Практикум по численным методам и математическому моделированию

М И Н И СТ Е РСТ В О О Б РА ЗО В А Н И Я РО ССИ Й СК О Й Ф Е Д Е РА Ц И И В О РО Н Е Ж СК И Й ГО СУ Д А РСТ В Е Н Н ЫЙ У Н И В Е РСИ Т Е Т Ф и зи ческ и й ф ак у л ьтет К аф едра ради оф и зи к и

Практику м почисленным методам и математическому моделированию дл я сту дентов 2 к у рса днев ног о отдел ени я

С остав и тел и : Радченк о Ю.С., Бу тей к о В.К ., Захаров А.В.

Воронеж 2002

СО Д Е РЖ А Н И Е 1. Вы чи сл ени е ф у нк ци й спомощью беск онечны х су мм 2. Интег ри ров ани е ф у нк ци й 3. Решени е нел и ней ны х у рав нени й 4. Д и ф ф еренци ров ани е ф у нк ци й 5. Решени е ди ф ф еренци ал ьны х у рав нени й 6. Решени е си стемл и ней ны х у рав нени й 7. Вы чи сл ени е и нтег рал ов методомМ онте-К арл о 8. При л ож ени е Ли терату ра

2 4 9 13 15 18 23 28 32

1. В ЫЧИ СЛ Е Н И Е Ф У Н К Ц И Й СПО М О Щ Ь Ю Б Е СК О Н Е ЧН ЫХ СУ М М При в ы чи сл ени и разл и чны х специ ал ьны х ф у нк ци й , в стречающи хся в ради оф и зи к е и ради отехни к е, часто и спол ьзу ется представ л ени е ф у нк ци й к ак беск онечны х су мм S ( x) =

∞

∑

k =0

y k ( x) .

(1)

При в ы чи сл ени и на ЭВМ су мм(1) сл еду ет при держ и в аться сл еду ющи х прав и л . Прав и л о 1. Сл аг аемы е yk (x) су ммы (1) обы чно представ л яют собой дробь yk ( x) = α k ( x ) β k ( x) , чи сл и тел ь α k (x) и знаменател ь β k (x) к оторой мог у т неог рани ченно в озрастать с у в ел и чени ем k, хотя частное yk (x) ок азы в ается к онечны м. Н апри мер, при в ы чи сл ени и г и пербол и ческ ог о ∞ x 2 k +1 в ел и чи на β k ( x ) = (2k + 1)! бы стро си ну са по ф орму л е sh( x) = ∑ k = 0 ( 2k + 1)! в озрастает с у в ел и чени ем k и при k > 34 прев ы ш ает 10100 , а в ел и чи на α k ( x ) = x 2 k +1 бы стро в озрастает су в ел и чени ем k при x > 1. В резу л ьтате при в ы чи сл ени и сл аг аемы х yk (x ) су ммы (1) с бол ьши ми и ндек сами k в озни к ает перепол нени е рег и стров к омпьютера, что при в оди т к пол у чени ю нев ерны х резу л ьтатов . Поэтому при расчете сл аг аемы х yk (x) сл еду ет и збег ать непосредств енног о в ы чи сл ени я ф у нк ци й α k (x) и β k (x ) при бол ьш и х значени ях k. Д л я этог о при в ы чи сл ени и yk (x) мож но в оспол ьзов аться сл еду ющей рек у ррентной процеду рой . А. В начал е рассчи тать перв ое сл аг аемое су ммы (1), т.е. y 0 ( x ) . Е г о в ы чи сл ени е обы чно не в ы зы в ает затру днени й . Н апри мер, в рассмотренном в ы ше при мере дл я ф у нк ци и sh(x) и меем y0 ( x) = x . Б. О стал ьны е сл аг аемы е yk (x ) , k = 1,2,… в ы чи сл ять через ранее расчи танны е y k −1 ( x) по рек у ррентной ф орму л е

yk ( x) = yk −1 ( x) h( x, k ) , (2) г де h ( x, k ) - ф у нк ци я, к отору ю сл еду ет най ти анал и ти ческ и по ф орму л е h( x, k ) = yk ( x) / yk −1( x) . (3)

Н апри мер, дл я ф у нк ци и sh( x) = yk ( x ) = x

2 k +1

∞

∑

k =0

/ (2k + 1)!,

x 2 k +1 / (2k + 1)! и меем y k −1 ( x ) = x 2 k −1 / ( 2k − 1)!,

h( x, k ) = x 2 k +1 (2k − 1)! / x 2 k −1 (2k + 1)! = x 2 / 2k (2k − 1) .

При в ы чи сл ени и ф у нк ци и (3) сл еду ет обязател ьно сок рати ть в се степенны е ф у нк ци и и ф ак тори ал ы , к ак сдел ано в данномпри мере. Прав и л о 2. С у мма (1) яв л яется беск онечной . О днак о ряд (1) обы чно сходи тся, так что, начи ная с нек оторог о значени я k, сл аг аемое yk (x ) су ммы (1) в носи т меньш и й в к л ад в су мму , чем y k −1 ( x) . Поэтому при в ы чи сл ени ях с к онечной точностью к ол и честв о сл аг аемы х су ммы (1) мож но ог рани чи ть нек оторы м бол ьши м, но к онечны м значени ем N. В резу л ьтате су мма (1) при бл и ж енно представ л яется в в и де S ( x) ≈ S N ( x) =

N

∑

k =0

yk ( x ) ,

(4)

г де чи сл о N определ яется и сходя и з требу емой точности аппрок си маци и беск онечной су ммы (1) к онечной су ммой (4). При прак ти ческ и х расчетах ог рани чи в аются так и мзначени емN, дл я к оторог о в ы пол няется у сл ов и е y N ( x ) S N ( x) < ε , (5) г де ε - допу сти мая относи тел ьная пог решность в ы чи сл ени й . О бы чно в ы би рают значени е ε = 10 −3..10 −4 . ЗАД АН ИЯ . Вы чи сл и ть сл еду ющи е ф у нк ци и с помощью су мм дл я заданны х значени й x. Расчеты пров ести спог решностью ε = 10 −3 x ∞ ln(t ) ( x − 1) k dt = ∑ (−1) k дл я 0 ≤ x ≤ 2 . 1. Д и л ог ари ф м: Li ( x) = − ∫ 2 t − 1 k k =1 1 2. Интег рал ьны е пок азател ьны е ф у нк ци и : ∞ xk Ei ( x) = γ + ln( x) + ∑ дл я 0 < x ≤ 2 , k k ! k =1 ∞

∞ ( −1) k x k exp( −t ) dt = − γ − ln( x ) − ∑ k k! дл я 0 < x ≤ 2 , ∫ t k =1 x г де γ ≈ 0,57721566 - постоянная Эй л ера.

E1 ( x) =

∞ sin (t ) ( −1) k x 2 k +1 3. Интег рал ьны й си ну с: Si ( x) = ∫ dt = ∑ , 0 ≤ x ≤ 10 . t k = 0( 2 k + 1)(2 k + 1)! 0 4. Интег рал ьны й к оси ну с: x

∞ ( −1) k x 2 k cos(t ) − 1 С i ( x) = γ + ln( x) + ∫ dt = γ + ln( x) + ∑ дл я 0 ≤ x ≤ 10 , t ( 2 k )( 2 k )! k = 1 0 г де γ ≈ 0,57721566 - постоянная Эй л ера. 5. Интег рал ы Ф ренел я : x ∞ ( −1) k (π / 2) 2 k x 4 k +1 2 C ( x) = ∫ cos πt / 2 dt = ∑ дл я 0 ≤ x ≤ 3 ; ( 2k )! (4k + 1) k =0 0 x

(

(

)

)

(−1) k (π / 2) 2 k +1 x 4 k +3 S ( x) = ∫ sin πt / 2 dt = ∑ дл я 0 ≤ x ≤ 3 . ( 2 k + 1 )! ( 4 k + 3 ) k = 0 0 6. Интег рал в ероятности : 2 x 2 ∞ ( −1) k x 2 k +1 2 erf ( x) = ∫ exp(−t / 2) dt = π ∑ k! (2k + 1) дл я 0 ≤ x ≤ 5 . π 0 k =0 7. Ф у нк ци и Бессел я 1-г о рода порядк а n : n k k 2  x  ∞ ( −1) ( x / 4) , n = 0,1,2,... , 0 ≤ x ≤ 10 . J n ( x) =   ∑  2  k = 0 k! ( n + k )! 7. М оди ф и ци ров анны е ф у нк ци и Бессел я порядк а n : x

2

∞

2 k  x  ∞ ( x / 4) , n = 0,1,2,... , 0 ≤ x ≤ 3 . I n ( x) =   ∑  2  k =0 k! (n + k )! 9. Т ри г онометри ческ и е ф у нк ци и : 2 k +1 2k ∞ ∞ k x k x sin( x) = ∑ (−1) , cos( x) = ∑ (−1) дл я 0 ≤ x ≤ 2π . (2k + 1)! (2k )! k =0 k =0 10. О братны е три г онометри ческ и е ф у нк ци и (у честь, что (-1)!!=0!!=1); ∞ ( 2k − 1)!! x 2 k +1 ∞ (−1) k x 2 k +1 , arctg( x) = ∑ дл я x < 1 . arcsin( x) = ∑ 2k + 1 k = 0 ( 2k )!! ( 2k + 1) k =0 11. Ги пербол и ческ и е ф у нк ци и : ∞ ∞ x 2k x 2 k +1 sh( x) = ∑ , ch( x) = ∑ дл я x < 2 . ( 2 k 1 )! ( 2 k )! + k =0 k =0 n

2. И Н Т Е ГРИ РО В А Н И Е Ф У Н К Ц И Й b

Рассмотри мзадачу в ы чи сл ени я определ енног о и нтег рал а I = ∫ f ( x) dx a

ф у нк ци и y = f(x) на и нтерв ал е x ∈ [a; b] . С у ществ у ют разл и чны е ф орму л ы чи сл енног о и нтег ри ров ани я. М етоди к а пол у чени я эти х ф орму л , к ак прав и л о, св оди тся к сл еду ющему . Интерв ал и нтег ри ров ани я [a;b] разби в ается на N поди нтерв ал ов [ x i ; x i +1 ] , i = 0,1,..N − 1 . Т ог да и нтег рал от ф у нк ци и y = f(x) представ л яется в в и де

I=

N −1 xi +1

∑ ∫

i=0

f ( x) dx . В предел ах к аж дог о и нтерв ал а [ xi ; xi +1 ] ф у нк ци я f(x)

xi

при бл и ж енно аппрок си ми ру ется нек оторой ф у нк ци ей f ai (x) , л ег к о и нтег ри ру емой анал и ти ческ и . В к ачеств е ф у нк ци и f ai (x ) обы чно в ы би рают

пол и ном нев ы сок ой

степени .

