34
ГЛАВА 3. УПРУГИЕ ВОЛНЫ (В ВЕЩЕСТВЕ). 3.1. ФИЗИЧЕСКИЕ ПРИЧИНЫ ВОЗНИКНОВЕНИЯ УПРУГИХ ВОЛН. В твёрдых телах ...
23 downloads
155 Views
325KB Size
Report
This content was uploaded by our users and we assume good faith they have the permission to share this book. If you own the copyright to this book and it is wrongfully on our website, we offer a simple DMCA procedure to remove your content from our site. Start by pressing the button below!
Report copyright / DMCA form
34
ГЛАВА 3. УПРУГИЕ ВОЛНЫ (В ВЕЩЕСТВЕ). 3.1. ФИЗИЧЕСКИЕ ПРИЧИНЫ ВОЗНИКНОВЕНИЯ УПРУГИХ ВОЛН. В твёрдых телах это – изменение относительного положения соседних атомов (молекул), находящихся в равновесии в узлах кристаллической решётки. Образование твёрдого тела – следствие действия молекулярных (электрических) сил притяжения. В равновесии структурные частицы не испытывают воздействия со стороны ближайших соседей. Относительное смещение приводит к возникновению между атомами квазиупругих сил, стремящихся вернуть каждую из них в положение равновесия. Это обстоятельство и приводит к перемещению возмущений по кристаллу (см. также 3.5). В газах и жидкостях под воздействием источника изменяется плотность в соответствующих элементах среды, что приводит к увеличению (или уменьшению) локального давления. Разность изменения давления в соседних слоях обеспечивает возвращающую квазиупругую силу и, соответственно, распространение возмущения. Для упругих волн имеется своя шкала (см. рис. 3.1).
Рис.3.1. Шкала упругих волн
Весь спектр упругих волн можно наблюдать в твёрдых телах. Они могут возбуждаться искусственно или иметь тепловое происхождение. Тепловые колебания атомов или ионов, составляющих кристалл, часто рассматривают как совокупность плоских продольных и поперечных упругих волн, распространяющихся в самых разных направлениях. Эти волны называют т епловыми фононами. 3.2. ВОЛНЫ В ЦЕПОЧКЕ СВЯЗАННЫ Х АТОМОВ. Эта простейшая модель твёрдого тела даёт представление о характерных особенностях упругих волн. Первые представления о колебаниях в такой цепочке приведены в (1.3.6). В ней возможны продольные (атомы сближаются и расходятся) и поперечные волны, в которых смещение атомов происходит перпендикулярно цепочке. (см. рис. 1.8). Волны являются векторными, т.к. смещение – векторная величина. Рассмотрим поперечные волны. Покажем, что если смещение атомов в начале цепочки (начале координаты X) происходит по гармоническому закону, то такие колебания «бегут» от атома к атому, т.е. решение уравнения движения атомов может быть записано в виде «бегущей» волны. Y ( x, t ) = Ae j (w t -kx n ) (3.1) где Ψ– смещение атомов, расположенных в точках с координатами x n , nномер атома в цепочке. Пусть a – расстояние между атомами в положении равновесия (рис.3.2), коэффициент упругости для возникающих между атомами квазиупругих сил при их относительных поперечных смещениях K F ^ (коэффициент сдвиговых деформаций); m масса атома.
35
Рис. 3.2. Схема колебаний цепочки одинаковых атомов
Движение nго атома определяется силовым воздействием ближайших соседей
& & = F m Y n n , n +1 + Fn , n -1 , где F n , l сила, действующая на атом n со стороны атома l. Эта сила определяется разностью смещений атомов.
