Шпаргалки по алгебре и геометрии

ББК

г----~-----T-----------I

22.1

I

Линейная функция,

1.

ф51

2.

ее график и свойства

k

"#- О, называется

ной

Зависимость между величинами х и у.

при

= kx

которая выражается формулой у = l!-,

прямо nроnорциональ­

х

зависимостью.

Например, (рис.

у

0,5х, У

=

=

-1,5х, у

=

где

х

х"#- О, называется

циональной

1).

нуля,

у

ной

обратно

nроnор­

зависимостью.

Действительное

II

'

ее график и свойства

Зависимость между величинами х и у, которая выражается формулой у

k

Функция у = х

называют

число

отличное

k,

коэффициентом

от

обрат·

nроnорциональности.

Графиком функции у = l!- является х

кривая,

состоящая

метричных

"

2

" ""

нат.

х

\

Такая

С воиства

~

u

........ \~

.:~

III "

т. е.

называется

гипербо­

функции

у

k

=­

х

всех

чисел,

отличных

от

нуля,

Функция нечетная, так как

1

f(-x)

жду переменными х и у (~= k ) приводит К простейшей линейной функции у проходящая через

=!!...- =_l!- =-f(x). -х

х

График функции симметричен относи­ тельно

= kx.

Если

График простейшей линейной функции прямая,

сим­

коорди­

(-00;0) U (О; + 00).

Прямо пропорциональная зависимость ме­

есть

кривая

начала

Область определения функции есть мно­

IV

жество

Рис.

относительно

лой.

~

" ,," " -1,5

из двух ветвей,

начала координат.

k >

О, функция убывающая. Ветви

гиперболы расположены в

начало

натных четвертях (рис.

прямоугольной системы координат.

и

1

111

коорди­

1).

Угол а наклона этой прямой определя­ ется коэффициентом

а), кото­

k (k = tg

рый называется угловым коэффициентом прямой. Если если

Филатов о. А. ф51 Шпаргалки по алгебре и геометрии. - СПб.: Издательский Дом «Литерю>, 2008. - 80 с. - (Серия «Средняя

k>

О, то угол а

О, то угол

k <

а

-

-

острый,

= kx

Область определения функции

-

жество

R

~

III

мно­

= kx

Если

имеет единственный

k>

О, то функция у =

kx

гается в

Если

ISBN 978-5-94455-380-5

1

k <

и

111

координатных

О, то функция у

ординатных четвертях (рис.

возрастает

убывает

на всей числовой оси и ее график распо­ лагается в

11

и

IV

координатных

четвер­

тях.

Функция У =

kx -

III

нечетная.

Промежутки постоянного знака зависят

©

ISBN 978-5-94455-380-5

Филатов О. А,

2005

© Издательский Дом «Литера», 2008

I IL

х> О.

и

IV

ко­

1

~:

Рис.

от

k: а) если k > О: у > о при х > О, У < О при х < О; б) если k < О: у > О при х < О, У < О при

11 2).

y~

II~

четвертях.

= kx

1

О, функция возрастающая. Вет­

на всей числовой оси и ее график распола­

школа»).

\

ви гиперболы расположены во

корень х = О. Если

k<

х

IV

Рис.

всех действительных чисел.

Функция у

~IO

тупой.

Свойства линейиой функции у

~I

11

11

I ~

2

Из рис. 1 и 2 видно, что гипербола не имеет общих точек с осями координат, а

лишь сколь угодно близко к ним прибли­

жается.

~-~

3

г-----------T-----~----I Пример. Решим графически систему

Линейная функция у = kx + Ь Линейной фУНI(;цией называется фУНI(;· ция у = kx + Ь, где k и Ь Hel(;omopble

уравнений

!

у

=12 -

числа.

х

Частный случай.

у = 3х

Если

Решение. На одной координатной плос­

=

Ь. График данной

Ох (рис. 2) и отстоящая от нее на

12

Ibl

еди-

ниц (вверх, если Ь > О, и вниз, если Ь < О).

При Ь = О графиком функции у = О явля-

у = эх (р•• о :>0

""". о'" 'боЦ~."О у

~~

г----~-----------------I

=~ х

123456 х

фУНI(;ция, заданная формулой

у = ах 2 + Ьх + с, где х, у - nеременные, а, Ь, с - действительные числа, причем а

* О,

называется I(;вадратичноЙ.

График квадратичной функции назы­ вается параболой. Если а

Рис. 3

кам

х ffitEEВ±Бj

У 2

3

4

6

6

4

3

2

График второй функции - прямая, про­ ходящая через начало координат.

>

О, то ветви

параболы направлены вверх (рис.

если

а

вниз

1); < О, то ветви параболы направлены 2 (рис. 2). Здесь D = ь - 4ас.

:

yt

I О х I I Рис. 2 Общий случай. I *0, Toy=kx+b. Областью определения линейной функ- I ции служит множество R всех действи- I I тельных чисел, так как выражение у = kx + Ь I I имеет смысл при любых х. График линейной функции у = kx + Ь I I есть прямая линия (рис. 3). Для ее постро­ I ения достаточно двух точек, расположен- I I ных на осях Ох и Оу: А(О; Ь), в(-*;о) I

Функция

Свойства функции

Область определе­

У

= х2

У

Множе'

= 2;

у

= 6.

Коорди­

Система уравнений имеет только одно

I

+ Ьх + с

ствоН

(О; О)

хо

Ь

= ­ 2а ;

вершины

'а> О

iD>O

параболы

Уо

ь 2 - 4ас

=---­ 4а

Х12 =-~± , 2а

х=О

+ ~1irJ-4ас

,

2а

у

у

D
х

~ О.

Нет корней

а>О

при : (хо ; Уо)

хо ;

D

при

а>О

D=O

х

01

Экстре­ мумы

О.

Минимум

мумв

В вершине

вершине

Рис.

D<

Мини­

при а

>

О;

Максимум

у

в вершине

при а

1 k

Область

Ь < О).

значений

решение.

I

ах 2

МножествоR

наты

Корни

*

1

=

ния

ГрафИКИ обеих рассматриваемых функ­ I при Ь> О либо А (О; -Ь), В (~; о) при

ции имеют одну общую точку: х

+ Ьх + с

приведены в таблице.

ее график и свойства

Еслиk

Строим график первой функции по точ­

Свойства функций у = х2 и у = ах2

Квадратичиая функция,

3.

ь

5

1 12

О, то у

функции есть прямая, параллельная оси

кости строим графики функций у = -;­

•

k =

I I I I I I I

[0;+00]

О.

[УО; +00] при а

у

<

>

О;

[-00; УО] при а

_~ а<О

'о

!

'Хо

О

х

. :.'

D=

Yg
О

хО

О

х

D

,х

ОП

i i

i j

Рис.

Рис.

3

График линейной функции у =

kx

+

Если а = 1, Ь = с

Ь

может быть построен с помощью парал­ лельного переноса графика функции у

на

Ibl

Оу, если Ь

<

jbl

О, то у

=

х 2 • График

у

= kx

3.

О.

Четность

Четная (-х)2

=

х2

Ни четная, ни нечетная

Симмет­

Симме­

Симметрична

ричность

трична

относительно

параболы

относи­

прямой,

тельно

проведенной

осиОу

через точку

ХО

Ь

=-­

2а

параллельно

4

единиц вверх вдоль оси Оу, если

Ь > О, или на

=

2

этой функции изображен на рис.

<

<О

оси Оу

единиц вниз вдоль оси

О.

-3 -2 -1

L_~--------~-----------~

10 1 Рис.

L

2

3

х

3 ~-~

4 5

г-----------------~----I

у

Пример

1. Построить график функции х 2 - 2х - 3, указать промежутки, в

=

которых функция возрастает и убывает.

Указать значения х, при которых у

> О.

Указать минимум функции.

Решение. Поскольку а

> О, то графиком

функции является парабола, ветви кото­ рой направлены вверх (см. рис.

1.

1).

Находим координаты хо и уо верши­

ны параболы:

Ь

(-2)

2

хо == - 2а == -

(_2)2 -4(-3)

4а 4 == _ 4 + 12 == -4. 4 2. Находим точку на оси Оу при х = О: у(О) = 02 - 2 . О - 3 = - 3. Точка на оси Оу (О; -3). 3. Находим корни функции:

b~

=--+

2а

-2

=--+ 2

г----~-----T-----­

можно

• • •

параллельного переноса

(-

Определения

Уравнение вида ах 2 + Ьх + с = О, где х ­

;

:а О );

переменная, а, Ь, с ла, причем

[ О;

_

ь 2 - 4ас ] 4а

переноса

2

вают первым коэффициентом, рым коэффициентом, с

.

4.

или

с

Осуществив все указанные выше преоб­

ние

называется

Ь

-

вто­

5.

ют у

"

у=2х 2 +2х+2

1

Рис.

нулю,

трех

==

О,

с == О, то ах == О;

б) если Ь

==

О,

с

2

Пример

О

2

Ответ: хl

с == О, то ах + Ьх == О.

Пример

Х2

2а

ции у = х 2 - 2х - 3 (рис. 4).

причем Корни

а"*

Х2'

+ Ьх + с =

1,

называется

+ Х2

хl

.

О, где а, Ь,

полным квад­

квадратного

-b±~ 2а

I I

JI

6.

14.

Разложение квадратного

трехчлена на множители

1.

Квадратный трехчлен х2 + рх + q мож-

но разложить на множители следующим

х2

уравнения

+ рх + q = (х - хl) (х - Х2)' х2

'

•

Если

D

(1)

уравнению ах

х 2 - 14х

Рис.

Из рис.

4

-

>

о при

-

00

< х < -1

< х < 1 ,

1 < х < + 00;

и

3 < х < + 00

называют корнем кратности два.

лежит

функции уо = L_~

6

выше оси

Ох.

-

Ь

2

а

• Если D > О, то квадратное уравнение

,

имеет два различных действительных кор­ ня, вычисляемых по формуле (1).

так как график функции при этих зна­ чениях

хl

О. Однако усло­

ствительных корня, а само число

00

функция возрастает при у

х 2 - 14х

Минимум

• Если D ~ О, то квадратное ууавнение

-4. ~

L

не имеет деиствительных корнеи.

= 6,

+ 48

Х2

О по теореме Виета:

=

= 8.

Следовательно,

х 2 - 14

ратное уравнение имеет два равных дей­

видно:

функция убывает при

Находим корни уравнения

вились говорить, что в этом случае квад­

4

+ 48.

Решение.

удовлетворяющее

+ Ьх + с =

корни уравнения

+ рх + q = О.

Разложим на множители трехчлен

= О, то существует только одно 2

I I I I I

Пример.

D.

переменной,

-

где хl и Х2

минантом квадратного уравнения и обо­

значение

теореме

-7,

-2.

/{о образом:

где выражение ь 2 - 4ас называется дискри­ значается буквой

О имеет корни

согласно

-9,

=

Х2 =

вычисляют по формуле

х1,2

+ 9х + 14 =

которых,

I-----~-----I

уравнением.

полного

2.

дЛЯ

хl

Х2 =

действительные числа, не равные нулю,

ратным

и

Х1 =

2.

Уравнениевида ах 2

-

= 8 (-10) = -80.

Решив эту систему двух уравнений с

Полное квадратное уравнение с

Х2

двумя неизвестными, получим

= - 4.

уравнение не имеет решения.

~ == 1. Строим график функ­

q.

Виета, выполняются следующие равенства:

Ответ: В области действительных чисел

= 4: у(4) = 16 - 2 . 4 - 3 = 5, получим точку (4; 5). 5. Осью симметрии параболы служит

+ Х2 = 8 - 10 = -2,

.

хl

Решим уравнение: 2х 2 + 8 = О.

Решение: 2х 2 = -8, х 2 = -4.

Дополнительную точку рассчитаем

=

хl

Уравнение х 2

2

= 4,

Х2

хl

Пример

то ах 2 + с == О;

хl == +М == 4, Х2 == -М == -4.

5

=1+2=3;

.

равенства теоремы Виета:

1.

Решим уравнение зх 2 - 48 = О.

Решение: зх 2 = 48, х 2 = 16,

х

ние корней равно свободному члену: хl + Х2 = -р,

1. Уравнение х 2 + 2х - 80 = О имеет корни хl = 8, Х2 = -10, так как выполняются

то квадратное уравне­

а) если Ь

в) если Ь"* О,

противоположным знаком, а произведе­

Пример

неnолным.

"* О,

го уравнения х 2 + рх + q = О равна коЭФ­

фициенту при неизвестном х, взятому с

хl

видов:

2

3

-2

равен

Теорема Виета

5.

Сумма корней приведенного квадратно­

свободным чле­

Неполные квадратные уравнения быва­

разования, получим график, приведенный

2а

== -

а назы­

Если хотя бы один из коэффициентов Ь

при х

прямая хо

-

I I I I

ном.

X2=-~ ~ ==1-2=-1. 2а

называется квадрат­

В квадратном уравнении число

2а

~4-4(-3)

а"* О,

2. Построить график функции 2х + 2х+ 2.

на рис.

действительные чис­

-

ным уравнением.

сжатия (или растяжения) в а раз; параллельного

Квадратное уравнение

4.

получить из графика функции у = х 2 с помощью следующих преобразований:

2

ь 2 -4ас

хl

+ Ьх + с

Пример

== 1;

=----=

уо

График функции у = ах 2

I

I I I I ~

2.

+ 48

=

Квадратный

(х - 6) (х - 8).

трехчлен ах

2

+

Ьх

+

с

можно разложить на множители следую­ щим образом:

ах 2 + Ьх + с = а (х - хl) (х - Х2)'

где х их - корни уравнения 1 ~ _ ах + Ьх + с-О. ~-~

7

г-----------T-----~----I В том случае, если приведенное квад-

ратное уравнение имеет действительные корни, теорема Виета позволяет судить как о знаках, так и о значениях корней: если q

О, Р

>

О,

>

если q > О, Р < О,

то оба корня отрица-

тельны;

то оба корня поло-

жительны;

если q < О, Р > О, то корни имеют раз-

I I I I I I

ные знаки, причем

отрицательный

ко­

рень по модулю боль­ ше

если

q < О, Р < О,

положительного;

то корни имеют раз­ ные

знаки,

При,мер

1.

Решим уравнение 2х 2 - 3х Решение: Хl,2 =

3 ± ../з2 - 4 . 2 . 1 2.2

+1=

ко­

О.

При сравнении двух действительных

чисел х и у возможны три случая:

3 ± Ji

1) 2) 3)

4

D

Так как = 1, т. е. D > О, то уравнение имеет два корня: 3-1 1 хl = 3 + 1 =1, Х2 =-4-="2' 4 1 Ответ: Хl = 1, Х2 = 2" При,мер 2. Решим уравнение 2х 2 - 3х + 4 = О.

Хl,2

Так

*

-----X-----­

Запись

ется

+ 6х + 1 =

>

неравенства,

~

3' .

:5:

или

составленные

<,

~, называют

ла, а вида а

>

Ь, С

< d -

'3 .

5>2

и

-4 > -6 -

'Уравнение вида х 2 nриведенны,м

1; хl

О:

Число р называют коэффициентом при

2' .

+1=

2 (х - 1) (х -

Если

Корни приведенного квадратного урав­

ребляется запись х < а < у; такое неравен-

ство называется двоЙны,м. Если неравенство содержит буквенные

Приведенное квадратное уравнение име-

ет два равных корня, если

(f r

выражения, то оно является верным лишь

п и оп еделенных значениях входящих в

р

= q.

Решим уравнение Решение:

Х1,2 = =6

Например, неравенство (а + ь)2 ~ О вер-

хl

- 12х - 28 = О.

но при любых значениях а и Ь, так как

P-=

квадрат любого числа есть число поло-

жительное; неравенство х 2 > О верно при

12 12JJ + 28 = '2 ± Vl'2 2

± .)36 + 28

= 14,

Х2

Ответ: хl =

=6

= -2. 14, Х2

любых значениях х, кроме нуля.

Решить неравенство

- значит указать границы, в которых должны заключать-

± J64 = 6 ± 8; =

ся действительные значения неизвестных величин, чтобы неравенство было верным.

-2.

Решить приведенное квадратное урав­

При,мер. Решим неравенство -2х

нение, т. е. найти его корни, можно по

L_~

~

теореме Виета.

р

него переменных.

При,мер.

х2

собой

Вместо двух неравенств х < а, а < у упот-

Хl,2 =_l!..+ Р-ру 2 ­ vl2) -q.

1

представляет

> 4.

2

~

члено,м

d ­

d.

знать ее первый

d.

Если разность арифметической прогрес­

сии

-

положительное

число,

то

такая

прогрессия является возрастающей; если

-

разность

отрицательное

число,

то

та­

кая прогрессия является убывающей. При,мер

противополож­

ется верны,м.

нения вычисляют по формуле

2' ).

неравенство

nервы,м

достаточно

член аl и разность

5 < 10

истинное высказывание, то оно называ-

свободным членом.

q-

прогрессию,

Например,

Неравенства, содержащие только числа, называются числовы,ми HepaвeHcmвa,ми.

называется

а2 - аl = аз - а2 = ... = ak - ak-l =

неравенства одинаково­

неравенствами

(1)

Для того чтобы задать арифметическую

назы­

ного смысла.

квадратны,м уравнение,м.

неизвестном х, а

1

=

являются

О, где р и

действительные числа, называется

q -

+1=

+ рх + q =

- 1),

лу:

нестроги,ми.

и

+ d (n

щим членом равна одному и тому же чис­

помощью

6 > 4

аl

любые заданные числа.

Разность между любым членом арифме­

неравенствами

противоположного смысла.

1

=

тической прогрессии и ему предшествую­

с помощью

>d

т. е. пишут

разностью арифметической прогрессии.

~. называ­

с

аn

d -

Число а

называют строги,ми;

составленные

+,

... ,аn ,· ...

арифметической прогрессии, число

ваются неравенствами одинакового смыс­

Приведенное квадратное уравнение

+ 1.

или

Два неравенства вида а> Ь и С

= О, то уравнение имеет два

-

или

Обозначают арифметическую прогрес­

сию, употребляя знак

где аl и

читается так:

неравенство,м.

знаков

О.

>. <.

го смысла, анеравенства

Следовательно,

8

у:5: х

О,

•.

Неравенства,

знаков

Находим корни уравнения

2х 2 - 3х

или

единены знако,м

О, то уравне-

,метической nрогрессиеЙ.

Общий член арифметическойпрогрессии

выражения. содержащие nере,менные. со­

-6 ± ";36 - 4 . 9 . 1 -6 Хl,2 = 2.9 = 18 = -

Решение.

хl =

6 > 4, т. к. 6 - 4 = 2 > 3 - 5 = -2 < О.

х ~ у

nредшествующе,му члену. сложенно,му С oдHUМ и те,м же число,м. называется ариф­

рассчитывается по формуле

Запись. в которой два числа или два

Решение:

равных корня

Разложим на множители трехчлен

2х 2 - 3х

т. к.

3 < 5,

Числовая последовательность. каждый

член которой. начиная со второго. равен

+аl,а2,

у меньше нуля.

Например,

При,мер.

2х 2 - 3х

-

Арифметическаяпрогрессия

8.

Определения

у больше нуля.

-

Число х меньше числа у, если разность х

3.

D

I I I I I I

.х больше или равно у. или .у меньше

Решим уравнение 9х 2

Так как

у (х меньше у).

если разность х

ние не имеет действительных корней.

I I

I

I

х

у (х больше у);

> <

или равно х

3 ± ";9 - 4 . 2 . 4 2·2 как D = -23, т. е. D <

При,мер

х

х - у равна нулю. Число х больше числа у,

Решение:

положительного.

х = у (х равно у);

Число х равно числу у, если разность

рень по модулю мень­ ше

Неравенства, их основные свойства

7.

Определения

причем

отрицательный

г----~-----T-----------I

'tJ I I I I

Назвать первые пять членов

1.

прогрессии:

а) аl б) аl

= 2, d = 3: +2, 5, 8, 11, 14;

= 12, d = - 3: +12, 9, 6, 3, О.

Свойства арнфметнческой прогрессии 1.

Каждый член арифметической про­

грессии, начиная со второго, равен пре­

дыдущему, сложенному с разностью d, т. е.

_

I I I I I I I I I

2

ak+l - ak

.

К

+d

~

,аl

=

а,

k

=

1 2 "

Ф

.... ~

аждыи член ари метическои про­

грессии есть среднее арифметическое двух

равноудаленных от него членов этой про­

грессии, т. е.

ak+m

+ ak-m 2

ak =

'

где k и т - любые натуральные числа и

k > т. 3. Любой член арифметической прогрес­ сии, начиная со второго, является сред­ ним арифметическим предшествующего и последующего членов, т. е. а

n

+а

n+2

L~=:HepaBeHcT~ePHo~~~~~_~n+l~~_~~~_~ 2 Шпаргалки

по алгебре и геометрии

9

г-----------T-----~----I Для любой конечной арифметической

4.

прогрессии сумма двух членов, равноот-

стоящих от ее концов, есть величина постоянная для данной прогрессии, равная

сумме крайних членов: ak где

k

и т

+ а m = аl + а n ,

номера членов,удовлетворяю-

-

щие условию

k

+т

1 + n.

=

При,мечание. Свойство

так же как и свойство

1,

2,

является условием, достаточным для того,

чтобы соответствующая последователь-

ность аl' а2' ... , а n , ... была арифметичес-

кой прогрессиеЙ.

сумму

последователь­

n

ных членов арифметической прогрессии:

Sn

=аl + а2 + аз + ... + аn -l + аn .

(2)

Эта сумма вычисляется по формуле

8

n

= (аl + а n )

2

Если х > 3у, а 3у >

12.

Ь, то а

+с

+ с или

Ь

>

а - с

>

Если к обеим частям неравенства 9 > 5

прибавить

7,

вычтем

то получим

7,

то получим

16 > 12, 2 > -2.

а если

(3)

*

Ь, то 5а

>

5Ь.

на

ное

и

число

одно

и

то

из,менить

же

можно вычислить по формуле

= 2аl + d (n - 1) 2

(сп) известно, что С2 и сумму первых

(4)

·n.

= -2, d = 3. пяти членов

Найдем прогрес­

+ d,

сl

- d = -2 - 3 = -5. (1) найдем С5:

С2

По формуле

=

сl

+ d (5 -

По формуле

1) = -5

+3

2.

. 4 = 7.

ла

(3) найдем сумму первых пяти

членов данной арифметической прогрес­

85 = (сl + С5) .5= -5 + 7 .5 = 5. 2 2 Можно вычислить эту же сумму

можно

(4):

2 (-5) + 3 (5 - 1)

85= 2 ·5= = -10 + 12'5 = 5. 2

L_~

Если

знак

того

изводится

3. по

Ь)

почленно

вычитать,

неравенства,

из

-

с

> >

Ь) Ь

-

а) Ь 1

оставляя

про­

< d)

- d.

ас>

4.

>

О и с

О и О

<

q

< 1 ­

О, то знаки членов прогрессии

возрастающая прогрессия;

б) Ь 1

'2

>d>

3

'2 -

~

bd.

1. Каждый член

а>Ь

щему,

начиная со

График функции

На интервале

(_00; О] функция убы­

+ 00) -

возрастает.

Минимум функции равен нулю. Промежутки знакопостоянства: функ­

x 2k принимает положительные

=

х

*-

О. в точке Х = О

ется парабола, ветви которой направле­ ны вверх.

Свойства функции у = x 2k + 1 (с нечет­

убывающая прогрес-

положительным показателем

ни), где

геометрической прогрес­ второго,

равен

bk+l = bk . q, где k = 1, 2, ...

(2)

степе­

число натуральное

2.

Область значений:

3.

Функция нечетная, так как

предыду­

умноженному на знаменатель про­

k -

Например, у = х з , у = х 5 (рис. 2) и т. д. 1. Область определения: Х Е R

прогрессия не яв­

грессии, т. е.

L

+ 00).

она равна нулю. Графиком функции явля­

=

сии,

[О;

значения при всех

ным

ту же натуральную степень. Например, при

a k > bk

4. 5. 6.

Свойства геометрической прогрессии

ными членами можно возводить в одну и

полуинтервале

симметричен относительно оси Оу.

вает, а на интервале [О;

ляется монотонной.

Обе части неравенства с положитель­

множество поло­

-

3. Функция четная, так как (-x)2k ... x 2k ,

1

1 2, q = -3 2, -6, 18, -52, 156 -

О

-l _ _ _гдеа>О,ь>о', _ _ _ _kEN. _ _ _ _ ...J

q =

R

поэтому ее достаточно исследовать лишь на

= 1, q = 2

= 24,

Область значений

ция у

1,2,4,8, 16 -

в) Ь

Ь

>

множество

[0;00).

О и

сия;

умножать.

>

q<

24, 12, 6, 3,

Неравенства одинакового смысла с

Например, при а

2.

нов геометрической прогрессии:

положительными членами можно почлен­ но

>

-

жительных действительных чисел, т. е.

При,меры. Определим первые пять чле­

которого

(с

про­

тонной.

вычитание.

а и

>

Если Ь 1

Область определения

действительных чисел.

будут чередоваться и она не будет моно­

Неравенства противоположного смыс­

Например, при (а

сии:

формуле

смысла

+ (с > d) а + с > Ь + d.

откуда

следует, что

убывающей.

складывать.

Например, при (а

С2 = сl

q.

1

Рис.

1.

то геометрическая прогрессия будет

возрастающей; если Ь 1

одинакового

О

геометрической

вый член Ь 1 и знаменатель

Действия снеравенствами почленно

q *-

О,

(1)

прогрессию (Ь n )' достаточно знать ее пер­

q> 1,

Неравенства

*-

х

10

-1

Для того чтобы задать геометрическую

и к делению.

1.

k - число натуральное Например, у = х 2 , У = х 4 (рис. 1) и т. д.

грессии не может быть равен нулю.

ножением на число, обратное делителю,

можно

(с четным

..·=

ни один из членов

-Ь.

то аналогичные правила можно применить

Решение:

=

<

= x2k

показателем степени),

где

по пра­

=ьt .qn-l,

Ьn

N.

Из условия ьt

(-1),

Так как деление можно заменить ум­

7.

сии.

С5

т. е. -а

Свойства функции у

: ьn -l = ьn +l : Ьn = q.

где nЕ

неравенство.

Ь

ные виды степенной функции (n = 1, n = 2, n = -1).

у

неравенства

(-1) <

1

метрической прогрессии имеет вид

отрицатель­

зна/С

любое действ и­

n -

Функции у = Х, у = х 2 , У = -.; - част­

Формула общего члена (n-го члена) гео­

Если обе части верного неравенства

умножить

х n , где

Следовательно,

верное неравенство.

>

=

b1q;

Ь з = b2q = b1q2;

Ь 4 = Ьзq = ь 1q з и т. д.

