Физика(часть 3.1,3.2) ''Колебания'',''Волновые процессы''. Конспекты лекций

34 

ГЛАВА 3.   УПРУГИЕ ВОЛНЫ  (В ВЕЩЕСТВЕ).  3.1.   ФИЗИЧЕСКИЕ ПРИЧИНЫ  ВОЗНИКНОВЕНИЯ УПРУГИХ ВОЛН.  В  твёрдых  телах  это  –  изменение  относительного  положения  соседних  атомов  (молекул),  находящихся  в  равновесии  в  узлах  кристаллической  решётки.  Образование  твёрдого  тела  –  следствие  действия  молекулярных  (электрических)  сил  притяжения.  В  равновесии  структурные  частицы  не  испытывают  воздействия  со  стороны  ближайших  соседей.    Относительное  смещение  приводит  к  возникновению  между  атомами  квазиупругих  сил,  стремящихся  вернуть  каждую  из  них  в  положение  равновесия.  Это  обстоятельство и приводит к перемещению возмущений по кристаллу (см. также 3.5).  В  газах  и  жидкостях  под  воздействием  источника  изменяется  плотность  в  соответствующих  элементах  среды,  что  приводит  к  увеличению  (или  уменьшению)  локального  давления.  Разность  изменения  давления  в  соседних  слоях  обеспечивает  возвращающую квазиупругую силу и, соответственно, распространение возмущения.  Для упругих волн имеется своя шкала (см. рис. 3.1). 

Рис.3.1. Шкала упругих волн

Весь  спектр  упругих  волн  можно  наблюдать  в  твёрдых  телах.  Они  могут  возбуждаться  искусственно  или  иметь  тепловое  происхождение.  Тепловые  колебания  атомов  или  ионов,  составляющих  кристалл,  часто  рассматривают  как  совокупность  плоских продольных и поперечных  упругих волн, распространяющихся в самых  разных  направлениях. Эти волны называют т епловыми фононами.  3.2.  ВОЛНЫ  В ЦЕПОЧКЕ СВЯЗАННЫ Х АТОМОВ.  Эта  простейшая  модель  твёрдого  тела  даёт  представление  о  характерных  особенностях  упругих  волн.    Первые  представления  о  колебаниях  в  такой  цепочке  приведены  в  (1.3.6).  В  ней  возможны  продольные  (атомы  сближаются  и  расходятся)  и  поперечные  волны,  в  которых  смещение  атомов  происходит  перпендикулярно  цепочке.  (см. рис. 1.8). Волны являются векторными, т.к. смещение – векторная величина.  Рассмотрим  поперечные  волны.  Покажем,    что  если  смещение  атомов  в  начале  цепочки  (начале  координаты  X)    происходит  по  гармоническому  закону,  то  такие  колебания «бегут» от атома к атому, т.е. решение уравнения движения атомов может быть  записано в виде «бегущей» волны. Y ( x, t ) =  Ae j (w t -kx n )  (3.1)  где  Ψ–  смещение  атомов,  расположенных  в  точках  с  координатами  x n  ,  n­номер  атома  в  цепочке.    Пусть  a  –  расстояние  между  атомами  в  положении  равновесия  (рис.3.2),  коэффициент  упругости  для  возникающих  между  атомами  квазиупругих  сил  при  их  относительных поперечных  смещениях ­ K F ^  (коэффициент сдвиговых деформаций);  m­  масса атома. 

35 

Рис. 3.2. Схема колебаний цепочки одинаковых атомов 

Движение  n­го  атома  определяется  силовым  воздействием  ближайших    соседей 

& &  = F m Y n n , n +1 + Fn , n -1 , где  F n , l  ­ сила, действующая на атом n со стороны атома l. Эта сила  определяется разностью смещений атомов. 

Fn,n +1 = - KF ^ (Y n - Y n+1 ) = K F ^ DY n ,n +1  Fn,n -1 = - KF ^ ( Y n - Y n -1 ) = KF ^ DY n ,n -1 

(3.2) 

Подставляя значения сил в исходное уравнение движения, находим  & & = - K (DY m Y  (3.3)  F^ n , n -1 - DY n +1, n ) =  - KF ^ (2 Y n - ( Y n +1 + Y n -1 ))  n Такие  уравнения  можно  составить  для  любого  атома,  в  которых  смещение  искомого  атома  связано  со  смещением  его  соседей.  Движение  (n­1)­го  атома возбуждает  смещение n­го атома, который, в свою очередь, тянет (n+1)­й атом и т.д. Таким образом,  цепочка связанных между собой уравнений  колебаний атомов обеспечивает перемещение  возмущения  по  цепочке.  Если  (3.1)  является  одним  из  решений  системы  (3.2),  то  при  подстановке  все  уравнения  должны  обратиться  в  тождество.  Т.к.  колебания  совершают  атомы, расположенные в определённых местах, то следует принять  x n =  an  и подставить  Ψ(x,t) в виде  Y ( na , t ) =  Ae j (w t - ank )  В результате получим  - mw 2 = K F ^ ( e jka  + e - jka  - 2 )  или  2 K F ^ 4 K F ^ ka  w 2  = ( 1 - cos ka )  = sin 2  (3.4)  m  m  2  Это дисперсионное уравнение, связывающее ω и k, при выполнении которого (3.1)  тождественно удовлетворяет (3.3).  ka w = 2 w 0  sin  (3.5)  2  K F ^ где  w 0 =  .  При  ka  <<  1(длинные  m  волны, λ >> 2πa)  w @ w 0 ak = u p ^ k,  K F ^  ­ фазовая скорость ­  m  константа, дисперсия нулевая (отсутствует).  Дисперсионная  кривая  в  общем  случае  описывается  формулой  (3.5)  (см. рис. 3.3).  Дисперсия (нормальная)  имеет место в  области коротких волн.  где  u p ^  =a 