Fn,n +1 = - KF ^ (Y n - Y n+1 ) = K F ^ DY n ,n +1 Fn,n -1 = - KF ^ ( Y n - Y n -1 ) = KF ^ DY n ,n -1
(3.2)
Подставляя значения сил в исходное уравнение движения, находим & & = - K (DY m Y (3.3) F^ n , n -1 - DY n +1, n ) = - KF ^ (2 Y n - ( Y n +1 + Y n -1 )) n Такие уравнения можно составить для любого атома, в которых смещение искомого атома связано со смещением его соседей. Движение (n1)го атома возбуждает смещение nго атома, который, в свою очередь, тянет (n+1)й атом и т.д. Таким образом, цепочка связанных между собой уравнений колебаний атомов обеспечивает перемещение возмущения по цепочке. Если (3.1) является одним из решений системы (3.2), то при подстановке все уравнения должны обратиться в тождество. Т.к. колебания совершают атомы, расположенные в определённых местах, то следует принять x n = an и подставить Ψ(x,t) в виде Y ( na , t ) = Ae j (w t - ank ) В результате получим - mw 2 = K F ^ ( e jka + e - jka - 2 ) или 2 K F ^ 4 K F ^ ka w 2 = ( 1 - cos ka ) = sin 2 (3.4) m m 2 Это дисперсионное уравнение, связывающее ω и k, при выполнении которого (3.1) тождественно удовлетворяет (3.3). ka w = 2 w 0 sin (3.5) 2 K F ^ где w 0 = . При ka << 1(длинные m волны, λ >> 2πa) w @ w 0 ak = u p ^ k, K F ^ фазовая скорость m константа, дисперсия нулевая (отсутствует). Дисперсионная кривая в общем случае описывается формулой (3.5) (см. рис. 3.3). Дисперсия (нормальная) имеет место в области коротких волн. где u p ^ =a
Рис. 3.3. Дисперсионная кривая колебаний линейной одноатомной цепочки
u p ^ (k ) =
w k
= 2w 0
sin( ka / 2) sin(ka / 2) sin( ka / 2) = w 0 a = u p (0) k ( ka / 2) ( ka / 2)
(3.6)
36 Скорость u p ^ (0) определяет фазовую скорость поперечного звука. Введём для неё специальное обозначение Cs ^ (от английского «sound» – звук).
u p ^ (0) = С S ^ = a
K F ^ m
(3.7)
Зависимость u p ^ (k ) приведена на рисунке 3.4. Обратим теперь внимание на то, что параметры волны привязаны к смещениям атомов, т.е. могут меняться только дискретно. Соответственно, длина волны должна быть целым, кратным a (см. рис. 3.5). Длина волны не может быть меньше l min = 2 a и l = lmin l , где l=1,2,3… (3.8)
K max =
2 p
lmin
=
p a
w max = 2w 0 = 2
K F ^ m
(3.9)
Аналогичные результаты можно получить для продольных смещений атомов в цепочке (продольная волна). Различие будет состоять в том, что в уравнениях следует использовать иной коэффициент упругости ( K F P ) (упругого растяжения).
Рис.3.4. Зависимость фазовой скорости от волнового числа для линейной одноатомной цепочки.
3.3.
Рис.3.5. Возможные виды (моды) поперечных колебаний линейной одноатомной цепочки.
ВОЛНОВОЕ УРАВНЕНИЕ ДЛЯ НЕПРЕРЫ ВНОЙ СРЕДЫ .
В твёрдых телах количество атомов в макроскопических объёмах огромно, а a≈10 10 м. Например, в одном кубическом сантиметре число атомов составляет n >10 22 см 3 . Поэтому спектр доступных гармонических упругих волн (удовлетворяющих уравнениям типа (3.2) изменяется практически непрерывно, если λ >> a (l >> 1 в (3.7))1) , т.е. имеет макроскопические размеры. В такой ситуации разность смещений атомов (3.2) можно считать бесконечно малыми приращениями дифференциалом Ψ по x, а их разность DY n,n+1 - DY n-1, n = ¶ 2 Y дифференциалом дифференциала, т.е. дифференциалом второго порядка. Соответственно, расстояние, на котором происходит приращение а, будем считать дифференциалом координаты a = ¶x . (знак ¶ использован, т.к. Y функция двух переменных x и t). В результате, умножив и поделив уравнение(3.3) на а 2 , получим 2 ¶ 2 Y KF a 2 ¶ 2 Y 2 ¶ Y = = C , s ¶t 2 m ¶x2 ¶ x2 1)
Например, относительное изменение k для двух соседних волн: 2p 2p 2p æ 1 1 ö 2p Dk 1 kl = ; kl +1 = ; Dk = Þ = ç ÷= al a ( l + 1) a è l l + 1 ø al ( l + 1) kl l + 1
(3.10)
37 где все величины уже считаем изменяющимися непрерывно. Таким образом, для длинных волн дискретные уравнения (3.3) переходят в обычное волновое уравнение с постоянной фазовой скоростью Cs(0) (дисперсия отсутствует). В газах и жидкостях, как уже указывалось в п.1.2, возможны только продольные волны сжатия и растяжения веществ. Эти волны скалярные, т.к. описание сводится к анализу изменения плотности и давления в волне. Разность изменения давления в соседних слоях вещества на расстоянии dx, это второй дифференциал ¶ 2 p( x , t ) по x. Поэтому для волнового уравнения имеем 2 ¶2 p 2 ¶ p = u p ¶t 2 ¶ x2
(3.11)
В заключении ещё раз отметим: упругие волны всегда имеют минимальную граничную длину волны λmin и, соответственно, максимальную частоту ωmax Их значения зависят от свойств вещества. Для твёрдых тел ωmax <(1÷3)10 13
рад с .