~:Ьt=Ьз:~=

6.

ция вида у

тельное число (показатель степени).

Ь2 =

=Ьn

получится

Степенная функция

положительным

прогрессии.

формируются

10.

Степенной фун/Сцией называется фун/С­

вилу:

число,

Например, если а> Ь, то а

При,мер. В арифметической прогрессии сl

ческой прогрессии

Если обе части верного неравенства

ное

членов.

геометрической

умножить на одно и то же положительное то

...

Согласно определению, члены геометри­

ее /Срайних членов, у,множенной на число

Sn

,меnателе,м

+ Ь > с следует, что а > с - Ь, а + Ь - с > О. Например, х + 9 > 4, х > 4 - 9, х > -5. 5.

nрогрессиеи:

Число q, не равное нулю, называетсязnа­

4. Любой член неравенства можно пере­

а

гео,метричес/Сои

Ь 1 , Ь 2 , Ь З ' ... , Ь N '

При,мер.

на противоположный, то получится вер­

Sn

шествующе,му члену, у,множенно,му на

Ь - с.

,метичес/Сой nрогрессии равна nолусу,м,ме

Иначе

дый член, начиная со второго, равен nред­

получится верное неравенство, т. е. если

>

I

член /Соторой отличен от нуля, а /Саж-

ства прибавить одно и то же число, то а

зывается

Числовая последовательность, первый

то х >

12,

од по и то же число, nе р.авnое пулю, ,nа-

Определения

Если к обеим частям верного неравен­

3.

Например, если а

.n

Су,м,ма n последовательных членов ариф­

10

I

При,мер.

I I I I I

Геометрическая прогрессия

9.

1. Если а > Ь, то Ь < а.

2. Если а > Ь и Ь > С, то а > с.

его знак на противоположный, т. е. из

арнфметической прогрессии

Sn

I I I I I I I

г----~-----T-----------I

Свойства неравенств

нести из одной части в другую, переменив

Сумма членов

Обозначим

I

у Е

R .

(-х) 2k+l = _x2k +1 .

I ~

График функции симметричен относи­ тельно

начала координат.

~-...J

11

г-----------T-----~----I Функция возрастает на всей число-

4.

вой оси. В самом деле, если О

то x 2k + 1 < x 2k +1 1 2

Если Хl k 1 xr +

<

Х2

<

<

Хl

<

Х2'

О, то вновь

< x~k+l < О.

I 2. I равноудаленных от него членов этой про­ грессии, т. е. I ьk2 -- Ьk-m Ьk+m' (3) I где k и т - любые натуральные числа, Квадрат каждого члена геометричес­

кой прогрессии равен произведению двух

причем

у

k >

(основание степени).

I

Свойства функции у = аХ при а

(2) следует, что если все чле­

1.

ны геометрической прогрессии положи­ тельны, то

положительное число, не равное единице

I I I

11. Показательная функция Показательной функцией называется функцuя вида у = аХ, где а - некоторое

т.

Из формулы

г----~-----T-----­

I

Область определения

-

2.

Область значений

-

т.

Х

Функция

если х

6.

аХ (где а

О, а"#

>

1

<

О, то О

<

аХ

-

<

а

< 1).

Моно­

= 10gaY'

=

аХ выразить Х через у:

а затем поменять обозначения Х

= logax, = logax, где а - заданное > 1, а"# 1, называется логарифми­

Функция У число, а

< 1.

ось абсцисс (рис.

аХ

на У и У на Х, тогда получим У

1.

ческой функцией.

График функции имеет единственную

асимптоту

=

Чтобы найти обратную функцию, нуж­

Х равно

Функция у

цию.

е.

возрастающая.

-

1 ).

и убывающей при О

но из формулы у

При х = О значение функции 5. Если х > О, то аХ > 1;

-1

=

тонная функция имеет обратную функ­

(0;00). 3. 4.

Рассмотрим показательную функцию

а>

множество поло­

жительных действительных чисел,

функции

является монотонной (возрастающей при

R

действительных чисел.

можно записать

ее график и своиства

Построение графика логарифмической у

> 1

множество

u

12. ЛогарИфмическаяфункция,

Таким образом, показательная и лога­

1).

рифмическая функции при одном и том

Рис.

2

Графики функций у

=

х n для

n = 2k

и

n = 2k + 1 называются параболами. При

n = 2 - это просто парабола, при n = 3 ­

же основании являются взаимно обрат­

*

ными функциями.

График логарифмической функции мож­ но построить, используя график обрат­

ной ей функции У

кубическая парабола.

J;,

,

~~

Сумма члеиов геометрической

А"

прогрессии

"

~~'

Сумма Х

О

n

кой прогрессии

ВN = ~

+ ~ + ... + ьn

3

Область определения

1.

-

S _ n-

множество

положительных действительных чисел, т. е.

2.

[О;

у

вы­

множество поло­

8:1.0

+00.

График функции у =

J;

(4),

t

у+:;

~/~

. >'

Ц~,/

график

а> 1

\1 '" \O~.,; Х

1

Х

О<а<1

Рис.

полу­

Построим

графики следующих показа­

тельных функций:

5 (1- 210) = 5.1023 = 5115. 1-2

а) У а) У

= =

2 Х ; б) У 2 Х • Так

= -3' 2 Х ; в) у = 21 x l. как а > 1, то функция ­

возрастающая. Рассчитав значения функ-

ции при четырех значениях аргумента:

го угла графика у = х 2 , соответствующего

12

> 1, а на рис. 2 = logax при О < а < 1.

Построение графиков

может быть

-1; О; 1; 2, получим четыре значения функ-

Х;::: О.

~

функции У

""

получен путем зеркального отображения

L_~

изображен график функции

,/10

относительно биссектрисы координатно­ участку

1

при а

Рис.

чим

Функция монотонно возрастает от О

= logax

= а'

О

= 5, q = 2.

Решение. Используя формулу

т. е.

+ 00).

3. до

которой Ь 1

На рис.

у

(4)

,

ти членов геометрической прогрессии, у

-

жительных действительных чисел, [О;

1-q

вы и равны а.

О<а<1

Пример. Определим сумму первых деся­

+ 00).

Область значений

~(1-qn)

Х при условии, что основание

=

у

членов конечной геометричес­

числяется по формуле Рис.

прямой У

= logax будет сим­ = аХ относительно

логарифма и основание степени одинако­

< а < 1 1. Область определения - множество В. 2. Область значений (О; 00) . 3. Функция - убывающая. 4. При х = О значение функции равно 1. 5. Если х > О, то О < У < 1;

если х < О, то У > 1. 6. График функции имеет единственную асимптоту - ось абсцисс (рис. 2).

1,.,/ , ........

аХ.

метричен графику У

Свойства функции у = аХ при О

обратную

у

/f'

х

Рис.

Свойства функции у = ..Б

Рассмотрим функцию у = функции у = х2 (рис. 3).

=

График функции У О

~

ции .' !. 2' l', 2', 4 . L___________

/,//10

I~X

Oк.~

I

I ..1I

Рис.

2

График логарифмической функции рас­

положен правее оси Оу и проходит через

точку (1; О).

_

~-~

13

г-----------T-----~----I Свойства логарифмической функции

1.

Область определения

-

множество

положительных действительных чисел, т. е. (О;

2.

I I

динатную плоскость (рис.

-

множество

R

13.

3).

4,

всех

Корнем n-й степени

= 2У:

3.

ствительное число

Монотонность:

Если а>

1,

функция является возраста­

<

а

< 1,

вающей.

1 функция равна нулю; > 1 функция принимает тельные значения: у < О. 5. Функция непериодическая,

2

О

Рис.

жительные значения: у> О;

ется символом

х

('{jQ,)n

3

б) график функции у

= -3 . 2 Х

симмет­

кции у

= 3 . 2Х •

а

Поэтому сначала строим

график функции у = ем график функции

*

n-я

Любое число а, отличное от нуля, в ну­

левой степени равно единице, т. е. аО = 1.

степень которо­

Примеры: (-з)0 = 1; 1520 = 1;

не

отрицательным

извлечением

ца,

lCорня.

которого

nодlCоренным выражением.

показателем

на

степень

равно

есть

едини­

того же числа с

показателем, модулю

значение

отрицательного

аn

существует.

Примеры: з-2 =J:... =!; з2

9

(!)-2 =(~J2 =~ =2!'

Корень нечетной степени извлекается и

3

W::S

из отрицательного числа: = -2, так как (-2)3 = -8. Чтобы устранить двузнач­

х

= 1.

показателя, т. е. а- n = -.!.....

и а < О,

имеют смысла.

ни чет­

деленная

положительным

называется nОlCазателем кор­

Например, выражения Н; ~ не

отрица­

J

Степень какого-либо числа а с целым

называется

n

(157

Степень с отрицательным показателем

а.

Заметим, что 2~, где k Е N

у

2

4

4'

(_з)-2 =_1_ =!. (-з)2

ность корня n-й степени из числа а, вво­

9

дится понятие арифметического корня.

Единственной асимптотой графика

АрифметичеСlCимlCорнем n-й степени из

числа а (а ~ О) называется неотрицатель­

ординат.

ное число Ь, n-я степень которого равна а,

Рис.

в) У

=

функции

21xl. у

=

где

4

2

Х

при

вается lCвадратным и обозначается

х ~ О. Поскольку

симметричен относительно оси Оу (рис.

Свойство

-1

х

Рис.

~

=

а.

арифметического

.Jii.

5

~

I I I I I I I I I I I IL

-

I-----~----­

I I

~

корня:

О,

а

возвести

подкоренное

уменыIитьъ

степени подкоренного

в

n

по основа­

так как

2-2

десятичный

значение

с

= ~ =0,25.

логарифм.,

= 10iab,

т.

е.

= 10.

аС = Ь

подставить

получим основное

логарифм.ичеСlCое тождество:

aloiab • Ь.

не изменится,

Например, основного

если

n

раз и одно­

раз

показатель

его показатель уменьшить в

О)

без указания основания обо­

Если в выражение

выраже­

J4 =2·f43 =~. корня

19

логарифм по основанию а

'{jQ,=n~, а;::О. Значение

>

называют таlCое

с - loga b.

значается

ние в степень т:

Например,

* 1)

число с, что аС =_Ь :

Знаком

Значение корня не изменится, если

временно

>

!og2 0 ,25 = -2,

его показатель увеличить в т раз и одно­

2.

(а

всегда положителен.

кориями

временно

нию а,

Примеры: log28 = 3, так как 23 = 8;

Действия с арифметическими

1.

Логарифмы

15.

Логарифмом числа Ь (Ь

/{о

(~)n =~ =Ial,

5). Т.е. он

о

натуральное число, Т.е. ь

n> 1-

n

Корень второй степени из числа а назы­

Построим сначала график

функция у = 21 xl четная, то ее график

14

х,

'{jQ,. Тогда по определению

ня, число а -

логарифмической функции является ось

L_~

=

Число

3 . 2 Х , а затем получа­ у = -3' 2 Х (рис. 4).

ная, ни нечетная.

6.

Степеиь с нулевым показателем

Нахождение корня n-й степени из числа

ричен относительно оси Ох графику фун­

при х = при х

* 1 ) из

и n

N

Корень n-й степени из числа а обознача­

-1

функция является убы­

4. Промежутки знакопостоянства: • Если а > 1 (рис. 1), то

при О < х < 1 функция принимает отри­

цательные значения: у < О; при х = 1 функция равна нулю; при х > 1 функция принимает положи­ тельные значения: у > О. • Если О < а < 1 (рис. 2), то при О < х < 1 функция принимает поло­

Е

го равна а.

ющей. Если О

(n

действительного числа а называется дей­

действительных чисел.

Свойства степени

14.

с отрицательным, нулевым

и дробным показателями

Определения

у

I

Корень n-й степени

из действительногочисла

у

00) .

Область значений

г----~-----T-----­

Нанесем полученные значения на коор­

з lоg з 6 = 6,

21og2 7 = 7. Из

логарифмического

тождества

следует, что для любого х верно равенство

!oga аХ =х.

выражения

rr(;;k = m:~,

Из определения логарифма следует, что

а;:: О.

loga1 = о и logaa = 1.

Например, ~ = ~ =~. I

~

~­

~ 15

г-----------T-----~----I

I Степень с дробным показателем I 3. Корень из произведения нескольких Степень какого-либо числа а с дробным сомножителей равен произведению кор­ J!.. DГ"::q I ней той же степени этих сомножителей: II

q литель р является показателем корня, а I ~=~'!fbrry;;, a~O; b~O; C~O.

I знаменатель q - показателем степени под­ I коренного выражения. Число q - раци­ j;;4b3 = J:l Jb3 = a 2 Jb2b = a 2bJb; I ональная дробь. Е~ли РЕ Z, q Е N, то

J75 = J25 . 3 = J25 . J3 = 5JЗ.

I по определению а q = if;;P. Можно выполнять обратные преобразо­

I Примеры: 2 2 ~'!fbrry;;=~. I 273 1= ~ = (т) = з2 = 9; Например, v;;2щ;'(;5 =~a2bc5; I (-8)3 =~ =-2.

I 1 3 м,J;;bЗ = Ja 4b4 =а 2 ь 2 .

Выражения (-8)2 и (-8)4 смысла не 4. Корень из частного равен частному от I I Степень с рациональным показателем Степень с рациона~ьным показателем '" I обладает ~=~:".!:/b, a~O, b~O. теми же своиствами, что и сте- ~ I пень с натуральным показателем, а имен- I М об преоб но: если а > О и n Е Q, т Е Q, то ожно выполня:ъ ратные разова­ пия по этому своиству:

I а) а . а =а + ; б) а : а =а - ; I I в) (amhn = а mn ; г) (аЬс)n = аnЬnсn ; I ~ J~ ".!:/Ь ='~b' I I д) (~) = :: . -----х-----­ ~{27 _ m =~2 =1,5. Например, VB - w8 показателем

есть корень 'Vа Ч ,

г----~-----T-----------I

О

где чис­

пределения

Квадратным неравенством называет-

ся неравенство вида ах 2 + Ьх + с > О, где а, Ь, с - действительные числа, а О. (Вместо знака > может стоять любой из знаков ~; ::;; <.)

Например,

р

*

Решить неравенство, содержащее неиз-

вестную переменную, - значит найти мно-

вания по этому свойству:

имеют.

жество значений переменной, при кото-

рых это неравенство является верным. Эле-

менты этого множества называются Неполные квадратные неравенства

1.

m

m

n

n

m

тодом

5.

а) lоgз 81; б) logO,5 32;

пень подкоренное

1 Y+21og!. 6 в) (

3")

2.

-

это показатель

чтобы получилось число

8\'

Ответ: lоgз б)

3Х =

з-4, т. е. х =

1

logO,5 32 = х, 0,5 Х

(~T = (~ Т5; х Ответ:

=

1),

если

+ Ьх + с >

О

(рис.

2).

вся

числовая

4.

> 1,

>

t

О и

то

10g1 9 < 10g1 5.

ванию (а

> О, loga 1 = О. 8. Логарифм

прямая

е.

loga N 1 < loga N 2 •

3

т. е.

3

а

* 1 ) равен нулю,

т. е.

самого основания равен

1,

logaa=l.

Формула перехода от одного основания логарифмов к новому основанию

Пусть существует и Ь

у

у

числу

Логарифм единицы по любому осно­

7.

а во втором оно является пустым

>

logab, т. е. а > О, а

*1

О.

Тогда для любого числа с, такого, что О

а>О

х

с

а<О

J27 =.J33 = (J3)З .

и

>

О, с

* 1, существуют logc Ь

О

Рис.

Рис.

О,

2

и Х2 (хl < Х2)' которые являются корнями уравнения ах 2

L

Вычислить: а)

то график квадратного

уравнения пересекает ось Ох в точках хl

...J

+ Ьх + с

logc

а

ga

Ь = logc b .

(1)

logc a

Примеры.

х

1

2. Если D >

и

верно равенство

10

l..

то большему числу со­

log29 > log2 5. < а < 1, то большему

N 1 > N 2,

Например,

О.

есть

е.

соответствует меньший логарифм, т.

logO,5 32 = -5.

L __ ~ - -

16

(рис.

т.

> N 2, то loga Nl > loga N2'

Если О

6.

В первом случае множество решений неравенства

Если а

5.

О, то неравенство

=

<

2

N 1 = N 2 , то loga N 1 = loga N2'

Например,

>

4'1 > О.

ответствует и больший логарифм, т. е.

имеет множество решений: все

ниже ее при а

=.!.. 62 = 36 = 4 9 9'

Ответ:

О, а

3

если N 1

оси Ох и лежит выше этой оси при а

[~Г2106i 6= Ш[~lo6i 6]' в)

=

log! 6 < о, log!

Равным положительным числам со­

если

(0;+00).

с

=

32;

-5.

сел N > 1 положительны, а логарифмы чисел о < N < 1 отрицательны. Например, 1 lоgз 7 > О, lоgЗ"2 < О. 3. При основании О < а < 1 логарифмы чисел N > 1 отрицательны, а логарифмы чисел О < N < 1 положительны.

левую

ь 2 - 4ас могут иметь место три случая: 1. Если D < О, то график квадратного уравнения у = ах 2 + Ьх + с не пересекает

(~)2 =~c4d2 =~c3cd2 =cW; =

*

ответствуют и равные логарифмы,

сомножители.

В зависимости от знака дискриминанта

Например,

81 = -4.

раскладывая

на

Решение неравенства ах 2

выражение:

~ =(~)n, a~O.

-4.

1. Логарифмы существуют только для loga N (где а > О и а 1) существует, если N > О. 2. При основании а > 1 логарифмы чи­

положительных чисел, т. е.

4.

Ь ~.

действительные числа, кроме нуля.

сте·

ние:

1 81'

Обозначив показатель степени через х, по-

лучим

эту

Справедливо и обратное преобразова­

степени, в которую нужно возвести осно­

3Х =

в

(~( =~, a~O.

3

3,

возвести

Если Ь

ах 2 > О

D

Решение. а) Логарифм

вание

достаточно

интервалов,

неравенства

(_oo;_~) И

Чтобы возвести корень в какую-либо

степень,

-

Ответом будут два промежутка:

При меры вычисления логарифмов

1

к новому основанию

Свойства логарифмов

Например,

Таким образом, неравенство решаем ме­ часть

Основные свойства

О, то неравенство име­

>

Неравенство имеет два корня: О;

n

Вычислить:

Если с = О, а

17.

логарифмов. Формула перехода

ет вид ах 2 + Ьх > О, ах ( х + ~ ) > О.

делителя, показатели будут одинаковые:

n

I I I I I I I I I

решениями неравенства.

деления корня из делимого на корень из

m

Решение

16.

квадратных неравенств

=

О.

I ~

1

log! 32; б) lоg,JЗ 81' 4

1

Решение. а) Основание логарифма "4'

число 32. Эти числа кратны 2, поэтому

~-...J

17

г-----------T-----~----,

I I I I I

удобно перевести логарифм к основанию 1 по формуле (1) , где а = -4; Ь

log 32 10g.! 32 =--2-1-

Получим

10g2

4

25

т. к.

=

32', 2-2

ере ведем

5 = -2

и с

= 2.

=-2,5,

4"

=.!. . 4

Ответ: -2,5.

б) П

=

32

2

1 1og.j3 81

к основанию

3,

I I

I I I I I I I I

Эти точки раЗбива~т чис~овую пря.мую на три промежутка. (- 00, хl), (Хl'Х2)' (Х2; + 00). Если а > О, то решением неравенства

1· I

будут два промежутка, где квадратный трехчлен положителен: (-ОО;Хl) и (Х2; + 00) (рис. 3);

I I • Если а < О, то решением неравенства будет промежуток (хl; Х2)' где квадратII ный трехчлен положителен (рис. 4).

получим

з 1 1 _ lоg 81 log.j3 81 - lоg J3

з

Ответ:

m О

1

=(-4) : 2" =-8.

-8.

Отметим простые следствия формулы перехода:

1

*

.

b

log 1

I

log a Ь. Ь = -k, Ь =

-log a

Ь

3

Рис.

%,

%

, (k

=

-1).

а

единственным

если

будут

два

(-ОО;Хl) и

промежутка:

{(-х)

выполняется неравенство {(Х2)

>

у

х З , у = sin х, у = tg х, У = ctg х.

=

(-х)з = -х З , sin (-х)

Хl'

=

{(Хl)'

>

-tg

х,

ctg

(-х) =

соответствует меньшее значение функ·

ции {(х), т. е. для любых Хl и Х2 из проме­ Хl' выполняется

Функция только возрастающая или жутке называется мокотоккой на этом

Рис.

промежутке.

ется четной или нечетной. Например, каж­

по ее графику. Например, функция, гра­

фик которой изображен на рис.

1,

дая из функций у = 12х + 1, у = х 4 + х, У = (х + з)2 не является ни четной, ни

возра­

стает при всех значениях х. Функция, гра­ фик которой изображен на рис.

(Хl;+ОО),

нечетной.

убывает

2,

на промежутке

(-00; О] и возрастает на

промежутке [О;

+ 00).

I-----~----­

+.*

хl) и

I I

то хl исключается из решений неравен­

ства (рис.

5). • Если а < О, то неравенство ах2 + Ьх + с > О не имеет решений (рис. 6).

Рис.

1

Рис.

~

2

Четиые инечетные функцин

Функция у =

{( х) называется четкой,

функции выполняется равенство

19.

Геометрическая прогрессия Сl' С2' ... , Сп' ... ,

знаменатель которой

У=

Ixl ' у

=

=

=

Сумма членов бесконечно убывающей

8=~. 1-q Пример

сов х.

2

х 2 , (-х)4

=

х4 ;

I-xj = Ixl;

2,

2

3' 9'

Найдем

сумму

геометрической

(1) бесконечно прогрессии

2

27""

Решение. В данной геометрической про­

сов (-х) = сов х.

Графики четных функций симметрич­ ны относительно оси Оу (рис.

а<О

1.

убывающей

вие:

=

* О , на­

рической nрогрессиеЙ.

х4 ,

Для этих функций выполняется усло­

(-х)2

и сl

по формуле

f( -х) =

х2 , У

Iql < 1

зывается бесконечно убывающей геомет­

{( х).

Примеры четных функций: у

Рис.

Бесконечно убывающая

геометрическая прогрессия

геометрической прогрессии вычисляется

если для любого х из области определения =

4

Заметим, что не всякая функция явля­

О монотонности функции можно судить

корнем

4).

tr

{(Хl)'

только убывающая на данном проме­

4

=

'!;-q,

большему значению аргумента х Е Х

>

-sin х, tg (-х)

х.

относительно начала координат (рис.

на данном числовом промежутке Х, если

<

=

-ctg

График нечетной функции симметричен

{( х) называется убывающей

неравенство {(Х2)

выполняется равенство

= -f(x).

Для этих функций выполняется условие:

ние функции {( х), т. е. для любых хl и Х2

жутка, таких, что Х2

называется кечеm­

Примеры нечетных функций:

большее значе­

из промежутка Х, таких, что Х2

2

два промежутка:

соответствует

Функция

= {( х)

ления функции

большему значению аргумента

х Е Х

I хl = - 2а уравнения ах + Ьх + с = О.

I Точка хl разбивает числовую прямую на I I • Если а > О, то решением неравенства I (хl; + 00). Так как неравенство(-00; строгое, Ь

Функция у

кой, если для любого х из 06ласти опреде­

Функция {(х) называется возрастаю­

уравнения касается оси Ох в точке Хl' являющейся

Свойства функций

щей на данном числовом промежутке Х,

3. Если D = О, то график квадратного

log a Ь = log а ' logak

Рис.

i

%,

18.

Монотонные функции

I I I

а < О

'

г----~-----------------,

грессии

3).

1

q=3.

Используя формулу

(1),

получим

\1"/

--~---­ 18

l.. - - - - -Рис. 6 --

..J

L

+

Рис. З

2 8=--1 =3. 1-­ 3

_

..l.

~ _..J

19

г-----------------~----I Из рис.

Периодические функции Фунжция

f( х)

видно, что значения периоди­

ческой функции у

называется nерuодUч'ес­

через промежу­

= f(x)

Т 1:- О,

ток, равный периоду Т, повторяются. Это

что при любом х из области определения

обстоятельство используется при постро­

мй, если существует такое число

функции числа

х

-

Т

и

х

+

Т

ении графиков периодических функций.

также

Например, периодическими являются

принадлежат этой области и выполня­

ется равенство f (х)

=f

(х

-

Т)

=f

(х

+ Т).

тригонометрические функции у

В этом случае число Т называется пери­

f

одом функции Если

дение

-

Т

период функции, то произве­

где

Tk,

(х).

k Е Z, k

1:- О

, также

явля­

Рис.

nревосходит

= f(x)

называет­

График ограниченной функции лежит целиком в полосе между прямыми, парал­

лельными оси Ох, проведенными на рас­ стоянии А от нее. Например, ограниченными являются

-----~------I Найдем сумму бесконечно

I

убывающей геометрической прогрессии

2

-3' 9' - 27' ...

Решение. в данной геометрической про­

грессии q = _! . Используя формулу 3

получим

s=~( 1)=~' 1- --

= sin х, Isin xl :5: 1, ICOB хl :5: 1.

функции у

(1),

I I I I I

у

= cos

х, так как

Если график функции у

а

>

О, и в положительном направле­

нии оси Ох на lal, если а < О (рис. 3).

известен,

\

(параллельного переноса, осевого и цент­

ральной симметричного отображения и

Уl

сложных функций.

при

Ь

Ь

Ь

r

График функции

в а раз при а

ного числа А, что If(x)l:5: А при всех х, то функция f(x) называется кеоzраНUч'еккоЙ.

оси в

1

а

(Х ­

раз от

Рис.

получается

f(x) вдоль оси Оу

О

График функции

1

+

вверх по оси Оу на Ь, если Ь оси Оу на Ь, если Ь

<

Ь получается

>

о (рис.

О, и вниз по

4).

у

\

~

Х

О

Х

у

< а < 1 (рис. 2).

'(Х) - ь

\

-3

ми.

Х

10

-ь~

у = Ixl являются неограниченны­

3 f(x)

параллельным переносом графика f(x)

Например, функции у = х 2 , У = х , х

Х

Рис.

2.

3

у = -,

Х

3)

О

> 1 и сжатием вдоль этой

раз при

О

у

(рис.

1 растяжением графика

-2

получается

или растяжением в

оси Оу при

jf(X)

---f-;

т. п.) можно построить графики более

Рис.

4

Промежутки знакопостоянства и корни функции

Симметричное отображение

Числовые промежутки, на которых фун­

графика функции

1.

кция сохраняет свой знак (то есть остает­

График функции у =

f(-x) получается

симметричным отображением графика

ся положительной или отрицательной),

функции f(x) относительно оси Оу (рис.

