Математика. Как обеспечить усвоение математики в 6 классе: Методическое пособие. (От автора. Рекомендации по работе с комплектом)

М.Б. Волович

МАТЕМАТИКА Как обеспечить усвоение математики в 6 классе Методическое пособие Допущено Министерством образования Российской Федерации

Москва Издательский центр «ВентанаГраф» Издательство «МозаикаСинтез» 2004

От автора

Уважаемые коллеги! Очень многое в методике обучения зависит от ответа на во прос: «Для чего в школе учат математику?» Еще недавно было принято считать, что математику в шко ле учат потому, что она помогает решению практических вопро сов. В то же время всем, кто серьезно занимается обучением математике, понятно, что это лишь одна, и не самая главная, причина ее ведущей роли в школьном образовании. Бесспорно, значение математики чрезвычайно велико при изучении радио и электротехники, теории оптимального управления, кибернети ки и т. д. и т. п. Однако там используются такие разделы мате матики, как, например, многомерные векторные пространства, которые в школе не изучаются (и вряд ли когданибудь станут изучаться). Эти сведения, столь важные для развития науки и тех ники, понадобятся лишь небольшой части выпускников. А для чего обучать математике остальных? Вот, например, как ярко, убедительно, парадоксально говорит о бесполезности школьной математики для решения практических задач известный гол ландский математик и методист Х. Фрейденталь. «Ныне математика — весьма полезная наука, но чтобы дой ти до такого состояния, она должна была пройти через пусты ню бесполезности. Ее приходилось лелеять, как аристократию духа, пронесенную многими, которые изучали бесполезную в то время математику лишь в качестве упражнения ума. Если вере в математику как в упражнение ума не суждено было оправдаться, если это была лишь иллюзия, то, как выяс нилось, иллюзия оказалась беременна действительностью»1.

1

Фрейденталь Х. Математика как педагогическая задача. — Ч. 1. — М., 1982. — С. 57. 3

Существуют весьма авторитетные мнения, будто массовая школа просто не умела и не умеет учить детей так, чтобы они применяли свои знания на практике. Думаю, что дело здесь в другом. Как показали исследования лауреата Ленинской и Го сударственной премий В.Г. Болтянского, основная причина не умения применить полученные знания заключается в том, что математика оперирует абстракциями второго рода, абстракция ми от абстракций. Поэтому проследить связь между математи ческими понятиями и теми объектами или явлениями, которые их «породили», крайне сложно. И еще сложнее использовать полученные знания. Весьма распространена точка зрения на цель изучения ма тематики в школе как на знакомство с основами этой науки. «Многие считают, — пишет Х. Фрейденталь, — что целью мате матического образования является ознакомление учащихся с системой математики. Однако это может быть конечной це лью лишь при подготовке будущих математиков, но никак не целью общего математического образования»2. Ближе всего к истинным целям обучения этой науке нахо дится известное всем высказывание о том, что математика «ум в порядок приводит». Если понимать под этим умения четко, точно, доказательно мыслить, обосновывать и находить ошиб ки в обоснованиях, то такие умения действительно необходи мы любому школьнику, какую бы специальность в дальнейшем он ни избрал. К сожалению, приходится констатировать, что практика обу чения математике, в частности в 6 классе, бесконечно далека «от приведения ума в порядок». Программа требует приобрете ния учениками четко оговоренных знаний, умений, навыков. При этом, как показали многочисленные исследования, знания у большинства школьников лишь соседствуют с умениями и на выками, не соприкасаясь между собой. В действующих учебниках для 6 класса многие формули ровки предназначены лишь для заучивания, пользоваться ими либо трудно, либо невозможно. Такие формулировки, на наш взгляд, не имеют права на существование. Мы стремились, что

2 Фрейденталь Х. Указ. соч. — С. 59.

