Экзаменационные материалы для подготовки к ЕГЭ-2007. Математика

ФЕДЕРАЛЬНЫЙ ЦЕНТР ТЕСТИРОВАНИЯ

ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЕ МАТЕРИАЛЫ ДЛЯ ПОДГОТОВКИ К ЕДИНОМУ ГОСУДАРСТВЕННОМУ ЭКЗАМЕНУ

ЕГЭ-2007

МАТЕМАТИКА

Москва

ББК 74.202.5 УДК 37.1 М20

Составитель: Клово А.Г.

Экзаменационные материалы для подготовки государственному экзамену. ЕГЭ-2007. М.: ООО «РУСТЕСТ», 2006.

к единому Математика.

В книге представлены тесты, составленные по спецификации контрольных измерительных материалов единого государственного экзамена в 2006 году по математике. Даны ответы для всех представленных тестов. Сборник предназначен для самостоятельной подготовки выпускников общеобразовательных учреждений к единому государственному экзамену, а также в помощь преподавателям и методистам, использующим в своей работе тестовый способ контроля знаний.

Издание подготовлено и осуществлено по предоставленным ФГУ «Федеральный центр тестирования».

материалам,

ISBN 5-94635-296-2 (978-5-94635-296-3)

© ФГУ «Федеральный центр тестирования», 2006 © ООО «РУСТЕСТ», 2006 © Обложка - дизайн Полиграфического Дома «Коммерсант», 2006

Содержание 1. Введение

4

2. Как проводится ЕГЭ >

6

3. Спецификация экзаменационной работы по математике для выпускников XI (XII) классов общеобразовательных учреждений 2006 г

11

4. Инструкция по выполнению работы

24

5

Вариант № 1

25

6

Вариант № 2

30

7. Вариант № 3

35

8. Вариант № 4

40

9. Вариант № 5

46

10. Вариант № 6

51

11. Вариант № 7

56

12. В а р и а н т е 8

61

13. Вариант № 9

67

14. В а р и а н т е 10

72

15. Обсуждение и решение варианта № 10

77

16. Правильные ответы к вариантам по математике

100

17. Общие критерии оценки выполнения заданий с развернутым ответом

102

18. Выполнение заданий различного типа при проведении ЕГЭ

104

19. Соответствие первичных и тестовых баллов 20. Таблица соответствия тестовых баллов по результатам ЕГЭ отметкам по 5-ти балльной шкале в 2006 г

106

3

107

ВВЕДЕНИЕ В 2006 году в эксперименте по введению единого государственного эк­ замена (ЕГЭ) участвовал 81 субъект Российской Федерации. Смысл эксперимента состоит в совмещении итоговой аттестации выпу­ скников общеобразовательных учреждений со вступительными испыта­ ниями при поступлении в государственные вузы России. Все действия по проведению ЕГЭ регламентируются Министерством образования и науки Российской Федерации. Оценка учебных достижений выпускников проводится стандартизованно - в максимально однородных условиях и с применением максимально однородных по содержанию и сложности экзаменационных материалов. Каждый вариант экзаменационных материалов ЕГЭ содержит не­ сколько десятков заданий, сформулированных в трех специальных формах. Задания с выбором ответов (тип А). Каждому из таких заданий при­ лагаются по четыре равнопривлекательных вариантов ответов. Участник ЕГЭ должен указать один, по его мнению, верный ответ из них. В заданиях такого типа теоретически возможно случайно угадать верный ответ. Задания с кратким ответом (тип В), который должен быть кратко сформулирован и записан в бланке ответов в виде слова или числа Уга­ дать при этом верный ответ практически невозможно. Проверка ответов типа А и В осуществляется автоматизированно путем сравнения с эталоном или несколькими эталонами, которые обозначают одно и то же. Например, ответы «Иван Грозный» и «Иван IV» в тесте по истории России считаются одинаковыми. Задания с развернутым ответом (тип С) - предлагают участнику ЕГЭ записать ответ в развернутой форме. Фактически это небольшая письменная контрольная работа, которая проверяется специально подго­ товленными экспертами. При проведении ЕГЭ учащиеся получают тестовые задания, запечатан­ ные в индивидуальный пакет. В каждом пакете находятся также три цвет­ ных бланка ответов и бланк черновика. Все три бланка ответов имеют уни­ кальную нумерацию в виде штрихкодов. Бланк регистрации, в котором участник ЕГЭ самостоятельно записы­ вает свои: фамилию, имя, отчество, серию и номер паспорта и др , а также по указанию организатора в аудитории записывает коды региона, района, школы и пр. В бланке регистрации обязательно ставится подпись участника ЕГЭ. Бланк ответов № 1, в котором учащийся отмечает свои ответы на за­ дания типов А и В. В этом бланке запрещено указывать сведения об участ­ нике ЕГЭ. Бланк должен быть обязательно им подписан Бланк ответов № 2, в котором участник ЕГЭ записывает свои ответы на задания в свободной форме. Бланк может заполняться с обеих сторон. В

4

бланке запрещено указывать сведения об участнике ЕГЭ Важной особенностью бланков ЕГЭ является их жесткая сгруппированность по три бланка из каждого индивидуального пакета Бланки отве­ тов сконструированы таким образом, что в запечатанном полиэтиленовом пакете видны штрихкоды всех трех бланков. Номера штрихкодов считываются сканерами и заносятся «тройками» в базу данных Федерального центра тестирования. После проведения ЕГЭ бланки ответов разного вида собираются отдельно, запечатываются в специальные доставочные пакеты и доставляются в различные пункты обработки информации Бланки регистрации и бланки № 1 обрабатываются автоматизированно почти без участия человека. Объединение данных из трех видов бланков ответов производится только в Москве в Федеральном центре тестирования на основании хра­ нящихся в базе данных номеров штрихкодов трех бланков ответов из ин­ дивидуальных пакетов. Проверка правильности ответов и выставление тестовых баллов производится также в Федеральном центре тестирования. Результаты ЕГЭ, представленные в стобалльной шкале, выдаются вы­ пускникам в специальных свидетельствах. Одновременно Федеральная служба по надзору в сфере образования и науки издает распоряжения о со­ ответствии оценок ЕГЭ (в стобалльной шкале) отметкам итоговой аттеста­ ции (по пятибалльной шкале) по различным предметам. В 2006 г. результаты ЕГЭ, согласно приказа Министерства образования и науки России, учитывались в качестве оценок вступительных испытаний при поступлении в большинство государственных вузов тех регионов Рос­ сии, в которых проводился эксперимент по ЕГЭ. Кроме этого, многие вузы других регионов добровольно принимали результаты ЕГЭ в качестве оце­ нок вступительных испытаний. Значимость ЕГЭ как для отдельного учащегося, так и для системы об­ разования в целом, трудно переоценить. Только планомерная, вдумчивая и добросовестная учеба в школе по­ зволят выпускнику хорошо подготовиться к участию в ЕГЭ и успешно ре­ шить судьбоносную проблему при переходе на более высокий уровень обучения в вуз. Материалы настоящего сборника составлены высококвалифицирован­ ными специалистами Федерального цен ф а тестирования. Ознакомление и работа с ними безусловно будут полезны выпускникам, которые в 2007 г. будут участвовать в ЕГЭ. Внедрение в практику Российского образования тестовых методов кон­ троля знаний повысит объективность и надежность оценок учебных дос­ тижений учащихся, что безусловно приведет к повышению качества рос­ сийского образования.

5

КАК ПРОВОДИТСЯ ЕГЭ Для того, чтобы наилучшим образом подготовиться к единому государственному экзамену (ЕГЭ), надо не только иметь хорошие знания по предмету, но также хорошо представлять себе собственно процедуру экзамена, знать какие и когда действия при этом происходят. Задолго до начала ЕГЭ - обычно в январе-феврале соответствующего года Федеральная служба по надзору в сфере образования и науки России утверждает расписание ЕГЭ. Первый экзамен проводится обычно 20-22 мая, последний - 18-20 июня. Орган управления образованием субъекта Федерации, в котором проживает выпускник, заранее объявляет перечень предметов, по которым итоговая аттестация может проводиться только в форме ЕГЭ, и перечень предметов, по которым выпускник может самостоятельно определять тип экзамена - в форме ЕГЭ или в традиционной форме. Выпускники должны заранее определить по каким предметам они будут сдавать экзамены в форме ЕГЭ, а по каким в традиционной форме. По каждому предмету экзамен в форме ЕГЭ можно сдавать только один раз. Полученные результаты могут учитываться при приеме в большинство вузов России. В некоторые вузы прием студентов проводится исключительно по результатам ЕГЭ. О своем участии в ЕГЭ по выбранным предметам выпускники заранее сообщают в письменной форме администрации своей школы. В конце апреля для будущих участников ЕГЭ почти во всех регионах России проводится пробный экзамен, который по процедуре проведения и тестам ничем не отличается от ЕГЭ, который будет проводиться в маеиюне. Результаты пробного экзамена обычно объявляются учащимся в середине мая в виде количества баллов, определенных как сумма верных ответов на задания типов А и В и количества баллов, выставленных экспертами за ответы на задания в свободной форме. В середине мая будущие участники ЕГЭ в своих школах получат пропуска, в которых будет указан адрес назначенного им пункта проведения ЕГЭ, даты проведения экзаменов по выбранным предметам и время начала экзаменов. В пропусках написаны правила участия в ЕГЭ, приведены изображения и образцы правильно заполненных бланков ЕГЭ.

6

Советуем внимательно ознакомиться с содержанием пропуска, так как в нем приведено много полезной информации. В школах учащимся объявляют порядок сбора у пункта проведения ЕГЭ (ППЭ). Если от места жительства ученика до ППЭ при самостоятельном передвижении ученика потребуется более одного часа времени, то администрация школы (муниципальный орган управления образованием) должна организовать доставку учеников до ППЭ на специальном транспорте. В день экзамена все учащиеся должны прибыть в пункт проведения ЕГЭ не позднее, чем за полчаса до его начала. Каждый учащийся должен иметь при себе паспорт, пропуск и гелевую авторучку черного цвета. Ученики группируются во дворе ППЭ классами. Каждый класс сопровождают специально назначенные педагоги из той школы, в которой ученики обучаются. Педагоги должны оказывать помощь ученикам в затруднительных ситуациях. Для проведения ЕГЭ в каждую аудиторию ППЭ заранее назначаются специально подготовленные организаторы. Как правило, это учителя других школ, среди которых не должно быть преподавателейпредметников по тому предмету, по которому проводится экзамен. Организаторы выдают педагогам, сопровождающим выпускников, списки, в которых для каждого участника ЕГЭ указаны предназначенные ему номера аудитории и посадочного места. Ученики переходят к тем организаторам, которые держат в руках таблички с номерами соответствующих аудиторий. Организаторы разводят группы учеников по аудиториям. При входе в аудитории организаторы проверяют личности выпускников, которые обязаны предъявить им свои паспорт и пропуск. Каждый выпускник должен занять назначенное ему в аудитории место. Организаторы объясняют правила проведения экзамена и его длительность. Руководитель ППЭ или его помощники приносят в класс доставочный пакет, в котором находятся экзаменационные материалы. Пакет показывают каждому ученику для того, чтобы они удостоверились в целостности его упаковки. Пакет публично вскрывается и из него извлекают 15 индивидуальных полиэтиленовых пакетов и три доставочных

7

пакета для обратной отправки бланков ЕГЭ на обработку. Каждый индивидуальный пакет предназначен для отдельного участника ЕГЭ. В пакете содержатся: - бланки ЕГЭ (регистрационный и бланки № 1 и № 2), - тест ЕГЭ, - инструкция по работе с тестом, - бланк черновика. Все три бланка ЕГЭ имеют в верхней части различные штрихкоды. Тройка номеров штрихкодов из каждого индивидуального пакета перед отправлением в регионы сканируется и хранится в базе данных Федерального центра тестирования. Только в одном бланке - регистрационном, учащийся может записать свою фамилию и паспортные данные. В остальных бланках ЕГЭ указывать какую-либо информацию об участнике ЕГЭ запрещено. Обработка бланков после проведения ЕГЭ производится в разных местах. Объединить информацию, записанную на разных бланках, возможно только с помощью тройки штрихкодов из базы данных Федерального центра тестирования. Поэтому учащимся категорически запрещено обмениваться бланками ЕГЭ. Если это случайно или специально произойдет, то собрать нужную тройку бланков такого небрежного учащегося среди десятков тысяч других бланков ЕГЭ будет практически невозможно. Результаты ЕГЭ будут утеряны со всеми печальными последствиями для нерях. Участники ЕГЭ по указаниям организаторов заполняют бланки регистрации. После этого на доске записывается время начала и окончания экзамена. Учащиеся обращаются к тестам и начинают заполнять бланки ЕГЭ. Тесты ЕГЭ принято называть контрольными измерительными материалами (КИМ) ЕГЭ. Количество используемых вариантов КИМ очень велико. В каждом классе на ЕГЭ практически не бывает двух одинаковых вариантов КИМ. Поэтому не следует тратить время на поиск теста-двойника. Надо внимательно читать задания своего теста и заполнять бланки ответов.

8

Структура предлагаемых тестов (КИМов) очень близка по форме и содержанию к тому, что представлено в этом сборнике. Все промежуточные вычисления, рисунки и записи надо делать на бланке черновика. Если Вам понадобится дополнительный бланк черновика, то скажите об этом организатору в аудитории. Он обязан предоставить черновики в необходимом количестве. По окончании экзамена все черновики сдаются вместе с экзаменационными материалами. Использование для записей других листов бумаги на ЕГЭ запрещено. Никакие записи в черновиках не рассматриваются при оценивании ответов учащихся. Тестовые задания составлены таким образом, что не требуют значительных вычислений. Поэтому калькуляторами на ЕГЭ пользоваться запрещено, кроме экзаменов по химии и по физике. При необходимости учащимся разрешается выходить в туалет. Во время проведения ЕГЭ в ППЭ запрещено находиться посторонним людям. На каждом этаже постоянно находится не менее двух дежурных. В ППЭ должны быть организованы пункты оказания первой медицинской помощи и охраны правопорядка. По истечении времени экзамена учащиеся должны организованно сдать экзаменационные материалы. При этом на столе организаторов должны сформироваться пять стопок материалов: регистрационные бланки, бланки № 1, № 25 тесты и черновики. После сдачи материалов учащиеся должны вернуться на свои рабочие места. Организаторы публично пересчитывают в каждой стопке бланки ЕГЭ и запечатывают их в доставочные пакеты для отправки на обработку. Организаторы выводят учащихся из ППЭ. Результаты ЕГЭ поступают в школы через 9-10 дней после проведения экзамена. Оценки выставляются по 100-бальной шкале. Важно понимать, что полученный на ЕГЭ балл не является процентным выражением числа верных ответов от их максимально возможного значения. Результаты ЕГЭ рассчитываются по специальной методике, учитывающей трудности используемых заданий и частоту верных ответов на них. Величина трудности каждого задания определяется в свою очередь после того, как обработаются первичные результаты ЕГЭ.

9

После объявления результатов ЕГЭ по каждому экзамену Федеральная служба по надзору в сфере образования и науки утверждает соответствие между оценками по 100-балльной шкале и отметками по 5-ти балльной шкале. В конце июня в регионы поступают из Москвы свидетельства с результатами участниками ЕГЭ по каждому предмету. В школах должны заранее объявить о дате выдачи свидетельств. К этому времени выпускники, как правило, уже получили аттестаты зрелости, во вкладыши к которым вписаны оценки итоговой аттестации по предметам. Администрация школ использует для этого поступившие в регионы протоколы с результатами ЕГЭ каждого выпускника. Выпускники получают свидетельства с результатами ЕГЭ и предъявляют их в приемные комиссии тех вузов, в которые будут поступать. Вузы имеют право перепроверить результаты ЕГЭ, отраженные в свидетельствах. Для этого они могут обратиться к Федеральной базе свидетельств (ФБС), в которой хранятся все результаты участников ЕГЭ. В случае расхождений результатов приоритет будут иметь данные из ФБС. Лица, поступающие в вузы, но окончившие школу в прошлые годы, могут также принять участие в ЕГЭ. Для этого они должны обратиться в муниципальный орган управления образованием по месту жительства. Им будет назначен пункт проведения ЕГЭ. Разумеется, все вышеописанное не может заменить полное описание инструкций и правил проведения ЕГЭ. Много вопросов здесь даже не затронуто, в том числе такой важный вопрос, как подача и рассмотрение апелляций по процедуре и результатам ЕГЭ. Подробнее с инструктивными материалами ЕГЭ можно ознакомиться на сайтах www.rustest.ru и www.ege.edu.ru . Надеемся, что приведенная здесь информация поможет Вам лучше представить процедуру ЕГЭ и получить в итоге более высокие результаты.

