ББК
г----~-----T-----------I
22.1
I
Линейная функция,
1.
ф51
2.
ее график и свойства
k
"#- О, называется
ной
...
80 downloads
271 Views
5MB Size
Report
This content was uploaded by our users and we assume good faith they have the permission to share this book. If you own the copyright to this book and it is wrongfully on our website, we offer a simple DMCA procedure to remove your content from our site. Start by pressing the button below!
Report copyright / DMCA form
ББК
г----~-----T-----------I
22.1
I
Линейная функция,
1.
ф51
2.
ее график и свойства
k
"#- О, называется
ной
Зависимость между величинами х и у.
при
= kx
которая выражается формулой у = l!-,
прямо nроnорциональ
х
зависимостью.
Например, (рис.
у
0,5х, У
=
=
-1,5х, у
=
где
х
х"#- О, называется
циональной
1).
нуля,
у
ной
обратно
nроnор
зависимостью.
Действительное
II
'
ее график и свойства
Зависимость между величинами х и у, которая выражается формулой у
k
Функция у = х
называют
число
отличное
k,
коэффициентом
от
обрат·
nроnорциональности.
Графиком функции у = l!- является х
кривая,
состоящая
метричных
"
2
" ""
нат.
х
\
Такая
С воиства
~
u
........ \~
.:~
III "
т. е.
называется
гипербо
функции
у
k
=
х
всех
чисел,
отличных
от
нуля,
Функция нечетная, так как
1
f(-x)
жду переменными х и у (~= k ) приводит К простейшей линейной функции у проходящая через
=!!...- =_l!- =-f(x). -х
х
График функции симметричен относи тельно
= kx.
Если
График простейшей линейной функции прямая,
сим
коорди
(-00;0) U (О; + 00).
Прямо пропорциональная зависимость ме
есть
кривая
начала
Область определения функции есть мно
IV
жество
Рис.
относительно
лой.
~
" ,," " -1,5
из двух ветвей,
начала координат.
k >
О, функция убывающая. Ветви
гиперболы расположены в
начало
натных четвертях (рис.
прямоугольной системы координат.
и
1
111
коорди
1).
Угол а наклона этой прямой определя ется коэффициентом
а), кото
k (k = tg
рый называется угловым коэффициентом прямой. Если если
Филатов о. А. ф51 Шпаргалки по алгебре и геометрии. - СПб.: Издательский Дом «Литерю>, 2008. - 80 с. - (Серия «Средняя
k>
О, то угол а
О, то угол
k <
а
-
-
острый,
= kx
Область определения функции
-
жество
R
~
III
мно
= kx
Если
имеет единственный
k>
О, то функция у =
kx
гается в
Если
ISBN 978-5-94455-380-5
1
k <
и
111
координатных
О, то функция у
ординатных четвертях (рис.
возрастает
убывает
на всей числовой оси и ее график распо лагается в
11
и
IV
координатных
четвер
тях.
Функция У =
kx -
III
нечетная.
Промежутки постоянного знака зависят
©
ISBN 978-5-94455-380-5
Филатов О. А,
2005
© Издательский Дом «Литера», 2008
I IL
х> О.
и
IV
ко
1
~:
Рис.
от
k: а) если k > О: у > о при х > О, У < О при х < О; б) если k < О: у > О при х < О, У < О при
11 2).
y~
II~
четвертях.
= kx
1
О, функция возрастающая. Вет
на всей числовой оси и ее график распола
школа»).
\
ви гиперболы расположены во
корень х = О. Если
k<
х
IV
Рис.
всех действительных чисел.
Функция у
~IO
тупой.
Свойства линейиой функции у
~I
11
11
I ~
2
Из рис. 1 и 2 видно, что гипербола не имеет общих точек с осями координат, а
лишь сколь угодно близко к ним прибли
жается.
~-~
3
г-----------T-----~----I Пример. Решим графически систему
Линейная функция у = kx + Ь Линейной фУНI(;цией называется фУНI(;· ция у = kx + Ь, где k и Ь Hel(;omopble
уравнений
!
у
=12 -
числа.
х
Частный случай.
у = 3х
Если
Решение. На одной координатной плос
=
Ь. График данной
Ох (рис. 2) и отстоящая от нее на
12
Ibl
еди-
ниц (вверх, если Ь > О, и вниз, если Ь < О).
При Ь = О графиком функции у = О явля-
у = эх (р•• о :>0
""". о'" 'боЦ~."О у
~~
г----~-----------------I
=~ х
123456 х
фУНI(;ция, заданная формулой
у = ах 2 + Ьх + с, где х, у - nеременные, а, Ь, с - действительные числа, причем а
* О,
называется I(;вадратичноЙ.
График квадратичной функции назы вается параболой. Если а
Рис. 3
кам
х ffitEEВ±Бj
У 2
3
4
6
6
4
3
2
График второй функции - прямая, про ходящая через начало координат.
>
О, то ветви
параболы направлены вверх (рис.
если
а
вниз
1); < О, то ветви параболы направлены 2 (рис. 2). Здесь D = ь - 4ас.
:
yt
I О х I I Рис. 2 Общий случай. I *0, Toy=kx+b. Областью определения линейной функ- I ции служит множество R всех действи- I I тельных чисел, так как выражение у = kx + Ь I I имеет смысл при любых х. График линейной функции у = kx + Ь I I есть прямая линия (рис. 3). Для ее постро I ения достаточно двух точек, расположен- I I ных на осях Ох и Оу: А(О; Ь), в(-*;о) I
Функция
Свойства функции
Область определе
У
= х2
У
Множе'
= 2;
у
= 6.
Коорди
Система уравнений имеет только одно
I
+ Ьх + с
ствоН
(О; О)
хо
Ь
= 2а ;
вершины
'а> О
iD>O
параболы
Уо
ь 2 - 4ас
=--- 4а
Х12 =-~± , 2а
х=О
+ ~1irJ-4ас
,
2а
у
у
D
х
~ О.
Нет корней
а>О
при : (хо ; Уо)
хо ;
D
при
а>О
D=O
х
01
Экстре мумы
О.
Минимум
мумв
В вершине
вершине
Рис.
D<
Мини
при а
>
О;
Максимум
у
в вершине
при а
1 k
Область
Ь < О).
значений
решение.
I
ах 2
МножествоR
наты
Корни
*
1
=
ния
ГрафИКИ обеих рассматриваемых функ I при Ь> О либо А (О; -Ь), В (~; о) при
ции имеют одну общую точку: х
+ Ьх + с
приведены в таблице.
ее график и свойства
Еслиk
Строим график первой функции по точ
Свойства функций у = х2 и у = ах2
Квадратичиая функция,
3.
ь
5
1 12
О, то у
функции есть прямая, параллельная оси
кости строим графики функций у = -;
•
k =
I I I I I I I
[0;+00]
О.
[УО; +00] при а
у
<
>
О;
[-00; УО] при а
_~ а<О
'о
!
'Хо
О
х
. :.'
D=
Yg
О
хО
О
х
D
,х
ОП
i i
i j
Рис.
Рис.
3
График линейной функции у =
kx
+
Если а = 1, Ь = с
Ь
может быть построен с помощью парал лельного переноса графика функции у
на
Ibl
Оу, если Ь
<
jbl
О, то у
=
х 2 • График
у
= kx
3.
О.
Четность
Четная (-х)2
=
х2
Ни четная, ни нечетная
Симмет
Симме
Симметрична
ричность
трична
относительно
параболы
относи
прямой,
тельно
проведенной
осиОу
через точку
ХО
Ь
=-
2а
параллельно
4
единиц вверх вдоль оси Оу, если
Ь > О, или на
=
2
этой функции изображен на рис.
<
<О
оси Оу
единиц вниз вдоль оси
О.
-3 -2 -1
L_~--------~-----------~
10 1 Рис.
L
2
3
х
3 ~-~
4 5
г-----------------~----I
у
Пример
1. Построить график функции х 2 - 2х - 3, указать промежутки, в
=
которых функция возрастает и убывает.
Указать значения х, при которых у
> О.
Указать минимум функции.
Решение. Поскольку а
> О, то графиком
функции является парабола, ветви кото рой направлены вверх (см. рис.
1.
1).
Находим координаты хо и уо верши
ны параболы:
Ь
(-2)
2
хо == - 2а == -
(_2)2 -4(-3)
4а 4 == _ 4 + 12 == -4. 4 2. Находим точку на оси Оу при х = О: у(О) = 02 - 2 . О - 3 = - 3. Точка на оси Оу (О; -3). 3. Находим корни функции:
b~
=--+
2а
-2
=--+ 2
г----~-----T-----
можно
• • •
параллельного переноса
(-
Определения
Уравнение вида ах 2 + Ьх + с = О, где х
;
:а О );
переменная, а, Ь, с ла, причем
[ О;
_
ь 2 - 4ас ] 4а
переноса
2
вают первым коэффициентом, рым коэффициентом, с
.
4.
или
с
Осуществив все указанные выше преоб
ние
называется
Ь
-
вто
5.
ют у
"
у=2х 2 +2х+2
1
Рис.
нулю,
трех
==
О,
с == О, то ах == О;
б) если Ь
==
О,
с
2
Пример
О
2
Ответ: хl
с == О, то ах + Ьх == О.
Пример
Х2
2а
ции у = х 2 - 2х - 3 (рис. 4).
причем Корни
а"*
Х2'
+ Ьх + с =
1,
называется
+ Х2
хl
.
О, где а, Ь,
полным квад
квадратного
-b±~ 2а
I I
JI
6.
14.
Разложение квадратного
трехчлена на множители
1.
Квадратный трехчлен х2 + рх + q мож-
но разложить на множители следующим
х2
уравнения
+ рх + q = (х - хl) (х - Х2)' х2
'
•
Если
D
(1)
уравнению ах
х 2 - 14х
Рис.
Из рис.
4
-
>
о при
-
00
< х < -1
< х < 1 ,
1 < х < + 00;
и
3 < х < + 00
называют корнем кратности два.
лежит
функции уо = L_~
6
выше оси
Ох.
-
Ь
2
а
• Если D > О, то квадратное уравнение
,
имеет два различных действительных кор ня, вычисляемых по формуле (1).
так как график функции при этих зна чениях
хl
О. Однако усло
ствительных корня, а само число
00
функция возрастает при у
х 2 - 14х
Минимум
• Если D ~ О, то квадратное ууавнение
-4. ~
L
не имеет деиствительных корнеи.
= 6,
+ 48
Х2
О по теореме Виета:
=
= 8.
Следовательно,
х 2 - 14
ратное уравнение имеет два равных дей
видно:
функция убывает при
Находим корни уравнения
вились говорить, что в этом случае квад
4
+ 48.
Решение.
удовлетворяющее
+ Ьх + с =
корни уравнения
+ рх + q = О.
Разложим на множители трехчлен
= О, то существует только одно 2
I I I I I
Пример.
D.
переменной,
-
где хl и Х2
минантом квадратного уравнения и обо
значение
теореме
-7,
-2.
/{о образом:
где выражение ь 2 - 4ас называется дискри значается буквой
О имеет корни
согласно
-9,
=
Х2 =
вычисляют по формуле
х1,2
+ 9х + 14 =
которых,
I-----~-----I
уравнением.
полного
2.
дЛЯ
хl
Х2 =
действительные числа, не равные нулю,
ратным
и
Х1 =
2.
Уравнениевида ах 2
-
= 8 (-10) = -80.
Решив эту систему двух уравнений с
Полное квадратное уравнение с
Х2
двумя неизвестными, получим
= - 4.
уравнение не имеет решения.
~ == 1. Строим график функ
q.
Виета, выполняются следующие равенства:
Ответ: В области действительных чисел
= 4: у(4) = 16 - 2 . 4 - 3 = 5, получим точку (4; 5). 5. Осью симметрии параболы служит
+ Х2 = 8 - 10 = -2,
.
хl
Решим уравнение: 2х 2 + 8 = О.
Решение: 2х 2 = -8, х 2 = -4.
Дополнительную точку рассчитаем
=
хl
Уравнение х 2
2
= 4,
Х2
хl
Пример
то ах 2 + с == О;
хl == +М == 4, Х2 == -М == -4.
5
=1+2=3;
.
равенства теоремы Виета:
1.
Решим уравнение зх 2 - 48 = О.
Решение: зх 2 = 48, х 2 = 16,
х
ние корней равно свободному члену: хl + Х2 = -р,
1. Уравнение х 2 + 2х - 80 = О имеет корни хl = 8, Х2 = -10, так как выполняются
то квадратное уравне
а) если Ь
в) если Ь"* О,
противоположным знаком, а произведе
Пример
неnолным.
"* О,
го уравнения х 2 + рх + q = О равна коЭФ
фициенту при неизвестном х, взятому с
хl
видов:
2
3
-2
равен
Теорема Виета
5.
Сумма корней приведенного квадратно
свободным чле
Неполные квадратные уравнения быва
разования, получим график, приведенный
2а
== -
а назы
Если хотя бы один из коэффициентов Ь
при х
прямая хо
-
I I I I
ном.
X2=-~ ~ ==1-2=-1. 2а
называется квадрат
В квадратном уравнении число
2а
~4-4(-3)
а"* О,
2. Построить график функции 2х + 2х+ 2.
на рис.
действительные чис
-
ным уравнением.
сжатия (или растяжения) в а раз; параллельного
Квадратное уравнение
4.
получить из графика функции у = х 2 с помощью следующих преобразований:
2
ь 2 -4ас
хl
+ Ьх + с
Пример
== 1;
=----=
уо
График функции у = ах 2
I
I I I I ~
2.
+ 48
=
Квадратный
(х - 6) (х - 8).
трехчлен ах
2
+
Ьх
+
с
можно разложить на множители следую щим образом:
ах 2 + Ьх + с = а (х - хl) (х - Х2)'
где х их - корни уравнения 1 ~ _ ах + Ьх + с-О. ~-~
7
г-----------T-----~----I В том случае, если приведенное квад-
ратное уравнение имеет действительные корни, теорема Виета позволяет судить как о знаках, так и о значениях корней: если q
О, Р
>
О,
>
если q > О, Р < О,
то оба корня отрица-
тельны;
то оба корня поло-
жительны;
если q < О, Р > О, то корни имеют раз-
I I I I I I
ные знаки, причем
отрицательный
ко
рень по модулю боль ше
если
q < О, Р < О,
положительного;
то корни имеют раз ные
знаки,
При,мер
1.
Решим уравнение 2х 2 - 3х Решение: Хl,2 =
3 ± ../з2 - 4 . 2 . 1 2.2
+1=
ко
О.
При сравнении двух действительных
чисел х и у возможны три случая:
3 ± Ji
1) 2) 3)
4
D
Так как = 1, т. е. D > О, то уравнение имеет два корня: 3-1 1 хl = 3 + 1 =1, Х2 =-4-="2' 4 1 Ответ: Хl = 1, Х2 = 2" При,мер 2. Решим уравнение 2х 2 - 3х + 4 = О.
Хl,2
Так
*
-----X-----
Запись
ется
+ 6х + 1 =
>
неравенства,
~
3' .
:5:
или
составленные
<,
~, называют
ла, а вида а
>
Ь, С
< d -
'3 .
5>2
и
-4 > -6 -
'Уравнение вида х 2 nриведенны,м
1; хl
О:
Число р называют коэффициентом при
2' .
+1=
2 (х - 1) (х -
Если
Корни приведенного квадратного урав
ребляется запись х < а < у; такое неравен-
ство называется двоЙны,м. Если неравенство содержит буквенные
Приведенное квадратное уравнение име-
ет два равных корня, если
(f r
выражения, то оно является верным лишь
п и оп еделенных значениях входящих в
р
= q.
Решим уравнение Решение:
Х1,2 = =6
Например, неравенство (а + ь)2 ~ О вер-
хl
- 12х - 28 = О.
но при любых значениях а и Ь, так как
P-=
квадрат любого числа есть число поло-
жительное; неравенство х 2 > О верно при
12 12JJ + 28 = '2 ± Vl'2 2
± .)36 + 28
= 14,
Х2
Ответ: хl =
=6
= -2. 14, Х2
любых значениях х, кроме нуля.
Решить неравенство
- значит указать границы, в которых должны заключать-
± J64 = 6 ± 8; =
ся действительные значения неизвестных величин, чтобы неравенство было верным.
-2.
Решить приведенное квадратное урав
При,мер. Решим неравенство -2х
нение, т. е. найти его корни, можно по
L_~
~
теореме Виета.
р
него переменных.
При,мер.
х2
собой
Вместо двух неравенств х < а, а < у упот-
Хl,2 =_l!..+ Р-ру 2 vl2) -q.
1
представляет
> 4.
2
~
члено,м
d
d.
знать ее первый
d.
Если разность арифметической прогрес
сии
-
положительное
число,
то
такая
прогрессия является возрастающей; если
-
разность
отрицательное
число,
то
та
кая прогрессия является убывающей. При,мер
противополож
ется верны,м.
нения вычисляют по формуле
2' ).
неравенство
nервы,м
достаточно
член аl и разность
5 < 10
истинное высказывание, то оно называ-
свободным членом.
q-
прогрессию,
Например,
Неравенства, содержащие только числа, называются числовы,ми HepaвeHcmвa,ми.
называется
а2 - аl = аз - а2 = ... = ak - ak-l =
неравенства одинаково
неравенствами
(1)
Для того чтобы задать арифметическую
назы
ного смысла.
квадратны,м уравнение,м.
неизвестном х, а
1
=
являются
О, где р и
действительные числа, называется
q -
+1=
+ рх + q =
- 1),
лу:
нестроги,ми.
и
+ d (n
щим членом равна одному и тому же чис
помощью
6 > 4
аl
любые заданные числа.
Разность между любым членом арифме
неравенствами
противоположного смысла.
1
=
тической прогрессии и ему предшествую
с помощью
>d
т. е. пишут
разностью арифметической прогрессии.
~. называ
с
аn
d -
Число а
называют строги,ми;
составленные
+,
... ,аn ,· ...
арифметической прогрессии, число
ваются неравенствами одинакового смыс
Приведенное квадратное уравнение
+ 1.
или
Два неравенства вида а> Ь и С
= О, то уравнение имеет два
-
или
Обозначают арифметическую прогрес
сию, употребляя знак
где аl и
читается так:
неравенство,м.
знаков
О.
>. <.
го смысла, анеравенства
Следовательно,
8
у:5: х
О,
•.
Неравенства,
знаков
Находим корни уравнения
2х 2 - 3х
или
единены знако,м
О, то уравне-
,метической nрогрессиеЙ.
Общий член арифметическойпрогрессии
выражения. содержащие nере,менные. со
-6 ± ";36 - 4 . 9 . 1 -6 Хl,2 = 2.9 = 18 = -
Решение.
хl =
6 > 4, т. к. 6 - 4 = 2 > 3 - 5 = -2 < О.
х ~ у
nредшествующе,му члену. сложенно,му С oдHUМ и те,м же число,м. называется ариф
рассчитывается по формуле
Запись. в которой два числа или два
Решение:
равных корня
Разложим на множители трехчлен
2х 2 - 3х
т. к.
3 < 5,
Числовая последовательность. каждый
член которой. начиная со второго. равен
+аl,а2,
у меньше нуля.
Например,
При,мер.
2х 2 - 3х
-
Арифметическаяпрогрессия
8.
Определения
у больше нуля.
-
Число х меньше числа у, если разность х
3.
D
I I I I I I
.х больше или равно у. или .у меньше
Решим уравнение 9х 2
Так как
у (х меньше у).
если разность х
ние не имеет действительных корней.
I I
I
I
х
у (х больше у);
> <
или равно х
3 ± ";9 - 4 . 2 . 4 2·2 как D = -23, т. е. D <
При,мер
х
х - у равна нулю. Число х больше числа у,
Решение:
положительного.
х = у (х равно у);
Число х равно числу у, если разность
рень по модулю мень ше
Неравенства, их основные свойства
7.
Определения
причем
отрицательный
г----~-----T-----------I
'tJ I I I I
Назвать первые пять членов
1.
прогрессии:
а) аl б) аl
= 2, d = 3: +2, 5, 8, 11, 14;
= 12, d = - 3: +12, 9, 6, 3, О.
Свойства арнфметнческой прогрессии 1.
Каждый член арифметической про
грессии, начиная со второго, равен пре
дыдущему, сложенному с разностью d, т. е.
_
I I I I I I I I I
2
ak+l - ak
.
К
+d
~
,аl
=
а,
k
=
1 2 "
Ф
.... ~
аждыи член ари метическои про
грессии есть среднее арифметическое двух
равноудаленных от него членов этой про
грессии, т. е.
ak+m
+ ak-m 2
ak =
'
где k и т - любые натуральные числа и
k > т. 3. Любой член арифметической прогрес сии, начиная со второго, является сред ним арифметическим предшествующего и последующего членов, т. е. а
n
+а
n+2
L~=:HepaBeHcT~ePHo~~~~~_~n+l~~_~~~_~ 2 Шпаргалки
по алгебре и геометрии
9
г-----------T-----~----I Для любой конечной арифметической
4.
прогрессии сумма двух членов, равноот-
стоящих от ее концов, есть величина постоянная для данной прогрессии, равная
сумме крайних членов: ak где
k
и т
+ а m = аl + а n ,
номера членов,удовлетворяю-
-
щие условию
k
+т
1 + n.
=
При,мечание. Свойство
так же как и свойство
1,
2,
является условием, достаточным для того,
чтобы соответствующая последователь-
ность аl' а2' ... , а n , ... была арифметичес-
кой прогрессиеЙ.
сумму
последователь
n
ных членов арифметической прогрессии:
Sn
=аl + а2 + аз + ... + аn -l + аn .
(2)
Эта сумма вычисляется по формуле
8
n
= (аl + а n )
2
Если х > 3у, а 3у >
12.
Ь, то а
+с
+ с или
Ь
>
а - с
>
Если к обеим частям неравенства 9 > 5
прибавить
7,
вычтем
то получим
7,
то получим
16 > 12, 2 > -2.
а если
(3)
*
Ь, то 5а
>
5Ь.
на
ное
и
число
одно
и
то
из,менить
же
можно вычислить по формуле
= 2аl + d (n - 1) 2
(сп) известно, что С2 и сумму первых
(4)
·n.
= -2, d = 3. пяти членов
Найдем прогрес
+ d,
сl
- d = -2 - 3 = -5. (1) найдем С5:
С2
По формуле
=
сl
+ d (5 -
По формуле
1) = -5
+3
2.
. 4 = 7.
ла
(3) найдем сумму первых пяти
членов данной арифметической прогрес
85 = (сl + С5) .5= -5 + 7 .5 = 5. 2 2 Можно вычислить эту же сумму
можно
(4):
2 (-5) + 3 (5 - 1)
85= 2 ·5= = -10 + 12'5 = 5. 2
L_~
Если
знак
того
изводится
3. по
Ь)
почленно
вычитать,
неравенства,
из
-
с
> >
Ь) Ь
-
а) Ь 1
оставляя
про
< d)
- d.
ас>
4.
>
О и с
О и О
<
q
< 1
О, то знаки членов прогрессии
возрастающая прогрессия;
б) Ь 1
'2
>d>
3
'2 -
~
bd.
1. Каждый член
а>Ь
щему,
начиная со
График функции
На интервале
(_00; О] функция убы
+ 00) -
возрастает.
Минимум функции равен нулю. Промежутки знакопостоянства: функ
x 2k принимает положительные
=
х
*-
О. в точке Х = О
ется парабола, ветви которой направле ны вверх.
Свойства функции у = x 2k + 1 (с нечет
убывающая прогрес-
положительным показателем
ни), где
геометрической прогрес второго,
равен
bk+l = bk . q, где k = 1, 2, ...
(2)
степе
число натуральное
2.
Область значений:
3.
Функция нечетная, так как
предыду
умноженному на знаменатель про
k -
Например, у = х з , у = х 5 (рис. 2) и т. д. 1. Область определения: Х Е R
прогрессия не яв
грессии, т. е.
L
+ 00).
она равна нулю. Графиком функции явля
=
сии,
[О;
значения при всех
ным
ту же натуральную степень. Например, при
a k > bk
4. 5. 6.
Свойства геометрической прогрессии
ными членами можно возводить в одну и
полуинтервале
симметричен относительно оси Оу.
вает, а на интервале [О;
ляется монотонной.
Обе части неравенства с положитель
множество поло
-
3. Функция четная, так как (-x)2k ... x 2k ,
1
1 2, q = -3 2, -6, 18, -52, 156 -
О
-l _ _ _гдеа>О,ь>о', _ _ _ _kEN. _ _ _ _ ...J
q =
R
поэтому ее достаточно исследовать лишь на
= 1, q = 2
= 24,
Область значений
ция у
1,2,4,8, 16 -
в) Ь
Ь
>
множество
[0;00).
О и
сия;
умножать.
>
q<
24, 12, 6, 3,
Неравенства одинакового смысла с
Например, при а
2.
нов геометрической прогрессии:
положительными членами можно почлен но
>
-
жительных действительных чисел, т. е.
При,меры. Определим первые пять чле
которого
(с
про
тонной.
вычитание.
а и
>
Если Ь 1
Область определения
действительных чисел.
будут чередоваться и она не будет моно
Неравенства противоположного смыс
Например, при (а
сии:
формуле
смысла
+ (с > d) а + с > Ь + d.
откуда
следует, что
убывающей.
складывать.
Например, при (а
С2 = сl
q.
1
Рис.
1.
то геометрическая прогрессия будет
возрастающей; если Ь 1
одинакового
О
геометрической
вый член Ь 1 и знаменатель
Действия снеравенствами почленно
q *-
О,
(1)
прогрессию (Ь n )' достаточно знать ее пер
q> 1,
Неравенства
*-
х
10
-1
Для того чтобы задать геометрическую
и к делению.
1.
k - число натуральное Например, у = х 2 , У = х 4 (рис. 1) и т. д.
грессии не может быть равен нулю.
ножением на число, обратное делителю,
можно
(с четным
..·=
ни один из членов
-Ь.
то аналогичные правила можно применить
Решение:
=
<
= x2k
показателем степени),
где
по пра
=ьt .qn-l,
Ьn
N.
Из условия ьt
(-1),
Так как деление можно заменить ум
7.
сии.
С5
т. е. -а
Свойства функции у
: ьn -l = ьn +l : Ьn = q.
где nЕ
неравенство.
Ь
ные виды степенной функции (n = 1, n = 2, n = -1).
