (x) − f (x)| ≤ < ε, ∀n > N, 2 x∈X ò.å. ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {αn } ÿâëÿåòñÿ áåñêîíå÷íî ìàëîé. Çàìåòèì, ÷òî äëÿ íåêîòîðûõ íîìåðîâ n âåëè÷èíà αn ìîæåò áûòü ðàâíà +∞, íî, íà÷èíàÿ ñ íåêîòîðîãî íîìåðà, αn ∈ R. Äîñòàòî÷íîñòü. Ïî óñëîâèþ lim αn = 0, ïîýòîìó äëÿ ëþáîãî ε > 0 íàéä¼òñÿ íîìåð N = N (ε) òàêîé, ÷òî αn < ε, ∀n > N , ò.å.

sup |fn (x) − f (x)| < ε, ∀n > N.

x∈X

Ïîýòîìó

|fn (x) − f (x)| < ε, ∀n > N, ∀x ∈ X, X

à ýòî îçíà÷àåò, ÷òî fn (x) ⇒ f (x) Î÷åâèäíî ñïðàâåäëèâà

.

Òåîðåìà 3.2. Ïóñòü íà ìíîæåñòâå X îïðåäåëåíà ôóíêöèÿ f (x) è çàäà-

íà ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {fn (x)}. Åñëè ñóùåñòâóåò òàêàÿ áåñêîíå÷íî ìàëàÿ ïîëîæèòåëüíàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {αn }, ÷òî ∀n ∈ N

|fn (x) − f (x)| ≤ αn , ∀x ∈ X, òî ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {fn (x)} ðàâíîìåðíî ñõîäèòñÿ ê ôóíêöèè f íà ìíîæåñòâå X .

Ïðèìåð 3.1. Èññëåäóåì íà ðàâíîìåðíóþ ñõîäèìîñòü ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {fn (x)} : fn (x) = arctg nx íà ìíîæåñòâàõ [δ, +∞), δ > 0 è (0; +∞).

/ Î÷åâèäíî,÷òî ïðåäåëüíàÿ ôóíêöèÿ äàííîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ðàâíà π f (x) = , ∀x ∈ (0; +∞). 2 Òàê êàê ! π π π − arctg nx = − arctg nδ −→ 0, n → ∞, 0 ≤ sup − arctg nx = sup 2 x≥δ 2 x≥δ 2 9

[δ;∞)

òî arctg nx ⇒ π sup x>0 2

−

π 2.

Ñ äðóãîé ñòîðîíû,

arctg(nx) (0;+∞)

Ïîýòîìó arctg nx 6⇒

≥

π π π π − arctg(n · 1/n) = − = , ∀n ∈ N. 2 2 4 4

π 2.

.

Òåîðåìà 3.3 (êðèòåðèé Êîøè). Ïóñòü fn : X ⊂ R → R, n ∈ N. Äëÿ

òîãî ÷òîáû ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {fn (x)} ðàâíîìåðíî ñõîäèëàñü íà ìíîæåñòâå X , íåîáõîäèìî è äîñòàòî÷íî, ÷òîáû äëÿ ëþáîãî ε > 0 ñóùåñòâîâàë òàêîé íîìåð N = N (ε), ÷òî äëÿ âñåõ íàòóðàëüíûõ n > N, ëþáîãî p ∈ N è âñåõ òî÷åê x ∈ X âûïîëíÿëîñü óñëîâèå

|fn+p (x) − fn (x)| < ε.

(3.1)

/ Íåîáõîäèìîñòü. Ïóñòü {fn (x)}  ðàâíîìåðíî ñõîäÿùàÿñÿ íà X ïîñëåäîâàòåëüíîñòü è f (x)  å¼ ïðåäåëüíàÿ ôóíêöèÿ. Ïî îïðåäåëåíèþ 1.3 äëÿ ëþáîãî ε > 0 íàéä¼òñÿ N = N (ε) ∈ N òàêîå, ÷òî ∀n > N, ∀x ∈ X ε |fn (x) − f (x)| < . 2 Òîãäà ∀n > N, ∀p ∈ N, ∀x ∈ X |fn+p (x) − fn (x)| ≤ |fn+p (x) − f (x)| + |f (x) − fn (x)| < ε,

ò. å. âûïîëíåíî óñëîâèå Êîøè (3.1) ðàâíîìåðíîé ñõîäèìîñòè ôóíêöèîíàëüíîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè. Äîñòàòî÷íîñòü. Ïóñòü âûïîëíåíî óñëîâèå (3.1), òîãäà äëÿ êàæäîãî ôèêñèðîâàííîãî x ∈ X âûïîëíåíî óñëîâèå Êîøè ñõîäèìîñòè ÷èñëîâîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè {fn (x)}, à ïîòîìó îíà ñõîäèòñÿ. Ñëåäîâàòåëüíî, ôóíêöèîíàëüíàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {fn (x)} ïîòî÷å÷íî ñõîäèòñÿ íà ìíîæåñòâå X . Ïóñòü f (x)  ïðåäåëüíàÿ ôóíêöèÿ äàííîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè. X

Äîêàæåì, ÷òî fn (x) ⇒ f (x). Â ñèëó óñëîâèÿ (3.1) äëÿ ëþáîãî ε > 0 íàéä¼òñÿ íîìåð N = N (ε) òàêîé, ÷òî äëÿ ëþáûõ n > N, p ∈ N è x ∈ X âûïîëíÿåòñÿ óñëîâèå

ε |fn+p (x) − fn (x)| < . 2 Çàìå÷àÿ, ÷òî f (x) = p→∞ lim fn+p (x), ∀x ∈ X , ∀n ∈ N, ïåðåõîäÿ â ïîñëåäíåì íåðàâåíñòâå ê ïðåäåëó ïðè p → +∞, ïîëó÷èì ε |f (x) − fn (x)| ≤ < ε, ∀x ∈ X, ∀n > N. 2 Ýòî îçíà÷àåò ðàâíîìåðíóþ ñõîäèìîñòü ïîñëåäîâàòåëüíîñòè {fn (x)} ê f (x) íà X. . 10

4 Ñõîäèìîñòü ôóíêöèîíàëüíîãî ðÿäà Ðàññìîòðèì ôóíêöèîíàëüíóþ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {fn (x)}, îáëàñòüþ îïðåäåëåíèÿ êîòîðîé ÿâëÿåòñÿ ìíîæåñòâî X ⊂ R. Ôîðìàëüíî çàïèñàííóþ ñóììó

f1 (x) + f2 (x) + · · · + fn (x) + . . .

(4.1)

íàçûâàþò ôóíêöèîíàëüíûì ðÿäîì, à ìíîæåñòâî X  îáëàñòüþ îïðåäåëåíèÿ ðÿäà (4.1). Êàê è äëÿ ÷èñëîâûõ ðÿäîâ èçó÷åíèå ôóíêöèîíàëüíîãî ðÿäà (4.1) ýêâèâàëåíòíî èçó÷åíèþ ôóíêöèîíàëüíîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè {Sn (x)} :

Sn (x) =

n X

k=1

åãî ÷àñòè÷íûõ ñóìì.

fk (x), n ∈ N,

f Îïðåäåëåíèå 4.1. Ìíîæåñòâî X òåõ òî÷åê x ∈ X, â êîòîðûõ ñõîäèòñÿ

(àáñîëþòíî ñõîäèòñÿ) ñîîòâåòñòâóþùèé ÷èñëîâîé ðÿä, íàçûâàþò îáëàñòüþ ñõîäèìîñòè (àáñîëþòíîé ñõîäèìîñòè) ðÿäà (4.1). f Èíûìè ñëîâàìè: îáëàñòü X ñõîäèìîñòè ðÿäà (4.1) åñòü îáëàñòü ñõîäèìîñòè f ñîîòâåòñòâóþùåé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè {Sn (x)} ÷àñòè÷íûõ ñóìì åãî. ×àñòî X íàf çûâàþò îáëàñòüþ ïîòî÷å÷íîé ñõîäèìîñòè ðÿäà (4.1). Íà ìíîæåñòâå X îïðåäåëåíà ôóíêöèÿ S(x), êîòîðàÿ ÿâëÿåòñÿ ïðåäåëüíîé ôóíêöèåé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè {Sn (x)} ÷àñòè÷íûõ ñóìì ýòîãî ðÿäà (4.1), å¼ íàçûâàþò ñóììîé ðÿäà (4.1).

Îïðåäåëåíèå 4.2. Ãîâîðÿò, ÷òî ôóíêöèîíàëüíûé ðÿä (4.1) ðàâíîìåðíî ñõî-

äèòñÿ íà ìíîæåñòâå X , åñëè ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {Sn (x)} åãî ÷àñòè÷íûõ ñóìì ðàâíîìåðíî ñõîäèòñÿ íà X. Èç îïðåäåëåíèÿ (4.2) è êðèòåðèåâ 3.1 è 3.3 ñëåäóþò

Òåîðåìà 4.1. Ïóñòü S(x)  ñóììà ðÿäà (4.1) íà ìíîæåñòâå X . Äëÿ òîãî

÷òîáû ðÿä (4.1) ðàâíîìåðíî ñõîäèëñÿ íà X , íåîáõîäèìî è äîñòàòî÷íî, ÷òîáû ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {αn } :

αn = sup |Sn (x) − S(x)| = sup |Rn (x)|, x∈X

ãäå Rn (x) =

∞ P

k=n+1

x∈X

fk (x), ÿâëÿëàñü áåñêîíå÷íî ìàëîé.

Òåîðåìà 4.2 (Êîøè). Ïóñòü X  îáëàñòü îïðåäåëåíèÿ ôóíêöèîíàëüíîãî

ðÿäà (4.1). Äëÿ òîãî ÷òîáû ðÿä (4.1) ðàâíîìåðíî ñõîäèëñÿ íà ìíîæåñòâå X , íåîáõîäèìî è äîñòàòî÷íî, ÷òîáû äëÿ ëþáîãî ε > 0 íàø¼ëñÿ íîìåð N = N (ε) òàêîé, ÷òî äëÿ âñåõ n > N , äëÿ ëþáûõ p ∈ N è âñåõ x ∈ X âûïîëíÿåòñÿ óñëîâèå

|

n+p X

fk (x)| < ε.

k=n+1

11

Ñëåäñòâèå 4.2.1. (íåîáõîäèìîå óñëîâèå ðàâíîìåðíîé ñõîäèìîñòè ðÿäà). Åñëè ôóíêöèîíàëüíûé ðÿä (4.1) ðàâíîìåðíî ñõîäèòñÿ íà ìíîæåñòâå X , òî ôóíêöèîíàëüíàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {fn (x)} ðàâíîìåðíî ñõîäèòñÿ ê ôóíêöèè f (x) = 0, íà ìíîæåñòâå X . Ðàññìîòðèì ïðèìåð.

Ïðèìåð 4.1. Èññëåäóåì íà ðàâíîìåðíóþ ñõîäèìîñòü íà ìíîæåñòâå R ðÿä (−1)n . 2 n=1 n + x ∞ X

/ Ïðè êàæäîì ôèêñèðîâàííîì x ∈ R äàííûé ðÿä ÿâëÿåòñÿ ðÿäîì ëåéáíèöåâñêîãî òèïà, ïîýòîìó â ñèëó îöåíêè îñòàòêîâ ëåéáíèöåâñêîãî ðÿäà

Ïîýòîìó

X ∞ k=n+1



(−1)k 1 1 ≤ ≤ , ∀n ∈ N, ∀x ∈ R. k + x2 n + x2 + 1 n + 1

1 , ∀n ∈ N, n+1 x∈R è, ñîãëàñíî òåîðåìå 4.1, ðàññìàòðèâàåìûé ðÿä ðàâíîìåðíî ñõîäèòñÿ íà ìíîæåñòâå R. . αn = sup |Rn (x)| ≤

5 Äîñòàòî÷íûå ïðèçíàêè ðàâíîìåðíîé ñõîäèìîñòè ôóíêöèîíàëüíîãî ðÿäà ∞ P

Òåîðåìà 5.1 (ïðèçíàê Âåéåðøòðàññà). Åñëè äëÿ ôóíêöèîíàëüíîãî ðÿäà

n=1

fn (x) ñóùåñòâóåò ñõîäÿùèéñÿ ÷èñëîâîé ðÿä

∀n ∈ N, ∀x ∈ X, òî ðÿä / Ïî óñëîâèþ ðÿä

∞ P

∞ P

n=1

n=1

∞ P

n=1

cn òàêîé, ÷òî |fn (x)| ≤ cn ,

fn (x) ñõîäèòñÿ àáñîëþòíî è ðàâíîìåðíî íà X .

cn ñõîäèòñÿ, ïîýòîìó ïî êðèòåðèþ Êîøè ñõîäèìîñòè

÷èñëîâîãî ðÿäà ∀ε > 0 ∃N = N (ε) ∈ N : ∀n > N, ∀p ∈ N

Íî ∀x ∈ X

p X

k=1

X p c n+k k=1

|fn+k (x)| ≤

p X

k=1

< ε.

cn+k (x), ∀n ∈ N, ∀p ∈ N.

Ïîýòîìó âûïîëíÿåòñÿ óñëîâèå Êîøè ðàâíîìåðíîé ñõîäèìîñòè ôóíêöèîíàëüíîãî ðÿäà. . 12

Ñëåäñòâèå 5.1.1. Ïóñòü

è

fn : X ⊂ R −→ R

∞ P

αn = sup |fn (x)|, x∈X

∀n ∈ N. Åñëè ÷èñëîâîé ðÿä αn ñõîäèòñÿ, òî ðÿä (4.1) ðàâíîìåðíî è àán=1 ñîëþòíî ñõîäèòñÿ íà ìíîæåñòâå X .