Х

*

называются промежутками знакопостоян­

I I I I I I I I I

если

то с помощью некоторых преобразований

Если не существует такого положитель­

ства данной функции.

5).

у

О промежутках знакопостоянства той

или иной функции легко судить по ее гра­

фику. Значение аргумента х из той обла­ сти определения функции у, при которых

она обращается в нуль, т. е.

Х

f(x) = О, назы­ Х

ваются корнями данной функции.

L_~--------~-----------~

20

преобразования I 20. Геометрические графиков функций I = f{x) I I I I I 1. f(bx) I сжатием графика f(x) в Ь раз к оси Оу 1 I > 1 0< < 1 1). I I I ~

~

i ~X-l~ -1 I I ~

i I ~'();'X -1 I 1 I 2. af(x) График функции

всех х.

5

г----~-----------------I

Растяжение и сжатие графика функции

положительноечисло А, что If(x)l:5: А при

~

3

х,

ся ограниченной, если существует такое

~x)

2,

= tg

И У

= 1t •

гими словами: функция у

ным периодом Т.

2

х с периодом Т

2л

какого-либо положительного числа. Дру­

приведен график периодичес­

кой функции с наименьшим положитель­

2

= ctg

=

значениях аргумента не

ложительный период.

2.

у

Т

если ее абсолютное значение при любых

ке обычно рассматривают наименьший по­

При мер

х с периодом

Функция называется ОtраКUч'еккой,

конечное множество периодов. На практи­

5

= cos

х,

функции

всякая периодическая функция имеет бес­

На рис.

у

= sin

Ограниченные инеограниченвые

ется периодом функции. Следовательно,

I I

5

Рис.

Рис.

2

щим образом: та часть

графика функции

I

График функции f(x

lf(x)1

получает­ = f(x) следую­ графика у = f(x),

ся из графика функции у

Параллельиый переное

1.

5

2. График функции У =

которая лежит над оеью Ох, сохраняется,

+

а) получается

параллельныМ переноеом графика

f(x)

в

отрицательном направлении оси Ох на lal,

а та его часть, которая лежит под осью

Ох, отображаете" симметрично относи­

тельно оси Ох (рис. 6).

L _ _ ~ _ _ ~~_~--_--

-~-~_~

21

г-----------------~----I

,У!

~(x)

t

Рис.

3. График функции у = f

Ixl

из графика функции у

=

образом: при

график функции

х ~ О

f(x) следующим

у = f(x) сохраняется, а при х

< О получен­

ная часть графика отображается симмет­

рично относительно оси Оу (рис.

7).

Рис,

У

\

Теоремы логарифмов

9

Рис.

При м е р

ции у =

IxI­

Построить график функ­

1.

Построим график функции у

= х.

Часть

этого графика, лежащую над осью абс­ цисс,

сохраним,

а

часть,

лежащую

При м е р

I I I I I I I I

ции у =

2.

О,

а '#

числа

1,

Ь

>

loga О и с

Ь

>

и вер­

= logab + logac,

(1)

+ и(х),

О,

а '#

и Ь

1

>

loga

Ь

,

= и (х

то есть

logabC 11

11,

М(х) ~x

Пусть существуют числа

loga

(рис. 12).

и

Ь

Тогда существует число loga ё и верно

11

loga ...........2

ь

ё

= loga b -logac,

(3)

Теорема 4. Если основание а логариф­

х

АХ--+О

~

tjo

отличную от

12

нуля,

(4)

Построить график функ­

- 1

(рис.

а)

Ix -11 (рис. 10), у = Ix -11- 1 (рис. 11).

у =

О для лю­

u'(x)v (х) - и (х) v'(x) v 2 (x) u'v - uv' (vи J' = --v-

2- '

Тогда и(х) = и(х) {(х).

10g12 4 + 10g12 3 = 10g12 4·3

Найдем производную функции и(х) по

=

правилу

= 10g12 12 = 1;

дифференцирования

произведе­

ния:

48 log2 48 -10g2 3 = log2 3 =

= log2 16 = 4;

13

в) 19 13 - 19 130 = 19 = -1;

130 г) lоgз 81 = lоgз 92 = 21оg 9 = 2.2 = 4. б)

L

'#

и(х)

Примеры. Вычислим:

9),

и'(х) + и'(х).

Пусть f(x) = v (х) .

дующих функций:

у = х

=

~x

Доказательство.

6

logg 64 = 10g23 26 = з1оg2 2 = 2.

Последовательно построим графики сле­

АХ--+О ~x

тервала (а; Ь), причем v (х)

Короче,

Например, 10g2 4 = log2 3 43;

Ilx - 11- 11 .

Ах--+О ~x

имеют nроизводные во всех точках ин­

( и(х»)' v(x)

то значение лога­

logab = loga c Ь С ,

8

~x

бого х Е (а; Ь) , то

рифма не изменится: Рис.

~и

~x

I

I

'-----~----­ I 23. Производная частного

I Теорема. Если функции и(х) и и(х)

рифма, возвести в одну и ту же степень с,

~и

~x

Нт ~и + Нт ~и

ма и число Ь, стоящее под знаком лога­

-1

~x

двух функций

равенство

о

+ ~и

~и

АХ--+О ~x

Ь

+ v (х + ~x) - v (х) =

м(х) _ l'1т (~и -- +~и)_ - ­ f '( х ) -- l'1т -

разности

loga с , т. е. а > О, а '# 1 , Ь > О и с > О.

и (х)

--=---=-+-.

(2)

логарифмов делимого и делителя.

а часть его, ле­

метрично этой оси, получим график функ­

Ilx -11-11

=с logab,

+ ~x) -

Логарифм частного двух

положительных чисел равен

жащую под осью абсцисс, отобразив сим­

ции у =

3.

+

Найдем отношение

loga Ь С и верно

равенство:

Теорема

и(х)

=~и + ~и.

О. Тогда для любого

числа с существует число

Пусть {(х) =

найдем {'(х). Вычислим

М(х) = f(x + ~x) - f(x) =

= и (х + ~x) + v (х + ~x) - [и (х) + v (х)] =

произведению nоказателя степени на

>

х Е (а; Ь).

Доказательство.

Логарифм степени равен

2.

r

для любого

О.

с)

loga(b·

тервала (а; Ь), то

и

логарифм ее основания.

L_~--------------------~

22

>

loga (Ь . с)

8).

Рис.

т. е. а

Теорема

под

~1/' 7г

,

существуют

но равенство:

осью абсцисс, отобразим симметрично

этой оси (рис.

с

Логарифм про изведения двух

Пусть существует число

осью абсцисс на рис.

функции

[и (х) ± v (х) = и'(х) ± и'(х)

1.

Тогда существует число

Сохранив часть графика, лежащую над

Примеры построеиия графиков

I

а

Рис.

7

рифмов сомножителей. loga

~

двух функций

Теорема. Если функции и( х) и и( х)

имеют nроизводные во всех точках ин­

11

У! )Y-f(IХI)

Производная суммы и разности

положительных чисел равен сумме лога­

Пусть

10

22.

I I I

Теорема

~

получается

I

Логарифмирование

и потенцирование

-v ­

6

Рис,

21.

~

'Y=lf(x)1

~

x

г----~-----T-----------I

з

и' = (vf)'

I

= и'! + vf'.

Найдем из этой формулы (, подставив

f его значение:

вместо

I -и ~' I f' = и' - и'! = v = и'и - и'и ~ _ _ ~ _ _ ~ _ _ ~-~ и

-и

23

г----~-----------------I

г-----------T-----~----I

Таким образом, (и ± v)' = u'(ж) ± v'(ж) .

Производная алгебраической суммы

функций равна сумме nроизводных этих фу/t/щий (правило справедливо для любого количества слагаемых). Примеры:

(2х 3 + 3х -1)' = (2х 3 )' + (3х)' _ (1)' = =2(ж 3 )'+3(х)'-0=2.зх 2 +3=6х 2 +з; 1 (х3+/;)'=(х3)'+(/;)'=зх2+-. 2/;

I I I I I I I I I I I I

Логарифмирование

Прологарифмировать алгебраическое

выражение - значит выразить его лога­ рифм через логарифмы отдельных чисел,

входящих в это выражение. Это можно сделать, используя теоремы логарифмов.

Пример. Прологарифмируем з51:2 5а "Ь"

Х=-4---' а>О Ь>О с>О с (а+Ь) , , ,

т. е. найдем

Следовательно, Пример.

(э;:х J

(х 3 )' sin х - x 3 (sin х)'

sin2 х

зх 2 sin х - х 3 соэ х

sin 2 х

I I I

I

19 х .

,

/ ; < О, / ; $ -2. Первые два неравенства справедливы на множестве всех действительных чисел, вторые два

неравенства не

имеют реше­

ний, так как не верны при любом значе­

нии х из области определения (х ~ О).

(1):

Иррациональные неравенства по теоре­ мам равносильных преобразований заме­ няют системой или совокупностью сис­

О'

{2 _х < О;

[{

<=>

+ 2 ~ О.

Х > 2;

$2;

х

{(х - ;)(х - 2) ~ О. х

> 2'

Видим,

что первая система равносиль­

ной совокупности

не имеет

х>

~

Потенцирование

Теорема

Рис.

>

О, с

>

Решение. Используя формулы

(2), (1)

и

j

g(x)

<=>

Знак

[

теоремы

преобразования.

позволяют

допустимых

~ О.

установить

Данные

х ~

5;

х $

-2; 3

<=>,

х<1-.

5

Неравенство 24х2 - 77 х + 74 > О имеет отрицательный дискриминант

рат

довательно, это неравенство справедливо на

правую

и

левую

освободиться

части

неравенства,

от иррациональнос­

Необходимо

помнить,

что при возведе­

нии в степень может получиться, что об­

ласть

значений

неизвестного

исходного

неравенства будет только частью области значений неизвестного венства. водить

R,

т. е. х

На рис.

ти.

полученного нера­

мы

2

решения.

(D <

О), сле­

любое действительное число.

показаны три решения систе­

неравенств.

~з15

С

-2

Рис.

Поэтому необходимо всегда про­

проверку

L

3

х$-2;

х<-·

учи­

только ариф­

Х ~ 5;

метические корни. Затем возводят в квад­ чтобы

-_~

3х -10 ~ О;

8 5

область

значений неизвестного,

тывая, что рассматриваются

-

24х 2 - 77 х + 74 > О;

обозначает, что выполняются

равносильные

заме­

8 -5х > О.

3.

~ > JiW <=> {f(X) > g(x);

получим

1 неравенство

х 2 - 3х -10 < (8 - 5х)2; <=>

{ '(х) ~ О.

I (3), I 19x =lga2 -lgb5 +lgc~ = I 2 I = 19[a2 . c~ J-lg ь5 = 1g a ь?f3 5 • I 2 I Ответ: х = a ?f3 • I I I I I I

L_~--_-----~--_--

X2

g(X) < О;

Теорема

Решим неравенство

ним системой неравенств:

~ > g(x) <=> I '(х) > g2 x ;

О.

2.

~x2 - 3х -10 < 8 - 5х.

g(X) ~ О;

Найдем выражение для х.

(2; + 00).

Решение. По теореме

{

3 19 х = 21g а - 51g Ь + 71g с, О, Ь

Ответ: Пример

2.

обратное логарифмированию.

Пример. Дано:

х

2

1.

j

это преобраЗОВ8ние,

~

функции переменной х.

'(х) < g2(x).

-

х

2

f(X) ~ О;

~ < g(x) <=> g(x) > О;

Потенцирование

а

1) при

2.

Теоремы равносильных преобразований

-41g с -lg(a + Ь).

решения,

вторая система имеет решения (рис.

шению системы неравенств.

Теорема

2 неравенство заме­

х - ,

х - 3х + 2> (2 - х)2;

+lg(a+b)]. '(х) и g(x) -

I

2

тем неравенств, и решение сводится к ре­

2 = 195 + 31g а + S-lg Ь ­

>

{2 _ >

х 2 _ 3х

~х 2 + х + 1 > -2, ~х 2 + 1 > -1,

и раскроем скобки:

где а

Решение. По теореме

3х + 2 > 2 - х.

-

ним двумя системами неравенств:

тыре неравенства:

ь5

24

иррациональным.

тельно либо равно нулю. Рассмотрим че-

Выполним преобразования по формуле

19 х

называется

Иррациональное выражение имеет смысл только в том случае, если оно положи-

10' =[195+lga' + 10b~)­

(2)

Решим неравенство ~х 2

ство

Логарифмы произведений заменим сум­

-[lgС 4

Пример 1.

Определение Если внеравенстве присутствует ирра-

19 х = 19(5a 3 WЬ2) -lg [с4 (а + ь)]. мой логарифмов по формуле

24. Иррациоиальныенеравенства

циональное выражение, то такое неравен-

По формуле (3) запишем:

*

I I I - - - - - k - - - - - - ,I u'v - v'u I 2- . (vи J' = --v-

выражение

I I I I I I I I

Получим х $

-2.

2

Ответ:

(_00; - 2].

~-~

Шпаргалки по алгебре и геометрии

25

г-----------------~----I

I I I I

Пример 3. Решим неравенство + Jбх _ х 2 > 3

J9 - х 2

Можно выбрать любое значение из данного промежутка.

.

Решение: Jбх - х 2 > 3 -

J9 -

Если это значение удовлетворяет нера­

х2 .

венству, то и все остальные значения со-

Определим область определения данного неравенства:

j

б

2

воряют.

О

х 2 ~ О.

х- х ~ ,

90<

ответствующего промежутка ему удовлет-

{=>

х)(3 + х) ~ О.

х (б - х) ~ О,

{(3 -

<б

- х- , { -3 ~ х ~ 3.

{=>

0< -

х <3 -

{=>

бх - х 2 > 9 -

значение из проверяемого промежутка ему также

.

+ 9 - х2 ,

БJ9-х2 >18-бх; J9-x 2 >3-х; 9 - х 2 > (3 - х)2; 9 _ х 2 > 9 _ бх + х2, бх-2х 2

>0, х(3-х»0, откуда 1) х > О и 3 - х > О, значит О < х < 3;

2) х < О и 3 - х < О, не имеет решения. В ответ запишем те решения неравенства, которые входят в область определения неравенства; в данном случае все ре-

шения входят в область определения не-

равенства, это О < х < 3.

~

х 10 - х > х Решение:

1. ний

Рассмотрим неравенство

g(x) -

f(x) > g(x) на

непрерывные функ­

ции на отрезке от а дО Ь. Из

рис.

3

очевидно,

что

неравенство

g(x)

Рис.

х,Ь

3

Находим область допустимых значе­

дим

Решаем уравнение

~ 3 Рис. 4

f(x)

=

g(x)

и нахо­

корни уравнения, исключив посто­

.

4.

L.Ц

=:

и'.

Нт .:lu(x)

=:

'ДX~O.:lx

и'

ы~O

.:lx

ти. Таким образом, третье слагаемое при

получим О > 4, т. е.

.:lx

О получим О

~ О

т. е.

в) при х =

J10

по принципу непрерывнос­

значения

всех

трех

ром выполняется данное неравенство.

+(х

Ответ: (--/2; 3).

[(2х -7) х 2

Элементарная

J

=

2х

=6х 2 L

=:

4fБ'

при условии

и

и=х

(аХ)'

= аХ lпа,

а> О, а

(а И )'

'* 1

=е

=f (х)

=а

и

lпа· и',

а> О, а

'* 1

(е и )' = е и . и'

Х

(log a

+ 1;

=

2х 2

I Сложная ФУНКЦИЯ при условии

u =f (х)

и=х

(2х -7)'х 2 + (2х -7)(х 2 )' =

= 2х + (2х -7)· 2х промежутков.

3

4

Сложная ФУНКЦИЯ

ФУНКЦИЯ ПрИ УСЛОВИИ

ФУНКЦИЯ

r

2

_!

Формулы дифференцирования

ПрИ условии

2+Х +3 =

'4 Х

•

Элементарная

+ 3)(х - 2)' = 1 (х - 2) + (х + 3) . 1 =

=х -

=:

Производвые показательных функций

[(х + 3)(х - 2) = (х + 3)'(х - 2) +

Итак, есть лишь один интервал, в кото­

100х99

3

'4 х4

функций

f'(x) = и и'(х) + и' v (х).

Примеры.

=:

=:

Формулы дифференцирования

слагаемых,

получим

получим О > 4, т. е.

(x100 )'

~-1

3

х

=

I I I I I I I I

Производвые логарифмических

стремится к нулю. Подставив по­

лученные

> -6,

~ О

"х

(е Х )'

L.Ц

.:lx

(
I I I I I I I I I I

а .:lv~O,

межутков и О:

=

~

~ О:

если

L_~--------------------~ 26

u.Х

верки удобно взять крайние значения про­

Выполняем проверку неравенства на полученных

LlX~O

Нт ~.:lv(x).

ы~O

. .:lu(x) , 11т ~=:и,

промежутки.

из

+ 11т и(х) -л- +

L.Ц

щих себя по-разному при

чениЙ. Найденные корни разбивают отре­

каждом

11т и(х) ~

Ы~O

.:lu(x)

Третье слагаемое является произведени­

Наносим найденные корни на полу­

на

u.Х

ем двух переменных сомножителей, веду­

Получены три промежутка. Для про­

б) при х

I I I I I I I

М(х) =:

.:lv (Х).

4х 3 •

=:

(хn)' = nхn-1 ,

1т -л-

ы~O

bl~O.:lx

ченный отрезок области допустимых зна­ зок

l'

=:

Нт .:lv(x)

+(IO

(х 4 )'

(х-8 )' =: _8х-8 - 1 = -8х-9 •

По определению производной

неравенство неверно.

ронние.

3.

+

Выполняем проверку

= зх 2 + х 3 = 4х 3 .

Примеры.

.:lu(x)

корни

. х + х3

Таким образом,

+.:lu (x).:lv (х).

неравенство верно;

ний неравенства: [а; Ь].

2.

что

неравенства.

-J1O

= зх 2

Получим

+ .:lU(X») (и (х) + .:lv (х») ­ и (x).:lv (х) + v (x).:lu (х) +

.

неравенство неверно;

Поэтому решение неравенства выполня­

+ .:lv (х).

Общая формула:

f '() х

-J2 и + 3. На отрезок [-J1O; + J1O] наносим

а) при х =

х

(х 4 )' = (х3 х)' = (х3 )'х + х3 (х)' =

+ .:lu(x)

М(х) = (и (х)

=:

--[2

и(х)

=:

х4 •

=

Тогда

+~.:lv(x).

+-/2 и -3 - посторонние, т. е. уравнение

.

Найдем производную функции У Представим х4 как х 3 .х.

_ ( ).:lV (х) () .:lu(x)

--+

.:lx .:lx.:lx

.:lu(x)

имеет два решения:

-110

произведения.

М(х)

показывает,

4).

получить по правилу дифференцирования

и(х) и(х). Тогда

f(x) =

xn

туральным показателем степени можно

v'(x) + u'(х) v(x)

для любого ХЕ (а; Ь).

Доказательство.

= ±-/2 и хз 4 = ±3.

эти корни (рис.

r = u(х)

---их --+их

уравнение имеет четыре корня:

4.

ем по следующему алгоритму:

1.

[u(х) v(x)

-и(х) и(х) =

х 2 (10 - х 2 ) = (х 2 - б)2,

10х 2 - х 4 = х 4 - 12х 2 + 36,

х 4 - llх 2 + 18 = О, х 2 = 2 и х 2 = 9, т. е.

уравнения

Производная степенной функции у =

Производную степенной функции с на­

тервала (а; Ь), то

и v (х + .:lx) = v (х)

Находим область допустимых значе­

у

01

Теорема. Если функции и(х) и и(х) имеют nроиЗ80дные 80 всех точках ин­

Заменим и (х +.:lx)

-J1O ~ х ~ J1O.

3.

f(x) > g(x) выполняетсяна отрезках [а; хl) и (Х2; Ь], где график функции f(x) распо­ ложен выше графика функции g(x).

ах,

б.

2. Решаем уравнение xJ10-х2 =х2 -б,

х

элементарных функций

М(х) = и(х + .:lx) и(х +.:lx) - и(х) и(х).

10-х 2 ~O, (.J10-х)(.J10+х)~0,

тей

и

-

26. Производные

двух функций

Проверка по знаку левой и правой час­

Решение неравенств методом интервалов

f(x)

2

25. Производная 'Произведения

Пусть

удовлетворяет.

1,2.

Ответ: (О; 3).

[а; Ь], где

не

г----~-----T-----------I

I I I I I

Пример. Решим неравенство

Возведем в квадрат правую и левую части неравенства, получим ~ б,,9 - х 2

Если проверяемое значение не удовлетворяет неравенству, то и никакое другое

I I I I I

+ 4х -14х = 2

х)'

(lg х)'

=_1_ хlпа

=0,4343 х

(1пх)' =.!.

-14х;

х

~

(loga Ig и

и'

'

и) = - ­ ulпа

=0,4343 и' и

lnu =.!..u' и

~-~

27

г-----------T-----~----I Пример. Н~йдем производные следующих функции:

a)y=x+lnx;

б) у = 5 19x;

в) у = log2x.

I I I

к графику функции

Производная фун"ции в точ"е хо рав­

за звак производной

Постоянный множитель можно выно­

на тангенсу угла на"лона "асательной,

nроведенной

2,1715

х

х

­

нимает исходное положение ОА.

I

: м[%о;

= О· лх) + Cj'(x) = Cj'(x).

Производные

2

функций

Формулы дифференцирования

Элементарная

Сложная

функция

функция

u =х

при условии

u =f(x)

(sin х)' = cos х

(sin и)' = cos и . и'

(cosx)' = -sinx

(cos и)' = - sin u· и'

1 (tg х)' = --2­ cos х (ctg х)' = _ _1_ sin 2 х

о

х

%0

Примеры.

тригонометрических

*

Рис.

[5х J' '5 (х )' '5 ; [х: +2Х]' ~[x:]' +(2х)'= = 1

2

=. 2 х

k = tg а в

этом

смысл

1 зх 2 = в(х 3 )' + 2(х)' = 8 + 2.

=

1

Рис.

~: = {'(х).

lim

АОВ (обозначается

лучей с общим началом и ограниченной

называют угловым

k = tga

эффициентом

прямой,

-

а угол а

Если

О, то О

k >

<

случае функция у говорят,

(ctgu)' = __1_ u , sin 2 и

Если этом

что

k <

а

случае

2'

-2'

<

а

что

плоским

2),

<

он образован поворотом луча против ча­

в этом

совой стрелки, и отрицательным, если

он образован поворотом луча по часовой

прямая

стрелке.

вверх.

О (рис.

называется

углом.

Угол называется положительным, если

1).

Ь возрастает и

направлена

1t

говорят,

(рис.

+

= kx

прямая

О, то

<

1t

ими частями nлос"ости, "0­

углом

между этой прямой и осью Ох (рис.

1 (tg и)' = --2-и' cos и

аов).

Фигура, состоящая из двух различных

геометрический

производной.

Число

1

Лучи ОА и ОБ образуют плоский угол

Лх---)о u.л,

заключается

1).

сэ

1(%0)]

[СЛх)У =С,!(х) + Cj'(x) =

1

в) у' = xln2'

Сделав

положения против часовой стрелки, он

займет положение ОБ (рис.

~~c.~%) z:y=J(;

l(х )i о

постоянное число. Получим

Тригонометрическиефункции

I Градусное измерение углов I Пусть луч, выходящий из точки О, за­ I определенный поворот из этого исходного

~# ~~

у

Применим теорему о производной про­ изведения к выражению С {(х), где С

графи"у фун"ции в точ"е

с "оординатами [хо; {(Хо)]'

[Cf(x)J =Cf'(x).

5·0,4343

"

28.

плоского угла

Геометрический смысл производной

Вынесение постоянного множителя

(51g х)' = 5(1g х)' =

I

Уравнение касательной

27.

сить за знак производной:

а) у' = 1 + ..!.. _ х -х +1; х -

при условии

г----~-----T-----­

= (х 2 )' sin х + x 2 (sin х)' =

. 2 =2хsшх+х cosx.

I

Решение:

б) у' =

(х 2 sin х)'

3).

Плоские углы измеряются либо в граду­ сах, либо в радианах.

В

Угол, равный

направ­

1 360

лена вниз.

10, -

это угол, равный

части полного оборота луча во,,­

руг своей начальной точ"и.

~

..

'f."1 х

..

'1)'

'f.+

~ +Х

*

б

.~

~~

';-0 %

Рис.

28

~ _ _ ~

3

Пример. Найдем угол между касатель­

I

I

I

I

I

I

I

L_~

Рис.

2

ной к графику функции у (О; О) и осью Ох (рис.

= sin

х в точке

4).

I I I I I I I I

1

60

часть градуса называется минутой

(обозначают

1

60

часть минуты называется се"ундой

(обозначают 1").

Если стороны угла образуют прямую, то

такой угол называется развернутым.

Значение развернутого угла равно Если

луч,

~

-1 Рис.

~

L

4

==sinx

I I I I

I ~

вращаясь

против

1800.

часовой

стрелки, сделает полный оборот (т. е. зай­

мет прежнее место), то описанный им угол

называется

1 .. +

1').

полным.

Значение полного угла равно

3600.

При вращении от начального положе­

ния ОА дО любого конечного положения

(см. рис. ко

1)

полных

луч может совершить несколь­ положительных

или

отрица­

тельных поворотов, т. е. углы по абсо­

лютной величине могут быть сколько угод­

но большими.

~-~

29

г-----------T-----~----I Два угла называются равными, если равны их значения.

Радиаиное измерение углов Угол, равный

1 радиану, -

это угол, оnи-

рающийся на дугу окружности, длина КОторой равна радиусу этой окружности.

(~ из центра О и

2).

Если радиус окружности совершит пол­

ный оборот, то получится угол, равный

Если угол

функции при х

соэ х.

2х

1t

1о равна 360 = 180

а =

(2)

1t

Найдем радианную меру уг­

450, 600, -2250, 3000.

(1)

рассчитаем ра­

дианную меру углов:

45х

60х

1t

о

-225х

300х

5х

180 = 3 Пример

1t

2. 1t

5х

Найдем градусную меру уг-

2х

I лов 18; 9; 15; 3' (2) I I ~ . 180 = 100. ~. 180 = 200. '9 I 18 180 = 120. 2х. 180 = 1200 I ~. 15 '3 I I I

рассчитаем гра­

дусную меру углов:

1t 1t

4'

1t

1t

и

Свойства функции у

х

= sin

и ее график

График функции у =

синусоидой (рис.

х называют

sin

1).

делятся

на

1

+ Ь.

-1\

Так как

01

С

х

/1

+ Ь,

1.

у = {'(хо) х

+ {(хо) -

хо).

(1)

к графику функции

=

у

=

сов х

в точке с

1t

ее производной в точке хо = ~ .

