Теория игр для экономистов

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KZgdl I_l_j[mj] 2001

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29

29 33 37 41 47 51 56 62 69 69 70 72 74 75 78

4 1.12. ‡ ¤ ·¨ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

2. „¨­ ¬¨·¥±ª¨¥ ¨£°» ± ¯®«­®© ¨­´®°¬ ¶¨¥©

2.1. ®§¨¶¨®­­ ¿ ´®°¬  ¨£°» . . . . . . . . . . . . . 2.2. Ž¡° ²­ ¿ ¨­¤³ª¶¨¿ ¨ ª®­¥·­»¥ ¨£°» ± ±®¢¥°¸¥­­®© ¨­´®°¬ ¶¨¥© . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3. ‘®¢¥°¸¥­­®¥ ¯®¤-¨£°®¢®¥ ° ¢­®¢¥±¨¥ ¯® ½¸³ . 2.4. °¨¬¥°» . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5. ®¢²®°¿¾¹¨¥±¿ ¨£°» . . . . . . . . . . . . . . . . 2.6. ‡ ¤ ·¨ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3. ‘² ²¨·¥±ª¨¥ ¨£°» ± ­¥¯®«­®© ¨­´®°¬ ¶¨¥© 3.1. 3.2. 3.3. 3.4. 3.5.

93

93

106 109 115 120 132

139

 ©¥±®¢» ¨£°» . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139 €«¼²¥°­ ²¨¢­»© ¢§£«¿¤ ­  ±¬¥¸ ­­»¥ ±²° ²¥£¨¨ 147 ‡ ¬¥· ­¨¥ ® ª®°°¥«¨°®¢ ­­®¬ ° ¢­®¢¥±¨¨ . . . . 150 °¨¬¥°» . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153 ‡ ¤ ·¨ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158

4. „¨­ ¬¨·¥±ª¨¥ ¨£°» ± ­¥¯®«­®© ¨­´®°¬ ¶¨¥© 161 4.1. 4.2. 4.3. 4.4.

‘®¢¥°¸¥­­®¥  ©¥±®¢® ° ¢­®¢¥±¨¥ ®±«¥¤®¢ ²¥«¼­®¥ ° ¢­®¢¥±¨¥ . . . ‘¨£­ «¼­»¥ ¨£°» . . . . . . . . . . ‡ ¤ ·¨ . . . . . . . . . . . . . . . .

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161 178 181 195

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197

II

215

5.1. Ž¡³·¥­¨¥ ¨ ½¢®«¾¶¨¿ . . . . . . . . . . . . . . . . 197 5.2. ¢®«¾¶¨®­­® ³±²®©·¨¢»¥ ±²° ²¥£¨¨ . . . . . . . 206 Š®®¯¥° ²¨¢­»¥ ¨£°»

6. «¥¬¥­²» ²¥®°¨¨ ª®®¯¥° ²¨¢­»µ ¨£° 6.1. 6.2. 6.3. 6.4.

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217

218 238 245 256

5 6.5. „®¯®«­¥­¨¥. ‘³¹¥±²¢®¢ ­¨¥ ¨ ¢¥ª²®°  ˜¥¯«¨ . . . . . . . . . . 6.6. „®¯®«­¥­¨¥. ‚»¯³ª«»¥ ¨£°» . 6.7. ‡ ¤ ·¨ . . . . . . . . . . . . . .

¥¤¨­±²¢¥­­®±²¼ . . . . . . . . . . 269 . . . . . . . . . . 274 . . . . . . . . . . 280

7. Œ®¤¥«¨ ° ±¯°¥¤¥«¥­¨¿

281

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318

7.1.  ¶¨®­¨°®¢ ­¨¥ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282 7.2. Œ®¤¥«¼ ± ¯¥°¥¬¥­­®© ®²¤ ·¥© . . . . . . . . . . . 301 7.3. ‡ ¤ ·¨ ° ±¯°¥¤¥«¥­¨¿ ± ­¥®¤­®°®¤­»¬¨ ¢»¯³±ª®¬ ¨ ´ ª²®° ¬¨ ¯°®¨§¢®¤±²¢  . . . . . . . . . . 308

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2) ¤ ¥² ¢®§¬®¦­®±²¼ ¯®¤¢¥°£ ²¼ ¨­²³¨²¨¢­»¥ ¯°¥¤±² ¢«¥­¨¿ ¯°®¢¥°ª¥ ­  «®£¨·¥±ª³¾ ±®£« ±®¢ ­­®±²¼; 3) ¯®¬®£ ¥² ¯°®±«¥¤¨²¼ ¯³²¼ ®² À­ ¡«¾¤¥­¨©Á ¤® ®±­®¢®¯®« £ ¾¹¨µ ¯°¥¤¯®«®¦¥­¨© ¨ ®¡­ °³¦¨²¼, ª ª¨¥ ¨§ ¯°¥¤¯®«®¦¥­¨© ¤¥©±²¢¨²¥«¼­® «¥¦ ² ¢ ®±­®¢¥ · ±²­»µ ¢»¢®¤®¢. °¨ ½²®¬, ª ª ³¦¥ ®²¬¥· «®±¼ ¢»¸¥, ¢ ­ ±²®¿¹¨© ¬®¬¥­² ®¡« ±²¼ ¯°¨¬¥­¥­¨¿ ²¥®°¨¨ ¨£° £®° §¤® ¸¨°¥, ·¥¬ ²®«¼ª® ½ª®­®¬¨ª . °¥¤« £ ¥¬»© ¢­¨¬ ­¨¾ ·¨² ²¥«¿ ¢¢®¤­»© ª³°± ²¥®°¨¨ ¨£° ­ ¯¨± ­ ­  ®±­®¢¥ «¥ª¶¨© ¯® ²¥®°¨¨ ¨£°, ª®²®°»¥ ·¨² «¨±¼  ¢²®° ¬¨ ­  ¯°®²¿¦¥­¨¨ °¿¤  «¥² ­  ´ ª³«¼²¥²¥ ½ª®­®¬¨ª¨ …¢°®¯¥©±ª®£® ³­¨¢¥°±¨²¥²  ¢ ‘ ­ª²-¥²¥°¡³°£¥, ±²³¤¥­² ¬ ª ´¥¤°» ½ª®­®¬¨·¥±ª®© ª¨¡¥°­¥²¨ª¨ ‘ ­ª²¥²¥°¡³°£±ª®£® £®±³¤ °±²¢¥­­®£® ³­¨¢¥°±¨²¥²  ¨ ±²³¤¥­² ¬ ®¢£®°®¤±ª®£® £®±³¤ °±²¢¥­­®£® ³­¨¢¥°±¨²¥²  ¨¬¥­¨ Ÿ°®±« ¢  Œ³¤°®£®. ‚ ¤ ­­®¬ ¯®±®¡¨¨ ¬» ­¥ ±² ¢¨«¨ ¯¥°¥¤ ±®¡®© § ¤ ·³ ¤¥² «¼­®£® ¨ ´®°¬ «¼­®£® ¨§«®¦¥­¨¿ ° §«¨·­»µ  ±¯¥ª²®¢ ²¥®°¨¨ ¨£°.  ¸  £« ¢­ ¿ ¶¥«¼ ±®±²®¿«  ¢ ²®¬, ·²®¡» ¯®§­ ª®¬¨²¼ ±²³¤¥­²®¢ ½ª®­®¬¨·¥±ª¨µ ±¯¥¶¨ «¼­®±²¥© ± ®±­®¢ ¬¨ ²¥®°¨¨ ¨£°, ¯°¥¤±² ¢¨²¼ ¨¬ À¯¥°¢»© ­ ¡°®±®ª ¯ ­®° ¬­®© ª °²¨­»Á, ¯°¥¤±² ¢«¿¾¹¥© ®±­®¢­»¥ ¨¤¥¨ ¨ ¬¥²®¤» ±®¢°¥¬¥­­®© ²¥®°¨¨ ¨£°, ­  ¯°®±²»µ (¯®°®© ¤ ¦¥ ¯°¨¬¨²¨¢­»µ) ¬®¤¥«¿µ ¯°®¤¥¬®­±²°¨°®¢ ²¼ ¢®§¬®¦­®±²¨ ²¥®°¥²¨ª®-¨£°®¢®£® ¬®¤¥«¨°®¢ ­¨¿ ° §«¨·­»µ ½ª®­®¬¨·¥±ª¨µ ±¨²³ ¶¨© ¨ ¤ ²¼ ²¥¬ ± ¬»¬ ¢ °³ª¨ ª«¾· ª ¤¢¥°¨, §  ª®²®°®© ¯°®±²¨° ¥²±¿ ¸¨°®· ©¸¥¥ ¬­®£®®¡° §¨¥ ²¥®°¥²¨ª®-¨£°®¢»µ ¬®¤¥«¥©. Œ» ±®§­ ²¥«¼­® ±²°¥¬¨«¨±¼ ¬¨­¨¬¨§¨°®¢ ²¼ ´®°¬ «¨§¬, ¤®±² ²®·­® · ±²® ¨§¡¥£ ¿ ´®°¬³«¨°®¢®ª ±®®²¢¥²±²¢³¾¹¨µ ²¥®°¥¬ ¨«¨ ¨µ ¤®ª § ²¥«¼±²¢. ‚ ²® ¦¥ ¢°¥¬¿ ¢ ¤®¯®«­¨²¥«¼­»µ ° §¤¥« µ ª ­¥ª®²®°»¬ £« ¢ ¬ ¬» ¯°¨¢®¤¨¬ ¤®±² ²®·­® ¯®¤°®¡­® °¿¤ ¢ ¦­»µ, ­  ­ ¸ ¢§£«¿¤, °¥§³«¼² ²®¢, ª®²®°»¥, ¡¥§³±«®¢­®, ¡³¤³² ¯®«¥§­» ²¥¬, ª²® § µ®·¥² ¡®«¥¥ ¤¥² «¼­® À¯°®·³¢±²¢®¢ ²¼Á ¯°¥¤¬¥².

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1

„ «¥¥ ¬» ¡³¤¥¬ ±±»« ²¼±¿ ­  ½²¨ ª­¨£¨ ¡¥§ ³ª § ­¨¿ £®¤  ¨§¤ ­¨¿.

‚¢¥¤¥­¨¥ ‚ ¯®±«¥¤­¨¥ ²°¨ ¤¥±¿²¨«¥²¨¿ ­ ¡«¾¤ ¥²±¿ ±²°¥¬¨²¥«¼­®¥ ¯®¢»¸¥­¨¥ ¨­²¥°¥±  ª ²¥®°¨¨ ¨£° ¨ §­ ·¨²¥«¼­®¥ ¢®§° ±² ­¨¥ ¥¥ °®«¨. ‚® ¬­®£®¬ ½²® ®¡º¿±­¿¥²±¿ ²¥¬, ·²® ¡¥§ ­¥¥ ¢ ­ ±²®¿¹¥¥ ¢°¥¬¿ ³¦¥ ­¥¬»±«¨¬  ±®¢°¥¬¥­­ ¿ ½ª®­®¬¨·¥±ª ¿ ²¥®°¨¿, ¯°¨·¥¬ ®¡« ±²¼ ¯°¨¬¥­¥­¨¿ ²¥®°¨¨ ¨£° ¯®±²®¿­­® ° ±¸¨°¿¥²±¿. ’¥®°¨¿ ¨£° ¯°®¸«  ¯³²¼ ®² ¢¥±¼¬  ´®°¬ «¨§®¢ ­­®© ²¥®°¨¨, ¯°¥¤±² ¢«¿¢¸¥© ¨­²¥°¥± ¢ ¯¥°¢³¾ ®·¥°¥¤¼ ¤«¿ ¬ ²¥¬ ²¨ª®¢ ¨ ±² ¢¸¥© ¨±²®·­¨ª®¬ ¶¥«®£® °¿¤  ° ¡®² ·°¥§¢»· ©­® £«³¡®ª®£® ¬ ²¥¬ ²¨·¥±ª®£® ±®¤¥°¦ ­¨¿, ¤® ®¤­®£® ¨§ ¢ ¦­¥©¸¨µ ¨­±²°³¬¥­²®¢  ­ «¨§  ®£°®¬­®£® ¬­®£®®¡° §¨¿ § ¤ ·, ¢®§­¨ª ¾¹¨µ ¢ ½ª®­®¬¨ª¥, ¯®«¨²¨ª¥, ±®¶¨ «¼­»µ ­ ³ª µ ¨ ². ¤. (° §³¬¥¥²±¿, ­¥ ³²° ²¨¢ ¯°¨ ½²®¬ ±¢®¥£® ¬ ²¥¬ ²¨·¥±ª®£® ±®¤¥°¦ ­¨¿). 1. ¥°¢»¬¨ ¨±±«¥¤®¢ ­¨¿¬¨ ¨£° ¢ ½ª®­®¬¨·¥±ª®© «¨²¥° ²³°¥, ¯®-¢¨¤¨¬®¬³, ±«¥¤³¥² ±·¨² ²¼ ±² ²¼¨ Š³°­® (Cournot, 1838), ¥°²° ­  (Bertrand, 1883) ¨ ¤¦¢®°²  (Edgeworth, 1897), ¢ ª®²®°»µ ° ±±¬ ²°¨¢ «¨±¼ ¯°®¡«¥¬» ¯°®¨§¢®¤±²¢  ¨ ¶¥­®®¡° §®¢ ­¨¿ ¢ ®«¨£®¯®«¨¨. ° ¢¤ , ®­¨ ° ±±¬ ²°¨¢ «¨±¼ ²®£¤  ª ª ¢¥±¼¬  ±¯¥¶¨´¨·¥±ª¨¥ ¬®¤¥«¨ ¨ ¢ ­¥ª®²®°®¬ ±¬»±«¥ ±³¹¥±²¢¥­­® ®¯¥°¥¤¨«¨ ±¢®¥ ¢°¥¬¿. €­ «¨§ ° §«¨·­»µ ± «®­­»µ ¨£° ¯°®¢®¤¨«±¿ ¥¹¥ ¢ „°¥¢­¥¬ Š¨² ¥, ­®, ¢¨¤¨¬®, ¯¥°¢»¥ ° ¡®²», ¢ ª®²®°»µ ­ µ®¦¤¥­¨¥ ®¯²¨¬ «¼­»µ ±²° ²¥£¨© ¢ ¨£° µ ´®°¬³«¨°®¢ «®±¼ ª ª ¬ ²¥¬ ²¨·¥±ª ¿ § ¤ · , ¯®¿¢¨«¨±¼ ²®«¼ª® ¢ XVII ¢¥ª¥ (Bachet de Mezirak, Lyon, 1612). ¥°¢»¬ ±¥°¼¥§­»¬ ¬ ²¥¬ ²¨·¥±ª¨¬ 11

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‚¢¥¤¥­¨¥

°¥§³«¼² ²®¬ ¢ ½²®¬ ­ ¯° ¢«¥­¨¨ ¿¢¨« ±¼ ° ¡®²  . –¥°¬¥«® 1912 £. ÀŽ ¯°¨¬¥­¥­¨¨ ²¥®°¨¨ ¬­®¦¥±²¢ ª ¸ µ¬ ²­®© ¨£°¥Á (±¬.: Œ ²°¨·­»¥ ¨£°». ®¤. °¥¤. . . ‚®°®¡¼¥¢ , Œ., 1961. ‘. 137{153). ‚ ­¥© ®­ ¤®ª § «, ·²® ¢ ª ¦¤®© ¯®§¨¶¨¨ ¸ µ¬ ²­®© ¯ °²¨¨ ®¤¨­ ¨§ ¨£°®ª®¢ ¬®¦¥² ´®°±¨°®¢ ­­® ¢»¨£° ²¼ ¨«¨ ®¡¥±¯¥·¨²¼ ±¥¡¥ ­¨·¼¾, ¢»¡¨° ¿ À¯° ¢¨«¼­»¥Á ®²¢¥²» ­  «¾¡®© µ®¤ ¯°®²¨¢­¨ª . •®²¿ ¨¬¥­­® ½²  ° ¡®²  ±·¨² ¥²±¿ ¯¥°¢®© ° ¡®²®© ¯® ²¥®°¨¨ ¨£°, ®¡¹¥¯°¨§­ ­­»¬ À£®¤®¬ °®¦¤¥­¨¿Á ²¥®°¨¨ ¨£° ±² « 1944 £. ‚ 1944£. ¢»¸«  ¢ ±¢¥² ®±­®¢®¯®« £ ¾¹ ¿ ¬®­®£° ´¨¿ „¦®­  ´®­ ¥©¬ ­  ¨ Ž±ª °  Œ®°£¥­¸²¥°­  À’¥®°¨¿ ¨£° ¨ ½ª®­®¬¨·¥±ª®¥ ¯®¢¥¤¥­¨¥Á (von Neumann, Morgenstern, 1944), ª®²®° ¿, ¯® ±³¹¥±²¢³, § «®¦¨«  ´³­¤ ¬¥­² ®¡¹¥© ²¥®°¨¨ ¨£° ¨ ®¡®±­®¢ «  ¢®§¬®¦­®±²¼  ­ «¨§  ®£°®¬­®£® ¬ ±±¨¢  ½ª®­®¬¨·¥±ª¨µ ¢®¯°®±®¢ ± ¯®¬®¹¼¾ ²¥®°¥²¨ª®-¨£°®¢»µ ¬®¤¥«¥©. € ¢ 1950 £. „¦®­ ½¸ (¡³¤³¹¨© ®¡¥«¥¢±ª¨© « ³°¥ ² ¯® ½ª®­®¬¨ª¥ 1994 £.) ¢¢¥« ¯®­¿²¨¥ ±¨²³ ¶¨¨ ° ¢­®¢¥±¨¿, ­ §¢ ­­®© ¢¯®±«¥¤±²¢¨¨ ¥£® ¨¬¥­¥¬, ª ª ¬¥²®¤  °¥¸¥­¨© ¡¥±ª® «¨¶¨®­­»µ ¨£° (². ¥. ¨£°, ¢ ª®²®°»µ ­¥ ¤®¯³±ª ¥²±¿ ¢®§¬®¦­®±²¼ ±®§¤ ­¨¿ ª® «¨¶¨©). ‘¨²³ ¶¨¿, ®¡° §³¾¹ ¿±¿ ¢ °¥§³«¼² ²¥ ¢»¡®°  ¢±¥¬¨ ¨£°®ª ¬¨ ­¥ª®²®°»µ ±¢®¨µ ±²° ²¥£¨©, ­ §»¢ ¥²±¿ ° ¢­®¢¥±­®©, ¥±«¨ ­¨ ®¤­®¬³ ¨§ ¨£°®ª®¢ ­¥¢»£®¤­® ¨§¬¥­¿²¼ ±¢®¾ ±²° ²¥£¨¾ ¯°¨ ³±«®¢¨¨, ·²® ®±² «¼­»¥ ¨£°®ª¨ ¯°¨¤¥°¦¨¢ ¾²±¿ ° ¢­®¢¥±­»µ ±²° ²¥£¨©. ˆ¬¥­­® ° ¢­®¢¥±¨¥ ¯® ½¸³ ¨ ¥£® ¬®¤¨´¨ª ¶¨¨ ¯°¨§­ ¾²±¿ ­ ¨¡®«¥¥ ¯®¤µ®¤¿¹¨¬¨ ª®­¶¥¯¶¨¿¬¨ °¥¸¥­¨¿ ¤«¿ ² ª¨µ ¨£°. ‡  ¯°®¸¥¤¸¨¥ ± ¬®¬¥­²  ¯®¿¢«¥­¨¿ ª­¨£¨ „¦. ´®­ ¥©¬ ­  ¨ Ž. Œ®°£¥­¸²¥°­  ­¥¬­®£¨¬ ¡®«¥¥ ·¥¬ ¯®«¢¥ª  ²¥®°¨¿ ¨£° ¯°®¸«  ° §«¨·­»¥ ½² ¯» ±¢®¥£® ° §¢¨²¨¿ ¨ ¯¥°¥¦¨«  ­¥±ª®«¼ª® ¢®«­ ¨­²¥°¥±  ª ­¥©. °¨¬¥°­® 40{45 «¥² ­ § ¤ ª § «®±¼, ·²® ²¥®°¨¿ ¨£° ¤ ¥² ·°¥§¢»· ©­® ¡®«¼¸¨¥ ®¡¥¹ ­¨¿ ½ª®­®¬¨ª¥, ®¤­ ª® ½²¨ ®¡¥¹ ­¨¿, ³¢», ®ª § «¨±¼ ²®£¤  ¢® ¬­®£®¬ «¨¸¼ ®¡¥¹ ­¨¿¬¨, µ®²¿ ¢ ²® ¦¥ ¢°¥¬¿ ¡»« ¯®«³·¥­ ¶¥«»© °¿¤ ®·¥­¼ £«³¡®ª¨µ ¬ ²¥¬ ²¨·¥±ª¨µ °¥§³«¼² ²®¢, ¯°¥¤±² ¢«¿¾¹¨µ §­ ·¨²¥«¼­»© ¨­²¥°¥± ¤ ¦¥ ¢­¥ ½ª®­®¬¨·¥±ª¨µ

‚¢¥¤¥­¨¥

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¯°¨«®¦¥­¨©. 30 «¥² ­ § ¤ À²¥®°¨¾ ¨£°Á ¬®¦­® ¡»«® ­ ©²¨ ° §¢¥ «¨¸¼ ¢ ¯°¥¤¬¥²­®¬ ³ª § ²¥«¥ ­¥ª®²®°»µ ³·¥¡­¨ª®¢ ¯® ²¥®°¨¨ ®°£ ­¨§ ¶¨¨ ¯°®¬»¸«¥­­®±²¨2 ¯°¨ ° ±±¬®²°¥­¨¨ ®«¨£®¯®«¨¨ ¯® Š³°­®, ¯® ¥°²° ­³ ¨«¨ ¯® ˜² ª¥«¼¡¥°£³. Ž¤­ ª® §  ¯®±«¥¤­¨¥ 20{25 «¥² ¯°®¨§®¸¥« £¨£ ­²±ª¨© ¸ £ ¢¯¥°¥¤, ¨ ²¥¯¥°¼ ¢°¿¤ «¨ ¬®¦­® ­ ©²¨ ®¡« ±²¼ ½ª®­®¬¨ª¨ ¨«¨ ¤¨±¶¨¯«¨­», ±¢¿§ ­­®© ± ½ª®­®¬¨ª®©, ² ª®©, ±ª ¦¥¬, ª ª ´¨­ ­±», ¬ °ª¥²¨­£ ¨ ². ¤., ¢ ª®²®°»µ ®±­®¢­»¥ ª®­¶¥¯¶¨¨ ²¥®°¨¨ ¨£° ­¥ ¡»«¨ ¡» ¯°®±²® ­¥®¡µ®¤¨¬»¬¨ ¤«¿ ¯®­¨¬ ­¨¿ ±®¢°¥¬¥­­®© «¨²¥° ²³°». ‘°¥¤¨ ¬­®£®·¨±«¥­­»µ ®¯°¥¤¥«¥­¨© ²®£®, ·²® ¥±²¼ ²¥®°¨¿ ¨£° ¨ ª ª®¢» ¥¥ § ¤ ·¨, ª®²®°»¥ ¬®¦­® ­ ©²¨ ¢ ° §«¨·­»µ ±² ²¼¿µ, ³·¥¡­¨ª µ ¨ ¬®­®£° ´¨¿µ (±¬., ­ ¯°¨¬¥°, ‚®°®¡¼¥¢, 1984, 1985; Aumann, 1989; Dixit, Nalebu, 1991; Fudenberg, Tirole, 1992; Myerson, 1991; Rasmussen, 1989 ¨ ¬­®£¨¥ ¤°³£¨¥), ³¯®¬¿­¥¬ «¨¸¼ ·¥²»°¥. ¥°¢»¥ ¤¢  | ½²® ®¯°¥¤¥«¥­¨¿ ²¥®°¨¨ ¨£°, ª®²®°»¥ ± ­¥ª®²®°»¬¨ ¢ °¨ ¶¨¿¬¨, ¯®-¢¨¤¨¬®¬³, ­ ¨¡®«¥¥ · ±²® ¢±²°¥· ¾²±¿ ¢ «¨²¥° ²³°¥ ¨ ¤®±² ²®·­® ²®·­® µ ° ª²¥°¨§³¾² ®¡¹³¾ ¯°®¡«¥¬ ²¨ª³, ®µ¢ ²»¢ ¥¬³¾ ²¥®°¨¥© ¨£°: À’¥®°¨¿ ¨£° | ½²® ²¥®°¨¿ ° ¶¨®­ «¼­®£® ¯®¢¥¤¥­¨¿ «¾¤¥© ± ­¥±®¢¯ ¤ ¾¹¨¬¨ ¨­²¥°¥± ¬¨Á (Aumann, 1989), ¨ À’¥®°¨¿ ¨£° | ­ ³ª  ® ±²° ²¥£¨·¥±ª®¬ ¬»¸«¥­¨¨Á (Dixit, Nalebu, 1991). ’°¥²¼¥ ¯®¤·¥°ª¨¢ ¥² ¬ ²¥¬ ²¨·¥±ª³¾ ¯°¨°®¤³ ²¥®°¨¨ ¨£°: À’¥®°¨¿ ¨£° | ½²® ²¥®°¨¿ ¬ ²¥¬ ²¨·¥±ª¨µ ¬®¤¥«¥© ¯°¨­¿²¨¿ ®¯²¨¬ «¼­»µ °¥¸¥­¨© ¢ ³±«®¢¨¿µ ª®­´«¨ª²®¢Á (‚®°®¡¼¥¢, 1984).  ª®­¥¶, ·¥²¢¥°²®¥ ®¯°¥¤¥«¥­¨¥ ¢»¤¥«¿¥² °®«¼ ²¥®°¨¨ ¨£° ¨¬¥­­® ¢ ½ª®­®¬¨·¥±ª®¬ ¬®¤¥«¨°®¢ ­¨¨: À‘³²¼ ²¥®°¨¨ ¨£° ¢ ²®¬, ·²®¡» ¯®¬®·¼ ½ª®­®¬¨±² ¬ ¯®­¨¬ ²¼ ¨ ¯°¥¤±ª §»¢ ²¼ ²®, ·²® ¡³¤¥² ¯°®¨±µ®¤¨²¼ ¢ ½ª®­®¬¨·¥±ª®¬ ª®­²¥ª±²¥Á (Kreps, 1990). ‚ ­ ±²®¿¹¨© ¬®¬¥­², ‚  ­£«®¿§»·­®© «¨²¥° ²³°¥ ®¡¹¥¯°¨­¿²»¬¨ ¿¢«¿¾²±¿ ­ §¢ ­¨¿ Industrial Organization ¨«¨ Industrial Economics. ‘®®²¢¥²±²¢³¾¹¨¥ °³±±ª¨¥ ­ §¢ ­¨¿ ª³°±®¢ | ½²® ³¦¥ ³¯®¬¿­³² ¿ ²¥®°¨¿ ®°£ ­¨§ ¶¨¨ ¯°®¬»¸«¥­­®±²¨, ±²°³ª²³°  ®²° ±«¥¢»µ °»­ª®¢, ²¥®°¨¿ ®°£ ­¨§ ¶¨¨ ®²° ±«¥¢»µ °»­ª®¢ ¨ ¤°³£¨¥. ‡¤¥±¼ ¨ ¤ «¥¥ ¬» ¡³¤¥¬ ¢ ±­®±ª µ ³ª §»¢ ²¼  ­£«¨©±ª¨¥ ±®®²¢¥²±²¢¨¿ ®±­®¢­»¬ ¨±¯®«¼§³¥¬»¬ ¯®­¿²¨¿¬. 2

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‚¢¥¤¥­¨¥

¥±«¨ £®¢®°¨²¼ ®¡ ½ª®­®¬¨·¥±ª®¬ ª®­²¥ª±²¥, °¥·¼ ¨¤¥² ³¦¥ ­¥ ²®«¼ª® ® ¯°¨¬¥­¥­¨¨ ²¥®°¥²¨ª®-¨£°®¢»µ ¬¥²®¤®¢ ª ±² ¢¸¨¬ ¤®±² ²®·­® ²° ¤¨¶¨®­­»¬¨ ¯°®¡«¥¬ ¬ ®°£ ­¨§ ¶¨¨ ¯°®¬»¸«¥­­®±²¨, ­® ¨, ¯® ±³²¨ ¤¥« , ª® ¢±¥¬³ ¬­®£®®¡° §¨¾ ½ª®­®¬¨·¥±ª®© ¯°®¡«¥¬ ²¨ª¨. ’ ª, ­ ¯°¨¬¥°, ­  ¬¨ª°®³°®¢­¥ | ½²® ¬®¤¥«¨ ¯°®¶¥±±  ²®°£®¢«¨ (¬®¤¥«¨ ²®°£ , ¬®¤¥«¨  ³ª¶¨®­®¢).   ¯°®¬¥¦³²®·­®¬ ³°®¢­¥  £°¥£ ¶¨¨ ¨§³· ¾²±¿ ²¥®°¥²¨ª®¨£°®¢»¥ ¬®¤¥«¨ ¯®¢¥¤¥­¨¿ ´¨°¬ ­  °»­ª µ ´ ª²®°®¢ ¯°®¨§¢®¤±²¢  (  ­¥ ²®«¼ª® ­  °»­ª¥ £®²®¢®© ¯°®¤³ª¶¨¨, ª ª ¢ ®«¨£®¯®«¨¨). ’¥®°¥²¨ª®-¨£°®¢»¥ ¬®¤¥«¨ ¢®§­¨ª ¾² ¢ ±¢¿§¨ ± ° §«¨·­»¬¨ ¯°®¡«¥¬ ¬¨ ¢­³²°¨ ´¨°¬».  ª®­¥¶, ­  ¢»±®ª®¬ ³°®¢­¥  £°¥£ ¶¨¨, ± ¬¥¦¤³­ °®¤­®© ½ª®­®¬¨ª®© ±¢¿§ ­» ¬®¤¥«¨ ª®­ª³°¥­¶¨¨ ±²° ­ ¯® ¯®¢®¤³ ² °¨´®¢ ¨ ²®°£®¢®© ¯®«¨²¨ª¨,   ¬ ª°®½ª®­®¬¨ª  ¢ª«¾· ¥² ¬®¤¥«¨, ¢ ª®²®°»µ, ¢ · ±²­®±²¨, ±²° ²¥£¨·¥±ª®¥ ¢§ ¨¬®¤¥©±²¢¨¥ ° ±±¬ ²°¨¢ ¥²±¿ ¢ ª®­²¥ª±²¥ ¬®­¥² °­®© ¯®«¨²¨ª¨. À€¯¯ ° ² ²¥®°¨¨ ° ¢­®¢¥±¨¿ ¨ ²¥®°¨¨ ¨£° ¯®±«³¦¨« ®±­®¢®© ¤«¿ ±®§¤ ­¨¿ ±®¢°¥¬¥­­»µ ²¥®°¨© ¬¥¦¤³­ °®¤­®© ²®°£®¢«¨, ­ «®£®®¡«®¦¥­¨¿, ®¡¹¥±²¢¥­­»µ ¡« £, ¬®­¥² °­®© ½ª®­®¬¨ª¨, ²¥®°¨¨ ¯°®¨§¢®¤±²¢¥­­»µ ®°£ ­¨§ ¶¨©Á (®«²¥°®¢¨·, 1997, ±. 11).  §³¬¥¥²±¿, ±«¥¤³¥² ¨¬¥²¼ ¢ ¢¨¤³, ·²® ¢ ­ ±²®¿¹¨© ¬®¬¥­² ®¡« ±²¼ ¯°¨¬¥­¥­¨¿ ²¥®°¨¨ ¨£° £®° §¤® ¸¨°¥, ­¥¦¥«¨ ²®«¼ª® ½ª®­®¬¨·¥±ª¨© ª®­²¥ª±² (ª®²®°»© ¤«¿ ­ ± ¯°¥¤±² ¢«¿¥², ¥±²¥±²¢¥­­®, ®±®¡»© ¨­²¥°¥±). ²® ¯®«¨²¨·¥±ª¨© ¨ ±®¶¨ «¼­»© ª®­²¥ª±²», ¡¨®«®£¨¿ ¨ ¢®¥­­®¥ ¤¥«®, ¨ ¬­®£®¥ ¤°³£®¥ (±¬., ­ ¯°¨¬¥°, „¾¡¨­, ‘³§¤ «¼, 1981; Shubik, 1984; Moulin, 1983, 1986; Ordeshook, 1986; Rawls, 1971; Maynard, Smith 1974 ¨ ¤°.). ‘ª ¦¥¬, ²¥®°¥²¨ª®-¨£°®¢®© ¯®¤µ®¤ ª ¨§³·¥­¨¾ ´®°¬¨°®¢ ­¨¿ ª® «¨¶¨© | ½²® ³¦¥ ±¢®¥£® °®¤  ²° ¤¨¶¨¿ ¢ ±®¶¨ «¼­»µ ¨ ¯®«¨²¨·¥±ª¨µ ­ ³ª µ (±¬., ­ ¯°¨¬¥°, Riker, 1962; Riker, Ordeshook, 1973; De Swan, 1973; Ordeshook, 1978, 1992; Van Deemen, 1997). ‡¤¥±¼ ¦¥ ±«¥¤³¥² ³¯®¬¿­³²¼, ­ ¯°¨¬¥°, ª­¨£³ ÀGame Theory and the LawÁ (D. Baird, R. Gertner, C. Picker, 1994), ¢ ª®²®°®©  ¯¯ ° ² ²¥®°¨¨ ¨£° ¢¯¥°¢»¥ ¯°¨¬¥­¿¥²±¿ ª  ­ «¨§³ ²®£®, ª ª § ª®­» ¢«¨¿¾² ­  ¯®¢¥¤¥­¨¥ «¾¤¥©, ¯ °²¨© ¨ ². ¤.

‚¢¥¤¥­¨¥

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2. ’¥®°¨¿ ¨£° ¤¥«¨²±¿ ­  ¤¢¥ ±®±² ¢­»¥ · ±²¨: ®¤­  | ½²® ²¥®°¨¿ ¡¥±ª® «¨¶¨®­­»µ (­¥ª®®¯¥° ²¨¢­»µ) ¨£°,   ¢²®° ¿ | ²¥®°¨¿ ª®®¯¥° ²¨¢­»µ ¨£°. ²® ¡ §®¢®¥ ¤¥«¥­¨¥, µ®²¿ ¯®¤· ± ®­® ¤®±² ²®·­® ° ±¯«»¢· ²®, ®±­®¢ ­® ­  ²®¬, ·²® ¢ ¡¥±ª® «¨¶¨®­­®© ²¥®°¨¨ ®±­®¢­®© ¥¤¨­¨¶¥©  ­ «¨§  ¿¢«¿¥²±¿ (° ¶¨®­ «¼­»©) ¨­¤¨¢¨¤³ «¼­»© ³· ±²­¨ª, ª®²®°»© ±² ° ¥²±¿ ±¤¥« ²¼ À¬ ª±¨¬ «¼­® µ®°®¸®Á ±¥¡¥ ¢ ±®®²¢¥²±²¢¨¨ ± ·¥²ª® ®¯°¥¤¥«¥­­»¬¨ ¯° ¢¨« ¬¨ ¨ ¢®§¬®¦­®±²¿¬¨. …±«¨ ¯°®¨±µ®¤¨² ² ª, ·²® ¨­¤¨¢¨¤» ¯°¥¤¯°¨­¨¬ ¾² ¤¥©±²¢¨¿, ª®²®°»¥ ¬®¦­® ¡»«® ¡» ° ±¶¥­¨²¼ ª ª Àª®®¯¥° ¶¨¾Á ¢ ®¡»·­®¬ ±¬»±«¥ ½²®£® ±«®¢ , ²® ½²® ¤¥« ¥²±¿ ¯®²®¬³, ·²® ² ª®¥ ª®®¯¥° ²¨¢­®¥ ¯®¢¥¤¥­¨¥ ®ª §»¢ ¥²±¿ ¢ ¨­²¥°¥± µ ª ¦¤®£® ¨§ ¨­¤¨¢¨¤®¢: ª ¦¤»© ®¯ ± ¥²±¿ À° ±¯« ²»Á ¢ ±«³· ¥ ­ °³¸¥­¨¿ ª®®¯¥° ¶¨¨ (ª ª ½²® ¯°®¨±µ®¤¨², ­ ¯°¨¬¥°, ¢ ¯®¢²®°¿¾¹¨µ±¿ ¨£° µ). ‚ ¯°®²¨¢®¯®«®¦­®±²¼ ½²®¬³, ¢ ²¥®°¨¨ ª®®¯¥° ²¨¢­»µ ¨£° ®±­®¢­ ¿ ¥¤¨­¨¶   ­ «¨§  | ½²®, ª ª ¯° ¢¨«®, £°³¯¯  ³· ±²­¨ª®¢, ¨«¨ ª® «¨¶¨¿; ¥±«¨ ¨£°  ®¯°¥¤¥«¥­ , ²® · ±²¼¾ ½²®£® ®¯°¥¤¥«¥­¨¿ ¿¢«¿¥²±¿ ®¯¨± ­¨¥ ²®£®, ·²® ª ¦¤ ¿ ª® «¨¶¨¿ ¨£°®ª®¢ ¬®¦¥² ¯®«³·¨²¼ (·¥£® ®­  ¬®¦¥² ¤®±²¨·¼), ¡¥§ ³ª § ­¨¿ ­  ²®, ª ª ¨±µ®¤» ¨«¨ °¥§³«¼² ²» ¡³¤³² ¢«¨¿²¼ ­  ª®­ª°¥²­³¾ ª® «¨¶¨¾. Ž¤­ ª® ½²® ¤¥«¥­¨¥ ­¨ ¢ ª®¥¬ ±«³· ¥ ­¥ ±«¥¤³¥² ° ±±¬ ²°¨¢ ²¼ ª ª ¨±ª«¾· ¾¹¥¥: ª®®¯¥° ²¨¢­»© ¨ ¡¥±ª® «¨¶¨®­­»© ¯®¤µ®¤» | ½²®, ¥±«¨ ³£®¤­®, ¤¢  ¢§£«¿¤  ­  ®¤­³ ¨ ²³ ¦¥ ¯°®¡«¥¬³. Š ª ®¡° §­® § ¬¥²¨« ˆ. ®§¥­¬¾««¥°, ¨£°  | ½²® À¨¤¥ «Á, ¤¢³¬¿ À²¥­¿¬¨Á ª®²®°®£® ¿¢«¿¾²±¿ ª®®¯¥° ²¨¢­»© ¨ ¡¥±ª® «¨¶¨®­­»© ¯®¤µ®¤». ¥±ª® «¨¶¨®­­ ¿ ²¥®°¨¿ ±²° ²¥£¨·¥±ª¨ ®°¨¥­²¨°®¢ ­ . Ž­  ¨§³· ¥² ²®, ·²®, ª ª ¬» ®¦¨¤ ¥¬, ¡³¤³² ¤¥« ²¼ ¨£°®ª¨ ¢ ¨£°¥. Š®®¯¥° ²¨¢­ ¿ ²¥®°¨¿, ± ¤°³£®© ±²®°®­», ¨§³· ¥² ¨±µ®¤», ª®²®°»¥ ¬» ®¦¨¤ ¥¬ (±¬. Aumann, 1997). °¨ ª®®¯¥° ²¨¢­®¬ ¯®¤µ®¤¥ ¬» ±¬®²°¨¬ ­¥¯®±°¥¤±²¢¥­­® ­  ¯°®±²° ­±²¢® ¨±µ®¤®¢,   ­¥ ­  ²®, ª ª¨¬ ®¡° §®¬ ®­¨ ¡»«¨ ¤®±²¨£­³²». ¥±ª® «¨¶¨®­­ ¿ ²¥®°¨¿ | ½²® ±¢®¥£® °®¤  ¬¨ª°®²¥®°¨¿; ®­  ¢ª«¾· ¥² ¤¥² «¼­®¥ ®¯¨± ­¨¥ ²®£®,

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‚¢¥¤¥­¨¥

·²® ¯°®¨±µ®¤¨². ‚ ª®®¯¥° ²¨¢­®© ²¥®°¨¨ ­ ± ¨­²¥°¥±³¥² ²®, ·¥£® ¨£°®ª¨ ¬®£³² ¤®±²¨·¼, ²® ¥±²¼ ¢±¥ ¯®²¥­¶¨ «¼­® ¢®§¬®¦­»¥ (¤®¯³±²¨¬»¥) ¨±µ®¤»3 . ‡¤¥±¼ ¯°¨­¨¬ ¥²±¿ ¢® ¢­¨¬ ­¨¥ ¢±¥, ·²® ¨£°®ª¨ ¬®£³² ¯®«³·¨²¼, ¤ ¦¥ ¥±«¨ ³ ­¨µ ­¥² ±®®²¢¥²±²¢³¾¹¨µ ¯®¡³¤¨²¥«¼­»µ ¬®²¨¢®¢. ˆ£°®ª¨ ¬®£³² ¢±²³¯ ²¼ ¢ ª® «¨¶¨¾ ¨ ¤®£®¢ °¨¢ ²¼±¿ ® ±®¢¬¥±²­»µ ¤¥©±²¢¨¿µ,   §­ ·¨², ¨ ®²­®±¨²¥«¼­® ¨±µ®¤®¢; ¯°¥¤¯®« £ ¥²±¿, ·²® ¨£°®ª¨ ¤®«¦­» ±®¡«¾¤ ²¼ ±¢®¨ ®¡¿§ ²¥«¼±²¢ . Œ» ¬®¦¥¬ ¯°¥¤¯®« £ ²¼, ·²® ±³¹¥±²¢³¥² ­¥ª¨© ¬¥µ ­¨§¬ ²¨¯  ±³¤ , ª®²®°»© ´®°±¨°³¥² ¢»¯®«­¥­¨¥ ª®­²° ª²®¢, ² ª ·²® ¤®«¦­» ¡»²¼ ° ±±¬®²°¥­» ¢±¥ ¢®§¬®¦­»¥ ¨±µ®¤». ˆ¤¥¿ ¯°®²¨¢®¯®±² ¢«¥­¨¿ ª®®¯¥° ²¨¢­®£® ¨ ¡¥±ª® «¨¶¨®­­®£® ®²­®±¨²±¿ ª ­ · «³ 50-µ £®¤®¢, ®¤­ ª® ª ª®­¶³ 60-µ £®¤®¢ ½²® ¯°®²¨¢®¯®±² ¢«¥­¨¥ ­ · «® ±£« ¦¨¢ ²¼±¿. ˆ ¥±«¨ ¡¥±ª® «¨¶¨®­­»© ¯®¤µ®¤ ¬®¦­® ±° ¢­¨¢ ²¼ ± ¬¨ª°®²¥®°¨¥©, ²® ª®®¯¥° ²¨¢­»© (ª® «¨¶¨®­­»©) ¯®¤µ®¤ ¨§³· ¥² ¨£°» ± À¬ ª°®Á ²®·ª¨ §°¥­¨¿, ´®ª³±¨°³¾¹¥©±¿ ­  ¢®§¬®¦­»µ ¨±µ®¤ µ, ª®²®°»¥ ¬®¦­® ¯®«³·¨²¼ ¯°¨ ®¡¿§»¢ ¾¹¨µ ±®£« ¸¥­¨¿µ. ®«¥¥ ²®£®, ¢ ¯®±«¥¤­¥¥ ¢°¥¬¿ ¯®¿¢«¿¥²±¿ ¢±¥ ¡®«¼¸¥¥ ·¨±«® ° ¡®², À­ ¢®¤¿¹¨µ ¬®±²»Á ¬¥¦¤³ ¡¥±ª® «¨¶¨®­­®© ¨ ª®®¯¥° ²¨¢­®© ²¥®°¨¥© (±¬., ­ ¯°¨¬¥°, Gul, 1989; Greenberg, 1997; Hart, Mas-Colell, 1995; Mas-Colell, 1997; Reny, 1997; Vohra, 1997). 3. Ž±² ­®¢¨¬±¿ ²¥¯¥°¼ ·³²¼ ¯®¤°®¡­¥¥ ­  ¯°®¡«¥¬ µ ¯°¨«®¦¥­¨¿ ¡¥±ª® «¨¶¨®­­»µ ¨£°, ª®²®°»¥ ª ­ ±²®¿¹¥¬³ ¢°¥¬¥­¨ § ­¨¬ ¾², ¯®¦ «³©, ¡®«¼¸¥¥ ¬¥±²® ¢ ½ª®­®¬¨·¥±ª®¬ ¬®¤¥«¨°®¢ ­¨¨4 . (Œ» ­¥ ¯°¨¢®¤¨¬ §¤¥±¼ ´®°¬ «¼­»¥ ®¯°¥¤¥«¥­¨¿, ª®²®°»¥ ¡³¤³² ¤ ­» ­¨¦¥,   ­  ¨­²³¨²¨¢­®¬ ³°®¢­¥ ¯°®ª®¬¬¥­²¨°³¥¬ «¨¸¼ ­¥ª®²®°»¥ ¬®¬¥­²».) ¥±ª® «¨¶¨®­­ ¿ ²¥®°¨¿ ¨£° | ½²® ±¯®±®¡ ¬®¤¥«¨°®¢ ­¨¿ ¨  ­ «¨§  ±¨²³ ¶¨©, ¢ ª®²®°»µ ®¯²¨¬ «¼­®¥ °¥¸¥­¨¥ ª ¦¤®£® ¨£°®ª  § ¢¨±¨² ®² ¥£® ¯°¥¤±² ¢«¥­¨© ¨«¨ ®¦¨¤ ­¨© ®² ¤¥©Feasible outcomes. °¨«®¦¥­¨¿ ª®®¯¥° ²¨¢­»µ ¨£° ¬» ¤®±² ²®·­® ¯®¤°®¡­® ° ±±¬®²°¨¬ ¢ £«. 6 ¨ 7. 3 4

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‚¢¥¤¥­¨¥

±²¢¨© (¨£°») ¥£® ®¯¯®­¥­²®¢ (¯ °²­¥°®¢). ‚ ¦­¥©¸¥© ·¥°²®© ½²®© ²¥®°¨¨ ¿¢«¿¥²±¿ ²®, ·²® ®­  À­ ±² ¨¢ ¥²Á ­  ²®¬, ·²® ¨£°®ª¨ ­¥ ¤®«¦­» ¨¬¥²¼ ¯°®¨§¢®«¼­»µ ¯°¥¤±² ¢«¥­¨© ®²­®±¨²¥«¼­® ¨£°» ±¢®¨µ ®¯¯®­¥­²®¢.  ¯°®²¨¢, ª ¦¤»© ¨£°®ª ¤®«¦¥­ ¯»² ²¼±¿ ¯°¥¤±ª § ²¼ ¨£°³ ±¢®¨µ ®¯¯®­¥­²®¢, ¨±¯®«¼§³¿ ±¢®¥ §­ ­¨¥ ¯° ¢¨« ¨£°» ¨ ¯°¥¤¯®«®¦¥­¨¥, ·²® ¥£® ®¯¯®­¥­²» ° ¶¨®­ «¼­» ¨ ¯®½²®¬³ ¯»² ¾²±¿ ±¤¥« ²¼ ±¢®¨ ¯°¥¤±ª § ­¨¿ ¨ ¬ ª±¨¬¨§¨°®¢ ²¼ ±¢®¨ ¢»¨£°»¸¨.  ¯®¬­¨¬, ·²® ¶¥«¼ ²¥®°¨¨ ¨£° | ¯®¬®·¼ ­ ¬ ¯®­¨¬ ²¼ ¨ ¯°¥¤±ª §»¢ ²¼ ½ª®­®¬¨·¥±ª¨¥ ´¥­®¬¥­». …±«¨ ¯°¨¬¥­¨¬ ª°¨²¥°¨© ¤®¬¨­¨°®¢ ­¨¿, ²® ±¢®¥£® °®¤  ­¥£« ±­»¬ ±®£« ¸¥­¨¥¬ ¿¢«¿¥²±¿ ²®, ·²®  £¥­²» ­¥ ¡³¤³² ¢»¡¨° ²¼ ±²° ²¥£¨¨, ª®²®°»¥ ¿¢«¿¾²±¿ ¤®¬¨­¨°³¥¬»¬¨ (². ¥. ²¥ ±²° ²¥£¨¨, ª®²®°»¥ µ³¦¥). ˆ ¤® ²¥µ ¯®°, ¯®ª  ¬» ¨±µ®¤¨¬ ¨§ ±¯° ¢¥¤«¨¢®±²¨ ½²®© £¨¯®²¥§», ª°¨²¥°¨© ¤®¬¨­¨°®¢ ­¨¿ ¤ ¥² ·¥²ª¨© ¯³²¼ ¤«¿ ¯°¥¤±ª § ­¨©. ‘ ° ¢­®¢¥±¨¥¬ ¯® ½¸³, ª ±®¦ «¥­¨¾, ¢±¥ ®¡±²®¨² ­¥±ª®«¼ª® µ³¦¥. ‚ ­¥ª®²®°»µ ±¨²³ ¶¨¿µ ¤®±² ²®·­® ®·¥¢¨¤¥­ ­¥ª®²®°»© ¢¯®«­¥ ®¯°¥¤¥«¥­­»© ±¯®±®¡ ¤¥©±²¢¨¿. l 1

u

2

0,0

r 2,2

d 10,11 -1,1 A

l 1

2

r

u 0,1 5,4 d 3,6 {1,0 B

 ±±¬®²°¨¬ ¤¢¥ ¯°¨¢¥¤¥­­»¥ ² ¡«¨¶», ¨£°®¢®© ±¬»±« ª®²®°»µ ±®±²®¨² ¢ ±«¥¤³¾¹¥¬. “ ¯¥°¢®£® ¨£°®ª  (¨£°®ª 1) ¥±²¼ ¢®§¬®¦­®±²¼ ¢»¡° ²¼ «¨¡® ±²° ²¥£¨¾ (µ®¤) u (¯¥°¢ ¿ ±²°®ª ), «¨¡® ±²° ²¥£¨¾ d (¢²®° ¿ ±²°®ª ). ‚²®°®© ¨£°®ª (¨£°®ª 2) ¬®¦¥² ¢»¡° ²¼ «¨¡® ±²° ²¥£¨¾ l (¯¥°¢»© ±²®«¡¥¶), «¨¡®

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‚¢¥¤¥­¨¥

±²° ²¥£¨¾ r (¢²®°®© ±²®«¡¥¶). Ž­¨ ¤¥« ¾² ±¢®¨ µ®¤» ®¤­®¢°¥¬¥­­® ¨ ­¥§ ¢¨±¨¬®. ®±«¥ ½²®£® ®­¨ ¯®«³· ¾² ±¢®¨ ¢»¨£°»¸¨, ª®²®°»¥ ³ª § ­» ¢ ±®®²¢¥²±²¢³¾¹¨µ ª«¥²ª µ: ¥±«¨, ­ ¯°¨¬¥°, ¨£°®ª 1 ¢»¡° « u ,   ¨£°®ª 2 ¢»¡° « r , ²® ¢ ±«³· ¥ A ®¡  ®­¨ ¯®«³· ² ¯® 2 °³¡«¿ (¤®«« ° , ´³­²  ¨ ¯°.),   ¢ ±«³· ¥ B | ¯¥°¢»© ¯®«³·¨² 5,   ¢²®°®© 4. ‚ ±«³· ¥ A , ¯®-¢¨¤¨¬®¬³, ±®¢¥°¸¥­­® ®·¥¢¨¤­®, ·²® À¨£° ²¼Á ­ ¤® «¥¢³¾ ­¨¦­¾¾ ª«¥²ª³ (². ¥. ¢»¡¨° ²¼, ±®®²¢¥²±²¢¥­­®, d ¨ l ), ²®£¤  ª ª ±®¢¥°¸¥­­® ­¥ ¯®­¿²­®, ·²® ­³¦­® ¨£° ²¼ ¢® ¢²®°®¬ ±«³· ¥. ˆ ®¤­  ¨§ ¢®§¬®¦­®±²¥© ±®±²®¨² ¢ ° §°¥¸¥­¨¨ ¯°¥¤¢ °¨²¥«¼­»µ ¯¥°¥£®¢®°®¢. ® ¥±«¨ ¡» ¯®­¿²¨¥ ° ¢­®¢¥±¨¿ ¯® ½¸³ ¬®¦­® ¡»«® ®¯° ¢¤ ²¼,  ¯¥««¨°³¿ ²®«¼ª® ª ¯°¥¤¢ °¨²¥«¼­»¬ ¯¥°¥£®¢®° ¬, ²® ¶¥­­®±²¼ ½²®£® ¯®­¿²¨¿ ¡»«  ¡» ¤®±² ²®·­® ­¨§ª®©, ¯®±ª®«¼ª³ ¶¥­²° «¼­»¬ ±² ­®¢¨«±¿ ¡» ¢®¯°®± ® À±¨«¥ ¤®£®¢®°¥­­®±²¨Á. Ž¤­ ª® À®¯° ¢¤ ­¨¥Á ° ¢­®¢¥±¨¿ ¯® ½¸³ ¨±µ®¤¨² ¨§ °¿¤  ¤°³£¨µ ±®®¡° ¦¥­¨©, ­  ª®²®°»µ ¬» ®±² ­®¢¨¬±¿, ¢ · ±²­®±²¨, ¢ £« ¢¥ 1. Œ» ­¥ ¡³¤¥¬ ¯»² ²¼±¿ ¯°¨¢®¤¨²¼ ±«®¦­»¥ ¬®¤¥«¨,   «¨¸¼ ³¯®¬¿­¥¬ ­¥ª®²®°»¥ ¢®§¬®¦­»¥ ¯°¨«®¦¥­¨¿.  ±±¬®²°¨¬ ±«¥¤³¾¹³¾ ¨£°³: l 1

2

r

u 5,5 {1,6 d 6,{1 0,0

‘¨²³ ¶¨¨ ¯®¤®¡­®£® °®¤  ¤®±² ²®·­® · ±²® ¢®§­¨ª ¾² ¢ ½ª®­®¬¨·¥±ª¨µ ° ±±¬®²°¥­¨¿µ. °¥¤±² ¢¨¬ ±¥¡¥, ­ ¯°¨¬¥°, ¤¢¥ ´¨°¬», ¯°®¤ ¾¹¨¥ ®¤¨­ ¨ ²®² ¦¥ (²®·­¥¥, ®¤­®°®¤­»©) ¯°®¤³ª². Š ¦¤ ¿ ¨§ ´¨°¬ ¬®¦¥² °¥ª« ¬¨°®¢ ²¼ ±¢®© ²®¢ °, ±ª ¦¥¬ ¯°¥¤« £ ¿ ¥£® ­  ° ±¯°®¤ ¦¥, ·²® ¬®¦¥² ³¢¥«¨·¨²¼ ¥¥ ¯°¨¡»«¼ ¨ ³¬¥­¼¸¨²¼ ¯°¨¡»«¼ ª®­ª³°¥­²  ¯°¨ ¤ ­­®¬

‚¢¥¤¥­¨¥

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´¨ª±¨°®¢ ­­®¬ ±¯®±®¡¥ ¤¥©±²¢¨¿ ª®­ª³°¥­² . …±«¨ ®¡¥ ´¨°¬» °¥ª« ¬¨°³¾², ²® ·¨±² ¿ ¯°¨¡»«¼ ª ¦¤®£® ¨§ ª®­ª³°¥­²®¢ ¬®¦¥² ³¬¥­¼¸¨²¼±¿. (°¨¬¥° ² ª®£® °®¤  ±¨²³ ¶¨¨ ¤ ¥² ª®­ª³°¥­¶¨¿ ¬¥¦¤³ Airbus ¨ Boeing. •®²¿ °¥ª« ¬  ¢ ½²®¬ ±«³· ¥ ­¥ ¡»«  ±³¹¥±²¢¥­­»¬ ½«¥¬¥­²®¬, ¢ ²® ¦¥ ¢°¥¬¿ ¶¥­®¢»¥ ³±²³¯ª¨ ¨£° «¨ ¢ ¦­³¾ °®«¼.) ‚²®°®£® °®¤  ¯°¨¬¥° | ¤¢¥ ±²° ­», ¿¢«¿¾¹¨¥±¿ ²®°£®¢»¬¨ ¯ °²­¥° ¬¨. Š ¦¤ ¿ ¨§ ±²° ­ ¬®¦¥² ¨±¯®«¼§®¢ ²¼ ° §«¨·­»¥ ¢¨¤» ¯°®²¥ª¶¨®­¨±²±ª¨µ ¬¥°, ·²® ¢ °¿¤¥ ±«³· ¥¢ ¬®¦¥² ¯°¨¢®¤¨²¼ ª ¢»£®¤¥ ±¢®¥© ±²° ­», ¯°¨ ¤ ­­»µ ´¨ª±¨°®¢ ­­»µ ¤¥©±²¢¨¿µ ¢²®°®© ±²° ­». …±«¨ ®¡¥ ±²° ­» § ­¨¬ ¾²±¿ ¯°®²¥ª¶¨®­¨±²±ª®© ¯®«¨²¨ª®©, ®¡¹¥¥ ¡« £®±®±²®¿­¨¥ ±²° ­ ¬®¦¥² ±­¨¦ ²¼±¿. ‚ ½²®¬ ¯°¨¬¥°¥ (¬» ¢¯®±«¥¤±²¢¨¨ ¡³¤¥¬ ­¥®¤­®ª° ²­® ¢®§¢° ¹ ²¼±¿ ª ² ª®£® ²¨¯  ¨£°¥) ° ¢­®¢¥±¨¥ ¯® ½¸³ ®¯°¥¤¥«¿¥²±¿ ±²° ²¥£¨¥© d ¯¥°¢®£® ¨£°®ª  ¨ r | ¢²®°®£® ¨£°®ª . „¥©±²¢¨²¥«¼­®, ¥±«¨ ¯¥°¢»© ¨£°®ª ¢»¡° « ±²° ²¥£¨¾ d , ²® ¢²®°®¬³ ¨£°®ª³ ­¥¢»£®¤­® ®²ª«®­¿²¼±¿ ®² ±²° ²¥£¨¨ r; ² ª ª ª ®­ ¢¬¥±²® 0 ¯®«³·¨² ¢»¨£°»¸ ;1 . €­ «®£¨·­®, ¥±«¨ ¢²®°®© ¨£°®ª ¯°¨¤¥°¦¨¢ ¥²±¿ ±²° ²¥£¨¨ r , ²® ¯¥°¢®¬³ ­¥¢»£®¤­® ¢¬¥±²® d ¨£° ²¼ u; ² ª ª ª ®­ ² ª¦¥ ¢¬¥±²® 0 ¯°®¨£° ¥² 1. ‚ ²® ¦¥ ¢°¥¬¿ Àµ®°®¸ ¿Á ±¨²³ ¶¨¿ (u; l); ª®£¤  ¨£°®ª 1 ¢»¡¨° ¥² u ,   ¢²®°®© | l; ­¥ ¿¢«¿¥²±¿ ±¨²³ ¶¨¥© ° ¢­®¢¥±¨¿ ¯® ½¸³, ² ª ª ª, ­ ¯°¨¬¥°, ¨£°®ª³ 1 ¢»£®¤­® (¯°¨ ³±«®¢¨¨, ·²® ¢²®°®© ¨£° ¥² l ) ®²ª«®­¨²¼±¿ ®² u ¨ ±»£° ²¼ d; ¯®±ª®«¼ª³ ¢¬¥±²® 5 ®­ ¢»¨£° ¥² 6.   ½²®¬ ¯°®±²®¬ ¯°¨¬¥°¥ ¬» ¢¨¤¨¬, ·²® ±¨²³ ¶¨¨ ° ¢­®¢¥±¨¿ ¯® ½¸³ ¬®£³² ¯°¨¢®¤¨²¼ ª ²¥¬ ¨±µ®¤ ¬, ª®²®°»¥ ¯°¥¤±² ¢«¿¾²±¿ ¢¥±¼¬  ­¥³¤ ·­»¬¨. Ž¤­ ª® §¤¥±¼ ¢®§­¨ª ¥² ¶¥«»© °¿¤ ¨­²¥°¥±­»µ ¢®§¬®¦­®±²¥©, ¢ · ±²­®±²¨ ±¢¿§ ­­»µ ± ¢¢¥¤¥­¨¥¬ ¤¨­ ¬¨ª¨, ¯®§¢®«¿¾¹¨µ ³µ®¤¨²¼ ®² ² ª¨µ À­¥³¤ ·Á. Ž¤­ ª® ®¡ ½²®¬ ­ ¬ ¯°¥¤±²®¨² ¯®¤°®¡­¥¥ £®¢®°¨²¼ ­¨¦¥. ¥§³±«®¢­®, ±«¥¤³¥² ±¯¥¶¨ «¼­® ¯®¤·¥°ª­³²¼, ·²® ¡®«¼¸ ¿ °®«¼ ²¥®°¨¨ ¨£° ¢ ½ª®­®¬¨ª¥ ¢® ¬­®£®¬ ®¡º¿±­¿¥²±¿ ²¥¬, ·²® ²¥®°¨¿ ¨£° ¤ ¥² ¿§»ª ¤«¿ ¬®¤¥«¨°®¢ ­¨¿ ¨ ²¥µ­¨ª³  ­ «¨-

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‚¢¥¤¥­¨¥

§  ±¯¥¶¨´¨·¥±ª®£® ¤¨­ ¬¨·¥±ª®£® ª®­ª³°¥­²­®£® ¢§ ¨¬®¤¥©±²¢¨¿. ‘ª ¦¥¬, ¢ ¤®±² ²®·­® ¯°®±²®¬ ¢ °¨ ­²¥ ½²® ¬®¦­® ¯°®¨««¾±²°¨°®¢ ²¼ ­  ±«¥¤³¾¹¥¬ ¯°¨¬¥°¥ (±¬.: Kreps, 1990). °¥¤±² ¢¨¬ ±¥¡¥ ¬®­®¯®«¨±²  (¢ ª« ±±¨·¥±ª®¬ ±¬»±«¥), ¯°®¨§¢®¤¿¹¥£® ­¥ª®²®°»© ²®¢ ° ¤«¿ ¯°®¤ ¦¨. „«¿ ¯°®±²®²» ¡³¤¥¬ ±·¨² ²¼, ·²® ±¯°®± ®¯°¥¤¥«¿¥²±¿ ª°¨¢®© x = 13 ; p . ‘²°³ª²³°  § ²° ² ¬®­®¯®«¨±²  ² ª¦¥ ¢¥±¼¬  ¯°®±² : c(x) = 6:25 + x . ‘² ­¤ °²­ ¿ ²¥®°¨¿ ¯°¥¤±ª §»¢ ¥², ·²® ¬®­®¯®«¨±², ¬ ª±¨¬¨§¨°³¾¹¨© ¯°¨¡»«¼, ¡³¤¥² ¢»¯³±ª ²¼ 6 ¥¤¨­¨¶ £®²®¢®© ¯°®¤³ª¶¨¨ ¨ ¯®«³·¨² ¯°¨¡»«¼ 29.75 (¯°¨ ¶¥­¥ 7). ‚ ²® ¦¥ ¢°¥¬¿, ¥±«¨ ¢ ¤ ­­®© ±¨²³ ¶¨¨ ° ±±¬®²°¥²¼ ¢®§¬®¦­®±²¼ ¢µ®¤  ­®¢¨·ª  (± ² ª¨¬¨ ¦¥ µ ° ª²¥°¨±²¨ª ¬¨), ²® ®²¢¥² ¡³¤¥² ³¦¥ ±®¢¥°¸¥­­® ¤°³£¨¬: ³ª®°¥­¨¢¸¨©±¿ ¬®­®¯®«¨±², ¯°¥¤¢¨¤¿¹¨© ¢®§¬®¦­®±²¼ ¢µ®¤ , ¡³¤¥² ¯°®¨§¢®¤¨²¼ 7 ¥¤¨­¨¶ £®²®¢®£® ¯°®¤³ª²  (¯°¨ ¶¥­¥ 6), ²¥°¿¿ ­¥±ª®«¼ª® ¢ ¯°¨¡»«¨ ¢ ¤ ­­®¬ ¯¥°¨®¤¥, ­® ®¡¥±¯¥·¨¢ ¿ ±¥¡¥ ¡®«¼¸³¾ ¯°¨¡»«¼ ¢ ¤«¨²¥«¼­®¬ ¯¥°¨®¤¥, ¯®±ª®«¼ª³ ­®¢¨·®ª, ±·¨² ¾¹¨©, ·²® ³ª®°¥­¨¢¸ ¿±¿ ´¨°¬  ¡³¤¥² ¯°®¤®«¦ ²¼ ¢»¯³±ª ²¼ ²®² ¦¥ ®¡º¥¬ ¯°®¤³ª¶¨¨, ¢®§¤¥°¦¨²±¿ ®² ¢µ®¤ , ² ª ª ª ¥£® ¢µ®¤ ¯°¨­¥±¥² ¥¬³ ­³«¥¢³¾ ¯°¨¡»«¼.  §³¬¥¥²±¿, §¤¥±¼ ¢®§­¨ª ¥², ­ ¯°¨¬¥°, ² ª®© ¢®¯°®±:   ¯®·¥¬³ ±®¡±²¢¥­­® ­®¢¨·®ª ¤®«¦¥­ ¢¥°¨²¼ ¢ ²®, ·²® ¬®­®¯®«¨±² ¡³¤¥² ¯°®¤®«¦ ²¼ ¢»¯³±ª ²¼ ² ª®©-²® ®¡º¥¬ £®²®¢®© ¯°®¤³ª¶¨¨, ¥±«¨ ­®¢¨·®ª ¢±¥-² ª¨ À®±¬¥«¨²±¿Á ¢®©²¨ ¢ ®²° ±«¼? ²®² ¢®¯°®±, ¡¥§³±«®¢­®, ±³¹¥±²¢¥­ ¤«¿ ½²®© ¨±²®°¨¨. •®²¿ ¯°®±²¥©¸ ¿ ¬®¤¥«¼ ­¥ ¤ ¥² ®²¢¥²  ­  ½²®² ¢®¯°®±, ²¥¬ ­¥ ¬¥­¥¥ ¡®«¥¥ ±«®¦­»¥ ¬®¤¥«¨ ¢µ®¤  ±® ±«®¦­®© ¤¨­ ¬¨ª®©, ª®²®°»¥ ¨±¯®«¼§³¾² ¬­®£®¸ £®¢»¥ ¨£°», ³¦¥ ¯®§¢®«¿¾²  ­ «¨§¨°®¢ ²¼ ±¨²³ ¶¨¨ ¢µ®¤  ± ° §«¨·­»¬¨ £¨¯®²¥§ ¬¨ ® ¯®¢¥¤¥­¨¨  £¥­²®¢. ‘ª ¦¥¬, ¥±«¨ ¬» ¡³¤¥¬ ° ±±¬ ²°¨¢ ²¼ ¤¢³µ¯¥°¨®¤­³¾ ¬®¤¥«¼, ²® ³¦¥ ¯®¿¢«¿¥²±¿ ¢®§¬®¦­®±²¼ ° ±±¬ ²°¨¢ ²¼ ¡®«¥¥ ±«®¦­®¥ ¯®¢¥¤¥­¨¥.  ¯°¨¬¥°, ¢®§¬®¦¥­ ¢ °¨ ­², ª®£¤  ¬®­®¯®«¨±² ¢ ¯¥°¢®¬ ¯¥°¨®¤¥ ¢»¡¨° ¥² ²¥µ­®«®£¨¾. Ž­ ¬®¦¥², ª ¯°¨¬¥°³, §  ±·¥² ¢»±®ª¨µ ´¨ª±¨°®¢ ­­»µ § ²° ² ±­¨§¨²¼ ¯°¥¤¥«¼­»¥ § ²° ²». ‚»±®ª¨¥ ´¨ª±¨°®¢ ­­»¥ § ²° ²»

‚¢¥¤¥­¨¥

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¨ ­¨§ª¨¥ ¯°¥¤¥«¼­»¥ § ²° ²» ¤¥« ¾² ¯®¢¥¤¥­¨¥ ¬®­®¯®«¨±²  ¡®«¥¥  £°¥±±¨¢­»¬ ¢® ¢²®°®¬ ¯¥°¨®¤¥. „ «¥¥ ¬®­®¯®«¨±² ¬®¦¥² ¢ ¯¥°¢®¬ ¯¥°¨®¤¥ ¯°¥¤¯°¨­¨¬ ²¼ ¤¥©±²¢¨¿, ¯®°®¦¤ ¾¹¨¥ À¯®²°¥¡¨²¥«¼±ª³¾ «®¿«¼­®±²¼Á (±ª ¦¥¬, ±­¨¦ ²¼ ¶¥­»), ¨ ². ¤. ¨ ². ¯. ˆ§¢¥±²­» ¬­®£®·¨±«¥­­»¥ ¢ °¨ ¶¨¨ ­  ²¥¬³ ¢µ®¤ . Ž±­®¢­®© µ ° ª²¥°¨±²¨ª®© ±®®²¢¥²±²¢³¾¹¨µ ¬®¤¥«¥© ¿¢«¿¥²±¿ ²®, ·²® ¢ ¯¥°¢®¬ ¯¥°¨®¤¥ ¬®­®¯®«¨±² ±®¢¥°¸ ¥² ¤¥©±²¢¨¥, ª®²®°®¥ ¨§¬¥­¿¥² ¯°¨°®¤³ À¤ «¼­¥©¸¥© ¨£°»Á, ¥±«¨ ­®¢¨·®ª ¯®¿¢«¿¥²±¿, ¨ ª®²®°®¥ ¬®¦¥² «¨¡® ¯°¥¤®²¢° ²¨²¼ ¢µ®¤ ±®¢±¥¬, «¨¡® ¯®§¢®«¨² ¬®­®¯®«¨±²³ À¯®¤£®²®¢¨²¼±¿Á ª ¢µ®¤³ ² ª, ·²®¡» ¨¬¥²¼ ¯°¥¨¬³¹¥±²¢® ¢ ®¡° §³¾¹¥©±¿ ¢¯®±«¥¤±²¢¨¨ ¤³®¯®«¨¨ (±¬., ­ ¯°¨¬¥°, Dixit, 1980). „°³£ ¿ ¢ °¨ ¶¨¿ ­  ½²³ ²¥¬³ | ½²® ° ±±¬®²°¥­¨¥ ±¨²³ ¶¨¨, ª®£¤  ­®¢¨·®ª ­¥ ¨¬¥¥² ²®·­®£® §­ ­¨¿ µ ° ª²¥°¨±²¨ª ¬®­®¯®«¨±² .  ¯°¨¬¥°, ­®¢¨·®ª ­¥ §­ ¥² ±²°³ª²³°» § ²° ² ¬®­®¯®«¨±² . ‚ ½²®¬ ±«³· ¥ ®­ ¬®¦¥² ¢®±¯°¨­¨¬ ²¼ ­¨§ª³¾ ¶¥­³ ¢ ¯¥°¢®¬ ¯¥°¨®¤¥ ª ª ±¨£­ «, £®¢®°¿¹¨© ® ­¨§ª¨µ ¯°¥¤¥«¼­»µ § ²° ² µ ³ª®°¥­¨¢¸¥©±¿ ´¨°¬»,   ±² «® ¡»²¼, ¢®§¤¥°¦ ²¼±¿ ®² ¢µ®¤ . Œ®­®¯®«¨±², ¯®­¨¬ ¿ ½²®, ¬®¦¥², ¤ ¦¥ ¢ ±«³· ¥ ¢»±®ª¨µ ¯°¥¤¥«¼­»µ § ²° ², ­ §­ ·¨²¼ ¤®±² ²®·­® ­¨§ª³¾ ¶¥­³, ±¨£­ «¨§¨°³¿ ²¥¬ ± ¬»¬ ® ¿ª®¡» ­¨§ª¨µ § ²° ² µ. ‘«¥¤³¾¹¨© ¬®¬¥­², ª®²®°»© ­¥®¡µ®¤¨¬® ®²¬¥²¨²¼ | ½²® ¬®¬¥­², ±¢¿§ ­­»© ± ²¥¬, ·²® ²¥®°¨¿ ¨£° ¤ «  ¢®§¬®¦­®±²¼ ¬®¤¥«¨°®¢ ²¼ ±¨²³ ¶¨¨, ª®£¤  °¥·¼ ¨¤¥² ® ²®¬, ¢¥°¨²¼ ¨«¨ ­¥ ¢¥°¨²¼ ²¥¬ ¨«¨ ¨­»¬ ®¡¥¹ ­¨¿¬ ¨«¨ ³£°®§ ¬. ‡¤¥±¼ °¥·¼ ¨¤¥² ® ¬®¤¥«¨°®¢ ­¨¨ °¥¯³² ¶¨¨ (±ª ¦¥¬, ° ¡®²®¤ ²¥«¼ ¨ ° ¡®²­¨ª). ‘«¥¤³¾¹¨© ª« ±±¨·¥±ª¨© ¯°¨¬¥°, ±¢¿§ ­­»© ± ¯®¢²®°¿¾¹¨¬±¿ ¢§ ¨¬®¤¥©±²¢¨¥¬ ³· ±²­¨ª®¢ | ­¥¿¢­»© ±£®¢®° ¢ ®«¨£®¯®«¨¨. Ž­ ¡ §¨°³¥²±¿ ­  ² ª ­ §»¢ ¥¬®© Folk Theorem (À­ °®¤­®© ²¥®°¥¬¥Á, À´®«¼ª«®°­®© ²¥®°¥¬¥Á | ±¬. £«. 2), ª®²®° ¿ ³²¢¥°¦¤ ¥², ·²® «¾¡»¥ ¢»¨£°»¸¨ ¤¢³µ ´¨°¬, ª®²®°»¥ ¤ ¾² ª ¦¤®© ¨§ ´¨°¬ ¡®«¼¸¥ ¬ ª±¨¬¨­­®£® ¢»¨£°»¸  ¨ ¢ ±³¬¬¥ ¬¥­¼¸¥, ·¥¬ ¬®­®¯®«¼­ ¿ ¯°¨¡»«¼ (§  ¯¥°¨®¤), ¬®¦¥²

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‚¢¥¤¥­¨¥

¯®¤¤¥°¦¨¢ ²¼±¿ ¢ ° ¢­®¢¥±¨¨, ¥±«¨ ¡³¤³¹¥¥ ¶¥­¨²±¿ ´¨°¬ ¬¨ ¤®±² ²®·­® ¢»±®ª®. Š ª ¨ ¢® ¬­®£¨µ ±«³· ¿µ, §¤¥±¼ ¢®§­¨ª ¥² ­¥¯°¨¿²­»© ¬®¬¥­² ¬­®¦¥±²¢¥­­®±²¨ ° ¢­®¢¥±¨¿, ª®²®°»©, ³¢», ®ª §»¢ ¥²±¿ ¢¥±¼¬  ±³¹¥±²¢¥­­»¬ ¨ ¢»­³¦¤ ¥² ¯»² ²¼±¿ ¢¢®¤¨²¼ ° §«¨·­»¥ ¬®¤¨´¨ª ¶¨¨ ° ¢­®¢¥±¨¿ ¯® ½¸³.  ¢­®¢¥±¨¿ ¯® ½¸³ | ½²® À±®£« ±®¢ ­­»¥Á ¯°¥¤±ª § ­¨¿ ²®£®, ª ª ¨£°  ¡³¤¥² ° §»£°»¢ ²¼±¿, ¢ ²®¬ ±¬»±«¥, ·²® ¥±«¨ ¢±¥ ¨£°®ª¨ ¯°¥¤±ª §»¢ ¾², ·²® ¢®§­¨ª­¥² ®¯°¥¤¥«¥­­®¥ ° ¢­®¢¥±¨¥, ²® ­¨ ³ ®¤­®£® ¨§ ¨£°®ª®¢ ­¥ ¡³¤¥² ±²¨¬³«®¢ ¤«¿ ®²ª«®­¥­¨¿. ’ ª¨¬ ®¡° §®¬, ° ¢­®¢¥±¨¥ ¯® ½¸³, ¨ ²®«¼ª® ®­® ¬®¦¥² ®¡« ¤ ²¼ ±¢®©±²¢®¬ ² ª¨¬, ·²® ¨£°®ª¨ ¬®£³² ¯°¥¤¢¨¤¥²¼ ¥£®, ¨µ ®¯¯®­¥­²» ¯°¥¤¢¨¤¥²¼ ¥£® ¨ ². ¤.  ¯°®²¨¢, ¯°¥¤¢¨¤¥­¨¥ ²®£®, ·²® ¢®§­¨ª­¥² ­¥° ¢­®¢¥±­ ¿ ±¨²³ ¶¨¿, ¢«¥·¥² §  ±®¡®© ²®, ·²® ¯® ª° ©­¥© ¬¥°¥ ®¤¨­ ¨£°®ª ±¤¥« ¥² À®¸¨¡ª³Á, «¨¡® ¢ ±¢®¥¬ ¯°¥¤±ª § ­¨¨, «¨¡® ¢ ®¯²¨¬¨§ ¶¨¨ ±¢®¥£® ¢»¨£°»¸ . …±²¥±²¢¥­­®, ¢°¿¤ «¨ ¬®¦­® ±·¨² ²¼, ·²® ² ª¨¥ ®¸¨¡ª¨ ­¨ª®£¤  ­¥ ¢®§­¨ª ¾². 4. ‚ ²® ± ¬®¥ ¢°¥¬¿, ª®£¤  ²¥®°¨¿ ¡¥±ª® «¨¶¨®­­»µ ¨£° ±² ­®¢¨²±¿ ±² ­¤ °²­»¬ ¨­±²°³¬¥­²®¬ ¢ ½ª®­®¬¨ª¥, ®­  ¯®¤¢¥°£ ¥²±¿ §­ ·¨²¥«¼­®© ª°¨²¨ª¥ ±® ±²®°®­» ª ª ²¥®°¥²¨ª®¢, ² ª ¨ ½ª±¯¥°¨¬¥­² ²®°®¢. ¥±ª® «¨¶¨®­­ ¿ ²¥®°¨¿ ¨£°, ¯®¤®¡­® ­¥®ª« ±±¨·¥±ª®© ½ª®­®¬¨ª¥, ¡ §¨°³¥²±¿ ­  ¤¢³µ À£¥°®¨·¥±ª¨µÁ ¯°¥¤¯®«®¦¥­¨¿µ: Œ€Š‘ˆŒˆ‡€–ˆˆ (ª ¦¤»© ½ª®­®¬¨·¥±ª¨©  £¥­² ° ¶¨®­ «¥­ ¨ ¿±­® ¯°¥¤±² ¢«¿¥² ±¥¡¥ ¬¨°), ¨ ‘Žƒ‹€‘Ž‚€Ž‘’ˆ (¯°¥¤±² ¢«¥­¨¿  £¥­² , ¨ ¢ · ±²­®±²¨ ¥£® ®¦¨¤ ­¨¿ ®²­®±¨²¥«¼­® ¯®¢¥¤¥­¨¿ ®±² «¼­»µ  £¥­²®¢ ¯° ¢¨«¼­»). ²¨ ¤¢  ¯°¥¤¯®«®¦¥­¨¿, ¯® ±³²¨ ¤¥«  ¨ ®¯° ¢¤»¢ ¾² ²®, ·²® ®¡¹¨¥ ®¡° §¶» ¨­¤¨¢¨¤³ «¼­®£® ®¯²¨¬¨§¨°³¾¹¥£® ¯®¢¥¤¥­¨¿ ´®°¬¨°³¾² ° ¢­®¢¥±¨¥ ¯® ½¸³. Ž±­®¢­ ¿ ¯°®¡«¥¬ , ± ª®²®°®© ¢ ­ ±²®¿¹¥¥ ¢°¥¬¿ ±²®«ª­³«¨±¼ ²¥®°¥²¨ª¨ | ½²® ¯°®¡«¥¬  À­¥®²° §¨¬®£®Á ®¡®±­®¢ ­¨¿ ½²¨µ ¤¢³µ ¯°¥¤¯®«®¦¥­¨©, ¨¡® ²° ¤¨¶¨®­­»¥ ®¡®±­®¢ ­¨¿ ®²­¾¤¼ ­¥ ¿¢«¿¾²±¿ ­¥®²° §¨¬»¬¨. ‚ ²® ¦¥ ¢°¥¬¿ ¡¥§ ² ª®£® ®¡®±­®¢ ­¨¿ ¨±¯®«¼§®¢ ­¨¥ ²¥®°¨¨ ¨£° ¢ ¯°¨«®¦¥­¨¿µ ±² ­®¢¨²±¿ ¯°®¡«¥¬ ²¨·­»¬. ˆ±¯®«¼§®¢ ­¨¥ ²¥®°¨¨ ¨£° ²°¥-

‚¢¥¤¥­¨¥

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¡³¥² ¯®­¨¬ ­¨¿ ²®£®, ª®£¤  ½²¨ ¯°¥¤¯®«®¦¥­¨¿ ®±¬»±«¥­­»,   ¢ ª ª¨µ ±«³· ¿µ | ­¥². Ž±­®¢­®© ³¯°¥ª, · ±²®  ¤°¥±³¥¬»© ½ª®­®¬¨·¥±ª®© ¬¥²®¤®«®£¨¨, ª ± ¥²±¿ ¶¥­²° «¼­®© °®«¨ £¨¯®²¥§» ¬ ª±¨¬¨§ ¶¨¨. Ž¡¹¨© ­¥´®°¬ «¼­»©  °£³¬¥­² ¢ ¯®«¼§³ ¬ ª±¨¬¨§ ¶¨¨ ±®±²®¨² ¢ ²®¬, ·²® «¾¡®© ­¥ ¬ ª±¨¬¨§¨°³¾¹¨©  £¥­², ¨ ¢ · ±²­®±²¨ «¾¡ ¿ ´¨°¬ , ­¥ ¬ ª±¨¬¨§¨°³¾¹ ¿ ¯°¨¡»«¼, ¡³¤¥² ¢»¤ ¢«¥­  °»­®·­»¬¨ ±¨« ¬¨. ²® ½¢®«¾¶¨®­­»©  °£³¬¥­², ¨ ª ª ² ª®¢®© ®­ µ®°®¸® ¨§¢¥±²¥­. Ž¤­ ª® ° ¡®² ¥² «¨ ² ª®¥ ®¯° ¢¤ ­¨¥? Ÿ¢«¿¥²±¿ «¨ ° ¢­®¢¥±¨¥ ¯® ½¸³ ¨«¨ ª ª®¥-«¨¡® ±¢¿§ ­­®¥ ± ­¨¬ ¯®­¿²¨¥ µ®°®¸¨¬ ¯°¥¤±ª § ­¨¥¬? €­ «®£¨¿ ¬¥¦¤³ ¡¥±ª® «¨¶¨®­­®© ²¥®°¨¥© ¨£° ¨ ­¥®ª« ±±¨·¥±ª®© ½ª®­®¬¨ª®© ®·¥¢¨¤­ , ­® ®­  ­¥  ¡±®«¾²­ . Š®­¥·­®, ¢®¯°®± ® ²®¬, ¬ ª±¨¬¨§¨°³¾² «¨  £¥­²», ¯® ±³¹¥±²¢³, ®¤¨­ ¨ ²®² ¦¥. ®«¥¥ ²®£®, ¯°¥¤¯®«®¦¥­¨¥ ±®£« ±®¢ ­­®±²¨ ¯®¿¢«¿¥²±¿ ² ª¦¥ ¢ ­¥®ª« ±±¨·¥±ª®© ½ª®­®¬¨ª¥ ª ª ¯°¥¤¯®«®¦¥­¨¥ ® ²®¬, ·²® ¶¥­» ®·¨¹ ¾² °»­®ª. Ž¤­ ª® ´³­¤ ¬¥­² «¼­®¥ ° §«¨·¨¥ ¬¥¦¤³ ­¥®ª« ±±¨·¥±ª®© ½ª®­®¬¨ª®© ¨ ¡¥±ª® «¨¶¨®­­®© ²¥®°¨¥© ¨£° ¢ ²®¬, ·²® ¬­®£®·¨±«¥­­»¥ ° ¢­®¢¥±¨¿ ¢ ª®­ª³°¥­²­®© ½ª®­®¬¨ª¥ ¯®·²¨ ¢±¥£¤  ° §¤¥«¿¾² ¬­®£¨¥ ¨§ ±¢®©±²¢ (±ª ¦¥¬, ½´´¥ª²¨¢­®±²¼ ¨«¨ ¥¥ ®²±³²±²¢¨¥), ²®£¤  ª ª ¬­®£®·¨±«¥­­»¥ ° ¢­®¢¥±¨¿ ¢ ¨£°¥ ¬®£³² ¨¬¥²¼ ±³¹¥±²¢¥­­® ° §«¨·­»¥ ±¢®©±²¢ . ¥®ª« ±±¨·¥±ª ¿ ½ª®­®¬¨ª  ­¥ ±² ¢¨² ¢®¯°®±  ® ¢»¡®°¥ ° ¢­®¢¥±¨¿, ²¥®°¨¿ ¦¥ ¨£° ®¡¿§ ­  ½²® ¤¥« ²¼. ‚ ­ ±²®¿¹¥¥ ¢°¥¬¿ ®·¥­¼ ±²°¥¬¨²¥«¼­® ° §¢¨¢ ¥²±¿ ½¢®«¾¶¨®­­ ¿ ²¥®°¨¿ ¨£°. ®«¼¸¨­±²¢® ° ¡®² ¯® ½¢®«¾¶¨®­­®© ²¥®°¨¨ ¨£° ¬®²¨¢¨°®¢ ­» ¤¢³¬¿ ®±­®¢­»¬¨ ¢®¯°®± ¬¨: 1. „¥©±²¢¨²¥«¼­® «¨  £¥­²» ¨£° ¾² ° ¢­®¢¥±¨¥ ¯® ½¸³? 2. …±«¨  £¥­²» ¨£° ¾² ° ¢­®¢¥±¨¥ ¯® ½¸³, ²® ª ª®¥? ¢®«¾¶¨®­­ ¿ ²¥®°¨¿ ¨£° ´®°¬ «¨§³¥² ¨ ®¡®¡¹ ¥² ½¢®«¾¶¨®­­»©  °£³¬¥­², ¯°¥¤¯®« £ ¿, ·²® ¡®«¥¥ ³±¯¥¸­®¥ ¯®¢¥¤¥­¨¥ ¨¬¥¥² ²¥­¤¥­¶¨¾ ¯°¥¢ «¨°®¢ ²¼. ‚ ª ­®­¨·¥±ª®© ¬®¤¥«¨ ¯®¯³«¿¶¨¿ ¨£°®ª®¢ ¢§ ¨¬®¤¥©±²¢³¥² ¢® ¢°¥¬¥­¨, ¯°¨·¥¬ ¨µ ¯®¢¥¤¥­¨¥ ¯°¨±¯®± ¡«¨¢ ¥²±¿ ¢® ¢°¥¬¥­¨ ¢ ®²¢¥² ­  ¨µ ¢»¨£°»¸¨ (¯®«¥§­®±²¨, ¯°¨¡»«¨ ¨ ². ¤.), ª ª®²®°»¬ ¨±²®°¨·¥±ª¨

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‚¢¥¤¥­¨¥

¯°¨¢®¤¨« ¨µ ¢»¡®°. ²¨ ¨£°®ª¨ ¬®£³² ¡»²¼ ° ¡®²­¨ª ¬¨, ¯®²°¥¡¨²¥«¿¬¨, ´¨°¬ ¬¨ ¨ ². ¯. ‚ ¶¥­²°¥ ¢­¨¬ ­¨¿ ­ µ®¤¨²±¿ ¤¨­ ¬¨·¥±ª®¥ ¯®¢¥¤¥­¨¥ ±¨±²¥¬». Š«¾·¥¢»¬¨ ¯°¥¤¯®«®¦¥­¨¿¬¨ ¿¢«¿¾²±¿ ¯°¥¤¯®«®¦¥­¨¿ ® ²®¬, ·²® ¨¬¥¥²±¿ ¯®¯³«¿¶¨¿ ¨£°®ª®¢, ½²¨ ¨£°®ª¨ ¢§ ¨¬®¤¥©±²¢³¾², ¨ ·²® ¯®¢¥¤¥­¨¥ ¨£°®ª®¢ ­ ¨¢­® (¢ ¤¢³µ ±¬»±« µ: ¨£°®ª¨ ­¥ ¢¥°¿², ­¥ ¯®­¨¬ ¾², ·²® ¨µ ±®¡±²¢¥­­®¥ ¯®¢¥¤¥­¨¥ ¯®²¥­¶¨ «¼­® ¢«¨¿¥² ­  ¡³¤³¹¥¥ ¯®¢¥¤¥­¨¥ ¨µ ®¯¯®­¥­²®¢, ¨ ¨£°®ª¨ ­¥ ¯°¨­¨¬ ¾² ¢® ¢­¨¬ ­¨¥ ¢®§¬®¦­®±²¼ ²®£®, ·²® ¨µ ®¯¯®­¥­²» ¯®¤®¡­»¬ ¦¥ ®¡° §®¬ ¢®¢«¥·¥­» ¢ ¯°¨±¯®±®¡«¥­¨¥ ±¢®¥£® ±®¡±²¢¥­­®£® ¯®¢¥¤¥­¨¿). ‡¤¥±¼ ¢ ¦­® § ¬¥²¨²¼, ·²® ³±¯¥¸­®¥ ¯®¢¥¤¥­¨¥ ±² ­®¢¨²±¿ ¯°¥¢ «¨°³¾¹¨¬ ­¥ ²®«¼ª® ¯®²®¬³, ·²® °»­®·­»¥ ±¨«» ¯°®¨§¢®¤¿² ®²¡®°, ¨±ª«¾· ¿ ­¥³±¯¥¸­®¥ ¯®¢¥¤¥­¨¥, ­® ¨ ¯®²®¬³, ·²®  £¥­²» ¨¬¨²¨°³¾² ³±¯¥¸­®¥ ¯®¢¥¤¥­¨¥. ®±ª®«¼ª³ ½¢®«¾¶¨®­­ ¿ ²¥®°¨¿ ¨£° ¨§³· ¥² ¯®¯³«¿¶¨¨, À¨£° ¾¹¨¥ ¢ ¨£°»Á, ®­  ² ª¦¥ ¯®«¥§­  ¯°¨ ¨§³·¥­¨¨ ±®¶¨ «¼­»µ ­®°¬ ¨ ª®­¢¥­¶¨©. ¢®«¾¶¨¿ ª®­¢¥­¶¨© ¨ ±®¶¨ «¼­»µ ­®°¬ ¿¢«¿¥²±¿ ¯°¨¬¥°®¬ ¨£°®ª®¢, ®¡³· ¾¹¨µ±¿ ¨£° ²¼ ° ¢­®¢¥±¨¥. °¨¬¥°» ¢ª«¾· ¾² ¯®¯³«¿¶¨¾ ¯®²°¥¡¨²¥«¥©, ª®²®°»¥ ¤®«¦­» °¥¸¨²¼, ª ª®© ²¨¯ ²®¢ °  ¯®ª³¯ ²¼; ¯®¯³«¿¶¨¾ ° ¡®²­¨ª®¢, ª®²®°»¥ ¤®«¦­» °¥¸¨²¼, ª ª¨¥ ³±¨«¨¿ ¯°¨« £ ²¼, ¨ ². ¤. ¢®«¾¶¨®­­ ¿ ²¥®°¨¿ ¨£° ¤ ¥² ¯®«®¦¨²¥«¼­»© ®²¢¥² ­  ¯¥°¢»© ¢®¯°®±: ¢® ¬­®£¨µ ¯®±² ­®¢ª µ ¨£°®ª¨ ¤¥©±²¢¨²¥«¼­® ¨£° ¾² ° ¢­®¢¥±¨¥ ¯® ½¸³. ’ ª¨¬ ®¡° §®¬, ½²® ¤ ¥² ®¯° ¢¤ ­¨¥ ° ¢­®¢¥±­®£®  ­ «¨§  ²®£¤ , ª®£¤  ®±¬»±«¥­­» ½¢®«¾¶¨®­­»¥  °£³¬¥­²».  ¢­®¢¥±¨¥ «³·¸¥ ¢±¥£® ° ±±¬ ²°¨¢ ²¼ ª ª ³±²®©·¨¢®¥ ±®±²®¿­¨¥ ±®®¡¹¥±²¢ , ·«¥­» ª®²®°®£® ¡«¨§®°³ª® £°³¯¯¨°³¾²±¿ À¯® ­ ¯° ¢«¥­¨¾Á ª ¬ ª±¨¬¨§¨°³¾¹¥¬³ ¯®¢¥¤¥­¨¾. ˆ ½²® ±³¹¥±²¢¥­­® ª®­²° ±²¨°³¥² ± ¡®«¥¥ ° ­­¨¬ ¢§£«¿¤®¬ (³ ª®²®°®£® ­¥² ¤®±² ²®·­®£® ´³­¤ ¬¥­² ), ¢ ±®®²¢¥²±²¢¨¨ ± ª®²®°»¬ ²¥®°¨¿ ¨£° ¨ ° ¢­®¢¥±­»©  ­ «¨§ ¯°¥¤±² ¢«¿¾² ¨±±«¥¤®¢ ­¨¥ ¢§ ¨¬®¤¥©±²¢¨¿ ³«¼²° ° ¶¨®­ «¼­»µ  £¥­²®¢ ± À¡®«¼¸¨¬ § ¯ ±®¬Á §­ ­¨©.

‚¢¥¤¥­¨¥

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‚®¯°®± ® ²®¬, ª ª®¥ ° ¢­®¢¥±¨¥ ¨£° ¥²±¿, ¸¨°®ª® ®¡±³¦¤ ¥²±¿, ®±®¡¥­­® ¢ «¨²¥° ²³°¥, ª ± ¾¹¥©±¿ À³²®·­¥­¨©Á (¨«¨ À³²®­·¥­¨©Á) ° ¢­®¢¥±¨¿. Ž¤­ ª® ¯°®¡«¥¬  ®¡®±­®¢ ­¨¿ ² ª¦¥ ®²­®±¨²±¿ ¨ ª ­¨¬. Œ®¦­® ¯°¥¤±² ¢¨²¼ ±¥¡¥, ­ ¯°¨¬¥°, ·²® ¤®¯³±ª ¥²±¿ ¯°¥¤-¨£°®¢®¥ ®¡¹¥­¨¥, ª®²®°®¥ ¯°¨¢®¤¨² ª ²®¬³, ·²® ®¯°¥¤¥«¿¥²±¿, ª ª®¥ ° ¢­®¢¥±¨¥ ¨£° ¥²±¿ (±ª ¦¥¬, ¢±¥ ° ¡®²­¨ª¨ ¯°¨ª« ¤»¢ ¾² ¬ ª±¨¬³¬ ³±¨«¨©, ¨«¨, ­ ¯°®²¨¢, ¬¨­¨¬³¬, ¥±«¨, ª ¯°¨¬¥°³, ®¡¹¨© ¢»¯³±ª ®¯°¥¤¥«¿¥²±¿ ¬¨­¨¬ «¼­»¬ (±°¥¤¨ ¢±¥µ ° ¡®²­¨ª®¢) ³°®¢­¥¬ ³±¨«¨©). ’ ª®¥ ®¯° ¢¤ ­¨¥ ° ¢­®¢¥±¨¿, ª®­¥·­®, ¢®§¬®¦­® ¨ ¯°¨¬¥­¨¬® ª °¿¤³ ¯°¨«®¦¥­¨©. ® ½²® ­¥ ¯®ª°»¢ ¥² ¢±¥ ¢®§¬®¦­®±²¨, ²¥¬ ¡®«¥¥ ·²® ­¥¨§¡¥¦­» ±¨²³ ¶¨¨, ª®£¤  ¤®£®¢®° ¬®¦¥² ­ °³¸ ²¼±¿, ¨«¨, ·²® ¯°®±²® ¬®¦¥² ­¥ ¡»²¼ ¢®§¬®¦­®±²¨ ¯°¥¤¢ °¨²¥«¼­®£® ®¡¹¥­¨¿. ‚²®°®¥ ®¯° ¢¤ ­¨¥ ± ¬®®±³¹¥±²¢«¿¾¹¥£®±¿ ¯°¥¤±ª § ­¨¿ ¬®¦¥² ¯°®µ®¤¨²¼ ¯°¨¬¥°­® ±«¥¤³¾¹¨¬ ®¡° §®¬: ¥±«¨ ²¥®°¥²¨·¥±ª¨ ¥¤¨­±²¢¥­­»¬ ®¡° §®¬ ¯°¥¤±ª § ­­®¥ ¯®¢¥¤¥­¨¥ ¨£°®ª®¢ ¨§¢¥±²­® ¨£°®ª ¬ ¢ ¨£°¥, ²® ®­  ¤®«¦­  ¯°¥¤±ª §»¢ ²¼ ° ¢­®¢¥±¨¥ ¯® ½¸³. ’°³¤­®±²¼ §¤¥±¼ ¢ ²®¬, ·²® ² ª®¥ ®¯° ¢¤ ­¨¥ ²°¥¡³¥² ²¥®°¨¨, ª®²®° ¿ ®¤­®§­ ·­® ¯°¥¤±ª §»¢ ¥² ¯®¢¥¤¥­¨¥ ¨£°®ª®¢,   ¢ ½²®¬-²® ¯°®¡«¥¬  ª ª ° § ¨ ±®±²®¨². Ž¯° ¢¤ ­¨¥ ± ¯®¬®¹¼¾ À´®ª «¼­®© ²®·ª¨Á (’. ˜¥««¨­£) ¬®¦­® ´®°¬³«¨°®¢ ²¼ ¯°¨¬¥°­® ² ª: À¥±«¨ ¥±²¼ ®·¥¢¨¤­»© ¯³²¼ ¨£° ²¼ ¢ ¨£°¥ («¨¡® ¢ ±¨«³ ±¯¥¶¨´¨ª¨ ¯®±² ­®¢ª¨, «¨¡® ¢ ±¨«³ ±¯¥¶¨ «¼­®© ±²°³ª²³°»), ²® ¨£°®ª¨ ¡³¤³² §­ ²¼, ·²® ¡³¤³² ¤¥« ²¼ ¤°³£¨¥ ¨£°®ª¨Á.  ª®­¥¶, ¨£°®ª¨ ¬®£³² ­ ³·¨²¼±¿ ¨£° ²¼ ­¥ª®²®°®¥ ° ¢­®¢¥±¨¥. „«¿ ²®£®, ·²®¡» ­ ³·¨²¼±¿ ¨£° ²¼ ­¥ª®²®°®¥ ° ¢­®¢¥±¨¥, ¨£°®ª¨ ¤®«¦­» ¨¬¥²¼ ¢®§¬®¦­®±²¼ ¯®¢²®°¿²¼ °®§»£°»¸ ½²®© ¨«¨, ¯® ª° ©­¥© ¬¥°¥ ¡«¨§ª®©, ¨£°», ·²®¡» ¨¬¥²¼ ¢®§¬®¦­®±²¼ ¯®«³· ²¼ ­³¦­»© ®¯»². …±«¨ ²®«¼ª® ¨£°®ª¨ ³§­ «¨, ª ª ¨£° ¾² ¨µ ®¯¯®­¥­²», ¨ ¥±«¨ ¨£°®ª¨ ¬ ª±¨¬¨§¨°³¾², ²® ®­¨ ¤®«¦­» ®ª § ²¼±¿ ¢ ° ¢­®¢¥±¨¨ ¯® ½¸³. ‚ ½²®© ¨±²®°¨¨ ± ®¡³·¥­¨¥¬ ¥±²¼ ¤¢  ¬®¬¥­² .

26

‚¢¥¤¥­¨¥

¥°¢»© | ¨£°®ª¨ ¬ ª±¨¬¨§¨°³¾². ‚²®°®© | ½²® ²®, ·²® ¯°¨ ³±«®¢¨¨ ¬ ª±¨¬¨§¨°³¾¹¥£® ¯®¢¥¤¥­¨¿ ¨£°®ª®¢ ¨£°®ª¨ ¬®£³² ³§­ ²¼ ¯®¢¥¤¥­¨¥ ±¢®¨µ ®¯¯®­¥­²®¢. ²® ¢ª«¾· ¥² ¢ ±¥¡¿ ¤®¯®«­¨²¥«¼­»¥ ­¾ ­±» ®¡³·¥­¨¿. „ ¦¥ ¥±«¨ ¨£°®ª §­ ¥², ª ª ¥£® ®¯¯®­¥­²» ¨£° «¨, ®­ ¬®¦¥² ­¥ §­ ²¼, ª ª®¢® ¡»«® ­ ¨«³·¸¥¥ ¤¥©±²¢¨¥.  ª®­¥¶, ± ¬® ®¡³·¥­¨¥ ¬¥­¿¥² ®¡±² ­®¢ª³, ª®²®°³¾  £¥­²» ¯»² ¾²±¿ ³§­ ²¼, ¯°¨·¥¬ ¯°®¶¥±± ®¡³·¥­¨¿ ¢¥±¼¬  ²®­®ª. Œ» ®±² ­®¢¨«¨±¼ §¤¥±¼ ­  ­¥ª®²®°»µ ¬®¬¥­² µ, ª®²®°»¥ ¯°¥¤±² ¢«¿¾²±¿ ­ ¬ ¢ ¦­»¬¨ ¨ ­  ª®²®°»µ ¬» ±·¨² «¨ ­¥®¡µ®¤¨¬»¬ ®±² ­®¢¨²¼±¿ ¢ ¯°¥¤¤¢¥°¨¨ ´®°¬ «¼­®£® ¨§«®¦¥­¨¿ ²¥®°¨¨.

— ±²¼ I

¥±ª® «¨¶¨®­­»¥ ¨£°»

27

ƒ« ¢  1.

‘² ²¨·¥±ª¨¥ ¨£°» ± ¯®«­®© ¨­´®°¬ ¶¨¥© 1.1. ‘¯®±®¡»

§ ¤ ­¨¿

¡¥±ª® «¨¶¨®­­»µ

¨£°

Ž±­®¢­ ¿ · ±²¼ ª³°±  ¡³¤¥² ¯®±¢¿¹¥­  ²¥®°¨¨ ¡¥±ª® «¨¶¨®­­»µ ¨£°. ²® ­¨ ¢ ª®¥© ¬¥°¥ ­¥ ®§­ · ¥², ·²® ®²±³²±²¢³¥² ¨­²¥°¥± ½ª®­®¬¨±²®¢ ª Àª®®¯¥° ²¨¢­®¬³ ¯®¢¥¤¥­¨¾Á.  ¯°®²¨¢, ¢ ­ ±²®¿¹¥¥ ¢°¥¬¿ § ¬¥²¥­ ±³¹¥±²¢¥­­»© ¨­²¥°¥± ª ¯®¯»²ª ¬ ®¡º¿±­¨²¼, ª ª¨¬ ®¡° §®¬ ª®®¯¥° ¶¨¿ ¬®¦¥² ¢®§­¨ª­³²¼ ª ª °¥§³«¼² ² ¯®¢¥¤¥­¨¿ ¨­¤¨¢¨¤®¢, ¯°¥±«¥¤³¾¹¨µ ±¢®¨ ¶¥«¨.  ª®­¥¶, ¥±²¼ ¶¥«»© °¿¤ ¢ ¦­»µ § ¤ ·, £¤¥ °®«¼ ²¥®°¨¨ ª®®¯¥° ²¨¢­»µ ¨£° ¢¥±¼¬  ±³¹¥±²¢¥­­ . ˆ¬ ¬» ¯®±¢¿²¨¬ § ª«¾·¨²¥«¼­³¾ · ±²¼ ª³°± . ’¥®°¨¿ ¡¥±ª® «¨¶¨®­­»µ ¨£° | ½²® ±¯®±®¡ ¬®¤¥«¨°®¢ ­¨¿ ¨  ­ «¨§  ±¨²³ ¶¨©, ¢ ª®²®°»µ ®¯²¨¬ «¼­»¥ °¥¸¥­¨¿ ª ¦¤®£® ³· ±²­¨ª  (¨£°®ª ) § ¢¨±¿² ®² ¥£® ¯°¥¤±² ¢«¥­¨© (¨«¨ ®¦¨¤ ­¨©) ®¡ ¨£°¥ ®¯¯®­¥­²®¢. Š ª ³¦¥ £®¢®°¨«®±¼ ¢® ¢¢¥¤¥­¨¨, ¢ ¦­¥©¸¨¬ ¬®¬¥­²®¬ ²¥®°¨¨ ¿¢«¿¥²±¿  ª¶¥­² ­  ²®, ·²® ¨£°®ª¨ ­¥ ¤®«¦­» ¯°¨¤¥°¦¨¢ ²¼±¿ ¯°®¨§¢®«¼­»µ ¯°¥¤±² ¢«¥­¨© ®¡ ¨£°¥ ±¢®¨µ ®¯¯®­¥­²®¢.  ¯°®²¨¢, ª ¦¤»© ¨£°®ª ¤®«¦¥­ 29

30

ƒ« ¢  1

¯»² ²¼±¿ ¯°¥¤±ª § ²¼ ¨£°³ ±¢®¨µ ®¯¯®­¥­²®¢, ¨±¯®«¼§³¿ ±¢®¨ §­ ­¨¿ ¯° ¢¨« ¨£°» ¨ ¨±µ®¤¿ ¨§ ¯°¥¤¯®«®¦¥­¨©, ·²® ¥£® ®¯¯®­¥­²» ± ¬¨ ° ¶¨®­ «¼­»,   ¯®²®¬³ ¯»² ¾²±¿ ± ¬¨ ² ª¦¥ ¯°¥¤±ª § ²¼ ¨£°³ ±¢®¨µ ®¯¯®­¥­²®¢ ¨ ¬ ª±¨¬¨§¨°®¢ ²¼ ±¢®¨ ±®¡±²¢¥­­»¥ ¢»¨£°»¸¨. …±²¼ ¤¢  ±¯®±®¡  § ¤ ­¨¿ ¨£°». ¥°¢»© | ½²® ¯®§¨¶¨®­­ ¿ ´®°¬ 1 ¨£°». ®§¨¶¨®­­ ¿ ´®°¬  § ¤ ¥²: (1) ¯®°¿¤®ª µ®¤®¢; (2) À «¼²¥°­ ²¨¢»Á (¢»¡®°), ¤®±²³¯­»¥ ¨£°®ª³ ²®£¤ , ª®£¤  ­ ±²³¯ ¥² ®·¥°¥¤¼ ¥£® µ®¤ ; (3) ¨­´®°¬ ¶¨¿, ª®²®°³¾ ¨£°®ª ¨¬¥¥² ­  ª ¦¤®¬ ¨§ ±¢®¨µ µ®¤®¢; (4) ¢»¨£°»¸¨ (¢±¥µ) ¨£°®ª®¢ ª ª ´³­ª¶¨¾ ¢»¡° ­­»µ µ®¤®¢;(5) ¢¥°®¿²­®±²­»¥ ° ±¯°¥¤¥«¥­¨¿ ­  ¬­®¦¥±²¢¥ µ®¤®¢ °¨°®¤». ®§¨¶¨®­­ ¿ ´®°¬  ¯°¥¤±² ¢«¿¥²±¿ ¤¥°¥¢®¬ ¨£°», ª®²®°®¥ ¬®¦­® ° ±±¬ ²°¨¢ ²¼ ª ª ®¡®¡¹¥­¨¥ ¤¥°¥¢  ¯°¨­¿²¨¿ °¥¸¥­¨©, ¨±¯®«¼§³¥¬®¥ ¢ ²¥®°¨¨ ¯°¨­¿²¨¿ °¥¸¥­¨©, ­  ±«³· © ­¥±ª®«¼ª¨µ ¨£°®ª®¢. ”®°¬ «¼­®¥ ®¯°¥¤¥«¥­¨¥ ¬» ¯°¨¢¥¤¥¬ ¢ £«. 2. À„°¥¢¥±­ ¿ ±²°³ª²³° Á ®¯¨±»¢ ¥², ª ª ¿ ¢¥°¸¨­  ±«¥¤³¥² §  ª ª®©, ª ª®© ¨£°®ª µ®¤¨² ¢ ±®®²¢¥²±²¢³¾¹¥© ¢¥°¸¨­¥. ˆ­´®°¬ ¶¨¿, ª®²®°³¾ ¨¬¥¾² ¨£°®ª¨, ®¯¨±»¢ ¥²±¿ ± ¯®¬®¹¼¾ ¨­´®°¬ ¶¨®­­»µ ¬­®¦¥±²¢ (±¬. °¨±. 1). …±«¨ ¤¢¥ ¢¥°¸¨­» «¥¦ ² ¢ ®¤­®¬ ¨­´®°¬ ¶¨®­­®¬ ¬­®¦¥±²¢¥, ²® ½²® ®§­ · ¥², ·²® ¨£°®ª (¢ ¤ ­­®¬ ±«³· ¥ 3) ­¥ ¬®¦¥² ±ª § ²¼, ª ª®¥ ¨§ ¤¢³µ ¤¥©±²¢¨© (‹ ¨«¨ ) ¢ ¤¥©±²¢¨²¥«¼­®±²¨ ¯°®¨§®¸«® (¢ ½²®¬ ±¬»±«¥ ¨£°®ª ­¥ ° §«¨· ¥² ¢¥°¸¨­» ¤¥°¥¢ , «¥¦ ¹¨¥ ¢ ®¤­®¬ ¨­´®°¬ ¶¨®­­®¬ ¬­®¦¥±²¢¥). H  °¨±. 2 ¨ 3 ¨§®¡° ¦¥­» ­¥¤®¯³±²¨¬»¥ ¨­´®°¬ ¶¨®­­»¥ ¬­®¦¥±²¢ : ¨­´®°¬ ¶¨®­­»¥ ¬­®¦¥±²¢  ­¥ ¬®£³² ¯¥°¥±¥ª ²¼±¿ (­¥ ° §«¨· ¿ ¢¥°¸¨­» ®¤­®£® ¨­´®°¬ ¶¨®­­®£® ¬­®¦¥±²¢  ¨ ¢¥°¸¨­» ¤°³£®£® ¨­´®°¬ ¶¨®­­®£® ¬­®¦¥±²¢ , ª®²®°®¥ ¯¥°¥±¥ª ¥²±¿ ± ¯¥°¢»¬, ¨£°®ª ²¥¬ ± ¬»¬ ­¥ ° §«¨· ¥² ¢¥°¸¨­», «¥¦ ¹¨¥ ¢ ®¡º¥¤¨­¥­¨¨ ½²¨µ ¨­´®°¬ ¶¨®­­»µ ¬­®¦¥±²¢); ¢ ¢¥°¸¨­ µ ®¤­®£® ¨­´®°¬ ¶¨®­­®£® ¬­®¦¥±²¢  ¬­®¦¥±²¢  ¤®±²³¯­»µ ¨£°®ª³  «¼²¥°­ ²¨¢ ¤®«¦­» ±®¢¯ ¤ ²¼ (¨­ ·¥ ¨£°®ª ±¬®¦¥² ° §«¨· ²¼ ¢¥°¸¨­» ¨­´®°¬ ¶¨®­­®£® ¬­®¦¥±²¢ ,   1

ˆ«¨ ° ±¸¨°¥­­ ¿ ´®°¬  | extensive form

‘² ²¨·¥±ª¨¥ ¨£°» ± ¯®«­®© ¨­´®°¬ ¶¨¥©

31

¨±. 1. ˆ­´®°¬ ¶¨®­­»¥ ¬­®¦¥±²¢  ®²¬¥·¥­» ¯³­ª²¨°®¬. 1, 2, 3 | ­®¬¥°  ¨£°®ª®¢, ¨¬¥¾¹¨µ ¯° ¢® µ®¤  (§¤¥±¼ ­¥ ³ª § ­» ¢»¨£°»¸¨ ¢ ª®­¶¥¢»µ ¢¥°¸¨­ µ ¤¥°¥¢ ). ±² «® ¡»²¼, ° §«¨· ²¼ ¤¥©±²¢¨¿, ¯°¥¤¸¥±²¢®¢ ¢¸¨¥ ¥£® µ®¤³).

°¨¢¥¤¥¬ ½«¥¬¥­² °­»© ¯°¨¬¥°.  ±±¬®²°¨¬ ±«¥¤³¾¹³¾ ¨£°³: ¯¥°¢»© ¨£°®ª ¢»¡¨° ¥² ®¤­³ ¨§ ²°¥µ ¶¨´° | 1, 2 ¨«¨ 3. ‡ ²¥¬ ¢²®°®© ¨£°®ª, ­¥ §­ ¿ ¢»¡®°  ¯¥°¢®£® ¨£°®ª , ² ª¦¥

32

ƒ« ¢  1

¢»¡¨° ¥² ®¤­³ ¨§ ²°¥µ ¶¨´° | 1, 2, 3. …±«¨ ±³¬¬  ¢»¡° ­­»µ ¶¨´° ·¥²­ , ²® ¯¥°¢»© ¨£°®ª ¢»¨£°»¢ ¥² ³ ¢²®°®£® ®¤¨­ °³¡«¼ (¤®«« °, ´³­² ¨ ¯°.). …±«¨ ±³¬¬  | ­¥·¥²­ ¿, ²® ­ ®¡®°®² | ¢»¨£°»¢ ¥² ¢²®°®©. „¥°¥¢® ±®®²¢¥²±²¢³¾¹¥© ¨£°» ¨§®¡° ¦¥­® ­  °¨±. 4.

¨±. 4. ‚ ª®­¶¥¢»µ ¢¥°¸¨­ µ ³ª § ­» ¢»¨£°»¸¨ ¨£°®ª®¢. H  °¨±. 5 ¨§®¡° ¦¥­  ¬®¤¨´¨ª ¶¨¿ ½²®© ¨£°», ¢ ª®²®°®© ¢²®°®¬³ ¨£°®ª³ ±² ­®¢¨²±¿ ¨§¢¥±²­® «¨¡®, ·²® ¯¥°¢»© ¨£°®ª ¢»¡° « ¶¨´°³ 2, «¨¡®, ­ ¯°®²¨¢, ·²® ¶¨´°³ 2 ®­ ­¥ ¢»¡° «. Œ» ¢¥°­¥¬±¿ ª ¯®§¨¶¨®­­®© ´®°¬¥ ¢ £«.2 (¯®±ª®«¼ª³ ¢ ½²®© £« ¢¥ ­ ± ¨­²¥°¥±³¾² ±² ²¨·¥±ª¨¥ ¨£°» ± ¯®«­®© ¨­´®°¬ ¶¨¥©, ¤«¿ ª®²®°»µ ¯®§¨¶¨®­­ ¿ ´®°¬  | ½²® ­¥ª®²®°®¥ ¨§«¨¸¥±²¢®),   ²¥¯¥°¼ ¯¥°¥©¤¥¬ ª® ¢²®°®© ¢®§¬®¦­®© ´®°¬¥ ¯°¥¤±² ¢«¥­¨¿ ¨£°» | ­®°¬ «¼­®© ¨«¨ ±²° ²¥£¨·¥±ª®© ´®°¬¥, ª®²®° ¿ À±³¬¬¨°³¥²Á ¯®§¨¶¨®­­³¾ ¨£°³ ¢ ²°¥µ ½«¥¬¥­² µ: ¬­®¦¥±²¢¥ ¨£°®ª®¢ I , ¬­®¦¥±²¢¥ ±²° ²¥£¨© ª ¦¤®£® ¨£°®ª  ¨ ´³­ª¶¨¨ ¢»¨£°»¸¥©, ±² ¢¿¹¥© ¢ ±®®²¢¥²±²¢¨¥ ª ¦¤®¬³ ­ ¡®°³ ±²° ²¥£¨© ¨£°®ª®¢ ±®®²¢¥²±²¢³¾¹¨¥ ¢»¨£°»¸¨ ¨£°®ª®¢.

‘² ²¨·¥±ª¨¥ ¨£°» ± ¯®«­®© ¨­´®°¬ ¶¨¥©

33

¨±. 5. 1.2. ˆ£°» ¢ ­®°¬ «¼­®© ´®°¬¥

ˆ² ª, ¨£°  ¢ ­®°¬ «¼­®©Q (¨«¨ ±²° ²¥£¨·¥±ª®©) ´®°¬¥2 | ½²® ²°®©ª  fI; S = i fSi gi2I ; u = (u1; : : :; un)g , £¤¥ I = f1; : : :; ng | ¬­®¦¥±²¢® ¨£°®ª®¢; Si | ¬­®¦¥±²¢® ±²° ²¥£¨© (µ®¤®¢)3, ¤®±²³¯­»µ ¨£°®ª³ i = 1; : : :; n , Q ui : S = i2I Si ! IR1 | ´³­ª¶¨¿ ¢»¨£°»¸¥© ¨£°®ª  i , ±² ¢¿¹ ¿ ¢ ±®®²¢¥²±²¢¨¥ ª ¦¤®¬³ ­ ¡®°³ ±²° ²¥£¨© s = (s1 ; : : :; sn ) , ­ §»¢ ¥¬®¬³ ² ª¦¥ ±¨²³ ¶¨¥©, ¢»¨£°»¸ ½²®£® ¨£°®ª 4 . ‘² ­¤ °²­»© ¯°¨¬¥° §¤¥±¼ | ¤³®¯®«¨¿ ¯® ¥°²° ­³ ¨ ¯® Š³°­®, ª®£¤  ±²° ²¥£¨¨ | ½²® ¶¥­» ¨«¨ ®¡º¥¬» ¢»¯³±ª , ±®®²¢¥²±²¢¥­­®,   ¢»¨£°»¸¨ | ½²® ¯°¨¡»«¼ (±¬. ¯. 1.9). ‚ ¦­»¬ ¯°¥¤¯®«®¦¥­¨¥¬, ª®²®°®¥ ¨£° ¥² ª«¾·¥¢³¾ °®«¼ Normal form representation. ‚ ­ ±²®¿¹¥© £« ¢¥, ¢ ª®²®°®© ° ±±¬ ²°¨¢ ¾²±¿ ±² ²¨·¥±ª¨¥ ¨£°», ²® ¥±²¼ ¨£°», ¢ ª®²®°»µ ¨£°®ª¨ µ®¤¿² ®¤¨­ ° §, ®¤­®¢°¥¬¥­­® ¨ ­¥§ ¢¨±¨¬®, ±²° ²¥£¨¿ ¨£°®ª  ¨ ¥£® µ®¤ | ½²® ®¤­® ¨ ²® ¦¥. °¨­¶¨¯¨ «¼­ ¿ ° §­¨¶ , ª ª ¬» ³¢¨¤¨¬ ­¨¦¥, ¢®§­¨ª ¥² ¢ ¤¨­ ¬¨·¥±ª®¬ ±«³· ¥. ¢ ®¡¹¥¬ ±«³· ¥, ¬» ­¥ ¤®«¦­» ¨±ª«¾· ²¼ ±«³· ¨ S & Q S4i §³¬¥¥²±¿, ; ±®®²¢¥²±²¢³¾¹¨¥ À¨£° ¬ ± § ¯°¥¹¥­­»¬¨ ±¨²³ ¶¨¿¬¨Á. Ž¤­ ª® ¬» §¤¥±¼ ² ª¨¥ ¨£°» ­¥ ° ±±¬ ²°¨¢ ¥¬. 2 3

34

ƒ« ¢  1

¢ ²¥®°¨¨, ¿¢«¿¥²±¿ ¯°¥¤¯®«®¦¥­¨¥ ® ²®¬, ·²® ¢±¥ ¨£°®ª¨ ° ¶¨®­ «¼­», ¢ ²®¬ ±¬»±«¥, ·²® ª ¦¤»© ¨£°®ª ° ±±¬ ²°¨¢ ¥² ¨¬¥¾¹¨¥±¿ ¢ ¥£® ° ±¯®°¿¦¥­¨¨  «¼²¥°­ ²¨¢», ´®°¬¨°³¥² ¯°¥¤±² ¢«¥­¨¿ ®²­®±¨²¥«¼­® ­¥¨§¢¥±²­»µ ¯ ° ¬¥²°®¢, ¨¬¥¥² ·¥²ª® ®¯°¥¤¥«¥­­»¥ ¯°¥¤¯®·²¥­¨¿ ¨ ¢»¡¨° ¥² ±¢®¨ ¤¥©±²¢¨¿ ¢ °¥§³«¼² ²¥ ­¥ª®²®°®£® ¯°®¶¥±±  ®¯²¨¬¨§ ¶¨¨ (¬ ª±¨¬¨§ ¶¨¨ ±¢®¥© ¶¥«¥¢®© ´³­ª¶¨¨). ®«¥¥ ²®£®, ­¥ ¬¥­¥¥ ±³¹¥±²¢¥­­»¬ ¿¢«¿¥²±¿ ´ ª² ®¡¹¥¨§¢¥±²­®±²¨ (®¡¹¥£® §­ ­¨¿)5 ° ¶¨®­ «¼­®±²¨ ¨£°®ª®¢, ². ¥. ¢±¥ ¨£°®ª¨ ­¥ ²®«¼ª® ° ¶¨®­ «¼­», ­® ¨ §­ ¾², ·²® ¤°³£¨¥ ¨£°®ª¨ ° ¶¨®­ «¼­», §­ ¾², ·²® ¢±¥ ¨£°®ª¨ §­ ¾², ·²® ®­¨ ° ¶¨®­ «¼­» ¨ ². ¤. ”®°¬ «¼­®¥ ®¯°¥¤¥«¥­¨¥ ®¡¹¥¨§¢¥±²­®±²¨ ±¬. Aumann (1976). ‡ ¬¥· ­¨¥ 1.2.1. ‚ ¯®±«¥¤­¨¥ £®¤» ¯®¿¢¨«®±¼ §­ ·¨²¥«¼­®¥ ·¨±«® ° ¡®², ¯®±¢¿¹¥­­»µ ¨±±«¥¤®¢ ­¨¾ ¬®¤¥«¥© ®£° ­¨·¥­­®© ° ¶¨®­ «¼­®±²¨. Ž±­®¢­ ¿ ¬®²¨¢ ¶¨¿ ½²¨µ ° ¡®² | ­¥³¤®¢«¥²¢®°¥­­®±²¼ ²¥®°¨¥©, ®¯¥°¨°³¾¹¥© ± À±®¢¥°¸¥­­® ° ¶¨®­ «¼­»¬ ·¥«®¢¥ª®¬Á, ¯®±ª®«¼ª³ ¬» ¿¢«¿¥²±¿ ±¢¨¤¥²¥«¿¬¨ ¢¥±¼¬  · ±²®£® ­¥±®®²¢¥²±²¢¨¿ °¥ «¼­®£® ¯®¢¥¤¥­¨¿ «¾¤¥© ¯°¥¤¯®«®¦¥­¨¾ À±®¢¥°¸¥­­®© ° ¶¨®­ «¼­®±²¨Á. ˆ¤¥¿ ¬®¤¥«¨°®¢ ­¨¿ ®£° ­¨·¥­­®© ° ¶¨®­ «¼­®±²¨ ¢®±µ®¤¨² ª ° ¡®² ¬ ƒ¥°¡¥°²  ‘ ©¬®­  (Simon, 1955, 1956;, ±¬. ² ª¦¥ Simon, 1972, 1976). Ž¡±³¦¤¥­¨¥ ¯°®¡«¥¬, ±¢¿§ ­­»µ ± ¬®¤¥«¨°®¢­¨¥¬ ®£° ­¨·¥­­®© ° ¶¨®­ «¼­®±²¨, ¬®¦­® ­ ©²¨, ­ ¯°¨¬¥°, ¢ ª­¨£¥ Rubinstein (1998).  §«¨·­»¥ ¢§£«¿¤» ­  ¯°®¡«¥¬» ¬®¤¥«¨°®¢ ­¨¿ ° ¶¨®­ «¼­»µ ¨ ®£° ­¨·¥­­»µ ° ¶¨®­ «¼­»µ ¨£°®ª®¢ ¨§«®¦¥­» ¢ ° ¡®² µ Binmore (1987, 1988), Aumann (1996). Ž¡° ²¨¬±¿ ª ²®¬³ ±«³· ¾, ª®£¤  I = f1; 2g ¨ ¬­®¦¥±²¢  ±²° ²¥£¨© ª ¦¤®£® ¨§ ¤¢³µ ¨£°®ª®¢ ª®­¥·­». ‚ ½²®¬ ±«³· ¥ ¨£°³ ¬®¦­® À¨§®¡° §¨²¼Á ± ¯®¬®¹¼¾ ¬ ²°¨¶» (±¬. °¨±. 6), £¤¥ M = jSij | ·¨±«® ¢®§¬®¦­»µ ±²° ²¥£¨© ¨£°®ª  1, K = jS2j | ·¨±«® ¢®§¬®¦­»µ ±²° ²¥£¨© ¨£°®ª  2, amk = u1 (s(1m); s(2k) ); bmk = u2 (s(1m); s(2k)); k = 1; : : :; K; m = 1; : : :; M: 5

Common knowledge.

‘² ²¨·¥±ª¨¥ ¨£°» ± ¯®«­®© ¨­´®°¬ ¶¨¥©

s11 .. .

s(2M )

35

s12 s(2K) 0 (a ; b ) : : : (a ; b ) 1 11 11 1K 1K @ ::: A ::: ::: (aM 1; bM 1) : : : (aMK ; bMK

¨±. 6. ²³ ¦¥ ¨£°³ ¬®¦­® ¯°¥¤±² ¢¨²¼ ¢ ¢¨¤¥ ¤¢³µ ¬ ²°¨¶ (¯®½²®¬³ ² ª¨¥ ¨£°» ­ §»¢ ¾²±¿ · ±²® ¡¨¬ ²°¨·­»¬¨), ½«¥¬¥­² ¬¨ ª®²®°»µ ¿¢«¿¾²±¿ ½«¥¬¥­²» amk ¨ bmk , ±®®²¢¥²±²¢¥­­®. „«¿ ª®­¥·­®©  ­² £®­¨±²¨·¥±ª®© ¨£°», ². ¥. ¨£°» ¤¢³µ «¨¶, ² ª®©, ·²® u1 (s1; s2 ) = ;u2 (s1 ; s2) ¤«¿ ¢±¥µ si 2 Si , i = 1; 2 , ±¯° ¢¥¤«¨¢® ° ¢¥­±²¢® amk = ;bmk ¤«¿ ¢±¥µ m ¨ k ,   ¯®½²®¬³ ² ª ¿ ¨£°  ¬®¦¥² ¡»²¼ § ¤ ­  ²®«¼ª® ®¤­®© ¬ ²°¨¶¥© (amk ) mk ;:::;K ;:::;M ; ¨ ¯®½²®¬³ ª®­¥·­»¥  ­² £®­¨±²¨·¥±ª¨¥ ¨£°» ­ §»¢ ¾²±¿ ¬ ²°¨·­»¬¨ (±¬. ¯®¤°®¡­¥¥  §¤¥« 1.8). ‘¬¥¸ ­­ ¿ ±²° ²¥£¨¿6 i | ½²® ¢¥°®¿²­®±²­®¥ ° ±¯°¥¤¥«¥­¨¥ ­  ¬­®¦¥±²¢¥ ·¨±²»µ ±²° ²¥£¨© Si . (Œ®²¨¢ ¶¨¾ ¢¢¥¤¥­¨¿ ±¬¥¸ ­­»µ ±²° ²¥£¨© ¬» ®±² ¢«¿¥¬ ­  ¡³¤³¹¥¥.)  ­¤®¬¨§ ¶¨¿ ª ¦¤»¬ ¨£°®ª®¬ ±¢®¨µ ±²° ²¥£¨© ±² ²¨±²¨·¥±ª¨ ­¥§ ¢¨±¨¬  ®² ° ­¤®¬¨§ ¶¨© ¥£® ®¯¯®­¥­²®¢,   ¢»¨£°»¸¨, ±®®²¢¥²±²¢³¾¹¨¥ ¯°®´¨«¾ (­ ¡®°³) ±¬¥¸ ­­»µ ±²° ²¥£¨©, | ½²® ®¦¨¤ ¥¬®¥ §­ ·¥­¨¥ ¢»¨£°»¸¥© ±®®²¢¥²±²¢³¾¹¨µ ·¨±²»µ ±²° ²¥£¨© (². ¥. °¥·¼ §¤¥±¼ ¨¤¥² ®¡ ®¦¨¤ ¥¬®© ¯®«¥§­®±²¨). Ž¤­  ¨§ ¯°¨·¨­, ¯® ª®²®°®© ¬» ±®±°¥¤®²®·¨¢ ¥¬±¿ ­  ª®­¥·­®¬ ±«³· ¥, | ±²°¥¬«¥­¨¥ ¨§¡¥¦ ²¼ À®±«®¦­¥­¨©Á, ±¢¿§ ­­»µ ± ²¥®°¨¥© ¬¥°». ³¤¥¬ ®¡®§­ · ²¼ ¯°®±²° ­±²¢® ±¬¥¸ ­­»µ ±²° ²¥£¨© i P £® ¨£°®ª  ·¥°¥§ i ,   i (si ) | ¢¥°®¿²­®±²¼ ²®£®, ·²® ¢»¡¨° ¥²±¿ ±²° ²¥£¨¿ °®±²° ­±²¢® ­ ¡®°®¢ ±¬¥¸ ­­»µ ±²° P = Qsi . P ²¥£¨© | i2I i , ½«¥¬¥­²» ª®²®°®£® ¬» ¡³¤¥¬ ®¡®§­ · ²¼ ·¥°¥§  . ®±¨²¥«¼ ±¬¥¸ ­­®© ±²° ²¥£¨¨ i | ½²® ¬­®¦¥±²¢® ²¥µ ·¨±²»µ ±²° ²¥£¨©, ª®²®°»¬ À¯°¨¯¨± ­ Á ¯®«®¦¨²¥«¼­ ¿ ¢¥°®¿²­®±²¼. =1 =1

6

Mixed strategy.

36

ƒ« ¢  1

Ž¯°¥¤¥«¥­¨¥ 1.2.1. …±«¨ Si | ª®­¥·­®¥ ¬­®¦¥±²¢®

·¨±²»µ ±²° ²¥£¨© ¨£°®ª  i , ²® ±¬¥¸ ­­ ¿ ±²° ²¥£¨¿ i : Si ! [0; 1] ±² ¢¨² ¢ ±®®²¢¥²±²¢¨¥ ª ¦¤®© ·¨±²®© ±²° ²¥£¨¨ si 2 Si ¢¥°®¿²­®±²¼ i (si)  0 ²®£®, ·²® ®­  P ¡³¤¥² ¨£° ²¼±¿, ¯°¨·¥¬ si 2Si i (si ) = 1 .

(Ž¡° ²¨¬ ¢­¨¬ ­¨¥ ­  ²®, ·²® ¨­¤¥ª± i ®§­ · ¥² §¤¥±¼, ·²® °¥·¼ ¨¤¥² ® ±²° ²¥£¨¨ ¨£°®ª  i . ®½²®¬³, ¥±«¨ ¬» ¡³¤¥¬ £®¢®°¨²¼ ® ° §­»µ ±²° ²¥£¨¿µ ¨£°®ª  i , ²® ¬» ¡³¤¥¬ ®¡®§­ · ²¼ ¨µ si ; s0i ; s00i ; : : ::) ¥²°³¤­® § ¬¥²¨²¼, ·²® ¬­®¦¥±²¢® ±¬¥¸ ­­»µ ±²° ²¥£¨© ¨£°®ª  i | ½²® (ki ; 1) -¬¥°­»© ±¨¬¯«¥ª±, £¤¥ ki | ·¨±«® ·¨±²»µ ±²° ²¥£¨© i -£® ¨£°®ª . ‚»¨£°»¸ ¨£°®ª  i , ±®®²¢¥²±²¢³¾¹¨© ¯°®´¨«¾ (­ ¡®°³) ±²° ²¥£¨© ; ¥±²¼

ui() =

n X Y

s2S j =1



j (sj ) ui (s)

(2:1)

(¯®±ª®«¼ª³ ­  ­ ¡®° µ ·¨±²»µ ±²° ²¥£¨© §­ ·¥­¨¿ ½²®© ´³­ª¶¨¨ ±®¢¯ ¤ ¾² ±® §­ ·¥­¨¿¬¨ ¨±µ®¤­®© ´³­ª¶¨¨ ¢»¨£°»¸¥© ui , ¬» ±®µ° ­¿¥¬ ²® ¦¥ ®¡®§­ ·¥­¨¥). ‚ ¦­® ®²¬¥²¨²¼, ·²® ¢»¨£°»¸ i -£® ¨£°®ª  ¥±²¼ «¨­¥©­ ¿ ´³­ª¶¨¿ ®² ¢¥°®¿²­®±²¥© i ,   ² ª¦¥ ¿¢«¿¥²±¿ ¯®«¨­®¬®¬ ®² ¯°®´¨«¿,   ¯®²®¬³ ­¥¯°¥°»¢¥­.  ª®­¥¶, ·¨±²»¥ ±²° ²¥£¨¨ ¿¢«¿¾²±¿ ¢»°®¦¤¥­­»¬¨ ±¬¥¸ ­­»¬¨ ±²° ²¥£¨¿¬¨, ¯°¨¯¨±»¢ ¾¹¨¬¨ ¢¥°®¿²­®±²¼ 1 ¤ ­­®© ·¨±²®© ±²° ²¥£¨¨ ¨ ¢¥°®¿²­®±²¼ 0 | ®±² «¼­»¬.

Ž¯°¥¤¥«¥­¨¥ 1.2.2. ‘¬¥¸ ­­»¬ ;P = QfI; S;Pug ­ §»¢ ¥²±¿ ¨£°  = i2I i ,   u( ) , £¤¥  2 ¢¥­±²¢®¬ (2.1).

° ±¸¨°¥­¨¥¬ ¨£°» ; = fI; P; ug , £¤¥ P , ®¯°¥¤¥«¿¥²±¿ ° -

37

‘² ²¨·¥±ª¨¥ ¨£°» ± ¯®«­®© ¨­´®°¬ ¶¨¥©

 ° ¨ ¬ ¥ °.  ±±¬®²°¨¬ ¨£°³, ¨§®¡° ¦¥­­³¾ ­  °¨±. 7.

L M P 1 0 u (4; 3) (5; 1) (6; 2) m @ (2; 1) (8; 4) (3; 6) A d

(3; 0) (9; 6) (2; 8) ¨±. 7.





u1() =

1 3

+

1 3

+

0
3 + 21
9 + 12 u2() = 276 :

³±²¼ 1 = 31 ; 13 ; 13 (½²® ®§­ · ¥², ·²® ±¬¥¸ ­­ ¿ ±²° ²¥£¨¿ ¨£°®ª  1 ¯°¥¤¯¨±»¢ ¥² ¥¬³ ¨£° ²¼  ±²° ²¥£¨¨ u , m ¨ d c ¢¥°®¿²­®±²¿¬¨ 1/3), 2 = 0; 21 ; 12 (½²  ±¬¥¸ ­­ ¿ ±²° ²¥£¨¿ ¨£°®ª  2 ¯°¥¤¯¨±»¢ ¥² ¨£° ²¼ ±²° ²¥£¨¨ M ¨ R ± ° ¢­»¬¨ ¢¥°®¿²­®±²¿¬¨ ¨ ­¥ ¨£° ²¼ ±²° ²¥£¨¾ L ¢®¢±¥). ‚ ¤ ­­®¬ ±«³· ¥ ¬» ¯®«³· ¥¬

1 3

  



0
4+

1 1 2
5+ 2


6 +

0
2+

1 1 2
8+ 2


3 +

 


2 = 112 ;

1.3. „®¬¨­¨°³¥¬»¥ ±²° ²¥£¨¨

®±¬®²°¨¬ ¢­¨¬ ²¥«¼­® ­  ¯°¨¢¥¤¥­­³¾ ¢»¸¥ ¨£°³ (°¨±. 7). ¥§ ¢¨±¨¬® ®² ²®£®, ª ª ¨£° ¥² ¨£°®ª 1, R ¤ ¥² ¨£°®ª³ 2 ±²°®£® ¡®«¼¸¨© ¢»¨£°»¸, ­¥¦¥«¨ M . ‚ ½²®¬ ±¬»±«¥ ±²° ²¥£¨¿ M ±²°®£® ¤®¬¨­¨°³¥¬ , ¯®½²®¬³ ¿±­®, ·²® ° ¶¨®­ «¼­»© ¨£°®ª 2 ­¥ ¤®«¦¥­ ¨£° ²¼ M: „ «¥¥, ¥±«¨ ¨£°®ª 1 §­ ¥² (². ª. ®­ ± ¬ ° ¶¨®­ «¥­ ¨ §­ ¥², ·²® ¤°³£®© ° ¶¨®­ «¥­...), ·²® 2 ­¥ ¡³¤¥² ¨£° ²¼ M; ²® ¤«¿ ­¥£® u ¡³¤¥² «³·¸¥, ·¥¬ m ¨«¨ d:  ª®­¥¶, ¥±«¨ ¨£°®ª 2 §­ ¥², ·²® ¨£°®ª 1 §­ ¥², ·²® ¨£°®ª 2

38

ƒ« ¢  1

­¥ ¡³¤¥² ¨£° ²¼ M; ²® ¨£°®ª 2 §­ ¥², ·²® 1 ¡³¤¥² ¨£° ²¼ u;   ²®£¤  2 ¤®«¦¥­ ¨£° ²¼ L . ²®² ¯°®¶¥±± | ¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼­®¥ ³¤ «¥­¨¥ ±²°®£® ¤®¬¨­¨°³¥¬»µ ±²° ²¥£¨© (¬» ¤ ¤¨¬ ¯®§¤­¥¥ ±²°®£®¥ ®¯°¥¤¥«¥­¨¥ ¨ ±®®²¢¥²±²¢³¾¹¨© ½ª®­®¬¨·¥±ª¨© ¯°¨¬¥°). ‚®¯°®±, ¥±²¥±²¢¥­­® ¢®§­¨ª ¾¹¨© §¤¥±¼: À€ ­¥ § ¢¨±¨² «¨ ¬­®¦¥±²¢® ±²° ²¥£¨©, ¢»¤¥°¦¨¢ ¾¹¨µ ² ª®¥ ¨±ª«¾·¥­¨¥ ¤®¬¨­¨°³¥¬»µ ±²° ²¥£¨©, ®² ¯®°¿¤ª  ¨±ª«¾·¥­¨¿?Á Š ±· ±²¼¾, ­¥², ¨ ¤¥«® §¤¥±¼ ¢ ²®¬, ·²® ¥±«¨ ±²° ²¥£¨¿ si ±²°®£® µ³¦¥, ·¥¬ s0i ¤«¿ ¢±¥µ ±²° ²¥£¨© ®¯¯®­¥­²  ¨§ ¬­®¦¥±²¢  D , ²® ®­  µ³¦¥, ·¥¬ s0i ¨ ¤«¿ «¾¡®£® ¯®¤¬­®¦¥±²¢  ¬­®¦¥±²¢  D. ®±¬®²°¨¬ ²¥¯¥°¼ ­  ±«¥¤³¾¹³¾ ¨£°³ (°¨±. 8):

U M D

0 (2L; 0) (;R1; 0) 1 @ (0; 0) (0; 0) A (;1; 0) (2; 0) ¨±. 8.

‡¤¥±¼ M ­¥ ¤®¬¨­¨°³¥²±¿ ±²°®£® ±²° ²¥£¨¥© U; ¨ M ­¥ ¤®¬¨­¨°³¥²±¿ ±²°®£® ±²° ²¥£¨¥© D: Ž¤­ ª®, ¥±«¨ ¨£°®ª 1 ¨£° ¥² U ± ¢¥°®¿²­®±²¼¾ 1/2 ¨ D | ± ¢¥°®¿²­®±²¼¾ 1/2, ®­ ®¡¥±¯¥·¨¢ ¥² ±¥¡¥ ¢»¨£°»¸ 1/2 ­¥§ ¢¨±¨¬® ®² ²®£®, ª ª ¨£° ¥² ¨£°®ª 2. ‘«¥¤®¢ ²¥«¼­®, ·¨±² ¿ ±²° ²¥£¨¿ ¬®¦¥² ±²°®£® ¤®¬¨­¨°®¢ ²¼±¿ ±¬¥¸ ­­®© ±²° ²¥£¨¥©, ¤ ¦¥ ¥±«¨ ®­  ­¥ ¤®¬¨­¨°³¥²±¿ ±²°®£® ­¨ª ª®© ·¨±²®© ±²° ²¥£¨¥©. ‚¢¥¤¥¬ ±«¥¤³¾¹¨¥ ®¡®§­ ·¥­¨¿: ¯³±²¼ i 2 I , ²®£¤  ·¥°¥§ s;i 2 S;i ¡³¤¥¬ ®¡®§­ · ²¼ ­ ¡®° ±²° ²¥£¨© ¨£°®ª®¢ ¨§ I n fig; (s0i ; s;i ) ®¡®§­ · ¥² ­ ¡®° ±²° ²¥£¨© (s1 ;


; si;1; s0i ; si+1 ; : : :; sn ): €­ «®£¨·­®, ¤«¿ ±¬¥¸ ­­»µ ±²° ²¥£¨© (i0 ; ;i ) | ½²® (1; : : :; i;1 ; i0; i+1; : : :; n ) . (‡ ¬¥²¨¬, ·²® ¢ ½²¨µ ®¡®§­ ·¥­¨¿µ s = (si ; s;i ) .)

‘² ²¨·¥±ª¨¥ ¨£°» ± ¯®«­®© ¨­´®°¬ ¶¨¥©

39

Ž¯°¥¤¥«¥­¨¥ 1.3.1. —¨±² ¿ ±²° ²¥£¨¿ si ¨£°®ª  i ¢ ¨£°¥

; ±²°®£® ¤®¬¨­¨°³¥¬  (±²°®£® ¤®¬¨­¨°³¥²±¿), ¥±«¨ ±³¹¥±²¢³¥² ¤°³£ ¿ ·¨±² ¿ ±²° ²¥£¨¿ s0i ² ª ¿, ·²® ui (s0i ; s;i) > ui(si; s;i ) (3:1)

¤«¿ ¢±¥µ s;i 2 S;i .

‚ ½²®¬ ±«³· ¥ £®¢®°¿², ·²® ±²° ²¥£¨¿ s0i ¤®¬¨­¨°³¥² ±²° ²¥£¨¾ si . C²° ²¥£¨¿ si ±« ¡® ¤®¬¨­¨°³¥²±¿, ¥±«¨ ±³¹¥±²¢³¥² ² ª ¿ s0i , ·²® (3.1) ¢»¯®«­¿¥²±¿ ª ª ­¥±²°®£®¥ ­¥° ¢¥­±²¢®, ­® µ®²¿ ¡» ¤«¿ ®¤­®£® ­ ¡®°  s;i | ­¥° ¢¥­±²¢® ±²°®£®¥. €­ «®£¨·­® ®¯°¥¤¥«¥­¨¥ ¨ ¤«¿ ±¬¥¸ ­­»µ ±²° ²¥£¨©:

Ž¯°¥¤¥«¥­¨¥ 1.3.2. ‘¬¥¸ ­­ ¿ ±²° ²¥£¨¿ i ±²°®£® ¤®¬¨­¨°³¥²±¿ ¢ ¨£°¥ ; ; ¥±«¨ ±³¹¥±²¢³¥² ¤°³£ ¿ ±²° ²¥£¨¿ P 0 i ² ª ¿, ·²® ¤«¿ ¢±¥µ ;i 2 ;i ui (i0; ;i) > ui(i ; ;i):

‘²° ²¥£¨¿ i ­ §»¢ ¥²±¿ ±²°®£® ¤®¬¨­¨°³¾¹¥© ±²° ²¥£¨¥© ¤«¿ ¨£°®ª  i ¢ ¨£°¥P; ; ¥±«¨ ®­  ±²°®£® ¤®¬¨­¨°³¥² «¾¡³¾ ¤°³£³¾ ±²° ²¥£¨¾ ¨§ i . ‡ ¬¥²¨¬, ·²® ¤«¿ ¯°®¢¥°ª¨ ±²°®£®© ¤®¬¨­¨°³¥¬®±²¨ i ±²° ²¥£¨¥© i0 ; ­ ¬ ­³¦­® ¯®±¬®²°¥²¼ ­  À¯®¢¥¤¥­¨¥Á ½²¨µ ¤¢³µ ±²° ²¥£¨© ¯°®²¨¢ ·¨±²»µ ±²° ²¥£¨© ®¯¯®­¥­²®¢ ¨£°®ª 

i:

”®°¬ «¼­®:

(A) ui (i0; ;i ) > ui (i ; ;i ) 8;i ²®£¤  ¨ ²®«¼ª® ²®£¤ , ª®£¤  (B ) ui (i0; s;i ) > ui (i ; s;i ) 8s;i : „¥©±²¢¨²¥«¼­®: ° ±±¬®²°¨¬ ° §­®±²¼

ui (i0; ;i );ui(i; ;i) =

X Y (

s;i 2S;i k6=i

k (sk ))[ui(i0 ; s;i );ui(i; s;i )]:

40

ƒ« ¢  1

’®£¤  ¥±«¨ (B), ²® (A), ². ª. ¢±¥ [ui (i0; s;i ) ; ui (i ; s;i )] > 0 . (B) ±«¥¤³¥² ¨§ (A), ². ª. s;i | ¢»°®¦¤¥­­»© ±«³· © ;i . ‡   ¤   ·  . „®ª ¦¨²¥, ·²® ¥±«¨ ·¨±² ¿ ±²° ²¥£¨¿ si ¿¢«¿¥²±¿ ±²°®£® ¤®¬¨­¨°³¥¬®©, ²® ² ª®¢®© ¦¥ ¿¢«¿¥²±¿ ¨ «¾¡ ¿ ±²° ²¥£¨¿, ¨±¯®«¼§³¾¹ ¿ si ± ¯®«®¦¨²¥«¼­®© ¢¥°®¿²­®±²¼¾. Ž¤­ ª® ±¬¥¸ ­­ ¿ ±²° ²¥£¨¿ ¬®¦¥² ¡»²¼ ±²°®£® ¤®¬¨­¨°³¥¬®©, ¤ ¦¥ ¥±«¨ ®­  ¨±¯®«¼§³¥² ± ¯®«®¦¨²¥«¼­®© ¢¥°®¿²­®±²¼¾ ·¨±²»¥ ±²° ²¥£¨¨, ª®²®°»¥ ¤ ¦¥ ­¥ ±« ¡® ¤®¬¨­¨°³¥¬». „¥©±²¢¨²¥«¼­®, ° ±±¬®²°¨¬ ±«¥¤³¾¹³¾ ¨£°³ (°¨±. 9):

U M D

0 (1L; 3) (;R2; 0) 1 @ (;2; 0) (1; 3) A (0; 1)

(0; 1)

¨±. 9.





1 1 2; 2; 0

‘²° ²¥£¨¿ ¯¥°¢®£® ¨£°®ª  ¤ ¥² ®¦¨¤ ¥¬»© ¢»¨£°»¸ ; 12 ¢­¥ § ¢¨±¨¬®±²¨ ®² ²®£®, ·²® ¨£° ¥² ¨£°®ª 2,   ±«¥¤®¢ ²¥«¼­®, ±²°®£® ¤®¬¨­¨°³¥²±¿ ±²° ²¥£¨¥© D . …±²¥±²¢¥­­®, ·²® ±²°®£® ¤®¬¨­¨°³¥¬»¥ ±²° ²¥£¨¨ ­ ¤® ³¤ «¿²¼. …±«¨ ¨£°  ° §°¥¸¨¬  ¢ ±¬»±«¥ ¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼­®£® ³¤ «¥­¨¿ ±²°®£® ¤®¬¨­¨°³¥¬»µ ±²° ²¥£¨©, ². ¥. ª ¦¤»© ¨£°®ª ®±² ¥²±¿ ± ¥¤¨­±²¢¥­­®© ±²° ²¥£¨¥©, ª ª ¢ ­ ¸¥¬ ¯¥°¢®¬ ¯°¨¬¥°¥, ²®, ¯®«³·¨¢¸ ¿±¿ ±¨²³ ¶¨¿ ¡³¤¥² µ®°®¸¨¬ ª ­¤¨¤ ²®¬ ¤«¿ ¯°¥¤±ª § ­¨¿ ²®£®, ª ª ¡³¤¥² ¯°®µ®¤¨²¼ ¨£° . ‚¥°­¥¬±¿ ª ¨£°¥, ¨§®¡° ¦¥­­®© ­  °¨±. 7. ¥²°³¤­® ³¡¥¤¨²¼±¿ ¢ ²®¬, ·²® §¤¥±¼ ¢ °¥§³«¼² ²¥ ¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼­®£® ³¤ «¥­¨¿ ±²°®£® ¤®¬¨­¨°³¥¬»µ ±²° ²¥£¨© ®±² ¥²±¿ ¯ °  ±²° ²¥£¨© (u; L) .   ¯¥°¢®¬ ¸ £¥ ³¤ «¿¥²±¿ ±²° ²¥£¨¿ M (®­  ¤®¬¨­¨°³¥²±¿ ±²° ²¥£¨¥© R ). ‡ ²¥¬ ³¤ «¿¥²±¿ ±²° ²¥£¨¿ m (¤®¬¨­¨°³¥¬ ¿ ±²° ²¥£¨¥© u ).   ²°¥²¼¥¬ ¸ £¥ ³¤ «¿¥²±¿ ±²° ²¥£¨¿ d (¤®¬¨­¨°³¥²±¿ ±²° ²¥£¨¥© u ).  ª®­¥¶, ­  ¯®±«¥¤­¥¬ ¸ £¥ ³¤ «¿¥²±¿ R .

41

‘² ²¨·¥±ª¨¥ ¨£°» ± ¯®«­®© ¨­´®°¬ ¶¨¥©

® ¤ ¦¥ ¥±«¨ ² ª¨¥ ±¨²³ ¶¨¨ ¯°¥¤±² ¢«¿¾² ±®¡®© µ®°®¸¨¥ ª ­¤¨¤ ²³°», ¢±¥ ­¥ ®¡¿§ ²¥«¼­® ¯°®¨§®©¤¥² ¢ ±®®²¢¥²±²¢¨¨ ± ¨µ À¯°¥¤¯¨± ­¨¥¬Á, ®±®¡¥­­® ¥±«¨ ¢»¨£°»¸¨ ¬®£³² ¯°¨­¨¬ ²¼ À½ª±²°¥¬ «¼­»¥Á §­ ·¥­¨¿.  ±±¬®²°¨¬, ­ ¯°¨¬¥°, ±«¥¤³¾¹³¾ ¨£°³ (°¨±. 10):

u D



L

R

(20; 10) (15; 20) (;100; 20) (40; 30)



¨±. 10. Ž·¥¢¨¤­®, ·²® §¤¥±¼ ±²° ²¥£¨¿ L ¤®¬¨­¨°³¥²±¿ ±²° ²¥£¨¥© R ,   ¯®²®¬³ ±¨²³ ¶¨¿ (D; R) ¿¢«¿¥²±¿ µ®°®¸¨¬ ª ­¤¨¤ ²®¬. ® . . . °®¨£°»¸ ¨£°®ª  1 ¢ ±¨²³ ¶¨¨ (D; L) ±«¨¸ª®¬ ¢¥«¨ª, ¯®½²®¬³ ¢¯®«­¥ ¬®¦­® ¤®¯³±²¨²¼, ·²® ¨£°®ª 1 ¬®¦¥² ­¥ °¨±ª­³²¼ ±»£° ²¼ ±²° ²¥£¨¾ d (¤®¯³±ª ¿, ­ ¯°¨¬¥°, ¢®§¬®¦­®±²¼ ±«³· ©­®© ®¸¨¡ª¨ ¨£°®ª  2). ‚±¥, ª®­¥·­®, ¨§¬¥­¨²±¿, ¥±«¨ ¨£°®ª¨ ¬®£³² ¤®£®¢®°¨²¼±¿ ¤® ¯°¨­¿²¨¿ °¥¸¥­¨¿. ‚ ½²®¬ ±«³· ¥ ¢±¥ ³¦¥ ¡³¤¥² § ¢¨±¥²¼ ®² À±¨«»Á ¤®£®¢®°¥­­®±²¨. 1.4. ®±«¥¤®¢ ²¥«¼­®¥ ³¤ «¥­¨¥ ±« ¡® ¤®¬¨­¨°³¥¬»µ ±²° ²¥£¨©

 ±±¬®²°¨¬ ±«¥¤³¾¹³¾ ¨§¢¥±²­³¾ ¨£°³ ÀŒ®°¥ ¨±¬ °ª Á. °¥¤»±²®°¨¿ ±®¡»²¨¿ ² ª®¢ : 1943£.,  ¤¬¨° « Imamura ¯®«³·¨« ¯°¨ª § ¤®±² ¢¨²¼ ¯®¤ª°¥¯«¥­¨¥ ¯® ¬®°¾ ¨±¬ °ª  ­  ®¢³¾ ƒ¢¨­¥¾. ‚ ±¢®¾ ®·¥°¥¤¼  ¤¬¨° « Kenney ¤®«¦¥­ ¡»« ¢®±¯°¨¯¿²±²¢®¢ ²¼ ½²®¬³. Imamura ¤®«¦¥­ ¡»« ¢»¡° ²¼ ¬¥¦¤³ ‘¥¢¥°­»¬ (¡®«¥¥ ª®°®²ª¨¬) ¨ ž¦­»¬ ¬ °¸°³² ¬¨,   Kenney | °¥¸¨²¼, ª³¤  ¯®±»« ²¼ ± ¬®«¥²», ·²®¡» ° §¡®¬¡¨²¼ ª®­¢®©. °¨·¥¬ ¢ ²¥·¥­¨¥ ®¤­®£® ¤­¿ ± ¬®«¥²» ¬®£«¨ ¡®¬¡¨²¼ «¨¸¼ ­  ®¤­®¬ ¨§ ¤¢³µ ­ ¯° ¢«¥­¨© | «¨¡® ­  ‘¥¢¥°­®¬, «¨¡® ­  ž¦­®¬ ¬ °¸°³² µ (­® ­¥ ­  ¤¢³µ). ®½²®¬³,

42

ƒ« ¢  1

¥±«¨ Kenney ¯®±»« ¥² ± ¬®«¥²» ¢ ±²®°®­³ ­¥¯° ¢¨«¼­®£® ¬ °¸°³² , ²® ®­¨ ¢®§¢° ¹ ¾²±¿ ­  ¡ §³, ­® ·¨±«® ¤­¥©, ª®£¤  ¢®§¬®¦­  ¡®¬¡¥¦ª , ³¬¥­¼¸ ¥²±¿. Ž¯¨±»¢ ¥¬ ¿ ±¨²³ ¶¨¿ ¬®¤¥«¨°³¥²±¿ ±«¥¤³¾¹¥© ¨£°®©, ¢ ª®²®°®© ¢»¨£°»¸¨ | ½²® ·¨±«® ¤­¥©, ª®£¤  ¢®§¬®¦­  ¡®¬¡¥¦ª  ª®­¢®¿ (¥±²¥±²¢¥­­®, ±® §­ ª®¬ À+Á ¤«¿ Kenney ¨ À{Á ¤«¿ Imamur'»). ‘·¨² ¥¬, ·²® ‘¥¢¥°­»© ¬ °¸°³² § ­¨¬ ¥² 2 ¤­¿,   ž¦­»© | 3 (±¬. °¨±. 11).

Kenney

‘ ž

0 @

Imamura ‘ ž (2; ;2) (2; ;2) (1; ;1) (3; ;3)

1 A

¨±. 11. ‚®®¡¹¥ £®¢®°¿ | ½²® ¬ ²°¨·­ ¿ ¨£° , ². ¥.  ­² £®­¨±²¨·¥±ª ¿ ¨£°  ± ª®­¥·­»¬ ¬­®¦¥±²¢®¬ ±²° ²¥£¨© ³ ª ¦¤®£® ¨£°®ª . ¨ ®¤¨­ ¨£°®ª ­¥ ¨¬¥¥² ¤®¬¨­¨°³¾¹¥© ±²° ²¥£¨¨. ® §¤¥±¼ ¬®¦­® £®¢®°¨²¼ ® ±« ¡®¬ ¤®¬¨­¨°®¢ ­¨¨: ¤«¿ Imamur'» ±²° ²¥£¨¿ ž ±« ¡® ¤®¬¨­¨°³¥¬ , ² ª ª ª ¤«¿ «¾¡®© ±²° ²¥£¨¨ Kenney ¯°®¨£°»¸ Imamur'» (·¨±«® ¤­¥©, ª®£¤  ª®­¢®© ¡³¤¥² ¯®¤¢¥°£ ²¼±¿ ¡®¬¡®°¤¨°®¢ª ¬) ­¥ ¬¥­¼¸¥ ¤«¿ ž, ·¥¬ ¤«¿ ‘, ­® ¤«¿ ±²° ²¥£¨¨ Kenney ž | ¯°®¨£°»¸ ¯°¨ ‘ ±²°®£® ¬¥­¼¸¥, ·¥¬ ¯°¨ ž. ®±«¥¤®¢ ²¥«¼­®¥ (¨²¥°¨°®¢ ­­®¥) ³¤ «¥­¨¥ ±« ¡® ¤®¬¨­¨°³¥¬»µ ±²° ²¥£¨© ¯°®µ®¤¨² ±«¥¤³¾¹¨¬ ®¡° §®¬: ¨±ª«¾· ¥²±¿ ®¤­  ¨§ ±« ¡® ¤®¬¨­¨°³¥¬»µ ±²° ²¥£¨© ®¤­®£® ¨§ ¨£°®ª®¢, § ²¥¬ ¨§ ®±² ¢¸¨µ±¿ ±²° ²¥£¨© ¨±ª«¾· ¥²±¿ ®¤­  ¨§ ±« ¡® ¤®¬¨­¨°³¥¬»µ ±²° ²¥£¨© ¨ ². ¤. °¥¤±² ¢¨¬ ±¥¡¥, ·²® Kenney ¯®­¨¬ ¥² ½²® ¨ ±·¨² ¥², ·²® Imamura ¢»¡¥°¥² ‘¥¢¥°. ‚ ½²®© ­®¢®© ±¨²³ ¶¨¨ Kenney ¨¬¥¥² ³¦¥ ¤®¬¨­¨°³¾¹³¾ ±²° ²¥£¨¾ | ‘¥¢¥°. ²® ¨ ¤ ¥² ­ ¬ ° ¢­®¢¥±¨¥ ¯°¨ ¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼­®¬ ³¤ «¥­¨¨ ¤®¬¨­¨°³¥¬»µ ±²° ²¥£¨©. (‚ ¤¥©±²¢¨²¥«¼­®±²¨ ² ª ¨ ±«³·¨«®±¼: 2{5¬ °²  1943 £.

‘² ²¨·¥±ª¨¥ ¨£°» ± ¯®«­®© ¨­´®°¬ ¶¨¥©

43

‚‚‘ ‘˜€ ¨ €¢±²° «¨¨  ² ª®¢ «¨ ¿¯®­±ª¨© ª®­¢®©, ª®²®°»© ¸¥« ¯® ‘¥¢¥°­®¬³ ¯³²¨ ¨ ¯®²®¯¨«¨ ¢±¥ ²° ­±¯®°²­»¥ ª®° ¡«¨ ¨ 4 ½±¬¨­¶ : ¨§ 7000 ·¥«. ¤® ®¢®© ƒ¢¨­¥¨ ¤®¡° « ±¼ 1000.) °®¶¥¤³°  ¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼­®£® ³¤ «¥­¨¿ ±« ¡® ¤®¬¨­¨°³¥¬»µ ±²° ²¥£¨©  ­ «®£¨·­  ³¤ «¥­¨¾ ±²°®£® ¤®¬¨­¨°³¥¬»µ ±²° ²¥£¨©. Ž¤­ ª® §¤¥±¼ ¥±²¼ ®¤­® ¢¥±¼¬  §­ ·¨²¥«¼­®¥ ®²«¨·¨¥. € ¨¬¥­­®, ¬­®¦¥±²¢® ±²° ²¥£¨©, ª®²®°»¥ ¢»¤¥°¦¨¢ ¾² ¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼­®¥ ³¤ «¥­¨¥ ±« ¡® ¤®¬¨­¨°³¥¬»µ ±²° ²¥£¨© (²® ¥±²¼ ®±² ¾²±¿), ¬®¦¥² § ¢¨±¥²¼ ®² ¯®°¿¤ª  ³¤ «¥­¨¿ ±²° ²¥£¨©. „¥©±²¢¨²¥«¼­®, ° ±±¬®²°¨¬ ±«¥¤³¾¹³¾ ¨£°³ (°¨±. 12):

U M D

0 (1L; 1) @ (1; 1)

R 1

(0; 0) (2; 1) A (0; 0) (2; 1)

¨±. 12. …±«¨ ¢­ · «¥ ³¤ «¿¥²±¿ U (±« ¡® ¤®¬¨­¨°³¥²±¿ M ),   § ²¥¬ L (±« ¡® ¤®¬¨­¨°³¥²±¿ R ), ²® ¬» ¯°¨µ®¤¨¬ ª ¨±µ®¤³ (2, 1) (¢²®°®© ¨£°®ª ¢»¡¨° ¥² R ). …±«¨ ¦¥ ¢­ · «¥ ³¤ «¿¥²±¿ D (±« ¡® ¤®¬¨­¨°³¥²±¿ M ),   § ²¥¬ R (±« ¡® ¤®¬¨­¨°³¥²±¿ L ), ²® ¬» ¯°¨µ®¤¨¬ ª ¨±µ®¤³ (1,1).  ±±¬®²°¨¬ ­¥±ª®«¼ª® ¯°¨¬¥°®¢. Œ» ­ ·­¥¬ ±® §­ ¬¥­¨²®© „¨«¥¬¬» ‡ ª«¾·¥­­®£® | ¢ ­¥ª®²®°®¬ ±¬»±«¥ ·°¥§¢»· ©­® ¯°®±²®© ¨£°», ª®²®° ¿ ¢ ° §­»µ ´®°¬³«¨°®¢ª µ ¢±²°¥· ¥²±¿ ¢ ¡®«¼¸¨­±²¢¥ ³·¥¡­¨ª®¢ ¯® ²¥®°¨¨ ¨£°, ª®²®° ¿ ¯°¨¢®¤¨²±¿ ¥¤¢  «¨ ­¥ ¢ ± ¬®¬ ­ · «¥ ª ¦¤®£® ª³°±  ¨ ª®²®°³¾ ¬­®£¨¥ ±° §³ ¦¥ ¢±¯®¬¨­ ¾², ª®£¤  ±«»¸ ² ±«®¢®±®·¥² ­¨¥ À²¥®°¨¿ ¨£°Á. „¨«¥¬¬  ‡ ª«¾·¥­­®£®. ‘² ¢¸¨© ¯®·²¨ µ°¥±²®¬ ²¨©­»¬ ±¾¦¥² ½²®© ±²¨«¨§®¢ ­­®© ¨±²®°¨¨ ² ª®¢. „¢®¥ ¯®¤®§°¥¢ ¥¬»µ ¢ ±®¢¥°¸¥­¨¨ ²¿¦ª®£® ¯°¥±²³¯«¥­¨¿  °¥±²®¢ ­» ¨ ¯®¬¥¹¥­» ¢ ®¤¨­®·­»¥ ª ¬¥°», ¯°¨·¥¬ ®­¨ ­¥ ¨¬¥¾² ¢®§¬®¦­®±²¨

44

ƒ« ¢  1

¯¥°¥¤ ¢ ²¼ ¤°³£ ¤°³£³ ª ª¨¥-«¨¡® ±®®¡¹¥­¨¿. ˆµ ¤®¯° ¸¨¢ ¾² ¯®®¤¨­®·ª¥. …±«¨ ®¡  ¯°¨§­ ¾²±¿ ¢ ±®¢¥°¸¥­¨¨ ¯°¥±²³¯«¥­¨¿, ²® ¨¬ £°®§¨², ± ³·¥²®¬ ¨µ ¯°¨§­ ­¨¿, ²¾°¥¬­®¥ § ª«¾·¥­¨¥ ±°®ª®¬ ¯® 6 «¥² ª ¦¤®¬³. …±«¨ ®¡  ¡³¤³² ¬®«· ²¼, ²® ®­¨ ¡³¤³² ­ ª § ­» §  ±®¢¥°¸¥­¨¥ ª ª®£®-²® ­¥§­ ·¨²¥«¼­®£® ¯°¥±²³¯«¥­¨¿ (±ª ¦¥¬, ­¥§ ª®­­®¥ µ° ­¥­¨¥ ®°³¦¨¿ ¨«¨ ·²®-­¨¡³¤¼ ¢ ½²®¬ ¤³µ¥) ¨ ¯®«³· ² ¢ ½²®¬ ±«³· ¥ ¯® 1 £®¤³ ²¾°¥¬­®£® § ª«¾·¥­¨¿. …±«¨ ¦¥ ®¤¨­ ¨§ ­¨µ ±®§­ ¥²±¿,   ¤°³£®© | ­¥², ²® ¯¥°¢»©, §  ±®¤¥©±²¢¨¥ ±«¥¤±²¢¨¾, ¡³¤¥² ¢®¢±¥ ®±¢®¡®¦¤¥­ ®² ­ ª § ­¨¿, ²®£¤  ª ª ¢²®°®© ¡³¤¥² ¯°¨£®¢®°¥­ ª ¬ ª±¨¬ «¼­® ¢®§¬®¦­®¬³ §  ¤ ­­®¥ ¯°¥±²³¯«¥­¨¥ ­ ª § ­¨¾ | 10-«¥²­¥¬³ ²¾°¥¬­®¬³ § ª«¾·¥­¨¾. Ž¯¨± ­­ ¿ ¨±²®°¨¿ ¬®¦¥² ¡»²¼ ¯°¥¤±² ¢«¥­  ±«¥¤³¾¹¥© ¨£°®© (°¨±. 13):

M C

 (;1;M;1) (;C10; 0)  (0; ;10) (;6; ;6) ¨±. 13.

‡¤¥±¼ ­¥²°³¤­® ³¡¥¤¨²¼±¿ ¢ ²®¬, ·²® ±²° ²¥£¨¿ À¬®«· ²¼Á ¿¢«¿¥²±¿ ±²°®£® ¤®¬¨­¨°³¥¬®© ¤«¿ ª ¦¤®£® ¨£°®ª  (¥¹¥ ° § ­ ¯®¬­¨¬, ·²® ®­¨ ° ¶¨®­ «¼­»), ¯®½²®¬³ ª ¦¤»© ¨£°®ª ¢»¡¥°¥² ±²° ²¥£¨¾ À±®§­ ²¼±¿Á. ‚ °¥§³«¼² ²¥ ®¡  § ª«¾·¥­­»µ ¯®«³· ² ¯® 6 «¥² ²¾°¥¬­®£® § ª«¾·¥­¨¿. Š ª ¬» ³¢¨¤¨¬ ­¨¦¥, ±¨²³ ¶¨¿ (À±®§­ ²¼±¿Á, À±®§­ ²¼±¿Á), ¥±²¥±²¢¥­­®, ¿¢«¿¥²±¿ ±¨²³ ¶¨¥© ° ¢­®¢¥±¨¿ ¯® ½¸³. °¨ ½²®¬ ¬» ±° §³ ¦¥ ±² «ª¨¢ ¥¬±¿ ± ¡°®± ¾¹¥©±¿ ¢ £« §  ¯°®¡«¥¬®©: ¯®«³· ¾¹¨©±¿ ¨±µ®¤ ®·¥­¼ ¯«®µ®© | ®­ ¤ ¥² ¬ ª±¨¬ «¼­»© ±³¬¬ °­»© ±°®ª § ª«¾·¥­¨¿ (° §³¬¥¥²±¿, ¬» ¯®¤·¥°ª¨¢ ¥¬ ½²® ¥¹¥ ° §, ­¥ ±«¥¤³¥² § ¡»¢ ²¼ ¯°¥¤¯®«®¦¥­¨¥ ® ° ¶¨®­ «¼­®±²¨ ¨£°®ª®¢, ¯®±ª®«¼ª³ §¤¥±¼ ¨±ª«¾· ¾²±¿ ¨§ ° ±±¬®²°¥­¨¿ ¯°®¡«¥¬» ¯°¥¤ ²¥«¼±²¢ , ¨ ². ¤.). ²® ¯®±«³¦¨«® ²®«·ª®¬ ª ¬­®£®·¨±«¥­­»¬ ¨±±«¥¤®¢ ­¨¿¬ ½²®© ¨£°», ¯®±ª®«¼ª³, ­ ¯°¨¬¥°, ¥±²¥±²¢¥­­»¬ ¦¥« ­¨¥¬ ¡»«®

45

‘² ²¨·¥±ª¨¥ ¨£°» ± ¯®«­®© ¨­´®°¬ ¶¨¥©

¡» ¯®«³·¨²¼ ¢ ª ·¥±²¢¥ ¨±µ®¤  ½²®© ¨£°» (¨«¨ ¥¥ ¬®¤¨´¨ª ¶¨©) ±¨²³ ¶¨¾ (À¬®«· ²¼Á, À¬®«· ²¼Á), ¤ ¾¹³¾ ª ¦¤®¬³ § ª«¾·¥­­®¬³ «¨¸¼ ¯® ®¤­®¬³ £®¤³ § ª«¾·¥­¨¿. ‘«¥¤³¾¹ ¿ ¨£°  ¨¬¥¥² ³¦¥ ¿°ª® ¢»° ¦¥­­»© ½ª®­®¬¨ª®¯®«¨²¨·¥±ª¨© ¯®¤²¥ª±², µ®²¿ ° §¤¥«¿¥² ± À„¨«¥¬¬®© ‡ ª«¾·¥­­®£®Á ³¯®¬¿­³²³¾ ¢»¸¥ ±¯¥¶¨´¨ª³, ¯®½²®¬³ ¬» ¯®§¢®«¨¬ ±¥¡¥ ±®µ° ­¨²¼ ²® ¦¥ ­ §¢ ­¨¥: À„¨«¥¬¬  ‡ ª«¾·¥­­®£® | 2Á.  ±±¬®²°¨¬ ¤¢¥ ­¥´²¥¤®¡»¢ ¾¹¨¥ ±²° ­», ª®²®°»¥ ¬» ­ §®¢¥¬, ±ª ¦¥¬, € ¨ ‚. ²¨ ¤¢¥ ±²° ­» ¬®£³² ª®®¯¥°¨°®¢ ²¼±¿ (Š), ¤®£®¢ °¨¢ ¿±¼ ®¡ ®¡º¥¬ µ ¥¦¥¤­¥¢­®© ¤®¡»·¨ ­¥´²¨, ®£° ­¨·¨¢ ¿±¼, ª ¯°¨¬¥°³, ¤®¡»·¥© 2 ¬«­. ¡ °°¥«¥© ­¥´²¨ ¢ ¤¥­¼ ¤«¿ ª ¦¤®© ±²° ­». ‘ ¤°³£®© ±²®°®­», ±²° ­» ¬®£³² ¤¥©±²¢®¢ ²¼ ­¥ª®®¯¥° ²¨¢­® (), ¤®¡»¢ ¿, ±ª ¦¥¬, ¯® 4 ¬«­. ¡ °°¥«¥© ¢ ¤¥­¼. ’ ª ¿ ±¨²³ ¶¨¿ ¬®¦¥² ¡»²¼ ¯°¥¤±² ¢«¥­  ±«¥¤³¾¹¥© ¨£°®©, ¢ ª®²®°®© ³ª § ­» ¯°¨¡»«¨ ±²° ­ ¢ § ¢¨±¨¬®±²¨ ®² ¨µ ®¡º¥¬®¢ ¤®¡»·¨ ­¥´²¨ (°¨±. 14).

