Физика. Часть 3. Раздел 2. Элементы квантовой и атомной физики: Письменные лекции

Министерство образования Российской Федерации Северо-Западный государственный заочный технический униерситет

В.М.Цаплев, И.Г. Орехова, Е.А. Лиходаева

КУРС ФИЗИКИ ЧАСТЬ 4 Элементы квантовой и атомной физики. Утверждено редакционно-издательским советом университета в качестве письменных лекций

Санкт-Петербург 2003

УДК 53(07) Физика. Часть 3. Раздел 2. Элементы квантовой и атомной физики. Письменные лекции. - СПб.: СЗТУ, 2003, - 150 с., 52 ил. Данное пособие содержит теоретический материал по части 4 курса физики:. Элементы квантовой и атомной физики. Материал изложен в соответствии с программой по физике для инженерно-технических специальностей высших учебных заведений.

Рецензенты: кафедра физики СЗПИ ( и.о.зав.каф. физики В.А.Подхалюзин, канд. техн. наук, доцент.); Доцент кафедры физики Санкт-Петербургского горного института А.П.Корольков, канд. физ.-мат. наук, доцент. Авторы: В.М.Цаплев, канд. физ.-мат. наук, доц., И.Г. Орехова, канд. техн. наук, доцент, Е.А. Лиходаева, канд. техн. наук, доцент

© В.М.Цаплев, И.Г. Орехова, Е.А. Лиходаева. 2003 Министерство общего и профессионального образования Российской Федерации Северо-Западный государственный заочный технический университет

1. ЗАКОНЫ ТЕПЛОВОГО ИЗЛУЧЕНИЯ 1.1. Тепловое равновесное излучение Природа теплового излучения Из курса молекулярной физики известно, что в системе, состоящей из большого числа атомов или молекул средняя энергия их хаотического движения, приходящаяся на одну частицу, равна:

i 2

ε = kT ,

(1.1)

где: i - число степеней свободы частицы; k - постоянная Больцмана; T - абсолютная температура. Если две подсистемы частиц, имеющих различные температуры, находятся в соприкосновении (т.е. объединяются в одну систему), то они начинают обмениваться энергий. В результате температура обеих систем выравнивается. Самый простой пример такого процесса - смешивание воды в ванной, либо добавление кипятка в остывшую воду, либо наоборот - добавление холодной воды в горячую. Смешивая холодную и горячую воду, мы приводим нашу систему к той равновесной температуре, которая нам нужна. Направленность процесса обмена энергией при взаимодействия термодинамически неравновесных подсистем определяется вторым законом (или вторым началом) термодинамики. Согласно этому закону, наиболее вероятно (а следовательно, и реально осуществляется) такое состояние всей системы, когда в любом месте энергия частиц (и температура) становится одинаковой. Рассмотрим две взаимодействующие подсистемы. Одна из них представляет собой замкнутую вакуумированную оболочку. Температура стенки этой подсистемы равна Т1. Вторая подсистема представляет собой тело, имеющее температуру Т2. Это тело в какой-то момент времени помещается внутрь оболочки. Если температуры подсистем различны (т.е. Т1 ≠ Т2), то согласно второму закону термодинамики между телом и

3

оболочкой должен начаться обмен энергий. В итоге температуры выравниваются. Это подтверждается на опыте. Но каким же образом происходит обмен энергией между оболочкой и телом в этом случае? Прямой контакт отсутствует, а воздуха нет. Здесь переносчиком энергии является тепловое излучение этих тел. Тепловым излучением называется испускание электромагнитных волн за счет внутренней энергии тел. Главный вывод из изложенного: Тепловое излучение - это излучение электромагнитных волн любым телом, температура которого превышает 0оК (т.е. тепловую энергию излучает не только солнце, электрическая лампочка накаливания, но и утюг, стол, стул, человек, животные, листья и т.д. - все окружающие нас тела, т.к. их температура больше 0оК). Из (1.1) ясно, что тепловое излучение происходит при всех значениях температуры тела отличных от нуля, а интенсивность теплового излучения быстро возрастает с увеличением температуры. Одновременно с излучением электромагнитной энергии каждое тело поглощает (полностью или частично) тепловое излучение окружающих тел. Эти два одновременно происходящих процесса обуславливают важнейшее отличие теплового излучение от других видов излучения - тепловое излучение - это равновесное излучение, т.е. излучающие тела находятся в тепловом равновесии друг с другом. Это означает, что при установившейся температуре данное тело излучает столько энергии в каждом интервале частот электромагнитных волн, сколько поглощает. Температура тела отражает это динамическое равновесие между процессами излучения и поглощения теплового излучения. Все остальные виды излучения, кроме теплового, происходят путем обмена другими видами энергии. Все эти виды излучения имеют общее название "люминесценция" и не являются равновесными. К равновесным состояниям и процессам применимы законы термодинамики. Следовательно, тепловое излучение должно было бы полностью описываться законами термодинамики и классической электродинамики. Однако, как мы увидим ниже, и термодинамика и классическая электродинамика, правильно описывая многие свойства теплового излучения, не смогли объяснить его важнейшие фундаментальные закономерности.

4

Характеристики теплового излучения Тепловое излучение, как и электромагнитное излучение, можно характеризовать величиной потока энергии, измеряемого в Ваттах (Вт). Удобно отнести этот поток к единице поверхности излучающего тела и считать, что излучение происходит по всем направлениям (т.е. в пределах телесного угла 2π стерадиан). Такая характеристика называется энергетической светимостью тела (R), измеряется она в [Вт/м2] и является функцией температуры (RT). Тепловое излучение имеет разные длины волн ( ) или круговые частоты ( ). Связь между и , как известно из теории электромагнетизма, дается выражением:

λ = 2πс ω

(1.2)

где с - скорость света. При этом 0 ≤ λ ≤ ∞ и введенная выше величина R имеет смысл полной энергетической светимости: λ =∞

RT =

∫R

λ ,T

dλ

(1.3)

λ =0

где функция R T - cпектральная плотность энергетической светимости, т.е. доля энергетической светимости, приходящаяся на бесконечно малый интервал d ([R T]=Вт/м2) и называется лучеиспускательной способностью тела. Из (1.2) следует соотношение: 2πc

λ2 dλ = − 2 dω = − dω ω 2πc Зачастую при проведении вычислений удобно использовать не R С учетом (1.4), принимая: Rω ,T

получим:

λ2 =− R λ ,T , 2πc

(1.4) ,T,

аR

,T.

(1.5)

5 ∞

∫

RT = Rω ,T .

(1.6)

0

1.2. Закон Кирхгофа Поглощательная способность тела



Пусть на единицу поверхности тела падает поток излучения с одинаковой частотой (Ф ) и часть его (Ф' ) поглощается телом. Безразмерная величина, показывающая долю поглощенной телом энергии, называется спектральной поглощательной способностью тела или коэффициентом поглощения: α ω ,T =

Ф' ω . Фω

7

Если тело поглощает все падающее на него излучение, то T=1. Такое тело называется абсолютно черным телом (АЧТ). Если для некоторого тела T <1 , то такое тело называется серым. Закон Кирхгофа

Закон Кирхгофа устанавливает связь между испускательной способностью тел. Поскольку тепловое излучение и поглощение обусловлено тепловыми колебаниями электрических зарядов в веществе, то для равновесного излучения закон Кирхгофа может быть сформулирован на основе второго закона термодинамики, т.е. по существу на основе закона сохранения тепловой энергии. Возьмем, как и ранее, две подсистемы - вакуумированую оболочку с внутренней стенкой, представляющую собой АЧТ, температура которого равна Т1, и поместим внутрь этой оболочки серое тело с температурой Т2 (рис.1-1). Если вначале Т1 ≠ Т2, то через некоторое время в результате теплообмена температуры уравняются: Т1=Т2. В этом состоянии испускаемая каждым телом энергия равна поглощаемой этим телом энергии, при этом энергия не выходит за пределы оболочки.

6

Рис.1-1 В противном случае одно из тел начало бы нагреваться, а другое самопроизвольно остывать, т.е. энтропия системы, состоящей из этих двух тел, уменьшалась бы самопроизвольно. Но, согласно второму закону термодинамики, это невозможно. Равенство испускаемой и поглощаемой каждым телом энергии приводит к заключению: R 



R 

.

(1.8) Но RT1=RАЧТ=1. Тогда: RT2

T2=RАЧТ

(1.9)

Соотношение (1.9) для полных испускательной и поглощательной способностей тел полностью подтвердилось на опыте. Нас, однако, будет интересовать отношение испускательной и поглощательной способности тела для каждой частоты излучения из всего бесконечного набора частот. Легко заметить, что энергию несет не только полный поток излучения со всеми частотами от 0 до ∞ , но и каждая его часть с данной частотой. Поэтому, рассуждая твак же, как и при выводе (1.8) и (1.9), получим закон Кирхгофа:

7

R T/

,T=RАЧТ(

,Т)=R*

,T,

(1.10)

где R* ,T - спектральная плотность излучательной способности АЧТ. Формулировка закона Кирхгофа: Отношение испускательной способности к поглощательной способности ( ,T) для любого тела при данной температуре Т и одной и той же частоте излучения ( ) постоянно, не зависит от природы тела и равно испускательной способности абсолютно черного тела при этих же значениях и Т. Из закона Кирхгофа можно получить два следствия: 1) Тело, хорошо поглощающее излучение, хорошо и испускает его. 2) АЧТ является наиболее интенсивным излучателем для всех длин волн (т.к. T для АЧТ  ≡ 1). Устройство АЧТ

Наиболее простое устройство АЧТ предложено В.А.Михельсоном в конце XIX века. Для создания АЧТ была взята шаровая полость с малым отверстием (рис. 1-2). Внутренняя поверхность полости обычно покрыта черным матовым веществом (сажей), однако при этом не удается достигнуть величины ,T ≡ 1. Но само отверстие в такой полости будет представлять собой АЧТ. Действительно, свет или другое излучение, попавшее через отверстие внутрь полости, после многократных отражений от стенок полностью поглотится, не выходя обратно через отверстие, т.е. для отверстия ,T ≡ 1.

Рис. 1-2 Для того, чтобы такое АЧТ стало источником теплового излучения, стенки полости нагревают до некоторых стандартных значений температуры (300 К, 500 К, 1200 К).

8

Если излучение АЧТ разложить в спектр с помощью дифракционной решетки или призмы и измерить интенсивность излучения при разных , то можно опытным путем получить R T=f( ).

Рис. 1-3 Если же измерить эту зависимость при различных температурах стенок, то получим зависимость R* ,T=f( ,T). Либо, с учетом (1.5) получим R T=f( ,T). Вид функции R T=f T) показан схематически на рис.1-3 для двух значений температуры: Т1 ≅ 4000ºС и Т2 ≅ 6000ºС. 1.3 Классические законы равновесного теплового излучения Объемная плотность энергии равновесного излучения

Далее мы будем интересоваться видом функции R T. Для вычислений удобно иметь дело не с этой функцией непосредственно, а с объемной плотностью энергии равновесного излучения в полости АЧТ, приходящейся на малый интервал частот d (U T).

9

Для АЧТ функция U T будет зависеть только от температуры и не будет зависеть от свойств границ полости. Связь между функцией R T и функцией U T дается выражением c ∗ Rω ,T = ω ,Т . 4

(1.11)

где с - скорость света в вакууме. Таким образом, вычислив U T, мы получим из (1.11) R* ,T, а, интегрируя последнюю функцию по всем частотам, можем рассчитать полный поток энергии, излучаемой АЧТ. Закон Стефана-Больцмана

Закон Стефана-Больцмана позволяет рассчитать полный поток энергии, излучаемой единицей поверхности АЧТ, по заданной температуре стенок полости. Этот закон был установлен вначале экспериментально Стефаном, а затем теоретически на основе термодинамики - Больцманом, и имеет следующий вид: R*= T4,

(1.12)

где =5,7.10-18 Вт/(м2.K4) - постоянная Стефана-Больцмана. Опытная проверка подтвердила правильность закона Стефана-Больцмана. Закон смещения Вина

Этот закон дает связь между температурой АЧТ и длиной волны ( max), при которой плотность излучения АЧТ максимальна (на рис.1-3 значению R1max соответствует max , а R2max max). Вин использовал не только термодинамику, но и классическую электромагнитную теорию, и получил:

λ max =

b , T

где b= 2,9.10-3 м.К - экспериментальное значение постоянной.

(1.13)

10

Из (1.13) видно, что с ростом температуры положение максимума спектральной плотности энергетической светимости R* ,T смещается в сторону коротких длин волн. Иначе говоря, λmax уменьшается обратно пропорционально температуре. Было также установлено, что максимальное значение спектральной плотности излучения пропорционально пятой степени абсолютной температуры, т.е.

( Rλ ,T ) max = C' ⋅ T 5 ,

(1.14)

где C’ – постоянная. C’ = 1.3·10-5 Вт/(м3·К5). Закон смещения Вина, как и закон Стефана-Больцмана, хорошо подтверждается на опыте. Интерполяционная формула Вина

Успехи в установлении ряда законов, описывающих интегральные свойства теплового излучения (см.(1.12) и (1.13)) на основе классической физики, стимулировали попытки получить формулу для закона спектрального распределения теплового излучения. Именно этот закон дал бы возможность судить о фундаментальных свойствах теплового излучения, однако получить его оказалось намного сложнее. Одной из попыток получения спектральной зависимости излучательной способности АЧТ была интерполяционная формула Вина: R λ ,T =

α ⎛ β ⎞ exp ⎜− ⎟. λ5 λ T ⎝ ⎠

(1.15)

В (1.15)  и  - некоторые постоянные, определяемые опытным путем. Эта формула хорошо совпадала с экспериментальными результатами при коротких волнах (левее максимума кривой экспериментального распределения), но в области длинных волн совпадение с экспериментом было плохим.

11

Формула Рэлея-Джинса для экспериментального распределения объемной плотности теплового излучения

Согласно теории Больцмана, доказанной в классической термодинамике, тепловая энергия равномерно распределена по степеням свободы и на каждую степень свободы частицы приходится энергия, равная kT/2. Если частица колеблется и излучает электромагнитную волну, то на каждый тип колебаний также должна приходиться энергия, равная kT/2. Поскольку в электромагнитной волне присутствуют два типа колебаний электрические и магнитные, то средняя энергия каждого колебания, согласно классической термодинамике равна: < >=2.kT/2=kT

(1.16)

Для того, чтобы найти вид функции U T, надо умножить (1.16) на число в единице объема полости АЧТ. Это электромагнитных волн частоты число оказывается равным:

ω2 dnω = 2 3 dω . π c

(1.17)

Перемножение выражений (1.16) и (1.17) дает:

ω2 U *ω ,T dω = kT 2 3 dω . π c

Следовательно,

U *ω ,T

(1.18)

ω2 = 2 3 kT . π c

(1.19)

С учетом выражения (1.11) получим:

ω2 kT . R *ω ,T = 4π 2 c 3

Для перехода от R



T

кR



T

учтем, что

(1.2) и (1.5)). Тогда: R * λ ,T =

(1.20) c

2πc

λ

4

kT .

и Rω ,T

λ2 =− R λ ,T (см. 2πc (1.21)

12

Выражение (1.21) получило название формулы Рэлея-Джинса. Из этой формулы видно, что при больших длинах волн ( λ → ∞ ) R T → 0. Кроме того, в этой области длин волн наблюдается хорошее согласие с экспериментальными зависимостями R T=f  Однако, при λ → 0 (короткие волны) R T → ∞ и совершенно не согласуется с видом реальной зависимости этой функции от . На рис.1-4 для конкретной температуры (T=2000 K) линией 1 показана экспериментальная кривая, а линия 2 - кривая, соответствующая формуле Рэлея-Джинса (1.21).

2

ϕ 5;1012

2 ууу222222ццц32вввв

4;1012 3š1012 12

2š10

1

1š1012 20

40

60

80

λ

Рис.1-4

Неудачи при теоретических попытках получить на основе законов классической физики правильную зависимость излучательной способности АЧТ от длины волны получили название "ультрафиолетовой катастрофы". Эти неудачные попытки показали несостоятельность классического подхода к описанию главных законов теплового излучения. 1.4. Гипотеза М.Планка и квантовый закон спектрального распределения теплового излучения Гипотеза Планка

Для получения теоретическим путем закона спектрального распределения теплового излучения при разных температурах потребовалось сделать совершенно новое, противоречащее представлениям классической физики

13

предположение о свойствах электромагнитного излучения. В 1990 г. это сделал М.Планк, поэтому это предположение получило название гипотезы Планка: Излучение испускается телами не непрерывно, а в виде отдельных порций-квантов. Энергия каждого такого кванта (ε) пропорциональна его частоте (ν или ω): ε = hν = =ω (1.22) (ср. с формулой 1.16, где ε=kT). Коэффициент пропорциональности h в (1.22) оказался одной из важнейших физических постоянных и получил впоследствии название постоянной Планка, а = называется модифицированной постоянной Планка:

h=6,62·10-34 Дж·с

[=]=Дж ⋅ с Поскольку ω =

2πс

λ

= = 1,054 ⋅ 10 −34 Дж ⋅ с

, то (1.22) можно записать в виде:

ε ==

2πс

λ

=

hc

λ

= hν ,

(1.23)

c 1 ⎞ ⎛c поскольку ⎜ = = = ν ⎟ , а h = 2π= = 6 ,62 ⋅ 10 −34 Дж ⋅ с, и ν - частота ⎠ ⎝ λ c ⋅T T колебаний. Гипотеза Планка не отменила классическую физику, правильно объяснявшую огромное число экспериментальных фактов, и, в частности, ряд важнейших свойств электромагнитного излучения. Она лишь показывала существование некоторой границы, дальше которой классическая физика становилась неприемлемой для объяснения явлений природы. Для оценки этой границы можно сопоставить значения средней тепловой энергии электромагнитного излучения (т.е. классической энергии), которая равна <ε>=kT, и энергии кванта (1.23). Для электромагнитного излучения, для которого <ε> во много раз превышает энергию кванта, квантовые свойства излучения оказываются несущественными и такое электромагнитное излучение описывается

14

классическими законами. Очевидно, это происходит при больших длинах волн, когда, согласно (1.23), ε → 0 . Когда же энергия кванта становится сравнимой с тепловой энергией электромагнитной волны (это происходит при малых λ), классические законы перестают "работать". Квантовый закон спектрального распределения теплового излучения (формула Планка) Схема расчетов Планка похожа на схему расчетов формулы РэлеяДжинса. Здесь также сначала вычисляется средняя энергия электромагнитной волны, а число волн с этой частотой в единице объема задается формулой (1.16). Произведение средней энергии на число длин волн даст u ∗ и, затем, R ∗ . ω ,T

ω ,T

Важнейшим отличием от предыдущих расчетов является то, что энергия волны не может принимать любые значения, а может быть только величиной, кратной энергии кванта (1.22), т.е. ε n = n=ω (n=0,1,2,...). Тогда, зная вероятность различных значений энергии (ε n ) волны, можно найти среднее значение энергии < εn>. Не останавливаясь на процедуре расчетов, приведем конечное выражение для формулы Планка: Rλ ,T = ∗

4π 2 =c 2

λ

5

1 . exp( 2π=c / λkT ) − 1

(1.24)

На рис. 1-5 приведены расчетные зависимости спектральной плотности излучения для различных температур. Эти зависимости очень хорошо согласуются с экспериментальными данными. Посмотрим, приводит ли (1.24) к "ультрафиолетовой катастрофе". При λ → 0 множитель, стоящий перед членом, содержащим экспоненту в выражении (1.24), стремится к ∞, но сама экспонента стремится к ∞ гораздо быстрее. Поэтому, в целом экспоненциальный сомножитель в (1.24) стремится к нулю. При λ → 0 , следовательно, Rλ∗ ,T → 0 . Поэтому выражение (1.24) снимает проблему "ультрафиолетовой катастрофы".

15

Рис.1-5 Физическое объяснение этого состоит в следующем. С уменьшением λ квант энергии становится больше. Излучение же может происходить только квантами. При заданной температуре тела с уменьшением λ наступает такой момент, когда тепловой энергии недостаточно для возбуждения хотя бы одного кванта и излучение не появляется. В области длинных волн формула Планка переходит в классическую формулу Рэлея-Джинса. Действительно, при λ → ∞ показатель экспоненты становится много меньше единицы. Разлагая экспоненту в степенной ряд, и учитывая только два первых члена разложения, получим: exp(2π=c / λkT ) ≅ 1 + 4π 2 =c 2

2π=c , λkT

(1.25)

1 2πc (1.26) = kT . λ5 1 + 2π=c − 1 λ4 λkT Выражение (1.26) совпадает с ранее полученной формулой Рэлея-Джинса. Формула Планка не только дает правильную качественную картину спектральной зависимости теплового излучения при коротких и длинных волнах. Как показали многочисленные опытные результаты, она позволяет количественно рассчитывать интенсивность излучения при любых длинах волн от 0 до ∞. Таким образом, квантовая формула Планка впервые дала исчерпывающее описание свойств теплового излучения. Rλ ,T = ∗

16

2.КВАНТОВАЯ ПРИРОДА СВЕТА. 2.1.Внешний фотоэффект.

свет

Внешним фотоэлектрическим эффектом (фотоэффектом) называется испускание электронов твердыми и жидкими телами под действием света. Это явление было открыто Г.Герцем в 1887 г. и подробно изучено в работах А.Г.Столетова, который разработал методику исследования фотоэффекта (конденсатор Столетова) и установил ряд важных закономерностей.

Г

E

I +

-

Рис.2-1 Опыт Столетова поясняется схемой, приведенной на рис. 2-1. Конденсатор, состоящий из проволочной сетки и сплошной пластины, был включен последовательно с гальванометром Г в цепь батареи. Свет, проходя свободно через сетку, падал на пластину. В результате, в цепи возникал ток, который регистрировался при помощи гальванометра. Возникновение тока объясняется тем, что свет, попадая на пластину, выбивает с ее поверхности электроны, которые затем попадают в электрическое поле с напряженностью E, созданное при помощи источника тока. Таким образом, пластина служит катодом, а сетка - анодом к которой движутся выбитые из пластины электроны.

17

Для экспериментального изучения фотоэффекта анод и катод помещаются в вакуумную трубку (рис.2-2) с целью исключения влияния воздуха на движение электронов. Кв

свет

К

А

E

I В Г

П

+

-

Рис. 2-2 Монохроматический свет через кварцевое окошко Кв попадает на катод К, изготовленный из исследуемого материала. Электроны, вылетающие с поверхности катода, ускоряются электрическим полем между катодом К и анодом А и создают в цепи вакуумной трубки фототок, сила которого может измеряться гальванометром Г. Напряжение между катодом и анодом регулируется потенциометром П и измеряется вольтметром В. Зависимость силы фототока I от напряжения U при постоянном световом потоке Ф для плоского катода называют вольтамперной характеристикой. (Термин "фототок" означает только то, что этот электрический ток возникает при условии, что на катод К падает свет и ничем такой ток не отличается от "обычного" электрического тока). По мере увеличения ускоряющего напряжения U сила фототока увеличивается, так как все большее число электронов, выбиваемых из катода, достигает анода. При некотором значении напряжения сила тока в цепи будет максимальной (такой ток называется током насыщения). Сила фототока насыщения равна: Iн=en,

(2.1)

18

где e - абсолютное значение заряда электрона; n - число электронов, вырываемых светом из катода за единицу времени. Насыщение происходит тогда, когда все вырываемые светом из катода электроны достигают анода.

Рис. 2-3 Если между электродами К и А создать тормозящее электрическое поле (т.е. встречное поле, напряженность которого направлена от анода к катоду), то в цепи все же идет электрический ток, поскольку электроны, выбитые светом из катода, обладают определенной кинетической энергией. В этом случае электроны за счет уменьшения своей кинетической энергии совершают работу против действия сил поля и достигают анода. Пологий ход кривой в области отрицательных напряжений указывает на то, что скорости вылетающих из катода электронов различны: самые медленные электроны задерживаются слабым тормозящим электрическим полем, а для задержания самых быстрых электронов требуется увеличить напряжение до определенной величины U3 (задерживающее напряжение). Величина задерживающего напряжения, при котором силда фототока равна нулю, определяется из условия: mv m2 = eU З , 2

(2.2)

где vm-максимальная начальная скорость фотоэлектронов; m-масса электрона. Выбиваемые фотоэлектроны обладают различными скоростями. Различие в скоростях объясняется тем, что если свет выбивает электроны не с

19

поверхности металла, а с некоторой глубины, то часть энергии, сообщенной электрону, теряется вследствие случайных столкновений внутри металла. Поэтому физический интерес представляет максимальная кинетическая энергия фотоэлектронов, так как это и есть та энергия, которой обладают фотоэлектроны, освобождающиеся с поверхности металла. Следует добавить, что это - так называемый внешний фотоэффект (который обычно называют просто фотоэффектом), в отличие от существующего также внутреннего фотоэффекта. Последний наблюдается в полупроводниках и будет рассмотрен позже. Законы и теория внешнего фотоэффекта

В результате экспериментальных исследований установлены следующие основные законы внешнего фотоэффекта, 1. Сила фототока насыщения IН прямо пропорциональна падающему световому потоку Ф (закон Столетова): IН=ВФ,

(2.3)

где В - коэффициент пропорциональности. 2. Максимальная начальная кинетическая энергия электронов линейно возрастает с увеличением частоты падающего света и не зависит от его интенсивности. 3. Фотоэффект наблюдается не всегда, а лишь при определенных значениях частоты падающего света, превышающих некоторый предел. Этот предел называется красной границей фотоэффекта (т.е. низкочастотной границей). Для каждого вещества существует своя красная граница фотоэффекта, то есть минимальная частота ν (и, соответственно, 1 максимальная длина волны λ 0 ~ ), начиная с которой фотоэффект

ν0

становится возможным. (Величина ν зависит от химической природы вещества и состояния его поверхности. Для щелочных металлов красная граница лежит в области видимого света, тогда как для большинства других металлов - в ультрафиолетовой области). Опыты показывают, что фотоэффект практически безынерционен. На ранних стадиях исследования фотоэффекта делались попытки его объяснения основе волновой природы света, т.е. как процесса выбивания

20

электронов из вещества светом. Действительно, электрическое поле электромагнитной волны воздействует на электроны в металле и вырывает некоторые из них. Причем с увеличением амплитуды E 0 колебания вектора напряженности электрического поля, и, следовательно, и интенсивности света (интенсивность пропорциональна E 02 ), число выбиваемых электронов возрастает, что соответствует первому закону фотоэффекта. Казалось бы, что более сильное электрическое поле должно вырывать электроны с большей скоростью, следовательно, с увеличением интенсивности падающего света должна была бы возрастать кинетическая энергия электронов, и она не должна зависеть от частоты. Однако оказалось, что это противоречит опытным фактам. Таким образом, второй и третий законы фотоэффекта не удалось объяснить на основе волновой теории света. А.Эйнштейн разрешил это затруднение на основе обобщения квантовой гипотезы Планка. Эйнштейн предположил, что не только испускание, но и поглощение электромагнитного излучения происходит квантами, которые впоследствии получили название фотонов. При фотоэффекте кванты света поглощаются электронами металла. При этом энергия =ω или hν кванта cвета, согласно закону сохранения энергии, расходуется на выбивание электрона из металла и на сообщение электрону кинетической энергии. Фотоэлектрон, выбитый с поверхности металла, будет обладать максимальной кинетической энергией, так что в этом случае закон сохранения энергии имеет вид: mVm2 hν = A + (2.4) 2 или через круговую частоту ω, учитывая, что =ω = hν , где ħ - так называемая модифицированная постоянная Планка: mVm2 =ω = A + , 2

(2.5)

где А - работа выхода электрона из металла (наименьшая энергия, которую необходимо сообщить электрону, чтобы удалить его из металла в вакуум). Уравнение (2.4) или эквивалентное ему (2.5) называются уравнением Эйнштейна для фотоэффекта. Это уравненение позволяет легко объяснить все законы фотоэффекта.