3.4 ОЦЕНКА ФАЗОВЫ Х СКОРОСТЕЙ ВОЛН В НЕПРЕРЫ ВНЫ Х СРЕДАХ. Теоретические расчеты фазовых скоростей упругих волн должны использовать макроскопические характеристики упругих свойств веществ, измеряемых в соответствующих опытах. Простейшие из них: 1) Нормальное и сдвиговое напряжения в твёрдом теле s n , s t . Нормальное напряжение, в частности, в упругих стержнях пропорционально относительному удлинению F упр x (3.12) s n = = E S l 0 где E – модуль Юнга, x удлинение стержня при действии внешней силы F = F упр , S площадь поперечного сечения. В простейших случаях, напряжение равно появляющемуся внутреннему давлению в веществе s n = DP (3.13) ¶P 2) Изменение давления при изменении плотности вещества . ¶r Выразим микроскопические коэффициенты упругости и смещения отдельных атомов через макрохарактеристики, приведённые в формуле для фазовой скорости волн. Учтём, что aлинейный масштаб объёма, где сосредоточена масса одного атома. Тогда
u p (0) =
a 2 KF m
a K F = , где r плотность среды. Воспользуемся (3.12), чтобы a ar
определить связь между K F и E. Удлинение x стержня аддитивно складывается из увеличения расстояния между атомами, т.е. DY . Поэтому s =
F x
S
= K F V Y
a 2
@ V YE , a
K F @ E . Следовательно, фазовая скорость продольных и плоских упругих волн в a стержне равна
где
u p = E r
(3.14)
38
DY a 2 DV E 2 = E . Но изменение объёма приводит a a V к увеличению (уменьшению) плотности DV V = D r r 1) и, следовательно, DP ¶P E = . Поэтому в общем случае (3.14) приобретает вид r ® 0 = Dr ¶ r r Воспользуемся теперь (3.13) s = DP =
u P = ¶P ¶ r
(3.15)
Формулой (3.15) можно пользоваться в жидкостях и газах. Найдём скорость звука в газах. Связь между давлением плотностью можно найти из уравнения состояния (Менделеева Клапейрона) PV=NkT. Здесь N V = n концентрация атомов в газе и nma=ρ. Следовательно P = r ( kT ma ) . Если в волне сжатие и расширение происходит изотермически, то kT 1 ¶P kT = и u P = ( ) 2 (3.16) ¶r m a ma На самом деле, при сжатии и растяжении над газом совершается работа. Газ в сжатиях нагревается, а при расширениях остывает (процесс оказывается близким к адиабатическому). Увеличение разности давления в Рис. 3.6. Элементарный участок соответствии с (3.15) приводит к росту скорости по среды, испытывающий упругую сравнению с (3.16) деформацию СS = g kT ma (3.17) где g =5/3 –постоянная адиабаты. Таким образом, скорость звука в газе оказывается близкой к тепловой скорости атомов ( <
muT 2 3 3 kT >= kT , uT = ). 2 2 m
3.5. ЭНЕРГИЯ УПРУГИХ ВОЛН. Т.к. элементы среды в волне совершают колебания под действием упругих сил, то полная энергия волны складывается из кинетической и потенциальной энергии, запасенной в колебаниях. Для гармонической волны имеем Y = A m cos( w t - kx ) . Поэтому плотность кинетической энергии в упругой волне равна 1 1 ¶Y 2 1 ¶Y ¶z 2 1 rw 2 A m 2 2 wk = rV 2 = r ( ) = r( × ) = r K 2CS 2 sin 2 (w t - kx) = sin (w t - kx ) (3.18) 2 2 ¶t 2 ¶z ¶ t 2 2 Потенциальная энергия запасается в результате работы источника против сил упругости. Рассмотрим плоский тонкий слой толщиной D x0 и площадью S, испытывающий расширение в продольной волне (рис.3.6) 0 £ Y (t ) £ DY max . Сила упругости F y = -s S = - ES
DY (t ) r E DY (t ) DY (t ) × = - Sr = -CS 2 S r Dx0 S r Dx0 D x0
Приращение потенциальной энергии в результате изменения DY (t ) :
dWp = - dAy =
CS 2 r S DY (t )d ( DY (t )) , где d (DY (t )) элементарное приращение толщины D x0
слоя. 1)
r¢ =
m V + DV
Þ r ¢ - r = Dr = m(
1 V
-
1 V ± D V
) = ±
m V
2
DV = ± r
DV V
Þ
Dr
r
=
DV V
39 При расширении до DY max
C2r DWp = S S Dx0
DY max
ò
DY (t ) d (DY (t )) =
r CS2 r SDx0 DY m (t ) 2 2
0
(
Dx0
) , где DY m (t ) максимальное
значение приращения в момент t, S D x0 объём рассматриваемого слоя. Т.к. D x0 и DY m (t ) малы, то окончательно находим плотность потенциальной энергии в виде
1 2 2 2 2 rw 2 2 2 r CS K Am sin (w t - kx0 ) = Am sin (w t - kx 0 ) , (3.19) SDx0 2 ¶ x 2 2 ¶Y где x 0 положение рассмотренного слоя dx, ( ) x относительное удлинение (сжатие) ¶ x 0 DW p
= wp =
r C S 2 ¶Y (
) 2x= x0 =
слоя. Как видно из (3.18), (3.19), объёмная плотность потенциальной и кинетической энергии колеблется в каждой точке пространства в одной фазе с удвоенной по сравнению r с Y ( r , t ) частотой (см. осциллограмму колебаний на рис. 3.7). Причём, w p (t ) = w k (t ) . Полная плотность энергии в волне равна
w = wp + wk = r CS2 (
¶Y 2 ) z = r CS2 K 2 Am2 sin 2 (w t - kx0 ) = rw 2 Am 2 sin 2 (w t - kx 0 ) ¶ x
Рис. 3.7. Осциллограмма колебаний смещения (Ψ), плотности потенциальной (w p) и кинетической (w k) энергии в упругой волне.
