シリーズ 数学の世界 4 社会科学の数学演習—線形代数と微積分

4 

シリーズ ・…

数学の世界 野口 廣 監修

社会科学の 数学演習 ―線形代数と微積分― 沢田  賢 渡邊展也 安原  晃  著

朝倉書店

ま えが き

  こ の演 習 書 は,前 書 『シリーズ数学の世界３ 社 会 科 学 の 数 学 一線形代数 と微積分』 の 問 題 集 と して 書 か れ た もの で あ る.学 習 に際 して 多 くの 問 題 を実 際 に 解 い て み る こ とは,各

自の 理 解 を確 認 す る上 で大 変 有 意 義 な こ とで あ る.し か しなが

ら 『社 会 科 学 の 数 学 』 で は紙 面 上 の 制 約 もあ り,十 分 な 例 題 ・問 題 を与 え る こ とが で きな か った.こ

の こ と を補 うた め に,こ の演 習 書 を ま とめ た.

  内 容 と して は,教 科 書 『 社 会 科 学 の 数 学 』の 内 容 に関 連 づ け られ て い る.教 科 書 の 各 章 ・各 節 に応 じて,ま ず 例 題 を説 明 し,そ の 後 に類 題 と して い くつ か の 問題 を与 え,そ の 問 題 を解 い て ゆ くとい う形 式 に した.そ

して 各 章 ご とに 章 末

問 題 を置 い て い る.例 題 ・問 題 と も単 な る計 算 問 題 だ け で な く,パ ラ メ ー タ ー の 入 っ た場 合 の計 算 な ど も多 く取 り入 れ た.ま

た微 積 分 の 章 で は,教 科 書 で は

取 り上 げ る こ とが で き な か っ た い くつ か の 関 数 な ど も紹 介 して い る,   教 科 書 と併 せ て この 演 習 書 を学 習 す る こ とで,よ

り よい理 解 が 得 られ る こ と

を願 っ て い る.   終 わ りに,教 科 書 と同 様,本 演 習 書 出 版 の た め に尽 力 され た朝 倉 書 店 編 集 部 の 方 々 に心 か ら感 謝 の 意 を表 した い. 2003年２

月

著 者 しる す

目

次

列 

１.  行

１

1.1  行 列 の 定 義 

１

1.2  行 列 の 演 算 

４

1.3 

９

ベ

ク

ト ル 

章 末 問 題 

12

２. 連 立 １次 方 程 式 

14

2.1  連 立 １次 方 程 式 

14

2.2  行 列 と連 立 １次 方 程 式 の 基 本 変 形 

16

2.3  簡 約 な行 列 

18

2.4  一 般 の 連 立1次 2.5  逆

列 

25 29 32

合 

33

集

合 

章 末 問 題 

３.  集 3.1 

行

方 程 式 の 解 法 

33

3.2  集 合 の 要 素 の個 数 

35

章 末 問 題 

36

４.  写 像 ・関 数 

37

4.1  写 像 ・関 数 

37

4.2  関数 の演 算 

40

43

章 末 問 題 

44

５. ベ ク トル 空 間  5.1  ベ ク トル 空 間 

44

5.2  １次 独 立 と １次 従 属 

47

5.3  ベ ク トル の 最 大 独 立 個 数 

53

5.4  ベ ク トル 空 間 の基 底 と次 元 

54

章 末 問 題 

62

64

６. 線 形 写 像  6.1  線 形 写 像 

64

6.2  表 現 行 列 

69

6.3  固 有 値,固

72

有 ベ ク トル と行 列 の対 角 化 

77

章 末 問 題 

７. 1  変 数 関 数 の微 分  7.1 

79

限 

極

7.2  関 数 の 連 続 性  7.3 

81 83

分 

微

79

7.4  関 数 の 極 値 

87

7.5  関 数 の 近似 と微 分 

89

章 末 問 題 

91

８. 多変 数 関 数 の微 分 

92

8.1 ｎ 変 数 関 数 の微 分 

92

8.2  方 向 微 分,偏

94

章 末 問 題 

微 分 

９.  積

9.1  定

分  積

分 

97

98 98

9.2  原 始 関 数 

100

9.3  定 積 分 と原 始 関 数 の 関 係 

101

章 末 問 題 

102

問 題 解 答 

105

参 考 文 献 

151

索

153

引

１  行

1.1  行 列 の 定 義

 ｍ 行ｎ 列 に数 が 配 置 さ れ た 表 を()で た はm×n型

く くっ た もの を,ｍ

行ｎ 列 の 行 列 ま

行 列 とい う.

  例1.1.1

とな る.こ

の行 列 のｉ 行 ｊ列 に 配 置 さ れ た 数aijを,こ

の 行 列 の(i,j)の成 分 と

い う.   い ろ い ろ な行 列 を扱 う と き行 列 に名 前 を付 け て お くこ とは便 利 で あ る.行 列 の 名 前 はＡ,Ｂ,Ｃ,…

な どの アル フ ァベ ッ トの 大 文 字 を使 う こ と にす る .も ち

ろ ん 多 くの 行 列 を扱 わ な けれ ば な ら な い と きは,ア ル フ ァベ ッ トの 大 文 字 に添 え字 を付 け てAl,A2,B1,B2,… を付 け る と き

等 と表 す.ま た 行 列 にＡ と か Ｂ とい う名 前

列

と表 す.つ

ま り等 号 を こ の よ うな 意 味 で 用 い る こ とが あ る.ま

た,上 記 の 表 現

を簡 単 に A=(aij),A=(aij)m×n

と表 す こ と も あ る.

  定 義1.1.2 

２ つ の 行 列Ａ,Ｂ

の 型 が 等 し く,各

成 分 が 等 し い と き,Ａ

と Ｂ

は等 しい とい い A =B

と 表 す.

 例1.1.3(零 行 列 を,Om×nと

 例1.1.4(正

行 列)各

成 分 が す べ て ０の 行 列 を零 行 列 とい う.m×n型

の零

表 す が,特 に断 る必 要 が な い と きは単 に ０ と表 す こ とが あ る.

方 行 列)行

の個 数 と列 の 個 数 が 同 じ行 列,す

な わ ちn×n行

列

をｎ 次 正 方 行 列 とい う.ｎ 次 正 方 行 列

に 対 して,a11,a22,…,annを

 例1.1.5(単

位 行 列)正

こ の 正 方 行 列 の 対 角 成 分 と い う.

方 行 列 で 対 角 成 分 が す べ て １で,他

０ と な る もの を単 位 行 列 と い い,n×n型

の 単 位 行 列 をEnと

の成分がすべ て 表 す.

  定 義1.1.6 

次 の 式 で 定 義 さ れ る 記 号 を ク ロ ネ ッ カ ー の デ ル タ と い う.

  例1.1.7 

δ11  =δ22=…=δnn=1,δ12,δ21,…,δ36等は

  例1.1.8 

単 位 行 列 の(i,j)成

０.

分 はδijで あ る.す

なわ ち

E=(δij)

  例 題1.1.9 

3×3行

列A=(aij）

aij=δi

の(i,j)の 成 分 が

+1,j-δi,j+1

で 表 さ れ る と き,行 列Ａ を具 体 的 に表 せ.

  解 答  i=1,j=1,i=1,j=2の

と き,と

い うよ うに 順 番 に 計 算 して い

くと

a11=δ1+1

,1-δ1,1+1=δ2,1-δ1,2=0-0=0

a12=δ1+1,2-δ1,2+1=δ2,2-δ1,3=1-0=1

こ れ を続 け る と,

と な る.

  問 題1.1.10 

3×3行

列A=(aij)の(i,j)の

成 分が

aij=(-1)i+jδi+1,j

で 表 され る と き,行 列 Ａ を具 体 的 に表 せ.

1.2 

行 列

の 演 算

  実 数 の 場 合 と同 様 に,行 列 ど う しの 演 算 を定 義 す る.こ

こで,演 算 とい うの

は２ つ の 行 列 ま た は行 列 と実 数 か ら新 しい 行 列 を作 る操 作 を意 味 す る.  定 義1.2.1(行

に 対 しＡ

とＢ

と 定 義 し,A+Bと

列 の 和)同

じ型 の ２ つ の 行 列Ａ,Ｂ

の 和 を,

表 す.

  例1.2.2

 定 義1.2.3(行

列 の 実 数 倍)実

数 λ と行 列

に 対 し,Ａ

の λ 倍 を,

と定 義 し,λＡ

と 表 す.

  例1.2.4

  定 義1.2.5(行

列 の 積)m×l行

に 対 し,(i,j)成

分が

列 とl×n行

列

ai1b1j+ai2b2j+…+ailblj

で定 義 され るm×nを,行

列Ａ と行 列 Ｂ の 積 とい いABと

  こ の 定 義 式 は一 見 複雑 に見 え る が,こ れ は行 列Ａ のｉ 行

(ai1 ai2…ain)

表 す.

(２) (１)

の １列 成 分ai1,２

列 成 分ai2,…,ｎ

列 成 分ainと

行 列 Ｂ の ｊ列

の １行 成 分b1j,２

行 成 分b2j,ｎ

行 成 分bnjを

そ れ ぞ れ 掛 け た もの をす べ て 加

え た 形 で あ る.

  例 題1.2.6

  解 答   (1)2つ

の行 列 は3×4行

列 と4×2行

列 との 積 なの で,結 果 は3×2

行 列 と な る.

積 の1×1成

の 第 １列〓

分 は,〓

の第 １行(1072)と

か ら計 算 さ れ,そ の結 果 は

で あ る,同

様 に

と な る の で,そ

(1,2)成

分=1・0+0・-2+7・5+2・1=37

(2,1)成

分=2・2+-2・1+4・3+5・9=59

(2,2)成

分=2・0+-2・-2+4・5+5・1=29

(3,1)成

分=-1・2+-2・1+0・3+3・9=23

(3,2)成

分=-1・0+-2・-2+0・5+3・1=7

の積 は

(２)まず 括 弧 の 中 を計 算 して

と な る.そ

して 積 を(１)と 同様 に計 算 す る と

  問 題1.2.7 

次 の 計 算 を せ よ.

(１)

(２)

(３)

  定 義1.2.8 Ａ の 積 をAnと

が 正 方 行 列 の と き,ｎ 個 の Ａ の 積AA…Aが

表 す.

  例 題1.2.9 

次 の 行 列 Ａ に対 し,A2,

(１)

A3,

(２)

  解 答   (１)ま ずn=2,3の

と き を計 算 す る と

と な る.し

と き,

た が っ て〓4の

An=A3An-3=OAn-3=O で あ る.

Anを

計 算 せ よ.

定 義 で き て,そ

(２)同 様 にn=2,3の

と な る.ま

と き を計 算 す る と

た

A4=A3A=EA=A, 

で あ る の で,３

A5=A3A2=EA2=A2, 

A6=A3A3=EE=E

つ の 行 列 が 繰 り返 し現 れ る.つ

n=3kの

と き, A3k=A3A3…

ま り

  A3=EE…E=E

n=3k+1の

と き, A3k+1=A3kA=EA=A

n=3k+2の

と き, A3k+2=A3kA2=EA2=A2

と な る.

  問 題1.2.10 

次 の 行 列 Ａ に 対 し,Anを

(１)

(２)

1.3 

  定 義1.3.1(行

求 め よ.

ベ ク トル,列

み か ら な る 行 列 す な わ ち,1×n行

ベ

ク

ベ ク トル)１

ト

ル

行 の み か ら な る 行 列,ま

列 とm×1行

列 を そ れ ぞ れ,行

た １列 の ベ クト ル,

ａ,ｂ

列 ベ ク トル と呼 ぶ.特

に そ の 大 き さ を 表 現 し た い と き は,ｎ

次 列 ベ ク トル と い う.こ

れ ら の ベ ク トル を 表 す と き は,ア

次 行 ベ ク ト ル,ｍ

ル フ ァ ベ ッ トの 小 文

字の太字 ,ｘ,ｙ,a1,a2,…

を用 い る.ま たす べ て の 成分 が０ で あ るベ ク トル を零 ベ ク トル と呼 び ０ で 表 す こ と にす る.  行 列 の 行 ベ ク トル ・列 ベ ク トル へ の 分 割   行 列 を扱 う と き,行 ベ ク トル また は 列 ベ ク トル を用 い て行 列 を表 現 す る こ と が あ る.   例1.3.2

と す る.

A=(a1

a2 a3)

と表 す と き,行 列 Ａ は

を意 味 す る.

  例 題1.3.3 

行 列Ａ

が ｎ 個 の ｍ 次 列 ベ ク トル に よ り,

A=(a1 a2…an) と表 され て い る と き

と な る こ と を 示 せ.

 解 答   い ま各 列 ベ ク トル を

とす る と,

で あ る の で,次

を 得 る.

=x1a1+x2a2+…

…+xnan

と な る.

章

末

問 題

1.1  次 の 計 算 を せ よ.

(１)

(２)

1.2  次 の 行 列 の(i,j)成

分 を ク ロ ネ ッ カ ー の デ ル タ を 用 い て 表 せ.

(１)

(２)

1.3  次 の 式 が 成 り立 っ て い る と き,行

列 Ｘ を 行 列Ａ,Ｂ

4(X-2A)=-(X+3B) 1.4  次 の 行 列

で 表 せ.

を満 たす行 列X=

〓(た だ しa+d≠0)を

1.5  次 の 行 列 Ａ に対 し,Anを

(１)

求 め よ.

(２)

す べ て 求 め よ.

２  連立 １次方程式

2.1 

連 立 １次 方 程 式

連立 １次方程式 a11x1+a12x2+…+a1nxn=b1 a21x1+a22x2+…+a2nxn=b2

am1x1+am2x2+…+amnxn=bm

は,い

ろ い ろ な 表 現 を用 い て 表 され る.ま ず 行 列 お よび ベ ク トル を用 い て

ま た.ベ

ク トル の み を 用 い て

等 と表 す こ とが で き る.こ の と き行 列 お よび ベ ク トル

を こ の連 立 １次 方 程 式 の 係 数 行 列 お よ び定 数 項 ベ ク トル とい う.こ の 係 数 行 列 の 右 側 に 定 数 項 ベ ク トル を並 べ た行 列

を連 立 １次 方 程 式 の 拡 大 係 数 行 列 とい う.  連 立 方 程 式 を一 般 的 に扱 う と き,各 行 列,ベ 表 す)簡 単 に 表 す こ と もあ る.例

ク トル に名 前 を付 け て(文 字 で

え ば, Ax=b

x1a1+x2a2+…+xnan=b

 例 題2.1.1 

次 の 連 立 １次 方 程 式 の 係 数 行 列,拡

ま た こ の 連 立 １次 方 程 式 を い ろ い ろ な表 現 で 表 せ.

 解 答   係 数 行 列,拡

大 係 数 行 列 は,そ

れぞれ

大 係 数 行 列 を 求 め よ.

(表 現 １)

(表現 ２)

 問 題2.1.2 

次 の 連 立 １次 方 程 式 の 係 数 行 列 お よ び拡 大 係 数 行 列 を 求 め よ.

ま た こ の 連立 １次 方 程 式 をい ろ い ろ な 表現 で 表 せ. x1+x2+x3+x4=2 2x1-x2+3x3=2 (１)

  2x1+3x2+2x3+4x4=5 (２)

  x1+2x2+x3=1

  -2x2+x3+x4=1   x1+x2+x3=1

2.2  行 列 と連 立 １次方 程 式 の基 本 変形

  連 立 １次 方 程 式 を 次 に述 べ る 式 に関 す る ３つ の 変 形 を用 い て,解 形 に変 形 す る.も  定 義2.2.1(式

ち ろ ん こ れ らの 変 形 は解 を変 え な い. の 基 本 変 形)

(Ⅰ)１つ の 式 を何 倍 か す る(た だ し ０倍 は しな い) (Ⅱ)２ つ の 式 を入 れ 替 え る (Ⅲ)１ つ の 式 に,他

の式 を何 倍 か した もの を加 え る

を得 や す い

  連立 １次 方程 式 に対 して式 の 変 形 を行 う とい う こ と は,そ の拡 大 係 数 行 列 に 対 し次 の 行 に関 す る変 形 を行 う こ と と同 じで,以 後 この 拡 大 係 数 行 列 を変 形 す る こ と に よ り連 立 １次 方 程 式 の 変 形 を行 う.  定 義2.2.2(行

に 関 す る行 列 の 基 本 変 形)

(Ⅰ)１つ の行 を何 倍 か す る(た だ し０ 倍 は しない) (Ⅱ)２ つ の行 を 入 れ 替 え る (Ⅲ)１ つ の行 に,他 の 行 を何 倍 か した もの を加 え る

 列題2.2.3 

次 の 連 立１ 次 方 程 式 を掃 き出 し法 で 解 け.

 解答 拡大係 数行列 を変形 して,

↓ １ 行 に２ 行 を２ 倍 した もの を加 える ↓ ３ 行 に２ 行 を(-3)倍

↓ ３行 に(-1/10)を

した も の を加 え る

掛 ける

↓  １行 に ３行 を(-5)倍

したものを加える

↓  ２ 行 に ３行 を(-2)倍

したものを加える

とな る.こ の 拡 大 係 数 行 列 が 表 す 連 立 １次 方 程 式 は

で,よ

っ て,解

は た だ1組x1=15,

x2=5,

x3=-2で

あ る.

  この よ う に,３ つ の 基 本 変 形 を用 い解 の 得 や す い形 の 連 立 １次 方程 式 の求 め る方 法 を掃 き 出 し法 とい う.  問 題2.2.4 

次 の 連 立 １次 方 程 式 を掃 き 出 し法 で解 け.

(２)

(１)

2.3簡

  定 義2.3.1(行

列 の 主 成 分)零

約

な 行 列

ベ ク ト ル で な い 行 ベ ク トル に お い て,０

でな

い成 分 の う ち １番 左 にあ る の を,そ の 行 の 主 成 分 とい う. 定 義2.3.2(簡

約 な行 列)次

の ４つ の 条 件 を満 たす 行 列 を簡 約 な 行 列 とい う.

１)行 の 中 に 零 ベ ク トル で あ る と きは,零 ベ ク トル で ない 行 よ り下 に あ る. ２)主 成 分 は １で あ る. ３)● 第 １行 の 主成 分 が お か れ て い る列 の番 号 をj1  ●第 ２行 の 主 成 分 が お か れ て い る列 の番 号 をj2  ●…   と す る と き,j1＜j2＜…

と な っ て い る こ と.

４)各 行 の 主 成 分 を 含 む 列 に お い て,主

成 分 以 外 の 成 分 は す べ て ０ で あ る.

  注 意   条 件 ３)は,各 行 の 主 成 分 の 配置 を規 定 して い る.第

１行,第

２行,…

と主 成 分 の位 置 を 見 て ゆ く と き,主 成 分 の位 置 は右 にず れ て い くこ と を 意 味 し て い る(何 列 ず れ る か は 問 題 に しな い).  例2.3.3 

単 位 行 列 お よ び 零 行 列 は 簡 約 な行 列 で あ る こ と は,す

  例2.3.4(簡

約 で な い 行 列 の 例)

(１)

 例 題2.3.5 

(１)

(２)

次 の 行 列 は 簡 約 な行 列 か ど うか を調 べ よ.

(２)

ぐ わ か る.

(３)

 解 答   (１)第 ３行 の 主 成 分 が １ 番左 に あ る の で 条 件 の ３)を 満 た さ ない.し た が っ て,簡 約 な行 列 で は な い.(２)こ れ は簡 約 な行 列 で あ る.(３)ま ず 第 １行 の 主 成 分 が １で な い の で 条 件 ２)を 満 た さな い し,第 て い て,こ

れ も 条 件 １)を 満 た さ な い の で,簡

 例 題2.3.6 

上 の 例2.3.4の

２行 が 零 ベ ク トル と な っ

約 な 行 列 で は な い. □

行 列 に何 回 か の 基 本 変 形 を繰 り返 し行 う こ

と に よ り簡 約 な行 列 に変 形 せ よ.

(１)に つ い て,

↓  １行 と ２行 を入れ替 えて ↓  ２行 と ３行 を入れ替 えて

(３)に つ い て

↓  ２行 に １行 の(-1)倍

を加 え る

↓  ２行 と ３行 を入れ替 える

↓  ２行 に ３行 の(-3)倍

  問 題2.3.7 

例 題2.3.5の

行 列(１),(３)を,基

を加 え る

本 変 形 を 繰 り返 し 行 う こ と に

よ り簡 約 な 行 列 に 変 形 せ よ.

一 般 の行 列 に つ い て も次 の 定 理 が 成 り立 つ .   定 理2.3.8 

ど ん な 行 列 も基 本 変 形 を繰 り返 し行 う こ と に よ り簡 約 な 行 列 に

変形 で き る.ま た,こ の と き変 形 の 方 法 は い ろ い ろ あ る け れ ど,出 来 上 が っ た 簡 約 な行 列 は た だ １つ に 決 ま る.   行 列Ａ に基 本 変 形 を繰 り返 して 簡 約 な 行 列 を求 め る こ と を,行 列Ａ を簡 約 化 す る とい う.そ の 結 果 と してで きる 簡 約 な行 列 を行 列 Ａ の 簡 約 行 列 とい う.  定 義2.3.9(行

列 の階 数)  行 列 Ａ の 簡 約 行 列 の 中 にあ る零 ベ ク トル で ない 行

の 個 数 を 行 列Ａ

  例 題2.3.10 

の 階 数 と い い,rank(A)と

次 の 行 列 を 簡 約 化 し,階

表 す.

数 を 求 め よ.

 解答

と な る の で,階

  例 題2.3.11 

数 は ２ で あ る.

次 の 行 列 を 簡 約 化 し,階

数 を 求 め よ.

解 答   この 行 列 の な か に 文 字 λが 使 わ れ て い る.こ れ は この 行 列 の簡 約 化 を

い ろ い ろ な行 列 で行 うの と同 じで,し 予 想 され る.と

こ こ で,第２

たが っ て い ろ い ろ な場 合 が 起 こる こ とが

りあ えず 簡約 化 して み る.

行 の 主 成 分 を１ にす るた め に第２ 行 を(λ-1)で

操 作 が で きる の は λ ≠1の

と きで,し

たが っ て２ つ の 場 合 を 考 え な け れ ば な ら

な い. (ⅰ)λ=1,

(ⅱ)λ ≠1

(ⅰ)のと き行 列 は

と な るの で,さ

と な り,簡

ら に簡 約 化 して

約 な 行 列 を 得 る.こ

  さ て(ⅱ)の

の と き 階 数 は２ で あ る.

と き は 第２ 行 を(λ-1)で

割 っ て,

こ こ で も, (ⅲ)λ=0,

の２ 通 りの場 合 が 考 え られ て,(ⅲ)の

割 りた い.そ の

(ⅳ)λ ≠2

と き行 列 は

と な り,簡   (ⅳ)の

約 な 行 列 と な る.ま と き は,第

た 階 数 は ２ で あ る.

３ 行 を λ-2で

と な り簡 約 化 で き る.こ

割 って

の と き階 数 は ３ で あ る.以

上 を ま と め る と,

λ=1の

と き,簡

約行列 は

〓 で,階

数は ２

λ=2の

と き,簡

約行列 は

〓 で,階

数 は ２

λ≠1,2の

と き,簡

〓と な り,階

約行列 は

と な る.

  問 題2.3.12 

(１)

(３)

次 の 行 列 を 簡 約 化,し

(２)

階 数 を 求 め よ.

数 は ３

2.4 

 例 題2.4.1 

一 般 の 連 立 １次 方 程 式 の 解 法

次 の 連 立 １次 方 程 式 を解 け.

(１)

(２)

 解 答   (１)ま ず,こ

の方程式 の拡大係数行列

を簡 約 化 す る と,

と な る.こ の 行 列 を拡 大 係 数 行 列 とす る連 立 １次 方 程 式 は

で あ る.ま

ず,こ

の 連 立 方 程 式 の 第 ４式 はx1,x2,x3,x4,x5の

成 立 す る の で,こ

値が なんであれ

の 方 程 式 の 解 は 次 の 連 立 １次 方 程 式

の解 で あ る.こ の と き,主 成 分 に対 応 す る変 数x1,x2,x4を

左 辺 に残 し,他 の

変 数 を右 辺 に移 行 す る と次 の方 程 式

を 得 る.x3=c1, x5=C2と

す る と,解

は

(C1, C2は 任 意 の 実 数)

と表 さ れ る.こ

の解 を ベ ク トルの 形 式 を用 い て次 の よ うに 表 す.

(C1, C2は 任 意 の 実 数)

(２)拡大 係 数 行 列 は

と簡 約 化 され,最 後 の 行 は式

0x+0x2+x3+0x4+0x5=1

を 表 し,こ

の 式 を 満 た すx1,x2,x3,x4,x5の

値 は 存 在 し な い の で,こ

次 方 程 式 の解 は な い.  問 題2.4.2 

次 の 連 立 １次 方 程 式 を解 け.

(１)

(２)

 定 理2.4.3(連

立 １次 方 程 式 の解 の 個 数)

(１)rank(A)≠rank(A 

b)の

と き,解

な し.

