Серія «Рятівник»
О. М. Роганін
АЛГЕБРА І ПОЧАТКИ АНАЛІЗУ в означеннях, таблицях і схемах 7—11 класи
Харків Видавництво «Ранок» Веста 2006
УДК 512.1:372.8 (075.4)=161.2 ББК 74.262.21 Р59 Серію «Рятівник» засновано в 1999 р. Р е ц е н з е н т и: А. М. Титаренко, канд. фіз.-мат. наук, доцент кафедри математики ХНУРЕ; Т. П. Тавшунська, методист відділу освіти Харківської районної державної адміністрації, учитель математики вищої категорії, учитель-методист; С. М. Смоленський, науковий співробітник ІПН НАН України Видано за ліцензією ТОВ Видавництво «Ранок»
Роганін О. М. Р59 Алгебра і початки аналізу в означеннях, таблицях і схемах. 7—11 класи. — Харків: Веста: Видавництво «Ранок», 2006. — 112 с. — (Рятівник).
ISBN 966-08-1479-8
Посібник містить основні положення шкільного курсу алгебри і початків аналізу. Довідник допоможе знайти необхідну інформацію (означення, формули, приклади); повторити відповідний матеріал під час підготовки до уроку, контрольної роботи, підсумкової державної атестації; згадати, як розв’язуються основні (типові) приклади і т. п.; підготуватися до вступного іспиту або співбесіди з математики тощо. Призначений для учнів 7—11 класів загальноосвітніх навчальних закладів і абітурієнтів.
УДК 512.1:372.8 (075.4)=161.2 ББК 74.262.21 Навчальне видання Серія «Рятівник» Роганін Олександр Миколайович
Алгебра і початки аналізу в означеннях, таблицях і схемах 7—11 класи Редактор Г. Ю. Вепрік. Технічний редактор В. І. Труфен. Коректор О. Г. Неро Код Т1632У. Підписано до друку 23.09.2006. Формат 60×90/16. Папір газетний. Гарнітура Шкільна. Друк офсетний. Ум. друк. арк. 7,0. ТОВ «Веста». Свідоцтво ДК № 2540 від 26.06.2006. 61064 Харків, вул. Бакуніна, 8А. Адреса редакції: 61145 Харків, вул. Космічна, 21а. Тел. (057) 719-48-65, тел./факс (057) 719-58-67. Для листів: 61045 Харків, а/с 3355. E-mail:
[email protected] З питань реалізації звертатися за тел.: у Харкові — (057) 712-91-46, 712-91-47; Києві — (044) 495-14-53, 417-20-80; Донецьку — (062) 304-67-02; Житомирі — (0412) 41-27-95; Дніпропетровську — (0562) 43-46-95; Львові — (032) 233-53-39; Сімферополі — (0652) 29-94-14; Тернополі — (0352) 26-86-94, 53-32-01. E-mail:
[email protected] www.ranok.com.ua
ISBN 966-08-1479-8
© ©
О. М. Роганін, 2006 ТОВ Видавництво «Ранок», 2006
Зміст Розділ I. Множини й числа § 1. Множини та операції над ними . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 Множина та її елементи (7). Задавання множини (7). Підмножина (7). Переріз множин (8). Об’єднання множин (8). Різниця множин (8). Закони операцій над множинами (8).
§ 2. Дійсні числа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 Числові множини (9). Числова пряма і дійсні числа (9). Порівняння дійсних чисел (10). Властивості арифметичних дійнад дійсними числами (10). Степінь (10). Властивості степенів із цілими показниками (11). Властивості степенів із раціональними показниками (11). Стандартний вигляд числа (12). Арифметичний квадратний корінь (12). Властивості арифметичного квадратного кореня (12). Арифметичний корінь n-го степеня (13). Властивості коренів (13). Модуль дійсного числа (14). Властивості модуля (14). Ціла й дробова частини числа (14). Логарифми (15). Основні властивості логарифмів (15).
Розділ ІІ. Алгебраїчні вирази § 3. Одночлени й многочлени . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 Одночлени (16). Дії над одночленами (16). Многочлени (17). Додавання й віднімання многочленів (17). Умножение і деление многочленов (18). Формули скороченого множення (18). Розкладання многочлена на множники (18). Многочлен з однією змінною (19)
§ 4. Алгебраїчні вирази . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 Раціональні алгебраїчні вирази (19). Ірраціональні алгебраїчні вирази (20). Алгебраические дроби і действия над ними (20). Ірраціональні вирази та дії над ними (21). Як звільнитися від ірраціональності в знаменнику дробу (21).
§ 5. Порівняння алгебраїчних виразів . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 Тотожно рівні вирази. Тотожність (22). Тотожна нерівність виразів (22)
Розділ ІІІ. Функції та графіки § 6. Властивості функцій . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 Поняття функції (23). Координатна площина й графік функції (23). Способи задавання функції (24). Правила знаходження області визначення функцій, заданих аналітично (24). Парні і непарні функції (25). Періодичні функції (25). Зростаючі і спадні функції (26). Обернені функції (26). Складені функції (26)
§ 7. Властивості деяких функцій та їхні графіки . . . . . . . . . . . . . . 27 Пряма пропорційність y = kx , k ≠ 0 (27). Лінійна функція y = kx + b , k k ∈R , b ∈R (27). Обернена пропорційність y = , k ∈R , k ≠ 0 (28). x
ax + b (28). Функція y = x (29). cx + d 2 Квадратична функція y = ax + bx + c , a ≠ 0 (29). Степенева функ-
Дробово-лінійна функція y =
ція y = xn 30. Показникова функція y = a x , a > 0 , a ≠ 1 (31). Функція y = n x , n 2 , n ∈N 32. Логарифмічна функція y = log a x , a > 0 , a ≠ 1 (32)
§ 8. Перетворення графіків функцій . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 Перетворення графіка функції y = f ( x ) у графік функції y = − f ( x ) (33). Перетворення графіка функції y = f ( x ) у графік функції y = f ( − x ) (33). Перетворення графіка функції y = f ( x ) у графік функції y = f ( x ) + b (33). Перетворення графіка функції y = f ( x ) у графік функції y = f ( x − a ) (33). Перетворення графіка функції y = f ( x ) у графік функції y = f (kx ) (34). Перетворення графіка функції y = f ( x ) у графік функції y = kf ( x ) (34). Перетворення графіка функції y = f ( x ) у графік функції y = f ( x ) (34). Перетворення графіка функції y = f ( x ) у графік функції y = f x (34)
( )
Розділ IV. Тригонометрія § 9. Означення та властивості тригонометричних функцій . . . . . . 35 Радіанна система вимірювання кутів і дуг (35). Радіанна й градусна міри деяких кутів (35). Одиничне коло. Точки одиничного кола і дійсні числа (35). Означення тригонометричних функцій (36). Знаки тригонометричних функцій (36). Значення тригонометричних функцій деяких кутів (37).
§ 10. Основні тригонометричні формули . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 Співвідношення між тригонометричними функціями того самого аргументу (37). Формули додавання (37). Формули подвійного аргументу (38). Формули потрійного аргументу (38). Формули зниження степеня (38). Формули перетворення добутку тригонометричних функцій у суму (38). Формули половинного аргументу (38). Вираження тригонометричних функцій через тангенс половинного аргументу (39). Формули перетворення суми тригонометричних функцій у добуток (39). Формули зведення (39).
§ 11. Обернені тригонометричні функції . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 Арксинус, арккосинус, арктангенс і арккотангенс числа (40). Основні співвідношення для аркфункцій (40). Значення аркфункцій деяких чисел (41). Деякі додаткові співвідношення для аркфункцій (41).
§ 12. Властивості тригонометричних функцій, графіки цих функцій . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 Функція y = sin x (42). Функція y = cos x (42). Функція (43). Функція y = ctg x (43). Функція y = arcsin x (44). Функція y = arccos x (44). Функція y = arctg x (45). Функція y = arcctg x (45).
Розділ V. Рівняння й системи рівнянь § 13. Рівняння з однією змінною . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 Рівняння. Корені рівняння (46). Рівносильні рівняння (46). Лінійні рівняння (47). Неповні квадратні рівняння (47). Квадратні рівняння (48). Окремі випадки квадратних рівнянь (48). Теорема Вієта (49). Розкладання квадратного тричлена на множники (49). Системи й сукупності рівнянь (49). Методи розв’язування рівнянь (50). Цілі рівняння вищих ступенів (50). Рівняння зі змінною в знаменнику (51). Раціональні рівняння (52). Ірраціональні рівняння (52). Показникові рівняння (53). Логарифмічні рівняння (54). Рівняння з модулем (57). Тригонометричні рівняння (58). Графічний спосіб розв’язування рівнянь (60).
§ 14. Рівняння з двома змінними . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 Рівняння та його розв’язки (61). Графік рівняння з двома змінними (61).
§ 15. Системи рівнянь . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 Системи рівнянь із двома змінними (63). Рівносильні системи рівнянь (64). Графічний спосіб розв’язування системи рівнянь із двома змінними (64). Системи лінійних рівнянь із двома змінними (65). Розв’язування системи рівнянь із двома змінними способом додавання (66). Розв’язування системи рівнянь із двома змінними способом підстановки (66).
Розділ VI. Нерівності й системи нерівностей § 16. Нерівності й системи нерівностей з однією змінною . . . . . . . . 67 Нерівності з однією змінною та їхні розв’язки (67). Рівносильні нерівності (67). Деякі підмножини дійсних чисел, їх позначення, зображення на координатнійпрямій і запис у вигляді нерівності (69). Лінійні нерівності з однією змінною (70). Системи лінійних нерівностей з однією змінною (71). Квадратичні нерівності (72). Нерівності виду f ( x ) g ( x ) > 0 і f ( x ) g ( x ) < 0 (73). Розв’язування подвійних нерівностей (73). Дробові нерівності (73). Ірраціональні нерівності (74). Нерівності з модулем (75). Розв’язування раціональних нерівностей методом інтервалів (77). Показникові нерівності (78). Логарифмічні нерівності (79). Метод інтервалів (узагальнений) (80). Графічний спосіб розв’язування нерівностей з однією змінною (80). Тригонометричні нерівності (81).
§ 17. Нерівності з двома змінними . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 Розв’язок і графік нерівності (82). Графічний спосіб розв’язування систем нерівностей із двома змінними (84).
Розділ VII. Елементи математичного аналізу § 18. Числові послідовності . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 Означення числової послідовності (85). Способи задавання послідовності (85). Види послідовностей (86). Арифметична прогресія (86). Геометрична прогресія (87). Нескінченно спадна геометрична прогресія (87).
§ 19. Границя функції . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88 Границя функції y = f ( x ) , якщо x → ∞ (88). Границя функції в точці (88). Теореми про границі функцій (89). Неперервні функції (89). Теореми про неперервність функції (90). Обчислення границь функції в точці (90).
§ 20. Похідна . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91 Приріст аргументу й приріст функції (91). Означення похідної (91). Основні правила диференціювання (92). Таблиця похідних (92). Геометричний зміст похідної (93). Механічний зміст похідної (93).
§ 21. Застосування похідної в дослідженні функцій і побудові графіків . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94 Достатня умова зростання (спадання) функції (94). Екстремуми (максимуми й мінімуми) функції (94). Необхідна умова екстремуму (теорема Ферма) (95). Достатні умови екстремуму (96). Схема знаходження найбільшого (найменшого) значення функції на проміжку (96). Схема дослідження функції на монотонність і екстремуми (97). Схема дослідження функції. Побудова графіка функції (98).
§ 22. Первісна, невизначений інтеграл . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99 Первісна (99). Основна властивість первісної (99). Правила обчислення первісних (99). Невизначений інтеграл (99). Основні правила інтегрування (100). Таблиця первісних і таблиця невизначених інтегралів (100).
§ 23. Визначений інтеграл і його застосування . . . . . . . . . . . . . . . . 101 Визначений інтеграл (101). Основні правила обчислення визначеного інтеграла (101). Геометричний зміст визначеного інтеграла (101). Фізичний зміст визначеного інтеграла (101). Площа фігури (102). Об’єм тіла обертання (102).
Розділ VIII. Комбінаторика, метод математичної індукції, елементи теорії імовірностей і статистики § 24. Елементи комбінаторики й метод математичної індукції . . . 103 Перестановки (103). Розміщення (103). Комбінації (103). Трикутник Паскаля (104). Метод математичної індукції (104). Біном Ньютона (104).
§ 25. Початки теорії імовірностей . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105 Основні поняття (105). Класичне означення імовірності (106). Статистичне означення імовірності (106). Операції над подіями (106 Теорема про імовірність суми подій (107). Теорема про імовірність добутку подій (107). Незалежні випробування (107). Схема Бернуллі (108). Закон великих чисел. Теорема Бернуллі (108).
§ 26. Елементи статистики . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108 Поняття про статистику (108). Центральні тенденції вибірки (109). Середні значення (109).
Предметний покажчик . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
Розділ I
Розділ I. Множини й числа § 1. Множини та операції над ними Множина та її елементи Під множиною розуміють сукупність будь-яких предметів, об’єктів, об’єднаних між собою певною спільною для них ознакою. Предмети (об’єкти), з яких складається множина, називаються її елементами. Якщо елемент a є елементом множини A, то символьно записують так: a ∈ A . Якщо елемент x не є елементом множини A, то символьно записують так: x ∉ A .
Задавання множини Множину, що має скінчену кількість елементів, називають скінченною. Якщо множина має нескінченну кількість елементів, її називають нескінченною. Множину, що не має жодного елемента, називають порожньою й позначають символом ∅ . Множину можна задати переліком її елементів; елементи множини записують у фігурних дужках. Наприклад, якщо A — множина дільників числа 12, то A = { 1; 2; 3; 4; 6; 12 } . Множину елементів, що має певну характеристичну властивість, описують так: пишуть фігурні дужки, у них — позначення елемента множини, після нього — двокрапку, а потім — характеристичну властивість. Наприклад, запис A = { x : x є жителем Парижа} означає, що множина A складається з усіх жителів Парижа.
Підмножина Якщо кожний елемент множини A міститься в множині B, то множину A називають підмножиною множини B і символьно записують так: A ⊂ B (див. рис.). Запис A ⊂ B означає, що коли x ∈ A , то x ∈ B . Якщо одночасно A ⊂ B і B ⊂ A , то кажуть, що множини A і B є рівними ( A = B) .
A⊂B
Розділ I
Переріз множин Перерізом множин A і B називають множину їхніх спільних елементів (див. рис.). Переріз множин A і B символьно записують так: A ∩ B . Якщо C = A ∩ B і x ∈C , то це означає, що x ∈ A і x ∈ B .
Об’єднання множин Об’єднанням множин A і B називають множину елементів, які входять до складу принаймні однієї з цих двох множин (див. рис.). Об’єднання множин А і B символьно записують так: A ∪ B . Якщо C = A ∪ B і x ∈C , то це означає, що x ∈ A або x ∈ B .
Різниця множин Різницею множин A і B називають множину таких елементів, які належать до множини A, але не містяться в множині B (див. рис.). Різницю множин A і B символьно записують так: A \ B . Якщо C = A \ B і x ∈C , то це означає, що x ∈ A і x ∉ B .
Закони операцій над множинами Переставний закон: A ∩ B = B ∩ A ; A ∪ B = B∪ A . A ∩ A = A ; A∪ A = A . Закон ідемпотентності: ∅∪ A = A . Закон порожньої множини: ∅ ∩ A = ∅ ; A ∪ ( A ∩ B) = A ; A ∩ ( A ∪ B) = A . Закон поглинання: Сполучний закон: ( A ∩ B) ∩ C = A ∩ ( B ∩ C ) ; ( A ∪ B) ∪ C = A ∪ ( B ∪ C ) . A ∪ ( B ∩ C ) = ( A ∪ B) ∩ ( A ∪ C ) ; Розподільний закон: A ∩ ( B ∪ C ) = ( A ∩ B) ∪ ( A ∩ C ) .
Розділ I
§ 2. Дійсні числа Числові множини N — множина натуральних чисел. N = {1; 2; 3; 4; 5,..., n,...}. Z — множина цілих чисел, що містить у собі / натуральні числа, протилежні їм числа й число ; нуль. 2 Z = {..., − 3; − 2; − 1; 0; 1; 2; 3;...}. 3 Раціональними числами називаються числа, /⊂;⊂2⊂3 m які можна подати у вигляді , де m ∈Z , n ∈ N . n Множина раціональних чисел позначається Q. Будь-яке раціональне число можна подати або у вигляді скінченного десяткового дробу, або у вигляді нескінченного десяткового періодичного дробу. Ірраціональними числами називаються числа, які не можна m подати у вигляді , де m ∈Z , n ∈N . n Наприклад, число π , π ≈ 3,1415926… ; числа та інші.
3 ;
5 ;
6
Будь-яке ірраціональне число можна записати у вигляді нескінченного неперіодичного десяткового дробу. Наприклад,
2 = 1,4142… ; e = 2,7182818…
Раціональні й ірраціональні числа утворюють множину дійсних чисел, яку позначають символом R (див. рис.).
Числова пряма і дійсні числа Кожному дійсному числу a відповідає єдина точка A числової прямої, і кожній точці A числової прямої відповідає єдине число a, що називається координатою точки A й позначається A ( a ) . Наприклад, координатами точок A, B, C (див. рис.) є числа 1 1 1 1 −1 ; ; 2 . Це записується так: A −1 ; B ; C 2 . 2 2 2 2
( )
Розділ I
Порівняння дійсних чисел Із двох дійсних чисел більшим (меншим) є те число, котре при зображенні цих чисел точками на числовій прямій розташоване праворуч (ліворуч) (див. рис.).
Сума, різниця, добуток, частка (на нуль ділити не можна) дійсних чисел є дійсними числами.
Властивості арифметичних дій над дійсними числами
Нехай a, b, c — дійсні числа, тоді a + b = b + a ; (a + b) + c = a + (b + c) ; a + 0 = a − 0 = a ; a + (−a) = 0 ;
−(−a) = a ;
0 − a = −a ;
a (b + c ) = ab + ac .
ab = ba ;
(ab) c = a (bc) ;
a ⋅1 = 1 ⋅ a = a ; a ⋅0 = 0⋅a = 0 ; 1 a⋅ =1 ; a a — не визначено; 0:a = 0 ; 0 a b (a + b) : c = + . c c
Степінь У записі an = b число a називають основою степеня, n — показником степеня, b — значенням степеня. Степінь із натуральним показником: an = a a ⋅…⋅ a , n ∈N , n 2 . ⋅ n разів
1n = 1 , n ∈N ; 0n = 0 , n ∈N ; a1 = a . Степінь із нульовим показником: a0 = 1 , a ≠ 0 . Нульовий степінь нуля 00 не визначається. Степінь із від’ємним цілим показником: якщо a ≠ 0 і n ∈N , 1 то a − n = n . Вираз 0−n , де n ∈N , не визначається. a m Степінь із раціональним показником: a n = n am , де a > 0 ; m ∈ Z, n ∈ N, n 2 .
( )
1
Наприклад, 144 2 = 144 = 12 ; 16
10
−
3 4
= 4 16−3 = 4
1 163
=
1 . 8
Розділ I
Властивості степенів із цілими показниками 1. am ⋅ an = am +n , m ∈Z , n ∈Z . Наприклад, 57 ⋅ 5−5 = 57 −5 = 52 = 25 .
am = am −n , m ∈Z , n ∈Z . an
2. am : an = am −n , або
Наприклад, 3−3 : 3−5 = 3
( )
3. am
n
−3 −( −5)
= 32 = 9 .
= amn , m ∈Z , n ∈Z .
Наприклад,
(( −2) ) = ( −2) 5
2
10
= 1024 .
4. ( ab ) = anbn , n ∈Z . n
Наприклад, (2 ⋅ 3) = 23 ⋅ 33 = 8 ⋅ 27 = 216 . 3
n
an a = n , n ∈Z . 5. b b
( −2) 2 Наприклад, − = 3 34
4
4
a 6. b
−n
=
16 . 81
n
b = , n ∈Z . a
1 Наприклад, 2
−5
5
2 = = 25 = 32 . 1
7. a2k > 0 , a ≠ 0 , k ∈N . Наприклад, 52 = 25 > 0 ; ( −3) = 81 > 0 ; ( −7 ) = −2
4
1 >0. 49
8. Якщо a > 0 , то a2k−1 > 0 , k ∈N ; якщо a < 0 , то a2k−1 < 0 , k ∈N . Наприклад, 23 = 8 > 0 ; ( −2) = −8 < 0 . 3
Властивості степенів із раціональними показниками Властивості степенів із цілими показниками справджуються й для степенів із раціональними показниками:
( )
ar1 ⋅ ar2 = ar1 + r2 ; ar1 : ar2 = ar1 − r2 ; ar1 r
r2
= ar1r2 ; ( ab ) = ar br ; r
ar a = , b ≠ 0. b br 1 3
Наприклад, a ⋅ a 23 a
1 2
=a
1 1 + 3 2
1 1 = a ; a 5 b 3 5 6
15 16
1
=a5
⋅
15 16
1
⋅b 3
⋅
15 16
3
5
= a 16 b 16 ;
3
2 3 2 1 ⋅ 4 = a 3 4 = a 4 = a 2 .
11
Розділ I
Стандартний вигляд числа Стандартним виглядом числа α називається його запис у вигляді a ⋅10n , де 1 a < 10 , n ∈Z . Число n називають порядком числа. Наприклад, α = 125 000 = 1,25 ⋅ 105 .
Арифметичний квадратний корінь Арифметичним квадратним коренем із невід’ємного числа a називається таке невід’ємне число b, квадрат якого дорівнює a. Позначають так: a = b ; цей запис означає: b2 = a , b 0 . Символ називається знаком кореня або знаком радикала. Наприклад,
16 = 4 , оскільки 42 = 16 і 4 > 0 .
Квадратний корінь із від’ємного числа не існує.
Властивості арифметичного квадратного кореня Основні тотожності a, якщо a 0, 2 1. a = a = −a, якщо a < 0. Наприклад,
2.
( a)
2
=a;
Наприклад,
25 = 52 = 5 = 5 .
0 =0.
( 9)
2
=9.
3. ab = a ⋅ b , де a 0 , b 0 . Наприклад,
4.
a b
=
a b
Наприклад,
25 ⋅16 = 25 ⋅ 16 = 5 ⋅ 4 = 20 .
, де a 0 , b > 0 . 25 = 16
25 16
=
5 1 . =1 4 4
Внесення множника під знак квадратного кореня b a = b2a , якщо b 0 ; b a = − b2a , якщо b < 0 . Винесення множника з-під знака квадратного кореня b2a = b a , якщо b 0 , a 0 ; b2a = −b a , якщо b < 0 , a 0. b2 a = b 12
a .
Арифметичним коренем n-го степеня (n ∈ N, n > 1) з невід’ємного числа a називається таке невід’ємне число b, яке при піднесенні його до степеня n дає число a. Число n називається показником кореня, число a — підкореневим виразом. Позначення: n a = b ; цей запис означає: bn = a, a 0, b 0. 3
Наприклад, 3 = 81 , 3 > 0 .
8 = 2 , оскільки 23 = 8 і 2 > 0 ;
4
81 = 3 , оскільки
4
Коренем непарного степеня з від’ємного числа a називається таке від’ємне число b, яке при піднесенні його до цього непарного степеня дорівнює числу a. Запис 2k+1 a = b означає: b2k+1 = a , b < 0 , k ∈N . Наприклад,
( −2)
5
3
−27 = −3 , оскільки
( −3)3 = −27 ;
5
−32 = −2 , оскільки
= −32 .
Властивості коренів Основні тотожності 1.
( a)
n
n
= a , n ∈N , n 2 .
2. n am = nk amk , a 0 , n ∈N , m ∈Z , k ∈N , n 2 . a, якщо a 0, 2k 2k 3. a = a = Крім того, 2k+1 a2k+1 = a , k ∈N . −a, якщо a < 0. 4. n k a 5.