Ñëåäñòâèå 5.1.2. Åñëè αn = sup |fn (x)| 6→ 0, òî ðÿä (4.1) íå ÿâëÿåòñÿ x∈X

ðàâíîìåðíî ñõîäÿùèìñÿ íà ìíîæåñòâå X . ∞ P

Çàìå÷àíèå. Åñëè αn −→ 0, íî ðÿä

n=1

αn ðàñõîäèòñÿ, òî íè÷åãî îïðåäåë¼í-

íîãî î ðàâíîìåðíîé ñõîäèìîñòè ðÿäà (4.1) íà ìíîæåñòâå X ñêàçàòü íåëüçÿ. Ðàññìîòðèì ñîîòâåòñòâóþùèé ïðèìåð.

Ïðèìåð 5.1. Èññëåäóåì íà îòðåçêå [0;1] íà ðàâíîìåðíóþ ñõîäèìîñòü ðÿä ∞ X

fn (x),

n=2

ãäå     

fn (x) = 

1 ; 1], åñëè x ∈ [0; 21n ) ∪ ( 2n−1

0,

   1 n

sin 2n πx,

1 åñëè x ∈ [ 21n , 2n−1 ],

/ Ïðåæäå âñåãî çàìåòèì, ÷òî â òî÷êàõ

#

1 1 x = 0, xk = k , k ∈ N, x ∈ , 1 2 2

÷ëåíû ðÿäà ðàâíû íóëþ. Äàëåå, äëÿ ëþáîãî x ∈ (0; 12 ) è x 6= 21k , k ∈ N, ñóùå1 ñòâóåò åäèíñòâåííîå k ∈ N, k ≥ 2 òàêîå, ÷òî x ∈ ( 21k , 2k−1 ). Ïîýòîìó äëÿ !

1 1 x ∈ k , k−1 , k ≥ 2 è k ≥ n + 1 2 2 Rn (x) =

1 · sin 2k πx. k

Ñëåäîâàòåëüíî,

0 ≤ sup |Rn (x)| ≤ x∈[0,1]

1 , n ∈ N, n ≥ 2, n+1

ò.å.

lim sup |Rn (x)| −→ 0,

x∈[0,1]

13

÷òî îçíà÷àåò ðàâíîìåðíóþ ñõîäèìîñòü äàííîãî ðÿäà íà îòðåçêå [0;1] (ñì. òåîðåìó 4.1). Ñ äðóãîé ñòîðîíû,

αn = sup |fn (x)| = x∈[0;1]

1 , n≥1 n

∞ P

αn ðàñõîäèòñÿ. Ïðèâåä¼ì åù¼ ïðèìåð.

è ðÿä

.

n=1

Ïðèìåð 5.2. Äîêàçàòü, ÷òî ðÿä ∞ X

1 n (x + 3x−n ) n=1 n! ñõîäèòñÿ ðàâíîìåðíî íà îòðåçêå [ 21 ; 2]

/ Î÷åâèäíî, ÷òî ∀n ∈ N, ∀x ∈ [ 12 ; 2] 

Ïîñêîëüêó ðÿä

1 n 1 1 (x + 3x−n ) ≤ 2n + 3 · n! n! 2

!−n  

4 · 2n = . n!

4 · 2n n=1 n! ñõîäèòñÿ, òî â ñèëó ïðèçíàêà Âåéåðøòðàññà äàííûé ðÿä ñõîäèòñÿ ðàâíîìåðíî íà îòðåçêå [ 12 ; 2]. . ∞ X

Îïðåäåëåíèå 5.1. Ôóíêöèîíàëüíàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {fn (x)} íàçûâàåò-

ñÿ ðàâíîìåðíî îãðàíè÷åííîé íà ìíîæåñòâå X, åñëè ñóùåñòâóåò òàêîå ÷èñëî M > 0, ÷òî |fn (x)| ≤ M, ∀n ∈ N, ∀x ∈ X

Òåîðåìà 5.2 (ïðèçíàê Äèðèõëå). Åñëè ÷ëåíû ôóíêöèîíàëüíîãî ðÿäà ∞ X

(5.1)

an (x)bn (x)

n=1

òàêîâû, ÷òî

X

1) an (x) ⇒ 0; 2) äëÿ êàæäîãî x0 ∈ X ÷èñëîâàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {an (x0 )} ìîíîòîííà; ∞ P 3) ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {Bn (x)} ÷àñòè÷íûõ ñóìì ðÿäà bn (x) ðàâíîìåðíî

îãðàíè÷åíà íà ìíîæåñòâå X ; òî ðÿä (5.1) ðàâíîìåðíî ñõîäèòñÿ íà ìíîæåñòâå X.

n=1

/ Äîêàçàòåëüñòâî òåîðåìû áàçèðóåòñÿ íà êðèòåðèè Êîøè ðàâíîìåðíîé ñõîäèìîñòè ôóíêöèîíàëüíîãî ðÿäà è ïîâòîðÿåò, ïî÷òè äîñëîâíî, äîêàçàòåëüñòâî ïðèçíàêà Äèðèõëå ñõîäèìîñòè ÷èñëîâîãî ðÿäà. . 14

Ïðèìåð 5.3. Ðàññìîòðèì ðÿä ∞ X

sin nx n=1 n + x

(5.2)

à) íà îòðåçêå [ε; 2π − ε], ε ∈ (0; π); á) íà èíòåðâàëå (0; 2π).

/ a) Äëÿ x ∈ [ε; 2π − ε], |Bn (x)| =

X n sin kx k=1

≤

1

1 x ≤ ε , ∀n ∈ N, | sin | sin 2 2

ïîýòîìó ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {Bn (x)} ÷àñòè÷íûõ ñóìì ðÿäà

∞ P

n=1

(5.3)

sin nx ðàâíîìåð-

íî îãðàíè÷åíà íà îòðåçêå [ε; 2π − ε], ε ∈ (0; π), è óñëîâèå 3) ïðèçíàêà Äèðèõëå âûïîëíåíî. Ðàññìîòðèì òåïåðü ïîñëåäîâàòåëüíîñòü

{an (x)} : an (x) =

1 . n+x

Î÷åâèäíî, ÷òî îíà ÿâëÿåòñÿ â êàæäîé òî÷êå x ∈ [ε; 2π−ε] ìîíîòîííî óáûâàþùåé è áåñêîíå÷íî ìàëîé. Ïîñêîëüêó

sup x∈[ε;2π−ε]

|an (x)| =

1 −→ 0, n+ε

[ε;2π−ε]

òî â ñèëó òåîðåìû 3.1 an (x) ⇒ 0. Âñå òðåáîâàíèÿ ïðèçíàêà Äèðèõëå (òåîðåìû 5.2) âûïîëíåíû, ïîýòîìó ðÿä (5.2) ðàâíîìåðíî ñõîäèòñÿ íà ëþáîì îòðåçêå [ε; 2π − ε], ε ∈ (0; π). á) Íà èíòåðâàëå (0; 2π) îöåíêà òèïà (5.3) íå èìååò ìåñòà. Îäíàêî ∀x ∈ (0; 2π) îíà äàåò ïðàâî óòâåðæäàòü, ÷òî ðÿä (5.2) ïîòî÷å÷íî ñõîäèòñÿ íà èíòåðâàëå (0; 2π). Ïîêàæåì, ÷òî ðÿä (5.2) ñõîäèòñÿ íåðàâíîìåðíî íà ýòîì ìíîæåñòâå. Âîñïîëüçóåìñÿ êðèòåðèåì Êîøè, ò.å. óêàæåì òàêîå ε0 > 0, ÷òî äëÿ ëþáîãî N ∈ N íàéäóòñÿ òàêèå çíà÷åíèÿ p ∈ N, n ∈ N, n > N è xn ∈ (0; 2π), ÷òî n+p X k=n+1

Çàìåòèì, ÷òî â òî÷êàõ xn =

π 6n



sin kxn ≥ ε0 . k + xn

ïðè k ∈ N, k ∈ [n; 5n] èìååì:

1 sin kxn ≥ . 2 15

Ïîýòîìó äëÿ ïðîèçâîëüíîãî N , âçÿâ n > N, pn = 4n, xn = ïîëó÷èì: n+p X k=n+1

π 6n

∈ (0; 2π),



5n 5n sin πk X 1 sin kxn 6n ≥ 1 X > = π k + xn k=n+1 k + 2 k=p+1 k + 1 6n 1 1 4(n − 1) > · · (4n − 1) > . 2 5n + 1 2 · 5(n + 1)

n−1 → 1 ïðè n → +∞, òî íàéä¼òñÿ òàêîé íîìåð N0 , ÷òî ∀n > N0 n+1 π > 12 , à ïîýòîìó ∀N > N0 ∀n > N íàìè íàéäåíû pn = 4n, xn = 6n òàêèå,

Òàê êàê n−1 n+1

÷òî

n+p X k=n+1



sin kxn 1 > . k + xn 5

Ïîýòîìó â êà÷åñòâå ε0 ìîæíî âçÿòü íåðàâíîìåðíî íà èíòåðâàëå (0; 2π).

1 5.

Ìû ïîêàçàëè, ÷òî ðÿä (5.2) ñõîäèòñÿ

.

Òåîðåìà 5.3 (ïðèçíàê Àáåëÿ). Åñëè ÷ëåíû ôóíêöèîíàëüíîãî ðÿäà (5.1)

òàêîâû, ÷òî 1) ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {an (x)} ðàâíîìåðíî îãðàíè÷åíà íà X, 2) äëÿ êàæäîãî x0 ∈ X ÷èñëîâàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {an (x0 )} ìîíîòîííà, ∞ P 3) ðÿä bn (x) ðàâíîìåðíî ñõîäèòñÿ íà ìíîæåñòâå X , n=1

òî ðÿä (5.1) ðàâíîìåðíî ñõîäèòñÿ íà ìíîæåñòâå X .

/ Ñîãëàñíî 1) ñóùåñòâóåò M > 0 òàêîå, ÷òî |an (x)| ≤ M , ∀n ∈ N, ∀x ∈ X. Ôèêñèðóåì ïðîèçâîëüíîå ε > 0.  ñèëó óñëîâèÿ 3) ñóùåñòâóåò òàêîé íîìåð N = N (ε), ÷òî ïðè âñåõ n > N, âñåõ p ∈ N è âñåõ x ∈ X âûïîëíÿåòñÿ íåðàâåíñòâî p X ε . | bn+k (x)| < 3M k=1 Ó÷èòûâàÿ óñëîâèå 2), â ñèëó íåðàâåíñòâà Àáåëÿ äëÿ âñåõ n > N , âñåõ p ∈ N è âñåõ x ∈ X ïîëó÷èì:

|

p X

k=1

an+k (x)bn+k (x)| <

ε (|an+1 (x)| + 2|an+p (x)|) ≤ ε. 3M

Ñîãëàñíî êðèòåðèþ Êîøè, ýòî îçíà÷àåò ðàâíîìåðíóþ ñõîäèìîñòü ðÿäà (5.1). .

Çàìå÷àíèå. íûì.

Óñëîâèå 2) â ïðèçíàêàõ Äèðèõëå è Àáåëÿ ÿâëÿåòñÿ ñóùåñòâåí16

Ðàññìîòðèì ïðèìåð ïîäòâåðæäàþùèé âûñêàçûâàíèå.

Ïðèìåð 5.4. Ðàññìîòðèì ðÿä ∞ X

π 3π x ∈ [ ; ]. 4 4

(1 − cos nx) cos nx , n n=1

1 − cos nx , bn (x) = cos nx, n ∈ N. n Ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {Bn (x)} ÷àñòè÷íûõ ñóìì ðÿäà

/ Ïóñòü an (x) =

îãðàíè÷åíà íà îòðåçêå [ π4 ; 3π 4 ], òàê êàê

∞ P

n=1

cos nx ðàâíîìåðíî

"

#

1 π 3π 1 |Bn (x)| ≤ ≤ , ∀n ∈ N, ∀x ∈ ; . sin x2 sin π8 4 4 Äàëåå,

1 − cos nx 2 ≤ , ∀x ∈ R, n n ò.å. ïîñëåäîâàòåëüíîñòüh {an (x)} ðàâíîìåðíî ñòðåìèòñÿ ê íóëþ íà ìíîæåñòâå R, i π 3π à çíà÷èò è íà îòðåçêåh 4 ; 4i (ñì. òåîðåìó 3.1).  òî÷êå x0 = π2 ∈ π4 ; 3π 4 0≤

         

0, 0,

(1 − cos nx0 ) cos nx0 =  n   −     

1 , 2k + 1

0,

åñëè n = 4k, åñëè n = 4k + 1, åñëè n = 4k + 2,

, k ∈ N,

åñëè 4k + 3

Ïîýòîìó ðàññìàòðèâàåìûé ðÿä â ýòîé òî÷êå èìååò âèä: ∞ X

−1 . 2k + 1 k=1

(5.4)

Òàê êàê ðÿä (5.4) ðàñõîäèòñÿ, òî äàííûé ðÿä ðàñõîäèòñÿ â òî÷êå x0 = π2 , à ïîýòîh i ìó îí íå ìîæåò ðàâíîìåðíî ñõîäèòüñÿ íà îòðåçêå π4 ; 3π 4 . Çàìåòèì ïðè ýòîì, ÷òî äëÿ äàííîãî ðÿäà âûïîëíåíû óñëîâèÿ 1) è 3) ïðèçíàêà Äèðèõëå. Çíà÷èò, òðåáîâàíèå ìîíîòîííîñòè ÷èñëîâîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè {an (x0 )} äëÿ ëþáîãî x0 ∈ X íå âûïîëíåíî è ñóùåñòâåííî. .

6 Ñâîéñòâà ïðåäåëüíîé ôóíêöèè è ñóììû ðÿäà Òåîðåìà 6.1 (î ïðåäåëå ïðåäåëüíîé ôóíêöèè). Ïóñòü ôóíêöèîíàëü-

íàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {fn (x)} ðàâíîìåðíî ñõîäèòñÿ íà ìíîæåñòâå X ê 17

ôóíêöèè f (x), a  ïðåäåëüíàÿ òî÷êà ìíîæåñòâà X è ñóùåñòâóåò êîíå÷íûé ïðåäåë n→a lim fn (x) = an , ∀n ∈ N. Òîãäà ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {an } ñõîäèòñÿ, ñóùåñòâóåò êîíå÷íûé ïðåäåë ôóíêöèè f â òî÷êå a è

lim f = lim an , a ò.å.

lim lim f (x) x→a n→∞ n

= n→∞ lim x→a lim fn (x).