4

бы в предлагаемом комплекте формулировки были «рабочими», а ученик был вынужден работать с формулировкой, реально бы на нее опирался. Хотите ли вы, чтобы большинство ваших учеников полюби ли математику, охотно бы ею занимались? И чтобы при этом в ваших классах не осталось детей, не способных усвоить обя зательный минимум предусмотренных программой знаний, а число тех, кто систематически решает нестандартные задачи, существенно увеличилось? Разумеется, хотите! Но прежде чем ответить, что для этого надо сделать, давайте поразмыслим вместе о «движущей силе» учения. Вопрос о ней задавался сотни раз тысячам учителей. И каждый раз учителя после длительного обсуждения приходи ли к выводу, что такой «движущей силой» остается, к сожале нию, боязнь наказания за несделанное задание. Учение изпод палки всегда было нежелательным, а сегодня стало еще и чрезвычайно малоэффективным: дети все более неж ного возраста осознают, что двойка, которой угрожает учитель, — наказание весьма условное. За двойки из школы не выгонят и даже на второй год, скорее всего, не оставят. Но если даже и выгонят? Что в этом страшного? Молодые люди достаточно рано усваивают, что благосостояние человека в наше время мало зависит от того, насколько прилежно он учился в школе. Учить, исключив страх наказания, возможно лишь в том слу чае, когда ребенку интересно. Колоссальные средства сегодня направлены на то, чтобы стимулировать этот интерес. Однако результаты более чем скромные. По данным американских ис следователей, около трети детей, которые заканчивают школу, не усваивают практически ничего. Все дело в том, что успеш ному усвоению знаний способствует не интерес вообще, а ин терес к изучаемому материалу. Еще в 30х годах XX века Л.С. Вы готский писал о том, что если интерес к изучаемому материалу подменяется интересом к сюжету, сказочным героям, иллюстра циям, то это не помогает, а мешает обучению. Российскими психологами давно установлено, что, если до статочно рано, скажем, с 5–6 класса, сделать учение посильным для ребенка, когда он будет осознавать, что усвоение предмета успешно потому, что он сам хорошо потрудился, ему станет интересно учиться. Однако правомерным будет вопрос, можно ли вообще организовать педагогический процесс таким образом, 5

чтобы, с одной стороны, для всех учеников в классе обучение стало посильным, а с другой стороны, даже самым успевающим приходилось бы для приобретения знаний также прилагать боль шие усилия. Исследования, выполненные Е.Б. Арутюнян, Ю.А. Глазко вым, Г.Г. Левитасом и автором настоящего пособия, позволили не только утвердительно ответить на вопрос о возможности в условиях классноурочной системы организовать посильное для всех обучение математике, повышающее интерес к ней, но и сделать такое преподавание доступным практически для каж дого учителя (см. с. 35–44 пособия). Книга «Как обеспечить усвоение математики в 6 классе» вхо дит в учебнометодический комплект, который, мы уверены, сде лает эффективным обучение математике в школе, так как в нем, на наш взгляд, удалось на основе открытий Л.С. Выготского — А.Н. Леонтьева — П.Я. Гальперина реализовать закономерности усвоения учащимися 6 класса необходимого им учебного материа ла. Поэтому хотелось бы, чтобы вы рассматривали этот комплект не как еще один вариант учебника в сопровождении пособий, а как издание, содержащее принципиально иную идеологию преподавания, где результат обеспечивается не большим числом упражнений для учащихся, т. е. «набитием руки», а правильной организацией усвоения знаний. Пояснить эту идею можно на примере эксперимента, кото рый описан во многих учебниках психологии. Раньше, когда лошади повсеместно являлись основой хозяй ства, было очень престижно, чтобы лошадь умела здороваться со своим владельцем, подавая ему ногу. Обучение этому непро стому для нее искусству занимало много времени и требовало большого числа упражнений: ктолибо поднимал ногу лошади, а хозяин или дрессировщик награждал ее при этом сахаром. «Курс обучения» состоял не менее чем из 200–300 таких повторений. Потом ктото придумал принципиально иной способ. На пу ти лошади клали бревно, через которое она должна была пере ступать, поднимая ногу. Вот в этот момент ей и давали что либо лакомое. По этой методике на достижение того же результата ей требовалось уже менее 10 повторений. Если воспользоваться подобной аналогией, следует говорить о «педагогическом бревне», которое в нашем случае удалось найти для каждого из подлежащих усвоению разделов школь 6

ного курса и тем самым резко уменьшить число упражнений, необходимых для полноценного усвоения материала. Это первое, что отличает данный учебник от других изданий. Из других наиболее важных отличий надо отметить следующие. В учебнике отсутствует повторительный раздел. Пожалуйста, задумайтесь: к чему долгое время заниматься повторением того, что дети должны были усвоить в начальной школе? Разумеется, каждый учитель сталкивался с тем, что мно гие ученики, несмотря на угрожающе высокое качество обуче ния в начальной школе (процент хороших и отличных отметок), плохо владеют приобретенными знаниями. Но повторение в те чение четверти, а то и полутора четвертей пройденного мате риала — самое неоптимальное решение проблемы забывания. Дело в том, что еще в середине XX века доказано, что повто