21

Действительно, при фотоэффекте каждый выбитый из металла электрон получает энергию от одного кванта, следовательно, число электронов n, выбиваемых из металла в единицу времени, пропорционально числу квантов N, падающих на поверхность металла за то же время. Так как световой поток Ф=Nhν, то сила фототока насыщения, равная IН=en, будет пропорциональна световому потоку. Следует заметить, что лишь малая часть квантов передает свою энергию фотоэлектронам. Энергия остальных квантов идет на нагревание веществ. Как следует из уравнения (2.5), максимальная начальная энергия фотоэлектронов mv m2 = hν − A (2.6) 2 не зависит от интенсивности света и линейно возрастает с увеличением частоты света, что соответствует второму закону фотоэффекта. Внешний фотоэффект возможен только в том случае, когда энергия hν кванта света больше или равна работе выхода электрона из металла h ν≥ A или: A ν =ν0 = (2.7) h c Соответственно, для длины волны λ ( λ = ) получается условие:

ν

λ ≤ λ0 =

ch A

(2.6)

Частота ν0 или длина волны λ0 называются соответственно частотой или длиной вролны красной границы фотоэффекта. Уравнение Эйнштейна неоднократно подвергалось экспериментальной проверке. Равенство (2.5) с учетом (2.2) и (2.7) можно записать в виде: eU3=h(ν-ν0)

(2.9)

Отсюда следует, что задерживающая разность потенциалов равна: UЗ =

h (ν − ν 0 ) e

(2.10)

22

Если построить графики зависимости UЗ(ν) для фототоков с данного фотокатода, возникающих в результате освещения монохроматическим светом различных частот, то по теории Эйнштейна должна получиться прямая линия с наклоном, равным h/e1. Эксперименты показали хорошее соответствие с теорией. Кроме того, среднее значение постоянной Планка h, полученное в этих опытах, совпало с результатами других методов определения (с точностью 0,1-0,2%). Это подтвердило правильность уравнения Эйнштейна. Следует заметить, что уравнения (2.4) и (2.5) получены в предположении, что электрон получает энергию только от одного квнта света (фотона). Такие процессы называются однофотонными. При весьма большой интенсивности света, вызывающего фотоэффект (например, в лазерах), можно наблюдать многофотонные процессы. В этом случае электрон, вылетающий из металла, получает энергию от нескольких фотонов и законы фотоэффекта, рассмотренные выше, теряют силу. Законы взаимодействия света высокой интенсивности с веществом рассматриваются в нелинейной оптике. Фотоны

Квантовые свойства электромагнитного излучения особенно отчетливо проявляются при взаимодействии коротковолнового, в частности, рентгеновского излучения с веществом. Поскольку энергия одного кванта рентгеновского излучения много больше работы выхода электрона из металла, то последней можно пренебречь и уравнение (2.6) примет вид: hν =

1 mv m2 2

(2.11)

Экспериментально установлено, что спектр рентгеновского излучения, который возникает при торможении электронов в веществе антикатода, имеет коротковолновую границу λ0. Волны, более короткие, чем λ0, в спектре излучения не наблюдаются. В рамках квантовой теории наличие коротковолновой границы означает, что вся кинетическая энергия электрона после его остановки перейдет полностью в энергию рентгеновского кванта,

Опыт показывает, что зависимость UЗ от ν линейная, а отношение UЗ/ν=h/e=tgα, где α - угол, составляемый прямой с осью абсцисс. 1

23

частота ν0 которого на основании (2.11) (см. также (2.9)) определится из условия: mv 2 = eU a , (2.12) hν 0 − 2 где Ua - напряжение между катодом и анодом рентгеновской трубки, ускоряющее электроны. Опыты с рентгеновскими лучами (в частности, опыт Боте, опыт А.Ф.Иоффе и Н.И.Добронравова) позволили обнаружить, что электромагнитное излучение не только испускается, поглощается, но и распространяется в виде отдельных квантов и фотонов. Энергия фотона определяется его частотой ν(ω):

ε ™ = hν = = ω ,

здесь

или длиной волны λ :

εФ =

==

h ,ω = 2πν 2π

hc

λ

(2.13)

(2.14)

Помимо энергии фотон обладает импульсом. Поскольку фотоны ведут себя как частицы, которые движутся со скоростью с света в вакууме (с=3.108м/с), то к ним применимы соотношения релятивистской механики. Согласно теории относительности, полная энергия частицы Е, движущейся со скоростью v, и её импульс p связаны следующим соотношением: p=

vE

. (2.15) 2 c Для фотона, движущегося со скоростью света (v=c), импульс в соответствии с (2.15) будет равен: pФ =

(2.16)

с ⋅εФ εФ = 2 c с

24

Подставляя в выражение (2.16) значение для энергии фотона (2.13) и (2.14), получим выражение, связывающее импульс фотона с характеристиками соответствующей электромагнтной волны: hν , (2.17) pФ = C pФ =

h

λ

(т.к.

ν c

=

1

λ

)

(2.18)

Иногда импульс фотона удобнее выражать через волновое число k=2π/λ. h Тогда выражение (2.18) с учетом того, что = = , примет вид: 2π pФ = =k

(2.19 )

Направление распространения фотона а, следовательно, и направление импульса совпадает с направлением распространения электромагнитной волны. Это направление определяется волновым вектором k. Поэтому равенство (2.19) можно переписать в векторном виде: pФ = =k

(2.20)

Расмотрим вопрос о массе фотона. Полная энергия Е движущейся частцы и её импульс p, согласно специальной теории относительности, связаны соотношением: E2

−( pc ) =( mc ) , 2

2

2

(2.21)

где m - масса частицы. В релятивистской теории масса есть инвариантная (т.е. не зависящая от системы отсчета) характеристика, определяющая энергию частицы (так называемую энергию покоя): Е0 = mс2

(2.22)

По историческим причинам эту массу иногда называеют массой покоя. Если выражение (2.16) для импульса фотона подставить в соотношение (2.21), то получим, что масса фотона mф и, следовательно, его энергия покоя,

25

равны нулю. Фотон не обладает массой покоя, поскольку он не может находиться в состоянии покоя - это квант света, который движется со скоростью света. 2.2. Применение фотоэффекта. Фотоумножители С целью повышения чувствительности электронных приборов, применяемых для регистрации малых световых потоков, в усилительной технике используются фотоумножители. Они представляют собой сочетание фотоэлемента (с внешним фотоэффектом) со специальным многокаскадным электронным усилителем (умножителем). Эффективное усиление токов основано на вторичной эмиссии. Для характеристики вторичной электронной эмиссии с поверхности катода вводят величину σ, называемую коэффициентом вторичной эмиссии, равную отношению числа электронов, испускаемых поверхностью, к числу падающих на нее электронов. Коэффициент усиления токов при двух каскадах будет равен σ2. Полный коэффициент усиления при n каскадах равен σn . Принцип действия электронного фотоумножителя заключается в том, что быстрые электроны, ударяясь о поверхность металла, выбивают из него большое число электронов. Выбитые электроны ускоряются электрическим полем и направляются на следующий электрод, из которого каждый электрон, в свою очередь, выбивает несколько электронов.

Рис. 2-4 Принципиальная схема фотоумножителя приведена на рис.2-4. Здесь стрелками указано направление световых лучей, падающих на первичный фотокатод ФК, тонкими линиями - направление движения электронов, последовательно умножающихся на эмиттерах 1,2,3..., буквой А обозначен

26

анод, собирающий усиленный электронный поток. Между каждой парой эмиттеров 1, 2, 3, 4. . . прикладывается разность потенциалов порядка 100—200 В, ускоряющих выбиваемые электроны. Из последнего эмиттера, благодаря многократному умножению, на коллектор поступает лавина электронов, которая создает во внешней цепи фотоумножителя большой импульс тока. Фотоумножители используются в различных областях техники - звуковом кино, счетчиках элементарных частиц и в других электронных приборах. 2.3. Давление света Идея о том, что свет должен оказывать давление на освещаемые им тела, была высказана Кеплером, который с помощью этой идеи объяснял формы хвостов комет. Позднее Максвелл на основании электромагнитной теории вычислил величину светового давления. Явление давления света, существование которого было доказано опытами П.Н.Лебедева, с точки зрения квантовой оптики объясняется следующим образом. Так как частица света - фотон - обладает импульсом (количеством движения), равным (см.2.20): p = hk,

то при столкновении с атомами (молекулами) поверхности фотон передает им свой импульс. Этот процесс передачи импульса аналогичен передаче импульса стенкам сосуда, с которыми сталкиваются молекулы газа, в результате чего и возникает давление газа на стенки сосуда. Однако здесь есть и существенное отличие. Дело в том, что падающий на "стенки" свет может быть полностью поглощен (абсолютно черное тело), частично отражен от стенки, и, наконец, отражен без поглощения (идеально отражающая поверхность). Рассмотрим случай, когда стенки сосуда полностью поглощают падающий на них свет. Пусть в единице объема содержится n - фотонов. Энергия каждого кванта равна hν, а импульс каждого фотона (см.2.17): p=

hν . с

(2.23)

27

Так как излучение полностью поглощается стенкой, то при каждом ударе стенка получает импульс: hν ∆k = . (2.24) с Рассчитаем, какой совокупный импульс получит площадка величиной dS за малый промежуток времени dt. Если на площадку dS (рис.2-5) падает нормально к ней световой поток, то за время dt она поглотит все фотоны, которые находились в объеме параллелепипеда с площадью сечения dS и длиной cdt.

dS

cdt

Рис.2-5 Из рисунка видно, что за время dt до стенки успеют долететь все фотоны, которые, двигаясь со скоростью c, пройдут расстояние cdt. Следовательно, площадка dS испытает dN ударов за время dt, причем dN = ndV,

(2.25)

где n - число фотонов в единице объема, а ∆V - объем параллелепипеда. Согласно рис.2-5: dV = dS.cdt

(2.26)

Полный импульс dK, который площадка dS получим за время dt, согласно (2.24) и (2.25), будет равен:

28

dK = dk ⋅ dN =

или, с учетом (2.26):

hν dV , с

dK = nhνdSdt

(2.27)

В соответствии с законами механики приращение импульса dK, полученного площадкой dS, связано с силой, действующей на площадку: f =

dK = nhνdS . dt

Поскольку по определению давление есть сила, действующая на единицу площади, то давление p, испытываемое площадкой вследствие ударов фотонов, равно: df p= = nhν , (2.28) dS Так как hν - энергия одного фотона, а n - число фотонов в единице объема, то давление света p совпадает с плотностью энергии светового потока w: p = w. В случае идеально отражающей поверхности импульс, получаемый ею при одном ударе, вдвое больше, чем импульс, получаемый поверхностью, полностью поглощающей свет. Поэтому dk=2h c (сравним с формулой (2.24)) и соответственно все рассчитанные величины dk, f и p увеличатся в 2 раза, то есть для идеально отражающей поверхности p=2nh w. Легко убедиться, что для поверхности с коэффициентом отражения  часть энергии, равная w, отразится, а часть, равная  w,поглотится,и световое давление будет равно: p  w

w  w

(2.29)

Электромагнитная теория света тоже приводит к формуле p  w

29

Согласно электромагнитной электромагнитного поля равна

теории

объемная

плотность

энергии

w=E/c, (2.30) где Е - энергия электромагнитного излучения, падающего нормально на единичную площадку за 1 сек, т.е. поверхностная плотность лучистого потока, а с - скорость света в вакууме.

4.4. Эффект Комптона И фотоэффект, и давление света - явления, в которых проявляются квантовые и корпускулярные свойства света. Но наиболее ярко корпускулярные свойства света проявляются в эффекте Комптона. Это явление, открытое Комптоном2 в 1923г., явилось важным этапом в развитии корпускулярных представлений о свете. Явление Комптона можно рассматривать как следствие давления света на отдельные электроны, как результаты соударений фотонов с электронами. Однако в опытах Лебедева удары от отдельных фотонов обнаружить было практически невозможно, так как сталкивающиеся массы фотонов видимого света и крылышка радиометра различались в 1035 раз. Иначе обстоит дело, если в качестве облучаемого тела взять отдельные электроны и облучать их жесткими рентгеновскими лучами. В этом случае масса фотона (hv/c2) будет соизмерима с массой покоя электрона. Схема опыта Комптона показана на рис.2-6. Рентгеновская трубка с молибденовым антикатодом служила источником монохроматических лучей.

2

Compton, Arthur Holly, 1892-1962, американский физик.

30

Д

А θ

Щ

К

И Э

Рис.2-6 Узкий пучок рентгеновских лучей, выделяемый диафрагмами Д, рассеивался веществом А с легкими атомами (уголь, графит, парафин). Спектр рассеянного пучка фотонов изучался при помощи рентгеновского спектрографа под различными углами θ. Спектрограф состоял из пластины со щелью Щ, кристалла К,, ионизационной камеры И и электрометра Э. При исследовании спектра рассеянных рентгеновских лучей оказалось, что наряду с длиной волны излучения λ обнаруживается также и составляющая с длиной волны λ', большей, чем λ, т.е. λ’ λ Наблюдаемое изменение длины волны растет с увеличением угла рассеивания. Возникновение линий с увеличенной длиной волны получило название явления Комптона. Согласно волновой теории, естественно было ожидать, что частота рассеянного излучения должна совпадать с частотой падающего излучения, но появление в составе рассеянного излучения более длинных волн не удалось объяснить с точки зрения волновой теории. Явление Комптона легко объяснить с точки зрения корпускулярной теории. Для этого надо допустить, что фотон и электрон обладают не только определенным запасом энергии, но и определенным количеством движения, а само столкновение фотона с электроном происходит по закону упругого удара, при котором соблюдается закон сохранения энергии и импульса. В результате столкновения электрон, который предполагается покоящимся, приобретает известную скорость, энергию и импульс, фотон же изменяет направление движения, при этом его энергия уменьшается.

31

Итак, явление похоже на столкновение двух биллиардных шаров. Как известно из механики, в этом случае задача решается исходя из законов сохранения импульса (количества движения) и энергии изолированной системы из двух "шаров" - фотона и электрона. Согласно закону сохранения энергии: hν + mo c 2 = hν ' + c p 2 + m 2 c 2

(2.31)

В формуле (2.31) hν - энергия падающего фотона; moc2 - энергия покоя электрона; р - импульс электрона после столкновения; с - скорость света. Согласно закону сохранения импульса: h h k= p+ k' 2π 2π

где:

(4.32)

h hν k - импульс налетающего фотона; его модуль равен ; 2π c hν ' h k' - импульс рассеянного фотона; его модуль равен ; c 2π p=mv - импульс электрона отдачи.

На рисунке 2-7 изображена векторная схема закона сохранения импульса. mv

e

hν c

θ h ν' c

Рис. 2-7

32

Закон сохранения импульса (2.32) совместно с теоремой треугольника приводит к выражению:

( mv )

2

( )( )

hν = c

2

hν ' + c

2

⎛ hν ⎞⎛ hν ' ⎞ − 2⎜ ⎟⎜ ⎟ cos θ ⎝ c ⎠⎝ c ⎠

(2.33)

Решая совместно (2.31) и (2.33) с учетом (2.32), получим: ⎛ h ⎞ ⎟⎟( 1 − cos θ ) , ⎝ mo c ⎠

∆λ = λ' −λ = ⎜⎜ или:

∆λ = Λ( 1 − cos θ ) .

(2.34) h называется комптоновской длиной волны частицы с mo c массой покоя, равной mo. Для электрона (в полном согласии с опытами Комптона) Λ = 0,0243.10-10 м. Следует отметить, что в рассеянном свете наряду со смещенной длиной волны λ' присутствует также и исходная составляющая с длиной волны, равной λ . Это объясняется тем, что внутренние электроны в тяжелых атомах связаны прочно, и их нельзя считать свободными. Поэтому столкновение с такими электронами равносильно столкновению с атомами в целом и поэтому hν не изменяется. Количественное подтверждение эффекта Комптона опытными данными явилось существенным доводом в пользу фотонной теории излучения. Таким образом, часть явлений (таких, например, как интерференция, дифракция, поляризация) объясняется на основе представлений волновой теории света, а часть (фотоэффект, давление света, эффект Комптона) совместно с экспериментальными результатами исследования теплового излучения описывается на основе корпускулярных представлений. Поэтому можно сделать вывод о том, что имеет место корпускулярноволновой дуализм (т.е. двойственность свойств), который не мог быть объяснен на основе классической теории.

Величина Λ =

33

3. ЭЛЕМЕНТЫ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ В начале XX в. в результате развития физики оказалось, что обычная, классическая механика неприменима к микрообъектам, в том числе и к атому, а также к микрочастицам, из которых атом состоит. Поэтому в 20-х годах XX в. создается квантовая, или волновая, механика, применимая в первую очередь к электрону и к другим элементарным частицам. Появление и развитие квантовой механики привело затем к необходимости создания квантовой статистики, поскольку выяснилось, что классическая статистика Максвелла-Больцмана неприменима для описания поведения микрообъектов. Как результат появилась статистика Ферми-Дирака. В данной главе и рассматриваются основные элементы квантовой механики и квантовой статистики. 3.1. Волновые свойства микрочастиц При теоретическом исследовании теплового излучения абсолютно черного тела и фотоэффекта (эти вопросы изложены в главах 1,2 настоящего пособия) было установлено, что испускание и поглощение излучения происходит отдельными порциями (квантами), причем энергия кванта излучения, энергия кванта света равна hνили в другой записи:

ε=ħω ,

(3.1)

где ω=2πν - угловая частота, а ħ=h/2π так называемая модифицированная постоянная Планка. Квант света, или фотон, как частица (корпускула) особого рода, не имеющая массы покоя, обладает энергией (3.1) и импульсом:

p=

ε c

=

=ω . c

(3.2)

Кроме того, исходя из общего соотношения между массой и энергией: 2 ε = mc ,

34

фотону можно также приписать некоторую величину, по размерности совпадающую с массой (не следует, правда, смешивать это понятие с понятием массы в классической механике): ε =ω (3.3) mф = 2 = 2 , с c где с - скорость света в вакууме. Итак, было установлено, что свет (излучение) обладает как волновыми, так и корпускулярными свойствами. Поясним, как согласуются между собой волновая и квантовая теории света. Как известно из оптики, согласно волновой теории света интенсивность волны в данном месте пространства пропорциональна квадрату амплитуды волны в этом месте пространства. Согласно же квантовой теории света интенсивность света в данном месте пространства пропорциональна числу фотонов, попадающих в это место пространства. Согласование теорий: предполагается, что число фотонов, попавших в данное место пространства, пропорционально квадрату амплитуды волны в данном месте пространства, т. е. эти величины связаны прямой пропорциональной зависимостью. Рассмотрим теперь волновые свойства элементарных частиц. Впервые гипотезу о волновых свойствах электрона высказал в 1925 г. французский физик Луи де Бройль3. Основная мысль де Бройля сводилась к тому, что можно применить квантовую теорию света для описания волновых свойств движущихся элементарных частиц. При этом он предположил, что движущийся свободный электрон, имеющий импульс р = mv и кинетическую энергию ЕК, описывается такой же функцией, что и плоская волна: pr ⎞ ⎛E i ⎜ K t − ⎟⎟ = = ⎠

⎜ Ψ =Ψ 0 e ⎝

,

(3.4)

где скалярное произведение pr равно:

pr = p x x + p y y + p z ,

(3.5)

а Ψ0 - постоянная амплитуда. 3

Louis de Broglie (1892-1987) - выдающийся французский физик, лауреат Нобелевской премии (1929 г.).

35

Поясним рассуждения де Бройля, которые привели его к выражению (3.4). По аналогии с квантовой теорией света де Бройль предположил, что соотношения (3.1) и (3.2), определяющие энергию и импульс фотона, справедливы и для волны, сопоставляемой свободному электрону, т. е. частота ω такой волны и волновое число k определяются формулами:

ω = EK ;

(3.6)

=

k=

2π

λ

=

p . =

(3.7)

Отсюда с учетом (3.6) и (3.7) выражение для обычной плоской электромагнитной волны: i ⎛⎜ωt − kr ⎞⎟ ⎠ , e Ψ =Ψ 0 ⎝ принимает вид (3.4), т.е. получаем плоскую волну, названную позже волной де Бройля. В более простом случае движения свободного электрона вдоль оси Ох соответствующая (3.4) волновая функция будет иметь вид:

ψ ( x ,t ) =Ψ 0 e

p x⎞ ⎛E i ⎜⎜ K t − x ⎟⎟ = = ⎠ ⎝

.

В 1927 г. гипотеза де Бройля была подтверждена опытами по электронов, а еще позже на опыте были установлены волновые других элементарных частиц. Поэтому можно сказать, что движущемуся со скоростью v, т.е. имеющему импульс соответствовать [см. (3.7)] длина волны:

λ=

h , mv

(3.8) дифракции свойства и электрону, р, будет

(3.9)

называемая длиной волны де Бройля. Аналогично рассмотренному в начале раздела согласованию квантовой и волновой теорий света можно привести согласование корпускулярных и волновых свойств элементарных частиц, в частности электрона. В этом

36

случае необходимо предположить, что число электронов (частиц), попавших в данный элемент объёма dV, пропорционально квадрату амплитуды волны де Бройля и величине элемента объема, т. е. число электронов приблизительно равно Ψ 02 dV . Если исходить из статистического толкования последнего выражения в случае одной частицы, то можно сказать, что вероятность dW того, что частица находится в данном элементе объема dV, пропорциональна квадрату амплитуды волны де Бройля, или квадрату модуля этой волны, т.е. 2 (3.10) dW = Ψ dV = ΨΨ ∗ dV . Из этого равенства следует, что квадрат модуля волны де Бройля (волновой функции) равен плотности вероятности нахождения свободной частицы в данном месте пространства. Такое толкование волновой функции справедливо не только для свободного электрона, но и для связанного электрона. Следовательно, физический смысл волновой функции состоит в том, что квадрат ее модуля есть плотность вероятности обнаружить частицу (электрон) в данном месте пространства, причем сама волновая функция является комплексной величиной. По поводу волновых свойств электрона необходимо заметить также, что с точки зрения квантовой теории движение электронов можно рассматривать как электронные волны, определяемые волновыми функциями Ψ. Хотя сама волновая функция, вообще говоря, не имеет особого физического смысла, однако для свободного электрона существует определенная и весьма наглядная связь движения волны с движением самого электрона. В самом деле, если рассматривать не строго монохроматическую волну с 2π определенными величинами ω и λ = , а почти монохроматическую k волну или группу волн (пакет):

Ψ ( x ,t ) =

k 0 + ∆k

∫ c( k ) e

i (ωt − kx )

dk ,

k0

где ko — есть волновое число, соответствующее середине группы. Известно, что групповая скорость vгр или скорость группы волн v определяется формулой:

37

v гр = u =

dω . dk

С другой стороны, для свободного электрона (3.6) и (3.7) имеем: 2

p =k ω = Ek = = . 2m= 2m = 2

Тогда на основании последнего выражения скорость группы волн, или скорость пакета, будет равна: d u= dk

⎡ =k 2 ⎤ =k ⎢ 2m ⎥ = m = v , ⎣ ⎦

где v - есть мгновенная скорость свободного электрона. Таким образом, для простейшего случая свободного электрона можно заключить, что групповая скорость волн де Бройля равна скорости движения электрона (частицы). В этом смысле можно сказать, что волновая функция для свободного электрона или волна де Бройля имеет наглядное физическое истолкование. Поэтому с известным приближением движение свободного электрона можно рассматривать как движение группы (пакета) волн де Бройля. 3.2.Энергетические уровни для электрона в атоме. Принцип Паули При изучении поведения электронов в атоме было установлено, что электроны могут находиться не на любых орбитах, а лишь на разрешенных, или стационарных, орбитах, на которых они обладают вполне определенными энергией и моментом импульса. Положение этих орбит определяется из условия, согласно которому энергия электрона и момент его импульса могут принимать постоянным величинам, лишь значения, кратные определенным

другими словами, квантуются. Как показывает современная квантовая теория, состояние электрона в атоме характеризуется четырьмя квантовыми числами: п,l, j и mj. Главное квантовое число n принимает целые значения (n = 1, 2, 3, . . .) и определяет энергию электрона на орбите. Побочное квантовое число l принимает целые

38

значения, причем величина l на единицу меньше, чем число n (1 = 0, 1, 2,...) и определяет квантование (т.е. дискретность значения) момента импульса электрона на орбите. Кроме этого, электрону как элементарной частице присуща особая квантовая характеристика - спин, которому соответствует спиновый момент импульса. В связи с этим для квантования полного момента электрона вводится квантовое число j, определяющее квантование полного момента количества движения электрона на орбите. Поскольку такой полный момент электрона является векторной величиной, то при пространственном квантовании необходимо учитывать проекцию полного момента на определенное направление, например, на направление внешнего магнитного поля. Поэтому вводится четвертое квантовое число mj, которое учитывает проекцию полного момента и называется магнитным квантовым числом. Важным принципом квантовой механики является принцип Паули, согласно которому в атоме не может быть более двух электронов, обладающих одинаковыми значениями всех четырех квантовых чисел. Этот принцип позволяет объяснить периодичность построения системы Менделеева и строение электронных оболочек атома. Из принципа Паули следует, что состояния двух электронов должны отличаться друг от друга, по крайней мере, спином. То, что главное квантовое число принимает лишь целые значения, говорит о том, что электрон в атоме может находиться на вполне определенных энергетических уровнях. Исследования показали, что для электрона в изолированном атоме будут существовать отдельные или дискретные энергетические уровни. Например, в простейшем случае атома водорода энергетические уровни для электрона показаны на рис.3-1.