С у мма

N −1 xi +1

∑ ∫

i =0

в ы чи сл яется анал и ти ческ и . В резу л ьтате и нтег рал представ л яется в в и де к в адрату рной ф орму л ы I ≈ IN =

f ai ( x) dx

xi

I при бл и ж енно

N

∑

i =0

Ai f ( x i ) ,

(6)

г де к оэф ф и ци енты Ai и точк и отсчета (у зл ы ) xi определ яются в соотв етств и и с в ы бранны м способом аппрок си маци и поди нтег рал ьной ф у нк ци и f(x). Пог реш ность к в адрату рной ф орму л ы (6) зав и си т от в и да аппрок си ми ру ющи х ф у нк ци й f ai (x) , а так ж е от распол ож ени я и к ол и честв а у зл ов xi . Т очность ф орму л ы (6) у в ел и чи в ается сростом чи сл а у зл ов N. Д л я рав ноотстоящи х у зл ов xi с ш аг ом h = xi +1 − xi = (b − a) / N точность ф орму л ы (6) у в ел и чи в ается су меньшени емh. При прак ти ческ и х расчетах значени е N обы чно в ы би рают в зав и си мости от требу емой относи тел ьной пог решности ε в ы чи сл ени я и нтег рал а. Д л я этог о по к в адрату рной ф орму л е (6) находят су ммы I n и I rn при нек оторы х N = n и N = rn соотв етств енно (обы чно в ы би рают r=2). Е сл и ( I rn − I n ) / I rn < ε , (7) то чи сл о сл аг аемы х N = rn в (6) счи тают достаточны м дл я обеспечени я заданной пог решности ε , а в к ачеств е при бл и ж енног о значени я и нтег рал а I при ни мают в ел и чи ну I rN . Е сл и у сл ов и е (7) не в ы пол няется, то в ы би рают бол ьшее значени е n, пов торяют в ы чи сл ени е и срав нени е и нтег рал ов I n и I rn , пок а не бу дет в ы пол няться это у сл ов и е. Перечи сл и м наи бол ее у потреби тел ьны е к в адрату рны е ф орму л ы чи сл енног о и нтег ри ров ани я дл я рав ноотстоящи х у зл ов xi = a + ih , г де h = (b − a ) / N - ш аг и нтег ри ров ани я. У к аж ем так ж е оценк и пог решностей R к аж дой ф орму л ы . 1.Ф орму л ы прямоу г ол ьни к ов : Ф орму л а л ев ы х прямоу г ол ьни к ов . Н а к аж доми з и нтерв ал ов [ x i ; x i +1 ] ф у нк ци я f(x) заменяется на постоянну ю f ai = f ( x i ) , в ел и чи на к оторой сов падает со значени емподи нтег рал ьной ф у нк ци и f (x ) на л ев ой г рани це и нтерв ал а. Ф орму л а и меет в и д I ≈h

N −1

∑

i =0

f ( xi ) .

Ф орму л а прав ы х прямоу г ол ьни к ов . Здесь ф у нк ци я f(x) на к аж доми з и нтерв ал ов [ x i ; x i +1 ] заменяется на постоянну ю f ai = f ( x i +1 ) , в ел и чи на к оторой сов падает со значени емф у нк ци и f(x) на прав ой г рани це и нтерв ал а. Т ог да N

I ≈ h ∑ f ( xi ) . i =1

Т еорети ческ ая пог реш ность эти х ф орму л и меет порядок R = ( Nh 2 / 2) f ' (ξ ) , г де f ' ( x) - прои зв одная ф у нк ци и f(x), а ξ ∈ [a; b] - точк а мак си му ма ф у нк ци я f ' ( x) . М оди ф и ци ров анная ф орму л а прямоу г ол ьни к ов . Ф у нк ци я f(x) на к аж дом и з и нтерв ал ов [ x i ; x i +1 ] заменяется на постоянну ю f ai = f ( x i + h / 2) , в ел и чи на к оторой сов падает со значени емф у нк ци и f(x) в середи не и нтерв ал а. Т ог да I ≈h

N −1

∑

i =0

f ( xi + h / 2) = h

N

∑

i =1

f ( xi − h / 2) .

Пог решность ф орму л прямоу г ол ьни к ов рав на R = ( Nh3 / 24) f ( 2)' (ξ ) . Здесь и дал ее под f

( m )'

( x) пони мается m-я прои зв одная ф у нк ци и f(x), а ξ ∈ [ a; b]

- точк а мак си му ма ф у нк ци и f ( m)' ( x) . 2. Ф орму л а трапеци й . Здесь ф у нк ци я f(x) на к аж доми нтерв ал е [ x i ; x i +1 ] заменяется на л и ней ну ю ф у нк ци ю f ai ( x) = ci + xdi , сов падающу ю со значени ями поди нтег рал ьной ф у нк ци и f(x) на г рани цах и нтерв ал а (т.е. при x = x i и x = xi +1 ). Ф орму л а и меет в и д  N −1 f (a ) + f (b)  I ≈ h  ∑ f ( xi ) + , R = ( Nh3 / 12) f (3)' (ξ ) .  2   i =1 3. Ф орму л а Эй л ера-М ак л орена (моди ф и ци ров анная ф орму л а трапеци й ).

[

]

 N −1 f ( a) + f (b)  h 2 ' I ≈ h  ∑ f ( xi ) + − f (b) − f ' (a) , R = (11Nh5 / 720) f ( 4)' (ξ ) .  2  i =1  12 4. Ф орму л а С и мпсона (ф орму л а парабол ). Ф у нк ци я f(x) на к аж дом и нтерв ал е [ xi −1 ; xi +1 ] заменяется на парабол у f ai (x) = ci + xd i + x 2 g i , сов падающу ю со значени ями ф у нк ци и f(x) при x = x i −1 , x = xi и x = x i +1 . Т ог да N / 2 −1  h  N /2 I ≈ 4 ∑ f ( x2i −1 ) + 2 ∑ f ( x2i ) + f (a ) + f (b)  , 3  i =1 i =1  R = ( Nh 6 / 180) f ( 4)' (ξ ) . Здесь сл еду ет в ы би рать четное значени е N > 2.

5. Ф орму л ы Н ьютона-К отеса замк ну тог о ти па. В к ачеств е аппрок си ми ру ющей ф у нк ци и здесь и спол ьзу ются пол и номы Лаг ранж а порядк а n. При n = 3 N / 3−1  3h  N / 3 [ ] I≈ f x f x f ( x3i ) + f ( a) + f (b)  , 3 ( ) ( ) 2 + + ∑ ∑ 3i − 2 3i −1  8  i =1 i =1  R = ( Nh 6 / 80) f ( 4)' (ξ ) . Сл еду ет в ы би рать значени е N > 3 и к ратное 3. При n = 4 (ф орму л а Боде) I≈

2h  N / 4 ∑ {32 [ f ( x4i −3 ) + f ( x4i −1)] + 12 f ( x4i − 2 )} + 45  i =1 N / 4 −1

 f ( x4i ) + 7 [ f ( a ) + f (b)]  , i =1  R = (2 Nh8 / 945) f (6)' (ξ ) . Здесь в ы би рают N > 4 и к ратно 4. При n = 5 + 14

∑

5h  N / 5 ∑ {75 [ f ( x5i − 4 ) + f ( x5i −1)] + 50 [ f ( x5i −3 ) + f ( x5i − 2 )] } + 288  i =1 N / 5 −1  + 38 ∑ f ( x5i ) + 19 [ f (a ) + f (b)]  , i =1  8 ( 6)' R = (55 Nh / 12096) f (ξ ) . Здесь N > 5 и к ратно 5. При n = 6 I≈

I≈

h N / 6 ∑ {216 [ f ( x6i −5 ) + f ( x6i −1)] + 27 [ f ( x6i −4 ) + f ( x6i −2 )] + } 140  i =1 N / 6−1



i =1



+ 272f (x6i −3)}+ 82

∑ f (x6i ) + 41[ f (a) + f (b)] ,

R = (3 Nh10 / 2800) f (8)' (ξ ) . Здесь N > 6 и к ратно 6. При n = 7 I≈

7h  N / 7 ∑ {3577 [ f ( x7i −6 ) + f ( x7i −1)] + 1323 [ f ( x7i −5 ) + f ( x7i −2 )] + 17280  i =1 N / 7 −1

 f 7i + 751 [ f (a ) + f (b)] , i =1  10 (8)' R = (1169 Nh / 518400) f (ξ ) . Здесь N > 7 и к ратно 7. При n = 8 + 2989 [ f ( x7i − 4 ) + f ( x7i −3 ) ] } +1502

I≈

∑

4h  N / 8 ∑ {5888 [ f ( x8i −7 ) + f ( x8i −1)] − 928 [ f ( x8i −6 ) + f ( x8i −2 )] + 14175  i =1 + 10496 [ f ( x8i −5 ) + f ( x8i −3 )] − .

− 4540 f8i − 4 } +1978

N / 8 −1

∑

i =1

 f8i + 989 [ f ( a ) + f (b)] , 

12

296 Nh f (10)' (ξ ) . Здесь N > 8 и к ратно 8. 467775 При n > 8 к оэф ф и ци енты в ф орму л ах Н ьютона-К отеса и меют г ромоздк и й в и д. При n ≥ 10 метод станов и тся чи сл енно неу стой чи в ы ми зза представ л ени я к оэф ф и ци ентов Ai в в и де дробей сбол ьши мчи сл ом значащи х ци ф р и сразны ми знак ами . О тмети м, что ф орму л ы Н ьютона-К отеса при ф и к си ров анномзначени и n яв л яются точны ми ф орму л ами и нтег ри ров ани я дл я ф у нк ци и y = f(x) в в и де пол и нома степени n-1. 6. Ф орму л ы У эддл я. Испол ьзу ют бол ее просты е значени я к оэф ф и ци ентов Ai , чемф орму л а Н ьютона-К отеса соотв етств у ющег о порядк а, однак о обл адают меньшей точностью. При n= 6 пол у чаем R=

I≈

N /6 3h  N / 6 [ ] + + 5 f ( x ) f ( x ) ∑ ∑ [ f ( x6i − 4 ) + f ( x6i − 2 )] + . 6i − 5 6i −1 10  i =1 i =1 N /6

N / 6 −1

i =1

i =1

+ 6 ∑ f ( x6i −3 ) + 2

∑

 f ( x6i ) + [ f (a) + f (b)] , 

R = (47 Nh / 75600) f (ξ ) . Здесь N > 6 и к ратно 6. 7. Ф орму л ы Н ьютона-К отеса отк ры тог о ти па. Здесь, в отл и чи е от ф орму л Н ьютона-К отеса замк ну тог о ти па, не и спол ьзу ются значени я поди нтег рал ьной ф у нк ци и на г рани цах и нтерв ал ов [ x i ; x i +1 ] . В резу л ьтате ф орму л ы и нтег ри ров ани я пол у чаются неск ол ьк о проще, однак о они обл адают бол ее ни зк ой точностью. При n = 3 8

( 4 )'

3h N / 3 ∑ [ f ( x3i −2 ) + f ( x3i −1)] , 2 i =1 Здесь N > 3 и к ратно 3. При n = 4 I≈

R = ( Nh 4 / 12) f ( 2)' (ξ ) .

 4h  N / 4 { [ ] } I≈ 2 f ( x ) + f ( x ) − f ( x ) ∑ 4 i − 3 4 i − 1 4 i − 2 , 3  i =1  6 ( 4 )' R = (14 Nh / 180) f (ξ ) . Здесь N > 4 и к ратно 4. При n = 5 5h I≈ 24 R = (19 Nh / 144) f При n = 6 6

N /5

∑ { 11 [ f ( x5i −4 ) +

i =1 ( 4 )'

f ( x5i −1 )] + [ f ( x5i −3 ) + f ( x5i − 2 )] } ,

(ξ ) . Здесь N > 5 и к ратно 5.