{(хо) = СОВХо

радиус единичной

J3

= СОВ6" = 2' 1 =-2"'

получим

или

у=_!х+[JЗ +~) 2 2 12' Ответ. 'Уравнение касательной

если если

то а если

то а

00 < а < 900,

- угол 1 четверти; 900 < а < 1800,

- угол 11 четверти; 1800 < а < 2700, - угол 111 четверти;

2700 < а < 3600, - угол IV четверти.

•

где

~

к углу

Функция убывает от

8.

начальный радиус ОА перешел в

Точка Б имеет следующие координаты:

-1

на проме­

k Е Z.

=

1 в точках х =

j + 21tk,

k Е Z.

Наименьшее значение функции:

х = locl, у = IБсl·

. х Sln

отноше­

= -1

kE Z. 9. Функция

ние ординаты точки Б к радиусу единич­ окружности.

в

точках

х

3х + 2Хk , = "2

непрерывна и имеет произ­

водную при любом значении аргумента:

называется отноше­

(sin

ние абсциссы точки Б к радиусу единич­

L~~уж~ти.

до

Наибольшее значение функции:

sin х

положение ОБ (см. рисунок).

Косинусом угла а

1

3х + 21tk ] ,

[2"Х + 21tk; "2

Пусть при повороте вокруг точки О на

ной

R .

жутках

относятся ни к какой четверти.

называется

для всех х Е

[-j + 21tk; j + 21tk J. k Е Z.

Например, угол 4100 является углом

1 четверти, так как 4100 = 3600 + 500 и

00 < 500 < 900. 0 0 0 0 'Углы 00; ±90 ; ±180 ; ±270 ; ±360 , ... не

а

kЕ Z

5. Нули функции: sin х = О при х = 1tk, k Е Z.

6. Промежутки знакоnостоянства: sin х > О при х Е (21tk; 1t + 21tk), k Е Z, sin х < О при х Е (х + 21tk; 2х + 21tk), kE Z. 7. Монотонность функции:

Функция возрастает от -1 до 1 на про­ межутках

четверти.

Синусом угла

Функция периодическая с наимень­

sin (х + 21tk) = sin х,

называют углом этой четверти.

Очевидно, что при прибавлении

угол а

Область изменения (множество зна­

4.

целого числа оборотов получается угол той же

R

шим положительным периодом 2х:

Так, если

то а

множество

для всех х Е Н.

динатной четверти окажется радиус ОБ,

то а

6" .

Решение. Найдем значения функции и

1t

а

В зависимости от того, в какой коор­ угол а

-

- промежуток [-1; 1], значит, sin х - функция ограниченная. 3. Функция нечетная: sin (-х) = - sin х

О). При

(1;

в положение ОБ.

Пример. Найдем уравнение касательной

Область определения

чений)

окружности переходит из положения ОА

или

+ ('(хо)(х -

2.

IV

повороте на угол

{'(хо) хо

1

всех действительных чисел.

Точка А имеет координаты

Ь = {(хо) - {'(хо)хо.

Рис.

I

-1

III

{(хо) = {'(хо)хо

(1),

х,

У

II

равенство

хо

= sin

х и их графики

Осями коорди­

окружность

ординатами [хо; {(хо)]' можно записать

*

= cos

искомое уравнение, то

у=_!х+[JЗ+~) 2 2 12'

'

1.

у

т. е. уравнение каса­

L_~--------~-----------~ 30

плоскость

Свойства функций у

30.

1).

y=~-~(x-~)

Решение. По формуле

Рассмотрим единичную окружность, т. е.

I I I

касательная проходит через точку М с ко­

мулу

(рад);

(рад). 1t

функций

I

четыре четверти (см. рисунок).

Подставив найденные значения в фор­

-"4

Определения трнгоиометрических

нат

()' . 1t { 'ХО =-вlllхо =-Вlll6"

1t

180 = 4 (рад); 180 = 3" (рад); -225 = 180 =

острого угла

нат и радиусом, равным

тельной имеет вид у = {'(хо)

абсциссои

а180

Решение. По формуле

Тригонометрические функции

окружность с центром в начале коорди-

1t

задан в радианах, то его

градусная мера равна

1.

=

х равна

1t

= kx + Ь -

u

Пример

sin

29.

точке

arctg 1 = 4 .

у = (хо)

(1)

180 .

лов

в

Итак, уравнение касательной

(рад).

градусах, то его

ах

а

О.

=

k = tg а = {'(хо),

радианная мера равна

Если угол

х

tg а = {'(О) = сов О = 1,

откуда

3600).

а задан в

SШ

=

Производная функции {(х) =

ке М (см. рис.

заключенной между сторонами угла, к ра­

Радианная мера

У

(О; О), т. е. значение производной этой

Если у

R

кривои

ку дифференцируемойфункции {(х) в точ­

2

про из вольным радиусом

к

г----~-----T-----------I

Выведем уравнение касательной к графи­

отношение длины дуги АВ, описанной

2х рад (или

касательнои

Ответ: а

Радианная мера любого угла АОБ есть

диусу этой дуги (рис.

I

Решение. uНайдем у~ловой ~оэффициент

откуда

~~:JA Рис.

I I I

~

х)' = соэ х.

~_~ 31

г-----------T-----~----I Свойства функции у

=

соэ

=

сов

:r

и ее график График

функции

косинусоидой (рис.

у

Рис.

1. Область

х называют

2).

2

оnределенUJl

множество

-

R

всех действительных чисел. Область изменения (множество

2.

значений)

промежуток

-

значит,

[-1; 1],

cos х - функция ограниченная. 3. Функция четная: cos (-х) = cos

х для

функции

симметричен

отно­

сительно оси Оу.

4.

I

Функция

периодическая

О при х

=

с наимень­

2х:

х

хЕ

( "2Х + 21tk; 23х + 21tk ) ; 1

8.

Каждому углу

=1в

9.

точках х

1в

tg а

ctg а

и

=

2м,

k

лового

а

,

и

у

cos а ,

аргумента.

Функция

tg а

имеет смысл при любом

кроме значений

Рис.

±90 0, ±270 0, ±450 0, ... ,

ctg а

имеет смысл при любом

точках х

(cosx)' = -sinx.

2.

00, ±180 0, ±360 0, ... ,

про­

sina

О

cosa

1

Z .

tga

=

1t

+ 21tk, k Е Z •

I I I I I I ~

ctga

О

-

300

а

со­

600 1t

1t

3

"2

1 "2

J2

2

J3

1

J3

J2

J3

2

1 "2

1

J3

1

J3

3

рических функций углов, кратных

1800, 2700, 4500

R

tg х­

ее

положительным

периодом

Е

Z

х < О при х Е ( - ~ + 1tk; 1tk). k Е Z.

7.

Монотонность

8.

о

t

начале

1,

координат,

ра­

то ее координа­

ты удовлетворяют уравнению х 2 + у2 = R2. Подставив значения х и у, получим

sin 2 а + cos 2 а = 1.

tg а = J!.... х

(1)

а.

,

В

единичной окружности

ctg а = ~ . Подставив значения у

х и у, получим

на промежутках

kEZ.

tga = sina cosa;

(2)

ctga= cosa sina'

(3)

tg а = _1_ . tg а. . ctg а = 1 . (4) ctga ' Равенство (2) верно при всех значениях а , при которых cos а "# О. а равенство (3) верно при всех значениях а. при ко­ торых sin а "# О.

, 1 ( tgx) =--2-'

х

и т. д., можно

использовать единичную окружность (см. рисунок).

L

в

Тождество справедливо при любых зна­

области определения функции:

~

центром

которой равен

чениях

Функция nеnрерывна и имеет произ­

cos

с

R

ным тригонометрическим тQждеством.

водную при любом значении аргумента из

900,

sin а = у, ­

абсцисса точки В, у

Полученное равенство называется основ­

фуnкции:

возрастает

(-~+1tk;~+1tk).

диус

k Е Z;

tg

окружности

-

ордината.

ности

х:

для всех х из

х > О при х Е ( 1tk; ~ + 1tk).

где х

Так как точка В принадлежит окруж­

Функция периодическая с наимень­

Функция

-

единичной

ции.

tg

О

в

tg(-x) = -tg х

5. Нули функции: tg х = О при х = 1tk. kE Z; 6. Промежутки знакоnостояnства:

900

7t

2

Функция нечетная:

tg (х + 1tk) = tg х , k

4

J3

III множество

-

области определения функции.

7t

3

kE Z.

Область изменения

cos а = х ,

шим

6

2

:r

для всех х из области определения функ­

4.

Для нахождения значений тригономет­ например

1t

X="2+1tk,

3.

значение триго­

450

А

множество

-

всех действительных чисел, значит,

нометрической функции.

00

определения

функция неограниченная.

х

ФУНКЦИЯ

Область

1.

1

всех действительных чисел, кроме чисел

вида

на проме­

Е

а

получен радиус ОВ (см. рисунок).

функций

водную при любом значении аргумента:

32

радиуса ОА вокруг точки О на угол

являются функциями чис­

Каждому допустимому значению

Функция nеnрерывна и имеет произ-

L_~

sin а

этого угла. Таким образом,

Наименьшее значение функции:

сов х = -

четверти плоскости. Пусть при повороте

соответствует един­

единственное значение синуса и косинуса

О

-1

тождества

торые называют четвертями (или н:вад­

Значения тригонометрических

до

I

ственная точка В (х; у) и, следовательно,

Наu60льшее значение функции:

сов х

а

ответствует единственное

k Е Z.

1).

одного и того же угла

Основные тригонометрические

раnтами) и нумеруют их так же, как и

функции:

[21tk; 1t + 21tk],

и ее rpафик

Соотношения между

Единичная окружность осями коорди­

Аргумента

Функция убывает от

tgx называют тан­

32.

тригонометрическимифункциями

tg а = J!.... = sin а, ctg а = ~ = c~s а . х cos а у sш а

kEZ,

-1 до 1 на [-х + 21tk; 21tk], k Е Z .

= tg:r

График функции у =

I I I

нат Ох и Оу делится на четыре части, ко­

смысла.

Функция возрастает от

х,

Свойства функции у генсоидой (рис.

так как для этих углов дробь у не имеет

k Е Z.

tg

х и их графики

sin а = JL = у, cos а =.!.... = х, R R

О для всех

Монотонность

жутках

называется отна­

ctg

Таким образом,

а, кроме значений

1t

cos

межутках

а

шение абсциссы точки В к ее ординате.

*

="2 + 1tk, k Е Z.

XE(-~+21tk;~+21tk).

7.

Коmaшеnсом угла

Свойства функций у = у =

смысла.

6. Промежутки знакоnостоянства: cos х > О для всех

<

31.

называется отно­

у

cos (х + 21tk) = cos х, k Е Z. 5. Нули функции: х

а

шение ордипаты точки В к ее абсциссе.

Функция

шим положительным периодом

cos

Таnгеnсом угла

так как для этих углов дробь х не имеет

всех ХЕ В. График

I I I I I I I I I I I

г----~-----T-----------I

~

~-~

33

г-----------T-----~----I

Оно верно при всех значениях а, при ко-

I I

торых

I

Равенство

(4)

показывает, как связаны

между собой тангенс и котангенс угла а.

tg а

и

ctg а

Выведем формулы,

имеют смысл. выражающие

Свойства функции у

= ctg

г----~-----T-----------I

х

половинного угла

Формулы для тригонометрическихфун-

График функции у = ctg х называют котан-ген-соидой (рис.

2).

кций половинного угла легко получаются

соот­

из формул двойного угла:

ношения между тангенсом и косинусом, а

также

между

котангенсом

и

синусом

Тригонометрическиефункции

33.

и ее график

а

.

sш 2"

од­

~1 - соэ а

а

~1 + соэ а

= ± --2--; соэ 2" = ± --2--;

I I I I

быть выражены через функции угла а

I

помощью формул, которые называют фор­ мулами nриведен-ия.

1t 2 ± а,

1t ± а,

ного и того же угла.

Разделив обе части равенства

соэ2

(1)

на

а

а , получим

sin

2

а + 1 = __1_, т. е.

соэ2 а

Z;

t ~ - + /1 + соэ а

В этих формулах знак перед корнем опсоэ

~

(5)

Рис.

(1)

на sin 2 а . Получим

1.

\lo

1 + соэ 2 а 1_ sin2 а - sin2 а' т. е.

~

1

1 + ctg 2a = -'-2- . sш

ределяется по знаку четверти, которой а

а

Теперь разделим обе части равенства

(2)-(6)

Е

с g 2 --Vl-cosa' a;t:21tk, kE Z.

соэ 2 а

1 1 + tg 2a = --2- .

Равенства

;t: 1t (2k + 1) ; k

Область

оnределен-ия

-

множество

всех действительных чисел, кроме чисел

вида х

= 1tk, k

Е

-

множество

R

ctg х­

а

3.

также являются ос­

Функция н-ечетн-ая:

ctg

(-х) = -

ctg

ctg ~ = 1 + cos а 2 sina' a;t: 21tk, в правой части a;t: 1tk,

х

для всех х из области определения функ­

н-овн-ыми тригон-ометрическими тожде­

Функция периодическая с наимень­

4. шим

положительным

периодом

ctg (х + 1tk) = ctg х, k

Е

п,

т.

е.

34.

области определения функции.

5. tg

х = О при х

6.

Промежутки

ctg kE

х

>

Выведем формулу тангенса суммы двух

Е Z .

углов:

зн-акоnостоян-ства:

tg(a+~)= sin(a+~)

О для всех х Е ( 1tk ; ~ + 1tk ).

7.

фун-кции:

t ( ~) = соэ а соэ ~ g а+ cos а cos ~ cos а соэ ~ tg а + tg ~

=l-tgatg~·

жутков

(1tk ; 1t + 1tk) , k Е Z. Функция н-еnрерывн-а и имеет произ­

водную при любом значении аргумента из области определения функции:

,

О и соэ ~

1

;t:

О.

1t ;t: 2 (2k + 1),

~;t:

sin а sin ~ cos а соэ ~

34

~

~

~

L

а

а

1t ± а 1t

и

1

21t ± а , а в 31t

формулы

таблице

2­

для углов 2±а и 2±а

п+а

п-а

2п+а

2п-а

х

-sina

sina

sina

-sina

cos

х

-сова

-сова

сова

сова

tga

-tga

tga

-tga

ctga

-ctga

ctga

-ctga

х х

Таблица ФуНК­ ция

sin

1t

2 (2k + 1),

х

сов х

tg

х

ctg

~

х

1

AuгvмeHTX

sin

ctg

tg atg ~ ;t: 1 ; k Е Z. L_~

для углов

tg

соэ а соэ ~

t (а +~) = tg а + tg ~ , g 1-tg а tg ~

а

sш 2+ а соэа = (1t ) = _ sin = - ctg cos 2 + а

ctg(1t + а) = c~s(1t + а) = -c~sa = ctga. sш(1t + а) -sша

ция

Итак,

(ctg х) = - sin 2 х .

а)

~

Таблица

sin а соэ ~ + cos а sin ~

Функция убывает на каждом из проме­

8.

;t:

.

sш а

ФУНК­

Разделим числитель и знаменатель этой

лагая, что соэ а

Мон-отон-н-ость

~

дроби на произведение cosacos~, предпо­

kE Z;

)=-

Все формулы приведения сведем в две

_ sin а cos ~ + соэ а sin ~ - cosacos~-sinasin~'

х < О для всех х Е ( - ~ + 1tk; 1tk ).

а

=-соэа

таблицы, поместив в таблице

I

соэ(а +~)

z;

ctg

k Е Z.

и разности двух углов

1t = 2 + 1tk, k

sш а

1t

1t tg (2 +

Тангенс и котангенс суммы

Нули фун-кции:

а

sin(21t + а) =sina , cos(21t + а) = cosa sin(21t - а) = -sina , cos(21t - а) = cosa

-----~----­

Z для всех х из

а)= -sin а

соэ а, соэ

2-а

(

в левой части

ции.

ствами.

1t

COS(-2 +

с

)

cos 231t -

sina' a;t: 1t (2k + 1) ;

правой части a;t: 21tk, где k Е Z.

в

а

(31t

. sш

в левой части

функция н-еогран-ичен-н-ая.

а)= соэ а ,

sш

I

2

Область измен-ен-ия

2.

sin(2:2 +

31t

2 ± а и 21t ± а могут

I sш. (21- tа) = соэ а, соэ (21- tа) = sш. а I sin (1t - а) = sin а , соэ (1t - а) = - cos а

I . (31t) (31t) .

2 + =2 + =

tg~ = 1-cosa

Z.

всех действительных чисел, значит,

(6)

принадлежит угол 2"' а sina tg 2" = 1 + cos а' a;t: 1t (2k + 1) ; k Е Z

2

I

Формулы приведения

35.

Тригонометрические функции углов

2

AuГVJ ент Х 1t

2+

а

1t

2-

а

3п

т+

а

3п т-а

cosa -sina -ctga

sina

ctga

-cosa sina -ctga

-cosa -sina ctga

-tga

tga

-tga

tga

сова

~-~

35

г-----------T-----~----I Правила записи формул приведеиия

По табл.

1

и

2

легко проследить законо­

мерности, имеющие место для формул при­

так, чтобы он совпадал со знаком

сформулировать правила, с помощью ко­

торых можно записать любую формулу

т.

приведения, не прибегая к таблицам: Функция в правой части равенства

берется с тем же знаком, какой имеет

является углом

2.

Для углов

1

zt ± а

2п

±а

1t

"2 ± а

и

3п

2 ±а

если

"2 -

а

выразить

cos а =

тангенс).

1.

упростим выражение

tg (Зп -

2

Решение.

Угол (З2п - а) лежит в

III

~ " I четверти I I I а ).

окружности, тангенс угла этой четверти

вилу, название функции изменяется с тан­

tg

(3

1t

2

2tg~

-

лежит во

II

1).

Рис.

двух

и

[-1; 1] .

7t

до

"2'

принимая при этом все проме­

значения.

е.

1

с

-1::;

на

::; 1,

промежутке

~ ; ~] существует единственный корень sin х =

с, его называют аркси­

= arcsin

-1::;

с::;

1,

с.

на­

зывается угол х, лежащий на отрезке

[-

котангенса разности

~; ~ ] , синус которого равен с.

Математическая запись данного опреде­

arcsin 7t

где

7t

-"2::; х ::; "2 '

=

с

-1::;

с

sin

х, если

х

=

С,

::; 1 . Запись arcsin

с

читается так: угол, синус которого равен с.

ct (а + ~) = ctg а ctg ~ -1 , g ctga + ctg ~ а

что

ления такова:

~;t

хЕ

Функция монотонно возрастает от

4. Функция нечетная, т. arcsin (-х) = - arcsin х.

Арксинусом числа с, если

углов:

;t 7tk, ;t 7tk ,

Область изменения: у Е [ - ~ ; ~] •

жуточные

нусом числа с и обозначают х

Е Z .

суммы

2.

- 2"

= sinx

х уравнения

ctg (а + ~) = ctg а ctg ~ - 1 ,

ctga + ctg~

а

2

Рис.

[-

7t 7t ;t "2 (2k + 1), ~;t"2 (2k + 1),

котангенса

Область определения:

3. 7t

Х

1t

2

1.

Таким образом, для любого числа с, та­

кого,

_ tga-tg~ g (а -~) - 1 + tg atg ~'

приведенным выше, получим формулы для

= -cosa.

(рис.

~··················-+-1

2tg­

нус •.

а)

1

-i:

поэтому результат берется со знаком .ми­ ние функции сохраняется. Следовательно,

до

1t

-2

1+·····················~

у

х

~ ; ~] и принимает все у

Выполнив преобразования, аналогичные

Согласно второму правилу, назва­

-1

[-

-1:

х монотонно возраста­

sin

+ 1), k Е Z;

четверти. Ко­

синус угла второй четверти отрицателен,

cos(7t -

ет на отрезке

ctga=~, a;t7tk, kEZ.

tg atg ~ ;t 1; k а)

Функция у =

l-tg 2 ~

а

а).

у

у = sin х до отрезка [- ~; ~] .

l-tg2~

t

Решение.

Угол (п

%

х приведен

2.

х

= arcsin

значения от

1t (2k

arcsin

График функции у =

на рис.

Сократим область изменения функции

половинного

tga=-_2_, a;t7t(2k+l), kE Z;

2.

cos (п -

Функция У

Аналогично можно доказать, что

-а )=ctga.

Упростим выражение

тангенс

х

L.

промежутке

четверти.

2 -----~-----­

генса на котангенс. Следовательно,

Пример

через

1- tg 2 ~ 2, a;t l+tg 2

положителен, поэтому результат берется со знаком .плюс •. Согласно второму пра­

IV

а число с­

L,

= arcsin

и ее график

ние {(х) = с имеет единственный корень на

%

название исходной

косинус на синус, тангенс на котангенс,

Пример

или

II

Свойства функции у

цией на этом промежутке. Тогда уравне­

2tg~

sina = _ _2_, a;t 1t(2k+l), kE Z; l+tg 2

функции изменяется (синус на косинус, котангенс на

угол

а

"2

• минус. ,

.плюс., если

или Ш четверти, и знак

арккосинус

монотонно возрастает

любое из зцачений, принимаемых функ­

угла:

название

исходной функции сохраняется; для уг-

лов

ставится знак

1

но

четверти;

и

е.

угол

f

(или убывает) на промежутке

а

tg"2'

Тригонометрические функции угла мож­

исходная функция, если считать, что угол

а

36. Арксинус и Пусть функция

В формулах знак перед корнем берется

ведения. Эти закономерности позволяют

1.

г----~-----------------I

sina

ctg"2=I_cosa' a;t27tk, kEZ.

а

Значения арксинуса можно найти по

таблицам или пользуясь калькулятором.

Функция у

a;t - ~ + 7tk, k Е Z. ~;t 7tk, a;t ~ + 7tk, k Е Z. 7tk,

=

sin

х, х Е [-~;~] имеет

обратную функцию х

= arcsin

cos (а + ~) = cos а cos ~ - sin а sin ~;

t

g(

а+

угол ~

_ tg а + tg ~ .

~) - 1 - tg atg ~ ,

равным углу а.

Тогда получим тождества

sin

2а

= 2sin а cos а;

cos 2а = cos 2 а - sin 2 а.

у. Обозна­

чив, как это принято, аргумент через х, по­

меняем местами х и у. Получим у

= aгcsin х.

arcsin х

Таким образом, функцией у =

cos 2а = 2 cos 2 а - 1.

называется переменная величина, лежащая

на отрезке

L_~

36

~

7t [ -"2;

2"п] '

синус

которои ра­ u

~

37

г-----------------~----I 5.

График функции пересекает оси Ох и

= arccos х

Свойства функции у

Сократим область изменения функции

у

= cos

38.

таблицам или пользуясь калькулятором.

Оу в начале координат.

Функция у

г----~-----------------I

Значения арккосинуса можно найти по

х до отрезка [О; л]

= arccos

у = tg х до интервала (- j ;j) .

На отрезке [О; л] функция У = соа х мо­ нотонно убывает от

У

при

этом

все

1

до

-1

На этом интервале

и принимает

и монотонно убывающая

бого числа с в интервале (- j ;j) суще­

на нем от 1t дО О. Эта обратная функция

ствует единственный корень х уравнения

резке

х

-f1.·.·.·.·.· · · -·.·.·.~ Рис.

На этом отрезке функция у

- 1

до

1

(рис.

= cos

3).

х

[О; л]

х, то у

-1:5:

с:5:

cos

х

=

= arccos

1,

С; его на­

равен

:5:

л,

с.

nеременная

1).

ла с (рис.

= arccos

величина,

1. 2.

Функция

хЕ

х:

R.

монотонно возрастает от

1t

до

2 ' принимая при этом все проме­

жуточные

значения.

3. Функция нечетная, т. е.

arctg (-х) = - arctg х.

4. Функция непериодическая,

[О; л], косинус которой

-~

ограни­

ченная.

если

-1:5: х:5: 1; 0:5: х :5: 1t • = arccos х приведен

5.

График функции пересекает оси Ох и

Оу в начале координат и имеет две асим­

если

График функции у на рис.

= arctg

Область определения:

2

х

лежа­

х.

птоты:

4.

у

=-

1t

2

и

у

=

1t

2.

косинус которого равен с. у

-----:k-----­

II tg2a=~, (3) I 1- tg 2 а I 2 ct 2a=ctg a-1 (4) I g 2ctga Эти тождества называют формулами I двойного угла. I

I-----~----­ Арктангенсом числа с называется угол

х, лежащий в интервале генс

-1

о

Рис.

На рис.

4

1. 2. 3.

*

Функция У

х:

Область определения: Область изменения:

хЕ

у

у Е [О; л].

= arccos

х не

х

в точке х =

1t

= arctg

у

или

= arctg

величина

у,

х

ле­

j; j ), тангенс

=

х, х Е

arctg (tgx) =

х,

-

1t

на рис.

~

рических функций справедливы тожде­

/{о

ства:

при ХЕ

и

_

х

ctg (arcctg х) = х

arcsin( sin х) =

х при Х Е [ -

arccos (cos х) = х

при

arctg(tgx)=x arctg (ctg х) = х

j; j

J

при х Е [О; л];

XE(-j;j}

при х Е (О; л)

.

Эти формулы непосредственно следуют

сящихся К обратным функциям.

1t

= arctg

Для любого числа СЕ х приведен

[-1;1]

справедли­

вы тождества:

. с = - arcsln . ( -с) = arcsln

2.

(arccos х) =

R ;

с

L

и соа

[-1; 1]

При ведем еще несколько формул, отно­

R;

2<х<2 .

График функции у

тождества

Для прямых и обратных тригономет­

из определений обратных функций.

Из определения следует, что

х)

Основные тригонометрические

tg (arctgx) = х имеет

х.

1.

L_~--------~-----------~

(-

39.

при х Е

-2 < х < 2

nеременная

которой равен

tg (arctg а ось Ох -

1t

I I

sin (arcsin х) = х

х

х, если аргумент обозначать че­

жащая в интервале

График функции пересекает ось Оу

2'

= arctg

называется

является ни четной, ни нечетной.

В точке у =

при

Таким образом, функцией у

1t

ные значения.

1t

= arctg

рез х.

Функция монотонно убывает от

Заметим, что функция у

= tg х

обратную функцию

[-1; 1] .

дО О, принимая при этом все промежуточ­

4.

j ;j), тан­

и ее график

4

= arccos

(-

которого равен с.

Свойства функции у

х

наглядно отражены все свой­

ства функции у

I I

I I

I I I I I

1

Рис.

Используя формулы (1) и (2), получим

38

Свойства функции у

1t

cos(arccosx) = х, arccos (cos х) = х,

arccos С = х, если cos х = с, где -1:5: С :5: 1 . Запись arccos С чи­

тается так: угол,

Рис.