/ Ïðåæäå âñåãî äîêàæåì, ÷òî ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {an } ÿâëÿåòñÿ ñõîäÿùåéñÿ. X

Ïî óñëîâèþ fn (x) ⇒ f (x), ïîýòîìó â ñèëó òåîðåìû 3.3

∀ε > 0 ∃N = N (ε) ∈ N : ∀n > N, ∀p ∈ N, ∀x ∈ X ε |fn+p (x) − fn (x)| < . 2 Ïåðåõîäÿ â ýòîì íåðàâåíñòâå ê ïðåäåëó ïðè x → a, ïîëó÷èì ε |an+p − an | ≤ < ε, ∀n > N, ∀p ∈ N, 2 ÷òî îçíà÷àåò ñõîäèìîñòü ÷èñëîâîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè {an }. Ïîëîæèì, ÷òî lim an = d. Òåïåðü äîêàæåì, ÷òî ñóùåñòâóåò x→a lim f (x) = d. Î÷åâèäíî, ÷òî ∀x ∈ X , ∀n0 ∈ N |f (x) − d| = |f (x) − fn0 (x) + fn0 (x) − an0 + an0 − d| ≤ ≤ |f (x) − fn0 (x)| + |fn0 (x) − an0 | + |an0 − d|. X

Òàê êàê an → d è fn (x) ⇒ f (x), òî ∀ε > 0 ∃N = N (ε) ∈ N : ∀n > N, ∀x ∈ X

ε ε è |an − d| < . 3 3 Åñëè n0 > N, òî äëÿ íåãî âûïîëíåíû ïðåäûäóùèå íåðàâåíñòâà è, ó÷èòûâàÿ ÷òî x→a lim fn0 (x) = an0 , ïîëó÷èì: |fn (x) − f (x)| <

∃Ua : ∀x ∈ X Ñëåäîâàòåëüíî, ∀x ∈ X

T o Ua

\ o Ua

|f (x) − d| <

ε |fn0 (x) − an0 | < . 3

ε ε ε + + = ε, 3 3 3

ò.å.

∃ lim f = d. . a 18

Òåîðåìà 6.2. (î íåïðåðûâíîñòè ïðåäåëüíîé ôóíêöèè â òî÷êå).

Ïóñòü ôóíêöèîíàëüíàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {fn (x)} ðàâíîìåðíî ñõîäèòñÿ íà ìíîæåñòâå X ê ôóíêöèè f (x) è a ∈ X. Åñëè ôóíêöèè fn íåïðåðûâíû â òî÷êå a äëÿ âñåõ n ∈ N, òî ïðåäåëüíàÿ ôóíêöèÿ f íåïðåðûâíà â òî÷êå a.

/ Åñëè a ∈ X è ÿâëÿåòñÿ èçîëèðîâàííîé òî÷êîé ìíîæåñòâà X, òî f íåïðåðûâíà â íåé. Åñëè a ∈ X è ÿâëÿåòñÿ ïðåäåëüíîé òî÷êîé ìíîæåñòâà X, òî â ñèëó íåïðåðûâíîñòè ôóíêöèè fn â òî÷êå a lim fn = fn (a), ∀n ∈ N. a Ïîýòîìó ñîãëàñíî òåîðåìå 6.1 è ñõîäèìîñòè ôóíêöèîíàëüíîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè â òî÷êå a

lim f (x) = n→∞ lim fn (a) = f (a),

x→a

÷òî îçíà÷àåò íåïðåðûâíîñòü ôóíêöèè f â òî÷êå a.

.

Ñëåäñòâèå 6.2.1. Åñëè ïîñëåäîâàòåëüíîñòü íåïðåðûâíûõ íà ìíîæåñòâå

X ôóíêöèé ñõîäèòñÿ ðàâíîìåðíî íà X, òî å¼ ïðåäåëüíàÿ ôóíêöèÿ íåïðåðûâíà íà X.

Ñëåäñòâèå 6.2.2.

Ïóñòü ôóíêöèîíàëüíàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {fn (x)} ïîòî÷å÷íî ñõîäèòñÿ ê ôóíêöèè f íà ìíîæåñòâå X è fn (x) ∈ C(X), ∀n ∈ N. X

Åñëè ôóíêöèÿ f íå ÿâëÿåòñÿ íåïðåðûâíîé íà X, òî fn (x) 6⇒ f (x). ∞ P

Òåîðåìà 6.3 (î ïðåäåëå ñóììû ðÿäà).

n=1

Ïóñòü ôóíêöèîíàëüíûé ðÿä fn (x) ðàâíîìåðíî ñõîäèòñÿ íà ìíîæåñòâå X è åãî ñóììà ðàâíà S(x),

a  ïðåäåëüíàÿ òî÷êà ìíîæåñòâà X lim fn = cn , ∀n ∈ N. Òîãäà ÷èñëîâîé ðÿä a ∞ X

è ñóùåñòâóåò êîíå÷íûé ïðåäåë

(6.1)

cn

n=1

ñõîäèòñÿ, ñóùåñòâóåò ïðåäåë x→a lim S(x) è

lim S(x) = x→a ò.å.

lim x→a

∞ X

fn (x) =

n=1

∞ X

∞ X

n=1

19

cn ,

n=1

lim f (x), x→a n

(6.2)

Òåîðåìó 6.3 ÷àñòî íàçûâàþò òåîðåìîé î ïî÷ëåííîì ïåðåõîäå ê ïðåäåëó äëÿ ôóíêöèîíàëüíîãî ðÿäà. ∞ P / Ïîñêîëüêó ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {Sn (x)} ÷àñòè÷íûõ ñóìì ðÿäà fn (x) ðàâíîìåðíî ñõîäèòñÿ íà ìíîæåñòâå X ê ôóíêöèè S(x) è

lim S (x) = x→a n

n X

k=1

n=1

ck := Cn , n ∈ N,

òî ïî òåîðåìå 6.1 ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {Cn } ñõîäèòñÿ è ñóùåñòâóåò

lim S(x) = n→∞ lim Cn .

x→a

Íî Cn  ÷àñòè÷íûå ñóììû ðÿäà (6.1), ïîýòîìó ìû äîêàçàëè ñõîäèìîñòü ðÿäà (6.1) è ðàâåíñòâî (6.2). .

Òåîðåìà 6.4 (î íåïðåðûâíîñòè ñóììû ðÿäà). ðÿä

∞ P

n=1

Åñëè ôóíêöèîíàëüíûé fn (x) ðàâíîìåðíî ñõîäèòñÿ íà ìíîæåñòâå X, a ∈ X è fn íåïðåðûâ-

íû â òî÷êå a (íà ìíîæåñòâå X ), òî ñóììà ðÿäà íåïðåðûâíà â òî÷êå a (íà ìíîæåñòâå X ).

Òåîðåìà ñëåäóåò èç òåîðåìû 6.3 ñ ó÷¼òîì îïðåäåëåíèÿ íåïðåðûâíîñòè ôóíêöèè â òî÷êå.

Ñëåäñòâèå 6.4.1. Åñëè ôóíêöèîíàëüíûé ðÿä íåïðåðûâíûõ íà ìíîæåñòâå

X ôóíêöèé ïîòî÷å÷íî ñõîäèòñÿ íà X è ñóììà ðÿäà íå ÿâëÿåòñÿ íåïðåðûâíîé íà X, òî ðàññìàòðèâàåìûé ðÿä ñõîäèòñÿ íåðàâíîìåðíî íà ìíîæåñòâå X .

Çàìå÷àíèå 1. Òðåáîâàíèå ðàâíîìåðíîé ñõîäèìîñòè ðÿäà ñóùåñòâåííî äëÿ ñïðàâåäëèâîñòè òåîðåìû 6.4 è ñëåäñòâèÿ. Äëÿ ïîäòâåðæäåíèÿ ñêàçàííîãî ðàññìîòðèì

Ïðèìåð 6.1. Èññëåäóåì ðÿä x2 2 n n=1 (1 + x ) ∞ X

íà îòðåçêå [−1, 1].

/ Çàìåòèì, ÷òî ðÿä ÿâëÿåòñÿ ðÿäîì ãåîìåòðè÷åñêîé ïðîãðåññèè ñî çíàìå1 x2 íàòåëåì q = 1+x 2 è ïåðâûì ÷ëåíîì a1 = 1+x2 . Îí ñõîäèòñÿ â êàæäîé òî÷êå ìíîæåñòâà R. Äîêàæåì, ÷òî äàííûé ðÿä íåðàâíîìåðíî ñõîäèòñÿ íà îòðåçêå [−1; 1]. Äåéñòâèòåëüíî, Rn (0) = 0, à ïðè x 6= 0 Rn (x) =

x2

2 n+1

(1 + x )

1 1− 1 + x2 20

!

=

1 , (1 + x2 )n

∀n ∈ N.

Ïîñêîëüêó





1 1 sup |Rn (x)| ≥ Rn  √  = 1 + n n x∈[−1;1]

!−n

1 −→ , e

[−1;1]

òî ïî òåîðåìå 3.1 Rn (x) 6⇒ 0, à ïîýòîìó ðàññìàòðèâàåìûé ðÿä ñõîäèòñÿ íåðàâíîìåðíî íà îòðåçêå [−1; 1]. Çàìåòèì, ÷òî åãî ñóììà S(x) òåðïèò ðàçðûâ â òî÷êå x = 0, õîòÿ ÷ëåíû ðÿäà íåïðåðûâíû íà R. . Çàìå÷àíèå 2. Òðåáîâàíèå ðàâíîìåðíîé ñõîäèìîñòè ðÿäà íåïðåðûâíûõ íà X ôóíêöèé ÿâëÿåòñÿ äîñòàòî÷íûì, íî íå íåîáõîäèìûì óñëîâèåì íåïðåðûâíîñòè ñóììû ðÿäà. Íàïðèìåð, ðÿä   ∞ X

(n − 1)x  nx − 2 2 1 + (n − 1)2 x2 n=1 1 + n x èìååò íà îòðåçêå [0; 1] ñóììó S(x) = 0, ÷ëåíû ðÿäà íåïðåðûâíû íà [0; 1], à ñõîäèòñÿ ðÿä íåðàâíîìåðíî íà [0; 1]. Îäíàêî â íåêîòîðûõ ñëó÷àÿõ ðàâíîìåðíàÿ ñõîäèìîñòü ïîñëåäîâàòåëüíîñòè (ðÿäà) ÿâëÿåòñÿ íåîáõîäèìûì óñëîâèåì íåïðåðûâíîñòè ïðåäåëüíîé ôóíêöèè (ñóììû ðÿäà) íà ìíîæåñòâå X . Ñïðàâåäëèâà ñëåäóþùàÿ 

Òåîðåìà 6.5 (Äèíè).

Ïóñòü ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {fn (x)} íå óáûâàåò (èëè íå âîçðàñòàåò) â êàæäîé òî÷êå x çàìêíóòîãî îãðàíè÷åííîãî ìíîæåñòâà X ⊂ R è ñõîäèòñÿ íà X ê ôóíêöèè f (x). Åñëè âñå ÷ëåíû fn (x) ïîñëåäîâàòåëüíîñòè è ïðåäåëüíàÿ ôóíêöèÿ f (x) íåïðåðûâíû íà X , òî ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {fn (x)} ðàâíîìåðíî ñõîäèòñÿ íà ìíîæåñòâå X .

/ Äëÿ îïðåäåë¼ííîñòè áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {fn (x)} íå óáûâàåò â êàæäîé òî÷êå x ∈ X. Ïîëîæèì rn (x) = f (x) − fn (x). Ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {rn (x)} îáëàäàåò ñâîéñòâàìè: 1) ôóíêöèè rn (x) íåîòðèöàòåëüíû è íåïðåðûâíû íà êîìïàêòå X;

2) â êàæäîé òî÷êå x ∈ X ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {rn (x)} íå âîçðàñòàåò; 3) â êàæäîé òî÷êå x ∈ X ñóùåñòâóåò ïðåäåë n→∞ lim rn (x) = 0.

Äîêàæåì, ÷òî ñõîäèìîñòü ïîñëåäîâàòåëüíîñòè {rn (x)} ê r(x) = 0 íà X ÿâëÿåòñÿ ðàâíîìåðíîé.Âîñïîëüçóåìñÿ ìåòîäîì "îò ïðîòèâíîãî". Äîïóñòèì, ÷òî ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {rn (x)} ñõîäèòñÿ ê ôóíêöèè r(x) = 0 íà X íåðàâíîìåðíî, ò.å. äëÿ íåêîòîðîãî ε0 > 0 è ëþáîãî n ∈ N íàéä¼òñÿ õîòÿ áû îäíà òî÷êà xn ìíîæåñòâà X òàêàÿ, ÷òî

rn (xn ) ≥ ε0 . 21

 ñèëó îãðàíè÷åííîñòè ìíîæåñòâà X è ëåììû Áîëüöàíî-Âåéåðøòðàññà èç ïîñëåäîâàòåëüíîñòè {xn } ìîæíî âûäåëèòü ïîäïîñëåäîâàòåëüíîñòü {xnk }, ñõîäÿùóþñÿ ê íåêîòîðîé òî÷êå c ∈ X (X  çàìêíóòîå ìíîæåñòâî). Ïî óñëîâèþ ôóíêöèè rn (x) íåïðåðûâíû â òî÷êå c, ïîýòîìó rn (xnk ) → rn (c) ïðè k → ∞, ∀n ∈ N. Ïîñêîëüêó

rnk (xnk ) ≥ ε0 ,

à ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {rn (x)} íå âîçðàñòàåò â êàæäîé òî÷êå x ∈ X, òî, âûáðàâ äëÿ êàæäîãî m ∈ N íîìåð nk òàêîé, ÷òî nk > m, ïîëó÷èì

rm (xnk ) ≥ rnk (xnk ), à çíà÷èò ∀nk : nk > m,

rm (xnk ) ≥ ε0 .