I≈

6h N / 6 ∑ {11 [ f ( x6i −5 ) + f ( x6i −1)] − 14 [ f ( x6i − 4 ) + f ( x6i − 2 )] + 26 f ( x6i −3 ) } 20 i =1

R = (41Nh8 / 840) f ( 6)' (ξ ) . Здесь N > 6 и к ратно 6. 8. Ф орму л а Гау сса. Т очность и нтег ри ров ани я по к в адрату рной ф орму л е (1) мож но пов ы си ть, есл и в ы би рать нерав ноотстоящи е значени я у зл ов xi . Н аи бол ьш ее распространени е пол у чи л а ф орму л а Гау сса, г де значени я xi в ы би раются в соотв етств и и сраспол ож ени емну л ей пол и номов Леж андра порядк а n. При меняя ф орму л у Гау сса на к аж доми з поди нтерв ал ов [ xi −1 ; xi +1 ] , пол у чаемф орму л у и нтег ри ров ани я N −1 h n x + x i hi + tj, I ≈ ∑ i ∑ A j f (u ij ) , hi = x i +1 − x i , u ij = i +1 2 2 2 i =0 j =1 г де n - порядок и спол ьзу емог о пол и нома Леж андра, t i -нерав ноотстоящи е значени я у зл ов на стандартном и нтерв ал е [−1;1] , сов падающи е с пол ож ени ем ну л ей соотв етств у ющег о пол и нома Леж андра. Есл и в ы би рать xi = a + ih , то hi = h . Значени я у зл ов t i и к оэф ф и ци ентов Ai дл я разл и чны х n рав ны : при n = 1 : t1 = 1, A1 = 2 ; при n = 2 : t2 = −t1 = 0.577350269 , A1 = A2 = 1 ; при n = 3 : t 3 = −t1 = 0.774596669 , t 2 = 0 , A1 = A3 = 0.555555555 , A2 = 0.888888 ; при n = 4 : t4 = −t1 = 0.861136311, t3 = −t2 = 0. 339981043 , A1 = A4 = 0.347854845 , A2 = A3 = 0.652145155 ; при n = 5 : t5 = −t1 = 0.906179846 , t4 = −t2 = 0.538468310 , t 3 = 0 , A1 = A5 = 0. 236926885 , A2 = A4 = 0.478628670 ; A3 = 0. 568888888 . Ф орму л а Гау сса при заданномn яв л яется точной , есл и ф у нк ци я y =f(x) пол и номстепени 2n-1.

ЗАД АН ИЯ . Испол ьзу я одну и з ф орму л чи сл енног о и нтег ри ров ани я, в ы чи сл и ть и нтег рал сотноси тел ьной пог решностью ε = 10 −3 . 5

1.

1

3 4 −1 ∫ x ( x + 16) dx .

2.

1

0

2 x − 1 dx .

0

1

3. 10 ∫ exp(− x) dx .

∫

4.

1 2π

1.95

∫

−1.95

 x2  exp −  dx .  2

3. РЕ Ш Е Н И Е Н Е Л И Н Е Й Н ЫХ У РА В Н Е Н И Й

Задача реш ени я у рав нени я f(x) = 0 зак л ючается в нахож дени и к орней у рав нени я, т.е. значени й арг у мента x ф у нк ци и f(x), у дов л етв оряющи х этому у рав нени ю. Н ахож дени е к орней у рав нени я в общемсл у чае пров оди тся в 2 этапа. 1 этап. Вы дел ени е и нтерв ал а л ок ал и заци и [a;b], на к оторомнаходи тся еди нств енное реш ени е (к орень) у рав нени я f(x) = 0. Есл и и меется неск ол ьк о к орней у рав нени я, то дл я к аж дог о и з ни х дол ж ен бы ть у к азан св ой и нтерв ал л ок ал и заци и , при чеми нтерв ал ы дл я разл и чны х к орней не дол ж ны перек ры в аться. Этот этап обы чно осу ществ л яется на основ е аналит ичес к ого и л и граф ичес к ого анал и за ф у нк ци и . Счи тается, что есл и ф у нк ци я f(x) знак опеременна на к онцах нек оторог о и нтерв ал а [a;b], то в ну три нег о су ществ у ет хотя бы оди н к орень у рав нени я f(x) = 0. Е сл и при этом су ществ у ет прои зв одная f ' ( x) на у к азанноми нтерв ал е, и она не меняет знак а в предел ах в сег о и нтерв ал а, то к орень яв л яется еди нств енны м. Е сл и и нтерв ал [a;b], на к оторомнаходи тся и ск омое решени е (к орень) у рав нени я, заранее и зв естен, то переходят сразу к в ы пол нени ю сл еду ющег о этапа. 2 этап. Н ахож дени е к орня у рав нени я f(x) = 0 на в ы дел енноми нтерв ал е [a;b] чис ленны м им ет одам и. Вы бор метода осу ществ л яется в зав и си мости от в и да ф у нк ци и f(x). Е сл и ф у нк ци я f(x) на и нтерв ал е [a;b] непреры в на, но неди ф ф еренци ру ема, то сл еду ет и спол ьзов ать методы пол ов и нног о дел ени я, зол отог о сечени я, сл у чай ны х проб (М онте-К арл о). Е сл и ф у нк ци я f(x) непреры в но ди ф ф еренци ру ема на и нтерв ал е [a;b], то так ж е мож но и спол ьзов ать бол ее бы стры е и тераци онны е методы : метод просты х и тераци й , метод хорд, метод сек у щи х, метод Н ьютона, метод Эй тк ена Стеф ф енсона и др. О днак о сходи мость эти х методов обеспечи в ается при в ы пол нени и допол ни тел ьны х требов ани й к в и ду ф у нк ци и f(x) и в ы бору начал ьног о при бл и ж ени я. М етоды Н ьютона и Эй тк ена-Стеф ф енсона обл адают пов ы ш енной сходи мостью по срав нени ю сметодомпросты х и тераци й . Рассмотри мчи сл енны е методы нахож дени я еди нств енног о к орня у рав нени я f(x) = 0 на в ы дел енноми нтерв ал е [a;b]. 1. М етод пол ов и нног о дел ени я (би сек ци и ). Интерв ал л ок ал и заци и [a;b] к орня у рав нени я дел ят попол ам точк ой x* = (a + b) / 2 . Затем определ яют, на к ак ом и з поди нтерв ал ов [a; x* ] , [ x*; b] находи тся к орень у рав нени я, и заменяют и нтерв ал [a;b] на этот поди нтерв ал . Д л я нахож дени я ну ж ног о поди нтерв ал а срав ни в ают знак и ф у нк ци и f(x) на г рани цах поди нтерв ал ов : - есл и f (a ) f ( x* ) < 0 , то к орень находи тся на отрезк е [a; x* ] и сл еду ет

пол ож и ть b = x * , - есл и f (b) f ( x* ) < 0 , то к орень находи тся на отрезк е [ x* ; b] и сл еду ет пол ож и ть a = x * .

Е сл и ж е f ( x* ) = 0 , то значени е x = x * яв л яется точны мк орнем у рав нени я, и в ы чи сл ени я прек ращаются. Н ов ы й и нтерв ал [a;b] снов а дел и тся попол амточк ой x* = (a + b) / 2 , находи тся поди нтерв ал л ок ал и заци и к орня и и нтерв ал [a;b] заменяется на этот поди нтерв ал . Т ак ая процеду ра у меньш ени я и нтерв ал а [a;b] л ок ал и заци и к орня пов торяется необходи мое чи сл о раз, пок а не бу дет най ден точны й к орень у рав нени я и л и дл и на b-a и нтерв ал а [a;b] не станет меньше заданной точности ε нахож дени я к орня. В посл еднем сл у чае в к ачеств е к орня у рав нени я при ни мают значени е x* = (a + b) / 2 . 2. М етод просты х и тераци й . У рав нени е f(x) = 0 представ л яется в в и де ϕ ( x ) = x . Н а отрезк е [a;b] в ы би рается ну л ев ое при бл и ж ени е x = x 0 к орня у рав нени я. Затем значени е к орня у точняется по и тераци онной ф орму л е x i = ϕ ( x i −1 ) , i = 1,2,... до тех пор, пок а не бу дет в ы пол няться у сл ов и е x i − x i −1 < ε , г де ε - заданная точность нахож дени я к орня. В к ачеств е к орня у рав нени я при ни мается посл еднее в ы чи сл енное значени е x = x i . Сходи мость метода обеспечи в ается при в ы пол нени и у сл ов и я ϕ ' ( x) < 1 на в семи нтерв ал е [a;b], в томчи сл е и при x = x 0 . 3. М етод хорд (л ож ног о пол ож ени я). М етод основ ан на замене ф у нк ци и y = f(x) на пряму ю (хорду ), проходящу ю через точк и ( a; f ( a )) , (b; f (b )) и сов падающу ю с ф у нк ци ей f(x) на г рани цах и нтерв ал а [a;b] л ок ал и заци и к орня у рав нени я. В к ачеств е ну л ев ог о при бл и ж ени я x 0 к орня при ни мается точк а пересечени я данной прямой с осью x. Д ал ее и нтерв ал [a;b] заменяется на оди н и з поди нтерв ал ов [a; x0 ] , [ x 0 ; b] , на к отором находи тся к орень у рав нени я, т.е. на к онцах к оторог о ф у нк ци я f(x) и меет разны е знак и . Н а нов оми нтерв ал е [a;b] ф у нк ци ю y = f(x) снов а заменяют прямой , находят сл еду ющее при бл и ж ени е x1 к орня к ак точк у пересечени я прямой с осью x и заменяют и нтерв ал [a;b] на оди н и з поди нтерв ал ов [a; x1 ] , [ x1 ; b] , на к оторомнаходи тся к орень у рав нени я. Т ак у ю процеду ру нахож дени я при бл и ж ени й xi к орня у рав нени я пов торяют до тех пор, пок а не бу дет в ы пол няться у сл ов и е x i − x i −1 < ε , г де ε - допу сти мая абсол ютная пог решность нахож дени я к орня. В к ачеств е к орня при ни мается посл еднее в ы чи сл енное значени е x = x i . В резу л ьтате метод хорд св оди тся к и тераци онны мф орму л ам: 1) есл и f (b) f ' ' (b) > 0 , то f ( xi ) x 0 = a , xi +1 = xi − (b − xi ) , пок а x i − x i −1 > ε .; f (b) − f ( xi ) 2) есл и f ( a ) f ' ' ( a ) > 0 , то

f ( xi ) ( xi − a ) , пок а x i − x i −1 > ε . f ( xi ) − f (a) 4. М етод Н ьютона (к асател ьны х). Идея метода Н ьютона анал ог и чна методу хорд. В отл и чи е от метода хорд, прямая яв л яется к асател ьной к ф у нк ци и в точк е анал и зи ру емог о при бл и ж ени я. М етод св оди тся к и тераци онной ф орму л е f ( xi ) x i +1 = x i − пок а x i − x i −1 > ε . f ' ( xi ) Н ачал ьное при бл и ж ени е x 0 в ы би рается и з у сл ов и й сходи мости , есл и f (b ) f ' ' (b ) > 0 , то x 0 = b ; есл и ж е f ( a ) f ' ' ( a ) > 0 , то x 0 = a . М етод работоспособен при f ' ( xi ) ≠ 0 . Е сл и анал и ти ческ ое нахож дени е прои зв одной f ' ( x ) затру дни тел ьно, то мож но и спол ьзов ать моди ф и ци ров анны е ф орму л ы Н ьютона: x 0 = b , xi +1 = xi −