39 E En E5 E4 E3 E2

E1

Рис.3-1 Согласно принципу Паули, на данном энергетическом уровне не может находиться более двух электронов, отличающихся направлением спина. Из рис.3-1 видно, что с возрастанием энергии Е расстояние между соседними уровнями сильно уменьшается, т. е. уменьшаются промежутки, соответствующие участкам запрещенных значений энергии. Такой же характер распределения уровней сохраняется и для более сложных атомов, имеющих несколько электронов в оболочке. В этом случае энергетические уровни, соответствующие валентным электронам, расположены более близко друг к другу. 3.3. Уравнение Шредингера. Волновая функция движущейся элементарной частицы (например, электрона) позволяет определить все характеристики ее движения: координату, импульс и энергию. Пусть, например, волновая функция для свободного электрона задана выражением (3.4), причем скалярное произведение рr определяется выражением (3.5). Если электрон движется вдоль оси х, то его координата, импульс и энергия определяются по производным: ∂Ψ i = − xΨ ; = ∂p x

i ∂Ψ = − p xΨ ; ∂x =

i ∂Ψ = E kΨ ∂t =

(3.11)

40

или: x = i=

1 ∂Ψ ; Ψ ∂p x

p x = i=

1 ∂Ψ Ψ ∂x

E k = −i =

;

1 ∂Ψ . Ψ ∂t

(3.12)

Возникает вопрос о том, как же определяется сама волновая функция для элементарной частицы, в данном случае, для электрона. Волновая функция представляет собой решение уравнения Шредингера, представляющего собой дифференциальное уравнение второго порядка в частных производных и составленного для этой волновой функции. Вначале запишем уравнение Шредингера для свободной частицы (свободного электрона), для которого волновая функция (3.4) известна, а затем обобщим его на случай наличия внешнего потенциального поля. С этой целью функцию (3.4) разобьем сначала на два множителя: i

i

i

Ψ ( x , y , z ,t ) = Ψ 0 e− = pr e = E k t = ψ e = E k t ,

(3.13)

где функция: i

ψ ( x , y , z , ) = Ψ 0 e− = pr

(3.14)

представляет собой по существу амплитуду волновой функции Ψ, которая зависит только от координат и не зависит от времени. Мы будем рассматривать только стационарные процессы. Поэтому в (3.13) можно опустить временной множитель, оставив лишь волновую функцию (3.14), которая зависит только от координат. Требуется составить дифференциальное уравнение для стационарной волновой функции свободного электрона ψ. Эта функция и будет являться решением данного уравнения. Для этого определим вторые производные по координатам от функции (3.14) с учетом (3.5). Такие производные запишутся в виде: 2 1 2 ∂ ⎛ i ⎞ ∂ψ = − ψ = − p p xψ ; ⎟ ⎜ x 2 2 ∂x ⎝ = ⎠ ∂x = 2 2 1 2 1 2 ∂ψ ∂ψ ψ ; = − = − p p zψ y 2 2 2 2 ∂y ∂z = =

41

Складывая эти производные и учитывая, что: 2 px + p y + pz p , = Ek = 2m 2m 2

получим:

2

2

2m ∂ψ ∂ψ ∂ψ + + = − ψ. 2 2 2 2 Ek ∂y ∂x ∂z = 2

2

(3.15)

2

(3.16)

Левая часть этого равенства представляет собой оператор Лапласа ∆, поэтому последнее равенство перепишется так: 2

= − ∆ψ = E k ψ . 2m

(3.17)

Дифференциальное уравнение (3.16) или (3.17) и является уравнением Шредингера для свободного электрона. Из уравнения (3.17) видно, что если применить оператор Лапласа к 2 = волновой функции ψ и умножить его на − , то получим кинетическую 2m энергию Еk . Поэтому оператор 2 = ∆ (3.18) Ek = − 2m в квантовой механике называется оператором кинетической энергии. Обобщим теперь уравнение (3.17) на случай движения электрона в потенциальном поле внешних сил. Для этого заменим в его правой части кинетическую энергию Еk через разность полной Е и потенциальной V энергий электрона:

Еk=Е - V. Тогда вместо ( 5.17 ) получим: 2 = − ∆ψ + Vψ = Eψ . 2m

(3.19) (3.20)

42

Уравнение (3.20) представляет собой уравнение Шредингера для случая движения электрона во внешнем поле, в котором его потенциальная энергия равна V. Справа в уравнении (3.20) стоит полная энергия Е, поэтому оператор: 2

= H =− ∆ +V 2m

по аналогии с (3.18), называют оператором полной энергии. Как уже отмечалось выше, уравнение (3.20) справедливо для стационарных состояний электрона, так как волновая функция не содержит временного множителя. Если же перейти к полной волновой функции Ψ, содержащей временной множитель [см. (3.13) и (3.14)]: i

Ψ ( x , y , z ,t ) = ψ ( ч , y , z ,t ) e = Et , т. е. к нестационарным процессам, то уравнение Шредингера с учетом (3.12) для этого случая запишется так: ∂Ψ = − ∆Ψ + VΨ = −i= . 2m ∂t 2

(3.21)

При помощи уравнения (3.21) исследуются, например, переходы электрона из одного стационарного состояния в другое. Теперь рассмотрим более подробно уравнение Шредингера (3.20) для стационарных состояний электрона (частицы). Уравнения вида (3.20) в математике уже были известны до появления квантовой механики, и было выяснено, что они имеют определенные однозначные и конечные решения лишь для дискретного ряда значений параметра в правой части уравнения. В частности, уравнение (3.20) имеет такие решения при отдельных, т.е. дискретных значениях энергии Е:

E=E1,E2,…

(3.22)

Такие значения энергии называются собственными значениями оператора энергии, которым соответствуют собственные функции: ψ=ψ1,ψ2,…. (3.23)

43

Собственные функции (3.23) являются решениями уравнения (3.20) при значениях энергии, определяемых (3.22). Следовательно, влияние внешнего поля V на движение электрона сводится к тому, что электрон может принимать не любые, а лишь определенные возможные значения энергии. Это означает, в атоме, например, он может находиться, лишь на определенных энергетических уровнях. Поэтому уравнение Шредингера позволяет строго определить возможные энергетические уровни электрона в атоме. Выше рассматривался случай, когда одному значению энергии соответствовало только одно значение волновой функции, т. е. одно состояние электрона. Однако чаще бывает так, что данному собственному значению энергии Еn соответствует несколько собственных значений функции ψn, т. е. ψn1, ψn2, ψn3,… . Но это означает, что при заданном значении энергии электрона он может находиться в различных состояниях, так как состояние электрона определяется функцией ψ. Такой энергетический уровень называется вырожденным, причем вводится также понятие о кратности вырождения. Если, например, данному значению энергии Е соответствует g значений (или g возможных состояний), то уровень будет вырожден с кратностью g. В частности, для электрона в атоме только уровень п =1 (состояние l = 0) будет невырожденным, а все остальные уровни будут вырожденными. 3.4. Метод возмущений в квантовой механике Система собственных функций (3.23) является ортогональной и полной. Ортогональность функций означает, что выполняется условие:

∫ψ ψ dV i

∗ k

при i ≠ k ,

(3.24)

V

т. е. интеграл по объему от произведения функций с разными индексами равен нулю4. Полнота системы функций (3.23) заключается в том, что по этой системе можно разложить в ряд любую функцию координат 4

Свойство ортогональности функций (3.24) напоминает ортогональность векторов. Например, векторы а и b будут ортогональными, т. е. взаимно перпендикулярными, если их скалярное произведение равно нулю (ab)=0.

44

Ф( x , y , z ) =

∑C ψ k

k

,

(3.25)

k

где Ck - коэффициент разложения. Кроме этого, волновая функция ψ нормирована к единице, т. е. выполняется условие: ∗ ∫ψψ dV = ∫ ψ = 1 . 2

V

(3.26)

V

Условие нормировки к единице объясняется вероятностной трактовкой квадрата модуля волновой функции (сумма вероятностей равна единице). Коэффициенты Сk в разложении (3.25) можно определить, воспользовавшись условием ортогональности и нормированности собственных функций ψ. ∗ Действительно, умножив (3.25) на ψ i и взяв интеграл по объему от обеих частей равенства, получим с учетом (3.24) и (3.26):

∫ Фψ V

∗ i

∫ ∑C ψ ∗

dV = ψ i

k

k

dV =

k

V

∑ C ∫ψ ψ ∗ i

k

k

k

dV

V

или:

∫ Фψ

∗ i

dV = C i .

(3.27)

V

Метод возмущений в квантовой механике позволяет решать практические и достаточно сложные задачи по определению движения электрона во внешнем поле. Обычно внешнее поле задать очень трудно, поэтому его разделяют на два слагаемых:

V=V0+V1.

(3.28)

где V0 - основная часть поля, a V1 - маленькая добавка, малое возмущение. Например, в сложном атоме можно считать, что данный электрон движется под влиянием поля ядра, а влияние остальных электронов рассматривается как малое возмущение. Собственные функции оператора V0 невозмущенной задачи обычно известны, а малое возмущение V1 ищется путем разложения его собственной функции ψ1 в ряд по собственным функциям ψ0K оператора V0, т. е.:

45

ψ 1 = ∑ C kψ 0k

(3.29)

k

Неизвестные коэффициенты Сk разложения (3.29) находятся аналогично (3.27). Практически при расчетах метод возмущений сводится к методу последовательных приближений, так как, например, значение V0 можно считать нулевым приближением, а значение V1 первым приближением. Разумеется, что можно вычислить и дальнейшие приближения, если это диктуется условиями задачи. Важным обстоятельством в методе возмущений является то, что, как показывают расчеты, при наложении возмущения вырожденные уровни расщепляются в свою очередь на уровни (т.е. подуровни), число которых соответствует кратности вырождения. 3.5. Соотношение неопределенностей Гайзенберга В классической механике, справедливой для макроскопических объемов, считается, что координата и импульс (скорость) тела могут быть определены одновременно и с любой точностью. Такой вывод связан с тем, что в классической механике частица считается движущейся по траектории, на которой в каждый момент времени она должна иметь вполне определенную координату и импульс. В квантовой же механике, справедливой для микромира, дело обстоит иначе, и такие классические модели и понятия, как траектория, здесь неприменимы. В квантовой механике координату и импульс одновременно нельзя определить сколь угодно точно. Чем точнее задается координата, тем менее точно определяется импульс, и, наоборот, при более точно заданном значении импульса будет уменьшаться точность в определении координаты. Это следует из того, что волновая функция, определяющая волновые свойства микрочастиц, имеет вероятностный смысл. Рассмотрим, например, электрон, движущийся вдоль оси х. Неточность в определении координаты обозначим через ∆х, а неточность в определении импульса через ∆px. В квантовой механике выводится соотношение, согласно которому произведение этих неточностей не может быть меньше постоянной Планка:

46

∆p x ⋅ ∆x ≥ h .

(3.30)

Выражение (3.30) впервые было введено Гайзенбергом и получило название соотношения неопределенностей. Выражение (3.30) следует понимать так, что одновременно координату и импульс микрочастицы можно определить с точностью, не превышающей величины, которая устанавливается выражением (3.30). Приведем пример на применение соотношения (3.30) для случая движения электрона в периодическом потенциальном поле кристаллического полупроводника. Если через а обозначить постоянную решетки кристалла, то можно допустить, что неточность в определении координаты (∆x) электрона будет порядка а, т. е. ∆x=a. Тогда на основании (3.30) получим, что неточность в определении мгновенной скорости электрона будет не меньшей, чем

∆p x ⋅ ∆x = m∆v x a = h , или:

∆v x =

h . ma

Подставив сюда значение постоянной решетки а~10-9 м, массу электрона m = 9·10-31 кг и h = 6,62-10-34 Дж·с, получим: −34 6 ⋅ 10 7 м ≈ . ∆v x ≈ 10 − 31 −9 ⋅ с 9 ⋅ 10 10

С другой стороны известно, что при обычных температурах скорость теплового движения электрона по порядку величины равна 106 м/с. Отсюда следует, что неточность в определении мгновенной скорости электрона оказывается больше самой величины скорости. Следовательно, для полупроводника определение мгновенной скорости теряет смысл, и очевидно, что можно говорить лишь о средней скорости электрона. 3.6. Простейшие задачи квантовой механики

Электрон в потенциальной яме (квантование энергии электрона)

47

При рассмотрении этой задачи легко убедиться, что сам аппарат квантовой механики приводит к тому, что энергия электрона (микрочастицы) в потенциальной яме квантуется, т. е. приобретает дискретные значения. С целью упрощения дальнейших рассуждений преобразуем уравнение Шредингера к виду чисто волнового уравнения. Для свободного электрона имели 2

= − ∆ψ = E k ψ 2m

или в другом виде: 2

= ∆ψ + 2mE k ψ = 0 . 2 2m =

Однако: 2

p k 2 =2 = Ek = m 2m

и

2mE k = k2 . 2 =

Поэтому рассматриваемое уравнение можно записать так:

∆ψ + k 2ψ = 0 ,

(3.31)

где k - волновое число для свободной частицы, определяемое формулой: k = k св =

2mE k . 2 =

(3.32)

Следовательно, для свободной микрочастицы уравнение Шредингера (3.31) имеет такой же вид, что и волновое уравнение в форме Гельмгольца. Мы уже встречались с этим уравнением ранее, в разделе "Волны". Аналогично этому уравнение Шредингера 2

= − ∆ψ + Vψ = Eψ 2m

для частицы в потенциальном поле V = V (х, у, z) преобразуется к такому же уравнению

48

∆ψ + k 2ψ = 0 ,

(3.31a)

но волновое число определяется уже не выражением (3.32), а следующим выражением: k=

2m( E − V ) =

2

.

(3.33)

Cравнивая выражения (3.33) и (3.322), легко видеть, что для определения волнового числа можно пользоваться одной и той же формулой (3.33). В самом деле, для свободной частицы просто нужно в ней полагать V = 0. Предположим, что электрон находится в потенциальной яме шириной а (рис.3-2), причем стенки ямы представляют собой бесконечно высокие потенциальные барьеры. Другими словами, граничными условиями такой задачи будут условия: при

0<х<а

V (x) = 0

и

V ( x ) x =0 = V ( x ) x =a = ∞ .

(3.34)

В рассматриваемом случае частица (электрон) не может находиться за пределами ямы. Поэтому, учитывая, что вероятность нахождения частицы в данном месте пространства определяется волновой функцией, можно говорить о нулевых значениях волновой функции ψ(x) на границах области.

49

V(x) E

n=3

E

n=2 n=1

e

E

0

3

2

1

x

x=a

Рис. 5-2 В рассматриваемом случае частица (электрон) не может находиться за пределами ямы. Поэтому, учитывая, что вероятность нахождения частицы в данном месте пространства определяется волновой функцией, можно говорить о нулевых значениях волновой функции ψ(x) на границах области. Поэтому для волновой функции электрона в потенциальной яме будут справедливы следующие граничные условия:

ψ ( x ) ч =0 = ψ ( x )

x =a

= 0.

Общее решение волнового уравнения (3.31а), рассматриваемой одномерной задачи принимает вид

(3.35) которое

для

2 d ψ( x ) + k 2ψ = 0 , 2 dx

выражается, как известно, через гармонические функции. Это решение имеет вид: ψ ( x ) = A sin( kx + ϕ 0 ) , (3.36) где А - амплитуда, а ϕ0 -дополнительная фаза. Применяя к (3.36) первое условие (3.35), будем иметь:

50

0 = A sin (0 + ϕо), т. е. получаем, что ϕо = 0. Из другого условия (3.35) получаем: т. е. kna=nπ или:

0 = A sinka,

kn =

nπ , a

(3.37)

где n = 1, 2, 3,... (целое число). Отсюда следует, что волновая функция для электрона (3.36) в потенциальной яме с учетом (3.37) запишется в виде:

ψ n ( x ) = A sin

nπ x, a

(3.38)

Выражение (3.38) с учетом различных значений числа n определяет собственные волновые функции для электрона в потенциальной яме. При этом каждое собственное значение волновой функции соответствует определенному возможному или собственному состоянию электрона по энергии. Используя (3.37), легко записать выражение для собственных значений энергии электрона: 2 2 2 p kn = = , En = 2m 2m или: 2 2 nπ = 2 2 a 2 = π =n , En = 2 2m 2ma т.е.:

( )

=π . En = n 2 2ma 2

2

2

(3.39)

51

Следовательно, по формуле (3.39) определяются собственные или возможные значения энергии электрона (микрочастицы) в потенциальной яме. Другими словами, по этой формуле определяются значения энергетических уровней для электрона в данной задаче. Первые из таких уровней показаны на рис.3-2. Целое число n, которое определяет значение энергии электрона (микрочастицы), и будет называться квантовым числом для этой задачи. Рассмотрим теперь разность уровней при больших значениях n: 2 ∆E = E n +1 − E n = ⎡⎢( n + 1) − n2 ⎤⎥ = π 2 = (2n + 1) = π 2 . ⎣ ⎦ 2ma 2ma 2

2

2

2

Если же взять отношение

∆E En

=

2n + 1

n

2

≈

2 , n

то при больших значений n оно будет стремиться к нулю. Отсюда следует вывод, что дискретность, т.е. раздельность энергетических уровней, сказывается лишь для малых значений квантового числа n. При больших же значениях n дискретность уровней утрачивается. Точно так же, используя выражение (3.38), можно для некоторых значений n зарисовать графики волновой функции в случае электрона в потенциальной яме. Графики этой функции изображены на рис.5-3а для трех значений квантового числа n. Эти графики строятся следующим образом. При n=1 волновая функция принимает вид:

ψ 1 = A sin

πx

a и обращается в нуль при x=0 или при x=a. Волновая функция принимает максимальное значение посередине ямы: ψ1=A при x=a/2. Это означает, что наиболее вероятное местонахождение электрона - посередине ямы, а плотность этой вероятности определяется квадратом модуля волновой 2 функции ψ .

52

При n=2 волновая функция имеет вид: ψ 2 = A sin

a/2, a и ψ2=±A, когда x=a/4 или x=3a/4.

2πx ; тогда ψ2=0 при x=0, a

3πx ; тогда a ψ3=0 при x=0, a/3, 2a/3 и a. Функция принимает максимальное значение, т.е. ψ3=±A при x=a/6, 3a/6 или 5a/6. Эти координаты и есть наиболее вероятные местоположения электрона в данном случае. Наконец, при n=3 волновая функция выглядит так: ψ 3 = A sin

ψ

ψ

2

n=3

E3

E3

n=2

E2

E2

n=1

E1 x

E1

0

x=a

а)

0

x

x=a

б) Рис.3-3

На рис.3-3б изображены графики соответствующих плотностей вероятностей состояния электрона для тех же значений квантового числа. Как видно из рис.3-3б, во всех состояниях с n≥2 внутри ямы существуют такие точки, вблизи которых вероятность обнаружить частицу равна нулю. В этом проявляется существенное отличие описания движения частицы по квантовой теории от описания по классической теории. Такое же отличие проявляется в представлении дискретного спектра возможных значений энергии.

53

Необходимо заметить, что самый низкий энергетический уровень будет при n = 1. Он называется основным. Остальные энергетические уровни будут возбужденными. Выше мы рассмотрели одномерную задачу или плоскую модель потенциальной ямы. Совершенно аналогично можно было бы рассмотреть трехмерную задачу. В этом случае необходимо учитывать все три координаты х, у, z, а одномерная потенциальная яма как бы заменяется потенциальным ящиком, имеющим три измерения. В такой трехмерной задаче решение волнового уравнения, определяющее собственные функции, будет иметь вид:

ψ n1n2n3 ( x , y , z ) = A sin n1

πx

a1

⋅ sin

n πz n2 πy ⋅ sin 3 . a3 a2

(3.40)

Соответственно собственные значения энергии определяются формулой: ⎛ n12 n22 n32 ⎞ = 2 π 2 , (3.41) E n1n2n3 = ⎜ 2 + 2 + 2 ⎟ ⋅ 2 m ⎝ a1 a 2 a3 ⎠ где n1, n2, n3 - целые числа, являющиеся квантовыми числами при квантовании энергии по осям х, у и z. В случае кубического потенциального ящика а1 = а2 = a3 = а и вместо (3.41) можно записать: =π . E n1n2n3 = (n + n + n ) ⋅ 2 2ma 2

2 1

2 2

2 3

2

(3.42)

Используя выражение (3.42), легко показать на примере этой трехмерной задачи вырождение энергетических уровней, о котором говорилось выше. Предположим, что n1 + n2 + n3 = 9 ,

(3.43)

π E =9 = 2. 2ma

(3.44)

2

2

2

что соответствует энергии 2

2

54

Хотя выражением (3.44) задан вполне определенный энергетический уровень, однако условие (3.43) может быть выполнено тремя различными комбинациями квантовых чисел n1, n2, nз: 1-я комбинация: n1 =1, n2 =2, n3=2; 2-я комбинация: n1 =2, n2 =1, n3=2; 3-я комбинация: n1 =2, n2 =2, n3=1. Если учесть, что для каждой комбинации таких трех чисел по (3.40) волновая функция будет иметь свое значение, то заданному энергетическому уровню будут соответствовать три различных значения волновой функции. Другими словами, заданному энергетическому уровню будут соответствовать три различных состояния частицы, или этот уровень будет иметь трехкратное вырождение. 3.7. Прохождение микрочастицы через потенциальный барьер. Туннельный эффект Пусть имеется потенциальный барьер высотой V в виде прямоугольного уступа, показанный на рис. 3-4. Область 1

V(x)

Область 2

V-E e V

x 0

Рис. 3-4

55

Будем рассматривать область 1 - слева от барьера и область 2 -справа от барьера. При этом считаем, что частица массой m имеет энергию Е и движется к барьеру слева направо. Эти условия можно сформулировать следующим образом:

V=0 при V = V (х) при

-∞ < x < 0 0 < х <+ ∞

(область 1) (область 2).

(3.45)

Запишем отдельно для каждой из двух областей волновое уравнение (3.31а), соответствующее уравнению Шредингера, с учетом одной координаты х: для области 1

d ψ1 + k 12ψ 1 = 0 ; 2 dx

(3.46)

d ψ2 + k 22ψ 2 = 0 , 2 dx

(3.47)

2

для области 2

2

где:

k1 =

2mE k =

и

k2 =

2m( E − V ) . =

(3.48)

Общие решения уравнений (3.47) и (3.48) можно записать в комплексном виде через экспоненциальные функции: область 1

область 2

ψ 1 = A1 ei k1x + B1 e− ik1x ;

(3.49)

ψ 2 = A2 ei k 2 x + B 2 e− ik 2 x .

(3.50)

Проанализируем эти решения. В решении (3.49) первое слагаемое представляет собой плоскую волну, бегущую в положительном направлении оси х, т. e. слева направо или к барьеру. Другими словами, это будет

56

падающая на барьер волна. Точно так же легко видеть, что второе слагаемое в (3.49) определяет волну, распространяющуюся в противоположном направлении (в отрицательном направлении оси х), т. e. волну, отраженную от потенциального барьера. Аналогично этому в решении (3.50) первое слагаемое определяет волну, бегущую в области 2 направо, т. e. волну, проходящую через потенциальный барьер. Из этих же соображений второе слагаемое в (3.50) должно соответствовать волне, бегущей в области 2 справа налево, т. е. как бы отраженную волну. Однако в области 2 волне не от чего отражаться и по смыслу такой волны не может быть. Поэтому в решении (3.50) из физических соображений необходимо положить коэффициент В=0 и брать его решение в виде:

ψ 2 = A2 ei k 2 x .

(3.51)

Энергетические коэффициенты отражения R и пропускания D в случае заданного барьера можно оценить, учитывая, что интенсивность волны прямо пропорциональна квадрату ее амплитуды. Тогда коэффициент отражения от потенциального барьера будет равен R=

B1 A1

2 2

.

Аналогично этому коэффициент пропускания или прозрачности потенциального барьера запишется в виде: D=

где n =

A2 A1

(3.52) коэффициент

2 2

n,

(3.53)

λ 2 - коэффициент преломления волны в оптическом смысле, а λ и 2 λ1

λ1 - длины волн в областях 2 и 1. При этом в выражениях (3.52) и (3.53) в

силу комплексности функций ψ1 и ψ2 взяты квадраты модулей соответствующих амплитуд. Необходимо также оговориться, что по закону сохранения энергии должно выполняться соотношение:

R+D=1.

(3.54)

57

По классической механике, если бы частица обладала энергией, меньшей высоты барьера (EE). Легко видеть, что в этом случае волновое число для области 2 становится чисто мнимой величиной. В самом деле, при V>E имеем: 2m( E − V ) 2m( V − E ) . (3.55) =i k2 = = = В данном случае волновая функция (3.51) будет экспоненциально убывающей: 2π

ψ 2 = A2 ei k 2 x = A2 e− =

2 m( V − E ) x

.

(3.56)

Однако, квадрат ψ2 по смыслу определяет вероятность проникновения частицы за потенциальный барьер. Отсюда следует, что эта вероятность не равна нулю, а имеет вполне определенное конечное значение. С учетом (3.56) для случая высокого барьера коэффициент прозрачности D потенциального барьера толщиной d будет определяться выражением: D = D0 e

−

4π =

2 m( V − E ) d

.

(3.57)

Из выражения (3.57) видно, что коэффициент прозрачности барьера убывает с увеличением толщины барьера по экспоненциальному закону. Ниже приведем расчетные значения коэффициента D в зависимости от изменения толщины барьера d: d, D

Å

1 0,1

1,5 0,03

2 0,008

5 5,5·10-7

Из приведенных данных видно, что легче всего проницаем барьер толщиной в один ангстрем (1 Ǻ = 10-10 м), т. е. когда толщина барьера соответствует атомным размерам.

58

На основании изложенного можно сделать вывод, что согласно квантовой механике через потенциальный барьер могут проникать даже те микрочастицы, энергия которых меньше высоты барьера. Частицы как бы просачиваются через барьер, проходят через него как бы через туннель. Это явление и получило название туннельного эффекта. 3.8. Элементы квантовой статистики электронов Рассмотрим теперь вкратце поведение большого количества микрочастиц, т.е. системы. Под системой понимается совокупность большого количества тел или частиц. Макроскопические свойства таких систем и макроскопические процессы, протекающие в них, разумеется, будут зависеть от поведения элементов системы, т.е. от микроскопических процессов, происходящих с частицами. Ранее мы рассматривали такие статистические ансамбли или системы, состоящие из большого количества молекул. Для их описания применялись различные распределения, в частности, распределение Максвелла-Больцмана молекул по их скоростям. На ранних этапах исследования поведения микросистем делались попытки применить для электронов статистическое распределение Максвелла-Больцмана, которое первоначально применялось для молекул. Однако, как было показано позже, для электронов в общем случае справедливой является квантовая статистика Ферми-Дирака.

Статистическое распределение Ферми-Дирака по квантовой теории Естественно, что при переходе к квантовой статистике, основывающейся на квантовой механике, необходимо учитывать все особенности последней. Во-первых, необходимо учитывать соотношение неопределенности Гайзенберга при рассмотрении элемента объема фазового пространства. Как известно, по классической статистике и классической механике, движение частицы однозначно определено, если заданы три ее координаты и три составляющих импульса. Поэтому элемент объема такого фазового пространства с учетом соотношения Гайзенберга, не может быть сколь угодно малым, а должен удовлетворять неравенству

dxdydzdpxdpydpz≥h3.

59

Следовательно, удовлетворяя соотношению неопределенностей, мы можем разбить фазовое пространство на такие элементарные ячейки, которые «по размеру» будут не меньше, чем h3. Попадая в такую элементарную ячейку фазового пространства, электрон будет обладать вполне определенным состоянием. Поэтому число ячеек в таком шестимерном пространстве, а значит, и число возможных состояний электрона равно фазовому объему, деленному на h3, т. е. число возможных состояний будет равно:

dxdydzdp x dp y dp z 3

h

.