(２)rank(A)=rank(A 

b)≠

未 知 数 の 個 数 の と き,解

(３)rank(A)=rank(A 

b)=未

知 数 の 個 数 の と き,解

は 無 限 個. は た だ １つ.

の連立 １

 例 題2.4.4  次 の 連 立 １次 方 程 式 を解 け.

 解答 この連立 １次方程式 の拡 大係数行列 は

と 簡 約 化 さ れ る の で,5α-5≠0,つ   α=1の

と き,x4=c1,x4=c2と

ま り α ≠1の す る と,次

と き解 な し.

の 解 を 得 る.

(Cl,C2は

 問 題2.4.5 

(１)

次 の連 立 １次 方 程 式 を解 け,

(２)

任 意 の 実 数)

2.5 

 定 義2.5.1(正

則 行 列)ｎ

逆

行

列

次 正 方行 列Ａ に対 し,ｎ 次 正 方 行 列 Ｂ で AB=BA=En

とな る行 列 Ｂ が存 在 す る と き,Ａ は正 則 行 列 で あ る と い う.こ の と き,行 列 Ｂ は た だ １つ に決 まる.そ  定 理2.5.2 ｎ

の行 列 Ｂ を 行列 Ａ の 逆 行 列 と い い,A-1と

表 す.

正 方 行 列 Ａ に対 して 次 の ３つ の 条件 は 同値 で あ る.

(１)Ａ は正 則 行 列 (２)rank(A)=n (３)AB=Eと

な る ｎ 次 正 方 行 列 Ｂ が存 在 す る.

  こ の 定 理 に よ り,AB=Eな 両 辺 に 左 か らA-1を

ら ばB=A-1で

掛 け て,B=A-1を

る 計 算 方 法 が 得 ら れ る.い

あ る.な 得 る.ま

ぜ な ら, AB=Eの

た正 則 行 列 の 逆 行 列 を求 め

まＡ の 逆 行 列 を

B=(b1 

b2…bn)

と表 す こ と に し,単 位 行 列 を En=(e1 

e2…en)

と す る と き,

AB=A(b1 

b2…bn)=(Ab1 

Ab2…Abn) =(e1 

と な る の で,逆

行 列 の 各 列b1,b2,…

Ax

=e1, 

 bnは

Ax=e2,…, 

e2…en)=En

ｎ 個 の 連 立 １次 方 程 式

Ax=en

の解 で あ る.こ れ らの 連 立 １次 方 程 式 を解 くに は各 連 立 １次 方 程 式 の 拡 大 係 数

行列 (A￨e1),(A￨e2),…,(A￨en)

を簡 約 化 す れ ば よい が,こ の 簡 約 化 は 行 列Ａ が 単 位 行 列 に な る よ う に行 え ば よ い ので す べ て 同 じ基 本 変 形 の 仕 方 に な る.そ

こで,次

の行 列 をつ く りそ の 行 列

を簡 約 化 す る と,右 側 に逆 行 列 Ｂ が 得 られ る.つ ま り

(Ａ￨e1e2…en)=(A￨En)⇒(En￨B)

 例 題2.5.3 

次 の行 列 の 逆 行 列 を求 め よ.

 解 答

と な る の で,Ａ

の 逆 行 列A-1は

で あ る.

  問 題2.5.4 

次 の 逆 行 列 を 求 め よ.

(１)

(２)

  例 題2.5.5 

行 列 Ａ,Ｂ が 正 則 行 列 の と き,次

(１)行 列A-1は

正 則 行 列 で,そ

(２)行 列ABは

正 則 行 列 で,そ

  解 答   (１)行列A-1に 行 列A-1は

の 事 柄 を 示 せ.

の 逆 行 列(A-1)-1は

Ａ で あ る.

の 逆 行 列(AB)-1はB-1A-1で

対 して,A-1X=XA-1と

あ る.

な る行 列 Ｘ が存 在 す れ ば

正 則 行 列 で あ り,ま た この と き行 列 Ｘ をA-1の

た が って 上 記 の 等 式 を満 た す行 列 Ｘ を見 つ け れ ば よい.こ

逆 行 列 とい う.し こで ,

A-1A=AA-1=E な の で,A-1は

(２)行 列ABに

正 則 行 列 で そ の 逆 行 列 は Ａ と な る.

つ い て も同様 で

(AB)(B-1A-1)=ABB-1A-1=AEA-1=AA-1=E (B-1A-1)(AB)=B-1A-1AB=BEB-1=BB-1=E で あ る の で,行 列ABは

正 則 行 列 で, ABの

逆 行 列(AB)-1はB-1A-1で

あ る .□

  問 題2.5.6  行 列 で,逆

Al,A2,…,Anが

行 列 は(A-1)nで

正 則 行 列 で あ る と き,積A1A2…Anも あ る こ と,つ

正 則

ま り

で あ る こ と を 示 せ.

章

末

問 題

2.1  行 列 の 階数 は,そ の 簡 約 行 列 の 主 成 分 の 個 数 に等 しい こ と を確 か め よ. 2.2  次 の 連 立 １次 方 程 式 が 無 限 個 の 解 を もつ よ うに α,βの 値 を 決 め,そ と きの解 を求 め よ.

2.3  次 の 行 列 の 逆 行 列 を求 め よ.

(１)

2.4  整 数 ｎ に 対 し て

とす る と き,次 の事 柄 を示 せ. (１)AnAm=An+m (２)Anは

正 則 行 列 で(An)-1=A-n

(２)

の

 集

合

合

３

3.1集

  定 義3.1.1(集

合)範

囲 の確 定 した もの の 集 ま りを集 合 と い い,集 合 を構 成

す る個 々の もの を要 素 と呼 ぶ.も

のａ が 集 合Ａ の 要 素 で あ る こ と をa∈Aで

表 し,も のａ が 集 合 Ａ の 要 素 で は な い こ と をa〓Aで   定 義3.1.2(部

分 集 合)２

つ の 集 合 Ａ,Ｂ に 対 し,"a∈Aな

成 り立 つ と き,Ａ

は Ｂ に 含 ま れ る,ま

A⊂Bで

た"A⊂Bか

表 す.ま

表 す.

  例3.1.3(特

殊 な 集 合 の 記 号)

Ｎ:自

ら ばa∈B"が

は Ｂ の 部 分 集 合 で あ る と い い, あ る と き,Ａ

とＢ は 等 しい と い

素 を も た な い 集 合,

然 数 全 体 の 集 合,Ｚ:整

数 全 体 の 集 合, Ｑ:有

Ｒ:実 数 全 体 の 集 合, Ｃ:複 a,b∈Ｒ,a＜bと

た はＡ

つB⊂A"で

い,A=Bで

空 集 合Ф:要

表 す.

理 数 全 体 の 集 合,

素 数 全 体 の 集 合．

す る と き,開

閉 区 間[a,b]={x∈R￨a〓x〓b},左

区 間]a,b[={x∈R￨a＜x＜b}, 半 開 区 間]a,b]={x∈R￨a＜x〓b},

右 半 開 区 間[a,b[={x∈R￨a〓x＜b}.

  定 義3.1.4(集

合 の 演 算)Ａ,Ｂ

{x￨x∈Aか

つx∈B}を

{x￨x∈Aま

た はx∈B}をＡ

{x￨x∈Aか

つx〓B}をＡ

な 集 合 と す る.

Ａ と Ｂ の 共 通 集 合 と い い,A∩Bで と Ｂ の 合 併 集 合 と い い,A∪Bで か ら Ｂ を 引 い た 差 集 合 と い い,A-Bで

表 す. 表 す. 表 す.

  {(a,b)｜a∈A,b∈B}をＡ はA2と

も 表 す.ｎ

と Ｂ の 直 積 集 合 と い いA×Bで

個 の 集 合A1,A2,…,Anに

A1,a2∈A2,…,an∈An}を, …

×Anと

か く.集

表 す.

A×A

対 し,{(a1,a2,…,an)￨a1∈

A1,A2,…,Anの 合 Ａ に 対 し,ｎ 個 のＡ

直 積 集 合 と い い, A1×A2× の 直 積 集 合A×A×

…

×AをAn

で 表 す.

  例 題3.1.5 

A={2,3,4},B={1,3}と

す る と き,

A∩B,A∪B,A-B,A×B,Aの

部 分 集 合 全 体 の 集 合,を

  解 答   A∩B={3},A∪B={1,2,3,4},

求 め よ.

A-B={2,4},

A×B={(2,1),(2,3),(3,1),(3,3),(4,1),(4,3)} Ａの 部 分 集 合 全 体 の 集 合={0,{2},{3},{4},{2,3},{3,4},{2,4},A}.□

  問 題3.1.6 

次 のＡ,Ｂ

に 対 しA∩B,A∪B,A-B,A×Bを

求 め よ.

(１)A={2,3},B={1,3}(２)A={1,2,3},B={1,3,5} (３)A={1,2},B={1,2,3}(４)A=0,B={1,3}   問 題3.1.7 

次 の 集 合Ａ

の 部 分 集 合 全 体 の 集 合 を 求 め よ.

(１)A={2,3}(２)A={2}(３)A={x,y,z} (４)A={(1,a),(1,b),(2,a),(2,b)}   問 題3.1.8 

次 のＡ,Ｂ

に対

しA∩

Ｂ,

A∪B,A-Bを

(１)A=[2,4],B=[3,5](２)A=[2,4],

B=]3,5[

(３)A=[2,6[,B=]3,5](４)A=[2,4], 

B={3}

 例 題3.1.9 

A,B,Ｃ

求 め よ

を集 合 とす る と き,次 の 等 式 を示 せ.

A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C)

  解 答   (１)ま ず,A∩(B∪C)⊂(A∩B)∪(A∩C)を  a ∈A∩(BUC)と ま た はa∈C),よ

す る と,a∈Aか っ て(a∈Aま

つa∈BUC,よ

た はa∈B)か

示 す. っ てa∈Aか つ(a∈Aま

つ(a∈B

た はa∈C),よ

っ

てa∈A∩Bま

だ はa∈A∩C,よ

っ てa∈(A∩B)∪(A∩C),し

たが って

A∩(B∪C)⊂(A∩B)∪(A∩C).   次 に,(A∩B)∪(A∩C)⊂A∩(B∪C)を   a∈(A∩B)∪(A∩C)と (a∈Aか

す る と,a∈A∩Bま

つa∈B)ま

た はa∈C),よ

示 す.

た は(a∈Aか

っ てa∈Aか

た はa∈A∩C,よ

つa∈C),よ

つ(a∈B∪C),よ

っ てa∈Aか

って

つ(a∈Bま

っ てa∈A∩(B∪C),し

た

が っ て(A∩B)∪(A∩C)⊂A∩(B∪C).  こ れ で,A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C)が

示 さ れ た.

 問 題3.1.10 Ａ,Ｂ,Ｃ

の 等 式 を 示 せ.

を 集 合 とす る と き,次

A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C)

3.2  集 合 の要 素 の個 数

 定 義3.2.1(集

合 の要 素 の個 数)有

素 の個 数 をN(A)と

表 す.ま

KA(x)=

と 定 義 し,KAを

  例3.2.2 

た,ｘ に対 し,

 1 

(x∈Aの

と き)

  0 

(x〓Aの

と き)

Ａ の 特 性 関 数 と い う.N(A)=∑KA(x)で

あ る．

(１)N({1,2,3})=3,N({x∈Z￨x2=x})=2.

(２)N(A)=a,N(B)=bで

個 数=2a,Ａ

限 個 の要 素 を もつ 集 合 Ａ に対 し,そ の 要

あ る と き,N(A×B)=ab,

Ａ の部分 集合 の

のｓ 個 の要 素 か ら な る 部 分 集 合 の 個 数=aCs=

 例 題3.2.3 Ａ,Ｂ,を

有 限 個 の要 素 を もつ 集 合 とす る と き,次 の 等 式 を

示 せ. N(A∪B)=N(A)+N(B)-N(A∩B)

  解 答   各ｘ  ｘ がＡ,Ｂ

に 対 し,KA∪B(x)=KA(x)+KB(x)-KA∩B(x)を の ど ち ら に も 属 さ な い と き,

KA∪B(x)=0,   ｘ がＡ,Ｂ

示 す.

KA(x)+KB(x)-KA∩B(x)=0+0-0=0. の ど ち ら か 一 方 に の み 属 す と き,KA∪B(x)=1,KA(x)+KB(x)-

KA∩B(x)=(KA(x)+KB(x))-KA∩B(x)=1-0=1.  ｘ がＡ,Ｂ

の ど ち ら に も 属 す と き,  KA∪B(x)=1,KA(x)+KB(x)-

KA∩B(x)=1+1-1=1.よ

っ て,KA∪B(x)=KA(x)+KB(x)-KA∩B(x)

が 示 さ れ た. し た が っ て,N(A∪B)=〓KA∪B(x)=〓(KA(x)+KB(x)-KA∩B(x))

=〓KA(x)+〓KB(x)-〓KA∩B(x)=N(A)+N(B)-N(A∩B)．□

 問 題3.2.4 Ａ,Ｂ

を 集 合 と し,N(A)=10,Ｎ(B)=15,N(A∪B)=20

と す る.N(A×B),N(A∩B),Ａ

の 部 分 集 合 の 個 数, Ａ の ６ 個 の 要 素 を も

つ 部 分 集 合 の 個 数 を 求 め よ.

章

末

3.1  Ａ,Ｂ ，Ｃ を 集 合 と す る と き,次

問 題 の 等 式 を 示 せ.

A-(B∪C)=(A-B)∩(A-C) 3.2  Ａ,Ｂ,Ｃ

を 有 限 個 の 要 素 を も つ 集 合 と す る と き,次

N(A∪B∪C)=N(A)+N(B)+N(C)-N(A∩B) - N(B∩C)-N(C∩A)+N(A∩B∩C)

の 等 式 を 示 せ.

４  写

4.1 

  定義4.1.1(写

像 ・関 数)Ｘ,Ｙ

像 ・関

写

像

・関

数

数

を ２つ の 集 合 とす る.Ｘ

の 各 要 素 に対 し,Ｙ

の要 素 が １つ 決 ま る よ うな対応 の仕 方 ｆ を Ｘ か ら Ｙ へ の写 像 とい いf:X→Y と表 す.こ

こで Ｘ を写 像f:X→yの

い う.x∈Xに

定 義 域,Ｙ は写 像f:x→Yの

値域 と

対 し,ｆ に よ っ て決 ま る Ｙ の 要 素 を,ｘ のｆ に よる値 とい い,

f(x)と 表 す.   写 像f:x→Yに

お い て そ の 値 域Ｙ が 実 数 全 体 の 集 合Ｒ ま た は そ の 部 分 集

合 で あ る と きf:X→Yを

関 数 と い う.

  定 義 域 の 各 要 素 に対 し,値 域 の どの 要 素 を対 応 させ る の か を は っ き り示 す こ と に より １つ の写 像 が定ま る.し f:X→Y,"ｆ

たが っ て写 像を表すと き， に よ る 対 応 の 仕 方"

とい う表 し方 を す る.   例4.1.2(写

像 ・関 数)

(１)X={1,2,3},Y={2,3,4}に

対 し,f:X→Y,f(1)=2,f(2)=3,

f(3)=3. (２)f:R→R,f(x)=2x-1. (３)f:R→R,f(x)=2x2+5.

  例4.1.3(特 定 数 関 数:定

殊 な 関 数) 数a∈Rに

対 し,f:R→R,f(x)=a.

恒 等 関 数:f:R→R, 

f(x)=x.

１ 次 関 数:定

数a,b∈Rに

２ 次 関 数:定

数a,b,c∈Rに

多 項 式 関 数:定

対 し,

f:R→R,

対 し,

f(x)=ax+ｂ.

f:R→R, 

数a0,a1,a2,…,an∈Rに

f(x)=ax2+bx+c. 対

し,

f:R→R,f(x)=a0+a1x+a2xn+…+anxn. 多 変 数 の 多 項 式 関 数: (１)f:R2→R,

f(x1,x2)=3+x1-2x2+3x12+2x1x2-x22

(２)f:R3→R, f(x1,x2,x3)=2x1x2-x2x3+4x3x1+x31x2-3x22x33+5x71+x123 行 列 の 積 に よ っ て 定 義 さ れ る 写 像:

(１)f:R3→R,

f(x1,x2,x3)=(1 

(２)f:R3→R3,

f(x1,x2,x3)=

(３)一 般 に,Ａ が 定 義 さ れ る.こ (＊)α,β

2  3)

をm×n行

列 と す る と き,写

(２)f:R2→R,

す る と き, f(αx+βy)=αf(x)+βf(y)

f(x)=x3+3x2-2x-1と f(x1,x2)=1+x1-x2+2x1x2と

f(1,2),f(0,1). f(x1,x2,x3)=(x1+x2+x3)2

と す る と き,f(1,2,3),f(-1,0,1).

(４)f:R3→R3,

も つ.

次 の 写 像 の 指 定 さ れ た 値 を 求 め よ.

(１)f:R→R,

(３)f:R3→R,

f(x)=Ax

の 写 像 は 線 形 性 と 呼 ば れ る 次 の 性 質(＊)を

∈R,x,y∈Rnと

  例 題4.1.4 

像f:Rn→Rm, 

f(x1,x2,x3)=

す る と き,

f(2),

f(0).

す る と き,

と す る と き,f(1,1,1),f(1,2,3).

  解 答   (１)f(2)=23+3×22-2×2-1=8+12-4-1=15,

f(0)=03+3×02-2×0-1=0+0-0-1=-1 (２)f(1,2)=1+1-2+2×1×2=4,f(0,1)=1+0-1+2×0×1=0 (３)f(1,2,3)=(1+2+3)2=62=36,f(-1,0,1)=(-1+0+1)2=02=0

(４)f(1,1,1)=

f(1,2,3)=

 問 題4.1.5 

次 の 写 像 の 指 定 さ れ た 値 を 求 め よ．

(１)f:R→R,f(x)=2x3+x2+x-3と

す る と き,f(2),f(0).

(２)f:R2→R,f(x1,x2)=3+x1+2x2-3x1x2と  

す る と き,

f(1,2),f(0,1).

(３)f:R3→R,f(x1,x2,x3)=(x1-2x2+x3)2と  

す る と き,

f(1,2,3),f(-1,0,1).

(４)f:R3→R,f(x1,x2,x3)=(0 

1 

3)

と す る と き,f(1,1,1),f(1,2,3).

  例 題4.1.6 

(１)X={a,b,c},Y={d,e}と

す る と き, Ｘ か らＹ へ の

写 像 を す べ て 求 め よ.   (２)X={1,2,3}と f(x2)な

ら ばx1=x2"を

す る と き,Ｘ

か らＸ

へ の 写 像ｆ で 条 件"f(x1)=

満 た す も の を す べ て 求 め よ.

 解 答   (１)次 の ８種 類 で あ る. f1:X→Y,f1(a)=d,f1(b)=d,f1(c)=d f2:X→Y,f2(a)=d,f2(b)=d,f2(c)=e f3:X→Y,f3(a)=d,f3(b)=e,f3(c)=d f4:X→Y,f4(a)=d,f4(b)=e,f4(c)=e f5:X→Y,f5(a)=e,f5(b)=d,f5(c)=d f6:X→Y,f6(a)=e 

f6(b)=d,f6(c)=e

f7:X→Y,f7(a)=e,f7(b)=e,f7(c)=d f8:X→Y,f8(a)=e,f8(b)=e,f8(c)=e

(２)異 な る 要 素 に は 異 な る要 素 を対 応 させ な け れ ば な ら な い の で,次

の ６種

類 で あ る. f1:X→X,f1(1)=1,f1(2)=2,f1(3)=3 f2:X→X,f2(1)=1,f2(2)=3,f2(3)=2 f3:X→X,f3(1)=2,f3(2)=1,f3(3)=3 f4:X→X,f4(1)=2,f4(2)=3,f4(3)=1 f5:X→X,f5(1)=3,f5(2)=1,f5(3)=2 f6:X→X,f6(1)=3,f6(2)=2,f6(3)=1   問 題4.1.7 

X={1,2},Y={1,2,3}と

す る と き,Ｘ

か らＹ

へ の 写 像 を

す べ て 求 め よ.   問 題4.1.8  "f(x

1)=f(x2)な

X={1,2,3,4}と

す る と き,Ｘ

ら ばx1=x2"を

か らＸ

へ の 写 像ｆ

で 条件

満 た す も の を す べ て 求 め よ.

4.2 

関 数 の 演 算

 関 数 は値 域 が 実 数 で あ るか ら,実 数 の和 ・差 ・積 ・商 を用 い て ２つ の 関数 か ら １つ 関 数 を指 定 す る操 作 が 定 義 され る.   定 義4.2.1  (関 数 の 演 算)実

数a∈R,関

実 数 倍:af:R→R,(af)(x)=a・f(x)

数f:R→R, 

g:R→Rに

対 し,

関 数 の 和:f+g:R→R,(f+g)(x)=f(x)+g(x) 関 数 の 積:fg:R→R,(fg)(x)=f(x)・g(x) 関 数 の 商:X={x∈R￨g(x)≠0}と

  例 題4.2.2 

す る と き,〓

２ つ の 関 数f:R→R,f(x)=3x2+1,g:R→R,

g(x)=x-2に

対 し て,4f,f+g,fg,f/gを

求 め よ.

 解 答   (4f)(x)=4f(x)=4(3x2+1)=12x2+4

(f+g)(x)=f(x)+g(x)=(3x2+1)+(x-2)=3x2+x-1 (fg)(x)=f(x)g(x)=(3x2+1)(x-2)=3x3-6x2+x-2 〓 (x≠2) □

 問 題4.2.3 

次 の ２つ の 関 数ｆ,ｇ に 関 してf+g,fg,

f/gをそ れ ぞ れ 求 め よ.

(１)f:R→R,f(x)=3x+2,g:R→R,g(x)=x-1 (２)f:R→R,f(x)=-2x2+1,g:R→R,g(x)=-3x-2 (３)f:R→R,f(x)=3x2+2x-1,g:R→R,g(x)=-x2-2 (４)f:R→R,f(x)=2,g:R→R,g(x)=3x2-2 (５)f:R→R,f(x)=x+2,g:R-{0}→R-{0},g(x)=1/x   定 義42.4(写

像 の 合 成)Ｘ,Ｙ,Ｚ

  写 像f:X→Y,g:Y→Zに g(f(x))をｆ

を 集 合 と す る. 対 し て,写

像gof:X→Z,gof(x)=

と ｇ の 合 成 写 像 と い う.

 関 数 の 場 合 は,合 成 関 数 とい う.   定 義4.2.5(逆

写 像)Ｘ,Ｙ

を 集 合 と す る.写

写 像g:Y→Xで, (１)任 意 のy∈Yに

対 し,fog(y)=y

(２)任 意 のx∈Xに

対 し,gof(x)=x

像f:X→Yに

対 し て,

を 満 た す も の をｆ の 逆 写 像 と い い,f-1:Y→Xと x∈x,y∈Yに

対 して,f(x)=yとf-1(y)=xは

関 数 の 場 合 は,逆

  定 義4.2.6(関 X×Yの

同 値 で あ る.

関 数 と い う.

数 の グ ラ フ) Ｘ,Ｙ

を 集 合 と す る.写

部 分 集 合{(x,f(x))￨x∈X}をｆ

  特 に,関

表 す.

数f:R→Rの

像f:X→Yに

対 し,

の グ ラ フ と い う.

グ ラ フ はR2の

部 分 集 合 で あ り,R2は

座標 平面 と

同 一 視 で き る か ら,こ の 場 合 グ ラ フは 座 標 平 面 上 の 図形 と も考 え られ る.   例4.2.7 

(１)f:R→R,f(x)=2x+1と

１)￨x∈R}.こ

れ は,平

す る と,ｆ の グ ラ フ={(x,2x+

面 内 の 図 形 と し て み る と,(0,1)を

通 り,傾

き ２の 直

線 で あ る.   (２)f:R→R,f(x)=x2と

す る と,ｆ

の グ ラ フ={(x,x2)￨x∈R}.こ

れ は,平 面 内 の 図 形 と して み る と き,放 物 線 と呼 ば れ る図 形 に な る.

  例 題4.2.8２ g(x)=x-2に

つ の 関 数f:R→R,f(x)=3x2+1,g:R→R, 対 し て,fog,gof,f-1,g-1を

  た だ し,逆

求 め よ.

関 数 に 関 し て は 適 当 に 定 義 域,値

域 を 制 限 し て 考 え よ.

