シリーズ 数学の世界 6 幾何の世界

6 

シリーズ… 数学 の世界  野ロ  廣 監修

幾何の世界 鈴 木 晋 一 著

朝倉書店

  ま え

が

き

 「幾 何 」 とい う言 葉 か ら ど ん な こ と を思 い 浮 か べ るで し ょ うか.楽

しい 思 い

出 や 嬉 しい 思 い 出 を も って い る 方 もあ るで し ょ う し,苦 い思 い 出 や 嫌 な思 い 出 を もって い る方 もあ るで し ょ う.ま た,即 ピ タゴ ラ ス(三 平 方)の 定 理 な ど ,幾 つ か の 定 理 を思 い 浮 かべ た 方 もあ るで し ょ う.数 学 用 語 の 中に は も ち ろ ん,日 常 用 語 の 中 に も幾 何 ○ ○ とか 幾 何 的○ ○ あ る い は 幾何 学 的 ○ ○ と い った もの が た くさん あ り ます,幾 つ か 挙 げ て み て くだ さ い."図 い る考 え 方 ・方 法"と い っ た,何 つ い て,"幾

何(的)"と

形 的 な"と か"図 形 を用

らか の 意 味 で 図 形 あ る い は 物 の 形 な ど と結 び

い う言 葉 が 広 く用 い られ ,定 着 して い ます.と

ころが

「幾 」は 「数 に つ い て の 不 定 ・疑 問 の 語(岩 波 国語 辞 典)」 とあ りますが ,「幾 何 」 は17世

紀 に 中 国 で 生 まれ た 造 語 で,本

(１章 「幾何 学 の 歴 史 」 を参 照).そ

来 図 形 的 な 意 味 は まっ た くあ りませ ん

の せ い か,あ

る い は 中 学 校 ・高 等 学 校 の 数

学 か ら幾何 とい う用 語 が 消 え て し ま っ たせ い か,大

学 で 数 学 を専 攻 す る 学 生 の

中 に も,「幾 可 」 と書 く人が 随 分 と た くさん い ます.   と こ ろで 専 門 的 に は い っ た い ど ん な 幾 何 学が あ るの か 手 元 に あ る幾 何 学 関 係 の 書 籍 や 数 学 辞 典 な ど を パ ラ パ ラ 開 い て ,名 称 を 片 端 に列 挙 して み ま し ょ う: ユ ー ク リ ッ ド幾 何 ・非 ユ ー ク リ ッ ド幾 何 ・双 曲 幾何 ・楕 円幾 何 ・放 物 幾 何 ・球 面 幾 何 ・平 面 幾 何 ・立 体 幾 何 ・自然 幾何 ・絶 対 幾 何 ・非 アル キ メデ ス 幾 何 ・座 標 幾 何 ・解 析 幾 何 ・ア フ ィ ン幾何 ・射 影 幾 何 ・微 分 幾何 ・積 分 幾 何 ・位 相 幾 何 ・ 微 分 位 相 幾 何 ・組 合 せ 位 相 幾 何 ・代 数 的 位 相 幾 何 ・円 幾 何 ・球 幾 何 ・超 球 幾 何 ・ メ ー ビ ウ ス 幾何 ・反 転 幾 何 ・有 限 幾 何 ・代 数 幾 何 ・共 形 幾何 ・接 続 幾 何 ・リ ー マ ン幾 何 … … ． こ こ に 挙 げ た名 称 の ,あ る もの は か な り広 い 意味 の 幾 何 学 の 総 称 で あ り,ま た あ る もの は そ の なか の 特 別 な もの で あ り,さ ら に 同 じ もの の 別 称 が 混 じ って い た りで,並

列 す る こ と 自体 お か しい の で す が,と

にか くた く さ

ん の 幾何 学 が あ る こ とが わか り ます.   幾何 学 とは,と

に か く 〈数 学 的 〉 図 形 の 性 質 を 〈数 学 的 に 〉研 究 す る学 問 で

あ る … … とい うこ とが で き ます.○ ○ 幾何 の ○ ○ に は,ど の よ うな 図 形 を ど の よ うな 舞 台 で,ど

の よ うな方 法 で,ま た ど の よ うな性 質 を取 り扱 うの か な ど を

示 す よ うな 言 葉 が 入 って い る の で す.   高 等 学 校 まで の 数 学 の 内容 は,少  

々乱 暴 で す が,

「数 に 関す る事 柄 」   と 

「図 形 に 関 す る事 柄 」

の ２つ に大 別 す る こ とが で き ます.図 形 に 関す る事 柄 に つ い て い え ば,ま ず 小 学校 で 観 察 ・実 験 ・実 測 な ど を通 じて,い な ど を,少

ろい ろ な物 の 形 につ い て 名 称 や 性 質

しず つ段 階 を経 なが ら学 び ます.さ

ら に 中 学 校 で は 直 線 ・線 分 ・三

角 形 ・四 角 形 ・円 ・球 ・立 方 体 ・角柱 ・円 錐 な ど の 基 本 的 な平 面 図 形 や 空 間 図 形 に つ い て よ り系 統 的 に学 び ます.こ こ で は 図 形 の 性 質 を実 験 や 実 測 に よっ て で は な く,証 明 に よ っ て 確 認 し,証 明 され た 事 柄 を用 い て 新 し い性 質 を導 き ま す.こ れ は も う幾 何 の 世 界 で,ユ

ー ク リ ッ ド幾 何 あ る い は 総 合 幾何 の 初 歩 とい

うこ とに な りま す.高 等 学 校 で は選 択 制 で 一律 で は あ りませ ん が,中

学校で の

幾何 の 延 長 と,座 標 を活 用 し て 関 数 や 方 程 式 で 表 され る 図 形 に つ い て,式 算 や微 分 ・積 分 な ど も用 い て そ の性 質 を 調べ ます.ま た,サ ン ジ ェ ン トな ど の 三 角 法 に つ い て も学 び ます.さ ら に,ベ

の計

イ ン ・コサ イ ン ・タ ク トル の 概 念 も学 び,

ベ ク トル を用 い て 図 形 を研 究 す る方 法 が あ る こ と も学 び ま す.こ れ は 座 標 幾 何 あ る い は 解 析 幾 何 の 初 歩 を 学 ん だ とい うこ とが で き ます.   本 書 で は,高 等 学 校 まで で 学 ぶ ユ ー ク リッ ドの 平 面 幾 何 を 中 心 に して,図

形

を 数学 的 に取 り扱 う楽 し さ ・嬉 しさ を紹 介 し よ う と思 い ます.こ れ を通 じ て,幾 何 の 構 成 の 妙 や 定 理 の 美 し さ をお 伝 えで きれ ば と願 って い ます.   2001年 ９月  

鈴 木 晋 一

   目

１. 幾 何 学 の 歴 史

次

  １

 1.1  幾 何 学 の 誕 生 と そ の 公 理 系

  １

 1.2  非 ユ ー ク リ ッ ド 幾 何 の 誕 生

 ６

 1.3  近 世 ・近 代 の 幾 何 学

 ８

２. 基 礎 的 な 事 項  

11

  2.1  直 線 と 角  

11

  2.2  多 辺 形 と 多 角 形  

15

  2.3  円 周 ・円 ・円 盤  

18

  2.4  図 形 の 移 動 と 合 同  

23

  2.5  作 図 と作 図 題  

28

 2.6  命 題 ・論 証 ・記 号  

29

３. ３

角

  3.1３ 

形

  33

角形 の角 

33

  3.2２  等 辺 ３ 角 形  

35

  3.3  直 角 ３ 角 形  

38

  3.4  ３ 角 形 の 辺 と 角 の 大 小  

40

  3.5  平 行 ４辺 形  

43

  3.6３ 

50

４. 円

周

角形の五 心  と 円 盤

 

57

  4.1  弧 ・弦 ・中 心 角  

57

  4.2  円

59

周

角

 

  4.3  ２つ の 円 周 の 位 置 関 係  

66

  4.4  続 ・３角 形 の 五 心  

69

５. 比 例

と 相

  5.1  面

 

似

 73

積

  73

  5.2  ピ タ ゴ ラ ス の 定 理  

76

  5.3  線 分 の 比 例  

79

  5.4 

84

メネ ラ ウ ス の定 理 とチ ェバ の定 理  

  5.5  ３ 角 形 の 相 似  

90

  5.6  方 べ き の 定 理  

94

  5.7  三 角 比 と 正 弦 法 則 ・余 弦 法 則  

97

６. 多 辺 形 と 円 周  

103

  6.1  ３ 角 形 と 円 周  

103

  6.2  ４辺 形 と 円 周  

108

  6.3  パ ッ プ ス の 定 理 ・デ ザ ル グ の 定 理 ・パ ス カ ル の 定 理  

114

７. 続 ・多 辺 形 と 円 周  

121

  7.1  多 辺 形 に 関 す る 分 離 定 理  

121

  7.2  多 辺 形 の 内 部 対 角 線  

126

  7.3  正 多 角 形  

128

  7.4  円 周 の 長 さ と 円 盤 の 面 積  

130

練 習 と 問題 の 解 答  

135

文

献  

139

索

引 

141

 談話 室  ギ リ シ ャ の 作 図 ３大 難 問  円 錐 曲線 ・２次 曲 線  弧 度 法  

134

  32

  120

  １  幾何 学の歴 史

こ の 章 で は,幾 何 学 の 誕 生 か ら 今 日 まで の 歴 史 を ,超 特 急 で 概 観 し ます.た ん の 人 名 が 登 場 し,読 み に くい と こ ろ もあ るか と思 い ます が,細

気 楽 に読 み 進 め て くだ さ い.こ れ まで に 学 ん だ 幾 何 学が ど ん な もの な の か,こ か ら本 書 で 展 開 され る 幾 何 の 背 景 は ど うな っ て い る の か,そ

くさ

部 に こ だ わ らず, れ

の 答 え は と もか く,

「幾 何 の 世 界 」 の 成 立 の 雰 囲 気 を 感 じて い た だ け れ ば 十 分 で す.

 1.1 

幾何 学 の誕 生 と その 公理 系

  古 代 の 数 学 は,エ ジ プ トの ナ イル 河 の 流 域 と,チ グ リス ・ユ ー フ ラテ ス両 河 に 挟 まれ た メ ソ ポ タ ミア 地 方 に 起 こ った こ とは よ く知 られ て い る.ギ 歴 史 家ヘ ロ ド トス(Herodotus,B.C.484-425)の の 中 に は,「幾 何 学 は,ナ 直 す 術 と して,エ 「Geometry」

リシ ャの 大

著 書 『歴 史(ヒ ス ト リア イ)』

イル 河 の 氾 濫 で 年 ご とに 消 え る耕 地 の 境 界 線 を引 き

ジプ トに 起 こ っ た 」 と書 か れ て い る.幾 何 学 を 意 味 す る英 語

とい う言 葉 が,geo(土

地)とmetry(測

量)か

ら成 り立 っ て い

るの は,こ の 間 の 事 情 を よ く物 語 っ て い る.メ ソポ タ ミア 地 方 も肥 沃 な 土 地 に 恵 まれ,し か も交 通 の 要 所 に 当 た っ て い た の で,早

くか ら商 業 の た め の 計 算 術

が 進 歩 し た.数 学 も他 の 学 問 と同 じ よ うに,実 生 活 の 必 要 に根 ざ し て 起 こ っ た こ とが よ くわ か る.   エ ジ プ トと地 中 海 を 隔 て た対 岸 の ギ リシ ャに お い て は,エ

ジ プ トの 実 用 的 な

文 化 を 輸 入 し,こ れ ら を系 統 的 に 整 理 し た だ け で な く,理 論 的 な検 証 を加 え る と と もに そ の 方 法 を も とに さ らに 新 しい 事 実 を発 見 し,１ つの 学 問 に まで 高 め て い った.こ

う して 幾 何 学 が 誕 生 した の で あ る.こ の 時代 の 代 表 的 な 人 物 と し て,

ギ リ シ ャ 哲 学 ・ギ リ シ ャ 数 学 の 祖 と もい わ れ る 夕 ー レ ス(Thales,B.C.624‐546) が 挙 げ ら れ る.ピ

タ ゴ ラ ス(Pythagoras,B.C.589?-?)と

  ギ リ シ ャ はB.C.480年

に ペ ル シ ャ と の 戦 い に 勝 っ て,ア

国 家 と し て ま す ま す 栄 え,い は 主 と し て,定

テ ネ を中心に都 市

わ ゆ る ソ フ ィ ス トた ち を 生 ん だ.ソ

フ ィ ス トた ち

木 と コ ンパ ス を用 い て 与 え られ た 条 件 を満 た す 図 形 を作 図せ よ

と い う 「作 図 問 題 」 で 幾 何 学 に 貢 献 し た.そ 争(B.C.431‐404)以

そ の 学 派 も 活 躍 し た.

の 後,ギ

リシ ャは ペ ロポ ネ ソ ス 戦

降 し だ い に 勢 力 を 失 っ て い っ た が,そ

化 の 中 心 と し て の 地 位 を 保 ち,ソ

れ で も な お 学 問 ・文

ク ラ テ ス(Socrates,B.C.467‐399)や

子 プ ラ ト ン(Platon,B.C.429‐347)な に 対 し て 深 い 反 省 と 考 察 を 加 え,定

ど を 排 出 し た.特

その弟

に プ ラ トン は 幾 何 学

義 ・公 理 ・定 理 ・証 明 な ど の 思 想 を 確 立 し,

次 に 述 べ る ユ ー ク リ ッ ド の 先 駆 と な っ た.   こ の よ う な 環 境 の 中 で ユ ー ク リ ッ ド(Euclid,B.C.330?-275?;下 像)は,こ

図はその 肖

れ まで に 蓄 積 さ れ た 数 学 知 識 を 理 路 整 然 た る 一 つ の 体 系 に ま と め あ

げ て 『原 論(ス

ト イ ケ イ ア,Σ〓Xε〓

論 』 は 実 数 論 や 整 数 論 な ど も 含 む が,そ

α,Elements)』,全13巻

を 著 し た.『原

の 主 要 部 分 は 幾 何 学 で あ る.こ

は,そ

の 理 論 的 構 造 が し っ か り し て い る が ゆ え に,長

れ,特

に 第 １巻 か ら 第 ３ 巻 の 部 分 は 中 世 は い う に 及 ば ず20世

の書物

い 間学 問 の 典 型 と考 え ら 紀 初 頭 まで もほ

と ん ど そ の ま ま の 形 で 幾 何 学 の 教 科 書 と し て 用 い ら れ て き た の で あ る.当 エ ジ プ ト王 プ ト レ マ イ オ ス 一 世(Ptolemaios,B.C.323‐283)が,「

時の

もっ と手 軽

に 幾 何 学 を 学 ぶ 方 法 は な い か 」 と ユ ー ク リ ッ ド に た ず ね た と こ ろ,「 幾 何 学 に 王 道 な し 」 と 答 え た と の こ と で あ る.

  『原 論 』 は多 くの 国 ・言 語 で 翻 訳 され て きたが,日 阪 英孝,伊 東 俊 太 郎,池 完 成 した.以

本 で も,中 村 幸 四郎,寺

田美 恵 共 訳 『ユ ー ク リ ッド原 論 』(共 立 出 版,1971)が

下 の 記 事 で も これ を参 考 に した と こ ろが 多 い.

  ちな み に,1574年

に ロ ー マで 出版 され た ク ラヴ ィウス(Clavius,1537‐1621)

の ラテ ン語 版 『原 論 』 の幾 何 の 部 分 が,彼 に学 ん だ 宣教 師 リ ッチ(Ricci)に て 通訳 の 徐 光 啓 の 協 力 を 得 て 漢 訳 され,『幾何 原 本 』(1607)と され た の が"幾 何"の

語 源 で,"geo"の

よっ

して 中 国 で 出版

音 訳 との こ とで あ る.

  『原 論 』13巻 の う ち,特 に第 １巻 が 注 目 され るの で,そ

の 構 成 ・内 容 の 一 部

を紹 介 して お こ う.ま え が きや 説 明 な ど 一切 な しに,い き な り23個 の 定 義(言 葉 の正 確 な 限 定)が

並 ん で い る.

 定義   １)  点 とは 部 分 を もた な い もの で あ る.  ２)  線 とは 幅 の な い長 さで あ る.  ３)  線 の端 は 点 で あ る.  ４)  直 線 とは そ の 上 に あ る点 に つ い て 一 様 に横 た わ る 線 で あ る.  ５)  面 と は 長 さ と幅 の み を もつ もの で あ る.  ６)  面 の端 は 線 で あ る.  ７) 平 面 とは そ の 上 に あ る直 線 に つ い て 一 様 に横 た わ る 面 で あ る.   ８)  平 面 角 と は平 面 上 に あ っ て 互 い に 交 わ りか つ 一 直 線 を な す こ と の な い２ つ の線 相 互 の か た む きで あ る.   ９)  角 を は さ む線 が 直 線 で あ る と き,そ の 角 は直 線 角 と よば れ る.

  この 後 に,５ 個 の 公 準(要 命 題)と

５個 の 公 理(共

請 ：特 に 幾何 学 の 建 設 に 際 し て承 認 を 要 求 され る

通 概 念 ：一 般 に 真 で あ る こ とが 承 認 され る で あ ろ う命

題)が 続 く.   公 準(要 請)   １)  任 意 の 点 か ら任 意 の 点へ １つ の 直 線 を引 け る.   ２)  有 限の 直線 を そ の ま ま直 線 に延 長 で きる.

 ３)  任 意 の 中心 と半径 で 円が 描 け る.   ４)  す べ て の 直 角 は 相 等 しい.  ５)  ２直 線 に １直 線 が 交 わ っ て,同 らば,こ

じ側 に ２直 角 よ り小 さい 内 角 を つ くる な

れ らの ２直 線 を 限 りな く延 長 す る と,２ 直 角 よ り小 さい 内 角 の

あ る側 で 交 わ る.

図1.1 

α+β<2直

角 な らば,直

線 Ｌと

図1.2 

Ｍ は 右 側 で 交 わ る.

  公理(共

点 Ｐ を 通 り Ｌ と平 行 な, 直線 が た だ一 つ存 在 す る.

通 概 念)

  １)  同 じ もの に 等 しい もの は また 互 い に等 しい.   ２)  等 しい もの に 等 しい もの を加 え る と全 体 は 等 し い.   ３)  等 しい も のか ら等 しい もの を 引 くと残 りは 等 し い.   ４)  重 ね 合 わ せ られ る もの は互 い に 等 しい.   ５)  全 体 は 部 分 よ り大 きい.   公 理 は,実 し た.今

際 は ９項 目に な っ て い るが,多

くの 例 に な ら って,５ 項 目 に整 理

日で は,上 の 公 準 と公 理 を あ わ せ て 「公 理 系 」 とい うこ とが 多 い.

  さて,こ の あ と直 ちに定 理(命 題)と そ の 証 明 が 続 く(以 下 の命 題 番 号 は『 原 論 』 に基 づ く).   命 題 １. 与 え られ た有 限 の 直 線(線 分)の

図1.3

上 に 等 辺 ３角 形 をつ くる こ と.

  この 命 題 の よ うに,公 準 １,２,３ を(目 盛 りの ない)定

木 と コ ンパ ス を使 っ

て 実 行 し,与 え られ た 条件 を 満 た す 図形 を具 体 的 に 作 図す る 問 題 が か な り多 く 見 られ るの が 特 徴 で あ る(2.5節

参 照).そ

して こ の種 の 問 題 に つ い て は,詳

し

く作 図 の 方 法 を 述べ た あ と,最 後 に 「これ が 作 図 すべ き もの で あ っ た 」 で 終 わ る.こ れ は,線 分 や 円 が た だ 「存 在 す る 」 の で は な く,「定 木 と コ ン パ ス を用 い て 具体 的 に 作 図 で き る 」 こ とに そ の 意 義 を 認 め て い る た め と思 わ れ る.   命 題32.  (の 和)に

任 意 の ３角 形 に お い て,１ 辺 を延 長 す れ ば,外

等 し く,か つ ３角形 の ３つ の 内 角(の 和)は

角 は ２つ の 内 対 角

２直 角 に等 しい.

図1.4

 命 題47. 

直 角 ３角 形 にお い て,直 角 に 対 す る辺 の 上 の 正 方 形 は,直

さ む ２辺 の 上 の 正 方 形(の

図1.5

和)に 等 しい(ピ

タゴ ラ ス(三 平 方)の

角をは

定 理).

と 続 き,第

１巻 の 最 終 命 題48は

命 題47の

  以 下,第

２ 巻 か ら 最 終 第13巻

に い た る ま で,多

を 挙 げ,直

ち に 定 理 と そ の 証 明 が 続 く 「ユ ー ク リ ッ ド 方 式 」 の 数 学 が 展 開 さ れ

て い く.こ

の 際,各

定 理 は,定

れ た 定 理 だ け か ら,ま

義 ・公 準 ・公 理 で 認 め た こ と と,す

で に証 明 さ

非 ユ ー ク リ ッ ド幾 何 の 誕 生

『原 論 』 に も多 くの 不 備 な 点 が あ り,後

が,そ

くは そ の 冒頭 に 必 要 な定 義

っ た く理 論 的 な 推 論 に よ っ て 証 明 さ れ る.

  1.2 

 

逆 と な っ て い る.

世 に い ろ い ろ の 厳 し い批 判 も受 け た

の 批 判 の な か か ら 多 くの 新 し い も の が 生 ま れ る こ と に な っ た.

  と こ ろ で ユ ー ク リ ッ ド の 公 準 ・公 理 の 中 で,第 に 格 段 に 複 雑 で あ る こ とが 目 に つ く.ユ

５公 準 だ け が 内 容 ・形 式 と も

ー ク リ ッ ド 自 身 も,こ

の 第 ５公 準 を な

る べ く使 わ な い よ う に し て い る よ う に も 思 え る と こ ろ が あ る.実

際 ア ラビ ア時

代 か ら 第 ５公 準 を 他 の 公 準・ 公 理 か ら 導 く こ と が で き な い か が 研 究 さ れ て き た が,17世

紀 頃 か ら 本 格 的 に な っ て き た.そ

も の が い ろ い ろ 登 場 し た が,そ

う し た 研 究 か ら,第

５公 準 と同 値 な

の な か の 幾 つ か を 挙 げ て み よ う.

  １) 合 同 で な くて 相 似 な ３角 形 が 存 在 す る.   ２) 長 方 形 が 存 在 す る.   ３) 内 角 の 和 が ２ 直 角 で あ る ３角 形 が 存 在 す る.   ４) 平 面 上 に 交 わ る ２直 線 が あ る と き,こ

れ らに 同 時 に平 行 な 直 線 は存 在 し

な い.   ５) 一 直 線 外 の 任 意 の １点 を 通 っ て,こ る(プ

の 直 線 に 平 行 な 直 線 は 唯 １つ 存 在 す

レ イ フ エ ア(Playfair,1748-1819)).

  ６) ３点 を 通 る 円 が 存 在 す る.   こ の う ち の ５)は,あ

と に 述 べ る 非 ユ ー ク リ ッ ド幾 何 学 と の 対 比 の う え で 最 も

都 合 が よ く,「平 行 線 の 公 理 」 の 名 の も と に,そ 前 項 で 示 し た ユ ー ク リ ッ ド の 命 題32の で,３)は

命 題32か

の 後 広 く採 用 さ れ て い る.ま

証 明 は,こ

た

の ５)を 使 っ た 方 が 簡 単 明 瞭

ら 第 ５公 準 が 得 ら れ る こ と を い っ て い る.

  サ ッ ケ ー リ(Saccheri,1667-1733),ラ ジ ャ ン ド ル(Legendre,1752-1833)な

ン ベ ル ト(Lambert,1752-1777),ル ど 多 くの 先 人 の 結 果 が 結 集 し,や が て19

世 紀 に な っ て ロバ チ エ フ ス キ ー(Lobachevskii,1798-1856)と 1802-1860)と

が,第

５公 準 の 代 わ りに

  ５')一 直 線 外 の 任 意 の １点 を 通 っ て,こ を 採 用 し て も,こ に 示 し た.こ

の 直 線 に 平 行 な 直 線 は 無 数 に 多 くあ る.

こ に 矛 盾 を 含 ま な い 新 し い 幾 何 学 が 建 設 さ れ る こ と を,独

れ が 非 ユ ー ク リ ッ ド幾 何 の 発 見 で あ る.こ

幾 何 を 現 象 空 間 の 幾 何 と 考 え る 立 場 か ら 見 れ ば,異 例 え ば,ユ

ボ リ ア イ(Bolyai,

ー ク リ ッ ド の 命 題32に

立

れ まで の ユ ー ク リ ッ ド

様 な 結 果 も 多 く発 生 す る.

対 し て,

  "３ 角 形 の ３ つ の 内 角 の 和 は ２直 角 よ り 小 さ い" こ と に な り,こ

図1.6 

の よ う な 幾 何 を 双 曲 的 非 ユ ー ク リ ッ ド 幾 何 と よ ぶ.

Ｐ を 通 り Ｌ と平 行 な 直線 は

 

無 数 に 存 在 す る.

  さ らに リー マ ン(Riemann,1826-1866)が

図1.7 

Ｐ を 通 り Ｌ と平 行 な直 線 は

  存 在 しな い.

ゲ ッチ ン ゲ ン大 学 で 行 った 講 演

『幾何 学 の 根 底 に横 た わ る仮 定 につ い て 』(1854)は,空

間 の概 念 そ の もの に大

き な革 新 を もた ら し,こ れ か らの ち の リー マ ン幾 何 学 が 生 まれ る こ とに な っ た の だ が,そ

の 中 に 第 ５公 準 の 代 わ りに

５")一 直 線 外 の 任 意 の １点 を通 っ て,こ れ と平 行 な 直 線 は 存 在 し な い. を 採 用 し て もや は り新 しい 幾 何 学 が 構 成 され る こ と も含 まれ て い た.こ  

の 際,

"３ 角 形 の ３つ の 内 角 の和 は ２直 角 よ り大 きい"

こ とに な り,こ の よ うな 幾 何 を楕 円 的 非 ユ ー ク リ ッ ド幾 何 と よぶ.   こ の よ う に し て 第 ５公 準 を他 の 公 準 ・公 理 か ら証 明 し よ う と した 試 み に終 止 符 が 打 た れ,同

時 に 公 準 ・公 理 の もつ 意 味 ・性 格 が 改 め て 問 わ れ る こ とと な っ

た.公 準 ・公 理 か ら 「自明 な もの 」 あ る い は 「当然 承 認 され る もの 」 と い う意 味 が 薄れ,単

に 「理 論 の 前 提 と して の 仮 定 」 とい う意 味 が 強 くな っ て きた.

  こ う した なか で,デ デ キ ン ト(Dedekind,1831-1916)の

直線上 の点の連続

性 の 公 理(1872),パ

ッシ ユ(Pasch,1843-1930)の順

ペ ア ノ(Peano,1858-1932)の

に 関 す る 公 理(1882),

自然 数 に 関 す る公 理(1889)な

どが 新 しい 思 想

と と もに 次 々 と世 に 出 た.こ の よ うな時 代 背 景 の も とで,ヒ ル ベ ル ト(Hilbert, 1862-1943)の ど は(要

『幾 何 学 の 基 礎 』(1899)が

世 に 出 た.彼 は,「点 ・直 線 ・平 面 な

す る に 定 義 不 可 能 で あ る か ら… … ユ ー ク リ ッ ドの 定 義 を改 め て 参 照 さ

れ た い)無 定 義 要 素 と し て採 用 し,無 定 義 要 素 に 関 す る 幾 つ か の 命 題 を 真 な る もの と仮 定 して 出 発 す る と き,ど の よ うな 事 柄 が 必 然 的 に 得 られ る の か を追 求 す る形 式 的論 理 が 数学 の本 領 」 で あ る と考 え た.こ れ を 「公 理 主義 」 と よぶ が, この 思 想 は 幾何 学 だ け で は な く現 代 数 学 の 隅 々 に まで 浸 潤 して い る.ヒ ル ベ ル トは ユ ー ク リ ッ ド(空 間)幾 何 学 を公 理 的 に 建 設 す る の に 必 要 に し て 十 分 な 公 理 系 と して,結 合 の 公 理 ・順 序 の 公 理 ・合 同 の 公 理 ・平 行 線 の 公 理 ・連 続 の 公 理 の ５群20個

を 挙 げ,さ

らに これ まで に知 られ て い る 基 本 的 な 定 理 な ど と の

相 互 関係 も詳 し く論 じ て い る.

 

1.3  近 世 ・近 代 の 幾 何 学

  ユ ー ク リ ッ ドの 『原 論 』 は 幾何 だ け で は な く代 数 的 な 問 題 も扱 っ て い る こ と は 前 に も述べ た が,こ

こで の 扱 い は幾 何 の 準 備 の色 彩 も濃 く,ま た幾 何 を 用 い

た 議 論 が ほ とん ど で あ る.こ れ は 当 時 まだ代 数 記 号 を もた な か っ た のが 最 大 の 原 因 と思 わ れ る.13世

紀 に な って イ タ リア な ど に イ ン ドの 算 用 数 字が 普 及 し,

計 算 法 ・対 数 な ど が 次 第 に 整 って くる.こ

う して ル ネサ ンス の イ タ リア を通 し

て 代 数学 が 発 達 し,フ ラ ンス の ヴ ィエ 夕(Vieta,1540-1603)の

文字 の導入 に

よ っ て 著 し く近 代 的 な もの に な り,デ カル ト(Descartes,1596-1650)は

代数

に お け る 記号 をほ とん ど現 代 流 の もの に し,幾 何 学 的 な 観 念 か ら独 立 し た 代 数 学 が 誕 生 した.   こ うし た背 景 の も とに,フ エ ル マ ー(Fermat,1601-1665)や

デ カル トは つ い

に座 標 の 概 念 に 到 達 し た.デ カル トは 『方 法 序 説 』 の 中 の 『幾何 学 』(1637)で,   と述 べ,彼

「幾何 学 の 一 般 的 方 法 と し て代 数 学 が 用 い られ る」 の研 究 は の ち に解 析 幾 何 学 と して 結 実 し た.ユ ー ク リ ッ ド幾何 が 解

析 的 に研 究 で き る よ うに な っ た こ とは 画期 的 な こ とで あ った.こ れ に よ って 数

と 図 形 が 別 の も の で は な く,互 し て い る か らで あ る.解

い に 一 方 が 他 方 の 表 現 と も考 え られ る こ と を示

析 幾 何 の 発 展 は,や

ト ン(Newton,1642-1727)や

が て 物 理 学 と も 結 び つ い て,ニ

ラ イ プ ニ ッ ツ(Leibniz,1646‐1716)に

ユー

よ る微

積 分 学 の 発 見 に と つ な が る こ と に な る.   一 方,ル

ネ サ ン ス の イ タ リ ア に お い て は,造

形 美術 が す ば ら しい 発 達 を 遂げ

た が,そ

の 写 実 的 な 芸 術 は レ オ ナ ル ド ・ダ ・ビ ン チ(Leonardo 

1519)や

デ ユ ー ラ ー(Durer,1471-1528)ら

の遠近法 ・ 透 視 図 法 を 生 み 出 し た .射

影 とか 切 断 とい っ た 図 形 の 新 し い 研 究 方 法 は,デ や パ ス カ ル(Pascal,1623-1662)の の 画 法 幾 何 学,さ

da Vinci,1452-

ザ ル グ(Desargues,1593-1662)

円 錐 曲 線 論,モ

ン ジ ユ(Monge,1746-1818)

ら に は ポ ン ス レ ー(Poncelet,1788-1867)ら

に よる 射 影 幾 何

学 へ と発 展 し て い っ た.   ま た,ニ

ユ ー ト ン ら の 曲 率 の 研 究 か ら,オ

イ ラ ー(Euler,1707-1783),モ

ジ ユ ら 多 数 の 数 学 者 に よ っ て 幾 何 学 へ の 解 析 学 の 応 用 が 進 み,ガ 1777-1855)の

『曲 面 に 関 す る 研 究 』(1827)に

ン

ウ ス(Gauss

,

い た っ て微 分 幾 何 学 も確 固 た る

地 位 を 占 め る よ う に な っ た.   ま た オ イ ラ ー に 始 ま る 位 置 の 幾 何 学 も,カ

ン ト ー ル(Cantor,1845-1918)の

集 合 論 やポ ア ン カ レ(Poincare,1854-1912)の 合 っ て 位 相 幾 何 学 へ と 発 展 し,幾

何 学 は"ま

導 入 した代 数的手 法 と関わ り え が き"に

も述 べ た よ う に,い

よ

い よ 多 様 に な っ た.

  ク ラ イ ン(Klein,1849-1925)は,1872年

に エ ル ラ ンゲ ン大 学 に就 職 す る た

め に 自分 の 研 究 計 画 な ど に つ い て 講 演 を 行 い,幾

何 学 に 対 す る 考 え を 述 べ た(通

常,エ

れ は,

 

ル ラ ン ゲ ン-プ ロ グ ラ ム と よ ば れ る).そ 「幾 何 学 と は,あ

る種 の 変 換 群 に よ っ て の 不 変 性 を調 べ る 学 問 で あ る 」

と い う も の で,幾

何 学 の あ る 種 の 本 質 を 暴 き 出 し ,幾

を も た ら し た.そ

の 後 の 空 間 概 念 の 発 展 ・修 正 に よ っ て,ク

何学思 想に画期 的な革命

だ け で 幾 何 学 を 処 理 す る の は と て も不 可 能 と な っ た が ,そ

ラ イ ンの 幾 何 思 想 の 思 想 ・精 神 は 不 滅

の も の で あ る.

  解 析 幾 何 学 の 発 展 の 中 で,ベ

ク トル の 概 念 も 定 着 し,座

標 平 面(空

間)を

ベ

ク トル 空 間 と 考 え る こ と で,そ

の 上 の 変 換 が 行 列 で 捉 え られ る こ とに な っ た .

行 列 を用 い て 表 され る 変換 の 中か ら,あ る特 別 な性 質 を もつ もの を 取 り出 して, こ の ク ラ スの 変 換 に よ っ て 不 変 な 図 形 の 性 質 を研 究 す る幾 何 学 を選 び 出 す こ と に よ り,ユ ー ク リッ ド幾何 とそ の 他 の幾 つか の 幾何(ア 非 ユ ー ク リ ッド幾 何 な ど)と の,ク 確 に 述べ られ る こ と に な った.ベ の公 理 的 構 成 が,ワ

ラ イ ン の思 想 の 意 味 で の 関連 が,比

較 的明

ク トル の 概 念 を 中 心 と して ユ ー ク リ ッ ド幾 何

イル(Weyl,1885‐1955)の

に お け る提 唱 以来,幾

フ ィン幾 何 ・射 影 幾 何 ・

つ か 試 み られ て い る.

『空 間 ・時 間 ・物 質 』(1918)

 ２  基 礎 的 な事 項

こ の 章 で は,本 (定 理)を

書 の 話 を 展 開 す る た め に 必 要 な 用 語 と 記 号 お よび 基 本 的 な 性 質

集 め ま し た.そ

の ほ と ん ど は,中 学 校 まで で 学 ぶ 幾 何 の 知 識 で す か ら,

用 語 や 記 号 な ど を確 認 し なが ら,気 楽 に読 み 進 ん で くだ さい.用 る だ け 標 準 的 な もの を使 うよ うに 努 め ま し た が,意

語や記 号 はで き

識 的 に変 えてあ るもの もあ り

ます. 本 書 は,ユ が,こ

ー ク リ ッ ド の よ う に公 理 的 に 幾 何 を構 成 し て い くつ も りは あ りませ ん

の 章 を 基 礎 に し て,と

き ど き は ユ ー ク リ ッ ド も意 識 し なが ら,全 体 を積 み

上 げ て い こ う と思 い ます.

   

2.1 

  ａ.

直

線

平 面 上 に ２点 Ａ,Ｂ が あ る と き,Ａ

し か な い.こ

の 直 線 を,直

線ABで

の び て い る も の を い う.直   直 線ABの

一 部 分 で,点

Ｂ を そ の 端 点 と い う.線

と

角

と Ｂ を 通 る 直 線 は １本 あ っ て,１

示 す.直

線 と い え ば,ま

本

っ す ぐ に 限 りな く

線 をｌ,ｍ な ど の １つ の 文 字 で 表 す こ と も あ る. Ａ か ら 点 Ｂ ま で の 部 分 を,線

分ABの

長 さ を(AB)で

表 す.こ

分ABと

い い, Ａ と

の 線 分 の 長 さ は,２

点 Ａ,Ｂ の 距 離 で あ る.   直 線ABの 分 を,半

図2.1

一 部 分 で,点

直 線ABと

い う.

Ａ を 端 点 と し, Ｂ を 通 っ て 一 方 に だ け の び て い る 部

  ｂ.

１つ の 点 を 端 点 と す る ２つ の 半 直 線 の つ くる 図 形 が 角 で あ る.角

る ２つ の 半 直 線 を 辺,半 ∠ABCと

表 し,角ABCと

た,∠ABCの

直 線 の 共 通 の 端 点 を 頂 点 と い う.図2.2の 読 む.特

こ と を,単

に 断 ら な い 限 り,小

に,∠Bや

をつ く

よ うな 角 を

さ い 方 の 角 を 示 す.ま

∠bと 表 す こ と も あ る.

図2.2

  ∠ABCの

大 き さ(=角

度)を,(∠ABC)で

と き は,(∠ABC)を(∠B)や

  ｃ.

表 す,ま

た,混

２ つ の 直 線〓 と ｍ が １点 で 交 わ る と き,図2.3の

き る.こ

乱 のおそれが ない

Ｂ で 表 す こ とが あ る.

の う ち,∠aと

∠c,∠bと

よ う に,４

つの角が で

∠dを 対 頂 角 と い う.

  (１)対 頂 角 は 等 し い ；(∠ａ)=(∠c),(∠b)=(∠d）.

図2.4

図2.3

  右 上 の 図2.4で,(∠ａ)=(∠ｂ)で

あ る と き,こ

い い,∠Rま

の と き,対

た は,90。

  で あ る.ま

で 表 す.こ

(∠ａ)=(∠ た,直

ｂ)=(∠

の 角 の 大 き さ(∠a)を

直角 と

頂角の性 質か ら

ｃ)=(∠ｄ）=∠Ｒ

線 乏 と ｍ は 垂 直 で あ る,ま

た は,直

交 す る と い い,

 〓⊥m で 表 す.ま

た,〓 ⊥mで

あ る こ と を,図

の 上 で は,交

点 の と こ ろ に カギ 形 を 付 け

て 示 す こ と が 多 い.   さ ら に ま た,〓

と ｍ は,互

い に 他 方 の 垂 線 で あ る と も い う.

  ｄ.

