ガウス過程―表現と応用 (紀伊國屋数学叢書 9)

紀伊國屋数学叢書 9

編集委員 伊藤

清 三   (東京大学名誉教授)

戸 田

宏   (京都大学教授)

永 田

雅 宜  (京都大学教授)

飛 田

武 幸   (名古屋大学教授)

吉沢

尚 明   (京都大学名誉教授)

飛 田武幸 櫃田倍之

ガ ウ ス過 程 表現 と応用

紀伊國屋書店

ま

  筆 者 達 が 語 りあ って,Gauss過 企 画 し てか ら も はや2年 ころはGauss過

え

が

き

程 に つ い て の一 書 を世 に贈 ろ う と意 気 ごん で

もの歳 月 を 閲 した.執 筆 に あた って我 々が 意 図 した と

程 の美 しい 理論 がた だ 数学 の世 界 だ け に留 ま らず,物 理 学 や

工 学 を 修 め る人 々に もさ らには 実 務 に携 わ る人 々に も広 く理 解 され る よ うに と い うこ とで あ った.脱 稿 に あた って顧 み る と き,筆 の 及 ば なか った と ころ も あ り,少 なか らぬ憾 み は残 るが,我 々 の意 の あ る と ころ は汲 んで 頂 け る こと と信 ず る.   Gauss型

の ラン ダム な現 象 を モ デ ル とす るGauss過

程 が 確 率 論 の興 味 あ る

研 究 課 題 で あ るば か りで な く,応 用面 か らい って もいか に重要 な も ので あ るか は ここに 説 明す るまで もな か ろ う.ま たそ の 詳 しい事 情 は 本 書 を通 じて理 解 さ れ る こ とを期 待 す る もの で あ る.本 書 で は特 にGauss過 理 論 に重 点 を お くこ とに した.こ の理 論 はP.Levyに

程 の"標 準 表 現"の

(1955年)以

よ っ て提 唱 さ れ て

来 日も浅 く,ま だ周 知 の話 題 とい うまで に は至 ってい な い.そ れ

に もか か わ らず,時 間 の推 移 を考 慮 した い わ ゆ る因 果 的(causal)な

議論を し

よ う とす る と きに は常 に基 本的 な手 法 と して登 場 す べ き も ので あ る と断 言 す る こ とが で き る.こ の よ うな 目的 のた め に本 書 が 些 か な りと も読 者 の お役 に立 つ こ とが で き るな らば 筆者 等 に と って は無 上 の 光 栄 で あ る.   本 書 は 入 門者 に も,ま た 数 学 専攻 以 外 の 方々 に も親 しん で頂 け る よ うに,初 等 的 な 準備 の段 階 か ら始 ま って い る.そ して 徒 らに議 論 の 細部 に立 ち入 る こ と は避 け て,い ち早 く最 近 の興 味 あ る話 題 につ な が る よ うに し,一 貫 した理 論 の 紹 介 に な る よ う配慮 した つ も りで あ る.特 定 の章 に特 に興 味 を 持 た れ る読 者 の た め に は解 題 を 設 け て更 に 深 い研 究 に進 まれ る た めの参 考 に供 す る こ と とした. また全 体 の 流れ か ら幾 分 逸 脱す る と思 われ る話 題 は 最後 に付 章 と して それ らを 収 め て お いた.

  C.F. Gauss生

誕200年 祭 を 明年 に ひか え,彼 の名 を冠 した このGauss過

程

の研 究 が大 きな飛 躍 を 遂 げ,ま たそ の重要 さ の認識 が益 々深 め られ る こ とを期 待 し た い.   最 後 に,お 世 話 に な った紀 伊 國 屋 書 店編 集 部,特 に渦 岡 謙一,水 野寛 両 氏 に 深 く感 謝 の意 を 表 す る次 第 で あ る.

1976年2月

名古屋 にて 著

者

目

次

ま えが き

序

章

第1章  確 率論 に お け る基 本概 念 と極 限定 理 §1.1 確 率論 にお け る公 理 系 と確 率 変 数

  9

§1.2 確 率変 数(確 率 ベ ク トル)の 分 布 と特性 関 数

 11

§1.3 確 率 変 数 列 の収 束

  15

§1.4  独立 確 立 変数 の和 に関 す る極 限 定 理

  16

§1.5  条 件 付 平 均値 とマ ル チ ン ゲ ール

 17

§1.6  関 数 空 間上 の確 率 測 度(確 率 過 程 の構 成)  第2章 

Gauss型

21

確 率変 数 系

§2.1  Gauss型

確 率 変 数 系 の定 義

  25

§2.2  Gauss型

確 率変 数 系 の特 性

  28

§2.3  複 素Gauss型

確率変数系

 

§2.4  離 散 パ ラ メ ー タ ーGauss過

程,標

準表 現

§2.5  連 続 パ ラ メ ー タ ーGauss過

程―

特 にBrown運

第3章

  Gauss型

  37 動

  43

定 常過 程 とそ の表 現

§3.1  離 散 パ ラ メ ー タ ー 定 常 過 程 §3.2  定 常Gauss過

31

程 の ス ペ ク トル 表 現

  50  

56

§3.3  定 常 過 程 の 標 準 表 現Ⅰ(離 散 パ ラ メ ー タ ー の 場 合) 

60

§3.4  定 常 過 程 の 標 準 表 現Ⅱ(連 続 パ ラ メ ー タ ー の 場 合) 

68

第4章   Gauss過

程 の標 準 表 現 の一 般 論 と重 複 度

§4.1  ラ ン ダ ム 性 の 動 き

 

72

§4.2  標 準 表 現 と 重 複 度 §4.3  Gauss過

 74

程 と再 生 核Hilbert空

間

 

§4.4  標 準 表 現 お よび 非 標 準 表 現 の 例

  89

§4.5  予 測 理 論 へ の応 用

第5章

  93

  Markov性

§5.1  離 散 パ ラ メ ー タ ー 多 重Markov過

程

§5.2  連 続 パ ラ メ ー タ ー 多 重Markov §5.3  狭 義 多 重Markov過 §5.4  多 重Markov定

§5.6  T-正

Gauss過

  100 程

 

程 程

  125

程

  134

値性

  Gauss過

  144

程 の 同等性

§6.1  問 題 の 意 味 と定 式 化 §6.2  Gauss測

  151

度 の 同等 性 に 関 す る一 般 的 な定 理

§6.3  離 散 パ ラ メ ー タ ーGauss過 §6.4  Brown運

  152

程 の同 等 性

動 に 同 等 なGauss過

§6.5  一 般 のGauss過

 

159

程 の標 準表 現

程 と 同 等 なGauss過

 162

程 の標 準 表 現

§6.6  新 生 過 程 の 構 成 法

付

104  111

常Gauss過

§5.5  LevyのM(t)-過

第6章

84

 173   176

章  確 率 積分 とマ ルチンゲー ル §A.1  多 重Wiener積 §A.2  Wiener空 §A.3 Itoの

分

 181

間 に お け る マ ル チ ン ゲ ー ル とIto積

公 式 とGirsanovの

定理

分

 

187

  197

参考文献

  202

索

  206

引

序

章

  本 書 で 扱 うのは 時 間 とと もに変 化 し てい る ラン ダム な現 象(偶 然現 象 と も呼 ばれ る),す な わ ち確 率 過 程 で あ って,そ の中 で も特 に重 要 なGauss型

の場合

の数 学 的 な理 論 で あ る.   主題 に入 る前 に なぜGauss型 な らな い.ま ず,Gauss型

の確 率 過 程 が重 要 で あ るか を説明 しな け れ ば

確 率変 数 あ るい はGauss分

う.ラ ン ダムな 現 象 を数 値 で 記述 す る と きGauss分 18世 紀 末 のP.S.

Laplaceに

布 に つ い て考 え て み よ 布 に した が うよ うな 例 は

よる研 究 以来 数 多 く知 られ て き た こ とで,そ

の

分 布 の重 要 さの 認識 は歳 月 と とも に深 め られ て きて い る.詳 しい記 述 は 本 論 に 譲 る と して,こ こで は手 早 く直 観 的 な 把 握 をす る こ とに し よ う.C.F. の誤差 論(1821年)に

Gauss

よれ ば,小 さな誤 差 が 積 り重 な った とき,も し各誤 差 が

独 立 に現 わ れ るな ら ば,そ れ ら総 体 の 分 布 はGauss型

に な る とい う.こ の認

識 は極 め て重要 な発 見 で あ って,ラ ンダ ム な現 象 を も数 学 の 対 象 に く り込 む大 きな原 動 力 とな った.も

う少 し数 学 的 な記 述 を しよ う.各 観 測 の結 果 をXn,

 と しそれ らが 独立 な確 率変 数 とみ な され る もの とす る.同 種 の観 測 を く り返 す とす れ ば 各Xnが 同 じ分 布 に したが うと して よい(も ち ろんGauss型 は限 ら ない).そ れ らの平 均値 はm,分

と

散 は σ2と しさ ら に3次 の モ ー メ ン トも

有 限 で あ る場 合 を 考 え る.有 限和Sn=X1+X2+…+Xnを

規 格化 した も の,

す な わ ちSnか ら平 均値E(Sn)=n・mを

引 き去 り標 準 偏 差 

で 割 った も の

の分 布 はnが 大 きけ れば 十 分Gauss分

布 に近 い.こ の事 実 は経 験 的 に知 られ

て きた ことで もあ り,ま た この種 の議 論 は 中心 極 限 定理 と呼 ば れ て確 率論 にお

け る極 限 定理 の中 で 中心 的 な位置 を 占め て い る(第1章

§1.4で 詳 し く述 べ る).

この原 理 は古 くか ら知 られ て い た ことで あ りな が ら,現 在 で も なお興 味深 い研 究対 象 とな っ てお り,応 用 面 か らの期 待 も大 き い.   こ うして生 れ て きたGauss分

布 の統 計 的 性質 をみ てみ よ う.そ れ は直 線 全

体 の上 に分 布 して い て,密 度関 数

を も つ.も

ち ろ んmは

平 均 値,σ2は

分 散 で あ る.そ

れ で は この分 布 の別 な 成 因

も 探 り な が ら そ の 分 布 の 特 性 を ど う把 え た ら よ い か を 考 え て み よ う.  ⅰ) モ ー メ ン トに つ い て は,す わ りのn次

べ て の 次 数 に つ い て 有 限 で あ り,平 均 値 の ま

モ ー メ ン ト μnは

nが 奇数 の とき nが 偶 数の とき で あ る.ま た この分 布 は平 均値 に関 して対 称 で あ り,分 布 の形 態 の特 性 を示 す 歪 度(そ れ は 

で 定 義 され る), 尖度 

と も に0で

あ る.

 ⅱ) 指 数2の 安 全 な 分布 で,分 布 の重 畳(独 立 な二 つ の確 率 変 数 の和 の分 布 に 相 当す る)に 関 し て閉 じて い る.こ 数 系(第2章

の性 質 を と りあげ て,Gauss型

§2.1参 照)を 考 え る とき,そ

確 率変

の 中 で線 型 的 な演 算 が 自由 に行 え

る し,実 は この系 の線 型的 構 造 のみ が決 定 的 な も の とな って い る.こ の よ うな 事 実 は議 論 が簡 単 に な る とい うよ りは,む し ろGauss分

布 自体 が持 って い る

固 有 の基 本 的 性 質 と理 解 す べ きで あ ろ う.  ⅲ)  Gauss分

布 は誤 差な どの偶 然 現 象 のみ か ら生 ず る とす る のは 一 方 的 で

あ る.次 の よ うな 考 察 もで き る.n次

元球 面(半 径 は 

と して お く)上 の 一

様 分 布 を原 点 を通 る一 つ の直 線 の上 に射 影す る と き,得 られ た分 布 はnが 大 き けれ ばGauss分

布 に近 い.こ れ は統 計 力学 な どで よ く知 られ た事 実 で あ るが,

また解 析 学 の立 場 か らの この事 実 の認 識 は 重要 な こ とで あ る.Gauss分

布に

関 した 確 率 論 の話 題 と関 数 解 析学 や量 子 力学,統 計 力学 等 との深 い つ な が りが

見 られ る一 因 も上記 の性質 に よるも の と考 え られ る.ま た この ことは,Gauss 分布 を 有 限 区間 の上 の分布 で近 似す る と き一 つ の意 味 の あ る近似 法を 提 示 して い る と見 る こ とが で きる.  ⅳ) も う一 つ の大 切 な観 点 は応 用面 か ら与 え られ る.そ れ は歴 史的 事 実 だ け で は な く未来 に も向 け られ る.ラ ン ダ ムな現 象 をす べ てGauss分 し よ う とす るわ けで は な いが,多

くの偶然 現 象 をGauss型

布 の責 任 に

と仮 定 した り或 い

は それ で近 似 す る こ とに よ って新 た な展 望 が 開か れ る例 は応 用 面 に数 多 く見 ら れ る とこ ろで あ る.理 論 的 根拠 は 何れ 与 え られ るに もせ よ,Gauss分

布 が王

座 の位 置 を ゆ るぎな きも の とし てい る ことは 疑 う余 地 は な い.   な お,Gauss分

布 の特 徴づ けは第2章

§2.2で 行 うが,そ

れ と併 せ て上記

の よ うな考 察 を して お くこ とは,我々 の 目標 に対 す る研 究 手段 を探 る手 が か り ともな る も ので あ る.

  さて次 に 時 間変 数 をパ ラ メ ータ ーに もつGauss型 Gauss過

確 率変 数 系,す な わ ち

程 を 考 え よ う.そ れ は個々 の変 数 がGauss分

布 に した が うばか り

で な く,任 意 に有 限 個 の 時点 を と った と き同 時分 布 もや は り多次 元Gauss分 布 に した が うもの であ る.一 般 にGauss型

確 率 変数 系 の分 布 は 平 均 ベ ク トル

と共 分 散行 列 に よ って一 意 的 に決 定 され る(第2章

§2.1参 照).し た が って,例

えば 平均 ベ ク トル は0と した と き,共 分 散 行 列 の解 析 的(あ るい は代 数 的)性 質 のみ を研 究 すれ ば よい とす るの は早 計 で あ る.Gauss過 つ れ て変 化 して い くGauss型

程 は 時間 の動 きに

の ラン ダム現 象 が モ デ ル であ るが,そ の よ うな

現 象 の変 化 は到 底 共 分散 を見 た だ けで推 察 で き るも ので は な く,よ り深 い確 率 論 的 な洞 察 が必 要 で あ る.未 来 とか過 去 とか を考 慮 しな が ら時 間 が移 るに つれ て ラン ダム な従 属性 が時 々刻 々 と変 化 す る様 子 を 明確 に し な けれ ば な らな い. こ うい った解 析 をす るの に最 も強 力 な手段 とし て考 え られ るの は   1°)  まず 典型 的 で あ りか つ 基本 的 で あ る よ うなGauss過

程 を見 出 し,そ の

性 質 を詳 細 に調 べ,   2°) 一般のGauss過

程 を1°)で 定 め た過 程 を基 に して表 現 す る,

と い う方 法 で あ ろ う.   こ う 考 え た と き1°)に

該 当 す る も の は 第2章

な ら な い.こ

書 こ う.Brown運

れ をB(t)と

立 な 増 分 を も ち,そ

て こ れ は,時

動 に他

動 は 時 間 の推 移 に つれ て常 に 独

の 増 分 は 時 間 的 に も,ま

の よ う な 性 質 を も つGauss過

に 述 べ るBrown運

た 空 間 的 に も一 様 で あ る.ま

程 は 本 質 的 に はBrown運

たこ

動 に 限 ら れ る.そ

し

間 の パ ラ メ ー タ ー を 離 散 的 に し た と き 同 じ 分 布 に し た が う独 立 確

率 変 数 列 の 和 に 相 当 す る も の で あ る.   と こ ろ で,こ

のBrown運

動 と は1828年R.

Brownが

水 中 の花 粉 を 観 測 し

て い て 発 見 し た 微 粒 子 の 不 規 則 な 運 動 の こ とで あ っ た が,A. 年 に こ れ を モ デ ル に し て 数 学 的定 式 化 に 成 功 し た.そ Brown運

動 の 研 究 はP.

LevyやN.

Wiener等

多 くの 最 近 の 数 学 者 に よ っ てMarkov過 性 質,そ

の 後,確

率過 程 と して の

に よ っ て系 統 的 に 始 め ら れ,

程 と し て の 性 質,見

本 関 数 の 解 析的

の 他 の 精 細 な 事 実 に 到 る ま で 詳 し く調 べ られ て い る.

  こ の よ う に 基 本 的 で あ りま た よ く知 ら れ て き たBrown運 2°)の 立 場 に 移 る こ と を 提 唱 し た の はP. Gauss過

Einsteinは1905

程 

と 積 分 核F(t,u)と

Levyで

動を 基礎にして

あ っ た(1955年).彼

が 与 え られ た と き,Brown運

は

動 

を用 い て (Wiener積

分)

と表 現 す る こ とを 考 え た.も ち ろ ん この よ うな表現 は一 意 的 で は な いが,そ の 中 で標 準 的 な も のを 見 出 し,そ れ を用 い て{X(t)}の

性 質 を解 明 し てい こ う と

い うので あ る.こ の方 向 か らは標 準 表 現 の存 在 と一 意 性,Markov性

や定 常 性

な どの反 映 の しか た等 々重 要 な 問題 が 出 て くる.こ うい った 内容 こそ,本 書が 主題 とし て と りあげ た い事 柄 で あ る.

 以 上 で 我 々 の立場 は 明確 とな った.さ らに,本 書 の及 ば な か った と こ ろで は あ るが 応 用面 の こ とに触 れ な けれ ば な らな い.こ こで応 用面 とい うのは この理 論 の応 用 され る分 野 とい うよ りはむ し ろ理 論 そ の もの がは い りこん で い る守備

範囲 とい うべ きで あ ろ う.そ の分野 に貢献 す る 目的 だ けで な く,数 学 的 研究 を 剌 激 し課題 を提 供す る場 とし て眺 め なけ れ ば な らな い.そ うい った 分野 の代表 的 な もの を若 干 説 明 して お きたい.   信 号 の伝 達 や デ ー ター観 測 な どの場 合 に生 ず るノ イズ は,真 の値 をか き乱 す ラン ダム な 自然現 象 とし て周 知 で あ る.そ の よ うな ノ イ ズは 多 くの 場合Gauss 型 で あ り,ゆ ら ぐ振 幅 を も った単 振 動 を周 波 数 に つ いて一 様 な重 み で集 め た も の,す なわ ち ホ ワイ トノイ ズ にな って い る.さ らに通 信 の場 合 で い えば 送信 信 号 自体 が確 率過 程 とみ なす 立場 が あ り一 定 時 間 に どれ だ け新 しい ラン ダ ムな量 が 加 わ って い くかは 重 要 な観 点 とな る.第2章

で定 義 す る新生 過 程(innovation)

とい う言 葉 も この考 え方 か らす れ ば 理解 し易 い で あ ろ う.通 信 にせ よ,デ ー タ 観 測 にせ よ,現 時 点 ま でに 得 られ た資 料 を 元 に し て予測 した りフ ィル タ リン グ (filtering)を 行 う ことに な り,我 々が 議論 し よ う とす る標 準 表 現 の理 論 とは共 通 の問 題 が多 く,い つ も同 じ考 え方 の上 に立 っ てい る.   生 物 のモ デル に 移 ろ う.生 体 内 に お こるゆ らぎが 生物 の行 動 の中 に ラ ンダ ム な要 素 を与え た り,生 物集 団 の盛 衰 に は内 的 お よび外 的 な ラ ンダ ムな要 因 に大 き く支 配 され る こ とが あ る.こ うい った ゆ らぎ は数学 的 に 理 想化 し て記 述 す る と き,Gauss型

の ラ ンダ ムな変 数 と して表 わ され うる こ とが 多 い.こ

うし て

生物 あ るい はそ の集 団 の特 性量 が 時 間 と と もに移 っ てい く有 様 はGauss過 や そ の汎関 数 とし てモ デ ル化 され,Markov性

程

に対 す る示唆 を 与 えた り,定 常

過 程 の 典型 を 示 し て くれ る ので あ る.   さ らに大 切 な 方面 と して量 子 力学 へ の数学 的 アブ ローチ を忘 れ て は な らな い. 確 率 論 との深 い 関連 は 実 に多 様 で あ って,そ れ らを系 統 的 に位 置 づ け て言 う こ とは 不可 能 で あ る.量 子力 学 に対 して確 率 論 が果 す 役 割 は,古 典 力学 に対 し て 微 積分 が果 し た も のに 匹敵 す る と言 って も過 言 で はあ るま い.Gauss過 直 接 関係 した例 を と って い えば,場 の理 論 が あ げ られ る.Euclid自 定 常Gauss型Markov過

程 が対応 し,そ

程に

由場 に は

の見 本 関数 空 間 に よる この場 の美 し

い記 述 が な され る.さ らに一 般 化 され た場 では,高 次 の もの を含 め てMarkov 性 とか,T-正

値 性 な どの概 念 や 新 たな 視 点 を要 求 し,確

率 論固 有 の興 味 との

接 点 を見 出す ことが で きる.そ して こ こで も常 にGauss型が中

心 で あ る こと

に 注意 した い.本 書 の第5章 は この よ うな こ と も若 干 意識 して述 べ た つ も りで あ るが筆 が 足 りな か った こ とを遺 憾 に思 ってい る.意 の あ る と ころを汲 んで 頂 けれ ば幸 いで あ る.

  我 々が 述べ よ う と志 し て触 れ え なか った話 題 が二 つ あ る.そ の一 つ はGauss 過程 の見 本関 数 の性 質 で あ る.た とえ ば連 続 性 とか 一 定 の レベ ルを 通過 す る回 数 とか い った見 本関 数 の解 析 的 な性 質 に つ いて で あ る.い くらか の事実 は標 準 表 現 の理論 の応 用 として知 る こ とはで き るが,し か し詳 しい見 本関 数 の行 動 を 調べ るに はそ れ特 有 の 手法 もい くつ か あ り,ま た研究 の 目標 自体 も標 準 表 現 の それ とは 自ら趣 を異 に してい る.最 近 の話 題 に まで 及 ぼ うとす れ ば尨 大 な準備 も必 要 とな るの で,重 要 な課題 であ りなが ら こ こで は割 愛 せ ざ るを え なか った. 僅 か に第6章 でGauss測

度 の 同等 性 を論 ず る中 で一 つ の見 方 を 示 し えた に過

ぎな か った ことを残 念 に思 う次第 で あ る.   も う一 つ取 り残 した こ とは多 次 元 パ ラ メ ータ ーを もつGauss過 る.Gauss型

程 の話 で あ

確 率場 として量 子 力学 そ の他 で広 い応 用 を も持 つ 重要 な過 程 で

あ るに もか か わ らず こ こで と りあげ な か った のは,本 書 の一 つ の章 とす るには 余 りに も大 きな分 野 で あ る こと と,さ らに標 準表 現を 扱 う立 場 か らは 時 間 のパ ラ メー タ ーの1次 元的 な動 きを重 視す るた め本 書 の副題 に て らし て多 次 元パ ラ メ ータ ーの場 合 を と りあげ るのに若 干 の逡 巡 を感 じた か らで あ る.別 な機 会 が あれ ば是 非 論 じた い と願 うもので あ る.

  序章 の解 題   誤差 理 論 の最 初 の展 開 は,C.F.

Gauss(1809以

確 率論 に お け る業 績 に つ い ては,B.V. Gauss分

降)に よ って行 われ た.彼 の

Gnedenko(1960)に

布 の モ ー メン ト,特 性関 数 等 につ い て は,K.

の ひ と りに よるT. Hida(1975)§1.6お

要 約 され て い る. Ito(1976)お

よび著 者

よび §1.7に 詳 しい が,本 書 の理 解 の

た め に 必 要 な 事 柄 は,第3章 n次 元 球 面 のGauss分

に ま と め て お い た.P.

Levy(1951)の

布 へ の近 似 が 展 開 され て い る .ま た,T.

第3部

で,

Hida(1975)

の ま え が き に はBrown運

動 の 発 見 に は じ ま る歴 史 の 概 略 が 述 べ ら れ て あ る .

A. Einstein(1905)が,現

代 的 なBrown運

こ の 論 文 を 含 め て,和   ま たGauss過 (1979)が

動 の定 式 化 の発 端 を 与 え てい る.

訳 の選 集 が 発 行 され て い る(1971)

程 と場 の 理 論 と の 美 し い 結 び つ き に つ い て はB. Simon(1974),

適 当 な 解 説 書 と い え よ う.

  本 書 の 内 容の 論 理 的 構 成 を 示 す ダ イ ヤ グ ラ ム を,次 は,理

.

の ペ ー ジ に 掲 げ る.そ

解 す る順 序 を 考 え る と き の 指 針 に も な る で あ ろ う.

れ

本 書 の ダ イヤ グラ ム

第1章 

確 率 論 に お け る 基 本 概 念 と極 限 定 理

  本章 で は,以 下 の章 を通 じ て よ く用 い られ る確 率論 の基 本的 な概 念 を説 明 し, Ganss分 布 へ の 自然 な導 入 とし て 中心 極 限定 理 を述 べ て お こ う.詳 しい論 証 に つい ては,そ れ ぞれ 該 当 の 書を 参 照 し てい た だ きた い.またこ

こで 取 りあげ る

事 項 は,後 で 必要 にな る こ とだ けに 留 めた.

  §1.1.  確 率論 にお け る公 理 系 と確 率 変数   確 率 論 の基礎 は,現 在で はH. る.それ は,A.N.

Lebesgueに

Kolmogorovの

よ る積 分 論 に基 い て定 式 化 され

考 え に よ るので あ るが,そ れ に よ って古 くか

ら行 われ てい た極 限 定理 や 条件 付 確 率 の概 念 が 明確 にな った.確 率 は,確 率空 間(全 測度 が1の 測 度 空 間)を 基 に して考 え られ る.こ れ を 定義 す るた め に, まず 集合Ω を1つ 与 え る.Ω の部分 集 合 か らな る族Bで 次 の条件 をみ たす もの を完 全 加法 族(ま た は σ-加法族)と い う:   (B.1) Ω ∈B. ならば

 (B.2) 

及び   (B.3)    Bの

B∈Bな

各 集 合Bに

空 間(Ω,B)に   (P.1)  (P.2)

ら ば,Bc=Ω-B∈B. 対 して,値P(B)が

与 え られ た 確 率 測 度 と い う:

任 意 のB∈Bに Bn∈B 

定 ま り次 の 条 件 を み た す と き,Pを

対 し て,

(n=1,2,…)が

互 に 素 

な ら ば,

可測

及び   (P.3) 

P(Ω)=1.

  以 上に よ っ て 定 ま る 組(Ω,B,P)を を,集

合Ω に 構 造B及

こ と も あ る.古 Bの

びPが

確 率 空間 と い う.確 率 空 間(Ω,B,P)

付 与 さ れ た こ と を 強 調 し て,Ω(B,P)と

くか ら の よ び 方 に 従 っ て,各B∈Bを

確 率 とい う こ と も あ る.事

ちBi(i=1,2,…)が,互

象BcはBの

事 象B,P(B)を

余 事 象 で あ る.ま

に 素 で あ る と き,そ

書 く 事象

た,事

象 た

れ らは互 に排 反 で あ る と も い

う.   さ て,2つ き,事

の 事 象AとBに

象AとBは

対 し て,P(A∩B)=P(A)・P(B)が

互 に 独 立 で あ る と い う.よ

Bi(i=1,2,…)が

与 え られ た と き,任

な りた つ と

り一 般 に,多

意 のnに

く の 事 象(事

象 系)

対 し て,

(ikは 互 に異 な る よ うに 選 ぶ) が な りた つ と き,こ   わ れ わ れ が,こ で あ るが,他

れ ら の 事 象Biは

こ で 導 入 した 確 率 空 間(Ω,B,P)は,全

に もLebesgue積

い て しば し ば 転 用 され る.確 素)数 値 可 測 関 数X(ω)を

で 定 義 さ れ た(実 た(有

値(ま た は ベ ク トル 値)確

動 き に つ れ て,ラ

よ び,簡

数 ま た は,そ

元ベ

の 部分 集 合 たは 確 率

率 過 程 と い う.つ

の よ うに 書 く こ と に し よ う.Tと

合 に よ っ て は,確

単 にE(X)と

ま た は 複

限 ま た は 無 限)次

3,…},{…,-1,0,1,2,…},(-∞,∞),[0,∞),[0,1]な

 確 率変 数X(ω)が

率論 にお

ま り,

ン ダ ム性 が 変 化 す る過 程 が 記 述 さ れ る の で あ る.今 後,

確 率 過 程 を 

が 多 い,場

測 度空間

パ ラ メ ー タ ー と す る確 率 変 数X(t,ω)(ま

ベ ク トルX(t,ω))を,数 t∈Tの

率 空 間(Ω,B,P)上

確 率 ベ ク トル と い う.実

す る と き,t∈Tを

測 度1の

分 論 に お い て使 用 され る 概 念 が,確

確 率 変 数 と い う.ま

ク トル 値 可 測 関 数,X(ω)を をTと

互 に 独 立 で あ る と い う.

し て{1,2,

どを考 え る こ と

率 過 程 自 身 を 確 率 ベ ク トル と み な す こ と も あ る.

の 平均 値 と

可 積分 で あ る とき,  書 く.ま たX(ω)が 

乗 可 積 分 で あ る と き,   を,X(ω)のp次

のモーメン ト

と い う.な p=2の

お,p乗

と き,2次

散 と い い,V(X)と 考 え る.例

可 積 分 な ら,可

積 分 で あ る こ と に 注 意 し て お こ う .特

の モ ー メ ン トE[￨X-E(X)￨2]=E(X2)-E(X)2をXの 書 く.確 率ベ ク トルX(ω)の

i,j=1,2,…)を

対 し て,ベ

ク ト ルE(X)=

平 均 ベ ク トル,V(X)=E({Xi-E(Xi)}・{Xj-E(Xj)}); 共 分 散 行 列 と い う.こ

ト行 列 で あ る こ と に 注 意 し て お く.確

こ で,共

対 し て,事 象Bi∈Biを

が 互 に 独 立 な らば,σ-加

分 散行 列 は 非負 定値 エ ル ミ ッ

率 過 程 の と き は 共 分 散 関 数 と よぶ.

  独 立 性 の 概 念 を も う少 し一般 化 し よ う.σ-加 Bi(i=1,2,…)に

分

場 合 に は成 分 毎 に これ ら の 量 を

え ば,X(ω)=(X1(ω),X2(ω),…)に

(E(X1),E(X2),…)を

に

法 族Bの

部 分 σ-加 法 族 の 系

任 意 に選 ぶ と き ,Bi(i=1,2,…)た

法族Bi(i=1,2,…)が

ち

互 に 独 立 で あ る とい う.さ ら に,

こ れ に な ら っ て,確 率 変 数 の 独 立 性 を 定 義 し て お く と便 利 で あ る:{Xi(ω); i=1,2,…}を B(Xi)と

確 率 変 数 列 とす る.各Xi(ω)の

した と き,Bi(i=1,2,…)た

(i=1,2,…)た …)に

ち は,互

張 る 最 小 の 部 分 σ-加 法 族 をBi=

ち が 互 に 独 立 で あ る と き,確 率 変 数Xi(ω)

に 独 立 で あ る と い う.確 率 ベ ク トル 列{Xi(ω);i=1,2,

対 して も 同 様 に 独 立 性 が 定 義 で き る .Lebesgue積

分 の定 義 か ら,直 ち

に 次 の 命 題 が 導 か れ る.   命 題1.1. 

確 率 変 数Xi(ω)(i=1,2,…)た

ち が,互

に 独 立 な ら ば,そ

を 成 分 とす る 確 率 ベ ク トルX(ω)=(X1(ω),X2(ω),…)の

れ ら

共 分 散行 列 は対 角

型 で あ る.

  §1.2.  確 率 変 数(確

率 ベ ク トル)の

  まず 実 数 値 確 率変 数X(ω)を 数 直 線Rへ

分 布 と特 性 関 数

与 え よ う.こ

の 可 測 写 像 で あ る か ら,RのBorel集

{ω;X(ω)∈ Γ}は 事 象 で あ る(σ-可 測 族Bに か れ るR上

のR上

  (1.1) 

合 Γ に 対 し て,Ω 属 す).従

の 確 率 測 度Φ(Γ)=P{ω;X(ω)∈Γ}が

っ て 改 め て 確 率 空 間(R,Σ,Φ)が る.こ

の と きX(ω)は(Ω,B,P)か

確 定 す る が,こ

定 義 さ れ る.こ

の 測 度 Φ をXの 分 布 と い う.ま F(x)=Φ((-∞,x])

っ て,X(ω)に

た,

こでΣ

はBorel集

ら実 の部 分 集 合 よっ て 導 の Φに よ 合族 であ

に よ っ て 定 義 さ れ る関 数FをXの   (F.1) 

右 連 続(実

際,Fの

  (F.2) 

単 調 非 減 少,

分布 関 数 と い う.分 定 義(1.1)で

布 関 数Fは,

右 に 閉 じ た 区間 を 使 っ た か ら),

及び   (F.3) を み た す.逆

に,(F.1)∼(F.3)を

確 率 測 度 Φ が 唯1つ

定 ま り,確

  測 度Φ がLebesgue測

率 空 間(R,Σ,Φ)が

存 在 す る が,こ

定 義 さ れ る.

定 理 を述 べ て お こ う:

定 理   可 測 空 間(Ω,B)上

考 え る.任 意 のA∈Bに

の2つ

対 し て,μ(A)=0がμ(A)=0を

べ て のA∈Bに

が な りた つ.関 数f(ω)は Nikodymの

の 測 度 μ及 びμ

を

引 き おこ す と き(言

い か え れ ば 測 度μ が μ に 対 し て 絶 対 運 続 で あ る と き),B-可 が 存 在 し て,す

み た す

れ を 分 布Φ の 密 度 関 数 と い う.

三 使 う の でRadon-Nikodymの

  Radon-Nikodymの

与 え る と,(1.1)を

度 に 関 し て 絶 対 連 続 で あ れ ば,Radon-Nikodymの

意 味 の導 関 数f(x)=F′(x)が 念 の た め に,再

み た す 関 数Fを

測 な 非 負 関 数f(ω)

関 して

μ-測 度0を

除 い て 唯1つ

定 ま る.こ のf(ω)がRadon-

導 関 数 で あ る.

  分 布 Φ に対 し て,Fourier-Stieltjes変

換

 (1.2)

に よっ て 定 ま る 関 数 φ(z)を

分 布 Φ(ま

(characteristic

い う.Φ が 確 率 変 数Xに

function)と

φ(z)=E(eizX), 

た は 分 布 関 数F)の

特 性 関 数

対 応 す る 分 布 と す る と,

z∈R

で あ り,こ れ をXの 特 性 関 数 と い う こ と も あ る.(X(ω)が

確 率変 数 で あ る か

らeizX(ω)は複 素 数 値 確 率 変 数 で あ る こ と に 注 意 し よ う.)φ(z)は

次 の性質 を

み た す:   (C.1) 

正 定 値 性:任

意 個 のz1,…,zn∈Rと

α1,…,αn∈Cに 対 し て,

  (C.2) 

zに つ い て一 様 連 続,

及 び   (C.3) 

φ(0)=1.

  定 理1.1.(S.

Bochner) 

と な る 確 率 測 度 Φ が,可

(C.1)∼(C.3)を

測 空 間(R,Σ)上

み た す 関 数 φ(z)に 対 し て,

に 定 ま る.

具 体 的 に は,次

の 定 理 に よ っ て 対 応 φ→ Φ が 明 確 に な る.

  定 理1.2.(P.

Levyの

が な りた つ.た

だ し

反 転 公 式)φ

を 分 布 Φの 特 性 関 数 と す る と,

また は

とす る. 以 上 に よ り, 

が 互 に1:1対

  分 布 列 Φn(n=1,2,…)が

応 を 与 え る こ とが わ か っ た.

あ っ た と き,こ

と を 意 味 す る こ とに し よ う:各f∈C0={f;fは

に対 して,積 分 

が 

れ が 分 布 Φ に 収 束 す る とは 次 の こ 連 続 で  に 収 束 す る.こ

の こ とを対応

す る特 性 関 数 φn(z),φ(z)を 使 っ て 言 い かえる こ とが で き て 次 の 定 理 が な りた つ.   定 理1.3.(P.

Levy,

V. Glivenko) 

性 関 数φn(z)は

φ(z)に 広 義 一 様 収 束 す る.

  2)  分 布 Φn(n=1,2,…)の す れ ば,φ(z)も

1)  分 布 列 Φnが Φ に収 束 す れ ば,特

特性 関 数 φn(z)がz=0の

近 傍 でφ(z)に 一 様 収 束

あ る分 布 Φ の 特 性 関 数 で あ り,分 布 列 Φnは Φ に 収 束 す る.

  以 上,本

節 で 述 べ て 来 た こ と は,そ

で き る:r(<∞)次 但 しAはr次 (Rr,Σ,Φ)が

の ま ま有 限 次 元 の 実 確 率 ベ クト ル に 転 用

元 の 確 率ベ ク トルX(ω)に

元 空 間RrのBorel集 定 ま る.こ

で 定 義 さ れ,(F.1)及

よ っ て,Φ(A)=P(ω;X(ω)∈A),

合 とす る,と

お け ば,あ

らた に 確 率 空 間

の と き分 布 関 数Fは

び(F.2)が

各xk(k=1,…,r)に

つ い て な り た つ.(F.3)は

 (F.3′)

及 び 各kに 対 して,xk以

外 の座 標 を 固定 した とき

 (F.3″)

とな る.   特 性 関 数 に つ い て は,パ

とす れ ば よい.定

ラ メ ー タ ーをz=(z1,…,zr)∈Rrとし

理1.1∼1.3に

相 当 す る こ と が な りた つ が,特

て,

に 定 理1.2に

お け る 反 転 公 式 は,

  確 率 ベ ク トル の 独 立 性 と特 性 関 数 の 関 係 を 与 え る 次 の 定 理 は 重 要 で あ る.   定 理1.4. Xk(ω)  (次 元 はkご 条 件 は,任

以 上 は,1次

(k=1,…,n)を

と に 異 な っ て い て よ い).こ 意 のzk∋Rrk(k=1,…,n)に

そ れ ぞ れrk次

元 の 確 率 ベ ク トル とす る

れ らが 互 に 独 立 で あ る た め の 必 要 十 分 対 して,次

式 が な りた つ こ と で あ る.

元 及 び 有 限 次 元 の 確 率 ベ ク トル に つ い て 述 べ た の で あ る が,こ

れ

らのこ と を 無 限 次 元 の 確 率 ベ ク トル に ま で 拡 張 し よ う とす る と よ り詳 細 な 議 論 が 必 要 に な る.こ

の事 実 は,無

反 映 し て い る の で あ る.こ

限 次元 空 間 の積 分 論 を展 開す る と きの困 難 さを

の こ と につ い て は §1.6に

お い て 特 に確 率 過 程 に関

連 し た 場 合 に 必 要 な 範 囲 に 限 っ て 述 べ る こ とに す る.

  §1.3.  確 率 変 数 列 の 収 束   確 率 変 数 列 に つ い て は,種々 わ け る が,そ   A) 

の 意 味 の 収 束 が 定 義 さ れ る.必

れ ら の 相 互 関 係 が ま た 重 要 で あ る.

確 率 変 数 列Xn(ω)(n=1,2,…)に

対 応 す る 分 布 列 Φn(n=1,2,…)が

X(ω)の 分 布Φ に 収 束 す る と き,Xn(ω)はX(ω)に   B)  確率 変 数 列Xn(ω)(n=1,2,…)が,ほ に 収 束 す る と き,Xn(ω)はX(ω)に う.こ

と ん ど す べ て の ωに 対 し てX(ω)

(a.e.P)と

  C)  任 意 の ε>0に

びX(ω)にp次

が な りた つ と き,Xn(ω)はX(ω)にp次

はlimit

in the

書 く.

の モー メ ン トが あ って

平 均 収束(ま た はLp-収

に 平 均 収 束 と い い,  meanの

て 特 に 重 要 で,そ

収 束 す る)と い

確 率 収 束 す る と い う.

と し て,Xn(ω)及

と き,単

た は 確 率1で

対 して

が な りた つ と き,Xn(ω)はX(ω)に

p=2の

法 則 収 束 す る と い う.

概 収 束 す る(ま

の と き, 

  D) 

要 に 応 じて使 い

意 味 で あ る.こ

の理 由 は 第2章

の 収 束 はGauss過

束)す

る と い う.

と 書 く.こ

の記 号

程 の研究 に お い

で 明 確 に な る で あ ろ う.

  これ ら の 収 束 の 間 の 相 互 関 係 が 次 の 定 理 で 述 べ ら れ る.   定 理1.5. 

1°)  Xn(ω)がX(ω)に

  2°)  確 率 収 束 す れ ば,法則   3°)  Lp-収 束    4°) 

の と き,Lp-収

概 収 束 す れ ば,確

収 束 す る.

す れ ば,確

率 収 束 す る.

束 す れ ばLq-収 束 す る.

率 収 束 す る.

  5°)  確 率 収 束 す れ ば,確

率 変 数 列Xn(ω)(n=1,2,…)か

ら,適

当 な 部 分

列 を とっ て 概 収 束 さ せ る こ とが で き る.

  §1.4.  独 立 確 率 変 数 の 和 に 関 す る 極 限 定 理   独 立 確 率 変 数 列Xk(ω)(k=1,2,…)を1つ

と し て,そ

のn→

与 え よ う.そ

のn部

分和 を

∞ と し た と き の 行 動 に つ い て 知 ら れ て い る こ とを ま と め て お

く.   命 題1.2. 

1°)(Tchebychevの

  2°)  (Kolmogorovの

不 等 式)確

  定 理1.6.(大

  定 理1.7.(大

率 変 数Xk,(k=1,2,…)が

1°)の 不 等 式 を 使 っ て,次

2°)の

互 に 独 立 で,分

意 の ε>0に

独 立 確 率 変 数 列 でE(Xk)=mk,

対 して

不 等 式 を 使 え ば,次

の 定 理 が 導 か れ る.

数 の 強 法 則   Xk(k=1,2,…)が

mk, 

有 限 の と き,

の 定 理 が 導 か れ る.

数 の弱 法 則)Xk(k=1,2,…)が

 と す る と,任

  命 題1.2 

分 散V(X)が

とす る と,

散 は有 限 とす る. 

  命 題1.2 

不 等 式)X(ω)の

とす る.こ

独 立 確 率 変 数 列 で,E(Xk)=

の と き,

(a.e.P). 一 言 付 け 加 え て お く と,弱 法 則 は 確 率 収 束 を,強 し て い る の で あ る.定

法 則 は よ り強 く概 収 束 を 主 張

理1.7は 次 の 形 に 詳 し くす る こ と が で き る.

  定 理1.7′.  定 理1.7と 同 じ 仮 定 の も とで,任

意 の ε>0に

対 して

(a.e.P)

(1.3) 

が な りた つ.   〔注意 〕 定 理1.7′よ り精 密 な重 複 対数 の法則 が 知 られ てい る.   次 の 定 理 は,確

率 論 で よ く現 わ れ る 典 型 的 な 法 則 収 束 の 例 で あ る.条 件 は よ

り弱 め られ る が,こ

こ で は 比 較 的 簡 明 な 場 合 に つ い て 述 べ る.

  定 理1.8.(中

心 極 限 定 理)  Xk(k=1,2,…)が

し 平 均 値mk,分

散Vk及 び3次

独 立 確 率 変 数 列 で,各kに

モ ー メ ン トCk=E{￨Xk-mk￨3}が

対

存 在 す る と き,

及び

の 分布 は 標準 正 規 分布 に収 束す る:

な ら ば, 

  Xkを

す べ て 同 じ 分 布 と し た と き,定

と き の 行 動 を 示 し て い る.古 の 定 理 は,定

理1.8の

た と お り,Gauss分

理1.8は(1.3)に

典 的 なBernoulli試

お い て ε=0と

した

行 に 対 す るGauss-Laplace

特 別 な 場 合 で あ るが 応 用 上 も 大 切 で あ る .序 章 に も述 べ 布 が 確 率 論 に お け る 中 心 的 な 役 割 を 果 す 由 縁 の1つ

は,こ

の 古 典 的 な 定 理 に 現 わ れ て い る と言 え る.

  §1.5.  条 件 付 平 均 値 と マ ル チ ン ゲ ー ル   条 件 付 平 均 値 はRadon-Nikodymの

定 理 を 使 って 定 義 さ れ る.そ

の方 法 を

述 べ て お こ う.   定 理1.9. 

(Ω,B,P)を

度 μ(A)(A∈B)を  族 と し,測

度 μをB上

確 率 空 間 と し よ う.可

積 分 関 数f(ω)に 対 し て,測

で 与 え る.BをBの に 制 限 し た も の をμ と 書 け ば,B∈Bに

部 分 σ-加法

対 し て,

 (1.4)

を み た すB-可

測 関 数g(ω)が

  実際 は,確

存 在 す る.

率 測 度PをBに

れ ば よい.B上

制 限 し てRadon-Nikodymの

の 測 度 と し てμ はPに

  定 義1.1. 

上 の(1.4)で

平 均 値 と よ び,E(f￨B)と =1(ω∈A);=0(ω

書 く.f(ω)が

∈ Ω-A))の

生 成 さ れ る も の で あ る と き,E(f￨B)を 干 付 け 加 え て お け ば,Bが

件 付 平 均 値 は,確   命 題1.3. 

率1で

関 す る条件 付

特 に 事 象A∈Bの

定 義 関 数(f(ω)

と き ,対 応 す るg(ω)をAのBに

書 く.特

通 常 の 確 率,平

す

関 し て 絶 対 連 続 と な る か ら で あ る.

定 ま った 関 数g(ω)をf(ω)のBに

件 付 確 率 と よ び,P(A￨B)と

と も あ る.若

導 関 数 をgと

にBが.確

関す る 条

率 変 数 系{Xi;i=1,2,…}で

直 接E(f￨X1,X2,…)の 特 に{φ,Ω}の

よ うに 書 く こ

と き,条 件 付 確 率 や 条

均 値 に 一 致 す る.

条 件 付 平 均 値 は 次 の 性 質 を 持 つ:

  1°)  a,bを 定 数 と し て,

  2°) 確 率 変 数 列fn(ω) が もE(f￨B)に   3°) Bの2つ る.こ

単 調 増 大 でf(ω)に 概 収 束 す れば,E(fn￨B)

概 収 束 す る. の 部 分 σ-加法 族B1とB2の

間 に 包 含 関 係B1⊃B2が

あ る とす

の と き,

  (1.5) 

E[E(f￨B1)￨B2]=E(f￨B2).

  4°) 部 分 σ-加法族B1とB2が

互 に 独 立 な ら ば,B1-可

測 な 関 数f1(ω)に

対

して E(f1￨B2)=E(f1) が な りた つ.   5°) f2(ω)がB-可

測 な ら ば, E(f1f2￨B)=f2・E(f1￨B)

が な りた つ.   [注 意]  命 題1.3に お け る等 式 は,確 率1で な りたつ.概

収 束 に な ら っ て"概 等 式"

とで もい うべ き もので あろ う.以 後,概 等式 で あ る こ とを強 調 す る とき は,記 号a.e.P を 付 す.   条 件 付 平 均 値 を 直 接 そ の 構 造 に 反 映 し た マ ル チ ン ゲ ー ル と よ ば れ る確 率 過 程 が,以

下 の 議 論 を 通 じ て よ く使 わ れ る.

  定 義1.2. 

確 率 変 数 列{Mn(ω);n=1,2,…}と

族 の 増 加 列{Bn;n=1,2,…}が

σ-加 法 族Bの

与 え ら れ て,次 の 条 件(M.1)∼(M.3)を

満足す

散 パ ラ メ ー タ ー)マ

ル チ ンゲ ー

る と き,組M={Mn,Bn;n=1,2,…}を(離 ル(martingale)と

い う:

  (M.1) 

MnはBn-可

  (M.2) 

E(￨Mn￨)<∞, 

  (M.3) 

E(Mn￨Bm)=Mm, 

な お,(M.3)に

部 分 σ-加 法

測, 

n=1,2,…, n=1,2,…, n>m 

(a.e.P)

お け る等号 が 不 等 号  (ま た は  )に 代 っ た と き,劣(ま

た は 優)

マ ル チ ン ゲ ー ル と い う.   [注 意1] 

マ ル チ ン ゲ ー ルMは 確率 過 程 で あ るが,σ-加法 族 の 増加 列{Bn;n=1,2,…}

が 重 要 な 役割 を 果 す ので,M={Mn,Bn;n=1,2,…}と   [注 意2] 

書 くこ とにす る.

こ こで は,時 間 のパ ラ メー ターが 自然数N={1,2,…}を

動 く とき に定 義 し

た が,全 順 序 集 合Tな ら何 で も よ い:T=N∪{∞}={1,2,…,∞},T=[0,∞),T= (-∞,∞),T=[0,1]な

どの場 合 が 本 書 で は よ く現 わ れ る.時 間 パ ラ メー ターが 連 続

の 場 合 は付 章 で 詳 述 す るで あろ う.   マ ル チ ン ゲ ー ル の 例 を い くつ か あ げ よ う:   [例1] 

f(ω)をE(￨f￨)<∞

を み た す 確 率 変 数 とす る.Bの

の 増 大 列{Bn;n=1,2,…}を1つ

部 分 σ-加法 族

与 え る と,Mn(ω)=E(f￨Bn)と

M={Mn,Bn;n=1,2,…}は

マ ル チ ン ゲ ー ル で あ る.こ

お い て,

の よ う に,あ

る確 率 変

数f(ω)の 条 件 付 平 均 値 の 系 列 か ら な る マ ル チ ン ゲ ー ル を 特 に 正 則 な(regular) マ ル チ ン ゲ ー ル と い う.   [例2] 

{Xn(ω);n=1,2,…}を

Bn=Bn(X)=(X1,…Xnの

平 均 値0の

 に よ るS={Sn,Bn;n=1,2,…}は

 [例3] 

独 立 確 率 変 数 列 と し よ う.ま

張 る 最 小 の σ-加法 族)と す る.こ

マ ル チ ン ゲ ー ル{Mn,Bn;n=1,2,…}に

の と き,部

マ ル チ ン ゲール

対 し て.凸

た

分 和

で あ る.

関 数f(x)にMn

 

を 代 入 し て で き るf(M)={f(Mn),Bn;n=1,2,…}は な る.こ

の こ と は,Jensenの

  定 義1.3. 

不 等 式 に よ っ て わ か る.

自 然 数 の 値 を と る 確 率 変 数 τ(ω)と,部

{Bn;n=1,2,…}が

あ っ て,任

る と き,τ(ω)は{Bn}に 時 点(Markov

分 σ-加法 族 の 増 加 列

意 のnに対 し て 集 合 がBnに

関 し て 停 止 時 点(stopping

time)で

 命 題1.4 τ(ω)及 って, 

劣 マ ルチ ンゲ ー ル に

time)ま

た はMarkov

あ る と い う.