  解 答   fog(x)=f(g(x))=f(x-2)=3(x-2)2+1=3(x2-4x+4)+ 1=3x2-12x+13 gof(x)=g(f(x))=g(3x2+1)=(3x2+1)-2=3x2-1   f(x)=3x2+1〓1で は,x〓0の

あ り,y〓1に

範 囲 で は〓

と,x〓0の

対 しf(x)=3x2+1=yと 範 囲 で は-〓

が っ て, f:{x￨x〓0}→{y￨y〓1}と

考 え る と き,

f-1:{y￨y〓1}→{x￨x〓0},f-1(y)=〓

f:{x￨x〓0}→{y￨y〓1}と

考 え る と き,

な るｘ で あ る.し

た

f-1:{y￨y〓1}→{x￨x〓0},f-1(y)=-〓   y∈Rに

対 し,g(x)=x-2=yと

な るｘ はx=y+2の

み で あ る.し

た

が っ て,g-1:R→R,g-1(y)=y+2. □

 問 題4.2.9 

次 の ２つ の 関 数ｆ,ｇ に 関 して,fog,gof,f-1,g-1を

それ

ぞ れ求 め よ.た だ し,逆 関 数 に 関 して は適 当 に定 義 域,値 域 を制 限 して 考 え よ. (１)f:R→R,f(x)=3x+2,g:R→R,g(x)=x-1 (２)f:R→R,f(x)=-2x2+1,g:R→R,g(x)=-3x-2 (３)f:R→R,f(x)=3x2+2x-1,g:R→R,g(x)=-x2-2 (４)f:R→R,f(x)=2,g:R→R,g(x)=3x2-2

(５)f:R→R,f(x)=x+2,g:R-{0}→R-{0},g(x)=1/x

章 4.1  f1:X1→

問 題

Ｘ2,f2:X2→X3,f3:X3→X4,(f3of2)of1:Ｘ1→

X4とf3o(f2of1):X1→X4は 4.2  f:X→Yに

末

等 しい こ と を 示 せ. 対 し,次

の(１)と(１)',(２)と(２)'は

そ れ ぞ れ 同値 で あ

る こ と を 示 せ. (１)あ るg:Y→Xが

あ っ て,任

(１)'f(x1)=f(x2)な

ら ばx1=x2.

(２)あ るg:Y→Xが

あ っ て,任

(２)'任 意 のy∈Yに

対 し て,あ

意 のx∈Xに

対 しgof(x)=x.

意 のy∈Yに

対 しfog(y)=y.

るx∈Xが

存 在 し てf(x)=y.

５  ベ ク ト ル 空 間

5.1 

ベ ク

トル 空 間

 行 列 の章 で述 べ た とお り,ｎ 行 １列 の行 列 を ｎ 次(列)ベ

ク トル と呼 び,ｎ 次

ベ ク トル全 体 か ら な る集 合

をRnを

用 い て表 す,こ

こでRnの

実 数 倍)が そ の ま ま適 用 で き る.つ

と実 数 λ に対 し,

要 素 は行 列 な の で,行 列 に定 義 した演 算(和, ま りRnの

ベ ク トル

と定 義 さ れ て い る.   Rnの

ベ ク ト ルｕ,ｖ,ｗ

と 実 数ａ,ｂ に 対 し,次

の(1)∼(8)が

成 立 す る.

(１)u+υ=υ+u,(2)(u+υ)+w=u+(υ+w),(3)u+0=0+u=u, (4)a(bu)=(ab)u,(5)(a+b)u=au+bu,(6)a(u+υ)=au+aυ, (7)1u=u,(8)0ｕ=0.   定 義5.1.1 

(部 分 空 間)Rnの

部分 集合 Ｗ が次の条件

(１)0∈W, (２)u,υ

∈Wな

(３)u∈W,c∈Rな を 満 た す と き,Ｗ 部 分 集 合{0}は

ら ばu+υ

∈W,

ら ばcu∈W. を(Rnの)部

分 空 間 と 呼 ぶ.特

部 分 空 間 で あ り,こ

  定 義5.1.2  (ベ ク トル 空 間)Rnあ ぶ.ベ

れ を 零(ベ

に 零 ベ ク トル だ け か ら な る

ク トル)空

間 と 呼 ぶ.

る い は そ の 部 分 空 間 を ベ ク トル 空 間 と呼

ク トル 空 間 は Ｖ,Ｗ 等 で 表 す.

 注 意   本 来,ベ ク トル 空 間 は上 記 の(1)∼(8)の

性 質 を備 え た もの と して定 義

され,そ の定 義 を満 たす もの を全 てベ ク トル空 間 と呼 ぶ.し か し,こ こ で はRn あ る い は そ の 部 分 空 間 以 外 の ベ ク トル空 間 は扱 わ な い の で,あ

えて 本 来 の 定 義

を避 け た.

 例 題5.1.3  次 の部 分 集 合 Ｗ はR3の

(１)

(２)

部分 空 間 とな る か ど う か判 定 せ よ.

(３)

  解 答(１)Ｗ

はR3の

部 分 空 間 で あ る.以

下 Ｗ が 定 義6.1.1の

条 件(１),(２),

(３)を 満 た す こ と を確 か め る. 2×0+3×0-0=0, 

し た が っ て0∈W(条

0-2×0+3×0=0

件(１)).

と す る.

が 条 件 の 連 立 １次 方 程 式 を満 た す こ と を確 か め る.

2(a1+b1)+3(a2+b2)-(a3+b3)=(2a1+3a2-a3)+(2b1+3b2-b3)=0 (a1+b1)-2(a2+b2)+3(a3+b3)=(a1-2a2+3a3)+(b1-2b2+3b3)=0 し た が っ てa+b∈W(条

件(２)).

2(ca1)+3(ca2)-(ca3)=c(2a1+3a2-a3)=0 (ca1)-2(ca2)+3(ca3)=c(a1-2a2+3a3)=0 し た が っ てca∈W(条

件(３)).

  (２)x1=x2=x3=0は

条 件 の 連 立 １次 方 程 式 の 解 で は な い の で,Ｗ

ベ ク トル ０ を 含 ま な い.し

た が っ て,Ｗ

は 部 分 空 間 で は な い.

は零

(３)

な の で,Ｗ

は部 分 空 間 で は な い. □

 問 題5.1.4次

の 各 部 分集 合 Ｗ がR3の

部 分 空 間 とな るか ど うか を判 定 せ よ.

(１)

(２)

(３)

(４)

  問 題5.1.5 

は,Rnの

m×n行

列 Ａ に 対 し, Rnの

部 分 空 間 にな る こ とを示 せ.こ

部分集 合

れ を 連 立 １次 方 程 式Ax=0の

解空

間 と呼 ぶ.

5.2 

  定 義52.1(１ トルa1,a2,…,amに

次 結 合)ベ

1次 独 立 と １次 従 属

ク トル 空 間V(Rnあ

対 し,ベ

ク トル

る い は そ の 部 分 空 間)の

ベ ク

c1a1+c2a2+…+cmam 

をa1,a2,…,amの

(c1,c2,…,cm∈R)

１ 次 結 合 と 呼 ぶ.特

に

b=c1a1+c2a2+…+cmam

の と き,ｂ

はa1,a2,…,amの

  例 題5.2.2 

１ 次 結 合 で 表 せ る と い う,

次 の ベ ク ト ルa1,a2,a3,ｂ

に対

し,ｂ

をa1,a2,a3の

１次

結 合 で 表 せ.

  解 答   x1a1+x2a2+x3a3=bと

お く と,連

立 １次 方 程 式

が 得 られ る,こ れ を解 く と

と な る,こ れ を元 の 方 程 式 に代 入 す る こ と に よ り b=2a1-a2+a3

が得 られ る.(こ の 場 合 は 連 立 １次 方 程 式 の 解 が た だ １つ で あ っ た が,解

が無

数 に存 在 す る場 合 は ｂのa1,a2,a3に 在 し な い 場 合 は,ｂ

  問 題5.2.3 

よ る 表 しか た も無 数 に存 在 す る.解 が存

をa1,a2,a3の

１次 結 合 で 表 す こ と は で き な い.) □

次 の ベ ク トルa1,a2,a3,ｂ

で 表 せ る か 否 か を判 定 し,表

に 対 し,ｂ

がa1,a2,a3の

せ る 場 合 は ｂ をa1,a2,a3の

１次 結 合

１次 結 合 で 表 せ.

(１)

(２)

(３)

  定 義5.2.4(１

次 独 立,１

次 従 属)ベ

x1a1+x2a2+…+xmam=0 

の 解 が,自

明 な 解x1=x2=…=xm=0に

独 立 で あ る と い う.a1,a2,…,amが

ク トルa1,a2,…,amに

をRnの

Rnの

限 る と きa1,a2,…,amは １次 独 立 で な い と き,そ

ベ ク トル

基 本 ベ ク トル と呼 ぶ が,こ

程式

(x1,x2,…,xm∈R)

で あ る と い う.

  例5.2.5 

対 し,方

れ らは １次 独 立 で あ る.

１次

れ らを １次 従 属

  例 題5.2.6 

次 のR4の

  解 答   実 数x1,x2,x3に

ベ ク トル が １次 独 立 か 否 か を 調 べ よ.

対 し,以

下

が 成 立 す る.右 側 の 連 立 １次 方 程 式 の 解 を求 め る と,自 明 な解 の み に 限 る こ と が わ か る の で,a1,a2,a3は 明 な 解 を も て ば,a1,a2,a3は

 問 題5.2.7 

(１)

(２)

(３)

１次 独 立 で あ る.(も

しこの 連 立 １次 方 程 式 が 非 自

１次 従 属 で あ る.)□

次 の 各 ベ ク トル の組 が １次 独 立 か 否 か を判 定 せ よ.

  例 題5.2.8 

１次 独 立 な ベ ク トルu1,u2,u3,u4と

そ の １次 結 合 で 表 さ

れ た ベ ク トル υ 1=u1-u2+u3,υ2=2u1-u2+6u3+u4

υ 3=2u1-2u2+u3-u4,υ4=u1-u3＋3u4

に つ い て,υ1,υ2,υ3,υ ４ が １次 独 立 か 否 か を 判 定 せ よ.

  解 答   方 程 式x1υ1+x2υ2+x3υ3+x4υ4=0の はu1,u2,u3,u4の

解 を 調 べ る.υ1,υ2,υ3,υ4

１次 結 合 で 表 さ れ て い る の で,

0=x1υ1+x2υ2+x3υ3+x4υ4

と な る.こ

こ でu1,u2,u3,u4は

で あ る(注).こ υ2,υ3,υ4は

１次 独 立 な の で,

の 連 立 １ 次 方 程 式 は 自 明 な 解 し か も た な い.し １次 独 立 で あ る.(も

ば,υ1,υ2,υ3,υ4は

た が っ て,υ1,

し こ の 連 立 １次 方 程 式 が 非 自 明 な 解 を も て

１次 従 属 で あ る.) □

=(x1+2x2+2x3+x4)u1+(-x1-x2-2x3)u2 +(3x1+6x2+x3-x4)u3+(x2-x3+3x4)u4 な の で,u1,u2,u3,u4の

１ 次 独 立 性 よ り,

x1+2x2+2x3+x4=-x1-x2-2x3=3x１+6x2+x3-x4=x2-x3+3x4=0

つ ま り,以 下 の 連 立 １次 方 程 式 が 成 立 す る.

 問 題5.2.9 

u1,u2,u3,u4が

１次 独 立 の と き,以

独 立 か 否 か を判 定 せ よ. (1)υ1=u2+3u4，υ2=u1+2u2-u3+u4,υ3=-u1+3u2+4u4 υ4=-3u1-2u2+u3-11u4 (2)υ1=u1+2u2+2u3+u4,υ2=-u1-u2-2u3 υ 3=3u1+6u2+u3-u4,υ4=u2-u3+2u4

下 の 各 ベ ク トル の 組 が １次

5.3 

  定 義5.3.1(最

ベ ク トル の 最 大 独 立 個 数

大 独 立個 数)ベ

トルが あ り,r+1個

ク トル の 集 合Ｓ の 中 に ｒ個 の １次独 立 なベ ク

の １次 独 立 な ベ ク トル が 存 在 しな い 場 合,ｒ をＳ の 最 大

独 立 個 数 と呼 ぶ.   命 題5.3.2 

以 下 の(１),(２)は 同 値 で あ る.

(１)ベ ク トル の 集 合Ｓ の 最 大 独 立個 数 がｒ で あ る. (２)ベ ク トル の 集 合Ｓ の 中 にｒ 個 の １次 独 立 なベ ク トルが あ り,他 の ベ ク トル は これ ら ｒ個 の ベ ク トルの １次 結 合 で 表 せ る.

 例 題5.3.3 

次 の ベ ク トル の最 大 独 立 個

ｒ と ｒ個 の １次 独 立 なベ ク ト

ル を １組 求 め,他 の ベ ク トル を こ れ らの １次結 合 で 表 せ .

  解 答   A=(a1 a2 a3 a4 a5)と と す る.変数x1,x2,x3,x4,x5に

が 成 立 す る.つ

ま り

お き,そ 対

し て,以

の 簡 約 行 列をB=(bl 下

b2

b3

b4

b5)

x1a1+x2a2+x3a3+x4a4+x5a5=0⇔x1b1+x2b2+x3b3+x4b4+x5b5=0

が 成 立 す る.こ

こ で,

な の で,b1,b2,b4は

１次 独 立 で，b3=-b1+2b2,b5=2b1-b2+b4と

し た が っ てa1,a2,a4は と 表 せ る.ま

 問 題5.3.4 

表 せ る.

た,命

１ 次 独 立 で,a3=-a1+2a2,a5=2a1-a2+a4 題6.3.2よ

りr=3で

あ る. □

次 の 各組 の ベ ク トル の最 大独 立 個 数ｒ と ｒ個 の １次 独 立 な ベ ク

トル を １組 求 め,他

の ベ ク トル を これ らの １次 結 合 で表 せ.

(１)

(２)

5.4 

  定 義5.4.1  u1,u2,…,unが

ベ ク トル 空 間 の 基 底 と次 元

ベ ク ト ル 空 間V(Rmあ Ｖ を 生 成 す る と は,Ｖ

る い は そ の 部 分 空 間)の

ベ ク トル

の 任 意 の ベ ク トル がu1,u2,…,un

の １次 結 合 で 表 せ る と き を い う.

定 義5.4.2(基

底)ベ

ク トル 空 間 Ｖ の ベ ク トル の 集 合{u1,u2,…,un}が

Ｖの基 底 で あ る と は,次 の２ つ の 条 件 を満 た す と きを い う. (１)u1,u2,…,unは１

次 独 立 で あ る.

(２)u1,u2,…,unは

Ｖ を 生 成 す る.

  例5.4.3 

Rnの

これ をRnの

標 準 基 底 と呼 ぶ.

 命 題5.4.4 

基 本 ベ ク トル の 集 合{e1,e2,…,en}はRnの

基 底 で あ る.

ベ ク トル空 間 Ｖ の基 底 に含 ま れ るベ ク トル の 個 数 は,基 底 の 選

び方 に よ らず 一 定 で あ る.  定 義5.4.5(次

元)ベ

次 元 と呼 び,dim(V)で   例5.4.6 

Rnの

ク トル 空 間 Ｖ の基 底 に含 まれ るベ ク トル の 個 数 を Ｖ の 表 す.た

だ し零 ベ ク トル 空 間 の次 元 は０ と定 め る.

基 本 ベ ク トル の 集 合{e1,e2,…,en}はRnの

で,dim(Rn)=nで

基底で あるの

あ る.

ベ ク トル 空 間 Ｖ の ベ ク トルu1,u2,…,umの１

次 結合全体 の集合

W={c1u1+c2u2+…+cmum￨c1,c2,…,cm∈R} は Ｖ の 部 分 空 間 で あ る.こ れ る)Ｖ

のＷ

をu1,u2,…,umで

の 部 分 空 間 とい い,〈u1,u2,…,um〉

が Ｖ の 基 底 な ら ばV=〈u1,u2,…,um〉

  命 題5.4.7 

生 成 さ れ る(ま で 表 す.特

ベ ク トルu1,u2,…,umに

例 題5.3.3の

  解 答   例 題5.3.3よ a1,a2,a4はＶ あ る.し

最 大 独 立 個 数

の 次 元 と１

り,a3,a5はa1,a2,a4の１

を 生 成 す る.さ

ら にa1,a2,a4は１

た が っ て,dim(V)=3で{a1,a2,a4}はＶ

に{u1,u2,…,um}

対 し以 下 が 成 立 す る.

ベ ク ト ルa1,a2,a3,a4,a5で

の 部 分 空 間V=〈a1,a2,a3,a4,a5〉

ら

で あ る.

dim(〈u1,u2,…,um〉)=u1,u2,…,umの

  例 題5.4.8 

た は,張

生 成 さ れ るR4

組 の 基 底 を 求 め よ.

次 結 合 で 書 け て い る の で, 次 独 立 な の で,Ｖ

の基底 で

の 基 底 で あ る. □

  問 題5.4.9 

a3,a4,a5〉

問 題5．3.4の

ベ ク ト ルa1,a2,a3,a4,a5に

対

し,V=〈a1,a2,

の 次 元 と １組 の 基 底 を 求 め よ.

  命 題5.4.10 

W1,W2がRnの

(１)W1∩W2はRnの

部 分 空 間 な ら ば,次

が 成 立 す る.

部 分 空 間 で あ る.

(２)W1+W2={u1+u2￨u1∈W1,u2∈W2}はRnの

  例 題5.4.11  (１)〈a1,a2〉

次 の ベ ク ト ルa1,a2,b1,b2,b3に ∩ 〈b1,b2,b3〉

(２)〈a1,a2〉+〈b1,b2,b3〉

  解 答   (１)ベ

部 分 空 間 で あ る.

ク ト ルυ

の １組 の 基 底 と 次 元 を 求 め よ.

∈ 〈a1,a2〉

∩ 〈b1,b2,b3〉

と か け る.連 立 １次 方程 式 a1a1+x2a2-y1b1-y2b2-y3b3=0

した が って

の 各 問 に 答 え よ.

の １ 組 の 基 底 と 次 元 を 求 め よ.

υ= x1a1+x2a2=y1b1+yzb2+y3b3

を解 く と

対 し,次

は

υ= (t-2s)a1+(-2t+s)a2=t(a1-2a2)+s(-2a1+a2) つ ま り

〈a1,a2〉 ∩ 〈b1,b2,b3〉={t(a1-2a2)+s(-2a1+a2)￨s,t∈R} =〈a1-2a2

が 成 立 す る.明

ら か に 〈a1,a2〉

で 生 成 され る.さ

を 解 く と,自

∩ 〈b1,b2,b3〉

は

ら に次 の 連 立１ 次 方 程 式

明 な 解 し か 持 た な い こ と が 確 か め ら れ る.(も

と き は,例

題5.4.8と

は 〈a1,a2〉

∩ 〈b1,b2,b3〉

(２)ベ

,-2a1＋a2〉

ク ト ルu1+u2∈

同 様 に し て 基 底 を 求 め る.)し

の 基 底 で あ り,次 〈a1,a2〉+〈b1,b2,b3〉

元 は２

u1+u2=(x1a1+x2a2)＋(y1b1+y2b2+y3b3)

し非 自明 な解 を持 つ

たが って

で あ る. は

と表 せ るの で

〈a1,a2〉+〈b1,b2,b3〉=〈a1,a2,b1,b2,b3〉

が 成 立 す る.例 {a1,a2,b2}が

題5.4.8と 得 ら れ,次

  問 題5.4.12 

同 様 に し て

〈a1,a2,b1,b2,b3〉

元 は ３ に な る. □

ベ ク トル

に 対 し，次 の 各 ベ ク トル 空 間 の １組 の 基 底 と次 元 を求 め よ. (１)〈a1,a2〉

∩ 〈a3,a4,a5〉

(２)〈a1,a2,a3〉

∩ 〈a4,a5〉

(３)〈a1,a2,a3〉+〈a4,a5〉

(４)(〈a1〉+〈a2,a3〉)∩(〈a4〉+〈a5〉)

  例 題5.4.13 

次 の 解 空 間 の 次 元 と １組 の 基 底 を 求 め よ.

 解 答   連 立 １次 方 程 式 を解 い て,解

を求 め る と

の 基 底 を 求 め る と

と な る.つ

ま り

３ つ の ベ ク トル

が 解 空 間 を生 成 す る の は 明 らか で あ り,１ 次 独 立 で あ る こ と も容 易 に確 か め ら れ る の で,こ

れ ら は Ｖ の 基 底 で あ り,dim(V)=3で

あ る．

 問 題5.4.14 

  例 題5.4.15 

次 の 各 解 空 間 の次 元 と １組 の 基 底 を求 め よ.

解 空 間V1,V2に

対 し,次

の 各 問 に 答 え よ.

(１)V1∩V2の

次 元 と １組 の 基 底 を 求 め よ.

(２)V1+V2の

次 元 と １組 の 基 底 を 求 め よ.

 解 答   (1)明 らか に

が 成 立 す る.例

題5.4.13と

で あ り,dim(V1∩V2)=2で

(２)解 空 間V1,V2を

した が っ て V1+V2

同 様 に 解 空 間 を 求 め る と,１ 組 の 基 底 は

あ る.

それぞ れ求め ると

  例 題5.4.8と

同 様 に す る と,１ 組 の 基 底 は

で 次 元 は ４で あ る.   問 題5.4.16 

次 の 解 空 間V1,V2,V3に

(１)V1∩V2, 

対 し,ベ

(２)V1∩V3, 

ク トル 空 間

(３)(V1∩V2)+(V1∩V3)

の 次 元 と １組 の 基底 をそ れ ぞ れ 求 め よ.

章 5.1  W1,W2がRnの

末

問

題

部 分 空 間 な ら ば,W1∩W2もRnの

部分空 間であ る

こ と を示 せ. 5.2  W1,W2がRnの

部 分 空 間 な ら ば,W1+W2もRnの

部分空 間であ る

こ と を示 せ. 5.3

W1,W2がRnの

部 分 空 間 で あ っ て もW1∪W2は

必 ず し もRnの

部分

空 間 に は な ら な い こ と を 示 せ. 5.4  u1,u2,…,unが c2u2+…+cnunで

１次 独 立 で,ベ 表 せ る な ら ば,そ

ク トルuが

そ れ ら の １次 結 合c1u1+

の 係 数c1,c2,…,cnは

た だ １通 り で あ

る こ と を 示 せ. 5.5  ベ ク トルu1,u2,…,unが な ら ば,uはu1,u2,…,unの

１次 独 立 で,u,ul,u2,…,unが

１次 従 属

１次 結 合 で 表 せ る こ と を 示 せ.

5.6  ２ つ の ベ ク トル の 組υ1,υ2,…,υl,u1,u2,…,um(l＞m)に υ1,υ2,…,υlの

各 ベ ク トル はu1,u2,…,umの

υ1,υ2,…υlは

１次 従 属 で あ る こ と を示 せ.

5.7

Rnの

部 分 空 間W1,W2に

対 し,W1∩W2={0}な

dim(W1＋W2)=dim(W1)+dim(W2)

が 成 立 す る こ と を 示 せ.

対 し,

１ 次 結 合 で 表 せ る な ら ば,

らば

６  線

6.1 

 定 義6.1.1(線

形 写 像)ベ

形

線

写 像

形

写

像

ク トル 空 間 Ｖ か ら Ｗ へ の写 像T:V→Wが

次

の条件 (１)T(x＋y)=T(x)＋T(y)(x,y∈V) (２)T(cx)=cT(x)(x∈V,c∈R)

を満 た す と き,Ｔ を線 形 写 像 と呼 ぶ ．   例6.1.2 

n×m行

列Ａ

に 対 し,写

像TA:Rn→Rmを

以下

  TA(x)=AX(x∈Rn) で定 義 す る と,TAは

線 形 写 像 に な る.こ れ を行 列Ａ に よ っ て定 義 さ れ る線 形

写 像 と呼 ぶ.

  例 題6.1.3 

次 の 行 列 Ａ と ベ ク トルａ

 解 答 定義 よ り

に 対 し,TA(a)を

求 め よ.

  問 題6.1.4 

次 の 行 列 Ａ とベ ク トルａ に 対 し,TA(a)を

(１)

(２)

 例 題6.1.5  (１)

(２)

(３)

 解 答  (１)

次 の写 像 ｆが 線 形 写 像 か 否 か を 判 定 せ よ.

求 め よ.

し た が っ て,ｆ

は 線 形 写 像 で あ る.

(２)

し た が っ て,ｆ

は 線 形 写 像 で な い.

(３)

し た が っ て,ｆ

は 線 形 写 像 で な い.

 問 題6.1.6  次 の 写 像 ｆが 線 形 写 像 か 否 か を判 定 せ よ. (１)

(２)

(３)

(４)

 定 義6.1.7(像,核)線

形 写 像T:V→W対

し,Ｗ

の部分集合

im(T)={y∈W￨y=T(x),x∈V}={T(x)￨x∈V} を Ｔ の像,Ｖ

の 部 分 集合

ker(T)={x￨T(x)=0} を Ｔ の 核 と 呼 ぶ.im(T),ker(T)は

  例 題6.1.8 

そ れ ぞ れW,Ｖ

行列

で 定 義 さ れ る 線 形 写 像TA:R5→R3,TA(x)=Axに

im(TA)の

の 部 分 空 間 に な る.

対 し,ker(TA)と

１組 の基 底 をそ れ ぞ れ求 め よ.