10

СПЕЦИФИКАЦИЯ экзаменационной работы по математике для выпускников XI (XII) классов общеобразовательных учреждений 2006 г. Единый государственный экзамен (ЕГЭ) призван заменить собой два экзамена - выпускной за среднюю школу и вступительный в высшие учеб­ ные заведения (вузы). В связи с этим в рамках ЕГЭ осуществляется про­ верка овладения материалом курса алгебры и начал анализа 10-11 классов, усвоение которого проверяется на выпускном экзамене за среднюю школу, а также материалом некоторых тем курсов алгебры основной школы и геометрии основной и средней школы, которые традиционно контролиру­ ются на вступительных экзаменах в вузы. При этом в содержание проверки включаются только те вопросы, которые входят в основной нормативный документ - минимум содержания основной и средней школы по мате­ матике. 1. Назначение экзаменационной работы - оценить общеобразователь­ ную подготовку по математике выпускников XI (XII) классов общеоб­ разовательных учреждений с целью итоговой аттестации и зачисления в ссузы и вузы. 2. Документы, определяющие содержание экзаменационной работы: - Обязательный минимум содержания основного общего образования по предмету (Приказ МО от 19.05.98 № 1276); - Обязательный минимум содержания среднего (полного) общего обра­ зования по предмету (Приказ МО от 30.06 99 № 56). - Федеральный компонент государственного стандарта общего образо­ вания. Математика (Приказ МО от 5 марта 2004 г. № 1089). Кроме нормативных документов, учитываются также требования к под­ готовке выпускников основной и средней (полной) школы, представ­ ленные в рекомендованных Минобразования и науки РФ документах: - Программы для общеобразовательных школ, гимназий, лицеев: Ма­ тематика. 5-11 кл./ Сост. Г.М. Кузнецова, Н.Г. Миндюк. - М.. Дрофа, 2000, 2002. - Примерные программы вступительных экзаменов (испытаний) в высшие учебные заведения Российской Федерации/ Авторсоставитель Г.В Арсеньев и др. - М.: Высш. шк., 2000. - Оценка качества подготовки выпускников основной школы по мате­ матике / Г.В. Дорофеев и др. - М : Дрофа, 2000. - Оценка качества подготовки выпускников средней (полной) школы по математике/ Г.В. Дорофеев и др. - М.: Дрофа, 2002 - Дорофеев Г.В , Муравин Г.К., Седова Е А. Математика. Сборник за­ даний для подготовки и проведения письменного экзамена по мате-

11

матике (курс А) и алгебре и началам анализа (курс В) за курс сред­ ней школы. 11 класс. Пособие. - 3-е изд., испр - М Дрофа, 2000. 160 с. 3. Условия применения Работа рассчитана на выпускников средних общеобразовательных уч­ реждений (школ, гимназий, лицеев), изучивших курс математики, отве­ чающий обязательному минимуму содержания среднего (полного) общего образования по математике в объеме курса В. 4. Структура экзаменационной работы Структура работы отвечает двоякой цели ЕГЭ - обеспечивать атте­ стацию выпускников и их отбор в вузы. Работа состоит из 3 частей, кото­ рые различаются по назначению, а также по содержанию, сложности, чис­ лу и форме включаемых в них заданий. По сравнению с 2005 годом в структуру работы, назначение частей, число и типы используемых в них заданий не внесено никаких изменений. В приведенной ниже Таблице 1 представлена информация о струк­ туре, общем числе, сложности и типах заданий в вариантах КИМ 2006 го­ да. Таблица 1 Структура вариантов КИМ- 2006 Часть 1 Общее число заданий - 26 Тип заданий и форма от­ вета

Часть 2 10

13 А1-А10 с выбором ответа (из четырех пред­ ложенных) В1-ВЗ с кратким ответом (в виде целого числа или числа, записанного в виде десятичной дроби) Базовый

Уровень сложности Проверяе­ Алгебра и начала мый учебный анализа 10-11 классов материал курсов мате­ матики

Часть 3 3

В4-В11 СЗ-С5 с кратким ответом с развернутым (в виде целого числа ответом или числа, записанно­ (полная запись ре­ го в виде десятичной шения с обоснова­ дроби) нием выполненных С1,С2 действий) с развернутым ответом (запись решения) Повышенный Высокий 1. Математика 5-6 классов 2. Алгебра 7-9 клас­ сов 3. Алгебра и начала анализа 10-11 классов 4. Геометрия 7-11 классов

12

1. Математика 5-6 классов 2. Алгебра 7-9 классов 3. Алгебра и нача­ ла анализа 1011 классов 4 Геометрия 7-11 классов |

5. Характеристика заданий в трех частях работы Часть 1 содержит 13 алгебраических заданий базового уровня (А1 А10, В1 - В З ) , соответствующих минимуму содержания курса "Алгебра и начала анализа 10-11 классов" (курс В), обеспечивающих достаточную полноту проверки овладения соответствующим материалом При выпол­ нении этих заданий от учащегося требуется применить свои знания в зна­ комой ситуации. Часть 2 включает 10 заданий повышенного (по сравнению с базо­ вым) уровня (В4 - В11, CI, С2), при решении которых от учащегося требу­ ется применить свои знания в измененной ситуации, используя при этом методы, известные ему из школьного курса. Содержание этих заданий от­ вечает как минимуму содержания средней (полной) школы, так и содержа­ нию, предлагаемому на вступительных экзаменах в вузы. Поэтому в эту часть работы включаются задания как по курсу алгебры и начал анализа 10-11 классов, так и по некоторым вопросам курса математики основной школы и по курсу геометрии основной и средней (полной) школы. Часть 3 включает три самых сложных задачи (две - алгебраических и одну - геометрическую), при решении которых учащимся надо применять свои знания в новой для них ситуации. При этом от учащихся потребуется проанализировать ситуацию, самостоятельно разработать ее математиче­ скую модель и способ решения, привести обоснования, доказательства вы­ полненных действий и математически грамотно записать полученное ре­ шение. Эти задания можно сравнить с наиболее сложными заданиями тра­ диционных письменных экзаменационных работ по курсу алгебры и начал анализа, предлагаемых в последние годы Министерством образования и науки РФ на выпускных экзаменах в общеобразовательной средней (пол­ ной) школе, а также со сложными алгебраическими и геометрическими за­ даниями, предлагаемыми на вступительных экзаменах в большинстве ву­ зов. Результаты выполнения заданий Части 1 позволяют судить о дости­ жении выпускником уровня обязательной подготовки по курсу алгебры и начал анализа 10-11 классов, наличие которой принято оценивать положи­ тельной отметкой «3». Результаты выполнения заданий Частей 2 и 3 по­ зволяют осуществить последующую, более тонкую дифференциацию уча­ щихся по уровню математической подготовки и на этой основе выставить более высокие аттестационные отметки ("4" и "5"). В работе используются три типа заданий- с выбором ответа из четы­ рех предложенных вариантов (тип А), с кратким ответом в виде некоторо­ го целого числа или десятичной дроби (тип В), с развернутым ответом, требующим записи решения поставленной задачи (тип С). В Часть 1 включены два типа заданий: с выбором ответа (А1 - А 10) и с кратким ответом (В1 - ВЗ). В Часть 2 также включены два типа зада­ ний, с кратким ответом ( В 4 - В 1 1 ) и с развернутым ответом (CI, C2). В Часть 3 включены задания только с развернутым ответом (СЗ - С5).

13

Распределение типов заданий в работе представлено в Таблице 2. Таблица 2 Распределение типов заданий по частям работы :

N

1 2 3

Тип заданий

с выбором от­ вета с кратким ответом с развернутым ответом

Число заданий

Максимальный первичный балл

Процент максимального пер­ вичного балла за задания дан­ ного типа от максимального первичного балла за всю рабо­ ту, равного 37

10

10x1=10

27%

И

11 x l = U

30%

5

2x2+3x4-16

43%

26

37

(100%)

6. Распределение заданий экзаменационной работы по содержанию Назначение единого государственного экзамена определяет специ­ фику содержания экзаменационной работы. Аттестация выпускников шко­ лы по курсу алгебры и начал анализа 10-11 классов и требования вступи­ тельных экзаменов в вузы обусловливают необходимость включения в ра­ боту достаточно представительного числа алгебраических заданий, отве­ чающих материалу, изучаемому в данном курсе. Кроме того, требования вступительных экзаменов в вузы определяют необходимость включения в работу алгебраических заданий, составленных на материале некоторых разделов курса алгебры основной школы, а также геометрических заданий по материалу курсов геометрии основной и средней (полной) школы То есть проверке подлежит материал всех блоков, по которым распределено содержание школьного курса математики: «Выражения и преобразования», «Уравнения и неравенства», «Функции», «Числа и вычисления», «Геомет­ рические фигуры и их свойства. Измерение геометрических величин». При этом в соответствии со спецификой математики основное внимание уде­ ляется проверке овладения практической составляющей школьного курса, когда владение теоретическими фактами проверяется опосредованно, но наряду с этим осуществляется и непосредственная проверка овладения его теоретической составляющей (например, овладение смыслом изучаемых основных математических понятий). Соотношение между числом алгебраических и геометрических зада­ ний в работе примерно отвечает соотношению, принятому на вступитель­ ных экзаменах в вузы. Отражение в варианте работы содержания трех пер­ вых блоков («Выражения и преобразования», «Уравнения и неравенства», «Функции») отвечает, особенностям и значимости материала, включенного в эти блоки. Небольшое число заданий, составленных на материале блока

14

«Числа и вычисления», объясняется тем, что овладение этим материалом проверяется также при выполнении заданий, составленных на материале трех первых блоков. Распределение заданий работы по основным блокам содержания приведено в таблице 3. Таблица 3 Распределение заданий по основным блокам содержания школьного курса математики Блоки содержания

Число заданий

Максималь­ ный первич­ ный балл

Выражения и преобразова­ ния Уравнения и неравенства Функции Числа и вычисления Геометрические фигуры и их свойства. Измерение геометрических величин Итого

5

5

Процент максимально­ го первичного балла за задания данного блока содержания от макси­ мального первичного балла за всю работу, равного 37 13% ;

7 10 1

11 14 1

30% 38% 3%

3

6

16%

26

37

100%

7. Распределение заданий работы по уровню сложности В соответствии с принятой структурой и содержанием работы Часть 1 включает 13 алгебраических заданий, составленных на материале курса алгебры и начал анализа 10-11 классов и соответствующих уровню базовой подготовки (курс В). Задания посильны для учащихся, подготовка которых отвечает этому уровню. Планируемые показатели трудности этих заданий (процент верных ответов) находятся в промежутке от 40% до 85%. Часть 2 включает 10 заданий повышенного уровня сложности, 8 из которых - алгебраические и 2 - геометрические (одно - по планиметрии и другое - по стереометрии). Они составлены на материале, предлагаемом как на выпускном экзамене в школе, так и на вступительных экзаменах в вузы, и отвечают минимуму содержания основной и средней (полной) школы. При их выполнении от учащихся требуется применить в несколько измененной ситуации знание конкретных математических методов, из­ вестных им из школьного курса. Планируемые показатели трудности этих заданий находятся в пределах от 15% до 45%.

15

|

Часть 3 включает 3 задания высокого уровня сложности. Два зада­ ния - алгебраические. При их выполнении выпускники должны разрабо­ тать способ решения, используя в новой ситуации знания из различных разделов курса алгебры и начал анализа 10-11 классов, записать обосно­ ванное решение. Третье задание - стереометрическая задача на комбина­ цию геометрических тел, при решении которой выпускники должны в но­ вой ситуации применить знания из разных разделов курса геометрии ос­ новной и средней школы, построить чертеж, привести аргументированное решение. С целью обеспечения более тонкой дифференциации учащихся, имеющих высокий уровень математической подготовки, в эту часть вклю­ чены задания различной сложности (0,1% - 8%). Планируемый процент выполнения алгебраического задания СЗ — 5% - 8%, геометрического задания С4 - 3%-6%, самого сложного задания работы - С5 - 0,1% - 1%. Алгебраическое задание С5 с указанным показа­ телем трудности призвано выявить наиболее подготовленных учащихся для зачисления в вузы, в которых проводится углублённое изучение мате­ матики. В следующих таблицах 4 и 5 дается распределение заданий работы по видам деятельности и уровню сложности. Таблица 4 Распределение заданий по видам деятельности Виды деятельности

Знать и понимать Применять знания и умения в знакомой си­ туации Применять знания и ! умения в измененной ситуации Применять знания и умения в новой ситуа­ ции Итого

Число заданий

Максималь­ ный первич­ ный балл

4

4

Процент максимального пер­ вичного балла за задания данного вида деятельности от максимального первично­ го балла за всю работу, рав­ ного 37 11%

10

10

27%

9

1.1

30%

3

12

32%

26

37

100%

16

I

Таблица 5 Распределение заданий по уровню сложности Уровень сложности заданий

Число заданий

Максимальный первичный балл

Базовый Повышенный Высокий Итого

13 10 3 26

13 12 12 37

Процент максимального первичного балла за задания данного уровня сложности от максимального первично­ го балла за всю работу, рав­ ного 37 36% 32% 32% 100%

В Таблице 6 приводится число и уровень трудности алгебраических за­ даний, на основе выполнения которых выставляется аттестационная от­ метка по курсу алгебры и начал анализа 10-11 классов. Таблица 6 Распределение по уровню сложности заданий, на основе которых проводится аттестация по курсу алгебры и начал анализа !

Уровень сложности заданий

Число заданий

Максималь­ ный первич­ ный балл

Базовый Повышенный Высокий Итого

13 7 2 22

13 9 8 30

Процент максимального первичного балла за задания данного уровня сложности от максимального первич­ ного балла за задания по курсу алгеб-, ры и начал анализа, равного 30 43% 30% 27% 100%

8. Время выполнения работы На выполнение экзаменационной работы отводится 240 минут (4 ча­ са). Часть 1 включает 13 заданий с выбором ответа базового уровня слож­ ности. Эти задания составляют самую легкую часть работы. На их выпол­ нение ориентировочно отводится 40 минут. Часть 2 содержит 10 заданий повышенного уровня сложности, на два из которых требуется записать решение. Эти задания доступны для более подготовленных учащихся. Ориентировочное время их выполнения - 90 минут. Часть 3 содержит 3 за­ дания высокого уровня сложности, которые рассчитаны на самых подго­ товленных выпускников. На выполнение этих заданий отводится ориенти­ ровочно ПО минут.

17

9. План экзаменационной работы Варианты экзаменационной работы 2006 г. составляются на основе не­ скольких планов, которые являются вариантами общего плана (см. Приложе­ ние 1). Параллельность вариантов обеспечивается на этапе разработки экза­ менационной работы и достигается за счет: - отбора в каждую из трех частей работы заданий, содержание, уро­ вень сложности и тип которых определяются планом работы; - включения взаимозаменяемых, однотипных, примерно одинаковых по тематике и уровню сложности заданий, расположенных на одних и тех же местах в вариантах работы, составленных по одному и тому же плану. 10. Система оценивания выполнения отдельных заданий и работы в целом Проверка ответов учащихся к заданиям с выбором ответа и кратким ответом выполняется с помощью программного обеспечения. Ответы к за­ даниям с развернутым ответом, включенным в Части 2 и 3, проверяются экспертной комиссией, в состав которой входят работники вузов, методи­ сты и опытные учителя. Задание с выбором ответа считается выполненным верно, если в «Бланке ответов № 1» отмечена цифра, которой обозначен верный ответ на данное задание. Задание с кратким ответом (в виде некоторого целого чис­ ла или конечной десятичной дроби) считается выполненным верно, если в «Бланке ответов № 1» записано именно это число. За верное выполнение задания с выбором ответа и задания с кратким ответом выставляется 1 балл. Однозначность и объективность оценки выполнения заданий с раз­ вернутым ответом обеспечивается соответствующими рекомендациями для экспертов. Для этого разработаны общие критерии оценки их выпол­ нения. Затем на их основе для каждого задания разрабатываются конкрет­ ные критерии, оценивающие полноту и правильность ответа именно на данное задание. В зависимости от полноты и правильности ответа за вы­ полнение задания повышенного уровня с развернутым ответом выставля­ ется от 0 до 2 баллов максимально, за задание высокого уровня - от 0 до 4 баллов. Таким образом, за верное выполнение всех заданий работы можно мак­ симально получить 37 первичных баллов (23 задания из Частей 1 и 2 - 25 баллов, 3 задания Части 3 - 1 2 баллов). Оценка результатов выполнения работы с целью аттестации выпускни­ ков школы и зачисления в вузы проводится раздельно. Тестовый балл - оценка общей математической подготовки, которая фиксируется в свидетельстве для поступления в вузы, подсчитывается по

18

100-балльной шкале на основе первичных баллов, выставленных за выпол­ нение всех заданий работы. Аттестационная оценка выпускника школы за освоение курса алгебры и начал анализа 10-11 классов определяется по 5-балльной шкале Она вы­ ставляется на основе первичных баллов, выставленных за выполнение 22^ заданий, составленных на материале этого курса, при этом не учитывается выполнение 4 оставшихся заданий, составленных на материале курса ал­ гебры основной школы (см. в Приложении 1 задание В9 в общем плане ра­ боты), курсов геометрии основной и средней школы (задания В10, В11 и С4). 11. Дополнительные материалы и оборудование Не используются. Использование калькуляторов не разрешается. 12. Условия проведения экзамена (требования к специалистам) На экзамене в аудиторию не допускаются специалисты по предмету (математике), по которому проводится экзамен. Использование единой ин­ струкции по проведению экзамена позволяет обеспечить соблюдение еди­ ных условий без привлечения лиц со специальным образованием по дан­ ному предмету. Проверку экзаменационных работ (заданий с развернутым ответом) осуществляют специалисты по математике. 13. Рекомендации по подготовке к экзамену К экзамену можно готовиться по учебникам, имеющим гриф Миноб­ разования РФ. 14. Изменения в вариантах КИМ в 2006 г. по сравнению с 2005 г. Структура работы, назначение каждой из ее трех частей, число и типы используемых в них заданий, время на выполнение остались без измене­ ния. Ниже приводится текст инструкции для учащихся, которая будет помещена перед текстом заданий работы.

19

Инструкция по выполнению работы На выполнение экзаменационной работы дается 4 часа (240 мин). Ра­ бота состоит из трех частей и содержит 26 заданий. Часть 1 содержит 13 заданий (А1 - А10 и В1 - ВЗ) обязательного уровня по материалу курса «Алгебра и начала анализа» 10-11 классов. К каждому заданию А1 - А10 приведены 4 варианта ответа, из которых только один верный. При выполнении этих заданий надо указать номер верного ответа. К заданиям В1 - ВЗ надо дать краткий ответ. Часть 2 содержит 10 более сложных заданий (В4 - В11, С1, С2) по ма­ териалу курса «Алгебра и начала анализа» 10-11 классов, а также различ­ ных разделов курсов алгебры и геометрии основной и средней школы. К заданиям В4 - В11 надо дать краткий ответ, к заданиям С1 и С2 - записать решение. Часть 3 содержит 3 самых сложных задания, два - алгебраических (СЗ, С5) и одно - геометрическое (С4). При их выполнении надо записать обоснованное решение. За выполнение работы выставляются две оценки: аттестационная отметка и тестовый балл. Аттестационная отметка за усвоение курса алгебры и начал анализа 10-11 классов выставляется по пятибалль­ ной шкале. При ее выставлении не учитывается выполнение четырех заданий (В9, В10, В11, С4). В тексте работы номера этих заданий отме­ чены звездочкой. Тестовый балл выставляется по 100-балльной шкале на основе пер­ вичных баллов, полученных за выполнение всех заданий работы. Советуем для экономии времени пропускать задание, которое не уда­ ется выполнить сразу, и переходить к следующему. К выполнению пропу­ щенных заданий вы сможете вернуться, если у вас останется время. Желаем успеха!

20

ПРИЛОЖЕНИЕ 1

План экзаменационной работы по математике для выпускников средней (полной) общеобразовательной школы 2006 г. Проверяемые элементы содержания и виды деятельности ЧАСТЬ 1 Умение выполнять тождественные преобразования иррациональных выражений Владение понятием степени с рациональным пока­ зателем, умение выполнять тождественные преоб­ разования и находить значение степеней Умение выполнять тождественные преобразования логарифмических выражений Умение читать свойства функции по графику и рас­ познавать графики элементарных функций Умение находить область определения функции Умение находить множество значений функции Умение использовать график функции при решении неравенств Умение решать простейшие уравнения Умение решать неравенства с одной переменной

Коды про­ Уровень веряемых сложно­ элементов сти за­ содержания дания

Планируе­ мая труд­ ность зада­ ния (в %)

Максимальный балл за выпол­ нение задания

Примерное время выпол­ нения задания (мин.)

1.1.3

Б

65-70

3

1.2.1 1.2.2

Б

80-85

3

1.3.4

Б

70-75

з

3.1.11.

Б

60-70

3

3.1.1

Б

60 - 65

3

3.1.2 2.6.4

Б Б

60-70 60-70

3 2

2.4.1 2.6

Б Б

60-70 60-65

3 3

Обозначение сложности задания Б - базовый, П - повышенный, В - высокий

;

Умение находить производную функции. Владение 3.2 геометрическим или физическим смыслом произ­ водной Умение выполнять тождественные преобразования 1.1.3, 1.2.3, выражений 1.3.4, 1.4.6 2.4 1 Умение решать иррациональные, тригонометриче­ ские, показательные и логарифмические уравнения Умение применять общие приемы решения уравне­ 2.3 ний ЧАСТЬ 2 Умение выполнять тождественные преобразования 1.1.3, 1.23, выражений и находить их значения 1.3.4, 1.4.6 Умение исследовать функцию с помощью произ­ 3.3 водной (по графику производной) Умение находить наибольшее и наименьшее значе­ 3.1.8, ния функции 3.3.5 1 Умение решать комбинированные уравнения

2.4.3**

1 Умение использовать чётность (нечётность) функ­ 3.1.5 ции Умение решать текстовую задачу, составляя мате­ 4.3*.2 матическую модель предложенной в ней ситуации 5.5-5.6* Умение решать стереометрические задачи 5 1-5.3* Умение решать планиметрические задачи Умение использовать несколько приёмов при реше2.4.2 **3 | нии уравнений

Б

40-60

3

П

40-55

4

П

40-55

4

П

40-55

4

П

30-45

5

П

30-40

5

П

30-40

6

П

25-35

5

П

25-35

9

П

10-30

9

П П П

15-25 10-20 15-20

5 15 15

2

" Знак * указан для заданий, которые составлены на материале курса алгебры основной школы или курса геометрии 3 Знак** указан для сложных заданий с развернутым ответом.