Рис. 3.3. Дисперсионная кривая колебаний  линейной одноатомной цепочки

u p ^ (k ) =

w k

= 2w 0

sin( ka / 2) sin(ka / 2) sin( ka / 2)  = w 0 a  = u p (0)  k ( ka / 2) ( ka / 2) 

(3.6) 

36  Скорость  u p ^ (0)  определяет фазовую скорость поперечного звука. Введём для неё  специальное обозначение ­  Cs ^  (от английского «sound» – звук). 

u p ^ (0) = С S ^  = a 

K F ^  m 

(3.7) 

Зависимость u p ^ (k )  приведена на рисунке 3.4.  Обратим  теперь  внимание  на  то,  что  параметры  волны  привязаны  к  смещениям  атомов, т.е. могут меняться только дискретно. Соответственно, длина волны должна быть  целым, кратным a (см. рис. 3.5). Длина  волны не может быть меньше  l min = 2 a  и  l = lmin l ,  где l=1,2,3…  (3.8) 

K max =

2 p

lmin 

=

p a

w max = 2w 0  = 2 

K F ^ m

(3.9) 

Аналогичные  результаты  можно  получить  для  продольных  смещений  атомов  в  цепочке  (продольная  волна).  Различие  будет  состоять  в  том,  что  в  уравнениях  следует  использовать иной коэффициент  упругости  ( K F P )  (упругого растяжения). 

Рис.3.4. Зависимость фазовой скорости  от волнового числа для линейной  одноатомной цепочки. 

3.3. 

Рис.3.5. Возможные виды  (моды) поперечных  колебаний линейной одноатомной цепочки.

ВОЛНОВОЕ УРАВНЕНИЕ ДЛЯ НЕПРЕРЫ ВНОЙ СРЕДЫ . 

В твёрдых телах количество атомов в макроскопических объёмах огромно, а  a≈10 ­10 м. Например, в одном кубическом сантиметре число атомов составляет n >10 22 см ­3 .  Поэтому спектр доступных гармонических упругих волн (удовлетворяющих уравнениям  типа (3.2) изменяется практически непрерывно, если λ >> a (l >> 1 в (3.7))1)  , т.е. имеет  макроскопические  размеры.  В  такой  ситуации  разность  смещений  атомов  (3.2)  можно  считать  бесконечно  малыми  приращениями  ­  дифференциалом  Ψ  по  x,  а  их  разность  DY n,n+1 - DY n-1, n = ¶ 2 Y  дифференциалом  дифференциала,  т.е.  дифференциалом  второго  порядка.  Соответственно,  расстояние,  на  котором  происходит  приращение  а,  будем  считать дифференциалом координаты  a = ¶x . (знак ¶  использован, т.к. Y  ­ функция двух  переменных x и t). В результате, умножив и поделив уравнение(3.3) на а 2  , получим  2  ¶ 2 Y KF a 2 ¶ 2 Y 2  ¶ Y = = C  ,  s  ¶t 2 m ¶x2 ¶ x2  1) 

Например, относительное изменение k для двух соседних волн:  2p 2p 2p æ 1 1 ö 2p Dk  1  kl = ;   kl +1  = ;  Dk  = Þ = ç ÷= al a ( l + 1) a è l l + 1 ø  al ( l + 1) kl  l + 1 

(3.10)

37  где все величины уже считаем изменяющимися непрерывно.  Таким  образом,  для  длинных    волн  дискретные  уравнения  (3.3)  переходят  в  обычное  волновое  уравнение  с  постоянной  фазовой  скоростью  Cs(0)  (дисперсия  отсутствует).  В  газах  и  жидкостях,  как  уже  указывалось  в  п.1.2,  возможны  только  продольные  волны  сжатия  и  растяжения  веществ.  Эти  волны  скалярные,  т.к.  описание  сводится  к  анализу изменения плотности и давления в волне.  Разность  изменения  давления  в  соседних  слоях  вещества  на  расстоянии  dx,  это  второй дифференциал  ¶ 2  p( x , t )  по x. Поэтому для волнового уравнения имеем  2  ¶2 p 2  ¶ p  = u p  ¶t 2 ¶ x2 

(3.11) 

В  заключении  ещё  раз  отметим:  упругие  волны  всегда  имеют  минимальную  граничную длину волны λmin  и, соответственно, максимальную частоту ωmax  Их значения  зависят от свойств вещества.  Для твёрдых тел ωmax <(1÷3)10 13 

рад  с  . 