B

A

K H

0 (46K; 42) @

H

(26; 44)

(52; 22) (32; 24)

1 A

¨±. 14. ²  ª °²¨­  ¤®±² ²®·­® ²¨¯¨·­  ¤«¿ ª °²¥«¿, ª®£¤  ³ ª ¦¤®£® ¨§ ·«¥­®¢ ª °²¥«¿ ¥±²¼ ±²¨¬³« ®²ª«®­¨²¼±¿ ®² ¤®£®¢®° , ·²®¡» §  ±·¥² ³¢¥«¨·¥­¨¿ ®¡º¥¬®¢ ¯°®¤ ¦ ¯®«³·¨²¼ ¤®¯®«­¨²¥«¼­³¾ ¯°¨¡»«¼. ‹¥£ª® ¢¨¤¥²¼, ·²® ¨ §¤¥±¼ ³ ª ¦¤®£® ¨§ ¨£°®ª®¢ ¥±²¼ ¤®¬¨­¨°³¾¹ ¿ ±²° ²¥£¨¿ | () | À­¥ ª®®¯¥°¨°®¢ ²¼±¿Á. ‚ °¥§³«¼² ²¥ ±²° ­» ¯®«³· ¾² ¯°¨¡»«¼ 32 ¨ 24 (¬«­. ¤®«« °®¢ ¢ ¤¥­¼), ·²® £®° §¤® ¬¥­¼¸¥, ­¥¦¥«¨ ¢ ±¨²³ ¶¨¨ ª®®¯¥° ²¨¢­®£® ¯®¢¥¤¥­¨¿.

46

ƒ« ¢  1

”¥­®¬¥­, ± ª®²®°»¬ ¬» ±²®«ª­³«¨±¼ ¢ ½²®¬ ¯°¨¬¥°¥,  ­ «®£¨·¥­ À„¨«¥¬¬¥ ‡ ª«¾·¥­­®£®Á, ¨ ¨¬¥­­® ¯®½²®¬³ ¢²®°®© ¯°¨¬¥° ¬» ² ª¦¥ ­ §¢ «¨ À„¨«¥¬¬®© ‡ ª«¾·¥­­®£®Á: ®¡  ¨£°®ª  ¨£° ¾² ±¢®¨ ¤®¬¨­¨°³¾¹¨¥ ±²° ²¥£¨¨, ¬ ª±¨¬¨§¨°³¿ ²¥¬ ± ¬»¬ ±¢®¨ ¢»¨£°»¸¨, ­® ¢ ²® ¦¥ ¢°¥¬¿ ¨±µ®¤ ¤«¿ ª ¦¤®£® ¨§ ­¨µ µ³¦¥, ­¥¦¥«¨ ¢ ±¨²³ ¶¨¨, ª®£¤  ®¡  ±«¥¤³¾² ¤®¬¨­¨°³¥¬»¬ ±²° ²¥£¨¿¬. Œ®¦­® «¨ ¤®±²¨·¼ Àª®®¯¥° ²¨¢­®£® ¯®¢¥¤¥­¨¿Á ¢ À„¨«¥¬¬¥ ‡ ª«¾·¥­­®£®Á? Š ª ¬» ³¢¨¤¨¬ ¢ ±«¥¤³¾¹¥© £« ¢¥ | ¤ . ‡¤¥±¼ ¬» ®£° ­¨·¨¬±¿ «¨¸¼ ¥¹¥ ®¤­¨¬ ¯°¨¬¥°®¬ ­  ½²³ ¦¥ ²¥¬³. À„¨«¥¬¬  ‡ ª«¾·¥­­®£® | 3Á. °¥¤¯®«®¦¨¬, ·²® ¥±²¼ 2 ° ¡®²­¨ª , ª®²®°»¥ ¬®£³² À° ¡®² ²¼Á (si = 1) ¨ À³¢¨«¨¢ ²¼Á (si = 0) ( si | ³°®¢¥­¼ ³±¨«¨©, ª®²®°»¥ ¯°¨ª« ¤»¢ ¥² ° ¡®²­¨ª i ). ‘³¬¬ °­»© ¢»¯³±ª Àª®¬ ­¤»Á 4(s1 + s2 ) ¤¥«¨²±¿ ¯®°®¢­³ ¬¥¦¤³ ° ¡®²­¨ª ¬¨. Š ¦¤»© ° ¡®²­¨ª ­¥±¥² ¨§¤¥°¦ª¨, ° ¢­»¥ 3, ¥±«¨ ° ¡®² ¥² (), ¨ ° ¢­»¥ 0, ¥±«¨ ³¢¨«¨¢ ¥² (“). ‘®®²¢¥²±²¢³¾¹ ¿ ¬ ²°¨¶  ¨§®¡° ¦¥­  ­  °¨±. 15.

 “

 (1; 1) (;“1; 2)  (2; ;1) (0; 0)

¨±. 15. ‹¥£ª® ¢¨¤¥²¼, ·²® ÀÁ | À ¡®² ²¼Á | ±²°®£® ¤®¬¨­¨°³¥¬ ¿ ±²° ²¥£¨¿ ¤«¿ ª ¦¤®£® ° ¡®²­¨ª . €³ª¶¨®­ ¢²®°®© ¶¥­». “ ¯°®¤ ¢¶  ¥±²¼ ®¤­  ¥¤¨­¨¶  ­¥¤¥«¨¬®£® ²®¢ ° . …±²¼ n ¯®²¥­¶¨ «¼­»µ ¯®ª³¯ ²¥«¥©, ª®²®°»¥ ®¶¥­¨¢ ¾² ²®¢ ° ±®®²¢¥²±²¢¥­­® ¢ 0  v1 


 vn ; ¨ ½²¨ ®¶¥­ª¨ ¿¢«¿¾²±¿ À®¡¹¥¨§¢¥±²­»¬¨Á. ®ª³¯ ²¥«¨ ®¤­®¢°¥¬¥­­® ¤¥« ¾² ±¢®¨ § ¿¢ª¨ (­ §­ · ¾² ¶¥­³) si 2 [0; +1) .  §­ ·¨¢¸¨© ¬ ª±¨¬ «¼­³¾ § ¿¢ª³ ¯®«³· ¥² ²®¢ ° ¨ ¯« ²¨² ¢²®°³¾ ¶¥­³, ². ¥. ¥±«¨ ¨£°®ª i ¢»¨£°»¢ ¥² ( si > maxj 6=i sj ), ²® ¥£® ¯®«¥§­®±²¼ ¥±²¼ ui = vi ; maxj 6=i si ,   ®±² «¼­»¥ ­¨·¥£® ­¥ ¯®«³· ¾² ¨ ­¨·¥£® ­¥ ¯« ²¿² (². ¥. uj = 0 ). …±«¨ ­¥±ª®«¼ª®

‘² ²¨·¥±ª¨¥ ¨£°» ± ¯®«­®© ¨­´®°¬ ¶¨¥©

47

¯®ª³¯ ²¥«¥© ­ §­ · ¾² ¢»±¸³¾ ¶¥­³, ²® ²®¢ ° ° ±¯°¥¤¥«¿¥²±¿ ±«³· ©­»¬ ®¡° §®¬ (­ ¯°¨¬¥°, ° ¢­®¢¥°®¿²­®). ‹¥£ª® ³¡¥¤¨²¼±¿ ¢ ²®¬, ·²® ±²° ²¥£¨¿ ­ §­ ·¥­¨¿ ±¢®¥© ®¶¥­ª¨ ( si = vi ) ±« ¡® ¤®¬¨­¨°³¥² ¢±¥ ®±² «¼­»¥. „¥©±²¢¨²¥«¼­®, ¯³±²¼ ri  maxj 6=i sj . ³±²¼ si > vi . ’®£¤ , ¥±«¨ ri  si , ²® i -© ³· ±²­¨ª ¯®«³· ¥² 0, ·²® ®­ ¯®«³·¨« ¡» ¨ ¯°¨ si = vi . …±«¨ ri  vi , ²® ®­ ¯®«³· ¥² vi ; ri , ·²® ®­ ®¯¿²¼ ¦¥ ¯®«³· ¥², ­ §­ ·¨¢ vi . …±«¨ ²¥¯¥°¼ vi < ri < si , ²® ¥£® ¯®«¥§­®±²¼ vi ; ri < 0 ,   ¥±«¨ ¡» ®­ ­ §¢ « vi , ²® ®­ ¡» ¯®«³·¨« 0. €­ «®£¨·­® ¨ ¤«¿ si < vi : ¥±«¨ ri  si ¨«¨ ri  vi , ²® ®­ ¯®«³· ¥² ²³ ¦¥ ¯®«¥§­®±²¼, ­ §¢ ¢ vi ¢¬¥±²® si . …±«¨ ¦¥ si < ri < vi , ²® ®­ ³¯³±ª ¥² ¢®§¬®¦­®±²¼ ¯®«³·¨²¼ ¯®«®¦¨²¥«¼­³¾ ¯®«¥§­®±²¼. ®«¥§­® ¢ ¤ ­­®¬ ±«³· ¥ § ¬¥²¨²¼, ·²® ¯®±ª®«¼ª³ ­ §­ ·¥­¨¥ ±®¡±²¢¥­­®© ®¶¥­ª¨ ¥±²¼ ¤®¬¨­¨°³¾¹ ¿ ±² °²¥£¨¿, ²® ­¥ ¨£° ¥² °®«¨, ¨¬¥¾² «¨ ¯®ª³¯ ²¥«¨ ¨­´®°¬ ¶¨¾ ®¡ ®¶¥­ª µ ¤°³£¨µ. Œ» ¢¥°­¥¬±¿ ª  ³ª¶¨®­³ ¢²®°®© ¶¥­» ¢ ¯. 1.6. 1.5.  ¶¨®­ «¨§³¥¬»¥ ±²° ²¥£¨¨

Œ» ®¡±³¦¤ «¨ ¨±ª«¾·¥­¨¥ ±²°®£® ¤®¬¨­¨°³¥¬»µ ±²° ²¥£¨©, ¨±µ®¤¿ ¨§ ²®£®, ·²® ° ¶¨®­ «¼­»© ¨£°®ª ­¨ª®£¤  ­¥ ¢»¡° « ¡» ² ª³¾ ±²° ²¥£¨¾, ¢­¥ § ¢¨±¨¬®±²¨ ®² ²®£®, ª ª ¨£° ¾² ¥£® ®¯¯®­¥­²». Ž¤­ ª® À®¡¹¥¥ §­ ­¨¥Á ±²°³ª²³°» ¨£°» ¨ ²®£®, ·²® ¨£°®ª¨ ° ¶¨®­ «¼­», ¯®§¢®«¿¥² ¨±ª«¾·¨²¼ ¡®«¼¸¥, ­¥¦¥«¨ ¯°®±²® ¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼­® ³¤ «¨²¼ ±²°®£® ¤®¬¨­¨°³¥¬»¥ ±²° ²¥£¨¨, ¯°¨·¥¬ §¤¥±¼ ®¯¿²¼ ¦¥ ¢ ¦­³¾ °®«¼ ¨£° ¥² À®¡¹¥¥ §­ ­¨¥Á. „ «¥¥ ¬» ° ±±¬ ²°¨¢ ¥¬ ±¬¥¸ ­­®¥ ° ±¸¨°¥­¨¥ ; ¨£°» ;:

Ž¯°¥¤¥«¥­¨¥ 1.5.1. ‘²° ²¥£¨¿ i ¿¢«¿¥²±¿ «³·¸¨¬

®²¢¥²®¬ ¨£°®ª  i ­  ­ ¡®° ±²° ²¥£¨© ®¯¯®­¥­²®¢ ;i , P ¥±«¨ ui (i ; ;i )  ui (i0 ; ;i) ¯°¨ «¾¡»µ i0 2 i . ‘²° ²¥£¨¿

48

ƒ« ¢  1

i ¿¢«¿¥²±¿ À­¨ª®£¤  ­¥ «³·¸¨¬Á ®²¢¥²®¬7 (¤ «¥¥ ‹Ž), ¥±«¨ ­¥ ±³¹¥±²¢³¥² ;i , ¤«¿ ª®²®°»µ ®­  ¡»«  ¡» «³·¸¨¬

®²¢¥²®¬.

Š®­¥·­® ¦¥ ¨£°®ª ­¥ ¡³¤¥² ¨£° ²¼ ±²° ²¥£¨¾, ª®²®° ¿ ¿¢«¿¥²±¿ À­¨ª®£¤  ­¥ «³·¸¨¬ ®²¢¥²®¬Á. Ÿ±­®, ·²® ±²°®£® ¤®¬¨­¨°³¥¬ ¿ ±²° ²¥£¨¿ ¿¢«¿¥²±¿ À­¨ª®£¤  ­¥ «³·¸¥©Á.  §³¬¥¥²±¿, ¬®¦¥² ±«³·¨²¼±¿, ·²® ±²° ²¥£¨¿ ¡³¤¥² À­¨ª®£¤  ­¥ «³·¸¨¬ ®²¢¥²®¬Á, ¤ ¦¥ ¥±«¨ ®­  ­¥ ¿¢«¿¥²±¿ ±²°®£® ¤®¬¨­¨°³¥¬®© (¬» ¥¹¥ ¢¥°­¥¬±¿ ª ½²®¬³). ’ ª¨¬ ®¡° §®¬, ³¤ «¿¿ À­¨ª®£¤  ­¥ «³·¸¨¥ ®²¢¥²»Á, ¬» ¤®«¦­» ³¤ «¨²¼ ¯® ª° ©­¥© ¬¥°¥ ¨ ¢±¥ ±²° ²¥£¨¨, ³¤ «¿¥¬»¥ ¯°¨ ¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼­®¬ ³¤ «¥­¨¨ ±²°®£® ¤®¬¨­¨°³¥¬»µ ±²° ²¥£¨©. ®«¥¥ ²®£®, ¯°¥¤¯®« £ ¿ À®¡¹¥¥ §­ ­¨¥Á, ¬» ¬®¦¥¬ ¨²¥°¨°®¢ ²¼ ³¤ «¥­¨¥ À­¨ª®£¤  ­¥ «³·¸¨µ ®²¢¥²®¢Á.  ¶¨®­ «¼­»© ¨£°®ª ­¥ ¤®«¦¥­ ¨£° ²¼ ‹Ž, ª ª ²®«¼ª® ®­ ¨±ª«¾· ¥² ¢®§¬®¦­®±²¼ ²®£®, ·²® ¥£® ¯°®²¨¢­¨ª¨ ¬®£³² ¨£° ²¼ ‹Ž ¨ ². ¤. ‘²° ²¥£¨¨, ®±² ¾¹¨¥±¿ ¯®±«¥ ² ª®£® ¨²¥° ²¨¢­®£® ³¤ «¥­¨¿, | ½²® ²¥ ±²° ²¥£¨¨, ª®²®°»¥ ° ¶¨®­ «¼­»© ¨£°®ª ¬®¦¥² ®¯° ¢¤ ²¼, ¨«¨ ° ¶¨®­ «¨§®¢ ²¼, ° §³¬¥¥²±¿, ¯°¨ ­¥ª®²®°»µ ° §³¬­»µ ¯°¥¤¯®«®¦¥­¨¿µ ® ¢»¡®°¥ ±¢®¨µ ¯°®²¨¢­¨ª®¢.

Ž¯°¥¤¥«¥­¨¥ 1.5.2. ‘²° ²¥£¨¨ ¢ Pi , ª®²®°»¥ ¢»¤¥°¦¨-

¢ ¾² ¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼­®¥ ³¤ «¥­¨¥ ‹Ž, ­ §»¢ ¾²±¿ ° ¶¨®­ «¨§³¥¬»¬¨ ±²° ²¥£¨¿¬¨8 .

®­¿²¨¥ ° ¶¨®­ «¨§³¥¬»µ ±²° ²¥£¨© ¡»«® ¢¢¥¤¥­® ­¥§ ¢¨±¨¬® ¥°­µ¥©¬®¬ ¨ ¨°±®¬ (Bernheim, 1984; Pearce, 1984). Œ®¦­® ¯®ª § ²¼, ·²® ² ª ¦¥, ª ª ¨ ¯°¨ ¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼­®¬ ³¤ «¥­¨¨ ±²°®£® ¤®¬¨­¨°³¥¬»µ ±²° ²¥£¨©, ¯®°¿¤®ª ³¤ «¥­¨¿ ­¥ ±³¹¥±²¢¥­. ‡ ¬¥²¨¬, ·²® ¬­®¦¥±²¢® ° ¶¨®­ «¨§¨°³¥¬»µ ±²° ²¥£¨© ­¥ ¬®¦¥² ¡»²¼ ¸¨°¥, ·¥¬ ¬­®¦¥±²¢® ±²° ²¥£¨©, À¢»¦¨¢ ¾¹¨µÁ ¯°¨ ¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼­®¬ ³¤ «¥­¨¨ ±²°®£® 7 8

Never a best response. Razionalizable strategies.

49

‘² ²¨·¥±ª¨¥ ¨£°» ± ¯®«­®© ¨­´®°¬ ¶¨¥©

¤®¬¨­¨°³¥¬»µ ±²° ²¥£¨©, ¯®±ª®«¼ª³ ­  ª ¦¤®¬ ¸ £¥ ¯°®¶¥±± , ®¯°¥¤¥«¿¾¹¥£® ¬­®¦¥±²¢® ° ¶¨®­ «¨§¨°³¥¬»µ ±²° ²¥£¨©, ¢±¥ ±²° ²¥£¨¨, ±²°®£® ¤®¬¨­¨°³¥¬»¥ ­  ¤ ­­®¬ ¸ £¥, ³¤ «¿¾²±¿.  ° ¨ ¬ ¥ ° (Osborn, Rubinstein) (±¬. °¨±. 16).

a1 a2 a3 a4

0 (0;b7)1 BB (5; 2) @ (7; 0)

b2

(2; 5) (3; 3) (2; 5) (0; 0) (0; ;2)

b3

b4

(7; 0) (0; 1) (5; 2) (0; 1) (0; 7) (0; 1) (0; 0) (10; ;1)

1 C C A

¨±. 16.   ¯¥°¢®¬ ¸ £¥ ¨±ª«¾·¥­¨¿ ³¤ «¿¥²±¿ ±²° ²¥£¨¿ b4 , ². ª. ®­  ¿¢«¿¥²±¿ ‹Ž, ¯®±ª®«¼ª³ ±¬¥ ®­  ±²°®£®  ¤®¬¨­¨°³¥²±¿  ¸ ­­®© ±²° ²¥£¨¥© 21 ; 0; 12 ; 0 ¨«¨ 32 ; 13 ; 0; 0 . Š ª ²®«¼ª® ¨±ª«¾·¥­  b4; ¬®¦­® ¨±ª«¾·¨²¼ a4 , ². ª. ®­  ±²°®£® ¤®¬¨­¨°³¥²±¿ a2 (¯®±ª®«¼ª³ b4 ³¤ «¥­ ). ® ¤ «¼¸¥ ¬» ³¦¥ ­¥ ¬®¦¥¬ ³¤ «¨²¼ ­¨ ®¤­³ ±²° ²¥£¨¾, ². ª. a1 | «³·¸¨© ®²¢¥² ­  b3 , a2 | ­  b2 ¨ a3 | ­  b1 . €­ «®£¨·­® ®±² ¾²±¿ b1 , b2 , b3 . ’ ª¨¬ ®¡° §®¬, ¬­®¦¥±²¢® ° ¶¨®­ «¨§³¥¬»µ ·¨±²»µ ±²° ²¥£¨© ¥±²¼ fa1 ; a2; a3g ¤«¿ ¨£°®ª  1 ¨ (b1; b2; b3) | ¤«¿ ¨£°®ª  2. „«¿ ª ¦¤®© ° ¶¨®­ «¨§³¥¬®© ±²° ²¥£¨¨ ¨£°®ª ¬®¦¥² ¯®±²°®¨²¼ ¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼­®±²¼ À®¯° ¢¤ ­¨©Á ±¢®¥£® ¢»¡®°  ¡¥§ ±±»«®ª ­  ³¡¥¦¤¥­¨¥ ¢ ²®¬, ·²® ¤°³£®© ¨£°®ª ­¥ ¡³¤¥² ¨£° ²¼ ‹Ž-±²° ²¥£¨¾.  ¯°¨¬¥°, ¢ ½²®© ¨£°¥ ¨£°®ª 1 ¬®¦¥² ®¯° ¢¤ ²¼ ¢»¡®° a2 ³¡¥¦¤¥­¨¥¬, ·²® ¨£°®ª 2 ¡³¤¥² ¨£° ²¼ b2 , ª®²®°®¥ ¨£°®ª 1 ¬®¦¥² ®¯° ¢¤ ²¼ ³¡¥¦¤¥­¨¥¬, ·²® ¨£°®ª 2 ¡³¤¥² ¤³¬ ²¼, ·²® ®­ ±®¡¨° ¥²±¿ ¨£° ²¼ a2 , ·²® ®±¬»±«¥­­®, ¥±«¨ ¨£°®ª 1 ³¡¥¦¤¥­, ·²® ¨£°®ª 2 ¤³¬ ¥², ·²® ®­, ¨£°®ª 1, ¤³¬ ¥², ·²® ¨£°®ª 2 ¡³¤¥² ¨£° ²¼ b2; , ¨ ². ¤. Œ» ®²¬¥²¨«¨, ·²® ¬­®¦¥±²¢® ° ¶¨®­ «¨§³¥¬»µ ±²° ²¥£¨© ­¥ ¡®«¼¸¥, ·¥¬ ¬­®¦¥±²¢® ±²° ²¥£¨©, ®±² ¾¹¨µ±¿ ¯®±«¥ ¯®±«¥-

50

ƒ« ¢  1

¤®¢ ²¥«¼­®£® ³¤ «¥­¨¿ ±²°®£® ¤®¬¨­¨°³¥¬»µ ±²° ²¥£¨©. Ž¤­ ª® ¢ ±«³· ¥ ¤¢³µ ¨£°®ª®¢ ( n = 2 ) ½²¨ ¤¢  ¬­®¦¥±²¢  ±®¢¯ ¤ ¾², ² ª ª ª ¢ ¨£°¥ 2-µ «¨¶ (±¬¥¸ ­­ ¿) ±²° ²¥£¨¿ i ¿¢«¿¥²±¿ «³·¸¨¬ ®²¢¥²®¬ ­  ­¥ª®²®°³¾ ±²° ²¥£¨¾ ¯°®²¨¢­¨ª , ¥±«¨ i ­¥ ¿¢«¿¥²±¿ ±²°®£® ¤®¬¨­¨°³¥¬®©. …±«¨ ·¨±² ¿ ±²° ²¥£¨¿ si ¨£°®ª  i ¿¢«¿¥²±¿ ‹Ž ¤«¿ «¾¡®© ±¬¥¸ ­­®© ±²° ²¥£¨¨ ®¯¯®­¥­² , ²®£¤  si ±²°®£® ¤®¬¨­¨°³¥²±¿ ­¥ª®²®°®© ±¬¥¸ ­­®© ±²° ²¥£¨¥© i 2 i .  ±±¬®²°¨¬ ½²® ­  ¯°¨¬¥°¥ (Mas-Colell, Whinston, Green) (°¨±. 17).

U M D

0 (10L; 1) @ (4; 2)

R 1

(0; 4) (4; 3) A (0; 5) (10; 2)

¨±. 17. “ ¨£°®ª  1 | ²°¨ ±²° ²¥£¨¨ U , M ¨ D . U | «³·¸ ¿ ¯°®²¨¢ L , ­® µ³¤¸ ¿ ¯°®²¨¢ R , D | «³·¸ ¿ ¯°®²¨¢ R ¨ µ³¤¸ ¿ | ¯°®²¨¢ L . ‘ ¤°³£®© ±²®°®­», M À®²­®±¨²¥«¼­® ­¥¯«®µ Á ¨ ¯°®²¨¢ L , ¨ ¯°®²¨¢ R . ¨ ®¤­  ¨§ ½²¨µ ²°¥µ ±²° ²¥£¨© ­¥ ¤®¬¨­¨°³¥²±¿ ­¨ª ª®© ¤°³£®©. ® ¥±«¨ ° §°¥¸¨²¼ ¨£°®ª³ 1 ° ­¤®¬¨§ ¶¨¾, ²® ¨£°  U ¨ D ± ¢¥°®¿²­®±²¿¬¨ 1=2 ª ¦¤ ¿ ¤ ¥² ¨£°®ª³ 1 ®¦¨¤ ¥¬»© ¢»¨£°»¸ 5, ¢­¥ § ¢¨±¨¬®±²¨ ®² ±²° ²¥£¨¨ ¢²®°®£® ¨£°®ª , ²¥¬ ± ¬»¬ ±²°®£® ¤®¬¨­¨°³¿ M . °¥¤¯®«®¦¨¬, ·²® ¢»¨£°»¸¨ ®² ¨±¯®«¼§®¢ ­¨¿ ±²° ²¥£¨¨ M ¨§¬¥­¥­» ² ª, ·²® M ­¥ ¿¢«¿¥²±¿ ±²°®£® ¤®¬¨­¨°³¥¬®©. ’®£¤  ¢»¨£°»¸¨ ®² M «¥¦ ² £¤¥-²® ¢»¸¥, ·¥¬ «¨­¨¿, ±®¥¤¨­¿¾¹ ¿ ²®·ª¨, ±®®²¢¥²±²¢³¾¹¨¥ ±²° ²¥£¨¿¬ U ¨ D . ‡¤¥±¼ ®±¨ ±®®²¢¥²±²¢³¾² ®¦¨¤ ¥¬»¬ ¢»¨£°»¸ ¬ ¨£°®ª  1 ¢ ±«³· ¥, ¥±«¨ ¨£°®ª 2 ¨£° ¥² R (®±¼ uR ) ¨ L (®±¼ uL ) (±¬. °¨±. 18). ‹¨­¨¿ ab | ½²® ¬­®¦¥±²¢® f(uR; uL) : 21 uR + 12 uL = 12 u1(M; R) + 12 u1(M; L)g:

‘² ²¨·¥±ª¨¥ ¨£°» ± ¯®«­®© ¨­´®°¬ ¶¨¥©

51

Ÿ¢«¿¥²±¿ «¨ M §¤¥±¼ «³·¸¨¬ ®²¢¥²®¬? „€.

¨±. 18. „¥©±²¢¨²¥«¼­®, § ¬¥²¨¬, ·²® ¥±«¨ ¨£°®ª 2 ¨£° ¥² R ± ¢¥°®¿²­®±²¼¾ 2 (R) , ²®£¤  ®¦¨¤ ¥¬»© ¢»¨£°»¸ ¨£°®ª  1 ®² ¢»¡®°  ±²° ²¥£¨¨ ± ¢»¨£°»¸ ¬¨ ( uR ; uL ) ¥±²¼ 2 (R)uR + (1 ; 2(R))uL . ‹¥£ª® ¢¨¤¥²¼, ·²® M | ½²® «³·¸¨© ®²¢¥² ­  2(R) = 1=2 ; ®­ ¤ ¥² ®¦¨¤ ¥¬»© ¢»¨£°»¸, ±²°®£® ¡®«¼¸¨©, ·¥¬ ®¦¨¤ ¥¬»© ¢»¨£°»¸, ¤®±²¨¦¨¬»© ± ¯®¬®¹¼¾ ±²° ²¥£¨© U ¨/¨«¨ D . (‚ ±«³· ¥ n > 2 ½²® ³¦¥ ­¥ ² ª: ¬®£³² ±³¹¥±²¢®¢ ²¼ ±²° ²¥£¨¨, ¿¢«¿¾¹¨¥±¿ H‹Ž, ­® ­¥ ¿¢«¿¾¹¨¥±¿ ±²°®£® ¤®¬¨­¨°³¥¬»¬¨; ½²® ±¢¿§ ­® ± ²¥¬, ·²® ° ­¤®¬¨§ ¶¨¿ ­¥§ ¢¨±¨¬ .) 1.6.  ¢­®¢¥±¨¥ ¯® ½¸³

Œ» ­ ·­¥¬ ±® ±«³· ¿, ª®£¤  ° ±±¬ ²°¨¢ ¥²±¿ ¨±µ®¤­ ¿ ¨£°  ;;   ª ±¬¥¸ ­­®¬³ ° ±¸¨°¥­¨¾ ®¡° ²¨¬±¿ ­¥±ª®«¼ª® ¯®§¦¥.

Ž¯°¥¤¥«¥­¨¥ 1.6.1.  ¡®° ±²° ²¥£¨© s = (s1; : : :; sn) ®¡° -

§³¥² ° ¢­®¢¥±¨¥ ¯® ½¸³ (¨«¨ ±¨²³ ¶¨¿ s = (s1 ; : : :; sn ) ¿¢«¿¥²±¿ ° ¢­®¢¥±­®© ¯® ½¸³) ¢ ¨£°¥ ; = fI; fSig; fuigg , ¥±«¨ ¤«¿ «¾¡®£® i = 1; : : :n

ui(si; s;i )  ui (s0i ; s;i) 8 s0i 2 Si :

52

ƒ« ¢  1

ˆ­»¬¨ ±«®¢ ¬¨, ¥±«¨ ¨£°®ª ¢ ®¤¨­®·ª³ °¥¸ ¥² ®²ª«®­¨²¼±¿ ®² ¢»¡° ­­®© ±²° ²¥£¨¨, ²® ®­ ° §¢¥ «¨¸¼ ³µ³¤¸¨² ±¢®¥ ¯®«®¦¥­¨¥. ‚ ±¨²³ ¶¨¨ ° ¢­®¢¥±¨¿ ¯® ½¸³ ¢»¡° ­­ ¿ ª ¦¤»¬ ¨£°®ª®¬ ±²° ²¥£¨¿ ¿¢«¿¥²±¿ «³·¸¨¬ ®²¢¥²®¬ ­  ±²° ²¥£¨¨, ¤¥©±²¢¨²¥«¼­® À¨£° ¥¬»¥Á ±®¯¥°­¨ª ¬¨. ‚ ½²®¬ ¯°¨­¶¨¯¨ «¼­®¥ ®²«¨·¨¥ ®² ° ¶¨®­ «¨§¨°³¥¬®±²¨, ª®²®° ¿ ±«¥¤³¥² ¨§ ®¡¹¥£® §­ ­¨¿ ® ° ¶¨®­ «¼­®±²¨ ¤°³£ ¤°³£  ¨ ±²°³ª²³°» ¨£°» ¨ ²°¥¡³¥² ²®«¼ª®, ·²®¡» ±²° ²¥£¨¿ ¨£°®ª®¢ ¡»«  «³·¸¨¬ ®²¢¥²®¬ ­  ­¥ª®²®°³¾ ° §³¬­³¾ £¨¯®²¥§³ ® ²®¬, ·²® ¥£® ¯°®²¨¢­¨ª ¡³¤¥² ¨£° ²¼, ¯°¨·¥¬ ¯®¤ ° §³¬­®±²¼¾ ¯®­¨¬ ¥²±¿, ·²® £¨¯®²¥²¨·¥±ª ¿ ¨£°  ¥£® ¯°®²¨¢­¨ª®¢ ¬®¦¥² ¡»²¼ ² ª¦¥ ®¯° ¢¤ ­ .  ¢­®¢¥±­®±²¼ ¯® ½¸³ ¤®¡ ¢«¿¥² ª ½²®¬³ ²°¥¡®¢ ­¨¥ ²®£®, ·²®¡» ¨£°®ª¨ ¡»«¨ ¯° ¢» ¢ ±¢®¨µ £¨¯®²¥§ µ. („ «¥¥ ¬» ¤«¿ ª° ²ª®±²¨ ¡³¤¥¬ ¯¨± ²¼ °.. ¤«¿ ®¡®§­ ·¥­¨¿ ° ¢­®¢¥±¨¿ ¯® ½¸³.)  §³¬¥¥²±¿, ¯®«³·¥­­»¥ ­ ¬¨ ±¨²³ ¶¨¨ ¢ ° ±±¬®²°¥­­®© ° ­¥¥ À„¨«¥¬¬¥ ‡ ª«¾·¥­­®£®Á (¢® ¢±¥µ ¥¥ ¢ °¨ ­² µ) ¿¢«¿¾²±¿ ° ¢­®¢¥±­»¬¨ ¯® ½¸³.  ° ¨ ¬ ¥ °. À‘¥¬¥©­»© ±¯®°Á. ²®² ¯°¨¬¥° ² ª¦¥ ®²­®±¨²±¿ ª ·¨±«³ ²° ¤¨¶¨®­­»µ ¯°¨¬¥°®¢, ° §«¨·­»¥ ¢ °¨ ¶¨¨ ª®²®°®£® ¢±²°¥· ¾²±¿ ¢ ¡®«¼¸¨­±²¢¥ ³·¥¡­¨ª®¢. ˆ±²®°¨¿ ¯°¨¬¥°­® ² ª®¢ . Ž­ ¨ Ž­  ­¥§ ¢¨±¨¬® (¬» ®±² ¢«¿¥¬ ¢ ±²®°®­¥ ¢®¯°®± ® ° §³¬­®±²¨ ¨«¨ ­¥° §³¬­®±²¨ ¯®¤®¡­®© ¯®±² ­®¢ª¨ ¢®¯°®± ) °¥¸ ¾², ª³¤  ¯®©²¨ | ­  ¡ «¥² () ¨«¨ ´³²¡®« (”). …±«¨ ®­¨ ¢¬¥±²¥ ¯®©¤³² ­  ´³²¡®«, ²® Ž­ ¯®«³·¨² ¡®«¼¸¥ ³¤®¢®«¼±²¢¨¿, ·¥¬ Ž­ ; ¥±«¨ ®­¨ ¢¬¥±²¥ ¯®©¤³² ­  ¡ «¥², ²® | ­ ®¡®°®².  ª®­¥¶, ¥±«¨ ®­¨ ®ª ¦³²±¿ ¢ ° §­»µ ¬¥±² µ, ²® ®­¨ ­¥ ¯®«³· ² ­¨ª ª®£® ³¤®¢®«¼±²¢¨¿.  ±±¬ ²°¨¢ ¥¬ ¿ ±¨²³ ¶¨¿ ¬®¤¥«¨°³¥²±¿ ±«¥¤³¾¹¥© ¨£°®© (±¬. °¨±. 19):

53

‘² ²¨·¥±ª¨¥ ¨£°» ± ¯®«­®© ¨­´®°¬ ¶¨¥©

ŽH€

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0 (2”; 1) (0;0) 1

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A

¨±. 19. ‹¥£ª® ¢¨¤¥²¼, ·²® §¤¥±¼ ¥±²¼ 2 ° ¢­®¢¥±¨¿ ¯® ½¸³ ¢ ·¨±²»µ ±²° ²¥£¨¿µ | (”,”) ¨ (,). Œ» ³¢¨¤¨¬ ­¨¦¥, ·²® ¢ ½²®© ¨£°¥ ¥±²¼ ¥¹¥ ®¤­® ° ¢­®¢¥±¨¥ ¯® ½¸³ | ¢ ±¬¥¸ ­­»µ ±²° ²¥£¨¿µ.  ° ¨ ¬ ¥ °.  ±±¬®²°¨¬ ±«¥¤³¾¹³¾ ¨£°³ (°¨±. 20): U M D

0 (5l ; 3) (1m; 4) @ (4; 2) (5; 5)

r 1

(3; 5) (4; 1) (3; 5) (2; 7) (5; 3)

A

¨±. 20. Ÿ±­®, ·²® §¤¥±¼ ­ ¡®° ±²° ²¥£¨© (M; m) ®¡° §³¥² ° ¢­®¢¥±¨¥ ¯® ½¸³. …±«¨ ¨£°®ª 1 ¢»¡¨° ¥² M , ²® ³ 2-£® «³·¸¨© ®²¢¥² | m ¨ ­ ®¡®°®².  ° ¨ ¬ ¥ °. ‚¥°­¥¬±¿ ª ¯°¨¬¥°³, ª ± ¢¸¥¬³±¿ ° ¶¨®­ «¨§³¥¬®±²¨ (°¨±. 16). ‚ ­¥¬ ±³¹¥±²¢³¥² ¥¤¨­±²¢¥­­ ¿ (¤ ¦¥ ¥±«¨ ° §°¥¸¥­» ±¬¥¸ ­­»¥ ±²° ²¥£¨¨) ±¨²³ ¶¨¿ ° ¢­®¢¥±¨¿ ¯® ½¸³ | ( a2 , b2 ). ²®² ¯°¨¬¥° ¨««¾±²°¨°³¥² ®¡¹¥¥ ¢§ ¨¬®®²­®¸¥­¨¥ ¬¥¦¤³ p.H. ¨ ° ¶¨®­ «¨§³¥¬»¬¨ ±²° ²¥£¨¿¬¨. Š ¦¤ ¿ ±²° ²¥£¨¿, ¿¢«¿¾¹ ¿±¿ · ±²¼¾ p.H., ° ¶¨®­ «¨§³¥¬ , ¯®±ª®«¼ª³ ª ¦¤ ¿ ±²° ²¥£¨¿ ¨£°®ª  ¢ ±¨²³ ¶¨¨ p.H. ¬®¦¥² ¡»²¼ À®¯° ¢¤ ­ Á ° ¢­®¢¥±­»¬¨ ±²° ²¥£¨¿¬¨ ¤°³£¨µ ¨£°®ª®¢. ’ ª¨¬ ®¡° §®¬, ° ¢­®¢¥±¨¥ ¯® ½¸³ ¯°¥¤±ª §»¢ ¥² ª ª ¬¨­¨¬³¬ ­¥ µ³¦¥, ·¥¬ ° ¶¨®­ «¨§³¥¬®±²¼, ¢¯°®·¥¬, ®·¥­¼ · ±²® ½²¨ ¯°¥¤±ª § ­¨¿ ®ª §»¢ ¾²±¿ §­ ·¨²¥«¼­® ¡®«¥¥ À·¥²ª¨¬¨Á.

54

ƒ« ¢  1

Ž·¥­¼ ³¤®¡­® ±«¥¤³¾¹¥¥ ¯¥°¥®¯°¥¤¥«¥­¨¥ ° ¢­®¢¥±¨¿ ¯® ½¸³. ‚¢¥¤¥¬ ±«¥¤³¾¹¥¥ ¬­®£®§­ ·­®¥ ®²®¡° ¦¥­¨¥ À«³·¸¨µ ®²¢¥²®¢Á bi : S;i ! Si (¢ ¨£°¥ ; ): bi(s;i) = fsi 2 Si : ui (si ; s;i)  ui(s0i ; s;i) 8 s0i 2 Si g: ’®£¤  ±¨²³ ¶¨¿ (s1; : : :; sn ) ¿¢«¿¥²±¿ ° ¢­®¢¥±¨¥¬ ¯® ½¸³ ¢ ¨£°¥ ; , ¥±«¨ si 2 bi(s;i ) 8 i = 1; : : :; n . —²® ¦¥ ¬®¦­® ±ª § ²¼ ¯® ¯®¢®¤³ ²®£®,   ¯®·¥¬³ ±®¡±²¢¥­­® ­ ¬ ­³¦­® § ­¨¬ ²¼±¿ p.H.?   ± ¬®¬ ¤¥«¥ ½²® ®¤¨­ ¨§ ¯°®¡«¥¬­»µ ¢®¯°®±®¢ ²¥®°¨¨ ¨£°, ­¥±¬®²°¿ ­  ®·¥­¼ ¸¨°®ª®¥ ¨±¯®«¼§®¢ ­¨¥ °.. (1)  ¢­®¢¥±¨¥ ¯® ½¸³ ª ª ¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼­®±²¼ ° ¶¨®­ «¼­»µ ¢»¢®¤®¢ (³¬®§ ª«¾·¥­¨©). •®²¿ ½²® · ±²® ¨±¯®«¼§³¥²±¿ ¢ ª ·¥±²¢¥ ¤®¢®¤ , ²¥¬ ­¥ ¬¥­¥¥ ¬» ¢¨¤¨¬, ·²® ±«¥¤±²¢¨¥ ®¡¹¥£® §­ ­¨¿ | ½²® ­¥®¡µ®¤¨¬®±²¼ ¨£° ²¼ ° ¶¨®­ «¨§¨°³¥¬»¥ ±²° ²¥£¨¨.  ¶¨®­ «¼­®±²¼ ­¥ ®¡¿§ ²¥«¼­® ¢¥¤¥² ª ¯° ¢¨«¼­®±²¨ ¯°¥¤±ª § ­¨¿. (2)  ¢­®¢¥±¨¥ ¯® ½¸³ ª ª ­¥®¡µ®¤¨¬®¥ ³±«®¢¨¥, ¥±«¨ ¥±²¼ ¥¤¨­±²¢¥­­»© ¯°¥¤±ª §³¥¬»© ¨±µ®¤ ¨£°». …±«¨ ¨£°®ª¨ ¤³¬ ¾² ¨ ° §¤¥«¿¾² ¯°¥¤±² ¢«¥­¨¿ ® ²®¬, ·²® ±³¹¥±²¢³¥² ®·¥¢¨¤­»© (¢ · ±²­®±²¨, ¥¤¨­±²¢¥­­»©) ±¯®±®¡ ¨£° ²¼ ¨£°³, ²® ½²® ¤®«¦­® ¡»²¼ p.H.  §³¬¥¥²±¿, ½²®²  °£³¬¥­² ¯®¤µ®¤¨², ¥±«¨ ±³¹¥±²¢³¥² ¥¤¨­±²¢¥­­®¥ ¯°¥¤±ª § ­¨¥, ª ª ¨£°®ª¨ ¡³¤³² ¨£° ²¼. Ž¤­ ª®, ¢±¯®¬­¨¢ ° ¶¨®­ «¨§³¥¬®±²¼, ¬» ¯°¨¤¥¬ ª ¢»¢®¤³, ·²® ½²®£® ­¥¤®±² ²®·­®. ®½²®¬³ ½²®²  °£³¬¥­² ¯®«¥§¥­, ¥±«¨ ¥±²¼ ¤¥©±²¢¨²¥«¼­® ¯®¢®¤ ±·¨² ²¼ ­¥ª®²®°»© ­ ¡®° ±²° ²¥£¨© ®·¥¢¨¤­»¬ ±¯®±®¡®¬ ±»£° ²¼ ¢ ¨£°³. (3) ”®ª «¼­»¥ ²®·ª¨. ˆ­®£¤  ±«³· ¥²±¿ ² ª, ·²® ®¯°¥¤¥«¥­­»© ¨±µ®¤ ¿¢«¿¥²±¿ ²¥¬, ·²® ˜¥««¨­£ (1960) ­ §»¢ ¥² ´®ª «¼­»¬ ¨±µ®¤®¬ (2-µ ·¥«®¢¥ª ¯°®±¿² ­¥§ ¢¨±¨¬® ­ §¢ ²¼ ª ª®¥-²® ¬¥±²® ¢±²°¥·¨, ¨ ¥±«¨ ¨µ ¢»¡®° ±®¢¯ ¤¥², ²® ®­¨ ¯®«³· ¾² ¢»¨£°»¸). ²®, ª®­¥·­®, ¿¢­»© ª ­¤¨¤ ², ­® ²®«¼ª® ¥±«¨ ®­ p.H.

‘² ²¨·¥±ª¨¥ ¨£°» ± ¯®«­®© ¨­´®°¬ ¶¨¥©

55

(4)  ¢­®¢¥±¨¥ ¯® ½¸³ ª ª ± ¬®´®°±¨°³¾¹¥¥ ±®£« ¸¥­¨¥. …±«¨ ¨£°®ª¨ ¯¥°¥¤ ¨£°®© ¨¬¥¾² ¢®§¬®¦­®±²¼ ¯°¥¤¢ °¨²¥«¼­»µ ­¥®¡¿§»¢ ¾¹¨µ ¯¥°¥£®¢®°®¢, ¨ ¥±«¨ ®­¨ ±®£« ¸ ¾²±¿ ­  ª ª®©-²® ¨±µ®¤, ²® ½²®, ª®­¥·­®, ®·¥¢¨¤­»© ª ­¤¨¤ ². —²®¡» ®­ ±² « ± ¬®´®°±¨°³¾¹¨¬, ­³¦­®, ·²®¡» ®­ ¡»« p.H. •®²¿ ¤ ¦¥, ¥±«¨ ®­¨ ¤®£®¢®°¨«¨±¼ ¨£° ²¼ p.H., ®­¨ ¢±¥ ° ¢­® ¬®£³² ®²ª«®­¨²¼±¿, ¥±«¨ ®¦¨¤ ¾², ·²® ¤°³£¨¥ ¬®£³² ²®¦¥ ³ª«®­¨²¼±¿. (5)  ­®¢¥±¨¥ ¯® ½¸³ ª ª ³±²®©·¨¢®¥ ±®¶¨ «¼­®¥ ±®£« ¸¥­¨¥. Ž¯°¥¤¥«¥­­»© ±¯®±®¡ ¨£° ²¼ ¢ ¨£°³ ¬®¦¥² ¢®§­¨ª­³²¼ ¢® ¢°¥¬¥­¨, ¥±«¨ ¨£°  ° §»£°»¢ ¥²±¿ ¯®¢²®°­® ¨ ¯®¿¢«¿¥²±¿ ­¥ª®²®°®¥ ³±²®©·¨¢®¥ ±®¶¨ «¼­®¥ ±®£« ¸¥­¨¥. …±«¨ ½²® ² ª, ²® ¤«¿ ¨£°®ª®¢ ¬®¦¥² ¡»²¼ À®·¥¢¨¤­»¬Á, ·²® ½²® ±®£« ¸¥­¨¥ ¡³¤¥² ¯®¤¤¥°¦¨¢ ²¼±¿. ²® ±®£« ¸¥­¨¥ ±² ­®¢¨²±¿, ² ª ±ª § ²¼, ´®ª «¼­»¬. ®«¥¥ ¯®¤°®¡­®¥ ®¡±³¦¤¥­¨¥ ½²®© ¯°®¡«¥¬ ²¨ª¨ ¬®¦­® ­ ©²¨, ­ ¯°¨¬¥°, ¢ ³·¥¡­¨ª¥ Mas-Colell, Whinston, Green.  ° ¨ ¬ ¥ °. €³ª¶¨®­ ¢²®°®© ¶¥­». ‚ ¯. 1.4 ¬» ¯®ª § «¨, ·²® ±²° ²¥£¨¿ ­ §­ ·¥­¨¿ ±¢®¥© ¶¥­» (si = vi ) ±« ¡® ¤®¬¨­¨°³¥² ¢±¥ ®±² «¼­»¥ ±²° ²¥£¨¨. Žª §»¢ ¥²±¿ (±¬., ­ ¯°¨¬¥°, Moulin, 1986), ·²® ¢ ½²®© ¨£°¥ ¬­®£® ° ¢­®¢¥±¨© ¯® ½¸³. ’®·­¥¥, ¤«¿ «¾¡®£® ¨£°®ª  i ¨ ¤«¿ «¾¡®© § ¿¢ª¨ s ² ª®©, ·²® 0 < s  vi ±³¹¥±²¢³¥² ¯® ª° ©­¥© ¬¥°¥ ®¤­® ° ¢­®¢¥±¨¥ ¯® ½¸³, ¯°¨ ª®²®°®¬ ¨£°®ª i ¯« ²¨² s ¨ ¯®«³· ¥² ²®¢ °. „¥©±²¢¨²¥«¼­®, ¢»¡¥°¥¬ i 2 I , § ´¨ª±¨°³¥¬ s 2 (0; vi] ¨ ¯®«®¦¨¬: xi = 1max v + 1; j n j

xj = s

8 j 6= i:

’®£¤  x = (x1; : : :; xn ) | ° ¢­®¢¥±¨¥ ¯® ½¸³. ‚ ½²®¬ ±«³· ¥ ¥¤¨­±²¢¥­­ ¿ ¢®§¬®¦­®±²¼ ®²ª«®­¨²¼±¿ ³ ¨£°®ª  i | ½²® ³±²³¯¨²¼ ²®¢ ° ª®¬³-«¨¡® ¤°³£®¬³, ¯®«³· ¿ ¢ ½²®¬ ±«³· ¥ ­³«¥¢®© ¢»¨£°»¸. …¤¨­±²¢¥­­ ¿ ¢®§¬®¦­®±²¼

56

ƒ« ¢  1

¨£°®ª  j , j 6= i | ½²® ¯®«³·¨²¼ ²®¢ °, § ¯« ²¨¢ ¶¥­³ xi , ¯°¥¢®±µ®¤¿¹³¾ vj , ¯®«³· ¿ ²¥¬ ± ¬»¬ ®²°¨¶ ²¥«¼­»© ¢»¨£°»¸. 1.7.  ¢­®¢¥±¨¥

¯®

½¸³

¢

±¬¥¸ ­­»µ

±²° ²¥£¨¿µ

°¨¬¥°», ª®²®°»¥ ¬» ° ±±¬®²°¥«¨ ¢»¸¥, ¯°®¤¥¬®­±²°¨°®¢ «¨, ·²® ¤ ¦¥ ¢ ®·¥­¼ ¯°®±²»µ ¨£° µ ° ¢­®¢¥±¨¥ ¯® ½¸³ ¢ ·¨±²»µ ±²° ²¥£¨¿µ ¬®¦¥² ¡»²¼ ­¥ ¥¤¨­±²¢¥­­»¬. Ž¤­ ª®, ª ª ¬» ³¢¨¤¨¬ ±¥©· ±, ° ¢­®¢¥±¨¿ ¢ ·¨±²»µ ±²° ²¥£¨¿µ ¬®¦¥² ­¥ ±³¹¥±²¢®¢ ²¼ ¢®®¡¹¥.  ° ¨ ¬ ¥ °. Àˆ£°  ¢ ®°«¿­ª³Á ¨«¨ ÀŽ°¥« ¨«¨ °¥¸ª Á. 2 ¨£°®ª  ®¤­®¢°¥¬¥­­®, ­¥§ ¢¨±¨¬® ¢»¡¨° ¾² «¨¡® À°¥¸ª³Á, «¨¡® À®°« Á. …±«¨ ¨µ ¢»¡®° ° §«¨·¥­, ²® ¯¥°¢»© ¨£°®ª ¯« ²¨² ¢²®°®¬³ 1 °³¡«¼ (¤®«« °, ¨ ². ¤.), ¥±«¨ ¨µ ¢»¡®° ®¤¨­ ª®¢, ²® ­ ®¡®°®² | ¢²®°®© ¯« ²¨² ¯¥°¢®¬³ ±²®«¼ª® ¦¥. ‘®®²¢¥²±²¢³¾¹ ¿ ¨£°  ¨¬¥¥² ±«¥¤³¾¹¨© ¢¨¤ (°¨±. 21): 0

p

 (1;0;1) (;1p; 1)  (;1; 1) (1; ;1) ¨±. 21.

‹¥£ª® ¢¨¤¥²¼, ·²® ¢ ½²®© ¨£°¥ ­¥² ° ¢­®¢¥±¨¿ ¯® H½¸³ ¢ ·¨±²»µ ±²° ²¥£¨¿µ, ² ª ª ª ¢ «¾¡®© ±¨²³ ¶¨¨ ®¤­®¬³ ¨§ ¨£°®ª®¢ ¢»£®¤­® ®²ª«®­¨²¼±¿ ®² ¢»¡° ­­®© ±²° ²¥£¨¨.Ž¤­  1 1 ª®, ª ª ¬» ³¢¨¤¨¬, ¯ °  ±¬¥¸ ­­»µ ±²° ²¥£¨© 1 = 2 ; 2 ;

2 =

  1; 1 2 2

; ¢ ª®²®°»µ ª ¦¤»© ¨§ ¨£°®ª®¢ ¨£° ¥² ±¢®¨ ·¨-

±²»¥ ±²° ²¥£¨¨ ± ° ¢­»¬¨ ¢¥°®¿²­®±²¿¬¨, ®¡° §³¥² ° ¢­®¢¥±¨¥ ¯® H½¸³ ¢ ±¬¥¸ ­­»µ ±²° ²¥£¨¿µ.

Ž¯°¥¤¥«¥­¨¥ 1.7.1. ‘¨²³ ¶¨¿ (­ ¡®° ±¬¥¸ ­­»µ ±²° ²¥-

£¨©)  = (i ; : : :; n) ¿¢«¿¥²±¿ ° ¢­®¢¥±¨¥¬ ¯® ½¸³ ¢ ¨£°¥

‘² ²¨·¥±ª¨¥ ¨£°» ± ¯®«­®© ¨­´®°¬ ¶¨¥©

57

; = fI; fig; fuigg , ¥±«¨ ¤«¿ «¾¡®£® i = 1; : : :; n

ui (i; ;i )  ui(i0 ; ;i) 8 i0 2 i :

°¥¤«®¦¥­¨¥ 1.7.1. ³±²¼ Si+  Si | ¬­®¦¥±²¢® ·¨±²»µ

±²° ²¥£¨©, ª®²®°»¥ ¨£°®ª i ¨£° ¥² ± ¯®«®¦¨²¥«¼­®© ¢¥°®¿²­®±²¼¾ ¢ ±¨²³ ¶¨¨  = (1; : : :; n) . ‘¨²³ ¶¨¿  ¿¢«¿¥²±¿ p.H. ¢ ±¬¥¸ ­­®¬ ° ±¸¨°¥­¨¨ ; ¨£°» ; ²®£¤  ¨ ²®«¼ª® ²®£¤ , ª®£¤  ¤«¿ ¢±¥µ i = 1; : : :; n

(1) (2)

ui(si; ;i) = ui(s0i; ;i) 8 si; s0i 2 Si+ ui(si; ;i)  ui(s0i; ;i) 8 si 2 Si+ ; s0i 2= Si+:

„ ® ª   §   ² ¥ « ¼ ± ² ¢ ®. H¥®¡µ®¤¨¬®±²¼. …±«¨ ¡» ®¤­® ¨§ ½²¨µ ³±«®¢¨© ­¥ ¢»¯®«­¿«®±¼ ¤«¿ ­¥ª®²®°®£® i , ²® ­ ¸«¨±¼ ¡» ¤¢¥ ±²° ²¥£¨¨ si 2 Si+ ¨ s0i 2 Si : ui (s0i ; ;i ) > ui (si ; ;i ) ,   §­ ·¨², ½²® ­¥ p.H. „®±² ²®·­®±²¼. °¥¤¯®«®¦¨¬ ²¥¯¥°¼, ·²® (1) ¨ (2) ¢»¯®«­¥­», ­®  | ­¥ p.H. ’®£¤  ±³¹¥±²¢³¾² ¨£°®ª i ¨ ±²° ²¥£¨¿ i0 ² ª¨¥, ·²® ui (i0; ;i) > ui(i ; ;i): ® ¥±«¨ ½²® ² ª, ²® ±³¹¥±²¢³¥² ·¨±² ¿ ±²° ²¥£¨¿ s0i , ª®²®° ¿ ¨£° ¥²±¿ ± ¯®«®¦¨²¥«¼­®© ¢¥°®¿²­®±²¼¾ ¯°¨ i0 ¨ ¤«¿ ª®²®°®© ui (s0i ; ;i ) > ui (i; ;i ) . ’ ª ª ª ui(i; ;i ) = ui (si; ;i) ¤«¿ «¾¡®© si 2 Si+ , ½²® ¯°®²¨¢®°¥·¨² (1) ¨ (2). ’ ª¨¬ ®¡° §®¬, ­¥®¡µ®¤¨¬»¥ ¨ ¤®±² ²®·­»¥ ³±«®¢¨¿ ²®£®, ·²® ±¨²³ ¶¨¿  | p.H., ±®±²®¿² ¢ ²®¬, ·²®: 1) ª ¦¤»© ¨£°®ª ¯°¨ ¤ ­­®¬ ° ±¯°¥¤¥«¥­¨¨ ±²° ²¥£¨©, ª®²®°»¥ ¨£° ¾² ¥£® ¯°®²¨¢­¨ª¨, ¡¥§° §«¨·¥­ ¬¥¦¤³ ·¨±²»¬¨ ±²° ²¥£¨¿¬¨, ª®²®°»¥ ®­ ¨£° ¥² ± ¯®«®¦¨²¥«¼­®© ¢¥°®¿²­®±²¼¾; 2) ½²¨ ·¨±²»¥ ±²° ²¥£¨¨ ­¥ µ³¦¥ ²¥µ, ª®²®°»¥ ®­ ¨£° ¥² ± ­³«¥¢®© ¢¥°®¿²­®±²¼¾. ²® ±¢®©±²¢® ¬®¦­® ¨±¯®«¼§®¢ ²¼ ¤«¿ ­ µ®¦¤¥­¨¿ ±¬¥¸ ­­®£® ° ¢­®¢¥±¨¿ ¯® H½¸³ (². ¥. ° ¢­®¢¥±¨¿ ¯® H½¸³ ¢ ±¬¥¸ ­­»µ ±²° ²¥£¨¿µ).

58

ƒ« ¢  1

 ° ¨ ¬ ¥ °.  ±±¬®²°¨¬ ±«¥¤³¾¹³¾ ¨£°³ (°¨±. 22):

A B

 (1000A; 1000) (0; 0)

B

(0; 0) (100; 100)



¨±. 22. Ž·¥¢¨¤­®, ·²® ±¨²³ ¶¨¨ (€,€) ¨ (‚,‚) ¿¢«¿¾²±¿ ° ¢­®¢¥±­»¬¨ ¯® H½¸³ (¢ ·¨±²»µ ±²° ²¥£¨¿µ). H ©¤¥¬ ° ¢­®¢¥±¨¿ ¯® H½¸³ ¢ ±¬¥¸ ­­»µ ±²° ²¥£¨¿µ. °¥¤¯®«®¦¨¬, ·²® ¢ ² ª®¬ ° ¢­®¢¥±¨¨ ¨£°®ª 1 ¨£° ¥² ±¬¥¸ ­­³¾ ±²° ²¥£¨¾ (p; 1 ; p),   ¢²®°®© | (q; 1 ; q ) , ¯°¨·¥¬ 0 < p; q < 1 . ’®£¤ , ³·¨²»¢ ¿ ¯°¨¢¥¤¥­­®¥ ¯°¥¤«®¦¥­¨¥, ¬» ¯®«³· ¥¬, ·²® ®¦¨¤ ¥¬»© ¢»¨£°»¸ ¨£°®ª  2 ®² ¨£°» A ¥±²¼ 1000p + 0(1 ; p) ,   ®² ¨£°» B ¥±²¼ 100
(1 ; p) + 0p ,   §­ ·¨², 1000p + (1 ; p)
0 = 100
(1 ; p) + 0
p: Ž²±¾¤  1100p = 100 ¨, ±«¥¤®¢ ²¥«¼­®, p = 1=11 . €­ «®£¨·­® q = 1=11 . ‡ ¬¥²¨¬, ·²® ¢ ±®®²¢¥²±²¢¨¨ ± ¯°¥¤«®¦¥­¨¥¬ 1.7.1 ³ ¨£°®ª®¢ ¢ ¤ ­­®¬ ¯°¨¬¥°¥ ­¥² ¯°¥¤¯®·²¥­¨© ®²­®±¨²¥«¼­® ¢¥°®¿²­®±²¥©, ª®²®°»¥ ®­¨ ¯°¨¯¨±»¢ ¾² ±¢®¨¬ ±²° ²¥£¨¿¬. ²¨ ¢¥°®¿²­®±²¨ ®¯°¥¤¥«¿¾² À° ¢­®¢¥±­®¥ ° ±±¬®²°¥­¨¥Á: ­¥®¡µ®¤¨¬®±²¼ ±¤¥« ²¼ ¤°³£®£® ¨£°®ª  ¡¥§° §«¨·­»¬ ®²­®±¨²¥«¼­® ¥£® ±²° ²¥£¨©.  ° ¨ ¬ ¥ °. ‚¥°­¥¬±¿ ª ¨£°¥ À‘¥¬¥©­»© ±¯®°Á. ®±²³¯ ¿, ª ª ¨ ¢ ¯°¥¤»¤³¹¥¬ ¯°¨¬¥°¥, ¬» ¯®«³· ¥¬, ·²® Ž­ , ¨£° ¿ À”Á, ¯®«³· ¥² 1
p+0(1;p) ,   ¨£° ¿ ÀÁ, ¯®«³· ¥² 0
p+2(1;p) . ‘«¥¤®¢ ²¥«¼­®, 2(1 ; p) = p . Ž²±¾¤  3p = 2 ,   ±«¥¤®¢ ²¥«¼­®, p = 2=3 . €­ «®£¨·­® ¯®«³· ¥¬ 2q + (1 ; q)
0 = 0
q + (1 ; q)1 ,   §­ ·¨², 3q = 1 ¨ q = 1=3 . ’ ª¨¬ ®¡° §®¬, ¢ ±¬¥¸ ­­®¬ ° ¢­®¢¥±¨¨ Ž­ ¨£° ¥² À”Á ± ¢¥°®¿²­®±²¼¾ 2=3 ,   Ž­  ¨£° ¥² À”Á ± ¢¥°®¿²­®±²¼¾ 1=3 . ‡ ¬¥· ­¨¥ 1.7.1. ‚ ®¯°¥¤¥«¥­¨¨ ±¬¥¸ ­­®£® ° ±¸¨°¥­¨¿ ¨«¨ ° ¢­®¢¥±¨¿ ¢ ±¬¥¸ ­­»µ ±²° ²¥£¨¿µ ¬» ¯°¥¤¯®« £ ¥¬, ·²® ¨£°®ª¨ ®±³¹¥±²¢«¿¾² ° ­¤®¬¨§ ¶¨¾ ±¢®¨µ

‘² ²¨·¥±ª¨¥ ¨£°» ± ¯®«­®© ¨­´®°¬ ¶¨¥©

59

·¨±²»µ ±²° ²¥£¨© ­¥§ ¢¨±¨¬®. ˆ­»¬¨ ±«®¢ ¬¨, ¬» ¬®¦¥¬ ±·¨² ²¼, ­ ¯°¨¬¥°, ·²® °¨°®¤  ¯¥°¥¤ ¥² ¨£°®ª ¬ ¨­¤¨¢¨¤³ «¼­»¥, ­¥§ ¢¨±¨¬® ° ±¯°¥¤¥«¥­­»¥ ±¨£­ «» (1 ; 2;


; n ) 2 [0; 1]  [0; 1]  : : :  [0; 1] ,   ª ¦¤»© ¨£°®ª i ¯°¨­¨¬ ¥² °¥¸¥­¨¥ ¢ § ¢¨±¨¬®±²¨ ®² ° §«¨·­»µ ¢®§¬®¦­»µ °¥ «¨§ ¶¨© ¥£® ±¨£­ «  i . °¥¤¯®«®¦¨¬, ®¤­ ª®, ·²® ¥±²¼ ­¥ª¨© ®¡¹¨© ±¨£­ «  2 [0; 1] , ª®²®°»© ¬®£³² ­ ¡«¾¤ ²¼ ¢±¥ ¨£°®ª¨. ‚ ½²®¬ ±«³· ¥ ¯®¿¢«¿¾²±¿ ­®¢»¥ ¢®§¬®¦­®±²¨. ’ ª, ª ¯°¨¬¥°³, ¢ ³¯®¬¿­³²®© ²®«¼ª® ·²® ¨£°¥ À‘¥¬¥©­»© ±¯®°Á ®¡  ¨£°®ª  ¬®£³², ­ ¯°¨¬¥°, °¥¸¨²¼ ¨¤²¨ ­  ´³²¡®«, ¥±«¨, ±ª ¦¥¬,  < 21 , ¨ ¨¤²¨ ­  ¡ «¥², ¥±«¨   21 . ‚»¡®° ±²° ²¥£¨¨ ª ¦¤»¬ ¨£°®ª®¬ ®±² ¥²±¿ ±«³· ©­»¬, ²¥¬ ­¥ ¬¥­¥¥ §¤¥±¼ ¬» ¨¬¥¥¬ ¤¥«® ±® ¢¯®«­¥ ±ª®®°¤¨­¨°®¢ ­­»¬¨ ¤¥©±²¢¨¿¬¨ (Ž­ ¨ Ž­  ®ª §»¢ ¾²±¿ ¢¬¥±²¥), ¿¢­® ¨¬¥¾¹¨¬¨ ° ¢­®¢¥±­»© µ ° ª²¥°, ¯°¨·¥¬ ¥±«¨ ®¤¨­ ¨£°®ª °¥¸ ¥² ±«¥¤®¢ ²¼ ½²®¬³ ¯° ¢¨«³, ²® ¨ ¤«¿ ¢²®°®£® ®¯²¨¬ «¼­® ¯°¨¤¥°¦¨¢ ²¼±¿ ½²®£® ¦¥ ¯° ¢¨« . ²® ¤ ¥² ­ ¬ ¯°¨¬¥° ª®°°¥«¨°®¢ ­­®£® ° ¢­®¢¥±¨¿ (±®¢¬¥±²­®£® ° ¢­®¢¥±¨¿)9 , ¢¢¥¤¥­­®£® . €³¬ ­®¬ (Aumann, 1974). ”®°¬ «¼­® ² ª®¥ ° ¢­®¢¥±¨¥ | ½²® ±¯¥¶¨ «¼­»© ±«³· © ° ¢­®¢¥±¨¿ ¯®  ©¥±³-½¸³, ª®²®°®¥ ¬» ° ±±¬®²°¨¬ ¢ £« ¢¥ 3.

„ «¥¥ ¬» ¯°¨¢¥¤¥¬ ¢ ¦­»¥ °¥§³«¼² ²» ® ±³¹¥±²¢®¢ ­¨¨ ° ¢­®¢¥±¨© ¯® H½¸³. °¥¤«®¦¥­¨¥ 1.7.2. ‚ ±¬¥¸ ­­®¬ ° ±¸¨°¥­¨¨ ; «¾¡®© ¨£°» ; ± ª®­¥·­»¬¨ ¬­®¦¥±²¢ ¬¨ ±²° ²¥£¨© S1 ; : : :; Sn ±³¹¥±²¢³¥² ° ¢­®¢¥±¨¥ ¯® ½¸³ ¢ ±¬¥¸ ­­»µ ±²° ²¥£¨¿µ. ²® ¯°¥¤«®¦¥­¨¥ ­¥¯®±°¥¤±²¢¥­­® ±«¥¤³¥² ¨§ ±«¥¤³¾¹¥£® ¡®«¥¥ ®¡¹¥£® °¥§³«¼² ² , ² ª ª ª ¢ ¨£°¥ ; ¬­®¦¥±²¢  ±²° ²¥£¨© ¨£°®ª®¢ | ½²® ±¨¬¯«¥ª±» ¢ ±®®²¢¥²±²¢³¾¹¥¬ ¯°®±²° ­±²¢¥ IRM . 9

Correlated equilibrium.

60

ƒ« ¢  1

’¥®°¥¬  1.7.1. Debreu, 1952; Glicksberg, 1952; Fan Ky, 1952)10. …±«¨ ¤«¿ ª ¦¤®£® i = 1; : : :; n

(1) Si | ­¥¯³±²®, ¢»¯³ª«® ¨ ª®¬¯ ª²­® (¢ ­¥ª®²®°®¬ IRM ); (2) ui (s1 ; : : :; sn ) | ­¥¯°¥°»¢­  ¯® (s1 ; : : :; sn ) ¨ ª¢ §¨¢®£­³²  ¯® si , ²® ¢ ¨£°¥ ; = fI; fSig; fuigg ±³¹¥±²¢³¥² ° ¢­®¢¥±¨¥ ¯® H½¸³ ¢ ·¨±²»µ ±²° ²¥£¨¿µ.

H ¯®¬­¨¬, ·²® ´³­ª¶¨¿ f : IR K ! IR ­ §»¢ ¥²±¿ ª¢ §¨¢®£­³²®©, ¥±«¨ ¤«¿ «¾¡®£® a ¬­®¦¥±²¢® fx : f (x)  ag ¢»¯³ª«®. „®ª § ²¥«¼±²¢® ½²®£® ¯°¥¤«®¦¥­¨¿ ®¯¨° ¥²±¿ ­  ±«¥¤³¾¹³¾ «¥¬¬³.

‹¥¬¬  1.7.1. …±«¨ ¢»¯®«­¥­» ³±«®¢¨¿ ’¥®°¥¬» 1.7.1, ²® ®²®¡° ¦¥­¨¥ «³·¸¨µ ®²¢¥²®¢ bi ­¥¯³±²®, ¢»¯³ª«®§­ ·­® (². ¥. ¬­®¦¥±²¢  bi (s;i ) | ­¥¯³±²» ¨ ¢»¯³ª«») ¨ ¯®«³­¥¯°¥°»¢­® ±¢¥°µ³11 . „ ® ª   §   ² ¥ « ¼ ± ² ¢ ® «¥¬¬» 1.7.1. ‚®-¯¥°¢»µ, § ¬¥²¨¬, ·²® bi(s;i ) | ½²® ¬­®¦¥±²¢® ²¥µ ±²° ²¥£¨© i -£® ¨£°®ª , ª®²®°»¥ ¬ ª±¨¬¨§¨°³¾² ui (
; s;i ) ­  ª®¬¯ ª²¥ Si : …£® ­¥¯³±²®²  ±«¥¤³¥² ¨§ ­¥¯°¥°»¢­®±²¨ ui : ‚»¯³ª«®±²¼ ¬­®¦¥±²¢  bi (s;i) ±«¥¤³¥² ¨§ ª¢ §¨¢®£­³²®±²¨ ´³­ª¶¨¨ ui (
; s;i): —²®¡» ¯°®¢¥°¨²¼ ¯®«³­¥¯°¥°»¢­®±²¼ ±¢¥°µ³, ¬» ¤®«¦­» ¯®ª § ²¼, ·²® ¤«¿ «¾¡®© ¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼­®±²¨ (ski ; sk;i ) ! (si ; s;i ) ² ª®©, ·²® ski 2 bi(sk;i )8k; ¬» ¨¬¥¥¬ si 2 b(s;i ) . ‡ ¬¥²¨¬, ·²® 8k ³±±ª¨© ¯¥°¥¢®¤ ±² ²¼¨ ƒ«¨ª±¡¥°£  ®¯³¡«¨ª®¢ ­ ¢ ±¡.: ¥±ª®­¥·­»¥  ­² £®­¨±²¨·¥±ª¨¥ ¨£°». ®¤ °¥¤. H. H. ‚®°®¡¼¥¢ . Œ.: ”¨§¬ ²£¨§, 1963. ‚ °³±±ª¨µ ¯¥°¥¢®¤ µ ¬®¦­® ¢±²°¥²¨²¼ ¤¢¥ ¢¥°±¨¨ ²° ­±ª°¨¯¶¨¨ Fan Ky: ” ­¼ –§¨ (±¬., ­ ¯°¨¬¥°, ³¯®¬¿­³²»© ¢»¸¥ ±¡®°­¨ª) ¨ Š¨ ” ­¼ (±¬., ­ ¯°¨¬¥°, Ž¡¥­ †.-., ª« ­¤ ˆ. °¨ª« ¤­®© ­¥«¨­¥©­»©  ­ «¨§. Œ.: Œ¨°, 1988). 11 Œ­®£®§­ ·­®¥ ®²®¡° ¦¥­¨¥ F ­ §»¢ ¥²±¿ ¯®«³­¥¯°¥¯°»¢­»¬ ±¢¥°µ³ (¯.­.±¢.), ¥±«¨ ¨§ xn ! x , yn 2 F (xn ) , yn ! y ±«¥¤³¥² y 2 F (x) . 10

‘² ²¨·¥±ª¨¥ ¨£°» ± ¯®«­®© ¨­´®°¬ ¶¨¥©

61

ui (ski ; sk;i)  ui(s0i; sk;i ) 8 s0i 2 Si . ‚ ±¨«³ ­¥¯°¥°»¢­®±²¨ ui(
); ui (si; s;i )  ui (s0i; s;i) . „ ® ª   §   ² ¥ « ¼ ± ² ¢ ® ’¥®°¥¬». Ž¯°¥¤¥«¨¬ ®²®¡° ¦¥­¨¥

b : S ! S ´®°¬³«®© b(s1; : : :; sn ) = b1(s;1 )  b2(s;2) 


 b(s;n ): Ÿ±­®, ·²® b(
) | ¬­®£®§­ ·­®¥ ®²®¡° ¦¥­¨¥ S = S1 


Sn ¢ ±¥¡¿. ® «¥¬¬¥ b(
) ­¥¯³±²®, ¢»¯³ª«®-§­ ·­®, ¯®«³­¥¯°¥°»¢­®

±¢¥°µ³. ‘«¥¤®¢ ²¥«¼­®, ¯® ’. Š ª³² ­¨ ® ­¥¯®¤¢¨¦­®© ²®·ª¥, ±³¹¥±²¢³¥² ­¥¯®¤¢¨¦­ ¿ ²®·ª , ². ¥. ­ ¡®° ±²° ²¥£¨© s 2 S : s 2 b(s) . ²®² ­ ¡®° ±²° ²¥£¨© ¿¢«¿¥²±¿ ° ¢­®¢¥±¨¥¬ ¯® ½¸³, ². ª. ¯® ¯®±²°®¥­¨¾ si 2 bi(s;i) 8 i = 1; : : :; n:  ° ¨ ¬ ¥ °. Àƒ®«®±®¢ ­¨¥Á.  ±±¬®²°¨¬ ±«¥¤³¾¹³¾ ±¨²³ ¶¨¾ | ²°¨ ¨£°®ª  1, 2, 3 ¨ ²°¨  «¼²¥°­ ²¨¢» | A , D , C. ˆ£°®ª¨ £®«®±³¾² ®¤­®¢°¥¬¥­­® §  ®¤­³ ¨§  «¼²¥°­ ²¨¢, ¢®§¤¥°¦ ²¼±¿ ­¥¢®§¬®¦­®. ’ ª¨¬ ®¡° §®¬, ¯°®±²° ­±²¢® ±²° ²¥£¨© Si = fA; B; C g . €«¼²¥°­ ²¨¢ , ¯®«³·¨¢¸ ¿ ¡®«¼¸¨­±²¢®, ¯®¡¥¦¤ ¥². …±«¨ ­¨ ®¤­  ¨§  «¼²¥°­ ²¨¢ ­¥ ¯®«³· ¥² ¡®«¼¸¨­±²¢ , ²® ¢»¡¨° ¥²±¿  «¼²¥°­ ²¨¢  A . ”³­ª¶¨¨ ¢»¨£°»¸¥© ² ª®¢»: u1(A) = u2(B ) = u3(c) = 2; u1 (B ) = u2(C ) = u3 (A) = 1; u1 (C ) = u2(A) = u3 (B ) = 0: ‚ ½²®© ¨£°¥ ²°¨ ° ¢­®¢¥±­»µ ¨±µ®¤ 12 (¢ ·¨±²»µ ±²° ²¥£¨¿µ): A , B ¨ C . ’¥¯¥°¼ ¯®±¬®²°¨¬ ­  ° ¢­®¢¥±¨¿ (¨µ ¡®«¼¸¥ 3):

‚®®¡¹¥ £®¢®°¿, ¯®¤ ¨±µ®¤®¬ ±«¥¤³¥² ¯®­¨¬ ²¼ ¯®«­®¥ ®¯¨± ­¨¥ À°¥§³«¼² ² Á ¨£°»: ¨ ¢»¡° ­­»¥ ±²° ²¥£¨¨, ¨ ±®®²¢¥²±²¢³¾¹¨¥ ¢»¨£°»¸¨ ¨£°®ª®¢, ¨, ¢®§¬®¦­®, ª ª¨¥-²® ¤°³£¨¥  ²°¨¡³²» (­ ¯°¨¬¥°, ®¡º¿¢«¥­¨¥ ® ²®¬, ·²® ¯®¡¥¤¨« ² ª®©-²® ¨£°®ª X ). ‚ ¤ ­­®¬ ±«³· ¥ ¬» ¨¬¥¥¬ ¢ ¢¨¤³ ¯®¡¥¤¨¢¸³¾  «¼²¥°­ ²¨¢³. 12

62

ƒ« ¢  1

¥±«¨ ¨£°®ª¨ 1 ¨ 3 £®«®±³¾² §  A , ²® ¨£°®ª 2 ­¥ ¨§¬¥­¨² ¨±µ®¤, ª ª ¡» ®­ ­¨ £®«®±®¢ «, ¨ ¨£°®ª³ 3 ¡¥§° §«¨·­®, ª ª ®­ £®«®±³¥². (A; A; A) ¨ (A; B; A) | p.H., ­® (A; A; B ) | ­¥ p.H., ². ª. ¢²®°®¬³ «³·¸¥ £®«®±®¢ ²¼ §  B . 1.8. €­² £®­¨±²¨·¥±ª¨¥ ¨£°»

Š ·¨±«³ ¤®±² ²®·­® ¯°®±²»µ ¨ ¯®²®¬³ ­ ¨¡®«¥¥ ¨§³·¥­­»µ ¨£° ®²­®±¿²±¿  ­² £®­¨±²¨·¥±ª¨¥ ¨£°». ‚ ±«³· ¥  ­² £®­¨±²¨·¥±ª¨µ ¨£°, ¢ ®²«¨·¨¥ ®² ¯°®¨§¢®«¼­»µ ¨£°, £®° §¤® ¡®«¼¸¥ ¬®¦­® ±ª § ²¼ ® ª ·¥±²¢¥­­®¬ µ ° ª²¥°¥ ° ¢­®¢¥±¨© ¯® ½¸³.  ¯®¬­¨¬ ®¯°¥¤¥«¥­¨¥ ¨£° ± À­³«¥¢®© ±³¬¬®©Á: Ž¯°¥¤¥«¥­¨¥ 1.8.1. ˆ£°  ; = fI; fSig; fuigg ­ §»¢ ¥²±¿ ¨£°®© ± ­³«¥¢®© ±³¬¬®©, ¥±«¨ ¤«¿ «¾¡®£® s 2 S ¢»¯®«­¿¥²±¿ P n ³±«®¢¨¥ i=1 ui (s1 ; s2; : : :; sn ) = 0 . ˆ­»¬¨ ±«®¢ ¬¨, ² ª ¿ ¨£°  ¯°¥¤±² ¢«¿¥² ±®¡®© § ¬ª­³²³¾ ±¨±²¥¬³: ¢±¥ ²®, ·²® ª²®-­¨¡³¤¼ ¢»¨£° «, ¤®«¦­® ¡»²¼ ª¥¬²® ¯°®¨£° ­®. ®«¼¸¨­±²¢® ± «®­­»µ ¨£° ¿¢«¿¾²±¿ ¨£° ¬¨ ² ª®£® ²¨¯ . ³¤¥¬ ¤ «¥¥ ±·¨² ²¼, ·²® I = f1; 2g . Ž¯°¥¤¥«¥­¨¥ 1.8.2. ˆ£°  ; ¤¢³µ «¨¶ ± ­³«¥¢®© ±³¬¬®© ­ §»¢ ¥²±¿  ­² £®­¨±²¨·¥±ª®©. ‚ ² ª®© ¨£°¥ ¨­²¥°¥±» ¨£°®ª®¢ ¤¨ ¬¥²° «¼­® ¯°®²¨¢®¯®«®¦­», ¯®±ª®«¼ª³ u1(s1 ; s2) + u2 (s1 ; s2) = 0 ¨«¨ u1 (s1; s2 ) = ;u2(s1; s2); 8s1 2 S1; s2 2 S2 . Š ·¨±«³ ¯°¨¬¥°®¢  ­² £®­¨±²¨·¥±ª¨µ ¨£° ¬®¦­® ®²­¥±²¨ ¨£°³ ÀŽ°¥« ¨«¨ ¥¸ª Á. ‚ ½²®© ¨£°¥ ª ¦¤»© ¨§ ¤¢³µ ¨£°®ª®¢ ¢»¡¨° ¥², ­¥§ ¢¨±¨¬® ®² ¤°³£®£®, ¬®­¥²ª³, ¯®¢¥°­³²³¾ ¢¢¥°µ «¨¡® ÀŽ°«®¬Á, «¨¡® À¥¸ª®©Á. …±«¨ ¢»¡®° ¨£°®ª®¢ ° §«¨·¥­, ²® ¨£°®ª 2 ¯« ²¨² ¨£°®ª³ 1 ®¤¨­ ¤®«« °. …±«¨ ¢»¡®° ±®¢¯ ¤ ¥², ²® | ­ ®¡®°®². Œ ²°¨¶  ¢»¨£°»¸¥© ² ª®© ¨£°» ¯°¥¤±² ¢«¥­  ­  °¨±. 23.

‘² ²¨·¥±ª¨¥ ¨£°» ± ¯®«­®© ¨­´®°¬ ¶¨¥©

ÀŽ°¥«Á À¥¸ª Á

63

ÀŽ°¥«Á (;1; 1)

À¥¸ª Á (1; ;1) (1; ;1) (;1; 1)

¨±. 23. Š ª ³¦¥ ®²¬¥· «®±¼, ª®­¥·­ ¿  ­² £®­¨±²¨·¥±ª ¿ ¨£°  ­ §»¢ ¥²±¿ ¬ ²°¨·­®©, ¯®±ª®«¼ª³ ¢»¨£°»¸¨ ¨£°®ª®¢ ¯®«­®±²¼¾ § ¤ ¾²±¿ ¬ ²°¨¶¥© ¢»¨£°»¸¥© ¯¥°¢®£® ¨£°®ª . ³¤¥¬ £®¢®°¨²¼, ·²® ¨£°®ª i ¢»¡¨° ¥² ¬ ª±¨¬¨­­³¾ ±²° ²¥£¨¾, ¥±«¨ ½²  ±²° ²¥£¨¿ ¿¢«¿¥²±¿ ­ ¨«³·¸¥© ¤«¿ ­¥£® ¢ ¯°¥¤¯®«®¦¥­¨¨, ·²® ¨£°®ª j ¡³¤¥² ¢»¡¨° ²¼ ±¢®¾ ±²° ²¥£¨¾ ² ª, ·²®¡» ¬ ª±¨¬ «¼­® ­ ¢°¥¤¨²¼ ¨£°®ª³ i .  ±±¬®²°¨¬ ² ª³¾ ±²° ²¥£¨¾ ­  ¯°¨¬¥°¥ ¨£°», ¯°¥¤±² ¢«¥­­®© ­  °¨±. 24.

L1 C1 R1

0L25 C12 3R21 @ 3 2 4A ;3 0 1

¨±. 24. ‡¤¥±¼ ¯°¨¢¥¤¥­  ¬ ²°¨¶  ¢»¨£°»¸¥© 1-£® ¨£°®ª . Š ª ¢»¡¨° ¥² ¬ ª±¨¬¨­­³¾ ±²° ²¥£¨¾ 1-© ¨£°®ª? Ž­ ¬®¦¥² ° ±±³¦¤ ²¼ ±«¥¤³¾¹¨¬ ®¡° §®¬: À…±«¨ ¿ ¢»¡¥°³ ±¢®¾ ±²° ²¥£¨¾ L1 ; ²® ±ª®«¼ª® ¿ ±¬®£³ ¯®«³·¨²¼?Á ®±ª®«¼ª³ ¥£® ¯°®²¨¢­¨ª ¢»¡¨° ¥² ±¢®¾ ±²° ²¥£¨¾ ² ª, ·²®¡» ­ ¢°¥¤¨²¼ ¨£°®ª³ 1 ­ ±ª®«¼ª® ¢®§¬®¦­®, ²® ®­ ¢ ®²¢¥² ­  L1 ®²¢¥²¨² ±¢®¥© ±²° ²¥£¨¥© C2: ‚ ½²®¬ ±«³· ¥ ¨£°®ª 2 ¯°®¨£° ¥² «¨¸¼ 1. €­ «®£¨·­®, ¥±«¨ ¨£°®ª 1 § ¤³¬ ¥² ±»£° ²¼ C1; ¢ ®²¢¥² ¨£°®ª 2 ®²¢¥²¨² C2; ²®£¤  1-© ¨£°®ª ±¬®¦¥² ¢»¨£° ²¼ «¨¸¼ 2. …±«¨ ¦¥ ¨£°®ª 1 § ¤³¬ ¥² ±»£° ²¼ R1; ²® ¯°®²¨¢­¨ª ­ ª ¦¥² ¥£®, ±»£° ¢ L2 : ‚ ½²®¬ ±«³· ¥ 1-© ¨£°®ª ¯°®¨£° ¥² 3,   ±«¥¤®¢ ²¥«¼­®, 2-© ¨£°®ª ¢»¨£° ¥² 3. Ž·¥¢¨¤­®, ·²® ¤«¿ ¨£°®ª  1 ­ ¨«³·¸¨¬ ¡³¤¥² ¢»¡®° ² ª®© ±²° ²¥£¨¨, ª®²®° ¿ ¤ ±² ¥¬³

64

ƒ« ¢  1

¬ ª±¨¬ «¼­»© ¢»¨£°»¸ ¨§ ²¥µ ¬¨­¨¬ «¼­»µ, ª®²®°»¥ ¯®§¢®«¨² ¥¬³ ¢»¨£° ²¼ ¨£°®ª 2, ². ¥. ±²° ²¥£¨¨ C1: €­ «®£¨·­»¥ ° ±±³¦¤¥­¨¿ ¯°¨¬¥­¨¬» ¨ ¤«¿ ¨£°®ª  2 ¯°¨ ¢»¡®°¥ ¨¬ ±¢®¥© ¬ ª±¨¬¨­­®© ±²° ²¥£¨¨. ®ª ¦¥¬, ·²® ¥±«¨ ¢  ­² £®­¨±²¨·¥±ª®© ¨£°¥ ; ±³¹¥±²¢³¥² ° ¢­®¢¥±¨¥ ¯® ½¸³, ²® ¯ °  ±²° ²¥£¨© ¡³¤¥² ¿¢«¿²¼±¿ ° ¢­®¢¥±­®© ²®£¤  ¨ ²®«¼ª® ²®£¤ , ª®£¤  ±²° ²¥£¨¿ ª ¦¤®£® ¨£°®ª  | ¬ ª±¨¬¨­­ ¿. ²®² ¢ ­¥ª®²®°®¬ ±¬»±«¥ ³¤¨¢¨²¥«¼­»© °¥§³«¼² ² ®¡¥±¯¥·¨¢ ¥² ±¢¿§¼ ¬¥¦¤³ ¨­¤¨¢¨¤³ «¼­»¬ ¯°¨­¿²¨¥¬ °¥¸¥­¨¿ ¨ ° ±±³¦¤¥­¨¥¬, ®¡º¿±­¿¾¹¨¬ ¯°¨·¨­³ ¢¢¥¤¥­¨¿ ² ª®£® ¯®­¿²¨¿, ª ª ° ¢­®¢¥±¨¥ ¯® ½¸³. Œ» ¤®ª ¦¥¬ § ®¤­®, ·²® ¢±¥ ° ¢­®¢¥±­»¥ ±¨²³ ¶¨¨ ¢  ­² £®­¨±²¨·¥±ª¨µ ¨£° µ ¯°¨¢®¤¿² ª ®¤­¨¬ ¨ ²¥¬ ¦¥ ¢»¨£°»¸ ¬. ²® ±¢®©±²¢® °¥¤ª® ¢»¯®«­¿¥²±¿ ¢ ­¥ ­² £®­¨±²¨·¥±ª¨µ ¨£° µ. Ž¯°¥¤¥«¥­¨¥ 1.8.3. ³±²¼ ; |  ­² £®­¨±²¨·¥±ª ¿ ¨£° . ‘²° ²¥£¨¿ s1 2 S1 ¿¢«¿¥²±¿ ¬ ª±¨¬¨­­®© ¤«¿ ¨£°®ª  1, ¥±«¨ min u (s ; s )  smin u (s ; s ); 8 s1 2 S1: s 2S 1 1 2 2S 1 1 2 2

2

2

2

1

1

1

1

‘²° ²¥£¨¿ s2 2 S2 ¿¢«¿¥²±¿ ¬ ª±¨¬¨­­®© ¤«¿ ¨£°®ª  2, ¥±«¨ min u (s ; s)  smin u (s ; s ); 8 s2 2 S2: s 2S 2 1 2 2S 2 1 2

’. ¥. ¬ ª±¨¬¨­­ ¿ ±²° ²¥£¨¿ ¤«¿ ¨£°®ª  i ¿¢«¿¥²±¿ ±²° ²¥£¨¥©, ®¡¥±¯¥·¨¢ ¾¹¥© ¥¬³ ¬ ª±¨¬ «¼­»© £ ° ­²¨°®¢ ­­»© ¢»¨£°»¸. ‘«¥¤®¢ ²¥«¼­®, ¬ ª±¨¬¨­­ ¿ ±²° ²¥£¨¿ ¨£°®ª  1 °¥¸ ¥² § ¤ ·³: max min u (s ; s ): s 2S s 2S 1 1 2 €­ «®£¨·­® ¬ ª±¨¬¨­­ ¿ ±²° ²¥£¨¿ 2-£® ¨£°®ª  °¥¸ ¥² § ¤ ·³: max min u (s ; s ): s 2S s 2S 2 1 2 ‘«¥¤³¾¹ ¿ ®·¥¢¨¤­ ¿ «¥¬¬  ¯®ª §»¢ ¥², ·²® ­ µ®¦¤¥­¨¥ ¬ ª±¨¬ «¼­®£® ±°¥¤¨ ¬¨­¨¬ «¼­»µ ¢»¨£°»¸¥© ¨£°®ª  2 ½ª¢¨¢ «¥­²­® ­ µ®¦¤¥­¨¾ ¬¨­¨¬³¬  ±°¥¤¨ ¬ ª±¨¬ «¼­»µ ¢»¨£°»¸¥© ¨£°®ª  1. 1

1

2

2

2

2

1

1

65

‘² ²¨·¥±ª¨¥ ¨£°» ± ¯®«­®© ¨­´®°¬ ¶¨¥©

‹¥¬¬  1.8.1. ³±²¼ ; = ff1; 2g; fSig; fuigg |  ­² £®­¨±²¨·¥±ª ¿ ¨£° , ²®£¤  maxs 2S mins 2S u2 (s1 ; s2)

; mins 2S maxs 2S u1(s1; s2): 2

2

1

2

2

1

1

=

1

„®ª § ²¥«¼±²¢® ½²®© «¥¬¬» ­¥¬¥¤«¥­­® ±«¥¤³¥² ¨§ ±«¥¤³¾¹¨µ ®·¥¢¨¤­»µ ±¢®©±²¢: 1) minz (;f (z )) = ; maxz f (z ) ; 2) arg minz (;f (z )) = arg maxz f (z ) . ˆ§ ½²®£® °¥§³«¼² ²  ±«¥¤³¥², ·²® ±²° ²¥£¨¿ s2 2 S2 ¿¢«¿¥²±¿ °¥¸¥­¨¥¬ § ¤ ·¨ ­ µ®¦¤¥­¨¿ maxs 2S mins 2S u2 (s1; s2 ) ²®£¤  ¨ ²®«¼ª® ²®£¤ , ª®£¤  ½²  ±²° ²¥£¨¿ s2 ¿¢«¿¥²±¿ °¥¸¥­¨¥¬ § ¤ ·¨ mins 2S maxs 2S u1 (s1 ; s2) . ®½²®¬³ ¯°¨ ¯®¨±ª¥ ² ª®© ±²° ²¥£¨¨ ¬®¦­® ¢®±¯®«¼§®¢ ²¼±¿ ²®© ¦¥ ¬ ²°¨¶¥© ¢»¨£°»¸¥© ¨£°®ª  1 ±«¥¤³¾¹¨¬ ®¡° §®¬: ±­ · «  ¢ ª ¦¤®¬ ±²®«¡¶¥ ­ ©²¨ ¬ ª±¨¬ «¼­»© ½«¥¬¥­², § ²¥¬ ¨§ ¢±¥µ ¬ ª±¨¬ «¼­»µ ½«¥¬¥­²®¢ ¢»¡° ²¼ ¬¨­¨¬ «¼­»©. ®«³·¥­­®¥ §­ ·¥­¨¥ ¿¢«¿¥²±¿ À­ ¨¬¥­¼¸¨¬ £ ° ­²¨°®¢ ­­»¬ ¯°®¨£°»¸¥¬Á ¨£°®ª  2. ²® ®§­ · ¥², ·²® ¥±«¨ ¨£°®ª 2 ¡³¤¥² ¯°¨¤¥°¦¨¢ ²¼±¿ ±²° ²¥£¨©, ±®®²¢¥²±²¢³¾¹¨µ ½²®¬³ ¬¨­¨¬ ª±­®¬³ §­ ·¥­¨¾, ²® ¯°¨ «¾¡®¬ ¯®¢¥¤¥­¨¨ ¯°®²¨¢­¨ª  ®­ ¯°®¨£° ¥² ­¥ ¡®«¼¸¥ ½²®£® §­ ·¥­¨¿. ‘«¥¤³¾¹¨© °¥§³«¼² ² ³±² ­ ¢«¨¢ ¥² ±¢¿§¼ ¬¥¦¤³ ° ¢­®¢¥±¨¥¬ ¯® ½¸³ ¢  ­² £®­¨±²¨·¥±ª®© ¨£°¥ ¨ ¬­®¦¥±²¢®¬ ¯ ° ¬ ª±¨¬¨­­»µ ±²° ²¥£¨©. 2

2

2

1

2

1

1

1

°¥¤«®¦¥­¨¥ 1.8.1. ³±²¼ ; |  ­² £®­¨±²¨·¥±ª ¿ ¨£° .

a. …±«¨ (s1 ; s2) | ° ¢­®¢¥±¨¥ ¯® ½¸³ ¢ ; , ²®£¤  s1 ¿¢«¿¥²±¿ ¬ ª±¨¬¨­­®© ±²° ²¥£¨¥© ¨£°®ª  1,   s2 | ¬ ª±¨¬¨­­®© ±²° ²¥£¨¥© ¨£°®ª  2. b. …±«¨ (s1; s2 ) | ° ¢­®¢¥±¨¥ ¯® ½¸³ ¢ ¨£°¥ ; , ²®£¤  max min u (s ; s ) = min max u (s ; s ) = u1 (s1 ; s2) s s 1 1 2 s s 1 1 2 1

2

2

1

¨ ² ª¨¬ ®¡° §®¬ ¢±¥ ° ¢­®¢¥±¨¿ ¯® ½¸³ ¢ ¨£°¥ ; ¤ ¾² ®¤­¨ ¨ ²¥ ¦¥ ¢»¨£°»¸¨.

66

ƒ« ¢  1

c. …±«¨ maxs mins u1 (s1; s2) = mins maxs u1 (s1 ; s2); s1 ¿¢«¿¥²±¿ ¬ ª±¨¬¨­­®© ±²° ²¥£¨¥© ¨£°®ª  1, s2 | ¬ ª±¨¬¨­­®© ±²° ²¥£¨¥© ¨£°®ª  2, ²®£¤  (s1; s2) ¿¢«¿¥²±¿ ° ¢­®¢¥±¨¥¬ ¯® ½¸³ ¨£°» ; . 1

2

2

1

„ ® ª   §   ² ¥ « ¼ ± ² ¢ ®.  ,b. ³±²¼ (s1 ; s2) | ° ¢­®¢¥±¨¥ ¯® ½¸³, ²®£¤ 

u2 (s1; s2)  u2 (s1; s2); 8 s2 2 S2 ¨«¨ (². ª. u2 = ;u1 ) u1 (s1 ; s2)  u1 (s1; s2); 8 s2 2 S2:

‘«¥¤®¢ ²¥«¼­®,

u1(s1 ; s2) = smin u (s; s )  max min u (s ; s ): s s 1 1 2 2S 1 1 2 2

1

2

(8:1)

2

‘ ¤°³£®© ±²®°®­»,

u1 (s1 ; s2)  u1 (s1; s2); 8 s1 2 S1: ‘«¥¤®¢ ²¥«¼­®, u1 (s1; s2 )  mins u1 (s1; s2); 8 s1 2 S1 ; ¯®½²®¬³ u1(s1; s2)  max min u (s ; s ): (8:2) s s 1 1 2 2

1

2

’ ª¨¬ ®¡° §®¬, ¨§ (8.1) ¨ (8.2) ±«¥¤³¥², ·²® u1 (s1; s2 ) = maxs mins u1 (s1; s2 ) ¨ s1 ¿¢«¿¥²±¿ ¬ ª±¨¬¨­­®© ±²° ²¥£¨¥© ¨£°®ª  1. €­ «®£¨·­® ¬®¦­® ¯®ª § ²¼, ·²® s2 ¿¢«¿¥²±¿ ¬ ª±¨¬¨­­®© ±²° ²¥£¨¥© ¨£°®ª  2. ’. ª. u2 (s1; s2 ) = maxs mins u2 (s1; s2 ) = ;u1 (s1 ; s2) , ²® u1 (s1; s2 ) = ; maxs mins u2(s1; s2) = mins maxs u1(s1; s2) . c. Ž¡®§­ ·¨¬ ·¥°¥§ v  = maxs mins u1(s1 ; s2) = mins maxs u1 (s1; s2 ) . ˆ§ «¥¬¬» ±«¥¤³¥², ·²® maxs mins u2 (s1; s2) = ;v . ®±ª®«¼ª³ s1 | ¬ ª±¨¬¨­­ ¿ ±²° ²¥£¨¿ 1-£® ¨£°®ª , ²® u1 (s1; s2 )  v  ¤«¿ ¢±¥µ s2 2 S2 . €­ «®£¨·­® s2 | ¬ ª±¨¬¨­­ ¿ ±²° ²¥£¨¿ 2-£® ¨£°®ª , ¯®½²®¬³ 1

2

2

2

1

1

2

1

2

1

2

1

2

u2(s1; s2)  ;v  ¤«¿ ¢±¥µ s1 2 S1:

1

67

‘² ²¨·¥±ª¨¥ ¨£°» ± ¯®«­®© ¨­´®°¬ ¶¨¥©

®«®¦¨¬ ¢ ½²¨µ ­¥° ¢¥­±²¢ µ s2 = s2 ¨ s1 = s1 , ²®£¤  u1(s1; s2)  v  ¨ u2 (s1 ; s2)  ;v  . ® ² ª ª ª u1 = ;u2 , ²® u1 (s1; s2 )  v  . Ž²±¾¤  ±«¥¤³¥², ·²® u1 (s1 ; s2) = v  . ®«³·¨¬ u1 (s1; s2 )  u2 (s1; s2 ) ¨«¨, ¯®¤±² ¢«¿¿ u1 = ;u2 ¨¬¥¥¬, u2 (s1 ; s2)  u2 (s1 ; s2) . € ¨§ ¢²®°®£® ­¥° ¢¥­±²¢  u2(s1; s2)  ;u1 (s1 ; s2) ¨«¨ u1(s1 ; s2)  u1(s1 ; s2) . ‡­ ·¨², ¯ °  (s1; s2) ¿¢«¿¥²±¿ ° ¢­®¢¥±¨¥¬ ¯® ½¸³. ‡ ¬¥²¨¬ ² ª¦¥, ·²® ¨§ ±¢®©±²¢ (a), (c) ±«¥¤³¥², ·²® ° ¢­®¢¥±­»¥ ±²° ²¥£¨¨ ¿¢«¿¾²±¿ ¢§ ¨¬®§ ¬¥­¿¥¬»¬¨ ¢ ²®¬ ±¬»±«¥, ·²® ¥±«¨ (s1 ; s2) ¨ (s01 ; s02) ®¡° §³¾² ° ¢­®¢¥±¨¿, ²® ¨ (s1; s02 ); (s01 ; s2) ² ª¦¥ ®¡° §³¾² ° ¢­®¢¥±¨¿ ¯® ½¸³. ‘¢®©±²¢® (b) ¯®ª §»¢ ¥², ·²® max min u (s ; s ) = min max u (s ; s ) s s 1 1 2 s s 1 1 2 1

2

2

1

¤«¿ ¢±¥µ  ­² £®­¨±²¨·¥±ª¨µ ¨£°, ¢ ª®²®°»µ ±³¹¥±²¢³¥² ° ¢­®¢¥±¨¥ ¯® ½¸³. ‚ ¡®«¥¥ ®¡¹¥¬ ±«³· ¥, ª®£¤  ° ¢­®¢¥±¨¿ ¯® ½¸³ ¢ ·¨±²»µ ±²° ²¥£¨¿µ ­¥², ¢»¯®«­¿¥²±¿ ¡®«¥¥ ®¡¹¥¥ ±¢®©±²¢®: max min u (s ; s )  min max u (s ; s ): s s 1 1 2 s s 1 1 2 1

2

2

1

„¥©±²¢¨²¥«¼­®, ². ª. ¤«¿ «¾¡®£® s01 ¨¬¥¥¬

u1(s01; s2)  max u (s ; s ); 8 s2 2 S2; s 1 1 2 1

¯®½²®¬³ min u (s0 ; s )  min max u (s ; s ) 8 s01 2 S1 : s 1 1 2 s s 1 1 2 2

2

1

 «¨·¨¥ ° ¢­®¢¥±­®© ±¨²³ ¶¨¨ ¯°¥¤¯®« £ ¥² ¢»¯®«­¥­¨¥ ¯°®²¨¢®¯®«®¦­®£® ­¥° ¢¥­±²¢ . ‚ ¯°¨¬¥°¥ ÀŽ°¥« ¨«¨ ¥¸ª Á ¬» ¢¨¤¨¬, ·²® max min u (s ; s ) = ;1 < min max u (s ; s ) = 1: s s 1 1 2 s s 1 1 2 1

2

2

1

68

ƒ« ¢  1

‡­ ·¨², ¢ ½²®© ¨£°¥ ° ¢­®¢¥±¨¿ ¯® ½¸³ ¢ ·¨±²»µ ±²° ²¥£¨¿µ ­¥²,   ¢®² ¢® ¢²®°®¬ ¯°¨¬¥°¥ (°¨±. 24) ¬» ¯®«³· ¥¬, ·²® max min u (s ; s ) = 2 = min max u (s ; s ); s s 1 1 2 s s 1 1 2 1

2

2

1

ª®£¤  ¨£°®ª 1 ¨£° ¥² C1 ,   ¨£°®ª 2 ¨£° ¥² C2 . ‘¨²³ ¶¨¿ (C1; C2) §¤¥±¼ ¿¢«¿¥²±¿ ° ¢­®¢¥±­®© ¯® ½¸³. …±«¨ ®ª §»¢ ¥²±¿, ·²® ¢  ­² £®­¨±²¨·¥±ª®© ¨£°¥ ; max min u (s ; s ) = min max u (s ; s ) = v  ; s s 1 1 2 s s 1 1 2 1

2

2

1

²® £®¢®°¿², ·²® ½²®² ° ¢­®¢¥±­»© ¢»¨£°»¸ 1-£® ¨£°®ª  ¿¢«¿¥²±¿ §­ ·¥­¨¥¬ ¨£°». ˆ, ª ª ±«¥¤³¥² ¨§ ¤®ª § ²¥«¼±²¢  ¯°¥¤«®¦¥­¨¿, ¥±«¨ v  ¿¢«¿¥²±¿ §­ ·¥­¨¥¬  ­² £®­¨±²¨·¥±ª®© ¨£°», ²® ½²® §­ ·¨², ·²® «¾¡ ¿ ° ¢­®¢¥±­ ¿ ±²° ²¥£¨¿ ¨£°®ª  1 £ ° ­²¨°³¥² ¥¬³ ¢»¨£°»¸ ¯® ª° ©­¥© ¬¥°¥ ­¥ ¬¥­¼¸¥ ¥£® ° ¢­®¢¥±­®£® ¢»¨£°»¸  v  ,   «¾¡ ¿ ° ¢­®¢¥±­ ¿ ±²° ²¥£¨¿ ¨£°®ª  2 £ ° ­²¨°³¥² ¥¬³ ­¥ ¬¥­¼¸¥ ¥£® ° ¢­®¢¥±­®£® ¢»¨£°»¸  ;v  . ®½²®¬³ «¾¡ ¿ ² ª ¿ ±²° ²¥£¨¿ ¨£°®ª  2 £ ° ­²¨°³¥², ·²® ¨£°®ª 1 ¯®«³·¨² ¢»¨£°»¸ ­¥ ¡®«¼¸¥ ¥£® ° ¢­®¢¥±­®£®. ‚ ­¥ ­² £®­¨±²¨·¥±ª¨µ ¨£° µ ° ¢­®¢¥±­»¥ ±²° ²¥£¨¨ ¨£°®ª®¢ ² ª¨¬¨ ±¢®©±²¢ ¬¨ ³¦¥ ­¥ ®¡« ¤ ¾². ‚ § ª«¾·¥­¨¥ ½²®£® ¯ ° £° ´  ¬» ¯°¨¢¥¤¥¬ ª« ±±¨·¥±ª³¾ ²¥®°¥¬³ ® ¬¨­¨¬ ª± µ, ¢¯¥°¢»¥ ¤®ª § ­­³¾ „¦. ´®­ ¥©¬ ­®¬ ¢ 1928 £. (von Neumann, 1928)13.

’¥®°¥¬  ® ¬¨­¨¬ ª± µ. …±«¨ < f1; 2g; f1; 2g; fu1; u2g > | ±¬¥¸ ­­®¥ ° ±¸¨°¥­¨¥ ¬ ²°¨·­®© ¨£°», ²® max min u ( ;  ) = max min u ( ;  ):  2  2 1 1 2 2  2 1 1 2 1

1

2

2

2

2

1

1

²  ²¥®°¥¬  ´ ª²¨·¥±ª¨ ³²¢¥°¦¤ ¥², ·²® ¢ ¯°®¨§¢®«¼­®© ¬ ²°¨·­®© ¨£°¥ ±³¹¥±²¢³¥² ° ¢­®¢¥±¨¥ ¯® ½¸³ ¢ ±¬¥¸ ­­»µ ±²° ²¥£¨¿µ (±°. °¥¤«®¦¥­¨¥ 1.7.2).

13 ³±±ª¨© ¯¥°¥¢®¤ ±² ²¼¨ „¦. ´®­ ¥©¬ ­  ®¯³¡«¨ª®¢ ­ ¢ ±¡.: Œ ²°¨·­»¥ ¨£°». Œ.: ƒ®±³¤ °±²¢¥­­®¥ ¨§¤ ²¥«¼±²¢® ´¨§¨ª®-¬ ²¥¬ ²¨·¥±ª®© «¨²¥° ²³°», 1961.

‘² ²¨·¥±ª¨¥ ¨£°» ± ¯®«­®© ¨­´®°¬ ¶¨¥©

69

1.9. °¨¬¥°» 1.9.1. Œ®¤¥«¼ ¤³®¯®«¨¨ ¯® Š³°­®

°¥¤¯®«®¦¨¬, ·²® ¤¢¥ ´¨°¬» i = 1; 2 ¯°®¨§¢®¤¿² ®¤­®°®¤­»© ¯°®¤³ª² ¨ q1 ; q2 | ®¡º¥¬» ¯°®¨§¢®¤±²¢  ½²®£® ¯°®¤³ª² . Ž¡° ²­ ¿ ´³­ª¶¨¿ ±¯°®±  ¨¬¥¥² ¢¨¤ (¤«¿ ¯°®±²®²») P (Q) = a ; Q , £¤¥ Q = q1 + q2 , (P (Q) = a ; Q , ¯°¨ Q < a , ¨ P (Q) = 0 , ¯°¨ Q  a ). ”³­ª¶¨¨ § ²° ² Ci(qi ) = cqi (c < a) (­¥² ´¨ª±¨°®¢ ­­»µ § ²° ² ¨ ¯°¥¤¥«¼­»¥ § ²° ²» ¯®±²®¿­­»). ”¨°¬» ¢»¡¨° ¾² qi ®¤­®¢°¥¬¥­­® ¨ ­¥§ ¢¨±¨¬®. ‡¤¥±¼ ¤¢  ¨£°®ª , ±²° ²¥£¨¨ Si = [0; +1) . (‚ ¤¥©±²¢¨²¥«¼­®±²¨ ­¨ ®¤­  ´¨°¬  ­¥ ¡³¤¥² ¯°®¨§¢®¤¨²¼ qi > a .) ”¨°¬» ¬ ª±¨¬¨§¨°³¾² ±¢®¨ ¯°¨¡»«¨: i (qi; qj ) = qi (P (qi + qj ) ; c) = qi [a ; (qi + qj ) ; c]: …±«¨ ¯ °  (q1; q2) | p.H., ²® qi °¥¸ ¥² § ¤ ·³ max i (qi ; qj): °¥¤¯®«®¦¨¬ qj < a ; c (¬®¦­® ¤®ª § ²¼, ·²® ½²® ¤¥©±²¢¨²¥«¼­® ² ª), ²®£¤  ³±«®¢¨¥ 1 ¯®°¿¤ª 14 ¤ ¥² ­ ¬ qi = 12 (a ; qj ; c) . ’®£¤   q = 1 (q ; q ; c)  = q  = a ; c (< a ; c): 2 1 2 ) q 1 2 1   q2 = 2 (a ; q1 ; c) 3 ‡ ¬¥²¨¬, ·²® ¬®­®¯®«¼­»© ¢»¯³±ª ¡»« ¡» (a ; c)=2 . °¨ ¨±±«¥¤®¢ ­¨¨ ¤³®¯®«¨¨ ¯® Š³°­® ¢ ¦­³¾ °®«¼ ¨£° ¾² ´³­ª¶¨¨ «³·¸¨µ ®²¢¥²®¢ (ª°¨¢»¥ °¥ £¨°®¢ ­¨¿) | ½²® ´³­ª¶¨¨ ¢¨¤  R2(q1) = 12 (a ; q1 ; c);

R1(q2) =

1 (a ; q2 ; c): 2

Œ» ¢±¥£¤  ¡³¤¥¬ ®£° ­¨·¨¢ ²¼±¿ ° ±±¬®²°¥­¨¥¬ «¨¸¼ ³±«®¢¨¿ I ¯®°¿¤ª  (¢ ²¥µ ±«³· ¿µ, ª®£¤  ½²® ­¥®¡µ®¤¨¬®), ±·¨² ¿, ·²® ®­¨ ®¯°¥¤¥«¿¾² °¥¸¥­¨¥ (­¥ ³¯®¬¨­ ¿ ³±«®¢¨¿ II ¯®°¿¤ª , ¯®±ª®«¼ª³ ¢ ²¥µ ±¨²³ ¶¨¿µ, ª®²®°»¥ ¬» ¡³¤¥¬ ° ±±¬ ²°¨¢ ²¼, ½²® ¤¥©±²¢¨²¥«¼­® ¡³¤¥² ¨§«¨¸­¥). 14

70

ƒ« ¢  1

’ ª¨¬ ®¡° §®¬, Ri (qj ) | ½²® ®¡º¥¬ ¢»¯³±ª  i -© ´¨°¬», ¬ ª±¨¬¨§¨°³¾¹¨© ¥¥ ¯°¨¡»«¼, ¯°¨ ³±«®¢¨¨, ·²® j -¿ ´¨°¬  ¯°®¨§¢®¤¨² qj . Š°¨¢»¥ °¥ £¨°®¢ ­¨¿ ¨§®¡° ¦¥­» ­  °¨±. 25.

¨±. 25. ’®·ª  ¯¥°¥±¥·¥­¨¿ ª°¨¢»µ °¥ £¨°®¢ ­¨¿ ®¯°¥¤¥«¿¥² ° ¢­®¢¥±¨¥ ¯® Š³°­®, ². ¥. ° ¢­®¢¥±¨¥ ¯® ½¸³ ¢ ¬®¤¥«¨ ¤³®¯®«¨¨ ¯® Š³°­®. 1.9.2.  ¢­®¢¥±¨¥ ¯® ½¸³ ¢ ¤³®¯®«¨¨ ¯® Š³°­® ª ª °¥§³«¼² ² ®¡³·¥­¨¿

Œ» ¡³¤¥¬ ¯°¥¤¯®« £ ²¼ ±¥©· ±, ·²® ¨£°®ª¨ ¯»² ¾²±¿ ¯°¥¤±ª §»¢ ²¼ ¨£°³ ±¢®¨µ ®¯¯®­¥­²®¢, À¨±¯®«¼§³¿ ±¢®© ¯°¥¤»¤³¹¨© ®¯»²Á. ²  ¨¤¥¿ ¢®±µ®¤¨² ¥¹¥ ª Š³°­®, ª®²®°»© ° ±±¬ ²°¨¢ « ±¢®¥®¡° §­»© ¤¨­ ¬¨·¥±ª¨© ¢ °¨ ­² ­ µ®¦¤¥­¨¿ ° ¢­®¢¥±¨¿. °¨ ½²®¬ ¨£°®ª¨ ¢»¡¨° «¨ ®¡º¥¬ ¢»¯³±ª  ¯® ®·¥°¥¤¨ ª ª «³·¸¨© ®²¢¥², ¨±µ®¤¿ ¨§ ¢»¡®°  ®¯¯®­¥­²  ­  ¯°¥¤»¤³¹¥¬ ¸ £¥, ¯°¥¤¯®« £ ¿ (À£¨¯®²¥§  Š³°­®Á), ·²® ®­ (®¯¯®­¥­²) ®±² ¢¨² ±¢®© ®¡º¥¬ ¢»¯³±ª  ¡¥§ ¨§¬¥­¥­¨¿. ’®·­¥¥, ¥±«¨ ¨£°®ª 1 ¤¥« ¥² µ®¤ ¢ ¯¥°¨®¤ 0 ¨ ¢»¡¨° ¥² q10 , ²® ¢»¯³±ª ¨£°®ª  2 ¢ ¯¥°¨®¤ 1 ¥±²¼ q21 = r2(q10 ) , £¤¥ r2(
) |

‘² ²¨·¥±ª¨¥ ¨£°» ± ¯®«­®© ¨­´®°¬ ¶¨¥©

71

´³­ª¶¨¿ °¥ £¨°®¢ ­¨¿ ¢²®°®£® ¨£°®ª . ‡ ²¥¬

q12 = r1(q21 ) = r1(r2(q10)): …±«¨ ½²®² ¯°®¶¥±± ±µ®¤¨²±¿ ª (q1; q2) , ²® q2 = r2(q1) ¨  q1 = r1(q2) , ². ¥. (q1; q2) | p.H. …±«¨ ¯°®¶¥±± ±µ®¤¨²±¿ ª ­¥-

ª®²®°®¬³ ±®±²®¿­¨¾ (q1 ; q2) ¤«¿ «¾¡®£® ­ · «¼­®£® ±®±²®¿­¨¿, ¤®±² ²®·­® ¡«¨§ª®£® ª ­¥¬³, ²® £®¢®°¿², ·²® ±®±²®¿­¨¥ (q1 ; q2) |  ±¨¬¯²®²¨·¥±ª¨ ³±²®©·¨¢®,   ± ¬ ¯°®¶¥±± ­ §»¢ ¥²±¿ ¯°®¶¥±±®¬ ­ ¹³¯»¢ ­¨¿ (±¬. °¨±. 26)15.

¨±. 26. ‚ ®¡¹¥¬ ±«³· ¥ ª °²¨­  ¬®¦¥² ¡»²¼ ¡®«¥¥ ±«®¦­®© (±¬. °¨±. 27): C , E , G | ­¥³±²®©·¨¢» (ª ­¨¬ ¯°®¶¥±± ­¥ ±µ®¤¨²±¿, ¥±«¨ ²®«¼ª® ­¥ ­ ·¨­ ¥²±¿ ¢ ­¨µ ± ¬¨µ), B , D ¨ F | ³±²®©·¨¢». ‚®®¡¹¥ £®¢®°¿, ¤®±² ²®·­®¥ ³±«®¢¨¥ ³±²®©·¨¢®±²¨ ¢»£«¿¤¨² ±«¥¤³¾¹¨¬ ®¡° §®¬:

dr dr 1
2 < 1: dq2 dq1

‚®®¡¹¥ £®¢®°¿, ½²®² ¯°®¶¥±± ¬®¦­® ° ±±¬ ²°¨¢ ²¼ ¨ ¡¥§ ·¥°¥¤®¢ ­¨¿ µ®¤®¢, ª®£¤  ª ¦¤ ¿ ´¨°¬  ­  ±«¥¤³¾¹¥¬ ¸ £¥ ¢»¡¨° ¥² ®¡º¥¬ ¢»¯³±ª  ª ª «³·¸¨© ®²¢¥² ­  ¯°¥¤»¤³¹¨© ¢»¡®° ª®­ª³°¥­²  (±¬., ­ ¯°¨¬¥°, Fudenberg, Levine, 1998). 15

72

ƒ« ¢  1

¨±. 27. ‡ ¬¥²¨¬, ·²® ¥±«¨ ´³­ª¶¨¨ ¢»¨£°»¸¥© ¤¢ ¦¤» ­¥¯°¥°»¢­® ¤¨´´¥°¥­¶¨°³¥¬», ²® ­ ª«®­ ´³­ª¶¨¨ °¥ £¨°®¢ ­¨¿ i -© ´¨°¬» ¥±²¼ dri = ; @ 2ui . @ 2i : 2 dq @ @q j

i j

@qi

1.9.3. „³®¯®«¨¿ ¯® ¥°²° ­³

1.  ° ¤®ª± ¥°²° ­ .  ±±¬®²°¨¬ ±¨²³ ¶¨¾, ª®£¤  ¤¢¥

´¨°¬» (ª ª ¢ ¤³®¯®«¨¨ ¯® Š³°­®) ¯°®¨§¢®¤¿² ®¤­®°®¤­»© ¯°®¤³ª², ­® ²¥¯¥°¼ ¬» ¯°¥¤¯®«®¦¨¬, ·²® ´¨°¬» ®¤­®¢°¥¬¥­­® ¨ ­¥§ ¢¨±¨¬® ®¡º¿¢«¿¾² ¶¥­³, ¯® ª®²®°®© ®­¨ £®²®¢» ¯°®¤ ¢ ²¼ ±¢®¾ ¯°®¤³ª¶¨¾. ’®£¤  ±¯°®±, ± ª®²®°»¬ ±² «ª¨¢ ¥²±¿ ª ¦¤ ¿ ´¨°¬ , ®¯°¥¤¥«¿¥²±¿ ±«¥¤³¾¹¨¬ ®¡° §®¬: 8 D(p ); ¥±«¨ p < p ; < i i j Di (pi; pj ) = : D(pi)=2; ¥±«¨ pi = pj ; 0; ¥±«¨ pi > pj : ˆ­»¬¨ ±«®¢ ¬¨, ´¨°¬ , ­ §­ ·¨¢¸ ¿ ¬¥­¼¸³¾ ¶¥­³, À¯®«³· ¥²Á ¢¥±¼ ±¯°®±,   ¥±«¨ ¶¥­» ®¤¨­ ª®¢», ²® ¯®²°¥¡¨²¥«¨ ¯®ª³¯ ¾² ¯°®¤³ª¶¨¾ ´¨°¬ ° ¢­®¢¥°®¿²­®.

‘² ²¨·¥±ª¨¥ ¨£°» ± ¯®«­®© ¨­´®°¬ ¶¨¥©

73

°¥¤¯®«®¦¨¬, ·²® ¶¥­» ( p1 ; p2 ) ®¡° §³¾² ° ¢­®¢¥±¨¥ ¯® ½¸³. ‚®-¯¥°¢»µ, ®·¥¢¨¤­®, ·²® pi  c , ² ª ª ª ­ §­ ·¥­¨¥ ¶¥­» ­¨¦¥ ¯°¥¤¥«¼­»µ § ²° ² ¯°¨¢¥¤¥² ª ®²°¨¶ ²¥«¼­®© ¯°¨¡»«¨, ·¥£® ­¥ ¬®¦¥² ¡»²¼ ¢ ° ¢­®¢¥±¨¨, ². ª. ¶¥­ , ° ¢­ ¿ ¯°¥¤¥«¼­»¬ § ²° ² ¬, ®¡¥±¯¥·¨¢ ¥² ­³«¥¢³¾ ¯°¨¡»«¼. „ «¥¥, ­¨ ®¤­  ¨§ ¶¥­ pi ­¥ ¬®¦¥² ¡»²¼ ¢»¸¥ c . „¥©±²¢¨²¥«¼­®, ¯°¥¤¯®«®¦¨¬ ¤«¿ ®¯°¥¤¥«¥­­®±²¨, ·²® p1 > c , ²®£¤ , ¥±«¨ p2  p1 , ²® ´¨°¬  2, ±² «ª¨¢ ¾¹ ¿±¿ ¢ ½²®¬ ¢ °¨ ­²¥ ¢ «³·¸¥¬ ±«³· ¥ ± ¯®«®¢¨­­»¬ ±¯°®±®¬, ¬®¦¥² À¯¥°¥µ¢ ²¨²¼Á ¢¥±¼ ±¯°®±, ­ §­ ·¨¢ ¶¥­³ p02 = p1 ; " ¤«¿ ¤®±² ²®·­® ¬ «®£® " > 0 ¨ ²¥¬ ± ¬»¬ ³«³·¸¨¢ ±¢®¥ ¯®«®¦¥­¨¥. …±«¨ ¦¥ p1 > p2 > c , ²® ´¨°¬  1  ­ «®£¨·­® ¬®¦¥² ­ §­ ·¨²¼ ¶¥­³ p2 ; " , À¯¥°¥µ¢ ²»¢ ¿Á ¢¥±¼ ±¯°®±. ’ ª¨¬ ®¡° §®¬, ¢ ° ¢­®¢¥±¨¨ ¯® ¥°²° ­³ (¨«¨ ¢ ° ¢­®¢¥±¨¨ ¯® ½¸³ ¢ ¤³®¯®«¨¨ ¯® ¥°²° ­³) p1 = p2 = c ¨ ´¨°¬» ¯®«³· ¾² ­³«¥¢³¾ ¯°¨¡»«¼. ²® ¨ ¥±²¼ ¯ ° ¤®ª± ¥°²° ­ . Š ª ¬®¦­® ¨§¡¥¦ ²¼ ½²®© ¯ ° ¤®ª± «¼­®© ±¨²³ ¶¨¨? ‚®¯¥°¢»µ, ¬®¦­® ¢¢¥±²¨ ³±«®¢¨¥ ®£° ­¨·¥­¨¿ ¬®¹­®±²¨ ´¨°¬, ²® ¥±²¼ ±·¨² ²¼, ·²® ¥±²¼ ¶¥­», ¯°¨ ª®²®°»µ ´¨°¬» ­¥ ¬®£³² ®¡¥±¯¥·¨²¼ ¢¥±¼ ±¯°®±. ‚®-¢²®°»µ, ¬®¦­® ±­¿²¼ ³±«®¢¨¥ ®¤­®ª° ²­®±²¨ ½²®© ¨£°», ¨ ½²®, ª ª ¬» ³¢¨¤¨¬ ¯®§¤­¥¥ ¢ £«.2, ±³¹¥±²¢¥­­® ¬¥­¿¥² ±¨²³ ¶¨¾.  ª®­¥¶, ¬®¦­® ¨§¡ ¢¨²¼±¿ ®² ¯°¥¤¯®«®¦¥­¨¿ ®¡ ®¤­®°®¤­®±²¨ ¯°®¤³ª¶¨¨.

2.  ±±¬®²°¨¬ ±¨²³ ¶¨¾ ± ¤¨´´¥°¥­¶¨°®¢ ­­®© ¯°®¤³ª¶¨¥©. ”¨°¬» 1 ¨ 2 ¢»¡¨° ¾² ¶¥­» p1 ¨ p2 ®¤-

­®¢°¥¬¥­­® ¨ ­¥§ ¢¨±¨¬®. ‘¯°®±, ± ª®²®°»¬ ±² «ª¨¢ ¥²±¿ ´¨°¬  i , qi (pi ; pj ) = a ; pi + bpj , £¤¥ b > 0 ®²° ¦ ¥² ±²¥¯¥­¼ § ¬¥­¿¥¬®±²¨ i -£® ¯°®¤³ª²  j -¬. (Œ» ­¥ ®¡±³¦¤ ¥¬ §¤¥±¼ °¥ «¨±²¨·­®±²¼ ² ª®© ´³­ª¶¨¨ ±¯°®± .) °¥¤¥«¼­»¥ § ²° ²» ¥±²¼ c , c < a . °®±²° ­±²¢® ±²° ²¥£¨© | ½²® Si = [0; 1) | ´¨°¬» ¢»¡¨° ¾² ¶¥­». ’®£¤  ¯°¨¡»«¼ i -© ´¨°¬» ®¯°¥¤¥«¿¥²±¿ ° ¢¥­±²¢®¬

i (pi; pj ) = qi(pi ; pj )[pi ; c] = [a ; pi + bpj ][pi ; c]:

74

ƒ« ¢  1

 °  (p1 ; p2) ®¡° §³¥² p.H., ¥±«¨ 8i pi °¥¸ ¥² § ¤ ·³ 



max  (p ; p ) = max[a ; pi + bpj ][pi ; c]: 0pi <1 i i j

¥¸¥­¨¥ § ¤ ·¨ ¤«¿ i -© ´¨°¬» ¥±²¼ pi = 21 (a + bpj + c); ²® ¥±²¼ p1 = 12 (a + bp2 + c); p2 = 12 (a + bp1 + c):

‘«¥¤®¢ ²¥«¼­®, p1 = p2 = (a + c)=(2 ; b) 1.9.4. À°®¡«¥¬  ®¡¹¥£®Á

 ±±¬®²°¨¬ ±«¥¤³¾¹³¾ ®·¥­¼ ±²¨«¨§®¢ ­­³¾ ¬®¤¥«¼ (Hardin, 1968). °¥¤±² ¢¨¬ ±¥¡¥, ·²® ¥±²¼ n ´¥°¬¥°®¢. ‹¥²®¬ ¨µ ª®§» (ª®°®¢») ¯ ±³²±¿ ­  §¥«¥­®¬ ¯®«¥. Ž¡®§­ ·¨¬ ·¥°¥§ gi ·¨±«® ª®§ ³ i -£® ´¥°¬¥° , ²®£¤  ·¨±«¥­­®±²¼ ¢±¥£® ±² ¤  G = g1 +


+ gn . ‡ ²° ²» ­  ¯®ª³¯ª³ ¨ ±®¤¥°¦ ­¨¥ ª®§» ° ¢­» c (­¥§ ¢¨±¨¬® ®² ·¨±«  ª®§ ³ ´¥°¬¥° ). –¥­­®±²¼ (±²®¨¬®±²¼) ®¤­®© ª®§» ¯°¨ ®¡¹¥¬ ·¨±«¥ ª®§ G ¥±²¼ v (G) . °¥¤¯®« £ ¿, ·²® ª®§¥ ­¥®¡µ®¤¨¬ ®¯°¥¤¥«¥­­»© ³°®¢¥­¼ ¬¨­¨¬ «¼­®£® ¯°®¯¨² ­¨¿ (¤«¿ ¢»¦¨¢ ­¨¿), ±·¨² ¥¬, ·²® ¥±²¼ ­¥ª®²®°®¥ ¬ ª±¨¬ «¼­®¥ ·¨±«® ª®§, ª®²®°®¥ ¬®¦¥² ¯°®ª®°¬¨²¼±¿, Gmax : v (G) > 0 ¤«¿ G < Gmax , ­® v (G) = 0 ¤«¿ G  Gmax . Œ®¦­® ¯°¥¤¯®«®¦¨²¼, ·²® ¥±«¨ ¥±²¼ ®¤­  ª®§ , ²® ®­  ±¯®ª®©­® ¯°®ª®°¬¨²±¿; ¬®¦­® ¤®¡ ¢¨²¼ ¥¹¥ ®¤­³ ¨ ². ¤., ­® ± °®±²®¬ ·¨±«  ª®§ ¥±²¥±²¢¥­­® ±·¨² ²¼, ·²® ¶¥­­®±²¼ ¯ ¤ ¥², ². ¥. v 0(G) < 0 , (G < Gmax) , ¨ v 00(G) < 0 . ‚¥±­®© ´¥°¬¥°» ¢»¡¨° ¾² (®¤­®¢°¥¬¥­­® ¨ ­¥§ ¢¨±¨¬®), ±ª®«¼ª® § ¢®¤¨²¼ ª®§ ( gi ¤«¿ i -£® ´¥°¬¥° ). ‚»¨£°»¸ ´¥°¬¥°  i ¥±²¼ giv (g1 +


+ gn ) ; cgi : ()

‘² ²¨·¥±ª¨¥ ¨£°» ± ¯®«­®© ¨­´®°¬ ¶¨¥©

75

‘«¥¤®¢ ²¥«¼­®, ¥±«¨ (g1; : : :; gn ) | p.H., ²® gi ¤®«¦­® ¬ ª±¨¬¨§¨°®¢ ²¼ () ¯°¨ (g1; : : :; gi;1; gi+1; : : :; gn ) . “±«®¢¨¥ I ¯®°¿¤ª  ¥±²¼ v(gi + G;i ) + gi v 0(gi + G;i ) ; c = 0; £¤¥ X G;i = gk:

k= 6 i  ®¤±² ¢¨¬ ¢ ½²® ° ¢¥­±²¢® gi ¨, ¯°®±³¬¬¨°®¢ ¢ ¯® i , ¯®«³-

· ¥¬ (° §¤¥«¨¢ ­  n )

v (G) + n1 Gv 0 (G) ; c = 0:

 ±±¬®²°¨¬ ²¥¯¥°¼, ·²® ¯°®¨§®©¤¥², ¥±«¨ À±®¶¨ «¼­»© ¯« ­®¢¨ªÁ ¡³¤¥² ¨±ª ²¼ ±®¶¨ «¼­»© ®¯²¨¬³¬, ²® ¥±²¼ °¥¸ ²¼ § ¤ ·³ ­ µ®¦¤¥­¨¿ max Gv (G) ; Gc: 0G21

‡¤¥±¼ ³±«®¢¨¥ I ¯®°¿¤ª  ¥±²¼ v (G) + Gv 0(G) ; c = 0: ¥²°³¤­® ¯°®¢¥°¨²¼, ·²® G > G , ². ¥. ª®§ ±«¨¸ª®¬ ¬­®£®! ˆ­»¬¨ ±«®¢ ¬¨, ®¡¹¨¥ °¥±³°±» ¨±¯®«¼§³¾²±¿ ±«¨¸ª®¬ ¨­²¥­±¨¢­®. 1.10.  ¢­®¢¥±¨¥ À¤°®¦ ¹¥© °³ª¨Á

Œ» ³¦¥ ®¡±³¦¤ «¨ ° ­¥¥ ±« ¡® ¤®¬¨­¨°³¥¬»¥ ±²° ²¥£¨¨ ¨ ±¥©· ± ¢­®¢¼ ®¡° ²¨¬±¿ ª ­¨¬.  ±±¬®²°¨¬ ¨£°³, ¨§®¡° ¦¥­­³¾ ­  °¨±. 28.

 U

D

L R  (2; 2) (0; ;2) (;2; 0) (0; 0) ¨±. 28.

76

ƒ« ¢  1

‹¥£ª® ¢¨¤¥²¼, ·²® ¢ ½²®© ¨£°¥ ¤¢  °.H. ¢ ·¨±²»µ ±²° ²¥£¨¿µ (U; L) ¨ (D; R) , ¯°¨·¥¬ ¢²®°®¥ ° ¢­®¢¥±¨¥ µ ° ª²¥°­® ²¥¬, ·²® ®¡  ¨£°®ª  ¢»¡¨° ¾² ±¢®¨ ±« ¡® ¤®¬¨­¨°³¥¬»¥ ±²° ²¥£¨¨. Œ» ®±² ­®¢¨¬±¿ ±¥©· ± ­  ¯®­¿²¨¨ ±®¢¥°¸¥­­®£® ° ¢­®¢¥±¨¿ (¯® H½¸³) À¤°®¦ ¹¥©Á °³ª¨ ¨£°» ¢ ­®°¬ «¼­®© ´®°¬¥16 , ®¯°¥¤¥«¥­¨¥ ª®²®°®£® ¢®±µ®¤¨² ª ° ¡®²¥ ¥©­µ °¤  ‡¥«¼²¥­ 17 (Selten, 1975). ’ ª®¥ ° ¢­®¢¥±¨¥ À¢»¤¥°¦¨¢ ¥²Á ¢®§¬®¦­®±²¼ ²®£®, ·²® ± ­¥ª®²®°®© ®·¥­¼ ­¥¡®«¼¸®© ¢¥°®¿²­®±²¼¾ ¨£°®ª¨ ¤¥« ¾² ®¸¨¡ª¨ (£°³¡® £®¢®°¿, À¤°®¦ ¹¥© °³ª®©Á ­¥ ¯®¯ ¤ ¿ ­  ­³¦­»¥ ª­®¯ª¨). „«¿ ¯°®¨§¢®«¼­®© ¨£°» ¢ ­®°¬ «¼­®© ´®°¬¥ ; = fI; (i); (ui)g ¬®¦­® ®¯°¥¤¥«¨²¼ À¢®§¬³¹¥­­³¾Á ¨£°³ ;" = fI; ("i); (ui)g , ¢»¡¨° ¿ ¤«¿ ª ¦¤®£® ¨£°®ª  i ¨ ª ¦¤®© ·¨±²®© P ±²° ²¥£¨¨ si 2 Si ·¨±«  "i (si) 2 (0; 1) ² ª, ·²® si 2Si "i (si ) < 1 , ¨ § ²¥¬, ®¯°¥¤¥«¿¿ ¬­®¦¥±²¢® À¢®§¬³¹¥­­»µÁ ±²° ²¥£¨© ª ª "i = fi 2 i : i (si )  "i (si ) ¤«¿ ¢±¥µ si 2 Si ¨ X i(si) = 1g: si 2Si

ˆ­»¬¨ ±«®¢ ¬¨, ¢ ¨£°¥ ;" ª ¦¤»© ¨£°®ª i ¨£° ¥² ª ¦¤³¾ ±¢®¾ ±²° ²¥£¨¾ si ± ¢¥°®¿²­®±²¼¾ ­¥ ¬¥­¼¸¥©, ·¥¬ ­¥ª®²®° ¿ ¬¨­¨¬ «¼­ ¿ ¢¥°®¿²­®±²¼ "i (si ) , ª®²®° ¿ ¨­²¥°¯°¥²¨°³¥²±¿ ª ª ­¥¨§¡¥¦­ ¿ ¢¥°®¿²­®±²¼ ±»£° ²¼ si ¯® ®¸¨¡ª¥. Ž¯°¥¤¥«¥­¨¥ 1.10.1.  ¢­®¢¥±¨¥ ¯® H½¸³  ¢ ¨£°¥ (¢ ­®°¬ «¼­®© ´®°¬¥) ; = fI; (i); (ui)g ­ §»¢ ¥²±¿ ° ¢­®¢¥±¨¥¬ À¤°®¦ ¹¥© °³ª¨Á, ¥±«¨ ±³¹¥±²¢³¥² ² ª ¿ ¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼­®±²¼ ¢®§¬³¹¥­­»µ ¨£° f;"k g1 k=1 , ±µ®¤¿¹¨µ±¿ ª ; (¢ ²®¬ ±¬»±«¥, ·²® lim "ki (si ) = 0 ¤«¿ «¾¡»µ i 2 I ¨ si 2 Si ), ·²® ±³¹¥±²¢³¥² ¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼­®±²¼ ° ¢­®¢¥±¨© (¢ ±®®²¢¥²±²¢³¾¹¨µ ¨£° µ ;"k ) f k g1 k=1 , ±µ®¤¿¹ ¿±¿ ª  , ². ¥. lim  k =  . 16 17

Normal form trembling hand perfect Nash equilibrium. . ‡¥«¼²¥­ | « ³°¥ ² H®¡¥«¥¢±ª®© ¯°¥¬¨¨ ¯® ½ª®­®¬¨ª¥ 1994 £®¤ .

‘² ²¨·¥±ª¨¥ ¨£°» ± ¯®«­®© ¨­´®°¬ ¶¨¥©

77

’ ª¨¬ ®¡° §®¬, ° ±±¬ ²°¨¢ ¥¬»¥ ° ¢­®¢¥±¨¿ | ½²® ²¥ ° ¢­®¢¥±¨¿ ¯® H½¸³, ª®²®°»¥ À¢»¦¨¢ ¾²Á ¯°¨ ¢®§¬®¦­»µ ®¸¨¡ª µ. ‡ ¬¥²¨¬, ·²® ¢ ®¯°¥¤¥«¥­¨¨ ²°¥¡³¥²±¿ «¨¸¼ ±³¹¥±²¢®¢ ­¨¥ ¢®§¬³¹¥­­»µ ¨£°18 , ¨¬¥¾¹¨µ ° ¢­®¢¥±¨¿, ¡«¨§ª¨¥ ª  . ®«¥¥ ±¨«¼­»¬ ¡»«® ¡» ²°¥¡®¢ ­¨¥ À¢»¦¨¢ ­¨¿Á ¯°¨ ¢±¥µ ¢®§¬³¹¥­¨¿µ ¨±µ®¤­®© ¨£°».

°¥¤«®¦¥­¨¥ 1.10.1. (Selten, 1975). ‚ ±¬¥¸ ­­®¬ ° ±¸¨°¥­¨¨ «¾¡®© ¨£°» ; = fI; fSig; (ui)g ± ª®­¥·­»¬¨ ¬­®¦¥±²¢ ¬¨

±²° ²¥£¨© S1; : : :; Sn ±³¹¥±²¢³¥² ° ¢­®¢¥±¨¥ À¤°®¦ ¹¥© °³ª¨Á.

°¥¤«®¦¥­¨¥ 1.10.2. (Selten, 1975).  ¢­®¢¥±¨¥ ¯® H½¸³  ¢ ¨£°¥ ¢ ­®°¬ «¼­®© ´®°¬¥ ; = fI; (i); (ui)g ¿¢«¿¥²±¿ ±®¢¥°¸¥­­»¬ ° ¢­®¢¥±¨¥¬ À¤°®¦ ¹¥© °³ª¨Á (¢ ¨£°¥ ¢ ­®°¬ «¼­®© ´®°¬¥) ²®£¤  ¨ ²®«¼ª® ²®£¤ , ª®£¤  ±³¹¥±²¢³¥² ¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼­®±²¼ ² ª¨µ ¢¯®«­¥ ±¬¥¸ ­­»µ ±²° ²¥£¨©  k (². ¥. ±²° ²¥£¨©, ¢ ª®²®°»µ ¢±¥ ·¨±²»¥ ±²° ²¥£¨¨ ¨£° ¾²±¿ ± ¯®«®¦¨²¥«¼­»¬¨ ¢¥°®¿²­®±²¿¬¨), ·²®  k ;!  ¨ i ¿¢«¿¥²x!0 ±¿ «³·¸¨¬ ®²¢¥²®¬ ­  «¾¡®© ½«¥¬¥­² ¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼­®±²¨ f;k ig1k=1 ¤«¿ «¾¡®£® i = 1; : : :; n .

°¥¤«®¦¥­¨¥ 1.10.3. (Selten, 1975). …±«¨  = (i; : : :; n) | ±®¢¥°¸¥­­®¥ ° ¢­®¢¥±¨¥ À¤°®¦ ¹¥© °³ª¨Á (¢ ¨£°¥ ¢ ­®°¬ «¼­®© ´®°¬¥), ²® i ­¥ ¿¢«¿¥²±¿ ±« ¡® ¤®¬¨­¨°³¥¬®© ­¨ ¤«¿ ª ª®£® i = 1; : : :; n .

‹¥£ª® ¢¨¤¥²¼, ·²® ­ ¡®° ±²° ²¥£¨© (D; R) ¢ ¯°¨¢¥¤¥­­®¬ ¢ ­ · «¥ ½²®£® ° §¤¥«  ¯°¨¬¥°¥, ­¥ ¿¢«¿¥²±¿ ±®¢¥°¸¥­­»¬ ° ¢­®¢¥±¨¥¬ À¤°®¦ ¹¥© °³ª¨Á. 18 ‘«¥¤³¥² ¨¬¥²¼ ¢ ¢¨¤³, ·²® ¯®¤ À¢®§¬³¹¥­­®© ¨£°®©Á, ¢ ®²«¨·¨¥ ®² ¨±¯®«¼§®¢ ­­®£® §¤¥±¼ ®¯°¥¤¥«¥­¨¿, · ±²® ¯®­¨¬ ¾² ¨£°³, ¢ ª®²®°®©, ¯® ±° ¢­¥­¨¾ ± ¨±µ®¤­®© ¨£°®©, ¨§¬¥­¥­» ²®«¼ª® ´³­ª¶¨¨ ¢»¨£°»¸¥©.

78

ƒ« ¢  1

1.11. „®¯®«­¥­¨¥. ¥¸¥­¨¥ ¡¨¬ ²°¨·­»µ ¨£° 2 x 2

‚ ½²®¬ ¯ ° £° ´¥ ¬» ¯®¤°®¡­® ®±² ­®¢¨¬±¿ ­   ­ «¨§¥ °¥¸¥­¨© ¡¨¬ ²°¨·­»µ ¨£°, ¢ ª®²®°»µ ³ ª ¦¤®£® ¨§ ¨£°®ª®¢ ¥±²¼ ²®«¼ª® ¤¢¥ ±²° ²¥£¨¨.  §³¬¥¥²±¿, ½²¨ ¨£°» ¯°¥¤±² ¢«¿¾² ±®¡®© · ±²­»© ±«³· © ° ±±¬®²°¥­­»µ ° ­¥¥ ¨£°, ­® §¤¥±¼ ¯®¿¢«¿¥²±¿ ¢®§¬®¦­®±²¼ ¤ ²¼ ­ £«¿¤­³¾ £° ´¨·¥±ª³¾ ¨­²¥°¯°¥² ¶¨¾ ¯®¨±ª  ° ¢­®¢¥±­»µ ±¨²³ ¶¨© ¢ ¨£°¥. ( ¸¥ ¨§«®¦¥­¨¥ §¤¥±¼ ±«¥¤³¥² ª­¨£¥ ‚®°®¡¼¥¢ , 1985.)  ±±¬®²°¨¬ ¡¨¬ ²°¨·­³¾ ¨£°³ 2  2 c ¬ ²°¨¶¥©

 (a ; b ) (a ; b )  11 11 12 12 (a21; b21) (a22 ; b22)

¨«¨, ª ª ¬» ³¦¥ ®²¬¥· «¨, ¨£°³, ¢»¨£°»¸¨ ¢ ª®²®°®© ¬®¦­® § ¤ ²¼ ± ¯®¬®¹¼¾ ¤¢³µ ¬ ²°¨¶:

 a ; a   b ;b  11 12 ; 11 12 ; a21; a22

b21; b22

¯¥°¢ ¿ ¨§ ª®²®°»µ ®¯¨±»¢ ¥² ¢»¨£°»¸¨ ¨£°®ª  1,   ¢²®° ¿ | ¢»¨£°»¸¨ ¨£°®ª  2. Ž·¥¢¨¤­®, ·²® ±¬¥¸ ­­»¥ ±²° ²¥£¨¨ ¨£°®ª®¢ ¢ ±«³· ¥ ¨£° 2  2 ¯®«­®±²¼¾ ®¯¨±»¢ ¾²±¿ ¢¥°®¿²­®±²¿¬¨ p ¨ q ¢»¡®°  ¨£°®ª ¬¨ ±¢®¨µ ¯¥°¢»µ ·¨±²»µ ±²° ²¥£¨©. (‚²®°»¥ ·¨±²»¥ ±²° ²¥£¨¨ ¢»¡¨° ¾²±¿, ±®®²¢¥²±²¢¥­­®, ± ¢¥°®¿²­®±²¿¬¨ 1 ; p ¨ 1 ; q .) ®½²®¬³, ¯®±ª®«¼ª³ 0  p , q  1 , ª ¦¤ ¿ ±¨²³ ¶¨¿ ¢ ±¬¥¸ ­­»µ ±²° ²¥£¨¿µ ¢ ¡¨¬ ²°¨·­®© ¨£°¥ 2  2 ¯°¥¤±² ¢«¿¥²±¿ ª ª ²®·ª  ­  ¥¤¨­¨·­®¬ ª¢ ¤° ²¥.  ¯®¬­¨¬, ·²® ¯ °  ±¬¥¸ ­­»µ ±²° ²¥£¨© 1 = (p ; 1 ; p) ¨ 2 = (q ; 1 ; q ) ¿¢«¿¥²±¿ ° ¢­®¢¥±¨¥¬ ¯® ½¸³, ¥±«¨ ±¬¥¸ ­­ ¿ ±²° ²¥£¨¿ i ®¤­®£® ¨£°®ª  ¿¢«¿¥²±¿ «³·¸¨¬ ®²¢¥²®¬ ­  ±¬¥¸ ­­³¾ ±²° ²¥£¨¾ j ¤°³£®£® ¨£°®ª , ². ¥. ¢»¯®«­¿¾²±¿ ±«¥¤³¾¹¨¥ ­¥° ¢¥­±²¢ :

u1(1; 2)  U1 (1; 2) 81 ¨

‘² ²¨·¥±ª¨¥ ¨£°» ± ¯®«­®© ¨­´®°¬ ¶¨¥©

79

u2(1; 2)  U1(1; 2) 82:  ±±¬®²°¨¬ ³¦¥ §­ ª®¬»© ­ ¬ ¯°¨¬¥° ÀŽ°¥« ¨«¨ ¥¸ª Á (±¬. °¨±. 23, ¯. 1.8). ³±²¼ ¨£°®ª 1 ±·¨² ¥², ·²® ¨£°®ª 2 ¡³¤¥² ¢»¡¨° ²¼ ÀŽ°« Á ± ¢¥°®¿²­®±²¼¾ q ¨ À¥¸ª³Á ± ¢¥°®¿²­®±²¼¾ 1 ; q . Ž¦¨¤ ¥¬»© ¢»¨£°»¸ ¨£°®ª  1 ®² ° §»£°»¢ ­¨¿ ÀŽ°« Á ¡³¤¥² (;1)q +1
(1;q ) = 1;2q ,   ®² ° §»£°»¢ ­¨¿ À¥¸ª¨Á 1
q +(;1)
(1 ; q ) = 2q ; 1 . …±«¨ 1 ; 2q > 2q ; 1 , ². ¥. q < 12 , ²® «³·¸¥© ·¨±²®© ±²° ²¥£¨¥© ¨£°®ª  1 ¡³¤¥² Ž°¥«,   ¥±«¨ q > 12 , ²® ¥¸ª , ¨ ¨£°®ª³ 1 ¡³¤¥² ¢±¥ ° ¢­®, ·²® ° §»£°»¢ ²¼, ¥±«¨ q = 12 .  ±±¬®²°¨¬ ¢®§¬®¦­»¥ ±¬¥¸ ­­»¥ ±²° ²¥£¨¨ ¨£°®ª  1 . ³±²¼ (p; 1 ; p) ®¡®§­ · ¥² ±¬¥¸ ­­³¾ ±²° ²¥£¨¾, ¢ ª®²®°®© ¨£°®ª 1 ° §»£°»¢ ¥² ÀŽ°« Á ± ¢¥°®¿²­®±²¼¾ p . „«¿ ª ¦¤®£® §­ ·¥­¨¿ q ¬» ¬®¦¥¬ ¢»·¨±«¨²¼ §­ ·¥­¨¿ p = p(q ) , ² ª¨¥ ·²® (p; 1 ; p) ¡³¤¥² ¿¢«¿²¼±¿ «³·¸¨¬ ®²¢¥²®¬ ¨£°®ª  1 ­  (q; 1 ; q ) ¨£°®ª  2 . Ž¦¨¤ ¥¬»© ¢»¨£°»¸ ¨£°®ª  1 ®² ° §»£°»¢ ­¨¿ (p; 1 ; p) , ª®£¤  ¨£°®ª 2 ° §»£°»¢ ¥² (q; 1 ; q); ¡³¤¥² (;1)p
q + 1
p
(1 ; q ) + 1
(1 ; p)
q + (;1)
(1 ; p)(1 ; q ) = = (2q ; 1) + p
(2 ; 4q ): Ž¦¨¤ ¥¬»© ¢»¨£°»¸ ¨£°®ª  1 ¯®¢»¸ ¥²±¿ (¢ § ¢¨±¨¬®±²¨ ®² p ), ¥±«¨ 2 ; 4q > 0 ¨ ³¬¥­¼¸ ¥²±¿, ¥±«¨ 2 ; 4q < 0 , ¯®½²®¬³ «³·¸¨© ®²¢¥² ¨£°®ª  1 (±°¥¤¨ ¢±¥µ ±²° ²¥£¨©, ª ª ·¨±²»µ, ² ª ¨ ±¬¥¸ ­­»µ) ¥±²¼ p = 1 (². ¥. Ž°¥«), ¥±«¨ q < 21 , ­® p = 0 (². ¥. ¥¸ª ), ¥±«¨ q > 12 : ²¨¬ §­ ·¥­¨¿¬ p ±®®²¢¥²±²¢³¾² ¤¢  £®°¨§®­² «¼­»µ ®²°¥§ª  ­  °¨±. 29. ’ ª ª ª ¯°¨ q = 21 ®¦¨¤ ¥¬»© ¢»¨£°»¸ ¨£°®ª  1 ­¥ § ¢¨±¨² ®² ¥£® ±²° ²¥£¨¨, ¬» ¯®«³· ¥¬, ·²® ¨£°®ª³ 1 ¡¥§° §«¨·­®, ¢»¡° ²¼ «¨ ®¤­³ ¨§ ±¢®¨µ ·¨±²»µ ±²° ²¥£¨©, ¨«¨ ¦¥ ¢»¡° ²¼ ª ª³¾-­¨¡³¤¼ ±¬¥¸ ­­³¾ ±²° ²¥£¨¾ (p; 1 ; p) .

80

ƒ« ¢  1

p6 ®°¥« 1

°¥¸ª 

p (q )

-

q

²® ®§­ · ¥², ·²® ¥±«¨ q = 21 , ²® ±¬¥¸ ­­ ¿ ±²° ²¥£¨¿ (p; 1 ; p) ¿¢«¿¥²±¿ «³·¸¨¬ ®²¢¥²®¬ ­  ±¬¥¸ ­­³¾ ±²° ²¥£¨¾ (q; 1 ; q ) ¯°¨ «¾¡®¬ §­ ·¥­¨¨ p ®² 0 ¤® 1 . ®½²®¬³ p( 12 ) ¯°¥¤±² ¢«¿¥² ±®¡®© ¢¥°²¨ª «¼­»© ®²°¥§®ª, ¨§®¡° ¦¥­­»© ­  °¨±. 29. ’ ª¨¬ ®¡° §®¬, «®¬ ­ ¿ «¨­¨¿ ­  °¨±. 29 ¯°¥¤±² ¢«¿¥² ±®¡®© ¬­®£®§­ ·-

1 1 ®°¥« 2 ¨±. 29. ­®¥ ®²®¡° ¦¥­¨¥ (¯®±ª®«¼ª³ ¯°¨ q = 12 ¬» ¨¬¥¥¬ ¶¥«»© ®²°¥§®ª) «³·¸¨µ ®²¢¥²®¢ (¢ § ¢¨±¨¬®±²¨ ®² q ). ®µ®¦¨¬¨ ° ±±³¦¤¥­¨¿¬¨ ¨ ¢ ±¨«³ ±¨¬¬¥²°¨¨ ¬ ²°¨¶» ¢»¨£°»¸¥© ¨£°®ª  2 ¯®«³· ¥¬  ­ «®£¨·­®¥ ®²®¡° ¦¥­¨¥ «³·¸¨µ ®²¢¥²®¢ ¨£°®ª  2 .   °¨±. 30 ½²® «®¬ ­ ¿ q (p) . ¨±. 30 ¯®ª §»¢ ¥², ·²® ° ¢­®¢¥±¨¥ ¯® p 6 ½¸³ ¢ ¨£°¥ ÀŽ°¥« ¨«¨ ¥¸ª Á ¢®§­¨ª ¥², ¥±«¨ ¨£°®ª ®°¥« 1 ° §»£°»¢ ¥² ±¬¥¸ ­­³¾ ±²° ²¥£¨¾ q(p) 1 ( 21 ; 21 ) ¨ ¨£°®ª 2 2 ° §»£°»¢ ¥² ² ª³¾ ¦¥ ±²° ²¥£¨¾, ·²®, ¯®-¢¨¤¨¬®¬³, ¡»°¥¸ª  «® ¥±²¥±²¢¥­­® ®¦¨q 1 ¤ ²¼ ¢ ±¨«³ ±¨¬¬¥1 ®°¥« °¥¸ª  ²°¨·­®±²¨ ¨£°». 2 ¨±. 30. °¥¸ª 

‘² ²¨·¥±ª¨¥ ¨£°» ± ¯®«­®© ¨­´®°¬ ¶¨¥©

81

‚ ¦­® § ¬¥²¨²¼, ·²® ½²®² ¯°¨¬¥° ¨««¾±²°¨°³¥², ·²® ­¥±«³· ©­®, ¥±«¨ ®¤¨­ ¨§ ¨£°®ª®¢ ¢»¡¨° ¥² ±¢®¨ ±²° ²¥£¨¨ ° ¢­®¢¥°®¿²­® (². ¥. ¯°¨¤¥°¦¨¢ ¥²±¿ ±¢®¥© ° ¢­®¢¥±­®© ±²° ²¥£¨¨), ²® ¢²®°®¬³ ¨£°®ª³ ¯°¨ ½²®¬  ¡±®«¾²­® ¡¥§° §«¨·­®, ª ª ¨£° ²¼. ²® ±«¥¤³¥² ¨§ ±¢®©±²¢ , ¤®ª § ­­®£® ° ­¥¥ (±¬. ¯. 1.7) ¢ ®¡¹¥¬ ±«³· ¥: U1(s1 ; 2) = U1 (1; 2); (11:1) U1(1; s2) = U1 (1; 2) ¤«¿ ²¥µ si , ª®²®°»¥ ¢µ®¤¿² ¢ ° ¢­®¢¥±­³¾ ±¨²³ ¶¨¾ ± ­¥­³«¥¢»¬¨ ¢¥°®¿²­®±²¿¬¨. „«¿ ²¥µ ¦¥ s0i , ª®²®°»¥ ¢µ®¤¿² ¢ ° ¢­®¢¥±­³¾ ±¨²³ ¶¨¾ ± ­³«¥¢®© ¢¥°®¿²­®±²¼¾, ¢¥°­» ­¥° ¢¥­±²¢ : U1 (s0i; 2)  U1(1; 2); (11:2) U1 (1; s0i)  U1(1; 2): ”®°¬³«» (11.1), (11.2) ¤ ¾² ¤¥©±²¢¥­­»© ±¯®±®¡ ®¯°¥¤¥«¥­¨¿ ° ¢­®¢¥±­»µ ±¨²³ ¶¨© ¢ ¯°®¨§¢®«¼­»µ ¡¨¬ ²°¨·­»µ ¨£° µ 2  2 . Ž¦¨¤ ¥¬»© ¢»¨£°»¸ ¨£°®ª  1 ®² ° §»£°»¢ ­¨¿ 1 = (p; 1 ; p) , ª®£¤  ¨£°®ª 2 ° §»£°»¢ ¥² 2 = (q; 1 ; q ) :

U1 (1; 2) = p(a11q + (1 ; q )a21 + a22))(p ; 1); U1 (1; 2) ; U1 (s1 ; 2) = (a12 ; a22 + q(a11 ; a12 ; a21 + a22))p: ‚¢¥¤¥¬ ®¡®§­ ·¥­¨¿: C = a11 ;a12 ;a21 +a22 ;  = a22;a12 . ‹³·¸¨© ®²¢¥² ¨£°®ª  1 ­  ¯°®¨§¢®«¼­³¾ ±²° ²¥£¨¾ 2

¨£°®ª  2 ¬®¦­® ¯®«³·¨²¼ ¨§ ³±«®¢¨© ­¥®²°¨¶ ²¥«¼­®±²¨: U1(1; 2) ; U1(s1; 2)  0; U1(1 ; 2) ; U1(s2; 2)  0: C ³·¥²®¬ ¢¢¥¤¥­­»µ ®¡®§­ ·¥­¨© ®­¨ ¢»£«¿¤¿² ±«¥¤³¾¹¨¬ ®¡° §®¬: (p ; 1)(Cq ; )  0; (11:3) p(Cq ; )  0:

82

ƒ« ¢  1

€­ «®£¨·­® ¬®¦­® ¯®±²³¯¨²¼ ¤«¿ ­ µ®¦¤¥­¨¿ «³·¸¥£® ®²¢¥²  ¨£°®ª  2 . Ž¦¨¤ ¥¬»© ¢»¨£°»¸ ¨£°®ª  2 ®² ¨£°» 2 = (q; 1 ; q ) , ª®£¤  ¨£°®ª 1 ¨£° ¥² 1 = (p; 1 ; p) : U2(1; 2) = q (b11p + (1 ; p)b21) + (1 ; q )(b12p + (1 ; p)b22) = = b22 + (b12 ; b22)p + (b21 ; b22 + p(b11 ; b12 ; b21 + b22))q: ˆ§ ³±«®¢¨© (­¥®²°¨¶ ²¥«¼­®±²¨) U2(1 ; 2) ; U1(1; s1)  0; U1(1 ; 2) ; U1(1; s2)  0; ®¡®§­ ·¨¢ D = b11 ; b12 ; b21 + b22; = b22 ; b21 , ¯®«³· ¥¬  ­ «®£¨·­»¥ ­¥° ¢¥­±²¢  ¤«¿ ­ µ®¦¤¥­¨¿ «³·¸¥£® ®²¢¥²  ¨£°®ª  2 ­  ¯°®¨§¢®«¼­³¾ ±²° ²¥£¨¾  = (p; 1 ; p) ¨£°®ª  1: (q ; 1)(Dp ; )  0; (11:4) q (Dp ; )  0: ’®£¤ , ¤«¿ ²®£® ·²®¡» ¯ °  1 = (p; 1 ; p); 2 = (q; 1 ; q ) ®¯°¥¤¥«¿«  ° ¢­®¢¥±­³¾ ±¨²³ ¶¨¾, ­¥®¡µ®¤¨¬® ¨ ¤®±² ²®·­® ®¤­®¢°¥¬¥­­®¥ ¢»¯®«­¥­¨¥ ±¨±²¥¬ ­¥° ¢¥­±²¢ (11:3); (11:4) ,   ² ª¦¥ 0  p  1; 0  q  1 .  ±±¬®²°¨¬ «³·¸¨¥ ®²¢¥²» ª ¦¤®£® ¨£°®ª , ª®²®°»¥, ° §³¬¥¥²±¿, § ¢¨±¿² ®² ²®£®, ª ª ³±²°®¥­» ¬ ²°¨¶» ¢»¨£°»¸¥© ¨£°®ª  1 ¨ ¨£°®ª  2 .  ·­¥¬ ± ­¥° ¢¥­±²¢ (11.3). ‚®§¬®¦­» ²°¨ ±«³· ¿: 1) p = 1; Cq  ; 2) 0 < p < 1; Cq = ;

(11:5)

3) p = 0; Cq  : ‚ ±¢®¾ ®·¥°¥¤¼, ¢ § ¢¨±¨¬®±²¨ ®² ±®®²­®¸¥­¨© ¬¥¦¤³ C ¨  ¢®§¬®¦­» ±«¥¤³¾¹¨¥ ±«³· ¨ ¨ ±®®²¢¥²±²¢³¾¹¨¥ «³·¸¨¥ ®²¢¥²» ¨£°®ª  1 ¢ ª ¦¤®¬ ¨§ ­¨µ.

83

‘² ²¨·¥±ª¨¥ ¨£°» ± ¯®«­®© ¨­´®°¬ ¶¨¥©

I. …±«¨ C > 0 ,  > 0 , ²® «³·¸¨¥ ®²¢¥²» ¨§®¡° ¦¥­» ­  °¨±.p31{33: p6 6

p

1 =C =C > 1 ¨±. 31.

-

q

-

q

=C = 1

¨±. 32.

6

-

q

=C < 1 ¨±. 33. II. …±«¨ C < 0;  < 0 , ²® «³·¸¨¥ ®²¢¥²» ¨§®¡° ¦¥­» ­  °¨±. 34{36: p

p

6

-

1 =C q =C > 1 ¨±. 34.

6

1 =C = 1 ¨±. 35.

-

q

84

ƒ« ¢  1

p

6

=C < 1 -

q

=C

1 ¨±. 36.

III. °¨ C > 0;  < 0 «³·¸¨© ®²¢¥² ¨£°®ª  1 ¨§®¡° ¦¥­ ­  °¨±. 37, ¥±«¨, ­ ®¡®°®², C < 0;  > 0 , ²® ½²®¬³ ±«³· ¾ ±®®²¢¥²±²¢³¥² °¨±. 38: p

=C

p

6

-

¨±. 37.

q

=C

6

-

q

¨±. 38.

 ±±¬®²°¥­¨¥ ±«³· ¥¢, ª®£¤  «¨¡® C , «¨¡®  , «¨¡® ®­¨ ¢¬¥±²¥ ° ¢­» ­³«¾, ¬» ®±² ¢«¿¥¬ ·¨² ²¥«¾. €­ «®£¨·­® ¬®¦­® ¯®±²°®¨²¼ «³·¸¨¥ ®²¢¥²» ¨£°®ª  2.  ¢­®¢¥±­»¬ ±¨²³ ¶¨¿¬ £° ´¨·¥±ª¨ ±®®²¢¥²±²¢³¾² ²®·ª¨ ¯¥°¥±¥·¥­¨© ¬­®¦¥±²¢ «³·¸¨µ ®²¢¥²®¢ ¨£°®ª®¢. ‘®¢¬¥¹ ¿ £° ´¨ª¨ «³·¸¨µ ®²¢¥²®¢ ¨£°®ª  1 ± «¾¡»¬ £° ´¨ª®¬ ­ ¨«³·¸¨µ ®²¢¥²®¢ ¨£°®ª  2 , ¬®¦­® ¯®«³·¨²¼ ¢±¥¢®§¬®¦­»¥ ¢ °¨ ­²» ¬­®¦¥±²¢ ° ¢­®¢¥±­»µ ±¨²³ ¶¨© ¡¨¬ ²°¨·­®© ¨£°» 22.

‘² ²¨·¥±ª¨¥ ¨£°» ± ¯®«­®© ¨­´®°¬ ¶¨¥©

85

 ±±¬®²°¨¬ £¥®¬¥²°¨·¥±ª¨© ±¬»±« ³±«®¢¨© (11.3) ¨ (11.4) ­  ¯°¨¬¥°¥ ®¯¨± ­­®© ¢»¸¥ ¨£°» À„¨«¥¬¬  ‡ ª«¾·¥­­®£®Á.  ¯®¬­¨¬, ·²® ±¨²³ ¶¨¿, ±«®¦¨¢¸ ¿±¿ ¢ ½²®© ¨£°¥, § ¤ ¥²±¿ ¬ ²°¨¶¥© Œ®«· ²¼ ‘®§­ ²¼±¿

0 ¬®«· ²¼ ±®§­ ²¼±¿ 1 @ (;1; ;1) (;10; 0) A (0; ;10) (;6 ; 6)

ˆ¬¥¥¬ C = ;1 ; (;10) ; 0+(;6) = 3;  = ;6 ; (;10) = 4; D = ;1 ; 0 ; (;10) + (;6) = 3; = ;6 = (;10) = 4:

’®£¤  ³±«®¢¨¿ (11.3), (11.4) ¢»£«¿¤¿² ±«¥¤³¾¹¨¬ ®¡° §®¬: (p ; 1)(3q ; 4)  0; (q ; 1)(3p ; 4)  0;

p(3q ; 4)  0; q (3p ; 4)  0: Ž²±¾¤  ¯®«³· ¥¬, ·²® ¯°¨ p = 1 q  43 , ¯°¨ 0 < p < 1 q = 34 , ¯°¨ p = 0 q  34 ; ¯°¨ q = 1 p  43 , ¯°¨ 0 < q < 1 p = 43 , ¯°¨ q = 0 q  34 . ®«³·¥­­»¥ «³·¸¨¥ ®²¢¥²» ¨§®¡° ¦¥­» ­  °¨±. 39. p 4 3

6

1

¨±. 39.

4 3

-

q

ˆ§ °¨±³­ª  ¢¨¤­®, ·²® ±³¹¥±²¢³¥² ¥¤¨­±²¢¥­­ ¿ ±¨²³ ¶¨¿ ° ¢­®¢¥±¨¿ p = 0; q = 0 . ²® ±¨²³ ¶¨¿, ¢ ª®²®°®© ª ¦¤»© ¨§ ¨£°®ª®¢ ¢»¡¨° ¥² ¢²®°³¾ ·¨±²³¾ ±²° ²¥£¨¾ | ‘®§­ ²¼±¿.

86

ƒ« ¢  1

Ž²¬¥²¨¬ ­¥±ª®«¼ª® ¢®§¬®¦­»µ ª ·¥±²¢¥­­»µ ®±®¡¥­­®±²¥© ±³¹¥±²¢³¾¹¨µ ° ¢­®¢¥±¨©. 1) ‘³¹¥±²¢³¥² ¥¤¨­±²¢¥­­®¥ ° ¢­®¢¥±¨¥ ¯® ½¸³ ¢ ·¨±²»µ ±²° ²¥£¨¿µ | ­ ¯°¨¬¥°, °¨±. 40 ¤ ¥² ° ¢­®¢¥±­³¾ ²®·ª³ p = 1; q = 0: À„¨«¥¬¬  ‡ ª«¾·¥­­®£®Á ®²­®±¨²±¿ ª ² ª®¬³ ±«³· ¾ (§¤¥±¼ p = 1; q = 1 ). p6 D e

-

 C

q

¨±. 40.

2) ‘³¹¥±²¢³¥² ¥¤¨­±²¢¥­­®¥ ° ¢­®¢¥±¨¥ ¯® ½¸³ ¢ ±¬¥¸ ­­»µ ±²° ²¥£¨¿µ. ˆ£°  ÀŽ°¥«Á ¨«¨ À¥¸ª Á ¿¢«¿¥²±¿ ¯°¨¬¥°®¬ ² ª®£® ±«³· ¿ (±¬. °¨±. 30). 3) ‘³¹¥±²¢³¥² ²°¨ ° ¢­®¢¥±¨¿ ¯® ½¸³ | ¤¢  ¢ ·¨±²»µ ±²° ²¥£¨¿µ ¨ ®¤­® | ¢ ±¬¥¸ ­­»µ. ’ ª®£® ²¨¯  ±¨²³ ¶¨¿ ¢®§­¨ª ¥² ¢ ¨£°¥ À‘¥¬¥©­»© ±¯®°Á (±¬. °¨±. 41). p6 e e e

=C

¨±. 41.

-

q

‘² ²¨·¥±ª¨¥ ¨£°» ± ¯®«­®© ¨­´®°¬ ¶¨¥©

87

4) ‘³¹¥±²¢³¥² ¤¢  ° ¢­®¢¥±¨¿ ¯® ½¸³ ¢ ·¨±²»µ ±²° ²¥£¨¿µ. ’ ª ¿ ±¨²³ ¶¨¿ ¢®§­¨ª ¥², ¢ · ±²­®±²¨, ª®£¤  ¢ ¬ ²°¨¶¥ A ¢»¨£°»¸¥© ¨£°®ª  1 a12 = a22 ,   ¢ ¬ ²°¨¶¥ B ¢»¨£°»¸¥© ¨£°®ª  2 b12 = b22 (±¬. °¨±. 42). p 6

e

e

C >0

-

q

¨±. 42.

5) ‘³¹¥±²¢³¥² ª®­²¨­³³¬ ° ¢­®¢¥±¨© ¯® ½¸³ (¢ ±¬¥¸ ­­»µ ±²° ²¥£¨¿µ). °¨¬¥°®¢ ² ª®£® °®¤  ° ¢­®¢¥±¨© ¬®¦­® ¯°¥¤«®¦¨²¼ p ®·¥­¼ ¬­®£® (±¬. °¨±. 43). 6

e

=C

-

q

¨±. 43. ‡ ¬¥· ­¨¥ 1.11.1. ‘«¥¤³¥² ®²¬¥²¨²¼ ¨­²¥°¥±­®¥ ±¢®©±²¢®, ¯°¨±³¹¥¥ ­¥ª®²®°»¬ ²¨¯ ¬ ° ¢­®¢¥±¨©. € ¨¬¥­­®, ¢ ±«³· ¿µ 1), 2), 3), ª®£¤  ° ¢­®¢¥±­»µ ±¨²³ ¶¨© ¢ ¨£°¥ ­¥·¥²­®¥ ·¨±«®, ¯°¨ ¤®±² ²®·­® ¬ «»µ ¨§¬¥­¥­¨¿µ ½«¥¬¥­²®¢ ¬ ²°¨¶ ¢»¨£°»¸¥© §¨£§ £¨ ² ª¦¥ ±«¥£ª  À¯®¸¥¢¥«¿²±¿Á, ­® ¨µ ®¡¹ ¿ ´®°¬  ¨ µ ° ª²¥° ¨µ ¢§ ¨¬­®£® ° ±¯®«®¦¥­¨¿ ­¥ ¨§¬¥­¿²±¿,   §­ ·¨², ­¥ ¨§¬¥­¨²±¿ ¨ ·¨±«® ° ¢­®¢¥±­»µ ±¨²³ ¶¨©.