f ( xi ) пок а x i − x i −1 > ε ; f ( xi + ∆x) − f ( xi ) f ( xi ) и л и xi +1 = xi − ∆x пок а x i − x i −1 > ε . f ( xi ) − f ( xi − ∆x) Здесь ∆x дол ж но бы ть мал ой в ел и чи ной . Эти ф орму л ы пол у чены заменой прои зв одной f ' ( x ) на ее при бл и ж енное в ы раж ени е через при ращени я ф у нк ци и и арг у мента. f ( xi ) xi +1 = xi − 2) пок а x i − x i −1 > ε , K г де K - к онстанта, бл и зк ая к среднему значени ю f ' ( x ) на и нтерв ал е [a;b]. 5. М етод сек у щи х (прав и л о л и ней ной и нтерпол яци и ). Вы в оди тся и з метода Н ьютона при замене прои зв одной f ' ( xi ) на ф у нк ци ю [ f ( xi ) − f ( xi −1 )] / ( xi − xi −1 ) . В резу л ьтате пол у чаеми тераци онну ю ф орму л у : x f ( x i ) − x i f ( x i −1 ) x i +1 = i −1 пок а x i − x i −1 > ε . f ( x i ) − f ( x i −1 ) При и спол ьзов ани и метода необходи мо задав ать дв а начал ьны х значени я x0 ∈ [a; b] и x1 ∈ [a; b] . М етод работоспособен, есл и f ( xi ) − f ( xi −1 ) ≠ 0 при x i ≠ x i −1 . 6. М етод Стеф ф енсена (Эй тк ена-Стеф ф енсена). Я в л яется моди ф и к аци ей метода и тераци й и обл адает по срав нени ю сни м у ск оренной сходи мостью. У рав нени е f ( x ) = 0 представ л яется в в и де ϕ ( x ) = x . Д л я заданног о начал ьног о при бл и ж ени я x = x 0 в ы чи сл яются 1)

xi +1 = xi − ∆x

промеж у точны е при бл и ж ени я x1* = ϕ ( x 0 ) и x1** = ϕ ( x1* ) к орня у рав нени я. Затемв ы чи сл яется перв ое при бл и ж ени е x1 =

x 0 x1** − x1*2 x1** − 2 x1* + x 0

к орня.

Испол ьзу я при бл и ж ени е x1 к ак начал ьное, анал ог и чно находят сл еду ющее при бл и ж ени е x 2 к орня у рав нени я и так дал ее, пок а не бу дет в ы пол няться у сл ов и е x i − x i −1 < ε , г де ε - заданная точность нахож дени я к орня. В резу л ьтате метод С теф ф енсена св оди тся к и тераци онной ф орму л е xiϕ[ϕ ( xi )] − ϕ 2 ( xi ) xi +1 = пок а x i − x i −1 > ε . ϕ[ϕ ( xi )] − 2ϕ ( xi ) + xi У сл ов и я сходи мости метода те ж е, что и дл я метода и тераци й . ЗАД АН ИЯ . Реши те у рав нени е одни ми з методов сзаданной точностью ε . В ск обк ах ( ) у к азан и нтерв ал л ок ал и заци и к орня. 1. М етодомпол ов и нног о дел ени я : a) x 4 − x − 1 = 0 , ( [1;2] ); б) x3 − 6 x + 2 = 0 , ( [1;2] ); 2. М етодоми тераци й и л и Эй тк ена-Стеф ф енсена : a) exp( − x / 10) − x = 0 ; б) x3 + x = 1000 . 3. М етодомН ьютона и л и сек у щи х : а) x − sin x − 0,25 = 0 , ([0,5;3]); б) x 4 − 3 x 2 − 75 x − 10000 = 0 , ( [0,1;30] ). 4. М етодомхорд : x3 − 0,2 x 2 − 0,2 x − 1,2 = 0 , ( [1;1,5] ). 4. Д И Ф Ф Е РЕ Н Ц И РО В А Н И Е Ф У Н К Ц И Й Задача чи сл енног о ди ф ф еренци ров ани я ф у нк ци и f(x) зак л ючается в нахож дени и ее n-й прои зв одной f '( m ) ( x) = d m f ( x) / dx m . При этомф у нк ци я f(x) мож ет бы ть опи сана анал и ти ческ и и л и задана в в и де табл и цы значени й ф у нк ци и при ф и к си ров анны х значени ях арг у мента. Ч и сл енны е методы ди ф ф еренци ров ани я ф у нк ци й св одятся к замене и ссл еду емой ф у нк ци и f (x) на заданноми нтерв ал е [a;b] на и нтерпол яци онны й пол и ном f n ( x ) = c0 + c1x + c2 x 2 + ... + cn x n степени n, сов падающи й со значени ями ф у нк ци и f(x) в заданны х точк ах x = x i (у зл ах). При этомпредпол аг ается, что в ы пол няется рав енств о f '( m ) ( x ) = f n'( m ) ( x) и прои зв одну ю ф у нк ци и f(x) мож но замени ть на л ег к о в ы чи сл яему ю прои зв одну ю и нтерпол яци онног о пол и нома f n (x ) . Е сл и ф у нк ци я f(x) задана анал и ти ческ ой ф орму л ой , то дл я пол у чени я ее прои зв одны х чи сл енны ми методами у добно и спол ьзов ать ф орму л ы , пол у ченны е на основ е и нтерпол яци и Лаг ранж а дл я рав ноотстоящи х значени й арг у мента x i сшаг омh. Т очность и нтерпол яци и в озрастает с у меньшени емш аг а h. 1. К в адрати чная и нтерпол яци я (n = 2) f ' ( x) = [ f ( x + h) − f ( x − h)] / 2h , f ' ' ( x ) = [ f ( x + 2h ) − f ( x − 2h)] / 4h 2 ,

f ' ' ' ( x) = [ f ( x + 3h) − f ( x + h) − f ( x + h) + f ( x − 3h)] / 8h3 .

Д л я в ы чи сл ени я прои зв одны х бол ее в ы сок и х порядк ов сл еду ет посл едов ател ьно при менять эти ф орму л ы необходи мое чи сл о раз. 2. В сл у чае n = 4 f ' ( x ) = [ f ( x − 2 h ) − 8 f ( x − h ) + 8 f ( x + h ) − f ( x + 2 h )] / 12 h , f ' ' ( x) = [ f ( x − 4h) −16 f ( x − 3h) + 64 f ( x − 2h) + 16 f ( x − h) − 130f (x) + +16 f ( x + h) + 64 f ( x + 2h) −16 f ( x + 3h) + f ( x + 4h) ] /144h2,

f ' ' ' ( x) = [ f ( x − 6h) − 24 f ( x − 5h) + 192 f ( x − 4h) − 488 f ( x − 3h) − − 387 f ( x − 2h) + 1584 f ( x − h) − 1584 f ( x + h) + 387 f ( x + 2h) + + 488 f ( x + 3h) − 192 f ( x + 4h) + 24 f ( x + 5h) − f ( x + 6h) ] / 1728h3. Д л я у в ел и чени я точности в ы чи сл ени я прои зв одны х по эти мф орму л ам сл еду ет брать мал ы е значени я ш аг а h. Е сл и ф у нк ци я f(x) задана в в и де табл и цы значени й в рав ноотстоящи х точк ах x = x i , i = 1,2,.., n сшаг омh, то дл я в ы чи сл ени я прои зв одной ф у нк ци и f(x) мож но в оспол ьзов аться ф орму л ами : 1. К в адрати чная и нтерпол яци я (n = 2). Вы чи сл ени я пров одятся по трем значени ямф у нк ци и f (x) в точк ах x1 = x0 − h , x 2 = x 0 , x3 = x0 + h . ]

f ' ( x) = [ ( p − 1 / 2) f ( x0 − h) − 2 p f ( x0 ) + ( p + 1 / 2) f ( x0 + h)] / h ,

Здесь и дал ее p = ( x − x0 ) / h . 2. К у би ческ ая и нтерпол яци я (n = 3). Вы чи сл ени я пров одятся по значени ямф у нк ци и f(x) в точк ах x1 = x0 − h , x 2 = x 0 , x3 = x0 + h , x4 = x0 + 2h . f ' ( x) = [ − (3 p 2 − 6 p + 2) f ( x0 − h) / 6 + (3 p 2 − 4 p − 1) f ( x0 ) / 2 − − (3 p 2 − 2 p − 2) f ( x0 + h) / 2 + (3 p 2 − 1) f ( x0 + 2h) / 6] / h, 3. n = 4. Вы чи сл ени я пров одятся по значени ямф у нк ци и f(x) в точк ах x1 = x0 − 2h , x2 = x0 − h , x 3 = x 0 , x4 = x0 + h и x4 = x0 + 2h . f ( x 0 − 2h ) f ( x 0 − h) − (4 p 3 − 3 p 2 − 8 p + 4) + 12 6 + (2 p 3 − 5 p) f ( x0 ) / 2 − (4 p 3 + 3 p 2 − 8 p − 4) f ( x0 + h) / 6 +

f ' ( x) = [ (2 p 3 − 3 p 2 − p + 1)

+ (2 p 3 + 3 p 2 − p − 1) f ( x0 + 2h) / 12 ] / h . Ф орму л ы чи сл енног о ди ф ф еренци ров ани я в сл у чае не рав ноотстоящи х точек рассмотрены в [2-7] и др. Пог решность у к азанны х ф орму л и меет порядок h n +1 . ЗАД АН ИЯ . Вы чи сл и ть прои зв одны е ф у нк ци й

1. f ( x ) = x m ; 2. f ( x) = exp(ax) ; 3. f ( x) = sin(bx) . Срав ни ть пол у ченны е резу л ьтаты сзначени ями анал и ти ческ и в ы чи сл енны х прои зв одны х. 5. РЕ Ш Е Н И Е Д И Ф Ф Е РЕ Н Ц И А Л Ь Н ЫХ У РА В Н Е Н И Й Задача реш ени я обы к нов енног о ди ф ф еренци ал ьног о у рав нени я dy ( x ) y' = = f ( x, y ) зак л ючается в нахож дени и ф у нк ци и y (x) , dx у дов л етв оряющей этому у рав нени ю при заданном начал ьному сл ов и и значени и y 0 = y ( x 0 ) и ск омой ф у нк ци и в точк е x = x 0 . Ч и сл енны е методы реш ени я у рав нени я y ' = f ( x, y ) позв ол яют най ти значени я yi = y ( xi ) и ск омой ф у нк ци и в заданны х точк ах x = x i обл асти определ ени я x. М етоды чи сл енног о реш ени я ди ф ф еренци ал ьны х у рав нени й мож но у сл ов но раздел и ть на односту пенчаты е (однош аг ов ы е) и мног осту пенчаты е (мног ошаг ов ы е). О дносту пенчаты е методы позв ол яют по и зв естному значени ю yi = y ( xi ) ф у нк ци и y(x) в точк е x = x i най ти при бл и ж енное значени е y i +1 = y ( x i +1 ) ф у нк ци и в точк е x = x i +1 = x i + h , г де h – шаг в ы чи сл ени я ф у нк ци и . Т ак и м образом, и спол ьзу я начал ьное значени е y 0 = y ( x 0 ) ф у нк ци и в точк е x = x 0 , находят значени е y1 = y( x1 ) ф у нк ци и в точк е x1 = x 0 + h . Затем, и спол ьзу я пол у ченное значени е y1 = y ( x1 ) ф у нк ци и при x = x1 в к ачеств е начал ьног о, находят значени е y 2 = y ( x 2 ) ф у нк ци и при x 2 = x1 + h и так дал ее. При меняя однош аг ов ы й метод необходи мое чи сл о раз, посл едов ател ьно находят значени я y i ф у нк ци и y (x) в о в сех требу емы х точк ах x = x i обл асти определ ени я. К однош аг ов ы м методам относятся методы Ру нг е-К у тта разл и чног о порядк а. При мног ошаг ов ы х методах к аж дое при бл и ж енное значени е y i +1 ф у нк ци и y(x) в точк е x = xi +1 определ яется на основ е значени й y i , y i −1 ,… , y i − r ф у нк ци и y(x) в точк ах x i = x i +1 − h , x i −1 = x i − h ,.., x i − r = x i − r +1 − h , г де чи сл о n = r + 1 >1, и спол ьзу емы х при в ы чи сл ени ях значени й ф у нк ци и y(x), зав и си т от порядк а при меняемог о метода. Е сл и задано тол ьк о одно начал ьное значени е y 0 и ск омой ф у нк ци и y(x) в точк е x = x 0 , то недостающи е дл я при менени я мног ош аг ов ог о метода начал ьны е значени я y1 ,… , y r находят с помощью одног о и з одношаг ов ы х методов . Затем, при меняя мног ош аг ов ы й метод, необходи мое чи сл о раз, посл едов ател ьно находят значени я y i ф у нк ци и y (x) в о в сех требу емы х точк ах x = x i обл асти определ ени я. К мног ошаг ов ы м методам относятся метод Адамса, нек оторы е методы ти па прог ноза и к оррек ци и (и л и преди к тор - к оррек тор) и др.