  解 答   A=(a1 a2 a3 a4 a5)と

す る と,

={x1a1+x2a2+x3a3+x4a4+x５a5￨x1,x2,x3,x4,x5∈R}

=〈

a1 a2

a3

a4

a5〉

した が っ て 前 章 の 例 題5.3.3と

同 様 に で き る.Ａ

を簡 約 化 す る と

と な る の で,im(T)の

基 底 と し て{ａ1,ａ2}が

と れ る.

  ker(TA)={x∈R5｜TA(x)=0}={x∈R5｜Ax=0}な は 連 立 １次 方 程 式Ax=0の 様 に で き る.こ

の で, ker(TA)

解 空 間 で あ る ． し た が っ て 前 章 の 例 題5.4.13と

同

の 連 立 １次 方 程 式 を 解 く と

な の で,ker(TA)の

基 底 と して

が と れ る.

  問 題6.1.9 

次 の 各 線 形 写 像 Ｔ に つ い てker(T),

れ ぞ れ 求 め よ.

(１)T:R4→R3,T(x)=

(２)T:R5→R4,T(x)=

im(T)の

１組 の 基 底 を そ

(３)T:R5→R4,T(x)=

6.2表

  定 義6.2.1(表

現 行 列)ベ

υ n},{w1,w2,…,wm}と

m,1〓j〓n)が

行

ク トル 空 間 Ｖ,Ｗ す る と,線

T(υi)はw1,w2,…,wmの

現

列

の 基 底 を そ れ ぞ れ{υ1,υ2,…,

形 写 像T:V→Wに

１次 結 合 で 表 せ る.つ

よ る 各υiの

像

ま り,あ る 実 数aij(1〓i〓

存在 し

T(υ1)=a11w1+a21w2+…+am1wm T(υ2)=a12w1+a22w2+…+am2wm

T(υn)=a1nw1+a2nw2+…+amnwm

と表 す こ とが で き る． こ の と き行 列

を 基 底{υ1,υ2,…,υn},{w1,w2,…,wm}に

関 す る Ｔ の 表 現 行 列 と呼 ぶ.表

現 行 列 は 各 基 底 の 組 に 対 し て た だ １通 り に 定 ま る.上

の 等 式 は 次 の よ う に書 き

直 せ る こ と に 注 意 す る.

(T(υ1)T(υ2)…T(υn))=(w1w2…wm)A

例6.2.2 

例7.1.2の

線 形 写 像TA:Rn→Rm,

TA(x)=Ax(x∈Rn)に

対 し,Ａ

は 標 準 基 底{e1,e2,…,en},{e'1,e'2,…,e'm}に

関す る表現 行列 で

あ る.

  命 題6.2.3線

形 写 像T1:U→Vの

基 底{υ1,υ2,…,υm}に

関 す る 表 現 行 列 をA1,T2:V→Wの

{υ1，υ2,…,υm},Ｗ る.こ

の と き,行

Ｕ の 基 底{u1,u2,…,ul},Ｖ

の 基 底{ω1,ω2,…,ωn}に 列 の 積A2A1は

関 す る 表 現 行 列 をA2と

恒 等 写 像 と 呼 ぶ.Ｖ 関 す るIVの

す

表 現 行 列 と な る.

底 の 変 換 行 列)  ベ ク ト ル 空 間 Ｖ に 対 し,線

V→V,Iv(x)=xを {υ1,υ2,…,υn}に

Ｖ の基 底

基 底{u1,u2,…ul},{ω1,ω2,…,ωn}に

関 す る 合 成 写 像T2оTl:U→Wの

  定 義6.2.4(基

の

形 写 像Iv:

の ２ つ の 基 底{u1,u2,…,Un},

表 現 行 列 を基 底 の 変 換 行 列 と 呼 ぶ.基

底 の変換

行 列 は 正 則 行 列 に な る.

  命 題62.5線 w m}に

形 写 像T:V→Wの

関 す る 表 現 行 列 をＡ,基

す る 表 現 行 列 を Ｂ,基

基 底{υ1,υ2,…υn},{w1,w2,…, 底{υ'１,υ'2,…,υ'n},{w'1,w'2,…,w'm}に

底{υ'1,υ'2,…,υ'n},{υ1,υ2,…,υn}の

基 底{w'1,w'2,…,w'm},{w1,w2,…,wm}の

変 換 行 列 を Ｐ,

変 換 行 列 を Ｑ と す る と,以 下 が

成 立 す る.

B=Q-1AP

 例 題6.2.6 

線 形 写 像T:R3→R2を

で 定 義 した と き,R3とR2の

関

以 下 の基 底 に 関 す る Ｔ の 表 現 行 列 を求 め よ.

  解 答   R3の

標 準 基 底{e1,e2,e3},R2の

標 準 基 底{e'1,e'2}に

関す る

のＴ 表

現行列 は

で あ る(例6.2.2).基 {b1,b2},{e'1,e'2}の

底{a1,a2,a3},{e1,e2,e3}の 変 換 行 列 をＱ

変 換 行 列 をＰ,基

とす る と

(a1 a2 a3)=(e1 e2 e3)P=P,(b1

b2)=(e'1e'2)Q=Q

した が って

求 め る 表 現 行 列 を Ｂ と す る と,命

B=Q-1AP

題6.2.5よ

り

底

 問題6.2.7 

次 の各 線 形 写 像 Ｔ の 与 え られ た基 底 に 関す る表 現 行 列 を求 め よ.

(１)T:R2→R2,T(x)=

 定 義 域,値

(x∈R3)

域 のR2の

(２)T:R3→R2,

基底

T(x)=

(x∈R3)

R3の 基 底

R2の

基底

(３)T:R4→R3,T(x)=

(x∈R3)

R4の 基 底

R3の 基 底

6.3 

  定 義6.3.1(線 形 変 換 と呼 ぶ.

固 有 値,固

形 変 換)ベ

有 ベ ク トル と行 列 の 対 角 化

ク トル空 間 Ｖ か ら Ｖ 自 身 へ の線 形 写 像 を特 に線

  こ の 節 で は 線 形 変 換 の み を 扱 う.ベ 線 形 変 換T:V→Vに

対 し,Ｔ

ク トル 空 間 Ｖ の 基 底{υ1,υ2,…,υn}と

の{υ1,υ2,…,υn},{υ1,υ2,…,υn}に

る 表 現 行 列 を Ｔ の{υ1,υ2,…,υn}に

 定 義6.3.2(固

関 す る 表 現 行 列 と呼 ぶ こ と に す る.

有 値,固 有 ベ ク トル,固 有 空 間)線

し,ベ ク トルυ(≠0)と

関す

形 変 換T:V→Vに

対

実数 λが存在 し T(υ)=λυ

を満 た す と き,λ を Ｔ の 固 有 値,υ

を Ｔ の(λ に属 す る)固 有 ベ ク トル と呼 ぶ.

固有 値 λ に対 し W(λ;T)={υ

∈V￨T(υ)=λυ}

は Ｖ の 部 分 空 間 に な る.こ れ を λ の 固 有 空 間 と呼 ぶ.

  定 理6.3.3ｎ

次 正 方行 列

Ａ で 定 義 さ れ る 線 形 変 換TA:Rn→Rn,

TA(x)=Ax(x∈Rn)と,実

数 λ(≠0)に

λ がTAの

  例 題6．3.4 

対 し次 が 成 立 す る .

固 有 値 ⇔rank(λE-A)＜n

行列

で 定 義 され る線 形 変 換TA:R3→R3に 各 固 有 値 に 関 す る固 有 空 間 を求 め よ.

 解答  行 列

を基 本 変 形 を用 い て 変 形 す る と

対 し, TAの

固有 値 を全 て 求 め ,

を 得 る.こ

こ でx=1の

な の で,定

理6.3.3よ

と 変 形 で き る.x=3の

な の で,定

理6.3.3よ

と きは

り ２ はTAの

固 有 値 で あ る.ま

たx≠1の

と きは

ときは

り ３ はTAの

単 位 行 列 に 簡 約 化 で き る.し

固 有 値 で あ る.x≠3と

た が っ て,TAの

す る と,こ

固 有 値 は λ=1,3の

の行 列 は

み で あ る.

  次 に 固 有 空 間 を 求 め る.

W(λ;TA)={x￨Ax=λx}={x￨(λE-A)x=0} な の で,固 る.し

有 空 間W(λ;TA)は

た が っ て,前

連 立 １次 方 程 式(λE-A)x=0の

章 の 例 題5.4.13と

解空 間であ

同 様 の 議 論 に よ り 以 下 を 得 る(注).

注: 

行列

は そ れ ぞ れ2E-A,3E-Aを

基 本 変 形 し た もの な の で, W(2;TA),W(3;TA)

を 求 め る 際 に は こ れ ら を 利 用 す る こ と が で き る.

  問 題6.3.5次

の 各 行 列 Ａ で 定 義 され る線 形 変 換TAの

固有 値 を全 て 求 め,

各 固 有 値 に 関 す る固 有 空 間 を 求 め よ.

(１)

(２)

(３)

  定 義6.3.6(対

角 化)正

(４)

方 行 列 Ａ に対 して,正 則行 列 Ｐ が存 在 してP-1AP

が対 角 行 列 に な る と き,Ａ は対 角 化 可 能 で あ る とい う.対 角 化 可 能 な行 列 に対 し,B=P-1APが

対 角 行 列 とな る正 則 行 列 Ｐ と対 角 行 列 Ｂ を 求 め る こ と を

Ａ の対 角化 と い う.   定 理6.3.7 

ｎ 次 正 方 行 列Ａ

で 定 義 さ れ る 線 形 変 換TA:Rn→Rnの

る 固 有 値 の 全 体 を λ1,λ2,…,λrと

す る.こ

異 な

の と き 以 下 が 成 立 す る.

Ａが対 角化可能で ある ⇔ n=dim(W(λ1;TA))+dim(W(λ2;TA))+…+dim(W(λr;TA))

  定 理6.3.8 

線 形 変 換T:V→Vの

異 な る 固 有 値 λ1,λ2,…,λrに

対 し

  dim(V)=dim(W(λ1;T))+dim(W(λ2;T))+…+dim(W(λr;T)) が 成 立 す る とす る.こ

の と きW(λi;T)の

基 底 の和 集 合 は Ｖ の基 底 に な り,こ

の 基底 に関 す る Ｔ の 表 現 行 列 は 固 有 値 が 対 角線 上 に並 ん だ 対 角 行 列 に な る.

  例 題6.3.9 

例 題6.3.4の 行 列Ａ が 対 角 化 可 能 か 否 か を 判 定 し,可 能 な

場 合 は対 角 化 せ よ.

  解 答   例 題6.3.4に

おいて

  dimR=3=dim(W(2;TA))+dim(W(3;TA)) な の で,定

理6.3.8か

に 関 す るTAの

に な る.基 な る の で,命

ら,W(2;TA)の

基 底 とW(3;TA)の

基底 の和集合

表現 行 列 は

底{υ1,υ2,υ3},標 題6.2.5よ

準 基 底{e1,e2,e3}の

変 換 行 列 は(υ1 υ2 υ3)と

り

B=(υ1 υ2 υ3)-1A(υ1 υ2 υ3) を 得 る.

  問題6.3.10 

問題6.3.5の 各 行 列 Ａ につ い て,対 角 化 可 能 か 否 か を判 定 し可

能 な場 合 は対 角 化 せ よ.

  例 題6.3.11 

例 題6.3.9の

行 列 Ａ に つ い て,Anを

求 め よ.

  解 答   例 題6.3.9の

解 答 に お い て,P=(υ1υ2υ3)と

Bn=(P-1AP)(P-1AP)…(P-1AP)=P-1AnP 一 方

な の で,

 問 題6.3.12 

次 の 行 列 Ａ に つ い て,Anを

求 め よ.

(１)

(２)

(３)

(４)

章 6.1  n×m行

末

問

題

列 Ａ で 定 義 され る写 像 TA:Rn→Rm,

が 線 形 写 像 に な る こ と を示 せ.

TA(x)=Ax

お くと

6.2  線 形 写 像T1:U→V,T2:V→Wに

対 し,写

像

T2оT1:U→W,T2оT1(x)=T2(T1(x))(x∈U) は 線 形 写 像 に な る こ と を 示 せ. 6.3  線 形 写 像T:V→W対

し,im(T),ker(T)は

そ れ ぞ れ Ｗ,Ｖ

の部分

空 間 に な る こ と を 示 せ. 6.4  線 形 写 像T:V→Wに

対 し,以

下 が 成 立 す る こ と を 示 せ.

dim(ker(T))+dim(im(T))=dim(Ｖ)

6.5  ｎ 次 元 ベ ク トル 空 間 Ｖ か ら ｍ 次 元 ベ ク トル 空 間 Ｗ へ の 線 形 写 像 を T:V→Wと

す る.こ の と き,次 のm×n行

列

が Ｔ の 表 現 行 列 と な る よ う な Ｖ と Ｗ の 基 底 が 存 在 す る こ と を 示 せ.た r=dim(im(T))でEr,Op

,qは そ れ ぞ れ ｒ次 の 単 位 行 列,p×q零

だ し,

行 列 を意 味

す る. 6.6  行 列Ａ に 対 し,Ａ

で 定 義 さ れ る 線 形 写 像TA:Rn→Rm,TA(x)=Ax(x∈Rn)

は 標 準 基 底{e1,e2,…,en},{e'1,e'2,…,e'm}に

あ る こ と を 示 せ. 6.7  基 底 の 変 換 行 列 は 正 則 行 列 に な る こ と を 示 せ.

関 す る表 現 行 列 で

７   １変数関数の微 分

7.1 

  定 義7.1.1(極

限)実数ａ

限

を 含 む 開 区 間 か ら ａ を 除 い た 集 合 を含 む 集 合 Ｘ

(例 え ば,X=R,R-{a}等)を 数ｂ がx→aに

極

定 義 域 に も つ 関 数 をf:X→Rと

お け るf(x)の

極 限 と は,任

の 実 数 δ が 存 在 して"0＜￨x-a￨＜ を い い,"x→aの

意 の 正 の 実 数 ε に 対 し て,あ

δ な ら ば｜f(x)-b｜

と きf(x)→b"ま

す る.実

た は"〓

る正

＜ ε"が 成 立 す る と き

f(x)=b"と

表 す.

 注 意   (１)こ の 定 義 で は,ａ 自身 の ｆ に よ る値 は不 問 に して い る.ａ は必 ず しも ｆ の 定 義 域 に属 さ な くて も よい. (２)極 限 は 存 在 す る とす れ ば た だ １つ で あ る. (３)極 限 の 定 義 に用 い た 言 い 方 は ε-δ 論 法 と呼 ば れ る.   例7.1.2(自

然 対 数 の 底)f:{x∈R｜-1＜x＜0ま

f(x)=(1+x)1/xに

対 し,limf(x)が

限 値 を ｅ と 表 し,自

た は0＜x}→R,

存 在 す る こ と が 知 ら れ て い る.こ

然 対 数 の 底 と 呼 ぶ.ｅ

は 約2.7の

実 数 で あ る(例7.2.3

参 照).

  定 理7.1.3(極 (１)関 lim

限 の 性 質)

数f:R→R,g:R→Rに

g(x)=cの

と き,

(ⅰ)lim(f(x)±g(x))=b±c,(ⅱ)limf(x)g(x)=bc.

の極

対 し て,a∈R,limf(x)=b，

(ⅲ)c≠0の (２)関

と き,lim

数f:R→R,g:R→Rに

limg(x)=cの

対

f(x)=b,

と き,limgоf(x)=c.

  例 題7.1.4 

定 理7.1.3(極

限 の 性 質)の(１)(ⅱ)を

  解 答   ε を 正 の 実 数 と す る.仮

定 よ り,任

実 数 δ が 存 在 し て,0＜￨x-a￨＜ な る.す

し て,a,b∈R,lim 

示 せ.

意 の 正 の 実 数 ε'に 対 し,あ

δ な ら ば￨f(x)-b￨＜

ε',￨g(x)-c｜

る正 の ＜ ε'と

る と,

￨ f(x)g(x)-bc￨=￨(f(x)-b)g(x)+b(g(x)-c)￨ 〓￨ f(x)-b￨￨g(x)￨+￨b￨￨g(x)-c￨〓 こ こ で,ε'は

≠0 

ε'(￨c￨+ε')+￨b￨ε'=ε'2+(￨b￨+￨c￨)ε'

任 意 で あ る か ら,￨b￨+￨c￨=0の

と き ε'＜〓,￨b￨+￨c￨ と な る よ う に ε'を と れ ば,

の と き  ε'＜min

￨ f(x)g(x)-bc￨＜

ε と な る. □

  例 題7.1.5 

関 数f:R→R,f(x)=x2に

対 し ，lim 

f(x)=4で

あ る

こ と を極 限 の 定 義 に従 って 示 せ(ε-δ論 法 を用 い る).

  解 答   X=x-2つ

ま りx=x+2と

2)2-4=X2+4X.し 0＜￨x-2￨＜

お く とf(x)-4=x2-4=(X+

た が っ てx2-4=(x-2)2+4(x-2).し

たがって

δな らば

 ￨f(x)-4￨=￨x2-4￨=￨(x-2)2+4(x-2)￨〓￨x-2￨2＋4￨x-2￨＜ δ2+4δ

そ こ で,ε

＞0に

対 し,δ2+4δ〓

ε と な る δ を 求 め た い の で,２

の 方 程 式 δ2=ε/2,4δ=ε/2を

そ れ ぞ れ 解 く と,δ=√

そ こ で δ=min{√

す れ ば δ2+4δ〓

  問 題7.1.6 

ε/2,ε/8}と

次 を 示 せ(ε-δ 論 法 を 用 い る).

ε/2,δ=ε/8と

ε/2+ε/2=ε

つ

な る.

と な る. □

(１)f:R→R,f(x)=3xに

対 し,lim

(２)f:R→R,f(x)=2x2-1に

f(x)=3

対 し,lim

(３)f:R→R,f(x)=3x3+x2-xに

対 し,lim

7.2 

  定 義7.2.1(連 x→aと

続)関

f(x)=-1

関数 の 連続 性

数f:R→Rがa∈Rに

し た と き のf(x)の

lim f(x)=f(a)と

f(x)=7

お い て 連 続 で あ る と は,

極 限 ｂが 存 在 し てf(a)=bと

な る こ と で あ る.任

な る と き,つ

ま り,

意 の 実 数 に お い て 連 続 と な る と き,ｆ

は 連 続 で あ る と い う.

 定理7.2.2(多   例7.2.3(指

項 式 関 数 の 連 続 性)  多 項式 関 数 は連 続 で あ る. 数 関 数,対

(ap/q)q=apと

数 関 数)(１)a＞0と

す る.p/q∈Qに

な る実 数 で あ る.f:Q→R,f(p/q)=ap/qは

Ｒを定 義 域 とす

る 連 続 関 数 に 一 意 的 に拡 張 さ れ る こ とが 知 られ て い る.す F:R→Rでp/q∈Qな

らばF(p/q)=ap/qと

に 対 す る 値 をaxと

表 す.Ｆ

{x∈R￨x＞0},f(x)=axの と す る 対 数 関 数 と い い,そ

  例 題7.2.4    に 対 しlim

な る ものが 存 在 す る.Ｆ

考 え る と,逆

の 値 をlogaxと た,自

表 す.x,y∈Rに

のx∈R

ａ を底 対 し,y=axと

然 対 数 の底 ｅを底 とす る 指 数 関数 を 自然 対

の 値 を 底 ｅ を 省 略 してlogxと

表す ．

関 数f:R→R,f(x)=x3-x2と

f(x)=a3-a2=f(a)で

(ε-δ論 法 を 用 い る).し

続 関数

関 数 が あ る.f:R→

逆 関 数f-1:{x∈R￨x＞0}→Rを

同 値 で あ る .ま

数 関 数 と い い,そ

な わ ち,連

を 指 数 関 数 と い う.

(２)指 数 関 数 は 値 域 を{x∈R￨x＞0}と

x =logayは

対 し,ap/qは

た が っ て,ｆ

す る.任

意 のa∈R

あ る こ と を極 限 の 定 義 に 従 っ て 示 せ は 連 続 で あ る.

  解 答   0＜￨x-a￨＜  ￨

δ な ら ば,

f(x)-(a3-a2)￨=￨x3-x2-a3+a2￨=￨(x-a)3+(3a-1)(x-a)2+

(3a2-2a)(x-a)￨〓￨x-a￨3+￨3a-1￨￨x-a￨2+￨3a2-2a￨￨x-a￨＜

δ3+

￨3a-1￨δ2+￨3a2-2a￨δ.

(a=1/3の

場合）

(a=0,2/3の

場 合)

(そ の 他 の場 合)

と す れ ば,0＜￨x-2￨＜

δ な ら ば￨f(x)-(a3-a2)￨＜

  注 意   (１)X=x-aつ

ま りx=X+aと

ε.

お く とx3-x2-a3+a2=

(X+a)3-(X+a)2-a3+a2=X3+(3a-1)X2+(3a2-2a)X.し

た

が っ てx3-x2-a3+a2=(x-a)3+(3a-1)(x-a)2+(3a2-2a)(x-a).   (２)δ3+￨3a-1￨δ2+￨3a2-2a￨δ〓 程 式

ε と な る δ を 求 め た い の で,３

δ3=ε/3,￨3a-1￨δ2=ε/3,￨3a2-2a￨δ=ε/3を

δ=√ε/3￨3a-a￨(た

そ れ ぞ れ 解 く と,δ=3√ε/3，

だ しa≠1/3),δ=ε/3￨3a2-2a￨(た

だ しa≠0,2/3)と

そ こ で δ を 上 の よ う に 選 べ ば,δ3+￨3a-1￨δ2+￨3a2-2a￨δ   問 題7.2.5 

次 の 関 数 ｆに 対 し て， 任 意 のa∈Rに

で あ る こ と を 示 せ(ε-δ 論 法 を 用 い る).た (１)f:R→R,

f(x)=5x+1

(２)f:R→R,

f(x)=x2-2x+5

(３)f:R-{0}→R,

  例 題7.2.6 

し,limf(x)=f(a)

だ し,(３)はa≠0と

項 式 関 数 の 連 続 性)を

な る.

＜ ε と な る.

f(x)=1/x

定 理7.2.2(多

つ の 方

示 せ.

す る.

  解 答   ま ず,定 a∈Rと

数 関 数f:R→R,

す る.ε

＞0に

f(x)=cが

対 し, ￨x-a￨＜1な

連 続 で あ る こ と を 示 す. ら ば,

￨ f(x)-f(a)￨=￨c-c￨=0＜

  次 に,恒

等 関 数g:R→R,

  a∈Rと

す る.ε

＞0に

  多 項 式 関 数P:R→R, an∈Rと

す る.定 Iim

ε

g(x)=xが

連 続 で あ る こ と を 示 す.

対 し,￨x-a￨＜

εな ら ば,￨g(x)-g(a)￨=￨x-a￨＜

P(x)=a0+a1x+a2x2+…+anxn, 理7.1.3(極

限 の 性 質)よ

a0,a1,…,

り,

P(x)=lim(a0+a1x+a2x2+…+anxn)

=a0(lim1)+a1(limx)+a2(limx)2+…a

n(limx)n

=a0+a1a+a2a2+…+a

nan=P(a) □

7.3 

  定 義7.3.1(平

をxか

微

均 変 化 率)  関 数f:R→Rに

分

お い て,次

の値

らx'に 変 化 した と きの平 均 変 化 率 とい う.ま た,ｘ か らx+hに

た と き の 変 化 量〓

f:R→R,f(x)=-2x2-1の

と き,

(１)ｆ の １か ら ４ に 変 化 した と き の 平 均 変 化 率 を 求 め よ. (２)ｆ の １ か ら-１

に 変 化 し た と き の 平 均 変 化 率 を 求 め よ.

(３)ｆ の ａ か ら ｈ だ け 変 化 し た と き の 平 均 変 化 率 を 求 め よ.

 解 答  (１)

(２)

変化 し

を ｘ か ら ｈ だ け変 化 した と きの 平 均 変 化 率

と呼 ぶ こ と も あ る.

  例 題7.3.2 

ε.

(３)

  問 題7.3.3 

次 の 関 数 に対 し,ａ か ら ｈ だ け変 化 した と きの平 均 変 化 率 を求

め よ. (１)f:R→R,f(x)=x (２)f:R→R,f(x)=c 

(た だ し,ｃ は 実 数 定 数)

(３)f:R→R,f(x)=-2x3+2x2-x+3 (４)f:R-{0}→R,

f(x)=1/x 

(た だ し,a,a+h≠0)

(５)f:R→R,f(x)= (６)f:R→R,f(x)=xn    定 義7.3.4(微

(た だ し,ｎ

分)関

は 自 然 数)

数f:R→Rがa∈Rに

お い て 微 分 可 能 で あ る と は,

〓が 存 在 す る と き を い う.こ の と き,こ の極 限 の 値 を ｆの ａ にお け る微 分係 数 とい いf'(a),Df(a)等

と表 す.さ

らに,任 意 の 実 数 にお い

て ｆ の微 分 係 数 が 存 在 す る と き,微 分 可 能 で あ る とい う.ま た ｆ が微 分 可 能 で あ る と き,各x∈Rに f':R→Rが

対 し ｘ に お け る ｆ の 微 分 係 数f'(x)を

対 応 させ る 関 数

考 え られ る.こ の 関 数 を ｆ の 導 関 数 とい う.

  定 理7.3.5(微

分 可 能 関 数 の 連 続 性)  関 数f:R→Rは,a∈Rに

おいて微

分 可 能 な ら ば,ａ で 連 続 で あ る.