２ つ の 直 線ｌ と ｍ が 共 有 点 を も た な い と き,平

行 で あ る と い い,

 l‖m で 表 す.

図2.5 

  右 図2.6の

平行線

図2.6 

よ う に,２ 直 線ｌ,ｍ に,直

線ｎ が 交 わ っ て い る と き,∠aと

よ う な 位 置 に あ る ２ つ の 角 を 同 位 角 と い う.∠bと も,そ

れ ぞ れ,同

  ま た,∠cと

同 位 角 ・錯 角

∠f,∠cと

∠eの

∠g,∠dと

∠h

位 角 で あ る.

∠eの

よ う な 位 置 に あ る ２つ の 角 を 錯 角 と い う.∠dと

∠fも 錯

角 で あ る.   同 位 角,錯

  ｅ.

角 を 用 い る と,平

平 行 線 の 性 質,平

交 わ る と き,次   １) l‖mな  

行 線 に な る 条 件   ２ つ の 直 線ｌ,ｍ

の こ と が 成 り立 つ. ら ば,同

位 角 は 等 し い.

１組 の 同 位 角 が 等 し い な らば,l‖m.

  ２) l‖mな  

行 な 直 線 を 特 徴 付 け る こ とが で き る.

らば,錯

角 は 等 し い.

１組 の 錯 角 が 等 し い な ら ば,l‖m.

図2.7 

平 行 条件

に １つ の 直 線ｎ が

  ｆ. 下 の 図2.8の

よ うに,直 線〓 と,〓 上 に は ない １点 Ｐ が あ る.こ の と き,

Ｐ を通 って〓 と平 行 な 直 線 ｍ が た だ １つ あ る(１ 章 の 平 行 線 の 公 理 を 参 照).   また,Ｐ

を通 って〓 に垂 直 な 直 線 が た だ １つ あ る.こ の 直 線 と〓 との 交 点 Ｈ

を 垂線 の 足 と も い う.こ の と き,線 分PHは,点

Ｐ と〓 上 の 点 を結 ぶ 線 分 の う

ち で 最 も短 い.こ の 線 分PHの

Ｐ と直 線 乏の 距 離 とい う.こ

長 さ(PH)を,点

れ は また,直 線〓 と 直線 ｍ の 距 離 で もあ る.

図2.8 

平行線

  ｇ. 数 直 線 と座 標 平 面   実 数 全体 の 集 合 をＲ で 表 す.直 線 上 に ０に 対 応 す る 点 Ｏ(原 点)と

１に対 応 す る 点 Ｅ を指 定 す る と,実 数 全 体 と こ の 直 線 上 の 点 は

１対 １に 対 応 す る.そ

こで,こ

の 直線 を もＲ とみ な し,数 直 線 とい う.本 書 で

は,実 数 に つ い て 深 入 り しな い が,そ あ る.

図2.9 

図2.10 

数 直線

座標平 面

の 基本 的 な 性 質 の 一 部 を 使 用 す る こ とが

  平 面 上 の １点 Ｏ で,互 い に 直 交 す る ２つ の 数 直 線 を定 め る.こ の と き,２ つ の 数 直 線 を座 標 軸 と い い,そ れ ぞ れｘ 軸,ｙ 軸 とい う.ま た ,点 う.す る と,平 面 上 の 点 は,そ

Ｏ を原 点 とい

の 点 のｘ 座 標 とｙ 座 標 の 組 に よ って 表 され る.

こ の よ うに,座 標 が 決 め られ て い る 平 面 を座 標 平 面 と い う.  座 標 平 面 で は,実 数 の 性 質が 利 用 で き,ま た ２次 元 ベ ク トル 空 間 と み な す こ とで 多 くの 利 点 が あ るが,本

書 で は 基 本 的 に座 標 は使 用 し な い.

 た だ し,平 面 を何 か の 記 号 で 表 す 必 要 が 生 じ た 際 に,平 面 Ｐ と表 示 す る.

  2.2 

  ａ.

多 辺 形 と多 角形

平 面 上 にｎ 個 の 相 異 な る 点A1,A2，A3，

  こ の と き,n-1個 とAnを

…,Anが

の 線 分A1A2,A2A3,…

，An-1Anか

結 ぶ)折 線 と い い,各Ai(i=1,2,…

，n)をＬ

(i=2,3,…

ら な る 図 形Ｌ の 頂 点,各

，An)の

共 通 の 頂 点Ai以

ど の ２辺 に つ い て も,隣

外 に は,共

を(A1

線 分Ai

，n)を Ｌ の 辺 と い う.必 要 が あ れ ば, Ｌ を 折 線L(A1,A2，

と 書 く.折 線Ｌ(A1,A2,… とAiAi+1の

あ る.

…

-1Ai ，An)

り 合 う 辺Ai

有 点 を も た な い と き ,特

-1Ai

に単純折 線

と い う.

図2.11 

  さ ら に,ｎ

個 の 線 分A1A2,A2A3,…

折 線 と い い,各Aiを ば,Ｃ

(一 般 の） 折 線(左)と

をC(A1,A2，

  ｎ 個(n〓3)の

，An)と

線 分Ai-1Aiを

ら な る 図 形Ｃ

そ の 辺 と い う.必

を閉

要が あれ

書 く.

線 分 か ら な る 閉 折 線Ｃ

点 が 高 々 １点 で あ る と き(つ ｎ 辺 形 と い い,ｎ

，An-1An,AnA1か

そ の 頂 点,各 …

単 純 折 線(右）

の ど の ２ 辺 に つ い て も,そ

ま り,共 有 点 が １個 か,共

辺 形 を 総 称 し て 多 辺 形 と い う.

れ らの 共 有

有 点 が な い と き),Ｃ

を

 ｎ 辺 形Ｃ

に お い て,そ の ど の ２辺 に つ い て も,隣

り合 う ２辺 の 共 通 の 頂 点

以 外 に は,共 有 点 を もた な い と き,Ｃ を単 純 閉折 線,ま

た は,単 純ｎ 辺 形 とい

い,単 純 ｎ辺 形 を総 称 して,単 純 多辺 形 と い う.   単 純 多 辺 形 に対 して,単 純 で ない 多 辺 形 を,交 差 多 辺 形 と い う こ とが あ る.

図2.12 

  ｂ.

(一 般 の)閉

図2.13 

折れ線

5辺 形

定   理   平 面 上 の 単 純 ３辺 形C=C(A,B，C)は,平

面 を 内部 と よば れ

る有 界 領 域 と,外 部 と よば れ る非 有 界 領 域 とに 分 割 す る.   そ こ で,単 純 ３辺 形Ｃ とそ の 内 部 と を合 わ せ た 図 形 を,Ｃ を境 界 とす る ３角 形 とい い,△ABCで

表 す.

  こ れ は"あ た り まえ"と

もい え る 定 理 で は あ るが,き

ちん と証 明 し よ う とす

る と,「平 面 上 の ２点 を結 ぶ 線 分(直 線)は た だ １つ に 限 る(2.1節 他 に,い

ａ)」こ との

くつ か の 重 要 な 事 実 を使 わ な け れ ば な ら な い.ま ず,「領 域 」 と 「分 割

す る 」 とい う言 葉 の 定 義 か ら始 め る.   ｃ. 平 面 Ｐ の 部 分 集 合 Ｄ が 領 域 で あ る と は,Ｄ

の 任 意 の ２点 Ａ,Ｂ に 対 し

て,Ａ ，Ｂ を結 ぶ 折 線 が Ｄ 内 に とれ る場 合 を い う.領 域 Ｄ が 有 界 で あ る と は, Ｄが 原 点 を 中 心 と す るあ る半 径 の 円 盤 内 に含 まれ る と き を い う.   特 に,領 域 Ｄ が 凸 で あ る とは,Ｄ

の 任 意 の ２点 Ａ,Ｂ に対 して,線 分ABが

Ｄ 内 に あ る 場 合 を い う.   (１)  ２つ の 凸領 域 Ｄ,Ｅ の 共 通 部 分D∩Eも

また 凸 領 域 で あ る.

  平面 Ｐ 内 の 図 形 Ｘ が,平 面 をい くつ か の 領域 に 分割 す る とは,P-Xが,互 い に 共 有 点 を もた な い い くつか の 領 域 に な る こ とで あ る.こ れ は,異 に属 す る 点 を結 ぶ 折 線 は,必 ず Ｘ と交 わ る こ とを 意味 す る.

なる領域

  ｄ.

(１)  平 面 上 の直 線 は,平 面 を ２つ の 凸領 域(半 平 面 と い う)に 分 割 す る.

  これ は,「数 直 線 上 の １点 Ｐ は,数 直 線 を ２つの 半 直 線 に分 割 す る 」 に 対 応 す る もの で,「パ ッシ ユ の公 理 」 と し て 知 られ て い る.平 面 を座 標 平 面 と し,そ の 上 の 直 線がｘ とｙ の １次 方 程 式 で 表 され る こ とを 認 め る と,こ れ は 自 明 の 事 実 とな る.   平 面 上 に,３ 点 Ａ,Ｂ，Ｃ を頂 点 と す る 単 純 ３辺 形 が あ る と き,３ 本 の 直 線 AB，BC,CAは

平 面 を ７つ の 凸領 域 に 分 割 す る.こ の う ちの １つが 有 界 で,こ

れ が ３辺 形Ｃ が 分 割 す る 内部 領 域 で あ り,３ 直線AB，BC,  CAが

分 割 す る ３つ

の 半 平 面 の 共 通 部 分 で あ るか ら,凸 で あ る.

図2.14

  (２)平面 上 の 半 直 線 ・線 分 ・単 純 折 線 は,い ず れ も,平 面 を分 割 しな い.   ｅ. 定

理   平 面 上 の 単 純 ｎ 辺 形Ｃ は,平 面 を 内 部 と よば れ る有 界 領 域 と,

外 部 と よば れ る 非 有 界 領 域 とに 分 割 す る.   単 純ｎ 辺 形C=C(A1,A2,…

，An)と,そ

Ｃを境 界 と す るｎ 角 形 とい い,Ⅱ=Ⅱ(A1,A2， 頂 点 と辺 をそ の ま ま このｎ 角 形Ⅱ の 頂 点,辺

の 内 部 領 域 を 合 わ せ た 図 形 を, …   ,An)で

表 す.ま た,Ｃ

の

と い う.ｎ 角 形 を総 称 し て,多 角

形 とい う.   多 角 形 は 領 域 で あ る.領 域 と して 凸 で あ る多 角 形 を 凸多 角形 とい う.３ 角 形 は す べ て 凸 で あ る.   本 書 で は,３ 角 形 と と もに ４角 形 が 何 度 も登 場 す る.そ こで,４ 点 Ａ,Ｂ，Ｃ,Ｄ を頂 点 とす る単 純 ４辺 形C(A,B， 表 す こ とが 多 い.

  C,D)を

境 界 とす る ４角 形 を 特 に □ABCDで

  さて,上 の 定 理 で あ るが,こ れ は 「ジ ヨル ダ ン(Jordan)の よば れ る位 相 幾 何 学 の 有 名 な 定 理 の,"閉

曲線"が 単 純 閉 折 線 で あ る場 合 に相 当

す る.証 明 は 難 し くな い が,そ れ な りに複 雑 で 長 い の で,7.1節 に して,こ

閉 曲線 定 理 」 と

で 与え るこ と

こ で は そ の ま ま認 め る こ とに す る.

 

2.3 

円 周 ・円 ・円 盤

  ａ． 平 面 上 で,１ 点Ｏ か ら一 定 の 距 離ｒ に あ る 点 全 体 か ら な る図 形 Ｓ を 円 周 ま た は 円 とい う.こ の と き,点Ｏ

を 円周 ま た は 円 の 中 心,中 心 と 円周 上 の 点

を結 ぶ 線 分 を半 径 とい う.半 径 の 長 さ ｒの こ と を 単 に 半 径 と もい う.

図2.15 

  円 周(円)Ｓ

円周

を表 す に は,そ の 中心Ｏ と半 径 ｒ を明 示 し て Ｓ(O,r),あ

は,そ の 中心Ｏ を明 示 してＳ(O)な   円 周(円)に

るい

ど の 記 号 を用 い る.

つ い て は,４ 章 で詳 し く論 ず るが,平

面 幾何 に お い て 基 本 とな

る 図 形 の １つ で,そ れ まで に も しば しば 登 場 す る の で,こ

こ で 簡 単 に触 れ て お

くこ とに す る(実 際,有 界 の 定 義 に お い て,す で に用 い た).   ｂ.

平 面 上 の 円 周Ｓ(O,r)は,平

面 を 内部 と よば れ る有 界 領 域 と,外 部 と よ

ば れ る 非 有 界 領 域 と に分 割 す る.   円 周S=Ｓ(O,r)と い,Ｄ(O,r)で

この 内部 を合 わせ た 図 形 を(Ｓ を境 界 とす る)円 盤 とい

表 す.点Ｏ

を そ の 中 心 とい い, Ｓの 半 径ｒ をそ の半 径 とい う.

  円 周 Ｓ(O,r)が 平 面 を分 割 す る こ とは 「ジ ヨル ダ ンの 閉 曲線 定 理 」 を も ち出 す まで も な く明 らか で,内 部 は Ｏ か ら の 距 離 が ｒよ り小 さい 点 の 全 体 で あ り, 外 部 は Ｏ か らの 距 離 が ｒよ り大 きい 点 の 全 体 で あ る.

  注 意  通 常,「円」は 円周 と円盤 の両方 の意味 に使われ るが,本 書 では 円盤 の意味 に は使用 しな い.ま た,円 周 の意 味で もな るべ く使用 しな い方針 でい くが,「外接 円 」な どの慣用 的 な表現 を 「外 接 円周」 とい うの も抵抗が あ るので,慣 用 に従 った と ころ も 多 い.   ｃ. 平 面 上 で は,２ 点 を与 え る とそ の ２点 を 通 る 直 線が た だ １つ 定 ま る.こ れ に対 応 し て,円 周 を特 徴 付 け る こ とが で きる.そ の た め に,少

し準 備 を す る.

  線 分AB上

Ｍ を線 分AB

の 点 Ｍ に つ い て,(AM)=(BM)で

の 中 点 とい う(中 心 と は い わ な い).中 分ABの

あ る と き,点

点 を 通 って 直 線ABに

垂 直 な直線 を線

垂 直 ２等 分 線 とい う.

図2.16  線分の垂直 ２等分線 とその作 図法

  線 分ABの (AB)/2よ

垂 直 ２等 分 線 は,図2.16の

よ うに,点

Ａ,Ｂ を 中心 と し,半 径 が

り大 きい 円周 を描 き,そ れ らの 交 点 を 結 ぶ 直 線 を描 け ば よ い.

  この 直線 が 確 か に 線 分ABの

垂 直 ２等 分 線 で あ る こ との 証 明 に は,直 角 ２等

辺 ３角 形 の 合 同条 件 が 必 要 で あ るが,こ

れ は 次 の ３章 で 示 す こ とに し て,先 に

進 む こ と に す る.こ の 事 実 を認 め る と,次 が わか る.   ｄ. 線 分ABの た,点

垂 直 ２等 分 線 上 の 任 意 の 点 は Ａ と Ｂ か ら等 距 離 に あ る.ま

Ａ と 点 Ｂ か ら等 距 離 に あ る点 は,線 分ABの

垂 直 ２等 分 線 上 に あ る.

  ｅ. 定 理(円 周 の 特 徴 付 け)  平 面 上 に,１ 直 線 上 に は な い ３点 が 与 え られ る と,こ の ３点 を通 る 円 周が １つ あ っ て,１ つ しか な い.   証 明   １直 線 上 に な い ３点 Ａ,Ｂ，Ｃ を 通 る 円周 が あ った と し,そ の 中 心 を Ｏ とす れ ば,  (OA)=(OB), 

(OA)=(OC)

だ か ら,点Ｏ

は線 分AB，ACの

垂 直 ２等分 線 上 に あ るは ず で あ る.そ こ で,線

分AB，   ACの

垂 直 ２等 分 線 を引 く.２ 直線AB，ACは

点 Ａ で 交 わ るの で,こ れ

らの 垂 直 ２等 分 線 は必 ず 交 わ り,そ の 交 点 Ｏ を 中 心 と し て(OA)を 円周 を描 け ば,こ

図2.17 

半 径 とす る

れ は 点 Ａ,Ｂ，Ｃ を 通 る.

外接 円

  また,線 分AB，ACの

垂 直 ２等 分 線 の 交 点 は １つ しか な い か ら,こ の よ うな

点 Ｏ は １つ しか ない. 〓(証

明 終 り)

 問   １直 線 上 の ３点 を通 る 円 周 は ない こ とを確 か め よ.   ３角 形 の ３頂 点 を通 る 円 周 を,３ 角 形 の 外 接 円 と い い,そ う.上 の 証 明 で,点

Ｏ は △ABCの

外 心 で あ る.ま た,上

の中心 を外心 とい の 証 明 で,線

分BC

の 垂 直 ２等 分 線 も外 心 Ｏ を通 る.こ れ ら を 次 に ま と め て お く.   ｆ. 定 理(３ 角 形 の 外 心 と外 接 円)  ３角 形 の ３辺 の 垂 直 ２等 分 線 は １点 で 交 わ り,そ の 点 は ３頂 点 か ら等 距 離 に あ る.こ の 点 が こ の ３角 形 の 外 心 で あ る.   一般 に,平 面 上 の 多 辺 形Ｃ の すべ て の 頂 点が あ る 円周Ｓ 上 に あ る と き,Ｓ を Ｃの外 接 円 と い い,逆

に,Ｃ

  本 書 で は,前 節(2.2節 定 義 した.こ   ｇ. 例

はＳ に 内接 す る とい う.

ａ)に お い て,通 常 よ り も一 般 的 なか た ちで 多 辺 形 を

こ で,多 辺 形 の感 覚 をつ か む た め に,１ つ の 例 題 を与 え る.

題  １つ の 円周Ｓ 上 に ６点 を与 え る.こ れ らの 点 を順 次 線 分 で 結 ぶ

こ と に よ り閉折 線 を つ くる.こ れ ら ６点 の ど の ３点 も同 一 直 線 上 に は な い の で, これ ら の 閉 折 線 はす べ て ６辺 形 で,Ｓ に 内接 す る.さ て,こ の よ うな ６辺 形 は い くつ あ る か.

  解   １つ の ６ 辺 形 が 与 え ら れ た と き,そ

の ６ 頂 点 の う ち の １つ を Ａ と し,Ａ

と 結 ば れ る ２辺 の う ち の 一 方 の 端 点 を Ｂ と し,残 て い け ば,こ

の ６ 辺 形 を Ｃ(A,B，C,D,E,F)と

６ 通 りで Ｂ の 選 び 方 が ２ 通 りだ か ら,12通

り を ア ル フ ァ ベ ッ ト順 に 決 め

命 名 す る 仕 方 は,Ａ りに な る.

  ６点 に,Ａ ，Ｂ，Ｃ,Ｄ,Ｅ,Ｆ と い う名 前 を 付 け る と す る と,そ 通 りで あ る.ど

の 付 け 方 に 対 し て も,こ

ぶ と ６辺 形Ｃ(A,B，C,D,E,F)が

の 付 け 方 は6!=720

の 順 に 線 分 で 結 び,最

決 ま る.よ

っ て,与

後 に Ｆ と Ａ を結

え ら れ た ６点 に よ っ て 定

ま る す べ て の 相 異 な る ６ 辺 形 の 数 は,720/12=60個 純 ６ 辺 形 は,円

の選び方が

に な る.な

周 に 沿 っ て 順 に 結 ん だ １つ だ け で,残

り の59個

お,こ

の うち 単

は 交 差 ６辺 形

で あ る.

図2.18 

円 に 内接 す る ６辺 形

 問   円周 上 に ５点 が 与 え ら れ て い る.(上 の 例 題 に な ら って)こ

の ５点 を頂 点

とす る ５辺 形 はい くつ あ るか 調 べ よ.さ らに,そ れ らを すべ て 描 きあ げ て み よ (答 は12個).   ｈ. 平 面 上 に 円周Ｓ と直 線ｌ が あ る と き,こ れ らの 位 置 関 係 は,共 有 点 の 個 数 に よ って,次

の ３つ の 場 合 に分 け る こ とが で きる.

  (１)  共 有 点 が な い.   (２)  １点 を 共 有 す る  … 円 周Ｓ と直 線ｌ は 接 す る.   (３)  ２点 を共 有 す る  …

図2.19

円 周Ｓ と直 線ｌ は 交 わ る.

  こ こ で(２)の

場 合,直

線〓 を 円 周Ｓ

の 接 線 と い い,共

  点 Ｏ を 中 心 と す る 半 径 ｒの 円 周S=S(O,r)と,直 ら〓 に 下 ろ し た 垂 線 の 長 さ を ｈ と す る と,次  

h>r, 

線〓 に つ い て,点

h=r,  対 応 し て い る.つ

h
の(１)∼(３)に

  (１)h>r 

⇔Sと〓

は 共 有 点 を も た な い.

  (２)h=r 

⇔Sと〓

は 接 す る.

  (３)h
⇔Sと〓

は 交 わ る.

(ｌ) 

Ｏ か

の ３ つ の 場 合 が あ る.

  こ れ ら が,上

図2.20 

有 点 を 接 点 と い う.

ま り,次

(２) 

が 成 り立 つ.

(３)

  円 周 と そ の 接 線 に つ い て は,次 の こ とが わ か る.  ｉ．   円周 の 接 線 の 性 質  (１)円 周 の 接 線 は,接

点 を通 る 半 径 に垂 直 で あ る.

  (２)円 周 上 の １点 Ｔ を通 り,Ｔ を端 点 とす る半 径 に 垂 直 な直 線 は,こ の 円 周 の接 線 で あ る.

図2.21

図2.22

  円 周S(O)の

外 部 の 点 Ａ か ら,そ

そ れ ら の 接 点 を Ｔ,T'と

す る と,上

の 円 周 に ２ つ の 接 線 が 引 け る(図2.22). の 円周 の接 線 の 性 質 と次 の 章 の 直 角 ３角 形

の 合 同 条 件(3.3節

ｂ)を 用 い る こ と に よ っ て,(AT)=(AT')で

か る.こ

接 線 の 長 さ と い う こ と が あ る.

の(AT)を

あ る こ とが わ

  2.4 

図 形 の 移 動 と合 同

  ａ． 平 面 上 に お い て,図 形 の 形 と大 き さを 変 え な い で,位 作 を移 動(ま

た は,運 動)と  

置 だ け を 変 え る操

い う.基 本 とな る移 動 に は,

平 行 移 動, 

回転 移動, 

対称移動

の ３つ が あ る.   (１)平行 移 動:平 面 上 で,図 形 を一 定 の 方 向 に,一 定 の 距 離 だ け ず ら して,そ の 図 形 を移 す こ とを 平 行 移 動 とい う.   こ の 際,一 定 の 方 向 を矢 印 で,一 定 の 距 離 をそ の 矢 線 の 長 さ で 示 す と わ か り や す い.

図2.23 

平行 移動

  (２)回転 移 動:平

面 上 で,図 形 を,１ つ の 点 Ｏ を 中 心 と し て ， 一 定 の 角 度 だ

け まわ し て,そ の 図 形 を 移 す こ とを 回 転 移 動 とい う.   この と き,中 心 と した 点 Ｏ を 回 転 の 中 心 とい う.

図2.24 

回転移動

  (３)対 称 移 動:平 面 上 で,図

形 を,１ つ の 直 線〓 を 折 り目 と し て折 り返 し て,

そ の 図 形 を 移 す こ と を対 称 移 動 とい う.   こ の と き,折

図2.25 

り目 と し た 直線〓 を対 称 軸 と い う.

対称移動

  図 形 Ｋ が,直 線〓 を 対 称 軸 とす る対 称 移 動 に よ って,図 形K'に Ｋ とK'は

重 な る と き,

直 線 乏に 関 し て対 称 で あ る とい う.ま た,図 形 Ｋ が 直 線〓 を対 称 軸

とす る対 称 移 動 に よっ て 自 身 Ｋ に 重 な る と き,Ｋ る とい う.円 周 や 円 盤 は,そ   (４)練習:次

は 直 線〓 に 関 して 対 称 で あ

の 中 心 を 通 る直 線 に 関 し て対 称 で あ る.

の 図 を参 考 に して,平 行 移 動 と回 転 移 動 は,そ れ ぞ れ,２ 回 の対

称 移 動 で 実 現 で き る こ と を確 か め な さい.

図2.26

  (５)平 行 移 動,回 転 移 動,対

称 移 動 の ３つ を適 当 に 組 み 合 わせ て 使 う と,平

面 上 の 図 形 は ど の よ うな位 置 に で も移 す こ とが で きる.   平 面 上 の ２つ の 図 形 Ｋ とK'は,有

限 回 の 移 動 に よ っ て一 方 を他 方 に重 ね 合

わせ る こ とが で き る と き,合 同 で あ る とい い,K≡K'で   移 動 の 際 に,奇

示 す.

数 回 の 対 称 移 動 を使 う と,図 形 は い わ ゆ る 裏 返 し に な る.２

つ の 合 同 な 図形 Ｋ とK'を て)使 用 す る と き,Ｋ

重 ね 合 わ せ る 際 に,対 称 移 動 を偶 数 回(０ 回 も含 め

とK'は

「表 向 きの 合 同 」,奇 数 回 使 用 す る と き 「裏 向

きの 合 同 」 と い っ て,区 別 す る こ とが あ る.

  ２つ のｎ 角 形Ⅱ(Al,A2,…,An)とⅡ(B1,B2,…,Bn)が

合 同 で あ る と き,

そ れ ら の 頂 点 は 重 ね 合 わ せ た と き に 対 応 す る 順 に 並 べ る こ とが 多 い.

図2.27 

合 同 な ４角 形:□ABCD≡

□EFGH≡

□IJKL

  (６)合 同 な 図 形 で は,対 応 す る線 分 の 長 さ は等 し く,ま た,対 応 す る角 の 大 き さは 等 し い.さ

ら に,面 積 も等 し い.

  ｂ. ３角 形 の 合 同   合 同 な 図形 で は,対 応 す る辺 の 長 さや 角 の 大 き さが 等 し い だ け で は な く,面 積 な どい ろ い ろ な 性 質 や 計 量 が 同 じで あ る.   とこ ろ で,２ つ の 図 形 に つ い て,す べ て の性 質 や 計 量 が わ か らな くて も,「あ るい くつ か の 性 質 や 計 量 が 等 し い 」 こ とが わ か れ ば,合

同で あ る と 断 定 で き る

場 合 が あ る.こ の と き,「… 」 を合 同 条 件 と い う.   こ こで は,３ 角 形 の 合 同条 件 を 調べ て み る.   い ま,△ABCと

△DEFが

合 同 で あ る とす る.こ れ を 重 ね 合 わせ る と き, Ａ

と Ｄ,Ｂ と Ｅ, Ｃ と Ｆ が 重 な る とす れ ば,  

(BC)=（EF), 

(CA)=（FD), 

(AB）=（DE)

 

(∠A)=（ ∠D), 

(∠B)=（ ∠E), 

(∠C)=（ ∠F)

表向 きの合同

裏 向きの合 同

図2.28

  さ て,△ABCが

あ り,も

う １つ の △DEFが

あ る と す る.

  ① (BC)=(EF),(AB)=(DE),(∠B)=(∠E)と,２ ぞ れ 等 し く,そ

つ の 辺 の 長 さが そ れ

の 間 の 角 の 大 き さが 等 し い と い う 条 件 が 与 え ら れ た と す る.こ

の 条 件 を 満 た す ３ 角 形 は,下 角 の 条 件 か ら,こ

の 図2.29の

の ２つ の ３角 形 は,直

移 動 し て,辺EFを

辺BCに

と 同 じ 側 に あ る 方 は △ABCと

よ う に,２ 線EFに

重 ね る と,２

通 り 存 在 す る.こ

の と き,

関 し て 対 称 で あ る.△DEFを

つ の ３ 角 形 の う ち,頂

重 な る ；△DEF≡

点 Ｄ が頂点 Ａ

△ABC.

図2.29

  ② (BC)=(EF),(∠B)=(∠E),(∠C)=(∠F)と,１

つ の 辺 の 長 さが 等

し く,そ の両 端 の 角 の 大 き さが それ ぞ れ 等 しい と い う条件 が 与 え られ た とす る. す る と,こ の 条 件 を満 た す ３角 形 は 図2.30の 合 も角 の 条 件 か ら,こ の ２つ は 直線EFに て辺EFを

辺BCに

に あ る 方 は △ABCと

よ うに,２ 通 り存 在 す る.こ の 場

関 して 対 称 で あ る.△DEFを

重 ね る と,２ つ の △DEFの 重 な る ；△ABC≡

移動 し

うち頂 点 Ｄ が 頂 点 Ａ と同 じ側

△DEF.

図2.30

 ③ (BC)=(EF),(AB)=(DE),(CA)=(FD)と と い う 条 件 が 与 え ら れ た と す る と,こ

３つ の 辺 の 長 さが 等 し い の 条 件 を 満 た す △DEFは,下

の 図2.31

の よ うに,２ 通 り存 在 す る.△DEFを せ て み る.頂 点 Ｄ が 直 線BCに に 重 な る ；△ABC≡ と Ａ は 直 線BCに 要で,証

明 は3.2節

移 動 させ て ,辺EFを

辺BCに

重 ね合 わ

関 して 頂 点 Ａ と同 じ側 に あ る と き は ,Ｄ は Ａ

△DEF.頂

点 Ｄ が 頂 点 Ａ と反 対 側 に あ る と き,実 は Ｄ

関 し て対 称(こ

の事 実 の 証 明 に は ,２ 等 辺 ３角 形 の 性 質 が 必

ｄで 与 え る),し たが って △ABCと

関 し て 対 称 と な り,△ABC≡

△DEFが

△DEFは

直 線BCに

結 論 され る.

図2.31

  上 の ３つ は よ く知 られ た ３角 形 の 合 同 条 件 で,定

理 と し て 述べ る と,次 の よ

うに な る.   ｃ. 定 理(３ 角 形 の 合 同 条 件)  ２つ の ３角 形 は,次

の 各 場 合 に 合 同 で あ る.

  ① ２辺 の 長 さ とそ の 間の 角 の 大 き さが 等 し い と き.   ② １辺 の 長 さ とそ の 両 端 の 角 の 大 き さが 等 し い と き.   ③ ３辺 の 長 さが,そ

れ ぞ れ 等 し い と き.

  注意  ３角形 の合同 条件 ③ は,３ 辺 の長 さが与 え られ ると,３ 角形 の形が 決 まるこ と を意 味 してい る.多 角形 の中で,辺 の長 さだ けで その形 が決 まるの は ３角形 だけで あ る.３ 角形 につ いて は,次 の ３章で 詳 し く論ず る.

図2.32 

４ 辺 形 は 変 形 す るが(左)梁

を入 れ る と 変 形 しな い(右).

  2.5 

作 図 と作 図題

  前 節 で ３角 形 の 合 同 条件 を 導 く際 に,定 木 とコ ンパ ス を用 い て い る.図 を描 くに は,定 木,コ ンパ ス,三 角 定 木,も の さ し,分 度 器 な ど の 道 具 を使 うが,幾 何 学 で は定 木 と コン パ スだ け を使 っ て 図 を描 くこ とが,作 シ ャか ら研 究 され て きた.詳

図題 として古代ギ リ

し く述べ る と次 の よ うに な る.

  図形 を描 くに 際 し て は,定 木 と コ ンパ ス だ け を使 い,   (１)定木 は,与 え られ た ２点 を結 ぶ 直 線(半 ユ ー ク リ ッ ド の 公 準 １ を 参 照)に

直 線 ・線 分)を

引 くこ と(１ 章,

の み 用 い る.

  (２)コ ンパ ス は,与 え られ た 点 を 中 心 と し て,与 え られ た 半 径 の 円 周 を描 く こ と(１ 章,ユ

ー ク リ ッ ドの 公 準 ２を 参 照)に

の み 用 い る.

  (３)定 木 と コ ンパ ス の使 用 は 有 限 回 に 限 る.   以 上 の ３つ の 制 約 を作 図 の 公 法 と い う.作 図 の 公 法 に従 っ て,与

え られ た 条

件 を満 たす 図 形 を描 く手 法 を 問 う問 題 を(幾 何 的)作 図題 とい う.作 図題 を 「解 く」 とは,定 木 と コンパ ス を有 限 回用 い て 直 線 や 円周 を描 いて,直 線 と直線,直 線 と円 周,円 周 と円 周 の 交 点 を 求 め る こ とに よ って,次

々 と点 を定 め,条

件に

合 う図 形 をつ くる こ とで あ る.   なぜ 定 木 と コ ンパ ス な の か,そ

れ らの 使 用 は 有 限 回 に 限 る とは ど うい う こ と

か ， な ど い ろい ろ疑 問 もあ るが,本

書 で は本 格 的 な作 図題 は 取 り扱 わ な い.し

か し,次 の よ うな 基 本 的 な作 図 法 は,存 在 定 理 も兼 ね て い る.こ れ ら の 作 図 法 が 確 か に条 件 を 満 た して い る こ とは,次

図2.33 

の ３章 の 定 理 か ら容 易 に わか る.

点 Ｐ か ら 直 線〓 に 垂 線 を引 く. 

角の ２等 分 線

  2.6 

命 題 ・論 証 ・記 号

  こ の 章 の 最 後 に,論 証 や 記 号 な ど に つ い て,ま

た 本 書 の 構 成 な ど に つ い て,

説 明 を兼 ね て ま とめ て お く.   ａ. 一 般 に,正

しい か 正 し くな い か が は っ き り決 ま る こ とが ら を述 べ た 文 や

式 を命 題 とい う.あ る命 題 が 正 しい と き,そ の 命 題 は 真 で あ る とい い,正

しく

な い と き,そ の 命 題 は 偽 で あ る と い う.   数 学 で は,ほ と ん ど の命 題 は真 で あ り,定 理 の か た ちで 与 え られ る.ま た,定 理 が 真 で あ る こ と の理 由 を明 らか にす る のが 証 明 で あ って,証

明 され た命 題 が

定 理 なの で あ る.   数 学 の 命 題 は,２ つ の 条 件 ｐ とｑ に つ い て,   「ｐ な らば ｑで あ る」 のか た ち に 述 べ られ る もの が 多 い.こ の と き,ｐ を この 命 題 の仮 定,ｑ を結 論 と い う.こ の 命 題 を,次 の 記 号 を使 って 表 す こ と もあ る.  

「p⇒q」

  実 際,こ の 章 で もす で に この 記 号 を使 った とこ ろが あ る.記 号 ⇒

を使 った

方 が 明 快 な場 合 に は,こ の あ と も しば しば 使 用 す る.   命 題 「p⇒q」

が 偽 で あ る こ と を証 明す る に は,「ｐで あ るが ｑで な い 」 とい

う例 を １つ あ げ れ ば よい.こ

の よ うな例 を反 例 とい う.

  ｂ. ２つ の 条 件 ｐ と ｑに つ い て,   (１)  「ｐ か つ ｑ」 とい うの は,ｐ と ｑが と も に成 り立 つ こ とで あ り,   (２)  「ｐ また は ｑ」 とい うの は,ｐ と ｑの 少 な くと も一 方が 成 り立 つ こ とで あ る.   特 に(２)に つ い て は,日

常 的 に は,「ｐか ｑの ど ち らか 一 方 が 成 り立 つ こ と」

の 意 味 に使 わ れ る の で,注 意 が 必 要 で あ る.   (３)  条 件 ｐに 対 して,条 件 「ｐで な い 」 を ｐの 否 定 と い い,,￢ｐで 表 す こ とに す る(こ の 節 だ け で,あ

とで は 用 い な い).次

が 成 り立 つ.

  「ｐ か つ ｑ」 の 否 定 は,   

「〓 ｐ また は〓 ｑ」

「ｐ また は ｑ」 の 否 定 は, 

  ｃ. 命題 「p⇒q」

に 対 して,

  (１)  命 題 「q⇒p」

を,「p⇒q」

「〓 ｐか つ〓 ｑ」

の逆 と いい,

  (２)  命 題 「〓p⇒〓q」

を,「p⇒q」

の裏 とい い,

  (３)  命 題 「〓q⇒〓p」

を,「p⇒q」

の対 偶 とい う.

  日常 的 に もい われ る よ うに,命 題 「p⇒q」

が 真 で あ って も,そ の 逆 は 必 ず

し も真 で は な い し,そ の裏 も必 ず し も真 で は な い.し か し,次 が 成 り立 つ.   (４)  命 題 「p⇒q」  

が 真 な らば,そ

対 偶 「〓q⇒〓p」

の 対 偶 「〓q⇒〓p」

が 真 な らば,元

の 命 題 「p⇒q」

  対 偶 は元 の命 題 をい い 換 え た だ け で あ るが,元

も真 で あ り, も真 で あ る.

の命 題 の 証 明 よ り,そ の 対 偶

の 方 が 証 明 を書 きや す い こ とが しば しば 起 こ る.   ｄ. ２つ の 条 件 ｐ と ｑに つ い て,命 題 「p⇒q」

が 真 で あ る と き,

  ｐ は ｑで あ る た め の 十 分 条 件 で あ る   ｑは ｐで あるための必 要条件であ る と い う.   命 題 「p⇒

ｑ」 と,そ の 逆 「q⇒p」

が ど ち ら も真 で あ る と き,

  ｐ と ｑは同値 で ある あ る い は,   ｐ は ｑ で あ るた め の 必 要 十 分 条 件 で あ る   ｑは ｐ で あ るた め の 必 要 十 分 条 件 で あ る とい い,   「p⇔q」 で 表 す こ とが あ る.   ｅ. あ る命 題 が 真 で あ る こ と を証 明 す る の に,直 接 そ の命 題 を証 明 す る か わ りに,

  「そ の 命 題が 偽 で あ る と仮 定 す る と,矛 盾 が 生 じ る」 こ と を示 して もよ い.こ の よ う な証 明 方 法 を背 理 法 とい う.   本 書 の 中 で も,背 理 法 は しば しば 登 場 す る.   ｆ. 目次 に み られ る よ うに,本 書 は ７つ の 章 か らな り,各 章 は 「節 」 に分 か れ て い る.節 は さ らに 「項 」 に分 か れ て い て,ａ ， ｂ， ｃ,… で 示 され る.   さて,通 常 の 数 学 書 が そ うで あ る よ うに,あ る 定 理 の 証 明 に 際 して は,「そ こ まで で 証 明 し た定 理 や す で に 与 え た定 義 ・用 語 の み を使 用 す る 」 の を 原 則 とす る.そ

こで 既 出 の 定 理 な ど を 引用 す る 際 に は,2 .1節 ｂ,あ るい は3.2節c-(1)

な ど の よ うに 表 す.   本 文 の 中 に は,問,練

習,問 題 お よび 例 題 が 含 まれ て い る.