Ïåðåõîäÿ â ïîñëåäíåì íåðàâåíñòâå ê ïðåäåëó ïðè k → +∞, ïîëó÷èì

rm (c) ≥ ε0 , ∀m ∈ N, ÷åãî áûòü íå ìîæåò, ò.ê. rm (c) → 0 ïðè m → +∞. Ïîëó÷åííîå ïðîòèâîðå÷èå äîêàçûâàåò òåîðåìó. . Çàìå÷àíèå1. Òðåáîâàíèå ìîíîòîííîñòè ïîñëåäîâàòåëüíîñòè {fn (x)} â òî÷êàõ ìíîæåñòâà X ñóùåñòâåííî äëÿ òåîðåìû Äèíè. Íàïðèìåð, ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {fn (x)}:     

fn (x) =    

h

i

sin nx,

åñëè x ∈ 0; πn ,

0,

åñëè x ∈



π n; π

i

èìååì íà [0; π] ïðåäåëüíóþ ôóíêöèþ f (x) = 0, ∀x ∈ [0; π], íî íå ñõîäèòñÿ íà ýòîì îòðåçêå ðàâíîìåðíî, òàê êàê ∀n ∈ N

sup |fn (x) − f (x)| ≥

x∈[0;π]

fn

π 2n

!

!

π = 1. = sin n · 2n

Çàìå÷àíèå 2. Òðåáîâàíèå êîìïàêòíîñòè ìíîæåñòâà X ñóùåñòâåííî äëÿ òåîðåìû Äèíè. Íàïðèìåð, ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {xn } ñõîäèòñÿ ïîòî÷å÷íî ê ôóíêöèè f (x) ≡ 0 íà ìíîæåñòâå X = [0; 1), êàæäàÿ ôóíêöèÿ fn (x) è f (x) íåïðåðûâíà íà X , â êàæäîé òî÷êå x ∈ [0; 1) ÷èñëîâàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {xn } óáûâàåò. Îäíàêî [0;1)

fn (x) 6⇒ 0 (ñì. çàìå÷àíèå ê ïðèìåðó 1.2). Ïðèâåä¼ì ôîðìóëèðîâêó òåîðåìû Äèíè äëÿ ôóíêöèîíàëüíûõ ðÿäîâ. 22

Òåîðåìà 6.6.

Ïóñòü âñå ÷ëåíû ôóíêöèîíàëüíîãî ðÿäà íåïðåðûâíû è íåîòðèöàòåëüíû (èëè ïîëîæèòåëüíû) íà çàìêíóòîì îãðàíè÷åííîì ìíîæåñòâå X ⊂ R. Åñëè ðÿä ïîòî÷å÷íî ñõîäèòñÿ íà X è åãî ñóììà ÿâëÿåòñÿ íåïðåðûâíîé íà ìíîæåñòâå X ôóíêöèåé, òî ðÿä ðàâíîìåðíî ñõîäèòñÿ íà ìíîæåñòâå X .  êà÷åñòâå ïðèìåðà ïðèìåíåíèÿ òåîðåìû Äèíè ðàññìîòðèì

Ïðèìåð 6.2. Èññëåäîâàòü íà ðàâíîìåðíóþ ñõîäèìîñòü ïîñëåäîâàòåëüíîñòü

{fn (x)}: fn (x) = xn íà [0; q], q ∈ (0; 1). Ïðåäåëüíàÿ ôóíêöèÿ äàííîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ðàâíà f (x) ≡ 0. Ôóíêöèè fn (x) = xn è f (x) = 0 íåïðåðûâíû íà êîìïàêòå X = [0; q], q ∈ (0; 1) è â êàæäîé òî÷êå x ∈ [0; q] ÷èñëîâàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {xn } íå âîçðàñòàåò. Ïîýòîìó, ñîãëàñíî òåîðåìå 6.5, ðàññìàòðèâàåìàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ñõîäèòñÿ ðàâíîìåðíî íà îòðåçêå [0; q], q ∈ (0; 1).

Òåîðåìà 6.7. (î ïî÷ëåííîì èíòåãðèðîâàíèè ôóíêöèîíàëüíîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè). Ïóñòü ôóíêöèè fn èíòåãðèðóåìû íà îòðåçêå [a; b],

n ∈ N, è ôóíêöèîíàëüíàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ðàâíîìåðíî ñõîäèòñÿ íà [a; b]. Òîãäà ïðåäåëüíàÿ ôóíêöèÿ f èíòåãðèðóåìà íà îòðåçêå [a; b], ÷èñëîâàÿ ïîñëåRb

äîâàòåëüíîñòü { fn (x)dx} ñõîäèòñÿ è a

lim

n→∞

ò.å.

lim

n→∞

Zb

Zb

fn (x)dx =

a

Zb

(6.3)

f (x)dx,

a

fn (x)dx =

a

Zb a

lim f (x)dx. n→∞ n

/ Äëÿ äîêàçàòåëüñòâà èíòåãðèðóåìîñòè ôóíêöèè f íà îòðåçêå [a; b] âîñïîëüçóåìñÿ êðèòåðèåì Äàðáó. [a;b]

Ôèêñèðóåì ïðîèçâîëüíîå ε > 0. Ïî óñëîâèþ fn (x) ⇒ f (x), ïîýòîìó íàéä¼òñÿ íîìåð N = N (ε) òàêîé, ÷òî

|fn (x) − f (x)| < Ïîýòîìó

ε , ∀n > N, ∀x ∈ [a; b]. 3(b − a)

ε , ∀x ∈ [a; b]. 3(b − a) Èç èíòåãðèðóåìîñòè ôóíêöèè fN +1 íà [a; b] è êðèòåðèÿ Äàðáó íàéä¼òñÿ òàêîå ðàçáèåíèå τε = {xk }m k=1 îòðåçêà [a; b], ÷òî |fN +1 (x) − f (x)| <

m−1 X i=0

ε f ωi N +1 ∆xi < , 3 23

f

ãäå ωi =

sup x0 ,x00 ∈[xi ,xi+1 ]

|f (x0 ) − f (x00 )|. Äëÿ ïðîèçâîëüíûõ òî÷åê x0 , x00 i−ãî îòðåçêà

íàéäåííîãî ðàçáèåíèÿ

Îòñþäà

|f (x0 ) − f (x00 )| ≤ |f (x0 ) − fN +1 (x0 )| + |fN +1 (x0 ) − fN +1 (x00 )| + 2ε f + |fN +1 (x00 ) − fN +1 (x00 )| < + ωi N +1 . 3(b − a)

2ε f + ωi N +1 , i = 0, 1, . . . , m − 1. 3(b − a) Ïîýòîìó äëÿ ðàçáèåíèÿ τε ωif ≤

m−1 X i=0

f

ωi N +1 ∆xi ≤

m−1 X X 2ε m−1 f ∆xi + ωi N +1 ∆xi < ε 3(b − a) i=0 i=0

è ïî êðèòåðèþ Äàðáó ôóíêöèÿ f ∈ R[a; b]. Îñòà¼òñÿ äîêàçàòü âòîðóþ ÷àñòü Rb

óòâåðæäåíèÿ òåîðåìû î òîì, ÷òî ïîñëåäîâàòåëüíîñòü { fn (x)dx} ñõîäèòñÿ è å¼ a

ïðåäåë ðàâåí èíòåãðàëó

Rb

f (x)dx. Äîñòàòî÷íî äîêàçàòü, ÷òî äëÿ ëþáîãî ε > 0 íàéä¼òñÿ íîìåð N = N (ε) òàêîé, ÷òî äëÿ âñåõ n > N a

Zb fn (x)dx a

−

f (x)dx a

Zb

< ε.

È ñèëó ðàâíîìåðíîé ñõîäèìîñòè ïîñëåäîâàòåëüíîñòè {fn (x)} ê f (x) íà îòðåçêå [a; b] íàéä¼òñÿ íîìåð N = N (ε) òàêîé, ÷òî äëÿ âñåõ x ∈ [a; b]

|fn (x) − f (x)| <

ε . 2(b − a)

(6.4)

Èç ñâîéñòâ îïðåäåë¼ííîãî èíòåãðàëà è ðàâåíñòâà (6.4) ïîëó÷èì: Zb fn (x)dx a

−

f (x)dx a

Zb

=

Zb (fn (x)dx a

−

f (x))dx

≤

Zb a

|fn (x)dx − f (x)|dx ≤

Zb ε ε dx = < ε, ≤ 2(b − a) a 2

÷òî çàâåðøàåò äîêàçàòåëüñòâî óòâåðæäåíèÿ.

.

Çàìå÷àíèå. Åñëè â óñëîâèÿõ òåîðåìû 6.7 ïîòðåáîâàòü äîïîëíèòåëüíî íåïðåðûâíîñòü ôóíêöèé fn (x), n ∈ N, íà îòðåçêå [a; b], òî äîêàçàòåëüñòâî èíòåãðèðóåìîñòè ôóíêöèè f íà îòðåçêå [a; b] ñëåäîâàëî áû èç ñëåäñòâèÿ 1 òåîðåìû 6.3 è 24

äîñòàòî÷íûõ óñëîâèé èíòåãðèðóåìîñòè ôóíêöèè.  ýòîì ÷àñòíîì ñëó÷àå ìîæíî áûëî áû äîêàçàòü, ÷òî ïîñëåäîâàòåëüíîñòü èíòåãðàëîâ ñ ïåðåìåííûì âåðõíèì Rx ïðåäåëîì {Fn (x)} : Fn (x) = fn (t)dt, c ∈ [a; b) ðàâíîìåðíî ñõîäèòñÿ íà îòðåçêå c

Rx

[a; b] ê ôóíêöèè F (x) = f (t)dt, x ∈ [a; b]. Ñôîðìóëèðóåì ðåçóëüòàò, ñîîòâåòc ñòâóþùèé òåîðåìå 6.7, äëÿ ôóíêöèîíàëüíûõ ðÿäîâ.

Òåîðåìà 6.8. (î ïî÷ëåííîì èíòåãðèðîâàíèè ôóíêöèîíàëüíîãî ðÿ∞ P äà). Åñëè ôóíêöèè fn ∈ R[a; b], n ∈ N, è ðÿä fn (x) ðàâíîìåðíî ñõîäèòñÿ n=1

íà îòðåçêå [a; b], òî åãî ñóììà S(x) èíòåãðèðóåìà íà îòðåçêå [a; b], ÷èñëîâîé ðÿä

∞ Rb P

n=1 a

fn (x)dx, ïîëó÷åííûé èç äàííîãî ïî÷ëåííûì èíòåãðèðîâàíèåì íà

[a; b], ñõîäèòñÿ è

ò.å.

Zb

S(x)dx =

fn (x)dx,

n=1 a

a

Zb X ∞

∞ Zb X

fn (x)dx =

a n=1

∞ Zb X

fn (x)dx.

n=1 a

Çàìå÷àíèå. Åñëè â óñëîâèÿõ òåîðåìû 6.8 èíòåãðèðóåìîñòü ôóíêöèé fn , n ∈ N, çàìåíèòü íåïðåðûâíîñòüþ, òî ìîæíî äîêàçàòü åù¼, ÷òî ôóíêöèîíàëüíûé ðÿä ∞ Zx X

fn (t)dt,

n=1 c

ãäå c ∈ [a; b], ðàâíîìåðíî ñõîäèòñÿ íà îòðåçêå [a; b] è ∞ Zx X

fn (t)dt =

n=1 c

Zx X ∞

fn (t)dt.

c n=1

Òåîðåìà 6.9. (î ïî÷ëåííîì äèôôåðåíöèðîâàíèè ôóíêöèîíàëüíîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè). Ïóñòü ôóíêöèè fn äèôôåðåíöèðóåìû íà îòðåçêå [a; b], n ∈ N, ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {fn0 (x)} ïðîèçâîäíûõ ñõîäèòñÿ ðàâíîìåðíî íà îòðåçêå [a; b], à ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {fn (x)} ñõîäèòñÿ õîòÿ áû â îäíîé òî÷êå x0 ∈ [a; b]. Òîãäà ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {fn (x)} ðàâíîìåðíî ñõîäèòñÿ íà îòðåçêå [a; b], ïðåäåëüíàÿ ôóíêöèÿ f (x) äèôôåðåíöèðóåìà íà [a; b] è f 0 (x) = φ(x), ∀x ∈ [a; b], ãäå φ(x)  ïðåäåëüíàÿ ôóíêöèÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòè {fn0 (x)}, ò.å. ∀x ∈ [a; b] (n→∞ lim fn (x))0 = n→∞ lim fn0 (x). / Âîñïîëüçîâàâøèñü êðèòåðèåì Êîøè, äîêàæåì ðàâíîìåðíóþ ñõîäèìîñòü íà îòðåçêå [a; b] ïîñëåäîâàòåëüíîñòè {fn (x)}. 25

Äëÿ ëþáûõ ôèêñèðîâàííûõ íîìåðîâ n è p è x ∈ [a; b]

|fn+p (x) − fn (x)| ≤ |(fn+p (x) − fn (x)) − (fn+p (x0 ) − fn (x0 ))| + |fn+p (x0 ) − fn (x0 )|. Ôóíêöèÿ fn+p (x) − fn (x) äèôôåðåíöèðóåìà íà îòðåçêå [a; b], ïîýòîìó äëÿ êàæäîãî ôèêñèðîâàííîãî x ∈ [a; b] îíà óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèÿì òåîðåìû Ëàãðàíæà íà îòðåçêå, îãðàíè÷åííîì òî÷êàìè x0 è x.Çíà÷èò ìåæäó x0 è x íàéä¼òñÿ òî÷êà cx òàêàÿ, ÷òî 0 (fn+p (x) − fn (x)) − (fn+p (x0 ) − fn (x0 )) = (fn+p (cx ) − fn0 (cx ))(x − x0 ). [a;b]