х = с, его называют арктангенсом чис­

Из этого определения следует, что

ления такова:

х

tg

у (чита­

1t

-2"

х.

щая на отрезн:е

Математическая запись данного опреде­

0:5:

= arccos

Таким образом, фующией у

зывают арюсосинусом числа С и обозна­ чают х

=arccos

называется

существует единствен­

ный корень х уравнения

:5: 1

зависимую переменную обозначить через

мо­

Таким образом,

для любого числа С, такого, что

на отрезке

У

ется: .х равен арккосинусу у.). Если не­

нотонно убывает и принимает все значе­ ния от

-1:5:

обозначается символом х

3

х

принимает все

действительныезначения. Поэтому для лю­

нозначная функция, определенная на от­ 1t

tg

функция у =

монотонно возрастает и

промежуточные значения.

Следовательно, существует обратная од­

i

= arctg х

Сократим область определения функции

х

и ее график

.

Арктангенс и арккотангенс

Функция у

21t - arccos с =

.

_______ ..1 =шс," .)1-,2' _

__

~_--! 39

г-----------------~----I Функция у

х

= arcctg

Сократим область определения функции

у =

х до интервала (О; х)

ctg

. На этом

тангенс которого равен

00

-

до

00

Свойства функции у =

и принимает все действи­

Функцией у

числа с из интервала (О; х) существует единственныйкорень х уравнения ctg х его

называют

(рис.

ар"котангенсом

=

с,

числа

с

= arcctg

Простейшими тригонометрическими

arcctg

уравнениями называют уравнения

х

х называется пере­

менная величина, лежащая в

(О; х)

интервале

, котангенс которой равен х.

График функции у

3).

на рис.

х

тригонометрическиеуравнения

с.

и ее график

тельные значения. Поэтому для любого

Простейmие

40.

та"ой угол х из интервала (О; п), ко­

интервале функция монотонно убывает от

+

г----~-----------------I

Ар"котангенсом числа с называется

= arcctg

х приведен

sin

I

х

=

с,

cos

х

=

с,

tg

х

Решение уравнения Функция у =

1.

ctg

с и

=

=

проме­

жуток [-1; 1], поэтому если 'сl > 1 ,то урав­

нение sin х = с решений не имеет.

4.

Прямая у =

2.

с пересекает синусоиду

бесконечное количество раз (рис.

1).

в)

sin

Рис.

sin х =

4

Icl $1

-----x------I arccos = = I t с I = "2 = g ,,1-с I arctg = -arctg = "2 - arcctg = I . = arcsin J1 + с 2 ' I II arcctg = arcctg = "2 - arctg = с

7t

1t - агссов (-с)

. с агсsш

с

агс

~.

2

7t

(-с)

с

с

с

(-с)

1t -

1t

.

= "2 .

вычисления значений обратных

цательных зуют

функций при отри­

значениях

следующие

промежуточные

аргумента

тождества:

arcsin (-с) = - arcsin с ; arccos (-с) = 1t - arccos с ; arctg ( -с) = -arctg с ; arctg (-с) = 1t - arctg с.

исполь­

I I I I I I I I

числа,

синус

с и

= arcsin

другие решения

Icl < 1

3) не является ни четной, ни нечетной, 7t

так как arcctg 1 = 4"

4)

два

это а

ния;

'а

arcctg ( -1)

3п

ось Оу в точке у тоты: у

=

О и

у

= arcctg

1t

="2

7t -

которых

равен

а

= 7t - arcsin уравнения sin х =

1

3х

, ...

общая формула которых

x=7tk, kEZ.

sin3x =

.

-~; б)

х

с,

с при

с- какое-либо

= arcsin

решение уравнения sin х

х пересекает

=

с при 'сl < 1.

Тогда все решения этого уравнения полу­

и имеет две асимп-

чаются по формулам

arcsin с + 27tk,

1t - arcsiIl с + 21tk,

х =

= 1t •

х =

О

(4)

sin2x =

О;

.

а) По формуле

(1)

3х = (-1)k arcsin( -~)+ 7tk,

Так как

arcsin(

х

kE Z.

-~ )= -~ , то

3X=(-1)k(_~)+7tk,

с. Все

получаются из двух найденных уг­

Итак, пусть а

непериодическая, ограниченная.

График функции у

х имеет

лов прибавлением периода.

=4 ;

L_~--_--~--~-----------~ 40

есть

значе­

kE Z;

= (-1) k ( - - п) + -1tk k Е Z 18 3' .

Учитывая, что

х) = (-1)k (-1)1t = (-1) k+l 7t , (-1) k ( - 18 18 18 получаем х = (_1)k+l ~ + 7tk, k Е Z; 3

18

(4)

= 7tk, kE Z; 7tk

б) по формуле

где

2х

kE Z.

Эти две формулы можно объединить в

Х=2' kEZ;

одну:

x=(-1)k arcsinc+27tk, kEZ.

3. ния

"27t ;

1t

тригонометрических

все

~

+ arccos с =

arctg с + arctg с Для

этом

с

=мссо, ~1: ,2 ; агсsш с

монотонно убывает от 1t до О, прини­ при

= sin

видно, что при 'сl < 1 на отрезке [О; 2х]

ловой прямой;

2)

с имеет бесконечное количество кор­

ния в пределах этого периода. Из рис.

1) определена и однозначна на всей чис­

мая

уравнение

период 2х, то достаточно найти все реше­

свойства:

3

Рис.

1).

Решение.

1

ней. Так как функция у

х имеет следующие

а)

~

(1)

Рассмотрим частные случаи уравне­

sin sin

х = с:

х =

1.

Прямая у

и синусоида

= 1

имеют бесконечное количество общих то­ чек (см. рис.

ч

В пределах одного периода х

х

sin

х

"2 . Учи-

х

"2 + 27tk ,

=

= -1.

sin

7t

Прямая у

= 1:

чек (см. рис.

1).

х

~ = .:: + 21tk kЕ 2 2 '

1

(2):

z·,

x=1t+47tk, kE Z.

1.

Функция у

= cos

cos х -

х

= с ограниченная.

Так же как и в предыдущем случае, полу­

чаем, что при

Icl > 1

уравнение

cos х

=

с

решения не имеет.

k

Е

Z.

= -1

(2)

и синусоида

имеют бесконечное количество общих то­

L

и воспользуемся формулой

Решение уравнення

1t

=

тывая периодичность синуса, запишем все

б)

.

в) преобразуем уравнение к виду sш 2" =

1).

решения уравнения

(3)

Решениями уравнения будут О, х, 2х,

в) SШ2"-1=

Это означает, что при

= arcctg

k Е Z.

О. Прямая у = о и синусоида

=

Пример. Решим уравнения:

lI-arcСtg% Рис.

3л

2 + 21tk,

= -1:

имеют бесконечное количество общих то­

а)

Функция у

х

чек (см. рис.

2п х

" 21"

периодичность синуса,

запишем все решения уравнения sin х

х =

ограниченная,

-

3х

2 . Учитывая

с.

х = с

sin sin х -

так как область ее изменения

i

х

=

В пределах одного периода

2.

При

Icl $1

уравнение имеет беско­

нечное количество решений. Из рис.

2 вид­

но, что в пределах одного периода уравне­

ние

cos

х

=

а имеет два корня: а и -а. ~-~

41

г-----------------~----I У!

1(- со""

1

у

- 1

E~ 7'к -а-2n: a-21t~ О ~ 70.+2П2 а-+-2п -211:

11:-0.

8п

--

~-2

Рис.

7t

-

_

311:

1t

2---~

2

Все решения уравнения у =

cos х

запи­

сываются двумя формулами:

х = а

+ 21tk ,

х = -а

Их объединяют в одну формулу, учиты­ вая, что

= arccos

а

х

=

с записываются формулой

х

5" = 21tk, =

О и х

1t

(

2). В пределах одного перио­ = 2п. С учетом периодичности

х

= 1.

Получим

х б)

cos х = -1.

Прямая у

2).

и косинусо­

= -1

В пределах одного пе­

риода х = п. С учетом периодичности ко­ синуса

х

cos

запишем

= -1.

1t

cos х =

решения

уравнения

+ 21tk,

k е Z.

=

такие

Все решения уравнения

= 16 + 4""'

Решение уравнений

ctg

Рис.

Теорема

и

же

координаты,

как

и

-

множество

R

(8)

tg

х

=

с и

х

ctg

=

А!

Пример. Решим уравнения

1

2";

а)

cos 2х = -

в)

cos8x=-1;

б)

х

cos 5" = 1 ;

г) COB(4X-~)=O.

По определению скалярного произведе­ векторов,

заданных

координатами

векторов,

ОВ· ОС = Х1 Х 2

+ У1У2'

Из определения тригонометрических функ­

ций в единичной окружности, имеем:

.

Х2

-2

Х1

=сов ~ ; =сов а ;

=sin ~ ; У1 =sin а .

3

котангенсаон равен п) прямая у кает

тангенсоиду

и

tg

один раз, т. е. уравнения имеют

одно

решение

в

х

=

с,

пределах

= arctg с

ния

и угол а1

а) Корни уравнения сов 2х = - ~ най­

для уравнения

2х = ± arccos ( - ~ ) + 21tk, k е Z.

tg

х = с (рис.

ctg

3) х

=

ctg

с (рис.

х

=

жить нес"оль"о равных отрез"ов и че­ рез их "онцы провести nараллельные nря:

/{о

мые, то эти прямые отсе"ут на второи

43.

прямой равные между собой отрез"и.

wн­

изведению

х

= arcctg с + 1tk k

+ sin asin~.

(1)

АА 1 11 BВJ. 11 СС1 C1D 1 (рис. 1).

"осинусов этих углов

плюс

Отрезки

ми,

Из формулы

(1) легко

е

Z .

L_~--------------------~

L

= сов а сов ~

- sin а sin ~ .

= CD

и

11 DD], , то А 1 В 1 = В 1 С 1

=

называются

=

ВС

nроnорциональны­

пропорциональны

их длины.

Отрез"и называют nро­

nорциональными.

если

nроnорциональны

их длины.

= сов а сов (-~) + sin а sin( -~) =

(10)

если

Определение.

cos (а +~) = [cos а - (-~)] =

(9)

1

Теоремы о пропорциональных отрезках

получить формулу

косинуса суммы двух углов:

arctg с + 1tk , k е Z ;

}

Рис.

Косинус суммы двух углов

нием периода:

B1

Таким образом, если АВ

произведение синусов этих углов.

= arcctg с 4). Все ос­

тальные решения получаются прибавле­

х =

~

А}

Косинус разности двух углов равен nро­

для уравне­

Теорема Фалеса

LBOC = а - ~, по­

сов(а -~) = совасов ~

одного

2

~

лучим

с

В

Теорема. Если на одной прямой отло­

Так как длина радиуса единичной окруж­

только

\

I-----~----­

IOBI·IOcl· сов LBOC .

ности равна единице, а

с пересе­

=

котангенсоиду

периода. Это угол а

(5):

4

Рис.

~(

I I I

У2

ОВ . ОС =

В пределах одного периода (у тангенса и

Решение.

дем по формуле

~(ф о Рис.

с

имеют решения при любом с.

Рис.

отрез"у, то

м

координа­

деляется формулой

Z ).

"

она равноудалена от его "онцов.

действительных чисел.

Поэтому уравнения

1t

1t

1

Если точ"а лежит на сере­

динном nерnенди"уляре

ОС. Координаты точки

Скалярное произведение векторов опре­

2" + 1tk , ( k е

1.

Область изменения тангенса и котанген­ са

Х = ±2"+21tk

42

~

D

х = с

так:

или х =

обозначен С. П.)

А

А

х = с н

tg

том периодичности косинуса записывают­ ся

ОВ

k е Z.

(7)

О с уче­

2

k е Z, 1tk

косинусоида имеют бесконечное количе­

2). cos х =

и

ты точек В и С.

о (ось Ох) и

ство общих точек (см. рис.

1

и на

В равны Х1 и У1' координаты точки С

ния

О. Прямая у

проходящая через его середину, называет­ ся серединным nерnенди"уляром к нему.

равны Х2 и У2' Векторы ОВ и ОС имеют

1t

х

а

(см. рисунок). Получим радиусы

векторов

Z;

3п

от концов отрезка

Прямая, перпендикулярная к отрезку и (На рис.

ОВ и ОС. Найдем скалярное произведение

Получим

х = 1t в)

все

угол ~

(6)

ида имеют бесконечное количество общих точек (см. рис.

Z;

(8)

2" + 4" + 1tk,

откуда

= 21tk, k е Z.

е

ности вокруг точки О на угол

4х - ~ ) = %+ 1tk, k е Z;

4х =

Свойства точек, равноудаленных

функции этих углов.

+ 21tk, k е Z;

косинуса запишем все решения уравнения

cos

keZ;

42.

Косинус разности двух углов

= 101tk, k

г) по формуле

I I I I

Повернем радиус ОА единичной окруж­

1tk

Х=8+4""' ke

имеют бесконечное количество общих то­

=

нометрические функции суммы и разно­

(6)

1t

чек (см. рис. да х

Выведем формулы, выражающие триго­

k е Z,

в) по формуле (7)

(5)

3. Расмотрим частные случаи уравнения cos х = с: а) cos х = 1. Прямая у = 1 и косинусоида

Формулы сложения

ke Z,

откуда х

Косинус и синус

суммы и разности двух углов

сти двух углов через тригонометрические

1t

б) по формуле

8х

= ± arccos с + 21tk, k е Z.

2п

±"3 + 21tk,

х=±з+1tk,

х

Таким образом, все решения уравнения

cos

получим 2х =

с, т. е.

= ±а + 21tk = ± arccos с + 21tk, k е Z.

х

41.

arccos(-!)= 1t - arccos! = 1t _ 2: = 2п 2 2 3 3'

откуда

+ 21tk , k е Z.

г----~-----T------­

Вычислив

~

~_~

43

г-----------T-----~----I Возьмем произвольную точку М на сере-

динном перпендикуляре (рис. 2) и соеди-

ним ее с концами отрезка АВ. Серединный перпендикуляр пересекает отрезок АВ в точке О; /;. АОМ равен /;. БОМ по первому

(ОА

признаку

=

ОБ, ОМ

равенства

-

=LБОМ = 90'). от

2.

концов

=

ведепию косинусов этих углов минус nро­ изведение сипусов этих углов.

она

По условию теоремы МА

2).

лежит

=

МБ

Поэтому треугольник АМБ

-

рав­

=cos(j-a

падает с серединным перпендикуляром. А

динном перпендикуляре.

Теорема. Параллельные прямые, nере­

2

угла,

отсекают

1

cos (-

а

cos

-

~)

~

~)

~)]

+ (-

+ cos

- cos

а

а

sin (-

sin

~)

=

1

и ББ

1

1

2

2

2

4

треугольника:

+Ь>

а

+ с> Ь,

сти двух прямых, связанные с этими па­

Ь

+с>

рами углов.

Каждая сторона треугольника меньше

Если при пересечении двух

1.

11

t

Ll = L2

(рис.

A

Ь

3).

а

2

-

Дока­

2

Рис.

3

а

11

А/

2

2

2

~

по одной стороне и двум углам;

по двум сторонам и углу между ними;

по трем сторонам.

Треугольник однозначно неопределен по

трем углам, так как с одинаковыми угла­

ми а,

~,

у можно построить сколь угод­

но много не равных треугольников. Полу­ ченные треугольники будут подобными,

Ь

но не равными.

В

Рис.

'

Любой треугольник считается заданным

трем элементам:

Aa

В

а.

(т. е. можно его построить) по следующим

~~

75° и sin 750. 75° в виде суммы

с,

суммы двух других сторон.

Ь.

Соотношения между сторонами

4

и углами треугольника

I

1.

Против большей стороны лежит

больший угол.

2.

4

Против большего угла лежит боль­

шая сторона.

Ь./2

44

и

=! ..J2 + J3 .J2 =.J2 (1 + JЗ). 2

L_~

4

а

жем, что а

sin 75° = sin (30° + 45°) = = sin 30° . сов 45° + cos 30° . sin 45° =

параллельны

димо и достаточно выполнение неравенств

щие углы равны:

. .J2 _! . .J2 =.J2 (JЗ -1)' 2

накрест лежащие углы:

Доказательство.Пусть при пересечении

30° + 45°. cos 75° = cos (30° + 45°) = = cos 30° . сов 45° - sin 30° . sin 45° =

= J3

Для существования треугольника, зада­

ваемого тремя сторонами а, Ь, с, необхо­

прямых а и Ь секущей АВ накрест лежа­

Пример. Вычислим cos Решение. Представим

Неравенства треугольника

2 обозначе­

равны, то прямые параллельны.

косинуса.

сторона а

односторонnиеуглы:

Теорема

Приведем примеры использования фор­

и

При пересече­

прямых секущей накрест лежащие углы

называют формулами

1 в треугольнике АВе

стороны а лежит угол а. Аналогично Ь

Рассмотримтри признака параллельно­

синус второго.

С

1

лежит против ~, с против у.

2и6,3и7.

~

мул сложения.

пропорциональны отрезкам ОА и ОБ

ОА, то прямые АА

на

(1)-(4)

сложения для синуса и

и лежат соответственно на лучах ОА

На рис.

3 и 5, 4 и 6; 5, 3 и 6; соответственныеуглы: 1 и 5, 4 и 8,

=

= sin а cos ~ - cos а sin~. (4)

первого угла

Формулы

Обратная теорема. Если отрезки ОА 1 и

2).

а

[(а

нус второго минус произведение косину­

2

2).

восемь углов, которые на рис.

синус второго.

= sin

sin

са

Ь

нии прямых а и Ь секущей с образуются

изведению синуса первого угла на коси­

.

Рис.

(см. рис.

ет их в двух точках (рис.

(3)

Синус разности двух углов равен nро­

о:>А ОБ 1

на

= sin

(а

A~

лежит против угла а и, наоборот, против

циальные названия:

sin

параллель­

c~

Рис.

1

ны цифрами. Пары этих углов имеют спе­

~)

ка.

Рис.

второго плюс произведение косинуса пер­

-

ются основными элементами треугольни­

а

дению синуса первого угла на косинус

(а

ми). Стороны и углы треугольника счита­

ь

Прямая с называется секущей по отно­

Итак,

на

отрезки.

прямые АА 1 и ББ

1°ВJ.I-IОБI

Рис.

Синус суммы двух углов равен произве­

=

ны. По сформулированной теореме

IOA11_IOAI

=t

)cos~+sin(j-a)sin~=

*

-----~

На рис.

(1):

sin (а + ~) = sin а cos ~ + сов а sin ~.

sin

ник с тремя углами (и с тремя сторона­

в

шению к прямым а и Ь, если она пересека­

вого угла

треугольника

Треугольником называется многоуголь­

параллельны.

Итак,

I I I I

I

45. Основные свойства

пендикулярны к третьей прямой С, то они

= sin а сов ~ + cos а sin ~ .

это означает, что точка М лежит на сере­

nроnорциональные

мые а и Ь, перпендикулярные к прямой с.

=cos((~-a)-~)=

высотой. Следовательно, прямая ОМ сов­

Ь. На рис. 1 изображены пря-

11

I I I I

Если прямые а и Ь не пересекаются и пер­

угольника медиана является также и его

них

ют так: а

sin(a+~) =cos(j-(a+~»)=

(см.

аной. По свойствам равнобедренного тре­

стороны

Параллельность прямых а и Ь обознача-

углов

мулы приведения и формулу

на

нобедренный. Отрезок МО является меди­

секающие

они не пересекаются.

сти двух углов получим, используя фор­

серединnом nерnендикуляре к нему. рис.

сти называются nараллельnыми, если

Формулы синуса суммы и синуса разно­

МБ.

то

Определение. Две прямые на nлоско-

(2)

Косинус суммы двух углов равеn nроиз­

двух

Если точка равноудалена

отрезка,

cos(a+~)=cosacos~-sinasin~.

Синус суммы и синус разности

Из равенства треугольни­

=

44. Признаки паpaJIJIeJIЬНОСТИпрямых

Итак,

треугольников

общая сторона, LЛОМ

ков следует, что МА

Теорема

I I I

г----~-----T-----------I

~

L

h6

I

3.

Против равnых сторон лежат рав­

nые углы, и, обратно, против равных

~_Н1 _ _ ~ис.~~угловлежатравныест~оnы~-~ 45

г-----------T-----~----I Соотношения между внутренними и внешними углами треугольника

1. Сумма внутренних углов треуголь-

ника равна

180·.

L а + L ~ + L'Y = 1800. 2.

Сумма двух любых внутренних уг-

лов равна внешнему углу треугольника. смежному с третьим углом. Например, на рис.

2 L DCA = L 1 + L 2.

A~B Рис.

3.

2

Стороны и углы треугольника свя­

заны между собой также соотношения­ ми, называемыми теоремой синусов и косинусов.

I I I I

Если углы

1 и 2 прямые (рис. 4),

то пря­

г----~-----------------I должение. Отрезок

Медианы

и, следова:ельно, параллельны. Рассмот­ Из середины О отрезка АВ проведем пер­

резок, соединяющий вершину треуголь­

прямой Ь от точки В отложим отрезок

роны.

пендикуляр ОН к прямой а (рис. 5). На

следует, что точка Н

ки Н, О И Н

ны АЕ

поэтому они параллельны.

2.

Если при пересечении двух

ющейся центром масс треугольника.

*

1.

C~B

Медианы треугольникаточкой пере­

СО

Рис.

Медиана делит треугольник на два тре­

Например,

S",EAВ = S",CEB;

S",CAD = S",DAВ;

нии прямых а и Ь секущей с соответствен­

L 1 = L 2

Так как углы 2 и 3 - вертикаль­ L2 = L3. Из этих двух равенств следует, что L 1 = L 3. Но углы 1 и 3 ­

веденной к стороне а, вычисляетсячерез

накрест лежащие, поэтому прямые а и Ь

стороны а,Ь.с треугольникапо формуле

6).

Длина та медианы треугольника, про­

3.

Если при nересе'lении двух

прямых секущей сумма односторонних

Высоты

углов равна 180·. то прямые параллельны.

Рассмотрим некоторый тупоугольный

Доказательство. Пусть при пересечении

треугольник АВС (рис.

2).

прямых а и Ь секущей с сумма односто­

ронних углов равна

180·, например L 1 + L 4 = 180· (см. рис. 6). Так как углы 3 и 4 - смежные, то L 3 + L 4 = 180·. Из

1и 3

Свойства прямоугольного треугольника

Если один из углов треугольникаявля­

ется прямым, то такой треугольник назы­ щая против прямого угла. называется ги­

потенузой, а две остальные стороны

­

катетами.

ь~ а

А

Катеты а, Ь и гипотенуза с (см. рису­

нок) связаны между собой соотношением, называемым теоремой Пифагора:

этих двух равенств следует, что накрест

лежащие углы

-~­

47.

t

2 +2с 2 -а 2 • та =!J2b 2

параллельны.

Теорема

I I I

вается прямоугольным. Сторона, лежа­

S",AFC = S",FBC'

ные, то

3

ВО

угольника, равных по площади.

6

Доказательство. Пусть при пересече­ ные углы равны, например

АО

2 OF = OD = ОЕ = l'

2. Рис.

D

: 1 (считая

от вершин треугольника):

а

AD,

опущены на стороны треуголь­

ника и лежат внутри треугольника.

Основные свойства медиан треугольни­

сечения делятся в отношении 2

(рис.

BF и СЕ -

ка:

ь

В остроугольном

3).

треугольникеАВС все три высоты -

Медианы пересекаются в одной точке

равны. то прямые параллельны.

­

опуще­

Рассмотрим некоторый остроугольный

1 отрезки AD, ВЕ и CF - медиа­ треугольника АВС, т. е. BD = DC, = EC.AF = FB.

О, лежащей внутри треугольника и явля­

BF

и лежат вне треугольника,третья высота

треугольник (рис.

прямых секущей соответственныеуглы

и

СЕ пересекает сторону треугольникаАВ.

На рис.

мой НН

AD

ны на продолжениесторон треугольника

Рис.

следует, что угол

чит, прямые а и Ь перпендикулярны к пря­

Теорема

В тупоугольном треугольнике АВС

Е

лежат на одной прямой, а из

равенства

называется основанием nерnенди­

три высоты: две высоты

A~C

Из равен­

D

кул.яра.

F4\D

равны по двум сторонам и углу между

ства

этом основаниемтреугольникаАВС,а точ­ ка

резок ОН1. Треугольники ОНА и ОНIВ

и

ние стороны ВС, называют высотой тре­

в

I I ними (АО = ВО. АН =ВН1, L 1 = L 2), L 3 = L 4 L 5 = L 6. I L 3 = =L 4 1 I лежит на продолжении луча ОН. т. е. точ­ 1 I L 5=L 6 6­ I прямой (так как угол 5 - прямой). 3на­ 1. I

перпеНдfкуляра,

угольникаАВС,сторону ВС называют при

ника с серединой противоположной сто­

I ВН 1 равный отрезку АН, и проведем от­

AD

опущенного из вершиныА на продолже­

Медианой треугольника называется от­

рим случаи, когда углы 1 и 2 не прямые.

поэтому

лежащую этой вершине, или на ее про­

46. Свойства линий треугольника

мые а и Ь перпендикулярны к прямой АВ

равны, поэтому пря­

II

мые а и Ь параллельны.

~B

'(

Рис.

а2

+ Ь2

= с2 •

2

Из каждой вершины треугольника опу­

L_~ ~­

46

~________

---

....J

L~~рпендикулярн~рон~оти~~

~_....J

47

г-----------------~----I В прямоугольном треугольнике катеты

Три биссектрисы СР,

AD,

ВЕ треуголь­

являются также и высотами. Три прямые,

никаАВС пересекаютсяв одной точке О,

содержащие разные высоты треугольни­

лежащей внутри треугольникаи являю­

ка, всегда пересекаются в одной точке,

щейся цен-тро.м вnисан-н-ой в треугольн-ик

называемой ортоцен-тро.м треугольн-ика.

окружн-ости(рис.

г----~-----T-----------­ 48.

ном

-

вне треугольника;

в

Треугольник называется равн-обедрен-­

н-ы.м, если две его стороны равны. Равные

Определения Пусть АВС

остроуголь­

-

стороны называются боковы.ми сторон-а­

прямоугольный треуголь­

.ми, а третья сторона

ник С прямым углом В и острым углом при вершине А, равным а (рис.

прямого угла. Высота треугольника, опу­

-

осн-ован,ие.м рав­

нобедренного треугольника (рис.

1).

1).

До­

кажем две теоремы о свойствах равнобед­

А

щенная на сторону а треугольника, обыч­

ha

Свойства равнобедренного

I

нике ортоцентр совпадает с вершиной

Высота

49.

и равностороннеготреугольников

треугольнике

4).