у
неравенства
(-1) <
1
метрической прогрессии имеет вид
отрицатель
зна/С
любое действ и
n -
Функции у = Х, у = х 2 , У = -.; - част
Формула общего члена (n-го члена) гео
Если обе части верного неравенства
умножить
х n , где
Следовательно,
верное неравенство.
>
=
b1q;
Ь з = b2q = b1q2;
Ь 4 = Ьзq = ь 1q з и т. д.
~:Ьt=Ьз:~=
6.
ция вида у
тельное число (показатель степени).
Ь2 =
=Ьn
получится
Степенная функция
положительным
прогрессии.
формируются
10.
Степенной фун/Сцией называется фун/С
вилу:
число,
Например, если а> Ь, то а
При,мер. В арифметической прогрессии сl
ческой прогрессии
Если обе части верного неравенства
ное
членов.
геометрической
умножить на одно и то же положительное то
...
Согласно определению, члены геометри
ее /Срайних членов, у,множенной на число
Sn
,меnателе,м
+ Ь > с следует, что а > с - Ь, а + Ь - с > О. Например, х + 9 > 4, х > 4 - 9, х > -5. 5.
nрогрессиеи:
Число q, не равное нулю, называетсязnа
4. Любой член неравенства можно пере
а
гео,метричес/Сои
Ь 1 , Ь 2 , Ь З ' ... , Ь N '
При,мер.
на противоположный, то получится вер
Sn
шествующе,му члену, у,множенно,му на
Ь - с.
,метичес/Сой nрогрессии равна nолусу,м,ме
Иначе
дый член, начиная со второго, равен nред
получится верное неравенство, т. е. если
>
I
член /Соторой отличен от нуля, а /Саж-
ства прибавить одно и то же число, то а
зывается
Числовая последовательность, первый
то х >
12,
од по и то же число, nе р.авnое пулю, ,nа-
Определения
Если к обеим частям верного неравен
3.
Например, если а
.n
Су,м,ма n последовательных членов ариф
10
I
При,мер.
I I I I I
Геометрическая прогрессия
9.
1. Если а > Ь, то Ь < а.
2. Если а > Ь и Ь > С, то а > с.
его знак на противоположный, т. е. из
арнфметической прогрессии
Sn
I I I I I I I
г----~-----T-----------I
Свойства неравенств
нести из одной части в другую, переменив
Сумма членов
Обозначим
I
у Е
R .
(-х) 2k+l = _x2k +1 .
I ~
График функции симметричен относи тельно
начала координат.
~-...J
11
г-----------T-----~----I Функция возрастает на всей число-
4.
вой оси. В самом деле, если О
то x 2k + 1 < x 2k +1 1 2
Если Хl k 1 xr +
<
Х2
<
<
Хl
<
Х2'
О, то вновь
< x~k+l < О.
I 2. I равноудаленных от него членов этой про грессии, т. е. I ьk2 -- Ьk-m Ьk+m' (3) I где k и т - любые натуральные числа, Квадрат каждого члена геометричес
кой прогрессии равен произведению двух
причем
у
k >
(основание степени).
I
Свойства функции у = аХ при а
(2) следует, что если все чле
1.
ны геометрической прогрессии положи тельны, то
положительное число, не равное единице
I I I
11. Показательная функция Показательной функцией называется функцuя вида у = аХ, где а - некоторое
т.
Из формулы
г----~-----T-----
I
Область определения
-
2.
Область значений
-
т.
Х
Функция
если х
6.
аХ (где а
О, а"#
>
1
<
О, то О
<
аХ
-
<
а
< 1).
Моно
= 10gaY'
=
аХ выразить Х через у:
а затем поменять обозначения Х
= logax, = logax, где а - заданное > 1, а"# 1, называется логарифми
Функция У число, а
< 1.
ось абсцисс (рис.
аХ
на У и У на Х, тогда получим У
1.
ческой функцией.
График функции имеет единственную
асимптоту
=
Чтобы найти обратную функцию, нуж
Х равно
Функция у
цию.
е.
возрастающая.
-
1 ).
и убывающей при О
но из формулы у
При х = О значение функции 5. Если х > О, то аХ > 1;
-1
=
тонная функция имеет обратную функ
(0;00). 3. 4.
Рассмотрим показательную функцию
а>
множество поло
жительных действительных чисел,
функции
является монотонной (возрастающей при
R
действительных чисел.
можно записать
ее график и своиства
Построение графика логарифмической у
> 1
множество
u
12. ЛогарИфмическаяфункция,
Таким образом, показательная и лога
1).
рифмическая функции при одном и том
Рис.
2
Графики функций у
=
х n для
n = 2k
и
n = 2k + 1 называются параболами. При
n = 2 - это просто парабола, при n = 3
же основании являются взаимно обрат
*
ными функциями.
График логарифмической функции мож но построить, используя график обрат
ной ей функции У
кубическая парабола.
J;,
,
~~
Сумма члеиов геометрической
А"
прогрессии
"
~~'
Сумма Х
О
n
кой прогрессии
ВN = ~
+ ~ + ... + ьn
3
Область определения
1.
-
S _ n-
множество
положительных действительных чисел, т. е.
2.
[О;
у
вы
множество поло
8:1.0
+00.
График функции у =
J;
(4),
t
у+:;
~/~
. >'
Ц~,/
график
а> 1
\1 '" \O~.,; Х
1
Х
О<а<1
Рис.
полу
Построим
графики следующих показа
тельных функций:
5 (1- 210) = 5.1023 = 5115. 1-2
а) У а) У
= =
2 Х ; б) У 2 Х • Так
= -3' 2 Х ; в) у = 21 x l. как а > 1, то функция
возрастающая. Рассчитав значения функ-
ции при четырех значениях аргумента:
го угла графика у = х 2 , соответствующего
12
> 1, а на рис. 2 = logax при О < а < 1.
Построение графиков
может быть
-1; О; 1; 2, получим четыре значения функ-
Х;::: О.
~
функции У
""
получен путем зеркального отображения
L_~
изображен график функции
,/10
относительно биссектрисы координатно участку
1
при а
Рис.
чим
Функция монотонно возрастает от О
= logax
= а'
О
= 5, q = 2.
Решение. Используя формулу
т. е.
+ 00).
3. до
которой Ь 1
На рис.
у
(4)
,
ти членов геометрической прогрессии, у
-
жительных действительных чисел, [О;
1-q
вы и равны а.
О<а<1
Пример. Определим сумму первых деся
+ 00).
Область значений
~(1-qn)
Х при условии, что основание
=
у
членов конечной геометричес
числяется по формуле Рис.
прямой У
= logax будет сим = аХ относительно
логарифма и основание степени одинако
< а < 1 1. Область определения - множество В. 2. Область значений (О; 00) . 3. Функция - убывающая. 4. При х = О значение функции равно 1. 5. Если х > О, то О < У < 1;
если х < О, то У > 1. 6. График функции имеет единственную асимптоту - ось абсцисс (рис. 2).
1,.,/ , ........
аХ.
метричен графику У
Свойства функции у = аХ при О
обратную
у
/f'
х
Рис.
Свойства функции у = ..Б
Рассмотрим функцию у = функции у = х2 (рис. 3).
=
График функции У О
~
ции .' !. 2' l', 2', 4 . L___________
/,//10
I~X
Oк.~
I
I ..1I
Рис.
2
График логарифмической функции рас
положен правее оси Оу и проходит через
точку (1; О).
_
~-~
13
г-----------T-----~----I Свойства логарифмической функции
1.
Область определения
-
множество
положительных действительных чисел, т. е. (О;
2.
I I
динатную плоскость (рис.
-
множество
R
13.
3).
4,
всех
Корнем n-й степени
= 2У:
3.
ствительное число
Монотонность:
Если а>
1,
функция является возраста
<
а
< 1,
вающей.
1 функция равна нулю; > 1 функция принимает тельные значения: у < О. 5. Функция непериодическая,
2
О
Рис.
жительные значения: у> О;
ется символом
х
('{jQ,)n
3
б) график функции у
= -3 . 2 Х
симмет
кции у
= 3 . 2Х •
а
Поэтому сначала строим
график функции у = ем график функции
*
n-я
Любое число а, отличное от нуля, в ну
левой степени равно единице, т. е. аО = 1.
степень которо
Примеры: (-з)0 = 1; 1520 = 1;
не
отрицательным
извлечением
ца,
lCорня.
которого
nодlCоренным выражением.
показателем
на
степень
равно
есть
едини
того же числа с
показателем, модулю
значение
отрицательного
аn
существует.
Примеры: з-2 =J:... =!; з2
9
(!)-2 =(~J2 =~ =2!'
Корень нечетной степени извлекается и
3
W::S
из отрицательного числа: = -2, так как (-2)3 = -8. Чтобы устранить двузнач
х
= 1.
показателя, т. е. а- n = -.!.....
и а < О,
имеют смысла.
ни чет
деленная
положительным
называется nОlCазателем кор
Например, выражения Н; ~ не
отрица
J
Степень какого-либо числа а с целым
называется
n
(157
Степень с отрицательным показателем
а.
Заметим, что 2~, где k Е N
у
2
4
4'
(_з)-2 =_1_ =!. (-з)2
ность корня n-й степени из числа а, вво
9
дится понятие арифметического корня.
Единственной асимптотой графика
АрифметичеСlCимlCорнем n-й степени из
числа а (а ~ О) называется неотрицатель
ординат.
ное число Ь, n-я степень которого равна а,
Рис.
в) У
=
функции
21xl. у
=
где
4
2
Х
при
вается lCвадратным и обозначается
х ~ О. Поскольку
симметричен относительно оси Оу (рис.
Свойство
-1
х
Рис.
~
=
а.
арифметического
.Jii.
5
~
I I I I I I I I I I I IL
-
I-----~----
I I
~
корня:
О,
а
возвести
подкоренное
уменыIитьъ
степени подкоренного
в
n
по основа
так как
2-2
десятичный
значение
с
= ~ =0,25.
логарифм.,
= 10iab,
т.
е.
= 10.
аС = Ь
подставить
получим основное
логарифм.ичеСlCое тождество:
aloiab • Ь.
не изменится,
Например, основного
если
n
раз и одно
раз
показатель
его показатель уменьшить в
О)
без указания основания обо
Если в выражение
выраже
J4 =2·f43 =~. корня
19
логарифм по основанию а
'{jQ,=n~, а;::О. Значение
>
называют таlCое
с - loga b.
значается
ние в степень т:
Например,
* 1)
число с, что аС =_Ь :
Знаком
Значение корня не изменится, если
временно
>
!og2 0 ,25 = -2,
его показатель увеличить в т раз и одно
2.
(а
всегда положителен.
кориями
временно
нию а,
Примеры: log28 = 3, так как 23 = 8;
Действия с арифметическими
1.
Логарифмы
15.
Логарифмом числа Ь (Ь
/{о
(~)n =~ =Ial,
5). Т.е. он
о
натуральное число, Т.е. ь
n> 1-
n
Корень второй степени из числа а назы
Построим сначала график
функция у = 21 xl четная, то ее график
14
х,
'{jQ,. Тогда по определению
ня, число а -
логарифмической функции является ось
L_~
=
Число
3 . 2 Х , а затем получа у = -3' 2 Х (рис. 4).
ная, ни нечетная.
6.
Степеиь с нулевым показателем
Нахождение корня n-й степени из числа
ричен относительно оси Ох графику фун
при х = при х
* 1 ) из
и n
N
Корень n-й степени из числа а обознача
-1
функция является убы
4. Промежутки знакопостоянства: • Если а > 1 (рис. 1), то
при О < х < 1 функция принимает отри
цательные значения: у < О; при х = 1 функция равна нулю; при х > 1 функция принимает положи тельные значения: у > О. • Если О < а < 1 (рис. 2), то при О < х < 1 функция принимает поло
Е
го равна а.
ющей. Если О
(n
действительного числа а называется дей
действительных чисел.
Свойства степени
14.
с отрицательным, нулевым
и дробным показателями
Определения
у
I
Корень n-й степени
из действительногочисла
у
00) .
Область значений
г----~-----T-----
Нанесем полученные значения на коор
з lоg з 6 = 6,
21og2 7 = 7. Из
логарифмического
тождества
следует, что для любого х верно равенство
!oga аХ =х.
выражения
rr(;;k = m:~,
Из определения логарифма следует, что
а;:: О.
loga1 = о и logaa = 1.
Например, ~ = ~ =~. I
~
~
~ 15
г-----------T-----~----I
I Степень с дробным показателем I 3. Корень из произведения нескольких Степень какого-либо числа а с дробным сомножителей равен произведению кор J!.. DГ"::q I ней той же степени этих сомножителей: II
q литель р является показателем корня, а I ~=~'!fbrry;;, a~O; b~O; C~O.
I знаменатель q - показателем степени под I коренного выражения. Число q - раци j;;4b3 = J:l Jb3 = a 2 Jb2b = a 2bJb; I ональная дробь. Е~ли РЕ Z, q Е N, то
J75 = J25 . 3 = J25 . J3 = 5JЗ.
I по определению а q = if;;P. Можно выполнять обратные преобразо
I Примеры: 2 2 ~'!fbrry;;=~. I 273 1= ~ = (т) = з2 = 9; Например, v;;2щ;'(;5 =~a2bc5; I (-8)3 =~ =-2.
I 1 3 м,J;;bЗ = Ja 4b4 =а 2 ь 2 .
Выражения (-8)2 и (-8)4 смысла не 4. Корень из частного равен частному от I I Степень с рациональным показателем Степень с рациона~ьным показателем '" I обладает ~=~:".!:/b, a~O, b~O. теми же своиствами, что и сте- ~ I пень с натуральным показателем, а имен- I М об преоб но: если а > О и n Е Q, т Е Q, то ожно выполня:ъ ратные разова пия по этому своиству:
I а) а . а =а + ; б) а : а =а - ; I I в) (amhn = а mn ; г) (аЬс)n = аnЬnсn ; I ~ J~ ".!:/Ь ='~b' I I д) (~) = :: . -----х----- ~{27 _ m =~2 =1,5. Например, VB - w8 показателем
есть корень 'Vа Ч ,
г----~-----T-----------I
О
где чис
пределения
Квадратным неравенством называет-
ся неравенство вида ах 2 + Ьх + с > О, где а, Ь, с - действительные числа, а О. (Вместо знака > может стоять любой из знаков ~; ::;; <.)
Например,
р
*
Решить неравенство, содержащее неиз-
вестную переменную, - значит найти мно-
вания по этому свойству:
имеют.
жество значений переменной, при кото-
рых это неравенство является верным. Эле-
менты этого множества называются Неполные квадратные неравенства
1.
m
m
n
n
m
тодом
5.
а) lоgз 81; б) logO,5 32;
пень подкоренное
1 Y+21og!. 6 в) (
3")
2.
-
это показатель
чтобы получилось число
8\'
Ответ: lоgз б)
3Х =
з-4, т. е. х =
1
logO,5 32 = х, 0,5 Х
(~T = (~ Т5; х Ответ:
=
1),
если
+ Ьх + с >
О
(рис.
2).
вся
числовая
4.
> 1,
>
t
О и
то
10g1 9 < 10g1 5.
ванию (а
> О, loga 1 = О. 8. Логарифм
прямая
е.
loga N 1 < loga N 2 •
3
т. е.
3
а
* 1 ) равен нулю,
т. е.
самого основания равен
1,
logaa=l.
Формула перехода от одного основания логарифмов к новому основанию
Пусть существует и Ь
у
у
числу
Логарифм единицы по любому осно
7.
а во втором оно является пустым
>
logab, т. е. а > О, а
*1
О.
Тогда для любого числа с, такого, что О
а>О
х
с
а<О
J27 =.J33 = (J3)З .
и
>
О, с
* 1, существуют logc Ь
О
Рис.
Рис.
О,
2
и Х2 (хl < Х2)' которые являются корнями уравнения ах 2
L
Вычислить: а)
то график квадратного
уравнения пересекает ось Ох в точках хl
...J
+ Ьх + с
logc
а
ga
Ь = logc b .
(1)
logc a
Примеры.
х
1
2. Если D >
и
верно равенство
10
l..
то большему числу со
log29 > log2 5. < а < 1, то большему
N 1 > N 2,
Например,
О.
есть
е.
соответствует меньший логарифм, т.
logO,5 32 = -5.
L __ ~ - -
16
(рис.
т.
> N 2, то loga Nl > loga N2'
Если О
6.
В первом случае множество решений неравенства
Если а
5.
О, то неравенство
=
<
2
N 1 = N 2 , то loga N 1 = loga N2'
Например,
>
4'1 > О.
ответствует и больший логарифм, т. е.
имеет множество решений: все
ниже ее при а
=.!.. 62 = 36 = 4 9 9'
Ответ:
О, а
3
если N 1
оси Ох и лежит выше этой оси при а
[~Г2106i 6= Ш[~lo6i 6]' в)
=
log! 6 < о, log!
Равным положительным числам со
если
(0;+00).
с
=
32;
-5.
сел N > 1 положительны, а логарифмы чисел о < N < 1 отрицательны. Например, 1 lоgз 7 > О, lоgЗ"2 < О. 3. При основании О < а < 1 логарифмы чисел N > 1 отрицательны, а логарифмы чисел О < N < 1 положительны.
левую
ь 2 - 4ас могут иметь место три случая: 1. Если D < О, то график квадратного уравнения у = ах 2 + Ьх + с не пересекает
(~)2 =~c4d2 =~c3cd2 =cW; =
*
ответствуют и равные логарифмы,
сомножители.
В зависимости от знака дискриминанта
Например,
81 = -4.
раскладывая
на
Решение неравенства ах 2
выражение:
~ =(~)n, a~O.
-4.
1. Логарифмы существуют только для loga N (где а > О и а 1) существует, если N > О. 2. При основании а > 1 логарифмы чи
положительных чисел, т. е.
4.
Ь ~.
действительные числа, кроме нуля.
сте·
ние:
1 81'
Обозначив показатель степени через х, по-
лучим
эту
Справедливо и обратное преобразова
степени, в которую нужно возвести осно
3Х =
в
(~( =~, a~O.
3
3,
возвести
Если Ь
ах 2 > О
D
Решение. а) Логарифм
вание
достаточно
интервалов,
неравенства
(_oo;_~) И
Чтобы возвести корень в какую-либо
степень,
-
Ответом будут два промежутка:
При меры вычисления логарифмов
1
к новому основанию
Свойства логарифмов
Например,
Таким образом, неравенство решаем ме часть
Основные свойства
О, то неравенство име
>
Неравенство имеет два корня: О;
n
Вычислить:
Если с = О, а
17.
логарифмов. Формула перехода
ет вид ах 2 + Ьх > О, ах ( х + ~ ) > О.
делителя, показатели будут одинаковые:
n
I I I I I I I I I
решениями неравенства.
деления корня из делимого на корень из
m
Решение
16.
квадратных неравенств
=
О.
I ~
1
log! 32; б) lоg,JЗ 81' 4
1
Решение. а) Основание логарифма "4'
число 32. Эти числа кратны 2, поэтому
~-...J
17
г-----------T-----~----,
I I I I I
удобно перевести логарифм к основанию 1 по формуле (1) , где а = -4; Ь
log 32 10g.! 32 =--2-1-
Получим
10g2
4
25
т. к.
=
32', 2-2
ере ведем
5 = -2
и с
= 2.
=-2,5,
4"
=.!. . 4
Ответ: -2,5.
б) П
=
32
2
1 1og.j3 81
к основанию
3,
I I
I I I I I I I I
Эти точки раЗбива~т чис~овую пря.мую на три промежутка. (- 00, хl), (Хl'Х2)' (Х2; + 00). Если а > О, то решением неравенства
1· I
будут два промежутка, где квадратный трехчлен положителен: (-ОО;Хl) и (Х2; + 00) (рис. 3);
I I • Если а < О, то решением неравенства будет промежуток (хl; Х2)' где квадратII ный трехчлен положителен (рис. 4).
получим
з 1 1 _ lоg 81 log.j3 81 - lоg J3
з
Ответ:
m О
1
=(-4) : 2" =-8.
-8.
Отметим простые следствия формулы перехода:
1
*
.
b
log 1
I
log a Ь. Ь = -k, Ь =
-log a
Ь
3
Рис.
%,
%
, (k
=
-1).
а
единственным
если
будут
два
(-ОО;Хl) и
промежутка:
{(-х)
выполняется неравенство {(Х2)
>
у
х З , у = sin х, у = tg х, У = ctg х.
=
(-х)з = -х З , sin (-х)
Хl'
=
{(Хl)'
>
-tg
х,
ctg
(-х) =
соответствует меньшее значение функ·
ции {(х), т. е. для любых Хl и Х2 из проме Хl' выполняется
Функция только возрастающая или жутке называется мокотоккой на этом
Рис.
промежутке.
ется четной или нечетной. Например, каж
по ее графику. Например, функция, гра
фик которой изображен на рис.
1,
дая из функций у = 12х + 1, у = х 4 + х, У = (х + з)2 не является ни четной, ни
возра
стает при всех значениях х. Функция, гра фик которой изображен на рис.
(Хl;+ОО),
нечетной.
убывает
2,
на промежутке
(-00; О] и возрастает на
промежутке [О;
+ 00).
I-----~----
+.*
хl) и
I I
то хl исключается из решений неравен
ства (рис.
5). • Если а < О, то неравенство ах2 + Ьх + с > О не имеет решений (рис. 6).
Рис.
1
Рис.
~
2
Четиые инечетные функцин
Функция у =
{( х) называется четкой,
функции выполняется равенство
19.
Геометрическая прогрессия Сl' С2' ... , Сп' ... ,
знаменатель которой
У=
Ixl ' у
=
=
=
Сумма членов бесконечно убывающей
8=~. 1-q Пример
сов х.
2
х 2 , (-х)4
=
х4 ;
I-xj = Ixl;
2,
2
3' 9'
Найдем
сумму
геометрической
(1) бесконечно прогрессии
2
27""
Решение. В данной геометрической про
сов (-х) = сов х.
Графики четных функций симметрич ны относительно оси Оу (рис.
а<О
1.
убывающей
вие:
=
* О , на
рической nрогрессиеЙ.
х4 ,
Для этих функций выполняется усло
(-х)2
и сl
по формуле
f( -х) =
х2 , У
Iql < 1
зывается бесконечно убывающей геомет
{( х).
Примеры четных функций: у
Рис.
Бесконечно убывающая
геометрическая прогрессия
геометрической прогрессии вычисляется
если для любого х из области определения =
4
Заметим, что не всякая функция явля
О монотонности функции можно судить
корнем
4).
tr
{(Хl)'
только убывающая на данном проме
4
=
'!;-q,
большему значению аргумента х Е Х
>
-sin х, tg (-х)
х.
относительно начала координат (рис.
на данном числовом промежутке Х, если
<
=
-ctg
График нечетной функции симметричен
{( х) называется убывающей
неравенство {(Х2)
выполняется равенство
= -f(x).
Для этих функций выполняется условие:
ние функции {( х), т. е. для любых хl и Х2
жутка, таких, что Х2
называется кечеm
Примеры нечетных функций:
большее значе
из промежутка Х, таких, что Х2
2
два промежутка:
соответствует
Функция
= {( х)
ления функции
большему значению аргумента
х Е Х
I хl = - 2а уравнения ах + Ьх + с = О.
I Точка хl разбивает числовую прямую на I I • Если а > О, то решением неравенства I (хl; + 00). Так как неравенство(-00; строгое, Ь
Функция у
кой, если для любого х из 06ласти опреде
Функция {(х) называется возрастаю
уравнения касается оси Ох в точке Хl' являющейся
Свойства функций
щей на данном числовом промежутке Х,
3. Если D = О, то график квадратного
log a Ь = log а ' logak
Рис.
i
%,
18.
Монотонные функции
I I I
а < О
'
г----~-----------------,
грессии
3).
1
q=3.
Используя формулу
(1),
получим
\1"/
--~--- 18
l.. - - - - -Рис. 6 --
..J
L
+
Рис. З
2 8=--1 =3. 1- 3
_
..l.
~ _..J
19
г-----------------~----I Из рис.
Периодические функции Фунжция
f( х)
видно, что значения периоди
ческой функции у
называется nерuодUч'ес
через промежу
= f(x)
Т 1:- О,
ток, равный периоду Т, повторяются. Это
что при любом х из области определения
обстоятельство используется при постро
мй, если существует такое число
функции числа
х
-
Т
и
х
+
Т
ении графиков периодических функций.
также
Например, периодическими являются
принадлежат этой области и выполня
ется равенство f (х)
=f
(х
-
Т)
=f
(х
+ Т).
тригонометрические функции у
В этом случае число Т называется пери
f
одом функции Если
дение
-
Т
период функции, то произве
где
Tk,
(х).
k Е Z, k
1:- О
, также
явля
Рис.
nревосходит
= f(x)
называет
График ограниченной функции лежит целиком в полосе между прямыми, парал
лельными оси Ох, проведенными на рас стоянии А от нее. Например, ограниченными являются
-----~------I Найдем сумму бесконечно
I
убывающей геометрической прогрессии
2
-3' 9' - 27' ...
Решение. в данной геометрической про
грессии q = _! . Используя формулу 3
получим
s=~( 1)=~' 1- --
= sin х, Isin xl :5: 1, ICOB хl :5: 1.
функции у
(1),
I I I I I
у
= cos
х, так как
Если график функции у
а
>
О, и в положительном направле
нии оси Ох на lal, если а < О (рис. 3).
известен,
\
(параллельного переноса, осевого и цент
ральной симметричного отображения и
Уl
сложных функций.
при
Ь
Ь
Ь
r
График функции
в а раз при а
ного числа А, что If(x)l:5: А при всех х, то функция f(x) называется кеоzраНUч'еккоЙ.
оси в
1
а
(Х
раз от
Рис.
получается
f(x) вдоль оси Оу
О
График функции
1
+
вверх по оси Оу на Ь, если Ь оси Оу на Ь, если Ь
<
Ь получается
>
о (рис.
О, и вниз по
4).
у
\
~
Х
О
Х
у
< а < 1 (рис. 2).
'(Х) - ь
\
-3
ми.
Х
10
-ь~
у = Ixl являются неограниченны
3 f(x)
параллельным переносом графика f(x)
Например, функции у = х 2 , У = х , х
Х
Рис.
2.
3
у = -,
Х
3)
О
> 1 и сжатием вдоль этой
раз при
О
у
(рис.