3.4 ОЦЕНКА ФАЗОВЫ Х СКОРОСТЕЙ ВОЛН В НЕПРЕРЫ ВНЫ Х СРЕДАХ.  Теоретические  расчеты  фазовых  скоростей  упругих  волн  должны  использовать  макроскопические  характеристики  упругих    свойств  веществ,  измеряемых  в  соответствующих опытах. Простейшие из них:  1)  Нормальное и сдвиговое напряжения в твёрдом теле s n , s t .  Нормальное  напряжение,  в  частности,  в  упругих  стержнях  пропорционально  относительному удлинению  F упр  x  (3.12)  s n = = E  S  l 0  где  E  –  модуль  Юнга,  x­  удлинение  стержня  при  действии  внешней  силы  F =  F упр  ,  S­  площадь поперечного сечения.  В простейших случаях, напряжение равно появляющемуся  внутреннему давлению в веществе  s n = DP  (3.13)  ¶P  2)  Изменение давления при изменении плотности вещества ­ .  ¶r Выразим  микроскопические  коэффициенты  упругости  и  смещения  отдельных  атомов  через  макрохарактеристики,  приведённые  в  формуле  для  фазовой  скорости  волн.  Учтём,  что  a­линейный  масштаб  объёма,  где  сосредоточена  масса  одного  атома.  Тогда 

u p (0) =

a 2 KF m

a K F  =  ,  где r  ­  плотность  среды.  Воспользуемся  (3.12),  чтобы  a ar

определить  связь  между  K F  и  E.  Удлинение  x  стержня  аддитивно  складывается  из  увеличения расстояния между атомами, т.е. DY . Поэтому  s =

F x 

S

= K F V Y

a 2 

@ V YE  ,  a 

K F @  E .  Следовательно,  фазовая  скорость  продольных  и  плоских  упругих  волн  в  a  стержне равна 

где 

u p  =  E r

(3.14)

38 

DY a 2  DV  E 2  =  E . Но изменение объёма приводит  a a V к увеличению (уменьшению) плотности  DV V = D r r 1)  и, следовательно,  DP ¶P E = . Поэтому в общем случае (3.14) приобретает вид  r ® 0  = Dr ¶ r r Воспользуемся теперь (3.13)  s = DP =

u P  = ¶P ¶ r

(3.15) 

Формулой (3.15) можно пользоваться в жидкостях и газах.  Найдём скорость звука в газах. Связь между давлением плотностью можно найти  из  уравнения  состояния  (Менделеева  ­  Клапейрона)  PV=NkT.  Здесь  N V = n ­  концентрация атомов в газе  и nma=ρ.  Следовательно  P = r ( kT ma ) .  Если в волне  сжатие и расширение происходит изотермически, то  kT 1  ¶P kT  = и  u P  = ( )  2  (3.16)  ¶r  m a  ma  На  самом  деле,  при  сжатии  и  растяжении  над  газом  совершается  работа.  Газ  в  сжатиях  нагревается,  а  при  расширениях  ­  остывает  (процесс  оказывается  близким  к  адиабатическому).    Увеличение  разности  давления  в  Рис. 3.6. Элементарный участок  соответствии  с  (3.15)  приводит  к  росту   скорости    по  среды, испытывающий упругую  сравнению с (3.16)  деформацию СS =  g kT ma  (3.17)  где g  =5/3  –постоянная  адиабаты.  Таким  образом,  скорость  звука  в  газе  оказывается  близкой к тепловой скорости атомов ( <

muT 2  3 3 kT  >= kT , uT  =  ).  2 2  m

3.5.    ЭНЕРГИЯ УПРУГИХ ВОЛН.  Т.к. элементы среды в волне совершают колебания под действием упругих сил, то  полная  энергия  волны  складывается  из  кинетической  и  потенциальной  энергии,  запасенной в колебаниях. Для гармонической волны имеем  Y = A m cos( w t - kx ) . Поэтому  плотность кинетической энергии в упругой волне равна  1 1 ¶Y 2 1 ¶Y ¶z 2 1  rw 2 A m 2  2  wk = rV 2 = r ( ) = r( × ) = r K 2CS 2 sin 2 (w t - kx) = sin (w t - kx ) (3.18)  2 2 ¶t 2 ¶z ¶ t 2 2  Потенциальная  энергия  запасается  в  результате  работы  источника  против  сил  упругости.  Рассмотрим  плоский  тонкий  слой  толщиной  D x0  и  площадью  S,  испытывающий расширение в продольной волне (рис.3.6)  0 £ Y (t ) £ DY max .  Сила упругости  F y = -s S = - ES

DY (t ) r E DY (t ) DY (t )  × = - Sr = -CS 2 S r Dx0 S r Dx0 D x0 

Приращение потенциальной энергии в результате изменения  DY (t )  : 

dWp = - dAy  =

CS 2 r S  DY (t )d ( DY (t )) ,  где  d (DY (t )) ­элементарное приращение толщины  D x0 

слоя.  1) 

r¢ =

m V + DV

Þ r ¢ - r = Dr = m(

1 V

-

1  V ± D V

)  = ±

m V

2 

DV  = ± r

DV V

Þ

Dr

r

=

DV  V

39  При расширении до  DY max

C2r DWp  = S S Dx0

DY max 

ò 

DY (t ) d (DY (t )) =

r CS2 r SDx0  DY m (t )  2  2 

0 

(

Dx0 

)  ,  где  DY m (t ) ­максимальное 

значение приращения в момент t, S D x0 ­объём рассматриваемого слоя.  Т.к.  D x0  и  DY m (t )  ­  малы,  то  окончательно  находим  плотность  потенциальной  энергии в виде 

1  2 2 2 2 rw 2  2 2  r CS K Am sin (w t - kx0 ) = Am  sin (w t - kx 0 ) ,  (3.19)  SDx0  2 ¶ x 2 2  ¶Y где  x 0  ­ положение рассмотренного слоя dx,  ( ) x  ­ относительное удлинение (сжатие)  ¶ x 0  DW p 