  例 題7.3.6  f'(a)=3a2+1で 関 数 はf':R→R,

 解答

f:R→R,f(x)=x3+xに あ る こ と を 示 せ.し f'(x)=3x2+1で

対 し,任 た が っ て,ｆ あ る.

意 のa∈Rに

は 微 分 可 能 で,そ

対 し, の導

 問 題7.3.7 

次 の 関数 の導 関 数 を求 め よ.

(１)f:R→R,

f(x)=2x

(２)f:R→R,

f(x)=c 

(３)f:R→R,

f(x)=2x2+3x+1

(４)f:R→R,

f(x)=x3-2x2+x+2

(５)f:R-{0}→R,

 定 理7.3.8(微 g:R→Rに

(ｃは 実 数 定 数)

f(x)=1/x

分 に関 す る性 質)実

数ａ と微 分 可 能 な ２つ の 関 数f:R→R,

対 して,af,f±g,fg,f/g,gof,f-1,も

微 分 可 能 で,次

立 す る. (１)(af)'(x)=af'(x) (２)(f±g)'(x)=f'(x)±g'(x) (３)(fg)'(x)=f'(x)g(x)+f(x)g'(x) (４)g(x)≠0の

と き,

(５)(gof)'(x)=g'(f(x))f'(x) (６)(f-1)'(x)=(f'(f-1(x))-1

  例 題7.3.9 

a＞0と

す る.

(１)f:{x∈R￨x＞0}→R,

f(x)=logaxの

(２)f:{x∈R￨x＞0}→R,

f(x)=axの

導 関 数 を 求 め よ. 導 関 数 を 求 め よ.

 解 答   (１)

(２)g:{x∈R￨0＜x}→R, xloga.よ

g(x)=log

っ て,(gof)'(x)=g'(f(x))f'(x)=loga.し

xと

す る と,

gof(x)=log ax= た が っ て,

が成

  例 題7.3.10 a∈Rと

す る.関

xaの 導 関 数 を 求 め よ

数f:{x∈R￨x＞0}→R,f(x)=

.

  解 答g:{x∈R￨x＞0}→R,g(x)=logxと 1ogxa=alogx.よ

 例 題7.3.11 

っ て,(gof)'(x)=g'(f(x))f'(x)=a/x.し

す る と,gof(x)= た が っ て,

次 の 関数 の導 関 数 の値 を求 め よ.

(１)f:R→R,f(x)=5x (２)f:R→R,f(x)=2x3+3x-1 (３)f:R→R,f(x)=(x2+x)(2x3-x+1) (４)f:R→R,f(x)=〓 (５)f:R→R,f(x)=(x2+x+1)10

(６)f:{x∈R￨0＜x}→R,f(x)=√x

  解 答   (１)f'(x)=5(x)'=5・1=5 (２)f'(x)=2(x3)'+3(x)'-(1)'=2・3x2+3・1-0=6x2+3 (３)f'(x)=(x2+x)'(2x3-x+1)+(x2+1)(2x3-x+1)' =(2x+1)(2x3-x+1)+(x2+1)(6x2-1)=(4x4+2x3-2x2＋x+1)+

(6x4+5x-1) =10x4+2x3+3x2+x

(５)g:R→R,g(x)=x10,h:R→R,h(x)=x2+x+1と

す る と,

f =gоhで

あ る.g'(x)=10x9,h'(x)=2x+1で

あ る か ら,合 成 関 数 の 微 分 よ

り,f'(x)=g'(h(x))h'(x)=g'(x2+x+1)h'(x)=10(x2+x+1)9(2x+1). (６)g:R→R,g(x)=x2,と で あ る.g'(x)=2xと,合

成 関 数 の 微 分 よ り,(gоf)'(x)=g'(f(x))f'(x)=

2〓'(x)=(x)'=1.よ

 問 題7.3.12 

す る と, gоf(x)=g(f(x))=(√x)2=x

っ て,f'(x)=

(x＞0).

次 の 関 数 の導 関 数 の値 を求 め よ.

(１)f:R→R,f(x)=5

(２)f:R→R,f(x)=-3x+1 (３)f:R→R,f(x)=x2+3x-1 (４)f:R→R,f(x)=3x3+2x2-1

(５)f:R→R,f(x)=(2x+1)(3x+2) (６)f:R→R,f(x)=(x2+2x+1)(2x3+3x+1) (７)f:R→R,f(x)= (８)f:R→R,f(x)=

(９)f:R→R,f(x)=(x2-x+1)10+(x2-x+1)5+1 (10)f:R→R,f(x)= (11)f:R→R,f(x)=e5x+1 (12)f:R→R,f(x)=log(1+x2)

7.4 

  定 義7.4.1(増

加， 減 少， 極 大， 極 小)  関 数f:R→Rとa∈Rに

 (１)あ るc＞0が "a＜x＜a+cな が 成 り 立 つ と き,ｆ "a＜x＜a+cな が 成 り 立 つ と き,ｆ   (２)あ るc＞0が

関 数 の 極 値

存 在 し て, ら ばf(a)＜f(x)"か

つ"a-c＜c＜aな

はａ に お い て 増 加 し て い る と い う.ま ら ばf(a)＞f(x)"か

つ"a-c＜x＜aな

はａ に お い て 減 少 し て い る と い う. 存 在 し て,

対 し,

ら ばf(x)＜f(a)" た, ら ばf(x)＞f(a)"

"x∈]a

-c

,a+c[-{a}な

が 成 り立 つ と き,ｆ "x∈]a

-c

ら ばf(x)〓f(a)"

はａ に お い て 極 大 値f(a)を

,a+c[-{a}な

と る と い う.ま

ら ばf(x)〓f(a)"

が 成 り立 つ と き,ｆ はａ にお い て 極 小 値f(a)を を 総 称 し て,極

と る とい う.極 大 値 と極 小 値

値 と い う.

 定 理7.4.2(増 と,a∈Rに

た

加,減 少,極 値 の微 分 に よ る判 定)微

分 可 能 な関 数f:R→R

対 し,

(１)f'(a)＞0な

ら ば,ｆ

はａ に お い て 増 加 し て い る.

(２)f'(a)＜0な

ら ば,ｆ

はａ に お い て 減 少 し て い る.

(３)a∈Rに

お い て,ｆ

  例 題7.4.3 

が 極 値 を と る な ら ば,

関 数f:R→R,

f'(a)=0で

f(x)=x3-xの

あ る.

極 値 を 調 べ よ.

 よ り,ｆ が極 値 を と る可

 解答  と

 能性 の あ る の は  に対 し

 に お い て の み で あ る.さ

 な の で,

 に対 し  に対 し  よ っ て,次

ら に,

 な の で,

 な の で,

の 表 を 得 る.

し た が っ て,f(x)は,

の と き,極 大 値

を と る. □

  問 題7.4.4 

次 の 関 数 の 極 値 を 調 べ よ.

(１)f:R→R,f(x)=x2+3x+1 (２)f:R→R,f(x)=x3+1

(３)f:R-{0}→R,f(x)=x+1/x

7.5 

  定 義7.5.1(関

関 数 の 近 似 と微 分

数 の 変 化 量 の 近 似)関

数f:R→Rとa∈Rに

対 し,ｆ のａ

に お け る 変 化 量 を 表 す 関 数V:R→R,V(x)=f(a+x)-f(a)を

考 え る.

 １次 関 数L:R→R,L(x)=αxが,

を満 た す と き,Ｌ は,ｆ のａ に お け る 変 化 量 を表 す 関 数Ｖ を最 も よ く近 似 す る １次 関 数 とい う.ｆ がａ に お い て 微 分 可 能 な らば ，

よ り,L(x)=f'(a)xで

あ る.こ

の 場 合ａ か らa+hに

誤 差 は￨V(h)-L(h)￨=￨f(a+h)+f(a)-f'(a)h￨と   こ の １次 関 数Ｌ

  例 題7.5.2 

を ｆ のａ に お け る 微 分 と も い う(定

関 数f:R→R,f(x)=2x2-3x+1と

変 化 した と き の 近 似 の な る. 義8.1.2参

照).

す る,

(１)２ に お け るｆ の 変 化 量 を 最 も よ く近 似 す る １次 関 数 と そ れ ら の 誤 差 を 求 め よ.

(２)ａにお け る ｆ の 変 化 量 を最 もよ く近似 す る １次 関 数 とそ れ らの 誤 差 を求 め よ.

 解 答   ｆ は微 分 可 能 で あ り,f'(x)=4x-3だ

か ら,

(１)２にお け る ｆ の 変 化 量 を最 もよ く近 似 す る １次 関 数Ｌ は L:R→R,L(x)=f'(2)x=(4・2-3)x=5x

ま た,誤

差 は

￨f(2+ん)-f(2)-L(h)￨=￨f(2+ん)-f(2)-5ん￨ =￨2(2+h)2-3(2+h)+1-(2・22-3・2+1)-5h￨=2h2

(２)ａに お け る ｆ の 変 化 量 を最 もよ く近似 す る １次 関 数 Ｌ は L:R→R,L(x)=f'(a)a=(4a-3)x

ま た,誤

差 は

￨f(a+h)-f(a)-L(h)￨=￨f(a+h)-f(a)-(4a-3)h￨ =￨2(a+h)2-3(a+h)+1-(2a2-3a+1)-(4a-3)h￨ =￨2(a2+2ah+h2)-3(a+h)+1-(2a2-3a+1)-(4a-3)h￨ = 2h2 □

 問題7.5.3 

次 の 関 数 ｆ に対 して,ａ にお け る ｆの 変 化 量 を最 もよ く近 似 す

る １次 関数 とそ れ らの誤 差 を求 め よ. (１)f:R→R,f(x)=3x+1 (２)f:R→R,f(x)=2x2+5x+2 (３)f:R→R,f(x)=x3-3x+1 (４)f:R-{0}→R,f(x)=1/x

  (a≠0)

章

末

問 題

7.1  定 理7.1.3(極

限 の 性 質)の(２)を

示せ .

7.2  定 理7.3.8(微

分 に 関 す る 性 質)の(３)と(５)を

示せ .

7.3  次 の 定 理 が 成 立 す る こ と が知 られ て い る .

 定理(最 大値の原理) 閉区間を定義域 とす る連続 関数 には最大値 と最小 値が あ る ．

こ の 定 理 を用 い て,次 の 定 理 を証 明 せ よ.  定理(平 均 値 の定 理)f:[a,b]→Rを が 存 在 して,

微 分 可 能 な関数 とす る と,あ るc∈]a,b[

８  多変数関数の微分

8.1 

  定 義8.1.1(ｎ f:Rn→Rを

変 数 関 数)Rn(ま

た は そ の 部 分 集 合)を

ｎ 変 数 関 数 と い う.fに

f(x)=f(x1,x2,…,xn)と   定 義8.1.2(ｎ Rnに

ｎ変 数 関 数 の微 分

定 義域 とす る関数

よ るx=(x1,x2,…,xn)∈Rnの

値 を

表 す.

変 数 関 数 の 微 分)関

数f:Rn→Rがa=(a1,a2,…,an)∈

お い て 微 分 可 能 で あ る と は,次

の 式 を 満 た す １ 次 関 数L:Rn→R,

L(x)=L(x1,…,xn)=α1x1+…+αnxn,α1,…,αn∈Rが

存在 す る こ

と で あ る.

 一 般 に

,x=(x1,…

  こ の と き,１

，xn)に 次 関 数

Df(a)=Df(a1,a2,…,an)と

  定 義8.1.3(微

と定 義 す る.

し￨x￨=√x21+…+x2n

ｆ のa=(a1,a2,…,an)に

お け る 微 分 と い い,

表 す.

分 可 能)f:Rn→RがRnの

で あ る と き，f:Rn→Rは

  例 題8.1.4 

Ｌ を

対

すべ ての点 にお いて微分 可能

微 分 可 能 で あ る と い う.

２ 変 数 関 数f:R2→R,f(x1,x2)=3x1x2-2x2と

す る

と き,次

を微 分 の 定 義 に 従 っ て 確 か め よ.

(１)fの(1,0)に

お け る 微 分 は,Df(1,0)(h,k)=k.

(２)fの(a,b)に

お け る 微 分 は,Df(a,b)(h,k)=3bh+(3a-2)k.

 解 答   (１)

h≠0の

場合

(h=0の

場 合)

(h≠0の

場 合)

〓よ り,

〓 で あ る.

〓し た が っ て,

(2)

〓(h=0の

場 合)

〓(h≠0の

場 合)

し た が っ て,

 問 題8.1.5  (１)

(２)

(３)

次 を微 分 の 定 義 に 従 い 確 か め よ. 〓(1,2)に

〓(1,1)に

お け る 微 分 は,

お け る 微 分 は,

〓(a,b)に

お け る 微 分 は,

8.2  方 向 微 分,偏

  定 義8.2.1(方

向 微 分)関

(υ1,υ2,…,υn)∈Rnと

数f:Rn→Rと

す る.極

が 存 在 す る と き,ｆ

向 に 方 向 微 分 可 能 で あ る と い う.こ

  定 義8.2.2(方

し,a=(a1,a2,…,an),υ=

限 値

はa=(a1,a2,…,an)に

け る,υ=(υ1,υ2,…,υn)方

微分

お い て,υ=(υ1,υ2,…,υ

の 極 限 値 を ｆ のa=(a1,a2,…,an)に

向微 分 可 能)f:Rn→RがRnの

と す る と き,ei方

微 分)特

お

向 の 方 向 微 分 で あ る と い い,Dυf(a)と

の 方 向 に方 向微 分 可 能 で あ る と き,f:Rn→Rは   定 義8.2.3(偏

ｎ)方

表 す.

す べ ての 点 に お い て すべ て 方 向 微 分 可 能 で あ る とい う.

に,ei∈Rn,(i=1,2,…,n)(Rnの

基 本 ベ ク トル)

向 の 方 向 微 分 を 第ｉ 成 分 方 向 の 偏 微 分 と い い,Dif(a)と

表 す.

で あ る.

  例 題8.2.4 

関 数f:R2→R,f(x1,x2)=x21+2x22に

対 し て,

(１)(2,1)に

お け る(1,-1)方

(２)(2,1)に

お け る(1,1)方

(３)(2,1)に

お け る 第 １ 成 分 方 向 の 偏 微 分Df1(2,1)を

求 め よ.

(４)(2,1)に

お け る 第 ２ 成 分 方 向 の 偏 微 分Df2(2,1)を

求 め よ.

(５)(a1,a2)に

 解答

 (１)

向 の 方 向 微 分Df(1,-1)(2,1)を 向 の 方 向 微 分Df(1,1)(2,1)を

お け る(υ1,υ2)方

求 め よ. 求 め よ.

向 の 方 向 微 分Df(υ1,υ2)(a1,a2)を

求 め よ.

(２)

(３)

(４)

(５)

  問 題8.2.5 

関 数f:R2→R,

f(x1,x2)=x1+2x1x2に

対 し て,

(１)(2,1)に

お け る(1,-1)方

(２)(2,1)に

お け る(1,1)方

(３)(2,1)に

お け る 第 １成 分 方 向 の 偏 微 分Df1(2,1)を

求 め よ.

(４)(2,1)に

お け る 第 ２成 分 方 向 の 偏 微 分Df2(2,1)を

求 め よ.

(５)(a1,a2)に   問 題8.2.6 

向 の 方 向 微 分Df(1,-1)(2,1)を 向 の 方 向 微 分Df(1,1)(2,1)を

お け る(υ1,υ2)方 関 数f:R2→R,

求 め よ. 求 め よ.

向 の 方 向 微 分Df(υ1,υ2)(a1,a2)を f(x1,x2)=x31-x32に

対 し て,

(１)(2,1)に

お け る(1,-1)方

向 の 方 向 微 分Df(1,-1)(2,1)を

(２)(2,1)に

お け る(1,1)方

(３)(2,1)に

お け る 第 １成 分 方 向 の 偏 微 分Df1(2,1)を

求 め よ.

(４)(2,1)に

お け る 第 ２成 分 方 向 の 偏 微 分Df2(2,1)を

求 め よ.

向 の 方 向 微 分Df(1,1)(2,1)を

求 め よ.

求 め よ． 求 め よ．

(５)(a1,a2)に

  定 理8.2.7(微 向微 分 可 能,特 Rn→Rは

お け る(υ1,υ2)方

向 の 方 向 微 分Df(υ1,υ2)(a1,a2)を

分 の偏 微 分 に よ る 表 現)関 に偏 微 分 可 能 で あ る.こ

数f:Rn→Rは

求 め よ.

微 分 可 能 な ら方

の と きａ に お け る ｆ の 微 分Df(ａ):

次 で与 え られ る. Df(a)(υ)=Df(a)(υ1,υ2,…,υn) =Dfυ(a)=D1f(a)υ1+D2f(a)υ2+…+Dnf(a)υn

  例 題8.2.8 

関 数f:R2→R,f(x1,x2)=x21-x1x2に

(１)(1,2)に

お け る 微 分Df(1,2)を

求 め よ.

(２)(a,b)に

お け る 微 分Df(ａ,b)を

求 め よ.

 解答 (１)

 よ っ て,Df(1,2):R2→R,

Df(1,2)(h,k)=D1f(1,2)h+D2f(1,2)k=0h+(-1)k=-k (２)

対 し て,

よ っ て,

Df(a,b):R2→R Df(a,b)(υ1,υ2)=D1f(a,b)υ1+D2f(a,b)υ2=(2a-b)υ1-aυ2 □

  問 題8.2.9 

関 数f:R2→R,f(x1,x2)=x1+x2+x1x2に

対

(１)(0,0)に

お け る 微 分Df(0,0)を

求 め よ.

(２)(a,b)に

お け る 微 分Df(a,b)を

求 め よ.

 問 題8.2.10 

関 数f:R2→R,f(x1,x2)=x21x22に

対

(１)(1,2)に

お け る 微 分Df(1,2)を

求 め よ.

(２)(a,b)に

お け る 微 分Df(a,b)を

求 め よ.

章

8.1 

定 理8.2.7を

8.2 

f:R2→R,g1:R→R,g2:R→Rを

末

し て,

し て,

問 題

示 せ. 微 分 可 能 と す る.

h:R→R,h(x)=f(g1(x),g2(x))

と す る と き,次

を 示 せ.

h'(x)=Df(g1(x),g2(x))(g'1(x),g'2(x)) =D1f(g1(x),g2(x))g'1(x)+D2f(g1(x),g2(x))g'2(x)

９  積

9.1 

  定 義9.1.1(定 xn=bを

分

定

積 分)  閉 区 間[a,b]に

積

分

対 し,条 件a=x0＜x1＜

満 た すx0,x1,…,xn-1,xn∈Rを,[a,b]の

 ま た,xk-xk-1,(k=1,2,…,n)の Ck∈[xk-1,xk]で

…

＜xn-1＜

分 割 とい う． 中 の 最 大 値 を 分 割 の 幅 と い う.

あ る 任 意 の 実 数ck(k=1,2,…,n)に

対 し て,実

数

Σ(xk-xk-1)f(ck)

が,分

割 を 分 割 の 幅 が ０ に 近 づ い て い く よ う な も の に 取 り替 え て い く か ぎ り,

ど の よ う な 分 割 に 対 し て も 一 定 の 実 数 に 近 づ く と き,ｆ い う ． ま た,そ 表 す.こ

の 一 定 の 実 数 を,ｆ

の と き,[a,b]を

(１)∫aaf(x)dx=0と

可 能 で あ る.

の 定 積 分 と い い,∫abf(x)dxと

定 義 す る．

る．

続 関 数 の積 分可 能 性)  関 数f:R→Rが

な ら ば,ｆ は[a,b]で

積分可能 と

積 分 区 間 と い う.

(２)∫abf(x)dx=-∫baf(x)dxと定義す

  定 理9.1.2(連

の[a,b]で

は,[a,b]で

積 分 可 能 で あ る.し た が っ て,例

閉 区 間[a,b]で 連 続 えば多項式 関数は積分

  定 理9.1.3(定

積 分 の 性 質)f:R→Rは

積 分 可 能 と す る.

(１)∫baf(x)dx=∫caf(x)dx+∫bcf(x)dxが

成 立 す る．

(２)∫ba(αf(x)+βg(x))dx=α∫baf(x)dx+β∫bag(x)dxが

(３)閉 区 間[a,b]で

成 立 す る．

の ｆ の 最 大 値 と最 小 値 を そ れ ぞ れ Ｍ,ｍ

とす る と,以 下

が 成 立 す る．

(b-a)m〓∫baf(x)dx〓(b-a)M

  例 題9・1・4  関 数f:R→R,f(x)=x2に

対 し,定 積 分∫10f(x)dxの

値 を定 積 分 の定 義 に従 っ て 求 め よ.

 解 答   ｆ は 閉 区 間[0,1]で で あ る.[0,1]の

い く と,こ

連 続 で あ るか ら,定 理 よ りｆ は[0,1]で 1/n,2/n,…,n-1/n, １を と る.ｎ

分 割 と して0,

の 分 割 の 幅 は ０ に 近 づ い て い く.区

間

積 分可能

を 大 き く して して

内 の 数 と してk/n

を と る.

こ こ で,nを

大 き く して い く と こ の 数 は

 1/3に 近 づ い て い く． し た が っ て,∫10f(x)dx=∫10x2dx=1/3で

  注 意   積 分 可 能 で あ る こ とは 知 っ て い る の で,区

間[0,1]の

あ る. □

分 割 は分 割 の 幅

が ０に 近 づ く もの な ら何 を採 用 して もよ い し,分 割 に よ って 決 まる 各 区 間 内 の 数 もど れ を と っ て も よい.  問 題9.1.5 

次 の 定 積 分 の値 を定 積 分 の 定 義 に従 っ て 求 め よ.

(１)f:R→R,f(x)=5と

す る と き,∫10f(x)dx.

(２)f:R→R,f(x)=3-xと

す る と き,∫1-1f(x)dx.

(３)f:R→R,f(x)=(x-1)(x-2)と

す る と き,∫21f(x)dx.

9.2 

  定 義9.2.1(原 で,そ

始 関数)関

の 導 関 数F':R→Rが

原

始

関

数f:R→Rと

数

す る.微 分 可 能 な関 数F:R→

Ｒ

ｆ に等 しい もの を,ｆ の 原 始 関数 とい う.一 般

に,関 数 Ｆ が 関 数 ｆ の 原 始 関 数 で あ れ ば,任 意 の定 数 ｃに対 し,関 数F+cは ｆ の原 始 関 数 で あ り,逆 に任 意 の ｆ の原 始 関 数 は適 当 なc∈RでF+cと

表さ

れ る ． 関 数 ｆ の 原 始 関 数 を ま とめ て 考 え て,ｆ の 不 定 積 分 と呼 び,∫f(x)dx と表 す こ とが あ る.

  例9.2.2(原

始 関 数)F:R→R,F(x)=xn+1/n+1+c(ｃ

す る と,F'(x)=xnで

あ る か ら,Ｆ

は 任 意 の 定 数)と

はf:R→R,f(x)=xnの

原 始関数 で

あ る.

  例 題9.2.3 

次 の 関 数 の 原 始 関 数 を 求 め よ.

(１)f:R→R,f(x)=x+3 (２)f:R→R,f(x)=x3+2x2-x+1

  解 答   原 始 関 数 が １つ 見 つ か れ ば,そ 関 数 で あ る.ま

れ に定 数 を 加 え た もの はす べ て 原 始

た,f:R→R,f(x)=xnの

f(x)=1/n+1xn+1で

(１)F:R→R,F(x)=x2/2+3xと

あ る こ と と,微

原 始 関 数 の １つ がf:R→R, 分 の 性 質 を用 い る ．

す る と,

で あ る か ら,Ｆ は ｆ の 原 始 関 数 で あ る.し

たが っ て,ｆ の 原 始 関 数 は

F:R→R,

F(x)=x2/2+3x+c 

(ｃ は 任 意 の 実 数)

 〓 と す る と,

(２)

で あ る か ら,Ｆ

は ｆの 原 始 関 数 で あ る.し

たが っ て,ｆ の 原 始 関 数 は

(ｃは 任 意 の 実 数) □

 問題9.2.4 

次 の 関 数 の 原 始 関 数 を求 め よ.

(１)f:R→R,

f(x)=3x+1

(２)f:R→R,

f(x)=x2-3x+1

(３)f:R→R,

f(x)=(x+1)(x+2)

(４)f:R→R,

f(x)=1/x2

9.3  定積 分 と原 始 関数 の 関係

 定 理9.3.1(微

積 分 学 の 基 本 定 理)関

の 原 始 関 数 と す る.こ

 例 題9.3.2 

数F:R→Rを

の と き,

微 積 分 学 の 基 本 定 理 を用 い て,次

(１)

 解 答   (１)f:R→R,

連 続 関 数f:R→R

(２)

の定 積 分 の値 を求 め よ. (３)

f(x)=x2と

し, F:R→R,

F(x)=x3/3と

す れ

ば,Ｆ

は ｆの 原 始 関 数 で あ る か ら,∫21f(x)dx=∫21x2dx=F(2)-F(1)=

(２)f:R→R,f(x)=x3+2x-1と

とす れ ば,Ｆ

し,F:R→R,F(x)=x4/4+x2-x

は ｆ の 原 始 関 数 で あ る か ら,∫10f(x)dx=∫10(x3+2x-1)dx=

(3)f:R→R,f(x)=1/x2と

し,F:R→R,F(x)=-1/xと

す れ ば ,〓

よ り Ｆ は ｆ の 原 始 関数 で あ るか

 問 題9.3.3 

微 積 分 学 の 基 本 定 理 を用 い て,次 の 定 積 分 の値 を求 め よ.