  「問 」は,そ の 直 前 の 定 理 な ど か ら直 ち に,あ るい は 容 易 にわ か る こ とが らが ほ とん ど で あ る.   「練 習 」 は,「問 」 よ りは や や 難 しい 問 題 で あ るが,直

前 の 定 理 や 考 え 方 を利

用 し て解 け る も ので あ る.   「問 題 」 は,本 格 的 な 問題 で,か な りの 難 問 も含 まれ て い る.是 非,そ の う ち の い くつ か に は 挑 戦 し て み て ほ しい も の で あ る.   「例 題 」 は,定

理 と して もよ い と思 わ れ る もの も含 まれ,解

  な お,「練 習 」 「問題 」 に つ い て は,必 ぞ れ 巻 末 に付 け て あ る.

答 も付 け て あ る.

要 に 応 じ て ヒ ン トや 略 解 な ど を,そ れ

 談 話 室   ギ リシ ャの 作 図 ３大 難 問   次 の ３つ の 作 図 題 を ギ リ シ ャ の 作 図 ３大 難 問 ま た は ３ 大 問 題 と い い ま す.い ず れ も作 図が 「不 可 能 」 で あ る こ とが19世

紀 に 証 明 され ま し た.

角 の ３ 等 分 問 題 ：与 え られ た 任 意 の 角 の ３等 分 線 を 作 図 す る こ と.   角 の ２等 分 線 の 作 図 が 簡 単 に 解 け,し

か も極 め て 有 効 で あ る こ とか ら,「そ れ

で は次 に ３等 分 は 」 と,自 然 に 発 生 し た 問 題 と し て よ い で し ょ う. 円 積 問 題:与

え られ た 任 意 の 円 と等 しい 面 積 の 正 方 形 を 作 図 す る こ と(与 え ら れ

た 半 径 ｒ に対 し て,x2=πr2のｘ

の 作 図).

  与 え られ た 任 意 の 多 角 形 と 等 し い 面 積 を もつ 正 方 形 が 容 易 に 作 図 で き る こ と や,円

と正 方 形 とい う美 しい 図 形 の 間 の 関 係 と い う こ とで,こ れ も 自 然 に 発 生 し

た 問 題 と 考 え て よ い で し ょ う. 立 方 倍 積 問 題 ：与 え られ た 任 意 の 立 方 体 の ２倍 の 体 積 を も つ 立 方 体 を 作 る こ と (与 え ら れ た線 分 の 長 さａ に 対 して,x3=2a3のｘ

の 作 図).

  こ の 問 題 の 由 来 に つ い て は,２ つ の 有 名 な 話 が 伝 え られ て い ます. 〔そ の １〕 エ ー ゲ 海 文 明(B.C.2000‐B.C.1200)の ク ノ ッ ソ ス(Cnossos)の

大 宮 殿(迷

宮)で

は じめ,こ

の文 明の 中心 地は

有 名 な ク レ タ 島 で あ って,ク

レ タ文

明 と も ミ ノ ス 文 明 と も よば れ て い ま す.   ク レ タの ミ ノス 王(Minos, 先 立 た れ た の で,そ

B.C.2000頃)は

息 子 グ ラ ウ コ ス(Gulaucus)に

の 墓 を つ く らせ ま し た が,で

きあ が っ た の を 見 て

  「王 者 の 墳 墓 と し て は い か に も小 さす ぎ る.２ 倍 の 大 き さに つ く り替 え よ」 とい っ た と い い ま す. 〔そ の ２〕 時 代 は 下 っ て … … エ ー ゲ 海 の デ ロ ス 島(Delos)に ま し た(B.C.430頃,ペ (Apol1on)の

ス ト と も 天 然 痘 と もい う).人

神 託 を うか が っ た と こ ろ,神

  「ア ポ ロ 神 の 祭 壇(立 とい うこ とで し た.そ

た そ うで す.困

ポロ

官の お告げ は

方 体 で で きて い る)を

２倍 に せ よ 」

こ で 各 稜 の 長 さ を ２倍(体 積 は ８倍)に

れ で は 神 を 慰 め る こ とが で きず,伝

伝染 病が 大 流行 し

々 は 困 り果 て て,ア

し た の で す が,こ

染 病 は ます ます そ の猛 威 を ふ る う よ う に な っ

った デ ロ ス 島 の 人 々は,つ

い に ア カデ ミア(Akademeia)の

創始

者 で 大 哲 学 者 の プ ラ ト ン に そ の 解 決 を も ち 込 ん だ そ うで す.こ の こ と か ら,立 法 倍積問 題 け デ ロ ス の問 題 とも い わ れ て い ま す.

  ３  ３

こ の 章 で は,平 す.こ

面 幾 何 に お け る 最 も基 本 的 な 図 形 で あ る ３角 形 に つ い て 調 べ ま

っ て い る こ と も多 い か と 思 い ます.

 

まず,３

  △ABCを

3.1 

３ 角

考 え る. Ａ,Ｂ ，Ｃ が 頂 点 で,線

角 ま た は 頂 角 と も い う.こ

図3.1 

  △ABCに 頂 角 を,頂

形

の

角

角 形 に か か わ る 角 や 辺 の よ び 名 な ど か ら 始 め よ う.

２ つ の 辺 の つ く る 角 の う ち,△ABCの が,内

形

の 章 も後 半 の た め の 準 備 や 予 備 知 識 が ほ と ん ど で す.定 理 と証 明が 続 き ま

す が,知

  ａ．

角

分AB，BC,CAが

内 部 を含 む方 が こ の ３ 角 形 の 角 で あ る の ３ つ の 内 角 を ∠A， ∠B， ∠Cで

3角 形 の 内 角 と外 角

お い て,辺BCの 点 Ｃ に お け る(ま

そ の 辺 で あ っ た.

図3.2 

対 辺 と対 角

延 長 上 に 点 Ｄ を と る と き,∠ABCお た は,頂

角 Ｃ の)外

表 す.

角 と い う.頂

よび そ の 対 点 Ａ,Ｂ に お け

る 外 角 も 同 じ よ う に 定 め る.   △ABCに

お い て,∠Aに

の 対 角 と い う.

対 し,辺BCを

そ の 対 辺,辺BCに

対 し,∠Aを

そ

 ｂ. 定

理   (１)３角 形 の １つ の 外 角 の 大 き さは,そ の 隣 に な い ２つ の 内 角

の大 き さの 和 に等 し い.   (２)  ３角 形 の ３つ の 内 角 の 大 き さの 和 は180。 で あ る.  証 明   △ABCに また,点

お い て,図3.3の

Ｃ を通 り辺BAに

よ う に,辺BCの

平 行 な 直 線CEを

延 長 上 に点 Ｄ を と る.

∠ACDの

内 部 に 引 く.

図3.3

  BA‖CEよ  

り

(∠A)=(∠ACE)(錯

角),

(∠B)=(∠ECD)(同

位 角)

  し た が っ て,   １) (∠A)+(∠B)=(∠ACE)+(∠ECD)=(∠ACD)   ２) (∠A)+(∠B)+(∠C)=(LACD)+(∠C)=(∠BCD)=180。   こ の 定 理 は １章 で 紹 介 し た よ う に,ユ り,平

ー ク リ ッ ド の 『原 論 』 の 命 題32で

あ

行 線 の 公 理 と 同 値 な 命 題 と し て も知 られ て い る.

  ｃ. 角 α に つ い て,   １) 0。<α<90。   ２) α=90。

の と き,α

の と き,α

  ３) 90。<α<180。

は 鋭 角.

は 直 角. の と き,α

は 鈍 角.

で あ る と い う.   上 の 定 理3.1節 よ り小 さ い.よ か も,定

理3.1節

ｂ に よ っ て,３ っ て,３

角 形 の 内 角 の 大 き さ は,０

角 形 の 内 角 は,鋭

ｂ に よ っ て,３

角,直

角,鈍

よ り大 き く180。

角 の ど れ か で あ る.し

角 形 の ２つ 以 上 の 内角 が 直 角 ま た は 鈍 角 と な

る こ と は な い.   そ こ で,３

角 形 は,そ

の 内 角 の 大 き さ に よ っ て,次

の よ う に 分 類 さ れ る.

  １)  ３つ の 内角 が すべ て 鋭 角 の ３角 形   … 鋭 角 ３ 角形.  ２)  １つ の 内 角 が 直 角 の ３角 形        …

直 角 ３ 角形.

 ３)  １つ の 内 角 が 鈍 角 の ３角 形        …   鈍 角 ３ 角形.

 鋭角三角形

図3.4

 直角三角形

  3.22 

等

辺

３角

形

  ａ. ２つ の 辺 の 長 さが 等 しい ３角 形 を ２等 辺3角   ２等 辺 ３角 形 に お い て,長

 鈍角三角形

形 とい う.

さ の等 しい ２辺 の 間 の 角 を頂 角,頂

角に対す る辺

を 底 辺,底 辺 の両 端 の 角 を底 角 とい う.   ２等 辺 ３角 形 は,円 周 との 関 連 で 今 後 何 度 も登 場 す る重 要 な 図 形 で あ る.

図3.5 

２等辺 ３角形

図3.6

  次 の 定 理 が 基 本 に な る.   ｂ. 定

理   (AB）=（AC)で

あ る ２等 辺 ３角 形ABCで

べ て一 致 す る.   (１)  頂 角 ∠Aを

２等 分 す る直 線.

  (２)  頂 点 Ａ か ら底 辺BCに   (３)  頂 点 Ａ と底 辺BCの   (４)  底 辺BCを

下 し た垂 線. 中点 Ｄ を 結 ぶ 直 線.

垂 直 に ２等 分 す る 直 線.

は,次 の 直 線 は す

  証 明   頂 角 Ａ の ２等 分 線 を 引 き,底 △BADと

△CADに

 （∠BAD)=（∠CAD),    よ っ て,３

辺BCと

の 交 点 を Ｄ と す る.（ 図3.7)

お い て, 辺ADは

角 形 の 合 同 条 件（2.4節

  ゆ え に,（BD)=（CD)で

共 通, （AB）=（AC)

ｃ-①)か

ら,△ABD≡

あ る か ら, Ｄ は 辺BCの

  ま た,（∠ADB)=（∠ADC)で

△ACD.

中 点 で あ る.

も あ る.（∠ADB)+（∠ADC)=2∠Rよ

り,

（∠ADB)=（∠ADC)=∠R.   よ っ て,AD⊥BC.つ

ま り, ADは

図3.7

  ｃ.

辺BCの

垂 直 ２ 等 分 線 で あ る.

図3.8

定 理（ ２ 等 辺 ３ 角 形 の 性 質) （ １)  ２等 辺 ３角 形 の ２つ の 底 角 の 大 き さ は

等 し い.  （２) ３ 角 形 に お い て,２

つ の 内 角 の 大 き さが 等 し け れ ば,こ

れ に対 す る 辺 の 長

さ も 等 し い.   証 明（

１)上 の 定 理 の 証 明 に お い て,△ABD≡

す る 角 に つ い て,（∠B）=（∠C)が  （２) △ABCに 辺BCと

△ACDで

あ っ た の で,対

応

示 さ れ て い る.

お い て,（∠B）=（∠C)と

す る.頂

角 Ａ の ２ 等 分 線 を 引 き,底

の 交 点 を Ｄ と す れ ば（ 図3.8),

 （

∠B)=（∠C), （

だ か ら,△ABDと

△ACDに

定 理（3.1節  （∠ADB)=（

  よ っ て,３

∠BAD)=（∠GAD)

角 形 の 合 同 条 件（2.4節

ｂ)を 適 用 す る と, ∠ADC)

ｃ-②)よ

り,△ABD≡

△ACD.

  し た が っ て,（AB）=（AC)

  ｄ.

覚

3.2節

ｂ か ら,直

書  （１)  ２章 の 線 分 の 垂 直 ２等 分 線 の 性 質（2.3節 ち に 証 明 さ れ る.

ｃ)は,上

の定理

  (２)  上 の ２つ の 定 理 の 証 明 に,３ 角 形 の 合 同条 件(2.4節 ｃ)を使 用 し た が,そ の 証 明 を後 回 し に し た2.4節b-③ の場 合 は使 用 して い な い .こ こで そ の ③ 証 明 を 与 え る.少 々離 れ て い るが,③   △ABCと 辺BCと て,点

△DEFに 辺EFを

お い て,(BC)=(EF)だ

か ら,△DEFを

重 ね 合 わせ る.必 要 な らば,△DEFを

Ｄ が 直 線BCに

  直 線ADが

の 記 号 を そ の ま ま使 用 す る こ と に す る. 移 動 させ て,

対 称 移 動 で 反 転 させ

関 し て 点 Ａ と 反対 側 に あ る よ うに す る.

点 Ｂ また は 点 Ｃ を 通 る場 合 ：△ADCは

ら,上 の 定 理(3.1節b-(1))に

２等 辺 ３角 形 と な るか

よ っ て,  (∠BAC)=(∠BDC)

図3.9

  直 線ADが

点 Ｂ も点 Ｃ も通 ら な い 場 合 ：△BAD,△CADは

辺 ３角 形 だ か ら,再 び 定 理3.1節b-(1)に  

(∠BAD)=(∠BDA), 

よ っ て, (∠CAD)=(∠CDA)

  こ れ か ら,下 の ど の 図 の 場 合 も,  

(∠BAC)=(∠BDC)

図3.10

し た が っ て,３

角 形 の 合 同 条 件(2.4節c-①)に

 

△ABC≡

よ り,

△DEF

ｅ.  ３つ の 辺 の 長 さが 等 し い ３ 角 形 が 正 ３ 角 形 で あ る.   １) 正 ３ 角 形 で は,３

つ の 内 角 の 大 き さが 等 し い.

 ２) ３ つ の 内 角 の 大 き さが 等 し い ３角 形 は,正

３ 角 形 で あ る.

い ず れ も ２等

  3.3 

ａ. 直 角 ３角 形 で は,直

直

角 ３ 角 形

角 で あ る角 の 対 辺 を 斜辺 と い う.

図3.11

  上 の 定 理3.1節  

ｂ-(2)か ら,△ABCに (∠A)=90。

  ⇔

お い て,次

の こ とが 成 り立 つ.

 (∠B)+(∠C)=90。

  直 角 ３角 形 の こ の 簡 単 な性 質 は,こ の 後 で も よ く使 わ れ る.実 際,直 角 ３角 形 で は,残

りの ２つ の 内 角 の うちの １つ の 大 き さが わ か れ ば,他

さ もわ か る,つ

の内角の大 き

ま り,す べ て の 内 角 の 大 き さが わ か る こ とに な る.

  例 えば,３ 角 形 に"直 角"と

い う性 質 を 加 え れ ば,合

同条 件 も次 の よ うに 簡

単 に な る.   ｂ. 直 角 ３ 角形 の 合 同条 件   ２つ の 直 角 ３角 形 は,次 の 各場 合 に 合 同で あ る.   ① 斜 辺 の 長 さ と ｌつ の 鋭 角 の大 き さが,そ れ ぞ れ 等 しい.   ② 斜 辺 の 長 さ と他 の １辺 の 長 さが,そ 証明

れ ぞ れ 等 しい.

① 1つ の 鋭 角 の 大 き さが 等 しけ れ ば,残

りの 鋭 角 の 大 き さ も等 し くな

る.し た が っ て,３ 角 形 の 合 同条 件(2.4節c-②)よ

り,結 論 が 得 られ る.

図3.12

  ② △ABCと

△DEFに

お い て,

 

(∠C)=(∠F)=90。, 

と す る.△DEFを

移 動 し て 辺ACと

対 称 移 動 に よ っ て 裏 返 し,Ｅ

(AB)=(DE) 辺DFを

が 直 線ACに

重 ね る.必

要 な ら ば,△DEFを

関 して Ｂ と反 対 側 に あ る よ うにで き

る.(∠C)=(∠F)=90。 れ る.こ

だ か ら,点

こ で(AB)=(DE)だ

に よ り,(∠B)=(∠E)で

Ｂ,Ｃ,Ｅ は 一 直 線 上 に 並 び,△ABEが

か ら,こ あ る.し

れ は ２等 辺3角

た が っ て ,上

得 ら

形 で ,定 理3.2節c-(1)

の ① よ り,△ABC≡

△DEF

が 結 論 さ れ る.

図3.13

  この 直 角 ３角 形 の 合 同 条 件 を使 え ば,2.5節

で 示 した 「角 の ２等 分 」 の 作 図

が 理 に 適 っ て い る こ とは 容 易 に 証 明 され る.実 際,次 が わ か る.   ｃ. 定

理   (１)角の ２等 分 線 上 の 点 は,角 の ２辺 か ら等 距 離 に あ る.

  (２)角 の 内 部 にあ っ て,角 の ２辺 か ら等 距 離 に あ る 点 は,角

の ２等 分 線 上 に

あ る.

図3.14

図3.15

  頂 角 が 直 角 で あ る よ うな ２等 辺 ３角 形 を直 角 ２等 辺 ３ 角 形 とい う.   ２等 辺 ３角 形 と 直 角 ３角 形 が 出 た と こ ろで,練   ｄ.

練

習   △ABCの

角 形ABP,  ACQが

外 部 に, Ａ を 直 角 の 頂 点 とす る ２つ の 直 角 ２等 辺 ３

あ る.こ の と き,次 の こ と を証 明せ よ(図3.15).

  １)  (BQ)=(CP)   ２)  (∠ABQ)=(∠APC)   ３)  BQ⊥CP

習 問 題 を 出 そ う.

  3.4 

３角 形 の 辺 と 角 の 大 小

  ２等 辺 ３角 形 で は,等

し い 辺 の 対 角 は等 し く,そ の 逆 も成 り立 っ た.こ

は,一 般 の ３角 形 で,辺

と角 の 大 小 関係 を調 べ て み よ う.

  △ABCに で,∠Cの

お い て,∠Aの 対 辺ABの

対 辺BCの

長 さ をａ で,∠Bの

対 辺CAの

こで

長 さ をｂ

長 さ を ｃで 表 す こ とが 多 い.本 書 もそ の 例 に な ら う.

  (BC)=a, 

(CA)=b, 

(AB)=c

図3.16

次 は,経  ａ.  定  

験 的 に 当 た り前 で あ る が,こ 理

△ABCに

の 節 の 主 定 理 で あ る.

お い て,

(AC)=b≧c=(AB) 

⇔

 (∠B)≧(∠C)

図3.17

  証 明  「b=c⇔(∠B)=(∠C)」

が ２等 辺 ３角 形 の 性 質(3.2節

た の で,「b>c⇔(∠B)>(∠C)」

を 証 明 す れ ば よ い.

  〔⇒

の 証 明 〕b>cよ

とが で き る.△ABDは

り,辺AC上

に,(AB)=(AD)と

な る点 Ｄ を とる こ

２ 等 辺 ３ 角 形 だ か ら,   (∠ABD)=(∠ADB) 

  と こ ろ で ∠ADBは     ま た,点

ｃ)で あ っ

△DBCの

∠BDCの

(∠ADB)>(∠C)  Ｄ は 辺AC上

に あ る か ら, BDは

… ① 外 角 だ か ら,定

理3.1節b-(1)よ

… ② ∠Bの

内 部 に あ る の で,

り

  (∠B)>(∠ABD)    ① ∼ ③   〔〓

… ③

よ り,(∠B)>(∠C).

の 証 明 〕(∠B)>(∠C)で

あ っ て,b>cで

な い と す る と,次

のど ちら

か が 成 立 す る.   (１)b=c 

(２)b
  (１)が 成 り立 つ と す る と,定

理3.2節c-(1)か

  (２)が 成 り立 つ と す る と,前

半 で 示 し た こ と か ら,(∠B)<(∠C).

  ど ち ら の 場 合 も,仮   よ っ て,b>cで

反 す る.

な け れ ば な ら な い.

  こ の 定 理 か ら,次

  ｂ.

定(∠B)>(∠C)に

ら,(∠B)=(∠C).

の こ と は 直 ち に わ か る.

(１)直 角 ３ 角 形 に お け る ３辺 の な か で は 斜 辺 が 最 大 で あ る.鈍

形 に お け る ３辺 の な か で は,鈍

  (２)１ 点 Ｐ か ら 直 線ｌ 上 の 点 に 至 る 線 分 の な か で は,Ｐ 線 が 最 も 短 い(こ

角 ３角

角 の 対 辺 が 最 大 で あ る.

の 垂 線 の 長 さ が,Ｐ

か らｌ に 下 ろ し た 垂

とｌ の 距 離 で あ っ た).

図3.18

  上 の 定 理 ａ を 利 用 し て,３   ｃ.

角 形 の 辺 に 関 す る 性 質 を 導 こ う.

定   理   ３角 形 の ２ 辺 の 長 さ の 和 は,残

  つ ま り,△ABCに

お い て,次

が 成 り立 つ.

 

b+c>a, 

  証 明   △ABCに

お い て, b＋c>aを

  辺BAを ジ の 図3.19参   す る と,定

c+a>b, 

Ａ の 方 に 延 長 し,そ

りの 辺 の 長 さ よ り大 き い.

a+b>c

示 せ ば よ い.

の 上 に(AD)=ｂ

と な る 点 Ｄ を と る(次

照). 理3.2節c-(1)よ

  点 Ａ は △BCDの

辺BD上

り,(∠D)=(∠ACD). に あ る か ら,(∠BCD)>(∠ACD)=(∠D).

ペ ー

△BCDに

上 の 定 理 ｃ を 適 用 し て,(BC)<(BD)=(BA)+(AD).

し た が っ て,α
図3.19

  注 意   上 の 証 明 で は,△ABCに ∠A，∠B，∠Cの

ち ろ ん,残

で に定 理3.1節

  △ABCに

  b
と き,α+c>bよ

り,a>b-c

と き,a+b>cよ

り,a>c-b

が 成 り立 つ.こ

の こ と は,次

  ｄ.

３ 角 形 の ２辺 の 長 さ の 差 は,残

  つ ま り,△ABCに

の よ う に 述 べ る こ と が で き る.

お い て,次

  α ＞｜b-c｜, 

りの 辺 の 長 さ よ り小 さ い.

が 成 り立 つ. b>｜c-a｜, 

c>｜a-b｜

  ３ 角 形 の ３辺 の 長 さ に 関 す る 上 の ２ つ の 性 質 は,３ 分 条 件 で も あ る.つ

  ｅ.

定

理

じ ような事

の 定 理 か ら,

  b〓cの

理

れで 定理 の証明が

りの ２つ の 場 合 も同 様 に し て 証 明 され る.同

ｂ に お い て も 生 じ て い る.

お い て,上

定

示 し た が,ａ, ｂ,  ｃの大 小 や

大 小 な ど に 特 別 な 条 件 を付 け ず に 証 明 し た の で,こ

完 了 し て い る.も 情 は,す

お い てb+c>aを

ま り,次

角形が 存在す るための十

の こ とが い え る.

長 さ がａ,ｂ ，ｃで あ る ３つ の 線 分 が 与 え ら れ た と き,こ

分 を ３ 辺 と す る ３ 角 形 が 存 在 す る た め の 条 件 は,b＋c>a>￨b-c￨で

れ らの 線 あ る.

図3.20

  証 明   (BC)=aと

お き,点

Ｂ,  Ｃ を 中 心 と し て,そ

を 描 く.b＋c>a,a>b-c,a>c-bだ 交 わ る(次 と す れ ば,求

章4.3節

か ら,こ

れ ぞ れ,半

の,「２ つ の 円 周 の 位 置 関 係 」 を 参 照).こ

め る △ABCが

得 ら れ る.

径 ｃ,  ｂの 円 周

れ ら ２ つ の 円 周 は ２点 で の 交 点 の １つ を Ａ

 

3.5 

  ａ.

４ 辺 形C(A,B，C,D)に

Ｄ を,互 に,対

い に,対

角,隣

平

行

お い て,隣

４ 辺

形

り合 わ な い ２頂 点 の 対 Ａ と Ｃ, Ｂ と

り合 わ な い ２辺 の 対ABとCD, 

BCとDAを,互

い

辺 と い う.

図3.21

 対 角 を 結 ぶ 線 分ACとBDを,こ

の ４辺 形 の 対 角線 とい う.

図3.22

  ２組 の 対 辺 が そ れ ぞ れ 平 行 で あ る ４辺 形 を平 行 ４辺 形 とい う.平 行 ４辺 形 の は 対 辺 は 交 差 し な い か ら,平 行 ４辺 形 は す べ て 単 純 ４辺 形 で あ る.   こ の 章 の 最 初 の 定 理3.1節

ｂ の 証 明 で も用 い た よ うに,２ 章 の 平 行 線 の 性 質

(2.1節 ｅ)は 基 本 的 で あ り,こ の 平 行 線 の 性 質 を 具 現 して い る の が 平 行 ４辺 形 で あ る.そ ん な わ け で,平 行 ４辺 形 の 性 質 を これ か ら しば しば 使 う こ と に な る.   ｂ. 定 理(平

行 ４ 辺 形 の 性 質)  平行 ４辺 形 に お い て は,次 が 成 り立 つ.

  (１)２組 の 対 辺 の 長 さ は,そ れ ぞ れ 等 しい.   (２)２組 の 対 角 の 大 き さは,そ れ ぞ れ 等 しい.   (３)２本 の 対 角 線 は,互

図3.23

い に 他 を ２等 分 す る.

  証 明   単 純 ４辺 形Ｃ(A,B，C,D)で,  〔(１),(２)の 証 明 〕 △ABCと

AB‖DC, 

△CDAに

AD‖BCと

す る.

お い て,

  AB‖DCだ

か ら,(∠BAC)=(∠DCA) 

… ①

 

AD‖BCだ

か ら,(∠BCA)=(∠DAC) 

… ②

 

ま た, 

し た が っ て,３

       

角 形 の 合 同 条 件(2.4節c-②)に

△ ABC≡ よ っ て,   

(AC)=(CA) 

      … ③ よ り,

△CDA

(AB)=(CD), 

(BC)=(DA), 

(∠B)=(∠D)

(∠A)=(∠BAC)+(∠DAC)=(∠DCA)+(∠BCA)=(∠C)

図3.24

  〔(３)の証 明 〕対 角 線 の 交 点 を Ｏ とす る.△ABOと  

AB‖DCだ

か ら, 

 

△CDOに

(∠BAO)=(∠DCO) 

 

(∠ABO)=(∠CDO) … ま た,上 で 示 した こ とか ら,  (AB)=(CD) 

  したが っ て,３ 角 形 の 合 同 条件(2.4節c-①)に  

△ABO≡

  よ っ て,(AO)=(CO),(BO)=(DO)．

お い て, … ① ② … ③

よ り,

△CDO  

平 行 ４辺 形 は この よ うに 多 くの 性 質 を もつ が,逆 に,こ れ らの 性 質 の,あ る 一部 分 が 成 り立 てば ,平 行 ４辺 形 に な る こ とが わ か る. ｃ. 定 理(平

行 ４辺 形 に な る条 件)単

１つ が 成 り立 てば,こ

純 ４辺 形 で,次

の 単 純 ４辺 形 は平 行 ４辺 形 で あ る.

(０)２ 組 の 対 辺 が,そ れ ぞ れ 平 行 で あ る(定 義).

の(1)∼(4)の

どれ か

 (１)１ 組 の 対 辺 が 平 行 で,そ

の 長 さ が 等 し い.

 (２)２ 組 の 対 辺 の 長 さ が,そ

れ ぞ れ 等 し い(定

 (３)２ 組 の 対 角 の 大 き さ が,そ

れ ぞ れ 等 し い(定

 (４)２ 本 の 対 角 線 が 互 い に 他 を ２等 分 す る(定

図3.25 

(１) 

  証 明は,い

理3.5節b-(1)の

(２) 

ず れ もや さ しい の で,省

逆).

理3.5節b-(2)の 理3.5節b-(3)の

(３) 

略 す る.(１)と(２)で

逆). 逆).

(４)

は,対

角 線 を １本

引 い て み る.(４)で は,見 え て い る ３角 形 に 注 目す る.い ず れ も,３ 角 形 の合 同 条件 を利 用 し,最 後 は 定 義 の(０)が 成 り立 つ こ と を示 せ ば よ い.(３)で 合 う角 の 和 に 注 目 して,(０)が

は隣 り

成 り立 つ こ と を示 す.

  次 の定 理 は,こ れ まで 暗 黙 の うち に 認 め て きた も ので あ るが,平

行 ４辺 形 の

性 質 を使 う と,容 易 に 証 明 され る.   ｄ.

定

理   (１)２つ の 直 線ｌ と ｍ が 平 行 で あ る と き,ｌ の 上 の任 意 の 点 か

ら,ｍ へ 下 した 垂 線 の 長 さは 一 定 で あ る(こ の 一 定 の 長 さが,平 行 線ｌ と ｍ の 距 離 で あ った(2.1節

ｆ)).

  (２)直 線ｌ か ら一 定 の 距 離 ｄに あ る点 の 集 合 は,ｌ と平 行 な ２直 線 で,い ず れ もｌ との 距 離 が ｄで あ る.

図3.26

図3.27

  ｅ. 特 別 な平 行 ４辺 形(長 方 形 ・菱 形 ・正 方 形)  日常 生 活 で も しば しば 登 場 す る 長 方 形,菱

形,正 方 形 は,平 行 ４辺 形 の特 別 な 場 合 と考 え られ る.

  １)平 行 ４辺 形 に お い て,１ つ の 角 が 直 角 で あれ ば,す べ て の 角 が 直 角 で あ る.こ の よ うな ４辺 形が 長 方 形 で あ った.   ２)平 行 ４辺 形 に お い て,隣 等 しい.こ

り合 う ２辺 の 長 さが 等 しけ れ ば,４ 辺 の 長 さが

の よ うな 平 行 ４辺 形 を 菱 形 と い う.

  ３)長 方 形 で もあ り,菱 形 で もあ る よ うな 平 行 ４辺 形 が 正 方 形 で あ る.つ

ま

り,４ つ の 角 の 大 き さが 等 し く,４ つ の 辺 の 長 さが 等 しい ４辺 形が 正 方 形である.

図3.28

 ４) 問:次 の 性 質 は,容 易 に証 明 され る.図 を 参 考 に し て,証 明 を試 み よ.  ａ) 長 方 形 の ２つ の 対 角 線 の 長 さは 等 し い.  ｂ) ２つ の 対 角 線 の 長 さが 等 し い平 行 ４辺 形 は,長 方 形 で あ る.  ｃ) 菱 形 の ２つ の 対 角 線 は 直 交 す る.  ｄ) ２つ の 対 角 線 が 互 い に 直 交 す る 平 行 ４辺 形 は,菱 形 で あ る.

図3.29

  平 行 ４辺 形 の 性 質 を 利 用 し て,３

  ｆ. 定 理(３

角 形 に 関 す る 定 理 を い くつ か 導 こ う.

角 形 の 垂 心)△ABCの

下 ろ し た 垂 線AD,BE, 

CFは

頂 点 Ａ,  Ｂ,Ｃ か ら 対 辺BC,  CA, ABに

１点 で 交 わ る.こ

  証 明   頂 点 Ａ ，Ｂ，Ｃ を 通 っ て,そ 引 き,下

図 の よ う な △LMNを

れ ぞ れ,対

の 交 点 を,△ABCの 辺BC,CA, 

AＢ

垂 心 と い う. に平 行 な 直 線 を

つ く る.

図3.30

  ４ 辺 形NBCA, 

ABCMは

平 行 ４ 辺 形 だ か ら,

 

(NA)=(BC), 

  と な り, 

(NA)=(AM)

  ま た,AD⊥BC,    よ っ て,ADは

BC‖NMか 辺NMの

  同 様 に,BE, 

CFは,そ

  し た が っ て,AD,BE,  △LMNの

(AM)=(BC)

ら, AD⊥NM.

垂 直 ２等 分 線 で あ る. れ ぞ れ,辺NL,LMの CFは,△LMNの

外 心 で 交 わ る(2.3節

垂 直 ２等 分 線 で あ る. ３ 辺 の 垂 直 ２ 等 分 線 に な る か ら,

ｃ を 参 照 の こ と). 

  １) 問 ：直 角 ３角 形 の 垂 心 は ど こ に あ る か.   ２) 問 ：△ABCの 上 の 図3.30を

垂 心 を Ｈ と す れ ば,点

見 て,確

か め よ.

Ａ は △HBCの

垂 心 で あ る こ と を,

g．

定 理(3角

形 の 中 点 連 結 定 理)△ABCに

そ れ ぞ れ,M，Nと

す る と,次

お い て,辺AB，ACの

中 点 を,

が 成 り立 つ.

図3.31図3.32   証 明MNの

延 長 上 に 点Dを,(MN)=（ND）

線 分ACとMDは は 平 行4辺

互 い に 他 を2等 形 で あ る.ゆ

と な る よ うに と る と(図3.32),

分 す る.定 理3.5節c‐(4)に

え に,3.5節bよ

よ っ て,□AMCD

り,

AM‖DC,(AM)=（DC）  し た が っ て,MB‖DC,(MB)=（DC）   定 理3.5節c‐(1)よ

  h．

系

り,□MBCDも

△ABCに

お い て,辺ABの

辺ACの

中 点 を通 る.

 証 明

辺ACの

 と こ ろがMを

中 点 をNと 通 ってBCに

る.す な わ ち,Mを

図3.33

平 行4辺

中 点Mを

形 で あ る.よ

通 っ てBCに

す る と,上 の 定 理3.5節gよ 平行 な 直 線 は1本

通 っ てBCに

っ て,

平 行 な 直 線 は,

り,MN‖BC.

しか な い か ら,こ れ はMNで

平 行 な 直 線 は,辺ACの

中点Nを

通 る.

あ

 ⅰ． 練

習   ４ 辺 形ABCDの

４ 辺AB，BC,CD,DAの

ん で 得 ら れ る ４ 辺 形KLMNは

中 点Ｋ,Ｌ,Ｍ

，Ｎ を 結

平 行 ４辺 形 で あ る こ と を 示 せ.

図3.34

  単 純 ４辺 形 で,１ 組 の 対 辺 が 平 行 で あ る もの を台 形 とい い,そ

の 平 行 な ２辺

を そ の 底 辺 と い う.平 行 ４辺 形 も台 形 で あ る.   ３角 形 の 中 点 連 結 定 理 は,次 の よ うに 台 形 の 場 合 に 拡 張 され る.  ｊ.定

理   ４辺 形ABCDに

そ れ ぞ れ,Ｅ,Ｆ

EF‖BC, 

  (２)４辺 形ABCDが  

し,辺AB，CDの

中 点 を,

とす る.

  (１)４辺 形ABCDが  

お い て, AD‖BCと

EF‖BC, 

 証 明  対角線ACの

台 形 な らば,次 が 成 り立 つ. EF‖AD,(EF)1/2((BC)+(AD))

交 差 ４辺 形 で, E≠Fな

らば,次 が 成 り立 つ.

EF‖AD,(EF)=1/2｜(BC)-(AD)｜

中点を Ｇ とし,△ABCと

△CADに

中点連結定理 を適

用す る と,  

EG‖BC,(EG)=1/2(BC);GF‖AD,(GF)=1/2(AD)

図3.35

  仮 定AD‖BCよ

り, GF‖BCで

は １つ し か な い か ら,EGとGFは   線 分 の 長 さ(EF)の

計 算 は,読

も あ る.点

Ｇ を 通 っ てBCに

同 一 の 直 線 を な す.よ 者 に 委 ね る. 

平行な直線

っ て, EF‖BC.

  3.6 

３角 形 の 五 心

  ３角形 に つ い て は,こ れ まで に外 心(2.3節 介 したが,実

ｃ)と 垂 心(3.5節

ｆ)の 存 在 を 紹

は この 他 に何 らか の 意 味 で ３角 形 の"中 心"と 称 され る 点 が100

個 以上 も知 られ て い る.こ の 節 で は,外 心 ・垂 心 に加 え て,合 わ せ て ３角形 の 五 心 と呼 ば れ る ３つ の 基 本 的 な"中 心"で

あ る重 心 ・内 心 ・傍 心 を 導 入 し,こ

れ らに 関連 す るい くつか の 話 題 を提 供 す る.五 心 は 本 書 の 中心 課 題 で あ る.   ３角形 に お い て,そ の １頂 点 と,そ の 対 辺 の 中 点 を 結 ぶ 線 分 を,こ

の ３角 形

の 中線 とい う.中 線 は 次 の 性 質 を も っ て い る.   ａ. 定 理(３ 角 形 の 重心)３

角 形 の ３つ の 中線 は １点 で 交 わ る.そ

の 交 点 は,３ つ の 中線 を,そ れ ぞ れ,2:1に

して,こ

分 け る.

  ３つ の 中線 の 交 点 を,こ の ３角 形 の 重 心 と い う.   証 明   △ABCの

２つ の 中 線BM，CNの

の 交 点 を Ｌ とす る.さ らに,線 分AGの

交 点 を Ｇ と し,直 線AGと

辺BC

延 長 上 に点 Ｈ を,(AG)=(GH)と

な

る よ うに と る.

図3.36

  △ABHに

お い て,(AN)=(NB),(AG)=(GH)だ   NG‖BH,つ

  同 様 に,△ACHに

角 線BCとGFは

ま り,GC‖BH

お い て,(AM)=(MC),(AG)=(GH)だ

    よ っ て,４

か ら,

MG‖CH,つ 辺 形BHCGは

か ら,

ま り,GB‖CH

平 行 ４辺 形 で あ る.定

理3.5節b-(3)に

互 い に 他 を ２ 等 分 す る か ら,(BL)=(LC)と

よ っ て,対 な る の で,  AL

は 中 線 で あ る ． し た が っ て,３

つ の 中 線 は 点 Ｇ で 交 わ る.

  ま た,(AG)=(GH),(GL)=(LH)よ

り,(AG)=2(GL).

  同 様 に し て,(BG)=2(GM),(CG)=2(GN).   つ ま り,点

Ｇ は 各 中 線 を2：1に

  と こ ろ で,３

角 形 の 面 積 は,底

分け る．

辺 の 長 さ と 高 さ の 積 の1/2で

知 られ て い る ． 詳 し くは,５ 章 の 最 初 で 論 ず る こ と に し て,こ と に し よ う.そ が つ く.実

こ で 図3.37を

際,底

 

ｄ).そ

長 さが 等 し く,高

れ ら の 面 積 を,そ

  と こ ろ が ま た,同

あ る こ と に気

さ が 共 通 だ か ら で あ る(2

こ で こ の 共 通 の 面 積 をｘ で 表 そ う.同

(△GCM)=(△GAM), 

で あ る か ら,こ

の事実を認めるこ

見 直 す と,(△GBL)=(△GCL)で

辺BLとCLの

節 ｂ ま た は2.6節

あ る こ とは よ く

.6

じ 理 由 で,

(△GAN)=(△GBN) れ ぞ れ,ｙ ，ｚ と 表 す.