び σ(ω)が共 に{Bn;n=1,2,…}に

が 確 率1で

属 す

関 す る停 止 時 点 で あ

な りた つ とす る.M={Mn,Bn;n=1,2,…}が

マ ル チ

ン ゲ ー ル で あ れ ば,

(a.e.P)

 (1.6) 

が な りた つ.た

だ し,a∧b=min{a,b},Bn∧

σ は 部 分 σ-加法 族 

と す る.   [注 意]  (ⅰ) σ が 停 止時 点で あ れ ば,σ∧nも 停 止 時 点 で あ る. (ⅱ)  一 般 に停 止 時 点 σに 対 して, 

と お く.

  (ⅲ)  命題1.4に お いて,M={Mn,Bn;n=1,2,…}が (1.6)の 等 号が 

劣(優)マ

ルチ ン ゲ ール な ら ば,

に な る.

マ ル チ ン ゲ ー ル は 独 立 確 率 変 数 の 和 の 一 般 化 に な っ て い る が,次 はKolmogorovの

不 等 式(命

  定 理1.10.(Doobの ル)と

す る.各Nと

題1.22°))の

不 等 式)  Mを 各 λ>0に

に 述 べ る定 理

マ ル チ ン ゲ ー ル へ の 拡 張 で あ る.

マ ル チ ン ゲ ー ル(ま た は 劣 マ ル チ ン ゲ ー

対 して 不等 式

及び

が な りた つ.但

し,M+N=max{MN,0}と

  マ ル ン チ ン ゲ ー ル に つ い て は,n→

す る. ∞ と し た と き の 行 動 が 特 に 重 要 で あ る.

そ れ に 関 し 以 後 よ く使 う結 果 を あ げ よ う.

定 理1.11. M={Mn,Bn;n=1,2,…}を

マ ル チ ン ゲ ー ル と す る と,

な らば,確 率1で 極 限値

で あ る. 

が 存在 す る.   この定 理 に関 す る次 の系 は,第6章

にお け るGauss過

程 の 同等 性 の問 題 を

論 ず る と きに有 効 で あ る.   系   Mを 正 則 な マル チ ン ゲ ール とす る(例1参

照).こ

の と き,確 率1で 極

限値  (1.7)

が 存 在 し て,M∞ ル に な る,但

再 びマル チ ンゲ ー

し,B∞=σ{Bn;n=,1,2,…}=(す

の σ-加法 族)で Mが

を 加 えたM={Mn,Bn;n=1,…,∞}も

あ る.逆

に,マ

べ て の 

ル チ ン ゲ ールMに

マ ル チ ン ゲ ー ル で あ れ ば,Mは

対 し て 極 限(1.7)が

存 在 し て,

正 則 で あ る.

  〔注意 〕 Mが 正 則 で あれ ば,Mn=E[f￨Bn](n=1,2,…)を が 存 在す るが,も ち ろ んM∞=E[f￨B∞]で

を含 む 最 小

み たす 確 率変 数f=f(ω)

あ る.

 §1.6. 関数 空 間上 の確率 測 度(確 率 過程 の構 成)   §1.1に お いて 述 べ た よ うに,確 率過 程{X(t,ω);t∈T}は,全

順 序集 合T

を パ ラメ ータ ーに もつ確 率変 数 の系 で あ るが,各 ω∈ Ωを 固定 して みれ ば(各 見 本 ωを 取 り出 して みれ ば)そ れ は定 義域Tを

動 く関 数 で あ る.言 いか えれ ば,

RTの 要 素 で あ る.従 って対 象 とす る確 率 過 程 の(数 学的)実 在 性 を問 わ れ た と き,そ れ に答 え るに は,特 にΩとし てRTを 率 測度Pを

と り,そ の あ る σ-加法族B上 に確

作 り,そ の有 限 次元 分 布 を{X(t,ω)}の

そ れ と一 致 させ る こ とが

で きれ ば十 分 で あ る.も ちろ ん,そ の特別 な場 合 と して,独 立 確 率 変 数 の和 や マ ルチ ン ゲー ル のn→ ∞ と した 時 の行 動 を 記 述す るた め に はRN(Nは 体)上

の確 率 測 度 を考 えれ ば十 分 な ので あ る.

自然 数全

  ま ずRTの RTの

σ-加法 族 を 設 定 す る こ とか ら始 め る.Tを

部 分 集 合Aが

上 のBorel集

合Bが

筒 集 合 で あ る と は,n(<∞)個

変 域 とす る実 数 値 関 数

のti∈T(i=1,…,n)とRn

存 在 し て,

(1.8) と表 現 さ れ る こ と を 言 う.も

ち ろ んAに

対 し て 右 辺 に 使 うn,ti,Bの

選 び 方

は 一 意 的 で は な い こ と に 注 意 し よ う.筒 集 合 の 全 体 を 含 む 最 小 の σ-加 法 族 を BTと

書 く こ と に し よ う:ま

た,固

定 し たti∈T(i=1,…,n)に

の 形 の 筒 集 合 の 全 体 はBTの 部 分 σ-加法 族 で あ る が,こ 集 合{t1,…,tn}が{t′1,…,t′m}に

対 し て(1.8)

れ をB(t1,…,tn)と 書 こ う.

含 ま れ て い れ ば,B(t1,…,tn)⊂B(t′1,…,t′m)で あ

る.   定 理1.12.(A.N.

Kolmogorov) 

て お り,各ti∈T(i=1,…,n)を 確 率 測 度 で あ る と す る.こ て,筒

集 合Aに

各 筒 集 合Aに

の と き,BT上

対 し て は μ(A)=μ0(A)と

  この こ とか ら,確

対 し て,実

数 μ0(A)が

対応 し

固 定 し た と き μ0は σ-加法 族B(t1,…,tn)の

上の

の 確 率 測 度 μを 構 成 す る こ とが で き な る よ うに で き る.

率 空 間(Ω,B,P)上

の 確 率 過 程X={X(t);t∈T}が

与えら

れ る と,筒 集 合 上 の 測 度 μ0を

但 しAは(1.8)の

形 の 筒 集 合 とす る,に

よ っ て 定 義 す れ ば,(RT,BT)上

測 度 μが 導 び か れ る こ と が わ か った.こ トル の 場 合 に 習 っ て,確 分 布)と

率 過 程Xに

の 確 率 測 度 μ を,有

よ っ てRTに

の確 率

限次 元 の確 率 ベ ク

導 入 さ れ た 分 布(ま

た はXの

い う.

  逆 に,有

限 次 元 分 布 の系M={μ(t1,…,tn);(t1,…tn)はTの

有 限 部 分 集 合}

が 前 も っ て 与 え られ て い る と し よ う.{t1,…,tn}が{t′1,…,t′m}の と し て,(こ

の と き 例 え ばt1=t′1,…,tn=t′n(n<m)と

部分 集 合

考 え て よい.)両 BはRnのBorel集

 (1.9) 

立 条件 合

個 

を み た す な らば,(1.8)の μ0が 定 義 で き る.こ

形 の 筒 集 合A上に

の こ とか ら,定

理1.12に

μ0(A)=μ(t1,…,tn)(B)と よ っ て(RT,BT)上

して ,

の確 率 測 度

μが 構 成 され て,μ0の   定 理1.13.(構 (RT,BT)上

拡 張 に な っ て い る こ とが わ か る.

成 定 理)  有 限 次 元 分 布 の 系Mが

条 件(1.9)を

み た せ ば,

の 分 布 が μ で あ る よ うな 確 率 過 程X={X(t);t∈T}が

実 際,Ω=RT,B=BT,P=μ

と し て,X(t,ω)=x(t),x=ω

  確 率 過 程 の 研 究 で は,し

存 在 す る.

∈Ω,と お け ば よ い.

ば し ば 各 見 本 ω∈Ω に 対 し てX(t,ω)の

詳 し い 性 質 が 求 め られ る.と

連続 性 な ど

こ ろ がT上 の 連 続 関 数 全 体C=C(T)はRTの

可 測 で は な い 

し か し,Cの

μ に よ る外 測 度 が1で

中で あれ ば,C

の 筒 集 合(A={x∈C;(x(t1),…,x(tn))∈B},BはRnのBorel集合)か 成 さ れ る σ-加法 族O上

に 測 度m:

m(Γ)=μ(G),  が 定 義 さ れ る.こ 1でt∈Tの

の と き,確

関 数 と し てCに

条 件 と し て,次

ら生

但 しC∩G=Γ,G∈BT 率 過 程X={X(t,ω);t∈T}の

見 本 関数 は 確 率

属 す と考 え る こ と が 許 さ れ る.こ

のた め の判 定

の 定 理 が よ く使 わ れ る.

  定 理1.14.  (Kolmogorov-Prokhorov)定 過 程X={X(t);t∈T}が

条 件:あ

理1.13に

るa>0,b>0及

よ っ て 与 え ら れ る確 率 びc>0が

存 在 し て,

 (1.10)

を み た せ ば,Cの

  第1章

μ に よ る外 測 度 は1で

あ る.但

し,μ はXの

分 布 と す る.

の解題

  確 率 論 の 全 般 的 な 基 礎 付 け を 完 成 し た 形 で 与 え た の は,A.N. (1933)が

Kolmogorov

最 初 で あ る.

  §1.1の

内 容 に つ い て は,K. Ito(1976)に

  §1.2の

定 理1.1.∼1.4.の

  §1.3に

お け る収 束 定 理 に つ い て は,上

形 に 直 接 対 応 し た 形 で は,T.

あ る.

証 明 は 上 記 の 書,第2章

を み られ た い.

記 の 書 に も あ る が,こ

Hida(1975)第1章

も 便 利 で あ ろ う.定

に よれ ば 法 則 収 束 が 最 も 弱 い 収 束 と い う こ と に な る が,あ ら概 収 束 が で る こ とがA.V.

Skorokhod(1961,英

こ に 述 べ た 理1.5

る意 味 で 法 則 収 束 か

訳1965)第1章

§6に 主 張

さ れ て い る:Rn上

の 分 布 の 列{Φn;n=1,2,…}がΦ

率 空 間(Ω,B,P)と  

に 法 則 収 束 す る と き,確

そ の 上 の 確 率ベ ク トル{Xn;n=1,2,…}を

適 当 に 作 っ て,

1)  Xnの 分 布 はΦnで あ り,

  2)  XnはΦ   §1.4の

に 従 う あ る 確 率 ベ ク トルXに

諸 定 理 の 証 明 も 上 記K.

明 確 な 証 明 は,A.N.

概 収 束 させ る こ とが で き る.

Itoお よ びT.

Kolmogorov(1933)が最

Hidaの

本 に あ る.定 理1.7の

初 で あ る が,そ れ に よ っ て 彼 の

公 理 論 的 確 率 論 の 有 効 性 が 疑 い も な い も の に な っ た の で あ る.定 更 に 詳 し く,重

複 対 数 の 法 則(A.Ya.

Khintchine(1933)お

よ びW.

(1943))が

知 られ て い る.

  §1.5に

述 べ た 形 の 条 件 付 平 均 値 お よ び 確 率 の 定 義 は,J.L.

に よ る."マ 不 等 式,定

ル チ ン ゲ ー ル"も 理1.10が

Feller

本的 な

証 明 され た. 判 定 条 件 は,例

Prokhorov(1956)で

法 則 収 束 の 問 題 と し て 定 式 化 さ れ て,そ る.こ

よ り

Doob(1953)

そ の 書 に お い て は じ め て 導 入 され て,基

  §1.6 Kolmogorov-Prokhorovの さ れ て い る.Yu.V.

理1.7′

の 条 件 は そ れ 以 前 か ら,知

わ れ て い た よ うで あ る.

え ばT.

Hidaの

本 に証 明

よ り一 般 に 連 続 関 数 の 空 間Cの

上の

の 帰 結 と し て 判 定 条 件が 与 え られ て い

られ て い て,い

くつ か の 文 献 に お い て 既 に 使

第2章 

  本 章 で は,特 Gauss型 §2.2で

Gauss型

確率 変 数系

に 無 限 個 の 変 数 か ら な るGauss型

確 率 変 数 系 を 取 り 扱 う.

確 率 変 数 系 の 特 色 は そ の 線 型 性 に あ る と言 え る.こ れ に つ い て は, 述 べ る こ と に す る.§2.3に

お け るGauss型

変 数 系 の 複 素 化 は,次

章 に お け る 定 常 過 程 の ス ペ ク トル 理 論 を 展 開 す る の に 便 利 で あ る か ら こ こに 取 り上 げ た.§2.4お

よび §2.5で

形 を 述 べ て お い た.Gauss過 特 に §2.4で る と,一

特 にGauss過

程 の 標 準 表 現 の最 も 原 始 的 な

程 か ら 新 生 過 程(innovation)を

離 散 パ ラ メ ー タ ー の 場 合 に 詳 し く述 べ た.連

取 り出 す 操 作 は 続 パ ラ メ ータ ーに な

つ の新 生 過 程 だ け で 表 現 が つ く さ れ る わ け で は な い の で,章

再 び 取 り上 げ る こ とに し,こ

  §2.1.  Gauss型

を改 め て

こ で は 例 を あ げ る だ け に 留 め た.

確率 変 数 系 の定 義

  実 数 値 を と る確 率 変 数X(ω)は,そ

の分布 が絶 対連 続 で 密度 関 数 が

 (2.1)

で あ る と きGauss型 こ こにmは σ=1の

確 率 変 数(Gaussian

random

variable)と

平 均 値 で σ2は 分 散 で あ る.こ の 分 布 をN(m,σ2)と と き,Xを

標 準Gauss型

元Gauss分

か く.特にm=0,

確 率 変 数 と い う.

  n次 元 確 率 ベ ク トルX(ω)=(X1(ω),X2(ω),…,Xn(ω))に じ くそ の分 布 がn次

よば れ る.

布,す

つ い て は,同

な わ ち絶 対 連続 で 密 度 関数 が

 (2.2)

で あ る と きn次

元Gauss型

確 率 ベ ク トル(Gaussian

random

vector)と

よ

ぶ.た

だ しm=(m1,m2,…,mn)(∈Rn)は

平 均 ベ ク トル で あ り,V=(Vij)は

共 分 散 行 列:

(それ は対 称 正 定値 行 列 で あ る)で あ って￨V￨はVの

行 列 式 を あ らわす.

  よ り一般 に,多 数 の 確率 変 数 の系 に 対 し ては 次 の よ うな定 義 をす る.   定 義2.1.  確 率変 数 の系X={Xλ(ω);λ∈Λ}が 一次 結 合

がGauss型

確 率 変 数 とな る と き,XをGauss型

system)と

い う.特 にXが

process)と  

あ って,任

意 の有 限個 の

確 率 変 数 系(Gaussian

確 率 過 程 の と き に は そ れ をGauss過

程(Gaussian

呼 ぶ.

この 場 合 も,n次

元 確 率 ベ ク トル の と き の よ う に,平

均ベ ク ト ルm=(mλ;

λ∈ Λ): mλ=E(Xλ),

λ∈ Λ

お よび 共 分 散 行 列V=(Vλ,μ): Vλ,μ=E{(Xλ-mλ)(Xμ-mμ)}, 

が 定 ま る.そ し てVは ∈ Λ に 対 し てn次

λ,μ ∈ Λ

次 の 意 味 で 正 定 値 で あ る.す なわ ち,任 意 の λ1,λ2,…,λn

行 列 

2次 の モ ー メ ン トの 存 在 を 仮 定 す れ ば,必

が 正 定 値 と な る.こ ず し もGauss型

確 率 変 数 の 系 に 対 し て な りた つ こ と で あ る(第1章

の 性 質 は,

と限 らず に任 意 の

§1.1参 照).だ

が,Gauss

型 を 仮 定 す れ ば 次 の よう な 著 し い 事 実 が 証 明 され る.   定 理2.1. 

mλ,λ ∈ Λ,を 任 意 の ベ ク トル,(Vλ,μ)を 正 定 値 とす る と き,そ

れ ら を そ れ ぞ れ 平 均ベ クト ル ,共 分 散 行 列 とす るGauss型 す る.し

確 率 変 数系 が 存在

か も そ の よ うな 系 の 分 布 は 一 意 的 で あ る.

  [注 意]  最 後 の主 張 は 次 の こ とを意 味 す る:X={Xλ;λ

∈Λ}お よ びX′={X′λ;λ∈ Λ}

が い ず れ も平 均 ベ ク トルmλ,共 分 散 行 列(Vλ,μ)をもつGauss型 意 の有 限 個 の λ1,…,λnに n次 元Gauss分

対 し て(Xλ1,…,Xλn)と(X′λ1,…,X′λn)の

分 布(そ れ は

布)が 同 じで あ る.

  こ の 定 理 の 前 半 の 証 明 は,ま

ず Ω=RΛ

に と り完 全 加 法 族BはΩ

体 か ら 生 成 され る も の を と っ て 可 測 空 間(Ω,B)を 筒 集 合,た Borel集

確率 変 数 系 な ら ば,任

の筒 集 合 全

構 成 す る.つ

い で任 意 の

と え ばC={ω=(ωλ);(ωλ1,ωλ2,…ωλn)∈B},Bはn次

合,な

る 筒 集 合 に 対 し て は(2.2)のp(x)を

元

用いて

 (2.3)

と 定 め る こ と に よ っ て(Ω,B)上

の 確 率 測 度Pλ1,λ2,…,λnが 定 義 さ れ る.Λ

の 有 限 部 分 集 合(λ1,λ2,…,λn)を,個

数nも

含 め て い ろ い ろ と動 か し て 両 立 条

件 を み た す 確 率 測 度 の 系{Pλ1,λ2,…,λn}が 得 ら れ る.そ 拡 張 定 理(定 理1.12)が

使 え て,こ

め る こ と が わ か る.最 (Ω,B,P)上

で,定

の 系 が 一 意 的 に(Ω,B)上

後 にXλ(ω)=ωλ

義 され たGauss型

こ でKolmogorovの

と お け ば{Xλ;λ

の 確 率 測 度Pを ∈ Λ}は

定

確 率 空 間

確 率 変 数 系 で 平 均 ベ ク トル と 共 分 散 行 列

は そ れ ぞ れ 与 え ら れ たmλ,(Vλ,μ)に 等 し いこ と が わ か る.   定 理 の 後 半 は,有

限 次 元Gauss分

布 が(2.2)で

見 ら れ る よ うに 平 均 ベ ク ト

ル と共 分 散 行 列 に よ っ て 一 意 に 定 ま る こ と と上 の 注 意 と か ら 直 ち に証 明 さ れ る.  な お(2.3)に

よ るPλ1,λ2,…,λnの

の階

定 義 で 行 列 

数 がn以 下 に な る ときは 若干 の修 正 を要 す る こ とに注 意 し よ う.そ の と き分 布 は 退化 す るが,や は りn以 下 の 次 元 のGauss分

布 で あ る.

  次 の定 理 は証 明 な し に述 べ るが,確 率変 数 列 の収束 に関 す る一 般 的定 理 を用 い て示 され る性 質 で あ る.   定 理2.2.  XをGauss型 収 束 また は概 収 束,あ たGauss型   XをGauss型

確 率変 数 系 とす る と,そ の部 分 集 合 も,Xに

確率

るいは 平均 収束 の意 味 で の極 限 変数 をつ け加 え た系 も ま

で あ る. 確 率 変 数 系 とす る と,定 義2.1と

定 理2.2に

1次 結 合及 び そ れ らの平 均 収束 に よる極 限 を つ け加 え たGauss型

よ りXに

その

確 率変 数 系

をXに

よ る 線 型 包 と い い,H(X)と

書 く こ と に す る.Xの

内 積(X,Y)=E(XY),X,Y∈H(X),に

線 型 包H(X)に

よ っ て 自然 にHilbert構

は,

造がはい

る.

  §2.2.  Gauss型   次 にGauss型

確 率 変 数 系 の特 性 確 率 変 数 ま た は 変 数 系,あ

い くつ か の 性 質 を 列 挙 し よ う.は

るい は そ の分 布 の特 徴 づ け とな る

じ め の 三 つ は1次

元 分 布 に つ い て で あ る. 

1°)  あ る 分 布 の 特 性 関 数 が ψ(t)で あ る と し よ う.も

と表 わ さ れ る な ら ば,γkをk次

しt=0の

半 不 変 係 数(semi-invariant)と

分 布 はn次

ま で の 半 不 変 係 数 が 存 在 す る と い う.

  さ て,平

均 値m,分

散 σ2のGauss分

布(そ

れ は(2.1)で

近傍 で

呼 び,こ

の

与 え られ る)の

特

性 関 数 φ(t)は

 (2.4)

と表 わ され る ので,す べ て の次 数 の半 不 変係 数 が 存 在 す る ことが わ か り  (2.5)

で あ る.逆 た はGauss分

に こ の 条 件(2.5)を

み た す 分 布 は あ る1点

に 集 中 す る δ-分布 か ま

布 で あ る.

  な お 上 のGauss分

布 につ い て は

γ1=m,γ2=σ2 で あ る.ま

た 平 均 値 の ま わ りのk次

モ ー メ ン トmkに つ い て は

m2r+1=0, m2r=(2r-1)!!σ2r

で あ る.

  2°) 絶対 連 続 な確 率 分 布 の 密度 関 数 をp(x)と し,一 種 の情報 量H(p)を

で 定 義 す る.分

え られ,そ

散 を 一 定(=σ2)に

し た と きH(p)を で あ る.す

の値 は 

最 大 に す るpは(2.1)で

な わ ちGauss分

与

布 が この情 報

量 を 最 大 にす る も ので あ る.   3°) Gauss分

布 は指 数2の 安定(stable)な

分布 とし て特 徴 づ け ら れ る.

そ の 意 味 を説 明 す るた め に,ま ず 安 定 な 分 布 の定 義 か ら始 め よ う.  同 じ一 つ の 分 布 に 従 う独 立 な 確 率 変 数X,X1,…,Xnを

した と き,定 数cn,rnを

適 当 に選 ぶ とSnとcnX+rnと

そ の 分 布 は 安 定 で あ ると い う.特 にrn=0と

と

と っ て 

が 同 じ分 布 に従 う と き,

で き る と きに はそ の分 布 は狭 義 の

安定 分 布 で あ る と い う.   安 定 な 分 布 に 対 し ては 定 義 か ら

で な けれ ば な ら な い こ とが わ か る.こ の αをそ の 安定 な 分 布 の(特 性)指 (exponent)と

数

呼 ぶ.対 称 な指 数αの狭 義 の安 定 分 布 の 特 性 関数 は

 (2.6) 

φ(t)=exp[-c￨t￨α], 

c>0

と か け る.   さ て,Gauss分 際(2.1)で

与 え られ るGauss分

nσ2のGauss分 α=2で

布 に も ど っ て,そ

布 で あ り,従

あ る こ とが わ か る.ま

定 分 布 で あ る.逆

に 指 数2の

れ は 安 定 な 分 布 で そ の 指 数 は2で 布 に つ い て み る と,Snは

っ て 

あ る.実

平 均 値nm,分

散

そ して特 に

た 平 均 値0のGauss分 狭 義 の 安 定 分 布 は(2.6)か

布 は 指 数2の

狭義の安

ら平 均 値0のgauss

分 布 に 限 る こ と が わ か る.   つ い でGauss型

確 率 変 数 系 に つ い て 考 え よ う.

  4°)  (X,Y)がGauss型

で あ れ ば,そ

の 一 方 を きめ た と きの条 件 つ き確

率 分 布,た

と え ば も

確 率1でGauss型

均 値E(X￨Y),E(Y￨X)は 実 はn=2と

で あ る.ま

そ れ ぞ れY,Xの1次

した と き の(2.2)の

た条 件 付 平

関 数 で あ る.こ

れ ら の事

形

 (2.7)

を 見 れ ば 定 義 か ら直 ち に 導 か れ る.こ Gauss型

れ ら の 性 質 は2個

以上 の変数 か ら な る

確 率 変 数 系 に 対 し て 容 易 に 一 般 化 され る.た

がGauss型

な らE(X￨Y1,Y2)はY1,Y2の1次

関 数 で あ る.

  逆 に,YがGauss型,E(X￨y)がYの1次

布 

と え ば,(X,Y1,Y2)

関 数 で,さ

が 確 率1でGauss型

らに条 件 付確 率 分

で あ る な ら ば,(X,Y)がGauss型

に

な る.   一 般 にXとYが 0に 等 し い.と

独 立 で 共 に 有 限 な 分 散 を も てば 両 者 の 共 分 散 は(存 こ ろ が(X,Y)がGauss型

な ら(2.7)か

"共 分 散=0"な

らば

互 に"独

在 し て)

ら わ か る よ うに

立"

と な る.   5°)  再 生 性 が あ る.す

な わ ち,XとYと

型 で あ れ ば,和X+Yは

ま たGauss型

で あ る.と

ころ が,Gauss型

が 独 立 で あ り,か で あ る こ とは,既

の 著 し い 特 徴 と し て,この

つ 両 者 がGauss

に3°)で

み た 通 り

部 分 的 な 逆 が な りた

つ の で あ る.   定 理2.3.(Levy-Cramer)  YもGauss型   証 明 は,仮

XとYが

独 立 でX+YがGauss型

な ら,Xも

で あ る. 定 を 用 い てXやYの

特 性 関 数 が2次

の 整 関 数 に な る こ とを 導 き,

さ ら に そ れ らが 特 性 関 数 と し て の 性 質 を も つ と い う制 約 か らGauss分 の に な る こ とを 示 す こ と に よ っ て 与 え られ る.

布のも

 Gauss型

確率 変数 系 に関 す る次 の よ うな 特 徴 づけ もP. Levyに

よる もの で

あ る.証明 の方 法 は上 の定 理 と同 じ くや は り特 性 関数 を用 い る も ので,こ こで は 事 実 だ けを 述べ てお く.  6°) 与 え られ た2次 元確 率 ベ ク トル(X,Y)に 数Uお

よびYと

対 し て,Xと

独 立 な確 率 変

独 立 なVが 存 在 し て Y=aX+U

 (2.8) {

X=bY+V

と書 け る な ら ば,次

の 三 つ の 可 能 性 し か な い,

 ⅰ)  (X,Y)はGauss型  ⅱ)  XとYは

で あ る,

独 立 で あ る,

 ⅲ)  定 数 α,β,γ が 存 在 し て αX+βY=γ   [注 意]  上 記4°),5°),6°)を

が 成 り立 つ(一 次 関 係 が あ る).

み てGauss型

確率 変 数 系 の特 徴 を一 言 で語 ろ うとす

れ ば,そ れ は線 型 的 構 造 を もつ とい って よか ろ う.こ の系 の 研究 にHilbert空

間論 が大

きな 役 割 を果 す の も この構 造 と 定 理2.2の 反 映 と考 え られ る.   [補 足]  Gaussに

よるGauss分

  §2.3.  複 素Gauss型

布 の特 徴 づ け が あ る.文 献Gauss(1981)Ⅲ,6参

確率変数系

  この節 では 複素 数 値 を とる確 率変 数 でGauss型

の ものを 扱 うが まず そ の 定

義 が 問題 であ る.実 数 部 と虚 数 部 が と もにGauss分 だ け で は複 素Gauss型

照.

布 に従 う確 率変 数 とい う

と呼 ぶ に は不 十 分 で あ って,好 ま しい性 質 が い ろ い ろ

と導 かれ る よ うにす るに は も う少 し強 い 制約 を お く必 要 が あ る.   まず1変 数 の場 合 か ら始 め よ う.確率空 間(Ω,B,P)上

の複 素数 値 を とる確

率 変 数Z(w)が

  (2.9) 

Z(w)=X(w)+iY(w)+m, 

と表 わ さ れ,か

つXとYは

複 数Gauss型(Complex

X,Y実

独 立 で 平 均 値0の Gaussian)と

数 値,m複

同 じGauss分

い う.当然E(Z)=mで

素数

布 に 従 う と き, あ る.

  定 義2.2. 

複 素 数 値 を と る 確 率 変 数 の 系Z={Zλ(ω);λ

任 意 の 有 限 個 の(複 そ の 系Zを はZは

素 数 を 係 数 とす る)一

複 素Gauss型

複 素Gauss型

∈ Λ}が あ っ て,そ の

次 結 合 が 複 素Gauss型

確 率 変 数 系(complex

Gaussian

とな る とき system),ま

た

で あ る と い う.特 に Λ が 整 数 全 体,正 整 数 全 体 ま た は 実

数 の 区 間 で あ る と き 複 素Gauss過

程(complex

  [注意]  前 節 の実 数 値 を とるGauss型 節 の も の を実Gauss型

  複素Gauss型

Gaussian

process)と

い う.

確率 変 数 系 と混 乱 す る恐 れ の あ る ときは,前

確 率変 数 系 と書 い て は っ き り区別 す る こ とが あ る.

確 率変 数 系 の 性質 を述 べ る前 に,何 故 そ の よ うな 複 素系 を 考

え るか につ いて 少 し触 れ て お きた い.理 由 として は  ⅰ) 定 常Gauss過

程 の スペ ク トル分 解(後 出 第3章)に

必要 な ラ ン ダム測 度

を構 成 す ると き,そ れ は複 素 数値 を と りし か もGauss型

の 確率 変 数 系 と扱 わ

ねば な らな い.さ らにそ れ は確 率 振 幅 とし て電 気 工学 上 の意 味 を も っ てい るの で あ る,  ⅱ)  与 え られ たGauss過 お け ばFourier変

程 を 複 素 化(そ れ は 複 素Gauss型

に な る)し て

換 を 自由 に駆 使 す る ことが で きる,

 ⅲ)  後 の議 論 か ら 明 らか に され る よ うに,Gauss型

確 率 変 数系 の もつ 線型

的構 造 が 自然 な形 で 移 行 され る複 素数 値 確 率変 数 の系 とし て認 識 され る,  ⅳ)  こ こで は述 べ 得 な い事 柄 で あ るが,Gauss型

確 率変 数 を変 数 に も つ非

線 型 汎 関数 の解 析 にお いて は,そ の変 数 の複 素化 に相 当す る もの と し て 複 素 Gauss型

確 率 変 数 系 が登 場 す る,

等 が あげ られ る.   さ て主題 で あ る複 素Gauss型

確 率 変数 系 の性質 を述 べ よ う.以 下 で は 簡 単

のた め系 に属 す る各 確 率変 数 の"平 均 値 は0"で

あ る として お く.一 般 の場 合

は各 変 数 か ら平 均 値 を 引 き去れ ば,確 率 論 的構 造 を 変 え る こ とな く,容 易 に こ の場 合 に帰着 され る.   は じめ に定 義 か ら簡 単 に導 か れ る性 質 を列挙 し てお く.   1°) 系Z={Zλ(ω);λ (2.9)の

∈Λ}が 複 素Gauss型

で あれ ば,Zλ=Xλ+iYλ

分 解 を し て 得 ら れ る実数 値 確 率 変数 の系{Xλ,Yλ;λ ∈Λ}は(実)

と

Gauss型

確 率 変 数 系 で あ る.

  2°)  Z={Zλ(ω);λ Gauss型

∈ Λ}が 独 立 な 確 率 変 数 の 系 で,か

で あ れ ば 系Zは

複 素Gauss型

  3°)  系Z={Zλ(ω);λ

∈Λ}が

Zλ(ω)か ら な る 系Z={Zλ(ω);λ 自 明 な 場 合 を 除 きZ∪Zは   4°)  複 素Gauss型 そ の 系 に 概 収 束,平 複 素Gauss型

つ 各Zλ(ω)が

複素

で あ る.

複 素Gauss型

な ら ば,各

々 の共 役 複 素 数

∈ Λ}も ま た 複 素Gauss型

で あ る .し か し

そ う で は な い.

確 率 変 数 系 の 部 分 系 は ま た 複 素Gauss型 均 収 束,確

確 率 変 数 系 が 得 ら れ る(定

  次 の 命 題 は 複 素Gauss型

に な る.ま

た

率 収 束 の 意 味 で の 極 限 変 数 を つ け 加 え て も再 び 理2.2参

照).

につ い て の我 々の 定義 が 妥 当 な も の で あ る こ とを

示 し て い る.   命 題2.1. 

確 率 変 数 の組{Z1,Z2}が

複 素Gauss型

で あ る と す る.Z1とZ2

が 独 立 で あ る た め の 必 要 か つ 十 分 な 条 件 は 両 者 の 共 分 散 が0と   証 明   こ こ で もZ1,Z2の も しZ1とZ2が   逆 に,共

す る が,一

般 性 を 失 う も の で は な い.

独 立 な ら共 分 散E(Z1Z2)=E(Z1)E(Z2)=0は

明 らか で あ る.

分 散 が0で

平 均 値 は0と

な る こ とで あ る.

あ った と し よ う.Z1,Z2を(2.9)の Zj=Xj+iYj, 

よ う に 分 解 す る:

j=1,2

仮定から E{(X1+iY1)(X2-iY2)}=0 す なわ ち E(X1X2)+E(Y1Y2)=0, 

を 得 る.と こ ろ で{Z1,Z2}が は と も に 複 素Gauss型

E(Y1X2)-E(X1Y2)=0

複 素Gauss型

だ か ら,Z1+Z2お

確 率 変 数 で あ る.両

者 の 実 数 部 と虚 数 部 が 独 立 と な る

こ とか ら

E(Y1X2)+E(X1Y2)=0, 

よ びZ1+iZ2

E(X1X2)-E(Y1Y2)=0

を 得 て,結

局E(X1X2)=E(Y1Y2)=E(Y1X2)=E(X1Y2)=0が

す な わ ち{X1,X2,Y1,Y2}が (X1,Y1)と(X2,Y2)は

わ か る.

独 立 な(実)Gauss型 独 立 で あ り,そ

確 率 変 数 系 で あ る.特

の こ と はZ1とZ2が

に

独 立 で あ る ことを

示 す.

  複 素Gauss型

確 率 変 数 系Z={Zλ(ω);λ

∈Λ}に 対 し て 平 均 ベ ク トルm=(mλ):

E(Zλ)=mλ, 

λ∈ Λ

お よび 共 分 散 行 列V=(Vλ,μ):

が 対 応 し,そ

れ が 正 定 値 と な る こ と は 前 節 の 場 合 と同 様 で あ る.

  いま   (2.10) 

実数

と お け ば,Vλ,μ の 定 義 とZλ,Zμ お よびZλ+iZμ

が 複 素Gauss型

でそれ ぞれ

実 数 部 と虚 数 部 が 独 立 に な る こ とを 用 い て

とな る こ とが わ か る.υλ,μ お よ びwλ,μ

に よ っ て で き る 行 列 を そ れ ぞ れ υ,w

とす る:

  (2.11) 

υ=(υ λ,μ), 

  補 題  V=(Vλ,μ),λ,μ (2.11)に

 (2.12)

∈Λ,を

w=(wλ,μ).

任 意 の 正 定 値 行 列 と す る.式(2.10)お

よ っ て 定 ま る 行 列 υ,wを

と り,新 た に 行 列

よび

を 構 成 す れ ば,Dも

正 定 値 で あ る.

  証 明   有 限 個 の パ ラ メ ー タ ー 集 合{λ}を と っ て,有

選 び,任

意 に 複 素 数{α λ},{βλ}を

限和

を 考 え る.仮

定 よ り(Vλ,μ)は

正 定 値 で あ り,し

た が っ て(Vλ,μ)も 正 定 値 で

あ るので

とな る.こ こで も和 は上 に選 ん だ有 限個 のパ ラ メ ー ター集 合 を動 くも の とす る, 両 者 を加 え て次 の 不等 式 が 得 られ る.

これ を整 理 し て

が 得 ら れ    定 理2.4. Λ

と な る こ とが わ か っ た.す

平 均 ベ ク トル,Vを

確 率 変 数 系Z={Zλ(ω);λ∈Λ}が

  証 明   与 え られ たVか

トル が0の(実)Gauss型 よ び{Yλ;λ

正 定 値 行 列V=

共分散行列に もつ 複 素

存 在 す る.

ら 上 の 補 題 に よ っ て 正 定 値 行 列Dを

各 成 分 は 実 数 で あ る こ と に 注 意 し よ う.こ

λ∈Λ}お

正 定 値 で あ る.

を パ ラ メ ー タ ー に も つ ベ ク トルm=(mλ)と

(Vλ,μ)が 与 え ら れ た と き,mを Gauss型

な わ ちDは

のDに

確 率 変 数 系{Xλ,Yλ;λ ∈Λ}の

構 成 す る.Dの

対 し て 定 理2.1か ∈Λ}が

共 分 散 行 列 が 共 に(2.11)の

ら平 均 ベ ク

存 在 し て,{Xλ; 行 列Vで

あ り,か

つE(YλXμ)=-E(XλYμ)=wλ,μ 用 い てZλ

と な っ て い る.こ

こ で 与 え ら れ た(mλ)を

を

に よ って定 義 す れ ば{Zλ(ω);λ ∈Λ}が 求 め る複 素Gauss型

確率変数系であ

る こ とは 容 易 に確 か め られ る.   上 の定 理 に お い て与 え られ たVの 各成 分Vλ,μ が すべ て実 数 の場 合 で も,定 理 の結果 は有 効 に用 い られ る ことを 注意 した い.そ の と きは(2.10)式

か らす

べ て の λ,μ につ い て wλ,μ=0 とな り,定 理 の証 明 で存 在 が 知 られ た{Xλ}と{Yλ}と

は独 立 に な って しま

う.特 にΛ が整 数 全体,非 負整 数 全 体 あ るい は実 数 の あ る区 間 な どの場 合,す な わ ちGauss過

程 の場 合 に は次の よ うな結 論 が 得 られ る.

  命題2.2 

与 え られ た(実)Gauss過

複 素Gauss過

程 に対 して それ と同 じ共 分散 を も つ

程が 存 在 す る.

  実 際(実)Gauss過

程{Xλ}が

与 え られ た と き(簡 単 の た めE(Xλ)=0,

λ∈Λ,と して お く),そ れ と独立 でか つ 同 じ分 布 に 従 うGauss過

程{Yλ}を

とって  (2.13)

とす れ ば{Zλ}が   定 義2.3. 

求 め る も の で あ る.

上 の よ う に し て 構 成 さ れ た 複 素Gauss過

程{Zλ}を{Xλ}の

複 素 形 とい う   [例1] Λ=[0,∞),mλ

≡0か

理2.1で

程 をBrown運

Brown運

定 ま るGauss過 動 は 通 常 λをtに

と書 く,{B(t)}の

つVλ,μ=λ∧ μ(=min{λ,μ})の 動(Brownian

か え て 

複 素 形 は 複 素Brown運

,あ 動(complex

motion)と

と き,定 い う.

る い は 単 に{B(t)} Brownian motion)

と 呼 ば れ る.そ   [例2] 

の 記 号 は 一 定 し て い な い が{Z(t)}と

Λ を1次

元 空 間RのBorel集

全 体 に と る.mλ=0,λ ら わ す)と あ る.対

∈Λ,か

し よ う.こ

(homogeneous

Gaussian

次Gauss型

合 でLebesgue測

度有 限 な も のの

つVλ,μ=￨λ ∩ μ￨(￨ ￨はLebesgue測

の(Vλ,μ)が

応 す る(実)Gauss型

書 く こ とが 多 い.

度を あ

正 定 値 と な る こ と は よ く知 ら れ た 事 実 で

確 率 変 数 系 を 斉 次Gauss型 random

measure)と

い う.そ

ラ ン ダ ム 測度 の複 素 形 が 複 素斉

ラ ン ダ ム測 度 で あ る.

  §2.4.  離 散 パ ラ メ ー タ ーGauss過   (実)Gauss型

程,標

確 率 変 数 系X={Xλ(ω);λ

準 表現

∈ Λ}に お い てΛ がⅰ)整

た は 非 負 整 数 全 体 の と き離 散 パ ラ メ ー タ ー を も つGauss過

程 と い い,ⅱ)実

全 体 ま た は そ の 部 分 区 間 で あ る と き 連 続 パ ラ メ ー タ ー を も つGauss過 う.こ

れ ら の 場 合 に 一 般 の 系 と 区 別 す る た めXλ

はX(t)等

の 代 りにⅰ)で

の 伝 統 的 な 記 述 法 を 用 い る こ と に す る.こ

数全体 ま 数

程 とい

はXn,ⅱ)で

こ で 用 い た 記 号nと

かt

は共 に時 間 を 示す パ ラ メ ータ ー と見 れ ば今 後 の議 論 に対 す る直観 的 な認 識 が得 や す い で あ ろ う.   本 書 で 扱 う 内 容 か ら 言 え ばⅰ),ⅱ)の し い 方,す

な わ ちⅰ)の

各 場 合 の 相 違 は 極 め て 大 き い.ま

方 か ら始 め て,我

ず 易

々 が 何 を 問 題 に し よ う とす る か を 明

ら か に し た い.   Λ と し てI+={1,2,…}を

と りGauss過

程X={Xn(ω);n∈I+}*を

簡 単 の た め こ こ で もE(Xn)=0,n∈I+,と つ の で そ れ はL2(Ω,P)(=Ω るHilbert空

間)の

し てお く,各Xnは

上 の 関 数 でPに 関 し て2乗

元 とみ る こ と が で き る.そ

考 え る. 有 限 な 分散 を も

可 積 分 な もの全 体 の 作

こ で{Xn}にSchmidtの

直 交化 の方 法 を 適用 し て X1=a1,1ξ1, X2=a2,1ξ1+a2,2ξ2,

(*)  Gauss型

確率 変 数 系Xも

これ を 過 程 とみ た ときはXと

書 くこ とにす る.

 (2.14)

な る表 現 を 得 る.こ L2(Ω,P)の Xk, 

こ に 各an,jは

実 数 で,ξ1,ξ2,…,ξn,…

単 位 ベ ク トル で あ る.と

は 互 に 直 交 す る

こ ろ が ξjの構 成 法 を み れ ば,そ

の 一 次 結 合 と し て表 わ さ れ る の で{Xn,n∈I+}がGauss型

る こ と か ら{ξn;n∈I+}は

互 に 独 立 な(§2.24°)参

照)標

れ が であ

準Gauss型

確率 変

数 の 系 で あ る こ と が わ か る.   ま た,上

の よ うな ξjの 構 成 法 か ら 条 件 つ き 平 均 値 に つ い て

 (2.15)

が な りた つ.な

と書 け ば,右

ぜ な ら,

辺 の 第 一 項 はX1,X2,…,Xkの

二 項 はX1,X2,…,Xkと て(2.15)が

独 立 な も の で あ る か ら,条

で あ り, 

は1次

関 数)で

あ り,第

件 つ き平 均値 の定 義 に よ っ

得 ら れ る.

  特 に 上 の(2.15)でk=n-1と

 (2.16) 

関 数(実

とれ ば

Xn-E(Xn￨X1,X2,…,Xn-1)=an,nξn

の と き ξnは時刻nに お い てGauss過

た ラ ン ダ ム な 要 素 を 表 わ す も の とみ な され る.実 直 交 す な わ ち独 立 で あ り,し

か もXnは

程Xが

新 た に獲 得 し

際,ξnはX1,X2,…,Xn-1と

こ の ξnとX1,X2,…,Xn-1と

の関 数 と

し て 表 わ さ れ る か ら で あ る.   こ う し て ラ ン ダ ム な 現 象 の 時 間 的 推 移 を 見 よ う とす る と き(2.14)は 表 現 で あ る こ とが わ か り,ま

た ξnは 大 切 な 意 味 を も つ こ と も わ か る.こ

適切な う し

て 次 の 定 義 が 与 え ら れ る.   定 義2.4. ⅰ)Gauss過

程X={Xn;n∈I+}に

型 確 率 変 数 列{ξn;n∈I+}と2重

数 列an,j, 

対 し て,独 立 な 標 準Gauss

が存 在 し てXnと 

とが 同 じ 分 布 で あ る と き組{an,j,ξn}をXの  ⅱ)  Xの

表 現{an,j,ξn}が

あ っ て(2.14)と(2.15)を

の 表 現 を 標 準 表 現(canonical  ⅲ) 

表 現(representation)と

representation)と

そ の 表 現 の 核(kernel)と

対 し て 独 立 な 標 準Gauss型

を 定 義 し てX={Xn;n∈I+}がXと Xの

え られ たGauss過

程X={Xj;

確 率 変 数 列{ξn;n∈I+}を

用い

同 じ 分 布 に 従 う と き{an,j;ξj}を

表 現(representation)と

{Xn}が(2.15)を

新 生 変 数 列(innovation)

呼 ぶ.

  これ ま で 標 準 表 現 の み を 考 え て き た が,与 n∈I+}に

満 足 す る と き,そ い う.

標 準 表 現 に お け る 独 立 変 数 列{ξn}をXの

と 呼 び,an,jを

い う.

呼 ぶ こ と に す れ ば,標

み た さ な い表 現 が あ る.そ

準 的 で な い,す

単 に なわち

の よ うな 表 現 は 当 然 予 測 の理 論

そ の 他 応 用 面 か ら み て も役 立 た な い も の で あ る.標

準 表 現 で ない表 現 が 考 え ら

れ る こ と を 次 の 例 に よっ て 示 そ う.   [例1] 

系{X1,X2,X3}がGauss型

で,独

立 な 標 準Gauss型

確 率変 数

ξ1,ξ2,ξ3を用 い て  

X1=a1,1ξ1, X2=ca1,1ξ1+0ξ2, 

と表 わ され た と し よ う.一

X3=a3,1ξ1+0ξ2+a3,3ξ3

方 同 じ く独 立 な 標 準Gauss型

確 率 変 数 ξ1,ξ2,ξ3を

用 い て表 わ さ れ る

を 考 え れ ば,明 て い る.後

ら か に(X1,X2,X3)と(X1,X2,X3)と

者 が(2.15)を

に よ っ て 知 られ る.だ

は同 じ分 布 に従 っ

みた さな い こ とは

か ら 標 準 表 現 に は な っ て い な い し,ξ1,ξ2,ξ3は

新生

変 数 列 で は な い.   定 理2.5. 

与 え ら れ たGauss過

程X={Xn;n∈I+}の

標準表現は 常 に

存 在 し,次

の 意 味 で 一 意 的 で あ る.す

の 標 準 表 現 とす れ ば,任 あ りす べ て の に

意 のnに

な わ ち{an,j,ξn}と{an′,j,ξ′n}を

つ い てan,n=a′n,nか

対 し て 前 者 な らam,n=a′m,nで

二 つ

ま た はan,n=-a′n,nで 後 者 な らam,n=-a′m,n

と な る.   証 明   標 準 表 現 の 存 在 は 既 に 述 べ た よ う にSchmidtの

直 交化 の方 法 に よ っ

て 保 証 され た.   一 意 性 に つ い て は,(2.16)の

左 辺 は表 現 に無 関 係 な確 率変 数 だ か らそ の分

散 を とれ ばa2n,n=a′2n,nは す ぐ に 出 る,つ

い で,XmとXn,m>n,と

の共 分

散が

 (2.17)

とな る こ とを 用 い て,逐 る こ と が で き る.こ

次an,j,n>j,お

よ びa′n,j,n>j,を

う し て 二 重 数 列an,jの

きめ 方 はan,nの

の 自 由 性 し か あ り え な い こ と が わ か る.再

び(2.17)を

一意 的 に き め 符 号 の選 び 方 だ け

用 い て定 理 の 結 論 に 到

達 す る.   複 素Gauss過

程Z={Zn;m∈I+}を

表 現 が 存 在 す る.す E(ξn)=0, 

と っ て も 事 情 は 全 く同 様 で,常

な わ ち 独 立 な 複 素Gauss型

E(￨ξn￨2)=1,が

に標 準

確 率 変 数 列{ξn;n∈I+},

存 在 し て,Znは

 (2.18)

と表 わ さ れ,か

つ

 (2.19)

が な りた つ.   実 数 値 を と る場 合 と 同 様 に,{an,j,ξn}をZの

標 準 表 現{ξn}を

新 生 変数

列 と 呼 ぶ.   [例2] 

X={Xn;n∈I+}の

標 準 表 現 を{an,j,ξn}と 定 数,

し よ う.い

ま

とな る よ う な 特 別 な 場 合 を 考 察 し て み よ う.n>kと E(Xn￨X1,X2,…,Xk)を

み る と,そ

して条 件 付 平 均 値

れは

に 等 し い.標 準 表 現 の定 義 か ら

と 互 い に 独 立 な 確 率 変 数 の 和 の 形 に 分 解 され る.こ   は  に 定 義 す るMarkov過   定 義2.5.  process)で

  定 理2.6. 

に 等 し い こ と が わ か る.す

なわ ち 次

程 の 一 種 で あ る.

確 率 過 程X={Xn(ω);n∈I+}がMarkov過 あ る とは,任

が    上 の 例1を

の形 を見れ ば条 件 付 確 率

意 のn,k(k
程(Markov 対 し て 

に 等 し い と き を い う. 一 般 化 し て 次 の 定 理 が 得 られ る. 退 化 し な いGauss過

程X={Xn(ω);n∈I+}がMarkov過

程 とな る た め の 必 要 か つ 十 分 な 条 件 は,そ

の 標 準 表 現{an,j,ξj}に

つ いて

 (2.20)

が な りた つ こ と で あ る.   証 明   十 分 な こ と.(2.20)の

と標 準 表 現 さ れ て お れ ば,任

と な りXnは

例1の

よ うに 表 わ さ れ るan,jを

意 のn,k(k
よ うな 分 解 を 許 す:

対 して

用 い てXnが

よ っ て 例1と

同 じ理 由 でXはMarkov過

  必 要 な こ と.XがMarkov過

程 で あ る.

程 で あ る とす る.定

義 か ら 当然条 件 付 平均 値

につ い て E(Xn￨X1,X2,…,Xk)=E(Xn￨Xk),k
が な りた つ は ず で あ る.標 か ら く る §2.24°)の

準 表 現 の 性 質 と,(Xn,Xk)がGaussで

性 質 とを用 い て

cn,k定

数

の一 次 独 立性 と標 準表 現 の 核an,jの(符

が 得 ら れ る.  除 い た)一

あ る こと

意 性 か ら,す

べ て のj,kに

号を

ついて

と な る よ うに で き る.す

な わ ち(2.20)が

な りた つ.

  [注 意]  上 記(2.20)の

よ うな 核 の きめ 方は 定 理2.5の

標 準 表 現 の 核 の一 意性 に矛 盾

しな い こ とに 注意 され た い.   Gauss過

程X={Xn;n∈I+}のMaxkov性

は,上

の定 理 を用 い て次 の よ

うに 共 分 散 行 列 の 形 で 特 徴 づ け る こ と が で き る.  の と きXは

 系   退 化 しな いGauss過 な 条 件 は,そ

程XがMarkov過

の 共 分 散 行 列(Γm,n)が,数

退 化 しな い と い う.

程 で あ るた め の必 要 か つ十 分 列 

と単 調増 加 な 正 の数 列cn

と を 用 い て 次 の よ うに 表 さ れ る こ とで あ る.  (2.21)

  証 明   平 均 値 に つ い てE(Xn)=0,n∈I+,と

仮 定 し て 差 し 支 え な い.も

し

XがMarkov過

程 な ら ば(2.20)よ

り

だか ら  (2.22)

とお い て(2.21)が

得 ら れ る.