(１)∫32(1+2x)dx(２)∫1-1(1-x2)dxx

(３)∫30(x3+x2+x+1)dx(４)∫311/x2dxx

章 末 9.1  定 理9.1.3の(３)を

問 題

示 せ.

9.2  F1:R→R,F2:R→Rがf:R→Rの Ｃ が 存 在 して,F2=F1+Cと 9.3  (1)f:R→Rを G:R→Rと

す る.次

原 始 関 数 な ら ば,あ

る定数

な る こ と を 示 せ. 微 分 可 能,g:R→Rを

積 分 可 能 と し ｇの 原 始 関 数 を

式 を 示 せ.

∫ba f(x)g(x)dx=f(b)G(b)-f(a)G(a)-∫baf'(x)G(x)dx

(２)f:R→Rを

積 分 可 能 と し,g:R→Rを

微 分 可 能 と す る.次

∫ba f(g(x))g'(x)dx=∫g(b)g(a)f(x)dx

式 を 示 せ.

問題 解 答

● 第 １章 1.1.10

1.2.7

(1)(-1)

1.2.10 

 (２)

(１)A2,A3を

 (３)

計 算 す る と,

こ れ よ り,

と推 測 さ れ る.こ あ る 値(例

の こ と を 示 す に は 帰 納 法 を用 い る.ま

え ば,ｋ)初 で こ の 式 が 成 立 して い る と き,次

ず,n=1の の 値(k+1)に

と き は 正 しい.次

に

お い て もこの 式 が成

立 す る. と い う こ と を示 す.こ も成 立,し

の こ と が 示 せ れ ば,n=1の

た が っ て のn=2+13と

す る こ と が 示 さ れ る.(こ

き も成 立 …

と き成 立 して い る の で,n=1+1=2で とい う こ とに な りすべ て の ｎ につ いて 成立

の よ う に 証 明 す る 方 法 を 数 学 的 帰 納 法 と い う.)で

は,

が 成 立 して い る と き,k+1の

と き も 正 し い こ と を 示 す.

で あ り,こ れ を計算 して

と な る.

(２)

で あ るの で,数 学 的 帰 納法 を用 い る まで もな く, n=3kの

と き, An=A3k=(A3)k)=Ek=E

n=3k+1の

と き,

An=A3k＋1=A3kA=EA=A

n=3k+2の

と き,

A3k+2=A3kA2=EA2=A2

と なる(た だ し ｋは 正 の整 数).   注 意  (２)の 証 明 で数 学 的 帰 納 法 を使 わ な か った が,Ek=Eで か った ら数 学 的帰 納 法 を用 い る のが １つ の 方法 であ る.

章末 問題 1.1

(１)

あ る とい うこ と を示 した

(２)ax2+by2+cz2+(b+e)xy+(c+h)yz+(g+i)xz 1.2 (1)δi,j+δi+2,j+δi,j+1 (2)δi+1,j+δi,j+1

1.3

1.4

よ り,

a2+bc=d2+bc=1 条 件 よ りa+d≠0な Ｘ は,次

の で,b=0,c=0と

の ４ 通 り.

1.5

(1)

(2)n=3kの

と き,

n=3k+1の

と き,

n=3k+2の

と き,

,(a+d)b=(a+d)c=c な り, a2=d2=1を

得 る.こ

の こ と か ら行 列

● 第 ２章 2.1.2

〓拡大係 数行列は〓

(１)係数 行列 は

ⅰ)

ⅱ )

 ,拡大係数行列 は

(２)係数 行 列 は

ⅰ)

ⅱ)

2.2.4 

(１)拡 大 係 数 行 列 は 次 の よ う に 変 形 さ れ る.

よ って連 立 １次 方程 式 は

と な る の で,解

はx1=4,

x2=3,

x3=-2で

(２)拡 大 係 数 行 列 は 次 の よ う に 変 形 さ れ る.

あ る.

よ って連 立 １次 方程 式 は

と な る の で,解

はx1=-1,

x2=-1,

x3=0,

x4=1で

あ る.

2.3.7 (１)

↓  １行 と ３行 を入 れ替 え る と

と な り,簡

約 な 行 列 と な る.

(３)

↓  １行 に1/2を

と,簡

約 行 列 を得 る,

掛 けて

2.3.12 (１)

と簡 約 化 され,階

数 は ２ で あ る.

(２)

と 簡 約 化 さ れ,階

数 は ３で あ る．

(３)まず簡 約 化 して み る.

こ こ で,第

２ 行,第

で き る の は λ ≠1の

３ 行 の 主 成 分 を １ に す る た め で 各 行 を(λ-1)で と き で,し

た が っ て ２ つ の 場 合 を 考 え な け れ ば な ら な い.

(ⅰ)λ=1, 

(ⅰ)のと き行 列 は

割 りた い.そ

(ⅱ)λ

≠1

の操 作 が

と な る の で,さ

と な り,簡

ら に簡約 化 して

約 行 列 を 得 る.こ

 さ て(ⅱ)の

の と き 階 数 は ２ で あ る.

と き は 第 ２ 行,第

３ 行 を(λ-1)で

割 っ て,

こ こ で も,

(ⅲ)λ-2=0, 

の ２通 りの場 合 が考 え られ て,(ⅲ)の

と な り簡 約 行 列 と な る.こ (ⅳ)の

と き は.第

(ⅳ)λ-2≠0

と き行 列 は

の と き階 数 は ４ で あ る.

４行 を(λ-2)で

割 って

と 簡 約 化 で き る.こ 2.4.2 

の と き 階 数 は ４ で あ る.

(１)拡 大 係 数 行 列 は,

と変 形 され,こ れか ら主成 分 に対 応 しない 未知 数x4にｃ

を代 入 して

(ｃは任 意 の実 数)

(２)拡大 係 数行 列 は,

と 変 形 され,こ

れ か ら主 成 分 に 対 応 し な い 未 知 数x4,x5にc1,c2を

代 入 して

(c1,c2は

2.4.5

(１)拡大 係 数行 列 は,

と 変 形 さ れ,こ

の 方 程 式 は α ≠4/3の

と き解 を も た ず,α=4/3の

とき

任 意 の 実 数)

と な る の で,解

は

(ｃは任 意 の 実 数)

と な る.

(２)拡大係 数 行 列 は,

と 変 形 さ れ,こ

の 方 程 式 は α ≠1の

と な る の で,解

は

と き 解 を も た ず,α=1の

とき

(ｃは任意 の 実 数)

と な る. 2.5.4

(１)

(２)

2.5.6

章 末 問題 2.1  零 ベ ク トル で な い 行 ベ ク トル に １ つ 主 成 分 が あ る の で.

2.2  拡大 係 数行 列 を変 形 して

と な り,α

≠2の

と き拡 大 係 数 行 列 の 階 数 は ４ と な り,解

な け れ ば な ら な い,こ

の と きさ ら に

と な る の で,β=1で

あ る.こ

の 個 数 は １.し た が っ て,α=2で

の と きの解 は

(ｃは 任 意の 実 数)

2.3

(１)

(２)

2.4 (１)

別解

 〓 とす る と,B2=0で

あ り,A=E+nBと

表 せ る.こ

の と き,

  AnAm=(E+nB)(E+mB)=E+(n+m)B+nmB2=E+(n+m)B=An+m と な る.こ

れ か ら わ か る よ う に,B2=0と

(2)  (1)よ

な る 行 列 Ｂ を 用 い れ ば 同 じ事 柄 が 成 立 す る.

り, AnA-n=A-nAn=A0=E

した が っ て,Anは

正則 行 列 で

(An)-1=A-n

●

第

3.1.6 

３ 章 (1)A∩B={3},

A∪B={1,2,3},

A-B={2},

A×B={(2,1),(2,3),(3,1),(3,3)}   (2)A∩B={1,3},

A∪B={1,2,3,5},

A×B={(1,1),(1,3),(1,5),(2,1),(2,3),(2,5),(3,1),(3,3),(3,5)}

A-B={2},

(３)A∩B={1,2},A∪B={1,2,3},A-B=0, A×B={(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(2,3)}

(４)A∩B=〓,A∪B={1,3},A-B=0,A×B=0   3.1.7 

(1)Ａ

の 部 分 集 合 全 体 の 集 合={0,{2},{3},A}

(２)Ａ の 部分 集 合 全 体 の 集合={0,A} (３)Ａ の 部 分 集 合 全 体 の 集 合={0,{x},{y},{z},{x,y}{y,z},{z,x},A} (４)Ａ の 部 分 集 合 全 体 の 集 合={0,{(1,a)},{(1,b)},{(2,a)},{(2,b)},

{(1,a),(1,b)},{(1,a),(2,a)},{(1,a),(2,b)},{(1,b),(2,a)},{(1,b),(2,b)}, {(2,a),(2,b)},{(1,a),(1,b),(2,a)},{(1,a),(1,b),(2,b)},

{(1,a),(2,a),(2,b)},{(1,b),(2,a),(2,b)},A}   3.1.8 

(1)A∩B=[3,4],A∪B=[2,5], 

A-B=[2,3[

(２)A∩B=]3,4],A∪B=[2,5[,A-B=[2,3] (３)A∩B=]3,5],A∪B=[2,6[,A-B=[2,3]∪]5,6[ (４)A∩B={3},A∪B=[2,4],A-B=[2,3[∪]3,4]   3.1.10 

ま ず,A∪(B∩C)⊂(A∪B)∩(A∪C)を

 a∈AU(B∩C)と a∈0),よ

す る と,a∈Aま

示 す.

っ て(a∈Aま

a∈A∪C,よ

た はa∈B∩C,よ

た はa∈B)か

つ(a∈Aま

っ てa∈(A∪B)∩(A∪C).し

か つ(a∈Aま

す る と,a∈A∪

Ｂ か つa∈A∪C,よ

っ てa∈Aま

た は(a∈Bか

っ てa∈A∪(B∩C).し

つ

っ て(a∈Aま つa∈C),よ

た はa∈B) っ てa∈Aま

た

た が っ て(A∪B)∩(A∪C)⊂A∪(B∩C).

 こ れ で,A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C)が

  3.2.4

つ

示 す.

た はa∈C),よ

は(a∈B∩C),よ

た は(a∈Bか っ てa∈A∪Bか

た が っ てA∪(B∩0)⊂(A∪B)∩(A∪C).

次 に,(A∪B)∩(A∪C)⊂A∪(B∩C)を  a∈(A∪B)∩(A∪C)と

っ てa∈Aま た はa∈C),よ

示 さ れ た.

N(A×B)=10×20=200,N(A∩B)=N(A)+N(B)-N(A∪B)=10+

15-20=5,Ａ

の 部 分 集 合 の 個数=210=1024,Ａ

のｓ 個 の 要 素 か ら な る 部 分 集 合 の 個

数=10C6=10!/6!4!=210.

章末問 題  3.1 

ま ず,A-(B∪C)⊂(A-B)∩(A-C)を

 a∈A-(B∪C)と はa∈C)で か つ(a∈Aか

す る と,a∈Aか

な い),よ

っ てa∈Aか

つa〓C),よ

示 す. つa〓B∪C,よ つ(a〓Bか

っ てa∈(A-B)∩(A-C).し

つa〓C),よ

っ てa∈Aか

つ((a∈Bま

っ て(a∈Aか

つa〓B)

た が っ てA-(B∪C)⊂

た

(A-B)∩(A-C).   次 に,(A-B)∩(A-C)⊂A-(B∪C)を  a∈(A-B)∩(A-C)と てa∈Aか

示 す. す る と,(a∈Aか

つ(a〓Bか

よ っ てa∈Aか

つa〓C),よ

つa〓B∪C,よ

つa〓B)か

っ てa∈Aか

つ(a∈Aか

つ((a∈Bま

っ てa∈A-(B∪C).し

つa〓C),よ た はa∈C)で

た が っ て(A-B)∩(A-C)⊂

A-(B∪C).   こ れ で,A-(B∪C)=(A-B)∩(A-C)が   3.2 

ま ず 各ｘ

KB∩C(x)+KC∩A(x))+KA∩B∩C(x)を  ｘ がＡ,Ｂ,Ｃ

示 さ れ た.

に 対 し,KA∪BUC(x)=(KA(x)+KB(x)+KC(x))-(KA∩B(x)+ 示 す.

の ど れ に も属 さ な い と き, KA∪B∪C(x)=0,(KA(x)+KB(x)+KC(x))-

(KA∩B(x)十KB∩C(x)+KC∩A(x)+KA∩B∩C(x)=0-0+0=0.  ｘ が Ａ,Ｂ,Ｃ

の う ち の ち ょ う ど １つ に 属 す と き, KA∪B∪C(x)=1,(KA(x)+KB(x)+

KC(x))-(KA∩B(x)+KB∩C(x)+KC∩A(x))+KA∩B∩C(x)=1-0+0=1.  ｘ が Ａ,Ｂ,Ｃ

の う ち の ち ょ う ど ２つ に 属 す と き, KA∪B∪C(x)=1,(KA(x)+KB(x)+

KC(x))-(KA∩B(x)+KB∩C(x)+KC∩A(x))+KA∩B∩C(x)=2-1+0=1.  ｘ が Ａ,Ｂ,Ｃ

の す べ て に 属 す と き, KA∪B∪C(x)=1,(KA(x)+KB(x)+KC(x))-

(KA∩B(x)十KB∩C(x)+KC∩A(x))+KA∩B∩C(x)=3-3+1=1.   よ っ て,KA∪B∪C(x)=KA(x)+KB(x)+KC(x)-KA∩B(x)一KB∩C(x)-KC∩A(x)+ KA∩B∩C(x)が

示 さ れ た.

し た が っ て,N(A∪B∪C)=ΣKA∪B∪C(x)=Σ(KA(x)+KB(x)+KC(x)KA∩B(x)-KB∩C(x)-KC∩A(x)+KA∩B∩C(x))=ΣKA(x)+ΣKB(x)+ΣKC(x)

-ΣKA∩B(x)-ΣKB∩C(x)-ΣKC∩A(x)+ΣKA∩B∩C(x)=N(A)+N(B)+ N(C)-N(A∩B)-N(B∩C)-N(C∩A)+N(A∩B∩0).

● 第 ４章 4.1.5 

(1)f(2)=19,f(3)=-3

(２)f(1,2)=1,f(0,1)=5 (３)f(1,2,3)=0,f(-1,0,1)=0 (４)f(1,1,1)=4,f(1,2,3)=11

4.1.7 

次 の ９ 種 類 で あ る.

f1:X→Y;f1(1)=1,

f1(2)=1f2:X→Y,f2(1)=1,f2(2)=2

f3:X→Y,f3(1)=1,

f3(2)=3f4:X→Y,f4(1)=2,f4(2)=1

っ な い),

f5:X→Y,f5(1)=2,f5(2)=2 

f6:X→Y,f6(1)=2,f6(2)=3

f7:X→Y,f7(1)=3,f7(2)=1 

f8:X→Y,f8(1)=3,f8(2)=2

f9:X→Y,f9(1)=3,f9(2)=3

4.1.8 

次 の24種

類 で あ る.

f01:X→X, 

f01(1)=1, 

f01(2)=2, 

f01(3)=3, 

f01(4)=4

f02:X→X, 

f02(1)=1, 

f03:X→X, 

f03(1)=1, 

f02(2)=2,

f02(3)=4, 

f02(4)=3

f03(2)=3, 

f03(3)=2, 

f03(4)=4

f04:X→X, 

f04(1)=1, 

f04(2)=3, 

f04(3)=4, 

f04(4)=2

f05:X→X, 

f05(1)=1, 

f05(2)=4, 

f05(3)=2, 

f05(4)=3

f06:X→X, 

f06(1)=1, 

f06(2)=4, 

f06(3)=3, 

f06(4)=2

f07:X→X, 

f07(1)=2, 

f07(2)=1, 

f07(3)=3, 

f07(4)=4

f08:X→X, 

f08(1)=2, 

f08(2)=1, 

f08(3)=4, 

f08(4)=3

f09:X→X, 

f09(1)=2, 

f09(2)=3,f09(3)=1, f09(4)=4

f10:X→X, 

f10(1)=2, 

f10(2)=3, 

f10(3)=4, 

f10(4)=1

f11:X→X, 

f11(1)=2, 

f11(2)=4, 

f11(3)=1, 

f11(4)=3

f12:X→X, 

f12(1)=2, 

f12(2)=4, 

f12(3)=3, 

f12(4)=1

f13:X→X, 

f13(1)=3, 

f13(2)=1, 

f13(3)=2, 

f13(4)=4

f14:X→X, 

f14(1)=3, 

f14(2)=1, 

f14(3)=4, 

f14(4)=2

f15(2)=2, 

f15(3)=1, 

f15(4)=4

f15:X→X, f15(1)=3,  f16:X→X, 

f16(1)=3, 

f16(2)=2,

f16(3)=4, f16(4)=1

f17:X→X, 

f17(1)=3, 

f17(2)=4, 

f17(3)=1, 

f17(4)=2

f18:X→X, 

f18(1)=3, 

f18(2)=4, 

f18(3)=2, 

f18(4)=1

f19:X→X, 

f19(1)=4, 

f19(2)=1, 

f19(3)=2, 

f19(4)=3

f20:X→X, 

f20(1)=4, 

f20(2)=1, 

f20(3)=3, 

f20(4)=2

f21:X→X, 

f21(1)=4, 

f21(2)=2, 

f21(3)=1, 

f21(4)=3

f22:X→X, 

f22(1)=4, 

f22(2)=2, 

f22(3)=3, 

f22(4)=1

f23:X→X, 

f23(1)=4, 

f23(2)=3, 

f23(3)=1, 

f23(4)=2

f24:X→X, 

f24(1)=4, 

f24(2)=3, 

f24(3)=2, 

f24(4)=1

4.2.3 

(1)(f+g)(x)=f(x)+g(x)=(3x+2)+(x-1)=4x+1

(fg)(x)=f(x)g(x)=(3x+2)(x-1)=3x2-x-2 〓 (x≠1)

(2)(f+g)(x)=f(x)+g(x)=(-2x2+1)+(-3x-2)=-2x2-3x-1

(fg)(x)=f(x)g(x)=(-2x2+1)(-3x-2)=6x3+4x2-3x-2

(3)(ｆ+g)(x)=f(x)+g(x)=(3x2+2x-1)+(-x2-2)=2x2+2x-3

(fg)(x)=f(x)g(x)=(3x2+2x-1)(-x2-2)=-3x4-2x3-5x2-4x+2

(4)(f+g)(x)=f(x)+g(x)=2+(3x2-2)=3x2 (fg)(x)=f(x)g(x)=2(3x2-2)=6x2-4

(5)(f+g)(x)=f(x)+g(x)=(x+2)+1/x=2+x+1/x(x≠0)

4.2.9 

(1)fog(x)=f(g(x))=f(x-1)=3(x-1)+2=3x-1

gof(x)=g(f(x))=g(3x+2)=(3x+2)-1=3x+1

(2)fog(x)=f(g(x))=f(-3x-2)=-2(x-1)2+1=-2x2+4x-1 gof(x)=g(f(x))=g(-2x2+1)=-3(-2x2十1)-2=6x2x-5 f:{x￨x〓0}→{y￨y〓1}と

考 え る と き,

f:{x￨x〓0}→{y￨y〓1}と

考 え る と き,

f-1:{y￨y〓1}→{x￨x〓0},f-1(y)=

(3)fog(x)=f(g(x))=f(-x2-2)=3(-x2-2)2+2(-x2-2)-1=3x4+10x2+ 7

gof(x)=g(f(x))=g(3x2+2x-1)=-(3x2+2x-1)2-2=-9x4+12x3+2x2+ 4x-3 で あ り,

 範 囲  で は

 の２個 あ る ．

で あ るｙ に対 し

 範囲

f-

 し た が っ て,

 と考 え る と き,

 と 考 え る と き,

 g:{x〓0}→

｛y￨y〓-2}と

考 え る と き,

g-1:{y￨y〓-2}→{x￨x〓0},g-1(y)=√2+y g={x￨x〓 0}→{y￨y〓-2}と

考 え る と き,

g-1:{y￨y〓-2}→{x￨x〓0},g-1(y)=-√2+y

(４)fog(x)=f(g(x))=f(-x2-2)=2

gof(x)=g(f(x))=g(2)=3(2)2-2=10 a∈Rに 対 し,f:{a}→{2}と 1:{2}→{a}

考 え る と き,

,f-1(2)=a

g:{x￨x〓0}→{y￨y〓-2}と

考 え る と き,

g:{x￨x〓0}→{y￨y〓-2}と

考 え る と き,

(5)fog(x)=f(g(x))=

  (x≠0)

gof(x)=g(f(x))=g(2)=1/2 f1:R→R

,f-1(y)=y-2

g-1:R-{0}→R-{0},g-1(y)=1/y

章 末 問 題 4.1 x1∈X1と

す る.

(f3of2)of3(x1)=f3of2(f3(x1))=f3(f2(f1(x1))) f3o(f2of3)(x1)=f3(f2of3(x1))=f3(f2(f1(x1))) 4.2 

(１)な

ら ば(1)'を

示 す.f(x1)=f(x2)と

す る と,x1=gof(x1)=g(f(x1))=

g(f(x2))=gof(x2)=x2. (1)'な

ら ば(１)を

示 す.f(x)={y∈Y￨あ

次 の よ う に 定 義 す る.y∈f(x)な g(y)=xと

す る.y〓f(x)な

ら ば(1)'よ

るx∈Xが りf(x)=yと

ら ば 勝 手 なx∈Xでg(y)=xと

あ っ てf(x)=y}と な るx∈Xが す る.す

お く.ｇ

を

た だ １つ あ る の で る と 任 意 のx∈X

に 対 し て,f(x)=yと (2)な

ら ば(2)'を

お く と, y∈f(x)な 示 す.任

意 のy∈yに

の で,g(y)=x,よ

っ てgof(x)=g(f(x))=x.

対 し,x=g(y)∈x,f(x)=f(g(y))=fog(y)=

y.

(2)'な

ら ば(2)を

示 す.y∈yと

よ う に 定 義 す る.(2)'よ と す る.す

す る.f-1(y)={x∈x｜f(x)=y}と

りf-1(y)は

る とx∈f-1(y)な

空 集 合 で は な い.よ

お く.gを

っ てx∈f-1(y)を

次の

と っ てg(y)=x

の で,fog(y)=f(g(y))=f(x)=y.

● 第 ５章 5.1.4 

(1)WはR3の

部 分 空 間 で あ る.以

下 Ｗ が 定 義5.1.1の

す こ と を 確 か め る. 0+0-0=0,3×0+0+2×0=0 した が っ て,0∈W(条

件(１)).

に対 し   (ai+bi)+(a2+b2)-(a3+b3)=(a1+a2-a3)+(b1+b2-b3)=0 3(a1十b1)+(a2十b2)+2(a3+b3)=(3a1+a2+2a3)+(3b1十b2+2b3)=0 な の で,a+b∈W(条

件(２)).

(ca1)+(ca2)-(ca3)=c(a1+a2-a3)=0 3(ca1)+(ca2)十2(ca3)=c(3a1十a2十2a3)=0

な の で,ca∈W(条

件(３)).

(２)

な ので,Ｗ

は 部分 空 間 で は な い.

条 件(１),(２),(３)を

満 た

(３)

なの で,Ｗ

は 部分 空 間 で は ない.

(４)

なの で,Ｗ 5.1.5 

は部 分 空 間 で はな い. Ｗ が 条 件(１),(２),(３)を

(１)A0=0な a,b∈W,

の で,0∈Wで c∈Rと

あ る.

す る.

(２)Aa=0,Ab=0な (３)A(ca)=c(Aa)=cO=0.し 5.2.3 

満 た す こ と を 確 か め れ ば よ い.

の で, A(a+b)=Aa+Ab=0+0=0.し た が っ て,

連 立 １次 方 程 式x1a1+x2a2+x3a3=bの

た が っ て,a+6∈W.

ca∈W. 拡 大 係 数 行 列 の 簡 約 化 を行 い 解 を 求

め る.

 ⇔ 解な し

(１)

し た が っ て,bをa1,a2,a3の

１次 結 合 で 表 す こ と は で き な い.

(２)

し た が っ て,b=3a1-a2+a3.

(３)

した が っ て,b=(-2c+1)a1+(-c+1)a2+ca3(c∈R).

 (c∈R)

x1a1+x2a2+x3a3=0ま

た はx1a1+x2a2+x3a3+x4a4=0

の拡 大係 数 行 列 の 簡約 化 を行 い解 を求 め る.

(１)

し た が っ て,a1,a2,a3は

１ 次 独 立.