внутри; в прямоугольном треуголь­

но обозначается

I

и углами в прямоугольном

В тупоугольном треугольнике ортоцентр лежит

Соотношения между сторонами

ренного треугольника.

h a •

треугольника вычисляется

Рис.

через стороны а, Ь, с треугольника по фор­

4

Осн-овн-ые свойства биссектрис тре­

муле

угольника:

h = 2.jp(p-a)(p-b)(p-c) , a где р =

1.

а

"21 (а + Ь + с) -

Биссектриса делит противоположную

сторону на части, пропорциональные при­

лежащим сторонам. Так, на рис.

полупериметр тре­

IAEI _IAВI. IBDI = IAВI. IECI - IBcl' IDCI IAcl'

угольника.

Биссектрисы

2.

Отрезок биссектрисы внутреннего угла

в

отношении,

называется биссектрисой треугольн-ика.

Центр окружности, описанной около прямоугольного треугольника, лежит на середине гипотенузы.

Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов:

S =

!аЬ. 2

I I I I

1

Рис.

Сикусом угла а н-азываетсяотн-оше­

пропорциональном

ВС

ренный треугольник АВС с основанием ВС

АС'

и докажем, что

шен-ие прилежащего катета

В

= L

С. Пусть

AD ­ 2).

к гиnоте­

А

н-узе:

АВ

cosa=­

Средней линией треугольника называ­

АС'

ется отрезок, соединяющийсерединыдвух

Тангенсомугла а н-азываетсяотн-оше­

сторон треугольника.

н-ие противолежащего катета к nриле­

в

"""""":E \............

Рис.

На рис.

ВС

tga= АВ'

С

Котангенсом угла н-ошен-ие

а

прилежащего

катета

к

Средняя линия треугольника равна по­ исходного подобный треугольник, пло­ щадь которого относится к площади ис­

ходного треугольника как

1 : 4.

Рис.

Треугольники AВD и

ctga = ВС'

(АВ

=

рона, Значения синуса, косинуса, тангенса и

I I I I I I I

J

котангенсадля углов 300,

450

и

600

Рассмотрим прямоугольный треугольник

АВС

с

прямым

углом

LA = 300, LB = 600

С,

(рис.

у которого

2).

IL

АС по условию,

L 1 = L 2,

AD - общая сто­ AD - биссект­

так как

риса). Из равенства этих треугольников следует, что

L

В

=L

С. Теорема доказа­

на.

Теорема

2.

В равн-обедрен-н-о.м треу­

гольн-ике биссектриса, nроведен-н-ая к ос­ той.

~ 300

равны по пер­

н-ован-ию, является его .медиан-оЙ и высо­

С

А

2

ACD

вому признаку равенства треугольников

нии.

ловине его третьей стороны и отсекает от

\ С

<5t4

nро­

АВ

средние ли­

В(

н-азывается от­

тиволежаще.му:

5

5 DE, ЕР и FD -

~

жаще.му:

F

48

L

биссектриса треугольника АВС (рис.

Косикусом угла а н-азывается отн-о­

* ~

~

В равн-обедрен-н-о.м треу­

Доказательство. Рассмотрим равнобед­

.

Slпа=­

-IBCI'

1.

1

гольн-uке углы при осн-ован-ии равн-ы.

nотен-узеАС:

Средние линии

А

L_~

Теорема

н-ие противолежащегокатета ВС к ги­

SI:.AВE _IAВI SI:.BCE

-~------­

IBcl

IBFI _ IFAI - \ACI'

прилежащим сторонам:

пересечения с противоположной стороной

'С Рис.

Биссектриса делит площадь треуголь­

ника

треугольника от его вершины до точки

В"

4

600

I Доказательство. Рассмотрим рис. 2. Из равенства треугольников AВD и ACD сле­ I дует, что BD DC и L 3 L 4. Равенство BD = DC DI на стороны ВС; следовательно, AD - ме­ I диана треугольника АВС. Так как углы 3 =

В

=

означает, что точка

середи­

~~~----~~~жныеиравныдругдру~они­ 49

г-----------T-----~----I прямые. Поэтому биссектрисаAD является также и высотой треугольника АВС.

Так как биссектриса, медиана и высо-

I I

та равнобедренного треугольника, прове­

Катет, лежащий против угла

ВС

половине гипотенузы, т. е.

~

денные из вершины угла к основанию, сов­

падают, справедливы следующие утверж­

1.

Высота равнобедренного

синуса,

треуголь­

из вершины угла к

sin 30°

медианой и биссектрисой. ника, nроведенная из вершины угла к

основанию, одновременно является его высотой и биссектрисой. Треугольник называется равносторон­ ним (или правильным), если все его сто­ Свойства равностороннего треугольни­

ка:

Определение.Два треугольника назы-

но

ваютсяравными,если при 1laЛOжениидруг на друга они совместятся. Если треугольникиАВС иАIВIСIРавны,

ВС

АВ =

=~ ,

cos ?оо

ветственные углы равны (рис. 1).

Итак,

cosB = cos60°.

= J1 - sin2 30° = J1 _.!.4 = 13 . 2'

sin 60°

= ../1 -

cos 2 60°

+

Рис.

60");

и

2

Значения тангенса и котангенса угла

*

в) центр окружности, описанной около треугольника,

совпадает

с

центром

L

А

= L А1 ;

Теорема

3).

Рис.

L

L

С

= L С1 .

.J2.

sin 450 cos45°

sina cosa

секущей АВ, а углы

2.

АС = А1Сl;

Теорема

Если три стороны одного

3.

АС

-------~­

1

.J2

= cosA = АВ = .J2 =2'

450

600

1

J2

J3

2

2

2

J3

J2

1

2

2

2

1

1

Окружность, описанная около треугольника

t

Определения. Если все вершины много­

угольника лежат на окружности, то ок­

ружность называется описанной около многоугольника, а многоугольник

-

впи­

Признаки равенства треугольников до­

тырехугольник AВCD вписан в окруж­

1

че­

казываются наложением одного треуголь­

ность с центром О, а четырехугольник

ника на другой.

AECD

не является вписанным в эту ок­

ружность, так как его вершина Е не ле­

ctg45°=1.

300

1

52.

санным в эту окружность. На рис.

Признаки равенства прямоугольных

жит на данной окружности. Треугольник

треугольников

АВС на рис.

2 вписан в окружность с цен­

тром О.

~~

J3

С

A1

Рис.

Прямоугольные

~

му углу с

АВ =АIВl; АС =АIСl; ВС = ВIСl'

А

tga

= LAl;

L 4 = L 1, L 5 = L 3. (1) 4,2 и 5 равна развернуто­ вершиной В, т. е. L 4 + L 2 +

Сумма углов

1 LC = LC1.

LA

накрест лежа·

раллельных прямых секущей ВС. Поэтому

Если сторона и прилежащие

АС =АIСl;

3и5-

щими углами при пересечении тех же па­

1 LA=LA1.

треугольникиравны. На рис.

= sinA = АВ = .J2 =2'

tg45°=tgA=~~=1, а

пересечении параллельных прямых а и АС

сторонам другого треугольника, то такие

.J2

1

1). Углы 1 и 4

являются накрест лежащими углами при

ветственно двум сторонам и углу между

треугольникаравны соответственнотрем

ВС

а

1

раллельную стороне АС (рис.

кие треугольники равны. На рис.

АВ

= 1800.

Рис.

ней углам другого треугольника, то та­

= Ас2 + вс2 =

С

Проведем через вершину В прямую а, па­

соответственно стороне и прилежащим к

3

L

ду ними одного треугольника равны соот­

Теорема

Следовательно,

50

= L В1 ;

В

В+

~ A~C

к ней углы одного треугольника равны

= 2Ас2 = 2вс2, откуда АС = ВС =

+L

В

1. Если две стороны и угол меж­

АВ=АIВl;

A~B По теореме ПифагораАВ2

А

1

угольники равны. На рис.

.(:5'

ок­

ружности, вписанной в него.

L_~

L

ними другого треугольника, то такие тре­

с

же медианой и биссектрисой;

Доказательство. Рассмотрим произ­ вольный треугольник АВС и докажем, что

Признаки равенства треугольников

Рассмотрим равнобедренный прямоуголъ­

б) каждая из трех высот является так­

180 о.

равна

можно получить, зная значения синуса и

ный треугольник АВС (рис.

многоугольника

Сумма углов треугольннка Теорема. Сумма углов треугольника

ТоестъАВ=Аl В l; ВС=ВIСl; АС=АI С l

= J1 _.!. = 13 . 4

51. Сумма углов треугольника. Сумма внутренних углов выпуклого

I

A~BA1~Bl

=~ . Из основного

cos 30°

I I I I

то их соответственные стороны и соот-

косинуса этого угла:

а) все углы равны (каждый из углов

равен

= 2"'

тригонометрического тождества sin 2a + cos 2 а = 1 получаем

Медиана равнобедренного треуголь­

роныравны.

50. Равенство треугольников

1

С другой стороны, по определениюко­

основанию, одновременно является его

2.

АВ

г----~-----T------­

равен

= sinA = sin30°.

дения:

ника, nроведенная

300,

АIВIСl (рис.

J3

2)

в

C1

2

треугольники АВС и

равны, если выполняется

любое из приведенных ниже четырех ус-

3 ~

L~ий:

I

I

~ ~ Рис. 1

Теорема. Около любого треугольника

~можно~~~~ужность.~_~

51

г-----------T-----~----I

+ L 5 = 1800.

Orсюда, учитывая равенства или

I

(1), получаем: L 1 + L 2+ L 3 = 1800, L А + L В + L С = 1800.

53. Свойства средних линий

Катеты одного треугольника рав­

треугольника и трапеции

ны катета.м другого треугольника:

Определение. Средней линией треу-

голь ника называется отрезок, соединяю-

АВ =АIВl иАС =АIС1.

Сумма внутренних углов выпуклого

2.

многоугольника

Катет и острый угол одного треу­

гольника

Теорема. Су.м.ма внутренних углов вы­

пуклого п-угольника равна

1.

г----~-----T-----------I

равны

катету

и

щий середины двух сторон треугольника.

соответ­

Для доказательства приведенных ниже

ственно.му углу другого треугольника:

1800 . (п - 2).

теорем используем теорему Фалеса:

_Если параллельные прямые, пересека-

АС =АIСl и 'LC = LC1 .

ющие стороны угла, отсекают на одной

Гипотенуза и острый угол одного

3.

его стороне равные отрезки, то они отсе-

треугольникаравны гипотенузе и остро­

кают равные отрезки и на другой его сто-

.му углу другого треугОЛЫiUка:

ВС

4.

=

Вl Сl и

L

С =

Рис.

рис.

2 n = 5).

ВС

Внутри него возьмем произ­

нами п-угольника. Получим

n

параллельна третьей стороне;

равна половине длины этой сторо­

ны.

в

n треугольников равна

углов треугольников при вершине О, а она

*

то получим сумму внутренних

на гипотенузу.

Рис.

углов выпуклого п-угольника. Эта сумма

равна

1800 . n - 3600,

т. е.

1800.

(п

- 2).

1. А/

II

Рассмотрим произ­

Рис.

перпендикуляров к его сторонам и прове­

(рис.

угольника АВС. то ОА

потенузу АВ. Тогда Ь С -

ОВ

=

2.

В прямоугольном треугольнике АВС

Так

ОС. Поэто­

Ь на гипотенузу с; ас

проходит через все три вершины треуголь­

на гипотенузу с.

ника и, значит, является описанной око­

Ьс

ло треугольника АВС.

N

:Ь=

Ь

: с,

-

ь2

ку

Ьсс, а 2

=

:а=

а

AF=FC= MN =AF (т.

"2АС.

к. AМNF -

асс. грамм). Следовательно,

проведенная из вершины прямого угла,

G!fiJ

~

середину стороны АС. Значит,

: с

Теорема

есть среднее пропорциональное .между

1) 2)

проекция.ми катетов на гипотенузу: :

середину стороны ВС,

1

ас

Высота пря.моугольного треугольника,

ЬС

F -

h = h : ас

2.

MN =

параллело-

"2 АС.

3 приведены

3

фигуры, обладаю­

щие осевой симметрией.

у неразвернутого угла одна ось симмет­

Средняя линия трапеции:

рии

параллельна основанию;

-

биссектриса угла. Равнобедренный

треугольник имеет одну ось симметрии, а

равна полусу.м.ме длин оснований.

равносторонний треугольник

-

три оси

симметрии. Прямоугольник и ромб име­ ют две оси симметрии, а квадрат имеет

h 2 = асЬ с ·

четыре оси симметрии. У окружности их бесконечно много: любая прямая, прохо­

При.мечание. Около треугольника мож­

дящая через ее центр, является осью сим­

метрии. Имеются фигуры, у которых вет

А'

52

+.* Рис.

но описать только одну окружность.

L_~

для каждой

~Ф.tE­ На рис.

1

или

2

если

обладает осевой си.м.метриеЙ.

и, по теореме

рону ВС пополам, т. е. пройдет через точ­

проекция катета проекция катета а

Но =

N,

2

рии фигуры. Говорят также, что фигура

прове­

АВ. Ова, по теореме Фалеса, разделит сто­

или

с

Рис.

-

Рис.

1.

Такая прямая называется осью си.м.мет­

середину

проведем прямую, параллельнуюстороне

3) опустим перпендикулярСН на ги­

му окружность с центром О радиуса ОА

Через точку

~\

надлежит этой фигуре.

этому MN 11 АС.

3

как точка О равноудалена от вершин тре­

=

-

I

2).

относительно этой прямой также при­

Фалеса, делит сторону ВС пополам. По­

буквой О точку пересечения серединных

2).

точку М

кает сторону ВС в точке

а точка Р симметрична самой себе отно-

точки фигуры си.м.метричная ей точка

дена прямая, параллельная АС. Она пересе­

\В

вольный треугольник АВС. Обозначим

дем отрезки ОА, ОВ и ОС (рис.

1 через

метричной самой себе, точки М и М 1, N и Nl симметричныотносительнопрямой с,

носительно прямой,

1

стороны АВ треугольника АВС

-~------­ Доказательство.

На рис.

Каждая точка прямой а считается сим­

Рис.

F

с

прямая проходит через середину отрезка ВВl и перпендикулярна к нему (рис.l).

Фигура называется си.м.метричноЙ от­

ALAC

гипотенузой и проекцией этого катета

Две точки В и Вl называются симмет­

ричными относительно прямой а, если эта

1

МдN

Катет прямоугольного треугольника есть среднее пропорциональное .между

1800 . п. Если из этой суммы вычесть сумму 3600,

1) 2)

ВIСl иАС =АIС1.

Осевая симметрия

~*

ка:

гипотенузе

Свойства прямоугольного треугольника

треуголь­

ников с общей вершиной О.

равна

=

•.

Теорема 1. Средняя линия треугольни­

Катет и гипотенуза одного треу­

другого треугольника:

2

вольную точку О и соединим ее с верши­

Сумма углов этих

роне

I I I I I I

54. Осевая и центральная симметрии

сительно этой прямой (рис.

L С1 .

гольника равны катету и

Рассмотрим выпуклый п-угольник (на

I I I I I I I

~

~

L

ни одной оси симметрии. К таким фигу­

3п

-.:~ 2

..1

рам можно отнести параллелограмм и раз­

носторонний треугольник. _

~ _

-1

53

г-----------T-----~----I Центральная симметрия

Две точки А и Аl называются симмет-

ричными относительно точки О, если О

середина отрезка ААl (рис. 4). Точка О считается симметричнойсамой себе. А

•

I

•

I I I

Рис.

5 точки

Q

в точке Т

середине

-

BD.

1.

Если в четырехугольнике две сторо­

ны равны

и

параллельны,

-

тырехугольник

то этот

точки.

ружность называется вписанной в много­

nараллелограм,м.

-

C_",~,....-----_

N.

Q 5

Фигура называется си,мметричной от­

TN

1

=

MN=

1

2"

,

~

Пусть (рис. АВ

(AD+BC).

в

четырехугольнике

1) стороны АВ

= CD.

и

CD

ABCD

параллельны и

Проведем диагональ АС, разде­

ляющую данный четырехугольник на два

*

треугольника: АВС и ники

равны

по

между ними АВ =

CD

(АС

Эти треуголь­

CDA.

двум

сторонам

общая

-

по условию,

L 1

=

и

углу

L 2

<'"

Рис.

'М

1

крест лежащие углы при пересечении па­

лежит этой фигуре.

накрест лежащие при пересечении пря­

AD и ВС HO,AD II ВС.

Например, центральной симметрией об­

мых

параллелограмм

Таким

3 = L 4.

CD

секущей

Но углы

3

и

4­

-------~­

секущей АС, следователь­

образом,

57.

точка пересечения его

но параллельны;

диагоналей.

угольник AВCD

GJN

2.

следовательно,

четырех­

параллелограмм.

-

Если в четырехуzoльнике противопо­

ложные стороны попарно равны, то этот четырехугольник

-

Касательная к окружности и ее свойства

в четырехугольнике

Определение. Прямая, и,меющая с ок­

AВCD противоположные стороны попар­

является ее центр, а центром симметрии

Рис.

'>...

как на­

раллельных прямых АВ и

-

Nl

сторона,

АС), поэтому L

окружность

DK не касается 2 треугольник АВС

1

Рис.

1

2" AD + 2" ВС, т. е.

относительно точки О также принад­

Центром симметрии окружности

EFMN описан около окружнос­ центром О, а четырехугольникDKMN

описан около окружности с центром О.

"А

точки фигуры симметричная ей точка

(рис.

четырех­

угольник

окружности. На рис.

носительно точки О. если для каждой

ладают

1

ности, так как сторона

1

1

описанным

около окружности. На рис.

не является описаннымоколо этой окруж­

2" ВС, МТ = 2" AD.

MN = MT+TN =

угольник, а многоугольник

ти с

Следовательно,

в

C~Cl

параллелограмма

угольника касаются окружности, то ок­

Согласно свойству средней линии тре­

угольника

и

Определения. Если все стороны много­

че­

ции параллельнаоснованиюAD,т. к. ле­

не симметричны относительно этой

6).

в треугольник

жит на прямой, параллельнойAD.

2.

Окружность, вписанная

56.

грамма.

Следовательно,средняя линия MN трапе­

4

р

I

Признаки параллелограмма

Рассмотрим три признака параллело­

по теореме

дет через середину CD, Т.е. через точку

С и Сl, В и Вl симмет­

Рис.

55.

середина стороны АВ, а N ­ середина стороны CD. Разобьем трапецию диагональю BD на два треугольника.Че­ рез точку М проведем прямую, параллель­

Фалеса. По той же теореме прямая прой­

ричны относительно точки О, а точки Р и

г----~-----T------­

2).

Пусть М -

BD

• 1

О

На рис.

Рассмотрим трапециюАВСD (рис.

ную стороне AD. Она пересечет диагональ

А

I

1.

nараллелогра,м,м.

Проведем диагональ АС четырехуголь­

~

ружностью только одну общую точку. называется касательнойк окружности,

а их общая точка называется точкой касания прямой и окружности.На рис. прямая р

-

1

касательная к окружности с

центром О,А

-

точка касания.

никаАВСD, разделяющую его на треуголь­

ники АВС и

CDA

(см. рис.

1).

Эти треугольники равны по трем сто­

6

ронам (АС

Изображения на плоскости многих пред­

ВС

метов окружающего нас мира имеют ось

= DA

-

общая сторона, АВ =

по условию), поэтому L

CD

и

1 = L 2.

Отсюда следует, что АВ 11 CD. Так как

АВ = CD и АВ 11 CD, то по признаку 1

симметрии или центр симметрии.

четырехугольник

ABCD -

параллело­

р

грамм.

Рис.

Теорема. Касательная к окружности

nерnендикулярна к радиусу, nроведенно­ ,му в точку касания.

Доказательство. Пусть р

-

касатель­

ная к окружности с центром О, А-точка касания (см. рис.

L_~

54

~

~

L

1).

Докажем, что каса­

~тельн~~ерпендик~ярн~~~~

55

г-----------T-----~----I

I I I I

С ~

.. ,,'" .9.. ".

м

А

- -- -

к

----------- - в Рис.

3. Если в четырехугол.ьникедиагонали nерш<аютея и та«ои их nерееечеn""

делятся nоnoла.м, mo этот четырехуголь­

ник - nараллелогра,м,м.

с \i:;

Теорема. В любой треугольник ,можно вписать окружность.

Доказательство. Рассмотрим произволь­

"'А

v

Рис.

вой О точку пересечения его биссектрис.

OL

котором диагонали АС и

и ОМ соответственно к сторонам АВ,

ВС и СА (см. рис.

2).

лам (рис.

2).

то ОК

равны

двум

ОМ. Поэтому окружность с

L

касаются этой окружности в точках К,

L,

усам ОК,

OL

и ОМ. Значит, окружность с

центром О радиуса ОК является вписан­ ной в треугольник АВС.

по

Треугольники АОВ и сторонам

и

углу

*

I I I I I

При,мечание. В треугольник ,можно впи­

чит,

признаку

AВCD

сать только одну окружность.

по

-

Рис.

параллелограмм.

Рис.

1

2

вписанный, дуга

Доказательство. Пусть

S6AВC

L

АВС

-

впи­

санный угол окружности с центром О,

опирающийся на дугу АС (рис.

следует, что данный радиус является пер­ из

центра

~

расстояние от центра окружности до пря­

мой равно радиусу, и, следовательно, пря­ только

одну

общую точку. Но это означает, что дан­ ная прямая является касательной к ок­ ружности. Теорема доказана.

~

~

L

~~~

С

L

=L

Сl, то

СА· СВ

4

заключающих равные углы.

АВ

ВС

Из этих равенств следует Аl в:1 = в:1 Сl . Аналогично,

3-5).

Рис.

3

и

АВ· АС

ков относятся как произведения сторон,

используя

LA = LAl. LB = L

~$

~

Рис.

окружности к данной прямой. Поэтому

LA = LAl

S6A1 ВtC1 = АIВ:1' АI Сl = СI Аl . СIВ:1 '

касатель­

Доказательство. Из условия теоремы

ка АВС соответственно равны углам тре­

потому что площади таких треугольни­

ется.

радиусу, то она является касательной.

LC =

Сl' Таким образом, углы треугольни­

ны. Так как

2 уголАВС -

Теорема. Вписанный угол из,меряется

дит через конец радиуса, лежащий на ок­

=L

Следовательно,

и, значит,

ность, называется вnисанны,м угло,м.

половиной дуги, на которую он оnира·

ружности, и nерnендикулярна к это,му

LC = 180· - L А - L- В. L С = 180· - LAl - L Вl

Докажем, что сходственные стороны тре­

таком случае говорят, что вписанный угол

Обратная теорема. Если прямая прохо­

1

угольников АВС и АlВl Сl пропорциональ·

АВС опирается на дугу АМС.

кулярна к радиусу ОА. Теорема доказана.

Рис.

По теореме о сумме углов треугольника

угольникаАlВlСl·

АМС расположена внутри этого угла. В

ная. Таким образом, прямая р перпенди­

56

М

A~BA'~B'

ружности, а стороны пересекают окруж­

На рис.

имеют две общие точки. Но это противо­

L_~

С1

Угол, вершина которого лежит на ок­

четырехугольник

Следовательно, прямая р и окружность

имеют

считается рав­

L

ружности до прямой р меньше радиуса.

окружность

ALB

Доказательство. ПустьАВС иАIВIСl

- два треугольника, у которых L А = =LAl, L В = L-Bl (рис. 1). Докажем, что 6 АВС и 6 АIВIСl подобны.

градусах.

0f(Э

между

ной ОА, то расстояние от центра О ок­

и

измерять в

в

COD

из точки О к прямой р, меньше наклон­

мая

подобны.

Дугу ок­

1).

торую он опирается.

р. Так как перпендикуляр, проведенный

проведенным

угла,м другого, то такие треугольникu

измеряетсяградусной мерой дуги, на ко­

Предположим, что это не так. Тогда

пендикуляром,

центром О пересекают ее в точках А и В. Центральному углу АОВ соответствуюг две

АОВ. Таким образом, центральный угол

радиус ОА является наклонной к прямой

-

Теорема. Если два угла одного тре­

ной градусной мере центрального угла

-~------­

речит условию, что прямая р

Первый nриана" угольника соответственно равны дву,м

Градусная мера дуги

равны и параллельны, зна­

1

Признаки подобия треугольников

стороны центрального угла окружности с

ружности можно

Итак, в четырехугольнике AВCD сторо­

CD

59.

называется ее центральным угло,м. Пусть

дуги с концами А и В (рис.

AВIICD. ны АВ и

I

Угол с вершиной в центре окружности

= ОС, ВО = OD по условию,

L-AOB = L COD как вертикальные углы),

поэтому АВ = CD и L 1 = L 2.

Из равенства углов 1 и 2 следует, что

и М. Стороны треугольника АВС

М, так как они перпендикулярны к ради­

пересекают­

Измерение угла, вписанноrо в окружность

ними (АО

центром О радиуса ОК проходит через точ­ ки К,

BD

58.

ся в точке О и делятся этой точкой попо­

Так как точка О

равноудалена от сторон треугольника АВС.

= OL =

2

Рассмотрим четырехугольник AВCD, в

Проведем из точки О перпендикуляры ОК,

г----~-----T-----------I

:

/з\

2

ный треугольник АВС и обозначим бук­

I I I

ВС

равенства

Вl, получаем АС

--=-­ В:1С1 А1 Сl' Итак, сходственныестороны треуголь­

ников АВС и АIВIСl пропорциональны. Следовательно,эти треугольникиподоб­ ны. Теорема доказана. Второй nризна"

Теорема. Если две стороны одного тре­ угольника nроnорциональныдву,м сторо­ на,м другого треугольника и углы, за­

ключенные.между эти,ми сторона.ми,рав­ ны, то такие треугольники подобны. Доказательство. Рассмотрим тре­

угольники АВС и А 1В 1С 1, У которых АВ

АС

АIВ:1 = АI Сl ' LA = L Аl (рис. 2). Дока­

~же~~6АВСи~lВl~~~~ 57

г-----------T-----~----I

С

С1

В А1

А

6,

I Докажем, что L АВС = ~ uAC. РассмотI рим три возможных случая расположения I луча ВО относительно углаАВО: 1. В 1 I угла АВС. например со стороной ВС (рис. 3). В этом случае угол АОС является I I дусной мере дуги АС (L АОС = u АС). Так I как угол АОС - внешний угол равнобедЛуч ВО совпадает с одной из сторон

центральным и его значение равно гра­

С Для

2

Рис.

2

этого достаточно доказать,

L В = L Вl'

что

Рассмотрим треугольникАВС2, У кото-

рого

L 1= LA1. L 2 = L

Вl· Треугольники

АВС2 иАIВI01 подобны по первому при· знаку подобия треугольников, поэтому

I I I I

ренного треугольника АВО. а углы

1и2

г----~-----------------I

I I I I I I I

I

Jl.