じ 理 由 で,(△ABL)=(△ACL)で

 x+2z=x+2y 

も あ る か ら,

よ り,  z=y

  同 様 に し て,(△BCM)=(△BAM)で

あ る か ら,

 y+2x=y+2z 

よ り, x=z

  し た が っ て,x=y=zが   こ の 事 実 は,重

得 ら れ る.

心 が 中 線 を2：1に

分 け る こ とか ら も証 明 され る ．

図3.37

  ｂ.

定

理

３ 角 形 の ３つ の 中 線 は,こ

の ３角 形 を ６ つ の 面 積 が 等 し い 小 ３

角 形 に 分 割 す る.   ★   上 の 定 理 か ら もわ か る よ うに,３ 角 形 が 均 質 な 材 料 板 で つ くら れ て い る と す れ ば,こ

の ３ 角 形 板 を 重 心 で ひ もで 吊 す と 水 平 に 釣 り合 う こ と に な る ． い い 換 え る と,

重 心 は ３角 形 板 の"重

心"で

あ り,こ の こ と か ら,こ

の 点 を 重 心 と よぶ の で あ る.

  △ABCの

３辺 の 中 点 を 結 ん で 得 ら れ る ３角 形 を,△ABCの

う． ま ず,中

点 ３ 角 形 に つ い て 考 察 す る.

  ｃ.

定

る.こ

の と き,中

理   △ABCの

辺BC,CA,ABの

点 ３角 形 △LMNに

中 点 を,そ つ い て,次

中 点 ３角 形 とい

れ ぞ れ,Ｌ,Ｍ

  １) △ABCの

外 心 Ｏ と,△LMNの

垂 心 Ｈ'は 重 な る(一

致 す る).

  ２) △ABCの

重 心 Ｇ と,△LMNの

重 心 Ｇ'は 重 な る(一

致 す る).

  証 明   ３ 角 形 の 中 点 連 結 定 理(3.5節  

BC‖NM, 

ｇ)よ

， Ｎ とす

が 成 り 立 つ.

り,

CA‖LN, 

AB‖ML

図3.38

  (１)し た が っ て,△LMNと

△ABCは,そ

存 在 の 証 明 中 に お け る △ABC,△LMNの あ る △LMNの

垂 心 は,親

の △ABCの

△ABCを

節(3.5節

位 置 に あ る.よ

ｆ)の 垂 心 の

っ て,中

点 ３角 形 で

外 心 Ｏ と 一 致 す る.

  ★   つ い で な が ら,平 行 線 の 性 質(2.1節 線 分LM，MN,NLは

れ ぞ れ,前

ｅ)と ３角 形 の 合 同条 件(2.4節

ｃ)か ら,

合 同 な ４つ の ３角 形 に 分 割 し て い る こ と もわ か る.ま

た,５ 章 で 紹 介 す る 相 似 の 議 論 に よ れ ば,こ

れ ら ４つ の 三 角 形 は 親 の △ABCと1：2

の 相 似 比 で 相 似 で あ る.   (２)同 じ 理 由 で,□ANLMは 節b−(3))よ MNの

り,対

平 行 ４辺 形 で あ る か ら,平

角 線ALとMNは

交 点 Ｐ は 辺MNの

行 ４ 辺 形 の 性 質(3.5

互 い に 他 を ２ 等 分 す る.よ

中 点 で あ り,△LMNの

中 線LPは

っ て, ALと

△ABCの

中 線AL

と 重 な る.   同様 に し て,他

の ２つ の 中 線 も重 な る か ら,両

３角 形 は 同 じ 重 心 を も つ.

  定 理3.3 節 ｃと 円周 の接 線 の性 質(2.3節

ｉ)か ら,角 の ２辺 に 接 す る 円周 の

中 心 は,そ の 角 の ２等 分 線 上 に あ る こ とが わ か る ． ３角 形 の ３辺 に接 す る 円周 を,こ

の ３角 形 の 内 接 円 と い い,そ の 中 心 を ３角 形 の 内心 とい う.

  ｄ. 定 理(３ 角 形 の 内心)  ３角 形 の ３つ の 内 角 の ２等 分 線 は １点 で 交 わ り, そ の 点 は 各 辺 か ら等 距 離 に あ る.   こ の 点 が,こ

の ３角形 の 内 心 で あ り,内 心 か ら各 辺 に至 る 距 離が 内接 円 の 半

径 で あ る.   証 明  △ABCの

∠Bと

∠Cの

２等 分 線 の 交 点 を Ｉと し,Ｉ か ら ３辺 に 下 ろ し

た 垂 線 を,下 の 図 の よ うに,ID,IE,  IFと す る.

図3.39

図3.40

  定 理3.3  節 ｃ よ り(ID)=(IE)=(IF)だ   △ABCの

∠Bと

し た 垂 線 を,図3.41の

∠Cの

よ う に,KD,KE,KFと

辺BCに

∠A内

図3.41

∠A内

す る.上 あ る か ら,AKは

の 傍 心 と い う.Ｋ

外 部 か ら 接 し,２ 辺AB，ACの

円 周 を,△ABCの

∠Aを

外 角 の ２等 分 線 の 交 点 を Ｋ と し,Ｋ

と 同 じ よ う に,(KD)=(KE)=(KF)で 点 Ｋ を,△ABCの

か ら,AIは

か ら ３辺 に 下 ろ

の 定 理3．6節 ∠Aを

を 中 心 と す る 半 径(KD)の

延 長 上 に ∠Aの

の 傍 接 円 と い う.

２等 分 す る.

ｄの証明

２ 等 分 す る. 円 周 は,

内 部 か ら 接 す る.こ

の

  ｅ. 定 理(３ 角 形 の 傍 心)３

角 形 の １つ の 内 角 の ２等 分 線 と他 の ２つ の 角 の

外 角 の ２等 分 線 は １点 で 交 わ る.こ の 点 が こ の3角 形 の傍 心 で あ る.

図3.42 

  △ABCに  

 

３ 角 形 の 傍 心 と傍 接 円

お い て,

内 角 ∠Aの

２等 分 線 上 に あ る傍 心 を,∠A内

の 傍 心 と い い,Kaで,

  内 角 ∠Bの

２等 分 線 上 に あ る傍 心 を,∠B内

の 傍 心 とい い,Kbで,

内 角 ∠Cの

２等 分 線 上 に あ る傍 心 を,∠C内

の傍 心 とい い,Kcで

表 す.

  ３角 形 を構 成 す る ３本 の 直 線 に 接 す る 内 接 円 と ３つ の傍 接 円 を 併 せ て,４ つ の ３接 円 とい うこ とが あ る.３ 接 円 を少 し大 き く描 いて み る.

図3.43

  こ こ で,Dα,Eα,Faは Db,E6,F6は

∠A内

∠B内

の 傍 接 円 とCA,AB,BCと

の 傍 接 円 とAB，BC,CAと   こ の 図 か ら,次

の 傍 接 円 とBC,  CA,  ABと

様 に,

の 接 点, Dc,Ec,Fcは

∠C内

の 接 点 を 示 す.

の こ とが 直 ち に わ か る.

  ｆ. (１)  △ABCの

３ つ の 傍 心 をKα,Kb，Kcと

す る と,△KaKbKcの

△ABCの

内 心 と一 致 す る ．

  実 際,こ

れ を 証 明 す る に は,図3.43に

お い て,AKα

示 せ ば 十 分 で あ る ． し か し,こ

の 事 実 は,次

KcKaを

の 接 点,同

⊥KbKcお

垂 心 は,

よ びBKb⊥

の 簡 単 な事 実 か ら 直 ち に

わかる．

  (２)２ つ の 直 線l,ｍ

が １点 Ｐ で 交 わ る と き に で き る ４ つ の 角 に つ い て,

  (ⅰ) 隣 り合 う ２ つ の 角 の ２ 等 分 線 は 直 交 す る(図3.44).   (ⅱ) １つ の 角 の ２等 分 線 と Ｐ で 直 交 す る 直 線 は 隣 り合 う角 の ２等 分 線 で あ る.

図3.44

  こ の 事 実 か ら,次

図3.45

の こ と が い つ で も 成 り立 つ.

  (３)３ 角 形 の 各 頂 点 に お い て,内   一 般 に,点

Ｐ か ら 直 線lに

足 と い う こ とが あ る.△ABCの

角 と 外 角 の ２ 等 分 線 は 直 交 す る.

垂 線 を 引 く と き,そ 各 頂 点 か ら,そ

の 垂 線 とlの

れ ぞ れ,そ

垂 足 ３ 角 形(ま

形)と

の(１)は,少

の 言 葉 を 使 う と,上

線 の

の対辺に下 ろした垂

線 の 足 を 結 ん で 得 られ る ３ 角 形 を,△ABCの い う(図3.45).こ

交 点 を,垂

た は,垂

心 ３角

々気 取 っ て次 の よ

うに 述 べ る こ と が で き る.   (４)△ABCの 角 形 で あ る.

傍 心 をKα,Kb，Kcと

す る と,△ABCは

△KaKbKcの

垂足 ３

  図3.43を   ｇ.

も う 一 度 眺 め て み る.次

３ 角 形 の 各 頂 点 か ら,そ

の こ と もわ か る.

の 角 内 の 傍 接 円 に 引 い た 接 線 の 長 さ は,そ

角 形 の ３ 辺 の 長 さ の 総 和 の 半 分 で あ る ；つ ま り,図3.43の  

(AEa)=(AFa)=(BEb)=(BFb)=(CEc)=(CFc)=s

 

s=(α+b+c)/2

  接 線 の 長 さ に つ い て は2.3節ⅰ 値 が △ABCの 分 で あ る.実

定 数sに

の ３

記 号 の も と で,

を 参 照 の こ と.(AEα)=(AFα)で

等 し い と い う の が 主 張 だ か ら,(AEα)=sを

あ り,こ

の

示 せば十

際,

 

(AEa)=(AC)+(CEa)=(AC)+(CDa)

 

(AFα)=(AB)+(BFα)=(AB)+(BDα)

  よ っ て,  

(AEα)+(AFα)=(AC)+(CDα)+(AB)+(BDα)

 

=(AB)+((BDα)+(CDα))+(AC)=α+b+c

  し た が っ て,(AEα)=(AFα)よ

り,(AEα)=(AFa)=s.

  つ い で なが ら,３ 角 形 の 各 頂 点 か ら,残 求 ま る.実

際,図3.43の

で あ り,同 様 に し て,次

が 得 ら れ る.

(AEb)=(ADb)=(BFa)=(BDa)=s-c

 

(BEc)=(BDc)=(CFb)=(CDb)=s-α

 

(CEa)=(CDa)=(AFc)=(ADc)=s-b

734編

易 に

再 び 記 号 を 使 う と,(AEb)=(BEb)-(AB)=s-c

 

  ★   △ABCに

り の 傍 接 円 へ の 接 線 の 長 さ も,容

対 す る 定 数s=(α+b+c)/2を

の 論 文 を 残 し た と い わ れ,数

最 初 に 使 用 し た の は オ イ ラ ーで,

学 の さ ま ざ まの 分 野 で そ の 名 が 頻 繁 に現 れ る.本

書 で も彼 の 名 は 後 半 で 何 度 か お 目 に か か る で あ ろ う．   定 数ｓ は,３ 角 形 の ３ つ の 頂 点 か らそ の 内 接 円 に 引 い た 接 線 の 長 さ の 総 和 で あ り, 特 に,３ 角 形 の 面 積 に 関 す る 数 量 を表 す 際 に 便 利 で あ る.

図3.46

  ４  円 周 と 円 盤

コ ンパ ス で 簡 単 に描 くこ との で き る"円"は,い て き ま し た.そ

の 美 し く完 全 な形 は,数

つ の 時 代 も最 高 の 敬 意 を 払 わ れ

学 者 だ け で は な く哲 学 者 や 天 文 学 者 を も

感 動 させ て き ま し た.す で に これ まで も 円周 は た び た び 登 場 し て き ま し た が,こ の 章 で は,こ の 円 周 に 関 す る 基 本 的 な 性 質 を 調 べ ます ． こ の 章 も後 半 の た め の 準 備 や 予 備 知 識 が ほ とん ど で,本

 

4.1 

格 的 な 応 用 は 次 章 以 降 に な り ます.

弧 ・弦 ・中 心 角

  ａ． ２章 に お い て,中 心 が Ｏ で あ る 円 周 をS(O)で,そ D(O)で

の 内 部 を 含 む 円盤 を

表 す こ と に きめ た.３ 辺 形 と ３角 形 に は 共 通 の 用 語 が 多 数 あ っ た よ う

に,円 周 と 円 盤 に 対 して も共 通 の 用 語 が 多 い.こ い て 用 語 を 定 め るが,多

こで は,ほ

とん ど,円

周 につ

くは そ の ま ま円 盤 に も当 て は め る もの とす る.

  円 周 上 の ２点 で 区切 られ た 円周 の 一 部 分 を 円弧 また は 単 に 弧 と い う.両 端 が Ａ,Ｂ で あ る 弧 を弧ABと

よぶ.弧ABは

２つ あ るが,ほ

とん ど の場 合,文

脈

や 図 か らど ち ら を指 す の か の判 定 が つ く.ど ち らか を は っ き り させ た い と きは, 途 中 に １点 Ｃ を 選 び,弧ACBの

図4.1

よ うに 示 す.

  円周S(O)上

の 弧ABに

対 し,弧ABを

内 部 に 含 む 角 ∠AOBを,弧ABに

対 す る 中 心 角 と い う.   円周S(0)上 ABに

の 弧ABに

対 し,線 分ABを

対 す る 中 心 角 を,弦ABに

  円周S(0)の は180°

弦ABと

い う.こ の と き また,弧

対 す る 中 心 角 と い う.

中心 ０ を通 る弦 が この 円周 の 直径 で あ る.直 径 に対 す る中 心 角

で あ り,S(O)は

そ の 任 意 の 直径 に 関 し て対 称 で あ る ．

  半 径 の 等 しい ２つ の 円 周 は 合 同で あ り,半 径 が 異 な る 円周 は 決 し て 合 同 に は な ら な い.   ま た,合 同 な ２つ の 弧 は 等 しい とい う.等 し い ２つの 弧 は,半 径 の 等 しい(つ ま り,合 同 な)円 周 上 に あ る ．   円周S(O)は,点

Ｏ を 中心 とす る 回 転 移 動 に よ って 再 びS(O)に

重 な り合 う

か ら,次 の こ とが わ か る.   ｂ.

弧 と 中 心 角  同 一 の 円周,ま

た は 半 径 の 等 し い ２つ の 円周 に お い て は,

次 の こ とが 成 り立 つ.   １)２ つ の 等 しい 弧 に対 す る 中心 角 は等 し い.   ２)２ つ の 弧 に つ い て,対 す る 中心 角 が 等 しい な らば,弧

も等 しい.

  ３)２ つ の 弧 に つ い て,対 す る 中心 角が 大 きい弧 は,中 心 角が 小 さい 弧 よ り も 大 きい.

図4.2

  円 周 の 中 心 を弦 の 両 端 に結 ん で で き る ３角 形 は ２等 辺 ３角 形 で あ るか ら,３ 章 の 定 理3.2節

ｂ に 対 応 して,次 が 成 り立 つ.

  ｃ. 弦 の 性 質   円 周s(0)の

弦ABと,弦ABに

△OABが

なわ ち,弦ABが

単 純 ３角 形 な らば(す

は す べ て 一 致 す る.

対 す る 中 心 角 に つ い て, 直 径 で な け れ ば),次

の直線

１)中 心 角 ∠AOBを

２等 分 す る 直 線．

２)中 心 Ｏ か ら弦ABに ３)中 心 Ｏ と弦ABの

下 ろ した 垂 線.

４)弦ABを

中 点 を結 ぶ 直 線．

垂 直 に ２等 分 す る 直 線.

図4.3

  円周 の 弧 と,こ れ に 対 す る 弦 とで 囲 まれ た 図形 を 弓 形 と い う.ま た,１ つ の 中心 角 の 内部 に あ る 円 盤 の 一 部 分 を扇 形 と い う.半 円 盤 は,中 心 角180°

の扇

形であ る．

図4.4 

弓

形

 

 

扇

4.2 

  円 周S(O)上

の弧ABに

円

形 

周

対 し,弧ABを

対 す る 中 心 角 で あ っ た.S(O)上

半

角

内部 に 含 む角 ∠AOBが,弧ABに

で,弧ABを

除 い た 残 りの 弧 を弧ABの

弧 とい い,共 役 弧 の 上 に １点 Ｐ を とる と き,∠APBを に 対 す る(ま た は,上

図4.5

円

に立 つ)円 周 角 とい う.

弧AB

共役

， ま た は,弦AB

  ａ. 円周 角 の 定 理   (１)円周 に お い て,そ の 上 の １つ の 弧 に 対 す る 円 周 角 の 大 き さは,そ

の 弧 に 対 す る 中 心 角 大 き さ の 半 分 に 等 しい.

  (２)同 じ弧 に対 す る 円周 角 の 大 き さは 等 し い.

図4.6

  証 明   (１)が証 明 され る と,共 役 弧 上 の 点 Ｐ の 選 び 方 に 関係 な く,弧 に 対 す る 円 周 角 は 中 心 角 の 半 分 で あ って,一 定 で あ るか ら,(２)も 示 され る.   〔(１)の証 明 〕 円周 をS(O)と

し,弧 をAB，

円 周 角 の １つ を ∠APBと

する

と,Ｐ の 位 置 に よ っ て次 の ３つ の 場 合 が あ る.

図4.7

 (イ)Ｐ

を 通 る 直 径 がPB(ま

  △OPAは,(OP)=(OA)の  

(  ロ)Ｐ

な る場 合 ：

２ 等 辺 ３ 角 形 だ か ら, (∠OPA)=(∠OAP)…

 ま た,    ①,②

た は, PA)と

①

(∠AOB)=(∠OPA)+(∠OAP)… か ら, 

②

(∠AOB)=2(∠OPA)=2(∠APB) 

を 通 る 直 径 の 他 端 Ｋ が 弧AB上

に あ る 場 合 ：(イ)と

  △OPAで, 

(∠AOK)=2(∠OPA)…

③

  △OPBで, 

(∠BOK)=2(∠OPB)…

④

  ③+④   (ハ)Ｐ

同 様 に,

 (∠AOB)=2(∠OPA)+2(∠OPB)=2(∠APB) を 通 る 直 径 の 他 端 Ｋ が 弧ABの

共 役 弧 上 に あ る 場 合 ：(イ)と 同 様 に,

 △OPAで, 

(∠AOK)=2(∠OPA)…

⑤

 △OPBで, 

(∠BOK)=2(∠OPB)…

⑥

 ⑥-⑤  ｂ.

 

(∠AOB)=2(∠OPB)-2(∠OPA)=2(∠APB)

系   半 円 周(お

よ び 直 径)に

対 す る 円周 角 は 直 角 で あ る .

図4.8

図4.9

  覚 書   上 の 円 周 角 の 定 理 の 証 明 に お い て,弧 が 半 円 周 よ り大 き い と き に は, 常 に(ロ)の

場 合 に な り,(イ)と(ハ)の

  前 述 の4.1節

ｂ と合 わ せ る と,弧

場合は生 じない. と円 周 角 に つ い て,次 の こ とが い え る.

  ｃ. 弧 ・弦 と 円周 角  同 一 の 円周,ま

た は 半径 の 等 し い ２つ の 円 周 に お い て

は,次 の こ とが 成 り立 つ.   １)２ つ の 等 しい 弧(ま

た は,弦)に

  ２)２ つ の 弧(ま た は,弦)に た は,弦)も

対 す る 円 周 角 は等 しい.

つ い て,対 す る 円周 角が 等 しい な らば,弧(ま

等 しい.

  ３)２ つ の弧 につ い て,対 す る 円周 角 が 大 きい 弧 は,円 周 角が 小 さい 弧 よ り も 大 きい.

図4.10

  ｄ.

問   図4.11の

図4.11

よ う に,平

行 な ２直 線 が 円 周 と 交 わ る と き,こ

の 間 に あ る ２つ の 弧 は 等 しい こ と を 示せ .

の ２直 線

  円 周 角 の 定 理 に つ い て は,次

  ｅ.

の よ う な 表 現 で,そ

円 周 角 の 定 理 の 逆   ２点 Ｃ,Ｐ が 直 線ABの

(∠ACP)な

ら ば,４

の 逆 も成 り立 つ ．

同 じ側 に あ る と き,(∠APB)=

点 Ａ,  Ｂ,  Ｃ,Ｐ は 同 一 円 周 上 に あ る.

図4.12

  証 明   ３点 Ａ,Ｂ，Ｃ を通 る円 周(つ

ま り,△ABCの

外 接 円)をＳ

とす る.点

Ｐ が こ の 円周Ｓ 上 にあ る こ とを 証 明 す る.   (イ)Ｐ が Ｓ 上 に あ る と き ：円周 角 の 定 理 か ら,(∠APB)=(∠ACB).   (ロ)Ｐ がＳ の 内部 に あ る と き ：BPの と,∠APBは

△AQPの

 

延 長 と弧ACBと

の交 点 を Ｑ と す る

頂 点 Ｐ に お け る外 角 だ か ら, (∠APB)＞(∠AQB)=(∠ACB)

図4.13

図4.14

  (ハ)Ｐ

が Ｓ の 外 部 に あ る と き ：弦AB上

分PDは

１点 で 交 わ る.こ

お け る 外 角 で,∠BQDは

に １点 Ｄ を と る と,弧ACBと

の 点 を Ｑ と す る と,∠AQDは △BPQの

 (∠APD)＜(∠AQD), 

△APQの

頂 点 Ｑ に お け る 外 角 だ か ら, (∠BPD)＜(∠BQD)

  こ れ ら を 辺 々 加 え て,  

(∠APB)=(∠APD)+(∠BPD)

 

＜(∠AQD)+(∠BQD)=(∠AQB)=(∠ACB)

  よ っ て,Ｐ がＳ 上 に な い と す る と,上 の(ロ)か(ハ)の (∠ACB)で

あ る.し

た が っ て,(∠APB)=(∠ACB)と

上 に あ る 場 合 に 限 る.

場 合 だ か ら,(∠APB)≠ な る の は,Ｐ

線

頂点 Ｑ に

が 弧ACB

 次 の 定 理 は,円

周 角 の 定 理 の 応 用 で あ るが,円

周 と多 角 形 を議 論 す る際 に は

よ く使 わ れ る基 本 的 な もの で あ る.  ｆ. 定 理(接 弦 定 理)  円周 の弦 と,そ の 一 端 を通 る接 線 との な す 角 の 大 きさ は,そ の 角 内 に あ る弧 に対 す る円 周 角 の 大 き さ に等 し い.

図4.15 

(１) 

(２) 

  証 明   下 図 の よ う に,円 周S(O)上 の 接 線 をAT,弧ABに

に ２点 Ａ,Ｂ が あ り,点 Ａ を 通 るS(O)

対 す る 円 周 角 を ∠ACBと

図4.16 

(３)

す る.

(１) 

 (１)∠TABが

(３)

鋭 角 の 場 合:

 (∠TAD)=90°

だ か ら, 

(∠TAB)=90°-(∠BAD)…

①

 (∠ACD)=90°

だ か ら, 

(∠ACB)=90°-(∠BCD)…

②

  弧BDに

対 す る 円 周 角 と み て, 

  ①,②,③

よ り, 

 (２)∠TABが

直 角 の 場 合:接

 (３)∠TABが

鈍 角 の 場 合:

(∠BAD)=(∠BCD)…

③

(∠TAB)=(∠ACB) 線 の 性 質(2.3節ⅰ)よ

り,明

ら か.

 (∠TAD)=90°

だ か ら, 

(∠TAB)=90°+(∠BAD)…

④

 (∠ACD)=90°

だ か ら, 

(∠ACB)=90°+(∠BAD)…

⑤

  弧BDに   ④,⑤,⑥

対 す る 円 周 角 と み て,  よ り, 

(∠BAD)=(∠BCD)… (∠TAB)=(∠ACB)

⑥

  上 の 証 明 を よ く見 る と,逆 質(2.3節ⅰ-(2))の   ｇ. 系

も正 しい こ とが 容 易 に わ か る.こ れ は,接 線 の 性

一 般 化 に もな って い る.

円 周 Ｓ の 弦 の 一端 を 通 る 直 線〓 につ い て,弦 と〓 の なす 角 の 大 き さ

が こ の 角 内 の 弧 に 対 す る円 周 角 の 大 き さ と等 しい な らば,〓 は Ｓ の 接 線 で あ る.

図4.17

 ｈ.

例

題  (１)円周 に 内接 す る ４角 形 の対 角 の 大 き さの 和 は180° で あ る.

  (２)１組 の対 角 の 大 き さの 和 が180°

の ４角 形 は,円 周 に 内接 す る.

 証 明  (１)□ABCDが

内接 す る と し,弧ADC,弧ABCに

円周S(O)に

す る 中心 角 の 大 き さ を,そ れ ぞ れ,α,β  

とす れ ば,円

周 角 の 定 理 よ り,

(∠B)=1/2α ，(∠D)=1/2β

  こ こ で,α+β=360°

 

だ か ら(図4.18),

(∠B)+(∠D)=1/2(α+β)=180°

図4.19

図4.18

  (２)□ABCDに

お い て,(∠B)+(∠D)=180°

と す る と,O＜(∠B)＜180°

で あ る か ら,３ 点 Ａ,Ｂ ，Ｃ は 同 一 直 線 上 に は な い.図4.19の 外 接 円 をＳ を 作 る と,前

と し,弧ABCの 半 の(１)か

よ う に,△ABCの

共 役 弧 上 に １点 Ｅ を と っ て Ｓ に 内 接 す る □ABCE ら,

対

  (∠B)+(∠E)=180°   と こ ろ が,(∠B)十(∠D)=180°   ま た,０

＜(∠D)＜180°

こ と も わ か る.よ

だ か ら,Ｄ

っ て,円

つ ま り,□ABCDは

だ か ら,(∠E)=(∠D).

円 周Ｓ

…

の 方 に 延 長 し た 半 直 線 が,Aiの な す 角(と

∠Aiの)外

の 図4.20に

点 に お け る 外 角 で あ り,×

図4.20 

  頂 点Aiに

ｅ)か ら,Ｄ

，Aｎ）の 頂 点Aiに 近 くでⅡ

そ の 対 頂 角)を, Ⅱ

角 と い う.下

.2節

つ い て Ｅ と同 じ側 に あ る はＳ 上 に あ る.

に 内接 す る.

  多 角 形Ⅱ=Ⅱ(A1,A2，A3，

AiAi+1の

は 直 線ACに

周 角 の 定 理 の 逆(4

お い て,辺Ai-1AiをAi

の 外 部 に あ る と き ,こ の 頂 点Aiに

お い て ,○

の 半 直線 と辺

お け る(ま

た は ,頂

角

印 のつい た角は それぞれの 頂

印 の つ い た 角 は外 角 で は な い こ と を 示 す .

多角形の外 角

お け る外 角 が あれ ば,∠Aiと

そ の 外 角 の 大 き さ の 和 は 常 に180°

と な る か ら,上 の 例 題 ｈ は 次 の よ うに い い換 え る こ とが で き る.  ｉ． 系   (１)円周 に 内 接 す る ４角 形 の １つ の 内 角 の 大 き さは,そ

の対角 にお

け る外 角 の 大 き さ に等 しい ．   (２)４角 形 の １頂 点 に お け る外 角が あ っ て,そ の 大 き さが,そ の 大 き さ に等 しい と き,こ の ４角 形 は 円周 に 内 接 す る .

図4.21

の頂 点の対 角

  4.3 

  ａ.一

２つ の 円 周 の 位 置 関 係

直 線 上 に な い ３点 を 通 る円 周 は １つ しか な い か ら(2.3節

円 周 に つ い て も,そ の 共 有 点 の 個 数 に よ って,次

ｅ),２ つ の

の ３つ の 場 合が 考 え られ る.

  (１)共有 点 が な い.   (２)１点 を共 有 す る  … ２円周 は 接 す る とい い,共 有 点 を 接 点 とい う.   (３)２点 を共 有 す る  … ２円周 は 交 わ る とい う.   これ よ り,２ つ の 円 周 の 位 置 関係 は,次

の ５通 りで あ る こ とが わ か る.

  (1‐1)互 い に他 方 の 外 部 にあ っ て,共 有 点 が な い.   (1‐2)一方 が 他 方 の 内 部 にあ っ て,共 有 点 が な い.   (2‐1)互い に他 方 の外 部 に あ っ て,接 す る  … ２円周 は外 接 す る とい う.   (2‐2)一方 が 他 方 の 内 部 に あ っ て,接 す る  … ２円周 は 内接 す る とい う.   (３)２円 周 は 交 わ る.

図4.22 

２つ の 円周 の 位 置 関係

  ２つ の 円周 の 中 心が 同 じ点 の と き,こ の ２円 周 を 同心 円(周)と

い う.中 心

が 異 な る 点 の と き,こ れ を結 ぶ 直 線 を,２ 円周 の 中 心 線 とい う.   ま た,交 わ る ２つ の 円 周 の ２交 点 を 結 ぶ 線 分 を,２ 円 周 の 共 通 弦 とい う.   弦 の 性 質(4.2節c)と

接 線 の 性 質(2．3節ⅰ)か

ら,次 が こ とが い え る.

  ｂ.

定 理(中 心 線 の 性 質)  (１)２つ の 円周 が 交 わ る と き,中 心 線 は 共 通 弦 を

垂 直 に ２等 分 す る.   (２)２つ の 円 周 が 接 す る と き,中 心 線 は接 点 を通 る.   (３)２つ の 円 周 の 共 有 点 が 中 心 線 上 に あれ ば,こ

の ２円周 は 接 す る.

図4.23

  ２つ の 円 周S(O)とS(O')の

中 心 間 の 距 離(OO')を

中 心 距 離 とい う.２ つ の

円周 の 半 径 と中 心 距 離 を用 い て,２ 円 周 の位 置 関 係 を ま とめ て お く.   ｃ. 定 理(２ 円 周 の位 置 関係)  ２つ の 円 周 の 半 径 を ｒ,Ｒと し,中 心 距 離 を ｄ とす る と,次 が 成 り立 つ.   (1‐1)２円 周 が 互 い に 他 方 の 外 部 に あ って 共 有 点が な い⇔   (1‐2)２ 円周 の 一 方が 他 方 の 内 部 に あ って 共 有 点が な い ⇔   (2‐1)２円 周 が 外 接 す る ⇔   (2‐2)２円 周 が 内 接 す る⇔   (３)２円 周 が 交 わ る⇔

  d＞r+R   d＜｜r-R｜

  d=r+R   d=｜r-R｜

  r+R＞d＞｜r-R｜

  ２つ の 円周 の 両 方 に接 して い る直 線 を,そ の ２ 円 周 の 共 通 接 線 とい う.共 通 接 線 の う ちで,２ 円周 が こ の接 線 の 同 じ側 に あ る よ う な もの を共 通 外 接 線,反 対 側 にあ る よ うな もの を共 通 内 接 線 と い う.

図4.24 

 ｄ.

共 通接 線

問   ２円 周 の 共 通 接 線 上 で,２ 円周 との 接 点 の 間 の 距 離 を共 通 接 線 の 長

さ とい う.共 通 接 線 の 長 さは,そ れ ら ２円周 の 中 心 距 離 よ りも大 き くな い こ と を証 明 せ よ.ま た,ち

ょ うど 等 し くな る の は ど ん な場 合 か.

 ｅ. 問   ２つ の 円周 が 交 わ る と き,そ の 交 点 で そ れ ぞ れ の 円 周 に 引 い た ２本 の接 線 の な す 角 を,こ の ２円 周 の 交 角 とい う.交 角 の １つ の 大 き さ を θ とす る と,180°-θ

も また 交 角 の 大 き さで あ る.交 角が 直 角 の と き ２円 周 は 直 交 す る

と い う.

図4.25

  中 心 がO,O'の

２つ の 円 周 が 交 わ る と き,交

点 の １つ を Ａ と し,交

角 の大 き

さの １つ を θ と す る と,  

(∠OAO')=θ, 

ま た は   (∠OAO')=180°-θ

  で あ る こ と を 証 明 せ よ.

  ｆ. 例

題   下 の 図 の よ う に,２

つ の 円 周 の 交 点 Ａ,Ｂ を 通 る 直 線 が,こ

円 周 と Ｐ,Ｑ お よ び Ｒ,Ｓ で 交 わ っ て い る.こ

の と き, PR‖QSで

の ２

あ る.

図4.26

  証明

□ABRPは

円 周 に 内 接 して い るか ら,系4．2節ｉ

 

(∠APR)=(∠ABS) 

  (１)線分PQとRSが

交 わ ら な い 場 合 ：□ABSQも

頂 点 Ｑ に お け る外 角 を ∠AQXと

  (２)線 分PQとRSが

… ① 円周 に 内 接 し て い るか ら

す る と,

  (∠ABS)＝(∠AQX)    ①,② か ら,(∠APR)=(∠AQX)が

に よ り,

… ②

成 り立 つ か ら, PR‖QS.

交 わ る場 合 ：円周 角 の 定 理 か ら,   (∠ABS)=(∠AQS) 

 ①,③ か ら,(∠APR)=(∠AQS)が

… ③

成 り立 つ か ら, PR‖QS.

 

4.4 

  ３ 角 形 の 五 心,外 外 心,内

続

・３ 角 形 の 五 心

心 ・垂 心 ・重 心 ・内 心 ・傍 心 は す で に 紹 介 し た.こ

心 お よ び 傍 心 は 直 接 に 円 周 と か か わ る も の で あ っ た.こ

に 関 わ る い くつ か の 性 質 が 揃 っ た と こ ろ で,五

心 に つ い て,特

の う ち,

こ で は,円

周

に こ れ らの 関係

に つ い て 考 察 し て み る．

  ａ. 例 直 線AIと

題

△ABCの

内 心 を Ｉ,∠A内

の 傍 心 を Ｋ,△ABCの

の 交 点 を Ｄ と す る と,(ID)=(KD)=(BD)=(CD)で

り,４ 点 Ｂ,Ｃ,Ｉ,Ｋ は, Ｄ を 中 心 と し,辺   証 明   (∠BAD)=(∠CAD)で  

外 接 円Ｓ

と

あ る.つ

ま

Ｉ,Ｋ を 直 径 と す る 円 周 上 に あ る.

あ る か ら,4.2節 (BD)=(CD) 

ｃ に よ り,

… ①

図4.27

  一 方,Ｉ が 内 心 だ か ら, 

(∠ABI)=(∠CBI)

  ま た,(∠BAI)=(∠CAD)=(∠CBD)だ  

か ら,△DBIに

(∠DIB)=(∠ABI)+(∠BAI)=(∠CBI)+(∠CBD)=(∠DBI)

だ か ら,２   次 に,ABの

等 辺 ３角 形 と な り, 

(ID)=(BD) 

延 長 上 に１ 点 Ｅ を と る と,Kは

 

… ② 傍 心 だ か ら,

(∠EBK)=(∠CBK)

  ま た,(∠DBC)=(∠CAK)=(∠BAK)だ  

お い て,

か ら,△DBKに

お い て,

(∠DBK)=(∠CBK)-(∠DBC)=(∠EBK)-(∠BAK)=(∠DKB)

だ か ら,こ

れ も ２等 辺 ３角 形 と な り, 

  ① ∼ ③ よ り,(ID)=(KD)=(BD)=(CD).

(BD)=(KD) 

… ③

  △ABCの

各 頂 点 か ら,そ

結 ん で 得 ら れ る △DEFを

  ｂ． 定 理(垂

れ ぞ れ,そ △ABCの

垂 足 ３ 角 形 と よ ん だ(3.6節

心 と 内 心)  △ABCが

そ の 垂 足 ３角 形 △DEFの

と Ｆ は 辺BCを

ｆ).

鋭 角 ３ 角 形 な ら ば,△ABCの

垂 心 Ｈ と,

内 心 Ｉは 一 致 す る.

  証 明   (∠BEC)=(∠BFC)=90。 ら,Ｅ

の 対 辺 に 下 ろ し た 垂 線 の 足,  Ｄ,Ｅ,Ｆ を

で,点

Ｅ,Ｆ は 直 線BCの

同 じ側 に あ る か

直 径 と す る 円 周 の 同 一 半 円 周 上 に あ る.よ  (∠EBF)=(∠ECF) 

っ て,

… ①

図4.28

  ま た,(∠BDH)=(∠HFB)=90。

で あ る か ら,４

を 直 径 と す る 同 一 円 周 上 に あ る.よ  

(∠HDF)=(∠FBH) 

  同 様 に,(∠CDH)=(∠HEC)=90°

っ て,

(∠HDE)=(∠HCE) 

  ① ∼ ③

よ り, 

… ② で あ る か ら,４ 点 Ｃ,Ｄ,Ｈ ，Ｅ は 線 分CH

を 直 径 と す る 同 一 円 周 上 に あ る.よ  

点 Ｂ,Ｄ,Ｈ ，Ｆ は 線 分BH

っ て,

… ③

(∠HDE)=(∠HDF)

  ま っ た く 同 様 に, 

(∠HFD)=(∠HFE), 

  し た が っ て,AD,BE,CFは

△DEFの

(∠HED)=(∠HEF) 内 角 の ２等 分 線 で も あ り,Ｈ

は △DEF

の 内 心 と な る.

  問3.5節f-2)で 心,Ｃ

は △HABの

も 指 摘 し た よ う に,Ａ

は △HBCの

垂 心,Ｂ

は △HCAの

垂 心 と な っ て い る か ら,４ 点 Ａ,Ｂ,Ｃ,Ｈ は,あ

等 な 関 係 に あ る と い え る.

垂

る 意 味 で,対

  さて,直 角 ３角 形 に お い て は,そ の 垂心 は,定 義 か ら直 角 の 頂 点 で あ る か ら, 垂 足 ３角 形 は で き ない.△ABCが

鈍 角 ３角 形 の 場 合 は,上 の 定 理 とほ と ん ど

同 じ証 明 で,次 が 得 られ る.   ｃ. 定理(垂 心 と傍 心)  な らば,△ABCの

△ABCが,∠Aが

鈍 角で あ る よ うな,鈍 角 ３角 形

垂 心 Ｈ と,そ の垂 足 ３角 形 △DEFの

∠D内 の傍 心 Ｋ は 一

致 す る.   証 明   上 で も指 摘 した よ うに(前 定 理 の 証 明 と ま っ た く同 じ論 法 で),Ａ △DEFの

内心 で あ る こ とが 示 され る.実 際,直 線DHは

り,直 線BFは

∠DFEの

２等分 線 で あ り,直 線CEは

∠EDFの ∠DEFの

が

２等 分 線 で あ

２等 分 線 で あ る.