1 растяжением графика
-2
получается
или растяжением в
оси Оу при
jf(X)
---f-;
т. п.) можно построить графики более
Рис.
4
Промежутки знакопостоянства и корни функции
Симметричное отображение
Числовые промежутки, на которых фун
графика функции
1.
кция сохраняет свой знак (то есть остает
График функции у =
f(-x) получается
симметричным отображением графика
ся положительной или отрицательной),
функции f(x) относительно оси Оу (рис.
Х
*
называются промежутками знакопостоян
I I I I I I I I I
если
то с помощью некоторых преобразований
Если не существует такого положитель
ства данной функции.
5).
у
О промежутках знакопостоянства той
или иной функции легко судить по ее гра
фику. Значение аргумента х из той обла сти определения функции у, при которых
она обращается в нуль, т. е.
Х
f(x) = О, назы Х
ваются корнями данной функции.
L_~--------~-----------~
20
преобразования I 20. Геометрические графиков функций I = f{x) I I I I I 1. f(bx) I сжатием графика f(x) в Ь раз к оси Оу 1 I > 1 0< < 1 1). I I I ~
~
i ~X-l~ -1 I I ~
i I ~'();'X -1 I 1 I 2. af(x) График функции
всех х.
5
г----~-----------------I
Растяжение и сжатие графика функции
положительноечисло А, что If(x)l:5: А при
~
3
х,
ся ограниченной, если существует такое
~x)
2,
= tg
И У
= 1t •
гими словами: функция у
ным периодом Т.
2
х с периодом Т
2л
какого-либо положительного числа. Дру
приведен график периодичес
кой функции с наименьшим положитель
2
= ctg
=
значениях аргумента не
ложительный период.
2.
у
Т
если ее абсолютное значение при любых
ке обычно рассматривают наименьший по
При мер
х с периодом
Функция называется ОtраКUч'еккой,
конечное множество периодов. На практи
5
= cos
х,
функции
всякая периодическая функция имеет бес
На рис.
у
= sin
Ограниченные инеограниченвые
ется периодом функции. Следовательно,
I I
5
Рис.
Рис.
2
щим образом: та часть
графика функции
I
График функции f(x
lf(x)1
получает = f(x) следую графика у = f(x),
ся из графика функции у
Параллельиый переное
1.
5
2. График функции У =
которая лежит над оеью Ох, сохраняется,
+
а) получается
параллельныМ переноеом графика
f(x)
в
отрицательном направлении оси Ох на lal,
а та его часть, которая лежит под осью
Ох, отображаете" симметрично относи
тельно оси Ох (рис. 6).
L _ _ ~ _ _ ~~_~--_--
-~-~_~
21
г-----------------~----I
,У!
~(x)
t
Рис.
3. График функции у = f
Ixl
из графика функции у
=
образом: при
график функции
х ~ О
f(x) следующим
у = f(x) сохраняется, а при х
< О получен
ная часть графика отображается симмет
рично относительно оси Оу (рис.
7).
Рис,
У
\
Теоремы логарифмов
9
Рис.
При м е р
ции у =
IxI
Построить график функ
1.
Построим график функции у
= х.
Часть
этого графика, лежащую над осью абс цисс,
сохраним,
а
часть,
лежащую
При м е р
I I I I I I I I
ции у =
2.
О,
а '#
числа
1,
Ь
>
loga О и с
Ь
>
и вер
= logab + logac,
(1)
+ и(х),
О,
а '#
и Ь
1
>
loga
Ь
,
= и (х
то есть
logabC 11
11,
М(х) ~x
Пусть существуют числа
loga
(рис. 12).
и
Ь
Тогда существует число loga ё и верно
11
loga ...........2
ь
ё
= loga b -logac,
(3)
Теорема 4. Если основание а логариф
х
АХ--+О
~
tjo
отличную от
12
нуля,
(4)
Построить график функ
- 1
(рис.
а)
Ix -11 (рис. 10), у = Ix -11- 1 (рис. 11).
у =
О для лю
u'(x)v (х) - и (х) v'(x) v 2 (x) u'v - uv' (vи J' = --v-
2- '
Тогда и(х) = и(х) {(х).
10g12 4 + 10g12 3 = 10g12 4·3
Найдем производную функции и(х) по
=
правилу
= 10g12 12 = 1;
дифференцирования
произведе
ния:
48 log2 48 -10g2 3 = log2 3 =
= log2 16 = 4;
13
в) 19 13 - 19 130 = 19 = -1;
130 г) lоgз 81 = lоgз 92 = 21оg 9 = 2.2 = 4. б)
L
'#
и(х)
Примеры. Вычислим:
9),
и'(х) + и'(х).
Пусть f(x) = v (х) .
дующих функций:
у = х
=
~x
Доказательство.
6
logg 64 = 10g23 26 = з1оg2 2 = 2.
Последовательно построим графики сле
АХ--+О ~x
тервала (а; Ь), причем v (х)
Короче,
Например, 10g2 4 = log2 3 43;
Ilx - 11- 11 .
Ах--+О ~x
имеют nроизводные во всех точках ин
( и(х»)' v(x)
то значение лога
logab = loga c Ь С ,
8
~x
бого х Е (а; Ь) , то
рифма не изменится: Рис.
~и
~x
I
I
'-----~---- I 23. Производная частного
I Теорема. Если функции и(х) и и(х)
рифма, возвести в одну и ту же степень с,
~и
~x
Нт ~и + Нт ~и
ма и число Ь, стоящее под знаком лога
-1
~x
двух функций
равенство
о
+ ~и
~и
АХ--+О ~x
Ь
+ v (х + ~x) - v (х) =
м(х) _ l'1т (~и -- +~и)_ - f '( х ) -- l'1т -
разности
loga с , т. е. а > О, а '# 1 , Ь > О и с > О.
и (х)
--=---=-+-.
(2)
логарифмов делимого и делителя.
а часть его, ле
метрично этой оси, получим график функ
Ilx -11-11
=с logab,
+ ~x) -
Логарифм частного двух
положительных чисел равен
жащую под осью абсцисс, отобразив сим
ции у =
3.
+
Найдем отношение
loga Ь С и верно
равенство:
Теорема
и(х)
=~и + ~и.
О. Тогда для любого
числа с существует число
Пусть {(х) =
найдем {'(х). Вычислим
М(х) = f(x + ~x) - f(x) =
= и (х + ~x) + v (х + ~x) - [и (х) + v (х)] =
произведению nоказателя степени на
>
х Е (а; Ь).
Доказательство.
Логарифм степени равен
2.
r
для любого
О.
с)
loga(b·
тервала (а; Ь), то
и
логарифм ее основания.
L_~--------------------~
22
>
loga (Ь . с)
8).
Рис.
т. е. а
Теорема
под
~1/' 7г
,
существуют
но равенство:
осью абсцисс, отобразим симметрично
этой оси (рис.
с
Логарифм про изведения двух
Пусть существует число
осью абсцисс на рис.
функции
[и (х) ± v (х) = и'(х) ± и'(х)
1.
Тогда существует число
Сохранив часть графика, лежащую над
Примеры построеиия графиков
I
а
Рис.
7
рифмов сомножителей. loga
~
двух функций
Теорема. Если функции и( х) и и( х)
имеют nроизводные во всех точках ин
11
У! )Y-f(IХI)
Производная суммы и разности
положительных чисел равен сумме лога
Пусть
10
22.
I I I
Теорема
~
получается
I
Логарифмирование
и потенцирование
-v
6
Рис,
21.
~
'Y=lf(x)1
~
x
г----~-----T-----------I
з
и' = (vf)'
I
= и'! + vf'.
Найдем из этой формулы (, подставив
f его значение:
вместо
I -и ~' I f' = и' - и'! = v = и'и - и'и ~ _ _ ~ _ _ ~ _ _ ~-~ и
-и
23
г----~-----------------I
г-----------T-----~----I
Таким образом, (и ± v)' = u'(ж) ± v'(ж) .
Производная алгебраической суммы
функций равна сумме nроизводных этих фу/t/щий (правило справедливо для любого количества слагаемых). Примеры:
(2х 3 + 3х -1)' = (2х 3 )' + (3х)' _ (1)' = =2(ж 3 )'+3(х)'-0=2.зх 2 +3=6х 2 +з; 1 (х3+/;)'=(х3)'+(/;)'=зх2+-. 2/;
I I I I I I I I I I I I
Логарифмирование
Прологарифмировать алгебраическое
выражение - значит выразить его лога рифм через логарифмы отдельных чисел,
входящих в это выражение. Это можно сделать, используя теоремы логарифмов.
Пример. Прологарифмируем з51:2 5а "Ь"
Х=-4---' а>О Ь>О с>О с (а+Ь) , , ,
т. е. найдем
Следовательно, Пример.
(э;:х J
(х 3 )' sin х - x 3 (sin х)'
sin2 х
зх 2 sin х - х 3 соэ х
sin 2 х
I I I
I
19 х .
,
/ ; < О, / ; $ -2. Первые два неравенства справедливы на множестве всех действительных чисел, вторые два
неравенства не
имеют реше
ний, так как не верны при любом значе
нии х из области определения (х ~ О).
(1):
Иррациональные неравенства по теоре мам равносильных преобразований заме няют системой или совокупностью сис
О'
{2 _х < О;
[{
<=>
+ 2 ~ О.
Х > 2;
$2;
х
{(х - ;)(х - 2) ~ О. х
> 2'
Видим,
что первая система равносиль
ной совокупности
не имеет
х>
~
Потенцирование
Теорема
Рис.
>
О, с
>
Решение. Используя формулы
(2), (1)
и
j
g(x)
<=>
Знак
[
теоремы
преобразования.
позволяют
допустимых
~ О.
установить
Данные
х ~
5;
х $
-2; 3
<=>,
х<1-.
5
Неравенство 24х2 - 77 х + 74 > О имеет отрицательный дискриминант
рат
довательно, это неравенство справедливо на
правую
и
левую
освободиться
части
неравенства,
от иррациональнос
Необходимо
помнить,
что при возведе
нии в степень может получиться, что об
ласть
значений
неизвестного
исходного
неравенства будет только частью области значений неизвестного венства. водить
R,
т. е. х
На рис.
ти.
полученного нера
мы
2
решения.
(D <
О), сле
любое действительное число.
показаны три решения систе
неравенств.
~з15
С
-2
Рис.
Поэтому необходимо всегда про
проверку
L
3
х$-2;
х<-·
учи
только ариф
Х ~ 5;
метические корни. Затем возводят в квад чтобы
-_~
3х -10 ~ О;
8 5
область
значений неизвестного,
тывая, что рассматриваются
-
24х 2 - 77 х + 74 > О;
обозначает, что выполняются
равносильные
заме
8 -5х > О.
3.
~ > JiW <=> {f(X) > g(x);
получим
1 неравенство
х 2 - 3х -10 < (8 - 5х)2; <=>
{ '(х) ~ О.
I (3), I 19x =lga2 -lgb5 +lgc~ = I 2 I = 19[a2 . c~ J-lg ь5 = 1g a ь?f3 5 • I 2 I Ответ: х = a ?f3 • I I I I I I
L_~--_-----~--_--
X2
g(X) < О;
Теорема
Решим неравенство
ним системой неравенств:
~ > g(x) <=> I '(х) > g2 x ;
О.
2.
~x2 - 3х -10 < 8 - 5х.
g(X) ~ О;
Найдем выражение для х.
(2; + 00).
Решение. По теореме
{
3 19 х = 21g а - 51g Ь + 71g с, О, Ь
Ответ: Пример
2.
обратное логарифмированию.
Пример. Дано:
х
2
1.
j
это преобраЗОВ8ние,
~
функции переменной х.
'(х) < g2(x).
-
х
2
f(X) ~ О;
~ < g(x) <=> g(x) > О;
Потенцирование
а
1) при
2.
Теоремы равносильных преобразований
-41g с -lg(a + Ь).
решения,
вторая система имеет решения (рис.
шению системы неравенств.
Теорема
2 неравенство заме
х - ,
х - 3х + 2> (2 - х)2;
+lg(a+b)]. '(х) и g(x) -
I
2
тем неравенств, и решение сводится к ре
2 = 195 + 31g а + S-lg Ь
>
{2 _ >
х 2 _ 3х
~х 2 + х + 1 > -2, ~х 2 + 1 > -1,
и раскроем скобки:
где а
Решение. По теореме
3х + 2 > 2 - х.
-
ним двумя системами неравенств:
тыре неравенства:
ь5
24
иррациональным.
тельно либо равно нулю. Рассмотрим че-
Выполним преобразования по формуле
19 х
называется
Иррациональное выражение имеет смысл только в том случае, если оно положи-
10' =[195+lga' + 10b~)
(2)
Решим неравенство ~х 2
ство
Логарифмы произведений заменим сум
-[lgС 4
Пример 1.
Определение Если внеравенстве присутствует ирра-
19 х = 19(5a 3 WЬ2) -lg [с4 (а + ь)]. мой логарифмов по формуле
24. Иррациоиальныенеравенства
циональное выражение, то такое неравен-
По формуле (3) запишем:
*
I I I - - - - - k - - - - - - ,I u'v - v'u I 2- . (vи J' = --v-
выражение
I I I I I I I I
Получим х $
-2.
2
Ответ:
(_00; - 2].
~-~
Шпаргалки по алгебре и геометрии
25
г-----------------~----I
I I I I
Пример 3. Решим неравенство + Jбх _ х 2 > 3
J9 - х 2
Можно выбрать любое значение из данного промежутка.
.
Решение: Jбх - х 2 > 3 -
J9 -
Если это значение удовлетворяет нера
х2 .
венству, то и все остальные значения со-
Определим область определения данного неравенства:
j
б
2
воряют.
О
х 2 ~ О.
х- х ~ ,
90<
ответствующего промежутка ему удовлет-
{=>
х)(3 + х) ~ О.
х (б - х) ~ О,
{(3 -
<б
- х- , { -3 ~ х ~ 3.
{=>
0< -
х <3 -
{=>
бх - х 2 > 9 -
значение из проверяемого промежутка ему также
.
+ 9 - х2 ,
БJ9-х2 >18-бх; J9-x 2 >3-х; 9 - х 2 > (3 - х)2; 9 _ х 2 > 9 _ бх + х2, бх-2х 2
>0, х(3-х»0, откуда 1) х > О и 3 - х > О, значит О < х < 3;
2) х < О и 3 - х < О, не имеет решения. В ответ запишем те решения неравенства, которые входят в область определения неравенства; в данном случае все ре-
шения входят в область определения не-
равенства, это О < х < 3.
~
х 10 - х > х Решение:
1. ний
Рассмотрим неравенство
g(x) -
f(x) > g(x) на
непрерывные функ
ции на отрезке от а дО Ь. Из
рис.
3
очевидно,
что
неравенство
g(x)
Рис.
х,Ь
3
Находим область допустимых значе
дим
Решаем уравнение
~ 3 Рис. 4
f(x)
=
g(x)
и нахо
корни уравнения, исключив посто
.
4.
L.Ц
=:
и'.
Нт .:lu(x)
=:
'ДX~O.:lx
и'
ы~O
.:lx
ти. Таким образом, третье слагаемое при
получим О > 4, т. е.
.:lx
О получим О
~ О
т. е.
в) при х =
J10
по принципу непрерывнос
значения
всех
трех
ром выполняется данное неравенство.
+(х
Ответ: (--/2; 3).
[(2х -7) х 2
Элементарная
J
=
2х
=6х 2 L
=:
4fБ'
при условии
и
и=х
(аХ)'
= аХ lпа,
а> О, а
(а И )'
'* 1
=е
=f (х)
=а
и
lпа· и',
а> О, а
'* 1
(е и )' = е и . и'
Х
(log a
+ 1;
=
2х 2
I Сложная ФУНКЦИЯ при условии
u =f (х)
и=х
(2х -7)'х 2 + (2х -7)(х 2 )' =
= 2х + (2х -7)· 2х промежутков.
3
4
Сложная ФУНКЦИЯ
ФУНКЦИЯ ПрИ УСЛОВИИ
ФУНКЦИЯ
r
2
_!
Формулы дифференцирования
ПрИ условии
2+Х +3 =
'4 Х
•
Элементарная
+ 3)(х - 2)' = 1 (х - 2) + (х + 3) . 1 =
=х -
=:
Производвые показательных функций
[(х + 3)(х - 2) = (х + 3)'(х - 2) +
Итак, есть лишь один интервал, в кото
100х99
3
'4 х4
функций
f'(x) = и и'(х) + и' v (х).
Примеры.
=:
=:
Формулы дифференцирования
слагаемых,
получим
получим О > 4, т. е.
(x100 )'
~-1
3
х
=
I I I I I I I I
Производвые логарифмических
стремится к нулю. Подставив по
лученные
> -6,
~ О
"х
(е Х )'
L.Ц
.:lx
(
I I I I I I I I I I
а .:lv~O,
межутков и О:
=
~
~ О:
если
L_~--------------------~ 26
u.Х
верки удобно взять крайние значения про
Выполняем проверку неравенства на полученных
LlX~O
Нт ~.:lv(x).
ы~O
. .:lu(x) , 11т ~=:и,
промежутки.
из
+ 11т и(х) -л- +
L.Ц
щих себя по-разному при
чениЙ. Найденные корни разбивают отре
каждом
11т и(х) ~
Ы~O
.:lu(x)
Третье слагаемое является произведени
Наносим найденные корни на полу
на
u.Х
ем двух переменных сомножителей, веду
Получены три промежутка. Для про
б) при х
I I I I I I I
М(х) =:
.:lv (Х).
4х 3 •
=:
(хn)' = nхn-1 ,
1т -л-
ы~O
bl~O.:lx
ченный отрезок области допустимых зна зок
l'
=:
Нт .:lv(x)
+(IO
(х 4 )'
(х-8 )' =: _8х-8 - 1 = -8х-9 •
По определению производной
неравенство неверно.
ронние.
3.
+
Выполняем проверку
= зх 2 + х 3 = 4х 3 .
Примеры.
.:lu(x)
корни
. х + х3
Таким образом,
+.:lu (x).:lv (х).
неравенство верно;
ний неравенства: [а; Ь].
2.
что
неравенства.
-J1O
= зх 2
Получим
+ .:lU(X») (и (х) + .:lv (х») и (x).:lv (х) + v (x).:lu (х) +
.
неравенство неверно;
Поэтому решение неравенства выполня
+ .:lv (х).
Общая формула:
f '() х
-J2 и + 3. На отрезок [-J1O; + J1O] наносим
а) при х =
х
(х 4 )' = (х3 х)' = (х3 )'х + х3 (х)' =
+ .:lu(x)
М(х) = (и (х)
=:
--[2
и(х)
=:
х4 •
=
Тогда
+~.:lv(x).
+-/2 и -3 - посторонние, т. е. уравнение
.
Найдем производную функции У Представим х4 как х 3 .х.
_ ( ).:lV (х) () .:lu(x)
--+
.:lx .:lx.:lx
.:lu(x)
имеет два решения:
-110
произведения.
М(х)
показывает,
4).
получить по правилу дифференцирования
и(х) и(х). Тогда
f(x) =
xn
туральным показателем степени можно
v'(x) + u'(х) v(x)
для любого ХЕ (а; Ь).
Доказательство.
= ±-/2 и хз 4 = ±3.
эти корни (рис.
r = u(х)
---их --+их
уравнение имеет четыре корня:
4.
ем по следующему алгоритму:
1.
[u(х) v(x)
-и(х) и(х) =
х 2 (10 - х 2 ) = (х 2 - б)2,
10х 2 - х 4 = х 4 - 12х 2 + 36,
х 4 - llх 2 + 18 = О, х 2 = 2 и х 2 = 9, т. е.
уравнения
Производная степенной функции у =
Производную степенной функции с на
тервала (а; Ь), то
и v (х + .:lx) = v (х)
Находим область допустимых значе
у
01
Теорема. Если функции и(х) и и(х) имеют nроиЗ80дные 80 всех точках ин
Заменим и (х +.:lx)
-J1O ~ х ~ J1O.
3.
f(x) > g(x) выполняетсяна отрезках [а; хl) и (Х2; Ь], где график функции f(x) распо ложен выше графика функции g(x).
ах,
б.
2. Решаем уравнение xJ10-х2 =х2 -б,
х
элементарных функций
М(х) = и(х + .:lx) и(х +.:lx) - и(х) и(х).
10-х 2 ~O, (.J10-х)(.J10+х)~0,
тей
и
-
26. Производные
двух функций
Проверка по знаку левой и правой час
Решение неравенств методом интервалов
f(x)
2
25. Производная 'Произведения
Пусть
удовлетворяет.
1,2.
Ответ: (О; 3).
[а; Ь], где
не
г----~-----T-----------I
I I I I I
Пример. Решим неравенство
Возведем в квадрат правую и левую части неравенства, получим ~ б,,9 - х 2
Если проверяемое значение не удовлетворяет неравенству, то и никакое другое
I I I I I
+ 4х -14х = 2
х)'
(lg х)'
=_1_ хlпа
=0,4343 х
(1пх)' =.!.
-14х;
х
~
(loga Ig и
и'
'
и) = - ulпа
=0,4343 и' и
lnu =.!..u' и
~-~
27
г-----------T-----~----I Пример. Н~йдем производные следующих функции:
a)y=x+lnx;
б) у = 5 19x;
в) у = log2x.
I I I
к графику функции
Производная фун"ции в точ"е хо рав
за звак производной
Постоянный множитель можно выно
на тангенсу угла на"лона "асательной,
nроведенной
2,1715
х
х
нимает исходное положение ОА.
I
: м[%о;
= О· лх) + Cj'(x) = Cj'(x).
Производные
2
функций
Формулы дифференцирования
Элементарная
Сложная
функция
функция
u =х
при условии
u =f(x)
(sin х)' = cos х
(sin и)' = cos и . и'
(cosx)' = -sinx
(cos и)' = - sin u· и'
1 (tg х)' = --2 cos х (ctg х)' = _ _1_ sin 2 х
о
х
%0
Примеры.
тригонометрических
*
Рис.
[5х J' '5 (х )' '5 ; [х: +2Х]' ~[x:]' +(2х)'= = 1
2
=. 2 х
k = tg а в
этом
смысл
1 зх 2 = в(х 3 )' + 2(х)' = 8 + 2.
=
1
Рис.
~: = {'(х).
lim
АОВ (обозначается
лучей с общим началом и ограниченной
называют угловым
k = tga
эффициентом
прямой,
-
а угол а
Если
О, то О
k >
<
случае функция у говорят,
(ctgu)' = __1_ u , sin 2 и
Если этом
что
k <
а
случае
2'
-2'
<
а
что
плоским
2),
<
он образован поворотом луча против ча
в этом
совой стрелки, и отрицательным, если
он образован поворотом луча по часовой
прямая
стрелке.
вверх.
О (рис.
называется
углом.
Угол называется положительным, если
1).
Ь возрастает и
направлена
1t
говорят,
(рис.
+
= kx
прямая
О, то
<
1t
ими частями nлос"ости, "0
углом
между этой прямой и осью Ох (рис.
1 (tg и)' = --2-и' cos и
аов).
Фигура, состоящая из двух различных
геометрический
производной.
Число
1
Лучи ОА и ОБ образуют плоский угол
Лх---)о u.л,
заключается
1).
сэ
1(%0)]
[СЛх)У =С,!(х) + Cj'(x) =
1
в) у' = xln2'
Сделав
положения против часовой стрелки, он
займет положение ОБ (рис.
~~c.~%) z:y=J(;
l(х )i о
постоянное число. Получим
Тригонометрическиефункции
I Градусное измерение углов I Пусть луч, выходящий из точки О, за I определенный поворот из этого исходного
~# ~~
у
Применим теорему о производной про изведения к выражению С {(х), где С
графи"у фун"ции в точ"е
с "оординатами [хо; {(Хо)]'
[Cf(x)J =Cf'(x).
5·0,4343
"
28.
плоского угла
Геометрический смысл производной
Вынесение постоянного множителя
(51g х)' = 5(1g х)' =
I
Уравнение касательной
27.
сить за знак производной:
а) у' = 1 + ..!.. _ х -х +1; х -
при условии
г----~-----T-----
= (х 2 )' sin х + x 2 (sin х)' =
. 2 =2хsшх+х cosx.
I
Решение:
б) у' =
(х 2 sin х)'
3).
Плоские углы измеряются либо в граду сах, либо в радианах.
В
Угол, равный
направ
1 360
лена вниз.
10, -
это угол, равный
части полного оборота луча во,,
руг своей начальной точ"и.
~
..
'f."1 х
..
'1)'
'f.+
~ +Х
*
б
.~
~~
';-0 %
Рис.
28
~ _ _ ~
3
Пример. Найдем угол между касатель
I
I
I
I
I
I
I
L_~
Рис.
2
ной к графику функции у (О; О) и осью Ох (рис.
= sin
х в точке
4).
I I I I I I I I
1
60
часть градуса называется минутой
(обозначают
1
60
часть минуты называется се"ундой
(обозначают 1").
Если стороны угла образуют прямую, то
такой угол называется развернутым.
Значение развернутого угла равно Если
луч,
~
-1 Рис.
~
L
4
==sinx
I I I I
I ~
вращаясь
против
1800.
часовой
стрелки, сделает полный оборот (т. е. зай
мет прежнее место), то описанный им угол
называется
1 .. +
1').
полным.
Значение полного угла равно
3600.
При вращении от начального положе
ния ОА дО любого конечного положения
(см. рис. ко
1)
полных
луч может совершить несколь положительных
или
отрица
тельных поворотов, т. е. углы по абсо
лютной величине могут быть сколько угод
но большими.
~-~
29
г-----------T-----~----I Два угла называются равными, если равны их значения.
Радиаиное измерение углов Угол, равный
1 радиану, -
это угол, оnи-
рающийся на дугу окружности, длина КОторой равна радиусу этой окружности.
(~ из центра О и
2).
Если радиус окружности совершит пол
ный оборот, то получится угол, равный
Если угол
функции при х
соэ х.
2х
1t
1о равна 360 = 180
а =
(2)
1t
Найдем радианную меру уг
450, 600, -2250, 3000.
(1)
рассчитаем ра
дианную меру углов:
45х
60х
1t
о
-225х
300х
5х
180 = 3 Пример
1t
2. 1t
5х
Найдем градусную меру уг-
2х
I лов 18; 9; 15; 3' (2) I I ~ . 180 = 100. ~. 180 = 200. '9 I 18 180 = 120. 2х. 180 = 1200 I ~. 15 '3 I I I
рассчитаем гра
дусную меру углов:
1t 1t
4'
1t
1t
и
Свойства функции у
х
= sin
и ее график
График функции у =
синусоидой (рис.