Ïî óñëîâèþ òåîðåìû fn0 (x) ⇒ φ(x) è ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {fn (x0 )} ñõîäèòñÿ. Ñîãëàñíî êðèòåðèþ Êîøè ðàâíîìåðíîé ñõîäèìîñòè ôóíêöèîíàëüíîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè äëÿ ëþáîãî ε > 0 íàéä¼òñÿ íîìåð N = N (ε) òàêîé, ÷òî ∀n > N ,

∀p ∈ N, ∀x ∈ [a; b]

0 |fn+p (x) − fn0 (x)| <

ε ε , |fn+p (x0 ) − fn (x0 )| < . 2(b − a) 2

Ñëåäîâàòåëüíî, ∀n > N, ∀p ∈ N, ∀x ∈ [a; b] 0 |fn+p (x) − fn (x)| ≤ |fn+p (cx ) − fn0 (cx )||x − x0 | + |fn+p (x0 ) − fn (x0 )| < ε ε |x − x0 | + ≤ ε. < 2(b − a) 2

Ýòî îçíà÷àåò, â ñèëó êðèòåðèÿ Êîøè, ðàâíîìåðíóþ ñõîäèìîñòü íà îòðåçêå [a; b] ïîñëåäîâàòåëüíîñòè {fn (x)} ê ôóíêöèè f (x). Îñòà¼òñÿ äîêàçàòü, ÷òî ôóíêöèÿ f äèôôåðåíöèðóåìà íà îòðåçêå [a; b], è óêàçàòü å¼ ïðîèçâîäíóþ. Ôèêñèðóåì ïðîèçâîëüíóþ òî÷êó xe îòðåçêà [a; b] è íàéä¼ì

lim

Òàê êàê ∀x ∈ [a; b]

È íàì ñëåäóåò íàéòè

x→e x (x∈[a;b]\{e x})

lim f (x) n→∞ n

e f (x) − f (x) . x − xe

= f (x), òî

e e f (x) − f (x) fn (x) − fn (x) = n→∞ lim . x − xe x − xe

lim n→∞ lim

x→e x

e fn (x) − fn (x) . x − xe

26

(6.5)

Ïóñòü

e fn (x) − fn (x) , ∀n ∈ N, x − xe òîãäà ôóíêöèè gn : [a; b] \ xe −→ R, ∀n ∈ N. Äîêàæåì, ÷òî ïîñëåäîâàòåëüíîñòü e {gn (x)} ðàâíîìåðíî ñõîäèòñÿ íà ìíîæåñòâå [a; b] \ x. Ïðè ôèêñèðîâàííûõ n, p ∈ N è x ∈ [a; b] \ xe

gn (x) :=

gn+p (x) − gn (x) =

 1  e e (fn+p (x) − fn+p (x)) − (fn+p (x) − fn (x)) = x − xe

 1  e − fn (x)) e (fn+p (x) − fn (x)) − (fn+p (x) . x − xe Ïî òåîðåìå Ëàãðàíæà, ïðèìåíåííîé ê ôóíêöèè fn+p (x) − fn (x) íà îòðåçêå ñ e íàéä¼ì òî÷êó ηx ìåæäó x è x e òàêóþ, ÷òî êîíöàìè x è x,

=

0 e − fn (x)) e e fn+p (x) − fn (x) − (fn+p (x) = (fn+p (ηx ) − fn0 (ηx ))(x − x).

e Ïîýòîìó ∀n ∈ N, ∀p ∈ N, ∀x ∈ [a; b] \ {x}

0 |gn+p (x) − gn (x)| = |fn+p (ηx ) − fn0 (ηx )|.

Ïîñêîëüêó

(6.6)

[a;b]

⇒ φ(x), òî ïî êðèòåðèþ Êîøè ∀ε > 0 ∃N = N (ε) : ∀n > N, ∀p ∈ N, ∀x ∈ [a; b] 0 |fn+p (x) − fn0 (x)| < ε. fn0 (x)

e Âîçâðàùàÿñü ê (6.6), ïîëó÷èì, ÷òî ∀n > N, ∀p ∈ N, ∀x ∈ [a; b] \ {x}

|gn+p (x) − gn (x)| < ε.

Ïîýòîìó ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {gn (x)} ðàâíîìåðíî ñõîäèòñÿ íà ìíîæåñòâå e [a; b] \ {x}. Íàêîíåö, òàê êàê

lim gn (x) = fn0 (x), ∀n ∈ N,

x→e x

òî, âîñïîëüçîâàâøèñü òåîðåìîé 6.1 è ðàâåíñòâîì (6.5), ïîëó÷èì e e f (x) − f (x) fn (x) − fn (x) e = φ(x), e = lim n→∞ lim = n→∞ lim fn0 (x) ∀xe ∈ [a; b]. e e x→e x x→e x x−x x−x

lim

e = Ýòî îçíà÷àåò äèôôåðåíöèðóåìîñòü ôóíêöèè f â òî÷êå xe è ðàâåíñòâî f 0 (x)

e ∀x e ∈ [a; b]. = φ(x), Äëÿ ôóíêöèîíàëüíûõ ðÿäîâ ñïðàâåäëèâà

27

.

Òåîðåìà 6.10. (î ïî÷ëåííîì äèôôåðåíöèðîâàíèè ôóíêöèîíàëüíîãî ðÿäà). Ïóñòü ôóíêöèè fn äèôôåðåíöèðóåìû íà îòðåçêå [a; b], ðÿä èç ïðîèçâîäíûõ ýòèõ ôóíêöèé ∞ P

n=1

∞ P

n=1

fn0 (x) ðàâíîìåðíî ñõîäèòñÿ íà îòðåçêå [a; b] è ðÿä

fn (x) ñõîäèòñÿ õîòÿ áû â îäíîé òî÷êå x0 îòðåçêà [a; b]. Òîãäà ïîñëåäíèé

ðÿä ñõîäèòñÿ ðàâíîìåðíî íà [a; b], åãî ñóììà S(x) äèôôåðåíöèðóåìà íà îòðåçêå [a; b] è 0

S (x) =

∞ X

n=1

ò.å. ïðîèçâîäíàÿ ñóììû ðÿäà

fn0 (x), ∀x ∈ [a; b],

∞ P

fn (x) åñòü ñóììà ðÿäà, ïîëó÷åííîãî èç äàííîãî ïî÷ëåííûì äèôôåðåíöèðîâàíèåì. n=1

Çàìå÷àíèå1. Åñëè, íàïðèìåð, â óñëîâèè òåîðåìû 6.9 äîïîëíèòåëüíî ïîòðåáîâàòü, ÷òî ôóíêöèè fn íåïðåðûâíî äèôôåðåíöèðóåìû íà îòðåçêå [a; b], òî ìû äîñòàòî÷íî ëåãêî ïîëó÷àåì åù¼, ÷òî ïðåäåëüíàÿ ôóíêöèÿ f (x) ôóíêöèîíàëüíîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè {fn (x)} íåïðåðûâíî äèôôåðåíöèðóåìà íà [a; b]. Çàìå÷àíèå2. Òåîðåìû 6.9 è 6.10 ñïðàâåäëèâû íà ïðîìåæóòêå X , îòëè÷íîì îò îòðåçêà. Çàìå÷àíèå3. Ðàâíîìåðíàÿ ñõîäèìîñòü ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ïðîèçâîäíûõ 0 {fn (x)} íà îòðåçêå [a; b] íå âûòåêàåò äàæå èç ðàâíîìåðíîé ñõîäèìîñòè ïîñëåäîâàòåëüíîñòè {fn (x)}.

Ïðèìåð 6.3. Èññëåäóåì ïîñëåäîâàòåëüíîñòü

sin nx {fn (x)} : fn (x) = √ , x ∈ [0; 1]. n / Äëÿ ëþáîãî x ∈ R n→∞ lim fn (x) = 0. Ïîýòîìó ïðåäåëüíàÿ ôóíêöèÿ ðàññìàòðèâàåìîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè f (x) = 0, ∀x ∈ R. Â ñèëó êðèòåðèÿ 3.1 ïîñëåäîâàòåëüíîñòü R

fn (x) ⇒ f (x). Ïîýòîìó [0;1]

fn (x) ⇒ f (x). √ √ Ôóíêöèÿ fn0 (x) = n cos nx, ∀x ∈ [0; 1], ∀n ∈ N. Ïîñêîëüêó fn0 (0) = n, òî fn0 (0) −→ +∞ ïðè n → ∞ è ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {fn0 (x)} íå ÿâëÿåòñÿ ïîòî÷å÷íî ñõîäÿùåéñÿ íà îòðåçêå [0; 1]. .

28

7 Ñòåïåííîé ðÿä Îïðåäåëåíèå 7.1. Ïóñòü {an }∞ n=1  íåêîòîðàÿ ÷èñëîâàÿ ïîñëåäîâàòåëü-

íîñòü, a ∈ R. Ñòåïåííûì ðÿäîì ñ íà÷àëüíîé òî÷êîé a íàçûâàåòñÿ ðÿä ∞ X

k=0

ak (x − a)k ,

ïðè ýòîì ÷èñëà ak íàçûâàþòñÿ êîýôôèöèåíòàìè ñòåïåííîãî ðÿäà. Ïîñêîëüêó ïðè a 6= 0 ëèíåéíàÿ ôóíêöèÿ t = x − a ïåðåâîäèò ñòåïåííîé ðÿä ∞ P ñ íà÷àëüíîé òî÷êîé a â ñòåïåííîé ðÿä an tn ñ íà÷àëüíîé òî÷êîé â íóëå, òî n=0

ñâîéñòâà ñòåïåííûõ ðÿäîâ, êîòîðûå íå ìåíÿþòñÿ ïðè ëèíåéíîì ïðåîáðàçîâàíèè, óäîáíî ôîðìóëèðîâàòü äëÿ ñòåïåííîãî ðÿäà ∞ X

an xn .

(7.1)

n=0

Îïðåäåëåíèå 7.2. Òî÷êà x0 ∈ R, â êîòîðîé ñòåïåííîé ðÿä (7.1)

(ïðè

x = x0 ) ñõîäèòñÿ, íàçûâàåòñÿ òî÷êîé ñõîäèìîñòè ðÿäà (7.1). Ìíîæåñòâî X ⊂ R âñåõ òî÷åê ñõîäèìîñòè ñòåïåííîãî ðÿäà (7.1) íàçûâàåòñÿ îáëàñòüþ ñõîäèìîñòè åãî. Çàìå÷àíèå. Ëþáîé ñòåïåííîé ðÿä (7.1) ñõîäèòñÿ â òî÷êå x = 0, ïîýòîìó îáëàñòü åãî ñõîäèìîñòè íå ïóñòà. Ðàññìîòðèì íåñêîëüêî ïðèìåðîâ.

Ïðèìåð 7.1. Îáëàñòü ñõîäèìîñòè ðÿäà ∞ X

n!xn

n=0

ñîñòîèò èç îäíîé òî÷êè x = 0, ïîñêîëüêó ïðè êàæäîì ôèêñèðîâàííîì x0 ∈ R \ 0

lim n!xn = ∞.

Ïðèìåð 7.2. Îáëàñòü ñõîäèìîñòè ñòåïåííîãî ðÿäà xn n=0 n! ∞ X

(7.2)

ñîâïàäàåò ñ ìíîæåñòâîì R. Äåéñòâèòåëüíî, â ñèëó ïðèçíàêà Äàëàìáåðà äëÿ ëþáîãî x0 ∈ R \ 0 ñõîäèòñÿ

|x0 |n ÷èñëîâîé ðÿä . Ïîýòîìó ðÿä (7.2) ñõîäèòñÿ àáñîëþòíî â êàæäîé òî÷êå n=0 n! ìíîæåñòâà R. ∞ X

29

Ïðèìåð 7.3. Ñòåïåííîé ðÿä xn , α ∈ [0; ∞) α n=0 n ∞ X

ñõîäèòñÿ àáñîëþòíî â òî÷êàõ x ∈ (−1; 1), ðàñõîäèòñÿ â òî÷êàõ x : |x| > 1.  òî÷êå x = 1 îí ñõîäèòñÿ , åñëè α > 1, è ðàñõîäèòñÿ ïðè α ∈ [0; 1].  òî÷êå x = −1 îí ñõîäèòñÿ ïðè α > 0 è ðàñõîäèòñÿ ïðè α = 0. Ïîýòîìó îáëàñòü ñõîäèìîñòè ñîâïàäàåò ñ (−1; 1), åñëè α = 0; ñ [−1; 1), åñëè α ∈ (0; 1]; ñ [−1; 1], åñëè α > 1.

Òåîðåìà 7.1 (ïåðâàÿ òåîðåìà Àáåëÿ òåîðèè ñòåïåííûõ ðÿäîâ). Åñ-

ëè ñòåïåííîé ðÿä (7.1) ñõîäèòñÿ â òî÷êå x0 6= 0, òî îí ñõîäèòñÿ àáñîëþòíî â êàæäîé òî÷êå x ∈ R, óäîâëåòâîðÿþùåé íåðàâåíñòâó |x| < |x0 |.

/ Ïóñòü ÷èñëîâîé ðÿä (7.1) ñõîäèòñÿ â òî÷êå x0 6= 0.  ñèëó íåîáõîäèìîãî ïðèçíàêà ñõîäèìîñòè ÷èñëîâîãî ðÿäà lim an xn0 = 0, ïîýòîìó ∃c > 0 ∃N0 ∈ N : ∀n > N0 |an xn0 | ≤ c, è ñïðàâåäëèâà îöåíêà 

n



n

|x|  |x|  |an xn | = |an xn0 | ·  ≤ c , ∀n > N0 . |x0 | |x0 | Eñëè x òàêîå, ÷òî |x| < |x0 |, òî

|x| |x0 |

= q < 1 è ðÿä

ïðèçíàêà ñðàâíåíèÿ ïîëîæèòåëüíûõ ðÿäîâ ðÿä

∞ P

q n ñõîäèòñÿ. Â ñèëó

n=0 ∞ P |an xn | n=0

ñõîäèòñÿ, à çíà÷èò

ñòåïåííîé ðÿä (7.1) ñõîäèòñÿ àáñîëþòíî â êàæäîé òî÷êå x òàêîé, ÷òî |x| < |x0 |.