( a)
k
n
= nk a , n ∈N , k ∈N , a 0 , n 2 , k 2 . = n ak , k ∈N , n ∈N , n 2 , a 0 .
6. n ab = n a ⋅ n b , a 0 , b 0 . 7. n
a b
=
n
a
n
b
Наприклад,
, a0, b>0 . 5
32 = 243
5 5
32
243
=
2 . 3
Винесення множника з-під знака кореня: b2k a , якщо b 0, 2k 2k b a = b ⋅ 2k a = 2k −b a , якщо b < 0, a > 0, k ∈ N. 2 k +1 2 k +1 b a = b2 k + 1 a , k ∈ N . Наприклад,
5
32 ⋅ 3 = 5 32 ⋅ 5 3 = 2 5 3 .
13
Розділ I
Арифметичний корінь n -го степеня
Розділ I
Внесення множника під знак кореня: b2k a = 2k b2k a , якщо b 0 , b2k a = −2k b2k a , якщо b < 0, k ∈ N. b2k +1 a = 2k +1 b2k +1a , k ∈ N. Наприклад, 2 5 3 = 5 32 ⋅ 5 3 = 5 96 ; −3 4 2 = − 4 34 ⋅ 2 = − 162 .
Модуль дійсного числа a, якщо a > 0, a = −a, якщо a < 0, 0, якщо a = 0. Геометрична інтерпретація: якщо точка A має на числовій прямій координату a (див. рис.), то відстань від A до O дорівнює a , тобто AO = a .
Властивості модуля − a = a ;
a 0 ;
a = a2 ;
an = a ;
a + b a − b ;
2
n
ab = a ⋅ b ; 2k
a a ; a a , b≠0; = b b
= a2k , k ∈N ;
a+b a + b ;
a−b a − b ;
a−b a + b ;
a
a1 + a2 +…+ an a1 + a2 +…+ an .
Ціла й дробова частини числа Цілою частиною числа a (або антьє a) називається найбільше ціле число, яке не перевищує числа a; позначається так: [ a ] . Наприклад, [2,1] = 2 ; 2 = 1 ; [0,3] = 0 ; [ −1,3] = −2 ; − 3 = −2 .
Дробовою частиною числа a називається число, що дорівнює a − [ a ] ; позначається так: {a} , тобто {a} = a − [ a ] . Наприклад,
{−1,3} = −1,3 − ( −2) = 0,7 .
{2,1} = 2,1 − 2 = 0,1 ; {0,3} = 0,3 − 0 = 0,3 ; {−1,3} = −1,3 − ( −2) = 0,7
Будь-яке число a можна подати у вигляді a = [ a ] + {a} . Наприклад, 1,3 = 1 + 0,3 ; −1,3 = −2 + 0,7 .
14
Логарифмом додатного числа b (b > 0) за основою a називається показник степеня, до якого треба піднести основу a, щоб дістати число b; позначення: log a b .
(a > 0, a ≠ 1)
Наприклад, log2 16 = 4 ; log
3
3 = 2 ; log5
1 = −2 . 25
Формулу aloga b = b , де a > 0 , a ≠ 1 , b > 0 ,називають основною логарифмічною тотожністю. Десятковими логарифмами називаються логарифми, основа яких дорівнює 10; позначаються символом lg: log10 b = lg b . Натуральними логарифмами називаються логарифми, основа яких дорівнює e ( e ≈ 2,7182818) ; позначаються символом ln: log e b = ln b .
Основні властивості логарифмів 1. log a 1 = 0 ( a > 0, a ≠ 1) .
2. log a a = 1 ( a > 0, a ≠ 1) .
3. log a ( xy ) = log a x + log a y ( a > 0, a ≠ 1, x > 0, y > 0).
Наприклад, log5 15 = log5 (3 ⋅ 5) = log5 3 + log3 5 = log5 3 + 1 .
x 4. log a = log a x − log a y ( a > 0, a ≠ 1 , x > 0 , y > 0) . y Наприклад, log2
3 = log2 3 − log2 8 = log2 3 − 3 . 8
5. log a x p = p log a x ( a > 0, a ≠ 1 , x > 0) . 1
Наприклад, log3 3 3 = log3 3 3 =
6. log a b =
log c b log c a
(a > 0,
Наприклад, log2 3 =
Наслідки: 1) log a b =
1 log b a
1 1 1 log3 3 = ⋅1 = . 3 3 3
a ≠ 1 , b > 0 , c > 0 , c ≠ 1) .
log3 2 log5 3 1 ; . = log 8 2 = log3 8 3 log5 2
(a > 0,
a ≠ 1 , b > 0 , b ≠ 1) .
2) log a b = log a p b p ( a > 0, a ≠ 1 , b > 0) . 1 log a b ( a > 0, a ≠ 1 , b > 0) . p p 4) log aq a p = (a > 0, a ≠ 1) . q 3) log a p b =
15
Розділ I
Логарифми
Розділ ІІ. Алгебраїчні вирази § 3. Одночлени й многочлени Розділ II
Одночлени Одночленом називається добуток чисел, змінних та їхніх натуральних степенів, а також самі числа, змінні та їхні натуральні степені. Одночлен стандартного вигляду — одночлен, який містить тільки один числовий множник, що стоїть на першому місці, і степені з різними буквеними основами. Коефіцієнтом одночлена називається числовий множник одночлена стандартного вигляду. Щоб записати одночлен у стандартному вигляді, треба перемножити всі його числові множники й одержане число поставити на перше місце, а потім добутки однакових буквених множників записати у вигляді степенів. Наприклад, 2xy ⋅ 7axy ⋅ ( −3) a2bx = −42a3bx3 y2 . Степенем одночлена називається сума показників степенів усіх буквених множників, які належать до одночлена. Наприклад, степінь одночлена 2x2 yz дорівнює 4.
Дії над одночленами Якщо одночленом є число, відмінне від нуля, то вважається, що його степінь дорівнює нулю. Число 0 степеня не має. Щоб помножити одночлен на одночлен, треба перемножити їхні коефіцієнти й перемножити степені з однаковими основами.
(
)
Наприклад, 12a2xy ⋅ −3xy2z = −36a2x2 y3z .
Щоб піднести одночлен до степеня, потрібно піднести його коефіцієнт до цього степеня й помножити показник степеня кожної букви на показник степеня, до якого підносять одночлен.
(
Наприклад, −2x2 yz6
)
= 16x8 y4 z24 .
(
)
4
Щоб поділити одночлен на одночлен, треба поділити коефіцієнт діленого на коефіцієнт дільника, до знайденої частки приписати множниками кожну змінну діленого з показником, що дорівнює різниці показників цієї змінної в діленому й дільнику. Наприклад, 9x7 y6 z5 : 3x3 y5z =
16
9 7 −3 6−5 5−1 x y z = 3x4 yz4 . 3
Многочлени Многочленом називається алгебраїчна сума кількох одночленів. Подібні члени многочлена — це однакові одночлени або, якщо їх записати в стандартному вигляді, такі, які відрізняються тільки коефіцієнтами. Щоб звести подібні члени, треба додати їхні коефіцієнти й приписати їхню спільну буквену частину. Наприклад, 2ab + 3b2 − 2a2 + a2 − 5ab + b2 = 4b2 − 3ab − a2 .
Стандартний вигляд многочлена — це запис многочлена, де всі члени многочлена — одночлени стандартного вигляду й серед них немає подібних. Наприклад, ab + bc + abc — многочлен стандартного вигляду.
Степенем многочлена стандартного вигляду називається найбільший степінь одночленів, що утворюють многочлен. Наприклад, степінь многочлена 2x5 y + 3xy2 дорівнює 6.
Додавання й віднімання многочленів Щоб додати два многочлени, досить з’єднати їх знаком «+» і звести подібні члени. При додаванні многочленів користуються правилом розкриття дужок: якщо перед дужками стоїть знак «+», то дужки можна опустити й зберегти знак кожного одночлена.
(
Наприклад, 3x2 − 2x + 5 + 6x2 + 5x − 3 = 3x2 − 2x + 5 + 6x2 + 5x − 3 = 9x2 + 3x + 2 .
) (
)
Щоб знайти різницю двох многочленів, треба поставити знак «–» перед узятим у дужки другим многочленом. При відніманні многочленів також користуються відповідним правилом розкриття дужок: якщо перед дужками стоїть знак «–», то дужки можна опустити, змінивши знак кожного одночлена, що був у дужках, на протилежний.
(
Наприклад, 3x2 − 2x + 5 − 6x2 + 5x − 3 = 3x2 − 2x + 5 − 6x2 − 5x + 3 = −3x2 − 7x + 8 .
) (
)
Щоб записати алгебраїчну суму кількох многочленів як многочлен стандартного вигляду, потрібно розкрити дужки й звести подібні члени.
(
) (
) (
) (
)
Наприклад, 2x2 − 3x + 2 − 3x2 − 2x − 1 − −x2 + 2x + 1 + −2x2 + x − 1 = 2 = 2x − 3x + 2 − 3x + 2x + 1 + x − 2x − 1 − 2x + x − 1 = −2x − 2x + 1 . 2
2
2
2
17
Розділ II
Наприклад, 5x2 − 2x + 3 ; 7a2b2 − 5ab + xy — многочлени.
6
Множення і ділення многочленів Щоб помножити одночлен на многочлен, треба кожний член многочлена помножити на цей одночлен і одержані одночлени додати.
(
)
Наприклад, 2a a2 − a + 2a2 = 2a3 − 2a2 + 4a3 = 6a3 − 2a2 .
Розділ II
Щоб помножити многочлен на многочлен, треба кожний член одного многочлена помножити на кожний член другого многочлена й одержані одночлени додати. Наприклад, (3x − 2)(2x − 3) = 3x ⋅ 2x − 3 ⋅ 3x − 2 ⋅ 2x + 2 ⋅ 3 = = 6x2 − 9x − 4x + 6 = 6x2 − 13x + 6 .
Щоб поділити многочлен на одночлен, потрібно кожний член многочлена поділити на цей одночлен і одержані результати додати.
(
)
Наприклад, 5x6 − 7x 4 + 3x 3 − 2x 2 : (2x ) == 5x6 : (2x ) − 7x4 : (2x ) + 3x3 : (2x ) − 2x2 : (2x ) : (2x ) − 7x : (2x ) + 3x3 : (2x ) − 2x2 : (2x ) == 2,5x5 − 3,5x3 + 1,5x2 − x . 4
Формули скороченого множення 1. Квадрат суми (різниці) двох виразів: 2 ( a ± b ) = a2 ± 2ab + b2 .
Наприклад, ( a + 3) = a2 + 6a + 9 ; ( x − 2) = x2 − 4x + 4 . 2
2
2. Куб суми (різниці) двох виразів: 3 ( a ± b ) = a3 ± 3a2b + 3ab2 ± b3 .
Наприклад, ( a + 1) = a3 + 3a2 + 3a + 1 , ( a − 2) = a3 − 6a2 + 12a − 8 . 3
3
3. Добуток різниці двох виразів та їхньої суми: ( a − b ) ( a + b ) = a 2 − b2 .
Наприклад, ( a − 5)( a + 5) = a2 − 25 ; (2a − 3b )(2a + 3b ) = 4a2 − 9b2 .
4. Добуток суми (різниці) двох виразів та неповного квадрата їхньої різниці (суми): ( a ± b ) a2 ∓ ab + b2 = a3 ± b3 .
(
(
)
)
(
)
Наприклад, (2a − 3) 4a2 + 6a + 9 = 8a3 − 27 , ( 2 + y ) 4 − 2y + y2 = 8 + y3 .
Розкладання многочлена на множники При розкладанні многочлена на множники використовують: 1) винесення спільного множника за дужки. Наприклад, 5x2 + 10x = 5x ( x + 2) ;
2) спосіб групування.
(
)
априклад, 5x − 5y − x2 + xy = (5x − 5y ) − x2 − xy == 5( x − y ) − x ( x − y ) = ( x − y )(5 − x ) Н = 5( x − y ) − x ( x − y ) = ( x − y )(5 − x ) ;
3) формули скороченого множення.
(
)
Наприклад, 4a2 − 9b2 = (2a − 3b )(2a + 3b ) , 27a3 + 1 = (3x + 1) 9x2 − 3x + 1 .
18
Многочлен з однією змінною
Наприклад, число 2 — корінь многочлена x4 − x3 − x2 − x − 2 , тому що 24 − 23 − 22 − 2 − 2 = 0 .
Розділ II
Многочленом n-го степеня з однією змінною називається многочленом виду: an xn + an −1xn −1 +…+ a2x2 + a1x + a0 , де an , an−1 , …, a2 , a1 , a0 — дійсні числа, an ≠ 0 , x — змінна, n ∈N . Число α називається коренем многочлена an xn + an −1xn −1 +…+ a2x2 + a1x + a0 n −1 +…+ a2x2 + a1x + a0 (де an , an−1 , … a2 , a1 , a0 — дійсні числа, an ≠ 0 ), n −1x якщо an α n + an −1α n −1 +…+ a2α 2 + a1α + a0 = 0 .
Якщо число α — корінь многочлена an xn + an −1xn −1 +…+ a2x2 + a1x + a0 +…+ a2x2 + a1x + a0 , то an xn + an −1xn −1 +…+ a2 x2 + a1x + a0 = ( x − α ) bn −1xn −1 + bn −2 xn −2 +…+ b2 x α ) bn −1xn −1 + bn −2 xn −2 +…+ b2 x2 + b1x + b0 .
(
(
)
(
Наприклад, x = 2 — корінь многочлена x3 + x − 3x − 6 , тоді x3 + x2 − 3x − 6 = ( x − 2) x2 x + x − 3x − 6 = ( x − 2) x2 + 3x + 3 . 3
2
(
)
Многочлен an xn + an −1xn −1 +…+ a2x2 + a1x + a0, де an ≠ 0 , може мати не більш ніж n коренів. Якщо многочлен an xn + an −1xn −1 +…+ a2x2 + a1x + a0 , де an ≠ 0 , має корені α1 , α 2 , …, α n , то цей многочлен можна розкласти на множники: an xn + an −1xn −1 +…+ a2x2 + a1x + a0 = an (x − α1 ) (x − α 2 ) ⋅…⋅ ( x − α n ) .
§ 4. Алгебраїчні вирази Раціональні алгебраїчні вирази Алгебраїчним виразом називається вираз, у якому числа й букви об’єднані чотирма арифметичними діями, а також діями піднесення до натурального степеня й добування арифметичного кореня. 3a2
Наприклад, a + b ; a + b2 3 x ;
a+b
— алгебраїчні вирази.
Вираз, який не містить операції добування кореня зі змінної, називається раціональним. Раціональний вираз, що не містить дії ділення на змінну (букву) або на вираз, у якому є змінна, називається цілим. Наприклад, a2 + b ;
1 2 a + 2
1 3
b2 — цілі вирази.
19
Ірраціональні алгебраїчні вирази
Розділ II
Алгебраїчний вираз називається ірраціональним, якщо в ньому є дії добування арифметичного кореня з букв (змінних) або виразів, що містять букви (змінні). 1
Наприклад, x − y ; 3x + 5 ;
x + y
— ірраціональні вирази.
Алгебраїчні дроби та дії над ними
a Якщо a і b — алгебраїчні вирази, то вираз називається алb гебраїчним дробом. a ac Основна властивість дробу: , де b ≠ 0 , c ≠ 0 . = b bc Основна властивість дробу використовується для скорочення дробів. 2 Наприклад,
x ( x + 5y ) x + 5xy x = , x ≠ −5y . = 2xy + 10y2 2y ( x + 5y ) 2y
−a −a a a . =− =− = −b b −b b Додавання й віднімання дробів з однаковими знаменникаa b a±b , c≠0. ми: ± = c c c Щоб додати (відняти) дроби з різними знаменниками, треба звести їх до спільного знаменника, а потім скористатися правилом додавання (віднімання) дробів з однаковими знаменниками. Наслідок:
Наприклад, =
x2 x x2 x x2 − x2 − 2x − = = − = x −4 x −2 ( x − 2) ( x + 2) x − 2 ( x − 2) ( x + 2) 2
−2x 2x = . 4 − x2 x2 − 4
Множення дробів: Наприклад, x ≠ 0 , x ≠ −2 .
a c ac , b≠0, d≠0. ⋅ = b d bd
(
)
x2 − 4 ⋅ x ( x − 2) ( x + 2) x = x − 2 , x2 − 4 x = ⋅ = x2 2x + 4 x2 ⋅ (2x + 4) x 2 ⋅ 2 ( x + 2) 2x
Ділення дробів:
a c a d ad , b≠0, c≠0, d≠0. : = ⋅ = b d b c bc
(
)(
)
x2 − 9 x2 − 4 x2 − 9 x+3 x2 − 9 x2 − 4 : 2 = = ⋅ = x+2 x −4 x+2 x+3 ( x + 2 ) ( x + 3) (x − 3)(x + 3)(x − 2)(x + 2) = x − 3 x − 2 = x2 − 5x + 6 , x ≠ ±2 , x ≠ −3 . = ( )( ) ( x + 2 ) ( x + 3) Наприклад,
20
Ірраціональні вирази та дії над ними
Наприклад,
a 4 b ⋅ b a
3
a4 12 b3 ⋅ b4 a3
= 12
a 4 ⋅ b3 b4 ⋅ a3
=3
= 12
a b
.
Щоб виконати піднесення кореня до степеня, треба піднести до цього степеня підкореневий вираз, залишивши той самий показник кореня. 2
Наприклад, 3 a + 2 =
3
(a + 2 )
2
= 3 a2 + 2 2 a + 2 .
Щоб добути корінь із кореня, треба перемножити показники коренів, а підкореневий вираз залишити без змін. Наприклад,
a +1 = 6 a +1 .
3
Як звільнитися від ірраціональності в знаменнику дробу Якщо знаменник дробу — корінь або добуток кореня і раціонального множника, то треба чисельник і знаменник дробу домножити на такий степінь кореня того самого показника, щоб дістати степінь із показником, який дорівнює показнику кореня. Наприклад,
3a2 3
a
=
3a2 3 a2 3
a ⋅ 3 a2
=
3a2 3 a2 a
= 3a 3 a2 .
Якщо знаменник дробу — сума (різниця) квадратних коренів, то слід помножити чисельник і знаменник на різницю (суму) тих самих радикалів. a
Наприклад,
(
a 1+ a
=
1− a
)
=
(1 − a )(1 + a )
(
a 1+ a 1− a
) , якщо a 0, a ≠ 1.
Якщо знаменник дробу — сума (різниця) кубічних коренів, то слід домножити чисельник і знаменник дробу на неповний квадрат різниці (суми) тих самих радикалів. Наприклад, 1 3
a − b 3
=
3
(
3
a2 + 3 ab + 3 b2
a −3b
)(
3
a2 + 3 ab + 3 b2
)
=
3
a2 + 3 ab + 3 b2 a−b
.
21
Розділ II
Щоб виконати множення (ділення) ірраціональних виразів із різними показниками кореня, потрібно: звести їх до спільного показника, перемножити (поділити) підкореневі вирази й записати добуток (частку) під знак кореня зі спільним показником.
§ 5. Порівняння алгебраїчних виразів
Розділ II
Тотожно рівні вирази. Тотожність Два вирази зі змінними називаються тотожно рівними на певній множині, якщо їхні відповідні значення збігаються при всіх значеннях змінних, що належать до цієї множини. Наприклад, вирази 3( x + 2) і 3x + 6 є тотожно рівними на множині 2 всіх дійсних чисел; ( a + b ) і a2 + 2ab + b2 — тотожно рівні вирази на множині всіх пар дійсних чисел.
Тотожним перетворенням виразу називається заміна виразу на тотожно рівний йому. Рівність, у якій права і ліва частини — тотожно рівні вирази на певній множині, називається тотожністю на цій множині. Наприклад, ( a − b ) = a2 − 2ab + b2 , ( a − b )( a + b ) = a2 − b2 — тотожності. 2
Тотожна нерівність виразів Нехай задано алгебраїчні вирази A і B на деякій множині і для будь-яких відповідних значень значення виразу A більше (менше), ніж відповідне значення виразу B; тоді кажуть, що на цій множині справджується тотожна нерівність A > B ( A < B) . Наприклад, на множині дійсних чисел справджується тотожна нерівність a2 + 1 > a2 .
Іноді виникає необхідність довести, що дана нерівність зі змінними є правильною для всіх указаних значень змінних. Це можна зробити на підставі означень понять «більше» й «менше»: A > B , якщо різниця A − B — число додатне; A < B , якщо різниця A − B — число від’ємне. Наприклад, доведемо, що для додатних a і b Доведення:
(
a+b ab . 2
)
2
a − b a+b a + b − 2 ab a − 2 ab + b − ab = = = . 2 2 2 2 2 a − b при будь-яких додатних a і b є невід’ємним. Отже, Вираз 2 a+b якщо a > 0 і b > 0 , то ab . Рівність досягається, коли a = b . 2
(
22
)
Розділ ІІІ. Функції та графіки § 6. Властивості функцій Залежність змінної y від змінної x називається функцією, якщо кожному значенню x відповідає єдине значення y (див. рис.). Цю залежність позначають або f, або f ( x ) , або y = f (x ) . Змінна x називається незалежною змінною, або аргументом функції, а змінна y — залежною змінною, або функцією. Областю визначення функції f ( x ) називається множина дійсних значень незалежної змінної x, для яких ця функція визначена (має зміст). Позначається так: D ( f ) . Областю значень функції y = f ( x ) називається множина всіх дійсних значень, яких набуває залежна змінна y при всіх значеннях аргументу з області визначення. Позначається так: E ( f ) . Якщо області визначення D ( f ) і значень E ( f ) функції — числові множини, то така функція називається числовою.
Координатна площина й графік функції Кожній точці координатної площини (див. рис.) відповідають два числа (координати), які записуються після точки в дужках (на першому місці координата по осі x — абсциса, на другому — координата по осі y — ордината). Для будь-якої пари чисел ( x ; y ) існує лише одна точка, для якої абсцисою є число x, а ординатою — число y. Графіком функції y = f ( x ) називається множина всіх точок площини з координатами x ; f ( x ) , де перша координата «пробігає» всю область визначення функції y = f ( x ) , а друга координата — це відповідне значення функції в точці x.
(
)
23
Розділ III
Поняття функції
Способи задавання функції Табличний спосіб — функція задається таблицею. Графічний спосіб — функція задається множиною точок координатної площини. Аналітичний спосіб — функція задається формулою. Областю визначення функції y = f ( x ) , заданої формулою, називається множина значень x, при яких формула має зміст (усі дії, зазначені у формулі, можна виконати).
Розділ III
Наприклад, якщо f ( x ) =
y = x3 + x2 , то D ( y ) = R .
1 , то D ( f ) = ( − ∞ ; 1) ∪ (1; + ∞ ) ; якщо x −1
Правила знаходження області визначення функцій, заданих аналітично Функція y = an x + an −1x n
y=
f (x )
g (x )
n −1
+…+ a1x + a0
, f ( x ) і g ( x ) — многочлени
( −∞; + ∞ ) g (x ) ≠ 0
y = 2k f ( x ) , k ∈N
f (x ) 0
y = log f ( x ) g ( x )
g ( x ) > 0, f ( x ) > 0, f ( x ) ≠ 1
(
y = tg f ( x )
(
)
y = ctg f ( x )
f (x ) ≠
)
( ) y = arccos ( f ( x )) y = arcsin f ( x )
y = x α , де a: — натуральне число — ціле від’ємне число або нуль — додатне неціле число — від’ємне неціле число 24
Область визначення
π + πn , n ∈Z 2
f ( x ) ≠ πn , n ∈Z f ( x ) 1 f ( x ) 1 R
( −∞; 0 ) ∪ ( 0; + ∞ ) 0; + ∞ ) ( 0; + ∞ )
Парні і непарні функції Функція y = f ( x ) називається парною, якщо для будь-якого x ∈ D ( y ) виконується рівність f ( − x ) = f ( x ) , при цьому − x ∈ D ( y ) . Графік парної функції є симетричним відносно осі Oy.