88

ƒ« ¢  1

²®£® ­¥«¼§¿ ±ª § ²¼ ® ±«³· ¿µ ·¥²­®£® ¨ ¡¥±ª®­¥·­®£® ·¨±«  ° ¢­®¢¥±­»µ ±¨²³ ¶¨©. ‚ ½²¨µ ±«³· ¿µ ¬ «¥©¸¥¥ ¨§¬¥­¥­¨¥ ½«¥¬¥­²®¢ ¬ ²°¨¶ ¢»¨£°»¸¥© ¬®¦¥² ¯°¨¢®¤¨²¼ ª ±®¢¥°¸¥­­® ¨­»¬ ª ·¥±²¢¥­­»¬ ±¨²³ ¶¨¿¬.  ¯°¨¬¥°, ±¨²³ ¶¨¿, ¨§®¡° ¦¥­­ ¿ ­  °¨±. 42, ¬®¦¥² ¯¥°¥©²¨ ¢ ±¨²³ ¶¨¾ «¨¡® ± ®¤­¨¬ ·¨±²»¬ ° ¢­®¢¥±¨¥¬, ¥±«¨  = 0; < 0 (b22 < b21) (±¬. °¨±. 44), «¨¡® ¢ ±¨²³ ¶¨¾ ± ²°¥¬¿ ° ¢­®¢¥±¨¿¬¨, ¥±«¨  > 0; > 0 (22 < 21) (±¬. °¨±. 45), «¨¡® ¢ ±¨²³ ¶¨¾ ± ª®­²¨­³³¬®¬ ° ¢­®¢¥±¨©, ¥±«¨  > 0; = 0 (±¬. °¨±. 46). p6 p 6

-

-

q

=D p

e

¨±. 44. 6

q

¨±. 45. e

-

q ¨±. 46.

‡ ¬¥· ­¨¥ 1.11.2.  ±±¬®²°¨¬

­ ¨¡®«¥¥ ¨­²¥°¥±­»© ±«³· ©, ª®£¤  C ¨ D ­¥ ° ¢­» ­³«¾. ’®£¤  ° ¢­®¢¥±­ ¿ ±¨²³ ¶¨¿ ®¯°¥¤¥«¿¥²±¿ ¤¢³¬¿ ´®°¬³« ¬¨ p = D ; q = C , ¨§ ª®²®°»µ ±«¥¤³¥², ·²® ¢ ° ¢­®¢¥±­®© ±¨²³ ¶¨¨ ¢»¡®° ¨£°®ª  1 ®¯°¥¤¥«¿¥²±¿ ½«¥¬¥­² ¬¨ ¬ ²°¨¶» ¢»¨£°»¸¥© ¨£°®ª  2 ¨ ­¥ § ¢¨±¨² ®² ½«¥¬¥­²®¢ ±®¡±²¢¥­­®© ¬ ²°¨¶»,   ¢»¡®° ¨£°®ª  2 ¢ ° ¢­®¢¥±­®© ±¨²³ ¶¨¨ ¯®«­®±²¼¾ ®¯°¥¤¥«¿¥²±¿

89

‘² ²¨·¥±ª¨¥ ¨£°» ± ¯®«­®© ¨­´®°¬ ¶¨¥©

½«¥¬¥­² ¬¨ ¬ ²°¨¶» ¨£°®ª  1 ¨ ­¥ § ¢¨±¨² ®² ½«¥¬¥­²®¢ ±®¡±²¢¥­­®© ¬ ²°¨¶». ˆ­»¬¨ ±«®¢ ¬¨, ° ¢­®¢¥±­ ¿ ±²° ²¥£¨¿ ®¡®¨µ ¨£°®ª®¢ ®¯°¥¤¥«¿¥²±¿ ­¥ ±²®«¼ª® ±²°¥¬«¥­¨¥¬ ³¢¥«¨·¨²¼ ±®¡±²¢¥­­»© ¢»¨£°»¸, ±ª®«¼ª® ¤¥°¦ ²¼ ¯®¤ ª®­²°®«¥¬ ¢»¨£°»¸ ¤°³£®£® ¨£°®ª  (¬¨­¨¬¨§¨°®¢ ²¼ ¥£®). ’ ª¨¬ ®¡° §®¬, ¢ ¡¨¬ ²°¨·­®© ¨£°¥ ¬» ±² «ª¨¢ ¥¬±¿ ­¥ ±  ­² £®­¨§¬®¬ ¨­²¥°¥±®¢,   ±  ­² £®­¨§¬®¬ ¯®¢¥¤¥­¨¿. 1.12. ‡ ¤ ·¨

1. Š ª¨¥ ±²° ²¥£¨¨ ¢ ±«¥¤³¾¹¥© ¨£°¥, ¯°¥¤±² ¢«¥­­®© ¢ ­®°¬ «¼­®© ´®°¬¥, ¢»¦¨¢ ¾² ¯®±«¥ ¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼­®£® ¨±ª«¾·¥­¨¿ ±²°®£® ¤®¬¨­¨°³¥¬»µ ±²° ²¥£¨©?  ©¤¨²¥ ¢±¥ ° ¢­®¢¥±¨¿ ¯® ½¸³.

T M B

0 (2L; 1) (1C; 1) @ (3; 4) (1; 2)

R (4; 2) (2; 3) (1; 3) (0; 2) (3; 0)

1 A

2. ˆ£°®ª¨ I ¨ II ²®°£³¾²±¿ ¯® ¯®¢®¤³ ²®£®, ª ª ¯®¤¥«¨²¼ ®¤¨­ ¤®«« °. Ž¡  ¨£°®ª  ®¤­®¢°¥¬¥­­® ­ §»¢ ¾² ¤®«¨, ª®²®°»¥ ®­¨ ¡» µ®²¥«¨ ¨¬¥²¼, S1 ¨ S2 , £¤¥ 0  S1 , S2  1 . …±«¨ S1 +S2  1 , ²® ¨£°®ª¨ ¯®«³· ¾² ­ §¢ ­­»¥ ¤®«¨; ¥±«¨ S1 + S2 > 1 , ²® ®¡  ¨£°®ª  ­¨·¥£® ­¥ ¯®«³· ¾². Š ª®¢» ° ¢­®¢¥±¨¿ ¯® ½¸³ ¢ ½²®© ¨£°¥? 3.  ±±¬®²°¨¬ ¬®¤¥«¼ ®«¨£®¯®«¨¨ ¯® Š³°­® ± n ´¨°¬ ¬¨. ³±²¼ qi | ®¡º¥¬ ¯°®¨§¢¥¤¥­­®© ¯°®¤³ª¶¨¨ ´¨°¬®© i ¨ ¯³±²¼ Q = q1 +


+ qn | ®¡¹¨© ®¡º¥¬ ¯°®¤³ª¶¨¨ ­  °»­ª¥. °¥¤¯®«®¦¨¬, ·²® ´³­ª¶¨¿ ®¡° ²­®£® ±¯°®±  ¨¬¥¥² ¢¨¤ P (Q) = a ; Q (¤«¿ Q  a , ¨­ ·¥ P = 0 ). ®«­»¥ § ²° ²» ´¨°¬» i ­  ¯°®¨§¢®¤±²¢® ¯°®¤³ª¶¨¨ ¢ ° §¬¥°¥ qi ¥±²¼ C (qi) = c
qi , ²® ¥±²¼ ¯®±²®¿­­»µ § ²° ² ­¥²,   ¯°¥¤¥«¼­»¥ § ²° ²» ¯®±²®¿­­» ¨ ° ¢­» c , ¯°¨·¥¬ c < a . ”¨°¬» ¢»¡¨° ¾² ±¢®¨ ®¡º¥¬» ¯°®¨§¢®¤±²¢ 

90

ƒ« ¢  1

®¤­®¢°¥¬¥­­®.  ©¤¨²¥ ° ¢­®¢¥±¨¥ ¯® ½¸³. —²® ¡³¤¥² ¯°®¨±µ®¤¨²¼, ¥±«¨ n ±²°¥¬¨²±¿ ª ¡¥±ª®­¥·­®±²¨? 4.  ±±¬®²°¨¬ ±«¥¤³¾¹¨© ª®­¥·­»© ¢ °¨ ­² ¬®¤¥«¨ ¤³®¯®«¨¨ ¯® Š³°­®. „®¯³±²¨¬, ·²® ª ¦¤ ¿ ¨§ ´¨°¬ ¤®«¦­  ¢»¡° ²¼, ¯°®¨§¢®¤¨²¼ «¨ ¯®«®¢¨­³ ¬®­®¯®«¼­®£® ®¡º¥¬  ¯°®¤³ª¶¨¨, qm =2 = (a ; c)=4, «¨¡® ° ¢­®¢¥±­»© ¯® Š³°­® ®¡º¥¬, qc = (a ; c)=3. „°³£¨¥ ®¡º¥¬» ¯°®¨§¢®¤±²¢  ¢ ² ª®© ¬®¤¥«¨ ­¥¢®§¬®¦­». ®ª § ²¼, ·²® ½²  ¨£°  ± ¤¢³¬¿ µ®¤ ¬¨ ½ª¢¨¢ «¥­²­  À„¨«¥¬¬¥ ‡ ª«¾·¥­­®£®Á: ª ¦¤ ¿ ´¨°¬  ¨¬¥¥² ±²°®£® ¤®¬¨­¨°³¥¬³¾ ±²° ²¥£¨¾, ¨ ¢ ° ¢­®¢¥±¨¨ ®¡¥ ´¨°¬» ®ª §»¢ ¾²±¿ ¢ ¬¥­¥¥ ¢»£®¤­®¬ ¯®«®¦¥­¨¨, ­¥¦¥«¨ ¢ ±¨²³ ¶¨¨, ª®£¤  ¡» ®­¨ ¢»¡° «¨ ±®²°³¤­¨·¥±²¢® (ª®®¯¥° ¶¨¾). 5.  ±±¬®²°¨¬ ¬®¤¥«¼ ¤³®¯®«¨¨ ¯® Š³°­® ± ´³­ª¶¨¥© ®¡° ²­®£® ±¯°®±  P (Q) = a ; Q . ³¤¥¬ ±·¨² ²¼, ·²® ´¨°¬» ¨¬¥¾²  ±¨¬¬¥²°¨·­»¥ ¯°¥¤¥«¼­»¥ § ²° ²»: c1 ¤«¿ I -© ´¨°¬» ¨ c2 II -© ´¨°¬». —²® ¡³¤¥² ¿¢«¿²¼±¿ ° ¢­®¢¥±¨¥¬ ¯® ½¸³, ¥±«¨ 0 < ci < a=2 ¤«¿ ª ¦¤®© ´¨°¬»? —²®, ¥±«¨ c1 < c2 < a , ­® 2c2 > a + c1 ? 6.  ±±¬®²°¨¬ ±®¢®ª³¯­®±²¼ ¨§¡¨° ²¥«¥©, ° ¢­®¬¥°­® ° ±¯°¥¤¥«¥­­»µ ¢¤®«¼ À¨¤¥®«®£¨·¥±ª®£® ±¯¥ª²° Á ±«¥¢  (x = 0) ­ ¯° ¢® (x = 1) . Ž¤­®¢°¥¬¥­­® ª ¦¤»© ¨§ ª ­¤¨¤ ²®¢ ­  ®¤­³ ¤®«¦­®±²¼ (¯®±²) ¢»¡¨° ¥² ¯« ²´®°¬³ ª®¬¯ ­¨¨ (². ¥. ²®·ª³ ­  «¨­¨¨ ¬¥¦¤³ x = 0 ¨ x = 1 ). ˆ§¡¨° ²¥«¨ ­ ¡«¾¤ ¾² ¢»¡®°» ª ­¤¨¤ ²®¢ ¨ § ²¥¬ ª ¦¤»© ¨§¡¨° ²¥«¼ £®«®±³¥² §  ²®£® ª ­¤¨¤ ² , ·¼¿ ¯« ²´®°¬  ¿¢«¿¥²±¿ ¡«¨¦ ©¸¥© ª ¯®§¨¶¨¨ ¨§¡¨° ²¥«¿ ­  ±¯¥ª²°¥. …±«¨ ¨¬¥¥²±¿ ¤¢  ¨§¡¨° ²¥«¿ ¨ ®­¨ ¢»¡° «¨, ­ ¯°¨¬¥°, ¯« ²´®°¬» x1 = 0; 3 ¨ x2 = 0; 6 , ²® ¢±¥ ¨§¡¨° ²¥«¨, ° ±¯®«®¦¥­­»¥ «¥¢¥¥ x = 0; 45 , £®«®±³¾² §  ª ­¤¨¤ ²  1,   ¢±¥ ¨§¡¨° ²¥«¨ ¯° ¢¥¥ ½²®© ²®·ª¨ £®«®±³¾² §  ª ­¤¨¤ ²  2, ¨ ª ­¤¨¤ ² 2 ¢»¨£°»¢ ¥² ¢»¡®°» ± 55 ¯°®¶¥­² ¬¨ £®«®±®¢. °¥¤¯®«®¦¨¬, ·²® ª ­¤¨¤ ²» µ®²¿² ²®«¼ª® ¡»²¼ ¢»¡° ­­»¬¨ | ¢ ¤¥©±²¢¨²¥«¼­®±²¨

91

‘² ²¨·¥±ª¨¥ ¨£°» ± ¯®«­®© ¨­´®°¬ ¶¨¥©

®­¨ ­¥ ¨­²¥°¥±³¾²±¿ ¯« ²´®°¬ ¬¨ ±®¢±¥¬! …±«¨ ¨¬¥¥²±¿ ¤¢  ª ­¤¨¤ ² , ²® ª ª®¢® ° ¢­®¢¥±¨¥ ¯® ½¸³ ¢ ·¨±²»µ ±²° ²¥£¨¿µ? …±«¨ ¨¬¥¥²±¿ ²°¨ ª ­¤¨¤ ² , ²® ª ª®¢® ° ¢­®¢¥±¨¥ ¯® ½¸³ ¢ ·¨±²»µ ±²° ²¥£¨¿µ? ‘·¨² ¥¬, ·²® «¾¡»¥ ª ­¤¨¤ ²», ª®²®°»¥ ¢»¡° «¨ ®¤­³ ¨ ²³ ¦¥ ¯« ²´®°¬³, ¯®°®¢­³ ¤¥«¿² £®«®± , ®²¤ ­­»¥ §  ½²³ ¯« ²´®°¬³, ¨ ·²® ­¨·¼¨ ±°¥¤¨ «¨¤¨°³¾¹¨µ ª ­¤¨¤ ²®¢ ° §°¥¸ ¾²±¿ ± ¯®¬®¹¼¾ ¯®¤¡° ±»¢ ­¨¿ ¬®­¥²». 7. ®ª § ²¼, ·²® ¢ À„¨«¥¬¬¥ ‡ ª«¾·¥­­®£®Á ¨ ¢ ¨£° µ ­  °¨±. 47 ¨ 48 ­¥² ° ¢­®¢¥±¨¿ ¯® ½¸³ ¢ ±¬¥¸ ­­»µ ±²° ²¥£¨¿µ. L

M

;

(4; 0)

M

0 (0L 4) @ (4 0) ;

(0; 4)

1 (5 3) A

B

(3; 5)

(3; 5)

(6; 6)

R

u

 (1 0) ;

(1; 2)

 (0 1)

d

(0; 3)

(0; 1)

(2; 0)

;

T

¨±. 47.

C

R

(5; 3) ;

¨±. 48.

8.  ©²¨ ° ¢­®¢¥±¨¥ ¯® ½¸³ ¢ ±¬¥¸ ­­»µ ±²° ²¥£¨¿µ ¤«¿ ±«¥¤³¾¹¥© ¨£°», ¯°¥¤±² ¢«¥­­®© ¢ ­®°¬ «¼­®© ´®°¬¥:

T B

 (2L; 1)

R 

(0; 2) (1; 2) (3; 0)

9. ‚ ª ¦¤®© ¨§ ¤¢³µ ´¨°¬ ¨¬¥¥²±¿ ¯® ®¤­®© ¢ ª ­±¨¨. „®¯³±²¨¬, ·²® ´¨°¬» ¯°¥¤« £ ¾² ° §«¨·­»¥ § °¯« ²»: ´¨°¬  i ¯°¥¤« £ ¥² § °¯« ²³ wi , ¯°¨·¥¬ 1 w1 < w2 < 2w1 . °¥¤¯®«®¦¨¬, ·²® ¥±²¼ ¤¢  ° ¡®²­¨ª , 2 ª ¦¤»© ¨§ ª®²®°»µ ¬®¦¥² ®¡° ²¨²¼±¿ ²®«¼ª® ¢ ®¤­³ ´¨°¬³.  ¡®²­¨ª¨ ®¤­®¢°¥¬¥­­® °¥¸ ¾² ®¡° ²¨²¼±¿ ¢ ´¨°¬³ 1 ¨«¨ ´¨°¬³ 2. …±«¨ ¢ ´¨°¬³ ®¡° ¹ ¥²±¿ ²®«¼ª® ®¤¨­ ° ¡®²­¨ª, ²® ®­ ¯®«³· ¥² ° ¡®²³; ¥±«¨ ®¡  ° ¡®²­¨ª  ®¡° ¹ ¾²±¿ ¢ ®¤­³ ¨ ²³ ¦¥ ´¨°¬³, ´¨°¬  ­ ­¨¬ ¥² ®¤­®£® ° ¡®²­¨ª  ±«³· ©­»¬ ®¡° §®¬

92

ƒ« ¢  1

¨ ¤°³£®© ° ¡®²­¨ª ®±² ¥²±¿ ¡¥§° ¡®²­»¬ (¨¬¥¥² ­³«¥¢®© ¢»¨£°»¸).  ©¤¨²¥ ° ¢­®¢¥±¨¥ ¯® ½¸³ ¢ ¨£°¥ ° ¡®²­¨ª®¢, ¯°¥¤±² ¢«¥­­®© ¢ ­®°¬ «¼­®© ´®°¬¥. Ž¡° ²¨²¼±¿ ¢ ´¨°¬³ 1 Ž¡° ²¨²¼±¿ ¢ ´¨°¬³ 2

Ž¡° ²¨²¼±¿ Ž¡° ²¨²¼±¿ ¢ ´¨°¬³ 1 ¢ ´¨°¬³ 2 0 ( 1 w ; 1 ; w ) (w ; w ) 1 1 2 2 1 2 1

@

(w2; w1)

( 12 w2; 12 w2)

A

10. ®ª § ²¼, ·²® ¤«¿ ° ¢­®¢¥±¨¿ ¯® ½¸³ ¢ ±¬¥¸ ­­»µ ±²° ²¥£¨¿µ ¢¥°­® ±«¥¤³¾¹¥¥ ³²¢¥°¦¤¥­¨¥: ±²° ²¥£¨¨, ±»£° ­­»¥ ± ¯®«®¦¨²¥«¼­®© ¢¥°®¿²­®±²¼¾ ¢ ° ¢­®¢¥±¨¨ ¯® ½¸³ ¢ ±¬¥¸ ­­»µ ±²° ²¥£¨¿µ ¢»¦¨¢ ¾² ¢ ¯°®¶¥±±¥ ¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼­®£® ¨±ª«¾·¥­¨¿ ±²°®£® ¤®¬¨­¨°³¥¬»µ ±²° ²¥£¨©. 11. €³ª¶¨®­ ¯¥°¢®© ¶¥­». Ž¶¥­ª¨ ¨£°®ª®¢ ®¡º¥ª²   ³ª¶¨®­  ³¯®°¿¤®·¥­»: v1 > v2 >


> vn > 0 . “· ±²­¨ª¨ ®¤­®¢°¥¬¥­­® ¤¥« ¾² § ¿¢ª¨, ­ §­ · ¿ ¶¥­³, ª®²®°³¾ ®­¨ £®²®¢» § ¯« ²¨²¼ §  ®¡º¥ª². ‚»¨£°»¢ ¥² ­ §­ ·¨¢¸¨© ­ ¨¡®«¼¸³¾ ¶¥­³, ª®²®°³¾ ®­ ¨ ¯« ²¨² (¢ ±«³· ¥, ¥±«¨ ­¥±ª®«¼ª® ³· ±²­¨ª®¢ ­ §»¢ ¾² ®¤­³ ­ ¨¢»±¸³¾ ¶¥­³, ®¡º¥ª² ¯®«³· ¥² ²®² ¨§ ³· ±²­¨ª®¢, ³ ª®²®°®£® ­ ¨¬¥­¼¸ ¿ ®¶¥­ª ).  ©¤¨²¥ ° ¢­®¢¥±¨¥ ¯® ½¸³. 12. €°¬¨¿ A ®¡« ¤ ¥² ¥¤¨­±²¢¥­­»¬ ± ¬®«¥²®¬, ª®²®°»© ®­  ¬®¦¥² ­ ¯° ¢¨²¼ ¤«¿  ² ª¨ ®¤­®© ¨§ ²°¥µ ¶¥«¥©. “  °¬¨¨ B ¥±²¼ ¥¤¨­±²¢¥­­®¥ §¥­¨²­®¥ ®°³¤¨¥, ª®²®°®¥ ®­  ¬®¦¥² ³±² ­®¢¨²¼ ¤«¿ § ¹¨²» ®¤­®© ¨§ ¶¥«¥©. –¥­­®±²¼ ¶¥«¨ k ¥±²¼ vk , ² ª ·²® v1 > v2 > v3 > 0 . €°¬¨¿ A ° §°³¸ ¥² ¶¥«¼ ²®«¼ª®, ¥±«¨ ®­   ² ª³¥² ­¥§ ¹¨¹¥­­³¾ ¶¥«¼. €°¬¨¿ A ±²°¥¬¨²±¿ ¬ ª±¨¬¨§¨°®¢ ²¼ ®¦¨¤ ¥¬»© ³¹¥°¡ ®² ­ ¯ ¤¥­¨¿,   B ±²°¥¬¨²±¿ ¥£® ¬¨­¨¬¨§¨°®¢ ²¼.  ©¤¨²¥ ° ¢­®¢¥±¨¥ ¯® ½¸³ ¢ ±¬¥¸ ­­»µ ±²° ²¥£¨¿µ ±®®²¢¥²±²¢³¾¹¥© ¨£°».

ƒ« ¢  2.

„¨­ ¬¨·¥±ª¨¥ ¨£°» ± ¯®«­®© ¨­´®°¬ ¶¨¥© 2.1. ®§¨¶¨®­­ ¿ ´®°¬  ¨£°»

°¥¦¤¥ ·¥¬ ¯¥°¥©²¨ ­¥¯®±°¥¤±²¢¥­­® ª ²¥¬¥ ½²®© £« ¢», ¬» ¤®«¦­» ±¤¥« ²¼ ­¥¡®«¼¸®¥ ®²±²³¯«¥­¨¥, ª ± ¾¹¥¥±¿ ²¥°¬¨­®«®£¨¨, ¯®±ª®«¼ª³ ¬» ¡³¤¥¬ ¢±²°¥· ²¼±¿ ± ²¥°¬¨­ ¬¨ À¯®«­ ¿ ¨­´®°¬ ¶¨¿Á, À±®¢¥°¸¥­­ ¿ ¨­´®°¬ ¶¨¿Á, À­¥¯®«­ ¿Á, ­¥±®¢¥°¸¥­­ ¿ ¨­´®°¬ ¶¨¿, ¨ ². ¤. —²®¡» ¨§¡¥¦ ²¼ ¢®§¬®¦­»µ ­¥¤®° §³¬¥­¨©, ®²¬¥²¨¬ ±«¥¤³¾¹¥¥. ˆ­´®°¬ ¶¨®­­³¾ ±²°³ª²³°³ ¨£°» ¬®¦­® ®µ ° ª²¥°¨§®¢ ²¼ ­¥±ª®«¼ª¨¬¨ ±¯®±®¡ ¬¨. ¥°¢»© ¯®¤° §¤¥«¿¥² ¨£°» ­  ¨£°» ± ±®¢¥°¸¥­­®© ¨ ¨£°» ± ­¥±®¢¥°¸¥­­®© ¨­´®°¬ ¶¨¥©. (•®²¿ ¬» ¥¹¥ ­¥ ¤ «¨ ±²°®£®£® ®¯°¥¤¥«¥­¨¿ ¯®§¨¶¨®­­®© ´®°¬» ¨£°», ¬» ª° ²ª® ®¯¨± «¨ ¥¥ ¢ ­ · «¥ £«. 1.) ‚ ¨£°¥ ± ±®¢¥°¸¥­­®© ¨­´®°¬ ¶¨¥©1 ª ¦¤®¥ ¨­´®°¬ ¶¨®­­®¥ ¬­®¦¥±²® ®¤­®²®·¥·­®. ‚ ¯°®²¨¢­®¬ ±«³· ¥ ¨£°  ¿¢«¿¥²±¿ ¨£°®© ± ­¥±®¢¥°¸¥­­®© ¨­´®°¬ ¶¨¥©2 . ‚ ¨£°¥ ± ±®¢¥°¸¥­­®© ¨­´®°¬ ¶¨¥© ª ¦¤»© ¨£°®ª ¢±¥£¤  §­ ¥² ²®·­®, ¢ ª ª®¬ ¬¥±²¥ ¤¥°¥¢  ¨£°» ®­ ­ µ®¤¨²±¿, ­¥² 1 2

Perfect information. Imperfect information.

93

94

ƒ« ¢  2

®¤­®¢°¥¬¥­­»µ µ®¤®¢, ¨ ¢±¥ ¨£°®ª¨ ­ ¡«¾¤ ¾² µ®¤» °¨°®¤» (¥±«¨ ² ª®¢»¥ ¥±²¼). ‚ ¨£°¥ ± ­¥¯®«­®© ¨­´®°¬ ¶¨¥©3 . °¨°®¤  ¤¥« ¥² µ®¤ ¯¥°¢®© ¨ ®­ ­¥­ ¡«¾¤ ¥¬ ¯® ª° ©­¥© ¬¥°¥ ®¤­¨¬ ¨§ ¨£°®ª®¢. ‚ ¯°®²¨¢­®¬ ±«³· ¥ ¨£°  ¿¢«¿¥²±¿ ¨£°®© ± ¯®«­®© ¨­´®°¬ ¶¨¥©4 . ˆ£°  ± ­¥¯®«­®© ¨­´®°¬ ¶¨¥© ¿¢«¿¥²±¿ ¨£°®© ± ­¥±®¢¥°¸¥­­®© ¨­´®°¬ ¶¨¥©, ² ª ª ª ¨­´®°¬ ¶¨®­­»¥ ¬­®¦¥±²¢  ­¥ª®²®°»µ ¨£°®ª®¢ ±®¤¥°¦ ² ¡®«¥¥ ®¤­®© ¢¥°¸¨­». H¥®¡µ®¤¨¬® ®±®¡® ¯®¤·¥°ª­³²¼, ·²® ²¥°¬¨­ À­¥¯®«­ ¿ ¨­´®°¬ ¶¨¿Á ¨±¯®«¼§³¥²±¿ ¢ «¨²¥° ²³°¥ · ±²® ¨ ¢ ¤°³£®¬, ±² °®¬ ±¬»±«¥, ±®£« ±­® ª®²®°®¬³ ¢ ¨£°¥ ± ¯®«­®© ¨­´®°¬ ¶¨¥© ¢±¥ ¨£°®ª¨ §­ ¾² ¯° ¢¨«  ¨£°»,   ¢ ¯°®²¨¢­®¬ ±«³· ¥ ¨£°  ­ §»¢ ¥²±¿ ¨£°®© ± ­¥¯®«­®© ¨­´®°¬ ¶¨¥©. „® 1967 £. ®¡ ¨£° µ ± ­¥¯®«­®© ¨­´®°¬ ¶¨¥© (¢ ½²®¬ ±¬»±«¥) £®¢®°¨«¨, ª®£¤  µ®²¥«¨ ±ª § ²¼, ·²® ¨µ ­¥¢®§¬®¦­®  ­ «¨§¨°®¢ ²¼. ‡ ²¥¬ „¦. • °¸ ­¼¨5 § ¬¥²¨«, ·²® «¾¡ ¿ ¨£°  ± ­¥¯®«­®© ¨­´®°¬ ¶¨¥© ¬®¦¥² ¡»²¼ ¯¥°¥´®°¬³«¨°®¢ ­  ª ª ¨£°  ± ¯®«­®©, ­® ­¥±®¢¥°¸¥­­®© ¨­´®°¬ ¶¨¥© ¯°®±²® §  ±·¥² ¤®¡ ¢«¥­¨¿ ­ · «¼­®£® µ®¤  °¨°®¤», ª®£¤  °¨°®¤  ¢»¡¨° ¥² ¬¥¦¤³ ° §«¨·­»¬¨ ¯° ¢¨« ¬¨. ®¤°®¡­¥¥ ¯® ½²®¬³ ¯®¢®¤³ ±¬. Rasmussen, 1989. ˆ² ª, ° ±±¬®²°¨¬ ²¥¯¥°¼ ¡®«¥¥ ¯®¤°®¡­® ¯®§¨¶¨®­­³¾ ´®°¬³ ¨£°».  ±±¬®²°¨¬ ¯°®±²¥©¸¨© ¯°¨¬¥° | ¨£°³ Àª°¥±²¨ª¨­®«¨ª¨Á ­  ¯®«¥ 3  3 . ¥°¥­³¬¥°³¥¬ ±®®²¢¥²±²¢³¾¹¨¥ ª«¥²ª¨ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Incomplete information. Complete information. 5 „¦®­ • °¸ ­¼¨ (J.Harsanyi) | « ³°¥ ² H®¡¥«¥¢±ª®© ¯°¥¬¨¨ ¯® ½ª®­®¬¨ª¥ 1994 £. 3 4

„¨­ ¬¨·¥±ª¨¥ ¨£°» ± ¯®«­®© ¨­´®°¬ ¶¨¥©

95

³¤¥¬ ®¡®§­ · ²¼ ¨£°®ª®¢ ±®®²¢¥²±²¢¥­­® | X ¨ 0 . ’®£¤  ¤¥°¥¢® ½²®© ¨£°» (¢ ­¥¬ ¨­´®°¬ ¶¨®­­»¥ ¬­®¦¥±²¢  ®¤­®²®·¥·­») ¡³¤¥² ¨¬¥²¼ ¢¨¤, ¨§®¡° ¦¥­­»© ­  °¨±. 1 (¶¨´°» ³ °¥¡¥° ®§­ · ¾² ­®¬¥°  ª«¥²®ª, ¢ ª®²®°»µ ±² ¢¨²±¿ ±®®²¢¥²±²¢³¾¹¨© X ¨«¨ 0;   ¢ ¢¥°¸¨­¥, ®¡®§­ ·¥­­®© N; µ®¤ ¤¥« ¥² °¨°®¤ , ° ¢­®¢¥°®¿²­® (­ ¯°¨¬¥°, ¯®¤¡° ±»¢ ¥²±¿ ¬®­¥²ª ) ¢»¡¨° ¿ ®·¥°¥¤­®±²¼ µ®¤ . °¨ ½²®¬ ­¥®¡µ®¤¨¬® ¨¬¥²¼ ¢ ¢¨¤³, ·²® ¤¥°¥¢® ®²®¡° ¦ ¥² ¢±¥ ¢®§¬®¦­»¥ µ®¤» ­¥§ ¢¨±¨¬® ®² ¨µ ° §³¬­®±²¨.

¨±. 1. Œ» ­¥ ¨§®¡° ¦ ¥¬ ½²® ¤¥°¥¢® ¯®«­®±²¼¾, ¯®±ª®«¼ª³ ®·¥¢¨¤­®, ª ª ®­® ±²°®¨²±¿.  §³¬¥¥²±¿, ª ª ²®«¼ª® ¢»±²° ¨¢ ¥²±¿ °¿¤ ¨§ ²°¥µ ª°¥±²¨ª®¢ ¨«¨ ­®«¨ª®¢, ²® ¨£°  § ª ­·¨¢ ¥²±¿ ¨ ¯®¡¥¤¨¢¸¨© ¨£°®ª ¯®«³· ¥², ±ª ¦¥¬, ®² ¯°®¨£° ¢¸¥£® 1 °³¡«¼ (¤®«« ° ¨ ¯°.). ‚ ±«³· ¥ ­¨·¼¥© ±®®²¢¥²±²¢³¾¹¨¥ ¢»¨£°»¸¨ | ½²® (0,0), ². ¥. ­¨ª²® ­¨ª®¬³ ­¨·¥£® ­¥ ¯« ²¨² ¨ ­¨·¥£® ­¥ ¯®«³· ¥².

96

ƒ« ¢  2

”®°¬ «¼­® ¯®§¨¶¨®­­ ¿ ´®°¬  ¨£°» ®¯¨±»¢ ¥²±¿ ± ¯®¬®¹¼¾ ±«¥¤³¾¹¨µ ½«¥¬¥­²®¢: ±¯¨±ª  ¨£°®ª®¢; ¤¥°¥¢  ¨£°»; ³ª § ­¨¿ ¤«¿ ª ¦¤®© ¢¥°¸¨­» ­®¬¥°  ¨£°®ª  (¨«¨ °¨°®¤» | ¨£°®ª ­®¬¥° 0 ), ª®²®°»© ¤®«¦¥­ µ®¤¨²¼ ¢ ½²®© ¢¥°¸¨­¥; ±¯¨±ª  µ®¤®¢, ¤®±²³¯­»µ ¨£°®ª³ ¢ ª ¦¤®© ¢¥°¸¨­¥ ¨ ±®®²¢¥²±²¢¨¿ ¬¥¦¤³ µ®¤ ¬¨ ¨ ­¥¯®±°¥¤±²¢¥­­® ±«¥¤³¾¹¨¬¨ ¢¥°¸¨­ ¬¨; ¨­´®°¬ ¶¨®­­»µ ¬­®¦¥±²¢; ³ª § ­¨¿ ¢»¨£°»¸¥© ¢ ª ¦¤®© ²¥°¬¨­ «¼­®© (®ª®­· ²¥«¼­®©) ¢¥°¸¨­¥; ¢¥°®¿²­®±²­®£® ° ±¯°¥¤¥«¥­¨¿ ­  ¬­®¦¥±²¢¥ µ®¤®¢ ¢ ª ¦¤®© ¢¥°¸¨­¥, ¢ ª®²®°®© µ®¤ ¤¥« ¥² °¨°®¤ . ’ ª¨¬ ®¡° §®¬, ¬» ±·¨² ¥¬6 , ·²® § ¤ ­» ±«¥¤³¾¹¨¥ ½«¥¬¥­²»: 1. I = f1; : : :; ng | ª®­¥·­®¥ ¬­®¦¥±²¢® ¨£°®ª®¢. 2. Œ» ¨¬¥¥¬ ¤¥°¥¢® ¨£°» ± ª®­¥·­»¬ ¬­®¦¥±²¢®¬ ¢¥°¸¨­ X ¨ ª®­¥·­»¬ ¬­®¦¥±²¢®¬ µ®¤®¢ A . °¨ ½²®¬ ¤®«¦­® ¡»²¼ ®¯°¥¤¥«¥­® ®²®¡° ¦¥­¨¥ p : X ! X [ f;g , ª®²®°®¥ ª ¦¤®© ¢¥°¹¨­¥ x ±² ¢¨² ¢ ±®®²¢¥²±²¢¨¥ ¥¤¨­±²¢¥­­³¾ ­¥¯®±°¥¤±²¢¥­­® ¯°¥¤¸¥±²¢³¾¹³¾ ¢¥°¸¨­³ p(x) , §  ¨±ª«¾·¥­¨¥¬ ­ · «¼­®© ¢¥°¸¨­» x0 , ¤«¿ ª®²®°®© p(x0) = ; . „ «¥¥, ­¥¯®±°¥¤±²¢¥­­® ±«¥¤³¾¹¨¥ §  x ¢¥°¸¨­» ²°¨¢¨ «¼­® ®¯°¥¤¥«¿¾²±¿ ¯® p : s(x) = p;1(x) . —²®¡» ³ ­ ± ¤¥©±²¢¨²¥«¼­® ¡»«  ¤°¥¢¥±­ ¿ ±²°³ª²³° , ­¥®¡µ®¤¨¬®, ·²®¡» ¬­®¦¥±²¢® ¢±¥µ ¯°¥¤¸¥±²¢³¾¹¨µ ¨ ¬­®¦¥±²¢® ¢±¥µ ¯®±«¥¤³¾¹¨µ ¢¥°¸¨­ ­¥ ¯¥°¥±¥ª «¨±¼ ¤«¿ ª ¦¤®© ¢¥°¸¨­» x (®­¨ ¬®£³² ¡»²¼ ­ ©¤¥­» ± ¯®¬®¹¼¾ ¨²¥° ¶¨© p ¨ s ). Œ­®¦¥±²¢® ²¥°¬¨­ «¼­»µ (®ª®­· ²¥«¼­»µ) ¢¥°¸¨­ T = fx : s(x) = ;g . 3. „ «¥¥ ¬» ¤®«¦­» ¨¬¥²¼ ®²®¡° ¦¥­¨¥  : X nfxo g ! A , ±² ¢¿¹¥¥ ¢ ±®®²¢¥²±²¢¨¥ ª ¦¤®© ¢¥°¸¨­¥ x , ª°®¬¥ ­ · «¼­®©, µ®¤, ª®²®°»© ¨§ ­¥¯®±°¥¤±²¢¥­­® ¯°¥¤¸¥±²¢³¾¹¥© ¢¥°¸¨­» p(x) ¯°¨¢®¤¨² ª x ¨ ² ª®©, ·²® ¥±«¨ x0 , x00 2 s(x) ¨ x0 6= x00 , ²® (x0 ) 6= (x00) . Œ» ¯°¨¤¥°¦¨¢ ¥¬±¿ §¤¥±¼ ®¡®§­ ·¥­¨©, ¨±¯®«¼§®¢ ­­»µ ¢ ³·¥¡­¨ª¥ Mas-Collel, Whinston, Green. 6

„¨­ ¬¨·¥±ª¨¥ ¨£°» ± ¯®«­®© ¨­´®°¬ ¶¨¥©

97

Œ­®¦¥±²¢® ¢®§¬®¦­»µ µ®¤®¢, ¤®±²³¯­»µ ¢ ¢¥°¸¨­¥ x , ¥±²¼ c(x) = fa 2 A : a = (x0) ¤«¿ ­¥ª®²®°®£® x0 2 s(x)g . 4.  ¡®° ¨­´®°¬ ¶¨®­­»µ ¬­®¦¥±²¢ H ¨ ®²®¡° ¦¥­¨¥ H : X n T ! H , ±² ¢¿¹¥¥ ¢ ±®®²¢¥²±²¢¨¥ ª ¦¤®© ¢¥°¸¨­¥ (ª°®¬¥ ²¥°¬¨­ «¼­®©) ¨­´®°¬ ¶¨®­­®¥ ¬­®¦¥±²¢® H (x) 2 H . ˆ­´®°¬ ¶¨®­­»¥ ¬­®¦¥±²¢  ®¡° §³¾² ° §¡¨¥­¨¥ ¬­®¦¥±²¢  X n T . ¥®¡µ®¤¨¬®¥ ²°¥¡®¢ ­¨¥: ¢±¥ ¢¥°¸¨­», «¥¦ ¹¨¥ ¢ ®¤­®¬ ¨­´®°¬ ¶¨®­­®¬ ¬­®¦¥±²¢¥ ¨¬¥¾² ®¤­¨ ¨ ²¥ ¦¥ ¤®¯³±²¨¬»¥ µ®¤», ². ¥. ´®°¬ «¼­® c(x) = c(x0) , ¥±«¨ H (x) = H (x0) . Œ» ¬®¦¥¬, ² ª¨¬ ®¡° §®¬, ®¯°¥¤¥«¨²¼ ¢»¡®°, ª®²®°»© ¤®±²³¯¥­ ¨£°®ª³ ¢ ¨­´®°¬ ¶¨®­­®¬ ¬­®¦¥±²¢¥ H :

c(H ) = fa 2 A : a 2 c(x) ¤«¿ x 2 H g: 5. Ž²®¡° ¦¥­¨¥  : H ! I [ f0g , ±² ¢¿¹¥¥ ¢ ±®®²¢¥²±²¢¨¥ ª ¦¤®¬³ ¨­´®°¬ ¶¨®­­®¬³ ¬­®¦¥±²¢³ H 2 H ¨£°®ª  (¨«¨ °¨°®¤³, ². ¥. ¨£°®ª  i = 0 ), ª®²®°»© ¤®«¦¥­ µ®¤¨²¼ ¢ ¢¥°¸¨­¥ ¨§ ½²®£® ¬­®¦¥±²¢ . ³¤¥¬ ®¡®§­ · ²¼ ·¥°¥§ Hi = fH 2 H : (H ) = ig ²¥ ¨­´®°¬ ¶¨®­­»¥ ¬­®¦¥±²¢ , ¢ ª®²®°»µ ®·¥°¥¤¼ µ®¤  ¯°¨­ ¤«¥¦¨² ¨£°®ª³ i . 6. ”³­ª¶¨¿  : H0  A ! [0; 1], ±² ¢¿¹ ¿ ¢ ±®®²¢¥²±²¢¨¥ µ®¤ ¬ ¢ ¨­´®°¬ ¶¨®­­»µ ¬­®¦¥±²¢ µ °¨°®¤» ¢¥°®¿²­®±²¨, ³¤®¢«¥²¢®°¿¾¹¨¥ ³±«®¢¨¾

(H; a) = 0 ¤«¿ a 2= C (H )

X

¨

a2C (H )

(H; a) = 1 8 H 2 H0:

7.  ¡®° ´³­ª¶¨© ¢»¨£°»¸¥© u = fu1 (
); : : :; un(
)g , ui (
) :

T ! IR .

‡¤¥±¼ ±«¥¤³¥² § ¬¥²¨²¼, ·²®, ´®°¬ «¼­® £®¢®°¿, ¬» ®¯°¥¤¥«¨«¨ ¢±¥ ¤«¿ ª®­¥·­»µ ¬­®¦¥±²¢, ­® ¤ ­­»¥ ®¯°¥¤¥«¥­¨¿ ¬®£³² ¡»²¼ ¯¥°¥­¥±¥­» ¨ ­  ±«³· © ¡¥±ª®­¥·­»µ ¬­®¦¥±²¢ (¢¥°¸¨­, µ®¤®¢, ¨£°®ª®¢).  °¨±®¢ ²¼ ¤¥°¥¢® ³¦¥ ¡»«® ¡», ° §³¬¥¥²±¿, ­¥¢®§¬®¦­® (µ®²¿, ¢¯°®·¥¬, ª ª ¬» ¢¨¤¨¬, ¤ ¦¥

98

ƒ« ¢  2

¨±. 2. ¤«¿ ¯°®±²¥©¸¥£® ¢ °¨ ­²  Àª°¥±²¨ª®¢-­®«¨ª®¢Á ½²® ­¥ ®·¥­¼ ¯°®±²®), ­® ¢±¥ ´®°¬ «¼­®±²¨ ¬®¦­® ¡»«® ¡» ±®¡«¾±²¨, ¯°¨¯¨±»¢ ¿, ±ª ¦¥¬, ¢»¨£°»¸¨ ­¥ ²¥°¬¨­ «¼­»¬ ¢¥°¸¨­ ¬,   ¯³²¿¬, ±®®²¢¥²±²¢³¾¹¨¬ ° §»£°»¢ ­¨¾ ¨£°». ‚ ¦­® ² ª¦¥ ®²¬¥²¨²¼, ·²® ¬» ®£° ­¨·¨¢ ¥¬±¿ ° ±±¬®²°¥­¨¥¬ ¨£° ± ¯®«­®© ¯ ¬¿²¼¾, ¢ ª®²®°»µ ¨£°®ª¨ ­¥ § ¡»¢ ¾² ²®, ·²® ®­¨ ° ­¼¸¥ §­ «¨, ¢ª«¾· ¿ ±¢®¨ ±®¡±²¢¥­­»¥ µ®¤», ±¤¥« ­­»¥ ° ­¥¥. ˆ£°», ¨§®¡° ¦¥­­»¥ ­  °¨±. 2, ² ª®¢»¬¨ ­¥ ¿¢«¿¾²±¿.

Ž¯°¥¤¥«¥­¨¥ 2.1.1. ˆ£°  ¢ ¯®§¨¶¨®­­®© ´®°¬¥ ­ §»¢ ¥²±¿

¨£°®© ± ±®¢¥°¸¥­­®© ¨­´®°¬ ¶¨¥©, ¥±«¨ ª ¦¤®¥ ¨­´®°¬ ¶¨®­­®¥ ¬­®¦¥±²¢® ±®±²®¨² ¨§ ¥¤¨­±²¢¥­­®© ¢¥°¸¨­». ‚ ¯°®²¨¢­®¬ ±«³· ¥ ¨£°  ­ §»¢ ¥²±¿ ¨£°®© ± ­¥±®¢¥°¸¥­­®© ¨­´®°¬ ¶¨¥©.

‡¤¥±¼ ¬» ¤®«¦­» ®±² ­®¢¨²¼±¿ ­  ¶¥­²° «¼­®¬ ¤«¿ ¡¥±ª® «¨¶¨®­­®© ²¥®°¨¨ ¨£° ¯®­¿²¨¨ ±²° ²¥£¨¨. ‘²° ²¥£¨¿ | ½²® ¯®«­»© ¢®§¬®¦­»© ¯« ­, ª®²®°»© ®¯¨±»¢ ¥² ²®, ª ª ¨£°®ª ¡³¤¥² ¤¥©±²¢®¢ ²¼ ¢ ª ¦¤»µ ¢®§¬®¦­»µ ®¡±²®¿²¥«¼±²¢ µ, ª®£¤  ¥¬³, ¬®¦¥² ¡»²¼, ¯°¨¤¥²±¿ ¤¥« ²¼ µ®¤. ‘ ²®·ª¨ §°¥­¨¿ ¨£°®ª , ¬­®¦¥±²¢  ¢®§¬®¦­»µ ®¡±²®¿²¥«¼±²¢ ¯°¥¤±² ¢«¥­» ­ ¡®°®¬ ¥£® ¨­´®°¬ ¶¨®­­»µ ¬­®¦¥±²¢, ¯°¨·¥¬ ª ¦¤®¥ ¨­´®°¬ ¶¨®­­®¥ ¬­®¦¥±²¢® ¯°¥¤±² ¢«¿¥² ° §«¨·­»¥ ° §«¨·¨¬»¥ ®¡±²®¿²¥«¼±²¢ , ¢ ª®²®°»µ ¥¬³ ¬®¦¥² ¯®²°¥¡®¢ ²¼±¿ µ®¤¨²¼. ’¥¬ ± ¬»¬ ±²° ²¥£¨¿

„¨­ ¬¨·¥±ª¨¥ ¨£°» ± ¯®«­®© ¨­´®°¬ ¶¨¥©

99

¨£°®ª  ±¢®¤¨²±¿ ª ®¯¨± ­¨¾ ²®£®, ª ª ®­ ¯« ­¨°³¥² µ®¤¨²¼ ¢ ª ¦¤®¬ ¨§ ¥£® ¨­´®°¬ ¶¨®­­»µ ¬­®¦¥±²¢.

Ž¯°¥¤¥«¥­¨¥ 2.1.2. ³±²¼ Hi | ±¥¬¥©±²¢® ¢±¥µ ¨­´®°¬ ¶¨®­­»µ ¬­®¦¥±²¢ ¨£°®ª  i , A | ¬­®¦¥±²¢® ¢±¥µ ¢®§¬®¦­»µ µ®¤®¢ (¤¥©±²¢¨©) ¢ ¨£°¥, C (H )  A | ¬­®¦¥±²¢® µ®-

¤®¢, ¢®§¬®¦­»µ ¢ ¨­´®°¬ ¶¨®­­®¬ ¬­®¦¥±²¢¥ H: ‘²° ²¥£¨¿ ¨£°®ª  i | ½²® ®²®¡° ¦¥­¨¥ si : Hi ! A ² ª®¥, ·²® si (H ) 2 C (H ) ¤«¿ ª ¦¤®£® H 2 Hi .

’®, ·²® ±²° ²¥£¨¿ | ½²® ¯®«­»© ¢®§¬®¦­»© ¯« ­, ­¥«¼§¿ ­¥¤®®¶¥­¨¢ ²¼, ®±®¡¥­­®, ª ª ¬» ³¢¨¤¨¬, ½²® ¡³¤¥² ¢ ¦­® ¢ ¤ «¼­¥©¸¥¬. Ž¯°¥¤¥«¥­¨¥ ¨£°®ª®¬ ±¢®¥© ±²° ²¥£¨¨ ¯®¤®¡­® ­ ¯¨± ­¨¾ ¯¥°¥¤ ¨£°®© ¨­±²°³ª¶¨¨ ®²­®±¨²¥«¼­® ²®£®, ª ª ¥£® ¯°¥¤±² ¢¨²¥«¼ ¬®¦¥² ¤¥©±²¢®¢ ²¼, ¯°®±²® § £«¿¤»¢ ¿ ¢ ½²³ ¨­±²°³ª¶¨¾. ˆ«¨, ¨­ ·¥, ®¯°¥¤¥«¥­¨¥ ¨£°®ª®¬ i ±¢®¥© ±²° ²¥£¨¨ ¬®¦­® ²° ª²®¢ ²¼ ±«¥¤³¾¹¨¬ ®¡° §®¬: ¢ ª ¦¤®¬ ¨­´®°¬ ¶¨®­­®¬ ¬­®¦¥±²¢¥ ¨£°®ª  i ­ µ®¤¨²±¿ ¥£®  £¥­², ª®²®°®¬³ ®­ ±®®¡¹ ¥², ª ª®© µ®¤ ¤®«¦¥­ ¡³¤¥² ±¤¥« ²¼ ½²®²  £¥­², ¥±«¨ ¥¬³ ¯°¨¤¥²±¿ ¤¥« ²¼ µ®¤, ². ¥. ¨£°  À¤®©¤¥²Á ¤® ±®®²¢¥²±²¢³¾¹¥£® ¨­´®°¬ ¶¨®­­®£® ¬­®¦¥±²¢ . ‡¤¥±¼ ®·¥­¼ ¢ ¦­® ¨¬¥²¼ ¢ ¢¨¤³ ±«¥¤³¾¹¥¥. Š ª ¯®«­»© ¯« ­ ±²° ²¥£¨¿ · ±²® ®¯°¥¤¥«¿¥² ¤¥©±²¢¨¿ ¨£°®ª  ¢ ¨­´®°¬ ¶¨®­­»µ ¬­®¦¥±²¢ µ, ª®²®°»¥ ¬®£³² ¡»²¼ ¤ ¦¥ ­¥ ¤®±²¨£­³²» ¢® ¢°¥¬¿ ¤¥©±²¢¨²¥«¼­®£® ° §»£°»¢ ­¨¿ ¨£°». ’ ª, ¢ ª°¥±²¨ª µ-­®«¨ª µ ±²° ²¥£¨¿ ¨£°®ª  O ®¯¨±»¢ ¥², ¢ · ±²­®±²¨, ²®, ·²® ®­ ¡³¤¥² ¤¥« ²¼, ¥±«¨ ­  1-¬ µ®¤³ X ±»£° ¥² ¢ ¶¥­²°. ® ¢ ¤¥©±²¢¨²¥«¼­®© ¨£°¥ ¬®¦­® ±»£° ²¼ ¢®¢±¥ ­¥ ¢ ¶¥­²°. ®«¥¥ ²®£®, ±²° ²¥£¨¿ ¨£°®ª  ¬®¦¥² ¢ª«¾· ²¼ ¯« ­» ¤¥©±²¢¨©, ª®²®°»¥ ¥£® ±®¡±²¢¥­­ ¿ ±²° ²¥£¨¿ ¤¥« ¥² ­¥³¬¥±²­»¬¨. Ž¯¿²¼ ¦¥ ¢ Àª°¥±²¨ª µ-­®«¨ª µÁ ±²° ²¥£¨¿ ¨£°®ª  X ¢ª«¾· ¥² ®¯¨± ­¨¥ ²®£®, ·²® ®­ ¡³¤¥² ¤¥« ²¼ ¯®±«¥ ²®£®, ·²® ®­ ±»£° ¥² ­  ¯¥°¢®¬ µ®¤³ ¢ À¶¥­²°Á,   0 ®²¢¥²¨² ¢ À«¥¢»© ­¨¦­¨© ³£®«Á, ¤ ¦¥ ¥±«¨ X ­  ¯¥°¢®¬ µ®¤³ ¨£° ¥² À¢¥°µ­¨© «¥¢»©Á. ²®, ¢®§¬®¦­®, ª ¦¥²±¿ ±²° ­­»¬, ­® ¨£° ¥² ®·¥­¼ ¢ ¦­³¾ °®«¼ ¢ ¤¨­ ¬¨·¥±ª®¬ ±«³· ¥. ˆ² ª, ¥¹¥ ° §:

100

ƒ« ¢  2

‘²° ²¥£¨¿ | ½²® ¯®«­»© ¢®§¬®¦­»© ¯« ­ ¤¥©±²¢¨©, ª®²®°»© £®¢®°¨², ·²® ¨£°®ª ¡³¤¥² ¤¥« ²¼ ¢ ª ¦¤®¬ ¥£® ¨­´®°¬ ¶¨®­­®¬ ¬­®¦¥±²¢¥.  ±±¬®²°¨¬ ±«¥¤³¾¹³¾ ¯°®±²³¾ ¨£°³ (°¨±. 3).

¨±. 3. “ ¯¥°¢®£® ¨£°®ª  ¤¢¥ ±²° ²¥£¨¨: H ¨ T . € ³ ¨£°®ª  2 ¨µ ·¥²»°¥; ¯®±ª®«¼ª³ ³ ­¥£® 2 ¨­´®°¬ ¶¨®­­»µ ¬­®¦¥±²¢ , ±«¥¤®¢ ²¥«¼­®, ª ¦¤ ¿ ±²° ²¥£¨¿ ¤®«¦­  ®¯°¥¤¥«¿²¼ µ®¤ ¢ ª ¦¤®¬ ¨§ ½²¨µ ¨­´®°¬ ¶¨®­­»µ ¬­®¦¥±²¢. € ¨¬¥­­®: s1 : H , ¥±«¨ 1-© ±»£° « H ; H , ¥±«¨ 1-© ±»£° « T ; s2 : H , ¥±«¨ 1-© ±»£° « H ; T , ¥±«¨ 1-© ±»£° « T ; s3 : ’ , ¥±«¨ 1-© ±»£° « H ; H , ¥±«¨ 1-© ±»£° « T ; s4 : ’ , ¥±«¨ 1-© ±»£° « H ; T , ¥±«¨ 1-© ±»£° « T . Ž²¬¥²¨¬ §¤¥±¼ ¥¹¥ ®¤­® ·°¥§¢»· ©­® ¢ ¦­®¥ ®¡±²®¿²¥«¼±²¢®. ˆ¬¥¿ ­ ¡®° ±²° ²¥£¨© ª ¦¤®£® ¨£°®ª , ¬» ¬®¦¥¬ ¯®±²°®¨²¼ ­®°¬ «¼­³¾ ´®°¬³ ¤ ­­®© ¨£°»: ¯®±ª®«¼ª³ ¢»¡®° ¨£°®ª ¬¨ ±¢®¨µ ±²° ²¥£¨© ®¯°¥¤¥«¿¥² µ®¤ ¢ ª ¦¤®¬ ¨­´®°¬ ¶¨®­­®¬ ¬­®¦¥±²¢¥, §­ ·¨², ¯®«­®±²¼¾ ®¯°¥¤¥«¿¥² ²° ¥ª²®°¨¾ ¨«¨ À¯³²¼Á, ¯® ª®²®°®¬³ ¡³¤¥² ° §¢¨¢ ²¼±¿ ¨£° . H®°¬ «¼­ ¿ ´®°¬  ¨£°», ¨§®¡° ¦¥­­®© ­  °¨±. 3, ¥±²¼

„¨­ ¬¨·¥±ª¨¥ ¨£°» ± ¯®«­®© ¨­´®°¬ ¶¨¥©

H T

101

 (a s; 1b ) (sa2 ; b ) s(a3 ; b ) s(4a ; b )  1 1 1 1 2 2 2 2 (a3; b3) (a4; b4) (a3; b3) (a4; b4)

Š ¦¤»© ­ ¡®° ±²° ²¥£¨© ®¯°¥¤¥«¿¥² ²° ¥ª²®°¨¾ À¤¢¨¦¥­¨¿Á ¯® ¤¥°¥¢³ ¨ ²¥¬ ± ¬»¬ ®¯°¥¤¥«¿¥² ¨±µ®¤ ¨£°». Ÿ±­® ² ª¦¥, ·²® ¬» ¨¬¥¥¬ ¢®§¬®¦­®±²¼ £®¢®°¨²¼ ® ° ¢­®¢¥±¨¨ ¯® ½¸³. °¥¦¤¥ ·¥¬ ®¡° ²¨²¼±¿ ª ¡®«¥¥ ¯®¤°®¡­®¬³ ° ±±¬®²°¥­¨¾ ° ¢­®¢¥±¨¿ ¯® H½¸³ ¯°¨¢¥¤¥¬ ²¥®°¥¬³ ±³¹¥±²¢®¢ ­¨¿.

’¥®°¥¬  2.1.1. (Kuhn, 1953)7. B ª®­¥·­®© ¨£°¥ ± ±®¢¥°¸¥­-

­®© ¨­´®°¬ ¶¨¥© ±³¹¥±²¢³¥² ° ¢­®¢¥±¨¥ ¯® H½¸³ ¢ ·¨±²»µ ±²° ²¥£¨¿µ.

Œ» ­ ·­¥¬ ±® ±«¥¤³¾¹¥£® ¯°¨¬¥° , ª®²®°»© ¯®ª ¦¥², ·²® ° ¢­®¢¥±¨¥ ¯® ½¸³ ­¥ ¢±¥£¤  ¤ ¥² ° §³¬­®¥ ¯°¥¤±ª § ­¨¥.  ° ¨ ¬ ¥ ° (Mas-Colell, Whinston, Green). ”¨°¬  E (entrant) | ­®¢¨·®ª | ° ±±¬ ²°¨¢ ¥² ¢®¯°®± ® ²®¬, ¢µ®¤¨²¼ «¨ ­  °»­®ª, £¤¥ ¢ ²¥ª³¹¨© ¬®¬¥­² ¥±²¼ ®¤­  ¥¤¨­±²¢¥­­ ¿ ³ª®°¥­¨¢¸ ¿±¿ ´¨°¬  I (incumbent). …±«¨ E °¥¸ ¥²±¿ ­  ¢µ®¤, ²® I ¬®¦¥² ®²¢¥²¨²¼ ¤¢³¬¿ ±¯®±®¡ ¬¨: ®­  ¬®¦¥² ¯°¥¤®±² ¢¨²¼ ¢µ®¤, ®²¤ ¢ ¿ · ±²¼ ±¢®¨µ ¯°®¤ ¦, ­® ­¥ ¨§¬¥­¿¿ ¶¥­³, «¨¡® ®­  ¬®¦¥² ¢±²³¯¨²¼ ¢ µ¨¹­¨·¥±ª³¾ ¢®©­³, ª®²®° ¿ ¯°¨¢¥¤¥² ª À¤° ¬ ²¨·¥±ª®¬³Á ±­¨¦¥­¨¾ ¶¥­. „¥°¥¢®, ±®®²¢¥²±²¢³¾¹¥¥ ° ±±¬ ²°¨¢ ¥¬®© ±¨²³ ¶¨¨, ¨§®¡° ¦¥­® ­  °¨±. 4. ®°¬ «¼­ ¿ ´®°¬  ½²®© ¨£°» ¨¬¥¥² ±«¥¤³¾¹¨© ¢¨¤ (°¨±. 5): ³±±ª¨© ¯¥°¥¢®¤ ±² ²¼¨ Š³­  ±¬.: ®§¨¶¨®­­»¥ ¨£°». [‘¡.] / ®¤ °¥¤. H. H. ‚®°®¡¼¥¢  ¨ ˆ. H. ‚°³¡«¥¢±ª®©. Œ.: H ³ª  { ”¨§¬ ²£¨§, 1967. 7

102

ƒ« ¢  2

¨±. 4. I

E

­¥² ¢µ®¤

‚®©­  °¥¤®±² ¢¨²¼ (¥±«¨ À¢µ®¤Á) 0 (0; 2) (¥±«¨(0;À¢µ®¤Á) 1 2)

@

(;3; ;1)

(2; 1)

A

¨±. 5. ‡¤¥±¼ ¤¢¥ ±¨²³ ¶¨¨ ° ¢­®¢¥±¨¿ ¯® H½¸³ ¢ ·¨±²»µ ±²° ²¥£¨¿µ: (­¥², ¢®©­ ) ¨ (¤ , ¯°¥¤®±² ¢¨²¼). ® ¯¥°¢ ¿ ¨§ ½²¨µ ±¨²³ ¶¨© | ½²® ­¥ ° §³¬­®¥ ¯°¥¤±ª § ­¨¥: ´¨°¬  E ¬®¦¥² ¯°¥¤¢¨¤¥²¼, ·²® ¥±«¨ ®­  ¨§¡¥°¥² À¢µ®¤Á, ²® I ¢ ¤¥©±²¢¨²¥«¼­®±²¨ ¨§¡¥°¥² À¯°¥¤®±² ¢¨²¼Á, ². ¥. À¢®©­ , ¥±«¨ ¢µ®¤Á | ­¥ § ±«³¦¨¢ ¥² ¤®¢¥°¨¿. „«¿ ²®£® ·²®¡» ¨±ª«¾·¨²¼ ±¨²³ ¶¨¨ ²¨¯  (­¥²; ¢®©­ , ¥±«¨ ¢µ®¤), ¬» ° ±±¬®²°¨¬ À¯°¨­¶¨¯ ¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼­®© ° ¶¨®­ «¼­®±²¨Á: ±²° ²¥£¨¿ ¨£°» ¤®«¦­  ¯°¥¤¯¨±»¢ ²¼ ®¯²¨¬ «¼­»© µ®¤ ¢ ª ¦¤®© ¢¥°¸¨­¥ ¤¥°¥¢ . ’. ¥. ¥±«¨ ¨£°®ª ­ µ®¤¨²±¿ ¢ ­¥ª®²®°®© ¢¥°¸¨­¥ ¤¥°¥¢ , ¥£® ±²° ²¥£¨¿ ¤®«¦­  ¯°¥¤¯¨±»¢ ²¼

„¨­ ¬¨·¥±ª¨¥ ¨£°» ± ¯®«­®© ¨­´®°¬ ¶¨¥©

103

®¯²¨¬ «¼­»© ¢»¡®°, ­ ·¨­ ¿ ± ½²®© ²®·ª¨, ¯°¨ ¤ ­­»µ ±²° ²¥£¨¿µ ¥£® ®¯¯®­¥­²®¢. ‚ ½²®¬ ±¬»±«¥ ±²° ²¥£¨¿ À¢®©­ , ¥±«¨ ¢µ®¤Á ² ª®¢®© ­¥ ¿¢«¿¥²±¿, ¨¡® ¯®±«¥ ¢µ®¤  ¥¤¨­±²¢¥­­ ¿ ®¯²¨¬ «¼­ ¿ ±²° ²¥£¨¿ ¤«¿ I | À¯°¥¤®±² ¢¨²¼Á. ‚ ­ ¸¥¬ ¯°¨¬¥°¥ ±¤¥« ²¼ ¢±¥ ®·¥­¼ ¯°®±²®: ­ ·­¥¬ ± ²®£®, ·²® ®¯°¥¤¥«¨¬ ®¯²¨¬ «¼­®¥ ¯®¢¥¤¥­¨¥ ¤«¿ I ¢ ¨£°¥ ­  ½² ¯¥ À¯®±«¥ ¢µ®¤ Á | ½²®, ®·¥¢¨¤­®, À¯°¥¤®±² ¢¨²¼Á. ’¥¯¥°¼ ¬» ¬®¦¥¬ ®¯°¥¤¥«¨²¼ ®¯²¨¬ «¼­®¥ ¯®¢¥¤¥­¨¥ ´¨°¬» E ¤® ½²®£® ¬®¬¥­² , ± ³·¥²®¬ ¯°¥¤¢¨¤¥­¨¿ ²®£®, ·²® ¯°®¨§®©¤¥² ¯®±«¥ ¢µ®¤ . ²® ¬®¦­® ±¤¥« ²¼, ° ±±¬®²°¥¢ À°¥¤³¶¨°®¢ ­­³¾Á ¯®§¨¶¨®­­³¾ ´®°¬³, £¤¥ À¯®±²-¢µ®¤­®¥Á ¯°¨­¿²¨¥ °¥¸¥­¨¿ I § ¬¥­¥­® ­  ±®®²¢¥²±²¢³¾¹¨¥ ¢»¨£°»¸¨, ª®²®°»¥ ¢®§­¨ª ¾² ¯°¨ ®¯²¨¬ «¼­®¬ À¯®±²-¢µ®¤­®¬Á ¯®¢¥¤¥­¨¨ ´¨°¬» I (°¨±. 6). € ½²® ³¦¥ ¯°®±²¥©¸ ¿ § ¤ ·  ¯°¨­¿²¨¿ ¨­¤¨¢¨¤³ «¼­®£® °¥¸¥­¨¿, ¯°¨·¥¬ °¥¸¥­¨¥ | À¢µ®¤Á.

¨±. 6. ²®² ²¨¯ ¯°®¶¥¤³°», ª®²®° ¿ ­ ·¨­ ¥²±¿ ± ­ µ®¦¤¥­¨¿ ®¯²¨¬ «¼­®£® ¯®¢¥¤¥­¨¿ À¢ ª®­¶¥ ¨£°»Á,   § ²¥¬ ®¯°¥¤¥«¥­¨¿ ®¯²¨¬ «¼­®£® ¯®¢¥¤¥­¨¿ ­  ¡®«¥¥ ° ­­¨µ ¸ £ µ ¢ ¯°¥¤¢¨¤¥­¨¨ ²®£®, ·²® ¡³¤¥² ¯°®¨±µ®¤¨²¼ ¤ «¼¸¥, ­ §»¢ ¥²±¿ ®¡° ²­®© ¨­¤³ª¶¨¥©8 . (®¤·¥°ª­¥¬, ·²® ±ª § ­­®¥ ®²­®±¨²±¿ ª ª®­¥·­»¬ ¨£° ¬ ± ±®¢¥°¸¥­­®© ¨­´®°¬ ¶¨¥©, ². ¥. ª®­¥·­»¬ ¨£° ¬ 8

Backward induction.

104

ƒ« ¢  2

± À®¤­®¢¥°¸¨­­»¬¨Á ¨­®°¬ ¶¨®­­»¬¨ ¬­®¦¥±²¢ ¬¨.) Ž¤­ ª®, ¯°¥¦¤¥ ·¥¬ ®±² ­®¢¨²¼±¿ ­  ®¡° ²­®© ¨­¤³ª¶¨¨ ¡®«¥¥ ¯®¤°®¡­®, ¬» ¤®«¦­» ®²¬¥²¨²¼ ±«¥¤³¾¹¥¥ ¤®±² ²®·­® ±³¹¥±²¢¥­­®¥ ®¡±²®¿²¥«¼±²¢®, ª ± ¾¹¥¥±¿ ±¬¥¸ ­­»µ ±²° ²¥£¨©. € ¨¬¥­­®, ¥±«¨ ¬» ° ±±¬ ²°¨¢ ¥¬ ¨£°» ¢ ¯®§¨¶¨®­­®© ´®°¬¥, ²® ¨£°®ª¨ ¬®£³² ° ­¤®¬¨§¨°®¢ ²¼ ±¢®¨ ·¨±²»¥ ±²° ²¥£¨¨ ±¯®±®¡®¬, ®²«¨·­»¬ ®² ±² ­¤ °²­®£®, ¢ ª®²®°®¬ ¨±¯®«¼§³¾²±¿ ±¬¥¸ ­­»¥ ±²° ²¥£¨¨, ¯°¨¯¨±»¢ ¾¹¨¥ ª ¦¤®© ·¨±²®© ±²° ²¥£¨¨ ¨£°®ª  (¬­®¦¥±²¢® ª®²®°»µ ¬®¦¥² ¡»²¼ ®·¥­¼ ¡®«¼¸¨¬) ¢¥°®¿²­®±²¼ ²®£®, ·²® ¨£°®ª ¡³¤¥² ¥¥ ¨£° ²¼. ‚ ¯®§¨¶¨®­­®© ´®°¬¥ ¯®¿¢«¿¥²±¿ ¢®§¬®¦­®±²¼ ° ­¤®¬¨§ ¶¨¨ ° §¤¥«¼­® ¢ ª ¦¤®¬ ¨­´®°¬ ¶¨®­­®¬ ¬­®¦¥±²¢¥. ’ ª®© ±¯®±®¡ ° ­¤®¬¨§ ¶¨¨ ¯°¨¢®¤¨² ª ±²° ²¥£¨¿¬ ¯®¢¥¤¥­¨¿.

Ž¯°¥¤¥«¥­¨¥ 2.1.3. ‚ ¨£°¥ ¢ ¯®§¨¶¨®­­®© ´®°¬¥ ;E ±²° -

²¥£¨¿ ¯®¢¥¤¥­¨¿ ¨£°®ª  i ®¯°¥¤¥«¿¥² ¤«¿ ª ¦¤®£® ¨­´®°¬ ¶¨®­­®£® ¬­®¦¥±²¢  H 2 Hi ¨  «¼²¥°­ ²¨¢» a 2 C (H ) P ¢¥°®¿²­®±²¼ i(a; H )  0 , ¯°¨·¥¬ a2C (H ) i (a; H ) = 1 ¤«¿ ¢±¥µ H 2 Hi .

Žª §»¢ ¥²±¿ (Kuhn, 1953; ±¬. ² ª¦¥, ­ ¯°¨¬¥°, ¥²°®±¿­, ‡¥­ª¥¢¨·, ‘¥¬¨­ , 1998), ·²® ¤«¿ ¨£° ± ¯®«­®© ¯ ¬¿²¼¾ ½²¨ ¤¢  ²¨¯  ° ­¤®¬¨§ ¶¨¨ ½ª¢¨¢ «¥­²­». (‚ ¦­® ¯®¤·¥°ª­³²¼, ·²® ¯®«­ ¿ ¯ ¬¿²¼ ¨£° ¥² §¤¥±¼ ª«¾·¥¢³¾ °®«¼.) € ¨¬¥­­®, ¤«¿ «¾¡®© ±²° ²¥£¨¨ ¯®¢¥¤¥­¨¿ ¨£°®ª  i ±³¹¥±²¢³¥² ¥£® ±¬¥¸ ­­ ¿ ±²° ²¥£¨¿, ¤ ¾¹ ¿ ¢ ²®·­®±²¨ ² ª®¥ ¦¥ ° ±¯°¥¤¥«¥­¨¥ ¢»¨£°»¸¥© ¤«¿ «¾¡»µ ±²° ²¥£¨© (±¬¥¸ ­­»µ ¨«¨ ±²° ²¥£¨© ¯®¢¥¤¥­¨¿), ª®²®°»¥ ¬®£³² ¨£° ²¼±¿ ®±² «¼­»¬¨ ¨£°®ª ¬¨, ¨ ­ ®¡®°®². ²® ±®®²¢¥²±²¢¨¥ ¬®¦­® ³±² ­®¢¨²¼ ±«¥¤³¾¹¨¬ ®¡° §®¬. ³¤¥¬, ª ª ¢±¥£¤ , ®¡®§­ · ²¼ ·¨±²»¥ ±²° ²¥£¨¨ ¨£°®ª  i ·¥°¥§ si . ³±²¼ i | ­¥ª®²®° ¿ ¥£® ±¬¥¸ ­­ ¿ ±²° ²¥£¨¿. ³¤¥¬ ­ §»¢ ²¼ ­¥ª®²®°³¾ ¢¥°¸¨­³ x ¤¥°¥¢  ;E ¢®§¬®¦­®© ¤«¿ si , ¥±«¨ ±³¹¥±²¢³¥² ² ª®© ­ ¡®° ±²° ²¥£¨© s = (si ; s;i ) , ·²® ²° ¥ª²®°¨¿, ®¯°¥¤¥«¿¥¬ ¿ ½²¨¬ ­ ¡®°®¬, ¯°®µ®¤¨² ·¥°¥§

„¨­ ¬¨·¥±ª¨¥ ¨£°» ± ¯®«­®© ¨­´®°¬ ¶¨¥©

105

s . Ž¡®§­ ·¨¬ ¬­®¦¥±²¢® ¢±¥µ ¢®§¬®¦­»µ ¤«¿ si ¢¥°¸¨­ ·¥°¥§ P (si ) . ˆ­´®°¬ ¶¨®­­®¥ ¬­®¦¥±²¢® H ­ §»¢ ¥²±¿ ±³¹¥±²¢¥­­»¬ ¤«¿ si , ¥±«¨ ®­® ±®¤¥°¦¨² ­¥ª®²®°³¾ ¢®§¬®¦­³¾ ¤«¿ si ¢¥°¸¨­³. Œ­®¦¥±²¢® ±³¹¥±²¢¥­­»µ ¤«¿ si ¨­´®°¬ ¶¨®­­»µ ¬­®¦¥±²¢ ®¡®§­ ·¨¬ ·¥°¥§ R(si ) . ³±²¼ i | ­¥ª®²®° ¿ ±¬¥¸ ­­ ¿ ±²° ²¥£¨¿ ¨£°®ª  i . ’®£¤  ±²° ²¥£¨¿ ¯®¢¥¤¥­¨¿ i , ±®®²¢¥²±²¢³¾¹ ¿ ±¬¥¸ ­­®© ±²° ²¥£¨¨ i , ®¯°¥¤¥«¿¥²±¿ ±«¥¤³¾¹¨¬ ®¡° §®¬. …±«¨ H 2 R(si ) , ²® P i :H 2R(si);si (H )=ag i (si ) : i(a; H ) = fsP () fsi :H 2R(si)g i (si ) …±«¨ H 62 R(si ) , ²® §­ ¬¥­ ²¥«¼ ½²®© ¤°®¡¨ ®¡° ¹ ¥²±¿ ¢ ­®«¼, ¯®½²®¬³ ±²° ²¥£¨¾ i ¬®¦­® ®¯°¥¤¥«¨²¼ ¯°®¨§¢®«¼­®, ­ ¯°¨¬¥°, X i (a; H ) = i(si): fsi :si (H )=ag

…±«¨ i | ±²° ²¥£¨¿ ¯®¢¥¤¥­¨¿, ²® i ¬®¦­® ®¯°¥¤¥«¨²¼ ª ª

i (si) =

Y H

i (si (H ); H ):

°¨ ½²®¬ i ®ª §»¢ ¥²±¿ ±²° ²¥£¨¥© ¯®¢¥¤¥­¨¿, ±®®²¢¥²±²¢³¾¹¥© i . ®½²®¬³ ¢ ¨£° µ ± ¯®«­®© ¯ ¬¿²¼¾ (  ¨¬¥­­® ² ª¨¥ ¨£°» ¬» ¨ ° ±±¬ ²°¨¢ ¥¬) ¡¥§° §«¨·­®, ª ª¨¬ ±¯®±®¡®¬ ° ­¤®¬¨§¨°®¢ ²¼. ’¥°¬¨­®«®£¨·¥±ª¨ ¬» ¢±¥£¤  ¡³¤¥¬ £®¢®°¨²¼ ® ±¬¥¸ ­­»µ ±²° ²¥£¨¿µ. ‚ ¨£°¥ ± ­¥¯®«­®© ¯ ¬¿²¼¾ ¬®£³² ±³¹¥±²¢®¢ ²¼ ±¬¥¸ ­­»¥ ±²° ²¥£¨¨, ¤«¿ ª®²®°»µ ­¥² ½ª¢¨¢ «¥­²­»µ ¨¬ ±²° ²¥£¨© ¯®¢¥¤¥­¨¿.  ° ¨ ¬ ¥ ° (Osborn, Rubinstein).  ±±¬®²°¨¬ ¨£°³, ¨§®¡° ¦¥­­³¾ ­  °¨±. 7. ³±²¼ ±¬¥¸ ­­ ¿ ±²° ²¥£¨¿ ¨£°®ª   ®¯°¥¤¥«¿¥²±¿ ±«¥¤³¾¹¨¬ ®¡° §®¬: ± ¢¥°®¿²­®±²¼¾ 1=2 ¨£° ¥²±¿ L ,   ¯®²®¬ ¥¹¥

106

ƒ« ¢  2

¨±. 7. ° § L , ¨ ± ¢¥°®¿²­®±²¼¾ 1=2 ¨£° ¥²±¿ R ,   ¯®²®¬ ¥¹¥ ° § R . ˆ±µ®¤®¬, ±®®²¢¥²±²¢³¾¹¨¬ ½²®© ±²° ²¥£¨¨, ¿¢«¿¥²±¿ ° ±¯°¥¤¥«¥­¨¥ ( 21 ; 0; 0; 12 ) ­  ¬­®¦¥±²¢¥ ²¥°¬¨­ «¼­»µ ¢¥°¸¨­. ® ² ª®© ¨±µ®¤ ­¥ ¬®¦¥² ¡»²¼ ®¡¥±¯¥·¥­ ­¨ ®¤­®© ±²° ²¥£¨¥© ¯®¢¥¤¥­¨¿: ±²° ²¥£¨¿ ¯®¢¥¤¥­¨¿ ((p; 1 ; p); (q; 1 ; q )) ¨­¨¶¨¨°³¥² ° ±¯°¥¤¥«¥­¨¥ ­  ¬­®¦¥±²¢¥ ²¥°¬¨­ «¼­»µ ¢¥°¸¨­, ¢ ª®²®°»µ ¨±µ®¤, ±®®²¢¥²±²¢³¾¹¨© u2 , ¨¬¥¥² ¢¥°®¿²­®±²¼ 0 ¢ ±«³· ¥ ²®«¼ª®, ¥±«¨ p = 0 ¨«¨ q = 1 , ­® ²®£¤  ¢¥°®¿²­®±²¼ (L; L) ¨«¨ (R; R) ¥±²¼ 0 . 2.2. Ž¡° ²­ ¿ ¨­¤³ª¶¨¿ ¨ ª®­¥·­»¥ ¨£°» ± ±®¢¥°¸¥­­®© ¨­´®°¬ ¶¨¥©

„«¿ ²®£® ·²®¡» ¢­¨¬ ²¥«¼­¥¥ ¯®±¬®²°¥²¼ ­  ®¡° ²­³¾ ¨­¤³ª¶¨¾ ¢ ª®­¥·­®© ¨£°¥ ± ±®¢¥°¸¥­­®© ¨­´®°¬ ¶¨¥©, ­ ·­¥¬ ± ®¯°¥¤¥«¥­¨¿ ®¯²¨¬ «¼­®£® À¤¥©±²¢¨¿Á ¢ ¯®±«¥¤­¨µ ¢¥°¸¨­ µ ¤¥°¥¢ , £¤¥ ¯°¨­¨¬ ¥²±¿ °¥¸¥­¨¥ (². ¥. ²¥µ ¢¥°¸¨­ µ, ¤«¿ ª®²®°»µ ¯®±«¥¤®¢ ²¥«¨ | ½²® ²®«¼ª® ²¥°¬¨­ «¼­»¥ ¢¥°¸¨­»). ¥¸¥­¨¥, ¯°¨­¨¬ ¥¬®¥ ¨£°®ª®¬ ¢ ² ª®© ¢¥°¸¨­¥, ­¥ § ¢¨±¨² ³¦¥ ®² ±²° ²¥£¨·¥±ª®£® ¢§ ¨¬®¤¥©±²¢¨¿ ¨ ¯®²®¬³ ¿¢«¿¥²±¿ ¯°®±²®© § ¤ ·¥© ¯°¨­¿²¨¿ °¥¸¥­¨¿. ‡ ²¥¬ ¬» ¬®¦¥¬ ®¡° ²¨²¼±¿ ª À¯°¥¤¯®±«¥¤­¥©Á ¢¥°¸¨­¥ ¨ ­ ©²¨ ®¯²¨¬ «¼­®¥ °¥¸¥­¨¥ ² ¬, ¯°¥¤¢¨¤¿, ¥±²¥±²¢¥­­®, µ®¤, ª®²®°»© ¡³¤¥² ±¤¥« ­

„¨­ ¬¨·¥±ª¨¥ ¨£°» ± ¯®«­®© ¨­´®°¬ ¶¨¥©

107

¢ ¯®±«¥¤­¥© ¢¥°¸¨­¥. ˆ ² ª ¤ «¥¥.  ±±¬®²°¨¬ ¯°¨¬¥° (°¨±. 8). Ž¡° ²­ ¿ ¨­¤³ª¶¨¿ ¤ ¥² ­ ¬ ±¨²³ ¶¨¾ ( 1 , 2 , 3 ):

1 = R; 2 = (a; ¥±«¨ 1 ¨£° ¥² R);

8 r; < 3 = : r; l;

¥±«¨ 1 ¨£° ¥² L; ¥±«¨ 1 ¨£° ¥² R ¨ 2 ¨£° ¥² a; ¥±«¨ 1 ¨£° ¥² R ¨ 2 ¨£° ¥² b:

Ž¡° ²¨¬ ¢­¨¬ ­¨¥ ­  ²®, ·²® ½²® ¥±²¼ ° ¢­®¢¥±¨¥ ¯® H½¸³. ® ¥±²¼ ¨ ¥¹¥ ° ¢­®¢¥±¨¿ ¯® H½¸³ ¢ ·¨±²»µ ±²° ²¥£¨¿µ, ¢ ª®²®°»µ ±²° ²¥£¨¨ ²°¥²¼¥£® ¨£°®ª  | ½²®

3 =

l! r l

3 =

l! r : r

¨«¨

Ž¤­ ª® ¬®¦­® ¯°®¢¥°¨²¼, ·²® ¯®±«¥¤­¨¥ ¤¢  °.. ­¥ ³¤®¢«¥²¢®°¿¾² ¯°¨­¶¨¯³ ¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼­®© ° ¶¨®­ «¼­®±²¨. Ž¡¹ ¿ ²¥®°¥¬  §¤¥±¼ ¢»£«¿¤¨² ±«¥¤³¾¹¨¬ ®¡° §®¬:

°¥¤«®¦¥­¨¥ 2.2.1. ‚ «¾¡®© ª®­¥·­®© ¨£°¥ ± ±®¢¥°¸¥­­®©

¨­´®°¬ ¶¨¥© ;E ±³¹¥±²¢³¥² ±¨²³ ¶¨¿ ° ¢­®¢¥±¨¿ ¯® H½¸³ ¢ ·¨±²»µ ±²° ²¥£¨¿µ, ª®²®° ¿ ¬®¦¥² ¡»²¼ ­ ©¤¥­  ± ¯®¬®¹¼¾ ®¡° ²­®© ¨­¤³ª¶¨¨. ®«¥¥ ²®£®, ¥±«¨ ­¨ ®¤¨­ ¨§ ¨£°®ª®¢ ­¥ ¨¬¥¥² ®¤¨­ ª®¢»µ ¢»¨£°»¸¥© ­¨ ¢ ®¤­®© ¨§ ²¥°¬¨­ «¼­»µ ¢¥°¸¨­, ²® ±³¹¥±²¢³¥² ¥¤¨­±²¢¥­­®¥ p.H., ª®²®°®¥ ¬®¦¥² ¡»²¼ ¯®«³·¥­® ² ª¨¬ ®¡° §®¬.

108

ƒ« ¢  2

¨±. 8.

109

„¨­ ¬¨·¥±ª¨¥ ¨£°» ± ¯®«­®© ¨­´®°¬ ¶¨¥©

2.3. ‘®¢¥°¸¥­­®¥ ¯®¤-¨£°®¢®¥ ° ¢­®¢¥±¨¥ ¯® ½¸³

 ±±¬®²°¨¬ ±¨²³ ¶¨¾, ª®²®° ¿ ³ ­ ± ³¦¥ ¡»«  ± ¢µ®¤®¬ ¢ °»­®ª. ® ²¥¯¥°¼ ¬®¤¨´¨¶¨°³¥¬ ¥¥ ±«¥£ª , ±·¨² ¿ (±¬. MasColell, Whinston, Green), ·²® ²¥¯¥°¼ ¯®±«¥ ¢µ®¤  ®¡¥ ´¨°¬» ¬®£³² ¢»¡¨° ²¼, ¢®¥¢ ²¼ ¨«¨ ­¥² (¯°¨­¿²¼) (°¨±. 9).

¨±. 9. H®°¬ «¼­ ¿ ´®°¬  ¨£°» ± ®¤­®¢°¥¬¥­­»¬¨ µ®¤ ¬¨ (¯®±«¥ ¢µ®¤  E ) ¥±²¼ (°¨±. 10): I ‚®©­  0 (;3; ;1) (1¥² 1 ¢®©­  ; ;2)

E

­¥²

@

(;2; ;1)

¨±. 10.

(3; 1)

A

110

ƒ« ¢  2

‚ ­¥© ° ¢­®¢¥±¨¥ ¯® H½¸³ | ½²® (H…’, H…’). H¥²°³¤­® ¯°®¢¥°¨²¼, ·²® ¢ ¨±µ®¤­®© ¨£°¥ ¥±²¼ 3 ° ¢­®¢¥±¨¿ ¯® ½¸³ ¢ ·¨±²»µ ±²° ²¥£¨¿µ ( E ; I ): ((­¥²; ¯°¨­¿²¼ ¥±«¨ ¢µ®¤), (¢®©­ , ¥±«¨ E ¢µ®¤¨²)); ((­¥²; ¢®©­ , ¥±«¨ ¢µ®¤), (¢®©­ , ¥±«¨ E ¢µ®¤¨²)); ((¢µ®¤; ¯°¨­¿²¼ ¥±«¨ ¢µ®¤), (¯°¨­¿²¼, ¥±«¨ E ¢µ®¤¨²)). ¥°¢»¥ ¤¢¥ ±²° ²¥£¨¨ ¤«¿ E ­¥ ª ¦³²±¿ ®·¥­¼ ° §³¬­»¬¨, ­® ±²° ²¥£¨¨ | ½²®, ¯® ®¯°¥¤¥«¥­¨¾, ¯®«­»© ¯« ­. ‡ ¬¥²¨¬, ·²® (¯°¨­¿²¼, ¯°¨­¿²¼) | ¥¤¨­±²¢¥­­®¥ p.H. ¢ ¨£°¥ ± ®¤­®¢°¥¬¥­­»¬¨ µ®¤ ¬¨. ®½²®¬³ ¥±²¥±²¢¥­­® ®¦¨¤ ²¼, ·²® ®¡¥ ´¨°¬» ±»£° ¾² À¯°¨­¿²¼Á, ±«¥¤³¿ §  ¢µ®¤®¬ E . ® ¥±«¨ ½²® ² ª, ²® ´¨°¬  E ¤®«¦­  ¢µ®¤¨²¼. ®½²®¬³ «®£¨ª  ¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼­®© ° ¶¨®­ «¼­®±²¨ £®¢®°¨², ·²® ²®«¼ª® ¯®±«¥¤­¥¥ ° ¢­®¢¥±¨¥ ¤®«¦­® ¡»²¼ ° §³¬­»¬ ¯°¥¤±ª § ­¨¥¬. ˆ² ª, ¯¥°¥©¤¥¬ ª ´®°¬ «¼­»¬ ®¯°¥¤¥«¥­¨¿¬. Ž¯°¥¤¥«¥­¨¥ 2.3.1. ®¤-¨£°®©9 ¨£°» ;E ¢ ¯®§¨¶¨®­­®© ´®°¬¥ ­ §»¢ ¥²±¿ ² ª®¥ ¯®¤¤¥°¥¢® ¤¥°¥¢  ¨±µ®¤­®© ¨£°», ·²®: (1) ¥£® ­ · «¼­ ¿ ¢¥°¸¨­  | ®¤­®²®·¥·­®¥ ¨­´®°¬ ¶¨®­­®¥ ¬­®¦¥±²¢® ¨ ®­® ±®¤¥°¦¨² ¢±¥ ¯®±«¥¤³¾¹¨¥ (­¥¯®±°¥¤±²¢¥­­® ¨ ¤ «¥¥) §  ­¥© ¢¥°¸¨­» ¨ ²®«¼ª® ¨µ; (2) ¥±«¨ ¢¥°¸¨­  x «¥¦¨² ¢ ¯®¤-¨£°¥, ²® ¢±¥ ¢¥°¸¨­» x0 2 H (x) ²®¦¥ «¥¦ ² ¢ ½²®© ¯®¤-¨£°¥, £¤¥ H (x) | ¨­´®°¬ ¶¨®­­®¥ ¬­®¦¥±²¢®, ±®¤¥°¦ ¹¥¥ x .   °¨±. 11 ¤¢¥ ¯®¤-¨£°» | ± ¬  ¨£°  ¨ ¨£°  ± ®¤­®¢°¥¬¥­­»¬¨ µ®¤ ¬¨. Ž¡¢¥¤¥­­ ¿ ¯³­ª²¨°®¬ · ±²¼ ¤¥°¥¢  ­¥ ¿¢«¿¥²±¿ ¯®¤¨£°®©. ‡ ¬¥²¨¬, ·²® ¢ ¨£°¥ ± ±®¢¥°¸¥­­®© ¨­´®°¬ ¶¨¥© ª ¦¤ ¿ ¢¥°¸¨­  (ª°®¬¥ ²¥°¬¨­ «¼­®©) ¨­¨¶¨¨°³¥² ¯®¤-¨£°³. ‹¥£ª® ¢¨¤¥²¼, ·²® ¢ ±®®²¢¥²±²¢¨¨ ± ®¯°¥¤¥«¥­¨¥¬ ±²° ²¥£¨© ¢ ¯®§¨¶¨®­­®© ¨£°¥ «¾¡ ¿ ±²° ²¥£¨¿ ¨£°®ª  ¢ ¯®§¨¶¨®­­®© ¨£°¥ ¨­¤³¶¨°³¥² ¥£® ±²° ²¥£¨¾ ¢ ¯®¤-¨£°¥. ²  ±²° ²¥£¨¿ 9

Subgame.

„¨­ ¬¨·¥±ª¨¥ ¨£°» ± ¯®«­®© ¨­´®°¬ ¶¨¥©

111

¨±. 11. ¿¢«¿¥²±¿ ±³¦¥­¨¥¬ ¨±µ®¤­®© ±²° ²¥£¨¨ ­  ¨­´®°¬ ¶¨®­­»¥ ¬­®¦¥±²¢  ¨£°®ª , ®ª §»¢ ¾¹¨¥±¿ ¢ ¯®¤-¨£°¥.

Ž¯°¥¤¥«¥­¨¥ 2.3.2. ‘¨²³ ¶¨¿

(­ ¡®°

±²° ²¥£¨©)

 = (1; : : :; n) ¢ ¨£°¥ ¢ ¯®§¨¶¨®­­®© ´®°¬¥ ;E ­ §»-

¢ ¥²±¿ ±®¢¥°¸¥­­»¬ (¯®¤-¨£°®¢»¬) ° ¢­®¢¥±¨¥¬ ¯® H½¸³, ¥±«¨ ®­  ¨­¤³¶¨°³¥² ° ¢­®¢¥±¨¥ ¯® H½¸³ ¢ ª ¦¤®© ¯®¤-¨£°¥.

¥²°³¤­® § ¬¥²¨²¼, ·²® ¢ ¯°¨¢¥¤¥­­®¬ ¯°¨¬¥°¥ ¯¥°¢»¥ ¤¢  ­ ¡®°  ±²° ²¥£¨© ­¥ ¿¢«¿¾²±¿ ‘, ² ª ª ª ­¥ ¨­¤³¶¨°³¾² °.. ¢ ¯®±²-¢µ®¤­®© ¨£°¥. „ «¥¥ ¬» ¤«¿ ª° ²ª®±²¨ ¡³¤¥¬ ¯¨± ²¼ ‘H ¢¬¥±²® À±®¢¥°¸¥­­®¥ ¯®¤-¨£°®¢®¥ ° ¢­®¢¥±¨¥ ¯® H½¸³Á10. Ÿ±­®, ·²® ‘H ¿¢«¿¥²±¿ p.H., ­® ­¥ ª ¦¤®¥ p.H. ¿¢«¿¥²±¿ ‘H11. ‚ ª®­¥·­»µ ¨£° µ ± ±®¢¥°¸¥­­®© ¨­´®°¬ ¶¨¥© ¬­®¦¥±²¢® ‘H ±®¢¯ ¤ ¥² ± ¬­®¦¥±²¢®¬ p.H., ª®²®°»¥ ¬®£³² ¡»²¼ ¯®«³·¥­» ± ¯®¬®¹¼¾ ®¡° ²­®© ¨­¤³ª¶¨¨.

°¥¤«®¦¥­¨¥ 2.3.1. ‚ «¾¡®© ª®­¥·­®© ¨£°¥ ± ±®¢¥°¸¥­­®©

¨­´®°¬ ¶¨¥© ;E ±³¹¥±²¢³¥² ‘H ¢ ·¨±²»µ ±²° ²¥£¨¿µ. Subgame perfect Nash equilibrium. ‡ ¬¥²¨¬, ·²® ‘H ­ §»¢ ¥²±¿ ¨­®£¤  ² ª¦¥  ¡±®«¾²­»¬ ° ¢­®¢¥±¨¥¬ (±¬., ­ ¯°¨¬¥°, ¥²°®±¿­, ‡¥­ª¥¢¨·, ‘¥¬¨­ , 1998). 10 11

112

ƒ« ¢  2

…±«¨ ¢±¥ ¢»¨£°»¸¨ ¢±¥µ ¨£°®ª®¢ ° §«¨·­» ¢ «¾¡»µ ¤¢³µ ²¥°¬¨­ «¼­»µ ¢¥°¸¨­ µ, ²® ®­® ¥¤¨­±²¢¥­­®.

„«¿ ®¯°¥¤¥«¥­¨¿ ¬­®¦¥±²¢  ‘H ¢ ®¡¹¥© (ª®­¥·­®©) ¤¨­ ¬¨·¥±ª®© ¨£°¥ ;E ¯°®¶¥¤³°  ®¡° ²­®© ¨­¤³ª¶¨¨ ¬®¦¥² ¡»²¼ ®¡®¡¹¥­  ±«¥¤³¾¹¨¬ ®¡° §®¬: 1. H ·¨­ ¥¬ ± ª®­¶  ¤¥°¥¢  ¨£°» ¨ ®¯°¥¤¥«¿¥¬ ° ¢­®¢¥±¨¿ ¯® H½¸³ ¤«¿ ª ¦¤®© ¨§ Àª®­¶¥¢»µÁ ¯®¤-¨£°, ². ¥. ¯®¤-¨£°, ­¥ ¨¬¥¾¹¨µ ±®¡±²¢¥­­»µ ¯®¤-¨£°. 2. ‚»¡¨° ¥¬ ®¤­® ¨§ ° ¢­®¢¥±¨© ¯® H½¸³ ¢ ª ¦¤®© ¨§ ½²¨µ Àª®­¶¥¢»µÁ ¯®¤-¨£° ¨ ° ±±¬ ²°¨¢ ¥¬ °¥¤³¶¨°®¢ ­­³¾ ¨£°³, ¢ ª®²®°®© ½²¨ Àª®­¶¥¢»¥Á ¯®¤-¨£°» § ¬¥­¿¾²±¿ ¢»¨£°»¸ ¬¨, ¯®«³· ¾¹¨¬¨±¿ ¢ ½²¨µ ¯®¤-¨£° µ, ª®£¤  ¨£°®ª¨ ¨±¯®«¼§³¾² ½²¨ ° ¢­®¢¥±­»¥ ±²° ²¥£¨¨. 3. ®¢²®°¿¥¬ ¸ £¨ 1 ¨ 2 ¤«¿ °¥¤³¶¨°®¢ ­­»µ ¨£°. °®¤®«¦ ¥¬ ½²³ ¯°®¶¥¤³°³ ¤® ²¥µ ¯®°, ¯®ª  ­¥ ¡³¤³² ®¯°¥¤¥«¥­» ¢±¥ µ®¤» ¢ ¨£°¥ ;E . H ¡®° µ®¤®¢ ¢ ª ¦¤®¬ ¨§ ¨­´®°¬ ¶¨®­­»µ ¬­®¦¥±²¢ ¨£°» ;E ®¡° §³¥² ‘H. 4. …±«¨ ­¨ ­  ®¤­®¬ ¨§ ¸ £®¢ ¯°®¶¥±±  ­¥ ¢®§­¨ª «  ¬­®¦¥±²¢¥­­®±²¼ ° ¢­®¢¥±¨© ¯® H½¸³, ²® ¯®«³·¥­­®¥ ‘H ¥¤¨­±²¢¥­­®. …±«¨ ¦¥ ¬­®¦¥±²¢¥­­®±²¼ ° ¢­®¢¥±¨© ¨¬¥«  ¬¥±²®, ²® ¬­®¦¥±²¢® ¢±¥µ ‘H ¯®«³· ¥²±¿ ± ¯®¬®¹¼¾ ¯®¢²®°¥­¨¿ ½²®© ¯°®¶¥¤³°» ¤«¿ ª ¦¤®£® ¢®§¬®¦­®£® ° ¢­®¢¥±¨¿, ¢®§­¨ª ¾¹¥£® ¢ ° ±±¬ ²°¨¢ ¥¬»µ ¯®¤¨£° µ.

°¥¤«®¦¥­¨¥ 2.3.2.  ±±¬®²°¨¬ ¨£°³ ¢ ¯®§¨¶¨®­­®© ´®°-

¬¥ ;E ¨ ­¥ª®²®°³¾ ¥¥ ¯®¤-¨£°³ S . °¥¤¯®«®¦¨¬, ·²® ­ ¡®° S ±²° ²¥£¨© ¿¢«¿¥²±¿ ‘H ¢ ¯®¤-¨£°¥ S ¨ ¯³±²¼ ;bE | °¥¤³¶¨°®¢ ­­ ¿ ¨£° , ®¡° §®¢ ­­ ¿ § ¬¥­®© S ²¥°¬¨­ «¼­®© ¢¥°¸¨­®© ± ¢»¨£°»¸ ¬¨, ° ¢­»¬¨ ¢»¨£°»¸ ¬, ¢®§­¨ª ¾¹¨¬ ¯°¨ ¨£°¥  S : ’®£¤ 

„¨­ ¬¨·¥±ª¨¥ ¨£°» ± ¯®«­®© ¨­´®°¬ ¶¨¥©

113

(1) ¢ «¾¡®¬ ‘H  ¨£°» ;E , ¢ ª®²®°®©  S | ½²® ­ ¡®° ±²° ²¥£¨©, ª®²®°»¥ ¨£° ¾²±¿ ¢ ¯®¤-¨£°¥ S; µ®¤» ¨£°®ª®¢ ¢ ¨­´®°¬ ¶¨®­­»µ ¬­®¦¥±²¢ µ ¢­¥ S ¤®«¦­» ®¡° §®¢»¢ ²¼ ‘H ¨£°» ;b E ;

(2) ¥±«¨ ^ | ‘H ¢ ;bE , ²® ­ ¡®°  , ¯°¨¯¨±»¢ ¾¹¨© µ®¤» ¢ ±®®²¢¥²±²¢¨¨ ±  S ¢ ¨­´®°¬ ¶¨®­­»µ ¬­®¦¥±²¢ µ ¨§ S ¨ µ®¤» ¢ ±®®²¢¥²±²¢¨¨ ± ^ ¢ ¨­´®°¬ ¶¨®­­»µ ¬­®¦¥±²¢ µ ¢­¥ S; ¿¢«¿¥²±¿ CH ¢ ;E .

„®ª § ²¥«¼±²¢  ½²¨µ ¯°¥¤«®¦¥­¨© ¬®¦­® ­ ©²¨, ­ ¯°¨¬¥°, ¢ ³·¥¡­¨ª¥ Mas-Colell, Whinston, Green.  ±±¬®²°¨¬ ¬®¤¨´¨ª ¶¨¾ ­ ¸¥£® ¯°¨¬¥° . °¥¤¯®«®¦¨¬, ·²® ¥±²¼ ¤¢¥ · ±²¨ °»­ª , ¤¢¥ ­¨¸¨ | ¬ « ¿ ­¨¸  (¬.­.) ¨ ¡®«¼¸ ¿ ­¨¸  (¡.­.) (±¬. °¨±. 12).

¨±. 12. —²®¡» ­ ©²¨ ‘H, ° ±±¬®²°¨¬ ¢­ · «¥ À¯®±²-¢µ®¤­³¾Á ¯®¤-¨£°³. ‡¤¥±¼ ¤¢  ° ¢­®¢¥±¨¿ ¯® ½¸³ ¢ ·¨±²»µ ±²° ²¥£¨¿µ (¡.­., ¬.­.) ¨ (¬.­., ¡.­.). ‚ «¾¡®¬ ‘H ¢ ½²®© ¯®¤-¨£°¥ ¤®«¦­® ¨­¤³¶¨°®¢ ²¼±¿ ®¤­® ¨§ ½²¨µ ° ¢­®¢¥±¨© ¯® ½¸³. °¥¤¯®«®¦¨¬ ±­ · « , ·²® ´¨°¬» ¨£° ¾² (¡.­., ¬.­.),   ±«¥¤®¢ ²¥«¼­®, °¥¤³¶¨°®¢ ­­ ¿

114

ƒ« ¢  2

¨£°  ¡³¤¥² ¨¬¥²¼ ¢¨¤, ¨§®¡° ¦¥­­»© ­  °¨±. 13. ‚ ½²®¬ ±«³· ¥ E ¢»¡¨° ¥² ¢µ®¤¨²¼, ±«¥¤®¢ ²¥«¼­®, ‘H | ½²® ( E , I )=((¢µ®¤, ¡.­.), (¬.­., ¥±«¨ E ¢®¸« )). ‚® ¢²®°®¬ ±«³· ¥ °¥¤³¶¨°®¢ ­­ ¿ ¨£°  ¯°¥¤±² ¢«¥­  ­  °¨±. 14: E

­¥


A
A ¢µ.
A ¢µ.
A
A
A

0



2

¨±. 13.

1

;1

E




A
A
A
A
A
A

0 2

 ;1  1

¨±. 14.

‘«¥¤®¢ ²¥«¼­®, ‘H ( E , I )= ((­¥ ¢µ., ¬.­.), (¡.­., ¥±«¨

E ¢®¸« ).

 §³¬¥¥²±¿, ª ª ¢±¥£¤ , ­¥ ¢±¥ ² ª ¯°®±²® ¨ ± ‘H.  ±±¬®²°¨¬ ±«¥¤³¾¹³¾ ¨£°³ (Rabin, 1988) (°¨±. 15).

¨±. 15. ‚ Àª®®°¤¨­ ¶¨®­­®© ¨£°¥Á ± ®¤­®¢°¥¬¥­­»¬¨ µ®¤ ¬¨ ¬¥¦¤³ 1 ¨ 3 ¨£°®ª ¬¨ ²°¨ ° ¢­®¢¥±¨¿ ¯® H½¸³: ¤¢  ¢ ·¨±²»µ ±²° ²¥£¨¿µ, ¯°¨¢®¤¿¹¨µ ª ¢»¨£°»¸ ¬ (7,10,7), ¨ ° ¢­®¢¥±¨¥ ¢ ±¬¥-

„¨­ ¬¨·¥±ª¨¥ ¨£°» ± ¯®«­®© ¨­´®°¬ ¶¨¥©

115

¸ ­­»µ ±²° ²¥£¨¿µ, ¤ ¾¹¥¥ ¢»¨£°»¸¨ (3.5, 5, 3.5). …±«¨ ¬» ¢»¡¨° ¥¬ ° ¢­®¢¥±¨¥, ¢ ª®²®°®¬ ¨£°®ª¨ 1 ¨ 3 ³±¯¥¸­® ª®®°¤¨­¨°³¾²±¿, ²® ¨£°®ª 2 ¨£° ¥² L ,   ¨£°®ª 1 | R , ®¦¨¤ ¿ ¢»¨£°»¸ 7. …±«¨ ¦¥ ¬» ¢»¡¨° ¥¬ ­¥½´´¥ª²¨¢­®¥ ° ¢­®¢¥±¨¥ ¢ ±¬¥¸ ­­»µ ±²° ²¥£¨¿µ, ²® ¨£°®ª 2 ±»£° ¥² R ,   1 | ±­®¢  L , ®¦¨¤ ¿ ¢»¨£°»¸ 8. ®½²®¬³ ¢® ¢±¥µ ‘H ¨£°®ª 1 ¨£° ¥² R. H®, ... ²¥¬ ­¥ ¬¥­¥¥ ¨£°®ª³ 1 ¡³¤¥² ®±¬»±«¥­­® ±»£° ²¼ L , ¥±«¨ ®­ ­¥ ³¢¨¤¥« ¢®§¬®¦­®±²¨ ª®®°¤¨­ ¶¨¨ ­  3-¬ ¸ £¥,   ¯®½²®¬³ ®¦¨¤ ¥² ¢»¨£°»¸ 3 21 , ­® ®¯ ± ¥²±¿ ²®£®, ·²® ¨£°®ª 2 ¬®¦¥² ¢¥°¨²¼, ·²® ¯°¨ ¨£°¥ ­  3-¬ ¸ £¥ ¡³¤¥² ¤®±²¨£­³²® ½´´¥ª²¨¢­®¥ ° ¢­®¢¥±¨¥. ‘³²¼ §¤¥±¼ ¢ ²®¬, ·²® À¯®¤-¨£°®¢®¥ ±®¢¥°¸¥­±²¢®Á ¯°¥¤¯®« £ ¥² ­¥ ²®«¼ª®, ·²® ¨£°®ª¨ ®¦¨¤ ¾² °.H. ¢® ¢±¥µ ¯®¤-¨£° µ, ­® ² ª¦¥ ¨ ·²® ¢±¥ ¨£°®ª¨ ®¦¨¤ ¾² ®¤­® ¨ ²® ¦¥ ° ¢­®¢¥±¨¥. 2.4. °¨¬¥°»

1. „³®¯®«¨¿ ¯® ˜² ª¥«¼¡¥°£³. ²  ±¨²³ ¶¨¿ | ¬®¤¨´¨ª ¶¨¿ ¤³®¯®«¨¨ ¯® Š³°­®, ° ±±¬®²°¥­­®© ­ ¬¨ ¢ £«. 1. ’¥¯¥°¼ ¬» ±·¨² ¥¬, ·²® ¥±²¼ «¨¤¥°, ª®²®°»© ¤¥« ¥² µ®¤ ¯¥°¢»¬. ‡ ²¥¬, §­ ¿ ½²®² ¢»¡®°, ¤°³£®© ¨£°®ª ¤¥« ¥² ±¢®© µ®¤. ˆ² ª, ¨£°  ¯°®²¥ª ¥² ±«¥¤³¾¹¨¬ ®¡° §®¬: 1) ´¨°¬  1 ¢»¡¨° ¥² q1  0 ; 2) ´¨°¬¥ 2 ±² ­®¢¨²±¿ ¨§¢¥±²­® ½²® q1 , ¨ ¯®±«¥ ½²®£® ®­  ¢»¡¨° ¥² q2  0 ; 3) ¢»¨£°»¸ ´¨°¬» i ¥±²¼

i(qi ; qj ) = qi (P (Q) ; c); £¤¥ P (Q) = a ; Q; Q = q1 + q2 ; c | ¯®±²®¿­­»¥ ¯°¥¤¥«¼­»¥ § ²° ²». „«¿ ­ µ®¦¤¥­¨¿ ° ¢­®¢¥±¨¿ §¤¥±¼ ¬» ¢®±¯®«¼§³¥¬±¿ ®¡° ²­®© ¨­¤³ª¶¨¥©. ‚»·¨±«¨¬ ¢­ · «¥ ´³­ª¶¨¾ °¥ £¨°®¢ ­¨¿

116

ƒ« ¢  2

´¨°¬» 2, °¥¸ ¿ § ¤ ·³ max  (q ; q ) = max q [a ; q1 ; q2 ; c]: q 0 2 1 2 q 0 2 2

2

‹¥£ª® ¢¨¤¥²¼, ·²®

R2(q1) = a ; q21 ; c :

’® ¦¥ ± ¬®¥ ¡»«® ¨ ¢ ±«³· ¥ ¤³®¯®«¨¨ Š³°­®.  §­¨¶ , ®¤­ ª®, ¢ ²®¬, ·²® ½²® ¤¥©±²¢¨²¥«¼­ ¿,   ­¥ £¨¯®²¥²¨·¥±ª ¿ ´³­ª¶¨¿ °¥ £¨°®¢ ­¨¿ ´¨°¬» 2. ”¨°¬  1, ¥±²¥±²¢¥­­®, ² ª¦¥ ¬®¦¥² ¢»·¨±«¨²¼ ½²³ ´³­ª¶¨¾ °¥ £¨°®¢ ­¨¿,   ±«¥¤®¢ ²¥«¼­®, § ¤ ·  ´¨°¬» 1 ­  ¯¥°¢®¬ ¸ £¥ ¢»£«¿¤¨² ² ª:

max  (q ; R (q )) = max q [a;q1 ;R2(q1 );c] = max q a ; q21 ; c ; q 1 1 2 1 q 1 q 1 1

1

·²® ¤ ¥²

1

q1 = a ;2 c ¨ R2(q1) = a ;4 c :

°¨¡»«¼ ¢ ±«³· ¥ ¤³®¯®«¨¨ ¯® ˜² ª¥«¼¡¥°£³:

1  (a ; c)2 2 a ; c 1 = 2 4 (a ; c) = 8 ; 2 = (a ;16c) :

‡ ¬¥²¨¬, ·²® ¯°¨¡»«¼ ¢ ±«³· ¥ ¤³®¯®«¨¨ ¯® Š³°­®:

1 (a ; c)2 . 9

²®² ¯°¨¬¥° ¯®ª §»¢ ¥² ±³¹¥±²¢¥­­®¥ ° §«¨·¨¥ ¬¥¦¤³ ¯°¨­¿²¨¥¬ ¥¤¨­®«¨·­®£® °¥¸¥­¨¿ ¨ °¥¸¥­¨¿ ¯°¨ ­¥±ª®«¼ª¨µ ³· ±²­¨ª µ. ‡¤¥±¼ À«¨¸­¿¿Á ¨­´®°¬ ¶¨¿ ¤«¿ ¨£°®ª  ¨ §­ ­¨¥ ²®£®, ·²® ¤°³£¨¥ ¨¬¥¾² ¡®«¼¸¥ ¨­´®°¬ ¶¨¨, ¬®£³² ³µ³¤¸¨²¼ ¯®«®¦¥­¨¥ ¨£°®ª . 2. ®±«¥¤®¢ ²¥«¼­»© ²®°£ (Rubinstein, 1982).  ±±¬®²°¨¬ ±«¥¤³¾¹³¾ ¨£°³. ˆ£°®ª¨ 1 ¨ 2 ²®°£³¾²±¿ ® ° §¤¥«¥ 1 ¤®«« ° : 1-© ¯°¥¤« £ ¥² ­¥ª®²®°»© ±¯®±®¡ ¤¥«¥­¨¿, 2-© «¨¡® ¯°¨­¨¬ ¥² ½²® ¯°¥¤«®¦¥­¨¥, «¨¡® ­¥²; ¥±«¨ ­¥², ²® ®­

„¨­ ¬¨·¥±ª¨¥ ¨£°» ± ¯®«­®© ¨­´®°¬ ¶¨¥©

117

¯°¥¤« £ ¥² ±¯®±®¡ ¤¥«¥­¨¿,   1-© ¯°¨­¨¬ ¥², «¨¡® ­¥², ¨ ²./.¤. Š ¦¤®¥ ¯°¥¤«®¦¥­¨¥ § ­¨¬ ¥² ®¤¨­ ¯¥°¨®¤, ­® ¯°¨ ½²®¬ ¥±²¼ ¤¨±ª®­²¨°³¾¹¨© ¬­®¦¨²¥«¼. ˆ² ª, ´®°¬ «¼­® ° ±±¬®²°¨¬ ±«¥¤³¾¹³¾ ²°¥µ¯¥°¨®¤­³¾ ¨£°³. (1a) ‚ ­ · «¥ 1-£® ¯¥°¨®¤  ¨£°®ª 1 ¯°¥¤« £ ¥² À±¢®¾ ¤®«¾Á s1 ¤®«« ° , ®±² ¢«¿¿ 1 ; s1 ¨£°®ª³ 2. (1b) ˆ£°®ª 2 ¯°¨­¨¬ ¥² ¯°¥¤«®¦¥­¨¥, ²®£¤  ¨£°  § ª ­·¨¢ ¥²±¿, «¨¡® ®²ª«®­¿¥² ¥£®. ‚ ½²®¬ ±«³· ¥ ¨£°  ¯¥°¥µ®¤¨² ª® 2-¬³ ¯¥°¨®¤³. (2a) ‚ ­ · «¥ 2-£® ¯¥°¨®¤  ¨£°®ª 2 ¯°¥¤« £ ¥² ¤®«¾ s2 , ª®²®°³¾ ¯®«³· ¥² ¨£°®ª 1, ®±² ¢«¿¿ ±¥¡¥ 1 ; s2 . (2b) ˆ£°®ª 1 «¨¡® ¯°¨­¨¬ ¥² ¯°¥¤«®¦¥­¨¥, «¨¡® ­¥². ‚ ¯®±«¥¤­¥¬ ±«³· ¥ ¨£°  ¯¥°¥µ®¤¨² ª 3-¬³ ¯¥°¨®¤³. (3) ˆ£°®ª¨ ¢ 3-¬ ¯¥°¨®¤¥ ¯®«³· ¾² ¤®«¨ ( s , 1 ; s ), 0 < s < 1 , ¯°¨·¥¬ s § ¤ ­  ½ª§®£¥­­®. Œ» ¡³¤¥¬ °¥¸ ²¼ § ¤ ·³ ± ¯®¬®¹¼¾ ®¡° ²­®© ¨­¤³ª¶¨¨. ‚­ · «¥ ¢»·¨±«¿¥¬, ·²® ¯°®¨±µ®¤¨², ¥±«¨ ¤¥«® ¤®µ®¤¨² ¤® 2£® ¯¥°¨®¤ . ˆ£°®ª 1 ¬®¦¥² ¯®«³·¨²¼ s , ¥±«¨ ®²ª«®­¨² s2 , ­® ±²®¨¬®±²¼ ¯°¨ ½²®¬ ¡³¤¥² s (¢ ±° ¢­¥­¨¨ ± ¯°¥¤»¤³¹¨¬ (¢²®°»¬) ¯¥°¨®¤®¬). ‘«¥¤®¢ ²¥«¼­®, ¨£°®ª 1 ¯°¨¬¥² s2 ²®£¤  ¨ ²®«¼ª® ²®£¤ , ª®£¤  s2  s (±·¨² ¥¬, ·²® ¯°¨­¨¬ ¥², ¥±«¨ ° ¢¥­±²¢®). ‡­ ·¨², § ¤ ·  ¨£°®ª  2 ±®±²®¨² ¢ ¢»¡®°¥ ¬¥¦¤³ ¯®«³·¥­¨¥¬ 1 ; s (¯°¥¤« £ ¿ ¯¥°¢®¬³ ¨£°®ª³ s2 = s ) ¨ ¯®«³·¥­¨¥¬ 1 ; s ¢ ±«¥¤³¾¹¥¬ ¯¥°¨®¤¥ (¯°¥¤« £ ¿ s2 < s ). „¨±ª®­²¨°®¢ ­­ ¿ ±²®¨¬®±²¼ ¯®±«¥¤­¥£® À¤¥©±²¢¨¿Á ¥±²¼  (1 ; s) , ·²® ¬¥­¼¸¥, ·¥¬ 1 ; s ,   ¯®²®¬³ 2-© ¨£°®ª ¢® 2-¬ ¯¥°¨®¤¥ ¯°¥¤« £ ¥² s2 = s . ’ ª¨¬ ®¡° §®¬, ¥±«¨ ¨£°  ¤®µ®¤¨² ¤® 2-£® ¯¥°¨®¤ , ²® 2-© ¨£°®ª ¯°¥¤«®¦¨² s2 ; ¨ 1-© ¨£°®ª ¯°¨¬¥² ½²® ¯°¥¤«®¦¥­¨¥. Ž¤­ ª® 1-© ¨£°®ª ¬®¦¥² ¯°¥¤¢¨¤¥²¼, ·²® ¨£°®ª 2 ¬®¦¥² ¯®«³·¨²¼ 1 ; s2 ¢® ¢²®°®¬ ¯¥°¨®¤¥, ®²ª«®­¿¿ ¯°¥¤«®¦¥­¨¥ s1 ; ­® À±²®¨²¼Á ½²® ¡³¤¥² ²®«¼ª®  (1 ; s2 ) ¢ ±«¥¤³¾¹¥¬ ¯¥°¨®¤¥.

118

ƒ« ¢  2

‡­ ·¨² 2-© ¨£°®ª ¯°¨­¨¬ ¥² 1 ; s1 ²®£¤  ¨ ²®«¼ª® ²®£¤ , ª®£¤  1 ; s1   (1 ; s2 ); ¨«¨ s1  1 ;  (1 ; s2 ) . ®½²®¬³ § ¤ ·  1-£® ¨£°®ª  ¢ ¯¥°¨®¤¥ 1 ±®±²®¨² ¢ ¢»¡®°¥ ¬¥¦¤³ ¯®«³·¥­¨¥¬ 1 ;  (1 ; s2 ) ¢ ½²®¬ ¯¥°¨®¤¥ (¯°¥¤« £ ¿ 1 ; s1 = (1 ; s2 ) ¨£°®ª³ 2) ¨ ¯®«³·¥­¨¥¬ s2 ¢ ±«¥¤³¾¹¥¬ ¯¥°¨®¤¥ (¯°¥¤« £ ¿ 1 ; s1 <  (1 ; s2 ) ¨£°®ª³ 2). „¨±ª®­²¨°®¢ ­­ ¿ ±²®¨¬®±²¼ ¯®±«¥¤­¥£® ¥±²¼ s2 =  2 s; ·²® ¬¥­¼¸¥, ·¥¬ 1 ;  (1 ; s2 ) = 1 ; (1 ; s): ‡­ ·¨², ®¯²¨¬ «¼­®¥ ¯°¥¤«®¦¥­¨¥ ¢ ¯¥°¢®¬ ¯¥°¨®¤¥ ¥±²¼ s1 = 1 ;  (1 ; s2 ) = 1 ;  (1 ; s): ‘«¥¤®¢ ²¥«¼­®, ­  ¯¥°¢®¬ µ®¤³ 1-© ¨£°®ª ¯°¥¤« £ ¥² s1 , 2-© ¯°¨­¨¬ ¥² ½²® ¯°¥¤«®¦¥­¨¥ ¨ ¯®«³· ¥² 1 ; s1 : ’ ª¨¬ ®¡° §®¬, ¢»¨£°»¸¨ ¨£°®ª®¢ ¥±²¼ 1 ;  +  2 s ¨  ;  2 s ±®®²¢¥²±²¢¥­­®. ‡   ¤   ·  . „®ª ¦¨²¥, ·²® ¥±«¨ ¡» ¨£°  ¯°®¤®«¦ « ±¼ ¡¥±ª®­¥·­® (§¤¥±¼ ³¦¥ ­¥² ½ª§®£¥­­® § ¤ ­­®£® s ), ²® ¨£°®ª 1 ­  1-¬ ¸ £¥ ¯°¥¤«®¦¨« ¡» s = 1=(1 +  ) , ®±² ¢«¿¿ ¢²®°®¬³ 1 ; s = =(1+  ) , ¨ ¢²®°®© ¨£°®ª ¯°¨­¿« ¡» ½²® ¯°¥¤«®¦¥­¨¥. 3. Àˆ­¢¥±²®°» ¨ ¡ ­ªÁ (Diamond, Dybvig, 1983). °¥¤±² ¢¨¬ ±¥¡¥ ±«¥¤³¾¹³¾ ±¨²³ ¶¨¾. „¢  ¨­¢¥±²®°  ¢ª« ¤»¢ ¾² ¯® D ¤®«« °®¢ ¢ ¡ ­ª.  ­ª ¨­¢¥±²¨°®¢ « ½²¨ ¤¥¯®§¨²» ¢ ¤®«£®±°®·­»© ¯°®¥ª². …±«¨ À´®°±-¬ ¦®°­»¥Á ®¡±²®¿²¥«¼±²¢  § ±² ¢«¿¾² ¡ ­ª «¨ª¢¨¤¨°®¢ ²¼ ±¢®¨ ¨­¢¥±²¨¶¨¨ ¤® ²®£®, ª ª ¯°®¥ª² À±®§°¥¢ ¥²Á, ²® ®­ ¬®¦¥² ¯®ª°»²¼ ±³¬¬³ 2r , £¤¥ D > r > D=2 . …±«¨ ¡ ­ª ¯®§¢®«¿¥² ¯°®¥ª²³ À±®§°¥²¼Á, ²® ¯°®¥ª² ¯°¨­¥±¥² 2R , £¤¥ R > D . …±²¼ 2 ¤ ²», ª®£¤  ¢ª« ¤·¨ª¨ ¬®£³² § ¡° ²¼ ±¢®© ¢ª« ¤: ¤ ²  1 | ¤® À±®§°¥¢ ­¨¿Á, ¤ ²  2 | ¯®±«¥. „«¿ ¯°®±²®²» ±·¨² ¥¬, ·²® ­¥² ¤¨±ª®­²¨°®¢ ­¨¿. …±«¨ ®¡  ¢ª« ¤·¨ª  § ¡¨° ¾² ¢ª« ¤» ¢ ¬®¬¥­² 1, ²® ®¡  ¯®«³· ¾² ¯® r ¨ ¨£°  § ª ­·¨¢ ¥²±¿. …±«¨ ²®«¼ª® ®¤¨­ ¢ª« ¤·¨ª § ¡¨° ¥² ¢ ¬®¬¥­² 1, ²® ®­ ¯®«³· ¥² D ,   ¢²®°®© | 2r ; D . H ª®­¥¶, ¥±«¨ ­¨ ®¤¨­ ¢ª« ¤·¨ª ­¥ § ¡¥°¥² ¢ ¬®¬¥­² 1, ²® ¯°®¥ª² ±®§°¥¢ ¥² ¨ ®¡  ¢ª« ¤·¨ª  § ¡¨° ¾² ¢ ¬®¬¥­² 2, ¯°¨ ½²®¬ ª ¦¤»© ¯®«³· ¥² ¯® R . …±«¨ ²®«¼ª® ®¤¨­ ¢ª« ¤·¨ª § ¡¨° ¥² ¢ ¬®¬¥­² 2, ²® ®­ ¯®«³· ¥² 2R ; D , ¤°³£®© ¯®«³· ¥² D . …±«¨, ­ ª®­¥¶, ­¨ ®¤¨­

119

„¨­ ¬¨·¥±ª¨¥ ¨£°» ± ¯®«­®© ¨­´®°¬ ¶¨¥©

­¥ § ¡¨° ¥² ¢ ¬®¬¥­² 2, ²® ¡ ­ª ¢®§¢° ¹ ¥² ¯® R ª ¦¤®¬³. ¥´®°¬ «¼­® ¤«¿ ¬®¬¥­²  1 ¨£°³ ¬®¦­® ¯®¯»² ²¼±¿ ¨§®¡° §¨²¼ ±«¥¤³¾¹¨¬ ®¡° §®¬ (±¬. °¨±. 16): § ¡¨° ²¼ 0 § ¡¨° ²¼ r; r @

­¥²

2r ; D; D

­¥² D; 2r ; D (¸ £ 2)

1 A

¨±. 16. „«¿ ¬®¬¥­²  2 ¨£°  ¨§®¡° ¦¥­  ­  °¨±. 17: § ¡¨° ²¼ 0 § ¡¨° ²¼ R; R @

­¥²

D; 2R ; D

­¥²

2R ; D; D

R; R

1 A

¨±. 17. „¥°¥¢® ½²®© ¨£°» ¨§®¡° ¦¥­® ­  °¨±. 18. H ·­¥¬ ± ¬®¬¥­²  2: ² ª ª ª R > D (¨ 2R ; D > R ), ²® À§ ¡¨° ²¼Á ±²°®£® ¤®¬¨­¨°³¥² À­¥²Á. ‡­ ·¨², ¥¤¨­±²¢¥­­®¥ °.H. | ½²® (§ ¡° ²¼, § ¡° ²¼), ¤ ¢ ¿ ¢»¨£°»¸¨ (R; R) . ®±ª®«¼ª³ ­¥² ¤¨±ª®­² , ²® ¬®¦­® ¯°®±²® ¯®¤±² ¢¨²¼ ¢ À¯¥°¢³¾ ¨£°³Á (±¬. °¨±. 19):

0 ‡: @

H:

‡.

r; r

H. D; 2r ; D

2r ; D; D

R; R

1 A

¨±. 19. ’ ª ª ª r < D , ²® 2r ; D < r; ¨ ¬» ¨¬¥¥¬ ¤¢  °.H., ¤ ¾¹¨¥ ¢»¨£°»¸¨ (r; r) ¨ (R; R);   ¨¬¥­­®: 1) ®¡  ¢ª« ¤·¨ª  À¡¥£³²Á ¢ ¡ ­ª ¢ ¬®¬¥­² 1;

120

ƒ« ¢  2

¨±. 18. 2) ®¡  § ¡¨° ¾² ¢ ¬®¬¥­² 2. ¥°¢®¥ ¬®¦­® ¨­²¥°¯°¥²¨°®¢ ²¼ ª ª À¡¥¦ ²¼ ¢ ¡ ­ªÁ: ¥±«¨ ¢ª« ¤·¨ª ¢¥°¨² ¢ ²®, ·²® ¤°³£®© ¯®¡¥¦¨², ²® ¥¬³ ²®¦¥ ­ ¤® ¡¥¦ ²¼, µ®²¿, ª®­¥·­®, ®¡®¨¬ «³·¸¥ ¯®¤®¦¤ ²¼. 2.5. ®¢²®°¿¾¹¨¥±¿ ¨£°»

 ±±¬®²°¨¬ ±«¥¤³¾¹¨© ¢ °¨ ­² À„¨«¥¬¬» ‡ ª«¾·¥­­®£®Á (°¨±. 20). ³¤¥¬ ±·¨² ²¼, ·²® ¨£°  ¯®¢²®°¿¥²±¿ ¤¢ ¦¤», ¯°¨·¥¬ ¨£°®ª¨ ³§­ ¾² ¨±µ®¤ ¯¥°¢®£® °®§»£°»¸  ¤® ²®£®, ª ª ­ ·¨­ ¥²±¿ ¢²®°®©. ‘·¨² ¥¬ ¯®ª , ·²® ­¥² ¤¨±ª®­²  ¨, ¯®½²®¬³ ¢»¨£°»¸¨ ¥±²¼ ¯°®±²® ±³¬¬  ¢»¨£°»¸¥© ¢ ¯¥°¢®¬ ¨ ¢²®°®¬ ° §»£°»¢ ­¨¨, ². ¥. ¬» ¨¬¥¥¬ ¤¥«® ± ¤¢³µ¯¥°¨®¤­®© ¨«¨ ¤¢³µ¸ £®¢®© À„¨«¥¬¬®© ‡ ª«¾·¥­­®£®Á.

„¨­ ¬¨·¥±ª¨¥ ¨£°» ± ¯®«­®© ¨­´®°¬ ¶¨¥©

L1 R1

121

L2 R2   (1,1) (5,0) (0,5) (4,4)

¨±. 20. ‘«¥¤³¿ ²®© «®£¨ª¥ ‘H, ª®²®° ¿ ³ ­ ± ¡»«  ° ­¥¥, ¯®±¬®²°¨¬, ·²® ¯°®¨±µ®¤¨² ­  ¢²®°®¬ ¸ £¥ ¨£°». Ÿ±­®, ·²® ¨±µ®¤ ¨£°» ¢²®°®£® ¸ £  ¡³¤¥² °.H., ². ¥. (L1; L2) . € ½²® §­ ·¨², ·²® ¨£°  ­  ¯¥°¢®¬ ¸ £¥ ±¢®¤¨²±¿ ª ²®¬³, ·²® ª ª ¦¤®¬³ ½«¥¬¥­²³ ¨±µ®¤­®© ¬ ²°¨¶» ­³¦­® ¤®¡ ¢¨²¼ ¢»¨£°»¸¨ ¢²®°®£® ¸ £ , ². ¥. (1; 1). ’ ª¨¬ ®¡° §®¬, ¬ ²°¨¶  ±² ­®¢¨²±¿  (2; 2) (6; 1)  (1; 6) (5; 5)   ¢ ­¥© °.H. ¥¤¨­±²¢¥­­® | (L1 ; L2) , §­ ·¨² ‘H ¢ ½²®© ¤¢³µ¸ £®¢®© À„¨«¥¬¬¥ ‡ ª«¾·¥­­®£®Á | ½²® (L1; L2) ­  ¯¥°¢®¬ ¸ £¥ ¨ (L1; L2) | ­  ¢²®°®¬. ’¥¯¥°¼ ®²¢«¥·¥¬±¿ ­  ¢°¥¬¿ ®² ¤¢³ª° ²­®£® ¯®¢²®°¥­¨¿ ¨£°». ³±²¼ G = (A1; : : :; An ; u1; : : :; un) | ±² ²¨·¥±ª ¿ ¨£°  ± ¯®«­®© ¨­´®°¬ ¶¨¥©, ¢ ª®²®°®© ¨£°®ª¨ ®¤­®¢°¥¬¥­­® ¢»¡¨° ¾² µ®¤» ai ¨§ ±¢®¨µ ¯°®±²° ­±²¢ ±²° ²¥£¨© Ai ¨ ±®®²¢¥²±²¢³¾¹¨¥ ¢»¨£°»¸¨ ¥±²¼ ui (a1; : : :; an ) . ³¤¥¬ ­ §»¢ ²¼ G À¡ §®¢®©Á ¨£°®©.

Ž¯°¥¤¥«¥­¨¥ 2.5.1. Š®­¥·­®© ¯®¢²®°¿¾¹¥©±¿ ¨£°®© G(T )

¡ §®¢®© ¨£°» G ­ §»¢ ¥²±¿ ¨£° , ¢ ª®²®°®© G ° §»£°»¢ ¥²±¿ T ° § ¨ ¯¥°¥¤ ­ · «®¬ ª ¦¤®£® ®·¥°¥¤­®£® °®§»£°»¸  ¨£°®ª ¬ ¨§¢¥±²­» ¨±µ®¤» ¢±¥µ ¯°¥¤»¤³¹¨µ °®§»£°»¸¥©, ². ¥. ¨§¢¥±²­» ±²° ²¥£¨¨, ¨§¡° ­­»¥ ¨£°®ª ¬¨, ¨ ¯®«³·¥­­»¥ ¢»¨£°»¸¨. ‚»¨£°»¸¨ ¢ ¨£°¥ G(T ) ®¯°¥¤¥«¿¾²±¿ ª ª ±³¬¬  (¨«¨ ¤¨±ª®­²¨°®¢ ­­ ¿ ±³¬¬ ) ¢»¨£°»¸¥© ­  ª ¦¤®¬ ¸ £¥.

 ±±¬®²°¥­­ ¿ ¢»¸¥ ±¨²³ ¶¨¿ ­  ± ¬®¬ ¤¥«¥ µ ° ª²¥°­  ¨ ¤«¿ ®¡¹¥£® ±«³· ¿.

122

ƒ« ¢  2

°¥¤«®¦¥­¨¥ 2.5.1. …±«¨ ¡ §®¢ ¿ ¨£°  G ¨¬¥¥² ¥¤¨­-

±²¢¥­­®¥ ° ¢­®¢¥±¨¥ ¯® H½¸³, ²® ¤«¿ «¾¡®£® ª®­¥·­®£® T ¯®¢²®°¿¾¹ ¿±¿ ¨£°  G(T ) ¨¬¥¥² ¥¤¨­±²¢¥­­®¥ ‘H: ­  ª ¦¤®¬ ¸ £¥ ¨£° ¥²±¿ °.H.

 ±±¬®²°¨¬ ²¥¯¥°¼ ±¨²³ ¶¨¾, ª®£¤  ¡ §®¢ ¿ ¨£°  G ¨¬¥¥² ­¥±ª®«¼ª® ° ¢­®¢¥±¨© (Gibbons):

L1 M1 R1

0 (1L;21) (5M; 20) (0R; 20) 1 @ (0; 5) (4; 4) (0; 0) A (0; 0) (0; 0) (3; 3)

‡¤¥±¼ 2 ° ¢­®¢¥±¨¿ ¯® H½¸³ ¢ ·¨±²»µ ±²° ²¥£¨¿µ (L1 ; L2) ¨ (R1; R2) . °¥¤¯®«®¦¨¬, ·²® ½²  ¨£°  ¯®¢²®°¿¥²±¿ ¤¢ ¦¤», ¯°¨·¥¬ ¨±µ®¤ ¯¥°¢®© ¨£°» ¨§¢¥±²¥­ ¤® ²®£®, ª ª ° §»£°»¢ ¥²±¿ ¢²®° ¿. „«¿ ­ ± ¢ ¦­®, ·²® ¬®¦¥² ±³¹¥±²¢®¢ ²¼ ‘H, ¢ ª®²®°®¬ ­  ¯¥°¢®¬ ¸ £¥ ¨£° ¥²±¿ (M1 ; M2) . ²® ²®² ± ¬»© ­¾ ­±, ª®²®°»© ¢ ¦¥­ ¤«¿ ­ ±, ¯®±ª®«¼ª³ ®­, ² ª ±ª § ²¼, ° §¤¥«¿¥² ¤³µ ²®£®, ·²® ¯°®¨±µ®¤¨² ¢ ±«³· ¥ ¡¥±ª®­¥·­®£® ° §»£°»¢ ­¨¿ ¨£°» G . Š ª ¨ ° ­¼¸¥, ¯°¥¤¯®« £ ¥¬ (¯®±ª®«¼ª³ °¥·¼ ¨¤¥² ® ‘H), ·²® ¨£°®ª¨ ±·¨² ¾², ·²® ¨±µ®¤ ¢²®°®£® °®§»£°»¸  | ½²® °.H. ¡ §®¢®© ¨£°». ‚®®¡¹¥ £®¢®°¿, ¬®¦­® ¯°¥¤¯®«®¦¨²¼, ·²® ¨£°®ª¨ ¬®£³² ®¦¨¤ ²¼, ·²® ° §«¨·­»¬ ¨±µ®¤ ¬ 1-£® ½² ¯  ¡³¤³² ±®®²¢¥²±²¢®¢ ²¼ ° §­»¥ ¨±µ®¤» 2-£® ½² ¯ . °¥¤¯®«®¦¨¬, ­ ¯°¨¬¥°, ·²® ¨£°®ª¨ ®¦¨¤ ¾², ·²® (R1; R2) ¡³¤¥² ¨±µ®¤®¬, ¥±«¨ ¯¥°¢»© ¨±µ®¤ ¡»« (M1; M2); ­® (L1; L2); ¥±«¨ ®¤¨­ ¨§ 8 ®±² ¢¸¨µ±¿ ¡»« ¨±µ®¤®¬ 1-£® ½² ¯ . ‚ ½²®¬ ±«³· ¥ ¨£°  ­  1-¬ ¸ £¥ ±¢®¤¨²±¿ ª ¨£°¥,

L1 M1 R1

0 (2L;22) (6M; 21) (1R; 21) 1 @ (1; 6) (7; 7) (1; 1) A (1; 1) (1; 1) (4; 4)

„¨­ ¬¨·¥±ª¨¥ ¨£°» ± ¯®«­®© ¨­´®°¬ ¶¨¥©

123

‡¤¥±¼ (3, 3) ¤®¡ ¢«¥­® ª ¢»¨£°»¸ ¬, ±®®²¢¥²±²¢³¾¹¨¬ (M1 ; M2) ¨ (1, 1) | ª 8 ®±² «¼­»¬ ½«¥¬¥­² ¬ ¨±µ®¤­®© ¬ ²°¨¶». ‚ ½²®© ¨£°¥ ³¦¥ 3 °.H.: (L1; L2); (M1; M2); (R1; R2): ²¨ ²°¨ °.H. ±®®²¢¥²±²¢³¾² ‘H ¢ ¯¥°¢®­ · «¼­®© ¯®¢²®°¿¾¹¥©±¿ ¨£°¥. Ž¡®§­ ·¨¬ ((w; x)(y; z )); | ¨±µ®¤» ¢ ¯®¢²®°¿¾¹¥©±¿ ¨£°¥ (w; x) | ­  1-¬ ¸ £¥, (y; z ) | ­  2-¬.  ¢­®¢¥±¨¥ (L1 ; L2) ±®®²¢¥²±²¢³¥² À±®¢¥°¸¥­­®¬³ ¯®¤-¨£°®¢®¬³Á ¨±µ®¤³ ((L1; L2); (L1; L2)) ¢ ¯®¢²®°¿¾¹¥©±¿ ¨£°¥. €­ «®£¨·­® °.H. (R1; R2) ±®®²¢¥²±²¢³¥² À±®¢¥°¸¥­­®¬³ ¯®¤-¨£°®¢®¬³Á ¨±µ®¤³ ((R1; R2); (L1; L2)) ¢ ¯®¢²®°¿¾¹¥©±¿ ¨£°¥. ²¨ ¤¢  ¨±µ®¤  ¯°®±²® À­ ±«¥¤³¾²Á °.H. ¡ §®¢®© ¨£°». H® ²°¥²¨© ¨±µ®¤ | ª ·¥±²¢¥­­® ¤°³£®©: (M1 ; M2) | ±®®²¢¥²±²¢³¥² À±®¢¥°¸¥­­®¬³ ¯®¤-¨£°®¢®¬³Á (‘) ¨±µ®¤³ ((M1; M2); (R1; R2)) ¢ ¯®¢²®°¿¾¹¥©±¿ ¨£°¥, ². ª. À¯°¥¤¢¨¤¨¬»©Á ¨±µ®¤ 2-£® ¸ £  | ½²® (R1; R2) ¢±«¥¤ §  (M1; M2) . ˆ­»¬¨ ±«®¢ ¬¨, ª®®¯¥° ¶¨¾ ¬®¦­® ¤®±²¨·¼ ­  1-¬ ¸ £¥ ‘- ¨±µ®¤  ¯®¢²®°¿¾¹¥©±¿ ¨£°». € ½²® ³¦¥ ¤ ¥² ¯°¨¬¥° ¡®«¥¥ ®¡¹¥© ¯°¨°®¤»: ¥±«¨ G | ±² ²¨·¥±ª ¿ ¨£°  ± ¯®«­®© ¨­´®°¬ ¶¨¥© ¨ ¬­®¦¥±²¢¥­­»¬¨ °.H., ²® ¬®¦¥² ±³¹¥±²¢®¢ ²¼ ‘ ¨±µ®¤ ¢ ¨£°¥ G(T ) , ¢ ª®²®°®© ­  «¾¡®¬ ¸ £¥ t < T ¨±µ®¤ ¸ £  t | ­¥ ¿¢«¿¥²±¿ °.H. Ž±­®¢­®© ¢»¢®¤ §¤¥±¼ ² ª®©: ³£°®§» ¨«¨ ®¡¥¹ ­¨¿, ª®²®°»¬ ¬®¦­® ¢¥°¨²¼ ¢ ¡³¤³¹¥¬, ¬®£³² ¢«¨¿²¼ ­  ²¥ª³¹¥¥ ¯®¢¥¤¥­¨¥. ‚²®°®© ¢»¢®¤, ®¤­ ª®, ±®±²®¨² ¢ ²®¬, ·²® À¯®¤¨£°®¢®¥ ±®¢¥°¸¥­±²¢®Á ¬®¦¥² ­¥ ¢®¯«®¹ ²¼ ¤®±² ²®·­® ±¨«¼­»¥ ®¯°¥¤¥«¥­¨¿ À¯° ¢¤®¯®¤®¡¨¿Á. ƒ®¢®°¿, ­ ¯°¨¬¥°, ® ‘ ¨±µ®¤¥ ((M1 ; M2); (R1; R2)); ¬» ¯°¥¤¯®« £ «¨, ·²® ¨£°®ª¨ ¯°¥¤¢¨¤¿², ·²® (R1; R2) ¡³¤¥² ¨±µ®¤®¬ ­  ¢²®°®¬ ¸ £¥, ¥±«¨ ¨±µ®¤ ¯¥°¢®£® ¸ £  ¡»« (M1 ; M2) ,   (L1; L2) | ¨±µ®¤®¬ ¢²®°®£® ¸ £  ¨£°», ¥±«¨ «¾¡®© ¤°³£®© ¨§ 8 ®±² ¢¸¨µ±¿ ¨±µ®¤®¢ ¢®§­¨ª ¥² ­  ¯¥°¢®¬ ¸ £¥. Ž¤­ ª® ¨£°  (L1 ; L2) ­  ¢²®°®¬ ¸ £¥ ¬®¦¥² ¯®ª § ²¼±¿ ¤®±² ²®·­® £«³¯®©, ¥±«¨ (R1; R2) ± ¢»¨£°»¸¥¬ (3,3) ² ª¦¥ ¢®§¬®¦­® ¢ ° ¢­®¢¥±¨¨ ­  ¢²®°®¬ ¸ £¥ ¨£°». „ «¥¥ ¬®¦­® ° ±±³¦¤ ²¼ ±«¥¤³¾¹¨¬ ®¡° §®¬. …±«¨ (M1 ; M2)

124

ƒ« ¢  2

­¥ ±² «® ¨±µ®¤®¬ ¯¥°¢®£® ¸ £ , ² ª ª ª (L1; L2) ¯°¥¤¯®«®¦¨²¥«¼­® ¡³¤¥² ¨£° ²¼±¿ ­  ¢²®°®¬ ¸ £¥, ²® ª ¦¤»© ¨£°®ª ¬®¦¥² ±·¨² ²¼, ·²® À·²® ¯°®¸«®, ²® ¯°®¸«®Á, ¨ ¯°¥¤¯®·²¨²¥«¼­ ¿ ¤«¿ ®¡®¨µ ¨£°®ª®¢ ±¨²³ ¶¨¿ (R1; R2) ¤®«¦­  ° §»£°»¢ ²¼±¿ ­  2-¬ ¸ £¥. H® ¥±«¨ (R1; R2) ¡³¤¥² ¨±µ®¤®¬ 2-£® ¸ £  ¯®±«¥ «¾¡®£® ¨±µ®¤  °®§»£°»¸ , ²® ¯°®¯ ¤ ¾² ±²¨¬³«» ¨£° ²¼ (M1 ; M2) ­  1-¬ ¸ £¥: °®§»£°»¸ 1-£® ¸ £  ±¢®¤¨²±¿ ¯°®±²® ª ¤®¡ ¢«¥­¨¾ ª ª ¦¤®¬³ ¨±µ®¤³ (3, 3). € ²®£¤  Li ¥±²¼ «³·¸¨© ®²¢¥² ¨£°®ª  i ­  Mj ¨£°®ª  j . °¥¦¤¥ ·¥¬ ¯¥°¥©²¨ ª ¡¥±ª®­¥·­»¬ ¯®¢²®°¿¾¹¨¬±¿ ¨£° ¬, ¢¥°­¥¬±¿ ª ­ ¸¥¬³ ®¯°¥¤¥«¥­¨¾ ¨ ¢¢¥¤¥¬ ª®½´´¨¶¨¥­² ¤¨±ª®­²¨°®¢ ­¨¿. ‘·¨² ¥¬, ·²® ¨£°®ª¨ ¤¨±ª®­²¨°³¾² ¡³¤³¹¨¥ ¢»¨£°»¸¨ ± ®¡¹¨¬ ¤¨±ª®­²®¬  . ˆ­®£¤  ¡»¢ ¥² ³¤®¡­® ° ±±¬ ²°¨¢ ²¼ ­¥ ¯°®±²® ±³¬¬ °­»© ¢»¨£°»¸ T X t=1

 t;1ui(at);

  ­®°¬¨°®¢ ²¼ ¥£® ¤«¿ ²®£®, ·²®¡» ° ±±¬ ²°¨¢ ²¼ ±°¥¤­¾¾ ¯®«¥§­®±²¼ §  ¯¥°¨®¤, ². ¥. T 1; X t;1ui (at) | 1 ;  T t=1

±°¥¤­¨© ¤¨±ª®­²¨°®¢ ­­»© ¢»¨£°»¸ (§  ¯¥°¨®¤). Ž­ ¯®ª §»¢ ¥², ±ª®«¼ª® ­³¦­® ¯« ²¨²¼ ¨£°®ª³ i ¢ ª ¦¤®¬ ¯¥°¨®¤¥, ·²®¡» ®­ ¯®«³·¨« ²®² ¦¥ ±³¬¬ °­»© ¢»¨£°»¸. …±«¨ À„¨«¥¬¬  ‡ ª«¾·¥­­®£®Á ° §»£°»¢ ¥²±¿ ®¤¨­ ° §, ²® ­³¦­® À±®§­ ¢ ²¼±¿Á. …±«¨ ° §»£°»¢ ¥²±¿ ª®­¥·­®¥ ·¨±«® ° §, ²® À¯®¤-¨£°®¢®¥ ±®¢¥°¸¥­±²¢®Á ²°¥¡³¥² ¢ ¯®±«¥¤­¨© ° § À±®§­ ²¼±¿Á,   ®¡° ²­ ¿ ¨­¤³ª¶¨¿ £®¢®°¨², ·²® ¥¤¨­±²¢¥­­®¥ ‘H | ½²® À±®§­ ¢ ²¼±¿Á ¢±¥£¤ . …±«¨ ¨£°  ° §»£°»¢ ¥²±¿ ¡¥±ª®­¥·­®¥ ·¨±«® ° §, ²® À±®§­ ²¼±¿Á ®±² ¥²±¿ ‘H. ®«¥¥ ²®£® | ½²® ¥¤¨­±²¢¥­­®¥ ° ¢­®¢¥±¨¥ ² ª®¥, ·²® ¨£°  ­  ª ¦¤®¬ ¸ £¥ ­¥ ¬¥­¿¥²±¿ ¢ § ¢¨±¨¬®±²¨ ®² ²®£®, ·²® ¨£° «®±¼ ­  ¯°¥¤»¤³¹¨µ ¸ £ µ. H® ¥±«¨ £®°¨§®­² ¡¥±ª®­¥·¥­ ¨

„¨­ ¬¨·¥±ª¨¥ ¨£°» ± ¯®«­®© ¨­´®°¬ ¶¨¥©

125

 > 1=2 , ²®, ª ª ¬» ³¢¨¤¨¬ ­¨¦¥, ±«¥¤³¾¹¨© ­ ¡®° ±²° ²¥£¨©

®ª §»¢ ¥²±¿ ²®¦¥ ‘H: À¬®«· ²¼Á (ª®®¯¥°¨°®¢ ²¼±¿) ­  1-¬ ¸ £¥ ¨ ¯°®¤®«¦ ²¼ À¬®«· ²¼Á (ª®®¯¥°¨°®¢ ²¼±¿) ¤® ²¥µ ¯®°, ¯®ª  ­¨ª²® ­¥ ¯°¥¤ «. …±«¨ ²®«¼ª® ª²®-²® ¯°¥¤ «, ²® ¤ «¥¥ ¯°¥¤ ¢ ²¼ ¢±¥£¤ .  ° ¨ ¬ ¥ °.

L M R 1 0 U (0; 0) (3; 4) (6; 0) M @ (4; 3) (0; 0) (0; 0) A D

(0; 6) (0; 0) (5; 5)

‘·¨² ¥¬, ·²® ½²  ¨£°  ° §»£°»¢ ¥²±¿ ¤¢ ¦¤» ¨ ·²® ¢»¨£°»¸¨ | ¤¨±ª®­²¨°®¢ ­­ ¿ ±³¬¬  ¢»¨£°»¸¥©. …±«¨ ½²  ¨£°  ° §»£°»¢ ¥²±¿ ®¤¨­   ° §, ²®§¤¥±¼ 3 ° ¢­®¢¥±¨¿: (M; L); (U; M ) ¨ 37 U; 74 M ; 37 L; 47 M ± ¢»¨£°»¸ ¬¨ (4; 3); (3; 4) ¨



3 U; 4 M 7 7





12 ; 12 7 7



±®®²¢¥²±²¢¥­­®. ‡¤¥±¼ § ¯¨±¼

®§­ · ¥², ·²® ± ¢¥°®¿²­®±²¼¾ 73 ¨£° ¥²±¿ À U Á ¨ ± ¢¥°®¿²­®±²¼¾ 47 | ¨£° ¥²±¿ À M Á. ´´¥ª²¨¢­»© ­ ¡®° ¢»¨£°»¸¥© (5; 5) ­¥ ¤®±²¨¦¨¬. Ž¤­ ª® ¢ ¤¢³µ¸ £®¢®© ¨£°¥ ±  > 7=9 ±«¥¤³¾¹¨© ­ ¡®° ±²° ²¥£¨© ¿¢«¿¥²±¿ ‘H: Àˆ£° ²¼ (D; R) ­  ¯¥°¢®¬ ¸ £¥. …±«¨ ¨±µ®¤ ¯¥°¢®£® ¸ £  (D; R) , ²® ¨£° ²¼ (M; L) ¢® ¢²®°®¬ ¸ £¥; ¥±«¨ ¨±µ®¤ ¯¥°¢®£® ¸ £  | ­¥ (D; R), ²® ¨£° ²¼ ((3=7U; 4=7M ); (3=7L; 4=7M )) ­  ¢²®°®¬ ¸ £¥Á. ® ¯®±²°®¥­¨¾ ½²¨ ±²° ²¥£¨¨ ¨±¯®«¼§³¾² °.H. ­  2-¬ ¸ £¥. Ž²ª«®­¥­¨¥ ½²®© ±²° ²¥£¨¨ ­  1-¬ ¸ £¥ ³¢¥«¨·¨¢ ¥² ²¥ª³¹¨© ¢»¨£°»¸ ­  1 ¨ ³¬¥­¼¸ ¥² ±«¥¤³¾¹¨¥ ¢»¨£°»¸¨ ¨£°®ª®¢ 1 ¨ 2 ±®®²¢¥²±²¢¥­­® ± 4 ¨«¨3, ¤® 12 =7: ®½²®¬³ ¨£°®ª 1 ­¥ ¡³¤¥² ®²ª«®­¿²¼±¿, ¥±«¨ 1 < 4 ; 127  ¨«¨  > 7=16 ,   ¢²®°®© ­¥





¡³¤¥² ®²ª«®­¿²¼±¿, ¥±«¨ 1 < 3 ; 127  ¨«¨  > 7=9 .

126

ƒ« ¢  2

ˆ² ª, ª ª ¬» ®²¬¥· «¨, ¨¬¥¥² ¬¥±²® ±«¥¤³¾¹¥¥ ³²®·­¥­¨¥: ¥±«¨ ¢ ¡ §®¢®© ¨£°¥ G ¥±²¼ ­¥±ª®«¼ª® ° ¢­®¢¥±¨© ¯® ½¸³, ²® ¬®¦¥² ±³¹¥±²¢®¢ ²¼ ‘H ¢ ¯®¢²®°¿¾¹¥©±¿ ¨£°¥ G(T ) ² ª®¥, ·²® ¤«¿ «¾¡®£® t < T ¨±µ®¤ ¸ £  t ­¥ ¿¢«¿¥²±¿ ° ¢­®¢¥±¨¥¬ ¯® ½¸³. ‚ ¡¥±ª®­¥·­® ¯®¢²®°¿¾¹¨µ±¿ ¨£° µ ±¯° ¢¥¤«¨¢ ¡®«¥¥ ±¨«¼­»© °¥§³«¼² ²: ¤ ¦¥ ¥±«¨ ¢ ¡ §®¢®© ¨£°¥ G ¥±²¼ ¥¤¨­±²¢¥­­®¥ ° ¢­®¢¥±¨¥ ¯® ½¸³, ²® ¬®¦¥² ±³¹¥±²¢®¢ ²¼ ‘H ¡¥±ª®­¥·­® ¯®¢²®°¿¾¹¥©±¿ ¨£°», ¢ ª®²®°®© ­¨ª ª®© À¯®-¸ £®¢»©Á ¨±µ®¤ ­¥ ¡³¤¥² ° ¢­®¢¥±¨¥¬ ¯® ½¸³. ˆ² ª, ° ±±¬®²°¨¬ ¢ °¨ ­² À„¨«¥¬¬» ‡ ª«¾·¥­­®£®Á, ¯®¢²®°¿¾¹¥©±¿ ¡¥±ª®­¥·­®, ¯°¨·¥¬ ¤«¿ «¾¡®£® t ¨±µ®¤» t ; 1 ¯°¥¤»¤³¹¥£® ¸ £  ¨£°» ¨§¢¥±²­» ¤® ­ · «  ° §»£°»¢ ­¨¿ ¸ £  t :

L1 R1

 (1;L1)2 R(52; 0)  (0; 5) (4; 4)

 §³¬¥¥²±¿, ¢ ¡¥±ª®­¥·­®¬ ±«³· ¥ ³¦¥ ¡¥§ ¤¨±ª®­²¨°³¾¹¥£® ¬­®¦¨²¥«¿ ­¥ ®¡®©²¨±¼.

Ž¯°¥¤¥«¥­¨¥ 2.5.2. …±«¨  | ª®½´´¨¶¨¥­² ¤¨±ª®­²¨°®¢ ­¨¿, ²® ¯°¨¢¥¤¥­­ ¿ ±²®¨¬®±²¼ ¡¥±ª®­¥·­®© ¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼­®±²¨ ¢»¨£°»¸¥© 1; 2; : : : ¥±²¼ 1 X t=1

t;1t:

Œ» ¯®ª ¦¥¬, ·²® ¢ ­ ¸¥¬ ¢ °¨ ­²¥ À„¨«¥¬¬» ‡ ª«¾·¥­­®£®Á Àª®®¯¥° ¶¨¿Á (R1; R2) ­  ª ¦¤®¬ ¸ £¥ ¬®¦¥² ¡»²¼ ‘H ¡¥±ª®­¥·­® ¯®¢²®°¿¾¹¥©±¿ ¨£°» (µ®²¿ ¥¤¨­±²¢¥­­»© ° ¢­®¢¥±­»© ¨±µ®¤ ¢ ¡ §®¢®© ¨£°¥ | ½²® (L1 ; L2) ). € ¨¬¥­­®, ¥±«¨ ¨£°®ª¨ ª®®¯¥°¨°³¾²±¿ ±¥£®¤­¿, ²® ®­¨ ª®®¯¥°¨°³¾²±¿ ¨ § ¢²° , ¨ ². ¤.,   ¢ ¯°®²¨¢­®¬ ±«³· ¥ ®­¨ ¨£° ¾² À¯«®µ®¥Á ° ¢­®¢¥±¨¥.

„¨­ ¬¨·¥±ª¨¥ ¨£°» ± ¯®«­®© ¨­´®°¬ ¶¨¥©

127

°¥¤¯®«®¦¨¬, ·²® ¨£°®ª i ­ ·¨­ ¥² ¨£°³, ª®®¯¥°¨°³¿±¼, ¨ ¯°®¤®«¦ ¥² ² ª ²®«¼ª® ¨ ¥±«¨ ²®«¼ª® ®¡  ¨£°®ª  ª®®¯¥°¨°®¢ «¨±¼ ­  «¾¡®¬ ¯°¥¤»¤³¹¥¬ ¸ £¥. ”®°¬ «¼­® ¥£® ±²° ²¥£¨¿ ®¯¨±»¢ ¥²±¿ ±«¥¤³¾¹¨¬ ®¡° §®¬: ˆ£° ²¼ Ri ­  1-¬ ¸ £¥.   ¸ £¥ t , ¥±«¨ ¢±¥ ¯°¥¤»¤³¹¨¥ t ; 1 ¨±µ®¤  ¡»«¨ (R1; R2) , ¨£° ²¼ Ri ; ¢ ¯°®²¨¢­®¬ ±«³· ¥ ¨£° ²¼ Li . ²® ² ª ­ §»¢ ¥¬ ¿ ²°¨££¥°­ ¿ ±²° ²¥£¨¿ (±²° ²¥£¨¿ ¯¥°¥ª«¾·¥­¨¿). …±«¨ ¨£°®ª¨ ¯°¨¤¥°¦¨¢ ¾²±¿ ½²®© ±²° ²¥£¨¨, ²® ¢ ¡¥±ª®­¥·­® ¯®¢²®°¿¾¹¥©±¿ ¨£°¥ ° ¢­®¢¥±­»¬ ¨±µ®¤®¬ ¡³¤¥² (R1; R2) ­  ª ¦¤®¬ ¸ £¥12. Œ» ¢­ · «¥ ¯®ª ¦¥¬, ·²® ¥±«¨  ¤®±² ²®·­® ¡«¨§ª® ª 1, ²® ½²® ¥±²¼ ° ¢­®¢¥±¨¥ ¯® ½¸³ ¢ ¡¥±ª®­¥·­® ¯®¢²®°¿¾¹¥©±¿ ¨£°¥ ¤«¿ ®¡®¨µ ¨£°®ª®¢, ¯°¨¤¥°¦¨¢ ¾¹¨µ±¿ ½²®© ±²° ²¥£¨¨. € § ²¥¬ ¯®ª ¦¥¬, ·²® ½²® ‘H. —²®¡» ¯®ª § ²¼, ·²® ½²® ¥±²¼ ° ¢­®¢¥±¨¥ ¯® ½¸³ ¢ ¡¥±ª®­¥·­® ¯®¢²®°¿¾¹¥©±¿ ¨£°¥, ¯°¥¤¯®«®¦¨¬, ·²® i -© ¨£°®ª ¨±¯®«¼§³¥² ²°¨££¥°­³¾ ±²° ²¥£¨¾, ¨ ¯®ª ¦¥¬, ·²® ¥±«¨  ¤®±² ²®·­® ¡«¨§ª® ª 1, ²® ¤«¿ j -£® ¨£°®ª  «³·¸¨¬ ®²¢¥²®¬ ¡³¤¥² ²®¦¥ ¯°¨¬¥­¿²¼ ² ª³¾ ±²° ²¥£¨¾. ’ ª ª ª ¨£°®ª i ¡³¤¥² ¨£° ²¼ Li ¢±¥£¤ , ª ª ²®«¼ª® ­  ª ª®¬-²® ¸ £¥ ¨±µ®¤ ®²«¨· ¥²±¿ ®² (R1; R2) , ²® «³·¸¨¬ ®²¢¥²®¬ j -£® ¡³¤¥² ²®¦¥ ¨£° ²¼ Lj ¢±¥£¤  ¯®±«¥ ­ °³¸¥­¨¿ (R1; R2) . ’. ¥. ®±² «®±¼ ®¯°¥¤¥«¨²¼ «³·¸¨© ®²¢¥² j -£® ¨£°®ª  ­  1-¬ ¸ £¥ ¨ ­  ¢±¥µ ¸ £ µ ² ª¨µ, ·²® ¢±¥ ¯°¥¤»¤³¹¨¥ ¡»«¨ (R1; R2) . ˆ£°  Lj ¤ ±² 5 ­  ½²®¬ ¸ £¥, ­® ¯¥°¥ª«¾·¨² ­  À­¥ª®®¯¥° ²¨¢­®¥ ¯®¢¥¤¥­¨¥Á ¨£°®ª  i (  §­ ·¨² ¨ j ) ­ ¢±¥£¤ . ‘«¥¤®¢ ²¥«¼­®, ­  «¾¡®¬ ¡³¤³¹¥¬ ¸ £¥ ¢»¨£°»¸ ¡³¤¥² 1; ² ª ª ª 1 +  +  2 +


+


= 1=(1 ;  ) , ²® ¯°¨¢¥¤¥­­ ¿ ±²®¨¬®±²¼ ¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼­®±²¨ ¢»¨£°»¸¥© ¥±²¼ 5+  +  2 +


= 5+ 1;  . ‘ ¤°³£®© ±²®°®­», ®²¢¥² Rj ¤ ¥² ¢»¨£°»¸¨ 4 ¨  ­ «®£¨·­»© ¢»¡®° ¬¥¦¤³ Lj ¨ Rj ­  ±«¥¤³¾¹¥¬ ¸ £¥. ³±²¼ V | 12 ‚®®¡¹¥ £®¢®°¿, ²°¨££¥°­»¥ ±²° ²¥£¨¨ ¤®¯³±ª ¾² ­¥®¤­®ª° ²­»¥ ¯¥°¥ª«¾·¥­¨¿ ± ®¤­®£® µ®¤  ­  ¤°³£®©. “ª § ­­ ¿ ±²° ²¥£¨¿ ­ §»¢ ¥²±¿ ¨­®£¤  ¦¥±²ª®© (¨«¨ ¦¥±²®ª®©) ±²° ²¥£¨¥© (grim strategy).

128

ƒ« ¢  2

¯°¨¢¥¤¥­­ ¿ ±²®¨¬®±²¼ ¢»¨£°»¸  j -£® ¨£°®ª , ¥±«¨ ®­ ¨£° ¥² ®¯²¨¬ «¼­®. …±«¨ ¨£°  Rj ®¯²¨¬ «¼­ , ²® V = 4 + V . ‘«¥¤®¢ ²¥«¼­®, V = 1 ;4  :

…±«¨ Lj ®¯²¨¬ «¼­ , ²® V = 5 + 1;  , ±«¥¤®¢ ²¥«¼­®, Rj ®¯²¨¬ «¼­  ¢ ²®¬ ¨ ²®«¼ª® ¢ ²®¬ ±«³· ¥, ¥±«¨ 4  5 +  ¨«¨   1 : 1; 1; 4 ³±²¼ ²¥¯¥°¼ G | ¨£°  ± ¯®«­®© ¨­´®°¬ ¶¨¥©, ¢ ª®²®°®© ¨£°®ª¨ ®¤­®¢°¥¬¥­­® ¢»¡¨° ¾² µ®¤». …±«¨ ¤ ­  ¡ §®¢ ¿ ¨£°  G , ²® G(1;  ) | ½²® ¡¥±ª®­¥·­® ¯®¢²®°¿¾¹ ¿±¿ ¨£° , ¢ ª®²®°®© G ¯®¢²®°¿¥²±¿ ¢±¥£¤  ¨ ³ ¨£°®ª®¢ ®¡¹¨© ª®½´´¨¶¨¥­² ¤¨±ª®­²¨°®¢ ­¨¿  . „«¿ «¾¡®£® t ¨±µ®¤» ¯°¥¤»¤³¹¨µ t ;1 ¸ £®¢ ­ ¡«¾¤ ¾²±¿ ¤® ­ · «  ¸ £  t . ‚»¨£°»¸ ª ¦¤®£® ¨£°®ª  | ¯°¨¢¥¤¥­­ ¿ ±²®¨¬®±²¼ ¥£® ¢»¨£°»¸¥©. Š ª µ®°®¸® ¨§¢¥±²­®, ¢ «¾¡®© ¨£°¥ ±²° ²¥£¨¿ | ¯®«­»© ¯« ­ ¤¥©±²¢¨¿. ‚ ±² ²¨·¥±ª®© ¨£°¥ ± ¯®«­®© ¨­´®°¬ ¶¨¥© | ½²® ¯°®±²® µ®¤». ‚ ¤¨­ ¬¨ª¥, ° §³¬¥¥²±¿, ¢±¥ ±«®¦­¥¥. ‘ª ¦¥¬, ¢ ¤¢³µ¸ £®¢®© À„¨«¥¬¬¥ ‡ ª«¾·¥­­®£®Á ±²° ²¥£¨¾ ¬®¦­® § ¯¨± ²¼ ª ª ¯¿²¥°ª³ (v; w; x; y; z ): v | ­  1-¬ ¸ £¥; w | µ®¤¨²¼ w , ¥±«¨ ¨±µ®¤ ¡»« (L1; L2) ; x | µ®¤¨²¼ x , ¥±«¨ | (L1; R2) ; y | µ®¤¨²¼ y , ¥±«¨ | (R1; L2) ; z | µ®¤¨²¼ z , ¥±«¨ | (R1; R2) . ²® ¬®¦­® ¯°¥¤±² ¢¨²¼ ±¥¡¥, ª ª ­ ¡®° ª®¬ ­¤  £¥­² ¬: 1-© µ®¤¨² ­  ¯¥°¢®¬ ¸ £¥, 2-© | ­  ¢²®°®¬ ¨ ². ¤. ‚ ¯®¢²®°¿¾¹¥©±¿ ¨£°¥ G(T ) ¨«¨ G(1;  ) ¨±²®°¨¿ ¨£°» ¤® ¸ £  t | ½²® À§ ¯¨±¼Á µ®¤®¢ ¨£°®ª®¢ ¤® ¸ £  t . ‚ ª®­¥·­® ¯®¢²®°¿¾¹¥©±¿ ¨£°¥ G(T ) ¨«¨ ¡¥±ª®­¥·­® ¯®¢²®°¿¾¹¥©±¿ ¨£°¥ G(1;  ) ±²° ²¥£¨¿ ¨£°®ª  ®¯¨±»¢ ¥² ¤¥©±²¢¨¥ ¨£°®ª , ª®²®°»¥ ®­ ¯°¥¤¯°¨­¨¬ ¥² ­  ª ¦¤®¬ ¸ £¥, ¤«¿ «¾¡®© ¢®§¬®¦­®© ¨±²®°¨¨. (‚ ½²®¬ ±¬»±«¥ ¨±²®°¨¿ ±®®²¢¥²±²¢³¥² ¨­´®°¬ ¶¨®­­®¬³ ¬­®¦¥±²¢³: ª ¦¤ ¿ ¨±²®°¨¿ ¯°¨¢®¤¨² ª

„¨­ ¬¨·¥±ª¨¥ ¨£°» ± ¯®«­®© ¨­´®°¬ ¶¨¥©

129

¢¯®«­¥ ®¯°¥¤¥«¥­­®¬³ ¨­´®°¬ ¶¨®­­®¬³ ¬­®¦¥±²¢³ (®¤­®²®·¥·­®¬³),   ª ¦¤®¬³ ¨­´®°¬ ¶¨®­­®¬³ ¬­®¦¥±²¢³ (®¤­®²®·¥·­®¬³) ±®®²¢¥²±²¢³¥² ¢¯®«­¥ ®¯°¥¤¥«¥­­»© ¯³²¼ (¨±²®°¨¿), ª®²®°»© ¯°¨¢®¤¨² ¨¬¥­­® ª ½²®¬³ ¨­´®°¬ ¶¨®­­®¬³ ¬­®¦¥±²¢³.) „«¿ ª®­¥·­® ¯®¢²®°¿¾¹¥©±¿ ¨£°» G(T ) ¯®¤-¨£° , ­ ·¨­ ¾¹ ¿±¿ ­  ¸ £¥ t +1 , | ½²® ª®­¥·­® ¯®¢²®°¿¾¹ ¿±¿ ¨£° , ¢ ª®²®°®© G ° §»£°»¢ ¥²±¿ T ; t ° § ¨ ª®²®° ¿ ®¡®§­ · ¥²±¿ G(T ; t) . ‚ G(1;  ) ª ¦¤ ¿ ¯®¤-¨£° , ­ ·¨­ ¿ ± ¸ £  t + 1; ¨¤¥­²¨·­  G(1;  ): ˆ£°, ­ ·¨­ ¾¹¨µ±¿ ± t + 1; ±²®«¼ª® ¦¥, ±ª®«¼ª® ¨±²®°¨©.  §³¬¥¥²±¿, ª ¦¤ ¿ ¯®¤-¨£°  ®±¬»±«¥­­  ¢¬¥±²¥ ± ¯°¥¤»±²®°¨¥©. ’ ª¨¬ ®¡° §®¬, §¤¥±¼, ª ª ¨ ° ­¥¥, ° ¢­®¢¥±¨¥ ¯® H½¸³ ¿¢«¿¥²±¿ ‘H, ¥±«¨ ±®®²¢¥²±²¢³¾¹¨¥ ±²° ²¥£¨¨ ¨£°®ª®¢ ®¡° §³¾² ° ¢­®¢¥±¨¥ ¯® ½¸³ ¢ «¾¡®© ¯®¤-¨£°¥. ‘H ¿¢«¿¥²±¿ ³²®·­¥­¨¥¬ ° ¢­®¢¥±¨¿ ¯® H½¸³ ¢ ²®¬ ±¬»±«¥, ·²® ±²° ²¥£¨¨ ¨£°®ª®¢ ¤®«¦­», ¢®-¯¥°¢»µ, ®¡° §®¢»¢ ²¼ ° ¢­®¢¥±¨¥ ¯® H½¸³,   ª°®¬¥ ²®£®, À¢»¤¥°¦¨¢ ²¼Á ¤®¯®«­¨²¥«¼­»© ²¥±² | ¢ ¯®¤-¨£° µ. ‚¥°­¥¬±¿ ª À„¨«¥¬¬¥ ‡ ª«¾·¥­­®£®Á ¨ ª ²°¨££¥°­®© ±²° ²¥£¨¨, ° ±±¬®²°¥­­®© ¢»¸¥. ‡¤¥±¼ ¢±¥ ¯®¤-¨£°» ¬®¦­® ° §¡¨²¼ ­  2 £°³¯¯»: (1) ¯®¤-¨£°», ¢ ª®²®°»µ ¢±¥ ¨±µ®¤» ¯°¥¤»¤³¹¨µ ¸ £®¢ ¡»«¨ (R1; R2); ¨ (2) ¯®¤-¨£°», ¢ ª®²®°»µ µ®²¿ ¡» ®¤¨­ ¨§ ¯°¥¤»¤³¹¨µ ¨±µ®¤®¢ ¡»« ­¥ (R1; R2): …±«¨ ¨£°®ª¨ ¨±¯®«¼§³¾² ²°¨££¥°­³¾ ±²° ²¥£¨¾ ¢® ¢±¥© ¨£°¥, ²® 1) ±²° ²¥£¨¨ ¨£°®ª®¢ ¢ ¯®¤-¨£°¥ ¯¥°¢®© £°³¯¯» ²®¦¥ ®ª §»¢ ¾²±¿ ²°¨££¥°­»¬¨ ±²° ²¥£¨¿¬¨, ª®²®°»¥ ´®°¬¨°³¾² ° ¢­®¢¥±¨¥ ¯® H½¸³ ¢® ¢±¥© ¨£°¥; 2) ±²° ²¥£¨¨ ¨£°®ª®¢ ¢ ¯®¤¨£°¥ ¢²®°®© £°³¯¯» ¯°®±²® À­ ¢¥·­®Á ¯®¢²®°¿¾² À¯®¸ £®¢®¥Á ° ¢­®¢¥±¨¥ (L1 ; L2) , ª®²®°®¥ ² ª¦¥ ¿¢«¿¥²±¿ ° ¢­®¢¥±¨¥¬ ¢® ¢±¥© ¨£°¥. ®½²®¬³ ° ¢­®¢¥±¨¥ ¯® H½¸³ ¢ ²°¨££¥°­»µ ±²° ²¥£¨¿µ ¿¢«¿¥²±¿ ‘H.