= wp =

r C S 2 ¶Y (

) 2x= x0  =

слоя.  Как  видно  из  (3.18),  (3.19),  объёмная  плотность  потенциальной  и  кинетической  энергии колеблется в каждой точке пространства в одной фазе с удвоенной по сравнению  r  с  Y ( r , t )  частотой (см. осциллограмму колебаний на рис. 3.7). Причём,  w p (t ) = w k (t ) .  Полная  плотность  энергии  в  волне  равна 

w = wp + wk = r CS2 (

¶Y 2 ) z = r CS2 K 2 Am2 sin 2 (w t - kx0 ) = rw 2 Am 2 sin 2 (w t - kx 0 )  ¶ x

Рис. 3.7. Осциллограмма колебаний смещения (Ψ),  плотности потенциальной (w p) и кинетической (w k)  энергии в упругой волне.

Вспомнив, что  C S =

Плотность потока энергии (вектор  Умова 1) ) найдём, умножив w на скорость  упругих волн.  r  r  r  P = wС S = r CS2 K 2 ek  sin 2 (w t - kx)  (3.20)  Из  (3.20)  получаем  выражение  для  интенсивности  1  1  2  I S =  rC S 2 K 2 A m  = rC S 2 w 2 A 2  (3.21)  2  2  Проводимый  анализ  позволяет  вычислить  и  другие  характеристики  волнового  процесса.  Например,  для  колебаний давления газа в волне  ¶y s  = dP  = SC S2  (  )  = rC S 2 KA m  sin( wt - kx )  .  ¶x 

gkT    m 

, P 0  = nkT , r = nm  получаем  dP max  =  rC S2 A m K  = gA m KP 0 . 

Отсюда 

dP max 

= gA m K  P 0  Используя (3.22) для интенсивности можно получить формулу  dP m 2  1  2  I S  =  r C S 2 K 2 A m  = 2  2 rC S 

(3.22) 

(3.23), 

которая по интенсивности позволяет посчитать  d Pm  и наоборот. 

1) 

Н.А.  Умов  впервые  (1874  г.)  ввел  понятие  о  потоке  энергии  в  сплошной  среде  (на  основе  закона  сохранения энергии). 

40 

Глава 4. 

СЛОЖЕНИЕ ВОЛН. 

До сих пор, в основном, рассматривались гармонические волны. Однако, это хотя и  полезная,  но  не  существующая  в  реальных  условиях  модель.  В  действительности  гармонический  процесс  формируется  в  конечное  время  в  ограниченной  области  пространства. В лучшем случае это отрывок синусоиды – цуг (рис 4.1).  С другой стороны волны от нескольких  источников могут распространяться в одной и  той  же  области  пространства.  Наконец,  различные  препятствия  изменяют  процесс  распространения волны.  Таким  образом,  возникают  задачи  синтеза  сложных  волновых  явлений  из  совокупности более простых. В основе анализа  такого  рода  задач  лежит  принцип  суперпозиции  для  линейных  волн,  теория  спектрального разложения Фурье. Важнейший  результат  синтеза  –  существование  интерференции  и  дифракции  волн,  явлений,  наиболее ярко демонстрирующих  свойства  волновых процессов. Их обнаружение у  Рис. 4.1. Мгновенный снимок и осциллограмма  световых лучей в своё  время, считалось  реальной волны.  бесспорным  подтверждением  их  волновой  природы.  4.1.  ВОЛНОВЫ Е ПАКЕТЫ .  Основываясь  на  принципе  суперпозиции  волн,  можно  заменить  любую  негармоническую  волну  в  линейной  среде  эквивалентной  ей  системой  гармонических  волн,  т.е.  представить  в  виде  группы  волн  или  волнового  пакета.  Волновой  пакет­  суперпозиция гармонический волн одинаковой поляризации и близких частот.  Пример  волнового  пакета  ­  цуг,  огибающая  у  которого  фактически  представляет  собой  прямоугольный  импульс  (пунктир  на  рис.  4.1).  Естественно  это  уже  не  гармоническая волна. Спектр цуга оказывается сплошным 1)  (рис. 4.2), сосредоточенным в  вблизи «несущей» частоты  (ω0). 

Рис. 4.2. Спектральный состав гармонического цуга волн

На    рисунке  спектра  отложена  спектральная  плотность  амплитуды  А(ω)=Аωdω,  где  τ­  длительность  цуга  (пакета).    Цуг  с  плавной  огибающей  и  спектральный  состав  его  1) 

Вспомним математику. Разложение непериодических функций дается интегральным разложением Фурье. 

41  волнового 

пакета 

изображен 

на 

рис 

4.3. 

Т.к. 

ω= υpk, 

то 

Рис. 4.3. Цуг с плавной огибающей и спектральный состав его волнового пакета:  а) – временной спектр; б) – пространственный спектр.