  逆 にΓm,nが(2.21)で

与 え ら れ る な ら ば,anと(2.22)を

号 は 自 由 に 選 ん で よ い)と

を き め,標

準Gauss分

み た すbj(符

布 に 従 う独 立 確 率 変 数 列 ξn

を と って

とお け ばY={Yn;n∈I+}の YとXは

同 じGauss過

共 分 散 行 列 は(2.21)で 程 と な る.よ

え ば よ い こ と に な る が,そ

っ てYがMarkov過

の た め に は{anbj,ξn}が

せ ば 十 分 で あ る(定 理2.6).そ

れ は,上

の 張 る ベ ク トル 空 間 と{ξ1,…,ξn}の

与 え ら れ る.し

たがって

程 で あ る こ とを言 標 準 表 現 で あ る ことを 示

式 か ら 

を 用 い て{Y1,…,Yn}

そ れ と が 一 致 す る こ と が わ か り,(2.15)

を 導 く こ と に よ っ て 証 明 され る.   以 上 の よ う に し てGauss過

程 の 重 要 な ク ラ ス で あ るMarkov過

程 が標 準

表 現 を 使 っ て 明 快 に 記 述 さ れ た り特 徴 づ け ら れ た りす る こ と を 知 っ た.こ ラ ス を 更 に 拡 げ て 多 重Markov過 を 示 す 前 に 多 重Markov性

程 に つ い て も 同 様 な 扱 い が で き る が,そ

れ

に つ い て そ の 意 義を 考 え て み る 必 要 が あ る し,ま

た 立 ち 入 った 議 論 も必 要 と な る の で 章 を 改 め て(第5章)後 節 は や は り重 要 なGauss過

の ク

に 詳 述 し た い.次

程 の ク ラ ス を 占 め る 定 常 過 程 に つ い て,同

じ く標

準 表 現 を 用 い た 立 場 か ら 論 ず る こ と に す る.

  §2.5  連 続 パ ラ メ ー タ ーGauss過   前 節 に 述 べ た よ うに,離

程―

特 にBrown運

散 パ ラ メ ー タ ーGauss過

程 の う ち,独

動 立 確 率 変 数系

{ξn;n=1,2,…}は で,そ

重 要 な も の で あ った.連

れ に 対 応 す る も の は,§2.3の

例 で 与 え たBrown運

∞)}で あ る.ξ={ξn;n=1,2,…}が新 連 続 パ ラ メ ー タ ーGauss過 ば 登 場 す る.こ

  Brown運   定 理2.7.  す る.こ

process)と

の た め の 導 入 と し てBrown運

準 表 現 さ れ る例 と し てMarkov型

動 の 性 質 と し て,ま

動Bも, し て,し ば し

動 の 基本 的 な 性質 を の 過 程 を 取 りあ げ る.

ず 次 の 定 理 で 示 す 独 立 加 法(増 分)性 で あ る.

任 意 の 有 限 個 の 区 間[ti,si](i=1,…,n)が

の と き,Brown運

程 の うち

動B={B(t);t∈[0,

生 変 数 列 で あ る よ うに,Brown運

程 の 新 生 過 程(innovation

こで は,そ

列 挙 す る こ と に し て,標

続 パ ラ メ ー タ ーGauss過

動Bか

互 に交 わ ら な い と

ら作 ら れ る確 率 変 数 系

Ξ={B(si)-B(ti);i=1,2,…,n} は 独 立 系 を な す.   証 明   Ξ の 分 散 行 列V=(Vij)は,

のと き

で あ る か ら,§2.2性

質4°)に

  系 

よ り独 立 系 で あ る. と し て,B={B(t),Bt(B);t∈[0,∞)}は

ル チ ン ゲ ー ル で あ る.但

し,Bt(B)は 

マ

を 可 測 に す る 最 小 の σ-加

法 族 と す る.   証 明   (2.23) 

E[B(t)￨Bs(B)]=B(s),s
を 示 せ ば よ い.B(t)-B(s)は と独 立 で あ る.特

定 理2.7に

よ りす べ て のB(u)-B(υ), 

ら,E[B(t)-B(s)￨Bs(B)]=0(a.e.P),す   [注意] 

Brown運

な わ ち(2.23)が

動Bは,Bt(B)を

含 む"よ

と し て,B1={B(t),Ft;t∈[0,∞)}が え ばFt=Bt(B)∨g,た

と独 立 で あ るか

に す べ て のB(u)=B(u)-0, 

法 族 をFt(⊃Bt(B))

マ ル チ ン ゲ ー ル に な る こ と も あ り う る.例

だ しgはB∞(B)と

き σ-加 法 族 の 列{Ft}t∈[0,∞}を

り大 き な"σ-加

な り た つ.

独 立 な σ-加法 族 と す る,な

ど で あ る.こ の と

強 調 し て,B1={B(t),Ft;t∈[0,∞)}はBrown運

動 と い う こ と も あ る.   Brown運

動 の 見 本 関 数(軌

跡)の

連 続 性 に 関 す る こ と を ま と め て お こ う.

  定 理2.8. 

Brown運

動Bの

ω∈Ω に 対 し て 連 続 で あ る.よ 布 を μwと し た と き,連 は1で

見 本 関 数B(t)=B{t,ω)は,ほ り正 確 に い え ば,Brown運

とん ど す べ て の 動 のR[0,∞)上

続 関 数 の 全 体C=C([0,∞))上

の分

のμwに 関 す る外 測 度

あ る.

  証 明   §2.2  1°)のGauss分

布 の4次

の モ ー メ ン トの 計 算 を 実 行 す れ ば,

E[￨B(t)-B(s)￨4]=3￨t-s￨2

が な りた ち,Kolmogorov-Prokhorovの

判 定 条 件(定 理1.14)か ら 明 ら か.

  [注 意]  §1.6に述 べ た ことに よって,Brown運

動 の分 布 μwはG上 の測度 と 考 え る

こ とが 許 され る.   定 義2.6.  Wiener測

Brown運 度,確

動Bに

よ っ て 導 び か れ るG([0,∞))上

率 測 度 空 間(C, 

,μw)をWiener空

の 分 布 μwを

間 と い う.

  連 続 性 と並 ん で 取 り上 げ な け れ ば な ら な い の はBrown運

動 の見 本 関数 の変

分 に つ い て で あ る.   定 理2.9. 

時 間 区 間[s,t]に

とお く と,χΔは,分 す な わ ち,2次   証 明 

お け る 分 割Δ:s=t0
割 の 最 大 巾 δ(Δ)を0に す る と き,t-sに

対 し て,

確 率 収 束 す る.

の変 分 は 時 間 で あ る. E[χΔ]=(t-s)

お よび

た だ し,

で あ る こ と に 注 意 す れ ば,Tchebychevの

不 等 式(命

題1.2  1°))よ

り明 白

で あ ろ う.   系   Brown運

動 の 見 本 関 数B(t,ω)は

ほ と ん どす べ て の ω∈Ω に 対 し て,

到 る所,有 界 変 分 で ない.   証 明 区 間[s,t]で

有 界 変分 で あ る とす る と,こ の区 間 のす べ て の 分割Δに

は有界 

対 し て, 

で あ るが,δ(Δ)→0の 理2.9に

と き,B(t)の

で あ る.こ

の とき

一 様 連 続 性 に よ り右 辺 は0に

収 束 し,定

矛 盾 す る.

  さ て,Brown運

動 に 関 す る 表 現 を 考 え る た め に,B(t)の

す る積 分 を 考 え た い の で あ る が,定

増 分dB(t)に

関

理2.9の 系 に よれ ば,Lebesgue-Stieltjes

積 分 と し て 定 義 す る こ と が 許 さ れ な い こ と に な る.こ

こで は 当 面 必 要 とす る 被

積 分 関 数 が ラ ン ダ ム で な い 場 合 に 限 っ て 確 率 積 分 を定 義 し よ う.  ま ずf∈L2([0,∞))が

階段 関 数 とす る:

(た だ し,t0=0
と し,χ[ti-1,ti)(t)は 区 間 の 定 義

対 し て は,

とお く.な お,an=0で

あ る こ と に 注 意 さ れ た い.明

ら か に,次

の ことが な り

た つ.   補 題  f∈L2([0,∞))が 分 布 に 従 うが,そ

階 段 関 数 の と き, 

は 平 均 値0のGauss

の 分 散 は,

で あ る.

  こ の 補 題 に よ って,一  (2.24)

般 のf∈L2([0,∞))に

つ い て の確 率 積分 は

に よ っ て 定 義 す れ ば よ い.こ (‖fn−f‖

→0)階

L2([0,∞))へ

こ で,{fn(t);n=1,2,…}はf(t)にL2-収

段 関 数 列 とす る.定

合 理 的 で あ る こ と は,

の 完 備 化 の 操 作 と全 く同 様 に わ か る.こ こで 定 義 さ れ た 確 率 積 分  をWiener積

分 と い う.

  定 理2.10.1°)  Wiener積 は,平

義(2.24)が

束す る

均 値0のGauss型

分 の 全 体  確 率 変 数 系 を な し,そ

の 分 散 は,

で 与 え ら れ る.   2°)  f∈L2([0,∞))に

対 し て, 

と

お け ば, 

は,正

則 な マ ル チ ンゲ ールで

あ る.   証 明   ほ ぼ 明 ら か な こ とで あ ろ う が,2°)に と き に ま ず 証 明 し て,一 た と き,極

般 のf∈L2([0,∞))に

つ い て 言 え ば,fが つ い て は,階

階段関数の

段 関数 で近 似 し

限 と条 件 付 平 均 値 と が 交 換 で き る こ と に 注 意 す れ ば よ い.

  [注 意] H1はB={B(t);t∈[0,∞)}をGauss型 (§2.1参照)H(B)に   さ て,以

一 致す る こ とは,H1の

上 の 準 備 に よ っ てBに

お い て,離 散 パ ラ メ ー タ ーGauss過 を 取 り 出 し て,Xを 的 な 意 味 でdB(t)で

確率 変 数 とし た と きの線 型 包 作 り方 か ら 明白 で あ ろ う.

関 す る標 準 表 現 を 考 え よ う.こ 程Xに

れ は §2.4に

対 し て,新 生 変 数 列{ξn;n=1,2…}

標 準 表 現 し た の に 対応 す る.ξnに

対 応 す る も の は,象

徴

あ る.

  [注 意]  dB(t)はBrown運

動 のdifferential(微

分)で あ る が,B(t)の

有 界 変 分

性 が ない ので そ の正 確 な 意 味 をつ け る のは この段 階 では困 難 で あ る.   定 義2.7. 

Gauss過

 (2.25) 

と 書 け て,Bt(X)=Bt(B)が

程Xに

対 し て,関

数F(t,u)が

存 在 し て,

(a.e.P) な りた つ と き,XはBrown運

動Bに

関 し て標 準

的 に 表 現 さ れ た と い い,BをXの新 (2.25)の

生 過 程(innovation

右 辺 が 定 義 で き る た め に,各tに

∈L2([0,∞))で

あ る.ま

す る.次

関 数 と し てF(t,u)

散 パ ラ メ ー タ ー の 場 合 と 異 な って,い

動 に 関 す る標 準 表 現 が 存 在 す る わ け で は な い.そ

準 表 現 の 一 般 論 を 第4章

に 例 と し て あ げ るGauss型

お け る 定 常Gauss過

い う.但 し,

とす る。 程 は,離

のBrown運

の こ と に つ い て は,標

対 し て,uの

た 

  連 続 パ ラ メ ー タ ーGauss過 つ で も た だ1つ

process)と

程 は1つ

で展 開 す る と き に 述 べ る こ と に

の(単 純)Markov過

のBrown運

程 お よ び,次

章 に

動 に対 して標 準 表 現 で きる例 で あ

る.   [例]  Gauss過

程X={X(t);t∈[0,∞)},但

し

 (2.26)

はBrown運

動Bに

関 し て 標 準 表 現 さ れ て い て,次

の 意 味 でMarkov過

程で

あ る:   (2.27) 

E[X(t)￨Bs(X)]=E[X(t)￨X(s)] 

実 際,Bt(X)⊂Bt(B)は の 張 る線 型 包 をHt(B)と

で あ り,ま

(a.e.P).

明 ら か で あ る か ら逆 を 示 そ う.{B(s);s∈[0,t]} す ると

たBt(B)=σ{Y;Y∈Ht(B)}で

ば,Ht(B)に

あ る. 

属 す る 

で,

る も の が 存 在 す る は ず で あ り,従

 で あ る か らf=0(L2の のMarkov性   な お,Gauss過

意 の 

意 味 で)と

程Xが,Markov性(2.27)を

に対 して

に 矛 盾 す る.(2.27)

あ る か ら 明 ら か で あ る. み た せ ば,基

れ は 離 散 パ ラ メ ー タ ー の 場 合 の 定 理2.6に

に お い て よ り一 般 の 多 重Markov性

とな

E[X(s)Y]=0 

な り, 

はBt(X)=Bt(B),t∈[0,∞),で

の 形 に 表 現 で き る.こ で あ る が,第5章

っ て,任

と仮 定 す れ

本 的 に(2.26) 対 応 す る事 実

の わ く組 み の 中 で 示 さ

れ る.そ の場 合Brown運

動 に相 当 す る新 生過 程 は よ り一 般 に mは 一 般 の連 続 測度

 (2.28) 

で 与 え ら れ るGauss過

程B={B(t);t∈[0,∞)}を

用 い る.(2.28)に

よ って

Bの 独 立 加 法 性 お よび マ ル チ ンゲー ル 性 は 定 理2.7と

同 様 に し て わ か る.ま

確率積分 も 

に対 して 定 義 され る.

  第2章

た

の解 題

  §2.1に お い てGauss型 K. Ito(1953)第5章

確 率 変 数 系 の 構 成 の 概 略 を 示 し た が,そ れ に つ い て は

に 詳 し い.同 時 にYu.

§2.2に つ い て は,T.

Hida

(1975)の

A. Rozanov

第1章

い 証 明 は そ こ に 見 ら れ るで あ ろ う.§2.3の 参 考 に な る.§2.4∼ §2.5に つ い て は,T. も の で あ るが,い (1975)第2章

に あ る が,そ

を 参 照 さ れ た い.定

理2.3の 詳 し

複 素 化 の 方 法 も 上 記 の 本,第6章

Hida

(1961)の

が

前 半 の 内容 に対 応 す る

く ら か 現 代 的 に な っ て い る.§2.5のBrown運

に 詳 し い が,表

げ た.Wiener積

(1963)も 参 考 に な ろ う.

動 はT.

Hida

現 の 立 場 か ら 必 要 な 内 容 の み を こ こ で は 取 り上

分 の 定 義 は,見

本 関 数 ご と の形 で 例 え ばN.

Wiener

(1958)

こ で は 階 段 関 数 に よ ら な い で,微 分 可 能 で 台 が コ ン パ ク トな 関 数

φ(t)に 対 し て 先 ず

に よ っ て 確 率 積 分 を 定 義 し,そ

れ をL2-完

備 化 す る と い う方 法 に よ っ て い る.

§2.5に お け る 定 義 と も ち ろ ん 同 等 で あ る こ とは す ぐ に わ か る.Brown運 軌 跡 の 連 続 性 の 評価 は,T. る.付

Sirao(1960)に

動の

よって最 終 的 な結 果 が得 ら れ て い

章 に お け る確 率 積 分 等 に お い て は そ れ よ り荒 い 結 果 しか 使 わ な い の で,

定 理2.9の

記 述 に と どめ た.

第3章

 Gauss型

  共 分 散 関 数,Γ(t,s)がt-sの

定 常 過程 とそ の表 現

関 数,す

過 程X={X(t);-∞
な わ ちΓ(t,s)=Γ(t-s)と

く か ら確 率 過 程 論 の 重 要 な 分 野 を 占 め て

常 過 程 は 時 間 に つ い て の 移 動Tt:X(s)→X(t+s)が

を 導 く こ と か ら,そ 章 で は,Gauss型 Gauss過

な る定 常

ユ ニ タ リ変 換

の スペ ク トル 測 度 を 使 っ て 線 型 予 報 量 の 構 成が で き る.本 の 定 常 過 程 の 表 現 と予 測 理 論 へ の 応 用 を 述 べ た い と 思 う.

程 の 性 質 か ら弱 定 常 性 を も て ば,そ の 共 分 散 関 数Γ(t-s)の

み な らず,

そ の 分 布 も 時 間 の 推 移 に 関 し て 不 変 で あ る と い う性 質 を 持 っ て い る こ と に 注 意 し た い.以

下 で 定 常 過 程 の スペ ク トル 表 現 を 使 っ て,標

特 に 離 散 時 間 の 場 合 に 詳 述 す る(§3.3).そ

準 表 現 を 構 成 す る が,

の考 え 方 は連 続 時 間 の場 合 に 容 易 に

適 用 で き る も の で あ る(§3.4).

  §3.1.  離 散 パ ラ メ ー タ ー 定 常 過 程   ま ず 一 般 の(必

ず し もGauss型

と は 限 ら な い)定

常 過 程 を 定 義 し よ う.時

間の 平 行 移 動 を 扱 うの で パ ラ メ ー タ ー 空 間 は 整 数 全 体Iを   確 率 空 間(Ω,B,P)上

に 確 率 過 程X={Xn(ω);n∈I}が

と っ て お く. 与え られ て い る

とす る.   定 義3.1. 

任 意 の 整 数n,hと

任 意 の 正 整 数kに

対 し て,確

率ベ ク トル

(Xn,Xn+1,…,Xn+k-1)と(Xn+h,Xn+h+1,…,Xn+h+k-1) とが 同 じ分 布 に 従 う と きXを   特 にXがGauss型 ian

process)と

定 常 過 程(stationary

で あ れ ば,そ れ を 定 常Gauss過 い う.

process)と 程(stationary

い う. Gauss

  定 常 過 程Xに

つ い てXnが2次

の 定 義 でk=1と

とれ ば 各Xnが

  (3.1) 

ま で の モ ー メ ン トを 持 つ と仮 定 し よ う.上 同 じ 分 布 に 従 う こ とが わ か り,特

E(Xn)=m 

が 知 られ る.ま

(mはnに

た 同 じ く定 義 か ら,任

に 依 存 し な い こ と が わ か る.ゆ

 (3.2)  はnに

に

無 関 係 な 定 数)

意 のhに

対 し て(Xn,Xn+h)の

分 布 がn

え に共 分 散

E{(Xn+h-m)(Xn-m)}=γh

無 関 係 と な り上 式 の よ う に γhと 書 く こ とが で き る.あ

  (3.3) 

γh=γ-h(=γ￨h￨), 

き らか に

h∈I

で あ る.   上 の(3.1),(3.2)は2次

の モ ー メ ン トの 存 在 を 仮 定 し た と き 共 にXが

過 程 と な る た め の 必 要 条 件 で あ る.こ

定常

れ を 用 い て 定 常 性 よ り弱 い 弱 定 常 性 を 次

の よ う に 定 義 す る.   定 義3.2. 

確 率 過 程X={Xn(ω);n∈I}の各Xnが2次

平 均 値 お よ び 共 分 散 が そ れ ぞ れ(3.1),(3.2)を (weakly

stationary

  命 題3.1. 

Gauss過

process)と 程Xが

  証 明   い ま(3.1),(3.2)が 任 意 に 固 定 し て 定 義3.1の

み た す と き,Xを

弱 定 常過 程

呼 ぶ.

弱 定 常 過 程 で あ れ ば そ れ は 定 常 過 程 に な る. 成 立 し て い る と す る.整数n,h,k(>0)を

二つ のk次

平 均 ベ ク トル は 共 に(m,m,…,m)で (i,j)-要

の モ ー メ ン トを も ち,

元 確 率 ベ ク トル の 分 布 を 比 較 し て み よ う. あ る.共

分 散 行 列 に つ い て み る と,

素 は それ ぞ れ

E{(Xn+i-1-m)(Xn+j-1-m)}, 

E{(Xn+h+i-1-m)(Xn+h+j-1-m)}

で共に

γi-jに 等 し い.よ

半 よ り).す

な わ ちXは 定 常 過 程 で あ る.

  こ こ で,弱

っ て 両 確 率 ベ ク トル は 同 じ分 布 に 従 う(定 理2.1の 後

定 常 過 程 に つ い て い え る一 般 的 な 性質 を 若 干 補 足 し て お き た い.

与 え られ た 弱 定 常 過 程 をX={Xn(ω);n∈I}と

す る.確 率 変 数 の 系 

の張 るL2(Ω,P)の

閉 部 分 空 間 をHn(X)と

  (3.4) 

書 け ば,定

Hn(X)⊃Hn+1(X), 

が 得 ら れ る.そ

こで,も

義 か ら直 ち に

n∈I

し

 (3.5)

が 成 り立 つ な らばXは

純 非 決 定 的(purely

nondeterministicま

ler)で

だ し,上

定 数 の 張 るL2(Ω,P)の1次

あ る と い う.た

分 空 間 を表 わ す.こ な と き,す

式 で{1}は

た はregu

の 場 合 と対 照 的 な 場 合 と し て はHn(X)がnにつ

元部 いて一 定

なわ ち Hn(X)=H(X), 

と な る場 合 で あ る.こ 定 的 で な いXを

の と きXは

n∈I

決 定 的(deterministic)で

非 決 定 的(nondeterministic)と

呼 ぶ が,純

あ る と い う.決 非 決 定 的 な も のは

も ち ろ ん そ の 特 別 な 場 合 で あ る.   我 々 に と っ て 興 味 が あ る の は 当 然 非 決 定 的 なXで 記(3.4)式

れ につ い ては 上

で 真 の 不 等 号 が 成 立 し て い る.こ れ は も っ と弱 く

あ るnに

 (3.6) 

ついて

が 成 立 す る と い う条 件 に お き か え られ る.実 か ら(3.4)が

出 る こ とが 証 明 さ れ る.今

注 目 し て い く こ と に す る.簡   (A.1) 

際,弱

定 常 性 を 利 用 す れ ば(3.6)

後 は こ の よ う な 非 決 定 的 なXの

みに

単 の た め 以 下 本 節 で は 次 の 仮 定 を お く. E(Xn)=0, 

  定 理3.1.(H.Wold) 

n∈I.

任 意 の 弱 定 常 過 程X={Xn(ω);n∈I}は

  (3.7) 

Xn=Xn′+Xn″, 

と 表 わ さ れ,{Xn′;n∈I}は

平 均 値0の

n∈I}は

あ っ て,そ

n∈I

純 非 決 定 的 な 弱 定 常 過 程 で あ り{Xn″;

決 定 的 な 弱 定 常 過 程 で あ る よ うに 一 意 的に 分 解 で き る.

 証 明  まず

と お く.XnのH-∞(X)へ が(3.7)の

の 射 影 をXn″ とか き,Xn′=Xn-Xn″

分 解 を与 え る も の で あ る.{Xn′},{Xn″}が

る も の で あ る こ と は 次 の よ う に し て 証 明 さ れ る.い

とお く.こ

れ

定理 の条件 を満 足 す まXn,n∈I,の

張 る空 間

H∞(X)で

  (3.8) UXn=Xn+1, n∈I に よ っ て 定 ま る 線 型 作 用 素Uを

と る と,Xの

定 常 性 か らそ れ はH∞(X)上

ユ ニ タ リ作 用 素 に 拡 張 さ れ る.こ

れ も 同 じ記 号Uで

らHk(X)へ

表 わ す.こ

わ か り,さ

の射 影 作 用 素 をPkで らに 任 意 のhに

たH∞(X)か

れ ら の 定 義 か らUPk=Pk+1Uが

対 して

  (3.9)  が 成 り立 つ.さ

表 わ す.ま

の

UhPk=Pk+hUh らにPkXnはk→-∞

と し てXn″

に 強 収束 す る こ と に 注 意す

れば

と な っ て,X″nの 平 均 値(そ

れ は1と

の 内 積 で あ り,1はU不

数mと

な る こ と お よび 共 分 散 はX″nとX″n+hと

の 内 積 か らm2を

でhの

み に 依 存 す る こ と が わ か りX″={X″n;n∈I}が

変 で あ る)は

定

引 き 去 った も の

弱定 常 過程 で あ る こ と

が 証 明 さ れ た.   一 方X′nに {X′n;n∈I}も

つ い て も 上 の こ と か らUhX′n=X′n+hが 弱 定 常 過 程 に な る.E(X′n)=0で

導 か れ,や

は りX′=

あ る こ とはX′nがH-∞(X)に

直 交 す る こ とか ら 出 る.   各X″nはH-∞(X)に

 (3.10) 

属 し,か

つX′nは す べ てH-∞(X)に

お よび

直 交す るの で

で な け れ ば な ら な い.よ   一 意 性 はX″,X′

っ てX″

は 決 定 的,X′

を そ れ ぞ れ 決 定 的,純

り立 た な け れ ば な ら な い の で,必

は純 非 決定 的 とな る.

非 決 定 的 とす る な ら ば(3.10)が

然 的 にXn″がXnのH-∞(X)へ

成

の射影 とな る

こ とか ら 導 か れ る.   この 定 理 と 同 じ記 号 を 用 い て,次   系   定 常Gauss過

の 系 を 得 る.

程Xは(3.7)に

純 非 決 定 的 な 定 常Gauss過

よ っ て 決 定 的 な 定 常Gauss過

程X′ と に 分 解 さ れ,X″

  証 明   まずX′ とX″ とがGauss型 がGauss型

で あ るた め 定 理2.2に

分 系 と し てX′ もX″ か ら 出 る.ま

もGauss型

たGauss型

とX′

で あ る こ と を 示 す.そ

程X″

と

と は 独 立 に な る. れ は,{Xn;n∈I}

よ っ てH∞(X)がGauss型

と な り,そ

の部

に な る こ と に よ る.両

者 の 定 常 性 は 命 題3.1

確 率 変 数 系 で は 直 交 か ら 独 立 が 導 か れ る の でX′

と

X″ とが 独 立 で あ る こ と も知 ら れ る.   非 決 定 的 な 弱 定 常 過 程 が 与 え ら れ る と,こ

の 定 理 に よ っ て そ れ を 分 解 し,我

々 に と っ て興 味 の 薄 い 決 定 的 な 成 分 を 取 り去 る こ と が で き る の で,は

じめか ら

純 非 決 定 的 な も の が あ る と し て 出 発 し て よ い こ と が わ か っ た.   前 章 で 導 入 し た 標 準 表 現 の 概 念 は パ ラ メ ー タ ー 空 間 が 整 数 全 体Iの 張 され る.し   定 理3.2.  n∈I,は

場 合 に拡

か し そ の 存 在 とか 構 成 に つ い て は 余 分 な 注 意 が 必 要 とな る. 純 非 決 定 的 なGauss過

標 準 表 現 を も ち,そ

程X={Xn(ω);n∈I},E(Xn)=0,

の核 は

 (3.11)

と な る よ う に で き る.   証 明   ま ず,新 Hn(X)の

生 変 数 列 を 構 成 し よ う.Hilbert空

部 分 空 間 で あ る)のHn(X)に

ど1次

空 間Hn(X)はGauss型

し そ れ が0次

自 明 な 場 合 に な る の で, 

元 空間 と し て よ い.こ

れ は

お け る 直 交 補 空 間 

は 高 々1次 元 で あ る こ と は 定 義 か ら す ぐ に わ か る.も 性 か らXn=0,n∈I,の

間Hn-1(X)(そ

れ が 分 散 が1の

元 な ら定常 はち ょう

ベ ク トル ξnで 張 ら れ る と し よ う.

確 率 変 数 系 だ か ら ξnは 標 準Gauss分

布 に 従 う確 率

 ⅰ

変 数 とみ な せ る.さ

ら に こ う し て で きた{ξn;n∈I}は

そ し てHn(X)は    この{ξn}を

独 立 確 率 変 数 系 で あ る.

に よ っ て 張 ら れ る こ と も す ぐ に わ か る. 用 い れ ばXnは

と表 わ され る.ま た{ξn}の 構 成 法 を みれ ば,k
とな る こ と が わ か り,時 間 の パ ラ メ ー タ ー がI+を 当 す る 関 係 式 が 得 られ た.す

とき

動 く と き の 性 質(2.15)に

な わ ち 標 準 表 現{an,j,ξj}が

  次 に 定 常 性 か ら次 の 諸量 はnに

得 ら れ た.

無 関 係 で あ る こ と に 注 意 す る.

の 分散

) 

相

 た だ しXが

自明で な い

とす る).

の 共分散

と 

 ⅱ ) 

  0
符 号 の 自 由 性 し か 残 ら な い.一 つ を 選 ん でa0と

例 え ばh=2,h′=1と

an+2,n+1がnに

す れ ばa0・an+2,n+1がnに

書 く ことにす

無 関 係,す

なわ ち

無 関 係 な 数 と し て 符 号 も 含 め 一 意 に 定 ま る.こ れ をa1と

以 下h′
い ろ い ろ と動 か し て(3.11)が

よ うに,標

準 核 の 選 び方 は す べ て の 核an-jを

得 られ る.こ

か く.

の構 成法 か らわ か る

同時 に反 対 の 符号 にか え る と い

う 自 由 性 し か 残 ら な い.   [例]  §2.4例2で,パ

ラ メ ー タ ー空 間I+をIに

か え て 得 ら れ るGauss過

程

 (3.12)

は 定 常 過 程 を 定 義 し{acn-j,ξj}は   こ こで,前

節 で 定 義 し たMarkov性

標 準 表 現 で あ る. も や は りパ ラ メ ー タ ー 空 間 がIと

て も 同 様 に 定 義 され 定 理2.6も そ の ま ま成 立 す る こ と を 注 意 し て お く.

なっ

  系   純 非 決 定 的 な 定 常Gauss過

程X={Xn(ω);n∈I}がMarkov過

で あ れ ば,そ

れ は 前 例 の も の に 限 る.

  証 明   Xが

自 明 で な い と き の み を 考 え れ ば よい.定

在 し,そ

の 核 は(3.11)の

(2.20)の

よ うに 表 わ され る.ま

よ う に も表 わ し う る.し

ら標準 表 現 が存

たMarkov性

か ら標 準 核 は

た が っ て,an-j=anbj=an+1bj+1=…

であ

に注 意 して

り 

cはn,jに が 得 ら れ る.よ

無 関係 な 定数

って

an=a0cn, bj=b0c-j, 

で あ る.す

理2.5か

程

な わ ち(3.12)が

い こ と は(3.12)でXnの

  §3.2.  定 常Gauss過   定常Gauss過

n,j∈I

示 さ れ た.cの

分 散 

絶 対 値 が1以

下 で な ければ な らな

が有 限 で あ る こ と に よ る.

程 の ス ペ ク トル表 現

程 に は標 準 表 現 の ほか に も う一 つ の表 現 として スペ ク トル分

解 を用 いた表 現 が あ る.そ れ は も っ と一 般 に任 意 の弱 定 常過 程 に対 し て考 え ら れ る表 現 で あ る.こ の スペ ク トル表 現 は以下 に見 られ る よ うに複素 数 値 を とる 確 率変 数 の 中で 議 論す る と好都 合 な ことが 多 い.定 常 過 程 につ い て前 節 で述 べ た ことは諸 定 義,結 果 と も殆 どそ の ま ま複素 数値 を とる場 合 に拡 張 され るが, た だ一 つ だ け注 意 してお く こ とは 共分 散 に つ いて であ る.(3.2)は  (3.13)  E{(Xn+h-m)(Xn-m)}=γh(-は

共役複素数

を表わ す)

にかえ,(3.3)は

  (3.14) γh=γ-h, h∈I に お きか え な け れば な ら な い.も こ と に な る.

ち ろ んGauss過

程 は 複 素Gauss型

に かえ る

  さ て,課

題 の ス ペ ク トル 表 現 に つ い て そ の 趣 旨 を 説 明 す るた め 例 か ら 始 め る

こ とに す る.   [例]  次 式 で 与 え られ る 複 素 数 値 を と る 確 率 過 程X={Xn(ω);n∈I}を よ う.m=0と

し て お く.

 (3.15) 

定 数.

はす べ て 同 じ分 布 に従 う互 に独 立 な複 素Gauss

た だ し,Zk(ω),  型 確 率 変 数 列 で,E(Zk)=0と い ま,時

考え

間がhだ

す る.Xは

あ き ら か に 複 素Gauss過

け 推 移 し た と き を み る と(3.15)の

程 で あ る.

各項 はそれ ぞ れ

 (3.16) 

と 書 け て,{  従 い,さ

}内 の 各 確 率 変 数 は 再 び 複 素Gauss型

で,Zk(ω)と

同 じ分 布 に

ら に 上 記 の 確 率 変 数 系 は 元 の{Z1(ω),Z2(ω),…,ZN(ω)}と

布 を もつこ と が わ か る.こ

の こ と か らXが

同 じ分

定 常 過 程 で あ る こ とが 容 易 に 示 され

る.   も ち ろ んE(Xn)=0で

あ る.共

分 散 関 数 γhを 求 め て み よ う.E￨Zk￨2=σ2

とす る と

と な り,そ れ は

 (3.17)

と書 け る.   こ こ で 再 び(3.15)の

各 項 に 注 目 し て み よ う.(3.15)の

常 性 を も つ 確 率 過 程 の 素 子 の よ う に考 え られ る.そ み る こ とが で き て,2π/λkは

周 期(時

記 述 法 か ら各 々は定

れ は振 幅 のゆ らぐ単 振動 と

間 は 離 散 的 で は あ る が)に,￨ck￨はXn

を 構 成 す る と き の ウ エ イ トに 相 当 し て い る.第1図

はF(λ)の

グ ラ フ で あ るが ,

ど の よ うな 大 き さ のλkの と き に ど れ だ け の ウエ イ トが つ い てXnが

得 られ る

か を 示 し て い る.こ う考 え る と(3. 15)の

よ うに表 わ さ れ る定 常複 素

Gauss過

程 の 分 布 はFに

よ っ て

完 全 に 決 定 さ れ る こ とが わ か る. こ う し て,与 Gauss過

え られ た 定 常 複 素

程 を(3.15)あ

るい は そ

れ を 一 般 化 し た 形 に 表 わ し た り, 共 分 散 関 数 を(3.17)の

よ うに ス

ペ ク トル 分 解 す る こ と の 意 義 が 知

第1図 ら れ る.   [注 意1] 

この例 で(3.15)のZk(ω)の

代 りにeiΘk(ω),(Θk(ω)は[-π,π]上 の一 様

分 布に 従 う)を お いた も の もや は り定 常過 程 に な る(Gauss型

で は な い).こ れ は ラン ダ

ム位 相 モ デ ル と呼 ば れ応 用 上 重 要 な確 率 過 程 で あ る.   [注 意2]  例 に お け る複 素Gauss過 0,共

程 でckを

すべ て実 数 とし た とき,そ れ は平 均 値

分 散 関数 が

であ る(実)定   [注 意3] 

常Gauss過

程 の複 素 形(定 義2.3参

照)に な って い る.

また例 で,λkが すべ て異 な る と して お けばN個

の相 異 る時 点nk, 

の一 次 関数 として 表 わ され る.こ の こ と

をえ らぶ と,す べ て のZkがXnk, 

はXが 決 定 的 な定 常 過 程 で あ る こ とを 示 し てい る.

  以 上 を 準 備 と し て こ こで 一 般 論 に 移 ろ う.   与 え ら れ た 定 常 複 素Gauss過 で あ る と 仮 定 す る.そ らBochnerの

程 をX={Xn(ω);n∈I}と

し,E(Xn)=0

の 共 分 散 関 数 を γhとす れ ば そ れ は 正 定 値 で あ る こ と か

定 理 に よっ て

 (3.18)

と表 わ す こ とが で き る.こ を み た し,γhによって

こ にF(λ)は

単 調 増 加,右

一意 的 に 定 ま る.当

連 続 な 関 数 でF(-π)=0

然F(π)=γ0で

あ る.

  定 義3.3. 

共 分 散 関 数 γhの 表 現(3.18)を

decomposition)と function)と

い い,F(λ)を

い う.特 にF(λ)が

そ の ス ペ クト ル 分 解(spectral

ス ペ ク トル 分 布 関 数(spectral

distribution

絶 対 連 続 な と き,dF(λ)=f(λ)dλ

を ス ペ ク トル 密 度 関 数(spectral

density

function)と

と な るf(λ)

い う.

  測 度 論 に お け る結 果 を 用 い て,Fは  (3.19) 

F(λ)=Fa(λ)+Fs(λ)+Fd(λ)

と一 意 的 に 分 解 さ れ る こ と が わ か る.こ 連 続,連

続 か つ 特 異,離

こ にFa,Fs,Fdは

そ れ ぞ れFの

散 的 な 成 分 で あ る.

  こ の ス ペ ク トル 分 解 を 例 の(3.17)の

一 般 化 と み て,(3.15)の

た るXn自

複 素 数 値 を と る が,前

身 の 分 解 を 考 え よ う.Xnは

複 素Hilbert空

が 構 成 で き る.さ

絶対

一般 化 に あ 節 と同様 に し て

間の列

ら に 定 理3.1の

証 明で 導 入 し た よ うな

UXn=Xn+1, 

か ら 定 義 さ れ るH∞(X)上

n∈I

の ユ ニ タ リ作 用 素Uが

考 え ら れ る .そ

の ス ペ ク トル

分解 を  (3.20)

と す る.こ

こに{E(λ);λ

∈[-π,π]}はH∞(X)に

お け る 単 位 作 用 素Iの

分

解 で,E(λ)は

 (3.21)

を み た す 射 影 作 用 素 で あ る.こ

れ を 用 い てZ={Z(λ,ω);λ

∈[-π,π]}を

Z(λ)=E(λ)X0

で 定 義 す る.こ れ ま で{Xn}に対

して線型 演 算 しか施 さな か った ことか らZは

複 素Gauss型

確 率 変 数 系 で あ る こ とが わ か る.さ

<λ2<λ3<λ4の

ら に(3.21)を

用 い て,λ1

と きZ(λ2)-Z(λ1)={E(λ2)-E(λ1)}X0とZ(λ4)-Z(λ3)

={E(λ4)-E(λ3)}X0と

は 直 交,ゆ

{dZ(λ)}は

の ラ ン ダ ム 測 度 と な り,そ れ に は[-π,π]上

複 素Gauss型

なBorel測

え に 独 立 で あ る こ とが わ か る.す

度m(dλ)=E{￨dZ(λ)￨2}が

のf∈L2([-π,π],m)に

が 定 義 で き る(方

付 随 し て い る.し

なわ ち の有 限

た が っ て,任

意

対 し て確 率積 分

法 は §2.5と

同 様).

  と こ ろ で,

で あ る か らZ(λ)を

用いて

 (3.22)

と書 き表 わ さ れ る こ とが わ か っ た.こ   定 義3.4.  Xの

複 素Gauss過

ス ペ ク トル 表 現(spectral

う し て 期 待 し た(3.15)の

程X={Xn(ω);n∈I}に representation)と

う に 表 わ す こ とを ス ペ ク トル 分 解(spectral

一 般 化 が で き た.

対 す る表 現(3.22)を 呼 び,Xnを(3.22)の

decomposition)す

よ

る と い う.

  こ う し て 具 体 的 に ス ペ ク トル 分 解 の 方 法 を 示 し た か ら に は,(3.18)と(3.22) と の 関 係 は も は や 明 ら か で あ ろ う.実

際

とな る か ら 共 分 散 関 数 γhのス ペ ク トル 分 解 の 一 意 性 を 用 い て,m(dλ)=dF(λ) で な け れ ば な ら な い こ とが わ か る.

  §3.3.  定 常 過 程 の 標 準 表 現I(離   定 常Gauss過

散 パ ラ メ ー タ ー の 場 合)

程 の ス ペ ク トル 表 現 を 用 い て 標 準 表 現 を 構 成 す る こ と が 本 節

の 目標 で あ る.対 あ っ て,本

象 とす る の は 定 常 複 素Gauss過程X={Xn(ω);n∈I}で

節 で も常 に

  (A.1) 

E(Xn)=0,n∈I

を 仮 定 し て お く.そ

の スペ ク トル 表 現 を

 (3.23)

と し よ う.Hilbert空

とお く.対 応

間 

 (3.24)

を 線 型 的 に 拡 張 す れ ば{Xn;n∈I}の 素Gauss型 でL(F)の

張 るHilbert空

確 率 変 数 系 で も あ る)とL(F)と 元h(λ)に

で 表 わ さ れ るH∞(X)の

間H∞(X)(そ

れ は 複

の 同 型 対 応 が 得 られ る.こ の 対 応

対 して は確 率積 分

元 が 対 応 す る.そ

し て(3.8)で

定 義 さ れ る ユ ニ タ リ作

用 素Uは

の よ うに 作用 す る.こ うし て,H∞(X)で

の話 を関数 空 間L(F)に

移して議 論

す る こ とが で き る.   上記 の スペ ク トル表 現 を も とに して標 準表 現 の構 成法 を 述べ よ う.標 準 表 現 の存 在 を保 証 す るため我 々は   (A.2) Xは

純 非決 定 的 で あ る

を仮 定 しな けれ ば な らない(定 理3.2参 照,実 は(A.2)は

標 準表 現 が存 在 す る

た めの 必要 条 件で もあ る).そ うす れ ば独立 確 率変 数 列{ξn}が新 生変数 列 とし て存 在 して,各Xnは  (3.25)

と表 わ さ れ て い る筈 で あ る.一 方,{ξn}は dF(λ)は1/2π

互 に 独 立 だ か ら(3.23)に

・Lebesgue測度と な り各 ξnに はL2([-π,π])の

einλが 対 応 す る.し

た が っ て(3.25)の

に よ って 表 現 さ れ る.上 関 数 をL(F)で

右 辺はL2(-π,π])の

おけ る

元 と し ての

元 として

式 の 右 辺 をeinλφ(e-iλ)とお こ う.こ れ を 用 い て 共 分 散

み て(3.18)と

比 較 す れ ば 次 の関 係 が 得 られ る:

 (3.26)

す なわ ち 仮 定(A.2)の

も と で はdF(λ)が

φ(eiλ)は関 数 系{eikλ;k∈I+}に

絶 対 連 続 に な る こ とが わ か る.さ

よ っ て 張 ら れ るL2([-π,π])の

に あ る こ とを 注 意 し よ う.実 際, 

らに

部分空 間 の中

がφ(eiλ)のFourier級

数展開

の 係 数 に な っ て い る.   こ う し て表 現(3.25)の

核{cn-j}を

求 め る た め に は(3.26)の

ペ ク トル 密 度 関 数 の 平 方 根 φを 求 め れ ば よい こ とに な った.し

意味でのス

か し複素 数 の範

囲 で 平 方 根 を 選 ぶ の で あ る か ら そ の 選 び 方 に は 大 き な 自 由 性 が 残 さ れ て い る. 実 際 に は 標 準 表 現 は 一 意 的 だ か ら(3.26)を

み た す φ の 中 か ら適 当 な も の を 一

つ 選 び 出 す こ と が 残 され た 課 題 で あ る.そ

の 方 法 を 順 を 追 っ て 示 そ う.

 ⅰ) 標 準 表 現 の 核 を 定 め る φ に つ い て,そ

まず 

れ の み た す 必 要 条 件 を あ げ て み る.

で あ る.な ぜ な ら,も しφ(0)=0な

ら(3.25)か

らXnが

の 関 数 とな っ て し ま っ て 矛 盾 で あ る.  き,(3.25)が

ξk,

とお く と

標 準 表 現 を 与 え る と し た 仮 定 か ら,

E｛(E(Xn￨Bn-1(X))}2=￨c0￨2 で あ りc0の 絶 対 値 が き ま る.偏 φ(z)は￨z￨<1で決 とな るz0が

し て0に

角 は 適 当 に き め て 一 先 ずc0を

な ら な い.実

あ った と す れ ば, 

際,も

確 定 す る.ま

しφ(z0)=0,0<￨z0￨<1, とお く と

しか し

た

とな る.と

ころが

とな りXmはXと

直 交,す な わ ち 独 立 とな る.こ れ は矛 盾 で あ る.

 以上 か ら φ(z)は 単 位 円 内 で決 して0に な らな い解 析 関数 で あ るこ とがわ か った. ⅱ )  次 にlog￨φ(eiλ)￨が 可積 分 で あ る こ とを 示 す.ⅰ)か ￨z￨<1で

らlogφ(z)は

解 析的 で あ るこ とが知 られ るの で次 式 が な りた つ:

この 両辺 の実数 部 分 を とる と

で あ る.一

方,￨φ(eiλ)￨が 可 積 分((3.26)参

照)で

あ る こ ととJensenの

不

等式を用いて

が わ か る.こ

れ とFatouの

が 得 ら れ,故

に,す

ぐ上 の 評 価 と併 せ てlog￨φ(eiλ)￨の

(上 で 用 い た 記 号log-,log+は max(logx,0)を

定 理 とを用 い て

そ れ ぞ れlog-x=min(logx,0),log+x=

指 す.)

 ⅲ)  スペ クト ル 密 度 関 数dF(λ)/dλをf(λ)と に 等 し く,し た が っ て 

お く と そ れ は 

は 可 積 分 と な った.特

現 に 付随 して知 られ た関 数 で あ る ことを注 意 す る.い 開を

可 積 分 性が 示 された .

に これ は ス ペ ク トル 表

まそ のFourier級

数展

とす る.た

だし

a-n=an

と す る.こ

のFourier係

数 を用 い て

と お け ば,g(z)は￨z￨<1で

解 析 的 で あ る.さ

らに

(Reは 実 数 部 を示 す) は調和 関数 で あ り,境 界値 

に よ って 

を と る こ と が わ か る.そ

こで

を定 め,解 析 関 数

 (3.27)

を 定 義 し よ う.こ れは 単位 円内 に0点 を もた な いHardyの

ク ラ スH2に 属 す

る関数 とな る.そ れ は

(Poissonの

(Jensenの

か らわ か る.よっ てc(z)の

境 界値 が存 在 し て

公 式)

不 等 式)

 ⅳ

が 示 さ れ る. ) 一 方,φ(z)に

つ い て は,log￨φ(z)￨が￨z￨<1で

調 和 関数 に な る ことか ら

(Fatouの

補 題)

よ ってlog￨c(reiλ)/φ(reiλ)￨は 非 負 調 和 関 数 に な る.  ⅴ)  こ こで(3.24)の

対 応 に も ど る.L(F)の

元

 (3.28)

を 考 え る と, 

￨z￨

よ っ て 張 ら れ るL(F)の

<1,で

あ る こ とか ら こ の 関 数 は 

部 分 空間L0(F)に

属 す る.さ

に

らに

 (3.29)

はL0(F)に

直 交 す る.そ

と る こ と が で き て,内

れ はL0(F)を

張 る 要 素 と し てeikλ/c(e-iλ), 

積 をみ る と

と な る こ とか ら知 ら れ る.   これ をH(X)の

言 葉 に直 す と,(3.28)はX1のH0(X)へ

の 射 影 に,(3.29)

を

はX1のH0(X)に

直 交す る成分 に相 当す る.後 者 の分 散 は 以下 の様 にな る.

 (3.30)

(あ と で この 式 に 再 び 戻 る こ と が あ る). これ はlog￨c(0)/φ(0)￨=0を は 原 点 で0と ら な い.す

示 す.ⅳ)の

結 果 と あ わ せ る と,log￨c(z)/φ(z)￨

な る非 負 調 和 関 数 と な る た め 単 位 円 内 で 恒 等 的 に0で な わ ちlog￨c(z)￨=log￨φ(z)￨,￨z￨<1,で

解 析 関 数 は,α

を あ る 実 数 と し て,定

あ る.こ

な けれ ば な う し て 二つ の

数eiα の 因 数 だ け し か 違 わ な い.す

なわ

ち

で あ る.こ

の よ う な 違 い は 標 準 表 現 の 核 と し て は 許 容 さ れ る 自 由 性 で あ る.

 ⅵ)  最 後 に 新 生 変 数 列 の 構 成 で あ るが,そ さ れ て い る こ と で あ る.す

な わ ち,ξnはL(F)で

れ はⅴ)の 段 階 で 実 質 的 に は,な はeinλ/c(e-iλ)に相 当 す る.

いま

とかけ た とす れば  (3.31)

が ξnを 求 め る 公 式 と な る.   以 上 を ま と め て 次 の 定 理 を 得 る.   定 理3.3.  {Xn(ω);n∈I}と

仮 定(A.1),(A.2)を

み た す 定 常 複 素Gauss過

程 をX=

す る.

 ⅰ)  ス ペ ク トル 測 度 は 絶 対 連 続 で あ り,そ の 密 度 関 数f(λ)は

 ⅱ )  標 準表 現(が 存 在 し て)の核  除 い て 一 意 に 決 定 され,そ

れ は(3.27)に

は絶対 値1の 共 通 な 因数 を よ っ て(c′jをcjと

お く)与

え られ

る.  ⅲ)  新 生 変 数 列 は(3.31)に

  こ こ で,上

よ っ て 構 成 さ れ る.

の 定 理 に つ い て 若 干 補 足 し て お き た い.

の構 成 法 の ア イデ ィアを説 明す るた め,上

 1)  核 

記ⅰ)∼ⅴ)

の よ うな手 順 を 追 ったが,事 情 が は っ き りし た以 上 はc(e-iλ)を 一 挙 に 求 め る 方 法 を 知 っ てお く こ とが好 都 合 で あ ろ う.ス ペ ク トル 密 度関 数f(λ)が

与え ら

れ た とき,単 位 円 内 の関 数c(z)は  (3.32)

で 与 え ら れ る.   2)  一 般 にHardyの

ク ラ スH2に

属 す る 関 数a(z)で

a(0)>0 かつ

を み た す も の の 全 体 を 考 え る.そ は,c(z)は

こ の よ う なa(z)の

の と き,ⅳ)の

議 論 か ら 知 ら れ る よ う に,実

中 で 絶 対 値 が 最 大 とな る も の と し て 特 徴 づ け

ら れ る.

  [例]  定 常 複 素Gauss過

程X={Xn(ω);n∈I}の

スペ ク トル密 度 関 数

f(λ)が 次 の 形 で あ っ た と し よ う.

 (3.33)

こ の と き(3.32)に

よ っ て 定 ま る 関 数c(z)は

の形 とな り,そ の係 数 か ら得 られ る 

が 標 準表 現 の核 とな る.

  一 方,(3.25)の

よ うな 移 動 平 均 表 現 を 与 え るが 標 準 表 現 で は な い よ うな 核 を

与 え る も の と し て 次 の よ う な 簡 単 な 例 が あ る.そ

を 考 え れ ば よい.そ

れ は 上 記2)のa(z)と

して

の と き次 の 関 係 が な りた つ.

  §3.4.  定 常過 程 の標 準表 現Ⅱ(連

続 パ ラ メ ータ ー の場 合)

 連 続 パ ラメ ー ター を もつ定 常 複素Gauss過

程X={X(t,ω);t∈R}に

つい

て前節 に対応 す る諸結 果 を述 べ るが,ア イデ ィアは 前節 と全 く同 じで あ るの で こ こで は 手法 にお け る相違 点 の みに 注意 し,証 明は省 略 す る こ とに した い.出 発 点は や は りXの

スペ ク トル表 現 で あ る.記 号 の 張 るL2(Ω,P)の の 張 るH∞(X)の

を導 入 す る.§3.1の

ユ ニ タ リ作 用 素Uに

部 分 空 間, 部 分 空 間,

対 応す る もの は

UtX(s)=X(s+t) に よ っ て 定 ま るH∞(X)上 に そ れ は 可 換 な1-パ

の ユ ニ タ リ作 用 素 の 系{Ut;t∈R}で

あ る.明

らか

ラ メ ー ター群 を な す: UtUs=Ut+s,t,s∈R.

こ こ で 次 の 仮 定 を お く.

  (A.3) X(t)はtに

関 し て 平 均 連 続 で あ る.