рение эффективно лишь в том случае, когда оно органично свя зано с изучаемым материалом. В учебнике оно организовано так, чтобы обеспечить усвоение нового материала. Как имен но — будет рассказано ниже, при обращении к особенностям соответствующих параграфов учебника. В учебнике отсутствуют алгоритмыпредписания, требующие от учеников лишь «запомнить и пользоваться». Например, во многих учебниках предлагается при умноже нии на 10, 100, 1000 перенести запятую на соответствующее чис ло знаков вправо, а при делении — влево. Ученик вынужден поль зоваться такими «машинными алгоритмами», опираясь либо на память, либо на образец. И то и другое крайне ненадежно. Иное дело, если алгоритм дается на сознательном уровне. В этом слу чае он не только реже приводит к сбоям, но и прочнее запоми нается. Такие алгоритмы мы будем рассматривать в соответству ющих параграфах учебника. Отсутствуют формулировки, которые предназначены лишь для запоминания, в то время как реально пользоваться надо совсем другим. Например, даже плохо успевающие ученики знают, что «про цент — сотая часть числа». (Это очень удобно, если надо со здать видимость того, что тройка учеником заслужена.) Но по пробуйте воспользоваться этим определением, если, скажем, надо найти, сколько процентов составляет число 20 от числа 50. Определение говорит о сотой части числа. А здесь два числа — 20 и 50! 7

В соответствующих параграфах будет показано, почему мы отказались от традиционных формулировок и даем именно те, которые приведены в учебнике. Принципиально иначе строится объяснение нового материала. Мы стремились добиться от учеников понимания не только предмета усвоения, но и способов работы с подлежащим усвое нию материалом. Более того, показано, как обеспечить по ходу обучения такое фиксирование основного содержания, которое позволяет приступить к работе с новым материалом без предва рительного его заучивания. (Материал, при соответствующим образом организованной работе, запоминается.) Предварительное закрепление новых знаний осуществляется при помощи рабочей тетради. В отличие от «обычных» рабочих тетрадей, в которых дает ся задание и оставлено место для его выполнения, мы вклю чили в рабочую тетрадь грамотные, четкие рассуждения, в ко торых пропущены самые важные, «ключевые» слова и места. Если материал понят, заполнить пропуски просто. Если же при заполнении возникают трудности, следует возвратиться к соот ветствующему месту учебника. При заполнении пропусков воз никает чрезвычайно важный «побочный» эффект: повышается умение учеников читать осмысленно. В заключение отметим, что учебник, как и весь учебноме тодический комплект, разработан по ныне действующей про грамме и полностью соответствует стандартам образования по математике, принятым Министерством образования Российской Федерации. Поэтому данным пособием можно пользоваться и в случае преподавания по другим учебникам. Успехов вам!

Рекомендации по работе с комплектом

На изучение каждого параграфа в 6 классе отво дится 4 урока. Но это «в среднем». На изучение какихто пара графов может потребоваться 2–3 урока, на какието может не хватить и четырех. В этом случае воспользуйтесь резервными уроками (их не менее двадцати). После изучения материала параграфа желательно дать само стоятельную работу, рассчитанную на 20–25 минут. Два вари анта таких самостоятельных работ имеются в «Дидактических материалах». Тексты контрольных работ (2 варианта) берутся из «Методи ческого пособия», в котором указано, после какого параграфа ту или иную контрольную следует проводить. На каждую кон трольную работу в 6 классе отводится 1–2 часа (второй час — если требуется обсудить ее результаты и ликвидировать обнару женные пробелы в знаниях). В учебнике не выделены задачи, предназначенные для домаш ней работы. Мы бы очень хотели, чтобы обязательных домаш них заданий вообще не было: если работа в классе организова на правильно, то материал будет усвоен непосредственно в ходе его изучения. Но потребность в обязательных домашних зада ниях есть; черпайте их из не отмеченных знаком *. Мы рекомендуем отказаться от обязательных домашних за даний: многие дети, чтобы избежать наказания за невыполнен ную работу, их просто списывают. Вместе с тем мы считаем весь ма важными необязательные домашние задания и, в частности, рекомендуем систематически предлагать ученикам нестандартные задачи. Это могут быть, например, последние задачи из каждо го параграфа учебника. Если ученик справился с такой задачей непосредственно на уроке, его желательно поощрить отличной оценкой. Если же задача решена дома и ученик понимает реше 9