а) 

б) 

временной и пространственный спектры оказываются  идентичными  (при  отсутствии  дисперсии,  A(k)=Aкdk).  В  силу  свойств  Ψ(х)  преобразование  Фурье,  формы  огибающих,  спектра  и  цугов  взаимно  обратимы.  Например,  если  цуг  на  рис.  4.3  имеет  форму  спектра,  то  спектр  такого  цуга  будет  прямоугольным  и  т.п.  (прямое  и  обратное  преобразование Фурье).  Если  среда,  в  которой  распространяется  волновой  пакет,  недиспергирующая,  т.е.  фазовая  скорость  волн  не  зависит  от  их  частоты,  то  импульс  перемещается  в  среде,  не  изменяя  своей  «формы»,  т.к.  все  гармонические  волны,  образующие  пакет,  имеют  одинаковые  фазовые  скорости,  равные  скорости  распространения  максимума  амплитуды  импульса.  В  диспергирующей  среде  гармонические  составляющие  волнового  пакета  имеют  различные  фазовые  скорости  υp=f(ω).  Поэтому  волновой  пакет  по  мере  распространения  «  расплывается».  Грубой  аналогией  может  служить  группа  бегунов  на  длинную  дистанцию:  сразу  после  старта  они  бегут  компактной  группой,  которая  с  течением  времени  растягивается  по  беговой  дорожке,  т.к.  скорости  у  бегунов различны.  4.2.   БИГАРМОНИЧЕСКАЯ ВОЛНА И  ГРУППОВАЯ СКОРОСТЬ. 

Рис. 4.4. Расплывание цуга волн: а) –  Если дисперсия невелика, «расплывание» пакета  расплывание огибающей цуга; б) –  расплывание огибающей волнового пакета  происходит  не   слишком    быстро.   В   этом    случае  в трехмодовом световоде. Каждая мода  пакет   распространяется   со   скоростью,        которую  (волна) имеет свою фазовую скорость. 

называют  групповой.  Групповая  скорость  υg­это 

42  скорость  перемещения  центра  пакета,  т.е.  точки  с  максимальны м  значением  амплитуды .  Так  как  энергия  пропорциональна  квадрату  амплитуды ,  то  групповая  скорость определяет скорость переноса энергии волной (см. 2.4).  Найдем количественное определение групповой скорости, рассмотрев простейший  волновой пакет, полученный в результате наложения двух распространяющихся вдоль оси  ОХ  плоских  волн  с  одинаковыми  амплитудами  А 1 =А 2  =А,  близким  по  значению  частотами ω 1  = ω­dω и ω 2  = ω+ dω и волновыми числами k 1 = k­dk и k 2 = k+ dk  Полагая поляризации волн одинаковыми, будем пользоваться скалярными выражениями:  Y1 ( x1 , t ) = A 1  cos(( w  - d w ) t - ( k - dk ) x )  (4.1)  Y2 ( x 2 , t ) = A 2  cos(( w + d w ) t - ( k + dk ) x )  a+b a -b Используя  формулу  cos a + cos b = 2 cos  cos  ,  получим  2  2  Ψ 1  + Ψ 2  = 2 А cos( td w  - xdk ) cos( wt - kx )  Таким образом,  Y ( t , x ) = 2 A cos( td w  - xdk ) cos( wt - kx )  (4.2)  Выражение  (4.2)  можно  рассматривать  как  амплитудно­модулированную  бегущую  гармоническую волну, амплитуда которой изменяется по закону  A мод = 2 A cos( td w  - xdk )  Зависимость  Ψ(t)  в  некоторой  фиксированной  точке  с  координатой  х  (осциллограмма  волны) показана на рис. 4.5 представляет собой «биения»  Максимальное  значение  амплитуды  модуляции  получается  при  условии,  что  величина,  стоящая  под  знаком  косинуса  равна  нулю.  Отсюда  следует,  что  координата  х  центра  волнового  пакета  в  момент  времени  t определяется  из  соотношения: 

dw dk txmax = 0  2 2 

xmax  = 

d w t  dk

Откуда  dxmax  d w =  (4.4)  dt  dk  Левая часть  уравнения (4.4) – скорость перемещения центра волнового пакета,  т.е. групповая скорость. Следовательно, групповая скорость равна  Рис. 4.5. Образование «биений».

u g  = 

d w dk

Найдем  связь  между  групповой и  фазовой  скоростями  волны. Т.к.  u p =

(4.5) 

w k

,  то  w = u p k . 

Отсюда 

ug =

(4.6) 

dk  2 p d l = - 2  d l , то из (4.6) получим:  l d l l d u u g = u p  - l p  (4.7)  dl Из  (4.)6  и  (4.7)  следует,  что  только  в  средах  без  дисперсии  u p = u g .  Если  же  υp  = 

Т.к k  = 

2p 

d u d  (u p k) = u p  + k  p  dk dk

, dk  =

f(ω)  или  что  тоже  самое  υp  =  f(λ),  то  u g ¹ u p .  В  зависимости  от  знака  производной  групповая  скорость  может  быть  так  больше,  так  и  меньше  фазовой.  Однако  следует 

43  помнит ь,  чт о  в  соот вет ст вии  принципами  т еории  от носит ельност и  групповая  скорост ь  любых  волн,  способных  переносит ь  информацию  не  мож ет   превышат ь  скорост ь свет а в вакууме.  4.3.    СООТНОШ ЕНИЕ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ ДЛЯ ВОЛН.  В бигармонической волне локализованного волнового поля не получилось. Однако  видно, что  амплитуда обращается в нуль, когда сдвиг фазы каждой волны, относительно  волны суперпозиции с  ω и k достигает π.  ∆ω∆k  ≈ π  (4.8)  Если весь интервал (k ­ ∆k, k +  ∆k) заполнить волнами с ω(k) т.е. записать  k 0 + Dk 