1

Умение находить значения функции. Умение ре­ шать неравенства, содержащие переменную под знаком модуля ЧАСТЬ 3 Решение текстовых задач на нахождение наибольше­ го (наименьшего) значения величины с помощью производной Умение решать стереометрическую задачу на ком­ бинацию геометрических тел Умение решать задачи с параметром

п

15-20

2

15

3.3.8***

В

5-8

4

30

5.7.* 5 7** 2.4.5**

В,

3-6

4

40

В Всего Б-13 П-10 В- 3 Итого: 26

0,1-1

4 Всего 37 баллов

40 Всего 4 часа (240 мин)

3.1 12,

2.6.5**

1

Инструкция по выполнению работы На выполнение экзаменационной работы дается 4 часа (240 мин) Работа состоит из трех частей и содержит 26 заданий. Часть 1 содержит 13 заданий (А1 - А10 и В1 - ВЗ) обязательного уровня по материалу курса «Алгебра и начала анализа» 10-11 классов. К каждому заданию А1 - А10 приведены 4 варианта ответа, из которых только один верный. При выполнении этих заданий надо указать номер верного ответа. К заданиям В1 - ВЗ надо дать краткий ответ. Часть 2 содержит 10 более сложных заданий (В4 - В И, CI, C2) по материалу курса «Алгебра и начала анализа» 10-11 классов, а также различных разделов курсов алгебры и геометрии основной и средней школы. К заданиям В4 - В11 надо дать краткий ответ, к заданиям С1 и С2 - записать решение. Часть 3 содержит 3 самых сложных задания, два - алгебраических (СЗ, С5) и одно - геометрическое (С4). При их выполнении надо записать обоснованное решение. За выполнение работы выставляются две оценки: аттестационная отметка и тестовый балл. Аттестационная отметка за усвоение курса алгебры и начал анализа 10-11 классов выставляется по пятибалльной шкале. При ее выставлении не учитывается выполнение четырех заданий (В9, В10, В11, С4). В тексте работы номера этих заданий отмечены звездочкой. Тестовый балл выставляется по 100-балльной шкале на основе первичных баллов, полученных за выполнение всех заданий работы. Советуем для экономии времени пропускать задание, которое не удается выполнить сразу, и переходить к следующему. К выполнению пропущенных заданий вы сможете вернуться, если у вас останется время. Желаем успеха!

24

ФЕДЕРАЛЬНЫЙ ЦЕНТР ТЕСТИРОВАНИЯ

?егист*

Контрольные измерительные ^%ow* материалы для подготовки к единому государственному экзамену по МАТЕМАТИКЕ Вариант № 1 ЧАСТЬ 1 При выполнении заданий А1 - А10 в бланке ответов М 1 под номером выполняемого задания поставьте знак "х" в клеточке, номер которой соответствует номеру выбранного вами ответа.

А1

Найдите значение выражения л/5+1 1) 4

2) 3

( А2

3) 2

4)-2

3) 1

4) 2

;Л°'5

Вычислите

1) 0,25

A3

2

75+4.

2) 0,5

Найдите значение выражения 2 log 3 6 + log 3 2,25. 1) 3

2) - 2

3)4

А4 I Функция у = f(x) задана графиком. Укажите число целых значений этой функции. 1) 2 3) 6

2) 4 4) 8

25

4) log 3 15,5

А 5 | Найдите сумму всех целых значений из области определения функции y = \ogx 1) 65

12-х

А6 J Найдите произведение 15 + 4 c o s x - 3 s i n x У1)2

3) 77

2) 66

целых

4) 78

значении

3) 24

2) 6

функции

4) 96

А7 I На рисунке изображен график функции y = f(x). Укажите число решений уравнения f(x) = 0. 1) 1 3)4

А8

2) 2 4)5

Найдите корень или сумму (если их несколько) корней уравнения 125(х + Г Г - 2 1 6 = х + 21,4. 25х-5

1)-4

3) - 3,2

2) - 3

4)3

А9 I Найдите сумму целых решений неравенства \2х + 4| - 8 < 1, лежащих на отрезке [- 8; 4]. 1).0

А10

2) - 6

3) - 1 8

4) 18

Найдите Ъ + с, если прямая у - Ъх + 5 является касательной к параболе у = х2 + Ъх + с в точке с абсциссой 0. 1) - 1 0

2) - 8

3) 8

26

4) 10

Ответом на задания В1-В11 должно быть некоторое целое число или число, записанное в виде десятичной дроби. Это число надо записать в бланк ответов № 1 справа от номера выполняемого задания, начиная с первой клеточки. Каждую цифру, знак минус отрицательного числа и запятую в записи десятичной дроби пишите в отдельной клеточке в соответствии с приведенными в бланке образцами. Единицы измерений писать не нужно.

В1

Найдите значение выражения л/2 • sin a cos 2а + sin

a |--cosdrsin2a

Ъп при а = -

В2 I Укажите корень или сумму (если их несколько) корней уравнения 12 2 г V6 + X л / б - Х х - 5х -14 + \1б~х , + -v6 + x л / з б - ; г = 0 .

ВЗ

Найдите tgx 0 , где х0 - наименьший, положительный корень уравнения l + 3cos2x + sin2x = 0.

ЧАСТЬ 2

В4

Вычислите ^14 • log 5 27 • log 3 625 + 0,25 • 6logl«4 • 3logl*

B5 | Функция у = f(x) определена на промежутке (- 6; 5). На рисунке изображен график ее производной. Найдите длину промежутка убывания этой функции.

В6

Найдите наименьшее целое значение функции у = 19 • 22tgx+te

27

х ]

.

В7 I Найдите корень (или произведение корней, если их несколько) уравнения 4-(l + log3Lv2 + З х - 7 ) ) = 1 8 - З х - х 2 .

В8

Найдите значение функции /(19) , если известно, что функция У = /(х)

~~ нечетная, имеет период 10 и на отрезке [0; 5] функция

имеет вид у = 25х" - х .

39 | При подготовке к Единому экзамену по математике на тренировочном тестировании 112 выпускников школы получили двойки, тройки, четверки и пятерки. Если бы 7 хорошистов получили пятерки, то количество троечников стало в 2 раза больше количества отличников. Если бы после этого еще 10 двоечников получили тройки, то количество троечников стало в 2 раза больше количества хорошистов. А если бы затем 13 троечников получили четверки, то хорошистов стало на 75% больше отличников. Найдите число тех, кто на тренировке получил неудовлетворительные оценки.

*В10

Найдите объем правильной треугольной пирамиды с апофемой, /7 равной А— , если ребро составляет угол 30° с плоскостью основания.

*ви

Тангенс одного из углов прямоугольного треугольника равен 0,75. Найдите отношение радиуса его описанной окружности к радиусу вписанной.

Для записи ответов на задания С1 и С2 используйте бланк ответов № 2. Запишите сначала номер выполняемого задания, а затем решение.

С1

Найдите корень (или сумму корней, если их несколько) уравнения (Vx + 3 - V 5 ) ' ( 0 , 2 5 x - 2 , 5 ) = ( x - 2 ) - ( V 6 + x - 4 ) .

28

С2 I Найдите целое решение (или произведение целых решений, если их несколько) неравенства х2+х-\ х2 + 1х + \3 х 2 + 5 х + 5 х 2 - 3 х - 3 -+ > +х+4 х+] х-4

ЧАСТЬ 3 Для записи ответов на задания СЗ-С5 используйте бланк ответов № 2. Запишите сначала номер выполняемого задания, а затем обоснованное решение.

СЗ I Найдите целое значение параметра а (или наименьшее, если их несколько), при котором уравнение 1,51п(2х-5)-Зх|х-7| = а не имеет корней.

*£4 I Около прямой четырёхугольной призмы описан цилиндр, причем ' его высота больше радиуса основания, а плоскость основания совпадает с плоскостью основания цилиндра. Основание призмы прямоугольник, в котором диагональ и сторона образуют угол, тангенс которого равен . Боковая поверхность цилиндра равна Зл">/6, а расстояние между диагональю боковой грани призмы и скрещивающейся

с ней диагональю основания равно

Зл/14

.

Найдите объем призмы.

С5|

Найдите сумму целых значений параметра а, при которых множество решений неравенства (|х| + | а - б | - 4 ) ( | х | - | а | + 10)>0 содержит все члены некоторой возрастающей арифметической прогрессии с первым членом, равным - 1, и разностью, меньше или равной 2.

29

ФЕДЕРАЛЬНЫЙ ЦЕНТР ТЕСТИРОВАНИЯ

РЕГИСТР

Контрольные измерительные ^5о-§о5о материалы для подготовки к единому государственному экзамену по МАТЕМАТИКЕ Вариант № 2 ЧАСТЬ 1 При выполнении заданий А1 - А10 в бланке ответов № 1 под номером выполняемого задания поставьте знак " х " в клеточке, номер которой соответствует номеру выбранного вами ответа.

А1

Если f(x) = —l , т о / 2 ( х ) - 9 приводится к виду Vx + 3 1)

А2

-15 х+3

2) - 3

Упростите выражение 1) Ъп

3)

15 х+3

4)

-45 х+3

31 я.' -п ' ) .

2) Зл1'5

з>4

4) Згс3

П

A3

Найдите выражение log755,4<3w, если log a 3 = m и \oga5 = k. 1)

4т-к 2к + т

2)

4/и 2£ + /и

3)

А4 I Функция y = f(x)задана графиком. Укажите множество значений этой функции. 1)[-4;5] 3)[-2;3]

2) [ - 2 ; 2] 4)[0;2]

30

4m -к т+к

4)

т-к т+к

А5

Найдите область определения функции у = V85* 2 - 8 . 1)[6; + оо)

2)[0,6; + оо)

3)[1;+оо)

4 ) ( - о о ; + оо)

А6 I Найдите множество значений функции у = 3 - 2 cos x. 1)[1;5]

2)[1;3]

4) [0; 3]

3) [0; 2]

А7 I На рисунке изображен график функции y = f(x). {. Укажите промежуток, которому принадлежит -г корень уравнения f(x) = 2. \ 1)(-6; -4) 3) (0; 1)

2)[-4;0] 4) [1; 3]

А8 I Найдите промежуток, которому принадлежит корень или сумма (если их несколько) корней уравнения 2 1)(1; 4)

А9

-2

2л-1 х

= 96.

3)(-2;0)

4) ( - 4 ; - 2 )

Решите неравенство log 0 5 (4 - 0,5х) > - 3 . 1 ) ( - 8 ; + оо)

А10

2) (0; 1)

4лг-1 х

2) (-со; 8)

3)[0;8)

4) [ - 8 ; 8)

Найдите значение производной функции sin(5x + 2) + cos(5;r + 2) в точке х0 = 0. 1) 0 3) c o s 2 - s i n 2

2) 5 c o s 2 - 5 s i n 2 4) 5cos2

31

Ответом на задания В1-В11 должно быть некоторое целое число или число, записанное в виде десятичной дроби. Это число надо записать в бланк ответов № 1 справа от номера выполняемого задания, начиная с первой клеточки. Каждую цифру, знак минус отрицательного числа и запятую в записи десятичной дроби пишите в отдельной клеточке в соответствии с приведенными в бланке образцами. Единицы измерений писать не нужно. Л4

В1

Вычислите

]1 '27

В2

Укажите корень или сумму (если их несколько) корней уравнения 6х -2х = 2 0 8 .

ВЗ

Найдите корень (или сумму корней, если их несколько) уравнения Л/Х + 4 + 2Л/Х + 3

~(х2 + Лх + з)

=1.

ЧАСТЬ 2 „. | ^ Ь4 Вычислите 1

cos 27 - c o s 63° c i n 118° Q ° csin i n 30°cos 1(\°rn 18° * sin

B5

Функция y = f(x) определена на промежутке (- 6; 3). На ри­ сунке изображен график ее производной. Найдите наи­ меньшее значение тангенса угла наклона касательной к графику этой функции.

В6

Производная функции y = f(x) имеет вид f'(x) = \0x-7. Найдите точку, в которой функция принимает наименьшее значение.

32

В7

Найдите корень (или сумму корней, если их несколько) уравнения 17-3* 1 0,5 + log 0 2 5 x

В8

Найдите основной период функции f(x) = s i n — + c o s — . 4 6

7ТХ

7ZX

*В9

Волшебник пообещал Незнайке за каждое доброе дело давать одну порцию мороженого. После этого Незнайка в каждый последующий день, начиная со второго, делал на два добрых дела больше, чем в предыдущий. Запасов мороженого хватило волшебнику ровно на 9 дней. Планируя, что количество добрых дел будет увеличиваться таким же образом, волшебник догадался, что Незнайке хватит сил делать добрые дела еще 5 дней. Найдите, какое количество пакетов с мороженым ему надо создать дополнительно, если в одном пакете 3 порции мороженого, 5 пакетов волшебник обещал Кнопочке, а всего Незнайка съест 224 порции мороженого.

*В10

Шар, вписанный в правильную четырехугольную пирамиду MABCD, пересекает высоту МО пирамиды в точке Р так, что MP : РО = 3 : 4 . Найдите объем пирамиды, если радиус вписанного шара равен 6.

*В11

В треугольник ABC вписана окружность, касающаяся сторон АВ, ВС и АС соответственно в точках N, К и М. Известно, что AM = 4, АС = 14 и ZABC = 60°. Найдите длину отрезка NK.

Для записи ответов на задания С1 и С2 используйте бланк ответов № 2. Запишите сначала номер выполняемого задания, а затем решение. О

Найдите корень (или сумму корней, если их несколько) уравнения 11 + — -

= 7-3,5-log3'

7/ГГ

33

С2 I Найдите целое решение (или сумму целых решений, если их несколько) неравенства 7 ( * - 3 ) ( х - 1 ) + ( > - 1 ) л / з + 2 х - х 2 > V 2 X - 2 - J C + 1.

ЧАСТЬ 3 Для записи ответов на задания СЗ-С5 используйте бланк ответов № 2. Запишите сначала номер выполняемого задания, а затем обоснованное решение.

СЗ I Найдите наибольшее значение площади треугольника ОАВ, где О начало координат, А - точка на графике функции у = — + 56х4е5~5х, х 0,1 < JC < 2, а В - точка на оси Оу, ордината которой равна ординате точки А.

*С4

Около правильной пирамиды ЕАВС с вершиной Е описана сфера радиуса 2V3 . Центр сферы О лежит на высоте пирамиды EF, причем ЕО : OF = 3 : 1 . Точка G лежит на луче СЕ таким образом, что С Е : CG = 4 : 9 . Точка Н выбрана на прямой АВ так, что GH = GB. Найдите объем пирамиды GACH.

С5

Найдите сумму целых значений параметра т, при которых один из уравнение (т - 6)х2 - 2тх + т-3 = 0 меньше 1, а другой корней уравнения корень больше 3.

34

ФЕДЕРАЛЬНЫЙ ЦЕНТР ТЕСТИРОВАНИЯ

регистр

Контрольные измерительные ^o-ioo^ материалы для подготовки к единому государственному экзамену по МАТЕМАТИКЕ Вариант № 3 ЧАСТЬ 1 При выполнении заданий А1 - А10 в бланке ответов № 1 под номером выполняемого задания поставьте знак "х" в клеточке, номер которой соответствует номеру выбранного вами ответа.

А1

Сократите дробь

О

^

Hx+lh

tf?-^+V7' }К-} З)41х-Уу

2)ilx + ljy

I Упростите выражение 1) 3-3/12

A3

х+У

4)

Чх-Ь

v24 • Vl2 -3 °'5 .

2) 12

3) 2-3/6

4) 54

Найдите значение выражения 64 log4 3 . 1) 3

2) 27

3) 9

35

4) 16

А4 I На рисунках изображены графики функций и касательные к ним в точке а. Укажите функцию, производная которой в точке а равна 0,5.

•*

- ,- , .: „ 1 \

л \

> j / . Jo

в

л

•

.1_(

;

!

-

0

х^

__:_

з)

—

i; i k

л

. .Л. • 1

)

г

- -y*4to-V

2

t

*

--. .-~: х : \ / *

i. ..

;

у*

[

"

у^к&/£~

,,

\XS \ •» - -

-

S

A5 I Найдите

У

t /1

а

х

. сумму

всех

простых

чисел,

входящих

в

область

2

определения функции у = In 16х +13 - \х - 4х +1 I. 1) 27

А6

3) 29

4) 17

Найдите сумму целых значений функции у = log2 (3 + sin Ax). 1)2

А7

2) 28

2)3

3)4

На рисунке изображены графики функций у-f(x) и y~g(x). Укажите число целых решений неравенства f(x) < g(x).

оi 2) 3 3)5 4)7

36

4)6

А8

Решите уравнение

cos 2 x

Л

71

1) ±— + л;п7пе Z 6

2) ±— + 7rn,neZ 3

3) (-1)" + ттп,пе Z V ; — 4

4) ± з— + /rn,neZ

А9 I Найдите целое решение (или сумму целых решений, если их несколько)

неравенства

logct

х

4 < logct

x

VI5

на

промежутке

[-3;3]. 1) 0 А10

2) 1

3) - 1

4) 2

Найдите сумму координат точки с отрицательной абсциссой, лежащей на кривой у = х2-2х + \6 и обладающей тем свойством, что касательная к кривой, проходящая через эту точку, проходит через начало координат. 1) 40

2) 36

3) 28

4) 24

Ответом на задания В1-В11 должно быть некоторое целое число или число, записанное в виде десятичной дроби. Это число надо записать в бланк ответов № 1 справа от номера выполняемого задания, начиная с первой клеточки. Каждую цифру, знак минус отрицательного числа и запятую в записи десятичной дроби пишите в отдельной клеточке в соответствии с приведенными в бланке образцами. Единицы измерений писать не нужно. В1

Найдите значение выражения (cosl20 0 (cos72 0 cos48 0 -sin72°sin48 0 ))" 2 .

В2

Определите число корней уравнения (cos 4 х + sin 2 2JC)V24 - х2 = 0.

ВЗ

Найдите корень (или сумму корней, если их несколько) уравнения ( V * + 7 - 3 ) - ( V 1 0 + X + 12) = 4 J C - 8 .

37

ЧАСТЬ 2

В4

Вычислите I sin arctg—

В5 I Функция у = /(х) опреде­ лена на интервале (- 6; 4). На рисунке изображен график ее производной. Найдите точку а, в которой функция y = f(x) принимает наименьшее значение.

В6

Найдите сумму целых значений функции у = log2 [128 —124 • 2 '*' I.