図4.29

  と こ ろが,BF⊥CHだ

か ら,3.6節f-(2)よ

お け る外 角 の ２等 分 線 で あ り,CE⊥BHだ の ２等 分 線 で あ る.よ っ て,点   ｄ.

練

習   △ABCの

とす る.直 線ADと Ｄ は線 分HPの   ｅ. 定 に,△ABCの  

Ｈ は △DEFの,∠D内

外 接 円Ｓ との(Ａ

△DEFの

頂点 Ｆに

頂 点 Ｅ に お け る外 角 の傍 心 で もあ る.

垂 心 を Ｈ と し, Ａ か らBCへ

△ABCの

下 ろ し た 垂線 の 足 を Ｄ

以 外 の)交 点 を Ｐ とす る と,

中点 で あ る.

理   △ABCの

外 心 を Ｏ,垂 心 を Ｈ,辺BCの

中 点 を Ｌ と し,さ

外 接 円 の Ｂ を 通 る直 径 の 他 端 を Ｄ とす る と,次 が 成 り立 つ.

(１)４辺 形AHCDは

図4.30

り,CHは か ら, BHは

平行 ４辺 形 で あ る. 

(２)(AH)=2(OL)

ら

  証 明   線 分BDが

外 接 円 の 直 径 ゆ え,(∠BCD)=90°   DC⊥BC 

  一 方,Ｈ

は 垂 心 だ か ら, AH⊥BCで

… ① あ り,①

 DC‖AH    同様 に,DA⊥AB,CH⊥ABだ

と合 わせ て,

… ② か ら,

 DA‖CH    ② と ③ よ り,４ 辺 形AHCDは  

だ か ら,

… ③

平 行 ４辺 形で あ り,そ の 性 質(3.5節

ｂ)よ り,

(AH)=(DC)

  と こ ろで,Ｏ

が 外 心 だ か ら,OL⊥BCで

 

OL‖DC 

  点 Ｌ が 辺BCの

と 合 わ せ て,

… ⑤

中 点 だ か ら,中 点 連 結 定 理(3.5節  

  した が っ て,④

あ り,①

ｇ)よ り,

(DC)=2(OL)

と ⑥ か ら,(AH)=2(OL).

  ｆ. 系   △ABCの

垂 心 を Ｈ,辺BCの

中点 をＬ と し,△ABCの

を 通 る 直 径 の 他 端 を Ｅ とす る.こ の と き,辺BCと

線 分EHは

外接 円の Ａ Ｌで 交 わ り,互

い に 他 を ２等 分 す る.

図4.31

  証 明  上 の定 理 ｅの証 明 と全 く同様 に,  

EB‖CH, 

と な る の で,４ 辺 形CHBEは

EC‖BH

(3.5節 ｂ)に よ り,対 角 線HEは

平 行 ４辺 形 とな る.よ っ て,平 行 ４辺 形 の 性 質 対 角 線BCの

中点 Ｌ で ２等 分 され る.

  ５  比例

これ ま で は,図

と相

似

形 を 合 同 と い う概 念 を 中 心 に 議 論 し て き ま し た.し

か し,こ

れ

だ け で は 図 形 を 取 り扱 う上 で 極 め て 不 便 で あ り,ま た 取 り扱 う図 形 の 範 囲 が 狭 く な っ て し ま い ます.こ

の 章 で は,図

形 を 拡 大 し た り縮 小 し た りの,い

わ ゆ る，相

似 の 概 念 を 導 入 し,改 め て 図 形 を 見 直 す こ と に し ま す． こ の 章 の 最 初 の 部 分 は 準 備 的 な 要 素 が 強 い の で す が,後

 

半 か ら か な り本 格 的 に な り ます.

5.1 

面

積

  図 形 に 関 す る 定 量 と し て,線 分 の"長 登 場 す る の が"ひ

さ",角

ろ が り"を もつ 図 形 の"面

長 さ"を 素 朴 に 認 め た よ うに,"長 これ を基 礎 に して,多 角 形,特

の"大

積"で

き さ(角 度)"に

あ る.こ こ で は,"線

続い て 分の

方 形 の 面 積=(底 辺)×(高 さ)"を 素 朴 に 認 め,

に,３ 角 形 の 面 積 に つ い て 考 察 す る．

ａ． 長 方 形 の 面 積   まず,"面

積"に

対 して 抱 い て い る も ろ も ろ の 性 質 を ま

とめ てみ る と,次 の よ うに な る.   (１)多 角 形Π に 対 し て,面 積 と い う正 の 実 数 が １つ だ け対 応 す る.こ れ を, (Π)で 表 す こ とに す る.   (２)Π,Π1，Π2を多 角 形 とす る ．Π=Π1∪H2で,H1とΠ2が 線 分 ま た は点 を 共 有 す る な らば,次  

(Π)=(Π1)+(Π2)

  (３)２つ の ３角 形 が 合 同 な らば,こ  

が 成 り立 つ.

△ABC≡

△DEF⇒

れ ら は 同 じ面 積 を もつ ．  (△ABC)=(△DEF)

高 々有 限 個 の

 (４)長 方 形 の 面 積 は,隣

り合 う ２辺 の 長 さの 積 で あ る.

  これ ら を面 積 の 公 理 と して 採 用 し,話 を 進 め る こ と に す る.  □ABCDに

お い て,そ の ４ つ の 内 角∠A,∠B,∠C,∠Dが

もの が 長 方 形 で あ る.し たが って,こ

すべ て直角 であ る

の と き,

  (長 方 形ABCD)=（AB)×

（BC)

(長 方 形ABCD)=（AB)×

（BC)

  =（BC)×(CD)  

=（CD)×(DA)

 

図5.1 

  △ABCに

長方形 の面積

お い て,∠Aに

対 して 辺BCを

∠ Aを そ の 対 角 とい った(3.1節

そ の 対 辺 とい い,辺BCに

対 して

お い て は,１ 辺BCを

底 辺 とみ

ａ).△ABCに

た と き,そ の 対 角 で あ る頂 点 Ａ か ら直 線BCに (図2.37を

=（DA)×(AB）

参 照).こ

下 した 垂 線 の 長 さ を高 さ とい う

の よ うに 定 め る と,３ 角 形 の 面 積 につ い て,次 の 定 理 が 得

られ る.   ｂ. 定

理

３角 形 の 面 積 は,底 辺 の 長 さ と高 さの 積 の1/2で

  証 明   △ABCの

底 辺 をBC,高

(ｌ) 

さ をAHと

あ る.

す る．

(２) 

(３)

図5.2

  (１)点 Ｈ が 辺BCの

内 部 に あ る 場 合:点

ひ き,点

平 行 線 を 引 け ば,図5.2(1)の

Ａ よ りBCに

ら れ る.□AHBE,□AHCDも    

(□BCDE)=（

Ｂ お よ び 点 Ｃ よ りAHに

長 方 形 で,辺AHの

□AHBE)+(□AHCD)=（BH)・ =｛(BH)+(HC)}・

（AH)=（BC)・

平行 線 を

よ う な 長 方 形BCDEが み を 共 有 す る か ら, （AH)+(HC)・ （AH)

（AH)

得

  一 方,平

行 線 の 性 質(2.1節   △ABH≡

ｅ)か

ら,３ 角 形 の 合 同 条 件 を 用 い て,

△BAE,△ACH≡

△CAD

が わ か る か ら,

  (△ABH)=(△BAE),    また,△ABHと 辺ACの

△BAEは

(△ACH)=(△CAD)

１辺ABの

み を 共 有 し,△ACHと

△CADは

１

み を共 有 す る か ら,   (□AHBE)=(△ABH)+(△BAE)=2(△ABH)   (□AHCD)=(△ACH)+(△CAD)=2(△ACH)

  さ らに,△ABHと

△ACHは

１辺AHの

み を共 有 す る か ら,

 (△ABC)=(△ABH)+(△ACH)   これ ら を最 初 の 式 に代 入 して,求  

め る次 の式 を 得 る.

2(△ABC)=(BC)・(AH)

  (２)点 Ｈ が 頂 点 Ｂ また は Ｃ と 一 致 す る場 合 ：(１)の特 別 な場 合 で,証 明 は よ り単 純 で あ るか ら,省 略 す る.   (３)点 Ｈ が 辺BCの

延 長 上 に あ る 場 合 ：上 の 図5.2(3)の

よ うに,点

Ｈが Ｃ

の側 の 延 長 上 に あ る場 合 に つ い て 証 明 す れ ば 十 分 で あ る.こ の と き ,(１)の 証 明 中 の 最 初 の 等 式 で,＋ を −に し て,あ

と は 少 し工 夫 す る だ け で よい の で,詳

細 は 読 者 に委 ね る.   長 方形 と ３角 形 の 面 積 は 小 学 校 で 学 習 す る基 本 的 な 定 理 で あ るが,こ

れが な

か なか 応 用が 広 い.平 行 線 の 間 の 距 離 が 一 定 な の で,次 が 成 り立 つ.   ｃ. 定

理

１つ の 直 線 上 の ２点 Ａ,Ｂ と,そ の 直線 の 同 じ側 にあ る ２点 Ｐ,Ｑ

に つ い て,次 が 成 り立 つ.   (１)PQ‖AB⇒(△PAB)=(△QAB)   (２)(△PAB)=(△QAB)⇒PQ‖AB

図5.3

  こ の 定 理 を使 え ば,３ 角 形 の １辺 を 固定 した ま ま,そ の 面 積 が 変 わ らな い よ うに変 形 す る こ とが で きる.す な わ ち,   (３)３角 形 の 頂 点 を 底 辺 に平 行 に 移 動 させ て も,面 積 は 変 わ ら な い.   (４)問 ：△ABCの

辺BCの

中 点 を Ｍ とす れ ば,次

の等 式 が 成 り立 つ こ とを

証 明 せ よ ；   (△ABM)=(△ACM)

 

5.2 

ピ タゴ ラス の 定理

  面 積 に 関 連 し た定 理 と して,最 初 に ピ タゴ ラ スの 定 理(ま

たは 三平 方 の定 理)

と よば れ て い る,極 め て 大切 な 定 理 を紹 介 す る.こ の 定 理 に つ い て は,現 代 で も初 等 幾 何 学 の 専 門 誌 に 数年 に １度 は新 しい 証 明 法 が 登 場 す る ほ ど 多 くの 証 明 が 工 夫 され て い る.矢 野(文 れ て い るの で,興   ａ. 定 理(ピ

りの 証 明が 紹 介 さ

味 あ る 読 者 は 参 照 され た い.

タ ゴ ラ ス の 定 理) 

正 方 形 の 面 積 は,直 等 し い.つ

献 ９))に は,こ の うち の15通

直 角 ３角形 に お い て は,斜 辺 を １辺 とす る

角 を は さ む ２辺 を そ れ ぞ れ １辺 とす る 正 方 形 の 面 積 の和 に

ま り,直 角 ３角形 の 斜 辺 の 長 さ をａ と し,直 角 をは さむ ２辺 の長 さ

を ｂ,ｃ とす れ ば,α2=b2+c2が

成 り立 つ.

図5.4

  証 明   Ａ を 直 角 の 頂 点 と す る ３角 形 をABCと 辺 と す る 正 方 形 を そ の 外 側 に か き,こ Ｂ,Ａ,Ｇ,お き,BC,EDと

よ び,Ｃ,Ａ

す る.そ

れ ら をABHK,BCDE,CAGFと

，Ｋ は そ れ ぞ れ 一 直 線 上 に あ る.Ａ

の 交 点 を,そ

の ３辺 をそ れ ぞ れ １

れ ぞ れ Ｐ,Ｑ と す る.

す る と, か らBCに

垂線 を引

  長 方 形BEQPと

△BEAは

底 辺BEが

共 通 で 高 さ も等 し い か ら,

 (□BEQP)=2(△BEA)   同 じ よ う に,    一 方,△BEAと

(□CDQP)=2(△CDA) △BCHに

お い て,(BE)=(BC),(AB)=(HB)で,

 

(∠ABE)=(∠ABC)+(∠CBE)=(∠ABC)+∠R

 

=(∠ABC)+(∠ABH)=(∠HBC)

で あ る か ら,３ 角 形 の 合 同 条 件(2.4節c-①)に   △BEA≡   ゆ え に, 

よ り,

△BCH

(□ABHK)=2(△BCH)=2(△BEA)=(□BEQP)

  同 じ よ う に, 

(□ACFG)=(□CDQP)

  こ れ ら を 加 え て,  

(□ABHK)+(□ACFG)=(□BEQP)+(□CDQP)=(□BEDC)

  (BC)=a,(CA)=b,(AB)=cと   上 の 証 明 か ら,次

  ｂ.系

お け ば,c2十b2=α2.

の 事 実 も容 易 に確 か め られ る ．

  △ABCで,(∠A)=∠R,AP⊥BCと

  １)(AB)2=(BP)・(BC), 

す れ ば,次

が 成 り立 つ.

(AC)2=(CP)・(BC)

  ２)(AP)2=(BP)・(PC)

図5．5

  ｃ.ピ

タ ゴ ラ ス の 定 理 の 逆   ３ 角 形 の ３ 辺 の 長 さａ,ｂ,ｃ

と す る と き,

  a2=b2+c2 な ら ば,こ

の ３ 角 形 はａ に 対 応 す る 辺 を 斜 辺 と す る 直 角 ３ 角 形 で あ る.

  証 明   こ の ３角 形 と は 別 に,直 形 を 作 り,そ

の 斜 辺 の 長 さ を ｄ と す れ ば,d2=b2+c2.

  ゆ え に,d2=a2で る.し

角 を は さ む ２辺 の 長 さが ｂ,ｃで あ る 直 角 ３ 角

た が っ て,は

あ る か ら,d=aと

な り,こ

の ２ つ の ３角 形 は 合 同 で あ

じ め の ３角 形 も 直 角 ３ 角 形 で あ る.

  次 の 定 理 は,３ 角 形 の 中線 定 理 ま た は パ ップ ス の 定 理 と よば れ,ピ 定 理 の 一 種 の 拡 張 に な っ て い る(パ

ップ ス(Pappus)に

  ｄ. 定 理(中

辺BCの

線 定 理)△ABCの

タゴ ラ ス

つ い て は後 述).

中 点 を Ｍ と す る と,

 (AB)2+(AC)2=2{(AＭ)2+(BＭ)2}

図5.6

  証 明   (AB)＞(AC)と と す る と,ピ

す る.点

Ａ か ら 辺BCに

  (AB)2=(AH)2+(BH)2,   

の足 を Ｈ

(AC)2=(AH)2+(CH)2

∴(AB)2+(AC)2=2(AH)2+(BH)2+(CH)2 

  △AMHも  一 方

垂 線 を 下 ろ し,そ

タ ゴ ラ ス の 定 理 よ り,

直 角3角

形 だ か ら, 

… ① (AH)2=(AM)-2(MH)2

,

 

(BH)2={(BM)+(MH)}2=(BM)2+2(BM)・(MH)十(MH)2

 

(CH)2={(CM)-(MH)}2=(CM)2-2(CM)・(MH)+(MH)2

で あ り,(BM)=(CM)で

あ る か ら,こ

れ ら を ① に 代 入 し て 整 理 す る と,定

理

の 式 が 得 ら れ る.   (AB)〓(AC)の

場 合 も 同 様 で あ る.

  ★  ピ タゴ ラ ス は ギ リシ ア の 数 学 者,哲 学 者.音 中 心 に秘 密 結 社 の よ うな 学 派が 結 成 さ れ,ピ い わ れ るが,ど

楽 や 天 文 学 に も通 じ て い た.彼

の よ うな証 明 で あ った か は わ か っ て い な い.上

か ら想 像 さ れ る よ うに,ユ

を

タゴ ラ ス の 定 理 は そ の 一 門が 発 見 し た と で 与 え た 証 明 は,図1.5

ー ク リ ッ ドに よ る もの で あ る.

  直 角 ３角 形 の ３ 辺 の 長 さ とな り得 る ３ つ の 正 の 整 数 の 組(ａ,ｂ ， ｃ)を ピ タ ゴ ラ ス数 と い う.α=m2+n2,b=m2-n2,c=2mnと に よ っ て,た で,古

く さん の ピ タゴ ラ ス 数 が 得 られ る.最

くか ら直 角 を 作 る の に 利 用 さ れ て きた.

し,ｍ

と ｎ に整数値 を入れ る こと

も有 名 な ピ タゴ ラ ス 数 が(5,4,3)

 5.3  線

分 の 比 例

ａ. 線 分 の 内 分 と外 分   線 分ABの

上 に １点 Ｐ が あ っ て ,

 つ ま り,

の と き,Ｐ

は 線 分ABをm：nの

図5.7 

比 に 分 け る ,ま

た は 内 分 す る と い う.

内分点

ま た,ABの

延 長 上 に １点 Ｑ が あ っ て,  つ ま り,

の と き,Ｑ

は 線 分ABをm：nの

図5.8 

比 に 外 分 す る と い う.

外 分点

  線 分ABをm：nの

比 に 内 分 す る 点 を Ｐ と し,(AB)=a,(AP)=xと

す

る と,

 ゆ え に, 

nx=m(a-x)

 こ れ か ら,

 し た が っ て,   こ の 結 果,線

分 を 一 定 の 比 に 分 け る 点 は １つ し か な い こ と が わ か る.

  外 分 点 に つ い て も 同 じ で あ る(た

  な お,線

分ABを

だ し,m=nの

同 じ 比 に 内 分,外

Ａ ，Ｂ ，Ｐ,Ｑ は 調 和 点 列 を な す と い う ．

と き は 外 分 点 を 考 え な い).

分 す る 点 を そ れ ぞ れ Ｐ,Ｑ と す る と き,

  こ こか ら,３ 角 形 の 面 積 と線 分 の 長 さが 関 係 す る 比 例 に ま つ わ る 定 理 が ３つ 続 く.こ れ らは,次 節 以 降 に 対 す る準 備 で もあ る. ｂ.

定

理

△ABCに

つ い て,直 線BC上

に １点 Ｄ を とれ ば,

図5.9

証 明 Ａ か ら 直 線BCに

下 ろ し た 垂 線 をAHと

 2(△ABD)=(AH)･(BD), 

す れ ば,

2(△ACD)=(AH)･(CD)

 こ れ か ら 直 ち に 定 理 の 式 が 得 ら れ る.

ｃ.

定

理

△ABCの

 証 明   〔⇒

の 証 明 〕DE‖BCと

  定 理5.1節

ｃ よ り, 

  定 理5.3節

ｂ よ り,

 し た が っ て,

図5.10

直 線AB，AC上

の 点 Ｄ,Ｅ に つ い て,

す る と,

(△BDE)=(△CDE)

  〔〓

の 証 明 〕点 Ｄ を通 り,BCと

平 行 な直 線 がACと

交 わ る点 を Ｆ とす れ

ば,前 半 で 示 し た こ と と仮 定 よ り,

  よ っ て,Ｅ

と Ｆ は 線 分ACを

上 の 定 理 に お い て,Ｄ,Ｅ 結 定 理(3．5節

  ｄ.定

理

が,そ

ｇ)で あ り,そ

質 的 に 同 じ で あ る が,場

△ABCの

同 じ 比 に 分 割 す る か ら, Ｅ と Ｆ は 一 致 す る.  れ ぞ れ 辺AB,ACの

の 一 般 化 に な っ て い る.次

中点 で あ る場 合が 中 点 連 の 定 理 は上 の 定 理 と本

面に よっては使いやす い．

直 線AB,AC上

の 点 Ｄ,Ｅ に つ い て,

(１) (２)

図5.11

  証 明   (１)定 理5.3節

  点 Ｄ を 通 り,ACに DFCEは

ｂ と 定 理5.3節

ｃ よ り,

平 行 な 直線 が 直 線BCと

平 行 ４辺 形 で あ るか ら, 

交 わ る点 を Ｆ とす る と,４ 辺 形

(DE)=（FC)

  ゆ え に,前 半 で 示 した こ と と合 わせ て,

  (２)定 理5.3節 読 者 に委 ね る.

ｃの 後 半 の証 明(〓)と

同 じ論 法 で 証 明 され るの で,詳 細 は

  こ こ で 上 の 定 理 の 簡 単 な応 用 と し て,３ 角 形 の 角 の ２等 分 線 に まつ わ る比 例 の 定 理 を紹 介 す る.   ｅ. 定 理(頂

角 の ２等 分 線)△ABCの

 

∠Aを

APが

２等分 す る ⇔

辺BC上

の 点 Ｐ に つ い て,

  (AB):(AC)=(BP):(PC)

図5.12

  証 明   〔⇒

の 証 明 〕 Ｃ を 通 っ てAPに

平 行 な 直 線 を 引 き,直

線BAと

の交

点 を Ｄ と す る と,   定 理5.3節   2.1節

ｃ よ り,(BA):(AD)=(BP):(PC) 

… ①

ｅ よ り,(∠BAP)=(∠ADC),(∠CAP)=(∠ACD)

  ま た,APは

∠Aの

２ 等 分 線 だ か ら, 

(∠BAP)=(∠CAP)

  ∴(∠ADC)=(∠ACD)   よ っ て,２

等 辺 ３ 角 形 の 性 質(3.2節

  ② を ① に 代 入 し て,求   〔〓

ｃ)よ

(BA):(AD)=(BP):(PC)

  仮 定 よ り, 

(AB):(AC)=(BP):(PC)

 

∴(AC)=(AD) ２ 等 辺 ３ 角 形 だ か ら, 

  ま た, 

(∠BAP)=(∠ADC), 

  だ か ら, 

(∠BAP)=(∠CAP) 線APは

  ｆ. 定 理(外  

AQが

  証 明   〔⇒

∠Aの

(∠ACD)=(∠ADC)

(∠CAP)=(∠ACD)

２等 分 線 で あ る．

角 の ２ 等 分 線)△ABCの

∠Aの

… ②

引 く と,

 

  つ ま り,直

(AC)=(AD) 

め る 比 例 式 が 得 ら れ る.

の 証 明 〕 前 半 と 同 様 に 平 行 線CDを

  よ っ て,△ACDは

り, 

外 角 を ２等 分 す る ⇔

の 証 明 〕(∠B)＜(∠C)の

辺BCの

延 長 上 の 点 Ｑ に つ い て,

  (AB):(AC)=(BQ):(QC) 場合 に証明すれば十 分であ る．

  Ｃ を 通 っ てAQに  

平 行 な 直 線 を 引 き,BAと

の 交 点 を Ｄ とす る と,

(∠ACD)=(∠CAQ)=(∠XAQ)=(∠ADC)

だ か ら,△ACDは   CD‖QAだ

２等 辺 ３角 形 で,  か ら, 

(AC)=(AD)

(BQ):(QC)=(BA):(AD)=(BA):(AC)

図5.13

  〔〓

の 証 明 〕 前 半 と 同 様 に 平 行 線CDを

引 く と,

  (BQ):(QC)=(BA):(AD)   仮 定 よ り, 

(BQ):(QC)=(AB):(AC)

 

∴(AC)=(AD)

  よ っ て,△ACDは

２ 等 辺 ３ 角 形 だ か ら, 

  ま た,CD‖QAよ

り,(∠ACD)=(∠CAQ),(∠ADC)=(∠XAQ).

  だ か ら,    つ ま り,直

(∠CAQ)=(∠XAQ) 線AQは

∠Aの

  上 の ２ つ の 定 理 か ら,次   ｇ.

問 題(ア

(∠ACD)=(∠ADC)

外 角 ∠CAXを

の 問 題 を 解 く こ と が で き る.

ポ ロ ニ ウ ス の 円)２

あ る よ う な 点 Ｐ は,線

２ 等 分 す る.

分ABをm：nに

の 両 端 と す る 定 円 周 上 に あ る.た

定 点 Ａ,Ｂ か ら の 距 離 の 比m:nが

一定 で

内 分 す る 点 Ｃ と外 分 す る 点 Ｄ を直 径 だ し,m＞0,

n＞0,

m≠nと

す る.

図5.14

  ★  上 の 定 円 周 を ア ポ ロ ニ ウ ス の 円 と い う.ア ポ ロニ ウ ス(Apollonius， -260?)は

ア レ クサ ン ド リア で 活 躍 し た 数 学 者.ユ

曲 線 論 』 を 著 し た.上

の 問 題 で,m=nの

Ｂ.Ｃ.200?

ー ク リ ッ ド幾 何 の 伝 統 の 上 に 『円 錐

と きは,線

分ABの

垂 直 ２等 分 線 と な る.

 

5.4 

  こ こ で,表

メ ネ ラ ウ ス の 定 理 と チ ェバ の 定 理

題 の ２つ の 定 理 を 紹 介 す る.メ

レ キ サ ン ド リ ア に い た 天 文 学 者 で,こ 学 の 教 本 『球 面 論(Sphaerica)』 る.一

方,チ

1678年

ネ ラ ウ ス の 定 理 は,３ に,チ

  ａ.定

何 学 者 と し て も有 名 で あ

イ タ リ ア の 数 学 者 で,チ

の 定 理 の 間 に は 約1600年

点 が 同 一 直 線 上 に あ る(共

ェ バ の 定 理 は ３ 直 線 が １点 で 交 わ る(共

使 わ れ,初

ア

こ に 述べ る メ ネ ラ ウ ス の 定 理 は 球 面 幾 何

に 含 ま れ て お り,幾

ェ バ(Ceva，1647‐1734)は

の 発 見 で あ る か ら,2つ

ネ ラ ウ ス(Menelaus,98頃)は

ェバ の 定 理 は

の 隔 た りが あ る.メ

線 と い う)こ 点 と い う)こ

とを判定す るの とを判定す るのに

等 幾 何 で は 基 本 的 な 定 理 で あ る.

理(メ

ネ ラ ウ ス の 定 理) 

頂 点 以 外 の 点 で,そ

れ ぞ れ,Ｐ,Ｑ,Ｒ

直 線lが,△ABCの

直 線BC,CA,ABと,

で 交 わ れ ば,

  証 明   〔そ の １〕 点 Ａ,Ｂ ，Ｃ を 通 っ て〓 に 交 わ る よ う な ３ つ の 平 行 線 を 引 き, lと の 交 点 を,そ

れ ぞ れ,A',B',C'と

す れ ば,定

理5.3節

ｄ よ り,

図5.15

証 明   〔そ の ２〕 点 Ｃ を 通 り,lと と す る と(図5.16),定

理5.3節

平 行 な 直 線 を 引 き,直

ｃ,ｄ よ り,

線ABと

の交 点 を Ｄ

 証 明   〔そ の ３〕△QBCの

直線BC上

に 点 Ｐ が あ る か ら定 理5.3節

ｂよ り

同 様 に,

図5.16

図5.17

  ★   直 線〓 と △ABCの

位 置 関 係 は い ろ い ろ 考 え ら れ るが,他

ど の 場 合 も,３ 点 Ｐ,Ｑ,Ｒ の う ち,辺BC,CA,AB上

  ｂ.定 を,そ

理(メ

  (１)Ｐ,Ｑ,Ｒ   

ネ ラ ウ ス の 定 理 の 逆)△ABCの

れ ぞ れ Ｐ,Ｑ,Ｒ と し,次

直 線BC,CA,AB上

の ３点

の 条 件 を 満 た す と す る.

の う ち の ２つ は 辺 上 に あ り,残

ま た は,３

の 場 合 も 同様 で あ る.

に あ るの は,２ 点 か ０点 で あ る.

りは 辺 の 延 長 上 に あ る か,

つ と も辺 の 延 長 上 に あ る ．

 (２)   こ の と き,３ 点 Ｐ,Ｑ,Ｒ は 同 一 直 線 上 に あ る.   証 明   条 件(１)か

ら,点

と き,Ｑ

れ ぞ れ 辺CAと

と Ｒ は,そ

と辺ABの Ｓ は 辺BCの

Ｐ が 辺BCの

延 長 上 に あ る.よ 延 長 上 に あ る.し

っ て,直

延 長 上 に あ る と 仮 定 し て も よ い.こ

辺AB上 線QRと

た が っ て,メ

に あ る か,ま 直 線BCの

交 点 を Ｓ と す れ ば,

ネ ラ ウ ス の 定 理(5.4節

ａ)に よ り,

条 件 式(２)と 比 べ て, よ っ て,Ｐ

と Ｓ は 線 分BCを

の

た は そ れ ぞ れ 辺CA

同 じ 比 に 外 分 す る か ら, Ｐ と Ｓ は 一 致 す る.

  ｃ. 定 理(チ

ェバ の 定 理)  点 Ｏ を,△ABCの

い 点 とす る.直 線OAと を Ｑ,直 線OCと

直 線BCと

直 線ABと

直 線BC,CA,AB上

の 交点 を Ｐ,直 線OBと

直線CAと

にはな の交点

の 交 点 を Ｒ とす る と,

図5.18

 証 明  〔そ の １〕 △ARCと

直 線BOR,△BCRと

直 線AOPに,そ

れぞれ メ

ネ ラ ウ ス の 定 理 を適 用 す る と(図5.18),

両 式 を辺 々掛 け 合 わ せ る と,求 め る 式が 得 られ る.   証 明   〔そ の ２〕 点 Ｂ と Ｃ か ら 直 線APに の 交 点 を,そ   BX‖AP‖CYよ

平 行 線 を 引 い て,直

線CR,  BQと

れ ぞ れ Ｘ,Ｙ と す る(図5.19). り,定

図5.19

  証 明   〔そ の ３〕 定 理5.3節

理5.3節

ｃ,5.3節

ｄ を 適 用 し て,

図5.20

ｂ と ３角 形 の 面 積(5.1節

ｂ)よ

り,

同 様 に,

これ ら ３つ の 等 式 を辺 々掛 け 合 わ せ る と,求 め る 式 が 得 られ る .   ★   点 Ｏ と △ABCの

位 置 関 係 は い ろ い ろ 考 え られ るが,図5.18の

れ ば 十 分 で あ る(図2.14参

照).証

明 は ど の 場 合 も 同 じで あ る.い

点 Ｐ，Ｑ,Ｒ の う ち,辺BC,CA,AB上 理(5.4節

３通 りを 考 え ず れ に し て も,３

に あ るの は ３点 か １点 で あ る(メ

ネ ラウスの定

ａ)の 証 明 の 後 の 注 と 比 較 せ よ)．

  ｄ.  定 理(チ

ェ バ の 定 理 の 逆)  △ABCの

れ ぞ れ Ｐ,Ｑ,Ｒ と し,次

直 線BC,CA,AB上

の ３点 を,そ

の 条 件 を 満 た す と す る.

  (１)Ｐ,Ｑ,Ｒ の う ち の １つ は 辺 上 に あ り,残

りは 辺 の 延 長 上 に あ る か，

     ま た は ３つ と も辺 上 に あ る.  (２)   こ の と き,３ 直 線AP,BQ,CRは   証 明   条 件(１)か   こ の と き,も

ら,点

Ｐ が 辺BC上

しBQとCRが

の 交 点 を Ｔ と す る と,チ

  条 件 式(２)と

同 一 点 を 通 る か,ま

に あ る と 仮 定 し て も よ い.

交 わ る な ら ば,そ ェ バ の 定 理(5.4節

ら,点

Ｓ は ２直 線ABとACの

を ふ く む 角 と そ の 対 頂 角 の 内 部 に あ る か ら,Ｔ

 も しBQとCRが

の 交 点 を Ｓ と し,ASとBC

ｃ)か ら,

比 べ て,

  と こ ろ が 条 件(１)か

と Ｔ は 線 分BCを

た は 互 い に 平 行 で あ る.

つ く る 角 の う ち,辺BC は 辺BC上

に あ る.よ

っ て , Ｐ

同 じ 比 に 内 分 す る か ら, Ｐ と Ｔ は 一 致 す る.

平行 な らば,

 これ を 条 件 式(２)に 代 入 して,  す な わ ち,(BP)/（PC)=（QA）/（AC).こ

れ はBQ‖

ＰAを

示 して い る .

  注   チ ェバ の 定 理 の 逆 の 場 合 に は,３ 直 線 が １点 で 交 わ る 場 合 の ほ か に,平

行 にな

る こ と もあ り,こ の 場 合 の 図 の １例 が 下 図 で あ る.３ 点 Ｐ,Ｑ,Ｒ が す べ て 辺 上 に あ る と きに は,も

ち ろん,１

点 で 交 わ る.

図5.21

  ｅ. 練

習

  １)△ABCの

チ ェ バ の 定 理 の 逆 を使 っ て,次

３つ の 中線 は １点 で 交 わ る(重 心(3.6節

  ２)△ABCの3つ   ｆ. 例

ａ)).

の 内 角 の ２等 分線 は １点 で 交 わ る(内 心(3.6節

題   △ABCに

点 を Ｐ,∠Bの

を証 明 せ よ.

ｄ)).

お い て, Ａ に お け る外 角 の ２等 分 線 と直 線BCの

２等 分 線 と辺CAの

交 点 を Ｑ,∠Cの

２等 分 線 と辺ABの

交 交点

を Ｒ とす れ ば,３ 点 Ｐ,Ｑ,Ｒ は 同 一 直 線 上 に あ る.

図5.22

証 明  APは

 一 方

,BQ,CRは

外 角 の ２等 分 線 で あ る か ら,定 理5.3節

内 角 の ２等 分 線 で あ る か ら,定

ｆに よ り,

理5.3節

ｅ に よ り,

 よ っ て,

  と こ ろ で Ｐ は 辺BCの ら,メ

延 長 上 に,Ｑ

ネ ラ ウ ス の 定 理 の 逆(5.4節

は 辺CA上

ｂ)に

に,Ｒ

よ り,Ｐ,Ｑ,Ｒ

は 辺AB上

に あ るか

は 同 一 直 線 上 に あ る.

  ｇ.  例 題(ニ 直 線BCとADの

ュー トン 線)  □ABCDに 交 点 を Ｆ と す る と き,線

つ い て,直

線BAとCDの

分AC,BD,EFの

交 点 を Ｅ,

中点は同一直線上

に あ る.

図5.23

  証 明   線 分AC,BD,EFの BC,CE,EBの (3.5節

中 点 を,そ

ｇ)に

中 点 を,そ

れ ぞ れ Ｐ,Ｑ,Ｒ と す る.さ

れ ぞ れ Ｌ,Ｍ ，Ｎ と す る(図5.23)と,中

よ り,直 線LM，MN,NLは,そ

らに線 分 点連結 定理

れ ぞ れ 点 Ｒ,Ｑ,Ｐ を 通 り,次

が 成

り 立 つ.

(LR)=1/2(BF),(MP)=1/2(CF),(NQ)= (RM)=1/2(DE),(PN)=1/2(EA),(QL)= こ こ で,△EBCと

直 線ADFに

メ ネ ラ ウ ス の 定 理(5

.4節

ａ)を 適 用 す る と,

この 式 に上 の ６個 の 関 係 式 を代 入 す る と,

  こ れ は,△LMNに

対 し て,点

Ｐ,Ｑ,Ｒ が メ ネ ラ ウ ス の 定 理 の 逆(5.4節

の 条 件 を 満 た し て い る こ と を 示 し て い る か ら,同

定 理 に よ っ て,Ｐ,Ｑ,Ｒ

ｂ) は同一

直 線 上 に あ る.   ★   上 の 直 線PQRは,ニ

ュ ー トン に よ り発 見 され た と も,ガ

た と もい わ れ て お り,定 か で な い,そ と い う.

れ で,こ

ウ ス に よ り発 見 さ れ

の 直 線 を ニ ュ − トン 線 また は ガ ウ ス 線

  5.5 

３角 形 の 相 似

 "大 き さは 違 っ て も形が 同 じ"２ つ の 図 形 は"相 似"で あ る とい う.相 似 に つ い て は 一 応 お な じみ で あ ろ うが,相 似 は合 同 に比 べ て か な り難 しい 概 念 で あ る. 相 似 に つ い て 重 要 な の は ３角 形 に 関 す る場 合 だ け な の で,焦

点 を ３角 形 に 絞 っ

て 話 を 進 め る こ とに す る.   ａ. 相 似 変 換   平 面 上 に １点 Ｏ を定 め,正 の 定 意 の 点 Ｐ を,半 直 線OP上

ｋ を与 え る.平 面 上 の 任

で,   (OP')=ｋ(OP)

と な る 点P'に

移 す 規 則 を,点

Ｏ を 中心 とす る 平 面 のｋ 倍 変 換 とい う.

  k倍 変 換 は,  

k＞1の

と き拡 大, 

で あ り,k=1の

と き に は な に も変 化 し な い.

よ う に,点

Ｐ,Ｑ が 点 Ｏ を 中 心 と す るｋ 倍 変 換 に よ り 点P',Q'

に 移 る と き,

で あ る か ら,定

と き縮 小

図5.25

図5.24

  上 の 図5.24の

k＜1の

理5.3節

ｄ に よ っ て,

と な る.さ

ら に,△PQRが

る 辺 は 平 行 だ か ら,対

△P'Q'R'に

角 形 △PQRと

移 る と き ,図5.25の

応 す る 角 の 大 き さ は 等 し い.ま

△P'Q'R'は

点 Ｏ を 中 心(相

よ う に,対

た,こ

似 の 中 心)と

応 す

の と き ,２ つ の ３

し て,相

似の位 置 に

あ る と い う.   平 面 上 で,合

同 変 換(2.4節)とｋ

倍 変 換 を 続 け て 得 られ る 対 応 の こ と を,相

似 比ｋ の 相 似 変 換 と い う.   平 面 上 の 図 形 Ｋ が 相 似 変 換 で 図 形K'に い い,K∽K'で

移 る と き,Ｋ

とK'は

示 す.

  相 似 の 位 置 に あ る ２ つ の 図 形 は も ち ろ ん 相 似 で あ る.k倍 な 図 形 の 性 質(2.4節)と

を 合 わ せ る こ と に よ っ て,次

  (１)２ つ の 図 形 Ｋ とK'が に 等 し く,対

  ｂ.

相 似 な ら ば,対

変 換 の 性 質 と合 同

が わ か る.

応 す る 線 分 の 長 さ の 比 は,相

似 比

応 す る 角 の 大 き さ は 等 し い.