 非 自明解 を もつ

(２)

し た が っ て,a1,a2,a3は

１次 従 属 。

(３)

し た が っ て,a1,a2,a3は

5.2.9 

１ 次 独 立.

方 程 式x1υ1+x2υ2+x3υ3+x4υ4=0は(u1

る.u1,u2,υ3,u4は

１次 独 立 な の で,こ

u2

u3

u4)Ax=0と

れ か ら得 ら れ る 連 立 １次 方 程 式Ax=0の

べ れ ば よ い.

 〓 ⇔ 非 自明解 を もつ

(１)

し た が っ て,υ1,υ2,υ3,υ4は

１ 次 従 属.

変形で き 解 を調

(２)

し た が っ て,υ1,υ2,υ3,υ4は

5.3.4 

行 列A=(a1

１ 次 独 立,

a2 a3 a4 a5)と

お き,そ

の 簡 約 行 列 を Ｂ と す る.

(１)

し た が っ て,a1,a2,a4は

１次 独 立 で,a3=3a1-a4,a5=-a1+2a2+a4と

表 せ,

r=3

を 得 る.

(２)

し た が っ て,a1,a2,a5は

5.4.9 

問 題5.3.4の

１次 独 立 で,a3=2a1+a2,a4=a1+a2と

解 答 よ り次 を得 る.

(１)dim(V)=3,1組

の 基 底 は{a1,a2,a4}.

(２)dim(V)=3,1組

の 基 底 は{a1,a2,a5}.

5.4.12 

表 せ,r=3を

行 列A=(a1 a2 a3 a4

したが っ て x1a1+x2a2+x3a3+x4a4+x5a5=0⇔

a5)と

お き,そ

の簡 約行 列 を Ｂ とす る と

得 る.

(１)〈a1,a2〉

∩ 〈a3,a4,a5〉

の ベ ク トル は

υ=x1a1+x2a2=-x3a3-x4a4-x5a5

と表 せ る.し υ

たが って =(-3c1+c2)a1+(c1-2c2)a2=c1(-3a1+α2)+c2(a1-2a2)

つ ま り 〈a1,a2〉

∩ 〈a3,a4,a5〉

は

で 生 成 され る.ま た １次 独 立 で あ る こ とも容易 に確 認 で きる.し た が って,求 め る １組 の基 底 は{-3a1+a2,a1-2a2}で (２)〈a1,a2,a3〉

次 元 は ２で あ る.

∩ 〈a4,a5〉

の ベ ク トル は

υ=x1a1+x2a2+x3a3=-x4x4-x5a5

と 表 せ る.し

たがって

υ =(-3c1+c2)a1+(c1-2c2)a2+c1a3=c10+c2(a1-2a2)=c2(a1-2a2)

つ ま り 〈a1,a2,a3〉

∩〈a4,a5〉

は

で生 成 され る.ま た明 らか に １次 独立 なの で,求 め る １組 の基 底 は{a1-2a2}で

次元 は １

で あ る. (３)〈a1,a2,a3〉+〈a4,a5〉=〈a1,a2,a3,a4,a5〉

で 行 列(a1a2a3a4a5)の

簡 約 行 列

は Ｂ な の で,求

め る １組 の 基 底 は{a1,a2,a4}で

  (４)(〈a1〉+〈a2,a3〉)∩(〈a4〉+〈a5〉)=〈a1,a2,a3〉 る １組 の 基 底 は{a1-2a2}で

次 元 は １で あ る.

5.4.14

(１)

した が っ て,dim(V)=2でＶ

の １組 の 基 底 は

(２)

し た が っ て,dim(V)=2でＶ

5.4.16

(１)

の １組 の 基 底 は

次 元 は ３ で あ る. ∩ 〈a4,a5〉 な の で,(２)よ

り,求

め

し た が っ て,dim(V1∩V2)=2でV1∩V2の

１組 の基 底 は

(２)

した が っ て,dim(V1∩V3)=2でV1∩V2の１

(３)

ここで

組 の 基底 は

簡約化

な の で,dim((V1∩V2)+(V1∩V3))=3で

１組 の 基 底 は

章末問題 5.1 

定 義 の 条 件(１),(２),(３)を

0∈W1か

つ0∈W2な

,y∈W1∩W2,c∈Rに x +y∈4W1か cx∈W1か

つx+y∈W2な つcx∈W2な

件(１)) .x

対 し, の で,x+y∈W1∩W2(条 の で,cx∈W1∩W2(条

5.2  定 義 の 条 件(１),(２),(３)を 0∈W1な

満 た す こ と を示 す .

の で,0∈W1∩W2(条

の で,0∈W1+W2(条

満 た す こ と を示す . 件(１)).

x1+y1,x2+y2∈W1+W2(x1,x2∈W1,y1,y2∈W2),c∈Rに

対 し,

(x1+y1)+(x2+y2)=(x1+x2)+(y1+y2)∈W1+W2(条 c(x1+y1)=(cx1)+(cy1)∈W1+W2(条 5.3

とす る と

5.4  ｕ が 以 下 の ２ 通 り の 表 し方

件(２)). 件(３)) .

件(２)). 件(３)).

υ

u=c1u1+c2u2+…+cnun,u=c'1u1+c'2u2+…+c'nun

で表 せ とす る と,等 式 (c1-c'1)u1+(c2-c'2)u2+…+(cn-c'n)un=0 を 得 る.こ

こ で,u1,u2,…,unが

１ 次 独 立 な の で,c1=c'1,c2=c'2,…,cn=c'nが

得 ら

れ る. 5.5  u,u1,u2,…,unが

１次 従 属 な の で,方

程式

x u+x1u1+x2u2+…xnun=0 は 非 自 明 な 解x=c,x1=c1,x2=c2,…,xn=cnを

も つ.つ

ま り

cu+c1u1+c2u2+…cnun=0 と か け る,さ て,ｕ

ら にu1,u2,…,unが

１ 次 独 立 な の でc≠0で

あ る こ とが わ か る.し

は

u=(c1/c)u1+(c2/c)u2+…(cn/c)un と表 せ る 。 5.6 

仮 定 よ り,あ

る 実 数a11,…,a1l,a21,…,a2l,…,am1,…,amlが

1=a11u1+a21u2+…+am1um υ 2=a12u1+a22u2+…+am2um

υl=a1lu1+a21u2+…+amlum と表 せ る.つ

ま り

(υ1υ2…υl)=(u1

こ こでl>mな

u2…um)

の で,連 立 １次方 程 式

存 在

し て,

たが っ

=

は 非 自 明 解x1=c1,x2=c2,…,xl=clを

も つ.し

た が っ て

c1υ1+c2υ2+…+clυl

(υ1 υ2…υl)

=(u1.u2…um)

と な り,υ1υ2,…,物 5.7 

が

um},{υ1,…,υn}と 〈u1,…

１ 次 従 属 で あ る こ と が わ か る.

dim(W1)=m,dim(W2)=nと

し,W1,W2の

基 底

な の で,u1,…,um,υ1,…,υnはW1+W2を

生 成 す る.

x1u1+…+xmum+y1υ1+…+ynυn=0 こ で,

x1u1+…+xmum=-y1υ1-…-ynυn∈W1∩W2 な の で,仮

定 よ り,

x1u1+…+xmum=-y1υ1-…-ynυn=0

{u1…,um},{υ1,…,υn}は

れ ぞ れ{u1,…,

す る と,W1=〈u1,…,um〉,W2=〈υ1,…,υn〉,W1+W2=

，um,υ1,…,υn〉

と お く.こ

を そ

基 底 な の で,

x1=…=xｍ=y1=…=yn=0 した が っ て,{u1,…,um,υ1,…υn}はW1+W2の

dim(W1+W2)=m+n=dim(W1)+dim(W2)

基 底 に な り,

を 得 る.

● 第 ６章 6.1.4

(１)

(２)

6.1.6

(１)

し た が っ て,ｆ

は 線 形 写 像 で あ る.

(２)

した が っ て,ｆ

は 線 形 写 像 で な い.

(３)

した が っ て,ｆ

は 線 形 写 像 で な い.

(４)

=(x1+y1)+(x2+y2)+(x3+y3)

=(x1+x2+x3)+(y1+y2+y3)=f

=cx1+cx2+cx3

=c(x1+x2+x3)=cf

した が っ て,ｆ

は 線 形 写 像 で あ る.

6.1.9

 簡約化 (１)

し た が っ て,dim(im(T))=2でim(T)の

１組 の 基 底 は

また

な の で,dim(ker(T))=2でker(T)の

１組 の 基 底 は

 簡約化 (２)

し た が っ て,dim(im(T))=3でim(T)の

１組 の基 底 は

また

な の で,dim(ker(T))=2でker(T)の

１組 の 基 底 は

 簡約化 (３)

し た が っ て,dim(im(T))=3でim(T)の

１組 の基 底 は

また

な の で,dim(ker(T))=2でker(T)の

6.2.7

(１)

(２)

１組 の 基 底 は

(３)

6.3.5 

(1)固

有 値 は ２ と ４.

(２)固 有 値 は １.

(３)固 有 値 は １ と ２.

(４)固 有 値 は ２ と ３.

6.3.10 

(1)dim(w(2;TA))+dim(W(4;TA))=2な

(２)dim(W(1;TA))=1な

の で 対 角 化 可 能 で,

の で 対 角 化 不 可 能.

(３)dim(W(1;TA))+dim(W(2;TA))=2な

の で 対 角 化 不 可 能.

(４)dim(W(2;TA))+dim(W(3;TA))=3な

の で 対 角 化 可 能 で,

6.3.12 (１)

とす る と

した が って

(２)

とす る と

したが って

(３)

とす る と P-1AP

したが っ て

(４)

とす る と

T

P-1AP

したが って

章 末問題 6.1 x,y∈Rn,c∈Rに

対

し

TA(x+y)=A(x+y)=Ax+Ay=TA(x)+TA(y) TA(cx)=A(cx)=cAx=cTA(x) と な り,条

件(１),(２)を

6.2 x,y∈U,c∈Rに

満 た す. 対 し

T2oT1(x+y)=T2(T1(x+y))=T2(T1(x)+T1(y)) =T2(T1(x))+T2(T1(y))=T2oT1(x)+T2oT1(y)

2oT1(cx)=T2(T1(cx))=T2(cT1(x))=cT2(T1(x))=cT2oT1(x) と な り,条

件(１),(２)を

満 た す.

6.3  T(0)=0∈im(T). T(x),T(y)∈im(T),c∈Rに

対 し,

T(x)+T(y)=T(x+y)∈im(T),cT(x)=T(cx)∈im(T)

xυ=a

し た が っ て,im(T)は T(0)=0よ

部 分 空 間 で あ る.

り0∈ker(T).

x,y∈ker(T),c∈Rに

対 し,

T(x+y)=T(x)+T(y)=0+0=0,T(cx)=cT(x)=c0=0 よ りx+y∈ker(T),cx∈ker(T).し

た が っ て, ker(T)は

  6.4  dim(ker(T))=s,dim(im(T))=rと

部 分 空 間 で あ る.

お く.{υ1,υ2,…υs}をker(T)の

基 底,

{u1,u2,…ur}を{T(u1),T(u2),…,T(ur)}がim(T)の

基 底 に な るＶ

集 合 と す る.こ

Ｖ の 基底 に な るこ とを示せ ば

の と き 集 合{υ1,υ2,…,υs,u1,u2,…ur}が

の ベ ク トル の

よ い. ま ず 生 成 す る こ と を 示 す.ｖ

を Ｖ の 任 意 の ベ ク トル とす る と,T(υ)∈im(T)よ

り

T(υ)=b1T(u1)+b2T(u2)+…+bsT(ur) と表 せ る,こ

こ で, 0=T(υ)-(b1T(u1)+b2T(u2)+…+bsT(ur)) =T(υ-(b1u1+b2u2+…+bsur)

な の で,υ-(b1u1+b2u2+…+brur∈ker(T)．

し た が っ て

υ -(b1υ1+b2u2+…+brur)=alυ1+a2υ2+…+asυs

と表 せ る.つ

ま り 1υ1+a2υ2+…+asυs+b1u1+b2u2+…+brur

と 表 せ る の で,υ1,υ2,…,υs,u1,u2,…urは

Ｖ

を 生 成 す る.

次 に １次独 立 で あ る こ とを示 す. 1υ1+x2υ2+…+xsυs+y1u1+y2u2+…+yrur=0

とす る と 0=T(x1υ1+x2υ2+…+xsυs+y1υ1+y2u2+…+yrur) =T(y1u1+y2u2+…+yrur) =y1T(ul)十y2T(u2)+…+yrT(ur) こ こ でT(u1),T(u2),…T(ur)は が って

１次 独 立 な の で,y1=y2=…=yr=0を

得 る.し

た

0=x1υ1+x2υ2+…+xsυs+y1u1+y2u2+…+yrur =x1υ1+x2υ2+…+xsυs

υ1,υ2,…,υsは

１ 次 独 立 な の で,x1=x2=…=xs=0を

…,υs,u1,υ2,…,urは   6.5 

得 る.つ

dim(ker(T))=s,dim(im(T))=rと

お

りυ1,υ2,

く.{υ1,υ2,…,υs}をker(T)の

{u1,u2,…,uｒ}を{T(u1),T(u2),…,T(us)}がim(T)の 集 合 とす る.こ

ま

１次 独 立 で あ る . 基 底,

基 底 に な る Ｖ の ベ ク トル の

の と き 集 合{u1,u2,…ur,υ1,υ2,…,υ8}は

Ｖ の 基 底 に な る(6.4の

解答

参 照). t=m-r(〓0)と

す る.Ｗ

の ベ ク トルw1,…,wtが

存在 し

{T(u1),…,T(ur),w1,…,wt} が Ｗ の 基 底 に な る こ と を示 す.t=0な t≠0と

ら ば,{T(u1),…,T(ur)}が

す る.W-〈T(u1),…,T(ur)〉

≠{0}な

w1が 存 在 す る.x1T(u1)+…+xrT(ur+yw1=0と な の でy=0,ま

たT(u1),…,T(ur)が

が っ て,T(u1),…,T(ur),w1は

Ｗ の基底 であ る． そ こで

の で,W-〈T(u1),…,T(ur)〉 す る と,w1〓

の ベ ク トル 〈T(u1),…,T(ur)〉

１次 独 立 で あ る こ と か らx1=…=xr=0.し １次 独 立 で あ る.同

た

様 に ベ ク トル

w2∈W-〈T(u1),…,T(ur),w1〉

w3∈W-〈T(u1),…,T(ur),w1,w2〉

wt∈W-〈T(u1),…,T(uT),w1,w2,…,wt-1〉 が 存 在 し,T(u1),…,T(uT),w1,…,wtは {T(u1),…,T(ur),wt,…wt}は

１ 次 独 立 に な る.こ

こ でr+t=mな

の で,

Ｗ の 基 底 で あ る.

  Ｖ の 基 底{u1,u2,…,ur,υ1,υ2,…,υs}と

Ｗ の 基 底{T(u1),…,T(ur),w1,…,wt｝

が 求 め る も の で あ る こ と は 容 易 に 確 か め ら れ る.   6.6 

行 列(e1…en),(e'1…e'm)は

単 位 行 列 な の で,

(TA(e1)…TA(en))=(Ae1…Aen)=A(e1…en)=A=(e'1…e'm)A が 成 立 す る.表   6.7 

現 行 列 の 一 意 性 よ り結 論 を 得 る.

ベ ク トル 空 間 Ｖ の ２組 の 基 底 を{u1,…,un},{υ1,…,υn}と

Ａ と す る.つ

ま り,(u1…un)=(υ1…υn)Aと

す る.こ

し,そ こで

の変換 行 列 を

x1u1+…+xnun=(u1…un)

=(υ1…υn)A

とす る と,{υ1,…,υn}は

も しＡ

１次 独 立 な の で

が 正 則 で な い と す る と,こ

ち,c1u1+…+cnun=0と

の 連 立 １次 方 程 式 は 非 自 明 解x1=c1,…,xn=cnを

な り,{u1,…,un}が

も

基 底 で あ る こ と に 反 す る.

● 第 ７章 7.1.6 

(1)0＜￨x-1￨＜

に 対 し,δ=ε/3と

δ な ら ば￨f(x)-3￨=￨3x-3￨=3￨x-1￨＜3δ

す れ ば,0＜￨z-1￨＜

(2)0＜￨x=2￨＜

δ な ら ば￨f(x)-3￨＜

そ こ で,ε＞0

ε.

δ な ら ば￨f(x)-7￨=￨2x2-8￨=12(x-2)2+8(x-2)￨〓2￨x-2￨2+

8￨x-2￨＜2δ2十8δ

そ こ で,ε＞0に

な ら ば￨f(x)-7￨＜

ε.

(3)0＜￨x-(-1)￨=￨x+1￨＜

対 し,δ=min

とす れ ば,0＜￨x-2￨＜

δ な ら ば￨f(x)-(-1)￨=3x3+x2-x+1￨=￨3(x+

１)3-8(x+1)2+6(x+1)￨〓3￨x+1￨3十8￨x+1￨2+6￨x+1￨〓3δ3+8δ2十6δ こ で,ε＞0に ￨ f(x)-(-1)￨＜

7.2.5 

そ と す れ ば,0＜￨x-(-1)￨＜

δ な らば

ε.

よ っ て,δ=ε/5と (2)0＜￨x-a＜ 1￨δ,よ

対 し,δ=min

(1)0＜1飢-a￨＜

っ て,

δ

δ とす る.￨f(x)-f(a)￨=￨5x+1-(5a+1)￨=5￨x-a￨＜5δ

す れ ば,￨f(x)-f(a)￨＜

ε.

δ と す る.￨f(x)-f(a)￨=￨x2-2x+5-(a2-2x+5)￨＜

δ2+2￨a-

とす れ ば,0＜￨x-2￨＜ (3)0＜￨x-a￨＜

δ な ら ば￨f(x)-f(a)￨＜ δ と す る.

〓よ っ て,

7.3.3 

(１)

(２)

(３)

(４)

(５)

(６) =(a+h)n-1+(a+h)n-2a+(a+h)n-3a2+…+an-1

7.3.7 

(１)

(２)

(３)

(４)

(５)

7.3.12 

(１)f'(x)=0

ε.

 〓 とす れ ば,

(a=1の

場 合)

(a≠1場

合)

(２)f'(x)=-3 (３)f'(x)=2x+3 (４)f'(x)=9x2+4x (５)f'(x)=(2x+1)'(3x+2)+(2x+1)(3x+2)'=2(3x+2)+(2x+1)3 =8x+7 (６)f'(x)=(x2+2x+1)'(2x3+3x+1)+(x2+2x+1)(2x3+3x+1)'

=(2x+2)(2x3+3x+1)+(x2+2x+1)(6x+3) (７)f'(x)=

(８)f'(x)= (９)f'(x)=10(x2-x+1)9(x2-x+1)'+5(x2-x+1)4(x2-x+1)'+0

=10(x2-x+1)9(2x-1)+5(x2-x+1)4(2x-1) (10)f'(x)= (11)f'(x)=e5x+1(5x+1)'=5e5x+1 (12)f'(x)=

7.4.4 

よ り,ｆ が極 値 を とる可 能 性 の あ るの は-3/2に

(１)f'(x)=2x+3=2

お い て の み で あ る.

上 の 表 よ り,f(x)はx=3/2の (２)f'(x)=3x2よ

上 の 表 よ り,f(x)は

(3)f'(x)= お い て の み で あ る.

り,ｆ

と き,極

小 値-5/4を

と る.

が 極 値 を と る 可 能 性 の あ る の は ０ に お い て の み で あ る.

極 値 を と ら な い.  よ り,ｆ が 極 値 を と る 可 能 性 の あ る の は-1と

１に

上 の 表 よ り,f(x)はx=-1の

と き,極

大 値-2,

x=1の

と き,極

小 値 ２ を と る.

7.5.3  (１)ａに お け る ｆ の変 化 量 を最 もよ く近 似す る １次 関数 Ｌ は L：R→R,

L(x)=f'(a)x=3x,ま

た,誤

差 は

￨f(a+h)-f(a)-L(h)￨=￨f(a+h)-f(a)-3h￨ =￨3(a+h)+1-(3a+1)-3h￨=0 (２)aに お け る ｆ の変 化 量 を最 もよ く近似 す る １次 関数 Ｌ は L：R→R,

L(x)=f'(a)x=(4a+5)x,ま

た,誤

差 は

￨f(a+h)-f(a)-L(h)￨=￨f(a+h)-f(a)-(4a+5)h￨ =￨2(a+h)2+5(a+h)+2-(2a2+5a+2)-(4a+5)h￨=2h2 (３)ａにお け る ｆ の変 化量 を最 も よ く近似 す る １次 関数 Ｌ は L：R→R,L(x)=f'(a)x=(3a2-3)x,ま

た,誤

差 は

￨f(a+h)-f(a)-L(h)￨=[f(a+h)-f(a)-(3a2-3)h￨ =￨(a+h)3-3(a+h)+1-(a3-3a+1)-(3a2-3)h￨=￨3ah2+h3￨ (４)ａに おけ る ｆの 変 化量 を最 も よ く近似 す る １次 関数 Ｌ は L：R→R,L(x)=f'(a)x=-1/a2

x,ま

た,誤

差 は

￨f(a+h)-f(a)-L(h)￨=￨f(a+h)-f(a)-

章末 問題   7.1  ε＞0を ￨ g(x)-c￨＜ て,￨x-a￨＜

任 意 に と る.lim

ε と な る.ま

δ な らば,￨f(x)-b￨＜

で あ り,￨f(x)-b￨＜γ   7.2 

(３)

た,上

g(x)=cよ

り,あ

のγ に 対 し て, γ と な る.し

な ら ば￨g(f(x))-c￨＜

lim

るγ＞0が f(x)=bで

あ っ て,￨x-b￨＜γ あ る か ら,あ

た が っ て,￨x-a￨＜ ε で あ る.

な ら ば,

る δ＞0が

δ な ら ば￨f(x)-b￨＜γ

あっ

こ こ で,ｆ,ｇ

は 微 分 可 能 で あ る か ら,

した が っ て,(fg)'(x)=f'(x)g(x)+f(x)g'(x). (５)f(x+ｈ)-f(x)=k(h)と

お く.ｈ

が ０ に 近 づ く と きk(h)は

(ⅰ)f'(x)≠0の

と き.f'(x)≠0よ

りｈ が 十 分 小 さ け れ ばk(h)≠0.よ

(ⅱ)f'(x)=0の

と き. k(h)=0の

と き,

〓 k(h)≠0の

と き,

０ に 近 づ く.ま

た,

っ て,

〓 は,

〓が あ る こ と と,

〓よ り,ｈ

が ０ に近 づ く と き,０

に

近 づ く. し た が っ て(ⅰ),(ⅱ)よ

り,(fg)'(x)=0=g'(f(x))f'(x).

7.3

F(x)は

 と お く.

微 分 可 能,よ

っ て 連 続 で あ る.ま

た,

〓で あ る か ら最 大値 の 原理 よ り[a,b]内 で最 大 値 と 最 小 値 を もつ ． (ⅰ)Ｆ の 最 大 値 と 最 小 値 を と る 値 が{a,b}に F(a)=F(6)よ

り,Ｆ

属 す と き.

は 定 数 関 数 で あ る.

(ⅱ)Ｆ の 最 大 値 か 最 小 値 を と る 値 が]ａ,ｂ[に 属 す と き. そ の 値 に お け る Ｆ の 微 分 係 数 は ０ で あ る. し た が っ て,い ず れ の場 合 も,あ るc∈]ａ,ｂ[が

〓 つ ま り,

〓と な る.

● 第 ８章 8.1.5 

(１)

存 在 して,

(k=0の

場 合)

(k≠0の 場 合)

し た が っ て,

(２)

し た が っ て,

(３)

した が っ て,

8.2.5 

ま ず,(５)を

(１)Df(1,-1)(2,1)=3, 

8.2.6 

ま ず,(５)を

行 う.

(2)Df(1,1)(2,1)=7,(3)Df1(2,1)=5,(4)Df2(2,1)=2.

行 う.

(1)Df(1,-1)(2,1)=15,(2)Df(1,1)(2,1)=9,(3)Df1(2,1)=12,(4)Df2(2,1)=-3. 8.2.9 

まず(２)を

行 う.

=lim(1+a)=1+a Df(a,b):R2→R,Df(a,b)(υ1,υ2)=D1f(a,b)υ1+D2f(a,b)υ2 =(1+b)υ1+(1+a)υ2 (１)Df(0,0):R2→R,Df(0,0)(υ1,υ2)=υ1+υ2 8.2.10 

ま ず(２)を

行 う.

=lim(2a2b+a2k)=2a26 Df(a,b）:R2→R,Df(a,b)(υ1,υ2)=D1f(a,b)υ1+D2f(a,b)υ2 =2ab2υ1+2a26υ2 (１)Df(1,2):R2→R,Df(1,2)(υ1,υ2)=8υ1+4υ2.