Наприклад, f ( x ) = −x4 + x2 є парною, 4 2 оскільки f ( − x ) = − ( − x ) + ( − x ) = −x4 + x2 = f ( x ) 2 4 2 ( − x ) = −x + x = f ( x ) для всіх x ∈R (див. на рис. 1).
Розділ III
Рис. 1
Функція y = f ( x ) називається непарною, якщо для будь-якого x ∈ D ( y ) виконується рівність f ( − x ) = − f ( x ) , при цьому − x ∈ D ( y ) . Графік непарної функції є симетричним відносно початку координат.
Рис. 2 5 3 Наприклад, f ( x ) = x − x — не5 3 парна, оскільки f ( − x ) = ( − x ) − ( − x ) = − x5 + x3 = − x5 − x3 = − f ( x ) 5 3 5 3 5 3 − x ) − ( − x ) = −x + x = − x − x = − f ( x ) для всіх 5 3 x ∈R . (Графік функції f ( x ) = x − x див. на рис. 2.) Рис. 3
(
)
(
)
Існують функції, які не є ні парними, ні непарними. Наприклад, функції y = x , y = 2k x , k ∈N ; y = a x , a > 0 , a ≠ 1 ; y = log a x , a > 0 , a ≠ 1 ; y = { x } ; y = arccos x ; y = arcctg x не є ні парними, ні непарними.
Єдина функція, задана на множині R, є й парною, й непарною, — це функція y = 0 (рис. 3).
Періодичні функції Функція y = f ( x ) називається періодичною з періодом T ≠ 0 , якщо для будь-якого x з області визначення виконується рівність: f ( x + T ) = f ( x − T ) = f ( x ) (див. рис.). Періодом функції прийнято називати найменший із додатних періодів. 25
Зростаючі і спадні функції Функція y = f ( x ) називається зростаючою на певній множині Х, якщо для будьяких x1 ∈ X , x2 ∈ X , таких, що x2 > x1 , виконується нерівність f (x2 ) > f (x1 ) , або y2 > y1 (рис. 1). Якщо за названих умов виконується нерівність f (x2 ) f (x1 ), або y2 y1, то функція називається неспадною.
Розділ III
Рис. 1
Функція y = f ( x ) називається спадною на певній множині X, якщо для будь-яких x1 ∈ X , x2 ∈ X , таких, що x2 > x1 , виконується нерівність f (x2 ) < f (x1 ) , або y2 < y1 Рис. 2 (рис. 2). Якщо за названих умов виконується нерівність f (x1 ) f (x2 ) , або y1 y2 , то функція називається незростаючою.
Обернені функції Функція називається оборотною, якщо кожного свого значення вона набуває в єдиній точці області визначення. Функція g називається оберненою до функції f, якщо функція g в кожній точці x області значень оборотної функції f набуває такого значення y, що f ( y ) = x .
Якщо функція f ( x ) = y є оборотною, то, виразивши x із формули y = f ( x ) і помінявши x і y місцями, дістанемо формулу оберненої функції. Графіки функції f ( x ) та оберненої до неї функції g ( x ) є симетричними відносно прямої y = x (див. рис.). Функції f і g називаються взаємно оберненими.
Складені функції Якщо y є функцією від u: y = f (u ) , де u, у свою чергу, є функцією від аргументу x, тобто u = g ( x ) , то y називається складеною функцією від x: y = f g ( x ) .
(
26
)
§ 7. Властивості деяких функцій та їхні графіки Пряма пропорційність y = kx , k ≠ 0
**
*
Розділ III
1. Область визначення — R. 2. Область значень — R. 3. Функція непарна. 4. Якщо x = 0 , то y = 0 . 5. Якщо k > 0 , то функція зростає на множині R (див. рис., графік I). 6. Якщо k < 0 , то функція спадає на множині R (див. рис., графік II). 7. Графік прямої пропорційності — пряма, що проходить через початок координат.
Лінійна функція y = kx + b , k ∈R , b ∈R 1. Область визначення — R. 2. Область значень — R, якщо k ≠ 0 ; { b } , якщо k = 0 . 3. Якщо k ≠ 0 , b ≠ 0 , то функція не є ні парною, ні непарною; якщо k = 0 — функція парна; якщо b = 0 , k ≠ 0 — функція непарна; якщо k = 0 , b = 0 — функція і парна, і непарна. b 4. Якщо x = 0 , то y = b ; якщо x = − , k функція y = 0 . 5. Якщо k > 0 , то функція зростає на множині R (рис. 1); якщо k < 0 , то функція спадає на множині R (рис. 2); якщо k = 0 , то функція є сталою, y = b (рис. 3).
Рис. 1
Рис. 2
6. Графік лінійної функції — пряма, що утворює з віссю абсцис кут ϕ , тангенс якого дорівнює k. 7. Якщо b = 0, графік лінійної функції проходить через початок координат і є графіком прямої пропорційності. Рис. 3
27
k , k ∈R , k ≠ 0 x 1. Область визначення — ( − ∞ ; 0 ) ∪ ( 0; + ∞ ) . 2. Область значень — ( − ∞ ; 0) ∪ (0; + ∞ ) . k непарна. 3. Функція y = x 4. Якщо k > 0 , то функція спадає на інтервалах ( − ∞ ; 0) і (0; + ∞ ) (рис. 1). Якщо k < 0 , то на інтервалах ( − ∞ ; 0) , (0; + ∞ ) функція зростає (рис. 2). k 5. Графік функції y = не перетинає осі x координат.
Обернена пропорційність y =
Розділ III
Рис. 1
Рис. 2
6. Якщо k > 0 , x > 0 то функція є додатною; якщо k > 0 , x < 0 — від’ємною. Якщо k < 0 , x > 0 то функція від’ємна; якщо k < 0 , x < 0 — додатна. 7. Графік оберненої пропорційності — гіпербола. ax + b cx + d 1. Область визначення — d d − ∞ ; − c ∪ − c ; + ∞ . 2. Область значень — a a − ∞ ; c ∪ c ; + ∞ . 3. Точки перетину з осями координат: b b − a ; 0 і 0; d . d 4. Функція спадає на − ∞ ; − c d і − ; + ∞ , якщо ad < bc (рис. 1). c d 5. Функція зростає на − ∞ ; − c d і − ; + ∞ , якщо ad > bc (рис. 2). c 6. Графік функції — гіпербола.
Дробово-лінійна функція y =
Рис. 1
Рис. 2
28
Функція y = x 1. Область визначення — R. 2. Область значень — [0; + ∞ ) . 3. Функція парна. 4. Якщо x < 0 , то функція спадає; якщо x > 0 , то функція зростає. 5. Графік функції — об’єднання двох променів: бісектрис першої та другої координатних чвертей (див. рис.).
1. Область визначення — R. 2. Область значень: якщо a > 0 , то b2 − 4ac b2 − 4ac − + ∞ − ∞ ; − ; ; , 4a 4a якщо a < 0 . 3. Якщо b ≠ 0 , то функція не є ні парною, ні непарною; якщо b = 0 , то функція y = ax2 + c парною. 4. Якщо a > 0 , то функція спаb дає на проміжку − ∞ ; − 2a
Розділ III
Квадратична функція y = ax2 + bx + c , a ≠ 0
Рис. 1
b і зростає на проміжку − ; + ∞ ; 2 a b x0 = − — точка мінімуму (рис. 1). 2a Якщо a < 0 , то функція зростає на b проміжку − ∞ ; − і спадає на 2a Рис. 2 b b проміжку − ; + ∞ ; x0 = − — 2 a a 2 точка максимуму (рис. 2). 5. Графік функції перетинає осі координат у точках (0; c ) , (x1 ; 0) , − b ± b2 − 4ac . 2 1,2 2a 6. Графік функції — парабола, вітки якої напрямлені вгору, якщо a > 0 , і вниз, якщо a < 0 ; координати верши b b b2 − 4ac ни — − ;− ; вісь симетрії графіка — x = − . 2a 4a 2a
(x ; 0) , де x
=
29
Степенева функція y = xn Властивості функції y = xn , де n ∈N 1. Область визначення — R.
/
Розділ III
©ÁÊ
/
©ÁÊ
2. Область значень — якщо n = 2k , k ∈N , то [0; + ∞) ; якщо n = 2k − 1 , k∈ N , то R. 3. Якщо n = 2k , k ∈N , то функція парна; якщо n = 2k − 1 , k ∈N , то функція непарна. 4. Графік функції проходить через початок координат. Графік функції є симетричним відносно осі Oy, якщо n = 2k , k ∈N (рис. 1); симетричним відносно початку координат, якщо n = 2k − 1, k ∈N (рис. 2). 5. Якщо n = 2k , k ∈N , то функція спадає на проміжку ( − ∞ ; 0] і зростає на про-
міжку [0; + ∞ ) . Якщо n = 2k − 1 , k ∈N , то функція зростає на множині R. Властивості функції y = x − n , де n ∈N 1. Область визначення — ( − ∞ ; 0) ∪ (0; + ∞ ) .
/ ©ÁÊ
/
2. Область значень: (0; + ∞ ) , якщо n = 2k, k ∈N ; ( − ∞ ; 0) ∪ (0; + ∞ ) , якщо n = 2k − 1, k ∈N . 3. Якщо n = 2k, k ∈N, то функція парна, графік є симетричним відносно осі Oy (рис. 1); якщо n = 2k − 1, k ∈N, то функція непарна й графік симетричний відносно початку координат (рис. 2). 4. Точок перетину з осями координат графік функції не має.
©ÁÊ
5. Якщо n = 2k , k ∈N , то функція зростає на проміжку ( − ∞ ; 0) і спадає на про міжку (0; + ∞ ) ; якщо n = 2k − 1 , k ∈N , то функція спадає на кожному з проміжків ( − ∞ ; 0) , (0; + ∞ ) . 30
Властивості функції y = x α , де α — неціле число 1. Область визначення: [0; + ∞ ) , якщо α > 0 ; (0; + ∞ ) , якщо α < 0 . ©ÁÊ
3. Функція не є ні парною, ні непарною. 4. Якщо α > 0 , то графік функції проходить через початок координат (рис. 1, 2); якщо α < 0 , то графік функції не перетинає осей координат (рис. 3). 5. Якщо α > 0 , то функція зростає на всій області визначення; якщо α < 0 , то функція спадає на всій області визначення.
;
Розділ III
2. Область значень: [0; + ∞ ) , якщо α > 0 ; (0; + ∞ ) , якщо α < 0 .
©ÁÊ
; ©ÁÊ
Показникова функція y = ax , a > 0 , a ≠ 1 1. Область визначення — R. 2. Область значень — (0; + ∞ ) . 3. Функція не є ні парною, ні непарною.
©ÁÊ
4. Графік функції перетинає вісь Oy у точці (0; 1) , осі Ox не перетинає. 5. Якщо a > 1 , то функція зростає на множині R (рис. 1); якщо 0 < a < 1 , то функція спадає на множині R (рис. 2). 6. Коли a > 1 , то y > 1 якщо x > 0 ; 0 < y < 1 якщо x < 0 . Коли 0 < a < 1 , то y > 1 якщо x < 0 ; 0 < y < 1 якщо x > 0 .
©ÁÊ
31
Функція y = n x , n 2 , n ∈N 1. Область визначення: [0; + ∞ ) , якщо n = 2k , k ∈N ; R, якщо n = 2k + 1 , k ∈N .
/
2. Область значень: [0; + ∞ ) , якщо n = 2k , k ∈N ; R, якщо n = 2k + 1 , k ∈N .
©ÁÊ
Розділ III
/
©ÁÊ
3. Якщо n = 2k , k ∈N , то функція не є ні парною, ні непарною (рис. 1); якщо n = 2k + 1 , k ∈N , то функція непарна і її графік є симетричним відносно початку координат (рис. 2). 4. Функція зростає на всій області визначення.
5. Графік функції проходить через початок координат.
Логарифмічна функція y = log a x , a > 0 , a ≠ 1 1. Область визначення — (0; + ∞ ) . 2. Область значень — R. 3. Функція не є ні парною, ні непарною.
©ÁÊ
4. Графік функції перетинає вісь Ox у точці (1; 0) , осі Oy не перетинає. 5. Якщо a > 1 , то функція зростає на всій області визначення (рис. 1); якщо 0 < a < 1 , то функція спадає на всій області визначення (рис. 2).
©ÁÊ
32
6. Коли a > 1 , то y > 0 , якщо x > 1 ; y < 0 , якщо 0 < x < 1 . Коли 0 < a < 1 , то y > 0 , якщо 0 < x < 1 ; y < 0 , якщо x > 1 .
§ 8. Перетворення графіків функцій Перетворення графіка функції y = f (x ) у графік функції y = − f (x )
Розділ III
Графік функції y = − f ( x ) одержують із графіка функції y = f ( x ) за допомогою симетрії відносно осі Ox. Приклад перетворення наведено на рисунку.
Перетворення графіка функції y = f (x ) у графік функції y = f ( − x )
Графік функції y = f ( − x ) одержують із графіка функції y = f ( x ) за допомогою симетрії відносно осі Oy. Приклад перетворення наведено на рисунку.
Перетворення графіка функції y = f (x ) у графік функції y = f (x ) + b
Графік функції y = f ( x ) + b одержують із графіка функції y = f ( x ) за допомогою паралельного перенесення вздовж осі Oy на b одиниць. Приклад перетворення наведено на рисунку.
Перетворення графіка функції y = f (x ) у графік функції y = f (x − a )
Графік функції y = f ( x − a ) одержують із графіка функції y = f ( x ) за допомогою паралельного перенесення вздовж осі Ox на a одиниць. Приклад перетворення наведено на рисунку. 33
Перетворення графіка функції y = f (x ) у графік функції y = f (kx )
Графік функції y = f (kx ) , де k > 0, одержують із графіка функції y = f ( x ) : стисканням його вздовж осі Ox у k разів, якщо k > 1 ; розтя1 гуванням його вздовж осі Ox у k разів, якщо 0 < k < 1 .
Розділ III
Приклад перетворення — див. рис.
Перетворення графіка функції y = f (x ) у графік функції y = kf (x )
Графік функції y = kf ( x ) , де k > 0 , одержують із графіка функції y = f ( x ) : розтягуванням його вздовж осі Oy у k разів, якщо k > 1 ; стискан1 ням уздовж осі Oy у разів, якщо k 0 < k <1. Приклад перетворення — див. рис.
Перетворення графіка функції y = f (x ) у графік функції y = f (x )
Графік функції y = f ( x ) одержують із графіка функції y = f ( x ) так: вище від осі Ox (і на самій осі) залишають його без змін; нижче від осі Ox симетрично відображають його відносно осі Ox. Приклад перетворення — див. рис.
Перетворення графіка функції y = f (x ) у графік функції y = f ( x )
( )
Графік функції y = f x одержують із графіка функції y = f ( x ) так: праворуч від осі Oy (і на самій осі) залишають без змін і симетрично відображають цю частину відносно осі Oy. Приклад перетворення — див. рис.
34
Розділ IV. Тригонометрія § 9. Означення та властивості тригонометричних функцій Радіанна система вимірювання кутів і дуг π рад = 180° ; n° =
πn 180° α рад ; α рад = . 180 π
Розділ IV
Радіанна й градусна міри деяких кутів
π
π
π
π
2π
3π
5π
6
4
3
2
3
4
6
3π
Кути в радіанах
0
Кути в градусах
0° 30° 45° 60° 90° 120° 135° 150° 180° 270° 360°
π
2
2π
Одиничне коло. Точки одиничного кола і дійсні числа Одиничним (тригонометричним) колом називається коло радіуса 1 із центром у початку координат (рис. 1). Кожному дійсному числу t відповідає лише одна точка Pt одиничного кола. Числу 0 ставиться у відповідність точка P0 (1; 0) , а кожному числу t — точка Pt , утворена в результаті повороту точки P0 (1; 0) на кут t навколо початку координат: якщо t > 0 , то поворот виконується проти годинникової стрілки; якщо t < 0 — за годинниковою стрілкою. Кожній точці Pt відповідає нескінченна множина чисел вигляду t + 2πn , де n ∈Z (рис. 2).
Рис. 1
Рис. 2
35
Означення тригонометричних функцій
Розділ IV
Косинусом числа t називається абсциса точки Pt одиничного кола: cost = xPt (рис. 1). Синусом числа t називається ордината точки Pt одиничного кола: sint = xPt (рис. 2). Тангенсом числа t називається відношення sint до cost π sin t (cost ≠ 0): tg t = cos t t ≠ 2 + πn, n ∈ Z . Вісь тангенсів — пряма x = 1 . Тангенс числа t — ордината відповідної точки осі тангенсів (рис. 3). Котангенсом числа t називається відношення cost к sint cos t (sint ≠ 0) : ctg t = sin t (t ≠ πn, n ∈ Z ) . Вісь котангенсів — пряма y = 1 . Котангенс числа t — абсциса відповідної точки осі котангенсів (рис. 4).
Рис. 1
Рис. 2
Рис. 3
Рис. 4
Знаки тригонометричних функцій
Знаки синуса Знаки косинуса Знаки тангенса й котангенса 36
Значення тригонометричних функцій деяких кутів 0
π 6
π 4
π 3
π 2
t, град
0
30°
45°
60°
90°
sint
0
1 2
2 2
3 2
1
0
–1
0
cost
1
3 2
2 2
1 2
0
–1
0
1
tgt
0
3 3
1
3
—
0
—
0
ctgt —
3
1
3 3
0
—
0
—
π
3π 2
2π
180° 270° 360°
Розділ IV
Функція
t, рад
§ 10. Основні тригонометричні формули Співвідношення між тригонометричними функціями того самого аргументу sin2 α + cos2 α = 1 , α ∈R ; sin α π cos α tg α = , α≠ + πn , n ∈Z ; ctg α = , α ≠ πn , n ∈Z ; cos α 2 sin α πn tg α ⋅ ctg α = 1 , α ≠ , n ∈Z ; 2 1 π 1 + tg2 α = , α≠ + πn , n ∈Z ; cos2 α 2 1 1 + ctg2 α = , α ≠ πn , n ∈Z . sin2 α
Формули додавання sin ( α ± β ) = sin α cos β ± cos α sin β ; cos ( α ± β ) = cos α cos β ∓ sin α sin β ; tg α ± tg β π π π tg ( α ± β ) = , α≠ + πn, β ≠ + πn , α ± β ≠ + πn, 1∓ tg α tg β 2 2 2 n ∈Z ; ctg α ctg β ∓1 ctg ( α ± β ) = , α ≠ πn , β ≠ πn , α ± β ≠ πn , n ∈Z . ctg α ± ctg β 37
Формули подвійного аргументу sin 2α = 2 sin α cos α ; cos 2α = cos2 α − sin2 α ; 2 tg α π π tg 2α = , α≠ + πn , α ≠ + πn , n ∈Z ; 1 − tg2 α 4 2 ctg2 α − 1 πk ctg 2α = , α≠ , n ∈Z . 2 ctg α 2
Формули потрійного аргументу sin 3α = 3 sin α − 4 sin3 α ; cos 3α = 4 cos3 α − 3 cos α ; 3 tg α − tg3 α π tg 3α = , α≠ (2n + 1) , n ∈Z ; 1 − 3 tg2 α 6
Розділ IV
ctg 3α =
3 ctg α − ctg3 α πn ; α≠ , n ∈Z . 2 1 − 3 ctg α 3
Формули зниження степеня sin2 α =
1 − cos 2α 1 + cos 2α ; cos2 α = . 2 2
Формули перетворення добутку тригонометричних функцій у суму
(
)
(
)
(
)
1 cos ( α − β ) − cos ( α + β ) ; 2 1 cos α cos β = cos ( α − β ) + cos ( α + β ) ; 2 1 sin α cos β = sin ( α − β ) + sin ( α + β ) . 2 sin α sin β =
Формули половинного аргументу sin
α =± 2
1 − cos α 2
; cos
α =± 2
1 + cos α ; 2
α 1 − cos α sin α =± = , α ≠ π + 2πn , n ∈Z ; 2 1 + cos α 1 + cos α α 1 − cos α tg = , α ≠ πn , n ∈Z ; 2 sin α α 1 + cos α sin α ctg =± = , α ≠ 2πn , n ∈Z ; 2 1 − cos α 1 − cos α α 1 + cos α ctg = , α ≠ πn , n ∈Z . 2 sin α tg
38
Вираження тригонометричних функцій через тангенс половинного аргументу
α α 1 − tg2 2 2 , α ≠ π + 2πn , n ∈Z ; sin α = , cos α = 2 α 2 α 1 + tg 1 + tg 2 2 α 2 tg π 2 tg α = , α ≠ π + 2πn , α ≠ + πk , k ∈Z ; α 2 1 − tg2 2 2 α 1 − tg 2 , α ≠ πn , n ∈Z . ctg α = α 2 2 tg 2
Формули перетворення суми тригонометричних функцій у добуток α+β α −β α −β α+β cos ; sin α − sin β = 2 sin cos ; 2 2 2 2 α −β α+β α −β α+β cos α +cos β = 2cos cos ; cos α −cos β =−2sin sin ; 2 2 2 2 sin ( α + β ) π π tg α + tg β = , α≠ + πn , n ∈Z ; β ≠ + πk , k ∈Z ; cos α cos β 2 2 sin ( α − β ) π π tg α − tg β = , α≠ + πn , n ∈Z ; β ≠ + πk , k ∈Z ; cos α cos β 2 2 sin ( α + β ) ctg α + ctg β = , α ≠ πn , n ∈Z ; β ≠ πk , k ∈Z ; sin α sin β sin ( α − β ) ctg α − ctg β = − , α ≠ πn , n ∈Z , β ≠ πk , k ∈Z . sin α sin β sin α +sin β = 2 sin
Формули зведення Аргумент t Функція π − α π + α π − α π + α 3π − α 3π + α 2π − α 2π + α 2 2 2 2 sint cosα cosα sinα − sinα − cosα − cosα − sinα sinα cost
sinα − sinα − cosα − cosα − sinα
tgt
ctg α − ctg α − tg α
ctgt
tg α
sinα
cosα
cosα tg α
tg α
ctg α
− ctg α − tg α
− tg α − ctg α ctg α
tg α
− tg α − ctg α ctg α 39
Розділ IV
2 tg
§ 11. Обернені тригонометричні функції Арксинус, арккосинус, арктангенс і арккотангенс числа Арксинусом числа a називається кут (число) t з проміжку π π − 2 ; 2 , синус якого дорівнює a. π π Запис arcsina = t означає: t ∈ − ; і sint = a . 2 2 Наприклад, arcsin
2 π 1 π = ; arcsin = . 2 4 2 6
Арккосинусом числа a називається кут (число) t з проміжку
[0; π ] , косинус якого дорівнює a. Запис arccosa = t означає: t ∈[0; π ] і cost = a . Розділ IV
Наприклад, arccos
3 π = ; arccos1 = 0 . 2 6
Арктангенсом числа a називається кут (число) t з проміжку π π − 2 ; 2 , тангенс якого дорівнює a. π π ; Запис arctg a = t означає: t ∈ − і tgt = a . 2 2 Наприклад, arctg1 =
π ; arctg0 = 0 . 4
Арккотангенсом числа a називається кут (число) t з проміжку (0; π ) , котангенс якого дорівнює a. Запис arcctg a = t означає: t ∈(0; π ) і ctgt = a . π
π
; arcctg0 = . Наприклад, arcctg1 = 4 2 arcsina, arccosa, arctg a, arcctg a називають аркфункціями.