３ 角 形 の 相 似   ２ つ の ３ 角 形 △ABCと

Ｂ と Ｅ,Ｃ

相似 であ る と

△DEFが

相 似 で,頂

点 Ａ と Ｄ,

と Ｆ が 対 応 し て い る な ら ば, ｋ を 相 似 比 と す る と,

  １)(AB):(DE)=(BC):(EF)=(CA):(FD)=1:k   ２)(∠A)=(∠D), 

(∠B)=(∠E), 

(∠C)=(∠F)

で あ る.逆 に,こ れ らの 条件 すべ て を満 たす と き,△ABC∽

△DEFが

結論さ

れ る.実 際,合 同変 換(平 行 移 動,回 転 移 動,対 称 移動)に よって △DEFを して Ａ と Ｄ を重 ね,辺DEを か ら,DFが で あ る.DEが

半 直 線AC上

に あ るか, DFが

外 部 に あ る と きは,さ

て 移 動 し,辺DFも は,点

半 直線AB上

半 直 線AC上

に 重 ね る.こ の とき,(∠A)=(∠D) △ABCの

らにABを

外 部 に あ るか,い ず れ か

対 称 軸 とす る対 称 移 動 に よ っ

に あ る よ うに す る,こ の と き,２ つ の ３角 形

Ａ を 中心 と して 相 似 の 位 置 にあ る こ とは 容 易 に確 か め られ る .

図5.26

移動

  前 ペ ー ジ で 調 べ た こ とは,条 件(１)と(２)に

よ って,３ 角 形 の 相 似 を定 義 し

て も よい こ と を意 味 す る.   しか し,３ 角 形 の 場 合,上

の 証 明 か ら 予 想 され る よ うに,(１),(２)の

すべ て

の 条件 を満 た さな くと も,「これ らの い くつ か 」が わ か れ ば 相 似 で あ る こ とが 判 定 で き る.「… 」 を相 似 条 件 と い う.   ｃ. ３角 形 の 相 似 条 件   ２つ の ３角 形 は,そ れ らの 頂 点 の 間 に 適 当 な一 対 一 の 対 応 を付 け た と き,次 の 各 場 合 に 相似 で あ る.   ① ２組 の 対 応 す る 角 の 大 き さが 等 しい.   ② ２組 の 対 応 す る辺 の 長 さの比 が 等 し く,そ の 対 応 す る辺 の 間 の 角 の大 き さ が 等 しい.   ③ ３組 の 対 応 す る 辺 の 長 さ の比 が 等 しい.   証明

② の 場 合 は,本 質 的 に5.5節

  ① の場 合:△ABC,△DEFに る.△DEFを

移 動 して,Ｄ

と き,(∠A)=(∠D)だ

お い て,(∠A)=(∠D),(∠B)=(∠E)と を Ａ に重 ね,辺DEを

か ら,辺DFは

部 にあ る.外 部 にあ る と きは,さ DFも

半 直 線AC上

EF‖BCで

半 直 線AC上

ら にABを

す

重 ね る.こ の

に あ る か,△ABCの

外

対 称 軸 と し て 対 称 移 動 を行 い,辺 ら,

ｄ に よっ て.

移 動 し た △DEFは

点 Ａ を 中心 と して 相 似 の 位 置 にあ る.

図5.27

 ③ の場 合:△ABCと

半 直 線ABに

に あ る よ うに す る.こ の と き,条 件(∠B)=(∠E)か

あ る.宗 理5.3節

 よ っ て,△ABCと

ｂ と 同 じ で あ るか ら,省 略 す る.

△DEFに

つ い て,

と す る.半

直 線AB上

に 点 Ｐ を(AP)=(DE)と

上 に 点 Ｑ を(AQ)=(DF)と

な る よ う に 選 ぶ と,(＊)よ   だ か ら,定

よ って,△ABCと 定 理5.3節

な る よ う に ,ま

△APQは

理5.3節

た 半 直 線AC

り,

ｄ に よ り,PQ‖BC

点 Ａ を 中 心 と して 相 似 の位 置 に あ り,さ ら に

ｄ に よ り,

で あ る.(＊)と

Ｐ ，Ｑ の と り 方 か ら,

 だ か ら, し た が っ て,３

角 形 の 合 同 条 件(2.4節c−

よ っ て, 

△ABC∽

③)よ

り △APQ≡

△DEF.

△DEF

図5.28

  ★  ２章 の 合 同 に つ い て も上 の 相 似 に つ い て も ３角 形 に つ い て の み 考 察 し た.こ は,他 一般に

れ

の 図 形 に つ い て は,合

同 条 件 や 相 似 条 件 は ほ とん ど 必 要 が な い か ら で もあ る .

,図 形 を"多 角 形"に

限 定 す る と,３ 角 形 の 合 同 条 件 と 相 似 条 件 か ら,次 が 得

ら れ る.   (１)２つ の 多 角 形 が 合 同 で あ る た め の 必 要 十 分 条 件 は,次

の ３ つ で あ る.

  ａ)辺 の 個 数 が 等 し い.   ｂ)対 応 す る 辺 の 長 さ が 等 し い.   ｃ)対 応 す る 角 の 大 き さが 等 し い.   (２)２ つ の 多 角 形 が 相 似 で あ る た め の 必 要 十 分 条 件 は,次   a)辺

の ３つ で あ る.

の 個 数 が 等 し い.

  ｂ)対 応 す る 辺 の 長 さ の 比 が 等 し い.   ｃ)対 応 す る 角 の 大 き さ が 等 し い.   こ れ は,多 い る.

角 形 は,辺

の 長 さ と 角 の 大 き さ とで そ の 形 が 決 定 され る こ と を 示 し て

 

5.6  方 べ き の 定 理

  円 周Ｓ と点 Ｐ が あ って,Ｐ

を通 る直 線ｌ がＳ と交 わ る点 を Ａ,Ｂ とす る.直

線ｌ を い ろ い ろ変 え る と き,(PA)が

大 き くなれ ば(PB)は

小 さ くな るが,そ の

関 係 は 次 の 定 理 で 与 え られ る.

図5.29

  ａ.

定 理(方

べ き の 定 理)  円 周S=S(O,r)とＳ

Ｐ を 通 っ て Ｓ と 交 わ る 任 意 の 直 線 を 引 き,Ｓ   は,直

上 に な い 点 Ｐ が あ る.点 と の 交 点 を Ａ,Ｂ と す れ ば,

(PA)･(PB) 線ｌ に 関 係 せ ず,一

定 で あ る.

  証 明   中 心 Ｏ か らｌ に 下 ろ し た 垂 線 の 足 を Ｃ と す れ ば,Ｃ で あ る(4.1節  

ｃ),そ

(PC)=x, 

こ で,次

は 弦ABの

の よ う に お く.

(CA)=(CB)=y, 

(OP)=d, 

(OC)=h

  (１)Ｐ が 円 周 の 外 部 に あ る と き ：(PA)=x-y,(PB)=x+yだ  

か ら,

(PA)・(PB)=(x-y)(x+y)=x2-y2

  (OB)=r(半

径)だ

か ら,ピ

タ ゴ ラ ス の 定 理(5.2節

 d2=x2+h2,   ゆ え に, x2-y2=d2-r2   し た が っ て, 

図5.30

(PA)・(PB)=d2-r2

r2=y2+h2

ａ)に

よ り,

中点

  (２)Ｐ が 円 周 の 内 部 に あ る と き ：(PA)=y-x,(PB)=y+xと と は(１)と

な り,あ

同 じ よ う に 計 算 し て,   (PA)･(PB)=r2-d2

  い ず れ に し て も,ｒ

と ｄ は 与 え ら れ た 円 周 と 点 Ｐ だ け で 定 ま る 値 で,直

に は 無 関 係 で あ る か ら,(PA)・(PB)は   こ の 一 定 の 値 を,点   点 Ｐ が 円 周Ｓ

  次 は,上

接 証 明 も 容 易 で,(１)は4.2節

当 な ３ 角 形 の 相 似 を 導 き,辺

系(方

図5.31の  

べ き の 定 理) 

よ う に,そ

た は,べ

，Ｂ が 一 致 す る と き に は,こ

の 接 線 で,(PA)・(PB)=(PT)2が

の 定 理 を い い 換 え た も の で あ る が,場

い や す い.直

  ｂ.

一 定 で あ る.

Ｐ の こ の 円 周Ｓ に 関 す る 方 べ き(ま

の 外 部 に あ っ て,Ａ

と す る と,PTはＳ

線〓

き)と

い う.

の一 致点 を Ｔ

成立 する．

合 によっては この形の方が使

ａ,ｉを,(２)は4.2節

ｆを 使 い,適

の 長 さ に 関 す る 比 例 式 を 出 せ ば よ い.

(１)円 周 Ｓ 上 に な い 点 Ｐ を 通 る ２ 直 線 が 円 周Ｓ

れ ぞ れ,Ａ

と,

，Ｂ， お よ び Ｃ,Ｄ で 交 わ っ て い る と き,

(PA)・(PB)=(PC)・(PD)

図5.31

 (２)円 周Ｓ の 外 部 に あ る 点 Ｐ を 通 る 直 線 が 円周Ｓ と ２点 Ａ,Ｂ で 交 わ り,Ｐ を通 る も う １つ の 直 線 が 点 Ｔ で Ｓ に接 して い る と き,   (PA)･(PB)=(PT)2

図5.32

  方 べ き の 定 理 に つ い て は,次

  ｃ.

定 理(方

の 形 で そ の 逆 も 成 立 す る.

べ き の 定 理 の 逆)(１)線

延 長 上 で 交 わ り,そ

分AB，CDが

交 わ るか ， また は 両 方 の

の 交 点 Ｐ に 対 し て,  (PA)・(PB)=(PC)・(PD)

  な ら ば,４

点 Ａ,Ｂ ，Ｃ,Ｄ は 同 一 円 周 上 に あ る.

  (２)点 Ｐ を 端 点 と す る ２つ の 半 直 線 が あ っ て,一

方 の 上 に １点 Ｔ が,他

方 の

上 に ２点 Ａ,Ｂ が あ っ て,  

(PT)2=(PA)・(PB)

  な ら ば,直

線PTは

  証 明   (１)Ａ,Ｂ

３ 点 Ａ,Ｂ ，Ｔ を 通 る 円 周Ｓ(2.3節 ， Ｃ を 通 る 円 周 をＳ

  方 べ き の 定 理(5.6節b-(1))よ

と し,直

り, 

(PA)・(PB)=(PC)・(PD)

  ゆ え に, 

(PD)=(PE) が 円 周Ｓ

の 外 部 に あ っ て も 内 部 に あ っ て も 半 直 線PD,PEは

に つ い て 同 じ 側 に あ る か ら,Ｄ 周Ｓ

と Ｅ は 重 な る.す

△PTBに

お い て, 

  仮 定(PT)2=(PA)・(PB)よ   よ っ て,３

な わ ち,４ 点 Ａ,Ｂ ，Ｃ,Ｄ は 円

り, 

(∠TPA)=(∠BPT)(共

通)

(PA):(PT)=(PT):(PB)

角 形 の 相 似 条 件(5.5節c-②)に

  し た が っ て,(∠ATP)=(∠TBP)と

  ｄ.

Ｐ

上 に あ る.

  (２)△PATと

PTは

の 交 点 を Ｅ と す る と,

(PA)・(PB)=(PC)・(PE)

  仮 定 に よ り, 

  と こ ろ が,Ｐ

線CDと

ｅ)に 接 す る.

よ り,△PAT∽ な り,接

△PTB

弦 定 理 の 逆(4.2節

ｆ)に よ り,

円周 Ｓに接す る．

練

習   交 わ る ２つ の 円 周S(O),S(O')の

は そ の 延 長 上 の １ 点 か ら,円

周S(O)と

と ２ 点 Ｅ,Ｆ で 交 わ る 別 の 直 線 を 引 け ば,４

図5.33

共 通 弦AB上

の １点,ま

２ 点 Ｃ,Ｄ で 交 わ る 直 線,円

た

周S(O')

点 Ｃ,Ｄ,Ｅ,Ｆ は 同 一 円 周 上 に あ る.

  5.7 

  こ れ まで,三

角 比(も

三 角 比 と正 弦 法 則 ・余 弦 法 則

っ と一 般 に 三 角 関 数)に つ い て は,意 識 的 に 使 わ な い

で 済 ませ て き た.こ れ は 中学 校 まで は 扱 わ な い か らで も あ る.し か し,表 題 の 正 弦 法 則 や 余 弦 法 則 は 頻 繁 に使 わ れ る ３角 形 の 定 理 で あ り,是 非 と も紹 介 して お き た い.と

い うわ け で,簡

単 に 三 角 比 を 説 明 して,本 論 に 入 る.

  ａ. 鋭 角の 三 角 比   鋭 角XAYに BCを

下 ろせ ば,直

おい て,AY上

角 ３角 形ABCの

の 任 意 の 点 Ｂ か らAXに

３辺 の長 さ の比 は ∠XAYの

決 ま り,点 Ｂ の 取 り方 に 無 関係 で あ る.そ れ は,AY上 を 下 ろせ ば,３ 角 形 の 相 似 条 件(5.5節c-①)か

図5.34

ら垂 線B'C'

△AB'C'で,

図5.35

と な る か ら で あ る.そ  

大 き さだ け で

の 他 の 点B'か

ら,△ABCつ 

こ で,

(∠A)=A, 

(BC)=a, 

(CA)=b, 

(AB）=c

と し,   と お い て,こ

sinA=a/c, 

cosA=b/c, 

れ ら を 順 に,Ａ

の 正 弦(sine),余

と よ ぶ ． 上 の 定 義 で,A=0°,90°   こ の 定 義 と 図5.36か  ｂ.  定

図5.36

理

ら,次

tanA=a/b 弦(cosine),正

で も よ い が, tan90°

接(tangent)

は 定 義 し な い.

が わ か る.

  cos(90°-Ａ

垂線

）=sinA.

  ｃ. 鈍 角 の 三 角 比   次 に,0° ＜Ａ ≦180° な る角 に つ い て も三 角 比 を定 義 す る.∠XAYの

大 き さ をＡ と し,AY上

の 任 意 の 点 Ｂ か ら直 線AXに

下 ろ した

垂 線 の 足 を Ｃ とす る.

図5.37

  こ の 場 合 も,(BC)=a,(CA)=b,(AB)=cと

お い て,Ａ

の 正 弦,余

弦,

正 接 を 順 に 次 の 式 で 定 義 す る.

 

sinA=a/c，

 

  こ の よ う に 定 め る と,次   ｄ.

定

理0。

cosA=-b/c, 

tanA=-a/b

の 関 係 が 成 り立 つ こ と が 容 易 に 確 か め られ る.

≦A≦180°

  sin(180°-A)=sin 

の と き,次 A，

が 成 り立 つ.

  cos(180°-A)=-cosA

図5.38

  と こ ろ で,前 あ る.し

ペ ー ジ の 図5.34で

た が っ て,ピ

も 上 の 図5.37で

タ ゴ ラ ス の 定 理(5.2節

も,△ABCは

ａ)よ

り,

  a2+b2=c2  ゆ え に, こ の 式 をsinとcoｓ

ｅ.

定

を 使 っ て 書 き直 す と,次

理   0°≦A≦180°

に 対 し て,次

  sin2A+cos2A=1

が 得 ら れ る.

が 成 り卒 つ.

直 角 ３角 形 で

  三 角 比 の 間 に は,こ

の 他 に 覚 え き れ な い ほ ど の 関 係 式 が 知 ら れ て い る が,こ

こ で は 深 入 り し な い で,図   △ABCに

形 の 話 に戻 る こ と にす る ．

お い て,3.4節(図3.19)に

 

辺の 長 さを

  (BC)=α, 

 

角 の大 きさを

  (∠A)=A, 

従 っ て,次

の よ う に 表 す.

(CA)=b, 

(AB)=c

(∠B)=B, 

(∠C)=c

図5.39

  こ のａ,ｂ，ｃ,Ａ，Ｂ ，Ｃの 間 の 関 係 を 調 べ る の が 目 的 で あ る.   ３ 角 形 の 角 が 決 まれ ば 形 が 決 ま る か ら,辺 れ に つ い て は,次

  ｆ. 定 理(正

弦 法 則)△ABCに

  証 明   △ABCの る と,円

お い て,Ｒ

を そ の 外 接 円 の 半 径 と す る と,

外 接 円 をS=S(O,R)と

周 角 の 定 理(4.2節a,b)に

 

の 長 さ の 比 も 決 ま る は ず で あ る.こ

が 成 り立 つ.

し, Ｂ を 通 る 直 径 の 他 端 を Ｄ と す よ り,

∠BCD=90°, 

(∠A)=(∠D)

図5.40

  も し ∠Aが

鈍 角 で あ れ ば,□ABDCはＳ

り,D=(∠D)=180°-Aで

 同 じ よ う に し て,b/sinB=2R, 

 sinA=sinD=(BC)/(BD)=a/2R

に 内 接 す る か ら,4.2節h-(1)に

あ る.よ

っ て,定

c/sinC=2Rが

理5.7節

ｄ よ り,

得 ら れ る.

よ

  正 弦 法 則 に よ って,３ 角 形 の ２つ の 角 の 大 き さが 与 え ら れ れ ば,３ 辺 の 比 が 求 め られ る.ま た,１ 辺 の 長 さ と ２つ の 角 の 大 き さが 与 え られ れ ば,残

りの ２

辺 の 長 さが わ か る.   ｇ.  練

習   △ABCの

外 接 円 の 半 径 を Ｒ とす る と,

  (１)(△ABC)=abc/4R   (２)点 Ａ を 通 り,そ れ ぞ れ 点 Ｂ,Ｃ で 直 線BCに

接 す る ２つ の 円周 の 半 径 を

ｐ,ｑとす れ ば,pq=R2.   ３角形 で ２辺 の 長 さ とそ の 間 の 角 の 大 き さが 与 え られ れ ば,第

３の 辺 の 長 さ

が 求 め られ る.そ れ に つ い て は,次 が 成 り立 つ.   ｈ. 定 理(余

弦 法 則)  △ABCに

お い て,

a2=b2+c2-2bccosA, b2=c2+a2-2cacosB,

c2=a2+b2-2abcosC,

  証 明   す べ て の 等 式 を 書 きあ げ たが,も で あ る.頂 点 Ｂ か ら直 線CAに

ち ろ ん 最 初 の 等 式 を証 明す れ ば 十 分

下 ろ し た 垂 線 の 足 を Ｄ とす る.

図5.41

こ れ ら の 図 の い ず れ の 場 合 に も,   (BD)=csin A,  よ つ て,ピ  

(CD)=｜b-ccos A｜

タ ゴ ラ ス の 定 理(5.2節

ａ)と

a2=(BD)2+(CD)2=(csin

定 理5.7節

A)2+(b-coos  

=c2

sin2

 

=b2+c2(sin2

 

=b2+c2-2bccos

ｅ よ り, A)2

A+b2-2bccos

A+c2cos2

A+cos2

A)-2bccos A

A A

 ｉ. 定 理(ス

チ ュ ワ.ートの 定 理)△ABCの

辺BCをm:nに

内 分 す る点 を

Ｄ とす れ ば,  

n(AB)2+m(AC)2=(n+m)(AD)2+mn/m+n(BC)2   =(m+n)(AD)2+n(BD)2+m(CD)2

図5．42

 証 明   まず,次

の 等 式 が 成 立 す るす る こ と に 注 意 す る.

  (BD)=m/m+n(BC),(CD)=n/m+n(BC)…

①

こ の ① を 代 入 す る こ と に よ り,２ 番 目 の 等 号 が 成 り 立 つ こ と が 示 さ れ る.   さ て,(∠ADB)=θ と5.6節

と お き,△ABD,△ACDに

余 弦 法 則 を 適 用 す る と,①

ｄ の 関 係 式cos(180°-θ)=-cosθ

が 得 ら れ る.上

の 式 に ｎ を,下

を 考 慮 す れ ば,

の 式 に ｍ を 掛 け て 辺 々 加 え る と １番 目 の 等 式

が 得 ら れ る.   ★   上 の 定 理 は ス チ ュ ワー ト(Stewart，1717‐1785)が1740年 の 名 前 が つ け られ て い るが,紀 212)が BCの

元 前300年

発 見 し た と も い わ れ て い る.こ 中 点 で,(BC)=2(BD)で

  と な って,中 形ABCで,斜

に 発 表 した ので,彼

頃 ア ル キ メ デ ス(Archimedes, の 定 理 で,m:n=1：1と

B.C．287?-

す る と,Ｄ

は辺

あ るか ら,定 理 の 等 式 は

(AB)2+(AC)2=2((AD)2+(BD)2) 線 定 理(パ 辺BCの

は ピ タ ゴ ラ ス の 定 理(52節

ップ ス の 定 理,5.2節

ｄ)と な る ．(∠A)=∠Rな

る直 角 ３角

中 点 Ｄ は そ の 外 心 で あ るか ら,(AD)=(BD)で,上

の 等式

ａ)の 等 式 と な る.

  ｊ. 3角 形 の 角 の ２ 等 分 線 の 長 さ  △ABCの と,そ

の 中 線 の 長 さ は,中

が で き る.同

様 に,３

線 定 理(パ

３辺 の 長 さａ,ｂ,ｃが 与 え ら れ る

ッ プ ス の 定 理,5.2節

ｄ)か

ら求め ること

角 形 の 頂 角 の ２等 分 線 の 長 さ も 求 め る こ とが で き る.証

明 の 方 法 は い ろ い ろ あ る が,せ

っ か く な の で ス チ ュ ア ー トの 定 理(5.7節ｉ)を

使 う 方 法 を 紹 介 し よ う.   △ABCに

お い て,∠Aの

２等 分 線 と 辺BCの

交 点 を Ｄ と す る と,定

理5.3

節ｅ よ り,

図5.43

  こ れ ら を,ス

チ ュ ア ー トの 定 理(5.7節

割 っ て 整 理 す る と,次

ｉ）の 等 式 に 代 入 し,b+cで

両辺 を

の 式 が 得 ら れ る.

  (１)３ 角 形 の 角 の ２等 分 線 の 長 さ:

上 の 右 辺 を変 形 す る と,次 の 式 に な る.  (２)(AD)= △ABCの

面 積(5.2節

ｂ)は,一

般 にsinの

定 義 か ら,次

の よ う に 表 せ る.

 (３)

  この 事 実 と,三 角 比 の公 式(本 等 分 線ADの  (４)(AD)=

長 さは,次

書 で は扱 って い な い)を 使 う と,上 の 角 の ２

の よ うに も求 め られ る.

 ６  多 辺 形 と円 周

こ の 章 で は,こ

れ ま で 準 備 して き た す べ て の 道 具 を動 員 し て,平 面 幾 何 の 有 名 な

定 理 を い くつ か 紹 介 す る こ と に し ます.多

少,寄

せ 集 め の 観 が あ り ます が,入

門

書 で は 目標 とす る 定 理 が ほ とん ど で す.

  6.13 

 ａ.

定 理(オ

と き,Ｇ

角 形

イ ラ ー 線)△ABCの

は 線 分OH上

と 円 周

外 心 を Ｏ,重

に あ り,こ

れ を1:2に

心 を Ｇ,垂

心 を Ｈ とす る

内 分 す る.

図6.1

  証 明  辺BCの   OL⊥BC, 

中 点 を Ｌ と し,線 AH⊥BCだ

  よ っ て △AHG'∽ で あ る.し

△LOG'で

分ALとOHの

交 点 を Ｇ’と す る.

か ら, OL‖AH. あ り,そ の 相 似 比 は 定 理4.4節ｅ

に よ っ て,2:1

た が っ て,   (AG'):(LG')=(AH):(LO)=2:1

  ALは

中 線 だ か ら,3.6節ａ

  ★   こ の 定 理 の 直 線OGHを い わ れ て い るが,オ

よ り,Ｇ'は △ABCの

△ABCの

重 心 Ｇ と 一 致 す る．

オ イ ラ ー 線 と い う.オ イ ラ ー が 発 見 し た と

イ ラ ー 以 前 に 他 の 人 が 発 見 し た 可 能 性 も指 摘 され て い る.

  次 の 定 理 もオ イ ラ ーの 定 理 あ る い は オ イ ラー の 公 式 と して 有 名 で あ り,ま た 実 際,美

し くもあ り有 効 で もあ る.「内 心 」 と 「外 心 」 と きた ら 「オ イラ ー の 公

式 」 とい わ れ る ほ ど で あ る.証 明 の 方 法 もい ろ い ろ あ るが,前

節で述べ た方べ

きの 定 理 を使 う証 明 を紹 介 す る.  ｂ.

定 理(オ

イ ラ ー の 公 式)△ABCの

外 心 を Ｏ,内 心 を Ｉ,外 接 円 と内 接

円 の 半径 を,そ れ ぞ れ Ｒ,ｒ と し,距 離(OI)を   d2=R2-2rR；

 

ｄ とす れ ば,

R2-d2=2rR

図6.2

  証 明   (ヒ ン ト:後 の 方 の 等 式 の 左 辺 は,点 べ き で あ る.よ

っ て,Ⅰ を 通 る 適 当 な 弦 を 探 せ ば よ い.)頂

接 円S=S(O)と

の 交 点 を Ｌ と す る と,円

て,Ｌ

２等 分 し,内

は 弧BCを

直 径 の 他 端 を Ｍ と す る.い  

Ｉの △ABCの

角 Ａ の ２等 分 線 と 外

周 角 の 定 理 の 系(4.2節

心 の 性 質 か らALは

ｃ)に

点Ｉ を 通 る.Ｌ

ま,α=(∠A)/2,β=(∠B)/2と

(∠BML)=(∠BAL)=α,

  頂 点Ⅰ に お け る △ABIの

外接 円に関する方

を 通 るＳ の

お け ば,

(∠LBC)=(∠LAC)=α

外 角 は,(∠BIL)=α+β=(∠LBI)だ

か ら,△LBI

は ２等 辺 ３ 角 形 で あ る ；(LI)=(LB).   ま た,点Ⅰ

か ら 辺ACに

  そ こ で,方

べ き の 定 理(5.6節

よっ

下 ろ し た 垂 線 の 足 を Ｄ とす る と,(ID)=r. ａ)に 上 の 等 式 を 代 入 し て 変 形 す る と,

  次 の 定 理 は,３ 角 形 の 主 要 な ９個 の 点 が 同 一 円 周 上 に あ る こ と を 示 す も の で, そ の 美 し さ に 感 動 し た 者 も多 い.そ

  ｃ.

定 理(九

の 円 周 を そ の ３角 形 の 九 点 円 と い う.

点 円)△ABCの

辺BC,CA,ABの

点 Ａ,Ｂ ，Ｃ か ら 対 辺 に 下 ろ し た 垂 線 の 足 を Ｄ,Ｅ,Ｆ AH,BH,CHの

中 点 を Ｕ,Ｖ,Ｗ

と す る.こ

中 点 を Ｌ,Ｍ ，Ｎ と し,頂 と し,垂

心 を Ｈ,線

の と き,Ｄ,Ｅ,Ｆ,Ｌ,Ｍ

分

，Ｎ,Ｕ,Ｖ,Ｗ

の ９個 の 点 は 同 一 円 周 上 に あ る.

図6.3

  証 明   △ABCの と し,Ｔ

外 心 を ０ ,外

接 円 の 半 径 を ｒ と す る.線

を 中 心 と す る 半 径r/2の

  ま ず,３

中点 を Ｔ

円 周Ｓ が 求 め る 円 周 で あ る こ と を 示 す.

点 Ｌ,Ｕ,Ｄ が 円 周 Ｓ 上 に あ る こ と を 示 す.

  定 理4.4節

ｅ よ り,(AH)=2(OL)だ

 

か ら,

(OL)=(HU)=(AU)

  OL‖ADよ

り, 

OL‖UH，

  よ っ て,□OLHU,□OLUAは (3.5節

分OHの

ｂ)の(３)と(１)か   □OLHUの

  OL‖AU

と も に 平 行 ４辺 形 と な る． 平 行 ４ 辺 形 の 性 質 ら, 対 角 線OHの

中 点 Ｔ は 対 角 線LUの

 

□OLUAの

  よ っ て,２

点 Ｌ,Ｕ は 確 か に 円 周 Ｓ 上 に あ る.

  さ ら に,(∠LDU)=90° も ま た 線 分LUを

対 辺 に つ い て,(LU)=(OA)=r

で あ る か ら,円

周 角 の 定 理 と そ の 逆 に よ っ て,点

Ｄ

直 径 と す る 円 周 Ｓ 上 に あ る.

  ま っ た く同 様 に し て,３ 示 さ れ る か ら,９

中点

点 Ｍ,Ｖ ，Ｅ も ３ 点 Ｎ,Ｗ ，Ｆ も 円 周Ｓ 上 に あ る こ と が

点 は す べ て 円 周Ｓ

上 に あ る.

  ｄ.

系   １  △ABCの

に 同 一 直 線 上 に あ り,Ｇ

外 心 Ｏ,重

心 Ｇ,九

は 線 分OHを1:2に

点 円 の 中 心 Ｔ,垂

心 Ｈ は この 順

内 分 す る 点 で, Ｔ は 線 分OHの

中

点 で あ る.   ｅ.

系   ２  上 の 定 理 ｃ の 記 号 の も と で,△ABCの

節 ｂ)と 垂 足 ３角 形DEF(3.6節 一致す る

中 点 ３ 角 形LMN(3.6

ｆ)の 外 接 円 は と も に △ABCの

九 点 円 と な り,

.

  ｆ. 系

３

き る △KaKbKcの の 定 理(6.1節

△ABCの

外 接 円 Ｓ は,そ

九 点 円 で あ る(ヒ ｃ)か

の ３つ の 傍 心Ka,Kb，Kcを

ン ト ：傍 心 の 性 質(3.6節

ｆ −(４))と 九 点 円

ら 容 易 に わ か る).

  ★  「九 点 円 」 の 名 付 け 親 は ポ ン ス レ ー(Poncelet,1788-1867)で は 九 点 円 と は 別 に 上 の 系 ２ を 証 明 し た の で,ヨ を 「オ イ ラ ーの 円 」 と よん で い る.1804年 に 載 っ た 論 文 に よ る と,こ

あ る.オ

イラー

ー ロ ッパ の 学 者 は しば し ば こ の 円 周

の ビ ー ヴ ァ ン(Bevan)の

イギ リス の 雑 誌

の 頃 す で に この 定 理 は 知 ら れ て い た よ う で あ る.最

全 証 明 は ポ ン ス レ ー で あ り,1821年

の こ と で あ る.ま た,フ

発 見 とい う説 もあ る.遅

(Feuerbach,1800-1834;有

名 な 哲 学 者 フ ォ イ エ ル バ ッハ(1804-1872)の

これ らの 結 果 を 再 発 見 し,さ

れ て ド イ ッの フ ォ イエ ル バ ッハ

ら に 多 くの 新 しい 性 質 を付 け 加 え た が,そ

次 兄)は, れ らが 見 事 で

点 円 の こ と を 「フ ォ イエ ル バ ッハ の 円 」 と よ ぶ 人 も 多 い.次

フ ォ イエ ル バ ッハ の 定 理 と よ ぶ もの で,九

初 の完

ランスの ブ リア ンシ ョン

(Brianchon,1785-1864)の

あ っ た の で,九

結 んでで

は 誰 もが

点 円 の 内 容 を さ ら に 深 く し た も の で あ る．

証 明 は か な り難 しい の で 省 略 す る．

  ｇ.

定 理(フ

ォ イ エ ル バ ッ ハ の 定 理)  △ABCの

円 お よ び ３ つ の 傍 接 円(つ   ★   △ABCの △HABの

ま り,４ 個 の ３接 円)に

垂 心 を Ｈ と す る と,Ａ は △HBCの

垂 心 で あ る(3.5節f-2)問).し

△HCA,△HABの 角 形 の16個

九 点 円 は,△ABCの

九 点 円 Ｓ は 共 通(実

内接

接 す る.

垂心,Ｂ

は △HCAの

垂 心,Ｃ

は

た が っ て,４ 個 の ３角 形 △ABC,△HBC, 際,△LMNの

の ３接 円 が す べ て Ｓ と接 す る こ と に な る．

外 接 円)で,こ

れ ら ４個 の ３

  ｈ.  定 理(シ ABに

ム ソ ン 線)△ABCと

下 ろ し た 垂 線 の 足 を,そ

  Ｐ が △ABCの

１点Ｐ が あ る． Ｐ か ら,３ 直 線BC,CA, れ ぞ れ Ｄ,Ｅ,Ｆ と す る.

外接 円上にあ る ⇔

３ 点 Ｄ,Ｅ,Ｆ は 同 一 直 線 上 に あ る

図6.4

  証 明   〔⇒

の 証 明 〕 △ABCの

外 接 円 をＳ

と す る.点

Ｐ は 弧BC上

にあ る

場 合 に 証 明 す れ ば 十 分 で あ る.   (∠BDP)=(∠BFP)=90° 点 Ｂ,Ｐ,Ｄ,Ｅ は(線 理(4.2節

だ か ら,円 分BPを

周 角 の 定 理 の 逆(4.2節

直 径 と す る)同

ｅ)に よ り,４

一 円 周 上 に あ る の で,円

周 角の定

ａ)に よ り,

    同 様 に,    □ABPCは

(∠BDF)=(∠BPF) 

… ①

(∠CDE)=(∠CPE) 

… ②

円 周 Ｓ に 内 接 し て い る か ら,4.2節ⅰ

に よ り,

  (∠PBF)=(∠PCE)   さ ら に,(∠PFB)=(∠PEC)=90°   △BPF∽  

で あ る か ら,5.5節 △CPE

∴(∠BPF)=(∠CPE) 

  ①,②,③

ｃ に よ り,

よ り,(∠BDF)=(∠CDE)だ

… ③ か ら,(∠EDF)=180°

と な り,３

点 Ｄ,Ｅ,Ｆ は 同 一 直 線 上 に あ る.   〔〓

の 証 明 〕 ほ と ん ど 上 の 逆 を た ど る だ け で あ る か ら,省

  ★   上 の 定 理 で,３ 点 Ｄ,Ｅ,Ｆ を 通 る 直 線 は △ABCの

略 す る.

点 Ｐ に関す るシ ムソ ン線 と

い う名 で 知 られ て い る.イ ギ リス の 数 学 者 シ ム ソ ン(Simson,1687-1768)は,ギ

リ

シ ャ数 学 の 信 奉 者 と して 『原 論 』 の校 訂 を行 い,幾 何 に も算 術 に もか な りの 業 績 を あ げ た． しか し 彼 の 論 文 中 に は こ の 定 理 は 見 つ か ら な い． 実 際 に は ウ ォー レ ス(Wallace, 1768-1843)が1797年

に 発 見 し て い る.

  6.24 

辺 形 と 円 周

  こ こか ら ４辺 形 に まつ わ る話 題 を提 供 す る.最 初 の 定 理 も有 名 で,多 明 方 法 が あ るが,前   ａ. 定 理(ト

くの証

ペ ー ジの シ ム ソ ン線 の 概 念 を使 う方 法 を 紹 介 す る.

レ ミー の 定 理)□ABCDが

円 周 に 内 接 す るた め の 必 要 十 分 条

件 は,２ 組 の 対 辺 ど うしの 積 の和 が 対 角 線 の積 に 等 し い こ とで あ る ；

図6.5

  証 明   〔⇒

図6.6

の 証 明 〕 Ｓ を △ABCの

外 接 円 と し,そ

た,(BC)=a,(CA)=b,(AB)=cと 下 ろ し た 垂 線 の 足 を,そ 理6.1節

ｈ よ り,こ

す る.Ｄ れ ぞ れ,Ｘ,Ｙ,Ｚ

の 半 径 を Ｒ と す る.ま

か ら ３ 直 線BC,CA,ABに

と す る と(図6.6),シ

ム ソ ン線 の 定

れ ら は 同 一 直 線 上 に あ る.

  (∠CXD)=(∠CYD)=90°

だ か ら,円

線 分CDを

直 径 と す る 円 周 上 に あ る.つ

△CXYと

△ABCに

周 角 の 定 理 の 逆 に よ り,点

ま り,Ｄ

は △CXYの

Ｘ,Ｙ は

外 接 円 上 に あ る.

正 弦 法 則 を 適 用 す る と, だ か ら,

 同様 に し て(証 明 の 途 中 で 定 理5.7節

ｄの 関係 を使 うこ とが あ る が),

  こ こ で, 

(XY)+(YZ)=(ZX) 

  だ か ら, 

c(CD)+a(AD)=b(BD)

  す な わ ち, 

(AB)・(CD)+(BC)・(AD)=(AC)・(BD)

  〔〓

の 証 明 〕 点 Ｙ が 線 分XZ以

の 等 式 ① は"３

角 不 等 式"

… ①

外 の ど ん な 場 所 に あ ろ う と も,上

の証明 中

 

(XY)+(YZ)>(ZX)

  に 置 き 換 え な け れ ば な ら な い か ら,し  

た が っ て,

(AB)・(CD)+(BC)・(AD)>(AC)・(BD) 

  こ れ は,点

Ｄ が △ABCの

… ②

外 接 円 上 の 弧CA上

に な い と き は,い

つ で も不 等

式 ② が 成 り 立 つ こ と を 示 し て い る．

  上 の 証 明 は,ト

  ｂ.

レ ミ ー の 定 理 が 次 の よ う に 拡 張 さ れ る こ と を 示 し て い る.

系   □ABCDに

つ い て,次

が 成 り立 つ.

  (AB)・(CD)+(BC)・(AD)〓(AC)・(BD)   ★  ト レ ミー(Ptolemy,85-165)は,ラ

テ ン 名 を プ トレ マ イ オ ス と い うギ リ シ ャ

の 大 天 文 学 者 で あ る． 主 著 に 『ア ル マ ゲ ス ト(Aｌmagest)』 学 の 大 著 が あ り,ギ

  こ こ で,多

とい う13巻

の 天 文 学 ・数

リシ ャ 数 学 の 集 大 成 と も い わ れ る.

角 形 に つ い て い くつ か 言 葉 を 導 入 し,基

本 的 な 性 質 を 調 べ て,後

に 備 え る こ と に す る.

  ｃ.

内 接 多 角 形  ｎ 辺 形C=C(A1,A2，

線 分AiAi+1が をＣ

辺 で あ っ た(2.2節

… ａ).隣

の 対 角 線 と い う.(４ 辺 形 の 対 角 線 は3.5節

らn-3本

の 対 角 線 が 引 け る か ら,ｎ

，An)の

隣 り 合 う ２頂 点 を 結 ぶ

り合 わ な い ２ 頂 点 を 結 ぶ 線 分AiAj ａ で 定 義 し て あ る.)各

辺 形 に はn(n-3)/2本

頂点 か

の対 角 線 が あ る こ

と に な る.  ｎ 辺 形 Ｃ が 単 純 で あ る と き,Ｃ Ｃ を 境 界 と す る ｎ 角 形 と よ び,有

とＣ

形Ⅱ が 凸 で あ る と は,Ⅱ 場 合 で あ っ た(2.2節 Ai-1,Ai,Ai+1が は(n-1)角

界 領 域 を そ の 内 部 と よ ん だ(2.2節

の 任 意 の ２点 Ａ,Ｂ に つ い て,線

ｅ).ｎ 角 形Ⅱ

分ABがⅡ

が 退 化 し て い る と は,あ

同 一 直 線 上 に あ る 場 合 を い う.こ

の 場 合,図

を,

ｅ).ｎ 角 内にあ る

る連 続 す る ３頂 点 形 と し て は, Ⅱ

形 と 同 じ で あ る.