ние, этот факт важно довести до сведения всех детей в классе. Например, можно вывешивать на видном месте сводку решения учениками необязательных задач. В этом возрасте желание детей обратить на себя внимание «хорошим делом» является мощным стимулом изучения предмета. Ни в коем случае не надо выяснять, решил ли ученик задачу сам или же сделал это с чьейто помощью, важнее всего заин тересовать такими задачами, дать почувствовать ребенку, что он «не хуже других». Разумеется, при этом не исключено, что ктото из учеников не будет решать домашние задачи или будет делать это от случая к случаю. Такое достаточно часто встречается в на шей работе. Чтобы свести к минимуму такую практику, обычно достаточно, вопервых, предлагать не только трудные, но и впол не «средние» задачи. Вовторых, учителю необходимо системати чески интересоваться, кто и сколько решил задач. К тем детям, которые уклоняются от решения задач, необходимо искать ин дивидуальный подход. Например, посетовать, что ребенок такой умный, вы на него так надеялись, а он вас подводит. Или пред ложить ребенку задачи «специально для него». Весьма серьезной проблемой является проверка необязатель ных домашних заданий. В одиночку вы с ней не справитесь. Один из возможных вариантов решения этой проблемы — раз бить класс на бригады и поручить проверку необязательных домашних заданий бригадирам. Обычно их назначает сам учи тель. Бригадиры могут меняться часто, например по результа там усвоения одного или нескольких параграфов (каждый, кто выполнил самостоятельные работы не менее чем на «4», может быть назначен бригадиром). Допустимо, но нежелательно, чтобы бригадир выполнял свои обязанности в течение сравнительно длительного срока (скажем, учебной четверти). Необязательные домашние задания обычно предлагаются один раз во время изучения параграфа. Это позволяет учителю проверить правильность выполнения заданий у всех бригадиров и помочь тем из них, кто не сумел справиться с поручением. Поскольку бригада обычно состоит из 5–6 человек, бригадиру нетрудно проверить задания у всех и отметить результаты в свод ке решения необязательных задач. Подробнее о том, как разделять класс на бригады и как ис пользовать бригады в учебном процессе, будет рассказано в раз деле «Преподавание циклами. Четырехурочные циклы». 10

В методические рекомендации не включены так называемые «поурочные разработки», подсказывающие учителю, какие сло ва он должен сказать в начале объяснения, какие ответы полу чить от учеников и т. д. На наш взгляд, такие «подсказки» являются вредными. Ведь каждый учитель — индивидуальность, и каждый ученик — тоже индивидуальность. Вместе с тем счи таем необходимым рассказать, в самом общем виде, как мы за думывали организацию обучения. Каждый параграф учебника содержит довольно большое число заданий с решениями. Эти задачи предназначены и учи телям, и ученикам, и родителям, которые стремятся помочь своим детям усвоить математику. Ученикам они помогут само стоятельно проработать материал параграфа (если такая необ ходимость возникла). Родители, воспользовавшись ими, смогут оказать своим детям правильную помощь, не навредив (ведь их учили иначе!). Для учителя задачи с решениями — своеобразный конспект рекомендаций, как, с одной стороны, подготовить учеников к усвоению нового материала, а с другой стороны, организовать первоначальное закрепление новых знаний. Расскажем о нескольких вариантах работы над задачами с решениями. Можно предложить детям закрыть учебники и самостоятель но решить одну из тех задач, которые включены в текст учеб ника. Можно дать задачу, аналогичную приведенной в учебни ке. В зависимости от подготовленности класса можно также использовать часть заданий, которые имеются в учебнике, или добавить несколько задач. Но главное, знакомя с новыми зна ниями, необходимо постоянно обращаться к рабочим тетрадям. Достаточно часто учителя организуют заполнение пропусков в рабочих тетрадях лишь после изложения всего материала па раграфа. Так использовать рабочую тетрадь не следует. Вопер вых, если материала дается много, заполнение пропусков вызы вает трудности (надо пользоваться еще не усвоенными знаниями). Вовторых, дети заполняют пропуски в своем темпе. Самые «бы стрые» успеют выполнить несколько заданий в рабочей тетради, в то время как некоторые не успеют справиться и с первым из них. При этом организовать проверку заполнения не удается. Как правило, усвоение происходит гораздо эффективнее, если изложить небольшую порцию материала и предложить учени 11