Ч и сл енны е методы реш ени я ди ф ф еренци ал ьны х у рав нени й яв л яются при бл и ж енны ми , и х точность в озрастает су меньш ени ем шаг а h = x i +1 − x i в ы чи сл ени я и ск омой ф у нк ци и y(x). Н а прак ти к е пров одят неск ол ьк о в ы чи сл ени й реш ени я ди ф ф еренци ал ьног о у рав нени я с разл и чны ми значени ями h. Т очность в ы чи сл ени й счи тают достаточной , есл и посл еду ющее у меньшени е ш аг а h (напри мер, в 2 раза) при в оди т к мал ому относи тел ьному и зменени ю и ск омы х значени й ф у нк ци и y(x) в заданны х точк ах x = x i (меньш е заданной относи тел ьной пог решности ε ). При в едем наи бол ее распространенны е ф орму л ы дл я реш ени я обы к нов енны х ди ф ф еренци ал ьны х у рав нени й 1-г о порядк а с у к азани ем оценк и R абсол ютной пог реш ности эти х ф орму л . 1. Ф орму л ы Эй л ера и Ру нг е-К у тта. Я в л яются одношаг ов ы ми и требу ют одно начал ьное значени е y 0 = y ( x 0 ) и ск омой ф у нк ци и y(x). Д опу ск ают в озмож ность в ы чи сл ени я спеременны мш аг ом h = x i +1 − x i , i = 1,2,.., N Ф орму л а Эй л ера (Ру нг е-К у тта 1-г о порядк а). y i +1 = y i + h f ( x i , y i ) , R = O (h 2 ) .

М оди ф и ци ров анная ф орму л а Эй л ера (Ру нг е-К у тта 2-г о порядк а) yi +1 = yi + h f ( xi + h / 2, yi + K / 2) , K = h f ( xi , yi ) , R = O(h3 ) . У сов ерш енств ов анная ф орму л а Эй л ера-К оши (однош аг ов ы й метод прог ноз-к оррек ци я) yi +1 = yi + [K + h f ( xi + h, yi + K )]/ 2 , K = h f ( xi , yi ) , R = O ( h3 ) . Ф орму л а Ру нг е-К у тта 3-г о порядк а yi +1 = yi + ( K1 + 4 K 2 + K3 ) / 6 , K1 = h f ( xi , yi ) , K 2 = h f ( xi + h / 2, yi + K1 / 2) , K3 = h f ( xi + h, yi − K1 + 2 K 2 ) , R = O (h 4 ) . Ф орму л а Ру нг е-К у тта 4-г о порядк а yi +1 = yi + ( K1 + 2 K 2 + 2 K3 + K 4 ) / 6 , K1 = h f ( xi , yi ) , K 2 = h f ( xi + h / 2, yi + K1 / 2) , K3 = h f ( xi + h / 2, yi + K 2 / 2) , K 4 = h f ( xi + h, yi + K3 ) ,

R = O ( h5 ) .

2. Эк страпол яци онны е ф орму л ы Адамса n-г о порядк а. Я в л яются мног ошаг ов ы ми . Здесь значени е y i +1 ф у нк ци и y (x) в точк е x = xi +1 в ы чи сл яется на основ е n предшеств у ющи х значени й y i , y i −1 ,.. , y i −n +1 ф у нк ци и y(x) в точк ах x i = xi +1 − h , x i −1 = xi − h ,.., xi − n +1 = xi − n + 2 − h с помощью пол и номов Лаг ранж а. Д остои нств о метода - дл я пол у чени я очередног о значени я ф у нк ци и y(x) требу ется л и ш ь одно в ы чи сл ени е ф у нк ци и f(x,y), что заметно у ск оряет расчеты . Ф орму л а Адамса 2-г о порядк а.

y i +1 = y i + (h / 2) [ 3 f ( x i , y i ) − f ( x i −1 , y i −1 )] ,

R = O ( h3 ) .

Ф орму л а Адамса 3-г о порядк а. yi +1 = yi + (h / 12) [ 23 f ( xi , yi ) − 16 f ( xi −1 , yi −1 ) + 5 f ( xi − 2 , yi − 2 )] + O (h3 ) ,

R = O ( h3 ) .

Ф орму л а Адамса 4-г о порядк а. yi +1 = yi + ( h / 24) [55 f ( xi , yi ) − 59 f ( xi −1, yi −1 ) +

+ 37 f ( x i − 2 , y i − 2 ) − 9 f ( x i −3 , y i −3 )], R = O (h5 ) .

3. М ног ошаг ов ы е ф орму л ы ти па прог ноз-к оррек ци я. Здесь в ы чи сл ени е значени я y i +1 ф у нк ци и y(x) в точк е x = xi +1 пров оди тся в дв а этапа. Сначал а на основ е n предш еств у ющи х значени й y i , y i −1 ,.., y i −n +1 ф у нк ци и y(x) в точк ах x i = xi +1 − h ,.., xi − n +1 = xi − n + 2 − h в ы чи сл яется прог ноз

y i(+01) = y ( xi +1 ) ф у нк ци и y(x) в точк е x = xi +1 . Затемпрог нози ру емое значени е y i(+01) к оррек ти ру ется (у точняется) p ≥ 1 раз, т.е. в ы чи сл яются у точненны е значени я y i(+j1) = y ( x i +1 ) , j = 1,2,.., p ф у нк ци и y(x) в точк е x = xi +1 . Прог ноз в торог о порядк а и к оррек ци я по ф орму л е трапеци й . К оррек ци я прои зв оди тся 1 раз. yi(+01) = yi −1 + 2h f ( xi , yi ) , R = O(h3 ) . Прог ноз -

[

]

К оррек ци я - yi(+1)1 = yi + (h / 2) f ( xi , yi ) + f ( xi +1, yi(+01) ) . Прог ноз мож но осу ществ л ять и по дру г и мф орму л ам, напри мер по ф орму л е Эй л ера. Прог ноз в торог о порядк а и к оррек ци я по ф орму л е и тераци й . К оррек ци я прои зв оди тся p ≥ 1 раз.

y i(+01) = y i −1 + 2h f ( x i , y i ) , R = O(h3 ) .

Прог ноз -

[

]

К оррек ци я yi(+j1) = yi + (h / 2) f ( xi , yi ) + f ( xi +1, yi(+j1−1) ) , j = 1,2,.., p . Прог ноз мож но осу ществ л ять и по дру г и мф орму л ам, напри мер по ф орму л е Эй л ера. Ф орму л а М и л на. Прог ноз

y i(+01) = y i −3 + (4h / 3) [2 f ( x i , y i ) − f ( x i −1 , y i −1 ) + 2 f ( x i − 2 , y i − 2 )]. К оррек ци я y i(+1)1 = y i −1 + (h / 3) 4 f ( x i , y i ) + f ( x i −1 , y i −1 ) + f ( x i +1 , y i(+01) ) , R = O(h5 ) .

[

]

ЗАД АН ИЯ . Испол ьзу я одну и з ф орму л чи сл енног о ди ф ф еренци ров ани я, най ти решени е ди ф ф еренци ал ьног о у рав нени я

y ' = f ( x, y ) сзаданны мначал ьны му сл ов и емна заданноми нтерв ал е значени й x:

1. y ' = − x / y , y (0) = 1 , x ∈ [0 ; 0,9] . 2. y ' = 1 + cos( x ) , y (0) = 1 , x ∈ [0 ; 7] ; 3. y ' + y 2 = 0 , y (0,5) = 2 , x ∈ [0,5 ;10] . 4. y ' + 2 y = 0 , y (0) = 10 , x ∈ [0 ; 3] ;

6. РЕ Ш Е Н И Е СИ СТ Е М Л И Н Е Й Н ЫХ У РА В Н Е Н И Й Рассмотри мрешени е си стемы л и ней ны х у рав нени й  a11 x1 + a12 x 2 + ... + a1n x n = b1 a x + a x + ... + a x = b  21 1 22 2 2n n 2 , и л и AX=B,  .......  a n1 x1 + a n 2 x 2 + ... + a nn x n = bn b1 x1 b x ... a2n a a , B= 2 , X= 2 . г де A = 21 22 ... ... ... ... ... ... bn xn an1 an 2 ann М етоды решени я си стем л и ней ны х у рав нени й мог у т бы ть раздел ены на дв е г ру ппы : 1) точны е (прямы е); 2) при бл и ж енны е (и тераци онны е). К прямы мотносятся методы , позв ол яющи е за к онечное чи сл о операци й сточны ми чи сл ами пол у чи ть точное реш ени е си стемы у рав нени й . К точны мотносятся метод Гау сса, метод К рамера, метод г л ав ны х эл ементов , метод к в адратны х к орней . Вы чи сл и тел ьная пог решность эти х методов св язана ск онечны мчи сл омразрядов ЭВМ при представ л ени и в еществ енны х чи сел , оши бк ами ок ру г л ени я и т.п. К и тераци онны мотносятся методы , позв ол яющи е пол у чи ть к орни си стемы у рав нени й сзаданной точностью в резу л ьтате реал и заци и сходящи хся беск онечны х процессов . К так и мметодамотносятся метод простой и тераци и , метод Зей дел я, метод рел ак саци и . Пог решность при при менени и и тераци онны х методов ск л ады в ается и з пог реш ности и спол ьзу емог о метода и в ы чи сл и тел ьной пог реш ности . Эф ф ек ти в ность методов определ яется ск оростью сходи мости и тераци онног о процесса и в ы боромначал ьног о при бл и ж ени я. Эти методы мог у т бы ть при менены и при реш ени и си стемнел и ней ны х у рав нени й . Рассмотри мчасто при меняемы е методы решени я си стемл и ней ны х у рав нени й . a11

a12

... a1n

1. М етод Гау сса (метод и ск л ючени я). При менени е метода раздел яется на дв а этапа: прямой ход и обратны й ход. Прямой ход. М атри ца A л и ней ной си стемы AX=B при в оди тся к треу г ол ьному в и ду A=A’ (прои зв оди тся три анг у л яци я). Т реу г ол ьная матри ца A’ – матри ца, в се эл ементы к оторой под г л ав ной ди аг онал ью ' ' ' ... a1' n a11 a12 a13 ' ' 0 a22 ... a2' n a23 ' рав ны ну л ю, т.е. A' = 0 0 a33 ... a3' n ... ... ... ... ... ' 0 0 0 ... ann Д л я в ы пол нени я три анг у л яци и мож но перестав л ять местами строк и матри цы , а так ж е заменять строк и на л и ней ну ю к омби наци ю строк так , чтобы определ и тел ь матри цы не и зменял ся. При этомсл еду ет так и мж е способомпреобразов ы в ать и матри цу B. В резу л ьтате, матри цы A и B