Основні співвідношення для аркфункцій sin ( arcsina ) = a , cos ( arccosa ) = a , a ∈[ −1; 1] ; tg ( arctg a ) = a , ctg ( arcctg a ) = a , a ∈R . arcsin ( − a ) = − arcsin a ; arccos ( − a ) = π − arccos a ; arctg ( − a ) = − arctg a ; arcctg ( − a ) = π − arcctg a ; π π arcsin ( sinϕ ) = ϕ , ϕ ∈ − ; ; arccos ( cosϕ ) = ϕ , ϕ ∈[0; π ] ; 2 2 π π arctg ( tg ϕ ) = ϕ , ϕ ∈ − ; arcctg ( ctg ϕ ) = ϕ , ϕ ∈(0; π ) ; ; 2 2 π arcsin a + arccos a = , a ∈[ −1; 1] ; 2 π arctg a + arcctg a = , a ∈R . 2 40
Значення аркфункцій деяких чисел Аргумент x Функція
1
3 2
2 2
1 2
0
−
1 2
arcsinx
π 2
π 3
π 4
π 6
0
−
π 6
arccosx
0
π 6
π 4
π 3
π 2
2 2
−
−
2π 3
3 2
−
π 4
π 3
−
3π 4
–1
−
5π 6
π 2 π
Функція
1
3
1
arctg x
π 3
π 4
π 6
0
arcctg x
π 6
π 4
π 3
π 2
1
−
0
3
–1
3 −
π 6
−
2π 3
Розділ IV
Аргумент x − 3
π 4
−
3π 4
π 3
5π 6
Деякі додаткові співвідношення для аркфункцій arcsin x = arccos 1 − x2 = arctg 0 < x < 1; arccos x = arcsin 1 − x2 = arctg 0 < x <1; 1 = arcsin x 1 arcctg x = arctg = arcsin x arctg x = arcctg
x 1 − x2 1 − x2 x
x 1+ x x
2
1 + x2
= arcctg
= arcctg
= arccos = arccos
1 − x2 x x 1 − x2
1 1 + x2 x 1 + x2
,
,
, x ∈R ; , x ∈R .
41
§ 12. В ластивості тригонометричних функцій, графіки цих функцій Функція y = sin x
Розділ IV
1. Область визначення — R. 2. Область значень — [ −1; 1] . 3. Функція непарна. 4. Функція періодична (T = 2π ). 5. Графік функції перетинає вісь Oy у точці (0; 0) , а вісь Ox — у точках ( πk; 0) , де k ∈Z (див. рис.). 6. y > 0 , якщо x ∈(2πk; π + 2πk) , k ∈Z ;
y < 0 , якщо x ∈( π + 2πk; 2π + 2πk) , k ∈Z . π π 7. Функція зростає на проміжках − + 2πk; + 2πk , k ∈Z, 2 2 3π π і спадає на проміжках + 2πk; + 2πk , k ∈Z . 2 2 π + 2πk , k ∈Z ; ymin = −1 у точках 8. ymax = 1 у точках xmax = 2 π xmin = − + 2πk , k ∈Z . 2
Функція y = cos x
0
1. Область визначення — R. 2. Область значень — [ −1; 1] . 3. Функція парна. 4. Функція періодична (T = 2π ).
5. Графік функції перетинає вісь Oy у точці (0; 1) , вісь Ox — π у точках + πk; 0 , k ∈Z (див. рис.). 2 π π + 2πk; + 2πk , k ∈Z ; 6. y > 0, якщо x ∈ − 2 2 3π π y < 0 , якщо x ∈ + 2πk; + 2πk , k ∈Z . 2 2
7. Функція зростає на проміжках [ − π + 2πk; 2πk] , і спадає на проміжках [2πk; π + 2πk] , k ∈Z . 8. ymax = 1 у точках xmax = 2πk , k ∈Z ; ymin = −1 у точках xmin = π + 2πk , k ∈Z . 42
k ∈Z ,
Функція y = tg x
Розділ IV
1. Область визначення — π x≠ + πk , k ∈Z . 2 2. Область значень — R. 3. Функція непарна. 4. Функція періодична з найменшим додатним періодом π . 5. Графік функції перетинає вісь Oy у точці (0; 0) , вісь Ox — у точках ( πk; 0) , k ∈Z (див. рис.). π 6. y > 0 , якщо x ∈ πk; + πk , k ∈Z ; 2 π + πk; πk , k ∈Z . y < 0 , якщо x ∈ − 2 π π + πk; + πk , k ∈Z . 7. Функція зростає на проміжках − 2 2 8. Найменших і найбільших значень функція не має.
Функція y = ctg x 1. Область визначення — x ≠ πk , k ∈Z . 2. Область значень — R. 3. Функція непарна. 4. Функція періодична з найменшим додатним періодом π . 5. Графік функції не перетинає осі Oy, а вісь Ox перетинає в точках π 2 + πk; 0 , k ∈Z (див. рис.). π 6. y > 0, якщо x ∈ πk; + πk , k ∈Z ; 2
π y < 0 , якщо x ∈ + πk; π + πk , k ∈Z . 2 7. Функція спадає на проміжках ( πk; π + πk) , k ∈Z . 8. Найбільших і найменших значень функція не має. 43
Функція y = arcsin x 1. Область визначення — [ −1; 1] . π π 2. Область значень — − ; . 2 2 3. Функція непарна. 4. Графік функції перетинає осі координат у точці (0; 0) (див. рис.). 5. Проміжки знакосталості: y > 0 , якщо x ∈(0; 1] ; y < 0 , якщо x ∈[ −1; 0) .
Розділ IV
6. Функція зростає, якщо x ∈[ −1; 1] . π 7. Функція набуває найбільшого значення ymax = у точці 2 π xmax = 1 і найменшого значення ymin = − у точці xmin = −1 . 2
Функція y = arccos x 1. Область визначення — [ −1; 1] . 2. Область значень — [0; π ] . 3. Функція не є ні парною, ні непарною. arccos ( − x ) = π − arccos x . 4. Графік функції перетинає вісь Oy у точці π 0; 2 (див. рис.), a вісь Ox — у точці (1; 0) . 5. Проміжки знакосталості: y > 0 , якщо x ∈[ −1; 1] . 6. Функція спадає, якщо x ∈[ −1; 1] . 7. Функція набуває найбільшого значення ymax = π у точці xmax = −1 і найменшого значення ymin = 0 у точці xmin = 1 . 44
Функція y = arctg x 1. Область визначення — R. 2. Область значень — π π − 2 ; 2 . 3. Функція непарна. 4. Графік функції перетинає вісь координат у точці (див. рис.).
( 0; 0 )
Розділ IV
5. Проміжки знакосталості: y > 0 , якщо x ∈(0; + ∞ ) ; y < 0 , якщо x ∈( − ∞ ; 0) . 6. Функція зростає, якщо x ∈R . 7. Найбільших і найменших значень функція не має.
Функція y = arcctg x 1. Область визначення — R. 2. Область значень — (0; π ) . 3. Функція не є ні парною, ні непарною. arcctg ( − x ) = π − arcctg x . π 4. Графік функції перетинає вісь Oy у точці 0; (див. рис.), 2 а осі Ox не перетинає. 5. y > 0 , якщо x ∈R . 6. Функція спадає, якщо x ∈R . 7. Найбільших і найменших значень функція не має. 45
Розділ V. Рівняння й системи рівнянь § 13. Рівняння з однією змінною Рівняння. Корені рівняння Рівнянням називається рівність, що містить змінну (невідоме). Коренем (розв’язком) рівняння з однією змінною називається значення змінної, яке перетворює рівняння в правильну числову рівність. Розв’язати рівняння означає знайти його корені або довести, що їх немає. Областю допустимих значень (ОДЗ) рівняння називається множина значень змінної, при яких вирази в обох частинах рівняння є визначеними.
Рівносильні рівняння
Розділ V
Два рівняння називаються рівносильними, якщо множини їхніх коренів збігаються. Теореми про рівносильність рівнянь 1. Якщо до обох частин рівняння додати одне й те саме число або вираз зі змінною, який не втрачає змісту при будь-яких значеннях змінної, то дістанемо рівняння, рівносильне даному. 2 2 Наприклад, рівняння x = 9 і x + x = 9 + x є рівносильними. 2. Якщо з однієї частини рівняння перенести в другу частину доданок із протилежним знаком, то дістанемо рівняння, рівносильне даному. Наприклад, рівняння x3 = x − 1 і x3 − x + 1 = 0 є рівносильними.
3. Якщо обидві частини рівняння помножити або поділити на одне й те саме число, відмінне від нуля, або на вираз зі змінною, який не перетворюється в нуль при будь-яких значеннях змінної й не втрачає змісту на множині допустимих значень невідомої для даного рівняння, то дістанемо рівняння, рівносильне даному. 2 Наприклад, рівняння x2 = x і
x x = 2 є рівносильними. x2 + 1 x +1
4. Якщо обидві частини рівняння піднести до непарного натурального степеня, то дістанемо рівняння, рівносильне даному. Наприклад, рівняння x + 1 = 0 і ( x + 1) = 0 є рівносильними. 3
46
Лінійні рівняння Лінійним рівнянням з однією змінною (невідомим) x називається рівняння виду ax + b = 0 , де a і b — дійсні числа. Якщо a ≠ 0 , то рівняння називається рівнянням першого степеня. Схема розв’язування лінійних рівнянь
±¿É
¬
±¿É wÀÒÃÛÞÉÄÖÇÐÊÍ
¬ ¯ÍÆÁrÞÆÉÁÌÄË¿
Рівняння виду ax2 + bx = 0 , ax2 = 0 , ax2 + c = 0 , де a ≠ 0 , називають неповними квадратними рівняннями. Схема розв’язування рівняння ax2 + c = 0 , a ≠ 0
©ÍÏÄÌÁÌÄË¿
47
Розділ V
Неповні квадратні рівняння
Схема розв’язування рівняння ax2 = 0 , a ≠ 0
Схема розв’язування рівняння ax2 + bx = 0 , a ≠ 0
Квадратні рівняння Квадратним рівнянням називається рівняння виду ax2 + bx + c = 0 , де a, b, c — дійсні числа, a ≠ 0 . D = b2 - 4ac — дискримінант рівняння ax2 + bx + c = 0 .
Розділ V
Схема розв’язування квадратного рівняння ax2 + bx + c = 0 , a ≠ 0
©ÍÏÄÌÁÌÄË¿
Окремі випадки квадратних рівнянь Зведене квадратне рівняння ( a = 1)
©ÍÏÄ ÌÁ ÌÄË¿
48
Квадратне рівняння з парним другим коефіцієнтом
©ÍÏÄ ÌÁ ÌÄË¿
Теорема Вієта
Розкладання квадратного тричлена на множники Якщо x1 і x2 — корені квадратного тричлена ax2 + bx + c , то виконується рівність ax2 + bx + c = a (x − x1 ) (x − x2 ) .
Системи й сукупності рівнянь Кілька рівнянь із однією змінною утворюють систему рівнянь, якщо ставиться завдання: знайти всі такі значення змінної, кожне з яких є коренем кожного з рівнянь. Для позначення системи використовують фігурну дужку: f ( x ) = 0, g ( x ) = 0. Кілька рівнянь із однією змінною утворюють сукупність рівнянь, якщо ставиться завдання: знайти всі такі значення змінної, кожне з яких є коренем принаймні одного з даних рівнянь. Для позначення сукупності використовують квадратну дужку: f ( x ) = 0, g ( x ) = 0. 49
Розділ V
Якщо x1 і x2 — корені квадратного тричлена ax2 + bx + c , то b c виконуються рівності x1 + x2 = − , x1x2 = . a a Якщо x1 і x2 — корені тричлена x2 + px + q , то справджуються формули x1 + x2 = − p , x1x2 = q . Якщо p, q, x1 , x2 такі, що x1 + x2 = − p , x1x2 = q , то x1 і x2 — корені тричлена x2 + px + q .
Методи розв’язування рівнянь Метод розкладання на множники Якщо p ( x ) = 0 і p ( x ) = p1 ( x ) ⋅ p2 ( x ) ⋅…⋅ pn ( x ) , то рівняння p ( x ) = 0 рівносильне сукупності: p1 ( x ) = 0, p2 ( x ) = 0, ............ p ( x ) = 0. n
(
)
Приклад розв’язання: x3 + 2x2 − 3x − 6 = 0 ; x3 + 2x2 − (3x + 6) = 0 ;
(
)
x 2 ( x + 2) − 3 ( x + 2) = 0 ; ( x + 2) x 2 − 3 = 0 ; x + 2 = 0, x = −2, x = −2, x2 − 3 = 0; x2 = 3; x = ± 3 . Відповідь. –2; ± 3 .
Розділ V
Метод введення нової змінної Якщо в рівнянні неодноразово зустрічається один і той самий вираз, який залежить від змінної, то доцільно позначити цей вираз іншою буквою й розв’язати рівняння відносно введеної змінної, а потім — відносно даної.
(
)(
)
Приклад розв’язання: x2 + 3x + 1 x2 + 3x + 3 + 1 = 0 ; нехай x2 + 3x + 1 = y , тоді x2 + 3x + 3 = y + 2 ; y ( y + 2) + 1 = 0 ; y2 + 2y + 1 = 0 2 x = −1, ; ( y + 1) = 0 ; y + 1 = 0 ; y = −1 ; x2 + 3x + 1 = −1 ; x2 + 3x + 2 = 0 ; . x = − 2. Відповідь. –1; –2.
Цілі рівняння вищих ступенів Рівняння f ( x ) = g ( x ) називається цілим, якщо f ( x ) і g ( x ) — цілі вирази. Біквадратні рівняння Рівняння виду ax4 + bx2 + c = 0 , a ≠ 0 називається біквадратним рівнянням. У ході його розв’язання роблять заміну x2 = t . Формула коренів має вигляд: x1, 2, 3, 4 = ±
− b ± b2 − 4ac 2a
Приклад розв’язання: x4 − 4x2 + 3 = 0 ; x2 = t , t2 − 4t + 3 = 0 ; t = 3, x2 = 3, x = ± 3 , t = 1; x2 = 1; x = ±1.
Отже, x = ± 3 , x = ±1 . Відповідь. ±3 ; ±1 .
50
.
Тричленні рівняння Рівняння виду ax2n + bxn + c = 0 , a ≠ 0 , n 2 , n ∈N , називається тричленним. У ході його розв’язання роблять заміну xn = t і розв’язують рівняння at2 + bt + c = 0 . Приклад розв’язання: x6 − 9x3 + 8 = 0 ; x3 = t , t2 − 9t + 8 = 0 ; t = 8, x3 = 8, x = 2, t = 1; x3 = 1; x = 1. Отже, x = 1 або x = 2 . Відповідь. 1; 2.
Якщо число c — корінь многочлена p ( x ) = an xn + an −1xn −1 +…+ a1x + a0 n + an −1xn −1 +…+ a1x + a0 , то цей многочлен можна записати у вигляді p ( x ) = ( x − c ) ⋅ Q ( x ) , де Q ( x ) — многочлен степеня n −1.
Приклад розв’язання: x3 − 6x2 + 11x − 6 = 0 . Цілими коренями даного рівняння можуть бути лише дільники числа –6, тобто числа ±1 ; ±2 ; ±3 ; ±6 . Підбором з’ясовуємо, що x = 1 — корінь даного рівняння, тоді
x ( x − 1) − 5x ( x − 1) + 6 ( x − 1) = 0 ; x = 1, x = 2, x = 3. Відповідь. 1; 2; 3. 2
(x
) ( )
)
− x2 − 5x2 − 5x + (6x − 6) = 0 ; x− = , (x − 1) x2 − 5x + 6 = 0 ; x2 −15x0+ 6 = 0;
x3 − x2 − 5x2 + 5x + 6x − 6 = 0 ;
(
3
Рівняння зі змінною в знаменнику Рівняння
f (x )
f ( x ) = 0, = 0 рівносильне системі g (x ) g ( x ) ≠ 0.
Приклад розв’язання: x2 + 4x + 3 = 0, x2 + 4x + 3 =0; 2 2 x + 2x + 1 x + 2x + 1 ≠ 0; Отже, x = −3 . Відповідь. –3.
{
x = −1 или x = − 3, x ≠ −1.
51
Розділ V
Щоб знайти корінь многочлена, доречно скористатися таким твердженням: раціональними коренями многочлена an xn + an −1xn −1 +…+ a1x + a0 , де a0 , a1 , a2 , …, an — цілі числа, моm жуть бути лише числа вигляду (m ∈ Z, p ∈ N ) , причому m — p дільник числа a0 , а p — дільник числа an (m і p — взаємно прості числа).
Раціональні рівняння Рівняння f ( x ) = g ( x ) називається раціональним, якщо f ( x ) і g ( x ) — раціональні вирази. Щоб розв’язати раціональне рівняння, потрібно: 1) знайти спільний знаменник усіх дробів, що входять до рівняння; 2) замінити дане рівняння цілим, помноживши обидві його частини на спільний знаменник; 3) розв’язати одержане ціле рівняння; 4) виключити з коренів цілого рівняння ті, які перетворюють у нуль спільний знаменник. Приклад розв’язання: 1+
2 6 3 − 2 = ; x −1 x −1 x +1 2 x2 − 1 6 x2 − 1 3 x2 − 1 1 ⋅ x2 − 1 + ⋅ − 2 ⋅ = ⋅ ; x −1 1 x −1 1 x +1 1 x2 − 1 + 2( x + 1) − 6 = 3( x − 1), x2 − 7 + 2x + 2 = 3x − 3, 2 2 x ≠ 1; x − 1 ≠ 0;
(
)
Розділ V
x2 − x − 2 = 0, x = 2 або x = −1, x ≠ ±1. x ≠ ±1; Отже, x = 2 . Відповідь. 2.
Ірраціональні рівняння Ірраціональним називається рівняння, у якому змінна міститься під знаком кореня або під знаком піднесення до дробового степеня. Найпростіші ірраціональні рівняння
/
/
¯ÍÆÁrÞÆÉÁ ÌÄË¿
52
Рівняння виду
2n +1
f ( x ) = g ( x ) , n ∈N
Рівняння 2n+1 f ( x ) = g ( x ) , n ∈N , рівносильне рівнянню f ( x ) = g 2n+1 ( x ) . Приклад розв’язання: 3 −2x − 5 = − 3 ; −2x − 5 = ( −3) ; −2x − 5 = −27 ; −2x = −22 ; x = 11 . Відповідь. 11. 3
Рівняння виду Рівняння
2n
2n
f ( x ) = g ( x ) , n ∈N
f ( x ) = g ( x ) , n ∈N , рівносильне системі f ( x ) = g 2n ( x ), g ( x ) 0.
Приклад розв’язання: 2 x + 3 = 4x2 + 20x + 25, x + 3 = 2x + 5 ; x + 3 = (2x + 5) , 2x + 5 0; 2x + 5 0; 2 4x + 19x + 22 = 0, x = −2, x = −5,5, звідси x = −2 . Відповідь. –2. 2x + 5 0; 2x + 5 0;
Рівняння виду 2n
f ( x ) = 2n g ( x ) , n ∈N
f ( x ) = 2n g ( x ) , n ∈N , рівносильне одній із систем:
f ( x ) = g ( x ), f ( x ) = g ( x ), або f ( x ) 0 g ( x ) 0.
x2 − 3 = 3 + 5x , розв’язання: x2 − 3 = 3 + 5x ; 2 x − 3 0; x2 − 5x − 6 = 0, x = 6, x = −1, звідси x = 6 . Відповідь. 6. 2 2 x − 3 0; x − 3 0; Приклад
Показникові рівняння Показниковими називаються рівняння, у яких змінна міститься в показнику степеня при сталих додатних основах. Найпростіші показникові рівняння
YwÀÒÃÛÞÉÄ ÖÇÐÊÍÆ£¦
YwÀÒÃÛÞÉÄ ÖÇÐÊÍÆ£¦
53
Розділ V
Рівняння
2n
Рівняння виду a ( ) = b , a > 0 , a ≠ 1 , b > 0 f x Рівняння a ( ) = b , a > 0 , a ≠ 1 , b > 0 , рівносильне рівнянню f ( x ) = log a b . f x
Приклад розв’язання: 3x − 2 = 0; 3x = 2; x = log3 2. Відповідь. log3 2.
Рівняння виду b1amx +k1 + b2amx + k2 +…+ bn amx +kn = c Рівняння b1amx +k1 + b2amx + k2 +…+ bn amx +kn = c рівносильне рівнянню amx b1ak1 + b2ak2 +…+ bn akn = c .
(
)
(
)
Приклад розв’язання: 3x − 2 ⋅ 3x −2 = 63 ; 3x−2 32 − 2 = 63 ; 3x−2 ⋅ 7 = 63 ; x−2 3 = 9 ; 3x−2 = 32 ; x − 2 = 2 ; x = 4 . Відповідь. 4.
Рівняння виду Aa2x + Ba x + C = 0 Рівняння Aa2x + Ba x + C = 0 рівносильне системі a x = t > 0, 2 At + Bt + C = 0.
( )
x
Приклад розв’язання: 49x − 8 ⋅ 7x + 7 = 0 ; 72 − 8 ⋅ 7x + 7 = 0 ; 2 7x = t, 7x = 7, x = 1, 7x = t , 7 x − 8 ⋅ 7 x + 7 = 0; 2 Отже, x t − 8t + 7 = 0; t = 7 або t = 1. 7 = 1; x = 0. Відповідь. 0; 1.
( )
Розділ V
Рівняння виду Aa2x + Ba xbx + Cb2x = 0 Рівняння Aa2x + Ba xbx + Cb2x = 0 рівносильне рівнянню 2x
x
a a A + B b + C = 0 . b Приклад розв’язання: 3 ⋅16x + 2 ⋅ 81x = 5 ⋅ 36x ; 3 ⋅ 42x + 2 ⋅ 92x = 5 ⋅ 4x ⋅ 9x ; 4 x 2x x 3 ⋅ 42x 2 ⋅ 92x 5 ⋅ 4x ⋅ 9x 4 4 = t, ; 3 ⋅ − 5 ⋅ + 2 = 0 ; 9 + = 9 9 92x 92x 92x 3t2 − 5t + 2 = 0; 4 x 2 4 x 2x , 2 = 1 2 = t , 9 3 = , , 2x = 1, x = Тоді 9 2 3 3 x 4 x = 0; 2 t = x = 0. або t = 1. = 1; x = 0; 3 9 1 Відповідь. 0; . 2
Логарифмічні рівняння Логарифмічними називаються рівняння, що містять змінну під знаком логарифма. 54
Найпростіші логарифмічні рівняння
Рівняння виду log a f ( x ) = g ( x ) , a > 0 , a ≠ 1 Рівняння log a f ( x ) = g ( x ) , a > 0 , a ≠ 1 , рівносильне системі: f ( x ) > 0, g (x) f ( x ) = a .
Приклад розв’язання: 9x − 72 = 3x , log3 9x − 72 = x ; x 9 − 72 > 0;
(
)
3x = t, 2 t − t − 72 = 0, 9x − 72 > 0;
3x = 9 или 3x = −8, x 9 − 72 > 0;
x = 2, отже, x = 2 . Відповідь. 2. x 9 − 72 > 0;
Рівняння виду log g (x) f ( x ) = b
x 2 − x − 1 > 0, 3 − x > 0, 3 − x ≠ 1, 2 1 x − x − 1 = ( 3 − x ) ; Відповідь. –2.
x 2 − x − 1 > 0, 3 − x > 0, 3 − x ≠ 1, 2 x = 4;
Розділ V
f ( x ) > 0, g ( x ) > 0, Рівняння log g (x) f ( x ) = b рівносильне системі g ( x ) ≠ 1, 2 f ( x ) = g b ( x ). Приклад розв’язання: log3−x ( x − x − 1) = 1 ; x 2 − x − 1 > 0, 3 − x > 0, звідси x = −2 . 3 − x ≠ 1, x = ±2;
Рівняння виду log a f ( x ) = log a g ( x ) , a > 0 , a ≠ 1
Рівняння log a f ( x ) = log a g ( x ) , a > 0 , a ≠ 1 , рівносильне системі g ( x ) > 0, f ( x ) > 0, або системі f ( x ) = g ( x ) f ( x ) = g ( x ). Приклад розв’язання: x + 1,5 > 0, 1 x + 1,5 > 0, ; 1 2 x + 1 , 5 = ; x + 1,5 x − 1 = 0; x x x + 1,5 > 0, x = −2 або x = 0,5; звідси x = 0,5 .
lg ( x + 1,5) = lg
Відповідь. 0,5.