Y ( x , t ) =

ò A  ( k ) cos[ w ( k ) t - kx ] dk  k 

(4.9), 

k 0 - Dk 

то  каждой  волне  из  спектра  будет  существовать  другая  волна,  для  которой  выполняется  условие  (4.8)  Амплитуды  таких  волн  будут  взаимно  вычитаться.  Значения  огибающей  пакета за пределами  Dx ³ p будут незначительны, т.к. в этой области сдвиг фаз между  D k разными составляющими будет меняться от π до πn. В заданный момент t максимум Ψ(x,t)  будет находиться на плоскости х = const, на которой фазы всех волн будут одинаковы. Со  временем  эта  плоскость  перемещается  в  пространстве  со  скоростью  υg.  Таким  образом,  соотношение  DxDkx  ³ p (4.10)  oпределяет область локализации в пространстве волновых пакетов типа (4.9)  Аналогично можно записать и для других    направлений  Dy Dk y  ³ p (4.11)  DzDk z  ³ p Чем  больше  область  локализации  волнового  поля  ∆х,  тем  больше  оказывается  разброс  волновых  чисел  и  наоборот.  Компактны м  спектральны м  набором  волн  невозможно  создать  локализованны е  в  малой  области  пространства  волновое  поле.  Для  волны  с  конкретным  k (гармоническая  волна)  понятие  области  локализации  вообще  теряет  смысл.  Неравенства  (4.10)  и  (4.11)  иногда  называют  соот ношением  неопределенност и для волн.  Используя  аналогичные  соображения  (смотри  также  рис.4.3а)),  можно  получить  область локализации волнового пакета во времени 4.12)  D wDt  ³ p Это  неравенство  –  теорема  о  ширине    полосы .  Уменьшение  временной  продолжительности  импульса  (∆t)  приводит  в  расширению  частотного    спектра  гармонических волн, необходимых для формирования импульса.  Фурье разложение (суперпозиция) волнового пакета по частотам имеет вид: w0 - Dw

Y ( x , t ) =

ò  A cos(wt - k w

w

x + jw ) dw

(4.13) 

w0 -Dw

Разложения (4.9) и (4.13) связаны между собой дисперсионным соотношением  u p kw = w k  Формулы  (4.9)  и  (4.13)  позволяют  легко  понять  механизм  дисперсии.  Если  в  начальные  момент ы  времени  в  максимуме  пакет а  фаза  всех  волн  была  одинакова,  т о  в  дальнейшем  эт о  условие  нарушает ся.    Например,  при  нормальной  дисперсии  из­за  уменьшения    фазовой  скорост и  с  рост ом  част от ы,  волны  с  большими  част от ами  начинают   от ст ават ь  по  фазе  от   низкочаст от ных.  Эт о  и  приводит   к  размыванию  и  сниж ению максимума пакет а, а групповая  скорост ь оказывает ся меньше фазовой.

44  4.4.  ВОЛНОВЫ Е ПУЧКИ И ЛУЧИ.  Проведенный в п. 4.1­4.3 анализ показывает, что из набора плоских гармонических  волн  в  линейных  средах  можно  сформировать  любые  распределения  волнового  поля.  Суперпозицией  плоских  волн  близкого  (например,  к  оси  X)  направления  можно  сформировать волновой процесс с почти плоским волновым фронтом, перпендикулярным  к оси X ­ волновой луч или пучок. Простейший пример – «солнечный луч», образующийся  в затемненном помещении, в результате прохождения света через малое отверстие.  Волновые  пучки  формируют  в  прожекторах,  с  помощью  специальной  антенны  в  радиолокаторах;  высокой  степенью  направленности  обладает  излучение  лазеров.  Пусть  плоская  гармоническая  волна  падает  на  плоский  экран(  поверхность  не  пропускающую  волны)  в  котором  имеется  отверстие  с  поперечными размерами «d» (рис 4.6). На  экране  плоская  бесконечная  волновая  поверхность  прерывается,  т.к.  волновой  процесс  проникает  за  пределы  экрана  Рис. 4.6. Образование луча при прохождении  волны через отверстие в экране. только через отверстие. Следовательно, в  поперечном направлении должен  сформировываться  пространственный  волновой  пакет,  у  которого  в  силу  соотношений  неопределенностей суперпозиция гармонических плоских волн должна иметь поперечный  разброс волновых векторов  D k^ , удовлетворяющий неравенству Dk^ × d ³ p Или (как видно из рисунка)  Dk ^ p p  p  l l kd = kd × tg a ³ p ,  tga »  .  Если  << 1 , т.е.  »  << 1 , то  k kd  kd 2p d d  l tga  » a = << 1 (4.14).  d  Получается медленно расходящийся в пространстве «луч».  Таким  образом,  понят ие  луча  применимо  т огда,  когда  поперечные  размеры  волнового  поля  оказывают ся  много  больше  длины  волны.  Особенно  эффект ивным  оно  оказалось  в  опт ическом  диапазоне  (λ  ≈  0,4­1мкм  ~  10 ­4  см)  и  леж ит   в  основе  геомет рической опт ики ­ приближ ения, справедливого для волнового поля, амплит уда и  волновой  вект ор  кот орого  замет но  изменяют ся  на  масшт абах  сущест венно  превышающих  λ  волны.  В  эт ом  случае  поле  мож ет   быт ь  предст авлено  как  набор  независимых лучей. В однородной среде лучи прямолинейны, в неоднородной – искривлены.  С  помощью  хода  лучей  мож но  пост роит ь  изображ ение  любого  предмет а,  размеры  кот орого  велики  по  сравнению  с  λ.  На  эт ом  в  значит ельной  ст епени  основан  принцип  работ ы опт ических приборов (линза, глаз) и некот орых радиот елескопов.  4.5. 