Вспомнив, что C S =
Плотность потока энергии (вектор Умова 1) ) найдём, умножив w на скорость упругих волн. r r r P = wС S = r CS2 K 2 ek sin 2 (w t - kx) (3.20) Из (3.20) получаем выражение для интенсивности 1 1 2 I S = rC S 2 K 2 A m = rC S 2 w 2 A 2 (3.21) 2 2 Проводимый анализ позволяет вычислить и другие характеристики волнового процесса. Например, для колебаний давления газа в волне ¶y s = dP = SC S2 ( ) = rC S 2 KA m sin( wt - kx ) . ¶x
gkT m
, P 0 = nkT , r = nm получаем dP max = rC S2 A m K = gA m KP 0 .
Отсюда
dP max
= gA m K P 0 Используя (3.22) для интенсивности можно получить формулу dP m 2 1 2 I S = r C S 2 K 2 A m = 2 2 rC S
(3.22)
(3.23),
которая по интенсивности позволяет посчитать d Pm и наоборот.
1)
Н.А. Умов впервые (1874 г.) ввел понятие о потоке энергии в сплошной среде (на основе закона сохранения энергии).
40
Глава 4.
СЛОЖЕНИЕ ВОЛН.
До сих пор, в основном, рассматривались гармонические волны. Однако, это хотя и полезная, но не существующая в реальных условиях модель. В действительности гармонический процесс формируется в конечное время в ограниченной области пространства. В лучшем случае это отрывок синусоиды – цуг (рис 4.1). С другой стороны волны от нескольких источников могут распространяться в одной и той же области пространства. Наконец, различные препятствия изменяют процесс распространения волны. Таким образом, возникают задачи синтеза сложных волновых явлений из совокупности более простых. В основе анализа такого рода задач лежит принцип суперпозиции для линейных волн, теория спектрального разложения Фурье. Важнейший результат синтеза – существование интерференции и дифракции волн, явлений, наиболее ярко демонстрирующих свойства волновых процессов. Их обнаружение у Рис. 4.1. Мгновенный снимок и осциллограмма световых лучей в своё время, считалось реальной волны. бесспорным подтверждением их волновой природы. 4.1. ВОЛНОВЫ Е ПАКЕТЫ . Основываясь на принципе суперпозиции волн, можно заменить любую негармоническую волну в линейной среде эквивалентной ей системой гармонических волн, т.е. представить в виде группы волн или волнового пакета. Волновой пакет суперпозиция гармонический волн одинаковой поляризации и близких частот. Пример волнового пакета цуг, огибающая у которого фактически представляет собой прямоугольный импульс (пунктир на рис. 4.1). Естественно это уже не гармоническая волна. Спектр цуга оказывается сплошным 1) (рис. 4.2), сосредоточенным в вблизи «несущей» частоты (ω0).
Рис. 4.2. Спектральный состав гармонического цуга волн
На рисунке спектра отложена спектральная плотность амплитуды А(ω)=Аωdω, где τ длительность цуга (пакета). Цуг с плавной огибающей и спектральный состав его 1)
Вспомним математику. Разложение непериодических функций дается интегральным разложением Фурье.
41 волнового
пакета
изображен
на
рис
4.3.
Т.к.
ω= υpk,
то
Рис. 4.3. Цуг с плавной огибающей и спектральный состав его волнового пакета: а) – временной спектр; б) – пространственный спектр.