こ の 仮 定 の も と で はUtはtに Stoneの

定 理 が 使 え て,ス

つ い て 強 連 続 と な り,{Ut;t∈R}に

対して

ペ ク トル 分 解 {E(λ);λ

∈R}は

単 位 作 用 素Iの

分解

が で き る.E(λ)X(0)=Z(λ)と つ 複 素Gauss過

お く と,Z={Z(λ,ω);λ

程 に な る.そ

∈R}は

独立増分をも

し てX(t)=UtX(0)はdZ(λ)に

よ るWiener

積 分 で 表 わ さ れ る:

 (3.34)

これ が 連 続 パ ラ メ ー タ ー の 場 合 の ス ペ ク トル 表 現 で あ る.そ れ は 離 散 パ ラ メ ー タ ー の 場 合 の ス ペ ク トル 表 現(3.23)に   定 常 過 程Xの

対 応 す る.

ス ペ ク トル 測 度dF(λ)は E(￨dZ(λ)￨2)=dF(λ)

に よっ て与 え られ る.こ の測 度 を 用 い て標 準表 現 の核 を構 成 し よ う.そ れ は, §3.3の 議 論 か ら容 易 に 知 ら れ る よ う にt-uの

と書 け

関 数G(t-u), 

る 筈 で あ る.   仮 定(前

節)(A.1),(A.2)は

自明 な言 い か えで連 続 パ ラメ ー タ ーの場 合

に な お せ る.そ

れ と(A.3)が

我 々 の 仮 定 の す べ て で あ る.L(F)は

{eitλ,t∈R}で

生 成 さ れ るR上

な る こ と は 前 と同 じ で あ る が,そ 考 え る解 析 関 数,Hardyの る.以

の 関 数 空 間 で あ る.測

度dF(λ)が

こ こで は 絶対 連 続 に

の 密 度 関 数 の 平 方 根 を う ま くみ つ け る た め に

ク ラ スH2等

はす べ て下 半平 面 で 考 え る こ と に な

上 の 注 意 の も と に 定 理 を 述 べ よ う.

  定 理3.4.  (A.2),(A.3)を

定 常 複 素Gauss過

程X={X(t,ω);t∈R}が

仮 定(A.1),

み たせ ば

 ⅰ)  ス ペ クト ル 測 度 は 絶 対 連 続 で あ り,そ の 密 度 関 数f(λ)は

で あ る.  ⅱ )  標 準 表 現 の核G(t-u)は  (3.35)

次 の よ う に し て 求 ま る.ま

ずc(w)を

で 定 義す る とそれ は下 半 平面 でHardyの

ク ラスH2に

属 す る.そ の境 界 値

は次 の関 係

を み た し,そ

のFourier変

特 に,c(u)はu<0の Brown運

換c(u)がG(u)と

と き に0と

動 か ら く るGauss型

な る:

な る関 数 で あ る.こ

の こ と か らX(t)は

の ラン ダ ム 測 度{dB(u)}が

複素

存 在 して

 (3.36)

とか け る こ とが わ か る.   [注 意1]  定 理3.3ⅲ)の

よ うに新 生 過 程 の構 成 をc(λ)を 用 い て言 う こ と は 困難

で あ る.実 際,離 散 パ ラ メー タ ーの場 合 と違 って,今 回 はG(t-u)は

積分 作 用 素 とな る

ので,そ の逆 作用 素 を 具体 的 に言 うこ とは 簡 単 では ない.   [注意2]  前 節 の終 り2)で

述べ たa(z)に

あた る もの は こ こで は 次 の よ うに 表 わす

こ とが で き る.

(3.37) ただ しΠ(w)はBlaschke積

で あ り,dχ(λ)は特異 な測度で,ま た βとαは ともに 実

数であ る.   最後 に重 要 な注 意 が あ る.前 節 で もそ うで あ ったが我 々は い つ も 定 常 複 素 Gauss過

程 か ら出発 した.途 中 の議 論 を みれ ば 明 ら かな よ うにdZ(λ)の

そ の他 にお い て常 に最 初 の 複素Gauss型

確 率変 数系H∞(X)の

構成

中 で行 わ れ て

い て,決 してそ の 外 に出 る こ とは ない.い ちい ち途 中 で触れ る ことは しな か っ たが,用

い られ た確 率 変 数(あ るいは 系)の 分布 は 直 ち に言 う ことが で き る.

この注 意 は付 記 してお くに値 す るこ とで あ ろ う.な お(実)定 が与 え られ た らそ の 複素 形(§2.3参

常Gauss過

程

照)を 考 え,表 現 を得 て後 にそ の実 数 部

分 を とれ ば よい.こ の と き標 準表 現の 核 は実数 値 に とる こ とが で きて,積 分 も

(実)Wiener積

  第3章   Gauss型

分 と な る.

の解 題 定 常 過 程 全 般 に つ い て は,I.A.

に 詳 し く書 い て あ る.H. に あ る.§3.1で 第2章

Woldの

Gauss過 た め,表

Rozanov(1970)

分 解 に つ い て の オ リジ ナ ル は,彼 の 書(1938)

用 い た ス ペ ク トル 分 解 に つ い て は,例 え ばK.

が 必 要 な 情 報 を 与 え る.ま

に つ い て はK.

Ibragimov-Yu.A.

た 関 数 論 的 な 知 識,特

Hoffman(1962)を

程 の 表 現 は,K.

Karhunen(1950)に

現(3.36)をKarhunen表

的 推 定 論 の 展 開 は,U.

見 ら れ た い.連

Grenander-M.

Yosida(1951)

にHardyク

ラ スH2

続 パ ラ メー ター定 常

よ っ て 最 初 に な さ れ た.こ

現 と も よ ぶ.こ

の

の表 現 か ら出発 し た統 計

Rosenblatt(1957)に

あ る.

第4章   Gauss過

程 の標準 表現 の一 般論 と重 複 度

  §4.1.  ラ ン ダ ム 性 の 動 き   ま ず ラ ン ダ ム 性 の 時 間 的 な 動 き に つ い て,い え方 を 紹 介 す る こ とか ら始 め よ う.本 も つGauss過

程X={X(t,ω);t∈I},Iは

  時 間 が 連 続 的 に 変 化 す る場 合 は,当 に 複 雑 な 様 相 を 呈 す る が,こ 述 べ るGauss過

ろい ろな角 度 か らの 大 まか な考

章 で扱 うのは すべ て連続 パ ラ メー タ ーを 区 間,で

あ る.

然離 散 パ ラメー タ ーの ときに比 べ て遙 か

の と き 最 も著 し い 現 象 の 一 つ と し て あ と で 詳 し く

程 の 重 複 度(multiplicity)と

い う概 念 が 新 た に 生 ず る こ と

が あ げ られ る.   一 般 に,ラ

ン ダ ム 性 が 時 間 と と も に 推 移 し て い く模 様 を 調 べ た りそ の 特 徴 を

記 述 し た りす る に は 次 の よ うな 方 法 が と ら れ て い る.   1°)  対 象 と す る確 率 過 程{X(t)}に

対 し て 任 意 に 有 限 個 の 時 点t1,t2,…,tn

の構 造 を 調 べ る

を選んで同時分布 

方 法 は 最 も一 般 的 で あ る.こ の よ うに み た と きの典 型的 な場 合 としてMarkov 性 が 考 え られ る.そ の ときは上 の同 時分 布 は,2時

点を きめ て定 ま る条 件 つ き

確 率(推 移確 率) 

に よって完 全 に 決 定 さ れ

る.そ の事 情 は §2.4で 述 べ た離 散 パ ラメ ーター の場 合 と同様 で あ り,現 在 を 知 れ ば過 去 と未来 とが独 立 と考 えられ る とい う直観 的 説 明が 可 能 にな る.こ の よ うな見 方 か ら ラ ンダ ム性 の 時間 的 な推 移を 眺 め る と き,自 然 にMarkov性 を一 般 化 した 多重Markov性

の概 念 に到 達 す る.こ れ は後 章 で詳 し く述 べ

る.   2°)  時 間 を表 す パ ラ メー タ ーtが

連 続 的 に変 化 す る とす れ ばtに 関 す る 連

続 性 とか微 分可 能 性 な どの解析 的 性質 を み る こと も大 切 な方 法 で あ る.特 に偶

然 を表 象 す るパ ラメ ー タ ー ωを固 定 しX(t,ω)をtの 関 数 とみた とき,す な わ ち 見 本 関数 の解 析 的 性質 は応 用上 か ら も大 い に興 味 の あ る と ころで あ る.こ れ は 重要 な研 究 課 題 で あ り,特 にGauss過

程 につ い て は多 くの結 果 が知 られ て い

るが,本 書 の主 題 とは趣 を異 にす る内 容 で あ る ので それ には 立 ち 入 ら ない こ と に す る.し か し確 率変 数 系{X(t)}のtに

つい て の 平均 連 続 性 あ るい は確 率 連

続 性 な どは,似 た 概念 で扱 い が 容 易で あ りまた そ れ を仮 定 す るのが 好都 合 な こ とが 多 い.い ず れ に し て もそ れ らは時 間 的 に い っ て局所 的 な ラン ダム 性 の動 き をみ る一 方 法 と考 え られ よ う.   3°)  次 に強 調 した い 手法 は,特 にGauss過

程 に限定 して の話 で あ るが,こ

の章 の標 題 に もな って い る重 複 度 を考 え る方 法 で あ る.こ れ につ い て い ろ い ろ な直 観 的説 明が 与 え られ よ うが,正 確 には 次 節 の定 義 を見 て頂 く こ とに して, 大 よそ の ア イデ ィアを こ こに述 べ てお きた い.離 散 パ ラメ ー タ ーを もつGauss 過程 につ い て第2章 で出 て きた新 生 過 程(innovation)を 各 瞬 間 にそ のGauss過

思 い出 そ う.そ れ は

程 が獲 得 した 新 し い情 報 を表 わ し,過 去 と独 立 な 確 率

変 数 で あ った.連 続 パ ラメ ー タ ーの場 合 に,こ の新 生過 程 に 当 る もの を類 推 す る とす れ ば それ は ホ ワイ トノイ ズ あ るい はBrown運

動 の増 分 とい う こ とにな ろ

う.し か し実 際 は こ うい った安 易 な類 推 で は不 完 全 な の で あ る.重 ね て,時 間 が連 続的 に動 い て い る ことを強 調 し よ う.そ の連 続 性 に ま ぎれ て新 生過 程 は 幾 重 に も は い り込 む こ とが で き るので あ る.こ うして 生ず る重複 性 に は い ろ い ろ な成 因が あ って,ま だ す べ て の可 能性 が 捜 し尽 され て は い な い けれ ど も例 は あ げ る こ とが で き る.一 番 考 え 易 い の はや は り離 散 パ ラメ ー ター の場 合 の話 を持 ち 込 む こ とで,区 間Iか

ら可 算 個 の 時点 を と って離 散 パ ラ メ ー タ ーGauss過

程 を対 応 させ,ま た別 な可 算 個 の 点 をIか ら とっ て前 と独立 な過 程 を対 応 させ る.こ うし て無 限 に多 くの独 立 な過 程 をIに 埋 め込 む ことが で き る.こ で き る連 続 パ ラ メ ータ ーGauss過

うして

程 は無 限 に 多 くの新 生 過程 を内 蔵 して い る

ことに な ろ う.こ の説 明 は正 確 で は な いが,新 生 過 程 の重 複 性 がお こ る事 情 を 想像 させ るも ので あ る.ま た これ とは 全 く異 質 の成 因 とし て次 の よ うな場 合 が 考 え られ る.§2.5で み た よ うにBrown運

動 は あ ら ゆ る意 味 で 典型 的 なGauss

過程 で あ る.そ の 見 本 関数 はすべ て連 続 で は あ るが,微 分可 能 で は な い.(実 は   次,ε>0,のHolder連

続 性 を も つ)こ

のBrown運

も見 本 関 数 の正 則 性 が は っき り違 って い るGauss過 和 で あ るGauss過 をBrown運

動 とは独 立 で しか

程 との和 を考 えて み よ う.

程 の見 本 関 数 を 観 測す る と き,正 則 性 を考 慮 す れ ば,そ れ

動 の見 本 関 数 とも う一方 のGauss過

程 の見 本 関 数 との和 に 分解

で きよ う.換 言 す れ ば,和 と して表 わ され たGauss過

程 は も との二 つ の 過程

の もつ 情 報 を些 か も減 らす こ とな く送 り続 け て い る こ とを意 味 し て い る.い わ ば 両者 の もつ新 生 過 程 は,和 を と る ことに よっ て も退 化せ ず 完 全 に保 存 され て い る ことに な る.こ うし て2重 性 が説 明 され る.こ の例 を雑 音 の モ デル と して み れ ば,一 般 に雑 音 は 単一 の雑音 とし て処理 し切 れ な い ことを 示唆 す る もの と 考 え られ る.こ こで 単一 の雑 音 とい うの は,サ ン プル の解 析 的性 質 が 同 質 の も の で あ る ことを意 味 す る.   上記3°)の

方 法 につ いて 注 意 をつ け 加 えた い.そ れ は,3°)の

ち重 複度 を 考 え る立 場 はGauss過

方法すなわ

程 の標 準表 現 を 一般 的 に論 じ よ うとす れ ば,

自然 に我 々が遭 遇 す る と ころで あ り,ま た 標 準表 現 を考 え る立 場 に立 た な け れ ば 決 し て導 入 す る こ とが で きな い もの だ とい うこ とで あ る.   前 書 きが 長 くな った が標 準表 現 と重 複 度 の 位置 づ け と意義 は多 少 明 らか に な った と思 う.そ こで 本 論 に進 む ことに し た い.

 §4.2.  標 準 表 現 と 重 複 度   Gauss過

程X={X(t);t∈I}に と お こ う.さ

と定 義す る.記 号  意 味 で あ る.標

の 過 去 の 張 るσ-加法 族 を 

ら に, 

は{Bu(X),u
張 る 最 小 の σ-加法 族 と い う

準 表 現 の 正 確 な 定 義 は 次 に よ っ て 与 え ら れ る.

  定 義4.1.  Gauss過  (4.1)

対 し て,そ

程Xに

対 し て 独 立 増 分 を も つGauss過

程B={B(t);t∈I},

が 存 在 し て 次 の 条 件(I.1)∼(I.4)を   (I.1)  各Bi(t)(i=1,…,N)は

み た す と す る: 独 立 な 増 分 を 持 ち,E(￨dBi(t)￨2)=mi(dt)

は 連 続 な 測 度 を 定 義 し,mi+1はmiに i=1,2,…,で  (I.2) 

関 し て 絶 対 連 続:mi(dt)≫mi+1(dt)

あ る.

各Blj(t)(l=1,2,…,Lj;j=1,2,…,J)は

また は   (4.2)

また は で,Bljは

す べ て 標 準Gauss分

布N(0,1)に

  (I.3)  各 座 標 の 確 率 過 程Bi,Bljは   (I.4)  各tに

対 し て,確

従 う.

互 に 独 立 で あ る.

率1で

 (4.3)

と 書 け る.但

し,2変

を み た し,関

数blj(t)はt
  こ の と き,各tに Bt-(X)=Bt-(B)が

数 関 数Fi(t,u)は

た  M=max{N,L}を

対 し て,

対して

対 し て,Bt(X)=Bt(B),Bt+(X)=Bt+(B)お

たBをXの

  標 準 表 現 に 関 連 し て,重

tiplicity)と

な り,各tに

な りた て ば,XはBに

現 され た と い う.ま

  定 義4.2. 

各tに

よ び

関 し て 標 準 的(canonical)に

新 生 過 程(innovation)と

表

い う.

複 度 の 概 念 が導 入 され る.

標 準 表 現(4.3)に

お け るNをXの

い う.Lj(j=1,2,…)を を 離 散 重 複 度(discrete

単 にXの

連 続 重 複 度(continuous

mul

時 点tjに お け る 離 散 重 複 度 と い い ,ま multiplicity)と

重 複 度(multiplicity)と

い う.さ

よ ぶ.

ら に,

  定 義4.3. 

測 度mi(dt)=E(￨dBj(t)￨2)(i=1,…,N)をXの

トル 測 度 と い い,そ

連 続ス ペ ク

れ ら の 作 る 系{mi(dt);i=1,…,N}をXの

連 続 スペ ク ト

ル 測 度 系 と い う.   [注 意]  Gauss過

程Xか

Lj(j=1,…,J),及

び 連続 ス ペ ク トル測 度 系{mi(dt)}はXか

ら,新 生 過程Bの

選 び方 は い く通 りもあ るが,重 複 度N, ら唯1つ

きま るの であ

る.こ の こ とは,次 の表 現定 理 に述 べ る.   [例]  Brown運

動B={B(t);t∈I}は,そ

の ま ま の 形 で1次

動B(t)=B(t)に

関 し て 標 準 的 に 表 現 さ れ て い る.も

びm1(dt)=dt(ル

ベ ー グ測 度)で

あ る.なお

ち ろ んN=1,L=0及

標 準 表 現 と指 定 し な け れ ば,他

表 現 が 存 在 す る こ と は,後

に 示 す で あ ろ う.

  以 下,断

ら な い 限 りXに

つ い て 次 の 仮 定 を お く(68頁

  (A.1) 

E(X(t))≡0,

の

の 記 号 参 照):

純 非 決 定的,

 (A.2′) 

  (A,3′) 

H∞(X)は

  定 理4.1. 

(Ⅰ) Gauss過

て(4.3)の

元Brown運

可 分. 程X={X(t);t∈I},但

しI=[0,∞),に

対 し

形 の 標 準 表 現 が 存 在 す る.

  (Ⅱ)  さ ら に,Xが

別 の標 準 表 現

 (4.3′)

を 持 つ とす れ ば,N=N,mi∼mi(同 …)及

等),mi(du)=E(￨dBi(u)￨2)(i=1,2,

び{t1 ,t2,…}={t1,t2,…}で,tj=tkな

  [注 意]  定 理4.1はI=[0,∞)と るい は(-∞,∞)で

して与 えた が,あ

らLj=Lkで

あ る.

とでみ る よ う にIが 有 限 区 間 あ

あ って も本 質 的 な 相異 はな い.

  以 下 に お い て 段 階 を 追 っ て こ の 定 理 の証 明 を 与 え よ う.   証 明  ⅰ)  Gauss過 2,…}を

程Xは

可 分 で あ る か ら,可

算 個 の 時 点{τi∈I;i=1,

と り

の 生成 す る σ-加法 族) で あ る よ うに で き る.次

に

と お く.も

ち ろ んMi={Mi(t);t∈I*}はGaussマ

こ でI*はIの

ル チ ン ゲ ー ル で あ る.こ

拡 張 で 次 の よ うに 順 序 を つ け た も の で あ る:

  I*=I∪{t-;t∈I}∪{t+;t∈I}で,t
な らばt-
 ⅱ ) 

ル チ ン ゲ ー ル の 系{Mi;i=1,2,…}か の 系{Ni;i=1,2,…}を

ら互 に 独 立 なGaussマ

次 の 方 法 で 構 成 す る.ま N1(t)=M1(t), 

と お き,以

下帰納的に

とお く.こ

う し て 作 っ たGaussマ

同 様 に 定 義 し よ う.マ ル チ ン ゲ ール

ず

t∈I*

ル チ ン ゲ ー ルNj={Nj(t);t∈I*}は

互 に

独 立 で あ り,

が な りた つ こ と が 簡 単 に わ か る.但 の た め に,Niが

マ ル チ ンゲ

t∈I*.念

し, 

ー ル で あ る こ と を 示 そ う.t>s,(t,s∈I*)と

し て,

 (4.4)

で あ る が, 

と 

は 作 り方 か ら独 立 で あ る ことが わ か る

か ら,  (4.4)の が 確 率1で  ⅲ) 

右 辺

な り た つ の で あ る. マ ル チ ン ゲ ー ル の 系{Ni;i=1,2,…}に

対 し て,

Ai(t)=E(Ni(t)2)/E(Ni(τi)2), 

と お く.Ai(t)はI*上

t∈I*

の 増 加 関 数 で あ り, 

と な る 時 点 は 高 々 可 算 個 で あ る.さ

ら に,Miの

か ま た は  作 り方 に 戻 っ て み る と,

で あ り,従

って

も な りた つ.こ Ai(t)=1で

の こ とに 注 意 す れ ば, 

あ る こ とが わ か る.こ

上 の 測 度 の 系{mi*(dt);i=1,2,…}を

作 ろ う.将 来,こ

トル 測 度 系 を 構 成 す る の で あ る.ま

とお け ば,A(t)も i=1,2,…,が

度関数 

を み た す.さ

下, 

れ か らI上

の スペ ク

ら に,dA(t)≫dAi(t),

っ て,Radon-Nikodymの

が 存 在 し て,dAi(t)=αi(t)dA(t)と

とお こ う.以

ら,I*

ず,

増加 関 数 で あ り 

な り た っ て い る.従

に 対 し て は,

で あ り, 

の 増 加 関 数 の系{Ai;i=1,2,…}か

定 理 に よ り,密

書 け る.こ

こで,

を 帰納 的 に定 義 す る:

構 成 法 か ら わ か る よ う に,各jに対

し て 集 合Δij(i=1,2,…,j)は

互 に 素 で あ り,

 で あ る. こ こ で,

但し

 (4.5) 

と お こ う.m*i-1(dt)≫m*i(dt)お

よ びdA(t)≫m*i(dt)(i=1,2,…)が

各iに 対 し て測度m*iを 連続 部 分miと  (4.6)

不 連 続 部分 に分解 し て,

わ か る.

と す る.た

こ の と き,各iに

だ し,δtj±(dt)=1,dt∋tj±;=0 

つ い てmi-1(dt)≫mi(dt),

m±i-1,j=0な

mj(dt)(i=1,2,…,N)は,I*の

ら ばm±i,j=0が

連 続 測 度 で あ る が,そ

わ か る.な

の ま まIの

お,

連 続 測度

と も み な さ れ る こ と に 注 意 し よ う.  ⅳ)  第ⅲ)段 2,…}か

ら,表

で 行 った 操 作 を 基 礎 に し て マ ル チ ン ゲ ー ル の 系{Ni;i=1, 現 に 使 う 新 生 過 程(Gauasマ

{B(t);t∈I*}を

作 ろ う.(4.5)で

と お こ う.こ

ル チ ン ゲ ー ル で あ る)B=

使 っ た 関 数χij(s)を

再 び 用 い て,

の と き,

が な りた つ.さ

らに 独 立

で あ る こ と が,系 

但 し 

が独 立 で あ る ことか らわ か る.さ らに定 義 の しか た か ら直 ち にわ か る よ うに, 但し で あ り,従

っ て 

が な りた つ.最

が わ か る.分

と し て,

初 か ら 通 し て み れ ば,

解(4.6)に

対応 し て

と独 立 に 分 解 で き る こ と は 明 白 で あ ろ う.第ⅲ)段 Bi={Bi(t);t∈I*}は,そ

の 終 りで 述 べ た の と 同 様 に,

の ま まBi={Bi(t);t∈I}と

考 え て よ い.ま

た,

{Bi,i=1,2,…;Bitj-,j=1,2,…,i=1,2,…;Bitj+,j=1,2,…,i=1,2,…,}

は 独 立 確 率 変 数 系 を な す こ とも直 ち に わ か る.但 し,Bitj-やBitj+は,す

べ て標 準

Gauss分

解(4.6)

布N(0,1)に

従 う確 率 変 数 で あ る.{tj;j=1,2,…}は,分

に よ り高 々 可 算 集 合 で あ る が,各tjに

対 し て,{Bitj-,Bitj+;i=1,2,…}

を 一 列 に 並 べ 直 し て,{Blj;l=1,…,Lj}と

す る.そ

し て,

のとき

お よび の とき

とお く.以 上 で 定 ま っ たBjとBliを

用 い て(4.1)に

よ っ てB={B(t);t∈I}

を 定 義 す る.  ⅴ)  BがXの

新 生 過 程 で あ る こ と を 示 そ う.(I.1),(I.2)及

み た す こ とは,ほ

ぼ 明 ら か で あ ろ う.(I.4)を

数f=f(ω)がBs(X)-可

もGauss型

以 下 で 証明 す る.一

測 で,{X(t);t∈T}∪{f}がGauss型

と お く と,L(t)はGaussマ

び(I.3)を 般 に確 率 変

で あ る とす る.

ル チ ン ゲ ー ル で あ り{X(t);t∈T}∪{L(t);t∈T*}

で あ る(§2.2参

に 注 意 す る と,

照). 

(a.e.P) と書 け る.こ

こで,Fj(u)は

を み た す.f=X(t)と

可 測 関 数,bljは

お け ば,各tに

定数で

対 し て,Fi(u)=Fi(t,u),blj=blj(t)が

定 ま り,表 現(4.3)が

得 られ た.Bt(X)=Bt(B)等

 ⅵ )  最 後 に 定 理 の 主 張(Ⅱ)を に 注 意 す る.た

は,表

は 第ⅳ 段 か ら 明 白 で あ る.

証 明 し よ う.ま ず,Bt(B)=Bt(X)=Bt(B)

だ し,

現(4.3′)に

対 応 す るXの

新 生 過 程 とす る.ま

ず 測 度miとmi,(mi(du)

=E(￨dBi(u)￨2),が

互 い に 絶 対 連 続 で あ る こ と を 示 そ う.Bi={Bi(t);t∈I}

はBt(B)(=Bt(B))が

関 し て 連 続 な マ ル チ ン ゲ ー ル で あ る か ら,離

ペ ク トル に 対 応 す る 不 連 続 な マ ル チ ン ゲ ー ルBlj=(Blj(t);t∈I)は

と 書 け る.こ

で あ る.従

現れず

の と き,

に注 意 す ればmi(du)≪m1(du),

っ て, 

特 にm1(du)≪m1(du)で ≪m1(du)も

言 え る.一

あ る こ と が わ か る.同 般 のnに

様 の 議 論 に よ っ て,m1(du)

つ い て 証 明 す る た め に,mi(du)∼mi(du)

 を 仮 定 す る.mn+1(du)≪mn(du)だ

か ら,mn+1(du)=β(u)mn(du)

と な る 密 度 関 数 β(u)が 存 在 す る(Radom-Nikodymの =0}と

散的なス

お い た と きmn+1(A)=0を

と に な る.mn+1(A)=0と,Gaussマ

定 理).A={u;β(u)

示 せ ばmn+1(du)≪mn+1(du)が

言 えた こ

ル チ ンゲ ール

 (4.7)

が 確 率1で0で

あ る こ と と 同 値 で あ る.と

  を 使 え ば,nま

で の和

こ ろ で(4.7)の

右 辺 はmi(A)=0,

と な る.ま

た

 (4.8)

は 互 に 独 立 な マ ル チ ン ゲ ー ル で あ る か ら,

で あ る.(す

な わ ち,ベ

ク ト ル αi(u)=(αi1(u),…,αin(u))(i=1,…,n)は,

L2(m1,m2,…,mn)={(f1,…,fn);fi∈L2(A,mi)}の る).一

方,集

合Aの

上 で 測 度mnに

αi(u)(i=1,2,…,n)は1次

合Dでmn(D)>0と

元 と し て 直 交 し て い 関 し て,ほ

独 立 で な く て は な ら な い.実

な る も の が 存 在 し て,あ

と 書 け る と す れ ば,マ

際,Aの

対 し て, あ る部 分 集

るjに 対 し て,

ル チ ンゲ ール

が,各tで

マ ルチ ンゲ ール

に確 率1で

等 し く,こ

れ は マ ル チ ン ゲ ー ル の 系M1(D,t),…,Mn(D,t)の

独 立 性 に 反 す る こ とに な る.さ Mn+1とMi(i=1,…,n)の

と ん ど す べ て のuに

て(4.7)及

び(4.8)か

独 立 性 を 使 っ て,

が 得 られ αi(u)(i=1,…,n)の1次

独立 性 か ら

αn+1(u)=(αn+1,1(u),…,αn+1,n(u))

ら,マ

ル チ ンゲ ー ル

がA上

で 測 度mnに

関 し て ほ とん ど い た る と こ ろ0で

はmn+1(A)=0で

あ る こ と に 他 な ら な い.同

に 絶 対 連 続 で あ る こ と も わ か る.以 れ る と 同 時 にN=Nも

あ る こ と が,ほ

様 の 議 論 で 測 度mn+1が

等 し い こ と を 示 し て,次

にtj=tkな

間 パ ラ メ ー タ ーがI=[0,∞)を

の 詳 細 は 省 略 し よ う. 動 く ときの標 準 表現 につ

限 区 間I=[0,1]の

場 合 は,本

I=(-∞,∞)の

場 合 に も ほ ぼ 同 様 の 方 法 で 標 準 表 現 がえ られ る.も

この 場 合 は 新 生 過 程 はB={B(t);t∈(-∞,∞)}で

質 的 に 定 理4.1に

あ り,式(4.3)に

に お き か え る も の と す る.定

ず 集合

ら ばLj=Lkで

い て 述 べ た が,有

確率積分  は 

示さ

散 重 複 度 に つ い て は,ま

ぼ 同 様 の 議 論 に よ っ て 証 明 で き る.そ

  定 理4.1  で は,時

測 度mn+1

上 に よ っ て,mi∼mi(i=1,…,N)が

示 さ れ た こ とに な る.離

{t1,t2,…}と{t1,t2,…}が

あ る こ とが わ か っ た.こ れ

理4.1に

含 ま れ る. ち ろ ん, おける

対 応 し て 次 の 定 理4.1′

が な りた つ.   定 理4.1′.  (Ⅰ)  可 分 なGauss過

程X={X(t);t∈(-∞,∞)}が

純 非 決定

性 の 条件

 (4.9)

を み たせ ば,Xは

次 の よ うに標 準 的 に表 現 され る:

 (4.10)

た だ し,

  (Ⅱ) Xが 別 の標 準表 現   (4.10′)

を 持 て ば,N=N,mi∼mi(mi(du)=E[￨dBi(u)￨2])(i=1,2,…),及 {t1,t2,…}={t1,t2,…}で,ti=tkと   証 明   パ ラ メ ー タ ー を 変 更 し て,τ=etと

す れ ばLi=Lkで お き

び あ る.

Y(τ)=X(t) に よ っ て 定 義 さ れ るGauss過 に よってY(0)=0と

程Y={Y(τ);τ

お い たY={Y(τ);τ

∈[0,∞)}と

を保 証 し,τ=0で

実 際,(4.9)が  ら で あ る.定

∈(0,∞)}を

理4.1に

よ っ て,Yの

考 え る.性 質(4.9)

考 え る こ とが 許 さ れ る.

の離 散 重 複 度 は0だ か

標準表現

 (4.11)

とで き る.右

辺 第2項

の τiは す べ て0で

に 戻 し,Bi(t)=Bi(τ)及 現(4.10)が

な い こ と に 注 意 し,t=logτ,τ>0,

びBli(t)=Bli(τ)と

し て(4.11)を

得 られ る こ と は 明 ら か で あ ろ う.(Ⅱ)に

書 き 直 せ ば,表

つ い て も 定 理4.1と 全 く 同

じ 方 法 で 検 証 で き る.   [注 意]  §3.4で述 べ た純 非 決 定 的,平 均 連 続 な 定 常 過 程XのKarhunen表 (4.10)に おい て,N=1,Lj=0(j=1,2,…)と

した もの の典 型 的 な例 で あ る.

  §4.3.  Gauss過

程 と 再 生 核Hilbert空

  平 均 値0のGauss過

程X={X(t);t∈I}の

に 着 目 し よ う.Γ(t,s)は Hilbert空 ち,Hは

間 共 分 散 関 数 Γ(t,s)=E(X(t)X(s))

非 負 定 値 で あ る か ら,Γ(t,s)を

間(reproducing

kernel

関 数f={f(t);t∈I}の

現 は,

Hilbert

集 合 で あ り,次

space)Hが

再 生 核 に 持 つ 存 在 す る.す

の 性 質(R.1)及

び(R.2)を

なわ 持

つ.

  (R.1) 

Γ(・,s)∈H 

  (R.2) 

[再 生 性]f∈Hと

た だ し,〈,〉

はHに

(各sに

対 し て)

各s∈Iに

対 し て,〈f(・),Γ(・,s)〉=f(s),

お け る 内 積 を 表 わ す.

  [注 意]  特 に,f(・)=Γ(・,t)と

す れ ば(R.2)に

よっ て,

〈 Γ(・,s),Γ(・,t)〉=Γ(t,s) が な りたつ.   本 節 で は,Gauss過

程Xの

共 分 散 関 数 Γ(t,s)を

再 生 核 に も つHilbert空

間 を 取 り上 げ,特 に 標 準 表 現 と の 関 連 を 述 べ た い.い くつ か の 記 号 を 導 入 し て お

こ う.ま ずHの 部 分 空 間Htを  Ht-を{Γ(・,τ);τ
の 張 る も の と し よ う.同 様 に

張 るHの

部 分 空 間 と し, 

部 分 空 間 で あ る.一

過 程X={X(t);t∈I}の1次

でGauss

間H(X)が

次 の

合

aiは

 (4.12) 

を 確 率 測 度Pに 関 す るL2-ノ は 前 に 述 べ た よ う にXの

実 数,

ル ム で 完 備 化 し て,そ

れ をH(X)と

張 る線 型 包 で あ る.Hilbert空

あ る.(4.12)の

[0,t](⊂I)と

お く こと

方,確 率 空 間(Ω,B,P)上

結 合 の 全 体 の 張 るHilbert空

よ うに 定 義 さ れ る:集

X2)=E(X1X2)で

Hτ をHt+と

お く.H(X)

間H(X)の

内 積 は(X1,

右 辺 に お け るtiの 動 く範 囲 を 制 限 し て

し た と き; aiは 実 数,

が 定 義 され るが,こ れ の閉 包 を と ってH(X)の Ht(X)をt以

前 のXの 張 る 線 型 包 と い う.さ

部分 空 間Ht(X)が

分 空 間 で あ る が,t∈I*(§4.2参

照)の

部

こ で,再

生 核Hilbert空

張 る 線 形 包 の 間 に は 次 の よ う な 著 し い 同 形 対 応 が 存 在 す る.

  定 理4.2.  す る.Sは

れ ら は,す べ てH(X)の

順 序 に 従 っ て 単 調 増 大 で あ る:t>sな

ら ば,Hs(X)⊂Hs+(X)⊂Ht-(X)⊂Ht(X).こ 間HとXの

を完

は 

ら に, 

と す る.こ

備 化 し た も の,及 びHt+(X)は 

定 義 され る.

Γ(・,t)∈Hに

対 し て,X(t)∈H(X)を

線 形 写 像 と し てHに

拡 張 で き,こ

対 応 さ せ る写 像 をSと

れ はHとH(X)の

間 の 同形 対

応 を 引 き起 す.

 証 明  まず,1次

に は, 

結 合 

を 対 応 さ せ る:Sf=Xf.次

に 注 目す れ ば,  〈 f,g〉=E(XfXg)が

に 内積 の 関係 式

な りた つ こ と が わ か る.た

だ し,

 及び  のf∈Hに

対 し て も写 像Sが

で あ る.こ

拡 張 定 義 で き て,同

の こ と か ら,一

般

形 対応 を与 え る こ とは 明 らか

で あ ろ う.   関 数f∈Hの   系4.1. 

再 生 性 と,同

形 対 応Sに

す べ て のf∈Hは

次 の 形 に 書 け る.

f(t)=E(X(t)Xf),    証 明   f(t)=〈   系4.2. 

Γ(・,t),f(・)〉

同 形 対 応S:H→H(X)は,部

Ht± をHt±(X)に   話 をGauss過

よ っ て 次 の こ とが わ か る.

Xf=Sf∈H(X). で あ る こ と か ら 直 ち に わ か る. 分 空 間HtをHt(X)に

写 す.ま

た

写 す. 程X={X(t);t∈I}の

で 使 っ た 新 生 過 程B={B(t);t∈I}に

標 準 表 現(4.3)に

戻 そ う.表 現(4.3)

対 し て,H(B),Ht(B)及

びHt±(B)

を 次 の よ うに定 義 す る.

 (4.13)

お よび,

とし て,さ

標 準 表 現(4.3)が

の 線 型包 とす る.

は 

ら に 

線 型 的 に 行 わ れ て い る こ と に 注 意 す れ ば,

  (4.14)  H(B)=H(X),Ht(B)=Ht(X)お

よ びHt±(B)=Ht±(X)

で あ る こ とが 直 ち に わ か る.  [注 意]  H(X)=H(B)の

付平均値E[x￨Bt(X)]は, 

元 

に 対 して,条 件

で あ る.一

方,こ

れは

x∈H(X)をHt(X)=Ht(B)に

射 影 した も ので あ る(第2章p.30).も

で の条 件 付 平均 値 も,Ht±(X)=Ht±(B)へ

  以 上 の 議 論 に よ っ て 次 の よ うに 再 生 核Hilbert空   定 理4.3. 

標 準 表 現(4.3)を

生 核 とす るHilbert空

間Hの

ち ろ ん,Bt±(X)

の射 影 で あ る.

持 つGauss過 元fは

間 を 表 現 す る こ と が で き る. 程 の 共 分 散 関 数 Γ(s,t)を

再

次 の よ う に 書 け る:

 (4.15)

さ ら に,(4.15)の

た だ し, 

け る αi(i=1,…,N)及   証 明  系4.1に

びβlj(j=1,2,…;l=1,…Lj)はfに

右 辺 にお

よ り 一 意 に 定 ま る.

よ っ てf(t)=E[X(t)x],x∈H(X),と

書 け る.

 (4.16)

と し て,X(t)とxの

共 分 散 を 計 算 す れ ば,直

明 す る に は,f=0な … ,Lj)で

ち に(4.15)を

一 性 を証

ら ば,αi(t)≡0(i=1,2…),βlj=0(j=1,2,…;l=1,

あ る こ と を 言 え ば よ い.x=Sf=0で

成 分 が0,す

得 る.唯

あ る か ら,(4.16)の

右辺 の各

なわ ち

お よび が な りた ち,結   定 理4.3に はXの

果 が 従 う. よ っ て 示 唆 され る よ う に,あ

れ

表 現 が 標 準 的 で あ るか 否 か の 判 定 条 件 を 与 え る.

  定 理4.4.(標

準 性 の 判 定 条 件)Gauss過

を も つ 独 立 増 分 のGauss過 さ れ た とす る.こ がXの

る 意 味 で 逆 の 命 題 が な りた ち,そ

程B={B(t);t∈I}に

よ っ て(4.3)の

の と き,こ の 表 現 が 標 準 的 で あ るた め に は(言

新 生 過 程 で あ る た め に は),任

たf(t)が[0,T]で恒

(tj
程X={X(t);t∈I}が(4.1)の

等 的 に0な

意 のT∈Iに ら ば,αj(t)=0, 

形 形 に表 現

い か え れ ば,B

対 し て,(4.15)で

定 義 され

お よ びβlj=0

と な るlに つ い て),が な りた つ こ とが 必 要

  証 明   必 要 性 は,定

理4.3の

証 明 の 後 半 を み れ ば 直 ち に わ か る.十 分 性 を 示

そ う.αi(i=1,2,…,N),βlj(j=1,2,…;l=1,…,Lj)の

う ち0で

ない もの が

存 在 して

 (4.17)

を みた した とす る.こ の と き,HT(B)に

は,す べ て のX(t)(t∈[0,T])と この こ と は,yがHt(X)と

属 す確 率 変数

直 交 す る:E[X(t)y]=f(t)=0,t∈[0,T]. 直 交 す る こ と を 示 し. が わ か り,(4.3)の

す な わ ち, 

表 現が 標準 的 で あ る こ とに反

す る.

  定 理4.3お

よ び 定 理3.4.に

よ っ て,再

生 核Hilbert空

間Hが

 (4.18)

と直 和 分 解 され る こ と が わ か る が,そ   系4.3. 

Pt(ま た はPt±)をHか

を そ れ ぞ れH(i)お P(i)Pt=PtP(i), 

よ びH(j,l)へ

の 分 解 に 関 す る著 し い 性 質 を の べ よ う.

らHt(Ht±)へ

の 射 影,P(i)お

の 射 影 とす れ ば,可

P(j,l)Pt=PtP(j,l), 

よ びP(j,l)

換性

P(i)Pt±=Pt±P(i)

お よび P(j,l)Pt±=Pt±P(j,l) が な りた つ.   証 明   新 生 過 程Bの Hilbert空  系4.4. 

各 成 分 の 独 立 性 と独 立 加 法 性 に 対 応 す る こ と を 再 生 核

間 に お き な お せ ば 明 白 で あ ろ う. 分 解(4.18)のH(i)は 

を,

H(j,l)は

Γ(j,l)(t,s)=blj(t)blj(s)を

そ れ ぞ れ 再 生 核 に 持 つ.

  §4.4.  標 準 表 現 お よ び非 標 準 表 現 の 例   [A] 

Brown運

動(Wiener過

程)

  B={B(t);t∈[0,∞)}を1次 E(B(t)B(s))=t∧s).前 現 さ れ て い る.も

元Brown運 に も述 べ た よ うに,Bは

ち ろ ん 連 続 重 複 度N=1,ス

測 度 で あ り,離 散 重 複 度L=0と 核Hilbert空

動 と す る(E(B(t))=0, そ れ 自身 に 関 し て 標 準 的 に表 ペ ク トル 測 度m1はLebesgue

な る.な お,Brown運

動Bに

対 応 す る再 生

間は

で あ る こ とは や さ し い.   こ こで,Brown運

動 の標 準 的 で な い 例 を い くつ か あ げ よ う:

  (ⅰ) B1={B1(t);t∈[0,∞)}お 立 な2つ

のBrown運

よびB2={B2(t);t∈[0,∞)}を

互 に独

動 と し,B={B(t);t∈[0,∞)}

 (4.19)

と お け ば,Bは とは,定

理4.1ま

再 びBrown運

動 で あ る.し

た は 定 理4.4か

  (ⅱ)  こ の 例 は,よ

り"凝

か し,(4.19)が

標 準的 で な い こ

ら 明 ら か で あ る.

って"い

る.Brown運

動Bに

対 し て,Gauss過

程

を定 義 す る.共分 散 関数 を 求 めれ ば,B0が 再 びBrown運 一方

に よ り, 

て,任

は,任 意 の 

, 

でB0(t)と

直 交 す る(そ れ に は 定 理4.4

に対 して 

を 検 証 す れ ば よ い).従

意 のtに 対 し て 

も す べ て のB0(t),t∈T,と

動 で あ る ことが わか る.

が 言 え た.な 直 交 す る.

お, 

っ

  よ り 一般 に,任

意 の 自 然 数nに

対 し てu/tの

多 頂 式Pn(u/t)を

動 に で き る.こ

の 場 合 に は,任

構 成 す る こ

と が で き て,

が 再 びBrown運

と お け ば,そ   [B] 

対 し て,

と直 交 す る.

れ ら はX(t), 

次 にBrown運

意 のTに

動 を"少 し"変 換 し たGauss過

程 を 取 りあ げ る.こ

動 と 同 等 なGauss過

程 とし て改 め て特 徴づ け ら

に 考 察 す る過 程 はBrown運

こ

れ る で あ ろ う.X={X(t);t∈[0,∞)},  (4.20)

と お く.BはBrown運

動,k(s,u)はL2-積

と書 き 直 し て み る.(4.20)が

分 核 で あ る.(4.20)を

書 き 直 し て,

標 準 表 現 で あ る こ と を 示 す に は,定

理4.4に

よ

な ら ば ほ とん ど す べ て のtに つ い て,

っ て,  α(t)=0, 

が な り た つ こ とを 言 え ば よ い.い

ま,Tを1つ

固 定 し よ う.

  に 対 し て,

と 変 形 し て,両 の 

辺 をRadon-Nikodymの

意 味 で 微 分 す れ ば,ほ

と ん どす べ て

に 対 し て,

 (4.21)

で あ る.(4.21)は

αに つ い てVolterra型

意 性 か ら,α(t)=0,  準 的 で あ る こ と が わ か っ た.

がL2の

の 積 分 方 程 式 で あ り,そ

意 味 で な りた つ.従

の解 の 一

っ て,(4.20)が

標

  [C]  重 複 度 の 高 いGauss過

程.

  B={B(t)=(B1(t),…,BN(t));t∈[0,∞)}をN次 い ま,次

の よ う な 関 数F(t)を

  (ⅰ) F(t)は

元Brown運

動 とす る.

用 意 す る:

任 意 の 有 限 区 間[0,T]で

有 界 で あ り,

  (ⅱ)  tに 関 し て 絶 対 連 続(Radon-Nikodymの

意 味 で 微 分 可 能)で

あ り,

そ し て,   (ⅲ)  Radon-Nikodymの a
導 関 数 は い か な る 小 区 間[a,b]⊂[0,∞),

お い て も 

に は 属 さ な い が,  に は 属 す.な

関 数F(t)の

存 在 は保 証 され る.N<∞

お,性

質(ⅰ),(ⅱ)お

として,Gauss過

よ び(ⅲ)を

備 えた

程

X={X(t);t∈[0,∞)},  (4.22)

X(t)=B1(t)+F(t)B2(t)+…+F(t)N-1BN(t) を 与 え る.こ で,も

の と き(4.22)は

標 準 表 現 で あ り,従

ち ろ ん 連 続 ス ペ ク トル 測 度 系 はN個

こ とを 示 そ う.定

理4.4に

よ っ て,等

っ てXの

のLebesgue測

連 続 重 複 度 はN 度 か ら な る.こ

の

式

 (4.23)

か ら,ほ

と ん どす べ て の 

に対 し てa1(t)=0,で

あ る こ と を 示 せ ば よ い.

い まの場 合 

αi∈L2([0,∞))で

Radon-Nikodymの

意 味 で 微 分 可 能 で あ る こ と か ら,(4.23)の

そ れ を 実 行 す る と,ほ

と ん どす べ て のs∈Iに

あ る .各F(s)i-1ai(s)は 両 辺 につ い て

つ い て,

 (4.24)

を 得 る.仮

定 に よ っ て,F′(s)は

か ら,(4.24)が

い か な る 小 区 間 に お い て も2乗

な りた つ た め に は,

可 積分 で ない

で な く て は な ら な い.実際,(4.24)左 2乗 可 積 分 で あ り,従 {  }の 中が0で (4.23)か   N=∞

辺 の 第1項

α1(s)+…+F(s)N-1aN(s)は,

っ て,第2項F′(s){ }が2乗

可 積 分 で あ る.こ

な い と起 こ り え な い こ とで あ る.以

ら,各aiが,(従

っ て αiが)0で

の 場 合 に も(4.22)と

性 質(ⅰ),(ⅱ)及

び(ⅲ)を

上 の 議 論 に よ り,帰 納 的 に

あ る こ とが わ か る.

同 じ考え 方 に よ っ て,例

み た すFを

れ は,

を 作 る こ と が で き る.

使 っ て,

 (4.25)

に よ っ て,Gauss過 (4.25)の

程X={X(t);t∈[0,∞)}を

定 義 す れ ば よ い.但

右 辺 の 収 束 を 保 証 す るた め に,各t∈Iで￨F(t)￨<1を

し,

仮 定 し な けれ

ば な ら な い.   最 後 に,Gauss過 の 高 いGauss過 関 数 は,Brown運

程 の 見 本 関 数(軌

滑 ら か さ を 仮 定 し て も,連 続 重 複 度

程 が で き る こ と を 示 す.(4.22)に 動Bi,i=1,2,…,N,お

で あ る こ とに 注 意 し よ う.Xを

とし て,Gauss過

跡)の

よ っ て 構 成 し たXの

よ び 関 数Fの

程Y={Y(t);t∈[0,∞)}を

定 義 す る.こ

分 を 更 に く り返 し て,い

程 を 作 る こ とが で き る.こ

定 し て も重 複 度 の 高 いGauss過

  な お,離

続

のYは,Xと

共

に 関 し て標 準 的 で あ る こ と は

簡 単 に 言 え る.積

Gauss過

連 続 性 か ら,連

使 っ て,

に 

Gauss過

見本

程 で あ れ ば,そ

く ら で も滑 ら か な 重 複 度Nの

の こ と か ら,共

分 散関 数 の 滑 らか さ を 仮

程 を 構 成 で き る.実

の 共 分 散 関 数 は 当 然Cn級

散 的 重 複 度 の 高 いGauss過

際,見 本 関 数 がCn級

と な る か らで あ る.

程 に つ い て は 述 べ な か っ た が,(4.22)と

同 じ考 え 方 に よ っ て 作 る こ と が で き る.む

し ろ よ り簡 単 で あ る.

の

  §4.5.  予 測 理 論 へ の 応 用   こ の 段 階 で,標

準 表 現 の 一 つ の 応 用 と し て 予 測 理 論 に 少 し ば か り触 れ て お き

た い.   は じ め に 直 観 的 な 言 い 方 を す れ ば,確 程 と は し な い)が

あ っ て,あ

る 時 刻sま

率 過 程{X(t)}(必

ず し もGauss過

で のそ の 過程 の実 現 値

が 知 られ た と き,後

の 時 刻t(>s)に

す る も の で あ る.よ

り よ く と い う と き は 誤 差 を 測 る規 準 を き め て か か ら ね ば な

ら な い が,最

お け るX(t)の

 

も よ く用 い ら れ る尺 度 は2乗

値 を よ り よ く推 定 し よ う と

平 均 で あ る.そ

のた め 与 え られ た確

率 過 程 は 常 に 分 散 が 有 限 で あ る こ とを 仮 定 し な け れ ば な ら な い.ま し て は 知 ら れ た 値 の 関 数,す さ ら に 各X(t)の

な わ ちBs(X)-可

た推 定 量 と

測 な 関 数 を と る こ と に な る.

平 均値 は ラン ダム な関 数 で は な く当面 我 々の立 場 か らは興 味

の な い も の で これ を0と

仮 定 す る.

  以 上 の よ うな 直 観 的 考 察 を も とに し て 予 測 の 問 題 の 数 学 的 設 定が で き る.X ={X(t,ω);t∈I},Iは

あ る 区 間,を

与 え ら れ た 可 測 な 確 率 過 程 と し,そ

れ

は次 の仮 定

  (4.26) 

E(X(t))=0, 

を み た す も の と す る.こ も つ 確 率 変 数Yの

  (4.27) 

E(X(t)2)<∞, t∈I

の と き,X(t)に

対 し てBs(X)-可

うちで

E{￨X(t)-Y￨2},た

だ しs
を 最 小 に す るYを 求 め よ とい うの が 予 測 理 論(prediction 散(4.27)は 予 測 値(best

測 で有 限 な 分 散 を

予 測 誤 差(prediction predictor)と

error)で

呼 ば れ る.こ

あ り,こ

theory)で

あ る.分

れ を 最 小 に す るYは 最 良

れ をX(t,s)と

書 く こ と に す る.

  こ こ で 最 良 予 測 値 の 存 在 を 保 証 し て お こ う.  命 題4.1. 

仮 定(4.26)の

も と で は,任

意 のt, 

測 値 が唯 一 つ 存在 し,そ れ は 条件 付 平 均値E(X(t)￨Bs(X))に  証 明  予 測 の問 題 をHilbert空

に対し て最 良予 等 しい.

間 の言 葉 に な おす.B=σ{X(t);t∈I}と

し,Hilbert空 X(t)はL2に

間L2(Ω,B,P)=L2とL2(Ω,Bs(X),P)=L2sと 属 し,一

方YはL2sの

最 小 に す る と い う こ とはL2の 他 な ら な い.そ

れ はX(t)をL2sに

を 考 え る.