  さ て,ｎ AiAjう

が 囲 む 有 界 領 域 を 合 わ せ た 図 形Ⅱ

角 形Ⅱ

の 対 角 線 は,そ

ち で,(両 端 点 のAiとAjを

角 線 と い う.

の 境 界Ｃ

の 対 角 線 で 定 め る. Ⅱ の 対 角 線 の

除 い て)Ⅱ

の 内 部 に含 まれ る もの を内 部 対

  ｎ 辺 形 Ｃ の す べ て の 頂 点 が 円 周 Ｓ の 上 に あ る と き,Ｃ い,Ｓ

をＣ

の 外 接 円 と よ ん だ(2.3節

は Ｓ に 内接 す る と い

ｆ).円 周 に 内 接 す るｎ 角 形 に つ い て は,

次 の こ と が 成 り立 つ.   (1)ｎ

角 形Ⅱ

が 円 周Ｓ

が っ て,n(n-3)/2本   実 際,Ｓ

はⅡ

に 内 接 す る な ら ば,Ⅱ

た

の 対 角 線 は す べ て 内 部 対 角 線 で あ る. の 連 続 す る ３頂 点 の つ く る ３ 角 形 の 外 接 円 で あ り,退 化 し な い

こ と は 明 ら か で あ る.Ⅱ

の 任 意 の 辺AiAi+1に

割 す る 半 平 面 の 一 方 に あ り,し

た が っ て,Ⅱ

る ｎ 個 の 半 平 面 の 共 通 部 分 で あ る.よ   さ て,こ

は 凸 で 退 化 し て い な い.し

つ い て, Ⅱ は 直 線AiAi+1が

分

は これ ら の 辺 を含 む 直 線 が 分 割 す

っ て,2.2節

ｃ-(1)よ

り,Ⅱ

は 凸 で あ る.

こ で ４ 辺 形 に 話 を 戻 そ う.

  ｄ.  内 接 ４ 角 形 の 面 積   図6.6(1)の 考 え る.ａ,ｂ,ｃ,ｄ

よ う な 円 周 Ｓ に 内 接 す る □ABCDを

は 辺 の 長 さ で,ｌ,ｍ,ｎ

(１) 

は 対 角 線 の 長 さ で あ る.

(２) 

(３)

図6.7

  上 の6.2節

ｃで 確 か め た よ う に,Ｓ に 内 接 す る ４角 形 は す べ て 凸 で 退 化 して

い な い こ と に 注 意 す る.図6.7(1)の Ｄ を含 む方 の ３角 形ACDを

□ABCDを,対

角 線ACで

裏 返 し て 辺ACとCAを

ま た付 け 合 わ せ る と,同

じ 円 周Ｓ に 内 接 す る ４角 形 が で き る.こ れ が 図6.7(2)で,Ｄ で 示 して あ る(実 際,□ABCEがＳ か め る こ とが で きる).こ

切 断 し,頂 点

の移 った先 を Ｅ

に 内 接 す る こ とは,(4.2節

の □ABCEを,対

角 線BEで

ｈ)に よ って 確

切 断 し,頂 点 Ａ を含 む

方 の ３角 形 を裏 返 し て また付 け合 わせ て得 られ た ４辺 形 が 図6.7(3)で こ で は Ａ の 移 った 先 を Ｆ で 示 した.□FBCEも

あ る.こ

ま たＳ に 内接 して い る.

  と こ ろで,こ

れ 以 上 の 変形 は 無 駄 で あ る.と い うの は,図6.7の

３個 の ４角

形 に つ い て,そ

の 対 角 線 を利 用 して 同 じ操 作 を繰 り返 して も,得 られ る ４角 形

は 図6.7の

３個 の ４角 形 の い ず れ か と 合 同 に な る か ら で あ る(も

述 べ る と,a=b=c=dの

場 合 は 正 方 形 で １つ,a=b≠cの

う少 し 正確 に 場 合 は ２つ の

合 同 で な い ４角 形 が で き る).   図6.7の

３個 の ４ 角 形 の 特 徴 は,い

作 り方 か ら,そ 理(6.2節

ず れ も 周 の 長 さ がa+b+c+dで

の 面 積 が 等 し い こ と で あ る.そ

ａ)か

の 共 通 の 面 積 は,ト

あ り, レ ミー の 定

ら,

 〓ｎ=ac+bd,〓m=ab+cd,mn=ad+bc と な る.こ

れ ら の 右 辺 を 比 べ る こ と に よ っ て,「 円 周 に 内 接 す る ４ 角 形 の 面 積 は,

４ 辺 の 長 さ の 対 称 関 数 で あ る 」 こ とが わ か る.実   (１)円 周 に 内 接 す る □ABCDの 2S=a+b+c+dと  

際,次

４ 辺 の 長 さ を 図6.8の

の よ う に な る. よ う に,ａ,ｂ,ｃ,ｄ と し,

す れ ば, (□ABCD)2=(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)

図6.8

  証 明   (□ABCD)=Kと   B+D=180°

し,(∠B)=B,(∠D)=Dと

だ か ら, 

cos D=-cos 

余 弦 法 則 か ら, a2+b2-2abcos 

す る.

B, 

sin D=sin 

B=c2+d2-2cdcos 

D

  ① を 代 入 し て 変 形 す る と,    一 方

2(ab+cd)cos 

B=a2+b2-c2-d2 

… ②

,３ 角 形 の 面 積 の 公 式(5.7節ｊ-(3))と

 だ か ら, 

2(ab+cd)sin 

① か ら,

B=4K 

  ② 式 と ③ 式 を ２ 乗 し て 加 え る と,定

… ③ 理5.7節

 

4(ab+cd)2=(a2+b2‐c2-d2)2+16K2

 

∴16K2=(2ab＋2cd)2-(a2+b2-c2-d2)2

 こ の 後 は,式

の 変 形 だ け で あ る か ら,省

ｅ よ り,

略 す る.

B 

… ①

  (２)問 題 ：□ABCDが

１つ の 円 周 に 内 接 し,か つ 他 の 円周 に外 接 して い る な

らば,(□ABCD)2=abcd.   公 式(１),(２)をブ ラー マグ プ タの公 式 とい う.ブ ラ ーマ グ プ タ(Brahmagupta, 598-660)は

イ ン ドの 天 文 学 者 で 数 学 者.『天 文 学 講 義 』 を著 し,算 術 ・代 数 ・幾

何 ・三 角 法 な ど広 い 分 野 で 活 躍 し,２ 次 方 程 式 ・不 定 方 程 式 の 研 究 で 有 名 で あ る.ブ ラ ー マ グ プ タは,次 の 特 殊 な 内接 ４角 形 の 性 質 も発 見 し て い る.   ｅ. ブ ラー マ グ プ タの 定 理   円 周 Ｓ に 内 接 す る □ABCDの

対 角線 が 点 Ｐ で

直 交 し て い る と き,次 が 成 り立 つ.   (１)Ｐ を通 っ て １辺 に 垂 直 な直 線 は,対 辺 の 中 点 を通 る.   (２)逆 に,Ｐ

を通 っ て １辺 の 中点 を 通 る直 線 は,対 辺 に 垂 直 で あ る.

図6.9

  証 明   (１)  Ｐ か ら 辺BCへ を Ｘ と す れ ば,円

下 ろ し た 垂 線 の 足 を Ｈ と し,PHと

周 角 の 定 理(4.2節

辺ADの

交点

ａ)と 対 頂 角 の 性 質 な ど か ら,

  (∠DPX)=(∠BPH)=(∠PCH)=(∠ACB)=(∠ADB)=(∠XDP) で あ る.ゆ

え に △XPDは

２ 等 辺 ３角 形 で あ る ；(XP)=(XD).

  同 様 に し て,△XAPも

２等 辺 ３ 角 形 で あ る ；(XA)=(XP).

 

∴(XA)=(XP)=(XD)

  (２)辺ADの △ADPは  

(XA)=(XP) 

  ま た,円  

中 点 を Ｘ と し,直

直 角 ３ 角 形 で,Ｘ

線XPとBCの

∴(∠XAP)=(∠XPA)

周 角 の 定 理 と 対 頂 角 の 性 質 か ら,

(∠XAP)=(∠CBP)=(PBH), 

(∠BPH)=(∠XPD)

 ∴(∠BHP)=(∠PBH)+(∠BPH)  

交 点 を Ｈ と す る.こ

は そ の 斜 辺 の 中 点 だ か ら,

=(∠XAP)+(∠DPX)=(∠XPA)+(∠XPD)=90°

の と き,

  多 角 形Ⅱ

の す べ て の 辺 が あ る 円 周Ｓ

に,Ⅱ

に 外 接 す る と い い,Ｓ

はＳ

と 接 す る と き,３ 角 形 の 場 合 と 同 じ よ う

を そ の 内 接 円 と い う.

  こ ん ど は,外

接 ４ 辺 形 に つ い て の 性 質 を ２つ 紹 介 す る.

  ｆ. 定

□ABCDが

理

あ る 円 周Ｓ に 外 接 す る な ら ば,

 

(AB)+(CD)=(AD)+(BC)

  証 明   □ABCDとＳ

と の 接 点 を 図6.10の

よ う に,Ｐ,Ｑ,Ｒ,Ｓ

と す れ ば,接

線 の 長 さ は 等 し い か ら(2.3節ⅰ),   (AP)=(AS), 

(BP)=(BQ), 

(CQ)=(CR), 

図6.10

  ｇ.  定

(DR)=(DS)

図6.11

理

円 周 に 内 接 す る □ABCDが,他

を Ｐ,Ｑ,Ｒ,Ｓ と す れ ば,２   証 明   図6.11を

直 線PRとQSは

参 照.□ABCDはＳ

の 円 周Ｓ

に 外 接 し,そ

の接点

直 交 す る ；PR⊥QS. に 外 接 し て い る か ら,

 (BP)=(BQ) ∴(∠BPQ)=(∠BQP)  

(DR)=(DS) 

  ま た,円

∴(∠DRS)=(∠DSR)

周 に 内 接 す る こ と か ら4.2節

  よ っ て,△BPQと

△DRSの

ｈ よ り,(∠B)+(∠D)=180°

内 角 に つ い て,

  (∠BPQ)+(∠DSR)=180°-{(∠B)+(∠D)}/2=90°   さ ら に,接  

弦 定 理(4.2節

    … ①

ｆ)よ り,

(∠BPQ)=(∠PSQ),(∠DSR)=(∠RPS) 

 ゆ え に,PRとQSの

交 点 を Ｏ と す る と,①

  ∠POS=180°-{(∠PSQ)+(∠RPS)}=90°; 

… ② と ② か ら, PR⊥QS

 6.3  パ ッ プ ス の 定 理 ・デ ザ ル グ の 定 理 ・パ ス カ ル の 定 理

  こ の 節 で は,表

題 に 掲 げ た ３ つ の 重 要 な 定 理 を 紹 介 す る.

  パ ッ プ ス(Pappus)は

紀 元300年

頃,ギ

リ シ ャ,ア

レ クサ ン ド リア で 活 躍 し

た 古 代 最 後 の 偉 大 な 幾 何 学 者 で,『 数 学 全 書(Mathematica を 著 し た.パ

collections)』

ッ プ ス の 名 は す で に ５ 章 の 中 線 定 理(5.2節

次 に 述 べ る 定 理 は17世 が 認 識 さ れ た.い

ｄ)で 現 れ て い る が,

紀 に な っ て 射 影 幾 何 の 基礎 で 重 要 な 役 割 を 果 た す こ と

ろ い ろ な 表 現 が あ る が,次

.  パ ッ プ ス の 定 理   相 異 な る ２ 直 線l,ｍ

は そ の １ つ で あ る. ａ

が あ っ て,l上

に ３ 点 Ａ,Ｃ,Ｅ が,

ｍ 上 に ３ 点 Ｂ,Ｄ,Ｆ が あ る よ う な ６辺 形 Ｃ(A,B,C,D,E,F)が 対 す る ３組 の 辺 を 含 む 直 線ABとDE,  点 Ｐ,Ｑ,Ｒ で 交 わ る と す れ ば,３

CDとFA, 

あ る.こ

EFとBCが,そ

の 相

れぞれ １

点 Ｐ,Ｑ,Ｒ は 同 一 直 線 上 に あ る.

(１) 

図6.12 

８巻

(２)

  この 定 理 の"射 影"的 な性 質 は,こ れ が 純 粋 な結 合 の 定 理 で あ っ て,長 さや 角 の 大 き さな ど に は 関 係 な く,ま た頂 点 の 順 序 に さ え 関係 が な い こ とで あ る.上 の 図6.12に

は,２ つ の場 合 が 示 し て あ る."無 限 遠 点"の 概 念 を導 入 す る と,定

理 の 中の 「交 わ る とす れ ば 」 の 条 件 も とれ て,射 影 幾 何 の 世 界 に 入 るの で あ る が,深

入 りは しな い．

  証 明   △PADと QCが

△PAFは

底 辺PAが

共 通,ま

た △QCDと

共 通 だ か ら,

こ れ ら ２つ の 式 か ら

， ①

△QCFも

底辺

  同 様 の 議 論 を 繰 り返 す.△PADと △QCFは

底 辺QFが

△PCDは

底 辺PDが

共 通,△QAFと

共通 だ か ら,

 …②

こ れ ら ２ つ の 式 か ら,

 ① を ② で 割 って,

 …③

 よ っ て,

  と こ ろ が,△PCDと

△QCDは

底 辺CDが

共 通 だ か ら, CDとPQの

交点

を Ｓ とす れ ば(図6.13),  … ④

図6.14

図6.13

  同 じ よ う に,△PAFと

△QAFは

底 辺AFが

共 通 だ か ら,AFとPQの

交点

を Ｔ と す れ ば(図6.14),

 …⑤  ④ と ⑤ を ③ に 代 入 し て,   こ れ は,Ｓ

と Ｔ が 線 分PQを

わ か る よ う に),Ｓ

と Ｔ の 位 置 は と も に 内 分 す る か,外

と Ｔ は 一 致 す る.S=Tは,直 す る.す

な わ ち,３

同 じ 比 に 分 割 す る こ と を 示 し て い る.(図

線CDとAFの

分 す る か で あ る か ら,Ｓ

交 点 で あ る か ら,Ｒ

点 Ｐ,Ｑ,Ｒ は 同 一 直 線 上 に あ る.

か ら

と も一 致

  次 の 定 理 は,フ が1648年

ラ ン ス の 建 築 家 で 数 学 者 の デ ザ ル グ(Desarugues,1591-1661)

に 発 見 し た も の で,「 両 三 角 形 定 理 」 と も よ ば れ,射

と な る も の の １つ で あ る.上 い て,メ

影 幾何 学 の 基 礎

の パ ップ ス の 定 理 か ら 導 き 出 せ る が,込

ネ ラ ウ ス の 定 理 か ら 導 くの が 簡 単 で あ る． デ ザ ル グ は,透

理 か ら 画 法 幾 何 学 を つ く り出 し,射

み 入 って 視画法 の原

影 幾 何 学 の 基 礎 を築 い た 近代 幾何 学 の 創 始

者 の ひ と りで あ る.

  ｂ.

デ ザ ル グ の 定 理   ２ つ の ３ 角 形 △ABCと

る 頂 点 を 結 ぶ ３ 直 線AA',BB',CC'が 応 す る 直 線ABとA'B'の

△A'B'C'に

つ い て,対

１点 Ｏ で 交 わ る と す る.こ

交 点 Ｐ,BCとB'C'の

応 す

の と き,対

交 点 Ｑ,CAとC'A'の

交点

Ｒ は 同 一 直 線 上 に あ る.

図6.15 

 (２)

(１)

  こ の 定 理 も 射 影 的 で,い

ろ い ろ な 図 が 描 け る が,上

の 図6.15で

は代 表 的 な も

の を ２つ 示 し た.   証 明   △OABと

  同 様 に,△OBCと

直 線A'B'Pに

メ ネ ラ ウ ス の 定 理(5.4節

直 線B'C'Q,△OACと

直 線RC'A'に

ａ)を 適 用 す る と,

メネラウスの定理

を 適 用 す る と,

 これ ら の ３式 を 辺辺 掛 け 合 わせ る と,   よ っ て,△ABCと し て,３

３ 点 Ｐ,Ｑ,Ｒ に メ ネ ラ ウ ス の 定 理 の 逆(5.4節

点 Ｐ,Ｑ,Ｒ は 同 一 直 線 上 に あ る こ とが 結 論 さ れ る.

ｂ)を

適用

  次 に,デ

ザ ル グ の 定 理 の 逆 を 証 明 し よ う.

  ｃ． デ ザ ル グ の 定 理 の 逆   ２つ の ３角 形 △ABCと 線ABとA'B',BCとB'C',CAとC'A'の

△A'B'C'に

交 点 を,そ

る ． ３点 Ｐ,Ｑ,Ｒ が 同 一 直 線 上 に あ る な ら ば,３

つ い て,２ 直

れ ぞ れ,Ｐ,Ｑ,Ｒ

直 線AA',BB',CC'は

とす １点 で

交 わ る.

図6.16

  証 明   ３ 点 Ｐ,Ｑ,Ｒ が 一 直 線 上 に あ る か ら,△AA'P,△CC'Qに 応 す る 頂 点 を 結 ぶ ３ 直 線AC,A'C',PQは   ２直 線AA'とCC'の

交 点 を Ｏ と す る と,２ 直 線A'PとC'Q,PAとQCは,

そ れ ぞ れ Ｂ',Ｂ で 交 わ る か ら,デ 上 に あ る.よ

っ て,３

お い て,対

１点 Ｒ で 交 わ る.

ザ ル グ の 定 理 よ り,３ 点B,B',Ｏ

直 線AA',BB',CC'は

は同一直線

１点 ０ で 交 わ る.

  ★   点 と線 か ら 成 り立 って い る ２つ の 図 形 の 間 に対 応 が つ け られ て,対 応 す る点 を 結 ん だ 直 線 が 同 一 点 Ｏ を 通 る と き,２ つ の 図 形 は １点 Ｏ か ら 配 景 的 で あ る,ま 点 Ｏ を 中 心 と して 配 景 の 位 置 に あ る とい う． また,対

た は,

応 す る 直 線 の 交 点 が 同 一 直 線〓

上 に あ る と き,２ つ の 図 形 は １直 線〓 か ら配 景 的 で あ る,ま

た は,直

線〓 を 軸 と し て

配 景 の 位 置 に あ る とい う.射 影 幾 何 の 精 神 か らい う と,デ ザ ル グ の 定 理 とそ の 逆 は,２ つ の ３角 形 に つ い て,  

１点 か ら 配 景 的 ⇔

と 述 べ る こ とが で き る.た

だ し,平

5.3節

れ を 避 け て,条

ｂ,5.3節

ｃで は,そ

１直 線 か ら 配 景 的

行 線 が 出 て く る場 合 に は 複 雑 に な る の で,定 件 を 加 え て あ る.

  な お,２ つ の ３角 形 が １点 Ｏ か ら配 景 的 で,そ そ れ ぞ れ 平 行 な ら ば,残

の 対 応 す る ３組 の 辺 の う ち ２組 が,

りの １組 の 辺 も平 行 で あ る.こ

中心 と す る相 似 の 位 置 で あ る.

理

の と きが,5.5節

ａの 点 Ｏ を

  こ の 章 の 最 後 は,パ

ス カ ル の 定 理 で 締 め く く る． パ ス カ ル(Pascal,1623‐

1662)は

フ ラ ン ス の 哲 学 者 で 数 学 者.物

才 が16歳

の と き に 著 し た 『円 錐 曲 線 試 論(Eassai

パ ス カ ル と い え ば 『パ ン セ(Pensees sur )』 で あ る が,こ

理 学 者 で あ り,紹 pourles

la religion

介 す る定 理 は こ の 天 coniques)』

に あ る.

et sur quelques

autressujets

れ は キ リ ス ト教 弁 証 論 に 関 す る 断 片 原 稿 が 主 で,死

後 に

出 版 さ れ た.

  ｄ.

パ ス カ ル の 定 理   円 周 に 内 接 す る ６辺 形C=C(A,B，C,D,E,F)の

相

対 す る ３組 の 辺 を 含 む 直 線ABとDE,CDとFA,EFとBCが,そ 点 Ｐ,Ｑ,Ｒ で 交 わ る と す れ ば,３

れ ぞ れ１

点 Ｐ,Ｑ,Ｒ は 同 一 直 線 上 に あ る.

図6.17

  円 周 に 内 接 す る ６辺 形 の タ イ プ は,2.3節 あ る． 上 の 図6.17で

は,こ

(２)の 場 合 に つ い て,さ 対 し て,議 う.そ

ｇ の 例 題 で 調 べ た よ う に,60通

の う ち の ２つ を 示 し て い る． こ こ で は,図6.17の

ら に １つ の 条 件 を 加 え て,証

論 を ど の よ う に 変 更 し た ら よ い か は,読

明 す る.残

り の59通

りに

者 に は容 易 に わ か る で あ ろ

の 「条 件 」 で あ る が,

 

「６辺 形 の 頂 点 を 共 有 し な い ３ 辺 か ら な る 直 線AB，CD,EF

 

(ま た は,BC,DE,FA)が

３ 角 形 を つ くる 」

と い う も の で あ る． ３ 直 線AB，CD,EFの △UVWと

り

す る.こ

の ３ 角 形 と,直

ス の 定 理 を 適 用 す る と,

つ く る ３ 角 形 を 図6.18の

線DPE,AQF，BRCに,そ

よ うに

れ ぞ れ メネ ラ ウ

図6.18

図6.19

  一 方,方

べ き の 定 理(5.6節

 

(UE)・

 

(WC)・

（UF)=（UC)・ （WD)=（WA)・

ｂ)か （UD), 

ら, (VA） ・（VB)=（VE)・

（VF),

（WB)

  こ こ で,最

初 の ３ つ の 式 を 辺 々 掛 け 合 わ せ,こ

理 す る と,次

の 等 式 が 残 る.

  ３ 点 Ｐ,Ｑ,Ｒ の 位 置 を 確 認 し て,メ

れ に あ との ３式 を代 入 し て 整

ネ ラ ウ ス の 定 理 の 逆(5.4節

ｂ)よ

り,３

点 Ｐ,Ｑ,Ｒ は 同 一 直 線 上 に あ る こ と が 結 論 さ れ る.

  さ て,上

の 「３角 形 」 の 条 件 を 満 た さ な い 場 合 は ど うで あ ろ うか.図6.19は,

CD‖EF,CB‖AFの す る と,容

場 合 を 示 し て い る.こ

の 場 合 は,平

行 線 の 性 質 を活 用

易 に Ｐ,Ｑ,Ｒ が 同 一 直 線 上 に あ る こ と が 導 か れ る.

  ★   パ ス カル の 『円 錐 曲 線 試 論 』 に よ る と,パ ス カ ル は こ の 定 理 が 円 周 に 内 接 す る ６辺 形 に 限 らず,一

般 に 円 錐 曲線(次

ペ ー ジ 参 照)上

つ い て 成 り立 つ こ と を 承 知 し て い た と思 わ れ る(の 射 影 幾 何 学 の 教 科 書 を 参 照 され た い).パ

に す べ て の 頂 点 が あ る ６辺 形 に ち に 何 人 か に よ っ て 証 明 さ れ た.

ップ ス の 定 理(6.3節

ａ)と 上 の パ ス カル の

定 理 を 比 較 して み る と,「２直 線 」 と 「円 周 」が 異 な る だ け で あ と は す べ て 同 じ で あ る. ２ 直 線 を 退 化 し た 円錐 曲線 とみ な す と,パ

ッ プ ス の 定 理 とパ ス カ ル の 定 理 を 含 む 次 の

定 理 が 成 り立 つ こ と に な る.   ６ 辺 形 Ｃ(Ａ,Ｂ,  Ｃ,Ｄ,Ｅ,Ｆ)の ３組 の 辺 を 含 む直 線ABとDE,  FAの

BCとEF, 

交 点 が 同 一 直 線 上 に あ る な らば,６ つ の 頂 点 は あ る 円 錐 曲 線 上 に あ る.

CDと

 談 話 室 空 間 内 に1点Ｏ

円錐 曲 線 ・2次 曲線

で 交 わ る 直 線l,mが

あ る.lを

て で き る 下 図 の よ う な 曲面 を 円 錐 と い い,lを と い う.こ 曲線 は,次   1楕

の 円 錐 を,頂 点Ｏ の3つ

ま た,頂

物 線 

3双

を 通 る 平 面 α で 切 断 す る と,そ

線 と な る.こ の2直

そ の 方 程 式 はxとyに

の 切 り口 の

曲線

の 切 り 口 はＯ で 交 わ る2本

線 も 退 化 し た 円 錐 曲 線 と して,仲

平 面 α に 座 標 を 導 入 して,こ

を頂点

錐 曲 線 と 呼 ば れ る.

2放

点Ｏ

転 し

母 線,点Ｏ

を通 らな い 平 面 α で 切 断 す る と,そ

に 分 類 さ れ,円

円 

回転 の 軸 と し てmを1回

そ の 軸,mを

問 に 入 れ る こ とが 多 い.

れ らの 曲 線 上 の 点 を座 標 を使 って(x,y)で

つ い て の2次

の直

表 す と,

方程 式

  f(x,y)=axe+2hxy+by2+2gx+2fy+c=0 と な る の で,円

錐 曲 線 は2次

曲 線 と も呼 ば れ る.座 標 軸 を 上 手 に 選 ん だ と きの

標 準 形 が 下 図 で あ る.f(x,y)が2つ

の1次

式 の 積 に 因数 分 解 され る 場 合 が2直

線 で あ る.

2定 点A,Bか らの 距 離 の 和 が 一 定 な点 Ｐ A,Bを A=Bの

焦 点 とい う. と きが 円周.

定 直 線lとl上 にない 定 点Aか らの 距 離 が 等 しい点P

2定 点A,Bか らの 距 離 の差 が 一 定 な 点 Ｐ A,Bを

Aを 焦 点,lを

準 線.

焦 点 と い う.

 ７  続 ・多辺 形 と円周

こ の 最 後 の 章 で は,２ 章 で 約 束 し た 単 純 多 辺 形 に 関 す る ジ ョル ダ ン の 閉 曲 線 定 理 を 証 明 した 後,多

角 形 の 対 角 線 に つ い て 調 べ ます.さ

ら に,正

多角 形を考 察 しな

が ら,中 学 校 で も習 う円 周 の 長 さ と 円 盤 の 面 積 の 公 式 を導 き ま す.

 

7.1 

多 辺 形 に 関 す る分 離 定 理

  平 面 上 の ２本 の 直 線 は,平 行 で あ るか ， 完 全 に 重 な る(同

じで あ る)か,１

点 で 交 わ る か,の い ず れ か に な る.ま た,平 面 上 の 直 線 は,平 面 を ２つ の 半 平 面 に分 割 し,半 平 面 は 凸 で あ る.こ れ らの こ とを 認 め た うえ で,２ 章 か ら話 を 進 め て きた． この 章 で も,こ れ らが 基 礎 と な る.   ａ. 多 辺 形 に 関 す る領 域 の 交 差 指 数  C=C(A1,A2,…,An)を のｎ 辺 形 と す る.P-Cの

平面 Ｐ 上

点ｘ に対 し,ｘ を端 点 とす る半 直 線 ｍ を,Ｃ

点 を通 ら な い よ うに引 く.こ の と き,ｍ

の頂

とＣ の 各 辺 との 交 点 の 総 数 は 有 限 で,

そ の 数が 偶 数 で あ るか 奇 数 で あ るか は半 直線 ｍ の 選 び 方 に よ らず に決 まる.こ れ は,端

点ｘ を 固 定 して ｍ を 回転 して み る と,Ｃ

の 頂 点 を 通 過 す る前 後 で 交

点 数 に 変 化 が 生ず る が,そ の 変化 は 常 に偶 数 で あ る こ とか ら,確 か め られ る.

図7.1

 そ こ で,(も

ち ろ ん,０

を 偶 数 と し て)

 ｍ とＣ の 各辺 との 交 点 の 総 数が 偶 数  ｍ とＣ の 各辺 との 交 点 の 総 数が 奇 数 と定 め,点   以 下 で,こ

灘ｘ の Ｃ に 関 す る(２ を法 とす る)交 差 指 数 とい う.

  ｂ. 補

の 指 数 に つ い て 考 察 して み よ う. 題   平 面Ｐ 上 の 多 辺 形 Ｃ と,P-Cの

  (１)線分xyが

２点ｘ,yに つ い て,

Ｃ と交 わ ら な い ⇒  〓(x,C)=〓(y,C)

  (２)線分xyがＣ

の あ る １辺 と １点 だ け で 交 わ る ⇒  〓(x,C)≠〓(y,C)

  証 明   (１)半 直 線xy,ま

た は 半 直 線yx上

か ら 明 らか で あ るか ら,そ

うで な い とす る.線 分xyの

分xyの

す ぐ近 くに １点ｚ を 選 ん で,次

  (ⅰ)線 分xy,yzは

にＣ の 頂 点が なけ れ ば,上

の定 義

垂 直 ２等 分 線 上 に,線

の 条 件 を満 たす よ う にで き る.

Ｃ と交 わ らな い.

  (ⅱ)半 直 線xz,yzはＣ

の 頂 点 を通 ら な い.

  す る と,〓(x,C)=〓(z,C)=〓(y,C).   (２)の 証 明 も(１)と ほ とん ど 同 じで あ る.   ｃ. 系   １ Ｃ を平 面 Ｐ 上 の 多 辺 形 とす る.P-Cの Ｌが あ っ て,Ｌ は Ｃ の 頂 点 を通 らず,ま

た Ｃ の 辺 と有 限個 の 点 で 交 わ る と き,

  (１)Ｌ と Ｃ の 辺 との 交 点 数 の 総 数 が 偶 数

⇒  〓(x,C)=〓(y,C)

  (2)Ｌ と Ｃ の 辺 との 交 点 数 の 総 数 が 奇 数 ⇒   こ の 結 果,2.2節ｃ

２点ｘ,ｙ を結 ぶ 折 線

 〓(x,C)≠〓(y,C)

で 定 義 した 領 域 に つ い て,同

じ領 域 内 の 点 は すべ て 同 じ

交 差 指 数 を もつ こ とに な る.し たが って,平 面Ｐ 上 の 多 辺 形 Ｃ に 関 す る 点ｘ の 交 差 指 数 は,P-Cの

各 領 域 に 対 して 定 義 で きる こ とに な る.こ の よ うな考 察

か ら,次 が 証 明 され る.   ｄ. 系   ２ C=C(A1,A2，

…, An)を

平面Ｐ 上 のｎ 辺 形 とす る.も し,任

意 の ２辺AiAi+1とAiAi+1が

高 々 １点 を 交 わ るな らば,Ｃ

は平 面Ｐ を 少 な く

と も ２つ の領 域 に 分 割 す る.   証 明  Ｃ は有 界 だ か ら,P-Cの

非 有 界 領域 に は 点ｘ とｘ を端 点 とす る 半 直

線 ｍ が 存 在 して,ｍ

は Ｃ と 交 わ らな い よ うに で き る． これ は,各 点 のＣ に 関

す る交 差 指 数が ０ とな る領 域 が あ る こ と を 示 して い る.

図7.2

  次 に,AiAi+1を,非

有 界 領 域 の 境 界 と な る 辺 と し,そ の 上 に １点 ｚを他 の

辺 との 交 点 以 外 か ら 選 ぶ.ｚ を 通 るAｉAｉ+1の 垂 線 上 に ２点ⅹ ,ｙを 次 の よ うに 選 ぶ.   (ⅰ)ｘ は非 有 界 領 域 に,ｙ は 直 線AiAi+1に   (ⅱ)線 分xyと

関 し てｘ と反 対 側 に あ る.

Ｃ は,１ 点ｚ に お い て の み 交 わ る.

  す る と,上 の補 題 ｂか ら，〓(ｙ,Ｃ)=1と

な り,こ れ は 各 点 のＣ に 関 す る交

差 指 数 が １と な る領 域 が あ る こ と を 示 し て い る.   上 の 系 を少 し違 った 観 点 か ら見 て,次

の よ う にい い換 え る こ とが で き る.

  ｅ. 系   ３ Ｃ を平 面Ｐ 上 の 多 辺 形 とす る.も し,任 意 の ２辺 が 高 々１点 で 交 わ る な らば,P-Cの の ２つ の 領 域(つ

各 領 域 に 白 か 黒 の ど ち らか の 色 を塗 っ て,隣 …り合 うど

ま り,Ｃ の 辺(の

一 部)で 仕 切 られ た 領 域)の 色 も異 な る よ

うに で きる．

図7.3

  証 明   Ｃ に 関 す る交 差 指 数が ０の 点 を含 む領 域 を 白で,１ の 点 を 含 む領 域 を 黒 で 塗 れ ば よい.

  この よ うな 塗 り分 け は,多 辺 形 が 幾 つ あ って も事 情 は 同 じで,い

つ も可 能 で

あ る.次 に ２つ の 例 を あ げ て あ る.

図7.4

  ｆ. 系   ４ C1とC2を

平 面Ｐ 上 の 多 辺 形 とす る.C1とC2の

の ２辺 が 高 々１点 で 交 わ り,C2がC1上 がC2上

の 交 点 を通 ら な い な らば(ま

の 交 点 を 通 らな い な らば),C1とC2の

  証 明   P-C1の

いず れ も任 意 た は,C1

交 点 の 個 数 は偶 数 で あ る.

領 域 を上 の 系 ３の よ うに,白

と黒 の ２色 で 塗 り分 け る.C2

が その １つ の領 域 に 含 まれ て し ま う場 合 は,交 点 の 個 数 は０ で 偶 数 で あ る.  C2がC1と

交 わ る と き,C2上

か ら 出発 し てC2上

の １点 Ｐ を 白領 域 か ら選 ぶ こ とが で き る.Ｐ

を一 周 す る と き,C1と

交差す ると黒領域に入 って再び交差

し て 白領 域 に 出 る.こ の 状 態 の 繰 り返 しで Ｐ に 戻 る．   ｇ. 定 理(単 純 多 辺 形 の 分 離 定 理) C=C(A1,A2， 単 純 ｎ 辺 形 と す る と,Ｃ   証 明   定 理2.2節

ｂ よ り,n＞3と

Aiを 端 点 と しな い 辺AjAj+1へ で,Ｃ

… ，An)を 平 面 Ｐ 上 の

は Ｐ を ２つ の 領 域 に分 割 す る. す る.各 頂 点Ai(i=1,２,…

，n)か ら,

の 距 離 を 測 り,そ の 最 小 値 を δと す る.そ こ

か ら の 距 離 が δ/3以 下 で あ る よ うな Ｐ の 点 の 全 体 を Ｕ とす る.Ｕ

図7.5の

よ うに,各

辺 か らの 距 離 が δ/3の 平 行 線 と,各 頂 点 を 中 心 とす る半 径

δ/3の 円周 に よ って 囲 まれ る領 域 とな る.

図7.5

は,

  線 分A1A2の

垂 直 ２等 分 線〓 上 に ２点ａ,ｂ を 次 の よ う に 選 ぶ.

  (ⅰ)ａ,ｂ は と も にU-Cの   (ⅱ)線

分abとＣ

  (１)U-Cの

中 に あ る.

と の 交 点 は,〓

と 線 分A1A2の

任 意 の 点ｘ は,U-Cの

と が で き る． 実 際,ｘ

交 点 と 一 致 す る.

中 でａ か ｂの い ず れ か と 折 線 で 結 ぶ こ

か ら 辺 に 沿 っ て 平 行 に 進 み,角

次 の 辺 に 沿 っ て 平 行 に 進 む.こ

れ を 繰 り返 す と,い

の と こ ろで 折 れ 曲が って ず れ〓 と 交 わ る か ら,〓 上

を た ど っ てａ か ｂの い ず れ か に 到 達 す る.   (２)P‐Uの

任 意 の 点ｙ

とが で き る.実

際,Ｃ

も,P-Cの

上 に １点ｚ を と り,線

も 近 い 点 をｘ と す る と,(１)か 線 分yxに

中 でａ か ｂの い ず れ か と 折 線 で 結 ぶ こ

ら,ｘ

はU−Cの

こ の 折 線 を 継 ぎ 足 す と,求

  結 局,(１)と(２)か

ら,P-C上

分yzと

Ｕ の 交 点 の 中 か らｙ に 最

中 で 折 線 で 結 ぶ こ と が で き る.

め る 折 線 と な る. の 任 意 の 点 は,P-Cの

ず れ か と 折 線 で 結 ぶ こ と が で き た.し

た が っ て,P-Cは,aを

を 含 む 領 域 の 高 々 ２ つ の 領 域 に 分 割 さ れ る． と こ ろ が,上 ｂの Ｃ に 関 す る 交 差 指 数 が 異 な る か ら,こ   ★   ジ ョル ダ ン(Camille  で,数

中 でａ

か ｂの い

含 む領 域 と ｂ の 補 題 ｂ か ら ，ａ と

れ ら の 領 域 は 一 致 し な い.

Jordan,1838-1922)は,19世

紀 末 に活 躍 した 数学 者

学 の 広 い 分 野 で 多 くの 業 績 を あ げ た.「ジ ョル ダ ン の 閉 曲線 定 理(Jordan 

theorem)」

の 他 に も,ジ

曲 線 定 理 は,ジ の 論 文 は1887年 1900年

ョル ダ ン の 名 を 冠 し た 定 理 や 理 論 が い くつ も 残 っ て い る． 閉

ョル ダ ン 曲 線 と も よば れ る平 面 上 の 単 純 閉 曲 線 に 関 し て 成 立 す る． こ に 出 た が,そ

の 証 明 に 飛 躍 が あ っ て,完

全 な証明が 与 え られ たの は

代 に な っ て か らで あ る.交 差 指 数 の 概 念 は 有 効 で,上

複 雑 な 囲 い が あ っ て も,勝 手 な 点 に つ い て,そ 線 を１ 本 引 け ば わ か る こ と を 示 して い る.