55
Рівняння виду b1 log a f1 ( x ) + b2 log a f2 ( x ) +…+ bn log a fn ( x ) = c log a g ( x ), a > 0, a ≠ 1
Рівняння b1 log a f1 ( x ) + b2 log a f2 ( x ) +…+ bn log a fn ( x ) = c log a g ( x ) , a > 0, a ≠ 1 , рівносильне системі: f ( x ) > 0, 1 ............ fn ( x ) > 0, g ( x ) > 0, b b b c f1 1 ( x ) ⋅ f2 2 ( x ) ×…× fn n ( x ) = g ( x ). Приклад розв’язання: log5 ( x − 1) + log5 ( x − 2) = log5 ( x + 2) ; log5 ( x − 1)( x − 2) = log5 ( x + 2), ( x − 1)( x − 2) = x + 2, x2 − 3x + 2 = x + 2, x − 1 > 0, x − 1 > 0, x > 1, x − 2 > 0; x − 2 > 0; x > 2; 2 x − 4x = 0, x = 0, x = 4, звідси x = 4 . Відповідь. 4. x > 1, x > 1, x > 2; x > 2;
Розділ V
(
)
Рівняння виду An log na f ( x ) +…+ A1 log a f ( x ) + A0 = 0 , a > 0 , a ≠1 Рівняння An log na f ( x ) +…+ A1 log a f ( x ) + A0 = 0 , a > 0 , a ≠ 1 , розв’язується заміною log a f ( x ) = t .
log x = t, Приклад розв’язання: log22 x − 3 log2 x = 4 ; 2 2 t − 3t − 4 = 0; log2 x = 4, x = 24 , x = 16, log2 x = t, Відповідь. 16; 0,5. t = 4 или t = −1; тоді log x = −1; −1 2 x = 2 ; x = 0,5. log a g ( x )
Рівняння виду f ( x ) log a g ( x )
=b, a>0, b>0
Рівняння f ( x ) = b , a > 0 , b > 0 , рівносильне або системі f ( x ) > 0, f ( x ) ≠ 1, якщо b ≠ 1 , g ( x ) > 0, log a f ( x ) ⋅ log a g ( x ) = log a b;
(
)
або рівнянню f ( x ) = 1 g ( x ) = 1 , якщо b = 1 .
(
)
Приклад розв’язання: xlg x −2 = 1000 ; lg xlg x−2 = lg1000 ; lg x = t, x = t, (lg x − 2)lg x = 3 ; lg2 x − 2lg x − 3 = 0 ; t2 − 2t − 3 = 0; lg t = 3 або t = −1; lg x = 3, x = 103 , x = 1000, тоді Відповідь. 0,1; 1000. −1 lg x = −1; x = 10 ; x = 0,1.
56
Рівняння з модулем Найпростіші рівняння з модулем
Рівняння виду f ( x ) = g ( x ) Рівняння f ( x ) = g ( x ) рівносильне об’єднанню рівнянь f ( x ) = g ( x ), або рівняню f 2 ( x ) = g 2 ( x ) . f ( x ) = − g ( x )
Рівняння виду f ( x ) = g ( x ) Рівняння f ( x ) = g ( x ) рівносильне двом системам: f ( x ) = g ( x ), g ( x ) 0;
f ( x ) = − g ( x ), g ( x ) 0.
x 2 − x − 8 = x , x 2 − x − 8 = −x , Приклад розв’язання: x2 − x − 8 = −x ; або − x 0. −x 0 x2 − x − 8 = −x , x2 − 8 = 0, x2 = 8, x = ±2 2 , 1) отже, x = −2 2 . − x 0; − x 0; − x 0; − x 0; x2 − x − 8 = x , x2 − 2x − 8 = 0, 2) − x 0; − x 0;
x = 4 або x = −2, отже, x = −2 . −x 0;
Відповідь. –2; −2 2 .
Рівняння виду f ( x ) = a , a 0 Рівняння f ( x ) = a , де a 0 , рівносильне об’єднанню рівнянь f (x ) = a, f (x ) = −a.
x2 + 5x + 6 = 2, Приклад розв’язання: x2 + 5x + 6 = 2 ; 2 x + 5x + 6 = −2; x = −1, Відповідь. –1; –4. x = −4.
x2 + 5x + 4 = 0, x2 + 5x + 8 = 0;
57
Розділ V
x = 4 − x , 2x = 4, x = 2, Приклад розв’язання: x = 4 − x ; x = −4 + x ; 0x = −4; x ∈∅. Відповідь. 2.
Більш складні рівняння з модулем У ході розв’язання більш складних рівнянь із модулем потрібно: 1) знайти ОДЗ рівняння; 2) знайти нулі всіх підмодульних функцій; 3) позначити знайдені нулі на ОДЗ і розбити ОДЗ на інтервали; 4) знайти розв’язок у кожному інтервалі та обов’язково перевірити, чи належить знайдений розв’язок до розглянутого інтервалу. Приклад розв’язання: x + 1 + x − 5 = 20 . Вирази x +1 і x − 5 дорівнюють нулю, якщо x = −1 і x = 5 відповідно, тому розглянемо три випадки (див. рис.). x − 1, x − 1, x − 1, І. отже, x = −8 . −x − 1 − x + 5 = 20; −2x = 16; x = −8;
ІІ.
{ { {
−1 < x 5, x + 1 − x + 5 = 20;
x > 5, x + 1 + x − 5 = 20; Відповідь. –8; 12.
ІІІ.
{ {
{
{
−1 < x 5, отже, коренів немає. 0x = 14;
x > 5, 2x = 24;
{
x > 5, отже, x = 12 . x = 12,
Розділ V
Тригонометричні рівняння Тригонометричними називаються рівняння, у яких невідоме (змінна) входить лише під знак тригонометричної функції. Рівняння виду cos t = a і sin t = a ¯ÁÌÞÌÌÞ
¯ÁÌÞÌÌÞ
©ÍÏÄÌÁ ÌÄË¿
©ÍÏÄÌÁ ÌÄË¿ ÉÏÄËÁÇοÃÉÇ
ÉÏÄËÁÇοÃÉÇ
58
Рівняння виду tg t = a і ctg t = a ¯ÁÌÞÌÌÞ
¯ÁÌÞÌÌÞ
ÉÏÄËÁÇοÃÉÇ
Зведення тригонометричних рівнянь до алгебраїчних Деякі тригонометричні рівняння шляхом тотожних перетворень можна звести до рівняння з однією тригонометричною функцією, а потім зробити заміну й звести рівняння до алгебраїчного.
(
)
sin2 x + 4 cos x = 2,75; 1 − cos2 x + 4 cos x = 2,75; − cos2 x + 4 cos x − 1,75 = 0 ; cos x = t, cos x = t, cos2 x − 4 cos x + 1,75 = 0 . 2 t = 1 або t = 7 ; тоді t − 4t + 1,75 = 0; 2 2 1 cos x = 2 , x = ± π + 2πn, n ∈ Z , π Відповідь. ± + 2πn , n ∈Z . 3 7 3 cos x = ; x ∈∅. 2 tg x = t, 3 tg x = t, tg x + 3 ctg x = 4 ; tg x + =4; 3 2 t + = ; 4 tg x t − 4t + 3 = 0; t π tg x = t, tg x = 1, x = + πn, n ∈ Z , тоді 4 t = 1 или t = 3; tg x = 3; x = arctg 3 + πn, n ∈ Z . π Відповідь. + πn , arctg3 + πn , n ∈Z . 4
{
Розкладання на множники Рівняння, права частина яких дорівнює 0, часто можна розв’язати розкладанням їхньої лівої частини на множники. Приклад розв’язання: sin 5x = sin x ; sin 5x − sin x = 0 ; 5x − x 5x + x sin 2x = 0, 2 sin cos = 0 ; sin 2x cos 3x = 0 ; 2 2 cos 3x = 0; πn 2x = πn, n ∈ Z , x = 2 , n ∈ Z , π π πn + πn, n ∈ Z ; 3x = x= + , n ∈Z. 2 6 3 πn π πn ; , n ∈Z . + Відповідь. 2 6 3
59
Розділ V
Приклади розв’язання:
Однорідні тригонометричні рівняння
+ a1 sin
k −1
Тригонометричне рівняння виду a0 sink x + a1 sink−1 x cos x + a2 sink−2 x c x cos x + a2 sink−2 x cos2 x +…+ ak cosk x = 0 , усі члени якого мають той самий степінь k відносно синуса й косинуса, називається однорідним. Однорідне рівняння легко звести до рівняння відносно tg x , якщо всі його члени поділити на cosk x . При цьому, якщо a0 ≠ 0 , то таке ділення не призводить до втрати коренів. Якщо a0 = 0 , то cosx слід винести за дужки. Приклад розв’язання: sin2 x − 3 sin x cos x + 2 cos2 x = 0 ; sin2 x 3 sin x cos x 2 cos2 x tg x = t, − + = 0 ; tg2 x − 3 tg x + 2 = 0 ; 2 2 2 2 cos x cos x cos x t − 3t + 2 = 0; x = arctg 2 + πn, n ∈ Z , tg x = 2, tg x = t , t = 2 або t = 1; тоді tg x = 1; x = π + πn, n ∈ Z . 4 π Відповідь. arctg2 + πn , + πn , n ∈Z . 4
Метод введення допоміжного кута Рівняння a cos x + b sin x = c рівносильне рівнянню c a sin ( x + ϕ ) = , де r = a2 + b2 , ϕ = arcsin . r r Приклад розв’язання: sin x + 3 cos x = 1 ;
Розділ V
1 1+
( ) 3
2
3
sin x + 1+
( ) 3
2
1
cos x = 1+
( ) 3
2
;
π π 1 1 ; cos sin x + sin cos x = ; cos x = 3 3 2 2 π n π 1 = 2 ; x + 3 = ( −1) 6 + πn , n ∈Z ; π n π x=− + ( −1) + πn , n ∈Z . 3 6 π n π Відповідь. − + ( −1) + πn , n ∈Z . 3 6 1 3 sin x + 2 2 π sin x + 3
Графічний спосіб розв’язування рівнянь Щоб графічно розв’язати рівняння f ( x ) = g ( x ) , слід побудувати графіки функцій y = f ( x ) і y = g ( x ) і знайти абсциси точок перетину побудованих графіків. x
1 Наприклад, = x + 1 (розв’язання див. 3 на рис.). Відповідь. x = 0.
60
§ 14. Рівняння з двома змінними Рівняння та його розв’язки Рівність, яка містить дві змінні (невідомі), називається рівнянням із двома змінними (невідомими). Розв’язком рівняння з двома змінними f ( x ; y ) = 0 називається впорядкована пара чисел, що перетворює його в правильну рівність. Якщо дано рівняння з двома змінними x і y, то прийнято в записі його розв’язків на першому місці ставити значення змінної x, а на другому — значення змінної y. Наприклад, пари (4; 3) , (3; 4) , ( −3; 4) , ( − 3; − 4) — розв’язки рівняння x2 + y2 = 25 , однак пари (1; 5) , (2; 3) розв’язками рівняння x2 + y2 = 25 не будуть.
Рівняння з двома змінними, що мають одні й ті самі розв’язки, називаються рівносильними. Рівняння з двома змінними, які не мають розв’язків, також вважають рівносильними.
Розділ V
Для рівнянь із двома змінними справджуються теореми про рівносильні рівняння.
Графік рівняння з двома змінними Графіком рівняння з двома змінними x і y називається множина всіх точок координатної площини з координатами ( x ; y ) , де пара ( x ; y ) є розв’язком відповідного рівняння. Графік рівняння слід відрізняти від графіка функції. Графік рівняння тільки тоді є графіком функції, коли кожна пряма, паралельна осі Oy, перетинає його не більш ніж в одній точці. Наприклад, зображені на рисунку півкола — графіки функцій y = 4 − x2 (верхнє півколо) і y = − 4 − x2 (нижнє півколо). Їх об’єднання — усе коло — графік рівняння x2 + y2 = 4 .
61
Графіки деяких рівнянь Рівняння
Графік
Опис Коло з центром (0; 0) і радіусом R
x 2 + y2 = R 2
(x − a)2 + ( y − b)2 = R 2
Коло з центром (a; b) і радіусом R
ax + by + c = 0 a 2 + b2 ≠ 0
Інші випадки пряма: —паралельна осі Ox ( a = 0 ); — паралельна осі Oy ( b = 0 ); — проходить через (0; 0) ( c = 0 )
(
)
Розділ V
(a ≠ 0, b ≠ 0; пряма перетинає осі координат у точках, показаних на малюнку)
x = ay2 + by + c
B<
B>
Парабола з вершиною b2 b c − . ;− 4a 2a Якщо a > 0 , вітки напрямлені вправо, якщо a < 0 , вітки напрямлені вліво
x + y =1
62
Квадрат, центр якого лежить у точці (0; 0) ; діагоналі дорівнюють 2 і лежать на координатних осях
Перетворення графіка рівняння F ( x ; y ) = 0 Рівняння
Перетворення
Геометрична ілюстрація
F ( x − a; y − b ) = 0 Паралельне перенесення графіка рівняння F ( x ; y ) = 0 на
(
)
Частина графіка рівняння F ( x ; y ) = 0 праворуч від осі Oy (і на самій осі) не змінюється, і ця сама частина симетрично відображується відносно осі Oy
(
)=0
Частина графіка рівняння F ( x ; y ) = 0 , розташована вище від осі Ox (і на самій осі), залишається без змін, і ця сама частина симетрично відображується відносно осі Ox
F x ; y =0
F x; y
Розділ V
вектор n ( a; b )
§ 15. Системи рівнянь Системи рівнянь із двома змінними Кілька рівнянь із двома змінними, стосовно яких поставлено завдання знайти всі спільні розв’язки, називаються системою рівнянь із двома змінними. У запису система рівнянь позначається ліворуч єднальною фігурною дужкою. Розв’язати систему рівнянь із двома змінними означає знайти всі її розв’язки або довести, що система розв’язків не має. Розв’язком системи рівнянь із двома змінними називається пара значень змінних, яка перетворює кожне рівняння системи в правильну рівність. 63
Рівносильні системи рівнянь Системи рівнянь із двома змінними, які мають одні й ті самі розв’язки, називаються рівносильними. Системи рівнянь, що не мають розв’язків, також називаються рівносильними. Теореми про рівносильність систем рівнянь 1. Якщо змінити порядок рівнянь системи, то дістанемо систему, рівносильну даній. 2. Якщо одне з рівнянь системи замінити на рівносильне йому рівняння, то дістанемо систему, рівносильну даній. 3. Якщо в системі рівнянь з одного рівняння виразити одну змінну через другу і підставити одержаний вираз замість цієї (першої) змінної в друге рівняння системи, то дістанемо систему, рівносильну даній. y = x − 3, x − y = 3, Наприклад, системи 2 і 2 є рівносильними. 2 2 x + y = 2 x + ( x − 3) = 2
Розділ V
4. Якщо одне з рівнянь системи замінити сумою першого рівняння, помноженого на число α ≠ 0 , і другого, помноженого на число β ≠ 0 , а одне з рівнянь залишити без змін, то дістанемо систему, рівносильну даній. Наприклад, системи є рівносильними.
{
(2x − 3y ) ⋅ 2 + (3x + 2y ) ⋅ 3 = 35, 2x − 3y = 10, і 3x + 2y = 5; 3x + 2y = 5
Графічний спосіб розв’язування системи рівнянь із двома змінними Щоб розв’язати систему рівнянь графічним способом, треба: 1) виконати рівносильні перетворення системи так, щоб зручно було побудувати графіки рівнянь системи; 2) накреслити графіки; 3) знайти координати точок перетину накреслених ліній. Ці координати і є розв’язками системи рівнянь. x + y = 2, Приклад розв’язання: 2 Побуду2 x + y = 4. 2 2 вавши графіки рівнянь x + y = 2 і x + y = 4 (див. рис.), знаходимо точки перетину ліній: (0; 2) і (2; 0) . Відповідь. (0; 2) , (2; 0) .
64
Системи лінійних рівнянь із двома змінними a x + b1y = c1 , Система виду 1 називається системою лінійних a2x + b2 y = c2 рівнянь із двома змінними. Можливі випадки розв’язання системи Умова
Графічна інтерпретація
Коефіцієнти при невідомих (змінних) у рівнянні не пропорційні, тобто a1b2 ≠ a2b1
Множина розв’язків Один розв’язок: c b −c b x0 = 1 2 2 1 , a1b2 − a2b1 y0 =
a1c2 − a2c1 a1b2 − a2b1
Прямі перетинаються
Коефіцієнти при невідомих (змінних) і вільні члени в рівнянні пропорційні, тобто a1b2 = a2b1 ; a1c2 = a2c1 ; b1c2 = b2c1
Розв’язків немає
Розділ V
Коефіцієнти при невідомих (змінних) у рівнянні пропорційні, тобто a1b2 = a2b1 , однак вони не є пропорційними вільним членам a1c2 ≠ a2c1 або b1c2 ≠ b2c1
Прямі паралельні
Нескінченно багато розв’язків
Прямі збігаються
65
Розв’язування системи рівнянь із двома змінними способом додавання Щоб розв’язати систему з двома змінними способом алгебраїчного додавання, потрібно: 1) зрівняти коефіцієнти при одній зі змінних (при виразах) шляхом почленного множення обох рівнянь на множники, дібрані відповідним чином; 2) додати (або відняти) почленно рівняння системи, виключивши одну зі змінних; розв’язати одержане рівняння з однією змінною; 3) знайти значення другої змінної в такий же спосіб (або підстановкою знайденого значення змінної в будь-яке із заданих рівнянь системи).
{
3x + 2y = 5, Почленно помноживши перше 5x − 3y = 2. 9x + 6y = 15, рівняння системи на 3, а друге — на 2, дістанемо систему 10x − 6y = 4. Почленно додавши рівняння системи, маємо: (9x + 6y ) + (10 − 6y ) = 15 + 4 ,
Розділ V
Приклад розв’язання:
{
19x = 19 , x = 1 . Почленно помноживши перше рівняння на –5, а друге — −15x − 10y = −25, на 3, дістанемо систему Додавши почленно рівняння, 15x − 9x = 6. маємо: −19y = −19 , y = 1 . Відповідь. (1; 1) .
{
Розв’язування системи рівнянь із двома змінними способом підстановки Щоб розв’язати систему двох рівнянь із двома змінними способом підстановки, треба: 1) виразити з одного рівняння системи одну змінну через другу; 2) підставити знайдене значення в друге рівняння системи й дістати рівняння відносно другої змінної; 3) розв’язати одержане рівняння; 4) підставити знайдені значення у вираз для першої змінної й дістати її відповідні значення. 2 x2 + y2 = 34, (2 + y ) + y2 = 34, Приклад розв’язання: x − y = 2; x = 2 + y ;
4 + 4y + y2 + y2 = 34, x = 2 + y, x = 2 + y , 2 2 x = 2 + y ; 2y + 4y − 30 = 0; y + 2y − 15 = 0; x = − 3, x = 5, x = 2 + y, y = −5 або y = 3. Отже, y = −5; або y = 3. Відповідь. ( − 3; − 5) , (5; 3) .
{
66
{
Розділ VI. Нерівності й системи нерівностей § 16. Н ерівності й системи нерівностей з однією змінною Нерівності з однією змінною та їхні розв’язки Нерівністю з однією змінною (невідомим) називаються два вирази зі змінною (невідомим), поєднані знаком нерівності: > (більше), < (менше), (більше або дорівнює, не менше), (менше або дорівнює, не більше). Розв’язком нерівності називається значення змінної (невідомого), при якому нерівність перетворюється в правильну числову нерівність. Наприклад, число 5 є розв’язком нерівності x2 − 6x < 0 , оскільки 5 − 6 ⋅5 < 0 . 2
Розв’язати нерівність означає знайти всі її розв’язки або довести, що їх немає.
Рівносильні нерівності Дві нерівності називаються рівносильними, якщо множини їхніх розв’язків збігаються. Нерівності, що не мають розв’язків, так само вважаються рівносильними. Областю допустимих значень (ОДЗ) нерівності називається множина значень змінної, при яких вирази в обох частинах нерівності визначені. Наприклад, областю допустимих значень нерівності x2 x є множина дійсних чисел; областю допустимих значень нерівності є множина [ − 3; + ∞ ) , оскільки вираз
x+3 < x
x + 3 визначений, якщо x + 3 0 .
67
Розділ VI
Розв’язками нерівності є певна підмножина дійсних чисел.
Теореми про рівносильність нерівностей 1. Якщо до обох частин нерівності додати одне й те саме число або вираз зі змінною, що не втрачає змісту при будь-якому значенні змінної з області визначення нерівності, то дістанемо нерівність, рівносильну даній. Звідси випливає, що з однієї частини нерівності можна перенести в другу доданок із протилежним знаком: f ( x ) ± g ( x ) h ( x ) , тоді f ( x ) h ( x ) ∓ g ( x ) . Наприклад, нерівності x2 x + 2 і x2 − x − 2 0 є рівносильними.
2. Якщо обидві частини нерівності помножити або поділити на одне й те саме додатне число або на вираз зі змінною, який набуває лише додатних значень і не втрачає змісту на множині допустимих значень змінної даної нерівності, то дістанемо нерівність, рівносильну даній. x априклад, нерівності 5x 10 і x 2 ; 2 Н < 1 і x < x2 + 1 є рівноx +1 сильними.
Розділ VI
3. Якщо обидві частини нерівності помножити або поділити на те саме від’ємне число або на вираз зі змінною, який набуває лише від’ємних значень і не втрачає змісту на множині допустимих значень змінної даної нерівності, а також поміняти знак нерівності на протилежний, то дістанемо нерівність, рівносильну даній. −x −1 1 і arctg x
Наприклад, нерівності
− x − 1 arctg x ; − 7x > 7
і x < −1 є рівносильними.
4. Якщо обидві частини нерівності піднести до непарного натурального степеня й зберегти знак нерівності, то дістанемо нерівність, рівносильну даній. Наприклад, нерівності ними.
3
x2 + x 3 3 − x і x2 + x 3 − x є рівносиль-
5. Якщо перша нерівність рівносильна другій, а друга — третій, то перша нерівність рівносильна третій.
68
Деякі підмножини дійсних чисел, їх позначення, зображення на координатній прямій і запис у вигляді нерівності
Числова пряма
( − ∞; + ∞ ) , R
−∞ < x < +∞
Закритий проміжок (відрізок)
[a; b]
a x b
Відкритий проміжок (інтервал)
(a; b)
a<x
[a; b)
ax
(a; b]
a < x b
( − ∞; a ]
xa
( − ∞; a )
x
(a; + ∞ )
x>a
[a; + ∞)
xa
Нескінченний проміжок (промінь)
Розділ VI
Позначення
Напіввідкритий проміжок
Зображення
Запис у вигляді нерівності
Назва
69
Лінійні нерівності з однією змінною Лінійними нерівностями з однією змінною x називаються нерівності виду ax + b > 0 , ax + b < 0 , ax + b 0 , ax + b 0 . Схеми розв’язування лінійних нерівностей
Розділ VI
3
70
Системи лінійних нерівностей з однією змінною a x > b1 , a x > b1 , a x < b1 , Системи виду: 1 або 1 або 1 або a x > b , a x < b , 2 2 2 2 a2x < b2 , a1x < b1 , a x > b називаються системами двох лінійних нерівностей з однією 2 2 змінною. (Замість знаків , .) Щоб розв’язати систему нерівностей, треба кожну нерівність системи розв’язати окремо, а потім знайти розв’язок системи як переріз множин розв’язків цих нерівностей.