КРУГОВАЯ И ЭЛЛИПТИЧЕСКАЯ ПОЛЯРИЗАЦИЯ ВЕКТОРНЫ Х  ВОЛН. 

Рассмотрим  суперпозицию  двух  гармонических  линейно  поляризованных,  взаимно  перпендикулярных, электромагнитных волн.  r  r  E x ( z, t ) = exE x 0  cos(w t - kz + j )  (4.15)  r  r  E y ( z, t ) = ey E y 0  cos(w t - kz) 

45 

r 

r 

Если  φ  =  0,  то  векторная  сумма  E x и  E y (рис.4.7)  дает  снова  линейно­поляризованную  волну,  направление  поляризации  которой  составляет  с  осью  Х  угол  a = arctg (

Ey 0  ) ,  и  E x 0 

амплитудой  2

2 

E m = E x0 + E y 0 

Рис. 4.7. Сложение двух взаимно  перпендикулярных волн, колеблющихся в  одной фазе 

Пусть теперь  j =  ±

p 2

(4.16) 

Рис. 4.8. Сложение двух взаимно перпендикулярных  волн, совершающих колебания со сдвигом фаз  φ=π/2.

. Тогда  r  r E x = m ex E x 0  sin(w t - kz )  r  r  E y = ey E y 0  cos(w t - kz) 

(4.17) 

Т.к.  sin 2 j ( t ) + cos 2  j ( t ) = 1 ,  то из (4.16) находим  2  E 2 x ( z, t )  E y ( z, t )  +  = 1 .                                                             (4.18)  E 2 y 0  E 2 x 0 

Это  уравнение  эллипса,  множество  точек  которого  определяется  координатами  E x , E y .  r  Иными  словами,  его  вычерчивает  конец  вектора E с  компонентами  E x (t , z), E y (t , z)  В  каждом  сечении  z  =  const  этот вектор вращается  с  угловой  скоростью  ω.  На  рисунке  4.8  для  примера  иллюстрируется  вращение  при  z=0.  Из  (4.17)  видно,  что  наблюдатель,  r  p смотрящий  со  стороны  оси  Z  ,  при  j =  (знак  –  в  (4.17))  «видит»,  что  вектор E 2 r  вращается против часовой стрелки, (левая эллипт ическая поляризация (на рисунке  E _(t ) ).  r  p В  противоположном  случае  (  j =  - )  E x ­вращается  по  часовой  стрелке  –  правая  2 эллипт ическая  поляризация.  При  E x 0 = E y 0 = E 0  (4.18)  дает  уравнение  окружности  r  E 2x + E 2y = E 0 2  соответственно  вектор E в  каждом  сечении  z=const  вращается  по  окружности и волну называют поляризованной по кругу.  r  Характер  поведения  вектора E имеет  простую  механическую  аналогию.  Представим, что шарик математического маятника вращается по окружности или эллипсу  r  r  относительно  точки «0» на оси симметрии  (рис 4.9а) радиус­вектор  r (t ) (так же как и E )  будет «вычерчивать» траекторию шарика. Если точку подвеса «тянуть» со скоростью υ  ,  то  шарик  будет  двигаться  по  винтовой  линии,  наматывающейся  на  эллиптический  (или 

46  просто) цилиндр. Это означает, что в волне, бегущей с фазовой скоростью  u p вдоль оси Z,  r  на  мгновенном  сигнале  волны  множество  значений  вектора E образует  «поверхность  винта» (рис 4.9б) 

а) 

б)

Рис. 4.9. Эллиптически поляризованная волна:  а) – механическая аналогия; б) – электромагнитная волна  (стрелки ­ вектор напряженности электрического поля). 

Рис. 4.10. Представление линейно  поляризованной волны в виде  суперпозиции двух волн, поляризованных  по кругу. 

Таким образом, из двух взаимно перпендикулярных линейно поляризованных волн  можно  сформировать  волну  любой  поляризации.  Однако  возможен  и  прямо  противоположный подход.  Пусть  имеются  две  волны  с  правой  и  левой  круговой  поляризацией.  В  точке  z=0  Ex + = E 0 sin w t ,    Ey + = E 0 cos w t  можно записать (см. рис.4.10)  Ex = -E 0 sin w t ,  Ey - = E 0 cos w t r r + r Суперпозиция волн E = E + E  дает линейно поляризованную волну.  E x  = E 0 (sin w t - sin w t ) º 0  (4.19)  E y  = 2E 0  cos w t Из  полученны х  результатов  можно  сделать  общий  вы вод:  поперечны е  электромагнитны е  волны   имеют  две  независимы е  поляризации,  из  которы х  можно  сформировать  волну  с  любой  другой  поляризацией.  В  качестве  таких  волн  можно  вы брать две ортогональны е линейно­поляризованны е или поляризованны е по кругу  волны .  4.5.  ПОЛЯРИЗАЦИЯ ЕСТЕСТВЕННОГО СВЕТА. ПОЛЯРИЗАТОРЫ .  Вопрос о поляризации возникает по отношению к любым векторным волнам любых  частот.  Между  тем,  практически  все  естественные  и  большинство  искусственных  источников  инфракрасного  и   оптического  диапазонов  электромагнитных  волн  являются  тепловыми.  Излучение  в  них  ­  результат  случайных  процессов  возбуждения  и  последующего  излучения  отдельных  атомов  и  молекул  нагретых  тел  (солнечный  свет,  электролампы,  плазма,  люминесцентные  лампы  и  т.п.).  В оптическом  диапазоне  процесс  излучения  отдельного  атома  продолжается  очень  короткое  время  t » 10-8 c .  За  это  время  атом излучает  фактически обрывок синусоиды ­ цуг, протяженностью  l t » 3 м(l t = ct )  В  результате,  возбужденный,  вследствие  тепловых  движений  частиц  в  среде,  атом,  растратив  свою  избыточную  энергию  на  излучение,  возвращается  в  невозбужденное  состояние.  Излучение  им  света  прекращается.  Через  некоторое  время  может  снова 