В7

Найдите корень (или сумму корней, если их несколько) уравнения cos 2 (JC 4 - З х 3

В8 I Найдите

f(x-2)

+ 2х2 - 1х + з) = 1 + logs У1Х2-4Х

значение

функции

g(8),

+4 .

если

известно,

что

= 3x-l и f(g(x)) = 2x + l.

B9

Если к четырем числам а, Ь, с, d, составляющим геометрическую прогрессию, прибавить соответственно 4, 21, 29 и 1, то получатся 4 числа, составляющие арифметическую прогрессию. Найдите сумму чисел а, Ь, с, d.

*В10

В кубе A B C D A J B I C I D I с площадью поверхности 72 найдите расстояние от вершины D до плоскости BiCDj.

*В11

Диаметр окружности, вписанной в равнобедренную трапецию, равен 24. Разность длин оснований трапеции равна 10. Найдите произведение длин оснований трапеции.

fc

38

Для записи ответов на задания С1 и С2 используйте бланк ответов № 2. Запишите сначала номер выполняемого задания, а затем решение. С1 1 Найдите корень (или произведение корней, если их несколько) уравнения ^/хТз -Цх-Ъ

= %/Зх2 - 2 7 - ^ ( | х | - 3 ) 2

С2 I Найдите целое х (или сумму таких целых аргументов, если их несколько), при которых соответствующие значения функций 2х"4-15 >> = log 0 д (0,001+ 111,111*) и Убудут отличаться меньше, чем на 7.

ЧАСТЬ 3 Для записи ответов на задания СЗ-С5 используйте бланк ответов № 2. Запишите сначала номер выполняемого задания, а затем обоснованное решение. | СЗ I Стороны прямоугольника равны 5 и 20. Через каждую точку на его меньшей стороне провели прямую, отсекающую прямоугольный треугольник с периметром 30. Найдите наименьшее значение площади оставшейся части прямоугольника. *С4 I Основанием пирамиды FABC является треугольник ABC, в котором I АВ = 3, ВС = 4 и угол ABC = 90°. Ребро AF перпендикулярно ABC и равно 4. Точки L, М и N расположены соответственно на ребрах ТТГ>

CD

АР

C L

ГГ

FC, FB и АС. При этом C N

N A Л

=

L F

Т7ЛД ЛТО

= — , FM-MB = LF CF

д

39 + 24>/S

и 16

~

, причем точка М расположена ближе к В, чем к F.

NA CA Найдите объем пирамиды ALMN. С5 I Найдите целое значение параметра а (или сумму таких значений, если их несколько), для которых уравнение [а + 2х - х 2 +19) • [а - 3 - |х - 4|) = 0 имеет 3 корня.

39

ФЕДЕРАЛЬНЫЙ ЦЕНТР ТЕСТИРОВАНИЯ

рхист*

(Рс* Контрольные измерительные ^eoiooo материалы для подготовки к единому государственному экзамену по МАТЕМАТИКЕ Вариант № 4 ЧАСТЫ При выполнении заданий А1 - А10 в бланке ответов № 1 под номером выполняемого задания поставьте знак "х" в клеточке, номер которой соответствует номеру выбранного вами ответа.

А1 I Найдите значение выражения 2)-1,25

i)-i

А2

Вычислите 1) 36

A3

1-а' 0,75 -, если а= 16. а 0,25.^0,5 + а 0,25 + 1 у

3-5

4V

3) - 1,5

4)-0,5

3) 81

4)^ 9

19

2)Х9

Найдите значение log 2 128с, если log 0 5 с = 5. 1)-2

2)2

3)4

40

4)-1

А4

Укажите номер графика четной функции.

О ... : : .А .-I . :.

._.

2)

4)

А5 I Найдите сумму всех целых чисел, входящих в область определения

функции у=

щ^ц-

1) О

А6

3) 15

4) 10

Найдите сумму целых значений функции ^ = 3,5-1,5 cos x. 1) 9

А7

2) - 12

2) 12

На рисунке изображен гра­ фик функций у = f(x). Укажите решение

неравенства

3) 14

[ I Т И

4) 15

I \У> i

[

[

i i 1.^±Щ1Щ...

: {

j

;

i

i

i

i

f(x)<0.

j i\|

j |/ | !\

1 ) [ - 5 - 3 ] и [0; 3] 2) [-2 4]

S I \

! jf 1 1 N s s / 1 s s

! -б| ' V 1 / 1 ! \°

jl

! ! : : : : :

: : ! : : !

j

1

14

:JC

зн-6 - 4 ] и [- 2; 2] 4) [-4 - 2 ] U [2; 4]

41

j

А8 I Укажите корень или сумму (если их несколько) корней уравнения 12

2

3

= —. 64

1) 8

А9

2) 9

4) 27

Найдите число целых решений неравенства cosx>0, на отрезке [- 2л; 2п]. 1)3

А10

3) 16

2) 4

3) 5

, лежащих 4) 7

Пусть касательная к графику функции д> = f(x), проведенная в точке М ( - 5; - 2) параллельна прямой 24х + 6 у +11 = 0 . Найдите значение производной / ' ( - 5 ) . 1)4

2)6

3)-6

4)-4

Ответом на задания В1-В11 должно быть некоторое целое число или число, записанное в виде десятичной дроби. Это число надо записать в бланк ответов № 1 справа от номера выполняемого задания, начиная с первой клеточки. Каждую цифру, знак минус отрицательного числа и запятую в записи десятичной дроби пишите в отдельной клеточке в соответствии с приведенными в бланке образцами. Единицы измерений писать не нужно.

92

14 11 / г-\ 196 •?=—?= + — т = — г 11 — V 2 +—р= . V ; {5-yJ2 V2+3 V2+lJ V2-4

В1

Вычислите

В2

Определите число корней уравнения f cos 2x + sin 2 x) V4 - х2 = 0.

ВЗ

Найдите tgx 0 , где х 0 - наименьший, положительный корень уравнения 4 - c o s 2 x - 4 s i n 2 x = 0.

42

ЧАСТЬ 2 В4

Вычислите (^/72-2л/з-л/14 + 4 7 б )

В5

На рисунке изображен график . производной функции у = f\x) , заданной на отрезке [- 6; 5]. • Исследуйте функцию у = f(x) на монотонность и укажите число ее точек экстремума.

В6

Производная функции у = f(x) имеет вид f\x) = х2 - Ъх - 4 . Найдите точку, в которой функция принимает наибольшее значение на отрезке [0; 5].

В7

Найдите корень (или произведение корней, если их несколько) уравнения ( ^ 5 +Z[A^ = 13,5 .

В8

разрыва

Найдите y = tg

п х 2 + 0,44

ctg

функции

п

У + 0,44

*В9 1 Найдите трехзначное число (или сумму таких трехзначных чисел, если их несколько), которое при зачеркивании первой цифры уменьшается в 26 раз.

чвю

Высота прямоугольного параллелепипеда ABCDAiBiCjDi равна 4, а его основание ABCD - квадрат со стороной 3. Найдите косинус угла между прямыми ABj и AjD.

43

|*В111 Высота равнобедренной трапеции, равная 5,25, делит основание I ' трапеции в отношении 1 : 9 . Определите радиус описанной окружности, если боковая сторона трапеции равна меньшему основанию.

Для записи ответов на задания С1 и С2 используйте бланк ответов № 2. Запишите сначала номер выполняемого задания, а затем решение, С1

Найдите произведение всех значений переменных, являющиеся решением (или решениями, если их несколько) системы U2x + 55-y

= 0,

\у + \х + \4\ = \2. С2 I Найдите целое значение а (или сумму таких а, если их несколько), при котором единственное целое число х является решением неравенства у/2х + а > х.

ЧАСТЬ 3 Для записи ответов на задания СЗ-С5 используйте бланк ответов М 2. Запишите сначала номер выполняемого задания, а затем обоснованное решение.

СЗ

Точка М лежит на графике функции у = х2 - 2х, а точка N - на графике функции у = -х2 + 1 4 * - 5 1 . Найдите наименьшее возможных целых значений длины отрезка MN.

44

из

Одно из сечений пирамиды МАВС плоскостью, параллельной основанию - равнобедренный треугольник со сторонами 0,1 и 0,2. Боковые грани образуют равные углы с плоскостью основания. Другая плоскость а, также параллельная основанию, пересекает высоту МО пирамиды в точке Р так, что М Р : М О = 2 : 5 . В образовавшуюся при этом усеченную пирамиду вписан прямой цилиндр с верхним основанием, вписанным в сечение пирамиды плоскостью а. Объем цилиндра равен 10,08яг. Площадь сечения пирамиды, которое делит ее на две равные пирамиды, равна 17,5>/Г5. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.

Пусть х] и • х2 - действительные, различные корни уравнения х -(а-

2)х + 5 - а = 0 . Рассмотрим множество А тех значений

параметра а, для которых выполнено условие: xj2 + xj <9. Найдите сумму целых значений, которые при этих условиях (т.е. при значениях параметра ае А) принимает величина х: + х2.

45

ФЕДЕРАЛЬНЫЙ ЦЕНТР ТЕСТИРОВАНИЯ

?егист*>

r^

ffi

Контрольные измерительные ^що материалы для подготовки к единому государственному экзамену по МАТЕМАТИКЕ Вариант № 5 ЧАСТЬ 1

При выполнении заданий А1 - Л10 в бланке ответов № 1 под номером выполняемого задания поставьте знак "х" в клеточке, номер которой соответствует номеру выбранного вами ответа.

А1

9-х , + 0,5 • (3 • у/х - 5 +1) v 2-л/х:-5-4 '

Найдите значение выражения если х = 5,36. 1) -ОД

А2

Найдите значение выражения 1)0,5

A3

2) - 0 , 5

3) 0,1

162

2) 13,5

а'1*: а

4) 1

i\2 4

при а = 9.

3) 40,5

4) 81

3) 21og 5 0,8

4) - 1

Вычислите log 5 1,6-3 log5 2. 1) - 2

2) 0

А4 I Укажите график функции, изображенной на рисунке. 1) у = \-х

2) >; = | J C - 1 | + 1

3) Н * | + 1

4) У = ~х

и &\

* •!

1 tw :

\

1 1 0 1

х!

|s 46

^ 5 [ Найдите область определения функции y = yj6x 1) [2; + со)

2) (- ~ ; 2]

-1.

3) [0,5; + ~ )

4) [0; + «*)

А6 | Найдите множество значений функции у = log2 (х - 4х + 8). 1) (-оо; + со)

2) [2; + оо)

3) [1; + «>)

4) [0; + оо)

А7 I Решением неравенства f(x)<0 является интервалом длины 1. Укажите рисунок, на котором изображен график этой функции. I)

\?

,

2)

\?

Ъ)

[У

4)

\У

14

2

О

х

1 2

х

А8 I Укажите промежуток, которому принадлежит корень уравнения log 2 (3* + 2) = log 2 (x + l ) . 1) (0; + оо)

А9

3) [- 1; 0]

4) (- - ; - 2)

Найдите целое решение (или сумму целых решений, если их несколько) неравенства \х -2х <15 на промежутке [- 6; 6]. 1) 7

А10

2) [- 2; - 1)

2) 8

3) 9

Найдите значение производной функции

4) - 9

у=

4х - 9

х0 = -Ъ. 1) 1

2)5

3) 7

47

4) 9

в точке

Ответом на задания В1-В11 должно быть некоторое целое число или число, записанное в виде десятичной дроби. Это число надо записать в бланк ответов № 1 справа от номера выполняемого задания, начиная с первой клеточки. Каждую цифру, знак минус отрицательного числа и запятую в записи десятичной дроби пишите в отдельной клеточке в соответствии с приведенными в бланке образцами. Единицы измерений писать не нужно.

В1

Найдите значение выражения sin 2 Gr-2sin

а + 2sin2а + c o s 2 а , если а

Ъп

В2

Определите сумму корней уравнения ( 2 5 - х 1V-Ах - 9 = 0.

ВЗ

Найдите

корень,

произведение

принадлежащий

корней,

если

отрезку их

1;7

5 несколько)

(или уравнения

(COS(2#"JC)-1)- sin—+ 1

х -5х + 6

= 0.

ЧАСТЬ 2 В4

Найти значение выражения cos(arctg(tg2)-2).

В5

Функция у = f(x) определена на промежутке (- 4; 4). На рисунке изображен график ее производной. Найдите точку а в которой функция у = f(x) принимает наибольшее значение.

У = /'(*)

48

В6

Найдите значении а, при котором функция у - — г — АХ

имеет

-8Х

максимум при х = 4. В7

Найдите корень (или сумму корней, если их несколько) уравнения l + t g 2 ( x 4 + 3 x 3 - x 2 - x + 6) = l o g 5 ( 5 - V x 2 + x - 6 J .

В8

Для четной функции / ( х ) и нечетной функции g(x) для всех действительных значений аргумента выполнено равенство /f(x) (x) + + g(x) g(x) ==xx33 ++4х 4х22 --ЗЗхх--1188 .. Найдите Найдите число действительных, различных корней уравнения f(x) = g(x).

*В9

Найдите наименьшее значение п, при котором длины сторон «-угольника могут образовывать геометрическую прогрессию со знаменателем q = 1,8.

*В10

В прямоугольном параллелепипеде ABCDAiBjQDi заданы длины сторон АВ = 3, ВС = 4, BBj = 1,8. Найдите площадь сечения параллелепипеда плоскостью, параллельной прямой АС и содержащей прямую В А].

*В11

В трапеции ABCD с основаниями AD и ВС диагонали пересекаются в точке О. Известно, ВС : AD = 1 : 2 и площадь треугольника ВОС равна 2. Найдите площадь трапеции.

Для записи ответов на задания С1 и С2 используйте бланк ответов № 2. Запишите сначала номер выполняемого задания, а затем решение. С1

Найдите корень (или произведение корней, если их несколько) уравнения 3-log J x - 3

С2

+

^ }

= 8 + log

J - ^ - - ^

Найдите целое решение (или сумму целых решений, если их несколько) неравенства sin2x < - 0 , 5 v 3 на промежутке [- 2ТЕ; 7С].

49

ЧАСТЬ 3 Для записи ответов на задания СЗ-С5 используйте бланк ответов № 2. Запишите сначала номер выполняемого задания, а затем обоснованное решение.

СЗ I В прямом круговом конусе сумма образующей и радиуса основания равна 9л/з. Найдите сумму всех целых значений, которые может принимать объем шара, вписанного в конус.

*С4 I Сфера радиуса 7 касается плоскости в точке А. В этой же плоскости I лежит основание правильной четырехугольной пирамиды. Прямая, проходящая через центр основания пирамиды (точку С) и точку сферы, диаметрально противоположную точке А, проходит через точку М. Точка М является точкой касания сферы и пирамиды (их единственная общая точка) и лежит на апофеме пирамиды. Найдите объем пирамиды, если АС = 6.

С5

Найдите сумму целых значений параметра а, при которых множество решений неравенства JC(X — 8) > (дг + 4) (|х — 4| — 4) содержит все члены некоторой геометрической прогрессии с первым членом, равным 6, и знаменателем -4
50

ФЕДЕРАЛЬНЫЙ ЦЕНТР ТЕСТИРОВАНИЯ

*ЕГИСТ*

Контрольные измерительные ^iooo материалы для подготовки к единому государственному экзамену по МАТЕМАТИКЕ Вариант № 6 ЧАСТЫ При выполнении заданий Л1 - А10 в бланке ответов № 1 под номером выполняемого задания поставьте знак "х" в клеточке, номер которой соответствует номеру выбранного вами ответа.

А1

Найдите а + b, если 1) 1

А2

2) 2

Упростите выражение

3) 3

4)-1

3)

4) 3w2

Ъг1Ь-Ьт6 З/225

1

1)

Ът

*>ТГ5

Г5

A3 I Найдите значение log 2 2
2)-8

3)10

А4 I Функция y = f(x) задана графиком. Укажите число целых значений этой функции. 1)2 3)6

2)4 4) 8

51

4) 25

А5 I Найдите число всех целых значений из области определения 1 х+4 функции y = \ogх 29-х 1) 12

А6

2)[-2;3]

3) [0; 4]

На рисунке изображен график функции у = f(x). решений уравнения f{x) + 1 = 0.

1) 1 А8

3) 9

4) 10

Найдите множество значений функции у = 1 - 3 cos x. 1)[1;3]

А7

2) 8

2) 2

Найдите корень уравнения интервалу (2я; Зп). 1)

Ъп

3) 3 sin2x + cosx-=0,

2)^. 3

3)

7/г 3

4) [- 2; 4]

Укажите число

4)5 принадлежащий

4)

9л:

А9

Найдите целое решение (или сумму целых- решений, если их (х + 4) несколько) неравенства — < 0 на промежутке [- 7; 5]. х(х-З) 2)6 1)3 4)-1 3) - 1 9

А10

Найдите угловой коэффициент касательной, проведенной к графику функции f(x) = 6х — 16х — 11 в его точке с абсциссой х0 = 3. 1) - 5

2)-1

3) 11

52

4) 20

Ответом на задания В1-В11 должно быть некоторое целое число или число, записанное в виде десятичной дроби. Это число надо записать в бланк ответов № 1 справа от номера выполняемого задания, начиная с первой клеточки. Каждую цифру, знак минус отрицательного числа и запятую в записи десятичной дроби пишите в отдельной клеточке в соответствии с приведенными в бланке образцами. Единицы измерений писать не нужно. В1

Найдите значение выражения 4tg z ]

В2

Укажите корень или произведение (если их несколько) корней уравнения log 2 32 = \ogx 729 + log9 х2.

ВЗ

а\,

если sin2or = — .

Найдите корень (или произведение корней, если их несколько) уравнения yjx2 - Зх - 29 = 29 + Зх - х2.

ЧАСТЬ 2

~2

В4

Найдите значение выражения

В5

На рисунке изображен гра­ фик производной функции у = f\x), заданной на интер­ вале (- 6; 5). Исследуйте функцию у = f(x) на моно­ тонность и укажите число промежутков возрастания.

В6

Найдите наименьшее целое значение параметра а, при котором х х ах функция f(x) = + — возрастает на всей числовой прямой.

sin arctg

53

В7

Найдите корень (или сумму корней, если их несколько) уравнения 2\5х-2\=16х+2,15^

I

В8

7ГХ

7ZX

Найдите основной период функции f(x) = sin — + c o s — . 8 12

*В9 I Если к трем числам а, Ь, с, составляющим геометрическую ' прогрессию со знаменателем 3, прибавить соответственно 8, 24 и 12, то получатся 3 числа, составляющие арифметическую прогрессию. Найдите сумму чисел а, Ь, с. ^В101 Д а н а призма ABCAjB^i, в основании которой лежит правильный ' треугольник, а боковые ребра наклонены к плоскости основания под углом в 60°. Отрезок С]А перпендикулярен плоскости основания. Найдите длину этого отрезка, если площадь боковой поверхности призмы равна 75 • (л/3 + л/15).

*В11 9 Найдите сторону AD в параллелограмме ABCD, если АВ равна 24, ' она больше AM, где М - середина AD, BM равна 18, а площадь четырехугольника MB CD равна 168л/5.

Для записи ответов на задания С1 и С2 используйте бланк ответов № 2. Запишите сначала номер выполняемого задания, а затем решение, С1 '

Найдите корень (или сумму корней, если их несколько) уравнения 14 6 2ях ЛЛ с 11, принадлежащих от= 5 cos 1

х 2Я *

2 Я"*

l + c t5g z — cos z — 3 3 резку [0; 20].