Можливі випадки розв’язування систем лінійних нерівностей
{
x > a, x>b
{
x < a, x
{
x < a, x>b
{
x > a, x
Розв’язок та його геометрична ілюстрація
Приклад
{
x > 3, x>2
x ∈( a ; + ∞ )
x ∈(3; + ∞ )
{
x < 5, x<2
x ∈( − ∞ ; b )
Розділ VI
Система лінійних нерівностей (a > b)
x ∈( − ∞ ; 2)
{
x < 4, x >1
x ∈(b; a )
x ∈(1; 4)
{
x > 6, x<3
Розв’язків немає Розв’язків немає 71
Квадратичні нерівності Квадратичними нерівностями називаються нерівності виду f ( x ) > 0 , f ( x ) < 0 , f ( x )0 , f ( x ) 0 , де f ( x ) = ax2 + bx + c , ( a ≠ 0) . Розв’язки квадратичних нерівностей Схема
Квадратична нерівність f (x) > 0
f (x) < 0
f ( x )0
f (x) 0
a > 0, D > 0
( − ∞; x1 ) ∪ (x2 ; +(x∞;) x ) ( − ∞; x1 ∪ x2 ; +x∞;)x 1 2 1 2 − ∞ ; x ∪ x ; + ∞ − ∞ ; x ∪ x2 ; + ∞ ) ( (2 ) ( 1) 1
a > 0, D = 0
( − ∞; x0 ) ∪ (x0 ; + ∞∅) − ∞ ; x ∪ ( (x0 ; + ∞) 0)
( − ∞; + ∞ )
x0
( − ∞; + ∞ )
∅
a > 0, D < 0
( − ∞; + ∞ ) Розділ VI
a < 0, D > 0
∅
+∞ (x ;( −x∞); x ) ∪( −(x∞;; x+ ∞) ∪) (x ; +x∞;)( −x∞; x ∪( −∞x ;;x+ ∞∪) x ; ) 1
1
2
2
1
1
1
2
2
1
2
a < 0, D = 0
( − ∞; x0 ) ∪ (x0 ; + ∞x) ∅ 0 ( − ∞; x0 ) ∪ (x0 ; + ∞)
( − ∞; + ∞ )
( − ∞; + ∞ )
( − ∞; + ∞ )
a < 0, D < 0 ∅
72
∅
2
Нерівності виду f (x ) g (x ) > 0 і f (x ) g (x ) < 0
Нерівність f ( x ) g ( x ) > 0 рівносильна двом системам: f ( x ) > 0, f ( x ) < 0, і g ( x ) > 0 g ( x ) < 0. Нерівність f ( x ) g ( x ) < 0 рівносильна двом системам: f ( x ) < 0, f ( x ) > 0, і g ( x ) > 0 g ( x ) < 0.
Розв’язування подвійних нерівностей Подвійна нерівність f ( x ) < g ( x ) < h ( x ) рівноf ( x ) < g ( x ), сильна системі нерівностей g ( x ) < h ( x ). 2x − 1 > −3, 2x > −2, x > −1, Приклад розв’язання: −3 < 2x − 1 3 , 2x − 1 3; 2x 4; x 2. Тоді x ∈( −1; 2] (див. рис.). Відповідь. ( −1; 2] .
{
{
{
Дробові нерівності
Нерівність
f (x )
g (x ) f (x )
g (x )
> 0 рівносильна нерівності f ( x ) g ( x ) > 0.
< 0 рівносильна нерівності f ( x ) g ( x ) < 0.
f (x )
f (x) 0 0 рівносильна двом систе g (x) g (x ) f ( x ) 0, f ( x ) 0, f ( x ) 0, f ( x ) 0, мам нерівностей: і і . g ( x ) > 0 g ( x ) < 0; g ( x ) < 0 g ( x ) > 0 Нерівність
Приклад розв’язання: x −2 > 0. x −7
{ {
{
x − 2 > 0, x > 2, Тоді x ∈(7; + ∞ ) (рис.1). x − 7 > 0; x > 7 . x − 2 < 0, x − 7 < 0;
{
x < 2, Тоді x ∈( − ∞ ; 2) (рис. 2). x < 7.
Відповідь: ( − ∞ ; 2) ∪ (7; + ∞ ) .
Рис. 1
Рис. 2
73
Розділ VI
Нерівність
Ірраціональні нерівності Найпростіші ірраціональні нерівності
Нерівності виду
2n +1
f (x ) > g (x ) і
2n +1
f ( x ) < g ( x ) , n ∈N
Нерівності 2n+1 f ( x ) > g ( x ) і 2n+1 f ( x ) < g ( x ) , n ∈N , рівносильні нерівностям f ( x ) > g 2n+1 ( x ) і f ( x ) < g 2n+1 ( x ) . Приклад розв’язання: 3 x3 + x2 − 5x + 6 < x , x3 + x2 − 5x + 6 < x3 , x2 − 5x + 6 < 0 , ( x − 2)( x − 3) < 0 . Тоді x ∈(2; 3) (див. рис.). Відповідь. (2; 3) .
Нерівність виду 2n f ( x ) < g ( x ), n ∈N
Розділ VI
Нерівність 2n f ( x ) < g ( x ), n ∈N, рівносильна системі g ( x ) > 0, 2n f ( x ) < g ( x ), f ( x ) 0. 4 − x > 0, Приклад розв’язання: x < 4, 2 2 4x − x < 16 − 8x + x , x ( 4 − x ) 0; x < 4, ( x − 2)( x − 4) > 0, x ( 4 − x ) 0;
Відповідь. [0; 2) .
74
2 4x − x2 < 4 − x , 4x − x2 < (4 − x ) , 4x − x2 0;
x < 4, 2 2x − 12x + 16 > 0, x ( 4 − x ) 0;
x < 4, 2 x − 6x + 8 > 0, x ( 4 − x ) 0;
x ∈( − ∞ ; 4), x ∈( − ∞ ; 2) ∪ (4; + ∞ ). Тоді x ∈[0; 2) (див. рис.). x ∈[0; 4).
Нерівність виду
2n
f ( x ) > g ( x ) , n ∈N
f ( x ) > g ( x ) , n ∈N , рівно g ( x ) 0, сильна об’єднанню систем 2n f ( x ) > g ( x ) g ( x ) < 0, і f ( x ) 0. Нерівність
2n
Рис. 1
Рис. 2
Приклад розв’язання: x2 − 5x + 4 > 2x − 8 . 2x − 8 0, x 4, x 4, 1) 2 2 2 2 3 x − 27 x + 60 < 0 ; x − 5 x + 4 > 2 x − 8 ; ( ) x − 9x + 20 < 0; Тоді x ∈(4; 5) (рис. 1).
2x − 8 < 0, 2) 2 x − 5x + 4 0; Тоді x ∈( − ∞ ; 1]
{
x 4, 4 < x < 5.
x ∈( − ∞ ; 4), x < 4, x − 1 x − 4 0; ( ) ( ) x ∈( − ∞ ; 1] ∪ [4; + ∞ ); (рис. 2).
Відповідь. ( − ∞ ; 1] ∪ (4; 5) .
Нерівність виду 2n f ( x ) > 2n g ( x ), n ∈N Нерівність
2n
f ( x ) > 2n g ( x ) , n ∈N,
f ( x ) > g ( x ), рівносильна системі g ( x ) 0. 2x2 − x − 6 x2 − 4, 2x2 − x − 6 x2 − 4 , 2 x − 4 0; 2 x − x − 2 0, ( x − 2)( x + 1) 0, x ∈( − ∞ ; − 1] ∪ [2; + ∞ ), Тоді 2 x − 4 0; ( x − 2)( x + 2) 0; x ∈( − ∞ ; − 2] ∪ [2; + ∞ ).
Розділ VI
Приклад розв’язання:
x ∈ ( −∞; − 2 ∪ 2; + ∞ ) (див. рис.). Відповідь. ( − ∞ ; − 2] ∪ [2; + ∞ ).
Нерівності з модулем Найпростіші нерівності з модулем
¯ÍÆÁrÞÆÉÁÌÄË¿
¿ÀÍ
75
Нерівність виду f ( x ) < a , де a 0 Нерівність f ( x ) < a , де a 0 , рівносильна подвійній нерівності f ( x ) > − a, − a < f ( x ) < a або системі f ( x ) < a . x2 + 5x < 6, x2 + 5x < 6 , − 6 < x2 + 5x < 6 . 2 x + 5x > − 6; x ∈( − 6; 1), Тоді x ∈ ( − 6; − 3 ) ∪ ( − 2; 1) x ∈( − ∞ ; − 3) ∪ ( − 2; + ∞ );
Приклад розв’язання: x2 + 5x − 6 < 0, 2 x + 5x + 6 > 0;
(див. рис.). Відповідь. ( − 6; − 3) ∪ ( − 2; 1).
Нерівність виду f ( x ) > a , де a 0 Нерівність f ( x ) > a , де a 0 , рівносильна об’єднанню нерів-
f (x ) < − a, ностей f (x ) > a.
3 − x > 2, x < 1, Приклад розв’язання: 3 − x > 2, x ∈( −∞; 1) ∪ (5; + ∞ ). 3 − x < − 2; x > 5. Відповідь. ( − ∞ ; 1) ∪ (5; + ∞ ).
Нерівність виду f ( x ) > g ( x )
Нерівність f ( x ) > g ( x ) рівносильна об’єднанню нерівностей
Розділ VI
f ( x ) > g ( x ), f ( x ) < − g ( x ).
3x − 2 > 2x + 1, x > 3, Приклад розв’язання: 3x − 2 > 2x + 1 , 3x − 2 < − 2x − 1; 5x < 1; x > 3, x > 3, x ∈( − ∞ ; 0,2) ∪ (3; + ∞ ). Відповідь. ( − ∞ ; 0,2) ∪ (3; + ∞ ). 1 ; x < 0,2. x < 5
Нерівність виду f ( x ) < g ( x ) Нерівність f ( x ) < g ( x ) рівносильна f ( x ) < g ( x ), системі f ( x ) > − g ( x ).
{
2x − 5 x , Приклад розв’язання: 2x − 5 x , 2x − 5 − x ; 2 Тоді x ∈ 1 ; 5 (див. рис.). 3 2 Відповідь. 1 ; 5 . 3
76
{
x 5, x 5, 2 3x 5; x 1 . 3
Нерівність виду f ( x ) > g ( x )
Нерівність f ( x ) > g ( x ) рівносильна нерівності f 2 ( x ) > g 2 ( x ) або нерівності f ( x ) − g ( x ) f ( x ) + g ( x ) > 0 .
(
)(
)
Приклад розв’язання: 3 + x x , (3 + x ) x2 , 9 + 6x + x2 x2 , 9 6x − 9 , x − , x −1,5 . Відповідь. [ −1,5; + ∞ ) . 6 2
Нерівності, які містять кілька модулів Якщо нерівність містить кілька модулів, то знаходять значення x, при яких вираз, що стоїть під знаком модуля, дорівнює нулю. Знайдені значення x розбивають числову пряму на інтервали, на кожному з яких вираз під модулем зберігає знак. А потім на кожному інтервалі розкривають модулі й розв’язують одержану систему. Об’єднання знайдених розв’язків становить множину розв’язків даної нерівності. Приклад розв’язання: x − 1 + x − 2 > x + 3 . Розглянемо три проміжки (див. рис.). x < 1, x < 1, * ** *** I x<0; 1 − x − x + 2 > x + 3; x < 0; II III
{ { {
{ { {
1 x 2, 1 x 2, розв’язків немає; x − 1 − x + 2 > x + 3; x < − 2; x > 2, x > 2, x > 6 . Відповідь. ( − ∞ ; 0) ∪ (6; + ∞ ) . x − 1 + x − 2 > x + 3; x > 6;
(
)
Щоб розв’язати нерівність f ( x ) > 0 f ( x ) < 0 , де (x − a1 )(x − a2 ) ⋅…⋅ (x − am ) , треба: f (x ) = (x − am+1 )(x − am+2 ) ⋅…⋅ (x − an ) 1) зобразити числа a1 , a2 , …, an на координатній прямій (ці числа, розташовані в порядку зростання, розіб’ють координатну пряму на n +1 проміжків, на яких функція f ( x ) зберігає свій знак, тобто якщо ai і ak — сусідні точки, то для x ∈( ai , ak ) функція зберігає знак); 2) визначити знаки функції f ( x ) на кожному з проміжків. Приклад розв’язання: ( x + 4)( x + 2)( x − 1)( x − 3) < 0 . Позначимо на координатній прямій нулі функції (x + 4)(x + 2)(x − 1)(x − 3) = 0 , знайдемо знак функції на кожному проміжку. Відповідь. ( − 4; − 2) ∪ (1; 3) .
77
Розділ VI
Розв’язування раціональних нерівностей методом інтервалів
Показникові нерівності Найпростіші показникові нерівності
¯ÍÆÁrÞÆÉÁ ÌÄË¿
Розділ VI
¯ÍÆÁrÞÆÉÁ ÌÄË¿
(
)
f x g x f x g x Нерівність виду a ( ) > a ( ) a ( ) < a ( ) , a > 1 f (x)
g (x)
(
f (x)
g (x)
Нерівність a > a a g ( x ) f ( x ) > g ( x ) .
(
)
2
) , якщо a > 1 , рівносильна не-
Прикладрозв’язання:78−x 72x; 8 − x2 2x; −x2 − 2x + 8 0; x2 + 2x − 8 0; (x + 4)(x − 2) 0. Звідси x ∈( − ∞; − 4] ∪ [2; + ∞ ). Відповідь. ( − ∞; − 4] ∪ [2; + ∞ ).
(
)
f x g x f x g x Нерівність виду a ( ) > a ( ) a ( ) < a ( ) , 0 < a < 1
(
)
f x g x f x g x Нерівність a ( ) > a ( ) a ( ) < a ( ) , якщо 0 < a < 1 , рівносильна нерівності f ( x ) < g ( x ) f ( x ) > g ( x ) .
(
x2 −2
)
x
1 1 2 2 Приклад розв’язання: ; x −2x ; x −x −20 ; 13 13 (x − 2)(x + 1) 0 . Звідси x ∈[ −1; 2] . Відповідь. [ −1; 2] .
78
Логарифмічні нерівності Найпростіші логарифмічні нерівності
f ( x ) < g ( x ), Нерівність log a f ( x ) < log a g ( x ) рівносильна системі f ( x ) > 0, f ( x ) > g ( x ), якщо 0 < a < 1 . якщо a > 1 , і системі g ( x ) > 0, Приклад розв’язання: log 8 (5x − 8) < log 8 (2x + 7 ) ; 5x − 8 < 2x + 7, 3x < 15, x < 5, Тоді x ∈(1,6; 5) 5x − 8 > 0; 5x > 8; x > 1,6.
{
{
{
(див. рис.). Відповідь. (1,6; 5) .
Нерівність виду log h(x) f ( x ) < log h(x) g ( x ) Нерівність log h(x) f ( x ) < log h(x) g ( x ) рівносильна об’єднанню сис-
h ( x ) > 0, h ( x ) > 1, h ( x ) < 1, тем нерівностей f ( x ) < g ( x ), і f ( x ) > g ( x ), f ( x ) > 0 g ( x ) > 0.
79
Розділ VI
Нерівність виду log a f ( x ) < log a g ( x )
Метод інтервалів (узагальнений)
Розділ VI
Використовується для розв’язування нерівностей f ( x ) > 0 ; f ( x ) < 0 ; f ( x ) 0 ; f ( x ) 0 . Метод ґрунтується на тому, що неперервна на проміжку функція може змінювати знак тільки в тих точках, де її значення дорівнює нулю Рис. 1 (але може й не змінювати) (рис. 1). Розв’язуючи нерівність методом інтервалів, потрібно: 1) знайти область визначення функції y = f ( x ) ; 2) знайти значення x, при яких функція дорівнює нулю (знайти нулі функції): f ( x ) = 0 ; 3) розбити область визначення на проміжки, у яких кожний із кінців є коренем рівняння f ( x ) = 0 або кінцевою точкою проміжку визначення функції y = f ( x ) ; 4) визначити знак f ( x ) на кожному з утворених проміжків; 5) об’єднати проміжки, на яких функція f ( x ) задовольняє нерівність, у множину розв’язків.
Приклад розв’язання: (3x − 6) log 0,5 x > 0. Нехай y = (3x − 6) log 0,5 x. D ( y ) = (0; + ∞ ) D ( y ) = (0; + ∞ ). Знайдемо нулі функції: 3x − 6 = 0, (3x − 6 ) log0,5 x =0 ; log x = 0; xx == 12., 0,5 Рис. 2 Розіб’ємо область визначення функції на проміжки точками 2 й 1 і знайдемо знаки функції на кожному проміжку. Отже, x ∈(1; 2) (рис. 2). Відповідь. (1; 2) .
Графічний спосіб розв’язування нерівностей з однією змінною Для графічного розв’язання нерівності f ( x ) > g ( x ) потрібно побудувати графіки функцій y = f ( x ) і y = g ( x ) і вибрати ті проміжки осі абсцис, на яких графік функції y = f ( x ) розташований вище графіка функцій y = g ( x ) . Приклад розв’язання: log3 x 4 − x (розв’язання див. на рис.). Відповідь. (0; 3] .
80
Тригонометричні нерівності Розв’язування нерівностей sint > a , sint < a Розв’язання ( n ∈Z )
Нерівність sint > a
sint < a
a < −1
−1 a < 1
a 1
t ∈R
arcsin a + 2πn < t < π − arcsin a + 2πn
Ні
a −1
−1 < a 1
a >1
Ні
− π − arcsin a + 2πn < t < arcsin a + 2πn t ∈R
Розв’язування нерівностей cost > b , cost < b Розв’язання ( n ∈Z )
Нерівність cost > b
cost < b
b < −1
−1 b < 1
b 1
t∈R
− arccos b + 2πn < t < ar ccos b + 2πn
Ні
b −1
−1 < b 1
b >1
Ні
arccos b + 2πn < t < 2π − arccos b + 2πn
t ∈R
Розв’язування нерівностей tgt > a , tgt < a Розв’язання
tgt > a , a ∈R
arctg a + πn < t <
tgt < a , a ∈R
−
π + πn , n ∈Z 2
Розділ VI
Нерівність
π + πn < t < arctg a + πn , n ∈Z 2
Розв’язування нерівностей ctgt > a , ctgt < a Нерівність
Розв’язання
ctgt > a , a ∈R
πn < t < arcctg a + πn , n ∈Z
ctgt < a , a ∈R
arcctg a + πn < t < π + πn , n ∈Z
81
§ 17. Нерівності з двома змінними Розв’язок і графік нерівності
(
Розв’язком нерівності f ( x , y ) > 0 f ( x , y ) < 0 , f ( x , y ) 0 , f ( x , y ) 0 називається впорядкована пара чисел, що перетворює її в правильну числову нерівність. Графіком нерівності з двома змінними x і y називається множина всіх точок координатної площини з координатами ( x ; y ) , де кожна пара ( x ; y ) є розв’язком даної нерівності.
)
Графіки деяких нерівностей y ax + b
x 2 + y2 R 2
y ax + b
y ax2 + bx + c
y ax2 + bx + c
Розділ VI
x 2 + y2 R 2
82
Графіки деяких нерівностей (закінчення) x ay2 + by + c
x ay2 + by + c
(x − a)2 + ( y − b)2 R 2
x + y 1
x + y 1
( x − a )( y − b ) > k ,
Розділ VI
(x − a)2 + ( y − b)2 R 2
k≠0
83
Графічний спосіб розв’язування систем нерівностей із двома змінними Щоб побудувати на координатній площині розв’язок системи нерівностей, потрібно: 1) виконати рівносильні перетворення системи так, щоб зручно було будувати графіки всіх нерівностей системи; 2) накреслити ці графіки й знайти перетин областей. Перетин областей являє собою розв’язок системи нерівностей.
Рис. 1
y f ( x ), Система має розв’язок, а саме — множину точок, що y g ( x ) належать до заштрихованої області (рис. 1). Приклад розв’язання.
Розділ VI
x 2 + y 2 4, Знайдемо множину розв’язків системи x + y 0.
Рис. 2 Множиною розв’язків першої нерівності є круг із радіусом 2 і центром у початку координат. Множиною розв’язків другої нерівності є півплощина. Множиною розв’язків системи є перетин цих множин, тобто півкруг (рис. 2).
84
Розділ VII. Елементи математичного аналізу § 18. Числові послідовності Означення числової послідовності Якщо кожному натуральному числу n поставлено у відповідність дійсне число an , то кажуть, що задано числову послідовність: a1 ; a2 ; a3 ; …; an ; … . Отже, числова послідовність — функція натурального аргументу. Число a1 називають першим членом послідовності, число a2 — другим членом послідовності, число a3 — третім і т. д. Число an називають n-м членом цієї послідовності, а натуральне число n — його номером. Із двох сусідніх членів ai ; ai+1 послідовності член ai+1 називають наступним (відносно ai ), а ai — попереднім (відносно ai+1 ).
Способи задавання послідовності Послідовність часто задають за допомогою формули n-го члена, тобто формули, що дозволяє визначати члени послідовності за їхніми номерами.
Послідовність можна задати рекурентною формулою, тобто формулою, що виражає будь-який член послідовності, починаючи з якогось, через попередні (один або декілька) члени. Наприклад, якщо a1 = 1 , а an+1 = an + 5 , то перші п’ять членів послідовності відповідно дорівнюють: a1 = 1 ; a2 = a1 + 5 = 1 + 5 = 6 ; a3 = a2 + 5 = 6 + 5 = 11 ; a4 = a3 + 5 = 11 + 5 = 16 ; a5 = a4 + 5 = 16 + 5 = 21 .
85
Розділ VII
Наприклад, якщо послідовність задано формулою n-го члена n an = , то перші п’ять її членів відповідно дорівнюють: n +1 1 2 3 4 5 a1 = ; a2 = ; a3 = ; a4 = ; a5 = . 2 3 4 5 6
Види послідовностей Послідовності бувають скінченні і нескінченні. Послідовність називається скінченною, якщо вона має скінченну кількість членів. Наприклад, послідовність двоцифрових натуральних чисел: 10; 11; 12; ..., 98; 99 є скінченною.
Послідовність називається зростаючою, якщо кожний її член, починаючи з другого, більший від попереднього. Наприклад, послідовність 2; 4; 6; 8; ...; 2n; ... є зростаючою.
Послідовність називається спадною, якщо кожний її член, починаючи з другого, є меншим від попереднього. Наприклад, послідовність 1;
1 1 1 1 ; ; ; …; ; … є спадною. 2 3 4 n
Арифметична прогресія Арифметичною прогресією називається послідовність a1 ; a2 ; a3 ; …, кожний наступний член якої, починаючи з другого, дорівнює попередньому, доданому до того самого числа d, яке називається різницею арифметичної прогресії: an+1 = an + d , n ∈N . В арифметичній прогресії n-й член визначається за формулою an = a1 + d (n − 1) , де n — номер члена, an — n-й член, a1 — перший член, d — різниця прогресії.
Розділ VII
Наприклад, якщо a1 = 4 , d = 4 , то a100 = a1 + 99d = 1 + 99 ⋅ 4 = 397 .
Характеристична властивість арифметичної прогресії: a +a an = n −1 n+1 . 2 Якщо всі члени якоїсь послідовності, починаючи з другого, заa +a довольняють умову an = n −1 n+1 , то ця послідовність є ариф2 метичною прогресією. Сума перших n членів арифметичної прогресії: a +a Sn = 1 n ⋅ n . 2 Суму перших n членів арифметичної прогресії можна знайти 2a1 + d ( n − 1) ⋅n . й за формулою Sn = 2
2 ⋅1 + 2 (n − 1 1 + 100 Наприклад, 1 + 2 + 3 +…+ 100 = ⋅10 = 505 ; 1 + 3 + 5 +…+ (2n − 1) = 2 2 2 ⋅1 + 2(n − 1) 2 + 3 + 5 +…+ (2n − 1) = ⋅ n = (1 + n − 1) ⋅ n = n . 2
86
Геометрична прогресія Геометричною прогресією називається послідовність b1 ; b2 ; b3 ; …; bn ; …, кожний член якої, починаючи з другого, дорівнює попередньому, помноженому на одне й те саме число q ( q ≠ 0 , q ≠ 1 , b1 ≠ 0) , яке називається знаменником геометричної прогресії: bn+1 = bn ⋅ q , де b1 ≠ 0 , q ≠ 0 , q ≠ 1 , n ∈ N . У геометричній прогресії n-й член визначається за формулою bn = b1q n −1 , де n — номер члена, bn — n-й член, b1 — перший член, q — знаменник прогресії. 6
Наприклад, якщо b1 = 64 , q =
1 1 , то b7 = b1q 6 = 64 ⋅ = 1 . 2 2
Характеристична властивість геометричної прогресії: bn = bn −1 ⋅ bn+1 або bn2 = bn −1 ⋅ bn +1 .