х называют
sin
1).
делятся
на
1
+ Ь.
-1\
Так как
01
С
х
/1
+ Ь,
1.
у = {'(хо) х
+ {(хо) -
хо).
(1)
к графику функции
=
у
=
сов х
в точке с
1t
ее производной в точке хо = ~ .
{(хо) = СОВХо
радиус единичной
J3
= СОВ6" = 2' 1 =-2"'
получим
или
у=_!х+[JЗ +~) 2 2 12' Ответ. 'Уравнение касательной
если если
то а если
то а
00 < а < 900,
- угол 1 четверти; 900 < а < 1800,
- угол 11 четверти; 1800 < а < 2700, - угол 111 четверти;
2700 < а < 3600, - угол IV четверти.
•
где
~
к углу
Функция убывает от
8.
начальный радиус ОА перешел в
Точка Б имеет следующие координаты:
-1
на проме
k Е Z.
=
1 в точках х =
j + 21tk,
k Е Z.
Наименьшее значение функции:
х = locl, у = IБсl·
. х Sln
отноше
= -1
kE Z. 9. Функция
ние ординаты точки Б к радиусу единич окружности.
в
точках
х
3х + 2Хk , = "2
непрерывна и имеет произ
водную при любом значении аргумента:
называется отноше
(sin
ние абсциссы точки Б к радиусу единич
L~~уж~ти.
до
Наибольшее значение функции:
sin х
положение ОБ (см. рисунок).
Косинусом угла а
1
3х + 21tk ] ,
[2"Х + 21tk; "2
Пусть при повороте вокруг точки О на
ной
R .
жутках
относятся ни к какой четверти.
называется
для всех х Е
[-j + 21tk; j + 21tk J. k Е Z.
Например, угол 4100 является углом
1 четверти, так как 4100 = 3600 + 500 и
00 < 500 < 900. 0 0 0 0 'Углы 00; ±90 ; ±180 ; ±270 ; ±360 , ... не
а
kЕ Z
5. Нули функции: sin х = О при х = 1tk, k Е Z.
6. Промежутки знакоnостоянства: sin х > О при х Е (21tk; 1t + 21tk), k Е Z, sin х < О при х Е (х + 21tk; 2х + 21tk), kE Z. 7. Монотонность функции:
Функция возрастает от -1 до 1 на про межутках
четверти.
Синусом угла
Функция периодическая с наимень
sin (х + 21tk) = sin х,
называют углом этой четверти.
Очевидно, что при прибавлении
угол а
Область изменения (множество зна
4.
целого числа оборотов получается угол той же
R
шим положительным периодом 2х:
Так, если
то а
множество
для всех х Е Н.
динатной четверти окажется радиус ОБ,
то а
6" .
Решение. Найдем значения функции и
1t
а
В зависимости от того, в какой коор угол а
-
- промежуток [-1; 1], значит, sin х - функция ограниченная. 3. Функция нечетная: sin (-х) = - sin х
О). При
(1;
в положение ОБ.
Пример. Найдем уравнение касательной
Область определения
чений)
окружности переходит из положения ОА
или
+ ('(хо)(х -
2.
IV
повороте на угол
{'(хо) хо
1
всех действительных чисел.
Точка А имеет координаты
Ь = {(хо) - {'(хо)хо.
Рис.
I
-1
III
{(хо) = {'(хо)хо
(1),
х,
У
II
равенство
хо
= sin
х и их графики
Осями коорди
окружность
ординатами [хо; {(хо)]' можно записать
*
= cos
искомое уравнение, то
у=_!х+[JЗ+~) 2 2 12'
'
1.
у
т. е. уравнение каса
L_~--------~-----------~ 30
плоскость
Свойства функций у
30.
1).
y=~-~(x-~)
Решение. По формуле
Рассмотрим единичную окружность, т. е.
I I I
касательная проходит через точку М с ко
мулу
(рад);
(рад). 1t
функций
I
четыре четверти (см. рисунок).
Подставив найденные значения в фор
-"4
Определения трнгоиометрических
нат
()' . 1t { 'ХО =-вlllхо =-Вlll6"
1t
180 = 4 (рад); 180 = 3" (рад); -225 = 180 =
острого угла
нат и радиусом, равным
тельной имеет вид у = {'(хо)
абсциссои
а180
Решение. По формуле
Тригонометрические функции
окружность с центром в начале коорди-
1t
задан в радианах, то его
градусная мера равна
1.
=
х равна
1t
= kx + Ь -
u
Пример
sin
29.
точке
arctg 1 = 4 .
у = (хо)
(1)
180 .
лов
в
Итак, уравнение касательной
(рад).
градусах, то его
ах
а
О.
=
k = tg а = {'(хо),
радианная мера равна
Если угол
х
tg а = {'(О) = сов О = 1,
откуда
3600).
а задан в
SШ
=
Производная функции {(х) =
ке М (см. рис.
заключенной между сторонами угла, к ра
Радианная мера
У
(О; О), т. е. значение производной этой
Если у
R
кривои
ку дифференцируемойфункции {(х) в точ
2
про из вольным радиусом
к
г----~-----T-----------I
Выведем уравнение касательной к графи
отношение длины дуги АВ, описанной
2х рад (или
касательнои
Ответ: а
Радианная мера любого угла АОБ есть
диусу этой дуги (рис.
I
Решение. uНайдем у~ловой ~оэффициент
откуда
~~:JA Рис.
I I I
~
х)' = соэ х.
~_~ 31
г-----------T-----~----I Свойства функции у
=
соэ
=
сов
:r
и ее график График
функции
косинусоидой (рис.
у
Рис.
1. Область
х называют
2).
2
оnределенUJl
множество
-
R
всех действительных чисел. Область изменения (множество
2.
значений)
промежуток
-
значит,
[-1; 1],
cos х - функция ограниченная. 3. Функция четная: cos (-х) = cos
х для
функции
симметричен
отно
сительно оси Оу.
4.
I
Функция
периодическая
О при х
=
с наимень
2х:
х
хЕ
( "2Х + 21tk; 23х + 21tk ) ; 1
8.
Каждому углу
=1в
9.
точках х
1в
tg а
ctg а
и
=
2м,
k
лового
а
,
и
у
cos а ,
аргумента.
Функция
tg а
имеет смысл при любом
кроме значений
Рис.
±90 0, ±270 0, ±450 0, ... ,
ctg а
имеет смысл при любом
точках х
(cosx)' = -sinx.
2.
00, ±180 0, ±360 0, ... ,
про
sina
О
cosa
1
Z .
tga
=
1t
+ 21tk, k Е Z •
I I I I I I ~
ctga
О
-
300
а
со
600 1t
1t
3
"2
1 "2
J2
2
J3
1
J3
J2
J3
2
1 "2
1
J3
1
J3
3
рических функций углов, кратных
1800, 2700, 4500
R
tg х
ее
положительным
периодом
Е
Z
х < О при х Е ( - ~ + 1tk; 1tk). k Е Z.
7.
Монотонность
8.
о
t
начале
1,
координат,
ра
то ее координа
ты удовлетворяют уравнению х 2 + у2 = R2. Подставив значения х и у, получим
sin 2 а + cos 2 а = 1.
tg а = J!.... х
(1)
а.
,
В
единичной окружности
ctg а = ~ . Подставив значения у
х и у, получим
на промежутках
kEZ.
tga = sina cosa;
(2)
ctga= cosa sina'
(3)
tg а = _1_ . tg а. . ctg а = 1 . (4) ctga ' Равенство (2) верно при всех значениях а , при которых cos а "# О. а равенство (3) верно при всех значениях а. при ко торых sin а "# О.
, 1 ( tgx) =--2-'
х
и т. д., можно
использовать единичную окружность (см. рисунок).
L
в
Тождество справедливо при любых зна
области определения функции:
~
центром
которой равен
чениях
Функция nеnрерывна и имеет произ
cos
с
R
ным тригонометрическим тQждеством.
водную при любом значении аргумента из
900,
sin а = у,
абсцисса точки В, у
Полученное равенство называется основ
фуnкции:
возрастает
(-~+1tk;~+1tk).
диус
k Е Z;
tg
окружности
-
ордината.
ности
х:
для всех х из
х > О при х Е ( 1tk; ~ + 1tk).
где х
Так как точка В принадлежит окруж
Функция периодическая с наимень
Функция
-
единичной
ции.
tg
О
в
tg(-x) = -tg х
5. Нули функции: tg х = О при х = 1tk. kE Z; 6. Промежутки знакоnостояnства:
900
7t
2
Функция нечетная:
tg (х + 1tk) = tg х , k
4
J3
III множество
-
области определения функции.
7t
3
kE Z.
Область изменения
cos а = х ,
шим
6
2
:r
для всех х из области определения функ
4.
Для нахождения значений тригономет например
1t
X="2+1tk,
3.
значение триго
450
А
множество
-
всех действительных чисел, значит,
нометрической функции.
00
определения
функция неограниченная.
х
ФУНКЦИЯ
Область
1.
1
всех действительных чисел, кроме чисел
вида
на проме
Е
а
получен радиус ОВ (см. рисунок).
функций
водную при любом значении аргумента:
32
радиуса ОА вокруг точки О на угол
являются функциями чис
Каждому допустимому значению
Функция nеnрерывна и имеет произ-
L_~
sin а
этого угла. Таким образом,
Наименьшее значение функции:
сов х = -
четверти плоскости. Пусть при повороте
соответствует един
единственное значение синуса и косинуса
О
-1
тождества
торые называют четвертями (или н:вад
Значения тригонометрических
до
I
ственная точка В (х; у) и, следовательно,
Наu60льшее значение функции:
сов х
а
ответствует единственное
k Е Z.
1).
одного и того же угла
Основные тригонометрические
раnтами) и нумеруют их так же, как и
функции:
[21tk; 1t + 21tk],
и ее rpафик
Соотношения между
Единичная окружность осями коорди
Аргумента
Функция убывает от
tgx называют тан
32.
тригонометрическимифункциями
tg а = J!.... = sin а, ctg а = ~ = c~s а . х cos а у sш а
kEZ,
-1 до 1 на [-х + 21tk; 21tk], k Е Z .
= tg:r
График функции у =
I I I
нат Ох и Оу делится на четыре части, ко
смысла.
Функция возрастает от
х,
Свойства функции у генсоидой (рис.
так как для этих углов дробь у не имеет
k Е Z.
tg
х и их графики
sin а = JL = у, cos а =.!.... = х, R R
О для всех
Монотонность
жутках
называется отна
ctg
Таким образом,
а, кроме значений
1t
cos
межутках
а
шение абсциссы точки В к ее ординате.
*
="2 + 1tk, k Е Z.
XE(-~+21tk;~+21tk).
7.
Коmaшеnсом угла
Свойства функций у = у =
смысла.
6. Промежутки знакоnостоянства: cos х > О для всех
<
31.
называется отно
у
cos (х + 21tk) = cos х, k Е Z. 5. Нули функции: х
а
шение ордипаты точки В к ее абсциссе.
Функция
шим положительным периодом
cos
Таnгеnсом угла
так как для этих углов дробь х не имеет
всех ХЕ В. График
I I I I I I I I I I I
г----~-----T-----------I
~
~-~
33
г-----------T-----~----I
Оно верно при всех значениях а, при ко-
I I
торых
I
Равенство
(4)
показывает, как связаны
между собой тангенс и котангенс угла а.
tg а
и
ctg а
Выведем формулы,
имеют смысл. выражающие
Свойства функции у
= ctg
г----~-----T-----------I
х
половинного угла
Формулы для тригонометрическихфун-
График функции у = ctg х называют котан-ген-соидой (рис.
2).
кций половинного угла легко получаются
соот
из формул двойного угла:
ношения между тангенсом и косинусом, а
также
между
котангенсом
и
синусом
Тригонометрическиефункции
33.
и ее график
а
.
sш 2"
од
~1 - соэ а
а
~1 + соэ а
= ± --2--; соэ 2" = ± --2--;
I I I I
быть выражены через функции угла а
I
помощью формул, которые называют фор мулами nриведен-ия.
1t 2 ± а,
1t ± а,
ного и того же угла.
Разделив обе части равенства
соэ2
(1)
на
а
а , получим
sin
2
а + 1 = __1_, т. е.
соэ2 а
Z;
t ~ - + /1 + соэ а
В этих формулах знак перед корнем опсоэ
~
(5)
Рис.
(1)
на sin 2 а . Получим
1.
\lo
1 + соэ 2 а 1_ sin2 а - sin2 а' т. е.
~
1
1 + ctg 2a = -'-2- . sш
ределяется по знаку четверти, которой а
а
Теперь разделим обе части равенства
(2)-(6)
Е
с g 2 --Vl-cosa' a;t:21tk, kE Z.
соэ 2 а
1 1 + tg 2a = --2- .
Равенства
;t: 1t (2k + 1) ; k
Область
оnределен-ия
-
множество
всех действительных чисел, кроме чисел
вида х
= 1tk, k
Е
-
множество
R
ctg х
а
3.
также являются ос
Функция н-ечетн-ая:
ctg
(-х) = -
ctg
ctg ~ = 1 + cos а 2 sina' a;t: 21tk, в правой части a;t: 1tk,
х
для всех х из области определения функ
н-овн-ыми тригон-ометрическими тожде
Функция периодическая с наимень
4. шим
положительным
периодом
ctg (х + 1tk) = ctg х, k
Е
п,
т.
е.
34.
области определения функции.
5. tg
х = О при х
6.
Промежутки
ctg kE
х
>
Выведем формулу тангенса суммы двух
Е Z .
углов:
зн-акоnостоян-ства:
tg(a+~)= sin(a+~)
О для всех х Е ( 1tk ; ~ + 1tk ).
7.
фун-кции:
t ( ~) = соэ а соэ ~ g а+ cos а cos ~ cos а соэ ~ tg а + tg ~
=l-tgatg~·
жутков
(1tk ; 1t + 1tk) , k Е Z. Функция н-еnрерывн-а и имеет произ
водную при любом значении аргумента из области определения функции:
,
О и соэ ~
1
;t:
О.
1t ;t: 2 (2k + 1),
~;t:
sin а sin ~ cos а соэ ~
34
~
~
~
L
а
а
1t ± а 1t
и
1
21t ± а , а в 31t
формулы
таблице
2
для углов 2±а и 2±а
п+а
п-а
2п+а
2п-а
х
-sina
sina
sina
-sina
cos
х
-сова
-сова
сова
сова
tga
-tga
tga
-tga
ctga
-ctga
ctga
-ctga
х х
Таблица ФуНК ция
sin
1t
2 (2k + 1),
х
сов х
tg
х
ctg
~
х
1
AuгvмeHTX
sin
ctg
tg atg ~ ;t: 1 ; k Е Z. L_~
для углов
tg
соэ а соэ ~
t (а +~) = tg а + tg ~ , g 1-tg а tg ~
а
sш 2+ а соэа = (1t ) = _ sin = - ctg cos 2 + а
ctg(1t + а) = c~s(1t + а) = -c~sa = ctga. sш(1t + а) -sша
ция
Итак,
(ctg х) = - sin 2 х .
а)
~
Таблица
sin а соэ ~ + cos а sin ~
Функция убывает на каждом из проме
8.
;t:
.
sш а
ФУНК
Разделим числитель и знаменатель этой
лагая, что соэ а
Мон-отон-н-ость
~
дроби на произведение cosacos~, предпо
kE Z;
)=-
Все формулы приведения сведем в две
_ sin а cos ~ + соэ а sin ~ - cosacos~-sinasin~'
х < О для всех х Е ( - ~ + 1tk; 1tk ).
а
=-соэа
таблицы, поместив в таблице
I
соэ(а +~)
z;
ctg
k Е Z.
и разности двух углов
1t = 2 + 1tk, k
sш а
1t
1t tg (2 +
Тангенс и котангенс суммы
Нули фун-кции:
а
sin(21t + а) =sina , cos(21t + а) = cosa sin(21t - а) = -sina , cos(21t - а) = cosa
-----~----
Z для всех х из
а)= -sin а
соэ а, соэ
2-а
(
в левой части
ции.
ствами.
1t
COS(-2 +
с
)
cos 231t -
sina' a;t: 1t (2k + 1) ;
правой части a;t: 21tk, где k Е Z.
в
а
(31t
. sш
в левой части
функция н-еогран-ичен-н-ая.
а)= соэ а ,
sш
I
2
Область измен-ен-ия
2.
sin(2:2 +
31t
2 ± а и 21t ± а могут
I sш. (21- tа) = соэ а, соэ (21- tа) = sш. а I sin (1t - а) = sin а , соэ (1t - а) = - cos а
I . (31t) (31t) .
2 + =2 + =
tg~ = 1-cosa
Z.
всех действительных чисел, значит,
(6)
принадлежит угол 2"' а sina tg 2" = 1 + cos а' a;t: 1t (2k + 1) ; k Е Z
2
I
Формулы приведения
35.
Тригонометрические функции углов
2
AuГVJ ент Х 1t
2+
а
1t
2-
а
3п
т+
а
3п т-а
cosa -sina -ctga
sina
ctga
-cosa sina -ctga
-cosa -sina ctga
-tga
tga
-tga
tga
сова
~-~
35
г-----------T-----~----I Правила записи формул приведеиия
По табл.
1
и
2
легко проследить законо
мерности, имеющие место для формул при
так, чтобы он совпадал со знаком
сформулировать правила, с помощью ко
торых можно записать любую формулу
т.
приведения, не прибегая к таблицам: Функция в правой части равенства
берется с тем же знаком, какой имеет
является углом
2.
Для углов
1
zt ± а
2п
±а
1t
"2 ± а
и
3п
2 ±а
если
"2 -
а
выразить
cos а =
тангенс).
1.
упростим выражение
tg (Зп -
2
Решение.
Угол (З2п - а) лежит в
III
~ " I четверти I I I а ).
окружности, тангенс угла этой четверти
вилу, название функции изменяется с тан
tg
(3
1t
2
2tg~
-
лежит во
II
1).
Рис.
двух
и
[-1; 1] .
7t
до
"2'
принимая при этом все проме
значения.
е.
1
с
-1::;
на
::; 1,
промежутке
~ ; ~] существует единственный корень sin х =
с, его называют аркси
= arcsin
-1::;
с::;
1,
с.
на
зывается угол х, лежащий на отрезке
[-
котангенса разности
~; ~ ] , синус которого равен с.
Математическая запись данного опреде
arcsin 7t
где
7t
-"2::; х ::; "2 '
=
с
-1::;
с
sin
х, если
х
=
С,
::; 1 . Запись arcsin
с
читается так: угол, синус которого равен с.
ct (а + ~) = ctg а ctg ~ -1 , g ctga + ctg ~ а
что
ления такова:
~;t
хЕ
Функция монотонно возрастает от
4. Функция нечетная, т. arcsin (-х) = - arcsin х.
Арксинусом числа с, если
углов:
;t 7tk, ;t 7tk ,
Область изменения: у Е [ - ~ ; ~] •
жуточные
нусом числа с и обозначают х
Е Z .
суммы
2.
- 2"
= sinx
х уравнения
ctg (а + ~) = ctg а ctg ~ - 1 ,
ctga + ctg~
а
2
Рис.
[-
7t 7t ;t "2 (2k + 1), ~;t"2 (2k + 1),
котангенса
Область определения:
3. 7t
Х
1t
2
1.
Таким образом, для любого числа с, та
кого,
_ tga-tg~ g (а -~) - 1 + tg atg ~'
приведенным выше, получим формулы для
= -cosa.
(рис.
~··················-+-1
2tg
нус •.
а)
1
-i:
поэтому результат берется со знаком .ми ние функции сохраняется. Следовательно,
до
1t
-2
1+·····················~
у
х
~ ; ~] и принимает все у
Выполнив преобразования, аналогичные
Согласно второму правилу, назва
-1
[-
-1:
х монотонно возраста
sin
+ 1), k Е Z;
четверти. Ко
синус угла второй четверти отрицателен,
cos(7t -
ет на отрезке
ctga=~, a;t7tk, kEZ.
tg atg ~ ;t 1; k а)
Функция у =
l-tg 2 ~
а
а).
у
у = sin х до отрезка [- ~; ~] .
l-tg2~
t
Решение.
Угол (п
%
х приведен
2.
х
= arcsin
значения от
1t (2k
arcsin
График функции у =
на рис.
Сократим область изменения функции
половинного
tga=-_2_, a;t7t(2k+l), kE Z;
2.
cos (п -
Функция У
Аналогично можно доказать, что
-а )=ctga.
Упростим выражение
тангенс
х
L.
промежутке
четверти.
2 -----~-----
генса на котангенс. Следовательно,
Пример
через
1- tg 2 ~ 2, a;t l+tg 2
положителен, поэтому результат берется со знаком .плюс •. Согласно второму пра
IV
а число с
L,
= arcsin
и ее график
ние {(х) = с имеет единственный корень на
%
название исходной
косинус на синус, тангенс на котангенс,
Пример
или
II
Свойства функции у
цией на этом промежутке. Тогда уравне
2tg~
sina = _ _2_, a;t 1t(2k+l), kE Z; l+tg 2
функции изменяется (синус на косинус, котангенс на
угол
а
"2
• минус. ,
.плюс., если
или Ш четверти, и знак
арккосинус
монотонно возрастает
любое из зцачений, принимаемых функ
угла:
название
исходной функции сохраняется; для уг-
лов
ставится знак
1
но
четверти;
и
е.
угол
f
(или убывает) на промежутке
а
tg"2'
Тригонометрические функции угла мож
исходная функция, если считать, что угол
а
36. Арксинус и Пусть функция
В формулах знак перед корнем берется
ведения. Эти закономерности позволяют
1.
г----~-----------------I
sina
ctg"2=I_cosa' a;t27tk, kEZ.
а
Значения арксинуса можно найти по
таблицам или пользуясь калькулятором.
Функция у
a;t - ~ + 7tk, k Е Z. ~;t 7tk, a;t ~ + 7tk, k Е Z. 7tk,
=
sin
х, х Е [-~;~] имеет
обратную функцию х
= arcsin
cos (а + ~) = cos а cos ~ - sin а sin ~;
t
g(
а+
угол ~
_ tg а + tg ~ .
~) - 1 - tg atg ~ ,
равным углу а.
Тогда получим тождества
sin
2а
= 2sin а cos а;
cos 2а = cos 2 а - sin 2 а.
у. Обозна
чив, как это принято, аргумент через х, по
меняем местами х и у. Получим у
= aгcsin х.
arcsin х
Таким образом, функцией у =
cos 2а = 2 cos 2 а - 1.
называется переменная величина, лежащая
на отрезке
L_~
36
~
7t [ -"2;
2"п] '
синус
которои ра u
~
37
г-----------------~----I 5.
График функции пересекает оси Ох и
= arccos х
Свойства функции у
Сократим область изменения функции
у
= cos
38.
таблицам или пользуясь калькулятором.
Оу в начале координат.
Функция у
г----~-----------------I
Значения арккосинуса можно найти по
х до отрезка [О; л]
= arccos
у = tg х до интервала (- j ;j) .
На отрезке [О; л] функция У = соа х мо нотонно убывает от
У
при
этом
все
1
до
-1
На этом интервале
и принимает
и монотонно убывающая
бого числа с в интервале (- j ;j) суще
на нем от 1t дО О. Эта обратная функция
ствует единственный корень х уравнения
резке
х
-f1.·.·.·.·.· · · -·.·.·.~ Рис.
На этом отрезке функция у
- 1
до
1
(рис.
= cos
3).
х
[О; л]
х, то у
-1:5:
с:5:
cos
х
=
= arccos
1,
С; его на
равен
:5:
л,
с.
nеременная
1).
ла с (рис.
= arccos
величина,
1. 2.
Функция
хЕ
х:
R.
монотонно возрастает от
1t
до
2 ' принимая при этом все проме
жуточные
значения.
3. Функция нечетная, т. е.
arctg (-х) = - arctg х.
4. Функция непериодическая,
[О; л], косинус которой
-~
ограни
ченная.
если
-1:5: х:5: 1; 0:5: х :5: 1t • = arccos х приведен
5.
График функции пересекает оси Ох и
Оу в начале координат и имеет две асим
если
График функции у на рис.
= arctg
Область определения:
2
х
лежа
х.
птоты:
4.
у
=-
1t
2
и
у
=
1t
2.
косинус которого равен с. у
-----:k-----
II tg2a=~, (3) I 1- tg 2 а I 2 ct 2a=ctg a-1 (4) I g 2ctga Эти тождества называют формулами I двойного угла. I
I-----~---- Арктангенсом числа с называется угол
х, лежащий в интервале генс
-1
о
Рис.
На рис.
4
1. 2. 3.
*
Функция У
х:
Область определения: Область изменения:
хЕ
у
у Е [О; л].
= arccos
х не
х
в точке х =
1t
= arctg
у
или
= arctg
величина
у,
х
ле
j; j ), тангенс
=
х, х Е
arctg (tgx) =
х,
-
1t
на рис.
~
рических функций справедливы тожде
/{о
ства:
при ХЕ
и
_
х
ctg (arcctg х) = х
arcsin( sin х) =
х при Х Е [ -
arccos (cos х) = х
при
arctg(tgx)=x arctg (ctg х) = х
j; j
J
при х Е [О; л];
XE(-j;j}
при х Е (О; л)
.
Эти формулы непосредственно следуют
сящихся К обратным функциям.
1t
= arctg
Для любого числа СЕ х приведен
[-1;1]
справедли
вы тождества:
. с = - arcsln . ( -с) = arcsln
2.
(arccos х) =
R ;
с
L
и соа
[-1; 1]
При ведем еще несколько формул, отно
R;
2<х<2 .
График функции у
тождества
Для прямых и обратных тригономет
из определений обратных функций.
Из определения следует, что
х)
Основные тригонометрические
tg (arctgx) = х имеет
х.
1.
L_~--------~-----------~
(-
39.
при х Е
-2 < х < 2
nеременная
которой равен
tg (arctg а ось Ох -
1t
I I
sin (arcsin х) = х
х
х, если аргумент обозначать че
жащая в интервале
График функции пересекает ось Оу
2'
= arctg
называется
является ни четной, ни нечетной.
В точке у =
при
Таким образом, функцией у
1t
ные значения.
1t
= arctg
рез х.