中 から 選 ば れ る こ と に な る.誤 中 でX(t)か

らL2sへ

差(4.27)を

の距 離 を最 小 にす る こ とに

射 影 す る こ とに よ っ て 達 成 さ れ る.した

て この 射 影 がE(X(t)￨Bs(X))で

あ る こ と を 示 せば よ い.L2に

ルX(t)-E(X(t)￨Bs(X))とY∈L2sと

の 内積 をみ れ ば

がっ

属 す るベク

(YはBs(X)-可

ト

測)

で あ る の で 証 明 が 完 結 す る.

  ここ で,特

にXがGauss型

で あ る と し て 最 良 予 測 値 の 求 め 方 を 考 え よ う.

標 準 表 現 の 定 義 か ら た だ ち に 次 の 命 題 が 得 られ る.   命 題4.2. 

Gauss過

程X={X(t,ω);t∈I}が(F(t,u),dB(u))に

準 表 現 を も つ な ら ば,そ

よ る標

の 最 良 予 測 値X(t,s),t>s,は

 (4.28)

で 与 え られ,そ

の 予 測 誤 差 σ2(t,s)は

 (4.29)

た だ しm(du)=E(￨dB(u)￨2),で   こ の よ う にGauss過 値 が 知 られ るが,こ

あ る. 程 の 場 合 に は 標 準 表 現 が わ か れ ば,た

の と き の 大 切 な 注 意 は(4.28)のX(t,s)がHs(X)(§4.3

の記 号)の 元 で あ る こ と,す な わ ち  あ る.こ

だ ちに 最 良 予 測

れ は{X(t),t∈I}がGauss型

の線 型 汎関 数 とな る こ とで 確 率変 数 系 を なす こ との大 き な特 色

で あ る.

  再 び一般 の 場 合 に も ど る と,ふ

つ うX(t,s)は 

の非 線型汎関

数 とな って し ま っ て,そ の具 体 的 な形 を与 え た り計 算 した りす る こ とは 困難 で あ る.現 在Xが

ご く特 殊 な場 合 しかそ れ は 知 られ てい な い.そ

題 に も刺 激 され て,予 間)の

測 値Yを 

の張 るL2sの 部 分 空

中 か ら捜 す こ と が 考 え ら れ る.仮

(4.27)の

こで,上 の 命

定(4.26)は

そ の ま ま お い て お き,

代 りに

  (4.30) 

E{￨X(t)-Y￨2}, 

を 最 小 に す るYをX(t,s)と

Y∈Hs(X)

書 き そ れ を 最 良 線 型 予 測 値(best

と 呼 ぶ.最 良 線 型 予 測 値 を 求 め る の を 線 型 予 測 理 論(linear と い う.こ

linear

predictor)

prediction

theory)

の と き の 予 測 誤 差 を σ2l(t,s)とか く こ と に し よ う.

 (4.31) 

σ2l(t,s)=E{￨X(t)-X(t,s)￨2}.

もち ろ ん一 般 に  (4.32)

が な りた つ   こ の 線 型 予 測 理 論 も ま たGauss過 (4.26)を み た すXが を 求 め,こ

与 え ら れ た と き,そ

のΓ(t,s)を

対 す る(真

別に 考 え る.も の)最

ターに も つ 線 型 汎 関 数fに

際,

の 共 分 散 関 数E(X(t)X(s))=Γ(t,s)

共 分 散 関 数 に も ち 平 均 値 が0で

程Y={Y(t,ω);t∈I}を い てYに

程 の 標 準 表 現 の 応 用 と 考 え ら れ る.実

しYが

良 予 測 値Y(t,s)を

あ る よ う なGauss過

標 準 表 現 を も て ば,そ 求 め る .そ

れがtを

れ を用 パ ラメ ー

よっ て

と表 わ され るな らば

 (4.33)

が 求 め る最 良線 型 予測 値 で あ る こ とは す ぐにわ か る.あ るい はYの 標 準表 現 を

 とした とき

だ か ら(4.33)に

な ら って

 (4.34)

と表 わ す こ とが で き る.こ

こ に{dξ(u)}はXか

ら作 られ る ラ ン ダ ム 測 度 で

E{￨dB(u)￨2}=E{￨dξ(u)￨2} を み た す も の で あ る.   標 準 表 現 の 構 成 法 が よ く知 られ て い る 場 合 は 定 常過 程 とMarkov過 合 で あ る.い

程 の場

ま 定 常 過 程 の場 合 を と りあ げ て上 の 議 論 を 応 用 し て み よ う.

  弱 定 常 過 程X={X(t,ω);t∈R}は

§3.3∼4の 仮 定(A.1),(A.2′),(A.3)

を み た す も の とす る.XをGauss過

程 と み た と き定 理3.4に

表 現 が 具 体 的 に 求 め られ る.第3章

の(3.36)と(4.34)と

よ っ て そ の標 準 に よっ て

 (4.35)

とな るこ とが わか る.そ して線 型 予測 誤 差 に つい ては

とな る こ と が 知 ら れ る.   離 散 パ ラ メ ー タ ー の 場 合,結 {Xn(ω);n∈I}が

果 は よ り 具 体 的 で あ る.弱

仮 定(A.1),(A.2)を

定 常 過 程X=

み た せ ば 定 理3.3と(4.35)を

離散

パ ラ メ ー タ ー の 形 に お き か え て 考 え れ ば よい .そ れ は 容 易 で あ る の で こ こ で は 省 略 す る.た

だ1単

位 時 間 後 の 予 測 を 考 え た と きそ の 線 型 予 測 誤 差 が §3.3の

(3.30)す な わ ち￨c(0)￨2に に 等 し く,さ

な り,そ こ で の 計 算 か ら そ れ は 

らに

とな る ことは興 味 あ る式 とし て付 記 し てお く.

  また,非 定 常 で重 複度 の高 いGauss過

程 に つ い て も標 準表 現 を用 い て 最 良

予測 値 を 求 め る ことが で き る.簡 単 のた め離 散 スペ ク トル を持 た な い場 合,た とえばXが

標 準表 現

を も つ と し よ う.こ

の と き 最 良 予 測 値X(t,s),t>s,は

命 題4.2の

一 般化 と

して

で与 え られ る.ま た予 測 誤 差 は

と な る.

  第4章

の 解題

  標 準 表 現 の 問 題 提 起 はP.

Levy(1948;改

に し た 上 で の 標 準 表 現 の 一 般 論 は,T.

訂1965)に

Hida(1960)お

基 づ くが,重 複 度 を 明 確 よ びH. Cramer(1960)

に 展 開 さ れ て い る.こ の た め 定 理4.1はHida-Cramerの

定 理 と も よば れ る.そ

の よ り詳 し い 解 説 はT.

こ で は,共

Hida(1961)で

Γ(s,t)か ら で き る 再 生 核Hilbert空 表 現 が 得 ら れ て い る.本 ら っ て,直 し た.そ

ル チ ン ゲ ー ル を 取 り出 し,つ

の あ とで,再

Hellinger-Hahnの 判 定 条 件(定

間 のHellinger-Hahnの

章 §4.2で は,Hellinger-Hahnの

接Gaussマ

再 生 核Hilbert空

な さ れ て い る.そ

生 核Hilbert空

間 に つ い て は,N.

上 記T.

拡 張 に な っ て い る.§4.4に

定理 を 用 い た 定 理 の証 明法 に な

い で 新 生 過 程Bを

間 と の 対 応 を 論 じ た(§4.3).な Aronszajn(1950)が

定 理 は 例 え ばM.H.

理4.4)は

分 散 関 数

Hida(1960)に

Stoneの

書(1932)に

構成 お,

基 本 的 で あ る. 述 べ て あ る.

証 明 し て あ る 重 複 度1の

お け る 重 複 度 の 高 い 過 程 の 構 成 はM.

場合 の Hitsuda

(1973)お

よ びL.

P. Levy(1948)の

Pitt(1975)で 本にみ

行 わ れ て い る.非

ら れ る が,表現

標準 的 な 表 現 の 例 は 上 記

理 論 の 精 密 化の 必 要 性 が ,そ

れ に

よ っ て 明 ら か に さ れ て い る で あ ろ う.  な お 予 測 理 論 に つ い て はU. Rosenblatt,

Stationary

を 参 照 さ れ た い.

Grenander-M.

sequences

and

random

Rosenblatt(1957)お

よ びM.

fields, 1985, Birkhauser,

第5章 

  本 章 で はGauss過

Markov性

程 とし て の ランダ ムな現 象 の時 間的 な 従 属 性 の変 化 につ

い て考 察す る.た とえば,離 散 パ ラメ ー ター の場 合 で あれ ば 独立 確 率変 数 列, 連 続 パ ラメ ー タ ーで あれ ば ホ ワイ トノ イズ の よ うに前 後(時 間的 にいっ て)に 何 の 関連 もな く独立 にゆ らい で い る よ うな特 殊 で あ りまた 典型 的 な場 合 もあれ ば,ま た過 去 に遡 ってそ の履 歴 に大 き く影 響 され なが ら変化 す る現 象 も考 え ら れ る.後 者 は もち ろ ん時 間 的 な従 属 性 の強 い場 合 で あ る.こ うい った 従属 性は 確 率過 程 の重要 な特 性 で あ って,そ れは 予 測 の 問題 をは じめ とし て応 用 面 に も 強 く反 映 す る重 要 な性 質 で あ る.   独 立 確 率 変数 列 や ホ ワイ トノ イ ズに つ いで 最 も基本 的 な 従属 性 を もつ ものは Markov過

程 で あ る.離 散 パ ラ メー タ ーの場 合 につ い ては す で に第2章 で 述べ

た が,直 観 的 な 言 い方 を す れ ば,Markov過

程 は あ る時 刻tま で の観 測 値 が得

られ た ときt以 降 の この過 程 の 確 率分 布 は 時 刻tに

お け る値 の み に依 存 す る よ

うな もの で あ った.別 な表 現 を す れ ば,時 刻tで の値 を 知 れ ばt以 前 の ラ ン ダ ム現 象 とt以 後 の現 象 とが 独 立 に な る場 合 とみ な され る.   それ で は,我 々 の立 場 か らみ てMarkov過 か.最 初 に考 え られ るの は,Markov性

程 に つ ぐ次 の典型 は 何 で あろ う

の 拡 張 とし て,時 刻tの 近 傍 に きま っ

た個 数 の 時 点 を と りそ こで の値 が 知 られ た とき過 去 と未来 とが 独立 にな る とし た 多重Markov性

で あ る.時 間 の パ ラメ ー タ ーが離 散 的 な場 合 と連 続的 な場 合

とで は 若干 解 析 す る手法 は 異 な るが,い ず れ の場 合 に も標 準 表 現 が具 体 的 に 求 ま る.そ の核 の形 を見 る とき我 々は さ らに(い わ ば 弱 義 の)多 重Markov性 考 え る こ とが で き て,核 の解 析 的 性 質 とGauss過 つ なが りを見 出す こ とが で き るの で あ る.

を

程 の確 率 論 的 性 質 との深 い

  Markov性

の考 え 方 に似 た 発想 か ら,最 近 話 題 に な っ て きたGauss過

程の

T-正 値 性 を 取 り扱 うこ とが で き る.こ の概 念 は 量子 力 学 に お け る場 の 理 論 か らの要 求 で 出 て きた もの で あ るが,標 準表 現 をし て 眺 め てみ る と数 学 的 に も興 味 あ る対 象 とな って い る ことが わ か る.   こ うして標 準 表 現 の立 場 か らは,多 重Markov性

あ るい はT-正 値 性 をみ た

す も のは重 要 な興 味 あ る ク ラス で あ る こ とは わ か るが,断 それ は 当 然Gauss過

ってお きた い ことは

程 に限 る とい うこ とで あ る.特 に 前者 にお い て そ うで あ

り,一 般 の確 率 過程 に対 して は 多重Markov性

の定 義 に対 し てい ろ い ろな 試

みが な され て い る とだ け言 って お きた い.

§5.1.  離 散 パ ラ メ ー タ ー多 重Markov過   は じめ に,J.L. Doobに

程

よ る一 般 の確 率過 程 に 対 す る多 重Markov過

程の

定 義 にな ら って,次 の よ うな定 義 を与 え よ う.簡 単 の た め,パ ラ メー タ ー空 間 は 整数 全 体Iに   定義5.1. 

とって お く. 確 率過 程X={Xn(ω);n∈I}は,任

意 のnに 対 し て条 件 付 確 率

が (a.e.P)

 (5.1) 

を み た す と き 高 々N重Markov過

程 で あ る とい う.高

あ っ て 高 々N-1重Markov過 Markov

process)と

々N重Markov過

程 で な い も の を 単 にN重Markov過

程 で 程(N-ple

い う

  〔注 意 〕 J.L. Doob(1953)で

は(5.1)を

み た す過 程 をN重Markov過

る.我 々 は標 準表 現 の形 を 確定 す る(命 題5.1参 照)た め,Markov性 重 で あ る とす る,よ り狭 い 定 義 を採 用 す る.と 張 とし て次 の よ うな方 法 も考え られ る.nを   がXnを

ころ で単 純Markov性

任 意 に 固定 して,k>0の

含む 有 限 個,た とえ ばN個

条 件 付 確 率 に等 しい とき,N重Markov過

のXj, 

の よ り一 般 な 拡 とき 条 件 付 確 率 が 知 られ た と きの

程 と し よ う とい うもの で あ る.も し こ こ で

N個 のjが 勝 手に 選 べ る とした ら よか ろ うと思え るが,実 な も のに な って し まい 単純Markov性

程 と呼 ん で い

が 一 様 に ち ょ う どN

は そ の と きXが

極めて 特 殊

の本 質 的 な 拡張 に は な らな い こ とが わ か る.そ れ

は 標準 表 現 を用 い る こ とに よっ て検 証 す る こ とがで きる.こ うした 試 み を見 る と,Gauss 過程 に 対 して は上 記 の定 義 が 自然 な もの と認 め られ よ う.   Xが

高 々N重Markov過

程 で あ れ ば,そ れ か ら得 られ るN次

確 率 過 程X={Xn=(Xn,Xn-1,…,Xn-N+1);n∈I}が 過 程 に な る こ と が わ か り,し

元ベクトル

値

普 通 の 意 味 のMarkov

た が っ て 定 義5.1は

妥 当 なMarkov性

の拡張を

定 め る も の と考 え ら れ る.な お(5.1)は

(a.e.P)

 (5.2) 

と 同 等 で あ る.   命 題5.1. 

N重Markov

標 準 表 現 が 存 在 し,そ

Gauss過

程Xが

仮 定(A.1),(A.2)を

みた せば

の核 は

 (5.3)

と表 わ され,か

つ そ れ は 決 し てN未

満 の 項 の 和 と し て(5.3)の

よ う に表 わ す

記 号 で 

が 高 々1次

こ とは で き な い.   証 明   標 準 表 現 の 存 在 は,§3.1の (実 は ち ょ う ど1次 元)と

な り直 ち に 新 生 変 数 列{ξn}が

元

構成 で き る こ と か ら

容 易 に 証 明 され る.   標 準 表 現 の 核 が(5.3)の

よ うに 表 わ され る こ とは,(5.2)に

節 で 示 す 連 続 パ ラ メ ー タ ー の 場 合(定 理5.1)と

注 意 すれ ば 次

同 じ 考え で で き,し

か もそれ よ

り簡 単 で あ る の で こ こで は 省 略 す る.

  こ こでN重Markov {Xn(ω);n∈I}は し,さ

 (5.4)

Gauss過 定 常 複 素Gauss過

程 の 典 型 的 な 例 を 一 つ と りあ げ よ う.X= 程 で 仮 定(A.1)お

ら に そ の ス ペ ク トル 密 度 関 数f(λ)が

よび(A.2)を

みた

 

と表 わ され るも の とす る.f(λ)は 可 積分 でな けれ ば な らな い ので 多 項 式  は 

で 決 し て0に

な ら な い.P(z)=0の

内 部 あ る い は 外 部 に あ るが,§3.3で

根 は 単 位 円￨z￨=1の

議 論 した よ うに標 準表 現 の核 を 得 る た め

に は 根 は す べ て の 単 位 円 の 外 に あ る よ うに し て お き た い.も ￨z0￨<1,と P1(z)に

な るz0が

あ れ ば,P(z)=(z-z0)P1(z)と

かえ れ ば 円 周￨z￨=1上

多 項 式 に 直 す こ とが で き る.こ

で￨P(z)￨2の

しP(z0)=0,

か い てP(z)を(zz0-1)

値 を 変 え ず に 零 点 が1/z0で

う し てP(z)は

あ る

単 位 円 内は 零 点 を 持 た な い もの

と し て 話 を 進 め る こ とが で き る.   さ て,Xnは

ス ペ ク トル 表 現

 (5.5)

を も つ.上

のP(z)の

係 数b0,b1,…,bNを

用 い て ξnを

(5.6)

を 定 義 し よ う.{ξn}は に 属 す る.ま

なわち

確 率 変 数 系 を な し,か

つ 各 ξnはHn(X)

た

で あ るがP(z)の る.す

複 素Gauss型

零 点 が 単 位 円 内 には な い た め  ξn+1はHn(X)と

直 交 す る(独

な ら この積 分 は0と

立 に な る)単

な

位 ベ ク トル に な る.

 一 方

で あ る.こ す.以

れ はXn+1がHn(X)の

上 に よ っ て{ξn;n∈I}がXの

元 とb-10ξn+1との 和 で 表 わ さ れ る こ と を 示 新 生 変 数 列 で あ る こ とが 示 され た.

  次 に標 準表 現 の 核 の具 体 的な 構成 法 を 示 そ う.簡 単 の た めP(z)=0は

重根

を持 たな い とし て  (5.7)

と 書 こ う.数 列 に 対 す る 定 差 作 用 素ΔjをΔjxn=-αjxn+xn-1で これ を 用 い て(5,6)を

定 義 す る.

書 き 直 す と 確 率 定 差 方 程 式(stochastic

difference

equation)

と な る.し

た が って

とな る.こ れ を続 け て遂 に は  (5.8)

な る形 に 到 達 す る.こ (5.3)の

れ が 標 準 表 現 を 与 え て い る こ とは 明 らか で あ り,核

特 別 な 場 合 に な っ て い る.こ

は 容 易 に わ か り,N重Markov性   つ い で な が ら上 の 例 で1単

れ を 用 い れ ばXが(5.1)を

は

み たす こ と

が 示 さ れ る. 位 時 間 後 の 値 を 予 測 す る場 合 の 予 測 誤 差 σ21=

E{(Xn+1-X(n,1))2}は￨b0￨-2に

等 し い こ と を 注 意 し て お こ う.

 上 で 述べ た 定常 複 素Gauss過

程 はN重Markov性

を もつ 典 型 的 な例 であ る.

歴 史 的 に み て も,G.U.Yule(1927年)が

太 陽 の 黒 点 のWolf

測 し そ れ が 定 常 過 程 で あ る こ と を 認 め,さ

ら に そ れ が2階

Xn+a1Xn-1+a2Xn-2=ξn

numberを

観

の確 率 定差 方 程 式

を み た す として 黒点 が 増 減 す るラ ン ダム な現 象 を記 述 し よ う とし た.た だ し 上 式 に で て くる{ξn}は あ る独 立確 率 変 数 列 で あ る.こ うい ったYuleの

試みは

定 常過 程 の研 究 に大 きな 前進 を もた らし,ま た事 実,確 率定 差 方 程 式 をみ た す 確 率過 程 は 応 用 面 か らの 要請 ば か りで な く確 率 論的 にみ て も基 本 的 な も ので あ る こ とが わか って きた ので あ る(H.Wold(1938)参 した 多重Markov

Gauss過

照).我

々は 本節 で例 示

程 は十 分意 義 の あ るク ラ スを規 定 して い る ことは

こ うい った 歴 史 的事 実 か ら も うかが え よ う.

  §5.2.  連 続 パ ラ メ ー ター 多 重Markov

Gauss過

程

  最初 に,離 散 パ ラメ ー ター の場 合 を参 考 に し て,連 続 パ ラメ ー ター の場 合 に 多 重Markov性

を どの よ うに理 解 した ら よいか を 考 え てみ よ う.

 確 率過 程X={X(t,ω);t∈T},Tは るた め に は,§5.1の Markov過

よ うにX(t)か

何 らか の 意味 でN-1回

(X(t),X′(t),…,X(N-1)(t))}が

程 で あ る とす

ら あ るN次 元 ベ ク ト ル値 確 率過 程 で 単 純

程 にな る よ うなX={X(t);t∈T}が

た とえ ば,X(t)が

Markov過

区 間,がN重Markov過

構成 で きれ ば よい で あ ろ う. ま で微 分可 能 で あ る とき,{X(t)=

単純Markov過

程 とな るな ら ば,XをN重

程 とす るの は一 つ の簡 単 な方 法 で あ ら う.

 J.L. Doob(1944)は,定

常Gauss過

程 の場 合 に,上 の立場 か ら次 の よ う

な 定義 を与 え た.X={X(t,ω);t∈R}を る.X(t)が2乗

実数 値 を と る定 常Gauss過

平 均 収束 の意 味 でN-1回

程 とす

微分 可 能 で,さ らに

 (5.9)

を み た す と きN重Markov Gauss過 動 で,dNX(t)/dtNやB0(t)は で あ る.上 Langevin方

の 微 分 方 程 式(5.9)は

程 と い う.こ 共 に 形 式 的,あ 定 常(単

る い は 超 過 程 と し て の,導

純)Markov

程式 a0X′(t)+a1X(t)=B0(t),a0a1>0

こ にB0(t)はBrown運

Gauss過

関数

程が み た す

の 自然 な 拡 張 と見 る こ と が で き る.   P. Levy(1956)は

ま た 一般 の(定

に や は りN-1回

常 過 程 と は 限 ら な い)Gauss過

まで の 微分 可能 性 を 仮定 し て 

程の場合

を 知 った と き の

条 件 付 平 均 値E(X(t)￨Bs(X)),s
だ か ら必 然 的 に 一 次 関 数 と な る)で

過 程 と 呼 ん だ.こ Doobに

み の関

あ る と き狭 義N重Markov

の 定 義 は,X={X(t);t∈R}が

定 常Gauss過

程 の と きは

よ る 定 義 と一 致 す る.

  これ ら 両 定 義 はGauss過

程 に 対 す る 多重Markov性

っ て そ の 線 型 的 構 造 が 大 き く影 響 す る.と

を規 定 す る もの で あ

こ ろ で 両 定 義 で はX(t)に

対 し 時間

的 従 属 性 と は 無 関 係 と も思 わ れ る 微 分 可 能 性 を 仮 定 し て い る と い う 不 満 が 残 る.し

か し,こ

れ ら に よ っ て 定 義 され るN重Markov

(そ の 存 在 は 容 易 に 示 され る)を れ は 標 準 表 現 の 核F(t,u)が わ ゆ るN次Goursat核

Gauss過

程 の標 準表 現

見 る と大 き な 特 徴 が あ る こ と に 気 が つ く.そ

前 節 命 題5.1に

に な っ て い る こ と,す

お け る(5.3)式

の類 似 で あ る い

なわち

 (5.10)

と表 わ され る とい う ことで あ る.こ れ を標 準 表 現 を 用 い て言 い直 し てみ る と, X(t)か

らち ょう どN個 の加 法 過 程 が 因果 的 に構 成 で きて,し か もX(t)自 身 が

そ れ らN個 の加 法 過 程 の1次 結 合 とし て表 わ され る とい うこ とが で き る: (加 法 過 程).

そ し て条 件付 平 均 値 につ い て は,sを

が な りた ち,tを

Gauss過

固定 し た と き

動 か し て も 常 にUi(s), 

の1次

程 に限 定 し て考 え る とき,こ の形 は 多重Markov性

結 合 に な っ て い る.

に対 し て期待 さ

れ る特 性 を具 え て い る よ うに思 わ れ,し か も微 分 可能 性 を 仮 定 し な い記 述 に な っ てい る.こ うし て我 々は 次 の定 義 に到 達 す る.

  定 義5.2. 

Gauss過

程X={X(t,ω),t∈T}は,任

意 の 

に 対 し て{E(X(ti)￨Bt0(X)); }がH(X)に ま た 任 意 の  が1次

お い て1次

に 対 し て{E(X(ti)￨Bt0(X)); 

従 属 で あ る と き,N重Markov過

[注意1] 

独 立 で あ り,

(単純)Markov

Gauss過

程(N-ple

Gauss過

過 程 の定 義(P.Levy(1956)参

process)と

程 は §2.5で 述 べ た こ とか ら,も

0に な らな けれ ば,上 の 意味 で1重Markov過 [注 意2]  N重Markov

Markov

} い う.

し共 分散 関 数 が

程 で あ る.

程 の定 義 はP. Levyに

よ る弱 義N重Markov

Gauss

照)に 近 い が,そ れ よ り幾分 強 い もの となっ て い る.

という のは,定 義5.1は あ る意 味 で の時 間 的一 様 性 を要 求 し てい るか らで あ る.た とえ ば {X(t)}が

単 純Markov過

程 な らX(t)が

るが我々 の意 味 で の1重Markov性

[例1]  次式 で 与 え られ るGauss過

は2重Markov過

あ るt0以

前 の値 と独 立 に な る こ とが 許 され

は そ れを 許 さない.

程 

程 で あ る.実際2t-uは

標 準 核 で あ り任 意 に 

を とる とき

で,そ

の1次 結合 で あ るか らH(X)の

れ ら は い ず れ もB0(t0)と 

元 と考 え て1次

従 属 と な り,そ の う ち 任 意に 二 つ を 選 ぶ と1次

な わ ちXは2重Markov過

程 で あ る.し

の意味 で の 狭 義2重Markov過

  次 に,N重Markov

か しX′(t)は

Gauss過

程 の 表 現 に 移 ろ う,こ

置 い て 話 を 進 め る.こ の と き

  (A.4)Ht(X)はtに

つ い て 連 続 で あ る.

Gauss過

存 在 し な い の でLevy

程 で は な い.

(A.2′),(A.3)を

 定 理5.1. 

独 立 で あ る.す

程X={X(t,ω);t∈T}が

に よ る標 準 表 現 を も つ と す る.XがN重Markov過 十 分 な 条 件 はF(t,u)が(5.10)の

こ で も 当 然 仮 定(A.1),

重 複 度1の(F(t,u),dB(u)) 程 で あ るた めの 必要 か つ

形 に表 わ さ れ る こ と で あ る.た だ しfi(t),

は 任意 の相異 な るN個 の{tj}に

対して の内 部

(5.11) 

はE(dB(t)2)=m(dt)と

を み た し,gi(u), 

してHilbert空

間 

す る と き 任 意 のtに 対

にお い て1次 独立 で

あ る.   証 明   Xの 表 現 は(dB(t),F(t,u))に

と か け て,任

よ る も の と す る.す

な わち

意 のtに つ い て Ht(X)=Ht(B)

が 成 り立 っ て い る と し よ う(§4.2参

照).

  1°)  必 要 な こ と.XがN重Markov過

程 で あ る と す れ ば,定 義5.1の

の 条 件 か ら 任 意 のt1=t0
表 わ す), 

とな る.第1項

に 対 し てaj(τ,t)(tは

後半

ベ ク トル(t1,

が存 在 して

の 係数 が1に で き る ことは 定 義5.1の 前 半 の条 件 か ら出 る.表

現 が標 準 的 で あ るこ とに注 意 し て上 式 をか き直 す と,

と な る.と

こ ろ が これ は す べ て のX(s), 

的 な こ と に よ り,任 意 の τ>tNに

と 独 立 に な る か ら ,表 現 が 標 準

対 して

 (5.12)

(こ こで等 号 はm-測

度 に関 し ほ とん どい た る と ころ成 立 す る こ と を 意 味 す る.

以下 この注 意 を省 略 す る)と な る こ とが わ か る.

  次 に{tj}の

代 りに{sk},s1<s2<…<sN
りにX(tj)を

と っ て(5.12)と

任 意 に と り,X(τ)の

代

同様 な 関 係 式

  (5.13)

が 得 ら れ る.こ

と な る が,定

れ と(5.12)を

組み合せて

がH(X)で1次

義 よ りE(X(sk)￨Bs1(X)),  がL2(m;s1)の

た が っ てF(sk,u), 

元 と し て1次

独 立,し

独立 で あ るか ら

 (5.14)

で なけれ ば次 な ら な い.さ

ら に(5.13)の

第1式

が1次

でF(ti,u), 

独 立 な こ とを用 い て

が 出 る.故

に(5.14)か

ら 適 当 なN次

正 方 行 列B(s,t)が

存在して

 (5.15)

を 満 足 す る.た <s′N<s1と

だ しa=(a1,a2,…,aN),s′=(s′1,s′2,…,s′N)でs′1<s′2<…

す る.

  こ こ でt1,t2,…,tNを

固 定 し,ベ

で 定 義 す れ ば,(5.15)の

両 式 よ りf′s(τ)は

なっ て い る こ とが わ か る.故 f(τ)=(f1(τ),f2(τ),…,fN(τ)が

ク ト ルfs=(f1s,f2s,…,fNs)を

τの 関 数 とみ てfs(τ)の拡

張 に

に す べ て の τ∈T° で 定 義 さ れ た ベ ク トル 値 関 数 定 ま る.こ

の き め 方 か ら 明 ら か にfi(t) ,

は(5.11)を

み た す.そ

し て τ>sN,u<s1な

らば

で*は 転置 を あ らわ す)

とな る.た

だ し,gs(u,t)=F(s,u)B(s,t)*-1と

で 定 義 さ れ て い る の で あ る が,fsを を 用 い てT°

お い た.こ

拡 張 し てfを

のgs(u,t)はu<s1

得 た の と 同 様 に し て(5.11)

で 定 義 され た ベ ク トル 値 関 数g(u)=(g1(u),g2(u),…,gN(u))

が 得 ら れ る.こ

うし てF(t,u)はu
ら ば(5.10)の

と し て も や は り(5.10)が

とが わ か っ た. 

よ うに 表 わ さ れ る こ

な りた つ こ と は 仮 定(A.4)

に よ る.   2°)  十 分 な こ と.標 に よ っ て 

準 核F(t,u)が

で(5.10)の

定 理 に 述 べ た 性 質 を もつfi,gi, 

よ うに 書 け て い る と す る.任

はい ずれ も

を と る とE(X(ti)￨Bt0(X)),  Ht0(X)の

元

の1次

結 合 で あ り,ま た そ れ ら は1次

5.1の

後 半 の 条 件 が み た さ れ る.前

び{gi}に

意 に 

独 立 な 確 率 変 数 の 系 で あ る.ゆ

え に定 義

半 の 条 件 が み た さ れ る こ と は(5.11)お

つ い て の 条 件 か ら 明 ら か で あ る.よっ

よ

てXはN重Markov Gauss

過 程 で あ る.   系   Xが

定 理5.1に

お け るN重Markov

数 Γ(t,s)は(5.11)を

み た すfi, 

Gauss過

程 な らば,そ の 共 分 散 関

とGram行

列G(s)=(gij(s))

と が 存 在 し て,(h1(s),h2(s),…,hN(s))=(f1(s),f2(s),…,fN(s))G(s)と くとき

 (5.16)

と表 わ され,こ

れ をN-1項

以 下 の 和 で 表 わ す こ と は で きな い.

お

  証 明   定 理5.1か

らX(t)は(5.10)の

形 の標 準 核 を用 い て

の よ うに表 わ され る.こ れ を 用 い て共分 散関数 を計 算 すれ ば,t>sの

で あ る.Gram行

列G(s)を

  Γ(t,s)がN-1項

に とっ て{  }内 を

行 列 

書 き直 し て 求 め る 式(5.16)が

とき

得 られ る.

が

以 下 で 表 わ せ な い こ と を 言 う に はhi(s), 

1次 独 立で あ る ことを 示せ ば よい.も しそ れ らが1次 従 属 で あ った な ら,適 当 な 定 数ai, 

を選 んで

とで き る.こ れ を書 き直 せ ば

で あ る が,F(s,u)は

標 準 表 現 の 核 と し て よ い か ら,定

と な る.こ れ は 定 理5.1.に

お け る{gi}の

  これ まで見 た よ うに,N重Markov性 とが で き る.そ  定 義5.2. 

理4.4に

より

条 件 と 矛 盾 す る.

は標準 核 の言 葉 で 完全 に記 述 す る こ

こで 次 の 定 義 を し て お こ う. 表 現 の 核F(t,u)が

と,任 意 のtに

対 し てL2(m;t)に

を 用 い て, 

で(5.10)の

のGoursat核(Goursat

条 件(5.11)を お い て1次

み た すfi(t),  独 立 なgi(u), 

よ う に 表 わ さ れ る と きFを(mに kernel

  こ の 定 義 に よれ ば,定理5.1は

of order N)と

と つ い て)N次

い う.

次 の よ う に 言 い 換 え られ る.す

なわ ち標 準 表

現 を も つGauss過 そ の標 準 核 がN次

程 がN重Markov性 のGoursat核

  も ち ろ ん,Goursat核

と な る こ とで あ る.

が い つ も標 準 核 に な る と は 限 ら な い.§4.4の

(ⅱ)は反 例 と な る.ま た,N=1の

場 合 を 除 い て,N重Markov性

存 在 を 保 証 す る も の で は な い.し Markov過

を もつ た め の必要 か つ十 分 な条 件 は

か し(A.1),(A.2′)の

程 の 重 複 度 は 高々Nで

own運

仮 定 の も と で はN重 さ

こ で は 一 つ の 例 を あ げ て お く に と ど め る.

と 

動 とす る.ま

は標 準 表 現 の

あ る.こ れ に つ い て はL.Pitt(1975)に

ら に 詳し い 議 論 が なさ れ て い る.こ

  [例2] 

例[A]

を互 に独 立 な 二つ のBr

たF(t),を[0,∞)で

定 義 され た単 調 増加,絶

対連 続

な 関数 で 密度 関数F′(t)は いか な る区間 に おい て も2乗 可 積分 では な い とす る.  (5.17) 

X(t)=B1(t)+F(t)B2(t)

で定 義 され る  2で あ り,(5.17)は

は §4.4[C]の 特 別 な場 合 で それ は,重 複度 が 一 般 の 標 準表 現 を 与 え て い る. 

E(X(ti)￨Bto(X))=B1(to)+F(ti)B2(to), 

と な り,こ れ ら の うち2個 す な わ ち2重Markov

は1次

Gauss過

  §5.3.  狭 義 多 重Markov過   N重Markov

Gauss過

i=1,2,3

独 立 と な る が,3個

とれ ば1次

従 属 とな る.

程 で あ る.

程 程 の 中 でL2(Ω,P)-ノ

微 分 で き る も の は 本 質 的 に はLevyの す る.こ

とす る と き

の ク ラ ス の 重 要 性 は,必

ル ム に 関 し てN-1回

定 義 し た 狭 義N重Markov過

まで 程 と一 致

ず 標 準 表 現 が 存 在 す る こ と,さ

ら に よ く知 ら

れ た 常 微 分 方 程 式 論 の 知 識 を 用 い て 新 生 過 程 が 具 体 的 に 構 成 で き た り,標 がGreen関

数 と し て と ら え ら れ た りし て,そ

準核

の 構 造 が 明 ら か に され る こ と で

あ る.   本 節 に お い て は,パ

ラ メ ー タ ー 空 間Tは

い つ も[0,∞)に

れ で は 定 常 過 程 の 場 合 を 排 除 す る こ と に な る が,後

とっ て お く.こ

に 述 べ る よ うに,そ

れ は適

当 に 時 間 の ス ケ ー ル を 変え,し よ うに し てT=(-∞,∞)の T=[0,∞)と

か もMarkov性

に関 連 した 諸性 質 を 変 えな い

場 合 に な お す こ と が で き る の で,以 下 に お い て は

し て 差 支 え な い.狭 義N重Markov

Gauss過

に,常 微 分 作 用 素 に つ い て 若 干 の 準 備 を し て お く(た

程 を定 義 す る 前

とえ ばE.L.

Ince(1926)

参 照).   区 間Tで

定 義 さ れ たN+1個

の 関 数 υi(t), 

で条件

 (5.18)

 (5.19)

を満 足 す る もの を と り次 の よ うに各 種 の 微分 作 用 素 を考 え る.

 (5.20)

こ こで,も

し 各 υiが 適 当 な 回 数 だ け 微 分 可 能 とす れ ば,Lt,Lt(j),L*u等

普 通 の 微 分 作 用 素 に な る.ま ちろ ん こ の と き,Ltを{υt}に は な い.{υi}の

たL*uはLtの(形 よ っ て(5.20)の

え ら び 方 は 幾 通 りも あ る.た

  (5.21) 

式 的)共

役 作 用 素 で あ る.も

よ うに表 わ す方 法 は 一意 的 で とえ ば微 分方 程 式

Ltf(t)=0

の 基 本 解 系fi(t), 

を一 つ と って

 (5.22)

に よっ て{υi(t)}を   逆 に(5.19)を

作 れ ば よ い. み た すC∞(T)-関

は

数 の 系{υi(t)}が

与 え ら れ た と き,(5.20)

を 定 義 す る とき{fi}は

と(5.22)で

そ れ ぞ れLtとfi(t), 

式(5.21)の

基 本 解 系 と な る こ とは す ぐ に わ か る.

  同 様 に{υi}か

ら 出 発 し て 作 用 素L*uを(5.20)の

方程

よ う に 定 義 し,{gi}を

 (5.23)

に よ っ て 与 え る とそ れ は 方 程 式   (5.24) L*ug(u)=0 の基 本 解 系 と な る.   [注 意]  (5.22),(5.23)  で 与 え られ る{fi},{gj}は

積 分 の下 限 を0以 外 の 定 数 に と

っ て もそ れ ぞ れ 基 本 解 系で あ る とい う性 質 は 変 らな い.   上 記(5.22),(5.23)で 数R(t,u)を

与 え られ る{fi},{gi}を

組 み 合 せ てT×T上

の関

次 の よ う に 定 義 す る.

 (5.25)

あ き ら か にR(t,u)は  で,連

続 関 数 で あ る が,さ

  補 題5.1. 

だ け で な くt=uに

お い て も,す

な わ ちT×T上

らに

2変 数 関 数R(t,u)は

次 の 性 質 を も つ. (任 意 に 固 定 し たuに

対 し),

 (5.26)

(任意 に固 定 し たtに 対 し).

 (5.27)

  証 明   (5.26)は{fi}お あ る こ とか ら す ぐ に わ か る.

よ び{gi}が

そ れ ぞ れ(5.21)と(5.24)の

解 で

 次 に,fiの

構成 法 をみ る と

か ら(5.27)の

お よび  は じ め の2式   補 題5.2. 

はNに

最 後 の 式 が 証 明 さ れ る.(5.27)の

つ い て の 数 学 的 帰納 法 を 用 い て 初 等 的 に 証 明 で き る.

も しL2(T)に

属 す る φ(u)に

ついて

 (5.28)

な ら ば,区

間(a,b)上

で

φ(u)=0, 

a.e.

で あ る.   証 明   仮 定 の(5.28)を

と な る.左

辺 をυN(t)で

え にRadon-Nikodym導

書 き 直 す と,(a,b)上

割 る とfi(t)の

で

定 義 か ら そ れ は 絶 対 連 続 で あ る.ゆ

関 数 を と っ て,(a,b)上

で ほ とん どい た る と こ ろ

(実 は い た る と こ ろ)

に注意 とな る.た だ しf(1)は 

を 表 わ す.上

の 第 二 項 は 補 題5.1よ

り

恒 等 的 に0だ か ら

が 得 ら れ た.さ いて

ら に こ れ をυN-1(t)で

割 っ て微 分 す る と,再

び 補題5.1を

用

と な る.こ

の よ うな 操 作 を く り返 し て 遂 に は

に 到 達 す る. 

だ か ら 結 論 が 導 か れ る.

  [注 意]  R(t,u)は φ∈L2(T)な

実 は,Ltに

対 す るVolterra型

のGreen関

数 に他 な らな い.

らば

は 作 用 素Ltの

定 義 域 に属 し,

  (5.29) 

LtF(t)=φ(t), 

a.e.

が 成 り立 つ.

  補 題5.3. ⅰ)  s1,s2,…,sNに

(5.22)で 対

与 え ら れ たfi(t), 

は任 意 の相 異 な る

し て

 (5.30)

とな る.  ⅱ )  (5.23)で 与 え られ たgi(u),  で1次

は 任 意 のtに

独 立 で あ る.

  証 明  ⅰ)  あ るs1<s2<…<sNが

存在して

Δ=det(fi(sj))=0 で あ っ た と す る.

に 注 意 し て,次

式 に 着 目 し よ う.仮 定 よ り

対 し てL2([0,t])

と な る は ず で あ る.   そ こ でs=s1を

変 数 とみ れ ば,Δ

均 値 の 定 理 に よ っ て,適

当 なs1′

はs=s2お

を(s1,s2)か

に お きか え た行 列 式 が0に な る.第2列

よ びs=s1で0に ら 選 び 第1列

な るか ら 平 を

以 下 も同様 な操 作 を く りか え す こ とに

よ って

と な る.た

だ しs2<s′2<s3<…<s′N-1<sNで

あ る.上 式 左 辺 を あ ら た め てΔ の

よ うに 思っ て この よ うな操 作 を続 け れば最 後 に

すな わ ち

が 得 ら れ る.υ1(t)は(s(N-2)1,s(N-2)2)で0に 矛 盾 で あ る.す な わ ち(5.30)は

な らな い連 続 関数 だ か らこ れ は

任 意 の 相 異 な るs1,s2,…,sNに

 ⅱ) も 背 理 法 で 証 明 され る.い

ま{gi(u)}が

あ るtに 対 しL2([0,t])で1

が 存在 して

次従 属 で あっ た とれ ば,実 数ai, 

と な る.決

し て0に

な ら な いυi(u)で

く り返 せ ばυN(u)≡0と

つ い て 成 り立 つ.

割 り微 分 す る操 作 をi=0,1,2,…

と

な っ て 矛 盾 に 到 達 す る.

  これ ま で 準 備 し て き た 微 分 作 用 素Ltを し そ の 性 質 を 調 べ よ う.以

用 い て 狭 義 多 重Markov過

程 を定 義

下 で 扱 うGauss過程X={X(t,ω);t∈T}に

る仮 定 は(A.1),(A.2′)お

よび(A.3′)と

す る.最

対 す

後 の仮 定 に よ りH(X)

は 可 分 と な る.   定 義5.3. 

仮 定(A.1),(A.2′),(A.3′)を

{X(t,ω),t∈T}に

対 し(5.18),(5.19)を

(5.20)の 第1式

満 足 す るGauss過

を 作 用 させ る こ とが で き,か

を用 い て

み た すυi, 

の よ うに 表 わ さ れ る 微 分 作 用素Ltが

程X=

存 在 し て,X(t)にL(1)t

つ

L(1)tX(t)=U(t)

 (5.31) 

が 独 立増 分 過程 す な わ ち加法 過 程 とな り,そ の分 散 σ2(t)が  (5.32) と 表 わ す こ と が で き る と き,Xを process

in

the

restricted

狭 義N重Markov過

sense)と

い う.

程(N-ple

Markov

  Gauss過

程Xが

はWiener積

狭 義N重Markov過

程 の と き(5.31)で

定 ま るU(t)

分 に よ って

 (5.33)

と表 現 で き る.あ

る い はdU(t)=υ0(t)dB0(t),U(0)=0,と

書 い て も よい.

これ か ら形 式 的 な 微 分 方 程 式

 (5.34)

が 導 か れ る.こ

の 式 を や は り形 式 的 に 解 け ば,X(0)=X′(0)=X(N-1)(0)=0

とい う初 期 条 件 の も と で は  (5.35)

と な る.た

だ し,R(t,u)はGreen関

で あ る.こ

の よ うな 形 式 的 な 考 察 は 以 下 の 議 論 の 見 通 し を よ くす る も の で あ っ

て,事

実(5.35)は

数 で(5.25)に

よ っ て与 え ら れ る も の

標 準 表 現 の 言 葉 を 用 いて 正 確 な 記 述 に な お す こ とが で き る.

そ れ を 論 ず る こ と に し よ う.ま ず 補 題 か ら始 め る.   補 題5.4. X={X(t);t∈T}が

と表 現 され  ⅰ)  ⅱ)

な らば 平 均収 束 の意 味 で の導 関 数X′(t)が 存 在 し て次 の よ うに表 わ され る:  (5.36)

  証 明  Δt>0と

す る.

X(t+Δt)-X(t)

で右辺 の第1項 の分散 は

と な る.第2項

をΔtで 割 っ た も の が,Δt→0の

の 存 在 が わ か りそ の 具 体 形 が(5.36)で

と き 収 束 し,し

た が っ てX′(t)

与 え ら れ る.

 以 上 本 節 で 考 え るLtは(5.18),(5.19)を

か ら構成

み た す υi, 

され る微 分 作 用 素 に 限 る も の とす る.   定 理5.2. ⅰ)  {B0(t)}に

狭 義N重Markov

Gauss過程XはLtとBrown運

よ っ て 一 意 に 定 ま る.

 ⅱ)  そ のXは(dB0(t),R(t,u))に Ltに対

す るGreen関

よ る標 準 表 現 を も ち,標

準 核R(t,u)は

数 で あ る.

  証 明  ⅰ) 与 え ら れ たLtを U(t)を

動

定 義 す る.Ltに

構 成 す るυ0とB0(t)を

対 す るGreen関

用 い て(5.33)に

数R(t,u)を(5.25)に

よ り

よ って 構 成 し

 (5.37)

と す る.補

題5.4を

明 で き る.ゆ

用 い れ ば,こ

のX(t)が

え に,Ltと{B0(t)}か

{X(t,ω);t∈I}が一

方 程 式(5.31)を

ら狭 義N重Markov

み た す こ とが 証 Gauss過

程X=

つ 定 義 され た.

  一 意 性 を 示 す に は(A.1),(A.2′)を

み た すGauss過

程{X(t);t∈T}に

つ

いて

 (5.38) 

を 示 せば 十 分 で あ る.な

な らば  ぜ な ら(5.31)を

が あ った と す れ ば,X1(t)-X2(t)=X(t)を

ただ し み た す も の が 二 つ,X1(t)とX2(t) お く と きL(1)iX(t)=0と

な る.も

し

 ⅱ

(5.38)が 正 し け れ ば,(5.20)の

第2式

の 表 現 を 用 い る と,L(2)tX(t)=0が

れ る.こ れ を く り返 し てX(t)=0,t∈T,に され る.さ

て,(5.38)は

確 率 変 数,と ≡0が

到 達 す る.す

なわ ち一 意 性 が示

仮 定 か らX(t)=υ(t)C,C=C(ω)はtに

な る が(A.2′)よ

りC=0で

導か

依存 しない

な け れ ば な ら な い.す

な わ ちX(t)

し た が う.

 ⅱ)  に つ い て は(5.37)か に は 定 理4.4の

標 準 表 現 を 与 え て い る こ と を 示 せ ば よ い.そ

判 定 条 件 を た め せ ば よ い.そ

れ は 補 題5.2に

れ

他 な ら な い.

  こ の 定 理 か ら直 ち に 次 の 事 実 が 得 ら れ る.   系   X={X(t,ω);t∈T}は(5.31)を

み た す狭 義N重Markov

Gauss

過 程 で あ る とす る.  ⅰ) υ(t)が 決 し て0に

な ら な い 連 続 関 数 と す れ ば{υ(t)X(t,ω);t∈T}も

ま た 狭 義N重Markov

Gauss過

程 で あ る. は 狭 義N-1重Markov

) 

Gauss過

程 で

あ る.   こ こ で 定 理5.2に

つ い て 重 要 な 注 意 を し て お き た い.狭

程 の 標 準 核 はGreen関 る.そ

数R(t,u)で

その 求 め方 は解 析学 で 周 知 の も の で あ

れ で は 新 生 過 程 の 求 め 方 は ど う で あ ら うか.そ

で き る.実

際,L(1)tX(t)=U(t)か

が で き る.簡

単 に 言 え ば,真

義N重Markov過

れ も や は り具 体 的 に 構 成

らdU(t)/υ0(t)=dB0(t)と

して 求 め る こと

の標 準 表 現 は 常 微 分 方 程 式 を 定 数 変 化 法 で 解 く場

合 と類 似 の 方 法 で 構 成 され る.こ れ は 狭 義 多 重Markov

Gauss過

程 の大 きな

特 徴 で あ る.   前節 で 扱 っ た 多 重Markov性   定 理5.3. 

狭義N重Markov

と の 関 係 は 次の 定 理 で 言 い 表 わ され る. Gauss過

程 はN重Markov

Gauss過

程

で あ る.   証 明   狭義N重Markov う.標

Gauss過

程 が(5.37)で

準 核 を 構 成 す る{fi(t)},{gi(u)}は,そ

与え られ て い る と し よ

れ ぞ れ 補 題5.3のⅰ)お

ⅱ)の 性 質 を 持 っ て い る.よ っ て 定 理5.1に よ りN重Markov性が   そ れ で は,N重Markov性

よ び

証 明 さ れ る.

の ほ か に どれ だ け の 条 件 を 仮 定 す れ ば 狭義N重

Markov性

が 出 る で あ ろ う か .そ

れ を標 準 核 に対 す る条 件 で言 い表 わ す こ と

を 考 え て み よ う.N重Markav

Gauss過

程Xの

核 

が条件

標 準 核 で あ るN次Goursat

 (5.39)

を み た す と 仮 定 す る.た Wronskianのuに

だ しW(g1,g2,…,gi)(u)は

お け

υ0,υ1,…υN-1が

る値 で あ

る.こ

関 数g1,g2,…,giの の 最後 の仮 定 か

らC∞(T°)-関

数

存 在 し て

 (5.40)

と表 わす こ とが で き る.さ らに{fi}を 限 は す べ て0に

と る こ とが で き る.ま が 存 在 す る.こ

 定 理5.4. 

N重Markov

適 当 に 組み か え れば 上 式 の各 積 分 の下 た 仮 定(5.39)の

れ をF(i)(t,u)と Gauss過

も とで 

か く.

程X={X(t,ω);t∈T}が

を も ち,標 準 核 

が 仮 定(5.30)を

新 生 過 程B0 み た す とす る.

 ⅰ)

 な ら ばXは

狭 義N重Markov過

程 で あ る.

 ⅱ)  もしtに 無 関係 な整数 

な ら ば 狭 義N重Markov 用 素Mtと

  (5.41) 

Gauss過

が 存在 し て

程{Y(t,ω);t∈T}とN-k-1階

が存 在 し て

X(t,ω)=MtY(t,ω),t∈T°

微 分作

と な る.   証 明 ⅰ)  仮 定 よ り,補 題5.4を と が わ か る.gi(u), 

用 い てX(t)がN-1回

が(5.40)の

こ に 用 い ら れ る 物υi,  に 選 ん で 微 分 作 用 素Ltが

微 分 可能 で あ るこ

よ うに 表 わ さ れ て い る こ と か ら そ

と0に

な ら な いC∞(T°)-関

定 ま る が,各υiがC∞(T°)に

数υNを

適当

属 す る の でLtは

通常

の 微 分 作 用 素 で あ る.こ の と き,仮 定 はF(t,u)がLtのGreen関 を 示 し て い る.し

た が っ て 定 理5.2の

系ⅰ)か

らXが

数 で あ るこ と

狭 義N重Markov

Gauss

過 程 で あ る こ とが わ か る.  ⅱ)  上 の 証 明 の よ うに 微 分 作 用 素Ltはgi,  ま る.こ

のLtに

対 す るGreen関

く(fi(t)は(5.22)のfi(t)に

とυNに

よ って定

とか

数 を  あ た る.こ

こで のfi(t)と

変 え た).こ こで 微 分作 用 素 

区別 す る た め 記 号 を

に,よ っ てMtfi(t)=fi(t), 

とな る も の を考え よ う.補 題5.3の

証 明 法 か ら容易に わ か る よ う に a.e.