130

ƒ« ¢  2

¨±. 21.  ¡®° ¢»¨£°»¸¥© (x1 ; : : :; xn) ­ §»¢ ¥²±¿ ¤®±²¨¦¨¬»¬ ¢ ¡ §®¢®© ¨£°¥ G , ¥±«¨ ®­ ¿¢«¿¥²±¿ ¢»¯³ª«®© ª®¬¡¨­ ¶¨¥© ¢»¨£°»¸¥© ¢ ±¨²³ ¶¨¿µ ¢ ·¨±²»µ ±²° ²¥£¨¿µ ¨£°» G . H  °¨±. 21 ¨§®¡° ¦¥­® ¬­®¦¥±²¢® ¤®±²¨¦¨¬»µ ¢»¨£°»¸¥© ¢ À„¨«¥¬¬¥ ‡ ª«¾·¥­­®£®Á | ½²® ¯ ° ««¥«®£° ¬¬. ‘°¥¤­¨© ¢»¨£°»¸ (§  ¯¥°¨®¤) ¡¥±ª®­¥·­®© ¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼­®±²¨ ¢»¨£°»¸¥© 1 ; 2; 3; : : : ¯°¨ ¤ ­­®¬ ª®½´´¨¶¨¥­²¥ ¤¨±ª®­²¨°®¢ ­¨¿  ¥±²¼ (1 ;  )

1 X t=1

t;1 t :

°¥¨¬³¹¥±²¢® ±°¥¤­¥£® ¢»¨£°»¸  ¯® ±° ¢­¥­¨¾ ± ¯°¨¢¥¤¥­­®© ±²®¨¬®±²¼¾ ¢ ²®¬, ·²® ±°¥¤­¨© ¢»¨£°»¸ ­¥¯®±°¥¤±²¢¥­­® ¬®¦­® ±° ¢­¨¢ ²¼ ± ¯®¸ £®¢»¬¨ ¢»¨£°»¸ ¬¨. ‚ ° ±±¬®²°¥­­®¬ ­ ¬¨ ¢ °¨ ­²¥ À„¨«¥¬¬» ‡ ª«¾·¥­­®£®Á ®¡  ¨£°®ª  ¬®£³² ¯®«³· ²¼ ¢»¨£°»¸ 4 ¢ ª ¦¤®¬ ¯¥°¨®¤¥. ’ ª ¿ ¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼­®±²¼ ¢»¨£°»¸¥© ¤ ¥² ±°¥¤­¨© ¢»¨£°»¸ 4,   ¯°¨¢¥¤¥­­³¾ ±²®¨¬®±²¼ 4=(1 ;  ) . ‘ ¤°³£®© ±²®°®­», ±°¥¤­¨© ¢»¨£°»¸ | ½²® ¯°®±²® ¯°¨¢¥¤¥­­ ¿ ±²®¨¬®±²¼ ± ­¥ª®²®°»¬ ¬­®¦¨²¥«¥¬; ¬ ª±¨¬¨§ ¶¨¿ ±°¥¤­¥£® ¢»¨£°»¸  ½ª¢¨¢ «¥­²­  ¬ ª±¨¬¨§ ¶¨¨ ¯°¨¢¥¤¥­­®© ±²®¨¬®±²¨.

„¨­ ¬¨·¥±ª¨¥ ¨£°» ± ¯®«­®© ¨­´®°¬ ¶¨¥©

131

Œ» ¬®¦¥¬ ±´®°¬³«¨°®¢ ²¼ ²¥¯¥°¼ §­ ¬¥­¨²³¾ ²¥®°¥¬³, ª®²®° ¿ ­®±¨² ­ §¢ ­¨¥ ­ °®¤­®© (´®«¼ª«®°­®©) | Folk Theorem, ª®²®° ¿ ±²®«¼ µ®°®¸® ¨§¢¥±²­  ±¯¥¶¨ «¨±² ¬, ·²® ¥¥  ¢²®°±²¢® ±·¨² ¥²±¿ À­ °®¤­»¬Á, µ®²¿, ¯®-¢¨¤¨¬®¬³, ¯¥°¢»¬ ¥¥ ¤«¿ ‘H ¤®ª § « „¦¥©¬± ”°¨¤¬ ­.

’¥®°¥¬  2.5.1. (Friedman, 1971). ³±²¼ G ª®­¥·­ ¿,

±² ²¨·¥±ª ¿ ¨£°  ± ¯®«­®© ¨­´®°¬ ¶¨¥©. ³±²¼ (e1; : : :; en ); ¢»¨£°»¸¨ ¢ ±®±²®¿­¨¨ ° ¢­®¢¥±¨¿ ¯® H½¸³, ¨ ¯³±²¼ (x1; : : :; xn ) | «¾¡®© ¤®±²¨¦¨¬»© ¢¥ª²®° ¢»¨£°»¸¥© ¢ G . …±«¨ xi > ei ¤«¿ «¾¡®£® i ¨  ¤®±² ²®·­® ¡«¨§ª® ª 1, ²® ±³¹¥±²¢³¥² ‘H ¢ ¨£°¥ G(1;  ) , ¤ ¾¹¥¥ (x1; : : :; xn ) ¢ ª ·¥±²¢¥ ±°¥¤­¥£® ¢»¨£°»¸ .

„®ª § ²¥«¼±²¢® ½²®© ²¥®°¥¬» ¬®¦­® ­ ©²¨, ­ ¯°¨¬¥°, ¢ ³·¥¡­¨ª¥ Gibbons (1992). H  °¨±. 19 ¬­®¦¥±²¢® ¢®§¬®¦­»µ ‘H § ¸²°¨µ®¢ ­®.  ° ¨ ¬ ¥ °. ‘£®¢®° Š³°­®-¤³®¯®«¨±²®¢. ‚±¯®¬­¨¬ ±² ²¨·¥±ª³¾ ¤³®¯®«¨¾ ¯® Š³°­®. C¯°®± ­  °»­ª¥ P (Q) = a ; Q , £¤¥ Q = q1 + q2 , Q < a , ³ ´¨°¬ ¯®±²®¿­­»¥ ¯°¥¤¥«¼­»¥ § ²° ²» c , ¨ ­¥² ´¨ª±¨°®¢ ­­»µ § ²° ². ‚ ¥¤¨­±²¢¥­­®¬ ° ¢­®¢¥±¨¨ ¯® ½¸³ ª ¦¤ ¿ ´¨°¬  ¯°®¨§¢®¤¨² qc = (a ; c)=3 . ®±ª®«¼ª³ ±³¬¬ °­»© ®¡º¥¬ ¢ ° ¢­®¢¥±¨¨ 2(a ; c)=3 ¯°¥¢»¸ ¥² ¬®­®¯®«¼­»© ®¡º¥¬ qm = (a ; c)=2 , ®¡¥¨¬ ´¨°¬ ¬ ¡»«® ¡» «³·¸¥, ¥±«¨ ¡» ª ¦¤»© ¯°®¨§¢®¤¨« ¯®«®¢¨­³ ¬®­®¯®«¼­®£® ¢»¯³±ª  qi = qm =2 .  ±±¬®²°¨¬ ¡¥±ª®­¥·­® ¯®¢²®°¿¾¹³¾±¿ ¨£°³, ¢ ª®²®°®© ¡ §®¢ ¿ ¨£°  | ½²® ° ±±¬ ²°¨¢ ¥¬ ¿ ¤³®¯®«¨¿ ¯® Š³°­®, ¯°¨·¥¬ ³ ®¡¥¨µ ´¨°¬ ®¡¹¨© ª®½´´¨¶¨¥­² ¤¨±ª®­²¨°®¢ ­¨¿  . Œ» ±¥©· ± ¢»·¨±«¨¬ §­ ·¥­¨¥  , ¤«¿ ª®²®°»µ ¢ ±®¢¥°¸¥­­®¬ À¯®¤-¨£°®¢®¬Á ° ¢­®¢¥±¨¨ ¯® ½¸³ ½²®© ¡¥±ª®­¥·­® ¯®¢²®°¿¾¹¥©±¿ ¨£°» ¨£° ¥²±¿ (®¡¥¨¬¨ ´¨°¬ ¬¨) ±«¥¤³¾¹ ¿ ±²° ²¥£¨¿: °®¨§¢®¤¨²¼ ¯®«®¢¨­³ ¬®­®¯®«¼­®£® ®¡º¥¬ , qm =2 , ¢ ¯¥°¢®¬ ¯¥°¨®¤¥. ‚ ¯¥°¨®¤¥ t ¨£° ²¼ qm =2 , ¥±«¨ ®¡¥ ´¨°¬» ¯°®-

132

ƒ« ¢  2

¨§¢®¤¨«¨ qm =2 ¢ ª ¦¤®¬ ¨§ ¯°¥¤»¤³¹¨µ t ; 1 ¯¥°¨®¤®¢; ¢ ¯°®²¨¢­®¬ ±«³· ¥ ¯°®¨§¢®¤¨²¼ qc . °¨¡»«¼ ´¨°¬», ª®£¤  ®¡¥ ´¨°¬» ¯°®¨§¢®¤¿² qm =2 , ¥±²¼ (a ; c)2=8 , ª®²®°³¾ ¬» ®¡®§­ ·¨¬ ·¥°¥§ m =2 . °¨¡»«¼ ´¨°¬», ª®£¤  ®¡¥ ¯°®¨§¢®¤¿² qc , ¥±²¼ (a ; c)2=9 , ª®²®°³¾ ¬» ®¡®§­ ·¨¬ c . „ «¥¥, ¥±«¨ ´¨°¬  i ±®¡¨° ¥²±¿ ¯°®¨§¢®¤¨²¼ qm =2 ¢ ½²®¬ ¯¥°¨®¤¥, ²® ®¡º¥¬, ¬ ª±¨¬¨§¨°³¾¹¨© ¯°¨¡»«¼ ´¨°¬» j , °¥¸ ¥² § ¤ ·³ 1 q ; c)q : max ( a ; q ; j j qj 2m ¥¸¥­¨¥¬ ½²®© § ¤ ·¨ ¿¢«¿¥²±¿ qj = 3(a8;c) ± ±®®²¢¥²±²¢³¾¹¥© ¯°¨¡»«¼¾ d = 9(a64;c) . ’ ª¨¬ ®¡° §®¬, ±¨²³ ¶¨¨, ¢ ª®²®°»µ ´¨°¬» ¨£° ¾² ²°¨££¥°­³¾ ±²° ²¥£¨¾, ¯°¨¢¥¤¥­­³¾ ¢»¸¥, ¿¢«¿¾²±¿ ° ¢­®¢¥±¨¥¬ ¯® H½¸³, ¥±«¨ 1 1   +   : 1;2 m d 1; c 2

®¤±² ¢«¿¿ m , c , d , ¯®«³· ¥¬   179 . 2.6. ‡ ¤ ·¨

1. °¥¤¯®«®¦¨¬, ·²® °®¤¨²¥«¼ ¨ °¥¡¥­®ª ¨£° ¾² ¢ ±«¥¤³¾¹³¾ ¨£°³. ‘­ · «  °¥¡¥­®ª ¢»¡¨° ¥² ¤¥©±²¢¨¥ A , ª®²®°®¥ ¯°¨­®±¨² ¥¬³ ¤®µ®¤ Ic (A) ¨ ¤®µ®¤ ¤«¿ °®¤¨²¥«¿ Ip (A) . „ «¥¥, °®¤¨²¥«¼ ­ ¡«¾¤ ¥² ¤®µ®¤» Ic ¨ Ip ¨ § ²¥¬ ¢»¡¨° ¥² ­ £° ¤³ B ¤«¿ °¥¡¥­ª . ”³­ª¶¨¿ ¢»¨£°»¸  °¥¡¥­ª  U (Ic +B ) , °®¤¨²¥«¿ | V (Ip ;B )+kU (Ic +B ) , £¤¥ k > 0 ®²° ¦ ¥² À°®¤¨²¥«¼±ª®¥ ³· ±²¨¥ ¢ ¡« £®¯®«³·¨¨ °¥¡¥­ª Á. „®¯³±²¨¬, ·²® ¤¥©±²¢¨¥ °¥¡¥­ª  | ½²® ¢»¡®° ­¥®²°¨¶ ²¥«¼­®£® ·¨±«  A  0 ; ´³­ª¶¨¨ ¤®µ®¤®¢ ±²°®£® ¢®£­³²» Ic (A) ¨ Ip (A) ¨ ¤®±²¨£ ¾² ¬ ª±¨¬³¬®¢ ¯°¨ Ac > 0 ¨ Ap > 0 ±®®²¢¥²±²¢¥­­®.  £° ¤  B ¬®¦¥² ¡»²¼ ¯®«®¦¨²¥«¼­®© ¨«¨ ®²°¨¶ ²¥«¼­®©; ´³­ª¶¨¨

133

„¨­ ¬¨·¥±ª¨¥ ¨£°» ± ¯®«­®© ¨­´®°¬ ¶¨¥©

¯®«¥§­®±²¨ U ¨ V ¢®§° ±² ¾¹¨¥ ¨ ±²°®£® ¢®£­³²». „®ª ¦¨²¥, ·²® ®¡° ²­ ¿ ¨­¤³ª¶¨¿ ¤ ¥² ±«¥¤³¾¹¨© ¨±µ®¤: °¥¡¥­®ª ¢»¡¨° ¥² ¤¥©±²¢¨¥, ª®²®°®¥ ¬ ª±¨¬¨§¨°³¥² ±¥¬¥©­»© ±®¢®ª³¯­»© ¤®µ®¤, Ic (A) + Ip (A) . 2. „®¯³±²¨¬ ²¥¯¥°¼, ·²® °®¤¨²¥«¼ ¨ °¥¡¥­®ª ¨£° ¾² ¢ ¤°³£³¾ ¨£°³. ³±²¼ ¤®µ®¤» Ic ¨ Ip ´¨ª±¨°®¢ ­» ½ª§®£¥­­®. ‚®-¯¥°¢»µ, °¥¡¥­®ª °¥¸ ¥², ±ª®«¼ª® ¨§ ¤®µ®¤  Ic ±®µ° ­¨²¼ ¤«¿ ¡³¤³¹¥£® ( S ), ¯®²°¥¡«¿¿ ®±² ²®ª ( Ic ; S ) ±¥£®¤­¿. ‚®-¢²®°»µ, °®¤¨²¥«¼ ­ ¡«¾¤ ¥² ¢»¡®° °¥¡¥­ª  S ¨ ¢»¡¨° ¥² ­ £° ¤³ B . ‚»¨£°»¸ °¥¡¥­ª  | ½²® ±³¬¬  ²¥ª³¹¥© ¨ ¡³¤³¹¥© ¯®«¥§­®±²¨: U1 (Ic ; S ) + U2 (S + B ) . ‚»¨£°»¸ °®¤¨²¥«¿: V (Ip ; B )+ k[U1 (Ic ; S )+ U2(S + B )] . „®¯³±²¨¬, ·²® ´³­ª¶¨¨ ¯®«¥§­®±²¨ U1 , U2 , V ¢®§° ±² ¾¹¨¥ ¨ ±²°®£® ¢®£­³²»¥. ®ª § ²¼, ·²® ¨±µ®¤ ®¡° ²­®© ¨­¤³ª¶¨¨ ±«¥¤³¾¹¨©: °¥¡¥­®ª ±®µ° ­¿¥² ±«¨¸ª®¬ ¬ «®, ·²®¡» ¯®¡³¤¨²¼ °®¤¨²¥«¿ ®±² ¢¨²¼ ¡®«¼¸³¾ ­ £° ¤³ (². ¥. ®¡¥ ´³­ª¶¨¨ ¢»¨£°»¸  °®¤¨²¥«¿ ¨ °¥¡¥­ª  ¬®£³² ¡»²¼ ³¢¥«¨·¥­», ¥±«¨ S ¡³¤¥² ¢»¡° ­® ¡®«¼¸¥,   B ¢»¡° ­® ¬¥­¼¸¥). 3. „®¯³±²¨¬, ·²® ¨£°®ª¨ ¢ ¡¥±ª®­¥·­®© ¨£°¥ ²®°£  ¯® ³¡¨­¸²¥©­³ ¨¬¥¾² ° §«¨·­»¥ ¤¨±ª®­²¨°³¾¹¨¥ ¬­®¦¨²¥«¨ 1 ¨ 2 ¤«¿ ¯¥°¢®£® ¨ ¢²®°®£® ¨£°®ª  ±®®²¢¥²±²¢¥­­®. ®ª § ²¼, ·²® ®¡° ²­ ¿ ¨­¤³ª¶¨¿ ¤ ¥² ±«¥¤³¾¹¨© °¥§³«¼² ²: ¨£°®ª 1 ¯°¥¤« £ ¥² ±®£« ¸¥­¨¥ 1 ; 2 ; 2 (1 ; 1 ) 1 ; 1 2 1 ; 1 2

!

¨£°®ª³ 2 , ¨ ²®² ¯°¨­¨¬ ¥² ¥£®. 4.  ±±¬®²°¨¬ ®«¨£®¯®«¨¾ ¯® Š³°­® ± 3 ³· ±²­¨ª ¬¨ ¨ ®¡° ²­®© ´³­ª¶¨¥© ±¯°®±  P (Q) = a ; Q , £¤¥ Q = q1 + q2 + q3 ¨ qi | ®¡º¥¬ ¯°®¤³ª¶¨¨, ¯°®¨§¢¥¤¥­­®© ´¨°¬®© i . Š ¦¤ ¿ ´¨°¬  ¨¬¥¥² ¯®±²®¿­­»¥ ¯°¥¤¥«¼­»¥

134

ƒ« ¢  2

§ ²° ²» c ¨ ­¥ ¨¬¥¥² ´¨ª±¨°®¢ ­­»µ § ²° ². ”¨°¬» ¢»¡¨° ¾² ®¡º¥¬ ¯°®¨§¢®¤±²¢  ±«¥¤³¾¹¨¬ ®¡° §®¬: (1) ´¨°¬  1 ¢»¡¨° ¥² q1  0 ; (2) ´¨°¬» 2 ¨ 3 ­ ¡«¾¤ ¾² q1 ¨ § ²¥¬ ®¤­®¢°¥¬¥­­® ¢»¡¨° ¾² q2 ¨ q3 ±®®²¢¥²±²¢¥­­®. —²® ¿¢«¿¥²±¿ ±®¢¥°¸¥­­»¬ ¯®¤-¨£°®¢»¬ ¨±µ®¤®¬ ¢ ½²®© ¨£°¥? 5. „®¯³±²¨¬, ·²® ¯°®´±®¾§ ¿¢«¿¥²±¿ ¥¤¨­±²¢¥­­»¬ ¯®±² ¢¹¨ª®¬ ²°³¤  ¢® ¢±¥ ´¨°¬» ¢ ®«¨£®¯®«¨¨ (­ ¯°¨¬¥°, Ž¡º¥¤¨­¥­­»¥ ° ¡®·¨¥  ¢²®¬®¡¨«¼­®© ¯°®¬»¸«¥­­®±²¨ ¨¬¥¾²±¿ ¢ General Motors, Ford, Chrysler ¨ ². ¯.). ³±²¼ ¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼­®±²¼ µ®¤®¢ ¡³¤¥² ±«¥¤³¾¹¥©: (1) ¯°®´±®¾§ ³±² ­ ¢«¨¢ ¥² ¥¤¨­³¾ ±² ¢ª³ § ° ¡®²­®© ¯« ²» w; ª®²®°³¾ ¯°¥¤« £ ¥² ¢±¥¬ ´¨°¬ ¬; (2) ´¨°¬» ­ ¡«¾¤ ¾² (¨ ¯°¨­¨¬ ¾²) w ¨ § ²¥¬ ®¤­®¢°¥¬¥­­® ¢»¡¨° ¾² ³°®¢¥­¼ § ­¿²®±²¨ Li ¤«¿ ´¨°¬» i ; (3) ¢»¨£°»¸¨ (w ; wa)L ¤«¿ ¯°®´±®¾§ , £¤¥ wa | § °¯« ² , ª®²®°³¾ ·«¥­» ¯°®´±®¾§  ¬®£³² § ° ¡®² ²¼ ­   «¼²¥°­ ²¨¢­®© ° ¡®²¥, ¨ L = L1 + L2 +


+Ln | ®¡¹ ¿ § ­¿²®±²¼ ¢ ®¡º¥¤¨­¥­­®© ´¨°¬¥, ¨ (w; Li) | ¯°¨¡»«¼ ¤«¿ ´¨°¬» i , ª®²®° ¿ ³±² ­ ¢«¨¢ ¥²±¿ ¨±µ®¤¿ ¨§ ±«¥¤³¾¹¥£® ¯°¥¤¯®«®¦¥­¨¿: ¢±¥ ´¨°¬» ¨¬¥¾² ¯°®¨§¢®¤±²¢¥­­³¾ ´³­ª¶¨¾ qi = Li . »­®·­ ¿ ¶¥­  P (Q) = a ; Q , £¤¥ Q = q1 +


+ qn . „«¿ ¯°®±²®²» ¡³¤¥¬ ¯°¥¤¯®« £ ²¼, ·²® ´¨°¬» ­¥ ¨¬¥¾² ­¨ª ª¨µ ¤°³£¨µ § ²° ², ª°®¬¥ § ° ¡®²­®© ¯« ²» ° ¡®·¨¬. —²® ¿¢«¿¥²±¿ ±®¢¥°¸¥­­»¬ ¯®¤-¨£°®¢»¬ ¨±µ®¤®¬ ¢ ½²®© ¨£°¥? Š ª (¨ ¯®·¥¬³) ª®«¨·¥±²¢® ´¨°¬ ¢«¨¿¥² ­  ´³­ª¶¨¾ ¯®«¥§­®±²¨ ¯°®´±®¾§  ¢ ±®¢¥°¸¥­­®¬ ¯®¤-¨£°®¢®¬ ¨±µ®¤¥? 6.  ±±¬®²°¨¬ ¤¢¥ ±²° ­» ¨ ¡³¤¥¬ ±·¨² ²¼, ·²® ¢®§¬®¦­» ¤¢¥ ±¨²³ ¶¨¨.

„¨­ ¬¨·¥±ª¨¥ ¨£°» ± ¯®«­®© ¨­´®°¬ ¶¨¥©

135

‚ ±¨²³ ¶¨¨ 1 ®¡¥ ±²° ­» ³±² ­ ¢«¨¢ ¾² ² ª¨¥ ¢»±®ª¨¥ ² °¨´­»¥ ±² ¢ª¨, ·²® ­¨ª ª®© ²®°£®¢«¨ ¬¥¦¤³ ­¨¬¨ ­¥ ¯°®¨±µ®¤¨². ‚ ª ¦¤®© ±²° ­¥ § °¯« ²  ¨ § ­¿²®±²¼ ®¯°¥¤¥«¿¾²±¿, ª ª ¢ § ¤ ·¥ 5. ‚ ±¨²³ ¶¨¨ 2 ² °¨´­»µ ±² ¢®ª ­¥². Š ¦¤»© ¯°®´±®¾§ ³±² ­ ¢«¨¢ ¥² § °¯« ²³ ¢ ±¢®¥© ±²° ­¥, ­® ª ¦¤ ¿ ´¨°¬  ¯°®¨§¢®¤¨² ¯°®¤³ª¶¨¾ ¤«¿ ®¡®¨µ °»­ª®¢. „®¯³±²¨¬, ·²® ¢ ª ¦¤®© ±²° ­¥ ®¡° ²­ ¿ ´³­ª¶¨¿ ±¯°®±  P (Q) = a ; Q . ³±²¼ ¯°®¨§¢®¤±²¢¥­­ ¿ ´³­ª¶¨¿ ¤«¿ ª ¦¤®© ´¨°¬» ¡³¤¥² q = L , ¯®½²®¬³ ¢»¯« ²» § °¯« ²» | ¥¤¨­±²¢¥­­»¥ § ²° ²» ´¨°¬», ¨ ¯³±²¼ ´³­ª¶¨¿ ¯®«¥§­®±²¨ ¯°®´±®¾§  ¡³¤¥² U (w; L) = (w ; w0)L , £¤¥ w0 |  «¼²¥°­ ²¨¢­ ¿ § ° ¡®²­ ¿ ¯« ²  ° ¡®·¨µ.  ©²¨ ¨±µ®¤ ± ¯®¬®¹¼¾ ®¡° ²­®© ¨­¤³ª¶¨¨ ¢ ±¨²³ ¶¨¨ 1. ’¥¯¥°¼ ° ±±¬®²°¨¬ ±«¥¤³¾¹³¾ ¨£°³ ¢ ±¨²³ ¶¨¨ 2. ‘­ · «  ¤¢  ¯°®´±®¾§  ®¤­®¢°¥¬¥­­® ¢»¡¨° ¾² § °¯« ²», w1 ¨ w2 . ‡ ²¥¬ ´¨°¬» ­ ¡«¾¤ ¾² § °¯« ²» ¨ ¢»¡¨° ¾² ¯°®¤³ª¶¨¨ ¤«¿ ¤®¬ ¸­¥£® ¨ ¨­®±²° ­­®£® °»­ª®¢, ®¡®§­ ·¥­­»µ hi ¨ ei ¤«¿ ´¨°¬» ¢ ±²° ­¥ i . ‚±¿ ¯°®¤³ª¶¨¿ i -© ´¨°¬» ¯°®¨§¢®¤¨²±¿ ¤®¬ , ¯®½²®¬³ ®¡¹¨¥ § ²° ²» ¥±²¼ wi(hi +ei ) .  ©²¨ ±®¢¥°¸¥­­®¥ ¯®¤-¨£°®¢®¥ ° ¢­®¢¥±¨¥ ½²®© ¨£°». ®ª § ²¼, ·²® § °¯« ²», § ­¿²®±²¼ ¨ ¯°¨¡»«¼ (¨ ¯®½²®¬³ ² ª¦¥ ¯®«¥§­®±²¼ ¯°®´±®¾§  ¨ ¯®²°¥¡¨²¥«¼±ª¨© ¨§«¨¸¥ª) ³¢¥«¨·¨¢ ¾²±¿, ¯® ¬¥°¥ ¨±·¥§­®¢¥­¨¿ ² °¨´­»µ ±² ¢®ª. 7. ‘² ²¨·¥±ª ¿ ¨£°  ± ®¤­®¢°¥¬¥­­»¬¨ µ®¤ ¬¨ (±¬. °¨±. 22) ° §»£°»¢ ¥²±¿ ¤¢ ¦¤», ¯°¨·¥¬ ¨±µ®¤ ¯¥°¢®£® ¸ £  ­ ¡«¾¤ ¥²±¿ ¯¥°¥¤ ­ · «®¬ ¢²®°®£® ¸ £ . °¥¤¯®«®¦¨¬, ·²® ­¥² ¤¨±ª®­²¨°®¢ ­¨¿. ¥°¥¬¥­­ ¿ x > 4 , ¯®½²®¬³ (4,4) ­¥ ¿¢«¿¥²±¿ ° ¢­®¢¥±­»¬ ¢»¨£°»¸¥¬ ¢ À¡ §®¢®©Á ¨£°¥. „«¿ ª ª¨µ §­ ·¥­¨© x ±«¥¤³¾¹ ¿ ±²° ²¥£¨¿ (±»£° ­­ ¿ ®¡®¨¬¨ ¨£°®ª ¬¨) ¡³¤¥² ‘?

136

ƒ« ¢  2

‘»£° ²¼ Qi ­  ¯¥°¢®¬ ¸ £¥. …±«¨ ¨±µ®¤ ¯¥°¢®£® ¸ £  (Q1; Q2) , ¨£° ²¼ Pi ­  ¢²®°®¬ ¸ £¥. …±«¨ ­  ¯¥°¢®¬ ¸ £¥ ¨±µ®¤ (y; Q2) , £¤¥ y 6= Q1 , ¨£° ²¼ Ri ­  ¢²®°®¬ ¸ £¥. …±«¨ ­  ¯¥°¢®¬ ¸ £¥ ¨±µ®¤ (Q1; z ) , £¤¥ z 6= Q2 , ¨£° ²¼ Si ­  ¢²®°®¬ ¸ £¥. …±«¨ ­  ¯¥°¢®¬ ¸ £¥ ¨±µ®¤ (y; z ) , £¤¥ y 6= Q1 , z 6= Q2 , ¨£° ²¼ Pi ­  ¢²®°®¬ ¸ £¥.

P1 Q1 R1 S1

0 B B @

P2

(2; 2) (0; x) (0; 0) (0; ;1)

Q2

R2

(x; 0) (;1; 0) (4; 4) (;1; 0) (0; 0) (0; 2) (0; ;1) (;1; ;1)

S2 1 (0; 0) (0; 0) C C (0; 0) A (2; 0)

¨±. 22. 8.  ¯®¬­¨¬ ±² ²¨·¥±ª³¾ ¬®¤¥«¼ ¤³®¯®«¨¨ ¯® ¥°²° ­³ (± ®¤­®°®¤­»¬¨ ¯°®¤³ª² ¬¨): ´¨°¬» ­ §»¢ ¾² ¶¥­» ®¤­®¢°¥¬¥­­®; ±¯°®± ­  ¯°®¤³ª¶¨¾ i -© ´¨°¬» ¥±²¼ a ; pi , ¥±«¨ pi < pj ; 0 , ¥±«¨ pi > pj ¨ (a;pi )=2 , ¥±«¨ pi = pj ; ¯°¥¤¥«¼­»¥ § ²° ²» c < a .  ±±¬®²°¨¬ ¡¥±ª®­¥·­³¾ ¨£°³, ®±­®¢ ­­³¾ ­  ½²®© ¯¥°¢®­ · «¼­®© ±² ²¨·¥±ª®© ¨£°¥. ®ª ¦¨²¥, ·²® ´¨°¬» ¬®£³² ¨±¯®«¼§®¢ ²¼ ²°¨££¥°­»¥ ±²° ²¥£¨¨, ·²®¡» ¯®¤¤¥°¦ ²¼ ¬®­®¯®«¼­»© ³°®¢¥­¼ ¶¥­ ¢ ±®¢¥°¸¥­­®¬ ¯®¤-¨£°®¢®¬ ° ¢­®¢¥±¨¨ ¯® ½¸³ ²®£¤  ¨ ²®«¼ª® ²®£¤ , ª®£¤    12 . 9. ˆ£°  À‚¥°¾{­¥ ¢¥°¾Á ˆ¬¥¥²±¿ ¤¢¥ ª °²», ±ª ¦¥¬, À²³§Á ¨ À¸¥±²¥°ª Á. ˆ£° ¾² ¤¢  ¨£°®ª . ‘­ · «  ¨£°®ª 1 ­ ³£ ¤ ¢»¡¨° ¥² ®¤­³ ª °²³ ¨ ­¥ ¯®ª §»¢ ¥² ¥¥ ¨£°®ª³ 2. …±«¨ ¨£°®ª 1 ¢»­³« À²³§ Á, ²® ®­ £®¢®°¨² ®¡ ½²®¬ ¨£°®ª³ 2 ¨ ²°¥¡³¥² ¢»¨£°»¸ 1$ . …±«¨ ¨£°®ª 1 ¢»­³« À¸¥±²¥°ª³Á, ²® ³ ­¥£® ¨¬¥¥²±¿ ¤¢¥ ¢®§¬®¦­®±²¨: ®¡¬ ­³²¼ ¨£°®ª  2, ±ª § ¢, ·²® ³ ­¥£® À²³§Á, ¨ ¯®²°¥¡®¢ ²¼ 1$ ¨«¨ ¯°¨§­ ²¼±¿, ·²® ³ ­¥£® ¸¥±²¥°ª , ¨ ²®£¤  ³¯« ²¨²¼ 1 $ ¨£°®ª³ 2.

„¨­ ¬¨·¥±ª¨¥ ¨£°» ± ¯®«­®© ¨­´®°¬ ¶¨¥©

137

…±«¨ ¨£°®ª³ 2 ¯°¥¤« £ ¾² 1$ , ²® ®­ ¯°¨­¨¬ ¥² ¥£®. …±«¨ ¦¥ ³ ¨£°®ª  2 ²°¥¡³¾² 1$ , ²® ®­ «¨¡® ¢¥°¨², ·²® ³ ¯°®²¨¢­¨ª  À²³§Á ¨ ®²¤ ¥² 1$ , «¨¡® ­¥ ¢¥°¨² ¨ ¯°®±¨² ¯®ª § ²¼ ª °²³. ‚ ½²®¬ ±«³· ¥, ¥±«¨ ³ ¨£°®ª  1 ¤¥©±²¢¨²¥«¼­® ¡»« À²³§Á, ¨£°®ª 2 ¢»¯« ·¨¢ ¥² 2$ ¨£°®ª³ 1 (§  ²®, ·²® §°¿ ±®¬­¥¢ «±¿). …±«¨ ¦¥ ³ ¨£°®ª  1 ®ª § « ±¼ À¸¥±²¥°ª Á, ²® ­ ª § ­¨¥¬ §  ®¡¬ ­ ¿¢«¿¥²±¿ ¢»¯« ²  ¨¬ 2$ ¨£°®ª³ 2. °¥¤±² ¢¼²¥ ¯®§¨¶¨®­­³¾ ¨ ­®°¬ «¼­³¾ ´®°¬» ½²®© ¨£°» ¨ ­ ©¤¨²¥ ° ¢­®¢¥±¨¥ ¯® ½¸³. 10. ˆ£°  À—¥²­®¥{­¥·¥²­®¥Á ¥°¢»© µ®¤: ¨£°®ª 1 ¢»¡¨° ¥² ®¤­® ¨§ ·¨±¥« f1; 2g . ‚²®°®© µ®¤ (±«³· ©­»©): ¡°®± ¾² ¬®­¥²³, ¥±«¨ ¢»¯ « ÀŽ°¥«Á, ²® ¢²®°®¬³ ¨£°®ª³ ±®®¡¹ ¾², ·²® ¢»¡° « ¨£°®ª 1. ’°¥²¨© µ®¤: ¨£°®ª 2 ¢»¡¨° ¥² ®¤­® ¨§ ·¨±¥« f3; 4g . —¥²¢¥°²»© µ®¤ (±«³· ©­»©): ¢»¡¨° ¥²±¿ ±«³· ©­»¬ ®¡° §®¬ ®¤­® ¨§ ·¨±¥« f1; 2; 3g ± § ¤ ­­»¬¨ ¢¥°®¿²­®±²¿¬¨ 0; 4 ; 0; 2 ; 0; 4 ±®®²¢¥²±²¢¥­­®. ‚ °¥§³«¼² ²¥ ¨£°» ·¨±« , ¢»¡° ­­»¥ ­  ¯¥°¢®¬, ²°¥²¼¥¬ ¨ ·¥²¢¥°²®¬ µ®¤ µ, ±ª« ¤»¢ ¾²±¿ ¨ ¨£°®ª 2 ¢»¯« ·¨¢ ¥² ¯®«³·¥­­³¾ ±³¬¬³ ¨£°®ª³ 1, ¥±«¨ ®­  ·¥²­ ¿; ¥±«¨ ¦¥ ±³¬¬  ®ª § « ±¼ ­¥·¥²­®©, ²®£¤  ¨£°®ª 1 ¢»¯« ·¨¢ ¥² ¥¥ ¨£°®ª³ 2. °¥¤±² ¢¼²¥ ¯®§¨¶¨®­­³¾ ¨ ­®°¬ «¼­³¾ ´®°¬» ¨£°».  ©¤¨²¥ ° ¢­®¢¥±¨¥ ¯® ½¸³ ¢ ±¬¥¸ ­­»µ ±²° ²¥£¨¿µ. 11.  ©¤¨²¥ ±®¢¥°¸¥­­®¥ ¯®¤-¨£°®¢®¥ ° ¢­®¢¥±¨¥ ¢ ±«¥¤³¾¹¥© ¨£°¥, ¨§¢¥±²­®© ¯®¤ ­ §¢ ­¨¥¬ À‘®°®ª®­®¦ª Á. 12. ‘«¥¤³¾¹ ¿ ¨£°  ± ®¤­®¢°¥¬¥­­»¬¨ µ®¤ ¬¨ ° §»£°»¢ ¥²±¿ ¤¢ ¦¤», ¯°¨·¥¬ ¨±µ®¤ ¯¥°¢®£® °®§»£°»¸  ¨§¢¥±²¥­ ¤® ­ · «  ¢²®°®£® °®§»£°»¸ :

138

ƒ« ¢  2

T M B

0 (3:L5; 2:5) C(1; 1) (3R; 2) 1 @ (3; 2) (5; 5) (2; 6) A (2; 3)

(6; 2) (4; 4)

Œ®£³² «¨ ¢»¨£°»¸¨ (5,5) ¤®±²¨£ ²¼±¿ ­  ¯¥°¢®¬ ¸ £¥ ¢ ±®¢¥°¸¥­­®¬ ° ¢­®¢¥±¨¨ ¯® ½¸³ ¢ ·¨±²»µ ±²° ²¥£¨¿µ? Ž²¢¥² ¯®¿±­¨²¥.

ƒ« ¢  3.

‘² ²¨·¥±ª¨¥ ¨£°» ± ­¥¯®«­®© ¨­´®°¬ ¶¨¥© 3.1.  ©¥±®¢» ¨£°»

„® ±¨µ ¯®° ¬» ±·¨² «¨, ·²® ³ ¨£°®ª®¢ ¡»«  ¢±¿ À­¥®¡µ®¤¨¬ ¿Á ¨­´®°¬ ¶¨¿ ¤°³£ ® ¤°³£¥, ¢ª«¾· ¿ ¢»¨£°»¸¨ ¨£°®ª®¢. ‚ °¥ «¼­»µ ±¨²³ ¶¨¿µ, ª®­¥·­®, ¢±¥ ¤ «¥ª® ­¥ ² ª, ¨ ´¨°¬», ­ ¯°¨¬¥°, ¬®£³² ­¥ §­ ²¼ § ²° ²» ¤°³£¨µ ´¨°¬, ¨ ². ¤. ®½²®¬³ §¤¥±¼ ¢®§­¨ª ¥² ±¨²³ ¶¨¿, ¢ ª®²®°®© ³· ±²­¨ª¨ ¬®£³² ¨, ¯®-¢¨¤¨¬®¬³, ¤®«¦­» ¨¬¥²¼ ª ª¨¥-²® ¯°¥¤±² ¢«¥­¨¿ ®²­®±¨²¥«¼­® ¯°¥¤¯®·²¥­¨© ¤°³£¨µ ³· ±²­¨ª®¢, ¤®«¦­» ¨¬¥²¼ ¯°¥¤±² ¢«¥­¨¿ ®¡ ¨µ ¯°¥¤±² ¢«¥­¨¿µ ® ¯°¥¤¯®·²¥­¨¿µ ¤°³£¨µ ¨ ². ¤. ‡¤¥±¼ ¬» ¯°¨µ®¤¨¬ ª ¯®­¿²¨¾  ©¥±®¢»µ ¨£° (¯®ª  ±² ²¨·¥±ª¨µ), ¢¢¥¤¥­­»µ „¦. • °¸ ­¼¨ (Harsanyi, 1967). ‚¥°­¥¬±¿ ª ­ ¸¥© ¤³®¯®«¨¨ ¯® Š³°­® ± ®¡° ²­®© ´³­ª¶¨¥© ±¯°®±  P (Q) = a ; Q , Q = q1 + q2 , ¨ ° ±±¬®²°¨¬ ±«¥¤³¾¹³¾ ¥¥ ¬®¤¨´¨ª ¶¨¾. °¥¤¯®«®¦¨¬ ²¥¯¥°¼, ·²® ´³­ª¶¨¿ § ²° ² ´¨°¬» 1 ¥±²¼ C1(q1) = cq1; ¨ ¡³¤¥¬ ±·¨² ²¼, ·²® ´³­ª¶¨¿ § ²° ² ¢²®°®© ´¨°¬» ¥±²¼ C2(q2 ) = CH q2 ± ¢¥°®¿²­®±²¼¾  ¨ C2(q2 ) = CLq2 ± ¢¥°®¿²­®±²¼¾ 1;  , ¯°¨·¥¬ CL < CH . Š°®¬¥ ²®£®, ¡³¤¥¬ ¯°¥¤¯®« £ ²¼, ·²® ´¨°¬  2 §­ ¥² ±¢®¾ ´³­ª¶¨¾ § ²° ² ¨ ´³­ª¶¨¾ § ²° ² ´¨°¬» 1, ­® ´¨°¬  1 §­ ¥² ²®«¼ª® 139

140

ƒ« ¢  3

±¢®¾ ´³­ª¶¨¾ § ²° ² ¨ ¢¥°®¿²­®±²¨  ¨ 1 ;  ²®£®, ·²® ¯°¥¤¥«¼­»¥ § ²° ²» ¢²®°®© ´¨°¬» ¥±²¼ CH ¨ CL ±®®²¢¥²±²¢¥­­®. °¨ ½²®¬ ¢±¥ ½²® ®¡¹¥¨§¢¥±²­®: ´¨°¬  1 §­ ¥², ·²® 2 ¨¬¥¥² À¡®«¼¸¥Á ¨­´®°¬ ¶¨¨, ´¨°¬  2 §­ ¥², ·²® 1 §­ ¥² ½²®, ¨ ². ¤.  §³¬¥¥¥²±¿, ¥±²¥±²¢¥­­® ¡»«® ¡» ®¦¨¤ ²¼, ·²® ´¨°¬  2 ¡³¤¥² ¯°¨­¨¬ ²¼ ° §«¨·­»¥ °¥¸¥­¨¿ ¢ § ¢¨±¨¬®±²¨ ®² ±¢®¥£® ²¨¯ , ². ¥. ®² ³°®¢­¿ ±¢®¨µ ¯°¥¤¥«¼­»µ § ²° ². ’® ¥±²¼ ¢ ¤ ­­®¬ ±«³· ¥ ¯®¤ ±²° ²¥£¨¥© ±«¥¤³¥² ¯®­¨¬ ²¼ ®²®¡° ¦¥­¨¥, ª®²®°®¥ ±² ¢¨² ¢ ±®®²¢¥²±²¢¨¥ ª ¦¤®¬³ ¨§ ¤¢³µ ¢®§¬®¦­»µ ³°®¢­¥© ¯°¥¤¥«¼­»µ § ²° ² CH ¨ CL ­¥ª®²®°»© ®¡º¥¬ ¢»¯³±ª , ª®²®°»© ®¯°¥¤¥«¿«±¿ ¡» ´¨°¬®© 2 ¢ ±«³· ¥, ¥±«¨ ¡» ¥¥ ¯°¥¤¥«¼­»¥ § ²° ²» ¡»«¨ ¢»±®ª¨¬¨ | CH ¨«¨ ­¨§ª¨¬¨ | CL . ‡ ¡¥£ ¿ ­¥±ª®«¼ª® ¢¯¥°¥¤, ®²¬¥²¨¬, ·²® ² ª®¥ ¯®­¨¬ ­¨¥ ±²° ²¥£¨¨ ¡«¨§ª® ª ¯®­¨¬ ­¨¾ ±²° ²¥£¨¨ ¢ ¨£° µ ¢ ¯®§¨¶¨®­­®© ´®°¬¥. ‘¢¿§ ­® ½²® ± ¯°¥¤¯®«®¦¥­¨¥¬, ·²® ¨£°  ¯°®²¥ª ¥² ª ª ¡» ±«¥¤³¾¹¨¬ ®¡° §®¬: ¢­ · «¥ °¨°®¤  À¢»¡¨° ¥²Á ± ¢¥°®¿²­®±²¼¾  ¨ 1 ;  ±®®²¢¥²±²¢³¾¹¨© ³°®¢¥­¼ ¯°¥¤¥«¼­»µ § ²° ² ¨ À±®®¡¹ ¥²Á ¢»¡° ­­»© ³°®¢¥­¼ ²®«¼ª® ´¨°¬¥ 2,   § ²¥¬ ³¦¥ ´¨°¬» ¯°¨­¨¬ ¾² ±¢®¨ °¥¸¥­¨¿ ® ¢»¯³±ª µ. ‚ ½²®¬ ±¬»±«¥ ±®®²¢¥²±²¢³¾¹³¾ ¨£°³ ¬®¦­® ¢¥±¼¬  ³±«®¢­® ¯°¥¤±² ¢¨²¼ ±«¥¤³¾¹¨¬ ®¡° §®¬ (±¬. °¨±. 1). ³±²¼ q2(CH ) ¨ q2 (CL) ±®®²¢¥²±²¢¥­­® ¢»¡®° ´¨°¬» 2,    q1 | ¢»¡®° ´¨°¬» 1. …±«¨ ¯°¥¤¥«¼­»¥ § ²° ²» ¢»±®ª¨, ²® q2(CH ) (¢ ° ¢­®¢¥±¨¨ ¯® ½¸³) °¥¸ ¥² § ¤ ·³ max ((a ; q1 ; q2 ) ; CH )q2: q 2

€­ «®£¨·­® q2 (CL) °¥¸ ¥² § ¤ ·³ max ((a ; q1 ; q2 ) ; CL )q2 : q2 „«¿ ´¨°¬» 1 q1 °¥¸ ¥² § ¤ ·³ max [(a ; q1 ; q2 (CH )) ; c]q1 + (1 ; )[a ; q1 ; q2(CL )) ; c]q1 : q1 “±«®¢¨¥ ¯¥°¢®£® ¯®°¿¤ª  ¤ ¥² ­ ¬

‘² ²¨·¥±ª¨¥ ¨£°» ± ­¥¯®«­®© ¨­´®°¬ ¶¨¥©

141

¨±. 1.

 q2(CH ) = a ; q12; CH ;  q(C ) = a ; q1 ; CL ; 2

L

2

  q1 = [a ; q2 (CH ) ; c] + (1 ; )[a ; q2 (CL) ; c] :

‘«¥¤®¢ ²¥«¼­®, ¬» ¨¬¥¥¬

2

q2 (CH ) = a ; 2C3H + c + 1 ;6  (CH ; CL); q(C ) = a ; 2CL + c ;  (C ; C );

6 H L q1 = a ; 2c + CH3 + (1 ; )CL : …±«¨ ¡» ³ ­ ± ¡»«  ¯®«­ ¿ ¨­´®°¬ ¶¨¿ ± § ²° ² ¬¨ c1 ¨ c2 ±®®²¢¥²±²¢¥­­®, ²® ¡»«® ¡» qi = a ; 2c3i + cj : 2

L

3

142 ‡ ¬¥²¨¬, ·²®  

ƒ« ¢  3

q2(CH ) > a ; 2C3 H + c ; q2(CL) < a ; 2C3 L + c :

²® ¯°®¨±µ®¤¨² ¯®²®¬³, ·²® ¯°¨ ¢»±®ª¨µ § ²° ² µ ´¨°¬» 2 ª®­ª³°¥­² (´¨°¬  1) À­¥¤®¯°®¨§¢®¤¨²Á,   ¯°¨ ­¨§ª¨µ § ²° ² µ | À¯¥°¥¯°®¨§¢®¤¨²Á. ‘¢¿§ ­® ½²® ± ²¥¬, ·²® ´¨°¬  1 ­¥ §­ ¥² ²®·­® ±²°³ª²³°³ § ²° ² ´¨°¬» 2,   §­ ¥², ·²® ®­¨ ¬®£³² ¡»²¼ (± ±®®²¢¥²±²¢³¾¹¨¬¨ ¢¥°®¿²­®±²¿¬¨) «¨¡® ¢»±®ª¨¬¨, «¨¡® ­¨§ª¨¬¨. ®½²®¬³, ¯°¨­¨¬ ¿ °¥¸¥­¨¥ ®¡ ®¡º¥¬¥ ¢»¯³±ª  ±¢®¥© ¯°®¤³ª¶¨¨, ´¨°¬  ¤®«¦­  ³·¨²»¢ ²¼ ¯®²¥­¶¨ «¼­® ®¡¥ ¢®§¬®¦­®±²¨, ¯°¨ ½²®¬, ¥±«¨ ¥¥ ¢»¯³±ª ¯°¨ ¢»±®ª¨µ § ²° ² µ ª®­ª³°¥­²  (´¨°¬» 2) ¡»« ¡» q1H , ²®, ³·¨²»¢ ¿ ¢®§¬®¦­®±²¼ ­¨§ª¨µ § ²° ² ³ ª®­ª³°¥­² , ´¨°¬  1 ¤®«¦­  ³¬¥­¼¸¨²¼ ½²®² ®¡º¥¬ ¢»¯³±ª . ˆ¬¥­­® ¢ ½²®¬ ±¬»±«¥ ´¨°¬  1 ­¥¤®¯°®¨§¢®¤¨² ¯°®¤³ª¶¨¾ ¯°¨ ¢»±®ª¨µ § ²° ² µ ª®­ª³°¥­² . €­ «®£¨·­® ¯°¨ ­¨§ª¨µ § ²° ² µ ª®­ª³°¥­²  ´¨°¬  ¯°®¨§¢®¤¨² À«¨¸­¾¾Á ¯°®¤³ª¶¨¾.  ¯®¬­¨¬, ·²® ¤«¿ ¨£° ± ¯®«­®© ¨­´®°¬ ¶¨¥© ­®°¬ «¼­ ¿ ´®°¬  ¨£°» | ½²® G = fS1 ; : : :; Sn; u1; : : :; un g , £¤¥ Si | ¯°®±²° ­±²¢® ±²° ²¥£¨© ¨£°®ª  i ,   ui (s1; : : :; sn ) | ¢»¨£°»¸ ¨£°®ª  i ¢ ±¨²³ ¶¨¨ (s1 ; : : :; sn ) . (Œ» ®¯³±ª ¥¬ §¤¥±¼ ´¨ª±¨°®¢ ­­®¥ ¬­®¦¥±²¢® ¨£°®ª®¢ I .) …±«¨ ¬» ° ±±¬ ²°¨¢ ¥¬ ¨£°³ ± ®¤­®¢°¥¬¥­­»¬¨ µ®¤ ¬¨, ²® Si = Ai | ¬­®¦¥±²¢® µ®¤®¢. ˆ£°  ± ¯®«­®© ¨­´®°¬ ¶¨¥© ¯°®µ®¤¨«  ² ª: (1) | ¨£°®ª¨ ®¤­®¢°¥¬¥­­® ¢»¡¨° «¨ µ®¤»; (2) | ¨£°®ª¨ ¯®«³· «¨ ±¢®¨ ¢»¨£°»¸¨ ui (a1; : : :; an ) , i 2 I. ’¥¯¥°¼ ¬» µ®²¨¬ ®¯¨± ²¼ ±¨²³ ¶¨¾ ± ­¥¯®«­®© ¨­´®°¬ ¶¨¥©. Œ» ¤®«¦­» ¤«¿ ­ · «  ³·¥±²¼ ª ª-²® ²®² ´ ª², ·²® ¨£°®ª §­ ¥² ±¢®¾ ´³­ª¶¨¾ ¢»¨£°»¸ , ­® ¬®¦¥² ­¥ §­ ²¼ ´³­ª¶¨© ¢»¨£°»¸  ®±² «¼­»µ ¨£°®ª®¢. ³±²¼ ¢®§¬®¦­ ¿ ´³­ª¶¨¿ ¢»¨£°»¸  ¨£°®ª  i ¨¬¥¥² ¢¨¤ ui(a1; : : :; an; ti );

‘² ²¨·¥±ª¨¥ ¨£°» ± ­¥¯®«­®© ¨­´®°¬ ¶¨¥©

143

£¤¥ ti | ²¨¯ ¨£°®ª , ti 2 Ti | ¬­®¦¥±²¢® (¯°®±²° ­±²¢®) ¢®§¬®¦­»µ ²¨¯®¢ ¨£°®ª  i . ‚ ¯°¨¢¥¤¥­­®¬ ¢»¸¥ ¯°¨¬¥°¥ ± ¤³®¯®«¨¥© ¯® Š³°­®: T1 = fcg , T2 = fCL; CH g . ‘ª § ²¼, ·²® ¨£°®ª i §­ ¥² ±¢®¾ ´³­ª¶¨¾ ¢»¨£°»¸ , ®§­ · ¥², ·²® ®­ §­ ¥² ±¢®© ²¨¯. €­ «®£¨·­®, ¥±«¨ ¨£°®ª ­¥ §­ ¥² ´³­ª¶¨© ¢»¨£°»¸¥© ¤°³£¨µ ¨£°®ª®¢, ²® ±®®²¢¥²±²¢¥­­® ®­ ­¥ §­ ¥² ¨µ ²¨¯, ². ¥. ®­ ­¥ §­ ¥²

t;i = (t1 ; : : :; ti;1 ; ti+1 : : :; tn ) 2 T;i ; £¤¥ T;i | ¬­®¦¥±²¢® ¢®§¬®¦­»µ §­ ·¥­¨© t;i .

‚¢¥¤¥¬ ²¥¯¥°¼ ¯®­¿²¨¥ ¯°¥¤±² ¢«¥­¨©. °¥¤±² ¢«¥­¨¿ (¨«¨ ±¨±²¥¬  ¯°¥¤±² ¢«¥­¨©)1 ¨£°®ª  i ® ²¨¯ µ ®±² «¼­»µ ¨£°®ª®¢ | ½²® ¢¥°®¿²­®±²¼ pi (t;i jti ) ²®£®, ·²® ²¨¯» ®±² «¼­»µ ¨£°®ª®¢ ®¯¨±»¢ ¾²±¿ ¢¥ª²®°®¬ t;i = (t1; : : :; ti;1; ti+1 ; : : :; tn ) , ¯°¨ ³±«®¢¨¨, ·²® i -© ¨£°®ª ¨¬¥¥² (¨ §­ ¥² ±¢®©) ²¨¯ ti . ‚ ¡®«¼¸¨­±²¢¥ ±«³· ¥¢, ®¡»·­® ¯°¥¤¯®« £ ¥²±¿, ·²® ½²  ¢¥°®¿²­®±²¼ ­¥ § ¢¨±¨² ®² ²¨¯  ± ¬®£® ¨£°®ª , ². ¥. ¬» ¬®¦¥¬ ¯¨± ²¼ ­¥ ³±«®¢­³¾ ¢¥°®¿²­®±²¼,   ¯°®±²® pi (t;i ) .

Ž¯°¥¤¥«¥­¨¥ 3.1.1.  ©¥±®¢  ¨£°  n -«¨¶ ¢ ­®°¬ «¼­®© ´®°¬¥ ®¯°¥¤¥«¿¥²±¿: ­ ¡®°®¬ ¬­®¦¥±²¢ (¯°®±²° ­±²¢) µ®¤®¢ A1 ; : : :; An ; ­ ¡®°®¬ ¬­®¦¥±²¢ (¯°®±²° ­±²¢) ²¨¯®¢ T1 ; : : :; Tn ¨£°®ª®¢; ¯°¥¤±² ¢«¥­¨¿¬¨ p1 ; : : :; pn ¨£°®ª®¢; ´³­ª¶¨¿¬¨ ¢»¨£°»¸¥© u1; : : :; un . ’¨¯ ti 2 Ti ¨£°®ª  i ¨§¢¥±²¥­ ¨£°®ª³ i ¨ ®¯°¥¤¥«¿¥² ´³­ª¶¨¾ ¢»¨£°»¸¥© ui (a1 ; : : :; an; ti ) . °¥¤±² ¢«¥­¨¿ pi (t;i jti ) ¨£°®ª  i ®¯¨±»¢ ¾² ­¥®¯°¥¤¥«¥­­®±²¼ ®²­®±¨²¥«¼­® ²¨¯®¢ t;i ®±² ¢¸¨µ±¿ n ; 1 ¨£°®ª®¢, ¯°¨ ¤ ­­®¬ ²¨¯¥ ti ¨£°®ª  i . ²³ ¨£°³ ¡³¤¥¬ ®¡®§­ · ²¼ G = fA; T; p; ug , £¤¥ A = A1 


 An , T = T1 


 Tn , p = (p1; : : :; pn) , u = (u1 ; : : :; un) . 1

Belief ¨«¨ system of beliefs.

144

ƒ« ¢  3

‘«¥¤³¿ • °¸ ­¼¨, ¬» ¯°¥¤¯®« £ ¥¬, ·²® ¨£°  ¯°®²¥ª ¥² ±«¥¤³¾¹¨¬ ®¡° §®¬: (1) °¨°®¤  ¢»¡¨° ¥² ¢¥ª²®° ²¨¯®¢ t = (t1 ; : : :; tn ) 2 T = T1 


 Tn ; (2) °¨°®¤  ±®®¡¹ ¥² ª ¦¤®¬³ ¨£°®ª³ i ¥£® ²¨¯ ti (¨ ­¨ª®¬³ ¤°³£®¬³); (3) ˆ£°®ª¨ ®¤­®¢°¥¬¥­­® ¢»¡¨° ¾² ±¢®¨ µ®¤» (±®®²¢¥²±²¢¥­­®, i -© ¨£°®ª ¨§ | Ai ); (4) ˆ£°®ª¨ ¯®«³· ¾² ¢»¨£°»¸¨ ui (a1 ; : : :; an; ti ) , i 2 I . ‚¢¥¤¥­¨¥ ½² ¯®¢ (1) ¨ (2) ±¢®¤¨² ­ ¸³ ¨£°³ ª ¨£°¥ ± ­¥±®¢¥°¸¥­­®© ¨­´®°¬ ¶¨¥©. ‚®®¡¹¥ £®¢®°¿, ¬®¦­® ° ±±¬ ²°¨¢ ²¼ ¨ ±«³· ©, ª®£¤  ´³­ª¶¨¿ ui § ¢¨±¨² ®² ²¨¯®¢ ¨ ¤°³£¨µ ¨£°®ª®¢, ². ¥. ´³­ª¶¨¨ ¢»¨£°»¸¥© ¨¬¥¾² ¢¨¤ ui (a1 ; : : :; an; t1 ; : : :; tn ) . Ž¤­ ª® ¬» ­¥ ¡³¤¥¬ ®±² ­ ¢«¨¢ ²¼±¿ ­  ½²®¬. Ž¡»·­® ¯°¥¤¯®« £ ¥²±¿, ·²® ²¨¯» t ¢»¡¨° ¾²±¿ ¢ ±®®²¢¥²±²¢¨¨ ±  ¯°¨®°­»¬ ¢¥°®¿²­®±²­»¬ ° ±¯°¥¤¥«¥­¨¥¬ p(t) , ¨ ½²® ®¡¹¥¨§¢¥±²­®. Š®£¤  °¨°®¤  À®¡º¿¢«¿¥²Á ¨£°®ª³ i ¥£® ²¨¯ ti , ²® ®­ ¬®¦¥² ¢»·¨±«¨²¼ ¯°¥¤±² ¢«¥­¨¥ p(t;i jti ) , ¨±¯®«¼§³¿ ´®°¬³«³  ©¥±  pi(t;i jti ) = p(pt;(ti ;)ti ) = P p(t;ip; (tit) ; t ) : i t;i 2T;i ;i i „ «¥¥, ¤°³£¨¥ ¨£°®ª¨ ¬®£³² ² ª¦¥ ¢»·¨±«¨²¼ ° §«¨·­»¥ ¯°¥¤±² ¢«¥­¨¿, ª®²®°»¥ ¨£°®ª i ¬®¦¥² ¨¬¥²¼, ¢ § ¢¨±¨¬®±²¨ ®² ²¨¯  ti . Œ» ®¡»·­® ¡³¤¥¬ ±·¨² ²¼, ·²® ²¨¯» ¨£°®ª®¢ ­¥§ ¢¨±¨¬», ². ¥. pi (t;i ) ­¥ § ¢¨±¨² ®² ti .

Ž¯°¥¤¥«¥­¨¥ 3.1.2. ‚ ±² ²¨·¥±ª®©  ©¥±®¢®© ¨£°¥ G = fA1; : : :; An ; T1; : : :; Tn , p1 ; : : :; pn , u1 ; : : :; ung ±²° ²¥£¨¿ ¨£°®ª  i | ½²® ´³­ª¶¨¿ si : Ti ! Ai , ª®²®° ¿ ¤«¿

‘² ²¨·¥±ª¨¥ ¨£°» ± ­¥¯®«­®© ¨­´®°¬ ¶¨¥©

145

ª ¦¤®£® ²¨¯  ti 2 Ti ®¯°¥¤¥«¿¥² µ®¤ ¨§ Ai , ª®²®°»© ¡»« ¡» ¢»¡° ­ ¨£°®ª®¬ i , ¥±«¨ ¡» °¨°®¤®© ¡»« ¢»¡° ­ ¥£® ²¨¯ ti . ‘¨¬¢®«¨·¥±ª¨ Si = ATi i :

°¨­¿²® ¢»¤¥«¿²¼ ±²° ²¥£¨¨ ° §¤¥«¿¾¹¨¥, ª®£¤  ° §«¨·­»¥ ²¨¯» ti ¢»¡¨° ¾² ° §«¨·­»¥ µ®¤», ¨ ®¡º¥¤¨­¿¾¹¨¥2 , ª®£¤  ¢±¥ ²¨¯» ¢»¡¨° ¾² ®¤­® ¨ ²® ¦¥ ¤¥©±²¢¨¥. (²® ° §«¨·¨¥ ¡³¤¥² ±³¹¥±²¢¥­­»¬ ¤«¿ ­ ± ¢ ¤¨­ ¬¨·¥±ª¨µ ¨£° µ.) ‡¤¥±¼ ±«¥¤³¥² § ¬¥²¨²¼ ±«¥¤³¾¹¥¥: ­  ¯¥°¢»© ¢§£«¿¤ ª ¦¥²±¿, ·²® ¯®±«¥ ²®£® ª ª °¨°®¤  ¢»¡° «  ²¨¯ ¨ ±®®¡¹¨«  ¥£® ¨£°®ª³, ¥¬³ ³¦¥ ­¥ ­³¦­® ¤³¬ ²¼ ® ²¥µ µ®¤ µ, ª®²®°»¥ ®­ ¢»¡° « ¡», ¥±«¨ ¡» ¡»« ¢»¡° ­ ¤°³£®© ¥£® ²¨¯. ® ¨£°®ª i ¤®«¦¥­ ° ±±¬ ²°¨¢ ²¼ ¤¥©±²¢¨¿ ¤°³£¨µ ¨£°®ª®¢, ª®²®°»¥ § ¢¨±¿² ®² ²®£®, ·²® ¡³¤¥² ¤¥« ²¼ ¨£°®ª i , ¨¬¥¿ «¾¡®© ¨§ ¢®§¬®¦­»µ ²¨¯®¢ ti 2 Ti : ¯®±ª®«¼ª³ ®±² «¼­»¥ ¨£°®ª¨ ­¥ §­ ¾² ¢»¡° ­­»© °¨°®¤®© ²¨¯ ¨£°®ª  i , ®­¨ ®¡¿§ ­» ®°¨¥­²¨°®¢ ²¼±¿ ­  ¢±¥ ¢®§¬®¦­»¥ ²¨¯» ¨£°®ª  i (¢±¯®¬­¨¬ À¯¥°¥¯°®¨§¢®¤±²¢®Á ¨ À­¥¤®¯°®¨§¢®¤±²¢®Á ¢ ¤³®¯®«¨¨ ¯® Š³°­®, ° ±±¬®²°¥­­®© ¢ ­ · «¥ ½²®© £« ¢»). ®½²®¬³ ¨£°®ª i ¤®«¦¥­ ¡³¤¥² ¯®¤³¬ ²¼ ¨ ® ²®¬, ·²® ¡» ®­ ¤¥« «, ¥±«¨ ¡» ¡»«¨ ¢»¡° ­» ¤°³£¨¥ ¥£® ¢®§¬®¦­»¥ ²¨¯». ‚ ­ ¸¥© ¬®¤¥«¨ ¤³®¯®«¨¨ ¯® Š³°­®, ª ª ³¦¥ ®²¬¥· «®±¼, ±²° ²¥£¨¿ ¨£°®ª  2 | ½²® ¯ °  (q2(CH ); q2(CL )) . ’¥¯¥°¼ ¬» ¬®¦¥¬ ¤ ²¼ ®¯°¥¤¥«¥­¨¥  ©¥±®¢  ° ¢­®¢¥±¨¿, ¨«¨ ²®·­¥¥ | ° ¢­®¢¥±¨¿ ¯®  ©¥±³{½¸³, ¨«¨ -° ¢­®¢¥±¨¿3 . –¥­²° «¼­ ¿ ¨¤¥¿ ¢±¥ ²  ¦¥: ±²° ²¥£¨¿ ª ¦¤®£® ¨£°®ª  ¤®«¦­  ¡»²¼ «³·¸¨¬ ®²¢¥²®¬ ­  ±²° ²¥£¨¨ ¤°³£¨µ ¨£°®ª®¢, ². ¥. -° ¢­®¢¥±¨¥ | ½²® ¯°®±²® ° ¢­®¢¥±¨¥ ¯® ½¸³ ¢  ©¥±®¢®© ¨£°¥.

Ž¯°¥¤¥«¥­¨¥ 3.1.3. ‚ ±² ²¨·¥±ª®©  ©¥±®¢®© ¨£°¥ G = fA; T; p; ug ±¨²³ ¶¨¿ (². ¥. ­ ¡®° (·¨±²»µ) ±²° -

²¥£¨©) s ¿¢«¿¥²±¿ -° ¢­®¢¥±¨¥¬, ¥±«¨ ¤«¿ «¾¡®£® i ¨ 2 3

Separating | ° §¤¥«¿¾¹¨¥, pooling | ®¡º¥¤¨­¿¾¹¨¥. Bayesian Nash equilibrium.

146

ƒ« ¢  3

«¾¡®£® ²¨¯  ti 2 Ti si (ti ) °¥¸ ¥² § ¤ ·³

max a 2A i

it

X

ui(s1(t1); : : :; si;1(ti;1 );

;i 2T;i  ai; si+1 (ti+1); : : :; sn (tn); t)pi(t;i jti)

— ±²® ¡»¢ ¥² ³¤®¡­»¬ -° ¢­®¢¥±¨¥ ®¯°¥¤¥«¿²¼ ±«¥¤³¾¹¨¬ ½ª¢¨¢ «¥­²­»¬ ®¡° §®¬: Ž¯°¥¤¥«¥­¨¥ 3:3  ¢­®¢¥±¨¥ ¯®  ©¥±³{½¸³ (¨«¨ -° ¢­®¢¥±¨¥) ¢ ¨£°¥ ± ­¥¯®«­®© ¨­´®°¬ ¶¨¥© ± ª®­¥·­»¬ ¬­®¦¥±²¢®¬ ²¨¯®¢ Ti ³ ª ¦¤®£® ¨£°®ª  i 2 I;  ¯¨°¨®°­»¬ ° ±¯°¥¤¥«¥­¨¥¬ p ¨ ¯°®±²° ­±²¢®¬ ·¨±²»µ ±²° ²¥£¨© i -£® ¨£°®ª  Si (= Ai ) ¥±²¼ ° ¢­®¢¥±¨¥ ¯® ½¸³ ¢ À° ±¸¨°¥­­®© ¨£°¥Á, ¢ ª®²®°®© ¯°®±²° ­±²¢® ±²° ²¥£¨© ¨£°®ª  | ½²® SiTi (². ¥. ¬­®¦¥±²¢® ¢±¥µ ®²®¡° ¦¥­¨© ¨§ Ti ¢ Si ). ’ ª¨¬ ®¡° §®¬, ¥±«¨ ¤ ­» ±¨²³ ¶¨¿ s(
) ¨ ¯°®¨§¢®«¼­ ¿ ±²° ²¥£¨¿ s0i (
) 2 SiTi , ²® ®¡®§­ ·¨¬, ª ª ¢±¥£¤ , ·¥°¥§ (s0i (
); s;i(
)) ±¨²³ ¶¨¾, ¢ ª®²®°®© ¨£°®ª i ¨£° ¥² s0i (
) ,   ¤°³£¨¥ ±«¥¤³¾² s(
) . ³±²¼ (s0i (ti ); s;i (t;i )) = (s1 (t1 ); : : :; si;1 (ti;1 ); s0i(ti ); si+1(ti+1 ); : : :; sn (tn )) ®¡®§­ · ¥² À°¥ «¨§ ¶¨¾Á ½²®© ±¨²³ ¶¨¨ ¯°¨ t = (ti ; ti;1 ) . ’®£¤  ±¨²³ ¶¨¿ (¯°®´¨«¼) s(
) ¥±²¼ ° ¢­®¢¥±¨¥ ¯®  ©¥±³{½¸³, ¥±«¨ ¤«¿ «¾¡®£® ¨£°®ª  i

si (
) 2 Arg 0 maxTi

XX

si (
)2Si ti t;i

p(ti; t;i )ui(s0i (ti ); s;i(t;i ); (ti; t;i));

£¤¥ Arg max ®¡®§­ · ¥² ¬­®¦¥±²¢® ±²° ²¥£¨©, ¤®±² ¢«¿¾¹¨µ ¬ ª±¨¬³¬ ³ª § ­­®© ¤¢®©­®© ±³¬¬¥. ‘³¹¥±²¢®¢ ­¨¥ -° ¢­®¢¥±¨¿ ­¥¬¥¤«¥­­® ±«¥¤³¥² ¨§ ²¥®°¥¬» ±³¹¥±²¢®¢ ­¨¿ ° ¢­®¢¥±¨¿ ¯® ½¸³.

147

‘² ²¨·¥±ª¨¥ ¨£°» ± ­¥¯®«­®© ¨­´®°¬ ¶¨¥©

3.2. €«¼²¥°­ ²¨¢­»© ¢§£«¿¤ ­  ±¬¥¸ ­­»¥ ±²° ²¥£¨¨

Œ» ±¥©· ± ¯®£®¢®°¨¬ ­¥¬­®£® ®¡ ¨¤¥¥ • °¸ ­¼¨4 ®¯° ¢¤ ­¨¿ ±¬¥¸ ­­»µ ±²° ²¥£¨©: ° ¢­®¢¥±¨¥ ¯® ½¸³ ¢ ±¬¥¸ ­­»µ ±²° ²¥£¨¿µ ¢ ¨£°¥ ± ¯®«­®© ¨­´®°¬ ¶¨¥© (¯®·²¨ ¢±¥£¤ ) ¬®¦¥² ¨­²¥°¯°¥²¨°®¢ ²¼±¿ ª ª -° ¢­®¢¥±¨¥ ¢ ·¨±²»µ ±²° ²¥£¨¿µ ¢ ­¥ª®²®°®© À¡«¨§ª®©Á ¨£°¥ ± À·³²¼-·³²¼Á ­¥¯®«­®© ¨­´®°¬ ¶¨¥©. (À®·²¨ ¢±¥£¤ Á ¢ ²®¬ ±¬»±«¥, ·²® ¬®¦­® ¨£­®°¨°®¢ ²¼ ²¥ °¥¤ª¨¥ ±«³· ¨, ª®£¤  ² ª ¿ ¨­²¥°¯°¥² ¶¨¿ ­¥³¬¥±²­ .) Ž±­®¢­ ¿ ·¥°²  ° ¢­®¢¥±¨¿ ¯® ½¸³ ¢ ±¬¥¸ ­­»µ ±²° ²¥£¨¿µ | ½²® ¤ ¦¥ ­¥ ²®, ·²® ¨£°®ª j ¢»¡¨° ¥² ±²° ²¥£¨¾ ±«³· ©­®,   ²®, ·²® ¨£°®ª i ±² «ª¨¢ ¥²±¿ ± ­¥ª®²®°®© ­¥®¯°¥¤¥«¥­­®±²¼¾ ®²­®±¨²¥«¼­® ¢»¡®°  ¨£°®ª  j , ¯°¨·¥¬ ½²  ­¥®¯°¥¤¥«¥­­®±²¼ ¬®¦¥² ¢®§­¨ª­³²¼ ¨«¨ ¢ ±¨«³ ­ «¨·¨¿ ° ­¤®¬¨§ ¶¨¨, ¨«¨ ¢ ±¨«³ À­¥ª®²®°®© ­¥¯®«­®²»Á ¨­´®°¬ ¶¨¨, ª ª ¢ ±«¥¤³¾¹¥¬ ¯°¨¬¥°¥. ‚¥°­¥¬±¿ ª µ®°®¸® §­ ª®¬®© ­ ¬ ¨£°¥ À‘¥¬¥©­»© ±¯®°Á (±¬. °¨±. 2).

ŽH

” 

” 0

@

ŽH€ (2; 1)

 (0; 0)

(0; 0)

(1; 2)

1 A

¨±. 2. ‡¤¥±¼ ¥±²¼ ¤¢  ° ¢­®¢¥±¨¿ ¯® ½¸³ ¢ ·¨±²»µ ±²° ²¥£¨¿µ | (”,”) ¨ (,), ¨ ®¤­® ¢ ±¬¥¸ ­­»µ ±²° ²¥£¨¿µ, ¯°¨ ª®²®°®¬: Ž­ ¨£° ¥² À”Á ± ¢¥°®¿²­®±²¼¾ 2/3 ¨ ÀÁ ± ¢¥°®¿²­®±²¼¾ 1/3; Ž­  ¨£° ¥² À”Á ± ¢¥°®¿²­®±²¼¾ 1/3 ¨ ÀÁ ± ¢¥°®¿²­®±²¼¾ 2/3. 4

Harsanyi (1973).

148

ƒ« ¢  3

’¥¯¥°¼ ¯°¥¤±² ¢¨¬ ±¥¡¥, ·²®, µ®²¿ ®­¨ §­ ¾² ¤°³£ ¤°³£  ¤®±² ²®·­®¥ ¢°¥¬¿, ®­¨ ­¥ ¢¯®«­¥ ³¢¥°¥­» ®²­®±¨²¥«¼­® ²®·­®£® §­ ·¥­¨¿ ¢»¨£°»¸¥© ¤°³£ ¤°³£ . ‚ · ±²­®±²¨, ¯°¥¤¯®«®¦¨¬, ·²® …£® (¥¬³ ¡³¤¥² ¤ «¥¥ ±®®²¢¥²±²¢®¢ ²¼ ¨­¤¥ª± c ) ¢»¨£°»¸, ª®£¤  ®¡  ¨¤³² ­  ´³²¡®«, ¥±²¼ 2 + tc , ¯°¨·¥¬ tc ¯°¨¢ ²­® ¨§¢¥±²­® ¥¬³; …¥ ¢»¨£°»¸ (¥© ±®®²¢¥²±²¢³¥² ¨­¤¥ª± p ), ¥±«¨ ®¡  ¨¤³² ­  ¡ «¥², ¥±²¼ 2 + tp , ·²® ¨§¢¥±²­® ¯°¨¢ ²­® ¥©. ³¤¥¬ ±·¨² ²¼, ·²® tc ¨ tp ° ¢­®¬¥°­® ° ±¯°¥¤¥«¥­» ­  [0; x] . (‚ ¤¥©±²¢¨²¥«¼­®±²¨ ° ¢­®¬¥°­®±²¼ ­¥ ¯® ±³¹¥±²¢³, ­® £« ¢­®¥ ²®, ·²® tc ¨ tp ±«¥£ª  À¢®§¬³¹ ¾²Á ¢»¨£°»¸¨.) ‚±¥ ®±² «¼­»¥ ¢»¨£°»¸¨ | ²¥ ¦¥. ‚ ²¥°¬¨­ µ  ¡±²° ª²­®©  ©¥±®¢®© ±² ²¨·¥±ª®© ¨£°» ¢ ­®°¬ «¼­®© ´®°¬¥ ¨¬¥¥¬:

G = fAc ; Ap ; Tc; Tp; pc; pp; uc; upg; £¤¥

Ac = Ap = f”;  g; Tc = Tp = [0; x];

¯°¥¤±² ¢«¥­¨¿ ¥±²¼

pc (tp) = pp (tc) = 1=x ¤«¿ «¾¡»µ tc ¨ tp ,   ¢»¨£°»¸¨ ®¯°¥¤¥«¥­» ² ª, ª ª ½²® ¯°¥¤±² ¢«¥­® ­  °¨±. 3. ŽH€

‘

” 

0 (2”+ t ; 1) c @ (0; 0)

 (0; 0)

(1; 2 + tp )

1 A

¨±. 3.  ¸  ¶¥«¼ | ¯®±²°®¨²¼ -° ¢­®¢¥±¨¥ ¢ ·¨±²»µ ±²° ²¥£¨¿µ ½²®© ¨£°» ± ­¥¯®«­®© ¨­´®°¬ ¶¨¥©, ¢ ª®²®°®© Ž­ ¨£° ¥² ”, ¥±«¨ tc ¯°¥¢®±µ®¤¨² ­¥ª®²®°®¥ ª°¨²¨·¥±ª®¥ §­ ·¥­¨¥ c ¨ ¨£° ¥²  ¢ ¯°®²¨¢­®¬ ±«³· ¥,   Ž­  ¨£° ¥² , ¥±«¨ tp

‘² ²¨·¥±ª¨¥ ¨£°» ± ­¥¯®«­®© ¨­´®°¬ ¶¨¥©

149

¯°¥¢®±µ®¤¨² ª°¨²¨·¥±ª®¥ §­ ·¥­¨¥ p , ¨ ” ¢ ¯°®²¨¢­®¬ ±«³· ¥. ‚ ² ª®¬ ° ¢­®¢¥±¨¨ Ž­ ¨£° ¥² ” ± ¢¥°®¿²­®±²¼¾ x;x c ,   Ž­  ¨£° ¥²  ± ¢¥°®¿²­®±²¼¾ x;x p . ‡ ¬¥²¨¬, ·²® x;x c | ¢¥°®¿²­®±²¼ ²®£®, ·²® tc > c . (²® ²¥ ± ¬»¥ ¢¥°®¿²­®±²¨, ª®²®°»¥ ±²®¿² ¢ p(t;i jti ) ¢ ±®®²¢¥²±²¢³¾¹¥¬ ®¯°¥¤¥«¥­¨¨ ° ¢­®¢¥±¨¿). Žª §»¢ ¥²±¿, ·²® ¯® ¬¥°¥ ²®£®, ª ª ­¥¯®«­®²  ¨­´®°¬ ¶¨¨ ¨±·¥§ ¥², ². ¥. x ! 0 , ¯®¢¥¤¥­¨¥ ¨£°®ª®¢ ¢ ½²®¬ -° ¢­®¢¥±¨¨ ¢ ·¨±²»µ ±²° ²¥£¨¿µ À¯°¨¡«¨¦ ¥²±¿Á ª ¨µ ¯®¢¥¤¥­¨¾ ¢ ¯¥°¢®­ · «¼­®© ¨£°¥ ± ¯®«­®© ¨­´®°¬ ¶¨¥©, ². ¥. x ; c ;! 2 ¨ x ; p ;! 2 x x!0 3 x x!0 3 °¥¤±² ¢¨¬ ±¥¡¥, ·²® ®¡  ¨£°®ª  ¨£° ¾² ®¯¨± ­­»¥ ±²° ²¥£¨¨. „«¿ ¤ ­­®£® x ¬» ®¯°¥¤¥«¨¬ §­ ·¥­¨¿ c ¨ p ² ª¨¥, ·²® ®¯¨± ­­»¥ ±²° ²¥£¨¨ ¡³¤³² ®¡° §®¢»¢ ²¼ ° ¢­®¢¥±¨¥ ¯®  ©¥±³{½¸³. …±«¨ Ž­  ¨£° ¥² ² ª³¾ ±²° ²¥£¨¾, ²® …£® ®¦¨¤ ¥¬»© ¢»¨£°»¸ ®² ¨£°» ” ¥±²¼





p (2 + t ) + 1 ; p
0 = p (2 + t ); c c x x x   …£® ®¦¨¤ ¥¬»© ¢»¨£°»¸ ®² ¨£°»  ¥±²¼

p
0 + 1 ; p 
1 = 1 ; p : x x x

®½²®¬³ ¨£° ²¼ ” ®¯²¨¬ «¼­® ²®£¤  ¨ ²®«¼ª® ²®£¤ , ª®£¤  tc  xp ; 3 . ‘«¥¤®¢ ²¥«¼­®, c = xp ; 3 . €­ «®£¨·­®, ¥±«¨ Ž­ ¨£° ¥² ³ª § ­­³¾ ±²° ²¥£¨¾, ²® …¥ ®¦¨¤ ¥¬»© ¢»¨£°»¸ ®² ¨£°»  ¨ ¨£°» ” | ½²® ±®®²¢¥²±²¢¥­­®  c c 1 ; x
0 + x [2 + tp ] = xc (2 + tp ) ¨





1 ; xc
1 + xc
0 = 1 ; xc :

150

ƒ« ¢  3

’ ª¨¬ ®¡° §®¬, ¨£° ²¼  ®¯²¨¬ «¼­® ¢ ²®¬ ¨ ²®«¼ª® ²®¬ ±«³· ¥, ¥±«¨ tp  xc ; 3;

². ¥. p = xc ; 3 . ‘«¥¤®¢ ²¥«¼­®, ¬» ¨¬¥¥¬ ±¨±²¥¬³ ¨§ 2 ³° ¢­¥­¨© ± ¤¢³¬¿ ­¥¨§¢¥±²­»¬¨

 c = x ; 3; p

p = xc ; 3;

, ½²® ¤ ¥² p = c ¨ p2 + 3p ; x = 0 . p ¥¸ ¿ ®²­®±¨²¥«¼­® p , ¯®«³· ¥¬, p = ;3+ 29+4x | ¢¥°®¿²­®±²¼ ²®£®, ·²® Ž­ ¨£° ¥² ”,   Ž­  , ². ¥. ±®®²¢¥²p9+4¨£° ¥² x ; p x ; 3+ x ; c ±²¢¥­­® x ¨ x ° ¢­» 1 ; 2x , ·²® ª 2/3 p9+4±²°¥¬¨²±¿ x ; 3 ¯°¨ x ! 0 . „¥©±²¢¨²¥«¼­®, ° ±±¬®²°¨¬ 2x . „®¬­®¦¨¢ p ·¨±«¨²¥«¼ ¨ §­ ¬¥­ ²¥«¼ ­  3 + 9 + 4x , ¯®«³· ¥¬ 1: 9p+ 4x ; 9 = p 2 ;! 2x( 9 + 4x + 3) 9 + 4x + 3 x!0 3 ‘«¥¤®¢ ²¥«¼­®,

p

2: 1 ; 9 +24xx ; 3 ;! x!0 3 ’ ª¨¬ ®¡° §®¬, ¯® ¬¥°¥ À±®ª° ¹¥­¨¿Á ­¥¯®«­®²» ¨­´®°¬ ¶¨¨, ¯®¢¥¤¥­¨¥ ¨£°®ª®¢ ¢ ½²®¬ ° ¢­®¢¥±¨¨ ¯®  ©¥±³{½¸³ ¢ ·¨±²»µ ±²° ²¥£¨¿µ À±²°¥¬¨²±¿Á ª ¯®¢¥¤¥­¨¾ ¢ ° ¢­®¢¥±¨¨ ¯® ½¸³ ¢ ±¬¥¸ ­­»µ ±²° ²¥£¨¿µ ¢ ¨±µ®¤­®© ¨£°¥ ± ¯®«­®© ¨­´®°¬ ¶¨¥©. 3.3. ‡ ¬¥· ­¨¥ ® ª®°°¥«¨°®¢ ­­®¬ ° ¢­®¢¥±¨¨

’¥¯¥°¼ ¬» ¬®¦¥¬ ¢¥°­³²¼±¿ ª ª®°°¥«¨°®¢ ­­®¬³ ° ¢­®¢¥±¨¾, ³¯®¬¿­³²®¬³ ¢ ‡ ¬¥· ­¨¨ 1.7.1. ‚®®¡¹¥ £®¢®°¿, ±®¢¥°¸¥­­® ­¥ ®¡¿§ ²¥«¼­®, ·²®¡» ¨­´®°¬ ¶¨¿ ¨£°®ª®¢ ¡»«  ¡» ¢¯®«­¥

151

‘² ²¨·¥±ª¨¥ ¨£°» ± ­¥¯®«­®© ¨­´®°¬ ¶¨¥©

ª®°°¥«¨°®¢ ­­®©, ª ª ¢ ‡ ¬¥· ­¨¨ 1.7.1. ‚®§¬®¦­  ¡®«¥¥ ®¡¹ ¿ ±¨²³ ¶¨¿. °¥¤¯®«®¦¨¬, ­ ¯°¨¬¥°, ·²® ±«³· ©­ ¿ ¢¥«¨·¨­  ¬®¦¥² ¯°¨­¨¬ ²¼ 3 ¢®§¬®¦­»µ §­ ·¥­¨¿ | x1 ; x2 ; x3 ;   ¨£°®ª 1 §­ ¥², ·²® °¥ «¨§ ¶¨¿ ¥±²¼ «¨¡® x1; «¨¡® ®¤­® ¨§ §­ ·¥­¨© x2 ¨«¨ x3 : ‚ ²® ¦¥ ¢°¥¬¿ ¨£°®ª 2 §­ ¥², ·²® °¥ «¨§ ¶¨¿ ¥±²¼ «¨¡® x3 , «¨¡® ®¤­® ¨§ §­ ·¥­¨© x1 ¨«¨ x2 . ²® ¬®¦­® ¨­²¥°¯°¥²¨°®¢ ²¼ ª ª ­ «¨·¨¥ ¨­´®°¬ ¶¨®­­®£® ° §¡¨¥­¨¿ ³ ¯¥°¢®£® ¨£°®ª  ffx1g; fx2; x3gg ¨ ¨­´®°¬ ¶¨®­­®£® ° §¡¨¥­¨¿ ³ ¢²®°®£® ¨£°®ª  ffx1; x2g; fx3gg . ‚ ½²®¬ ±«³· ¥ ±²° ²¥£¨¿ ¨£°®ª  1 ¡³¤¥² ±®±²®¿²¼ ¨§ ¤¢³µ ¤¥©±²¢¨© | ²®£®, ª®²®°®¥ ®­ ¡³¤¥² ¯°¥¤¯°¨­¨¬ ²¼, ¥±«¨ ®­ §­ ¥², ·²® °¥ «¨§ ¶¨¿ ¥±²¼ x1 ; ¨ ²®£®, ª®²®°®¥ ®­ ¯°¥¤¯°¨¬¥², ¥±«¨ ³§­ ¥², ·²® °¥ «¨§ ¶¨¿ ¥±²¼ ½«¥¬¥­² fx2; x3g . €­ «®£¨·­® ±²° ²¥£¨¿ ¢²®°®£® ¨£°®ª  | ½²® ¤¢  ¤¥©±²¢¨¿ ¢ § ¢¨±¨¬®±²¨ ®² °¥ «¨§ ¶¨¨ x3 ¨«¨ ¨§ fx1; x2g . ‚ ½²®¬ ±«³· ¥ ±²° ²¥£¨¿ ¨£°®ª  ¡³¤¥² ®¯²¨¬ «¼­®©, ¥±«¨ ¯°¨ ¤ ­­®© ±²° ²¥£¨¨ ¤°³£®£® ¨£°®ª , ¯°¨ «¾¡®© °¥ «¨§ ¶¨¨ ¥£® ±¨£­ «  ®­ ­¥ ¬®¦¥² ±»£° ²¼ «³·¸¥, ­¥¦¥«¨ ² ª, ª ª ¯°¥¤¯¨±»¢ ¥² ¥¬³ ¥£® ±²° ²¥£¨¿.  ¯°¨¬¥°, ¯°¥¤¯®«®¦¨¬, ·²® ¢¥°®¿²­®±²¨ °¥ «¨§ ¶¨¨ x2 ¨ x3 ¥±²¼ 2 ¨ 3 ,   ±²° ²¥£¨¿ ¨£°®ª  2 ±®±²®¨² ¢ ¢»¡®°¥0 a2 , ¥±«¨ ®­ §­ ¥², ·²® °¥ «¨§ ¶¨¿ ¥±²¼ ½«¥¬¥­² fx1; x2g; ¨ a2 | ¥±«¨ x3 . ’®£¤ , ¥±«¨ ¨£°®ª 1 ¨­´®°¬¨°®¢ ­ ® ²®¬, ·²® °¥ «¨§³¥²±¿ «¨¡® x2 , «¨¡® x3 , ®­ ¢»¡¨° ¥² ¤¥©±²¢¨¥, ®¯²¨¬ «¼­®¥ ¯°¨ ³±«®¢¨¨, ·²® ¨£°®ª 2 ¢»¡¨° ¥² a2 ± ¢¥°®¿²­®±²¼¾ + (¢¥°®¿²­®±²¼ x2 ¯°¨ ³±«®¢¨¨ fx2; x3g ) ¨ a02 ± ¢¥°®¿²­®±²¼¾ + . 2

2

3

3

2

3

Ž¯°¥¤¥«¥­¨¥ 3.3.1. Š®°°¥«¨°®¢ ­­»¬ ° ¢­®¢¥±¨¥¬ ¢ ¨£°¥ fI; fAig; fuigg ­ §»¢ ¥²±¿ ­ ¡®° f( ; ); fPigi2I ; figi2I g ,

±®±²®¿¹¨© ¨§ ª®­¥·­®£® ¢¥°®¿²­®±²­®£® ¯°®±²° ­±²¢ 

(¯°®±²° ­±²¢  ±®±²®¿­¨©) ¨ ¢¥°®¿²­®±²­®© ¬¥°»  ­  , ¨­´®°¬ ¶¨®­­®£® ° §¡¨¥­¨¿ Pi ¤«¿ ª ¦¤®£® ¨£°®ª  i = 1; : : :; n ¯°®±²° ­±²¢  , ¨ ´³­ª¶¨© i : ! Ai , i = 1; : : :; n; ®¡« ¤ ¾¹¨µ ±¢®©±²¢®¬ i(w) = i (w0) ¤«¿ w; w0 2 Pi ¤«¿ ­¥ª®²®°®£® Pi 2 Pi ( i | ±²° ²¥£¨¿

152

ƒ« ¢  3

¨£°®ª  i ) ² ª¨¬, ·²® ¤«¿ «¾¡®£® i 2 I ¨ «¾¡®©0 ´³­ª¶¨¨ i : ! Ai , ¤«¿ ª®²®°®© i(w) = i(w0) ¤«¿ w; w 2 Pi ¨§ ­¥ª®²®°®£® Pi 2 Pi (². ¥. ¤«¿ «¾¡®© ±²° ²¥£¨¨ ¨£°®ª  i ),

X

w 2

(w)ui(i (w); ;i(w)) 

X

w2

(w)ui(i(w); ;i(w)):

‘«¥¤³¾¹¨© °¥§³«¼² ² ¯°¨­ ¤«¥¦¨² . €³¬ ­³ (Aumann, 1974).

°¥¤«®¦¥­¨¥ 3.3.1. „«¿ «¾¡®£® ° ¢­®¢¥±¨¿ ¯® ½¸³ ¢ ±¬¥¸ ­­»µ ±²° ²¥£¨¿µ  ª®­¥·­®© ¡¥±ª® «¨¶¨®­­®© ¨£°» fI; fAig; fuigg ±³¹¥±²¢³¥² ª®°°¥«¨°®¢ ­­®¥ ° ¢­®¢¥±¨¥ f( ; )fPig; figg , ¢ ª®²®°®¬ ¤«¿ ª ¦¤®£® ¨£°®ª  i 2 I ° ±¯°¥¤¥«¥­¨¥ ­  Ai , ¨­¤³¶¨°®¢ ­­®¥ i , ¥±²¼ i .

ˆ­»¬¨ ±«®¢ ¬¨, ¬­®¦¥±²¢® ª®°°¥«¨°®¢ ­­»µ ° ¢­®¢¥±¨© ±®¤¥°¦¨² ¬­®¦¥±²¢® ° ¢­®¢¥±¨© ¯® ½¸³ ¢ ±¬¥¸ ­­»µ ±²° ²¥£¨¿µ. ‚ ¨£°¥ À‘¥¬¥©­»© ±¯®°Á ²°¨ ° ¢­®¢¥±¨¿ ¯® ½¸³ ¢ ±¬¥ 2 2 ¸ ­­»µ ±²° ²¥£¨¿µ ¤ ¾² ¢»¨£°»¸¨ (2; 1) , (1; 2) ¨ 3 ; 3 . Š°®¬¥ ²®£®,  ¨§ ª®°°¥«¨°®¢ ­­»µ ° ¢­®¢¥±¨© ¤ ¥² ¢» ®¤­® ¨£°»¸¨ 32 ; 23 . „¥©±²¢¨²¥«¼­®, ¯³±²¼ = fx1 ; x2g ,  (x1) = (x2) = 12 , P1 = P2ffx1g; fx2gg , i(x1 ) =  , i (x2) =  , i = 1; 2 . ²® ° ¢­®¢¥±¨¥ ¬®¦­® ¨­²¥°¯°¥²¨°®¢ ²¼ ±«¥¤³¾¹¨¬ ®¡° §®¬: ¨£°®ª¨ ­ ¡«¾¤ ¾² §  ¯®¤¡° ±»¢ ­¨¥¬ ¬®­¥²» ¨ ¢ § ¢¨±¨¬®±²¨ ®² ²®£®, ·²® ¢»¯ ¤¥², ¢»¡¨° ¾², ª ª®¥ ¨§ ¤¢³µ À·¨±²»µÁ ° ¢­®¢¥±¨© ¯® ½¸³ ¨£° ²¼. ‡ ¬¥²¨¬ ² ª¦¥, ·²® ¬­®¦¥±²¢® ¢±¥µ ª®°°¥«¨°®¢ ­­»µ ° ¢­®¢¥±¨© ¢ ¨£°¥ ¢»¯³ª«®.

‘² ²¨·¥±ª¨¥ ¨£°» ± ­¥¯®«­®© ¨­´®°¬ ¶¨¥©

153

3.4. °¨¬¥°»

1. À€³ª¶¨®­Á (Gibbons).

°¥¤±² ¢¨¬ ±¥¡¥, ·²® ¥±²¼ 2 ¯®ª³¯ ²¥«¿ i = 1; 2 . ®ª³¯ ²¥«¼ ®¶¥­¨¢ ¥² ­¥ª®²®°»© ­¥¤¥«¨¬»© ²®¢ ° ¢ vi (¥¤¨­¨¶), ². ¥. ¥±«¨ ®­ ¯®«³· ¥² ²®¢ °, § ¯« ²¨¢ bi , ²® ¥£® ¢»¨£°»¸ ¥±²¼ vi ; bi . ³¤¥¬ ±·¨² ²¼, ·²® ®¶¥­ª¨ ¯®ª³¯ ²¥«¥© ° ±¯°¥¤¥«¥­» ­¥§ ¢¨±¨¬® ¨ ° ¢­®¬¥°­® ­  ®²°¥§ª¥ [0; 1] . ‘·¨² ¥¬ ² ª¦¥, ·²® vi  0 . ®ª³¯ ²¥«¨ ®¤­®¢°¥¬¥­­® ¯°¥¤±² ¢«¿¾² ±¢®¨ § ¿¢ª¨.  §¢ ¢¸¨© ¡®«¼¸³¾ ¶¥­³, ¯« ²¨² ½²³ ¶¥­³ ¨ ¯®«³· ¥² ²®¢ °. „°³£®© | ­¥ ¯®«³· ¥² (¨ ­¥ ¯« ²¨²) ­¨·¥£®. …±«¨ ®¡  ­ §»¢ ¾² ®¤­³ ¨ ²³ ¦¥ ¶¥­³, ²® ¡°®± ¾² ¬®­¥²ª³. (®ª³¯ ²¥«¨ ­¥©²° «¼­» ¯® ®²­®¸¥­¨¾ ª °¨±ª³.) ‚±¥ ½²® ®¡¹¥¨§¢¥±²­®. ‘´®°¬³«¨°³¥¬ ½²® ª ª  ©¥±®¢³ ¨£°³, ². ¥. ®¯°¥¤¥«¨¬ ¯°®±²° ­±²¢  µ®¤®¢, ¯°®±²° ­±²¢  ²¨¯®¢, ¯°¥¤±² ¢«¥­¨¿ ¨ ´³­ª¶¨¨ ¢»¨£°»¸¥©. „¥©±²¢¨¿ ¨£°®ª  | § ¿¢¨²¼ ¶¥­³ bi ( p ®±² ¢«¿¥¬ ¤«¿ ¯°¥¤±² ¢«¥­¨©),   ²¨¯ ¥±²¼ vi . ®±ª®«¼ª³ ®¶¥­ª¨ ­¥§ ¢¨±¨¬», ²® ¨£°®ª i ±·¨² ¥², ·²® vj ° ±¯°¥¤¥«¥­® ° ¢­®¬¥°­® ­  [0,1] ¢­¥ § ¢¨±¨¬®±²¨ ®² vi . ‚»¨£°»¸¨ ¨£°®ª  i ¥±²¼:

8v ;b ; b > b ;
Ž¯°¥¤¥«¨¬ ¯°®±²° ­±²¢® ±²° ²¥£¨©. ® ®¯°¥¤¥«¥­¨¾, ±²° ²¥£¨¿ ¨£°®ª  i | ½²® ´³­ª¶¨¿ bi(
) , ±² ¢¿¹ ¿ ¢ ±®®²¢¥²±²¢¨¥ ª ¦¤®¬³ vi ¶¥­³ bi(vi ) , ª®²®°³¾ £®²®¢ § ¯« ²¨²¼ ¨£°®ª i , ¥±«¨ ®­ ®¶¥­¨¢ ¥² ²®¢ ° ¢ vi . ‚ ° ¢­®¢¥±¨¨ ¯®  ©¥±³{½¸³ bi (
) | ½²® «³·¸¨© ®²¢¥² ­  ±²° ²¥£¨¾ 2-£® b2 (
) ¨ ­ ®¡®°®². ”®°¬ «¼­® ¯ °  (b1(
); b2(
)) | ° ¢­®¢¥±¨¥ ¯®  ©¥±³{½¸³, ¥±«¨ ¤«¿ «¾¡®£® vi ¢ [0; 1] bi (vi ) ¿¢«¿¥²±¿ °¥¸¥­¨¥¬ § ¤ ·¨ max (v ; bi)P fbi > bj (vj )g + 21 (vi ; bi )P fbi = bj (vj )g: bi i Œ» ¡³¤¥¬ ¨±ª ²¼ «¨­¥©­®¥ ° ¢­®¢¥±¨¥, ²® ¥±²¼ ° ¢­®¢¥±¨¥,

154

ƒ« ¢  3

®¡° §³¥¬®¥ «¨­¥©­»¬¨ ±²° ²¥£¨¿¬¨ b1(
) ¨ b2(
) :

b1(v1) = a1 + c1 v1 ¨ b2 (v2) = a2 + c2v2 : (‡ ¬¥²¨¬, ·²® ¬» ­¥ ®£° ­¨·¨¢ ¥¬ ¯°®±²° ­±²¢® ±²° ²¥£¨© «¨­¥©­»¬¨ ±²° ²¥£¨¿¬¨. Œ» ¤®¯³±ª ¥¬ «¾¡»¥, ­® ¨¹¥¬ ° ¢­®¢¥±¨¥, ª®²®°®¥ ¡³¤¥² «¨­¥©­»¬. ‚ ¤¥©±²¢¨²¥«¼­®±²¨ ¢ ±¨«³ ° ¢­®¬¥°­®±²¨ ° ±¯°¥¤¥«¥­¨¿ ®¶¥­®ª ®ª ¦¥²±¿, ·²® ° ¢­®¢¥±¨¥ ­¥ ²®«¼ª® ±³¹¥±²¢³¥², ­® ¨ ¥¤¨­±²¢¥­­® (¢ ±¬»±«¥, ª®²®°»© ±² ­¥² ¯®­¿²­»¬ ­¨¦¥).) Œ» ¯®«³·¨¬, ·²® bi (vi ) = v2i . °¥¤¯®«®¦¨¬, ·²® j ¨±¯®«¼§³¥² ±²° ²¥£¨¾ bj (vj ) = aj + cj vj . „«¿ ¤ ­­®£® §­ ·¥­¨¿ vi «³·¸¨© ®²¢¥² i ¥±²¼ °¥¸¥­¨¥ § ¤ ·¨ max (vi ; bi )P fbi > aj + cj vj g b i

(¯®±ª®«¼ª³ P fbi = bj (vj )g = 0 , ² ª ª ª bj (vj ) = fbi > aj +cj vj g ¨ vj ° ¢­®¬¥°­® ° ±¯°¥¤¥«¥­®,   §­ ·¨² ¨ bj ° ±¯°¥¤¥«¥­® ° ¢­®¬¥°­®). ®±ª®«¼ª³ ¤«¿ ¨£°®ª  i ¡¥±±¬»±«¥­­® ­ §­ · ²¼ ¶¥­³ ­¨¦¥ ¬¨­¨¬ «¼­®£® ­ §­ ·¥­¨¿ j ¨ £«³¯® | ¢»¸¥ ¬ ª±¨¬ «¼­®£®, ²® aj  bi  aj + cj ; ¨, ±«¥¤®¢ ²¥«¼­®,

 bi ; aj b ; a i j = c ; P fbi > aj + cj vj g = P vj < c j j ±«¥¤®¢ ²¥«¼­®, «³·¸¨© ®²¢¥² ¨£°®ª  i ¥±²¼  vi +aj ; ¥±«¨ v  a ; bi (vi) = a 2; ¥±«¨ v
¯®²®¬ ¢®§° ±² ¥²). ‡­ ·¨², ¯®±ª®«¼ª³ ¬» ¨¹¥¬ «¨­¥©­®¥ ° ¢­®¢¥±¨¥, ¬» ¤®«¦­» ²¥¯¥°¼ ±·¨² ²¼, ·²® «¨¡® aj  1 , «¨¡® aj  0 . Ž¤­ ª® ¯¥°¢®¥ ­¥° ¢¥­±²¢® ¢ ° ¢­®¢¥±¨¨ ­¥¢®§¬®¦­®: ¯®±ª®«¼ª³ ¤«¿ ¡®«¥¥ ¢»±®ª®£® ²¨¯  ®¯²¨¬ «¼­® ­ §­ · ²¼ ¯® ª° ©­¥© ¬¥°¥ ±²®«¼ª® ¦¥, ±ª®«¼ª® ®¯²¨¬ «¼­® ¤«¿ ¡®«¥¥ ­¨§ª®£® ²¨¯ , ²® cj  0 , ­® ²®£¤  aj  1 ¤ ¢ «® ¡» bj (vj )  vj , ·²®

‘² ²¨·¥±ª¨¥ ¨£°» ± ­¥¯®«­®© ¨­´®°¬ ¶¨¥©

155

­¥ ¬®¦¥² ¡»²¼ ®¯²¨¬ «¼­»¬. ‘«¥¤®¢ ²¥«¼­®, ¥±«¨ ¬» µ®²¨¬, ·²®¡» bi (
) ¡»«  «¨­¥©­®©, ²® ¤®«¦­® ¡»²¼ aj  0 , ±«¥¤®¢ ²¥«¼­®, bi (vi ) = vi +2 aj = a2j + v2i ;   ½²® §­ ·¨², ·²®

ai = a2j ; ci = 1=2:

®¢²®°¨¢ ²® ¦¥ ¤«¿ j , ¯°¥¤¯®« £ ¿, ·²® i ¨±¯®«¼§³¥² ±²° ²¥£¨¾ bi(vi ) = ai + ci vi; ¯®«³· ¥¬, ·²® ai  0; aj = a2i ; cj = 1=2; ¨, ±«¥¤®¢ ²¥«¼­®, ai = aj = 0; ci = cj = 1=2 . ’ ª¨¬ ®¡° §®¬, bi(vi) = vi =2: ’¥¯¥°¼ ¬» ®¡° ²¨¬±¿ ª ¯®¨±ª³ ±¨¬¬¥²°¨·­®£® ° ¢­®¢¥±¨¿, ². ¥. ° ¢­®¢¥±¨¿, ¢ ª®²®°®¬ ®¡  ¨£°®ª  ¨£° ¾² ®¤¨­ ª®¢»¥ ±²° ²¥£¨¨5 . °¥¤¯®«®¦¨¬ ²¥¯¥°¼, ·²® ®¡  ¨£°®ª  j ¨±¯®«¼§³¾² ±²° ²¥£¨¾ b(
) , ¯°¨·¥¬ b(
) | ±²°®£® ¢®§° ±² ¾¹ ¿ ¨ ¤¨´´¥°¥­¶¨°³¥¬ ¿ ´³­ª¶¨¿. ‘«¥¤®¢ ²¥«¼­®, ¤«¿ ¤ ­­®£® vi ®¯²¨¬ «¼­ ¿ § ¿¢ª  ¨£°®ª  i °¥¸ ¥² § ¤ ·³ max (vi ; bi)P fbi > b(vj )g: b i

³±²¼ b;1(bj ) ®¡®§­ · ¥² ®¶¥­ª³, ª®²®°³¾ ¤®«¦¥­ ¨¬¥²¼ j , ·²®¡» § ¿¢¨²¼ bj . ’. ¥. b;1(bj ) = vj (¥±«¨ b(vj ) = bj ). ’. ª. vj ° ¢­®¬¥°­® ° ±¯°¥¤¥«¥­® ­  ®²°¥§ª¥ [0,1], ²®

P fbi > b(vj )g = P fb;1(bi) > vj g = b;1 (bi): “±«®¢¨¥ 1-£® ¯®°¿¤ª  ¤«¿ § ¤ ·¨ ¯¥°¢®£® ¨£°®ª  ¥±²¼

;b;1(bi) + (vi ; bi) dbd b;1(bi) = 0:

i ‚®®¡¹¥ £®¢®°¿, ª®­¥·­®, ² ª®¥ ¯®­¨¬ ­¨¥ ±¨¬¬¥²°¨·­®±²¨ ®·¥­¼ ±¨«¼­®.  ¯°¨¬¥°,;¢ ° ¢­®¢¥±¨¨
; ¢
±¬¥¸ ­­»µ ±²° ²¥£¨¿µ ¢ À‘¥¬¥©­®¬ ±¯®°¥Á ±²° ²¥£¨¨ 32 ; 13 ¨ 31 ; 23 , ¡¥§³±«®¢­® ±¨¬¬¥²°¨·­». 5

156

ƒ« ¢  3

„ «¥¥, ­¥ ±«¨¸ª®¬ ¢¤ ¢ ¿±¼ ¢ ¤¥² «¨, ¬» ¨¬¥¥¬: ¯®±ª®«¼ª³ ¬» ¨¹¥¬ ±¨¬¬¥²°¨·­®¥ (¢ ³ª § ­­®¬ ¢»¸¥ ±¬»±«¥) ° ¢­®¢¥±¨¥, ²® bi = b(vi ) , ±«¥¤®¢ ²¥«¼­®,

;b;1(b(vi)) + (vi ; b(vi)) dbd b;1(b(vi)) = 0:

‡ ¬¥²¨¬, ·²® b;1(b(vi)) = vi , ¨ ±«¥¤®¢ ²¥«¼­®, ;vi + (vi ; b(vi)) b0(1v ) = 0 i ¨«¨ b0(vi )vi + b(vi ) = vi . ’ ª¨¬ ®¡° §®¬, ³·¨²»¢ ¿, ·²® b0(vi )vi + b(vi )) = (b(vi)
vi )0 , ¬» ¯®«³· ¥¬ b(vi)vi = 12 vi2 + k: „«¿ ¨±ª«¾·¥­¨¿ k ­ ¬ ­³¦­» £° ­¨·­»¥ ³±«®¢¨¿. Ÿ±­®, ®¤­ ª®, ·²® ­¨ª²® § ¿¢«¿²¼ ¶¥­³ ¢»¸¥ ±¢®¥© ®¶¥­ª¨ ­¥ ¡³¤¥², ±«¥¤®¢ ²¥«¼­®, b(vi )  vi ¤«¿ «¾¡»µ vi . ‚ · ±²­®±²¨, b(0)  0 ,   ¢ ±¨«³ ­¥®²°¨¶ ²¥«¼­®±²¨ b ¨¬¥¥¬ b(0) = 0 ,   ²®£¤  k = 0 ¨ b(vi) = v2i .

2. À°®¨§¢®¤±²¢® ¯³¡«¨·­®£® ¯°®¤³ª²  ¢ ³±«®¢¨¿µ ­¥¯®«­®© ¨­´®°¬ ¶¨¨Á. (Fudenberg, Tirole).

„¢  ¨£°®ª  i = 1; 2 ®¤­®¢°¥¬¥­­® °¥¸ ¾² ¢®¯°®± ® ²®¬, ¢ª« ¤»¢ ²¼ ¨«¨ ­¥² ¢ ¯°®¨§¢®¤±²¢® ¯³¡«¨·­®£® ¯°®¤³ª² , ¯°¨·¥¬ °¥¸¥­¨¥ | ½²® 0 ; 1 °¥¸¥­¨¥, ². ¥. 0 , ¥±«¨ ­¥ ¢ª« ¤»¢ ²¼, ¨ 1, ¥±«¨ ¢ª« ¤»¢ ²¼. ‚»£®¤  ª ¦¤®£® ¨£°®ª  ¥±²¼ 1, ¥±«¨ µ®²¿ ¡» ®¤¨­ °¥¸¨« ¢ª« ¤»¢ ²¼, ¨ 0, ¥±«¨ ­¨ª²® ­¥ ¢ª« ¤»¢ ¥². ‡ ²° ²» i -£® ¨£°®ª  ­  ¢«®¦¥­¨¥ ¥±²¼ ci . ‚»¨£°»¸¨ ¨§®¡° ¦¥­» ­  °¨±. 4. ¢ª« ­¥²

­¥²  (1 ; ¢ª«  c1; 1 ; c2) (1 ; c2; 1) (1; 1 ; c2 )

¨±. 4.

(0; 0)

‘² ²¨·¥±ª¨¥ ¨£°» ± ­¥¯®«­®© ¨­´®°¬ ¶¨¥©

157

‚»£®¤  ®² ­ «¨·¨¿ ¯³¡«¨·­®£® ¯°®¤³ª²  | 1 ª ¦¤®¬³ | ®¡¹¥¨§¢¥±²­ , ­® § ²° ²» ª ¦¤®£® ¨£°®ª  ¨§¢¥±²­» ²®«¼ª® ¥¬³. ‚ ²® ¦¥ ¢°¥¬¿ ®¡  ¨£°®ª  ±·¨² ¾² ®¡¹¥¨§¢¥±²­»¬, ·²® ci ¢»¡¨° ¾²±¿ ­¥§ ¢¨±¨¬®, ¢ ±®®²¢¥²±²¢¨¨ ± ­¥¯°¥°»¢­®©, ±²°®£® ¢®§° ±² ¾¹¥© ª³¬³«¿²¨¢­®© ´³­ª¶¨¥© ° ±¯°¥¤¥«¥­¨¿ P (
) ­  [c; c] , £¤¥ c < 1 < c (¯®½²®¬³ P (c) = 0 ¨ P (c) = 1 ). ‡ ²° ²» ci | ½²® ²¨¯ ¨£°®ª  i . —¨±² ¿ ±²° ²¥£¨¿ ¢ ½²®© ¨£°¥ | ½²® ´³­ª¶¨¿ si (ci) , ±² ¢¿¹ ¿ ¢ ±®®²¢¥²±²¢¨¥ ª ¦¤®¬³ ¢®§¬®¦­®¬³ ²¨¯³ ci 2 [c; c] °¥¸¥­¨¥ ¢ª« ¤»¢ ²¼ (1) ¨«¨ ­¥² (0). ‚»¨£°»¸ i -£® ¨£°®ª  ¥±²¼ ui (si; sj ; ci) = max(si ; sj ) ; cisi :  ©¥±®¢® ° ¢­®¢¥±¨¥ | ½²® ¯ °  ±²° ²¥£¨© (s1(
); s2(
)) ² ª ¿, ·²® ¤«¿ ª ¦¤®£® ¨£°®ª  i ¨ ª ¦¤®£® ¢®§¬®¦­®£® ²¨¯  ci ±²° ²¥£¨¿ si (ci) ¬ ª±¨¬¨§¨°³¥² ®¦¨¤ ¥¬»© ¢»¨£°»¸ Ecj ui (si ; s(cj ); ci) . ³±²¼ zj = Prob(sj (cj ) = 1) | ° ¢­®¢¥±­ ¿ ¢¥°®¿²­®±²¼ ²®£®, ·²® ¨£°®ª j ¢ª« ¤»¢ ¥². „«¿ ¬ ª±¨¬¨§ ¶¨¨ ±¢®¥© ®¦¨¤ ¥¬®© ¯®«¥§­®±²¨ ¨£°®ª i ¡³¤¥² ¢ª« ¤»¢ ²¼, ¥±«¨ ¥£® § ²° ²» ci ¬¥­¼¸¥, ·¥¬ 1
(1 ; zj ) , ·²® ¯°¥¤±² ¢«¿¥² ±®¡®© ¢»£®¤³ ®² ­ «¨·¨¿ ¯³¡«¨·­®£® ¯°®¤³ª² , ³¬­®¦¥­­³¾ ­  ¢¥°®¿²­®±²¼ ²®£®, ·²® j ­¥ ¡³¤¥² ¢ª« ¤»¢ ²¼. ’®£¤  si (ci ) = 1 , ¥±«¨ ci < 1 ; zj , ¨, ®¡° ²­®, si (ci) = 0 , ¥±«¨ ci > 1 ; zj . (‡ ¬¥²¨¬, ·²® ²¨¯ ci = 1 ; zj ¡¥§° §«¨·¥­ ¬¥¦¤³ ²¥¬, ¢ª« ¤»¢ ²¼ ¨«¨ ­¥², ­® ¯®±ª®«¼ª³ P (
) ­¥¯°¥°»¢­ , ²® ¢¥°®¿²­®±²¼ ²®£®, ·²® ²¨¯ ¡³¤¥² ¨¬¥­­® ² ª¨¬ (¨«¨ «¾¡»¬ ¤°³£¨¬ ®¯°¥¤¥«¥­­»¬ ²¨¯®¬) ° ¢­  0: ) ²® §­ ·¨², ·²® ²¨¯» ¨£°®ª  i , ª®²®°»¥ ¡³¤³² ¢ª« ¤»¢ ²¼, «¥¦ ² ¢ ¨­²¥°¢ «¥ [c; ci ] . €­ «®£¨·­® j ¡³¤¥² ¢ª« ¤»¢ ²¼ ²®£¤  ¨ ²®«¼ª® ²®£¤ , ª®£¤  cj 2 [c; cj ] . ®±ª®«¼ª³ zj = Prob(c  cj  cj ) = P (cj ) , ²® ci = 1 ; P (cj ) . ’ ª¨¬ ®¡° §®¬, c1 ¨ c2 ¤®«¦­» ³¤®¢«¥²¢®°¿²¼ ³° ¢­¥­¨¾ c = 1 ; P (1 ; P (c)) . …±«¨ ±³¹¥±²¢³¥² ¥¤¨­±²¢¥­­®¥ °¥¸¥­¨¥ ½²®£® ³° ¢­¥­¨¿ c , ²® ­¥®¡µ®¤¨¬® ¤®«¦­® ¡»²¼ ci = C  = 1 ; P (c) .  ¯°¨¬¥°, ¥±«¨ P ° ¢­®¬¥°­® ­  [0,2] ( P (c) = c=2 ), ²® c ¥¤¨­±²¢¥­­® ¨ ° ¢­® 2/3. ˆ£°®ª ­¥ ¢ª« -

158

ƒ« ¢  3

; 

¤»¢ ¥², ¥±«¨ ¥£® § ²° ²» «¥¦ ² ¢ ¯°®¬¥¦³²ª¥ 32 ; 1 ; ¤ ¦¥ ¥±«¨ ¥£® § ²° ²» ¬¥­¼¸¥, ·¥¬ ¥£® ¢»£®¤ , ¨ ¤ ¦¥ ¥±«¨ 2/3 | ½²® ¢¥°®¿²­®±²¼ ²®£®, ·²® ¯³¡«¨·­»© ¯°®¤³ª² ­¥ ¡³¤¥² À¯°¥¤«®¦¥­Á ¤°³£¨¬ ¨£°®ª®¬. …±«¨ ¦¥ ¢¬¥±²® c = 0 ¯°¥¤¯®«®¦¨²¼ c  1 ; P (1) , ²® ¢ ¨£°¥ ¡³¤¥² ¤¢   ±¨¬¬¥²°¨·­»µ ° ¢­®¢¥±¨¿. ‚ ­¨µ ®¤¨­ ¨£°®ª ­¨ª®£¤  ­¥ ¢ª« ¤»¢ ¥²,   ¤°³£®© ¢ª« ¤»¢ ¥² ¯°¨ ¢±¥µ c  1 .  ¯°¨¬¥°, ° ¢­®¢¥±¨¥, ¢ ª®²®°®¬ ¨£°®ª 1 ­¥ ¢ª« ¤»¢ ¥², ¥±²¼ c1 = 1 ; P (1) < c ¨ c2 = 1 . 3.5. ‡ ¤ ·¨

1.  ©¤¨²¥ ¢±¥ -° ¢­®¢¥±¨¿ (¢ ·¨±²»µ ±²° ²¥£¨¿µ) ¢ ±«¥¤³¾¹¥© ±² ²¨·¥±ª®©  ©¥±®¢®© ¨£°¥: 1) °¨°®¤  ®¯°¥¤¥«¿¥², ª ª¨¬¨ ¿¢«¿¾²±¿ ¢»¨£°»¸¨: ª ª ¢ ˆ£°¥ 1 ¨«¨ ª ª ¢ ˆ£°¥ 2, ¯°¨·¥¬ ®¡¥ ¨£°» ° ¢­®¢¥°®¿²­». 2) ˆ£°®ª 1 (­® ­¥ ¨£°®ª 2) ³§­ ¥², ª ª³¾ ¨§ ¤¢³µ ¨£° ¢»¡° «  °¨°®¤ . 3) ˆ£°®ª 1 ¢»¡¨° ¥² ’ ¨«¨ ‚ ; ¨£°®ª 2 ®¤­®¢°¥¬¥­­® ¢»¡¨° ¥² L ¨«¨ R . 4) ˆ£°®ª¨ ¯®«³· ¾² ¢»¨£°»¸¨, ¢»¡° ­­»¥ °¨°®¤®©. T B

 (2L; 2)

R  (0; 0) (0; 0) (0; 0)

ˆ£°  1

T B

 (0L; 0)

R  (0; 0) (0; 0) (3; 3)

ˆ£°  2

2.  ±±¬®²°¨²¥ ¤³®¯®«¨¾ ¯® Š³°­®, ¤¥©±²¢³¾¹³¾ ­  °»­ª¥ ± ®¡° ²­®© ª°¨¢®© ±¯°®±  ¢¨¤  P (Q) = a ; Q , £¤¥ Q = q1 +q2 . Ž¡¹¨¥ § ²° ²» ´¨°¬ ¨¬¥¾² ¢¨¤ ci (qi) = cqi , ®¤­ ª® ±¯°®± ­¥®¯°¥¤¥«¥­: ®­ ¢»±®ª¨© ( a = aH ) ± ¢¥°®¿²­®±²¼¾ p ¨ ­¨§ª¨© ( a = aL ) c ¢¥°®¿²­®±²¼¾ 1 ; p .

‘² ²¨·¥±ª¨¥ ¨£°» ± ­¥¯®«­®© ¨­´®°¬ ¶¨¥©

159

Š°®¬¥ ²®£®, ¨­´®°¬ ¶¨¿ ­¥±¨¬¬¥²°¨·­ : ´¨°¬  1 §­ ¥², ¿¢«¿¥²±¿ «¨ ±¯°®± ¢»±®ª¨¬ ¨«¨ ­¨§ª¨¬,   ´¨°¬  2 | ­¥². ‚±¥ ½²® ®¡¹¥¨§¢¥±²­®. Ž¡¥ ´¨°¬» ¢»¡¨° ¾² ®¡º¥¬ ¯°®¨§¢®¤±²¢  ®¤­®¢°¥¬¥­­®. Š ª®¢® ° ¢­®¢¥±¨¥ ¯®  ©¥±³½¸³ ¢ ½²®© ¨£°¥? 3.  ±±¬®²°¨²¥ ±«¥¤³¾¹³¾ ¬®¤¥«¼ ¤³®¯®«¨¨ ¯® ¥°²° ­³ ±  ±¨¬¬¥²°¨·­®© ¨­´®°¬ ¶¨¥© ¨ ¤¨´´¥°¥­¶¨°®¢ ­­®© ¯°®¤³ª¶¨¥©. ‘¯°®± ­  ¯°®¤³ª¶¨¾ ´¨°¬» i ¥±²¼ qi (pi; pj ) = a ; pi ; bi pj . ‡ ²° ²» ­³«¥¢»¥ ¤«¿ ®¡¥¨µ ´¨°¬. —³¢±²¢¨²¥«¼­®±²¼ ±¯°®±  i -© ´¨°¬» ®²­®±¨²¥«¼­® ¶¥­» j -© ´¨°¬» «¨¡® ­¨§ª , «¨¡® ¢»±®ª , ²® ¥±²¼ bi ° ¢­® «¨¡® bH , «¨¡® bL , £¤¥ bH > bL > 0 . „«¿ ª ¦¤®© ´¨°¬» bi = bH ± ¢¥°®¿²­®±²¼¾  ¨ bi = bL ± ¢¥°®¿²­®±²¼¾ 1 ;  (­¥§ ¢¨±¨¬® ®² °¥ «¨§ ¶¨¨ bj ). Š ¦¤ ¿ ´¨°¬  §­ ¥² ±¢®¥ bi , ­® ­¥ §­ ¥² bj ª®­ª³°¥­² . ‚±¥ ½²® ®¡¹¥¨§¢¥±²­®. Š ª®¢» ¯°®±²° ­±²¢  ¤¥©±²¢¨© (µ®¤®¢), ¯°®±²° ­±²¢  ²¨¯®¢, ¯°¥¤±² ¢«¥­¨¿ ¨ ´³­ª¶¨¨ ¢»¨£°»¸¥© ¢ ½²®© ¨£°¥? Š ª®¢» ¯°®±²° ­±²¢  ±²° ²¥£¨©? Š ª¨¥ ³±«®¢¨¿ ®¯°¥¤¥«¿¾² ±¨¬¬¥²°¨·­®¥ ° ¢­®¢¥±¨¥ ¯®  ©¥±³-½¸³ (¢ ·¨±²»µ ±²° ²¥£¨¿µ) ¢ ½²®© ¨£°¥? 4.  ±±¬®²°¨²¥ ±«¥¤³¾¹¨© ¢ °¨ ­²  ³ª¶¨®­  ¢²®°®© ¶¥­», ª®£¤  ³· ±²­¨ª i §­ ¥² ±¢®¾ ®¶¥­ª³ vi , ®¤­ ª® ­¥ ¨¬¥¥² ¯®«­®© ¨­´®°¬ ¶¨¨ ®¡ ®¶¥­ª µ ¤°³£¨µ ³· ±²­¨ª®¢ ¨ ±·¨² ¥², ·²® ¬­®¦¥±²¢® ¢®§¬®¦­»µ ®¶¥­®ª ¥±²¼ ª®­¥·­®¥ ¬­®¦¥±²¢® V;   ®¶¥­ª¨ ¤°³£¨µ ¨£°®ª®¢ ¢»¡¨° ¾²±¿ ­¥§ ¢¨±¨¬®, ¢ ±®®²¢¥²±²¢¨¨ ± ®¤­¨¬ ¨ ²¥¬ ¦¥ ° ±¯°¥¤¥«¥­¨¥¬ ­  V: Ž¯¨¸¨²¥  ©¥±®¢³ ¨£°³, ±®®²¢¥²±²¢³¾¹³¾ ² ª®¬³  ³ª¶¨®­³, ¨ ¯®ª ¦¨²¥, ·²® ¢ ½²®© ¨£°¥ ±³¹¥±²¢³¥² -° ¢­®¢¥±¨¥ a ; ¢ ª®²®°®¬ ai (vi ) = vi ¤«¿ «¾¡®£® i ¨ v i 2 V = Ti .

160

ƒ« ¢  3

5.  ©¤¨²¥ ¬­®¦¥±²¢® ¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼­»µ ° ¢­®¢¥±¨© ¢ ±«¥¤³¾¹¥© ¨£°¥, ­ §»¢ ¥¬®© À«®¸ ¤¼¾ ‡¥«¼²¥­ Á:

ƒ« ¢  4.

„¨­ ¬¨·¥±ª¨¥ ¨£°» ± ­¥¯®«­®© ¨­´®°¬ ¶¨¥© 4.1. ‘®¢¥°¸¥­­®¥  ©¥±®¢® ° ¢­®¢¥±¨¥

‚ ½²®© £« ¢¥ ­ ¸  ¶¥«¼ | ° ±±¬®²°¥­¨¥ ±®¢¥°¸¥­­®£®  ©¥±®¢  ° ¢­®¢¥±¨¿. °¥¦¤¥ ·¥¬ ®¡° ²¨²¼±¿ ­¥¯®±°¥¤±²¢¥­­® ª ²¥¬¥ ¤ ­­®© £« ¢», § ¬¥²¨¬ ±«¥¤³¾¹¥¥. Œ» ­ ·¨­ «¨ ± ° ¢­®¢¥±¨¿ ¯® H½¸³, § ²¥¬, ¯® ¬¥°¥ ³±«®¦­¥­¨¿ ° ±±¬ ²°¨¢ ¥¬»µ ­ ¬¨ ¨£°, ¬» ®¡° ²¨«¨±¼ ª ±®¢¥°¸¥­­®¬³ ¯®¤-¨£°®¢®¬³ ° ¢­®¢¥±¨¾ ¯® H½¸³, ¤ «¥¥ ª ° ¢­®¢¥±¨¾ ¯®  ©¥±³-H½¸³ ¨, ­ ª®­¥¶, ª ±®¢¥°¸¥­­®¬³  ©¥±®¢³ ° ¢­®¢¥±¨¾ ¢ ¤¨­ ¬¨·¥±ª¨µ ¨£° µ ± ­¥¯®«­®© ¨­´®°¬ ¶¨¥©. Ž¤­ ª® ½²® ¢®¢±¥ ­¥ ®§­ · ¥², ·²® ¬» ¢¢®¤¨«¨ ­®¢»¥ ª®­¶¥¯¶¨¨. ‚ ¤¥©±²¢¨²¥«¼­®±²¨ ¬» «¨¸¼ ³±¨«¨¢ «¨ ±®®²¢¥²±²¢³¾¹¨¥ ®¯°¥¤¥«¥­¨¿, ·²®¡» ¨±ª«¾· ²¼ À­¥³¬¥±²­»¥Á ° ¢­®¢¥±¨¿ ¢ ¨£° µ ± ¡®«¥¥ ±«®¦­®© ±²°³ª²³°®©: ¡®«¥¥ ±¨«¼­®¥ ° ¢­®¢¥±¨¥ ®²«¨· ¥²±¿ ®² ¡®«¥¥ ±« ¡»µ ²®«¼ª® ¢ ±«³· ¥ ¡®«¥¥ ±«®¦­»µ ¨£°. ®½²®¬³, ª®­¥·­®, ­³¦­® ®²¤ ¢ ²¼ ±¥¡¥ ®²·¥² ¢ ²®¬, ·²® ±®¢¥°¸¥­­®¥  ©¥±®¢® ° ¢­®¢¥±¨¥ ½ª¢¨¢ «¥­²­® -° ¢­®¢¥±¨¾ ¢ ±² ²¨·¥±ª¨µ ¨£° µ ± ­¥¯®«­®© ¨­´®°¬ ¶¨¥©, ½ª¢¨¢ «¥­²­® ±®¢¥°¸¥­­®¬³ ° ¢­®¢¥±¨¾ ¯® ½¸³ ¢ ¤¨­ ¬¨·¥±ª¨µ ¨£° µ ± ¯®«­®© ¨ ±®¢¥°¸¥­­®© ¨­´®°¬ ¶¨161

162

ƒ« ¢  4

¥© ¨ ½ª¢¨¢ «¥­²­® ° ¢­®¢¥±¨¾ ¯® ½¸³ ¢ ±² ²¨·¥±ª¨µ ¨£° µ ± ¯®«­®© ¨­´®°¬ ¶¨¥©.  ±±¬®²°¨¬ ±«¥¤³¾¹³¾ ¤¨­ ¬¨·¥±ª³¾ ¨£°³ ± ¯®«­®©, ­® ­¥±®¢¥°¸¥­­®© ¨­´®°¬ ¶¨¥© (Gibbons): 1) ˆ£°®ª 1 ¢»¡¨° ¥² L , M ¨«¨ R . …±«¨ ®­ ¢»¡¨° ¥² R , ²® ¨£°  § ª ­·¨¢ ¥²±¿. …±«¨ ¦¥ ®­ ¢»¡¨° ¥² L ¨«¨ M , ²® ¨£°®ª 2 ³§­ ¥², ·²® R ­¥ ¢»¡° ­®, ­® ­¥ §­ ¥², ·²® ¢»¡° ­® | L ¨«¨ M ,   § ²¥¬ ¢»¡¨° ¥² L0 ¨«¨ R0 , ¨ ¨£°  § ª ­·¨¢ ¥²±¿ (±¬. °¨±. 1).

¨±. 1. H®°¬ «¼­ ¿ ´®°¬  ½²®© ¨£°» ¥±²¼

L0 R0 1 0 L (2; 1) (0; 0) M @ (0; 2) (0; 1) A R

(1; 3) (1; 3)

‹¥£ª® ¢¨¤¥²¼, ·²® §¤¥±¼ ¤¢  ° ¢­®¢¥±¨¿ ¯® H½¸³: (L; L0) ¨ (R; R0) . ‚ ½²®© ¨£°¥ ­¥² ¯®¤-¨£°, §­ ·¨², ¨ (L; L0) ¨ (R; R0) | ±®¢¥°¸¥­­»¥ ¯®¤-¨£°®¢»¥ ° ¢­®¢¥±¨¿ ¯® ½¸³. ®, ¡¥§³±«®¢­®, (R; R0) | ­¥ ¤®±²®¢¥°­ ¿, ² ª ª ª, ¥±«¨ 2-© ¨£°®ª ¯®«³· ¥²

„¨­ ¬¨·¥±ª¨¥ ¨£°» ± ­¥¯®«­®© ¨­´®°¬ ¶¨¥©

163

µ®¤, ²® L0 ¤®¬¨­¨°³¥² R0 ,   ¯®½²®¬³ R ­¥ ¡³¤¥² ¨£° ²¼±¿, ² ª ª ª ¢ ½²®¬ ±«³· ¥ ¯¥°¢»© ¨£°®ª ¯®«³· ¥² 2, ¢¬¥±²® 1 ¢ ±«³· ¥ ¨£°» R . ’ ª¨¬ ®¡° §®¬, ­ ¬ ­³¦­® ¨±ª«¾·¨²¼ (R; R0) . „«¿ ½²®£® ¢¢¥¤¥¬ ¤®¯®«­¨²¥«¼­»¥ ²°¥¡®¢ ­¨¿: R1. ‚ ª ¦¤®¬ ¨­´®°¬ ¶¨®­­®¬ ¬­®¦¥±²¢¥ ¨£°®ª, ª®²®°®¬³ ¯°¨­ ¤«¥¦¨² ®·¥°¥¤¼ µ®¤ , ¤®«¦¥­ ¨¬¥²¼ ¯°¥¤±² ¢«¥­¨¥ ® ²®¬, ª ª ¿ ¢¥°¸¨­  ¨­´®°¬ ¶¨®­­®£® ¬­®¦¥±²¢  ¤®±²¨£­³² . „«¿ ­¥®¤­®½«¥¬¥­²­®£® ¬­®¦¥±²¢  ¯°¥¤±² ¢«¥­¨¥ | ½²® ¢¥°®¿²­®±²­®¥ ° ±¯°¥¤¥«¥­¨¥ ­  ¬­®¦¥±²¢¥ ¢¥°¸¨­ ¨­´®°¬ ¶¨®­­®£® ¬­®¦¥±²¢ ; ¤«¿ ®¤­®½«¥¬¥­²­®£® ¨­´®°¬ ¶¨®­­®£® ¬­®¦¥±²¢  ¯°¥¤±² ¢«¥­¨¥ ¨£°®ª  ° ¢­® 1. R2. °¨ ¤ ­­»µ ¯°¥¤±² ¢«¥­¨¿µ ¨£°®ª®¢, ±²° ²¥£¨¨ ¨£°®ª®¢ ¤®«¦­» ¡»²¼ ¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼­® ° ¶¨®­ «¼­», ². ¥. ¢ ª ¦¤®¬ ¨­´®°¬ ¶¨®­­®¬ ¬­®¦¥±²¢¥ µ®¤, ±¤¥« ­­»© ¨£°®ª®¬ (¤¥©±²¢¨¥, ¯°¥¤¯°¨­¿²®¥ ¨£°®ª®¬), ¨ ¯®±«¥¤³¾¹ ¿ ±²° ²¥£¨¿ ¨£°®ª  ¤®«¦­» ¡»²¼ ®¯²¨¬ «¼­», ¯°¨ ¤ ­­®¬ ¯°¥¤±² ¢«¥­¨¨ ¨£°®ª  ¢ ½²®¬ ¨­´®°¬ ¶¨®­­®¬ ¬­®¦¥±²¢¥ ¨ ¯®±«¥¤³¾¹¨µ ±²° ²¥£¨¿µ ®±² «¼­»µ ¨£°®ª®¢ (£¤¥ ¯®¤ À¯®±«¥¤³¾¹¥© ±²° ²¥£¨¥©Á ¯®­¨¬ ¥²±¿ ¯®«­»© ¯« ­ ¤¥©±²¢¨©, ¯®ª°»¢ ¾¹¨© ¢±¥ ¢®§¬®¦­®±²¨, ª®²®°»¥ ¬®£³² ¢®§­¨ª­³²¼ ¯®±«¥ ²®£®, ª ª ¤ ­­®¥ ¨­´®°¬ ¶¨®­­®¥ ¬­®¦¥±²¢® ¡»«® ¤®±²¨£­³²®). ‚ ­ ¸¥¬ ¯°¨¬¥°¥ ²°¥¡®¢ ­¨¥ R1 ¤ ¥² ±«¥¤³¾¹³¾ Àª °²¨­³Á (±¬. °¨±. 2). °¨ ¤ ­­»µ ¯°¥¤±² ¢«¥­¨¿µ ¨£°®ª  2 ¥£® ®¦¨¤ ¥¬»© ¢»¨£°»¸ ®² ¨£°» R0 ¥±²¼ p
0 + (1 ; p)
1 = 1 ; p ,   ®¦¨¤ ¥¬»© ¢»¨£°»¸ ®² ¨£°» L0 ¥±²¼ p
1 + (1 ; p)
2 = 2 ; p . ’ ª ª ª 2 ; p > 1 ; p ¯°¨ «¾¡»µ p , ²® ²°¥¡®¢ ­¨¥ R2 ¯°¥¯¿²±²¢³¥² ¢»¡®°³ R0 . ‚ ±®®²¢¥²±²¢¨¨ ± R1 ¨ R2 ³ ¨£°®ª®¢ ¤®«¦­» ¡»²¼ ¯°¥¤±² ¢«¥­¨¿ ¨ ¨£°®ª¨ ¤®«¦­» ¤¥©±²¢®¢ ²¼ ®¯²¨¬ «¼­® ¯°¨ ½²¨µ ¯°¥¤±² ¢«¥­¨¿µ, ®¤­ ª® ­¨·¥£® ­¥ £®¢®°¨²±¿ ®²­®±¨²¥«¼­® ®±¬»±«¥­­®±²¨ ± ¬¨µ ¯°¥¤±² ¢«¥­¨©.

Ž¯°¥¤¥«¥­¨¥ 4.1.1. „«¿ ¤ ­­®£® ° ¢­®¢¥±¨¿ ¢ ¨£°¥ ¢ ¯®§¨¶¨®­­®© ´®°¬¥ ;E ¡³¤¥¬ £®¢®°¨²¼, ·²® ¨­´®°¬ ¶¨®­­®¥

164

ƒ« ¢  4

¨±. 2. ¬­®¦¥±²¢® «¥¦¨² ­  ° ¢­®¢¥±­®© ²° ¥ª²®°¨¨ (¯³²¨), ¥±«¨ ®­® ¤®±²¨£ ¥²±¿ ± ¯®«®¦¨²¥«¼­®© ¢¥°®¿²­®±²¼¾ (¨«¨ ± ¢¥°®¿²­®±²¼¾ 1, ¥±«¨ ¨£° ¾²±¿ ·¨±²»¥ ±²° ²¥£¨¨), ¥±«¨ ¨£°  ° §»£°»¢ ¥²±¿ ¢ ±®®²¢¥²±²¢¨¨ ± ½²¨¬¨ ° ¢­®¢¥±­»¬¨ ±²° ²¥£¨¿¬¨, ¨ «¥¦¨² ¢­¥ ° ¢­®¢¥±­®© ²° ¥ª²®°¨¨, ¥±«¨ ®­® ¤®±²®¢¥°­® (± ¢¥°®¿²­®±²¼¾ 1) ­¥ ¡³¤¥² ¤®±²¨£­³²®, ¥±«¨ ¨£°  ° §»£°»¢ ¥²±¿ ¢ ±®®²¢¥²±²¢¨¨ ± ½²¨¬¨ ° ¢­®¢¥±­»¬¨ ±²° ²¥£¨¿¬¨ (¯°¨·¥¬ §¤¥±¼ À° ¢­®¢¥±¨¥Á ¬®¦¥² ®§­ · ²¼ ° ¢­®¢¥±¨¥ ¯® ½¸³, ‘, H-° ¢­®¢¥±¨¥ ¨«¨ ±®¢¥°¸¥­­®¥  ©¥±®¢® ° ¢­®¢¥±¨¥).

R3. ‚ ¨­´®°¬ ¶¨®­­®¬ ¬­®¦¥±²¢¥ ­  ° ¢­®¢¥±­®¬ ¯³²¨ ¯°¥¤±² ¢«¥­¨¿ ®¯°¥¤¥«¿¾²±¿ ¯® ¯° ¢¨«³  ©¥±  ¨ ° ¢­®¢¥±­»¬¨ ±²° ²¥£¨¿¬¨ ¨£°®ª®¢. ‚ ±®¢¥°¸¥­­®¬ ° ¢­®¢¥±¨¨ ¯® ½¸³ (L; L0) ¢ ­ ¸¥¬ ±«³· ¥, ¥±²¥±²¢¥­­®, ¤®«¦­® ¡»²¼ p = 1 . °¥¤±² ¢¨¬ ±¥¡¥ ­  ¬¨­³²³, ·²® ¥±²¼ ¥¹¥ ­¥ª®²®°®¥ ° ¢­®¢¥±¨¥ ¢ ±¬¥¸ ­­»µ ±²° ²¥£¨¿µ, ¢ ª®²®°»µ ¨£°®ª 1 ¨£° ¥² L ± ¢¥°®¿²­®±²¼¾ q1 , M | ± ¢¥°®¿²­®±²¼¾ q2 ,   R | ± ¢¥°®¿²­®±²¼¾ (1 ; q1 ; q2 ) . ’®£¤  R3 ¤ ¥² ­ ¬ p = q1 =(q1 + q2 ) . Š ª ¯° ¢¨«®, ¢ ¯°®±²»µ

„¨­ ¬¨·¥±ª¨¥ ¨£°» ± ­¥¯®«­®© ¨­´®°¬ ¶¨¥©

165

½ª®­®¬¨·¥±ª¨µ ¯°¨«®¦¥­¨¿µ ½²¨ ²°¨ ²°¥¡®¢ ­¨¿ ¨ ®¯°¥¤¥«¿¾² ±®¢¥°¸¥­­®¥  ©¥±®¢® ° ¢­®¢¥±¨¥, µ®²¿ ¢ ¡®«¥¥ ±«®¦­»µ ¯°¨«®¦¥­¨¿µ ²°¥¡³¥²±¿ ¥¹¥ ®¤­® ²°¥¡®¢ ­¨¥ | R4 (¨«¨ ¥£® ¬®¤¨´¨ª ¶¨¿). ‡ ¬¥²¨¬, ·²®, ª ª ¬» ³¢¨¤¨¬, ´®°¬³«¨°®¢ª  ·¥²¢¥°²®£® ²°¥¡®¢ ­¨¿ ¢¥±¼¬  ²³¬ ­­ . R4. ‚ ¨­´®°¬ ¶¨®­­»µ ¬­®¦¥±²¢ µ, «¥¦ ¹¨µ ¢­¥ ° ¢­®¢¥±­®© ²° ¥ª²®°¨¨, ¯°¥¤±² ¢«¥­¨¿ ®¯°¥¤¥«¿¾²±¿ ¯° ¢¨«®¬  ©¥±  ¨ ° ¢­®¢¥±­»¬¨ ±²° ²¥£¨¿¬¨, £¤¥ ²®«¼ª® ¢®§¬®¦­®. ®±«¥¤­¨¥ ±«®¢  ¢ ´®°¬³«¨°®¢ª¥ ½²®£® ²°¥¡®¢ ­¨¿ ¤®±² ²®·­® ° ±¯«»¢· ²», ¯®½²®¬³, ·²®¡» ¯°®¨««¾±²°¨°®¢ ²¼ R4, ¬» ° ±±¬®²°¨¬ ­¨¦¥ ¯°¨¬¥°, µ®²¿ ¯°¥¤¢ °¨²¥«¼­® ¯°¨¢¥¤¥¬ ®¯°¥¤¥«¥­¨¥ ±®¢¥°¸¥­­®£®  ©¥±®¢  ° ¢­®¢¥±¨¿.

Ž¯°¥¤¥«¥­¨¥ 4.1.2. ‘®¢¥°¸¥­­®¥  ©¥±®¢® ° ¢­®¢¥±¨¥ ®¯°¥¤¥«¿¥²±¿ ­ ¡®°®¬ ±²° ²¥£¨© ¨ ¯°¥¤±² ¢«¥­¨©, ³¤®¢«¥²¢®°¿¾¹¨µ ²°¥¡®¢ ­¨¿¬ R1{R4.

‡¤¥±¼ ­¥®¡µ®¤¨¬® ®²¬¥²¨²¼ ±«¥¤³¾¹¥¥. ® ±³²¨ ¤¥« , ¢ ®¯°¥¤¥«¥­¨¨ ±®¢¥°¸¥­­®£®  ©¥±®¢  ° ¢­®¢¥±¨¿ °¥·¼ ¨¤¥² ® À­¥¯®¤¢¨¦­®© ²®·ª¥Á : ± ®¤­®© ±²®°®­», ±²° ²¥£¨¨ ®¯°¥¤¥«¿¾²±¿ ¯°¥¤±² ¢«¥­¨¿¬¨,   ± ¤°³£®© | ¯°¥¤±² ¢«¥­¨¿ ´®°¬¨°³¾²±¿ ¯® ¯° ¢¨«³  ©¥±  ­  ®±­®¢¥ ½²¨µ ±²° ²¥£¨©. ˆ­»¬¨ ±«®¢ ¬¨, ¬®¦­® ±ª § ²¼ (µ®²¿ ­  ¯¥°¢»© ¢§£«¿¤ ½²® ¬®¦¥² ¯®ª § ²¼±¿ ² ¢²®«®£¨¥©), ·²® ¢ ° ¢­®¢¥±¨¨ ¯°¥¤±² ¢«¥­¨¿ ¤®«¦­» ®¯°¥¤¥«¿²¼ ² ª¨¥ ±²° ²¥£¨¨, ª®²®°»¥ ®¯°¥¤¥«¿«¨ ¡» ¯® ¯° ¢¨«³  ©¥±  ²¥ ¦¥ ± ¬»¥ ¯°¥¤±² ¢«¥­¨¿, ª®²®°»¥ ½²¨ ° ¢­®¢¥±­»¥ ±²° ²¥£¨¨ ¨ ®¯°¥¤¥«¿¾².  ±±¬®²°¨¬ ¨£°³, ¯°¥¤±² ¢«¥­­³¾ ­  °¨±. 3. ‡¤¥±¼ ®¤­  ¯®¤-¨£° , ­ ·¨­ ¾¹ ¿±¿ ± ¢¥°¸¨­», ¢ ª®²®°®© µ®¤¨² ¨£°®ª 2. ‚ ½²®© ¯®¤-¨£°¥ ®¤­® ° ¢­®¢¥±¨¥ | (L; R0) , §­ ·¨², ¥¤¨­±²¢¥­­®¥ ±®¢¥°¸¥­­®¥ ° ¢­®¢¥±¨¥ ¯® ½¸³ ¥±²¼ (D; L; R0) . ²¨ ±²° ²¥£¨¨ ¨ ¯°¥¤±² ¢«¥­¨¿ p = 1 ³¤®¢«¥²¢®°¿¾² R1{R3,   ²°¥¡®¢ ­¨¥ R4 ¢»¯®«­¥­® ²°¨¢¨ «¼­®. ’¥¯¥°¼ ° ±±¬®²°¨¬ ­ ¡®° ±²° ²¥£¨© (A; L; L0) ¢¬¥±²¥ ± ¯°¥¤±² ¢«¥­¨¥¬ p = 0 . ²¨ ±²° ²¥£¨¨ ®¯°¥¤¥«¿¾² ° ¢­®¢¥±¨¥ ¯® ½¸³: ­¨ ®¤­®¬³ ¨§ ¨£°®ª®¢ ­¥ ¢»£®¤­® ®²ª«®­¿²¼±¿.

166

ƒ« ¢  4

¨±. 3. „«¿ ½²¨µ ±²° ²¥£¨© ¨ ³ª § ­­®£® ¯°¥¤±² ¢«¥­¨¿ ²°¥¡®¢ ­¨¿ R1{R3 ¢»¯®«­¥­» (¨£°®ª 3 ¨¬¥¥² ¯°¥¤±² ¢«¥­¨¿ ¨ ¤¥©±²¢³¥² ¯°¨ ­¨µ ®¯²¨¬ «¼­®,   1 ¨ 2 ¤¥©±²¢³¾² ®¯²¨¬ «¼­® ¯°¨ ¤ ­­»µ ¯®±«¥¤³¾¹¨µ ±²° ²¥£¨¿µ ¤°³£¨µ ¨£°®ª®¢). ® ½²® ­¥ ±®¢¥°¸¥­­®¥ ° ¢­®¢¥±¨¥ ¯® ½¸³, ² ª ª ª ¥¤¨­±²¢¥­­®¥ ° ¢­®¢¥±¨¥ ¯® ½¸³ ¢ ¯®¤-¨£°¥ ¥±²¼ (L; R0) , §­ ·¨² R1{R3 ­¥ £ ° ­²¨°³¾², ·²® ±²° ²¥£¨¨ ¤ ¾² ­ ¬ ±®¢¥°¸¥­­®¥ ° ¢­®¢¥±¨¥ ¯® ½¸³. °®¡«¥¬  §¤¥±¼ ¢ ²®¬, ·²® ¯°¥¤±² ¢«¥­¨¥ p = 0 ²°¥²¼¥£® ¨£°®ª  ­¥ ±®£« ±®¢ ­® ±® ±²° ²¥£¨¥© L , ­® ¢ ²® ¦¥ ¢°¥¬¿ R1{R3 ­¥ ¢¢®¤¿² ­¨ª ª¨µ ®£° ­¨·¥­¨© ­  ¥£® ¯°¥¤±² ¢«¥­¨¿, ² ª ª ª ¨­´®° ¬ ¶¨®­­®¥ ¬­®¦¥±²¢® ¨£°®ª  3 ­¥ ¤®±²¨£ ¥²±¿, ¥±«¨ ¨£°  ° §»£°»¢ ¥²±¿ ¢ ±®®²¢¥²±²¢¨¨ ± ³ª § ­­»¬¨ ±²° ²¥£¨¿¬¨. Ž¤­ ª®, ±®£« ±­® ²°¥¡®¢ ­¨¾ R4, ¯°¥¤±² ¢«¥­¨¥ ¨£°®ª  3 ¤®«¦­® ®¯°¥¤¥«¿²¼±¿ ±²° ²¥£¨¥© ¨£°®ª  2: ¥±«¨ 2-© ¨£° ¥² L , ²® p = 1 , ¥±«¨ 2-© ¨£° ¥² R, ²® p = 0 . ® ¥±«¨

„¨­ ¬¨·¥±ª¨¥ ¨£°» ± ­¥¯®«­®© ¨­´®°¬ ¶¨¥©

167

p = 1 , ²® R2 ´®°±¨°³¾² ±²° ²¥£¨¾ R0 , ² ª ·²® (A; L; L0) ¨ p = 0 ­¥ ³¤®¢«¥²¢®°¿¾² ²°¥¡®¢ ­¨¿¬ R1{R4.

ˆ² ª, ¬» ­ · «¨ ­¥ª¨© ° §£®¢®° ® ±®¢¥°¸¥­­®¬  ©¥±®¢®¬ ° ¢­®¢¥±¨¨, ¯°¨ ½²®¬ ­¥«¼§¿ ±ª § ²¼, ·²®¡» ¬» À£°¥¸¨«¨Á ·°¥§¬¥°­®© ±²°®£®±²¼¾. —²® ¬» ¨¬¥¥¬ ¢ ¢¨¤³? H ¸¨ ° ±±³¦¤¥­¨¿ ® ±®¢¥°¸¥­­®±²¨ ° ¢­®¢¥±¨¿ ­®±¨«¨ ¯®ª  ¤®±² ²®·­®, ¥±«¨ ³£®¤­®, ¯°¥¤¢ °¨²¥«¼­»© µ ° ª²¥°. ‚±¥ ¤¥«® ¢ ²®¬, ·²® ¢ ¨£° µ ± ­¥¯®«­®© ¨­´®°¬ ¶¨¥©, ¤ ¦¥ ¥±«¨ ¨£°®ª ­ ¡«¾¤ ¥² ¤¥©±²¢¨¿ ¤°³£®£® ¨£°®ª , ®­ ¢±¥ ° ¢­® ­¥ §­ ¥² ²¨¯ ¨£°®ª , ¨ ­ · «® ¯¥°¨®¤  ­¥ ´®°¬¨°³¥² µ®°®¸® ®¯°¥¤¥«¥­­³¾ ¯®¤-¨£°³ ¤® ²¥µ ¯®°, ¯®ª  ­¥ ±´®°¬¨°®¢ ­»  ¯®±²¥°¨®°­»¥ ¯°¥¤±² ¢«¥­¨¿1 ,   ¯®½²®¬³ ¬» ­¥ ¬®¦¥¬ ¯°®¢¥°¨²¼, ¿¢«¿¾²±¿ «¨ ¯°®¤®«¦¥­¨¿ ±²° ²¥£¨© ° ¢­®¢¥±¨¥¬ ¯® ½¸³. …±«¨ £®¢®°¨²¼ ±®¢¥°¸¥­­® ´®°¬ «¼­®, ²® ¥¤¨­±²¢¥­­®© ¯®¤-¨£°®© ¨£°» ± ­¥¯®«­®© ¨­´®°¬ ¶¨¥© ¿¢«¿¥²±¿ ± ¬  ¨£° . ˆ² ª, ¢ ª ª®¬-²® ±¬»±«¥ ¬» ­ ·¨­ ¥¬ § ­®¢®.  ±±¬®²°¨¬ ±«¥¤³¾¹¨© ¯°¨¬¥°: ½²® ¢ °¨ ­² ¯°¨¬¥° , ª®²®°»© ³ ­ ± ¡»« ° ­¥¥.  ° ¨ ¬ ¥ ° (Mas-Colell, Whinston, Green). ‚ ®²° ±«¨ ¥±²¼ ¤¢¥ ´¨°¬»: I | ³ª®°¥­¨¢¸ ¿±¿ ´¨°¬ , ¨ ­®¢¨·®ª E , ª®²®°»© ¬®¦¥² ¢µ®¤¨²¼ ¨«¨ ­¥ ¢µ®¤¨²¼ ¢ ®²° ±«¼, ¯°¨·¥¬ ¢µ®¤¨²¼ ®­ ¬®¦¥² ¤¢³¬¿ ° §«¨·­»¬¨ ±¯®±®¡ ¬¨ (±¬. °¨±. 4). ‡¤¥±¼, ª ª ¨ ¢ ²®© ¨£°¥, ª®²®°³¾ ¬» ³¦¥ ° ±±¬ ²°¨¢ «¨, ¤¢  ° ¢­®¢¥±¨¿ ¯® ½¸³ ¢ ·¨±²»µ ±²° ²¥£¨¿µ: (­¥ ¢µ®¤¨²¼; ¢®©­ , ¥±«¨ ¢µ®¤), ( ¢µ1 ; ¯°¨­¿²¼, ¥±«¨ ¢µ®¤). ¥°¢®¥ ª ¦¥²±¿ ­¥ ®·¥­¼ ®±¬»±«¥­­»¬: ­¥§ ¢¨±¨¬® ®² ²®£®, ª ª³¾ ±²° ²¥£¨¾ ¢µ®¤  ¨±¯®«¼§³¥² E , I ¯°¥¤¯®·²¥² ­¥ ¢®¥¢ ²¼. Š°¨²¥°¨© ¯®¤-¨£°®¢®£® ±®¢¥°¸¥­±²¢  §¤¥±¼  ¡±®«¾²­® ¡¥±¯®«¥§¥­, ² ª ª ª ¥¤¨­±²¢¥­­ ¿ ¯®¤-¨£°  §¤¥±¼ | ¢±¿ ¨£° , 1 ‡¤¥±¼ ¨ ¤ «¥¥ ¯®¤  ¯®±²¥°¨®°­»¬¨ ¯°¥¤±² ¢«¥­¨¿¬¨ ¯®­¨¬ ¾²±¿ ¯°¥¤±² ¢«¥­¨¿, ´®°¬¨°³¥¬»¥ ¨£°®ª ¬¨, ¢ ®²«¨·¨¥ ®²  ¯°¨®°­»µ, ±¢¿§ ­­»µ ± µ®¤ ¬¨ °¨°®¤» ¨ ®¡¹¥¨§¢¥±²­»µ ¢±¥¬ ¨£°®ª ¬.

168

ƒ« ¢  4

¨±. 4.   §­ ·¨², ®¡  ° ¢­®¢¥±¨¿ ¢ ·¨±²»µ ±²° ²¥£¨¿µ ±®¢¥°¸¥­­». ®½²®¬³ ¤«¿ ²®£®, ·²®¡» ¨±ª«¾·¨²¼ À­¥®±¬»±«¥­­®¥Á ° ¢­®¢¥±¨¥, ¬» ¬®¦¥¬ ¯®±²³¯¨²¼ ±«¥¤³¾¹¨¬ ®¡° §®¬: ¢ ¤³µ¥ ¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼­®© ° ¶¨®­ «¼­®±²¨ ¡»«® ¡» ±·¨² ²¼, ·²® ¤¥©±²¢¨¥ ³ª®°¥­¨¢¸¥©±¿ ´¨°¬» ¯®±«¥ ¢µ®¤  ¤®«¦­® ¡»²¼ ®¯²¨¬ «¼­»¬ ¤«¿ ­¥ª®²®°®£® ¯°¥¤±² ¢«¥­¨¿, ª®²®°®¥ ®­  ¬®¦¥² ¨¬¥²¼ ®²­®±¨²¥«¼­® ²®© ±²° ²¥£¨¨ ¢µ®¤ , ª®²®°³¾ ¨±¯®«¼§®¢ «  E . (‚ ­ ¸¥¬ ¯°¨¬¥°¥ À¢®©­ , ¥±«¨ ¢µ®¤Á ­¥ ®¯²¨¬ «¼­® ­¨ ¤«¿ ª ª®£® ¢®§¬®¦­®£® ¯°¥¤±² ¢«¥­¨¿ I .) ’ ª¨¬ ®¡° §®¬, ¬» ¤®«¦­» ±·¨² ²¼, ·²® ¢ «¾¡®© ¬®¬¥­² ¨£°» ±²° ²¥£¨¿ ¨£°®ª  ¯°¥¤¯¨±»¢ ¥² ®¯²¨¬ «¼­»¥ ¤¥©±²¢¨¿ ± ½²®£® ¬®¬¥­²  ¯°¨ ¤ ­­»µ ±²° ²¥£¨¿µ ¥£® ®¯¯®­¥­²®¢ ¨ ¥£® ¯°¥¤±² ¢«¥­¨¿µ ® ²®¬, ·²® ¯°®¨§®¸«® ¢ ¨£°¥, ¨ ·²® ¥£® ¯°¥¤±² ¢«¥­¨¿ ±®£« ±³¾²±¿ ± ° §»£°»¢ ¥¬»¬¨ ±²° ²¥£¨¿¬¨. ˆ² ª, ¤ ¤¨¬ ´®°¬ «¼­»¥ ®¯°¥¤¥«¥­¨¿.

Ž¯°¥¤¥«¥­¨¥ 4.1.3. ‘¨±²¥¬  ¯°¥¤±² ¢«¥­¨©  ¢ ¨£°¥ ¢ ¯®§¨¶¨®­­®© ´®°¬¥ ¥±²¼ ­ ¡®° ¢¥°®¿²­®±²¥© (x) 2 [0; 1] ¤«¿ ª ¦¤®© ¢¥°¸¨­» ¨£°» x :

X

x2H

(x) = 1

¤«¿ ª ¦¤®£® ¨­´®°¬ ¶¨®­­®£® ¬­®¦¥±²¢  H:

„¨­ ¬¨·¥±ª¨¥ ¨£°» ± ­¥¯®«­®© ¨­´®°¬ ¶¨¥©

169

„«¿ ²®£® ·²®¡» ®¯°¥¤¥«¨²¼ ¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼­³¾ ° ¶¨®­ «¼­®±²¼, ³¤®¡­® ¢¢¥±²¨ ±«¥¤³¾¹¥¥ ®¡®§­ ·¥­¨¥: E (uijH; ; i; ;i) | ®¦¨¤ ¥¬ ¿ ¯®«¥§­®±²¼ (®¦¨¤ ¥¬»© ¢»¨£°»¸) ¨£°®ª  i ¯°¨ ­ · «¥ ¢ ¥£® ¨­´®°¬ ¶¨®­­®¬ ¬­®¦¥±²¢¥ H , ¥±«¨ ¥£® ¯°¥¤±² ¢«¥­¨¿, ª ± ¾¹¨¥±¿ ³±«®¢­»µ ¢¥°®¿²­®±²¥© ­ µ®¦¤¥­¨¿ ¢ ° §«¨·­»µ ¢¥°¸¨­ µ H , § ¤ ­»  , ¯°¨ ³±«®¢¨¨, ·²® ®­ ±«¥¤³¥² ±²° ²¥£¨¨ i ,   ¥£® ®¯¯®­¥­²» | ±²° ²¥£¨¿¬ ;i .

Ž¯°¥¤¥«¥­¨¥ 4.1.4.  ¡®°

±²° ²¥£¨©

(±¨²³ ¶¨¿)

 = (1; : : :; n) ¢ ¨£°¥ ¢ ¯®§¨¶¨®­­®© ´®°¬¥ ­ §»¢ ¥²±¿ ¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼­® ° ¶¨®­ «¼­»¬ ¢ ¨­´®°¬ ¶¨®­­®¬ ¬­®¦¥±²¢¥ H ¯°¨ ¤ ­­®© ±¨±²¥¬¥ ¯°¥¤±² ¢«¥­¨©  , ¥±«¨

E (uj(H )jH; ; j (H ); ;j(H )  E (uj (H )jH; ; bj (H ); ;j (H )) P ¤«¿ «¾¡®© bj (H ) 2 j (H ); £¤¥ ·¥°¥§ j (H ) ®¡®§­ ·¥­ P ¨£°®ª, ª®²®°»© µ®¤¨² ¢ ¨­´®°¬ ¶¨®­­®¬ ¬­®¦¥±²¢¥ H;   k | ¬­®¦¥±²¢® ±¬¥¸ ­­»µ ±²° ²¥£¨© ¨£°®ª  k . …±«¨ ±¨²³ ¶¨¿  ³¤®¢«¥²¢®°¿¥² ½²®¬³ ³±«®¢¨¾ ¤«¿ ¢±¥µ ¨­´®°¬ ¶¨®­­»µ ¬­®¦¥±²¢ H , ²®  , ¯® ®¯°¥¤¥«¥­¨¾, ¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼­® ° ¶¨®­ «¼­  ¯°¨ ¤ ­­®© ±¨±²¥¬¥ ¯°¥¤±² ¢«¥­¨©  . ˆ­»¬¨ ±«®¢ ¬¨, ­ ¡®° ±²° ²¥£¨©  = (1 ; : : :; n) ¿¢«¿¥²-

±¿ ¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼­® ° ¶¨®­ «¼­»¬, ¥±«¨ ­¨ ®¤¨­ ¨§ ¨£°®ª®¢ ­¥ ±·¨² ¥² ¶¥«¥±®®¡° §­»¬, ¯°¨ ¤®±²¨¦¥­¨¨ ®¤­®£® ¨§ ¥£® ¨­´®°¬ ¶¨®­­»µ ¬­®¦¥±²¢, ¯¥°¥±¬®²°¥²¼ ±¢®¨ ±²° ²¥£¨¨ ¯°¨ ¤ ­­»µ ¯°¥¤±² ¢«¥­¨¿µ (¢ ±¬»±«¥ ²®£®, ª ª ½²® ¢®¯«®¹¥­® ¢  ) ® ²®¬, ·²® ³¦¥ ¯°®¨§®¸«®, ¨ ±²° ²¥£¨¿µ ®¯¯®­¥­²®¢. ’¥¯¥°¼ ¬» ¬®¦¥¬ ®¯°¥¤¥«¨²¼ ±« ¡®¥ ±®¢¥°¸¥­­®¥  ©¥±®¢® ° ¢­®¢¥±¨¥ (·³²¼ ¯®§¤­¥¥ ¡³¤¥² ¿±­®, ¯®·¥¬³ ¬» £®¢®°¨¬ ® À±« ¡®±²¨Á). ²® ®¯°¥¤¥«¥­¨¥ ¢ª«¾· ¥² 2 ³±«®¢¨¿: ¢®¯¥°¢»µ, ±²° ²¥£¨¨ ¤®«¦­» ¡»²¼ ¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼­® ° ¶¨®­ «¼­». ‚®-¢²®°»µ, ª®£¤  ½²® ¢®§¬®¦­®, ¯°¥¤±² ¢«¥­¨¿ ¤®«¦­» ¡»²¼ ±®£« ±®¢ ­» ± ½²¨¬¨ ±²° ²¥£¨¿¬¨: ¢ ° ¢­®¢¥±¨¨ ³ ¨£°®ª®¢ ¤®«¦­» ¡»²¼ ¯° ¢¨«¼­»¥ ¯°¥¤±² ¢«¥­¨¿ ®²­®±¨²¥«¼­® ¢»¡®°  ±²° ²¥£¨© ¨µ ®¯¯®­¥­² ¬¨.

170

ƒ« ¢  4

„«¿ ®¯¨± ­¨¿ ² ª®© ±®£« ±®¢ ­­®±²¨ ° ±±¬®²°¨¬ ±¯¥¶¨ «¼­»© ±«³· ©, ª®£¤  ° ¢­®¢¥±­ ¿ ±²° ²¥£¨¿ ª ¦¤®£® ¨£°®ª  ¯°¨¯¨±»¢ ¥² ±²°®£® ¯®«®¦¨²¥«¼­³¾ ¢¥°®¿²­®±²¼ ª ¦¤®¬³ ¢®§¬®¦­®¬³ ¤¥©±²¢¨¾ ¢ ª ¦¤®¬ ¨§ ¥£® ¨­´®°¬ ¶¨®­­»µ ¬­®¦¥±²¢ (² ª ­ §»¢ ¥¬ ¿ ¢¯®«­¥ ±¬¥¸ ­­ ¿ ±²° ²¥£¨¿). ‚ ½²®¬ ±«³· ¥ ª ¦¤®¥ ¨­´®°¬ ¶¨®­­®¥ ¬­®¦¥±²¢® ¤®±²¨£ ¥²±¿ ± ¯®«®¦¨²¥«¼­®© ¢¥°®¿²­®±²¼¾. …±²¥±²¢¥­­®¥ ¯®­¿²¨¥ ±®£« ±®¢ ­­®±²¨ ¯°¥¤±² ¢«¥­¨© ± ² ª®© ±¨²³ ¶¨¥© ° ¢­®¢¥±¨¿  ¢»£«¿¤¨² ² ª: ¤«¿ ª ¦¤®© ¢¥°¸¨­» x ¢ ¤ ­­®¬ ¨­´®°¬ ¶¨®­­®¬ ¬­®¦¥±²¢¥ H ¨£°®ª ¤®«¦¥­ ¢»·¨±«¨²¼ ¢¥°®¿²­®±²¼ ¤®±²¨¦¥­¨¿ ½²®© ¢¥°¸¨­» ¯°¨ ¤ ­­®¬ ° §»£°»¢ ­¨¨ ­ ¡®°  ±²° ²¥£¨©  , Prob(xj ),   § ²¥¬, ¨±¯®«¼§³¿ ´®°¬³«³  ©¥± , ¯°¨¯¨± ²¼ ³±«®¢­³¾ ¢¥°®¿²­®±²¼ ­ µ®¦¤¥­¨¿ ¢ ª ¦¤®© ¨§ ½²¨µ ¢¥°¸¨­, ¢ ²®¬ ±«³· ¥, ¥±«¨ ¯°¨ ° §»£°»¢ ­¨¨ ¤®±²¨£­³²® ½²® ¨­´®°¬ ¶¨®­­®¥ ¬­®¦¥±²¢®:

xj ) Prob(xjH;  ) = P 0 Prob( Prob( x0 : j) : x 2H ‚ ª ·¥±²¢¥ ¨««¾±²° ¶¨¨ ° ±±¬®²°¨¬ ­ ¸ ¯°¨¬¥°, ª®£¤  E ¨±¯®«¼§³¥² ¢¯®«­¥ ±¬¥¸ ­­»¥ ±²° ²¥£¨¨, ª®²®°»¥ ¯°¨¯¨±»¢ ¾² À…’Á ¢¥°®¿²­®±²¼ 1/4, À ¢µ1 Á | 1/2, À ¢µ2 Á | 1/4. ’®£¤  ¢¥°®¿²­®±²¼ ¤®±²¨¦¥­¨¿ ¨­´®°¬ ¶¨®­­®£® ¬­®¦¥±²¢  ¨£°®ª  I ¥±²¼ 3/4. ® ¯° ¢¨«³  ©¥± , ¢¥°®¿²­®±²¼ ­ µ®¦¤¥­¨¿ ¢ «¥¢®© ¢¥°¸¨­¥ ½²®£® ¨­´®°¬ ¶¨®­­®£® ¬­®¦¥±²¢ , ¯°¨ ³±«®¢¨¨, ·²® ®­® ¤®±²¨£­³²®, ° ¢­  2/3,   ³±«®¢­ ¿ ¢¥°®¿²­®±²¼ ­ µ®¦¤¥­¨¿ ¢ ¯° ¢®© ¢¥°¸¨­¥ ° ¢­  1/3. „«¿ ¯°¥¤±² ¢«¥­¨© I; ±«¥¤³¾¹¨µ §  ¢µ®¤®¬ ¨ ±®£« ±®¢ ­­»µ ±® ±²° ²¥£¨¥© E; ¯°¥¤±² ¢«¥­¨¿ I ¤®«¦­» ¯°¨¯¨±»¢ ²¼ ¨¬¥­­® ½²¨ ¢¥°®¿²­®±²¨. …±«¨ ±²° ²¥£¨¨ ­¥ ¢¯®«­¥ ±¬¥¸ ­­»¥, ²® ­¥ª®²®°»¥ ¨­´®°¬ ¶¨®­­»¥ ¬­®¦¥±²¢  ¬®£³² ­¥ ¤®±²¨£ ²¼±¿ (± ¯®«®¦¨²¥«¼­®© ¢¥°®¿²­®±²¼¾), ¨ ¬» ­¥ ¬®¦¥¬ ¨±¯®«¼§®¢ ²¼ ´®°¬³«³  ©¥± .   ¨­²³¨²¨¢­®¬ ³°®¢­¥ ½²  ¯°®¡«¥¬  ±®®²¢¥²±²¢³¥² ±«¥¤³¾¹¥© ¨¤¥¥: ¤ ¦¥ ¥±«¨ ¨£°®ª¨ ° §»£°»¢ «¨ ¡» ¨£°³ ­¥®¤­®ª° ²­®, ²® À° ¢­®¢¥±­»© °®§»£°»¸Á ­¥ ¯®°®¦¤ « ¡» ®¯»² ,

„¨­ ¬¨·¥±ª¨¥ ¨£°» ± ­¥¯®«­®© ¨­´®°¬ ¶¨¥©

171

­  ®±­®¢¥ ª®²®°®£® ¨£°®ª¨ ¬®£«¨ ¡» ®±­®¢»¢ ²¼ ±¢®¨ ¯°¥¤±² ¢«¥­¨¿ ¢ ½²®¬ ¨­´®°¬ ¶¨®­­®¬ ¬­®¦¥±²¢¥. ‘« ¡®¥  ©¥±®¢® ° ¢­®¢¥±¨¥ ¯®§¢®«¿¥² ¯°¨¯¨±»¢ ²¼ «¾¡»¥ ¯°¥¤±² ¢«¥­¨¿ ¢ ² ª¨µ ¨­´®°¬ ¶¨®­­»µ ¬­®¦¥±²¢ µ (¨ ¢ ½²®¬ ±¬»±«¥, ¢ · ±²­®±²¨, ¨±¯®«¼§³¥²±¿ ¯°¨« £ ²¥«¼­®¥ À±« ¡®¥Á).