.

Åñëè X ⊂ R  îáëàñòü ñõîäèìîñòè ñòåïåííîãî ðÿäà (7.1), òî ñóùåñòâóåò âåëè÷èíà (êîíå÷íàÿ èëè áåñêîíå÷íàÿ) R = sup{|x| : x ∈ X}.

Òåîðåìà 7.2. Åñëè R = sup{|x| : x ∈ X}, òî

1) ïðè R = 0 ñòåïåííîé ðÿä (7.1) ðàñõîäèòñÿ â êàæäîé òî÷êå x 6= 0;

2) ïðè R = +∞ ñòåïåííîé ðÿä (7.1) cõîäèòñÿ àáñîëþòíî â êàæäîé òî÷êå x ∈ R;

3) ïðè R ∈ (0; +∞) ðÿä (7.1) ñõîäèòñÿ â èíòåðâàëå (−R; R), ðàñõîäèòñÿ

â òî÷êàõ x ∈ R òàêèõ, ÷òî |x| > R, è ìîæåò êàê ñõîäèòüñÿ, òàê è ðàñõîäèòüñÿ â òî÷êàõ x = ±R 30

/ Åñëè R = 0, òî ìíîæåñòâî X = {0}, ïîýòîìó óòâåðæäåíèå 1) òåîðåìû âåðíî. Åñëè R = +∞, òî ìíîæåñòâî {|x| : x ∈ X} íåîãðàíè÷åííî ñâåðõó, ïîýòîìó äëÿ ëþáîãî x0 ∈ R \ 0 íàéä¼òñÿ òî÷êà x ∈ X òàêàÿ, ÷òî |x0 | < |x|.  ñèëó 1-îé òåîðåìû Àáåëÿ ñòåïåííîé ðÿä (7.1) ñõîäèòñÿ àáñîëþòíî â òî÷êå x0 . Ñëåäîâàòåëüíî, ðÿä (7.1) ñõîäèòñÿ àáñîëþòíî â êàæäîé òî÷êå x0 ∈ R. Ïóñòü R ∈ (0; +∞). Ôèêñèðóåì òî÷êó x0 ∈ R \ 0 òàêóþ, ÷òî |x0 | < R, è ïîëîæèì ε = R − |x0 | > 0.Ïî îïðåäåëåíèþ òî÷íîé âåðõíåé ãðàíèöû ÷èñëîâîãî ìíîæåñòâà ñóùåñòâóåò xε ∈ X : |x0 | = R − ε < |xε | ≤ R. Ó÷èòûâàÿ ïåðâóþ òåîðåìó Àáåëÿ, ïîëó÷èì, ÷òî ðÿä (7.1) àáñîëþòíî ñõîäèòñÿ â òî÷êå x0 , ïîýòîìó â òî÷êàõ x0 ∈ (−R; R) ðÿä (7.1) ñõîäèòñÿ àáñîëþòíî. Ïî îïðåäåëåíèþ ÷èñëà R ëþáàÿ òî÷êà x0 ∈ R, äëÿ êîòîðîé |x0 | > R, íå ïðèíàäëåæèò ìíîæåñòâó X ñõîäèìîñòè ñòåïåííîãî ðÿäà. Ïîýòîìó ñòåïåííîé ðÿä ðàñõîäèòñÿ â òî÷êå x0 . . Ïðèìåð 7.3 ïîêàçûâàåò, ÷òî äëÿ íåãî R = 1, ∀α ∈ [0; +∞), è â òî÷êàõ x = ±R ñòåïåííîé ðÿä ìîæåò êàê ñõîäèòüñÿ, òàê è ðàñõîäèòüñÿ â çàâèñèìîñòè îò åãî êîýôôèöèåíòîâ.

Îïðåäåëåíèå 7.3. Âåëè÷èíà R = sup{|x| : x ∈ X} íàçûâàåòñÿ ðàäèóñîì

ñõîäèìîñòè ñòåïåííîãî ðÿäà (7.1). Åñëè R ∈ (0; +∞), òî èíòåðâàë (−R; R) íàçûâàåòñÿ èíòåðâàëîì ñõîäèìîñòè ñòåïåííîãî ðÿäà (7.1). Åñëè R = +∞, òî îáëàñòü ñõîäèìîñòè ñîâïàäàåò ñ ìíîæåñòâîì (−∞; +∞).

Òåîðåìà q7.3 (ôîðìóëà Êîøè-Àäàìàðà).

Ïóñòü äëÿ ñòåïåííîãî ðÿäà (7.1) ρ = lim n |an |.Òîãäà ðàäèóñ ñõîäèìîñòè R ñòåïåííîãî ðÿäà (7.1) âû÷èñëÿåòñÿ ïî ôîðìóëå    0, åñëè ρ = +∞,   R =  1/ρ, åñëè ρ ∈ (0; +∞),    +∞, åñëè ρ = 0. Ôîðìàëüíî ôîðìóëó Êîøè-Àäàìàðà çàïèñûâàþò :

R=

1

q

lim n |an |

.

/ Ôèêñèðóåì òî÷êó x 6= 0 è ðàññìîòðèì ïîëîæèòåëüíûé ðÿä ∞ X

n=0

Ïî ñâîéñòâó âåðõíåãî ïðåäåëà q

 

lim |an ||x|n =  n

|an ||x|n .

|x| · ρ, +∞, 31

åñëè ρ ∈ [0; +∞), åñëè ρ = +∞.

(7.3)

 ñèëó ïðèçíàêà Êîøè (ïðåäåëüíàÿ ôîðìà) ïðè ρ = +∞ ðÿä (7.3) ðàñõîäèòñÿ â òî÷êàõ x 6= 0, ïðè÷¼ì äëÿ íåãî íå âûïîëíÿåòñÿ íåîáõîäèìûé ïðèçíàê ñõîäèìîñòè. Çíà÷èò ñòåïåííîé ðÿä (7.1) ðàñõîäèòñÿ â êàæäîé òî÷êå x 6= 0 è ðàäèóñ ñõîäèìîñòè åãî ðàâåí R = 0. Åñëè ρ = 0, òî â êàæäîé òî÷êå x ∈ R ðÿä (7.3) ñõîäèòñÿ, à ðÿä (7.1) àáñîëþòíî ñõîäèòñÿ. Ñëåäîâàòåëüíî, ñòåïåííîé ðÿä (7.1) ñõîäèòñÿ àáñîëþòíî íà ìíîæåñòâå R è åãî ðàäèóñ ñõîäèìîñòè áåñêîíå÷åí. Åñëè æå ρ ∈ (0; +∞), òî ðÿä (7.3) ñõîäèòñÿ ïðè ρ · |x| < 1, ò.å. ïðè |x| < ρ1 , è ðàñõîäèòñÿ ïðè |x| > ρ1 , ïðè ýòîì |an | · |x|n 6−→ 0 ïðè n → ∞. Ïîýòîìó ñòåïåííîé ðÿä (7.1) ñõîäèòñÿ àáñîëþòíî íà ìíîæåñòâå |x| < ρ1 è ðàñõîäèòñÿ â òî÷êàõ |x| > ρ1 . Ïîñëåäíåå îçíà÷àåò, ÷òî R = ρ1 . .

Çàìå÷àíèå. Åñëè äëÿ ñòåïåííîãî ðÿäà (7.1) ñóùåñòâóåò ïðåäåë

lim n→∞ òî åãî ðàäèóñ ñõîäèìîñòè R =

|an+1 | = A ∈ R, |an |

1 A.

Ïðèìåð 7.4. Íàéòè îáëàñòü ñõîäèìîñòè ðÿäà n!xn . n n=1 n ∞ X

/ Òàê êàê an = òî

lim

(7.4)

n! , ∀n ∈ N, nn

|an+1 | 1 1 = lim = |an | e (1 + n1 )n

è R = e, èíòåðâàë (−e; e)  èíòåðâàë ñõîäèìîñòè ñòåïåííîãî ðÿäà (7.4). Èññëåäóåì ïîâåäåíèå ðÿäà â òî÷êàõ x = ±e. Åñëè x = e, òî ðÿä (7.4) ïðèíèìàåò âèä

n!en . n n=1 n ∞ X

Ïîëîæèì

bn = Òîãäà

n!en , ∀n ≥ 1. nn

e |bn+1 | = → 1. |bn | (1 + n1 )n 32

Íî ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {(1 + 1/n)n } ÿâëÿåòñÿ âîçðàñòàþùåé, ïîýòîìó ïîñëåäî  −n  âàòåëüíîñòü e 1 + n1 ÿâëÿåòñÿ óáûâàþùåé è

|bn+1 | > 1, ∀n ∈ N. |bn |

Ñîãëàñíî ïðèçíàêó Äàëàìáåðà (íåïðåäåëüíàÿ ôîðìà) ÷èñëîâîé ðÿä

n!en n n=1 n ∞ X

ðàñõîäèòñÿ è bn 6→ 0. Ïîñëåäíåå îçíà÷àåò, ÷òî è â òî÷êå x = −e ðÿä (7.4) ðàñõîäèòñÿ, ò.å. îáëàñòü åãî ñõîäèìîñòè ñîâïàäàåò ñ èíòåðâàëîì ñõîäèìîñòè (−e; e).

.

8 Ôóíêöèîíàëüíûå ñâîéñòâà ñòåïåííîãî ðÿäà Òåîðåìà 8.1. (î ðàâíîìåðíîé ñõîäèìîñòè ñòåïåííîãî ðÿäà âíóòðè èíòåðâàëà ñõîäèìîñòè). Åñëè ðàäèóñ ñõîäèìîñòè ñòåïåííîãî ðÿäà (7.1) îò-

ëè÷åí îò íóëÿ, òî ñòåïåííîé ðÿä ðàâíîìåðíî è àáñîëþòíî ñõîäèòñÿ íà ëþáîì îòðåçêå [a; b] ⊂ (−R; R).

/ Ôèêñèðóåì îòðåçîê [a; b] ⊂ (−R; R). Ïo àêñèîìå íåïðåðûâíîñòè ìíîæåñòâà R äåéñòâèòåëüíûõ ÷èñåë íàéä¼òñÿ r0 > 0 òàêîå, ÷òî [a; b] ⊂ [−r0 ; r0 ] ⊂ (−R; R). ∞ P Òàê êàê r0 ∈ (0; R), òî ÷èñëîâîé ðÿä |an |r0n ñõîäèòñÿ. Íî ∀x ∈ [a; b], ∀n ∈ N0 n=0

|an xn | ≤ |an |r0n .

Ïîýòîìó ñòåïåííîé ðÿä (7.1), ñîãëàñíî ïðèçíàêó Âåéåðøòðàññà, àáñîëþòíî è ðàâíîìåðíî ñõîäèòñÿ íà îòðåçêå [a; b]. .

Îïðåäåëåíèå 8.1. Åñëè ñòåïåííîé ðÿä (7.1) ðàâíîìåðíî ñõîäèòñÿ íà ëþáîì

îòðåçêå, ñîäåðæàùåìñÿ â èíòåðâàëå ñõîäèìîñòè åãî, òî ãîâîðÿò, ÷òî îí ñõîäèòñÿ ðàâíîìåðíî âíóòðè èíòåðâàëà ñõîäèìîñòè. Ñ ó÷¼òîì ïîñëåäíåãî îïðåäåëåíèÿ äîêàçàííàÿ òåîðåìà 8.1 ìîæåò áûòü ñôîðìóëèðîâàíà ñëåäóþùèì îáðàçîì:

Òåîðåìà 8.2. Åñëè ðàäèóñ ñõîäèìîñòè ñòåïåííîãî ðÿäà (7.1) îòëè÷åí îò

íóëÿ, òî ðÿä (7.1) ðàâíîìåðíî ñõîäèòñÿ âíóòðè èíòåðâàëà ñõîäèìîñòè.

Ñëåäñòâèå 8.2.1. Ñóììà ñòåïåííîãî ðÿäà ñ îòëè÷íûì îò íóëÿ ðàäèóñîì

ñõîäèìîñòè íåïðåðûâíà â èíòåðâàëå ñõîäèìîñòè. 33

Òåîðåìà 8.3. Åñëè ñòåïåííîé ðÿä èìååò îòëè÷íûé îò íóëÿ ðàäèóñ ñõî-

äèìîñòè è ñõîäèòñÿ â òî÷êå x = R, òî îí ðàâíîìåðíî ñõîäèòñÿ íà îòðåçêå [0; R].

/ Ïî óñëîâèþ ÷èñëîâîé ðÿä

∞ P

n=0

an R n

ñõîäèòñÿ. Òàê êàê ∀x ∈ [0; R]

an xn = an Rn · ( Rx )n , òî â ñèëó ïðèçíàêà Àáåëÿ ñòåïåííîé ðÿä (7.1) ðàâíîìåðíî ñõîäèòñÿ íà îòðåçêå [0; R] (ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {( Rx )n } ìîíîòîííà ïðè êàæäîì ôèêñèðîâàííîì x ∈ [0; R] è ðàâíîìåðíî îãðàíè÷åíà, òàê êàê ( Rx )n ≤ 1, ∀x ∈ [0; R] è ∀n ∈ N0 ). .

Ñëåäñòâèå 8.3.1 (2-àÿ òåîðåìà Àáåëÿ). Åñëè ñòåïåííîé ðÿä (7.1) ñõî-

äèòñÿ â òî÷êå x = R, òî åãî ñóììà S(x) íåïðåðûâíà ñëåâà â òî÷êå x = R, ò.å. S(R − 0) = S(R).