だか ら連立方程式  (5.42)

に よ っ てa0(t),a1(t)…,aN(t)の 辺 にgi(t)を

掛 け てiに

ら に(5.42)の

れ ば,F(1)(t,t)=0とGreen関

か る.こ の操作 をk-1回

こ ろ が(5.42)の

つ い て の 和 を と れ ば,F(t,t)=0とGreen関

性 質R(k)(t,t)=0,k=0,1,…,N-2,を わ か る.さ

比 は 一 意 に 確 定 す る.と

用 い てa0(t)≡0と

両 辺 を 微 分 し てgi(t)を

く り返し て,結 局MtはN-k-1階

数の とれ る こ と が

掛 け,iに

数 の 性 質 と か らa1(t)≡0と

つ い て の和 を と とれ る ことが わ

の 微分 作用 素

として よい こ とが 証明さ れ る.F(t,u)の に対 す る最 初 の仮 定 とMtに 請Mtfi(t)=fi(t),    [例]  次 の表 現

とか ら求め る式(5.41)が

両

対 す る要

示 され る.

を も つGauss過

程Xは3重Markov

Gauss過

性 は も た な い(1回

し か 微 分 で き な い.そ

と な る例 で あ る.実

際,この場

て,狭

義3重Markov

Gauss過

程 で あ る が 狭 義3重Markov

れ は 定 理5.4ⅱ)でN=3,k=1

合 微 分 作 用素Mtはtd/dt+1と

と る こ とが で き

程Yは

に よ っ て 与 え られ る.

  これ ま で の 結 果 の 直 接 の 応 用 と し て §4.5で げ た い.Gauss過

程 が 標 準 表 現 を も つ と き最 良 予 測 値 は 命 題4.2で

こ とだ け を 復 習 し て お こ う.X={X(t,ω);t∈T}が で,そ

述 べ た 予 測 の問 題 を 再 び と りあ

の 標 準 核 が(5.22),(5.23)で

用 い て 

与 え られ る

狭 義N重Markov過

与 え ら れ るfi(t),gi(u), 

と表 わ さ れ て い る と す る.t>sと

程 を

す る最 良予

測 値X(t,s)は

 (5.43)

とな る.応 用 上 か ら い え ば こ の 右 辺 がX(u),  と が 望 ま し い.そ

の た め に,ま

ず 次 の 事 実 に 注 意 す る.(5.20)の

Lt(j)fj(t)=0,i=1,2,…,N-j と な る.い

ま記 号

を導入すれば  (5.44)

の 関数 として表 わ され る こ 記号を用いて

が 得 ら れ る.と

こ ろ で 

だ か ら(5.44)をUi(t)

に つ い て解 い て  (5.45)

と表 わ す こ とが で き る.こ

れ と(5.43)よ

り

ただし

 (5.46) 

と書 け る.こ

う し て 最 良 予 測 値 がX(s),X′(s),…,X(N-1)(s)の1次

結 合 とし

て 具 体 的 に 表 わ さ れ る こ と が わ か っ た.大

切 な こ と は そ れ がX(t)のt=sの

近 傍(実

値 に よ っ て"局

はsよ

り小 さ いtの

み で よ い)の

所 的"に

構成で きる

と い う こ と で あ る.   そ れ で は一般 のN重Markov 定 理5.4ⅱ)に

Gauss過

程Xの

お け る も の と し よ う(5.41)の

の逆 作 用 素Mt-1(そ

場 合 は ど う で あ ろ うか.Xは 関 係 式 で 結 ば れ るY(t)はMt

れ は 積分 作 用 素 であ る)に よ ってX(u), 

の線型汎

関 数 と して表 わ され,し か も  (5.47) 

Bt(X)=Bt(Y),t∈T°

が な りたつ(こ の事情 は次節 で よ り一 層 明確 に され る).(5.45)をY(t)に

対す

る関 係式 にお きか え て,最 良予 測 値 は 次 の よ うに計 算 され る.

 (5.48)

狭義N重Markov過

程 の場 合 との重 大 な相違 は積 分 作用 素Ms-1(そ

れ は因 果

的 な作 用 素 に な って い る)が 介 在 し,最 良予 測値 が 局所 的 に は構 成 で き ない と

い う こ と に あ る.

  §5.4.  多 重Markov定   多 重Markov性

常Gauss過

を もつGauss過

で に 述 べ た(第3章)一

程

程 の 中 で さ ら に 定 常 性 を も つ も の は,す

般 の定 常 過 程 の 性 質 を 用 い て 標 準 表 現 につ い て の 詳 し い

性 質 が 知 ら れ る の で,節 を 改 め て述 べ る こ と に す る.詳 し い 性 質 と い った そ の 第 一 は 標 準 表 現 の 核 や 新 生 過 程 を 求 め る解 析 的 方 法 が 具 体 的 に 与 え られ る こ とで あ り,第

二 に は 多 重Markov定

常 過 程 の標 準 核 が,基

本 的 には指 数 関 数 か ら

な る 極 め て 特 殊 な 関 数 で あ る こ と か ら く る取 り扱 い の 容 易 さ が,あ

る種 の 非 標

準 的 な 表 現 と の 関 係 を 見 る こ と を 可 能 に す る と い う こ とで あ り,第 三 に は 上 と 同 じ理 由 で 狭 義 多 重Markov性

を さ ら に 一 般 化 し て,い

わ ば 無 限 重Markov

性 を も考 え ら れ る と い った 点 に あ る.第 二 の 点 に つ い て は,標 準 表 現 の 理 論 の 起 源 に な っ た 話 題 に 直 接 関 係 し た こ と で あ っ て 歴 史 的 に み て 興 味 深 い.す

な わ ち,

多 次 元 パ ラ メ ー タ ー を も つBrown運

球 面上

動 を パ ラ メ ー タ ー 空 間 の 半 径tの

で こ の 過 程 を 平 均 し て で き る い わ ゆ るM(t)-過

程 の 研 究 はP.LevyがGauss

過 程 の 標 準 表 現 を 考 え る 端 緒 と な った も の で あ っ て,特 重Markov過

に奇 数 次元 の場 合 は 多

程 の 典 型 的 な 例 を 与 え て い る.

  本 節 で は パ ラ メ ー タ ー 空 間 をT=(-∞,∞)に X={X(t,ω);t∈T}は す る も の とす る.仮

と る.扱

う複 素Gauss過

す べ て 定 常 過 程 で 仮 定(A.1),(A.2′),(A.3′)を 定 か らXの

程 満足

共分 散 関数

γ(h)=E{X(t+h)X(t)}

はhの

連 続 関 数 で あ る.第3章

の 結 果 を 用 い て γ(h)お

よ びX(t)の

スペ ク ト

ル表 現 を  (5.49)

 (5.50)

と あ ら わ す.こ

の と き(-∞,0]で0と

な る 関 数G(u)が

存 在 し て,そ

の

Fourier逆

変 換 をG(λ)と

で あ り,か

す る と き 

つX(t)の は

 (5.51)

と表 わ す こ とが で き て(G(t-u),dB(u))はXの

標 準表 現 を 与 え てい る(第

3章 定 理3.4).

 以 上 の状 況 の も とで さ らにMarkov性

を仮定 し よ う.ま ず1重Markov性

を もつ 場 合 を 観 察 し て み る こ とに す る.定

理5.1に

よ っ て 上 の 標 準 核G(t-u)

は

と書 く こ と が で き る.gの

可 測 性 か ら た だ ち にfの

れ た 結 果 と し て,f,gが,し

た が っ てGが指

た と え ばg(u)をceλu,λ

とcは

定 数,と

可 測 性 も導 か れ,よ

く知 ら

数 関 数 で あ る こ と が わ か る. し て み よ う.任

9∈L2((-∞,t])で

な けれ ば な ら ない の で

λ>0で

c′e-λt,c′は 定 数,そ

し てG(t-u)=cc′e-λ(t-u),(λ>0)が

(5.51)はcc′=aと

おいて

あ る.こ

意 のtに

つ い て

れ か らf(t)=

導 か れ る.こ

うして

 (5.52)

と表 わ さ れ る.こ

れ は 確率 微 分 方 程式

  (5.53) 

dX(t)=-λX(t)dt+adB(t), 

を み た す.す

(λ>0)

な わ ちXはQrnstein-UhlenbeckのBrown運

  こ う し て 定 常 性 にMarkov性

動 と な る.

が加 わ る とGauss過

に な って し ま う.そ れ で は 定 常 性 の 他 に 多 重Markov性 る で あ ろ うか?多

重Markov性

は 単 純Markov性

と を 意 図 し て 定 義 され た も の で あ る だ け に,標 拡 張 とな っ て い る こ とを 期 待 し た い.次 も の で あ る.

程 は 極 め て特 殊 な も の を 仮定 した ら ど うな の 自然 な拡 張 とな るこ

準 核 の 形 も 指 数 関 数 の あ る種 の

の補 題 は その よ うな我 々の期 待 に添 う

  補 題5.5. 

N次

のGoursat核

 (5.54)

がt-uの

み の 関 数 で あれ ばfi(t), 

は あ るN階

微 分 方 程 式 の 基 本解 系 を な し,gi(u), 

の定 数 係数 線 型 常

は それ と共 役 な 常微 分 方 程

式 の基 本 解 系 を なす.   この補 題 はF(t,u)=F(t-u)が  (5.55)

の 形 の 関 数 の1次

結 合 と し て 表 わ さ れ る よ う なN次Goursat核

を 示 し て い る.こ

こで λ(Reλ>0)は

  証 明   最 初 にF(t-u)を D0をSchwartzの なC∞-関

定 数 で あ る.

領 域 

空 間Dの

で 考 え よ う.

部 分 空 間 で 台 が(-∞,0]に

数 か ら な る空 間 と す る.φ ∈D0な

が 存 在 し て,そ れ は    次 にD0の

含 まれ る よ う

らば

の範 囲 でC∞-関

中 に φj, 

で あ る こ と

数 に な る こ とに 注意 す る.

存在 して

 (5.56)

と で き る こ と を 示 そ う.こ ず 

こ に(,)はL2(T)に

お け る 内 積 を 表 わ す.ま

と な るφ1が と れ る こ と に 注 意 す る.そ

φ が 存 在 し な け れ ばg1は(-∞,0]で うか ら で あ る.帰 納 法 で(5.56)を

れ は,も

しそ の よ うな

ほ と ん ど 到 る と こ ろ0に

な っ て し ま

み た す{φj}の

存 在 を い う た め,い

{φ2,…,φn(n<1)が

をみ た す よ うに選 べ た とし てφn+1の

と り方 を考 え よ う,行 列 式

ま φ1,

が す べ て の φ∈D0に

つ い て0と

をgi(u),  て0と

な る な ら ば,最

に か え て も,や

な る.そ

こで,こ  の1次

結 合 が ほ とん ど す べ て の 

独 立 性 に 矛 盾 す る.し

0と な ら な い.そ

の φ をφn+1と

辺 は 

tj, 

わ か る .ま に 対 し て 

  以 上 の よ う な 議 論 を 各 領 城  ば結 局

と な る こ と が 知 ら れ る. 式

な る こ とに

し て上 の 行 列 式 は

う し て(5.56)が

証 明 さ れ る.

よ り各fi(t)が(F*φj)(t),

結 合 と し て 表 わ さ れ る こ とが わ か り,そ れ はC∞((0,∞))

を 用 い て 各gi(u)がC∞((-∞,0))に

  最 後 に,等

につい

用いて書けば

でC∞-関 数 で あ る.(5.56)に

に 属 す る こ とが 証 明 さ れ る.さ F∈C∞((0,∞))も

に 対 し て0と

た が っ て あ るφに対

す れば よ い.こ

  と こ ろ で,(F*φj)(t)を{fi},{gi}を

 の1次

は り ほ と ん ど す べ て の 

の 行 列 式 を 最 後 の 列 に つ い て 展 開 す れ ば,gi(u),

な り{gi}の1次

と な るが,左

後 の 列(gi,φ), 

ら に, 

t>0,に よ り

たGoursat核

の 性 質 か ら,任

意 の相 異 な る

だか ら

属 す る こ と が 証 明 さ れ る. α∈T,に

つ い て行 え

 (5.57)

に 注 意 す れ ば,u=0と の1次

お い て み る と きF(k)(t), 

結 合 と し て 表 わ さ れ る の で そ れ らは1次

て 定数bi, 

と な る.tの

は す べ て{fi(t)}

従 属 に な る こ とが わ か る.よ

っ

が 存在 して

代 りにt-u(u
お き,Fを{fi}で表

わ し て か ら{gi}の

1次 独 立 性 を 用 い れ ば

が 得 られ る.{fi}が1次 fiがLifi(t)=0を

独 立 な関 数 系 で あ り,LtがN階 み た す こ とか ら{fi}はLtf=0の

の常微 分 作 用素 で 各 基 本解 系 で なけれ ば な

ら な い.   関 数 系{gi}に  定 理5.5. 

つ い て の 結 論 も(5.57)を X={X(t,ω);t∈T}を

複 素 定 常Gauss過 はN次

のGoursat核

用 い て類 似 の 方 法 で 証 明 で き る.

仮 定(A.1),(A.2′),(A.3)を

程 とす る.も しXがN重Markov過 で(5.55)の

が 標 準 表 現 を も ち そ の 核 はt-uの

定 理3.4に

よ る.ま

る.よ

っ て 補 題5.5か

た 定 理5.1に

程 な ら ば そ の標 準 核

形 の 関 数 の1次

  証 明 

結 合 で あ る.

み の 関 数F(t-u)で

よ っ てF(t-u)はN次

らF(t-u)は(5.55)の

みた す

のGoursat核

あ る こ とは で もあ

よ うに 表 わ され る関 数 の1次

結 合 で な け れ ば な ら な い.  [注意]  定 理5.5は 強 力 な定 理 であ って,Gauss型

でな い弱 定 常過 程 の場 合 に も簡 単

な言 い かえ で 適用 で き る.す なわ ち定 義5.1に お け る条 件付 平 均値E(X(ti)/Bto(X)) の代 りにU(t0,ti)≡X(ti)のHto(X)へ

の射 影

を と ってそ こで の条 件を 満 足 す るな ら

ば,X(t)の

移 動 平 均表 現 の核F(t-u)は

  系   Xを 定 理5.5に

お け るGauss過

や はり 定 理5.5の

よ うな関 数 に な る.

程 とす る.Xの

標 準 核FのFourier

逆 変 換(こ こで は積 分 の前 の定 数 を 

はiλ の有 理 関数 で,下 N-1次

多 項 式Q(iz)と

とし た)

半 平 面 内 に は根 を もた な いN次

多 項式P(iz)と

高々

を用いて

 (5.58)

と表 わ す こ と が で き る.   証 明   (5.55)式

で 与 え ら れ る 関 数 のFourier変

の 定 数 倍 で あ る.c(λ)は

そ の よ う な 関 数 の1次

が 標 準 核 で あ る こ と(§3.4参   [例1] 

(5.55)の

が あ る.こ

こ でB0(t)は

照)か

換 は(iλ+μ)-(k+1),Reμ>0, 結 合 で あ る こ と お よびF(t-u)

ら結 論 が 導 か れ る.

関 数 で λ=1,n=1の

場合 の例 として

複 素Brown運

動 で も(実)Brown運

動 で も よい.

この例 で核 は 明 らか に標 準核 で

と な る.そ

し てXは2重Markov定

 [例2] 

同 じ く2重Markov定

る 関 数 のn=0の

常Gauss過 常Gauss過

場 合 の例 とし て

を あげ よ う.{  }内 は もち ろ ん標 準 核 で

で あ る.

程 で あ る. 程 で 標 準 核 が(5.55)に

おけ

  上 記 の2例 X(t)は

は い ず れ も2重Markov性

微 分 可 能 で あ る が 例2で

義2重Markov過

程 で あ る が,後

  例2に

関 し て 定 理5.4ⅱ)を

k=0の

場 合 で あ る .Y(t)と

と な る も の で あ り.こ

とな る.最

を も つ も の で あ る が 相 異 点 は 例1の

は 微 分 不 可 能 だ とい う こ と で あ る.前 者 は そ うで は な い.

思 い 出 そ う.N=2で

のY(t)とX(t)と

の 関 係,す

から

な わ ち(5.41)式

は

か ら

あ ては め れ ば よい.

  このY(t)は

次 の形 式的 な確 率微 分 方 程 式

を み た す.こ

こで 係数 を一 般 化 す る こ とに よ り

を 考 え る こ とが で き る.こ

の 方 程 式 の 解{Y(t)}は

摩 擦 とラ ンダ ムな イ ンパ ル

ス を も っ た 調 和 振 動 子 の 運 動 を 記 述 し て い る.こ 数,α

あ り,F(t,t)=1だ

し て は 対 応 す るc(λ)が

良 予 測 値 の 計 算 の た め に はX(s), 

を 構 成 し(5.48)に

者 は狭

は 弾 性 力 の 強 さ を 示 す 定 数 で あ りB0(t)は

こに,mは

質 量,β

は摩 擦 係

ラ ン ダ ム な シ ョッ ク を 示 す

も の で あ る.

  2重Markov N重Markov定

Gauss過 常Gauss過

と し て 有 理 関 数(5.58)が

程 に 対 す る こ の よ う な 考 察 に 示 唆 さ れ て,一 程Xの 一 意 に(絶

構 造 を 調 べ る方 法 が わ か る.Xに 対 値1の

定 数 を 除 い て)対

般の

はc(λ)

応 す る.そ

し

て1/P(iλ)をc(λ)と こ のYは

す るGauss過

狭 義N重Markov

書 け ばXとYと

程Y={Y(t,ω);t∈T}が

Gauss過

程 で あ る.い

一 意 に 定 ま る.

ま 

と

の 関係 は

 (5.59)

で あ る.あ

るい は

 (5.60)

で 与 え られ る.形 式 的 に書 けば また は

 (5.61) 

とな るが,こ

こで注 意 した い こ とは 作 用 素 

す な わ ちY(t)∈Hi(X)が  さ ら に,Yは る が,そ

が 因果 的 で あ る こ とで あ る.

導 か れ る こ と で あ る.

狭 義N重Markov

Gauss過

程 ゆ え 微 分 作 用 素Ltが

対応す

れ は

 (5.62)

と表 わ す こ とが で き る.こ

れ を 用 い てLtY(t)=B0(t)と

記 の(5.61)と

式的に

併 せ て,形

表 わ さ れ る の で,上

 (5.63)

な る 確 率 積 分 微 分 方 程 式 が 得 ら れ る.こ Xは

方 程 式(5.63)の

か ら(5.58)に {B0(t)}が 数 をR(t-u)と

う し てN重Markov定

常Gauss過

解 と し て 特 徴 づ け る こ と が で き る.こ

よ っ て 定 ま る 多 項 式 で あ る.そ

新 生 過 程 を 与 え,標 す る とき

準 核F(t-u)は,Ltに

こ にP,Qはc(λ)

し て 標 準 表 現 に つ い て は, 対 応 す るGreen関

程

 (5.64)

で 与 え られ る.こ れ で 我 々 の 立 場 か らXの

十分 詳 しい性 質 まで 解 明 で き る こ と

に な っ た.   N重Markov定

常Gauss過

と な る 場 合 は(5.63)の

が 得 られ,こ Doobが

程 で 対 応 す るc(λ)がk/P(iλ)(kは

定 数)

特別 な場 合 として

のGauss過

程 は 狭 義N重Markov過

程 とな る.そ

れ はJ.L.

扱 っ た も の に 他 な ら な い.

  これ ま で 述 べ て き た 方 法 は,あ そ の 重 要 な 例 は,時 場 合 で あ る.そ

る 種 の 非 定 常Gauss過

程 に も 適 用 さ れ る.

間 の ス ケ ー ル を 変 更 す る こ とに よ っ て 定 常 過 程 に 移 さ れ る

れ に つ い て 若 干 触 れ て お き た い.

  い まX={X(t,ω);t∈T}をN重Markov定

常Gauss過

程 とす る.

 (5.65)

に よ っ て 

を 定 義 す れ ば,Xは

ま たN重Markov

Gauss

過 程 で あ り,し

か も この変 換 は微 分 可 能 性 を 保存 す る こ とは容 易 に 証 明す る こ

と が で き る.こ

の と きX(t)は

の タ イ プ のGauss過

程 の1次

結 合 で あ る が,変

換(5.65)を

お こ な った 後 で

は そ れ ら各 々は

 (5.66)

と表 わ され る.こ

こに{B0(t)},{B0(t)}は

と も に(実

あ る い は 複 素)Brown

運 動 で あ る.   こ こで,(5.66)の

過 程 の 核 に 注 意 す れ ば,次

の 命題 は 自然 な もの として 受 け

入 れ られ るで あ ろ う.証

明 は 容 易 で あ る の で 省 略 す る.

  命 題5.2. 

が α次 の 斉 次 関 数F(t,u)を

標 準核 とし て

 (5.67)

と表 わ され る な ら ば X(t)=e-(2α+1)tX(e2t) で 与 え られ るGauss過

程X={X(t,ω);t∈T}は

XがN重Markov性

を も て ばXも

  §5.5.  LevyのM(t)-過

定 常 過 程 で あ る.さ

らに

そ うで あ る.

程

  こ れ ま で 多 重Markov

Gauss過

程 の 構 造 を 調 べ て き た が,こ

研 究 の 動 機 となっ たLevyのM(t)-過

こで ま た そ の

程 を ふ りか え っ て み て,多

重Markov

性 の 拡 張 や 再 考 を し て み た い.   M(t)-過

程 は 多 次 元 パ ラ メ ー タ ーBrown運

  定 義5.5. 

Gauss型

確 率 変 数 系X={X(A,ω);A∈RN}は

ⅲ)を み た す と き パ ラ メ ー タ ーRNのBrown運 RN-parameter)と

with

原 点,

 ⅲ) E(X(A)-X(B))2=r(A,B), r(A,B)は2点A,B間   この よ うな 系Xの

存 在 は,定

章 参 照)か ら保 証 さ れ る.XはN=1と 一 致 す る.そ

の 距 離.

義 か ら た だ ち に 計 算 さ れ る共 分 散 関 数

が 正 定 値 で あ る こ と(Schonberg-Schwartzの

Brown運

motion

A∈RN,

 ⅱ)  X(O)=0,OはRNの

運 動{B0(t)}と

動(Brownian

次 の 条 件ⅰ)∼

い う.

 ⅰ)  E(XN(A))=0, 

第Ⅷ

動 か ら構 成 さ れ る.

の 他Xが,パ

定 理,た と え ばP.Levy(1948), し た と き明 ら か に 通 常 のBrown ラ メ ー タ ー 空 間 をRNと

し て,

動 と呼 ば れ る に ふ さ わ し い 説 明 が い ろ い ろ と 与 え ら れ て い る が こ こ

で は そ れ に 深 入 りし な い.

  こ のBrown運

動Xは

パ ラ メ ー タ ー 空 間 が 多 次 元 で あ る だ け に,1次

場 合 に 較 べ て 複 雑 な ま た 興 味 の あ る 同 次 分 布 を 与 え て い る.特 に つ い て は 著 し い 特 徴 が み られ る.そ M(t)-過

元 の

にMarkov性

の 一 つ の 側 面 を 眺 め る た め にLevyの

程 を と りあ げ よ う.

  SN(t)を

原 点 が 中 心 で 半 径 がtのRNの

な 測 度 で σt(SN(t))=1で

球 面 と し,σtをSN(t)上

あ る も の と す る.こ

の一 様

のとき

 (5.68)

に よ っ て与 え ら れ るGauss過 ぶ.Nを

程 

をMN(t)-過

指 定 す る 必 要 が な い と き は 単 にM(t)-過

  明 ら か にE(MN(t))=0で

あ り,共

程 と よ

程 とい う.

分 散 関 数ΓN(t,s)は

次 の式 に よって計

算 さ れ る:

 (5.69)

ただし  (5.70)

  こ のΓNの

一 般 形 を 具 体 的 に 与 え る の は 困 難 で あ る.し

か しt=sの

ときは

 な ら

 (5.71)

と な る こ と は 容 易 に 計 算 で き る.こ

こ にIk,Jkは

で 与 え ら れ る 定 数 で あ る.   一 般 の 場 合 に戻 っ て, 

の と き(5.70)は

 (5.72)

と書 け る.こ

の 形 か ら わ か る よ うに,Nが

偶 数 の と きは 楕 円 積 分 に な っ て し ま

うが,Nが

奇数 の と きN=2p+1と

求 め ら れ る.た

と え ば,t>s>0と

おい て計 算す れ ば ρNの 値 が初 等 的 に し て,ρNを

求 め る と(5.69)か

ら

等 が 得 られ る.こ こで これ らの関 数 の 規 則性 に 注 意 し よ う.ど れ もs/2か ら始 ま っ てs×{s/t

の 多 項 式}と な り次元Nが2増

え る と項 の数 が1増 え る.係 数 に

つい て の規 則 は 想 像 す る のが 困 難 の よ うに 思 われ る.  P. LevyはΓ2p+1(t,s)の

形 か ら 推 測 し てM2p+1(t)の

多項 式 で あ る と予 測 し てM2p+1(t)-過 (1956年).そ

標 準 表 現 の 核 がu/t の

程 の標 準表 現 を求 め る こ と に成 功 し た

の結 果 の みを 言 え ば,P2p+1を

で 与 え ら れ る2p-1次

多 項 式 と す る と き,M2p+1(t)は

 (5.73)

と標 準 表 現 され る.   例 え ば,p=2,3の

ときは そ れ ぞれ

で あ って,核 が 標 準 核 で あ る こ とお よび これ らの表 現 か ら計 算 した 共分 散 関 数 が それ ぞれ 上 記 のΓ5(t,s),Γ7(t,s)と   と こ ろがNが

一 致 す る こ とも容 易 に確 か め られ る.

偶 数 の場 合 は上 記 の 方法 では 表 現 を具 体 的 に求 め る こ とは 不

可 能 に 近 い.し

か し上 の 議 論 から 想 像 さ れ る よ うに 標 準 核 はt,uに

次 斉 次 式 で あ ろ う.そ 直 し て 第3章

うす れ ば 前 節 末 尾 に 述 べ た 命 題5.2に

つ い て0

よ って定常 過 程 に

の 理 論 に 訴 え た ら よ か ろ う とい う ア イ デ ィ ア が 浮 ぶ.実

際それは

極 め て 有 効 な 手 段 と な る.   問 題 に し て い る 

か ら次 の変 換 に よって 新 し い 定 常 過 程

XN={XN(t);t∈R}を

構 成 す る:

  (5.74) 

XN(t)=e-tMN(e2t), 

こ う し て 得 ら れ た 定 常Gauss過

程XNの

t∈R. 共 分 散 関 数 γN(h)は(5

.69)か

ら

直 ち に 次 の よ うな 形 に 表 わ さ れ る こ とが わ か る.

 (5.75)

  補 題5.6. 

の と き,γN(h)は2回

連続 微 分 可能 で あ って 次 の方 程 式

を 満 す.  (5.76)

  証 明   γN(h)に

対 す る表 示(5.75)を

微 分 が 可 能 で あ る こ とが わ か る.関

み れ ばhに 係 式(5.76)自

つ い て2回

積 分 記 号下 で の

体 は 初 等 的 な計 算 に よ って

容 易 に 導 か れ る.   こ の 関 係 式(5.76)をXNやXN-2に   定 理5.5. 

定 常Gauss過

対 す る 関 係 に 直 せ ば 次 の 定 理 と な る. 程XNとXN-2は

に よ っ て 標 準 表 現 を す る こ と が で き て, 

同 じ新 生 過 程{B0(t);t∈R} の ときそれ らは 関係 式

 (5.77)

を 満 た す.   証 明   定 常Gauss過 章 の 結果に

程 は 条 件(A.1),(A.2′),(A.3)を

よ り同 じBrown運

る こ と が で き る.

動{B0(t);t∈R}を

み た す の で,第4 用 い た標 準 表 現 を 構 成 す

一 方XNの

ス ペ ク トル 表 現 を

とす る と き,XNが

ま たXN(t)が て(5.77)の

純 非 決 定 的 な こ とか ら,E{￨dZN(λ)￨2}=fN(λ)dλ

とか け,

で あ る.こ れ らに注 意 し

微 分 可能 な こ とか ら  左 辺 を み れば それ は

と な り,こ

のGauss過

程 の 共 分散 関 数 は

に等 しい.こ れ は 補題5.6に

よ りc2NγN-2(h)に 一 致 す る.XNとXN-2が

同 じ

新 生 過程 を用 いて表現 され てい る こ とに 注 意す れ ば た だ ちに 関 係式(5.77)が 得 られ る.   この定 理 か らXNの

標 準 表 現 やMarkov性

な どを調 べ るに はX1ま た はX2

を研 究 すれ ば よい こ とがわ か る.以 下 でそ れ を詳 し く述 べ よ う.   1°)  N=2p+1の ば,DNはXN(t)に

 (5.78) 

と き.微

作 用 で き て(5.77)を

D3D5…

と な る. 

得 る.こ

れ を く り返 し て

動 に,{x1(t);t∈R}はOrnstein-

程 に それ ぞれ 定 数 を 除 い て一 致 す る.したが

X2p+1は

狭 義(p+1)重Markov過

(5.77)を

用 い てfN(λ)に

が求 ま る.こ   次 にXNの

こにcN, 

かけ

…D2p+1X2p+1(t)=X1(t)

はBrown運

Uhlenbeck過

をDNと

分 作 用 素 

っ て(5.78)か

程 で あ る こ と が わ か る.さ

ら

ら に 詳 し く,

つ い ての 関係 式

は(5.77)に

お け る 定 数 で あ り, 

標 準 核 を 求 め る た め に §3.4のc(λ)=c2p+1(λ)を

で あ る.

求 め よ う.そ れ は

 (5.79)

で なけ れ ば な らない 

は下 半 平 面 で

正 則 等 々に注 意).こ れ を部 分 分 数 に展 開 し て,Fourier逆

変 換 をす れ ば標 準

核 が 求 ま って次 の形 の標 準 表 現 が得 られ る.す な わち,係 数{ah}が

定 ま って

 (5.80)

とな る.こ

こ にB0はBrown運

動 で あ る.さ

ら に そ れ は 変 換(5.74)の

逆

変換 に よって

 (5.80′)

な る標 準 表 現 を う る.   上 に 現 れ た 係 数{ak}を 小 さ い と き,た

簡 単 な 一 般 式 で 与 え る こ とは 容 易 で は な い が,pが

と え ばp=1,2,3,4の

と き{ak}を

計 算 し て 前 記Levyの

結

果 に よ る表 現 と一 致 す る こ と を み る の は 困 難 で は な い.   2°)  N=2pの

と き.DNは1°)と

  (5.81) D4D6…

…D2pX2p(t)=X2(t)

で あ る.ス

ペ ク トル 測 度 で い え ば

と な る.そ

こでf2(λ)あ

の 課 題 と な っ た.こ

をLegendre多

同 じ微 分 作 用 素 と し て

る い はc2(λ)の

具 体 的 な形 を 求 め る こ とだ け が 我 々

のため

項 式 を 用 い て 展 開 し た 後Fourier逆

変 換 を すれ ば

と書 け る.こ

こに

bk=(4k+3)(ak+1-ak)2,た

で あ る.こ

の 形 を み れ ばX2が

た だ し,f2(λ)の の 極 限(n→

だ しak=(2k-1)!!/(2k)!!

多 重Markov性

を も た な い こ と が 知 ら れ る.

展 開 を 有 限 和 で 近 似 し て,X2はn重Markov過

∞)と

み る こ とは で き る.も

ち ろ ん,X2pに

程X(n) つ い て も同 様 な 見方

が で き る.

  MN(t)-過

程 に つ い て の これ ま で の 結 果 の う ち,特

直 し て み よ う.Nが の 重 数 が1だ

奇 数 な ら 次 元 の 数Nが2増

にMarkov性

す ご と に,狭

け 増 加 す る と い う著 し い 規 則 性 が あ っ た.し

合 は 全 く様 相 を 異 に し て い た.こ

の 事 実 は 多 重Markov性

につ い て 見 義 のMarkov性

か し,Nが

偶 数 の場

の概 念 を再 検 討 す

る 有 力 な 手 掛 りに な る.ま ず  ⅰ)  次 元 とMarkov性

と の 関 係 は 元 のBrown運

に も ど っ て 眺 め る と き,そ

の 複 雑 な 従 属 性 か ら く る も の と考 え られ,パ

タ ー 空 間 が 多 次 元 の 場 合 のMarkov性 これ に つ い て はH.P.McKeanに B(t)(t∈R)の ら 出 発 し てXNの

動XN={XN(A);A∈RN} ラ メー

の把 え方 を 示 唆 す る と い う こ と で あ る. よ る興 味 深 い 研 究 が あ る.一

関 係 を一般 化 し て,多

方,B(t)と

次 元 パ ラ メ ー タ ー の ホ ワ イ トノ イ ズ か

構 成 法 を 考 え,§5.2で

考 え た よ うな,表 現 を 用 い たMarkov

性 の 考 察 を す る こ と も で き よ う.

 ⅱ )  Nが 偶 数 の 場 合 に着 目すれ ば,例 え ばX2pな

ら 

重Markov性

とで もい うべ き性 質 が 考 え られ るか も しれ な い.し か し実 際 にはX2pの

スペ

ク トル 密度 関 数 を み る とき,期 待 に反 してMarkov性

にあ た るべ き何 等 の性

質 も見 出 す こ とは で きな い.む し ろ狭 義 α重(α は1よ

り大 きい実 数 で整 数 と

は 限 らな い)Markov過

程 の 例 とし ては,そ の スペ ク トル密 度 関数 が(1+λ2)-α

な る もの を選 びた い とい う気 さえ す る.こ うして α重Markov過 た め の 例 としてX2p-過

程を論ずる

程 を利 用 す る こ とが で き よ う.

 ⅲ)  次 は,い わ ば無 限 重 のMarkov性が

定 義 で き るだ ろ うか と い う課題

で あ る.X2p+1を

み る と き,そ

し てc2p+1(λ)は(5.79)に る,こ

れ はp+1重Markov過

示 す よ うに

こ で 一 般 にc(λ)=c/P(iλ)に

と し て 次 の よ う なK.   [例1] 

Urbanikの

任 意 の 定 数cと,正

定 数/(p+1次

お い て,多

く し て い っ た ら 無 限 重 のMarkov過

程 で あ りそ の 反 映 と 多 項 式)と

項 式Pの

な って い

次 数 を 限 りな く大 き

程 が 得 ら れ よ う.こ

の予 想 に応 え るも の

例 が あ る. の 増 大 列ak,k=1,2,…

…,を

とり

 (5.82)

を 考 え る.{ak}に

を 仮 定 し よ う.そ

と な る.さ

ついて

う す れ ば￨c(λ)￨2は

ら にc(λ)のFourier逆

可 積 分 で あ り,か

変 換 をF(u)と

つ

お けば

 (5.83)

が 標 準 表 現 を 与 え て い る こ と は 容 易 に 証 明 で き る.こ Gauss過

程X={X(t);t∈R}が

  さ て こ のX(t)は (5.9)の

う し て純 非 決 定 的 な 定 常

与 え ら れ た.

何 回 で も微 分 可 能 で あ る が,ど

れ だ けNを

よ うな 確 率 微 分 方 程 式 で 規 定 す る こ とは で き な い.し

意 味 で のMarkov性

を も つ こ と は,(5.82)を

大 き くして も か し何 らか の

み れ ば,こ れ ま で の 議 論 か ら予

想 され る と こ ろ で あ る,こ う し て 多 重Markov性

の 一 般 化 の た め に,Markov

性 の 再 考 を 要 求 され る こ と と な っ た.   ま ず 単 純Markov を し て お こ う.Bt(X)は

Gauss過

程X={X(t);t∈T}に

つ い て定 義 の 言 い か え

こ れ ま で の記 号,Bt(X)は 

に す る 最 小 の 完 全 加 法 族 とす る.A∈Bt(X),B∈Bt(X)の

を可測 とき

よ り (Markov性

と な る.最

後 の 等 式 で はE(・￨X(t))が

こ う し て 条 件X(t)の

σ(X(t))-可

も と で はAとBが

独 立,す

よ り)

測 で あ る こ と を 用 い た.

なわ ち

 (5.84)

が 得 ら れ た.   [注 意]  H.P.McKeanは(5.84)が の ことをsplitting   逆 に,任

成 立 す る よ うな 完 全加 法 族 σ(X(t))(⊂Bt(X))

fieldと 呼ん だ.

意 のA∈Bt(X)とB∈Bt(X)に

対 し て(5.84)が

成 立 つ と仮 定 す

れば

す な わち   (5.85) 

P(B￨Bt(X))=P(B￨X(t)), 

で あ りXがMarkov過

程 で あ る こ と を 示 す.

  こ う し て(5.84)はMarkov性

に対 す る条 件 と 同 等 で あ る こ とが わ か っ た.

こ の よ う な 言 い か え を 狭 義N重Markov は 容 易 で あ る.X={X(t)}がN重Markov性 X(t)=(X(t) と し たN次

元 値(単

B∈Bt(X)

純)Markov過

Gauss過

程 の場 合 に拡 張 す る こ と

を も てば ,X′(t),…,X(N-1)(t)) 程X={X(t)}に(5.84)や(5.85)を

適 用 す る こ と が で き る.そ す る こ と が で き る.た

の と き σ(X(t))は σ(X(t),X′(t),…,X(N-1)(t))と

と え ば(5.84)は

 (5.86)

と な る.   こ の よ うに し た 上 で は,Nが 可 能 と な る.い

無 限 大 の 場 合 のMarkov性

も 定 義 す る こ とが

ま

とお く.任 意 にtを

固 定 す る と き,任

意 のA∈Bt(X)と

任 意 のB∈Bt(X)に

対 して

 (5.87)

が な りた つ と き狭 義 σ-Markov性 大 の 意 味 に 用 い た).も σ-Markov性   特 にXが

しXが

を も つ と言 う こ と に し よ う.(σ は 可 算 無 限

狭 義N重Markov性

を も つ な らば,そ れ は 狭 義

を も つ こ と が 証 明 さ れ る. 定 常Gauss過

程 の 場 合 に は 次 のN.

Levinson-H.P.

McKeanの

結 果 が あ る.   定 理5.6. 

標 準 表 現 を も つ 定 常Gauss過

程Xが

狭 義 σ-Markov性

つ た め の 必 要 か つ 十 分 な 条 件 は 対 応 す るc(λ)がinfra-exponential型

を も の整

関 数 の 逆 数 と な る こ と で あ る.   こ こ に い うc(λ)は

§3.4の(3.35)で

定 ま る 関 数 を 指 す.こ

の定理の証明

に は 相 当 な 準 備 が 必 要 な の で 割 愛 せ ざ る を 得 な い.詳

し く はN.

Levinson-

H.P.

紹 介 し たK.

Urbanik

McKean(1964)を

参 照 さ れ た い.た

だ 例1で

の 例 は 狭 義 σ-Markov性

を も つ こ と を 注 意 し て お く.

  [注 意]  狭義 σ-Markov性

はい わ ば 狭 義無 限重Markov性

と もい うべ き も ので あ る

が,そ れ はX(t)が

解 析 的 で あ る こ とを 意 味す る も ので は な い.も

当然 決 定 的 なGauss過

  Gauss過

し解 析 的 な らXは

程 に な っ て し ま う.

程{M2p+1(t)}の

表 現 を 眺 め て,も

う一 つ 着 目 す べ き 点 が あ る.

標準表現 の核はu/tの多 項 式 で あ る とい う こ とに 注 意 し て,同 様 な多 項 式 で 非標 準 表 現 は な い か と 自問 し て み よ う.(5.65)の し て み れ ば,c(λ)の

変 換 で 定 常 過 程X2p+1(t)に

言 葉 で 問 う こ とが で き る.す

で か つc(λ)=Q(λ)/P(λ),P,Q多

項 式,と

直

な わ ち￨c(λ)￨2=f2p+1(λ)

な るc(λ)を

探 せ ば よ い.ま

ず 例 に よ っ て 示 そ う.   [例2] 

{M7(t)}に

を と れ ば,{X7(t)}の

つい て

非 標 準 表 現 が 求 ま り,(5.65)で{M7(t)}に

もど せ ば

結局

な る非標 準表 現 が 得 られ る.  この 例 か ら容 易 に想 像 され る よ うに,{M2p+1(t)}に

つ い て表 現 の核がu/tの多

項 式 で あ るも のは 無数 に求 め る こ とが で きる.興 味 はそ れ だ け で な く,こ の よ うな表 現 を 用 い て,Bt(X)とBt(B0)と

の関 係,そ の 他予 測 の問題 につ いて

まで,細 か い事 情 を知 るの に好 都 合 な 例 を容 易 に構 成 す る こ とが で き る.

  §5.6.  T-正 値 性   本 章 最 後 の 話題 と して こ こにT-正

値 性 を と りあげ た い.こ れ は も とも と場

の量 子 論 か ら出 て きた概 念 で あ る.相 対 論 的 量 子場 はMinkowski空

間を 基 礎

にお くが そ の構成 は 容 易で な い.もし 時間tを 虚 時 間itに か えれ ばMinkowski 空 間 はEuclid空

間 に な る.Bose粒

子 の場 合 に は このEuclid場

は あ る種

の局 所 的 な性 質 を もった 多 次 元パ ラメ ー タ ーの確 率過 程 に な り,既 知 の 数 学的

手 法 が 有 効 に 用 い ら れ る.   そ こ でEuclid場

か ら 相 対 論 的 場 に 移 れ るた め に は 確 率 過 程 に ど ん な 性 質 が

要 求 さ れ るで あ ろ うか.簡

単 の た め パ ラ メ ー タ ー 空 間 は1次

そ し て 確 率 過 程 も平 均 連 続 な 定 常Gauss型

の も の が 与 え ら れ て い る と す る.相

対 論 的 場 に 移 行 で き る た め の 十 分 条 件 と し てMarkov性 質 等 を 付 加 し た もの は よ く知 ら れ て い る(E. 少 し一 般 の十 分 条 件 で あ るT-正

Nelson等

に よ る).こ

こで は も う

ら れ た とこ す る 実 数 値 定 常Gauss過

対 しL2(Ω,B(X),P)の

関 数 か ら な る 空 間L2(Ω,Bt,P)を

に反射 につ い て の性

値 性 に つ い て 述 べ る.

  定 義 を す る前 に 記 号 を 準 備 す る.与え X={X(t);t∈R}に

元 と し て お こ う.

部 分 空 間 で 

程 可測

考 え,そ こ へ の 射 影 作 用 素 をPtと

書 く.ま た

TX(t)=X(-t), t∈R  (5.88) T1=1

に よ っ て 定 ま るL2(Ω,B(X),P)上

の ユ ニ タ リ作 用 素Tを

は 反 射 作 用 素(reflection)と

呼 ば れ る.

  定 義5.6. 

程Xは

定 常Gauss過

(正定値 作 用 素)

 (5.89) 

が な りた つ と きT-正

値 性(T-positivity)を

  は じ め に 関 係 式(5.89)を{X(t)}の

し て お く.空

も つ と い う. 張 る線 型 空 間H(X)に

T-正 値 性 の た め の 必 要 条 件 を 出 す.簡 =0と

考 え よ う.こ のT

単 の た め,こ

間P0H(X)は 

注 意 すれ ば,任 意 の時 点 

制 限 し て 考 え,

れ ま で の よ う にE(X(t)) に よ っ て 張 られ る こ と に

と 複 素 数ak, 

に対して

 (5.90)

とな るた め の条 件 を求 め れば よい ことに な る。 これ を 共分 散 関数 γ(t)の 言 葉 で 言 い表 わせ ば  (5.91)

と な る.   こ こ で,γ(t)が

有 界 連 続 関 数 で あ る こ と に 注 意 し て,上

る絶 対 単 調 関 数 に つ い て のS. は あ る 有 界 なBorel測

Bernsteinの

度mに

の 条 件 で規 定 さ れ

定 理(解 題 参 照)を 用 い れ ば,γ(t)

よって

 (5.92)

と表 わ され る。 こ うしてT-正 値 性 の た め の必要 条 件 がわ か った.

  こ こでH(X)に

お け るTの

作 用 を よ り具 体 的 に見 るた め に,Xの

表現を

用 い て若 干 の 考 察 を試 み る.   Xの 共 分散 関数 γ(t)の スペ ク トル表 現 を

とす る.さ らにXの 標 準 表 現 を  (5.93)

ま た 後 向 き 標 準 表 現(backward

canonical

representation)を

 (5.94)

とす る.す

な わ ち(5.94)は

が 成 立 す る表 現 で あ る.そ

の よ う な 表 現 の 構 成 は 次 の よ う に す れ ば よ い.§3.4

で 標 準 核 の 構 成 に あ た っ て ス ペ ク トル 密 度 関 数f(λ)か な る 適 当 なc(λ)を Hardyの

ク ラ スH2に

一つ 選 ん だが,そ

の 場 合c(w)は

属 す る も の と し た.後

これ と対 照 的 に 上 半 平 面 でH2に

ら￨c(λ)￨2=2πf(λ)と 下 半 平 面(Rew<0)で

向 き 標 準 表 現 を 求 め る の に は,

属 す る も の を え ら び そ のFourier変

換 をF+

とす れ ば よ い.   作 用 素Tが ク トル 表 現

これ ら 両 表 現 に ど の よ う に 作 用 す る か を み る た め に は,Xの

スペ

 (5.95)

を 用 い る と便 利 で あ る.F-お びc+で

よびF+のFourier逆

変 換 を そ れ ぞ れc-お

表わせば

c-(λ)=c+(λ)

で あ り,(5.95)を

と か け ば,形

式 的 に い っ てParsevalの

得 られ る こ とに な る.同

公 式 に よ り表 現(5.93)と(5.94)が

じ く形 式 的 な 記 号B±(u),Z(λ)を

B-(λ)=Z(λ)/c+(λ), 

B+(λ)=Z(λ)/c-(λ)

な る関 係 式 が 得 られ る.こ こで〓 はFourier変   こ うした上 でX(t)にTを

よ りTZ(λ)=Z(λ)が,し

が わ か る.よ

  (5.96) 

換 を表 わす.

施 して みれ ば

た次 が って

っ てTB-(λ)=B+(λ),す

なわち

TB+(u)=B-(-u)

が 示 さ れ た.   も う一 つ 述 べ て お き た い こ とは 次 の 主 張 で あ る.   定 理5.7. φ,ψ∈L2(R)の

とき

用 い る とす れ ば

よ

 (5.97)

が な りたつ.   証 明  次 の計 算 に よ る.

 左辺

〔 注 意 〕  この定 理 と

とを使 え ば,当 然 の こ とな が ら(5.91)と

同等 な,T-正

値 性 のた め の必 要 条 件 が得 られ

る.

  次 にL2(Ω,B(X),P)に

お い て 条 件(5.89)を

なす部分空間は 

考 え る.B+0(X)-可

ak実

 し た が っ て,tkを(5.90)の

数,の

と き と同 様 に とれ ば,条

測関 数 の

形 の 関 数 で 張 られ る.

件(5.89)は

行列要素

が正定値

 (5.98) 

と同等 にな る.こ こ で,作 用 素Tは

上 の式(5.98)の

乗 法 的 に働 くこ とを用 いた:

左 辺 は容 易 に計 算 で き て

と な り,〔  〕内 の 条 件 付 正 定 値 性 が わ か る.す な わ ち(5.92)はL2(Ω,B(X),P) に お い て(5.89)が   定 理5.8. 

成 立 す る た め の 十 分 条 件 で も あ る こ と が 知 られ た. XがT-正

値 性 を も つ た め の 必 要 か つ 十 分 な 条 件 は,共

分散

関 数 γ(t)が(5.92)の

よ うに 表 わ さ れ る こ とで あ る.

  [例]  場 の 理 論 へ の 応 用 に 示 唆 さ れ て 関 数c-(λ)が

で 与 え ら れ る2重Markov定

常Gauss過

で い え ば 質 量 が そ れ ぞ れm,Mの2自

  第5章

範 囲 は(0,∞)で

あ る.a=0が"critical"

程 に あ た る こ と を 注 意 す る の は 興 味 が あ ろ う.

程 の 多 重Markov性

は 本 論 で 随 所 に 説 明 し た よ うに,単 純Mar

の 拡 張 と し て ど の よ う に 把 え,ま た 定 義 す る か が 問 題 で あ っ て,こ れ ま で

多 くの 試 み が あ っ た.そ の 最 初 はJ.L.Doob(1944)で P.

Levyは1955年

を 行 い,そ

の 第3回Berkeley

の 中 で い わ ゆ るM(t)-過

とな っ て い た.T.

Hide(1960)は

McKean

と(1964)ま

Dym(1970)と

たH.

お い て 注目 す べ き講 演

程 を 例 に と っ て,多

重Markov性

につ

こでは 標 準表 現 が 基 本的 な 手段

この 思 想 を うけ つ い だ も の で あ る.こ

考 え 方 を 多 次 元 パ ラ メ ー タ ーGauss過

及 ぼ し た の はH.P.

あ る と思 わ れ る.そ の 後

Symposiumに

い て の 考 え 方 お よ び そ の 研 究 法 を 提 案 し た.そ

Levyの

し て,

の解題

  Gauss過 kov性

理 学 の 言葉

値性 を も つ の は ど の 範 囲 か を み る の は 興 味 が あ

の と きaの

な 点 で そ れ は 単 純Markov過

考 え よ う(物

由 粒 子 を 考 え て い る こ とに な る).そ

aを 動 か し た と きXaがT-正 る.結 果 を 言 え ば 

程Xaを

Jr.(1963)で

程,特 あ り,彼

共 同 でGauss過

い て 詳 し い 研 究 を 行 っ て き た.Y.

Okabeは

の

にBrown運

動 に まで

は そ の 後N.

Levinson

程 のMarkov性

につ

解 析 的 手 法 を 駆 使 して 更 に 進 ん だ

研 究 成 果 を 美 し く ま と め て い る.   Markov性

を 時 間 の 動 き に 応 じ た(局

ま た 別 な,し

か も 時 間 の 推 移 を 考 慮 し た,一

の一 つ はT-正

値 性 で あ る.場

所 的 な)ラ

ン ダ ム 性 の 変 化 と み る と き,

般 化 を 見 出 す こ と が で き る.そ

の 量 子 論 に も刺 激 さ れ て,こ

る新 し い 概 念 と し て と ら え た い と 思 う.本

書 で はG.C.

れ を確 率 論 に お け

Hegerfeldtに

よ る設

定 を 採 用 し た が,更

に 深 い 意 義 を 見 出 そ う とす る 読 者 は 彼 の 論 文(1974)お

び そ こ で の 引 用 文 献,あ terms of

white

noise,

T-正 値 性 に つ い て は,岡 立 場 か らLevyのBrown運 J. 105(1987), 130,が

71-87,

あ る.な

1928)を

Nagoya

Hida-L. Math. J.