3

С2 I Найдите целое х (или сумму таких целых аргументов, если их несколько), при которых соответствующие значения функций 3х — 17 jy = log 0 8 (0,64 +0,34Л:) И У~— будут отличаться меньше, чем на 6.

54

ЧАСТЬ 3 Для записи ответов на задания СЗ-С5 используйте бланк ответов № 2. Запишите сначала номер выполняемого задания, а затем обоснованное решение.

СЗ

Найдите сумму всех целых значений р, при которых сумма квадратов действительных, различных корней уравнения х2 -(р -\0)х + 36 = 0 не превосходит 124.

*С4 j В прямоугольном параллелепипеде ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 с длинами — • сторон AD = 1, АВ = 5, АА] = 8 отмечены точка М на ребре AAi и точка N на ребре CD. Известно, что AM = 7 и NC = 4. Найти объем пирамиды M B J C J N .

С5

Найдите целое значение параметра а (или сумму таких значений), при которых множество решений неравенства х(х + 2)2 >4(х + а)-+ах содержит все члены некоторой возрастающей арифметической прогрессии с первым членом, равным - 5, и разностью, меньше или равной 11.

55

ФЕДЕРАЛЬНЫЙ ЦЕНТР ТЕСТИРОВАНИЯ

регистр

Контрольные измерительные ^rio^f материалы для подготовки к единому государственному экзамену по МАТЕМАТИКЕ Вариант № 7 ЧАСТЬ 1 При выполнении заданий А1 - А10 в бланке ответов № 1 под номером выполняемого задания поставьте знак "х" в клеточке, номер которой соответствует номеру выбранного вами ответа.

А1

Сократите дробь

1)

1

fc-lfb

№-№ 2)

1 а-Ъ

з) SlZ-llb

4) ^+ijb

3) 7 - 2 6

4) 7 ~ 1 2 . 2 _ 1 2

71/4-3/2

-А2

Упростите выражение

1) 7 1 5 - 2 2 0 A3

2) 7

/196 12

Вычислите 31og6 0 , 3 6 - 2 log 6 0,216. 1)12

2)-6

3)0

4) 31og610

А4 I Функция задана графиком. Укажите область определения этой функции.

V

k

1) [-2; 5] 2) [-2; 4]

т

3 ) [ - 2 ; 0) и (0; 5] 4) (-2; 4)

/

Г V i/ \1 f "-"t1 " J * /

56

/ \ >f

V^ k

2 L1 ™

1

X

А5 I Найдите наименьшее целое число из области определения функции 54

U-ll 1) 26

А6

2) 25

4)-26

3)-25

Найдите множество значений функции у - V144 sin 2 х +16 cos 2 x . 1) [0; 4]

2) [12; 16]

3) [4; 12]

4) [0; 12]

А7 | Функция y = f(x) определена графиком. Укажите промежуток, 1 Г Г Г * Z Jj3"."!~JJ У1"~ на котором она принимает только _ , , . . _ r + . ~y**sT - -*--»-^ ,->.„' :__. положительные значения. "; . "*"Й/

1)0; з) 3)(-2;4)

- г— ^ 4 *

2) (- 1; 4) 4)[-1;5]

~ ,

А8

"

J

\ ;^

< *~ - 1 - п ^

Г

г-

Найдите корень или сумму (если их несколько) корней уравнения l o g 3 ( x 2 - 1 6 x + 6l) = l o g 3 ( x - 9 ) . 1) 7

А9

3) 13

4) 17

Найдите целое решение (или сумму целых решений, если их несколько) неравенства log0 5 (4 - 0,5х) > - 2 на промежутке [- 9; 9]. 1) 36

А10

2) 10

2) 27

3) 28

4) 29

Найдите значение производной функции sin(3x + 4) - cos(3x + 4) в точке х0 = 0. 1) 3cos4 + 3sin4 3) cos4 + sin4

2) 3 c o s 4 - 3 s i n 4 4) 3cos4

57

Ответом на задания В1-В11 должно быть некоторое целое число или число, записанное в виде десятичной дроби. Это число надо записать в бланк ответов № 1 справа от номера выполняемого задания, начиная с первой клеточки. Каждую цифру, знак минус отрицательного числа и запятую в записи десятичной дроби пишите в отдельной клеточке в соответствии с приведенными в бланке образцами. Единицы измерений писать не нужно.

В1

Найдите значение выражения ctg~ а, если sin а = -О,2.

В2

Определите число корней уравнения (ctg х - 3V3 • tg 2 х 1 л/1 - х1 = 0.

ВЗ I Найдите корень (или произведение корней, если их несколько) уравнения log 2 x2 = 20log 3 9x - 56.

ЧАСТЬ 2

В4

2

Найти значение выражения

2

В5 I На рисунке изображен график производной функции y-f\x). Исследуйте функ­ цию y = f(x) на монотон­ ность и укажите отрицатель­ ную точку минимума.

В6

ОС

sin a - c o s а, если tg—= 2 .

_Ш/!(*):

Найдите сумму целых чисел, принадлежащих множеству значений 10-3sinx-4cosx функции уг/(х)ч =ЛГЛ 16 log j .

Тг

5

58

"'

В8

I Найдите число корней уравнения х -Зх = vcos лх-1 ,

Найдите значение параметра а (или произведение таких значений, если их несколько), при которых основной период функции y = ctglla2 -6а-32]х\

*В9

равен — 40

Гусеница ползет по звеньям ломаной, причем длина первого звена 40 сантиметров, а каждое следующее звено на 3 сантиметра меньше предыдущего. Найдите число звеньев ломаной, на которых оставила свой след гусеница, если всего за день она проползла два с половиной метра.

Bl()f В кубе ABCDAjBiCjDi с площадью поверхности 32 найдите расстояние от середины ребра AD до плоскости BiCDj.

*В11

Площадь треугольника ABC равна 1 Найдите АС, если сторона АВ равна 11 и она больше половины стороны АС, а медиана ВМ равна 8.

Для записи ответов на задания С1 и С2 используйте бланк ответов № 2. Запишите сначала номер выполняемого задания, а затем решение.

С1

Найдите целое отрицательное значение параметра а (или сумму таких значений, если их несколько), при котором уравнение х + 6 — = 0 имеет два различных действительных корня. х

С2

Найдите целое х (или сумму таких целых аргументов, если их несколько), при которых соответствующие значения функций у = log 2 х и у = -J5 - logo 5 х будУт отличаться меньше, чем на 7.

59

ЧАСТЬ 3 Для записи ответов на задания СЗ—С5 используйте бланк ответов № 2. Запишите сначала номер выполняемого задания, а затем обоснованное решение.

СЗ

Точка М лежит на графике функции jy = 0,5x +5x + 17,5, а точка 2

N - на графике функции у = -Ъ,5х + 7 * - 1 9 , 5 . Найдите наимень шее из возможных целых значений длины отрезка MN.

*г£4 1 В прямоугольном параллелепипеде A B C D A J B J C J D J со сторонами АВ = 4 , ВС = 3 и A A j = 8 на отрезках АА Ь А В Ь DAj заданы соответственно точки М, N, L, причем AM = 6, AN = 3v5 , DL = 0,6V73 . Секущая плоскость проходит через точки М, N, L и делит прямоугольный параллелепипед на два многогранника. Найдите наибольший из объемов этих многогранников.

С5

Найдите сумму целых значений параметра а, при которых число целых решений-неравенства | 2 J C - 4 | - J C <0,05<З(Х + 3) не менее 3 и не более 9.

60

ФЕДЕРАЛЬНЫЙ ЦЕНТР ТЕСТИРОВАНИЯ

регистр

Контрольные измерительные ^яг^о материалы для подготовки к единому государственному экзамену по МАТЕМАТИКЕ Вариант № 8 ЧАСТЬ 1 При выполнении заданий А1 - А10 в бланке ответов № 1 под номером выполняемого задания поставьте знак " х " в клеточке, номер которой соответствует номеру выбранного вами ответа.

А1

5-х

Найдите значение выражения

>J

- + 0,25'(9-Vx" : : l + 2

4 - VJC^T —: ;

V

если х = 1,31. 1) 1,2

A2

3) 1,22

4) 1

3) 6-^3

4) 6

Найдите значение выражения 1) 6 - ^ 5

A3

2) 1,24

2) 9-^/32

Найдите значение log0 2 25с, если log5 с = - 8 . 1)7

2)-7

3)-6

61

4) 6

А4 I На рисунках изображены графики функций и касательные к ним в точке а. Укажите функцию, для производной которой выполнено условие f\a) = - 0 , 5 . 2)

4)

А5 I Найдите сумму всех целых чисел, входящих в область определения функции у = In (1х + 4 - \х - 4х ). 1) 64

А6

3) 66

4) 67

Найдите множество значений функции у = 3 1)[3;+оо)

А7

2) 65

2 ) ( - о о ; + со)

3)(0;3]

4) (0; 9] Ук

Функции у = /(х) и y = g(x) заданы графически на интер­ вале (- 4; 8). Укажите те зна­ чения аргумента, при которых выполнено неравенство f(x)>g(x).

V=

WV)

У

^J1*1|)

2

- > _4

1)(-3;5) 2)(-4;-3)и(5;8) 3) (0; 5) 4)(-4;3)и(4;8)

62

-i

4 ,1

D

з

8

Л" |

А8 I Укажите промежуток, которому принадлежит корень уравнения (0,5) 0 ' 5 х _ 1 =8. 1)[-4;0)

А9

2)[0;1)

3)[1;2)

4) [2; 4)

Найдите целое решение (или сумму целых решений, если их несколько) неравенства ( 9 - х " ) v x + 4 > О на промежутке [- 6; 7]. 1) - 1

А10

2) - 4

3)1

4) О

Найдите точку х0 , если тангенс угла наклона проведенной

к графику

функции

касательной,

у = Ъх2 - 4х + 6 в точке

с

абсциссой х 0 , равен 14. 1)-1

2)-2

3)5

4)3

Ответом на задания В1-В11 должно быть некоторое целое число или число, записанное в виде десятичной дроби. Это число надо записать в бланк ответов № 1 справа от номера выполняемого задания, начиная с первой клеточки. Каждую цифру, знак минус отрицательного числа и запятую в записи десятичной дроби пишите в отдельной клеточке в соответствии с приведенными в бланке образцами. Единицы измерений писать не нужно.

В1

Найдите значение выражения ~ • 2

\ Л

2sin а-Щ 2

\

~

~ •

2

5Я"

or + 2 c o s a + 2sincif + 2cos а, если а = — . 6

В2

Укажите корень или произведение (если их несколько) корней 4 + 2х 5х + 9 7х уравнения —= = : = —= . х -5х + 4 х -Зх + 2 х -6х + 8

ВЗ

Найдите корень (или сумму корней, если их несколько) уравнения log^(x + 15) 4 =161og 5 (x + 15).

63

ЧАСТЬ 2 В4 I Найдите ' 2х + 3

значение выражения ABC, А Вх + С = — н— z верно для всех х Ф О. x(x 2 + l) x +l

В5 | На рисунке изображен гра­ фик производной функции у = f\x) . Исследуйте функ­ цию у = f(x) на монотон­ ность и укажите точку минимума.

если

равенство

* -

В6

Производная функции у = f(x) имеет вид f'(x) -х + 4х - 5 . Найдите точку, в которой функция принимает наибольшее значение на отрезке [-4; 3].

В7

Найдите положительный корень (или сумму таких корней, если их несколько) уравнения

-=U

•>*+!

х+2 В8

Нечетная функция y = f(x) определена на всей числовой прямой. Для каждого неотрицательного значения аргумента х значение этой функции на 16 меньше, чем значение функции g(x) = (x2 -9х + Л) . Найдите число корней уравнения f(x) = 0.

fr

B9

Теплоход прошел расстояние от А до В по течению реки за 7 суток, а от В до А - за 12 суток. Найдите, за сколько суток доплывет от А до В плот.

|*В101 ШаР» вписанный в правильную четырехугольную пирамиду MABCD, пересекает высоту МО пирамиды в точке Р так, что MP : РО = 5 : 4 . Найдите объем пирамиды, если боковая сторона пирамиды равна V265 .

64

*В11

Найдите площадь прямоугольного треугольника, если радиусы вписанной в него и описанной около него окружностей равны соответственно 1 см и 4 см.

Для записи ответов на задания С1 и С2 используйте бланк ответов № 2. Запишите сначала номер выполняемого задания, а затем решение.

С1

Найдите корень (или сумму действительных, различных корней, если их несколько) уравнения х4 - 2хъ - х2 - 2х +1 = 0.

С2

Найдите целое решение (или сумму целых решений, если их несколько) неравенства У](Х + 5)(Х + 2)+(Х

+ 2)^5-4Х-Х2


ЧАСТЬ 3 Для записи ответов на задания СЗ-С5 используйте бланк ответов № 2. Запишите сначала номер выполняемого задания, а затем обоснованное решение.

СЗ

Винтик и Шпунтик решили собрать в общей гостиной для коротышек угловой телевизор в форме прямой призмы с объемом один кубический дециметр. Основанием призмы должен стать прямоугольный треугольник с периметром 40 сантиметров. Экраном является грань призмы, образованная гипотенузой основания и высотой. Незнайка заявил, высота экрана не может быть выше его роста, т.е. 15 сантиметров. Найдите сумму целых значений, которые при этих условиях может принимать площадь экрана в квадратных сантиметрах.

65

Все сечения пирамиды МАВС плоскостями, параллельными основанию - прямоугольные треугольники, длины сторон которых образуют арифметическую прогрессию. Боковые грани образуют равные углы с плоскостью основания. Плоскость а , также параллельная основанию, пересекает высоту МО пирамиды в точке Р так, что М Р : Р О = 1 : 3 . В образовавшуюся при этом усеченную пирамиду вписан прямой цилиндр с верхним основанием, вписанным в сечение пирамиды плоскостью а . Объем цилиндра равен Сечение пирамиды плоскостью проходит через ее вершину М и вершину основания, лежащую против наибольшей стороны основания. При этом построенное сечение делит пирамиду на две пирамиды одинакового объема и наклонено к плоскости основания под углом, тангенс которого равен 5V3 . Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.

Найдите целое значение параметра а (или сумму таких значений, если их несколько), при которых уравнения х 2 - Ах + 3 = 0,25ах + 3 и

90 :——г = ах имеют корни, причем число корней в этих

уравнениях одинаковое.

66

ФЕДЕРАЛЬНЫЙ ЦЕНТР ТЕСТИРОВАНИЯ

fll

Контрольные измерительные ^^оо материалы для подготовки к единому государственному экзамену по МАТЕМАТИКЕ Вариант № 9 ЧАСТЬ 1

При выполнении заданий А1 - А10 в бланке ответов № 1 под номером выполняемого задания поставьте знак " х " в клеточке, номер которой соответствует номеру выбранного вами ответа.

А1

Вычислите

1) 16

A3

.,025

о^Т -

2) - 6

лс

'

если

я~16,

3) 2

4) 6

9 3) 10— ' 16

4) 8

3)4

4) log 2 15,5

3lFJif 2) 11-

Вычислите log 4 36 + log 2 —. 1)-2

А4

-100

Найдите значение выражения 1)-2

А2

а

тт «

2) 3

Функция y = f(x) задана графиком Укажите множество значений этой функции. 1) [- 4; 3] 3) [- 3; 3]

2) [- 3; 5] 4)[-3;0)и(0;3]

67

А5

Найдите область определения функции у = log 0 5 2) (0; 3) 4)(-3;0)

1 ) ( - с о ; 0 ) ( 3 ; + оо)

3) (-оо;0) [3; + оо)

А6

(Зх-х2).

Найдите множество значений функции у = 7 cos x + 24 sin x - 5 . 1) [- 10; 0]

2) [- 30; 20]

3) [- 10; 10]

4) [- 25; 25]

А7 | Функция у = /(х) задана графически на промежутке [ - 4 ; 3 ] . Укажите число целых решений неравенство f(x) > 1. 1) 1 3)4

2) 2 4) 6

А8 I Найдите корень или сумму (если их несколько) корней уравнения 3JC2 + 7 X - 1 0 _ ( 2 X + 7 ) 2 2X2-9JC + 7

1) 0,5

А9

3) - 2

2) - 3

4) 1,5

Решите неравенство V 5 x - 1 0 < 1 2 - 6 x . 1){2}

А10

4X2-49

2) [2; +ос)

з ) ( - о о ; + оо)

4) [2; 8]

Найдите точку M 0 (x 0 ;j> 0 ) » обладающую тем свойством, что касательная к графику функции у = х2 - Зх + 2, проведенная в этой точке, перпендикулярна прямой х + Зу -15 = 0. 1) М 0 ( - 2 ; 12)

2) М 0 (2; 3)

3) М0(±;

68

Щ

4) М 0 (3; 2)

Ответом на задания В1-В11 должно быть некоторое целое число или число, записанное в виде десятичной дроби. Это число надо записать в бланк ответов № 1 справа от номера выполняемого задания, начиная с первой клеточки. Каждую цифру, знак минус отрицательного числа и запятую в записи десятичной дроби пишите в отдельной клеточке в соответствии с приведенными в бланке образцами. Единицы измерений писать не нужно.

В1

Найдите значение выражения (2л/з+Зл/5+6 + 7Г5)-(2>Уз + З л / 5 - 6 - > / Г 5 ) .

В2

Укажите корень или сумму (если их несколько) корней уравнения

i ВЗ

28-3JCZ = X + 4 .

Разность корней уравнения 2 х 2 - 6 х + 1 = а равна 8. Найдите значение а (или сумму таких значений, если их несколько).

ЧАСТЬ 2 В4

Числа а и Ъ выбраны таким образом, что верно равенство =— + 3 = 0. Найдите значение, которое при этом примет 2а + Ь . а + 2Ь (или сумму таких значений, если эта величина величина Ъа-Ъ может принять несколько значений) а-2Ъ

В5 | На рисунке изображен график производной функции у - f(x). Найдите отрицательную точку максимума этой функции.

69

В6

Найдите наименьшее целое значение функции \ogi/3(23-4x-x2).

g(x) =

В7

Найдите число точек с целочисленными координатами (х,у) на плоскости, для которых выполнено условие

4:5-х +у 2

2

У

+ У

5

1=

0.

*

В8

Найдите значение функции g(-3) f(x + \) = x + 3uf(g(x)) = 2-x.

,

если

известно,

что

*В9

Число равно произведению двух дробей с положительными членами. Числитель первой дроби увеличили на 52%, а знаменатель уменьшили на 4%. Числитель второй дроби увеличили на 26%, а знаменатель уменьшили на 16%. Найдите число процентов с соответствующим знаком, на которое изменится число А.

*В10

Около прямой четырёхугольной призмы описан цилиндр, причем его плоскость основания совпадает с плоскостью основания цилиндра. Основание призмы - прямоугольник, в котором диагональ и большая сторона образуют угол, косинус которого равен 0,8. Объём цилиндра равен 50л*, а расстояние между боковым ребром призмы и скрещивающейся с ним диагональю основания равно 1,6. Найдите площадь боковой поверхности призмы.

*В11

В треугольнике ABC точка М лежит на стороне АС, причем ВС = 1 2 , АС = 20 и ZABM + Z A M B = ZACB + ZBMC . Найдите длину отрезка AM.