Ž¯°¥¤¥«¥­¨¥ 4.1.5.  ¡®° ±²° ²¥£¨© ¨ ±¨±²¥¬   ¯®±²¥°¨-

®°­»µ ¯°¥¤±² ¢«¥­¨© (; ) ¿¢«¿¥²±¿ ±« ¡»¬ ±®¢¥°¸¥­­»¬  ©¥±®¢®¬ ° ¢­®¢¥±¨¥¬ ¢ ¨£°¥ ¢ ¯®§¨¶¨®­­®© ´®°¬¥ ;E ; ¥±«¨ (1)  ¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼­® ° ¶¨®­ «¼­  ¯°¨ ¤ ­­®© ±¨±²¥¬¥ ¯°¥¤±² ¢«¥­¨©  . (2) ‘¨±²¥¬  ¯°¥¤±² ¢«¥­¨©  ¢»¢®¤¨²±¿ ¨§ ­ ¡®°   ¯® ¯° ¢¨«³  ©¥± , ª®£¤  ²®«¼ª® ½²® ¢®§¬®¦­®. ’® ¥±²¼ ¤«¿ «¾¡®£® ¨­´®°¬ ¶¨®­­®£® ¬­®¦¥±²¢  H ² ª®£®, ·²® Prob(H j ) > 0 (£¤¥ Prob(H j ) | ¢¥°®¿²­®±²¼ ²®£®, ·²® ¤®±²¨£­³²® ¨­´®°¬ ¶¨®­­®¥ ¬­®¦¥±²¢® H ), Prob(xj ) 8 x 2 H: (x) = Prob( H j )

(‡ ¬¥²¨¬, ·²® ±« ¡®¥ ° ¢­®¢¥±¨¥ ®¯°¥¤¥«¿¥²±¿ ª ª ¯ °  (; ) .) ‘«¥¤³¾¹¥¥ ¯°¥¤«®¦¥­¨¥ (±¬., ­ ¯°¨¬¥°, Mas-Colell, Whinston, Green) µ ° ª²¥°¨§³¥² ±¢¿§¼ ¬¥¦¤³ ±« ¡»¬ ±®¢¥°¸¥­­»¬  ©¥±®¢»¬ ° ¢­®¢¥±¨¥¬ ¨ ° ¢­®¢¥±¨¥¬ ¯® ½¸³.

°¥¤«®¦¥­¨¥ 4.1.1.  ¡®° ±²° ²¥£¨©  ¿¢«¿¥²±¿ ° ¢­®¢¥±¨¥¬ ¯® ½¸³ ¢ ¨£°¥ ¢ ¯®§¨¶¨®­­®© ´®°¬¥ ;E ²®£¤  ¨ ²®«¼ª® ²®£¤ , ª®£¤  ±³¹¥±²¢³¥² ±¨±²¥¬  ¯°¥¤±² ¢«¥­¨©  ² ª ¿, ·²®: (1)  ¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼­® ° ¶¨®­ «¼­  ¯°¨ ¤ ­­®© ±¨±²¥¬¥  ¢® ¢±¥µ ¨­´®°¬ ¶¨®­­»µ ¬­®¦¥±²¢ µ H ² ª¨µ, ·²® Prob(H j ) > 0 ;

172

ƒ« ¢  4

(2) ‘¨±²¥¬  ¯°¥¤±² ¢«¥­¨©  ¢»¢®¤¨²±¿ ¨§  ± ¯®¬®¹¼¾ ´®°¬³«»  ©¥± , ª®£¤  ½²® ¢®§¬®¦­®. ®¤·¥°ª­³² ¿ · ±²¼ | ½²® ¥¤¨­±²¢¥­­®¥ ®²«¨·¨¥ ®² Ž¯°¥¤¥«¥­¨¿ 4.1.5: ¤«¿ ° ¢­®¢¥±¨¿ ¯® ½¸³ ¬» ²°¥¡³¥¬ ¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼­³¾ ° ¶¨®­ «¼­®±²¼ ²®«¼ª® ­  ° ¢­®¢¥±­®¬ ¯³²¨, ±«¥¤®¢ ²¥«¼­®, ±« ¡®¥ ±®¢¥°¸¥­­®¥  ©¥±®¢® ° ¢­®¢¥±¨¥ (‘‘) ¿¢«¿¥²±¿ ° ¢­®¢¥±¨¥¬ ¯® ½¸³, ­® ­¥ ª ¦¤®¥ ° ¢­®¢¥±¨¥ ¯® ½¸³ ¿¢«¿¥²±¿ ‘‘. °®¤®«¦¨¬ ° ±±¬®²°¥­¨¥ ­ ¸¥£® ¯°¨¬¥° : ¿±­®, ·²® I ¤®«¦­  ¨£° ²¼ À¯°¨­¿²¼, ¥±«¨ ¢µ®¤Á ¢ «¾¡®¬ ‘‘, ² ª ª ª ½²® ®¯²¨¬ «¼­®¥ ¤¥©±²¢¨¥ ´¨°¬» I , ­ ·¨­ ¿ ± ¥¥ ¨­´®°¬ ¶¨®­­®£® ¬­®¦¥±²¢  ¯°¨ «¾¡®© ±¨±²¥¬¥ ¯°¥¤±² ¢«¥­¨©. ’ ª¨¬ ®¡° §®¬, ° ¢­®¢¥±­»¥ ¯® ½¸³ ±²° ²¥£¨¨ (­¥²; ¢®©­ , ¥±«¨ ¢µ®¤) ­¥ ¬®£³² ¡»²¼ · ±²¼¾ ­¨ª ª®£® ‘‘. ’¥¯¥°¼ ¯®±¬®²°¨¬ ¯ °³ ±²° ²¥£¨© ( ¢µ1 ; ¯°¨­¿²¼, ¥±«¨ ¢µ®¤). —²®¡» ¤®ª § ²¼, ·²® ½²® ¥±²¼ · ±²¼ ‘‘, ­ ¬ ­³¦­® ±­ ¡¤¨²¼ ½²¨ ±²° ²¥£¨¨ ±¨±²¥¬®© ¯°¥¤±² ¢«¥­¨©, ³¤®¢«¥²¢®°¿¾¹¥© ³±«®¢¨¾ (2) ¢ Ž¯°¥¤¥«¥­¨¨ 4.1.5, ¨ ª®²®°®¥ ¡» ±¤¥« «® ½²¨ ±²° ²¥£¨¨ ¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼­® ° ¶¨®­ «¼­»¬¨. ‡ ¬¥²¨¬, ¢®-¯¥°¢»µ, ·²® ¤«¿ ²®£®, ·²®¡» ³¤®¢«¥²¢®°¨²¼ ª°¨²¥°¨¾ (2), ¯°¥¤±² ¢«¥­¨¿ I ¤®«¦­» ¯°¨¯¨±»¢ ²¼ ¢¥°®¿²­®±²¼ 1 ­ µ®¦¤¥­¨¾ ¢ «¥¢®© ¢¥°¸¨­¥ ¥¥ ¨­´®°¬ ¶¨®­­®£® ¬­®¦¥±²¢ , ² ª ª ª ½²® ¨­´®°¬ ¶¨®­­®¥ ¬­®¦¥±²¢® ¤®±²¨£ ¥²±¿ ± ¯®«®¦¨²¥«¼­®© ¢¥°®¿²­®±²¼¾ ¯°¨ ¤ ­­»µ ±²° ²¥£¨¿µ ( ¢µ1 ; ¯°¨­¿²¼, ¥±«¨ ¢µ®¤). ®«¥¥ ²®£®, ½²¨ ±²° ²¥£¨¨ ¢ ¤¥©±²¢¨²¥«¼­®±²¨ ¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼­® ° ¶¨®­ «¼­» ¯°¨ ¤ ­­®© ±¨±²¥¬¥ ¯°¥¤±² ¢«¥­¨©, ¨ ½²  ¯ °  À±²° ²¥£¨¨-¯°¥¤±² ¢«¥­¨¿Á | ¥¤¨­±²¢¥­­®¥ ‘‘. „ «¥¥ ° ±±¬®²°¨¬ ¥¹¥ 2 ¯°¨¬¥° .  ° ¨ ¬ ¥ ° 2 (Mas-Colell, Whinston, Green). ‘·¨² ¥¬, ·²® ¯®¿¢¨«±¿ 2-© ¯®²¥­¶¨ «¼­»© ­®¢¨·®ª E2 ¨ ²¥¯¥°¼ ±¨²³ ¶¨¿ ² ª®¢ : ´¨°¬  E1 ®¡« ¤ ¥² ¤®±² ²®·­»¬¨ ¢®§¬®¦­®±²¿¬¨, ·²®¡» ¢®©²¨ ¢ °»­®ª ± ¬®±²®¿²¥«¼­®, ­® ¥© ­¥ ¤®±² ¥² ­¥ª®²®°»µ ¢®§¬®¦­®±²¥©, ª®²®°»¥ ¨¬¥¥² ´¨°¬  E2. Š ª °¥§³«¼² ² ´¨°¬  E1 ° ±±¬ ²°¨¢ ¥² ¢ °¨ ­² ¯°¥¤«®¦¥­¨¿

„¨­ ¬¨·¥±ª¨¥ ¨£°» ± ­¥¯®«­®© ¨­´®°¬ ¶¨¥©

173

® ±®§¤ ­¨¨ ± E2 À±®¢¬¥±²­®£® ¯°¥¤¯°¨¿²¨¿Á, ¯°¨·¥¬ ¢ ±«³· ¥ ±®§¤ ­¨¿ ² ª®£® ¯°¥¤¯°¨¿²¨¿ E2 ¤¥«¨² ± E1 ¥¥ À¢®§¬®¦­®±²¨Á ¨ ½²¨ ®¡¥ ´¨°¬» ¤¥«¿² ¯®«³· ¾¹¨©±¿ ¤®µ®¤. E1 ¨¬¥¥² 3 ¢ °¨ ­²  ¤¥©±²¢¨©: ­¥ ¢µ®¤¨²¼, ¢®©²¨ ± ¬®±²®¿²¥«¼­® ¨«¨ ¯°¥¤«®¦¨²¼ ª®®¯¥° ¶¨¾. …±«¨ ®­  ¯°¥¤« £ ¥² ª®®¯¥° ¶¨¾, ²® E2 ¬®¦¥² «¨¡® ¯°¨­¿²¼ ¯°¥¤«®¦¥­¨¥, «¨¡® ®²¢¥°£­³²¼. …±«¨ E2 ¯°¨­¨¬ ¥² ¯°¥¤«®¦¥­¨¥, ²® E1 ¢µ®¤¨² ¢¬¥±²¥ ± E2; ¥±«¨ E2 ®²¢¥°£ ¥², ²® E1 °¥¸ ¥², ¢µ®¤¨²¼ «¨ ± ¬®±²®¿²¥«¼­® ¨«¨ ­¥². I ¬®¦¥² ­ ¡«¾¤ ²¼ ¢®¸«  «¨ E1, ­® ­¥ §­ ¥², ¢®¸«  «¨ ´¨°¬  À®²¤¥«¼­®© ¥¤¨­¨¶¥©Á ¨«¨ À±®¢¬¥±²­»¬ ¯°¥¤¯°¨¿²¨¥¬Á (°¨±. 5).

¨±. 5. „«¿ ®¯°¥¤¥«¥­¨¿ ‘‘ § ¬¥²¨¬, ·²® ¢ «¾¡®¬ ‘‘ E2 ¤®«¦­  ¯°¨­¿²¼ ¯°¥¤«®¦¥­¨¥ E1, ² ª ª ª ¢ ½²®¬ ±«³· ¥ E2 £ ° ­²¨°³¥² ±¥¡¥ ¯®«®¦¨²¥«¼­»© ¢»¨£°»¸ ­¥§ ¢¨±¨¬® ®² ±²° ²¥£¨¨ I . ® ²®£¤  ¢ «¾¡®¬ ‘‘ E1 ¤®«¦­  ¯°¥¤«®¦¨²¼ ª®®¯¥° ¶¨¾, ² ª ª ª ¥±«¨ E2 ¯°¨­¨¬ ¥² ¯°¥¤«®¦¥­¨¥, ²® E1 ¯®«³· ¥² ¡®«¼¸¥ ­¥§ ¢¨±¨¬® ®² À¯®±²-¢µ®¤­®©Á ±²° ²¥£¨¨ I .

174

ƒ« ¢  4

„ «¥¥, ½²¨ ¤¢  ¢»¢®¤  ¯°¨¢®¤¿² ª ²®¬³, ·²® ¨­´®°¬ ¶¨®­­®¥ ¬­®¦¥±²¢® ¨£°®ª  I ¤®±²¨£ ¥²±¿ ± ¯®«®¦¨²¥«¼­®© ¢¥°®¿²­®±²¼¾ (¢ ¤¥©±²¢¨²¥«¼­®±²¨ ° ¢­®© 1) ¢ «¾¡®¬ ‘‘. ’¥¯¥°¼, ¨±¯®«¼§³¿ ¯° ¢¨«®  ©¥±  ¢ ½²®¬ ¨­´®°¬ ¶¨®­­®¬ ¬­®¦¥±²¢¥, ¬» § ª«¾· ¥¬, ·²® ½²® ¯° ¢¨«® ¤®«¦­® ¯°¨¯¨±»¢ ²¼ ¢¥°®¿²­®±²¼ 1 ­ µ®¦¤¥­¨¿ ¢ ±°¥¤­¥© ¢¥°¸¨­¥. ‚ ½²®¬ ±«³· ¥, ¢ «¾¡®¬ ‘‘ ±²° ²¥£¨¿ ´¨°¬» I ¤®«¦­  ¡»²¼ À¯°¨­¿²¼, ¥±«¨ ¢µ®¤Á.  ª®­¥¶, ¥±«¨ I ¨£° ¥² À¯°¨­¿²¼, ¥±«¨ ¢µ®¤Á, ²® E1 ¤®«¦­  ¢µ®¤¨²¼, ¥±«¨ ®­  ¯°¥¤«®¦¨«  ª®®¯¥° ¶¨¾, ­® E2 ®²¢¥°£« . ‘«¥¤®¢ ²¥«¼­®, ¥¤¨­±²¢¥­­®¥ ‘‘ ¢ ½²®© ¨£°¥ ¥±²¼ ­ ¡®° ±²° ²¥£¨© (E 1; E 2; I ) = ((¯°¥¤«®¦¥­¨¥ ª®®¯¥° ¶¨¨; ¢µ., ¥±«¨ E2 ®²¢¥°£­³²®), (¯°¨­¿²¼), (¯°¨­¿²¼, ¥±«¨ À¢µ®¤Á)) ¨ ±¨±²¥¬  ¯°¥¤±² ¢«¥­¨©  (±°¥¤­¿¿ ¢¥°¸¨­ ) = 1. ‡ ¬¥²¨¬, ·²® ½²® ­¥ ¥¤¨­±²¢¥­­®¥ ° ¢­®¢¥±¨¥ ¯® ½¸³ (  ¯®²®¬³ ¨ ­¥ ¥¤¨­±²¢¥­­®¥ ‘H).  ¯°¨¬¥°, (E 1; E 2; I ) = ((­¥², ­¥², ¥±«¨ E2 ®²ª«®­¨²), (®²ª«®­¨²¼), (¢®©­ , ¥±«¨ À¢µ®¤Á)) ¿¢«¿¥²±¿ ‘H ¢ ½²®© ¨£°¥.  ° ¨ ¬ ¥ ° 3 (Mas-Colell, Whinston, Green). ‚ ¯°¨¢¥¤¥­­»µ ¢»¸¥ ¯°¨¬¥° µ ¢±¥ ¡»«® ±®¢±¥¬ ¯°®±²®, ² ª ª ª ª²®-²® ¨§ ¨£°®ª®¢ ¨¬¥« ®¯²¨¬ «¼­³¾ ±²° ²¥£¨¾, ª®²®° ¿ ¡»«  ­¥§ ¢¨±¨¬  ®² ¥£® ¯°¥¤±² ¢«¥­¨© ¨/¨«¨ ¤ «¼­¥©¸¥© ¨£°» ®¯¯®­¥­²®¢.  ±±¬®²°¨¬ ²¥¯¥°¼ ±«¥¤³¾¹³¾ ¨£°³ (±¬. °¨±. 6). —²®¡» °¥¸¨²¼ ½²³ ¨£°³, ­ ©¤¥¬ À­¥¯®¤¢¨¦­³¾ ²®·ª³Á, ¯°¨ ª®²®°®© ¯®¢¥¤¥­¨¥, ¯®°®¦¤¥­­®¥ ¯°¥¤±² ¢«¥­¨¿¬¨, ±®£« ±®¢ ­® ± ½²¨¬¨ ¯°¥¤±² ¢«¥­¨¿¬¨. ‘·¨² ¥¬, ·²® > 0 . ³±²¼ F | ¢¥°®¿²­®±²¼ ²®£®, ·²® ´¨°¬  I ¢®¾¥² ¯®±«¥ ¢µ®¤ . ³±²¼ 1 | ¯°¥¤±² ¢«¥­¨¥ ´¨°¬» I , ·²® ±²° ²¥£¨¥© ¢µ®¤  ¡»« ¢µ1 (¥±«¨ ®­ ±®±²®¿«±¿), ¨ ¯³±²¼ 0 ; 1; 2 | ¢¥°®¿²­®±²¨, ± ª®²®°»¬¨ ´¨°¬  ¤¥©±²¢¨²¥«¼­® ¢»¡¨° ¥² À­¥²Á, ¢µ1 , ¢µ2 ±®®²¢¥²±²¢¥­­®. ‡ ¬¥²¨¬, ·²® I § µ®·¥² ¢®¥¢ ²¼ ± ¯®«®¦¨²¥«¼­®© ¢¥°®¿²­®±²¼¾ ²®£¤  ¨ ²®«¼ª® ²®£¤ , ª®£¤  ;1  ;21 + 1(1 ; 1 ) ,

„¨­ ¬¨·¥±ª¨¥ ¨£°» ± ­¥¯®«­®© ¨­´®°¬ ¶¨¥©

175

¨±. 6. ².¥. ¥±«¨ 1  2=3 . °¥¤¯®«®¦¨¬, ·²® 1 > 2=3 ¢ ‘‘. ‘«¥¤®¢ ²¥«¼­®, ´¨°¬  I ¤®«¦­  ¨£° ²¼ À¢®©­³Á c ¢¥°®¿²­®±²¼¾ 1. ® ²®£¤  E ¤®«¦­  ¨£° ²¼ ¢µ2 ± ¢¥°®¿²­®±²¼¾ 1 (². ª. > 0 ) ¨ ²®£¤  ‘‘ ²°¥¡³¥², ·²®¡» 1 = 0 . °¥¤¯®«®¦¨¬ ²¥¯¥°¼, ·²® 1 < 2=3 ¢ ‘‘, ±«¥¤®¢ ²¥«¼­®, I ¤®«¦­  ¨£° ²¼ À¯°¨­¿²¼Á ± ¢¥°®¿²­®±²¼¾ 1. ® ²®£¤  E ¤®«¦­  ¨£° ²¼ À ¢µ1 Á ± ¢¥°®¿²­®±²¼¾ 1, ¨ ‘‘ ²°¥¡³¥², ·²®¡» 1 = 1 . ‡­ ·¨², ¢ «¾¡®¬ ‘‘ 1 = 2=3 . ‘«¥¤®¢ ²¥«¼­®, E ¤®«¦­  ° ­¤®¬¨§¨°®¢ ²¼ ¢ ½²®¬ ° ¢­®¢¥±¨¨, ¯°¨¯¨±»¢ ¿ ¢µ1 ¨ ¢µ2 ¯®«®¦¨²¥«¼­³¾ ¢¥°®¿²­®±²¼, ¯°¨·¥¬ ¢µ1 ¤®«¦¥­ ¡»²¼ À¢¤¢®¥ ¢¥°®¿²­¥¥Á, ·¥¬ ¢µ2 . ²® ®§­ · ¥², ·²® ¢¥°®¿²­®±²¼ ¨£° ²¼ À¢®©­³Á ¤®«¦­  ¤¥« ²¼ E ¡¥§° §«¨·­®© ¬¥¦¤³ ¢µ1 ¨ ¢µ2 , ±«¥¤®¢ ²¥«¼­®, ;F + 3(1 ; F ) = F + 2(1 ; F ) ¨«¨ F = 1=( + 2) . ‚»¨£°»¸ E ®² ¨£°» ¢µ1 ¨«¨ ¢µ2 ¥±²¼ (3 +2)=( +2) > 0 ¨, ±«¥¤®¢ ²¥«¼­®, E ¤®«¦­  ¨£° ²¼ À­¥²Á ± ¢¥°®¿²­®±²¼¾ 0. ‡­ ·¨², ¥¤¨­±²¢¥­­®¥ ‘‘ ¢ ½²®© ¨£°¥, ª®£¤  > 0 , ¥±²¼ (0; 1; 2) = (0; 32 ; 31 ); F = 1= + 2; 1 = 23 :

176

ƒ« ¢  4

Œ» ­ §»¢ «¨ ° ¢­®¢¥±¨¥ ±« ¡»¬, ² ª ª ª ²°¥¡®¢ ­¨¿ ±®£« ±®¢ ­­®±²¨ ¡»«¨ ¬¨­¨¬ «¼­»: ¥¤¨­±²¢¥­­®¥ ²°¥¡®¢ ­¨¥ ¤«¿ ¯°¥¤±² ¢«¥­¨©, ª°®¬¥ ­¥®²°¨¶ ²¥«¼­®±²¨ ¨ ° ¢¥­±²¢  ±³¬¬» ¢¥°®¿²­®±²¥© ¥¤¨­¨¶¥ ¢ ¨­´®°¬ ¶¨®­­®¬ ¬­®¦¥±²¢¥, ±®±²®¿«® ¢ ²®¬, ·²® ®­¨ ¤®«¦­» ¡»²¼ ±®£« ±®¢ ­» ± ° ¢­®¢¥±­»¬¨ ±²° ²¥£¨¿¬¨ ­  ° ¢­®¢¥±­®¬ ¯³²¨, ¢ ²®¬ ±¬»±«¥, ·²® ®­¨ ¤®«¦­» ¢»¢®¤¨²¼±¿ ¨§ ´®°¬³«»  ©¥± . °¨ ½²®¬ ­¥ ¡»«® ­¨ª ª¨µ ®£° ­¨·¥­¨© ­  ¯°¥¤±² ¢«¥­¨¿ ¢­¥ ° ¢­®¢¥±­®£® ¯³²¨. Ž¤­ ª® ½²® ¨­®£¤  ¦¥« ²¥«¼­®. ® ¬» ­  ½²®¬ ¯®¤°®¡­® ®±² ­ ¢«¨¢ ²¼±¿ ­¥ ¡³¤¥¬.  ° ¨ ¬ ¥ ° 4 (Mas-Colell, Whinston, Green). —¨±²»¥ ±²° ²¥£¨¨ ¨ ¯°¥¤±² ¢«¥­¨¿, ®²¬¥·¥­­»¥ ­  °¨±. 7, ±²°¥«ª ¬¨ ®¡° §³¾² ‘‘.

¨±. 7. °¥¤±² ¢«¥­¨¿ ³¤®¢«¥²¢®°¿¾² ±¢®©±²¢³ (2): ²®«¼ª® ¨­´®°¬ ¶¨®­­®¥ ¬­®¦¥±²¢® ¨£°®ª  1 ¤®±²¨£ ¥²±¿ ± ¯®«®¦¨²¥«¼­®© ¢¥°®¿²­®±²¼¾,   ¥£® ¯°¥¤±² ¢«¥­¨¿ ®²° ¦ ¾² ¢¥°®¿²­®±²­®¥

„¨­ ¬¨·¥±ª¨¥ ¨£°» ± ­¥¯®«­®© ¨­´®°¬ ¶¨¥©

177

° ±¯°¥¤¥«¥­¨¥ ­  ¬­®¦¥±²¢¥ µ®¤®¢ °¨°®¤». °¥¤±² ¢«¥­¨¿ 2£® ­¥ ®·¥­¼ ®±¬»±«¥­­». ˆ­´®°¬ ¶¨®­­®¥ ¬­®¦¥±²¢® ¢²®°®£® ¨£°®ª  ¬®¦¥² ¡»²¼ ¤®±²¨£­³²® ²®«¼ª®, ¥±«¨ 1 ®²ª«®­¨«±¿, ¢»¡¨° ¿ y ± ¯®«®¦¨²¥«¼­®© ¢¥°®¿²­®±²¼¾, ¯°¨·¥¬ ®²ª«®­¥­¨¥ ¤®«¦­® ¡»²¼ ­¥§ ¢¨±¨¬® ®² ¤¥©±²¢¨²¥«¼­®£® ¢»¡®°  °¨°®¤». ®½²®¬³ ¨£°®ª 2 ®±¬»±«¥­­® ¬®¦¥² ¨¬¥²¼ ²®«¼ª® ¯°¥¤±² ¢«¥­¨¿, ª®²®°»¥ ¯°¨¯¨±»¢ ¾² ° ¢­»¥ ¢¥°®¿²­®±²¨ ½²¨¬ ¤¢³¬ ¢¥°¸¨­ ¬ ¢ ¥£® ¨­´®°¬ ¶¨®­­®¬ ¬­®¦¥±²¢¥, §­ ·¨², ¦¥« ²¥«¼­® ²°¥¡®¢ ²¼ À±²°³ª²³°­®© ±®£« ±®¢ ­­®±²¨Á ¢­¥ ° ¢­®¢¥±­®£® ¯³²¨ ¢ ²®¬ ±¬»±«¥, ·²® ±³¹¥±²¢³¥² ­¥ª®²®°®¥ c³¡º¥ª²¨¢­®¥ ¢¥°®¿²­®±²­®¥ ° ±¯°¥¤¥«¥­¨¥ ­  ­ ¡®° µ ±²° ²¥£¨©, ª®²®°®¥ ¬®¦¥² ¯®°®¦¤ ²¼ ¢¥°®¿²­®±²¨, ±®£« ±®¢ ­­»¥ ± ¯°¥¤±² ¢«¥­¨¿¬¨. ‡ ¬¥²¨¬ ² ª¦¥, ·²® ‘‘ ­¥ ®¡¿§ ²¥«¼­® ¿¢«¿¥²±¿ ±®¢¥°¸¥­­»¬ ¯®¤-¨£°®¢»¬ ° ¢­®¢¥±¨¥¬.  ±±¬®²°¨¬ ¨£°³, ¨§®¡° ¦¥­­³¾ ­  °¨±. 8. ‘‘ §¤¥±¼ ¥±²¼ (E ; I ) = ((­¥², ¯°¨­¿²¼ ¥±«¨ ¢µ®¤), (¢®©­ , ¥±«¨ ¢µ®¤)) ¢¬¥±²¥ ± ³ª § ­­»¬¨ ¯°¥¤±² ¢«¥­¨¿¬¨. ® ½²® ­¥ ±®¢¥°¸¥­­®¥ ¯®¤-¨£°®¢®¥ ° ¢­®¢¥±¨¥, ² ª ª ª ®­® ­¥ ¤ ¥² ° ¢­®¢¥±¨¿ ¯® ½¸³ ¢ À¯®±²-¢µ®¤­®©Á ¯®¤-¨£°¥. °®¡«¥¬  ¢ ²®¬, ·²® À¯®±²-¢µ®¤­»¥Á ¯°¥¤±² ¢«¥­¨¿ ´¨°¬» I ®²­®±¨²¥«¼­® ¨£°» ´¨°¬» E ­¥ ®£° ­¨·¥­» ‘‘, ² ª ª ª ¨­´®°¬ ¶¨®­­®¥ ¬­®¦¥±²¢® ´¨°¬» I | ¢­¥ ° ¢­®¢¥±­®£® ¯³²¨. ‡­ ·¨², ‘‘ ¬®¦¥² ¡»²¼ ±«¨¸ª®¬ ±« ¡»¬. ‚ ¯°¨«®¦¥­¨¿µ ®¡»·­® ¢¢®¤¿²±¿ ¤®¯®«­¨²¥«¼­»¥ ²°¥¡®¢ ­¨¿ ±®£« ±®¢ ­­®±²¨, ·²®¡» ¨§¡¥¦ ²¼ ½²¨µ ¯°®¡«¥¬. ®«³· ¾¹¥¥±¿ ° ¢­®¢¥±¨¥ ¨ ­ §»¢ ¾² ±®¢¥°¸¥­­»¬  ©¥±®¢»¬ ° ¢­®¢¥±¨¥¬. ”®°¬ «¼­»¥ ®¯°¥¤¥«¥­¨¿ ¨ ®¡±³¦¤¥­¨¥ ­¥ª®²®°»µ ¯®­¿²¨© ±®¢¥°¸¥­­®£®  ©¥±®¢  ° ¢­®¢¥±¨¿ ¬®¦­® ­ ©²¨ ¢ ª­¨£¥ Fundenberg, Tirole. Œ» ° ±±¬®²°¨¬ ¯®¤°®¡­¥¥ ±®¢¥°¸¥­­®¥ ¯®¤-¨£°®¢®¥ ° ¢­®¢¥±¨¥ ­  ¯°¨¬¥°¥ ±¨£­ «¼­»µ ¨£° (±¬. ¯. 4.3), £¤¥ ®­® ±®¢¯ ¤ ¥² ± ¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼­»¬ ° ¢­®¢¥±¨¥¬2 ‚¨«±®­ -Š°¥¯± , 2

Sequential equilibrium.

178

ƒ« ¢  4

¨±. 8. ­  ª®²®°®¬ ¬» ±¥©· ± ª° ²ª® ®±² ­®¢¨¬±¿. 4.2. ®±«¥¤®¢ ²¥«¼­®¥ ° ¢­®¢¥±¨¥

‚ ¦­»¬, ²¥±­® ±¢¿§ ­­»¬ ± ‘‘ ¯®­¿²¨¥¬ ° ¢­®¢¥±¨¿, ª®²®°®¥ ¢ ²® ¦¥ ¢°¥¬¿ ³±¨«¨¢ ¥² ¯®­¿²¨¥ ±« ¡®£® ±®¢¥°¸¥­­®£®  ©¥±®¢  ° ¢­®¢¥±¨¿ §  ±·¥² ¢¢¥¤¥­¨¿ ¤®¯®«­¨²¥«¼­®£® ³±«®¢¨¿ ±®£« ±®¢ ­­®±²¨ ¯°¥¤±² ¢«¥­¨©, ¿¢«¿¥²±¿ ¯®­¿²¨¥ ¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼­®£® ° ¢­®¢¥±¨¿ (Wilson, Kreps, 1982). ‚ ¯°®²¨¢®¯®«®¦­®±²¼ ±®¢¥°¸¥­­®¬³  ©¥±®¢³ ° ¢­®¢¥±¨¾, ¢ ¯®­¿²¨¨ ¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼­®£® ° ¢­®¢¥±¨¿ ½²  ±®£« ±®¢ ­­®±²¼ ¢¢®¤¨²±¿ ­¥ ¯°¿¬»¬,   ª®±¢¥­­»¬ ®¡° §®¬ ·¥°¥§ ±µ®¤¿¹¨¥±¿ ¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼­®±²¨ ±²° ²¥£¨©.

„¨­ ¬¨·¥±ª¨¥ ¨£°» ± ­¥¯®«­®© ¨­´®°¬ ¶¨¥©

179

Ž¯°¥¤¥«¥­¨¥ 4.2.1.  °  (; ) , ±®±²®¿¹ ¿ ¨§ ­ ¡®° 

±²° ²¥£¨© ¨ ±¨±²¥¬» ¯°¥¤±² ¢«¥­¨©, ­ §»¢ ¥²±¿ ¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼­»¬ ° ¢­®¢¥±¨¥¬ ¢ ¯®§¨¶¨®­­®© ¨£°¥ ;… , ¥±«¨: (1) ­ ¡®° ±²° ²¥£¨©  ¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼­® ° ¶¨®­ «¥­ ¯°¨ ¤ ­­®© ±¨±²¥¬¥ ¯°¥¤±² ¢«¥­¨©  ; (2) ±³¹¥±²¢³¥² ¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼­®±²¼ ¢¯®«­¥ ±¬¥¸ ­­»µ ±²° ²¥£¨© (²® ¥±²¼ ±²° ²¥£¨©, ¢ ª®²®°»µ ª ¦¤ ¿ ·¨±² ¿ ±²° ²¥£¨¿ ¨£° ¥²±¿ ± ¯®«®¦¨²¥«¼k ­®© ¢¥°®¿²­®±²¼¾) f k g1 k=1 ² ª ¿, ·²® limk!1  =  , k k ¯°¨·¥¬  = limk!1  , £¤¥  | ¯°¥¤±² ¢«¥­¨¿, ¢»¢®¤¨¬»¥ ¨§ ­ ¡®°  ±²° ²¥£¨©  k ¯® ¯° ¢¨«³  ©¥± .

® ±³¹¥±²¢³, °¥·¼ ¨¤¥² ® ²®¬, ·²® ¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼­®¥ ° ¢­®¢¥±¨¥ ²°¥¡³¥², ·²®¡» ¯°¥¤±² ¢«¥­¨¿ ¢®§­¨ª «¨ ¨§ ­¥ª®²®°®£® ¬­®¦¥±²¢  À¡«¨§ª¨µÁ ª  ¢¯®«­¥ ±¬¥¸ ­­»µ ±²° ²¥£¨©. ²® ¬®¦­® ° ±±¬ ²°¨¢ ²¼ ª ª ²°¥¡®¢ ­¨¥ ²®£®, ·²® ¨£°®ª¨ ®¯°¥¤¥«¿¾² ±¢®¨ ¯°¥¤±² ¢«¥­¨¿, ¤¥« ¿, ± ­¥ª®²®°®© ¬ «®© ¢¥°®¿²­®±²¼¾, ®¸¨¡ª¨ ¢ ¢»¡®°¥ ±¢®¨µ ±²° ²¥£¨©. ‚ ¦­® ®²¬¥²¨²¼, ·²® ª ¦¤®¥ ¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼­®¥ ° ¢­®¢¥±¨¥ ¿¢«¿¥²±¿ ‘‘, ¯®±ª®«¼ª³ ¯°¥¤¥«¼­»¥ ¯°¥¤±² ¢«¥­¨¿ ¢ ²®·­®±²¨ ±®¢¯ ¤ ¾² ± ¯°¥¤±² ¢«¥­¨¿¬¨, ¢»¢®¤¨¬»¬¨ ¨§ ° ¢­®¢¥±­»µ ±²° ²¥£¨©  ¯® ¯° ¢¨«³  ©¥±  ­  ²° ¥ª²®°¨¨, ®¯°¥¤¥«¿¥¬®© ¯°®´¨«¥¬  . Ž¡° ²­®¥, ¢®®¡¹¥ £®¢®°¿, ­¥¢¥°­®. ®±«¥¤®¢ ²¥«¼­®¬³ ° ¢­®¢¥±¨¾ ³¤ ¥²±¿ ¨§¡¥¦ ²¼ ²¥µ ®±«®¦­¥­¨©, ± ª®²®°»¬¨ ¬» ±²®«ª­³«¨±¼ ¢ ¤¢³µ ¯®±«¥¤­¨µ ¯°¨¬¥° µ. „¥©±²¢¨²¥«¼­®, ¢¥°­¥¬±¿ ª ¨£°¥, ¨§®¡° ¦¥­­®© ­  °¨±. 7. ‚ ½²®© ¨£°¥ ¢±¥ ¯°¥¤±² ¢«¥­¨¿, ª®²®°»¥ ¬®¦­® ¢»¢¥±²¨ ¨§ «¾¡®© ¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼­®±²¨ ¢¯®«­¥ ±¬¥¸ ­­»µ ±²° ²¥£¨©, ¯°¨¯¨±»¢ ¾² ° ¢­»¥ ¢¥°®¿²­®±²¨ ¤¢³¬ ¢¥°¸¨­ ¬ ¨§ ¨­´®°¬ ¶¨®­­®£® ¬­®¦¥±²¢  ¨£°®ª  2. ®½²®¬³ ¢ «¾¡®¬ ¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼­®¬ ° ¢­®¢¥±¨¨ ¨£°®ª 2 ¤®«¦¥­ ¨£° ²¼ r ,   ¨£°®ª 1 ¤®«¦¥­ ¨£° ²¼ y . ‚ ¤¥©±²¢¨²¥«¼­®±²¨ ¯ °  ±²° ²¥£¨© (r; y ) ¨ ¯°¥¤±² ¢«¥­¨¿, ¯°¨¯¨±»¢ ¾¹¨¥ ° ¢­»¥ ¢¥°®¿²­®±²¨ ¢¥°¸¨­ ¬ ª ¦¤®£® ¨§ ¤¢³µ ¨­´®°¬ ¶¨®­­»µ ¬­®¦¥±²¢, ®¯°¥¤¥«¿¾² ¥¤¨­±²¢¥­­®¥ ¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼­®¥ ° ¢­®¢¥±¨¥ ¢ ½²®© ¨£°¥.

180

ƒ« ¢  4

—²® ª ± ¥²±¿ ¯°¨¬¥° , ¨§®¡° ¦¥­­®£® ­  °¨±. 8, ²® ±²° ²¥£¨¨ ¥¤¨­±²¢¥­­®£® ¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼­®£® ° ¢­®¢¥±¨¿ ¢ ½²®© ¨£°¥ ¿¢«¿¾²±¿ ±²° ²¥£¨¿¬¨ ¥¤¨­±²¢¥­­®£® ‘: ((¢µ®¤; ­¥², ¥±«¨ ¢µ®¤), (­¥², ¥±«¨ E ¢µ®¤¨²)). —²®¡» ³¡¥¤¨²¼±¿0 ¢ ½²®¬, ° ±±¬®²°¨¬ «¾¡³¾ ¢¯®«­¥ ±¬¥¸ ­­³¾ ±²° ²¥£¨¾  ¨ «¾¡³¾ ¢¥°¸¨­³ x ¢ ¨­´®°¬ ¶¨®­­®¬ ¬­®¦¥±²¢¥ I , ª®²®°®¥ ¬» ®¡®§­ ·¨¬ ·¥°¥§ HI . ³±²¼ z ®¡®§­ · ¥² ¢¥°¸¨­³, ±«¥¤³¾¹³¾ §  ¢µ®¤®¬ ¨£°®ª  E (². ¥. ­ · «¼­³¾ ¢¥°¸¨­³ ¯®¤-¨£°», ±«¥¤³¾¹¥© §  ¢µ®¤®¬). ’®£¤  ¯°¥¤±² ¢«¥­¨¿ 0 , ±®®²¢¥²±²¢³¾¹¨¥  0 ¢ ¨­´®°¬ ¶¨®­­®¬ ¬­®¦¥±²¢¥ HI , ®¯°¥¤¥«¿¾²±¿ ±«¥¤³¾¹¨¬ ®¡° §®¬: 0 0 0 Pr ( x j  ) Pr ( x j z;  ) Pr ( z j  0 (x) = Pr(H j 0 ) = Pr(H jz; 0 )Pr(xj)0 ) ; I I 0 £¤¥ Pr(xjz;  ) | ¢¥°®¿²­®±²¼ 0¤®±²¨¦¥­¨¿ ¢¥°¸¨­» x ¢ ±«³· ¥ ¯°¨¬¥­¥­¨¿ ±²° ²¥£¨©  ¯°¨ ³±«®¢¨¨ ¤®±²¨¦¥­¨¿ ¢¥°¸¨­» z0 . ®±«¥ ±®ª° ¹¥­¨¿ ¨ 0± ³·¥²®¬ ²®£® ´ ª² , ·²® Pr(HI jz;  ) = 1 , ¬» ¯®«³· ¥¬  (x) = Pr(xjz; 0) . ® ½²® ª ª ° § ¨ ¥±²¼ ¢¥°®¿²­®±²¼ ²®£®, ·²® ´¨°¬  E ¢»¡¨° ¥² ¤¥©±²¢¨¥, ¯°¨¢®¤¿¹¥¥ ª ¢¥°¸¨­¥ x ¢ ±²° ²¥£¨¨  0 . ®½²®¬³ «¾¡ ¿ ¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼­®±²¼ ¢¯®«­¥ ±¬¥¸ ­­»µ ±²° ²¥£¨© f0 g1k=1 , ±µ®¤¿¹ ¿±¿ ª  , ¤®«¦­  ¯®°®¦¤ ²¼ ¯°¥¤¥«¼­»¥ ¯°¥¤±² ¢«¥­¨¿ ´¨°¬» I , ª®²®°»¥ ±®¢¯ ¤ ¾² ± ¨£°®© ¢ ¢¥°¸¨­¥ z , ¯°¥¤¯¨±»¢ ¥¬®© °¥ «¼­®© ±²° ²¥£¨¥© E . ˆ§ ½²®£® ­¥¬¥¤«¥­­® ±«¥¤³¥², ·²® ±²° ²¥£¨¨ ¢ ª ¦¤®¬ ¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼­®¬ ° ¢­®¢¥±¨¨ ¤®«¦­» ®¯°¥¤¥«¿²¼ ° ¢­®¢¥±­®¥ ¯® ½¸³ ¯®¢¥¤¥­¨¥ ¢ ½²®© À¯®±²-¢µ®¤­®©Á ¯®¤-¨£°¥,   ¯®½²®¬³ ¤®«¦­» ®¡° §®¢»¢ ²¼ ‘H. °¥¤«®¦¥­¨¥ 4.2.1. (Kreps, Wilson, 1982). ‚ ª ¦¤®¬ ¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼­®¬ ° ¢­®¢¥±¨¨ (; ) ¯®§¨¶¨®­­®© ¨£°» ;… ­ ¡®° ° ¢­®¢¥±­»µ ±²° ²¥£¨©  ®¡° §³¥² ±®¢¥°¸¥­­®¥ ¯®¤-¨£°®¢®¥ ° ¢­®¢¥±¨¥ ¯® ½¸³. ’ ª¨¬ ®¡° §®¬, ¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼­®¥ ° ¢­®¢¥±¨¥ ³±¨«¨¢ ¥² ¨ ¯®­¿²¨¥ ‘ ¨ ¯®­¿²¨¥ ‘‘: ª ¦¤®¥ ¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼­®¥ ° ¢­®¢¥±¨¥ ¿¢«¿¥²±¿ ¨ ‘, ¨ ‘‘.

„¨­ ¬¨·¥±ª¨¥ ¨£°» ± ­¥¯®«­®© ¨­´®°¬ ¶¨¥©

181

4.3. ‘¨£­ «¼­»¥ ¨£°»

‘¨£­ «¼­ ¿ ¨£°  | ½²® ¤¨­ ¬¨·¥±ª ¿ ¨£°  ± ­¥¯®«­®© ¨­´®°¬ ¶¨¥© ¤¢³µ ¨£°®ª®¢: S (Sender) | ¢¥¤³¹¥£® (¯®±»« ¾¹¥£® ±¨£­ «) ¨ R (Receiver) | ¯®«³· ²¥«¿ ±¨£­ « . ˆ£°  ¯°®²¥ª ¥² ±«¥¤³¾¹¨¬ ®¡° §®¬: 1. °¨°®¤  ¢»¡¨° ¥² ²¨¯ ti ¤«¿ ¢¥¤³¹¥£® ¨§ ¬­®¦¥±²¢  ¢®§¬®¦­»µ ²¨¯®¢ T = ft1 ; : : :; tI g ¢ ±®®²¢¥²±²¢¨¨ ± ¢¥°®¿²­®±²­»¬ ° ±¯°¥¤¥«¥­¨¥¬ p(ti ) : p(ti ) > 0 ¤«¿ «¾¡®£® i ¨ p(t1) +


+ p(tI ) = 1 . 2. ‚¥¤³¹¨© ­ ¡«¾¤ ¥² ti ¨ ¢»¡¨° ¥² ±¨£­ « mj ¨§ ¬­®¦¥±²¢  ¢®§¬®¦­»µ ±®®¡¹¥­¨© M = fm1 ; : : :; mJ g . 3. ®«³· ²¥«¼ ­ ¡«¾¤ ¥² (¯®«³· ¥² ±¨£­ «) mj (­® ­¥ ti ) ¨ § ²¥¬ ¢»¡¨° ¥² ¤¥©±²¢¨¥ ak ¨§ ¬­®¦¥±²¢  A = fa1 ; : : :; aK g . 4. Ž¯°¥¤¥«¿¾²±¿ ¢»¨£°»¸¨ US (ti ; mj ; ak ) ¨ UR (ti ; mj ; ak ) .  §³¬¥¥²±¿, ¥±²¥±²¢¥­­® ±·¨² ²¼, ·²® ¬­®¦¥±²¢® ¢®§¬®¦­»µ ±®®¡¹¥­¨© § ¢¨±¨² ®² ²¨¯  ¨£°®ª ,   ¬­®¦¥±²¢® ¢®§¬®¦­»µ ¤¥©±²¢¨© § ¢¨±¨² ®² ¯®«³·¥­­®£® ±¨£­ « . ’ ª, ±ª ¦¥¬, ¢ ¬®¤¥«¨ ±¨£­ «¨§¨°®¢ ­¨¿ ­  °»­ª¥ ²°³¤  S | ° ¡®·¨©,   R | ½²® ¯¥°±¯¥ª²¨¢­»© °»­®ª § ­¿²®±²¨, ²¨¯ | ½²® ¯°®¨§¢®¤¨²¥«¼­®±²¼ ° ¡®·¥£®,   ±®®¡¹¥­¨¥ | ½²® ¢»¡®° ³°®¢­¿ ®¡° §®¢ ­¨¿, ¨, ­ ª®­¥¶, ¤¥©±²¢¨¥ | ½²® ³°®¢¥­¼ § ° ¡®²­®© ¯« ²». ‚ ¬®¤¥«¨ ª®°¯®° ²¨¢­»µ ª ¯¨² «®¢«®¦¥­¨© ¨ ±²°³ª²³°» ª ¯¨² «®¢ S | ´¨°¬ , ­³¦¤ ¾¹ ¿±¿ ¢ ´¨­ ­±¨°®¢ ­¨¨ ­®¢®£® ¯°®¥ª² , R | ¯®²¥­¶¨ «¼­»© ¨­¢¥±²®°, ²¨¯ | ¯°¨¡»«¼­®±²¼ ¨¬¥¾¹¨µ±¿  ª²¨¢®¢ ´¨°¬», ±®®¡¹¥­¨¥ | ½²® ¯°¥¤«®¦¥­¨¥ ´¨°¬®© ¤®«¥¢®© ±² ¢ª¨ ®²¤ ·¨,   ¤¥©±²¢¨¿ | °¥¸¥­¨¿ ¨­¢¥±²®°  ¢ª« ¤»¢ ²¼ ¨«¨ ­¥². ‚ ­¥ª®²®°»µ ±«³· ¿µ ±¨£­ «¼­ ¿ ¨£°  ¬®¦¥² ¡»²¼ · ±²¼¾ ¡®«¥¥ ±«®¦­®© ¨£°», ². ¥. ­ ¯°¨¬¥°, ¬®¦¥² ¡»²¼ ­¥ª®²®°®¥ ¤¥©±²¢¨¥ ¯®«³· ²¥«¿ ¤® ¢»¡®°  ±®®¡¹¥­¨¿ ¢¥¤³¹¨¬ S .

182

ƒ« ¢  4

Œ» ®±² ­®¢¨¬±¿ ­  ¯°®±²®¬ ±«³· ¥:

T = ft1; t2g; M = fm1; m2g; A = fa1; a2g; Probft1g = p: „¥°¥¢® ² ª®© ±¨£­ «¼­®© ¨£°» ³¤®¡­® ¨§®¡° ¦ ²¼ ±«¥¤³¾¹¨¬ ®¡° §®¬ (¬» ­¥ ³ª §»¢ ¥¬ §¤¥±¼ ¢»¨£°»¸¨ ¢ ²¥°¬¨­ «¼­»µ ¢¥°¸¨­ µ) (°¨±. 9):

¨±. 9. Š ª ¢±¥£¤ , ±²° ²¥£¨¿ ¨£°®ª  | ½²® ¯®«­»© ¯« ­ ¤¥©±²¢¨©: ±²° ²¥£¨¿ ¯°¥¤¯¨±»¢ ¥² ¤®¯³±²¨¬®¥ ¤¥©±²¢¨¥ ¢ ª ¦¤®¬ ±«³· ¥, ª®£¤  ¨£°®ª³, ¬®¦¥² ¡»²¼, ¯°¨¤¥²±¿ ±¤¥« ²¼ µ®¤. ‚ ±¨£­ «¼­®© ¨£°¥ ·¨±² ¿ ±²° ²¥£¨¿ ¨£°®ª  S | ½²® ´³­ª¶¨¿ m(ti ) , ³ª §»¢ ¾¹ ¿, ª ª®¥ ±®®¡¹¥­¨¥ ¡³¤¥² ¢»¡° ­® ¤«¿ ª ¦¤®£® ²¨¯ , ª®²®°»© ¬®¦¥² ¢»¡° ²¼ °¨°®¤ ,   ·¨±² ¿ ±²° ²¥£¨¿ ¨£°®ª  R | ½²® ´³­ª¶¨¿ a(mj ) , ³ª §»¢ ¾¹ ¿, ª ª®¥ ¤¥©±²¢¨¥ ¡³¤¥² ¢»¡° ­® ¤«¿ ª ¦¤®£® ¢®§¬®¦­®£® ±®®¡¹¥­¨¿ S . ‚ ¨§®¡° ¦¥­­®© ¨£°¥ ¬®¦¥² ¡»²¼ ¢±¥£® 4 (·¨±²»µ) ±²° ²¥£¨¨ ³ ª ¦¤®£® ¨§ ¨£°®ª®¢: ¥°¢ ¿ ±²° ²¥£¨¿ S | ±»£° ²¼ m1 , ¥±«¨ °¨°®¤  ¢»¡° «  t1 , ¨ ±»£° ²¼ m1 , ¥±«¨ t2 . ‚²®° ¿ ±²° ²¥£¨¿ S | ±»£° ²¼ m1 , ¥±«¨ °¨°®¤  ¢»¡° «  t1 , ¨ ±»£° ²¼ m2 , ¥±«¨ t2 . ’°¥²¼¿ ±²° ²¥£¨¿ S | ±»£° ²¼ m2 , ¥±«¨ °¨°®¤  ¢»¡° «  t1 , ¨ ±»£° ²¼ m1 , ¥±«¨ t2 . —¥²¢¥°² ¿ ±²° ²¥£¨¿ S | ±»£° ²¼ m2 , ¥±«¨ °¨°®¤  ¢»¡° «  t1 , ¨ ±»£° ²¼ m2 , ¥±«¨ t2 .

„¨­ ¬¨·¥±ª¨¥ ¨£°» ± ­¥¯®«­®© ¨­´®°¬ ¶¨¥©

183

¥°¢ ¿ ±²° ²¥£¨¿ R | ±»£° ²¼ a1 , ¥±«¨ S ¢»¡° «  m1 , ¨ ±»£° ²¼ a1 , ¥±«¨ m2 . ‚²®° ¿ ±²° ²¥£¨¿ R | ±»£° ²¼ a1 , ¥±«¨ S ¢»¡° «  m1 , ¨ ±»£° ²¼ a2 , ¥±«¨ m2 . ’°¥²¼¿ ±²° ²¥£¨¿ R | ±»£° ²¼ a2 , ¥±«¨ S ¢»¡° «  m1 , ¨ ±»£° ²¼ a1 , ¥±«¨ m2 . —¥²¢¥°² ¿ ±²° ²¥£¨¿ R | ±»£° ²¼ a2 , ¥±«¨ S ¢»¡° «  m1 , ¨ ±»£° ²¼ a2 , ¥±«¨ m2 . ¥°¢ ¿ ¨ ·¥²¢¥°² ¿ ±²° ²¥£¨¨ S | ®¡º¥¤¨­¿¾¹¨¥, ² ª ª ª ª ¦¤»© ²¨¯ ¯®±»« ¥² ®¤¨­ ¨ ²®² ¦¥ ±¨£­ «,   ¢²®° ¿ ¨ ²°¥²¼¿ | ° §¤¥«¿¾¹¨¥, ² ª ª ª ª ¦¤»© ²¨¯ ¯®±»« ¥² ° §­»¥ ±¨£­ «». ‚ ¬®¤¥«¿µ ± ¡®«¥¥ ·¥¬ ¤¢³¬¿ ²¨¯ ¬¨ ¬®£³² ¡»²¼ · ±²¨·­® ®¡º¥¤¨­¿¾¹¨¥ (¨«¨ ¯®«³° §¤¥«¿¾¹¨¥) ±²° ²¥£¨¨, ª®£¤  ¢±¥ ²¨¯» ¨§ ­¥ª®²®°®£® ¯®¤¬­®¦¥±²¢  ²¨¯®¢ ¯®±»« ¾² ®¤¨­ ¨ ²®² ¦¥ ±¨£­ «, ­® ° §­»¥ ¯®¤¬­®¦¥±²¢  ²¨¯®¢ ¯®±»« ¾² ° §«¨·­»¥ ±®®¡¹¥­¨¿. …±²¼ ² ª¦¥ £¨¡°¨¤­»¥ ±²° ²¥£¨¨, ­ ¯°¨¬¥°, t1 ¯®±»« ¥² m1 ,   t2 ° ­¤®¬¨§¨°³¥² m1 ¨ m2 . ®±ª®«¼ª³ S §­ ¥² ¢±¾ ¨±²®°¨¾ ¨£°» ¨ ¥£® ¢»¡®° ®±³¹¥±²¢«¿¥²±¿ ¢ ®¤­®²®·¥·­®¬ ¨­´®°¬ ¶¨®­­®¬ ¬­®¦¥±²¢¥, ²® ¢®¯°®± ® ¥£® ¯°¥¤±² ¢«¥­¨¿µ ­¥ ¢®§­¨ª ¥². —²® ª ± ¥²±¿ R , ²® ®­ ¢»¡¨° ¥² ¤¥©±²¢¨¥ ¯®±«¥ ­ ¡«¾¤¥­¨¿ ±®®¡¹¥­¨¿ S , ­® ­¥ §­ ¿ ²¨¯ S , §­ ·¨², ¢»¡®° R ¯°®¨±µ®¤¨² ¢ ­¥®¤­®²®·¥·­®¬ ¨­´®°¬ ¶¨®­­®¬ ¬­®¦¥±²¢¥. ®½²®¬³ ²¥¯¥°¼ ¬» ¬®¦¥¬ ¯¥°¥´®°¬³«¨°®¢ ²¼ ²°¥¡®¢ ­¨¿, ª®²®°»¥ ¬» ° ±±¬ ²°¨¢ «¨ ¢ ­ · «¥ ½²®© £« ¢» ¤«¿ ±¨£­ «¼­»µ ¨£°. ‘¨£­ «¼­®¥ ²°¥¡®¢ ­¨¥ 1. ®±«¥ ¯®«³·¥­¨¿ ª ¦¤®£® ±®®¡¹¥­¨¿ mj ¨§ M R ¤®«¦¥­ ¨¬¥²¼ ¯°¥¤±² ¢«¥­¨¥ ® ²®¬, ª ª®© ²¨¯ ¬®£ ¯®±« ²¼ ±®®¡¹¥­¨¥ mj . Ž¡®§­ ·¨¬ ±®®²¢¥²±²¢³¾¹¥¥ ¢¥°®¿²­®±²­®¥ ° ±¯°¥¤¥«¥­¨¥ ·¥°¥§ (ti jmj ) , £¤¥ (ti jmj )  0 ¤«¿ «¾¡®£® ti 2 T ¨

X

ti 2T

(ti jmj ) = 1

( (ti jmj ) | ¢¥°®¿²­®±²¼ ²®£®, ·²® ±®®¡¹¥­¨¥ mj ¯®±« ­® ²¨¯®¬ ti ).

184

ƒ« ¢  4

°¨ ¤ ­­®¬ ±®®¡¹¥­¨¨ S ¨ ¯°¥¤±² ¢«¥­¨¨ R ®¯²¨¬ «¼­®¥ ¤¥©±²¢¨¥ µ ° ª²¥°¨§³¥²±¿ ± ¯®¬®¹¼¾ ²°¥¡®¢ ­¨¿ ¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼­®© ° ¶¨®­ «¼­®±²¨: ‘¨£­ «¼­®¥ ²°¥¡®¢ ­¨¥ 2 R . „«¿ «¾¡®£® mj 2 M ¤¥©±²¢¨¥ R , a (mj ) , ¤®«¦­® ¬ ª±¨¬¨§¨°®¢ ²¼ ®¦¨¤ ¥¬³¾ ¯®«¥§­®±²¼ R ¯°¨ ¤ ­­®¬ ¯°¥¤±² ¢«¥­¨¨ (ti jmj ) ®²­®±¨²¥«¼­® ²®£®, ª ª®© ²¨¯ ¬®£ ¯®±« ²¼ ±®®¡¹¥­¨¥ mj . ’® ¥±²¼ a (mj ) °¥¸ ¥² § ¤ ·³ X max (ti jmj )UR(ti ; mj ; ak ): a 2A k

ti 2T

’°¥¡®¢ ­¨¥ ¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼­®© ° ¶¨®­ «¼­®±²¨ ¯°¨¬¥­¨¬® ¨ ª S , ­® S ¨¬¥¥² ¯®«­³¾ ¨­´®°¬ ¶¨¾,   ±«¥¤®¢ ²¥«¼­® ²°¨¢¨ «¼­»¥ ¯°¥¤±² ¢«¥­¨¿,   ª°®¬¥ ²®£®, ®­ µ®¤¨² ²®«¼ª® ¢ ­ · «¥ ¨£°», §­ ·¨² ±²° ²¥£¨¿ S ¤®«¦­  ¡»²¼ ®¯²¨¬ «¼­  ¯°¨ ¤ ­­®© ±²° ²¥£¨¨ R . ‘¨£­ «¼­®¥ ²°¥¡®¢ ­¨¥ 2 S . „«¿ «¾¡®£® ²¨¯  ti 2 T ±®®¡¹¥­¨¥ m(ti ) ¨£°®ª  S ¤®«¦­® ¬ ª±¨¬¨§¨°®¢ ²¼ ¯®«¥§­®±²¼ S ¯°¨ ¤ ­­®© ±²° ²¥£¨¨ a(mj ) ¨£°®ª  R . ’. ¥. m(ti ) °¥¸ ¥² § ¤ ·³ max U (t ; m ; a(mj )): m 2M s i j j

 ª®­¥¶, ¯°¨ ¤ ­­®© ±²° ²¥£¨¨ m (ti ) ¨£°®ª  S; ®¡®§­ ·¨¬ ·¥°¥§ Tj ¬­®¦¥±²¢® ²¨¯®¢, ª®²®°»¥ ¯®±»« ¾² ±®®¡¹¥­¨¥ mj . ’. ¥. ti 2 Tj , ¥±«¨ m (ti) = mj . …±«¨ Tj | ­¥¯³±²®, ²® ¨­´®°¬ ¶¨®­­®¥ ¬­®¦¥±²¢®, ±®®²¢¥²±²¢³¾¹¥¥ ±®®¡¹¥­¨¾ mj , «¥¦¨² ­  ° ¢­®¢¥±­®¬ ¯³²¨; ¢ ¯°®²¨¢­®¬ ±«³· ¥ mj ­¥ ¯®±»« ¥²±¿ ­¨ª ª¨¬ ²¨¯®¬, ¨ ±®®²¢¥²±²¢¥­­® ¨­´®°¬ ¶¨®­­®¥ ¬­®¦¥±²¢® ­ µ®¤¨²±¿ ¢­¥ ° ¢­®¢¥±­®£® ¯³²¨. ®½²®¬³ ²°¥¡®¢ ­¨¥ 3 ¬®¦­® ¯¥°¥¯¨± ²¼ ¤«¿ R ±«¥¤³¾¹¨¬ ®¡° §®¬. ‘¨£­ «¼­®¥ ²°¥¡®¢ ­¨¥ 3. „«¿ «¾¡®£® mj ¢ M; ¥±«¨ ±³¹¥±²¢³¥² ti ¢ T ² ª®©, ·²® m (ti ) = mj , ¯°¥¤±² ¢«¥­¨¥ R ¢ ¨­´®°¬ ¶¨®­­®¬ ¬­®¦¥±²¢¥, ±®®²¢¥²±²¢³¾¹¥¬ mj , ¤®«¦­® ®¯°¥¤¥«¿²¼±¿ ¯® ¯° ¢¨«³  ©¥±  ¨ ¨±µ®¤¿ ¨§ ±²° ²¥£¨¨ S , ². ¥. (ti jmj ) = P p(ti )p(t ) : ti 2Tj i

„¨­ ¬¨·¥±ª¨¥ ¨£°» ± ­¥¯®«­®© ¨­´®°¬ ¶¨¥©

185

Ž¯°¥¤¥«¥­¨¥ 4.3.1. ‘®¢¥°¸¥­­®¥  ©¥±®¢® ° ¢­®¢¥±¨¥ (¢

·¨±²»µ ±²° ²¥£¨¿µ) ¢ ±¨£­ «¼­®© ¨£°¥ ¥±²¼ ¯ °  ±²° ²¥£¨© m(ti ) , a(mj ) ¨ ¯°¥¤±² ¢«¥­¨¥ (ti jmj ) , ³¤®¢«¥²¢®°¿¾¹¨¥ ±¨£­ «¼­»¬ ²°¥¡®¢ ­¨¿¬ 1, 2 R , 2 S ¨ 3.

…±«¨ ±²° ²¥£¨¿ S ¿¢«¿¥²±¿ ®¡º¥¤¨­¿¾¹¥© ¨«¨ ° §¤¥«¿¾¹¥©, ²® ° ¢­®¢¥±¨¥ ­ §»¢ ¥²±¿ ®¡º¥¤¨­¿¾¹¨¬ ¨«¨ ° §¤¥«¿¾¹¨¬ ±®®²¢¥²±²¢¥­­®.  ° ¨ ¬ ¥ ° (Gibbons).  ±±¬®²°¨¬ ±¨£­ «¼­³¾ ¨£°³, ¨§®¡° ¦¥­­³¾ ­  °¨±. 10.

¨±. 10. ‡¤¥±¼ ¯®²¥­¶¨ «¼­® ¬®¦¥² ±³¹¥±²¢®¢ ²¼ 4 ±®¢¥°¸¥­­»µ  ©¥±®¢»µ ° ¢­®¢¥±¨¿ ¢ ·¨±²»µ ±²° ²¥£¨¿µ. (1) ®¡º¥¤¨­¿¾¹¥¥ ­  l ; (2) ®¡º¥¤¨­¿¾¹¥¥ ­  r ; (3) ° §¤¥«¿¾¹¥¥ ± t1 , ¨£° ¾¹¨¬ l , ¨ t2 , ¨£° ¾¹¨¬ r ; (4) ° §¤¥«¿¾¹¥¥ ± t1 , ¨£° ¾¹¨¬ r , ¨ t2 , ¨£° ¾¹¨¬ l .  ±±¬®²°¨¬ ½²¨ ¢®§¬®¦­®±²¨ ¯®®·¥°¥¤­®. (1) Ž¡º¥¤¨­¿¾¹¥¥ ­  l . °¥¤¯®«®¦¨¬, ·²® ¥±²¼ ° ¢­®¢¥±¨¥, ¢ ª®²®°®¬ ±²° ²¥£¨¿ S ¥±²¼ (l; l), ². ¥. t1 ¨£° ¥² l ¨ t2 ¨£° ¥² l . (‡ ¯¨±¼ (m0; m00 ) ®§­ · ¥², ·²® ²¨¯ t1 ¯®±»« ¥² ±¨£­ « m0 ,   ²¨¯ t2 ¯®±»« ¥² ±¨£­ « m00 .) ’®£¤  ¨­´®°¬ ¶¨®­­®¥ ¬­®¦¥±²¢® R , ±®®²¢¥²±²¢³¾¹¥¥ l , «¥¦¨² ­ 

186

ƒ« ¢  4

° ¢­®¢¥±­®¬ ¯³²¨, ¯®½²®¬³ ¯°¥¤±² ¢«¥­¨¥ (p; 1 ; p) ¢ ½²®¬ ¨­´®°¬ ¶¨®­­®¬ ¬­®¦¥±²¢¥ ®¯°¥¤¥«¿¥²±¿ ¯° ¢¨«®¬  ©¥±  ¨ ±²° ²¥£¨¥© S ,   ¨¬¥­­® p = 0:5 |  ¯°¨®°­®¥ ° ±¯°¥¤¥«¥­¨¥. °¨ ² ª®¬ ¯°¥¤±² ¢«¥­¨¨ (¨«¨ «¾¡®¬ ¤°³£®¬ ¯°¥¤±² ¢«¥­¨¨), «³·¸¨© ®²¢¥² R ­  l | ½²® ±»£° ²¼ u , ² ª ·²® ²¨¯» t1 ¨ t2 ¯®«³· ¾² ±®®²¢¥²±²¢¥­­® 1 ¨ 2. —²®¡» ®¯°¥¤¥«¨²¼, ¡³¤³² «¨ ®¡  ²¨¯  ¤¥©±²¢¨²¥«¼­® ¨£° ²¼ l , ­ ¬ ­ ¤® ³²®·­¨²¼ ¥¹¥, ª ª R °¥ £¨°®¢ « ¡» ­  r . …±«¨ ®²¢¥² R ­  r ¥±²¼ u , ²® ¢»¨£°»¸ ²¨¯  t1 ®² ¨£°» r ¥±²¼ 2, ·²® ¯°¥¢®±µ®¤¨² ¢»¨£°»¸ t1 ®² ¨£°» l , ¯®½²®¬³ ¥±«¨ ®²¢¥² R ­  r ¥±²¼ u , ²® ²¨¯³ t1 ¨£° ²¼ l ­¥ ±«¥¤³¥². ® ¥±«¨ ®²¢¥² R ­  r ¥±²¼ d , ²® t1 ¨ t2 ¯®«³· ¾² 0 ¨ 1 ®² ¨£°» r , ²®£¤  ª ª ®­¨ ¯®«³· ¾² 1 ¨ 2 (±®®²¢¥²±²¢¥­­®) ®² ¨£°» l . ’ ª¨¬ ®¡° §®¬, ¥±«¨ ±³¹¥±²¢³¥² ° ¢­®¢¥±¨¥, ¢ ª®²®°®¬ ±²° ²¥£¨¿ S ¥±²¼ (l; l), ²® ®²¢¥² R ­  r ¤®«¦¥­ ¡»²¼ d ,   §­ ·¨², ±²° ²¥£¨¿ R ¤®«¦­  ¡»²¼ (u; d) (£¤¥ (a0; a00) ®§­ · ¥², ·²® R ¨£° ¥² a0 ­  l ¨ a00 ­  r ). Ž±² ¥²±¿ ®¯°¥¤¥«¨²¼ ²¥ ¯°¥¤±² ¢«¥­¨¿ R ¢ ¨­´®°¬ ¶¨®­­®¬ ¬­®¦¥±²¢¥, ±®®²¢¥²±²¢³¾¹¥¬ r , ¯°¨ ª®²®°»µ ¤«¿ ­¥£® ®¯²¨¬ «¼­® ¨£° ²¼ d . ‹¥£ª® ¢¨¤¥²¼, ·²® ¨£° ²¼ d ®¯²¨¬ «¼­® ¤«¿ R ¯°¨ «¾¡®¬ q  2=3 . „¥©±²¢¨²¥«¼­®, ¤«¿ ¤ ­­»µ ¯°¥¤±² ¢«¥­¨© [q; 1 ; q ] ¨£°®ª  R ®¦¨¤ ¥¬»© ¢»¨£°»¸ R ®² ¨£°» u ¥±²¼ 1
q + 0(1 ; q) , ®² ¨£°» d ¥±²¼ 0
q + 2(1 ; q) . ‡­ ·¨², ¨£° ²¼ d ®¯²¨¬ «¼­®, ¥±«¨ 2(1 ; q )  1
q , ². ¥. q  32 . ‘«¥¤®¢ ²¥«¼­®, [ (l; l), (u; d), p = 0:5 , q ] ¿¢«¿¥²±¿ ®¡º¥¤¨­¿¾¹¨¬ ±®¢¥°¸¥­­»¬  ©±®¢»¬ ° ¢­®¢¥±¨¥¬ ¤«¿ «¾¡®£® q  2=3 . (2) Ž¡º¥¤¨­¿¾¹¥¥ ­  r: °¥¤¯®«®¦¨¬ ²¥¯¥°¼, ·²® ±²° ²¥£¨¿ S ¥±²¼ (r; r), §­ ·¨², q = 0:5 , ¨ §­ ·¨², (². ª. 0:5  2=3 ³ R «³·¸¨© ®²¢¥² ­  r ¥±²¼ d , ¤ ¢ ¿ 0 ¤«¿ t1 ¨ 1 ¤«¿ t2 . ® t1 ¬®¦¥² ¯®«³·¨²¼ 1, ¨£° ¿ l , ² ª ª ª «³·¸¨© ®²¢¥² R ­  l ¥±²¼ u ¤«¿ «¾¡®£® §­ ·¥­¨¿ p , §­ ·¨², ° ¢­®¢¥±¨¿ ± (r; r) ­¥ ±³¹¥±²¢³¥². (3)  §¤¥«¿¾¹¥¥ ± t1 , ¨£° ¾¹¨¬ l . …±«¨ S ¨£° ¥² (l; r), ²® ®¡  ¨­´®°¬ ¶¨®­­»µ ¬­®¦¥±²¢  | ­  ° ¢­®¢¥±­®¬ ¯³²¨, ±«¥¤®¢ ²¥«¼­® ®¡  ¯°¥¤±² ¢«¥­¨¿ ®¯°¥¤¥«¥­» ¯° ¢¨«®¬  ©¥± 

„¨­ ¬¨·¥±ª¨¥ ¨£°» ± ­¥¯®«­®© ¨­´®°¬ ¶¨¥©

187

¨ ±²° ²¥£¨¥© S , ². ¥. p = 1 , q = 0 . ‹³·¸¨© ®²¢¥² R ­  ½²¨ ¯°¥¤±² ¢«¥­¨¿ ¥±²¼ u ¨ d ±®®²¢¥²±²¢¥­­®, ² ª ·²® ®¡  ²¨¯  S ¯®«³· ¾² ¯® 1. Ž±² ¥²±¿ ¯°®¢¥°¨²¼, ¿¢«¿¥²±¿ «¨ ½²  ±²° ²¥£¨¿ S ®¯²¨¬ «¼­®© ¯°¨ ¤ ­­®© ±²° ²¥£¨¨ (u; d) ¨£°®ª  R . ® ½²® ­¥ ² ª: ¥±«¨ t2 ®²ª«®­¨²±¿ ®² r; ¨£° ¿ l , ²® R ®²¢¥· ¥² u , ¯®±ª®«¼ª³ ¥£® ±²° ²¥£¨¿ | (u; d) , ¤ ¢ ¿ t2 ¢»¨£°»¸ 2, ·²® ¯°¥¢®±µ®¤¨² ¢»¨£°»¸ 1 ¤«¿ t2 ®² ¨£°» r . (4)  §¤¥«¿¾¹¥¥ ± t1 , ¨£° ¾¹¨¬ r . …±«¨ S ¨£° ¥² (r; l), ²® ¯°¥¤±² ¢«¥­¨¿ R ¤®«¦­» ¡»²¼ p = 0 ¨ q = 1 , ² ª ·²® «³·¸¨© ®²¢¥² R ¥±²¼ (u; u) ¨ ®¡  ²¨¯  ¯®«³· ² 2. …±«¨ ¡» t1 ®²ª«®­¨«±¿, ¨£° ¿ l , ²® R ®²°¥ £¨°®¢ « ¡» u ; ¢»¨£°»¸ t1 ²®£¤  ¡»« ¡» 1, §­ ·¨², ­¥² ±²¨¬³«®¢ ¤«¿ t1 ®²ª«®­¿²¼±¿ ®² ¨£°» r . €­ «®£¨·­®, ¥±«¨ t2 ®²ª«®­¨«±¿ ¡», ±»£° ¢ r , ²® ¯®±ª®«¼ª³ R ¨£° ¥² u , ¢»¨£°»¸ t2 ¡»« ¡» 1,   §­ ·¨², t2 ­¥² ±¬»±«  ®²ª«®­¿²¼±¿ ®² ¨£°» l . ‡­ ·¨², [ (r; l), (u; u) , p = 0 , q = 1 ] | ° §¤¥«¿¾¹¥¥ ±®¢¥°¸¥­­®¥  ©¥±®¢® ° ¢­®¢¥±¨¥.  ° ¨ ¬ ¥ ° ». Œ®¤¥«¼ ®£° ­¨·¨¢ ¾¹¥£® ¶¥­®®¡° §®¢ ­¨¿ Œ¨«£°®¬ -®¡¥°²±  (Milgrom, Roberts, 1982; ±¬. ² ª¦¥, ­ ¯°¨¬¥°, ’¨°®«¼, 2000). Œ» ¯°¨¢¥¤¥¬ ­¥±ª®«¼ª® ³¯°®¹¥­­³¾ ¬®¤¥«¼ ¨ ®¯¨¸¥¬ ¥¥ ¤®±² ²®·­® ±µ¥¬ ²¨·­®. °¥¤¯®«®¦¨¬, ·²® ¥±²¼ ¤¢  ¯¥°¨®¤  ¢°¥¬¥­¨ ¨ ¤¢¥ ´¨°¬». ”¨°¬  1, ³ª®°¥­¨¢¸ ¿±¿, ¿¢«¿¥²±¿ ¬®­®¯®«¨±²®¬ ¢ ¬®¬¥­² ¢°¥¬¥­¨ 1. Ž­  ¢»¡¨° ¥² ¶¥­³ p1 ±¢®¥© ¯°®¤³ª¶¨¨ ¢ ¯¥°¢®¬ ¯¥°¨®¤¥. ‡ ²¥¬ ´¨°¬  2, ­®¢¨·®ª, °¥¸ ¥² ¢®¯°®± ® ²®¬, ¢µ®¤¨²¼ ¢ ®²° ±«¼ ¨«¨ ­¥² ¢® ¢²®°®¬ ¯¥°¨®¤¥. …±«¨ ®­  ¢µ®¤¨², ²® ¢® ¢²®°®¬ ¯¥°¨®¤¥ ¬» ¨¬¥¥¬ ±¨²³ ¶¨¾ ¤³®¯®«¨±²¨·¥±ª®© ª®­ª³°¥­¶¨¨, ¥±«¨ ¦¥ ­¥², ²® ´¨°¬  1 ®±² ¥²±¿ ¬®­®¯®«¨±²®¬. °¥¤¯®«®¦¨¬, ·²® § ²° ²» ´¨°¬» 1 ¬®£³² ¡»²¼ ­¨§ª¨¬¨ (± ¢¥°®¿²­®±²¼¾ x ) ¨«¨ ¢»±®ª¨¬¨ (± ¢¥°®¿²­®±²¼¾ 1 ; x ). ³±²¼ M1t(p1 ) ®¡®§­ · ¥² ¬®­®¯®«¼­³¾ ¯°¨¡»«¼ ³ª®°¥­¨¢¸¥©±¿ ´¨°¬», ¥±«¨ ®­  ­ §­ · ¥² ¶¥­³ p1 , ¯°¨·¥¬ t = L ¨«¨ H ¢ § ¢¨±¨¬®±²¨ ®² ²®£®, ¿¢«¿¾²±¿ «¨ § ²° ²» ´¨°¬» ­¨§-

188

ƒ« ¢  4

ª¨¬¨ (L) ¨«¨ ¢»±®ª¨¬¨ (H ); ²® ¥±²¼ M1T (p1) = (p1 ; C1T )D1m(p1);

£¤¥ D1m (
) | ¬®­®¯®«¼­»© ±¯°®±. ³±²¼ ¤ «¥¥ pLm ¨ pHm | ¬®­®¯®«¼­»¥ ¶¥­», ­ §­ · ¥¬»¥ ³ª®°¥­¨¢¸¥©±¿ ´¨°¬®© ¢ § ¢¨±¨¬®±²¨ ®² ³°®¢­¿ § ²° ². •®°®¸® ¨§¢¥±²­®, ·²® pLm < pHm . Ž¡®§­ ·¨¬ ·¥°¥§ M1L ¨ M1H | ¯°¨¡»«¼ ¬®­®¯®«¨±²  (¢ § ¢¨±¨¬®±²¨ ®² ²¨¯  § ²° ²), ª®²®°»© ¬ ª±¨¬¨§¨°³¥² ±¢®¾ ¯°¨¡»«¼, ²® ¥±²¼ M1t = M1t(ptm ) . ³¤¥¬ ±·¨² ²¼, ·²® M1t (p1) ±²°®£® ¢®£­³²  ¯® p1 . ”¨°¬  1 §­ ¥² ±¢®¨ § ²° ²». ”¨°¬  2 ­¥ §­ ¥² § ²° ² ´¨°¬» 1. ‘«¥¤³¿ Œ¨«£°®¬³-®¡¥°²±³, ±·¨² ¥¬, ·²® ´¨°¬  ³§­ ¥² § ²° ²» ´¨°¬» 2 ¯®±«¥ ¢µ®¤ , ¥±«¨ ®­  °¥¸ ¥²±¿ ­  ¢µ®¤; ±·¨² ¥¬ ² ª¦¥, ·²® ¤³®¯®«¨±²¨·¥±ª ¿ ª®­ª³°¥­¶¨¿ ¯® ¶¥­¥ (¯®±«¥ ¢µ®¤ , ¥±«¨ ®­ ¯°®¨±µ®¤¨²) ­¥ § ¢¨±¨² ®² ¶¥­» ¯¥°¢®£® ¯¥°¨®¤ . Ž¡®§­ ·¨¬ ·¥°¥§ D1t ¨ D2t ¤³®¯®«¨±²¨·¥±ª¨¥ ¯°¨¡»«¨ ´¨°¬ ¯°¨ ³±«®¢¨¨, ·²® ²¨¯ ¯¥°¢®© ´¨°¬» | t . (Œ®¦­® ±·¨² ²¼, ·²® D2t ¢ª«¾· ¥² § ²° ²» ­  ¢µ®¤.) ³¤¥¬ ±·¨² ²¼, ·²® °¥¸¥­¨¥ ´¨°¬» 2 ®²­®±¨²¥«¼­® ¢µ®¤  § ¢¨±¨² ®² ¯°¥¤±² ¢«¥­¨© ®²­®±¨²¥«¼­® § ²° ² ´¨°¬» 1 ±«¥¤³¾¹¨¬ ®¡° §®¬:

D2H > 0 > D2L : ’ ª¨¬ ®¡° §®¬, ¢ ³±«®¢¨¿µ ±¨¬¬¥²°¨·­®© ¨­´®°¬ ¶¨¨ ´¨°¬  2 ¢®¸«  ¡», ¥±«¨ ¡» § ²° ²» ¯¥°¢®© ´¨°¬» ¡»«¨ ¢»±®ª¨¬¨ (®¡¹¨© ª®½´´¨¶¨¥­² ¤¨±ª®­²¨°®¢ ­¨¿ ¥±²¼  ). ®±ª®«¼ª³ ´¨°¬  1 ¯°¥¤¯®·¨² ¥² ¡»²¼ ¬®­®¯®«¨±²®¬ ( M1t > D1t , t = L; H ), ®­ , ª®­¥·­® ¦¥, µ®·¥² ¯¥°¥¤ ²¼ ¨­´®°¬ ¶¨¾ ® ²®¬, ·²® ¥¥ § ²° ²» ­¨§ª¨. Ž¤­ ª® ¯°®¡«¥¬  ±®±²®¨² ¢ ²®¬, ·²® ³ ­¥¥ ­¥² ¯°¿¬®£® ¬¥µ ­¨§¬  ±¤¥« ²¼ ½²®, ¤ ¦¥ ¥±«¨ ³ ­¥¥ ¤¥©±²¢¨²¥«¼­® ­¨§ª¨¥ § ²° ²». Š®±¢¥­­»© ±¯®±®¡ ±®±²®¨² ¢ ±¨£­ «¨§¨°®¢ ­¨¨ ¯³²¥¬ ­ §­ ·¥­¨¿ ­¨§ª®© ¶¥­» pL1 . ‚ ­ ¸¥¬ ¯°¨¬¥°¥ ´¨°¬  1 ¬®¦¥² § µ®²¥²¼ ­ §­ ·¨²¼ pL1 , ¤ ¦¥ ¥±«¨ ³ ­¥¥ ¢»±®ª¨¥ § ²° ²». ®²¥°¿ ¯°¨¡»«¨ ¢ ¯¥°¢®¬ (¬®­®¯®«¼­®¬) ¯¥°¨®¤¥ ¬®¦¥² ¡»²¼ ¯¥°¥ª°»²  ¢® ¢²®°®¬

„¨­ ¬¨·¥±ª¨¥ ¨£°» ± ­¥¯®«­®© ¨­´®°¬ ¶¨¥©

189

¯¥°¨®¤¥ §  ±·¥² ±®µ° ­¥­¨¿ ±¢®¥£® ¬®­®¯®«¼­®£® ¯®«®¦¥­¨¿. ® ®§­ · ¥² «¨ ½²®, ·²® ­ §­ ·¥­¨¥ ¶¥­» pL1 ¯°¥¤®²¢° ²¨² ¢µ®¤? ²®, ³¢», ±®¢¥°¸¥­­® ­¥ ®·¥¢¨¤­®.  ¶¨®­ «¼­»© ­®¢¨·®ª, §­ ¿, ·²® ¢ ¨­²¥°¥± µ ³ª®°¥­¨¢¸¥©±¿ ´¨°¬» À®¡¬ ­³²¼Á ¯®¤®¡­»¬ ®¡° §®¬ ­®¢¨·ª , ¬®¦¥² ­¥ ¯®¤¤ ²¼±¿ ­  ² ª³¾ ³«®¢ª³. ® ³ª®°¥­¨¢¸ ¿±¿ ´¨°¬  ¯®­¨¬ ¥², ·²® ­®¢¨·®ª §­ ¥² ® ±®®²¢¥²±²¢³¾¹¥© § ¨­²¥°¥±®¢ ­­®±²¨ ³ª®°¥­¨¢¸¥©±¿ ´¨°¬» ®¡¬ ­³²¼, ¨ ². ¤. ‚ ² ª®£® °®¤  ¬®¤¥«¨ ¥±²¼ ¤¢  ²¨¯  ¯®²¥­¶¨ «¼­»µ ° ¢­®¢¥±¨© (­¥ ±·¨² ¿ ²°¥²¼¥£® ±«³· ¿, ª®£¤  ³ª®°¥­¨¢¸ ¿±¿ ´¨°¬  ¨±¯®«¼§³¥² ±¬¥¸ ­­»¥ ±²° ²¥£¨¨) | ° §¤¥«¿¾¹¨¥, ª®£¤  ³ª®°¥­¨¢¸ ¿±¿ ´¨°¬  ­ §­ · ¥² ° §«¨·­»¥ ¶¥­» ¢ § ¢¨±¨¬®±²¨ ®² ±¢®¥£® ²¨¯ , ¨ ®¡º¥¤¨­¿¾¹¥¥, ª®£¤  ¶¥­  ¯¥°¢®£® ¯¥°¨®¤  ­¥ § ¢¨±¨² ®² ²¨¯  ´¨°¬». ‚ ¯¥°¢®¬ ±«³· ¥ ¶¥­  ¯¥°¢®£® ¯¥°¨®¤  ¢»¿¢«¿¥² § ²° ²» ­®¢¨·ª³. ‚® ¢²®°®¬, ­ ¯°®²¨¢, ­®¢¨·®ª ­¨·¥£® ­¥ ³§­ ¥² ®²­®±¨²¥«¼­® § ²° ² ¨ ¥£®  ¯®±²¥°¨®°­»¥ ¯°¥¤±² ¢«¥­¨¿ ®±² ¾²±¿ ­¥¨§¬¥­­»¬¨ (®­ ¯°¨¯¨±»¢ ¥² ¢¥°®¿²­®±²¼ x ­¨§ª¨¬ § ²° ² ¬).  ·­¥¬ ± ° §¤¥«¿¾¹¥£® ° ¢­®¢¥±¨¿. Œ» ¨¬¥¥¬ ¤¢  ­¥®¡µ®¤¨¬»µ ³±«®¢¨¿: ²¨¯ L ­¥ µ®·¥² ­ §­ · ²¼ ° ¢­®¢¥±­³¾ ¶¥­³ ²¨¯  H; ¨ ­ ®¡®°®². (‡ ²¥¬ ¬» § ¢¥°¸¨¬ ®¯¨± ­¨¥ ° ¢­®¢¥±¨¿, ¢»¡¨° ¿ ¯°¥¤±² ¢«¥­¨¿ ¢­¥ ° ¢­®¢¥±­®£® ¯³²¨, ². ¥. ¤«¿ ¶¥­, ®²«¨· ¾¹¨µ±¿ ®² ¯®²¥­¶¨ «¼­»µ ° ¢­®¢¥±­»µ ¶¥­, ª®²®°»¥ ¡³¤³² ¯°¥¯¿²±²¢®¢ ²¼ ®²ª«®­¥­¨¾ ®¡®¨µ ²¨¯®¢ ®² ¨µ ° ¢­®¢¥±­»µ ¶¥­.) Ÿ±­®, ·²® ¢ ° §¤¥«¿¾¹¥¬ ° ¢­®¢¥±¨¨ ¶¥­ , ­ §­ ·¥­­ ¿ ²¨¯®¬ H; ¨­¤³¶¨°³¥² ¢µ®¤, ¯®½²®¬³ ³ª®°¥­¨¢¸ ¿±¿ ´¨°¬  ¨£° ¥² pHm ¨ ¯®«³· ¥² ¯°¨¡»«¼ M1H + D1H (¥±«¨ ®­ ­ §­ · ¥² ¬¥­¼¸³¾ ¶¥­³, ²® ®­ ¬®¦¥² ³¢¥«¨·¨²¼ ±¢®¾ ¯°¨¡»«¼ ¢ ¯¥°¢®¬ ¯¥°¨®¤¥ ¡¥§ ­¥¡« £®¯°¨¿²­®£® ¢«¨¿­¨¿ ­  ¢µ®¤). ³±²¼ pL1 | ¶¥­ , ­ §­ · ¥¬ ¿ ²¨¯®¬ L . ’¨¯ H; ­ §­ · ¿ ½²³ ¶¥­³, ¯°¥¤®²¢° ¹ ¥² ¢µ®¤ ¨ ¯®«³· ¥² M1H (pL1 ) + M1H . ’ ª¨¬ ®¡° §®¬, ­¥®¡µ®¤¨¬®¥ ³±«®¢¨¥ ° ¢­®¢¥±¨¿ ¥±²¼ M1H + D1H  M1H (pL1 ) + M1H ¨«¨

M1H ; M1H (pL1 )   (M1H ; D1H ):

(3:1)

190

ƒ« ¢  4

€­ «®£¨·­® ²¨¯ L ¬ ª±¨¬¨§¨°³¥² ±¢®¾ ¯°¨¡»«¼, ¢»¡¨° ¿ ®±ª®«¼ª³ ®­ ¬®¦¥² ­ §­ ·¨²¼ ±¢®¾ ¬®­®¯®«¼­³¾ ¶¥­³ ¨ ¯®«³·¨²¼ ¢ µ³¤¸¥¬ ±«³· ¥ ( p1m ¢ µ³¤¸¥¬ ±«³· ¥ ¨­¤³¶¨°³¥² ¢µ®¤) M1L + D1L ¨ ¯®±ª®«¼ª³ ¢ ° ¢­®¢¥±¨¨ ®­ ¯®«³· ¥² M1L (pL1 ) + M1L ¬» ¤®«¦­» ¨¬¥²¼

pL1 .

M1L + D1L  M1L (pL1 ) + M1L ¨«¨ M1L ; M1L (pL1 )   (M1L ; D1L )

(3:2)

°¨ ­¥ª®²®°»µ ¯°¥¤¯®«®¦¥­¨¿µ3 ­¥° ¢¥­±²¢  (3.1) ¨ (3.2) ®¯°¥¤¥«¿¾² ­¥ª®²®°»© ¨­²¥°¢ « [p~1; p~1] ¶¥­ pL1 , ¯°¨·¥¬ p~1 < pLm . ²® ®§­ · ¥², ·²® ¤«¿ ²®£® ·²®¡» À° §¤¥«¿²¼Á, ²¨¯ L ¤®«¦¥­ ­ §­ · ²¼ ¶¥­³ ­¨¦¥ ±¢®¥© ¬®­®¯®«¼­®© ¶¥­», ·²®¡» ±¤¥« ²¼ À®¡º¥¤¨­¥­¨¥Á, ². ¥. ­ §­ ·¥­¨¥ ­¨§ª®© ¶¥­», ¢¥±¼¬  § ²° ²­»¬ ¤«¿ ²¨¯  H . °¥¤¯®«®¦¥­¨¿, ª®²®°»¥ ³¯®¬¨­ «¨±¼ ¢»¸¥, ®¡¥±¯¥·¨¢ ¾² ±³¹¥±²¢®¢ ­¨¥ ­¥ ¡®«¥¥ ®¤­®© ²®·ª¨ ¯¥°¥±¥·¥­¨¿ ª°¨¢»µ y = M1L ; M1L (pL1 ) ¨ y = M1H ; M1H (pL1 ) (±¬. °¨c. 11). ‡ ¬¥²¨¬, ·²® ¢ ²®·ª¥ p~1 ­¥° ¢¥­±²¢® (3.1) ¯°¥¢° ¹ ¥²±¿ ¢ ° ¢¥­±²¢®, ¨ p~1 ­ §»¢ ¥²±¿ ° §¤¥«¿¾¹¥© ¶¥­®© ­ ¨¬¥­¼¸¨µ § ²° ²4 , ² ª ª ª ¨§ ¢±¥µ ° §¤¥«¿¾¹¨µ ¶¥­ ²¨¯ L ¯°¥¤¯®·¥« ¡» ¶¥­³ p~1 (¡«¨¦ ©¸³¾ ª p1m ). °¥¤¯®«®¦¨¬, ·²® ²¨¯ H ¢»¡¨° ¥² pHm ,   ²¨¯ L | ¶¥­³ pL1 2 [~p1; p~1] . Š®£¤  ­ ¡«¾¤ ¥²±¿ ¶¥­ , ®²«¨·­ ¿ ®² ½²¨µ ¤¢³µ ¶¥­, ¯°¥¤±² ¢«¥­¨¿ ¯°®¨§¢®«¼­». °®±²¥©¸¨© ±¯®±®¡ ¯®«³·¨²¼ ° ¢­®¢¥±¨¥ | ¢»¡° ²¼ ¯°¥¤±² ¢«¥­¨¿, ª®²®°»¥ ¨­¤³¶¨°³¾² ¢µ®¤, ¯®½²®¬³ ¡³¤¥¬ ±·¨² ²¼, ·²® ¥±«¨ p1 6= pHm ¨ p1 6= pL1 , ²®  ¯®±²¥°¨®°­»¥ ¯°¥¤±² ¢«¥­¨¿ x0 ¥±²¼ 0 (´¨°¬  2 ±·¨² ¥², ·²® ³ª®°¥­¨¢¸ ¿±¿ ´¨°¬  ¨¬¥¥² ²¨¯ H ). •®²¿ ¬» ¯®«³· ¥¬ ²¥¬ ± ¬»¬ ª®­²¨­³³¬ ° §¤¥«¿¾¹¨µ ° ¢­®¢¥±¨©, ¢±¥-² ª¨ À° §³¬­»¬Á ¯°¥¤±² ¢«¿¥²±¿ ²®«¼ª® ®¤­® ¨§ ­¨µ | ± ° §¤¥«¿¾¹¥© ¶¥­®© ­ ¨¬¥­¼¸¨µ § ²° ². H

L

‚ · ±²­®±²¨, @ [M1 (p1@p);1M1 (p1 )] > 0 ¨ M1H ; M1H (pLm ) < (M1H ; D1H ) . 4 Least-cost separating price. 3

„¨­ ¬¨·¥±ª¨¥ ¨£°» ± ­¥¯®«­®© ¨­´®°¬ ¶¨¥©

191

¨±. 11. ’ ª¨¬ ®¡° §®¬, ¯®¤¢®¤¿ ¨²®£¨ ­ ¸¥£® ¤®±² ²®·­® ª° ²ª®£®  ­ «¨§  ° §¤¥«¿¾¹¥£® ° ¢­®¢¥±¨¿, § ¬¥²¨¬ ±«¥¤³¾¹¥¥: ±³¹¥±²¢³¥² ¥¤¨­±²¢¥­­®¥ À° §³¬­®¥Á ° ¢­®¢¥±¨¥, ¯°¨ ½²®¬ ²¨¯ H ­ §­ · ¥² ±¢®¾ ¬®­®¯®«¼­³¾ ¶¥­³ ¨ À° §°¥¸ ¥²Á ¢µ®¤, ²¨¯ L ­ §­ · ¥² ­ ¨¡®«¼¸³¾ ¶¥­³ p~1 . Ž¡° ²¨¬±¿ ²¥¯¥°¼ ª ®¡º¥¤¨­¿¾¹¥¬³ ° ¢­®¢¥±¨¾. …£® ±³¹¥±²¢®¢ ­¨¥ § ¢¨±¨² ®² ¢»¯®«­¥­¨¿ ³±«®¢¨¿

xD2L + (1 ; x)D2H < 0:

(3:3)

°¥¤¯®«®¦¨¬, ·²® ½²® ³±«®¢¨¥ ­¥ ¢»¯®«­¥­®5. ’®£¤  ¯°¨ ®¡º¥¤¨­¿¾¹¥© ¶¥­¥ ´¨°¬  2 ¯®«³· ¥² ±²°®£® ¯®«®¦¨²¥«¼­³¾ ¯°¨¡»«¼, ¥±«¨ ¢µ®¤¨². ²® ®§­ · ¥², ·²® ¢µ®¤ ­¥ ¯°¥¤®²¢° ¹¥­, ±² «® ¡»²¼, ®¡  ²¨¯  ­¥ ¬®£³² ±¤¥« ²¼ ­¨·¥£® «³·¸¥£®, ­¥¦¥«¨ ­ §­ ·¨²¼ ±¢®¨ ¬®­®¯®«¼­»¥ ¶¥­». ’ ª ª ª ½²¨ ¶¥­» ° §«¨·­», ²® ®¡º¥¤¨­¿¾¹¥£® ° ¢­®¢¥±¨¿ ­¥ ±³¹¥±²¢³¥². ‘«¥¤®¢ ²¥«¼­®, ¯°¥¤¯®«®¦¨¬, ·²® (3.3) ¨¬¥¥² ¬¥±²®, ² ª ·²® ®¡º¥¤¨­¿¾¹ ¿±¿ ¶¥­  p1 ±¤¥°¦¨¢ ¥² ¢µ®¤. ¥®¡µ®¤¨¬®¥ ³±«®¢¨¥ ²®£®, ·²® ¶¥­  p1 ¿¢«¿¥²±¿ ¶¥­®© ®¡º¥¤¨­¿¾¹¥£® ° ¢5

„«¿ ¯°®±²®²» ¡³¤¥¬ ±·¨² ²¼, ·²® ¨¬¥¥² ¬¥±²® ±²°®£®¥ ­¥° ¢¥­±²¢®.

192

ƒ« ¢  4

­®¢¥±¨¿, ±®±²®¨² ¢ ²®¬, ·²® ­¨ ®¤¨­ ¨§ ²¨¯®¢ ­¥ µ®·¥² ­ §­ · ²¼ ±¢®¾ ¬®­®¯®«¼­³¾ ¶¥­³. …±«¨ ¡» ®¤¨­ ¨§ ­¨µ ±¤¥« « ¡» ½²®, ²® ½²®, ¢ µ³¤¸¥¬ ±«³· ¥, ¤®¯³±²¨«® ¡» ¢µ®¤. ‡­ ·¨², p1 ¤®«¦­  ³¤®¢«¥²¢®°¿²¼ ³±«®¢¨¾ (3.2) ¨  ­ «®£¨·­®¬³ ³±«®¢¨¾ ¤«¿ ²¨¯  H :

M1H ; M1H (p1)  (M1H ; D1H ):

(3:4)

…±«¨ ¢»¯®«­¥­® ³±«®¢¨¥

M1H ; M1H (pLm ) <  (M1H ; D1H ) (±¬. ² ª¦¥ ±­®±ª³ 5 ¢»¸¥), ²® ±³¹¥±²¢³¥² ¨­²¥°¢ « ¶¥­ À¢®ª°³£Á p1m ; ³¤®¢«¥²¢®°¿¾¹¨µ ®¡®¨¬ ­¥° ¢¥­±²¢ ¬. Œ®¦­® ¯®ª § ²¼, ·²® ¥±«¨ p1 ³¤®¢«¥²¢®°¿¥² ³±«®¢¨¿¬ (3.2) ¨ (3.4), ²® p1 ¬®¦¥² ¡»²¼ · ±²¼¾ ®¡º¥¤¨­¿¾¹¥£® ° ¢­®¢¥±¨¿. °¥¤¯®«®¦¨¬, ·²® ª ª ²®«¼ª® ´¨°¬  1 ­ §­ · ¥² ¶¥­³, ®²«¨·­³¾ ®² p1 (¶¥­  ¢­¥ ° ¢­®¢¥±­®£® ¯³²¨), ²® ´¨°¬  2 ±·¨² ¥², ·²® ´¨°¬  1 ¨¬¥¥² ²¨¯ H . ’®£¤  ´¨°¬  2 ¢µ®¤¨²,   ´¨°¬  1 ¬®¦¥² ­ §­ ·¨²¼ ¬®­®¯®«¼­³¾ ¶¥­³. ’ ª¨¬ ®¡° §®¬, ¨§ ³±«®¢¨© (3.2) ¨ (3.3) ±«¥¤³¥², ·²® ­¨ ®¤¨­ ¨§ ²¨¯®¢ ­¥ ¡³¤¥² ®²ª«®­¿²¼±¿. Œ®¤¥«¼ ‘¯¥­±  (Spence, 1974). ‘¯¥­± ¯°¥¤«®¦¨« ±«¥¤³¾¹³¾ ¬®¤¥«¼ ¢»¡®°  ³°®¢­¿ ®¡° §®¢ ­¨¿. ¥°¢»© ¨£°®ª S (° ¡®²­¨ª) ¢»¡¨° ¥² ³°®¢¥­¼ ®¡° §®¢ ­¨¿ a1  0 . …£® § ²° ²» ­  ¨­¢¥±²¨°®¢ ­¨¥ a1 ¥¤¨­¨¶ ¢ ®¡° §®¢ ­¨¥ ¥±²¼ a1 =Q , £¤¥ Q | ¥£® ²¨¯ À±¯®±®¡­®±²¥©Á. °®¨§¢®¤¨²¥«¼­®±²¼ ° ¡®²­¨ª  ¢ ´¨°¬¥ ° ¢­  Q (¤«¿ ¯°®±²®²» ­¥ § ¢¨±¨² ®² ³°®¢­¿ ®¡° §®¢ ­¨¿). ‚²®°®© ¨£°®ª R (´¨°¬ ) ±² ° ¥²±¿ ¬¨­¨¬¨§¨°®¢ ²¼ ª¢ ¤° ² ° §­®±²¨ ¬¥¦¤³ ±² ¢ª®© § ° ¡®²­®© ¯« ­» a2 , ¯°¥¤« £ ¥¬®© ° ¡®²­¨ª³ (¢ § ¢¨±¨¬®±²¨ ®² ¥£® ¯°®¨§¢®¤¨²¥«¼­®±²¨), ¨ ¥£® ¯°®¨§¢®¤¨²¥«¼­®±²¼¾. ˆ£°®ª 2 ¯°¥¤« £ ¥² ®¦¨¤ ¥¬³¾ ¯°®¨§¢®¤¨²¥«¼­®±²¼ a1 (a2 ) = E (Qja1) . ”³­ª¶¨¿ ¢»¨£°»¸  ° ¡®²­¨ª  ¥±²¼ a2 ; a1 =Q . S ¬®¦¥² ¨¬¥²¼ ®¤¨­ ¨§ ¤¢³µ ¢®§¬®¦­»µ ²¨¯®¢ Q0

193

„¨­ ¬¨·¥±ª¨¥ ¨£°» ± ­¥¯®«­®© ¨­´®°¬ ¶¨¥©

¨«¨00 Q00 ; ¯°¨·¥¬ 0 < Q0 < Q00 ; ¢¥°®¿²­®±²¨ ½²¨µ ²¨¯®¢ | p0 ¨ p ±®®²¢¥²±²¢¥­­®. S §­ ¥² ±¢®© ²¨¯, ­® R | ­¥². 0 00 ³±²¼  ¨  ®¡®§­ · ¾² ° ¢­®¢¥±­»¥ ±²° ²¥£¨¨ ²¨¯®¢ 1 1 Q0 ¨ Q00 : ‡ ¬¥²¨¬, ·²® ¥±«¨ a01 2 supp10 ¨ a00 2 supp100 (£¤¥ supp1 | ­®±¨²¥«¼ ±²° ²¥£¨¨ 1 , ². ¥. ¬­®¦¥±²¢® ²¥µ ·¨±²»µ ±²° ²¥£¨©,0 ª®²®°»¥ ¨£° ¾²±¿ ± ¯®«®¦¨²¥«¼­»¬¨ ¢¥°®¿²­®±²¿00 ¬¨), ²® a1  a1 . ‚ ± ¬®¬ ¤¥«¥, ¢ ° ¢­®¢¥±¨¨

a2(a01) ; a01=Q0  a2(a001 ) ; a001 =Q0 ¨ a2 (a001 ) ; a001 =Q00  a2(a01 ) ; a01 =Q00 :

‘ª« ¤»¢ ¿ ½²¨ ¤¢  ­¥° ¢¥­±²¢ , ¯®«³· ¥¬

(1=Q0 ; 1=Q(00)(a001 ; a01 )  0 ¨«¨ a01  a001 : ‚ ° §¤¥«¿¾¹¥¬ ° ¢­®¢¥±¨¨ ­¨§ª®¯°®¨§¢®¤¨²¥«¼­»© ° ¡®²­¨ª ¢»¿¢«¿¥² ±¢®© ²¨¯0 ¨ ¯®«³· ¥² § °¯« ²³ Q0 . Ž­ ¯®½²®¬³ ¤®«¦¥­ ¢»¡° ²¼ a1 = 0 ; ¥±«¨ ¡» ®­ ¯®±²³¯¨« ¨­ ·¥, ²® ±¬®£ ¡» ¢»¨£° ²¼, ¢»¡° ¢ a01 = 0 , ¯®±ª®«¼ª³ ®­ ¡» ±½ª®­®¬¨« ­  § ²° ² µ ­  ®¡° §®¢ ­¨¥ ¨ ¯®«³·¨« ¡»0 § °¯« ²³, ¿¢«¿¾¹³¾±¿ ­¥®¡µ®¤¨¬® ¢»¯³ª«®© ª®¬¡¨­ ¶¨¥© Q 0 ¨ Q00 ¨ ¯®½²®¬³, ª ª ¬¨­¨¬³¬, ° ¢­³¾ Q . ³±²¼ a001 > 0 ®§­ · ¥² ° ¢­®¢¥±­®¥ ¤¥©±²¢¨¥ ²¨¯  Q00 00 (§ ¬¥²¨¬, ·²® ¢ ° §¤¥«¿¾¹¥¬ ° ¢­®¢¥±¨¨ ²¨¯ Q ­¥ ¬®¦¥² ¨£° ²¼ ±¬¥¸ ­­³¾ ±²° ²¥£¨¾, ¯®±ª®«¼ª³ ¢±¥ ¥£® ° ¢­®¢¥±­»¥ 00 ¤¥©±²¢¨¿ ¯°¨­®±¿² § °¯« ²³ Q , ¨ ¯®½²®¬³ ²¨¯ Q00 ¯°¥¤¯®·¨² ¥² ± ¬»© ­¨§ª¨© ³°®¢¥­¼ ®¡° §®¢ ­¨¿). „«¿ ²®£® ·²®¡»0 (a01 = 0; a001 ) ¡»«® · ±²¼¾ 00° §¤¥«¿¾¹¥£® ° ¢­®¢¥±¨¿, ²¨¯ Q 0 ­¥ ¤®«¦¥­ ¯°¥¤¯®·¨² ²¼ a1 (¢ ±° ¢­¥­¨¨ ± a1 ):

00

Q0  Q00 ; a001 =Q0 ¨«¨ a001  Q0 (Q00 ; Q0 )

€­ «®£¨·­® ²¨¯ Q ­¥ ¬®¦¥² ¯°¥¤¯®·¨² ²¼ ± a001 ) : a01  Q00 (Q00 ; Q0 )

a01

(3:5) (¢ ±° ¢­¥­¨¨ (3:6)

194

ƒ« ¢  4

‘«¥¤®¢ ²¥«¼­®, Q0 (Q00 ; Q0 )  a001  Q00 (Q0000 ; Q0 ) . Ž¡° ²­®, ¯°¥¤¯®«®¦¨¬ ²¥¯¥°¼, ·²® a1 «¥¦¨² ¢ ½²®¬ ¨­²¥°¢ «¥.  ±±¬®²°¨¬ ¯°¥¤±² ¢«¥­¨¿

f(Q0 ja1) = 1; ¥±«¨ a1 6= a001 ; (Q0 ja001 ) = 0g:

Ÿ±­®, ·²® ®¡  ²¨¯  ¯°¥¤¯®·¨² ¾² a1 = 0 «¾¡®¬³0 a1 2= f0; a001 g , ¯®±ª®«¼ª³ «¾¡®© ² ª®© a1 ¤ ¥²00 § °¯« ²³ Q . ®0

±ª®«¼ª³ ¤«¿ Q 0 ¯°¥¤¯®·²¨²¥«¼­¥¥ a1 (±¬. (3.5)),   ¤«¿ Q00 a001 ¯°¥¤¯®·²¨²¥«¼­¥¥ 0 (±¬. (3.6)), ²® ¬» ¨¬¥¥² ª®­²¨­³³¬ ° §¤¥«¿¾¹¨µ ° ¢­®¢¥±¨©. ²®² ª®­²¨­³³¬ ¨««¾±²°¨°³¥², ª ª ®¯°¥¤¥«¥­¨¥ ¯°¥¤±² ¢«¥­¨© ¢­¥ ° ¢­®¢¥±­®£® ¯³²¨ ¯°¨¢®¤¨² ª ¬­®¦¥±²¢¥­­®±²¨ ° ¢­®¢¥±¨©. Œ» ¨±¯®«¼§®¢ «¨ À¯¥±±¨¬¨±²¨·­®¥Á ¯°¥¤±² ¢«¥­¨¥, ±®£« ±­® ª®²®°®¬³ «¾¡®© ±¨£­ «, ª°®¬¥ a001 , ³¡¥¦¤ ¥² R ¢ ²®¬, ·²® S ¨¬¥¥² ²¨¯ Q0 . Ž¤­ ª® ° §¤¥«¿¾¹¨¥ ° ¢­®¢¥±¨¿ ¬®£³² ®±­®¢»¢ ²¼±¿ ­  ¬¥­¥¥ ½ª±²°¥¬ «¼­»µ  ¯®±²¥°¨®°­»µ ¯°¥¤±² ¢«¥­¨¿µ. ‚ · ±²­®±²¨, ¬» ¬®¦¥¬ ±·¨² ²¼, ·²® (Q0 ja1) = 0 ¤«¿ ¢±¥µ a1  a001 . ˆ­²¥°¥±­® ®²¬¥²¨²¼, ·²® ¨§ ½²®£® ª®­²¨­³³¬  ° §¤¥«¿¾¹¨µ ° ¢­®¢¥±¨© ¢±¥, ª°®¬¥ ®¤­®£® ± ­ ¨¬¥­¼¸¨¬¨ § ²° ² ¬¨, ª®£¤  a001 = Q0 (Q00 ; Q0 )  a1 ; ¬®£³² ¡»²¼ ¨±ª«¾·¥­» ¯® ±«¥¤³¾¹¨¬ ±®®¡° ¦¥­¨¿¬. ¥§ ¢¨±¨¬® ®² ²®£®, ª ª®© ³°®¢¥­¼ ®¡° §®¢ ­¨¿ ¢»¡¨° ¥² S; ¨£°®ª 0R 00­¨ª®£¤  ­¥ ¢»¡¨° ¥² ³°®¢¥­¼ § °¯« ²» ¢­¥0 ¨­²¥°¢ «  [Q ; Q ] . Š®£¤  ¨£°®ª S ®±®§­ ¥² ½²®, ²® ²¨¯ Q ­¨ª®£¤  ­¥ ¢»¡¥°¥² a0 > a1 . Š®£¤  ¨£°®ª R ®±®§­ ¥², 00·²® ½²® ² ª, ²® ®­ ¤®«¦¥­ ®²¢¥· ²¼ ­  a1 > a1 § °¯« ²®© Q ; ¢ 00 ½²®¬ ±«³· ¥ ²¨¯ Q ­¨ª®£¤  ­¥ ¢»¡¥°¥² a1 > a1 . ‚ ®¡º¥¤¨­¿¾¹¥¬0 ° ¢­®¢¥±¨¨ ®¡  ²¨¯  ¢»¡¨° ¾² ®¤­® ¨ ²® 00 ¦¥ ¤¥©±²¢¨¥ ~a1 = a1 = a1 . ‡ °¯« ²  ¢ ½²®¬ ±«³· ¥ ¥±²¼

a2(~a1 ) = p0 Q0 + p00 Q00 : °®±²¥©¸¨© ±¯®±®¡ À¯®¤¤¥°¦ ²¼Á a~ ª ª ®¡º¥¤¨­¿¾¹¨©

¨±µ®¤ | ½²® ´®°¬¨°®¢ ­¨¥ ¯¥±±¨¬¨±²¨·­®£® ¯°¥¤±² ¢«¥­¨¿ (Q0 ja1) = 1 ¤«¿ «¾¡®£® a1 6= a~1 , ² ª ª ª ½²® ¬¨­¨¬¨§¨°³¥²

„¨­ ¬¨·¥±ª¨¥ ¨£°» ± ­¥¯®«­®© ¨­´®°¬ ¶¨¥©

195

(¤«¿ ®¡®¨µ ²¨¯®¢) ±®¡« §­ ®²ª«®­¨²¼±¿. ®½²®¬³ a~1 ¿¢«¿¥²±¿ ³°®¢­¥¬ ®¡° §®¢ ­¨¿ ®¡º¥¤¨­¿¾¹¥£® ° ¢­®¢¥±¨¿ ²®£¤  ¨ ²®«¼ª® ²®£¤ , ª®£¤  ¤«¿ «¾¡®£® Q

Q0  p0 Q0 + p00 Q00 ; a~1 =Q: ’ ª ª ª Q0 < Q00 ; Q0 ­ ¨¡®«¥¥ ±ª«®­¥­ ®²ª«®­¨²¼±¿ ª a1 = 0 , ¬¨­¨¬¨§¨°®¢ ²¼ § ²° ²» ­  ®¡° §®¢ ­¨¥ ¨ ±¢¿§»¢ ¾¹¥¥ ®£° ­¨·¥­¨¥ ¥±²¼ a~1  p00 Q0 (Q00 ; Q0 ); ²® ±³¹¥±²¢³¥² ² ª¦¥ ª®­²¨­³³¬ ®¡º¥¤¨­¿¾¹¨µ ° ¢­®¢¥±¨©. 4.4. ‡ ¤ ·¨

1. „«¿ ±«¥¤³¾¹¥© ¨£°» ³ª ¦¨²¥ ­®°¬ «¼­³¾ ´®°¬³ ¨£°», ¢±¥ ° ¢­®¢¥±¨¿ ¯® ½¸³, ±®¢¥°¸¥­­»¥ ¯®¤-¨£°®¢»¥ ¨ ±®¢¥°¸¥­­»¥  ©¥±®¢» ° ¢­®¢¥±¨¿ (¢ ·¨±²»µ ±²° ²¥£¨¿µ):

2. “ª ¦¨²¥ ®¡º¥¤¨­¿¾¹¥¥  ©¥±®¢® ° ¢­®¢¥±¨¥, ¢ ª®²®°®¬ ®¡  ²¨¯  Sender'  ¨£° ¾² r ¢ ±«¥¤³¾¹¥© ±¨£­ «¼­®© ¨£°¥:

196

ƒ« ¢  4

3. Ž¯¨¸¨²¥ ¢±¥ ®¡º¥¤¨­¿¾¹¨¥ ¨ ° §¤¥«¿¾¹¨¥ ±®¢¥°¸¥­­»¥  ©¥±®¢» ° ¢­®¢¥±¨¿ (¢ ·¨±²»µ ±²° ²¥£¨¿µ) ¢ ±«¥¤³¾¹¥© ±¨£­ «¼­®© ¨£°¥:

4. Ž¯¨¸¨²¥ ¢±¥ ®¡º¥¤¨­¿¾¹¨¥ ¨ ° §¤¥«¿¾¹¨¥ ±®¢¥°¸¥­­»¥  ©¥±®¢» ° ¢­®¢¥±¨¿ (¢ ·¨±²»µ ±²° ²¥£¨¿µ) ¢ ±«¥¤³¾¹¥© ±¨£­ «¼­®© ¨£°¥:

5. „«¿ ±«¥¤³¾¹¥© ¨£°» ³ª ¦¨²¥ ­®°¬ «¼­³¾ ´®°¬³ ¨£°», ¢±¥ ° ¢­®¢¥±¨¿ ¯® ½¸³, ±®¢¥°¸¥­­»¥ ¯®¤-¨£°®¢»¥ ¨ ±®¢¥°¸¥­­»¥  ©¥±®¢» ° ¢­®¢¥±¨¿ (¢ ·¨±²»µ ±²° ²¥£¨¿µ):

ƒ« ¢  5.

«¥¬¥­²» ½¢®«¾¶¨®­­®© ²¥®°¨¨ ¨£° 5.1. Ž¡³·¥­¨¥ ¨ ½¢®«¾¶¨¿

‚ ½²®© £« ¢¥ ¬» ®·¥­¼ ª° ²ª® ª®±­¥¬±¿ ²®£® ­ ¯° ¢«¥­¨¿ ° §¢¨²¨¿ ²¥®°¨¨ ¨£°, ª®²®°®¥ ª ± ¥²±¿ ¬®¤¥«¥© ®¡³·¥­¨¿ ¨ ½¢®«¾¶¨¨. ®«¼¸ ¿ · ±²¼ ¡¥±ª® «¨¶¨®­­®© ²¥®°¨¨ ¨£° ´®ª³±¨°³¥²±¿ ­  ° ¢­®¢¥±¨¨ ¢ ¨£° µ ¨, ¢ ¯¥°¢³¾ ®·¥°¥¤¼, ­  ° ¢­®¢¥±¨¨ ¯® ½¸³ ¨ ¥£® ³²®·­¥­¨¿µ ²¨¯  ±®¢¥°¸¥­­®£® ° ¢­®¢¥±¨¿. ²®, ±®¡±²¢¥­­®, ¯®°®¦¤ ¥² ¢®¯°®± ® ²®¬, ª®£¤  ¨ ¯®·¥¬³ ¬» ¬®¦¥¬ ­ ¤¥¿²¼±¿ ­  ²®, ·²® ­ ¡«¾¤ ¥¬®¥ ¯®¢¥¤¥­¨¥ ¢ ¨£°¥ ¡³¤¥² ±®®²¢¥²±²¢®¢ ²¼ ®¤­®¬³ ¨§ ² ª¨µ ° ¢­®¢¥±¨©. „®±² ²®·­® ²° ¤¨¶¨®­­®¥ ®¡º¿±­¥­¨¥ ¢®§­¨ª­®¢¥­¨¿ ° ¢­®¢¥±¨¿ ±®±²®¨² ¢ ²®¬, ·²® ®­® ¿¢«¿¥²±¿ °¥§³«¼² ²®¬  ­ «¨§  ¨ ± ¬® ­ «¨§  ¨£°®ª ¬¨ ¢ ±¨²³ ¶¨¨, ª®£¤  ¯° ¢¨«  ¨£°», ° ¶¨®­ «¼­®±²¼ ¨£°®ª®¢, ´³­ª¶¨¨ ¢»¨£°»¸¥© ¨£°®ª®¢ ®¡¹¥¨§¢¥±²­».  §³¬¥¥²±¿, ¨ ª®­¶¥¯²³ «¼­®, ¨ ½¬¯¨°¨·¥±ª¨ §¤¥±¼ ¢®§­¨ª ¥² ¶¥«»© °¿¤ ¯°®¡«¥¬. ‚®-¯¥°¢»µ, ®±­®¢­ ¿ ª®­¶¥¯²³ «¼­ ¿ ¯°®¡«¥¬  ¢®§­¨ª ¥² ¢ ±«³· ¥ ¬­®¦¥±²¢¥­­®±²¨ ° ¢­®¢¥±¨©, ² ª ª ª ¢ ®²±³²±²¢¨¥ ®¡º¿±­¥­¨¿ ²®£®, ª ª¨¬ ®¡° §®¬ ¨£°®ª¨ ¯°¨µ®¤¿² ª 197

198

ƒ« ¢  5

®¤­®¬³ ¨ ²®¬³ ¦¥ ° ¢­®¢¥±¨¾, ¤¥©±²¢¨¿ ¨£°®ª®¢ ¢®®¡¹¥ ¬®£³² ­¥ ±®®²¢¥²±²¢®¢ ²¼ ­¨ª ª®¬³ ° ¢­®¢¥±¨¾. ‚®-¢²®°»µ, ª° ©­¥ ±®¬­¨²¥«¼­®, ·²®¡» £¨¯®²¥§  ®¡¹¥¨§¢¥±²­®±²¨ ¢»¨£°»¸¥© ¨ ° ¶¨®­ «¼­®±²¨ ¡»«  ¯°¨¬¥­¨¬  ª ¬­®£¨¬ ¨£° ¬,   ®±« ¡«¥­¨¥ ½²®£® ³±«®¢¨¿, ¤ ¦¥ ¤® À¯®·²¨Á ®¡¹¥¨§¢¥±²­®±²¨, ¯°¨¢®¤¨² ³¦¥ ª §­ ·¨²¥«¼­® ¡®«¥¥ ±« ¡»¬ § ª«¾·¥­¨¿¬.  ª®­¥¶, ²¥®°¨¿ ° ¢­®¢¥±¨¿ ®·¥­¼ ¯«®µ® ®¡º¿±­¿¥² ¨£°³ ­  ° ­­¨µ ½² ¯ µ ¡®«¼¸¨­±²¢  ½ª±¯¥°¨¬¥­²®¢, µ®²¿ §­ ·¨²¥«¼­® «³·¸¥ ° ¡®² ¥² ¢ ¡®«¥¥ ¯®§¤­¨µ ° ³­¤ µ (¯®¤°®¡­¥¥ ±¬., ­ ¯°¨¬¥°, Fudenberg, Levine, 1998). ˆ±±«¥¤®¢ ­¨¥ ®£° ­¨·¥­­® ° ¶¨®­ «¼­®£® ¯°®¶¥±±  ¯°¨±¯®±®¡«¥­¨¿ ª ° ¢­®¢¥±¨¾ ¯® ½¸³ ±² «® ¯®«¥¬  ª²¨¢­»µ ¨±±«¥¤®¢ ­¨© ¯®±«¥¤­¨µ «¥². ®¿¢«¿¾¹³¾±¿ «¨²¥° ²³°³ ¬®¦­® ¢¥±¼¬  ³±«®¢­® ° §¤¥«¨²¼ ­  ¤¢¥ ª ²¥£®°¨¨: ®¡³·¥­¨¥ ¨ ½¢®«¾¶¨¾. ‚ «¨²¥° ²³°¥ ¯® ®¡³·¥­¨¾ ®¡»·­® ¯°¥¤¯®« £ ¥²±¿, ·²® ¨£°®ª¨ ¬®£³² ¢»·¨±«¨²¼ ­ ¨«³·¸¨© ®²¢¥² ¨ ¯°®¢¥°¨²¼, ª ª ¨£°®ª¨ ±®¢¥°¸¥­±²¢³¾² ±¢®¨ ¯°¥¤±² ¢«¥­¨¿ ® ±²° ²¥£¨¿µ ±¢®¨µ ®¯¯®­¥­²®¢ ¢ ´¨ª±¨°®¢ ­­®¬ À¬ ²·¥Á.  ¯°®²¨¢, ½¢®«¾¶¨®­­»© ¯®¤µ®¤ ­¥ ¯°¥¤¯®« £ ¥² ®¡¿§ ²¥«¼­³¾ ±¯®±®¡­®±²¼ ®¯²¨¬¨§¨°®¢ ²¼ ¨  ­ «¨§¨°³¥² ½¢®«¾¶¨¾ ¯®¢¥¤¥­¨¿ ·¥°¥§ ¯°®¡» ¨ ®¸¨¡ª¨ ¨ ¥±²¥±²¢¥­­»© ®²¡®° ¢ ¯®¯³«¿¶¨¨ ¨£°®ª®¢. Š ª ¬» ³¦¥ ®²¬¥· «¨, µ®²¿ ° ¢­®¢¥±­»©  ­ «¨§ ¤®¬¨­¨°³¥² ¢ ¨±±«¥¤®¢ ­¨¿µ ±²° ²¥£¨·¥±ª¨µ ¨£°, ®·¥­¼ ¬­®£¨µ ­¥ ³¤®¢«¥²¢®°¿¥² ¨ ¡¥±¯®ª®¨² ¯°¥¤¯®«®¦¥­¨¥ ® ²®¬, ·²® ¨£°®ª¨ ­¥¬¥¤«¥­­® ¨ ¡¥§®¸¨¡®·­® ¨¤¥­²¨´¨¶¨°³¾² ¨ ¨£° ¾² ®¯°¥¤¥«¥­­»© ­ ¡®° ° ¢­®¢¥±­»µ ±²° ²¥£¨©. ˆ§³·¥­¨¥ ¯°®¶¥±±  ®¡³·¥­¨¿ ¿¢«¿¥²±¿  «¼²¥°­ ²¨¢­»¬ ¨ ¢ ­¥ª®²®°®¬ ±¬»±«¥ ¤®¯®«­¿¾¹¨¬ ¯®¤µ®¤®¬ ª  ­ «¨§³ ¯®¢¥¤¥­¨¿ ¢ ¨£° µ. ’¨¯¨·­»©  ­ «¨§ ° ±±¬ ²°¨¢ ¥² ¨£°³, ° §»£°»¢ ¥¬³¾ À¯®¢²®°­®Á (­¥®¤­®ª° ²­®), ¨ ¯®±²³«¨°³¥² ­¥ª®²®°»¥ ±¯¥¶¨´¨·¥±ª¨¥ ¯° ¢¨« , ¢ ±®®²¢¥²±²¢¨¨ ± ª®²®°»¬¨ ¨£°®ª¨ ´®°¬¨°³¾² ®¦¨¤ ­¨¿, ª ± ¾¹¨¥±¿ ²®£®, ª ª¨¬ ¡³¤¥² ²¥ª³¹¨© ¢»¡®° ¨£°®ª®¢ ª ª ´³­ª¶¨¿ ¯°¥¤»¤³¹¨µ °®§»£°»¸¥©. „ «¥¥ ¯°¥¤¯®« £ ¥²±¿, ·²® ¨£°®ª¨ ¯»² ¾²±¿ ¬ ª±¨¬¨§¨°®¢ ²¼ ±¢®¨ ²¥ª³¹¨¥

«¥¬¥­²» ½¢®«¾¶¨®­­®© ²¥®°¨¨ ¨£°

199

¢»¨£°»¸¨ ¯°¨ ¤ ­­»µ ®¦¨¤ ­¨¿µ; ½²® ®¯°¥¤¥«¿¥² ¤¨­ ¬¨·¥±ª¨© ¯°®¶¥±±, ¯®°®¦¤ ¾¹¨© ¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼­®±²¼ °®§»£°»¸¥©, ¨  ­ «¨§ ª®­¶¥­²°¨°³¥²±¿ ­  ¨§³·¥­¨¨ ¯®¢¥¤¥­¨¿ ½²®© ¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼­®±²¨. ‘µ®¤¨²±¿ «¨ ² ª ¿ ¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼­®±²¼ °®§»£°»¸¥©? …±«¨ ¤ , ²® ¯°¨¢®¤¨² «¨ ½²®² ¯®¤µ®¤ ª ¯®¢¥¤¥­¨¾, ¯°¥¤±ª §»¢ ¥¬®¬³ ° ¢­®¢¥±­»¬  ­ «¨§®¬? ²®² ¯®¤µ®¤ ±²®«¼ ¦¥ ¯®·²¥­¥­, ª ª ¨ ± ¬ ° ¢­®¢¥±­»©  ­ «¨§: ¨±±«¥¤®¢ ­¨¥ Š³°­® ¤³®¯®«¨¨ (Cournot, 1838), ¯® ±³¹¥±²¢³, À¿¢¨«® ¬¨°³Á ¨ ° ¢­®¢¥±¨¥ ¯® ½¸³, ¨ ±¯¥¶¨´¨·¥±ª¨© ¯°®¶¥±± ®¡³·¥­¨¿ (±¬. ° §¤¥« 1.9). Š³°­® ¨±µ®¤¨« ¨§ ²®£®, ·²® ¢ ª ¦¤®¬ À° ³­¤¥Á ª ¦¤ ¿ ´¨°¬  ¢»¡¨° ¥² ®¡º¥¬» ¯°®¨§¢®¤±²¢ , ª®²®°»¥ ¬ ª±¨¬¨§¨°³¾² ¥¥ ¯°¨¡»«¼ ¢ ¯°¥¤¯®«®¦¥­¨¨ (À£¨¯®²¥§  Š³°­®Á), ·²® ª®­ª³°¥­² ¯°®¤®«¦ ¥² ¢»¯³±ª ²¼ ²®² ¦¥ ®¡º¥¬ ¯°®¤³ª¶¨¨, ·²® ¨ ¢ ¯°¥¤»¤³¹¥¬ ° ³­¤¥.  §»¢ ¥¬ ¿ ²¥¯¥°¼ À¤¨­ ¬¨ª®© «³·¸¥£® ®²¢¥² Á, ½²  ¤¨­ ¬¨ª  ¤® ±¨µ ¯®° ¯°¨¢«¥ª ¥² ¢­¨¬ ­¨¥ ª ª ®¤­  ¨§ ¬®¤¥«¥© ®¡³·¥­¨¿ ¢ ¨£° µ (Bernheim, 1984; Moulin, 1986). ‚ ²® ¦¥ ¢°¥¬¿ ¯°¥¤±² ¢«¿¥²±¿ ­¥° §³¬­»¬ ¯°¥¤¯®« £ ²¼, ·²® °¥ «¼­»¥ ´¨°¬» ¡³¤³² ¢¥±²¨ ±¥¡¿ ² ª¨¬ ±¯¥¶¨´¨·¥±ª¨¬ ®¡° §®¬, ª ª ½²® ®¯¨± ­® ³ Š³°­®. ²® ®²­®±¨²±¿ ª ±¨²³ ¶¨¨, ª®£¤  ¤¨­ ¬¨ª  «³·¸¥£® ®²¢¥²  ¯°¨¢®¤¨² ª ­¥±µ®¤¿¹¥¬³±¿, ¶¨ª«¨·¥±ª®¬³ ¯®¢¥¤¥­¨¾, ·²® ¬®¦¥² ±«³·¨²¼±¿ ¯°¨ ­¥ª®²®°»µ ±¯¥¶¨´¨·¥±ª¨µ ´³­ª¶¨¿µ § ²° ² ¨ ±¯°®± . –¨ª«» | ½²® ­¥ ¥¤¨­±²¢¥­­ ¿ ¯°®¡«¥¬ , ¢®§­¨ª ¾¹ ¿ ¢ ¬®¤¥«¿µ ®¡³·¥­¨¿.  ¯°¨¬¥°, ”³¤¥­¡¥°£ ¨ Š°¥¯± ¯®ª § «¨, ·²® ¬®¤¥«¨ ²¨¯  ±² ¶¨®­ °­®£®  ©¥±®¢  ®¡³·¥­¨¿, ¢ ±®®²¢¥²±²¢¨¨ ± ª®²®°»¬ ¨£°®ª¨  ­ «¨§¨°³¾² ¯°®¸«»¥ ­ ¡«¾¤¥­¨¿, ª ª ¥±«¨ ¡» ¯®¢¥¤¥­¨¥ ¨µ ª®­ª³°¥­²®¢ ¡»«® ±² ¶¨®­ °­»¬, ¯®°®¦¤ ¾² ² ª³¾ ¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼­®±²¼, ª®²®° ¿ ¬®¦¥² ±µ®¤¨²¼±¿, ­® ª ­ ¡®°³ ±²° ²¥£¨©, ®²«¨·­®¬³ ®² «¾¡®£® ±®¢¥°¸¥­­®£® ° ¢­®¢¥±¨¿ (Fudenberg, Kreps, 1988). ‚ ¤¥©±²¢¨²¥«¼­®±²¨ À° ¶¨®­ «¼­®±²¼Á ª ¦¤®£® ¯°®¶¥±±  ®¡³·¥­¨¿ ±¨²³ ²¨¢­ :  «£®°¨²¬, ¢¥¤³¹¨© ±¥¡¿ µ®°®¸® ¢ ­¥ª®²®°»µ ±¨²³ ¶¨¿µ, ¬®¦¥² ¢ ¤°³£¨µ ±¨²³ ¶¨¿µ ° ¡®² ²¼ ±ª¢¥°­®. „°³£¨¬ ¢ ¦­»¬  ±¯¥ª²®¬ ±³¹¥±²¢³¾¹¨µ ¬®¤¥«¥© ®¡³·¥-

200

ƒ« ¢  5

­¨¿ ¿¢«¿¥²±¿ ²®, ·²® ®­¨, ¯® ±³²¨ ¤¥« , À¢»­³¦¤ ¾²Á ¨£°®ª®¢ ­¥ ¡»²¼ À¨±ª³¸¥­­»¬¨Á, ²® ¥±²¼ ¨£°®ª¨ ¬®£³² ¨±¯®«¼§®¢ ²¼ ²®«¼ª® ¨­´®°¬ ¶¨¾ ® ¯°®¸«®© ¨£°¥, ­¥ ¯°¨¤ ¢ ¿ ­¨ª ª®£® §­ ·¥­¨¿ ¨­´®°¬ ¶¨¨ ®²­®±¨²¥«¼­® ¨­´®°¬ ¶¨¨ ª®­ª³°¥­²®¢, ¢»¨£°»¸¥©, ° ¶¨®­ «¼­®±²¨. ®¤µ®¤, ®±­®¢ ­­»© ­  ° ¢­®¢¥±¨¨ ¯® ½¸³ ¨«¨ ° ¶¨®­ «¨§³¥¬®±²¨, ­ ¯°®²¨¢, ¯°¨¤ ¥² §­ ·¥­¨¥ ²®«¼ª® ¨­´®°¬ ¶¨¨ ® ¢»¨£°»¸ µ. ¥ «¼­»¥ ¦¥ ¨£°®ª¨ · ±²® ¨±¯®«¼§³¾² ®¡  ²¨¯  ¨­´®°¬ ¶¨¨. Ž¡° ²¨¬±¿ ª ¨£° ¬ ¤¢³µ «¨¶. …±²¥±²¢¥­­®© ²®·ª®© ®²±·¥²  ¬®¦­® ±·¨² ²¼ ¤¢³µ ¨£°®ª®¢, ° §»£°»¢ ¾¹¨µ ¨£°³ ¯®¢²®°¿¾¹¨¬±¿ ®¡° §®¬ ¨ ¯»² ¾¹¨µ±¿ ¯°¥¤±ª § ²¼ ¨£°³ ±®¯¥°­¨ª , ¨±µ®¤¿ ¨§ ¯°¥¤¸¥±²¢³¾¹¥© ¨£°». ’ ª³¾ ¬®¤¥«¼ ¬®¦­® ­ §¢ ²¼ ¬®¤¥«¼¾ ± ´¨ª±¨°®¢ ­­»¬¨ ¨£°®ª ¬¨ (¬» ±«¥¤³¥¬ §¤¥±¼ Fudenberg, Levine, 1998). ‚ ¯®¤®¡­®£® °®¤  ±¨²³ ¶¨¨ ¨£°®ª¨ ¤®«¦­» ° ±±¬ ²°¨¢ ²¼ ­¥ ²®«¼ª® ²®, ª ª¨¬ ®¡° §®¬ ¡³¤¥² ¨£° ²¼ ¢ ¡³¤³¹¥¬ ®¯¯®­¥­², ­® ² ª¦¥ ¢®§¬®¦­®±²¼ ²®£®, ·²® ¨µ ±®¡±²¢¥­­ ¿ ¨£°  ¡³¤¥² ¢«¨¿²¼ ­  ¡³¤³¹³¾ ¨£°³ ®¯¯®­¥­² .  ¯°¨¬¥°, ¨£°®ª¨ ¬®£³² ¤³¬ ²¼, ·²® ¥±«¨ ®­¨ À¢¥¤³² ±¥¡¿ µ®°®¸®Á, ²® ¡³¤³² ¢®§­ £° ¦¤¥­» Àµ®°®¸¨¬ ¯®¢¥¤¥­¨¥¬Á ®¯¯®­¥­²®¢ ¢ ¡³¤³¹¥¬, ¨«¨ ·²® ®­¨ ¬®£³² À­ ³·¨²¼Á ±¢®¨µ ®¯¯®­¥­²®¢ ¨£° ²¼ «³·¸¨© ®²¢¥² ­  ®¯°¥¤¥«¥­­®¥ ¤¥©±²¢¨¥, ° §»£°»¢ ¿ ¥£® ±­®¢  ¨ ±­®¢ .  ±±¬®²°¨¬ ±«¥¤³¾¹³¾ ¨£°³ (°¨±. 1.):

L R   u (1; 0) (3; 2) d

(2; 1) (4; 0)

¨±. 1. ° ª²¨·¥±ª¨ ¢® ¢±¥µ ¬®¤¥«¿µ ®¡³·¥­¨¿ ¨£°®ª 1, ¨£­®°¨°³¾¹¨© ¯®¢²®°¿¾¹¥¥±¿ ° §»£°»¢ ­¨¥, ¡³¤¥² ¨£° ²¼ d , ¯®±ª®«¼ª³ d | ¤®¬¨­¨°³¾¹ ¿ ±²° ²¥£¨¿,   ¯®²®¬³ ¬ ª±¨¬¨§¨°³¥² ²¥ª³¹¨© ®¦¨¤ ¥¬»© ¢»¨£°»¸ ¯¥°¢®£® ¨£°®ª  ¯°¨ «¾¡»µ ¯°¥¤±² ¢«¥­¨¿µ ®²­®±¨²¥«¼­® ®¯¯®­¥­²®¢. …±«¨,   ½²® ¯°¥¤±² ¢«¿¥²±¿ ¯° ¢¤®¯®¤®¡­»¬, ¨£°®ª 2 ¢ ª®­¶¥ ª®­¶®¢

«¥¬¥­²» ½¢®«¾¶¨®­­®© ²¥®°¨¨ ¨£°

201

À¢»³·¨²Á, ·²® ¨£°®ª 1 ¨£° ¥² d , ²® ±¨±²¥¬  ±®©¤¥²±¿ ª (d; L) , ¯°¨·¥¬ ¢»¨£°»¸ ¨£°®ª  1 ¡³¤¥² 2. ® ¥±«¨ ¨£°®ª 1 ²¥°¯¥«¨¢ ¨ §­ ¥², ·²® ¢²®°®© À­ ¨¢­®Á ¢»¡¨° ¥² ¢ ª ¦¤®¬ ¯¥°¨®¤¥ µ®¤, ¬ ª±¨¬¨§¨°³¾¹¨© ¢»¨£°»¸ ¢ ½²®¬ ¯¥°¨®¤¥ ¯°¨ ³±«®¢¨¨ ¯°®£­®§¨°®¢ ­¨¿ ¢²®°»¬ ¨£°®ª®¬ µ®¤  ¯¥°¢®£® ¨£°®ª , ²® ¨£°®ª 1 ¬®¦¥² ¤®¡¨²¼±¿ ¡®«¼¸¥£®, ¢±¥£¤  ¨£° ¿ u , ·²® ¢ ª®­¶¥ ª®­¶®¢ À¢»­³¤¨²Á ¢²®°®£® ¨£° ²¼ R , ¤ ¢ ¿ ¯¥°¢®¬³ ¨£°®ª³ 3. ’¥®°¨¿ ®¡³·¥­¨¿, ª ª ¯° ¢¨«®,  ¡±²° £¨°³¥²±¿ ®² ² ª®£® °®¤  ° ±±¬®²°¥­¨©, ½ª¯«¨¶¨²­® ¨«¨ ¨¬¯«¨¶¨²­® ®¯¨° ¿±¼ ­  ¬®¤¥«¼, ¢ ª®²®°®© ±²¨¬³« ª ¯®¯»²ª¥ ¨§¬¥­¨²¼ ¡³¤³¹³¾ ¨£°³ ®¯¯®­¥­²®¢ ±«¨¸ª®¬ ¬ «. Ž¤¨­ ª« ±± ¬®¤¥«¥© ½²®£® ²¨¯  | ½²® ²®², ¢ ª®²®°®¬ ¨£°®ª¨ ®£° ­¨·¥­» ¢ ±¢®¥¬ ¢»¡®°¥1 ,   ¤¨±ª®­²¨°³¾¹¨¥ ¬­®¦¨²¥«¨ ¬ «» ¢ ±° ¢­¥­¨¨ ± ¬ ª±¨¬ «¼­®© ±ª®°®±²¼¾, ± ª®²®°®© ±¨±²¥¬  ¬®¦¥² ¯°¨±¯®± ¡«¨¢ ²¼±¿. ‚²®°®© ª« ±± ¬®¤¥«¥© | ½²® ¬®¤¥«¨ ± ¡®«¼¸¨¬ ·¨±«®¬ ¨£°®ª®¢, ¢§ ¨¬®¤¥©±²¢³¾¹¨µ ®²­®±¨²¥«¼­®  ­®­¨¬­®, ¯°¨·¥¬ ° §¬¥° ¯®¯³«¿¶¨¨ (¨£°®ª®¢) ¢¥«¨ª ¯® ±° ¢­¥­¨¾ ± ¬­®¦¨²¥«¥¬ ¤¨±ª®­²¨°®¢ ­¨¿. Œ» ¬®¦¥¬ ¯®£°³§¨²¼ ¨£°³ ¤¢³µ (¨«¨ n ) «¨¶ ¢ ² ª³¾ À®¡±² ­®¢ª³Á, ³²®·­¿¿ ¬¥µ ­¨§¬, ¢ ±®®²¢¥²±²¢¨¨ ± ª®²®°»¬ ¯ °» ¨£°®ª®¢ ¨§ ¯®¯³«¿¶¨¨ ¢»¡¨° ¾²±¿ ¤«¿ ° §»£°»¢ ­¨¿ ½²®© ¨£°». ‡¤¥±¼ ¥±²¼ ¶¥«»© °¿¤ ¬®¤¥«¥©. Œ®¤¥«¼ ± ®¤­®© ¯ °®©. ‚ ª ¦¤®¬ ¯¥°¨®¤¥ ®¤­  ¯ °  ¨£°®ª®¢ ¢»¡¨° ¥²±¿ ±«³· ©­»¬ ®¡° §®¬ ¤«¿ ° §»£°»¢ ­¨¿ ¨£°». ‚ ª®­¶¥ ° ³­¤  µ®¤» ¨£°®ª®¢ ±² ­®¢¿²±¿ ¨§¢¥±²­»¬¨ ¢±¥¬. ‡¤¥±¼, ¥±«¨ ¯®¯³«¿¶¨¿ ¢¥«¨ª , ²®, ±ª®°¥¥ ¢±¥£®, ¨£°®ª¨, ¨£° ¾¹¨¥ ±¥£®¤­¿, ¤®«£®¥ ¢°¥¬¿ ¡³¤³² ®±² ¢ ²¼±¿ ­¥ ª²¨¢­»¬¨. „ ¦¥ ¤«¿ ²¥°¯¥«¨¢»µ ¨£°®ª®¢ ­¥ ¡³¤¥² ¶¥«¥±®®¡° §­»¬ ¦¥°²¢®¢ ²¼ ²¥ª³¹¨¬ ¢»¨£°»¸¥¬, ·²®¡» ¯®¢«¨¿²¼ ­  ¡³¤³¹³¾ ¨£°³ ®¯¯®­¥­²®¢, ¥±«¨ ° §¬¥° ¯®¯³«¿¶¨¨ ¤®±² ²®·­® ¢¥«¨ª ¢ ±° ¢­¥­¨¨ ± ¤¨±ª®­²¨°³¾¹¨¬ ¬­®¦¨²¥«¥¬. 1 °¨¬¥° ½²®£® | ¯°®¶¥±± ­ ¹³¯»¢ ­¨¿ Š³°­® (±¬. ° §¤¥« 1.9), ª®£¤  ´¨°¬» ®£° ­¨·¥­» ³±«®¢¨¥¬ ¤¢ ¦¤» ¯®¤°¿¤ (­  ±¢®¥¬,   § ²¥¬ ­  ·³¦®¬ ¸ £¥) ±®µ° ­¿²¼ ®¡º¥¬ ¢»¯³±ª  ­¥¨§¬¥­­»¬.

202

ƒ« ¢  5

‘®¢®ª³¯­ ¿ ±² ²¨±²¨·¥±ª ¿ ¬®¤¥«¼. ‚ ª ¦¤®¬ ¯¥°¨®¤¥ ¢±¥ ¨£°®ª¨ ±«³· ©­»¬ ®¡° §®¬ ° §¡¨¢ ¾²±¿ ­  ¯ °». ‚ ª®­¶¥ ° ³­¤  ®¡º¿¢«¿¥²±¿ ±®¢®ª³¯­»© ¢»¨£°»¸ ¯®¯³«¿¶¨¨. …±«¨ ¯®¯³«¿¶¨¿ ¢¥«¨ª , ª ¦¤»© ¨£°®ª ­¥§­ ·¨²¥«¼­® ¢«¨¿¥² ­  ¢»¨£°»¸ ¯®¯³«¿¶¨¨,   ±«¥¤®¢ ²¥«¼­®, ¬ «® ¢«¨¿¥² ­  ¡³¤³¹³¾ ¨£°³. ˆ£°®ª ¬ ­¥² ±¬»±«  ®²ª«®­¿²¼±¿ ®² ¡«¨§®°³ª®£® ¯®¢¥¤¥­¨¿. Œ®¤¥«¼ ±«³· ©­®£® ¢»¡®°  ¯ °. ‚ ª ¦¤®¬ ¯¥°¨®¤¥ ¢±¥ ¨£°®ª¨ ±«³· ©­»¬ ®¡° §®¬ ° §¡¨¢ ¾²±¿ ­  ¯ °». ‚ ª®­¶¥ ° ³­¤  ª ¦¤»© ¨£°®ª ­ ¡«¾¤ ¥² ²®«¼ª® ¨±µ®¤ ±¢®¥£® ±®¡±²¢¥­­®£® ¬ ²· . ’®, ª ª ¨£°®ª ¨£° ¥² ±¥£®¤­¿, ¡³¤¥² ¢«¨¿²¼ ­  ²®, ª ª ¥£® ®¯¯®­¥­² ¡³¤¥² ¨£° ²¼ § ¢²° , ­® ¬ «®¢¥°®¿²­®, ·²®¡» ¨£°®ª ±­®¢  ¯®¯ « ¢ ¯ °³ ª ±¢®¥¬³ ²¥ª³¹¥¬³ ®¯¯®­¥­²³ ¨«¨ ª®¬³-²®, ª²® ¨£° « ± ²¥ª³¹¨¬ ®¯¯®­¥­²®¬. ‘­®¢  ¡«¨§®°³ª ¿ ¨£°  À¯®·²¨Á ®¯²¨¬ «¼­  ¢ ª®­¥·­®©, ­® ¡®«¼¸®© ¯® ±° ¢­¥­¨¾ ± ¤¨±ª®­²¨°³¾¹¨¬ ¬­®¦¨²¥«¥¬, ¯®¯³«¿¶¨¨. ²®² ¯®¤µ®¤ ­ ¨¡®«¥¥ · ±²® ¨±¯®«¼§³¥²±¿ ¢ ²¥®°¥²¨ª®-¨£°®¢»µ ½ª±¯¥°¨¬¥­² µ. ‘ ²¥µ­¨·¥±ª®© ²®·ª¨ §°¥­¨¿ ¥±²¼ ¤¢  ²¨¯  ®¡»·­® ¨±¯®«¼§³¥¬»µ ¬®¤¥«¥© ¡®«¼¸¨µ ¯®¯³«¿¶¨© | ª®­¥·­»¥ ¯®¯³«¿¶¨¨ ¨ ª®­²¨­³ «¼­»¥ ¯®¯³«¿¶¨¨. ‚ ¦­»© ¬®¤¥«¼­»© ¬®¬¥­² ±¢¿§ ­ ± ²¥¬, ª ª¨¬ ®¡° §®¬ ¯®¯³«¿¶¨¨, ¨§ ª®²®°»µ ¢»¡¨° ¾²±¿ ¨£°®ª¨, ±®®²­®±¿²±¿ ± ·¨±«®¬ À¨£°®¢»µ °®«¥©Á ¢ ¨£°¥. Œ®¦­® ° §«¨· ²¼  £¥­²  ¢ ¨£°¥, ±®®²¢¥²±²¢³¾¹¥£® ®¯°¥¤¥«¥­­®© °®«¨ ¨£°®ª , ¨ ¤¥©±²¢¨²¥«¼­®£® ¨£°®ª , ¯°¨­¨¬ ¾¹¥£® ­  ±¥¡¿ °®«¼  £¥­²  ¢ ª®­ª°¥²­®¬ ¬ ²·¥. …±«¨ ¨£°  ±¨¬¬¥²°¨·­ , ²® ¬®¦­® ±·¨² ²¼, ·²® ¥±²¼ ®¤­  ¯®¯³«¿¶¨¿, ¨§ ª®²®°®© ¢»¡¨° ¾²±¿ ¤¢   £¥­² . ‚ ½²®¬ ±«³· ¥ £®¢®°¿² ®¡ ®¤­®°®¤­®© ¯®¯³«¿¶¨¨. ‘ ¤°³£®© ±²®°®­», ¬» ¬®¦¥¬ ±·¨² ²¼, ·²® ª ¦¤»©  £¥­² ¢»¡¨° ¥²±¿ ¨§ ®²¤¥«¼­®© ¯®¯³«¿¶¨¨. ‚ ½²®¬ ±«³· ¥ £®¢®°¿² ®¡  ±¨¬¬¥²°¨·­®© ¯®¯³«¿¶¨¨. ‚ ±¨¬¬¥²°¨·­®© ¨£°¥, ¢ ¤®¯®«­¥­¨¥ ª ª° ©­¨¬ ±«³· ¿¬ ®¤­®°®¤­»µ ¨ ­¥®¤­®°®¤­»µ ¯®¯³«¿¶¨©, ¬®¦­® ² ª¦¥ ° ±±¬ ²°¨¢ ²¼ ±¬¥±¼ ½²¨µ ¤¢³µ ±«³· ¥¢, ª®£¤  ª ¦¤»© ¨£°®ª ¨¬¥¥² ª ª¨¥-²® ¸ ­±» ¢±²°¥²¨²¼±¿ ¢ ¬ ²·¥ ± ®¯¯®­¥­²®¬ ¨§ ¤°³£®©

«¥¬¥­²» ½¢®«¾¶¨®­­®© ²¥®°¨¨ ¨£°

203

¯®¯³«¿¶¨¨ ¨ ª ª¨¥-²® ¸ ­±» | ± ®¯¯®­¥­²®¬ ¨§ ²®© ¦¥ ¯®¯³«¿¶¨¨. Œ» ®±² ­®¢¨¬±¿ ±¥©· ± (¢¥±¼¬  ª° ²ª®) ­  ®¤­®¬ ±¯¥¶¨´¨·¥±ª®¬ ¯°®¶¥±±¥ ¤¨­ ¬¨·¥±ª®£® ¯°¨±¯®±®¡«¥­¨¿ | ² ª ­ §»¢ ¥¬®¬ ´¨ª²¨¢­®¬ ° §»£°»¢ ­¨¨, ¯®«­®±²¼¾ ®±­®¢ ­­®¬ ­  ¨¤¥¥ ®¡³·¥­¨¿,   § ²¥¬ ¯¥°¥©¤¥¬ ª ¬®¤¥«¨, ®±­®¢ ­­®© ­  ¨¤¥¥ ½¢®«¾¶¨¨. ‚ ¯°®¶¥±±¥ ´¨ª²¨¢­®£® ° §»£°»¢ ­¨¿  £¥­²» ¢¥¤³² ±¥¡¿ ² ª, ª ª ¡³¤²® ®­¨ ±·¨² ¾², ·²® ®­¨ ±² «ª¨¢ ¾²±¿ ±® ±² ¶¨®­ °­»¬, ­® ­¥¨§¢¥±²­»¬ ° ±¯°¥¤¥«¥­¨¥¬ ­  ¬­®¦¥±²¢¥ ±²° ²¥£¨©  £¥­²®¢. ˆ² ª, ¯°¥¤¯®«®¦¨¬, ·²® ¬» ¨¬¥¥¬ ¡¥±ª® «¨¶¨®­­³¾ ¨£°³ ff1; 2g; fS1; S2g , fu1; u2gg . Œ®¤¥«¼ ´¨ª²¨¢­®£® ° §»£°»¢ ­¨¿ ¯°¥¤¯®« £ ¥², ·²® ¨£°®ª¨ ¢»¡¨° ¾² ±¢®¨ µ®¤» ¢ ª ¦¤®¬ ¯¥°¨®¤¥ ¨§ ³±«®¢¨¿ ¬ ª±¨¬¨§ ¶¨¨ ®¦¨¤ ¥¬®£® ¢»¨£°»¸  ¢ ½²®¬ ¯¥°¨®¤¥ ¯°¨ ¤ ­­®© ¨µ ®¶¥­ª¥ ° ±¯°¥¤¥«¥­¨¿ ¤¥©±²¢¨© ®¯¯®­¥­²  ¢ ½²®¬ ¯¥°¨®¤¥, ¯°¨·¥¬ ½²  ®¶¥­ª  ¨¬¥¥² ±«¥¤³¾¹¨© ±¯¥¶¨ «¼­»© ¢¨¤: ³ ¨£°®ª  i ¥±²¼ ½ª§®£¥­­® § ¤ ­­ ¿ ­ · «¼­ ¿ ´³­ª¶¨¿ ¢¥±®¢ k0i : S;i ! IR+ . ²¨ ¢¥±  ¬®¤¨´¨¶¨°³¾²±¿ ¯³²¥¬ ¤®¡ ¢«¥­¨¿ 1 ª ¦¤®© ±²° ²¥£¨¨ ®¯¯®­¥­²  ª ¦¤»© ° §, ª ª ²®«¼ª® ½²  ±²° ²¥£¨¿ ¨£° ¥²±¿, ²® ¥±²¼

kti(s;i ) = kti;1(s;i ) +

 1;

¥±«¨ st;;i1 = s;i ; 0; ¢ ¯°®²¨¢­®¬ ±«³· ¥.

‚¥°®¿²­®±²¼ ²®£®, ·²® ¨£°®ª i ¯°¥¤±ª §»¢ ¥² ®¯¯®­¥­²³ ¨£°³ s;i ¢ ¬®¬¥­² t , ¥±²¼ i

ti(s;i ) = P kt (s;ki )i (~s ) : s~;i 2S;i t ;i

”¨ª²¨¢­®¥ ° §»£°»¢ ­¨¥ | ½²® ¯° ¢¨«® it( ti) , ² ª ·²® it( ti) 2 BR( ti) (§¤¥±¼ BR | best response). ‚ ¦­® § ¬¥²¨²¼, ·²® ² ª®¥ ¯° ¢¨«® ¬®¦¥² ¡»²¼ ­¥ ¥¤¨­±²¢¥­­»¬, ¯®±ª®«¼ª³ ¬®¦¥² ±³¹¥±²¢®¢ ²¼ ¡®«¥¥ ®¤­®£® «³·¸¥£® ®²¢¥²  ­  ª ¦¤³¾ ®¶¥­ª³.

204

ƒ« ¢  5

Š«¾·¥¢®© ¢®¯°®±, ¢®§­¨ª ¾¹¨© §¤¥±¼, ±®±²®¨² ¢ ²®¬, ±µ®¤¨²±¿ «¨ ² ª®© ¯°®¶¥±±. ‘®±²®¿­¨¥ ¯°®¶¥±±  ´¨ª²¨¢­®£® ° §»£°»¢ ­¨¿ ¥±²¼ ¢¥ª²®° ®¶¥­®ª ¨£°®ª®¢,   ­¥ ±²° ²¥£¨¨, ¨£° ¥¬»¥ ¢ ¯¥°¨®¤ t , ¯®±ª®«¼ª³ ¨µ µ¢ ² ¥² ¤«¿ ®¯°¥¤¥«¥­¨¿ ¡³¤³¹¥© ½¢®«¾¶¨¨ ±¨±²¥¬». ’¥¬ ­¥ ¬¥­¥¥, ­¥±ª®«¼ª® ¯°¥­¥¡°¥£ ¿ ´®°¬ «¼­®±²¿¬¨ ²¥°¬¨­®«®£¨¨, ¡³¤¥¬ £®¢®°¨²¼, ·²® ­ ¡®° ±²° ²¥£¨© ¿¢«¿¥²±¿ ³±²®©·¨¢»¬ ±®±²®¿­¨¥¬, ¥±«¨ ®­ ¨£° ¥²±¿ ¢ ª ¦¤®¬ ¯¥°¨®¤¥ ­ ·¨­ ¿ ± ­¥ª®²®°®£® ª®­¥·­®£® ¬®¬¥­²  ¢°¥¬¥­¨ T . °¥¤«®¦¥­¨¥ 5.1.1. (Fudenberg, Kreps, 1990). 1) …±«¨ s | ±²°®£®¥ ° ¢­®¢¥±¨¥ ¯® ½¸³2 ¨ s ¨£° ¥²±¿ ¢ ¬®¬¥­² t ¢ ¯°®¶¥±±¥ ´¨ª²¨¢­®£® ° §»£°»¢ ­¨¿, ²® s ¡³¤¥² ¨£° ²¼±¿ ¤ «¥¥ ¢±¥£¤ . 2) ‹¾¡®¥ ³±²®©·¨¢®¥ ±®±²®¿­¨¥ ´¨ª²¨¢­®£® ° §»£°»¢ ­¨¿ ¢ ·¨±²»µ ±²° ²¥£¨¿µ ¤®«¦­® ¡»²¼ ° ¢­®¢¥±¨¥¬ ¯® ½¸³. “¯®¬¿­¥¬ §¤¥±¼ ¥¹¥ ®¤¨­ ¢ °¨ ­² ´¨ª²¨¢­®£® ° §»£°»¢ ­¨¿. Œ¨«£°®¬ ¨ ®¡¥°²± (Milgrom, Roberts, 1991) ° ±±¬ ²°¨¢ ¾²  ¤ ¯²¨¢­®¥ ®¡³·¥­¨¥. °®£­®§ (®²­®±¨²¥«¼­® ¢»¡®°  ±²° ²¥£¨© ®¯¯®­¥­²®¬) ­ §»¢ ¥²±¿  ¤ ¯²¨¢­»¬, ¥±«¨ ½²®² ¯°®£­®§ ¯°¨¯¨±»¢ ¥² ®·¥­¼ ¬ «³¾ ¢¥°®¿²­®±²¼ «¾¡®© ±²° ²¥£¨¨ ®¯¯®­¥­² , ª®²®° ¿ ­¥ ¨£° « ±¼ ¤«¨²¥«¼­®¥ ¢°¥¬¿. ”®°¬ «¼­® ¯°®£­®§  ¤ ¯²¨¢¥­, ¥±«¨ ¤«¿ «¾¡®£® " > 0 ¨ «¾¡®£® t ±³¹¥±²¢³¥² T ("; t) ² ª®©, ·²® ¤«¿ «¾¡®£® t0 > T ("; t) ¨ «¾¡®© ¨±²®°¨¨ ¤® ¬®¬¥­²  t0 , ¯°®£­®§ ti ¯°¨¯¨±»¢ ¥² ¢¥°®¿²­®±²¼ ­¥ ¡®«¼¸¥ " ¬­®¦¥±²¢³ ·¨±²»µ ±²° ²¥£¨© ®¯¯®­¥­²  ¨£°®ª  i , ª®²®°»¥ ­¥ ¨£° «¨±¼ ¬¥¦¤³ ¬®¬¥­² ¬¨ t ¨ t0 . „«¿  ¤ ¯²¨¢­®£® ¯°®£­®§  ±®µ° ­¿¥²±¿ ¢²®°®¥ ³²¢¥°¦¤¥­¨¥ ¯°¥¤«®¦¥­¨¿ 5.1: ¥±«¨ ¯°®£­®§»  ¤ ¯²¨¢­» ¨ ° §»£°»¢ ­¨¥ ±µ®¤¨²±¿ ª ­ ¡®°³ ·¨±²»µ ±²° ²¥£¨©, ²® ½²®² ­ ¡®° ¤®«¦¥­ ¡»²¼ ° ¢­®¢¥±¨¥¬ ¯® ½¸³.

 ¢­®¢¥±¨¥ ¯® ½¸³ ­ §»¢ ¥²±¿ ±²°®£¨¬, ¥±«¨ ¤«¿ ª ¦¤®£® ¨£°®ª  i , si ¿¢«¿¥²±¿ ¥¤¨­±²¢¥­­»¬ «³·¸¨¬ ®²¢¥²®¬ ­  s;i . ‡ ¬¥²¨¬, ·²® ±²°®2

£®¥ ° ¢­®¢¥±¨¥ ¬®¦¥² ¡»²¼ ²®«¼ª® ° ¢­®¢¥±¨¥¬ ¢ ·¨±²»µ ±²° ²¥£¨¿µ, ². ª. ¥±«¨ ±¬¥¸ ­­ ¿ ±²° ²¥£¨¿ ¿¢«¿¥²±¿ «³·¸¨¬ ®²¢¥²®¬, ²® ² ª®¢®© ¦¥ ¿¢«¿¥²±¿ ¨ «¾¡ ¿ ·¨±² ¿ ¨§ ­®±¨²¥«¿ ±¬¥¸ ­­®© ±²° ²¥£¨¨.

«¥¬¥­²» ½¢®«¾¶¨®­­®© ²¥®°¨¨ ¨£°

205

¥°¥©¤¥¬ ²¥¯¥°¼ ®² ¬®¤¥«¥©, ¡ §¨°³¾¹¨µ±¿ ­  ®¡³·¥­¨¨ ª ¬®¤¥«¿¬, ±¢¿§ ­­»¬ ± ¨¤¥¥© ½¢®«¾¶¨¨. Ž±­®¢­ ¿ ¨¤¥¿ ½¢®«¾¶¨®­­®£® ¯®¤µ®¤  ±®±²®¨² ¢ ²®¬, ·²®  £¥­²» ¬®£³² ­¥ ®¯²¨¬¨§¨°®¢ ²¼ ±®§­ ²¥«¼­®, ­® ¢¥±²¨ ±¥¡¿ ² ª, ª ª ¥±«¨ ¡» ®­¨ ¡»«¨ ° ¶¨®­ «¼­», ¯®±ª®«¼ª³ (½ª®­®¬¨·¥±ª ¿) ª®­ª³°¥­¶¨¿ ®²¡¥°¥² ®¯²¨¬¨§¨°³¾¹¨µ  £¥­²®¢. ‘³¹¥±²¢¥­­»¬ ²®«·ª®¬ ª ¨±±«¥¤®¢ ­¨¾ ² ª¨µ ¯°®¶¥±±®¢ ¯®±«³¦¨«  ¡¨®«®£¨¿. Œ¥©­ °¤ ‘¬¨² ¨ ° ©± (Maynard Smith, Price, 1973) ¢¢¥«¨ ¯®­¿²¨¥ ½¢®«¾¶¨®­­® ³±²®©·¨¢®© ±²° ²¥£¨¨ ¨ ¯°¨¸«¨ ª ¢»¢®¤³ ® ²®¬, ·²® ­ ¡«¾¤ ¥¬»¥ ·¥°²» ¯®¢¥¤¥­¨¿ ¦¨¢®²­»µ ¨ ° ±²¥­¨© ¬®¦­® ®¡º¿±­¨²¼ ± ¯®¬®¹¼¾ ° ¢­®¢¥±¨¿ ¯® ½¸³ ¢ ±®®²¢¥²±²¢³¾¹¨¬ ®¡° §®¬ ®¯°¥¤¥«¥­­®© ¨£°¥. ˆ¤¥¿ ±®±²®¨² ¢ ²®¬, ·²® ª®¬¡¨­ ¶¨¿ ¥±²¥±²¢¥­­®£® ®²¡®°  ¨ ¬³² ¶¨¨ ¯°¨¢®¤¨² ¯®¯³«¿¶¨¾ ª ½¢®«¾¶¨®­­® ³±²®©·¨¢®¬³ ±®±²®¿­¨¾ ¢ ¤«¨²¥«¼­®¬ ¯¥°¨®¤¥. ²  ²®·ª  §°¥­¨¿ ¡»«  ¯®¤²¢¥°¦¤¥­  ¬­®£®·¨±«¥­­»¬¨ ¯®«¥¢»¬¨ ¨±±«¥¤®¢ ­¨¿¬¨. ‡¤¥±¼ Àª ª ¥±«¨ ¡»Á | ½²® ¢¯®«­¥ °¥ «¼­®¥ ®¯¨± ­¨¥ ¤¥©±²¢¨²¥«¼­®±²¨. ‚¤®µ­®¢«¥­­»¥ ³±¯¥µ®¬ ¡¨®«®£¨¨, ¬­®£¨¥ ½ª®­®¬¨±²» ¢ª«¾·¨«¨±¼ ¢  ª²¨¢­»¥ ¨±±«¥¤®¢ ­¨¿ ½¢®«¾¶¨®­­®© ²¥®°¨¨ ¨£°. ®·¥¬³ ¦¥ ½¢®«¾¶¨®­­ ¿ ²¥®°¨¿ ¯°¨¢«¥ª ¥² ² ª®¥ ¢­¨¬ ­¨¥? ’®«¼ª® ¯®±«¥ £«³¡®ª¨µ ¨ ¤«¨²¥«¼­»µ ¨±±«¥¤®¢ ­¨© ²¥®°¨¿ ¨£° ¯°®¿±­¨« , ·²® §­ ·¨² ° ¶¨®­ «¼­®±²¼ ¢ ±²° ²¥£¨·¥±ª¨µ ±¨²³ ¶¨¿µ ¨ ª ª®¢» ¥¥ ¯®±«¥¤±²¢¨¿.  ¶¨®­ «¼­®±²¼ ± ¬  ¯® ±¥¡¥ ­¥ ®¯° ¢¤»¢ ¥² ° ¢­®¢¥±¨¥ ¯® ½¸³, ¨ ­³¦­® ¨±ª ²¼ ·²®²® ¤°³£®¥, ·²® ®¡º¿±­¿«® ¡» ° ¢­®¢¥±­®¥ ¯®¢¥¤¥­¨¥. Š°®¬¥ ²®£®, ­¥®¡µ®¤¨¬®±²¼ ° ¢­®¢¥±­®£® ®²¡®° , ª®²®° ¿ ±² «  ¤®¬¨­¨°³¾¹¥© ²¥¬®© ¢ ¬­®£®·¨±«¥­­»µ ¯°¨«®¦¥­¨¿µ ²¥®°¨¨ ¨£° ª ¬­®£®®¡° §¨¾ ª®­ª°¥²­»µ § ¤ ·, ½²® ²®, ·¥£® ¯°¥¤¸¥±²¢³¾¹ ¿ «¨²¥° ²³°  ¯® ¤¨­ ¬¨ª¥ ¯°¨±¯®±®¡«¥­¨¿ ­¥ ³·¨²»¢ « .

206

ƒ« ¢  5

5.2. ¢®«¾¶¨®­­® ³±²®©·¨¢»¥ ±²° ²¥£¨¨

Š ª ¬» ³¦¥ ®²¬¥· «¨ ¨ ¢® ¢¢¥¤¥­¨¨, ¨ ¢ ¯°¥¤»¤³¹¥¬ ° §¤¥«¥, ½¢®«¾¶¨®­­ ¿ ²¥®°¨¿ ¨£° ¯°¥¤±² ¢«¿¥²±¿ ·°¥§¢»· ©­® ¯°¨¢«¥ª ²¥«¼­»¬ ¯®¤µ®¤®¬ ª ®¡³·¥­¨¾. ‚ ²¨¯¨·­®© ¤«¿ ½¢®«¾¶¨®­­®© ²¥®°¨¨ ¨£° ¬®¤¥«¨ ¥±²¼ ¯®¯³«¿¶¨¿  £¥­²®¢, ¢»¨£°»¸ ª ¦¤®£® ¨§ ª®²®°»µ ¿¢«¿¥²±¿ ´³­ª¶¨¥© ­¥ ²®«¼ª® ¥£® ¯®¢¥¤¥­¨¿, ­® ¨ ²®£®, ª ª ¢¥¤³² ±¥¡¿  £¥­²», ± ª®²®°»¬¨ ®­ ¢§ ¨¬®¤¥©±²¢³¥². ‚ ª ¦¤»© ¬®¬¥­² ¢°¥¬¥­¨ ¯®¢¥¤¥­¨¥ ¢ ¯®¯³«¿¶¨¨ ° ±¯°¥¤¥«¥­® ¢ ±®®²¢¥²±²¢¨¨ ± ° §«¨·­»¬¨ ±²° ²¥£¨¿¬¨, ¨«¨ ²¨¯ ¬¨ ¯®¢¥¤¥­¨¿. …±«¨ ¯®¯³«¿¶¨¿ ª®­¥·­ , ²® ±®±²®¿­¨¥ (¯®¯³«¿¶¨¨) ¯°¥¤±² ¢«¿¥² ±®¡®© ®¯¨± ­¨¥ ²®£®, ª ª¨¥  £¥­²» ª ª®¥ ¯®¢¥¤¥­¨¥ ¢»¡¨° ¾². …±«¨ ¯®¯³«¿¶¨¿ ¡¥±ª®­¥·­ , ²® ±®±²®¿­¨¥ | ½²® ®¯¨± ­¨¥ ¤®«¥© ¯®¯³«¿¶¨¨, ª®²®°»¥ ¨£° ¾² ª ¦¤³¾ ±²° ²¥£¨¾. …±«¨ ¨£°®ª ¬®¦¥² ¬ ª±¨¬¨§¨°®¢ ²¼ ¨ §­ ¥² ±®±²®¿­¨¥, ²® ®­ ¬®¦¥² ¢»¡° ²¼ «³·¸¨© ®²¢¥². …±«¨ ®­ ­¥ §­ ¥² ±®±²®¿­¨¿ ¯®¯³«¿¶¨¨, ²®£¤  ®­ ¤®«¦¥­ ±¤¥« ²¼ § ª«¾·¥­¨¥ ® ±®±²®¿­¨¨, ¨±µ®¤¿ ¨§ ¨­´®°¬ ¶¨¨, ª®²®°®© ®­ ®¡« ¤ ¥². Š°®¬¥ ²®£®, ¤ ¦¥ §­ ¿ ±®±²®¿­¨¥, ¨£°®ª ¬®¦¥² ¨ ­¥ ¨¬¥²¼ ¢®§¬®¦­®±²¨ ¢»·¨±«¨²¼ «³·¸¨© ®²¢¥². ‚»·¨±«¥­¨¥ «³·¸¥£® ®²¢¥²  ²°¥¡³¥², ·²®¡» ¨£°®ª §­ « ¢±¥ ¤®±²³¯­»¥ ±²° ²¥£¨¨ ¨ ±®®²¢¥²±²¢³¾¹¨¥ ¢»¨£°»¸¨.  ¡«¾¤ ¥¬ ¿ ¨±²®°¨¿ ¨£°» ±² ­®¢¨²±¿ ¢ ¦­®© ¯® ¤¢³¬ ¯°¨·¨­ ¬. ‚®-¯¥°¢»µ, ¨±²®°¨¿ ¯¥°¥¤ ¥² ¨­´®°¬ ¶¨¾ ® ²®¬, ª ª®¢» ®¦¨¤ ­¨¿ ®²­®±¨²¥«¼­® ¨£°» ®¯¯®­¥­²®¢. ‚®-¢²®°»µ, ­ ¡«¾¤ ¥¬»© ³±¯¥µ ¨«¨ ­¥³¤ ·  ¢»¡®°  ° §«¨·­»µ ¤¥©±²¢¨© ¯®¬®£ ¥² ¨£°®ª ¬ ®¯°¥¤¥«¨²¼, ·²® ¬®¦¥² ¡»²¼ µ®°®¸¥© ±²° ²¥£¨¥© ¢ ¡³¤³¹¥¬. ˆ¬¨² ¶¨¿ · ±²® ¿¢«¿¥²±¿ ¢ ¦­®© · ±²¼¾ ®¡³·¥­¨¿: ³±¯¥¸­®¬³ ¯®¢¥¤¥­¨¾ ¡³¤³² ³·¨²¼±¿. „® ²®© ±²¥¯¥­¨, ¤® ª®²®°®© ¨£°®ª¨ ¨¬¨²¨°³¾² ³±¯¥¸­®¥ ¯®¢¥¤¥­¨¥ ¨ ­¥ ¢»·¨±«¿¾² ¿¢­® «³·¸¨¥ ®²¢¥²», ³ ¨£°®ª®¢ ­¥² ­¥®¡µ®¤¨¬®±²¨ ° §«¨· ²¼ §­ ­¨¿, ¯®«³· ¥¬»¥ ®² ° §»£°»¢ ­¨¿ ¨£°», ¨ §­ ­¨¿ ²®£®, ª ª ¨£° ¾² ®¯¯®­¥­²». ˆ£°®ª¨ ¤®«¦­» ²®«¼ª® §­ ²¼, ·²® ¡»«® ³±¯¥¸­»¬,   ­¥ ¯®·¥¬³ ®­® ¡»«® ³±¯¥¸­»¬.