а)
б)
временной и пространственный спектры оказываются идентичными (при отсутствии дисперсии, A(k)=Aкdk). В силу свойств Ψ(х) преобразование Фурье, формы огибающих, спектра и цугов взаимно обратимы. Например, если цуг на рис. 4.3 имеет форму спектра, то спектр такого цуга будет прямоугольным и т.п. (прямое и обратное преобразование Фурье). Если среда, в которой распространяется волновой пакет, недиспергирующая, т.е. фазовая скорость волн не зависит от их частоты, то импульс перемещается в среде, не изменяя своей «формы», т.к. все гармонические волны, образующие пакет, имеют одинаковые фазовые скорости, равные скорости распространения максимума амплитуды импульса. В диспергирующей среде гармонические составляющие волнового пакета имеют различные фазовые скорости υp=f(ω). Поэтому волновой пакет по мере распространения « расплывается». Грубой аналогией может служить группа бегунов на длинную дистанцию: сразу после старта они бегут компактной группой, которая с течением времени растягивается по беговой дорожке, т.к. скорости у бегунов различны. 4.2. БИГАРМОНИЧЕСКАЯ ВОЛНА И ГРУППОВАЯ СКОРОСТЬ.
Рис. 4.4. Расплывание цуга волн: а) – Если дисперсия невелика, «расплывание» пакета расплывание огибающей цуга; б) – расплывание огибающей волнового пакета происходит не слишком быстро. В этом случае в трехмодовом световоде. Каждая мода пакет распространяется со скоростью, которую (волна) имеет свою фазовую скорость.
называют групповой. Групповая скорость υgэто
42 скорость перемещения центра пакета, т.е. точки с максимальны м значением амплитуды . Так как энергия пропорциональна квадрату амплитуды , то групповая скорость определяет скорость переноса энергии волной (см. 2.4). Найдем количественное определение групповой скорости, рассмотрев простейший волновой пакет, полученный в результате наложения двух распространяющихся вдоль оси ОХ плоских волн с одинаковыми амплитудами А 1 =А 2 =А, близким по значению частотами ω 1 = ωdω и ω 2 = ω+ dω и волновыми числами k 1 = kdk и k 2 = k+ dk Полагая поляризации волн одинаковыми, будем пользоваться скалярными выражениями: Y1 ( x1 , t ) = A 1 cos(( w - d w ) t - ( k - dk ) x ) (4.1) Y2 ( x 2 , t ) = A 2 cos(( w + d w ) t - ( k + dk ) x ) a+b a -b Используя формулу cos a + cos b = 2 cos cos , получим 2 2 Ψ 1 + Ψ 2 = 2 А cos( td w - xdk ) cos( wt - kx ) Таким образом, Y ( t , x ) = 2 A cos( td w - xdk ) cos( wt - kx ) (4.2) Выражение (4.2) можно рассматривать как амплитудномодулированную бегущую гармоническую волну, амплитуда которой изменяется по закону A мод = 2 A cos( td w - xdk ) Зависимость Ψ(t) в некоторой фиксированной точке с координатой х (осциллограмма волны) показана на рис. 4.5 представляет собой «биения» Максимальное значение амплитуды модуляции получается при условии, что величина, стоящая под знаком косинуса равна нулю. Отсюда следует, что координата х центра волнового пакета в момент времени t определяется из соотношения:
dw dk txmax = 0 2 2
xmax =
d w t dk
Откуда dxmax d w = (4.4) dt dk Левая часть уравнения (4.4) – скорость перемещения центра волнового пакета, т.е. групповая скорость. Следовательно, групповая скорость равна Рис. 4.5. Образование «биений».
u g =
d w dk
Найдем связь между групповой и фазовой скоростями волны. Т.к. u p =
(4.5)
w k
, то w = u p k .