Функция монотонно убывает от
Заметим, что функция у
= tg х
обратную функцию
[-1; 1] .
дО О, принимая при этом все промежуточ
4.
j ;j), тан
и ее график
4
= arccos
(-
которого равен с.
Свойства функции у
х
наглядно отражены все свой
ства функции у
I I
I I
I I I I I
1
Рис.
Используя формулы (1) и (2), получим
38
Свойства функции у
1t
cos(arccosx) = х, arccos (cos х) = х,
arccos С = х, если cos х = с, где -1:5: С :5: 1 . Запись arccos С чи
тается так: угол,
Рис.
х = с, его называют арктангенсом чис
Из этого определения следует, что
ления такова:
х
tg
у (чита
1t
-2"
х.
щая на отрезн:е
Математическая запись данного опреде
0:5:
= arccos
Таким образом, фующией у
зывают арюсосинусом числа С и обозна чают х
=arccos
называется
существует единствен
ный корень х уравнения
:5: 1
зависимую переменную обозначить через
мо
Таким образом,
для любого числа С, такого, что
на отрезке
У
ется: .х равен арккосинусу у.). Если не
нотонно убывает и принимает все значе ния от
-1:5:
обозначается символом х
3
х
принимает все
действительныезначения. Поэтому для лю
нозначная функция, определенная на от 1t
tg
функция у =
монотонно возрастает и
промежуточные значения.
Следовательно, существует обратная од
i
= arctg х
Сократим область определения функции
х
и ее график
.
Арктангенс и арккотангенс
Функция у
21t - arccos с =
.
_______ ..1 =шс," .)1-,2' _
__
~_--! 39
г-----------------~----I Функция у
х
= arcctg
Сократим область определения функции
у =
х до интервала (О; х)
ctg
. На этом
тангенс которого равен
00
-
до
00
Свойства функции у =
и принимает все действи
Функцией у
числа с из интервала (О; х) существует единственныйкорень х уравнения ctg х его
называют
(рис.
ар"котангенсом
=
с,
числа
с
= arcctg
Простейшими тригонометрическими
arcctg
уравнениями называют уравнения
х
х называется пере
менная величина, лежащая в
(О; х)
интервале
, котангенс которой равен х.
График функции у
3).
на рис.
х
тригонометрическиеуравнения
с.
и ее график
тельные значения. Поэтому для любого
Простейmие
40.
та"ой угол х из интервала (О; п), ко
интервале функция монотонно убывает от
+
г----~-----------------I
Ар"котангенсом числа с называется
= arcctg
х приведен
sin
I
х
=
с,
cos
х
=
с,
tg
х
Решение уравнения Функция у =
1.
ctg
с и
=
=
проме
жуток [-1; 1], поэтому если 'сl > 1 ,то урав
нение sin х = с решений не имеет.
4.
Прямая у =
2.
с пересекает синусоиду
бесконечное количество раз (рис.
1).
в)
sin
Рис.
sin х =
4
Icl $1
-----x------I arccos = = I t с I = "2 = g ,,1-с I arctg = -arctg = "2 - arcctg = I . = arcsin J1 + с 2 ' I II arcctg = arcctg = "2 - arctg = с
7t
1t - агссов (-с)
. с агсsш
с
агс
~.
2
7t
(-с)
с
с
с
(-с)
1t -
1t
.
= "2 .
вычисления значений обратных
цательных зуют
функций при отри
значениях
следующие
промежуточные
аргумента
тождества:
arcsin (-с) = - arcsin с ; arccos (-с) = 1t - arccos с ; arctg ( -с) = -arctg с ; arctg (-с) = 1t - arctg с.
исполь
I I I I I I I I
числа,
синус
с и
= arcsin
другие решения
Icl < 1
3) не является ни четной, ни нечетной, 7t
так как arcctg 1 = 4"
4)
два
это а
ния;
'а
arcctg ( -1)
3п
ось Оу в точке у тоты: у
=
О и
у
= arcctg
1t
="2
7t -
которых
равен
а
= 7t - arcsin уравнения sin х =
1
3х
, ...
общая формула которых
x=7tk, kEZ.
sin3x =
.
-~; б)
х
с,
с при
с- какое-либо
= arcsin
решение уравнения sin х
х пересекает
=
с при 'сl < 1.
Тогда все решения этого уравнения полу
и имеет две асимп-
чаются по формулам
arcsin с + 27tk,
1t - arcsiIl с + 21tk,
х =
= 1t •
х =
О
(4)
sin2x =
О;
.
а) По формуле
(1)
3х = (-1)k arcsin( -~)+ 7tk,
Так как
arcsin(
х
kE Z.
-~ )= -~ , то
3X=(-1)k(_~)+7tk,
с. Все
получаются из двух найденных уг
Итак, пусть а
непериодическая, ограниченная.
График функции у
х имеет
лов прибавлением периода.
=4 ;
L_~--_--~--~-----------~ 40
есть
значе
kE Z;
= (-1) k ( - - п) + -1tk k Е Z 18 3' .
Учитывая, что
х) = (-1)k (-1)1t = (-1) k+l 7t , (-1) k ( - 18 18 18 получаем х = (_1)k+l ~ + 7tk, k Е Z; 3
18
(4)
= 7tk, kE Z; 7tk
б) по формуле
где
2х
kE Z.
Эти две формулы можно объединить в
Х=2' kEZ;
одну:
x=(-1)k arcsinc+27tk, kEZ.
3. ния
"27t ;
1t
тригонометрических
все
~
+ arccos с =
arctg с + arctg с Для
этом
с
=мссо, ~1: ,2 ; агсsш с
монотонно убывает от 1t до О, прини при
= sin
видно, что при 'сl < 1 на отрезке [О; 2х]
ловой прямой;
2)
с имеет бесконечное количество кор
ния в пределах этого периода. Из рис.
1) определена и однозначна на всей чис
мая
уравнение
период 2х, то достаточно найти все реше
свойства:
3
Рис.
1).
Решение.
1
ней. Так как функция у
х имеет следующие
а)
~
(1)
Рассмотрим частные случаи уравне
sin sin
х = с:
х =
1.
Прямая у
и синусоида
= 1
имеют бесконечное количество общих то чек (см. рис.
ч
В пределах одного периода х
х
sin
х
"2 . Учи-
х
"2 + 27tk ,
=
= -1.
sin
7t
Прямая у
= 1:
чек (см. рис.
1).
х
~ = .:: + 21tk kЕ 2 2 '
1
(2):
z·,
x=1t+47tk, kE Z.
1.
Функция у
= cos
cos х -
х
= с ограниченная.
Так же как и в предыдущем случае, полу
чаем, что при
Icl > 1
уравнение
cos х
=
с
решения не имеет.
k
Е
Z.
= -1
(2)
и синусоида
имеют бесконечное количество общих то
L
и воспользуемся формулой
Решение уравнення
1t
=
тывая периодичность синуса, запишем все
б)
.
в) преобразуем уравнение к виду sш 2" =
1).
решения уравнения
(3)
Решениями уравнения будут О, х, 2х,
в) SШ2"-1=
Это означает, что при
= arcctg
k Е Z.
О. Прямая у = о и синусоида
=
Пример. Решим уравнения:
lI-arcСtg% Рис.
3л
2 + 21tk,
= -1:
имеют бесконечное количество общих то
а)
Функция у
х
чек (см. рис.
2п х
" 21"
периодичность синуса,
запишем все решения уравнения sin х
х =
ограниченная,
-
3х
2 . Учитывая
с.
х = с
sin sin х -
так как область ее изменения
i
х
=
В пределах одного периода
2.
При
Icl $1
уравнение имеет беско
нечное количество решений. Из рис.
2 вид
но, что в пределах одного периода уравне
ние
cos
х
=
а имеет два корня: а и -а. ~-~
41
г-----------------~----I У!
1(- со""
1
у
- 1
E~ 7'к -а-2n: a-21t~ О ~ 70.+2П2 а-+-2п -211:
11:-0.
8п
--
~-2
Рис.
7t
-
_
311:
1t
2---~
2
Все решения уравнения у =
cos х
запи
сываются двумя формулами:
х = а
+ 21tk ,
х = -а
Их объединяют в одну формулу, учиты вая, что
= arccos
а
х
=
с записываются формулой
х
5" = 21tk, =
О и х
1t
(
2). В пределах одного перио = 2п. С учетом периодичности
х
= 1.
Получим
х б)
cos х = -1.
Прямая у
2).
и косинусо
= -1
В пределах одного пе
риода х = п. С учетом периодичности ко синуса
х
cos
запишем
= -1.
1t
cos х =
решения
уравнения
+ 21tk,
k е Z.
=
такие
Все решения уравнения
= 16 + 4""'
Решение уравнений
ctg
Рис.
Теорема
и
же
координаты,
как
и
-
множество
R
(8)
tg
х
=
с и
х
ctg
=
А!
Пример. Решим уравнения
1
2";
а)
cos 2х = -
в)
cos8x=-1;
б)
х
cos 5" = 1 ;
г) COB(4X-~)=O.
По определению скалярного произведе векторов,
заданных
координатами
векторов,
ОВ· ОС = Х1 Х 2
+ У1У2'
Из определения тригонометрических функ
ций в единичной окружности, имеем:
.
Х2
-2
Х1
=сов ~ ; =сов а ;
=sin ~ ; У1 =sin а .
3
котангенсаон равен п) прямая у кает
тангенсоиду
и
tg
один раз, т. е. уравнения имеют
одно
решение
в
х
=
с,
пределах
= arctg с
ния
и угол а1
а) Корни уравнения сов 2х = - ~ най
для уравнения
2х = ± arccos ( - ~ ) + 21tk, k е Z.
tg
х = с (рис.
ctg
3) х
=
ctg
с (рис.
х
=
жить нес"оль"о равных отрез"ов и че рез их "онцы провести nараллельные nря:
/{о
мые, то эти прямые отсе"ут на второи
43.
прямой равные между собой отрез"и.
wн
изведению
х
= arcctg с + 1tk k
+ sin asin~.
(1)
АА 1 11 BВJ. 11 СС1 C1D 1 (рис. 1).
"осинусов этих углов
плюс
Отрезки
ми,
Из формулы
(1) легко
е
Z .
L_~--------------------~
L
= сов а сов ~
- sin а sin ~ .
= CD
и
11 DD], , то А 1 В 1 = В 1 С 1
=
называются
=
ВС
nроnорциональны
пропорциональны
их длины.
Отрез"и называют nро
nорциональными.
если
nроnорциональны
их длины.
= сов а сов (-~) + sin а sin( -~) =
(10)
если
Определение.
cos (а +~) = [cos а - (-~)] =
(9)
1
Теоремы о пропорциональных отрезках
получить формулу
косинуса суммы двух углов:
arctg с + 1tk , k е Z ;
}
Рис.
Косинус суммы двух углов
нием периода:
B1
Таким образом, если АВ
произведение синусов этих углов.
= arcctg с 4). Все ос
тальные решения получаются прибавле
х =
~
А}
Косинус разности двух углов равен nро
для уравне
Теорема Фалеса
LBOC = а - ~, по
сов(а -~) = совасов ~
одного
2
~
лучим
с
В
Теорема. Если на одной прямой отло
Так как длина радиуса единичной окруж
только
\
I-----~----
IOBI·IOcl· сов LBOC .
ности равна единице, а
с пересе
=
котангенсоиду
периода. Это угол а
(5):
4
Рис.
~(
I I I
У2
ОВ . ОС =
В пределах одного периода (у тангенса и
Решение.
дем по формуле
~(ф о Рис.
с
имеют решения при любом с.
Рис.
отрез"у, то
м
координа
деляется формулой
Z ).
"
она равноудалена от его "онцов.
действительных чисел.
Поэтому уравнения
1t
1t
1
Если точ"а лежит на сере
динном nерnенди"уляре
ОС. Координаты точки
Скалярное произведение векторов опре
2" + 1tk , ( k е
1.
Область изменения тангенса и котанген са
Х = ±2"+21tk
42
~
D
х = с
так:
или х =
обозначен С. П.)
А
А
х = с н
tg
том периодичности косинуса записывают ся
ОВ
k е Z.
(7)
О с уче
2
k е Z, 1tk
косинусоида имеют бесконечное количе
2). cos х =
и
ты точек В и С.
о (ось Ох) и
ство общих точек (см. рис.
1
и на
В равны Х1 и У1' координаты точки С
ния
О. Прямая у
проходящая через его середину, называет ся серединным nерnенди"уляром к нему.
равны Х2 и У2' Векторы ОВ и ОС имеют
1t
х
а
(см. рисунок). Получим радиусы
векторов
Z;
3п
от концов отрезка
Прямая, перпендикулярная к отрезку и (На рис.
ОВ и ОС. Найдем скалярное произведение
Получим
х = 1t в)
все
угол ~
(6)
ида имеют бесконечное количество общих точек (см. рис.
Z;
(8)
2" + 4" + 1tk,
откуда
= 21tk, k е Z.
е
ности вокруг точки О на угол
4х - ~ ) = %+ 1tk, k е Z;
4х =
Свойства точек, равноудаленных
функции этих углов.
+ 21tk, k е Z;
косинуса запишем все решения уравнения
cos
keZ;
42.
Косинус разности двух углов
= 101tk, k
г) по формуле
I I I I
Повернем радиус ОА единичной окруж
1tk
Х=8+4""' ke
имеют бесконечное количество общих то
=
нометрические функции суммы и разно
(6)
1t
чек (см. рис. да х
Выведем формулы, выражающие триго
k е Z,
в) по формуле (7)
(5)
3. Расмотрим частные случаи уравнения cos х = с: а) cos х = 1. Прямая у = 1 и косинусоида
Формулы сложения
ke Z,
откуда х
Косинус и синус
суммы и разности двух углов
сти двух углов через тригонометрические
1t
б) по формуле
8х
= ± arccos с + 21tk, k е Z.
2п
±"3 + 21tk,
х=±з+1tk,
х
Таким образом, все решения уравнения
cos
получим 2х =
с, т. е.
= ±а + 21tk = ± arccos с + 21tk, k е Z.
х
41.
arccos(-!)= 1t - arccos! = 1t _ 2: = 2п 2 2 3 3'
откуда
+ 21tk , k е Z.
г----~-----T------
Вычислив
~
~_~
43
г-----------T-----~----I Возьмем произвольную точку М на сере-
динном перпендикуляре (рис. 2) и соеди-
ним ее с концами отрезка АВ. Серединный перпендикуляр пересекает отрезок АВ в точке О; /;. АОМ равен /;. БОМ по первому
(ОА
признаку
=
ОБ, ОМ
равенства
-
=LБОМ = 90'). от
2.
концов
=
ведепию косинусов этих углов минус nро изведение сипусов этих углов.
она
По условию теоремы МА
2).
лежит
=
МБ
Поэтому треугольник АМБ
-
рав
=cos(j-a
падает с серединным перпендикуляром. А
динном перпендикуляре.
Теорема. Параллельные прямые, nере
2
угла,
отсекают
1
cos (-
а
cos
-
~)
~
~)
~)]
+ (-
+ cos
- cos
а
а
sin (-
sin
~)
=
1
и ББ
1
1
2
2
2
4
треугольника:
+Ь>
а
+ с> Ь,
сти двух прямых, связанные с этими па
Ь
+с>
рами углов.
Каждая сторона треугольника меньше
Если при пересечении двух
1.
11
t
Ll = L2
(рис.
A
Ь
3).
а
2
-
Дока
2
Рис.
3
а
11
А/
2
2
2
~
по одной стороне и двум углам;
по двум сторонам и углу между ними;
по трем сторонам.
Треугольник однозначно неопределен по
трем углам, так как с одинаковыми угла
ми а,
~,
у можно построить сколь угод
но много не равных треугольников. Полу ченные треугольники будут подобными,
Ь
но не равными.
В
Рис.
'
Любой треугольник считается заданным
трем элементам:
Aa
В
а.
(т. е. можно его построить) по следующим
~~
75° и sin 750. 75° в виде суммы
с,
суммы двух других сторон.
Ь.
Соотношения между сторонами
4
и углами треугольника
I
1.
Против большей стороны лежит
больший угол.
2.
4
Против большего угла лежит боль
шая сторона.
Ь./2
44
и
=! ..J2 + J3 .J2 =.J2 (1 + JЗ). 2
L_~
4
а
жем, что а
sin 75° = sin (30° + 45°) = = sin 30° . сов 45° + cos 30° . sin 45° =
параллельны
димо и достаточно выполнение неравенств
щие углы равны:
. .J2 _! . .J2 =.J2 (JЗ -1)' 2
накрест лежащие углы:
Доказательство.Пусть при пересечении
30° + 45°. cos 75° = cos (30° + 45°) = = cos 30° . сов 45° - sin 30° . sin 45° =
= J3
Для существования треугольника, зада
ваемого тремя сторонами а, Ь, с, необхо
прямых а и Ь секущей АВ накрест лежа
Пример. Вычислим cos Решение. Представим
Неравенства треугольника
2 обозначе
равны, то прямые параллельны.
косинуса.
сторона а
односторонnиеуглы:
Теорема
Приведем примеры использования фор
и
При пересече
прямых секущей накрест лежащие углы
называют формулами
1 в треугольнике АВе
стороны а лежит угол а. Аналогично Ь
Рассмотримтри признака параллельно
синус второго.
С
1
лежит против ~, с против у.
2и6,3и7.
~
мул сложения.
пропорциональны отрезкам ОА и ОБ
ОА, то прямые АА
на
(1)-(4)
сложения для синуса и
и лежат соответственно на лучах ОА
На рис.
3 и 5, 4 и 6; 5, 3 и 6; соответственныеуглы: 1 и 5, 4 и 8,
=
= sin а cos ~ - cos а sin~. (4)
первого угла
Формулы
Обратная теорема. Если отрезки ОА 1 и
2).
а
[(а
нус второго минус произведение косину
2
2).
восемь углов, которые на рис.
синус второго.
= sin
sin
са
Ь
нии прямых а и Ь секущей с образуются
изведению синуса первого угла на коси
.
Рис.
(см. рис.
ет их в двух точках (рис.
(3)
Синус разности двух углов равен nро
о:>А ОБ 1
на
= sin
(а
A~
лежит против угла а и, наоборот, против
циальные названия:
sin
параллель
c~
Рис.
1
ны цифрами. Пары этих углов имеют спе
~)
ка.
Рис.
второго плюс произведение косинуса пер
-
ются основными элементами треугольни
а
дению синуса первого угла на косинус
(а
ми). Стороны и углы треугольника счита
ь
Прямая с называется секущей по отно
Итак,
на
отрезки.
прямые АА 1 и ББ
1°ВJ.I-IОБI
Рис.
Синус суммы двух углов равен произве
=
ны. По сформулированной теореме
IOA11_IOAI
=t
)cos~+sin(j-a)sin~=
*
-----~
На рис.
(1):
sin (а + ~) = sin а cos ~ + сов а sin ~.
sin
ник с тремя углами (и с тремя сторона
в
шению к прямым а и Ь, если она пересека
вого угла
треугольника
Треугольником называется многоуголь
параллельны.
Итак,
I I I I
I
45. Основные свойства
пендикулярны к третьей прямой С, то они
= sin а сов ~ + cos а sin ~ .
это означает, что точка М лежит на сере
nроnорциональные
мые а и Ь, перпендикулярные к прямой с.
=cos((~-a)-~)=
высотой. Следовательно, прямая ОМ сов
Ь. На рис. 1 изображены пря-
11
I I I I
Если прямые а и Ь не пересекаются и пер
угольника медиана является также и его
них
ют так: а
sin(a+~) =cos(j-(a+~»)=
(см.
аной. По свойствам равнобедренного тре
стороны
Параллельность прямых а и Ь обознача-
углов
мулы приведения и формулу
на
нобедренный. Отрезок МО является меди
секающие
они не пересекаются.
сти двух углов получим, используя фор
серединnом nерnендикуляре к нему. рис.
сти называются nараллельnыми, если
Формулы синуса суммы и синуса разно
МБ.
то
Определение. Две прямые на nлоско-
(2)
Косинус суммы двух углов равеn nроиз
двух
Если точка равноудалена
отрезка,
cos(a+~)=cosacos~-sinasin~.
Синус суммы и синус разности
Из равенства треугольни
=
44. Признаки паpaJIJIeJIЬНОСТИпрямых
Итак,
треугольников
общая сторона, LЛОМ
ков следует, что МА
Теорема
I I I
г----~-----T-----------I
~
L
h6
I
3.
Против равnых сторон лежат рав
nые углы, и, обратно, против равных
~_Н1 _ _ ~ис.~~угловлежатравныест~оnы~-~ 45
г-----------T-----~----I Соотношения между внутренними и внешними углами треугольника
1. Сумма внутренних углов треуголь-
ника равна
180·.
L а + L ~ + L'Y = 1800. 2.
Сумма двух любых внутренних уг-
лов равна внешнему углу треугольника. смежному с третьим углом. Например, на рис.
2 L DCA = L 1 + L 2.
A~B Рис.
3.
2
Стороны и углы треугольника свя
заны между собой также соотношения ми, называемыми теоремой синусов и косинусов.
I I I I
Если углы
1 и 2 прямые (рис. 4),
то пря
г----~-----------------I должение. Отрезок
Медианы
и, следова:ельно, параллельны. Рассмот Из середины О отрезка АВ проведем пер
резок, соединяющий вершину треуголь
прямой Ь от точки В отложим отрезок
роны.
пендикуляр ОН к прямой а (рис. 5). На
следует, что точка Н
ки Н, О И Н
ны АЕ
поэтому они параллельны.
2.
Если при пересечении двух
ющейся центром масс треугольника.
*
1.
C~B
Медианы треугольникаточкой пере
СО
Рис.
Медиана делит треугольник на два тре
Например,
S",EAВ = S",CEB;
S",CAD = S",DAВ;
нии прямых а и Ь секущей с соответствен
L 1 = L 2
Так как углы 2 и 3 - вертикаль L2 = L3. Из этих двух равенств следует, что L 1 = L 3. Но углы 1 и 3
веденной к стороне а, вычисляетсячерез
накрест лежащие, поэтому прямые а и Ь
стороны а,Ь.с треугольникапо формуле
6).
Длина та медианы треугольника, про
3.
Если при nересе'lении двух
прямых секущей сумма односторонних
Высоты
углов равна 180·. то прямые параллельны.
Рассмотрим некоторый тупоугольный
Доказательство. Пусть при пересечении
треугольник АВС (рис.
2).
прямых а и Ь секущей с сумма односто
ронних углов равна
180·, например L 1 + L 4 = 180· (см. рис. 6). Так как углы 3 и 4 - смежные, то L 3 + L 4 = 180·. Из
1и 3
Свойства прямоугольного треугольника
Если один из углов треугольникаявля
ется прямым, то такой треугольник назы щая против прямого угла. называется ги
потенузой, а две остальные стороны
катетами.
ь~ а
А
Катеты а, Ь и гипотенуза с (см. рису
нок) связаны между собой соотношением, называемым теоремой Пифагора:
этих двух равенств следует, что накрест
лежащие углы
-~
47.
t
2 +2с 2 -а 2 • та =!J2b 2
параллельны.
Теорема
I I I
вается прямоугольным. Сторона, лежа
S",AFC = S",FBC'
ные, то
3
ВО
угольника, равных по площади.
6
Доказательство. Пусть при пересече ные углы равны, например
АО
2 OF = OD = ОЕ = l'
2. Рис.
D
: 1 (считая
от вершин треугольника):
а
AD,
опущены на стороны треуголь
ника и лежат внутри треугольника.
Основные свойства медиан треугольни
сечения делятся в отношении 2
(рис.
BF и СЕ -
ка:
ь
В остроугольном
3).
треугольникеАВС все три высоты -
Медианы пересекаются в одной точке
равны. то прямые параллельны.
опуще
Рассмотрим некоторый остроугольный
1 отрезки AD, ВЕ и CF - медиа треугольника АВС, т. е. BD = DC, = EC.AF = FB.
О, лежащей внутри треугольника и явля
BF
и лежат вне треугольника,третья высота
треугольник (рис.
прямых секущей соответственныеуглы
и
СЕ пересекает сторону треугольникаАВ.
На рис.
мой НН
AD
ны на продолжениесторон треугольника
Рис.
следует, что угол
чит, прямые а и Ь перпендикулярны к пря
Теорема
В тупоугольном треугольнике АВС
Е
лежат на одной прямой, а из
равенства
называется основанием nерnенди
три высоты: две высоты
A~C
Из равен
D
кул.яра.
F4\D
равны по двум сторонам и углу между
ства
этом основаниемтреугольникаАВС,а точ ка
резок ОН1. Треугольники ОНА и ОНIВ
и
ние стороны ВС, называют высотой тре
в
I I ними (АО = ВО. АН =ВН1, L 1 = L 2), L 3 = L 4 L 5 = L 6. I L 3 = =L 4 1 I лежит на продолжении луча ОН. т. е. точ 1 I L 5=L 6 6 I прямой (так как угол 5 - прямой). 3на 1. I
перпеНдfкуляра,
угольникаАВС,сторону ВС называют при
ника с серединой противоположной сто
I ВН 1 равный отрезку АН, и проведем от
AD
опущенного из вершиныА на продолже
Медианой треугольника называется от
рим случаи, когда углы 1 и 2 не прямые.
поэтому
лежащую этой вершине, или на ее про
46. Свойства линий треугольника
мые а и Ь перпендикулярны к прямой АВ
равны, поэтому пря
II
мые а и Ь параллельны.
~B
'(
Рис.
а2
+ Ь2
= с2 •
2
Из каждой вершины треугольника опу
L_~ ~
46
~________
---
....J
L~~рпендикулярн~рон~оти~~
~_....J
47
г-----------------~----I В прямоугольном треугольнике катеты
Три биссектрисы СР,
AD,
ВЕ треуголь
являются также и высотами. Три прямые,
никаАВС пересекаютсяв одной точке О,
содержащие разные высоты треугольни
лежащей внутри треугольникаи являю
ка, всегда пересекаются в одной точке,
щейся цен-тро.м вnисан-н-ой в треугольн-ик
называемой ортоцен-тро.м треугольн-ика.
окружн-ости(рис.
г----~-----T----------- 48.
ном
-
вне треугольника;
в
Треугольник называется равн-обедрен-
н-ы.м, если две его стороны равны. Равные
Определения Пусть АВС
остроуголь
-
стороны называются боковы.ми сторон-а
прямоугольный треуголь
.ми, а третья сторона
ник С прямым углом В и острым углом при вершине А, равным а (рис.