Streit, 68(1977)を

quantum

89-107;

Si Si,

Nagoya

theory

参 照 された い.な あ る.ま

動 を 扱 っ た 論 文 と し て,A.Noda,

Nagoya

Math. J.

108(1987),

in お,

た本書 の Math. 121-

論 文 の 草 稿 の段 階 で 誤 りを 指 摘 さ れ,

示 唆 さ れ た 大 平 坦 民,Bernsteinの

注 意 し て い た だ い た 渡 辺 寿 夫氏 に,こ

の意 を 表 し た い.

On

部 靖 憲 氏 に よ る 綜 合 報 告(1981)が

お,上 記Hida-Streitの

ま た γ(t)の 表 現(5.92)を Math.

る い はT.

よ

結 果(Acta

の 紙 面 を 借 りて 深 く感 謝

第6章

  Gauss過

程 の同等性

  §6.1.  問 題 の 意 味 と定 式 化   確 率 過 程X={X(t);t∈T}がRT(Brown運 続 関 数 の 空 間C=C(T))上 し た こ と で あ っ た.念 れ た 確 率 過 程 をXと

動 な ら ば,更

の 測 度 μ を 導 び く こ とは,§1.6に の た め に再 録 す れ ば,確

す る と,可

に制 限 し て 連 お い て明 らか に

率 空 間(Ω,B,P)の

測 空 間(RT,BT)上

上 に定 義 さ

にXの 分 布 μ が 存 在 す る,

す な わ ち μは,

を み た す.   さ て,2つ

の 確 率 過 程X1={X1(t);t∈T}お

られ て,X1お す る.以

よ びX2が

そ れ ぞ れ(RT,BT)の

の 確 率 空間(Ω,B,P1)お

理1.13を

測 度P1が

は 確 率 過 程X2に

測 度P2に

よ び(Ω,B,P2)と

関 して 絶 対 連 続 で あ る とき,確

同 等 で あ る と い う.ま

よ びP2(Bc)=1と

た は0)で

な りた つ 事 象 と,X2に

た つ 事 象が 共 有 さ れ る:A∈Bと た は0)が

存 在 して,

互 に 特 異 で あ る と い う.

同 等 で あ れ ば,X1に 関 し て 確 率1(ま

し て,P1(A)=1(ま

率 過 程X1 互 に絶 対

た,B∈Bが

な る と き,X1とX2は

  言 う ま で も な い こ とで あ るが,X1とX2が

P2(A)=1(ま

考 え るこ と に す

関 し て 絶 対 連 続 で あ る と い う.さ ら に,X1とX2が

連 続 で あ る と き,X1とX2は

率1(ま

よび(RT,BT,μ2)

み ら れ た い).

  定 義6.1. 

P1(B)=1お

与え

上 の 分 布 μ1お よ び μ2を 持 つ と

下 に お い て は 話 を 定 め る た め に,組(RT,BT,μ1)お

を そ れ ぞ れ2つ る(定

よ びX2={X2(t);t∈T}が

関 し て確

た は0)で

た は0)な

な り ら ば,

な りた つ.こ の こ とか ら確 率 過 程 ど う し の 同 等 性 を

論 ず る こ とは,確 率 過 程 論 に お い て重 要 な こ と で あ る.同

時 に,測 度P1か

らP2

へ の 変 換 を 与 え るRadon-Nikodymの 現 す る こ とが で きれ ば,得   本 章 で は,2つ

を表

ら れ た 結 果 は よ り具 体 的 に な る で あ ろ う.

のGauss過

必 要 に な る の で,ま

導 関 数(密 度) 

程 の 間 の 同 等 性 の 問 題 を 考 察 す る.そ

ずGauss測

度 の 概 念 を(有

限 次 元 に 限 らず)次

の た めに の よ うに

定 義 し て お く.   定 義6.2. 

可 測 空 間(RT,BT)(C⊂RTに制

μが,Gauss過 RT(ま

程X={X(t);t∈T}か

た はC)上

のGauss測

§6.2. Gauss測

 

こ の 節 で は,Gauss過

元 の)Gauss測

ら 導 か れ た 分 布 で あ る と き,μ

確 率 変数 系X={Xλ;λ

の 測度 μをGauss測

 

を

∈Λ}に

よ って導 びか れ る

度 とい うこ ともあ る.

度 の 同 等性 に 関す る一般 的 な定 理 程 の 同 等 性 を 論 ず る た め の 準 備 と し て,(特

度 に つ い て の 一 般 的 な 定 理 を 述 べ て お こ う.同

件 が エ ン トロ ピ ー の 概 念 に よ っ て 得 ら れ て,さ 絶 対 連 続)で

の測 度

度 と い う.

  [注 意]  よ り一般 に,Gauss型 (RΛ,BΛ)上

限 す る こ と も あ る)上

あ る か,互

ら にGauss測

に 特 異 で あ る か の ど ち らか で,中

に無 限 次

等 性 の判 定 条 度 は 同 等(互

に

間 の場 合 は な い こ と

が 示 さ れ る.   定 義6.3. 

可 測 空 間(Ω,B)に2つ

て い る と き,0log0=0と

の 確 率 測 度P1お

よ びP2が

与 え られ

して,

 (6.1)

を確 率 測 度P2のP1に

関 す る エ ン トロ ピ ー とい う.た

あ ら ゆ るΩ の有 限 可 測 分 割 α={Ai;i=1,2,…,n}を

だ し,右

辺 の 上 限 は,

動 く も の とす る.

  こ の 定 義 か ら直 ち に わ か る こ と を 列 挙 し よ う(補 題6.1∼6.3).   補 題6.1.  Radon-Nikodymの

も含 め て)

(Ⅰ)P2がP1に

対 し て 絶 対 連 続 な ら ば,P2のP1に

導 関 数 を 

と し て,次

式(∞=∞

関 す る の場 合

が な りた つ.   (Ⅱ)  一 方,P2がP1に

関 し て絶 対 連 続 で な け れ ば,H(P2￨P1)=∞

  証 明   (Ⅱ)の 主 張 は 明 らか で あ ろ う.(Ⅰ)を

で あ る.

示 す た め に は,[0,∞)上

の確

率 測 度Φ に 対 し て 不 等 式  (6.3)

が な りた つ こ と に 注 意 しよ う.こ 特 に 可 測 集 合A∈BでP1(A)>0を

と お く と,(6.3)に

れ は 関 数xlogxの

凸 性 か ら導 か れ る.さ

て

みた す もの につ い て

よって

が な りた つ.こ

れ に よ っ て 有 限 分 割 α={A1,…,An}に

対 し て,

が わ か っ た.従

っ て, 

で あ る.逆 の不 等 式

を 示 そ う. 

の 値 に 従 っ て 有 限 分 割 αn={An,k;k=1,2,…,n2+1}

を

に よ っ て 定 義 す る.ま

と お く と,

た,

が な りた つ.関

数xlogxの

下 へ の 有 界性 と,φn(ω)logφn(ω)がnに

調 に φ(ω)logφ(ω)を下 か ら近 似 し て い る こ と に 注 意 す れ ば,n→ に 近 付 く.こ

辺 は  (6.2)が

つ い て単 ∞ の と き,右

の こ と か ら逆 の 不 等 式 も な りた ち,

導 か れ た.

  補 題6.2. 

σ-加法 族Bの

部 分 σ-加法 族 をB′ とす る(B′ ⊂B).さ

確 率 測 度P′1お よ びP′2は そ れ ぞ れP1お

よびP2のB′

P1(A)お

す る と き,

よ びP′2(A)=P2(A),A∈B′)と

らに,B′ 上 の

へ の 制 限(P′1(A)=

が な りた つ.

証 明  B′の可 測 有 限分 割 はBの 可 測有 限 分割 で あ るか ら,Hの 定 義 の式(6.1) よ り明 白で あ ろ う.   補 題6.3. 

σ-加法 族 の 増 大 列{Bn;n=1,2,…}がBに

Pn1お よびPn2を それ ぞれB上 る.こ

の測度P1お

収 束 す るとす る 

よびP2のBnへ

の制 限 と す

の と き,

な らば,P2はP1に

関 し て絶対 連続 で あ り,

 (6.4)

が な りた つ. 証 明   補 題6.1(Ⅱ)に あ る こ と が わ か り,さ   (6.5)

よ っ て,各nに らに(6.1)に

対 してPn2はPn1に

よ って

関 して絶 対 連 続 で

で あ る.こ

こ で,φn(ω)はPn2のPn1に

n=1,2…}は

測 度P1に

関 す る密 度 とす る.系{φn(ω),Bn;

関 し て マ ル チ ン ゲ ー ル を な す こ とが 簡 単 に わ か るが,(6.5) で あ る か ら,定 理1.11に

よ り特 に  が 存 在 す る.こ

っ て 

系{φn(ω),Bn;n=1,2,…,∞}も た め に は,E1(φ)=1で

こ で φ∞(ω)=φ(ω),B∞=Bを

よ

つ け加 えた

マ ル チ ン ゲ ー ル に な る こ と を 示 そ う.こ

あ る こ と を 示 せ ば よ い.実

意 のnに 対 して 

(a.e.P1)が

際Fatouの

わ か る が,あ

が 存 在 し て, 

の

定 理 に よ り任

るnに

対 し てB∈Bn

で あ っ た と す る と, E1(φ)=E1(E1(φ￨Bn))<E1(φn)=1

と な る か ら で あ る.さ て,Tchebyshevの

で あ る か ら,任

意 の ε>0に

  (6.6) 

対 し てKを

で あ る.ε

{φn,Bn;n=1,…,∞}が

が わ か り, 

はFatouの

ら,E1(φ)=1が

よ りす べ て のA∈Bに

式(6.4)に

示

さ れ た.こ

∧K)> う し て 対 し て,

対 し て,

つ い て 言 え ば,ま

が 明 らか で あ

ず 

定 理 か ら 直 ち に わ か る.

  [注 意]  (マ ル チ ン ゲ ー ル と は 限 ら な い)確

率 変 数 系{φn(ω);n=1,2,…}が

E(￨φn￨)が 有 界か つ 

あ っ て,

を 満 足 す る とき,そ の系 は

一様 可 積 分 で あ る とい う.  E(￨φ(ω)-φn(ω)￨)→0(n→

∞ と し てE1(φ

マ ル チ ン ゲ ー ル ゆえ,A∈Bn(n=1,2,…)に

が な りた つ の で あ る.等 り, 

n=1,2,…

有 界 収 束 の 定 理 に よ り,n→

は任 意 で あ っ た か

存 在 し て,

十 分 大 き く す れ ば,

E1(￨φn￨∧K)>1-ε, 

が な り た つ.Lebesgueの 1-ε

不 等 式 に よ っ て,M0>0が

∞)と

が存 在 す る と き に,一 同 値 で あ る.ま

様 可積 分 性 は,

た,{φn(ω),Bn;n=1,2,…}が

マル

チ ンゲー ルで あれ ば,そ の正 則 性 と一 様 可積 分 性 が 同値 で あ る こ とが,本 定 理 の証 明 と 同 様 の方 法 で示 され る.   以 上 の 事 実 に 基 い て,有

限 次 元Gauss測

度 の 場 合 に エ ン トロピー を 計 算 す

る こ と が で き る.   補 題6.4. 

可 測 空 間(Ω,B)の

1,2,…,n}が

確 率 測 度P1お

変 数 系 で あ っ て,そ

上 に 与 え ら れ た 可 測 関 数 系{Xi;i=

よ びP2の

ど ち ら に 関 し て も 独 立 なGauss型

れ ぞ れ の 平 均 値,分

散 の 記 号 をEi,Vi(i=1,2)と

確率 し て,

E1(Xk)=mk,V1(Xk)=σ2k>0,E2(Xk)=0,V2(Xk)=1(k=1,2,…,n) で 与 え られ て い る と す る.こ σ-加法 族 とす れ ば,P1お

の と きB′を{Xi;i=1,2,…,n}で

よびP2をB′

に 制 限 し た 測 度P′1お

生成 さ れ る よびP′2は

同等 で

あ り,次 の 関 係 が な りた つ:

  証 明 は 簡 単 で あ る か ら 省 略 す る.   さ て,(Ω,B)上 P1お

よ びP2に

(RT,BT)と

の連 続 パ ラ メ ー タ ー 可 測 関 数 系X={X(t);t∈T}が測 関 し てGauss過

考 え て,P1,P2共

程 で あ る と し よ う.こ の と き特 に(Ω,B)= にGauss測

の 有限 部 分 集 合T′ に 対 し て,{X(t);t∈T′}の 測 度P1とP2のエ   (6.7)

度

ン トロ ピ ー 距 離Iを

度 で あ る と し て も よ い.Tの

任意

張 る σ-部分 加 法 族 を β′ とす る.

に よ っ て 定 義 す る.こ こ でΔ はTの

有 限 部 分 集 合T′ の 全 体 と し て,P′1お

P′2は そ れ ぞ れP1お

へ の 制 限 とす る.Iを

よびP2のB′

よび

用 い て,次 の 基 本 的 な

結 果 が え ら れ る.   補 題6.5. 

(Ω,B,P1)お

ピ ー 距 離Iが

よ び(Ω,B,P2)が

無 限 大 で あ れ ば,P1お

るA∈Bに

対 し て,P1(A)=⊥

よ びP2は

とお く.行

よびC*V2Cが

な ら ば,

し, 

有 限 部 分 集 合T′={t1,…,tn}に

よびP2に

関す る分散 行 列 を それ ぞれ

列 に 関 す る よ く知 ら れ た 定 理 に よ っ て,正

し て,C*V1Cお

な わ ち,あ

考 え れ ば よ い.σ{X(t),t∈T}=

あ る こ と に 注 意 し よ う).Tの

対 し て,{X(tk);k=1,2,…,n}のP1お

ン トロ

な りた つ.

仮 定 し よ う.(も

X(t)の 代 りにX′(t)=X(t)-E2(X(t))を

度 で,エ

互 に 特 異 で あ る.す

  P2(A)=0が

  証 明   E2(X(t))=0,t∈Tと

σ{X′(t);t∈T}で

共 にGauss測

規 行 列C=(Ckj)が

同 時 に 対 角 化 で き て,さ

ら に,C*V2Cが

存在 単位

行 列 に な る よ うに で き る.

とお け ば,Y={Yk;k=1,…,n}はP1お で あ り,特

にP2に

を み た す.こ

のYに

注 意 す れ ば,補

よ びP2に

関 し て 独 立 なGauss系

関 し て は,

対 し て, 

題6.4の

で あ る こ とに

結 果 を 用 い て,

 (6.8)

mk=E1(Yk), 

が 導 び か れ る.こ こで,P′1,P′2はP1,P2のB′ と な る と き,次

の2つ

σ2k=V1(Yk)

へ の 制 限 と す る.I(P1￨P2)=∞

の 場 合 を 分 け て 考 え よ う:

  第1に,あ

る 正 数c1,c2が

あ っ てT′={t1,…,tn}をTの

任 意 の有 限 部 分 集

合 と した とき  (6.9)

が み た され る 場 合 を 考 え よ う.補

題6.4に

よ っ て あ る 正 数a,bが

存 在 し て,

不等 式

が な り た つ.も

ち ろ んφ ′(ω)=P′2(dω)/P′1(dω)で あ る.こ

こで 特 に 事 象

 (6.10)

を 取 り上 げ て み る.Tchebychevの

不 等 式(命 題1.2)に

よ っ て,c>0が

存在

し て,

お よび

で あ る か ら,任 T′ε ⊂Tを 選 ん で,(6.10)の

意 の ε>0に

よ うに 事 象A′=A′ε

対 し て,有

を 測 度P1お

限 部 分集 合

よびP2で

測 れ ば,

が同 時 に な りた つこ と に な り,P1とP2は

互 に 特 異 な 測 度 で あ る こ とが わ か る.

  第2に,(6.9)に

少 な く と も一 方 が 存 在 し な い 場 合 を

お け るc1ま

た はc2の

考 え る.こ の と き,任 意 の ε>0に 選 ん で,σk<ε

対 し て 適 当 な 有 限 集 合T′={t1,…,tn}⊂Tを

ま た は σk>1/ε

場 合 を 考 え る.対

応 す るYkに

と な るkが

存 在 す る.話

対 し て,事

象

を 定 め るため に後 者 の

を 考 えれ ば,評 価 式

お よ び,

が 得 ら れ て,ε →0と

す れ ばP1とP2が

互 に 特 異 で あ るこ とが わ か る.

  以 上 を ま とめ れ ば,次

の 重 要 な 定 理 が 得 られ る.

  定 理6.1. 

に 定 義 さ れ た2つ

(Ω,B)上

で あ る か ま た は 互 に 特 異 で あ る.そ

のGauss測

れ は,I<∞

度P1お

かI=∞

よ びP2は

同等

に よ っ て 判定 さ れ

る.   証 明   I<∞ 題6.3か

の と きは,H(P1￨P2)<∞

ら 明 ら か で あ る.I=∞

か つH(P2￨P1)<∞

の と き は,補

題6.5そ

で あ るか ら補

の も の で あ る.

  §6.3.  離 散 パ ラ メ ー タ ーGauss過

程 の 同等 性

  こ の 節 で は,前

散 パ ラ メ ー タ ーGauss過

を 取 り扱 う.話 こ う.測

節 の 方 法 に 従 っ て,離

を き め る た め に 測 度 空 間(Ω,B)=(RI+,BI+)を

度P1お

よびP2が(Ω,B)上

同 等 性 を 考 察 す る の で あ る が,特 関 数 系X={Xi;i∈I+}は

の2つ

のGauss測

固定 し て お 度 で あ る と き,そ

の

に 標 準 表 現 の 立 場 を 強 調 し て 述 べ た い.可

測

い ま の 場 合x∈RI+の み て もP2で

座 標 関 数Xi=x(i)に

定 義 さ れ る が,Xは

測 度P1で

にP2に

測 れ ば 標 準 正 規 分 布 に 従 う 独 立 確 率 変 数 系(以

つ い てXを

程 の 同等 性

み て もGauss過

よって

程 で あ る とす る.特 後標準 独 立

過 程 と よ ぼ う)で あ る と し よ う.そ し て,P1とP2が め た い.す

な わ ち,我

同等 で あ るため の 条件 を求

々 の 扱 う 問 題 は 標 準 独 立 過 程 に 同 等 な す べ て のGauss

過 程 を 決 定 す る こ とで あ る.   ま ず,記

述 の 簡 単 化 の た めE1(Xi)=0,i∈I+,で

で,§2.4で

取 り扱 っ た 離 散 パ ラ メ ー タ ーGauss過

確 率 空 間(Ω,B,P1)に

お け るGauss過

あ る場 合 を 考 え る.こ

こ

程 の 標 準 表 現 を 思 い 出 そ う.

程XはSchmidtの

直 交 化 に よ っ て,

 (6.11)

と標 準 表 現 さ れ る.aii>0と 度P1に (6.11)を

し て お こ う.こ

つ い て 標 準 独 立 過 程(Xの

こで,ξ={ξj;i∈I+}は

新 生 過 程)で

あ る.こ

確率測

こで 便 利 の た め に,

書 き 直 し て,

 (6.12)

と書 く こ と に し よ う.い

まGauss測

度 関 数 をP2(dω)/P1(dω)=φ(ω)と Bn(X)=σ{Xi;i=1,…,n}と

度P1とP2が す る.い

同 等 で あ る と し て,そ ま,Mn=E2(1/φ￨Bn(X)),

お く と,M={Mn,Bn;n∈I+}は,測

し て マ ル ゲ ン ゲ ー ル で あ るが,こ れ を 定 め よ う.各Mnに とす れ ば,P(n)1はP1のBnへ (n,n)-分

の密

の制 限 と考 え て よ い.従

度P2に

関

対 し て,P(n)1=MnP2 っ て,Mnを

求 め る に は,

散行 列

 (6.13) (V(n)2(i,j))=(δ(i,j))

を み た すRnのGauss測

度 の 間 の 密 度 関 数 を 求 め る こ と に 帰着 され る.こ

で 同 等 性 の 仮 定 か らaii=1-γi>0,i=1,2,…,nで て お こ う.こ

 (6.14)

の こ とか ら(6.12)は

こ

あ る こ とに先 ず 注 意 し

と書 け て,bij,i,j=1,2,…,はnに のGauss分

布 で,分

よ ら な い で 決 ま る こ と が わ か る.Rn上

散 行 列 が(6.13)で

あ る2つ

のGauss型

確 率 ベ ク トル の

密 度 関 数 の 比 は,

で 与 え ら れ る か ら,

 (6.15)

で あ る.定

理6.1に

よ り,I<∞

が な りた つ.{ξ1,…,ξn}が

で あ る か ら,

測 度P(n)1に 関 し て,V(n)1(i,j)=δ(i,j)を

みた す こ

と に 注 意 し て 左 辺 を 計 算 す れ ば,

で あ る.n→

∞ と し た と き 右 辺 が 有 界 で あ るた め に は,

お よび 

に 注 目 し て,  る.以

が な りた つ こ とが 必 要 十分 で あ

上 を ま とめ て 次 の 定 理 を 得 る.

  定 理6.2. 

確 率 空 間(Ω,B,P1)上

過 程X={Xi;i∈I+}が 列 ξ={ξi;i∈I+}に  (6.16)

の 離 散 パ ラ メ ー タ ー,平 均 値0のGauss

標 準 独 立 過 程 と 同 等 で あ る た め に は,そ 対 し て,Xが

の 新生 変数

と表 現 さ れ て,

 お よび

 (6.17)

を みた す こ とが 必要 十 分 で あ る.Xが

標準 独 立過 程 とな る測 度 をP2と

すれ ば,

密度 関 数 は  (6.18)

で あ る.   [注 意1] 

条 件(6.17)か

と が わ か る.確

率 空 間(Ω,B,P2)で

し て ξ={ξi;i=1,2,…}を   [注 意2] 

ら,(6.14)に

であ る こ

つ い て も 

み た と き,X={Xi;i=1,2,…}を

標 準 表 現 し た も の が(6.14)で

平 均 値 が 必 ず し も0で

(6.16)∼(6.18)に

お け るbijに

新生変数列 と

あ る.

な い と き は,E1(Xi)=mi,i=1,2,…,と

し て,

対 応 す る式 は 次 の よ うに な る こ とが 同 様 の 方 法 で わ か る.

  (6.16′)

 (6.17′)

 (6.18′)

  §6.4.  Brown運   Brown運 と は,そ

動 と 同 等 なGauss過

動 と 同 等 なGauss過

程 の標 準表 現

程 を 標 準 表 現 の 立 場 か らす べ て 決 定 す る こ

れ 自身 の 興 味 と と も に,後

節 で 述 べ る一 般 のGauss過

程 に対 して 同

様 の 問 題 を 考 え る と き の 大 き な 手 助 け を 与 え る.   まず,X={X(t);t∈[0,T]},T<∞,を 上 で 定 義 さ れ たGauss過

確 率 空 間(Ω,B,P1)=(C,O,P1)

程 で,Brown運

な わ ち 密 度 関 数φ(ω)>0(a.e.P1)が 測 度P2(dω)=φ(ω)P1(dω)に

動 と同 等 な も の で あ る とす る.す

存 在 し て,こ

れ に よ っ て 変 換 され た 確 率

よ っ て 測 れ ばXはBrown運

動 に な る と し よ う.

こ の と き,確

率 測 度P2を

強 調 し て(X,P2)がBrown運

  本 節 で は 次 の こ と を 目標 に す る:Brown運 {X(t);t∈[0,T]}か

ら,測 度P1に

こ で 得 た 表 現 に は,Volterra型

とに な る.手

段 に つ い て 言 え ば,Brown運

Girsanovの

の積 分 核 が重 要 な 役割 を果 す こ 動(X,P2)に

生 過 程Bを

取 り出 し て,標

定 理 が 有 効 に 働 く こ と に も 注 目 し た い.な

運 動 に 関 す る 確 率 積 分 が 基 本 的 で あ る が,そ

  さ て,確 う.σ-加

動B={B(t);t∈[0,T]}

関す るマ ル チ ンゲ

関 す る 密 度 関 数1/φ(ω)を

の ペ ー ジ が 必 要 に な る の で,付

確 率 積分 で表 現 す

準表現を 作 る段 階 で お 本 節 で は,Brown

の こ とを詳述 す る こ とだ けで 相 当

章 と し て 巻 末 に ま とめ る こ とに し た.

率 空 間(Ω,B,P2)上

の 密 度φ-1(ω)=P1(dω)/P2(dω)に

と し

ル チ ン ゲ ー ル 式 に 書 け ば,{X(t),Bt(X);t∈[0,T]}は

空 間(Ω,B,P2)上

のBrown運

(E2(・￨・)は(Ω,B,P2)に Bt(X);t∈[0,T]}は

  補 題6.6.  (Ⅱ) Mtは

動 で あ る.こ

測 度P2で

確 率

こで,Mt=E2(φ-1(ω)￨Bt(X))

お け る条 件 付 平 均 値 を 示 す)と

っ て そ の 形 を き め よ う(付

お け ば,M={Mt,

マ ル チ ン ゲ ー ル で あ る.Itoの

章 §A.3参

(Ⅰ)  Pi(Mt>0,t∈[0,T])=1(i=1,2)が

な りた ち,

確 率 積 分 に よ っ て,

の 形 に 表 現 で き る.た

だ し,f(s,ω)は

次 の 条 件 を み た す:

  (ⅰ) (s,ω)-可 測 で あ り,   (ⅱ)  各s∈[0,T]を

積分 公 式 を使

照).

 (6.19)

  (ⅲ)

着 目 し よ

法 族 の 系 を{Bt(X);t∈[0,T]}, 

た と き,マ

そ して

程X=

関 し て 標 準 的 に 表 現 し,そ の 表現 の 形 を

決 定 す る.こ

る こ とが 基 本 的 で あ る.新

動 と 同 等 なGauss過

関 す るBrown運

を 新 生 過 程 と し て 取 り出 し,XをBに

ー ル の 表 現 を 使 っ てP1のP2に

動 と言 う こ と に す る.

固 定 し た と き,Bt(X)-可

測 で あ り,

が な り た つ.  [注意]  条 件(ⅰ),(ⅱ)お

よび(ⅲ)はIto積

が定 義 で き るた

分 

め の条 件 と同 等 で あ る.   証 明   MT=1/φ>0(a.e.P1か

つa.e.P2)で

あ る こ とは,φ が 同 等 なGauss

測 度 の 間 の 密 度 で あ る こ と か ら 明 ら か で あ ろ う(§6.2参 る た め に,停

照).(Ⅰ)を

証 明す

止 時 点 を 次 の よ う に 設 定 す る:

(Mt>0,t∈[0,T]の

と き).

停止 時 点 τ0に 対 し て,  とお く と,定

理A.5に

よって E2(MT￨Bτ0(X))=Mτ0 

(a.e.P2)

が な りたつ か ら,特 に

で あ る.こ の こ と は,P1(τ0
っ て(Ⅰ)が

同 等 性 か らP2(τ0
証 明 さ れ た.

  (Ⅱ)の 証 明 に 移 ろ う.(X,P2)はBrown運

動 で あ る か ら,P2に

マ ル チ ン ゲ ー ルM={Mt,Bt(X);t∈[0,T]}は,定

と表 現 され る.こ Gに 属 す)確

こ でg(s,ω)は

条 件(ⅰ),(ⅱ)お

率 変 数 で あ る.(Ⅰ)の

と し て よ い か ら,logMtが

理A.9に

よび(ⅲ)を

お け る

より

み た す(ク

ラス

結 果 に よ りP2(Mt>0;t∈[0,T])=1

定 義 さ れ る.こ

れ にItoの

公 式(定

理A.10)を

用

い る と,

で あ る. 

とお く とf(s,ω)も

条 件(ⅰ),(ⅱ)お よび(ⅲ)を満 た

し(Ⅱ)の

形 の 表 現 が 得 ら れ る.

  こ こ で 得 たMは,E2(MT)=E2(1/φ)=1を 理(定 理A.11)を   補 題6.7. 

満 足 す る か ら,Girsanovの

定

直 接 適 用 す る こ とに よ り直 ち に 次 の 結 果 が 従 う. 補 題6.6で

定 ま っ たf(s,ω)に

対 し て,

 (6.20)

と お け ば,B={B(t),Bt(X);i∈[0,T]}は Brown運

確 率 空 間(Ω,B,P1)に

お け る

動 で あ る.

  [注 意] 記 号B={B(t),Bt(X);t∈[0,T]}に   補 題6.8. 

確 率 空 間(Ω,B,P1)に

運 動 と同 等 で あ れ ば,補

題6.5に

つ い ては44頁 を 見 られ たい. お い てXがGauss過

程 で そ れ がBrown

お け るf(s,ω)は

お よび を み た す.   証 明   定 理6.1に

よ っ て,MT=1/φ

はGauss測

度 の 密度 関 数 で あ るこ と

か ら,

E2(MTlogMT)=E1(logMT)=K<∞ で あ る.f(x)=xlogxは し て,Jensenの

が 成 立 す る.従

凸 関 数 で あ るか ら,任

っ て,f(Mt)=MtlogMtと

お け ば,測

劣 マ ル チ ン ゲ ール で あ る.従

に収 束 す る 停 止 時 点 の 増 加 列{Tn;n=1,2…}に

方,

関

不等式

{f(Mt),Bt(X);t∈[0,T]}は

で あ る.一

意 の 部 分 σ加 法 族B′ ⊂Bに

対し て,

度P2で

み て,

っ て 特 に,T

が な りた つ か ら,特

であ

に{Tn;n=1,2…}を 

が わ か る.

る よ うに 選 べ ば(選 べ る こ と は 簡 単 に わ か る),  n→ ∞ と し て 第1の

不 等 式 が 示 さ れ た こ と に な る.第2の

と し て,{M-1t,Bt(X);t∈[0,T]}が

測 度P1に

不 等 式 に つ い て は,

つ い て マ ル チ ン ゲ ール で

あ る こ とを使 っ て 同様 の計 算 を行 えば よい.   補 題6.9. 

補 題6.8と

はH(P1)t(X)に

属 す.但

同 じ仮 定 の も とで,各t∈[0,T]に対 し,H(P1)t(X)は

し て,f(t,ω)

確 率 空 間(Ω,B,P1)に

お け る 

の張 る線型 包 で あ る.   [注 意]  確 率空 間(Ω,B,P1)と(Ω,B,P2)が P1お

よ びP2に

H(P1)t(X)とH(P2)t(X)を

備化 す る段階 で,

って,こ

の段階 で は

区別 しな けれ ば な ら ないが,以 下 に述 べ る よ うに 実 は一 致 す る

(H(P1)t(X)=H(P2)t(X),t∈[0,T])の   補 題6.9の

異 な る か ら,完

よ る2乗 可 積分 性 が くいち が うか もしれ ない.従

証 明   Fubiniの

で あ る. 定 理 に よ っ て,ほ

と ん ど す べ て のs∈[0,T]に

対 し て,

 (6.21)

に 注 意 し よ う.よ

で あ る が,補題6.8に s∈[0,T]に

っ て,

よ る と 

関 し て, 

で あ るか ら,ほ

と ん どす べ て の

で あ り,従 っ て 実 数 の 集 合   は 有 界 で あ る.こ

の こ とか ら,系

が 確 率 空 間(Ω,B,P1)上 様 可 積 分 で あ る.(6.21)よ

の確 率 変数 系 とし て一

り,

 (6.22)

が な りた つ.XがGauss過

程 で あ る こ と に 注 意 す る と,

E1(X(s+h)-X(s)￨Bs(X))∈H(P1)s(X)

で あ り,(6.22)の

右 辺 の 収 束 は 平 均 収 束 で も あ る か ら,f(s,ω)∈H(P1)(X)が

わ か っ た.   補 題6.10.  測 度P2に

補 題6.8の

の

条 件 の も と で,H(P2)t(X)を 

関 す る 線 型 包 と す る と,こ

れ は 各t∈[0,T]に

対 し てH(P1)t(X)と

等 し い.   [注 意] 

こ の 補 題 に よ っ て,以 後H(Pi)t(X)(i=1,2)の

代 りにHi(X)と

書 くこ とに し

よ う.   補 題6.10の P1に

証 明   い ま,Z∈H(P1)t(X)と

す る.列{Zn;n=1,2,‥}をZに

関 し て 平 均 収 束 し,各Znは{X(si);si∈[0,t],i=1,…,mn}の1次

か ら な る よ う に 選 ぶ.列{Zn}の (a.e.P1)と

部 分 列{Znk}を

な る よ うに で き る(P1に

はGauss型

で あ り,従

抜 き 出 し て, 

関 す る概 収 束)が,こ

P2に 関 す る 概 収 束 で も あ る.確 率 空 間(Ω,B,P2)に っ て{Znk}もGauss型

束 極 限 を つ け加 え た 系{Znk;k=1,2,…}∪{Z}もGauss系

同 様 に 逆 の 包 含 関 係H(P2)t(X)⊃H(P1)t(X)も   補 題6.11.  sに 対 し て,

補 題6.8の

れ は 同等 性 に よって

お い て も  で あ る.ゆ

に 関 す る 平 均 収 束 の 極 限 で あ る こ と が わ か る.す

結合

え に,{Znk}に

概収

で あ り,ZはP2 な わ ち,Z∈H(P2)t(X)で

あ る.

証 明できる

条 件 が な りた つ と き,f(s,ω)は

ほ と ん どす べ て の

と表 現 さ れ る.こ

こ でk(s,u)はVolterra型

の 積 分 核(k(s,u)=0;s
を み た す.

で,    証 明   補 題6.9お

はBrown運

よ び6.10に

動 で あ るか ら,Ht(X)に

k∈L2([0,T]),の

と書 け る.補

題6.8に

あ る が,(X,P2)

属 す る確 率 変 数Zは 

形 に 表 現 さ れ る.ゆ

で あ り,一 方 で,ほ

で あ る.従

よ っ て,f(s,ω)∈Hs(X)で

え に,ほ

とん ど す べ て のsに

対 し て,

よれ ば,

と ん どす べ て のsに

っ てk(s,u)を2変

対 して

数(s,u)に

関 し て(必

要 な ら 適 当 に 修 正 し て)

可 測 で あ る よ うに す れ ば,

が わ か る.k(s,u)がVolterra型

の 積 分 核 で あ る こ と は,言

うま で も な い で

あ ろ う.   こ こ で 定 理 を 述 べ る.そ 特 に6.11が   定 理6.3. 

の 必 要 条 件 を 証 明 す るた め に 本 節 で 述 べ て 来 た 補 題,

重 要 な 役 割 を 果 た す. (Ⅰ) 確 率 空 間(Ω,B,P1)で

程X={X(t);t∈[0,T]}がBrown運 Xか

らBrown運

定 義 さ れ た 平 均 値0のGauss過 動 と 同 等 で あ る と す る.こ

動(B,P1),B={B(t);t∈[0,T]},を

の と き,

構 成 し て,

 (6.23)

と標 準 的 に 表 現 で き る.た だ し,l(s,u)はVolterra型   を み た す.さ

ら に,表

の 積 分 核 であ っ て,条 件 現(6.23)に

お け るBお

よ びl

は一 意 的 に決 定 され る:Xが

別 の表 現

を も つ とす れ ば,B=B,l=lで (X,P2)がBrown運

あ る.ま

動 で あ れ ば,密

た(Ω,B)上

の 測 度P2に

対 し て

度P2(dω)/P1(dω)は

に よ っ て 与 え ら れ る.   (Ⅱ) 逆 に,Brown運 過 程XはBrown運

動(B,P1)に 動 と 同 等 なGauss過

  証 明   (Ⅰ) 仮 定 に よ っ てXか 構 成 で き る が,補

で あ る.次 Volterra型

よ っ て,(6.23)の

題6.11を

に 積 分 核l(s,u)を

程 で あ る.

らBrown運

動(B,P1)が

補 題6.7に

よ って

使 え ば,

核k(s,u)の

解 核 とす る.す

な わ ち,k(s,u)が

で あ る か ら,積 分 方 程 式 論 で よ く知 られ た 定 理 に よ っ てVolterra

型 積 分 核l(s,u)が

存 在 し て 次 を み た す:ほ

と ん ど す べ て の(s,t)に

 (6.24)

こ の 積 分 核 を 用 い れ ば,各t∈[0,T]に  (6.25)

形 に表 現 さ れ る確 率

対 して

対 し て,

が ほ とん どす べ て の ω∈Ωにつ い て な りたつ.な お,第2の で ない 核k(u,υ)に

等 号 は(6,24)か

に よ っ て 表 現 さ れ た の で あ る が,こ つ い てBt(X)=Bt(B)で

条 件 定 理4.4を   次 に,表

ンダ ム

つ い て は通 常 の積 分 と確 率 積分 の順 序交 換 が で き

で あ る こ とに よ る.第3の

各tに

等 号 は,ラ

ら 明 白 で あ ろ う.こ

う し てXがB

れ が 標 準 的 で あ る こ と は,(6.25)に

あ る こ とか ら言 え る.ま

た は,標

よ り

準性 の判 定

用 い て も よい.

現(6.23)に

れ る こ とは,標

お け るBrown運

動Bと

積 分 核lが

一意 的 に決 定 さ

準 表 現 の 一 意 性 か ら 明 ら か で あ ろ う.密 度 関 数 の 形 は,補

題6.6

か ら,

が わ か るか ら,こ   最 後 に,十

れ を(6.25)と(6.24)に

分 性(Ⅱ)を

証 明 し よ う.そ れ に は,Girsanovの

が 密 度 関 数,す な わ ちE1(φ(ω))=1で 与 え ら れ るXが

よ りBを 使 っ て 書 き直 せ ば よ い. 定 珪 に よ っ て,

あ る こ と を 示 せ ば よい.実 際,(6.23)で

確 率 空 間(Ω,B,P2),P2(dω)=φ(ω)P1(dω),に

お い てBrown

運 動 で あ る こ と が わ か る か ら で あ る.   最 後 に 次 のNt(ω)の

一 様 可 積 分性 を 示 せ ば 証 明 が 終 る:

こ のNt(ω)は

連 続 で あ る か ら,

確 率1で

の とき

とお け ば,Nn={Nt∧Tn,Bt(B);t∈[0,T]}は ー ル で あ る .従 2,…}が

測 度P1に

っ て 特 に,E(NT∧Tn)=1で

あ る.ゆ

関 して マル チ ンゲ

え に,系{NT∧Tn;n=1,

一 様 可 積 分 で あ る こ とが わ か れ ば,

が 示 され た こ と に な る.さ

て こ こで,マ

ル チ ンゲー ルNnに対

し て,確

率過 程

Xn={Xn(t);t∈[0,T]}を

に よ っ て 定 義 す れ ば,Girsanovの

定 理(定

理A .11)にお

い て 

と 考 え て,{Xn(t),Bt(B);t∈[0,T]}は

P(n)に 関 し てBrown運 す る.Volterra積 に よ っ て,ほ

が な りた つ.ゆ

動 と な る.但 し,P(n)(dω)=NT∧Tn(ω)P1(dω)と 分 核l(s,u)に

対 す る解 核 をk(s,u)と

とん ど す べ て のs∈[0

え に,

 (6.26)

で あ る.こ

こで,s
お よびt
測 度

対 し ては

対 しては

,T]に

対 し て確 率1で,

お け ば,関

定義 係(6.24)

が な りた つ こ と を 使 った.(Xn,P(n))がBrown運 (6.26)に

で あ る.こ

よ っ て,

う し て{NT∧Tn;n=1,2,…}の

  こ の 節 の 最 後 に,定 お こ う.次

理6.3と

の 定 理 は(X,P1)が

一 様 可 積 分 性 が わ か った.

同様 の構 想 で証 明 され る結果 を い くつか 述 べ て 必 ず し も平 均0で

  定 理6.3′.  (Ⅰ)  確 率 空 間(Ω,B,P1)に [0,T]}がBrown運 動(B,P1)を

動 で あ る こ と に 注 意 す れ ば,

な い 場 合 に つ い て で あ る.

お け るGauss過

動 と同 等 で あ る とす る.こ

程X={X(t);t∈

の と き,Xか

らBrown運

構 成 し て,

 (6.23′)

と標 準 表 現 で き る.た a∈L2([0,T])で

だ し,l(s,u)は

あ る.表

定理6.3と

現(6.23′)に

さ れ る.(X,P2)がBrown運

同 様 の条 件 を み た す も の と し,

お け るB,lお

よ びaは

一 意 的 に決 定

よ り(6.23′)の

形 で 与 え ら

動 で あ れ ば,

で 密 度 が 与 え ら れ る.   (Ⅱ)  逆 に 与 え ら れ たBrown運 れ るGauss過

程XはBrown運

動(B,P1)に

動 と 同 等 で あ る.

  い ま ま で は 時 間 パ ラ メ ー タ ー を 有 限 区 間[0,T]に 同 等 性 を 論 じ て 来 た が,Brown運 過 程 の表 現 も え ら れ る.

限 っ て,Brown運

動B={B(t);t∈[0,∞)}と

動の

同 等 なGauss

  定 理6.3″.  (Ⅰ) 確 率 空 間(Ω,B,P1)=(C,O,P1),但

しC=C[0,∞),に

け るGauss過

動 と同等 で あ る と す

る.こ

程X={X(t);t∈[0,∞)}がBrown運

の と き,Xか

らBrown運

l∈[0,∞)で(6.23′)の

動(B,P1)を

お

構 成 し て,XはBに

形 に標 準 表現 で き る.た

だ し,lお

関 し て,

よ びaは,

 (6.24)

を み た す.B,lお

よ びaはXか

  ま た(X,P2)がBrown運

ら 一 意 的 に 決 定 さ れ る.

動 で あ れ ば,

に よ っ て 密 度 が 与 え ら れ る.   (Ⅱ) 逆 に(6.23′)がt∈[0,∞)で

な りた つ よ う なGauss過

程XはBrown

運 動 と同 等 で あ る.   証 明 は 定 理6.3と

同 様 に 行 わ れ る が,付

帯 条 件(6.24)は,補

さ れ る(Ω,B,P2)に

お け る マ ル チ ンゲー

ルM={Mt,Bt(X);t∈[0,∞)}が

題6.6で

表現 正

則 と な るた め の 条 件 で あ る.   [注 意]  本 節 にお い て はBrown運 の上 に実 現 され たGauss過

動 との同等 性 を確 率 空 間(Ω,B,P1)=(C,O,P1)

程 につ い て論 じて来 た が,同 等 性 そ の もの の概 念 は 確 率空 間

の 選 び方 には よ らな い も の で あ る.一

般 の確 率 空 間(Ω,B,P1)上

Brown運

動 と同等 な ら ば,Xの

(C,O)の

上 の分 布 と考 え られ る.一 方,(6.23′)の

のGauss過

程Xが

見 本 関数(軌 跡)は 確 率1で 連 続 とし て よい か ら改 め て

で あ る こ ともわ か る.従 って 必 要 な ら,こ

形 に表 現 され るGauss過

れ も(C,O)上

程 は連 続

の分 布 とし て考え れ ば よい の

で あ る.

  §6.5.  一 般 のGauss過   本 節 で は,一

般 のGauss過

程 と 同 等 なGauss過

程 の 同 等 問 題 に つ い て,標

決 定 の し か た を 概 観 し て お こ う.Gauss過 B={B(t);t∈I}に

程 の 標 準 表現 準表 現 を 直 接 使 った

程X={X(t);t∈I}が

関 し て 標 準 表 現 さ れ て い る こ と か ら,各

新 生過 程 時 点tでBt(X)=

Bt(B)と

な る こ とが わ か る.こ

を 持 つGauss過 る.前節

程Bの

うす る と,Xに

関 す る同 等 問 題 が,独

立増分

同 等 問 題 に 帰着 さ れ る.こ れ が 基 本 的 な ア イ デ ア で あ

で 述 べ た よ うに,密

度関 数 の条 件 付 平均 値 か らで きる マル チ ンゲー ル

が 共 通 の 構 造 を 持 っ て い る こ とを 使 うの で あ る.   記 述 の 単 純 化 の た め に 考 察 す る範 囲 を制 限 し て,Gauss過 (Ω,B,P1)に

程Xは

確率空間

お い て,

 (6.25)

と標 準 表 現 され て い る と し よ う.但

し, 

で あ る.ま た,Xの

新 生過 程

 (6.26)

は,各

成 分 が 独 立 なBrown運

i,j=1,2,…,で

い か え れ ばE1[Bi(t)Bj(s)]=δij(t∧s),

与 え られ る も の と し よ う.

  さ て,Gauss過

程Yは

も の と し よ う:適 を 変 換 し た と き,新 え たXと

動,言

確 率 空 間(Ω,B,P1)に

同等 な

当 な 密 度 関 数 φ(ω)が 存 在 し てP2(dω)=φ(ω)P1(dω)と し い 確 率 空 間(Ω,B,P2)に

同 じ確 率 法 則 を 持 つ も の とす る.結

  定 理6.4. 

お い て 与 え られ,Xと

確 率 空 間(Ω,B,P1)で

={Y(t);t∈[0,T]}が(6.25)で

お い て 測 れ ば,Yは(6.25)で

同 等 で あ る とす る.こ

過 程X1を

構 成 し て,Bt(Y)=Bt(X1)と

定 義 さ れ た 平 均 値0のGauss過

の と き,(Ω,B,P1)上

程Y

程X={X(t);t∈ にXと

同 法 則 のGauss

な る よ う に で き る.Yお

通 な 新 生 過 程B1={B1(t);t∈[0,T]}は(6.26)のBと

与

果 を 述 べ よ う.

与 え ら れ るGauss過

[0,T]}と

測度

よ びX1に

共

同 じ法 則 を 持 つ が,

B1に 対 し てYは

 (6.27)

と標 準 表 現 さ れ る.こ =0,u
こ でlij(u,v),i,j=1,…N,はVolterra型(lij(u,v)

積 分 核 で  分 を 示 す.ま

を 満 た す.但 た(Y,P2)をXと

同 法 則 に す る測 度 をP2と

し, す れ

ば,P2のP1に

関 す る 密 度 関 数 φ(ω)は

で 与 え られ る.   証 明 の 概 略 を 述 べ て お く.(Y,P2)がXと

同 法 則 を 持 つ か ら,Yの(Ω,B,P2)

に お け る 新 生 過 程B2={B2(t);t∈[0,T]}が のBと

同 じ法則 に 従 う.次

よ う.こ

れ はBt(Y)=Bt(B2)で

う る.そ

れ は 補 題6.6と

次 に,こ

こ に 表 わ れ たfiを

存 在 す る.(B2,P2)は(6.26)

に,マ ル チ ン ゲ ー ルMt=E2[1/φ￨Bt(Y)]を あ る こ と に 注 意 す れ ば,B2に

決 め る と,B2の

解 核 と し て(lij)が

現 わ れ るlijで あ る.以

よ って表 現 し

同 じ方 法 に よ っ て 得 ら れ る:B2iをB2のi成

上,大

分 と して

線 型 包 に属 し

と書 け る こ とが わ か る.つ い で,ベ ク トル 値 を 取 るVolterra型 に よ っ て,(kij)の

決 め

定 ま る.そ

の積 分 方 程 式 論

れ が 表 現(6.27)に

ま か に 述 べ た よ う に,Yの

お い て

同等 問題 を新 生 過 程

Bの 同 等 問 題 に 帰 着 さ せ た 上 で は §6.4と 同 様 の 議 論 が 展 開 さ れ る.N<∞ 場 合 は,そ 定 義,Itoの

の ま ま 書 き直 せ る の で あ る が,N=∞ 公 式 お よ びGirsanovの

の と きは,Ito(確

  [注 意1]  各tに 対 し て,Bt(Y)=Bt(B1)=Bt(B2)=Bt(X)で

と な る.

(6.27)を

分の

定 理 を 拡 張 し て お か な け れ ば な ら な い.

そ の 点 で 議 論 は 少 し 複 雑 に な る.

  [注 意2] 

率)積

の

よ り'標 準 表現 ら し く'書 き直 せ ば,

あ る.

  §6.6.  新 生 過 程 の 構 成 法   §6.4に お い て,Brown運 の 方 法 は,Gauss過

動 と 同 等 なGauss過

程Xか

ら 新 生 過 程Bを

程Xの

線 型 演 算 で 取 り出 し て,Bに

て 標 準 的 に な っ て い る こ と を 示 す こ と で あ っ た.本 少 し 異 な っ た 立 場 か ら 述 べ る.端

表 現 を 得 た が,そ

節 では新 生 過 程 の構 成 法 を

的 に 言 え ば,Gauss過

る 意 味 で 近 い 形 で 与 え ら れ て い る と き に は,§6.4の

関 し

程Xが

標 準表 現 に あ

方 法 よ りも 直 接 的 に 新 生 過

程 が 得 られ る こ と を 示 す の で あ る.   ま ず,B={B(t),Ft;t∈[0,T]}をBrown運

動 と し て,

 (6.28)

と 書 け て い る(Gauss型 え る.た

とは 限 ら な い)確 率 過 程X={X(t);t∈[0,T]}を お よ び,各s∈Tに

だ し,φ=φ(s,ω)は 

考 ついて

Fs-可 測 で あ る こ と を 仮 定 す る.   [例1] 

Brown運

動B={B(t);t∈[0,T]}と

{m(t);t∈[0,T]}と

を み た す と仮定 す る.Ft=Bt(B)∨

測 で 

お け ば,Bとmの

で あ る.こ

と お い て,φ(t,ω)は

す る. 

各tでBt(m)-可 Bt(m)と

独 立 な 確 率 過 程 をm=

独 立 性 か ら,{B(t),Ft;t∈[0,T]}もBrown運

の 場 合 に(6.28)の

微 分 を形 式 的 に

dX(t)=dB(t)+φ(t,ω)dt, 

と書 け ば,メ

ッ セ ー ジmの

妨 げ ら れ て,dXを

れ る.こ

わ ゆ る フ ィ ードバ

  [例2] 

例1と

Bt(m)∨Bt(X)-可

t∈[0,T]

符 号 化 さ れ た 送 信 信 号 φ=φ(t,ω)がGauss型

イ トノ イ ズdBに れ は,い

同 様 にBとmを

ホ ワ

受 信 す る とい う通 信 系 の モ デ ル と考 え ら ック の な い 系 で あ る. 与 え て,各t∈[0,T]に

測 で あ る とす れ ば,フ

お い て φ(t,ω)は

ィ ー ドバッ ク の あ る通 信 系 を 表 わ す.

こ の と き も,{B(t),Ft;t∈[0,T]},Ft=Et(B)∨Et(m),はBrown運 動 で あ る か ら,  (6.29) Bt(X)⊂Ft, 

動

t∈[0,T]

が 保 証 され れ ば,(6.28)の

例 に な っ て い る.式(6.28)を

未 知 の 確 率 過 程X

に 関 す る 確 率 方 程 式 と み た と き,各t∈[0,T]でX(t)がFt-可 Xの 存 在 が 保 証 さ れ れ ば,条 解Xの

存 在 に つ い て は,い

合 に 限 っ て,後

件(6.29)が

  定 理6.5. 

み た さ れ る こ と に な る.そ

の よ うな

く つ か の 十 分 条 件 が 知 られ て い る が,Gauss型

に 述 べ る こ と に し て,こ

  次 の 定 理 はA.