Во-вторых, необходимо учитывать принцип Паули, а это приводит к тому, что в каждой ячейке фазового пространства может быть лишь два электрона с различными спинами. Если перейти от шестимерного фазового пространства к трехмерному пространству импульсов, то элемент объема запишется в виде:

dxdydzdpxdpydpz = Vdpxdpydpz = h3, откуда: 3

h , dp x dp y dp z = V где V - объем соответствующей системы. Следовательно, в трехмерном пространстве импульсов минимальный размер элементарной ячейки будет равен h3/ V. В-третьих, в квантовой статистике Ферми-Дирака все частицы (электроны) считаются неразличимыми, и перемена их местами не приводит к изменению состояния всей системы частиц. В классической же статистике, статистике Максвелла-Больцмана, считалось, что перемена мест частиц приводит к изменению состояния системы. Итак, к электронам применима квантовая статистика, исходящая из необходимости описания электронов при помощи квантовой механики. С учетом всех этих особенностей квантовой теории Ферми и Дираком была выведена формула для функции распределения электронов по энергиям:

60

fф=

1 1+ e

E −µ kT

,

(3.58)

где µ=EF - энергия Ферми, соответствующая химическому потенциалу. Следовательно, для вырожденного электронного газа применима формула (3.58). Однако можно легко видеть, что при некоторой более высокой температуре такое вырождение может и сниматься. В самом деле, если при некоторой температуре, называемой температурой вырождения, и выше имеет место соотношение E −µ

e kT >> 1 ,

то (3.58) переходит в следующее: µ

E

E

f ≈ e kT e− kT = Ae− kT , что уже совпадает с классическим распределением Максвелла-Больцмана.

Рис. 3-5 На рис. 3-5 представлены графики функции fф по (3.58) для случаев Т=0 и Т>0. Из этих графиков видно, что при Т=0 вероятность заполнения электроном уровня с энергией Е<µ равна 1, т. е. fф= 1. Наоборот, fф=0, если Е>µ.. Если же Т>0, то fф≠0 при Е >µ , и имеет конечное значение. Разумеется, что если функция f определяет вероятность заполнения энергетического уровня электроном, то вероятность того, что уровень будет пустой, равна (1-f ). В заключение запишем распределение частиц по импульсам и по энергиям в квантовой статистике.

Как мы видели выше, число ячеек Z в трехмерном пространстве импульсов будет равно V Z = 3 dp x dp y dp z . h Соответственно число ячеек z в единице объема кристалла (системы) запишется в виде: Z dp x dp y dp z . z= = 3 V h (3.59) Тогда число dn электронов в единице объема, импульсы которых находятся в интервале от рx до рx + dpx, от ру до ру + dpy, от рz до pz + dpz, с учетом (3.58), (3.59) и принципа Паули будет определяться выражением: dn( p x , dp y , dp z ) =

1 e

E −µ kT

+1

⋅

2dp x dp y dp z h

3

.

(3.60) По аналогии с этим число электронов в единице объема, обладающих энергиями, значения которых лежат в интервале от Е до Е + dE, определится выражением: 32 E dE 4π ( 2m ) . dn( E ) = E −µ e kT + 1 (3.61)

4. ОСНОВЫ КВАНТОВОЙ ТЕОРИИ АТОМА 4.1. Ядерная модель атома и теория Бора Опыты Резерфорда по рассеянию α-частиц В начале XX в. создание новой теории строения материи явилось центральной задачей физики. Для решения этой задачи необходимо было ответить на ряд вопросов, стоявших перед наукой. Как распределен или где сосредоточен внутри атома положительный электрический заряд? Как ведут себя электроны внутри атома и каково их распределение? Сколько электронов может быть в атоме того или иного химического элемента? Хотя дискретность электрических зарядов к тому времени была доказана, оставалось неясным, какую роль играет во внутреннем строении атома положительное электричество. Первая модель строения атома была предложена Томсоном; согласно его модели атом - это шар с равномерным распределением положительного электричества по всему объему. Электроны погружены или вкраплены в шар и могут в нем двигаться. Пользуясь моделью Томсона, нельзя было объяснить прохождение α-частиц через тонкую металлическую фольгу, не вступив в противоречие с основным законом взаимодействия электрических зарядов. Опыт показал, что α-частиц проходят через фольгу. Поэтому был сделан вывод о том, что αчастицы могут проходить сквозь такие положительно заряженные шары. Классические опыты по изучению строения атома, проведенные Резерфордом в 1911 г., показали, что модель, предложенная Томсоном, неверна. Резерфорд ставил опыты по исследованию рассеяния α-частиц тонкими листочками металлической фольги. Главная цель этих опытов состояла в том, чтобы выяснить, распределено ли положительное электричество по всему объему или сосредоточено в ядре. В первом случае α-частицы не должны резко менять направление при соударении с атомами; во втором случае при соударении α-частиц с атомами должны наблюдаться самые разнообразные углы отброса α-частиц. На рис. 4-1 показана картина рассеяния α-частиц после их соударения с атомом при различных прицельных расстояниях Р (прицельным называется кратчайшее расстояние от атомного ядра до первоначального направления траектории α-частиц).

63

Рис.4-1 Бомбардируя атомы α-частицами, Резерфорд установил, что они свободно пронизывали атом во всех направлениях, кроме центра. Вблизи центра частицы явно отклонялись от прямолинейного пути, как бы испытывая отталкивающее воздействие, исходящее от центра атома. Когда же частицы были направлены прямо в центр атома, они отталкивались назад, кинетическая энергия α-частицы к моменту ее остановки превращалась в потенциальную энергию взаимодействия заряда α-частицы с зарядом 2е и ядра атома с зарядом Ze, т. е. 2 2eZe mv = . 2 4πε 0 r

(4.1)

Траекторией -частицы во всех случаях будет гипербола, в фокусе которой находится центр атома (атомное ядро). Для более общего случая, когда центр ядра атома находится в стороне от направления движения частицы, Резерфорд вывел формулу, связывающую заряд Ze с прицельным расстоянием Р и углом отклонения частицы от первоначального направления движения. Эта формула имеет вид:

θ

2

mv ctg = 2 P . 2 Ze

(4.2)

64

Формулу (4.2) невозможно проверить на опыте, так как в нее входит недоступное измерению прицельное расстояние Р. Однако, используя эту формулу в статистической теории, можно получить выражение для эффективного сечения рассеяния5 в зависимости от параметров, доступных экспериментальной проверке.

Рис. 4-2 Обозначим через n плотность потока -частиц, налетающих на ядро (n имеет размерность [м-2 ⋅с -1], а через dN - число частиц, рассеянных в единицу времени внутри телесного угла dΩ в направлении, характеризуемом плоским углом d (рис.4-2). Тогда число -частиц, рассеянных за единицу времени внутрь единичного телесного угла, можно определить по формуле6:

(

)

2

2 dN Ze =n ⋅ 2 dΩ 4πε 0 mv

1 sin

4

θ

.

(4.3)

2

5

Эффективное сечение рассеяния представляет собой величину, характеризующую вероятность рассеяния при прохождении слоя толщиной в 1м, содержащего одну частицу. 6 Из формулы (4.3) следует, что при определенной энергии α-частиц и заданной плотности их потока dN

произведение dΩ

sin 4

θ 2

должно оставаться постоянным для всех значений угла θ.

65

В формуле (4.3) учтено, что телесный и плоский углы связаны друг с другом соотношением: dΩ=2π sin θdθ. Опыты Резерфорда и других исследователей показали, что положительный заряд атома действительно сосредоточен в ядре атома, как и почти вся масса атома, что ядро атома в сто тысяч раз меньше самого атома и что число электронов в атоме равно атомному номеру элемента в периодической системе Менделеева. Кроме того, было показано, что силы, связывающие электроны с ядром, подчинены закону Кулона.

Затруднения классической теории атома Строение атома по Резерфорду сходно со строением планетной системы, однако, это сходство кажущееся. Во-первых, электроны отталкиваются один от другого, что не происходит между планетами, во-вторых, массы и заряды электронов тождественны, а массы планет неоднородны, и, наконец, атому свойственна исключительная устойчивость, которой нет у планетных систем. Если бы через Солнечную систему, около Земли, прошло постороннее тело, то продолжительность года изменилась бы. В то же время манипуляции, произведенные над веществом, не изменяют расположения ни спектральных линий, ни электронов; они занимают первоначальное расположение, которое полностью определяется зарядом ядра и его массой. Моделью Резерфорда не удалось объяснить устойчивость атома. Напротив, по законам классической электродинамики вращение электронов вокруг ядра должно было бы вызвать неустойчивость; атом должен был бы излучать электромагнитные волны, в результате чего энергия электрона, а вместе с ней и скорость его движения вокруг ядра должны были бы постепенно убывать, и электрон неизбежно должен был бы упасть на ядро. Однако этого не происходит. Следовательно, по законам классической электродинамики, атом должен быть неустойчивым и излучать непрерывный спектр. Однако это противоречит опыту. Правильный вывод был сделан в 1913 г. Нильсом Бором; он предположил, что обычные законы электродинамики неприменимы к внутриатомным процессам, и показал, что внутриатомные процессы подчинены законам квантовой теории. К такому заключению Бор пришел на основе анализа строения линейчатых спектров. К этому времени по спектрам

66

было известно следующее. В 1885г. Бальмер7 нашел, что длину волны λ, которая соответствует линиям водорода, расположенным в видимой части спектра, можно вычислить по эмпирической формуле: 2

λ = B 2n , (4.4) − 4 n где вместо n следует подставлять целые числа 3, 4, 5, 6, а В - эмпирическая константа, равная 3645,6⋅10-10 м = 3645,6 Å. В спектроскопии также часто пользуются не длинами волн, а волновым числом ν, которое определяется так: ν ν 1 ν~ = = = , с λν λ т. е. ν~ есть число волн, укладывающихся на длине в 1 м. Из (4.4) получаем: 1 1 n2 − 4 4 ⎛ 1 1 ⎞ ~ ν = = ⋅ 2 = ⎜ − 2⎟. (4.5) λ B n B⎝4 n ⎠ Обозначая величину 4/В через R, перепишем формулу (4.5) в виде:

⎛1 1⎞ − 2⎟ 2 ⎝2 n ⎠

ν~ = R⎜

(4.5a)

- это и есть формула Бальмера, а величина R называется постоянной Ридберга8 (R=109737,309 см-1). Дальнейшие исследования показали, что в спектре водорода существует несколько других серий. Следовательно, общую формулу для всех серий, включая и серию Бальмера в видимой части спектра, можно записать в таком виде: 1 ⎞ ⎛ 1 ν = K⎜ 2 − 2 ⎟ . (4.6) ⎝ n' n' ' ⎠ Многие линии, расположенные в ультрафиолетовой и инфракрасной областях спектра, были обнаружены экспериментально. 7 8

Johann Jakob Balmer, 1825 -1898 - швейцарский физик. Johannes Robert Rydberg, 1854-1919 - шведский физик,

67

В ультрафиолетовой части спектра находится серия Лаймана. Остальные серии лежат в инфракрасной области. Линии этих серий могут быть представлены в виде формул, аналогичных (4.5а): cерия Лаймана: серия Пашена: серия Брэкета: серия Пфунда:

⎛1 1 ⎞ ⎟ (n=2,3,4,…..), 2 ⎝1 n ⎠ ⎛1 1⎞ ν~ = R⎜ 2 − 2 ⎟ (n=4,5,6,…..), ⎝3 n ⎠ ⎛1 1⎞ ν~ = R⎜ 2 − 2 ⎟ (n=5,6,7,…..), ⎝4 n ⎠ ⎛1 1⎞ ν~ = R⎜ 2 − 2 ⎟ ( n=6,7,8,….. ). ⎝5 n ⎠

ν~ = R⎜ 2 −

Из формулы (4.6) следует, что частоты различных линий спектра водорода K K выражаются разностью двух членов 2 − 2 , получивших название термов. n' n' ' Легко видеть, что если разделить (4.6) на с, то придем к формуле (4.5а). Эмпирические формулы Бальмера показали, что спектральные линии находятся в определенной системе и что каждая серия имеет дискретный характер. Согласно же классической электродинамике спектры излучения должны быть непрерывными. Это противоречие убедительно подчеркивает неприменимость классической физики к внутриатомным процессам. 4.2. Основы теории строения атома по Бору

Постулаты Бора Идея о квантах, высказанная Планком в применении к излучению абсолютно черного тела, была перенесена Нильсом Бором (1913 г.) на внутриатомные процессы. В основу развитой им квантовой теории строения атома Бор положил три постулата: 1.Электрон может вращаться вокруг ядра только по таким стационарным орбитам, на которых момент импульса электрона равен целому кратному от h/2π:

68

h , (4.7) 2π где m - масса электрона; v - скорость электрона на n-й орбите; r - радиус этой орбиты; h=6,62⋅10-34 Дж⋅с (постоянная Планка); n - квантовое число (n = 1, 2, 3,4, . . .). 2. Электрон, движущийся по любой стационарной орбите, не излучает и не поглощает энергии. 3. При переходе электрона с внешней стационарной орбиты на внутреннюю, ближе к ядру, атом излучает квант энергии (рис.4-3): mvr n = n

hν=En - Ek .

(4.8)

Рис. 4-3 Поглощение фотона атомом сопровождается переходом электрона с внутренней орбиты на внешнюю. Очевидно, что электрон, достигая самой внутренней орбиты, не может больше приблизиться к ядру, а, следовательно, не может излучать фотоны до тех пор, пока за счет поглощенной извне энергии не будет переведен на одну из внешних орбит. Когда электрон находится на самой близкой к ядру внутренней орбите, атом находится в основном состоянии (нормальное состояние атома); нахождение электрона на других орбитах соответствует состояниям возбуждения атома. Если электрон удален из атома в бесконечность, то атом считается ионизированным.

69

Для вычисления энергии стационарных состояний атома Бор пользовался приемами классической механики, что при квантовом содержании исходных постулатов лишало его теорию логической последовательности.

Вывод обобщенной формулы для спектров Выведем теперь формулу для частоты излучения атома водорода при переходе электрона с n-й орбиты на k-ю. Исходим из того, что в атоме водорода электрон будет вращаться по орбите радиуса rn, если центростремительная сила, удерживающая электрон на орбите, будет равна кулоновской силе притяжения электрона к ядру. В системе СИ для вакуума это можно записать так: 2

2

mv e = , (4.9) 2 4πε 0 r n rn где  - электрическая постоянная. Решая совместно уравнения (4.7) и (4.9), получим: 2 e v= . (4.10) nh 2ε 0

На основании (4.10) и (4.7) радиус n - й орбиты будет, равен:

rn =

h ε0 2 = an2 , 2n πme 2

(4.11)

где a = h ε 02 ≅ 5,3⋅10-11 м - есть радиус первой боровской орбиты. πme Рассмотрим теперь водородоподобные атомы (ионы). Потенциальная энергия притяжения разноименных зарядов отрицательна и возрастает до нуля при удалении одного из зарядов в бесконечность. Выражение для потенциальной энергии электрона относительно ядра атома с зарядом Ze можно записать в таком виде: 2 Ze . (4.12) E пот = U ( − e ) = − 4πε 0 r n 2

Кинетическая энергия электрона на n-й орбите с учетом (4.10) определяется так:

70 2

E кин

2

mv Ze = = . 2 8πε 0 r n

(4.13)

Согласно (4.13) и (4.12), полная энергия электрона на n-й орбите будет равна: 2 2 4 Ze e m 1 Z = − 2 2 ⋅ 2. (4.14) E п = E пот + E кин = − 8πε 0 r n 8h ε 0 n Из (4.14) следует, что электрон в поле ядра может обладать только некоторыми дискретными значениями полной энергии, которая обусловлена квантовым числом n. Если теперь решать совместно (4.8) и (4.14), получим в системе СИ выражение для кванта лучистой энергии, излучаемой водородоподобным атомом при переходе электрона с n-й орбиты на k-ю: 2 4 2 4 2 4 e m e m Z e m⎛ 1 1 ⎞ Z Z ⎜ 2 − 2 ⎟. hν = E n − E k = − 2 2 2 + 2 2 2 = 2 2 8ε 0 h n 8ε 0 h k 8ε 0 h ⎝ k n ⎠ Тогда на основании (4.15) можно определить волновое число: 2 4 m⎛ 1 1 ⎞ Z ~ ν = 2e 3 ⎜ 2 − 2 ⎟ . 8ε 0 h c ⎝ k n ⎠

(4.15)

(4.16)

Сравнивая теперь (4.16) с (4.5а), получим выражение для постоянной Ридберга: 2 4 e m Z (4.17) R= 2 3 . 8ε 0 h c Если подставить в (4.17) значения величин (m=9,1⋅10-31 кг, е=1,6⋅10-19 Кл, h = 6,62⋅10-34 Дж·с, с = 3.108 м/с и Z = 1), то получим: Rтеор = 10973730 (1/м); Rэксп = 10967758 (1/м). Следовательно, обобщающая формула (4.16) по теории может быть записана так: ⎛1 1⎞ ν~ = R⎜ 2 − 2 ⎟ . (4.18) ⎝k n ⎠

71

Серия Бальмера определяет линии в видимой части водородного спектра, соответствующие переходам электронов на вторую орбиту (k = 2) с третьей, четвертой и пятой (n равно 3, 4 и 5). В серии Бальмера наблюдается красная линия Нα, соответствующая переходу 3 → 2, сине-зеленая линия Нβ, соответствующая переходу 4 → 2, фиолетовая линия Нγ - переходу 5 → 2. В ультрафиолетовой части спектра серия спектральных линий была обнаружена Лайманом9 (серия Лаймана). В этом случае электроны переходят на самый нижний уровень (k = 1) с орбиты n, равной 2, 3, 4 и 5, поэтому и излучаемые кванты имеют большую частоту. В инфракрасной области получается спектральная серия Пашена, где электроны переходят на третью орбиту (k = 3) с орбит n = 4, 5. В инфракрасной части спектра найдены еще две серии: серия Брэкета (n равно 5 и 6) и серия Пфунда (n равно 6 и 7). При неограниченном возрастании n линии всех серий водородного спектра идут все гуще, а при n → ∞ сходятся к соответствующим границам. Граничные частоты серий водородного спектра равны cR/k2. Но на этом спектр не кончается; к границе каждой серии примыкает сплошной спектр, простирающийся в сторону коротких длин волн. Из формулы (4.14) можно получить выражение для потенциала ионизации атома водорода. Действительно, работа ионизации еϕi равна разности двух энергий системы: энергии E∞ (r = ∞) и E1 (основное состояние). Согласно (4.8) Е∞ = 0, а 2 4 e n Z , E1 = − 2 2 8πε 0 h

т.е. 4

me eϕ i = 2 2 , 8ε 0 h

откуда получаем формулу для потенциала ионизации в системе СИ: 3

me ϕi = 2 2 . 8ε 0 h 9

Theodore Lyman, 1874-1954, американский физик.

(4.19)

72

Затруднения теории Бора и квантовые числа Постулаты Бора определяют существование дискретной последовательности уровней энергии, которым соответствует в атоме избранный ряд квантованных орбит. В первоначальной теории Бора рассматривались только круговые орбиты. В дальнейшем Зоммерфельд показал, что при полном вычислении стационарных состояний должны учитываться не только круговые, но и эллиптические орбиты, а также пространственная ориентация, которую орбиты могут принимать в магнитном поле. Теория Бора была крупнейшим достижением в теории строения атома. Она показала неприменимость классической физики к внутриатомным процессам, объяснила происхождение линейчатых спектров. Огромный опытный материал в области спектроскопии был впервые приведен в стройную систему. Однако, наряду с положительными сторонами теория Бора обладала и существенными недостатками: искусственно соединяя законы классической механики с квантовыми условиями, она была лишена внутреннего единства: она не была ни последовательно классической, ни последовательно квантовой теорией. При исследовании атомов с числом электронов более одного, даже простейшего из них - атома гелия, она не могла дать удовлетворительного объяснения. Теория Бора позволяла вычислить частоты спектральных линий, но не дала решения проблемы интенсивности спектральных линий. Заметим, что за последние годы с помощью оптических квантовых генераторов удалось получить сверхмощные световые лучи, в которых фотоны летят настолько плотным потоком, что в одном акте взаимодействия света с веществом участвует сразу несколько фотонов. Начинают происходить многофотонные процессы, при которых одновременное действие двух фотонов эквивалентно действию одного фотона с удвоенной частотой, действие трех фотонов равно действию одного фотона с утроенной частотой и т. д. Следовательно, при многофотонных процессах условие частот, определяемое теорией Бора, теряет силу. В этом случае частота излучения будет пропорциональна сумме энергий стационарных состояний атомов. Тогда между реальными уровнями, соответствующими определенным (разрешенным) стационарным состояниям атомов, могут возникать виртуальные уровни; время жизни атома на этих уровнях равно нулю. Атом

73

может подниматься или спускаться до виртуального уровня, поглощая или испуская фотон с энергией меньшей, чем разность энергий стационарных состояний атома. На виртуальном уровне может происходить мгновенный переход атома за счет поглощения или испускания фотона с частотой, не удовлетворяющей старому условию частот Бора. Рассмотрим теперь квантовые числа, которые определяют поведение электронов в атоме. Для полного описания движения электрона в атоме вводятся 4 квантовых числа: главное квантовое число n, побочное, или азимутальное, квантовое число l, магнитное квантовое число mi и спиновое квантовое число ms. Главное квантовое число n определяет энергию электрона на орбите. Значения энергии составляют дискретный ряд: 1 Z 2 e4 m Eп = − 2 ⋅ 2 2 , n 8h ε 0

где n= 1, 2, 3,...

(4.20)

Побочное квантовое число характеризует величину импульса электрона на орбите или величину орбитального момента импульса Jl, который может h принимать значения, кратные : 2π h , где l = 0, 1, 2, 3,..., ( n—1). (4.21) J l = l( l + 1 ) 2π Следовательно, число l принимает целые значения, на единицу меньше квантового числа n. Следует заметить, что побочное квантовое число учитывает не только круговые, но и эллиптические орбиты. Магнитное квантовое число ml характеризует пространственную ориентацию орбит в магнитном поле. Под действием внешнего магнитного поля, направленного по оси z, орбита электрона в атоме принимает такую ориентацию, при которой проекция вектора момента импульса на заданное направление z будет равна: J z = ml

h 2π

где ml = 0, ± 1, ± 2, 4: 3,..., ± l, т.е. ml принимает (2l + 1) значение.

74

Заметим, что каждому значению энергии Eп (кроме Е1) соответствует несколько волновых функций ϕn,l,m, отличающихся значениями квантовых чисел l и m . Это означает, что электрон, имеющий одно и то же значение энергии, может находиться в различных состояниях. В предыдущей главе уже упоминалось, что такой энергетический уровень принято называть вырожденным. Кроме того, для описания движения электрона в атоме вводится четвертое квантовое число ms , называемое спиновым квантовым числом. Спиновой момент импульса электрона через ms выражается формулой:

J s = ms ( ms + 1 )

h . 2π

(4.22)

Для проекции спина электрона на направление внешнего магнитного поля получаются значения ± 1/2, что соответствует различию ориентации спинового момента импульса. 4.3. Опытное обоснование квантовой теории строения атома

Опыты Франка и Герца Квантовые постулаты Бора нашли экспериментальное подтверждение в опытах Франка и Герца. Идея опытов заключалась в следующем. Сквозь трубку (рис.4-4), наполненную ртутными парами, пропускался поток электронов, летевших из накаленного катода К, к аноду А, перед которым расположена сетка С. Между сеткой и катодом прикладывалась разность потенциалов ϕ1, ускорявшая электроны, а между сеткой и анодом - разность потенциалов ϕ2, тормозившая электроны, пролетавшие сквозь отверстие сетки (ϕ2< ϕ1). В результате опытов было выяснено следующее. 1. При скоростях электронов, меньших некоторой критической скорости, происходит упругий удар, т. е. электрон не передает атому своей энергии и отскакивают от него, изменяя лишь направление своей скорости.

75

К

С

А

Рис. 4-4 2. При скоростях, достигающих критической, происходит неупругий удар, электрон передает свою энергию атому, который переходит в другое возбужденное состояние с большой энергией.

Рис.4-5 В опытах Франка и Герца исследовалась зависимость силы тока, проходящего через пары ртути, от разности потенциалов ϕ1. При увеличении ускоряющего потенциала от нуля ток первоначально возрастал (рис.4-5), причем кривая тока имела обычный вид вольтамперной характеристики катодных ламп.

76

Но при потенциале около 4,9 В ток достигал максимума, после чего с дальнейшим увеличением потенциала внезапно резко падал, а затем вновь начинал возрастать до того момента, когда потенциал становился равным 9,8 В. При этом значении потенциала вновь обнаруживалось резкое падение тока и новое его возрастание наблюдалось уже при значении потенциала, равном 14,7 В. В результате измерений вместо плавной кривой, характерной для катодной лампы, получили кривую с резко выраженными максимумами, повторяющимися через интервал, приблизительно равный 4,9 В. Объяснение такого характера кривой заключается в следующем: электрон под действием ускоряющего поля ϕ1 приобретает кинетическую энергию: 2

mv = eϕ 1 2

При упругом соударении электрона и атома ртути энергия первого практически не изменяется, поскольку масса электрона во много раз меньше массы атома ртути. Часть электронов попадает на сетку, остальные же, проскочив через сетку, достигают анода, создавая в цепи ток. С увеличением скорости электронов сила тока возрастает. При неупругом соударении электрон теряет часть своей энергии, которая идет на возбуждение атома ртути; после неупругого удара электроны будут двигаться с меньшей скоростью, вследствие чего число электронов, достигающих анода, уменьшится, и сила тока упадет. Величина энергии 4,9 эВ имеет особое значение для атомов ртути: меньшую энергию они воспринять не могут, так как при меньшей энергии бомбардирующих их электронов удар происходит вполне упруго. Энергию же в 4,9 эВ они воспринимают полностью, а это и означает (в соответствии с первым постулатом Бора), что атом ртути может обладать не любыми значениями энергии, а только избранными. Ускоряющий потенциал 4,9 В называется резонансным потенциалом атома ртути. Для калия резонансный потенциал равен 1,63 В, для гелия - 21 В.

77

Принцип Паули и построение периодической системы элементов Менделеева. Четыре квантовых числа - n, I, ml и ms - полностью характеризуют состояние одного электрона в поле атомного ядра. В сложных многоэлектронных атомах, где следует учитывать взаимодействие электронов друг с другом, количественные расчеты необычайно усложняются. Для качественной характеристики и описания свойств сложных атомов можно воспользоваться теорией Бора, для водородоподобных атомов при этом следует учитывать принцип Паули. Принцип Паули утверждает, что в одном атоме не может быть двух электронов, у которых все четыре квантовых числа одинаковы; это означает, что две тождественные частицы с полуцелым спином не могут одновременно находиться в одном состоянии. В многоэлектронном атоме электроны с одинаковым главным квантовым числом п распределяются по слоям (оболочкам), имеющим следующие обозначения:

n .....…..... Слой….....