""1

лучаем АС ... АС2' Треугольники АВО и

AВD

1

является

= - uAD 2

L

треугольнин;а nроnорциональны трем

АВ

_

ВС

_

L 2= L

Вl (рис.

подобия треугольников, поэтому О А

I

нан;лонноЙ. Высота прямой призмы равна ее боковому ребру.

Прямая призма называется правильной,

...

...

Аn и

В n , расположенныхв параллель­

-

правильные много·

грани рис.

- равные прямоугольники. На 2 изображена правильная шестиуголь­

ная призма.

n параллелограммов (1),

Площадь поверхности призмы

1).

nризмы

=2 uAD

Следствие

сумма площадей ее боковых

-

граней.

Площадь Sполи полной поверхности вы­ ражается через площадь Sбок боковой по­ верхности и площадь Sоси основания при­ змы формулой Рис.

2u

1

Многоугольники АIА2

А n и ВIВ2

...

лограммы (1)

DC.

-

60ковыми гранями при­

змы. Orрезки Al~' А2В:!'

... , АnВn

Sполи "" Sбок

...

В N называются основаниями. а паралле·

1

и L DBC =

назы-

+ 2S оси ,

Теорема. Площадь 60ковой поверхнос­

ти прямой nризмы равна произведению периметра ее основания на высоту.

--~-----------------~-­

1

2.

61.

Теорема Пифагора

a~ЬЬ ас

В прямоугольном треугольнике квад­

рат гипотенузы равен сумме квадратов

катетов.

Доказательство. Рассмотрим прямоу­

гольный треугольник с катетами а, Ь и

Вписанный угол. оnира­

ющийся на nолуокружnость. -

прямой.

гипотенузой с (рис.

1).

Докажем, что с 2

а2

=

+ ь2.

ь~c ~ а

Достроим данный прямоугольный треу­

+

Ь

Площадь

S

гольник до квадрата со стороной так, как показано на рис.

этого квадрата равна (а

треугольники АВС и

I

L А = L 1, а так как L 1 = L Аl. то L А = L=L~ремадоказа~ ~

58

вается прямой. в противном случае -

ней, а площадью 60ковой поверхности

ВС = В02. СА = 02А. АВС2 равны по трем сторонам. Поэтому

тои призмы.

угольники. 'у такой призмы все боковые

1

получаем:

Следовательно,

сти. другого основания, называется высо­

Площадью полной поверхности nризмы

Сравнивая эти равенства с равенствами

(1),

Перпендикуляр, проведенный из какой-

либо точки одного основания к плоско-

плоскостью.

называется nризмой (рис.

ющиеся на одну и ту же дугу, равны.

_ _ = __2_ = _2_ А1 Вl ~ 01 Сl Аl

змои.

если ее основания

ных плоскостях, и

L AВD - L DBC = 2 uAD - 2 u DC. или 1 L АВС = - u АС. 2 Следствие 1. Вписанные углы. оnира­

Аl,

2, 6). Треугольники АВС2 ВС

1

1

и АIВIСI подобны по первому признаку АВ

по свойству параллель­

-

Многогранник, составленный из двух

ем

зать, что L А = L Аl' Рассмотрим треу-

...

В N и называют n-угольной nри-

ных плоскостей, пересеченных третьей

Вычитая эти равенства почленно, получа­

подобия треугольников, достаточно дока-

L 1= L

стороны АIВl и

2 uAD + 2 u DC. или

1

ны. Для этого, учитывая второй признак

...

Если боковые ребра призмы перпенди-

АВС'" !. u АС.

L AВD

(1)

А n В}В2

кулярны к основаниям, то призма назы­

равных многоугольников АIА2

Как доказано выше,

Докажем, что'" АВО и ",АIВIСI подоб-

гольник АВ02. У которого

так

лельны. Призму с основаниями АI А 2·.. А n и ВIВ2." В N обозначают АIА2

имеет попарно параллельные противопо­

ны АIА2 и ВIВ2

и не совпадает со сторонами этого угла. Из рис. 5 видно, что L АВС = L AВD - L DBC.

СА

Al~ - ~Cl - 01Аl

параллелограммом,

2

3. Луч ВО не делит уголАВС на два угла

сторонам другого. то тан;ие треуголь. нин;и nодо6ны. Дон;азательство. Пусть стороны '" АВС и '" АIВIСI пропорциональны:

последовательно при­

I I I I I I I I I I I

называется сумма площадей всех ее гра­

L AВD+ L DBC =

Третий nрuэнаlt

... , АnАIВIВn (1)

угольнике АIА2В2Вl

L DBC = = - u DC. 2

и

(1),

как

ВIВ2

лучаем

Теорема. Если три стороны одного

n

ложные стороны. Например, в четырех­

1

ду ними. Отсюда следует, что

Теорема доказана.

соеди­

А2В2 параллельны по условию, а сторо­

Складывая эти равенства почленно, по­

L 2, а L Вl'

... АnВn .

четырехугольников

АIА2В2Вl. А2АЗВЗВ2,

2 L 1 = uAC или LAВC = L 1 =

АВС2 равны по двум сторонам и углу меж-

LВ так как L 2 ... L Вl, то L В

В n , расположен­

угольников, параллельны. Каждый из

Как доказано выше,

L

...

няющие соответственныевершины много­

= 2 uAO.

1 1

и ВIВ2

что отрезки АIВ1, А2В2,

1

АС

... А n

ные в параллельныхплоскостях а и ~ так,

удвоенному значению угла 1. Отсюда сле·

= А С . Из этих двух равенств по-

раллелограммов

ложенных друг к другу, равны и парал-

Рассмотрим два равных многоугольни­

2 . Л уч ВО д елит угол АВС на д ва угла. В этом случае луч во пересекает дугу АС в Al~ АIС1' ~ не которой точке D (рис. 4). Точка D раз­ С другой стороны, по условию теоремы ~ деляет дугу АС на две дуги: AD и DC. АВ

ребра как противоположные стороны па-

каАIА2

АВ = АС2

Аl

ваются 60ковыми ребрами призмы. Эти

и объема призмы Определения

при основании равнобедренного треуголь­ ника равны, то L АОС = L 1 + L 2 или

дует, что

60. Формулы площади поверхности

2.

+

Ь )2.

а

ь

с

с

Рис.

1

а

Ь

а Рис.

2

Нетрудно видеть, что квадрат со сторо-

ной (а

+ Ь),

показанный на рис.

2,

состав-

лен из четырех равных прямоугольных

~

L

I I I

~-~

59

г-----------------~----I Доказательство. Воковые грани пря­ мой призмы

-

ния которых

прямоугольники, основа­

-

стороны основания при­

змы, а высоты равны высоте

h

призмы.

Площадь боковой поверхности призмы равна сумме площадей указанных прямо­ угольников, т. е. сумме произведений сто­

рон основания на высоту житель

h

h.

данная призма составлена из двух призм,

то ее объем равен сумме объемов

за скобки, получим в скобках

= Ph.

Теорема до­

казана:

V1

и

V2,

т. е.

V= 8AВD h

+ 8DBC h = (8AВD + 8DBc) h.

г----~-----T-----------I 62. Формулы площади

I I I

параллелограмма,треугольника,

трапеции

1. Площадь nараллелогра,м,ма равна nроuзведенuю его стороны на высоту,

]

V=

2.

8 осн

h.

площадью основания

8.

h

и

Такую призму

можно разбить на прямые треугольные призмы с высотой h. Например, на рис.

Объем прямой призмы Теорема. Об7Jе,м прямой nрuз,мы равен

nроuзведенuю nлощадu ее основанuя на

3

т

изображена пятиугольная призма, кото­

сделано на рис.

В1

орему для треугольной прямой призмы, а

т. к. 8AВCD = 8ВТА

а 8BCFT

h

Но чениях,

А ,//// Т····.... С D

Рис.

2

Выразим объем каждой треугольной призмы по формуле (1) и сложим эти объе­

треугольника АВС (отрезок

h,

BD),

которая

мы. Вынося за скобки общий множитель нований треугольных призм, т. е. площадь

гольника:

основания исходной призмы. Таким об­

и

DBC.

Плоскость

BB1D1D делит данную призму на две при­

разом, объем исходной призмы вычисля­

змы, основаниями которых являются пря­

ется по формуле

моугольныетреугольникиAВD и этому объемы

V 1 и V2 этих

DBC. По­

V=

призм равны

8 0сн

8CFD

=

гольник М 1АМ 2. В нем

у

+ 8BCDT,

- - - - М2 E

d

:

1М1

:

y1~---- ---------iА о

Х2 Х

Х1 Рис.

По теореме Пифагора находим

+ 8BCDT· Значит,

= ВС . ВТ или, в обычных обозна­ Snap = ah, где а = AD = ВС, ВТ = h.

Рис.

M1 M 2=d.

y2l-----

8BCFT,

ВС' ВТ.

*" Х2

расстояние меж­

М1А=Х2-Х1,АМ2=У2-У1,

BCFT так, как это

d2 =

(Х2 - Х1)2 + (У2 - У1)2.

Отсюда

d = J(X1 -

Х2)2 + (У1 - У2)2.

(1)

Полученная формула расстояния между двумя точками справедлива при любом

расположении точек М 1 и М 2. В частно­ сти, если Х1

= Х2, то

DT

D(T)

получим в скобках сумму площадей ос­

разделит этот треугольник на два треу­

ABD

Найдем d -

ду точками М 1 и М 2. Рассмотрим треу­

АЛ:А~СF

47

1. Рассмотрим прямую треугольную при­ зму АВСА1В1С1 (рис. 2). Проведем высоту

=

8всрт

8AВCD

:В

Рис.

*" У2 .

1. Треугольник ВТА равен

зе. Следовательно, 8AВCD =

ЭМЫ.

D1

У1

треугольнику CFD по катету и гипотену­

для произвольной прямой при­

A1~iB'С,

и

1

строим прямоугольник

Доказательство. Сначала докажем те­

-

1. Пусть на плоскости хОу заданы две произвольные точки М1 (Х1; У1) и М2 (Х2;

Рассмотрим параллелограмм AВCD. По­

призмы.

высоту.

затем

между двумя точками.

Уравнение окружности

D

Рис.

рая разбита на три прямые треугольные

64. Формула расстояния

У2) (рис. 1). Будем считать, что Х1

Аn:

(1)

Докажем теперь теорему для произ­

вольной прямой призмы С высотой

I I I I

nроведенную к этой стороне.

Таким образом,

Вынося мно­

сумму сторон основания призмы, т. е. его

периметр Р. Итак, 8бок

8 AВD h и 8 DBC h соответственно. Так как

2

Рис.

3

h.

--~-----------------~-­ треугольников со сторонами а, Ь и с, пло-

щадь

81

каждого из которых равна

1 "2

аЬ,

и квадрата со стороной С, площадь кото­ рого равна

82.

Поэтому

Зная

8,

63.

получим,

(а

+ ь)2 =

=

а2

2аЬ

+ с2,

если все его грани представляют собой

откуда

с2

+ ь2.

правильныемногоугольники.Все ребра а

Теорема доказана.

правильного многоугольника

1

60

__

~

-

равные

отрезки. Существует пять видов правиль­

ных многогранников: куб, тетраэдр, ок­

8 = 481 + 82= 4"2 аЬ + с 2 = 2аЬ + с 2 •

L_~~

Правильные многогранникн

Многогранникназывается nравuльны,м,

__

V

3

= a J2

12 .

таэдр,додокаэдр, икосаэдр.

L ~~

8 = а 2 JЗ,

~-~

~

61

г-----------T-----~----I

I Окружностью называется множество I

I плоскости, называемой центром окруж­ I Радиусом окружности называется отре­ I I Отрезок, соединяющий две точки ок­ всех

точек

плоскости,

находящихся

I

65. Длины и площади в окружности

в

и круге

на

A&~'/

заданном расстоянии от некоторой точки ности.

зок, соединяющий центр окружности с

ь

любой ее точкой.

I

ружности, называется хордой. Хорда, проходящая через центр окруж­

ности, называется диаметром. Диаметр

Рис.

(рис. нику

Возьмем на окружности с центром в точ­ соединим ее с

(рис.

2).

центром А окружности

По определению радиуса окруж­

= r. РасстояниеАМ

ности АМ

пользуя формулу

АМ

найдем, ис­

4

1 1 5" = 2 Sпар = 2 АС· h.

ку АС = Ь, то

3. Площадь

Y~ ~M(X; у)

Примерами правильныхмногоугольни­ ков являются равностороннийтреуголь­

тяжимой нити. Если мы разрежем нить в

ник и квадрат. На рис.

какой-нибудьточке А и распрямим ее, то

вильные пятиугольник, семиугольник и

получим отрезок ААl, длина которого и

восьмиугольник.

есть длина окружности (рис.

5" = 2 bh.

А

трапеции равна про из веде­

а

Х

2

лью

Х

BD

AВD и

(рис.

а)2 + (у - ь)2 .

служит начало координат, то ее уравне­ ние имеет вид

2 -

2

2

основания трапеции,

' h-

вы­

сота трапеции.

-

рав­

3

.J2.

а+Ь 2 h.

Икосаэдр. Все двадцать его граней

S = 5а 2 JЗ, V

3

Додекаэдр. Все двенадцать его граней

Рис.

Многоугольник,все вершины которого

Многоугольник, все стороны которого

увеличении

количества

сторон

все

На рис.

~

­

5а 3 (3 + -Jб) 12

­

3

v=a (15+7.J5) 4

правильного

вписанного

в

изображен правильный шес­

ОА2

=

=

ОАз

= ...=

ОА n

где

= R,

R­

радиус описанной около шестиугольни­

3

изображен правильный шес­

тиугольник, описанный около окружно­ сти с радиусом

это предел, к которому стремится пери­

ОН 1

окруж­

=

ОН 2

r. = ... =

ОН n

= r,

где

r ­

радиус вписанной в шестиугольник ок­

ность многоугольника при неограничен­

ружности.

ном увеличении количества его сторон.

Длина окружности вычисляется по фор­

L где

1t '"

=2rtR '.

или

L

А~Аз

=1tD,

Aв~4

3,14 - постоянная, R - радиус D- диаметр окружности.

окружности,

Длина дуги окружностис угловым зна­ ле

Рис.

окружности.

L___________

А! Н6

~ r:

Аз

О

А6

А5

чением, равным а, вычисляетсяпо форму­

- градусная мера угла, R - радиус

!A2H2

А2

муле

где а

--~--------------------~

ОАl

На рис.

3).

Точное значение длины окружности ­ метр

2

тиугольник, вписанный в окружность.

ка окружности.

1tRa l = 180'

62

многоугольники

санным около этой окружности.

3

женное значение, так как многоугольник

ти (рис.

правильные равные пятиугольники.

S=3a2~5(5+2J5),

2

ближе и ближе «прилегает» К окружнос­

равносторонние равные треугольники.

носторонние равные треугольники.

n-2 n

n = - - . 1800.

Вписаниыеи описанные

многоугольника, тем точнее это прибли­ при

Итак:

= r2 .

S=2a2J3, v=a

2).

Чем больше количество сторон такого

--~--------~--------~­ Октаэдр. Все восемь его граней

а

вписанным в эту окружность.

Рис.

! а . h + ! ь . h = ! (а + b)h

STpan =

+ у2

ного n-угольникавычисляетсяпо форму­ ле

00

5).

SAВCD = SAВD + SBCD =

где а и Ь

Orметим, что если центром окружности

х2

1

касаются окружности, называется оnи·

=

ружности:

(n - 2) . 180·. Так как все его

принадлежат окружности, называется

Тогда

Возводя обе части этого равенства в

= (х -

ника равна

ного в окружность многоугольникаявля­

разобьем ее на два треугольника,

BCD

1

углы равны, то каждый из углов правиль­

ется приближеннымзначениемдлины ок­

Рис.

квадрат, получим искомое уравнение ок­

r2

Рис.

Периметр любого правильного вписан­

ружности (рис.

пра­

Сумма всех углов правильного n-уголь­

А1

Рис.

1 изображены

000

О.

1

Рассмотрим трапецию AВCD. Диагона­

Рис.

1).

а

ь---~

о

го все углы равны и все стороны равны.

что окружность сделана из тонкой нерас­

Посколь­

* A~D

а)2 + (у - ь)2.

Правильны.м. многоугольникомназыва­ ется выпуклый многоугольник,у которо­

ние о длине окружности, представим себе,

нию полусуммы ее оснований на высоту.

(1):

=r = ~(x -

с

66. Правильные многоугольники Определения и свойства

Чтобы получить наглядное представле­

4). Треугольник АВС равен треуголь­ BCD. по трем сторонам. Следова­

тельно,

I

Длина окружности,длина дуги

Достроим его до параллелограмма AВDC

равен удвоенному радиусу окружности.

ке А(а; Ь) произвольную точку М(х; у) и

г----~-----T------­

Рассмотрим треугольник АВС.

1A4

А5

2

Рис.

3

Около всякого правильного многоуголь­

I

ника

можно

описать

окружность,

и

во

всякий правильный многоугольник мож­

..l _

но вписать окружность. ~-~

63

г-----------T-----~------, Центр вписанной вправильный многоугольник .?кружности совпадает с центром

описаннои около правильного многоугольника

окружности;

эта

точка

называется

центром правильного многоугольника. На

рис. 2 и 3 точка О -

центр правильного

шестиугольника. Orpeзок перпендикуляра,

проведеиного из центра правильного много­

I I I I I

Площадь круга с радиусом

ется по формуле

ОН1, ОН2,

3

...

Рис.

и описанной окружностей

а радиус

r

вписанной окружности вычисля­

а

R =

1800'

r=

а

2tg 1800 . n

*

Для правильного равностороннего треу­

(рис.

а

четырехугольника

(квадрата) со стороной а: а

R=

J2'

круга

шестиугольника

Рассмотрим плоскость а и две парал­ лельные прямые с и Ь, расположенные так,

радиус

что прямая Ь лежит в плоскости а, а пря­

ются nараллельными, если они не nере­

мая с не лежит в этой плоскости (см. ри­

секаются.

сунок).

и

полуплоскости,

содержит

хорду

этого

с

стях дают пол и потолок комнаты, поверх­

L

ность стола и плоскость пола.

граница

Параллельность плоскостей а и ~ обо­

круга

значается так: all~. Рассмотрим признак параллельности двух плоскостей.

Рис.

5

Теорема. Если две nересекающиеся пря­

ь/

-----~

мые одной плоскости соответственно

параллельны двум прямым другой плос­

69.

кости, то эти плоскости параллельны.

Теорема о трех

перпеидикулярах

6

Прямая. nроведенная в плоскости че­

~

го полукругу, вычисляется по формуле

со

кость, то и другая прямая тоже пересека­ ет эту плоскость.

2

Площадь кругового сегмента, не равно­

стороной а:

рез основание наклонной nерnендикуляр­ но

к

ее

nроекции

на

эту

плоскость,

nерnендикулярнаи к самой наклонной.

S= 1tR2 360 a±SA'

аJЗ

R=a, r=-2-' где

а

-

градусная мера центрального

ПЛощадь правильиого многоугольника

угла, который содержит дугу этого кру­

Площадь правильного n-угольника рав­

гового сегмента, а

I I I 1 S = 2"Pr. I I Площадь правильного n-угольника мож­ R I I S = .!. 2 R2 n n3600 -­ n I I I IL_~

SA -

Рис.

площадь треу­

3

Доказательство. Рассмотрим две плос­

его периметра

гольника с вершинами в центре круга и

кости а и ~ (рис.

на радиус вписанной в него окружности:

концах радиусов, ограничивающих соот­

жат пересекающиесяв точке М прямые

ветствующий круговой сектор. Знак

а и Ь. в плоскости ~

на половине произведения

но вычислить и через радиус

надо брать, когда а

• +» -

когда а>

< 180· (рис. 5), 180· (рис. 6).

• -,)

а знак

3).

В плоскости а ле­

-

прямые а1 и Ь1.

.

причем q 11 щ и Ь 11 Ь:1. Докажем, что all~ Прежде всего отметим, что по признаку параллельности прямой и плоскости

alla

описанной

и bll~.

Допустим, что плоскости а и ~ не па­

около него окружности:

раллельны. Тогда они пересекаются по не­ которой прямой с. Мы получили, что плос­

81'

64

Рис.

параллельных прямых пересекает плос­

Представление о параллельных плоско­

Рис.

а

r=2'

Для правильного

R-

®е

а

R = JЗ' r = 2JЗ .

1

Доказательство. Для доказательства воспользуемся леммой: если одна из двух

Определение. Две плоскости называ­

5 и 6).

гольника со стороной а:

сти.

е Рис.

градусная мера угла,

которой

ющие выражения.

данной плоскости, параллельна какой­

4

Круговым сегментом называется общая

часть

Теорема. Если прямая, не лежащая в

2).

нибудь прямой, лежащей в этой плоско­

круга.

Используя эти формулы, получим следу­

правильного

-

где а

общей точки.

сти, то она nараллельnа данной плоско­

S = rtR 360 а,

28in -n

Для

ки (рис.

2

ются по формулам

1), либо не пересека­

ются, т. е. не имеют ни одной общей точ­

ся по формуле

описанной окружности и ра­

R

лельными, если они не имеют ни одной

Площадь кругового сектора вычисляет­

В правильном n-угольникесо стороной диус

щая этой плоскости, называются nарал­

следует, что две плоскости либо пересека­

(1)

Вычислениерадиусов вписанной

Плоскость и прямая, не при надлежа­

то они пересекаются по прямой. Отсюда ются по прямой (рис.

го центрального угла (рис. 4).

ОН6- апофемы

прямой и плоскости

если две плоскости имеют общую точку,

круга, лежащая внутри соответствующе­

шестиугольника.

68. Параллельиость

I

По аксиоме стереометрии мы знаем, что

Круговым сектором называется часть

фемой правильного многоугольника.

На рис.

вычисля­

2 S = rtR .

угольника к его стороне, называется апо­

правильного

R

г----~-----T--------------, 67. Параллельиостьплоскостей

Площадь круга, сектора, сегмента

кость а проходит через прямую а, парал­ лельную плоскости

~, и

пересекает

плоскость ~ по прямой с. Теперь восполь­

зуемся следующим свойством: если nлос­

~

~

I

I I I I I I

Доказательство. Обратимся к рисунку, на котором отрезок АН к плоскости а, АМ

-

-

перпендикуляр

наклонная, а

-

пря­

мая, проведенная в плоскости а через точ­

ку М перпендикулярно к проекции НМ наклонной. Докажем, что а l..AМ.

Рассмотрим плоскость АМН. Прямая а

перпендикулярна к этой плоскости, так как она перпендикулярна к двум пересе­

кающимся прямым АН и МН (al..НM по

L~~~ОХОд~~е~нну~ямую.~условиюиа~.так~АН~сю-~

65

г-----------T-----~----I Докажем, что

clla.

Допустим, что это не так. Тогда прямая

чения плоскостей

пересечении

прямой.

параллельными

прямыми следует, что прямая Ь также пе-

параллельна

Но плоскость а проходит также через

прямую Ь, параллельную плоскости р. По­

Итак, прямая с не пересекает плоскость

этому

а, поэтому она параллельна этой плоско-

проходят две прямые а и Ь, параллельные

сти. Теорема доказана.

прямой с. Но это невозможно, так как по

bllc. Таким образом,

теореме о параллельных прямых через точ­

1. Если

плоскость nроведена через nря-

ку М проходит только одна прямая, па­

мую. nараллельную другой плоскости, и

раллельная данной прямой. Значит, наше

пересекает

допущение неверно и

2.

ний и т. д., которые нужно поставить

прямо, т. е. перпендикулярно к той плос­

кости, на которую они ставятся. Оказы­

вается, что для этого нет надобности про­

верять перпендикулярность по отношению

к любой прямой, как о том говорится в

лельных прямых nроведена nроизвольная плоскость и эти плоскости nересекают-

ся, то линия их пересечения параллельна каждой из данных прямых.

1.

*

ют четыре двугранных угла с общим реб­

щимся прямым, лежащим в плоскости.

ром (рис.

Это вытекает из следующей теоремы, вы­

равны

прямой и плоскости.

сечения параллельны.

чае

жащим в плоскости, то она nерnенди­

вести только одну плоскость, nараллель­

каждая из двух данных плоско­

<р, <р и

то другие три угла

1800 -

00<

<р $;

<р. в частности,

= 900),

то и

900.

Две nересекающиеся

кулярна к этой плоскости.

ную данной плоскости.

1800 -

остальные три угла прямые. В общем слу­

на к двум nересекающимся прямым, ле­

жащую данной плоскости, можно про­

Если один из этих двугран­

если один из углов прямой (<р

Теорема. Если прямая nерnендикуляр­

2. Через данную точку, не nринадле­

1).

ных углов равен <р,

ражающей признак перпендикулярности

пересечены третьей, то линии их nере­

1

Две пересекающиеся плоскости образу­

пендикулярность лишь к двум пересекаю­

Если две nараллельные плоскости

3. Если

Рис.

определении, а достаточно проверить пер­

alIP. Теорема доказа­

Приведем еще три теоремы:

Если через каждую из двух nарал-

двух плоскостеи

перпендикулярна ли

пример, при установке мачт, колонн зда­

на.

ной прямой.

Признак перпендик~лярности

вопрос имеет практическое значение, на­

через точку М

Приведем еще две теоремы:

пересечения плоскостей параллельна дан-

71.

I

данная прямая к данной плоскости? Этот

поскольку прямая Ь лежит в плоскости а.

то линия

Как проверить,

allc.

Отсюда следует, что

I

Перп~ндикулярность

прямои и плоскости

данной

ресекает плоскость а. Но это невозможно,

эту плоскость,

70.

секает эту плоскость, то линия nересе­

с пересекает плоскость а, а из леммы о плоскости

г----~-----T------­

nараллельную другой плоскости, и nере­

ваются

плоскости назы­

nерnендикулярными

nерnендикулярными),

а

ними равен

стей параллельна третьей плоскости, то

90'

(рис.

(взаимно

если угол между

2).

данные две плоскости параллельны меж­ ду собой.

-~------­ да следует, что прямая а перпендикуляр­

на к любой прямой, лежащей в плоскости

АМН. в частности alAМ. Теорема доказа­

Рис.

на.

Эта теорема называется

теоремой о

трех nерnендикулярах. так как в ней го­

1

Доказательство. Рассмотрим прямую а,

~

которая перпендикулярна к прямым р и q.

/(о

лежащим в плоскости а и пересекающим­

ворится о связи между тремя перпендику­

ся в точке О (рис.

лярами -АН,НМиАМ.

1).

Докажем, что

a.la.

Рис.

Для этого нужно доказать, что прямая а

Справедлива также обратная теорема:

перпендикулярна к произвольной прямой

прямая, nроведенная в плоскости через

ти двух плоскостей.