«¥¬¥­²» ½¢®«¾¶¨®­­®© ²¥®°¨¨ ¨£°

207

‚ ¦­»¬ ¬®¬¥­²®¬ ¿¢«¿¥²±¿ ²®, ·²® ½¢®«¾¶¨®­­ ¿ ¤¨­ ¬¨ª  ­¨ ¢ ª ª®¬  ±¯¥ª²¥ ­¥ ®¯¨° ¥²±¿ ­  ª ª¨¥-«¨¡® ¯°¥¤¯®«®¦¥­¨¿ ® ¯®¢¥¤¥­¨¨ ¨«¨ §­ ­¨¿, ®²«¨·­»¥ ®² ¡ §®¢®£® ¯°¨­¶¨¯  ¤¨´´¥°¥­¶¨°®¢ ­­®£® ®²¡®° , | ¿¢­®¥ ³±¯¥¸­®¥ ¯®¢¥¤¥­¨¥ ¤®«¦­® À³¢¥«¨·¨¢ ²¼ ±¢®¥ ¯°¥¤±² ¢¨²¥«¼±²¢®Á ¢ ¯®¯³«¿¶¨¨, ¢ ²® ¢°¥¬¿ ª ª ­¥³±¯¥¸­®¥ | ­¥². ‘³¹¥±²¢¥­­»¬  ±¯¥ª²®¬ ½¢®«¾¶¨®­­®© ¤¨­ ¬¨ª¨ ¿¢«¿¥²±¿ ²®, ·²® (¢ ¡®«¼¸¨µ ¯®¯³«¿¶¨¿µ) ¥±«¨ ®­  ¨¬¥¥² ²¥­¤¥­¶¨¾ ±µ®¤¨²¼±¿, ²® ®­  ±µ®¤¨²±¿ ª ° ¢­®¢¥±¨¾ ¯® ½¸³. ²® ±¢®©±²¢® ¿¢«¿¥²±¿ ­¥®¡µ®¤¨¬»¬ ³±«®¢¨¥¬ ¤«¿ «¾¡®© ®±¬»±«¥­­®© ¬®¤¥«¨ ±®¶¨ «¼­®£® ®¡³·¥­¨¿. °¥¤¯®«®¦¨¬, ·²® ³ ­ ± ¥±²¼ ¬®¤¥«¼, ¢ ª®²®°®© ¯®¢¥¤¥­¨¥ À±µ®¤¨²±¿Á ª ·¥¬³-²®, ·²® ­¥ ¿¢«¿¥²±¿ ° ¢­®¢¥±¨¥¬ ¯® ½¸³. ®±ª®«¼ª³ ®¡±² ­®¢ª  ¢ ª®­¥·­®¬ ±·¥²¥ ±² ­®¢¨²±¿ ±² ¶¨®­ °­®© ¨ ¥±²¼ ±²° ²¥£¨¿ (²¨¯ ¯®¢¥¤¥­¨¿), ¤®±²³¯­ ¿ ª ª®¬³-«¨¡®  £¥­²³, ¤ ¾¹ ¿ ¥¬³ ¡®«¼¸¨© ¢»¨£°»¸, ²® ¢ ª®­¶¥ ª®­¶®¢ ½²®²  £¥­² ®²ª«®­¨²±¿. ®­¿²¨¥ ° ¢­®¢¥±¨¿, ­ ¨¡®«¥¥ · ±²® ¨±¯®«¼§³¥¬®¥ ¢ ½¢®«¾¶¨®­­®© ²¥®°¨¨ ¨£°, ª ª ³¦¥ ®²¬¥· «®±¼ ¢»¸¥, ¡»«® ¢¢¥¤¥­® Œ¥©­ °¤®¬ ‘¬¨²®¬ ¨ ° ©±®¬ ¨ ¢¯¥°¢»¥ ¤®±² ²®·­® ¯®¤°®¡­® ¨§«®¦¥­® ¢ ª­¨£¥ Œ¥©­ °¤  ‘¬¨²  À¢®«¾¶¨¿ ¨ ²¥®°¨¿ ¨£°Á (Maynard Smith, 1982). Œ¥©­ °¤ ‘¬¨² ¨±±«¥¤®¢ « ¯®¢¥¤¥­¨¥ ´¥­®²¨¯®¢ (´¥­®²¨¯ | ±®¢®ª³¯­®±²¼ ¢±¥µ ¯°¨§­ ª®¢ ¨ ±¢®©±²¢ ®°£ ­¨§¬ , ±´®°¬¨°®¢ ¢¸¨µ±¿ ¢ °¥§³«¼² ²¥ ¥£® ¨­¤¨¢¨¤³ «¼­®£® ° §¢¨²¨¿). ‚ · ±²­®±²¨, ®­ ¨§³· « ´¥­®²¨¯ ¢ ¯®¯³«¿¶¨¿µ, ª®²®°»¥ ½¢®«¾¶¨®­­® ³±²®©·¨¢» ¢ ²®¬ ±¬»±«¥, ·²® ®­¨ ­¥ ¬®£³² ¡»²¼ À¯®¡¥¦¤¥­»Á (À§ µ¢ ·¥­»Á) ¤°³£¨¬ ´¥­®²¨¯®¬. ‡¤¥±¼ À¯®¡¥¤ Á ®§­ · ¥², ·²® ª ª®©-²® ¤°³£®© ²¨¯ ¯®¢¥¤¥­¨¿ ®ª §»¢ ¥²±¿ ¡®«¥¥ ³±¯¥¸­»¬ ¨  £¥­²» ¯°¨¬¥­¿¾² ¥£®. ®±ª®«¼ª³ À²¨¯ ¯®¢¥¤¥­¨¿Á ¯¥°¥¢®¤¨²±¿ ¢ ²¥®°¥²¨ª®¨£°®¢»µ ²¥°¬¨­ µ ²¥°¬¨­®¬ À±²° ²¥£¨¿Á, ²® °¥·¼, ¯® ±³²¨ ¤¥« , ¨¤¥² ®¡ ½¢®«¾¶¨®­­® ³±²®©·¨¢»µ ±²° ²¥£¨¿µ3 . Ž±­®¢­ ¿ ¨¤¥¿, «¥¦ ¹ ¿ ¢ ®±­®¢¥ ½²®£® ¯®­¿²¨¿, ±®±²®¨² ¢ ²®¬, ·²® ½¢®«¾¶¨®­­® ³±²®©·¨¢ ¿ ±²° ²¥£¨¿ (“‘) | ½²® ±²° ²¥£¨¿, ª®²®° ¿, ¡³¤³·¨ ¨±¯®«¼§³¥¬®© ¢ ­¥ª®²®°®© ¯®¯³«¿3

Evolutionary stable strategies | ESS.

208

ƒ« ¢  5

¶¨¨, ­¥ ¬®¦¥² ¡»²¼ À¯®¡¥¦¤¥­ Á ¤°³£®© ±²° ²¥£¨¥©, ¯®±ª®«¼ª³ ®­  ­¥ ¬®¦¥² ¡»²¼ ³«³·¸¥­ . ’ ª, ¥±«¨ ¯®¯³«¿¶¨¿ ¨±¯®«¼§³¥² ±²° ²¥£¨¾ x , ²® À¬³² ­²»Á, ¨±¯®«¼§³¾¹¨¥ ª ª³¾-²® ¤°³£³¾ ±²° ²¥£¨¾ y , ­¥ ¬®£³² ° ±¯°®±²° ­¨²¼±¿ ¢ ¯®¯³«¿¶¨¨. ³¤¥¬ ®¡®§­ · ²¼ ­ ¡®° ¢®§¬®¦­»µ ±²° ²¥£¨© (²¨¯®¢ ¯®¢¥¤¥­¨¿) ·¥°¥§ S ,   ¢»¨£°»¸  £¥­² , ¢»¡¨° ¾¹¥£® ±²° ²¥£¨¾ x 2 S , ¢ ±«³· ¥ ¥±«¨ ¥£® ¯°®²¨¢­¨ª ¢»¡¨° ¥² ±²° ²¥£¨¾ y , ·¥°¥§ u(x; y ) . °¥¤¯®« £ ¥¬, ·²® ¬­®¦¥±²¢® S | ª®­¥·­®. ‹¾¡ ¿ ±²° ²¥£¨¿ ¨§ S ­ §»¢ ¥²±¿ ·¨±²®©. ‘¬¥¸ ­­ ¿ ±²° ²¥£¨¿ | ½²® ¢¥°®¿²­®±²­®¥ ° ±¯°¥¤¥«¥­¨¥ ­  ¬­®¦¥±²¢¥ ·¨±²»µ ±²° ²¥£¨©. (Œ» ±·¨² ¥¬, £®¢®°¿ ® ±¬¥¸ ­­»µ ±²° ²¥£¨¿µ, ·²® ¢ ­¨µ ± ¯®«®¦¨²¥«¼­®© ¢¥°®¿²­®±²¼¾ ¨±¯®«¼§³¾²±¿ ª ª ¬¨­¨¬³¬ ¤¢¥ ·¨±²»¥ ±²° ²¥£¨¨.) ‘¬¥¸ ­­»¥ ±²° ²¥£¨¨ ¨¬¥¾² ¤¢¥ ¢®§¬®¦­»¥ ¨­²¥°¯°¥² ¶¨¨: «¨¡® ¯®¯³«¿¶¨¿ ¬®­®¬®°´­ , ¨ ¢ ­¥© ª ¦¤»© ·«¥­ ¨£° ¥² ®¤­³ ¨ ²³ ¦¥ ±¬¥¸ ­­³¾ ±²° ²¥£¨¾, «¨¡® ¯®¯³«¿¶¨¿ ¯®«¨¬®°´­ , ¨ ¢ ­¥© ª ¦¤»© ³· ±²­¨ª ¨£° ¥² ­¥ª³¾ ·¨±²³¾ ±²° ²¥£¨¾, ¯°¨·¥¬ ¤®«¿ ¯®¯³«¿¶¨¨, ¨£° ¾¹ ¿ ª ¦¤³¾ ·¨±²³¾ ±²° ²¥£¨¾, ° ¢­  ¢¥°®¿²­®±²¨, ¯°¨¯¨±»¢ ¥¬®© ½²®© ·¨±²®© ±²° ²¥£¨¨ ±¬¥¸ ­­®© ±²° ²¥£¨¥©. ‘¬»±« ª«¾·¥¢®£® ¯®­¿²¨¿ ½¢®«¾¶¨®­­®© ²¥®°¨¨ ¨£° | ½¢®«¾¶¨®­­® ³±²®©·¨¢®© ±²° ²¥£¨¨ | ±®±²®¨² ¢ ±«¥¤³¾¹¥¬. °¥¤¯®«®¦¨¬, ·²® ¨­¤¨¢¨¤» ( £¥­²») ¯®¢²®°¿¾¹¨¬±¿ ®¡° §®¬ ¢»¡¨° ¾²±¿ ±«³· ©­® ¨§ ¡®«¼¸®© ¯®¯³«¿¶¨¨, ·²®¡» ° §»£° ²¼ ±¨¬¬¥²°¨·­³¾ ¨£°³ ¤¢³µ «¨¶ (²® ¥±²¼ ¨£°³ ; = ff1; 2g;
; fui; i = 1; 2gg , £¤¥
| ¬­®¦¥±²¢® ±²° ²¥£¨© ¨ ¯¥°¢®£® ¨ ¢²®°®£® ¨£°®ª , ¯°¨·¥¬ u1 (x; y ) = u(x; y ) ¨ u2(x; y ) = u(y; x) ¤«¿ ­¥ª®²®°®© (­¥¯°¥°»¢­®©) ´³­ª¶¨¨ u , ¨ ¯°¥¤¯®«®¦¨¬, ·²® ¯¥°¢®­ · «¼­® ¢±¥ ¨­¤¨¢¨¤» À£¥­¥²¨·¥±ª¨ § ¯°®£° ¬¬¨°®¢ ­»Á ¨£° ²¼ ®¯°¥¤¥«¥­­³¾ ·¨±²³¾ ¨«¨ ±¬¥¸ ­­³¾ ±²° ²¥£¨¾. ’¥¯¥°¼ À¤®¡ ¢¨¬Á ­¥ª®²®°³¾ ¬ «³¾ ¤®«¾ ¯®¯³«¿¶¨¨, ª®²®° ¿ § ¯°®£° ¬¬¨°®¢ ­  ¨£° ²¼ ­¥ª®²®°³¾ ¤°³£³¾ ·¨±²³¾ ¨«¨ ±¬¥¸ ­­³¾ ±²° ²¥£¨¾. À“ª®°¥­¨¢¸ ¿±¿Á ±²° ²¥£¨¿ ­ §»¢ ¥²±¿ ½¢®«¾¶¨®­­® ³±²®©·¨¢®©, ¥±«¨ ¤«¿ «¾¡®© ² ª®© À¬³² ­²­®©Á ±²° ²¥£¨¨ ±³¹¥±²¢³¥² ² ª®© ¯®«®¦¨²¥«¼­»© À¡ °¼¥° ¢²®°¦¥­¨¿Á, ·²® ¥±«¨ ¤®«¿ ¯®¯³«¿¶¨¨

«¥¬¥­²» ½¢®«¾¶¨®­­®© ²¥®°¨¨ ¨£°

209

¨­¤¨¢¨¤®¢, ¨£° ¾¹¨µ À¬³² ­²­³¾Á ±²° ²¥£¨¾, ¯ ¤ ¥² ­¨¦¥ ½²®£® ¡ °¼¥° , ²® À³ª®°¥­¨¢¸ ¿±¿Á ±²° ²¥£¨¿ ¤ ¥² ¡®«¼¸¨© ¢»¨£°»¸, ·¥¬ À¬³² ­²­ ¿Á ±²° ²¥£¨¿. ’ ª®© ¯®¤µ®¤ ´®ª³±¨°³¥²±¿ ­  ±¨¬¬¥²°¨·­»µ ¯®¯ °­»µ ¢§ ¨¬®¤¥©±²¢¨¿µ ¢ ­¥ª®²®°®© ¯®¯³«¿¶¨¨. ‚ · ±²­®±²¨, ®­ ­¥ ±®±°¥¤®²®·¨¢ ¥²±¿ ­  ¢§ ¨¬®¤¥©±²¢¨¨ ¡®«¥¥ ·¥¬ ¤¢³µ ¨­¤¨¢¨¤®¢ ¢ ¬®¬¥­² ¢°¥¬¥­¨. Š°®¬¥ ²®£®, ª°¨²¥°¨© ½¢®«¾¶¨®­­®© ³±²®©·¨¢®±²¨ ®¯¨° ¥²±¿ ­  ²¥±­³¾ ±¢¿§¼ ¬¥¦¤³ ¢»¨£°»¸ ¬¨ ¢ ¨£°¥ ¨ À±²¥¯¥­¨ ° ±¯°®±²° ­¥­­®±²¨Á ±²° ²¥£¨¨ ¢ ¯®¯³«¿¶¨¨. Š ª®¢  ¦¥ °®«¼ ¢¥«¨·¨­» ¯®¯³«¿¶¨¨? ‡¤¥±¼ ¥±²¼ ¤¢  ½«¥¬¥­² : ®¤¨­ À¬¥µ ­¨·¥±ª¨©Á,   ¤°³£®© | À±²° ²¥£¨·¥±ª¨©Á. ‚®-¯¥°¢»µ, ·²®¡» £®¢®°¨²¼ ® ¡ °¼¥°¥ ¢²®°¦¥­¨¿ (¢»° ¦ ¥¬®¬ ¢ ¤®«¿µ ¯®¯³«¿¶¨¨), ­³¦­®, ·²®¡» ² ª®© ¡ °¼¥° ¯°¥¢®±µ®¤¨« 1=n , £¤¥ n | ·¨±«¥­­®±²¼ ¯®¯³«¿¶¨¨. ‚®-¢²®°»µ, ¯®¯³«¿¶¨¿ ¤®«¦­  ¡»²¼ ±²®«¼ ¢¥«¨ª , ·²®¡» ¢®§¬®¦­»© ½´´¥ª² ®² ²¥ª³¹¥£® ¨­¤¨¢¨¤³ «¼­®£® ¢®§¤¥©±²¢¨¿ ­  ¤ «¼­¥©¸¨¥ ¤¥©±²¢¨¿ ®±² «¼­»µ ¡»« ¡» ¯°¥­¥¡°¥¦¨¬. ®¬¨¬® ¡¨®«®£¨·¥±ª®£®  ±¯¥ª²  ½¢®«¾¶¨®­­ ¿ ³±²®©·¨¢®±²¼ ¤ ¥² ­ ¤¥¦­»© ª°¨²¥°¨© ¯®¢¥¤¥­¨¿ «¾¤¥© ¢ ¸¨°®ª®¬ ±¯¥ª²°¥ ±¨²³ ¶¨©, ¢ª«¾· ¿ ¬­®£®·¨±«¥­­»¥ ¢§ ¨¬®¤¥©±²¢¨¿ ¢ ®¡« ±²¨ ½ª®­®¬¨ª¨. ‚ ±®¶¨ «¼­®© ¨«¨ ½ª®­®¬¨·¥±ª®© ®¡±² ­®¢ª¥ ½¢®«¾¶¨®­­ ¿ ³±²®©·¨¢®±²¼ ²°¥¡³¥², ·²®¡» ¬ «»¥ £°³¯¯» ¨­¤¨¢¨¤®¢, ª®²®°»¥ ¯»² ¾²±¿ ¨±¯®«¼§®¢ ²¼ ¤°³£³¾ ±²° ²¥£¨¾, ¯°¥³±¯¥¢ «¨ ¬¥­¼¸¥, ·¥¬ ²¥ ¨­¤¨¢¨¤», ª®²®°»¥ ¨±¯®«¼§³¾² Àstatus quo ±²° ²¥£¨¾Á. ‘«¥¤®¢ ²¥«¼­®, ²¥ ¨­¤¨¢¨¤», ª®²®°»¥ ¨±¯®«¼§³¾² ¯°¥¢ «¨°³¾¹¨¥ ±²° ²¥£¨¨, ­¥ ±²°¥¬¿²±¿ ¨µ ¬¥­¿²¼, ¯®±ª®«¼ª³ ¨µ ¯®«®¦¥­¨¥ «³·¸¥, ·¥¬ ³ À½ª±¯¥°¨¬¥­² ²®°®¢Á,   ½ª±¯¥°¨¬¥­² ²®°» ±²°¥¬¿²±¿ ¢¥°­³²¼±¿ ª À³ª®°¥­¨¢¸¨¬±¿Á ±²° ²¥£¨¿¬. ˆ² ª, ¯°¥¤¯®«®¦¨¬, ·²® ­¥¡®«¼¸ ¿ £°³¯¯  ¬³² ­²®¢ ¯®¿¢¨« ±¼ ¢ ¡®«¼¸®© ¯®¯³«¿¶¨¨ ¨­¤¨¢¨¤®¢, ª ¦¤»© ¨§ ª®²®°»µ § ¯°®£° ¬¬¨°®¢ ­ ¨£° ²¼ ­¥ª®²®°³¾, ®¤­³ ¨ ²³ ¦¥, À³ª®°¥­¨¢¸³¾±¿Á ±²° ²¥£¨¾ x 2
(·¨±²³¾ ¨«¨ ±¬¥¸ ­­³¾). °¥¤¯®«®¦¨¬, ·²® ¢±¥ ¬³² ­²» § ¯°®£° ¬¬¨°®¢ ­» ¨£° ²¼ ­¥ª®-

210

ƒ« ¢  5

²®°³¾ ¤°³£³¾ (·¨±²³¾ ¨«¨ ±¬¥¸ ­­³¾) À¬³² ­²­³¾Á ±²° ²¥£¨¾ y 2
. ³±²¼ ¤®«¿ ¬³² ­²®¢ ¢ À¯®±²-¢µ®¤­®©Á ¯®¯³«¿¶¨¨ ¥±²¼ " 2 (0; 1).  °» ¨­¤¨¢¨¤®¢ ¢ ½²®© ¡¨¬®°´­®© (¯°¥¤±² ¢«¥­» ¤¢¥ ±²° ²¥£¨¨) ¯®¯³«¿¶¨¨ ¢»¡¨° ¾²±¿ (¯®¢²®°¿¾¹¨¬±¿ ®¡° §®¬) ±«³· ©­®, ·²®¡» ° §»£°»¢ ²¼ ¨£°³, ¯°¨·¥¬ ¢±¥ ¨­¤¨¢¨¤» ¢»¡¨° ¾²±¿ ° ¢­®¢¥°®¿²­®. ‘«¥¤®¢ ²¥«¼­®, ¥±«¨ ­¥ª®²®°»© ¨­¤¨¢¨¤ ¢»¡° ­ ° §»£° ²¼ ¨£°³, ²® ¢¥°®¿²­®±²¼ ²®£®, ·²® ¥£® ®¯¯®­¥­² ¡³¤¥² ¨£° ²¼ À¬³² ­²­³¾Á ±²° ²¥£¨¾ y , ¥±²¼ " ,   ¢¥°®¿²­®±²¼ ²®£®, ·²® ¡³¤¥² ¨£° ²¼ À³ª®°¥­¨¢¸³¾±¿Á ±²° ²¥£¨¾, ¥±²¼ 1 ; " . ‚»¨£°»¸ ¢ ¬ ²·¥ (±µ¢ ²ª¥) ¢ ² ª®© ¡¨¬®°´­®© ¯®¯³«¿¶¨¨ ±®¢¯ ¤ ¥² ± ¢»¨£°»¸¥¬ ¢ ¬ ²·¥ ± ¨­¤¨¢¨¤®¬, ¨£° ¾¹¨¬ ±¬¥¸ ­­³¾ ±²° ²¥£¨¾

w = "y + (1 ; ")x 2
: ’ ª¨¬ ®¡° §®¬, À¯®±²-¢µ®¤­®©Á ¢»¨£°»¸ ¤«¿ À³ª®°¥­¨¢¸¥©±¿Á ±²° ²¥£¨¨ ¡³¤¥² u(x; w) ,   ¤«¿ À¬³² ­²­®©Á ±²° ²¥£¨¨ | u(y; w) ( u | ­¥¯°¥°»¢­ ¿ ´³­ª¶¨¿ ¢»¨£°»¸¥©). ®¢¨¤¨¬®¬³, ¨­²³¨²¨¢­® ¿±­®, ·²® À±¨«  ½¢®«¾¶¨¨Á ¢»±²³¯ ¥² ¯°®²¨¢ À¬³² ­²­®©Á ±²° ²¥£¨¨ ²®£¤  ¨ ²®«¼ª® ²®£¤ , ª®£¤  À¯®±²-¢µ®¤­®©Á ¢»¨£°»¸ ¬¥­¼¸¥, ­¥¦¥«¨ ¢»¨£°»¸ À³ª®°¥­¨¢¸¥©±¿Á ±²° ²¥£¨¨, ²® ¥±²¼

u(x; "y + (1 ; ")x) > u(y; "y + (1 ; ")x):

(2:1)

‘²° ²¥£¨¿ x 2
½¢®«¾¶¨®­­® ³±²®©·¨¢ , ¥±«¨ ½²® ­¥° ¢¥­±²¢® ¢»¯®«­¥­® ¤«¿ «¾¡®© À¬³² ­²­®©Á ±²° ²¥£¨¨ y 6= x , ¯°¨ ³±«®¢¨¨, ·²® ¯®¯³«¿¶¨¿ ¬³² ­²®¢ ¤®±² ²®·­® ¬ « .

Ž¯°¥¤¥«¥­¨¥ 5.2.1. ‘²° ²¥£¨¿ x 2
­ §»¢ ¥²±¿ ½¢®«¾¶¨®­­® ³±²®©·¨¢®©, ¥±«¨ ¤«¿ «¾¡®© ±²° ²¥£¨¨ y 6= x ±³¹¥±²¢³¥² ² ª®© "y 2 (0; 1) , ·²® ­¥° ¢¥­±²¢® (2.1) ¢»¯®«­¥­® ¤«¿ «¾¡®£® " 2 (0; "y ) . „®±² ²®·­® ¯°®±²® ¯°®¢¥°¨²¼, ·²® “‘ ®¯²¨¬ «¼­  ¯°®²¨¢ ±¥¡¿ ± ¬®©: ¥±«¨ x ­¥ ®¯²¨¬ «¼­  ¯°®²¨¢ ±¥¡¿ ± ¬®©,

«¥¬¥­²» ½¢®«¾¶¨®­­®© ²¥®°¨¨ ¨£°

211

²® ±³¹¥±²¢³¥² ­¥ª®²®° ¿ ±²° ²¥£¨¿ y , ¤ ¾¹ ¿ ¡®«¼¸¨© ¢»¨£°»¸ ¯°®²¨¢ x . ‘«¥¤®¢ ²¥«¼­®, ¥±«¨ ¤®«¿ " ² ª®© À¬³² ­²­®©Á ±²° ²¥£¨¨ ¤®±² ²®·­® ¬ « , ²®, ¯® ­¥¯°¥°»¢­®±²¨ u , ®­  ¤ ±² ¡®«¼¸¥ ¯°®²¨¢ ±¬¥±¨ w = "y + (1 ; ")x , ­¥¦¥«¨ x ,   §­ ·¨², x | ­¥ “‘. °¨¢¥¤¥­­®¥ ¢»¸¥ ®¯°¥¤¥«¥­¨¥ ¬®¦­® ¯¥°¥´®°¬³«¨°®¢ ²¼ ±«¥¤³¾¹¨¬ ®¡° §®¬. Ž¯°¥¤¥«¥­¨¥ 5.2.1* x 2
­ §»¢ ¥²±¿ ½¢®«¾¶¨®­­® ³±²®©·¨¢®©, ¥±«¨ (x; x) ¿¢«¿¥²±¿ ° ¢­®¢¥±¨¥¬ ¯® ½¸³ ¨£°» ; ¨ u(y; y ) < u(x; y) ¤«¿ «¾¡®£® ­ ¨«³·¸¥£® ®²¢¥²  y ­  x ( y 6= x ).  ° ¨ ¬ ¥ °.  ±±¬®²°¨¬ ±«¥¤³¾¹³¾ ¨£°³, ª®²®°³¾ ¬®¦­® ¨­²¥°¯°¥²¨°®¢ ²¼ ¯®-° §­®¬³. …¥ (¨«¨ ¥¥ ¬®¤¨´¨ª ¶¨¨) ¨­®£¤  ­ §»¢ ¾² ¨£°®© À¶»¯«¿² Á, ¨«¨ À¿±²°¥¡-£®«³¡¼Á.

Ÿ ƒ   Ÿ (;2; ;2) (2; 0) ƒ

(0; 2) (1; 1) Ž¤­  ¨§ ¨­²¥°¯°¥² ¶¨© À¶»¯«¿²Á ² ª®¢ .  ¢±²°¥·³ ¤°³£ ¤°³£³ ­  ¬ ¸¨­ µ ¬· ²±¿ Àµ° ¡°¥¶»Á. …±«¨ ­¨ª²® ­¥ ±¢®° ·¨¢ ¥² (®¡  ¢¥¤³² ±¥¡¿ ª ª ¿±²°¥¡»), ²® ¯¥· «¼­»© ¨±µ®¤ ¯°¨¢®¤¨², ª ª ¬¨­¨¬³¬, ª ±¥°¼¥§­»¬ ²° ¢¬ ¬. …±«¨ ®¡  ±¢®° ·¨¢ ¾² (£®«³¡¨), ²®, µ®²¿ ½²® ­¥ ±²®«¼ ½´´¥ª²­®, ­®, ¯® ª° ©­¥© ¬¥°¥, ®¡  ¦¨¢» ¨ §¤®°®¢».  ª®­¥¶, ¥±«¨ ²®«¼ª® ®¤¨­ ±¢®° ·¨¢ ¥², ²® ®­ | ¯°®¨£° ¢¸¨© (­® §¤®°®¢),   ¤°³£®© | ¯®¡¥¤¨²¥«¼, ª®²®°»© À¯®«³· ¥² ¢±¥Á. „°³£ ¿ ¨­²¥°¯°¥² ¶¨¿ ±®±²®¨² ¢ ±«¥¤³¾¹¥¬. ˆ¤¥² ¡®°¼¡ , ±ª ¦¥¬, §  ­ ±«¥¤±²¢®, ®¶¥­¨¢ ¥¬®¥ ¢ 2 ¥¤¨­¨¶». …±«¨ ­¨ª²® ­¥ µ®·¥² ³±²³¯ ²¼ (®¡  ¿±²°¥¡ ), ²® ¡®°¼¡  ±¢¿§ ­  ± ±¥°¼¥§­»¬¨ § ²° ² ¬¨, ­ ¯°¨¬¥°, ±³¤¥¡­»¬¨ ¨§¤¥°¦ª ¬¨. …±«¨ ¯°¥²¥­¤¥­²» ¤®£®¢ °¨¢ ¾²±¿ (®¡  £®«³¡¨), ²® ®­¨ ¤¥«¿² ­ ±«¥¤±²¢® ¯®¯®« ¬.  ª®­¥¶, ¥±«¨ ®¤¨­ ³±²³¯ ¥², ²® ¢²®°®© À¯®«³· ¥² ¢±¥Á. ‚ ½²®© ¨£°¥ ²°¨ ° ¢­®¢¥±¨¿ ¯® ½¸³ | ( ¿; £ ), ( £; ¿ ) ¨ ±¬¥¸ ­­®¥ ° ¢­®¢¥±¨¥, ª®£¤  À¿Á ¨£° ¥²±¿ ± ¢¥°®¿²­®±²¼¾ 1/3.

212

ƒ« ¢  5

—²®¡» ¯®±¬®²°¥²¼ ­  “‘, ¯°¥¤¯®«®¦¨¬, ·²®  £¥­²» ¨§ ­¥ª®²®°®© ¯®¯³«¿¶¨¨ ±«³· ©­»¬ ®¡° §®¬ ¢§ ¨¬®¤¥©±²¢³¾² ¤°³£ ± ¤°³£®¬. °¥¤¯®«®¦¨¬, ·²®  £¥­²» ­¥ §­ ¾², ª ª³¾ ±²° ²¥£¨¾ ¨±¯®«¼§®¢ ²¼. Ž­¨ ¯°®±²® ­ ·¨­ ¾² ¨±¯®«¼§®¢ ²¼ ª ª³¾-²® ±²° ²¥£¨¾ ¨«¨ ¢¥°®¿²­®±²­³¾ ±¬¥±¼ ½²¨µ ±²° ²¥£¨©, ¨ ®­¨ ¯°¨±¯®± ¡«¨¢ ¾² ±¢®¨ ±²° ²¥£¨¨, ¨±¯®«¼§³¿ ¯°®¶¥±± ®¡³·¥­¨¿ ¬¥²®¤®¬ ¯°®¡ ¨ ®¸¨¡®ª. …±²¼ ¤¢  ±¯®±®¡  ¢¢¥±²¨ ¯°®¶¥±± ®¡³·¥­¨¿. ‹¨¡® ¬» ¬®¦¥¬ ¯°¥¤±² ¢¨²¼ ±¥¡¥, ·²® ­¥ª®²®° ¿ · ±²¼ p ( 0 < p < 1 ) ¯®¯³«¿¶¨¨ ¨±¯®«¼§³¥² ±²° ²¥£¨¾ À¿Á,   ¤°³£ ¿ 1 ; p ¨±¯®«¼§³¥² À£Á, ¨ ¯°¥¤¯®«®¦¨²¼, ·²®  £¥­²» ¯¥°¥ª«¾· ¾²±¿ ± ®¤­®© ±²° ²¥£¨¨ ­  ¤°³£³¾ ¢ § ¢¨±¨¬®±²¨ ®² °¥§³«¼² ²  ¨±¯®«¼§®¢ ­¨¿ ²®© ¨«¨ ¨­®© ±²° ²¥£¨¨. ‚²®°®© ¢ °¨ ­² | ¬» ¬®¦¥¬ ¯°¥¤¯®«®¦¨²¼, ·²® ª ¦¤»© ¨­¤¨¢¨¤ ¨±¯®«¼§³¥² ±¬¥¸ ­­³¾ ±²° ²¥£¨¾ ¨ ¯°¨±¯®± ¡«¨¢ ¥² ¢¥°®¿²­®±²­³¾ ±¬¥±¼ ­  ®±­®¢¥ ±¢®¥£® ®¯»²  ¨±¯®«¼§®¢ ­¨¿ ª ¦¤®© ·¨±²®© ±²° ²¥£¨¨ (²® ¥±²¼ ³¢¥«¨·¨¢ ¥² p , ¥±«¨ À¿Á ¤ ¥² ¡®«¼¸³¾ ®²¤ ·³, ¨ ­ ®¡®°®²).  §³¬¥¥²±¿, ² ª ¿ ° ¶¨®­ «¼­®±²¼ ­¥ ®²° ¦ ¥² ®±®§­ ­­®¥ ®¡³·¥­¨¥; ¢ ¡¨®«®£¨·¥±ª®¬ ±¬»±«¥ °¥·¼ ¨¤¥² ® ²®¬, ·²® ²¥, ª²® «³·¸¥ ¯°¨±¯®±®¡¨«±¿, ¡»±²°¥¥ ¢®±¯°®¨§¢®¤¿²±¿. Š ª ¡³¤¥² ° §¢¨¢ ²¼±¿ ¨±¯®«¼§®¢ ­¨¥ ½²¨µ ±²° ²¥£¨© ¢ ¯°®¶¥±±¥ ² ª®£® ®¡³·¥­¨¿?  ±±¬®²°¨¬ ®¦¨¤ ¥¬³¾ ®²¤ ·³ ®² ±²° ²¥£¨¨, ª®£¤  ¢¥°®¿²­®±²¼ ¢±²°¥²¨²¼ À¿Á ¥±²¼ p («¨¡® ¯®²®¬³, ·²® ² ª®¢  ¤®«¿ ¯®¯³«¿¶¨¨, ¨±¯®«¼§³¾¹ ¿ ½²³ ±²° ²¥£¨¾, «¨¡® ¯®²®¬³, ·²® ² ª®¢  ±°¥¤­¿¿ ¢¥°®¿²­®±²­ ¿ ±²° ²¥£¨¿, ¨±¯®«¼§³¥¬ ¿  £¥­² ¬¨ ¢ ¯®¯³«¿¶¨¨): E (¿) = p(;2) + (1 ; p)2 = 2 ; 4p; E (£) = p(0) + (1 ; p)1 = 1 ; p: ²® ®§­ · ¥², ·²® ¢»¨£°»¸ ®² À¡»²¨¿ ¿±²°¥¡®¬Á ¯°¥¢»¸ ¥² ² ª®¢®© ¤«¿ £®«³¡¿, ¥±«¨ 2 ; 4p > 1 ; p ¨«¨ p < 1=3;   ²®£¤  ¡®«¼¸¥¥ ·¨±«®  £¥­²®¢ ¡³¤¥² ±²°¥¬¨²¼±¿ ¨±¯®«¼§®¢ ²¼ À¿Á, ²® ¥±²¼ p ¡³¤¥² ° ±²¨. Ž¡° ²­®, ¤«¿ À£Á p > 1=3 ¨ ¡®«¼¸¥

«¥¬¥­²» ½¢®«¾¶¨®­­®© ²¥®°¨¨ ¨£°

213

 £¥­²®¢ ¡³¤¥² ±²°¥¬¨²¼±¿ ¨±¯®«¼§®¢ ²¼ À£Á,   §­ ·¨², p ¡³¤¥² ³¬¥­¼¸ ²¼±¿. ‘«¥¤®¢ ²¥«¼­®, p = 1=3 ®¯°¥¤¥«¿¥² “‘. ’ ª¨¬ ®¡° §®¬, ¢®§¬®¦­® ­¥±ª®«¼ª® ­¥®¦¨¤ ­­®, ½¢®«¾¶¨®­­®¥ ° §»£°»¢ ­¨¥ ½²®© ¨£°» À¯®¤¤¥°¦¨¢ ¥²Á ° ¢­®¢¥±¨¥ ¯® ½¸³ ¢ ±¬¥¸ ­­»µ ±²° ²¥£¨¿µ. Œ» ¢¥±¼¬  ­¥´®°¬ «¼­® ¨ ª° ²ª® ª®±­³«¨±¼ ¯®­¿²¨¿ ½¢®«¾¶¨®­­® ³±²®©·¨¢»µ ±²° ²¥£¨©. ®¤°®¡­®¥ ¨§«®¦¥­¨¥ ®±­®¢ ½¢®«¾¶¨®­­®© ²¥®°¨¨ ¨£° ¬®¦­® ­ ©²¨ ¢ ª­¨£¥ Weibull, 1995. ¢®«¾¶¨®­­ ¿ ²¥®°¨¿ ¨£° ¥¹¥ ¤®±² ²®·­® ¬®«®¤ , ·²®¡» ¬®¦­® ¡»«® ±³¤¨²¼ ®¡® ¢±¥µ ¥¥ ¢®§¬®¦­®±²¿µ. Œ­®£®·¨±«¥­­»¥ ¯°®¡«¥¬» ¦¤³² ±¢®¥£® °¥¸¥­¨¿. ®-¢¨¤¨¬®¬³, ­  ¤ ­­»© ¬®¬¥­² ¢°¥¬¥­¨ À½¢®«¾¶¨®­­®¥ ¬®¤¥«¨°®¢ ­¨¥Á ¥¹¥ ±«¨¸ª®¬ ±²¨«¨§®¢ ­®, ·²®¡» ­¥¯®±°¥¤±²¢¥­­® ¨±¯®«¼§®¢ ²¼±¿ ¢ ¯°¨«®¦¥­¨¿µ. Ž¤­ ª® ±«¥¤³¥² ®²¬¥²¨²¼, ·²® ¢® ¬­®£¨µ ¨­²¥°¥±­»µ ¨£° µ ±³¹¥±²¢³¾² ¬­®£®·¨±«¥­­»¥ ° ¢­®¢¥±¨¿ ¨ ½¢®«¾¶¨®­­ ¿ ²¥®°¨¿ ¨£° ¨£° ¥² ¢ ¦­³¾ °®«¼ ¢ ¯®­¨¬ ­¨¨ ²®£®, ª ª¨¥ ° ¢­®¢¥±¨¿ ¿¢«¿¾²±¿ §­ ·¨¬»¬¨ ¢ ° §«¨·­»µ ®¡±²®¿²¥«¼±²¢ µ. ‡   ¤   ·  . ®ª ¦¨²¥, ·²® ¢ ª ¦¤®© ±¨¬¬¥²°¨·­®© ¨£°¥, ¢ ª®²®°®© ³ ª ¦¤®£® ¨£°®ª  ¥±²¼ ¤¢¥ ·¨±²»¥ ±²° ²¥£¨¨,   ¢»¨£°»¸¨, ±®®²¢¥²±²¢³¾¹¨¥ ·¥²»°¥¬ ­ ¡®° ¬ ±²° ²¥£¨©, ° §«¨·­», ±³¹¥±²¢³¥² ±¬¥¸ ­­ ¿ ±²° ²¥£¨¿, ¿¢«¿¾¹ ¿±¿ ½¢®«¾¶¨®­­® ³±²®©·¨¢®©.

— ±²¼ II

Š®®¯¥° ²¨¢­»¥ ¨£°»

215

ƒ« ¢  6.

«¥¬¥­²» ²¥®°¨¨ ª®®¯¥° ²¨¢­»µ ¨£° ‚ ½²®© £« ¢¥ ¬» ¯°¨¢¥¤¥¬ ®±­®¢­»¥ ®¯°¥¤¥«¥­¨¿ ¨ ­¥ª®²®°»¥ °¥§³«¼² ²», ª ± ¾¹¨¥±¿ ²¥®°¨¨ ª®®¯¥° ²¨¢­»µ ¨£°,   § ²¥¬ (¢ ° §¤¥«¥ 6.4) ¯¥°¥·¨±«¨¬ ­¥ª®²®°»¥ ¨µ ¢®§¬®¦­»¥ ¯°¨«®¦¥­¨¿. ®±ª®«¼ª³ ­  ¯¥°¢»© ¢§£«¿¤ ¬®¦¥² ¯®ª § ²¼±¿, ·²® ±´¥°  ¯°¨«®¦¥­¨© ª®®¯¥° ²¨¢­»µ ¨£° ­¥ ±²®«¼ ®¡¸¨°­ , ª ª ±´¥°  ¯°¨«®¦¥­¨¿ ¡¥±ª® «¨¶¨®­­»µ (±²° ²¥£¨·¥±ª¨µ) ¨£°, ¬» ­¥ ¯°¨¢®¤¨¬ ¤¥² «¼­®¥ ®¯¨± ­¨¥ ª ª®£®-²® ®¤­®£® ¨«¨ ¤¢³µ ¤®±² ²®·­® ¯°®±²»µ ¯°¨¬¥°®¢, ª ª ¬» ®¡»·­® ¯®±²³¯ «¨ ° ­¥¥,  , ­ ¯°®²¨¢, ¯°¨¢®¤¨¬ ¢¥±¼¬  ®¡¸¨°­»© ±¯¨±®ª ¬­®£®·¨±«¥­­»µ § ¤ ·, ¯°¨ ¨±±«¥¤®¢ ­¨¨ ª®²®°»µ ¨±¯®«¼§³¾²±¿ ¬¥²®¤» ²¥®°¨¨ ª®®¯¥° ²¨¢­»µ ¨£°. ®«¥¥ ²®£®, ¢ £« ¢¥ 7 ¬» ¯®¤°®¡­® ®±² ­®¢¨¬±¿ ­  ° ±±¬®²°¥­¨¨ ®·¥­¼ ¸¨°®ª®£® ª« ±±  § ¤ · ° ±¯°¥¤¥«¥­¨¿ (§ ²° ², ¨§«¨¸ª®¢, ¯°¨¡»«¨), ²¥±­® ±¢¿§ ­­»µ ± ½ª®­®¬¨ª®© ¡« £®±®±²®¿­¨¿ ¨ ±®¶¨ «¼­»¬ ¢»¡®°®¬. Š ª ³¦¥ ®²¬¥· «®±¼ ¢® ¢¢¥¤¥­¨¨, ¢ ²¥®°¨¨ ª®®¯¥° ²¨¢­»µ ¨£° ®±­®¢­ ¿ ¥¤¨­¨¶   ­ «¨§  | ½²®, ª ª ¯° ¢¨«®, £°³¯¯  ³· ±²­¨ª®¢, ¨«¨ ª® «¨¶¨¿. …±«¨ ¨£°  ®¯°¥¤¥«¥­ , ²® · ±²¼¾ ½²®£® ®¯°¥¤¥«¥­¨¿ ¿¢«¿¥²±¿ ®¯¨± ­¨¥ ²®£®, ·²® ª ¦¤ ¿ ª® «¨¶¨¿ ¨£°®ª®¢ ¬®¦¥² ¯®«³·¨²¼ (·¥£® ®­  ¬®¦¥² ¤®±²¨·¼), ¡¥§ ³ª § ­¨¿ ­  ²®, ª ª ¨±µ®¤» ¨«¨ °¥§³«¼² ²» ¡³¤³² ¢«¨¿²¼ ­  217

218

ƒ« ¢  6

ª®­ª°¥²­³¾ ª® «¨¶¨¾. ’® ¥±²¼ §¤¥±¼ ­ ± ­¥ ¨­²¥°¥±³¥² ±²° ²¥£¨·¥±ª¨©  ±¯¥ª² ¨£°». 6.1. Š« ±±¨·¥±ª¨¥ ª®®¯¥° ²¨¢­»¥ ¨£°»

Š« ±±¨·¥±ª®© ª®®¯¥° ²¨¢­®© ¨£°®©, ¨«¨ ª®®¯¥° ²¨¢­®© ¨£°®© ± ¯®¡®·­»¬¨ ¯« ²¥¦ ¬¨, ­ §»¢ ¥²±¿ ¯ °  ; = (I; v ); ±®±²®¿¹ ¿ ¨§ ª®­¥·­®£® ¬­®¦¥±²¢  I = f1; 2; : : :; ng ¨ ¢¥¹¥±²¢¥­­®© ´³­ª¶¨¨ v : 2I ! IR; ®¯°¥¤¥«¥­­®© ­  ¬­®¦¥±²¢¥ ¢±¥µ ¯®¤¬­®¦¥±²¢ ¬­®¦¥±²¢  I , ¯°¨·¥¬ v (;) = 0: «¥¬¥­²» ¬­®¦¥±²¢  I ­ §»¢ ¾²±¿ ¨£°®ª ¬¨1 , ¯®¤¬­®¦¥±²¢  S  I | ª® «¨¶¨¿¬¨,   ± ¬  ´³­ª¶¨¿ v | µ ° ª²¥°¨±²¨·¥±ª®© ´³­ª¶¨¥© ¨£°» ; . ‘² ­¤ °²­ ¿ ¨­²¥°¯°¥² ¶¨¿ ±®±²®¨² ¢ ±«¥¤³¾¹¥¬. ˆ£°®ª¨ ¨§ ¬­®¦¥±²¢  I ¬®£³² ®¡º¥¤¨­¿²¼±¿ ¢ ° §«¨·­»¥ ª® «¨¶¨¨ ± ¶¥«¼¾ ² ª ±®£« ±®¢ ²¼ ±¢®¨ ¤¥©±²¢¨¿, ·²®¡» ¯®«³·¨²¼ ¬ ª±¨¬ «¼­»© ¢»¨£°»¸. …±«¨ ®¡° §³¥²±¿ ª® «¨¶¨¿ S; ²® ¨§¢¥±²­  ¢¥«¨·¨­  v (S ); ª®²®° ¿ ¨ ¨­²¥°¯°¥²¨°³¥²±¿ ª ª ²®² ¬ ª±¨¬ «¼­»© ±³¬¬ °­»© ¢»¨£°»¸ ¨£°®ª®¢ ¨§ S; ª®²®°»© ®­¨ ¬®£³² ®¡¥±¯¥·¨²¼ ±¥¡¥, ¤¥©±²¢³¿ ±®¢¬¥±²­®. °¨ ½²®¬ ¬»  ¡±²° £¨°³¥¬±¿ ®² ²®£®, ª ª¨¬ ®¡° §®¬ ¤®«¦­» ¤¥©±²¢®¢ ²¼ ¨£°®ª¨, ·²®¡» ®¡¥±¯¥·¨²¼ ±¥¡¥ ¢»¨£°»¸ v (S ); ²® ¥±²¼ ®²»±ª ­¨¥ ®¯²¨¬ «¼­»µ ¤¥©±²¢¨© ¨£°®ª®¢ ¨§ S «¥¦¨² ¢­¥ ¤ ­­®© ¬®¤¥«¨. Š°®¬¥ ²®£®, ¢ ®¯°¥¤¥«¥­¨¨ ª« ±±¨·¥±ª®© ª®®¯¥° ²¨¢­®© ¨£°» ¯°¥¤¯®« £ ¥²±¿, ·²® ¯®«¥§­®±²¨ ¨£°®ª®¢ ®¡« ¤ ¾² ±¢®©±²¢®¬ ²° ­±´¥° ¡¥«¼­®±²¨, ²® ¥±²¼ ¨§¬¥°¿¾²±¿ ¯® ®¤­®© ¸ª «¥ ¨ ¬®£³² ¯¥°¥¤ ¢ ²¼±¿ ®² ®¤­®£® ¨£°®ª  ¤°³£®¬³ ¡¥§ ¯®²¥°¼ ¨ ¡¥§ ®£° ­¨·¥­¨© (¯®¡®·­»¥ ¯« ²¥¦¨), ¯®½²®¬³ ² ª¨¥ ¨£°» ­ §»¢ ¾²±¿ ² ª¦¥ ¨£° ¬¨ ± ²° ­±´¥° ¡¥«¼­®© ¯®«¥§­®±²¼¾, ¨«¨, ª° ²ª®, ’-¨£° ¬¨. ‚ ² ª®¬ ±«³· ¥ ¨£°®ª ¬ ¨§ ª ¦¤®© ª® «¨¶¨¨ ¢ ¦­® ¬ ª±¨¬¨§¨°®¢ ²¼ ±³¬¬ °­»© ¢»¨£°»¸, ² ª ª ª ¢ ¤ «¼­¥©¸¥¬ ®­¨ ¬®£³² ° ±¯°¥¤¥«¿²¼ ¥£® ¬¥¦¤³ ±®¡®© ¯°®¨§¢®«¼­»¬ ®¡° §®¬. ¨¦¥, ¢ ° §¤¥«¥ 6.2 ¬» ° ±±¬®²°¨¬ ¨£°» ¡®«¥¥ ®¡¹¥© ¯°¨°®¤» | ¨£°» ¡¥§ ¯®¡®·­»µ ¯« ²¥¦¥©, ¨«¨ ² ª ­ §»¢ ¥¬»¥ ¨£°» ± ­¥²° ±´¥° ¡¥«¼­®© ¯®«¥§­®±²¼¾. Œ» ¢±¥£¤  ±·¨² ¥¬ n  2 . 1

«¥¬¥­²» ²¥®°¨¨ ª®®¯¥° ²¨¢­»µ ¨£°

219

‡ ¬¥²¨¬, ·²® µ ° ª²¥°¨±²¨·¥±ª ¿ ´³­ª¶¨¿ ¬®¦¥² ¨¬¥²¼ ± ¬®¥ ° §­®®¡° §­®¥ ¯°®¨±µ®¦¤¥­¨¥. ‚ · ±²­®±²¨, ®­  ¬®¦¥² ¢®§­¨ª ²¼ ¯°¨ ° ±±¬®²°¥­¨¨ ¡¥±ª® «¨¶¨®­­»µ ¨£°. € ¨¬¥­­®, ° ±±¬®²°¨¬ ¡¥±ª® «¨¶¨®­­³¾ ¨£°³ ; = fI; fZigi2I ; fuigi2I g (§¤¥±¼ ¬» ®²±²³¯ ¥¬ ®² ­ ¸¥£® ²° ¤¨¶¨®­­®£® ®¡®§­ ·¥­¨¿ ¬­®¦¥±²¢ ±²° ²¥£¨© ·¥°¥§ Si , ¯®±ª®«¼ª³ ¤ «¥¥ ¬» ®¡®§­ · ¥¬ ¡³ª¢®© S ª® «¨¶¨¨). °¥¤¯®«®¦¨¬, ·²® ¨£°®ª¨, ±®±² ¢«¿¾¹¨¥ ª® «¨¶¨¾ S  I , ®¡º¥¤¨­¿¾² ±¢®¨ ³±¨«¨¿ ¢ ®¡¹¨µ ¨­²¥°¥± µ. Š ª®© ­ ¨¡®«¼¸¨© ±³¬¬ °­»© ¢»¨£°»¸ ¬®¦¥² ®¡¥±¯¥·¨²¼ ±¥¡¥ ½²  ª® «¨¶¨¿, ­¥§ ¢¨±¨¬® ®² ²®£®, ª ª¨¬ ®¡° §®¬ ¤¥©±²¢³¾² ®±² ¢¸¨¥±¿ ¨£°®ª¨, ²® ¥±²¼ ¨£°®ª¨ ¨§ I n S ? Ž¡º¥¤¨­¥­¨¥ ¨£°®ª®¢ ¢ ®¤­³ ª® «¨¶¨¾ ®§­ · ¥², ¯® ±³²¨ ¤¥« , ·²® ®­¨ ¯°¥¢° ¹ ¾²±¿ ¢ ¥¤¨­®£® ¨£°®ª , ¤«¿ ª®²®°®£® ¬» ±®µ° ­¨¬ ²® ¦¥ ± ¬®¥ ®¡®§­ ·¥­¨¥ S . ’®, ·²® ®­¨ ¤¥©±²¢³¾² ±®¢¬¥±²­®, ®§­ · ¥², ·²® ±²° ²¥£¨¿¬¨ ½²®£® ¨£°®ª  ¿¢«¿¾²±¿ ¢±¥¢®§¬®¦­»¥ ª®¬¡¨­ ¶¨¨ ±²° ²¥£¨©, ±®±² ¢«¿¾¹¨µ ½²³ ª® «¨¶¨¾ ¨£°®ª®¢, Q ²® ¥±²¼ ¯°®±²° ­±²¢® ±²° ²¥£¨© ZS ¨£°®ª  S ¥±²¼ ZS P = i2S Zi . ‘«¥¤®¢ ²¥«¼­®, ¢»¨£°»¸ ¨£°®ª  S ¥±²¼ US (z) = i2S ui (z) .  ± ¨­²¥°¥±³¥² ²®² ­ ¨¡®«¼¸¨© ¢»¨£°»¸, ª®²®°»© ¬®¦¥² ®¡¥±¯¥·¨²¼ ±¥¡¥ ½²  ª® «¨¶¨¿. Ÿ±­®, ·²® ¢ µ³¤¸¥¬ ¤«¿ ¨£°®ª  S ±«³· ¥ ®±² ¢¸¨¥±¿ ¨£°®ª¨ ¬®£³² ²®¦¥ ®¡º¥¤¨­¨²¼±¿ ¢ ª® «¨¶¨¾ I n S ± ¤¨ ¬¥²° «¼­® ¯°®²¨¢®¯®«®¦­»¬¨ ¨­²¥°¥± ¬¨, ²® ¥±²¼ UI nS (z ) = ;US (z ) . ‚ °¥§³«¼² ²¥ ¢®¯°®± ® ­ µ®¦¤¥­¨¨ ­ ¨¡®«¼¸¥£® £ ° ­²¨°®¢ ­­®£® ¢»¨£°»¸  ¨£°®ª  S ±¢®¤¨²±¿ ª ­ µ®¦¤¥­¨¾ §­ ·¥­¨¿ (¥±«¨ ² ª®¢®¥ ±³¹¥±²¢³¥²)  ­² £®­¨±²¨·¥±ª®© ¨£°» ;S = fZS ; ZI nS ; US g , ¨«¨ max min US (zS ; zI nS ); z z S

I nS

£¤¥ ZS , ZI nS | ¬­®¦¥±²¢  ±²° ²¥£¨© ¨£°®ª  S ¨ I n S ±®®²¢¥²±²¢¥­­®,   US | ´³­ª¶¨¿ ¢»¨£°»¸¥© ¨£°®ª  S (±¬.  §¤¥« 1.8 ƒ« ¢» 1). ’ ª ®¯°¥¤¥«¥­­»© ¢»¨£°»¸ ¨£°®ª  S § ¢¨±¨² ¢ ª®­¥·­®¬ ±·¥²¥ ²®«¼ª® ®² ª® «¨¶¨¨ S (¨, ª®­¥·­®, ®² ± ¬®© ¨±µ®¤­®© ¡¥±ª® «¨¶¨®­­®© ¨£°» ; ), ¿¢«¿¿±¼ ¥¥ ´³­ª¶¨¥©. ²  ´³­ª¶¨¿ ¨ ¥±²¼ µ ° ª²¥°¨±²¨·¥±ª ¿ ´³­ª¶¨¿

220

ƒ« ¢  6

¡¥±ª® «¨¶¨®­­®© ¨£°» ; , ª®²®° ¿ ®¡®§­ · ¥²±¿ ·¥°¥§ v; . ¥°¢®­ · «¼­® ¨¬¥­­® ² ª ®¯°¥¤¥«¿¥¬ ¿ µ ° ª²¥°¨±²¨·¥±ª ¿ ´³­ª¶¨¿ ¨£°» ¯°¥¤±² ¢«¿«  ¤«¿ ¨±±«¥¤®¢ ²¥«¥© ®±®¡»© ¨­²¥°¥±, ®¤­ ª® ¯® ¬¥°¥ ° §¢¨²¨¿ ²¥®°¨¨ ª®®¯¥° ²¨¢­»µ ¨£° ¢®¯°®± ® ²®¬, ª ª¨¬ ®¡° §®¬ ¢®§­¨ª ¥² µ ° ª²¥°¨±²¨·¥±ª ¿ ´³­ª¶¨¿, ®²®¸¥« ¢ ²¥­¼ (µ®²¿ ®­, ¡¥§³±«®¢­®, ¯°¥¤±² ¢«¿¥² ± ¬®±²®¿²¥«¼­»© ¨­²¥°¥± ¯°¨ ° ±±¬®²°¥­¨¨ ª®­ª°¥²­»µ ¬®¤¥«¥©, ª®£¤  ¢®§­¨ª ¥² ­¥®¡µ®¤¨¬®±²¼ ¨±±«¥¤®¢ ²¼ ±¯¥¶¨´¨ª³ ¬®¤¥«¨°³¥¬®© ±¨²³ ¶¨¨), ¨, ª ª ¬» ³¦¥ ®²¬¥· «¨, ±²° ²¥£¨·¥±ª¨©  ±¯¥ª² ®±² ¥²±¿ ¢­¥ À±´¥°» ¨­²¥°¥±®¢Á ²¥®°¨¨ ª®®¯¥° ²¨¢­»µ ¨£°. „ «¥¥ ¬» ¡³¤¥¬ · ±²® £®¢®°¨²¼ ®¡ ¨£°¥ v ¡¥§ ³ª § ­¨¿ ¬­®¦¥±²¢  ¨£°®ª®¢ I . ‚ ±«³· ¥ ­¥®¡µ®¤¨¬®±²¨ ¬» ¡³¤¥¬ ®¡®§­ · ²¼ ¬­®¦¥±²¢® ¨£°®ª®¢ ¢ ¨£°¥ ± µ ° ª²¥°¨±²¨·¥±ª®© ´³­ª¶¨¥© v ·¥°¥§ I v . ‚ § ¢¨±¨¬®±²¨ ®² ±¢®©±²¢, ­ ª« ¤»¢ ¥¬»µ ­  µ ° ª²¥°¨±²¨·¥±ª³¾ ´³­ª¶¨¾, ° ±±¬ ²°¨¢ ¾²±¿ ° §«¨·­»¥ ª« ±±» ª®®¯¥° ²¨¢­»µ ¨£° ± ¯®¡®·­»¬¨ ¯« ²¥¦ ¬¨. ’ ª, ¨£°  ­ §»¢ ¥²±¿ ­¥±³¹¥±²¢¥­­®©, ¥±«¨ X v (S ) = v(fig) ¤«¿ «¾¡®© ª® «¨¶¨¨ S  I: i2S

‚ ¤ «¼­¥©¸¥¬ ¬» ¡³¤¥¬ ¨±¯®«¼§®¢ ²¼ ±®ª° ¹¥­­³¾ § ¯¨±¼

v (i) ¨ v(S [i) ¢¬¥±²® v (fig) ¨ v (S [fig) ¨ ². ¤. ±®®²¢¥²±²¢¥­­®. ˆ£°  v ­ §»¢ ¥²±¿ ±³¯¥° ¤¤¨²¨¢­®©, ¥±«¨ ¤«¿ «¾¡»µ ª® «¨¶¨© S ¨ T , ² ª¨µ ·²® S \ T = ; , ¢»¯®«­¿¥²±¿ ­¥° ¢¥­±²¢® v (S [ T )  v (S ) + v (T ): ‡ ¬¥²¨¬, ·²® ®¯°¥¤¥«¥­­ ¿ ¢»¸¥ µ ° ª²¥°¨±²¨·¥±ª ¿ ´³­ª¶¨¿ ¡¥±ª® «¨¶¨®­­®© ¨£°» ®¡« ¤ ¥² ±¢®©±²¢®¬ ±³¯¥° ¤¤¨²¨¢­®±²¨, ·²® ¡¥§ ²°³¤  ¬®¦­® ¯°®¢¥°¨²¼ ¨±µ®¤¿ ¨§ ±¢®©±²¢ ®¯¥° ¶¨© ¢§¿²¨¿ ¬ ª±¨¬³¬  ¨ ¬¨­¨¬³¬ . ˆ£°  ­ §»¢ ¥²±¿ ¢»¯³ª«®©, ¥±«¨ ¤«¿ «¾¡»µ ª® «¨¶¨© S ¨ T ¢»¯®«­¿¥²±¿ ­¥° ¢¥­±²¢® v (S [ T ) + v(S \ T )  v (S ) + v (T ):

«¥¬¥­²» ²¥®°¨¨ ª®®¯¥° ²¨¢­»µ ¨£°

221

‡ ¬¥²¨¬, ·²® ¢»¯³ª« ¿ ¨£°  ¿¢«¿¥²±¿ ±³¯¥° ¤¤¨²¨¢­®©, ² ª ª ª v (;) = 0 . ˆ£°  ­ §»¢ ¥²±¿ ¯°®±²®©, ¥±«¨ µ ° ª²¥°¨±²¨·¥±ª ¿ ´³­ª¶¨¿ v ¯°¨­¨¬ ¥² ²®«¼ª® ¤¢  §­ ·¥­¨¿: 0 ¨ 1 . ³±²¼ IR I ®¡®§­ · ¥² jI j -¬¥°­®¥ ½¢ª«¨¤®¢® ¯°®±²° ­±²¢®, ª®®°¤¨­ ²» ª®²®°®£® § ¨­¤¥ª±¨°®¢ ­» ½«¥¬¥­² ¬¨ ¨§ ¬­®¦¥±²¢  I . — ±²® ¡»¢ ¥² ³¤®¡­® ° ±±¬ ²°¨¢ ²¼ ¢¥ª²®° x 2 IRI ª ª ­¥±³¹¥±²¢³¾¹³¾ ¨£°³, ®¯°¥¤¥«¥­­³¾ ´®°¬³«®©

x(S ) =

X i2S

xi ¤«¿ ¢±¥µ S  I:

„¥«¥¦®¬ ¢ ¨£°¥ v ­ §»¢ ¥²±¿ ¢¥ª²®° x 2 IR I , ³¤®¢«¥²¢®°¿¾¹¨© ³±«®¢¨¿¬ £°³¯¯®¢®© ¨ ¨­¤¨¢¨¤³ «¼­®© ° ¶¨®­ «¼­®±²¨, ²® ¥±²¼: 1) x(I ) = v (I ) ¨ 2) xi  v (i) ¤«¿ ¢±¥µ i 2 I . „ «¥¥ ¬» ¢¢¥¤¥¬ ±«¥¤³¾¹¨¥ ®¡®§­ ·¥­¨¿: IRS = fx 2 IRn : xi = 0 ¤«¿ i 2= S g , S  I ; X (v) = fx 2 IRI : x(I ) = v (I ); xi  v (i) ¤«¿ «¾¡®£® i 2 I g | ¬­®¦¥±²¢® ¤¥«¥¦¥©2 ¢ ¨£°¥ v ; X (v ) = fx 2 IRI : x(I ) = v(I )g | ¬­®¦¥±²¢® ° ±¯°¥¤¥«¥­¨© (¯°¥¤-¤¥«¥¦¥©3 ) ¢ ¨£°¥ v . …±«¨ G | ­¥ª®²®°»© ª« ±± ª®®¯¥° ²¨¢­»µ ¨£° (¢®®¡¹¥ £®¢®°¿, ­¥ ®¡¿§ ²¥«¼­® ± ¯®¡®·­»¬¨ ¯« ²¥¦ ¬¨), ²® ¯®¤ °¥¸¥­¨¥¬ ­  G ®¡»·­® ¯®­¨¬ ¥²±¿ ®²®¡° ¦¥­¨¥ F (®¤­®§­ ·­®¥ ¨«¨, ¡»²¼ ¬®¦¥², ¬­®£®§­ ·­®¥), ±² ¢¿¹¥¥ ¢ ±®®²¢¥²±²¢¨¥ ª ¦¤®© ¨£°¥ v 2 G ­¥ª®²®°»© ¢¥ª²®° ¨«¨ ­¥¯³±²®¥ ¬­®¦¥±²¢® F (v ) ¢ ¯°®±²° ­±²¢¥ IR I , ª®²®°®¥ ­ §»¢ ¥²±¿ °¥¸¥­¨¥¬ ¨«¨ §­ ·¥­¨¥¬ (¢ ±«³· ¥ ®¤­®§­ ·­®±²¨) ¨£°» v .  §³¬¥¥²±¿, ®²®¡° ¦¥­¨¥ F ¤®«¦­® ®¡« ¤ ²¼ ­¥ª®²®°»¬¨ ®¯°¥¤¥«¥­­»¬¨ ±¢®©±²¢ ¬¨, ·²®¡» À¨¬¥²¼ ¯° ¢®Á ­ §»¢ ²¼±¿ °¥¸¥­¨¥¬. Š®¬¯®­¥­² ¬ Fi (v ) ¢¥ª²®°  F (v ) (¢ ±«³· ¥ ®¤­®§­ ·­®±²¨ 2 3

Imputation. Preimputation.

222

ƒ« ¢  6

°¥¸¥­¨¿) ¨«¨ ª®¬¯®­¥­² ¬ ¢¥ª²®°  x 2 F (v ) (¢ ±«³· ¥ ¬­®£®§­ ·­®±²¨) ¬®¦­® ¤ ¢ ²¼ ° §«¨·­»¥ ¨­²¥°¯°¥² ¶¨¨. ’ ª, ­ ¯°¨¬¥°, ¬®¦­® ±·¨² ²¼, ·²® Fi (v ) ¥±²¼  ¯°¨®°­ ¿ ®¶¥­ª  ¨£°®ª®¬ i ¢»£®¤­®±²¨ ¤«¿ ­¥£® ¨£°» v . Œ®¦­® ±·¨² ²¼ Fi (v ) ¢ ­¥ª®²®°®¬ ±¬»±«¥ ±°¥¤­¨¬ ¢»¨£°»¸¥¬ ¨£°®ª  ¢ ¨£°¥. Œ®¦­® ² ª¦¥ ¨­²¥°¯°¥²¨°®¢ ²¼ Fi (v ) ª ª À±¯° ¢¥¤«¨¢³¾Á ¤®«¾ ¨£°®ª  i ¢ ¨£°¥ v . ‚»¡¨° ¿ ²³ ¨«¨ ¨­³¾ ¨­²¥°¯°¥² ¶¨¾ ¨ ´®°¬ «¨§³¿ ¨­²³¨²¨¢­»¥ ¯°¥¤±² ¢«¥­¨¿ ® ²¥µ ±¢®©±²¢ µ, ª®²®°»¬¨ ¤®«¦­® ®¡« ¤ ²¼ °¥¸¥­¨¥, ²® ¥±²¼ ¢¢®¤¿ ²¥ ¨«¨ ¨­»¥  ª±¨®¬», ¬®¦­® ¯®«³· ²¼ ° §«¨·­»¥ ®²®¡° ¦¥­¨¿ F . Œ» ¯°¨¢¥¤¥¬ ®¯°¥¤¥«¥­¨¥ °¿¤  ­ ¨¡®«¥¥ ¨§¢¥±²­»µ °¥¸¥­¨©. ˆ±²®°¨·¥±ª¨ ¯¥°¢»¬ ¨ ®¤­¨¬ ¨§ ­ ¨¡®«¥¥ ¢ ¦­»µ ¯®­¿²¨© °¥¸¥­¨¿ ¿¢«¿¥²±¿ °¥¸¥­¨¥, ¢¢¥¤¥­­®¥ ‹. ˜¥¯«¨ ¢ ¥£® ª« ±±¨·¥±ª®© ° ¡®²¥ Shapley, 1953. ˜¥¯«¨ ° ±±¬ ²°¨¢ « Fi (v ) ª ª  ¯°¨®°­³¾ ®¶¥­ª³ ¨£°®ª®¬ i ¢»£®¤­®±²¨ ¤«¿ ­¥£® ¨£°» v . Ž­ ¯°¥¤«®¦¨« ²°¨  ª±¨®¬», ª®²®°»¬ ¤®«¦­  ³¤®¢«¥²¢®°¿²¼ ´³­ª¶¨¿ F . €1 (±¨¬¬¥²°¨·­®±²¼). …±«¨  | ² ª ¿ ¯¥°¥±² ­®¢ª  ¬­®¦¥±²¢  I v , ·²® ¤«¿ «¾¡®© ª® «¨¶¨¨ S v (S ) = v (S ) , ²® Fi (v ) = Fi (v ) ¤«¿ «¾¡®£® i 2 I v . €2 (­®±¨²¥«¼). …±«¨ ª® «¨¶¨¿ K | ­®±¨²¥«¼ ¨£°» v , ²® P ¥±²¼F (vv)(S=) v=(Kv) (.S \ K ) ¤«¿ «¾¡®© ª® «¨¶¨¨ S , ²® i2K i €3 («¨­¥©­®±²¼). …±«¨ ¤«¿ ¢±¥µ S w(S ) = v (S ) + u(S ) , ²® ¤«¿ ¢±¥µ i Fi (w) = Fi (v ) + Fi (u): ‘¬»±« ¯¥°¢®©  ª±¨®¬» § ª«¾· ¥²±¿ ¢ ²®¬, ·²® ®¶¥­ª  ¨£°®ª®¬ ¨£°» ­¥ ¤®«¦­  § ¢¨±¥²¼ ®² ²®£®, ª ª¨¬ ¨­¤¥ª±®¬ ®­ ®¡®§­ ·¥­. ‚²®° ¿  ª±¨®¬  ½ª¢¨¢ «¥­²­  ®¤­®¢°¥¬¥­­®¬³ ¢»¯®«­¥­¨¾ ¤¢³µ ±«¥¤³¾¹¨µ  ª±¨®¬. €2' …±«¨ ¨£°®ª j ¢ ¨£°¥ v ² ª®¢, ·²® v (S [ j ) = v (S ) ¤«¿ «¾¡®© ª® «¨¶¨¨ S , ²® Fj (v ) = 0 .

«¥¬¥­²» ²¥®°¨¨ ª®®¯¥° ²¨¢­»µ ¨£°

€2"

P F (v ) = v (I ) . i2I i

223

®±«¥¤­¾¾  ª±¨®¬³ ­ §»¢ ¾² ³±«®¢¨¥¬ £°³¯¯®¢®© ° ¶¨®­ «¼­®±²¨, ¨«¨  °¥²® ®¯²¨¬ «¼­®±²¨, ¨«¨ ² ª¦¥ ½´´¥ª²¨¢­®±²¨. ˆ£°®ª j ¨§  ª±¨®¬» €2' ­ §»¢ ¥²±¿ À¡®«¢ ­®¬Á ¢ ¨£°¥ v . ²®² ¨£°®ª ­¨·¥£® ­¥ ¯®«³· ¥² ± ¬, ² ª ª ª v(j ) = v (;) = 0; ¨ ­¨ª ª ­¥ ¢«¨¿¥² ­  ¢»¨£°»¸ ª® «¨¶¨¨, ª ª®²®°®© ¯°¨±®¥¤¨­¿¥²±¿. ’ ª¨¬ ®¡° §®¬,  ª±¨®¬  €2' ²°¥¡³¥², ·²®¡» ¨£°®ª, ¿¢«¿¾¹¨©±¿ ¡®«¢ ­®¬, ­¨·¥£® ­¥ ¯®«³· « ¯°¨ ° ±¯°¥¤¥«¥­¨¨ ¢»¨£°»¸¥©. €ª±¨®¬  €2" ¯°®±²® ®§­ · ¥², ·²® ¨£°®ª¨ ¤¥«¿² ¬¥¦¤³ ±®¡®© ¢¥«¨·¨­³ v (I ) . ˆ¬¥­­® ½²³  ª±¨®¬³ ¬» ¡³¤¥¬ ¢ ¤ «¼­¥©¸¥¬ ­ §»¢ ²¼  ª±¨®¬®© ½´´¥ª²¨¢­®±²¨. ‡ ¬¥²¨¬, ·²® ¤«¿ ±³¯¥° ¤¤¨²¨¢­»µ ¨£° v (I ) ¥±²¼ ¬ ª±¨¬³¬ ²®£®, ·²® ¨£°®ª¨ ¬®£³² ¯®«³·¨²¼ ±³¬¬ °­®. €ª±¨®¬  €3 ®§­ · ¥², ·²® ®¶¥­ª  ¨£°», ¿¢«¿¾¹¥©±¿ ±³¬¬®© ¤¢³µ ¨£°, ¥±²¼ ±³¬¬  ®¶¥­®ª ª ¦¤®© ¨§ ¨£°-±« £ ¥¬»µ. H ¯°¨¬¥°, ° ±±¬®²°¨¬ ±«¥¤³¾¹³¾ ¢¥±¼¬  ¯°®±²³¾ ¨£°³ ²°¥µ «¨¶ I = f1; 2; 3g : v(1) = 0; v(2) = v(3) = 1; v(12) = v(13) = 1; v(23) = 3; v(123) = 3: ‚ ½²®© ¨£°¥ ­®±¨²¥«¼ | ½²® ª® «¨¶¨¿ f2; 3g , ¨£°®ª 1 | ¡®«¢ ­. ¥°¥±² ­®¢ª , ¬¥­¿¾¹ ¿ ¬¥±² ¬¨ ¨£°®ª®¢ 2 ¨ 3, ±®µ° ­¿¥² ¨£°³ ¡¥§ ¨§¬¥­¥­¨¿. ®½²®¬³, ¥±«¨ §­ ·¥­¨¥ ˜¥¯«¨ (². ¥. ´³­ª¶¨¿, ³¤®¢«¥²¢®°¿¾¹ ¿ ¯°¨¢¥¤¥­­®© ±¨±²¥¬¥  ª±¨®¬) ±³¹¥±²¢³¥², ²® ¨£°®ª 1 (¢ ±¨«³ A2') ¤®«¦¥­ ¯®«³·¨²¼ 0, ¨£°®ª¨ 2 ¨ 3 (¢ ±¨«³ €1) | ¯®°®¢­³,   ±³¬¬ °­® (¢ ±¨«³ €2") ®­¨ ¤®«¦­» ¯®«³·¨²¼ 3, ². ¥. ¨£°®ª¨ 2 ¨ 3 ¤®«¦­» ¯®«³·¨²¼ ¯® 1.5. ˜¥¯«¨ ¤®ª § « (¤®ª § ²¥«¼±²¢® ¯°¨¢®¤¨²±¿ ¢ ° §¤¥«¥ 6.5), ·²® ½²¨¬ ²°¥¬  ª±¨®¬ ¬ ³¤®¢«¥²¢®°¿¥² ¥¤¨­±²¢¥­­ ¿ ´³­ª¶¨¿  , ­ §»¢ ¥¬ ¿ §­ ·¥­¨¥¬ (¨«¨ ´³­ª¶¨¥©, ¨«¨ ¢¥ª²®°®¬)

224

ƒ« ¢  6

˜¥¯«¨, ®¯°¥¤¥«¿¥²±¿ ±«¥¤³¾¹¨¬ ®¡° §®¬: i (v ) =

X s!(n ; s ; 1)! [v (S [ i) ; v (S )];

S :i62S

n!

£¤¥ s = jS j | ·¨±«® ¨£°®ª®¢ ¢ ª® «¨¶¨¨ S . ‚ ¤ «¼­¥©¸¥¬ §­ ·¥­¨¥ ˜¥¯«¨ ¢±¥£¤  ¡³¤¥² ®¡®§­ · ²¼±¿ ± ¯®¬®¹¼¾  . ”³­ª¶¨¾  ¬®¦­® ¨­²¥°¯°¥²¨°®¢ ²¼ ­¥ ²®«¼ª® ª ª ®¶¥­ª³ ¨£°», ­® ¨ ª ª ´³­ª¶¨¾, § ¤ ¾¹³¾ ±°¥¤­¨© ¢»¨£°»¸ ¨£°®ª®¢ ¯°¨ ±«¥¤³¾¹¥© ¢¥°®¿²­®±²­®© ±µ¥¬¥.  ¢­®¢¥°®¿²­® ¢»¡¨° ¥¬ «¾¡®£® ¨§ ¨£°®ª®¢. „ «¥¥ ° ¢­®¢¥°®¿²­® ¢»¡¨° ¥¬ «¾¡®£® ¨§ ®±² ¢¸¨µ±¿ ¨£°®ª®¢ ¨ ¯°¨±®¥¤¨­¿¥¬ ª ³¦¥ ¢»¡° ­­®¬³. °®¤®«¦ ¥¬ ½²®² ¯°®¶¥±±, ¯®ª  ­¥ ¨±·¥°¯ ¥¬ ¢±¥ ¬­®¦¥±²¢® I . °¨ ½²®¬, ¥±«¨ ¨£°®ª i ¡»« ¢»¡° ­ ¨¬¥­­® ¯®±«¥ ²®£® ¬®¬¥­² , ª®£¤  ¡»«  ³¦¥ ®¡° §®¢ ­  ª® «¨¶¨¿ S , ²® ®­ ¯®«³· ¥² ¢»¨£°»¸, ° ¢­»© ¢¥«¨·¨­¥, ­  ª®²®°³¾ ¢®§° ±² ¥² ¢»¨£°»¸ ª® «¨¶¨¨ ¨§ ¢»¡° ­­»µ ¨£°®ª®¢ ¢ °¥§³«¼² ²¥ ¥£® ¯°¨±®¥¤¨­¥­¨¿, ²® ¥±²¼ v (S [ i) ; v (S ) . ‡ ¬¥· ²¥«¼­®¥ ±¢®©±²¢® §­ ·¥­¨¿ ˜¥¯«¨, ­  ª®²®°®¬ ®±­®¢ ­ ¶¥«»© °¿¤ ±³¹¥±²¢¥­­»µ ®¡®¡¹¥­¨© §­ ·¥­¨¿ ˜¥¯«¨ ¨, ¢ · ±²­®±²¨, ®¯°¥¤¥«¥­¨¥ ¬­®£®§­ ·­»µ  ­ «®£®¢ §­ ·¥­¨¿ ˜¥¯«¨ (±¬. Pechersky, Sobolev, 1995), ¤ ¥² ±«¥¤³¾¹¥¥ ¯°¥¤«®¦¥­¨¥.

°¥¤«®¦¥­¨¥ 6.1.1. (Keane, 1969). ‡­ ·¥­¨¥ ˜¥¯«¨ ±®¢¯ ¤ ¥² ± °¥¸¥­¨¥¬ § ¤ ·¨ ¬¨­¨¬¨§ ¶¨¨ ´³­ª¶¨®­ « 

Q(x; v ) =

X

S 6=I;;

(s ; 1)!(n ; s ; 1)!(v (S ) ; x(S ))2

­  ¬­®¦¥±²¢¥ ° ±¯°¥¤¥«¥­¨© X (v ) .

„®ª § ²¥«¼±²¢® ½²®£® ¯°¥¤«®¦¥­¨¿ ¬®¦­® ­ ©²¨ ¢ ª­¨£¥ ¥·¥°±ª¨©, ‘®¡®«¥¢, 1983. °¨ ¤®ª § ²¥«¼±²¢¥ ¨±¯®«¼§³¥²±¿ ¬¥²®¤ ¬­®¦¨²¥«¥© ‹ £° ­¦ , ±²°®£ ¿ ¢»¯³ª«®±²¼ ´³­ª¶¨¨ Q ¨ ¯°®¢¥°¿¥²±¿ ¢»¯®«­¥­¨¥ ¢±¥µ  ª±¨®¬ ˜¥¯«¨. ‚ · ±²­®±²¨,

«¥¬¥­²» ²¥®°¨¨ ª®®¯¥° ²¨¢­»µ ¨£°

225

 ª±¨®¬  ¡®«¢ ­  ®¤­®§­ ·­® ®¯°¥¤¥«¿¥² ª®½´´¨¶¨¥­²» (s ; 1)!(n ; s ; 1)! . ‚ ª ·¥±²¢¥ °¥¸¥­¨¿ ¨±¯®«¼§³¾²±¿ ² ª¦¥ ¨ ¤°³£¨¥ ´³­ª¶¨¨ ¢¨¤  X Fi(v ) =

(s; n)[v (S [ i) ; v (S )]; S :i=2S

£¤¥ (s; n) | ­¥ª®²®°»¥ ª®½´´¨¶¨¥­²». ‚ · ±²­®±²¨, ¥±«¨

(s; n) = 1=2n , ²® ¯®«³· ¥²±¿ ² ª ­ §»¢ ¥¬»© ¢¥ª²®°  ­§ ´  (Banzhaf, 1965; Owen, 1975). Ž¤­ ª® ±°¥¤¨ ¢±¥µ ½²¨µ ´³­ª¶¨© §­ ·¥­¨¥ ˜¥¯«¨, ¡¥§³±«®¢­®, § ±«³¦¨¢ ¥² ­ ¨¡®«¼¸¥£® ¢­¨¬ ­¨¿, ² ª ª ª ®¡« ¤ ¥² ¬­®£¨¬¨ ¢ ¦­»¬¨ ±¢®©±²¢ ¬¨. ’ ª, ­ ¯°¨¬¥°, §­ ·¥­¨¥ ˜¥¯«¨ ®¡« ¤ ¥² ±¢®©±²¢®¬ (±¨«¼­®©) ª®¢ °¨ ­²­®±²¨, ²® ¥±²¼ ¥±«¨ ¤¢¥ ¨£°» v ¨ v 0 ² ª®¢», ·²®

v0(S ) = cv(S ) + a(S ) ¤«¿ ­¥ª®²®°»µ c > 0 ¨ a 2 IRn ; ²®

i (v 0) = ci(v ) + ai : ‡ ¬¥²¨¬ ² ª¦¥, ·²® ®·¥­¼ ¨­²¥°¥±­»© ª« ±± °¥¸¥­¨© ¯°¥¤±² ¢«¿¥² ±¥¬¥©±²¢® §­ ·¥­¨© ­ ¨¬¥­¼¸¨µ ª¢ ¤° ²®¢, ¯®«³· ¾¹¨µ±¿ ¯°¨ ¬¨­¨¬¨§ ¶¨¨ ´³­ª¶¨©,  ­ «®£¨·­»µ ¯°¨¢¥¤¥­­®© ¢»¸¥ ´³­ª¶¨¨ Q , ­® ± ¯°®¨§¢®«¼­»¬¨ ª®½´´¨¶¨¥­² ¬¨ wn;s  0 (±¬., ­ ¯°¨¬¥°, Ruiz, Valenciano, Zurzuelo, 1998). °¥¦¤¥ ·¥¬ ®¡° ²¨²¼±¿ ª ­¥ª®²®°»¬ ¤°³£¨¬ ¯®­¿²¨¿¬ °¥¸¥­¨© ª®®¯¥° ²¨¢­»µ ¨£°, ­¥®¡µ®¤¨¬® ±¤¥« ²¼ ­¥¡®«¼¸®¥ ®²±²³¯«¥­¨¥. °¨ ¨±±«¥¤®¢ ­¨¨ °¥¸¥­¨© ª®®¯¥° ²¨¢­»µ ¨£° ¨±¯®«¼§³¾²±¿ ¤¢  ¡ §®¢»µ ¬¥²®¤ . ¥°¢»© | ½²®  ª±¨®¬ ²¨·¥±ª¨© ¬¥²®¤, ª®£¤  ¦¥« ²¥«¼­»¥ ±¢®©±²¢  °¥¸¥­¨© ´®°¬³«¨°³¾²±¿ ¢ ¢¨¤¥  ª±¨®¬ ¨ ¨±±«¥¤³¥²±¿ ¢®¯°®± ±³¹¥±²¢®¢ ­¨¿ °¥¸¥­¨©, ³¤®¢«¥²¢®°¿¾¹¨µ ½²¨¬  ª±¨®¬ ¬. ’ ª¨¥ ¨±±«¥¤®¢ ­¨¿ ®¡»·­® ¯°¨¢®¤¿² ª ² ª ­ §»¢ ¥¬»¬ µ ° ª²¥°¨§ ¶¨®­­»¬ ²¥®°¥¬ ¬, ²® ¥±²¼ ²¥®°¥¬ ¬, ®¯¨±»¢ ¾¹¨¬ ®¯°¥¤¥«¥­­®¥ °¥¸¥­¨¥ (¨«¨ ª« ±± °¥¸¥­¨©), ¿¢«¿¾¹¥¥±¿ ¥¤¨­±²¢¥­­»¬ °¥¸¥­¨¥¬ (¨«¨,

226

ƒ« ¢  6

±®®²¢¥²±²¢¥­­® ¥¤¨­±²¢¥­­»¬ ª« ±±®¬ °¥¸¥­¨©), ª®²®°®¥ ³¤®¢«¥²¢®°¿¥² ¢¢¥¤¥­­»¬  ª±¨®¬ ¬. (°¥ª° ±­»¬ ¯°¨¬¥°®¬ §¤¥±¼ ¿¢«¿¥²±¿ ²®«¼ª® ·²® ®¯°¥¤¥«¥­­®¥ §­ ·¥­¨¥ ˜¥¯«¨.) — ±²® ² ª¨¥ µ ° ª²¥°¨§ ¶¨®­­»¥ ²¥®°¥¬» ¬®£³² ¨¬¥²¼ ´®°¬³ ²¥®°¥¬ ±³¹¥±²¢®¢ ­¨¿, ³ª §»¢ ¾¹¨µ ¢ ¿¢­®¬ (¨«¨ ­¥¿¢­®¬) ¢¨¤¥ °¥¸¥­¨¥, ³¤®¢«¥²¢®°¿¾¹¥¥ ¦¥« ¥¬»¬ ±¢®©±²¢ ¬. ‚ ±®®²¢¥²±²¢¨¨ ± ½²¨¬ ¬¥²®¤®¬ ¯¥°¢¨·­»¬¨ ¿¢«¿¾²±¿ ±¢®©±²¢  °¥¸¥­¨© ¨ ½²¨ ±¢®©±²¢  ¨±¯®«¼§³¾²±¿ ª ª ®±­®¢­®© ®¡° §³¾¹¨© ¡«®ª ¤«¿ ¯®±²°®¥­¨¿ °¥¸¥­¨©. ‚²®°®© ¬¥²®¤ | À¯°®²¨¢®¯®«®¦­® ­ ¯° ¢«¥­Á, ½²® ±¢®¥£® °®¤  ®¡° ²­»©  ª±¨®¬ ²¨·¥±ª¨© ¬¥²®¤. °¨¬¥­¿¿ ¥£®, ®¡»·­® ¨±µ®¤¿² ¨§ ²¥µ °¥¸¥­¨©, ª®²®°»¥ ¢»¡° ­» ­  ®±­®¢¥ ª ª¨µ²® ¨­²³¨²¨¢­»µ ±®®¡° ¦¥­¨© ¨«¨ ´®°¬ «¼­»µ ¯°¥¤±² ¢«¥­¨© ® ±µ¥¬ µ, ¨±¯®«¼§³¥¬»µ ¢ °¥ «¼­®© ¯° ª²¨ª¥,   «¨¸¼ § ²¥¬ ³¦¥ ¨§³· ¾² ²¥ ±¢®©±²¢ , ª®²®°»¬ ½²¨ °¥¸¥­¨¿ ³¤®¢«¥²¢®°¿¾² (µ®²¿ ½²® ³¦¥ ­¥ ¿¢«¿¥²±¿ ¶¥­²° «¼­»¬ ¬®¬¥­²®¬ ¨±±«¥¤®¢ ­¨©). ‡¤¥±¼, ®¤­ ª®, ±«¥¤³¥² ®±®¡® ®²¬¥²¨²¼, ·²® £° ­¨¶ , ° §¤¥«¿¾¹ ¿ ½²¨ ¤¢  ¬¥²®¤ , ¢¥±¼¬  ¨ ¢¥±¼¬  ° ±¯«»¢· ²  ¢ ²®¬ ±¬»±«¥, ·²® ®·¥­¼ · ±²® ¢²®°®© ¬¥²®¤ ¥±²¥±²¢¥­­® ¯¥°¥µ®¤¨² ¢ ¯¥°¢»©: ¨±±«¥¤®¢ ­¨¥ ±¢®©±²¢ ¢»¡° ­­®£® °¥¸¥­¨¿ ¯°¨¢®¤¨² ª ²®¬³, ·²® ¯®«³·¥­­»¥ ±¢®©±²¢  (¨«¨ ­¥ª®²®°»¥ ¨§ ­¨µ) ±² ­®¢¿²±¿  ª±¨®¬ ¬¨, ª®²®°»¥ ®¤­®§­ ·­® ¨ ®¯°¥¤¥«¿¾² ²® ± ¬®¥ °¥¸¥­¨¥, ± ª®²®°®£® ¯°®¶¥±± ­ ·¨­ «±¿. ‚ ½²®¬ ±¬»±«¥ ® ¢²®°®¬ ¬¥²®¤¥ ¬®¦­® ²®¦¥ ¤®±² ²®·­® ¥±²¥±²¢¥­­® £®¢®°¨²¼ ª ª ®¡  ª±¨®¬ ²¨·¥±ª®¬ ¬¥²®¤¥, ­¥ ° §¤¥«¿¿ ±²°®£® À¯°¿¬®©Á ¨ À®¡° ²­»©Á  ª±¨®¬ ²¨·¥±ª¨© ¬¥²®¤». (Œ» ¯°®¨««¾±²°¨°³¥¬ ­¨¦¥ ¯°¨¬¥­¥­¨¥  ª±¨®¬ ²¨·¥±ª®£® ¬¥²®¤  ¥¹¥ ­  ¯°¨¬¥°¥  °¡¨²° ¦­®© ±µ¥¬» ½¸ .) Š ·¨±«³ ¢ ¦­¥©¸¨µ ¯®­¿²¨© °¥¸¥­¨¿ ¤«¿ ª®®¯¥° ²¨¢­»µ ¨£° ®²­®±¨²±¿ ¯®­¿²¨¥ ± -¿¤° , ®¯°¥¤¥«¥­¨¥ ª®²®°®£® ®¯¨° ¥²±¿ ­  ®²­®¸¥­¨¥ ¤®¬¨­¨°®¢ ­¨¿ ­  ¬­®¦¥±²¢¥ ¤¥«¥¦¥©. ²® ®²­®¸¥­¨¥ ®¯°¥¤¥«¿¥²±¿ ±«¥¤³¾¹¨¬ ®¡° §®¬. ³±²¼ x ¨ y | ¤¢  ¤¥«¥¦ ,   S | ­¥ª®²®° ¿ ª® «¨¶¨¿. ƒ®¢®°¿², ·²® x ¤®¬¨­¨°³¥² y ¯® ª® «¨¶¨¨ S , ¥±«¨ (1) xi > yi ¤«¿ ¢±¥µ i 2 S;

«¥¬¥­²» ²¥®°¨¨ ª®®¯¥° ²¨¢­»µ ¨£°

227

(2) x(S )  v (S ): ‚²®°®¥ ³±«®¢¨¥ ®§­ · ¥², ·²® ° ±¯°¥¤¥«¥­¨¥, ±®®²¢¥²±²¢³¾¹¥¥ x , ¤¥©±²¢¨²¥«¼­® ¬®¦¥² ¡»²¼ ®¡¥±¯¥·¥­® ª® «¨¶¨¥© S . ‚ ½²®¬ ±«³· ¥ £®¢®°¿² ² ª¦¥, ·²® ª® «¨¶¨¿ S ¡«®ª¨°³¥² ¤¥«¥¦ y . ƒ®¢®°¿², ·²® x ¤®¬¨­¨°³¥² y , ¥±«¨ ­ ©¤¥²±¿ ² ª ¿ ª® «¨¶¨¿ S , ·²® x ¤®¬¨­¨°³¥² y ¯® ª® «¨¶¨¨ S . Ž¯°¥¤¥«¥­¨¥ 6.1.1. ‘ -¿¤°®¬4 C (v) ¨£°» v ­ §»¢ ¥²±¿ ¬­®¦¥±²¢® ¢±¥µ ¥¥ ­¥¤®¬¨­¨°³¥¬»µ ¤¥«¥¦¥©.   ± ¬®¬ ¤¥«¥ ­¥²°³¤­® ¤®ª § ²¼, ·²® C (v) = fx 2 IRI : x(I ) = v(I ); x(S )  v (S ) ¤«¿ ¢±¥µ S  I g: …±«¨ ¨£°  v ¢»¯³ª« , ²® §­ ·¥­¨¥ ˜¥¯«¨ ¨£°» v «¥¦ ² ¢ ± -¿¤°¥ ¨£°» v (Shapley, 1971). ‡ ¬¥²¨¬, ·²® ¢ ±«³· ¥, ­ ¯°¨¬¥°, ±³¯¥° ¤¤¨²¨¢­®±²¨ ¨£°» v ¢¥ª²®° (v ) ¬®¦¥² ¤ ¦¥ ­¥ ¯°¨­ ¤«¥¦ ²¼ ­¥¯³±²®¬³ ± -¿¤°³. ®«¥¥ ¯®¤°®¡­® ® ¢»¯³ª«»µ ¨£° µ ±¬. ° §¤¥« 6.6. Š« ±±¨·¥±ª¨¬ °¥§³«¼² ²®¬ ® ­¥¯³±²®²¥ ± -¿¤°  ª®®¯¥° ²¨¢­»µ ¨£° ± ¯®¡®·­»¬¨ ¯« ²¥¦ ¬¨ ¿¢«¿¥²±¿ ²¥®°¥¬ , ¤®ª § ­­ ¿ ¢¯¥°¢»¥ Ž. ®­¤ °¥¢®© (®­¤ °¥¢ , 1963),   § ²¥¬, ­¥§ ¢¨±¨¬®, ‹. ˜¥¯«¨ (Shapley, 1967), ³²¢¥°¦¤ ¾¹ ¿, ·²® ª®®¯¥° ²¨¢­ ¿ ¨£°  ¨¬¥¥² ­¥¯³±²®¥ ± -¿¤°® ²®£¤  ¨ ²®«¼ª® ²®£¤ , ª®£¤  ®­  ±¡ « ­±¨°®¢ ­ . ®­¿²¨¥ ±¡ « ­±¨°®¢ ­­®±²¨ ¢¢®¤¨²±¿ ±«¥¤³¾¹¨¬ ®¡° §®¬ (±¬., ­ ¯°¨¬¥°, ®§¥­¬¾««¥°, 1974) (±¬. ² ª¦¥ ¯. 6.3).  ¡®° ª® «¨¶¨© B  2I ­ §»¢ ¥²±¿ ±¡ « ­±¨°®¢ ­­»¬, ¥±«¨ ­ ©¤³²±¿ ² ª¨¥ ­¥®²°¨¶ ²¥«¼­»¥5 ·¨±«  S , S 2 B , ·²® P I S I S S 2B s e = e , £¤¥ e = e = (1; 1; : : :; 1) 2 IR ,   e | µ ° ª²¥°¨±²¨·¥±ª¨© ¢¥ª²®° ª® «¨¶¨¨ S , ²® ¥±²¼  1; i 2 S S ei = 0; i 2= S: The core. — ±²® ¢ ®¯°¥¤¥«¥­¨¨ ±¡ « ­±¨°®¢ ­­®±²¨ ²°¥¡³¾², ·²®¡» ·¨±«  s ¡»«¨ ¯®«®¦¨²¥«¼­»¬¨, ®¤­ ª® ½²® ° §«¨·¨¥ ­¥ ¿¢«¿¥²±¿ ±³¹¥±²¢¥­­»¬. 4 5

228

ƒ« ¢  6

Š®®¯¥° ²¨¢­ ¿ ¨£°  v ­ §»¢ ¥²±¿ ±¡ « ­±¨°®¢ ­­®©, ¥±«¨ ¤«¿ «¾¡®£® ±¡ « ­±¨°®¢ ­­®£® ­ ¡®°  ª® «¨¶¨© B ¨¬¥¥² ¬¥±²® ­¥° ¢¥­±²¢®

X

S 2B

s v (S )  v (I ):

(Œ» ¥¹¥ ¢¥°­¥¬±¿ ª ¯®­¿²¨¾ ±¡ « ­±¨°®¢ ­­®±²¨ ¢ ° §¤¥«¥ 6.3.)  °¿¤³ ± c -¿¤°®¬ ±³¹¥±²¢¥­­³¾ °®«¼ ¨£° ¥² (±¨«¼­®¥) " ¿¤°® (¨«¨ ±" -¿¤°®) ¨£°», ®¯°¥¤¥«¿¥¬®¥ ¤«¿ ¯°®¨§¢®«¼­®£® ¢¥¹¥±²¢¥­­®£® " ±«¥¤³¾¹¨¬ ®¡° §®¬:

C" (v) = fx 2 IRI : x(I ) = v (I ); x(S )  v (S );" ¤«¿ ¢±¥µ S 6= ;; I g: Ÿ±­®, ·²® C (v ) = C0 (v ) . Š°®¬¥ ²®£®, C"(v )  C"0 (v ) , ¥±«¨ " > "0 , ¯°¨·¥¬ ¢ª«¾·¥­¨¥ ±²°®£®¥, ¥±«¨ C" (v ) 6= ; . Ž·¥¢¨¤­® ² ª¦¥, ·²® C" (v ) 6= ; ¤«¿ ¤®±² ²®·­® ¡®«¼¸¨µ " ¨, ­ ¯°®²¨¢, ­ ·¨­ ¿ ± ­¥ª®²®°®£® " (¡»²¼ ¬®¦¥², ®²°¨¶ ²¥«¼­®£®) ±² ­®¢¨²±¿ ¯³±²»¬. Ž¯°¥¤¥«¨¢ c -¿¤°®, ­¥¢®§¬®¦­® ­¥ ±ª § ²¼ ­¥±ª®«¼ª® ±«®¢ ® ² ª ­ §»¢ ¥¬®¬ ­ ¨¬¥­¼¸¥¬ c -¿¤°¥6 (Maschler, Peleg, Shapley, 1979).  ¨¬¥­¼¸¥¥ c -¿¤°® LC (v ) ¨£°» v | ½²® ¯¥°¥±¥·¥­¨¥ ¢±¥µ ­¥¯³±²»µ " -¿¤¥° ¨£°» v . ª¢¨¢ «¥­²­® ¯³±²¼ "0(v ) | ­ ¨¬¥­¼¸¥¥ " ² ª®¥, ·²® C" (v ) 6= ; , ². ¥.

"0(v ) = x2min max e(S; x); X (v) S 6=;;I ¯°¨·¥¬ "0(v ) ¬®¦¥² ¡»²¼ ®²°¨¶ ²¥«¼­»¬. ’®£¤  LC (v) = C" (v) (v ) . ˆ­»¬¨ ±«®¢ ¬¨, ­ ¨¬¥­¼¸¥¥ c -¿¤°® | ½²® ¬­®¦¥±²¢® ¢±¥µ ° ±¯°¥¤¥«¥­¨©, ¬¨­¨¬¨§¨°³¾¹¨µ ¬ ª±¨¬ «¼­»© ½ª±¶¥±±. C -¿¤°® ¡»«® ¢¢¥¤¥­® „¦¨««¨±®¬ (Gillies, 1952, 1959),   " ¿¤°® | ˜¥¯«¨ ¨ ˜³¡¨ª®¬ (Shapley, Shubik, 1963, 1966). " 0

6

Least core.

229

«¥¬¥­²» ²¥®°¨¨ ª®®¯¥° ²¨¢­»µ ¨£°

¿¤°® ¨­²¥°¯°¥²¨°³¥²±¿ ª ª ¬­®¦¥±²¢® ½´´¥ª²¨¢­»µ ° ±¯°¥¤¥«¥­¨©, ª®²®°»¥ ­¥ ¬®£³² ¡»²¼ ³«³·¸¥­» ­¨ ®¤­®© ¨§ ª® «¨¶¨© ¯°¨ ³±«®¢¨¨, ·²® ´®°¬¨°®¢ ­¨¥ ª® «¨¶¨¨ ²°¥¡³¥² À§ ²° ²Á " (¨«¨ ¢®§­ £° ¦¤ ¥²±¿ À¡®­³±®¬Á ;" , ¥±«¨ " < 0 ).  ¨¬¥­¼¸¥¥ c -¿¤°® ª®¬¡¨­¨°³¥² ¨¤¥¾ ±³¹¥±²¢®¢ ­¨¿ (­¥¯³±²®²») ¨ ¥¤¨­±²¢¥­­®±²¨. …±«¨ c -¿¤°® ¨£°» ­¥¯³±²®, ². ¥. "0  0 , ²® ­ ¨¬¥­¼¸¥¥ c -¿¤°® | ½²® À¶¥­²° «¼­® ° ±¯®«®¦¥­­®¥Á ¯®¤¬­®¦¥±²¢® (¨«¨ ²®·ª ) c -¿¤° . …±«¨ c -¿¤°® ¯³±²®, ². ¥. "0 > 0 , ²® ­ ¨¬¥­¼¸¥¥ c -¿¤°® ¬®¦¥² ° ±±¬ ²°¨¢ ²¼±¿ ª ª À« ²¥­²­®¥Á ¯®«®¦¥­¨¥ c -¿¤° . ˆ­²¥°¥±­® ² ª¦¥ ¥¹¥ ®¤­® ®±®¡®¥ ·¨±«®:

"1(v) = Smax (v (S ) ; 6=I;;

X i2S

v (i));

¯°¥¤±² ¢«¿¾¹¥¥ ­ ¨¡®«¼¸¨© ¢»¨£°»¸, ª®²®°»© ¬®¦¥² ®¡¥±¯¥·¨²¼ ±¥¡¥ «¾¡ ¿ £°³¯¯  ¨£°®ª®¢, ®¡° §³¾¹¨µ ª® «¨¶¨¾. ‘«¥¤³¾¹¥¥ ±¢®©±²¢® " -¿¤°  ­¥¬¥¤«¥­­® ±«¥¤³¥² ¨§ ®¯°¥¤¥«¥­¨¿: C"(v)  X (v) ²®£¤  ¨ ²®«¼ª® ²®£¤ , ª®£¤  "  "1(v ) . " -¿¤° , ¢ª«¾· ¿ ­ ¨¬¥­¼¸¥¥ c -¿¤°® ¨ ± ¬® c -¿¤°®, ¯°¥¤±² ¢«¿¾² ±®¡®© ª®¬¯ ª²­»¥ ¢»¯³ª«»¥ ¬­®£®£° ­­¨ª¨, ®£° ­¨·¥­­»¥ ­¥ ¡®«¥¥ ·¥¬ 2n ; 2 £¨¯¥°¯«®±ª®±²¿¬¨ ¢¨¤ 

HS" = fx 2 X (v ) : x(S ) = v (S ) ; "g; S 6= ;; I: ‚±¥ ­¥¯³±²»¥ " -¿¤° , §  ¨±ª«¾·¥­¨¥¬ ­ ¨¬¥­¼¸¥£® c -¿¤° , ¨¬¥¾² ° §¬¥°­®±²¼ n ; 1 , ². ¥. ° §¬¥°­®±²¼ X (v ) .  §¬¥°­®±²¼ ­ ¨¬¥­¼¸¥£® c -¿¤°  ¢±¥£¤  ­¥ ¯°¥¢®±µ®¤¨² n; 2.

°¥¤«®¦¥­¨¥ 6.1.2. …±«¨ ¤¢¥ ¨£°» (I; v) ¨ (I; v0) ¨¬¥¾²

±®¢¯ ¤ ¾¹¨¥ " -¿¤° , ². ¥. C"(v ) = C"0 (v 0 ) 6= ;; ²® ¨ ¢±¥ ¬¥­¼¸¨¥ " -¿¤°  ±®¢¯ ¤ ¾², ². ¥. C"; (v) = C"0 ; (v 0 ) ¤«¿ «¾¡®£®  > 0 . ‚ · ±²­®±²¨, LC (v ) = LC (v 0 ) .

230

ƒ« ¢  6

 ±±¬®²°¥­¨¥ " -¿¤°  ®ª §»¢ ¥²±¿ ®·¥­¼ ¯®«¥§­»¬ ¯°¨ ° ±±¬®²°¥­¨¨ k -¿¤°  ¨ n -¿¤°  ª®®¯¥° ²¨¢­»µ ¨£° (±¬. ­¨¦¥). H  ®±­®¢¥ ¯®­¿²¨© ³£°®§» ¨ ª®­²°³£°®§» ¤ ¥²±¿ ®¯°¥¤¥«¥­¨¥ ¯¥°¥£®¢®°­®£® ¬­®¦¥±²¢ : ¯³±²¼ x | ¤¥«¥¦ ¢ ¨£°¥ v .   °  (y; S ) , £¤¥ S | ª® «¨¶¨¿,   y ¤®±²¨¦¨¬ ¤«¿ S; ². ¥. y (S ) = v (S ); ­ §»¢ ¥²±¿ ³£°®§®© i ¯°®²¨¢ j ®²­®±¨²¥«¼­® x , ¥±«¨ S 3 i , ­® S 63j ¨ yk > xk 8k 2 S:   °  (z; T ) , £¤¥ T | ª® «¨¶¨¿,   z T -¤®±²¨¦¨¬, ­ §»¢ ¥²±¿ ª®­²°³£°®§®© ®²­®±¨²¥«¼­® ³£°®§» (y; S ) ¨£°®ª  i ¯°®²¨¢ j , ¥±«¨ T 3 j , ­® T 63 i ¨ zk  xk 8 k 2 T nS , zk  yk 8 k 2 T \ S .

Ž¯°¥¤¥«¥­¨¥ 6.1.2. ¥°¥£®¢®°­»¬ ¬­®¦¥±²¢®¬7 ­ §»-

¢ ¥²±¿ ¬­®¦¥±²¢® ¤¥«¥¦¥© x ² ª¨µ, ·²® ¤«¿ «¾¡®© ³£°®§» (y; S ) ¨£°®ª  i ¯°®²¨¢ «¾¡®£® ¤°³£®£® ¨£°®ª  j ®²­®±¨²¥«¼­® x ±³¹¥±²¢³¥² ª®­²°³£°®§  ¨£°®ª  j ®²­®±¨²¥«¼­® (y; S ) .

°¥¤«®¦¥­¨¥ 6.1.3. ¥°¥£®¢®°­®¥ ¬­®¦¥±²¢® ¢±¥£¤  ­¥¯³±²® ¨ ±®¤¥°¦¨² c -¿¤°®.

„°³£¨¬¨, ·°¥§¢»· ©­® ¢ ¦­»¬¨ ¯®­¿²¨¿¬¨ °¥¸¥­¨¿ ª®®¯¥° ²¨¢­»µ ¨£° ¿¢«¿¾²±¿ ¯®­¿²¨¿ n -¿¤° 8 ¨ k -¿¤° 9 ,   ² ª¦¥ ¨µ ¬®¤¨´¨ª ¶¨¨ | ¯°¥¤- n -¿¤°®10 ¨ ¯°¥¤- k -¿¤°®11 . ‚¢¥¤¥­­®¥ „. ˜¬ ©¤«¥°®¬ ¯®­¿²¨¥ n -¿¤°  ¨£°» (Schmeidler, 1969) ®¯¨° ¥²±¿ ­  ¯®­¿²¨¥ ½ª±¶¥±±  ª® «¨¶¨¨. „«¿ ª« ±±¨·¥±ª®© ª®®¯¥° ²¨¢­®© ¨£°» v ±² ­¤ °²­»© ½ª±¶¥±± (¨«¨ ´³­ª¶¨¿ ½ª±¶¥±± ) ®¯°¥¤¥«¿¥²±¿ ¥±²¥±²¢¥­­»¬ ®¡° §®¬: e(S; x) = v (S ) ; x(S ) . ‚¥«¨·¨­  e(S; x) ­ §»¢ ¥²±¿ Bargaining set. The nucleolus. 9 The kernel. 10 Prenucleolus. 11 Prekernel. 7 8

«¥¬¥­²» ²¥®°¨¨ ª®®¯¥° ²¨¢­»µ ¨£°

231

½ª±¶¥±±®¬ ª® «¨¶¨¨ S ¢ x ¨ ¨­²¥°¯°¥²¨°³¥²±¿ ª ª ¬¥°  ­¥³¤®¢«¥²¢®°¥­­®±²¨ ª® «¨¶¨¨ ° ±¯°¥¤¥«¥­¨¥¬ ¢»¨£°»¸¥©, ª®²®°®¥ ¯°¥¤¯¨±»¢ ¥²±¿ ¢¥ª²®°®¬ x . ‡ ¬¥²¨¬ §¤¥±¼, ·²® ·¥¬ ¡®«¼¸¥ x , ²¥¬ ¬¥­¼¸¥ ½ª±¶¥±±, ¨, ²¥¬ ± ¬»¬, À¬¥­¼¸¥ ­¥³¤®¢«¥²¢®°¥­­®±²¼Á. ‚ ½²®¬ ±¬»±«¥ ¬» ¬®¦­® £®¢®°¨²¼, ·²® ½ª±¶¥±± ¬®­®²®­¥­ ¯® v ¨  ­²¨¬®­®²®­¥­ ¯® x . ³±²¼ X | ¯°®¨§¢®«¼­®¥ ­¥¯³±²®¥ § ¬ª­³²®¥ ¬­®¦¥±²¢® ¢ IRI . „«¿ «¾¡®£® x 2 X ¨ «¾¡®© ª®®¯¥° ²¨¢­®© ¨£°» v ®¯°¥¤¥«¨¬ ¢¥ª²®° (x) ±«¥¤³¾¹¨¬ ®¡° §®¬:

(x) = (e(S1; x); e(S2; x); : : :; e(S2n; x)); £¤¥ ° §«¨·­»¥ ½ª±¶¥±±» ¢±¥µ ª® «¨¶¨© ° ±¯®«®¦¥­» ¢ ³¡»¢ ¾¹¥¬ (­¥¢®§° ±² ¾¹¥¬) ¯®°¿¤ª¥. Š®¬¯®­¥­²» ¢¥ª²®°  (x) ®¯°¥¤¥«¥­» ¨ ­¥¯°¥°»¢­». ³¤¥¬ £®¢®°¨²¼, ·²® (x) «¥ª±¨ª®£° ´¨·¥±ª¨ ¬¥­¼¸¥, ·¥¬ (y ) , ¨ ®¡®§­ · ²¼ ½²® ª ª (x)
N (X; v) = fx 2 X : (x) lex (y ) ¤«¿ ¢±¥µ y 2 X g: …±«¨ X = X (v ), ²® N (X; v ) := N (v ) ­ §»¢ ¥²±¿ n -¿¤°®¬ ¨£°» v . …±«¨ X = X (v ); ²® N (X; v ) := PN (v )  N (v ) ­ §»¢ ¥²±¿ ¯°¥¤- n -¿¤°®¬ ¨£°» v .

’¥®°¥¬  6.1.1. (Schmeidler, 1969; Kohlberg, 1971). …±«¨ X ª®¬¯ ª²­® ¨«¨ ¥±«¨ ®­® § ¬ª­³²® ¨ x(I )  const ¤«¿ ¢±¥µ x 2 X , ²® N (X; v ) ­¥¯³±²®. …±«¨, ª°®¬¥

²®£®, X ¢»¯³ª«®, ²® N (X; v ) ±®±²®¨² ¨§ ®¤­®© ²®·ª¨ ¨ ­¥¯°¥°»¢­® § ¢¨±¨² ®² µ ° ª²¥°¨±²¨·¥±ª®© ´³­ª¶¨¨.

232

ƒ« ¢  6

‚ ¦­¥©¸¨¬ ±¢®©±²¢®¬ n -¿¤°  ¨ ¯°¥¤- n -¿¤°  ¿¢«¿¥²±¿ ±«¥¤³¾¹¥¥ ±«¥¤±²¢¨¥ ¨§ ½²®© ²¥®°¥¬».

‘«¥¤±²¢¨¥ 6.1.1. N -¿¤°® ¨£°» v (¨ ¯°¥¤- n -¿¤°® ¨£°» v ) ®¤­®²®·¥·­® ¨ «¥¦¨² ¢ c -¿¤°¥ ¨£°» v; ¥±«¨ ®­® ­¥¯³±²®.

„®ª ¦¥¬ ¤«¿ ¯°¨¬¥°  ®¤­®²®·¥·­®±²¼ n -¿¤° . ³±²¼ v | ’ ¨£°  ¨ x; y 2 N (v ) ) Q(x) = Q(y ) . Œ» ¯®ª ¦¥¬, ·²® e(S; x) = e(S; y ) 8S ¨ ¢ · ±²­®±²¨ e(i; x) = e(i; y ) ) x = y . ³±²¼ S  : e(S ; x) 6= e(S ; y ):  ±±¬®²°¨¬ ¤¥«¥¦ z = 21 (x + y ) . Ž¡®§­ ·¨¬ ·¥°¥§ B1 (x); : : :; Bk (x) ° §¡¨0 ¥­¨¥ ¬­®¦¥±²¢  ¢±¥µ ª® «¨¶¨© ² ª®¥, ·²® S; S 2 Bk (x) () 0 e(S; x) = e(S ; x) , ². ¥. 8S 2 Bk (x); e(S; x) = k (x) . ‘·¨² ¥¬ 1(x) > 2 (x) > : : : > k (x) . Ÿ±­®, ·²® k (x) = k (y) 8k ¨ jBk (x)j = jBk (y)j 8k . H® ² ª ª ª e(S ; x) 6= e(S ; y) , ²® ±³¹¥±²¢³¥² ¬¨­¨¬ «¼­®¥ k , ¤«¿ ª®²®°®£® Bk (x) 6= Bk (y ) . …±«¨ Bk (x) \ Bk (y ) 6=  , ²® Bk (z) = Bk (x) \ Bk (y )  Bk (x); ¥±«¨ Bk (x) \ Bk (y ) =  , ²® k (z ) < k (x) = k (y ) . ‚ «¾¡®¬ ±«³· ¥ (z )
°¥¤«®¦¥­¨¥ 6.1.4. ³±²¼ u ¨ v | ¤¢¥ ¨£°» ² ª¨¥, ·²® u(I ) = v (I ) ¨ v (S ) = u(S ) + a ¤«¿ ¢±¥µ S = 6 I ¨ ­¥ª®²®°®£® ·¨±«  a . ’®£¤  N (v ) = N (u) .

ˆ­²¥°¥±­®, ·²® ®¯°¥¤¥«¥­¨¥ n -¿¤°  ¬®¦­® ¤ ²¼ ¢ ²¥°¬¨­ µ ³£°®§ ¨ ª®­²°³£°®§ (±¬. Osborne, Rubinstein, 1994). € ¨¬¥­­®, ¯³±²¼ x | ¤¥«¥¦ ¢ ¨£°¥ v .  °  (S; y ); ±®±²®¿¹ ¿ ¨§ ¤¥«¥¦  y ¨ ª® «¨¶¨¨ S; ­ §»¢ ¥²±¿ ³£°®§®© ®²­®±¨²¥«¼­® x; ¥±«¨ e(S; x) > e(S; y ) (²® ¥±²¼ y(S ) > x(S ) ). Š® «¨¶¨¿ T ­ §»¢ ¥²±¿ ª®­²°³£°®§®© ®²­®±¨²¥«¼­® ³£°®§» (S; y ), ¥±«¨ e(T; y ) > e(T; x) (²® ¥±²¼ x(T ) > y (T ) ) ¨ e(T; y) > e(S; x) .

«¥¬¥­²» ²¥®°¨¨ ª®®¯¥° ²¨¢­»µ ¨£°

233

’®£¤  n -¿¤°®¬ ¨£°» v ­ §»¢ ¥²±¿ ² ª®© ¤¥«¥¦ x , ·²® ¤«¿ ª ¦¤®© ³£°®§» (S; y ) ®²­®±¨²¥«¼­® x ­ ©¤¥²±¿ ª®­²°³£°®§ . K -¿¤°® ¨ ¯°¥¤- k -¿¤°® ¨±±«¥¤®¢ «®±¼¢® ¬­®£¨µ ° ¡®² µ ­ ·¨­ ¿ ±® ±² ²¥© Œ. „½¢¨±  ¨ Œ. Œ ¸«¥°  (Davis, Maschler, 1965), Œ. Œ ¸«¥°  ¨ . ¥«¥£  (Maschler, Peleg, 1966, 1967), Œ. Œ ¸«¥° , . ¥«¥£  ¨ ‹. ˜¥¯«¨ (Maschler, Peleg, Shapley, 1972, 1979). ‚ ¤¥©±²¢¨²¥«¼­®±²¨, ¨±²®°¨·¥±ª¨ k -¿¤°® ¯°¥¤¸¥±²¢®¢ «® n -¿¤°³: ®¤¨­ ¨§ ­¥®¦¨¤ ­­»µ °¥§³«¼² ²®¢ ±² ²¼¨ Maschler, Peleg, 1966 ±®±²®¿« ¢ ²®¬, ·²® ¥±«¨ ¤«¿ ¯°®¨§¢®«¼­®£® " ¬­®¦¥±²¢® C"(v ) \ X (v ) ­¥¯³±²®, ²® k -¿¤°® ¯¥°¥±¥ª ¥² ½²® ¬­®¦¥±²¢® (­¥®¦¨¤ ­­»µ ¯®²®¬³, ·²® ®¯°¥¤¥«¥­¨¥ k -¿¤°  ­¨ª ª ­¥ ®¯¨° ¥²±¿ ­  ¯®­¿²¨¥ ± -¿¤° ). ˆ±±«¥¤³¿ ¨¬¥­­® ½²®² ´ ª², ˜¬ ©¤«¥° ¨ ¤ « ®¯°¥¤¥«¥­¨¥ n -¿¤° , ª®²®°®¥, ± ®¤­®© ±²®°®­», ¿¢«¿¥²±¿ À³­¨ª «¼­®©Á ²®·ª®© k -¿¤° ,   ± ¤°³£®© ±²®°®­», ª ª ®ª §»¢ ¥²±¿, ¢¥±¼¬  ²¥±­® ±¢¿§ ­® ± ª®­¶¥¯¶¨¥© " -¿¤° . (ƒ®¢®°¿ ­¥´®°¬ «¼­®, ¨¬¥­­® ­  ­¥ª®²®°»¬ ®¡° §®¬ ±ª®­±²°³¨°®¢ ­­®¬ ¯°®¶¥±±¥ ²° ­±´®°¬ ¶¨¨ ­¥¯³±²®£® " -¿¤°  ¯®±²°®¥­  £¥®¬¥²°¨·¥±ª ¿ µ ° ª²¥°¨§ ¶¨¿ n -¿¤°  (±¬. Maschler, Peleg, Shapley, 1979). °¨ ² ª®© ²° ­±´®°¬ ¶¨¨ £° ­¨ ­¥¯³±²®£® " -¿¤°  ¤«¿ ¤®±² ²®·­® ¡®«¼¸®£® " ­ ·¨­ ¾² ° ¢­®¬¥°­® ± ®¤¨­ ª®¢®© ±ª®°®±²¼¾ (§  ±·¥² ³¬¥­¼¸¥­¨¿ " ) ±¤¢¨£ ²¼±¿ ¯ ° ««¥«¼­® ±¥¡¥ ¤® ²¥µ ¯®°, ¯®ª  ¬­®¦¥±²¢®, ®£° ­¨·¨¢ ¥¬®¥ ½²¨¬¨ £° ­¿¬¨, ­¥ ±² ­¥² ¯³±²»¬, «¨¡® ­¥ À®²¤¥«¨²±¿Á ®² c -¿¤° . „ «¥¥ ­¥ª®²®°»¥ £° ­¨ ±¤¢¨£ ²¼ ³¦¥ ±² ­®¢¨²±¿ ­¥¢®§¬®¦­»¬, ¯®½²®¬³ ¯°®¤®«¦ ¾² ±¤¢¨£ ²¼ ®±² ¢¸¨¥±¿ £° ­¨ ¤® ²¥µ ¯®°, ¯®ª  ¬­®¦¥±²¢®, ®£° ­¨·¨¢ ¥¬®¥ £° ­¿¬¨, ­¥ ±² ­¥² ¯³±²»¬, «¨¡® ­¥ À®²¤¥«¨²±¿Á ®² c -¿¤° . ˆ ² ª ¤ «¥¥, ¯®ª  ­¥ ®±² ­¥²±¿ ¥¤¨­±²¢¥­­ ¿ ²®·ª . ²  ²®·ª  ¨ ¡³¤¥² n -¿¤°®¬.) ³±²¼ v | ¯°®¨§¢®«¼­ ¿ ª®®¯¥° ²¨¢­ ¿ ¨£° . Ž¡®§­ ·¨¬ ¤«¿ «¾¡»µ ¤¢³µ ° §«¨·­»µ ¨£°®ª®¢ i; j 2 I ·¥°¥§ Tij ¬­®¦¥±²¢® ²¥µ ª® «¨¶¨©, ª®²®°»¥ ±®¤¥°¦ ² i , ­¥ ­¥ ±®¤¥°¦ ² j , ²® ¥±²¼ Tij = fS : S  I; i 2 S; j 2= S g:

234

ƒ« ¢  6

„«¿ ª ¦¤®£® ° ±¯°¥¤¥«¥­¨¿ x 2 X (v ) ®¯°¥¤¥«¨¬ À¬ ª±¨¬ «¼­®¥ ¯°¥¨¬³¹¥±²¢® ¨£°®ª  i ­ ¤ j Á ±«¥¤³¾¹¨¬ ®¡° §®¬: Sij (x) = Smax e(s; x): 2T ij

‚¥«¨·¨­³ sij (x) ¬®¦­® ¨­²¥°¯°¥²¨°®¢ ²¼ ª ª ¬ ª±¨¬³¬ ²®£®, ·²® ¨£°®ª i ¬®¦¥² ­ ¤¥¿²¼±¿ ¢»¨£° ²¼ (¬¨­¨¬³¬ ¯°®¨£° ²¼ ¢ ±«³· ¥ ®²°¨¶ ²¥«¼­®±²¨), ¥±«¨ ®­ ®²ª«®­¨²±¿ ®² x ¨ ®¡° §³¥² ª® «¨¶¨¾, ª®²®° ¿ ­¥ ­³¦¤ ¥²±¿ ¢ ±®£« ±¨¨ ¨£°®ª  j; ¢ ¯°¥¤¯®«®¦¥­¨¨, ·²® ¤°³£¨¥ ³· ±²­¨ª¨ ½²®© ª® «¨¶¨¨ ³¤®¢«¥²¢®°¥­» ²¥¬, ·²® ¨¬ ¤ ¥² x . ˆ£°®ª¨ i ¨ j ­ µ®¤¿²±¿ ¢ ° ¢­®¢¥±¨¨ ¤«¿ x; ¥±«¨ sij (x) = sji (x): …±«¨ ¢¬¥±²® ¬­®¦¥±²¢  ° ±¯°¥¤¥«¥­¨© X (v ) ¢§¿²¼ ¬­®¦¥±²¢® ¤¥«¥¦¥© X (v ), ²® ³±«®¢¨¥ ° ¢­®¢¥±¨¿ ¯¥°¥¯¨±»¢ ¥²±¿ ¢ ¢¨¤¥ ¤¢³µ ­¥° ¢¥­±²¢: [sij (x) ; sji (x)][xj ; v (j )]  0 ¨  ­ «®£¨·­®£® ­¥° ¢¥­±²¢  ± ¯¥°¥±² ­®¢ª®© i ¨ j . K -¿¤°®¬ K (v) ¨£°» v ­ §»¢ ¥²±¿ ¬­®¦¥±²¢® ²¥µ ¤¥«¥¦¥© x 2 X (v ), ¤«¿ ª®²®°»µ «¾¡»¥ ¤¢  ¨£°®ª  ­ µ®¤¿²±¿ ¢ ° ¢­®¢¥±¨¨. °¥¤- k -¿¤°®¬ K  (v ) ¨£°» v ­ §»¢ ¥²±¿ ¬­®¦¥±²¢® ²¥µ ¯°¥¤-¤¥«¥¦¥© x 2 X (v ) , ¤«¿ ª®²®°»µ «¾¡»¥ ¤¢  ¨£°®ª  ­ µ®¤¿²±¿ ¢ ° ¢­®¢¥±¨¨, ²® ¥±²¼ K (v) = fx 2 IRI : maxS :i2S;j 2=S (v (S ) ; x(S )) = = maxS :j 2S;i=2S (v (S ) ; x(S )); i; j 2 I ; x(I ) = v (I )g: °¥¤«®¦¥­¨¥ 6.1.5. K -¿¤°® ¨ ¯°¥¤- k -¿¤°® ¢±¥£¤  ­¥¯³±²». „«¿ «¾¡®© ¨£°» v ¨¬¥¥² ¬¥±²® ° ¢¥­±²¢® K (v) \ C (v) = K  (v) \ C (v ) . Š°®¬¥ ²®£®, k -¿¤°® «¥¦¨² ¢ ¯¥°¥£®¢®°­®¬ ¬­®¦¥±²¢¥. ‡ ¬¥²¨¬, ·²® k -¿¤°® ¬®¦¥² ¨¬¥²¼ ¢¥±¼¬  ±¢®¥®¡° §­®¥ ±²°®¥­¨¥, ª ª ¯®ª §»¢ ¥² ¯°¨¬¥° 4 ­¨¦¥. °¥¦¤¥ ·¥¬ ¯°¨¢¥±²¨ ­¥ª®²®°»¥ ¯°¨¬¥°» °¥¸¥­¨©, ­¥®¡µ®¤¨¬® ®²¬¥²¨²¼, ·²® ¬» ­¨·¥£® ­¥ ±ª § «¨ ®²­®±¨²¥«¼­®  ª±¨®¬ ²¨·¥±ª®£® ¯®¤µ®¤  ª ®¯°¥¤¥«¥­¨¾ ² ª¨µ °¥¸¥­¨©, ª ª

«¥¬¥­²» ²¥®°¨¨ ª®®¯¥° ²¨¢­»µ ¨£°

235

c -¿¤°®, n -¿¤°®, k -¿¤°® ¨ ². ¤. Œ» ®²±»« ¥¬ ¯® ½²®¬³ ¯®¢®¤³

·¨² ²¥«¿ ª ° ¡®² ¬ Maschler, 1992; Pechersky, Sobolev, 1995; Peleg, 1986, 1992 ¨ ¬­®£¨¬ ¤°³£¨¬. °¨ ½²®¬ ­¥®¡µ®¤¨¬® ¯®¤·¥°ª­³²¼, ·²® ¯°¨¬¥­¥­¨¥  ª±¨®¬ ²¨·¥±ª®£® ¯®¤µ®¤  ®ª §»¢ ¥²±¿ ·°¥§¢»· ©­® ¯«®¤®²¢®°­»¬. Œ» ®±² ­®¢¨¬±¿ ­  ½²®¬ ­¥±ª®«¼ª® ¯®¤°®¡­¥¥ ¢ ¯. 6.4. °¨¢¥¤¥¬ ­¥±ª®«¼ª® ¯°®±²»µ ¯°¨¬¥°®¢ °¥¸¥­¨©.  ° ¨ ¬ ¥ ° 1. °®±² ¿ ¨£° . Š®®¯¥° ²¨¢­ ¿ ¨£°  v ­ §»¢ ¥²±¿ ¯°®±²®©, ¥±«¨ v (S ) ¯°¨­¨¬ ¥² ²®«¼ª® §­ ·¥­¨¿ 0 ¨ 1 ¤«¿ «¾¡®© ª® «¨¶¨¨ S 6= I ¨ v (I ) = 1; ª® «¨¶¨¨ S; ¤«¿ ª®²®°»µ v (S ) = 1; ­ §»¢ ¾²±¿ ¢»¨£°»¢ ¾¹¨¬¨. ˆ£°®ª, ¯°¨­ ¤«¥¦ ¹¨© ¢±¥¬ ¢»¨£°»¢ ¾¹¨¬ ª® «¨¶¨¿¬, ­ §»¢ ¥²±¿ ¢¥²®-¨£°®ª®¬. ’®£¤  a) …±«¨ ¢ ¨£°¥ ­¥² ¢¥²®-¨£°®ª , ²® C (v ) =  (¤®ª ¦¨²¥!). b) …±«¨ ¬­®¦¥±²¢® ¢¥²®-¨£°®ª®¢ ¢ ¨£°¥ v ­¥¯³±²®, ²® c ¿¤°® ±®±²®¨² ¨§ ¢¥ª²®°®¢ ¢»¨£°»¸¥©, ¤ ¾¹¨µ 0 ¢±¥¬ ®±² «¼­»¬ ¨£°®ª ¬ (¤®ª ¦¨²¥!).  ° ¨ ¬ ¥ ° 2. Œ ¦®°¨² °­ ¿ ¨£°  3-µ «¨¶. a) ³±²¼ I = f1; 2; 3g , v (I ) = 1 , v (S ) =  2 [0; 1] ¤«¿ «¾¡®© ª® «¨¶¨¨ S , ±®±²®¿¹¥© ¨§ ¤¢³µ ¨£°®ª®¢, ¨ v (i) = 0 ¤«¿ «¾¡®£® i 2 I . ’®£¤  c -¿¤°® C (v ) ­¥¯³±²® ²®£¤  ¨ ²®«¼ª® ²®£¤ , ª®£¤    2=3 (¤®ª ¦¨²¥!). b) ³±²¼ ²¥¯¥°¼  = 1 . ’®£¤  c -¿¤°® ² ª®© ¨£°» ¯³±²®. Œ®¦­® ¯®ª § ²¼, ·²® ¯¥°¥£®¢®°­®¥ ¬­®¦¥±²¢® ½²®© ¨£°» ±®±²®¨² ¨§ ¥¤¨­±²¢¥­­®£® ¢¥ª²®°  ( 31 ; 13 ; 31 ) . „¥©±²¢¨²¥«¼­®, ¯°¥¤¯®«®¦¨¬, ·²® x -¤¥«¥¦ ¨ (y; S ) | ½²® ³£°®§  i ¯°®²¨¢ j ®²­®±¨²¥«¼­® x . ’®£¤  S = fi; hg , £¤¥ h | ®±² ¢¸¨©±¿ ¨£°®ª ¨ yh < 1 ; xi (². ª. yi > xi ¨ y(S ) = v (S ) = 1 ). „«¿ ²®£® ·²®¡» ³ j ­ ¸« ±¼ ª®­²°³£°®§  ­  (y; S ); ¬» ¤®«¦­» ¨¬¥²¼ yh + xj  1 . ‘«¥¤®¢ ²¥«¼­®, ¤«¿ ²®£®, ·²®¡» x ¯°¨­ ¤«¥¦ « ¯¥°¥£®¢®°­®¬³ ¬­®¦¥±²¢³, ­¥®¡µ®¤¨¬®, ·²®¡» ¤«¿ ¢±¥µ ¨£°®ª®¢ i; j; h ¡»«® ¢»¯®«­¥­® ­¥° ¢¥­±²¢® yh 

236

ƒ« ¢  6

1;xj , ª ª ²®«¼ª® yh < 1;xi ,   ½²® ®§­ · ¥², ·²® 1;xi  1;xj ¨«¨ xi  xj ¤«¿ «¾¡»µ i ¨ j , ² ª ·²® x = ( 31 ; 31 ; 13 ) .  ° ¨ ¬ ¥ ° 3. ‚§¢¥¸¥­­ ¿ ¬ ¦®°¨² °­ ¿ ¨£° . ’ ª ¿ ¨£°  ¯°¥¤±² ¢«¿¥² ±®¡®© ¯°®±²³¾ ¨£°³ v , ¤«¿ ª®²®°®©  1; ¥±«¨ w(S )  q; v (S ) = 0; ¢ ¯°®²¨¢­®¬ ±«³· ¥ P ¤«¿ ­¥ª®²®°®£® ·¨±«  q ¨ w 2 IRI+ , £¤¥ v (S ) = i2S wi ¤«¿ ª ¦¤®© ª® «¨¶¨¨ S . ˆ­²¥°¯°¥² ¶¨¿ ² ª®¢ : wi | ·¨±«® £®«®±®¢, ¨¬¥¾¹¨µ±¿ ³ ¨£°®ª  i ,   q | ·¨±«® £®«®±®¢, ­¥®¡µ®¤¨¬»µ ¤«¿ ¯®¡¥¤». ‚§¢¥¸¥­­ ¿ ¬ ¦®°¨² °­ ¿ ¨£°  (‚Œˆ) ¿¢«¿¥²±¿ ®¤­®°®¤­®©, ¥±«¨ w(S ) = q ¤«¿ «¾¡®© ¬¨­¨¬ «¼­®© ¢»¨£°»¢ ¾¹¥© ª® «¨¶¨¨ S (². ¥. ª® «¨¶¨¨, ­¥ ±®¤¥°¦ ¹¥© ­¨ª ª¨µ ¢»¨£°»¢ ¾¹¨µ ª® «¨¶¨©). ‚Œˆ ¿¢«¿¥²±¿ ¨£°®© ± ­³«¥¢®© ±³¬¬®©, ¥±«¨ ¤«¿ «¾¡®© ª® «¨¶¨¨ S «¨¡® v (S ) = 1 , «¨¡® v (I nS ) = 1 , ­® ­¥ ®¤­®¢°¥¬¥­­®. °¥¤¯®«®¦¨¬, ·²® v | ®¤­®°®¤­ ¿ ‚Œˆ ± ­³«¥¢®© ±³¬¬®©, ¢ ª®²®°®© wi = 0 ¤«¿ ª ¦¤®£® ¨£°®ª  i , ­¥ ¯°¨­ ¤«¥¦ ¹¥£® ­¨ ®¤­®© ¬¨­¨¬ «¼­®©  ¢»¨£°»¢ ¾¹¥© ª® «¨¶¨¨. ’®£¤  N (v ) = ww(I ) ; : : :; ww(nI ) :  ° ¨ ¬ ¥ ° 4.  ±±¬®²°¨¬ ±«¥¤³¾¹³¾ ¨£°³ ±¥¬¨ «¨¶. v (124) = v (235) = v(346) = v (457) = v (561) = v (672) = v (713) = 1 , v (S ) = 1 ¤«¿ «¾¡®© ª® «¨¶¨¨ S , ±®¤¥°¦ ¹¥© ¯¥°¥·¨±«¥­­»¥ ¢»¸¥ ª® «¨¶¨¨, v (S ) = 0 ¢ ®±² «¼­»µ ±«³· ¿µ. K -¿¤°® ±®±²®¨² ¨§ 7 ®²°¥§ª®¢, ±®¥¤¨­¿¾¹¨µ (1=7; 1=7; : : :; 1=7) ± ²®·ª ¬¨, ¢ ª®²®°»µ ¬¨­¨¬ «¼­ ¿ ¢»¨£°»¢ ¾¹ ¿ ª® «¨¶¨¿ ¤¥«¨² ±¢®© ¢»¨£°»¸ ¯®°®¢­³. Ž¯°¥¤¥«¥­¨¥ 6.1.3. Ž¤­®§­ ·­®¥ °¥¸¥­¨¥ ¬®­®²®­­®, ¥±«¨ ³¢¥«¨·¥­¨¥ v (I ) ¯°¨ ±®µ° ­¥­¨¨ §­ ·¥­¨© ®±² «¼­»µ S ­¥ ³¬¥­¼¸ ¥² ¢»¨£°»¸ ­¨ ®¤­®£® ¨§ ¨£°®ª®¢. ‹¥£ª® ³¡¥¤¨²¼±¿ ¢ ²®¬, ·²® §­ ·¥­¨¥ ˜¥¯«¨ ¬®­®²®­­®. Ž¤­ ª® n -¿¤°® ½²¨¬ ±¢®©±²¢®¬ ³¦¥ ­¥ ®¡« ¤ ¥². „¥©±²¢¨²¥«¼­®, ° ±±¬®²°¨¬ ±«¥¤³¾¹¨© ¯°¨¬¥° (Maschler, 1992). 1

«¥¬¥­²» ²¥®°¨¨ ª®®¯¥° ²¨¢­»µ ¨£°

237

 ° ¨ ¬ ¥ ° 5. I = f1; : : :; 9g: ³±²¼ x = (1; 1; 1; 2; 2; 2; 1; 1; 1); v(S ) = 6 ¤«¿ S 2 f123; 14; 24; 34; 15; 25; 35; 78g; v(S ) = 9 ¤«¿ S 2Pf12367; 12368; 12369; 456g; v(I ) = 12 , v(S ) = i2S x(i) ; 1 ¢ ®±² «¼­»µ ±«³· ¿µ. w(I ) = v(I ) + 1 , w(S ) = v (S ) . ’®£¤  ;
N (v) = x , N (w) = 1 91 ; 1 19 ; 1 91 ; 2 29 ; 2 92 ; 1 98 ; 1 19 ; 1 19 ; 1 19 :  ° ¨ ¬ ¥ ° 6. ‡ ¤ ·  ® ¡ ­ª°®²±²¢¥. ‹¾¡®¯»²­®, ·²® § ¤ ·¨ ¡ ­ª°®²±²¢  ¨¬¥¾² ®·¥­¼ ¤ ¢­¾¾ ¨±²®°¨¾. °¨¢¥¤¥¬ °¥¸¥­¨¥ § ¤ ·¨ ¡ ­ª°®²±²¢ , ª®²®° ¿ ¢®±µ®¤¨² ª ’ «¬³¤³ (±¬. ­ ¯°¨¬¥°, Aumann, Maschler, 1985; Maschler, 1992), £¤¥ ®¯¨± ­  ±«¥¤³¾¹ ¿ ±¨²³ ¶¨¿. ’°¨ ¢¤®¢» ®¤­®£® ¬³¦  ¯°¥¤º¿¢«¿¾² ²°¥¡®¢ ­¨¿ ­  ¨¬³¹¥±²¢®, ®±² ¢¸¥¥±¿ ¯®±«¥ ±¬¥°²¨ ¬³¦ , ¢ ° §¬¥°¥ 100, 200 ¨ 300 ¥¤¨­¨¶ ±®®²¢¥²±²¢¥­­®.  ±±¬ ²°¨¢ ¾²±¿ ²°¨ ±«³· ¿, ª®£¤  ¨¬³¹¥±²¢® ®¶¥­¨¢ ¥²±¿ ¢ 100, 200 ¨ 300 ¥¤¨­¨¶. ¯°¨¯¨±»¢ ¥² ¢ ¯¥°¢®¬ ±«³· ¥ ° ±¯°¥¤¥«¥­¨¥ ;33 ’ «¬³¤ 1 ; 33 1 ; 33 1
, ¢® ¢²®°®¬ | (50, 75, 75) ¨ ¢ ²°¥²¼¥¬ | (50, 3 3 3 100, 150). Žª §»¢ ¥²±¿, ·²® ¥±«¨ ®¯°¥¤¥«¨²¼ ª®®¯¥° ²¨¢­³¾ ¨£°³ ¤«¿ ¬­®¦¥±²¢  ¨£°®ª®¢ (¦¥­) I = f1; 2; 3g ¯® ´®°¬³«¥

v(S ) = maxfÀ¨¬³¹¥±²¢® ¬¨­³± ±³¬¬  ²°¥¡®¢ ­¨© ·«¥­®¢Á I nS "; 0g; ²® ¯°¨¢¥¤¥­­»¥ ¢»¸¥ ° ±¯°¥¤¥«¥­¨¿ ¿¢«¿¾²±¿ n -¿¤° ¬¨ ±®®²¢¥²±²¢³¾¹¨µ ª®®¯¥° ²¨¢­»µ ¨£°.  ° ¨ ¬ ¥ ° 7. (Littlechild, Owen, 1973). °¥¤¯®«®¦¨¬, ·²® n  ¢¨ ª®¬¯ ­¨© ¤®«¦­» ° ±¯°¥¤¥«¨²¼ § ²° ²» ­  ±²°®¨²¥«¼±²¢® ¢§«¥²­®-¯®± ¤®·­®© ¯®«®±», ¯°¨·¥¬ ¤«¿ ®¡±«³¦¨¢ ­¨¿ ± ¬®«¥²®¢, ¯°¨­ ¤«¥¦ ¹¨µ  ¢¨ ª®¬¯ ­¨¨ i , ¤®±² ²®·­®, ·²®¡» ¤«¨­  ¢§«¥²­®-¯®± ¤®·­®© ¯®«®±» ¡»«  ° ¢­  ci . ³¤¥¬ ±·¨² ²¼, ·²® § ²° ²» ¯°®¯®°¶¨®­ «¼­» ¤«¨­¥ ¨, ¡¥§ ³¹¥°¡  ¤«¿ ®¡¹­®±²¨, ·²®

cn  cn;1  : : :  c1:

’ ª¨¬ ®¡° §®¬, ¥±«¨ ®¡° §³¥²±¿ ª® «¨¶¨¿ S , ²® § ²° ²» ½²®© ª® «¨¶¨¨ ¥±²¼ c(S ) = maxi2S fci g .

238

ƒ« ¢  6

Œ®¦­® ¯°®¢¥°¨²¼, ·²® ½²  ¨£°  ¢»¯³ª« . ‚¥ª²®° ˜¥¯«¨ w §¤¥±¼ ®ª §»¢ ¥²±¿ ±«¥¤³¾¹¨¬: wn = n1 cn; wn;1 = n1 cn + n ;1 1 (cn;1 ; cn); : : :; n X w = 1 (c ; c ) ¤«¿ ¢±¥µ i = 1; : : :; n; i

j =i

j

j

j +1

¯°¨·¥¬ ¬» ±·¨² ¥¬ cn+1 = 0: ˆ­»¬¨ ±«®¢ ¬¨, §  ²³ · ±²¼ ¯®«®±», ª®²®°®© ¯®«¼§³¾²±¿ ¢±¥  ¢¨ ª®¬¯ ­¨¨, ¢±¥ ª®¬¯ ­¨¨ ¯« ²¿² ¯®°®¢­³. ‡  À±«¥¤³¾¹³¾Á · ±²¼, ª®²®°®© ¯®«¼§³¾²±¿ n ; 1 ª®¬¯ ­¨¨, ®­¨ ¯« ²¿² ¯®°®¢­³, ¨ ². ¤. 6.2. ˆ£°» ¡¥§ ¯®¡®·­»µ ¯« ²¥¦¥©

Ž·¥­¼ · ±²®, ®¤­ ª®, ¯°¨µ®¤¨²±¿ ±² «ª¨¢ ²¼±¿ ± ±¨²³ ¶¨¿¬¨, ª®£¤  ° ±±¬®²°¥­¨¥ ¨£° ± ¯®¡®·­»¬¨ ¯« ²¥¦ ¬¨ ±² ¢¨² ·°¥§¬¥°­® ¦¥±²ª¨¥ ®£° ­¨·¥­¨¿. € ¨¬¥­­®, ¬®¦¥² ±«³·¨²¼±¿ ² ª, ·²® ¨£°®ª¨ ­¥ ¬®£³² ¢®®¡¹¥ ¨«¨ ­¥ ¬®£³² ¡¥§ ¯®²¥°¼ ¯¥°¥° ±¯°¥¤¥«¿²¼ ¬¥¦¤³ ±®¡®© ¯®«³·¥­­»¥ ¢ µ®¤¥ ¨£°» ¢»¨£°»¸¨. ˆ­»¬¨ ±«®¢ ¬¨, ­¥ ¢±¥ ¯®¡®·­»¥ ¯« ²¥¦¨ ®ª §»¢ ¾²±¿ ¢®§¬®¦­»¬¨. ²® ¬®¦¥² ¡»²¼ ¢»§¢ ­®, ­ ¯°¨¬¥°, ±«¥¤³¾¹¨¬¨ ¯°¨·¨­ ¬¨. ‚®-¯¥°¢»µ, ¬®¦¥² ­¥ ¨¬¥²¼±¿ ¥¤¨­®£® ±°¥¤±²¢  ®¡¬¥­ ,   ¢®-¢²®°»µ, ¤ ¦¥ ¥±«¨ ² ª®¥ ±°¥¤±²¢® ®¡¬¥­  ±³¹¥±²¢³¥² (­ ¯°¨¬¥°, ¤¥­¼£¨), ²® ¯®«¥§­®±²¨ ¨£°®ª®¢ ¬®£³² ­¥ ¡»²¼ ¢®§° ±² ¾¹¨¬¨ «¨­¥©­»¬¨ ´³­ª¶¨¿¬¨ ¤¥­¥£.  ª®­¥¶, ¯®¡®·­»¥ ¯« ²¥¦¨ ¬®£³² ¡»²¼ § ¯°¥¹¥­» (­ ¯°¨¬¥°, § ª®­®¬) ¨«¨ ¡»²¼ ®£° ­¨·¥­­»¬¨. ‚ ² ª®© ±¨²³ ¶¨¨ § ¤ ·³ ° ±¯°¥¤¥«¥­¨¿ ¢»¨£°»¸¥© ³¦¥ ­¥«¼§¿ ° ±±¬ ²°¨¢ ²¼ ª ª ª« ±±¨·¥±ª³¾ ª®®¯¥° ²¨¢­³¾ ¨£°³,   ¯°¨µ®¤¨²±¿ ®¡° ¹ ²¼±¿ ª ¡®«¥¥ ±«®¦­®© ¬®¤¥«¨,   ¨¬¥­­® ª ² ª ­ §»¢ ¥¬»¬ ª®®¯¥° ²¨¢­»¬ ¨£° ¬ ¡¥§ ¯®¡®·­»µ ¯« ²¥¦¥© (¨£° ¬ ± ­¥²° ­±´¥° ¡¥«¼­®© ¯®«¥§­®±²¼¾, ¨«¨, ª ª ¬» ¡³¤¥¬ ¨µ · ±²® ±®ª° ¹¥­­® ­ §»¢ ²¼, ’-¨£° ¬).  §³¬¥¥²±¿, ª« ±±¨·¥±ª³¾ ª®®¯¥° ²¨¢­³¾

«¥¬¥­²» ²¥®°¨¨ ª®®¯¥° ²¨¢­»µ ¨£°

239

¨£°³ ¬®¦­® ° ±±¬ ²°¨¢ ²¼ ª ª · ±²­»© ±«³· © ª®®¯¥° ²¨¢­®© ¨£°» ¡¥§ ¯®¡®·­»µ ¯« ²¥¦¥©, ¯°¨ ½²®¬ ®±­®¢­»¥ ¨¤¥¨ ²¥®°¨¨ ª« ±±¨·¥±ª¨µ ª®®¯¥° ²¨¢­»µ ¨£° ¯¥°¥­®±¿²±¿ ¨ ­  ¨£°» ¡¥§ ¯®¡®·­»µ ¯« ²¥¦¥©, ­® §¤¥±¼ ¢®§­¨ª ¥² ¶¥«»© °¿¤ ¯°®¡«¥¬, ±¢¿§ ­­»µ, ­ ¯°¨¬¥°, ±® ±¯¥¶¨´¨ª®©  ¯¯ ° ² , ¨±¯®«¼§³¥¬®£® ¢ ²¥®°¨¨ ’-¨£°, ª®²®°»© ¢ ¯®±«¥¤­¥¬ ±«³· ¥ £®° §¤® ±«®¦­¥¥. ®¬¨¬® ½²®£®, ¢ ° ¬ª µ ²¥®°¨¨ ª®®¯¥° ²¨¢­»µ ¨£° ¡¥§ ¯®¡®·­»µ ¯« ²¥¦¥© ®ª §»¢ ¾²±¿ ±®¤¥°¦ ²¥«¼­»¬¨ ² ª¨¥ § ¤ ·¨, ª®²®°»¥ ¤«¿ ª« ±±¨·¥±ª¨µ ª®®¯¥° ²¨¢­»µ ¨£° ¤®±² ²®·­® ¯°®±²» ¨«¨ ¤ ¦¥ ²°¨¢¨ «¼­». Š®®¯¥° ²¨¢­®© ¨£°®© ¡¥§ ¯®¡®·­»µ ¯« ²¥¦¥© (¨«¨ ’¨£°®©) ­ §»¢ ¥²±¿ ¯ °  (I; V ) , £¤¥ I = f1; 2; : : :; ng | ¬­®¦¥±²¢® ¨£°®ª®¢,   V | ¬­®£®§­ ·­®¥ ®²®¡° ¦¥­¨¥, ª®²®°®¥ ±² ¢¨² ¢ ±®®²¢¥²±²¢¨¥ ª ¦¤®© ª® «¨¶¨¨ S  I ¬­®¦¥±²¢® V (S ) , ³¤®¢«¥²¢®°¿¾¹¥¥ ±«¥¤³¾¹¨¬ ³±«®¢¨¿¬: (1) V (S )  IRS = fx 2 IRI : xi = 0 ¤«¿ i 2= S g ; (2) V (S ) | ­¥¯³±²®¥, § ¬ª­³²®¥ ¨ ¨±·¥°¯»¢ ¾¹¥¥ ¬­®¦¥±²¢® ¢ IRS ; ²® ¥±²¼ ¨§ x 2 V (S ); y 2 IR S ¨ y  x ±«¥¤³¥² y 2 V (S ) (¨«¨, ·²® ²® ¦¥ ± ¬®¥, V (S ) = V (S ) ; RS+ ). — ±²® ¡»¢ ¥² ³¤®¡­® ¨±¯®«¼§®¢ ²¼ ±«¥£ª  ¬®¤¨´¨¶¨°®¢ ­­®¥ ®¯°¥¤¥«¥­¨¥ ¨£°» ¡¥§ ¯®¡®·­»µ ¯« ²¥¦¥©, ° ±±¬ ²°¨¢ ¿ ¢¬¥±²® ¬­®¦¥±²¢ V (S )  IRS ±®®²¢¥²±²¢³¾¹¨¥ ¶¨«¨­¤°» V ^(S ) = V (S ) + IRI nS . Œ­®¦¥±²¢® V (S ) ®¡»·­® ¨­²¥°¯°¥²¨°³¥²±¿ ª ª ¬­®¦¥±²¢® ¢¥ª²®°®¢ ¯®«¥§­®±²¥© (¬­®¦¥±²¢® ¢¥ª²®°®¢ ¢»¨£°»¸¥©, ¢»° ¦¥­­»µ ¢ ²¥°¬¨­ µ ¯®«¥§­®±²¥©), ª®²®°»¥ ª® «¨¶¨¿ S ¬®¦¥² ®¡¥±¯¥·¨²¼ ±¢®¨¬ ·«¥­ ¬, ²® ¥±²¼ ¯°®±²° ­±²¢® IR I ° ±±¬ ²°¨¢ ¥²±¿ ª ª ¯°®±²° ­±²¢® ¯®«¥§­®±²¥©. Œ» ¡³¤¥¬ ¨­®£¤  ­ §»¢ ²¼ ¬­®¦¥±²¢  V (S ) ¨£°®¢»¬¨ ¯®¤¬­®¦¥±²¢ ¬¨. ® ª« ±±¨·¥±ª®© ª®®¯¥° ²¨¢­®© ¨£°¥ v ¬®¦­® ±² ­¤ °²­»¬ ®¡° §®¬ ¯®±²°®¨²¼ ¨£°³ ¡¥§ ¯®¡®·­»µ ¯« ²¥¦¥©, ¯®«®¦¨¢

V (S ) = fx 2 IRS : x(S )  v (S )g:

240

ƒ« ¢  6

‡¤¥±¼ ¬­®¦¥±²¢  V (S ) ¿¢«¿¾²±¿ ¯®«³¯°®±²° ­±²¢ ¬¨ ¢ IRS , £° ­¨·­»¥ £¨¯¥°¯«®±ª®±²¨ ª®²®°»µ ¨¬¥¾² ±®®²¢¥²±²¢³¾¹¨¥ ­®°¬ «¨ eS , £¤¥ e = (1; 1; : : :; 1) 12. ‚ ¦­»© · ±²­»© ±«³· © ’-¨£° ¯°¥¤±² ¢«¿¾²  °¡¨²° ¦­»¥ ±µ¥¬». €°¡¨²° ¦­®© ±µ¥¬®© n «¨¶ ­ §»¢ ¥²±¿ ¯ °  (q; Q) , £¤¥ q 2 IRI ,   Q  IRI . Š®¬¯®­¥­²»  °¡¨²° ¦­®© ±µ¥¬» ¨¬¥¾² ±«¥¤³¾¹¨© ±¬»±«: ¨£°®ª¨ ¯®«³· ¾² (¨«¨ ³¦¥ ¨¬¥¾²) ¢»¨£°»¸¨, ±®®²¢¥²±²¢³¾¹¨¥ ª®®°¤¨­ ² ¬ ¢¥ª²®°  q , ¥±«¨ ®­¨ ­¥ ¤®£®¢®°¨«¨±¼ ® ±®§¤ ­¨¨ ª® «¨¶¨¨ I , ®¡º¥¤¨­¿¾¹¥© ¢±¥µ ¨£°®ª®¢. ’®·ª  q ­ §»¢ ¥²±¿ ²®·ª®© status quo. …±«¨ ¦¥ ¨£°®ª¨ ®¡º¥¤¨­¨«¨±¼ ¢ ¥¤¨­³¾ ¡®«¼¸³¾ ª® «¨¶¨¾ I , ²® ®­¨ ¨¬¥¾² ¢®§¬®¦­®±²¼ ¯®«³·¨²¼ ¢»¨£°»¸¨ ¢ ±®®²¢¥²±²¢¨¨ ± «¾¡»¬ ¢¥ª²®°®¬ ¨§ ¬­®¦¥±²¢  Q . €°¡¨²° ¦­ ¿ ±µ¥¬  (q; Q) ¥±²¥±²¢¥­­»¬ ®¡° §®¬ ¯®°®¦¤ ¥² ±«¥¤³¾¹³¾ ¨£°³ ¡¥§ ¯®¡®·­»µ ¯« ²¥¦¥©: V (S ) = fx 2 IRS : xi  qi ; i 2 S g; S 6= I; V (I ) = fx 2 IRI : x  y ¤«¿ ­¥ª®²®°®£® y 2 Qg: ¥²°³¤­® ¢¨¤¥²¼, ·²® «¾¡ ¿ ª® «¨¶¨¿ S 6= I ¢ ² ª®© ¨£°¥ ¬®¦¥² ®¡¥±¯¥·¨²¼ «¾¡®¬³ ¨£°®ª³ i 2 S ¢»¨£°»¸, ­¥ ¯°¥¢»¸ ¾¹¨© qi , ­® ² ª¨¥ ¦¥ ¢»¨£°»¸¨ ¨£°®ª¨ ¬®£³² ¯®«³·¨²¼ ¨ ± ¬®±²®¿²¥«¼­®, ­¥ ®¡º¥¤¨­¿¿±¼ ­¨ ¢ ª ª¨¥ ª® «¨¶¨¨, ®²«¨·­»¥ ®² fig . ‹¨¸¼ ®¡º¥¤¨­¨¢¸¨±¼ ¢ ª® «¨¶¨¾ I , ¨£°®ª¨ ¬®£³² ¤®¡¨²¼±¿ ¡®«¼¸¥£® (ª ª ¯° ¢¨«®, ±·¨² ¥²±¿, ·²® ¢® ¬­®¦¥±²¢¥ Q ¥±²¼ ²®·ª¨ x > q ). ‘®®²¢¥²±²¢¥­­® ¢®¯°®± ® °¥¸¥­¨¨  °¡¨²° ¦­®© ±µ¥¬» ±¢®¤¨²±¿ ª ¢®¯°®±³ ®¡ ®¯°¥¤¥«¥­¨¨ ­¥ª®²®°®© ²®·ª¨ ¨§ ¬­®¦¥±²¢  Q , ª®²®°³¾ ¬®¦­® ¡»«® ¡» ±·¨² ²¼ ¢ ­¥ª®²®°®¬ ±¬»±«¥ À±¯° ¢¥¤«¨¢»¬Á ° ±¯°¥¤¥«¥­¨¥¬ ¢»¨£°»¸¥©. €°¡¨²° ¦­»¥ ±µ¥¬» (¨«¨ § ¤ ·¨ ® ±¤¥«ª µ, ¨«¨ § ¤ ·¨ ²®°£ 13) ¯°¥¤±² ¢«¿¾² ®±®¡»© ¨­²¥°¥±. ¥ ®±² ­ ¢«¨¢ ¿±¼ §¤¥±¼ ­  ­¨µ ¯®¤°®¡­®, ®²¬¥²¨¬, ²¥¬ ­¥ ¬¥­¥¥, ±«¥¤³¾¹¨© ¢ ¦­»© ¬®¬¥­². Ž¤­®© ¨§ ¯°¨·¨­, ¯® ª®²®°®© ³¯®¬¿­³²»¥ ¨£°» ­ §»¢ ¾²±¿ À °¡¨²° ¦­»¬¨ ±µ¥¬ ¬¨Á, ¿¢«¿¥²±¿ 12 13

„«¿ ¢¥ª²®°  a 2 IRn ·¥°¥§ aS ®¡®§­ · ¥²±¿ ¯°®¥ª¶¨¿ a ­  IRS . Bargaining games.

«¥¬¥­²» ²¥®°¨¨ ª®®¯¥° ²¨¢­»µ ¨£°

241

±«¥¤³¾¹¥¥. Š ª ¯° ¢¨«®, ¤«¿ °¥¸¥­¨¿ ¯®¤®¡­®£® ¢¨¤  ¨£° ¨±¯®«¼§³¥²±¿  ª±¨®¬ ²¨·¥±ª¨© ¬¥²®¤, ²® ¥±²¼ ´®°¬³«¨°³¥²±¿ °¿¤ ±¢®©±²¢, ª®²®°»¬ ¤®«¦­® ®¡« ¤ ²¼ °¥¸¥­¨¥ ² ª¨µ ¨£°. € §­ ·¨², ­ µ®¦¤¥­¨¥ °¥¸¥­¨¿ ² ª®© ¨£°» ¬®¦­® ²° ª²®¢ ²¼ ±«¥¤³¾¹¨¬ ®¡° §®¬: À±¯° ¢¥¤«¨¢®¥Á ° ±¯°¥¤¥«¥­¨¥ ®¯°¥¤¥«¿¥² ­¥ª¨© ¡¥±¯°¨±²° ±²­»©  °¡¨²°, °³ª®¢®¤±²¢³¿±¼ ­¥ª®²®°»¬¨ ¯° ¢¨« ¬¨ (±´®°¬³«¨°®¢ ­­»¬¨ ¢ ¢¨¤¥  ª±¨®¬). ‚ ª ·¥±²¢¥ ¯°¨¬¥°  ° ±±¬®²°¨¬ ª« ±±¨·¥±ª³¾  °¡¨²° ¦­³¾ ±µ¥¬³ ½¸ . ½¸¥¬ (Nash, 1950) ¡»«  ¯°¥¤«®¦¥­  ±¨±²¥¬   ª±¨®¬, ª®²®°®© ¤®«¦­® ³¤®¢«¥²¢®°¿²¼ §­ ·¥­¨¥ (°¥¸¥­¨¥), ®¯°¥¤¥«¥­­®¥ ­  ¬­®¦¥±²¢¥ G2  °¡¨²° ¦­»µ ±µ¥¬ (¤ «¥¥ €‘) ¤¢³µ «¨¶ ± ¢»¯³ª«»¬¨ ª®¬¯ ª²­»¬¨ ¬­®¦¥±²¢ ¬¨ ¤®¯³±²¨¬»µ ¢¥ª²®°®¢ ¢»¨£°»¸¥© Q , ¢ ª®²®°»µ ±³¹¥±²¢³¥² ¢¥ª²®° x > q . ‡­ ·¥­¨¥¬ ½¸  (¨«¨  °¡¨²° ¦­»¬ °¥¸¥­¨¥¬ ½¸ ) ­ §»¢ ¥²±¿ ´³­ª¶¨¿ r : G2 ! IR 2; (¬» ¡³¤¥¬ ®¡®§­ · ²¼ r(q; Q) = q = (q1; q2)) , ³¤®¢«¥²¢®°¿¾¹ ¿ ±«¥¤³¾¹¨¬ ¸¥±²¨  ª±¨®¬ ¬. N1 (¨­¤¨¢¨¤³ «¼­ ¿ ° ¶¨®­ «¼­®±²¼). q  q . N2 (¤®¯³±²¨¬®±²¼). q 2 Q . N3 ( °¥²®-®¯²¨¬ «¼­®±²¼). q 2 Q , £¤¥ Q | ¬­®¦¥±²¢®  °¥²®-®¯²¨¬ «¼­»µ ²®·¥ª ¬­®¦¥±²¢  Q . N4 (­¥§ ¢¨±¨¬®±²¼ ®² ¯®±²®°®­­¨µ  «¼²¥°­ ²¨¢). …±«¨ q 2 Q  Q1 ¨ q | °¥¸¥­¨¥ €‘ (q; Q1) , ²® q ¿¢«¿¥²±¿ °¥¸¥­¨¥¬ ¨ €‘ (q; Q) . N5 (­¥§ ¢¨±¨¬®±²¼ ®²  ´´¨­­®£® ¯°¥®¡° §®¢ ­¨¿). ³±²¼ Q1 ¯®«³· ¥²±¿ ¨§ Q ± ¯®¬®¹¼¾  ´´¨­­®£® ¯°¥®¡° §®¢ ­¨¿

x01 = 1 x1 + 1 ; 1 > 0; x02 = 2 x2 + 2 ; 2 > 0: ’®£¤ , ¥±«¨ q | °¥¸¥­¨¥ (q; Q) , ²® (1q1 + 1; 2q2 + 2) ¿¢«¿¥²±¿ °¥¸¥­¨¥¬ (q 0; Q1): N6 (±¨¬¬¥²°¨·­®±²¼). ³±²¼ ¬­®¦¥±²¢® Q ² ª®¢®, ·²® (x1; x2) 2 Q ²®£¤  ¨ ²®«¼ª® ²®£¤ , ª®£¤  (x2; x1) 2 Q; ¨ ¯³±²¼ q1 = q2 . ’®£¤  q1 = q2 :

242

ƒ« ¢  6

½¸ ¤®ª § «, ·²® ±³¹¥±²¢³¥² ¥¤¨­±²¢¥­­ ¿ ´³­ª¶¨¿ r; ³¤®¢«¥²¢®°¿¾¹ ¿  ª±¨®¬ ¬ N1{N6, ¯°¨·¥¬ (q1 ; q1 )(q2 ; q2 ) = max (x ; q )(x ; q ): x2Q 1 1 2 2

€­ «®£¨·­ ¿ ²¥®°¥¬  ¨¬¥¥² ¬¥±²® ¨ ¢ ±«³· ¥ n > 2 . Œ» ¢¥°­¥¬±¿ ª ¡®«¥¥ ¯®¤°®¡­®¬³ ° ±±¬®²°¥­¨¾ § ¤ · ¯®¤®¡­®£® ²¨¯  ¢ £« ¢¥ 7, £¤¥ ®¡° ²¨¬±¿ ª § ¤ · ¬ ° ±¯°¥¤¥«¥­¨¿. ‘³¹¥±²¢³¥² ¸¨°®ª¨© ±¯¥ª²° ° §«¨·­»µ  °¡¨²° ¦­»µ °¥¸¥­¨©, ª ¦¤®¥ ¨§ ª®²®°»µ ®¯°¥¤¥«¿¥²±¿ ±¢®¥© ±¨±²¥¬®©  ª±¨®¬ (±¬., ­ ¯°¨¬¥°, ®¡§®° Roth, 1979,   ² ª¦¥ ¥·¥°±ª¨©, ‘®¡®«¥¢, 1983; Peters, 1985, 1986 ¨ ¤°.). ˆ£°³ ± ¯®¡®·­»¬¨ ¯« ²¥¦ ¬¨ v , ­® ­¥²° ­±´¥° ¡¥«¼­®© ¯®«¥§­®±²¼¾ ² ª¦¥ ¬®¦­® ° ±±¬ ²°¨¢ ²¼ ª ª ¨£°³ ¡¥§ ¯®¡®·­»µ ¯« ²¥¦¥©. …±«¨ ui (b) ¥±²¼ ¯®«¥§­®±²¼ b ¥¤¨­¨¶ ¤«¿ ¨£°®ª  i ( i = 1; 2; : : :; n ) ¨ ´³­ª¶¨¿ ¯®«¥§­®±²¨ ² ª®¢ , ·²® ui(y) = ui (yi) , y 2 IRI , ²® ¬­®¦¥±²¢® V (S ) = fx 2 IRS : 9 y 2 IRI ; y (S ) = v (S ); x  uS (y )g ¯°¥¤±² ¢«¿¥² ±®¡®© ¬­®¦¥±²¢® ¢¥ª²®°®¢ ¯®«¥§­®±²¥©, ¤®±²¨¦¨¬»µ ª® «¨¶¨¥© S . ®¤ °¥¸¥­¨¥¬ ¨£°» ¡¥§ ¯®¡®·­»µ ¯« ²¥¦¥©, ª ª ¨ ¯®¤ °¥¸¥­¨¥¬ ª« ±±¨·¥±ª®© ª®®¯¥° ²¨¢­®© ¨£°», ¯®­¨¬ ¥²±¿ ­¥ª®²®°»© ¢¥ª²®° ¨«¨ ¬­®¦¥±²¢® ¢¥ª²®°®¢ x 2 IRI .  §«¨·­»¥ ¯®­¿²¨¿ °¥¸¥­¨©, ¢®§­¨ª ¾¹¨¥ ¢ ª« ±±¨·¥±ª¨µ ª®®¯¥° ²¨¢­»µ ¨£° µ, ¬®¦­® ¯¥°¥­¥±²¨ ¨ ­  ¨£°» ¡¥§ ¯®¡®·­»µ ¯« ²¥¦¥©. ²® ¬®¦¥² ¡»²¼ ±¤¥« ­®, ¢®®¡¹¥ £®¢®°¿, ° §«¨·­»¬¨ ±¯®±®¡ ¬¨, µ®²¿ ¯°¨ ½²®¬ ¢®§­¨ª ¥² ¶¥«»© °¿¤ ª ª ²¥µ­¨·¥±ª¨µ, ² ª ¨ ª®­¶¥¯²³ «¼­»µ ²°³¤­®±²¥©. ’ ª, ­ ¯°¨¬¥°, ®¯°¥¤¥«¥­¨¥ ± -¿¤° , ®±­®¢ ­­®¥ ­  ¯®­¿²¨¨ ¤®¬¨­¨°®¢ ­¨¿, ­¥¯®±°¥¤±²¢¥­­® ¯¥°¥­®±¨²±¿ ­  ’-¨£°»,   ¨¬¥­­®, ± -¿¤°® ¨£°» ¡¥§ ¯®¡®·­»µ ¯« ²¥¦¥© V ¥±²¼ ¬­®¦¥±²¢®

C (V ) = fx 2 V (I ) : 8S ­¥ ±³¹¥±²¢³¥²

«¥¬¥­²» ²¥®°¨¨ ª®®¯¥° ²¨¢­»µ ¨£°

243

y 2 V (S ) ² ª®£®, ·²® yi > xi 8 i 2 S g:

Ž¤­ ª® ¢ ½²®¬ ±«³· ¥ £®° §¤® ±«®¦­¥¥ °¥¸ ¥²±¿ ¢®¯°®± ­¥¯³±²®²» ± -¿¤°  (±¬. ¯® ½²®¬³ ¯®¢®¤³, ­ ¯°¨¬¥°, Scarf, 1967; Shapley, 1973). (‘®®²¢¥²±²¢³¾¹¨¥ ²¥®°¥¬» ² ª¦¥ ±¢¿§ ­» ± ¯®­¿²¨¥¬ ±¡ « ­±¨°®¢ ­­®±²¨ ¨ ¢»¯³ª«®±²¨, ®¤­ ª® ³±«®¢¨¿ ­¥¯³±²®²» ®ª §»¢ ¾²±¿ ¤®±² ²®·­»¬¨, ­® ­¥ ­¥®¡µ®¤¨¬»¬¨.) Œ» ¯°¨¢¥¤¥¬ ²¥®°¥¬³ ® ­¥¯³±²®²¥ c -¿¤°  ’-¨£°»,  ­ «®£¨·­³¾ ²¥®°¥¬¥ ® ­¥¯³±²®²¥ c -¿¤°  ¢»¯³ª«®© ’-¨£°». ‚ ±«³· ¥ ¨£° ¡¥§ ¯®¡®·­»µ ¯« ²¥¦¥© ¢»¯³ª«®±²¼ ¬®¦­® ®¯°¥¤¥«¨²¼ ¤¢®¿ª®. ’-¨£°  ­ §»¢ ¥²±¿ ®°¤¨­ «¼­® ¢»¯³ª«®©, ¥±«¨ 8 S; T 

I

V ^(S ) \ V ^ (T )  V ^ (S \ T ) [ V ^ (S \ T ); £¤¥ V ^ (;) = f0g ¨ V ^(S ) = V (S ) + IRI nS . ˆ£°  V ­ §»¢ ¥²±¿ ª °¤¨­ «¼­® ¢»¯³ª«®©, ¥±«¨ 8 S; T  I, V (S ) + V (T )  V (S \ T ) + V (S [ T ); £¤¥ V (;) = ; .