章 末問 題 8.1 υ=0の

と き は 明 ら か で あ る.υ

≠0と

する．

ｆ は微 分 可 能 であ るか ら

よ っ て,h=tυ

と し て,

し た が っ て,  ま た,υ=(υ1,υ2,…,υn)と

す る と,Df(a)(υ)=Df(a)(υ1e1+υ2e2+…+υnen)=

Df(a)(e1)υ1+Df(a)(e2)υ2+…+Df(a)(en)υn=Df1(a)υ1+Df2(a)υ2+…+Dfn(a)υn 8.2 

g1(x+h)-g1(x)=k1(h),g2(x+h)-g2(x)=k2(h)と

(ⅰ)k1(h)2+k2(h)2=0の

と き.

. お く.

(ⅱ)k1(h)2+k2(h)2≠0の

と き.

 ｈ が ０ に 近 づ く と きk1(h),k2(h)は 近 づ く.ま

た,g1,g2は

０ に 近 づ き,fは

微 分 可 能 だ か ら,上

の式 の値 は ０に

微分可能 より

よ っ て,

の値 は んが ０に近 づ くと き ０に近 づ く．  し た が っ て,(ⅰ),(ⅱ)よ

り,

● 第 ９章 9.1.5  [0,1]の

(１)fは

閉 区 間[0,1]で

分 割 と して

は ０ に 近 づ い て い く.区

連 続 で あ る か ら,定 〓, １ を と る.ｎ

間

理 よ り ｆ は[0,1]で

積 分 可 能 で あ る.

を大 き く して し て い く と,こ

の分 割 の幅

〓内 の 数 と し てk/ｎ を と る.

し た が っ て,∫10f(x)dx=∫105dx=5. (２)fは

閉 区 間[-1,1]で

連 続 で あ る か ら,定 理 よ り ｆ は[-1,1]で

積 分 可 能 で あ る ．[-1,1]

の分 割 と して

〓 １ を と る.ｎ

この分 割 の幅 は ０に 近づ いて い く． 区間

〓内 の 数 と し てk/nを

を 大 き く し て して い く と,

と る.

 こ こ で,ｎ

を 大 き く して い く と こ の 数 は ６ に 近 づ い て い く.し

た が っ て,

∫1-1 f(x)dx=∫1-1(3-x)dx=6  (３)fは

閉 区 間[1,2]で

連 続 で あ る か ら,定

分 割 と し て １,1+1/n,1+2/n,…,1+n-1/n,2を

理 よ り ｆ は[1,2]で と る.ｎ

の 幅 は ０ に近 づ い て い く.区 間

 こ こ で,ｎ

積 分 可 能 で あ る.[1,2]の

を 大 き く して し て い く と,こ

内 の 数 と してk/nを とる.

を 大 き く して い く と こ の 数 は1/6×1×2-1/2×1=-1/6に

近づい て い く.し

が っ て,∫21f(x)dx=∫21(x-1)(x-2)dx=-1/6.

9.2.4 

ｆの 原 始 関 数 は 以 下 の とお り.

(１)F:R→R,F(x)=3x2/2+x+c 

(ｃは 任 意 の 実 数)

(２)F:R→R,F(x)=

 (ｃは任 意 の実 数)  (ｃは任 意 の 実数)

(３)F:R→R,F(x)=

 (ｃは任 意 の実 数)

(４)F:R→R,F(x)=

9.3.3 

(１)fの

原 始 関 数 はF:R→R,F(x)=x+x2よ

り,

∫32 (1+2x)dx=F(3)-F(2)=6

(２)ｆ の 原 始 関 数 はF:R→R,F(x)=x-x3/3よ

り,

∫1-1 (1-x2)dx=F(1)-F(-1)=4/3

(３)fの 原 始 関数 はF:R→R, ∫30(x3+x2+x+1)dx=F(3)-F(0)=441/12

(４)fの

原 始 関 数 は Ｆ:R→R,F(x)=-1/xよ

の分 割

り,

た

章 末問題 9.1 

閉 区 間[a,6]の

分 割 をx0,x1,…,xn-1,xn∈Rと

し,ck∈[xk-1,xk]と

す る と,

であ る.も し定 理9.1.3(３)の 不 等 式 が成 立 しな け れば,十 分 分割 の 幅 が ０に近 い分 割 に対 し 上 の不 等 式 が成 立 しな くな る. 9.2  G=F1-F2と

お く．G'(x)=F'1(x)-F'2(x)=f(x)-f(x)=0で

[0,x]で 平 均 値 の 定 理 を適 用 す る と,あ

るc∈]0,x[が

存 在 し て,0=G'(c)=

〓よ っ てG(x)=G(0). 9.3  (１)(fG)'(x)=f'(x)G(x)+f(x)G'(x)=f'(x)G(x)+f(x)g(x) =f'(x)G(x)+(fg)(x)で

あ る か ら,

∫ba f(x)g(x)dx=∫ba(fg)(x)dx

=∫ba (fG)'(x)dx-∫baf'(x)G(x)dx=(fG)(b)-(fG)(a)-∫baf'(x)G(x)dx

=f(b)G(b)-f(a)G(a)-∫baf'(x)G(x)dx (２)ｆ の 原 始 関 数 をF:R→Rと

す る と,(Fog)'(x)=F'(g(x))g'(x)=f(g(x))g'(x)

よ り,

∫ba f(g(x))g'(x)dx=∫ba(Fog)'(x)dx

=(Fog)(b)-(Fog)(a)=F(g(b))-F(g(a))=∫g(b)g(a)f(x)dx

あ る. Ｇ に

参 考 文献

  本 書 を書 くに あ た って 参 考 に した本,お

よび 本 書 で省 い た 内 容 につ い て 参 照

で き る本 を以 下 に挙 げて お く. [１] 沢 田

賢 ほ か:社 会 科 学 の 数 学― 線 形代 数 と微 積 分,朝 倉 書 店,2002

[２] 三 宅 敏 恒:入

門線 形代 数,培

風 館,1991

[３] Ｈ.ア ン トン(山 下 純 一 訳):や [４] 飯 高

さ しい 線 型 代 数,現

茂:線 形 代 数― 基 礎 と応 用,朝 倉 書 店,2001

[５] 志 賀 浩 二 ：微 分 ・積 分30講,朝

倉 書 店,1988

[６] 入 江 昭 二 ほか:微 分 積 分(上,下),内

田 老 鶴 圃,1985

代 数 学 社,1979

索

引

―の積  41

■ ア行 (i,j)成 分  １

―の増 加  87 ―の連 続性   81

値  37

―の和  41 En  ２

簡 約化 す る  21

１次 関数  38

簡 約行 列   21

１次 結 合  47

簡 約 な行 列   19

１次 従 属  49 １次 独 立  49 ε-δ論 法  79 im(T)  67

基 底  55 ―の 変換 行 列  70 基 本ベ ク トル  49 逆 関数   42

ｎ次 正 方行 列  ２

逆 行列   29

ｎ変 数 関数  92

逆 写像   41

m×n型

共 通集 合  33

行列  １

ｍ 行 ｎ 列 の行 列  １

行 の主 成 分   19 行 ベ ク トル  ９

■カ 行 解空 間  47

行 列  １ ―に よっ て定 義 され る線形 写 像   64

開 区間  33

―の 階 数  21

核   67

―の 基本 変 形  17

拡 大 係 数行 列   15

―の 実 数倍  ４

合 併 集 合  33

―の 主成 分   18

ker(T)  67

―の積  ５

関数  37

―の 分割   10

―の演 算  40

―の和   ４

―の極 限  79

極 小 値  88

―の極 小   87

極 大 値  88

―の極 大   87

極 値   88

―の グ ラ フ  42

近似   89

―の減 少  87 ―の商   41

―の 誤差   89

空集 合  33

線 形写 像  64

ク ロ ネ ッカ ーの デ ル タ  ３

線 形性  38 線 形 変換   72

係 数 行 列  15 像  67

原始 関 数   100

■タ 行

合成 関 数  41 合成 写 像  41

対 角 化  75

恒 等 関 数  38

対 角 化 可 能  75

恒 等 写 像  70

対 角 成 分  ２

固有 空 間  73

対 数 関 数  81

固有 値   73

多項 式 関 数  38

固有 ベ ク トル  73

  多 変 数 の― 

38

多変 数 関 数  92 単位 行 列  ２

■サ行 最大 値 の 原理   91 差 集合  33

値 域   37

座標 平 面  42

直積 集 合  34

式 の基 本 変 形   16

定義 域   37

次 元  55

定数 関 数  37

指 数 関数  81

定数 項 ベ ク トル  15

自然 数  33

定積 分   98 dim(V)  55

自然 対 数 関 数  81 自然 対 数 の 底  79 実 数  33

導 関数  84

実 数倍  40

特性 関数  35

自明 な解   49 写 像  37 ―の合 成  41

■ナ行 ２次関 数  38

集 合  33 ―の要 素 の個 数  35

■ハ行

等 しい―  含 まれ る― 

掃 き出 し法  17,18

33 33

微積 分学 の 基 本 定理   101 整 数  33

左 半 開 区間   33

正 則 行 列  29

微 分  92

積 分 可 能  98

微 分 可 能  84,92

積 分 区 間  98

微 分 係 数  84

零行 列  ２

表 現 行列   69,73

零ベ ク トル  10

標 準 基底   55

零(ベ ク トル)空 間  45

複素 数  33

■マ行

不定 積 分  100

右半 開 区 間  33

部分 空 間  45   生 成 され る―

 55

  張 られ る― 

55

最 も よ く近 似 す る １次 関 数   89

部 分 集 合  33

■ ヤ行

分 割  98

有 理 数  33

―の幅  98 要 素  33 平均 値 の 定理   91 平均 変 化 率  83

■ ラ行

閉 区間  33 ベ ク トル  44

rank(A)  22

―の最 大 独 立個 数   53 ベ ク トル空 間  45

零 行 列  ２

変化 量  89

零(ベ ク トル)空 間  45

偏 微 分  94

列 ベ ク トル  10

零 ベ ク トル  10

連 続性   81 方 向微 分  94

連 立 １次 方 程式   14

方 向微 分 可 能  94

―の 解 の個 数  27

放 物線  42

―の 解法   25 ―の基 本 変 形  16

著者略歴 沢

田

賢(さ わだ ・けん)

1953年  東 京都 に生 まれ る 1981年  早 稲 田大学 大学院理 工学研 究科博 士課 程修 了

現

在 早稲田大学商学部助教授 理学博士

渡 邊 展

也(わ たなべ ・のぶや)

1959年   岩手県 に生 まれ る 1984年  早 稲 田大学 大学 院理工学研 究科 修士課 程修 了

現

在 早稲田大学商学部助教授 理学博士

安 原

晃(や すはら ・あきら)

1966年  徳島 県 に生 まれ る 1991年   早稲 田大学 大学 院理工学研 究科 修士課 程修 了

現

在 東京学芸大学教育学部助教授 理学博士

シ リー ズ[数

学 の世 界]４

社 会 科 学 の 数 学 演 習― 線形代数 と微積分― 2003年

３ 月20日

定価はカバ―に表示

  初版 第 １刷

著 者  沢

田

 渡

邊

 安

原

発行者 朝

倉

株式 発行所  会社 朝

賢

展

也 晃

邦

倉

造

書

店

東 京 都 新 宿 区 新 小 川 町6‐29 郵 便 番 号 電

話 

FAX 

〈検 印 省 略 〉

4‐254‐11564‐4

03(3260)0180

http://www.asakura.co.jp

〓2003〈 無 断複写 ・転 載 を禁 ず 〉 ISBN

  162‐8707 03(3260)0141

Ｃ 3341Printed

東京書 籍 印刷 ・渡辺 製本 in Japan

11

理科大 戸川美郎著

０,１,２,３,…

シ リー ズ 〈数 学 の 世 界〉１

数 学 に お け る 感 性 を会 得 させ る数 学 入 門 書 。 集 合 ・写 像 な どは 丁 寧 に 説 明 して 使 え る道 具 と して し ま う。 最 終 目的 地 は イ ン ター ネ ッ ト向 きの 暗 号

ゼ ロ か ら わ か る 数 学 − 数 論 と そ の応 用 − 11561‐X C3341 

A5判 

144頁 本 体2500円

と四 則 演 算 だ け を予 備 知 識 と して

方 式 と し て最 もエ レガ ン トなRSA公

開鍵暗号

中大 山本  慎著

コ ン ピュ ー タ 内部 で の 数 の 扱 い 方 か ら始 め て,最

シ リー ズ 〈 数 学 の 世 界〉２

理

大 公 約 数 や 素 数 の 見 つ け 方,方 程 式 の 解 き方,さ らに 名 前 の デ ー タ の 並 べ 替 えや 文 字 列 の 探 索 ま で,コ ン ピ ュ ー タ で 問 題 を解 く手 順 「ア ル ゴ リ ズ ム 」を 中心 に情 報処 理 の 仕 組 み を解 き 明か す

学

社 会 科 学 系 の 学 部 で は数 学 を 履修 す る時 間 が 不 十 分 で あ り,学 生 も高 校 で あ ま り数 学 を学 習 して い な い。 こ の こ と を十 分 考 慮 して,数 学 に お け る文 字 の使 い 方 な どか ら始 め て,線 形代 数 と微 積 分 の 基 礎 概 念 が納 得 で き る よ うに工 夫 を こ ら した

情

報

の

11562‐8  C3341 

A5判 

数

168頁 本体2800円

早大 沢 田   賢 ・早大 渡 邊 展 也 ・学芸大 安 原  晃 著 シ リー ズ 〈数 学 の 世 界 〉３

社

会

科

学

の

数

− 線 形 代 数 と微 積 分 −

11563‐6  C3341 

A5判 

152頁 本 体2500円

早大 鈴 木 晋 一 著

ユ ー ク リ ッ ドの 平 面 幾 何 を 中心 に して,図 形 を 数

シ リー ズ 〈数 学 の世 界 〉６

学 的 に 扱 う楽 し さ を読 者 に伝 え る。 多数 の図 と例 題,練 習 問題 を添 え,談 話 室 で興 味 深 い話 題 を提 供 す る。 〔内 容 〕幾何 学 の 歴 史／ 基 礎 的 な事 項 ／ ３

幾

何

の

11566‐0  C3341 

A5判 

世

界

152頁 本 体2500円

角 形 ／ 円 周 と円 盤 ／ 比 例 と相 似 ／ 多辺 形 と円 周

数学オリンピック財団 野 口  廣 著

数 学 オ リン ピ ッ クに 挑 戦 し よ う と思 う読 者 は,第 一 歩 と し て何 を ど う学 ん だ ら よい の か 。 挑 戦 者 に

シ リー ズ く数 学 の 世 界 〉７

数 学 オ リ ン ピ ッ ク 教 室 11567‐9 C3341 

A5判 

140頁 本 体2500円

前東工大 志 賀 浩 二 著 は じめ か らの 数 学 １

数

に

つ

11531‐8  C3341 

い

B5判 

て

152頁 本 体3500円

前東工大 志 賀 浩 二 著 は じめ か らの 数 学 ２

式

に

つ

11532‐6  C3341 

い

て

B5判  200頁 本 体3500円

前東工大 志 賀 浩 二 著

数

に

11533‐4 C3341 

つ

B5判 

い

て

192頁 本 体3600円

群馬大瀬 山士郎 著

基

礎

の

数

学

− 線 形代 数 と微 積 分 − 072‐3 C3041 

A5判 

144頁 本体2600円

湘南国際女短大 斎 藤 正 彦 著

は

じ め て の 微 積 分(上)

ll093‐6  C3041 

数 学 を も う一 度 初 め か ら学 ぶ と き"数"の 理 解 が 一 番 重 要 で あ る。 本 書 は 自然数,整 数,分 数,小 数 さ らに は 実 数 ま で を述 べ,楽 し く読 み 進 む う ちに 十分 深 い理 解 が 得 られ る よ うに 配慮 した 数 学 再 生 の一 歩 とな る話 題 の 書 。 【各 巻 本 文 二 色 刷 】

点 を示す 等式か ら,範 囲 を示 す不等 式へ,そ して 関数 の世 界へ導 く「式」 の世 界を展開。 〔 内容〕 文字 と式／二項定理 ／数学的帰納法／恒等 式 と方程 式 ／ ２次方程 式／ 多項式 と方程式／連立 方程式／不 等式／数列 と級数／式の世界か ら関数 の世 界へ '動き'を表 す た め に は,関 数 が 必 要 と な った 。関 数 の 導 入 か ら,さ ま ざ まな 関 数 の 意 味 とつ なが りを

は じめ か らの 数 学 ３

関

必 要 な 数 学 を丁 寧 に 解 説 し なが ら,問 題 を解 くア イデ ア と道 筋 を具 体 的 に 示 す 。 〔内容 〕集 合 と写 像 ／ 代 数 ／ 数 論 ／ 組 み 合 せ 論 と グ ラフ ／ 幾 何

A5判 

168頁  本 体2500円

解 説 。 〔内容 〕式 と関数 ／ グ ラ フ と関 数 ／ 実 数,変 数,関 数 ／ 連 続 関数 ／ 指 数 関 数,対 数 関 数 ／ 微 分 の 考 え／ 微 分 の 計 算／ 積 分 の 考 え ／ 積 分 と微 分

練達 な著者に よる,高 校 の少 し先の微 分積分 と線 形代 数(数学Ⅳ,数 学 Ｄ)を解 説 した教科書。 〔 内 容〕 行列 とその 計算／行列 式 とその計算／連 立方 程 式 と行列／行列 と固有値／初 等関数 とテー ラー 展 開／ ２変数関数／偏導関数 と極値 問題／ 重積分 問題解 答完備 〔 内容 〕 微分係数 ・導関数 ・原始関数 ／導 関数 ・原始関数の計算／三角関数／逆三角 関 数／指数関数 と対数関数／定積分の応用／諸 定理 ／極大極小 と最大最小／高階導 関数／ テイラーの 定理 と多項 式近 似／関数の極 限 ・テイラー展 開

前東工大 志 賀 浩 二 著 数 学30講 シ リー ズ １

微

分

・ 積

11476‐1 C3341 

分30講

A5判 

208頁 本 体3200円

前東工大 志 賀 浩 二 著 数 学30講 シ リー ズ ２

線

形

代

11477‐X C3341 

数30講

A5判 

216頁 本 体3200円

前東工大 志 賀 浩 二 著 数 学30講 シ リー ズ ３

集

合

へ

11478‐8  C3341 

の30講

A5判 

196頁 本 体3200円

前東工大 志 賀 浩 二著 数 学30講 シ リー ズ ４

位

相

へ

11479‐6 C3341 

の30講

A5判 

228頁 本 体3200円

前東工大 志 賀 浩 二 著 数 学30講 シ リー ズ ５

解

析

入

11480‐X C3341 

門30講

A5判 

260頁  本体3200円

前東工大 志 賀 浩 二 著 数 学30講 シ リー ズ ６

複

素

数30講

11481-8 C3391 

A5判 

232頁 本 体3200円

前東工大 志 賀浩 二 著 数 学30講 シ リー ズ ７

ベ

ク

ト ル

11482‐6 C3341 

解

A5判 

析30講

244頁  本 体3200円

前東工大 志 賀 浩 二 著 数 学30講 シ リー ズ ８

群

論

へ

11483‐4  C3341 

の30講

A5判 

244頁 本 体3200円

前東工大 志 賀 浩二 著 数 学30講 シ リー ズ ９

ル ベ

ー

ll484‐2  C3341 

グ 積 A5判 

分30講

256頁  本 体3200円

前東工大 志 賀 浩 二 著 数 学30講 シ リー ズ10

固

有

ll485‐0  C3341 

値

問 A5判 

題30講

260頁  本 体3200円

〔 内容〕 数 直線／ 関数 とグラフ／ 有理関数 と簡単 な 無理関数 の微分 ／三角関数／指数 関数／対数関数 ／合成関数 の微分 と逆関数の微分／ 不定積分／定 積分／ 円の面積 と球 の体積／極 限について／平均 値の定理／ テイラー展開／ ウォ リスの公 式／他 〔 内容 〕ツル・ カ メ算 と連立 方程 式／ 方程式,関 数, 写像／ ２次元の数ベ ク トル空間／線形写像 と行 列 ／ベ ク トル空間／基底 と次元／正則行列 と基底変 換／正 則行列 と基本行列／行 列式の性質／基底変 換か ら固有値問題へ／ 固有値 と固有ベ ク トル／他 〔 内容〕身近な ところに ある集合 ／集合に関す る基 本概 念／ 可算集合 ／実数 の集合／ 写像／濃度／連 続体 の濃度 を もつ集合／順序集合／ 整列集合／順 序数／比較 可能定理,整 列可能定理 ／選択公理の ヴァ リエー シ ョン／ 連続体仮設／ カ ン トル／他 〔 内容 〕 遠 さ,近 さ と数 直線／集積点／ 連続性 ／距 離空間／点列 の収 束,開 集合,閉 集合／近傍 と閉 包／連続写像／ 同相写像 ／連結空間／べー ルの性 質／完備化／位相空 間／ コンパ ク ト空 間／分離公 理／ウ リゾー ン定理／位相 空間か ら距離空間／他 〔 内容〕数直線の生 い立 ち／ 実数 の連続性／関数の 極 限値／微分 と導関数／ テイラー展開／べ キ級数 ／ 不定積分 か ら微分 方程式へ／ 線形微分方程式／ 面積／定積分 ／指数関数再考／ ２変数関数の微分 可能性／逆写像 定理 ／ ２変数関数 の積分 ／他 〔 内容 〕 負数 と虚数 の誕生 まで／ 向きを変え ること と回転／複素数 の定 義／複素数 と図形／ リーマ ン 球面／複素関数 の微分／ 正則関数 と等角性／べ キ 級数 と正則関数／複素積分 と正則性／ コーシー の 積分定理／一致 の定理／ 孤立特異点／留数／他 〔 内容〕ベ ク トル とは／ベ ク トル空間／双対ベ ク ト ル空間／ 双線形関数／ テン ソル代 数／外積代数の 構 造／ 計量 をもつベ ク トル空間／ 基底の変換／ グ リーンの公式 と微分形式／外微分 の不変性／ガ ウ スの定理／ ス トー クスの定理／ リーマ ン計量／他 〔 内容 〕シンメ トリー と群／群 の定義／群 に関す る 基本的 な概念／ 対称群 と交代群／正 多面体群 ／部 分群 による類別／ 巡回群 ／整数 と群／群 と変換／ 軌道／正規部分群／ アーベル群／ 自由群／ 有限的 に表示 され る群／位相群 ／不変測度／群環／他 〔 内容〕広が ってい く極 限／ 数直線上の長 さ／ ふつ うの面積概 念／ ルベー グ測度／可測集合／ カラテ オ ドリの構想／測度空 間／ リーマ ン積分／ ルベー グ積分 へ向けて／可測関数 の積分 ／可積分関数の 作 る空間／ ヴ ィタ リの被覆定理 ／フ ビニ定理／他 〔 内容〕平面上 の線形写像／ 隠されてい るベ ク トル を求 めて／ 線形写像 と行列／ 固有 空間／正規直交 基底／ エル ミー ト作用素／積分 方程 式／ フレー ド ホルムの理論／ ヒルベル ト空 間／ 閉部分 空間／完 全連続 な作用素／ スペ ク トル／非有 界作 用素／他 上 記 価 格(税 別)は2003年

２月 現 在

す う が くぶ っ く す 《編

集》 森

毅 ・斎 藤 正 彦 ・野 崎 昭 弘

自然科 学 の １ 巻  基礎 としての  微

２巻 線

型

積

代

数

分＊ 加古 孝 著 増補版 † 草場公邦 著

３巻 加 群 十 話 ―代数学入門―＊  堀田良之 著

４巻 微

分

方

程

式＃ 〓 岡邦夫  著

５巻  ト ポ 口 ジ 一 † 瀬山士郎 著 ール一 プと折れ線の幾 何学 ー

６巻 ベ ク ト ル ー場 の 量 の 解 析 ー

解

析 † 丹羽敏雄 著

７巻 ガ 口 ワ と 方 程 式 † 草場公邦 著 ８巻 確

率

・

統

計＊ 篠願 彦 著

超準 的手 法

９ 巻  にもとづく 確 率 解 析 入 門＊  釜江哲朗  著 10巻 複

素

関

数  三幕劇 † 難波 誠 著

11巻 曲面と結び目のトポロジ一 † 小林一章 著 一基 本 群 と ホ モ 口 ジ ー 群 一 12巻 線

形

13巻 代 14巻 数

数 え

計

の

算 ＃ 名取 亮 著

世

辺敬 一  界＊ 渡 草場公邦 著

上

げ

数

学＊ 日比孝之 著

15巻 微 分 積

分

読

本＊ 岡本和夫  著

16巻 新 し い 論 理 序 説＊ 本橋信義  著 17巻  フ 一 リ 工 解 析 の 展 望 † 岡本清郷  著

18巻 確 率 微 分 方 程 式＊ 保江邦夫  著 ー入門前夜ー

19巻 数 値 確 率 解 析 入 門＊ 保江邦夫  著 20巻 線形代数 と群 の表現Ⅰ＊ 平井 武  著 21巻 線形代数 と群 の表現Ⅱ＊ 平井 武  著 (＃ 一 計 算 技 術,＊

一 基 本 理 念,†

一 理 念 ・イ メー ジ を軸 に 執 筆)