図7.6

curve

の 証 明 は,迷

路 の よ うな

の 点 が 囲 い の 内 か 外 か の 判 定 は,半

直

 

7.2 

多 辺 形の 内部 対 角 線

  6.2節 ｃに お い て,多 角 形 の対 角 線 と内 部 対 角 線 を定 義 した.こ の 内部 対 角 線 が 常 に あ る こ とを,前 節 の 交 差 指 数 を使 っ て,確   ａ. 定理(内 部 対 角 線)  平 面 Ｐ上 のｎ 角 形Ⅱ=Ⅱ(A1,A2，

こで は,こ

認 す る. …

，An)(n〓4)

に は,少 な く と も １つ の 内 部 対 角 線 が 存 在 す る.   証 明 Ⅱ の ２頂 点 を 結 ぶ 直 線AiAj(i≠j)はn(n-1)/2本

で 有 限 だ か ら,

これ ら の ど れ と も平 行 で な い 直線ｗ が 存 在 す る.Ⅱ は 有 界 だか ら,ｗ を(遠 に 選 ん で)Ⅱ

く

と は 交 わ ら な い よ うに と る こ とが で き る.

図7.7

  こ の と き,頂

点A1,A2，

…,Anとｗ

の 距 離 は す べ て 異 な る か ら,ω

離 が 最 小 と な る 頂 点 が た だ １つ 決 ま る ；こ れ をAｉ た 垂 線 の 足 を Ｈ と す る と,半 ら,半

直 線AiH上

の 点 は(Ａiを

  も し,対

角 線Ai-1Ai+1がⅡ

け れ ば,こ

の 対 角 線 はⅡ

内 点ｘ は,半

直 線AiHは(Aiを

直 線AiHの

除 い て)Ⅱ

除 い て)Ⅱ の 境 界Ｃ

  も し,対

はＣ

の(し

際,線

角 線Ai-1Ai+1が

ば,△Ai-1AiAi+1は

の)内

ま た 半 直 線AiHの

た は,辺AiAi+1)の のＣ

内 点 と,Ｃ

す る.す

わ る とす れ

の な か か ら, ω との る と 対 角 線AiAjは

任 意 の 内 点ｘ は,Ｃ

と は 辺Ai-1Ai(ま

で 交 差 す る 折 線 で 結 ぶ こ と が で き る.

に関する交差指数は

外 に)交

の 他 の 頂 点 を 含 む.そ

分AiAjの

任意の

部 に あ る.

距 離 が 最 小 と な る 頂 点 を １つ 選 ぶ ；こ れ をAiと 際,線

わ らな

分Ai-1Ai+1の

境 界 Ｃ と(Ai-1とAi+1以

そ の 内 部 にⅡ

Ⅱの 内 部 対 角 線 で あ る.実

外 に)交

と は 辺Ai-1Ai(ま

た が っ てⅡ

とは 交 わ らな い か

と(Ai-1とAi+1以

１点 だ け で 交 差 す る 折 線 で 結 ぶ こ と が で き る か ら,ｘ １で あ り,ｘ

らｗ に 下 ろ し

の 外 部 に あ る こ と に 注 意 す る.

の 内 部 対 角 線 で あ る.実 内 点 と,Ｃ

と す る.Aiか

との 距

た は,AiAi+1)の

と は 交 わ ら ず, １点 だ け

  多 角 形Ⅱ

の 内 部 対 角 線 は,Ⅱ

の 数 が 少 な く な る.し わ せ る と,次

  ｂ.  定

を ２ つ の 多 角 形 に 分 割 し,各

た が っ て,上

々 はⅡ

の 定 理 ａ を 次 々 適 用 し,定

よ り も辺

理3.1節

ｂ と合

い に 内 点 を 共 有 し な いn-3本

の内

の お な じ み の 定 理 が 得 ら れ る.

理ｎ

角 形Ⅱ(n〓4)に

部 対 角 線 を 選 ぶ こ と が で き,こ   し た が っ て,ｎ

は,互 れ ら はⅡ

をn-2個

角 形 の 内 角 の 大 き さ の 総 和 は,180°

の ３ 角 形 に 分 割 す る. ×(n-2)で

あ る.

図7.8

  ★   定 理3.1節

ｂ と上 の 定 理 を合 わ せ て 夕 ー レ ス の 定 理 と い うこ とが あ る.夕

ーレ

ス は 紀 元 前 ７世 紀 に 活 躍 し た ギ リ シ ャ の 哲 学 者 で 数 学 者.３ 角 形 の 合 同 条 件(2.4節 ｃ)や 本 書 で しば しば 使 用 し た 定 理5.3節 あ り,論 証 幾 何 学 の 開 祖 と され る.約250年

ｃ な ど も 夕ー レ ス の 定 理 と よ ば れ る こ と が 後 に ユ ー ク リ ッ ドが これ ら の 成 果 を統 合

す る こ とに な る．

  例 題4.2節

ｈ の 後 で,多

角 形 の 外 角 を 定 義 し た.凸

点 に お い て も外 角 が 定 義 さ れ る.多 れ ば,頂

多 角 形 で は,そ

のどの頂

角 形 の あ る頂 点 Ａ に お い て 外 角が 定 義 され

角 Ａ の 大 き さ と そ の 外 角 の 大 き さ の 和 は 常 に180°

で あ る か ら,次

が

得 られ る 。   ｃ. 定

理   凸 で あ るｎ 角 形 の 各 頂 点 に お い て,１

さ の 総 和 は,(ｎ

図7.9

に 無 関 係 に)常

に360°

で あ る．

つ ず つ とっ た 外 角 の 大 き

  7.3  正

 ｎ角 形(n〓3)で,辺 もの を,正

角

形

の 長 さが す べ て 等 し く,内 角 の 大 き さ もすべ て 等 しい

ｎ 角 形 と い う.正ｎ

正 ３角形  

多

角 形 を 総 称 して,正

正 ４角形=正 方形

多 角 形 とい う.

  正 ５角形  

正6角 形

図7.10

 ｎ 角 形 の 内 角 の 大 き さ の 総 和 は180°

×(n-2)で

角 の 大 き さ は180°-360°/nで

あ る.n〓3よ

り 大 き く,180°

た,ど

よ り小 さ い.ま

き さ は360°/nで 関 し て,一

あ る(7.2節

角 形 に つ い て は,次

  ａ. 正ｎ

た が っ て,正

の 内 角 の 大 き さ は0°

ｎ 角 形 は,そ

よ

の大

の任意の辺 に

で あ る こ と も わ か る.

が 成 り立 つ.

角 形   円 周S=S(Ｏ,ｒ)をｎ

角 形 は 正ｎ 角 形 で あ り,し

り,そ

角 形 の各 内

の 角 に つ い て も 外 角 が 定 義 さ れ,そ

方 の 側 に あ る こ と に な り,凸

  実 際,正ｎ

  ま た,正

ｃ).し

あ る か ら,正ｎ

た が っ て,Ｓ

等 分 し た 点 を順次 結 ん で 得 ら れ る 多 は こ の 正 ｎ 角 形 の 外 接 円 で あ る.

ｎ 角 形 は す べ て こ の よ う に し て 得 ら れ る.

図7.12

図7.11

  証 明   円 周Ｓ

をｎ

等 分 し た 点 を 順 次Al,A2，A3，

径OA1,OA2,OA3,…

，OAnは

３角 形OA1A2,OA2A3,… Ⅱ(A1,A2，A3，

…

，Anと

Ｏ の ま わ り を ｎ 等 分 し,ｎ

，OAn-1An,OAnA1は ，An)は

…

正ｎ 角 形 と な る.

す る と,半 個 の

す べ て 合 同 で,ｎ

２等 辺 角 形

  辺 の 長 さがｘ の 正ｎ 角形 は,次 の よ うに し て得 られ る.ま ず,Ｓ に 内 接 す る 正 ｎ角 形 をつ く り,そ の 辺 の 長 さ をａ とす る.こ の 図形 を,点 x/a倍 に 拡 大 す る と よ い.実 際,半 径 がxr/aの

Ｏ を 中心 と し て

円 周 と,こ れ に 内接 す る １辺

の 長 さがｘ の 正ｎ 角 形 が 得 られ る.   ｂ.系

  １  正 ｎ 角 形Ⅱ の 外 接 円 Ｓ に,Ⅱ

の 各 頂 点 で 引 い た接 線 の つ くる

多 角 形 Σ も正 ｎ角 形 で あ り,し たが って,Ｓ は Σ の 内 接 円 で あ る.

図7.13

  ｃ.系

  ２  正 ｎ 角 形 は,必

ず 円 周 に 内 接 し,ま

た 円 周 に 外 接 す る.そ

し て,

こ の ２つ の 円 周 の 中 心 は 一 致 す る.

  ｄ.正

多 角 形 の 周 の 長 さ と 面 積   こ こ で,半

す る 正 ｎ 角 形Ⅱ=Ⅱ(A1,A2,… 〓 (n)と AiAi+1の

面 積S(n)に

，An)の

つ い て 調 べ て み る(次

辺 の 長 さ をa(n)と

内接

す べ て の 辺 の 長 さ の 和)

ペ ー ジ の 図7.14参

中 心 角 を θ と す る と,θ=360°/nで

し た 垂 線 の 長 さ をh(n),１

径 ｒの 円 周S=S(Ｏ,ｒ)に

周 の 長 さ(＝

照).各

辺(弦)

あ る． 中 心 Ｏ か ら 各 辺 に 下 ろ お く と,   … ① 

… ②

が 直 ち に わ か る.②

の ２ 式 を ① の ２ 式 に 代 入 し て,次

 

… ③

    ★   上 のS(n)の sin2α=2sinαcosα

を 得 る.

… ④ ２番 目 の 等 号 に は,加 法 定 理 か ら導 か れ る い わ ゆ る ２倍 角 の 公 式 を 使 用 し た,

  次 に,正

ｎ 角 形Ⅱ=Ⅱ(B1,B2,…,Bn)に,円

場 合 を 考 え る(図7.15).Ⅱ 積 をT(n)と

す る と,上

周S(Ｏ,ｒ)が

の１ 辺 の 長 さ をb(n)と

し,周

内接 して い る

の 長 さ をm(n),面

の 外 接 円 の 場 合 と 同 じ よ う に し て,次

が わ か る．

 …⑤  … ⑥

図7.14

図7.15

  上 で 調 べ た こ とか ら,次 の こ と もわ か る.   ｅ． 辺 の個 数ｎ を 固定 す る と,正 ｎ角 形 の周 の長 さは,そ の外 接 円(お よび, 内 接 円)の 半 径 に 比 例 し,面 積 は そ の 外 接 円(お

よび,内

接 円)の 半 径 の 平 方

に 比 例 す る.

 

7.4 

円周 の 長 さ と円盤 の 面 積

  半 径 ｒが 有 限 の と き,円 周 の 長 さや 円 盤 の 面 積 は,有

限 の 値が 定 ま る の は 当

然 と考 え るで あ ろ う.し か し,数 学 的 に は,必 ず し も 当 然 で は な く,実 数 の 本 質 的 な性 質 と極 限 の議 論が 必 要 と な る.こ

こで は,一 部 の議 論 を 直 感 ・直 観 に

委 ね なが ら,こ れ らを 決 定 し よ う と思 う.   ａ.円

周 の 長 さ  中心 が Ｏ で,半

 Ｓ に 内接 す る正 ４角形A1A2A3A4を

径が ｒの 円 周S=S(Ｏ,ｒ)が

と り,次 に 弧A1A2,A2A3,A3A4,A4A1

を ２等 分 す る点 を 間 に と って 順 にA5,A6,A7,A8と 角 形 が で き る.同 様 に して,Ｓ

あ る.

に 内接 す る正24角

す る と,Ｓ に 内接 す る 正 ８ 形,正25角

つ くって い くと,Ｓ に 内接 す る 正 多 角 形 の 無 限 列 が 得 られ る.

形,…

を順に

  す る と,前

節(7.3節

ｄ)の 記 号 を そ の ま ま 使 う と,定

 初 項 がl(4)=l(22)=4√2rの

理3.4節

ｃ よ り,

単 調 増 加 数 列{l(2n)}

が 得 ら れ る.

図7.16

  次 に,４ 点A1,A2,A3，A4でＳ い て,上

に 外 接 す る 正 ４ 角 形B1B2B3B4を

つ く る.続

で つ く っ た 内 接 正 ８ 角 形 の 頂 点 に お い て Ｓ に 接 す る 正 ８ 角 形 を つ く る.

同 様 に し て,Ｓ

に 外 接 す る 正24角

形,正25角

形,…

Ｓに 外 接 す る 正 多 角 形 の 無 限 列 が 得 ら れ る.再

を 順 に つ く っ て い く と,

び7.3節

ｄ の 記 号 を 使 う と,同

様 に し て,  

初 項 がm(4)=m(22)=8rの

単 調 減 少 数 列{m(2n)}

が 得 ら れ る.   外 接 す る 正 多 角 形 は 内 接 す る 正 多 角 形 を 含 む か ら,  l(22)＜l(23)＜l(24)…＜m(24)＜m(23)＜m(22) が 成 り立 っ て い る.し り,数

列{m(2n)}は

た が っ て,数

列{l(2n)}は

下 界 を も つ 単 調 減 少 数 列 で あ る.よ

列 は,そ

れ ぞ れ 極 限 値 を も つ(実

ろ が,こ

れ ま で の 図 か ら 予 想 さ れ る よ う に,こ

ｎ を 十 分 大 き くす る と,正 近 づ く.十

図7.17

上 界 を もつ 単 調 増 加 数 列 で あ

数 Ｒ の 連 続 性(連

続 の 公 理)に

とtanθ

の ２つ の 数 よ る).と

こ

れ ら の 極 限 値 は 一 致 す る.実

際,

ｎ 角 形 の 中 心 角 θ=360°/nは

分 小 さ な θで はsinθ

っ て,こ

小 さ く な っ て,０

は 一 致 す る の で あ る.

に

  も う少 し,具 体 的 に 見 てみ よ う.前 節(7.3節

ｄ)の ⑤ と ③ か ら,円 周 Ｓ

に外 接 す る 正 ｎ 角形 と内 接 す る正ｎ 角 形 の 周 の 長 さの 差 は,

と な る.こ

こ で,ｎ

→∞

と す る と,こ

れ よ り は る か に 速 く, b(n)-a(n)→0

と な る の で あ る.   そ こ で,上

  ｂ.  定

で 調 べ た こ と を,次

の よ うに ま と め る.

義   半 径 が ｒ の 円 周 Ｓ の 長 さL(r)を,Ｓ

の 長 さ〓(n),お

よ びＳ

に 外 接 す るｎ

に 内 接 す る 正ｎ 角 形 の 周

角 形 の 周 の 長 さm(n)の,n→∞

とし

た と き の極 限 値 と して 定義 す る ；  L(r)=limn→∞l(n)=limn→∞m(n)   次 に,こ

の 円 周 の 長 さ Ｌ(r)を,ｒ

を 使 っ て 表 し て み る.

  2つ の 円 周S=S(0,r)とS'=S(0',r')に 形 を つ く り,そ

 一 方

つ い て,そ

の 周 の 長 さ をl(n),l'(n)と

れ ぞ れ,内

す る と,7.3節

接正 ｎ角

ｄ の ③ よ り,

,

 だ か ら,

  こ れ は,円

周 の 長 さL(r)の

を 示 し て い る.そ 理 数 で,そ

こ で,こ

直 径2rに

対 す る 比 の 値 は,常

の 一 定 の 値 を π と お き,π

の値は

 

π=3.14159265358…

で あ る こ とが 知 ら れ て い る.   こ の よ う に し て,よ

く知 られ た 定 理 に た ど り着 い た.

に一定であ ること

を 円 周 率 と い う.π

は無

  ｃ. 定

理   半 径 が ｒの 円 周 の 長 さ をL(r)と

す れ ば,

 L(r)=2πr   ｄ.  円 盤 の 面 積   次 に 円 盤 の 面 積 を 考 え て み よ う.半   D=D(0,r)の

面 積 Σ(r)も,円

求 め る こ とが で き る.簡

径 が ｒ,中 心 が Ｏ の 円

周 の長 さを 求 め た の とほ とん ど 同 じ方 法 で

単 の た め に,7.4節

ｂで の 議 論 を そ の ま ま使 うこ とに

す る.   円 周Ｓ(0,r)に 面 積 を Ｔ(n)と

内 接 す る 正 ｎ 角 形 の 面 積 をＳ(n)と す る と,7.3節

し,外

接 す る 正 ｎ 角形 の

ｄ の ① と ⑥ か ら,

  と こ ろ が,limn→∞h(n)=r,limn→∞〓(n)=limn→∞m(n)=2πrだ か ら,

    そ こ で,上

limn→ ∞S(n)=πr2,  で 調 べ た こ と を,次

limn→∞

Ｔ(n)=πr2

の よ う に ま と め る.

  ｅ.  定 義 ・定 理   半 径 が ｒ の 円 盤 Ｄ の 面 積 Σ(r)を,Ｄ の 境 界 で あ る 円 周Ｓ 「に 内 接 す る 正 ｎ 角 形 の 面 積Ｓ(n)と ,Ｓ に 外 接 す る 正 ｎ 角 形 の 面 積 Ｔ(n)の, n→∞

と し た と き の,共

通 の 極 限 値 と し て 定 義 す る.す

る と,そ

の 値 は,

 Σ(r)=πr2   ｆ. 扇 形 の 弧 の 長 さ と 面 積   半 径 が 一 定 な 扇 形 の 弧 の 長 さ と 面 積 は,い も そ の 中 心 角 が ｋ倍 に な れ ば,や 比 例 す る.し れ る.半

た が っ て,円

ま り,中

心 角の大 きさに

周 の 長 さ と 円 盤 の 面 積 の 公 式 と 比 較 し て,次

径 が ｒ,中 心 角 が θ の 扇 形 に つ い て,

  弧の長 さ:面

図7.18

は り ｋ倍 に な る,つ

積:

ずれ

が得 ら

 談話 室 弧度 法   角 の 大 き さを 測 るの に,通   △AOBに

お い て,点

例 の60分

の よ うな 測 り方 が あ る.

Ｏ を 中 心 と す る 半 径 ｒの 円 周 を描 き,こ れ が 角 の ２辺 と

交 わ る 点 を Ａ',Ｂ'と す る.こ

 さ をａ とす る と,a/rは

法 の 他 に,次

の 円 周 の ∠AOBの

∠AOBの

内 部 に あ る 方 の 弧A'B'の

大 き さ に よ っ て 定 まる 数 で あ っ て,円

径 ｒに は 無 関 係 で あ る.こ の 実 数a/rを

∠AOBの

と な る.し

と す る と,

で あ る か ら,こ れ を弧 度 法 で 表 す と,

た が っ て,180°

は 弧 度 法 で は π と な る.

  角 の 大 き さ を実 数 で 表 す こ と に な る と,反 よ り大 き い 角 度 や,負

周の半

大 き さ を 表 す 数 と し,こ の 測

り方 を 弧 度 法 と い う.つ ま り,弧 度 法 で(∠AOB)=θ

全 円 周 に 対 す る 角 は360°

長

時 計 回 り を正 の 方 向 と して,360°

の 角 度 も 自然 に 考 え られ る よ うに な り,三 角 比 の 概 念 は 三

角 関 数 へ と発 展 す る.   弧 度 法 に お い て は,角 を 明 示 す る た め に,ラ

の 大 き さは 無 名 数 で あ る.し

ジ ア ン(radian)と

  弧 度 法 で 角 の 大 き さ を 表 す と き,7.4節 う に 単 純 に な る． す な わ ち,半

か し,60分

ｆの 扇 形 の 弧 の 長 さや 面 積 は,次

径 が ｒ,中 心 角 が θ(弧 度 法)の

  L(r,θ)=rθ, 

法 で ない こ と

い う名 を付 け て よぶ こ と もあ る.

Σ(r,B)=1/2r2θ

扇 形 で は,

の よ

 練習 と問題 の解答

 ３  章   練 習3.3.d 

(１),(２)△ABQと

△APCに

お い て,(AB)=(AP),(AQ)=

(AC),(∠BAQ)=(∠BAC)+90°=(∠PAC)だ

か ら,△ABQ≡

△APC・

  よ っ て,(BQ)=(pc),(∠ABQ)=(∠APC)・   (３)BQとCPの

交 点 を Ｒ と す る と,(２)よ

 

(∠PBR)+(∠BPR)=(PBA)+(∠ABQ)+(∠BPA)-(∠APC)

 

=(∠ABP)+(∠APB)=90°

  よ っ て,(∠PRB)=90°.す

  練 習3.5.i  △ABD,△CBDに

り,△PBRに

お い て,

な わ ち, BQ⊥CP.

お い て,３ 角 形 の 中 点 連 結 定 理 よ り,

 KN‖BD‖LM，(KN)=1/2(BD)=(LM)   よ っ て,平 で あ る(こ

行 ４辺 形 に な る 条 件(3.5節c-(1))よ れ を,４ 辺 形ABCDの

行 ４ 辺 形 と よ ぶ こ とが あ る).

り,□KLMNは

ヴ ァ リ 二 ヨ ン(Varignon,1654‐1722)の

平 行 ４辺 形 平

  ４  章   練 習4.4.d

(ヒ ン ト)△ABCが

直 角 ３角 形 の 場 合 は,∠Aが

簡 単 で あ り,∠ Ａ が 直 角 で な い と きは,D=P=H=B(ま 図 に は △ABCが

たは Ｃ)と な る.下

鋭 角 ３角 形 の 場 合(左)と,鈍

△BHPが(BH)=(BP)な

直 角 の と きは

角 ３角 形 の場 合(右)を

示 す.

る ２等 辺 ３角 形 で あ る こ と を示 せ ば,BD⊥HPよ

り結 論が 得 られ る.

  (証 明)  △ABCが,∠B=90°(ま は,D=H=P=B(ま

た は ∠C=90°)な

た は Ｃ)と

角 形 の 場 合 と 同 じ で あ る か ら,省   円 周 角 の 定 理(4.2節   Ｂ か らCAに だ か ら,点

ａ)よ

Ｄ,Ｅ は 線 分CHを

  ①,②

り,(∠APB)=(∠ACB) 

… ①

直 径 と す る 円 周 上 に あ る.

,

(∠ACB)

よ り, 

ろ が,BD⊥HPだ   (ⅱ)△ABCが

円 周 に 内 接 す る.よ

=(∠DHB) 

か ら,定

と Ｅ はCH っ て,系4.2

… ②

る ２ 等 辺 ３角 形 で あ る こ と を 示 す.と 理3.2節

ｂ よ りBDは

鈍 角 ３ 角 形 の 場 合 ：定 理4.4節

辺HPの

(∠APB)=(∠BHD) 同 じ で あ る.

垂 直 ２等 分 線.

ｂ の 考 察 か ら,Ｄ,Ｅ

周 角 の 定 理 よ り,(∠ECD)=(∠EHD),つ

  (∠ACB)=(∠BHD) 

  以 下 は,(ｉ)と

ｂ の 考 察 か ら,Ｄ

(∠APB)=(∠DHB)

関 し て 同 じ 側 に あ る.円

よ り, 

理4.4節

ま り,□HDCEが

  こ れ は,△BHPが(BP)=(BH)な

  ①,③

下の鈍角 ３

略 す る.

鋭 角 ３ 角 形 の 場 合:定

に 関 し て 反 対 側 に あ る;つ り

の と き は,以

下 ろ し た 垂 線 の 足 を Ｅ と す る と,(∠CDH)=(∠CEH)=90°

  (ｉ)△ABCが

節i -(1)よ  

る 直 角 ３角 形 の 場 合

な る.∠A=90°

… ③

はcHに ま り,

こ

  ５  章   問 題5.3.g 

点 Ｐ が 直 線AB上

Ｐ が 直 線AB上  

に あ る 場 合 に は,Ｐ

は Ｃ ま た は Ｄ と 一 致 す る.

に な い 場 合,

(PA):(PB)=(AC):(CB), 

  よ っ て,△PABに

(PA):(PB)=(AD):(DB)

定 理5.3節

ｅ,5.3節

ｆを 適 用 す る と,PCは

頂 角 ∠Ｐ を ２

等 分 し,PDは

Ｐ に お け る 外 角 を ２ 等 分 す る.し

た が っ て,3.6節f-(3)か

(∠CPD)=90°

で あ る こ とが わ か る.よ

周 角 の 定 理 の 逆 か ら,Ｐ

分CDを

っ て,円

ら, は線

直 径 と す る 円 周 上 に あ る.

  練 習5.4.e 

(１)下 図(左)の

よ う に,△ABCの

と す る と,(AL)=(LB),(BM)=(MC),(CN)=(NA)だ

  よ っ て,チ

  (２)上

か ら,

ェ バ の 定 理 の 逆 よ り,３ つ の 中 線 は １点 で 交 わ る.

図(右)の

と す る と,定

３ つ の 中 線 をAM,BN,CL

理5.3節

よ う に,△ABCの

３ つ の 頂 角 の ２ 等 分 線 をAE,  BF, CD

ｅ に よ っ て,

  (BE):(EC)=(AB):(AC),(CF):(FA)=(BC):(AB)  

(AD):(DB)=(AC):(BC)

だ か ら,

  チ ェ バ の 定 理 の 逆(5.4節

ｄ)よ

り,３ つ の 頂 角 の ２等 分 線 は １点 で 交 わ る.

  練 習5.6．d 

直 線AB上

の 点 を Ｐ と す る と,円

周Ｓ(Ｏ),円

周Ｓ(Ｏ')に

関す

る 方 べ き の 定 理 か ら,   (PA)・(PB)=(PC)・(PD), 

(PA)・(PB)=(PE)・(PF)

  よ っ て,(PC)・(PD)=(PE)・(PF).   方 べ き の 定 理 の 逆(5.6節

練 習5・7・g

ｃ)よ

り,４ 点 Ｃ,Ｄ,Ｅ,Ｆ

は 同 一 円 周 上 に あ る.

(１)(△ABC)=1/2absinC,sinC=c/2R

 (２)c=2psinB=pb/R, 

b=2qsinC=qc/R

  こ れ ら を 掛 け 合 わ せ て,整

理 す る と よ い.

  ６  章   問 題6.2.d-(2) 

円 周 の 外 部 の 点 か ら 引 い た ２本 の 接 線 の 長 さ は 等 し い こ と

に 注 意 し て,s=a+c=b+dを 省 略).

導 き,6.2節d-(1)の

公 式 を 用 い る(詳 細 は

 １

 文

献

） 近 藤 洋 逸:数 学 の 誕 生 − 古 代 数 学 史 入 門―,1977,現

代 数 学 社.

 ２ ) 佐 々木元 太 郎 ：ユー ク リッ ド幾 何,現 代 数 学 レ クチ ャー ズA5,1979,培

風

館.  ―

ユ ー ク リ ッド幾 何 の標 準 的 な教 科 書.

 ３ ) 清 宮 俊 雄:幾

何 学 − 発 見 的研 究 法 −(改

 ―本 書 に 続 い て,是 ) 寺 阪 英 孝:初

訂 版),1988,科

学 振 興 新 社.

非 一 読 を お奨 め す るか な り本 格 的 な研 究 書. ４

等 幾 何 学(第２

版),岩

波 全 書159,1973,岩

波 書 店.

 ―小 冊 子 なが ら,初 等 幾何 を基礎 か ら きちん と書 き上げ た 本 格 的 な教 科 書． ５ ) 寺 阪 英 孝:19世

紀 の 数 学 幾 何 学Ⅰ,数 学 の 歴 史8a,1981,共

) 寺 阪 英 孝 ・静 間 良 次：19世 紀 の 数 学 幾 何 学Ⅱ,数

立 出版. ６

学 の 歴 史8b,1982,共

立 出 版.  ―

上 の２ 冊 は,近 世 の幾 何 学 の 誕 生 を詳 し く解 説 して あ る. ７

)  中村 幸 四 郎 ・寺 阪 英 孝 ・伊 東 俊 太 郎 ・池 田美 恵:ユ ー ク リッ ド原論,1971,  

共 立 出版.

 ―

翻 訳 だ け で は な く,資 料 や 解 説 も含 む. ８

) Peter Frankl・ 前 原濶:幾

何 学 の 散 歩 道 − 離散 ・組 合 せ 幾 何 入 門−,1991,

共 立 出版.  ―

本 書 とは 違 った 話 題 が,い

) 矢 野 健 太 郎:幾何

ろい ろ取 り上 げ て あ り,楽 しい. ９

の有 名 な定 理,数 学 ワ ン ポ イ ン ト双 書36,1981,共

立出

版.  ―

本 書 で は 取 り上 げ られ な か った 定 理 を含 む.

 10)  数 学 オ リン ピ ック財 団 編:数 学 オ リ ン ピ ック事 典 − 問題 と解 法―,2001,

朝 倉 書 店.  ―

国 際 数 学 オ リ ン ピ ッ クや 日本,ア ク の 問 題 を 解 説 し,幾

 11)  野 口   廣:数

メ リ カ,ヨ

ー ロ ッパ の 数 学 オ リ ン ピ ッ

何 の 問 題 も多 く含 む．

学 オ リ ン ピ ッ ク 教 室,シ

リ ー ズ 数 学 の 世 界 ７,2001,朝

倉 書

店.  ―

数 学 オ リン ピ ック に 挑戦 す る 人 の た め の 参 考 書 で,幾 何 に １章 当 て ら れ て い る.

  索 

■ ア行 アポ ロ ニ ウス  83  ―

引

表 向 きの 合 同  24 折 線   15

の 円 83 ■ 力行

ヴ ァ リニ ョン の平 行 四辺 形   135

外 角  33

ウ ォー レ ス  107

外 心  20

裏  30

外 接  66

裏 向 きの 合 同  24

外 接 円  20 回 転移 動  23

鋭 角  34

回 転の 中心  23

鋭 角 ３角 形  35

外部   16,17

n角 形   17

外 分  79

n辺 形   15

角  12,33

円  18

 ―

円弧  57

角度   12

円 周   18

仮 定   29

 ―

の 中心   18

 ―

の半 径   18

円 周 角  59

の ３等 分 問 題  32

逆   30 九 点 円  105

 ―

の定理

60

 ―

の 定 理 の逆  62

共 通外 接 線  67 共 通 弦  66

円 周率  132

共 通接 線   67

円 錐 曲線  120

共 通 内接 線  67

円 積問 題   32

共 役弧   59

円盤   18

距 離  11,14

 ―

の 中 心  18

 ―

の 半径  18

結 論  29 弦  58

オ イラー  56  ―

の公 式  104

弧  57

オ イ ラー線  103

 ―

扇 形  59

交 差 指 数   122

が 等 しい  58

交差 多 辺形   16

正 方形  46

合 同  24

接 弦 定 理  63

弧 度 法  134

接 す る  66

■ サ行

 ―

作 図 題  28

接 点  22,66

錯 角  13

線 分   11

接 線  22 の長 さ  22

３角 形  16  ―

の外 接 円  20

相 似  91

 ―

の 合 同条 件  27

 ―

 ―の 相似 条 件  92

の 位 置  91

相 似変 換   91

 ―の 高 さ  74  ― の 底 辺  74  ―の 内心   53

■ タ行

 ―

対 角  33

の 内接 円  53

３接 円  54

退 化  109 対 角線  43,109 対 偶   30

４辺 形  43

台形49

 ―

対 称   24

の対 角  43

 ― の対 辺  43 シ ム ソ ン  107

対 称 移動   24

シ ム ソン線  107

対 頂 角  12

斜 辺  38

対 辺  33

重 心  50

多 角 形   17

十 分 条件   30

多 辺 形   15

ジ ョル ダ ン  125

 ―

が 外 接  113

 ―

 ―

の 内 接 円  113

の 閉曲線 定 理   18,125

対 称 軸  24

夕ー レ ス  127 垂 心  47

単 純 ｎ 変 形   16

垂 線   12

単 純折 線   15

 ― の 足   14,55 垂足 ３角形  55

単 純 多辺 形   16 単純 閉折 線  16

垂 直  12 垂 直 ２等 分 線  19 ス チ ュ ワー トの 定 理   101

チ ェバ  84  ―の 定理  86  ―

の 定理 の 逆  87

正ｎ 角 形   128

中心 角  58

正弦   97

中心 距 離  67

正 弦 法則   99

中心 線  66

正 ３角 形  37

中線 定理  78

正 接  97

中点 ３角形  52

正 多 角形   128

中点 連結 定 理  48

頂 角  33 頂 点  15 長 方形  46

背 理 法  31 パ ス カ ル  118  ―の 定 理   118

直 線  11

パ ップ ス  114

直 角  12

 ―

直 角 ３角 形  35

半 円盤   59

 ―

半 直線   11

の 合 同条 件  38

直 角 ２等 辺 ３角形   39

の 定 理   114

反例   29

直径   58 直 交  12

菱 形  46 ピ タゴ ラス  78

デザ ル グ  116  ―

の定 理   116

 ―

の定 理 の 逆  117

 ―の 定理   76  ―の 定理 の 逆  77 必 要十 分 条件   30 必 要条 件  30

同位 角  13

否 定   29

同心 円  66 同値  30

フ ォ イエ ルバ ッハ の定 理   106

凸  16 トレ ミー  109

ブ ラー マ グプ タ  112  ―

の公 式   112

 ―

 ―

の定 理   112

の定 理   108

鈍 角  34

分 割   16

鈍 角 ３角形   35 閉折線   15 ■ ナ行

平 行   13

内 角  33

平 行 移動   23

内 心  53

平 行 ４辺 形  43

内 接  20,66

辺   15

内 接 円  53 内 部  16,17

傍 心  53

内 部対 角 線   109

傍接 円  53

内 分  79

方べ き  95

２次 曲線   120

 ―  ―

の 定 理  94,95 の 定 理の 逆  96

２等 辺 ３角形35  ―

の頂 角  35

 ― の底 角  35 ニ ュ ー トン線89

■ マ行 交 わ る  66

■ ハ行

命 題   29 メ不 ラ ウス  84

配景 的  117

 ―

の定 理  84

配 景 の位 置   117

 ―

の定 理 の 逆  85

面積   73  ―の 公理  74

余弦   97

■ ヤ行

■ ラ行

有 界  16

立 方倍 積 問 題  32

弓 形  59

領域   16

余 弦法 則   100

著者 略歴  鈴        

木 晋一（す

ず き・しんいち）

1941年  北 海道 に生 まれ る 1965年   早稲 田大 学理 工学 部数学 科卒 業 現 在  早稲 田 大学教 育学 部教授 ・理学 博士 主 著  「曲面の線 形 トポ ロジ ー,上 ・下』(槇 書 店) 「結 び 目理論 入門 』(サ イエ ンス社)

シ リーズ[数 学 の世界]6 幾

何

の 世

2001年10月25日

定価 は カバ ーに 表示

界   初 版 第1刷

2006年12月15日

 

第3刷

著 者 鈴

木

晋

一

発行者 朝

倉

邦

造

倉 書

店

発行所 株式 朝 会社

東 京 都 新 宿 区 新 小 川 町6‐29 郵 便 番 号  電

162‐8707

話  03(3260)0141

FAX03(3260)0180

〈検 印 省 略 〉

http://www.asakura.co.jp

〓2001〈 無断複 写 ・転 載 を禁ず  〉 ISBN

4‐254‐11566‐0

C3341Printed

三美 印刷 ・渡 辺 製本 in

Japan

シ リー ズ 〈数 学 の 世 界 〉〈 全 ７巻〉   野 口廣監 修 ／数学 の面 白 さ と魅 力 をや さ し く解 説 理科大 戸 川 美郎 著 シ リ一 ズ 〈数 学 の世 界 〉１

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11562‐8 C3341 

数

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早大 沢 田 賢 ・早大 渡 邊 展也 ・学芸大 安 原 シ リー ズ 〈数 学 の世 界 〉３

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大 公 約 数 や 素 数 の 見 つ け 方,方 程 式 の解 き方,さ らに名前 の デー タの並 べ替 えや文 字列の 探 索 ま で,コ ン ピュ ー タで 問 題 を解 く手 順 「アル ゴ リズ ム 」を 中 心 に 情 報 処 理 の仕 組 み を解 き明 か す 社 会 科 学 系 の学 部 で は 数 学 を履 修 す る時 間 が 不 十 分 で あ り,学 生 も高 校 で あ ま り数 学 を学 習 して い

学

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な い 。 この こ と を十 分 考 慮 して、 数 学 にお け る文 字 の使 い方 な どか ら始 め て,線 形 代 数 と微 積 分 の 基礎 概 念 が 納 得 で き る よ う に工 夫 を こ ら し た

早大 沢 田 賢 ・早大 渡 邊 展 也 ・学芸大安 原 シ リー ズ 〈数 学 の 世 界 〉４

社 会 科 学 系 の 学 生 を対 象 に,線 形 代 数 と微 積 分 の 基礎 が 確 実 に 身 に 付 く よ うに 工 夫 され た演 習 書 。

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各 章 の 冒 頭 で要 点 を解 説 し,定 義,定 理,例,例 題 と解 答 に よ り理 解 を 深 め,そ の 上 で演 習 問 題 を 与 え て 実 力 を養 う。 問題 の 解 答 を巻 末 に 付 す 微 分 方 程 式 は 経 済 や 金 融 の 分 野 で も広 く使 われ る よ うに な った 。 本 書 で は 微 分 積 分 の 知 識 を い っ さ い 前提 とせ ず に,日 常 的 な 感 覚 か ら 自然 に 微 分 方

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数 学 オ リ ン ピ ッ ク に 挑戦 し よ う と思 う読 者 は,第 一 歩 と して何 を ど う学 ん だ ら よい の か 。 挑 戦 者 に

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数 学 オ リ ン ピ ッ ク 教 室 11567‐9

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必 要 な 数 学 を丁 寧 に解 説 しな が ら,問 題 を解 くア イ デ ア と道 筋 を具 体 的 に示 す 。 〔内容 〕集合 と写 像 ／ 代 数 ／ 数 論 ／ 組 み 合 せ 論 と グ ラフ ／幾 何

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点 を示 す等式か ら,範 囲 を示 す不 等式へ,そ して 関数の世 界へ 導 く「式」 の世 界 を展 開。 〔 内容〕文字 と式／二項定理 ／数学的帰納法／恒 等式 と方程 式 ／ ２次方程式／ 多項式 と方程 式／連立方程式／ 不 等式／数列 と級数 ／式の世 界か ら関数の世 界へ ' 動 き'を表 す た め に は,関 数 が 必 要 と な っ た。関数 の 導 入 か ら,さ ま ざ まな 関 数 の意 味 とつ なが りを

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解 説 。 〔内容 〕式 と関 数 ／ グ ラ フ と関 数 ／ 実 数,変 数 関 数 ／ 連 続 関 数 ／ 指 数 関 数,対 数 関 数 ／ 微 分 の考 え／ 微 分 の 計 算 ／ 積 分 の 考 え／ 積 分 と微 分 上 記 価 格(税 別)は2006年11月

現在