1 К

2 L

3 M

4 N

5 О

6 Р

7 Q

Значение главного квантового числа n = 1 соответствует ближайшему к ядру К-слою. В этом слое могут находиться не более двух электронов с двумя возможными ориентациями спинов. Главное квантовое число n = 2 соответствует L-слою, наибольшее число электронов в котором равно 2·22 (из них два s-электрона и шесть р-электронов). В третьем, М-слое максимально может содержаться 2·32 = 18 (из них 2 s-, 6 р- и 10 d-электронов) и т. д. Распределение электронов по слоям для группы инертных газов приведено в таблице.

78

Название элемента Гелий Неон Аргон Криптон Ксенон Радон

K n=1

L n=2

M n=3 s

p d

N n=4 s

p d

O n=5

s

s

p

f

s

2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2

6 6 2 6 6 2 6 10 2 6 6 2 6 10 2 6 10 2 6 2 6 10 2 6 10 14 2

P n=6

p

d

s

6 6

10

2

p

6

При химическом взаимодействии атомов внутренние электронные оболочки, защищенные от воздействия при соприкосновениях с другими атомами, не играют заметной роли. Химические свойства атомов определяются количеством внешних электронов, входящих в состав слоя, наиболее удаленного от ядра. Сопоставление размещения электронов по квантовым состояниям в различных атомах с их химическими и оптическими свойствами показывает, что атомы, обладающие одинаковым строением внешней электронной оболочки, являются химическими аналогами и имеют сходные оптические спектры. Таковы, например, щелочные металлы Li, Na, К, Re, Cs, Fr, состоящие из атомных остатков и одного внешнего электрона; все щелочноземельные металлы, имеющие по два электрона во внешней оболочке, обладают почти одинаковыми химическими свойствами. Следует отметить, что периодичность проявляется не только в химических и оптических, но и в электрических свойствах атомов. Об этом наглядно свидетельствуют высокие ионизационные потенциалы у благородных газов, содержащих во внешней оболочке два электрона Не или восемь электронов у элементов Ne, Ar, Kr, Xe, Rn; заметим, что у их соседей слева наблюдаются менее высокие потенциалы ионизации, а у соседей справа (щелочные металлы) - низкие. Для сравнения приведем два примера: энергия, необходимая для удаления из атома натрия одного единственного во внешней оболочке электрона,

79

составляет 5,09 эВ, а при удалении электрона из восьмиэлектронной устойчивой оболочки этого же атома натрия вторичный потенциал ионизации равен 46,5 эВ.

Рентгеновские спектры. Закон Мозли Спектры рентгеновских лучей широко используются в настоящее время для изучения структуры вещества. Спектр рентгеновских лучей, испускаемых антикатодом, бомбардируемым быстрыми электронами, представляет собой наложение сплошного и линейчатого спектров. Если энергия электронов, испытывающих торможение на антикатоде, не превышает определенной величины, характерной для вещества антикатода, то возникающее излучение называется тормозным. Оно имеет сплошной спектр, который возникает в результате превращения кинетической энергии электронов mv2/2 при их торможении на антикатоде в энергию фотонов hν. Пусть вся кинетическая энергия электрона, приобретенная в электрическом поле, переходит в излучение фотона: 2 c mv = eϕ = hν = h . 2 λ

Тогда коротковолновая граница сплошного спектра, т.е. критическая длина волны может быть определена из следующего равенства:

λ=

hc 12 ,345 = [Å], ϕ eϕ

где ϕ - ускоряющая разность потенциалов, выраженная в киловольтах. Существенно отметить, что характер сплошного спектра не зависит от природы антикатодов, а определяется только величиной ускоряющего потенциала. Из последней формулы следует, что при ϕ=100 кВ получается наиболее короткая длина волны в сплошном спектре λ=0,123 Ǻ. Линейчатый спектр рентгеновского излучения получается в том случае, когда энергия электронов равна или больше критической величины; обычно это излучение называют характеристическим, так как оно характеризует

80

вещество антикатода; при этом каждый элемент дает свойственный ему спектр независимо от того, возбуждается ли этот элемент к рентгеновскому излучению в свободном состоянии или входит в химическое соединение. Для иллюстрации на рис.4-6 приведена картина измерения рентгеновского спектра родиевого антикатода при возникновении характеристического излучения. По оси абсцисс нанесены длины волн в ангстремах (Å), по оси ординат— интенсивности излучения в кэВ. Из рисунка видно, что при 23,2 кэВ спектр сплошной, при 31,8 и 40,0 кэВ на сплошной спектр накладывается линейчатый, состоящий из резко выраженных спектральных линий. Линия α-Ru принадлежит рутению, находящемуся в образце радия в виде примеси. Исследование рентгеновских спектров показало, что они однотипны, состоят из малого числа линий, а при переходе от одного элемента к другому не обнаруживается периодичность. Вообще, оптические спектры весьма сложны и иногда состоят из сотен или даже тысяч линий (например, спектр железа); при переходе от элемента к элементу наблюдается периодичность. Разница в характере оптических и рентгеновских спектров обусловлена тем, что те и другие возникают в разных частях атома. Оптические спектры вызваны движениями периферических электронов, рентгеновские спектры возникают во внутренних частях атома.

81

Рис. 4-6

82

Механизм возникновения характеристического излучения существенно отличается от тормозного излучения. Излучение фотонов характеристического рентгеновского спектра по квантовой теории атома можно объяснить следующим образом. Первичный электрон, падающий на антикатод, проникает в глубь атома и из электронов более далеких оболочек ионизированного атома перейдет в освободившееся ("вакантное") более низкое энергетическое состояние. Разность энергий начального и конечного состояний равняется энергии фотона hν = E1—Е2. Процесс "возбуждения" атома антикатода и превращения энергии возбуждения в энергию фотона схематично изображен на рис. 4-7.

Рис.4-7

На первом этапе первичный электрон 1 выбивает электрон с одноквантовой орбиты в бесконечность; происходит ионизация атома. На втором этапе на вакантное место переходит электрон с двухквантовой оболочки, вследствие чего происходит испускание фотона, соответствующего наиболее длинноволновой линии Kα-серии. Фотоны следующей линии - Kβ испускаются при переходе с трехквантовой на одноквантовую оболочку и т. д. Переходы электронов на двухквантовую оболочку сопровождаются испусканием фотонов L-серии, при переходе на вакантное место в трехквантовой оболочке им сопутствует испускание фотонов M-серии и т. д. На рис. 4-8 схематично изображены уровни энергии электрона в различных оболочках атома; стрелками показаны переходы, соответствующие испусканию характеристических рентгеновских лучей.

83

При исследовании рентгеновских спектров элементов Мозли10 открыл в 1913—1914 гг. простой закон, связывающий частоту спектральных линий с порядковым номером Z испускающего их элемента. Закон Мозли можно сформулировать так: корень квадратный из частоты рентгеновских линий, излучаемых при одинаковых переходах различными элементами, является линейной функцией атомного номера элемента:

ν = a( Z − b ) ,

(4.23)

где a и b - некоторые постоянные коэффициенты; Z - порядковый номер элемента; ν - частота рентгеновского излучения.

10

Henry Gwyn Jeffreys Moseley, 1887-1915 - английский физик.

84 E

n=5 n=4

Mα Mβ

Lα Lβ L γ

n=3 Граница M-серии n=2

Граница L-серии

n=1 KαK β K γ

Граница K-серии

Рис.4-8

Эту же зависимость можно выразить для круговой частоты ω :

ω = С( Z − σ )

(4.24)

На рис.4-9 изображены построенные по экспериментальным точкам графики зависимости ω от Z для линий Kα и L α . По этим графикам можно судить, насколько точно выполняется закон Мозли. При внимательном рассмотрении можно заметить, что график для линии Kα имеет не вполне прямолинейный характер.

85

ω, 1/2

(рад/с)

К-серия (Кα )

9

8*10

9

6*10

L-серия (L α )

9

4*10

9

2*10

0

20

40

60

80

Z

Рис. 4-9 Используя формулы (4.16) и (4.18), закон Мозли можно выразить в таком виде: 2 ⎛1 1⎞ ν = Rc⎜ 2 − 2 ⎟ ( Z − b ) . (4.25) ⎝k n ⎠ Из сопоставления равенств (4.23) и (4.25) следует, что постоянная а оказывается равной:

⎛1 1⎞ a = Rc⎜ 2 − 2 ⎟ , ⎝k n ⎠ где квантовые числа k и n соответствуют конечному и исходному энергетическим уровням атома. Для переходов L → К получаем следующую частоту испускаемого при переходе фотона: 2

⎛1 ⎝1

ν K α = cR( Z − b K ) ⎜ −

1⎞ ⎟ . 2 2 ⎠

Для переходов М → L, дающих L-серию, можно записать:

(4.26)

86

2

⎛1 1⎞ − 2⎟. 2 ⎝2 3 ⎠

ν Lα = cR( Z − b L ) ⎜

(4.27)

Коэффициент b есть постоянная экранирования заряда ядра. Заряд ядра равен произведению порядкового номера элемента Z на величину заряда электрона е. На электрон, переходящий с дальней оболочки на ближайшую, наряду с силой притяжения со стороны ядра будут действовать силы отталкивания, обусловленные зарядами электронов, находящихся во внутренних слоях по отношению к слою, из которого переходит электрон. Коэффициент b для Kα -линии bKα=1, так как в слое К остался один электрон из двух, которые были до ионизации атома. Если из атома был выбит электрон, находившийся в слое L, то экранировать ядро будут девять электронов: семь - оставшихся в слое L и два - находящиеся в слое К. Однако постоянная экранирования для электрона, переходящего из слоя М, будет меньше девяти, так как эти девять электронов распределены в пространстве, а не сосредоточены в центре атома. Расчеты показывают, что для Lα - линии bL=7,5. Для электронов, переходящих из более дальних оболочек, постоянная экранирования будет иметь иное значение. Рентгеновские лучи нашли широкое применение в различных областях науки и техники. С помощью рентгеновских лучей изучают строение вещества. Используя большую проникающую способность рентгеновских лучей в твердые тела и различную степень их ослабления при прохождении сквозь участки изделия с различной плотностью, удалось обнаружить дефекты в твердых телах в виде трещин, внутренних раковин и других инородных включений; метод просвечивания изделий получил название рентгеновской дефектоскопии. 5. ЭЛЕМЕНТЫ ЗОННОЙ ТЕОРИИ 5.1 Понятие об энергетических зонах Выше было показано, что в атоме электрон может обладать не любой энергией, а некоторым, вполне конкретным набором ее значений. А что получается, когда атомы образуют твердое тело? Атомы большинства веществ, находящихся в твердом состоянии, образуют периодическую решетку, которую мы воспринимаем как кристалл.

87

Разрешенные зоны

Запрещенные зоны

Механизм, связывающий атомы в молекулы, может связывать их в неограниченной периодической структуре или в сверхмолекуле. Пусть первоначально имеется N изолированных атомов какого-либо вещества. Пока атомы изолированы друг от друга, т.е. существуют независимо, они имеют полностью совпадающие схемы энергетических уровней (рис.5-1).

Рис.5-1 Заполнение уровней электронами осуществляется в каждом атоме независимо друг от друга. По мере сближения атомов между ними возникает все усиливающееся взаимодействие, которое приводит к изменению положения уровней. Вместо одного, одинакового для всех N атомов, уровня возникает N очень близких по энергии уровней. Таким образом, каждый уровень в изолированном атоме расщепляется в кристалле на N близко расположенных уровней, образуя зону энергий (точнее, зону энергетических состояний). Внутри зоны энергия электрона изменяется квазинепрерывно, т.к. энергетическое расстояние между уровнями очень мало. Оно равно ширине зоны, деленной на количество N уровней в зоне. Поскольку ширина зон порядка 1эВ, а N~1020 см-3, расстояние между уровнями, действительно, столь мало, что дискретность энергетического спектра электрона в кристалле в пределах одной зоны в большинстве случаев можно не принимать во

88

внимание. Зоны разрешенных значений энергии разделены зонами значений энергии, которые электрон иметь не может. Размеры и положение этих зон зависят от типа связи атомов в кристалле. Связь бывает ионная, ковалентная и металлическая. Наибольшими значениями энергии обладают в атомах, естественно, последние электроны, т.е. наиболее слабо связанные с атомами. В кристаллах из уровней этих последних электронов и образуются наиболее высокоэнергетичные зоны. Именно электроны, находящиеся в этих зонах, и определяют свойства твердых тел.

Рис. 5-2 Величина расщепления для разных уровней не одинакова. Сильнее расщепляются уровни, заполненные в атоме внешними электронами. Уровни, заполненные внутренними электронами, возмущаются и, следовательно, расщепляются мало. На рис. 5-2 показано расщепление уровней как функция расстояния r между атомами. Из схемы видно, что возникающее в кристалле расщепление уровней, занятых внутренними электронами, очень мало. Заметно расщепляются лишь уровни, занимаемые валентными электронами. Так же расщепляются и более высокие уровни, не занятые электронами в основном состоянии атома. В зависимости от конкретных свойств атомов равновесное расстояние между соседними атомами в кристалле может быть либо типа r1, либо типа r2 (см. рис 5-2). При расстоянии типа r1 между разрешенными зонами,

89

возникшими из соседних уровней атома, имеется запрещенная зона. При расстоянии типа r2 происходит перекрывание соседних зон. Число уровней в такой слившейся зоне равно сумме числа уровней, на которые расщепляются оба уровня атома. Зонная структура энергетических уровней получается непосредственно из решения уравнения Шредингера для электрона, движущегося в периодическом силовом поле. Это поле создается решеткой кристалла. Уравнение Шредингера, с учетом этого периодического поля решетки имеет вид: 2 = 2 − ∇ ψ + Uψ = Eψ , 2m где U - функция, обладающая свойствами:

U(x+a,y,z)=U(x,y,z), U(x,y+b,z)=U(x,y,z), U(x,y,z+c)=U(x,y,z) (a,b,c - периоды решетки вдоль осей x,y,z ). Блох доказал, что решение уравнения Шредингера с положительным потенциалом имеет вид: (5.1) ψ k = u k ( r ) eikr , где uk(r) - периодическая функция, период которой равен периоду решетки. Решения (5.1) называются функциями Блоха. Для свободного электрона зависимость энергии от волнового числа описывается графиком, изображенным на рис.5-3.

90

Рис. 5-3 Значения энергии образуют квазинепрерывную последовательность. Следовательно, график E(k) состоит из дискретных точек. Однако, эти точки расположены так густо, что зрительно сливаются в сплошную кривую.

Рис.5-4 В случае периодического поля зависимость Е от k имеет вид, представленный на рис.5-4. Из рисунка видно, что изображенные сплошными линиями зоны квазинепрерывно изменяющейся энергии (разрешенные зоны) чередуются с запрещенными зонами. Каждая разрешенная зона состоит из близкорасположенных дискретных уровней, число которых равно количеству атомов в образце кристалла. Область значений волнового числа k, внутри которой энергия электрона в кристалле изменяется квазинепрерывно, называется зоной Бриллюэна. На границах зон энергия терпит разрыв. Рис. 5-4 изображает зоны Бриллюэна в случае одномерного кристалла. Для трехмерных кристаллов границами зон Бриллюэна являются замкнутые многогранные поверхности, заключенные одна внутри другой. 5.2. Деление твердых тел на проводники, диэлектрики и полупроводники

91

Итак, спектр возможных значений энергии валентных электронов в кристалле распадается на ряд разрешенных и запрещенных зон. Ширина зон не зависит от размеров кристалла. Таким образом, чем больше атомов содержит кристалл, тем теснее располагаются уровни в зоне. Ширина разрешенных зон имеет величину порядка нескольких электронвольт. Следовательно, если кристалл содержит 1023 атомов, то расстояние между соседними уровнями в зоне составляет ~ 10-23 эВ.

Свободная зона

Свободная зона

Валентная зона (зона проводимости)

а) металл

Запрещенная зона

Заполненная валентная зона

б) полупроводник

∆E

Запрещенная зона

∆E

Свободная зона (зона проводимости) Запрещенная зона

Заполненная валентная зона

в) диэлектрик

Рис. 5-5 Каждый энергетический уровень отвечает определенному значению k. Поскольку спиновое квантовое число ms может принимать два значения, на любом энергетическом уровне могут находиться два электрона с противоположными спинами. Все твердые тела делятся по своим электрическим свойствам на три группы - металлы, диэлектрики и полупроводники. Это разделение можно объяснить с точки зрения зонной теории, т.е. с точки зрения существования энергетических зон. Примерная схема верхних энергетических зон изображена на рис.5-5. Нижняя зона образована из уровней основных состояний валентных электронов (n=1, первая орбита), и называется валентной зоной. При абсолютном нуле валентные электроны заполняют попарно нижние уровни валентной зоны. Более высокие разрешенные зоны свободны от электронов. В зависимости от степени заполнения электронами валентной зоны и от ширины запрещенной зоны возможны три случая.

92

В случае а) электроны заполняют валентную зону не полностью. Поэтому достаточно сообщить электронам, находящимся на верхних уровнях, совсем небольшую энергию (~10-23 ÷10-22 эВ) для того, чтобы перевести их на более высокие уровни. Энергия теплового движения (kT) составляет при 1 К величину порядка 10-4 эВ. Следовательно, при температурах, отличных от абсолютного нуля, часть электронов будет переходить на более высокие уровни. Электроны могут также переходить на более высокие уровни под действием какой-либо другой дополнительной энергии, например приложенного электрического поля. Электроны могут ускоряться электрическим полем и приобретать дополнительную скорость в направлении, противоположном направлению вектора напряженности электрического поля. Такая схема энергетических уровней имеет место в металлах, поэтому металлы хорошо проводят ток. Валентная зона в металлах называется также зоной проводимости, поскольку электроны, находящиеся в этой зоне, двигаются под действием сил электрического поля упорядоченно, образуя ток проводимости. Поэтому они называются свободными электронами, хотя на самом деле они квазисвободны, так как движутся в периодическом поле кристаллической решетки. Частичное заполнение зоны проводимости наблюдается в тех случаях, когда на последнем занятом уровне в атоме находится только один электрон или когда имеет место частичное перекрывание зон (см. рис. 5-2, расстояние r2). В первом случае N электронов заполняют попарно только половину уровней валентной зоны. Во втором случае число уровней в зоне проводимости будет больше N, так что даже если количество электронов проводимости равно 2N, они все равно не смогут заполнить все уровни зоны. В случаях б) и в) все уровни валентной зоны полностью заняты электронами - зона заполнена. В этом случае электрические свойства кристалла определяются шириной запрещенной зоны . Если эта ширина невелика (порядка нескольких десятых электронвольта), то энергии теплового движения оказывается достаточно для того, чтобы часть электронов "забросить" в свободную верхнюю зону. Там они становятся электронами проводимости. Поскольку с увеличением температуры энергия теплового движения электронов также увеличивается, то увеличивается число электронов

93

проводимости. Поэтому проводимость таких кристаллов растет с ростом температуры. Одновременно с увеличением числа электронов проводимости становится возможным переход электронов в валентной зоне на освобождающиеся верхние уровни. Такой кристалл называется электронным полупроводником. Если ширина запрещенной зоны велика (порядка нескольких электронвольт), энергии теплового движения оказывается недостаточно, чтобы забросить в свободную зону необходимое для проводимости число электронов. В этом случае кристалл оказывается диэлектриком (или изолятором). 5.3. Движение электрона в поле кристаллической решетки. Понятие об эффективной массе электрона Волновое число k связано с импульсом p электрона равенством p=ħk. Заменив в соотношении неопределенностей ∆p ⋅ ∆x ~ = импульс через волновое число, получим соотношение неопределенностей для k и x :

∆k ⋅ ∆x ~ 1 .

(5.2)

Из этого соотношения следует, что при точно определенном значении волнового числа k положение электрона в кристалле будет совершенно неопределенным. Для того, чтобы можно было изучать динамику электрона в кристалле, необходимо располагать выражениями для его скорости и ускорения. О скорости же можно говорить лишь в том случае, если электрон будет хотя бы приближенно локализован в пространстве. Положим ∆k отличным от нуля. Тогда электрон будет локализован в пределах области  . Согласно принципу суперпозиции, волновая функция электрона может быть представлена в виде суммы плоских волн вида eikr , значения волновых чисел которых заключены в пределах . невелико, то суперпозиция плоских волн образует волновой пакет. Если Максимум амплитуды результирующей волны перемещается с групповой скоростью: dω . (5.3) v гр = dk

94

Наиболее вероятное местонахождение электрона совпадает с положением центра группы волн. Следовательно, vгр представляет собой скорость электрона в кристалле. Воспользовавшись соотношением E = =ω , заменим в (5.3) частоту через энергию. Получим: 1 dE . (5.4) v гр = = dk Выясним, как будет вести себя электрон под действием наложенного на кристалл внешнего электрического поля. В этом поле, кроме сил, создаваемых полем решетки, на электрон будет действовать электрическая сила F, работа которой за время dt равна dA=Fvгрdt, т.е.:

dA =

F dE ⋅ dt . = dk

(5.5)

Эта работа идет на приращение энергии электрона в кристалле: dA=dE. Заменив в (5.5) dA на dE и приняв во внимание, что dE=(dE/dk)dk , придем к соотношению: dE F dE dk = ⋅ dt . dk = dk Отсюда следует, что: dk F = . (5.6) dt = Продифференцировав электрона в кристалле:

выражение (5.4) по времени, найдем ускорение

dv гр 1 d ⎛ dE ⎞ 1 d 2 E dk = ⋅ ⎜ ⋅ . ⎟= ⋅ dt = dt ⎝ dk ⎠ = dk 2 dt Приняв во внимание (5.6), получим: dv гр 1 d 2 E F = ⋅ 2 ⋅ . dt = dk =

Эту формулу можно переписать следующим образом:

95

2 ⎛ ⎞ dv гр = = F. ⎜ 2 ⎟⋅ 2 ⎝ d E / dk ⎠ dt

(5.7)

Из (5.7) следует, что ускорение электрона в кристалле пропорционально внешней силе F, обусловленной действием приложенного внешнего электрического поля. Сопоставляя (5.7) с уравнением второго закона Ньютона: dv m =F, dt можно сделать вывод о том, что выражение: 2

= m = 2 2 d E / dk *

(5.8)

формально играет по отношению к внешней силе F роль массы, в связи с чем величину (5.8) называют эффективной массой электрона в кристалле. Эффективная масса m* может сильно отличаться от фактической массы электрона m. В частности, она может принимать отрицательные значения. Это обусловлено тем обстоятельством, что в действительности на электрон действует не только сила внешнего электрического поля, но и периодическая сила со стороны кристаллической решетки. Поэтому уравнение второго закона Ньютона более точно следует записать так: dv m (5.9) = F + F крист , dt где Fкрист - сила, обусловленная действием на электрон периодического поля решетки. Сопоставление (5.9) с уравнением:

m*

dv =F dt

наглядно показывает, что m* может существенно отличаться от m. Несмотря на это, именно значение m* определяет характер движения электрона в решетке под действием силы F. Введение эффективной массы позволяет,

96

абстрагируясь от взаимодействия электронов с решеткой, определить характер движения электрона под действием внешнего поля. Приписав электрону массу m*, мы можем исследовать поведение электронов под действием силы F, считая его свободным. Из всего сказанного следует, что соотношения, полученные для свободных электронов, оказываются справедливыми для электрона, движущегося в периодическом поле, если в них заменить истинную массу m эффективной массой m*. Зависимость эффективной массы m от "местоположения" электрона внутри разрешенной энергетической зоны иллюстрируется рис.5-6. Вблизи "дна" зоны (см. точки A и A' ) ход кривой E(k) мало отличается от хода кривой для свободных электронов (см. рис.5-3). Соответственно, m*≈m. 2 d E = 0 . Следовательно, m* обращается в В точке перегиба (B) 2 dk бесконечность. Это означает, что на движение электрона, находящегося в состоянии с энергией EB, внешнее поле не может оказать никакого воздействия. Вблизи "потолка" разрешенной зоны (точка С) производная 2 dE d E < 0 (т.е. с ростом k уменьшается). В соответствии с отрицательна: 2 dk dk этим эффективная масса m* электронов, занимающих уровни вблизи потолка зоны, оказывается отрицательной.

97

Рис. 5-6 Фактически это означает, что под совместным действием сил внешнего поля и кристаллической решетки электрон, находящийся в состоянии с энергией EC, получает ускорение, противоположное по направлению внешней силе электрического поля. 5.4. Проводимость полупроводников Полупроводниками являются кристаллические вещества, у которых валентная зона полностью заполнена электронами (рис.5-5,б), а ширина запрещенной зоны невелика (у собственных полупроводников не более 1 эВ). Название - полупроводники - говорит само за себя: это вещества, обладающие некоторой электропроводностью, т.е. отличающиеся от диэлектриков, но эта электропроводность существенно меньше, чем у металлов. Иначе говоря, они занимают промежуточное положение между диэлектриками и металлами. Существенным отличием полупроводников от металлов является не сама величина электропроводности, а различная зависимость электропроводности от температуры: у металлов она уменьшается с ростом температуры, а у полупроводников наоборот - возрастает.

98

зона проводимости

∆E

Запрещенная зона

∆E

Валентная зона

a)

б)

Рис. 5-7 Полупроводники по типу проводимости делятся на собственные и примесные. Собственной проводимостью обладают все химически чистые полупроводники. При абсолютном нуле все уровни валентной зоны таких веществ заполнены полностью (рис. 5-7а), а в зоне проводимости электроны отсутствуют. Под действием сил электрического поля электроны не могут перескочить через запрещенную зону и попасть в зону проводимости. Следовательно, при абсолютном нуле проводимость равна нулю, как у диэлектриков. С повышением температуры тепловой энергии электронов становится достаточно, чтобы часть их начала переходить с верхних уровней валентной зоны на нижние уровни зоны проводимости (рис.5-7б). Как следствие проводимость появляется, и начинает расти с ростом температуры. Проводимость увеличивается не только за счет появления новых электронов в зоне проводимости, но также за счет появления вакансий, т.е. свободных мест на верхних уровнях валентной зоны. Эти вакансии появились на уровнях, ранее занимавшихся электронами, перешедшими теперь в зону проводимости. Оставшиеся в валентной зоне электроны получают некоторую свободу перемещения в пределах этой зоны, т.е. создают ток, и этот ток эквивалентен тому току, который создавали бы частицы с зарядом, равным по величине заряду электрона, но с положительным знаком. Такие квазичастицы получили название дырок.

99

Конечно, движение дырки не является движением реальной положительно заряженной частицы. В конечном счете, движение дырок сводится к перераспределению электронов, оставшихся в валентной зоне.

Собственная проводимость Таким образом, собственная проводимость возникает вследствие перехода электронов в зону проводимости и появления на их месте вакантных мест - дырок. Распределение электронов по уровням валентной зоны описывается при помощи функции Ферми-Дирака: 1

F( E ) = e

E − EF kT

.

(5.10)

+1

Анализ этой функции показывает, что при температуре абсолютного нуля она имеет следующий вид:

F(E)=1, если E < EF, и

F(E)=0, если E > EF.