‡ ¬¥²¨¬, ·²® ª °¤¨­ «¼­ ¿ ¢»¯³ª«®±²¼ ¨ ®°¤¨­ «¼­ ¿ ¢»¯³ª«®±²¼ ­¥ ½ª¢¨¢ «¥­²­».  ±±¬®²°¨¬ ±«¥¤³¾¹¨¥ ¤¢¥ ¨£°» (Ichiishi, 1992). (1) I = f1; 2; 3g , V (j ) = fx 2 IRfj g : xj  0g , V (i; j ) = fx 2 IRfi;jg : xi  1; xj  1g ¤«¿ i 6= j , V (1; 2; 3) = fx 2 IR3 : xj  1; j = 1; 2; 3g . (2) I = f1; 2; 3; 4g , V (2; 3) = fx 2 IR4 : x2  1; x3  3g , V (1; 2; 3) = fx 2 IRf1;2;3g : x1  1; x2  2; x3  2g , V (2; 3; 4) = fx 2 IRf2;3;4g : x2  2; x3  2; x4  1g ,

V (I ) = fx 2 IRI : x1  1; x2  2; x3  2; x4  0g [ [ fx 2 IRI : x1  0; x2  2; x3  2; x4  1g [ [ fx 2 IRI : x1  1; x2  3; x3  1; x4  1g; V (S ) = fx 2 RS : xi  0; i 2 S g ¤«¿ ®±² «¼­»µ S:

244

ƒ« ¢  6

¥°¢ ¿ ¨£°  ®°¤¨­ «¼­® ¢»¯³ª« , ­® ­¥ ¿¢«¿¥²±¿ ª °¤¨­ «¼­® ¢»¯³ª«®©,   ¢²®° ¿ | ­ ¯°®²¨¢, ª °¤¨­ «¼­® ¢»¯³ª« , ­® ­¥ ¿¢«¿¥²±¿ ®°¤¨­ «¼­® ¢»¯³ª«®©! ‚¯°®·¥¬, ¢ ±«³· ¥ ’¨£°» ½²¨ ¯®­¿²¨¿ ½ª¢¨¢ «¥­²­».

’¥®°¥¬  6.2.1. (‚¨«ª®¢, 1977). ³±²¼ V | ’-¨£° , ¨ b 2 IRI ®¯°¥¤¥«¥­ ² ª, ·²® bj = supfxj 2 IR : xj 2 V (j )g , j 2 I . ’®£¤  c -¿¤°® ¨£°» V ­¥¯³±²®, ¥±«¨ (1) 9 M 2 IR ² ª®¥, ·²® 8 S  I ¨§ x 2 V (S ) ¨ x  b ±«¥¤³¥², ·²® xi < M ¤«¿ «¾¡®£® i 2 S ; (2) V | ®°¤¨­ «¼­® ¢»¯³ª« .

‡ ¬¥²¨¬ ² ª¦¥, ·²® ª °¤¨­ «¼­® ¢»¯³ª« ¿ ¨£°  ²®¦¥ ¨¬¥¥² ­¥¯³±²®¥ c -¿¤°®. Ž¡®¡¹¥­¨¥ §­ ·¥­¨¿ ˜¥¯«¨ ­  ±«³· © ’-¨£°,   ² ª¦¥ n -¿¤° , k -¿¤°  ¨ ¤°³£¨µ °¥¸¥­¨©, ®¯¨° ¾¹¨µ±¿ ­  ¯®­¿²¨¥ ½ª±¶¥±± , ±² «ª¨¢ ¥²±¿ ³¦¥ ± ¯°®¡«¥¬ ¬¨ ¤°³£®£® °®¤ . ’ ª, ­ ¯°¨¬¥°, §¤¥±¼ ­¥² ±²®«¼ ¦¥ ¥±²¥±²¢¥­­®£®, ª ª ¢ ±«³· ¥ ª« ±±¨·¥±ª¨µ ¨£°, ®¯°¥¤¥«¥­¨¿ ¯®­¿²¨¿ ½ª±¶¥±± , ¯®½²®¬³ ¤® ±¨µ ¯®° ¢®¯°®± ® ²®¬, ª ª¨¬ ¦¥ ¤®«¦¥­ ¡»²¼ ½ª±¶¥±±, ®±² ¥²±¿ ­¥°¥¸¥­­»¬ (±¬. ¯® ½²®¬³ ¯®¢®¤³ Maschler, 1992; ¥·¥°±ª¨©, 2000). Œ» ¯°¨¢¥¤¥¬ §¤¥±¼ «¨¸¼ ®¯°¥¤¥«¥­¨¥  ­ «®£  §­ ·¥­¨¿ ˜¥¯«¨ ¤«¿ ¨£° ¡¥§ ¯®¡®·­»µ ¯« ²¥¦¥© | ² ª ­ §»¢ ¥¬®£®  ²° ­±´¥° ¡¥«¼­®£® ¨«¨ (²° ­±´¥° ¡¥«¼­®£®) §­ ·¥­¨¿ ˜¥¯«¨. Ž­® ¡»«® ¢¢¥¤¥­® ‹. ˜¥¯«¨ ¢ ±² ²¼¥ Shapley, 1969, ±«¥¤³¾¹¨¬ ®¡° §®¬. ³±²¼ V | ¨£°  ¡¥§ ¯®¡®·­»µ ¯« ²¥¦¥©. ®¤¢¥°£­¥¬ ¯®«¥§­®±²¨ ¨£°®ª®¢ ¨§¬¥­¥­¨¾ ¬ ±¸² ¡®¢ ¨§¬¥°¥­¨¿,   ¨¬¥­­®, ³¬­®¦¨¬ ¯®«¥§­®±²¼ ª ¦¤®£® ¨£°®ª  i 2 I ­  ­¥®²°¨¶ ²¥«¼­»© ¬­®¦¨²¥«¼ i . „ «¥¥ ¯®±²³«¨°³¥¬: §­ ·¥­¨¥¬ ¨£°» ¬®¦¥² ¡»²¼ ² ª®© ¨ ²®«¼ª® ² ª®© ¢¥ª²®° F (V ) , ª®²®°»© ®¤­®¢°¥¬¥­­® ¤®¯³±²¨¬, ½´´¥ª²¨¢¥­ ¨ ±¯° ¢¥¤«¨¢ ¤«¿ ­¥ª®²®°»µ ¬­®¦¨²¥«¥© i , i 2 I . ²® ®§­ · ¥², ·²®: (a) F (V ) 2 V (I ) ;

«¥¬¥­²» ²¥®°¨¨ ª®®¯¥° ²¨¢­»µ ¨£°

245

(b) ¢¥ª²®° F (V )   = (F1(V )1; : : :; Fn (V )n ) ¬ ª±¨¬¨§¨°³¥² ±³¬¬ °­³¾ ¯®«¥§­®±²¼ ª® «¨¶¨¨ I ¢ ¨£°¥ ± ¯®¡®·­»¬¨ ¯« ²¥¦ ¬¨ ± ¨§¬¥­¥­­»¬¨ ¬ ±¸² ¡ ¬¨ ¯®«¥§­®±²¥©; (±) ¢¥ª²®° F (V ) ¥±²¼ §­ ·¥­¨¥ ˜¥¯«¨ ±®®²¢¥²±²¢³¾¹¥© ¨£°» ± ¯®¡®·­»¬¨ ¯« ²¥¦ ¬¨. ’ ª ®¯°¥¤¥«¥­­®¥  -²° ­±´¥° ¡¥«¼­®¥ §­ ·¥­¨¥ ˜¥¯«¨ ±³¹¥±²¢³¥² ¤«¿ ¤®±² ²®·­® ¸¨°®ª®£® ª« ±±  ’-¨£° (±¬., ­ ¯°¨¬¥°, ¥·¥°±ª¨©, ‘®¡®«¥¢, 1983). ‚¯°®·¥¬, §¤¥±¼ ²®¦¥ ¢®§­¨ª ¥² ¶¥«»© °¿¤ ¯°®¡«¥¬, ±¢¿§ ­­»µ, ­ ¯°¨¬¥°, ± ¢®§¬®¦­®±²¼¾ ¢®§­¨ª­®¢¥­¨¿ ­³«¥¢»µ ¢¥±®¢ i (±¬. ¯® ½²®¬³ ¯®¢®¤³ ¥·¥°±ª¨©, Ÿ­®¢±ª ¿, 2000), £¤¥, ª°®¬¥ ²®£®, ®¯°¥¤¥«¥­ °¿¤ ¤°³£¨µ ²° ­±´¥° ¡¥«¼­»µ §­ ·¥­¨©, ¨ ¢ · ±²­®±²¨ ²° ­±´¥° ¡¥«¼­»¥ §­ ·¥­¨¿ ­ ¨¬¥­¼¸¨µ ª¢ ¤° ²®¢, ²° ­±´¥° ¡¥«¼­®¥ (¯°¥¤-) n -¿¤°® ¤«¿ H’ ¨£°). 6.3. ¥·¥²ª¨¥ ª® «¨¶¨¨

‚ ½²®¬ ° §¤¥«¥ ¬» ° ±±¬®²°¨¬ ¯®­¿²¨¿ ­¥·¥²ª¨µ ª® «¨¶¨©, ­¥·¥²ª¨µ ª®®¯¥° ²¨¢­»µ ¨£° ¨ ±¡ « ­±¨°®¢ ­­®±²¨. Œ» ­ ·­¥¬ ± ´®°¬ «¼­®£® ®¯°¥¤¥«¥­¨¿ ­¥·¥²ª¨µ ª® «¨¶¨© ¨ ­¥·¥²ª¨µ ª®®¯¥° ²¨¢­»µ ¨£° (± ¯®¡®·­»¬¨ ¯« ²¥¦ ¬¨),   § ²¥¬ ®±² ­®¢¨¬±¿ ¯®¤°®¡­¥¥ ­  ° §«¨·­»µ ¨­²¥°¯°¥² ¶¨¿µ ­¥·¥²ª¨µ ª® «¨¶¨©. ³±²¼, ª ª ¢±¥£¤ , I = f1; : : :; ng | ª®­¥·­®¥ ¬­®¦¥±²¢® ¨£°®ª®¢. ®±ª®«¼ª³ ª ¦¤ ¿ ª® «¨¶¨¿ S ¿¢«¿¥²±¿ ¯®¤¬­®¦¥±²¢®¬ ¬­®¦¥±²¢  ¨£°®ª®¢ I; ²® ®­  ¬®¦¥² ¡»²¼ ®²®¦¤¥±²¢«¥­  ± ¥¥ µ ° ª²¥°¨±²¨·¥±ª¨¬ ¢¥ª²®°®¬ eS 2 f1; 0gn , ²® ¥±²¼  1; i 2 S S ei = 0; i 2= S: Œ» ®¯°¥¤¥«¿¥¬ ­¥·¥²ª³¾ ª® «¨¶¨¾ ¨ ­¥·¥²ª¨¥ ª®®¯¥° ²¨¢­»¥ ¨£°», ±«¥¤³¿ †.-. Ž¡¥­³ (Aubin, 1979, 1981a,b). ¥·¥²ª ¿ ª® «¨¶¨¿ (²® ¥±²¼ ­¥·¥²ª®¥ ¯®¤¬­®¦¥±²¢® (¢ ±¬»±«¥ ‹. ‡ ¤¥

246

ƒ« ¢  6

(Zadeh, 1965) ¬­®¦¥±²¢  I ) | ½²® ¢¥ª²®°  2 [0; 1]n . —¨±«® i ,° ±±¬ ²°¨¢ ¥²±¿ ª ª À±²¥¯¥­¼ ³· ±²¨¿Á ¨£°®ª  i ¢  . ¥·¥²ª ¿ ª®®¯¥° ²¨¢­ ¿ ¨£°  | ½²® ¯®«®¦¨²¥«¼­® ®¤­®°®¤­ ¿ ´³­ª¶¨¿ V : [0; 1]n ! IR , ª®²®° ¿ ±² ¢¨² ¢ ±®®²¢¥²±²¢¨¥ ª ¦¤®© ­¥·¥²ª®© ª® «¨¶¨¨  ¥¥ ¢»¨£°»¸ V ( ) . Š ª ¨ ¢ ±² ­¤ °²­®¬ ±«³· ¥, ´³­ª¶¨¾ V ¡³¤¥¬ ­ §»¢ ²¼ µ ° ª²¥°¨±²¨·¥±ª®© ´³­ª¶¨¥©. ®«®¦¨²¥«¼­ ¿ ®¤­®°®¤­®±²¼ ´³­ª¶¨¨ V ®§­ · ¥², ·²® V (0) = 0 2 IRn (±°. v (;) = 0 ¢ ±«³· ¥ ±² ­¤ °²­»µ ª®®¯¥° ²¨¢­»µ ¨£°) ¨ V (  ) =  V ( ) ¤«¿  2 IR+ . ®±«¥¤­¥¥ ¯°¥¤¯®«®¦¥­¨¥ ¯®§¢®«¿¥² ­ ¬ ¯°®¤®«¦¨²¼ µ ° ª²¥°¨±²¨·¥±ª³¾ ´³­ª¶¨¾ V ± ¥¤¨­¨·­®£® ª³¡  [0; 1]n ­  IRn+ , ¯®« £ ¿

X 

V ( ) = i V P   i2I i i2I

!

¤«¿  6= 0:

¥·¥²ª¨¥ ª®®¯¥° ²¨¢­»¥ ¨£°» ¢ ° §«¨·­»µ ª®­²¥ª±² µ ¨§³· «¨±¼ ¬­®£¨¬¨  ¢²®° ¬¨ (±¬., ­ ¯°¨¬¥°, ‚ ±¨«¼¥¢, 1984; „ ­¨«®¢, ‘®²±ª®¢, 1983; ª« ­¤, 1983; Aubin, 1979, 1981a,b; Aumann, Shapley, 1974; Baudier, 1973; Billot, 1992; Owen, 1972; Pechersky, 1986; Rosenmueller, 1977; Shapley, Shubik, 1969 ¨ ¤°.). (¥§³±«®¢­®, ²°¥¡®¢ ­¨¥ ¯®«®¦¨²¥«¼­®© ®¤­®°®¤­®±²¨ ­¥ ¿¢«¿¥²±¿ ®¡¿§ ²¥«¼­»¬, ®¤­ ª® ±¥¬¥©±²¢® ¯®«®¦¨²¥«¼­® ®¤­®°®¤­»µ ­¥·¥²ª¨µ ª®®¯¥° ²¨¢­»µ ¨£° ± ¬® ¯® ±¥¡¥ ¤®±² ²®·­® ®¡¸¨°­® ¨ ¯°¥¤±² ¢«¿¥² ± ¬®±²®¿²¥«¼­»© ¨­²¥°¥±.) ‚¢¥¤¥­¨¥ ¢ ° ±±¬®²°¥­¨¥ ­¥·¥²ª¨µ ª® «¨¶¨© | ½²® ¢ ­¥ª®²®°®¬ ±¬»±«¥ ¯®¯»²ª  À³¡¨²¼ ¤¢³µ § ©¶¥¢Á: ± ®¤­®© ±²®°®­», ° ±±¬®²°¥­¨¥ ­¥·¥²ª¨µ ª® «¨¶¨© ¯°¥¤±² ¢«¿¥² ±®¡®© ®¤¨­ ¨§ ¢®§¬®¦­»µ ±¯®±®¡®¢ ®²ª §  ®² ¤®¢®«¼­® ¦¥±²ª®£® ³±«®¢¨¿ ³· ±²¨¿ ¨£°®ª  «¨¸¼ ¢ ®¤­®© ª® «¨¶¨¨,   ± ¤°³£®© | ½²® ®¤¨­ ¨§ ¢®§¬®¦­»µ ±¯®±®¡®¢ ®¡µ®¤  ²°³¤­®±²¥©, ±¢¿§ ­­»µ ± ª®­¥·­®±²¼¾ ¬­®¦¥±²¢  ¢±¥µ ª® «¨¶¨©, ±²°³ª²³°  ª®²®°®£® ®·¥­¼ ¡¥¤­ , ·²® ¯°¨¢®¤¨² ª ²®¬³, ·²® ¯®«³· ¾¹¨¥±¿ °¥§³«¼² ²», ¯® § ¬¥· ­¨¾ Ž¡¥­ , À«¨¡® ²°¨¢¨ «¼­», «¨¡® ®·¥­¼ ±«®¦­»Á (Ž¡¥­, 1988).

247

«¥¬¥­²» ²¥®°¨¨ ª®®¯¥° ²¨¢­»µ ¨£°

Ž¤¨­ ¨§ ¢ °¨ ­²®¢ ¨­²¥°¯°¥² ¶¨¨ ±«¥¤³¾¹¨© (±¬., ­ ¯°¨¬¥°, €³¬ ­, ˜¥¯«¨, 1974; Ž¡¥­, 1988). ®±ª®«¼ª³ ¬» ¨­²¥°¯°¥²¨°®¢ «¨ ¢±¿ª®¥ ¯®¤¬­®¦¥±²¢® ¬­®¦¥±²¢  I ª ª ª® «¨¶¨¾ ¨£°®ª®¢, ²® ¢±¿ª®¥ ­¥·¥²ª®¥ ¯®¤¬­®¦¥±²¢® | ±¢®¥£® °®¤  ¨¤¥ «¨§¨°®¢ ­­®¥ ¬­®¦¥±²¢®, § ¤ ­­®¥ ± ¯®¬®¹¼¾ ³ª § ­¨¿ ¤«¿ ª ¦¤®© ²®·ª¨ ¬­®¦¥±²¢  ­¥ª®²®°®£® ¢¥± , §­ ·¥­¨¥ ª®²®°®£® «¥¦¨² ¢ ¯°®¬¥¦³²ª¥ ¬¥¦¤³ 0 ¨ 1 ¨ ª®²®°»© ®§­ · ¥² À±²¥¯¥­¼ ¯°¨­ ¤«¥¦­®±²¨Á ²®·ª¨ ¬­®¦¥±²¢³ | ¬» ¡³¤¥¬ (¢ ±®®²¢¥²±²¢¨¨ ± ®¯°¥¤¥«¥­¨¥¬) ¨­²¥°¯°¥²¨°®¢ ²¼  ª ª ­¥·¥²ª³¾ ª® «¨¶¨¾ ¨£°®ª®¢,   ·¨±«  i | ª ª ±²¥¯¥­¼ ³· ±²¨¿ (¯°¨­ ¤«¥¦­®±²¨) ¨£°®ª  i ¢ ª® «¨¶¨¨  . ˆ£°®ª ¯®«­®±²¼¾ ³· ±²¢³¥² ¢  , ¥±«¨ i = 1 , ®­ ±®¢±¥¬ ­¥ ³· ±²¢³¥² ¢ ­¥©, ¥±«¨ i = 0 , ¨ ®­ ³· ±²¢³¥² ¢ ­¥© · ±²¨·­®, ¥±«¨ i 2 (0; 1). ’ ª ª ª ¬­®¦¥±²¢® ­¥·¥²ª¨µ ª® «¨¶¨© [0; 1]n ¯°¥¤±² ¢«¿¥² ±®¡®© ¢»¯³ª«³¾ ®¡®«®·ª³ ¬­®¦¥±²¢  ®¡»·­»µ ª® «¨¶¨© f0; 1gn; ²® ¢±¿ª³¾ ­¥·¥²ª³¾ ª® «¨¶¨¾ ¬®¦­® § ¯¨± ²¼ ¢ ¢¨¤¥ X X  = S eS ; £¤¥ S  0; S = 1: S

S

’®£¤  ±²¥¯¥­¼ ³· ±²¨¿ ¨£°®ª  i , i 2 I ®¯°¥¤¥«¿¥²±¿ ¯® ´®°¬³«¥ X i = S : S :i2S

‘«¥¤®¢ ²¥«¼­®, ¥±«¨ S ¨­²¥°¯°¥²¨°®¢ ²¼ ª ª ¢¥°®¿²­®±²¼ ²®£®, ·²® ®¡° §³¥²±¿ ª® «¨¶¨¿ S , ²® ±²¥¯¥­¼ ³· ±²¨¿ ¨£°®ª  i | ½²® ±³¬¬  ¢¥°®¿²­®±²¥© ´®°¬¨°®¢ ­¨¿ ª® «¨¶¨© S , ª®²®°»¬ i ¯°¨­ ¤«¥¦¨². „®±² ²®·­® ³¤ ·­®© ¯°¥¤±² ¢«¿¥²±¿ ¢®§¬®¦­ ¿ ¨­²¥°¯°¥² ¶¨¿ ±®®²¢¥²±²¢³¾¹¨µ ª®¬¯®­¥­² i ª ª ¢°¥¬¥­¨, ²® ¥±²¼ i | ½²® ²® ¢°¥¬¿, ª®²®°®¥ ¨£°®ª i À£®²®¢ ²°³¤¨²¼±¿Á ­  ª® «¨¶¨¾  . ¥°¥©¤¥¬ ²¥¯¥°¼ ª ®¡±³¦¤¥­¨¾ ¯®­¿²¨¿ ±¡ « ­±¨°®¢ ­­®£® ­ ¡®°  ª® «¨¶¨© (¢ ¤³µ¥ ª« ­¤ ), ­¥·¥²ª¨µ ª® «¨¶¨©, ®¯°¥¤¥«¨¬ ª ­®­¨·¥±ª®¥ ¯°¥¤±² ¢«¥­¨¥ ±² ­¤ °²­»µ ª®®¯¥° ²¨¢­»µ ¨£° ¨ ° ±±¬®²°¨¬ ¥¹¥ ®¤­³ ¯®«¥§­³¾ ¨­²¥°¯°¥² ¶¨¾ ­¥·¥²ª¨µ ª® «¨¶¨©.

248

ƒ« ¢  6

°¥¤¯®«®¦¨¬, ·²® ª® «¨¶¨¨ ¯°¥¤±² ¢«¿¾² ±¢®¨µ ³· ±²­¨ª®¢ (¨«¨ ¨­²¥°¥±» ±¢®¨µ ·«¥­®¢). °¥¤¯®«®¦¥­¨¥, ·²® ª ¦¤»© ¨£°®ª ¿¢«¿¥²±¿ ³· ±²­¨ª®¬ ²®«¼ª® ®¤­®© ª® «¨¶¨¨, ®·¥­¼ ±¨«¼­®. Ž¡»·­® ®¤¨­ ¨ ²®² ¦¥ ¨­¤¨¢¨¤ ¬®¦¥² ³· ±²¢®¢ ²¼ ¢ ­¥±ª®«¼ª¨µ ª® «¨¶¨¿µ, ®°£ ­¨§ ¶¨¿µ, ¯°¨­¨¬ ²¼ ³· ±²¨¥ ¢ ° §«¨·­®© ¤¥¿²¥«¼­®±²¨, ¯°¨·¥¬ ª ¦¤ ¿ ² ª ¿ ª® «¨¶¨¿ À§ ¹¨¹ ¥²Á ¥£® ¨­²¥°¥±». Ž¤­ ª®, ¥±«¨ ¨­¤¨¢¨¤ i ¿¢«¿¥²±¿ ³· ±²­¨ª®¬ ®¤­®¢°¥¬¥­­® ¤¢³µ ª® «¨¶¨©, ±ª ¦¥¬, S1 ¨ S2 , ²® ®­ ­¥ ¬®¦¥² ¡»²¼ ¯®«­®±²¼¾ ¯°¥¤±² ¢«¥­ ¯® ®²¤¥«¼­®±²¨ ­¨ ª® «¨¶¨¥© S1; ­¨ ª® «¨¶¨¥© S2; ¯®±ª®«¼ª³ ª ¦¤ ¿ ¨§ ½²¨µ ª® «¨¶¨© ±·¨² ¥² ¥£® ±¢®¨¬ ·«¥­®¬. („ «¥¥, ª ª ¨ ¢±¥£¤ , ¬» ¡³¤¥¬ ­ §»¢ ²¼ ³· ±²­¨ª®¢ ¨£°®ª ¬¨). ˆ­»¬¨ ±«®¢ ¬¨, (±¬. „ ­¨«®¢, ‘®²±ª®¢, 1983) ³· ±²­¨ª ­¥ ®¡¿§ ­ ¯®«­®±²¼¾ ¢ª«¾· ²¼±¿ ¢ ®¤­³ ª® «¨¶¨¾,   ¬®¦¥² ¤¥«¨²¼ ±¢®¾  ª²¨¢­®±²¼ (¨ ±®®²¢¥²±²¢¥­­® ¯®«³· ²¼ ¢®§­ £° ¦¤¥­¨¥ ¢ ¢¨¤¥ ª ª¨µ-²® °¥§³«¼² ²®¢ ¤¥¿²¥«¼­®±²¨ ª® «¨¶¨©) ¬¥¦¤³ ­¥±ª®«¼ª¨¬¨ ° §«¨·­»¬¨ ª® «¨¶¨¿¬¨ (À¨£° ²¼ ­¥±ª®«¼ª® °®«¥©Á). ®±² ¢¨¬ ¢ ±®®²¢¥²±²¢¨¥ ª ¦¤®¬³ ¨£°®ª³ i ¨ ª ¦¤®© ¨§ ½²¨µ ¤¢³µ ª® «¨¶¨© ² ª³¾ ±²¥¯¥­¼ ³· ±²¨¿ iS  0; iS  0; ·²® iS + iS = 1: ²® ° ¢¥­±²¢® ®§­ · ¥², ·²® ½²¨ ¤¢¥ ª® «¨¶¨¨ ¯®«­®±²¼¾ ¯°¥¤±² ¢«¿¾² i . …±«¨ iS = 0 , ²® i 2= S1 ; ¥±«¨ ¦¥ iS = 1 , ²® ½²  ª® «¨¶¨¿ ¯®«­®±²¼¾ ¯°¥¤±² ¢«¿¥² ¨£°®ª  i . °¥¤¯®«®¦¨¬ ²¥¯¥°¼, ·²® iS + iS < 1 . ²® ­¥° ¢¥­±²¢® ±®®²¢¥²±²¢³¥² ²®¬³ ±«³· ¾, ª®£¤  ¨£°®ª i ­¥ ¯°¥¤±² ¢«¥­ ¯®«­®±²¼¾ ½²¨¬¨ ¤¢³¬¿ ª® «¨¶¨¿¬¨. Ÿ±­®, ·²® ½²®² ¯®¤µ®¤ ¬®¦¥² ¡»²¼ «¥£ª® ®¡®¡¹¥­ ­  ±«³· © ¡®«¥¥ ·¥¬ ¤¢³µ ª® «¨¶¨©,   ¯®½²®¬³ ¬» ¬®¦¥¬ ±¢¿§ ²¼ ± ª ¦¤®© ª® «¨¶¨¥© S ±¥¬¥©±²¢® fiS gi2S ² ª¨µ ·¨±¥« iS , ·²® iS ¥±²¼ ±²¥¯¥­¼ ³· ±²¨¿ ¨£°®ª  i ¢ ª® «¨¶¨¨ S . ®²°¥¡³¥¬ ²¥¯¥°¼, ·²®¡» ª ¦¤ ¿ ª® «¨¶¨¿ ¯°¥¤±² ¢«¿«  ±¢®¨µ ³· ±²­¨ª®¢ ¢ ° ¢­®© ±²¥¯¥­¨, ²® ¥±²¼ ·²®¡» ¢»¯®«­¿«®±¼ ° ¢¥­±²¢® iS = jS ¤«¿ ¢±¥µ i; j 2 S . ²® ®¡¹¥¥ §­ ·¥­¨¥ ¡³¤¥¬ ®¡®§­ · ²¼ ·¥°¥§ S . Š ª ®²¬¥· ¥² €. ¨««® (Billot, 1992): À... ­¨·²® ­¥ ¤ ¥² ­ ¬ ¯®¢®¤  ¤«¿ ½ª®­®¬¨·¥±ª®£® 1

2

1

2

1

1

1

2

«¥¬¥­²» ²¥®°¨¨ ª®®¯¥° ²¨¢­»µ ¨£°

249

®¡º¿±­¥­¨¿, ¯®·¥¬³  £¥­²» ¯°¨­ ¤«¥¦ ² ª ° §«¨·­»¬ ³°®¢­¿¬ ¯°¨­ ¤«¥¦­®±²¨ ª® «¨¶¨¨Á. (‚ ½²®¬ ±¬»±«¥ À¢°¥¬¥­­ ¿Á ¨­²¥°¯°¥² ¶¨¿ ±²¥¯¥­¨ ³· ±²¨¿ ¯°¨¢®¤¨² ª ²®¬³, ·²® ° §­®¥ ¢°¥¬¿ ³· ±²¨¿ ¢»§»¢ ¥², ² ª ±ª § ²¼, À° ±¯ ¤Á ª® «¨¶¨¨.) ’ ª¨¬ ®¡° §®¬, ª ¦¤»© ¨£°®ª i À° §¤¥«¥­Á ¬¥¦¤³ ª® «¨¶¨¿¬¨ ¨ ¯®«­®±²¼¾ ¯°¥¤±² ¢«¿¥²±¿ ±¥¬¥©±²¢®¬  ª® «¨¶¨© S , ¥±«¨

X

P

i2S 2

S = 1:

¥° ¢¥­±²¢® S < 1 ®§­ · ¥², ¥±²¥±²¢¥­­®, ·²® ¨£°®ª i «¨¸¼ À· ±²¨·­®Á ¯°¥¤±² ¢«¥­ ±¥¬¥©±²¢®¬  . Ÿ±­®, ·²® ² ª®¥ ±¥¬¥©±²¢® ª® «¨¶¨©  ¨ ±®®²¢¥²±²¢³¾¹¨© ­ ¡®° ·¨±¥« fS gS 2 ®¯°¥¤¥«¿¥² ­¥·¥²ª³¾ ª® «¨¶¨¾  ±«¥¤³¾¹¨¬ ®¡° §®¬:

X

S :i2S 2

S = i :

®«¥¥ ²®£®, «¾¡ ¿ ­¥·¥²ª ¿ ª® «¨¶¨¿  2 [0; 1]n ®¯°¥¤¥«¿¥²±¿ ­¥ª®²®°»¬¨ ­ ¡®° ¬¨  ¨ fS gS 2 , ª®²®°»¥ ¬®£³², ° §³¬¥¥²±¿, ¡»²¼ ­¥ ¥¤¨­±²¢¥­­»¬¨. Œ» ¡³¤¥¬ ­ §»¢ ²¼ ² ª¨¥ ±¥¬¥©±²¢  ¯°¥¤±² ¢«¿¾¹¨¬¨ ±¥¬¥©±²¢ ¬¨ (¤«¿  ). „«¿ «¾¡®© ª® «¨¶¨¨ S ·¨±«® S ¡³¤¥² ­ §»¢ ²¼±¿ ³°®¢­¥¬ °¥ «¨§³¥¬®±²¨ ª® «¨¶¨¨ S: ³±²¼ v | ±² ­¤ °²­ ¿ ª®®¯¥° ²¨¢­ ¿ ¨£°  ± ¬­®¦¥±²¢®¬ ¨£°®ª®¢ I = f1; : : :; ng . Ž¯°¥¤¥«¨¬ ª ­®­¨·¥±ª®¥ ¯°¥¤±² ¢«¥­¨¥ ¨£°» v ±«¥¤³¾¹¨¬ ®¡° §®¬. °¥¤±² ¢¨¬ ±¥¡¥, ·²®: (1) ¥±«¨ ¢»¨£°»¸ (¤®«¿ ¨«¨ ¤¨¢¨¤¥­¤») ¨£°®ª  i ¢ ª® «¨¶¨¨ S 3 i ¥±²¼ t; ²® ¥£® ¢»¨£°»¸ ¢ ²®© ¦¥ ª® «¨¶¨¨ ± ³°®¢­¥¬ °¥ «¨§³¥¬®±²¨ S , ° ¢­¿¥²±¿ S t; (2) ª ¦¤»© ¨£°®ª ¯®«³· ¥² ¢»¨£°»¸¨ (¤¨¢¨¤¥­¤») ®² ª ¦¤®© ª® «¨¶¨¨, ¢ ª®²®°®© ®­ ³· ±²¢³¥². °¥¤¯®«®¦¨¬ ²¥¯¥°¼, ·²® f; (S )S 2g § ¤ ­®. Ÿ±­®, ·²® ±³¬¬ °­»© ¢»¨£°»¸, ª®²®°»© ½²® ±¥¬¥©±²¢® ¬®¦¥² £ ° ­²¨-

250

ƒ« ¢  6

°®¢ ²¼ ±¢®¨¬ ·«¥­ ¬, ¥±²¼

X

S 2

S v (S ):

Š ­®­¨·¥±ª¨¬ ¯°¥¤±² ¢«¥­¨¥¬ ¨£°» v ­ §»¢ ¥²±¿ ­¥·¥²ª ¿ ª®®¯¥° ²¨¢­ ¿ ¨£°  v  : [0; 1]n ! IR n , ª®²®° ¿ ±² ¢¨² ¢ ±®®²¢¥²±²¢¨¥ ª ¦¤®© ­¥·¥²ª®© ª® «¨¶¨¨  ¬ ª±¨¬ «¼­»© ±³¬¬ °­»© ¢»¨£°»¸, ª®²®°»© ¬®£³² £ ° ­²¨°®¢ ²¼ ¯°¥¤±² ¢«¿¾¹¨¥ ¥¥ ±¥¬¥©±²¢ . ˆ§ ®¯°¥¤¥«¥­¨¿ ¨ ±¢®©±²¢ (1), (2) ±° §³ ±«¥¤³¥², ·²® v  ®¯°¥¤¥«¿¥²±¿ ´®°¬³«®©

v ( ) = supf

X S

S v (S ) : S  0;

X S

S eS =  g:

¥²°³¤­® ¯°®¢¥°¨²¼, ·²® ´³­ª¶¨¿ v  ±³¯¥°«¨­¥©­ , ²® ¥±²¼ ¢®£­³²  ¨ ¯®«®¦¨²¥«¼­® ®¤­®°®¤­ . Œ» ¥¹¥ ¢¥°­¥¬±¿ ª ±¢®©±²¢ ¬ ¨£°» v  ­¨¦¥. ²  ´³­ª¶¨¿, ¥¥ ¬®¤¨´¨ª ¶¨¨ ¨ ¥¥ ±³¦¥­¨¥ ­  ¢¥°¸¨­» ¥¤¨­¨·­®£® ª³¡  ¨±¯®«¼§³¾²±¿ ¯°¨ ° ±±¬®²°¥­¨¨ ¯°®¡«¥¬, ±¢¿§ ­­»µ ±® ±¡ « ­±¨°®¢ ­­®±²¼¾ ±² ­¤ °²­»µ ¨£° (±¬., ­ ¯°¨¬¥°, Aubin, 1981a,b; Drissen, 1985; Ichiishi, 1993; Shapley, Shubik, 1969). ¥«¼§¿ ®¡®©²¨ ¢­¨¬ ­¨¥¬ ¥¹¥ ®¤­³, ¢®§¬®¦­® ± ¬³¾ ¯®¯³«¿°­³¾, ¨­²¥°¯°¥² ¶¨¾ ­¥·¥²ª¨µ ª® «¨¶¨©, ¯® ª° ©­¥© ¬¥°¥ ¢ ±¨²³ ¶¨¨ ½ª®­®¬¨ª¨ ®¡¬¥­ . Œ» ¯°¨¢¥¤¥¬ ½²³ ¨­²¥°¯°¥² ¶¨¾, ­¥ ®£° ­¨·¨¢ ¿±¼ ° ¬ª ¬¨ ±®¡±²¢¥­­® ½ª®­®¬¨ª¨ ®¡¬¥­ ,   ª° ²ª® ¤ ¤¨¬ ¥¹¥ ®¯°¥¤¥«¥­¨¿ ±®®²¢¥²±²¢³¾¹¥© ¨£°» °»­ª  ¨ ¿¤°  ½ª®­®¬¨ª¨. ‘®®²¢¥²±²¢³¾¹ ¿ ½ª®­®¬¨·¥±ª ¿ ±¨²³ ¶¨¿ ² ª®¢  (±¬., ­ ¯°¨¬¥°, ª« ­¤, 1983): ª ¦¤»© ¨§ n  £¥­²®¢ µ ° ª²¥°¨§³¥²±¿ ±¢®¥© ´³­ª¶¨¥© ¯®«¥§­®±²¨ (¯°¥¤¯®«®¦¥­¨¥ ® ²®¬, ·²® ®²­®¸¥­¨¿ ¯°¥¤¯®·²¥­¨¿  £¥­²®¢ ¯°¥¤±² ¢¨¬» ± ¯®¬®¹¼¾ ±®®²¢¥²±²¢³¾¹¨µ ´³­ª¶¨© ¯®«¥§­®±²¨  ¡±®«¾²­® ­¥ ±³¹¥±²¢¥­­» ¢ ¤ ­­®¬ ª®­²¥ª±²¥), § ¢¨±¿¹¥© ²®«¼ª® ®² ¥£® ­ ¡®°  ²®¢ °®¢ xi 2 IRk+ , £¤¥ k | ·¨±«® ²®¢ °®¢,   i | ­®¬¥°  £¥­² , ¨ ®¡« ¤ ¥² ­ · «¼­»¬ ­ ¡®°®¬ ²®¢ °®¢ ! i 2 IR k+ . Ž¡¹¨¥ °¥±³°±»

«¥¬¥­²» ²¥®°¨¨ ª®®¯¥° ²¨¢­»µ ¨£°

251

¢ ² ª®© ½ª®­®¬¨ª¥ (¯°®¨§¢®¤±²¢  ­¥²) ®¯°¥¤¥«¿¾²±¿ ° ¢¥­±²¢®¬ ! 1 +


+ ! n = . Š ¦¤»© ¨§ ³· ±²­¨ª®¢ ±²°¥¬¨²±¿ ¬ ª±¨¬¨§¨°®¢ ²¼ ±¢®¾ ¯®«¥§­®±²¼ §  ±·¥² ¢®§¬®¦­®£® ®¡¬¥­  ± ¤°³£¨¬¨ ³· ±²­¨ª ¬¨. ‚ ½ª®­®¬¨ª¥ ®¡¬¥­  ª® «¨¶¨¿ S  I ¡«®ª¨°³¥² ° ±¯°¥¤¥«¥­¨¥ (x1; : : :; xn); ¥±«¨ ±³¹¥±²¢³¥² ² ª®© ­ ¡®° ²®¢ °®¢ yPi 2 IRk+ , Pi 2 S , ·²® ui(yi) > ui (xi ) ¤«¿ «¾¡®£® i 2 S , ¨ i i (x1; : : :; xn ) ­ §»¢ ¥²±¿ ¤®i2S y = i2S !P.  ±¯°¥¤¥«¥­¨¥ P i i ¯³±²¨¬»¬, ¥±«¨ i2I x = i2I ! . Ÿ¤°®¬ ½ª®­®¬¨ª¨ ®¡¬¥­  ­ §»¢ ¥²±¿ ¬­®¦¥±²¢® ¤®¯³±²¨¬»µ ° ±¯°¥¤¥«¥­¨©, ª®²®°»¥ ­¥ ¡«®ª¨°³¾²±¿ ­¨ª ª®© ª® «¨¶¨¥©. €­ «®£¨¿ ± ± -¿¤°®¬ ª®®¯¥° ²¨¢­»µ ¨£° ®·¥­¼ ±¨«¼­ ¿: «¾¡®© ½ª®­®¬¨ª¥ ®¡¬¥­  ¬®¦­® ¯®±² ¢¨²¼ ¢ ±®®²¢¥²±²¢¨¥ ª®®¯¥° ²¨¢­³¾ ¨£°³ ¡¥§ ¯®¡®·­»µ ¯« ²¥¦¥© ² ª¨¬ ®¡° §®¬, ·²® ¿¤°® ®¤­®© ¡³¤¥² ±®®²¢¥²±²¢®¢ ²¼ ± -¿¤°³ ¤°³£®©. „¥©±²¢¨²¥«¼­®, ¯®«®¦¨¬ ¤«¿ «¾¡®© ª® «¨¶¨¨ S 6= ; : P y i = P ! i g; R(S ) = f(y i)i2S : y i 2 IRk+ ; i 2 S ¨ i2 S i2S i i U (S ) = f(ui (y ))i2S : (y )i2S 2 R(S )g: R(S ) | ½²® ¬­®¦¥±²¢® ¯¥°¥° ±¯°¥¤¥«¥­¨©, ª®²®°»¥ ¬®¦¥² °¥ «¨§®¢ ²¼ ª® «¨¶¨¿ S . °¨ S = I ¯®«³· ¥¬ R(I ) = R | ¬­®¦¥±²¢® ¤®¯³±²¨¬»µ ° ±¯°¥¤¥«¥­¨©. Œ­®¦¥±²¢® U (S )  IRI | ¬­®¦¥±²¢® ¢¥ª²®°®¢ ¯®«¥§­®±²¥©, ª®²®°»¥ ª® «¨¶¨¿ S ¬®¦¥² £ ° ­²¨°®¢ ²¼ ±¢®¨¬ ·«¥­ ¬. ˆ£°®© °»­ª , ±®®²¢¥²±²¢³¾¹¥© ½ª®­®¬¨ª¥ ®¡¬¥­ , ­ §»¢ ¥²±¿ ª®®¯¥° ²¨¢­ ¿ ¨£°  ¡¥§ ¯®¡®·­»µ ¯« ²¥¦¥©, ®¯°¥¤¥«¿¥¬ ¿ ´®°¬³«®© V (S ) = U^ (S ) ; IRS+; S  I; £¤¥ U^ (S ) = fx 2 IRS : (xi )i2S = (ui)i2S ¤«¿ ­¥ª®²®°®£® u 2 U (S )g: •®°®¸® ¨§¢¥±²­® ±«¥¤³¾¹¥¥ ¯°¥¤«®¦¥­¨¥ (±¬., ­ ¯°¨¬¥°, ®§¥­¬¾««¥°, 1974; ª« ­¤, 1983), ª®²®°®¥ ´®°¬ «¨§³¥² ®²­®¸¥­¨¥ ¬¥¦¤³ ¿¤°®¬ ½ª®­®¬¨ª¨ ¨ ± -¿¤°®¬ ±®®²¢¥²±²¢³¾¹¥© ¨£°» °»­ª .

252

ƒ« ¢  6

°¥¤«®¦¥­¨¥ 6.3.1. …±«¨ (x1; : : :; xn) ¯°¨­ ¤«¥¦¨² ¿¤°³

½ª®­®¬¨ª¨, ²® ¢¥ª²®° (u1 (x1); : : :; un(xn )) ¯°¨­ ¤«¥¦¨² ± ¿¤°³ ¨£°» °»­ª . …±«¨ (v1; : : :; vn ) ¯°¨­ ¤«¥¦¨² ± -¿¤°³ ¨£°» °»­ª , ²® ¢ ¿¤°¥ ½ª®­®¬¨ª¨ ­ ©¤¥²±¿ ² ª®¥ ° ±¯°¥¤¥«¥­¨¥ (x1; : : :; xn ) , ·²® vj  uj (xj ) ¤«¿ ¢±¥µ j 2 I .

‘«¥¤±²¢¨¥ 6.3.1. Ÿ¤°® ½ª®­®¬¨ª¨ ®¡¬¥­  ­¥¯³±²® ²®£¤  ¨

²®«¼ª® ²®£¤ , ª®£¤  ­¥¯³±²® ± -¿¤°® ±®®²¢¥²±²¢³¾¹¥© ¥© ¨£°» °»­ª .

®­¿²¨¥ ¡«®ª¨°®¢ ­¨¿ ®·¥¢¨¤­»¬ ®¡° §®¬ ¯¥°¥­®±¨²±¿ ± ®¡»·­»µ ª® «¨¶¨© ­  ±«³· © ­¥·¥²ª¨µ ª® «¨¶¨©. € ¨¬¥­­®, £®¢®°¿², ·²® ­¥·¥²ª ¿ ª® «¨¶¨¿ ¡«®ª¨°³¥² ° ±¯°¥¤¥«¥­¨¥ (x1; : : :; xn ) , ¥±«¨ ±³¹¥±²¢³¾² ² ª¨¥ ­ ¡®°» ²®¢ °®¢ y i 2 IRk+ , i 2 S , ·²® ui(y i) > ui (xi ) ¤«¿ «¾¡®£® i 2 S ¨ X i X i i y = i ! ; i2S

i2S

£¤¥ S | ­®±¨²¥«¼ ª® «¨¶¨¨ ; ²® ¥±²¼ ¬­®¦¥±²¢® ²¥µ ¨£°®ª®¢ i 2 I; ¤«¿ ª®²®°»µ i 6= 0: ¥·¥²ª¨¬ ¿¤°®¬ ½ª®­®¬¨ª¨ ­ §»¢ ¥²±¿ ¬­®¦¥±²¢® ¤®¯³±²¨¬»µ ° ±¯°¥¤¥«¥­¨©, ª®²®°»¥ ­¥ ¡«®ª¨°³¾²±¿ ­¨ª ª¨¬¨ ­¥·¥²ª¨¬¨ ª® «¨¶¨¿¬¨. ˆ­²¥°¯°¥² ¶¨¿ ­¥·¥²ª¨µ ª® «¨¶¨© (¢ ª®­²¥ª±²¥ ½ª®­®¬¨ª¨ ®¡¬¥­ ), ® ª®²®°®© £®¢®°¨«®±¼ ¢»¸¥, ±®±²®¨² ¢ ±«¥¤³¾¹¥¬ (±¬. ª« ­¤, 1983). °¥¤±² ¢¨¬ ±¥¡¥ ®¡¹¥±²¢® Im , ¯®±²°®¥­­®¥ ¯® ®¡° §¶³ I , ­® ±®¤¥°¦ ¹¥¥ ¢ m ° § ¡®«¼¸¥ ¨­¤¨¢¨¤®¢: ¤«¿ ª ¦¤®£® j 2 I ¢ ½²®¬ ®¡¹¥±²¢¥ ¡³¤¥² m ³· ±²­¨ª®¢ ²¨¯  j , ²® ¥±²¼ m ³· ±²­¨ª®¢, ­ ¤¥«¥­­»µ ®¤­®© ¨ ²®© ¦¥ ´³­ª¶¨¥© ¯®«¥§­®±²¨ uj ¨ ² ª¨¬ ¦¥ ­ · «¼­»¬ °¥±³°±®¬ ! j . ‹¾¡ ¿ ª® «¨¶¨¿ A ¨§ Im ®¯°¥¤¥«¿¥²±¿ § ¤ ­¨¥¬ ²¨¯®¢ ¥¥ ³· ±²­¨ª®¢ ¨ ·¨±«®¬ ³· ±²­¨ª®¢ ª ¦¤®£® ²¨¯ , ²® ¥±²¼ ª® «¨¶¨¥© S ¨§ I ¨ ¶¥«»¬¨ ·¨±« ¬¨ amj  m ¤«¿ ª ¦¤®£® j 2 S . ’®² ´ ª², ·²® ª® «¨¶¨¿ A ¬®¦¥² £ ° ­²¨°®¢ ²¼ ­ ¡®° ²®¢ °®¢

253

«¥¬¥­²» ²¥®°¨¨ ª®®¯¥° ²¨¢­»µ ¨£°

yj ª ¦¤®¬³ ¨§ ±¢®¨µ ·«¥­®¢ ²¨¯  j , ¢»° ¦ ¥²±¿ ° ¢¥­±²¢®¬ (¢ ª®²®°®¬ «¥¢ ¿ ¨ ¯° ¢ ¿ · ±²¼ ¯®¤¥«¥­» ­  m ) X amj j X amj j y = !; m m j 2S j 2S ¨«¨, ¥±«¨ ¯®«®¦¨²¼ amj =m = j , ° ¢¥­±²¢®¬

X j 2S

j y j =

X j 2S

j !j :

³±²¼ ª ¦¤»© ³· ±²­¨ª ²¨¯  j ¨¬¥¥² ­ ¡®° ²®¢ °®¢ xi 2 IRl+ , ²®£¤  ½²®² ­ ¡®° ¡«®ª¨°³¥²±¿ ª® «¨¶¨¥© A , ¥±«¨ ­ ©¤¥²±¿ ² ª®¥ ° ±¯°¥¤¥«¥­¨¥ y , ·²®

uj (y j ) > uj (xj ) ¤«¿ «¾¡®£® j 2 S: ’ ª¨¬ ®¡° §®¬, ¥±«¨ ¯°¨­¿²¼ ¢® ¢­¨¬ ­¨¥ ²®, ·²® ¢¥¹¥±²¢¥­­»¥ ·¨±«  ¬®¦­® ±ª®«¼ ³£®¤­® ²®·­®  ¯¯°®ª±¨¬¨°®¢ ²¼ ° ¶¨®­ «¼­»¬¨, ¬» ¬®¦¥¬ ¢»¡° ²¼ ¶¥«»¥ ·¨±«  amj ² ª, ·²® ¯°¨ m ! +1 ¬» ¡³¤¥¬ ¯®«³· ²¼ ¦¥« ¥¬³¾  ¯¯°®ª±¨¬ ¶¨¾ ¤«¿ «¾¡»µ j . ‚ ½²®¬ ±¬»±«¥ ¬®¦­® ±ª § ²¼, ·²® ­¥·¥²ª¨¥ ª® «¨¶¨¨ ¯°¥¤±² ¢«¿¾² ±®¡®© ª® «¨¶¨¨ ¢ ½ª®­®¬¨ª¥,  ­ «®£¨·­®© ¯¥°¢®­ · «¼­®© ½ª®­®¬¨ª¥, ­® ± ®·¥­¼ ¡®«¼¸¨¬ ·¨±«®¬ ¨­¤¨¢¨¤®¢. H ª®­¥¶, ®¯°¥¤¥«¥­¨¥ ­¥·¥²ª®£® ¿¤°  ´®°¬³«¨°³¥²±¿ ±«¥¤³¾¹¨¬ ®¡° §®¬ (¬» ¨±¯®«¼§³¥¬ ¯®«®¦¨²¥«¼­³¾ ®¤­®°®¤­®±²¼ ´³­ª¶¨¨ V ). ‘ -¿¤°®¬ ­¥·¥²ª®© ª®®¯¥° ²¨¢­®© ¨£°» V (¨«¨ ­¥·¥²ª¨¬ c -¿¤°®¬ ¨£°» V ) ­ §»¢ ¥²±¿ ¬­®¦¥±²¢®

C (V ) = fx 2 IRI : x1 + : : : + xn = V (e); x  V ( ) ¤«¿ ¢±¥µ  2 IRI+ g; £¤¥ e = (1; : : :; 1) . °¥¤¯®«®¦¨¬ ²¥¯¥°¼, ·²® v | ±² ­¤ °²­ ¿ ª®®¯¥° ²¨¢­ ¿ ¨£° . ¥¯®±°¥¤±²¢¥­­® ¨§ ®¯°¥¤¥«¥­¨© ±«¥¤³¥², ·²® ½²  ¨£° 

254

ƒ« ¢  6

±¡ « ­±¨°®¢ ­ , ¥±«¨ v (I ) = v  (e) . Ž­  ¢¯®«­¥ ±¡ « ­±¨°®¢ ­ , ¨«¨ ²®² «¼­® ±¡ « ­±¨°®¢ ­  (²® ¥±²¼ ±¡ « ­±¨°®¢ ­  «¾¡ ¿ ¥¥ ¯®¤-¨£°  ± ¬­®¦¥±²¢®¬ ¨£°®ª®¢ S  I , ®¯°¥¤¥«¿¥¬ ¿ ±³¦¥­¨¥¬ ¨±µ®¤­®© ¨£°» ­  S ), ¥±«¨ v (S ) = v  (eS ) ¤«¿ ¢±¥µ S . Š®­¥·­® ¦¥, v (S )  v  (eS ) ¤«¿ «¾¡®© S . ”³­ª¶¨¿ v  ¿¢«¿¥²±¿ ­ ¨¬¥­¼¸¥© ±³¯¥°«¨­¥©­®© (²® ¥±²¼ ¢®£­³²®© ¨ ¯®«®¦¨²¥«¼­® ®¤­®°®¤­®©) ´³­ª¶¨¥©, ¡®«¼¸¥© ·¥¬ ¤¨±ª°¥²­ ¿ ´³­ª¶¨¿ v . Š ª ³¦¥ ®²¬¥· «®±¼ ¢ ° §¤¥«¥ 6.1, ±«¥¤³¾¹¥¥ ¯°¥¤«®¦¥­¨¥ µ®°®¸® ¨§¢¥±²­® (±¬. ®­¤ °¥¢ , 1963; Shapley, 1967; Aubin, 1981a).

’¥®°¥¬  6.3.1. ‘ -¿¤°® C (v) (±² ­¤ °²­®©) ª®®¯¥° -

²¨¢­®© ¨£°» v ­¥¯³±²® ²®£¤  ¨ ²®«¼ª® ²®£¤ , ª®£¤  v ±¡ « ­±¨°®¢ ­ . ‚ ½²®¬ ±«³· ¥ C (v ) = C (v ) .

Œ» ¯°¨¢¥¤¥¬ §¤¥±¼ ­ ¡°®±®ª ¤®ª § ²¥«¼±²¢  ½²®© ²¥®°¥¬». Š ª ¬» ®²¬¥· «¨ ²®«¼ª® ·²®, ±¡ « ­±¨°®¢ ­­®±²¼ ®§­ · ¥², ·²® v (I ) = v  (e) . …±«¨ V | ±³¯¥°«¨­¥©­ ¿ ­¥·¥²ª ¿ ¨£° , ²® (±¬. Aubin, 1981a) ¥¥ c -¿¤°® ±®¢¯ ¤ ¥² ± ±³¯¥°¤¨´´¥°¥­¶¨ «®¬ @V (e) ´³­ª¶¨¨ V ¢ ²®·ª¥ e = (1; : : :; 1) , ²® ¥±²¼

C (V ) = @V (e); ¯°¨·¥¬ ±³¯¥°¤¨´´¥°¥­¶¨ « ¢®£­³²®© ´³­ª¶¨¨ f ¢ ²®·ª¥  ®¯°¥¤¥«¿¥²±¿ ´®°¬³«®©

@f ( ) = fx 2 Rn : f ( ) ; f (t)  (x;  ; t); 8 t 2 Rn g: ®±ª®«¼ª³ ®·¥¢¨¤­®, ·²® C (v )  C (v ) (² ª ª ª ¢ ­¥·¥²ª®¬ ±«³· ¥ ¯°®±²® ¡®«¼¸¥ ®£° ­¨·¥­¨© ¨«¨ ®­¨ ¡®«¥¥ ±¨«¼­»¥, ². ª. v(S )  v (eS ) ), ²® ¨§ ­¥¯³±²®²» ±³¯¥°¤¨´´¥°¥­¶¨ «  ¢®£­³²®© ´³­ª¶¨¨ ±«¥¤³¥² ­¥¯³±²®²  C (v ) . ³±²¼ v | ±² ­¤ °²­ ¿ ¨£° . Œ­®¦¥±²¢®

A(v) = fx 2 RI : x(S )  v (S ); 8S  I g

«¥¬¥­²» ²¥®°¨¨ ª®®¯¥° ²¨¢­»µ ¨£°

255

­ §»¢ ¥²±¿ (±¬. Aubin, 1981a; Sharkey, 1981) ¬­®¦¥±²¢®¬ ¯°¨¥¬«¥¬»µ ¢¥ª²®°®¢ (¨«¨ ¯°¨¥¬«¥¬»µ ¨±µ®¤®¢), ¨«¨ ¯°®±²® ¯°¨¥¬«¥¬»¬ ¬­®¦¥±²¢®¬. „«¿ ­¥·¥²ª®© ª®®¯¥° ²¨¢­®© ¨£°» V ¯°¨¥¬«¥¬®¥ ¬­®¦¥±²¢® A(V ) ®¯°¥¤¥«¿¥²±¿  ­ «®£¨·­®:

A(V ) = fx 2 RI : x  v( ); 8  2 [0; 1]ng: Ž·¥¢¨¤­® (±¬. ®ª ´¥««¥°, 1973; Aubin, 1981a,b), ·²® ­¨¦­¿¿ ®¯®°­ ¿ ´³­ª¶¨¿ p ¬­®¦¥±²¢  A(v ) , ®¯°¥¤¥«¿¥¬ ¿ ° ¢¥­±²¢®¬ pA(v)( ) = inf f(x;  ) : x 2 A(v)g; ±®¢¯ ¤ ¥² ± ´³­ª¶¨¥© v  . ®«¥¥ ²®£®, pA(v) ( ) = pA(v ) ( ) ,   ±«¥¤®¢ ²¥«¼­®, A(v ) = A(v ) . Ÿ±­®, ·²® A(v ) | ­¥¯³±²®¥, § ¬ª­³²®¥, ¢»¯³ª«®¥ ¬­®¦¥±²¢®. Ž­® Rn+ | ³±²®©·¨¢®, ²® ¥±²¼ A(v ) = A(v ) + Rn+ . ‘³¯¥°¤¨´´¥°¥­¶¨ ¶¨¿ @v (e) ¥±²¼ ¬­®¦¥±²¢® ²¥µ ²®·¥ª x ¬­®¦¥±²¢  A(v ) = A(v ) , ¤«¿ ª®²®°»µ xe = v(e) = v (e) . € ½²® ¨ ¥±²¼ ª ª ° § c -¿¤°® (¨«¨ ­¥·¥²­®¥ c -¿¤°®), ². ¥. C (v ) = C (v  ) .

‡ ¬¥· ­¨¥ 6.3.1. ¥²°³¤­® § ¬¥²¨²¼, ·²® ¥±«¨ ¨£°  ²®-

² «¼­® ±¡ « ­±¨°®¢ ­ , ²® ­¥·¥²­ ¿ ¨£°  v  ¿¢«¿¥²±¿ ¯°®¤®«¦¥­¨¥¬ ±² ­¤ °²­®© ª®®¯¥° ²¨¢­®© ¨£°» v ± ¢¥°¸¨­ ¥¤¨­¨·­®£® ª³¡  ­  ¢¥±¼ ª³¡. ‘³¹¥±²¢³¾² ¨ ¤°³£¨¥ ¢ °¨ ­²» ¯°®¤®«¦¥­¨¿ ¨£°» v ­  ª³¡. ’ ª, ­ ¯°¨¬¥°, µ®°®¸® ¨§¢¥±²­® ¬³«¼²¨«¨­¥©­®¥ ° ±¸¨°¥­¨¥ Ž³½­  (Owen, 1972), ®¯°¥¤¥«¿¥¬®¥ ¤«¿ ¨£°» v ±«¥¤³¾¹¨¬ ®¡° §®¬:

v~( ) =

Q

Q

X S

pS ( )v (S );

£¤¥ pS ( ) = i2S i i2I nS (1 ; i ) . ˆ­²¥°¥±­®, ·²® ¯°¨ ½²®¬ ¢¥ª²®° ˜¥¯«¨ ®ª §»¢ ¥²±¿ ° ¢­»¬ ¨­²¥£° «³ ®² £° ¤¨¥­²  ´³­ª¶¨¨ v ¯® £« ¢­®© ¤¨ £®­ «¨ ª³¡  [0; 1]n .

256

ƒ« ¢  6

‡ ¬¥· ­¨¥ 6.3.2. ¥®¡µ®¤¨¬® ³¯®¬¿­³²¼ ¥¹¥ ®¤­® ®¡®¡¹¥-

­¨¥ ª®®¯¥° ²¨¢­»µ ¨£°, ±¢¿§ ­­®¥ ± ° ±±¬®²°¥­¨¥¬ ¡¥±ª®­¥·­»µ ¬­®¦¥±²¢ ¨£°®ª®¢. ˆ£°» ± ª®­²¨­³³¬®¬ ³· ±²­¨ª®¢ ¨±¯®«¼§³¾²±¿, ¢ · ±²­®±²¨, ¤«¿ ¬®¤¥«¨°®¢ ­¨¿ ±¨²³ ¶¨© ± ®·¥­¼ ¡®«¼¸¨¬ ·¨±«®¬ ³· ±²­¨ª®¢ (±¬. ­ ¯°¨¬¥°, €³¬ ­, ˜¥¯«¨, 1977). 6.4. °¨«®¦¥­¨¿ ª®®¯¥° ²¨¢­»µ ¨£°

Œ­®£®·¨±«¥­­®±²¼ ° §«¨·­»µ ½ª®­®¬¨·¥±ª¨µ ¯°¨«®¦¥­¨© ª®®¯¥° ²¨¢­»µ ¨£° ¢® ¬­®£®¬ ±¢¿§ ­ , ­ ¯°¨¬¥°, ± ²¥¬, ·²® ¬­®£¨¥ °¥¸¥­¨¿, ¨¬¥¾¹¨¥ ®¡¹¥±²¢¥­­³¾ §­ ·¨¬®±²¼, ¢°¿¤ «¨ ¬®£³² ¯°¨­¨¬ ²¼±¿ ­  ®±­®¢¥ °»­®·­»µ ¬¥µ ­¨§¬®¢, ¨¡® ­¥ ¡³¤³² ¢ ¤®±² ²®·­®© ¬¥°¥ ¨±¯®«¼§®¢ ²¼±¿ ª®®¯¥° ²¨¢­»¥ ¢®§¬®¦­®±²¨, ·²® ¬®¦¥² ¯°¨¢®¤¨²¼ ª ­¥½´´¥ª²¨¢­®±²¨ ¯°¨ ± ¬®±²®¿²¥«¼­»µ ¤¥©±²¢¨¿µ  £¥­²®¢. °®±²¥©¸¨¬ ¯°¨¬¥°®¬ §¤¥±¼ ¬®¦¥² ±«³¦¨²¼ ¯°®¨§¢®¤±²¢® ¯³¡«¨·­»µ ¯°®¤³ª²®¢ (®¡¹¥±²¢¥­­»µ ¡« £ ¨«¨ ¯°®¤³ª²®¢ ®¡¹¥±²¢¥­­®£® ¯®²°¥¡«¥­¨¿ | public goods). —²®¡» ¨±¯° ¢¨²¼ ½²¨ ­¥¤®±² ²ª¨ °»­®·­»µ ¬¥µ ­¨§¬®¢, ¯°¥¤« £ ¥²±¿ ¬­®¦¥±²¢® ­®°¬ ²¨¢­»µ °¥¸¥­¨©, ª®²®°»¥ ¯°¥¤±² ¢«¿¾²±¿ ³¬¥±²­»¬¨ ¢ ° §«¨·­»µ ±¨²³ ¶¨¿µ ¯°¨­¿²¨¿ °¥¸¥­¨©. °¥¦¤¥ ·¥¬ ®±² ­®¢¨²¼±¿ ¯®¤°®¡­¥¥ ­  ¯°¨«®¦¥­¨¿µ ª®®¯¥° ²¨¢­»µ ¨£°, ¬» ¯°¨¢¥¤¥¬ ®¯°¥¤¥«¥­¨¥ ±®£« ±®¢ ­­®±²¨ °¥¸¥­¨© ª®®¯¥° ²¨¢­»µ ¨£°, ª®²®°®¥ ¨£° ¥² ®·¥­¼ ¢ ¦­³¾ °®«¼ ¢ ±®¢°¥¬¥­­»µ ¨±±«¥¤®¢ ­¨¿µ ª®®¯¥° ²¨¢­»µ ¨£° ¨ ¨µ ¯°¨«®¦¥­¨© ¨ ª®²®°»¥ ­¥«¼§¿ ­¥ ³¯®¬¿­³²¼ ¤ ¦¥ ¢ ±²®«¼ ª° ²ª®¬ ª³°±¥. Œ» ª° ²ª® ®¯¨¸¥¬ §¤¥±¼ ±¢®©±²¢® ±®£« ±®¢ ­­®±²¨ ¢ ¤®±² ²®·­® ®¡¹¥¬ ´®°¬¥ (¯®¤°®¡­»© ®¡§®° °¥§³«¼² ²®¢, ª ± ¾¹¨µ±¿ ½²®© ¯°®¡«¥¬ ²¨ª¨ ¬®¦­® ­ ©²¨ ¢ ° ¡®²¥ ‚. ’®¬±®­  (Thomson, 1996). ³±²¼ M | ¡¥±ª®­¥·­®¥ ¬­®¦¥±²¢® À¯®²¥­¶¨ «¼­»µÁ  £¥­²®¢. Œ» ±·¨² ¥¬, ·²® M = IN; £¤¥ IN | ¬­®¦¥±²¢® ­ ²³° «¼­»µ ·¨±¥«. ³±²¼  | ±¥¬¥©±²¢® ¢±¥µ ª®­¥·­»µ ¯®¤¬­®¦¥±²¢ ¬­®¦¥±²¢  IN; ½«¥¬¥­²» ª®²®°®£® ¬» ¡³¤¥¬ ®¡®§­ · ²¼ N; N 0; N 00; : : : . „«¿ «¾¡®© £°³¯-

«¥¬¥­²» ²¥®°¨¨ ª®®¯¥° ²¨¢­»µ ¨£°

257

¯» N 2  ®¡®§­ ·¨¬ ·¥°¥§ X N ¬­®¦¥±²¢®  «¼²¥°­ ²¨¢, ¤®±²³¯­»µ £°³¯¯¥ N; ¨§ ª®²®°®£® £°³¯¯  ¤®«¦­  ®±³¹¥±²¢¨²¼ ±¢®© ¢»¡®°. ³±²¼ DN | ±¥¬¥©±²¢® ¢±¥µ ¢®§¬®¦­»µ § ¤ ·, ± ª®²®°»¬¨ ¬®£³² ±²®«ª­³²¼±¿ ·«¥­» N: Š ¦¤»© ½«¥¬¥­² DN § ¤ ¥²±¿ ¤®¯³±²¨¬»¬ ¬­®¦¥±²¢®¬, ²® ¥±²¼ ­¥ª®²®°»¬ ¯®¤¬­®¦¥±²¢®¬ X N ; ³¤®¢«¥²¢®°¿¾¹¨¬ ª ª¨¬-«¨¡® ³±«®¢¨¿¬,   ² ª¦¥ ¤ ­­»¬¨, ®¯¨±»¢ ¾¹¨¬¨ ®ª°³¦ ¾¹³¾ ®¡±² ­®¢ª³, ¢ª«¾· ¾¹¨¬¨, ª ª ¯° ¢¨«®, ¯°¥¤¯®·²¥­¨¿ ³· ±²­¨ª®¢ ­  ¤®¯³±²¨¬®¬ ¬­®¦¥±²¢¥. „«¿ ¤ ­­®© £°³¯¯» N 2  ¨ § ¤ ·¨ D 2 DN ¬» µ®²¨¬ ®¯°¥¤¥«¨²¼, ª ª³¾ ¤®¯³±²¨¬³¾  «¼²¥°­ ²¨¢³ ¨§ D £°³¯¯  N ¢»¡¥°¥² ª ª ª®¬¯°®¬¨±± ¨«¨, ¢ § ¢¨±¨¬®±²¨ ®² ¨­²¥°¯°¥² ¶¨¨, ª ª³¾  «¼²¥°­ ²¨¢³ ¨§ D ¡³¤¥² °¥ª®¬¥­¤®¢ ²¼ ¨¬ ¡¥±¯°¨±²° ±²­»©  °¡¨²°. S S Ž¡®§­ ·¨¬ E = N 2 DN ¨ X = N 2 X N . ¥¸¥­¨¥¬ ­  E ­ §»¢ ¥²±¿ ´³­ª¶¨¿ ' : E ! X; ª®²®° ¿ ±² ¢¨² ¢ ±®®²¢¥²±²¢¨¥ ª ¦¤®¬³ N 2  ¨ D 2 DN  «¼²¥°­ ²¨¢³ (¨«¨ ¬­®¦¥±²¢®  «¼²¥°­ ²¨¢, ¥±«¨ £®¢®°¨²¼ ® ¬­®£®§­ ·­®¬ °¥¸¥­¨¨) ¨§ ¤®¯³±²¨¬®£® ¬­®¦¥±²¢  D: ²   «¼²¥°­ ²¨¢  ®¡®§­ · ¥²±¿ ·¥°¥§ '(D) ¨ ­ §»¢ ¥²±¿ °¥¸¥­¨¥¬ D: ¥´®°¬ «¼­® ±¢®©±²¢® ±®£« ±®¢ ­­®±²¨14 ¬®¦­® ®¯¨± ²¼ ±«¥¤³¾¹¨¬ ®¡° §®¬. ¥¸¥­¨¥ ¡³¤¥² ®¡« ¤ ²¼ ±¢®©±²¢®¬ ±®£« ±®¢ ­­®±²¨, ¥±«¨ ¤«¿ «¾¡®© § ¤ ·¨, ± ª®²®°®© ±² «ª¨¢ ¥²±¿ ­¥ª®²®° ¿ £°³¯¯  N; ¢±¿ª¨© ° §, ª®£¤  ®­® (°¥¸¥­¨¥) ¡³¤¥² °¥ª®¬¥­¤®¢ ²¼ ­¥ª®²®°»© ¨±µ®¤ x ¢ ª ·¥±²¢¥ °¥¸¥­¨¿ ½²®© § ¤ ·¨, ®­® ¡³¤¥² «¾¡®© ¯®¤£°³¯¯¥ N 0  N °¥ª®¬¥­¤®¢ ²¼ ±³¦¥­¨¥ x ­  N 0 ¢ ª ·¥±²¢¥ °¥¸¥­¨¿ À°¥¤³¶¨°®¢ ­­®© § ¤ ·¨Á, ± ª®²®°®© ±² «ª¨¢ ¥²±¿ N 0; ²® ¥±²¼ § ¤ ·¨, ¢®§­¨ª ¾¹¥© ¨§ ¨±µ®¤­®© § ¤ ·¨, ¥±«¨ ³· ±²­¨ª ¬ ¤®¯®«­¥­¨¿ N n N 0 À ²°¨¡³²¨°®¢ ²¼Á ¨µ ª®¬¯®­¥­²» x . (‡¤¥±¼, ª®­¥·­®, ­³¦­® ¨¬¥²¼ ¢ ¢¨¤³, ·²® °¥¸¥­¨¥ ¤®«¦­® ¡»²¼ ° §«®¦¨¬»¬ ¢ ²®¬ ±¬»±«¥, ·²® ¬®¦­® £®¢®°¨²¼ ® ±®®²¢¥²±²¢³¾¹¨µ ª®¬¯®­¥­² µ.) „«¿ ´®°¬ «¼­®£® ®¯¨± ­¨¿ ±®£« ±®¢ ­­®±²¨ ­ ¬ ¯®­ ¤®¡¨²±¿ ¯®­¿²¨¥ °¥¤³¶¨°®¢ ­­®© § ¤ ·¨. ³±²¼ N; N 0 2 ; N 0  14

Consistency.

258

ƒ« ¢  6

N; D 2 DN ; x 2 D . ¥¤³¶¨°®¢ ­­®© § ¤ ·¥© D ®²­®±¨²¥«¼­® N 0 ¨ x ¿¢«¿¥²±¿ § ¤ · , ±®±²®¿¹ ¿ ¨§ ²¥µ  «¼²¥°­ ²¨¢ ¨§ D; ¤«¿ ª®²®°»µ ¢±¥ ª®¬¯®­¥­²», ±®®²¢¥²±²¢³¾¹¨¥ ¤®¯®«­¥­¨¾ N n N 0; ¿¢«¿¾²±¿ ±®®²¢¥²±²¢¥­­»¬¨ ª®¬¯®­¥­² ¬¨ x: ’ ª³¾ § ¤ ·³ ¬» ¡³¤¥¬ ®¡®§­ · ²¼ ·¥°¥§ r(D; N 0; x): ¥¸¥­¨¥ ' : E ! X ³¤®¢«¥²¢®°¿¥² ±¢®©±²¢³ ±®£« ±®¢ ­­®±²¨ (  ¢ ±«³· ¥ ª®®¯¥° ²¨¢­»µ ¨£° · ±²® £®¢®°¿² ² ª¦¥ ® ±¢®©±²¢¥ °¥¤³¶¨°³¥¬®±²¨ ¨«¨ ±¢®©±²¢¥ °¥¤³¶¨°®¢ ­­®© ¨£°» | reduced game property), ¥±«¨ ¨¬¥¥² ¬¥±²® ±«¥¤³¾¹¥¥ ±¢®©±²¢®. …±«¨ ¤«¿ ¢±¥µ £°³¯¯ N; N 0 2  , ² ª¨µ ·²® N 0  N , ¨ ¢±¥µ § ¤ · D 2 DN ·¥°¥§ x ®¡®§­ ·¨²¼ °¥¸¥­¨¥ D , ²® xjN ¿¢«¿¥²±¿ °¥¸¥­¨¥¬ °¥¤³¶¨°®¢ ­­®© § ¤ ·¨ D ®²­®±¨²¥«¼­® N 0 ¨ x , ¥±«¨ °¥¤³¶¨°®¢ ­­ ¿ § ¤ ·  «¥¦¨² ¢ DN 0 : ¤«¿ «¾¡»µ N; N 0 2  , ² ª¨µ ·²® N 0  N , ¤«¿ «¾¡®© § ¤ ·¨ D 2 DN ¨ ¤«¿ «¾¡®£® x 2 D x = '(D); r(D; N 0; x) 2 DN 0 =) xjN 0 = '(D; N 0; x): …±«¨, ­ ¯°¨¬¥°, v | ª®®¯¥° ²¨¢­ ¿ ¨£°  ± ¬­®¦¥±²¢®¬ ¨£°®ª®¢ I , ²® °¥¤³¶¨°®¢ ­­ ¿ ¨£°  ¬®¦¥² ¡»²¼ ®¯°¥¤¥«¥­  ° §«¨·­»¬¨ ±¯®±®¡ ¬¨. ‘ª ¦¥¬, ¯® „½¢¨±³-Œ ¸«¥°³, °¥¤³¶¨°®¢ ­­ ¿ ­  S ¢ x ¨£°  (S; vSx ) ®¯°¥¤¥«¿¥²±¿ ±«¥¤³¾¹¨¬ ®¡° §®¬ (±¬., ­ ¯°¨¬¥°, Maschler, 1992): vSx (S ) = x(S ); vSx (T ) = maxQI nS [v (T [ Q) ; x(Q)]; ; 6= T  S; T 6= S: ²® ®¯°¥¤¥«¥­¨¥ ±«³¦¨² ®±­®¢®© ¤«¿ ¸¨°®ª®£® ±¯¥ª²°  ¬®¤¨´¨ª ¶¨© ¯®­¿²¨¿ ±®£« ±®¢ ­­®±²¨. ’ ª, ­ ¯°¨¬¥°, ±³¹¥±²¢¥­­³¾ °®«¼ ¨£° ¥² ­¥ ²®«¼ª® ±¢®©±²¢® ±®£« ±®¢ ­­®±²¨, ­® ¨ ² ª ­ §»¢ ¥¬®¥ ±¢®©±²¢® ®¡° ²­®© ±®£« ±®¢ ­­®±²¨, ª®²®°®¥ ¨¬¥¥² ¤¥«® ± À¤¢®©±²¢¥­­®© ®¯¥° ¶¨¥©Á: ¦¥« ²¥«¼­®±²¼ ª ª®£®-²® ¨±µ®¤  ¤«¿ ­¥ª®²®°®© § ¤ ·¨ ¢»¢®¤¨²±¿ ¨§ ¦¥« ²¥«¼­®±²¨ ¥£® ±³¦¥­¨¿ ­  ¢±¥ ¯®¤£°³¯¯», ±®±²®¿¹¨¥ ¨§ ¤¢³µ ³· ±²­¨ª®¢, ¤«¿ °¥¤³¶¨°®¢ ­­»µ § ¤ ·, ± ª®²®°»¬¨ ±² «ª¨¢ ¾²±¿ ½²¨ ¯®¤£°³¯¯». ”®°¬ «¼­® £®¢®°¿, °¥¸¥­¨¥ ' ³¤®¢«¥²¢®°¿¥² ±¢®©±²¢³ ®¡° ²­®© ±®£« ±®¢ ­­®±²¨, ¥±«¨ ¤«¿ «¾¡®©

«¥¬¥­²» ²¥®°¨¨ ª®®¯¥° ²¨¢­»µ ¨£°

259

£°³¯¯» N 2  , «¾¡®© § ¤ ·¨ D 2 DN ¨ «¾¡®£® ¤®¯³±²¨¬®£® x 2 D ¢»¯®«­¿¥²±¿ ±«¥¤³¾¹¥¥ ³±«®¢¨¥: ¥±«¨ ¤«¿ «¾¡®© £°³¯¯» N 0  N ² ª®©, ·²® jN 0j = 2 , r(D; N 0; x) 2 DN 0 ¨ xjN 0 = '(D; N 0; x) , ²® x = '(D) . ˆ¬¥­­® ­  ±®£« ±®¢ ­­®±²¨ ¨«¨ ­  ±¢®©±²¢¥ °¥¤³¶¨°®¢ ­­®±²¨ ®±­®¢ ­» ¬­®£®·¨±«¥­­»¥ ±¨±²¥¬»  ª±¨®¬, ®¯°¥¤¥«¿¾¹¨¥ c -¿¤°®, n -¿¤°®, k -¿¤°® ¨ ². ¤. (±¬., ­ ¯°¨¬¥°, ‘®¡®«¥¢, 1975; Maschler, 1992; Peleg, 1992 ¨ ¤°.). Š ª ³¦¥ £®¢®°¨«®±¼, ±¯¥ª²° ¯°¨«®¦¥­¨© ª®®¯¥° ²¨¢­»µ ¨£° ¢ ­ ±²®¿¹¥¥ ¢°¥¬¿ ®£°®¬¥­ ¨ ¯¥°¥·¨±«¨²¼ ¢±¥ ¨§¢¥±²­»¥ ª ­ ±²®¿¹¥¬³ ¬®¬¥­²³ ¯°¨«®¦¥­¨¿ ¯°®±²® ­¥¢®§¬®¦­®, ²¥¬ ¡®«¥¥, ·²® ®­ ¯®±²®¿­­® ° ±¸¨°¿¥²±¿. ®½²®¬³ ¬» ®£° ­¨·¨¬±¿ §¤¥±¼ «¨¸¼ ª° ²ª¨¬ ¯¥°¥·¨±«¥­¨¥¬ ­¥ª®²®°»µ ¨§ ­¨µ, ­¥ ¤ ¢ ¿ ¯®¤°®¡­»µ ª®¬¬¥­² °¨¥¢ ¨ ­¥ ³ª §»¢ ¿ ­  ° §«¨·­»¥ ¯®¤µ®¤» ª ¨±±«¥¤®¢ ­¨¾ ±®®²¢¥²±²¢³¾¹¨µ ¬®¤¥«¥©. ®«¥¥ ²®£®, ¬» ³ª ¦¥¬ «¨¸¼ ²¥ ¬®¤¥«¨, ´®°¬³«¨°®¢ª¨ ª®²®°»µ ­¥ ²°¥¡³¥² ¡®«¼¸¨µ ´®°¬ «¼­®±²¥©. ®-¢¨¤¨¬®¬³, ­ · ²¼ ½²® ¯¥°¥·¨±«¥­¨¥ ±«¥¤³¥² ± ®¡¹¥£® ½ª®­®¬¨·¥±ª®£® ° ¢­®¢¥±¨¿. Š« ±±¨·¥±ª¨¥ °¥§³«¼² ²» ® ±®¢¯ ¤¥­¨¨ ° ¢­®¢¥±¨¿, ¿¤°  ¨ §­ ·¥­¨¿ ¢ ¡®«¼¸¨µ ½ª®­®¬¨ª µ, ® ±®¢¯ ¤¥­¨¨ ¬­®¦¥±²¢  ° ¢­®¢¥±¨© ¯® ‚ «¼° ±³ ± ­¥·¥²ª¨¬ ¿¤°®¬ ½ª®­®¬¨ª¨ ®¡¬¥­ , ® ±¢¿§¨ ¿¤°  ½ª®­®¬¨ª¨ ®¡¬¥­  ± c -¿¤°®¬ ±®®²¢¥²±²¢³¾¹¥© ¨£°» °»­ª  (±¬. ° §¤¥« 6.3) ¤ ¢­® ³¦¥ § ­¨¬ ¾² ¢ ¦­®¥ ¬¥±²® ¢ ½ª®­®¬¨·¥±ª®© «¨²¥° ²³°¥ (±¬., ­ ¯°¨¬¥°, €³¬ ­, ˜¥¯«¨, 1977; ‚ ±¨«¼¥¢, 1984; ƒ¨«¼¤¥­¡° ­¤, 1986; ®§¥­¬¾««¥°, 1974; ª« ­¤, 1983; Aubin, 1979; Mas-Colell, Whinston, Green, 1995 ¨ ¤°.). Ž¤¨­ ¨§ ¢ ¦­¥©¸¨µ ª« ±±®¢ ¯°¨«®¦¥­¨© ±®±² ¢«¿¾² § ¤ ·¨ ° ±¯°¥¤¥«¥­¨¿ § ²° ², ¯°¨¡»«¨. Œ» ¯®¤°®¡­® ° ±±¬®²°¨¬ § ¤ ·¨ ½²®£® ²¨¯  ¢ £«. 7, ¯®½²®¬³ §¤¥±¼ ¬» ¤®±² ²®·­® ª° ²ª® ³¯®¬¿­¥¬ «¨¸¼ ¯®±² ­®¢ª³ § ¤ ·, ¤«¿ ¬®¤¥«¨°®¢ ­¨¿ ª®²®°»µ ¨±¯®«¼§³¾²±¿ ®²­®±¨²¥«¼­® ¯°®±²»¥ ª®®¯¥° ²¨¢­»¥ ¨£°». Š ¯°®±²¥©¸¨¬ ª®®¯¥° ²¨¢­»¬ ¨£° ¬ ®²­®±¿²±¿  ª±¨®¬ ²¨·¥±ª¨¥ § ¤ ·¨ ²®°£  ¨«¨  °¡¨²° ¦­»¥ ±µ¥¬», ª®²®°»¥ ¬» ³¯®¬¨­ «¨ ¢ ° §¤¥«¥ 6.2. °¨ ¢±¥© ¯°®±²®²¥ ±¢®¥£® ®¯°¥-

260

ƒ« ¢  6

¤¥«¥­¨¿,  ª±¨®¬ ²¨·¥±ª¨¥ ¬®¤¥«¨ ²®°£  | ½²® ¢¥±¼¬  ±³¹¥±²¢¥­­»© ¨ ­ ¨¡®«¥¥ ¯°®¤¢¨­³²»© ¨­±²°³¬¥­² ¨±±«¥¤®¢ ­¨¿ ¢ ²¥®°¨¨ ¡« £®±®±²®¿­¨¿ (±¬, ­ ¯°¨¬¥°, Œ³«¥­, 1991). Ž­¨ ­ ¸«¨ ² ª¦¥ ±¢®¥ ¯°¨¬¥­¥­¨¥ ¨ ¢ ²¥®°¨¨ ´¨°¬», ¨ ¢ ²¥®°¨¨ ®°£ ­¨§ ¶¨¨ ¯°®¬»¸«¥­­®±²¨, ±ª ¦¥¬, ¯°¨ ° ±±¬®²°¥­¨¨ ¢§ ¨¬®®²­®¸¥­¨© ¬¥¦¤³ ¯®±² ¢¹¨ª®¬ ¨ ¯®ª³¯ ²¥«¥¬ (±¬., ­ ¯°¨¬¥°, Tirole, 1988).  ·­¥¬ ± ¯°¨«®¦¥­¨©, ±¢¿§ ­­»µ ± ¯°®¡«¥¬ ¬¨ ¡ ­ª°®²±²¢  ¨ ­ «®£®®¡«®¦¥­¨¿. ‡ ¤ ·¨, ¢®§­¨ª ¾¹¨¥ ¢ ½²®¬ ª®­²¥ª±²¥, ¬®¦­® ±´®°¬³«¨°®¢ ²¼ ±«¥¤³¾¹¨¬ ®¡° §®¬. ‡ ¤ ·  ¡ ­ª°®²±²¢  (±¬., ­ ¯°¨¬¥°,PThomson, 1996) | ½²® ¯ °  (c; E ) 2 IRI+  IR + , ² ª ¿ ·²® i2I ci  E , £¤¥ I = f1; 2; : : :; ng | ¬­®¦¥±²¢® ¯°¥²¥­¤¥­²®¢ ­  ±®¡±²¢¥­­»© ª ¯¨² « E (²® ¥±²¼ ±²®¨¬®±²¼ ¨¬³¹¥±²¢  §  ¢»·¥²®¬ ®¡¿§ ²¥«¼±²¢) ®¡ ­ª°®²¨¢¸¥©±¿ ´¨°¬»,   ci | ²°¥¡®¢ ­¨¥ i -£® ¯°¥²¥­¤¥­² . ‡ ¤ ·¨ ¡ ­ª°®²±²¢  ° ±±¬ ²°¨¢ «¨±¼, ­ ¯°¨¬¥°, ¢ ° ¡®² µ Aumann, Maschler, 1985; Chun, 1988; Chun, Thomson, 1990; Dagan, Volij, 1993; Thomson, 1995 ¨ ¤°³£¨µ. (‘¬. ² ª¦¥ ¯°¨¬¥° 6 ¢ ° §¤¥«¥ 6.1). …±«¨ ¯®-¤°³£®¬³ ¨­²¥°¯°¥²¨°®¢ ²¼ ±®®²¢¥²±²¢³¾¹³¾ ¯ °³ ¢ IR I+  IR + , ²® ¬» ¯°¨µ®¤¨¬ ª § ¤ ·¥ ­ «®£®®¡«®¦¥­¨¿. € ¨¬¥­­®, § ¤ ·  ­ «®£®®¡«®¦¥­¨¿ | ½²® ¯ °  (w; T ) 2 IRI+  P IR+ , ¯°¨·¥¬ i2I wi  T ; I | ½²® ¬­®¦¥±²¢® ­ «®£®¯« ²¥«¼¹¨ª®¢, wi | ¤®µ®¤ i -£®  £¥­² ,   T | § ²° ²», ª®²®°»¥ ¤®«¦­» ¡»²¼ ¯®ª°»²» §  ±·¥² ­ «®£®¢. ‡ ¤ · ¬ ­ «®£®®¡«®¦¥­¨¿ ¯®±¢¿¹¥­», ­ ¯°¨¬¥°, ° ¡®²» Young, 1986, 1987, 1988, 1994. ‘ § ¤ ·¥© ­ «®£®®¡«®¦¥­¨¿ ²¥±­® ±¢¿§ ­  ¨ § ¤ ·  ° ±¯°¥¤¥«¥­¨¿ ¯°¨¡»«¨. ‡ ¤ ·  ² ª®£® ²¨¯  | ½²® ¯ °  (w; S ) 2 IRI+  IR+ , £¤¥ wi | ¨­¢¥±²¨¶¨¨  £¥­²  i ¢ ±®¢¬¥±²­®¥ ¯°¥¤¯°¨¿²¨¥,   S > 0 | ¯°¨¡»«¼, ¯°¨­®±¨¬ ¿ ½²¨¬ ¯°¥¤¯°¨¿²¨¥¬ (±¬. Moulin, 1985a; Herrero, Maschler, Villar, 1995). ‚ ¤®±² ²®·­® ®¡¹¥© ¯®±² ­®¢ª¥ § ¤ ·³ ° ±¯°¥¤¥«¥­¨¿ § ²° ² ¬®¦­® ª° ²ª® ±´®°¬³«¨°®¢ ²¼ ±«¥¤³¾¹¨¬ ®¡° §®¬. ƒ°³¯¯   £¥­²®¢ (½²® ¬®£³² ¡»²¼ ´¨°¬», £®±³¤ °±²¢ ,

«¥¬¥­²» ²¥®°¨¨ ª®®¯¥° ²¨¢­»µ ¨£°

261

ª ª¨¥-«¨¡® ®°£ ­¨§ ¶¨¨) µ®·¥² °¥ «¨§®¢ ²¼ ­¥ª¨© ¯°®¥ª², °¥ «¨§ ¶¨¿ ª®²®°®£® ¤ ¥² ¢®§¬®¦­®±²¼ ®¡¥±¯¥·¨¢ ²¼ ³· ±²­¨ª®¢ ­¥ª®²®°»¬ ±¯¥¶¨´¨·¥±ª¨¬ ¯°®¤³ª²®¬ (½²® ¬®¦¥² ¡»²¼, ª ¯°¨¬¥°³, §¤ ­¨¥, ¸®±±¥, ¤ ¬¡ ,  ½°®¯®°², ½«¥ª²°®±² ­¶¨¿, ²¥«¥´®­­ ¿ ±² ­¶¨¿ ¨ ². ¯.) Š ª¨¬ ®¡° §®¬ ±«¥¤®¢ «® ¡» ° ±¯°¥¤¥«¨²¼ § ²° ²» ¬¥¦¤³ ³· ±²­¨ª ¬¨ ½²®£® ¯°®¥ª² ? ‡¤¥±¼ ­¥®¡µ®¤¨¬® ®²¬¥²¨²¼, ·²® ­¥ª®²®°»¥ ¯®­¿²¨¿, ¨£° ¾¹¨¥ ¢ ¦­³¾ °®«¼ ¢ ²¥®°¨¨ ª®®¯¥° ²¨¢­»µ ¨£° ¨ ¥¥ ¯°¨«®¦¥­¨¿µ, ¢®§­¨ª«¨ ¤® ²®£®, ª ª ±´®°¬¨°®¢ «±¿ ª®­¶¥¯²³ «¼­»©  ¯¯ ° ² ª®®¯¥° ²¨¢­»µ ¨£°. ’ ª, ­ ¯°¨¬¥°, ¯®­¿²¨¥ c -¿¤° , ª ª ³¦¥ ®²¬¥· «®±¼, ¡»«® ¢¢¥¤¥­® „¦¨««¨±®¬ (Gillies, 1959), ­® ¥£®  ­ «®£, ¯® ±³¹¥±²¢³, ° ±±¬ ²°¨¢ «±¿ ³¦¥ ¢ ª®­¶¥ 30-µ £®¤®¢ ¯°¨ ¨§³·¥­¨¨ ¯°®¡«¥¬» ° ±¯°¥¤¥«¥­¨¿ § ²° ² ¬¥¦¤³ ³· ±²­¨ª ¬¨ ¯°®¥ª² , ±¢¿§ ­­®£® ± ° §¢¨²¨¥¬ ¡ ±±¥©­  °¥ª¨ ’¥­­¥±±¨. “¦¥ ¢ ¯°®¶¥±±¥ ° ¡®²» ­ ¤ ½²¨¬ ¯°®¥ª²®¬ ¡»« ±´®°¬³«¨°®¢ ­ ² ª ­ §»¢ ¥¬»© ¯°¨­¶¨¯ ®²±³²±²¢¨¿ ±³¡±¨¤¨©, ³²¢¥°¦¤ ¾¹¨©, ·²® ­¨ª ª ¿ £°³¯¯  ¯®²°¥¡¨²¥«¥© ­¥ ¤®«¦­  ¯« ²¨²¼ ¬¥­¼¸¥, ·¥¬ ¤®¯®«­¨²¥«¼­»¥ § ²° ²» ­  ¥¥ ®¡±«³¦¨¢ ­¨¥ (²® ¥±²¼ ° §­¨¶  ¢ § ²° ² µ ± ³·¥²®¬ ½²®© ª® «¨¶¨¨ ¨ ¡¥§ ­¥¥). ‘¬. ¯® ½²®¬³ ¯®¢®¤³ ®¡§®° Stran, Heaney, 1981; Driessen, 1988. ”®°¬ «¼­® § ¤ ·  ° ±¯°¥¤¥«¥­¨¿ § ²° ² ¬®¦¥² ¡»²¼ ±´®°¬³«¨°®¢ ­  ±«¥¤³¾¹¨¬ ®¡° §®¬. ³±²¼ C : f0; 1gI ! IR+ , £¤¥ I = f1; 2; : : :; ng , ­¥³¡»¢ ¾¹ ¿ ´³­ª¶¨¿ § ²° ², C (0) = 0 ¨ C | ¯°®±²° ­±²¢® ¢±¥µ ² ª¨µ ´³­ª¶¨© § ²° ². ¥¸¥­¨¥¬ ¿¢«¿¥²±¿ ®²®¡° ¦¥­¨¥ ' : C 2 C ! '(C ) 2 IRI+ ² ª ·²® '1(C ) + '2 (C ) +


+ 'n(C ) = C (e) , £¤¥ e = (1; 1; : : :; 1) . ²³ § ¤ ·³ ¬®¦­® ±´®°¬³«¨°®¢ ²¼ ¢ ¥¹¥ ¡®«¥¥ ®¡¹¥© ´®°¬¥ (±¬., ­ ¯°¨¬¥°, Moulin, 1996). € ¨¬¥­­®, ¯°¥¤¯®«®¦¨¬, ·²® C : IRI+ ! IR+ , ¯°¨·¥¬ ¢¥ª²®° x = (x1; : : :; xn) 2 IRI+ ¨­²¥°¯°¥²¨°³¥²±¿ ª ª ¢¥ª²®° ±¯°®±   £¥­²®¢ ­  ¯°®¤³ª² (³±«³£³),   ¯°®¤³ª² ¯°®¨§¢®¤¨²±¿ ¢ ±®®²¢¥²±²¢¨¨ ± ²¥µ­®«®£¨¥©, ª®²®° ¿ ®¯¨±»¢ ¥²±¿ ´³­ª¶¨¥© § ²° ² C . ‚ ½²®¬ ±«³· ¥ °¥¸¥­¨¥¬

262

ƒ« ¢  6

¿¢«¿¥²±¿ ®²®¡° ¦¥­¨¥ ' : C  IR I+ ! '(C; x) 2 IRI+ , ² ª ·²®

'1(C; x) + '2 (C; x) +


+ 'n(C; x) = C (x1; : : :; xn): ’ ª®¥ ®¡®¡¹¥­¨¥ ­¥ ²®«¼ª® ° ±¸¨°¿¥² ±¯¥ª²° ¯°¨«®¦¥­¨©, ­® ¨, ·²® ­  ­ ¸ ¢§£«¿¤ ¯°¥¤±² ¢«¿¥²±¿ ² ª¦¥ ¤®±² ²®·­® ¨­²¥°¥±­»¬, ¤ ¥² ¥¹¥ ®¤¨­ ¢ ¦­»© ¤®¢®¤ ¢ ¯®«¼§³ ­¥®¡µ®¤¨¬®±²¨ ° ±±¬®²°¥­¨¿ ª®®¯¥° ²¨¢­»µ ¨£° ®¡¹¥£® ¢¨¤  (­ ¯°¨¬¥°, ­¥·¥²ª¨µ ¨«¨ ®¡®¡¹¥­­»µ ª®®¯¥° ²¨¢­»µ ¨£°). Ž¡±³¦¤¥­¨¥ ° §«¨·­»µ ±¯®±®¡®¢ ° ±¯°¥¤¥«¥­¨¿ § ²° ² ¬®¦­® ­ ©²¨, ­ ¯°¨¬¥°, ¢ ° ¡®²¥ Moulin, Shenker, 1994. ˆ±±«¥¤®¢ ­¨¥ ¬­®£®¯°®¤³ª²®¢®£® ±«³· ¿ ­ · «®±¼ ± ° ¡®²» Š®«¯¨­  (Kolpin, 1994), ª®²®°»© ¯°¥¤«®¦¨« µ ° ª²¥°¨§ ¶¨¾ ®¡®¡¹¥­¨¿ ² ª ­ §»¢ ¥¬®£® ±¥°¨©­®£® ¬¥²®¤  ° ±¯°¥¤¥«¥­¨¿ § ²° ². (°¨ ±¥°¨©­®¬ ¬¥²®¤¥  £¥­² 1 ¯« ²¨² 1=n -¾ · ±²¼ § ²° ², ­¥®¡µ®¤¨¬»µ ¤«¿ ¯°®¨§¢®¤±²¢  nd1 . €£¥­² 2 ¯« ²¨² 1=(n ; 1) -¾ · ±²¼ ° §­®±²¨ ¬¥¦¤³ § ²° ² ¬¨ ­  ¯°®¨§¢®¤±²¢® d1 + (n ; 1)d2 ¨ ²¥¬, ·²® § ¯« ²¨«  £¥­² 1, ¨ ². ¤.). ‚¥°¡ «¼­® ¬¥²®¤ Š®«¯¨­  ±®±²®¨² ¢ ±«¥¤³¾¹¥¬: ª ¦¤®© ª® «¨¶¨¨ ¯®²°¥¡¨²¥«¥© ±®¯®±² ¢«¿¥²±¿ ­¥ª®²®°®¥ ¨¬¯«¨¶¨²­®¥ À±®¶¨ «¼­®¥ ¡°¥¬¿Á (§ ²° ²» ­  ¯°®¨§¢®¤±²¢®), ª®²®°®¥ ¡»«® ¡» °¥§³«¼² ²®¬, ¥±«¨ ¡» ±¯°®± ®¡¹¥±²¢  ¢ ¶¥«®¬ À®²° ¦ «Á ¡» ±¯°®± ·«¥­®¢ ½²®© ª® «¨¶¨¨; ½²® ®²¯° ¢­®¥ ¡°¥¬¿ ¨±¯®«¼§³¥²±¿ ¤«¿ ¢»·¨±«¥­¨¿ ²¥µ ¯° ¢, ª®²®°»¥ ª® «¨¶¨¨ ¨¬¥¾² ¯® ®²­®¸¥­¨¾ ª § ¹¨²¥ ®² À§ ²° ²Á; ½²¨ ¯° ¢  ¨¬¥¾² ¯°¨®°¨²¥²», ¨ ª® «¨¶¨¿, ®¡« ¤ ¾¹ ¿ ¢»±¸¨¬ ¯°¨®°¨²¥²®¬, ° ±¯°¥¤¥«¿¥² ±¢®¥ ¡°¥¬¿ ° ¢­®¬¥°­® ¬¥¦¤³ ±¢®¨¬¨ ·«¥­ ¬¨; ®±² ¢¸¨¥±¿ § ²° ²» ° ±¯°¥¤¥«¿¾²±¿ ¬¥¦¤³ ®±² ¢¸¨¬¨±¿  £¥­² ¬¨ ¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼­»¬ ¯°¨¬¥­¥­¨¥¬ ½²®£® ¯° ¢¨« . ‚ ½²®¬ ¦¥ ª®­²¥ª±²¥ ­¥®¡µ®¤¨¬® ³¯®¬¿­³²¼ § ¤ ·¨ ¶¥­®®¡° §®¢ ­¨¿. ”®°¬ «¼­ ¿ ¬®¤¥«¼ ² ª®¢ . °¥¤¯®«®¦¨¬, ·²® I | ¬­®¦¥±²¢® ²®¢ °®¢ (commodities). „«¿ ¤ ­­®£®  2 IRI+ , ¨­²¥°¯°¥²¨°³¥¬®£® ª ª ¢¥ª²®° ¬ ª±¨¬ «¼­®£® ¢»¯³±ª , ®¯°¥¤¥«¥­  ´³­ª¶¨¿ § ²° ² C : fx 2 IR I+ : x  g ! IR1 , ² ª ¿ ·²® C (O) = 0 . —¨±«® C (x) ¨­²¥°¯°¥²¨°³¥²±¿ ª ª § ²° ²» ­  ¯°®¨§¢®¤±²¢® ¢¥ª²®°  ¢»¯³±ª  x .

«¥¬¥­²» ²¥®°¨¨ ª®®¯¥° ²¨¢­»µ ¨£°

263

Œ¥µ ­¨§¬ ¶¥­®®¡° §®¢ ­¨¿ | ½²® ´³­ª¶¨¿ ' , ª®²®° ¿ ±² ¢¨² ¢ ±®®²¢¥²±²¢¨¥ ª ¦¤®© § ¤ ·¥ ¶¥­®®¡° §®¢ ­¨¿ (C; ) ¢¥ª²®° P (C; ) 2 IRI . °¨¬¥° ¬¨ ² ª¨µ ¬¥µ ­¨§¬®¢ ¿¢«¿¾²±¿ ¬¥µ ­¨§¬ ˜¥¯«¨ ¨ ¬¥µ ­¨§¬ €³¬ ­ -˜¥¯«¨. ¥°¢»© ­ §­ · ¥² ¢¥ª²®° ¶¥­, i -¿ ª®®°¤¨­ ²  ª®²®°®£® ¥±²¼

Shi (C; ) =

Shi (v(C;)) i ;

£¤¥ Sh(
) | §­ ·¥­¨¥ ª®®¯¥° ²¨¢­®© ¨£°», ®¯°¥¤¥«¿¥¬®© ´®°¬³«®© v(C;) (S ) = C (OI nS ; S ) . …±«¨ ®£° ­¨·¨²¼±¿ § ¤ · ¬¨, ¢ ª®²®°»µ ´³­ª¶¨¨ § ²° ² ¡¥±ª®­¥·­® R ¤¨´´¥°¥­¶¨°³¥¬» ¨ ² ª®¢», ·²® ±³¹¥±²¢³¥² ¨­²¥£° « 01 C (t)dt , ²® ¬®¦­® ®¯°¥¤¥«¨²¼ ¬¥µ ­¨§¬ €³¬ ­ ˜¥¯«¨, ª®²®°»© R ­ §­ · ¥² ¢¥ª²®° ¶¥­ ² ª, ·²® ¥£® i -¿ ª®®°¤¨­ ²  ¥±²¼ 01 Ci(t)dt , £¤¥ Ci | · ±²­ ¿ ¯°®¨§¢®¤­ ¿ ¯® i -© ª®®°¤¨­ ²¥. Ž¡§®° «¨²¥° ²³°», ¯®±¢¿¹¥­­®©  ­ «¨§³ ½²®© ¬®¤¥«¨ ¬®¦­® ­ ©²¨ ¢ ° ¡®²¥ Ÿ. ’ ³¬ ­  (Tauman, 1988). ®±ª®«¼ª³ °¥·¼ §¤¥±¼ ¨¤¥² ® ¶¥­®®¡° §®¢ ­¨¨, ²® ³¬¥±²­® ¡»«® ¡» ³¯®¬¿­³²¼ ±²®«¼ ¢ ¦­»© ª« ±± ¯°¨«®¦¥­¨© ª®®¯¥° ²¨¢­»µ ¨£°, ª ª ¯°®¡«¥¬  ¶¥­®®¡° §®¢ ­¨¿ ¢ °¥£³«¨°³¥¬®© ¬®­®¯®«¨¨. ®­¿²¨¥ °¥£³«¨°³¥¬®© ¬®­®¯®«¨¨ ¢®§­¨ª«® ¢ ±¢¿§¨ ± ¤¢³¬¿ ¯°®²¨¢®¯®«®¦­»¬¨ ²¥­¤¥­¶¨¿¬¨, ¢®§­¨ª ¾¹¨¬¨ ¢ ±«³· ¥, ¥±«¨ ²¥µ­®«®£¨¿ ¯°®¨§¢®¤±²¢  ®¡« ¤ ¥² ±¢®©±²¢ ¬¨ ¢®§° ±² ¾¹¥© ®²¤ ·¨ ®² ¬ ±¸² ¡®¢ ¯°®¨§¢®¤±²¢ . ‚ ½²®¬ ±«³· ¥ ²¥µ­®«®£¨·¥±ª¨ ¢»£®¤­® ±«¨¿­¨¥ ¯°®¨§¢®¤±²¢ ¢ ®¤­® ª°³¯­®¥ ¯°®¨§¢®¤±²¢®, ¢ °¥§³«¼² ²¥ ·¥£® ¯®¿¢«¿¥²±¿ ¬®­®¯®«¨¿. ‚.  ³¬®«¼, „¦.  ­± ° ¨ . ‚¨««¨£ ®¯°¥¤¥«¿¾² ®²° ±«¼ ª ª ¥±²¥±²¢¥­­³¾ ¬®­®¯®«¨¾, ¥±«¨ ¢ ®¯°¥¤¥«¥­­»µ ¯°¥¤¥« µ ¢»¯³±ª  ´³­ª¶¨¿ § ²° ² ±³¡ ¤¤¨²¨¢­  (Baumol, Panzar, Willig, 1982). ²® ®¯°¥¤¥«¥­¨¥ ¯° ¢¨«¼­® ¤«¿ µ®°®¸® ¨­´®°¬¨°®¢ ­­®£® ¯« ­®¢¨ª , ²® ¥±²¼ ¯« ­®¢¨ª , ª®²®°®¬³ ²®·­® ¨§¢¥±²­  ´³­ª¶¨¿ § ²° ². “ ¯« ­®¢¨ª  ­¥² ¯°¨·¨­ ¤«¿ ²®£®, ·²®¡» ¨¬¥²¼ ­¥±ª®«¼ª® ´¨°¬, ¯°®¨§¢®¤¿¹¨µ ¯°®¤³ª¶¨¾, ª®£¤  ¢¥±¼ ¢»¯³±ª ¬®¦¥² ¡»²¼ ¡®«¥¥ ¤¥¸¥¢»¬ ±¯®±®¡®¬ ®±³¹¥±²¢«¥­ ®¤­®© ´¨°¬®© (±¬. Tirole, 1988). Ž¤­ ª® ± ³±¨«¥­¨¥¬

264

ƒ« ¢  6

¬®­®¯®«¨§ ¶¨¨ ¢ ®²° ±«¨ ¯¥°¥±² ¥² ° ¡®² ²¼ ¬¥µ ­¨§¬ ª®­ª³°¥­¶¨¨. ‚ ½²®© ±¨²³ ¶¨¨ ¢®§¬®¦­» ¤¢  ±¯®±®¡ : «¨¡® ¨±ª³±±²¢¥­­® ±¤¥°¦¨¢ ²¼ ¬®­®¯®«¨§ ¶¨¾, «¨¡® ®²¤ ²¼ ®²° ±«¼ ­  ®²ª³¯ ¬®­®¯®«¨¨, ­® ¢ ½²®¬ ±«³· ¥ ®²®¡° ²¼ ³ ­¥¥ ¯° ¢® ¶¥­®®¡° §®¢ ­¨¿. ’ ª ¢®§­¨ª ¥² °¥£³«¨°³¥¬ ¿ ¬®­®¯®«¨¿: £®±³¤ °±²¢® ­¥ ¢¬¥¸¨¢ ¥²±¿ ¢ ²¥µ­®«®£¨·¥±ª¨¥ ¯°®¡«¥¬», ­® ¢ ¥£® °³ª µ ­ µ®¤¨²±¿ ¶¥­®®¡° §®¢ ­¨¥. ’° ¤¨¶¨®­­»¥ ¯®¤µ®¤» ª ¯°®¡«¥¬ ¬ °¥£³«¨°³¥¬®© ¬®­®¯®«¨¨ ±«¥¤³¾² ²° ¤¨¶¨¿¬ ²¥®°¨¨ ª®­ª³°¥­²­®£® °»­®·­®£® ° ¢­®¢¥±¨¿. ‚ ±«³· ¥ ¯³¡«¨·­®£® ¡« £  ¬» ¯°¨µ®¤¨¬ ª ° ¢­®¢¥±¨¾ ¯® ‹¨­¤ «¾, ª®£¤  ª ¦¤»©  £¥­² ¨¬¥¥² ±¢®¾ ¯¥°±®­ «¼­³¾ ¶¥­³ ¯³¡«¨·­®£® ¯°®¤³ª²  ¨ ¯°¨ ½²¨µ ¯¥°±®­ «¼­»µ ¶¥­ µ ±¯°®± ­  ½²®² ¯³¡«¨·­»© ¯°®¤³ª² ®¤¨­ ª®¢. ‚ ±«³· ¥ ¨­¤¨¢¨¤³ «¼­®£® ¯°®¤³ª²  (¯°®¤³ª²  ¨­¤¨¢¨¤³ «¼­®£® ¯®²°¥¡«¥­¨¿ | private good) ½²® ¯°¨¢®¤¨² ª ¯° ¢¨« ¬ ¯°¥¤¥«¼­®£® (¬ °£¨­ «¼­®£®) ¶¥­®®¡° §®¢ ­¨¿. Š®®¯¥° ²¨¢­ ¿ ²¥®°¨¿ ¯°¨¢®¤¨² ª ° §«¨·­»¬ ²¨¯ ¬ °¥¸¥­¨©, ±¢¿§ ­­»µ ± ¯°®¡«¥¬ ¬¨ °¥£³«¨°³¥¬®© ¬®­®¯®«¨¨. ‚ ¨µ ·¨±«¥ ¬¥²®¤», ¢ª«¾· ¾¹¨¥ ¬¥²®¤» ¶¥­®®¡° §®¢ ­¨¿, ®±­®¢ ­­»¥ ­  ¯°¥¤¥«¼­®© ¯®«¥§­®±²¨: ° ¢­®¢¥±¨¥ ¯® ‹¨­¤ «¾ ¨ ¤®«¥¢®¥ ° ¢­®¢¥±¨¥, ®¡®¡¹ ¾¹¥¥ ° ¢­®¢¥±¨¥ ¯® ‹¨­¤ «¾ ¤«¿ ¬®¤¥«¨ ± ®¡¹¥±²¢¥­­»¬ ¯°®¤³ª²®¬,   ² ª¦¥ ª®­ª³°¥­²­®¥ ° ¢­®¢¥±¨¥, ¢ ª®²®°®¬ ª ¦¤»©  £¥­² ¢« ¤¥¥² ®¤­®© ¨ ²®© ¦¥ ¤®«¥© ®¡¹¥±²¢¥­­®© ´¨°¬» ¢ ¬®¤¥«¨ ± ¨­¤¨¢¨¤³ «¼­»¬ ¯°®¤³ª²®¬. °®¡«¥¬», ±¢¿§ ­­»¥ ± °¥£³«¨°³¥¬®© ¬®­®¯®«¨¥©, ®¡±³¦¤ ¾²±¿ ¢ ª­¨£¥ Œ³«¥­  (1991). ‘«¥¤³¾¹¨© ª« ±± ¯°®¡«¥¬, ¨­²¥°¥± ª ª®²®°»¬ ¢ ¯®±«¥¤­¥¥ ¢°¥¬¿ ¯®±²®¿­­® ¢®§° ±² ¥² | ½²® ½ª®­®¬¨·¥±ª¨¥ ¬®¤¥«¨ ±¯° ¢¥¤«¨¢®£® ° ±¯°¥¤¥«¥­¨¿. “¯®¬¿­¥¬ §¤¥±¼ ²°¨ ¬®¤¥«¨: ¬®¤¥«¼, ¢ ª®²®°®©  £¥­²» ¨¬¥¾² ª« ±±¨·¥±ª¨¥ ¯°¥¤¯®·²¥­¨¿ ­  n -¬¥°­®¬ ¯°®±²° ­±²¢¥ ²®¢ °®¢, ¬®¤¥«¼ ± ¥¤¨­±²¢¥­­»¬ ²®¢ °®¬ ¨ À®¤­®¯¨ª®¢»¬¨Á ¯°¥¤¯®·²¥­¨¿¬¨  £¥­²®¢ ¨, ­ ª®­¥¶, ¬®¤¥«¼ ± ­¥¤¥«¨¬»¬¨ ²®¢ ° ¬¨.

«¥¬¥­²» ²¥®°¨¨ ª®®¯¥° ²¨¢­»µ ¨£°

265

 ·­¥¬ ± ° ±¯°¥¤¥«¥­¨¿ À±®¶¨ «¼­®£® ´®­¤ Á °¥±³°±®¢15 ¬¥¦¤³  £¥­² ¬¨ ± ° ¢­»¬¨ ¯° ¢ ¬¨ ­  ­¨µ (­ ¯°¨¬¥°, ° ±¯°¥¤¥«¥­¨¥ ¤®«¥© ¬¥¦¤³ £°³¯¯®© ­ ±«¥¤­¨ª®¢). °¥¤¯®«®¦¨¬, ·²® ¥±²¼ k ²®¢ °®¢ ¨ £°³¯¯   £¥­²®¢ I . °¥¤¯®·²¥­¨¿ ª ¦¤®£®  £¥­²  i 2 I ®¯¨±»¢ ¾²±¿ ­¥ª®²®°»¬ ®²­®¸¥­¨¥¬ ¯°¥¤¯®·²¥­¨¿ Ri ­  IRk+ . (Š ª ¯° ¢¨«®, ½²¨ ¯°¥¤¯®·²¥­¨¿ ¯°¥¤¯®« £ ¾²±¿ ­¥¯°¥°»¢­»¬¨, ¢»¯³ª«»¬¨ ¨ ¬®­®²®­­»¬¨.) …±²¼ ² ª¦¥ ±®¶¨ «¼­»© ´®­¤ 2 IR k+ . ‡ ¤ ·  ±¯° ¢¥¤«¨¢®£® ° ±¯°¥¤¥«¥­¨¿ | ½²® ¯ °  (R; ) , ¯°¨·¥¬ ½²³ ¬®¤¥«¼ ±«¥¤³¥² ®²«¨· ²¼ ®² ±² ­¤ °²­®© ¬®¤¥«¨, ¢ ª®²®°®© ª ¦¤»©  £¥­² ¨§­ · «¼­® ¨¬¥¥² ­¥ª®²®°®¥ ° ±¯°¥¤¥«¥­¨¥ ²®¢ °®¢ ¨«¨ °¥±³°±®¢ ®¡¹¥±²¢ . “ª § ­­³¾ ¬®¤¥«¼ ¬®¦­® ®¡®£ ²¨²¼, ¥±«¨ ¢¢¥±²¨ ¢®§¬®¦­®±²¼ ¯°®¨§¢®¤±²¢ , ¯°¨ ½²®¬ ¢®§­¨ª ¥² ¬­®¦¥±²¢® ° §­®®¡° §­»µ °¥¸¥­¨©. ‘°¥¤¨ ° ¡®², ¯®±¢¿¹¥­­»µ ½²¨¬ ¬®¤¥«¿¬, ±«¥¤³¥² ³ª § ²¼ ° ¡®²» Thomson, 1988, 1992; Fleurbaey, 1995; Fleuerbaey, Maniquet, 1994 ¨ Maniquet, 1996. °¨·¥¬ §¤¥±¼ «¾¡®¯»²­® ®²¬¥²¨²¼, ·²® ¯°®¡«¥¬» ±®£« ±®¢ ­­®±²¨ ° ±±¬ ²°¨¢ ¾²±¿ ¢ ½²¨µ ¬®¤¥«¿µ ­¥ ²®«¼ª® ¢ ±¢¿§¨ ± ¢®§¬®¦­®±²¼¾ ¢ °¼¨°®¢ ­¨¿ ·¨±«   £¥­²®¢, ­® ¨ ¢ °¼¨°®¢ ­¨¥¬ ·¨±«  ²®¢ °®¢, ± ±®®²¢¥²±²¢³¾¹¥© ¯¥°¥´®°¬³«¨°®¢ª®© ±¢®©±²¢ ±®£« ±®¢ ­­®±²¨ °¥¸¥­¨© (±¬., Roemer, 1986a, 1986b). ‡ ¤ ·³ ±¯° ¢¥¤«¨¢®£® ° ±¯°¥¤¥«¥­¨¿ ¢ ½ª®­®¬¨ª¥ ± À®¤­®¯¨ª®¢»¬¨Á ¯°¥¤¯®·²¥­¨¿¬¨ ¬» ¯°®¨««¾±²°¨°³¥¬ ­  ±«¥¤³¾¹¥¬ ¯°¨¬¥°¥ (±¬. Thomson, 1994). °¥¤±² ¢¨¬ ±¥¡¥, ·²® ¤«¿ ¢»¯®«­¥­¨¿ ­¥ª®© ° ¡®²» ´®°¬¨°³¥²±¿ £°³¯¯  ¨§ ²°¥µ ° ¡®²­¨ª®¢, ¯°¨ ½²®¬ ±³¬¬ °­® ¯®²°¥¡³¥²±¿ T · ±®¢ ° ¡®²». Š ¦¤»© ° ¡®²­¨ª ¯®«³· ¥² ´¨ª±¨°®¢ ­­³¾ ¯®· ±®¢³¾ ®¯« ²³,   ¥£® À­¥³¤®¢®«¼±²¢¨¥Á ®² ° ¡®²» ¿¢«¿¥²±¿ ¢®£­³²®© ´³­ª¶¨¥© ®² ®²° ¡®² ­­®£® ¨¬ ¢°¥¬¥­¨. Š ª °¥§³«¼² ² ¥£® ¯®«¥§­®±²¼ ¿¢«¿¥²±¿ ¢®£­³²®© ´³­ª¶¨¥© ®² ¯°¥¤« £ ¥¬®£® ¨¬ ²°³¤ . Š ª¨¬ ®¡° §®¬ ° ¡®²³ ±«¥¤³¥² ° ±¯°¥¤¥«¨²¼ ¬¥¦¤³ ½²¨¬¨ ²°¥¬¿ ° ¡®²­¨ª ¬¨, ¥±«¨ ¯®¬¨¬® ½´´¥ª²¨¢­®±²¨ ­ ± ¢®«­³¥² ¥¹¥ ¨ À±¯° ¢¥¤«¨¢®±²¼Á. ˆ±±«¥¤®¢ ­¨¿¬ ¬®¤¥«¥© ½²®£® ²¨¯  ¯®±¢¿15

Social endowment.

266

ƒ« ¢  6

¹¥­» ° ¡®²» Thomson, 1994; Sonmez, 1994; Dagan, 1996 ¨ ¤°. ‡ ¤ ·³ ±¯° ¢¥¤«¨¢®£® ° ±¯°¥¤¥«¥­¨¿ ¢ ±¨²³ ¶¨¨ ± ­¥¤¥«¨¬»¬¨ ²®¢ ° ¬¨ ¢ ¯°®±²¥©¸¥© ´®°¬¥ ¬®¦­® ¯°¥¤±² ¢¨²¼ ±«¥¤³¾¹¨¬ ®¡° §®¬. …±²¼ ²°¨ § ¤ ­¨¿, ­  ¢»¯®«­¥­¨¥ ª®²®°»µ ±«¥¤³¥² ­ §­ ·¨²¼ ²°¥µ ° ¡®²­¨ª®¢ ®¤¨­ ª®¢®© ª¢ «¨´¨ª ¶¨¨. ‡ ¤ ­¨¿ ­¥ ¿¢«¿¾²±¿ ¨¤¥­²¨·­»¬¨, ¨ ¯°¥¤¯®·²¥­¨¿ ° ¡®²­¨ª®¢ ®²­®±¨²¥«¼­® ±®·¥² ­¨© À° ¡®²  | § ° ¡®²­ ¿ ¯« ² Á ° §«¨·­». ‡ ° ¡®²­ ¿ ¯« ²  ¬®¦¥² ¡»²¼ ¢»¡° ­  ² ª, ·²®¡» ª®¬¯¥­±¨°®¢ ²¼  £¥­²®¢ ¢ ±«³· ¥ ­ §­ ·¥­¨¿ ¨µ ­  ¬¥­¥¥ ¦¥« ²¥«¼­³¾ ° ¡®²³, ¯°¨·¥¬ ±³¬¬ °­ ¿ § ° ¡®²­ ¿ ¯« ²  ¤®«¦­  ­ µ®¤¨²¼±¿ ¢ ° ¬ª µ ­¥ª®²®°®£® ®¯°¥¤¥«¥­­®£® ¡¾¤¦¥² . Š ª¨¬ ®¡° §®¬ ±«¥¤®¢ «® ¡» ­ §­ ·¨²¼ ° ¡®²­¨ª®¢ ¤«¿ ¢»¯®«­¥­¨¿ ½²¨µ § ¤ ­¨© ¨ ª ª®¢  ¤®«¦­  ¡»«  ¡» ¡»²¼ ¨µ § ° ¡®²­ ¿ ¯« ² ? ¥¸¥­¨¥ § ¤ · ½²®£® ²¨¯  ®¡±³¦¤ ¥²±¿ ¢ ° ¡®² µ Tadenuma, Thomson, 1991,1993,1995;Aragones, 1995¨ ¤°. Š®­¥·­® ¦¥, ­¥¢®§¬®¦­® ¯¥°¥·¨±«¨²¼ ¢±¥ ¨§¢¥±²­»¥ ª ­ ±²®¿¹¥¬³ ¢°¥¬¥­¨ ¯°¨«®¦¥­¨¿ ²¥®°¨¨ ª®®¯¥° ²¨¢­»µ ¨£° ¨ ²¥¬ ¡®«¥¥ ¯»² ²¼±¿ ¯®¤°®¡­® ®¯¨± ²¼ ª ¦¤®¥ ¨§ ­¨µ. Ž¤­ ª® ¯°¥¤±² ¢«¿¥²±¿, ·²® ¤ ¦¥ ¯°¨¢¥¤¥­­»© ±¯¨±®ª ¬®¤¥«¥© ¤¥¬®­±²°¨°³¥² ²® ®¡¸¨°­®¥ ¬­®£®®¡° §¨¥ ¢®§¬®¦­»µ ¯°¨«®¦¥­¨© ²¥®°¨¨ ª®®¯¥° ²¨¢­»µ ¨£°. ‚ § ª«¾·¥­¨¥ ®²¬¥²¨¬ ¥¹¥ ­¥±ª®«¼ª®, ­  ­ ¸ ¢§£«¿¤, ¢ ¦­»µ ¬®¬¥­²®¢. ’ ª, ­ ¯°¨¬¥°, ·°¥§¢»· ©­® ¨­²¥°¥±­»© ¯®¤µ®¤ ª ¨§³·¥­¨¾ ¯°¨°®¤» ´¨°¬», ¡ §¨°³¾¹¨©±¿ ­  ²¥®°¨¨ ª®®¯¥° ²¨¢­»µ ¨£°, ¨±±«¥¤®¢ ­ ’. ˆµ¨¨¸¨ ¢ ¬®­®£° ´¨¨ Ichiishi, 1993.  ª®­¥¶ ¬» ®¯¨¸¥¬ ­¥±ª®«¼ª® µ®°®¸® ¨§¢¥±²­»µ ¬®¤¥«¥©, ´®°¬³«¨°®¢ª  ª®²®°»µ ¨±¯®«¼§³¥² ¨£°» ¡¥§ ¯®¡®·­»µ ¯« ²¥¦¥©. Ž¤¨­ ¨§ ª« ±±¨·¥±ª¨µ ¯°¨¬¥°®¢ | ¨£°³ °»­ª , ¬» ³¦¥ ³¯®¬¨­ «¨ ¢»¸¥.  ±±¬®²°¨¬ ²¥¯¥°¼ ¤°³£³¾ ¬®¤¥«¼ | ¬®¤¥«¼ ± ¯°®¨§¢®¤±²¢®¬ (Boehm, 1974). ª®­®¬¨ª  ± ¯°®¨§¢®¤±²¢®¬ ®¯¨±»¢ ¥²±¿ ­ ¡®°®¬ Ep = (fX j ; uj ; wj gj2I ; fY (S )gS I ); £¤¥ X j  IRk | ¯®²°¥¡¨²¥«¼±ª®¥ ¬­®¦¥±²¢®, uj : X j ! IR | ´³­ª¶¨¿ ¯®«¥§­®±²¨, wj 2 IRk | ­ · «¼­»© °¥±³°±  £¥­² 

267

«¥¬¥­²» ²¥®°¨¨ ª®®¯¥° ²¨¢­»µ ¨£°

j 2 I;   Y (S ) | ²¥µ­®«®£¨·¥±ª®¥ ¬­®¦¥±²¢® ª ¦¤®© ¨§ ª® «¨¶¨© S; …±«¨ ¢ ¤ ­­®© ½ª®­®¬¨ª¥ ­¥ ¢¢®¤¨²±¿ ­¨ª ª¨µ ¬¥µ ­¨§¬®¢, ²® ª®®¯¥° ²¨¢­®¥ ¯®¢¥¤¥­¨¥  £¥­²®¢ ¢ Ep ¬®¦­® ¬®¤¥«¨°®¢ ²¼ ± ¯®¬®¹¼¾ ’-¨£°» V; ®¯°¥¤¥«¿¥¬®© ±«¥¤³¾¹¨¬ ®¡° §®¬:

V (S ) = fu 2 IRI j9fxj gj2S 2

X j 2S

xj 

X j 2S

Y j 2S

X j : 9y 2 Y (S ) :

wj + y ¨ 8j 2 S uj  uj (xj )g:

(4:1)

…±«¨ ª ¦¤®¥ ¨§ ¬­®¦¥±²¢ X j ¢»¯³ª«®, ª ¦¤ ¿ ´³­ª¶¨¿ uj ª¢ §¨¢®£­³² ,   ²¥µ­®«®£¨¿ ±¡ « ­±¨°®¢ ­ , ²® ¥±²¼ ¤«¿ ª ¦¤®£® ±¡ « ­±¨°®¢ ­­®£® ±¥¬¥©±²¢  ª® «¨¶¨© B c ±®®²¢¥²±²¢³¾¹¨¬¨ ¢¥± ¬¨ fS gS 2B ¨¬¥¥² ¬¥±²® ¢ª«¾·¥­¨¥

X

S 2B

S V (S )  V (I );

²® ¨£°  V ±¡ « ­±¨°®¢ ­ ,   §­ ·¨² (±¬. ­ ¯°¨¬¥°, Scarf, 1957; Ichiishi, 1992), c -¿¤°® ½²®© ¨£°» ­¥¯³±²®. ‘«¥¤³¾¹¨© ¯°¨¬¥° ¢§¿² ¨§ Champsaur (1975).  ±±¬®²°¨¬ ½ª®­®¬¨ª³ ± ¯°®¨§¢®¤±²¢®¬ ± ®¤­¨¬ ¯¥°¢¨·­»¬ ¯°®¤³ª²®¬, ®¤­¨¬ ª®­¥·­»¬ ¯°®¤³ª²®¬ ¨ ª®­¥·­»¬ ¬­®¦¥±²¢®¬ I ½ª®­®¬¨·¥±ª¨µ  £¥­²®¢. ‚±¥ ª® «¨¶¨¨ S  I ¿¢«¿¾²±¿ ¯®²¥­¶¨ «¼­»¬¨ ¯°®¨§¢®¤±²¢¥­­»¬¨ ¥¤¨­¨¶ ¬¨ ¨ ¬®£³² ¯°®¨§¢®¤¨²¼ ¢ ±®®²¢¥²±²¢¨¨ ± ¯°®¨§¢®¤±²¢¥­­®© ´³­ª¶¨¥© g : IR+ ! IR+ , ª®²®° ¿ ¯°¥¤¯®« £ ¥²±¿ ±²°®£® ¢®§° ±² ¾¹¥©. Š®­¥·­»© ¯°®¤³ª² ¿¢«¿¥²±¿ ¯³¡«¨·­»¬,   ¯¥°¢¨·­»© ¯°®¤³ª² | ¨­¤¨¢¨¤³ «¼­»¬. ”³­ª¶¨¿ ¯®«¥§­®±²¨ ª ¦¤®£®  £¥­²  uj : IR2+ ! IR § ¢¨±¨² ®² ¯®²°¥¡«¥­¨¿ ¨ ¯¥°¢¨·­®£® ¯°®¤³ª² , ¨ ª®­¥·­®£® ¯°®¤³ª²  (¬®¦­® ° ±±¬ ²°¨¢ ²¼, ±ª ¦¥¬, ¢ ª ·¥±²¢¥ ¨­¤¨¢¨¤³ «¼­®£® ¯°®¤³ª²  ¤¥­¼£¨,   §­ ·¨², ¯®«¥§­®±²¼  £¥­²  § ¢¨±¨² ®² ¨¬¥¾¹¥©±¿ ³ ­¥£® ±³¬¬» ¤¥­¥£ ¨ ª®«¨·¥±²¢  ¯³¡«¨·­®£® ¯°®¤³ª² , ª®²®°®¥ ®­ ¬®¦¥² ¯®²°¥¡¨²¼) ¨ ¿¢«¿¥²±¿ ­¥³¡»¢ ¾¹¥© ´³­ª¶¨¥©. °¥¤¯®«®¦¨¬, ª°®¬¥ ²®£®, ·²®

268

ƒ« ¢  6

wj 2 IR+ | ­ · «¼­»© § ¯ ± (°¥±³°±) ¯¥°¢¨·­®£® ¯°®¤³ª²  ³  £¥­²  j . ‚ ½ª®­®¬¨ª¥ ­¥² ­ · «¼­®£® § ¯ ±  ¯³¡«¨·­®£® ¯°®¤³ª² . ‘®®²¢¥²±²¢³¾¹ ¿ ¨£°  ¡¥§ ¯®¡®·­»µ ¯« ²¥¦¥© V ®¯°¥¤¥«¿¥²±¿ ±«¥¤³¾¹¨¬ ®¡° §®¬:

V (S ) =

8 < I j9fxj gj 2S 2 IR S : X xj  X wj ; u 2 IR : j 2S j 2S 9 = X X 8j 2 S : uj  uj (xj ; g( wj ; xj )); : j 2S j 2S

Œ®¤¥«¼, ¯°¨¢®¤¨¬ ¿ ­¨¦¥ (±¬. Ichiishi, 1993), ¯® ±³¹¥±²¢³  ­ «®£¨·­  ¯°¥¤»¤³¹¥©, ­® ²¥¯¥°¼, ·²®¡» ±¤¥« ²¼ À¡¥±¯« ²­»© ¯°®¥§¤Á (free ride) À¯« ²­»¬Á (costly ride), ±¬¿£· ¿ ²¥¬ ± ¬»¬ ª« ±±¨·¥±ª³¾ ¯°®¡«¥¬³, ¢®§­¨ª ¾¹³¾ ¯°¨ ¯°®¨§¢®¤±²¢¥ ¯³¡«¨·­»µ ¯°®¤³ª²®¢, ª®£¤  ª ¦¤»© ¨§  £¥­²®¢, ¯°¨­¨¬ ¾¹¨µ ³· ±²¨¥ ¢ ¯°®¨§¢®¤±²¢¥ ¯³¡«¨·­®£® ¯°®¤³ª² , ±² ° ¥²±¿ À­¥¤®¢«®¦¨²¼Á ¢ ¥£® ¯°®¨§¢®¤±²¢®, ¯®«¼§³¿±¼ ¯°¨ ½²®¬ ¯°®¨§¢¥¤¥­­»¬ ¢±¥¬¨  £¥­² ¬¨ ¯°®¤³ª²®¬, ¢ ¬®¤¥«¼ ¢¢®¤¨²±¿ Àª®­²°®«¨°³¾¹¨© ®°£ ­Á. °¥¤¯®«®¦¨¬, ·²® ª® «¨¶¨¿ S ¯°¥¤¯®« £ ¥² ¢»©²¨ ¨§ ª® «¨¶¨¨ I , ¥±«¨ ¯®±«¥¤­¿¿ °¥¸ ¥² ¨±¯®«¼§®¢ ²¼ ­ ¡®° x^ ¨­¤¨¢¨¤³ «¼­»µ ¯°®¤³ª²®¢. ®±ª®«¼ª³ ³· ±²­¨ª¨ P ª® «¨¶¨¨ S ¬®£³² À¡¥±¯« ²­®Á ¯®«¼§®¢ ²¼±¿ ª®«¨·¥±²¢®¬ g ( j 2I nS (wj ; xj )) ¯³¡«¨·­®£® ¯°®¤³ª² , ¯°®¨§¢¥¤¥­­®£® ª® «¨¶¨¥© I n S , ²® ª®­²°®«¼­»©P®°£ ­ ¢»­³¦¤ ¥² ª® «¨¶¨¾ S ®±³¹¥±²¢¨²¼ ¯¥°¥¤ ·³ ¤®«¨  j 2I nS (wj ; xj ) § ²° ² ª® «¨¶¨¨ I n S , £¤¥ ­ «®£®¢ ¿ ±² ¢ª   2 [0; 1] ³±² ­®¢«¥­  § ° ­¥¥. °¥¤¯®«®¦¨¬, ·²® ´³­ª¶¨¨ ¯®«¥§­®±²¥©  £¥­²®¢ ­¥³¡»¢ ¾¹¨¥ ¨ ª¢ §¨¢®£­³²»¥,   ´³­ª¶¨¿ g ¢®£­³² . ˆ£°  ¡¥§ ¯®¡®·­»µ ¯« ²¥¦¥©, ¯ ° ¬¥²°¨§®¢ ­­ ¿ x^ , ®¯°¥¤¥«¿¥²±¿ ±«¥¤³¾¹¨¬ ®¡° §®¬:

V (S ) =

u 2 IRI j9fxj g 2 IRS : X j X jj2S X j 2S

x 

j 2S

w ;

j 2I nS

(wj ; x^j );

«¥¬¥­²» ²¥®°¨¨ ª®®¯¥° ²¨¢­»µ ¨£°

8 j 2 S : uj  uj (xj ; g( +

X

j ;inS

wj ;

X j 2S

269

x^j )) +

9 = g ( wj ;  (wj ; x^j ) ; xj )); : j 2S j 2S j 2I nS X

X

X

6.5. „®¯®«­¥­¨¥. ‘³¹¥±²¢®¢ ­¨¥ ¨ ¥¤¨­±²¢¥­­®±²¼ ¢¥ª²®°  ˜¥¯«¨

Œ» ¤®ª ¦¥¬ §¤¥±¼ ¡¥§ ®±®¡»µ ¯®¤°®¡­®±²¥© ±³¹¥±²¢®¢ ­¨¥ ¨ ¥¤¨­±²¢¥­­®±²¼ §­ ·¥­¨¿ ˜¥¯«¨ (¡®«¥¥ ¯®¤°®¡­® ±¬., ­ ¯°¨¬¥°, ‚®°®¡¼¥¢, 1995).  ©¤¥¬ ±­ · «  ¢¥ª²®° ˜¥¯«¨ ¤«¿ µ ° ª²¥°¨±²¨·¥±ª®© ´³­ª¶¨¨ ¢¨¤  cvR , £¤¥ c > 0 ,   vR | ¯°®±²¥©¸ ¿ µ ° ª²¥°¨±²¨·¥±ª ¿ ´³­ª¶¨¿, ². ¥. ´³­ª¶¨¿ ¢¨¤ 

vR(S ) =

 1;

¥±«¨ S  R; 0; ¢ ¯°®²¨¢­®¬ ±«³· ¥:

‹¥£ª® ¢¨¤¥²¼, ·²® ·¨±«® ° §«¨·­»µ ¯°®±²¥©¸¨µ µ ° ª²¥°¨±²¨·¥±ª¨µ ´³­ª¶¨© ­  I ° ¢­® 2n ; 1 , ². ¥. ·¨±«³ ­¥¯³±²»µ ª® «¨¶¨©. ‘«¥¤³¾¹¨¥ ¤¢  ¯°¥¤«®¦¥­¨¿ ¬» ¯°¨¢¥¤¥¬ ¡¥§ ¤®ª § ²¥«¼±²¢.

°¥¤«®¦¥­¨¥ 6.5.1. ‚±¥ 2n ; 1 ¯°®±²¥©¸¨µ µ ° ª²¥°¨±²¨-

·¥±ª¨µ ´³­ª¶¨© ­  I «¨­¥©­® ­¥§ ¢¨±¨¬».

°¥¤«®¦¥­¨¥ 6.5.2. „«¿ «¾¡®© µ ° ª²¥°¨±²¨·¥±ª®© ´³­ª¶¨¨ v ¨¬¥¥² ¬¥±²® ¥¤¨­±²¢¥­­®¥ ¯°¥¤±² ¢«¥­¨¥

v= £¤¥

R (v) =

X

RI

X S R

R(v )vR;

(;1)jRj;jS jv (S ):

270

ƒ« ¢  6

ˆ­»¬¨ ±«®¢ ¬¨, ½²® ¯°¥¤«®¦¥­¨¥ ³²¢¥°¦¤ ¥², ·²® ª ¦¤³¾ µ ° ª²¥°¨±²¨·¥±ª³¾ ´³­ª¶¨¾ ­  J ¬®¦­® ¯°¥¤±² ¢¨²¼, ¨ ¯°¨²®¬ ¥¤¨­±²¢¥­­»¬ ®¡° §®¬, ¢ ¢¨¤¥ «¨­¥©­®© ª®¬¡¨­ ¶¨¨ ¯°®±²¥©¸¨µ µ ° ª²¥°¨±²¨·¥±ª¨µ ´³­ª¶¨©.

’¥®°¥¬  6.5.1. …±«¨ vR | ¯°®±²¥©¸ ¿ µ ° ª²¥°¨±²¨·¥±ª ¿ ´³­ª¶¨¿, ²® i (cvR) =



i 2 R; 0; ¥±«¨ i 2= R:

c jRj ¥±«¨

(5:1)

„ ® ª   §   ² ¥ « ¼ ± ² ¢ ®. Œ­®¦¥±²¢® R ¿¢«¿¥²±¿ ¤«¿ ±vr ­®±¨²¥«¥¬. ®½²®¬³ ¯®  ª±¨®¬¥ ½´´¥ª²¨¢­®±²¨:

X i2R

i (cvR) = cvR (R) = c:

(5:2)

Ÿ±­® ² ª¦¥, ·²® ¯¥°¥±² ­®¢ª  «¾¡»µ ¤¢³µ ¨£°®ª®¢ ¨§ R ­¥ ¬¥­¿¥² §­ ·¥­¨¿ µ ° ª²¥°¨±²¨·¥±ª®© ´³­ª¶¨¨ ±vR . ®½²®¬³ ¯®  ª±¨®¬¥ ±¨¬¬¥²°¨¨ ±«¥¢  ¢ (5.2) ¢±¥ ±« £ ¥¬»¥ ° ¢­» ¤°³£ ¤°³£³, ¨ ¬» ¯®«³· ¥¬ ¢¥°µ­¾¾ ±²°®ª³ (5.1).  ª®­¥¶, ¢±¥ ¨£°®ª¨, ­¥ ¢µ®¤¿¹¨¥ ¢ R , ¿¢«¿¾²±¿ ¢ ±vR ¡®«¢ ­ ¬¨, ¨ ½²® ¤ ¥² ­ ¬ ­¨¦­¾¾ ±²°®ª³ (5.1).

‘«¥¤±²¢¨¥ 6.5.1. „«¿ ¯°®±²¥©¸¥© µ ° ª²¥°¨±²¨·¥±ª®©

´³­ª¶¨¨ vR ¨ c > 0 (±vR) = ±(vR) .

„ ® ª   §   ² ¥ « ¼ ± ² ¢ ® ±«¥¤³¥² ­¥¯®±°¥¤±²¢¥­­® ¨§ (5.1). ˆ§  ª±¨®¬» «¨­¥©­®±²¨ ¨ ¯®±«¥¤­¥£® ±«¥¤±²¢¨¿ ¢»²¥ª ¥², ·²® ¯°¨ «¾¡»µ cR = 0 ¤®«¦­® ¡»²¼ (

X R

cR vR) =

X R

(cRvR ) =

X R

cR(vR):

(5:3)

 ±¯°®±²° ­¨¬ ½²³ ´®°¬³«³ ­  ±«³· © ª®½´´¨¶¨¥­²®¢ cR ± ¯°®¨§¢®«¼­»¬¨ §­ ª ¬¨.

271

«¥¬¥­²» ²¥®°¨¨ ª®®¯¥° ²¨¢­»µ ¨£°

‹¥¬¬  6.5.1. …±«¨ v0 ¨ v00 { µ ° ª²¥°¨±²¨·¥±ª¨¥ ´³­ª¶¨¨,   ¨µ ° §­®±²¼ v 0 - v 00 ² ª¦¥ ¿¢«¿¥²±¿ µ ° ª²¥°¨±²¨·¥±ª®© ´³­ª¶¨¥©, ²®

(v 0 ; v 00) = (v 0) ; (v 00):

(5:4)

„ ® ª   §   ² ¥ « ¼ ± ² ¢ ®. ® ³±«®¢¨¾ ¬» ¨¬¥¥¬ ²®¦¤¥±²¢¥­­® v 0 = v 00 + (v 0 ; v 00) . ‘¯° ¢  §¤¥±¼ ±²®¨² ±³¬¬  ¤¢³µ µ ° ª²¥°¨±²¨·¥±ª¨µ ´³­ª¶¨©, ¨ ¯®  ª±¨®¬¥ «¨­¥©­®±²¨ ¬» ¨¬¥¥¬ (v 0) = (v 00) + (v 0 ; v 00); ®²ª³¤  ¨ ±«¥¤³¥² (5.4).

‘«¥¤±²¢¨¥ 6.5.2. ”®°¬³«  (5.3) ®±² ¥²±¿ ±¯° ¢¥¤«¨¢®©, P ¥±«¨ §­ ª¨ ª®½´´¨¶¨¥­²®¢ cR ¯°®¨§¢®«¼­»¥,   ±³¬¬  ¿¢«¿¥²±¿ µ ° ª²¥°¨±²¨·¥±ª®© ´³­ª¶¨¥©.

„ ® ª   §   ² ¥ « ¼ ± ² ¢ ®. ˆ¬¥¥¬

v=

X R

cRvR =

X

R cR 0

cRvR ;

X R cR <0

R cRvR

(;cR)vR :

‡¤¥±¼ ¢® ¢²®°®© ±³¬¬¥ ¢±¥ ·¨±«  ;±R ¿¢«¿¾²±¿ ¯®«®¦¨²¥«¼­»¬¨, ² ª ·²® ¢»·¨² ¥¬ ¿ ±³¬¬  ®ª §»¢ ¥²±¿ µ ° ª²¥°¨±²¨·¥±ª®© ´³­ª¶¨¥©. ®½²®¬³ ¯® «¥¬¬¥ 6.5.1 (v ) = ( =

X R cR 0

X

R cR 0

cRvR ) ; (

cR(vR) ;

X R cR <0

X

R cR <0

(;cR )vR) =

(;cR)(vr ) =

X R

cR(v ):

’¥®°¥¬  6.5.2. Š ¦¤ ¿ µ ° ª²¥°¨±²¨·¥±ª ¿ ´³­ª¶¨¿ ¨¬¥¥² ­¥ ¡®«¥¥ ®¤­®£® ¢¥ª²®°  ˜¥¯«¨.

272

ƒ« ¢  6

„ ® ª   §   ² ¥ « ¼ ± ² ¢ ®. ’®, ·²® ª ¦¤ ¿ ¯°®±²¥©¸ ¿ µ ° ª²¥°¨±²¨·¥±ª ¿ ´³­ª¶¨¿ ¨¬¥¥² ­¥ ¡®«¥¥ ®¤­®£® ¢¥ª²®°  ˜¥¯«¨, ±«¥¤³¥² ¨§ ²¥®°¥¬» 6.5.1. ® ¢ ±¨«³ ¯°¥¤«®¦¥­¨¿ 6.5.2 ¯°®¨§¢®«¼­ ¿ µ ° ª²¥°¨±²¨·¥±ª ¿ ´³­ª¶¨¿ ¯°¥¤±² ¢¨¬  ¢ ¢¨¤¥ «¨­¥©­®© ª®¬¡¨­ ¶¨¨ ¯°®±²¥©¸¨µ ¥¤¨­±²¢¥­­»¬ ±¯®±®¡®¬. ®½²®¬³ ¨§ ¤®ª § ­­®£® ¢»¸¥ ±«¥¤³¥², ·²® ª ¦¤ ¿ µ ° ª²¥°¨±²¨·¥±ª ¿ ´³­ª¶¨¿ ¨¬¥¥² ­¥ ¡®«¥¥ ®¤­®£® ¢¥ª²®°  ˜¥¯«¨.  ¬ ®±² ¥²±¿ ¤®ª § ²¼ ±³¹¥±²¢®¢ ­¨¥ ¢¥ª²®°  ˜¥¯«¨ ¤«¿ «¾¡®© µ ° ª²¥°¨±²¨·¥±ª®© ´³­ª¶¨¨. ’¥®°¥¬  6.5.3. „«¿ «¾¡®© µ ° ª²¥°¨±²¨·¥±ª®© ´³­ª¶¨¨ v ­  I = f1; : : :; ng ª®¬¯®­¥­²» ¢¥ª²®°  ˜¥¯«¨ ®¯°¥¤¥«¿¾²±¿ ´®°¬³«®© X (n ; jK j)!(jK j ; 1)!  i (v ) = (v (K ) ; v (K n i)): (5:5) n! i2K I

„ ® ª   §   ² ¥ « ¼ ± ² ¢ ®. °®¢¥°¨¬ ±­ · « , ·²® ¢¥ª²®° (v ) ± ª®¬¯®­¥­² ¬¨ ¨§ (5.5) ³¤®¢«¥²¢®°¿¥² ¢±¥¬  ª±¨®¬ ¬ ˜¥¯«¨. „®ª ¦¥¬ ½´´¥ª²¨¢­®±²¼ ¢¥ª²®°  (v ) . „«¿ ½²®£® ° ±±¬®²°¨¬ X X X (n ; jK j)!(jK j; 1)! (v (K );v (K ni)): (5:6) i (v ) = n! i2I i2I i2K I

‚® ¢±¥© ¤¢®©­®© ±³¬¬¥ ¢»° ¦¥­¨¥ v (Š ) ¢±²°¥· ¥²±¿ ¢ °®«¨ ³¬¥­¼¸ ¥¬®£® jŠ j ° § (¯® ·¨±«³ ¢ µ ® ¤ ¿ ¹ ¨ µ ¢ Š ½«¥¬¥­²®¢) ¨ ²¥¬ ± ¬»¬ ¯°¨®¡°¥² ¥² ª®½´´¨¶¨¥­² jK j ; 1)! = (n ; jK j) ; jK j! ; jK j (n ; jK j)!( n! n! ª®²®°»© ¯°¨ jK j = n , ². ¥. ¯°¨ Š = I , ®·¥¢¨¤­®, ° ¢¥­ ¥¤¨­¨¶¥. ‚ °®«¨ ¦¥ ¢»·¨² ¥¬®£® ®­® ¢±²°¥²¨²±¿ n ; jK j ° § (¯® ·¨±«³ ­ ¥ ¢ µ ® ¤ ¿ ¹ ¨ x ¢ Š ½«¥¬¥­²®¢) ¨ ²¥¬ ± ¬»¬ ¯°¨®¡°¥² ¥² ª®½´´¨¶¨¥­² ;(n;jK j) (n ; jK jn;! 1)!jK j! = ; (n ; jKn!j)!jK j!; ¥±«¨ n 6= jK j;

«¥¬¥­²» ²¥®°¨¨ ª®®¯¥° ²¨¢­»µ ¨£°

273

¨ ª®½´´¨¶¨¥­² 0 , ¥±«¨ n = jK j . ’ ª¨¬ ®¡° §®¬, ¯° ¢ ¿ · ±²¼ (5.6) ° ¢­  v (I ) :

X i2I

i (v ) = v (I );

(5:7)

¨ ¢¥ª²®° (v ) ®ª §»¢ ¥²±¿ ½´´¥ª²¨¢­»¬. °®¢¥°ª   ª±¨®¬» ¡®«¢ ­  ²°¨¢¨ «¼­ . ³±²¼ ¢ ¨£°¥ v ¨£°®ª i ¿¢«¿¥²±¿ ¡®«¢ ­®¬. ’®£¤  ¤«¿ «¾¡®© ª® «¨¶¨¨ Š  I

v(K ) ; v(K n i) = 0;   ±«¥¤®¢ ²¥«¼­®, ª ¦¤®¥ ±« £ ¥¬®¥ ¢ (5.5) ¤«¿ ½²®£® i ° ¢­® 0. ®½²®¬³ i (v ) = 0: °®¢¥°¨¬ ²¥¯¥°¼  ª±¨®¬³ ±¨¬¬¥²°¨·­®±²¨. ³±²¼  | ¯¥°¥±² ­®¢ª  I ² ª ¿, ·²® v (K ) = v (K ) ¤«¿ «¾¡®© ª® «¨¶¨¨ K . ’®£¤  ¢¬¥±²¥ ± Š ª® «¨¶¨¿ K ² ª¦¥ ¯°®¡¥£ ¥² ¢±¥ ¯®¤¬­®¦¥±²¢  I , ¨ ¬» ¬®¦¥¬ (5.5) ¯¥°¥¯¨± ²¼ ª ª X (n ; jK j)!(jK j; 1)! i (v ) = (v (K ) ; v (K n i)): n! i2K I ‘ ¤°³£®© ±²®°®­», ¯®±ª®«¼ª³ v (K ) = v (K ) ¨ jK j = jK j , ²® i ¨ K ¯®¤ §­ ª®¬ ±³¬¬¨°®¢ ­¨¿ ¬®¦­® ®¡° ²­®

¯¥°¥¨¬¥­®¢ ²¼ ±®®²¢¥²±²¢¥­­® ¢ i ¨ K: Žª®­· ²¥«¼­® ¬» ¨¬¥¥¬ X (n ; jK j)!(jK j; 1)! i (v ) = (v (K ) ; v (K n i)) = i (v ): n! K I

€ ª ± ¨ ® ¬   « ¨ ­ ¥ © ­ ® ± ² ¨ ±«¥¤³¥² ¨§ ²®£®, ·²® ª®¬¯®­¥­²» ¢¥ª²®°  (v ) § ¢¨±¿² ®² §­ ·¥­¨© µ ° ª²¥°¨±²¨·¥±ª®© ´³­ª¶¨¨ v «¨­¥©­®. ’ ª¨¬ ®¡° §®¬, ¢¥ª²®° (v ) ¤¥©±²¢¨²¥«¼­® ¿¢«¿¥²±¿ ¤«¿ µ ° ª²¥°¨±²¨·¥±ª®© ´³­ª¶¨¨ v ¢¥ª²®°®¬ ˜¥¯«¨, ±³¹¥±²¢®¢ ­¨¥ ª®²®°®£® ²¥¬ ± ¬»¬ ¤®ª § ­®.

274

ƒ« ¢  6

6.6. „®¯®«­¥­¨¥. ‚»¯³ª«»¥ ¨£°»

1. ³±²¼ I = f1; : : :; n) | ¬­®¦¥±²¢® ¨£°®ª®¢, a v | ¢»¯³ª« ¿ ¨£° , ². ¥. ¤«¿ «¾¡»µ S; T  (I ) v (S ) + v (T ) 5 v (S [ T ) + v (S \ T ): (6:1) Œ­®¦¥±²¢® ¢±¥µ ¢»¯³ª«»µ ¨£° ¬» ¡³¤¥¬ ®¡®§­ · ²¼ ·¥°¥§ C . Ž¯° ¢¤ ­¨¥¬ ² ª®¬³ ­ §¢ ­¨¾ ¬®¦¥² ±«³¦¨²¼ ²®² ´ ª², ·²® ¤«¿ ¢»¯³ª«®© ¨£°» À¯¥°¢»¥ ° §­®±²¨Á v (S + T ) ; v(S ) (6:2) ¯°¨ ´¨ª±¨°®¢ ­­®¬ T ¬®­®²®­­® ¢®§° ±² ¾² ¯® S . (‡ ¬¥²¨¬, ·²® ¥±«¨ f : R+ ! R+ ¢»¯³ª« ¿ ´³­ª¶¨¿, ². ¥. f (x + (1 ; )³) 5 f (µ) + (1 ; )f (³ ) ¯°¨ ¢±¥µ µ; y 2 R+ ¨ 0 5  5 1 , ²® À¯¥°¢»¥ ° §­®±²¨Á ½²®© ´³­ª¶¨¨ f (x + y ) ; f (x) (x; y 2 R+ ) ¯°¨ ´¨ª±¨°®¢ ­­®¬ ³ ¬®­®²®­­® ¢®§° ±² ¾² ¯® µ .) C®®²­®¸¥­¨¥ (6.2) ­ ¢®¤¨² ­  ¬»±«¼, ·²® ± -¿¤°® ¢»¯³ª«®© ¨£°» ­¥¯³±²®. „¥©±²¢¨²¥«¼­®, ¬®¦­® § ¬¥²¨²¼, ·²® ³±«®¢¨¥16 (v (S + fig) ; v (S )) "s (6:3) ° ¢­®±¨«¼­® ¬®­®²®­­®±²¨ (6.2). “²¢¥°¦¤¥­¨¥ ¦¥ (6.3) ®§­ · ¥², ·²® ¨£°®ª³ i ¶¥«¥±®®¡° §­® ¯°¨±®¥¤¨­¿²¼±¿ ª ¢±¥ ¡®«¼¸¨¬ ª® «¨¶¨¿¬; ®²±¾¤  ¢»²¥ª ¥² ±²°¥¬«¥­¨¥ ª ®¡° §®¢ ­¨¾ ¡®«¼¸®© ª® «¨¶¨¨, ®µ¢ ²»¢ ¾¹¥© ¢®®¡¹¥ ¢±¥µ ¨£°®ª®¢. ®½²®¬³ ¥±²¥±²¢¥­­® ®¦¨¤ ²¼, ·²® ®¡° §³¥²±¿ ¬ ª±¨¬ «¼­ ¿ ª® «¨¶¨¿,   ¬¥­¼¸¨¥ ª® «¨¶¨¨ ½²®¬³ ­¥ ¡³¤³² ¯°¥¯¿²±²¢®¢ ²¼. ‘«¥¤®¢ ²¥«¼­®, ¬®¦­® ®¦¨¤ ²¼, ·²® ± -¿¤°® ­¥¯³±²®.

‡¤¥±¼ ¨ ¤ «¥¥ § ¯¨±¼ A(µ) "µ ¡³¤¥² ®§­ · ²¼, ·²® ´³­ª¶¨¿ A(x) ¬®­®²®­­® ¢®§° ±² ¥² ¯® ¯¥°¥¬¥­­®© µ: 16

«¥¬¥­²» ²¥®°¨¨ ª®®¯¥° ²¨¢­»µ ¨£°

275

’¥®°¥¬  6.6.1. …±«¨ v 2 C , ²® C (v) 6= ; . „ ® ª   §   ² ¥ « ¼ ± ² ¢ ® ¢¥¤¥²±¿ ¯® ¨­¤³ª¶¨¨. „«¿ n = 1 ¤®ª §»¢ ²¼ ­¥·¥£®. °¥¤¯®«®¦¨¬, ·²® ²¥®°¥¬  ¤®ª § ­  ¤«¿ n ; 1 ¨£°®ª®¢. ³±²¼ I = f1; : : :; ng ,   ’ | ª® «¨¶¨¿ ¨§ n ; 1 ¨£°®ª®¢. ’®£¤  ¢ ±¨«³ ¨­¤³ª²¨¢­®£® ¯°¥¤¯®«®¦¥­¨¿ ´³­ª¶¨¿

v0 (S ) = v (S \ T ) ¨¬¥¥² ­¥¯³±²®¥ ± -¿¤°®, ². ¥. ±³¹¥±²¢³¥² ² ª®© ¢¥ª²®° m0 2 IRT ; ·²® m0 (S ) = v0 (S ); 8S  T (6:4) m0 (T ) = m0(I ) = v 0(T ) = v0 (I ): Ž¯°¥¤¥«¨¬ ¢¥ª²®° m 2 IRI ; ¯®«®¦¨¢

 m0

mi = v (iI ) ; v (T ); ii 22= TT ,. ’®£¤  ¬» ¨¬¥¥¬

m(I ) =

P m = P m0 + v(I ) ; v(T ) = i2I i i2T i

= m0(T ) + v (I ) ; v (T ) = v (I )

(6:5)

(6:6)

¨ ¤«¿ S  ’ ¢ ±¨«³ (6.4)

m(S ) = m0(S ) = v 0(S ) = v (S ): Š°®¬¥ ²®£®, ¤«¿ S 6 T ¬» ¨¬¥¥¬, ±·¨² ¿, ·²® T = I n fi0g ,

m(S ) = m0(S \ T ) + mi = = v 0 (S \ T ) + m i = v ( S \ T ) + v ( I ) ; v ( T ) = = v (S n fi0g) + v (I ) ; v (I n fi0g) = v (S ); 0

0

¯°¨·¥¬ ¯®±«¥¤­¥¥ ­¥° ¢¥­±²¢® ¢ ¶¥¯®·ª¥ ±«¥¤³¥² ¨§ (6.3). ’¥®°¥¬  ¤®ª § ­ .

276

ƒ« ¢  6

ˆ¤¥¿ ¤®ª § ²¥«¼±²¢  §¤¥±¼ ¤®±² ²®·­® ¯°®§° ·­ : ¢»¨£°»¸ ¤¥«¨²±¿ ¬¥¦¤³ ·«¥­ ¬¨ ª® «¨¶¨¨ ’ ±®®²¢¥²±²¢¥­­® ­¥ª®²®°®¬³ ¤¥«¥¦³ ¨§ C (v 0) ,   ¢­®¢¼ ¯°¨±®¥¤¨­¿¾¹¥¬³±¿ ¨£°®ª³ i0 ¢»¯« ·¨¢ ¥²±¿ ¢±¥ ²®, ·²® ®­ ¯°¨­®±¨² ¡®«¼¸®© ª® «¨¶¨¨. € ½²® ¯®§¢®«¿¥² ¯®¤®©²¨ ª ±«¥¤³¾¹¥© ª®­±²°³ª¶¨¨. ’¥®°¥¬  6.6.2. ³±²¼

; = S0  S1  S2 


 Sn = I |

(6:7)

±²°®£® ¢®§° ±² ¾¹ ¿ ¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼­®±²¼ ª® «¨¶¨© ¨§ I , ¤«¿ ª®²®°®© jSi n Si;1 j = 1 ¯°¨ ¢±¥µ i = 1; : : :; n . ’®£¤  ° ¢¥­±²¢  x(Si n Si;1) = v (Si) ; v (Si;1) (6:8) ®¯°¥¤¥«¿¾² ­¥ª®²®°»© ¤¥«¥¦ µ 2 ‘ (v ) . „ ® ª   §   ² ¥ « ¼ ± ² ¢ ®  ­ «®£¨·­® ¤®ª § ²¥«¼±²¢³ ¯°¥¤»¤³¹¥© ²¥®°¥¬». °®¶¥±±, ®¯¨±»¢ ¥¬»© ¶¥¯®·ª®© (6.7), ¤®±² ²®·­® ­ £«¿¤¥­: ¯³±² ¿ ª® «¨¶¨¿ S0 §  ±·¥² ¢±²³¯«¥­¨¿ ¢ ­¥¥ ­®¢»µ ¨£°®ª®¢ ¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼­® ³¢¥«¨·¨¢ ¥²±¿ ª ¦¤»© ° § ­  ®¤­®£® ¨£°®ª . ²®² ¯®°¿¤®ª ¢±²³¯«¥­¨¿ ®¯°¥¤¥«¿¥² ­¥ª®²®°³¾ ¯¥°¥±² ­®¢ª³ ¨£°®ª®¢  . ¥°¥±² ­®¢ª   , ±®®²¢¥²±²¢³¾¹ ¿ (6.7), ®¤­®§­ ·­® ®¯°¥¤¥«¿¥²±¿ ° ¢¥­±²¢®¬

(Si n Si;1) = i (i = 1; : : :; n): (6:9) ³±²¼ ²¥¯¥°¼  : I ! I | ­¥ª®²®° ¿ ¯¥°¥±² ­®¢ª . Ÿ±­®,

·²® ®­  ¯®°®¦¤ ¥² ­¥ª®²®°»© ¯®°¿¤®ª ¨£°®ª®¢. Ž¡®§­ ·¨¬ ¬­®¦¥±²¢® ¯¥°¢»µ (±®£« ±­® ½²®¬³ ¯®°¿¤ª³) i ¨£°®ª®¢ ·¥°¥§

Si = fk : (k) 5 ig: …±«¨  ¯®«³·¥­® ¨§ ±®®²­®¸¥­¨¿ (6.7) ­  ®±­®¢ ­¨¨ (6.9), ²® ¨§ k 2 Si , k 2 Sj n Sj ;1 (¤«¿ ­¥ª®²®°®£® j 5 i ) ¢»²¥ª ¥²

(k) =  (Sj n Sj ;1 ) = j 5 i:

«¥¬¥­²» ²¥®°¨¨ ª®®¯¥° ²¨¢­»µ ¨£°

Ž²±¾¤ 

277

Si = Si :

®½²®¬³ ±¯° ¢¥¤«¨¢  ±«¥¤³¾¹ ¿ ²¥®°¥¬ .

’¥®°¥¬  6.6.3. (Shapley, 1979). „«¿ «¾¡®© ¯¥°¥±² ­®¢ª¨  : I ! I ¤¥«¥¦ x ; § ¤ ¢ ¥¬»© ° ¢¥­±²¢®¬ x; (i) = v (Si) ; v (Si;1); (6:10) 1

¯°¨­ ¤«¥¦¨² C (v ):

‡ ¬¥· ­¨¥ 6.6.1. ‹¥£ª® ¢¨¤¥²¼, ·²® xk = v(S(k)) ; v (S(k);1): (6:11) ’¥®°¥¬  6.6.4. (Shapley, 1979). Š ¦¤»© ¤¥«¥¦ µ ; ®¯¨±»¢ ¥¬»© ° ¢¥­±²¢®¬ ¢¨¤  (6.10), ¿¢«¿¥²±¿ ª° ©­¥© ²®·ª®©17 ¬­®¦¥±²¢  C (v ); ¨ ¢±¥ ª° ©­¨¥ ²®·ª¨ ¬®£³² ¡»²¼ ¯®«³·¥­» ² ª¨¬ ¯³²¥¬.

„ ® ª   §   ² ¥ « ¼ ± ² ¢ ®. Œ­®¦¥±²¢® ‘ ¿¢«¿¥²±¿ ®£° ­¨·¥­­»¬ § ¬ª­³²»¬ ¢»¯³ª«»¬ ¬­®£®£° ­­¨ª®¬ ¢ Rn . ˆ§¢¥±²­® (±¬., ­ ¯°¨¬¥°, ®ª ´¥«« °, 1973), ·²® ª° ©­¨¥ ²®·ª¨ ¬®¦­® ¯®«³·¨²¼ ª ª ¥¤¨­±²¢¥­­»¥ °¥¸¥­¨¿ ±¨±²¥¬» n ³° ¢­¥­¨©, ¯®«³· ¥¬»µ ¨§ ­¥° ¢¥­±²¢, § ¤ ¾¹¨µ ¬­®£®£° ­­¨ª. °¨ ½²®¬ ­¥®¡µ®¤¨¬® ¥¹¥ ¯°®¢¥°¨²¼, ¯°¨­ ¤«¥¦ ² «¨ ­ ©¤¥­­»¥ ² ª¨¬ ®¡° §®¬ ²®·ª¨ ¬­®£®£° ­­¨ª³. ‚ ±¨«³ ° ¢¥­±²¢  (6.8) ¤«¿ § ¤ ­­»µ µ = µ ¨ Si = Si ¬» ¨¬¥¥¬

x(Si ) = x(Si n Si;1) + x(Si;1 n Si;2) +


+ x(S1 n S0) = v (Si); ². ¥. µ ¿¢«¿¥²±¿ °¥¸¥­¨¥¬ ±¨±²¥¬» n ³° ¢­¥­¨©. ˆ§ ° ¢¥­±²¢  (6.10) ±«¥¤³¥², ·²® x ¿¢«¿¥²±¿ ¥¤¨­±²¢¥­­»¬ °¥¸¥­¨¥¬ ½²®© ’®·ª  x ­ §»¢ ¥²±¿ ª° ©­¥© ²®·ª®© ­¥ª®²®°®£® ¬­®¦¥±²¢  X; ¥±«¨ ­¥ ±³¹¥±²¢³¥² ² ª¨µ ° §«¨·­»µ x0 ; x00 2 X; ·²® x = (x0 + x00 )=2: 17

278

ƒ« ¢  6

±¨±²¥¬».  ª®­¥¶, ¯® ²¥®°¥¬¥ 6.6.3 µ 2 ‘ , ² ª ·²® µ ¿¢«¿¥²±¿ ª° ©­¥© ²®·ª®© ± -¿¤° . ³±²¼, ­ ®¡®°®², µ | ­¥ª®²®° ¿ ª° ©­¿¿ ²®·ª  ± -¿¤° .  ±±¬®²°¨¬ ±¨±²¥¬³ ª® «¨¶¨©  = (x) = fS  I jx(S ) = v (S )g: (6:12) ²  ±¨±²¥¬  § ¬ª­³²  ®²­®±¨²¥«¼­® ®¯¥° ¶¨© ®¡º¥¤¨­¥­¨¿ ¨ ¯¥°¥±¥·¥­¨¿. „¥©±²¢¨²¥«¼­®, ¯³±²¼ S; ’ 2  ; ²®£¤  v(S [ T ) 5 x(S [ T ) = x(S ) + x(T ) ; x(S \ T ) 5 (6:13) 5 v(S ) + v(T ) ; v(S \ T )  v(S [ T ) ¨, ±«¥¤®¢ ²¥«¼­®, S [ ’ 2  . ’®·­® ² ª ¦¥ ¤®ª §»¢ ¥²±¿, ·²® ¨ S \ ’ 2  . ³±²¼ ; = S0  S1 


 Sm = I | (6:14) ±²°®£® ¢®§° ±² ¾¹ ¿ ¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼­®±²¼ ª® «¨¶¨© ¨§  , ¨¬¥¾¹ ¿ ­ ¨¡®«¼¸³¾ ¤«¨­³. …±«¨ m = n , ²® ­ ¸  ²¥®°¥¬  ¤®ª § ­ . …±«¨ m < n , ²® ­ ©¤¥²±¿ ² ª®¥ Sk , ·²® jSk+1 n Sk j = 2: ³±²¼, ­ ¯°¨¬¥°, fi; j g  Sk+1 n Sk . ‚¢¨¤³ ²®£®, ·²® µ ª ª ª° ©­¿¿ ²®·ª  ¿¢«¿¥²±¿ ¥¤¨­±²¢¥­­»¬ °¥¸¥­¨¥¬ ±¨±²¥¬» X xi = v(S ); (S 2 ); (6:15) i2S

±³¹¥±²¢³¥² µ®²¿ ¡» ®¤­® ² ª®¥ S 2  , ·²® (­¥ ­ °³¸ ¿ ®¡¹­®±²¨)

i 2 S; j 2= S: Œ­®¦¥±²¢® T = (S [ Sk ) \ Sk+1 ¿¢«¿¥²±¿ ½«¥¬¥­²®¬  ¢¢¨¤³ § ¬ª­³²®±²¨ ±¥¬¥©±²¢   ®²­®±¨²¥«¼­® ®¯¥° ¶¨© ®¡º¥¤¨­¥­¨¿ ¨ ¯¥°¥±¥·¥­¨¿. Š°®¬¥ ²®£®, ¤«¿ ’ ¨¬¥¥² ¬¥±²® ¢ª«¾·¥­¨¥

Sk  T  Sk+1;

«¥¬¥­²» ²¥®°¨¨ ª®®¯¥° ²¨¢­»µ ¨£°

279

  ½²® ­¥¢®§¬®¦­® ¢ ±¨«³ ²®£®, ·²® (6.14) | ¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼­®±²¼ ­ ¨¡®«¼¸¥© ¤«¨­». ®½²®¬³ ±«³· © m < n ­¥¢®§¬®¦¥­, ¨ ²¥®°¥¬  ¤®ª § ­ .

’¥®°¥¬  6.6.5. ³±²¼ ´³­ª¶¨¿ v 2 C ² ª®¢ , ·²® ¤«¿ S; T 2 B; ¤«¿ ª®²®°»µ S n ’ 6= ; ¨ T n S 6= ;; ¢±¥£¤  ¨¬¥¥² ¬¥±²®

v(S ) + v (T ) < v (S [ T ) + v (S \ T ): (6:16) ’®£¤  ¢±¥ ¤¥«¥¦¨ µ ° §«¨·­». ‚ ½²®¬ ±«³· ¥ ‘ ¨¬¥¥² °®¢­® n! ª° ©­¨µ ²®·¥ª. „ ® ª   §   ² ¥ « ¼ ± ² ¢ ®. ³±²¼ ¬­®¦¥±²¢  S ¨ ’ ³¤®¢«¥²¢®°¿¾² ³±«®¢¨¿¬ ²¥®°¥¬»,   µ | ­¥ª®²®° ¿ ª° ©­¿¿ ²®·ª  ‘ . ®ª ¦¥¬, ·²® ¥±«¨ x | ª° ©­¿¿ ²®·ª  ‘ ,   S; ’ 2  (x) , ²® «¨¡® S  T , «¨¡® S  ’ . „¥©±²¢¨²¥«¼­®, ¨§ x(S ) = v (S ) ¨ µ (’ ) = v (’ ) ­  ®±­®¢ ­¨¨ ±¢®©±²¢  (µ) ±«¥¤®¢ «® ¡», ·²® x(S [ T ) = v (S [ ’ ) ¨ x(S \ T ) = v (S \ ’ ) . Ž²±¾¤ , ¢ ±¢®¾ ®·¥°¥¤¼, ¢»²¥ª «® ¡»

v (S ) + v(T ) = x(S ) + x(T ) = x(S [ T ) + x(S \ T ) = = v (S [ T ) + v (S \ T );   ½²® ¯°®²¨¢®°¥·¨² (6.16). ®½²®¬³ ¬­®¦¥±²¢  ¨§  (µ) ¬®¦­® ³¯®°¿¤®·¨²¼ ² ª:

; = S0  S1 


 Sm = I: Œ» ³¦¥ ¢¨¤¥«¨, ·²® ¤®«¦­® ¡»²¼ m = n ¨, ±«¥¤®¢ ²¥«¼­®, ±®®²¢¥²±²¢¨¥ ¬¥¦¤³ ª° ©­¥© ²®·ª®© µ ¨ ±¨±²¥¬®© (6.7) ¿¢«¿¥²±¿ ¢§ ¨¬­® ®¤­®§­ ·­»¬.

‘«¥¤±²¢¨¥ 6.6.1. …±«¨ v 2 C ¨ ¢»¯®«­¥­® (6.16), ²® §­ ·¥­¨¥ ˜¥¯«¨ ¨£°» v ¥±²¼ ¶¥­²° ²¿¦¥±²¨ c -¿¤°  C (v ) . „®ª § ²¥«¼±²¢® ­¥¬¥¤«¥­­® ±«¥¤³¥² ¨§ ²¥®°¥¬» ¨ ´®°¬³«», ®¯°¥¤¥«¿¾¹¥© §­ ·¥­¨¥ ˜¥¯«¨.