Çàìå÷àíèå. Åñëè ñòåïåííîé ðÿä (7.1) èìååò îòëè÷íûé îò íóëÿ ðàäèóñ ñõîäèìîñòè è ñõîäèòñÿ â òî÷êå x = −R, òî àíàëîãè÷íî ìîæíî äîêàçàòü, ÷òî îí ðàâíîìåðíî ñõîäèòñÿ íà îòðåçêå [−R; 0] è åãî ñóììà íåïðåðûâíà â òî÷êå x = −R ñïðàâà.

Òåîðåìà 8.4 (î

ïî÷ëåííîì èíòåãðèðîâàíèè

ñòåïåííîãî ðÿäà).

Ïóñòü ñòåïåííîé ðÿä (7.1) èìååò ðàäèóñ ñõîäèìîñòè R > 0 è x ïðèíàäëåæèò îáëàñòè ñõîäèìîñòè åãî. Òîãäà ðÿä(7.1) ìîæíî ïî÷ëåííî èíòåãðèðîâàòü íà îòðåçêå [0; x]. Ïîëó÷åííûé â ðåçóëüòàòå ðÿä ∞ X

an n+1 x n=0 n + 1

(8.1)

èìååò òîò æå ðàäèóñ ñõîäèìîñòè, ÷òî è ðÿä (7.1).

/ Äëÿ ëþáîãî x èç îáëàñòè ñõîäèìîñòè (7.1) ñîãëàñíî òåîðåìàì 8.1 è 8.3 ñòåïåííîé ðÿä (7.1) ðàâíîìåðíî ñõîäèòñÿ íà îòðåçêå [0; x]. Ïîñêîëüêó ÷ëåíû ñòåïåííîãî ðÿäà íåïðåðûâíû íà R, òî â ñèëó òåîðåìû 6.8 ñóììà S(x) ðÿäà (7.1) èíòåãðèðóåìà íà îòðåçêå [0; x] è Zx

S(x)dx =

0

∞ X

an n+1 x . n + 1 n=0

Íàéä¼ì ðàäèóñ ñõîäèìîñòè ðÿäà (8.1). Òàê êàê

lim

v u u n |an−1 | t

n

q

q 1 n+1 = lim |an−1 | lim √ = lim |an | = n n n

q

n

q

= lim( n |an |) n+1 = lim n |an |,

òî ðàäèóñ ñõîäèìîñòè ðÿäà (8.1) ñîâïàäàåò c ðàäèóñîì R ñõîäèìîñòè ðÿäà (7.1).

. 34

Òåîðåìà 8.5 (î ïî÷ëåííîì äèôôåðåíöèðîâàíèè ñòåïåííîãî ðÿäà).

Ïóñòü R(> 0)  ðàäèóñ ñõîäèìîñòè ñòåïåííîãî ðÿäà (7.1). Ðÿä (7.1) âíóòðè èíòåðâàëà ñõîäèìîñòè ìîæíî ïî÷ëåííî äèôôåðåíöèðîâàòü. Ðÿä, ïîëó÷åííûé ïî÷ëåííûì äèôôåðåíöèðîâàíèåì, èìååò òîò æå ðàäèóñ ñõîäèìîñòè, ÷òî è ðÿä (7.1). Åñëè S(x)  ñóììà ðÿäà (7.1), òî îíà íåïðåðûâíî äèôôåðåíöèðóåìà â èíòåðâàëå (−R; R) è 0

S (x) =

∞ X

(8.2)

nan xn−1 .

n=1

/  ðåçóëüòàòå ïî÷ëåííîãî äèôôåðåíöèðîâàíèÿ ðÿäà (7.1) ïîëó÷èì ðÿä (8.2), ∞ P êîòîðûé ñõîäèòñÿ èëè ðàñõîäèòñÿ îäíîâðåìåííî ñ ðÿäîì nan xn . Ïóñòü R1  n=1

ðàäèóñ ñõîäèìîñòè ïîñëåäíåãî ñòåïåííîãî ðÿäà, à çíà÷èò è ðÿäà (8.2). Òàê êàê q

lim n n|an | = lim

q q √ n n · lim n |an | = lim n |an |,

òî R1 = R. Ïîýòîìó â ñèëó òåîðåì 8.1 è 6.10 ñòåïåííîé ðÿä (7.1) ìîæíî ïî÷ëåííî äèôôåðåíöèðîâàòü íà ëþáîì îòðåçêå [a; b] ⊂ (−R; R), ò.å. âíóòðè èíòåðâàëà ñõîäèìîñòè, ïðè÷¼ì íà [a; b], à çíà÷èò â èíòåðâàëå (−R; R) èìååò ìåñòî ðàâåíñòâî (8.2). Ó÷èòûâàÿ ñëåäñòâèå èç òåîðåìû 8.2 ïîëó÷èì, ÷òî ôóíêöèÿ S(x) íåïðåðûâíî äèôôåðåíöèðóåìà íà èíòåðâàëå (−R; R). .

Ñëåäñòâèå 8.5.1. Ïóñòü R > 0  ðàäèóñ ñõîäèìîñòè ñòåïåííîãî ðÿäà

(7.1). Ñòåïåííîé ðÿä (7.1) âíóòðè åãî èíòåðâàëà ñõîäèìîñòè ìîæíî äèôôåðåíöèðîâàòü ïî÷ëåííî ëþáîå ÷èñëî ðàç. Ðÿä, ïîëó÷åííûé n-êðàòíûì ïî÷ëåííûì äèôôåðåíöèðîâàíèåì èñõîäíîãî ñòåïåííîãî ðÿäà, èìååò òîò æå ðàäèóñ ñõîäèìîñòè, ÷òî è ðÿä (7.1). Ñóììà ðÿäà (7.1) S(x) ∈ C ∞ (−R; R).

9 Ðàçëîæåíèå ôóíêöèè â ñòåïåííîé ðÿä. Ðÿä Òåéëîðà Îïðåäåëåíèå 9.1. Áóäåì ãîâîðèòü, ÷òî ôóíêöèÿ f ìîæåò áûòü ðàçëîæåíà

â ñòåïåííîé ðÿä íà èíòåðâàëå (x0 −h, x0 +h), ãäå h > 0 è x0 ∈ R, åñëè ñóùåñòâóåò ∞ P ñòåïåííîé ðÿä an (x−x0 )n ñõîäÿùèéñÿ ê ôóíêöèè f íà óêàçàííîì èíòåðâàëå. n=0

Òåîðåìà 9.1. Äëÿ òîãî ÷òîáû ôóíêöèÿ f ìîãëà áûòü ðàçëîæåíà â ñòå-

ïåííîé ðÿä íà èíòåðâàëå (x0 − h, x0 + h), íåîáõîäèìî, ÷òîáû ýòà ôóíêöèÿ ïðèíàäëåæàëà êëàññó C ∞ (x0 − h, x0 + h). Òåîðåìà 9.1 âûòåêàåò èç ñëåäñòâèÿ ê òåîðåìå 8.5.

35

Òåîðåìà 9.2. Åñëè ôóíêöèÿ f ∈ C ∞ (Ux0 ) è f (x) =

∞ P

n=0

an (x − x0 )n ,

∀x ∈ Ux0 = (x0 − h; x0 + h), ò.å. ðàçëîæåíà â ñòåïåííîé ðÿä íà èíòåðâàëå (x0 − h, x0 + h), òî f (n) (x0 ) an = , n ∈ N0 . n! / Ïóñòü f (x) =

∞ P

n=0

an (x − x0 )n , ∀x ∈ (x0 − h; x0 + h), òîãäà f (x0 ) = a0 .

Äèôôåðåíöèðóÿ ýòîò ðÿä ïî÷ëåííî k ðàç, k ∈ N, ïîëó÷èì ∀x ∈ (x0 − h; x0 + h)

f (k) (x) = ak k! + ak+1 (k + 1)k · . . . · 2(x − x0 ) + . . . . Îòñþäà Ñëåäîâàòåëüíî,

f (k) (x0 ) = ak k!, ∀k ∈ N. f (k) (x0 ) , k ∈ N0 . ak = k!

(9.1)

.

Ñëåäñòâèå 9.2.1.

Êîýôôèöèåíòû ñòåïåííîãî ðÿäà, â êîòîðûé ìîæåò áûòü ðàçëîæåíà ôóíêöèÿ f ∈ C ∞ (Ux0 ), îäíîçíà÷íî îïðåäåëÿþòñÿ ôîðìóëîé (9.1).

Îïðåäåëåíèå 9.2. Åñëè ôóíêöèÿ f ∈ C ∞ (Ux0 ), òî ñòåïåííîé ðÿä f (n) (x0 ) (x − x0 )n n! n=0 ∞ X

(9.2)

(n)

íàçûâàåòñÿ ðÿäîì Òåéëîðà ôóíêöèè f , à ÷èñëà f n!(x0 )  êîýôôèöèåíòàìè Òåéëîðà. Åñëè æå x0 = 0, òî ðÿä (9.2) íàçûâàþò ðÿäîì Ìàêëîðåíà ôóíêöèè f. Èç òåîðåìû 9.2 ñëåäóåò íåïîñðåäñòâåííî

Òåîðåìà 9.3. Ïóñòü ñòåïåííîé ðÿä

∞ P

an (x − x0 )n èìååò îòëè÷íûé îò n=0 íóëÿ ðàäèóñ ñõîäèìîñòè. Òîãäà ýòîò ðÿä ÿâëÿåòñÿ ðÿäîì Òåéëîðà ñâîåé ñóììû. Çàìå÷àíèå. Åñëè f ∈ C ∞ (Ux0 ) è ñòåïåííîé ðÿä

∞ P

n=0

an (x−x0 )n ÿâëÿåòñÿ ðÿäîì

Òåéëîðà ôóíêöèè f , ò.å. an îïðåäåëÿþòñÿ ôîðìóëîé (9.1), òî îí íå îáÿçàòåëüíî ñõîäèòñÿ ïðè x 6= x0 è èìååò ñâîåé ñóììîé ôóíêöèþ f (x). 36

Ïðèìåð 9.1. Ïóñòü

 

f (x) = 

1

e− x2 , x 6= 0, 0, x = 0.

/ ßñíî, ÷òî f ∈ C(R) è äëÿ x 6= 0 èìååì: 1 2 f 0 (x) = 3 e− x2 , x 1 1 6 4 f 00 (x) = − 4 e− x2 + 6 e− x2 , x x 1 36 1 8 24 1 f (3) (x) = 5 e− x2 − 7 e− x2 + 9 e− x2 . x x x Ìîæíî ïîêàçàòü, ÷òî äëÿ ëþáîãî n ∈ N ïðè x 6= 0 f (n) (x) åñòü ñóììà êîíå÷1 1 íîãî ÷èñëà ôóíêöèé âèäà xAk e− x2 , k ∈ N. Òàê êàê lim x−k e− x2 = 0, ∀k ∈ N, òî x→0

f (0) = 0, ∀n ∈ N è ôóíêöèè f íåïðåðûâíû â òî÷êå x = 0. Ñëåäîâàòåëüíî, ∞ ∞ P P ðÿä Òåéëîðà ôóíêöèè f â íóëå ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ðÿä an x n = 0 · xn (n)

(n)

n=0

n=0

(âñå êîýôôèöèåíòû an ðàâíû íóëþ). Ðàäèóñ ñõîäèìîñòè ýòîãî ðÿäà R = +∞, ò.å. ðÿä ñõîäèòñÿ â êàæäîé òî÷êå x ∈ R, ñóììà åãî S(x) = 0, ∀x ∈ R è S(x) 6= f (x), ∀x 6= 0. Ïîñêîëüêó åäèíñòâåííûì ñòåïåííûì ðÿäîì, ïðåäñòàâëÿþùèì â íåêîòîðîé îêðåñòíîñòè íóëÿ ôóíêöèþ f, ìîæåò áûòü òîëüêî å¼ ðÿä Òåéëîðà ñ íà÷àëüíîé òî÷êîé x0 = 0, òî, ðàññìàòðèâàåìàÿ ôóíêöèÿ f íå ïðåäñòàâëÿåòñÿ ñòåïåííûì ðÿäîì â îêðåñòíîñòè òî÷êè x = 0. .

Çàìå÷àíèå. Ñóùåñòâóåò ôóíêöèÿ f ∈ C ∞ (R), ðÿä Ìàêëîðåíà êîòîðîé ñõîäèòñÿ ëèøü â îäíîé òî÷êå x = 0 (ñì.[6], ïðèìåð 24, ñ.91).

Òåîðåìà 9.4 (êðèòåðèé ðàçëîæèìîñòè ôóíêöèè â ðÿä Òåéëîðà).

Ïóñòü f ∈ C ∞ (x0 − h, x0 + h) è

f (k) (x0 ) (x − x0 )k + rn (x) k! k=0 n X

 å¼ ðàçëîæåíèå ïî ôîðìóëå Òåéëîðà ñ îñòàòî÷íûì ÷ëåíîì rn (x). Äëÿ òîãî ÷òîáû ðÿä Òåéëîðà ôóíêöèè f ñõîäèëñÿ íà èíòåðâàëå (x0 −h, x0 +h) ê ôóíêöèè f, íåîáõîäèìî è äîñòàòî÷íî, ÷òîáû ∃ n→∞ lim rn (x) = 0, ∀x ∈ (x0 − h, x0 + h). Óòâåðæäåíèå î÷åâèäíî.

Òåîðåìà 9.5. (äîñòàòî÷íîå óñëîâèå ðàçëîæèìîñòè ôóíêöèè â ðÿä Òåéëîðà). Ïóñòü f ∈ C ∞ ((x0 − h, x0 + h)) è ñóùåñòâóþò ïîñòîÿííûå A > 0,

B > 0 òàêèå, ÷òî |f (n) (x)| ≤ A · B n , ∀x ∈ (x0 − h, x0 + h), ∀n ∈ N0 . Òîãäà f (n) (x0 ) f (x) = (x − x0 )n , n! n=0 ∞ X

37

∀x ∈ (x0 − h, x0 + h).