прямого угла. Высота треугольника, опу
-
осн-ован,ие.м рав
нобедренного треугольника (рис.
1).
1).
До
кажем две теоремы о свойствах равнобед
А
щенная на сторону а треугольника, обыч
ha
Свойства равнобедренного
I
нике ортоцентр совпадает с вершиной
Высота
49.
и равностороннеготреугольников
треугольнике
4).
внутри; в прямоугольном треуголь
но обозначается
I
и углами в прямоугольном
В тупоугольном треугольнике ортоцентр лежит
Соотношения между сторонами
ренного треугольника.
h a •
треугольника вычисляется
Рис.
через стороны а, Ь, с треугольника по фор
4
Осн-овн-ые свойства биссектрис тре
муле
угольника:
h = 2.jp(p-a)(p-b)(p-c) , a где р =
1.
а
"21 (а + Ь + с) -
Биссектриса делит противоположную
сторону на части, пропорциональные при
лежащим сторонам. Так, на рис.
полупериметр тре
IAEI _IAВI. IBDI = IAВI. IECI - IBcl' IDCI IAcl'
угольника.
Биссектрисы
2.
Отрезок биссектрисы внутреннего угла
в
отношении,
называется биссектрисой треугольн-ика.
Центр окружности, описанной около прямоугольного треугольника, лежит на середине гипотенузы.
Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов:
S =
!аЬ. 2
I I I I
1
Рис.
Сикусом угла а н-азываетсяотн-оше
пропорциональном
ВС
ренный треугольник АВС с основанием ВС
АС'
и докажем, что
шен-ие прилежащего катета
В
= L
С. Пусть
AD 2).
к гиnоте
А
н-узе:
АВ
cosa=
Средней линией треугольника называ
АС'
ется отрезок, соединяющийсерединыдвух
Тангенсомугла а н-азываетсяотн-оше
сторон треугольника.
н-ие противолежащего катета к nриле
в
"""""":E \............
Рис.
На рис.
ВС
tga= АВ'
С
Котангенсом угла н-ошен-ие
а
прилежащего
катета
к
Средняя линия треугольника равна по исходного подобный треугольник, пло щадь которого относится к площади ис
ходного треугольника как
1 : 4.
Рис.
Треугольники AВD и
ctga = ВС'
(АВ
=
рона, Значения синуса, косинуса, тангенса и
I I I I I I I
J
котангенсадля углов 300,
450
и
600
Рассмотрим прямоугольный треугольник
АВС
с
прямым
углом
LA = 300, LB = 600
С,
(рис.
у которого
2).
IL
АС по условию,
L 1 = L 2,
AD - общая сто AD - биссект
так как
риса). Из равенства этих треугольников следует, что
L
В
=L
С. Теорема доказа
на.
Теорема
2.
В равн-обедрен-н-о.м треу
гольн-ике биссектриса, nроведен-н-ая к ос той.
~ 300
равны по пер
н-ован-ию, является его .медиан-оЙ и высо
С
А
2
ACD
вому признаку равенства треугольников
нии.
ловине его третьей стороны и отсекает от
\ С
<5t4
nро
АВ
средние ли
В(
н-азывается от
тиволежаще.му:
5
5 DE, ЕР и FD -
~
жаще.му:
F
48
L
биссектриса треугольника АВС (рис.
Косикусом угла а н-азывается отн-о
* ~
~
В равн-обедрен-н-о.м треу
Доказательство. Рассмотрим равнобед
.
Slпа=
-IBCI'
1.
1
гольн-uке углы при осн-ован-ии равн-ы.
nотен-узеАС:
Средние линии
А
L_~
Теорема
н-ие противолежащегокатета ВС к ги
SI:.AВE _IAВI SI:.BCE
-~------
IBcl
IBFI _ IFAI - \ACI'
прилежащим сторонам:
пересечения с противоположной стороной
'С Рис.
Биссектриса делит площадь треуголь
ника
треугольника от его вершины до точки
В"
4
600
I Доказательство. Рассмотрим рис. 2. Из равенства треугольников AВD и ACD сле I дует, что BD DC и L 3 L 4. Равенство BD = DC DI на стороны ВС; следовательно, AD - ме I диана треугольника АВС. Так как углы 3 =
В
=
означает, что точка
середи
~~~----~~~жныеиравныдругдру~они 49
г-----------T-----~----I прямые. Поэтому биссектрисаAD является также и высотой треугольника АВС.
Так как биссектриса, медиана и высо-
I I
та равнобедренного треугольника, прове
Катет, лежащий против угла
ВС
половине гипотенузы, т. е.
~
денные из вершины угла к основанию, сов
падают, справедливы следующие утверж
1.
Высота равнобедренного
синуса,
треуголь
из вершины угла к
sin 30°
медианой и биссектрисой. ника, nроведенная из вершины угла к
основанию, одновременно является его высотой и биссектрисой. Треугольник называется равносторон ним (или правильным), если все его сто Свойства равностороннего треугольни
ка:
Определение.Два треугольника назы-
но
ваютсяравными,если при 1laЛOжениидруг на друга они совместятся. Если треугольникиАВС иАIВIСIРавны,
ВС
АВ =
=~ ,
cos ?оо
ветственные углы равны (рис. 1).
Итак,
cosB = cos60°.
= J1 - sin2 30° = J1 _.!.4 = 13 . 2'
sin 60°
= ../1 -
cos 2 60°
+
Рис.
60");
и
2
Значения тангенса и котангенса угла
*
в) центр окружности, описанной около треугольника,
совпадает
с
центром
L
А
= L А1 ;
Теорема
3).
Рис.
L
L
С
= L С1 .
.J2.
sin 450 cos45°
sina cosa
секущей АВ, а углы
2.
АС = А1Сl;
Теорема
Если три стороны одного
3.
АС
-------~
1
.J2
= cosA = АВ = .J2 =2'
450
600
1
J2
J3
2
2
2
J3
J2
1
2
2
2
1
1
Окружность, описанная около треугольника
t
Определения. Если все вершины много
угольника лежат на окружности, то ок
ружность называется описанной около многоугольника, а многоугольник
-
впи
Признаки равенства треугольников до
тырехугольник AВCD вписан в окруж
1
че
казываются наложением одного треуголь
ность с центром О, а четырехугольник
ника на другой.
AECD
не является вписанным в эту ок
ружность, так как его вершина Е не ле
ctg45°=1.
300
1
52.
санным в эту окружность. На рис.
Признаки равенства прямоугольных
жит на данной окружности. Треугольник
треугольников
АВС на рис.
2 вписан в окружность с цен
тром О.
~~
J3
С
A1
Рис.
Прямоугольные
~
му углу с
АВ =АIВl; АС =АIСl; ВС = ВIСl'
А
tga
= LAl;
L 4 = L 1, L 5 = L 3. (1) 4,2 и 5 равна развернуто вершиной В, т. е. L 4 + L 2 +
Сумма углов
1 LC = LC1.
LA
накрест лежа·
раллельных прямых секущей ВС. Поэтому
Если сторона и прилежащие
АС =АIСl;
3и5-
щими углами при пересечении тех же па
1 LA=LA1.
треугольникиравны. На рис.
= sinA = АВ = .J2 =2'
tg45°=tgA=~~=1, а
пересечении параллельных прямых а и АС
сторонам другого треугольника, то такие
.J2
1
1). Углы 1 и 4
являются накрест лежащими углами при
ветственно двум сторонам и углу между
треугольникаравны соответственнотрем
ВС
а
1
раллельную стороне АС (рис.
кие треугольники равны. На рис.
АВ
= 1800.
Рис.
ней углам другого треугольника, то та
= Ас2 + вс2 =
С
Проведем через вершину В прямую а, па
соответственно стороне и прилежащим к
3
L
ду ними одного треугольника равны соот
Теорема
Следовательно,
50
= L В1 ;
В
В+
~ A~C
к ней углы одного треугольника равны
= 2Ас2 = 2вс2, откуда АС = ВС =
+L
В
1. Если две стороны и угол меж
АВ=АIВl;
A~B По теореме ПифагораАВ2
А
1
угольники равны. На рис.
.(:5'
ок
ружности, вписанной в него.
L_~
L
ними другого треугольника, то такие тре
с
же медианой и биссектрисой;
Доказательство. Рассмотрим произ вольный треугольник АВС и докажем, что
Признаки равенства треугольников
Рассмотрим равнобедренный прямоуголъ
б) каждая из трех высот является так
180 о.
равна
можно получить, зная значения синуса и
ный треугольник АВС (рис.
многоугольника
Сумма углов треугольннка Теорема. Сумма углов треугольника
ТоестъАВ=Аl В l; ВС=ВIСl; АС=АI С l
= J1 _.!. = 13 . 4
51. Сумма углов треугольника. Сумма внутренних углов выпуклого
I
A~BA1~Bl
=~ . Из основного
cos 30°
I I I I
то их соответственные стороны и соот-
косинуса этого угла:
а) все углы равны (каждый из углов
равен
= 2"'
тригонометрического тождества sin 2a + cos 2 а = 1 получаем
Медиана равнобедренного треуголь
роныравны.
50. Равенство треугольников
1
С другой стороны, по определениюко
основанию, одновременно является его
2.
АВ
г----~-----T------
равен
= sinA = sin30°.
дения:
ника, nроведенная
300,
АIВIСl (рис.
J3
2)
в
C1
2
треугольники АВС и
равны, если выполняется
любое из приведенных ниже четырех ус-
3 ~
L~ий:
I
I
~ ~ Рис. 1
Теорема. Около любого треугольника
~можно~~~~ужность.~_~
51
г-----------T-----~----I
+ L 5 = 1800.
Orсюда, учитывая равенства или
I
(1), получаем: L 1 + L 2+ L 3 = 1800, L А + L В + L С = 1800.
53. Свойства средних линий
Катеты одного треугольника рав
треугольника и трапеции
ны катета.м другого треугольника:
Определение. Средней линией треу-
голь ника называется отрезок, соединяю-
АВ =АIВl иАС =АIС1.
Сумма внутренних углов выпуклого
2.
многоугольника
Катет и острый угол одного треу
гольника
Теорема. Су.м.ма внутренних углов вы
пуклого п-угольника равна
1.
г----~-----T-----------I
равны
катету
и
щий середины двух сторон треугольника.
соответ
Для доказательства приведенных ниже
ственно.му углу другого треугольника:
1800 . (п - 2).
теорем используем теорему Фалеса:
_Если параллельные прямые, пересека-
АС =АIСl и 'LC = LC1 .
ющие стороны угла, отсекают на одной
Гипотенуза и острый угол одного
3.
его стороне равные отрезки, то они отсе-
треугольникаравны гипотенузе и остро
кают равные отрезки и на другой его сто-
.му углу другого треугОЛЫiUка:
ВС
4.
=
Вl Сl и
L
С =
Рис.
рис.
2 n = 5).
ВС
Внутри него возьмем произ
нами п-угольника. Получим
n
параллельна третьей стороне;
равна половине длины этой сторо
ны.
в
n треугольников равна
углов треугольников при вершине О, а она
*
то получим сумму внутренних
на гипотенузу.
Рис.
углов выпуклого п-угольника. Эта сумма
равна
1800 . n - 3600,
т. е.
1800.
(п
- 2).
1. А/
II
Рассмотрим произ
Рис.
перпендикуляров к его сторонам и прове
(рис.
угольника АВС. то ОА
потенузу АВ. Тогда Ь С -
ОВ
=
2.
В прямоугольном треугольнике АВС
Так
ОС. Поэто
Ь на гипотенузу с; ас
проходит через все три вершины треуголь
на гипотенузу с.
ника и, значит, является описанной око
Ьс
ло треугольника АВС.
N
:Ь=
Ь
: с,
-
ь2
ку
Ьсс, а 2
=
:а=
а
AF=FC= MN =AF (т.
"2АС.
к. AМNF -
асс. грамм). Следовательно,
проведенная из вершины прямого угла,
G!fiJ
~
середину стороны АС. Значит,
: с
Теорема
есть среднее пропорциональное .между
1) 2)
проекция.ми катетов на гипотенузу: :
середину стороны ВС,
1
ас
Высота пря.моугольного треугольника,
ЬС
F -
h = h : ас
2.
MN =
параллело-
"2 АС.
3 приведены
3
фигуры, обладаю
щие осевой симметрией.
у неразвернутого угла одна ось симмет
Средняя линия трапеции:
рии
параллельна основанию;
-
биссектриса угла. Равнобедренный
треугольник имеет одну ось симметрии, а
равна полусу.м.ме длин оснований.
равносторонний треугольник
-
три оси
симметрии. Прямоугольник и ромб име ют две оси симметрии, а квадрат имеет
h 2 = асЬ с ·
четыре оси симметрии. У окружности их бесконечно много: любая прямая, прохо
При.мечание. Около треугольника мож
дящая через ее центр, является осью сим
метрии. Имеются фигуры, у которых вет
А'
52
+.* Рис.
но описать только одну окружность.
L_~
для каждой
~Ф.tE На рис.
1
или
2
если
обладает осевой си.м.метриеЙ.
и, по теореме
рону ВС пополам, т. е. пройдет через точ
проекция катета проекция катета а
Но =
N,
2
рии фигуры. Говорят также, что фигура
прове
АВ. Ова, по теореме Фалеса, разделит сто
или
с
Рис.
-
Рис.
1.
Такая прямая называется осью си.м.мет
середину
проведем прямую, параллельнуюстороне
3) опустим перпендикулярСН на ги
му окружность с центром О радиуса ОА
Через точку
~\
надлежит этой фигуре.
этому MN 11 АС.
3
как точка О равноудалена от вершин тре
=
-
I
2).
относительно этой прямой также при
Фалеса, делит сторону ВС пополам. По
буквой О точку пересечения серединных
2).
точку М
кает сторону ВС в точке
а точка Р симметрична самой себе отно-
точки фигуры си.м.метричная ей точка
дена прямая, параллельная АС. Она пересе
\В
вольный треугольник АВС. Обозначим
дем отрезки ОА, ОВ и ОС (рис.
1 через
метричной самой себе, точки М и М 1, N и Nl симметричныотносительнопрямой с,
носительно прямой,
1
стороны АВ треугольника АВС
-~------ Доказательство.
На рис.
Каждая точка прямой а считается сим
Рис.
F
с
прямая проходит через середину отрезка ВВl и перпендикулярна к нему (рис.l).
Фигура называется си.м.метричноЙ от
ALAC
гипотенузой и проекцией этого катета
Две точки В и Вl называются симмет
ричными относительно прямой а, если эта
1
МдN
Катет прямоугольного треугольника есть среднее пропорциональное .между
1800 . п. Если из этой суммы вычесть сумму 3600,
1) 2)
ВIСl иАС =АIС1.
Осевая симметрия
~*
ка:
гипотенузе
Свойства прямоугольного треугольника
треуголь
ников с общей вершиной О.
равна
=
•.
Теорема 1. Средняя линия треугольни
Катет и гипотенуза одного треу
другого треугольника:
2
вольную точку О и соединим ее с верши
Сумма углов этих
роне
I I I I I I
54. Осевая и центральная симметрии
сительно этой прямой (рис.
L С1 .
гольника равны катету и
Рассмотрим выпуклый п-угольник (на
I I I I I I I
~
~
L
ни одной оси симметрии. К таким фигу
3п
-.:~ 2
..1
рам можно отнести параллелограмм и раз
носторонний треугольник. _
~ _
-1
53
г-----------T-----~----I Центральная симметрия
Две точки А и Аl называются симмет-
ричными относительно точки О, если О
середина отрезка ААl (рис. 4). Точка О считается симметричнойсамой себе. А
•
I
•
I I I
Рис.
5 точки
Q
в точке Т
середине
-
BD.
1.
Если в четырехугольнике две сторо
ны равны
и
параллельны,
-
тырехугольник
то этот
точки.
ружность называется вписанной в много
nараллелограм,м.
-
C_",~,....-----_
N.
Q 5
Фигура называется си,мметричной от
TN
1
=
MN=
1
2"
,
~
Пусть (рис. АВ
(AD+BC).
в
четырехугольнике
1) стороны АВ
= CD.
и
CD
ABCD
параллельны и
Проведем диагональ АС, разде
ляющую данный четырехугольник на два
*
треугольника: АВС и ники
равны
по
между ними АВ =
CD
(АС
Эти треуголь
CDA.
двум
сторонам
общая
-
по условию,
L 1
=
и
углу
L 2
<'"
Рис.
'М
1
крест лежащие углы при пересечении па
лежит этой фигуре.
накрест лежащие при пересечении пря
AD и ВС HO,AD II ВС.
Например, центральной симметрией об
мых
параллелограмм
Таким
3 = L 4.
CD
секущей
Но углы
3
и
4
-------~
секущей АС, следователь
образом,
57.
точка пересечения его
но параллельны;
диагоналей.
угольник AВCD
GJN
2.
следовательно,
четырех
параллелограмм.
-
Если в четырехуzoльнике противопо
ложные стороны попарно равны, то этот четырехугольник
-
Касательная к окружности и ее свойства
в четырехугольнике
Определение. Прямая, и,меющая с ок
AВCD противоположные стороны попар
является ее центр, а центром симметрии
Рис.
'>...
как на
раллельных прямых АВ и
-
Nl
сторона,
АС), поэтому L
окружность
DK не касается 2 треугольник АВС
1
Рис.
1
2" AD + 2" ВС, т. е.
относительно точки О также принад
Центром симметрии окружности
EFMN описан около окружнос центром О, а четырехугольникDKMN
описан около окружности с центром О.
"А
точки фигуры симметричная ей точка
(рис.
четырех
угольник
окружности. На рис.
носительно точки О. если для каждой
ладают
1
ности, так как сторона
1
1
описанным
около окружности. На рис.
не является описаннымоколо этой окруж
2" ВС, МТ = 2" AD.
MN = MT+TN =
угольник, а многоугольник
ти с
Следовательно,
в
C~Cl
параллелограмма
угольника касаются окружности, то ок
Согласно свойству средней линии тре
угольника
и
Определения. Если все стороны много
че
ции параллельнаоснованиюAD,т. к. ле
не симметричны относительно этой
6).
в треугольник
жит на прямой, параллельнойAD.
2.
Окружность, вписанная
56.
грамма.
Следовательно,средняя линия MN трапе
4
р
I
Признаки параллелограмма
Рассмотрим три признака параллело
по теореме
дет через середину CD, Т.е. через точку
С и Сl, В и Вl симмет
Рис.
55.
середина стороны АВ, а N середина стороны CD. Разобьем трапецию диагональю BD на два треугольника.Че рез точку М проведем прямую, параллель
Фалеса. По той же теореме прямая прой
ричны относительно точки О, а точки Р и
г----~-----T------
2).
Пусть М -
BD
• 1
О
На рис.
Рассмотрим трапециюАВСD (рис.
ную стороне AD. Она пересечет диагональ
А
I
1.
nараллелогра,м,м.
Проведем диагональ АС четырехуголь
~
ружностью только одну общую точку. называется касательнойк окружности,
а их общая точка называется точкой касания прямой и окружности.На рис. прямая р
-
1
касательная к окружности с
центром О,А
-
точка касания.
никаАВСD, разделяющую его на треуголь
ники АВС и
CDA
(см. рис.
1).
Эти треугольники равны по трем сто
6
ронам (АС
Изображения на плоскости многих пред
ВС
метов окружающего нас мира имеют ось
= DA
-
общая сторона, АВ =
по условию), поэтому L
CD
и
1 = L 2.
Отсюда следует, что АВ 11 CD. Так как
АВ = CD и АВ 11 CD, то по признаку 1
симметрии или центр симметрии.
четырехугольник
ABCD -
параллело
р
грамм.
Рис.
Теорема. Касательная к окружности
nерnендикулярна к радиусу, nроведенно ,му в точку касания.
Доказательство. Пусть р
-
касатель
ная к окружности с центром О, А-точка касания (см. рис.
L_~
54
~
~
L
1).
Докажем, что каса
~тельн~~ерпендик~ярн~~~~
55
г-----------T-----~----I
I I I I
С ~
.. ,,'" .9.. ".
м
А
- -- -
к
----------- - в Рис.
3. Если в четырехугол.ьникедиагонали nерш<аютея и та«ои их nерееечеn""
делятся nоnoла.м, mo этот четырехуголь
ник - nараллелогра,м,м.
с \i:;
Теорема. В любой треугольник ,можно вписать окружность.
Доказательство. Рассмотрим произволь
"'А
v
Рис.
вой О точку пересечения его биссектрис.
OL
котором диагонали АС и
и ОМ соответственно к сторонам АВ,
ВС и СА (см. рис.
2).
лам (рис.
2).
то ОК
равны
двум
ОМ. Поэтому окружность с
L
касаются этой окружности в точках К,
L,
усам ОК,
OL
и ОМ. Значит, окружность с
центром О радиуса ОК является вписан ной в треугольник АВС.
по
Треугольники АОВ и сторонам
и
углу
*
I I I I I
При,мечание. В треугольник ,можно впи
чит,
признаку
AВCD
сать только одну окружность.
по
-
Рис.
параллелограмм.
Рис.
1
2
вписанный, дуга
Доказательство. Пусть
S6AВC
L
АВС
-
впи
санный угол окружности с центром О,
опирающийся на дугу АС (рис.
следует, что данный радиус является пер из
центра
~
расстояние от центра окружности до пря
мой равно радиусу, и, следовательно, пря только
одну
общую точку. Но это означает, что дан ная прямая является касательной к ок ружности. Теорема доказана.
~
~
L
~~~
С
L
=L
Сl, то
СА· СВ
4
заключающих равные углы.
АВ
ВС
Из этих равенств следует Аl в:1 = в:1 Сl . Аналогично,
3-5).
Рис.
3
и
АВ· АС
ков относятся как произведения сторон,
используя
LA = LAl. LB = L
~$
~
Рис.
окружности к данной прямой. Поэтому
LA = LAl
S6A1 ВtC1 = АIВ:1' АI Сl = СI Аl . СIВ:1 '
касатель
Доказательство. Из условия теоремы
ка АВС соответственно равны углам тре
потому что площади таких треугольни
ется.
радиусу, то она является касательной.
LC =
Сl' Таким образом, углы треугольни
ны. Так как
2 уголАВС -
Теорема. Вписанный угол из,меряется
дит через конец радиуса, лежащий на ок
=L
Следовательно,
и, значит,
ность, называется вnисанны,м угло,м.
половиной дуги, на которую он оnира·
ружности, и nерnендикулярна к это,му
LC = 180· - L А - L- В. L С = 180· - LAl - L Вl
Докажем, что сходственные стороны тре
таком случае говорят, что вписанный угол
Обратная теорема. Если прямая прохо
1
угольников АВС и АlВl Сl пропорциональ·
АВС опирается на дугу АМС.
кулярна к радиусу ОА. Теорема доказана.
Рис.
По теореме о сумме углов треугольника
угольникаАlВlСl·
АМС расположена внутри этого угла. В
ная. Таким образом, прямая р перпенди
56
М
A~BA'~B'
ружности, а стороны пересекают окруж
На рис.
имеют две общие точки. Но это противо
L_~
С1
Угол, вершина которого лежит на ок
четырехугольник
Следовательно, прямая р и окружность
имеют
считается рав
L
ружности до прямой р меньше радиуса.
окружность
ALB
Доказательство. ПустьАВС иАIВIСl
- два треугольника, у которых L А = =LAl, L В = L-Bl (рис. 1). Докажем, что 6 АВС и 6 АIВIСl подобны.
градусах.
0f(Э
между
ной ОА, то расстояние от центра О ок
и
измерять в
в
COD
из точки О к прямой р, меньше наклон
мая
подобны.
Дугу ок
1).
торую он опирается.
р. Так как перпендикуляр, проведенный
проведенным
угла,м другого, то такие треугольникu
измеряетсяградусной мерой дуги, на ко
Предположим, что это не так. Тогда
пендикуляром,
центром О пересекают ее в точках А и В. Центральному углу АОВ соответствуюг две
АОВ. Таким образом, центральный угол
радиус ОА является наклонной к прямой
-
Теорема. Если два угла одного тре
ной градусной мере центрального угла
-~------
речит условию, что прямая р
Первый nриана" угольника соответственно равны дву,м
Градусная мера дуги
равны и параллельны, зна
1
Признаки подобия треугольников
стороны центрального угла окружности с
ружности можно
Итак, в четырехугольнике AВCD сторо
CD
59.
называется ее центральным угло,м. Пусть
дуги с концами А и В (рис.
AВIICD. ны АВ и
I
Угол с вершиной в центре окружности
= ОС, ВО = OD по условию,
L-AOB = L COD как вертикальные углы),
поэтому АВ = CD и L 1 = L 2.
Из равенства углов 1 и 2 следует, что
и М. Стороны треугольника АВС
М, так как они перпендикулярны к ради
пересекают
Измерение угла, вписанноrо в окружность
ними (АО
центром О радиуса ОК проходит через точ ки К,
BD
58.
ся в точке О и делятся этой точкой попо
Так как точка О
равноудалена от сторон треугольника АВС.
= OL =
2
Рассмотрим четырехугольник AВCD, в
Проведем из точки О перпендикуляры ОК,
г----~-----T-----------I
:
/з\
2
ный треугольник АВС и обозначим бук
I I I
ВС
равенства
Вl, получаем АС
--=- В:1С1 А1 Сl' Итак, сходственныестороны треуголь
ников АВС и АIВIСl пропорциональны. Следовательно,эти треугольникиподоб ны. Теорема доказана. Второй nризна"
Теорема. Если две стороны одного тре угольника nроnорциональныдву,м сторо на,м другого треугольника и углы, за
ключенные.между эти,ми сторона.ми,рав ны, то такие треугольники подобны. Доказательство. Рассмотрим тре
угольники АВС и А 1В 1С 1, У которых АВ
АС
АIВ:1 = АI Сl ' LA = L Аl (рис. 2). Дока
~же~~6АВСи~lВl~~~~ 57
г-----------T-----~----I
С
С1
В А1
А
6,
I Докажем, что L АВС = ~ uAC. РассмотI рим три возможных случая расположения I луча ВО относительно углаАВО: 1. В 1 I угла АВС. например со стороной ВС (рис. 3). В этом случае угол АОС является I I дусной мере дуги АС (L АОС = u АС). Так I как угол АОС - внешний угол равнобедЛуч ВО совпадает с одной из сторон
центральным и его значение равно гра
С Для
2
Рис.