Для записи ответов на задания С1 и С2 используйте бланк ответов № 2. Запишите сначала номер выполняемого задания, а затем решение. О

Найдите корень (или произведение корней, если их несколько) 3-х2 Зх 0 Л уравнения + г- + 3 = 0.

х

3-х-х

70

Найдите натуральное значение я, при котором значение выражения J1 + ^V л

J : Л V w + 4 j ^V

^

+ Jl V

2 я+ 4

))у

: 1+J \}п + 4)

ближе

всего к 25.

ЧАСТЬ 3 ДЛЯ записи ответов на задания СЗ-С5 используйте бланк ответов № 2. Запишите сначала номер выполняемого задания, а затем обоснованное решение.

Найдите- сумму всех целых значений р, при которых сумма квадратов действительных, различных корней уравнения х -(р-6)х + Зр-2 = 0 не превосходит 155.

Основанием прямой призмы ABCAiBiCi является равнобедренный треугольник с вершиной А, две стороны которого равны 1 и 4. Высота призмы равна 2. В призме проведены 2 сечения. Одно из них проходит через ребро АС и вершину В ь а другое - через ребро CCi и биссектрису угла С треугольника ABC. Найдите длину отрезка, по которому пересекаются эти сечения.

Три числа, принадлежащие соответственно интервалам (- 3; 0), (2; 4) и (6; 8), являются первыми членами арифметической прогрессии. Найдите сумму целых значений, которые может принимать величина yja2 + d2 , где а - первый член, a d - разность арифметической прогрессии.

71

ФЕДЕРАЛЬНЫЙ ЦЕНТР ТЕСТИРОВАНИЯ

-РЕГИСТР

(Рс| Контрольные измерительные ^9555 материалы для подготовки к единому государственному экзамену по МАТЕМАТИКЕ Вариант № 10 ЧАСТЬ 1 При выполнении заданий А1 - А10 в бланке ответов № 1 под номером выполняемого задания поставьте знак "х" в клеточке, номер которой соответствует номеру выбранного вами ответа.

А1

Найдите значение выражения 1) 12,4

2) 12,5

I А2

Вычислите ill 12— 1)5

A3

3) 12,8

4) 14

3)6

4) 8

3) 3

4) 21og 2 5

1 - 6—

+3 .

2)5,5

Вычислите log4 0,08 + 0,5 log 2 200. 1) 1

А4

а2-9 а + 2^3а+3 — при а = 28. / —-—-: а - 2л/3я + 3 " 10

2) 2

Укажите график функции, изображен­ ной на рисунке.

1) у = \2х-1\ 3) J; = 2|JC|-1

2) Н * | - 1 4) у =

-2х

72

А5 I Найдите сумму всех целых чисел, входящих в область определения функции y = \g

7-3 |JC-1|

2)4

1)3

3)5

4) 6

А6 I Найдите множество значений функции у = log 3 (х2 - вх + 36]. 1) [3; + оо)

2) [2; + °о)

3) ( - <~; + со)

4) [0; + со)

А7 | Функция У-fix) задана _ , i 5 ; графически на промежутке [- 7; 4]. Укажите те значения аргумента, _yu_._jL ™*_ __-т„__, I X J при которых выполнено " f r -~t--V-t- -.-+. J~' / -J неравенство f(x) > 1.

;э| 'j.::: -

5

" V

1)(-7 2) [-7. 3)[-7 4) (-7

0) и (0; 4) -4)и(3;4] - 3) и (3; 4] 4)

i - ~* -

* - -• — -

*

J/г-° - г — ,

>j*/.--* -

' T " T""" «

„-» —

1 ' i

;

A8 I Найдите корень или сумму (если их несколько) корней уравнения |х + 5| = 2 | х - 1 | . 1)-1

А9

2)1

3)6

4)7

Найдите число целых решений неравенства лежащих на отрезке [- 9; 6]. 1) 5

А10

2) 7

3) 8

4) 9

Тело движется прямолинейно таким образом, что пройденное расстояние равно S(t) = 3t + t . Найдите расстояние, которое пройдет тело до того момента, когда его скорость станет равной 11. 1) 10

2) 18

3) 28

73

4) 37

Ответом на задания В1-В11 должно быть некоторое целое число или число, записанное в виде десятичной дроби. Это число надо записать в бланк ответов №1 справа от номера выполняемого задания, начиная с первой клеточки. Каждую цифру, знак минус отрицательного числа и запятую в записи десятичной дроби пишите в отдельной клеточке в соответствии с приведенными в бланке образцами. Единицы измерений писать не нужно.

В1 I Найдите значение а, при котором ' я(Зх-8)-Зх-6_х-12 верно для всех значений х. а+3 3

В2

Найдите системы

ВЗ

сумму

всех

\вх-5у-39

переменных, 2

являющимися

равенство

решениями

2

= ^4у -12ху

+ 9х ,

[4х + у = 5.

Уравнение (а - \)х + х + 5 = 0 имеет единственное решение. Найдите значение а (или сумму таких значений, если их несколько).

ЧАСТЬ 2

В4

Вычислите 37 • log 7 243 • log3 49 - l , 2 5 l g 9 • 8 lg9

B5 I На рисунке изображен график производной функции

-

-

_-' - J '

-_

..>—/'{*)

<

- - / \\ 1

заданной на интервале ( - 6 ; 5). Исследуйте \ 1 и функцию y = f{x) укажите число точек I I максимума этой i i функции.

0

I IX

;: !

1

I

74

В6

Найдите наименьшее целое значение функции у - х* - х • |х - 8| на отрезке [0; 10].

В7

Найдите корень (или сумму корней, если их несколько) уравнения 10х-129_ 1 62 log 4 x

В8

Найдите значение функции / ( 2 2 ) , если известно, что функция у = f(x)

- нечетная, имеет период 12 и на отрезке [0; 6] функция

имеет вид у = Звх4 - х2.

*В9

На баржу было погружено 1215 тонн песка, влажность которого составляла 15%. Во время перевозки из пункта А в пункт В влажность песка повысилась на 4%. Найдите массу груза в тоннах, доставленного в пункт В.

*В10

Шар, поверхность которого равна 18, вписан в усеченный конус. Угол образующей конуса с большим основанием равен 45°. Найдите площадь боковой поверхности этого конуса.

Даны точки А(2; 1), В(4; 5) и С(9; 5). Точка D выбрана таким образом, что ABCD - равнобедренная трапеция. Найдите наименьшее из возможных значений суммы координат точки D.

Для записи ответов на задания С1 и С2 используйте бланк ответов № 2. Запишите сначала номер выполняемого задания, а затем решение,

О

Найдите корень (или произведение корней, если их несколько) уравнения х(х + 2)(х - 2)(х - 4) = - 7 .

75

С2 I Найдите целое решение (или сумму целых решений, если их несколько) неравенства 3-V(x-4) 2 4-^0,25-log^x 2 -2.1og 7 2.T + 3 < 1 2 - 3 x .

ЧАСТЬ 3 Для записи ответов на задания СЗ-С5 используйте бланк ответов № 2. Запишите сначала номер выполняемого задания, а затем обоснованное решение.

СЗ

В прямом круговом конусе сумма площади основания и осевого сечения равна Ъя. Найдите сумму всех целых значений, которые может принимать объем этого конуса.

*С4

В кубе ABCDAjBiCiDj площадь круга, описанного вокруг каждой грани, равна 288. На ребрах АВ, AD, C Q заданы соответственно точки М, N, L, причем AM : MB = 1 : 3, AN : ND = 1 : 3, CL : LCj = 1:9. В куб вписан шар. Определите площадь круга сечение шара плоскостью, проходящей через точки М, N, L.

С5

Пусть JCJ и х2 - действительные, различные корни уравнения х2 - ( 2 а - 4 ) х + 2-а = 0 . Рассмотрим множество А тех значений параметра а, для которых выполнено условие: х{ + х2 < 2 . Найдите число целых значений, которые при этих условиях (т.е. при значениях параметра ае А) принимает величина х* + х2 .

16

Обсуждение и решение варианта № 10 Что надо было знать и уметь тем, кто сдавал Единый государственный экзамен по математике в 2006 году и что ожидает тех учащихся, которым предстоит сдавать Единый государственный экзамен по математике в 2007 году? Как решить каждую задачу на экзамене? Какой объем знаний необходим для этого 7 А что вообще надо знать, чтобы решить задачу по математике? И что такое правильное решение задачи? Мы попробуем ответить на все эти вопросы, анализируя идеи и методы решения задач варианта 10 данной книги. Часто на вопрос, как решить ту или иную задачу, ученик отвечает. «По формуле». И начинает вспоминать чудодейственную формулу. Хорошо, если рядом учитель, который и формулу подскажет, а главное, скажет, что с этой формулой делать. Мы с Вами должны понимать, что для получения весомого результата на Едином экзамене, недостаточно знать формулы и теоремы школьного курса математики. Для получения высокого результата главным является умение логически верно мыслить, применяя полученные Вами знания. Прежде всего, надо внимательно прочитать условие задания и вникнуть в его суть. Никогда не теряйте бдительности. Возможно, задача не столь проста, как Вам это показалось вначале. А, может быть, и наоборот. Задача вполне Вам по силам, хотя и представляется вначале необыкновенно сложной. Варианты ЕГЭ содержат много задач. Это и очень простые задачи и очень сложные. Единый экзамен должен, по крайней мере, в идеале, правильно оценить знания каждого ученика. Безусловно, у каждого из Вас своя планка, которую надо преодолеть. Для одних - это получение положительной оценки. Мы стараемся дать материал для работы тем, кто стремится преодолеть как можно более высокую планку. На конкретных примерах заданий варианта 10 мы увидим, что же все-таки надо знать, что нужно уметь, как правильно рассуждать, чтобы решить вариант ЕГЭ по математике. Мы будем в процессе решения обсуждать и относительно простые задачи радела А, и более сложные задачи раздела В, постараемся разглядеть идеи, заложенные в сложных задачах раздела С. Вы решили задачу, Вы получили ответ. А правильный ли он? А верным ли было решение. Безусловно, правильным является решение, в результате которого получен правильный ответ и он обоснован. И здесь проверяется самое главное - Ваше умение логически верно мыслить.

77

А может быть и другая ситуация. Вы совершенно не понимаете условия задания. Что делать в этой ситуации? Решите вначале те задачи, условия которых Вам понятны. А затем вернитесь к «сложной» задаче и вспомните смысл каждого слова, каждого термина, который упоминается. В варианте ЕГЭ по математике много заданий. Будем надеяться, что после Вашей серьезной подготовки к ЕГЭ Вы встретите на самом экзамене немало простых задач, которые будут Вами быстро решены. Высокие баллы можно получить, энергично решая простые задачи и все свои силы отдав для правильного выполнения сложных заданий Для этого желательно понять логику каждой задачи. В идеале желательно даже увидеть ту ловушку, которую заготовил автор в каждой конкретной задаче. Составьте план решения сложной задачи и четко его реализуйте. Как это сделать, давайте посмотрим на конкретных примерах заданий этого варианта. Наверное, не раз Вам приходилось работать над ошибками, допущенными в контрольной работе. Конечно, это очень полезно. Но, наверное, еще полезнее устранить пробелы в своих знаниях до решающей контрольной работы. Попробуем это сделать вместе, разбирая задания этого варианта.

78

ЧАСТЬ 1 При выполнении заданий А1 - Л10 в бланке ответов № 1 под номером выполняемого задания поставьте знак "х" в клеточке, номер которой соответствует номеру выбранного вами ответа.

Найдите значение выражения 1) 12,4

2) 12,5

а2-9 а + 2у/3а~ + 3 т= : при а — 28. а-2у/3а+3 10 3) 12,8 4) 14

При решении задачи А1 необходимо проявить умение выполнять тождественные преобразования иррациональных выражений. Упрощая выражение, следует вначале обратить внимание на возможные простые операции типа вынесения общего множителя и применения формул сокращенного умножения, а затем уже при необходимости применять и более сложные тактические идеи. В данном случае вряд ли следует сразу подставлять значение а . Попытаемся упростить само заданное выражение. Заметим, что результат деления дробей можно представить в виде 10-(я2-9) -. 1—\/ г=т- Разность квадратов в знаменателе ((a + 3 ) - 2 V 3 a ) ( ( a + 3) + 2V3aj (а + 3)2 -12а

приводится к виду (а-3)

и тогда все выражение

10-(я + 3) можно записать как - , которое при а = 28 равно 12,4. Это а-3 позволяет установить правильный ответ № 1.

79

Вычислите 2) 5,5

1)5

3) 6

4) 8

При решении задачи А2 необходимо проводить операции с выражениями, содержащими степени с рациональными показателями. Надо уметь выполнять тождественные преобразования и находить значение степеней. Решая любую, даже самую простую задачу, будьте внимательны. Не путайте порядок действий. В данном случае операцию вычитание надо выполнить только после аккуратного 3 возведения в степень — каждого слагаемого. 2

Ф4т?-№*>-

Итак,

j) -а

+3

+ 3=,

= 5,5 . В итоге,

правильным является ответ № 2.

Вычислите log 4 0,08 + 0,51og 2 200. 1) 1

2) 2

3) 3

4) 21og 2 5

Умение выполнять тождественные преобразования логарифмических выражений проверяется при решении задачи A3. Упрощая логарифмические выражения, мы должны, прежде всего, знать определение логарифма и эквивалентное ему основное логарифмическое тождество а °8а х = х . Выполняя тождественные преобразования, в данном случае вспомним формулы: —logflx = l o gа* x

к

и \ogax + \ogay = log a (xy) . Кстати, если Вы

подобные преобразования выполняете при решении уравнений и неравенств, то не забывайте об области определения логарифма, т.е. об условиях: а>0, аФ\, х > 0, у>0. Следовательно, log 4 0,08 + 0,5 log2 200 = log 4 0,08 + log 4 200 = = log 4 16 = 2 и правильным является ответ № 2.

80

Укажите график функции, изображен­ ной на рисунке.

1) у = \2х-\\

2

3) ^ = 2|х|-1

4) у = -2х

)

u-.-i—V-* —

Н*И

Ваше умение читать свойства функции по графику и распознавать графики элементарных функций и свойства функций проверяется при решении задачи А4. Заметим, что построенный или исследуемый график функции должен отражать характер поведение функции и показывать все ее характерные точки. В данном случае мы видим, что показанный нам график функции, получен из известного графика функции У~\х\ растяжением в 2 раза вдоль оси ординат и сдвигом вниз одну единицу. Это график № 3.

Найдите сумму всех целых чисел, входящих в область определения

1 Л функции y = lg ( —— функции у = lg -х г- 3 . 1)3

2)4

3)5

4) 6

Задача А5 связана с нахождением области определения сложной функции. При этом Вам могут встретиться тригонометрическая, показательная, логарифмическая функция и корень четной степени. Как найти область определения произвольной функции? Можно поступить следующим образом. Представьте себе, что Вам задам аргумент х и надо вычислить соответствующее значение функции. Если написать условие выполнимости каждой операции при вычислении функции, то мы и получим систему для определения области определения. Кроме того, в формировании сложной функции последовательно участвуют несколько функций. В этой ситуации мы, прежде всего, смотрим на последнюю применяемую функцию.

81

Итак, в данном случае аргумент внешней логарифмической функции должен быть положителен, и мы приходим к неравенству 7 7 или 0 < |'x - l | < \х-Ц г-Ъ>0 ' —3 , решением которого является множество — ; 1 U 1; — , содержащее целые числа: - 1, 0, 2, 3. Их сумма равна 4. Это ответ № 2.

Найдите множество значений функции у = log3 (х 2 - 6х + 361. 1)[3; + оо)

2) [2; +со)

3)(-«>;

+ оо)

4 ) [ 0 ; + оо)

При решении задачи А6 Вам потребуются находить множество значений функций. При этом могут потребоваться знания областей определения тригонометрической, логарифмической, показательной функций и умение сопоставлять им соответствующие множества значений. В этой задаче может быть и очень простая ситуация. Быть может, Вам достаточно будет знать, что значения синуса и косинуса находятся на промежутке [- 1; 1], их квадраты принимают значения на промежутке [0; 1]. Не забывайте, что показательная функция принимает лишь положительные значения, а логарифмическая может принимать любые значения. В данном случае множество значений внутренней функции у = х2 - 6х + 36 является областью определения внешней функции у = log3 х . Но функция х2 - 6х + 36 после выделения полного квадрата

приводится

к виду ( х - 3 ) +27 , и

ее

значения

составляют множество [27; + °о). При этих значениях аргумента внешняя функция log 3 x принимает значения от 3 включительно до плюс бесконечности. Правильный ответ № 1.

82

Функция у = f{x) задана графически на промежутке [- 7; 4]. Укажите те значения аргумента, при которых выполнено неравенство f(x) > 1. 1) (- 7; 0) и (0; 4) 2)[-7;-4)u(3;4] 3)[-7;-3)u(3;4] 4) ( - 7 ; 4) Использование графиков в решении неравенств - так обозначена тема задачи А7 в тематике задач Единого экзамена по математике. Следовательно, не исключено, что Вам необходимо будет построить график некоторой функции для решения заданного неравенства. В данном случае непосредственно видно, что требуемое условие f{x)>\ выполнено, если х<-4 или х>3 . С учетом области определения функции приходим к ответу № 2.

Найдите корень или сумму (если их несколько) корней уравнения |JC + 5| = 2 | J C - 1 | .

1) - 1

2) 1

3) 6

4) 7

В задании А8 проверяется умение решать простейшие уравнения. Здесь Вы можете также встретить иррациональное, тригонометрическое, показательное или логарифмическое уравнение. Данное уравнение может быть решено различными способами. Знать каждый из этих способов полезно для решения различных задач. Во-первых, можно применить основной способ решения задач «с модулем». Числовая ось разбивается на части, в каждой из которых все абсолютные величины, входящие в условие задачи, раскрываются с определенными знаками. Тем самым на каждом из рассматриваемых промежутков мы приходим к задаче «без модуля». Решая эти задачи, мы берем ту часть решения, которая лежит на рассматриваемом промежутке. Объединяя вместе полученные части решения, мы приходим к ответу.

83

В конкретных ситуациях логика решения задачи может упрощаться. Например, в данном случае воспользуемся тем фактом, что |а| = Щ <=> То есть модули чисел равны тогда и а = -Ь. только тогда, когда либо эти числа равны, либо они отличаются знаком. Следовательно, равенство |х + 5| = 2|х - 1 | выполнено лишь при условии, что х + 5 = 2х - 2 или х + 5 = 2 - 2х . Соответственно, JCJ = 7 и х2 = - 1 .В итоге мы приходим к правильному ответу № 3.

Найдите число целых решений неравенства ( 9 - х 2 Wx + 7 > 0 , лежащих на отрезке [- 9; 6]. 1) 5

2) 7

3) 8

4) 9

Умение решать неравенства с одной переменной проверяется при решении задачи А9. В задании А9 могут встретиться рациональные, показательные, логарифмические, неравенства, содержащие переменную под знаком модуля, неравенства с параметром и комбинированные неравенства. Любое неравенство может быть решено методом интервалов. В методе интервалов на числовой оси необходимо отметить точки, при которых неравенство переходит в равенство и точки, являющиеся границей области определения входящих в неравенство функций. После этого на числовой оси образуются интервалы, каждый из которых либо целиком является решением данного неравенство, либо целиком не является этим решением. В ответ отбираются те интервалы и те отмеченные точки, которые являются решением неравенства. Метод интервалов является универсальным Он применим для решения неравенств любого вида. В данном случае, применяя метод интервалов, мы отмечаем на числовой оси точки - 7 и ± 3 . Легко проверить, что все отмеченные точки и интервал (- 3; 3) - решения неравенства. В итоге множество {-7}и(-3;3) является решением заданного неравенства. При этом целыми решениями являются числа: - 7, - 3, - 2, - 1, О, 1, 2, 3. Их число равно 8. Это ответ № 3.