(5.11)

Величина EF, имеющая размерность энергии, называется уровнем Ферми или энергией Ферми. Иногда его также называют химическим потенциалом и обозначают символом  Из (5.11) видно, что при температуре абсолютного нуля уровень Ферми совпадает с верхним заполненным электронами уровнем EF(0). Вид функции распределения при абсолютном нуле показан на рис. 5-9а. При температурах, отличных от абсолютного нуля, график функции (5.10) имеет вид, показанный на рис. 5-9б. Следует отметить, что независимо от значения температуры, при E = EF функция f(E) равна 1/2. Поэтому, уровень Ферми совпадает с величиной энергетического уровня, вероятность заполнения которого равна 0,5. При достаточно больших энергиях (т.е. при E-EF>>kT, что выполняется в области "хвоста" кривой распределения) единицей в знаменателе функции можно пренебречь. Тогда распределение электронов по состояниям с различной энергией принимает вид:

100

F( E ) = e

−

E − EF kT

= const ⋅ e

−E kT

,

(5.12)

т.е. переходит в функцию распределения Больцмана, с которой мы уже встречались в разделе "Молекулярная физика" настоящего курса.

а)

б) Рис.5-9 Заметное отличие кривых, изображенных на рис.5-9 а) и б), друг от друга наблюдается лишь в области порядка kT. Чем выше температура, тем более полого идет ниспадающий участок кривой. Поведение электронного газа в сильной степени зависит от соотношения между температурой кристалла и температурой Ферми, равной EF/k. Возможны два предельных случая: 1. kT<<EF. В этом случае электронный газ называется вырожденным. 2. kT>>EF. В этом случае электронный газ называется невырожденным.

101

Температура Ферми для металлов составляет несколько десятков тысяч Кельвин. Поэтому электронный газ в металлах практически всегда, вплоть до температуры плавления, является вырожденным. В полупроводниках же плотность свободных электронов значительно меньше, чем в металлах. Поэтому уже при комнатной температуре электронный газ во многих полупроводниках является невырожденным и подчиняется законам классической статистики. Распределение электронов по уровням валентной зоны и зоны проводимости, описываемое функцией Ферми-Дирака, можно сделать очень наглядным, изобразив график этой функции совместно со схемой энергетических зон (рис.5-10). Расчет показывает, что для собственных полупроводников значение уровня Ферми, отсчитанное от потолка валентной зоны, равно: * 1 3 mД E F = ∆E + kT ln * , 2 4 mЭ

- ширина запрещенной зоны, а mД* и mЭ* - соответственно где эффективные массы дырки и электрона, находящегося в зоне проводимости. Обычно второе слагаемое пренебрежимо мало по сравнению с первым и можно полагать, что  /2. E

Зона проводимости

∆E

EF

Валентная зона

f(E)

Рис.5-10

Запрещенная зона

102

Это означает, что уровень Ферми лежит посредине запрещенной зоны, как показано на рис.5-10. Следовательно, для электронов, перешедших в зону проводимости, величина E-EF мало отличается от половины ширины запрещенной зоны. Уровни зоны проводимости лежат на хвосте кривой распределения. Поэтому вероятность их заполнения электронами можно находить по формуле (5.12). Положив в этой формуле E - EF≈∆E/2, получим:

F ( E ) ≈ const ⋅ e

−

∆E 2 kT

(5.13)

Количество электронов, перешедших в зону проводимости, а, следовательно, и количество образовавшихся дырок, будет пропорционально вероятности (5.13). Эти электроны и дырки являются носителями тока. Поскольку проводимость пропорциональна числу носителей, она также должна быть пропорциональна выражению (5.13). Следовательно, электропроводность собственных полупроводников быстро увеличивается с ростом температуры по закону:

σ =σ 0 ⋅ e

− ∆E kT

,

(5.14)

где - ширина запрещенной зоны, а σ0 - константа. Зависимость логарифма проводимости от обратной температуры будет иметь вид прямой, изображенной на рис.5-11. По наклону этой прямой можно определить ширину запрещенной зоны .

Рис. 5-11

103

Типичными полупроводниками являются элементы IV группы периодической системы элементов - германий Ge и кремний Si. Они образуют решетку типа алмаза, в которой каждый атом связан ковалентными, т.е. парно-электронными связями с четырьмя соседними атомами, отстоящими от него на одинаковом расстоянии. Такое взаимное расположение атомов можно условно представить в виде плоской структуры, изображенной на рис.5-12. Кружки со знаком "+" обозначают положительно заряженные атомные остатки (т.е. ту часть атома, которая остается после удаления валентных электронов), кружки со знаком "-" - валентные электроны, а двойные черточки - ковалентные связи. При достаточно высокой температуре тепловое движение может разорвать отдельные пары, освободив один электрон. Покинутое электроном место перестает быть нейтральным, в его окрестности возникает избыточный положительный заряд +e - образуется дырка. На это место может перескочить электрон одной из соседних пар. В результате дырка начинает также странствовать по кристаллу, как и освободившийся электрон.

104

Рис. 5-12 Если вблизи дырки окажется свободный электрон, он может занять это место. Явление соединения свободного электрона и дырки называется рекомбинацией. Электрон и дырка рекомбинируют, т.е. электрон нейтрализует избыточный положительный заряд, имеющийся в окрестности дырки, и теряет свободу передвижения до тех пор, пока снова не получит энергию, достаточную для своего высвобождения. Рекомбинация сводится к одновременному исчезновению свободного электрона и дырки. На схеме уровней (рис.5-10) процессу рекомбинации соответствует переход электрона из зоны проводимости на один из свободных уровней валентной зоны. Итак, в собственном полупроводнике идут одновременно два процесса: рождение попарно свободных электронов и дырок и рекомбинация, приводящая к попарному исчезновению электронов и дырок. Вероятность первого процесса быстро растет с температурой. Вероятность рекомбинации пропорциональна как числу свободных электронов, так и числу дырок. Следовательно, каждой температуре соответствует определенная равновесная концентрация электронов и дырок, которая изменяется с температурой пропорционально выражению (5.13). Когда внешнее электрическое поле отсутствует, электроны проводимости и дырки движутся хаотически. При включении поля на хаотическое движение накладывается упорядоченное движение: электронов против направления вектора напряженности поля и дырок - в направлении вектора напряженности. Оба движения - и дырок, и электронов - приводят к переносу заряда вдоль кристалла. Следовательно, собственная электропроводность обусловливается как бы носителями заряда двух знаков - отрицательными электронами и положительными дырками. В собственных полупроводниках концентрации электронов и дырок равны n=р=ni, а собственная концентрация ni зависит от материала и температуры. Проводимость полупроводника равна

σ = еni(un + uр),

(5.15)

где e - элементарный заряд, а un и uр - так называемые подвижности электронов и дырок. Подвижность электронов численно равна средней скорости его направленного движения, приобретаемой под влиянием единичного электрического поля, т.е. un=v/E. Точно так же определяется и

105

подвижность дырок. Подвижность принято измерять в м2/В⋅с, поскольку скорость измеряется в м/c, а напряженность электрического поля в В/м. Собственная проводимость наблюдается во всех без исключения полупроводниках при достаточно высокой температуре. Однако в полупроводниках, содержащих примеси, т.е. включения атомов других веществ в кристаллическую решетку, электропроводность складывается из собственной и примесной проводимости.

Примесная проводимость полупроводников Примесная проводимость возникает в том случае, если некоторые атомы данного полупроводника в узлах его кристаллической решетки заменить атомами другого вещества, валентность которого отличается на единицу от валентности основных атомов. На рис. 5-13 условно изображена решетка германия с примесью 5-валентных атомов фосфора. Ge

Ge P+

Ge

Ge

Рис.5-13 Для образования ковалентных связей с соседями атому фосфора достаточно четырех электронов. Следовательно, пятый валентный электрон оказывается слабо связанным с атомом и легко отделяется от него за счет энергии теплового движения. Отделившись от атома, он становится свободным электроном. Отличие от предыдущего случая заключается в том, что при этом не образуется дырки, поскольку ковалентные связи при этом не нарушаются. Несмотря на то, что в окрестности атома примеси возникает избыточный положительный заряд, этот заряд не может перемещаться по

106

решетке, так как это заряд принадлежит атому, жестко фиксированному в данном узле решетки. Избыточный положительный заряд примеси может притянуть к себе свободный электрон, оказавшийся поблизости, но связь атома с захваченным таким образом электроном будет непрочной и легко нарушается вновь за счет тепловых колебаний решетки. Таким образом, в полупроводнике с примесью, валентность которой на единицу превышает валентность основных атомов, имеется только один вид носителей тока - электроны. Соответственно говорят, что такой полупроводник обладает электронной проводимостью или является полупроводником n-типа (от слова negative - отрицательный). Атомы примеси, поставляющие электроны проводимости, называются донорами. Рассмотрим теперь другой случай, когда валентность атома примеси на единицу меньше, чем валентность основных атомов. На рис.5-14 условно изображена решетка кремния с примесью трехвалентных атомов бора.

Si

Si _

B

Si

Si

Si

Si

Si

Рис. 7-14 Трех валентных электронов бора недостаточно для образования связей со всеми четырьмя соседними атомами. Поэтому одна из связей окажется неукомплектованной. На это место может перейти электрон с какой-либо соседней пары. При этом на том месте, которое покинул этот электрон, возникнет дырка, которая далее сможет перемещаться по кристаллу. Вблизи атома примеси возникнет избыточный отрицательный заряд, однако этот

107

заряд не может стать носителем тока, поскольку он локализован вблизи данного атома и не способен перемещаться. Таким образом, в полупроводнике такого типа возникают носители только одного вида - дырки. Проводимость такого типа называется дырочной, а сам полупроводник принадлежит к p-типу (от слова positive положительный). Примеси, вызывающие возникновение дырок, называются акцепторными. Экспериментально существование n-проводимости и p-проводимости подтверждается при исследовании эффекта Холла, описанного в первой части курса. Примеси искажают поле решетки, и в результате на энергетической схеме появляются дополнительные примесные уровни в запрещенной зоне кристалла. В полупроводниках n-типа такие примесные уровни называются донорными, а в полупроводниках p-типа они называются акцепторными. Уровень Ферми в полупроводниках n-типа располагается в верхней половине запрещенной зоны, а в полупроводниках p-типа - в нижней половине запрещенной зоны. При повышении температуры уровень Ферми в полупроводниках обоих типов смещается к середине запрещенной зоны. Если донорные уровни расположены вблизи от потолка валентной зоны11, то они не могут существенно повлиять на электрические свойства кристалла. Иначе обстоит дело, когда расстояние таких уровней от дна зоны проводимости гораздо меньше, чем ширина запрещенной зоны. В этом случае энергия теплового движения даже при обычных температурах оказывается достаточной для того, чтобы перевести электрон с донорного уровня в зону проводимости (см. рис.5-15,а), т.е. отделить пятый электрон от атома примеси. Захвату свободного электрона атомом примеси соответствует переход электрона из зоны проводимости обратно на один из донорных уровней. Акцепторные уровни оказывают существенное влияние на электрические свойства кристалла в том случае, если они расположены недалеко от потолка валентной зоны (рис.5-15,б). Образованию дырки соответствует переход электрона из валентной зоны на акцепторный уровень. Обратный переход соответствует разрыву одной из четырех ковалентных связей атома примеси с его соседями и рекомбинации образовавшихся при этом электрона и дырки.

11

Это значит, что пятый валентный электрон прочно связан со своим атомом.

108

При повышении температуры концентрация примесных носителей тока быстро достигает насыщения. Это означает, что практически все донорные уровни освобождаются или практически все акцепторные уровни заполняются электронами. Вместе с тем по мере роста температуры все больше начинает сказываться собственная проводимость полупроводника, обусловленная переходом электронов непосредственно из валентной зоны в зону проводимости.

зона проводимости

EF

Донорные уровни

Запрещенная зона

Акцепторные уровни

EF

Валентная зона

a)

б)

Рис.5-15 Таким образом, при высоких температурах проводимость полупроводника складывается из примесной и собственной проводимостей. При низких температурах преобладает примесная, а при высоких собственная проводимость. 5.5. Контактная разность потенциалов При контакте двух различных полупроводников с различными типами проводимости между ними возникает разность потенциалов. Пусть имеются два полупроводника с различными структурами энергетических зон и с различным расположением уровней Ферми (химических потенциалов - µ). При контакте этих полупроводников часть электронов из второго полупроводника перейдет в первый вследствие различия в величинах термодинамической работы выхода (W1>W2). В результате первый полупроводник заряжается отрицательно, а второй -

109

положительно (рис.5-16) и между ними возникает контактная разность потенциалов (5.16) − eϕ k = W 1 − W 2 . В первом полупроводнике появляется избыток электронов, и он заряжается отрицательно, а во втором - недостаток электронов, и он, как бы, получает положительный заряд. При этом отрицательный и положительный объемные заряды образуются в приконтактной области. Это явление сопровождается выравниванием их уровней Ферми.

W2

W

1

µ2 µ

1

Рис.7-16 Аналогичные процессы происходят в случае контакта металла и полупроводника n-типа. Если в контакте находятся металл и полупроводник n-типа, то в полупроводнике приконтактный слой обогащается, в основном, носителями (дырками), что приводит к возникновению запирающего слоя. Если между полупроводником и металлом приложить внешнее электрическое напряжение, то в результате образования запирающего слоя такой контакт приобретает выпрямляющие свойства, т.е. способность проводить электрический ток только в одном направлении. Это направление проводимости зависит от полярности приложенного напряжения. Принято говорить о прямом и обратном внешнем напряжении, о пропускном и запорном направлении тока. Прямым называют внешнее напряжение, при котором сопротивление контакта уменьшается, и контакт становится проводящим. При этом направление тока называют прямым. Напряжение первоначальной полярности, приводящее к возрастанию сопротивления контакта, называется обратным или запирающим, а направление тока в этом

110

случае также называется обратным. При контакте металла с nполупроводником прямое напряжение соответствует подаче на полупроводник минуса, а на металл - плюса источника внешнего напряжения. Если же в контакте находятся p-полупроводник и металл, то прямое напряжение соответствует подаче плюса напряжения источника на полупроводник и минуса - на металл. 5.6. p-n переход Аналогичный эффект образования p-n перехода наблюдается и при контакте двух полупроводников с разными типами проводимости, или при введении в полупроводник n-типа акцепторной примеси. Поскольку p-n переход связан с образованием донорного слоя, обладающего выпрямляющими свойствами, то под электронно-дырочным переходом понимают контакт двух полупроводников с различными типами проводимостей. Вследствие различия в концентрации носителей тока на границе перехода возникает диффузионный поток. Если, например, условимся считать, что pполупроводник находится слева, а n-полупроводник - справа, то диффузионный поток электронов будет направлен справа налево, а дырок слева направо. В результате, слева от границы появится объемный отрицательный заряд, а справа от границы - объемный положительный заряд. Это перемещение зарядов прекратится тогда, когда электрические силы возникающего задерживающего поля уравновесят силы диффузии. Вследствие диффузии левая и правая области оказываются обедненными основными носителями тока, поэтому область p-n перехода является областью с повышенным электрическим сопротивлением, и все внешнее приложенное напряжение падает на p-n переходе. При приложении внешнего напряжения U расположение уровня Ферми изменяется как в p-области, так и в n-области (рис. 5-17). При этом суммарное расхождение уровней Ферми равно eU, и высота потенциального барьера уменьшается на эту величину, т.е. становится равной  или V=Vk-eU. (5.17) Как уже говорилось, такое внешнее напряжение, при котором уменьшается высота потенциального барьера на контакте, называется

111

прямым. Следовательно, в случае p-n перехода прямое напряжение соответствует подаче минуса источника на n-область и плюса на p-область. Это правило остается в силе и для контакта металла с полупроводником. (p)

(n)

Vk -eU

µ1

eU

µ2

+ x

Рис.5-17 Если прямое напряжение считать положительным (U>0), то обратное напряжение (минус на p-область и плюс на n-область) будет отрицательным (U<0). В этом случае вместо (7.17) имеем

V=Vk+eU,

(5.18)

т.е. при обратном напряжении высота потенциального барьера повышается. Следует добавить, что p-n переход используется в полупроводниковых диодах для преобразования переменного тока в постоянный.

112

6. ФИЗИКА АТОМНОГО ЯДРА 6.1. Радиоактивное излучение В начале XX столетия интенсивно начала развиваться наука о строении aтомa и теория строения атомного ядра. Исследования показали, что основными ядерными частицами являются протоны и нейтроны, которые были названы просто ядерными частицами или нуклонами. Между нуклонами в ядре действуют ядерные силы, причем энергия связи частиц в ядре весьма велика. Явление естественной радиоактивности заключается в самопроизвольных превращениях одних атомов в другие, сопровождаемых испусканием радиоактивных лучей. В 1896 году Беккерель, исследуя уран и его соединения, обнаружил, что они испускают невидимые лучи, которые, проходя через тела, непрозрачные для видимого света, вызывают почернение фотопластинки. В 1898 году Пьер Кюри и Мария Кюри-Склодовская открыли два новых элемента, испускавшие такие же лучи, но с интенсивностью, во много paз превосходящей интенсивность урановых лучей. Один из этих элементов был назван радием - его активность была в миллион pаз больше активности урана, вторым по активности элементом был полоний. При исследовании было выяснено, что поток лучей, испускаемых радиоактивными телами, состоит из трех видов лучей, названных α, β и γлучами (рис. 6-1):

113

Рис. 6-1 α-лучи характеризуются малой проникающей способностью и сильным ионизирующим действием. Масса α-частиц в 4 раза больше массы атома водорода. Заряд положительный, в 2 pазa больше заряда электрона. По своей природе α-лучи представляют собой поток ядер гелия; β-лучи обладают большей проникающей способностью и меньшим ионизирующим действием; они представляют собой поток электронов, летящих со скоростями, иногда достигающими 0,99 скорости света; γ-лучи обладают наивысшей проникающей способностью и наименьшим ионизирующим действием; они представляют собой электромагнитное излучение, т.е. поток фотонов высокой энергии.

Методы регистрации заряженных частиц Для регистрации движения заряженных элементарных частиц применяется камера Вильсона - Скобельцына, которая схематично изображена на рис. 6-2 в виде цилиндрического сосуда. При открывании крана К пространство V под поршнем П соединяется с резервуаром Р, из которого откачан воздух; происходит внезапное адиабатическое расширение воздуха в сосуде С, температура понижается и пространство оказывается пересыщенным парами жидкости.

114

Рис. 6-2 Если вслед за расширением через камеру пролетит ионизирующая частица, то вокруг нее как центра конденсации будут выделяться капельки тумана и при соответствующем освещении траектория частицы станет заметной для глаза наблюдателя в виде узкой туманной полосы. Для того, чтобы удалить ионы, уже существовавшие в камере до проведения опыта, к камере подводится напряжение от батареи Б. Траектории заряженных частиц можно фотографировать. В последнее время были разработаны камеры с непрерывным движением поршня и автоматически управляемыми счетчиками. Счетчик Гейгера широко применяется в ядерной физике, с его помощью можно усиливать слабые первичные ионизационные процессы и производить регистрацию заряженных частиц, попадающих в камеру. Счетчик Гейгера состоит из металлической камеры (рис.6-3), на оси которой расположено острие, укрепленное на изоляторе. Между острием и стенками камеры создается разность потенциалов, подаваемая от высоковольтной батареи. Острие счетчика соединяют с чувствительным электрометром, который имеет нить, расположенную между электродами. Падение потенциала на высокоомном сопротивлении R (~108 Ом), возникающее при прохождении заряженной частицы через счетчик, затем усиливается и регистрируется при помощи измерительного прибора.

115

+

R

Рис. 6-3 Эффект усиления первичных ионизационных процессов основан на неравномерности электрического поля вблизи острия. Вследствие большого градиента поля ионы, возникшие в камере под действием быстрой частицы, испытывают сильное ускорение вблизи острия и создают путем ударной ионизации лавину ионов, на которую реагирует измерительный прибор. Счетчики с острием называют счетчиками Гейгера, а счетчики с тонкой нитью (вместо острия) - счетчиками Гейгера—Мюллера. Счетчик, работающий при определенной разности потенциалов, когда ток пропорционален числу первичных пар ионов, называется пропорциональным. В дальнейшем для регистрации путей быстрых частиц стал широко применяться метод толстослойных фотопластинок, впервые предложенный Л. В. Мысовским. Изготовив несколько типов пластинок с различной чувствительностью, можно регистрировать α-частицы, протоны, дейтроны, мезоны, электроны и др.

Закон радиоактивного распада Наблюдения над радиоактвными веществами показали, что они самопроизвольно распадаются: самопроизвольно: на хapaктep распада не влияют ни температура, ни давление, ни химические процессы. В результате вылета α- и β-частиц атомное ядро превращается в ядро другого элемента. Время, в течение которого распадается половина атомов любого радиоактивного вещества, называют периодом полураспада (Т). Для радия период полураспада равен 1590 лет, для радона - 3,8 дня, для полония 1,5⋅10-4 с.

116

Исследованием установлено, что число атомов dN, распавшихся зa промежуток времени dt, пропорционально длительности этого промежутка времени и числу нераспавшихся атомов N:

dN = -Nλdt,

(6.1)

где λ - постоянная распада. Из соотношения (6.1) следует, что постоянная распада представляет собой относительную убыль числа ядер, подвергающихся распаду за единицу времени. Знак минус указывает, что число нераспавшихся атомов N со временем убывает. Разделяя переменные в равенстве (6.1), получим:

dN = −λdt . N Интегрируя полученное уравнение и обозначая начальное число атомов через N0, N t dN = − λdt N t =0 N0

∫

∫

или: ln

N N0

− λt ,

откуда получаем экспоненциальный закон радиоактивного распада: − λt N = N0e . Рассматривая это уравнение для момента времени t, равного периоду полураспада T, когда N = 1/2 No, находим:

λT= -In 1/2 = 0,69315, т.е. T=

ln 2

λ

.

(6.2)

Величина, обратная постоянной радиоактивного распада, определяет среднюю продолжительность жизни радиоактивного ядра:

117

τ=

1

λ

.

Сопоставляя выражения (6.2) и (6.3), видим, продолжительность жизни радиоактивного ядра равна:

τ=

(6.3) что

средняя

T . ln 2

Вторая закономерность в радиоактивном распаде носит название правила смещения, согласно которому можно определить, какой новый элемент возникает в результате данного  или β-распада. При р аcпаде массовое число уменьшается на 4 единицы, а атомный номер - на две. В результате р аспада возникает новый элемент, стоящий в периодической системе Менделеева на два места раньше исходного элемента. Примером р аспада может служить распад радия (88Ra226), который выбрасывает ч  аcтицу и 222 превращается в радон (86Rn ): 226 88Ra

→86Rn222 + 2He4 .

При β-распаде массовое число остается неизменным, а атомный номер увеличивается на единицу. В результате β-распада возникает новый элемент, стоящий в периодической системе элементов Менделеева на одно место позже исходного элемента. Примером β-распада может cлужить распад ypaнa (92U239), который, выбрасывая β-частицу, превращается в нептуний 93Np239 . При -распаде ядро утрачивает два протона и два нейтрона, поэтому порядковый номер элемента понижается на две единицы. При -распаде один из внутриядерных нейтронов превращается в протон, вследствие чего заряд ядра увеличивается на единицу, а порядковый номер увеличивается на одно место по отношению к материнскому. 3аметим, что три -распаде одновременно с -чаcтицей вылетает одна частица антинейтрино, которая не имеет заряда, мacca ее ничтожна, поэтому она ускользает от наблюдения. Реакцию при  р аспаде следует записать так: 92U

239

→ -1β0 + ~ ν +93Np239 .

118

Теория -распада была создана в 1934 году Э. Ферми по аналогии с квантовой электродинамикой, согласно которой процесс испускания и поглощения фотонов рассматривается как результат взаимодействия заряда с окружающим его электромагнитным полем. Фотоны не содержатся в атоме в готовом виде, а возникают в самый момент их испускания. Их источником является заряд„ В теории Ферми процесс -распада рассматривается как результат взаимодействия нуклона ядра с электронно-нейтринным полем: нуклон переходит в другое состояние (из нейтрона в протон или наоборот) и образуются электрон (позитрон) и антинейтрино (нейтрино). Источниками легких частиц являются нуклоны. 6.2. Состав ядра. Основные характеристики нуклонов и ядер Характеристики нуклонов и ядра

По современным представлениям ядра атомов состоят из протонов и нейтронов. Эти частицы носят название нуклонов. Протон (р) - тяжелая, положительно заряженная частица, представляющая собой не что иное, как ядро атома водорода. Масса протона равна mp = 1,00759 а.е.м.12 Отношение массы протона к массе электрона: mp = 1836 ,5 me

Протон имеет спин, равный

1 h ⋅ , и собственный магнитный момент: 2 2π

MP=2,79 MB,

где МB= 0,927 • 10-23 Дж/Т; величина МB называется магнетоном Бopa. Протон способен превращаться в нейтрон с испусканием позитрона и нейтрино ν: 12

Атомная единица массы (а.е.м.) =1,66⋅10-27 кг.

119

P → n+e++ν. Нейтрон (n) - тяжелая элементарная частица, лишенная электрического заряда (последние исследования структуры нейтрона показали, что в центре нейтрона имеется положительный заряд, окруженный отрицательным зарядом, за которым следует положительно заряженный хвост, суммарный электрический заряд нейтрона равен нулю). Масса нейтрона равна 1,00898 а.е.м. Отношение массы нейтрона к массе электрона: mn = 1839 . me

1 h ⋅ , а величина магнитного момента в 1,91 раз 2 2π больше величины ядерного магнетона. Нейтрон является нестабильной частицей, период его полураспада равен 11,7 мин. Нейтрон способен превращаться в протон с испусканием электрона и антинейтрино: Спин нейтрона -

n → p + e− + ν~ Характеристика ядра

Количество протонов Z , входящих в состав ядра, определяет его заряд, который равен Ze. Число Z называется атомным номером (оно определяет порядковый номер химического элемента в периодической таблице Менделеева). Число нуклонов, входящих в состав ядра, равно его массовому числу А (это целая часть атомной массы чистых изотопов). Число нейтронов (Nn) в ядре любого атома можно определить как разность между массовым числом и порядковым номером элемента: Nn=A-Z

Атомные ядра, имеющие одинаковый заряд, но различную масcy, называются изотопами. В настоящее время известно около 1500 изотопов. Даже один и тот же элемент может иметь несколько изотопов, например,

120

yран имеет изотопы U235, U234, U238 и U239, водород имеет изотопы Н1, Н2 и Н3. Кроме заряда и массы, ядро характеризуется механическим моментом (спин) и мaгнитным моментом. Спины нуклонов складываются в результирующий спин ядра. Магнитный момент атомного ядра взаимодействует с магнитным моментом электронной оболочки, благодаря чему полный момент импульса Ie электронной оболочки и момент импульса Is ядра складываются векторно в суммарный момент импульса L всего атома в целом: L=Is + Ie .