кам заполнить пропуски в одном задании из рабочей тетради. Желательно сразу же проверить правильность заполнения: кто либо из учеников читает текст, который получился после запол нения, остальные сигнальными линеечками сообщают о всех случаях несогласия. В случае «разночтений» дети могут обосно вывать свои ответы, ссылаясь на теорию. После завершения проверки можно перейти к выполнению следующего задания из рабочей тетради или к изложению следующего фрагмента теории. Достаточно часто учителя, экономя время урока, предлагают комунибудь из учеников читать текст задания в рабочей тетра ди, остальные же в это время должны заполнять пропуски. Такая организация работы приносит больше вреда, чем пользы. Пусть лучше ваши ученики выполнят меньше заданий, но сделают это самостоятельно. Оптимальной можно считать следующую организацию работы. Все ученики заполняют пропуски в указанном задании рабочей тетради или в указанной части задания. При этом, особенно при выполнении первых заданий, можно предложить какимлибо образом выделить выполненное задание или его часть. Некоторые задания из рабочей тетради могут остаться невы полненными. Учителя иногда предлагают выполнить такие за дания дома. В этом случае важно, чтобы следующий урок на чался с проверки их выполнения. Например, учитель предлагает положить тетради на край ученического стола и просматривает, все ли заполнили пропуски, или предлагает комулибо из уче ников прочитать некоторые задания, а остальным сигнальными линеечками сообщать о всех случаях своего несогласия. Некоторые учителя считают своим долгом время от време ни собирать рабочие тетради, проверять правильность их запол нения и ставить отметку, в том числе за чистоту и порядок. Для учителя эта работа трудоемкая, а пользы от нее немного: уче ники обычно даже не смотрят на исправления учителя. Кроме того, ученики должны иметь право на ошибку на начальном этапе усвоения темы. Наказание за исправления лишает их этого права, что неизбежно приводит к списыванию и другим не менее печальным последствиям, резко снижает эффектив ность обучения. Вместе с тем, если ученик не справился с самостоятельной или контрольной работой, целесообразно посмотреть, правиль 12

но ли заполнены пропуски в соответствующих параграфах его рабочей тетради, проверить, насколько сознательно сделаны за писи. Выявив сбои, можно попросить коголибо из хорошо успевающих учеников помочь заново заполнить пропуски, пред варительно стерев все прежние записи. После изучения нового материала часть одного из следую щих уроков отводится на заполнение пропусков в рабочей тет ради. К заполнению пропусков можно также возвратиться через некоторое время, скажем, после изучения темы или в ходе ито гового повторения. Для проверки того, помнят ли ученики уже изученный мате риал, необходимый для полноценного усвоения нового, предна значены математические диктанты. (Их тексты приведены в дан ном пособии.) Как проводить и проверять математические диктанты, чтобы обнаружить и устранить подобные пробелы до начала изучения нового материала, рассказано в разделе «Пре подавание циклами. Четырехурочные циклы». Вместе с тем во многие параграфы учебника и в соответствующие параграфы ра бочей тетради внедрен тот «повторительный» материал, который подготовит учеников к изучению новой темы. Математический диктант, как правило, следует давать непо средственно перед объяснением нового материала. Но если у вас есть подозрение, что ранее изученное забыто многими ученика ми, имеет смысл перед проведением математического диктанта напомнить самые основные сведения, организовать выполнение соответствующих заданий из рабочей тетради и только после этого провести диктант. Если математический диктант был проведен в начале урока, ученики с ним в основном справились и вам удалось в ходе про верки знаний устранить «сбои», то имеет смысл не рассматри вать те задания из учебника и рабочей тетради, в которых орга низовано повторение изученного материала. Помимо учебника и рабочей тетради в учебнометодический комплект для 6 класса входят дидактические материалы, пред назначенные для проведения самостоятельных работ. О том, как они «устроены» и как организовать работу с ними, рассказано в разделе «Преподавание циклами. Четырехурочные циклы».