84

Тело движется прямолинейно таким образом, что пройденное расстояние равно S(t) = 3t +1 . Найдите расстояние, которое пройдет тело до того момента, когда его скорость станет равной 11. 1) 10

2) 18

3) 28

4) 37

Владение геометрическим или физическим смыслом производной проверяется при решении задачи А10. В данном случае задан пройденный путь как функция времени при движении тела по прямой. Физический смысл производной заключается в том, что в такой ситуации производная от пройденного пути по времени равна мгновенной скорости тела. Следовательно, для нахождения скорости в момент времени t мы находим производную S'(t) = 3 + 2t . Далее необходимо выяснить, при каком значении t выполнено условие 3 + 2/ = 11 . Отсюда t - 4 и за это время тело пройдет путь S(4) = 28 . Правильным является ответ № 3 .

Ответом на задания В1-В11 должно быть некоторое целое число или число, записанное в виде десятичной дроби. Это число надо записать в бланк ответов № 1 справа от номера выполняемого задания, начиная с первой клеточки. Каждую цифру, знак минус отрицательного числа и запятую в записи десятичной дроби пишите в отдельной клеточке в соответствии с приведенными в бланке образцами. Единицы измерений писать не нужно. Найдите значение а, при котором равенство я(Зх-8)-Зх-6 х-12 = верно для всех значении х. а+3 3 В задании В1 необходимо продемонстрировать умение выполнять тождественные преобразования выражений. Бывает ситуация, когда нам сразу понятно, какого рода преобразование надо сделать. В данном случаемы мы имеем дело с уравнением вида ах-Ъ , которое обращается в верное равенство для всех х только в том случае, когда а = Ъ - 0. Все это равносильно тому, что в написанном равенстве коэффициент при переменной х в левой части должен равняться коэффициенту при х в правой и, соответственно, равны свободные члены. .. За-3 1 -8*-6 -12 Итак, =— и = , откуда а = 1,5. Ответ. 1,5. а+3 3 а+3 3 85

Найдите

сумму

всех

переменных, 2

( б х - 5 Jу - 3 9 = vJ4y системы < [4х + у = 5.

являющимися

решениями

2

-\2хуJ + 9х ,

Умение применять стандартные методы для решения уравнений потребуются Вам при решении задачи В2. При этом могут встретиться иррациональные, показательные, логарифмические или тригонометрические уравнения. Ключ к решению заданной системы заключается в том факте, что в правой части первого уравнения подкоренное выражение является полным квадратом и, следовательно, эта правая часть равна модулю линейной комбинации переменных | 2 у - 3 х | . Раскрывая модуль с плюсом и с минусом, мы каждый раз получаем систему двух линейных уравнений с двумя неизвестными. При этом надо учесть, что решения полученных систем нуждаются в дополнительной проверке, т.к. могут и не являться решением первоначальной системы. Отметим основные этапы этого решения. Заданная системы {бх-5у-39 = \2у-3х\, преобразуется к виду < ' ' При 2у - Зх > 0 мы [4х + у = 5. \9х-7у = 39, приходим к виду •< с решением х = 2, у = -3, которое [4х + у = 5 не удовлетворяет условию 2у - Зх > 0 . ГЗд:-3^ = 39, система запишется в виде < с F У [4х + у = 5 решением х = 3,6 , у = -9,4 , которое удовлетворяет условию 2у - Зх < 0 . Вычислив .сумму найденных переменных, приходим к ответу. Ответ. - 5,8. При 2 у - 3 х < 0

Уравнение (а-\)х2 + х + 5 = 0 имеет единственное решение. Найдите значение а (или сумму таких значений, если их несколько). В задании ВЗ необходимо использовать свойства функций при решении уравнений.

86

В данном случае обратим внимание на тот факт, что заданное уравнение имеет единственное решение при двух обстоятельствах. Во-первых, при а = 1 оно является линейным уравнением и имеет единственное решение. Во-вторых, при а Ф 1 заданное уравнение является квадратным. Следовательно, оно имеет единственное решение при дискриминанте D = 1 - 20(<я - 1 ) , равном 0. Проверьте, что это будет при а = 1,05. Ответ. 2,05

Часть 2

Вычислите 37 • log7 243 • log 3 49 -1,25 l g 9 • 8 l g 9 . Значение иррационального, степенного, тригонометрического или логарифмического выражения необходимо найти в задании В4. В данном случае проверяется умение выполнять более сложные, чем в A3, тождественные преобразования логарифмических выражений. Выполняя тождественные преобразования, мы используем, помимо основного логарифмического тождества, формулы: log a x k =k\ogaх и log a Ъ• logj,а = 1. Итак,

37 • log7 243 • log3 49 - l,25 l g 9 • 8 lg9 = 37 • log 7 3 5 • log3 7 2 -

-(1,25-8) l g 9 = 3 7 0 - 9 = 361. Ответ. 361

87

заданной на интервале ( - 6 ; 5). Исследуйте функцию у = f(x) и укажите число точек этой максимума функции.

-

j*..:

"

1

f Vi L / 1

— -/7

]f\ ° i \ l i i

1

Л\ , :

На рисунке изображен график производной функции

У

=/'<*)j _

_

1

i

Li

! I

* ! j

1

j

•

1

!

Умение исследовать функцию с помощью производной по графику производной проверяется в задании В5. Прежде всего, необходимо быть внимательным и обратить внимание на то, что задан график не функции, а ее производной. Существование производной гарантирует непрерывность функции. Известно, что если производная положительна, то функция возрастает, а, если производная отрицательна, то функция убывает. При этом ответ на вопрос о промежутке возрастания функции является более тонким. Ведь заранее ничего нельзя сказать о тех точках, где производная равна 0 или не существует. Что касается вопроса о точках максимума, то это те точки непрерывной функции, в которых возрастание функции меняется на убывание. Если при этом функция имеет производную, то при переходе через эту точку положительный знак производной меняется на отрицательный. Из рисунка видно, что такая точка только одна х = 1. Ответ. 1.

Найдите наименьшее целое значение функции у = х - х • \х - 8| на отрезке [0; 10]. При решении задачи В6 надо проявить умение находить наибольшее и наименьшее значения функции Как всегда, наметим план решения этой задачи. Теоретическая основа задачи заключается в том, что рассматриваемая функция непрерывна на отрезке и, следовательно, достигает на этом отрезке своего наибольшего и своего наименьшего значений. Наибольшее и наименьшее значения функции в этом случае достигаются либо на границе отрезка, либо в точке экстремума. В точке экстремума производная функции или не существует или равна 0. Итак, для решения задачи надо найти точки, среди которых обязательно есть все точки экстремума. Затем мы вычисляем значения заданной функции в этих и в граничных точках. После чего выбираем наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке из вычисленных значений. Функция у = х - х - \х - 8| не имеет производную при х = 8 , а на интервалах (0; 8) и (8; 10) имеет соответственно вид ух = х +х - $х и у2 - х -х + 8х . Вычислим их производные у\ = Ъх + 2х - 8 и у2 = Зх - 2х + 8 . Заметим, что у[ = 0 при х = - 2 4 4 и х = — и на интервале (0; 10) находится лишь точка х = — . Кроме того, квадратный трехчлен Зх2 - 2х + 8 имеет отрицательный дискриминант и у2 > 0 на интервале (8; 10). Итак, нам нужно вычислить следующие значения функции: у(0) = 0 , у(10) = 980 , Х8) = 512 и у(-)

= -6—

. Наименьшее

значение функции у = х3 - х • |х - 8| на отрезке [0; 10] равно - 6 — , а наименьшее целое значение равно - 6. Заметим, что мы могли бы более детально исследовать производную на разных участках и установить, что заданная функция убывает на промежутке "4 возрастает

на

промежутке

з'10

Отсюда

* !

следует,

что

4 наименьшее значение функции достигается в точке —. Ответ. - 6.

89

Найдите корень (или сумму корней,.если их несколько) уравнения Юх-129 = 1 62 log 4 х В задании В7 надо проявить умение решать комбинированные уравнения. Как правило, это означает, что задачу невозможно решить путем прямого преобразования и необходимо осмыслить ситуацию в целом. Впрочем, мы стремимся с Вами так поступать при решении каждой задачи. Логическая комбинация, которая приводит к выполнению задания В7, из года в год меняется. Были уравнения, когда в левой и правой частях уравнения одна функция возрастает, а другая убывает и при этом обе функции непрерывны. В этом случае уравнение имеет не более одного решения и, если мы это решение сможем «угадать», то задача будет решена. Бывали случаи, когда одна из частей уравнения больше или равна некоторого числа А, а другая - меньше или равна этого числа. В этом случае необходимо приравнять к А левую и правую части уравнения, решить из уравнений, которое проще, а второе уравнение проверить для найденных значений аргумента. Поэтому мы должны быть готовы к любой неожиданности и к самостоятельному принятию решения. 10*-129 1 При решении заданного уравнения = заметим, 62 log 4 х что правая часть не существует при аргументе х = 1 . Отсюда область определения распадается на две части (0; 1) и (1; + °о). В каждой из этих частей левая часть уравнения является функцией возрастающей, а правая часть - убывающей. Следовательно, корень уравнения может быть на каждой из этих частей. Несложно проверить, что искомыми корнями являются числа 0,5 и 16. Их сумму мы и вычисляем для получения ответа. Ответ. 16,5

90

Найдите значение функции / ( 2 2 ) , если известно, что функция у = /(х)

- нечетная, имеет период 12 и на отрезке [0; 6] функция

имеет вид у = 36х 4 - х2. Знание свойств периодичной, четной и нечетной функции потребуется при решении задачи В8. Наименьшее число Т > 0 (если такое существует) называется основным периодом функции f(x) , если во всей области определения f(x) выполнено условие f(x + T) = f(x). Функция называется четной, если ее область определения симметрична относительно начала координат и для всех значений аргумента из области определения выполнено соотношение Функция называется нечетной, если ее область определения симметрична относительно начала координат и для всех значений аргумента из области определения выполнено соотношение •Заметим, что в силу периодичности и нечетности / ( 2 2 ) = /(10) = / ( - 2 ) = - / ( 2 ) . Так как в точке 2 функция задана и / ( 2 ) = 3 6 - 1 6 - 4 = 572, то / ( 2 2 ) = - / ( 2 ) = - 5 7 2 . Ответ: - 5 7 2 .

На баржу было погружено 1215 тонн песка, влажность которого составляла 15%. Во время перевозки из пункта А в пункт В влажность песка повысилась на 4%. Найдите массу груза в тоннах, доставленного в пункт В. В задании В9 надо проявить умение решать текстовую задачу, составляя математическую модель предложенной в ней ситуации. При создании математической модели необходимо текст, описывающий изучаемую ситуацию, перевести в переменные, формулы, уравнения и неравенства. В данном случае неизменной при перевозке груза является сухая часть от перевозимого песка, которая составляет 85% от 1215 ~ 1215-85 тонн. Эта величина равна тоннам. Так как после 100 перевозки груза влажность стала составлять 19%, то та же самая сухая часть груза стала составлять 8 1 % от всей массы влажного 1215-85 81 песка. Тем самым новая масса груза равна : , что 100 100 составляет 1275 тонн. Ответ. 1275. 91

v

В101 Ш а Р ? поверхность которого равна 18, вписан в усеченный конусЧ Угол образующей конуса с большим основанием равен 45°. Найдите площадь боковой поверхности этого конуса. В задании В10 Вам потребуется проявить умение решать стереометрические задачи. Безусловно, здесь возможен большой спектр различных задач, что отражено и в данной книге. При решении задачи мы должны извлечь всю необходимую информацию из каждого факта, приведенного в условии задачи. В данном случае обратим внимание, во-первых, на тот факт, что в усеченный конус можно вписать шар радиуса R . При этом 4 я ^ 2 = 1 8 . Отсюда следует, что в осевое сечение конуса можно вписать окружность того же радиуса. А в четырехугольник можно вписать окружность, если в нем суммы длин противоположных сторон одинаковы. Осевое сечение конуса является равнобедренной трапецией, основания которой равны удвоенным радиусам оснований усеченного конуса 2R{ и 2R2 , а боковая сторона образующей конуса. Следовательно, сумма радиусов его оснований равна образующей конуса, т.е. Ri + R2 = L. Во-вторых, боковая сторона осевого сечения и одновременно образующая конуса (угол образующей конуса с большим основанием равен 45°) равны 2 i w 2 . Итак, искомая площадь равна K(R1+R2)L

= KL2 =SnR2 =2-^nR2)

= 2ЛЪ = 36. Ответ: 36.

| * В П I Даны точки А(2; 1), В(4; 5) и С(9; 5). Точка D выбрана таким I I образом, что ABCD - равнобедренная трапеция. Найдите наименьшее из возможных значений суммы координат точки D. Умение решать планиметрические задачи потребуется при решении задачи В11. Трапецией называется четырехугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие - не параллельны. Изобразим точки А, В, С на плоскости. Точка D может быть выбрана таким образом, что AD параллельна ВС, а АВ ~ CD. В этом случае, очевидно, точка D имеет координаты D(l 1; 1) и сумма координат равна 12.

92

Искомым окажется выбор точки D таким образом, что CD параллельна АВ, а ВС = AD. В этом случае D имеет координаты D(x;y) и для нахождения х, у мы приходим к системе уравнений [ ( * - 2 ) 2 + 0 . - 1 ) 2 = 52, \ х-9 v-5 Решением этой системы являются две точки 12~~~ 4 (х;у). Для первой точки D(7; 1) четырехугольник ABCD"является параллелограммом и не удовлетворяет условию задачи. Для второй точки D(5; - 3) четырехугольник ABCD является равнобедренной трапецией. Сумма координат этой точки равна 2. Ответ: 2.

Для записи ответов на задания С1 и С2 используйте бланк ответов № 2. Запишите сначала номер выполняемого задания, а затем решение. Найдите корень (или произведение корней, если их несколько) уравнения х(х + 2)(х - 2)(х - 4) = - 7 В задании С1 надо проявить умение использовать несколько приемов при решении уравнений. Мы с Вами помним, что решением уравнения является вещественное число, которое при подстановке обращает уравнение в верное равенство. Заметим, что заранее мы не знаем, сколько вещественных, различных корней имеет данное уравнение. В школе мы научились решать уравнения линейные, квадратные и сводящиеся к ним. Для сведения данного уравнения к квадратному уравнению сделаем симметричными его корни Для этого воспользуемся заменой х -1 = / , после чего наше уравнение запишется в виде (/ + 1)(/ + 3 ) ( / - 1 ) ( / - 3 ) = - 7

(/2 -1)(/ 2 - 9 ) = - 7 .

или 4

Полученное

2

биквадратное уравнение / - 1 0 / + 16 = 0 имеет относительно 7 2 корни 2 и 8. В итоге мы находим / 1 2 = ± v 2 . и t34=±4$

•

Возвращаясь к старой переменной, вычисляем нужные нам корни Их произведение равно 7. Ответ. 7

93

Найдите целое решение (или сумму целых решений, если их несколько) неравенства 3-yl(x-4)2 +,J0,25-\oglx2-2-\og^x + 3<\2-3x. В задании С2 будет проверено Ваше умение решать неравенства с одной переменной. Быстрее всего ситуация сложится таким образом, что главным для Вас будет понять, в чем смысл этого неравенства, как, логически верно рассуждая, упростить ситуацию. В данном случае ключом к решению задачи является связь между первым слагаемым в левой части и правой частью неравенства. Заметим, 3-у(х-4) 2 = 3 - | J C - 4 | , и эта величина либо равна правой части неравенства либо противоположна ей по знаку. В первом случае неравенство приводится в виду J0,25-log2* 2 -2-log/rx + 3 <0 , что возможно только в том случае, когда подкоренное выражение равно 0. Тем самым мы приходим к уравнению log 2 x-41og 2 Jc + 3 = 0 . Его корни 2 и 8, причем нужному условию 3• у](х- 4)2 = 12-Зх удовлетворяет лишь х = 2. Легко проверить, что во втором случае правая часть заданного неравенства отрицательна, и неравенство решений не имеет. Ответ. 2

94

ЧАСТЬ 3 Для записи ответов на задания СЗ-С5 используйте бланк ответов № 2. Запишите сначала номер выполняемого задания, а затем обоснованное решение. В прямом круговом конусе сумма площади основания и осевого сечения равна Ъл. Найдите сумму всех целых значений, которые может принимать объем этого конуса. В задании СЗ будет предложено решить текстовую задачу на нахождение наибольшего (наименьшего) значения величины с помощью производной. Общая идея решения подобных задач следующая. Необходимо найти наибольшее, наименьшее или множество значений некоторой величины. Изучаемая величина зависит от некоторых других величин, которые определенным образом связаны между собой. В итоге мы получаем зависимость исследуемой величины от одной переменной, меняющейся в определенных пределах. Исследуя эту функцию с помощью производной, мы получаем нужный ответ. В данном случае объем конуса, значения которого надо найти, 1 2 находится по известной формуле У = — -лг h , где г - радиус основания конуса, h - его высота. Как мы видим, искомая функция V зависит от двух величин: г и h, зависимость между которыми • мы найдем, используя тот факт, что сумма площади основания и осевого сечения равна Ъл . Итак, лг1 + гк = 3л , и из этого соотношения удобнее исключить h с помощью формулы h=

Подставляя это соотношение в формулу для объема, г _. 1 2 Ъп-пг ' л I з\ имеем к = — -лг или V [Ъг-г . 3 г 3 ^ 1 Итак, мы получили формулу, которая выражает искомую величину V через переменную величину г . Небольшое исследование показывает, какие значения может принимать эта 2

переменная. Собственно, и из требования Vследует, что

95

\br-r

)>0

В итоге задача полностью конкретизировалась. Надо найти 2

(3r-r3J

сумму целых значений, которые принимает величина при 0 < г < >/з .Заметим, что при г = 0 и при величина равна 0. dV Рассмотрим производную = я"2-(1-г2)

исследуемая ,

которая

положительна при 0 < г < 1 и отрицательна при 1 < г < v 3 . Следовательно, значения объема возрастают на промежутке (0; 1] и убывают на промежутке

1; V3) . При г = 1 объем принимает

наибольшее значение и равен заполняют промежуток

. В целом значения объема

\±

Для получения окончательного ответа нам надо выяснить, между какими целыми числами лежит число

. Для его оценки

заметим, что 3,1
В кубе ABCDAiBiCiDi площадь круга, описанного вокруг каждой грани, равна 288. На ребрах АВ, AD, СС\ заданы соответственно точки М, N, L, причем AM : MB = 1 : 3, AN : ND = 1 : 3, CL : LCj = 7: 9. В куб вписан шар. Определите площадь круга сечение шара плоскостью, проходящей через точки М, N, L. В задании С4 проверяется умение решать стереометрическую задачу на комбинацию геометрических тел. Пусть сторона куба равна а, тогда радиус шара, вписанного в куб, равен гх = —. Площадь круга, описанного вокруг каждой грани,

равна

а я<*2 >>о
96

Если р - расстояние от центра куба О до секущей плоскости, то радиус круга - сечение шара плоскостью г2 определяется по теореме

Пифагора

величина

лг2

и,

r2 = yjrf - р2

формулой

следовательно,

для

. Ответом

решения

задачи

будет нам

необходимо вычислить величину р. Главные события развернутся в прямоугольнике А А ^ С .