280

ƒ« ¢  6

6.7. ‡ ¤ ·¨

1. ‚»·¨±«¨²¥ §­ ·¥­¨¥ ˜¥¯«¨ ±«¥¤³¾¹¥© ª®®¯¥° ²¨¢­®© ¨£°» ²°¥µ «¨¶: v (i) = 0 , v (12) = v (13) = 4 , v (23) = 5 , v (123) = 6 . 2. „®ª ¦¨²¥, ·²® ¥±«¨ ª®®¯¥° ²¨¢­ ¿ ¨£°  ²°¥µ «¨¶ ² ª®¢ , ·²® v (i) = 0 ¤«¿ «¾¡®£® i = 1; 2; 3, ¨ 0  v (S )  v (I ) ¤«¿ «¾¡®© ª® «¨¶¨¨ S , ±®±²®¿¹¥© ¨§ ¤¢³µ ¨£°®ª®¢, ²® ¤«¿ n -¿¤°  «¨¡® ²°¨ ½ª±¶¥±± , ±®®²¢¥²±²¢³¾¹¨¥ ¤¢³µ½«¥¬¥­²­»¬ ª® «¨¶¨¿¬, ° ¢­», «¨¡® ¤¢  ¨§ ­¨µ ° ¢­»,   ²°¥²¨© ¡®«¼¸¥. …±«¨ v (I )  2v (S ) , ²® ¢±¥ ²°¨ ½ª±¶¥±±  ° ¢­». 3. ‚»·¨±«¨²¥ §­ ·¥­¨¥ ˜¥¯«¨ ±«¥¤³¾¹¥© ¨£°» ²°¥µ «¨¶: v (i) = 0 ¤«¿ «¾¡®£® i = 1; 2; 3, v (12) = v (23) = 3 , v (13) = 4 , v (I ) = 6 . —²® ¬®¦­® ±ª § ²¼ ® ­¥¯³±²®²¥ (¨«¨ ¯³±²®²¥) ± -¿¤°  ½²®© ¨£°»? 4. „®ª ¦¨²¥, ·²® ± -¿¤°® ¨£°» ²°¥µ «¨¶ v , ¢ ª®²®°®© v (i) = 1 ¤«¿ «¾¡®£® i = 1; 2; 3, v (12) = 3:5 , v (23) = 2:5 , v (13) = 3 , v (I ) = 4; ¯³±²®. 5.  ) „ ­  ±«¥¤³¾¹ ¿ ª®®¯¥° ²¨¢­ ¿ ¨£°  v : I = f1; 2; 3g ,

v (1) = v (2) = v (3) = 1; v(1; 2) = v(1; 3) = 4; v (2; 3) = 6; v (I ) = 7: ‚»·¨±«¨²¥ ¢¥ª²®° ˜¥¯«¨ ¨ n -¿¤°® ½²®© ¨£°». b) ‚»·¨±«¨²¥ n -¿¤°® ±«¥¤³¾¹¥© ª®®¯¥° ²¨¢­®© ¨£°» w : I = f1; 2; 3g , w(1) = w(2) = w(3) = 0; w(1; 2) = w(1; 3) = 3; w(2; 3) = 5; w(I ) = 7:

ƒ« ¢  7.

Œ®¤¥«¨ ° ±¯°¥¤¥«¥­¨¿ ‚ ½²®© £« ¢¥, ª®²®° ¿ ¨­±¯¨°¨°®¢ ­  ¯°¥ª° ±­»¬ ®¡° §®¬ . Œ³«¥­  (Moulin, 1999), ¬» ° ±±¬ ²°¨¢ ¥¬ °¿¤ ¯°®±²»µ ¬®¤¥«¥© À±¯° ¢¥¤«¨¢®£® ° ±¯°¥¤¥«¥­¨¿Á, ¨±±«¥¤®¢ ­¨¥ ª®²®°»µ ®¯¨° ¥²±¿ ­   ª±¨®¬ ²¨·¥±ª¨© ¬¥²®¤, ¢ ¦­®±²¼ ª®²®°®£® ¬» ®¡±³¦¤ «¨ ¢ £« ¢¥ 6,   ¥£® ¯°¨¬¥­¥­¨¥ ° ±±¬®²°¥«¨ ­  ¯°¨¬¥°¥ §­ ·¥­¨¿ ˜¥¯«¨ ¨  °¡¨²° ¦­®£® °¥¸¥­¨¿ ½¸ . ‚ ¤®±² ²®·­® ®¡¹¥¬ ¢¨¤¥ ½²¨ ¬®¤¥«¨ ¬®¦­® ®µ ° ª²¥°¨§®¢ ²¼ ±«¥¤³¾¹¨¬ ®¡° §®¬: ¥±²¼ ­¥ª®²®° ¿ ²¥µ­®«®£¨¿ (¯°®¨§¢®¤±²¢ ) ¨ ­¥ª®²®°®¥ ¬­®¦¥±²¢® ¯®«¼§®¢ ²¥«¥© ½²®© ²¥µ­®«®£¨¨. ²¨ ¯®«¼§®¢ ²¥«¨ ®ª §»¢ ¾² ¢®§¤¥©±²¢¨¥ ­  ¯°®¨§¢®¤±²¢¥­­»© ¯« ­ ° §«¨·­»¬¨ ±¯®±®¡ ¬¨: «¨¡® §  ±·¥² ° §«¨·­®£® ±¯°®±  ­  ¯°®¤³ª¶¨¾, «¨¡® §  ±·¥² ° §«¨·­®£® ¢ª« ¤  °¥±³°±®¢ (´ ª²®°®¢ ¯°®¨§¢®¤±²¢ ), «¨¡® §  ±·¥² ¨ ²®£®, ¨ ¤°³£®£®. …±«¨ ¨­¤¨¢¨¤³ «¼­»¥ ±¯°®±» (¨«¨ ¢ª« ¤») ®¤­®°®¤­» (². ¥. ®¡¹¨© ±¯°®± ¥±²¼ ¯°®±²® ±³¬¬  ¨­¤¨¢¨¤³ «¼­»µ ±¯°®±®¢),   ²¥µ­®«®£¨¿ ¨¬¥¥² ¯®±²®¿­­³¾ ®²¤ ·³ ®² ¬ ±¸² ¡ , ²® ±¯° ¢¥¤«¨¢®¥ ° ±¯°¥¤¥«¥­¨¥ °¥±³°±®¢ ¨ ¯°®¤³ª¶¨¨ ¬¥¦¤³ ¯®«¼§®¢ ²¥«¿¬¨ ¯°®±²® ¬®¦¥² ±«¥¤®¢ ²¼ ª« ±±¨·¥±ª®© ¬ ª±¨¬¥ €°¨±²®²¥«¿: ÀŽ¡¹¥±²¢® ¤¥°¦¨²±¿ ²¥¬, ·²® ª ¦¤®¬³ ¢®§¤ ¥²±¿ ¯°®¯®°¶¨®­ «¼­® ¥£® ¤¥¿²¥«¼­®±²¨Á1 . ‚ ®¡¹¥¬ ±«³· ¥ § ¤ ·  ±² ­®¢¨²±¿ ³¦¥ ¡®«¥¥ ±«®¦­®©. 1

€°¨±²®²¥«¼.¨ª®¬ µ®¢  ½²¨ª // €°¨±²®²¥«¼.‘®·.: ¢ 4². ’.IV,Œ.,1983.

281

282

ƒ« ¢  7

ƒ« ¢  ° §¡¨²  ­  ²°¨ ° §¤¥«  ¢ ±®®²¢¥²±²¢¨¨ ± ²°¥¬¿ ¡ §®¢»¬¨ ¬®¤¥«¿¬¨, ª®²®°»¬ ¯®±¢¿¹¥­  ¡®«¼¸ ¿ · ±²¼ ±®¢°¥¬¥­­®© «¨²¥° ²³°» ¯® ½²®© ¯°®¡«¥¬ ²¨ª¥. Œ» ­ ·­¥¬ (¯. 7.1) ± ¬®¤¥«¨ ° ¶¨®­¨°®¢ ­¨¿, ¢ ª®²®°®© § ¤ ­­»© ®¡º¥¬ °¥±³°±®¢ (­ ¯°¨¬¥°, ¤¥­¥£) ¤®«¦¥­ ¡»²¼ ° ±¯°¥¤¥«¥­ ¬¥¦¤³ ¯®«³· ²¥«¿¬¨ ¢»£®¤» ± ° §«¨·­»¬¨ ¯°¥²¥­§¨¿¬¨ ­  °¥±³°±». ‚® ¢²®°®¬ ° §¤¥«¥ ¬» ° ±±¬®²°¨¬ ®¤­®´ ª²®°­³¾ ²¥µ­®«®£¨¾ ± ®¤­®¯°®¤³ª²®¢»¬ ¢»¯³±ª®¬, ª®£¤  ¢±¥ ¯®«¼§®¢ ²¥«¨ ¯®²°¥¡«¿¾² ®¤­®°®¤­»© ¯°®¤³ª² (¢»¯³±ª ) ¨ ¢ª« ¤»¢ ¾² ®¤­®°®¤­»© °¥±³°± (´ ª²®° ¯°®¨§¢®¤±²¢ ): ²¨¯¨·­ ¿ § ¤ ·  ®¯¨±»¢ ¥²±¿ ± ¯®¬®¹¼¾ ¯¥°¥·­¿ ¨­¤¨¢¨¤³ «¼­»µ ±¯°®±®¢ ­  ¢»¯³±ª (±®®²¢¥²±²¢¥­­® ¢ª« ¤®¢) ¨ ¯°®¨§¢®¤±²¢¥­­®© ´³­ª¶¨¨,   ¯°®¡«¥¬  ±®±²®¨² ¢ ° ±¯°¥¤¥«¥­¨¨ § ²° ² (¯°®¨§¢¥¤¥­­®© ¯°®¤³ª¶¨¨).  ª®­¥¶, ¢ ¯®±«¥¤­¥¬ ° §¤¥«¥ £«. 7 ¬» ° ±±¬®²°¨¬ ²°¥²¼¾ ¬®¤¥«¼, ¢ ª®²®°®© § ¤ ·  ´®°¬ «¼­® ² ª ¿ ¦¥, ·²® ¨ ¢® ¢²®°®© ¬®¤¥«¨, ­® ²¥¯¥°¼ ³¦¥ ° ±±¬ ²°¨¢ ¥²±¿ ²¥µ­®«®£¨¿ ± ¥¤¨­±²¢¥­­»¬ ®¤­®°®¤­»¬ ´ ª²®°®¬ ¯°®¨§¢®¤±²¢  ¨ ­¥®¤­®°®¤­»¬ (£¥²¥°®£¥­­»¬) ®²­®±¨²¥«¼­®  £¥­²®¢ ¢»¯³±ª®¬ (±®®²¢¥²±²¢¥­­® ®¤­¨¬ ®¤­®°®¤­»¬ ´ ª²®°®¬ ¯°®¨§¢®¤±²¢  ¨ ­¥®¤­®°®¤­»¬¨ ®²­®±¨²¥«¼­®  £¥­²®¢ ´ ª²®° ¬¨ ¯°®¨§¢®¤±²¢ ). 7.1.  ¶¨®­¨°®¢ ­¨¥

1. ‡ ¤ ·¨ ° ¶¨®­¨°®¢ ­¨¿. ‡ ¤ ·  ° ¶¨®­¨°®¢ ­¨¿2 (ra-

tioning problem) | ½²® ²°®©ª  (I; t; x), ¢ ª®²®°®© I | ª®­¥·­®¥ ¬­®¦¥±²¢®  £¥­²®¢, ­¥®²°¨¶ ²¥«¼­®¥ ·¨±«® t ¯°¥¤±² ¢«¿¥² ¯®¤«¥¦ ¹¨© ° ±¯°¥¤¥«¥­¨¾ ®¡º¥¬ °¥±³°±®¢,   ¢¥ª²®° x = (xi)i2I ®¯¨±»¢ ¥² ²°¥¡®¢ ­¨¿ (claims)  £¥­²®¢, ¯°¨·¥¬

xi  0 ¤«¿ «¾¡®£® i 2 I 2 ®±ª®«¼ª³ ¢ ®²¥·¥±²¢¥­­®© «¨²¥° ²³°¥ ¥¹¥ ­¥² ³±²®¿¢¸¥©±¿ ²¥°¬¨­®«®£¨¨, ª ± ¾¹¥©±¿ ° ±±¬ ²°¨¢ ¥¬®© ¯°®¡«¥¬ ²¨ª¨, ¬» ¡³¤¥¬ ¢±¥£¤  ¢ ±ª®¡ª µ ³ª §»¢ ²¼ ±®®²¢¥²±²¢³¾¹¨©  ­£«¨©±ª¨© ²¥°¬¨­.

283

Œ®¤¥«¨ ° ±¯°¥¤¥«¥­¨¿

¨

0t

X i2I

xi:

¥¸¥­¨¥¬ § ¤ ·¨ ° ¶¨®­¨°®¢ ­¨¿ ¿¢«¿¥²±¿ ¢¥ª²®° y = (yi )i2I ; ®¯¨±»¢ ¾¹¨© ¤®«¨  £¥­²®¢ yi , i 2 I ² ª¨¥,·²® 0  yi  xi 8 i 2 I ¨

X

yi = t:

 ¯®¬­¨¬, ¢ ±¢¿§¨ ± ¯°¨¢¥¤¥­­»¬ ®¯°¥¤¥«¥­¨¥¬, § ¤ ·³ ¡ ­ª°®²±²¢ , ³¯®¬¿­³²³¾ ­ ¬¨ ¢ ° §¤¥«¥ 6.1 (¯°¨¬¥° 6). „°³£®© ¯°¨¬¥° | ½²® ² ª¦¥ ³¯®¬¨­ ¢¸ ¿±¿ ­ ¬¨ § ¤ ·  ­ «®£®®¡«®¦¥­¨¿: ¢ ½²®¬ ±«³· ¥ t | ½²® ±³¬¬ , ª®²®° ¿ ¤®«¦­  ¡»²¼ ±®¡° ­ , ¯°¨·¥¬, ¥±«¨ ¢ § ¤ ·¥ ¡ ­ª°®²±²¢  °¥±³°±» { ½²® ¡« £  (goods), ²® ¢ § ¤ ·¥ ­ «®£®®¡«®¦¥­¨¿ | ½²® ³¦¥ À­¥£®¤­»¥Á ²®¢ °» (bads). ‚ ¬¨ª°®½ª®­®¬¨ª¥ ¯°¨¬¥°,  ­ «®£¨·­»© ­ «®£®®¡«®¦¥­¨¾, ¤ ¥² ° ±¯°¥¤¥«¥­¨¥ § ²° ² ­  ¯°®¨§¢®¤±²¢® ­¥¤¥«¨¬®£® ¯³¡«¨·­®£® ¯°®¤³ª² : t | § ²° ²» ­  ¯°®¨§¢®¤±²¢® ¯°®¤³ª² ,   xi | ¢»£®¤   £¥­²  i 2 I .  ¶¨®­¨°®¢ ­¨¥ ¢®§­¨ª ¥² ¨ ­  °»­ª¥ ± ´¨ª±¨°®¢ ­­®© ¶¥­®© ¯°®¤³ª² : t | ¤®±²³¯­®¥ ¯®²°¥¡«¥­¨¥,   xi | ±¯°®±  £¥­²  i . ‡ ¬¥²¨¬, ·²® § ¤ ·³ ° ¶¨®­¨°®¢ ­¨¿ ¬®¦­® ¥±²¥±²¢¥­­® ¨­²¥°¯°¥²¨°®¢ ²¼ ª ª  °¡¨²° ¦­³¾ ±µ¥¬³ (±¬. ¯. 6.2) ± ²° ­±´¥° ¡¥«¼­®© ¯®«¥§­®±²¼¾, ¢ ª®²®°®© ²®·ª  status quo ®¯°¥¤¥«¿¥²±¿ ¢¥ª²®°®¬ x ,   ¬­®¦¥±²¢® ¤®¯³±²¨¬»µ ¢¥ª²®°®¢ ¢»¨£°»¸¥© ¯°¥¤±² ¢«¿¥² ±®¡®© ¬­®¦¥±²¢®

fz 2 IRI :

X

zi  tg:

Œ¥²®¤ ° ¶¨®­¨°®¢ ­¨¿ r ±² ¢¨² ¢ ±®®²¢¥²±²¢¨¥ ª ¦¤®© § ¤ ·¥ ° ¶¨®­¨°®¢ ­¨¿ (I; t; x) °¥¸¥­¨¥ y = r(I; t; x). Œ» ±·¨² ¥¬, ·²® ¯¥°¥¬¥­­»¥ t; xi; yi 2 IR 1+ ¨ ±®®²¢¥²±²¢³¾² ¤¥«¨¬»¬ °¥±³°± ¬, ²°¥¡®¢ ­¨¿¬, ±¯°®±³ (­¥¤¥«¨¬®±²¼ °¥±³°±®¢ ¨ ². ¤. ¬» ¢ ¤ ­­®© £« ¢¥ ­¥ ° ±±¬ ²°¨¢ ¥¬, µ®²¿ ±®®²¢¥²±²¢³¾¹¨¥ § ¤ ·¨ ¯°¥¤±² ¢«¿¾² ² ª¦¥ ¢ ¦­»© ª« ±± § ¤ · ° ±¯°¥¤¥«¥­¨¿). ³¤¥¬ ®¡®§­ · ²¼ ·¥°¥§ < ¬­®¦¥±²¢® ¬¥²®¤®¢

284

ƒ« ¢  7

° ¶¨®­¨°®¢ ­¨¿ ± § ¤ ­­®© ¯®¯³«¿¶¨¥© ¯®²¥­¶¨ «¼­»µ  £¥­²®¢, ². ¥. ¡¥±ª®­¥·­»¬ ¬­®¦¥±²¢®¬, ¨§ ª®²®°®£® ¢»¡¨° ¾²±¿ ¢®§¬®¦­»¥ ±®®¡¹¥±²¢  (¬­®¦¥±²¢ )  £¥­²®¢ I . ‚±¥ ®¡±³¦¤ ¥¬»¥ ­¨¦¥ ¬¥²®¤» ° ¶¨®­¨°®¢ ­¨¿ ®¡« ¤ ¾² ±«¥¤³¾¹¨¬ ±¢®©±²¢®¬ °¥±³°±­®©0 ¬®­®²®­­®±²¨ (RM0 | Resource Monotonicity): ¥±«¨ t  t ; ²® r(I; t; x)  r(I; t ; x) ¤«¿ 0 «¾¡»µ I , t , t ¨ x . ˆ­»¬¨ ±«®¢ ¬¨, ¥±«¨ ®¡º¥¬ °¥±³°±®¢ ³¢¥«¨·¨¢ ¥²±¿, ²® ¤®«¿ ­¨ ®¤­®£® ¨§  £¥­²®¢ ­¥ ¤®«¦­  ³¬¥­¼¸¨²¼±¿. ‚ ¡®«¼¸¨­±²¢¥ ±«³· ¥¢ °¥±³°±­ ¿ ¬®­®²®­­®±²¼ ±«¥¤³¥² ¨§ ¤°³£¨µ  ª±¨®¬, ¯®½²®¬³ ®­  ­¥ ¢±¥£¤  ¢µ®¤¨² ¢ ·¨±«®  ª±¨®¬, ®¯°¥¤¥«¿¾¹¨µ ²®² ¨«¨ ¨­®© ¬¥²®¤ ° ¶¨®­¨°®¢ ­¨¿. …±«¨ r | ¬¥²®¤ ° ¶¨®­¨°®¢ ­¨¿, ²® ¯®«¥§­»¬ ®ª §»¢ ¥²±¿ ¤¢®©±²¢¥­­»© ¬¥²®¤ r , ¯°¥®¡° §³¾¹¨© ¢»¨£°»¸¨ ¢ ¯°®¨£°»¸¨:

r(I; t; x) = x ; r(I; xI ; t; x) ¤«¿ «¾¡»µ I; t; x;

P

£¤¥3 xI = i2I xi . „«¿ ¤ ­­®£® x , ¬¥²®¤ r ° ±¯°¥¤¥«¿¥² t ¥¤¨­¨¶ À¢»¨£°»¸¥©Á ²®·­® ² ª¨¬ ¦¥ ±¯®±®¡®¬, ª ª¨¬ r ° ±¯°¥¤¥«¿¥² ¯®²¥°¨ xI ; t :

yi(t; x) = xi ; yi (xI ; t; x):

2. °®¯®°¶¨®­ «¼­®¥ ° ¶¨®­¨°®¢ ­¨¥. Œ¥²®¤

¯°®¯®°¶¨®­ «¼­®£® ° ¶¨®­¨°®¢ ­¨¿ (proportional rationing) ®¯°¥¤¥«¿¥²±¿ ±«¥¤³¾¹¨¬ ®¡° §®¬:

y = pr(I; t; x) = xt
x ¤«¿ xI > 0 I

(¥±«¨ xI = 0 , ²® y = 0 ). ’ ª¨¬ ®¡° §®¬, ¯°®¯®°¶¨®­ «¼­»© ¬¥²®¤ ¯°¨¯¨±»¢ ¥² ° ¢­»¥ ¤®«¨  £¥­² ¬ ± ° ¢­»¬ ±¯°®±®¬. ®¬¨¬® ½²®£®, ®­ ¡¥§° §«¨·¥­ ª ¨¬¥­ ¬  £¥­²®¢,   ¨±µ®¤¨² «¨¸¼ ¨§ ° §¬¥°  ®²±²³¯ ¥¬ §¤¥±¼ ®² ¯°¨­¿²®£® ­ ¬¨ ° ­¥¥ ®¡®§­ ·¥­¨¿ Pi2Œ» x ; ¯®±ª®«¼ª³ ¢ ¤ ­­®¬ ±«³· ¥ ®­® ¬¥­¥¥ ³¤®¡­®. i I 3

x(I ) =

Œ®¤¥«¨ ° ±¯°¥¤¥«¥­¨¿

285

®²­®±¨²¥«¼­®£® ±¯°®±   £¥­²®¢. ”®°¬ «¼­® ½²¨ ¤¢  ±¢®©±²¢  ®¯¨±»¢ ¾²±¿ ±«¥¤³¾¹¨¬ ®¡° §®¬:  ¢­»¬  £¥­² ¬ | ¯®°®¢­³: (ETE | Equal Treatment of Equals): ¨§ xi = xj ±«¥¤³¥² yi = yj ¤«¿ «¾¡»µ I , t , x ¨ «¾¡»µ i; j 2 I . ‘¨¬¬¥²°¨·­®±²¼: y = r(I; t; x) ¿¢«¿¥²±¿ ±¨¬¬¥²°¨·­®© ´³­ª¶¨¥© ¯¥°¥¬¥­­»µ xi ; i 2 I . ¥®¡µ®¤¨¬® ®²¬¥²¨²¼, ·²® ¨§ ±¨¬¬¥²°¨·­®±²¨ ±«¥¤³¥² ±¢®©±²¢® À° ¢­»¬  £¥­² ¬ | ¯®°®¢­³Á. ‚®§¬®¦­» ° §«¨·­»¥ ±¯®±®¡» µ ° ª²¥°¨§ ¶¨¨ ¬¥²®¤  ¯°®¯®°¶¨®­ «¼­®£® ° ¶¨®­¨°®¢ ­¨¿, ¯°¨·¥¬ ½²¨ ±¯®±®¡» ¨±µ®¤¿² «¨¡® ¨§ ¢®§¬®¦­®±²¨ À±«¨¿­¨¿Á ¯®¤¬­®¦¥±²¢   £¥­²®¢ ¢ ®¤­®£®  £¥­²  ± ª®¬¡¨­¨°®¢ ­­»¬ ±¯°®±®¬, «¨¡® ¨§ ¢®§¬®¦­®±²¨ À° §¡¨¥­¨¿Á ®¤­®£®  £¥­²  ­  ­¥±ª®«¼ª¨µ ¡®«¥¥ ¬¥«ª¨µ  £¥­²®¢. ‚ ¦­»¬ §¤¥±¼ ¿¢«¿¥²±¿ ²®, ·²® ¯°®¯®°¶¨®­ «¼­®¥ ° ¶¨®­¨°®¢ ­¨¥ À¤¨±ª®­²¨°³¥²Á ª ¦¤³¾ ¥¤¨­¨¶³ ±¯°®± /²°¥¡®¢ ­¨¿ ± ¯®¬®¹¼¾ ®¤­®£® ¨ ²®£® ¦¥ ¬­®¦¨²¥«¿. ®½²®¬³ ¯°®¯®°¶¨®­ «¼­»© ¬¥²®¤ ¯°¨¬¥­¨¬ ²®£¤ , ª®£¤  ²°¥¡®¢ ­¨¿ ²° ­±´¥° ¡¥«¼­», ª ª, ­ ¯°¨¬¥°, ¢ ±«³· ¥  ­®­¨¬­»µ ®¡«¨£ ¶¨©. „«¿ ¯°®¨§¢®«¼­®£® ¬­®¦¥±²¢   £¥­²®¢ I ¨ ¯®¤¬­®¦¥±²¢  S  I ·¥°¥§ I [S] ¡³¤¥² ®¡®§­ · ²¼±¿ ¬­®¦¥±²¢® ± (jI j;jS j +1)  £¥­² ¬¨ (§¤¥±¼ ¨ ¤ «¥¥ jS j | ·¨±«®  £¥­²®¢ ¢ ¬­®¦¥±²¢¥ S ), £¤¥ ¢±¥  £¥­²» ¨§ S ®¡º¥¤¨­¥­» ¢ ¥¤¨­®£®  £¥­² , ®¡®§­ · ¥¬®£® S  .  ¯°¨¬¥°, ¥±«¨ I = f1; 2; 3; 4; 5g , S = f2; 3; 4g , ²® I [S ] = f1; S ; 5g , £¤¥ S  = f2; 3; 4g . „«¿ «¾¡®£® x 2 IR I+ ¡³¤¥¬ ¤ «¥¥ ®¡®§­ · ²¼:

 xS = Pi2S xi ;

 x[S] | ¯°®¥ª¶¨¿ x ­  IRS+ ;  x[S] 2 IRI S ®¯°¥¤¥«¿¥²±¿ ±«¥¤³¾¹¨¬ ®¡° §®¬: [ ]

286

8 < xi; i 2= S x[iS] = : [S ] : xS = xS

ƒ« ¢  7

ˆ­»¬¨ ±«®¢ ¬¨, ª®¬¯®­¥­²  x[S ] ; ±®®²¢¥²±²¢³¾¹ ¿ ®¡º¥¤¨­¥­­®¬³  £¥­²³ S  , ¥±²¼ ±³¬¬  ²°¥¡®¢ ­¨©  £¥­²®¢ ¨§ S:  ±±¬®²°¨¬ ±«¥¤³¾¹¨¥ ·¥²»°¥ ±¢®©±²¢ , ª®²®°»¥, ª ª ®ª §»¢ ¥²±¿ (±¬. ²¥®°¥¬³ 7.1 ­¨¦¥), ®¤­®§­ ·­® ®¯°¥¤¥«¿¾² ¬¥²®¤ ¯°®¯®°¶¨®­ «¼­®£® ° ¶¨®­¨°®¢ ­¨¿. Ž²±³²±²¢¨¥ ¯°¥¨¬³¹¥±²¢¥­­®£® ¯¥°¥° ±¯°¥¤¥«¥­¨¿ (NAR { No Advantageous Reallocation): ¤«¿ «¾¡»µ I; S; «¾¡®£® t ¨ «¾¡»µ x; x0 ¨§ x[S ] = x0[S ] ±«¥¤³¥² rS (I; t; x) = rS (I; t; x0): ˆ­»¬¨ ±«®¢ ¬¨, ¯¥°¥° ±¯°¥¤¥«¥­¨¥ ¨­¤¨¢¨¤³ «¼­®£® ±¯°®±  ¬¥¦¤³  £¥­² ¬¨ ¨§ S ­¥ ¬¥­¿¥² ±³¬¬ °­³¾ ¤®«¾ ½²¨µ  £¥­²®¢ (  ½²® ¤¥« ¥² ¯®¤®¡­®¥ ¯¥°¥° ±¯°¥¤¥«¥­¨¥ ­¥¯°¨¡»«¼­»¬). ¥±³¹¥±²¢¥­­®±²¼ ¯¥°¥° ±¯°¥¤¥«¥­¨© (IR | Irrelevance of Reallocations): ¤«¿ «¾¡»µ I; 0 S; ¢±¥µ t ¨ «¾¡»µ x; x0 ¨§ x[S ] = x0[S ] ±«¥¤³¥² rj (I; t; x) = rj (I; t; x0) ¤«¿ «¾¡»µ

j 2 I n S:

’® ¥±²¼ ¯¥°¥° ±¯°¥¤¥«¥­¨¥ ²°¥¡®¢ ­¨© ­¥ ®ª §»¢ ¥² ¢«¨¿­¨¿ ­   £¥­²®¢, ­¥ ¨¬¥¾¹¨µ ®²­®¸¥­¨¿ ª ¯¥°¥° ±¯°¥¤¥«¥­¨¾. ¥§ ¢¨±¨¬®±²¼ ®² ±«¨¿­¨¿ ¨ ° §¤¥«¥­¨¿ (IMS { Independence of Merging and Splitting): ¤«¿ «¾¡»µ I; S; «¾¡®£® t ¨ «¾¡®£® x r(I; t; x)[S ] = r(I [S]; t; x[S]): Ž¯¥° ¶¨¿ ±«¨¿­¨¿ | ½²® ¯¥°¥µ®¤ ®² I ª I [S ] ,   ®¯¥° ¶¨¿ ° §¤¥«¥­¨¿ | ®¡° ²­®¥ ¯°¥®¡° §®¢ ­¨¥. ®¢²®°­®¥ ¯°¨¬¥­¥­¨¥ IMS ¤ ¥² ±«¥¤³¾¹¥¥ ±¢®©±²¢®: S ¥±«¨ (Ik )k2M | ° §¡¨¥­¨¥ 0 I (². ¥. Ik \ Ik0 = ; ¯°¨ k 6= k ¨ k2M Ik = I ) ¨ x 7! x | ®²®¡° ¦¥­¨¥ À±«¨¿­¨¿Á ¨§ IRI+ ¢ IR M + , § ¤ ¢ ¥¬®¥ ° ¢¥­±²¢®¬ xk = xIk ¤«¿ «¾¡®£® k 2 M; ²® rIk (I; t; x) = r(M; t; x) ¤«¿ «¾¡®£® k 2 M .

287

Œ®¤¥«¨ ° ±¯°¥¤¥«¥­¨¿

‘«¥¤³¾¹¥¥ ±¢®©±²¢® ®¡¥±¯¥·¨¢ ¥² ¡®«¥¥ ²®·­³¾ ¤¥ª®¬¯®§¨¶¨¾ ¬¥²®¤  ° ¶¨®­¨°®¢ ­¨¿. „¥ª®¬¯®§¨¶¨¿ (DEC | Decomposition): ¤«¿ «¾¡®£® I ¨ «¾¡®£® ° §¡¨¥­¨¿ (Ik0 )k0 2M ¬­®¦¥±²¢  I; ¤«¿ «¾¡®£® t; «¾¡®£® x ¨ «¾¡®£® k

r(I; t; x)[Ik] = r(Ik ; tk ; x[Ik] ); £¤¥ tk = rk (M; t; x): ²® ¯®§¢®«¿¥² ¢­ · «¥ ®¯°¥¤¥«¨²¼ ¤®«¨ ½«¥¬¥­²®¢ Ik ° §¡¨¥­¨¿,   § ²¥¬ ° ±¯°¥¤¥«¿²¼ ½²¨ ¤®«¨ ³¦¥ ¢ ±®®²¢¥²±²¢³¾¹¨µ ¯®¤¬­®¦¥±²¢ µ  £¥­²®¢.

’¥®°¥¬  7.1.1. °¥¤¯®«®¦¨¬, ·²® jI j  3: °®¯®°¶¨®­ «¼-

­»© ¬¥²®¤ ³¤®¢«¥²¢®°¿¥² ¢±¥¬ ·¥²»°¥¬ ±¢®©±²¢ ¬ NAR, IR, IMS ¨ DEC. Ž¡° ²­® ¯°®¯®°¶¨®­ «¼­»© ¬¥²®¤ ¿¢«¿¥²±¿ ¥¤¨­±²¢¥­­»¬ ¬¥²®¤®¬ ° ¶¨®­¨°®¢ ­¨¿, ³¤®¢«¥²¢®°¿¾¹¨¬ ®¤­®¬³ («¾¡®¬³) ¨§ ·¥²»°¥µ ³ª § ­­»µ ±¢®©±²¢.

„®ª § ²¥«¼±²¢® ¢²®°®© · ±²¨ ½²®© ²¥®°¥¬» (¯¥°¢ ¿ ®·¥¢¨¤­ ) ¬®¦­® ­ ©²¨ ¢ ° ¡®²¥ Moulin, 1987. (‡ ¬¥²¨¬, ·²® ¤®±² ²®·­® ¯°®±²® ¤®ª § ²¼, ·²® NAR ½ª¢¨¢ «¥­²­® IR, IMS ¢«¥·¥² IR ¨ ¨§ DEC ±«¥¤³¥² IR.)

3.  ¢­®¬¥°­»¥ ¢»¨£°»¸¨ ¨ ° ¢­®¬¥°­»¥ ¯®²¥°¨.

–¥«¼ ½²¨µ ¬¥²®¤®¢ ° ¶¨®­¨°®¢ ­¨¿ ±®±²®¨² ¢ ¢»° ¢­¨¢ ­¨¨ ¤¥©±²¢¨²¥«¼­»µ À¢»¨£°»¸¥©Á yi ¨ ·¨±²»µ ¯®²¥°¼ (xi ; yi ) ¬¥¦¤³  £¥­² ¬¨. Œ¥²®¤ ° ¢­®¬¥°­»µ ¢»¨£°»¸¥© ug (Uniform Gains) ®¯°¥¤¥«¿¥²±¿ ±«¥¤³¾¹¨¬ ®¡° §®¬:

yi = ugi(I; t; x) = minf; xig; £¤¥  | °¥¸¥­¨¥ ³° ¢­¥­¨¿

X i2I

minf; xig = t:

288

ƒ« ¢  7

Œ¥²®¤ ° ¢­®¬¥°­»µ ¯®²¥°¼ ul (Uniform Losses) § ¤ ¥²±¿ ² ª: yi = uli (I; t; x) = (xi ; ) ; +

£¤¥  | °¥¸¥­¨¥ ³° ¢­¥­¨¿

X i2I

(xi ; ) = t +

(§¤¥±¼ (xi ; ) = max(0; xi ; ) ). „«¿ ¤ ­­®© § ¤ ·¨ ° ¶¨®­¨°®¢ ­¨¿ (I; t; x) ®¡®§­ ·¨¬ ·¥°¥§ Y (I; t; x) ¬­®¦¥±²¢® ¤®¯³±²¨¬»µ °¥¸¥­¨©: +

Y (I; t; x) = fy 2 IRI : 0  yi  xi ¨ +

X i2I

yi = tg:

Œ®¦­® ¯°®¢¥°¨²¼ (±¬., ­ ¯°¨¬¥°, Œ³«¥­, 1991), ·²®

ug(I; t; x) ¿¢«¿¥²±¿ ¥¤¨­±²¢¥­­»¬ °¥¸¥­¨¥¬ § ¤ ·¨ ¬ ª±¨¬¨§ ¶¨¨ ­  Y (I; t; x) «¥ª±¨¬¨­­®£® ¯®°¿¤ª , ². ¥. ®­®

«¥ª±¨ª®£° ´¨·¥±ª¨ ¬ ª±¨¬¨§¨°³¥² ­ ¨¬¥­¼¸³¾ ª®®°¤ ­¨²³ yi , § ²¥¬ ±«¥¤³¾¹³¾ ­ ¨¬¥­¼¸³¾ ª®®°¤¨­ ²³ ¨ ². ¤.4 €­ «®£¨·­® ul(I; t; x) ¿¢«¿¥²±¿ ¥¤¨­±²¢¥­­»¬ À¬ ª±¨¬¨§ ²®°®¬Á ¬ ª±¨¬¨­­®£® ¯®°¿¤ª  ®²­®±¨²¥«¼­® ¢¥ª²®°  ¯®²¥°¼ (xi ; yi ) . ‚ ¦­»¬ ¬®¬¥­²®¬ ¿¢«¿¥²±¿ ²®, ·²® ½²¨ ¤¢  ¬¥²®¤  | ug ¨ ul | ®¡° §³¾² ¤¢®©±²¢¥­­³¾ ¯ °³: ul = ug  ¨ ug = ul . ²® ¯®§¢®«¿¥² ¯ ° ««¥«¼­® ° ±±¬ ²°¨¢ ²¼  ª±¨®¬ ²¨·¥±ª¨© ¯®¤µ®¤ ª ½²¨¬ ¤¢³¬ ¬¥²®¤ ¬. Ž¡  ½²¨µ ¬¥²®¤ , ² ª ¦¥, ª±² ²¨, ª ª ¨ ¯°®¯®°¶¨®­ «¼­»©, ±®µ° ­¿¾² ¥±²¥±²¢¥­­»© ¯®°¿¤®ª ¢»¨£°»¸¥© ¨ ¯®²¥°¼ ¢ ²®¬ ±¬»±«¥, ·²® ®­¨ ³¤®¢«¥²¢®°¿¾² ±«¥¤³¾¹¨¬ ¤¢³¬  ª±¨®¬ ¬ ° ­¦¨°®¢ ­¨¿: Rank : xi  xj =) yi  yj ; Rank : xi  xj =) (xi ; yi )  (xj ; yj ):

®±ª®«¼ª³ ¬» ®¡±³¦¤ «¨ «¥ª±¨ª®£° ´¨·¥±ª¨© ¯®°¿¤®ª ¢ ¯. 6.1, ¬» ­¥ ®±² ­ ¢«¨¢ ¥¬±¿ ­  ½²®¬ ¡®«¥¥ ¯®¤°®¡­®. 4

289

Œ®¤¥«¨ ° ±¯°¥¤¥«¥­¨¿

²¨ ¤¢¥  ª±¨®¬» ¤¢®©±²¢¥­­» ¢ ²®¬ ±¬»±«¥, ·²® ¬¥²®¤ ° ¶¨®­¨°®¢ ­¨¿ r ³¤®¢«¥²¢®°¿¥² ®¤­®©  ª±¨®¬¥ ²®£¤  ¨ ²®«¼ª® ²®£¤ , ª®£¤  ¤¢®©±²¢¥­­»© ¬¥²®¤ r ³¤®¢«¥²¢®°¿¥² ¤¢®©±²¢¥­­®©  ª±¨®¬¥. •®²¿ ug ¨ ul ±®£« ±®¢ ­» ±  ¡±®«¾²­»¬ ° ­¦¨°®¢ ­¨¥¬ ¢»¨£°»¸¥© ¨ ¯®²¥°¼, ®­¨ ±³¹¥±²¢¥­­® ° §«¨· ¾²±¿ ¢ ° ­¦¨°®¢ ­¨¨ ®²­®±¨²¥«¼­»µ ¢»¨£°»¸¥© ¨ ¯®²¥°¼.  ±±¬®²°¨¬ ¤¢¥ ±«¥¤³¾¹¨¥  ª±¨®¬» | ª±¨®¬³ ¯°®£°¥±±¨¢­®±²¨ P (Progressivity) ¨  ª±¨®¬³ °¥£°¥±±¨¢­®±²¨ R (Regressivity).

P : 0 < xi  xj ;! R : 0 < xi  xj ;!

yj xj yi xi

 xyii ;  xyjj :

°¥¤«®¦¥­¨¥ 7.1.1. Œ¥²®¤ ug ¿¢«¿¥²±¿ ¯°®£°¥±±¨¢­»¬, ­® ­¥ °¥£°¥±±¨¢­»¬. Œ¥²®¤ ul | °¥£°¥±±¨¢¥­, ­® ­¥ ¯°®£°¥±±¨¢¥­. ‘«¥¤³¾¹ ¿ ¯ °  ¤¢®©±²¢¥­­»µ  ª±¨®¬ ¢¥°µ­¥© ª®¬¯®§¨¶¨¨ (UC | Upper Composition) ¨ ­¨¦­¥© ª®¬¯®§¨¶¨¨ (LC | Lower Composition), ®¯¨±»¢ ¾¹¨µ ±¢®©±²¢  ±²°³ª²³°­®© ¨­¢ °¨ ­²­®±²¨, ¯®§¢®«¿¾² ° §«®¦¨²¼ ¢»·¨±«¥­¨¥ ¤®«¥© ¢ ±«³· ¥, ¥±«¨ ¤®±²³¯­»¥ °¥±³°±» ®¶¥­¨¢ ¾²±¿ ±¢¥°µ³ ¨«¨0 ±­¨§³. 0 UC : ¤«¿ «¾¡»µ I; x ¨ t; t ¨§ 0  t  t  xI ±«¥¤³¥²

r(I; t; x) = r(I; t; r(I; t0 ; x)): LC : ¤«¿ «¾¡»µ I; x ¨ t; t0 ¨§ 0  t0  t  xI ±«¥¤³¥²

r(I; t; x) = r(I; t0 ; x) + r(I; t ; t0 ; x ; r(I; t0 x)): …±«¨ ¬» ¢­ · «¥ ° ±¯°¥¤¥«¿¥¬ °¥±³°±» t0 ;   § ²¥¬ ®ª §»¢ ¥²±¿, ·²® ¤®±²³¯­»µ °¥±³°±®¢ ¢ ¤¥©±²¢¨²¥«¼­®±²¨ ¬¥­¼¸¥,   ¨¬¥­­® t , UC0 ¯®§¢®«¿¥² ¯°®±²® ° ±±¬ ²°¨¢ ²¼ ®¯²¨¬¨±²¨·­»¥ ¤®«¨ r(I; t ; x) ¢ ª ·¥±²¢¥ ­ · «¼­®£® ±¯°®± , ± ª®²®°®£® ¬®¦­® ¯°®¤®«¦ ²¼ ° ¶¨®­¨°®¢ ­¨¥ ¤® ³°®¢­¿ t . ‡ ¬¥²¨¬, ·²® ¨§ UC ±«¥¤³¥² °¥±³°±­ ¿ ¬®­®²®­­®±²¼.

290

ƒ« ¢  7

‘®®²¢¥²±²¢¥­­®, ¥±«¨ ¬» §­ ¥¬ ­¨¦­¾¾ £° ­¨¶³ t0 ¨¬¥¾¹¨µ±¿ °¥±³°±®¢ t 0, ²® LC ¯®§¢®«¿¥² ° ±¯°¥¤¥«¨²¼ ¯¥±±¨¬¨±²¨·¥±ª¨¥ ¤®«¨ r(I; t ; x) , ¢»·¥±²¼ ½²¨ 0¤®«¨ ¨§ ­ · «¼­»µ ³°®¢­¥© ±¯°®± ,   § ²¥¬ ° ±¯°¥¤¥«¨²¼ t ; t 0 ¢ ±®®²¢¥²±²¢¨¨ ± °¥¤³¶¨°®¢ ­­»¬¨ ²°¥¡®¢ ­¨¿¬¨ x ; r(I; t ; x) .

°¥¤«®¦¥­¨¥ 7.1.2. Œ¥²®¤» ° ¶¨®­¨°®¢ ­¨¿ pr; ug ¨ ul ³¤®¢«¥²¢®°¿¾²  ª±¨®¬ ¬ UC ¨ LC.

°¥¤«®¦¥­¨¥ 7.1.3. (Yang, 1990). °®¯®°¶¨®­ «¼­»© ¬¥-

²®¤ ° ¶¨®­¨°®¢ ­¨¿ µ ° ª²¥°¨§³¥²±¿ ¤¢³¬¿ ±¢®©±²¢ ¬¨ (1) ¨ (2), «¨¡® (1) ¨ (3): (1) ‘ ¬®¤¢®©±²¢¥­­®±²¼: r = r ; (2) UC; (3) LC.

 ª®­¥¶, ¯°¨¢¥¤¥¬ ¤¢¥ ¤¢®©±²¢¥­­»¥  ª±¨®¬» |  ª±¨®¬³ ­¨¦­¥© £° ­¨¶» (LB | Lower Bound) ¨  ª±¨®¬³ ¢¥°µ­¥© £° ­¨¶» (UB | Upper Bound), ª®²®°»¥ ¯®§¢®«¿¾² ®µ ° ª²¥°¨§®¢ ²¼ ¬¥²®¤» ug ¨ ul . ³±²¼ jI j = n , ²®£¤  LB : ¤«¿ «¾¡»µ I; t; x ¨ «¾¡®£® i yi = ri(I; t; x)  minfxi ; nt g: UB : ¤«¿ «¾¡»µ I; t; x ¨ «¾¡®£® i yi = ri(I; t; x)  f nt + (xi ; xnI )g : ˆ­²¥°¯°¥² ¶¨¾ ½²¨µ  ª±¨®¬ ¬» ®±² ¢«¿¥¬ ·¨² ²¥«¾.  ¬ ¯®²°¥¡³¥²±¿ ¥¹¥ ®¤­   ª±¨®¬  O-‘®£« ±®¢ ­­®±²¨ (ZC | Zero Consistency): ZC : ¤«¿ «¾¡»µ I , t , x ¨ «¾¡®£® i ¨§ xi = 0 ±«¥¤³¥² r(I; t; x)[I ni] = r(I n i; t; x[I ni]): ’°³¤­® ±¥¡¥ ¯°¥¤±² ¢¨²¼, ·²®¡» ¯°¨±³²±²¢¨¥ ¨£°®ª  ± ­³«¥¢»¬ ±¯°®±®¬ (  ¯®²®¬³ ¨ ­¥ ¯®«³· ¾¹¨¬ ­¨·¥£®) ¬®£«® ®ª §»¢ ²¼ ¢«¨¿­¨¥ ­  ° ±¯°¥¤¥«¥­¨¥ °¥±³°±®¢ ¬¥¦¤³ ¤°³£¨¬¨,  ª²¨¢­»¬¨ ¨£°®ª ¬¨. +

291

Œ®¤¥«¨ ° ±¯°¥¤¥«¥­¨¿

°¥¤«®¦¥­¨¥ 7.1.4. (Moulin, 1999). Œ¥²®¤ ° ¢­®¬¥°­»µ

¢»¨£°»¸¥© µ ° ª²¥°¨§³¥²±¿  ª±¨®¬ ¬¨ LB, LC ¨ ZC. Œ¥²®¤ ° ¢­®¬¥°­»µ ¯®²¥°¼ µ ° ª²¥°¨§³¥²±¿  ª±¨®¬ ¬¨ UB, UC ¨ ZC.

4. Œ¥²®¤ ®±¯ °¨¢ ­¨¿ (Contested Garment method). ²®² ¬¥²®¤ ®²­®±¨²±¿ ²®«¼ª® ª § ¤ · ¬ ° ¶¨®­¨°®¢ ­¨¿ ± ¤¢³¬¿  £¥­² ¬¨.  ±±¬®²°¨¬ ±«¥¤³¾¹³¾ § ¤ ·³ ° ¶¨®­¨°®¢ ­¨¿ (t; x1; x2): Œ» ¬®¦¥¬ ¨­²¥°¯°¥²¨°®¢ ²¼ À§ ¿¢ª³Á  £¥­²  i ®¯²¨¬¨±²¨·­® ª ª minfxi; tg (¥£® ²°¥¡®¢ ­¨¥ ¨¬¥¥²  ¡±®«¾²­»© ¯°¨®°¨²¥²) ¨«¨ ¯¥±±¨¬¨±²¨·­® ª ª (t ; xj ) (¥±«¨ ¤°³£®©  £¥­² ¯®«³· ¥² ¯®«­®±²¼¾ ²®, ·²® ®­ ²°¥¡³¥²). ‡ ²¥¬ ¬» ¤¥«¨¬ ¯®°®¢­³ ¯®«³· ¾¹¨©±¿ ¤¥´¨¶¨² (¢ ±«³· ¥ ®¯²¨¬¨±²¨·­»µ ²°¥¡®¢ ­¨©) ¨«¨ ¨§«¨¸¥ª (¢ ±«³· ¥ ¯¥±±¨¬¨±²¨·­»µ ²°¥¡®¢ ­¨©). Ž¡  ±¯®±®¡  ¤ ¾² ®¤¨­ ¨ ²®² ¦¥ ¬¥²®¤: +

y1 = minfx1 ; tg + 21 (t ; minfx1; tg ; minfx2; tg) | (®¯²¨¬¨±²¨·­»©); = (t ; x2 ) + 12 (t ; (t ; x1) ; (t ; x2) ) |(¯¥±±¨¬¨±²¨·­»©) : +

+

+

²® ¬®¦­® ¯¥°¥¯¨± ²¼ ±«¥¤³¾¹¨¬ ®¡° §®¬: ¥±«¨ t  minfx1 ; x2g; ²® y1 = y2 = 12 t; ¥±«¨ x1  t  x2 ; ²® y1 = x2 ; y2 = t ; x2 ; ¥±«¨ maxfx1 ; x2g  t; ²® y1 = 12 (t + x1 ; x2); y2 = 12 (t + x2 ; x1): 1

1

(1:1)

…±²¼ ¤¢  ¥±²¥±²¢¥­­»µ ±¯®±®¡  ° ±¯°®±²° ­¥­¨¿ ¬¥²®¤  ®±¯ °¨¢ ­¨¿ ­  ±«³· © n > 2 . ¥°¢»© ±¢¿§ ­ ± ²¥¬, ·²® ¤«¿ n = 2 ½²®² ¬¥²®¤ ¯°¥¤±² ¢«¿¥² ±®¡®© ±°¥¤­¥¥ ¤¢³µ ¬¥²®¤®¢ ¯°¨®°¨²¥² . Œ¥²®¤ 12-¯°¨®°¨²¥² , ®¡®§­ · ¥¬»© prio(12), | ½²® ¬¥²®¤ ° ¶¨®­¨°®¢ ­¨¿, ®²¤ ¾¹¨©  ¡±®«¾²­»© ¯°¨®°¨²¥²  £¥­²³ 1 ¢ ²®¬ ±¬»±«¥, ·²®:

292

ƒ« ¢  7

¥±«¨ t  x1 , ²® y = (t; 0) , ¥±«¨ x1  t  x1 + x2 , ²® y = (x1; t ; x1 ) . Œ¥²®¤ 21-¯°¨®°¨²¥²  ®¯°¥¤¥«¿¥²±¿ ±¨¬¬¥²°¨·­®. ‚ ½²®¬ ±«³· ¥ ´®°¬³«³ (1.1), ®¯°¥¤¥«¿¾¹³¾ ¬¥²®¤ ®±¯ °¨¢ ­¨¿ cg, ¬®¦­® ¯¥°¥¯¨± ²¼ ¢ ¢¨¤¥

cg = 21 prio(12) + 12 prio(21): ®½²®¬³ ¯¥°¢®¥ ®¡®¡¹¥­¨¥ ¬¥²®¤  ®±¯ °¨¢ ­¨¿ | ½²® ¬¥²®¤ ±«³· ©­®£® ¯°¨®°¨²¥²  (Random Priority method), ®¯°¥¤¥«¿¥¬»© ª ª ±°¥¤­¥¥  °¨´¬¥²¨·¥±ª®¥ ¬¥²®¤®¢ ¯°¨®°¨²¥²  ®²­®±¨²¥«¼­® ¢±¥µ ¯¥°¥±² ­®¢®ª ¬­®¦¥±²¢  I . ³±²¼  = (1; 2; : : :; n ) | ¯¥°¥±² ­®¢ª  ¬­®¦¥±²¢  I , ¯°¨·¥¬  £¥­² 1 ¨¬¥¥² ­ ¨¢»±¸¨© ¯°¨®°¨²¥², 2 | ±«¥¤³¾¹¨© ¨ ². ¤., ¨­»¬¨ ±«®¢ ¬¨, ¯¥°¥±² ­®¢ª  ³¯®°¿¤®·¨¢ ¥²  £¥­²®¢. ’®£¤  y = prio()(I; t; x) ®¯°¥¤¥«¿¥²±¿ ±«¥¤³¾¹¨¬ ®¡° §®¬: ¥±«¨ k ² ª®¥ ­ ²³° «¼­®¥ ·¨±«®, ·²® k X i=1

²®

xi  t 

k+1 X i=1

xi ;

yj = xj ¤«¿ j = 1; : : :; k;

P



yk = t ; k1 xi ; yj = 0 ¤«¿ j = k + 2; : : :; n: +1

Œ¥²®¤ ±«³· ©­®£® ¯°¨®°¨²¥²  ®¯°¥¤¥«¿¥²±¿ ² ª:

y = n1!

X 

prio( )(I; t; x);

(1:2)

£¤¥ ±³¬¬  ¡¥°¥²±¿ ¯® ¢±¥¬ ¯¥°¥±² ­®¢ª ¬ ¬­®¦¥±²¢  I . ‚²®°®© ±¯®±®¡ ¥±²¥±²¢¥­­®£® ®¡®¡¹¥­¨¿ ¬¥²®¤  cg ­  ±«³· © n > 2  £¥­²®¢ ¨±¯®«¼§³¥² ±¬¥±¼ ¬¥²®¤®¢ ug ¨ ul. ²® ² ª

293

Œ®¤¥«¨ ° ±¯°¥¤¥«¥­¨¿

­ §»¢ ¥¬»© ¬¥²®¤ ’ «¬³¤ , ¯®«³·¨¢¸¨© ±¢®¥ ­ §¢ ­¨¥ ¡« £®¤ °¿ ±² ²¼¥ €³¬ ­  ¨ Œ ¸«¥°  (Aumann, Maschler, 1985), ª®²®°»¥ ®²¬¥²¨«¨, ·²® ¨¤¥¿ ½²®£® ¬¥²®¤  ¢®±µ®¤¨² ª ’ «¬³¤³ (±¬. ¯°¨¬¥° 6 ¢ ¯. 6.1). Ž¯°¥¤¥«¿¥²±¿ ®­ ±«¥¤³¾¹¨¬ ®¡° §®¬:

y = tal(I; t; x) = ug (I; minft; x2I g; x2 ) = = ul(I; (t ; x2I ) ; x2 ): +

Œ¥²®¤ ’ «¬³¤  À¯®«®¢¨­¨²Á ª ¦¤®¥ ²°¥¡®¢ ­¨¥ ¨ ±«¥¤³¥² ¬¥²®¤³ ° ¢­®¬¥°­»µ ¢»¨£°»¸¥© ¤® ²¥µ ¯®°, ¯®ª  ­¥ ³¤®¢«¥²¢®°¥­» ¯®«®¢¨­­»¥ ¯°¥²¥­§¨¨. ‡ ²¥¬ ¯°¨¬¥­¿¥²±¿ ¬¥²®¤ ° ¢­®¬¥°­»µ ¯®²¥°¼ ¤® ³¤®¢«¥²¢®°¥­¨¿ ®±² ¢¸¨µ±¿ ¯®«®¢¨­­»µ ²°¥¡®¢ ­¨©. („«¿ n = 2 tal ±®¢¯ ¤ ¥² ± cg.) ‘«¥¤³¾¹ ¿ ²¥®°¥¬  ¯®ª §»¢ ¥² ±¢¿§¼ ¬¥²®¤®¢ ’ «¬³¤  ¨ ±«³· ©­®£® ¯°¨®°¨²¥²  ± ¢ ¦­¥©¸¨¬¨ °¥¸¥­¨¿¬¨ ª®®¯¥° ²¨¢­»µ ¨£°,   ¨¬¥­­®, §­ ·¥­¨¥¬ ˜¥¯«¨ ¨ n -¿¤°®¬. ³±²¼ (I; t; x) | § ¤ ·  ° ¶¨®­¨°®¢ ­¨¿.  ±±¬®²°¨¬ ¤¢¥ ª®®¯¥° ²¨¢­»¥ ¨£°», ®¯°¥¤¥«¿¥¬»¥ ¤«¿ «¾¡®© ª® «¨¶¨¨ S  I ¢ ±®®²¢¥²±²¢¨¨ ± ®¯²¨¬¨±²¨·­»¬¨ § ¿¢ª ¬¨ | ¨£°  v , ¨ ¯¥±±¨¬¨±²¨·­»¬¨ | ¨£°  w :

v(S ) = minfxS ; tg; w(S ) = (t ; xI nS ) : +

‡ ¬¥²¨¬, ·²® v (I ) = w(I ) = t .

’¥®°¥¬  7.1.2. (O'Neil, 1982; Aumann, Maschler, 1985). (1) Œ¥²®¤ ±«³· ©­®£® ¯°¨®°¨²¥²  ° ±¯°¥¤¥«¿¥² °¥±³°±» ¢ ±®®²¢¥²±²¢¨¨ ±® §­ ·¥­¨¥¬ ˜¥¯«¨ ¯°¨¢¥¤¥­­»µ ¢»¸¥ ¨£°. (2) Œ¥²®¤ ’ «¬³¤  ° ±¯°¥¤¥«¿¥² °¥±³°±» ¢ ±®®²¢¥²±²¢¨¨ ± n -¿¤°®¬ ¯°¨¢¥¤¥­­»µ ¢»¸¥ ¨£°.

294

ƒ« ¢  7

²  ²¥®°¥¬  ¯®§¢®«¿¥² ¯¥°¥¯¨± ²¼ ´®°¬³«³ (1.2) ±«¥¤³¾¹¨¬ ®¡° §®¬: X s!(n ; s ; 1)! X yi = (minft; xS [ig ; minft; xS g): n! SI ni 0sn;1 jSj=s

5. ‘®£« ±®¢ ­­®±²¼ ¨ ±¨¬¬¥²°¨·­»¥ ¬¥²®¤». ‘®£« -

±®¢ ­­®±²¼ (CSY | Consistency) ¢ § ¤ · µ ° ¶¨®­¨°®¢ ­¨¿, ± ®¤­®© ±²®°®­», ¢¥±¼¬  ¥±²¥±²¢¥­­®¥ ±¢®©±²¢®,   ± ¤°³£®©, ¿¢«¿¥²±¿ ®·¥­¼ ¬®¹­»¬ ±°¥¤±²¢®¬  ­ «¨§  °¥¸¥­¨© ½²¨µ § ¤ ·. CSY : ¤«¿ «¾¡»µ I; S; «¾¡»µ t ¨ x r(I n S; t ; rS (I; t; x); x[I nS ]) = r(I; t; x)[I nS]: ‘¢®©±²¢® ±®£« ±®¢ ­­®±²¨ ¬®¦­® ®¯°¥¤¥«¨²¼ ½ª¢¨¢ «¥­²­»¬ ®¡° §®¬, ° ±±¬ ²°¨¢ ¿ ¯®¤¬­®¦¥±²¢  S , ±®±²®¿¹¨¥ ¨§ ®¤­®£®  £¥­² : r(I n i; t ; ri (I; t; x); x[I ni]) = r(I; t; x)[I ni]: €ª±¨®¬  ±®£« ±®¢ ­­®±²¨ ³²¢¥°¦¤ ¥², ·²® ³¤ «¥­¨¥ ®¤­®£® (¨«¨ ­¥±ª®«¼ª¨µ)  £¥­²®¢ ¨§ À±®®¡¹¥±²¢ Á I; ± ®¤­®¢°¥¬¥­­»¬ ³¤ «¥­¨¥¬ °¥±³°±®¢, ª®²®°»¥ ¤®±² «¨±¼ ½²®¬³  £¥­²³ ( £¥­² ¬), ­¥ ¬¥­¿¥² ° ±¯°¥¤¥«¥­¨¿ ¤®«¥© ¢ ®±² ¢¸¥¬±¿ ±®®¡¹¥±²¢¥. „ «¥¥ ¬» ° ±±¬®²°¨¬ ±¨¬¬¥²°¨·­»¥ ¬¥²®¤» (². ¥. ¬¥²®¤», ³¤®¢«¥²¢®°¿¾¹¨¥  ª±¨®¬¥ SYM).

°¥¤«®¦¥­¨¥ 7.1.5. (Moulin, 1999).

³±²¼ r(f1; 2g) (t; (x1; x2)) | ¬¥²®¤ ° ¶¨®­¨°®¢ ­¨¿, ®¯°¥¤¥«¥­­»© ²®«¼ª® ¤«¿ § ¤ · ± ¤¢³¬¿  £¥­² ¬¨. °¥¤¯®«®¦¨¬, ·²® r(f1; 2g) ±¨¬¬¥²°¨·¥­ ¨ °¥±³°±­® ¬®­®²®­¥­. ’®£¤  ±³¹¥±²¢³¥² ­¥ ¡®«¥¥ ®¤­®£® ±®£« ±®¢ ­­®£® ¬¥²®¤  ° ¶¨®­¨°®¢ ­¨¿ r (®¯°¥¤¥«¥­­®£® ¤«¿ «¾¡®£® ª®­¥·­®£® ±®®¡¹¥±²¢  I ), ±®¢¯ ¤ ¾¹¥£® ± r(f1; 2g) ¤«¿ «¾¡®© § ¤ ·¨ ± ¤¢³¬¿  £¥­² ¬¨. ®«¥¥ ²®£®, r ±¨¬¬¥²°¨·¥­ ¨ °¥±³°±­® ¬®­®²®­¥­.

295

Œ®¤¥«¨ ° ±¯°¥¤¥«¥­¨¿

ˆ§ ½²®£® ¯°¥¤«®¦¥­¨¿ ±«¥¤³¥² °¿¤ ¢ ¦­»µ ¢»¢®¤®¢: 1. Œ¥²®¤ ’ «¬³¤  ¿¢«¿¥²±¿ ¥¤¨­±²¢¥­­»¬ ±®£« ±®¢ ­­»¬ ¯°®¤®«¦¥­¨¥¬ cg ¬¥²®¤  (¤«¿ 2  £¥­²®¢) ­  ¯°®¨§¢®«¼­®¥ ¬­®¦¥±²¢®  £¥­²®¢. 2. Œ¥²®¤ ° ¢­®¬¥°­»µ ¢»¨£°»¸¥© ¿¢«¿¥²±¿ ¥¤¨­±²¢¥­­»¬ ±®£« ±®¢ ­­»¬ ¬¥²®¤®¬, ³¤®¢«¥²¢®°¿¾¹¨¬ ±¢®©±²¢³ ­¨¦­¥© £° ­¨¶» LB ( yi  minfxi; 2t g ) ¤«¿ § ¤ · ± ¤¢³¬¿  £¥­² ¬¨. 3. Œ¥²®¤ ° ¢­®¬¥°­»µ ¯°®¨£°»¸¥© ¿¢«¿¥²±¿ ¥¤¨­±²¢¥­­»¬ ±®£« ±®¢ ­­»¬ ¬¥²®¤®¬, ³¤®¢«¥²¢®°¿¾¹¨¬ ±¢®©±²¢³ ¢¥°µ­¥© £° ­¨¶» UB ( yi  12 (t + xi ; xj ) ) ¤«¿ § ¤ · ± ¤¢³¬¿  £¥­² ¬¨. °¨¢¥¤¥­­®¥ ¢»¸¥ ¯°¥¤«®¦¥­¨¥ ±² ¢¨² ¢®¯°®± ® ²®¬, ª ª¨¥ ±¨¬¬¥²°¨·­»¥ ¬¥²®¤» ° ¶¨®­¨°®¢ ­¨¿ ¤«¿ ¤¢³µ  £¥­²®¢ ¬®¦­® ¯°®¤®«¦¨²¼ ¤® (±¨¬¬¥²°¨·­®£®) ±®£« ±®¢ ­­®£® ¬¥²®¤  ¤«¿ ¯°®¨§¢®«¼­®£® ·¨±«   £¥­²®¢? °¥¦¤¥ ·¥¬ ¯°¨¢¥±²¨ ±®®²¢¥²±²¢³¾¹¨© °¥§³«¼² ², ¢¢¥¤¥¬ ¥¹¥ ­¥ª®²®°»¥ ±¢®©±²¢ . ¥¯°¥°»¢­®±²¼ (CONT | Continuity) : r(I; t; x) ­¥¯°¥°»¢¥­ ¯® (t; x) ¤«¿ «¾¡»µ I . Ž¯°¥¤¥«¨¬ ±¥¬¥©±²¢® ¯ ° ¬¥²°¨·¥±ª¨µ ¬¥²®¤®¢ ° ¶¨®­¨°®¢ ­¨¿. ³±²¼ f (; z ) | ¢¥¹¥±²¢¥­­®§­ ·­ ¿ ´³­ª¶¨¿ ®² ¤¢³µ ¯¥°¥¬¥­­»µ 0     ¨ z  0 , ¯°¨·¥¬  ¬®¦¥² ¡»²¼ ª®­¥·­»¬ ¨«¨ ¡¥±ª®­¥·­»¬. ‘·¨² ¥¬, ·²® f (0; z) = 0; f (; z ) = z; f (; z ) | ­¥³¡»¢ ¾¹ ¿, ­¥¯°¥°»¢­ ¿ ´³­ª¶¨¿ ®²  . ®±² ¢¨¬ ¢ ±®®²¢¥²±²¢¨¥ ª ¦¤®© ² ª®© ´³­ª¶¨¨ f ¥¤¨­±²¢¥­­»© ¬¥²®¤ ° ¶¨®­¨°®¢ ­¨¿ r ±«¥¤³¾¹¨¬ ®¡° §®¬: ¤«¿ «¾¡»µ I; t;P x ri(I; t; x) = f (; xi); £¤¥  | °¥¸¥­¨¥ ³° ¢­¥­¨¿ i2I f (; xi) = t: ‘«¥¤³¥² ®²¬¥²¨²¼, ·²® ½²® ³° ¢­¥­¨¥ ¬®¦¥² ¨¬¥²¼ ¢ ª ·¥±²¢¥ °¥¸¥­¨¿ ¶¥«»© ¨­²¥°¢ «, ®¤­ ª® ª ¦¤®¥  ¨§ ½²®£® ¨­²¥°¢ «  ¯°¨¯¨±»¢ ¥² ®¤­¨ ¨ ²¥ ¦¥ ¤®«¨ ª ¦¤®¬³  £¥­²³. +

296

ƒ« ¢  7

Ž¯°¥¤¥«¥­­»© ² ª¨¬ ®¡° §®¬ ¬¥²®¤ ° ¶¨®­¨°®¢ ­¨¿ ­ §»¢ ¥²±¿ ¯ ° ¬¥²°¨·¥±ª¨¬ ¬¥²®¤®¬,  ±±®¶¨¨°®¢ ­­»¬ ± f . ® ¯®±²°®¥­¨¾ ¯ ° ¬¥²°¨·¥±ª¨© ¬¥²®¤ ±¨¬¬¥²°¨·¥­ ¨, ª®­¥·­® ¦¥, ±®£« ±®¢ ­. ’°¨ ®±­®¢­»µ ¬¥²®¤  | pr, ug ¨ ul | ¯ ° ¬¥²°¨·¥±ª¨¥. ‘®®²¢¥²±²¢³¾¹¨¥ ´³­ª¶¨¨ f ®¯°¥¤¥«¿¾²±¿ ±«¥¤³¾¹¨¬ ®¡° §®¬: ¯°®¯®°¶¨®­ «¼­»© ¬¥²®¤: f (; z ) = z ,  = 1; ¬¥²®¤ ° ¢­®¬¥°­»µ ¢»¨£°»¸¥©: f (; z ) = min(; z );  = +1; ¬¥²®¤ ° ¢­®¬¥°­»µ ¯®²¥°¼: f (; z ) = (z ; 1 )+ ;  = +1; ‡ ¬¥²¨¬ ² ª¦¥, ·²® ¬¥²®¤ ±«³· ©­®£® ¯°¨®°¨²¥²  ­¥ ±®£« ±®¢ ­,   ¬¥²®¤ ’ «¬³¤  | ±®£« ±®¢ ­. ®±«¥¤­¥¥ ±«¥¤³¥² ¨§ ²®£®, ·²® ¬¥²®¤ ’ «¬³¤  ¿¢«¿¥²±¿ ¯ ° ¬¥²°¨·¥±ª¨¬ ¤«¿  = 2 ¨ 8  z > > 1; ; ¤«¿ 0    z+2 ;

> < f (; z) = > z2 ; > : z ; 2;;1 ;

z    z+4 ; ; ¤«¿ z+2 z+2 +4    2: ¤«¿ zz+2

’¥®°¥¬  7.1.3. (Young, 1987).  ° ¬¥²°¨·¥±ª¨© ¬¥²®¤

¿¢«¿¥²±¿ ±®£« ±®¢ ­­»¬ ¨ ±¨¬¬¥²°¨·­»¬ ¬¥²®¤®¬ ° ¶¨®­¨°®¢ ­¨¿. Ž¡° ²­®, ­¥¯°¥°»¢­»©, ±®£« ±®¢ ­­»© ¨ ±¨¬¬¥²°¨·­»© ¬¥²®¤ ° ¶¨®­¨°®¢ ­¨¿ ¬®¦¥² ¡»²¼ ¯°¥¤±² ¢«¥­ ª ª ¯ ° ¬¥²°¨·¥±ª¨© ¬¥²®¤, ¯°¨·¥¬ f (; z ) | ­¥¯°¥°»¢­  ¯® ®¡¥¨¬ ¯¥°¥¬¥­­»¬.

6. Œ¥²®¤» ´¨ª±¨°®¢ ­­®© ²° ¥ª²®°¨¨. ²® ¢ ¦­®¥ ±¥¬¥©±²¢® ¬¥²®¤®¢ ° ¶¨®­¨°®¢ ­¨¿ ®¯°¥¤¥«¿¥² ¡®£ ²®¥ ¬­®¦¥±²¢® ­¥±¨¬¬¥²°¨·­»µ ¢ °¨ ­²®¢ ¬¥²®¤  ° ¢­®¬¥°­»µ ¢»¨£°»¸¥©. „«¿ ®¯°¥¤¥«¥­¨¿ ½²¨µ ¬¥²®¤®¢ ¤®«¦­» ¡»²¼ § ¤ ­»

297

Œ®¤¥«¨ ° ±¯°¥¤¥«¥­¨¿

½ª§®£¥­­»¥ £° ­¨¶» (ª®­¥·­»¥ ¨«¨ ¡¥±ª®­¥·­»¥) ¨­¤¨¢¨¤³ «¼­»µ ²°¥¡®¢ ­¨©. Œ» ¡³¤¥¬ ­ §»¢ ²¼ ½²¨ £° ­¨¶» ¬®¹­®±²¼¾ ¨£°®ª  i ¨ ®¡®§­ · ²¼ ¨µ ·¥°¥§ Xi : ‡ ¤ ·  ° ¶¨®­¨°®¢ ­¨¿ ¢ ² ª®¬ ¢ °¨ ­²¥ ¤®«¦­  ³¤®¢«¥²¢®°¿²¼ ³±«®¢¨¾ 0  xi  Xi ¤«¿ «¾¡®£® i 2 I . Œ» ² ª¦¥ ±·¨² ¥¬, ·²® xi ¢±¥£¤  ª®­¥·­». Œ¥²®¤ ´¨ª±¨°®¢ ­­®© ²° ¥ª²®°¨¨ (Fixed Path Method) ®¯°¥¤¥«¿¥²±¿ ­  ¡ §¥ ±¥¬¥©±²¢  ¬®­®²®­­»µ ²° ¥ª²®°¨© (¯³²¥©) (I ), ®¤­®£® ¤«¿ ª ¦¤®£® ¢®§¬®¦­®£® ±®®¡¹¥±²¢  I . ’° ¥ª²®°¨¿ (I ) | ½²® ­¥³¡»¢ ¾¹¥¥ ®²®¡° ¦¥­¨¥ ®²°¥§ª  [0; X ] ¢ ¯ ° ««¥«¥¯¨¯¥¤ [0; X[I ]] = fz 2 IRI : 0  z  X[I ] g ² ª®¥, ·²® ¤«¿ «¾¡®£® 0  t  XI X

i(I; t) = t; 0  i(I; t)  Xi; i2I

lim (I; t) = Xi t!XI i

¤«¿ «¾¡®£® i 2 I:

‡ ¬¥²¨¬, ·²® ®²®¡° ¦¥­¨¥ ¤®«¦­® ¡»²¼ ­¥¯°¥°»¢­»¬ ¯® t . …±«¨ Xi ª®­¥·­® ¤«¿ ¢±¥µ i , ²® ¯°¨¢¥¤¥­­®¥ ¢»¸¥ ¯°¥¤¥«¼­®¥ ±¢®©±²¢® ¢»¯®«­¿¥²±¿, ¯®±ª®«¼ª³ (I; XI ) = X[I ] . Œ¥²®¤ ´¨ª±¨°®¢ ­­®© ²° ¥ª²®°¨¨ r ®¯°¥¤¥«¿¥²±¿ ±«¥¤³¾¹¨¬ ®¡° §®¬: ri (I; t; x) = minf i(I; s); xig ¤«¿ «¾¡®£® i 2 I; ¯°¨·¥¬ s ¿¢«¿¥²±¿ °¥¸¥­¨¥¬ ³° ¢­¥­¨¿ X minf i(I; s); xig = t: i2I

…±«¨ ¬» ¯®«®¦¨¬ x = X ( x = X[I ] ) ¢ ³ª § ­­®¬ ¢»¸¥ ³° ¢­¥­¨¨, ²® ¬» ¯®«³·¨¬ (I; t) = r (I; t; X ). °¨¬¥°» ¬¥²®¤®¢ ´¨ª±¨°®¢ ­­®© ²° ¥ª²®°¨¨ ¢ª«¾· ¾² ¬¥²®¤ ° ¢­®¬¥°­»µ ¢»¨£°»¸¥© (¤«¿ ²° ¥ª²®°¨¨ ug ¨§ (I; t; X )) ¨ ¬¥²®¤» ±«³· ©­®£® ¯°¨®°¨²¥²  prio ( ) , ¯°¨·¥¬ ¬¥²®¤ ±«³· ©­®£® ¯°¨®°¨²¥²  ¬®¦­® ¯°¥¤±² ¢¨²¼ ª ª ¬¥²®¤ ´¨ª±¨°®¢ ­­®© ²° ¥ª²®°¨¨ ²®«¼ª®, ¥±«¨ ¢±¥ Xi ª®­¥·­» (± ¢®§¬®¦­»¬ ¨±ª«¾·¥­¨¥¬ ¬®¹­®±²¨ ¯®±«¥¤­¥£® ¯® ¯°¨®°¨²¥²­®±²¨  £¥­² ). ’° ¥ª²®°¨¿ t 7! prio(I; t; X ) ¯°®µ®¤¨²

298

ƒ« ¢  7

·¥°¥§ ¢¥°¸¨­» ª³¡  [0; X ] ¢ ¯®°¿¤ª¥, ±®®²¢¥²±²¢³¾¹¥¬ ¯¥°¥±² ­®¢ª¥  . …±«¨ Xi = Xj 8 i; j , ²® ¬¥²®¤ ° ¢­®¬¥°­»µ ¢»¨£°»¸¥© ¿¢«¿¥²±¿ ±¨¬¬¥²°¨·­»¬ ¬¥²®¤®¬ ´¨ª±¨°®¢ ­­®© ²° ¥ª²®°¨¨. Ž­ ¿¢«¿¥²±¿ ¥¤¨­±²¢¥­­»¬ ¬¥²®¤®¬ ´¨ª±¨°®¢ ­­®© ²° ¥ª²®°¨¨, ³¤®¢«¥²¢®°¿¾¹¨¬ ±¢®©±²¢³ À° ¢­»¬  £¥­² ¬ | ¯®°®¢­³Á: ¯³²¼ r(I; t; X ) ¤®«¦¥­ ¡»²¼ ¤¨ £®­ «¼¾ ª³¡  [0; X[I ]] . Œ­®¦¥±²¢® ¬¥²®¤®¢ ´¨ª±¨°®¢ ­­®© ²° ¥ª²®°¨¨ ­¥ ±®¤¥°¦¨² ± ¬®¤¢®©±²¢¥­­»µ ¬¥²®¤®¢, ¯®½²®¬³ ¯°®¯®°¶¨®­ «¼­»© ¬¥²®¤ ¨ ¬¥²®¤ ®±¯ °¨¢ ­¨¿ «¥¦ ² ¢­¥ ½²®£® ¬­®¦¥±²¢ .

°¥¤«®¦¥­¨¥ 7.1.6.  ) ‚±¥ ¬¥²®¤» ´¨ª±¨°®¢ ­­®© ²° ¥ª-

²®°¨¨ ³¤®¢«¥²¢®°¿¾² ±¢®©±²¢³ ¢¥°µ­¥© ª®¬¯®§¨¶¨¨. ¢) Œ¥²®¤ ´¨ª±¨°®¢ ­­®© ²° ¥ª²®°¨¨ ±®£« ±®¢ ­ ²®£¤  ¨ ²®«¼ª® ²®£¤ , ª®£¤  ±®®²¢¥²±²¢³¾¹ ¿ ²° ¥ª²®°¨¿ I 7! (I ) ª®¬¬³²¨°³¥² ± ®¯¥° ²®°®¬ ¯°®¥ª²¨°®¢ ­¨¿: ¤«¿ «¾¡»µ I; S  I [(SI]) = (S );   ¨¬¥­­®

(I; t)[S ] = (S; S(I; t)) ¤«¿ «¾¡®£® t:

7. Œ®¤¥«¼ ° ±¯°¥¤¥«¥­¨¿ ¨§«¨¸ª . ‚ § ¤ ·¥ ½²®£® ²¨-

¯  (I; t; x) °¥±³°±» t ¤®«¦­» ¡»²¼ ° ±¯°¥¤¥«¥­» ¢ ±®®²¢¥²±²¢¨¨ ± ­ ¡®°®¬ ¨­¤¨¢¨¤³ «¼­»µ ²°¥¡®¢ ­¨© x , ¯°¨·¥¬ t  xI : °¥±³°±» ¯°¥¢®±µ®¤¿² § ¯°®±». Ž¤­  ¨§ ¢®§¬®¦­»µ ¨­²¥°¯°¥² ¶¨© ±«¥¤³¾¹ ¿: xi | ®¡º¥¬ ¨­¢¥±²¨¶¨©, ¢«®¦¥­­»µ  £¥­²®¬ i ¢ ±®¢¬¥±²­®¥ ¯°¥¤¯°¨¿²¨¥, t | ±³¬¬ °­ ¿ ®²¤ · , ¤ ¾¹ ¿ ¯°¨¡»«¼ t ; xI . ¥¸¥­¨¥ y § ¤ ·¨ ° ±¯°¥¤¥«¥­¨¿ ¨§«¨¸ª  ±² ¢¨² ¢ ±®®²¢¥²±²¢¨¥  £¥­²³ i ¥£® ¤®«¾ yi ² ª, ·²® 0  xi  yi ¨ yI = t . Œ¥²®¤ ° ±¯°¥¤¥«¥­¨¿ ¨§«¨¸ª  d ±² ¢¨² ¢ ±®®²¢¥²±²¢¨¥ ª ¦¤®© § ¤ ·¥ ° ±¯°¥¤¥«¥­¨¿ ¨§«¨¸ª  (I; t; x) °¥¸¥­¨¥ y = d(I; t; x). „¢®©±²¢¥­­ ¿ ®¯¥° ¶¨¿ ¢ ½²®© ¬®¤¥«¨ ¯°®¯ ¤ ¥². ‡¤¥±¼ ¬» ¨¬¥¥¬ ¤¥«® ²®«¼ª® ± ¤¢³¬¿ ¡ §®¢»¬¨ ¬¥²®¤ ¬¨: ¯°®¯®°¶¨®­ «¼­»© ¬¥²®¤ ®¯°¥¤¥«¿¥²±¿ ² ª ¦¥, ª ª ¨ ° ­¼¸¥,   ½£ «¨² °­»© ®¯°¥¤¥«¿¥²±¿ ¥±²¥±²¢¥­­»¬ ®¡° §®¬ ª ª

Œ®¤¥«¨ ° ±¯°¥¤¥«¥­¨¿

299

yi = xi + n1 (t ; xI ) ¤«¿ «¾¡»µ I; t; x ¨ i:

Œ¥²®¤ ¯°¨®°¨²¥²  ¯°®±²® ®²¤ ¥² ¢¥±¼ ¨§«¨¸¥ª  £¥­²³, ¨¬¥¾¹¥¬³ ­ ¨¢»±¸¨© ¯°¨®°¨²¥²,   ¤«¿ ¬¥²®¤  ’ «¬³¤   ­ «®£®¢ §¤¥±¼ ­¥². €ª±¨®¬» ¨§ ¯. 2 ½²®£® ¯ ° £° ´  ¢ ½²®© ¬®¤¥«¨ ®¯°¥¤¥«¿¾²±¿ ²®·­® ² ª ¦¥, ¯°¨·¥¬ ¯°®¯®°¶¨®­ «¼­»© ¬¥²®¤ ®¯°¥¤¥«¿¥²±¿ ®¤­®© ¨§  ª±¨®¬ ­¥§ ¢¨±¨¬®±²¨ ®² ±«¨¿­¨¿ ¨ ° §¤¥«¥­¨¿ ¨«¨ ¤¥ª®¬¯®§¨¶¨¨. ‘ ¤°³£®© ±²®°®­», ­¨ ®¤¨­ ¬¥²®¤, ª°®¬¥ ¯°®¯®°¶¨®­ «¼­®£®, ­¥ ³¤®¢«¥²¢®°¿¥²  ª±¨®¬ ¬ ®²±³²±²¢¨¿ ¯°¥¨¬³¹¥±²¢¥­­®£® ¯¥°¥° ±¯°¥¤¥«¥­¨¿ ¨ ­¥±³¹¥±²¢¥­­®±²¨ ¯¥°¥° ±¯°¥¤¥«¥­¨©. „«¿ µ ° ª²¥°¨§ ¶¨¨ ¯°®¯®°¶¨®­ «¼­®£® ¨ ½£ «¨² °­®£® ¬¥²®¤®¢ ­ ¬ ¯®­ ¤®¡¿²±¿ ¥¹¥ ¤¢¥  ª±¨®¬». €ª±¨®¬  ­¥§ ¢¨±¨¬®±²¨ ®² ¬ ±¸² ¡®¢ ¨§¬¥°¥­¨¿ (±°. ¯. 6.2) ²°¥¡³¥², ·²®¡» ¢»¡®° ¥¤¨­¨¶» ¨§¬¥°¥­¨¿ (²°¥¡®¢ ­¨©, ±¯°®± , ­ «®£®®¡« £ ¥¬®£® ¤®µ®¤  ¨ ¤®±²³¯­»µ °¥±³°±®¢) ­¥ ®ª §»¢ « ¡» ¢«¨¿­¨¿ ­¨ ­  ·²®. €ª±¨®¬  ª®¬¯®§¨¶¨¨ (§¤¥±¼ ®­  ®¤­ ) £« ±¨²: ¤«¿ «¾¡»µ I; t; t0; x ¨§ xI  t0  t ±«¥¤³¥²

d(I; t; x) = d(I; t; d(I; t0; x)):

’¥®°¥¬  7.1.4. (Moulin, 1987). °¥¤¯®«®¦¨¬ jI j  3: ‘³¹¥±²¢³¥² °®¢­® ¤¢  ¬¥²®¤ , ³¤®¢«¥²¢®°¿¾¹¨µ  ª±¨®¬ ¬

À° ¢­»¬{¯®°®¢­³Á, ®²±³²±²¢¨¿ ¯°¥¨¬³¹¥±²¢¥­­®£® ° ±¯°¥¤¥«¥­¨¿, ±®£« ±®¢ ­­®±²¨, ª®¬¯®§¨¶¨¨ ¨ ­¥§ ¢¨±¨¬®±²¨ ®² ¬ ±¸² ¡®¢ ¨§¬¥°¥­¨¿: ½²® ¯°®¯®°¶¨®­ «¼­»© ¨ ½£ «¨² °­»© ¬¥²®¤».

8.  ¶¨®­¨°®¢ ­¨¥ ­¥¤¥«¨¬»µ ¥¤¨­¨¶. °¥¤¯®«®¦¨¬

²¥¯¥°¼, ·²® ²®¢ °», ¯®¤«¥¦ ¹¨¥ ° ±¯°¥¤¥«¥­¨¾, ­¥¤¥«¨¬» (². ¥. ½²®, ­ ¯°¨¬¥°, ¬ ¸¨­», ¡¨«¥²»). Œ®¤¥«¼ ´®°¬ «¼­® ¨¤¥­²¨·­  ° ±±¬®²°¥­­®© ¢»¸¥, §  ¨±ª«¾·¥­¨¥¬ ²®£®, ·²® ¯¥°¥¬¥­­»¥ t; xi ; yi | ­¥®²°¨¶ ²¥«¼­»¥ ¶¥«»¥ ·¨±« . ¥§

300

ƒ« ¢  7

¨§¬¥­¥­¨¿ ®±² ¾²±¿ ¨ ®¯°¥¤¥«¥­¨¿ § ¤ ·¨ ° ¶¨®­¨°®¢ ­¨¿, °¥¸¥­¨¿ ¨ ¬¥²®¤  ° ¶¨®­¨°®¢ ­¨¿. „¢®©±²¢¥­­ ¿ ®¯¥° ¶¨¿ ®¯°¥¤¥«¿¥²±¿ ² ª ¦¥. ‚ À­¥¤¥«¨¬®¬Á ¢ °¨ ­²¥ ° ¶¨®­¨°®¢ ­¨¿ ­¥² ±¨¬¬¥²°¨·­»µ ¬¥²®¤®¢ ° ¶¨®­¨°®¢ ­¨¿: ¥±«¨ ¬» ° ±¯°¥¤¥«¿¥¬ ®¤­³ ¥¤¨­¨¶³ ¬¥¦¤³ ¤¢³¬¿  £¥­² ¬¨, ±¯°®±» ª®²®°»µ ¨¤¥­²¨·­», ²® ETE ­ °³¸ ¥²±¿. ‚ · ±²­®±²¨, ¯°®¯ ¤ ¾² ­ ¸¨ ²°¨ ¡ §®¢»µ ±¨¬¬¥²°¨·­»µ ¬¥²®¤  | ¯°®¯®°¶¨®­ «¼­»©, ¬¥²®¤» ° ¢­®¬¥°­»µ ¢»¨£°»¸¥© ¨ ° ¢­®¬¥°­»µ ¯°®¨£°»¸¥©. ’®«¼ª® ¬¥²®¤» ¯°¨®°¨²¥²  prio( ) ®±² ¾²±¿ ®¯°¥¤¥«¥­­»¬¨ ² ª ¦¥, ª ª ¨ ° ­¼¸¥. …±«¨ ­ ¬ ­¥ ³¤ ¥²±¿ ¤®±²¨·¼ ²®·­®© ¯°®¯®°¶¨®­ «¼­®±²¨ ¢ À­¥¤¥«¨¬®©Á ¬®¤¥«¨, ²® ¬®¦­® ¯®¯»² ²¼±¿  ¯¯°®ª±¨¬¨°®¢ ²¼ ¥¥ ±«¥¤³¾¹¨¬ ®¡° §®¬. ‡ ´¨ª±¨°³¥¬ I ¨ x ¨ ° ±±¬®²°¨¬ °¥±³°±­® ¬®­®²®­­»© ¬¥²®¤ ° ¶¨®­¨°®¢ ­¨¿. ’° ¥ª²®°¨¿ t 7! r(I; t; x) ®¯¨±»¢ ¥²±¿ ²¥¯¥°¼ ¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼­®±²¼¾ fi1; : : :; iK g ¢ I , £¤¥ K = xI ,   i1 |  £¥­², ¯®«³· ¾¹¨© ¯¥°¢³¾ ¥¤¨­¨¶³ ( r(I; 1) ¤ ¥² ¥¤¨­¨¶³  £¥­²³ i1 ), i2 |  £¥­², ¯®«³· ¾¹¨© ¢²®°³¾ ¥¤¨­¨¶³, ¨ ². ¤. ‚ ¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼­®±²¨ fi1; : : :; iK g «¾¡®©  £¥­² i 2 I ¯®¿¢«¿¥²±¿ °®¢­® xi ° §. Balinski, Shahidi, 1987 ¯°¥¤«®¦¨«¨ ±«¥¤³¾¹¨¬ ®¡° §®¬  ¯¯°®ª±¨¬¨°®¢ ²¼ ¯°®¯®°¶¨®­ «¼­»© ¬¥²®¤. …±«¨ ³¦¥ ° ±¯°¥¤¥«¥­» t ¥¤¨­¨¶ ¨ y = r(I; t; x), ²® ¤ ²¼ (t + 1) -¾ ¥¤¨­¨¶³  £¥­²³ i; ¤«¿ ª®²®°®£®

xi  xj ¤«¿ ¢±¥µ j: yi + 12 yj + 21

Ÿ±­®, ·²® ¬» ¬®¦¥¬ ®¯°¥¤¥«¨²¼  ­ «®£¨·­»¥  ¯¯°®ª±¨¬ ¶¨¨ ¤«¿ ¬¥²®¤®¢ ° ¢­®¬¥°­»µ ¢»¨£°»¸¥© ¨ ¯°®¨£°»¸¥© (  ² ª¦¥ ¨ ¤«¿ ¤°³£¨µ ¬¥²®¤®¢).  ¯°¨¬¥°, ¬¥²®¤ ° ¢­®¬¥°­»µ ¢»¨£°»¸¥©  ¯¯°®ª±¨¬¨°³¥²±¿ ±«¥¤³¾¹¨¬ ®¡° §®¬: ¯°¥¤¯®«®¦¨¬, ·²® t ¥¤¨­¨¶ ³¦¥ ° ±¯°¥¤¥«¥­» ¨ y = r(I; t; x); ®¡®§­ ·¨¬ ·¥°¥§ A(y; x) ¬­®¦¥±²¢®  £¥­²®¢, ¤«¿ ª®²®°»µ yj < xj , ¨ ¤ ¤¨¬ ±«¥¤³¾¹³¾ ¥¤¨­¨¶³ ®¤­®¬³ ¨§  £¥­²®¢ i ² ª¨µ, ·²® i 2 A(y; x) ¨ yi  yj ¤«¿ «¾¡»µ j 2 A(y; x) .

Œ®¤¥«¨ ° ±¯°¥¤¥«¥­¨¿

301

Ž¯°¥¤¥«¥­¨¿  ª±¨®¬ CSY, UC ¨ LC ®±² ¾²±¿ ­¥¨§¬¥­­»¬¨. €ª±¨®¬  ‘®£« ±®¢ ­­®±²¨ (CSY) ¨¬¥¥² ®±®¡¥­­® ¯°®±²³¾ ´®°¬³«¨°®¢ª³ ¢ ²¥°¬¨­ µ ¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼­®±²¨ fi1; : : :; iK g , ®¯¨±»¢ ¾¹¥© ²° ¥ª²®°¨¾ t 7! r(I; t; x). ²   ª±¨®¬  £®¢®°¨², ·²® ¨±ª«¾·¥­¨¥ ¢±¥µ ¯®¿¢«¥­¨© ­¥ª®²®°®£®  £¥­²  i ¢ ¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼­®±²¨ ®¯°¥¤¥«¿¥² ²° ¥ª²®°¨¾ t 7! r(I n i; t; xI ni]) . ˆ­¢ °¨ ­²­®±²¼ ®²­®±¨²¥«¼­® ¬ ±¸² ¡®¢ ¨§¬¥°¥­¨¿ ¬®¦­® ®¯°¥¤¥«¨²¼, ­® ½²® ®ª §»¢ ¥²±¿ ­¥ ±«¨¸ª®¬ ®±¬»±«¥­­»¬. „¥©±²¢¨²¥«¼­®, ¥±«¨ I = f1; 2g ¨ ¬¥²®¤ ¤ ¥² ¯¥°¢³¾ ¥¤¨­¨¶³  £¥­²³ 1, r(1; (1; 1)) = (1; 0) , ²® ¢°¿¤ «¨ ¡³¤¥² ° §³¬­»¬ ®²¤ ¢ ²¼ ¥¬³ ¯¥°¢»¥ ¤¢¥ ¥¤¨­¨¶», ¥±«¨ ±¯°®± ª ¦¤®£® ¨£°®ª  ³¤¢®¨²±¿: r(2; (2; 2)) = (1; 1) ¯°¥¤±² ¢«¿¥²±¿ £®° §¤® ¡®«¥¥ ®±¬»±«¥­­»¬ (¯® ª° ©­¥© ¬¥°¥ ± ½£ «¨² °­®© ²®·ª¨ §°¥­¨¿).

’¥®°¥¬  7.1.5. (Moulin, 1999). „«¿ «¾¡®£® ³¯®°¿¤®·¥­¨¿  ¬­®¦¥±²¢  N ¬¥²®¤ ¯°¨®°¨²¥²  prio( ) ³¤®¢«¥²¢®°¿¥²

 ª±¨®¬ ¬ CSY, UC ¨ LC. Ž¡° ²­®, ¬¥²®¤ ° ¶¨®­¨°®¢ ­¨¿, ³¤®¢«¥²¢®°¿¾¹¨© ½²¨¬ ²°¥¬  ª±¨®¬ ¬, ¿¢«¿¥²±¿ ¬¥²®¤®¬ ¯°¨®°¨²¥² . 7.2. Œ®¤¥«¼ ± ¯¥°¥¬¥­­®© ®²¤ ·¥©

1. ‡ ¤ ·¨ ° ±¯°¥¤¥«¥­¨¿ § ²° ². ‡ ¤ ·  (®¤­®¬¥°­ ¿)

° ±¯°¥¤¥«¥­¨¿ § ²° ² | ½²® ²°®©ª  (I; C; x); ¢ ª®²®°®© I | ª®­¥·­®¥ ¬­®¦¥±²¢®  £¥­²®¢, C : IR+ ! IR+ | ­¥¯°¥°»¢­ ¿, ­¥³¡»¢ ¾¹ ¿ ´³­ª¶¨¿ § ²° ² ² ª ¿, ·²® C (0) = 0 ,   x = (xi)i2I ®¯¨±»¢ ¥² ¤«¿ ª ¦¤®£® i ±¯°®± xi  0  £¥­²  i . ¥¸¥­¨¥ § ¤ ·¨ ° ±¯°¥¤¥«¥­¨¿ § ²° ² (I; C; x) | ½²® ¢¥ª²®° y = (yi )i2I , ®¯¨±»¢ ¾¹¨© P P§ ²° ²» yi  0 ª ¦¤®£®  £¥­²  i 2 I , ¯°¨ ½²®¬ i2I yi = C ( i2I xi) . ‡ ¤ ·  ° ±¯°¥¤¥«¥­¨¿ ¨§«¨¸ª  ¯°¥¤±² ¢«¿¥² ±®¡®© ²®² ¦¥ ¬ ²¥¬ ²¨·¥±ª¨© ®¡º¥ª², ·²® ¨ § ¤ ·  ° ±¯°¥¤¥«¥­¨¿ § ²° ², µ®²¿ ¥¥ ¨­²¥°¯°¥² ¶¨¿ ­¥±ª®«¼ª® ¨­ ¿: § ¤ ­­³¾ ´³­ª¶¨¾ ®¡®§­ ·¨¬ ·¥°¥§ F; ¨ ²¥¯¥°¼ ®­  | ¯°®¨§¢®¤±²¢¥­­ ¿ ´³­ª¶¨¿; ¥±«¨ ±³¬¬ °­»© ¢ª« ¤ ¥±²¼ z , ²® ±³¬¬ °­»© ¢»¯³±ª ¥±²¼

302

ƒ« ¢  7

F (z ); ¤ «¥¥ xi | ½²® ¢ª« ¤  £¥­²  i;   yi | ¤®«¿  £¥­²  i ¢ ±³¬¬ °­®¬ ¢»¯³±ª¥ F (xI ) .

Œ¥²®¤ ° ±¯°¥¤¥«¥­¨¿ § ²° ² (±®®²¢¥²±²¢¥­­® ¬¥²®¤ ° ±¯°¥¤¥«¥­¨¿ ¨§«¨¸ª ) | ½²® ®²®¡° ¦¥­¨¥ ' , ±² ¢¿¹¥¥ ¢ ±®®²¢¥²±²¢¨¥ ª ¦¤®© § ¤ ·¥ ° ±¯°¥¤¥«¥­¨¿ § ²° ² (±®®²¢¥²±²¢¥­­® ° ±¯°¥¤¥«¥­¨¿ ¨§«¨¸ª ) °¥¸¥­¨¥ y = '(I; C; x). Ž¡®§­ ·¨¬ ·¥°¥§ M ¬­®¦¥±²¢® ¬¥²®¤®¢ ° ±¯°¥¤¥«¥­¨¿ § ²° ². Œ» ¡³¤¥¬ ¤ «¥¥, ª ª ¯° ¢¨«®, ±·¨² ²¼ ¬­®¦¥±²¢® I ´¨ª±¨°®¢ ­­»¬, ¯®½²®¬³ ¥±«¨ ½²® ­¥ ¢»§®¢¥² ­¥¤®° §³¬¥­¨©, ¬» ¡³¤¥¬ ®¯³±ª ²¼ I , ². ¥. y = '(C; x), ¨«¨ y = '(C )(x).  ±±¬®²°¨¬ ±«¥¤³¾¹³¾  ª±¨®¬³. €ª±¨®¬  ¯®±²®¿­­®© ®²¤ ·¨: ¥±«¨ C (z ) = z ¤«¿ «¾¡®£® z  0 , ²® '(I; C; x) = x ¤«¿ «¾¡»µ I ,   0 , C ¨ x . °®±²®© ¯°¨¬¥° § ¤ ·¨ ° ±¯°¥¤¥«¥­¨¿ § ²° ² ± ¢®§° ±² ¾¹¥© ®²¤ ·¥© (³¡»¢ ¾¹¨¬¨ ±°¥¤­¨¬¨ § ²° ² ¬¨) ¤ ¥² ¤¨±ª®­²­®¥ ¶¥­®®¡° §®¢ ­¨¥. €£¥­²» ¢ I ¬®£³² ª³¯¨²¼ ­¥ª¨© ¯°®¤³ª² ¯® ¶¥­¥ p1 ¢ ¬ £ §¨­¥ °®§­¨·­®© ¯°®¤ ¦¨ «¨¡® ¢ ®²¤ «¥­­®¬ ®¯²®¢®¬ ¬ £ §¨­¥ ¯® ¡®«¥¥ ­¨§ª®© ¶¥­¥ p2 , ¯° ¢¤ , ¢ ½²®¬ ±«³· ¥ ¯®¿¢«¿¾²±¿ ¤®¯®«­¨²¥«¼­»¥ ´¨ª±¨°®¢ ­­»¥ ²° ­±¯®°²­»¥ § ²° ²» c0 . ®½²®¬³ ´³­ª¶¨¿ § ²° ² ¨¬¥¥² ¢¨¤: C (z ) = minfp1z; c0 + p2 zg: …±«¨ ±³¬¬ °­»© ±¯°®± xI £®¢®°¨² ® ¶¥«¥±®®¡° §­®±²¨ ¯®ª³¯ª¨ ¢ ®¯²®¢®¬ ¬ £ §¨­¥ (¥±«¨ xI > p c;p ), ²® ¥±²¥±²¢¥­­® ¢±² ¥² ¢®¯°®± ® ²®¬, ª ª¨¬ ®¡° §®¬ ±«¥¤³¥² ° ±¯°¥¤¥«¨²¼ ±³¬¬ °­»¥ § ²° ²» ¬¥¦¤³ ¯®ª³¯ ²¥«¿¬¨? ‘«¥¤³¾¹¨© ¯°¨¬¥° | ½²® ±«³· © ¢®§° ±² ¾¹¨µ ±°¥¤­¨µ § ²° ² (³¡»¢ ¾¹ ¿ ®²¤ · ). °¥¤¯®«®¦¨¬, ·²® I | ½²® ¢±¥ ¯®²°¥¡¨²¥«¨ ­¥ª®²®°®£® ²®¢ °  ( I | ¬®­®¯±®­¨±² ½²®£® ²®¢ ° ), ¯°¥¤« £ ¥¬®£® ª®­ª³°¥­²­»¬¨ ´¨°¬ ¬¨. ’ ª¨¬ ®¡° §®¬, z ¯®ª³¯ ¥²±¿ ¯® ¶¥­¥ S ;1 (z ) , £¤¥ ¯°¥¤«®¦¥­¨¥ p ! S (p) | ¢®§° ±² ¾¹ ¿ ´³­ª¶¨¿; ¯®«³· ¾¹ ¿±¿ ´³­ª¶¨¿ § ²° ² C (z ) = z
S ;1 (z ) ±®®²¢¥²±²¢³¥² ³¡»¢ ¾¹¥© ®²¤ ·¥. ‚ ª®­²¥ª±²¥ ° ±¯°¥¤¥«¥­¨¿ ¨§«¨¸ª  ¬®¦­® ³ª § ²¼  ­ «®£¨·­»¥ ¯°¨¬¥°» ²¥µ­®«®£¨© ± ¢®§° ±² ¾¹¥© ¨ ³¡»¢ ¾¹¥© ®²0

1

2

303

Œ®¤¥«¨ ° ±¯°¥¤¥«¥­¨¿

¤ ·¥©.  ¯°¨¬¥°,  £¥­² ¨§ I ¬®¦¥² ¬®­®¯®«¨§¨°®¢ ²¼ ¯°¥¤«®¦¥­¨¥ ®¯°¥¤¥«¥­­®£® ²®¢ ° , ±¯°®± ­  ª®²®°»© ª®­ª³°¥­²¥­. »­®ª § ¡¨° ¥² z ¥¤¨­¨¶ ¢»¯³±ª  ¯°¨ ¶¥­¥ D(z ) , £¤¥ D | ³¡»¢ ¾¹ ¿ ´³­ª¶¨¿; ±«¥¤®¢ ²¥«¼­®, ´³­ª¶¨¿ ¢»°³·ª¨ F (z ) = zD(z) ¨¬¥¥² ³¡»¢ ¾¹³¾ ®²¤ ·³. °¨¬¥° ± ¢®§° ±² ¾¹¥© ®²¤ ·¥© ¢ª«¾· ¥² ´¨ª±¨°®¢ ­­»¥ § ²° ²». €£¥­²» ¬®£³² ¨±¯®«¼§®¢ ²¼ ²¥µ­®«®£¨¾ ± ¯®±²®¿­­®© ®²¤ ·¥© r1 ¡¥§ ´¨ª±¨°®¢ ­­»µ § ²° ² «¨¡® ®­¨ ¬®£³² ¯« ²¨²¼ ´¨ª±¨°®¢ ­­»¥ § ²° ²» c0 ,   ¢»£®¤  ®² ¡®«¥¥ ¢»±®ª®© ®²¤ ·¨ r2 , ¯®½²®¬³

F (z ) = maxfr1z; r2(z ; c0)g:

2. Œ¥²®¤ ±°¥¤­¨µ § ²° ². °®±²¥©¸¨© ¬¥²®¤ ° ±¯°¥¤¥«¥­¨¿ § ²° ² | ¬¥²®¤ ±°¥¤­¨µ § ²° ² ac | ° ±¯°¥¤¥«¿¥² ±³¬¬ °­»¥ § ²° ²» ¯°®¯®°¶¨®­ «¼­® ¨­¤¨¢¨¤³ «¼­®¬³ ±¯°®±³: y = ac(C; x) = C x(xI ) x I

(ª®­¥·­®, ¥±«¨ xI = 0; ¤®«¦­® ¡»²¼ y = 0 ). ¥°¢»© ±¯®±®¡  ª±¨®¬ ²¨·¥±ª®© µ ° ª²¥°¨§ ¶¨¨ ½²®£® ¬¥²®¤  ¯®¢²®°¿¥²  ª±¨®¬ ²¨§ ¶¨¾ ¬¥²®¤  ° ¶¨®­¨°®¢ ­¨¿:  ª±¨®¬» NAR, IR ¨ IMS ¤®±«®¢­® ¯¥°¥­®±¿²±¿ ­  ° ±±¬ ²°¨¢ ¥¬»© ±«³· © ¬¥²®¤®¢ ° ±¯°¥¤¥«¥­¨¿ § ²° ² ± ¯®¬®¹¼¾ ¯°®±²®© § ¬¥­» °¥±³°±®¢ t ­  ´³­ª¶¨¾ § ²° ² C .

’¥®°¥¬  7.2.1. °¥¤¯®«®¦¨¬ jI j  3 . Œ¥²®¤ ±°¥¤­¨µ § ²° ² ³¤®¢«¥²¢®°¿¥²  ª±¨®¬ ¬ NAR, IR ¨ IMS,   ² ª¦¥ ®¡« ¤ ¥² ±«¥¤³¾¹¨¬ ±¢®©±²¢®¬: ¥±«¨ xi = 0, ²® yi = 'i (I; C; x) = 0 ¤«¿ «¾¡»µ C , x ¨ i, ². ¥. §  ­³«¥¢®© ±¯°®± ­¥ ¯« ²¿². (2:1) Ž¡° ²­®, ¬¥²®¤ ±°¥¤­¨µ § ²° ² ¿¢«¿¥²±¿ ¥¤¨­±²¢¥­­»¬ ¬¥²®¤®¬ ° ±¯°¥¤¥«¥­¨¿ § ²° ², ®¡« ¤ ¾¹¨¬ ±¢®©±²¢®¬

304

ƒ« ¢  7

(2.1) ¨ ³¤®¢«¥²¢®°¿¾¹¨¬ ®¤­®© («¾¡®©) ¨§  ª±¨®¬ NAR, IR ¨«¨ IMS.

‘¢®©±²¢® (2.1) ¨­®£¤  ­ §»¢ ¾² À®²±³²±²¢¨¥¬ °®£  ¨§®¡¨«¨¿Á (No Free Lunch): ¢» ­¥ ¯®«³· ¥²¥ ­¨·¥£® ¨§ ¢»¯³±ª , ¥±«¨ ¢» ­¥ ³· ±²¢³¥²¥ ¢ ¯°®¨§¢®¤±²¢¥­­®¬ ¯°®¶¥±±¥, ¢ª« ¤»¢ ¿ ¢ ­¥£® «¨¡® ¤¥­¼£¨, «¨¡® ²°³¤.  ±±¬®²°¨¬ ²¥¯¥°¼ ¥¹¥ ®¤¨­ ±¯®±®¡ µ ° ª²¥°¨§ ¶¨¨ ¬¥²®¤  ±°¥¤­¨µ § ²° ² | ½²® ­¥ª¨©  ­ «®£ (¯° ¢¤ , §­ ·¨²¥«¼­® ¡®«¥¥ ±¨«¼­»©) °¥±³°±­®© ¬®­®²®­­®±²¨ ¤«¿ ¬¥²®¤®¢ ° ¶¨®­¨°®¢ ­¨¿. € ¨¬¥­­®, ° ±±¬®²°¨¬ ±«¥¤³¾¹³¾  ª±¨®¬³ ¬®­®²®­­®±²¨ ¯® § ²° ² ¬: ¨§ C 1  C 2 ±«¥¤³¥² '(C 2; x)  '(C 2; x) ¤«¿ «¾¡»µ C 1; C 2 ¨ «¾¡»µ x:

°¥¤«®¦¥­¨¥ 7.2.1. (Moulin, Shenker, 1994). Œ¥²®¤ ±°¥¤­¨µ § ²° ² µ ° ª²¥°¨§³¥²±¿ ª®¬¡¨­ ¶¨¥©  ª±¨®¬» ¯®±²®¿­­®© ®²¤ ·¨ ¨ ¬®­®²®­­®±²¨ ¯® § ²° ² ¬.

„ ® ª   §   ² ¥ « ¼ ± ² ¢ ® ½²®£® ¯°¥¤«®¦¥­¨¿ ¬» ¯°¨¢¥¤¥¬, ¯®±ª®«¼ª³ ®­® ®·¥­¼ ª®°®²ª®¥ ¨ ¤®±² ²®·­® ¯°®±²®¥. ‡ ´¨ª±¨°³¥¬ C ¨ x . ®±²°®¨¬ ¤¢¥ ´³­ª¶¨¨ § ²° ²: ´³­ª¶¨¾ ± ¯®±²®¿­­®© ®²¤ ·¥© C~ (z ) = C x(xII ) z ¨ ´³­ª¶¨¾ D(z ) = maxfC (z ); C~ (z )g . °¨¬¥­¿¿  ª±¨®¬³ ¯®±²®¿­­®© ®²¤ ·¨,  ª±¨®¬³ ¬®­®²®­­®±²¨ ¯® § ²° ² ¬ (¨ ¡¾¤¦¥²­»© ¡ « ­±), ¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼­® ¯®«³· ¥¬: ~ x) = C (xI )
x; y~ = '(C;

xI ¨§ y~  y  = '(D; x) ¨ y~I = yI ±«¥¤³¥² y~ = y ; ¨§ y = '(C; x)  y  ¨ yI = yI ±«¥¤³¥² y = y  ,

·²® ¨ ¤ ¥² ²°¥¡³¥¬»© °¥§³«¼² ².

3. ‘¥°¨©­®¥ ° ±¯°¥¤¥«¥­¨¥ § ²° ². Œ¥²®¤ ±°¥¤­¨µ § ²° ² ¯®«­®±²¼¾ ¨£­®°¨°³¥² ¨§¬¥­¥­¨¥ ®²¤ ·¨ ¬¥¦¤³ 0 ¨ xI .

Œ®¤¥«¨ ° ±¯°¥¤¥«¥­¨¿

305

 ±±¬®²°¨¬ ´³­ª¶¨¾ § ²° ² (± ³¡»¢ ¾¹¥© ®²¤ ·¥©): C (z ) = (z ; 10)+: ¥°¢»¥ 10 ¥¤¨­¨¶ ¡¥±¯« ²­»,   ¤®¯®«­¨²¥«¼­»© ±¯°®± ±²®¨² 1 §  ª ¦¤³¾ ¥¤¨­¨¶³. ³±²¼ I = f1; 2; 3g ¨ x = (3; 5; 7). Œ¥²®¤ ±°¥¤­¨µ § ²° ² ¤ ¥² y = 1; 1 32 ; 2 13 . ‘¯° ¢¥¤«¨¢® «¨, ·²®  £¥­² 1 ¯« ²¨² ·²®-²®, ¥±«¨ ®­ ±·¨² ¥², ·²® ¥£® ±¯° ¢¥¤«¨¢ ¿ ¤®«¿ ¨§ 10 ¡¥±¯« ²­»µ ¥¤¨­¨¶ ¥±²¼ 3 13 ¨ ·²® ®­ ­¥ ¯®²°¥¡«¿¥² ±²®«¼ ¬­®£®? ®±¬®²°¨¬ ²¥¯¥°¼ ­  ´³­ª¶¨¾ § ²° ² (± ¢®§° ±² ¾¹¥© ®²¤ ·¥©):   z C (z) = min z; 9 + 10

± x = (3; 5; 7). Œ¥²®¤ ±°¥¤­¨µ § ²° ² ¤ ¥² y = (2:1; 3:5; 4:9), ¯®½²®¬³  £¥­² 1 ¯« ²¨² ¬¥­¼¸¥, ·¥¬ ¥£® À± ¬®±²®¿²¥«¼­»¥ § ²° ²»Á5 C (x1) = 3 . ‡ ¬¥²¨¬, ·²® ¯¥°¢»¥ 10 ¥¤¨­¨¶ ±²®¿² 1 ª ¦¤ ¿,   § ²¥¬ ¶¥­  ¯ ¤ ¥² ¤® 0:1 §  ª ¦¤³¾ ¤®¯®«­¨²¥«¼­³¾ ¥¤¨­¨¶³. ‡¤¥±¼ ³¦¥  £¥­²» 2 ¨ 3 ¬®£³² ¯°®²¥±²®¢ ²¼ ¯°®²¨¢ ²®£®, ·²® ®­¨ ¤®«¦­» ­¥±²¨ ®²¢¥²±²¢¥­­®±²¼ §  À¤®±²¨¦¥­¨¥Á ­¨§ª¨µ ¯°¥¤¥«¼­»µ § ²° ², ¯®±ª®«¼ª³ 3x1 < 10 , ¨  £¥­² 1 ­¥ ¤®«¦¥­ ¯®«³· ²¼ ¢»£®¤³ ®² ½²®£®. …£® ±¯° ¢¥¤«¨¢ ¿ ¤®«¿ ¡»«  ¡» 3, ¯®²®¬³ ·²® ®²¤ ·  ¯®±²®¿­­  ¤® ³°®¢­¿ 3x1 . ³±²¼ I ´¨ª±¨°®¢ ­® ¨ jI j = n . ‚ ±¢¥²¥ ¯°¥¤»¤³¹¨µ ¯°¨¬¥°®¢ ¢¢¥¤¥¬ ¤¢¥ ±«¥¤³¾¹¨µ  ª±¨®¬»: Ž£° ­¨·¥­¨¿ ¢®§° ±² ¾¹¨µ ¯°¥¤¥«¼­»µ § ²° ² (IMC bounds): i) ¥±«¨ C ¢»¯³ª« , ²® C (xi)  yI = 'i (C; x)  C (nx n ¤«¿ «¾¡»µ i; x . Ž£° ­¨·¥­¨¿ ³¡»¢ ¾¹¨µ ¯°¥¤¥«¼­»µ § ²° ² (DMC bounds): 5

Stand Alone Cost.

306

ƒ« ¢  7

i) ¥±«¨ C ¢®£­³² , ²® C (nx n  yi = 'i (C; x)  C (xi) ¤«¿ «¾¡»µ i; x .

”®°¬³«  ±¥°¨©­®£® ° ±¯°¥¤¥«¥­¨¿ § ²° ² ¨­±¯¨°¨°®¢ ­  i ) ¤«¿ ¢»¯³ª«®© ­¥¯®±°¥¤±²¢¥­­® ­¥° ¢¥­±²¢ ¬¨ yi  C (nx n i ) ¤«¿ ¢®£­³²®© ´³­ª¶¨¨ C . ´³­ª¶¨¨ § ²° ² ¨ yi  C (nx n ‡ ´¨ª±¨°³¥¬ C ¨ ¢¥ª²®° ±¯°®±  x . ¥°¥®¡®§­ ·¨¬  £¥­²®¢ ¢ ±®®²¢¥²±²¢¨¨ ± ¢®§° ±² ­¨¥¬ ±¯°®± : x1  x2


 xn . ‘­ · «  ° ±¯°¥¤¥«¨¬ ¯®°®¢­³ § ²° ²» ­  ¯¥°¢»¥ nx1 ¥¤¨­¨¶ ¬¥¦¤³ ¢±¥¬¨  £¥­² ¬¨. ’¥¯¥°¼  £¥­² 1 ®¡±«³¦¥­ ¯®«­®±²¼¾, ¨ ®­ ¯« ²¨² c(nxn ) , § ²¥¬ ¬» ¯®°®¢­³ ¤¥«¨¬ § ²° ²» ­  ¤®¯®«­¨²¥«¼­»¥ ¥¤¨­¨¶» ¬¥¦¤³ ®±² «¼­»¬¨  £¥­² ¬¨ f2; 3; : : :; ng . ’¥¯¥°¼  £¥­² 2 ®¡±«³¦¥­, ¨ ². ¤. ( ¯®¬­¨¬ ¯°¨¬¥° 7 ± ¢§«¥²­®-¯®± ¤®·­®© ¯®«®±®© ¨§ ¯. 6.1.) ”®°¬ «¼­® ®¯°¥¤¥«¨¬ ¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼­®±²¼ xi ; i = 1; : : :; n ±«¥¤³¾¹¨¬ ®¡° §®¬: 1

x1 x2 :: xi :: xn

= nx1 ; = x1 + (n ; 1)x2;

: : : : : : : : : : : : : : :P : : : : : :: : : = (n ; i + 1)xi + nj=1 xj ; ::::::::::::::::::::::: = xI :

‡ ¬¥²¨¬, ·²® ½²  ¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼­®±²¼ ­¥³¡»¢ ¾¹ ¿. „®«¨, ±®®²¢¥²±²¢³¾¹¨¥ ±¥°¨©­®¬³ ° ±¯°¥¤¥«¥­¨¾ § ²° ² | ½²®:

y1 = C(nx ) ; y2 = y1 + C (x n);;C1 (x ) ; :: ::::::::::::::::::: i i; yi = yi;1 + C (x n);;Ci+1(x ) :: ::::::::::::::::::: 1

2

1

1

307

Œ®¤¥«¨ ° ±¯°¥¤¥«¥­¨¿

¨«¨ ½ª¢¨¢ «¥­²­®

y1 = C(nx ) ; y2 = Cn(;x1) ; nC(n(x;1)) ; :: :::::::::::::::::::::::::: P i (xj ) : yi = nC;(ix+1) ; ij;=11 (n;jC+1)( n;j ) ‚ ±«³· ¥ n = 2 ¨ n = 3 ®¡¹¨¥ ´®°¬³«» ¤ ¾² 1

1

2

n = 2; x1  x2 : y1 = 21 C (2x1); y2 = C (x1 + x2) ; 12 C (2x1);

n = 3; x1  x2  x3 : y1 = 31 C (3x1); y2 = 21 C (x1+2x2 ); 16 C (3x1); y3 = C (xI ) ; 21 C (x1 + 2x2) ; 16 C (3x1):

‚ · ±²­®±²¨, ¢ ¯°¨¢¥¤¥­­»µ ¢»¸¥ ·¨±«¥­­»µ ¯°¨¬¥° µ ¯®«³· ¥¬: ¥±«¨ C (z ) = (z ; 10)+ , x = (3; 5; 7), ²® y = (0; 1:5; 3:5);





¥±«¨ C (z ) = min z; 9 + 10z ; x = (3; 5; 7), ²® y = (3; 3:65; 3:85):

°¥¤«®¦¥­¨¥ 7.2.2. ‡ ´¨ª±¨°³¥¬ x ² ª, ·²® x1 = mini xi

¨ xn = maxi xi . Ž¡®§­ ·¨¬ ¬¥²®¤ ±°¥¤­¨µ § ²° ² ·¥°¥§ ac ¨ ¬¥²®¤ ±¥°¨©­»µ § ²° ² ·¥°¥§ ser: ’®£¤ : ¥±«¨ C ¢»¯³ª« , ²® ser1 (C; x)  ac1(C; x) ¨ sern (C; x)  acn(C; x); ¥±«¨ C ¢®£­³² , ²® ser1 (C; x)  ac1 (C; x) ¨ sern (C; x)  acn(C; x): °¥¤«®¦¥­¨¥ 7.2.3. Œ¥²®¤ ±¥°¨©­»µ § ²° ² ³¤®¢«¥²¢®°¿¥²  ª±¨®¬ ¬ IMC bounds ¨ DMC bounds. ®«¥¥ ²®£®, ¤«¿ «¾¡®© ­¥³¡»¢ ¾¹¥© ´³­ª¶¨¨ § ²° ² C (C (0) = 0) ®­ ³¤®¢«¥²¢®°¿¥² ±«¥¤³¾¹¥¬³ ³±«®¢¨¾ ³­¨¢¥°± «¼­»µ ®£° ­¨·¥­¨©: 1 C (x ) = y = ' (C; x)  C (nx ): i i i i

n

308

ƒ« ¢  7

‚ § ª«¾·¥­¨¥ ½²®£® ° §¤¥«  ¯°¨¢¥¤¥¬ ¬¥²®¤ ° ±¯°¥¤¥«¥­¨¿ § ²° ² ˜¥¯«¨-˜³¡¨ª , ¢¢¥¤¥­­»© Œ. ˜³¡¨ª®¬ ¢ ° ¡®²¥ Shubik, 1962. ²®² ¬¥²®¤ ®¯°¥¤¥«¿¥²±¿ ±«¥¤³¾¹¨¬ ®¡° §®¬: X s!(n ; s ; 1)! X yi = (C (xS [i) ; C (xS ): n! S  I ni 0sn;1 jSj=s

¥²°³¤­® ¢¨¤¥²¼, ·²® ½²®² ¬¥²®¤ ³¤®¢«¥²¢®°¿¥²  ª±¨®¬¥  ¤¤¨²¨¢­®±²¨: '(C 1 + C 2 ; x) = '(C 1; x) + '(C 2; x) ¤«¿ «¾¡»µ ´³­ª¶¨© § ²° ² C 1 ; C 2 ; ¯°¥¤±² ¢¨¬»µ ¢ ¢¨¤¥ ° §­®±²¨ ¤¢³µ ¢»¯³ª«»µ ´³­ª¶¨©. 7.3. ‡ ¤ ·¨ °®¤­»¬¨

° ±¯°¥¤¥«¥­¨¿ ¢»¯³±ª®¬

¨

±

­¥®¤­®-

´ ª²®° ¬¨

¯°®¨§¢®¤±²¢ 

‚ ¡®«¥¥ ®¡¹¥© § ¤ ·¥ ° ±¯°¥¤¥«¥­¨¿ § ²° ² ª ¦¤»©  £¥­² i ¨¬¥¥² ±¯°®± ­  ° §«¨·­»¥ ¯°®¤³ª²» ¨ ²¥µ­®«®£¨¿ ®¯°¥¤¥«¿¥² ®¡¹¨¥ § ²° ²» C (x1; : : :; xn ) (  ­¥ C (x1 +


+ xn ) , ª ª ¢ ¯°¥¤»¤³¹¥¬ ° §¤¥«¥). ‚ ¢ °¨ ­²¥ ° ±¯°¥¤¥«¥­¨¿ ¢»¯³±ª  ª ¦¤»©  £¥­² i ¢ª« ¤»¢ ¥² ª®«¨·¥±²¢® xi ´ ª²®°  i ,   ®¡¹¨© ¢»¯³±ª ¥±²¼ F (x1 ; : : :; xn) (  ­¥ (x1 +


+ xn ) ). °¨¬¥°» ¯®¤®¡­®£® °®¤  § ¤ · ¢ª«¾· ¾², ­ ¯°¨¬¥°, § ²° ²» ²¥«¥ª®¬¬³­¨ª ¶¨®­­®© ±¥²¨, ¢ ª®²®°®© ¯®«¼§®¢ ²¥«¿¬ ­³¦­» ° §«¨·­»¥ ³±«³£¨ (±ª ¦¥¬, ¨±¯®«¼§®¢ ­¨¥ ±¥²¨ ¢ ° §«¨·­®¥ ¢°¥¬¿ ±³²®ª). „°³£®© ¯°¨¬¥° | ½²® ° ±¯°¥¤¥«¥­¨¥ § ²° ² ­  ®±³¹¥±²¢«¥­¨¥ ¡®«¼¸®£® ¯°®¥ª²  (±ª ¦¥¬, ±²°®¨²¥«¼±²¢  ¤ ¬¡») ¬¥¦¤³ ° §«¨·­»¬¨ À¯®«³· ²¥«¿¬¨ ¢»£®¤»Á ®² ¥£® ¨±¯®«¼§®¢ ­¨¿ (­ ¯°¨¬¥°, ¯®±² ¢¹¨ª ¬¨ ½«¥ª²°¨·¥±²¢ , ´¥°¬ ¬¨, ²³°¨±²¨·¥±ª¨¬¨ ´¨°¬ ¬¨; §¤¥±¼ µ®°®¸¨¬ ¯°¨¬¥°®¬ ¿¢«¿¥²±¿ ³¦¥ ³¯®¬¨­ ¢¸ ¿±¿ ¢ £«.6 § ¤ ·  ° ±¯°¥¤¥«¥­¨¿ § ²° ², ¢®§­¨ª¸ ¿ ¢ ¤®«¨­¥ °¥ª¨ ’¥­­¥±±¨ (±¬. Stran, Heaney, 1981). …±«¨ ° §«¨·­»¥ ¯®¤° §¤¥«¥­¨¿ ´¨°¬» ¢ª« ¤»¢ ¾² ­¥®¤­®°®¤­»¥ ´ ª²®°» ¯°®¨§¢®¤±²¢  ¢ ®¡¹¨© ¯°®¥ª², ²® ª ª ±«¥-

309

Œ®¤¥«¨ ° ±¯°¥¤¥«¥­¨¿

¤®¢ «® ¡» ° ±¯°¥¤¥«¿²¼ ¯°¨¡»«¼ ¬¥¦¤³ ­¨¬¨? ‡ ¤ ·  ° ±¯°¥¤¥«¥­¨¿ § ²° ² ¢®§­¨ª ¥² §¤¥±¼ ¦¥, ¥±«¨, ª ¯°¨¬¥°³, ¯®¤° §¤¥«¥­¨¿ ¯®«¼§³¾²±¿ ³±«³£ ¬¨ ¶¥­²° «¼­®©  ¤¬¨­¨±²° ¶¨¨. Œ» ­¥±ª®«¼ª® ³¯°®±²¨¬ ®¡¹³¾ ¬®¤¥«¼, ±·¨² ¿, ·²® ª ¦¤»©  £¥­² ¯®²°¥¡«¿¥² ²®«¼ª® ®¤¨­ ¯°®¤³ª² ¢»¯³±ª  (¨«¨ ¢ª« ¤»¢ ¥² ²®«¼ª® ®¤¨­ ´ ª²®°). ‚ ²® ¦¥ ¢°¥¬¿ ´³­ª¶¨¨ § ²° ² (¨«¨ ¯°®¨§¢®¤±²¢¥­­»¥ ´³­ª¶¨¨) ¨¬¥¾² ¤®±² ²®·­® ®¡¹¨© ¢¨¤: C (0) = 0 , C ­¥ ³¡»¢ ¥² ¯® xi ¤«¿ «¾¡®£® i . 1. ¨­ °­»© ±¯°®±. ‡­ ·¥­¨¥ ˜¥¯«¨. ¨­ °­ ¿ § ¤ ·  ° ±¯°¥¤¥«¥­¨¿ § ²° ² | ½²® ²°®©ª  (I; C; x), £¤¥ I | ª®­¥·­®¥ ¬­®¦¥±²¢®  £¥­²®¢, C : f0; 1gn ! IR + | ­¥³¡»¢ ¾¹ ¿ ´³­ª¶¨¿ § ²° ² ² ª ¿, ·²® C (0) = 0 , x = (xi)i2I | ­ ¡®°, ®¯¨±»¢ ¾¹¨© ±¯°®± xi ª ¦¤®£®  £¥­²  i , ¯°¨·¥¬ xi = 0 ¨«¨ 1. ®±ª®«¼ª³ ª ¦¤»© ¨§ xi ¬®¦¥² ¯°¨­¨¬ ²¼ ²®«¼ª® ¤¢  §­ ·¥­¨¿ | 0 ¨«¨ 1, ²® ®·¥­¼ ³¤®¡­® ¢¥ª²®° ±¯°®±  x ®¡®§­ · ²¼ ·¥°¥§ S  I ( S ¬®¦¥² ®ª § ²¼±¿ ¯³±²»¬),   ¨¬¥­­® xi = 1 ¢ ²®¬ ¨ ²®«¼ª® ²®¬ ±«³· ¥, ¥±«¨ i 2 S (¢±¯®¬­¨¬ §¤¥±¼ ­¥·¥²ª¨¥ ª®®¯¥° ²¨¢­»¥ ¨£°» ¨ ®²®¦¤¥±²¢«¥­¨¥ (¯°®±²®©) ª® «¨¶¨¨ ± ¥¥ µ ° ª²¥°¨±²¨·¥±ª®© ´³­ª¶¨¥© (±¬. ¯. 6.3)). ‚ ½²®¬ ±«³· ¥ ´³­ª¶¨¿ § ²° ² C ±² ¢¨² ¢ ±®®²¢¥²±²¢¨¥ ª ¦¤®© ª® «¨¶¨¨ S ·¨±«® C (S ) , ª®²®°®¥ ¨­²¥°¯°¥²¨°³¥²±¿ ª ª § ²° ²» ­  ®¡±«³¦¨¢ ­¨¥ ¢±¥µ  £¥­²®¢ ¨§ S ¨ ²®«¼ª® ¨µ. …±²¥±²¢¥­­® ¯°¥¤¯®« £ ²¼, ·²® C (;) = 0 ¨ C ¬®­®²®­­ : ¥±«¨ S  T; ²® C (S )  C (T ) ¤«¿ «¾¡»µ S; T  I: ¥¸¥­¨¥ ¡¨­ °­®© § ¤ ·¨ ° ±¯°¥¤¥«¥­¨¿ § ²° ² (I; C; S ) | ½²® ­ ¡®° À¤®«¥© § ²° ²Á y = (yi )i2I ² ª¨µ, ·²®

yi  0 ¤«¿ «¾¡®£® i ¨

X i2I

yi = C (S ):

¨­ °­»© ¬¥²®¤ ° ±¯°¥¤¥«¥­¨¿ § ²° ² | ½²® ®²®¡° ¦¥­¨¥ ' , ±² ¢¿¹¥¥ ¢ ±®®²¢¥²±²¢¨¥ ª ¦¤®© § ¤ ·¥ (I; C; S ) °¥¸¥­¨¥ y = '(I; C; S ).

310

ƒ« ¢  7

Š ª ®¡»·­®, ½²®© § ¤ ·¥ ±®®²¢¥²±²¢³¥²  ­ «®£¨·­ ¿ ¡¨­ °­ ¿ § ¤ ·  ° ±¯°¥¤¥«¥­¨¿ ¨§«¨¸ª , ¯°¨·¥¬ §¤¥±¼ S | ¬­®¦¥±²¢®  ª²¨¢­»µ  £¥­²®¢,   F (S ) | °¥§³«¼²¨°³¾¹¨© ¢»¯³±ª, ¯®¤«¥¦ ¹¨© ° ±¯°¥¤¥«¥­¨¾. ˆ¤¥¿ ° ±¯°¥¤¥«¥­¨¿ § ²° ² ¯°®¯®°¶¨®­ «¼­® ±¯°®±³ ¢ ¬®¤¥«¨ ± ¡¨­ °­»¬ ±¯°®±®¬ ±¢®¤¨²±¿ ª ° ±¯°¥¤¥«¥­¨¾ C (S ) ¯®°®¢­³ ¬¥¦¤³ ¢±¥¬¨  £¥­² ¬¨ ¨§ S (®±² ¢«¿¿ ­³«¥¢»¥ § ²° ²»  £¥­² ¬ ¢­¥ S ). Ž¤­ ª® ½²®² ¬¥²®¤ ­¥ ³·¨²»¢ ¥² À®²¢¥²±²¢¥­­®±²¨Á  £¥­²®¢ §  ¢®§­¨ª­®¢¥­¨¥ § ²° ². ‡¤¥±¼ ®·¥¢¨¤­®¥ ²°¥¡®¢ ­¨¥ ±®±²®¨² ¢ ²®¬, ·²®  £¥­², ±¯°®± ª®²®°®£® ­¥ ¯®°®¦¤ ¥² § ²° ², ­¥ ¤®«¦¥­ ¯« ²¨²¼ ­¨·¥£®, ². ¥. ¬» ¨¬¥¥¬ ¤¥«® ±  ª±¨®¬®© À¡®«¢ ­ Á. Ž¡®§­ ·¨¬ ·¥°¥§ @i C (S ) = C (S ) ; C (S n i) ¯°¥¤¥«¼­»¥ § ²° ²» (±¡¥°¥¦¥­¨¿) ³¤ «¥­¨¿  £¥­²  i ¨§ ª® «¨¶¨¨ S . Ÿ±­®, ·²® @i C (S ) = 0 ¤«¿ i 2= S . €ª±¨®¬  À¡®«¢ ­ Á (DUM | Dummy): ¥±«¨ @i C (T ) = 0 ¤«¿ «¾¡»µ T  I , ²® 'i (I; C; S ) = 0 ¤«¿ «¾¡»µ I; S; i ¨ C . €­ «®£¨·­® ±«³· ¾ ª®®¯¥° ²¨¢­»µ ¨£°  £¥­² ­ §»¢ ¥²±¿ À¡®«¢ ­®¬Á ¤«¿ ´³­ª¶¨¨ § ²° ² C; ¥±«¨ § ²° ²» ­  ¥£® ®¡±«³¦¨¢ ­¨¥ ­³«¥¢»¥, ². ¥. C (i) = 0 ¨ ¡¥§§ ²° ²­® ¥£® ¤®¡ ¢«¥­¨¥ ª «¾¡®© ª® «¨¶¨¨ S . Ž·¥¢¨¤­®, ·²® ½£ «¨² °­»© ¬¥²®¤ ( yi = Cj(SSj ) ¤«¿ i 2 S , yi = 0 ¤«¿ i 2= S ) ½²®©  ª±¨®¬¥ ­¥ ³¤®¢«¥²¢®°¿¥². €ª±¨®¬   ¤¤¨²¨¢­®±²¨ (ADD | Additivity):

'(I; C 1+C 2 ; S ) = '(I; C 1; S )+'(I; C 2; S ) ¤«¿ ¢±¥µ I; C 1; C 2; S: ‡ ¬¥²¨¬, ·²® DUM ¨ ADD ¢¬¥±²¥ ®¡¥±¯¥·¨¢ ¾² ±¢®©±²¢® ¯®±²®¿­­®© ®²¤ ·¨ (±¬. ¯. 7.2). …±«¨ C «¨­¥©­ , ². ¥. C (x) = P c x , ²® ²®£¤  'i (I; C; S ) = ci xi , £¤¥ xi = 1 , ¥±«¨ i 2 S; ¨ i i xi = 0 ¤«¿ i 2= S . Ž¡®§­ ·¨¬ ±¥¬¥©±²¢® ¬¥²®¤®¢ ° ±¯°¥¤¥«¥­¨¿ § ²° ², ³¤®¢«¥²¢®°¿¾¹¨µ  ª±¨®¬ ¬  ¤¤¨²¨¢­®±²¨ ¨ À¡®«¢ ­ Á, ·¥°¥§ B (DUM, ADD). °¨¢¥¤¥­­»¥  ª±¨®¬» ­¥ ¢¢®¤¿² ®£° ­¨·¥­¨© ­  ¬¥²®¤ ¢ § ¢¨±¨¬®±²¨ ®² ° §«¨·­»µ ±®®¡¹¥±²¢ I ¨ I 0 ,

311

Œ®¤¥«¨ ° ±¯°¥¤¥«¥­¨¿

¯®½²®¬³ §¤¥±¼ ¬» ¨¬¥¥¬ ¤¥«® ± ´¨ª±¨°®¢ ­­»¬ I ; ¬¥­¿¥²±¿ S , ¯°¨·¥¬ ¢¥±¼¬  · ±²® ¤ ¦¥ ¯°¥¤¯®« £ ¥²±¿, ·²® S = I . „«¿ ª ¦¤®£® I ¬¥²®¤ ¯°¨° ¹¥­¨© (Incremental Method) ®¯°¥¤¥«¿¥² ¤«¿ ª ¦¤®£® ­¥¯³±²®£® ¯®¤¬­®¦¥±²¢  S  I (¢ª«¾· ¿ S = I ) ¯¥°¥±² ­®¢ª³ (³¯®°¿¤®·¥­¨¥)  (S ) = (i ; : : :; s) , £¤¥ s = jS j . „ «¥¥, ¤®«¨ § ²° ² y = ' (I; C; S ) ¢»·¨±«¿¾²±¿ ±«¥¤³¾¹¨¬ ®¡° §®¬: yi = 0 ¤«¿ ª ¦¤®£® i 2= S ,

y (S) = C (1(S )); y (S) = @ (S )C (1(S ); 2(S )) = C (1(S ); 2(S )) ; C (1(S )); ::::: :::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::: yk (S) = @k (S) C (1(S ); : : :; k(S )) ¤«¿ «¾¡®£® k = 1; : : :; s: (3:1) 1 2

2

‡­ ·¥­¨¥ ±«³· ©­®£® ³¯®°¿¤®·¥­¨¿ (random order value) | ½²® ¢»¯³ª« ¿ ª®¬¡¨­ ¶¨¿ ¬¥²®¤®¢ ¯°¨° ¹¥­¨¿, ¢ ª®²®°®© ¢¥±  ­¥ § ¢¨±¿² ®² C . …±«¨ ¬» ®¡®§­ ·¨¬ ·¥°¥§ (S ) ¬­®¦¥±²¢® ¢±¥µ ¯¥°¥±² ­®¢®ª ¬­®¦¥±²¢  S , §­ ·¥­¨¥ ±«³· ©­®£® ³¯®°¿¤®·¥­¨¿ ¬®¦­® ¯¥°¥¯¨± ²¼ ±«¥¤³¾¹¨¬ ®¡° §®¬:

y = '(I; C; S ) =

X

(S )2(S )

(S ) '(S )(I; C; S ) ¤«¿ «¾¡®£® S:

Ž²¬¥²¨¬, ·²® ¬» ¬®¦¥¬ ¢»¡¨° ²¼ ¯°®¨§¢®«¼­®¥ ¬­®¦¥±²¢® À¢»¯³ª«»µÁ ª®½´´¨¶¨¥­²®¢ (S ) (². ¥. ­¥®²°¨¶ ²¥«¼­»µ, ¤ ¾¹¨µ ¢ ±³¬¬¥ ¥¤¨­¨¶³) ¤«¿ «¾¡®© ª® «¨¶¨¨ S .  ¯°¨¬¥°, ¤«¿ S = f1; 2; 3g ¬» ¬®¦¥¬ ¢»¡° ²¼ ¯¥°¥±² ­®¢ª³ (2; 1; 3);   ¤«¿ S 0 = f1; 2; 4g | ¢»¡° ²¼ ¯¥°¥±² ­®¢ª³ (1; 2; 4).  ª®­¥¶, ¤«¿ µ ° ª²¥°¨§ ¶¨¨ §­ ·¥­¨¿ ˜¥¯«¨ ­ ¬ ¯®­ ¤®¡¨²±¿ ¥¹¥ ®¤­   ª±¨®¬  |  ª±¨®¬  ±¨¬¬¥²°¨·­®±²¨, ª®²®°³¾ ¬» ­ §®¢¥¬ ² ª ¦¥, ª ª ¢ ¯. 7.1, À° ¢­»¬  £¥­² ¬ { ¯®°®¢­³Á ¨ ª®²®° ¿ ³²¢¥°¦¤ ¥², ·²® ¥±«¨ ¤¢   £¥­²  ±¨¬¬¥²°¨·­® ¢«¨¿¾² ­  ´³­ª¶¨¾ § ²° ², ²® ¨µ ¤®«¨ ¤®«¦­» ¡»²¼ ° ¢­»¬¨, ²®·­¥¥ À ¢­»¬  £¥­² ¬ { ¯®°®¢­³Á (ETE):

312

ƒ« ¢  7

…±«¨ C (T [ i) = C (T [ j ) ¤«¿ «¾¡»µ i; j 6= T , ²® 'i (I; C; S ) = 'j (I; C; S ) ¤«¿ «¾¡»µ S  I; ¤«¿ «¾¡»µ C;

i; j:

°¥¤«®¦¥­¨¥ 7.3.1. (Weber, 1988). Œ­®¦¥±²¢® §­ ·¥­¨© ±«³· ©­®£® ³¯®°¿¤®·¥­¨¿ ±®¢¯ ¤ ¥² ± ¬­®¦¥±²¢®¬ B (DUM, ADD) ¬¥²®¤®¢ ° ±¯°¥¤¥«¥­¨¿ § ²° ², ³¤®¢«¥²¢®°¿¾¹¨µ  ª±¨®¬ ¬ À¡®«¢ ­ Á (DUM) ¨  ¤¤¨²¨¢­®±²¨ (ADD).

‘«¥¤³¾¹¥¥ ±«¥¤±²¢¨¥ ½²®£® ¯°¥¤«®¦¥­¨¿, ¯® ±³²¨ ¤¥« , ­ ¬ ³¦¥ µ®°®¸® §­ ª®¬® (±¬. ¯. 6.1, £¤¥ ¯°¨¢¥¤¥­   ª±¨®¬ ²¨ª  §­ ·¥­¨¿ ˜¥¯«¨, µ®²¿  ª±¨®¬  ±¨¬¬¥²°¨¨ ² ¬ ±´®°¬³«¨°®¢ ­  ¢ ­¥±ª®«¼ª® ¨­®© ´®°¬¥).

‘«¥¤±²¢¨¥ 7.3.1. €ª±¨®¬» DUM, ADD ¨ ETE ®¤­®§­ ·­®

®¯°¥¤¥«¿¾² ¬¥²®¤ ° ±¯°¥¤¥«¥­¨¿ § ²° ² | ½²® §­ ·¥­¨¥ ˜¥¯«¨, ². ¥. ¬­®¦¥±²¢® B (DUM, ADD, ETE) ±®¤¥°¦¨² ¥¤¨­±²¢¥­­»© ¬¥²®¤:

'i (I; C; S) =

s;1 X t!(s ; t ; 1)! X t=0

s!

T :T Sni jT j=t

@i C (T [i) ¤«¿ «¾¡®£® i 2 S;

'j (I; C; S ) = 0; ¥±«¨ j 2= S: ²® ±«¥¤±²¢¨¥ ¢»¢®¤¨²±¿ ¨§ ¯°¨¢¥¤¥­­®© ¢»¸¥ ²¥®°¥¬» ‚¥¡¥°  ± ¯®¬®¹¼¾ ±«¥¤³¾¹¥£® ­ ¡«¾¤¥­¨¿ (±¬. Moulin, 1995): ¬¥²®¤ ¨§ B (DUM, ADD) ¤®«¦¥­ ³¤®¢«¥²¢®°¿²¼  ª±¨®¬¥, ¨§¢¥±²­®© ª ª ­¥§ ¢¨±¨¬®±²¼ ®² ­¥±³¹¥±²¢¥­­»µ § ²° ² (Independence of Irrelevant Costs): ¥±«¨ C 1(T ) = C 2 (T ) ¤«¿ «¾¡»µ T  S; ²® '(I; C 1; S ) = '(I; C 2; S ) ¤«¿ «¾¡»µ I; C 1; C 2; S: Œ¥²®¤ ¯°¨° ¹¥­¨© ¨ §­ ·¥­¨¿ ±«³· ©­®£® ³¯®°¿¤®·¥­¨¿, ®¯°¥¤¥«¿¥¬»¥ ¢ ª®­²¥ª±²¥ ´¨ª±¨°®¢ ­­®© ¯®¯³«¿¶¨¨, ¬®£³² ° ±¯°¥¤¥«¿²¼ ¯°¨®°¨²¥²» (¨«¨ À¢§¢¥¸¨¢ ²¼Á ° §«¨·­»¥ ³¯®°¿¤®·¥­¨¿) ­¥±®£« ±®¢ ­­® ± ¨§¬¥­¥­¨¿¬¨ S: ®½²®¬³ ¬» ¤®«¦­» ¯¥°¥ª«¾·¨²¼±¿ ­  ¯¥°¥¬¥­­³¾ ¯®¯³«¿¶¨¾.

313

Œ®¤¥«¨ ° ±¯°¥¤¥«¥­¨¿

Ž¡®§­ ·¨¬ ·¥°¥§ N ¬ ª±¨¬ «¼­®¥ ¬­®¦¥±²¢® (ª®­¥·­®¥ ¨ ¡¥±ª®­¥·­®¥), ¨§ ª®²®°®£® ¬®£³² ¢»¡¨° ²¼±¿  £¥­²», ·¥°¥§  | ¯®°¿¤®ª ¯°¨®°¨²¥²®¢ ­  N :   «¾¡®¬ ª®­¥·­®¬ ¬­®¦¥±²¢¥ S ½²®² ¯®°¿¤®ª ¨­¤³¶¨°³¥² ³¯®°¿¤®·¥­¨¥  (S );   ´®°¬³«  (3.1) ®¯°¥¤¥«¿¥² ¬¥²®¤  -¯°¨° ¹¥­¨©. €­ «®£¨·­®, ±®£« ±®¢ ­­®¥ §­ ·¥­¨¥ ±«³· ©­®£® ³¯®°¿¤®·¥­¨¿ ¿¢«¿¥²±¿ ¢»¯³ª«®© ª®¬¡¨­ ¶¨¥© ¬¥²®¤®¢  -¯°¨° ¹¥­¨©, ¢ ª®²®°®©  ¢ °¼¨°³¥²±¿ ¯® ¢±¥¬ ³¯®°¿¤®·¥­¨¿¬ ¬­®¦¥±²¢  N;   ª®½´´¨¶¨¥­²» ­¥ § ¢¨±¿² ®² I; C ¨ S :

'(I; C; S ) =

X

2(N )

 '(S)(I; C; S ) ¤«¿ «¾¡»µ I; C; S:

‘«¥¤³¾¹ ¿  ª±¨®¬  (±®£« ±®¢ ­­®±²¼ ®²­®±¨²¥«¼­® À¡®«¢ ­ Á | DCY | Dummy-Consistency) ³²¢¥°¦¤ ¥², ·²® ³¤ «¥­¨¥ À¡®«¢ ­ Á ­¥ ¢«¨¿¥² ­  ° ±¯°¥¤¥«¥­¨¥ § ²° ² ¬¥¦¤³ ®±² «¼­»¬¨  £¥­² ¬¨: ¥±«¨ @i C (T ) = 0 ¤«¿ «¾¡®£® T  I , ²® '(I; C; S )[Ini] = '(I n i; C; S n i) ¤«¿ ¢±¥µ S; ¤«¿ «¾¡»µ I; i ¨ C: ‘«¥¤³¾¹¥¥ ¯°¥¤«®¦¥­¨¥, ª ± ¾¹¥¥±¿ ³¦¥ ¯¥°¥¬¥­­®© ¯®¯³«¿¶¨¨, ¿¢«¿¥²±¿ ±«¥¤±²¢¨¥¬ ²¥®°¥¬» 7.3.1.

°¥¤«®¦¥­¨¥ 7.3.2. Œ­®¦¥±²¢® ±®£« ±®¢ ­­»µ §­ ·¥­¨© ±«³· ©­®£® ³¯®°¿¤®·¥­¨¿ ±®¢¯ ¤ ¥² ± ¬­®¦¥±²¢®¬ B (DUM,

DCY, ADD).

ˆ§¢¥±²­® ­¥±ª®«¼ª®  «¼²¥°­ ²¨¢­»µ µ ° ª²¥°¨§ ¶¨© §­ ·¥­¨¿ ˜¥¯«¨ ¨ §­ ·¥­¨© ±«³· ©­®£® ³¯®°¿¤®·¥­¨¿, ¯°¨ ª®²®°»µ  ª±¨®¬   ¤¤¨²¨¢­®±²¨ § ¬¥­¿¥²±¿ ¤°³£¨¬¨ ²°¥¡®¢ ­¨¿¬¨. Œ» ®±² ­®¢¨¬±¿ §¤¥±¼ «¨¸¼ ­  ¤¢³µ (¯°¨·¥¬ ¢ ª®­²¥ª±²¥ ´¨ª±¨°®¢ ­­®© ¯®¯³«¿¶¨¨). ‚ ±«³· ¥ §­ ·¥­¨¿ ±«³· ©­®£® ³¯®°¿¤®·¥­¨¿ ¤®«¿  £¥­²  § ¢¨±¨² ²®«¼ª® ®² ¯°¥¤¥«¼­»µ § ²° ² @i C (T ) . ²® ±¢®©±²¢® ­ §»¢ ¥²±¿ ¬ °¦¨­ «¨§¬®¬ (Marginalism): ¥±«¨ @i C 1(T ) = @i C 2(T ) ¤«¿ «¾¡»µ T  S , ²®

314

ƒ« ¢  7

'i (I; C 1; S ) = 'i(I; C 2; S ) ¤«¿ «¾¡»µ I; C 1; C 2; S ¨ i:

‡­ ·¥­¨¥ ˜¥¯«¨ ®¤­®§­ ·­® µ ° ª²¥°¨§³¥²±¿  ª±¨®¬ ¬¨ ¬ °¦¨­ «¨§¬  ¨ ETE (Young, 1985). „°³£ ¿ µ ° ª²¥°¨§ ¶¨¿ §­ ·¥­¨¿ ˜¥¯«¨ ®±­®¢ ­  ­  ² ª ­ §»¢ ¥¬®¬ ¯®²¥­¶¨ «¥: X n ; s)! C (S ); £¤¥ n = jI j; s = jS j: P (I; C ) = (s ; 1)!( n! S I ‡­ ·¥­¨¥ ˜¥¯«¨ ¬®¦­® ¯°¥¤±² ¢¨²¼ ¢ ¢¨¤¥

'i (I; C; S) = @i P (S; C ) = P (S; C ) ; P (S n i; C ):

(3:2)

‘. • °² ¨ €. Œ ±-Š®«¥«« (Hart, Mas-Colell, 1989) ¯®ª § «¨, ·²® §­ ·¥­¨¥ ˜¥¯«¨ ¯®«­®±²¼¾ µ ° ª²¥°¨§³¥²±¿ ±³¹¥±²¢®¢ ­¨¥¬ ­¥ª®²®°®£® ¯®²¥­¶¨ «  P; ³¤®¢«¥²¢®°¿¾¹¥£® (3.2) ¨ ² ª®£®, ·²® P (;; C ) = 0: ²® ±° §³ ¢¨¤­® ¤«¿ ±«³· ¿ ¤¢³µ  £¥­²®¢. „¥©±²¢¨²¥«¼­®, ¨§ (3.2) ±«¥¤³¥², ·²® À§  ­³«¥¢®© ±¯°®± ­¥ ­³¦­® ¯« ²¨²¼Á: ¨§ i 2 S ±«¥¤³¥² yi = 0 . ®½²®¬³ 'i (I; C (i)) = C (i) = P (i; C ) . „ «¥¥ ¯®«®¦¨¬ I = f1; 2g ¨ ¢»·¨±«¨¬ yi = 'i (I; C; I ) :

y1 = P (I; C ) ; C (1); y2 = P (I; C ) ; C (2); y1 + y2 = C ((1; 2)): ²  ±¨±²¥¬  ¤ ¥² ­ ¬ §­ ·¥­¨¥ ˜¥¯«¨ ¢ ±«³· ¥ ¤¢³µ  £¥­²®¢:

yi = (C (1; 2) + C (i) ; C (j ))=2: („«¿ ¯°®¨§¢®«¼­®£® n °¥§³«¼² ² ¬®¦¥² ¡»²¼ ¯®«³·¥­ ¯® ¨­¤³ª¶¨¨.) 2. ¥°¥¬¥­­»© ±¯°®± ­  ­¥¤¥«¨¬»¥ ²®¢ °». ‘¯°®± ª ¦¤®£®  £¥­²  i ¥±²¼ xi 2 f0; 1; 2; : : :; Xig (¬» ±·¨² ¥¬ Xi ª®­¥·­»¬). ”³­ª¶¨¿ § ²° ² C ¥±²¼ ®²®¡° ¦¥­¨¥ ¯°¿¬®£® ¯°®¨§¢¥Q ¤¥­¨¿ [0; X[I ]] = i2I [0; Xi] ¢ IR ² ª®¥, ·²® ¨§ C (0) = 0 ¨ x  x0 ±«¥¤³¥² C (x)  C (x0 ) . (®¤·¥°ª­¥¬, ·²® §¤¥±¼ [0; xi] | ¨­²¥°¢ « ¶¥«»µ ·¨±¥«.) +

315

Œ®¤¥«¨ ° ±¯°¥¤¥«¥­¨¿

¥¸¥­¨¥¬ § ¤ ·¨ ° ±¯°¥¤¥«¥­¨¿ § ²° ² (I; C; x), £¤¥ x 2 [0; X[I ]]; ¿¢«¿¥²±¿ ¢¥ª²®° y 2 RI ² ª®©, ·²®

y0¨

X i2I

yi = C (x):

²  ¬®¤¥«¼ ®¡®¡¹ ¥² ¯°¥¤»¤³¹³¾ ¬®¤¥«¼ ¡¨­ °­®£® ±¯°®± , ¢ ª®²®°®© Xi = 1 ¤«¿ «¾¡®£® i .  ¸  § ¤ ·  | ®¡®¡¹¨²¼ ¯°¨¢¥¤¥­­»¥ ¢»¸¥ °¥§³«¼² ²» (¤«¿ ¡¨­ °­®£® ±¯°®± ) ­  ±«³· © ¯¥°¥¬¥­­®£® ±¯°®± . Š ª ¨ ¢»¸¥, ¬» ­ ·­¥¬ ±® ±«³· ¿ ´¨ª±¨°®¢ ­­®© ¯®¯³«¿¶¨¨. C´®°¬³«¨°³¥¬ ¤¢¥  ª±¨®¬» | À¡®«¢ ­ Á ¨  ¤¤¨²¨¢­®±²¨. €ª±¨®¬  À¡®«¢ ­ Á (DUM): ¥±«¨ @i X (x) = 0 ¤«¿ «¾¡®£® x 2 [0; X[I ]] , ²® 'i (I; C; x)0 ¤«¿ «¾¡®£® x 2 [0; X[I ]]; ¤«¿ «¾¡®£® I , C ¨ «¾¡®£® i 2 I , £¤¥ @i C (x) = C (x) ; C (x ki xi ; 1) ( @i C (x) = 0 , ¥±«¨ xi = 0 ) ®¡®§­ · ¥² ¯°¥¤¥«¼­»¥ § ²° ²» ¯°¨ ³¢¥«¨·¥­¨¨ ±¯°®±   £¥­²  i ± xi ; 1 ¤® xi : €¤¤¨²¨¢­®±²¼ (ADD): '(I; C 1; x) + '(I; C 2; x) = '(I; C 1 + C 2 ; x) ¤«¿ «¾¡»µ I , 1 C , C 2 ¨ x:  ±±¬®²°¨¬ ®¡®¡¹¥­¨¥ ¬¥²®¤®¢ ¯°¨° ¹¥­¨¿ ¢ ¡¨­ °­®© ¬®¤¥«¨. ‡ ´¨ª±¨°³¥¬ ¯¥°¥±² ­®¢ª³  ¬­®¦¥±²¢  (´¨ª±¨°®¢ ­­®£®) I ¨ ®¯°¥¤¥«¨¬ ¬¥²®¤  -¯°¨° ¹¥­¨¿ (¨«¨ ¬¥²®¤ ³¯®°¿¤®·¥­­®£® ¯°¨®°¨²¥²   ) y = ' (I; C; x) ±«¥¤³¾¹¨¬ ®¡° §®¬: y = C (x[ ] ; 0); y = C (x[ ; ]; 0) ; C (x[ ] ; 0); 1

1

2

1

2

1

::: ::::::::::::::::::::::::::::::::: yi = C (x[ ;:::;i ]; 0) ; C (x[ ;:::;i; ] ; 0); ::: ::::::::::::::::::::::::::::::::: yn = C (x) ; C (x[I nn] ); 1

1

1

316

ƒ« ¢  7

£¤¥ (x[T ]; 0) ®¡®§­ · ¥² ¢¥ª²®° ± ²®© ¦¥ ¯°®¥ª¶¨¥© ­  T , ·²® ¨ x; ¨ 0 ­  I n T . Œ¥²®¤» ¯°¨° ¹¥­¨© (  ² ª¦¥ ¨µ ¢»¯³ª«»¥ ª®¬¡¨­ ¶¨¨) ³¤®¢«¥²¢®°¿¾² ADD ¨ DUM. Ž¤­ ª® ¢ B (DUM, ADD) ¥±²¼ ¬­®£® ¤°³£¨µ ¬¥²®¤®¢, ¨ ¬» ¯®±²°®¨¬ ±¥¬¥©±²¢® ² ª¨µ ¬¥²®¤®¢, ­ §»¢ ¥¬®¥ ¬¥²®¤ ¬¨, ¯®°®¦¤¥­­»¬¨ ²° ¥ª²®°¨¿¬¨.  ±±¬®²°¨¬ °¥±³°±­® ¬®­®²®­­»© ¬¥²®¤ ° ¶¨®­¨°®¢ ­¨¿ r (¤«¿ ­¥¤¥«¨¬»µ ²®¢ °®¢). ®±ª®«¼ª³ ¬» ±·¨² ¥¬ I ´¨ª±¨°®¢ ­­»¬, ²® ¡³¤¥¬ ¯¨± ²¼ r(t; x) ¢¬¥±²® r(I; t; x), £¤¥ x 2 [0; X[I ]] ¨ 0  t  xI . ³±²¼ t ! r(t; x) ®¯¨±»¢ ¥²±¿ ¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼­®±²¼¾ s(x) = fi1; i2; : : :; ixI g , ¢ ª®²®°®©  £¥­² i ¯®¿¢«¿¥²±¿ °®¢­® xi ° §. Š ¦¤®¬³ ¬¥²®¤³ ° ¶¨®­¨°®¢ ­¨¿ r , ¨«¨, ½ª¢¨¢ «¥­²­®, ª ¦¤®¬³ ±¥¬¥©±²¢³ ¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼­®±²¥© s(x) (®¤­®© ¤«¿ ª ¦¤®£® x ) ¨§ [0; X[I ]] ¯®±² ¢¨¬ ¢ ±®®²¢¥²±²¢¨¥ ±«¥¤³¾¹¨© ¬¥²®¤ ° ±¯°¥¤¥«¥­¨¿ § ²° ² y = 'r (I; C; x): P I @ C (r(t; x))dr (t; x) yi = xt=1 i i (3:3) ¤«¿ «¾¡»µ I; C; x ¨ i; £¤¥ dri(t; x) = 1 , ¥±«¨ i = it ¿¢«¿¥²±¿ t -¬ ½«¥¬¥­²®¬ ¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼­®±²¨ s(x) , ¨ dri(t; x) = 0 ¢ ¯°®²¨¢­®¬ ±«³· ¥. Œ¥²®¤ ° ±¯°¥¤¥«¥­¨¿ § ²° ² (3.3) ­ §»¢ ¥²±¿ ¬¥²®¤®¬, ¯®°®¦¤¥­­»¬ ²° ¥ª²®°¨¥©, ¯®±ª®«¼ª³ ¤«¿ ª ¦¤®£® x ¤®«¨ § ²° ² ¢»·¨±«¿¾²±¿ ¢¤®«¼ ²° ¥ª²®°¨¨ t ! r(t; x); ². ¥. À¢¤®«¼ ¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼­®±²¨Á s(I; x); ±«¥¤³¾¹¨¬ ®¡° §®¬: C (r; (1; x)) ¯« ²¨²  £¥­² i1 , C (r(2; x)) ; C (r(1; x)) ¯« ²¨²  £¥­² i2 ¨ ². ¤. „«¿ ´¨ª±¨°®¢ ­­®© ¯®¯³«¿¶¨¨ I ¨¬¥¥² ¬¥±²® ±«¥¤³¾¹ ¿ ²¥®°¥¬ . ’¥®°¥¬  7.3.1. (Wang, 1998). Š ¦¤»© ¬¥²®¤ ° ±¯°¥¤¥«¥­¨¿ § ²° ², ³¤®¢«¥²¢®°¿¾¹¨©  ª±¨®¬ ¬ DUM ¨ ADD, ¿¢«¿¥²±¿ ¢»¯³ª«®© ª®¬¡¨­ ¶¨¥© ¬¥²®¤®¢, ¯®°®¦¤¥­­»µ ²° ¥ª²®°¨¿¬¨ (± ª®½´´¨¶¨¥­² ¬¨, § ¢¨±¿¹¨¬¨ ®² I; ­® ­¥ § ¢¨±¿¹¨¬¨ ®² C ¨ x ). ¨ª ª¨¥ ¤°³£¨¥ ¬¥²®¤» ° ±¯°¥¤¥«¥­¨¿ § ²° ² ­¥ ³¤®¢«¥²¢®°¿¾² ½²¨¬  ª±¨®¬ ¬.

317

Œ®¤¥«¨ ° ±¯°¥¤¥«¥­¨¿

„«¿ ´®°¬³«¨°®¢ª¨ °¥§³«¼² ²  ¤«¿ ±«³· ¿ ¯¥°¥¬¥­­®© ¯®¯³«¿¶¨¨ ­ ¬ ¯®­ ¤®¡¨²±¿, ª ª ¢±¥£¤ ,  ª±¨®¬  ±®£« ±®¢ ­­®±²¨ ®²­®±¨²¥«¼­® À¡®«¢ ­ Á (DCY { Dummy Consistering): ¥±«¨ @i C (x) = 0 ¤«¿ «¾¡®£® x 2 [0:X[I ]] , ²® '(I; C; x)[I ni] = '(I n i; C; xI ni) ¤«¿ «¾¡»µ x 2 [0; X[I ]] , ¤«¿ «¾¡»µ I , C ¨ i . ¥²°³¤­® ¯®ª § ²¼, ·²® ¬¥²®¤, ¯®°®¦¤¥­­»© ²° ¥ª²®°¨¥©, ¿¢«¿¥²±¿ ±®£« ±®¢ ­­»¬ ®²­®±¨²¥«¼­® À¡®«¢ ­ Á ²®£¤  ¨ ²®«¼ª® ²®£¤ , ª®£¤  ±®®²¢¥²±²¢³¾¹¨© ¬¥²®¤ ° ¶¨®­¨°®¢ ­¨¿ ±®£« ±®¢ ­ (±®£« ±®¢ ­­®±²¼ r ®§­ · ¥² ±«¥¤³¾¹¥¥ ±¢®©±²¢® ¯®°®¦¤ ¾¹¥© ¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼­®±²¨ s(I; x) : ¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼­®±²¼ s(I n i; xI ni]) ¯®«³· ¥²±¿ ¨§ s(I; x) ³¤ «¥­¨¥¬ ¢±¥µ ¯®¿¢«¥­¨©  £¥­²  i ). ®½²®¬³ ¬» ­ §»¢ ¥¬ ¬¥²®¤ ¯®°®¦¤¥­­»¬ ±®£« ±®¢ ­­®© ²° ¥ª²®°¨¥©, ¥±«¨ ®­ ¢»¢®¤¨²±¿ ¨§ ±®£« ±®¢ ­­®£® ¬¥²®¤  ° ¶¨®­¨°®¢ ­¨¿ ± ¯®¬®¹¼¾ (3.3).

‘«¥¤±²¢¨¥ 7.3.2. Š ¦¤»© ¬¥²®¤ ¨§ B (DUM, DCY, ADD) ¿¢«¿¥²±¿ ¢»¯³ª«®© ª®¬¡¨­ ¶¨¥© ¬¥²®¤®¢, ¯®°®¦¤¥­­»µ ±®£« ±®¢ ­­»¬¨ ²° ¥ª²®°¨¿¬¨. B (DUM, DCY, ADD) ­¥ ±®¤¥°¦¨² ¤°³£¨µ ¬¥²®¤®¢. Œ» § ¢¥°¸¨¬ ½²³ £« ¢³ ¤¢³¬¿ ¯°¨¬¥° ¬¨ | ¬¥²®¤®¬ ˜¥¯«¨{˜³¡¨ª  ¨ ¬¥²®¤®¬ €³¬ ­ {˜¥¯«¨.  ° ¨ ¬ ¥ ° 1. Œ¥²®¤ ˜¥¯«¨{˜³¡¨ª . ‘°¥¤­¥¥  °¨´¬¥²¨·¥±ª®¥ ¬¥²®¤®¢ ¯°¨° ¹¥­¨¿ ­ §»¢ ¥²±¿ ² ª¦¥ ¬¥²®¤®¬ ˜¥¯«¨{˜³¡¨ª : nX ;1 s!(n ; s ; 1)! X SS 'i (I; C; x) = (C (x[s[i]; 0) ; C (x[S ] ]; 0)): n! SI ni j =0 jSj=s

²®² ¬¥²®¤ ­¥ ¯®°®¦¤¥­ ²° ¥ª²®°¨¥©; ®­ ¿¢«¿¥²±¿ ¢»¯³ª«®© ª®¬¡¨­ ¶¨¥© ¬¥²®¤®¢, ¯®°®¦¤¥­­»µ ²° ¥ª²®°¨¿¬¨,   ²®·­¥¥, ¬¥²®¤®¢ ¯°¨° ¹¥­¨©. ˆ­²¥°¥±­®, ·²® ¬¥²®¤ ˜¥¯«¨{˜³¡¨ª  ¬®¦¥² ¡»²¼ ®µ ° ª²¥°¨§®¢ ­ ± ¯®¬®¹¼¾ ®¤­®© ¤®¯®«­¨²¥«¼­®© (®²­®±¨²¥«¼­®

318

ƒ« ¢  7

DUM ¨ ADD)  ª±¨®¬»,   ¨¬¥­­®  ª±¨®¬» ­¨¦­¥© £° ­¨¶» (LC | Lower Bound): 'i (I; C; x)  (1C) C (xi ; 0[I ni]) ¤«¿ «¾¡»µ I; C; x ¨ i; , £¤¥ (C ) | ·¨±«® ²®¢ °®¢, ­¥ ¿¢«¿¾¹¨µ±¿ À¡®«¢ ­ ¬¨Á ¤«¿

C:

‘«¥¤±²¢¨¥ 7.3.3. Œ¥²®¤ ˜¥¯«¨{˜³¡¨ª  ¿¢«¿¥²±¿ ¥¤¨­±²¢¥­­»¬ ¬¥²®¤®¬ ¢ B (DUM, ADD), ³¤®¢«¥²¢®°¿¾¹¨¬

LC.  ° ¨ ¬ ¥ ° 2. Œ¥²®¤ €³¬ ­ {˜¥¯«¨. ‡ ´¨ª±¨°³¥¬ (I; C ) ¨ ° ±±¬®²°¨¬ ¡¨­ °­³¾ § ¤ ·³ (ª®®¯¥° ²¨¢­³¾ ¨£°³) ± xI  £¥­² ¬¨, ¢ ª®²®°®© ª ¦¤ ¿ ¥¤¨­¨¶  ª ¦¤®£® ²®¢ °  i ±®®²¢¥²±²¢³¥² ®¤­®¬³  £¥­²³, ² ª ·²® ¬» ¨¬¥¥¬ xi  £¥­²®¢ ²¨¯  i . Ž¡®§­ ·¨¬ ·¥°¥§ I x ½²® ­®¢®¥ ¬­®¦¥±²¢®  £¥­²®¢,   ·¥°¥§ C~ | ´³­ª¶¨¾ § ²° ² ­  ¯®¤¬­®¦¥±²¢ µ I x : ¤«¿ «¾¡®© S  I x C~ (S ) = C (z ) , £¤¥ zi | ·¨±«®  £¥­²®¢ ²¨¯  i ¢ S . ~ I x) °¨¬¥­¨¬ ¬¥²®¤ ˜¥¯«¨{˜³¡¨ª  ª § ¤ ·¥ (I x; C; ¨ ±³¬¬¨°³¥¬ (¨¤¥­²¨·­»¥) ¤®«¨ § ²° ² ¢±¥µ  £¥­²®¢ ²¨¯  i . ®«³· ¾¹¨¥±¿ ¤®«¨ § ²° ² ¨ ®¯°¥¤¥«¿¾² ¬¥²®¤ €³¬ ­ {˜¥¯«¨. „«¿ «¾¡®£® ¢¥ª²®°  t ¨§ N I (². ¥. jI j -¬¥°­®£® ¢¥ª²®°  ± ­ ²³° «¼­»¬¨ ª®®°¤¨­ ² ¬¨) ¡³¤¥¬ ®¡®§­ · ²¼ ·¥°¥§ (t) = Q(tI )!t ! i2I i ·¨±«® ¬®­®²®­­»µ ²° ¥ª²®°¨© ¨§ 0 ¢ t (¢ [0; t] ). ’®£¤  ¬¥²®¤ €³¬ ­ {˜¥¯«¨ ®¯°¥¤¥«¿¥²±¿ ±«¥¤³¾¹¨¬ ®¡° §®¬: 0! X 1 0 t t i 'AS (t)(t )
t ; 0i C (t); i (I; C; x) = (x) I tI t2[0;x]

£¤¥ t0i = xi ; ti ((0) = 0) . Œ¥²®¤ €³¬ ­ {˜¥¯«¨ ¯°¥¤±² ¢«¿¥²±¿ ­ ¨¡®«¥¥ ¥±²¥±²¢¥­­»¬ ¯°®¤®«¦¥­¨¥¬ ¯°®¯®°¶¨®­ «¼­®£® ° ±¯°¥¤¥«¥­¨¿ § ²° ² ­  ±«³· © ­¥®¤­®°®¤­»µ ¯°®¤³ª²®¢.

‹¨²¥° ²³° 1 1. €³¬ ­ ., ˜¥¯«¨ ‹. (1977). ‡­ ·¥­¨¿ ¤«¿ ­¥ ²®¬¨·¥±ª¨µ ¨£°. Œ.: Œ¨°. (M). 2. ®­¤ °¥¢  Ž.. (1963). ¥ª®²®°»¥ ¯°¨«®¦¥­¨¿ ¬¥²®¤®¢ «¨­¥©­®£® ¯°®£° ¬¬¨°®¢ ­¨¿ ª ²¥®°¨¨ ª®®¯¥° ²¨¢­»µ ¨£° // °®¡«¥¬» ª¨¡¥°­¥²¨ª¨. 10. 119{139. 3. ‚ ±¨«¼¥¢ ‚.€. (1984). Œ®¤¥«¨ ½ª®­®¬¨·¥±ª®£® ®¡¬¥­  ¨ ª®®¯¥° ²¨¢­»¥ ¨£°». ®¢®±¨¡¨°±ª: ˆ§¤-¢® ƒ“. 4. ‚¨«ª ± .‰. (1990). Ž¯²¨¬ «¼­®±²¼ ¢ ¨£° µ ¨ °¥¸¥­¨¿µ. Œ.:  ³ª . 5. ‚¨«ª®¢ ‚.. (1974). N -¿¤°® ¢ ª®®¯¥° ²¨¢­»µ ¨£° µ ¡¥§ ¯®¡®·­»µ ¯« ²¥¦¥© // †³°­ « ¢»·¨±«¨²¥«¼­®© ¬ ²¥¬ ²¨ª¨ ¨ ¬ ²¥¬ ²¨·¥±ª®© ´¨§¨ª¨. 14.  5. 1327{1331. 6. ‚®°®¡¼¥¢ .. (1984). Ž±­®¢» ²¥®°¨¨ ¨£°: ¡¥±ª® «¨¶¨®­­»¥ ¨£°». Œ.:  ³ª . (M) 7. ‚®°®¡¼¥¢ .. (1985). ’¥®°¨¿ ¨£° ¤«¿ ½ª®­®¬¨±²®¢ª¨¡¥°­¥²¨ª®¢. Œ.:  ³ª . (“) 8. ƒ¨«¼¤¥¡° ­¤ ‚. (1986). Ÿ¤°® ¨ ° ¢­®¢¥±¨¥ ¢ ¡®«¼¸®© ½ª®­®¬¨ª¥. Œ.:  ³ª . (M) 1 ³ª¢» M ¨ “ ¢ ±ª®¡ª µ ¯®±«¥ ­ §¢ ­¨¿ ®¡®§­ · ¾², ·²® ³ª § ­­®¥ ¨§¤ ­¨¥ | ¬®­®£° ´¨¿ ¨«¨ ³·¥¡­¨ª ±®®²¢¥²±²¢¥­­®. ‘¯¨±®ª ¢ª«¾· ¥² ­¥ª®²®°»¥ ­ §¢ ­¨¿, ­¥ ³¯®¬¿­³²»¥ ¢ ²¥ª±²¥.

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