(
)
Якщо всі члени числової послідовності, починаючи з другого, задовольняють умову bn = bn −1 ⋅ bn+1 або bn2 = bn−1 ⋅ bn+1 , то ця послідовність є геометричною прогресією. Суму n перших членів геометричної прогресії можна знайти 1 − qn за формулою Sn = b1 ⋅ , q ≠1. 6 1 1 1− q ⋅ 1− −
(
2 1 1 1 1 1 + +− + +− = 4 8 16 32 64 1 2
1 ⋅ 1 − 1 63 2 21 64 = ⋅ ⋅ = 3 2 64 3 64 2
2
1+
1 2
=
.
Нескінченно спадна геометрична прогресія Нескінченно спадна геометрична прогресія — це нескінченна геометрична прогресія, знаменник якої q за модулем є меншим від 1, тобто q < 1 . Сума всіх членів нескінченної спадної геометричної прогресії S = b1 + b2 + b3 +…+ bn +… = b1 + b1q + b1q 2 +…+ b1q n−1 +… є скінченним b1 числом, що визначається за формулою S = . 1− q
87
Розділ VII
1 + − 2 6 1 1 ⋅ 1 − − 2 2 1 +− = == 1 2 64 1+ 2 Наприклад,
)
§ 19. Границя функції Границя функції y = f (x ) , якщо x → ∞
Число b називається границею функції y = f ( x ) при x → + ∞ , якщо для будь-якого числа ε > 0 знайдеться таке число M > 0 , що для всіх x > M виконується нерівність f ( x ) − b < ε . Записують так: lim f ( x ) = b . x→+ ∞ Число b називається границею функції y = f ( x ) при x → − ∞ , якщо для будь-якого числа ε > 0 знайдеться таке число M > 0 , що для всіх x < − M виконується нерівність f ( x ) − b < ε . Записують так: lim f ( x ) = b . x→− ∞ Число b називається границею функції y = f ( x ) при x → ∞ , якщо для будь-якого числа ε > 0 знайдеться таке число M > 0 , що для всіх x, таких, що x > M , виконується нерівність f ( x ) − b < ε . Наприклад, lim x→∞
x2 =1. 1 + x2
Для обчислення границь функцій при x → ∞ використовують такі теореми: 1. Якщо lim f ( x ) = a , lim g ( x ) = b , то lim f ( x ) + g ( x ) = a + b .
( ) 2. Якщо lim f ( x ) = a , lim g ( x ) = b , то lim ( f ( x ) g ( x )) = ab . x→∞
x→∞
x→∞
x→∞
x→∞
x→∞
3. Якщо lim f ( x ) = a , lim g ( x ) = b ≠ 0 , то lim x→∞
x→∞
x→∞
f (x )
g (x )
=
a . b
Розділ VII
Границя функції в точці Якщо функція y = f ( x ) визначена в певному околі точки x = a , крім, можливо, самої точки a, то число A називається границею функції y = f ( x ) , коли x як завгодно близько наближається до a, якщо для будь-якого числа ε > 0 існує таке число δ = δ ( ε ) , що для всіх x, які задовольняють умову 0 < x − a < δ , має місце нерівність f ( x ) − A < ε (див. рис.). Записується так: lim f ( x ) = A або f ( x ) → A , якщо x → a . x→ a Інакше кажучи, число A є границею функції y = f ( x ) при x → a , якщо для всіх x, достатньо близьких до числа a і відмінних від нього, відповідні значення функції y = f ( x ) як завгодно близько наближаються до числа A. 88
Теореми про границі функцій 1. Функція не може мати в одній точці дві різні границі. 2. Границя сталої величини дорівнює цій сталій: lim c = c . x→ a
Наприклад, lim 5 = 5 . x→2
3. Якщо lim f ( x ) = A , lim g ( x ) = B , то x→ a
x→ a
(
) lim ( f ( x ) g ( x )) = A ⋅ B ;
lim f ( x ) + g ( x ) = A + B ; x→ a
x→ a
f (x )
lim
=
g (x )
x→ a
(
lim f ( x ) x→ a
(
)
)
A , якщо B ≠ 0 ; B
n
= A n , n ∈N ;
lim cf ( x ) = cA , де c — стала. x→ a
Неперервні функції Функція y = f ( x ) називається неперервною в точці x = a , якщо існує границя функції в цій точці й вона дорівнює значенню функції в цій точці, тобто lim f ( x ) = f ( a ) . x→ a
Функція y = f ( x ) у точці x = a буде неперервною тоді й тільки тоді, коли виконуються умови: 1) функція y = f ( x ) визначена в точці x = a , тобто існує f ( a ) ; 2) існує границя lim f ( x ) функції в точці x = a ;
x→ a
Іншими словами, функція y = f ( x ) неперервна в точці x = a , якщо для будь-якого числа ε > 0 існує таке число δ > 0 , що для всіх x, таких, що x − a < δ , виконується нерівність f ( x ) − f ( a ) < ε . Якщо функція y = f ( x ) неперервна в кожній точці певного проміжку, то її називають неперервною на даному проміжку.
89
Розділ VII
x→ a
3) границя функції в точці x = a дорівнює значенню функції в цій точці, тобто lim f ( x ) = f ( a ) .
Теореми про неперервність функції 1. Якщо f ( x ) і g ( x ) є неперервними в точці x = a , то в цій точці будуть неперервними й функції f ( x ) ± g ( x ) , f ( x ) g ( x ) . 2. Якщо функції f ( x ) і g ( x ) є неперервними в точці x = a і g ( a ) ≠ 0 , f (x ) то в точці x = a буде неперервною також і функція . g (x ) Виходячи з теорем 1 і 2, можна стверджувати: 1) многочлен y = a0 + a1x +…+ an xn — неперервна функція в будьякій точці a ∈R ; a + a x +…+ an xn 2) дробово-раціональна функція y = 0 1 неперервb0 + b1x +…+ bm xm на в усіх точках числової осі, крім тих точок, у яких знаменник дорівнює нулю; 3) функції y = sin x , y = cos x , y = tg x, y = ctg x , y = a x , y = log a x , y = n x , y = arcsin x , y = arccos x , y = arctg x , y = arcctg x , y = x також є неперервними в усіх точках області визначення.
Обчислення границь функції в точці Якщо функція lim f ( x ) = f ( a ) .
y = f (x )
неперервна в точці x = a , то
x→ a
x2 + 1 12 + 1 2 = = =1; x→ a x + 1 1+1 2 sin x sin 0 0 0 lim = = = = 0. x→0 cos2 x + tg x cos2 0 + tg 0 1+ 0 1
Розділ VII
Наприклад, lim
Якщо, шукаючи границю й підставивши x = a , одержуємо ви 0 раз типу , то потрібно: 0 1) спробувати розкласти чисельник і знаменник дробу на множники, виконати скорочення, а потім знаходити границю; 2) позбутися ірраціональності в знаменнику, а потім знаходити границю; sin x 3) скористатися тим, що lim = 1. x →0 x Наприклад, lim x →2
2−3 1 = =− ; 2 − 10 8 lim x→1
90
x− x x −1
(x − 2)(x − 3) = lim x − 3 = x2 − 5x + 6 = lim x→2 ( x − 2) ( x − 10 ) x→2 x − 10 x2 − 12x + 20
= lim x→1
x
(
) = lim
x −1
x −1
x→1
x = 1 =1.
§ 20. Похідна Приріст аргументу й приріст функції Нехай функція y = f ( x ) визначена в точках x0 і x1 = x0 + ∆x . Різниця x1 − x0 = ∆x називається приростом аргументу, а різниця f (x1 ) − f ( x0 ) = f ( x0 + ∆x ) − f ( x0 ) називається приростом функції при переході від значення аргументу x0 до значення аргументу x1 = x0 + ∆x (див. рис.). Приріст функції позначається ∆f або ∆y , тобто ∆f = f ( x0 + ∆x ) − f ( x0 ) .
Означення похідної
)
Похідною функції f ( x ) у точці x0 (позначають f ( x0 ) називається границя відношення приросту функції до приросту аргументу за умови, що приріст аргументу прямує до нуля, тобто f ( x0 + ∆x ) − f ( x0 ) f ( x0 ) = lim , ∆x →0 ∆x де ∆x = x1 − x0 — приріст аргументу; x1 і x0 — два значення незалежної змінної з області визначення функції f ( x ) ; f ( x0 + ∆x ) − f ( x0 ) = ∆f — приріст функції в точці x0 .
3 ( x0 + f ( x0 + ∆x ) − f ( x0 ) ∆f = lim = lim 0 0 ∆ x → ∆ x → ∆x ∆x 2 3 ( x0 + ∆x ) + 2 − 3x − 2 f ( x0 + ∆x ) − f ( x0 ) ∆f = = lim = lim ) = ∆lim x →0 ∆x ∆x →0 ∆x →0 ∆x ∆x 2 2 2 3 x0 + 2x0 ∆x + ( ∆x ) − 3x0 6x0 ∆x + 3( ∆x ) = lim = = lim ∆x→0 ∆x→0 ∆x ∆x Наприклад, якщо f ( x ) = 3x2 + 2 , то f ( x0 ) = lim
∆x →0 2 0
)
= lim (6x0 + 3∆x ) = 6x0 + 0 = 6x0 . ∆x→0
Функція, що має похідну в точці x0 , називається диференційовною в цій точці. Якщо функція має похідну в кожній точці якогось проміжку, то кажуть, що вона диференційовна на цьому проміжку. Похідна функції f ( x ) , диференційовної на проміжку, сама є функцією аргументу x. Для знаходження похідної функції f ( x ) користуються правилами та формулами диференціювання. 91
Розділ VII
(
Основні правила диференціювання 1. ( u + v ) = u +v . 2. ( uv )′ = u′v + uv′ . 3. ( Cu ) = Cu . u ′ uv − uv 4. за умови, що v ≠ 0 . = v2 v ′ 5. f g ( x ) = f ′ g ( x ) ⋅ g ′ ( x ) ; тобто якщо y = f (u ) , де u = ϕ ( x ) , то yx′ = fu′ ( u ) ⋅ ϕ′x ( x ) або yx′ = yu′ ⋅ ux′ .
((
))
(
)
Таблиця похідних Похідні елементарних функцій C= 0 , x′ = 1; ( kx + b ) = k ; xn = nxn−1 ;
( ) ( e ) = e ; ( a ) = a ln a ; x
x
x
x
Розділ VII
1 ; x 1 ( lg x ) = x lg e ; 1 ( log a x ) = x ln a ; ( sin x ) = cos x ; ( cos x ) = − sin x ; 1 ( tg x ) = cos2 x ; 1 ( ctg x ) = − sin2 x ; 1 ; ( arcsinx ) = 1 − x2 1 ; ( arccosx ) = − 1 − x2 1 ( arctg x ) = 1 + x2 ; 1 ( arcctg x ) = − 1 + x2 ; x x = x x (1 + ln x ) . 92
Похідні складених функцій
( ku + b ) = k ⋅ u ;
(u ) = nu u ; ( e ) = e ⋅ u ; ( a ) = a ln au ; n −1
n
u
u
u
u
1 u ; u 1 ( lg u ) = u lg eu ; u ( log a u ) = u ln a ; (sin u)′ = cos u ⋅ u′ ; (cos u)′ = − sin u ⋅ u′ ; u ( tg u ) = cos2 u ; u ( ctg u ) = − sin2 u ; u ; ( arcsinu ) = 1 − u2 u ; ( arccosu ) = − 1 − u2 u ( arctgu ) = 1 + u2 ; u ( arcctgu ) = − 1 + u2 ; uu = uu (1 + ln u ) u .
( lnx ) =
( lnu ) =
( )
( )
Геометричний зміст похідної Нехай задано функцію y = f ( x ) , що має похідну в точці x = a . Проведемо дотичну до графіка функції y = f ( x ) через точку a; f ( a ) , тоді кутовий коефіцієнт або тангенс кута між дотичною і додатним напрямком осі Ox дорівнюватиме похідній функції y = f ( x ) у точці x=a , тобто k = tg α = f ( a ) . Геометричний зміст похідної: похідна функції y = f ( x ) у точці x = a дорівнює кутовому коефіцієнту дотичної до графіка функції y = f ( x ) у цій точці: f ( a ) = k = tg α (див. рис.). Рівняння дотичної до графіка функції y = f ( x ) у точці x = a: y = f ( a ) + f ( a ) ⋅ ( x − a ) .
(
)
Наприклад, рівняння дотичної до графіка функції y = x2 − 4x у точці x = 1 має вигляд: y = − 3 − 2( x − 1) або y = −1 − 2x , оскільки f ( a ) = 12 − 4 ⋅1 = − 3 ; f ( x ) = 2x − 4 ; f ( a ) = f (1) = 2 ⋅1 − 4 = − 2 .
Якщо точка рухається вздовж осі Ox і її координата змінюється за законом x = x (t ) , то миттєва швидкість точки x (t + ∆t ) − x (t ) v (t ) = lim = x ′ (t ) , ∆t→0 ∆t а прискорення v (t + ∆t ) − v (t ) a (t ) = lim = v ′ (t ) . ∆t→0 ∆t Наприклад, якщо тіло рухається за законом 1 4 1 3 1 2 x (t ) = t − t + t + 7t + 12 , 4 3 12 то його швидкість змінюється за законом 1 1 2 1 4 1 3 ′ v (t ) = x (t ) ′ = t − t + t + 7t + 12 == t3 − t2 + t +7 , 4 6 3 12 а прискорення змінюється за законом
(
)
1 1 ′ a (t ) = v ′ (t ) = t3 − t2 + t + 7 = 3t2 − 2t + . 6 6
93
Розділ VII
Механічний зміст похідної
§ 21. З астосування похідної в дослідженні функцій і побудові графіків Достатня умова зростання (спадання) функції Достатня умова зростання функції. Якщо в кожній точці інтервалу ( a; b ) f ′ ( x ) > 0 , то функція y = f ( x ) зростає на цьому інтервалі (рис. 1). Достатня умова спадання функції. Якщо в кожній точці інтервалу ( a; b ) f ′ ( x ) < 0, то функція y = f ( x ) спадає на цьому інтервалі (рис. 2). Рис. 1 Необхідна й достатня умова сталості функції. Функція f ( x ) є сталою на інтервалі ( a; b ) тоді й тільки тоді, коли f ′ ( x ) = 0 у кожній точці цього інтервалу (рис. 3).
Рис. 2
Рис. 3
Розділ VII
Екстремуми (максимуми й мінімуми) функції
Рис. 1
Точка максимуму Точка x0 називається точкою максимуму (локального максимуму) функції y = f ( x ) , якщо знайдеться такий окіл точки x0 , що для всіх x із цього околу виконується умова f ( x0 ) f ( x ) (рис. 1). x0 — точка максимуму функції f ( x ) ; f ( x0 ) — максимум функції f ( x ). Наприклад, x = 0 є точкою максимуму для функцій y = − x2 і y = − x (рис. 2).
Рис. 2
94
Точка мінімуму Точка x0 називається точкою мінімуму (локального мінімуму) функції y = f ( x ) , якщо знайдеться такий окіл точки x0 , що для всіх x із цього околу виконується умова f ( x0 ) f ( x ) (рис. 1). x0 — точка мінімуму функції f ( x ) ; f ( x0 ) — мінімум функції f ( x ) .
Рис. 1
Наприклад, x = 0 є точкою мінімуму для функцій y = x2 і y = x (рис. 2). Рис. 2
Точки екстремуму Точки максимуму й точки мінімуму називаються точками екстремуму; позначаються так: xmax , xmin . Значення функції в точках мінімуму й максимуму називаються екстремумами функції, позначаються так: ymin , ymax або fmin , fmax .
Необхідна умова екстремуму (теорема Ферма)
Рис. 1
Рис. 2
Розділ VII
Якщо x0 — точка екстремуму функції y = f ( x ) , то в цій точці похідна дорівнює нулю або не існує (теорема Ферма). Внутрішні точки області визначення функції, у яких похідна дорівнює нулю або не існує, називаються критичними.
Рис. 3
1. f ′ (0) = 0 , x = 0 — точка екстремуму (рис. 1).
2. f ′ (0) — не існує, x = 0 — точка екстремуму (рис. 2).
3. f ′ (0) = 0 , але x = 0 не є точкою екстремуму (рис. 3).
95
Достатні умови екстремуму Якщо функція y = f ( x ) неперервна в точці x0 і похідна f ′ ( x ) змінює знак у цій точці, то x0 — точка екстремуму функції y = f (x ) . Якщо в точці x0 знак f ′ ( x ) змінюється з «+» на «–», то x0 — точка максимуму. Якщо в точці x0 знак f ′ ( x ) змінюється з «–» на «+», то x0 — точка мінімуму.
Схема знаходження найбільшого (найменшого) значення функції на проміжку
Для неперервної на відрізку [ a; b ] функції y = f ( x ) її найбільше (або найменше) значення досягається або в критичних точках, або на кінцях проміжку. Тому, щоб знайти найбільше або найменше значення неперервної функції на проміжку [ a; b ] , необхідно обчислити значення функції в усіх критичних точках, що належать до проміжку (a; b) , і на кінцях проміжку для x = a , x = b , а потім серед одержаних чисел вибрати найбільше й найменше. Приклад Знайдіть найбільше й найменше значення функції f ( x ) = x + e − x на відрізку [ −1; 2] . Розв’язання. Знаходимо f ′ ( x ) : f ′ ( x ) = x + e − x ′ = 1 − e − x .
Розділ VII
(
)
Знаходимо критичні точки: f ′ ( x ) = 0 ; 1 − e − x = 0 ; e − x = 1 ; x = 0 . Знаходимо значення функції в критичній точці й на кінцях відрізка: f (0) = 0 + e 0 = 1 ; f ( −1) = −1 + e1 = e − 1 ; 1 f (2) = 2 + e −2 = 2 + 2 . e 1 fнайб = f (2) = 2 + 2 ; e fнайм = f (0) = 1 . Відповідь: 1 fнайб = f (2) = 2 + 2 ; fнайм = f (0) = 1 . e
96
Схема дослідження функції на монотонність і екстремуми 1. Знайти область визначення й інтервали, на яких функція неперервна. 2. Знайти похідну. 3. Знайти критичні точки. 4. Позначити критичні точки на області визначення, знайти знак похідної та характер поведінки функції на кожному з інтервалів, на які критичні точки розбивають область визначення. 5. Визначити для кожної критичної точки, чи є вона точкою максимуму, мінімуму, чи не є точкою екстремуму. 6. Записати результат дослідження функції: проміжки монотонності й екстремуми. Приклад Дослідити функцію y = x4 − 4x3 на монотонність і екстремуми. Розв’язання D ( y ) = R . Функція неперервна на R. y ′ = x4 − 4x3 ′ = 4x3 − 12x2 = 4x2 ( x − 3) . Знаходимо критичні точки: D ( y ′ ) = R ; y ′ = 0 , 4x2 ( x − 3) = 0 , x = 0 або x = 3 . Наносимо критичні точки на координатну пряму (див. рис.) і визначаємо знак похідної та характер поведінки функції.
)
(Знаками і позначають відповідно спадання і зростання функції.) Отже, функція спадає на проміжку ( − ∞ ; 3) , зростає на проміжку (3; + ∞ ) . x = 3 — точка мінімуму ymin = 34 − 4 ⋅ 33 = − 27 . Відповідь. Функція спадає на проміжку ( − ∞ ; 3) , зростає на проміжку (3; + ∞ ) ; xmin = 3 , ymin = −27 .
97
Розділ VII
(
Схема дослідження функції. Побудова графіка функції 1. Знайти область визначення функції. 2. З’ясувати специфічні ознаки: чи є функція парною або непарною, чи вона періодична. 3. Знайти точки перетину графіка з осями координат. 4. Визначити проміжки знакосталості. 5. З’ясувати проміжки монотонності функції. 6. Знайти точки екстремуму та значення функції в цих точках. 7. Дослідити поведінку функції в околі «особливих» точок і при великих за модулем x. 8. Побудувати схематичний графік функції. Приклад Дослідити функцію f ( x ) = x3 − 3x2 та побудувати її графік. Розв’язання D (f ) = R . Функція не є ні парною, ні непарною. Знаходимо абсциси точок перетину графіка з віссю Ox: x3 − 3x2 = 0 ; x2 ( x − 3) = 0 ; x = 0 або x = 3 . Знаходимо ординату точки перетину графіка з віссю Oy: y = f (0) = 03 − 3 ⋅ 02 = 0 . Знаходимо похідну: f ′ ( x ) = 3x2 − 6x = 3x ( x − 2) . D ( f ′) = R . Знаходимо критичні точки: 3x ( x − 2) = 0 ; x = 0 або x = 2 . Складаємо таблицю: x
( − ∞ ; 0)
0
( 0; 2)
2
(2; + ∞ )
f ′ (x )
+
0
–
0
+
f (x )
0
–4
Розділ VII
max
min
( lim ( x
) − 2x ) = − ∞ .
lim x − 2x = + ∞ ; 3
x→ + ∞ x→ − ∞
3
2
2
Використовуючи результати дослідження, будуємо графік функції y = x3 − 3x2 (див. рис.).
98
§ 22. Первісна, невизначений інтеграл Первісна Функція F ( x ) називається первісною для функції f ( x ) на заданому проміжку, якщо для всіх x із цього проміжку F ′ ( x ) = f ( x ) .
Наприклад, функція F ( x ) = x2 — первісна для функції f ( x ) = 2x , оскільки F ′ ( x ) = x2 ′ = 2x = f ( x ) .
( )
Основна властивість первісної Якщо F ( x ) — первісна для функції f ( x ) на заданому проміжку, то функція f ( x ) має безліч первісних і всі ці первісні можна записати у вигляді F ( x ) + C , де C — довільна стала.
Наприклад, функції F ( x ) = x2 + C є первісними для функції f ( x ) = 2x , оскільки F ′ ( x ) = x2 + C ′ = 2x = f ( x ) .
(
)
Правила обчислення первісних
Невизначений інтеграл Невизначеним інтегралом від функції f ( x ) називається вираз F ( x ) + C , тобто сукупність усіх первісних даної функції f ( x ) . Позначається так: ∫ f ( x ) dx = F ( x ) + C , де функція f ( x ) називається підінтегральною функцією; вираз f ( x ) dx — підінтегральним виразом; F ( x ) —одна з первісних функції f ( x ) ; C — довільна стала.
99
Розділ VII
1. Первісна суми функцій дорівнює сумі первісних функцій: тобто якщо F ( x ) — первісна для f ( x ) , а G ( x ) — первісна для g ( x ) , то F ( x ) + G ( x ) — первісна функції f ( x ) + g ( x ) . 2. Сталий множник можна виносити за знак первісної, тобто якщо F ( x ) — первісна для функції f ( x ) і C — стала, то CF ( x ) — первісна для Cf ( x ) . 3. Якщо F ( x ) — первісна для f ( x ) і k ≠ 0 , b — стала, то 1 F (kx + b ) — первісна для функції f (kx + b ) . k
Основні правила інтегрування
(
)
1. ∫ f ( x ) + g ( x ) dx = ∫ f ( x ) dx + ∫ g ( x ) dx . 2. ∫ cf ( x ) dx = c∫ f ( x ) dx .