переходи т в матри цы A' и B' = b1' b2' ... bn'

T

соотв етств енно, а си стема

AX=B переходи т в эк в и в ал ентну ю си стему A'X=B', и меющу ю так ое ж е реш ени е. Процеду ра три анг у л яци и св оди тся к сл еду ющему . 1. Вы би рается перв ая строк а матри цы A ( i =1). 2. Есл и a ii = 0 , то среди сл еду ющи х строк сномерами k = i+1,… ,n находи мстрок у сэл ементом a ki ≠ 0 и перестав л яемi-ю и k-ю строк и матри цы . Т еперь a ii ≠ 0 и переходи мк дал ьней ш и мв ы чи сл ени ям. Е сл и в се aki = 0 , то решаемая си стема у рав нени й яв л яется в ы рож денной и не и меет решени я. Е сл и a ii ≠ 0 , то при сту паемк и ск л ючени ю эл ементов a mi , m = i + 1, i + 2, ..., n . Д л я этог о в се эл ементы aij и bi i-й строк и матри ц A и B норми ру емна a ii и переобозначаем

a ij = a ij / a ii , bi = bi / a ii , j = 1,2,..,n. Затеми з к аж дой k-й строк и ( k = i + 1, ..., n ) в ы чи таемi-ю строк у св есом a ki и переобозначаем

a kj = a kj − a ki a ij , bk = bk − a ki bi , j = 1,2,..,n, k = i+1,… ,n. В резу л ьтате, в i-мстол бце: aii = 1 , aki = 0 . 3. Переходи м к сл еду ющей строк е (у станав л и в аем i = i + 1 ). Е сл и i ≤ n − 1, то переходи м к в ы пол нени ю пу нк та 2). Е сл и i = n и ann ≠ 0 , то три анг у л яци я матри цы A и соотв етств у ющее преобразов ани е матри цы B зак ончены . В резу л ьтате, матри цы A и B переходи т в матри цы A’ и B’ соотв етств енно. М ож но переходи ть к э тапу 2 реш ени я си стемы . Есл и ж е i = n и a nn = 0 , то си стема не и меет реш ени я.

О братны й ход. Реш ается треу г ол ьная си стема у рав нени й A'X=B’. Решая посл еднее n-е у рав нени е си стемы , пол у чаем x n = b n' (так к ак ' a nn = 1 ).

Подстав л яя

это

реш ени е

в

n-1-е

у рав нени е,

находи м

x n −1 = − и так дал ее в пл оть до 1-г о у рав нени я. В резу л ьтате и ск омое реш ени е си стемы у рав нени й запи ш ется в в и де bn' −1

x n a (' n −1) n

x n = bn' , xi = bi' −

n

∑

j =i +1

x j aij' , i = n − 1, n − 2,...,1 .

2. М етод К рамера. Е сл и det A ≠ 0 (определ и тел ь матри цы A отл и чен от ну л я), то си стема у рав нени й AX=B и меет еди нств енное решени е xk = det Dk / det A , k = 1,2,.., n , г де Dk – матри ца, пол у чаемая и з матри цы A заменой k-г о стол бца матри цы на стол бец B. Е сл и det A = 0, то си стема не и меет решени я. О предел и тел и матри ц, и спол ьзу емы е в методе К рамера, находят разл и чны ми методами . Е сл и размер матри цы нев ел и к , то мож но и спол ьзов ать ф орму л у прямог о в ы чи сл ени я определ и тел я через ег о эл ементы . Т ак дл я матри цы A размером 2 × 2 и меем: det A = a11a22 − a12 a21 . О предел и тел ь матри цы A размером n × n в ы чи сл яется через определ и тел и матри ц размером (n − 1) × (n − 1) по ф орму л е: H ij n

det A = ∑ ( −1)(i +1) a1i det H1i , i =1

г де

матри цы

H ji

пол у чаются

из

A

в ы черк и в ани емj-й строк и и i-г о стол бца. Е сл и размер матри цы достаточно в ел и к , л и бо предпол аг ается в ы чи сл ять определ и тел и матри ц разл и чны х размеров , то цел есообразно и спол ьзов ать чи сл енны е методы нахож дени я определ и тел ей . О ди н и з методов основ ан на три анг у л яци и матри цы (при в едени ю ее к треу г ол ьному в и ду так , чтобы определ и тел ь матри цы не и змени л ся). Е сл и матри ца A размером ( n × n) при в едена к треу г ол ьной матри це A ' ' ' ' (запи сана в ы ше), то det A = det A ' = a11 a22 ...ann . Д л я три анг у л яци и матри цы A мож но в оспол ьзов аться опи санной в ы ш е процеду рой прямог о хода метода Гау сса. 3. М етод просты х и тераци й . При и спол ьзов ани и метода и тераци й си стему у рав нени й AX=B при в одят к в и ду X=CX+E, г де e1 x1 с11 с12 ... с1n e x с с ... с 2 n С= 21 22 , E = 2 , X = 2 . Задается ну л ев ое ... ... ... ... ... ... en xn с n1 с n 2 с nn

при бл и ж ени е x1 = x1( 0) , x2 = x2(0) ,.., xn = xn(0) решени я си стемы . Затем при бл и ж ени е у точняется по и тераци онной ф орму л е

 x1(i ) = с11x1(i −1) + с12 x2(i −1) + ... + с1n xn(i −1) + e1 ;  (i ) (i −1) (i −1) (i −1)  x2 = с 21x1 + с 22 x2 + ... + с 2 n xn + e2 ;    xn(i ) = с n1x(i −1) + с n 2 x(i −1) + ... + с nn xn(i −1) + en ; 1 2 

i = 1,2,.. ,

до тех пор, пок а не бу дет в ы пол няться у сл ов и е max( x1(i ) − x1(i −1) ,..., xn(i ) − xn(i −1) ) < ε , г де ε - заданная точность нахож дени я к орней си стемы

у рав нени й . В к ачеств е реш ени й си стемы при ни маются посл едни е в ы чи сл енны е значени я x1 = x1(i ) , x 2 = x 2(i ) ,..., x n = x n(i ) . У сл ов и я и ск орость сходи мости и тераци онной процеду ры зав и сят от способа представ л ени я си стемы AX=B в в и де X=CX+E (от значени й эл ементов матри ц C и E). С у ществ у ющи е необходи мы е и достаточны е у сл ов и я сходи мости метода и тераци й неу добны дл я прак ти ческ ог о n

и спол ьзов ани я. Перечи сл и мдостаточны е у сл ов и я сходи мости : 1) ∑ cij < 1 j =1

дл я в сех i = 1,2,..., n ; и л и 2) n

n

∑∑

i =1 j =1

n

∑

i =1

cij < 1 дл я в сех j = 1,2,..., n ; и л и 3)

2

cij < 1 .

Ч асто при в едени е си стемы AX-B=0 к в и ду CX+E=X пров одят, раздел и в к аж дое i-е у рав нени е си стемы на эл емент a ii и перенося переменну ю x i в прав у ю часть у рав нени я. В резу л ьтате пол у чаем b1 / a11 0 − a12 / a11 ... − a1n / a11 b /a − a21 / a22 0 ... − a2 n / a22 С= , E = 2 22 . Т ог да метод ... ... ... ... ... bn / ann − an1 / ann − an 2 / ann 0 и тераци й реш ени я у рав нени я AX=B св оди тся к рек у ррентной ф орму л е  x1(i ) = [ −a12 x2(i −1) − a13 x3(i −1) − ... − a1n xn(i −1) + b1 ] / a11;  (i ) (i −1) (i −1) (i −1)  x2 = [ −a21x1 − a23 x3 − ... − a2 n xn + b2 ] / a22 ; i = 1,2,.. .  .......   xn(i ) = [ −an1x(i −1) − an 2 x(i −1) − ... − a( n −1)( n −1) x (i −1) + bn ] / ann ;. n −1 1 2 

Т ак ая и тераци онная ф орму л а назы в ается методом Я к оби . Д остаточны е n

у сл ов и я сходи мости метода перепи ш у тся к ак 1) ∑ a ij / a ii < 2 дл я в сех j =1

i = 1,2,..., n ; n

n

∑∑

i =1 j =1

или

n

2)

∑

i =1

a ij / a ii < 2

дл я в сех

j = 1,2,..., n ;

или

3)

2

aij / aii < 1 + n .

4. М етод Зей дел я. Я в л яется моди ф и к аци ей метода и тераци й . Здесь си стему у рав нени й AX=B так ж е при в одят к в и ду X=CX+E. Задается ну л ев ое при бл и ж ени е реш ени я си стемы x1 = x1( 0) , x2 = x2(0) ,.., xn = xn(0) . Д ал ее, в отл и чи е от метода и тераци й , при бл и ж ени е у точняется по и тераци онной ф орму л е  x1(i ) = с11x1(i −1) + с12 x2(i −1) + с13 x3(i −1) + ... + с1n xn(i −1) + e1 ;  (i ) (i ) (i −1) (i −1) (i −1)  x2 = с 21x1 + с 22 x2 + с 23 x3 + ... + с 2n xn + e2 ;  (i ) i = 1,2,.. ,  x3 = с 31x1(i ) + с 32 x2(i ) + с 33 x3(i −1) + ... + с 3n xn(i −1) + e2 ;  .....  (i ) (i ) (i )  xn = с n1x1 + с n 2 x2 + с n3 x3(i ) + ... + с nn xn(i −1) + en ; до тех пор, пок а не бу дет в ы пол няться у сл ов и е max( x1(i ) − x1(i −1) ,..., xn(i ) − xn(i −1) ) < ε , г де ε - заданная точность нахож дени я к орней си стемы у рав нени й . В к ачеств е реш ени й си стемы при ни маются посл едни е в ы чи сл енны е значени я x1 = x1(i ) , x 2 = x 2(i ) ,..., x n = x n(i ) . У сл ов и я сходи мости метода Зей дел я отл и чаются от у сл ов и й сходи мости метода просты х и тераци й . В частности , достаточны е у сл ов и я сходи мости и меют в и д: n

n

1) max ∑ cij < 1, i = 1,2,..., n ; и л и 2) max ∑ cij < 1, j = 1,2,..., n . i

j =1

j

i =1

Е сл и при в едени е си стемы AX-B=0 к в и ду CX+E=X пров одят анал ог и чно методу Я к оби , то метод Зей дел я решени я у рав нени я AX=B св оди тся к и тераци онной ф орму л е  x1(i ) = [ −a12 x2(i −1) − a13 x3(i −1) − ... − a1n xn(i −1) + b1 ] / a11;  (i ) (i ) (i −1) (i −1)  x2 = [ −a21x1 − a23 x3 − ... − a2 n xn + b2 ] / a22 ;  i = 1,2,.. , . x3(i ) = [ −a31x1(i ) − a32 x2(i ) − ... − a3n xn(i −1) + b3 ] / a33 ;     xn(i ) = [ −an1x1(i ) − an 2 x2(i ) − ... − a( n −1)( n −1) xn(i−)1 + bn ] / ann ;