2
этого достаточно доказать,
L В = L Вl'
что
Рассмотрим треугольникАВС2, У кото-
рого
L 1= LA1. L 2 = L
Вl· Треугольники
АВС2 иАIВI01 подобны по первому при· знаку подобия треугольников, поэтому
I I I I
ренного треугольника АВО. а углы
1и2
г----~-----------------I
I I I I I I I
I
Jl.
""1
лучаем АС ... АС2' Треугольники АВО и
AВD
1
является
= - uAD 2
L
треугольнин;а nроnорциональны трем
АВ
_
ВС
_
L 2= L
Вl (рис.
подобия треугольников, поэтому О А
I
нан;лонноЙ. Высота прямой призмы равна ее боковому ребру.
Прямая призма называется правильной,
...
...
Аn и
В n , расположенныхв параллель
-
правильные много·
грани рис.
- равные прямоугольники. На 2 изображена правильная шестиуголь
ная призма.
n параллелограммов (1),
Площадь поверхности призмы
1).
nризмы
=2 uAD
Следствие
сумма площадей ее боковых
-
граней.
Площадь Sполи полной поверхности вы ражается через площадь Sбок боковой по верхности и площадь Sоси основания при змы формулой Рис.
2u
1
Многоугольники АIА2
А n и ВIВ2
...
лограммы (1)
DC.
-
60ковыми гранями при
змы. Orрезки Al~' А2В:!'
... , АnВn
Sполи "" Sбок
...
В N называются основаниями. а паралле·
1
и L DBC =
назы-
+ 2S оси ,
Теорема. Площадь 60ковой поверхнос
ти прямой nризмы равна произведению периметра ее основания на высоту.
--~-----------------~-
1
2.
61.
Теорема Пифагора
a~ЬЬ ас
В прямоугольном треугольнике квад
рат гипотенузы равен сумме квадратов
катетов.
Доказательство. Рассмотрим прямоу
гольный треугольник с катетами а, Ь и
Вписанный угол. оnира
ющийся на nолуокружnость. -
прямой.
гипотенузой с (рис.
1).
Докажем, что с 2
а2
=
+ ь2.
ь~c ~ а
Достроим данный прямоугольный треу
+
Ь
Площадь
S
гольник до квадрата со стороной так, как показано на рис.
этого квадрата равна (а
треугольники АВС и
I
L А = L 1, а так как L 1 = L Аl. то L А = L=L~ремадоказа~ ~
58
вается прямой. в противном случае -
ней, а площадью 60ковой поверхности
ВС = В02. СА = 02А. АВС2 равны по трем сторонам. Поэтому
тои призмы.
угольники. 'у такой призмы все боковые
1
получаем:
Следовательно,
сти. другого основания, называется высо
Площадью полной поверхности nризмы
Сравнивая эти равенства с равенствами
(1),
Перпендикуляр, проведенный из какой-
либо точки одного основания к плоско-
плоскостью.
называется nризмой (рис.
ющиеся на одну и ту же дугу, равны.
_ _ = __2_ = _2_ А1 Вl ~ 01 Сl Аl
змои.
если ее основания
ных плоскостях, и
L AВD - L DBC = 2 uAD - 2 u DC. или 1 L АВС = - u АС. 2 Следствие 1. Вписанные углы. оnира
Аl,
2, 6). Треугольники АВС2 ВС
1
1
и АIВIСI подобны по первому признаку АВ
по свойству параллель
-
Многогранник, составленный из двух
ем
зать, что L А = L Аl' Рассмотрим треу-
...
В N и называют n-угольной nри-
ных плоскостей, пересеченных третьей
Вычитая эти равенства почленно, получа
подобия треугольников, достаточно дока-
L 1= L
стороны АIВl и
2 uAD + 2 u DC. или
1
ны. Для этого, учитывая второй признак
...
Если боковые ребра призмы перпенди-
АВС'" !. u АС.
L AВD
(1)
А n В}В2
кулярны к основаниям, то призма назы
равных многоугольников АIА2
Как доказано выше,
Докажем, что'" АВО и ",АIВIСI подоб-
гольник АВ02. У которого
так
лельны. Призму с основаниями АI А 2·.. А n и ВIВ2." В N обозначают АIА2
имеет попарно параллельные противопо
ны АIА2 и ВIВ2
и не совпадает со сторонами этого угла. Из рис. 5 видно, что L АВС = L AВD - L DBC.
СА
Al~ - ~Cl - 01Аl
параллелограммом,
2
3. Луч ВО не делит уголАВС на два угла
сторонам другого. то тан;ие треуголь. нин;и nодо6ны. Дон;азательство. Пусть стороны '" АВС и '" АIВIСI пропорциональны:
последовательно при
I I I I I I I I I I I
называется сумма площадей всех ее гра
L AВD+ L DBC =
Третий nрuэнаlt
... , АnАIВIВn (1)
угольнике АIА2В2Вl
L DBC = = - u DC. 2
и
(1),
как
ВIВ2
лучаем
Теорема. Если три стороны одного
n
ложные стороны. Например, в четырех
1
ду ними. Отсюда следует, что
Теорема доказана.
соеди
А2В2 параллельны по условию, а сторо
Складывая эти равенства почленно, по
L 2, а L Вl'
... АnВn .
четырехугольников
АIА2В2Вl. А2АЗВЗВ2,
2 L 1 = uAC или LAВC = L 1 =
АВС2 равны по двум сторонам и углу меж-
LВ так как L 2 ... L Вl, то L В
В n , расположен
угольников, параллельны. Каждый из
Как доказано выше,
L
...
няющие соответственныевершины много
= 2 uAO.
1 1
и ВIВ2
что отрезки АIВ1, А2В2,
1
АС
... А n
ные в параллельныхплоскостях а и ~ так,
удвоенному значению угла 1. Отсюда сле·
= А С . Из этих двух равенств по-
раллелограммов
ложенных друг к другу, равны и парал-
Рассмотрим два равных многоугольни
2 . Л уч ВО д елит угол АВС на д ва угла. В этом случае луч во пересекает дугу АС в Al~ АIС1' ~ не которой точке D (рис. 4). Точка D раз С другой стороны, по условию теоремы ~ деляет дугу АС на две дуги: AD и DC. АВ
ребра как противоположные стороны па-
каАIА2
АВ = АС2
Аl
ваются 60ковыми ребрами призмы. Эти
и объема призмы Определения
при основании равнобедренного треуголь ника равны, то L АОС = L 1 + L 2 или
дует, что
60. Формулы площади поверхности
2.
+
Ь )2.
а
ь
с
с
Рис.
1
а
Ь
а Рис.
2
Нетрудно видеть, что квадрат со сторо-
ной (а
+ Ь),
показанный на рис.
2,
состав-
лен из четырех равных прямоугольных
~
L
I I I
~-~
59
г-----------------~----I Доказательство. Воковые грани пря мой призмы
-
ния которых
прямоугольники, основа
-
стороны основания при
змы, а высоты равны высоте
h
призмы.
Площадь боковой поверхности призмы равна сумме площадей указанных прямо угольников, т. е. сумме произведений сто
рон основания на высоту житель
h
h.
данная призма составлена из двух призм,
то ее объем равен сумме объемов
за скобки, получим в скобках
= Ph.
Теорема до
казана:
V1
и
V2,
т. е.
V= 8AВD h
+ 8DBC h = (8AВD + 8DBc) h.
г----~-----T-----------I 62. Формулы площади
I I I
параллелограмма,треугольника,
трапеции
1. Площадь nараллелогра,м,ма равна nроuзведенuю его стороны на высоту,
]
V=
2.
8 осн
h.
площадью основания
8.
h
и
Такую призму
можно разбить на прямые треугольные призмы с высотой h. Например, на рис.
Объем прямой призмы Теорема. Об7Jе,м прямой nрuз,мы равен
nроuзведенuю nлощадu ее основанuя на
3
т
изображена пятиугольная призма, кото
сделано на рис.
В1
орему для треугольной прямой призмы, а
т. к. 8AВCD = 8ВТА
а 8BCFT
h
Но чениях,
А ,//// Т····.... С D
Рис.
2
Выразим объем каждой треугольной призмы по формуле (1) и сложим эти объе
треугольника АВС (отрезок
h,
BD),
которая
мы. Вынося за скобки общий множитель нований треугольных призм, т. е. площадь
гольника:
основания исходной призмы. Таким об
и
DBC.
Плоскость
BB1D1D делит данную призму на две при
разом, объем исходной призмы вычисля
змы, основаниями которых являются пря
ется по формуле
моугольныетреугольникиAВD и этому объемы
V 1 и V2 этих
DBC. По
V=
призм равны
8 0сн
8CFD
=
гольник М 1АМ 2. В нем
у
+ 8BCDT,
- - - - М2 E
d
:
1М1
:
y1~---- ---------iА о
Х2 Х
Х1 Рис.
По теореме Пифагора находим
+ 8BCDT· Значит,
= ВС . ВТ или, в обычных обозна Snap = ah, где а = AD = ВС, ВТ = h.
Рис.
M1 M 2=d.
y2l-----
8BCFT,
ВС' ВТ.
*" Х2
расстояние меж
М1А=Х2-Х1,АМ2=У2-У1,
BCFT так, как это
d2 =
(Х2 - Х1)2 + (У2 - У1)2.
Отсюда
d = J(X1 -
Х2)2 + (У1 - У2)2.
(1)
Полученная формула расстояния между двумя точками справедлива при любом
расположении точек М 1 и М 2. В частно сти, если Х1
= Х2, то
DT
D(T)
получим в скобках сумму площадей ос
разделит этот треугольник на два треу
ABD
Найдем d -
ду точками М 1 и М 2. Рассмотрим треу
АЛ:А~СF
47
1. Рассмотрим прямую треугольную при зму АВСА1В1С1 (рис. 2). Проведем высоту
=
8всрт
8AВCD
:В
Рис.
*" У2 .
1. Треугольник ВТА равен
зе. Следовательно, 8AВCD =
ЭМЫ.
D1
У1
треугольнику CFD по катету и гипотену
для произвольной прямой при
A1~iB'С,
и
1
строим прямоугольник
Доказательство. Сначала докажем те
-
1. Пусть на плоскости хОу заданы две произвольные точки М1 (Х1; У1) и М2 (Х2;
Рассмотрим параллелограмм AВCD. По
призмы.
высоту.
затем
между двумя точками.
Уравнение окружности
D
Рис.
рая разбита на три прямые треугольные
64. Формула расстояния
У2) (рис. 1). Будем считать, что Х1
Аn:
(1)
Докажем теперь теорему для произ
вольной прямой призмы С высотой
I I I I
nроведенную к этой стороне.
Таким образом,
Вынося мно
сумму сторон основания призмы, т. е. его
периметр Р. Итак, 8бок
8 AВD h и 8 DBC h соответственно. Так как
2
Рис.
3
h.
--~-----------------~- треугольников со сторонами а, Ь и с, пло-
щадь
81
каждого из которых равна
1 "2
аЬ,
и квадрата со стороной С, площадь кото рого равна
82.
Поэтому
Зная
8,
63.
получим,
(а
+ ь)2 =
=
а2
2аЬ
+ с2,
если все его грани представляют собой
откуда
с2
+ ь2.
правильныемногоугольники.Все ребра а
Теорема доказана.
правильного многоугольника
1
60
__
~
-
равные
отрезки. Существует пять видов правиль
ных многогранников: куб, тетраэдр, ок
8 = 481 + 82= 4"2 аЬ + с 2 = 2аЬ + с 2 •
L_~~
Правильные многогранникн
Многогранникназывается nравuльны,м,
__
V
3
= a J2
12 .
таэдр,додокаэдр, икосаэдр.
L ~~
8 = а 2 JЗ,
~-~
~
61
г-----------T-----~----I
I Окружностью называется множество I
I плоскости, называемой центром окруж I Радиусом окружности называется отре I I Отрезок, соединяющий две точки ок всех
точек
плоскости,
находящихся
I
65. Длины и площади в окружности
в
и круге
на
A&~'/
заданном расстоянии от некоторой точки ности.
зок, соединяющий центр окружности с
ь
любой ее точкой.
I
ружности, называется хордой. Хорда, проходящая через центр окруж
ности, называется диаметром. Диаметр
Рис.
(рис. нику
Возьмем на окружности с центром в точ соединим ее с
(рис.
2).
центром А окружности
По определению радиуса окруж
= r. РасстояниеАМ
ности АМ
пользуя формулу
АМ
найдем, ис
4
1 1 5" = 2 Sпар = 2 АС· h.
ку АС = Ь, то
3. Площадь
Y~ ~M(X; у)
Примерами правильныхмногоугольни ков являются равностороннийтреуголь
тяжимой нити. Если мы разрежем нить в
ник и квадрат. На рис.
какой-нибудьточке А и распрямим ее, то
вильные пятиугольник, семиугольник и
получим отрезок ААl, длина которого и
восьмиугольник.
есть длина окружности (рис.
5" = 2 bh.
А
трапеции равна про из веде
а
Х
2
лью
Х
BD
AВD и
(рис.
а)2 + (у - ь)2 .
служит начало координат, то ее уравне ние имеет вид
2 -
2
2
основания трапеции,
' h-
вы
сота трапеции.
-
рав
3
.J2.
а+Ь 2 h.
Икосаэдр. Все двадцать его граней
S = 5а 2 JЗ, V
3
Додекаэдр. Все двенадцать его граней
Рис.
Многоугольник,все вершины которого
Многоугольник, все стороны которого
увеличении
количества
сторон
все
На рис.
~
5а 3 (3 + -Jб) 12
3
v=a (15+7.J5) 4
правильного
вписанного
в
изображен правильный шес
ОА2
=
=
ОАз
= ...=
ОА n
где
= R,
R
радиус описанной около шестиугольни
3
изображен правильный шес
тиугольник, описанный около окружно сти с радиусом
это предел, к которому стремится пери
ОН 1
окруж
=
ОН 2
r. = ... =
ОН n
= r,
где
r
радиус вписанной в шестиугольник ок
ность многоугольника при неограничен
ружности.
ном увеличении количества его сторон.
Длина окружности вычисляется по фор
L где
1t '"
=2rtR '.
или
L
А~Аз
=1tD,
Aв~4
3,14 - постоянная, R - радиус D- диаметр окружности.
окружности,
Длина дуги окружностис угловым зна ле
Рис.
окружности.
L___________
А! Н6
~ r:
Аз
О
А6
А5
чением, равным а, вычисляетсяпо форму
- градусная мера угла, R - радиус
!A2H2
А2
муле
где а
--~--------------------~
ОАl
На рис.
3).
Точное значение длины окружности метр
2
тиугольник, вписанный в окружность.
ка окружности.
1tRa l = 180'
62
многоугольники
санным около этой окружности.
3
женное значение, так как многоугольник
ти (рис.
правильные равные пятиугольники.
S=3a2~5(5+2J5),
2
ближе и ближе «прилегает» К окружнос
равносторонние равные треугольники.
носторонние равные треугольники.
n-2 n
n = - - . 1800.
Вписаниыеи описанные
многоугольника, тем точнее это прибли при
Итак:
= r2 .
S=2a2J3, v=a
2).
Чем больше количество сторон такого
--~--------~--------~ Октаэдр. Все восемь его граней
а
вписанным в эту окружность.
Рис.
! а . h + ! ь . h = ! (а + b)h
STpan =
+ у2
ного n-угольникавычисляетсяпо форму ле
00
5).
SAВCD = SAВD + SBCD =
где а и Ь
Orметим, что если центром окружности
х2
1
касаются окружности, называется оnи·
=
ружности:
(n - 2) . 180·. Так как все его
принадлежат окружности, называется
Тогда
Возводя обе части этого равенства в
= (х -
ника равна
ного в окружность многоугольникаявля
разобьем ее на два треугольника,
BCD
1
углы равны, то каждый из углов правиль
ется приближеннымзначениемдлины ок
Рис.
квадрат, получим искомое уравнение ок
r2
Рис.
Периметр любого правильного вписан
ружности (рис.
пра
Сумма всех углов правильного n-уголь
А1
Рис.
1 изображены
000
О.
1
Рассмотрим трапецию AВCD. Диагона
Рис.
1).
а
ь---~
о
го все углы равны и все стороны равны.
что окружность сделана из тонкой нерас
Посколь
* A~D
а)2 + (у - ь)2.
Правильны.м. многоугольникомназыва ется выпуклый многоугольник,у которо
ние о длине окружности, представим себе,
нию полусуммы ее оснований на высоту.
(1):
=r = ~(x -
с
66. Правильные многоугольники Определения и свойства
Чтобы получить наглядное представле
4). Треугольник АВС равен треуголь BCD. по трем сторонам. Следова
тельно,
I
Длина окружности,длина дуги
Достроим его до параллелограмма AВDC
равен удвоенному радиусу окружности.
ке А(а; Ь) произвольную точку М(х; у) и
г----~-----T------
Рассмотрим треугольник АВС.
1A4
А5
2
Рис.
3
Около всякого правильного многоуголь
I
ника
можно
описать
окружность,
и
во
всякий правильный многоугольник мож
..l _
но вписать окружность. ~-~
63
г-----------T-----~------, Центр вписанной вправильный многоугольник .?кружности совпадает с центром
описаннои около правильного многоугольника
окружности;
эта
точка
называется
центром правильного многоугольника. На
рис. 2 и 3 точка О -
центр правильного
шестиугольника. Orpeзок перпендикуляра,
проведеиного из центра правильного много
I I I I I
Площадь круга с радиусом
ется по формуле
ОН1, ОН2,
3
...
Рис.
и описанной окружностей
а радиус
r
вписанной окружности вычисля
а
R =
1800'
r=
а
2tg 1800 . n
*
Для правильного равностороннего треу
(рис.
а
четырехугольника
(квадрата) со стороной а: а
R=
J2'
круга
шестиугольника
Рассмотрим плоскость а и две парал лельные прямые с и Ь, расположенные так,
радиус
что прямая Ь лежит в плоскости а, а пря
ются nараллельными, если они не nере
мая с не лежит в этой плоскости (см. ри
секаются.
сунок).
и
полуплоскости,
содержит
хорду
этого
с
стях дают пол и потолок комнаты, поверх
L
ность стола и плоскость пола.
граница
Параллельность плоскостей а и ~ обо
круга
значается так: all~. Рассмотрим признак параллельности двух плоскостей.
Рис.
5
Теорема. Если две nересекающиеся пря
ь/
-----~
мые одной плоскости соответственно
параллельны двум прямым другой плос
69.
кости, то эти плоскости параллельны.
Теорема о трех
перпеидикулярах
6
Прямая. nроведенная в плоскости че
~
го полукругу, вычисляется по формуле
со
кость, то и другая прямая тоже пересека ет эту плоскость.
2
Площадь кругового сегмента, не равно
стороной а:
рез основание наклонной nерnендикуляр но
к
ее
nроекции
на
эту
плоскость,
nерnендикулярнаи к самой наклонной.
S= 1tR2 360 a±SA'
аJЗ
R=a, r=-2-' где
а
-
градусная мера центрального
ПЛощадь правильиого многоугольника
угла, который содержит дугу этого кру
Площадь правильного n-угольника рав
гового сегмента, а
I I I 1 S = 2"Pr. I I Площадь правильного n-угольника мож R I I S = .!. 2 R2 n n3600 - n I I I IL_~
SA -
Рис.
площадь треу
3
Доказательство. Рассмотрим две плос
его периметра
гольника с вершинами в центре круга и
кости а и ~ (рис.
на радиус вписанной в него окружности:
концах радиусов, ограничивающих соот
жат пересекающиесяв точке М прямые
ветствующий круговой сектор. Знак
а и Ь. в плоскости ~
на половине произведения
но вычислить и через радиус
надо брать, когда а
• +» -
когда а>
< 180· (рис. 5), 180· (рис. 6).
• -,)
а знак
3).
В плоскости а ле
-
прямые а1 и Ь1.
.
причем q 11 щ и Ь 11 Ь:1. Докажем, что all~ Прежде всего отметим, что по признаку параллельности прямой и плоскости
alla
описанной
и bll~.
Допустим, что плоскости а и ~ не па
около него окружности:
раллельны. Тогда они пересекаются по не которой прямой с. Мы получили, что плос
81'
64
Рис.
параллельных прямых пересекает плос
Представление о параллельных плоско
Рис.
а
r=2'
Для правильного
R-
®е
а
R = JЗ' r = 2JЗ .
1
Доказательство. Для доказательства воспользуемся леммой: если одна из двух
Определение. Две плоскости называ
5 и 6).
гольника со стороной а:
сти.
е Рис.
градусная мера угла,
которой
ющие выражения.
данной плоскости, параллельна какой
4
Круговым сегментом называется общая
часть
Теорема. Если прямая, не лежащая в
2).
нибудь прямой, лежащей в этой плоско
круга.
Используя эти формулы, получим следу
правильного
-
где а
общей точки.
сти, то она nараллельnа данной плоско
S = rtR 360 а,
28in -n
Для
ки (рис.
2
ются по формулам
1), либо не пересека
ются, т. е. не имеют ни одной общей точ
ся по формуле
описанной окружности и ра
R
лельными, если они не имеют ни одной
Площадь кругового сектора вычисляет
В правильном n-угольникесо стороной диус
щая этой плоскости, называются nарал
следует, что две плоскости либо пересека
(1)
Вычислениерадиусов вписанной
Плоскость и прямая, не при надлежа
то они пересекаются по прямой. Отсюда ются по прямой (рис.
го центрального угла (рис. 4).
ОН6- апофемы
прямой и плоскости
если две плоскости имеют общую точку,
круга, лежащая внутри соответствующе
шестиугольника.
68. Параллельиость
I
По аксиоме стереометрии мы знаем, что
Круговым сектором называется часть
фемой правильного многоугольника.
На рис.
вычисля
2 S = rtR .
угольника к его стороне, называется апо
правильного
R
г----~-----T--------------, 67. Параллельиостьплоскостей
Площадь круга, сектора, сегмента
кость а проходит через прямую а, парал лельную плоскости
~, и
пересекает
плоскость ~ по прямой с. Теперь восполь
зуемся следующим свойством: если nлос
~
~
I
I I I I I I
Доказательство. Обратимся к рисунку, на котором отрезок АН к плоскости а, АМ
-
-
перпендикуляр
наклонная, а
-
пря
мая, проведенная в плоскости а через точ
ку М перпендикулярно к проекции НМ наклонной. Докажем, что а l..AМ.
Рассмотрим плоскость АМН. Прямая а
перпендикулярна к этой плоскости, так как она перпендикулярна к двум пересе
кающимся прямым АН и МН (al..НM по
L~~~ОХОд~~е~нну~ямую.~условиюиа~.так~АН~сю-~
65
г-----------T-----~----I Докажем, что
clla.
Допустим, что это не так. Тогда прямая
чения плоскостей
пересечении
прямой.
параллельными
прямыми следует, что прямая Ь также пе-
параллельна
Но плоскость а проходит также через
прямую Ь, параллельную плоскости р. По
Итак, прямая с не пересекает плоскость
этому
а, поэтому она параллельна этой плоско-
проходят две прямые а и Ь, параллельные
сти. Теорема доказана.
прямой с. Но это невозможно, так как по
bllc. Таким образом,
теореме о параллельных прямых через точ
1. Если
плоскость nроведена через nря-
ку М проходит только одна прямая, па
мую. nараллельную другой плоскости, и
раллельная данной прямой. Значит, наше
пересекает
допущение неверно и
2.
ний и т. д., которые нужно поставить
прямо, т. е. перпендикулярно к той плос
кости, на которую они ставятся. Оказы
вается, что для этого нет надобности про
верять перпендикулярность по отношению
к любой прямой, как о том говорится в
лельных прямых nроведена nроизвольная плоскость и эти плоскости nересекают-
ся, то линия их пересечения параллельна каждой из данных прямых.
1.
*
ют четыре двугранных угла с общим реб
щимся прямым, лежащим в плоскости.
ром (рис.
Это вытекает из следующей теоремы, вы
равны
прямой и плоскости.
сечения параллельны.
чае
жащим в плоскости, то она nерnенди
вести только одну плоскость, nараллель
каждая из двух данных плоско
<р, <р и
то другие три угла
1800 -
00<
<р $;
<р. в частности,
= 900),
то и
900.
Две nересекающиеся
кулярна к этой плоскости.
ную данной плоскости.
1800 -
остальные три угла прямые. В общем слу
на к двум nересекающимся прямым, ле
жащую данной плоскости, можно про
Если один из этих двугран
если один из углов прямой (<р
Теорема. Если прямая nерnендикуляр
2. Через данную точку, не nринадле
1).
ных углов равен <р,
ражающей признак перпендикулярности
пересечены третьей, то линии их nере
1
Две пересекающиеся плоскости образу
пендикулярность лишь к двум пересекаю
Если две nараллельные плоскости
3. Если
Рис.
определении, а достаточно проверить пер
alIP. Теорема доказа
Приведем еще три теоремы:
Если через каждую из двух nарал-
двух плоскостеи
перпендикулярна ли
пример, при установке мачт, колонн зда
на.
ной прямой.
Признак перпендик~лярности
вопрос имеет практическое значение, на
через точку М
Приведем еще две теоремы:
пересечения плоскостей параллельна дан-
71.
I
данная прямая к данной плоскости? Этот
поскольку прямая Ь лежит в плоскости а.
то линия
Как проверить,
allc.
Отсюда следует, что
I
Перп~ндикулярность
прямои и плоскости
данной
ресекает плоскость а. Но это невозможно,
эту плоскость,
70.
секает эту плоскость, то линия nересе
с пересекает плоскость а, а из леммы о плоскости
г----~-----T------
nараллельную другой плоскости, и nере
ваются
плоскости назы
nерnендикулярными
nерnендикулярными),
а
ними равен
стей параллельна третьей плоскости, то
90'
(рис.
(взаимно
если угол между
2).
данные две плоскости параллельны меж ду собой.
-~------ да следует, что прямая а перпендикуляр
на к любой прямой, лежащей в плоскости
АМН. в частности alAМ. Теорема доказа
Рис.
на.
Эта теорема называется
теоремой о
трех nерnендикулярах. так как в ней го
1
Доказательство. Рассмотрим прямую а,
~
которая перпендикулярна к прямым р и q.
/(о
лежащим в плоскости а и пересекающим
ворится о связи между тремя перпендику
ся в точке О (рис.
лярами -АН,НМиАМ.
1).
Докажем, что
a.la.
Рис.