3. Якщо k ≠ 0 і k, b — сталі, то
1 F (kx + b ) + C . k
∫ f (kx + b)dx =
Таблиця первісних і таблиця невизначених інтегралів Таблиця первісних Функція f (x )
Первісні F ( x ) + C
0
C
1
x+C
∫ 0dx = C ; ∫ dx = x + C ; n
x +C n +1
1 x
ln x + C
sinx
− cosx + C
∫ sin xdx = − cos x + C ;
cosx
sinx + C
1 cos2 x
∫ cos xdx = sin x + C ;
tg x + C
∫
1 sin2 x
− ctg x + C
∫
e +C x
x
ax
a +C ln a
1 1 + x2
arctg x + C або − arc c tg x + C
1
arcsinx + C або − arccosx + C
1− x
2
dx = ln x + C ; x
∫
dx = tg x + C ; cos2 x dx = − ctg x + C ; sin2 x
∫ e dx = e x
x
100
xn+1 +C, n +1 n ≠ −1;
∫ x dx =
n+1
xn (n ≠ −1)
e
Розділ VII
Таблиця невизначених інтегралів
x
∫
{
+C;
ax +C; ln a
∫ a dx = ∫
x
dx arctg x + C , = − arcctg x + C ; 1 + x2 dx 1− x
2
=
{
arcsin x + C , − arccos x + C .
§ 23. Визначений інтеграл і його застосування Визначений інтеграл Нехай задано неперервну функцію y = f ( x ) , визначену на проміжку [ a; b ] , тоді визначеним інтегралом від a до b функції f ( x ) називається приріст первісної F ( x ) цієї функції, тобто b
∫ f (x)dx = F (b) − F (a) . Числа a і b називаються відповідно нижa
ньою і верхньою межами інтегрування.
Основні правила обчислення визначеного інтеграла b
b
a b
a
1. ∫ cf ( x ) dx = c∫ f ( x ) dx , де с — стала.
(
)
b
b
a
a
2. ∫ f ( x ) + g ( x ) dx = ∫ f ( x ) dx + ∫ g ( x ) dx . a b
b
b
1 k
kb + l
3. ∫ f ( x ) dx = − ∫ f ( x ) dx .
4. ∫ f (kx + l ) dx =
5. ∫ f ( x ) dx = 0 .
6. ∫ f ( x ) dx = ∫ f ( x ) dx + ∫ f ( x ) dx .
a b
a
a
a b
c
a
a
∫ f (x)dt .
ka + l
b
c
Геометричний зміст визначеного інтеграла Площа S криволінійної трапеції (фігура, обмежена графіком неперервної додатної на проміжку [ a; b ] функції f ( x ) , віссю Ox та прямими x = a , x = b ) обчисb
Розділ VII
люється за формулою S = ∫ f ( x ) dx (див. a рис.).
Фізичний зміст визначеного інтеграла Під час прямолінійного руху переt2
міщення s чисельно дорівнює
∫ v (t)dt , де
t1
v (t ) — швидкість руху (див. рис.).
101
Площа фігури
Якщо на заданому проміжку [ a; b ] неперервні функції y = f ( x ) і y = g ( x ) мають властивість f ( x ) g ( x ) для всіх b
(
)
x ∈[ a; b ] ,то S = ∫ f ( x ) − g ( x ) dx (див.рис.). a
Приклад Обчисліть площу фігури, обмеженої лініями y = x2 і y = − x + 2 . Розв’язання. Зобразимо схематично графіки даних функцій (див. рис.). Знаходимо межі інтегрування: x2 = − x + 2 ; x2 + x − 2 = 0 ; x = −2 або x = 1 . Тоді 1
S=
∫ ( ( − x + 2) − x ) dx = 4,5 2
−2
Відповідь. 4,5.
Об’єм тіла обертання Об’єм тіла, одержаного в результаті обертання навколо осі Ox криволінійної трапеції, обмеженої графіком неперервної й невід’ємної на проміжку [ a; b ] функції y = f ( x ) та прямими x = a і x = b (див. рис.), b дорівнює V = π ∫ f 2 ( x ) dx (V — об’єм тіла обертання). a
Приклад
Розділ VII
Знайдіть об’єм тіла, утвореного обертанням навколо осі Ox фігури, обмеженої синусоїдою y = sin x та прямими x = 0 π і x= (див. рис.). 2 π 2
Розв’язання. V = π ∫ sin2 xdx = Відповідь.
102
π2 . 4
0
π2 . 4
Розділ VIII. Комбінаторика, метод математичної індукції, елементи теорії імовірностей і статистики § 24. Е лементи комбінаторики й метод математичної індукції Перестановки Будь-яка впорядкована множина, що складається з n елементів, називається перестановкою з n елементів. Число перестановок із n елементів (позначається Pn ) дорівнює добутку всіх натуральних чисел від 1 до n, тобто n! (читається «ен факторіал») Pn = 1 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅…⋅ n = n ! За означенням 0 ! = 1 .
Розміщення Будь-яка впорядкована підмножина з m елементів даної множини, що містить n елементів, де m n , називається розміщенням з n елементів по m елементів. Число розміщень із n елементів по m позначається Anm . n! Anm = n (n − 1)(n − 2)(n − 3) ⋅…⋅ (n − m + 1) , або Anm = (n − m ) ! Якщо n = m , то Anm = Pn .
Будь-яка підмножина з m елементів даної множини, що містить n елементів, називається комбінацією з n елементів по m елементів. Число комбінацій з n елементів по m (1 m n ) позначається Cnm . n (n − 1)(n − 2)…(n − m + 1) n! Cnm = , або Cnm = . m ! (n − m ) ! 1 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅…⋅ m 0 1 n Cn = 1 ; Cn = n ; Cn = 1 . Властивості числа комбінацій Cnm = Cnn −m ; Cnm = Cnm−−11 + Cnm−1 ; Cn0 + Cn1 + Cn2 +…+ Cnn −1 + Cnn = 2n . 103
Розділ VIII
Комбінації
Трикутник Паскаля Усі можливі значення Cnm (n = 0, 1, 2…, m = 0, 1, 2…) можна записати у вигляді трикутної таблиці. Така таблиця називається трикутником Паскаля. C00 1 0 C1 C11 1 1 C20 C21 C22 1 2 1 0 C3 C31 C32 C33 1 3 3 1 C40 C41 C42 C43 C44 1 4 6 4 1
Метод математичної індукції Для доведення твердження методом математичної індукції потрібно: 1) перевірити справедливість цього твердження для n = 1 ; 2) припустити справедливість цього твердження для n = k , де k — довільне натуральне число, і з урахуванням цього припущення встановити його справедливість для n = k +1 ; 3) сформулювати справедливість цього твердження для будьякого натурального n.
Біном Ньютона Рівність ( x + a ) = Cn0 xn a0 + Cn1xn −1a1 +…+ Cnm xn −m am +…+ Cnn x0 an називають біномом Ньютона, або формулою Ньютона. Права частина рівності називається біноміальним розкладом (у суму), або розкладом бінома, а коефіцієнти Cn0 , Cn1 , …, Cnn — біноміальними коефіцієнтами.
Розділ VIII
n
Властивості розкладу бінома 1. Число всіх членів розкладу дорівнює n +1 . 2. Сума показників степенів x і a кожного члена розкладу дорівнює показнику степеня бінома, тобто (n − m ) + m = n . 3. Загальний член розкладу Tm +1 = Cnm xn −m am , m = 0 , 1, …, n. 4. Біноміальні коефіцієнти членів розкладу, рівновіддалених від кінців розкладу, рівні між собою: Cnm = Cnn −m , m = 0 , 1, 2, …, n. 5. Сума біноміальних коефіцієнтів усіх членів розкладу дорівнює 2n : Cn0 + Cn1 + Cn2 +…+ Cnn = 2n . 6. Сума біноміальних коефіцієнтів членів розкладу, що стоять на непарних місцях, дорівнює сумі біноміальних коефіцієнтів, що стоять на парних місцях, і дорівнює 2n−1 : Cn0 + Cn2 + Cn4 + … = + Cn1 + Cn3 + Cn5 + … = 2n −1 . 104
§ 25. Початки теорії імовірностей Основні поняття Подія — це явище, про яке можна сказати, що воно відбувається або не відбувається за певних умов. Події позначають великими літерами латинського алфавіту: A, B, C, … . Будь-яка подія відбувається внаслідок випробування (експерименту, досліду). Випробування — це умова, у результаті якої відбувається (або не відбувається) подія. Події поділяють на випадкові, вірогідні й неможливі. Випадковою називається подія, що може відбутись або не відбутись у результаті певного випробування. Вірогідною називається подія, яка внаслідок даного випробування обов’язково відбудеться. Неможливою називається подія, що внаслідок даного випробування не може відбутися. Неможлива подія позначається символом ∅ . Теорія імовірностей — розділ математики, що вивчає закономірності випадкових подій. Попарно несумісні події — це події, кожні дві з яких не можуть відбутись одночасно. Рівноможливі події — події, кожна з яких не має ніяких переваг з’явитися частіше від інших у разі проведення багаторазових випробувань в однакових умовах.
Якщо події мають властивості: 1) утворюють повну групу подій; 2) є несумісними; 3) є рівноможливими, — то такі події утворюють множину, що називається простором елементарних подій.
105
Розділ VIII
Повною групою подій називається множина таких подій, коли в результаті кожного випробування обов’язково має відбутися принаймні одна з них.
Класичне означення імовірності Відношення числа m елементарних подій, що сприяють події A, до загальної кількості n подій простору елементарних подій називається імовірністю випадкової події A й позначається P ( A ) , m тобто P ( A ) = , де m — число подій, що сприяють події A; n n — число подій простору елементарних подій (0 m n ) . Імовірність вірогідної події дорівнює 1, імовірність неможливої події дорівнює 0, а імовірність P ( A ) випадкової події A задовольняє умову 0 < P ( A ) < 1 .
Статистичне означення імовірності Нехай n — кількість усіх випробувань в окремій серії випробувань, а m — кількість тих випробувань, у яких відбувається подія A. Статистичною імовірністю події A називається границя, m до якої прямує відносна частота події A за умови необмежеn ного збільшення числа всіх випробувань; тобто m P ( A ) = lim . n→∞ n
Операції над подіями
Розділ VIII
Рис. 1
Рис. 2
106
Сумою двох подій A і B (рис. 1) називається подія C, що полягає в здійсненні під час одиничного випробування або події A, або події B, або обох подій A і B одночасно (позначається C = A + B або C = A ∪ B ). Подія A називається протилежною події A, якщо вона відбувається тоді й тільки тоді, коли подія A не відбувається. Добутком двох подій A і B (рис. 2) називається подія C, що полягає в одночасному здійсненні обох подій A і B під час одиничного випробування (позначається C = A ⋅ B або C = A ∩ B ).
Теорема про імовірність суми подій Імовірність суми двох несумісних подій A і B дорівнює сумі імовірностей цих подій. Якщо A ⋅ B = ∅ , то P ( A + B) = P ( A ) + P ( B) . Наприклад, якщо мисливець стріляє в мішень, поділену на дві частини, й імовірність влучення в першу частину дорівнює 0,45, а в другу — 0,35, то імовірність влучення в мішень становить 0,45 + 0,35 = 0,8 .
З теореми випливають наслідки. Наслідок 1. Сума імовірностей подій A1 , A2 , …, An , які утворюють повну групу і є попарно несумісними, дорівнює одиниці: P ( A1 ) + P ( A2 ) +…+ P ( An ) = 1 . Наслідок 2. Сума імовірностей протилежних подій дорівнює 1: P ( A ) + P A = 1 .
( )
Теорема про імовірність добутку подій Дві події називаються незалежними, якщо імовірність появи однієї з них не залежить від того, чи відбулася друга подія. Імовірність добутку двох незалежних подій A і B дорівнює добутку імовірностей цих подій, тобто P ( A ⋅ B) + P ( A ) ⋅ P ( B) . Наприклад, якщо два мисливці одночасно й незалежно один від одного стріляють у мішень, а імовірності влучення в мішень відповідно дорівнюють 0,7 і 0,8, то імовірність того, що обидва мисливці влучать, дорівнює 0,7 ⋅ 0,8 = 0,56 .
Якщо події A1 , A2 , A3 , …, An є незалежними, то імовірність того, що відбудеться принаймні одна з них C, може бути виражена через імовірність цих подій формулою P ( C ) = 1 − 1 − P ( A1 ) ⋅ 1 − P ( A2 ) ⋅…⋅ 1 − P ( An ) .
(
)(
) (
)
Взаємно незалежними називаються такі випробування, у яких імовірність результату кожного з них не залежить від того, які результати мають або матимуть інші випробування.
107
Розділ VIII
Незалежні випробування
Схема Бернуллі Багато задач у теорії імовірностей зводяться до схеми, яка називається схемою Бернуллі: здійснюється n незалежних випробувань, у кожному з яких подія A може відбутись або не відбутись. Імовірність того, що випадкова подія A в кожному випробуванні відбувається, є однаковою й дорівнює p, а імовірність того, що не відбувається, дорівнює q = 1 − p . Потрібно знайти Pm, n того, що подія A настане m разів у цих n випробуваннях. Шукану імовірність можна обчислити за формулою Бернуллі: n! pm q n −m . Pm, n = Cnm pm q n −m = m ! (n − m ) !
Закон великих чисел. Теорема Бернуллі Якщо в ряді випробувань імовірність певної події залишається для кожного випробування сталою й дорівнює p, то коли кількість випробувань є достатньо великою, практично вірогідно, що m частота появи події відрізняється від її імовірності менше, n ніж як завгодно мале число ε > 0 .
§ 26. Елементи статистики
Розділ VIII
Поняття про статистику Статистика — наука, що збирає, обробляє та вивчає різні дані, пов’язані з масовими явищами, процесами, подіями. Математична статистика — розділ математики, присвячений математичним методам систематизації, оброблення й дослідження статистичних даних для наукових і практичних висновків. Статистичне спостереження — це спланований, науково організований збір масових даних про соціально-економічні явища та процеси. Найбільш поширеним серед різновидів статистичних спостережень є вибіркове спостереження. У процесі вибіркового спостереження вивчається лише частина сукупності, що називається вибіркою. Усю сукупність, із якої роблять вибірку, називають генеральною сукупністю. Кількість об’єктів генеральної сукупності й вибірки відповідно називають обсягом генеральної сукупності й обсягом вибірки.
108
Центральні тенденції вибірки Вибірка характеризується центральними тенденціями: середнім значенням, модою й медіаною. Середнім значенням вибірки називається середнє арифметичx + x2 +…+ xn 1 n не всіх її значень: x = 1 , або x = ∑x n i =1 i n ∑ — знак суми — «сигма» велика .
(
(∑
Мода вибірки — це її значення, що зустрічається найчастіше (позначається M0 ). Медіана вибірки — це число, що ділить навпіл упорядковану сукупність усіх значень вибірки, тобто середня величина змінюваної ознаки, що міститься в середині ряду, побудованого в порядку зростання або спадання ознаки (позначається Me ).
Середні значення Статистика оперує такими середніми значеннями: середнє арифметичне, середнє квадратичне, середнє геометричне. Відхиленням значення xi від середнього значення x називається різниця xi − x . У статистиці користуються показником — середнім квадратичним відхиленням, яке знаходять так: усі відхилення підносять до квадрата; знаходять середнє арифметичне цих квадратів; зі знайденого середнього арифметичного добувають квадратний корінь. Середнє квадратичне відхилення позначають грецькою літерою σ («сигма» мала): n
σ=
∑ (x − x ) i =1
2
i
. n У статистиці σ2 називають дисперсією.
Наприклад, середнім геометричним чисел 5, 8, 10, 12 є число 4
5 ⋅ 8 ⋅10 ⋅12 = 4800 ≈ 8,3 .
109
Розділ VIII
Середнє геометричне n додатних чисел x1 , x2 , …, xn визначається за формулою mc = n x1 ⋅ x2 ⋅…⋅ xn .
Предметний покажчик А Абсциса. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Аргумент . . . . . . . . . . . . . . . . . . Арифметичний корінь квадратний . . . . . . . . . . . . . . n-го степеня. . . . . . . . . . . . . . Аркфункції. . . . . . . . . . . . . . . . .
Е 23 23
Екстремум функції . . . . . . . . . . 94
12 13 40
Зведення подібних членів. . . . . 17 Змінна. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 Значення функції. . . . . . . . . . . . 23
К
Б Біном Ньютона. . . . . . . . . . . . . 104
В Вибірка. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108 Випробування . . . . . . . . . . . . . 105 незалежні . . . . . . . . . . . . . . 107 Вираз алгебраїчний. . . . . . . . . . . . . 19 ірраціональний. . . . . . . . . . . 20 підкореневий. . . . . . . . . . . . . 13 раціональний . . . . . . . . . . . . 19 цілий . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 Вісь абсцис . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 котангенсів . . . . . . . . . . . . . . 36 ординат . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 тангенсів . . . . . . . . . . . . . . . . 36
Г Генеральна сукупність . . . . . . 108 Гіпербола . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 Границя функції . . . . . . . . . . . . 88 Графік нерівності . . . . . . . . . . . . . . . 82 рівняння . . . . . . . . . . . . . . . . 61 функції . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
Д Дискримінант . . . . . . . . . . . . . . Ділення многочленів. . . . . . . . . Додавання многочленів. . . . . . . Дріб. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
110
З
48 16 17 20
Коефіцієнт одночлена . . . . . . . . 16 Коло тригонометричне . . . . . . . 35 Комбінація. . . . . . . . . . . . . . . . 103 Координатна площина. . . . . . . . 23 Корінь квадратного тричлена. . . . . . 49 многочлена . . . . . . . . . . . . . . 19 рівняння . . . . . . . . . . . . . . . . 46 Косинус. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 Котангенс. . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
Л Логарифм. . . . . . . . . . . . . . . . . . десятковий . . . . . . . . . . . . . . натуральний . . . . . . . . . . . . . Логарифмування. . . . . . . . .
15 15 15 15
М Математична статистика. . . . . 108 Медіана вибірки. . . . . . . . . . . . 109 Метод інтервалів . . . . . . . . . . . . 80 Метод математичної індукції. . . . . . . . . . . . . . . . 104 Многочлен . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 n-го степеня. . . . . . . . . . . . . . 19 Множення многочленів. . . . . . . 17 Множин об’єднання. . . . . . . . . . . . . . . . 8 переріз. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 різниця . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 Множина . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 дійсних чисел . . . . . . . . . . . . . 9 нескінченна. . . . . . . . . . . . . . . 7
скінченна. . . . . . . . . . . . . . . . . 7 порожня. . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 Мода вибірки . . . . . . . . . . . . . . 109
Н Наступний член послідовності. . . . . . . . . . . . . Нерівність з однією змінною. . . . . . . . . . лінійна з однією змінною. . . . . . . . . . . . . . . . . тотожна. . . . . . . . . . . . . . . . . Нерівності рівносильні . . . . . . . Номер члена послідовності. . . . . . . . . . . . .
85 67 70 22 67 85
О Область визначення . . . . . . . . . . . . . . 23 допустимих значень. . . . 46, 67 значень функції . . . . . . . . . . 23 Одночлен . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 Ордината. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
П Парабола. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 Перестановка. . . . . . . . . . . . . . 103 Перетворення тотожне . . . . . . . 22 Період. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 Перший член послідовності. . . . . . . . . . . . . 85 Підмножина. . . . . . . . . . . . . . . . . 7 Повна група подій . . . . . . . . . . 105 Подібні члени многочлена. . . . . 17 Події випадкові. . . . . . . . . . . . . . . 105 вірогідні. . . . . . . . . . . . . . . . 105 неможливі. . . . . . . . . . . . . . 105 попарно несумісні. . . . . . . . 105 рівноможливі . . . . . . . . . . . 105 Показник кореня. . . . . . . . . . . . 13 Порядок числа. . . . . . . . . . . . . . 12 Послідовність зростаюча . . . . . . . . . . . . . . . 86 скінченна. . . . . . . . . . . . . . . . 86
спадна . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86 числова . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 Похідна. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91 геометричний зміст . . . . . . . 93 Приріст аргументу . . . . . . . . . . . . . . . 91 функції . . . . . . . . . . . . . . . . . 91 Прогресія арифметична. . . . . . . . . . . . . 86 геометрична . . . . . . . . . . . . . 87 Простір елементарних подій . . . . . . 105
Р Рекурентна формула . . . . . . . . . 85 Рівняння. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 біквадратне. . . . . . . . . . . . . . 50 дотичної. . . . . . . . . . . . . . . . . 93 з двома змінними . . . . . . . . . 61 ірраціональне . . . . . . . . . . . . 52 квадратне . . . . . . . . . . . . . . . 48 квадратне неповне . . . . . . . . 47 лінійне. . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 логарифмічне . . . . . . . . . . . . 54 першого степеня. . . . . . . . . . 47 раціональне. . . . . . . . . . . . . . 52 рівносильне. . . . . . . . . . . 46, 61 тригонометричне . . . . . . . . . 58 тричленне . . . . . . . . . . . . . . . 51 ціле . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 Різниця многочленів. . . . . . . . . 17 Розв’язування нерівностей. . . . . . . . . . . 67, 82 нерівностей методом інтервалів. . . . . 77, 80 рівнянь . . . . . . . . . . . . . . 46, 61 систем рівнянь . . . . . . . . . . . 63 Розв’язування систем рівнянь 63 способом додавання . . . . . . . 66 способом підстановки. . . . . . 66 Розкладання многочлена. . . . . . 18 Розміщення . . . . . . . . . . . . . . . 103
С Середнє геометричне. . . . . . . . 109
111
Середнє квадратичне відхилення . . . . . . . . . . . . . 109 Синус . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 Система координат. . . . . . . . . . . 23 Система рівнянь . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 рівнянь із двома змінними. . . 63 Способи задавання функції. . . . 24 Спостереження вибіркове. . . . . . . . . . . . . . . 108 статистичне. . . . . . . . . . . . . 108 Стандартний вигляд многочлена . . . . . . . . . . . . . . 17 одночлена . . . . . . . . . . . . . . . 16 числа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 Статистика. . . . . . . . . . . . . . . . 108 Степінь многочлена . . . . . . . . . . . . . . 17 одночлена . . . . . . . . . . . . . . . 16 Степінь числа. . . . . . . . . . . . . . . 10 додатного. . . . . . . . . . . . . . . . 10 з цілим від’ємним показником. . . . . . . . . . . . . . 10 нульовий. . . . . . . . . . . . . . . . 10 перший . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 Сукупність рівнянь . . . . . . . . . . 49 Схема Бернуллі . . . . . . . . . . . . 108
Ф
Т
Ч
Тангенс. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 Теорема Вієта. . . . . . . . . . . . . . . 49 Теорія імовірностей. . . . . . . . . 105 Тотожні нерівності. . . . . . . . . . . 22 Тотожно рівні вирази. . . . . . . . . 22 Точка екстремуму . . . . . . . . . . . . . . 95 локального максимуму. . . . . 95 локального мінімуму . . . . . . 94 Тричлен . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
Числа частина дробова . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 ціла . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 Число дійсне. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 ірраціональне . . . . . . . . . . . . . 9 комбінацій. . . . . . . . . . . . . . 103 раціональне. . . . . . . . . . . . . . . 9 розміщень. . . . . . . . . . . . . . 103 Член многочлена . . . . . . . . . . . . 17
112
Формула Бернуллі . . . . . . . . . . . . . . . 108 Ньютона. . . . . . . . . . . . . . . . 104 n-го члена послідовності. . . . . . . . . . . . . 85 Функція . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 диференційовна . . . . . . . . . . 91 зростаюча . . . . . . . . . . . . . . . 26 квадратична . . . . . . . . . . . . . 29 лінійна. . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 логарифмічна . . . . . . . . . . . . 32 незростаюча. . . . . . . . . . . . . 26 непарна . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 неперервна . . . . . . . . . . . . . . 89 неспадна . . . . . . . . . . . . . . . . 26 обернена . . . . . . . . . . . . . . . . 26 обернено пропорційна . . . . . 28 парна. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 первісна. . . . . . . . . . . . . . . . . 99 періодична. . . . . . . . . . . . . . . 25 показникова . . . . . . . . . . . . . 31 складна . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 спадна . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 степенева. . . . . . . . . . . . . . . . 30 числова . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