Т ак ая и тераци онная ф орму л а назы в ается методомН ек расов а. Д остаточны е n

у сл ов и я сходи мости метода перепи ш у тся к ак max ∑ aij / aii < 2, i

j =1

n

i = 1,2,..., n ; и л и max ∑ aij / aii < 2, j = 1,2,..., n . j

i =1

ЗАД АН ИЕ. Реш и ть си стему у рав нени й чи сл енны мметодом:  x + 2 y + 3z = 41;  4 x + 0,24 y − 0,08 z = 8 ;   1. 20 x + 4 y − 7 z = 32 ; 2.  0,09 x + 3 y − 0,15 z = 9 ;  7 x − y + 5 z = 54 ; 0,04 x − 0,08 y + 4 z = 20 ;   1,84 x + 2,25 y − 2,53z = −6,09 ;  3.  2,32 x + 2,6 y − 2,82 z = −6,98 ; 1,83x − 2,06 y + 2,24 z = −5,52 ; 

 3x − 2 y + 5 z = 7 ;  4.  7 x + 4 y − 8 z = 3; 5 x − 3 y − 4 z = −12 ; 

 x + y + z + t = 10 ;  x + 2 y − 2 z + 3t = 11;  5.  2 x + z = 5;  3x + y + 2 z + 2t = 19 ;

 4 x − 2 y + 3z + t = 13;  5 y − 2 z + 3t = 16 ;  6.  2 x − 3 y + 4 z − 2t = 0 ;  x − 3z + t = −4 ;

 x + 2 y + 3z − 2t = 1;  2 x − y − 2 z − 3t = 2 ;  7.  3x + 2 y − z + 2t = −5;  2 x − 3 y + 2 z + t = 11;

 x + 2 y + 3z + 4t = 7 ;  2 x + y + 2 z + 3t = 6 ;  8.   3x + 2 y + z + 2t = 7 ; 4 x + 3 y + 2 z + t = 18;

2 x + 10 y + 16 z − 6t + 8s = 20 ;  3x + 2 y + 4 z + 8s = 20 ;  9.  6 x − 4 y + z + 3t + 5s = 10 ;  8 x − 2 y + 4 z − 3t + s = 0 ;   3x + 2 y + 4 z + t + 5s = 30 ; 7. В ЫЧИ СЛ Е Н И Е И Н Т Е ГРА Л О В М Е Т О Д О М М О Н Т Е -К А РЛ О Вы чи сл ени е определ енног о и нтег рал а b

I = ∫ f ( x) dx

(7.1)

a

от ф у нк ци и , зав и сящей от одной переменной , не в ы зы в ает в опросов . r О днак о есл и ф у нк ци я зав и си т от r переменны х x = ( x1 , x2 ,..., xr ) , г де r >3, то обы чны е к в адрату рны е ф орму л ы дл я в ы чи сл ени я

b1

br

a1

ar

I = ∫ dx1... ∫ f ( x1 , x2 ,..., xr ) dxr непри г одны и з-за к атастроф и ческ ог о роста объема в ы чи сл ени й (он растет к ак nr , г де n – чи сл о у зл ов и нтег ри ров ани я). О дни м и з способов в ы чи сл ени я мног омерны х и нтег рал ов яв л яется метод М онте-К арл о [6-8]. При в едем основ ны е пол ож ени я и з теори и в ероятностей и математи ческ ой стати сти к и , необходи мы х дл я пони мани я этог о метода: а) определ ени е в ероятности собы ти я {a ≤ ξ < b} b

p = P( a ≤ ξ < b) = ∫ wξ ( x) dx, a

г де wξ(x) – пл отность в ероятностей сл у чай ной в ел и чи ны ξ; б) среднее значени е сл у чай ной в ел и чи ны b

mξ =< ξ >= ∫ xwξ ( x)dx; a

в ) среднее значени е ф у нк ци и сл у чай ног о арг у мента b

f m =< f (ξ) >= ∫ f ( x) wξ ( x)dx; a

г ) ди сперси я ф у нк ци и сл у чай ног о арг у мента b

D ( f (ξ)) =< f (ξ) > 2

− f ξ2

b

= ∫ f ( x ) wξ ( x)dx − [ ∫ f ( x ) wξ ( x)dx]2 ; 2

a

a

2

D(const)=0, D(ξ/c)=1/c D(ξ). (7.2) Итак , определ енны е и нтег рал ы мог у т бы ть и нтерпрети ров аны к ак в ероятности , моменты , средни е значени я ф у нк ци й сл у чай ног о арг у мента с нек оторой пл отностью в ероятностей . Рассмотри м эмпи ри ческ и е оценк и соотв етств у ющи х теорети ческ и х параметров : а) параметр: р – в ероятность собы ти я. k О ценк а: p= , (7.3) n г де n – чи сл о и спы тани й ; k – чи сл о и спы тани й , в к оторы х и мел о место рассматри в аемое собы ти е. Х арак тери сти к и оценк и : < p >= p - несмещенная оценк а, D ( p% ) = p(1 − p ) / n → 0, n → ∞. б) параметр: mξ ;

1 b (7.4) ∑ ξi ; n i =1 Х арак тери сти к и оценк и < ξ >= mξ , D( ξ ) = D(ξ) / n → 0, n → ∞ в ) Параметр fm; 1 n оценк а: f = ∑ f (ξi ) ; (7.5) n i =1 Х арак тери сти к и оценк и < f >= f m , D( f ) / n → 0, n → ∞. При в еденны е соотнош ени я л еж ат в основ е цел ог о ряда ал г ори тмов М онтеК арл о. Базов ы й ал г ори тм1.0 (М К -1.0). При нци п ег о в и ден и з сл еду ющи х соотношени й

оценк а:

ξ=

b

b

I = ∫ f ( x) dx = (b − a ) ∫ f ( x) a

a

b

1 dx = (b − a) ∫ f ( x) wξ ( x) dx , (b − a) a

(7.6)

г де wξ ( x) = 1

- пл отность в ероятности рав номерно распредел енной (b − a ) сл у чай ной в ел и чи ны a<ξ
b

(b − a) 2 I2 . f ( x ) dx − n ∫a n

Базов ы й ал г ори тм 2.0 (М К -2.0) Пу сть и зв естно, что ∞

∫ f ( x)dx = 1, 0

∞

è ëè

∫

−∞

f ( x)dx = 1 .

Т ог да f(x) мож но и нтерпрети ров ать к ак пл отность wξ ( x) нек оторой сл у чай ной в ел и чи ны ξ. При этом

в ероятности

b

I = ∫ f ( x)dx = p = P [ a ≤ ξ < b ] .

(7.8)

a

О ценк ой I яв л яется k I% = p = , (7.9) n г де k- чи сл о попадани й сл у чай ной в ел и чи ны ξ в и нтерв ал [a,b] в сери и и з n посл едов ател ьны х и спы тани й . О ценк а (7.9) так ж е несмещенная, а ее ди сперси я p(1 − p ) 1 D ( I% ) = = (I − I 2 ) . n n Итак , этапы в ы чи сл ени я по методу М К -2.0: а) ф орми ру емспомощью Д СЧ чи сл а αi ∈ [ 0,1], б) ф орми ру ем чи сл а ξi = ϕ(αi ) пу тем нек оторог о нел и ней ног о преобразов ани я, однозначно св язанног о сf(x), в ) подсчи ты в аемk-чи сл о собы ти й a ≤ ξi < b , г ) посл е норми ров к и на n пол у чаемоценк у и нтег рал а I% = k / n . Базов ы й ал г ори тм3.0 (М К -3.0) Пу сть ф у нк ци я f(x) в пи сана в прямоу г ол ьну ю обл асть x ∈ [ a, b ] , c ≤ y ≤ d Сф орми ру емдв е рав номерно распредел енны е сл у чай ны е в ел и чи ны ξ1, i ∈ [ a, b ] , ξ2, i ∈ [ c, d ], i = 1,...n . Рассматри в ая и х к ак к оорди наты точк и на пл оск ости , определ яем, к ак ая часть и х ок аж ется под к ри в ой . Т ак к ак S=(b-a)(d-c), то k I% = S , (7.10) n г де k- чи сл о точек под к ри в ой , а n- пол ное чи сл о точек в прямоу г ол ьни к е. О ценк а и нтег рал а (7.10) несмещенная с ди сперси ей D ( I% ) = SI − I 2 / n .

(

)

Итак , сог л асно этому ал г ори тму реал и зу ются сл еду ющи е этапы а) ф орми ру емспомощью Д СЧ чи сл а α1, i , α 2, i ∈ [ 0,1] , i = 1,...n; б) масш таби ру емэти чи сл а ξ1, i = α1, i (b − a ) + a, ξ2, i = α 2, i (d − c) + c; в ) пров еряемнерав енств о ξ2, i ≤ f (ξ1, i ) и подсчи ты в аемчи сл о k соотв етств у ющи х собы ти й в n и спы тани ях; г ) в ы чи сл яем оценк у I% = Sk / n . Из при в еденны х в ы ше соотношени й в и дно, что ди сперси и оценок % D ( I ) → 0, ïðè n → ∞ , но чи сл о и спы тани й n дл я дости ж ени я точности

ε∼10-5-10-6 мож ет бы ть очень бол ьши м. Пони ж ени е ди сперси и оценк и и нтег рал а бази ру ется на св ой ств ах ди сперси и сл у чай ны х в ел и чи н (7.2). О тсюда в ы тек ает ряд моди ф и к аци й М К -1.0 – М К -3.0. О станов и мся на моди ф и к аци ях базов ог о ал г ори тма М К -1.0. Ал г ори тм 1.1. Вы чи сл ени е в спомог ател ьног о и нтег рал а. Вы берем в спомог ател ьну ю ф у нк ци ю g(x), бл и зк у ю к f(x) , с точно b

в ы чи сл яемы ми нтег рал ом I g = ∫ g ( x)dx . Т ог да a

b

I = I g + ∫ [ f ( x) − g ( x) ] dx

(7.11)

a

О ценк ой и нтег рал а (7.11) яв л яется n %I = I + 1 [ f (ξ ) − g (ξ )] . ∑ i 1.1 g i n i =1 Т ак к ак f ( x ) − g ( x) << g ( x ) , то D ( I% ) << D( I% ) . 1.1

Ал г ори тм2.1. Н орми ров к а на в спомог ател ьну ю ф у нк ци ю. Вв едем неотри цател ьну ю ф у нк ци ю wξ ( x) >0, бл и зк у ю к f(x) по норме в нек отором метри ческ ом пространств е и у дов л етв оряющу ю у сл ов и ю b

норми ров к и

∫ wξ ( x)dx = 1 . Перепи шеми нтег рал

сл еду ющи мобразом

a

b

b

f ( x) wξ ( x) dx . w ( x ) ξ a

I = ∫ f ( x)dx = ∫ a

Т ог да 1 n f ( ξi ) I%1.2 = ∑ , n i =1 wξ (ξi )

(7.12)

г де ξi реал и заци я сл у чай ной в ел и чи ны ξ спл отностью в ероятности wξ ( x) . Е сл и f ( x) / w ( x) ≈ const , òî D ( I% ) << D( I% ) . ξ

1.2

Ал г ори тм1.3. Вы рав ни в ающее преобразов ани е ф у нк ци и 1

Пу сть

задан

и нтег рал

I = ∫ f ( x) dx,

x ∈ [ 0,1] .