Отсюда
ug =
(4.6)
dk 2 p d l = - 2 d l , то из (4.6) получим: l d l l d u u g = u p - l p (4.7) dl Из (4.)6 и (4.7) следует, что только в средах без дисперсии u p = u g . Если же υp =
Т.к k =
2p
d u d (u p k) = u p + k p dk dk
, dk =
f(ω) или что тоже самое υp = f(λ), то u g ¹ u p . В зависимости от знака производной групповая скорость может быть так больше, так и меньше фазовой. Однако следует
43 помнит ь, чт о в соот вет ст вии принципами т еории от носит ельност и групповая скорост ь любых волн, способных переносит ь информацию не мож ет превышат ь скорост ь свет а в вакууме. 4.3. СООТНОШ ЕНИЕ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ ДЛЯ ВОЛН. В бигармонической волне локализованного волнового поля не получилось. Однако видно, что амплитуда обращается в нуль, когда сдвиг фазы каждой волны, относительно волны суперпозиции с ω и k достигает π. ∆ω∆k ≈ π (4.8) Если весь интервал (k ∆k, k + ∆k) заполнить волнами с ω(k) т.е. записать k 0 + Dk
Y ( x , t ) =
ò A ( k ) cos[ w ( k ) t - kx ] dk k
(4.9),
k 0 - Dk
то каждой волне из спектра будет существовать другая волна, для которой выполняется условие (4.8) Амплитуды таких волн будут взаимно вычитаться. Значения огибающей пакета за пределами Dx ³ p будут незначительны, т.к. в этой области сдвиг фаз между D k разными составляющими будет меняться от π до πn. В заданный момент t максимум Ψ(x,t) будет находиться на плоскости х = const, на которой фазы всех волн будут одинаковы. Со временем эта плоскость перемещается в пространстве со скоростью υg. Таким образом, соотношение DxDkx ³ p (4.10) oпределяет область локализации в пространстве волновых пакетов типа (4.9) Аналогично можно записать и для других направлений Dy Dk y ³ p (4.11) DzDk z ³ p Чем больше область локализации волнового поля ∆х, тем больше оказывается разброс волновых чисел и наоборот. Компактны м спектральны м набором волн невозможно создать локализованны е в малой области пространства волновое поле. Для волны с конкретным k (гармоническая волна) понятие области локализации вообще теряет смысл. Неравенства (4.10) и (4.11) иногда называют соот ношением неопределенност и для волн. Используя аналогичные соображения (смотри также рис.4.3а)), можно получить область локализации волнового пакета во времени 4.12) D wDt ³ p Это неравенство – теорема о ширине полосы . Уменьшение временной продолжительности импульса (∆t) приводит в расширению частотного спектра гармонических волн, необходимых для формирования импульса. Фурье разложение (суперпозиция) волнового пакета по частотам имеет вид: w0 - Dw
Y ( x , t ) =
ò A cos(wt - k w
w
x + jw ) dw
(4.13)
w0 -Dw
Разложения (4.9) и (4.13) связаны между собой дисперсионным соотношением u p kw = w k Формулы (4.9) и (4.13) позволяют легко понять механизм дисперсии. Если в начальные момент ы времени в максимуме пакет а фаза всех волн была одинакова, т о в дальнейшем эт о условие нарушает ся. Например, при нормальной дисперсии изза уменьшения фазовой скорост и с рост ом част от ы, волны с большими част от ами начинают от ст ават ь по фазе от низкочаст от ных. Эт о и приводит к размыванию и сниж ению максимума пакет а, а групповая скорост ь оказывает ся меньше фазовой.
44 4.4. ВОЛНОВЫ Е ПУЧКИ И ЛУЧИ. Проведенный в п. 4.14.3 анализ показывает, что из набора плоских гармонических волн в линейных средах можно сформировать любые распределения волнового поля. Суперпозицией плоских волн близкого (например, к оси X) направления можно сформировать волновой процесс с почти плоским волновым фронтом, перпендикулярным к оси X волновой луч или пучок. Простейший пример – «солнечный луч», образующийся в затемненном помещении, в результате прохождения света через малое отверстие. Волновые пучки формируют в прожекторах, с помощью специальной антенны в радиолокаторах; высокой степенью направленности обладает излучение лазеров. Пусть плоская гармоническая волна падает на плоский экран( поверхность не пропускающую волны) в котором имеется отверстие с поперечными размерами «d» (рис 4.6). На экране плоская бесконечная волновая поверхность прерывается, т.к. волновой процесс проникает за пределы экрана Рис. 4.6. Образование луча при прохождении волны через отверстие в экране. только через отверстие. Следовательно, в поперечном направлении должен сформировываться пространственный волновой пакет, у которого в силу соотношений неопределенностей суперпозиция гармонических плоских волн должна иметь поперечный разброс волновых векторов D k^ , удовлетворяющий неравенству Dk^ × d ³ p Или (как видно из рисунка) Dk ^ p p p l l kd = kd × tg a ³ p , tga » . Если << 1 , т.е. » << 1 , то k kd kd 2p d d l tga » a = << 1 (4.14). d Получается медленно расходящийся в пространстве «луч». Таким образом, понят ие луча применимо т огда, когда поперечные размеры волнового поля оказывают ся много больше длины волны. Особенно эффект ивным оно оказалось в опт ическом диапазоне (λ ≈ 0,41мкм ~ 10 4 см) и леж ит в основе геомет рической опт ики приближ ения, справедливого для волнового поля, амплит уда и волновой вект ор кот орого замет но изменяют ся на масшт абах сущест венно превышающих λ волны. В эт ом случае поле мож ет быт ь предст авлено как набор независимых лучей. В однородной среде лучи прямолинейны, в неоднородной – искривлены. С помощью хода лучей мож но пост роит ь изображ ение любого предмет а, размеры кот орого велики по сравнению с λ. На эт ом в значит ельной ст епени основан принцип работ ы опт ических приборов (линза, глаз) и некот орых радиот елескопов. 4.5.