測 に な る解

N. ShiryaevとT.

の場

こ で は 深 くは 立 ち 入 ら な い こ と に す る.

Kailathに

よ っ て 独 立 に 証 明 さ れ た.

確 率 過 程X={X(t);t∈[0,T]}が(6.28)に

よっ て 定 義 さ

れ て い る と き, B1={B1(t),Bt(X);t∈[0,T]} φ(s,ω)=E[φ(s,ω)￨Bs(X)]

  但 し,  はBrown運

動 で あ る.

  証 明   最 初 に,φ(s,ω)=E(φ(s,ω)￨B(X))が,ほ

に対 して定 義 で き, 

と ん どす べ て のs∈[0,T]

であ ること を 指摘し

て お こ う. 

と書 き,各s∈[0,T]で,

φ(s,ω)-φ(s,ω)はFs-可

測 で あ る こ と に 注 目 す る.eiλ(B1(t)-B1(s))にItoの 公 式

を適 用 して み る と  (6.30)

さ て, 

お よび 

に 注 意 し て,

お よ び,

が 得 ら れ る.言

い か え れ ば,(6.30)に

よ っ て,

で あ り,こ れ か ら

(a.e.P)

が 得 ら れ て,{B1(t),Bs(X);t∈[0,T]}がBrown運

動であることが わか

る.   [注 意]  本定 理 に お い て,Bt(X)⊃Bt(B1)は

当然 で あ るが,逆

の包 含 関 係"⊂"は 一

般 的 に は証 明 され て い ない.も し等 号Bt(X)=Bt(B1),t∈[0,T],が Brown運

動B1はXの

  こ の 定 理 をGauss型の をL2(R2+)に

立 なGauss過

な りた てば,

新 生過 程で ある. 通 信 系 の 場 合 に 適 用 し て み よ う.そ

属 すVolterra核

こで,k(s,u)

とし,m(s)=m(s,ω)をBrown運

動Bと

独

を み たす もの とす る.

程 で 

 (6.31)

と お け ば,X={X(t),t∈[0,T]}はGauss過 た 言 い 方 を 使 え ば,φ(s)=m(s)自

程 で あ る.本 節 のは じ め に 述 べ 身が メ ッセ ー ジ で あ り,ホ

ワ イ ト ノ イ ズdB

に妨 げ られ てXを 受 信 す る とい う通 信 系 で あ るが,  Bs(X)-可

の 項 は,

測,す な わ ち 線 型 フ ィ ー ドバ ッ ク を 表 わ し て い る.(6.31)は,Xに

す る方 程 式 と み な さ れ るが,Bt(B)∨Bt(m)-可 初 の(6.28)で

測 な 解 が 存 在 す れ ば,本

与 え た 形 の 過 程 に な る.従

{B1(t),Bt(X);t∈[0,T]},但

っ て,定

理6.5に

関 節 最

よ っ て,B1=

し,

 (6.32)

はBrown運

動 で あ る.ま

ず(6.31)の

と お く と,Y={Y(t);t∈[0,T]}はBrown運

解Xの

存 在 と一 意 性 を 示 そ う.

動 と 同 等 で あ る.実

際,

と し て,E(αT)=1が,mとBの 理(定

理A.11)に

独 立 性 に よ っ て 言え

よ っ て,確

る か ら,Girsarovの

率 空 間(Ω,B,P1),P1(dω)=αTP(dω),に

て,Y={Y(t),Bt(B)∨Bt(m);t∈[0,T]}がBrown運 わ か る.さ

て,一

定 お い

動 で あ る こ とが

方 で(6.31)は

と書 け る が,§6.4の

議 論 と 同 様 に,l=l(s,u)をkの

解 核 と す れ ば,Xは

 (6.33)

の 形 に一 意 的 に 解 け る.定 理6.3に が 確 率 空 間(Ω,B,P1)に

よれ ば,XもBrown運

お け るBrown運

動Yに

Bt(X)=Bt(Y)⊂Bt(B)∨Bt(m),t∈[0,T],で に お い て も 方 程 式(6.31)が 組(B,m,X)は

る か ら,補

一 意 的 な 解Xを

線 型 包Ht(X)に

題6.11に

関 す る標 準 表 現 で あ り, あ る .従

ベ ク トル 値 を と るGauss過

E[m(s)￨Bs(X)]はXの

動 と同 等 で ,(6.33)

っ て,(Ω,B,P)

持 つ こ と が わ か る .さ 程 で あ る か ら,条

属 す .XがBrown運

よ っ て,Volterra核h(s,u)∈L2(R2+)が

て,

件 付 平 均 値 動 と同等 で あ 存 在 して

(a.e.P), と 書 け る.従

っ て,(6.32)よ

が 得 られ る.再

び §6.4の 議 論 と 同 様 に し て,j(s,u)の

と表 現 で き る.以   系  Gauss過 で で き るBrown運

り

解 核n(s,u)に

よ っ て,

上 を ま と め て 次 の 系 が 得 ら れ る. 程Xが(6.31)に 動B1はXの

[注 意]  一 般 に,Gauss過

程m(s,ω)に

よ っ て 与 え ら れ て い れ ば,(6.32)の

操作

新 生過 程 で あ る. つ い て,条

件 

 と同値 で あ る こ とが 知 られ て い る.

(a.e.P)は,

  第6章

の解 題

  無 限 次 元Gauss分

布 の 同 等 性 は,S.

っ て も解 け る が(T.

Hida

J. Hajek

(1958)やJ.

明 はYu.

A. Rozanov

Kakutani

(1975)第1章

Feldman

参 照),こ

(1958)の

(1968)に

(1948)の 先 駆 的 な 仕 事 に よ こで は 便 利 の た め に,

方 法 に よ っ た.そ の 見 通 し の よ い 証

あ る が,§6.2に

お い て は,マ

ル チ ンゲ ール

を 使 う こ と に よ っ て 更 に 簡 潔 化 さ れ て い る.§6.4に

お け るBrown運

等 性 の 問 題 はR.

降 多 く の 仕 事 が あ る が,

Cameron-W.

T. Martin

標 準 表 現 の 立 場 か ら の 解 答 はM.

Hitsuda

(1944)以 (1968)で

動の同

得 ら れ て い る.こ

そ の 方 法 に よ っ た が 部 分 的 に は よ り簡 明 に な っ て い る.Wiener空

こで は,

間 にお け る

マ ル チ ン ゲ ー ル 理 論 を 駆 使 す る の で,そ

こに必 要 な事 項 は 付章 に ま とめて お い

た.Volterra型

え ば,F.

の 積 分 方 程 式 論 は,例

考 に な る で あ ろ う.Brown運

Watanabe

(1958)の

(1976)で

よ っ て な され て い る.§6.5に 述 べ た こ とは よ り一 般 に さ れ て い る.そ

の 中 に離 散 ス ペ ク トル が 表 わ れ る場 合 も 取 り扱 っ て あ る.本 とVolterra核

に よ る変 換 は,I. C. Gohberg-M.

て も 得 ら れ る が,こ

本 が参

動 との 同 等 性 の,独 立 確 率 変 数 列 に 展 開 す る 方 法

に よ る研 究 はL. A. Shepp(1966)に M. Hitsuda-H.

Smithesis

の 線 に そ っ て の 議 論 はG.

G. Krein(英 Kallianpur-H.

こで は,表

現

章 に述 べ た 同等 性 訳1970)に Oodaira

よっ (1973)

で もな さ れ て い る.   定 理6.5はA.

N. Shiryaev(1966)お

よ びT.

証 明 お よ び よ り広 い こ の 定 理 の 応 用 はA. に 詳 述 し て あ る.Gauss型 びM.

Hitsuda-S.

N. Liptzer-A.

通 信 系 へ の 応 用 は,例

Ihara(1975)を

Kailath

み られ た い.

え ばS.

(1968)に

よ るが,

N. Shiryaev Ihara(1974)お

(1974) よ

付 章  確 率 積 分 とマ ル チ ンゲ ール

  こ こで は,Wiener空 ま と め て お く.こ

間 に お け る 確 率 積 分 と マ ル チ ンゲー ル に 関 す る事 項 を

こ に 述 べ る 内 容 は 主 と し て,第6章

の で あ る.便 利 の た め に 確 率 空間(Ω,B,P)と ner空

間(C,O,μw)を

§6.4に お い て 用 い た も

し て 特 に 断 わ ら な い 限 りWie

固 定 し て お こ う.こ れ は §2.5に 述 べ た よ うにKolmo

gorov-Prokhorovの

定 理に 基 づ い て,Brown運

動B={B(t);t∈[0,∞)}

か ら 導 か れ る 確 率 空 間 で あ る.

 §A.1. 

多 重Wiener積

分

  既 に §2.5に お い て  の 定 義 を 与 え た.さ (重 複)Wiener積

f∈L2([0,∞)),の

ら に 一 般 に,多

形 のWiener積

重 積 分 と類 似 の ラ ン ダ ム な 積 分 と し て 多 重

分 に 拡 張 す る こ と が で き る.多

L2(Ω)={f(ω);E(f2)<∞}の

重Wiener積

分 の 定義

 ま ずk(t1,…,tn)を 

上,こ

に 属 し, とな る組(t1,…tn)以

外 で は0と

の よ う な 性 質 を も つ 積 分 核kをn重Volterra核

このkに 対 して 

  第1段

分 は特 に

展 開 を 考 え る と き に 有 用 で あ る.

  1° 多 重Wiener積

しか も 

分

な る も の と す る(便

宜

と よぶ こ とに す る).

の形 の積 分 を定 義 す る.

  k(t1,…,tn)が

階 段 関 数 の と き は,変

な 分 点0=τ0<τ1<…<τlが

あ る と し て よ い:

(上 記 以 外 の(t1,…,tn))

数t1,…,tnに

共 通 で次 の よ う

こ の場 合 に は,  (A.1)

をkに

対 す るn重Wiener積

定 義 す る.(A.1)の る2つ

形 に表 わ さ れ

の 確 率 変 数In(k)お

を 取 り上 げ て み よ う.直 こ とで あ る が,必 て,Brown運

分 と

(n=2の

よ びIm(l) ち にわ か る

要 な ら 階 段 関 数kお

場 合,kはAの

部 分 を 除 い て0で

あ る.)

よ びlの

分 点 が 共 通 に な る よう に 再 分 し

動 の 独 立 増 分 性 と,E((B(τi+1)-B(τi))2=(τi+1-τi)で

ある

こ とを 使 え ば

E(In(k))=0,  (A.2)

のとき のとき が わ か る.も

ち ろ ん(k,l)nはL2(Rn+)で

は 分 散 が 有 限(In(k)∈L2(Ω))な   第2段 

一 般 のVolterra型

数 列{ki(t1,…,tn);i=1,2,…}に

の 内 積 で あ る.こ

の 事 実 か ら,In(k)

確 率 変 数 で あ る こ とが わ か る. の 核k(t1,…,tn)∈L2(Rn+)に よ ってL2(Rn+)の

対 し て は,階

段関

ノル ムで近 似 で き る こ と

に 注 意 し よ う:

こ の と き,(A.1)に

よ っ て 定 義 さ れ たkiに 対 す るn重

積 分 はCauchyの

条件

を みた す か ら,極 限  (A.3)

が 存 在 す る.(A.3)に

よ っ て 定 ま っ たIn(k)を

積 分 核kに

と書 く こ とに す る.

積 分 と言 い.    [注 意]  定 義(A.3)は

核kに 対 す る階 段 関数 列{ki;i=1,2,…}の

い こ とは,関 係 式(A.2)に   多 重Wiener積  定 理A.1. 

対 す るn重Wiener

選 び 方に よ ら な

よ って保 証 され る.

分 の 簡 単 な 性 質 を ま とめ て お こ う. (ⅰ)  (線 型 性)k1,k2をL2(Rn+)に

属 す2つ

In(αk1+βk2)=αIn(k1)+βIn(k2),α,β

  (ⅱ) k∈L2(Rn+),l∈L2(Rm+)を

のVolterra核

とす る と,

定 数.

共 にVolterra核

とす る と,関 係 式(A.2)

が な りた つ.   証 明   (ⅰ),(ⅱ)とも階 段 関 数 の 段 階 で は 明 白 で あ り,そ 遺 伝 す る こ と は,近

似(A.3)に

  さ て,n重Wiener積 れ をHnで

の極 限 に もそ の性 質 が

よ って わ か る.

分 の 全 体 はL2(Ω)の

部 分Hilbert空

間 で あ る.そ

表 わ す:

Hn={In(k);k∈L2(Rn+),kはVolterra核} 定 理A.1に

よ れ ば,Hnと 

にH1は1次

のWiener積

H(B)と

は 互 に 直 交 す る こ とが わ か る.ま 分 の 全 体 で あ るか ら,Brown運

同 じ も の で あ る.も

こ う.Hn(t)を

う1つtに

付 随 し たHnの

次 に よ っ て 定 義 す る:n=0,1,2,…

動Bの

た特

張 る線型 包

部 分 空 間 を導 入 し て お

に 対 し て,

Hn(t)={In(k)∈Hn;k(t1,t2,…,tn)=0,t1>1}.

定 理A.2.  (A.4) 

で あ る.言

各 自 然 数nとt∈[0,∞)に

対 して

E[In(k)￨Bt(B)]=In(kt),

い か え れ ば,In(kt)はIn(k)のHn(t)へ

証 明  まずkが

の 射 影 で あ る.

階 段 関 数 の と き に は,条 件 付 平 均 値 の 性 質(命 題1.3,5°))を

 

用 い て 証 明 され る.よ

り一 般 の 場 合 に は,ki{t1,…,tn)のL2(Rn+)に

か らki,t{t1,…tn)のL2(Rn+)-収  [注意]  (A.4)の

お け る収束

束 が 従 う こ とか ら 示 さ れ る.

右辺 のIn(kt)を 

と 書 く こ とに し よ う.

  2° Wiener積

分 の完備 性

  確 率 空 間(Ω,B,P)=(C,O,μw)上 は,多

重Wiener積

多 重Wiener積

可 積 分 な 確 率 変 数 の 全 体L2(Ω)

分 の 直 和 で 書 け る こ と,言

い か え れ ばf(ω)∈L2(Ω)は,

分 に よ って 展 開 で き る こ と を 示 す.そ

積 分 とHermite多   定 義A.1. 

の た め に まずWiener

項 式 の 関 係 を 述 べ よ う. 多項式

をn次Hermite多

項 式 と い う.(t=σ2と

きはHn(x,σ2)と   Hermite多

して の σを パ ラ メ ー タ ー とみ た と

書 く.) 項 式 に つ い て 後 に 必 要 な 性 質 を あ げ て お こ う.

 命 題A.1.  (ⅱ) 

の2乗

(ⅰ)  母 関 数 は 

で 与 え ら れ る.

につ い て の漸化 式:

(ⅲ) 平 均 値0,分 2…}は,Hilbert空

散tのGauss測

度N(0,t)に

対 し て,系{Hn(t,x);n=0

,1,

間 

の完 全 直交 系 で あ る.な お これ を正 規 系 にす るには ,系  と補 正 す れ ば よ い.ま 平 均 ベ ク トル0,分 ば,系

散 行 列(Vij)=(tiδij)の

たRN上

のGauss測

も の をN(dx1,…,dxN)と

度 で, すれ

はL2(RN,N(dx))の

完 全 直 交 系 で あ る.

 これ らの 命題 の証 明は,通 常 のHermite多

項 式 

の性 質 か ら変 数 変 換 に よ り簡 単 に導 かれ る.   補 題A.1. 

n=0,1,2,…

お よ び,任

意 の 時 点s, 

に 対 し て,

 (A.5)

そ れ 以 外. 証 明 の 概 略 を 述 べ て お こ う.H0(t-s,B(t)-B(s))=1,  は 明 ら か で あ ろ う. 

に 対 し て は,

回

が な りた つ こ と を 仮 定 す る.さ ろ う.区   (A.6)

間[s,t]の

の近似列を作

て, 

分 点 を τ0=s<τ1<τ2<…<τl=tと

し て,

最 後 の 式 の 第2項

は 第1項

項 を 引 い た も の で あ る.さ

の 和 の うちB(τk)-B(τk-1)と て,分割Δ

を 細 分 し て 行 く と,等

が それ ぞ れ確 率 収 束 で あ る.な お 第2式 は 定 理2.9に

も(A.5)が

よ る.こ の こ とか ら,

納 法 の 仮 定 と命 題A.1(ⅱ)の

漸 化 式 に よ っ て,k=nの

ときに

証 明 さ れ た こ と に な る.

  補 題A.2. 

時 間 パ ラ メ ー タ ー 空 間[0,∞)で

と し てBの

=σ{B(t)}がBΛ

密 な 可 算 集 合Λ={τ1,τ2,…}を

部 分 σ-加法 族 で{B(τi)-B(τj);i,j=1,2,…}か

成 され る も の と す る と,BΛ   証 明. σ-加法 族Bは

∈O};Oは

左辺

右 辺 は確 率 収 束 の意味 で

に 収 束 す る.帰

と る.BΛ

式(A.6)の

に 平均 収 束 す る.ま た

は, 

(A.6)の

同 じ もの が 出 て来 る

はBと

一 致 す る.

筒 集 合 か ら 生 成 され て い る か ら, 

に 属 す る こ と を言 え ば 十 分 で あ る.B{t}は

開 集 合}に

よ っ て 生 成 さ れ る か ら,{B(t)∈O}∈BΛ

こ の こ とは,{τik∈Λ;k=1,2,…}をtに が 連 続 関 数 の 空 間(C,O)上

ら 生

に 対 し て,B{t} 集 合 族{{B(t) を 言 え ば よ い.

収 束 す る列 と し て,Brown運

で 実 現 され て い る こ とを 使 え ば,

動

で あ る こ と か ら わ か る.  定 理A.3. 

L2(Ω)の

各 確 率 変 数f(ω)は,多

重Wiener積

分 に よ って,

 (A.7)

の形 に直交 展 開 され る:  (直 和 分 解),た   証 明   補 題A.2に 2,…,と

し て,さ

お け るΛ

の 有 限 部 分 集 合 をΛl={τ1,τ2,…,τl},l=1,

ら に 部 分 σ-加 法 族B(Λl)を{B(τi)-B(τj);i,j=1,…,l}

か ら生 成 さ れ る も の とす る.補 題A.2に =E[f￨BΛl],f∈L2(Ω),は,fに

よれ ば, 

大 き さの順 に並 べ な お

し て,s1<s2<…<slと

す れ ば,BΛlは

よっ て,

の 意 味 で 閉 じて い るか ら,そ 展 開(A.7)は

は,f∈L2(Ω)に   定 義A.2. 

  §A.2. 

独 立確 率 変 数系

ら 生 成 さ れ る と 言っ て よ い.従

の形 に展 開 で き る.従 って 

  系 

正 則

一 様 可 積 分!).{τ1,τ2,…,τl}を

{B(sk+1)-B(sk);k=1,2,…,l-1}か 命 題A.1(ⅲ)に

で あ る か ら,fl

平 均収 束 す る({fl;l=1,2,…}は

な マ ル チ ン ゲ ー ル で,{f2l;l=1,2,…}が

flは

だ しH0=R.

で あ り 

の 極 限 も 

が 平 均 収 束(l.i.m.)

に 属 す こ と が わ か った.

一 意 的 で あ る:Volterra核ki(t1,…,ti),i=1,2,…, 対 し て 唯1つ

f∈L2(Ω)の(A.7)の

Wiener空

定 ま る. 展 開 をWiener展

間 に お け る マ ル チ ン ゲ ー ル とIto積

1°  連 続 パ ラ メ ー タ ー の マ ル チ ン ゲ ー ル

開 と い う.

分

っ て,

  離 散 パ ラ メ ー タ ー の マ ル チ ン ゲ ー ル に つ い て は,§1.5に

お い て 述 べ た が,そ

れ を 基 礎 に 連 続 パ ラ メ ー タ ー の 場 合 に つ い て 概 観 し て お こ う.こ タ ー は 区 間I=[0,T],[0,∞)ま   定 義A.3. 

た は そ れ ら の 部 分 集 合 とす る.

確 率 空 間(Ω,B,P)上

の 増 大 列{Ft;t∈I}に

の 確 率 過 程{Mt;t∈I}が

E{￨Mt￨)<∞,t∈I,

  (M.2) 

E[Mt￨Fs]=Ms(a.e.P),

を 満 足 す る と き,組M={Mt,Ft;t∈I}を

優)マ

た(M.2)に

部 分 σ-加 法 族

関 して 条 件

  (M.1) 

い う.ま

こで パ ラメ ー

連 続 パ ラメ ー タ ーマル チ ンゲ ー ル と

お け る 等 号 が 不 等 号 

(ま た は  )の

と き 劣(ま

たは

ル チ ン ゲ ー ル と い う.離 散 パ ラ メ ー タ ー の 場 合 と 同 様 に,F(ω)∈

L1(Ω)={F;E(￨F￨)<∞}が

あ っ て,Mt=E[F￨Ft]と

チ ン ゲ ー ルM={Mt,Ft;t∈I}を   さ て,パ

正則 な(regular)マ

ラ メ ー タ ー が 連 続 で あ る と き は,Mtのtに

書 け る よ うな マル ル チ ン ゲ ー ル とい う. 関 す る連 続 性 が 重 要 で

あ る.   定 義A.4. 

マ ル チン ゲ ー ルMの

で あ る と き,Mを(右)連

見 本 関 数Mt(ω)が

確 率1で(右)連

続関数

続 な マ ル チ ン ゲ ー ル と い う.

  [注 意]  本節2° でみ る よ うに,Wiener空

間 に おけ る マ ル チン ゲー ル はす べ て 連 続

で あ る こ とが わ か る.   [例1] 

マ ル チ ン ゲ ー ルMを

ル チ ン ゲ ー ル で あ る.こ

凸 関 数 に 代 入 し た{f(Mt),Ft;t∈I}は

の こ と は,離

劣 マ

散 パ ラ メ ー タ ー の 場 合 と 同 様 にJensen

の 不 等 式 に よ っ て わ か る.   定 理A.4.  チ ン ゲ ー ル(ま

  (A.8)

お よび  (A.9)

(Doobの

不 等 式)M={Mt,Ft;t∈[0,T]}が

た は 劣 マ ル チ ン ゲ ー ル)で

あ る と き,λ>0に

右連続 な マ ル 対 し て不 等 式

が な りた つ.   証 明   区 間[0,T]に

お け る 有 理 数 の 全 体 をL={ri;i=1,2,…}と

M0={Mr,Fr;r∈L}も

マ ル チ ン ゲ ー ル で あ るが,Mの

す る.

右 連 続 性 に よ っ て,

お よ び,

で あ る.Lk={ri;i=1,…k}⊂Lと

し て,有

序 に 並 べ 直 し た も の をri1<…
限 集 合Lkの

要 素 を大 きさ の順

す れ ば,

M(k)={Mril,fril;l=1,2,…k}

は 離 散 パ ラ メ ー タ ー マ ル チ ン ゲ ー ル で あ る.M(k)に

対 し て は,定

理1.10の

不等

式 が な りた つ こ と と

お よ び,infに

関 す る 同 様 の 式 を 使 っ て,(A.7)お

よ び(A.8)が

従 うこ とが

わ か る.   次 の 停 止 時 点 の定 義 は 離 散 パ ラ メ ー タ ー の 場 合 と 同 様 で あ る.   定 義A.5.  (stopping

σ-部 分 加 法 族 の 増 大 列{Ft}に

time)で

あ る と言 う の は,各tに

関 し て τ=τ(ω)が 停 止 時 点 対 し て 

りた つ こ とで あ る.与 え られ た1つ

の 停 止 時 点 τに 対 し て,Fの

 

と書 く.

をFτ

  [注 意]  停 止 時 点 σ,τの間 に大 小 関 係    [例2] (1) 

各t∈Iは

  (2) M={Mt,Ft,t∈I}が 達 時 点 τ=inf{t;Mt=a}は

が あれ ば,Fσ

部 分 σ-加法 族

⊂Fτ.

停 止 時 点 で あ る. 連 続 な(劣)マ

ル チ ン ゲ ー ル で あ れ ば,値aへ

停 止 時 点 で あ る.但

  (3) f(s,ω)を(s,ω)-可

測 で,各sに

さ ら にsに

積 分 可 能 とす る と, 

つ い て 確 率1で

が な

つ い てFs-可

しinf{φ}はsup Iと

の到 す る.

測 な ラ ン ダ ム な 関 数 とす る.

は 停 止 時 点 で あ る.   補 題A.2.  F∈L1(Ω))と

正則 な 右 連 続 マ ル チ ン ゲ ー ル をM(Mt=E[F(ω)￨Ft], す る と,確

率1で

有 限 な 停 止 時 点 τに 対 し て,

Mτ=E[F(ω)￨Fτ](a.e.P) が な り た つ.

 証 明  自然数nに 対 して,  く と,τnも

停 止 時 点 で あ りn→

の と き,τn(ω)=k/2nと

∞

の と き,τn(ω)↓

お

τ(ω)で あ る.A∈Fτnに

対 し て,

で あ るか ら,

す な わ ち,Mτn=E[F￨Fτn]で

あ る.{Mτn;n=1,2,…}が

る こ とが こ れ で わ か る か ら,Mの 1,2,…)と

一様 可積 分 で あ

右 連 続 性 を 使 っ て,A∈Fτ(⊂Fτn,n=

し て,

従 っ て, Mτ=E[F￨Fτ](a.e.P)

が わ か った. この補 題 か ら直 ち に次 の定 理 を得 る.   定 理A.5. 

停 止 時 点 σ お よび τの間 に 関 係 

則 な 右 連 続 マ ル チ ン ゲ ー ルMに

が あ る と き,正

対 し て 次 式 が 成 立 す る.

Mσ=E[Mτ￨Fσ](a.e.P).   系   M={Mt,Ft;t∈I}が 時 点 τに 対 し て,M°t=Mt∧τと マ ル チ ン ゲ ー ル に な る.

右 連 続 マ ル チ ン ゲ ー ル で あ れ ば,任 お く と,M°={M°t,Ft;t∈I}は

意 の停 止 再び右連 続

  証 明   t∧τ が 有 界 な 停 止 時 点 で あ る こ と に 注 意 し て,定 い.正則

性 が 問 題 に な る が,t0∈Iを

れ ば,{Mt,Ft;t∈I0}は

理A.5を

使えば よ

ま ず 固 定 し て, 

で考 え

正 則 な マ ル チ ン ゲー ル で あ る か ら,定

理A.5が

使

え る の で あ る.   2°  Ito(確

率)積

分

  次 の 条 件(f.1)-(f.3)を つ い て,Ito積

み た す 確 率 変 数 系{f(t,ω);t∈I=[0,∞)}に

分 

を定義しよ

  (f.1) 

f(t,ω)は(t,ω)に

  (f.2) 

各t∈Iに

う:

つ い て 可 測,

対 し てf(t,ω)はBt(B)-可

測,

 (f.3)

便 利 の た め に(f.1)-(f.3)の Fに

属 すf(t,ω)は,§A.12°

性 質 を み た すf=f(t,ω)の

全 体 をFと

で 述 べ た よ うにWiener展

書 こ う.

開 で き る:

 (A.9)

こ こ で,右

辺 の 積 分 がtま

E[f(t,ω)￨Bt(B)]=f(t,ω)で

で で 切 れ る こ と は,f(t,ω)がBt(B)-可 あ る か ら,定

辺 のkn=kn(t,t1,…,tn),n=1,2,…,は

理A.2に

条 件(f.1)に

に 関 し て 可 測 に な る こ と に 注 意 し よ う.ま

た,(f.3)に

測 で あ り,

よ り わ か る.(A.9)右 よ っ て(t,t1,t2,…,tn) よ れ ば,

で あ る こ と が わ か る.   定 義A.6. 

Fに 属 す る 各f(t,ω)に

対 し て,Ito(確

率)積

分 を

 (A.10)

に よ っ て 定 義 す る.ま

た, 

を 次 に よ って 定 義 す る.

  [注 意]  定 義A.6に 定 義 し た が,よ

お い て は,仮

り一 般 にBrown運

∨gt(gtはBt(B)と

独 立)で

  (f.2′)  各t∈Iに

対 し てIto積

代 え て,

測 み た すf=f(t,ω)の

あ る こ とか ら,F⊂F1で

測 で は あ る がBt(B)と

の 中 に た た き 出 す こ と が で き る:ほ

分を

照)がFt=Bt(B)

利 の た め に,(f.1),(f.2′),(f.3)を

書 こ う.各tでBt(B)⊂Ftで

各t∈Iに 対 し て,Ft-可

可 測 性 を 持 つfに

あ る と き に は,(f.2)に

対 し て,f(t,ω)はFt-可

と し て も 定 義 で き る.便 をF1と

定(f.2)の

動{B(t),Ft;t∈[0,∞)}(§2.5参

あ る.f∈F1に

対 し て は,

は 独 立 な 成 分 をWiener展

と ん どす べ て のt∈[0,∞)に

全体

開 の 係 数kn

対 し て,

  (A.11) と"Wiener展

は独 立(従

開"で

き,kn(ω,t,t1,…,tn),n=1,2,…,はFt-可

って 

と も 独 立)で

測 で あ りBt=(B)と

あ る.さ

ら に,条

件(f.3)に

よ り

 こ の 事 実 を 使 え ば 次 の よ う に 拡 張 定 義 で き る.   定 義A.6′. F1に

属 す 各f(t,ω)に

対 し て,Ito積

分 を

 (A.10′)

に よっ て定 義 す る.  Ito積 分 の簡単 な性 質 を あげ よ う.   定 理A.6. 

1°) α,β;定

  2°)

  3°)  各t∈Iに

対 し て,f(t,ω)∈Hn(t)な

ら ば,

数.

  4°) f∈Fと

して

 (A.12) と お く と,M={Mt,Bt(B);t∈[0,∞)}は

マ ル チ ン ゲー ル で あ る.特

 の と き,Mは   5°)  逆 に,平

  証 明   1°)2°)お は 定 理A.2か

よ び3°)はWiener積

形 のIto積

た, 

な らば,

が 定 義 で き る の で,Mの

とWiener展

で あ る か ら,展

開 の 一 意性 に し て よ い.こ

  [注 意]  定 理A.6の3°)お

[0,∞)}が,各tでE(M2t)<∞

 証明 第1段 

よ ら な い で,

次 式 に よ っ て 定 め る.

よび5°)以 外 はf∈F1に

対 して 定 義A.6′ で 与 えた 積 分 に

簡単 な修 正 が必 要 で あ る.

間 に お け る マ ル チ ン ゲ ー ルMの Wiener空

固 定 し て,

に対 し て

よ っ て,各ki(t0,t1,…,ti)はt0に

こ でf(s,ω)は

対 して もな りた つ.た だ,2°)は   次 に,Wiener空

正 則 性 が出 る.

開 そ の も の で あ る:t0∈[0,∞)を1つ

開 で き た とす る と, 

分 に 書 け る.

分 の 定 義 か ら 明 白 で あ ろ う.4°)

ら 簡 単 な 計 算 で 得 られ る.ま

  5°)は ほ とん どWiener展

  定 理A.7. 

あ る マ ル チ ン ゲー ルM={Mt,

適 当 に 選 ん で(A.12)の

Ito積 分 

ki(t1,…,ti)と

正則 な マ ル チ ン ゲ ー ル で あ る.

均 値0,E(M2t)<∞,t∈I,で

Bt(B);t∈I}はf∈Fを

に,

連 続 性 を 調 べ て み よ う.

間 に お け る マ ル チ ン ゲ ー ルM={Mt,Bt(B);t∈ を み た せ ば,連

続 で あ る.

と 書 け て,し

か もfがWiener展

開

を 持 ち,し

か も核ki(s,t1,…,ti)が

階 段 関 数 で あ る と き を 調 べ よ う.tが

τlとτl+1の間 に あ る と し て,Mtの

連 続 性 はB(t)-B(τl)の

  第2段 

つ い て は,ま

一 般 のf(s,ω)∈Fに

{fn(s,ω);n=1,2,…}に

よ って,各tに

ず 第1段

で 調 べ た形 の関 数列

対 し

とお く と,

とな る よ うに 近 似 で き る こ と に 着 目 し よ う.  M(n)t-Mtが

マ ル チ ン ゲー ル で あ り,従

で あ る.Doobの

で あ る.こ

不 等 式(定

っ て(M(n)t-Mt)2が

理A.4)に

劣 マ ル チン ゲ ー ル

よ っ て,

が0に 確 率 収 束 す る こ とを示 し,従 って

の こ とは, 

が0に 概 収束 す る よ うにでき る.各

部 分 列 を 適 当 に とれ ば, 

M(nk)uは連 続 で あ るか ら,そ の一 様 収束 に よる極 限Muも たtは 任 意 で あ ったか ら,Mtの   [注 意] 

分 点

連 続 性 か ら わ か る.

こ の こ と か ら,よ

連 続 で あ る.固

連 続 性 が 導 び かれ た.

り一 般 に,fn,f∈F,が

条 件

に広義一様 確 率 収 束

が 

を み た せ ば, 

定し

す る こ とがわ か る.   定 理A.7を

利 用 し て,Ito積

て も 定 義 で き る.ク

分 をFよ

り広 い ク ラ ス に 属 すf(t,ω)に

ラ スGを(f.1),(f.2)お

よび

(a.e.P)

 (f.3′) 

を み た すf=f(s,ω)の (f.3′)を

対 し

全 体 と す る.ま

み た すf=f(s,ω)の

  定 義A.7. 

f∈G1に

たG1と

全 体 と し よ う.明

対 し て,Ito積

分 を

し て,(f.1),(f.2′)お ら か に,G⊂G1で

よ び あ る.

 (A.13)

に よ って 定 義 す る.た

だ し,

とす る.τNは{Ft}に

関 す る 停 止 時 点 で あ る.

  な お,(A.13)の 対 し て,十

右 辺 の 極 限 が 確 定 す る こ と は,ほ

分 大 き なNに

対 し て 

で あ る こ とか ら わ か る

  [注 意]  (1) F1に 属 す るfに 対 し ては,定 る も の とが一 致す る こ とは(A.13)の

とん ど す べ て の ω∈ Ω に

義A.6に

右 辺 がL2(Ω)で

よ るIto積 分 と定 義A.7に

よ

の近 似 で もあ る こ とか ら保 証 され

る.   (2) f∈G1に

対 し て は, 

が マ ル チ ン ゲ ー ル で あ る こ とは,必

ず し も保 証 され な い(平 均 値 の存 在 す ら も保証 され な い のだ か ら).し か し,2乗 (E((MNt)2)<∞,t∈I)のマ

ル チ ン ゲ ー ル 

可積 分

に よって あ る意 味

で 近 似 で きる の で あ る.   定 理A.8 G1に

属 す る 関 数 列{fn(s,ω);n=1,2,…}が,n→

∞

の とき

(確率 収 束)

 (A.14) 

は

で あ れ ば, 

に確 率広 義 一様

収束 す る:   任 意 の λ>0に

対 し て, 

  証 明   条 件(A.14)に

よ っ て, 

t∈I.

と し て,

 (A.15)

で あ る.従 っ て,定 理A.7の と し て 

注 意 に よ っ て, 

は,n→

に確 率 広 義一 様 収 束 す る.従 って,不 等 式

∞

を み れ ば,右

辺 の第1項

は(A.15)に

お よび 

第3項 は それ ぞ れ  大 き く す れ ば,nに

よりn→ ∞ の と き0に

収 束 す る.第2項,

に等 しい.Nを

十分

が

つ い て 一 様 に 

な りた つ よ うにで き るか ら,結 果 が 従 う.   この定 理 か らわ か る こ とを 注 意 とし て あげ て お く.  [注意1]  確率積分   [注 意2] 

定 義A.7に

を使 って 極 限 

(f∈G1)はtに お い て は,f∈G1に

を定 義 した が,定

つ い て 確率1で 連 続 で あ る.

対 し て,1つ

理A.8に

の 列{fN∈F1;N=1,2…}

よれ ば,ど

ん な近 似 列 

(確率 収 束)に 対 し て も, 

は 同 じ極 限 に

収 束 す る こ とがわ か る.   次 の 定 理 は,定   定 理A.9. 

理A.6お

Wiener空

Bt(B);t∈[0,∞)}は

よ びA.7の

一 般 化 で あ る.

間 に お け る平 均 値0の

マ ル チ ン ゲ ー ルM={Mt,

す べ て 連 続 で あ り,f∈Gを

適 当 に選 んで

 (A.15)

の 形 に 表 現 で き る.   証 明   ま ず 連 続 性 を 証 明 し よ う.t0∈[0,∞)を

固 定 し て, の と き, の と き,

の とき と お い て,マ

ル チ ン ゲ ー ル{MNt=E(MNto￨Bt(B)),Bt(B);t∈[0,t0]}を

定 義 す る.各t∈Iに

対 し てMNtに2乗

可 積 分 で あ っ て(よ

り 強 く 有 界:

 と書 け るか ら連 続 で あ る.￨MNt-M￨は 劣 マ ル チ ン ゲ ー ル で あ るか ら,Doobの

で あ る.MNtはMtに[0,t0]で

不 等 式 に よ っ て,

確 率 一 様 収 束 す る の で あ る か ら,Mtの[0,t]

で の 連 続 性が わ か る.t0>0は ル で あ る.次

任 意 で あ った か らMは

に 表 現(A.15)を

導 び こ う.停

と お く,た だ し 便 宜 的 にinf{φ}=∞ {Mt∧τk,Bt(B);t∈[0,∞)}は t∈I,で

止 時 点 τkをinf{t;￨Mt￨>k}

と考 え る.定 理A.5系 マ ル チ ン ゲ ー ル で あ る.さ

あ る か ら,定 理A.6に

と表 現 で き る.k′>kに

連続な マ ル チ ン ゲー

に よ っ て,Mk= ら に, 

よ れ ば,fk=fk(t,ω)∈Fが

存 在 し て,

対 して

で あ る か ら,ほ

と ん どす べ て の ω∈ Ω に 対 し て,kが

が な り た つ.こ

の と き,f(t,ω)=fk(t,ω)と

十 分 大 で あ れ ば,

お こ う.

(a.e.P) で あ るか ら 

が 

に対 して定 義 で き るが,τk>t0

な らば

で あ る か ら,  が 得 られ た.t0は

  §A.3. 

Itoの

任 意 で あ る か ら表 現(A.15)を

公 式 とGirsanovの

得 る.

定理

  確 率 積 分 を 滑 ら か な 関 数 に代 入 した と き,そ

の値 は導 関 数 を 使 って 改 め て確

率 積 分 で 表 わ さ れ る.通

常 の 微 積 分 の 基 本 公 式 と異 な っ て,2階

現 わ れ る の で あ る が,そ

れ はBrown運

で み た よ う に,(dB)2≒dtで   定 理A.10.(Itoの

る.f=f(t,ω)∈G1お  (g.3) 

動 の 見 本 関 数 が 有 界 変 分 で な く,§2.5

あ る こ と に よ る.

公 式)  関 数u=u(t,x)がtに

い てC2級(u,∂u/∂t,∂u/∂xお

の導 関数 まで

よび ∂2u/∂x2が

よ びg=g(t,ω)は

つ い てC1級

条 件(f.1),(f.2′)お

(a.e.P),

か つxに

す べ て 連 続)で

つ

あ るとす

よび

を み た す こ と を 仮 定 す る.こ

とす る と,t0
の と き,

対 して

 (A.16)

  証 明 の 概 略 を 述 べ て お こ う.第1段 つ い て 定 数)の

場 合 を 考 え る.こ

お せ る か ら,αt=B(t)と <…<τn=t1を

ま ずf(s,ω)=f,g(s,ω)=g,((s,ω)に

の と き は,υ(t,x)=u(t,fx+gt)と

し て(A.16)を

お きな

証 明 す れ ば よ い.Δ:t0=τ0<τ1

細 分 と す る.

で あ る が,こ

こで 

と す れ ば,B(t)の

連 続 性 に よ

って,右 辺 は確 率 収 束 して,極 限 は

で あ る.こ

こ で, 

(確 率 収 束)で

あ る ことを使

っ た.

  第2段 

共 通 の 分 点 を持つVolterra型の

1,…,n),(た つFs-可

階段 関 数ki,li∈L2(Ri+)(i=

だ し,ki(ω,s,t1,…ti),li(ω,s,t1,…ti)はBs(B)と

測 と す る)に

よ っ て,f(s,ω)

,g(s,ω)が

は 独 立か

と 書 け て い る と き を 考 え る.こ t0<τj<…<τk
の と き は 区 間[t0,t1]の

間 に 落 ち る分 点 を,

し て,

を考 え れ ば, 

がFτlと

れ ぞれ の項 が第1段

独 立 で あ る ことか ら,そ

の場 合 に帰 着 され る.

  第3段  一 般 の場 合 は,第2段

で考 察 した形のfn,gnの

列 で,確 率 収 束 の

意味 で,

の よ うに近 似 で き る こ とを 使 う(第2のgに わ か る).こ

の と き,各tに

束 す る の で あ る が,そ

関 す る近 似 が で き る こ とも簡 単 に

対 し て, 

が αtに 確 率 収

れ に 伴 っ て ∂u/∂x,∂u/∂tお

よ び ∂2u/∂x2の 連 続 性 に よ

っ て,

が(A.16)の

右 辺 に 確 率 収 束 す る こ と が ,定 理A.8に

 [注 意]  この公 式 の証 明 の しか た は,Wiener積 を論 じた 補 題A.1と

本 質的 に は 同 じ も ので あ る .Hermite多

(ⅱ))が,こ の公 式 の特別 な場 合 に あ た る.なお,補題A.1か よっ て,Itoの

 [例]

公式 を導 び くこ と もで き る.

よ っ て 保証 さ れ る .

分 の 段階 でHermite多

項 式 との 関 係

項 式 の 漸化 式(命 題A .1. ら ,L2-近

似 を行 うこ とに

  Itoの

公 式 の1つ

要 なI.V.

Girsanovの

  定 理A.11-(I.V.

T>0を

の 応 用 と し て,同

等 問 題(第6章

§6.4)を

考 え る際 に 重

定 理 を 証 明 し て お こ う. Girsanov)確

率 変 数 系f=f(t,ω)がG1に

属 す る と し よ う.

固 定 した と き, 

が 条件

 (A.17)

を み た す な ら ば,P(dω)=M0,TP(dω)と

し て,

と お く と,X=(X(t),Ft;t∈[0,T])は

確 率 空 間(Ω,B,P)に

お い てBrown

運 動 で あ る.   証 明   ま ず 仮 定(A.17)に

よ っ て,{M0,t,Ft;t∈[0,T]}は

マ ルチ ンゲ ー

ル で あ る こ とに 注 意 し よ う:E[M0,T￨Ft]=M0,t  (A.18)

を 計 算 し て み る.有 界 な 確 率 変 数Fに 対 し てE(F￨Fu)=E(FMu,T￨Fu)(a.e.P お よ びa.e.P)で

が(a.e.Pお

あ る か ら,こ

よ びa.e.P)の

で あ る.な

お 

あ るが.こ

れ はE(Mu,t￨Fu)=1に

れ を 使っ て(A.18)の

意 味 で 成 立 す る.Itoの

右 辺 を 計 算 す る と,

公 式 を 用 い れ ば,

を保 証 す る必 要 が よ って 必要 な ら適 当 な増 加停 止 時点 列 を

設 定す る こ とに よ って保 証 され る.積 分 方 程式

よ り, 

(a.e.P)が

  [注 意]  E(M0,T)=1と

言 え る か ら結 果 が 得 ら れ た.

な る簡 単 な十 分 条 件 として, 

(有界)が よ く

知 られ てい る.

  付 章 の解 題   多 重Wiener積

分 の 定 義 に は い くつ か の 方 法 が あ る.N.

端 を 発 す る が,そ

こで は,polynomial

chaosと

よ ば れ て い た.K.

に は 対 称 な積 分 核 を 用 い て 定 義 さ れ て い る が,そ と 同 値 で あ る.そ

れ 以 前 にR.  を 与 え,そ

て い る.(T.

Hida(1975)参

Volterra核

を 用 い てWiener積

Cameron-W.T.

れ は §A.1で

ジ ナ ル はK.

直交 分 解

項 式 と の 関 連 を明 らか に し

照).な

お い て,対

お,§A.1に

称核 で な く て

分 を 定 義 す る こ と に し た の は,対

角 線上 の値

分 の 定 義 に 利 用 で き る か ら で あ る. Doob(1953)か

らの直

で 必 要 に な る範 囲 の記 述 に 留 め た.§A.2の2°

分 の 定 義 を 多 重Wiener積

Ito(1944)で

与え た も の

Martin(1947)は

  連 続 パ ラ メ ー タ ー の マ ル チ ン ゲ ー ル に つ い て は,J.L.

に お い てIto積

Ito(1951)

の 役 割,Hermite多

の 除 去 の 操 作 が 単 純 に な り,自 然 にIto積

接 の 展 開 に 重 点 を お き,第6章

Wiener(1938)に

分 を 用 い て 与 え た.Ito積

あ る が,現 在 で はK.

Ito(1953),

等 多 く の 書 物 で 詳 し い 知 識 を 得 る こ と が で き る.定 理A.9を 分 解 を 用 い て 示 し た の で あ る が,H.

Kunita-S.

分のオ リ

S. Watanabe(1975) こ こ で はWiener

Watanabe(1967)が2乗

可積

分 マ ル チ ン ゲ ー ル の 一 般 論 の 系 と し て 最 初 に 示 し たも の で あ る.I.V. Girsanov (1960)に Shiryaevの

定 理A.11が

与 え ら れ て い る.本

本(1974)が

例 え ばGirsanovの

参 考 に な り,新

章 を 通 じ てR.

N

し い 問 題 へ の 展 開 も な さ れ て い る.

定 理 に お け る仮 定E(M0,T)=1と

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Sh. Liptzer-A.

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引

B Brown運

動

  4,43,89

―(マ

ル チ ン ゲ ー ル と し て の) 

―(複

素) 

―(パ

ラ メ ー タ ーRの) 

44

36

Markov過 程 ―(N重) 

 41 100 ,106

M(t)-過 程   135 マ ルチ ン ゲール  19 ―(連 続 パ ラ メー ター) 

134

分 布(確 率 変 数 の)  11 ―(確 率 過 程 の)  22

―(正

則 な) 

S

D 独 立 加 法(増 分)性(Brown運 同 等(確 率 過 程 の) 

動 の) 

布

  25,31

ラ ン ダム測 度

Gauss過

程

Gauss測

度(RT上

Goursat核

Hermite多

表現

の) 

152

110

項式

平均収束

成 法) 

T-正 値性

 145

定 常Gauss過

程

H   184

重複度

  17 W

標 準 表 現(離 散 パ ラ メ ー タ ー)  39,40 ―(連 続 パ ラ メ ー タ ー)  48 ,75 K 分

Y 予 測理 論  93,123 ―(線 型)  95

  103

  52

共分散関数

Z

  11

狭 義N重Markov過

程 L

Langevin方

Wiener測 度  45 ― 空 間   45 ― 積 分   47 ,184

  191,192

  10

確 率 定 差方 程 式 決定 的

151

 75

中 心 極 限定 理

  39

確率 過 程

  50

特 異(確 率 過 程 の)  特 性 関数  12

  15

確 率(Ito)積

176

 37

 26,31,37

 

  84

  28

―(構

Gauss型

間

新 生変 数 列  39,40 スペ ク トル分 解(共 分散 の)  ―(定 常過 程 の)  60T

  1,25

Gauss型 確率 変 数 ― 系   26

再 生 核Hilbert空

―(t以 前 の張 る)  85 新生 過 程  48 ―(一 般 の場 合)  75

  152 G

Gauss分

44

線型包

151 E

エ ン トロ ピー

程式

188

19 ,188

  104

  105,117

条 件 付平 均 値  18 ― 確 率   18 純 非 決定 的(性) 

52,76,83

59

著 飛

者 田 武

幸

1927年岡崎市に生 まれ る.1952年 名古屋 大学理学部数学科卒業.愛 知学芸大学, 京都大学を経 て,現 在,名 古屋大学理学 部教授.理 学博士.

櫃

田 倍

之

1938年西宮市に生まれる.1961年 名古屋 大学理学部数学科卒 業.現 在,熊 本大学 理学部教授.理 学博士(名古屋大学).

ガ

ウ

1976年11月15日

ス  

1991年6月15日

過

程

第1刷

発行

 第3刷

発行

発行所 株式 会社 紀 東

京

都

伊 國屋 書店 新 宿

区

新

宿3-17-7

電 話   03(3354)0131(代 振 替 口 座  東 京  9-125575

表)

出 版 部(編 集)電 話 03(3439)0125 ホール セ ー ル部(営 業)電 話 03(3439)0128 東 京 都 世 田 谷 区 桜 丘 5-38-1 郵 便 番 号  156

C TAKEYUKI HIDA PRINTED IN JAPAN

&

MASUYUKI

HITSUDA, 1976

印 刷 三 和 印 刷 製 本 三 水 舎

紀伊國屋数学叢書 について

  数 学 を 学 ぶ に は い ろ い ろ の段 階 が あ るが,い ず れ の場 合 で も書 物 な ど に よっ て 自学 自習す る こ とが 最 も重要 であ り,単 に講 義 を 聞 くとい うよ うな 受 動 的 な勉 強 だ け で は,は な は だ不 十 分 で あ る.   みず か ら学 ぶ た め に現 在 い ろ い ろな 数 学 書 が 出版 され て い る.し か し, 数 学 の進 歩は極 め て基 礎 的 な考 え方 に対 して さえ常 に影 響 を与 え てお り, 従 っ て ど の よ うな段 階 の勉 強 で あ っ て も,常 に新 しい 考 え方 を理 解 す る こ とが 必 要 で あ る.こ のため に は,数 学 の 過去 と将 来 とを結 ぶ視 点 か ら 書 かれ た 書 物 が数 多 く出版 され る こ とが 望 ま しい.即 ち,新 しい 視 点 と 古 典的 な視 点 とを見 くらべ,基 本的 な こ とを も将 来 の発 展 を 考慮 した 視 点 か ら説 明す る とい う立 場 で書 かれ た 書 物 が要 望 され てい る.  本叢 書 は この よ うな要 望 に 応 え て企 画 さ れ た も ので あ っ て,各 巻 が 大 学 理 工 学 系 の専 門課 程 の学 生 ま た は大 学 院 学生 が そ れぞ れ の分 野 で の話 題,対 象 につ い て 入 門 の段 階 か ら あ る程 度 の深 さ まで 勉学 す るた め の 伴 侶 とな るこ とを 目指 し てい る.こ のた め に 我 々 は各 巻 の 話 題 の選 択 に つ い て,十 分 配 慮 し,現 代 数 学 の 発 展に とっ て重 要 で あ り,ま た既 刊 書 で 必 ず し も重 点 が置 か れ て い な い も のを 選 び,各 分 野 の 第一 線 で 活 躍 して お られ る数 学者 に執 筆 を お 願 い して い る.   学 生諸 君 お よび数 学 同 好 の方 々が,こ の 叢書 に よ って数 学 の種 々の分 野 に お け る基 本的 な考 え 方 を理 解 し,ま た基 礎 的 な 知 識 を会 得 す る こ と を 期 待 す る と と もに,更 に現 代数 学 の最 先 端へ 向か お うとす る場 合 の基 礎 ともな る こ とを望 み た い.