47  произойти  возбуждение  атома  и,  соответственно,  излучение  нового  цуга.    Излучение  каждого цуга из разных атомов происходит в случайные моменты времени, со случайным  видом поляризации и «начальной» фазой колебаний.  Таким образом, в т епловых ист очниках возбужденные атомы излучают независимо  друг  друга  и,  следовательно,  начальные  фазы  и  характер  поляризации  соответствующих  цугов  волн  никак  не  связаны  между  собой.  Испускаемая  источником  световая  волна  представляет  собой  суперпозицию  волн,  которые  через  время  ~ 10 - 8 с сменяются  излучением  цугов  другой  группы  атомов.  Это  приводит к тому, что в любой точке пространства в  течение  t » 10-8 ¸ 10 -11 с направление  поляризации,  амплитуда волны испытывает случайные изменения  r  (рис.  4.11).Вектор E в  каждый  последующий  момент  случайным  образом  меняет  свою  ориентацию.  Такую  волну  (свет)  называют  неполяризованной. Связано это определение с тем,  что  всякое  измерение  всегда  проводится  конечное  время  t n .  Попытка  измерить  компоненты  поля  Рис. 4.11. Неполяризованное  < E x >, < E y >  для  определения  направления  излучение отдельных атомов.  r  r  r r вектора E ( E = E x e x  + E y e y )  если  t n > 10 - 8 с ,  даст 

< E x >=< E y >= 0 . 

Соответственно  интенсивность  волны    окажется  равной  r  2 I~ < E > = < Ex2 + E y 2 > 2  = E x2 + E y 2 = I x  + I y .  Поэтому  при  случайных  поворотах  вектора r  E (t) получаем  I x  =  I y  (4.20),  что  и  указывает  на  отсутствие  квазистационарного  выделенного  направления  поляризации.  Для  определения  характера  поляризации  волн  и  формирования  из  неполяризованного  излучения  волн  с  определенной  поляризацией  используют  специальные  устройства  –  поляризаторы.  На  рис.  4.12  демонстрируется  работа  простейшего  поляризатора  для  поперечной  волны,  возбуждаемой  в  резиновом  контуре  (упругом стержне). 

Рис.4.12. Принцип работы поляризатора

Это  просто  узкая  коробка,  через  которую  волна  может  «пройти»,  если  колебания  параллельны  щели.  Аналог  для  электромагнитных  волн  ­  рамка,  на  которую  натянуты  параллельные  друг  другу  отрезки  тонкого  металлического  провода  (рис.  4.13).  Пусть  на  рамку падает плоская линейно­поляризованная волна. Компонента  E y волны возбуждает 

48  в  проводах  переменный  ток,  который  оказывается  источником  вторичной  волны  с 

¢ E y ;  - E y .  Суперпозиция  E y'  и E y  приводит  к  исчезновению  волны  за  рамкой  и  появлению  перед  рамкой  отраженной  волны.  Составляющая  волны  с E x  = E cos j  проходит  через  рамку  –  поляризатор  без  существенных  изменений.  За  рамкой  будет  существовать линейно­поляризованная по оси X волна с интенсивностью  (закон Малюса) ( n )  I x =  I 0  cos 2  j  (4.21)  Вращая  поляризатор­анализатор  до  ( n )  I x ( j )  = I max  находим  направление  поляризации  падающей волны.  Если  на  поляризатор­анализатор  падает  неполяризованная  волна,  то  интенсивность  I(φ)  прошедшей  волны  не  будет  зависеть  от  угла  поворота  поляризатора.  Т.к.  в  волне  I =  I x  + I y  и  1 I  ,  то  за  анализатором  получится  Рис. 4.13. Прохождение электромагнитной  2  волны через поляризатор 1  линейно­поляризованная волна с  I ( n )  =  I 2  ( n )  ( n )  Наличие  в  зависимости  I(φ)  максимума  и  минимума  I max  и  I min  говорит  о  присутствии  в  волне  выделенного  направления  поляризации.  Соответственно,  такое  волновое поле называют част ично поляризованным. Для количественной характеристики  поляризованности вводят понятие степени поляризации 1)  .  I  - I  p =  max  min  (4.22)  I max  + I min  Некоторые  физические  явления,  на  которых  основывается  работа  целого  ряда  поляризационных  устройств  (поляризаторов,  анализаторов,  деполяризаторов,  поляризационных  призм)  будут  рассмотрены  при  анализе  взаимодействием  электромагнитных волн с веществом.  I x  + I y  =

1) 

Следует  иметь  в  виду,  что  приведенные  рассуждения  не  касаются  волн  с  круговой  и  эллиптической  поляризацией. Очевидно поляризатор для поляризованной по кругу волны дает Р ≡ 0.