КРУГОВАЯ И ЭЛЛИПТИЧЕСКАЯ ПОЛЯРИЗАЦИЯ ВЕКТОРНЫ Х ВОЛН.
Рассмотрим суперпозицию двух гармонических линейно поляризованных, взаимно перпендикулярных, электромагнитных волн. r r E x ( z, t ) = exE x 0 cos(w t - kz + j ) (4.15) r r E y ( z, t ) = ey E y 0 cos(w t - kz)
45
r
r
Если φ = 0, то векторная сумма E x и E y (рис.4.7) дает снова линейнополяризованную волну, направление поляризации которой составляет с осью Х угол a = arctg (
Ey 0 ) , и E x 0
амплитудой 2
2
E m = E x0 + E y 0
Рис. 4.7. Сложение двух взаимно перпендикулярных волн, колеблющихся в одной фазе
Пусть теперь j = ±
p 2
(4.16)
Рис. 4.8. Сложение двух взаимно перпендикулярных волн, совершающих колебания со сдвигом фаз φ=π/2.
. Тогда r r E x = m ex E x 0 sin(w t - kz ) r r E y = ey E y 0 cos(w t - kz)
(4.17)
Т.к. sin 2 j ( t ) + cos 2 j ( t ) = 1 , то из (4.16) находим 2 E 2 x ( z, t ) E y ( z, t ) + = 1 . (4.18) E 2 y 0 E 2 x 0
Это уравнение эллипса, множество точек которого определяется координатами E x , E y . r Иными словами, его вычерчивает конец вектора E с компонентами E x (t , z), E y (t , z) В каждом сечении z = const этот вектор вращается с угловой скоростью ω. На рисунке 4.8 для примера иллюстрируется вращение при z=0. Из (4.17) видно, что наблюдатель, r p смотрящий со стороны оси Z , при j = (знак – в (4.17)) «видит», что вектор E 2 r вращается против часовой стрелки, (левая эллипт ическая поляризация (на рисунке E _(t ) ). r p В противоположном случае ( j = - ) E x вращается по часовой стрелке – правая 2 эллипт ическая поляризация. При E x 0 = E y 0 = E 0 (4.18) дает уравнение окружности r E 2x + E 2y = E 0 2 соответственно вектор E в каждом сечении z=const вращается по окружности и волну называют поляризованной по кругу. r Характер поведения вектора E имеет простую механическую аналогию. Представим, что шарик математического маятника вращается по окружности или эллипсу r r относительно точки «0» на оси симметрии (рис 4.9а) радиусвектор r (t ) (так же как и E ) будет «вычерчивать» траекторию шарика. Если точку подвеса «тянуть» со скоростью υ , то шарик будет двигаться по винтовой линии, наматывающейся на эллиптический (или
46 просто) цилиндр. Это означает, что в волне, бегущей с фазовой скоростью u p вдоль оси Z, r на мгновенном сигнале волны множество значений вектора E образует «поверхность винта» (рис 4.9б)
а)
б)
Рис. 4.9. Эллиптически поляризованная волна: а) – механическая аналогия; б) – электромагнитная волна (стрелки вектор напряженности электрического поля).
Рис. 4.10. Представление линейно поляризованной волны в виде суперпозиции двух волн, поляризованных по кругу.