Величины Is и Ie подчиняются квантовым законам:

Is = Is ⋅

h , 2π

L = L⋅

h . 2π

Энергия связи ядра

Важной величиной, характеризующей ядро, является энергия отдельного нуклона в ядре и полная энергия связи ядра. Устойчивость атомных ядер свидетельствует о том, что между частицами, составляющими ядро, действуют ядерные силы, а сам частицы в ядре обладают определенной энергией связи. В ядерной физике вводится понятие об энергии связи отдельного нуклона в ядре. Энергией связи нуклона в ядре называется физическая величина, равная работе, которую нужно совершить для удаления данного нуклона из ядра без сообщения ему кинетической энергии. Полная энергия связи ядра равна, соответственно, работе, которую нужно совершить, чтобы разделить образующие ядро нуклоны и удалить их друг от друга на расстояния, на которых они практически не взаимодействуют. Из закона взаимосвязи массы и энергии следует, что при образовании ядра из составляющих его нуклонов должна выделяться такая же анергия, которую необходимо затратить при разделении ядра на составляющие его нуклоны. Точные его измерения показывают, что масса ядра меньше, чем сумма масс всех протонов и нейтронов, входящих в это ядро. Уменьшение

121

массы ядра на величину ∆m при образовании его из составляющих нуклонов должно сопровождаться эквивалентным выделениям энергии . Используя соотношение между энергией и массой 2 ∆E = ∆mc , полную энергию связи ядра можно определить по формуле:

∆E = [ Zm p + ( A − Z )mn − M Я ] c 2 ,

(6.4)

где mp и mn - массы покоя протона и нейтрона соответственно; Мя - масса ядра; с - скорость света в вакууме; Z - атомный номер (число протонов в ядре); (А—Z) - число нейтронов в ядре. Если пренебречь сравнительно малой величиной энергии связи электронов с ядром, то энергия связи нуклонов в ядре может быть выражена через массы нейтральных атомов в таком виде:

∆E = [ Zm H 1 + ( A − Z )mn − M a ] c 2 ,

(6.5)

где МH - масса атома водорода; Мa - масса атома. Практически удобнее пользоваться формулой (6.5), потому что в таблицах даются обычно не массы ядер, а массы атомов. В ядерной физике для вычисления энергий применяется атомная единица энергии (а.е.мЕ.), соответствующая одной атомной единице массы (а.е.м.): 1 a.e.мЕ = c2⋅1а.е.м.= 1,49⋅10-19 Дж= 931 МэВ. Учитывая это, формулы (6.4) и (6.5) можно переписать так:

∆E = 931[ Zm p + ( A − Z )mn − M Я ] ,

(6.6)

∆E = 931[ Zm H 1 + ( A − Z )mn − M a ] .

(6.7)

Энергия связи, отнесенная к массовому числу А, называется средней энергией связи в ядре: ∆E ε= . E

122

На рис. 6-4 приведена кривая зависимости ε от A. Из графика видно, что вначале ε растет по мере увеличения А, потом постепенно уменьшается, среднее значение εср=8МэВ. Поэтому энергия связи атомных ядер в первом приближении может быть выражена через массовое число при помощи следующего выражения: E=εсрA=8A [МэВ], Cредняя энергия связи нуклона 2He4 (ε=7 МэВ) значительно превосходит кулоновскую энергию взаимного отталкивания двух протонов этого же ядра, которая по порядку величины оценивается примерно в 1 МэВ.

Рис. 6-4 Мерой прочности ядра является энергия связи. Наибольшей устойчивостью, т. е. наибольшей энергией связи, отличаются ядра, у которых число протонов и число нейтронов одинаково, т. е. Z =A/2. Особенно велика энергия связи у 2Не4, 6С12, 8О16 и других четно-четных ядер (ядер с четным числом протонов и четным числом нейтронов). Это обстоятельство указывает на особую прочность системы, состоящей из двух протонов и двух нейтронов. При исследовании замечено, что наиболее устойчивыми являются ядра с числом нуклонов 2, 8, 20, 50, 82 и 126; они были названы магическими. При значительных отступлениях от приведенного соотношения ядра оказываются неустойчивыми. Чем тяжелее ядро, тем большая доля энергии определяется отталкиванием протонов и тем сильнее обнаруживается его тенденция к делению. Особенно четко это сказывается при большом отступлении от равенства чисел разноименных нуклонов (когда в ядре число

123

нейтронов значительно больше числа протонов): вследствие большого заряда ядра становятся неустойчивыми в отношении -распада. Дефект массы и коэффициент упаковки

Масса нейтрального атома изотопа кислорода 8O16, измеренная в а.е.м., совпадает с массовым числом А. Значение массы у других атомов отличается от массового числа. Разность между значениями массы атома и его массовым числом называется дефектом масс   M-A. Дефект массы считают положительным, когда массовое число А меньше величины массы атома, что наблюдаются у наиболее легких атомов (водорода, гелия, бериллия, углерода н др.). Так, например, дефекты масс нейтрона и атома водорода соответственно равны: An = 8,98⋅10-3 а.е.м.; ∆1H1 = 8,14⋅10-3 а.е.м. Дефект массы отрицателен для (всех атомов, массовые числа которых лежат в пределах от 20 до 185. Отношение дефекта массы к массовому числу называется коэффициентом упаковки: M−A p= . A Завиcимоcть коэффициента упаковки от атомного номера представлена на рис.6-5. Кривая 1 характеризует дефекты масс в зависимости от массового числа, пользоваться этой кривой неудобно в силу большой ошибки, поэтому приводится кривая коэффициента упаковки р (кривая 2), который определяются как дефект масс, рассчитанный на одну ядерную частицу. Здесь ошибка для всех масс одинакова.

Рис.6-5

124

Кривая 2 выражает зависимость коэффициента упаковки от массового числа. Коэффициент упаковки сначала быстро убывает, переходя через нуль у кислорода, далее становится отрицательным и мало отличается от - 0,001. Масса любого атома может быть выражена через массовое число и коэффициент упаковки следующим образом: M=A(1+p)

Из этой формулы следует, что при убывании р в области малых А в области малых A и возрастании при больших А для легких ядер энергетически выгоден процесс синтеза (слияния), а для тяжелых ядер процесс разделения на части. Оба эти процесса используются для получения энергии Дефект массы в более широком смысле слова - это убыль массы, вызываемая выделением энергии при возрастании связи между частицами.

Взаимодействие нуклонов. Ядерные силы

При изучении внутриядерных процессов было установлено, что природа взаимодействия внутриядерных частиц не может быть ни электрической, магнитной ни гравитационной. Эти силы не могут быть электрическими, потому что они проявляются не только между заряженными, но и между нейтральными частицами. Эти силы не могут быть также магнитными, поскольку магнитное взаимодействие между магнитными моментами нуклонов слишком незначительно. Эти силы не могут быть и гравитационными, ибо они чрезвычайно слабы. К настоящему времени накопились данные о характере взаимодействия ядерных сил. 1. Ядерные силы - это силы притяжения. 2. Ядерные силы относятся к короткодействующим силам; их радиус действия а<2·10-13 см; с увеличением расстояния ядерные силы резко убывают. 3.Ядерное взаимодействие является самым сильным взаимодействием в природе. Средняя энергия связи нуклонов в ядре имеет порядок 8МэВ; она в восемь раз больше энергии кулоновского отталкивания двух протонов ядра.

125

4.Ядерные силы не являются центральными - их взаимодействие определяется не только расстоянием между частицами, но и расположением относительно направления спинов. Отмечают тензорный характер сил такого рода. 5. Имеется зарядовая независимость ядерных сил, т. е. тождественность элементарных взаимодействий двух любых нуклонов. 6. Ядерные силы обладают обменным характером. 7.Ядерные силы зависят от скорости нуклонов. Были указаны только некоторые свойства ядерных сил. Законченной теории пока не существует из-за очень сложного характера ядерного взaимoдeйcтвия. 6.3. Гамма-лучи и нейтроны. Реакции деления и синтеза атомных ядер Гамма-излучение ядер

Гамма-излучением называются электромагнитное излучение, испускаемое ядрами атомов при переходах ядер из возбужденного состояние в основное (или в менее возбужденное), а также в процессе ядерных превращений. Различают жесткое излучение, испускаемое ядрами при переходе из возбужденного состояния в основное, и мягкое излучение, которое испускается при перестройке электронных оболочек атома в результате так называемого К-захвата. Фотоны жесткого γ-излучения имеют энергию от сотен тысяч электрон-вольт до нескольких мегаэлектрон-вольт. В каждом акте перехода ядро излучает один γ-квант. В связи с дискретностью энергетических уровней ядра γ-излучение имеет линейчатый спектр. Частоты γ-квантов связаны с разностью энергий условием частот Бора. Поясним происхождение мягкого γ-излучения. Процесс превращения одного из внутриядерных протонов в нейтрон происходит либо с возникновением позитрона, либо без возникновения позитрона с захватом ядром одного из ближайших к нему атомных электронов. Так кaк ближайшими к ядру являются электроны К-слоя, то последний вид излучения называют К-захватом. После К-захвата электронная оболочка атома оказывается в возбужденном состоянии. Возврат в нормальное состояние осуществляется в результате перехода одного из электронов внешних слоев на вакантнюе место в К-слое, вследствие чего возникает характеристическое излучение К-серии.

126

Возможно излучение γ-квантов и твердыми телами, что подтверждается эффектом Mecc6ayэpa. Этот эффект заключается в упругом испускании или поглощении γ-квантов атомными ядрами, связанными в твердом теле. В 1958 году Мессбауэр предложил метод резкого уменьшения энергии отдачи ядру ТЯ при испускании и при поглощении γ-лучей. Идеей метода является использование излучающих и поглощающих ядер в связанном виде, т.е. в составе кристаллических решеток. Известно, что при достаточно низких температурах становятся возможными ядерные переходы без изменения энергетического состояния кристалла, т.е. с передачей энергии упругим образом всему кристаллу в целом. Так как масса кристалла много больше массы ядра, то согласно закону сохранения импульса потери на отдачу становятся чрезвычайно малыми. Поэтому процессы испускания и поглощения могут происходить практически без отдачи. Энергетическим состояниям атомных ядер приписывают вполне определенную энергию. Это не совсем правильно. Так, например, ядро изотопа иридия Jr191 находится в возбужденном состоянии с энергией Е=129 КэВ, из которого оно может перейти в основное состояние за счет испускания γ-кванта с периодом полураспада, равным ∆τ ≈ 10-10 с. Тогда согласно соотношению неопределенности энергия возбужденного состояния будет известна с точностью до: −34

6 ,62 ⋅ 10 ∆E = = 6 ,6 ⋅ 10− 6 эВ. = −10 −19 2π∆τ 6 ,28 ⋅ 10 ⋅ 1,6 ⋅ 10 h

Чем меньше время жизни возбужденного состояния ядра, участвующего в γ-переходе, тем больше неопределенность в значении энергии возбужденного состояния. Последняя приводит к тому, что γ-излучение, испускаемое при переходе ядра из возбужденного состояния в основное, будет немонохроматическим, т.е. будет содержать не одну частоту излучения, а спектр. Эту немонохроматичность принято называть естественной шириной (Г) линии испускания γ-лучей. В рассматриваемом примере Г = 6⋅10-6 эВ. Это очень малая величина по сравнению с энергией γперехода Е=129 КэВ. Относительная ширина линий Мессбауэра, равная в Г нашем примере ≈ 5 ⋅ 10−11 , позволяет использовать этот эффект для E измерения малых сдвигов энергии (частоты) γ-квантов, вызванных теми или иными воздействиями на излучающее или поглощающее ядро.

127

Обнаружить изменение энергии на величину, равную естественной ширине линии излучения, можно при помощи резонансного поглощения.13 При совпадении энергии γ-лучей с энергией перехода поглощение резко возрастает, что позволяет зaметить очень небольшие изменения энергии вблизи резонансного значения. Однако до последнего времени этот метод можно было использовать только при линиях достаточно большой ширины. Происходит это потому, что при переходе ядра из возбужденного состояния в основное состояние испускающий γ-квант уносит не всю энергию возбуждения Е, а часть ее Еисп, так как остальная энергия ТЯ идет на отдачу испускающего ядра Еисп = Е—ТЯ. Аналогично, для возбуждения ядра до энергии E нужны γ-лучи с энергией Eпогл=E+Тя, где ТЯ — энергия отдачи, передаваемая γ-квантом поглощающему ядру. Таким образом, линия испускания и линия поглощения для одного и того же состояния в данном ядре сдвинуты друг относительно друга на величину 2Тя (рис.6-6).

Рис.6-6 Можно показать, что при испускании или поглощении ядром γ-кванта системе, содержащей это ядро, передается энергия, равная энергии отдачи, которую ядро получило бы, находясь в неподвижном состоянии. Энергию Резонансным поглощением γ-лучей называется процесс возбуждения ядра под действием γ-квантов, испускаемых этими ядрами при обратных переходах из данного возбужденного состояния в основное. 13

128

отдачи легко определить, если учесть, что при испускании γ-кванта должен выполняться закон сохранения количества движения (pγ = pя): 2 2 2 pγ p2 E исп ≈ E Я = = = , TЯ 2 2 2M Я 2M Я 2M Я c 2M Я c где МЯ - масса ядра; с - скорость света. Так, например, небольшая энергия отдачи для ядра иридия 2 5 1,29 ⋅ 10 ≈ 0,05 эВ ТЯ = 6 2 ⋅ 191 ⋅ 931 ⋅ 10

(

)

значительно превышает естественную ширину линии излучения Г. Механизм поглощения γ-лучей. Позитрон Поглощение γ-лучей в среде в основном обусловлено тремя процессами: фотоэффектом, комптоновским рассеянием и явлением образования электронно-позитронных пар. Когда энергия γ-фотонов достигает примерно 0,1 МэВ, поглощение γлучей в веществе происходит вследствие фотоэффекта - здесь электрон выбрасывается из глубинных слоев атома (К или L), после чего происходит заполнение вакантного места с испусканием характеристического излучения. В поглощении γ-лучей с энергиями фотона порядка 0,5—2,0 МэВ существенную роль играет эффект Комптона. При исследовании установлено, что γ-фотоны с энергией в несколько мегаэлектрон-вольт мoгут поглощаться ядрами, переводя их в возбужденное состояние, причем обратный переход в основное состояние может сопровождаться выбросом внутриядерной частицы - нейтрона или протона. В 1934 году Чадвик установил, что при облучении тяжелого водорода γлучами тория поглощение γ-фотона (с энергией hν= 2,2 МэВ) переводит ядро дейтрона в неустойчивое возбужденное состояние, которое завершается распадом на протон и нейтрон. Для фоторасщепления более тяжелых ядер требуются γ-фoтоны с энергией порядка 10 - 15 МэВ. Поглощение γ-фотонов с энергией порядка 100 МэВ приводит к освобождению из ядер нескольких частиц.

129

Поглощение γ-лучей, при прохождении их через вещество можно описать экспоненциальным законом: I = I0e

− µx

,

где µ - коэффициент поглощения; x -толщина слоя вещество. Вместо линейного коэффициента поглощения µ берут массовые коэффициенты µ/ρ, а также коэффициенты, рассчитанные на 1 атом и на 1 электрон: µa

=

µ A ⋅ , ρ N

которые могут быть истолкованы как эффективные сечения для того или иного процесса. Позитрон. Под действием жестких γ-лучей, имеющих энергию кванта больше 1 МэВ, происходит рождение электронно-позитронных пар. Позитроны были открыты в 1932 году Андерсеном при исследовании им космических лучей. Впоследствии существование позитронов было подтверждено опытами, не связанными с исследованием космических лучей. В 1933 году Чэдвик, Блеккет и Оккиалини обнаружили, что позитроны вылетают из свинцовой пластинки, облучаемой γ-лучами. При исследовании было установлено, что масса позитрона равна массе электрона, заряд позитрона paвен заряду электрона по величине, но противоположен по знаку. Равны также их механические и (численно) магнитные спиновые моменты Iпоз=Iэл, µпоз=µэл. Тот факт, что позитрон наблюдается только в исключительных условиях, объясняется весьма малой продолжительностью его жизни (порядка 10-6 с в атмосферном воздухе). За этот промежуток времени позитрон встречается с электроном вещества, и если энергия каждого из них не меньше 0,5 МэВ, они превращаются в два фотона. Нейтроны и их прохождение через вещество Искусственное превращение ядер, вызванное бомбардировкой α-частиц, привело к открытию нового вида элементарной частицы -нейтрона. В 1930 году Боте и Беккер обратили внимание на то, что при бомбардировке αчастицами бериллия (4Ве9) возникает излучение весьма большой

130

проникающей способности, в несколько раз превышающей проникающую способность очень жестких γ-лучей. Вначале это излучение назвали бериллиевыми лучами. В 1932 году Чэдвик доказал, что бериллиевые лучи представляют собой поток частиц, лишенных заряда и имеющих масcy, близкую к массе протона; эти частицы были названы нейтронами. Ядерная реакция в этом случае протекает в такой форме: 4Ве

9

+ 2He4 → (6C13) → 6С12 +0n1 .

Рис. 6-7 На рис.6-7 изо6ражено устройство прибора для обнаружения нейтронов. Источником α-частиц служит диск Д, покрытый полонием. Нейтроны, испускаемые бериллием, под влиянием бомбардировки α-частицами проходили через стенку камеры и проникали в ионизационную камеру, в которой они не вызывали ионизации, так как не имели своего заряда. Если перед окном камеры, поместить пластинку из парафина, то ионизация в камере возрастает, так как нейтроны, сталкиваясь с ядрами атомов водорода, содержащимися в парафине, передают им некоторое количество движения и сообщают скорость, достаточную для ионизации газа в ионизационной камере. Таким образом, ионизация в камере вызывается не нейтронами, а протонами, которые получили кинетическую энергию при упругих столкновениях с нейтронами. Опыт показывает, что при прохождении нейтронов через вещество возможны упругое рассеяние, неупругое рассеяние, захват. Упругим называется рассеяние без потери кинетической энергии частицей (нейтроном). В некоторых веществах, для которых роль упругого рассеяния относительно высока, быстрый нейтрон теряет свою энергию в серии

131

последовательных актов упругого соударения с ядрами вещества (замедление нейтронов). Процесс замедления продолжается до тех пор, пока кинетическая энергия нейтрона не сравняется с энергией теплового движения атомов замедляющего вещества. Такие нейтроны называются тепловыми. Дальнейшие столкновения тепловых нейтронов с атомами замедлителя не изменяют энергии нейтронов, а приводят к диффузии тепловых нейтронов в веществе до тех пор, пока они не поглотятся какимлибо ядром или не вылетят за пределы замедлителя. Упругое рассеяние используется при замедлении быстрых нейтронов в реакторах. Неупругим рассеянием нейтронов называется процесс, когда нейтрон, попадая в ядро, может перевести его в возбуждённое состояние и снова вылететь из ядра, но уже с меньшей энергией. При исследовании установлено, что для строго параллельного пучка число нейтронов Nl, прошедших слой х, убывает с увеличением толщины слоя по экспоненциальному закону: x

− Nl = N0e l

(6.8)

Здесь N0 - число нейтронов, регистрируемых детектором в первичном пучке; l - средняя длина свободного пути нейтрона в рассеивающем веществе. В настоящее время рассеяние и поглощение характеризуются не средней длиной, а эффективным сечением рассеяния σ, связанным с l соотношением: 1 l= ,

νσ

где ν - чиcло ядер, рассеивающих нейтроны в единице объема. Подставляя это соотношение в (6.8), получим: N1 = N 0 e

−νxσ

.

(6.9)

Произведение νx имеет размерностъ м-2 и представляет собой число ядер, приходящихся на 1 м2 вещества, 0бозначая νx = n, перепишем формулу (6.9) в таком виде: N1 = Noe-nσ = Noe-σνx ;

132

константаσ, имеющая размерность м2, называется эффективным сечением рассеяния. Число ядер, прореагировавших за 1 с, характеризуют эффективным сечением ядра. Если центр налетающей частицы пройдет внутрь сечения σ, то столкновение частицы будет эффективным для ядерной реакции. Площадь σ нужно приписать ядру для того, чтобы можно было считать, что попадание частицы в диск этой площади вызовет ядерную реакцию. Вероятность р того, что налетающая частица вызовет превращение ядра, можно определить по формуле р = σν∆x, где ∆х - толщина мишени. Эффективное сечение ядра легко вычислить из последней формулы по числу налетающих частиц, вызывающих в среднем одно ядерное превращение в достаточно тонкой мишени. Одному ядру приходится приписывать разные эффективные сечения при различных значениях энергии налетающей частицы. Для реакций, вызываемых поглощением нейтронов с тепловыми скоростями, эффективное сечение ядра нередко в сотни тысяч раз превышает геометрическое сечение. Так например, поперечное сечение ядра кадмия для захвата медленных нейтронов при резонансном значении энергии нейтрона равном 0,176 эВ достигает величины σ = 7800⋅10-28 м2 (это эффективное сечение в 4500 раз превышает геометрическое сечение ядра атома кадмия), но при увеличении энергии нейтронов всего на 0,2 эВ эффективное сечение кадмия уменьшается почти в 10000 раз. 6.4. Ядерные реакции Известные ранее виды ядерных реакций Ядерными реакциями называются превращения атомных ядер, вызванные их взаимодействиями с элементарными частицами или друг с другом. Известны различные типы реакций. В зависимости от частиц, вызывающих реакции, их можно разделить на реакции под действием заряженных частиц, под действием нейтронов и γ-квантов. Итак, искусственное расщепление атомных ядер может быть осуществлено путем бомбардировки ядер различных элементов: α-частицами; протонами (р); дейтронами (1H2); нейтронами (0n1); фотонами (γ). История открытия деления ядер начинается с опытов Ферми по изучению искусственной радиоактивности, возникающей под действием нейтронов.

133

Облучая в 1934 году уран, Ферми обнаружил у образующихся радиоактивных продуктов не один, а несколько периодов полураспада. Было установлено, что при делении тяжелого ядра освобождается большая часть энергии в форме кинетической энергии осколков деления, причем оказываются, что эти осколки являются β-радиоактивными и могут испускать нейтроны. Расщепление азота при бомбардировке α-частицами В 1919 поду Резерфорд, подвергая различные элементы (азот, алюминий и др.) бомбардировке α-частицами, обнаружил в камере Вильсона у некоторых следов (рис.6-8) наличие излома (вилки), причем одна часть вилки оставляла жирный след, а другая - слабый.

Рис.6-8

Исследованием было установлено, что слабый след соответствовал следу протона, выбитого из ядра азота, а жирный след - новому ядру (8017), получившемуся в результате расщепления ядра азота. Уравнение ядерной реакции в данном случае протекает в следующей форме: 14 4 1 17 7N +2He → 1H +8О . Подсчеты показали, что миллион α-частиц вызывает pacпад примерно 20 ядер азота (400000 выстрелов дали 8 попаданий).

134

Последующими опытами с α-частицами удалюсь искусственно разрушить ядра всех легких элементов - от 6opa до калия, за исключением углерода и кислорода. На основании теории ядра можно считать, что процесс pacщепления ядра азота α-частицами состоит из двух этапов. Первый заключается в захвате αчастицы ядром азота, приводящим к образованию так называемого компаунд-ядра; второй - во внезапном распаде компаунд-ядра на две частицы, одна из которых представляет собой протон. Уравнение ядерной реакции для этого процесса можно записать так: 2Не

4

+ 7N14 → (9F18) → 8017 + 1H1 .

Искусственное расщепление атомных ядер протонами Протоны имеют в 4 раза меньшую массу, чем α-частицы, а заряд их меньше заряда α-частицы в два paзa. Поэтому во многих случаях протоны оказываются более эффективными снарядами, чем α-частицы. Отсюда следует, что кулоновские силы отталкивания, действующие на заряженную частицу при приближении ее к ядру, будут в два раза меньше в случае протона, чем в случае α-частицы. При бомбардировке ядер лития протонами ядерная реакция протекает в такой форме: 7 1 4 3Li +1H → 22He . Полученные таким путем α-частицы вылетали из ядра лития, оставляя пробег в 8,4 см, что соответствует энергии 8,6 МэВ. Энергия бомбардирующего протона была paвнa 0,125 МэВ. Точные значения масс (масс покоя) атомов, участвующих в этой реакции, определяются из следующих данных:

∆m=[m(3Li7)-2m(1H1)]= = 7,01822+l,00812 - 2·4,0039 = 8,02634 - 8,0078 = 0,01845 а.е. м. Можно рассчитать увеличение кинетической энергии частиц, вылетающих при указанной реакции, пользуясь законом взаимосвязи массы и энергии:

135

∆Eкин = 931·0,01854 = 17,25 МэВ. Увеличение кинетической энергии по полученным данным оказалось равным (в пределах точности измерений) ∆Eкин = 2·8,6 - 0,125 = 17,1 МэВ. Расщепление ядер дейтронами - 1H2 При бомбардировке некоторых атомных ядер дейтронами, т. е. ядрами тяжелого изотопа водорода (1H2), получаются мощные потоки нейтронов. Так, например, при бомбардировке дейтронами бериллия получается следующая реакция: 9 2 10 1 4Be +1H → 5B + on . Расщепление ядер нейтронами - оn1 Ядерная реакция при бомбардировке азота 7N14 нейтронами, возникающими в атмосфере под действием космических лучей, идет по уравнению: 14 1 1 14 7N + on → 1H +6C , гдe 6C14 —изотоп углерода. Ядерные реакции под действием γ-лучей. Реакции этого типа называются ядерным фотоэффектом. Необходимым условием их осуществления является превышение энергии γ-кванта над энергией связи нуклона в ядре:

γ+1H2 → on1+1pi . В результате фоторасщепления дейтрона были обнаружены протоны с энергией порядка 0,2 МэВ, но так как масса нейтрона приблизительно равна массе протона, то и энергия, уносимая нейтроном, paвнa примерно 0,2 МэВ. Приведем еще один пример реакции расщепления γ-лучами ядра бериллия 4Ве9:

136

γ + 4Be9 → 4Be8 + 0n1 ;

8 4Be

→ 2 2He4 .

Общие закономерности ядерных реакций. При протекании ядерных реакций выполняются следующие законы: сохранения электрического заряда и числа нуклонов, сохранения энергии и импульса, сохранения момента импульса, сохранения четности и изотопического спина. Справедливость закона сохранения электрического заряда и числа нуклонов можно проверить на рассмотренных ядерных реакциях. Иллюстрация остальных закономерностей, выполняемых при ядерных превращениях, выходит за рамки данного курса. Закон сохранения энергии для ядерной реакции может быть записан в виде Е1 = E2, где Е1 и Е2 - энергии исходных и конечных продуктов реакции. В общем случае, когда Е1 ≠Е2, разность Е1 - Е2 называется энергией ядерной реакции и обозначается буквой Q: Q=E1 - E2 = Eкин2 - Eкин1 , где Eкин2 и Eкин1 - кинетические энергии частиц. При Q>0 реакция сопровождается выделением кинетической энергии за счет уменьшения энергии покоя и называется экзотермической; ее примером является реакция: 1H

+1H2 → 2He3+on1,

2

в которой высвобождается в виде кинетической энергии продуктов реакции энергия ядерной реакции Q = 3,25 МэВ. При Q<0 реакции идут с поглощением энергии и называются эндотермическими; они могут идти только при достаточно высокой кинетической энергии падающей частицы. Случаю Q=0 сooтветствует упругое рассеяние Eкин1 = Екин2 , Е1 = Е2, т. е. сохраняется не только полная энергия, но и кинетическая. В этом случае происходит перераспределение кинетической энергии между сталкивающимися частицами. Примером эндотермической реакции может быть следующая:

α4 + 7N14 → 8017 + 1p1 .