Для этого нужно доказать, что прямая а
Справедлива также обратная теорема:
перпендикулярна к произвольной прямой
прямая, nроведенная в плоскости через
ти двух плоскостей.
т. лежащей в плоскости а.
основание наклонной nерnендикулярно
Теорема. Если одна из двух плоскостей
Рассмотрим сначала случай, когда пря
к ней, nерnендикулярна и н: ее nроекции.
мая а проходит через точку О (см. рис.
Проведем через точку О прямую
[,
проходит через прямую, nерnендикуляр
1).
ную к другой плоскости, то такие плос
парал
кости nерnендикулярны.
лельную прямой т (если прямая т прохо
дит через точку О. то в качестве
l
2
Определим признак перпендикулярнос
возьмем
саму прямую т). Отметим на прямой а
точки А и В так, чтобы точка О была
серединой отрезка АВ. и проведем в плос
кости а прямую, пересекающую прямые р.
q
и
l
в точках Р,
Q
и
L
соответственно.
Будем считать для определенности, что
точка
L_~ 66
~
I I
J
Q
лежит между точками Р и
Так как прямые р и
q -
L.
серединные
Рис.
перпендикуляры к отрезку АВ, то АР =
= ВР и AQ = BQ. Следовательно, '" APQ
равен '" BPQ по трем сторонам. Поэтому
L~АРQ=LВР~
I
I
3
Доказательство. Рассмотрим плоско
сти а и р. Плоскость а проходит через
~ПРЯМУЮАВ,перпендикулярную~~~
г-----------T-----~----I
I
сти р И пересекающуюся с ней в точке А (рис. 3). Докажем, что a.l р. Плоскости а и р пересекаются по некоторой прямой .1 АС, так как по условию
АС, причем АВ
AВ.l р, и, значит, прямаяАВ перпендикулярна к любой прямой, лежащей в плос-
кости р.
Проведемв плоскостир прямуюAD,пер-
пендикулярнуюк прямой АС. Тогда угол ВAD
-
линейный угол двугранного угла,
образованного при пересечении плоскостей а и р. Но L ВAD = 900 (так как AВ.lP).
I I I I I I I I
Сравним теперь треугольники АР L и ВРL. Они равны по двум сторонам и углу
между ними (АР = вр, PL - общая сторо на,
LAPL = L BPL), поэтому AL =BL.
нобедренный и его медиана
высотой, т. е.
a.l р.
Следствие. Плоскость у, перпеnдикуляр пая к прямой
а, по которой пересека
a.la.
дiV
р
q
l
а
О,
Рис.
*
Доказательство. Рассмотрим шар ра
2).
al.lq,
ному в первом случае al.la. Отсюда сле
пеnдикулярnа к каждой из этих плоско
.1 а.
Теорема доказана.
1.
Два различnых
перпеnдикуляра
(х) через х
R.
одnа из двух параллельnых пря
- R
ловию
пеnдикулярnа и к другой плоскости.
= JR2
лг 2
-х2 •
а=
одnой и той же прямой, параллельnы.
- R,
Ь
74.
, то S(x) = 1t(R2
~ х ~
R.
= R,
J
R
7t(R2 - x 2 )dx = 1tR2
?
рой служат параллелограммы (рис.
1).
Если боковые ребра параллелепипедапер такой параллелепипед называется пря
2).
R
J
xwdx
основаниями и боковыми гранями кото
мым (рис.
получим
-R
-R
Параллелепипед.Куб
пендикулярны плоскости основания, то
Применяя основную
R
V =
-л
параллельных
Параллелепипедомназывается призма,
-х 2 ).
формулу для вычисленияобъемов тел при
плоскости, перпеnдикулярnыек
так как не пересека
прямых.
АВ, т. е. для всех х, удовлетворяющих ус
из двух параллельnых плоскостей, пер
= Ь (рис. 1).
------~
-ом2
Так как S(x) =
Прямая, перпеnдикулярnая кодпой
ynp
allb по определению
Значит,
Заметим, что эта формула верна для ~ любого положения точки М на диаметре /{о
плоскости.
1
Из прямоугольного треугольника
r = JOc2
другая является перпеnдикуляром к этой
4. Две
(х), где х
S
и
мых перпеnдикулярnа к плоскости, то и
3.
S
абсцисса точки М. Выразим
а,
ются плоскости, их содержащие (а ир).
ОМС находим:
к
плоскости параллельnы.
2. Если
через г, а его площадь через
=
у и не пересекаются,
точке М. Обозначим радиус этого круга
Приведем еще четыре теоремы:
4).
I
Прямые а и Ь лежат в одной плоскости
ной к ОСИ ОХ и проходящей через точку М
поэтому по доказан
дует, что а
allb.
этой оси, является кругом с центром в
лельную прямой а. По упомянутой выше и
Пусть allP, yna Докажем, что
СечеlШе шара плоскостью, перпендикуляр
Проведем через точку О прямую аl, парал
al.lp
Рис.
с центром в точке О и выберем
ось Ох произвольным образом (рисунок).
Рассмотрим теперь случай, когда пря
лемме
R
диуса
2
мая а не проходит через точку О (рис.
~
I
I I II I
в
т:
а.
I 73. Теоремы о параллельвости и перпевдикулярв~сти двух I плоскостеи I плоскости Теорема 1. Если две параллельnые пересекаются третьей, то I прямые их пересечепия параллельnы. I
I
ются две даnnые плоскости а и р, пер стей (рис.
1tR
на к любой прямой т, лежащей в плоско
сти а, т. е.
Теорема дока
4
LO является III т и l.la,
Таким образом, прямая а перпендикуляр
А Рис.
Так как
двух параллельных прямых к третьей).
зана.
~
l.la.
то m.l а (по лемме о перпендикулярности
Следовательно,угол между плоскостями
а и р равен 900, т. е.
Но
это означает, что треугольник AВL рав
г----~-----T-----------I
I 72. Формулы объема шара I и площади сферы Объем шара II Теорема. Объем шара радиуса R равеn i 3 I З • I I Х II c_:~ ~:_~
J
dx
-R R
= = 1tR2xl -R
7[Х3 --1 3
R -R
4
3. = -1tR 3
Теорема доказана. 1,
А ,,с
Площадь сферы
Выведем формулу для вычисленияпло
Рис.
щади сферы радиуса R, пользуясь форму
лой для объема шара. Рассмотрим сферу
радиуса R с центром в точке О и описан
ный около нее многогранник, имеющий
n
граней. Пронумеруем грани в произволь
L_~
68
~
~
ном п?~ядке и ~~значим через Si плоL щадьz-играни~ -=-2~.~.Соединив
I
.-L
~
_
I
~
69
г----~------------
г-----------T-----~----I Теорема 2. Если в одной из двух nер-
I
neндикулярных плоскостей провести nря-
мую, nерnендикулярную к прямой их nересеченuя. то она l5удет nерnендин:уляр-
I
I
на и к другой nлосн:ости.
центр о сферы со всеми вершинами многогранника, получим n пирамид с общей вершиной О. основаниями которых явля ются грани многогранника, а высотами радиусы сферы, проведенные в точки касания граней многогранника со сферой.
Следовательно. объем i-й пирамиды ра
1
вен З Si R • а объем V n всего описанного многогранника равен:
n 1
а
Vn = Рис.
2
Докажем. что a.l ~.
Пусть
anc ~ D.
Через точку D в плоско
b.l
с. Через пря
мые а и Ь проведем плоскость у. Так как
c.l а и с .1 Ь,то С .1 у. И так как C1..l ~, то а .1 Ь по определению. Поэтому прямая а перпендикулярна к плоскости ~.
1
n
75.
I I I I I I
Рассмотрим многоугольник А lА2
и точку Р, не лежащую в плоскости этого
ками с вершинами многоугольника. по
С, 71
Рис.
Многогранник, составленный из n-уголь
ника АIА2 ... А n и n треугольников (1).
называется пирамидой. Многоугольник АIА2
;J.:ш--J~:7С
4
,/
"D
Прямой параллелепипед. основаниями
которого служат прямоугольники. назы-
вается nРЯМОУ20ЛЬНЫМ.
Отрезки, соединяющие вершины парал-
лелепипеда, не принадлежащие одной н
ТОЙ же грани, называются диагоналями.
В прямоугольном параллелепипеде все диагонали равны.
Ky150M
называется параллелепипед, все
грани которого представляют собой рав-
ные квадраты. Поскольку параллелепи-
пед есть частный случай призмы, ТО пло-
I I
щадь его поверхности и объем вычисля-
ются по формулам площади поверхности
и объема призмы.
L_~
70
4
то и
I
I I I I I I I I I I ~
называется основанием. а тре l5оковыми гранями пи
(1) -
ее l5оковыми
Так как зщR + /»3 ~ з1tR3 при d ~ О.
,-
... А n
угольники
пирамиды, а отрезки РА1, РА2,
~1tR3
V
4_ Dз
n ~-''''
3
приd~О(n~оо).
Переходя к пределу в равенстве
(1), по
лучим
lim n~OO
3
=- lim VN = n~oo R R /!.-400 = ~ ~ nR3 = 41tR2.
= Рn
=
3V lim _n_
1
ванием АIА2
I I I I I I I I I I I
чают так:
,
S = 41tR2 .
pel5paMU.
... , РА n
Пирамиду с осно
... А n и вершиной Р обозна· РАIА2 ... А n - и называют n·
угольной пирамидой.
Перпендикуляр,проведенныйиз верши ны пирамиды к плоскости основания. на
зывается высотой пирамиды. На рис.
отрезок РН
1
высота пирамиды.
-
Пирамида называется правильной. если ее основание
-
правильный многоуголь
ник, а отрезок. соединяющий вершину пирамиды с центром основания, является
ее высотой (рис.
2).
• поэтому
РА1
- РА 2- ... =PAk· Мы доказали, что боковые ребра пра вильной пирамиды РАIА2
А n равны
...
друг другу, поэтому боковые грани
-
рав·
нобедренные треугольники. Основания этих
треугольников
другу, так как АIА2
также
... А n -
равны
друг
правильный
многоугольник. Следовательно. боковые грани равны по третьему признаку равен·
ства треугольников, что и требовалось до казать.
Выс?Та боковой грани правильной пира· миды, проведенная из ее вершины, называ
ется аnoфeмОЙ. на рис,
2 отрезок РЕ -
одна
из апофем. Ясно. что все апофемы правиль ной пирамиды равны друг другу. Площадь поверхности пирамиды
Площадью полной поверхности пира миды называется сумма площадей всех ее граней (т. е. основания и боковых гра
пирам иды
-
сумма площадей ее боковых
граней. Очевидно, что
Sполи = Вбок
+ SOCH'
Теорема. Площадь l5оковой поверхнос ти правильной пирамиды равна полови
I
не nроизведенuя периметра ее основанuя на апофему.
Аn
Доказательство. вильной пирамиды ренные рых
I
Рис.
I I ~
радиус
ней), а площадью l5оковой поверхности р
I R 3 По определению площади сферы I _. S - 11т Рn следовательно I n-too'
одним катетом которого служит
По теореме Пифагоралюбое боковое реб.
наибольший размер каждой грани 9ПИ
Поэтому
Любое боковое ребро представляет со· бой гипотенузу прямоугольного треуголь
ро равно ~h2 + R2
санного многогранника не превосходит
R.
равны.
высота РН пирамиды, а другим -
рамиды. Точка Р называется вершиной
ник содержит исходный шар радиуса
пирамиду
что все боковые ребра этой пирамиды
ника.
миться к объему шара. В самом деле, если
С другой стороны, описанный многогран
прав ильную
... А n (рис. 2). Сначала докажем,
потенуза треугольника НРА1, в котором
*
+ d с центром в точке О.
Рассмотрим
РАIА2
HP=h, HA 1=R).
таким образом, чтобы наибольший раз
R
треугольниками.
(например. боковое ребро РА2, РА1- ги·
Будем теперь неограниченно увеличивать
в шаре радиуса
Рис. 2
(1)
многогранника. Отсюда получаем
то описанный многогранник содержится
nра
описанной около основания окружности
I где Рn = t Si - площадь поверхности I i=1 I I 3V" Рn=я· (1) I I n I I I I Vn I d, I
~--
A cL
(рис.
Р
описанного многогранника будет стре·
A'r
1): РАIА2, РАzAз, .... PA"Al.
I
ника стремился к нулю. При этом объем
....
.. , А n
многоугольника. Соединив точку Р отрез
n треугольников
pel5pa
paBHol5eapeHHblMU
ни являются равными
Определения
лучим
Докажем. что все l5оковые
вильной пирамиды равны, а l5оковые гра
и объема пирамиды
мер каждой грани описанного многогран
В1
Формулы площади поверхности
i=1
i=1
Пусть a.l~, с1. n ~ = с. а еС1., a.l с (рис. 2).
сти ~ проведем прямую
1
IзSiR=зRLА =з RРn ,
I
(Центром правильного многоугольника называется центр вписанной или описан-
L
НОЙ окружности.)
-
Боковые грани пра
-
треугольники,
равные равнобед основания
стороны основания
кото
пирамиды,
а
высоты равны апофеме. Площадь боко
вой поверхности пирамиды равна сумме
произведений сторон ее основания нв по
ловину апофемы d. Вынося множитель
I
1d
"2
~-~
71
г-----------------~----I за скобки, получим в скобках сумму сто
Применяя теперь основную формулу для
рон основания пирамиды, т. е. его пери
вычисления объемов тел при а
метр. Следовательно,
получаем
=
О, Ь
1
SooK
=
"2 dP .
h
V =
Объем пирамнды Теорема. Объем пирамиды равеn одnой
S
h
Jо
S(y)dx =
трети произведеnия площади ее осnова
S h
Jо 2h
y2dy =
Jо
2
y2 dy
h
=
= SY3 1h = !Sh. h2 з о 3
nuя па высоту.
До"азательство. Сначала докажем тео рему для треугольной 1ШpaМИДЫ, а затем
2.
1.
Рассмотрим треугольную пирамиду
РАВС с объемом
V,
площадью основания
и высотой h. Проведем ось Ру (рис.
SOCB
3,
где РН- высота пирамиды) и рассмот
II I
Докажем теперь теорему для произ
вольной пирамиды с высотой
для произвольной пирамиды.
дью основания
h
и площа
Такую пирамиду
SOCB'
можно разбить на треугольныепирамиды с общей высотой
h
(на рис.
4
г----~-----------------I
I I I I II
= h,
76. Формулы площади поверхности
ли таким образом, что все образующие
и объема цилиндра
оказались расположенными в не которой
Определения
плоскости а (рис. 4). В результате в плос
Тело, ограnичеnnое цилиnдричес"ой по·
Стороны АВ и 1'В' прямоугольника пред
поверхность называется бо"овой поверх nостью цилиnдра. Круги называются ос nоваnuями цилиnдра, образующие цилин дрической поверхности - образующими цилиnдра, прямая 001, соединяющаяцен тры кругов, - осью цилиnдра.
Эт~т прямо~льник называется разверт "ои бо"овои поверхnости цилиnдра. Ос нование АА' прямоугольника является разверткой окружности основания цилин дра, а BЫCOTa~ - образующей цилинд ра, поэтому АА = 21tr, АВ = h, где r
кости а получится прямоугольник АВВ'А'.
верхnостью и двумя "ругами, nазывает ся цилиnдром (рис. 1). Цилиндрическая
ставляют собои два края разреза боковой поверхности цилиндра по образующей АВ.
радиус цилиндра,
показано
его высота.
h -
разбиение для пятиугольной пирамиды).
рим сечение АIВIСI пирамиды плоско стью, перпендикулярнойк оси Ру и, зна чит, параллельной плоскости основания.
m··d
Обозначим через Уl координатуточки М 1 пересечения этой плоскости с осью Ру, а через
S
S
(Уl)
(Уl) через
- площадь сечения. Выразим S, h и Уl. Заметим, что треу
r·
гольники АIВIСI и АВС подобны. В са
мом деле, АIВ1liAВ,поэтому '" РАIВl по добен
Al~ АВ
'"
РАВ.
Следовательно,
РАl = РА • Прямоуголъные треугольни
ки РАIМ 1
иРАН также подобны (они
имеют общий острый угол с вершиной Р).
РАl
_
Поэтому РА -
РМ1
Уl
_
h'
РН -
Рис.
Все образующиецилиндра параллельны и равны друг другу. Длина образующей
рамиды по выведенной формуле и сложим
называется высотой цилиnдра, а радиус
эти объемы. Вынося за скобки общий
1
"3 h
основания -
радиусом цилиnдра.
, получим в скобках сум
рамид, т. е. площадь
S
исходной пирамиды равен Следствие. Объем
V
Рис.
Таким образом, но
АВ
доказывается,
~~ ~ СА = h' Итак,
=
h'
что
Аналогич
~Cl _ Уl ВС
-
h
и
треугольники АI В l Сl
бии У;. следо~,тельио. ~) = [~ S(Yl) = S
L_~
~2
•
До"азательство.Пусть в треугольни ке АВС (рисунок)АВ
=
с, ВС
=
СА
~,
L
А
а.
=
Ь,
L
r·
А
=
81,
h,
а,
.
L
В
=
=
а,
в
c~a
а площади
A~ Ь С
вычисляется по
v = ~ h(S + st + JSS;) . Уl
Теорема синусов
nы сипусам противолежащихуглов.
Рис.
и АВС подобны с коэффициентом подо
или
и
77.
Стороnы треугольnи"апропорциоnаль'
формуле
3
Al~
S
объем
-----~
усечеnnой пирами
ды, высота "оторой равnа осnоваnий равnы
1
"3 SOCB h
I I I
t
с
основания исход
ной пирамиды. Таким образом,
с
3
4
Выразим объем каждой треугольной пи
му площадей осно~аний треугольных пи
у
Рис.
Рис.
множитель
в
А
i
-;
ось цилиндра
Цилиндр может быть получен вращени
Докажем, что
ем прямоугольника вокруг одной из его
а
сторон. На рис. 2 изображен цилиндр,
I I I I
sin а
полученный вращением прямоугольника
АВСn вокруг стороны АВ. При этом боко щением стороны СП, а основания
:
-
вра
AD.
Площадь поверхностицилиндра
На рис.
I
3
изображен цилиндр. Пред-
ставим себе, что его боковую поверхность
~
L
разрезали по образующей АВ и разверну
с
По теореме о площади треугольника
вая поверхность цилиндра образуется вра щением сторон ВС и
Ь
= sin ~ = sin у .
I
I ~
1
S=
"2 аЬ sin у.
S=
"2 са sin~.
S=
1
"2 Ьс sin а,
1
Из первых двух равенств получаем
!
2 аЬ
.
Slll
_!
у - 2 Ьс
.
Slll
а, откуда
I
~-~
72 73
г-----------------~----I Так как площадь каждого основания рав
2пг
], а
78.
Формулы площади поверхности
на 1tr 2 , то для вычисления площади пол ной поверхности цилиндра получаем
SПОЛН =
1::
которого равен длине образующей кону
и объема конуса
са, а длина дуги
и прямую ОР, перпендикулярную к плос
21tr(r + h) •
Р. Поверхность, образованная этими от
Теорема. Объем цилиндра равен произве
резками, называется конической поверх
дению площади его основания на высоту.
ностью, а сами отрезки -образующими
P1
,,-
конической поверхности.
_
: r
А
4
Рис.
За площадь боковой поверхности ци ки.
Рис.
3
нуса nринимается площадь ее разверт
h
Так как площадь прямоугольника
ки.
Выразим площадь боковой поверхнос
АВВ'А' равна 21trh, то для вычисления пло щади боковой поверхности цилиндра ра
ти конуса через длину
диуса
радиус
8бок =
r и высоты h 21trh.
Итак,
площадь
получается формула
боковой
сектора поверхности
Рис.
цилиндра равна произведению длины ок линдр Р радиуса
ра.
sin у
Ь
sina
sin ~
Итак _а_ = _Ь_ = _с_ .
sin а sin ~ sin у
Теорема доказана.
L_~
74
Fn
h
(рис.
ностью и кругом с границей
правиль
5),
ся конусом (рис.
а в эту
площадь основания призмы, а цилиндр Р
I
II I I
содержит призму
F n'
которая, в свою оче
n.
При этом радиус
rn
будет стремиться к радиусу
вершиной конуса, а образующие коничес кой поверхности-образующими конуса
2
изображены образующие РА,
друг другу.
I I I
=
1800
rcos-n
--t r при
n
*
~
цилиндра Р:
lim VN = V . n-t oo
(1) следует, что и lim Sn = 1tr 2 . oo n-t
t
цилиндра Р n
r цилиндра Р
79.
сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сто рон на косинус угла между ними. Доказательство. Пусть в треугольни
Рис.
у
А
=
а.
. cos
а.
(1)
с
Прямая ОР, проходящая через центр ос нования и вершину, называется осью ко
(2)
нуса. Ось конуса перпендикулярна к плос
основания
(2)
L
зано на рисунке.
в'
кости основания. Отрезок ОР называется высотой конуса.
по
лучаем
А
Площадь поверхности конуса SOCH
с, ВС=а, СА= Ь,
вершине А треугольника так, как пока
Таким образом,
V=
=
а 2 = ь 2 +с 2 - 2Ьс
lim Snh = V. Но
n-t oo
цилиндра через SОСЮ из формулы
Теорема косинусов
Квадрат стороны треугольникаравен
Введем систему координат с началом в
Из неравенств
V = 1tr 2h.
(1)
Докажем,например,что
--t oo ). Поэтому
Обозначив площадь 1tr 2
1t1 2 = 360 а.
------~
ке АВС АВ
(rn
1t1 2
360 а, где
основанием конуса. Точка Р называется
РВ и др.). Все образующие конуса равны
(1)
равна
4) -
градусная мера дугиАА', поэтому
&iOK
объем цилиндра Р n стремится к объему
I I I I I I I I I I
-
Будем неограниченно увеличивать чис
ло
а
образующей и
развертки боковой поверх нос
-
ти конуса (см. рис.
L, называет
1 его
основания. Площадь кругового
1).
ковой поверхностью конуса, а круг
(на рис.
редь, содержит цилиндр Р n' то
V n < Snh < V.
r
Коническая поверхность называется бо
V и V n объемы цилиндров Р и Р n' а через r n - радиус цилиндра Р n ' Так как объем призмы F n равен Snh , где Sn
венств следует а
и высоты
через
~-------I sina
r
1
Тело, ограниченное конической поверх
призму впишем цилиндр Р n . Обозначим
поверхности и площади двух оснований.
Точно так же из второго и третьего ра
5
ную n-угольную призму
Площадью полной поверхности цилин
дра называется сумма площади боковой
с
Рис.
Доказательство. Впишем в данный ци
ружности основания на высоту цилинд
а
4
За площадь боковой поверхности ко
призма р n
линдра nринимаетсяплощадь ее разверт
длине окружности ос
~
кости этой окружности. Каждую точку окружности соединим отрезком с точкой
Объем цилиндра
-
нования конуса.
Рассмотрим окружность L с центром О
цилиндр Рn Рис.
г----~-----------------I
h.
с
в
х
Боковую поверхность конуса можно раз
Итак, об7>ем цилиндраравен nроизведе
вернуть на плоскость, разрезав ее по од
нию площади его основания на высоту.
ной из образующих, например РА (рис.
3). Разверткой боковой поверхности конуса
...J
L явл~ся круговой сектор (рис. ~ радиус
Точка В имеет координаты (с; О), а точ
I -.l
ка С
- координаты (Ь' соэ а; Ь' sin а). По
формуле расстояния между двумя точка ми получае~ ~ _ ...J
75
г-----------------~----I Выразим а через
1 и r.
Так как длина
дуги АА' равна 21tr (длине окружности
основания конуса), то 21tr = куда
Доказательство. Рассмотрим конус с
радиусом
R
основания, высотой
h
j
и вер
шиной в точке О. Введем ось Ох так, как
1t1 2
360 а,
от
показано на рис.
5
(ОМ
360r
ось конуса).
-
о
a=-Z-'
Подставивэто выражениев формулу (1), получим
о%ОК
= 1trl.
..а::
(2)
Таким образом, площадь 60ковой по
верхности конуса равна произведению половины длины окружности основания на длину 06разующеЙ. Площадью полной поверхности кону са называется сумма площади боковой по верхности и площади основания. Площадь
Рис.
полной поверхности конуса вычисляется по формуле
8полн
= 1tr(l + r).
(3)
Теорема. 06ъем конуса равен одной трети произведения площади его основа ния на высоту.
=
называют
0606щенной теоремой Пифагора. Такое название объясняется тем, что в теореме косинусов содержится как частный слу
чай теорема Пифагора. В самом деле, если в треугольнике АВе угол а
90' =
(х), где х
8
-
абсцисса точки
В1
R
I _ 1 I или h-R I I откуда В1 =т. лR I Так как 8(х) = 1tRf ' то 8(х) = ---,;2 х I = = h, I I
-
прямой, то
О и по формуле
+ с2 ,
х
В
хВ
Теорема доказана.
Ь2
сечения через
М 1. Из подобия прямоугольных треуголь
ОМ
Теорему косинусов иногда
=
. Обозначим
радиус этого круга через В1, а площадь
ОМ1
а 2 = (с - Ь соаа)2 + Ь 2 sin 2a = с 2 - 2Ьс . соаа + Ь 2 соа 2 а + Ь 2 sin 2a с 2 + ь 2 - 2Ьс соаа.
соа а = соа
ся кругом с центром в точке М 1 пересече
ников ОМ1А1 и ОМА следует, что
-~
чаем а 2
стью, перпендикулярной к оси Ох, являет
ния этой плоскости с осью Ох
Объем конуса
=
5
Про изволь ное сечение конуса плоско
(1)
полу
т. е. квадрат гипотену
зы равен сумме квадратов катетов.
2
2
•
Применяя основную формулу для вычис
ления объемов тел при а
О, Ь
полу
чаем
h
V =
*
2
f!::!ih2
2
x 2dx =
О
h
!::!if h2
x 2 dx = О
I = лR x31h _! 2 h 2 3 О - 3 7tR h. I 8 I 1 I лR ,поэтому V = "3 8h . I V h, I 8 81, I I 1h -.l _ _ _v_ = "3 (8 +81 +JS8;). _ _ _ _ _ _ _ ...J 2
Площадь
основания
конуса равна
2
Теорема доказана.
Следствие. 06ъем
усеченного конуса,
высота которого равна нований равны
формуле
L _
76
~
и
а площади ос
вычисляется по