а4г

А,

cY

a4l P Пусть точка Р - середина отрезка MN, тогда Р - точка на АС и АР =

Величина р равна длине перпендикуляра, опущенного о

из центра прямоугольника и куба О на отрезок PL. Отметим основные этапы дальнейшего решения задачи. Тангенс угла ОРС равен

> тангенс угла LPC равен

3 '

-"--'"

2S'

следовательно, тангенс разности этих углов, тангенс угла LPO 5 5 Длина отрезка равен соответственно его синус равен Зл/П 8>/2' »ГЛ

а

РО равна площадь 7гг2

5 а

^

^ 32

, отсюда р = 12л/2 ла 2

Далее, г2 =

1 •94 = 94. Ответ. 94. 288

97

94az и искомая 576

Пусть х{ и х2 - действительные, различные корни уравнения х -(2а-4)х

+ 2 - я = О . Рассмотрим множество А тех значений

параметра а, для которых выполнено условие: х\ + х\<2.

Найдите

число целых значений, которые при этих условиях (т.е. при значениях параметра ае А) принимает величина х{ + х2 . Умение решать задачи с параметром проверяется в задаче С5. План решения задачи будет таким. Вначале мы найдем те значения параметра а , для которых выполнены условие х2 + х\ < 2 . А затем найдем значения величины хх + х2 при этих значениях параметра а. В силу условий задачи дискриминант квадратного трехчлена положителен. Соответствующее неравенство приводится к виду а - Зя + 2 > 0 и дает первое условие

того что ае А. \_а>2 Заметим, что теперь можно применить теорему Виета и, следовательно, х1 + х2 = 2а - 4, хх • х2 = 2 - а. Отсюда хх + х2 = (Xj + х2 ) - 2хх х2=4а -\4а + \2 и условие X! + х2 <2 приводит ко второму условию 1 < а < 2,5 . Итак, множество А составляет промежуток (2; 2,5]. Так как х{4 + х2 = (хх + х\ V - 2x^X2 , то нам необходимо найти значения величины хх + х2 = \4а2 -\4а +12) - 2 ( а - 2 ) 2 = f(a)

при

2<а<2,5. Заметим,

что

(2а - З)2 - 2(а - 2)2 ,

f(a) = 4(a-2)

/ ( 2 ) = 0 и / ( 2 , 5 ) = 3,5; Исследуем поведение функции f(a) вычислим ее производную f(d)

при 2 < а < 2,5. Для этого

= И ( я - 2) ( 2 я - 3 ) 2 - 2 ( а - 2 ) 2 I =

= S(a-2)(2a-3)2+\6(a-2)2(2a-3)-4(a-2) 2

= 4(а-2)(2(2а-3)

-\) +

причем

=

2

\6(a-2) (2a-3).

Заметим, что f'(a)>0 при 2 < я < 2 , 5 , т.к. в последнем выражении для производной каждое слагаемое на этом промежутке положительно.

98

Итак, f(a) монотонно возрастает на участке 2<а<2,5 и, следовательно принимает значения 0
99

Правильные ответы к вариантам по математике Часть А |вар. 1 2 3 4 5 6 7 8 9

1 10

А1 2 4 2 4 3 4 4 2 3 1

А2 2 4 3 1 2 2 2 1 4 2

A3 3 1 2 2 4 3 3 4 2 2

Номера заданий А4 А5 А6 А7 2 1 3 3 2 2 1 3 2 2 2 3 2 2 3 1 1 2 3 2 4 2 3 3 1 3 3 2 4 1 1 3 2 2 3 3 2 . 3 1 2

А8 3 3 1 2 3 1 2 1 2 3

А9 3 4

з1 1 4 3 2 1 3

А10 3 4 2 4 2 4 1 4 4

31

Часть В 1№ [вар.

В1 £ 81 16 -87 1 8 24 3 6 1,5

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

1№ |вар. 1 2 3 4 5 6 7 8 9

1 10

Номера заданий В4 2 13 4 -2 -4,8 10 0,6 -1000 160 -1 5 -29 243 0,28 -24 -18 28,5 5,1 361 2,05

вз

В2 -2 3 6 4 -7,25 243 3 -2,8 -2 -5,8

В7 -10 9 3 3 -3 12 1 5 2 16,5

В8 -24 24 4 8 2 48 -576 7 3 -572

Номера заданий В10 В9 2 11 47 2352 . 2 85 0,64 4680 7,5 4 15 91 1 9 33,6 400 168 137,5 1275 36

100

В5 3 -3 2 5 3 1 -1 -5 -1 1

В6 5 0,7 20 0 20 3 -528 -4 -3

-6 В11 2,5 6 576 4 18 28 16

9 12,8

2

J

1

Часть С 1 № 1 вар. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 _

Номера заданий

С1 12 9 -36 3519

126 147 -36 3 9 7

С2 36 4 45 -1 -5 6 120 -7 47 2

СЗ 4 31 70 5

С4 6 60 1,2 200

6441

37,8

40 9

6 54 192 2 94

2214

9 21

101

С5 -30 84 8 375 405 366 39 -80 15

_з__ J

ОБЩИЕ КРИТЕРИИ ОЦЕНКИ ВЫПОЛНЕНИЯ ЗАДАНИЙ С РАЗВЕРНУТЫМ ОТВЕТОМ Решения заданий С1 — С5 Части 3 (с развернутым ответом) оцениваются экспертной комиссией. На основе критериев, представленных в приведенной ниже таблице, за выполнение каждого задания в зависимости от полноты и правильности данного учащимся ответа выставляется от 0 до 2 баллов в задачах С1, С2 и от 0 до 4 баллов в задачах СЗ,С4,С5. Баллы 2 1

0

Общие критерии оценки выполнения математических заданий с развернутым ответом в задачах CI, C2 Получен правильный ответ, и этот ответ полностью обоснован. Приведена верная последовательность основных шагов решения. Допустимы 1 описка и/или негрубая вычислительная ошибка. В результате описки или ошибки возможен неверный ответ. Все случаи решения, которые не соответствуют вышеуказанным критериям выставления оценок в 1, 2 балла.

Отметим, что приведенная шкала оценок в 0, 1, 2 балла не является равномерной. Решение, оцениваемое «1 балл», существенно ближе к идеальному решению: оно отличается от него лишь наличием неточностей или негрубой ошибкой.

Баллы 4 3

2

Общие критерии оценки выполнения математических заданий с развернутым ответом в задачах СЗ, С4, С5 Получен правильный ответ, и этот ответ полностью обоснован. Приведена верная последовательность всех шагов решения. Обоснованы все ключевые моменты решения. Необходимые для решения чертежи, рисунки выполнены безошибочно. Допустима негрубая вычислительная ошибка, не влияющие на правильность хода решения. В результате ошибки возможен неверный ответ. Приведена в целом верная, но, возможно, неполная последовательность шагов решения и/или обоснована часть ключевых моментов решения. При этом допустимы негрубые ошибки в чертежах и рисунках, приведенных в решении, одна-две негрубые ошибки в вычислениях или преобразованиях, не влияющие на правильность дальнейшего хода решения. В результате этих ошибок возможен неверный ответ. |

102

Общая идея, способ решения верные, но не выполнены некоторые промежуточные этапы решения или решение не завершено. Большинство ключевых моментов неверно обосновано При этом допустимы негрубые ошибки в чертежах, рисунках, приведенных в решении, негрубые ошибки в вычислениях или преобразованиях. В результате этих ошибок может быть получен неверный ответ. Все случаи решения, которые не соответствуют вышеуказанным критериям выставления оценок в 1, 2, 3, 4 балла. Отметим, что приведенная шкала оценок в 0, 1, 2, 3, 4 балла не является равномерной. Решение, оцениваемое 3 баллами, существенно ближе к идеальному решению: оно отличается от него лишь наличием неточностей. В свою очередь, оценка «2 балла» ближе к оценке «3 балла», нежели к оценке «1 балл».

103

Выполнение заданий различного типа при проведении ЕГЭ (июнь 2006 г.) Тип зад. Л1 А2 A3 А4 А5 Л6 А7 Л8 Л9 Л10 ЛИ Л12 А13 Л14 Л15 Л16 Л17 Л18 Л19 А20 Л21 А22 А23 А24 Л25 Л26 А27 Л28 А29 ЛЗО Л31 Л32 ! АЗЗ Л34 Л35

Русский Матема­ Физика Химия язык тика 0,74 0,60 0,69 0,87 0,74 0,62 0,65 0,77 0,84 0,72 0,65 0,55 0,61 0,74 0,76 0,70 0,74 0,64 0,67 0,47 0,69 0,61 0,59 0,73 0,62 0,81 0,49 0,73 0,64 0,80 0,77 0,62 0,60 0,62 0,52 0,65 0,56 0,55 0,58 0,58 0,54 0,61 0,50 0,56 0,75 0,53 0,60 0,58 0,79 0,66 0,47 0,63 0,61 0,77 0,67 0,66 0,63 0,68 0,59 0,75 0,57 0,79 0,57 0,58 0,72 0,47 0,71 0,60 0,52 0,63 0,62 0,55 0,71 0,66 0,75 0,56 0,59 0,73 0,65 0,70 0,66 0,58 0,67 0,72 0,40 0,42 0,62 0,75 0,57 0,49 0,61 0,40 0,55 0,61 0,35 0,52 0,77 0,32 0,56 0,73 0,62

1 A3 6 | Итого

21,30

7,11

15,89

19,39

средний первичный балл Биоло­ Исто­ Teoipa- Англ. гия фия рия язык 0,71 0,65 0,71 0,72 0,51 0,75 0,60 0,67 0,66 0,61 0,67 0,57 0,61 0,60 0,68 0,71 0,60 0,63 0,71 0,63 0,60 0,60 0,65 0,60 0,69 0,60 0,63 0,67 0,54 0,56 0,59 0,59 0,64 0,62 0,55 0,69 0,64 0,46 0,60 0,68 0,62 0,60 0,61 0,60 0,65 0,56 0 , 6 3 ^ 0,65 0,62 0,64 0,62 0,42 0,52 0,57 0,62 0,56 0,59 0,60 0,52 0,59 0,62 0,66 0,53 0,70 0,61 0,50 0,61 0,65 0,49 0,52 0,54 0,68 0,47 .0,74 0,52 0,58 0,64 0,51 0,59 0,50 0,63 0,61 0,49 0,57 0,36 0,65 0,63 0,63 0,37 0,61 0,63 0,50 0,64 0,41 0,56 0,61 0,65 0,33 0,56 0,57 0,45 0,73 0,66 0,49 0,31 0,45 0,68 0,55 0,64 0,56 0,47 0,63 0,62 0,49 0,55 0,56 0,45 0,63 0,56 0,63 0,58 0,50 0,57 0,46 0,60 0,44 0,49 0,53 14,44 21,58 20,32 18,64

104

Нем. язык 0,64 0,71 0,75 0,76 0,78 0,65 0,86 0,80 0,72 0,66 0,80 0,77 0,84 0,18 0,68 0,89 0,65 0,82 0,78 0,71 0,63 0,44 0,44 0,52 0,49 0,49 0,44 0,41

18,32

| Франц. Общество- Литера­ язык тура J знание 0,83 0,69 0,74 0,76 0,65 0,65 0,72 0,76 0,68 0,36 0,64 0,70 0,81 0,63 0,62 0,35 0,65 0,62 0,52 0,70 0,83 0,90 0,67 0,70 0,79 0,65 0,61 0,75 0,55 0,75 0,74 0,49 0,62 0,54 0,77 0,61 0,31 0,68 0,68 0,84 0,69 0,70 0,84 0.51 0,58 0,89 0,68 0,84 0,71 0,85 0,73 0,78 0,77 0,81 0,53 0,85 0,60 0,64 0,74 0,48 0,67 0,62 0,60 0,54 0,75 0,47 0,71 0,64 0,80 0,53 0,69 0,67 0,48

19,20

19,71

10,05 1

средний первичный балл Биоло­ Исто­ Teoi ра­ Лнгл. Русский Матема­ Физика Химия рия язык тика гия фия язык 0,37 1,14 1,11 0,54 4,39 . 0,63 0,44 0,33 В1 0,24 1,01 • 0,50 1,19 5,80 0,29 0,47 В2 1,16 0.67 0,24 1,02 1,16 0,44 0,55 4,08 0,77 ВЗ 0,36 0,62 0,89 0,93 0,44 В4 0,28 0,40 0,37 0,55 0,27 0,91 0,67 0,42 В5 0,37 0,39 0,98 1,11 0,54 0,34 0,19 0,39 В6 0,40 0,70 0,68 1,04 0,52 0,18 0,56 В7 1,10 0,35 0,90 1,00 0,81 0,55 0,59 0,30 В8 0,14 0,47 0,49 0,30 0,67 В9 0,26 0,11 0,42 0,40 0,50 В10 В11 0,09 0,41 0,51 0,30 0,70 В12 0,49 BI3 В14 0,69 0,47 В15 0,60 вГб 8,74 7,80 3,41 3,36 5,67 21,25 6,31 [ Итого 1,10 1,32 С1 0.86 0,47 0,66 0,57 0,89 0,42 2,31 0,32 0,87 0,92 0,92 С2 0,37 0,78 2,22 1,10 0,74 1,80 СЗ 0,78 0,08 0,52 0,93 0,55 1,87 С4 0,02 0,70 1,29 0,39 1,10 1,00 0,60 1,95 С5 0,10 0,75 1,45 0,37 0,97 0,97 0,36 1,91 0,89 0,86 L_P,55 1,64 С6 1,05 0,17 С7 0,80 0,47 1,29 1,38 С8 0,45 0,60 С9 1,18 | С10 1,15 | Итого 10,27 0,99 2,49 6,06 4,57 4,56 13,29 6,48 Тип зад.

105

Нем. язык 4,55 6,26 3,28 0,63 0,62 0,56 0,68 0,67 0,73 0,64 0,32 0,62 0,50 0,45 0,45 0,34 21,31 2,31 2,28 1,54 1,52 1,58 1,31 1,13

11,67

| Франц. Общество- Литера­ тура язык знание 5,03 0,49 1 0,49 0,56 5,19 0,67 3,66 1,27 0,65 0,61 0,95 о,4а 0,59 0,73 1,37 0,61 0,65 0,98 0,60 0,67 0,68 0,60 0,57 0,59 0,58 Л 0,69 0,58 0,61 0,64 0,54 0,63 0,63 0,61 0,39 21,90 6,88 .5,73 1,24 2,53 0,70 1,24 2,48 1.02 1,09 1,93 1,27 2,06 1,49 1,08 0,84 1,99 1,25 1,67 1,12 0,88 1,04 1,39 1,05 1,11 1,40

14,05

9,28

8,53 1

Математика Единый государственный экзамен в 2006 г. 623364 участников в 72 регионах

Максимальный первичный балл по предмету - 37 1

—

Соответствие первичных и тестовых баллов.

11

1111! I

| МI! 111! 11! 11111 i 111 111 11 М II

I'M и 11 i i 111 i i i 11 М I ? г I ММ I t I И I м I• 1 1 I I I ! 11111 i 1111111 И 11!11It11T11 И I! I 11 М М М I t И 11 M i M 11 M M I! i • I M M I M ! i

I

1 1

Цм I

I I I i I I I I j I | I I ( I I | j I I I I | j j I I j I | I j I j ATI [ I I I j j I I I I I M II M I I I M M I M M I M M M I II I M • I I I M II M M I I III t1

1;

Первичн ый балл

I I

-•

1

•

I

M MNII MNI iI l

1 t 1i Tl 1 N МММ

ИМ '

II M II M M M M 11 M M111 M II 1 i M II 1 M 1 M M 1 M i 1 II l l 1 M 1 M i I 1 1 11 1 M 11 M M II M M II M M II M II1 I M111M M IMM M1 M 11 M 1 м

I 11 111 III t

>

—#——

!

II M1IIT M M M M

I

I1 1 1

И м и ! ! 1 ? 1 1 |и 1 М 1 1 j|1 1 ! 1 И| и 1 1 1•

"1 1 I N 1 0Н

|

10•

1• И 20 !

ill fl'it N 1 М И 30

; 1 | 40

1i l l

1 M 1 M M 1 II M i MM 1

I I M 11

M II M M

j M

1 MM

lilill

ГГЩТТТ] II l-l-l 1 1 1 j 1 1 II l l l l l-l 1! I l l M 1 1 1 1 1 1 1 1 1 i 1Ml j1 M 1 Illll 1 1 i 50

60

70

80

90

Тестовый балл

по данным ИВЦ ФЦТ

100

Таблица соответствия тестовых баллов по результатам ЕГЭ отметкам по 5-ти балльной шкале в 2006 г.

1

Предмет

11. Русский язык 12. Алгебра (на основе первичных 1 баллов за задания по алгебре) 12. Математика I 3. Физика I 4. Химия I 5. Информатика I 6. Биология I 7. История России I 8. География I 9. Английский язык 110. Немецкий язык 111. Французский язык 112. Обществознание 18. Литература

Пятибалльная шкала "2" | "3" | "4" | "5" Средний I Интервал тестовых баллов/процент балл учащихся, набравших соответствующий | тестовый балл 0-30 31-49 50-66 67-100 50 7,9% 42,6% 37,2% 12,3% 0-5 6-11 12-18 19-30 11 34,2% 20,0% 34,0% 11,8% 0-37 38-53 54-71 72-100 49 39,5% 33,6% 7,1% 19,8% 0-34 52-69 35-51 70-100 50 16,0% 41,5% 11,5% 31,1% 0-30 31-49 50-66 67-100 49 36,5% 30,4% 15,1% 17,9% 0-25 26-46 47-68 69-100 51 32,1% 8,6% 39,2% 20,1% 0-31 32-49 50-66 67-100 49 I 8,0% 46,6% 33,5% 11,9% 0-32 33-49 50-65 66-100 49 I 31,4% 13,0% 40,5% 15,0% 0-35 36-51 52-67 68-100 50 I 40,7% 32,2% 15,9% 11,2% 0-30 31-58 59-83 84-100 ! 63 I 9,8% 26,1% 48,1% 16,0% 0-30 31-58 59-83 84-100 65 1 36,4% 6,3% 30,9% 26,4% 0-30 31-58 59-83 84-100 71 I 2,0% 19,0% 29,2% 49,8% 0-33 34-47 48-60 61-100 50 I 8,0% 33,3% 37,9% 20,8% 0-36 37-51 52-66 67-100 50 I 18,0% 38,6% 32,0% 11,5% I

107

Подписано в печать 07.11.06. Формат 60x84 '/16. Тираж 30 000. Печать офсетная. Заказ № 4625009. Отпечатано в типографии Полиграфический Дом «Коммерсант» 109193, г. Москва, ул. Южнопортовая, д. 13