2

137

Интересно рассмотреть реакции образования новых элементов, которых не было в таблице Менделеева. В настоящее время они отсутствуют в природе, но мoгyт быть получены искусственно в результате ядерных превращений. Рассмотрим, например, реакции образования трансурановых элементов. Периодическая система заканчивается 92-м элементом - ураном. Это не означает, что в природе принципиально невозможно существование элементов с Z>92, а обусловлено тем, что с уменьшением периодов α- и βраспада у этих элементов происходит caмoпpoизвoльнoe (спонтанное) деление ядер с ростом Z. При облучении тяжелых ядер нейтронами и заряженными частицами получены ядра, заряд которых превышает 92, т. е. ядра элементов, которых не было в таблице Менделеева, но которые могут быть внесены в нее за ураном, почему эти элементы и получили название трансурановых (нептуний Np, плутоний Рu, америций Am и др.) . При облучении 92U238 медленными нейтронами образуется изотоп урана 239 , который в результате β-распада (Т=23,54 мин) превращается в изотоп 92U нептуния 93Np239, а последний в результате β-распада (Т = 2,33 дня) превращается в изотоп плутония 94Рu239 по реакциям: 92U

+on1 → 92U239 ;

238

239 93Np

92U

239

→ -1β0 + 93Np239 ;

→ -1β0 + 94PU239 .

Приведём данные по некоторым трансурановым элементам: нептуний 237 242 243 , кюрий 96Сm247, берклий 97Bk247, 93Np , плутоний 94Pu , америций 95Am калифорний 98Cf249, эйнштейний 99Es254, фермий 100Fm253, менделевий 101Md256, лоуренсий 103Lw257 (период полураспада 9 с). Следует заметить, что все трансурановые элементы образуют группу элементов, близких по химическим свойствам. Деление ядер. Цепные ядерные реакции В 1938 году Ган и Штрасман точным радиохимическом анализом даказали, что при облучении урана нейтронами образуется элемент из середины периодической системы 56Ba137 - химический аналог 88Ra226. В

138

1939 году советские физики Г. Н. Флеров и К. А. Петржак обнаружили самопроизвольное деление ядер урана, которое сопровождалось выделением огромной энергии. Так как средняя энергия связи, рассчитанная на один нуклон, для ядер из середины периодической системы примерно на 0,8 МэВ больше энергии связи для урана, то энергия, освобождающаяся при делении ядра ypaнa, Q=238⋅0,8 ≈200 МэВ. Подавляющая часть энергии деления освобождается в форме кинетической энергии осколков, образовавшихся после деления ядер на две части. Величина кулоновской энергии двух осколков, находящихся на расстоянии r=r1+r2 (r1 и г2 - радиусы ядер осколков), равна (в системе СИ): Z 1 Z 2 e2 2 4πε 0 r Радиусы ядер осколков .могут быть вычислены по формуле: Ek =

r1 = r 0 A

1/ 3

Считая, что Z 1 = Z 2 =

Ek =

92 = 46 , 2

= 1,4 ⋅ 10−15 A1 / 3 [м].

r1 = r 2 ( A1 = A2 =

(

)

2

238 = 119 ), получим: 2

2 46 1,6 ⋅ 10 − 19 6 ,25 ⋅ 10

3,14 ⋅ 2 ⋅ 8,85 ⋅ 10

−12 3

12

119 1,4 ⋅ 10 ⋅ 4 −15

≈ 200 МэВ ,

т. е. величину такого же порядка, как и Q. Более точный расчет показывает, что кинетическая энергия осколков равна 180 МэВ. На долю электронов при β-pacпаде и γ - излучении падает 10 МэВ, и 10 МэВ приходится на долю антинейтрино, так что общая энергия, выделяемая при делении ядер урана, раина 200 МэВ. При делении ядер вылетает несколько нейтронов, которые при соответствующей концентрации атомов смогут вызвать новое деление соседних ядер, сопровождающееся выделением новой порции энергии, и образование новых нейтронов. Если при одном акте выделения возникает больше одного нейтрона, то в принципе становится возможным нарастающий процесс цепной ядерной реакции деления в массе урана. В естественном уране имеются два изотопа - 92U238 и 92U235, причем главную массу составляет 92U238, а урана 92U235 содержится около 0,7%. Исследования

139

показали, что 92U235 делится под действием медленных (тепловых), а также быстрых нейтронов, в то время как 92U238 делится только под дeйcтвиeм быстрых нейтронов. Исследования природы ядер - осколков, образующихся при делении ядер урана, позволили обнаружить до 60 вариантов деления. В качестве примера приведем одну реакцию деления: 235 +on1 → 92U236 92U При захвате нейтрона ядром 92U235 образуется неустойчивое ядро которое распадается на две части: 92U

236

92U

236

,

→ 52T137 + 40Z97 +20n1

Образующиеся в результате деления теллур и цирконий являются радиоактивными и через ряд радиоактивных превращений переходят в стабильные ядра изотопов 56Ba137 и 40Mo97. Изотоп урана 92U236 может распадаться на другие два осколка, например: 236 → 38Sr 94 + 54Xe140 +20n1 92U Образовавшиеся ядра стронция и ксенона содержат избыточное число нейтронов и поэтому являются радиоактивными. После β-распада они превращаются в стабильные ядра циркония и цезия. Цепные ядерные реакции. Схема деления атомного ядра 92U235 приведена на рис.6-9.

140

Рис.6-9 Нейтроны, выделяющиеся при делении одного ядра, попадают в другие ядра и вызывают их деление, также сопровождающееся выделением нейтронов; последние вызывают деление в следующих ядрах и т. д. Если такой процесс ничем не ограничивается, то происходит ядерный (или атомный) взрыв14. Если же размножения нейтронов не происходит, так как они рассеиваются в окружающее пространство, либо поглощаются примесями, то цепная реакция не происходит. Для развития цепной реакции необходимо, чтобы масса урана была не меньше некоторой критической массы и чтобы посторонних ядер, которые поглощают нейтроны без деления, было возможно меньше. Поэтому в атомных бомбах применяются чистые изoтoпы 92U235 и 94Pu239, без примеси 238 , ядpa которых делятся только при захвате быстрых нейтронов. 92U Критической массой радиоактивного вещества называют массу, в которой число образующихся нейтронов равно или немного больше числа нейтронов, рассеивающихся через поверхность этой массы вещества. Известно, что масса вещества, имеющего форму шара, пропорциональна 4 объему ( V = πR3 ), следовательно, она пропорциональна кубу радиуса, т. е. 3 14

На этом принципе основана атомная бомба.

141

число рождающихся нейтронов возрастает пропорционально R3, а число нейтронов, рассеянных этой массой, пропорционально площади поверхности S=4πR2, т. е. пропорционалmно R2. С увеличением массы может наступить состояние, пpи котором число вновь появляющихся нейтронов будет paвно числу рассеивающихся через поверхность радиоактивного вещества; с этого момента масса вещества становится критической и в ней развивается цепная реакция. Одной из важных черт цепной реакции является скорость ее развития, зависящая, помимо коэффициента размножения нейтронов, от среднего времени τ между двумя последовательными актами деления. Если n -число нейтронов в данном звене цепной реакции, то в следующем звене их будет nk. Прирост dn числа нейтронов за одно поколение dn=kn n=n(k-1), тогда скорость развития цепной реакции: v=

dn n( k − 1 ) = . τ dt

После интегрирования будем иметь: k −1

n = n0 e

τ

t

,

где: n0 - число нейтронов в момент t= 0; n - число нейтронов в момент t. До взрыва атомной бомбы вся масса атомного горючего разделена на части, каждая из которых меньше критической величины. Для взрыва эти части при помощи особого устройства соединяются в одно целое. При ядерных реакциях примерно 1% нейтронов выделяется с запаздыванием по отношению к моменту деления, достигающему 1 мин. Запаздывающие нейтроны дают возможность управлять реакцией деления в энергетических ядерных реакторах. В настоящее время создано большое количество ядерных реакторов, в которых используются изотопы урана и плутония. Следует заметить, что при нечетном числе нейтронов делениe ядер вызывается как быстрыми, так и тепловыми нейтронами, а при четном числе нейтронов - только быстрыми нейтронами (правило Бора-Уиллера). Схема реактора, работающего на медленных нейтронах, приведена на рис. 6-10.

142

Рис.6-10. Здесь U - урановые стержни, обогащенные изотопом 92U235 , С - графит, Б бетонная защита от радиоактивных излучений, Cd - кадмиевый стержень, СО - отражатель (графитовая оболочка). Работа реактора происходит следующим образом. Ядра атомов 92U235 делятся, вследствие чего выделяется энергия и происходит вылет новых нейтронов. Для того, чтобы нейтроны не поглощались ураном 92U238, урановые стержни помещены в каналы, проделанные в графите. Графит замедляет нейтроны до тепловых скоростей (т.е. до значений энергии ниже 5 эВ); поэтому, попадая в другой, или в тот же урановый стержень, они почти не поглощаются ураном 92U238 и производят деление урана 92U235. Для возникновения цепной реакции необходимо, чтобы коэффициент размножения нейтронов k был больше единицы. Коэффициентом размножения называют отношение числа нейтронов последующего

143

поколения n2 к числу нейтронов предшествующего поколения n1, возникающих в звене реакции: n k= 2 n1 При k>1 цепная реакция начинается, при k<1 она затухает. Величина коэффициента размножения зависит от размеров установки, а также от скорости нарастания реакции. Роль paзмepов установки очевидна: с уменьшением размеров процент нейтронов, вылетающих через ее поверхность, увеличивается, так что при малых размерах установки цепная реакция становится невозможной. Минимальные размеры реактора, при которых в активной зоне возможно осуществить цепную реакцию деления, называется критическими. Аналогично критической называется минимальная масса делящегося вещества, в котором может происходить реакция. Для того, чтобы зaтpуднить вылет нейтронов за пределы реактора, вокруг его aктивнoй зоны (зона, где расположен уран) устраивается отражатель СО (графитовая оболочка). Если скорость нарастания реакции постоянна, то коэффициент размножения равен единице. Для обеспечения этого условия в активную зону погружают стержни из материалов, сильно поглощающих тепловые нейтроны (кадмий, бор). Специальное автоматическое устройство, управляющее стержнями, позволяет поддерживать развиваемую мощность на заданном уровне. Управление цепным процессом упрощается тем, что некоторые нейтроны деления являются запаздывающими. Размножение нейтронов не может происходить на одних мгновенных нейтронах (для них k<1), в нем должны принимать участие и запаздывающие нейтроны (в общем числе нейтронов, испускаемых при делении, составляют около 1%). Подсчет среднего времени жизни одного поколения нейтронов с учетом доли запаздывающих нейтронов дает τ ср = 0,1 с (вместо τ = 10с с без учета запаздывающих нейтронов). Из расчетов следует, что за 1 с число нейтронов возрастает всего в 1,5 раза. Медленный рост интенсивности цепной реакции упрощает процесс управления. В настоящее время имеются разнообразные конструкции ядерных реакторов, работающих на тепловых и быстрых нейтронах. Ядерные реакторы на быстрых нейтронах не содержат замедлителя. Ядерные

144

реакторы широко используются в атомных электростанциях для получения энергии. Термоядерные реакции Термоядерными называют реакции синтеза легких атомных ядер, протекающие при очень высоких температурах - от нескольких миллионов градусов до нескольких сотен миллионов градусов. Почему необходима такая высокая температура для протекания реакции слияния ядер атома? Известно, что между ядерными частицами существуют и силы отталкивания и силы притяжения, причем силы отталкивания действуют и на далеких расстояниях между протонами, тогда как силы притяжения проявляются только при тесном сближении протонов и, превышая силы отталкивания, дают протонам возможность соединяться в ядро. Значит, для того, чтобы протоны могли «перепрыгнуть» через барьер, которым "отгородилось" ядро, они должны иметь достаточно высокую энергию. Только в этом случае они смогут сблизиться на такие расстояния, при которых между ними уже действуют ядерные силы притяжения. Так, например, для слияния дейтронов необходимо их сближение до расстояния ~3⋅10-15м. На этом расстоянии потенциальная энергия взаимодействия дейтронов равна 0,5 МэВ. Температура, необходимая для протекания данной реакции, должна быть порядка T≈2⋅109 К. Гораздо легче осуществима реакция слияния ядер дейтерия и трития. Расчеты показывают, что общее количество дейтерия в океанах составляет 5⋅1013 т. Содержание трития в обычной воде совершенно ничтожно, но ученые нашли эффективный способ получать его искусственно из довольно распространенного элемента - лития. Температура, необходимая для протекания термоядерной реакции трития и дейтерия, должна быть порядка ста миллионов градусов. Искусственная термоядерная реакция была впервые осуществлена в Советском Союзе в виде взрыва мощной водородной бомбы. Реакция синтеза изотопов водорода протекает следующим образом: 1Н

З

+ 1Н2 → 2Не4 + оn1 + 17,6 МэВ.

Высокая температура, необходимая для быстрого и эффективного протекания реакции, практически достигается взрывом атомной бомбы, содержащейся в водородной бомбе в качестве взрывателя. Из приведенной

145

реакции видно, что при образовании альфа-частицы и нейтрона из дейтерия и трития высвобождается энергия 17,6 МэВ. Энергия, выделяющаяся при взрыве одной водородной бомбы, эквивалентна энергии взрыва десятков миллионов обычных взрывчатых веществ. Значительно большая энергия освобождается при реакции синтеза легкого водорода с тритием с образованием ядра гелия и γ-излучения: 1H

3

+ 1H1 → 2Не4 + γ + 19,2 МэВ;

Для выработки сверхтяжелого изотопа водорода 1H3, применяемого в водородной бомбе, используют ядерные реакторы, c помощью которых получают интенсивные потоки медленных нейтронов, необходимые для осуществления реакции: 6 3Li

+ 0n1 → 3Li7 → 2He4 + 1H3

Полученный таким образом тритий радиоактивен и испытывает βпревращение (1H3 → 2He3 + -1β0). Но если получающийся из трития изотоп гелия облучать тепловыми нейтронами, то снова образуется тритий: 3 2He

+ on1 → 1H3 + 1p1

Следует заметить, что производство изотопов водорода сопряжено с большими затратами средств. Haпpимер, расходы на строительство заводa по производству трития в США на берегу реки Саванны превысили стоимость всех заводов и предприятий такой крупной корпорации, как "Дженерал моторс". Особый интерес представляет возможность получения для народного хозяйства энергии за счет управляемой термоядерной реакции (любопытно отметить, что в литре обычной воды содержится столько же термоядерной энергии, сколько содержится химической энергии в 300 л бензина). В последние годы большое число исследований направлено на изыскание способов, которые позволяли бы стабилизировать термоядерные реакции и управлять ими. Для осуществления управляемых термоядерных реакций необходимо решить следующие задачи: во-первых, предстоит получить (конечно не в условиях взрыва) температуру в 350 миллионов градусов - это минимальная температура, начиная с которой реакция синтеза изотопов

146

водopoдa становится энергетически выгодной; во-вторых, надо обеспечить теплоизоляцию гopячeй плазмы15 от стенок прибора. Это необходимо не только для уменьшения потерь тепла, но и потому, что даже самые огнеупорные материалы не останутся твердыми при температуре термоядерной реакции. Метод преодоления этой трудности заключается в изолировании горячей плазмы от стенок прибора с помощью магнитного поля. Для разогрева плазмы до сверхвысокой температуры через нее пропускается электрическая искра от мощных электрических разрядов. Для решения этой задачи нет нужды строить сверхмощные электростанции, достаточно иметь аппараты, позволяющие получать высокие напряжения и одновременно сильные токи в течение малого времени. Такие приборы с мощными трансформаторами и конденсаторными батареями позволяют получить плазму с током в миллионы ампер. Это настоящая искусственно созданная молния с тонким, ослепительно сверкающим шнуром (в плазме ток идет по одному каналу, а не "рыскает" в поисках легкого пути, как в молнии). Чтобы понять, почему разряд имеет форму шнура, следует обратиться к опыту взаимодействия параллельных проводников с токами одинакового направления. В этом опыте проводники немедленно притягивались друг к другу. То же происходит и в плазме: под действием поля разряда ее частицы начинают двигаться параллельно друг другу, и вызванные этим движением магнитные поля сближают частицы. Благодаря гигантским токам в разряде сближение плазменных частиц происходит почти молниеносно: частицы плазмы за миллионные доли секунды собираются по оси разряда в центре цилиндра, образуя тоненькую нить - так называемый плазменный шнур. Магнитное поле вокруг канала, по которому течет ток, разогревающий плазму, имеет такое же строение, как магнитное поле обычного линейного тока (рис.6-11). Заряженные частицы, из которых состоит плазма, двигаясь в сторону от канала разряда, отклоняются этим магнитным полем и вoзвpaщaютcя обратно. Таким образом, стенки прибора защищаются от соприкосновения с частицами раскаленной плазмы, а последняя оберегается от потерь тепла. 15

Плазма — это состояние вещества с высокой степенью ионизации, при котором необязательно, чтобы все электроны были свободными, а ядра "оголенными". Степень "оголенности" ядер в атомах может быть самой различной.

147

Получается, что плазма, разогретая электрическим разрядом, сама себя изолирует от стенок прибора. Но это длится только мгновение.

Рис.6-11 Температура частиц, несущихся к оси прибора, уже через несколько миллионных долей секунды повышается примерно до миллиона градусов. Колоссальное сжатие плазмы в шнуре при такой температуре вызывает в плазме ответные силы, разбрасывающие частицы плазмы и разрушающие самый шнур. Для устранения возникающих деформаций канала и для "укрощения" частиц плазмы создается внешнее продольное магнитное поле. Внешнее магнитное поле, введенное в плазму, позволяет повысить устойчивость плазменного шнура и тем самым удлинить его жизнь. Повышая напряжение, прилагаемое к электродам, и создавая сильное внешнее поле, удалось значительно повысить температуру плазмы в шнуре. Однако дальнейшее повышение температуры сказалось невозможным из-за наличия у камеры холодных электродов, которые служат для осуществления разряда, "введения" тока в камеру и препятствуют нагреву плазмы. Стремясь к дальнейшей стабилизации и повышению температуры плазмы, устранили холодные электроды и свернули плазму в "баранку" (рис.6-12).

Позднее стали заключать плазму в камеру c металлическими стенками, отталкивающими ее частицы внутрь камеры; здесь был использован принцип возбуждения вихревого магнитного поля в металлических стенках при перемещении плазменного шнура к стенке тора. Тороидальные камеры, позволяющие заключить плазму в магнитную ловушку, следует считать второй стадией работ по получению энергии при помощи термоядерной реакции. Вариантами таких установок являются: советская камера "Альфа", американская установка "Стелларатор" и английская камера "3ета". В настоящее время в ряде стран ведутся интенсивные работы по управлению термоядерными реакциями.

7. ЯДЕРНЫЕ РЕАКТОРЫ 7.1. Классификация реакторов Реакторы классифицируются по уровню энергии нейтронов, участвующих в реакции деления, по принципу размещения топлива и замедлителя, по целевому назначению. Ядерные реакторы различаются: 1) По характеру основных материалов, находящихся в активной зоне (ядерное топливо, замедлитель, теплоноситель); в качестве ядерного топлива используется естественный уран с обогащением по урану-235, плутоний и др., в качестве замедлителя - вода (обычная и тяжелая), графит, бериллий и др., в качестве теплоносителя – воздух, вода, водяной пар, гелий. 2) По характеру размещения ядерного топлива и замедлителя в активной зоне: гомогенные (оба вещества – ядерное топливо и замедлитель равномерно смешаны друг с другом) и гетерогенные (оба вещества располагаются порознь в виде блоков). 3) По типу энергии нейтронов (реакторы на тепловых и быстрых нейтронах). 4) По типу режима работы (непрерывные и импульсные). 5) По назначению (энергетические, исследовательские, реакторы по производству новых делящихся материалов, радиоактивных изотопов и т.д.). Ядерные энергетические реакторы используются для выработки электроэнергии на атомных электростанциях, в судовых энергетических установках и на атомных теплоэлектростанциях.

В настоящее время для энергетических целей проектируются только гетерогенные реакторы, которые более безопасны, чем гомогенные. Гомогенная смесь в реакторе испускает сильное радиоактивное излучение, что требует дополнительной защиты и усложняет управление реактором. В России основными типами ядерных энергетических реакторов (по характеру теплоносителя и замедлителя) служат водо-водяные и водографитовые реакторы. Наибольшее распространение получили канальные реакторы на тепловых нейтронах с энергиями 0,005 – 0,2 эВ. На примере работы Ленинградской атомной электростанции (ЛАЭС) можно показать, что ядерный реактор – это сложный технический комплекс с автоматизированной системой дистанционного управления и контроля. 7.2. Конструкция ядерного реактора На Ленинградской АЭС установлены водографитовые канальные ядерные реакторы типа РБМК на тепловых нейтронах (реакторы РБМК с графитовыми замедлителями и легкой кипящей водой в качестве теплоносителя). Станция имеет 4 энергоблока, электрическая мощность одного энергоблока – 1000 МВт, тепловая – 3200 МВт. Сам реактор имеет огромные размеры: он размещается в железобетонной шахте 21×21 м на опорной конструкции. Вокруг него смонтирован кольцевой водяной бак биологической защиты и защитные верхняя и нижняя конструкции Биологическая защита реактора обеспечивает нормальную радиационную обстановку во всех режимах работы реактора. Внутри реакторного пространства расположена графитовая кладка поглотителя диаметром 11,8 м и высотой 7 м. Внутри этой графитовой кладки имеются отверстия для установки в них топливных каналов (ТК) и каналов системы управления и защиты (СУЗ). Для улучшения передачи тепла от графита к теплоносителю через реакторное пространство циркулирует смесь гелия с азотом. Основной деталью активной зоны реактора является тепловыделяющий элемент (ТВЭЛ) ядерным топливом внутри. В энергетических реакторах используются стержневые ТВЭЛы с оболочкой из циркония. Топливом для реактора типа РБМК служит двуокись урана с начальным обогащением по урану-235 - 2,4% (а с 1996 г. - с обогащением – 2,6%).

ТВЭЛы для удобства собираются в тепловыделяющие сборки, которые устанавливаются в топливных каналах активной зоны. Для управления работой реактора в активную зону вводятся регулирующие стержни из карбида бора, обладающего большим сечением захвата нейтронов. Эти стержни, поглощающие нейтроны, регулируют скорость цепной ядерной реакции. На АЭС на первом и втором энергоблоках установлено 179 стержней, а на третьем и четвертом – 211 стержней. Из них 21 стержень выполняет функцию быстродействующей защиты для надежного “заглушения” реактора в аварийной ситуации. 7.3. Активная зона реактора и ее характеристики В ТВЭЛах происходит генерация основной доли тепловой энергии и передача ее теплоносителю. Более 90% всей энергии, высвобождающейся пр делении тяжелых ядер, выделяется внутри ТВЭЛов и отводится обтекающим ТВЭЛы теплоносителем. ТВЭЛы работают в очень тяжелых тепловых режимах: максимальная плотность теплового потока от ТВЭЛа к теплоносителю достигает (1÷2)⋅106 Вт/м2, тогда как в современных паровых котлах она равна (2÷3)⋅105 Вт/м2. Кроме того, в небольшом объеме ядерного топлива выделяется большое количество теплоты: удельное тепловыделение в активной зоне достигает(108÷109)⋅106 Вт/м3 , в то время, как в современных паровых котлах эта величина не превышает 107 Вт/м3. Условия работы ТВЭЛов осложняются высокой рабочей температурой, достигающей 300÷600°С на поверхности оболочки ТВЭЛа, возможностью тепловых ударов и др. К ТВЭЛам предъявляются высокие технические требования: простота конструкции, механическая устойчивость и прочность в потоке теплоносителя, отсутствие взаимодействия ядерного топлива и продуктов деления с оболочками ТВЭЛов, теплоносителем и замедлителем при рабочих температурах. Конструкция ТВЭЛа должна обеспечивать большую глубину выгорания ядерного топлива, обладать радиационной стойкостью. Разработана система контроля герметичности оболочки ТВЭЛов с помощью специальных датчиков. Достоинством реакторов типа РБМК, применяющихся на ЛАЭС, является возможность замены дефектных ТВЭЛов с помощью специальной загрузочно-разгрузочной машины без остановки реактора. Важная техническая проблема – не только отвод тепловой энергии, выделяющейся при делении ядер урана, но и получение за счет нее

электроэнергии. Замкнутый контур отвода тепла представляет собой сложное техническое устройство. ЛАЭС – станция одноконтурного типа: пар, подаваемый на турбины, образуется непосредственно из воды, охлаждающей реактор. Теплоноситель (вода) подводится снизу к каждому топливному каналу. Пароводяная смесь, образующаяся в топливных каналах, поступает в барабаны-сепараторы для разделения пара и воды. Пар подается на турбины, а вода с помощью циркуляционных насосов возвращается обратно к топливным каналам. Отработанный в турбинах пар конденсируется, конденсат очищается, подогревается и с температурой 165° С подается через трубопроводы к реактору. С каждым реактором на ЛАЭС работают две турбины с генераторами мощностью по 500 МВт каждый. На одном валу с турбинами установлены генераторы, вырабатывающие электроэнергию. Электроэнергия через распределительные устройства по линиям электропередач поступает в энергосистему. Таким образом, теплоноситель подводится к каждому топливному каналу раздельно. Это является большим достоинством канальных реакторов по сравнению с корпусными. Поэтому корпус реактора не нагружен давлением теплоносителя: это давление несет каждый канал. Однако, недостатком реакторов на тепловых нейтронах является потеря медленных нейтронов в результате их захвата замедлителем, теплоносителем, конструкционными материалами и продуктами деления. С целью снижения этих потерь активная зона энергетических реакторов окружена отражателем нейтронов – слоем материалазамедлителя. Кроме того, благодаря отражателю, происходит выравнивание нейтронной плотности и энерговыделения по объему активной зоны. Это позволяет при заданных размерах активной зоны получить бόльшую мощность, добиться более равномерного выгорания топлива. 7.4. Система управления и защиты (СУЗ) ядерного реактора Эта система предназначена для контроля за работой реактора и для обеспечения его безопасной работы.

ЛИТЕРАТУРА 1. Савельев И.В. Курс общей физики. - М.: Наука, 1987, т.3. 2. Зисман Г.А., Тодес О.М. Курс общей физики. –М.: Наука, 1974, т.3. 3. Детлаф А.А. и др. Курс физики. –М.: Высш. Школа, 1973, т.3.

ЛР № 020308 от 14.02.97 Редактор Подписано в печать Б.кн.-журн. Тираж Заказ

П.л.

Б.л.

Формат 60х84 1/16 РТП РИО СЗПИ.

Редакционно-издательский отдел Северо-Западный заочный политехнический институт 191186, Санкт-Петербург, ул. Миллионная, 5