/ Òàê êàê f ∈ C ∞ ((x0 − h, x0 + h)), òî äëÿ ëþáîãî x ∈ (x0 − h, x0 + h) è ∀n ∈ N0 ôóíêöèþ f (x) ìîæíî ðàçëîæèòü ïî ôîðìóëå Òåéëîðà ñ îñòàòî÷íûì ÷ëåíîì â ôîðìå Ëàãðàíæà f (x) = ãäå

f (k) (x0 ) (x − x0 )k + rn (x), k! k=0 n X

f (n+1) (θx ) (x − x0 )n+1 , (n + 1)! Â ñèëó óñëîâèé òåîðåìû rn (x) =

θx = x0 + θ(x − x0 ), θ ∈ (0, 1).

A · B n+1 n+1 |rn (x)| ≤ h , (n + 1)! Ïîñêîëüêó ðÿä

∞ P

n=0

∀x ∈ (x0 − h, x0 + h).

n+1

A (Bh) (n+1)! ñõîäèòñÿ, òî (Bh)n+1 lim = 0, n→∞ (n + 1)!

à çíà÷èò, n→∞ lim rn (x) = 0. Òàêèì îáðàçîì âûïîëíåíî äîñòàòî÷íîå óñëîâèå êðèòåðèÿ ðàçëîæèìîñòè ôóíêöèè â ðÿä Òåéëîðà. .

Ñëåäñòâèå 9.5.1. Åñëè f ∈ C ∞ ((x0 − h, x0 + h)) è ñóùåñòâóåò ïîëîæè-

òåëüíîå ÷èñëî A òàêîå, ÷òî ∀x ∈ (x0 − h, x0 + h), ∀n ∈ N0

|f (n) (x)| ≤ A, òî ôóíêöèÿ f ðàçëàãàåòñÿ â ðÿä Òåéëîðà ñ íà÷àëüíîé òî÷êîé x0 . Ðàññìîòðèì ðàçëîæåíèå íåêîòîðûõ ýëåìåíòàðíûõ ôóíêöèé â ðÿä Ìàêëîðåíà.

Ëåììà 9.1.

xn e = , n=0 n! x

∞ X

∀x ∈ R.

/ Ôóíêöèÿ f (x) = ex ∈ C ∞ (R), f (n) (x) = ex , ∀n ∈ N. Ñëåäîâàòåëüíî, f (n) (0) = 1, ∀n ∈ N0 , è ∞ xn X . ex ∼ n=0 n! Åñëè h  íåêîòîðîå ïîëîæèòåëüíîå ÷èñëî, òî |f (n) (x)| = |ex | ≤ eh , ∀x ∈ (−h; h) ∞ xn P è, ñîãëàñíî òåîðåìå 9.5, ex = n! , ∀x ∈ (−h; h). Ñëåäîâàòåëüíî, ∀x ∈ R n=0

xn . . e = n=0 n! x

∞ X

38

Ëåììà 9.2.

(−1)n x2n+1 sin x = , n=0 (2n + 1)! ∞ X

∀x ∈ R.

/ Ôóíêöèÿ f (x) = sin x ∈ C ∞ (R), f (n) (x) = sin(x + nπ ∀n ∈ N. Ñëåäîâà2 ), òåëüíî,   nπ 0, åñëè n = 2k f (n) (0) = sin = , k ∈ N0 . (−1)k , åñëè n = 2k + 1 2 Êðîìå òîãî, |f (n) (x)| ≤ 1, ∀x ∈ R. Ñîãëàñíî òåîðåìå 9.5 ôóíêöèÿ f (x) = sin x ðàçëàãàåòñÿ â ðÿä Òåéëîðà íà ëþáîì ïðîìåæóòêå (−h; h), h > 0. Ñëåäîâàòåëüíî,

(−1)n x2n+1 sin x = , ∀x ∈ R. n=0 (2n + 1)! Çàìå÷àíèå. Àíàëîãè÷íî äîêàçûâàåòñÿ, ÷òî ∞ X

.

(−1)n x2n , x ∈ R. cos x = (2n)! n=0 ∞ X

Ëåììà 9.3. (1 + x)α = 1 + ∀x ∈ (−1; 1). è

α(α − 1) . . . (α − n + 1)xn , n! n=1 ∞ X

∀α ∈ R \ 0,

/ Åñëè f (x) = (1 + x)α , α ∈ R \ {0}, òî D(f ) = (−1; +∞), f ∈ C ∞ (D(f )) f (n) (x) = α(α − 1) . . . (α − n + 1)(1 + x)α−n ,

∀n ∈ N.

Ïîýòîìó ôóíêöèè f ñîîòâåòñòâóåò ñëåäóþùèé ðÿä Ìàêëîðåíà

α(α − 1) . . . (α − n + 1)xn 1+ . n! n=1 ∞ X

Ýòîò ðÿä îáû÷íî íàçûâàþò áèíîìèàëüíûì. Çàìåòèì, ÷òî åñëè α ∈ N, òî áèíîìèàëüíûå êîýôôèöèåíòû ïðè xα+k , k ∈ N, ðàâíû íóëþ. Èçó÷èì îñòàòî÷íûé ÷ëåí rn (x) ôîðìóëû Òåéëîðà ôóíêöèè f. Îñòàòî÷íûé ÷ëåí â ôîðìå Êîøè èìååò âèä:

rn (x) = f (n+1) (θx)

(1 − θ)n n+1 x , n!

∀x ∈ (−1; 1), ãäå θ ∈ (0; 1).

Ïîýòîìó â äàííîì ñëó÷àå

α(α − 1) . . . (α − n)(1 + θx)α−n−1 (1 − θ)n xn+1 , rn (x) = n!

39

ãäå θ ∈ (0; 1). Ïîëîæèì

α(α − 1)(α − 2) . . . (α − n) n x , n! γ2,n (x) = αx(1 + θx)α−1 , ! 1−θ n γ3,n (x) = . 1 + θx γ1,n (x) =

Òîãäà rn (x) = γ1,n (x) · γ2,n (x) · γ3,n (x). Ðÿä ∞ X

n=1

|γ1,n (x)| =

∞ X

|α − 1| . . . |α − n| · |xn |, n! n=1

ñõîäèòñÿ íà èíòåðâàëå (−1; 1) ñîãëàñíî ïðèçíàêó Äàëàìáåðà, ïîýòîìó

lim γ (x) n→∞ 1,n

= 0, ∀x ∈ (−1; 1). Äàëåå, òàê êàê 1 − |x| < 1 + θx < 1 + |x|, ∀x ∈ (−1; 1), òî ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {γ2,n (x)} îãðàíè÷åíà íà èíòåðâàëå (−1; 1). Íàêîíåö, ∀x ∈ (−1; 1) |γ3,n (x)| =

1 − θ n 1 + θx

≤

1−θ < 1. 1 − θ|x|

Ñëåäîâàòåëüíî, n→∞ lim rn (x) = 0, ∀x ∈ (−1; 1), è äëÿ ëþáîãî x ∈ (−1; 1) ñïðàâåäëèâî ðàâåíñòâî

(1 + x)α = 1 +

Ñëåäñòâèå 9.5.2.

∞ X

α(α − 1) . . . (α − n + 1) n ·x . . n! n=1

(1 + x)−1 =

∞ X

(−1)n xn ,

n=0

Ëåììà 9.4.

(−1)n xn , ln(1 + x) = n n=1 ∞ X

∀x ∈ (−1; 1).

∀x ∈ (−1; 1].

/ Ôóíêöèÿ f (x) = ln(1 + x) îïðåäåëåíà è äèôôåðåíöèðóåìà íà (−1; +∞), 1 ïðè÷¼ì f 0 (x) = 1+x . Ñ ó÷¼òîì ñëåäñòâèÿ ëåììû 9.3 f 0 (x) =

∞ X

(−1)n xn ,

n=0

∀x ∈ (−1; 1).

Ïðîèíòåãðèðóåì òîæäåñòâî íà îòðåçêå [0; x], åñëè x ∈ (−1; 1), ïîëó÷èì Zx 0

f 0 (x)dx =

(−1)n xn+1 , n+1 n=0 ∞ X

40

x ∈ (−1; 1).

Ïîñêîëüêó

Zx

f 0 (x)dx = ln(1 + x),

0

òî

(−1)k−1 xk ln(1 + x) = , k k=1 ∞ X

∀x ∈ (−1; 1).

Òàê êàê ïîñëåäíèé ñòåïåííîé ðÿä ñõîäèòñÿ â òî÷êå x = 1, òî åãî ñóììà S(x) íåïðåðûâíà â òî÷êå x = 1 ñëåâà, ò. å. S(1) = lim S(x). Íî ôóíêöèÿ ln(1 + x) 1−0 íåïðåðûâíà â òî÷êå x = 1, ïîýòîìó

S(1) = lim S(x) = lim ln(1 + x) = ln 2, x→1−0

è

ln(1 + x) =  ÷àñòíîñòè, ln 2 =

x→1−0

(−1)k−1 xk , k k=1 ∞ X

∀x ∈ (−1; 1].

∞ (−1)k−1 P . k k=1

Ëåììà 9.5. arcsin x = x +

. (2n − 1)!! x2n+1 , (2n)!! 2n + 1 k=1 ∞ X

∀x ∈ [−1; 1].

/ Çàìåòèì, ÷òî ôóíêöèÿ f (x) = arcsin x äèôôåðåíöèðóåìà íà (−1; 1) è

 ñèëó ëåììû 9.3

(arcsin x)0 = √

1 (arcsin x)0 = √ . 1 − x2 ∞ (2n − 1)!! X 1 = 1 + x2n , n 2 2 n! 1−x k=1

∀x ∈ (−1; 1).

Èíòåãðèðóÿ ïîëó÷åííîå òîæäåñòâî íà îòðåçêå [0; x], x ∈ (−1; 1), èìååì:

(2n − 1)!! x2n+1 , arcsin x = x + (2n)!! 2n + 1 k=1 ∞ X

∀x ∈ (−1; 1).

 òî÷êå x = 1 ïîëó÷åííûé ðÿä èìååò âèä ∞ X

(2n − 1)!! 1 . (2n)!! 2n + 1 k=1 Îí ñõîäèòñÿ â ñèëó ïðèçíàêà Ðààáå !

!

an 6n + 5 6 3 Rn = n −1 =n 2 −→ = > 1 . an+1 4n + 2n + 1 4 2 41

ßñíî, ÷òî îí ñõîäèòñÿ è â òî÷êå x = −1, ò.å. ñõîäèòñÿ íà îòðåçêå [−1; 1]. Ïîýòîìó åãî ñóììà S(x) íåïðåðûâíà íà îòðåçêå [−1; 1]. Ó÷èòûâàÿ íåïðåðûâíîñòü ôóíêöèè arcsin x íà îòðåçêå [−1; 1], ïîëó÷èì, ÷òî

(2n − 1)!! x2n+1 arcsin x = x + , 2n!! 2n + 1 n=1 ∞ X

Ñëåäñòâèå 9.5.3.

∀x ∈ [−1; 1]. .

∞ (2n − 1)!! X π 1 = arcsin 1 = 1 + . 2 (2n)!! 2n + 1 n=1

Ñïèñîê ëèòåðàòóðû [1] Èëüèí Â.À., Ñàäîâíè÷èé Â.À., Ñåíäîâ Áë.Õ. Ìàòåìàòè÷åñêèé àíàëèç.  Ì.: Íàóêà, 1979. [2] Êóäðÿâöåâ Ë.Ä. Ìàòåìàòè÷åñêèé àíàëèç, ò. 2.  Ì.: Âûñøàÿ øêîëà, 1973. [3] ÒåðÊðèêîðîâ À.Ì., Øàáóíèí Ì.È. Êóðñ ìàòåìàòè÷åñêîãî àíàëèçà.  Ì.: Èçä-âî ÌÔÒÈ, 2000. [4] Àðõèïîâ Ã.È., Ñàäîâíè÷èé Â.À., ×óáàðèêîâ Â.Í. Ëåêöèè ïî ìàòåìàòè÷åñêîìó àíàëèçó.  Ì.: Âûñøàÿ øêîëà, 2000. [5] Ôèõòåíãîëüö Ã.Ì. Êóðñ äèôôåðåíöèàëüíîãî è èíòåãðàëüíîãî èñ÷èñëåíèÿ, ò. II.  Ì.: Íàóêà, 1966. [6] Ãåëáàóì Á., Îëìñòåä Äæ. Êîíòðïðèìåðû â àíàëèçå.  Ì.: Ìèð, 1967.

Ñîäåðæàíèå 1 Ïîòî÷å÷íàÿ è ðàâíîìåðíàÿ ñõîäèìîñòè ôóíêöèîíàëüíîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè 3 2 Àðèôìåòè÷åñêèå îïåðàöèè ñ ðàâíîìåðíî ñõîäÿùèìèñÿ ôóíêöèîíàëüíûìè ïîñëåäîâàòåëüíîñòÿìè 7 3 Êðèòåðèé ðàâíîìåðíîé ñõîäèìîñòè ôóíêöèîíàëüíîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè 8 4 Ñõîäèìîñòü ôóíêöèîíàëüíîãî ðÿäà

42

11

5 Äîñòàòî÷íûå ïðèçíàêè ðàâíîìåðíîé ñõîäèìîñòè ôóíêöèîíàëüíîãî ðÿäà 12 6 Ñâîéñòâà ïðåäåëüíîé ôóíêöèè è ñóììû ðÿäà

17

7 Ñòåïåííîé ðÿä

29

8 Ôóíêöèîíàëüíûå ñâîéñòâà ñòåïåííîãî ðÿäà

33

9 Ðàçëîæåíèå ôóíêöèè â ñòåïåííîé ðÿä. Ðÿä Òåéëîðà

35

43