т. лежащей в плоскости а.

основание наклонной nерnендикулярно

Теорема. Если одна из двух плоскостей

Рассмотрим сначала случай, когда пря­

к ней, nерnендикулярна и н: ее nроекции.

мая а проходит через точку О (см. рис.

Проведем через точку О прямую

[,

проходит через прямую, nерnендикуляр­

1).

ную к другой плоскости, то такие плос­

парал­

кости nерnендикулярны.

лельную прямой т (если прямая т прохо­

дит через точку О. то в качестве

l

2

Определим признак перпендикулярнос­

возьмем

саму прямую т). Отметим на прямой а

точки А и В так, чтобы точка О была

серединой отрезка АВ. и проведем в плос­

кости а прямую, пересекающую прямые р.

q

и

l

в точках Р,

Q

и

L

соответственно.

Будем считать для определенности, что

точка

L_~ 66

~

I I

J

Q

лежит между точками Р и

Так как прямые р и

q -

L.

серединные

Рис.

перпендикуляры к отрезку АВ, то АР =

= ВР и AQ = BQ. Следовательно, '" APQ

равен '" BPQ по трем сторонам. Поэтому

L~АРQ=LВР~

I

I

3

Доказательство. Рассмотрим плоско­

сти а и р. Плоскость а проходит через

~ПРЯМУЮАВ,перпендикулярную~~~

г-----------T-----~----I

I

сти р И пересекающуюся с ней в точке А (рис. 3). Докажем, что a.l р. Плоскости а и р пересекаются по некоторой прямой .1 АС, так как по условию

АС, причем АВ

AВ.l р, и, значит, прямаяАВ перпендикулярна к любой прямой, лежащей в плос-

кости р.

Проведемв плоскостир прямуюAD,пер-

пендикулярнуюк прямой АС. Тогда угол ВAD

-

линейный угол двугранного угла,

образованного при пересечении плоскостей а и р. Но L ВAD = 900 (так как AВ.lP).

I I I I I I I I

Сравним теперь треугольники АР L и ВРL. Они равны по двум сторонам и углу

между ними (АР = вр, PL - общая сторо­ на,

LAPL = L BPL), поэтому AL =BL.

нобедренный и его медиана

высотой, т. е.

a.l р.

Следствие. Плоскость у, перпеnдикуляр­ пая к прямой

а, по которой пересека­

a.la.

дiV

р

q

l

а

О,

Рис.

*

Доказательство. Рассмотрим шар ра­

2).

al.lq,

ному в первом случае al.la. Отсюда сле­

пеnдикулярnа к каждой из этих плоско­

.1 а.

Теорема доказана.

1.

Два различnых

перпеnдикуляра

(х) через х

R.

одnа из двух параллельnых пря­

- R

ловию

пеnдикулярnа и к другой плоскости.

= JR2

лг 2

-х2 •

а=

одnой и той же прямой, параллельnы.

- R,

Ь

74.

, то S(x) = 1t(R2

~ х ~

R.

= R,

J

R

7t(R2 - x 2 )dx = 1tR2

?

рой служат параллелограммы (рис.

1).

Если боковые ребра параллелепипедапер­ такой параллелепипед называется пря­

2).

R

J

xwdx

основаниями и боковыми гранями кото­

мым (рис.

получим

-R

-R

Параллелепипед.Куб

пендикулярны плоскости основания, то

Применяя основную

R

V =

-л

параллельных

Параллелепипедомназывается призма,

-х 2 ).

формулу для вычисленияобъемов тел при

плоскости, перпеnдикулярnыек

так как не пересека­

прямых.

АВ, т. е. для всех х, удовлетворяющих ус­

из двух параллельnых плоскостей, пер­

= Ь (рис. 1).

------~

-ом2

Так как S(x) =

Прямая, перпеnдикулярnая кодпой

ynp

allb по определению

Значит,

Заметим, что эта формула верна для ~ любого положения точки М на диаметре /{о

плоскости.

1

Из прямоугольного треугольника

r = JOc2

другая является перпеnдикуляром к этой

4. Две

(х), где х­

S

и

мых перпеnдикулярnа к плоскости, то и

3.

S

абсцисса точки М. Выразим

а,

ются плоскости, их содержащие (а ир).

ОМС находим:

к

плоскости параллельnы.

2. Если

через г, а его площадь через

=

у и не пересекаются,

точке М. Обозначим радиус этого круга

Приведем еще четыре теоремы:

4).

I

Прямые а и Ь лежат в одной плоскости

ной к ОСИ ОХ и проходящей через точку М

поэтому по доказан­

дует, что а

allb.

этой оси, является кругом с центром в

лельную прямой а. По упомянутой выше и

Пусть allP, yna Докажем, что

СечеlШе шара плоскостью, перпендикуляр­

Проведем через точку О прямую аl, парал­

al.lp

Рис.

с центром в точке О и выберем

ось Ох произвольным образом (рисунок).

Рассмотрим теперь случай, когда пря­

лемме

R

диуса

2

мая а не проходит через точку О (рис.

~

I

I I II I

в

т:

а.

I 73. Теоремы о параллельвости и перпевдикулярв~сти двух I плоскостеи I плоскости Теорема 1. Если две параллельnые пересекаются третьей, то I прямые их пересечепия параллельnы. I

I

ются две даnnые плоскости а и р, пер­ стей (рис.

1tR

на к любой прямой т, лежащей в плоско­

сти а, т. е.

Теорема дока­

4

LO является III т и l.la,

Таким образом, прямая а перпендикуляр­

А Рис.

Так как

двух параллельных прямых к третьей).

зана.

~

l.la.

то m.l а (по лемме о перпендикулярности

Следовательно,угол между плоскостями

а и р равен 900, т. е.

Но

это означает, что треугольник AВL рав­

г----~-----T-----------I

I 72. Формулы объема шара I и площади сферы Объем шара II Теорема. Объем шара радиуса R равеn i 3 I З • I I Х II c_:~ ~:_~

J

dx­

-R R

= = 1tR2xl -R

7[Х3 --1 3

R -R

4

3. = -1tR 3

Теорема доказана. 1,

А ,,с

Площадь сферы

Выведем формулу для вычисленияпло­

Рис.

щади сферы радиуса R, пользуясь форму­

лой для объема шара. Рассмотрим сферу

радиуса R с центром в точке О и описан­

ный около нее многогранник, имеющий

n

граней. Пронумеруем грани в произволь­

L_~

68

~

~

ном п?~ядке и ~~значим через Si плоL щадьz-играни~ -=-2~.~.Соединив

I

.-L

~

_

I

~

69

г----~------------­

г-----------T-----~----I Теорема 2. Если в одной из двух nер-

I

neндикулярных плоскостей провести nря-

мую, nерnендикулярную к прямой их nересеченuя. то она l5удет nерnендин:уляр-

I

I

на и к другой nлосн:ости.

центр о сферы со всеми вершинами многогранника, получим n пирамид с общей вершиной О. основаниями которых явля­ ются грани многогранника, а высотами радиусы сферы, проведенные в точки касания граней многогранника со сферой.

Следовательно. объем i-й пирамиды ра­

1

вен З Si R • а объем V n всего описанного многогранника равен:

n 1

а

Vn = Рис.

2

Докажем. что a.l ~.

Пусть

anc ~ D.

Через точку D в плоско­

b.l

с. Через пря­

мые а и Ь проведем плоскость у. Так как

c.l а и с .1 Ь,то С .1 у. И так как C1..l ~, то а .1 Ь по определению. Поэтому прямая а перпендикулярна к плоскости ~.

1

n

75.

I I I I I I

Рассмотрим многоугольник А lА2

и точку Р, не лежащую в плоскости этого

ками с вершинами многоугольника. по­

С, 71

Рис.

Многогранник, составленный из n-уголь­

ника АIА2 ... А n и n треугольников (1).

называется пирамидой. Многоугольник АIА2

;J.:ш--J~:7С

4

,/

"D

Прямой параллелепипед. основаниями

которого служат прямоугольники. назы-

вается nРЯМОУ20ЛЬНЫМ.

Отрезки, соединяющие вершины парал-

лелепипеда, не принадлежащие одной н

ТОЙ же грани, называются диагоналями.

В прямоугольном параллелепипеде все диагонали равны.

Ky150M

называется параллелепипед, все

грани которого представляют собой рав-

ные квадраты. Поскольку параллелепи-

пед есть частный случай призмы, ТО пло-

I I

щадь его поверхности и объем вычисля-

ются по формулам площади поверхности

и объема призмы.

L_~

70

4

то и

I

I I I I I I I I I I ~

называется основанием. а тре­ l5оковыми гранями пи­

(1) -

ее l5оковыми

Так как зщR + /»3 ~ з1tR3 при d ~ О.

,-

... А n

угольники

пирамиды, а отрезки РА1, РА2,

~1tR3
V

4_ Dз

n ~-''''

3

приd~О(n~оо).

Переходя к пределу в равенстве

(1), по­

лучим

lim n~OO

3

=- lim VN = n~oo R R /!.-400 = ~ ~ nR3 = 41tR2.

= Рn

=

3V lim _n_

1

ванием АIА2

I I I I I I I I I I I

чают так:

,

S = 41tR2 .

pel5paMU.

... , РА n

­

Пирамиду с осно­

... А n и вершиной Р обозна· РАIА2 ... А n - и называют n·

угольной пирамидой.

Перпендикуляр,проведенныйиз верши­ ны пирамиды к плоскости основания. на­

зывается высотой пирамиды. На рис.

отрезок РН

1

высота пирамиды.

-

Пирамида называется правильной. если ее основание

-

правильный многоуголь­

ник, а отрезок. соединяющий вершину пирамиды с центром основания, является

ее высотой (рис.

2).

• поэтому

РА1­

- РА 2- ... =PAk· Мы доказали, что боковые ребра пра­ вильной пирамиды РАIА2

А n равны

...

друг другу, поэтому боковые грани

-

рав·

нобедренные треугольники. Основания этих

треугольников

другу, так как АIА2

также

... А n -

равны

друг

правильный

многоугольник. Следовательно. боковые грани равны по третьему признаку равен·

ства треугольников, что и требовалось до­ казать.

Выс?Та боковой грани правильной пира· миды, проведенная из ее вершины, называ­

ется аnoфeмОЙ. на рис,

2 отрезок РЕ -

одна

из апофем. Ясно. что все апофемы правиль­ ной пирамиды равны друг другу. Площадь поверхности пирамиды

Площадью полной поверхности пира­ миды называется сумма площадей всех ее граней (т. е. основания и боковых гра­

пирам иды

-

сумма площадей ее боковых

граней. Очевидно, что

Sполи = Вбок

+ SOCH'

Теорема. Площадь l5оковой поверхнос­ ти правильной пирамиды равна полови­

I

не nроизведенuя периметра ее основанuя на апофему.

Аn

Доказательство. вильной пирамиды ренные рых

I

Рис.

I I ~

радиус

ней), а площадью l5оковой поверхности р

I R 3 По определению площади сферы I _. S - 11т Рn следовательно I n-too'

одним катетом которого служит

По теореме Пифагоралюбое боковое реб.

наибольший размер каждой грани 9ПИ­

Поэтому

Любое боковое ребро представляет со· бой гипотенузу прямоугольного треуголь­

ро равно ~h2 + R2

санного многогранника не превосходит

R.

равны.

высота РН пирамиды, а другим -

рамиды. Точка Р называется вершиной

ник содержит исходный шар радиуса

пирамиду

что все боковые ребра этой пирамиды

ника.

миться к объему шара. В самом деле, если

С другой стороны, описанный многогран­

прав ильную

... А n (рис. 2). Сначала докажем,

потенуза треугольника НРА1, в котором

*

+ d с центром в точке О.

Рассмотрим

РАIА2

HP=h, HA 1=R).

таким образом, чтобы наибольший раз­

R

треугольниками.

(например. боковое ребро РА2, РА1- ги·

Будем теперь неограниченно увеличивать

в шаре радиуса

Рис. 2

(1)

многогранника. Отсюда получаем

то описанный многогранник содержится

nра­

описанной около основания окружности

I где Рn = t Si - площадь поверхности I i=1 I I 3V" Рn=я· (1) I I n I I I I Vn I d, I

~--

A cL

(рис.

Р

описанного многогранника будет стре·

A'r

1): РАIА2, РАzAз, .... PA"Al.

I

ника стремился к нулю. При этом объем

....

.. , А n

многоугольника. Соединив точку Р отрез­

n треугольников

pel5pa

paBHol5eapeHHblMU

ни являются равными

Определения

лучим

Докажем. что все l5оковые

вильной пирамиды равны, а l5оковые гра­

и объема пирамиды

мер каждой грани описанного многогран­

В1

Формулы площади поверхности

i=1

i=1

Пусть a.l~, с1. n ~ = с. а еС1., a.l с (рис. 2).

сти ~ проведем прямую

1

IзSiR=зRLА =з RРn ,

I

(Центром правильного многоугольника называется центр вписанной или описан-

L

НОЙ окружности.)

-

Боковые грани пра­

-

треугольники,

равные равнобед­ основания

стороны основания

кото­

пирамиды,

а

высоты равны апофеме. Площадь боко­

вой поверхности пирамиды равна сумме

произведений сторон ее основания нв по­

ловину апофемы d. Вынося множитель

I

1d

"2

~-~

71

г-----------------~----I за скобки, получим в скобках сумму сто­

Применяя теперь основную формулу для

рон основания пирамиды, т. е. его пери­

вычисления объемов тел при а

метр. Следовательно,

получаем

=

О, Ь

1

SooK

=

"2 dP .

h

V =

Объем пирамнды Теорема. Объем пирамиды равеn одnой

S

h

Jо

S(y)dx =

трети произведеnия площади ее осnова­

S h

Jо 2h

y2dy =

Jо

2

y2 dy

h

=

= SY3 1h = !Sh. h2 з о 3

nuя па высоту.

До"азательство. Сначала докажем тео­ рему для треугольной 1ШpaМИДЫ, а затем

2.

­

1.

Рассмотрим треугольную пирамиду

РАВС с объемом

V,

площадью основания

и высотой h. Проведем ось Ру (рис.

SOCB

3,

где РН- высота пирамиды) и рассмот­

II I

Докажем теперь теорему для произ­

вольной пирамиды с высотой

для произвольной пирамиды.

дью основания

h

и площа­

Такую пирамиду

SOCB'

можно разбить на треугольныепирамиды с общей высотой

h

(на рис.

4

г----~-----------------I

I I I I II

= h,

76. Формулы площади поверхности

ли таким образом, что все образующие

и объема цилиндра

оказались расположенными в не которой

Определения

плоскости а (рис. 4). В результате в плос­

Тело, ограnичеnnое цилиnдричес"ой по·

Стороны АВ и 1'В' прямоугольника пред­

поверхность называется бо"овой поверх­ nостью цилиnдра. Круги называются ос­ nоваnuями цилиnдра, образующие цилин­ дрической поверхности - образующими цилиnдра, прямая 001, соединяющаяцен­ тры кругов, - осью цилиnдра.

Эт~т прямо~льник называется разверт­ "ои бо"овои поверхnости цилиnдра. Ос­ нование АА' прямоугольника является разверткой окружности основания цилин­ дра, а BЫCOTa~ - образующей цилинд­ ра, поэтому АА = 21tr, АВ = h, где r ­

кости а получится прямоугольник АВВ'А'.

верхnостью и двумя "ругами, nазывает­ ся цилиnдром (рис. 1). Цилиндрическая

ставляют собои два края разреза боковой поверхности цилиндра по образующей АВ.

радиус цилиндра,

показано

его высота.

h -

разбиение для пятиугольной пирамиды).

рим сечение АIВIСI пирамиды плоско­ стью, перпендикулярнойк оси Ру и, зна­ чит, параллельной плоскости основания.

m··d

Обозначим через Уl координатуточки М 1 пересечения этой плоскости с осью Ру, а через

S

S

(Уl)

(Уl) через

- площадь сечения. Выразим S, h и Уl. Заметим, что треу­

r·

гольники АIВIСI и АВС подобны. В са­

мом деле, АIВ1liAВ,поэтому '" РАIВl по­ добен

Al~ АВ

'"

РАВ.

Следовательно,

РАl = РА • Прямоуголъные треугольни­

ки РАIМ 1

иРАН также подобны (они

имеют общий острый угол с вершиной Р).

РАl

_

Поэтому РА -

РМ1

Уl

_

h'

РН -

Рис.

Все образующиецилиндра параллельны и равны друг другу. Длина образующей

рамиды по выведенной формуле и сложим

называется высотой цилиnдра, а радиус

эти объемы. Вынося за скобки общий

1

"3 h

основания -

радиусом цилиnдра.

, получим в скобках сум­

рамид, т. е. площадь

S

исходной пирамиды равен Следствие. Объем

V

Рис.

Таким образом, но

АВ

доказывается,

~~ ~ СА = h' Итак,

=

h'

что

Аналогич­

~Cl _ Уl ВС

-

h

и

треугольники АI В l Сl

бии У;. следо~,тельио. ~) = [~ S(Yl) = S

L_~

~2

•

До"азательство.Пусть в треугольни­ ке АВС (рисунок)АВ

=

с, ВС

=

СА

~,

L

А

а.

=

Ь,

L

r·

А

=

81,

h,

а,

.

L

В

=

=

а,

в

c~a

а площади

A~ Ь С

вычисляется по

v = ~ h(S + st + JSS;) . Уl

Теорема синусов

nы сипусам противолежащихуглов.

Рис.

и АВС подобны с коэффициентом подо­

или

и

77.

Стороnы треугольnи"апропорциоnаль'

формуле

3

Al~

S

объем

-----~

усечеnnой пирами­

ды, высота "оторой равnа осnоваnий равnы

1

"3 SOCB h

I I I

t

с

основания исход­

ной пирамиды. Таким образом,

с

3

4

Выразим объем каждой треугольной пи­

му площадей осно~аний треугольных пи­

у

Рис.

Рис.

множитель

в

А

i

-;

ось цилиндра

Цилиндр может быть получен вращени­

Докажем, что

ем прямоугольника вокруг одной из его

а

сторон. На рис. 2 изображен цилиндр,

I I I I

sin а

полученный вращением прямоугольника

АВСn вокруг стороны АВ. При этом боко­ щением стороны СП, а основания

:

-

вра­

AD.

Площадь поверхностицилиндра

На рис.

I

3

изображен цилиндр. Пред-

ставим себе, что его боковую поверхность

~

L

разрезали по образующей АВ и разверну­

с

По теореме о площади треугольника

вая поверхность цилиндра образуется вра­ щением сторон ВС и

Ь

= sin ~ = sin у .

I

I ~

1

S=

"2 аЬ sin у.

S=

"2 са sin~.

S=

1

"2 Ьс sin а,

1

Из первых двух равенств получаем

!

2 аЬ

.

Slll

_!

у - 2 Ьс

.

Slll

а, откуда

I

~-~

72 73

г-----------------~----I Так как площадь каждого основания рав­

2пг

], а

78.

Формулы площади поверхности

на 1tr 2 , то для вычисления площади пол­ ной поверхности цилиндра получаем

SПОЛН =

1::

которого равен длине образующей кону­

и объема конуса

са, а длина дуги

и прямую ОР, перпендикулярную к плос­

21tr(r + h) •

Р. Поверхность, образованная этими от­

Теорема. Объем цилиндра равен произве­

резками, называется конической поверх­

дению площади его основания на высоту.

ностью, а сами отрезки -образующими

P1

,,-

конической поверхности.

_

: r

А

4

Рис.

За площадь боковой поверхности ци­ ки.

Рис.

3

нуса nринимается площадь ее разверт­

h

Так как площадь прямоугольника

ки.

Выразим площадь боковой поверхнос­

АВВ'А' равна 21trh, то для вычисления пло­ щади боковой поверхности цилиндра ра­

ти конуса через длину

диуса

радиус

8бок =

r и высоты h 21trh.

Итак,

площадь

получается формула

боковой

сектора поверхности

Рис.

цилиндра равна произведению длины ок­ линдр Р радиуса

ра.

sin у

Ь

sina

sin ~

Итак _а_ = _Ь_ = _с_ .

sin а sin ~ sin у

Теорема доказана.

L_~

74

Fn

h

(рис.

ностью и кругом с границей

правиль­

5),

ся конусом (рис.

а в эту

площадь основания призмы, а цилиндр Р

I

II I I

содержит призму

F n'

которая, в свою оче­

n.

При этом радиус

rn

будет стремиться к радиусу

вершиной конуса, а образующие коничес­ кой поверхности-образующими конуса

2

изображены образующие РА,

друг другу.

I I I

=

1800

rcos-n

--t r при

n

*

~

цилиндра Р:

lim VN = V . n-t oo

(1) следует, что и lim Sn = 1tr 2 . oo n-t

t

цилиндра Р n

r цилиндра Р

79.

сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сто­ рон на косинус угла между ними. Доказательство. Пусть в треугольни­

Рис.

у

А

=

а.

. cos

а.

(1)

с

Прямая ОР, проходящая через центр ос­ нования и вершину, называется осью ко­

(2)

нуса. Ось конуса перпендикулярна к плос­

основания

(2)

L

зано на рисунке.

в'

кости основания. Отрезок ОР называется высотой конуса.

по­

лучаем

А

Площадь поверхности конуса SOCH

с, ВС=а, СА= Ь,

вершине А треугольника так, как пока­

Таким образом,

V=

=

а 2 = ь 2 +с 2 - 2Ьс

lim Snh = V. Но

n-t oo

цилиндра через SОСЮ из формулы

Теорема косинусов

Квадрат стороны треугольникаравен

Введем систему координат с началом в

Из неравенств

V = 1tr 2h.

(1)

Докажем,например,что

--t oo ). Поэтому

Обозначив площадь 1tr 2

1t1 2 = 360 а.

------~

ке АВС АВ

(rn

1t1 2

360 а, где

основанием конуса. Точка Р называется

РВ и др.). Все образующие конуса равны

(1)

равна

4) -

градусная мера дугиАА', поэтому

&iOK

объем цилиндра Р n стремится к объему

I I I I I I I I I I

-

­

Будем неограниченно увеличивать чис­

ло

а

образующей и

развертки боковой поверх нос­

-

ти конуса (см. рис.

L, называет­

1 его

основания. Площадь кругового

1).

ковой поверхностью конуса, а круг

(на рис.

редь, содержит цилиндр Р n' то

V n < Snh < V.

r

Коническая поверхность называется бо­

V и V n объемы цилиндров Р и Р n' а через r n - радиус цилиндра Р n ' Так как объем призмы F n равен Snh , где Sn ­

венств следует а

и высоты

через

~-------I sina

r

1

Тело, ограниченное конической поверх­

призму впишем цилиндр Р n . Обозначим

поверхности и площади двух оснований.

Точно так же из второго и третьего ра­

5

ную n-угольную призму

Площадью полной поверхности цилин­

дра называется сумма площади боковой

с

Рис.

Доказательство. Впишем в данный ци­

ружности основания на высоту цилинд­

а

4

За площадь боковой поверхности ко­

призма р n

линдра nринимаетсяплощадь ее разверт­

длине окружности ос­

~

кости этой окружности. Каждую точку окружности соединим отрезком с точкой

Объем цилиндра

-

нования конуса.

Рассмотрим окружность L с центром О

цилиндр Рn Рис.

г----~-----------------I

h.

с

в

х

Боковую поверхность конуса можно раз­

Итак, об7>ем цилиндраравен nроизведе­

вернуть на плоскость, разрезав ее по од­

нию площади его основания на высоту.

ной из образующих, например РА (рис.

3). Разверткой боковой поверхности конуса

...J

L явл~ся круговой сектор (рис. ~ радиус

Точка В имеет координаты (с; О), а точ­

I -.l

ка С

- координаты (Ь' соэ а; Ь' sin а). По

формуле расстояния между двумя точка­ ми получае~ ~ _ ...J

75

г-----------------~----I Выразим а через

1 и r.

Так как длина

дуги АА' равна 21tr (длине окружности

основания конуса), то 21tr = куда

Доказательство. Рассмотрим конус с

радиусом

R

основания, высотой

h

j

и вер­

шиной в точке О. Введем ось Ох так, как

1t1 2

360 а,

от­

показано на рис.

5

(ОМ

360r

ось конуса).

-

о

a=-Z-'

Подставивэто выражениев формулу (1), получим

о%ОК

= 1trl.

..а::

(2)

Таким образом, площадь 60ковой по­

верхности конуса равна произведению половины длины окружности основания на длину 06разующеЙ. Площадью полной поверхности кону­ са называется сумма площади боковой по­ верхности и площади основания. Площадь

Рис.

полной поверхности конуса вычисляется по формуле

8полн

= 1tr(l + r).

(3)

Теорема. 06ъем конуса равен одной трети произведения площади его основа­ ния на высоту.

=

называют

0606щенной теоремой Пифагора. Такое название объясняется тем, что в теореме косинусов содержится как частный слу­

чай теорема Пифагора. В самом деле, если в треугольнике АВе угол а

90' =

(х), где х

8

-

абсцисса точки

В1

R

I _ 1 I или h-R I I откуда В1 =т. лR I Так как 8(х) = 1tRf ' то 8(х) = ---,;2 х I = = h, I I

-

прямой, то

О и по формуле

+ с2 ,

х

В

хВ

Теорема доказана.

Ь2

сечения через

М 1. Из подобия прямоугольных треуголь­

ОМ

Теорему косинусов иногда

=

. Обозначим

радиус этого круга через В1, а площадь

ОМ1

а 2 = (с - Ь соаа)2 + Ь 2 sin 2a = с 2 - 2Ьс . соаа + Ь 2 соа 2 а + Ь 2 sin 2a с 2 + ь 2 - 2Ьс соаа.

соа а = соа

ся кругом с центром в точке М 1 пересече­

ников ОМ1А1 и ОМА следует, что

-~­

чаем а 2

стью, перпендикулярной к оси Ох, являет­

ния этой плоскости с осью Ох

Объем конуса

=

5

Про изволь ное сечение конуса плоско­

(1)

полу­

т. е. квадрат гипотену­

зы равен сумме квадратов катетов.

2

2

•

Применяя основную формулу для вычис­

ления объемов тел при а

О, Ь

полу­

чаем

h

V =

*

2

f!::!ih2

2

x 2dx =

О

h

!::!if h2

x 2 dx = О

I = лR x31h _! 2 h 2 3 О - 3 7tR h. I 8 I 1 I лR ,поэтому V = "3 8h . I V h, I 8 81, I I 1h -.l _ _ _v_ = "3 (8 +81 +JS8;). _ _ _ _ _ _ _ ...J 2

Площадь

основания

конуса равна

2

Теорема доказана.

Следствие. 06ъем

усеченного конуса,

высота которого равна нований равны

формуле

L _

76

~

и

а площади ос­

вычисляется по