Таким образом, из двух взаимно перпендикулярных линейно поляризованных волн можно сформировать волну любой поляризации. Однако возможен и прямо противоположный подход. Пусть имеются две волны с правой и левой круговой поляризацией. В точке z=0 Ex + = E 0 sin w t , Ey + = E 0 cos w t можно записать (см. рис.4.10) Ex = -E 0 sin w t , Ey - = E 0 cos w t r r + r Суперпозиция волн E = E + E дает линейно поляризованную волну. E x = E 0 (sin w t - sin w t ) º 0 (4.19) E y = 2E 0 cos w t Из полученны х результатов можно сделать общий вы вод: поперечны е электромагнитны е волны имеют две независимы е поляризации, из которы х можно сформировать волну с любой другой поляризацией. В качестве таких волн можно вы брать две ортогональны е линейнополяризованны е или поляризованны е по кругу волны . 4.5. ПОЛЯРИЗАЦИЯ ЕСТЕСТВЕННОГО СВЕТА. ПОЛЯРИЗАТОРЫ . Вопрос о поляризации возникает по отношению к любым векторным волнам любых частот. Между тем, практически все естественные и большинство искусственных источников инфракрасного и оптического диапазонов электромагнитных волн являются тепловыми. Излучение в них результат случайных процессов возбуждения и последующего излучения отдельных атомов и молекул нагретых тел (солнечный свет, электролампы, плазма, люминесцентные лампы и т.п.). В оптическом диапазоне процесс излучения отдельного атома продолжается очень короткое время t » 10-8 c . За это время атом излучает фактически обрывок синусоиды цуг, протяженностью l t » 3 м(l t = ct ) В результате, возбужденный, вследствие тепловых движений частиц в среде, атом, растратив свою избыточную энергию на излучение, возвращается в невозбужденное состояние. Излучение им света прекращается. Через некоторое время может снова
47 произойти возбуждение атома и, соответственно, излучение нового цуга. Излучение каждого цуга из разных атомов происходит в случайные моменты времени, со случайным видом поляризации и «начальной» фазой колебаний. Таким образом, в т епловых ист очниках возбужденные атомы излучают независимо друг друга и, следовательно, начальные фазы и характер поляризации соответствующих цугов волн никак не связаны между собой. Испускаемая источником световая волна представляет собой суперпозицию волн, которые через время ~ 10 - 8 с сменяются излучением цугов другой группы атомов. Это приводит к тому, что в любой точке пространства в течение t » 10-8 ¸ 10 -11 с направление поляризации, амплитуда волны испытывает случайные изменения r (рис. 4.11).Вектор E в каждый последующий момент случайным образом меняет свою ориентацию. Такую волну (свет) называют неполяризованной. Связано это определение с тем, что всякое измерение всегда проводится конечное время t n . Попытка измерить компоненты поля Рис. 4.11. Неполяризованное < E x >, < E y > для определения направления излучение отдельных атомов. r r r r вектора E ( E = E x e x + E y e y ) если t n > 10 - 8 с , даст
< E x >=< E y >= 0 .
Соответственно интенсивность волны окажется равной r 2 I~ < E > = < Ex2 + E y 2 > 2 = E x2 + E y 2 = I x + I y . Поэтому при случайных поворотах вектора r E (t) получаем I x = I y (4.20), что и указывает на отсутствие квазистационарного выделенного направления поляризации. Для определения характера поляризации волн и формирования из неполяризованного излучения волн с определенной поляризацией используют специальные устройства – поляризаторы. На рис. 4.12 демонстрируется работа простейшего поляризатора для поперечной волны, возбуждаемой в резиновом контуре (упругом стержне).
Рис.4.12. Принцип работы поляризатора
Это просто узкая коробка, через которую волна может «пройти», если колебания параллельны щели. Аналог для электромагнитных волн рамка, на которую натянуты параллельные друг другу отрезки тонкого металлического провода (рис. 4.13). Пусть на рамку падает плоская линейнополяризованная волна. Компонента E y волны возбуждает
48 в проводах переменный ток, который оказывается источником вторичной волны с
¢ E y ; - E y . Суперпозиция E y' и E y приводит к исчезновению волны за рамкой и появлению перед рамкой отраженной волны. Составляющая волны с E x = E cos j проходит через рамку – поляризатор без существенных изменений. За рамкой будет существовать линейнополяризованная по оси X волна с интенсивностью (закон Малюса) ( n ) I x = I 0 cos 2 j (4.21) Вращая поляризаторанализатор до ( n ) I x ( j ) = I max находим направление поляризации падающей волны. Если на поляризаторанализатор падает неполяризованная волна, то интенсивность I(φ) прошедшей волны не будет зависеть от угла поворота поляризатора. Т.к. в волне I = I x + I y и 1 I , то за анализатором получится Рис. 4.13. Прохождение электромагнитной 2 волны через поляризатор 1 линейнополяризованная волна с I ( n ) = I 2 ( n ) ( n ) Наличие в зависимости I(φ) максимума и минимума I max и I min говорит о присутствии в волне выделенного направления поляризации. Соответственно, такое волновое поле называют част ично поляризованным. Для количественной характеристики поляризованности вводят понятие степени поляризации 1) . I - I p = max min (4.22) I max + I min Некоторые физические явления, на которых основывается работа целого ряда поляризационных устройств (поляризаторов, анализаторов, деполяризаторов, поляризационных призм) будут рассмотрены при анализе взаимодействием электромагнитных волн с веществом. I x + I y =
1)
Следует иметь в виду, что приведенные рассуждения не касаются волн с круговой и эллиптической поляризацией. Очевидно поляризатор для поляризованной по кругу волны дает Р ≡ 0.