О чев и дно,

что

0

1

I = ∫ f (1 − x) dx . 0

1

Вв едемф у нк ци ю f ( x) = ( f ( x) + f (1 − x) ) / 2 . Т ог да так ж е I = ∫ f + ( x)dx . +

0

Поэтому оценк ой и нтег рал а яв л яется n %I = 1 f + (α i ) . ∑ 1,3 n i =1

(7.13).

Е сл и f +(x)≈const, то D ( I%1.3 ) << D( I% ) . Рассмотри мв к ачеств е при мера в ы чи сл ени е тестов ог о и нтег рал а 1

I = ∫ exp( − x)dx = 1 − exp(−1) = 0.63212 0

n

1 Ал г ори тмМ К -1.0. I%1,0 = ∑ exp(−αi ), D( I%1,0 ) = 3.275 ⋅ 10−2 / n n i =1 Ал г ори тмМ К -2.0 I%2.0 = k / n, k : 0 ≤ ξi < 1, ξi = − ln(αi ). D ( I% ) = 2.325 ⋅ 10−1 / n . 2.0

Ал г ори тмМ К -3.0. I%3.0 = k / n, k : α 2, i ≤ exp(−α1, i ) , D ( I%3.0 ) = 2.325 ⋅ 10 −1 / n . 1 n Ал г ори тмМ К -1.1. g(x)=1-x, Ig=0.5, I%1.1 = 0.5 + ∑ ( exp(−αi ) − 1 + αi ) , n i =1 D ( I% ) = 1.2451 ⋅ 10 −2 / n . 1.1

Ал г ори тмМ К -1.2. wξ ( x) = (3/ 7)(1 − x / 2)2 ; ξi = 2 − 3 8 − 7αi ; n   exp( −ξi ) −3 %I = 1 ∑   , D ( I%1.2 ) = 4.036 ⋅ 10 / n . 1.2 2  n i =1  (3/ 7)(1 − ξi / 2)  2 n Ал г ори тм М К -1.3. I%1.3 = ∑ ( exp( −αi ) + exp(−1 + αi ) ) , n i =1 D ( I% ) = 5 / 29 ⋅ 10−4 / n . 1.3

ПРИ Л О Ж Е Н И Е Н екоторые встроенные ф у нкции Mathcad sin(z) — cos(z) — tan(z) — cot(z) — exp(z) —

Э лементарные ф у нкции си ну с asin(z) — арк си ну с к оси ну с acos(z) — арк к оси ну с танг енс atan(z) — арк танг енс к отанг енс ln(z) — нату рал ьны й л ог ари ф м эк спонента log(z) — десяти чны й л ог ари ф м

Д ру гие ф у нкции Re(z) — дей ств и тел ьная часть к омпл ек сног о чи сл а z. Im(z) — мни мая часть к омпл ек сног о чи сл а z. arg(z) — арг у мент к омпл ек сног о чи сл а z (в ради анах).

δ(x,y) — си мв ол К ронек ера (1, есл и x=y, и 0, есл и x ≠ y; x и y — цел очи сл енны е в ел и чи ны . Φ( x) — ф у нк ци я Х ев и сай да (1, есл и x ≥ 0, и 0 в проти в номсл у чае). ceil(x) — наи меньшее цел ое, не прев ы шающее x. floor(x) — наи бол ьш ее цел ое чи сл о, меньш ее и л и рав ное x. mod(x, modulus) — остаток от дел ени я x по моду л ю. Арг у менты дол ж ны бы ть дей ств и тел ьны ми . Резу л ьтат и меет так ой ж е знак , к ак и x. if(cond, x, y) — x, есл и cond бол ьш е 0, и наче y. until(в ы раж ени е1, в ы раж ени е2) — в ы раж ени е1, пок а в ы раж ени е2 отри цател ьное. Ф у нкции для матриц и векторов augment(A, B) — при соеди нени е матри цы B к матри це A справ а; обе матри цы дол ж ны и меть оди нак ов ое чи сл о строк . cols(A) — чи сл о стол бцов в матри це A. csort(A, n) — сорти ров к а матри цы A по стол бцу n (перестанов к а строк по в озрастани ю значени й эл ементов в стол бце n). submatrix(A, ir, jr, ic, jc) — в ы дел ени е и з матри цы A су бматри цы , состоящей и з эл ементов , содерж ащи хся в строк ах сir по jr и в стол бцах сic по jc. Д л я сохранени я порядк а строк и стол бцов необходи мо, чтобы ir ≤ jr, ic ≤ jc. diag(v) — ди аг онал ьная матри ца, эл ементы г л ав ной ди аг онал и к оторой — в ек тор v. identity(n) — еди ни чная к в адратная матри ца размеромn. last(v) — и ндек спосл еднег о эл емента в ек тора v. lenght(v) — чи сл о эл ементов в в ек торе v. matrix(m, n, f) — матри ца, в к оторой (i, j)-й эл емент содерж и т f(i, j), г де i=0, 1, ... , m и j=0, 1, ... , n. max(A) — наи бол ьш и й эл емент матри цы A. mean(v) — среднее значени е в ек тора v. median(v) — меди ана. min(A) — наи меньш и й эл емент матри цы A. norme(M) — ев к л и дов а норма матри цы M. rank(A) — ранг матри цы A. reverse(v) — перев ерну ты й в ек тор v. rows(A) — чи сл о строк в матри це A. rsort(A, n) — сорти ров к а матри цы A по строк е n (перестанов к а стол бцов по в озрастани ю значени й эл ементов в строк е n). sort(v) — сорти ров к а в ек тора v по у бы в ани ю. stack(A, B) — ф орми ров ани е матри цы пу тем распол ож ени я A над B. М атри цы A и B дол ж ны и меть оди нак ов ое чи сл о стол бцов . stdev(v) — среднек в адрати ческ ое отк л онени е эл ементов в ек тора v. tr(M) — сл ед матри цы M (су мма эл ементов , распол ож енны х на г л ав ной ди аг онал и к в адратной матри цы M). var(v) — ди сперси я (в ари аци я) эл ементов в ек тора v.

hist(intervals, data) — г и стог рамма. Век тор intervals задает г рани цы и нтерв ал ов в порядк е в озрастани я; data — масси в данны х. Возв ращает в ек тор, содерж ащи й чи сл о точек и з data, попав ш и х в соотв етств у ющи й и нтерв ал . Реш ение у равнений и систем lsolve(M, v) — решени е си стемы л и ней ны х ал г ебраи ческ и х у рав нени й в и да M ⋅ x=v. Minerr( x1 , x2 ,...xn ) — в ек тор значени й дл я x1, x2,K, xn , к оторы е при в одят к ми ни мал ьной оши бк е в си стеме у рав нени й . root(expr, var) — значени е переменной var, при к оторой в ы раж ени е expr рав но ну л ю (в предел ах точности TOL). polyroots(v) — к орни мног очл ена степени n, к оэф ф и ци енты к оторог о находятся в в ек торе v дл и ны n+1.

О сновные законы распределения Ф у нк ци и , и мена к оторы х начи наются с “d” , в ы чи сл яют пл отность в ероятности (и л и в ероятность дл я ди ск ретны х в ел и чи н), с“p” — ф у нк ци и распредел ени я, с “q” — к в анти л и и с “r” — г енери ру ют в ек тор n сл у чай ны х чи сел ссоотв етств у ющи мзак ономраспредел ени я. dbeta(x, s1 , s2 ), pbeta(x, s1 , s2 ), qbeta(p, s1 , s2 ), rbeta(n, s1 , s2 ) — β -распредел ени е Γ (s1 + s 2 ) s1 −1 f(x) = x (1 − x)s2 −1 , 0 < x < 1, s1 ,s2 > 0. Γ (s1 )Γ (s 2 ) dbinom(k, m, p), pbinom(k, m, p), qbinom(p, m, q), rbinom(n, m, p) — би номи ал ьное распредел ени е k k m−k P(k) = C m p (1 − p ) , 0 ≤ k ≤ m, 0 ≤ p ≤ 1. dcauchy(x, l, s), pcauchy(x, l, s), qcauchy(p, l, s), rcauchy(n, l, s) — распредел ени е К оши 1 f(x) = , −∞ < x < ∞ , s > 0. 2 π s(1 + ((x − l) s ) ) dchisq(x, k), pchisq(x, k), qchisq(p, k), rchisq(n, k) — χ 2 -распредел ени е k/2 −1

exp( − x/2) x f(x) =   , x > 0, k > 0. 2Γ(k/2) 2 dexp(x, r), pexp(x, r), qexp(p, r), rexp(n, r) — эк споненци ал ьное распредел ени е f(x) = r ⋅ e − rx , x > 0, r > 0. ⋅ dF(x, n1 , n2 ), pF(x, n1 , n2 ), qF(p, n1 , n2 ), rF(n, n1 , n2 ) — распредел ени е Ф и шера

f(x) =

Γ

( (n1 + n 2 ) 2 )

n1n1 2 n n2 2 2 x (n1 − 2)

2

, x > 0, n1 ,n 2 > 0. 2)Γ (n 2 2)(n 2 + n1 x)(n1 + n 2 ) 2 dgamma(x, s), pgamma(x, s), qgamma(p, s), rgamma(n, s) — γ -распредел ени е Γ (n1

x s −1 ⋅ e− x f(x) = , x ≥ 0, s > 0. Γ(s) dgeom(k, p), pgeom(k, p), qgeom(p, q), rgeom(n, p) — г еометри ческ ое распредел ени е P (k ) = p (1 − p ) k , 0 < p < 1. dlnorm(x, µ , σ ), plnorm(x, µ , σ ), qlnorm(p, µ , σ ), rlnorm(n, µ , σ ) — л ог нормал ьное (л ог ари ф ми ческ и нормал ьное) распредел ени е 2 2 1 f(x) = ⋅ e−(ln(x) − µ ) (2σ ) , x > 0, σ > 0. 2π σ x dlogis(x, l, s), plogis(x, l, s), qlogis(p, l, s), rlogis(n, l, s) — л ог и сти ческ ое распредел ени е e− (x − l) s f(x) = , −∞ < x < ∞, s > 0. s(1 + e− (x − l) s )2 dnbinom(k, m, p), pnbinom(k, m, p), qnbinom(p, m, q), rnbinom(n, m, q) — отри цател ьное би номи ал ьное распредел ени е P(k) = C km + k −1p m (1 − p)k , 0 < p ≤ 1, m > 0, k ≥ 0. dnorm(x, µ , σ ), pnorm(x, µ , σ ), qnorm(p, µ , σ ), rnorm(n, µ , σ ) — нормал ьное распредел ени е f(x) =

1

−

(x − µ )2

, −∞ < x < ∞, σ > 0. 2π σ dpois(k, λ), ppois(k, λ), qpois(p, λ), rpois(n, λ) — распредел ени е Пу ассона k −λ λ ⋅e P(k) = , λ > 0, k ≥ 0. k! dt(x, k), pt(x, k), qt(p, k), rt(n, k) — распредел ени е Стьюдента e

2σ 2

− (k +1) 2

+ 1) 2)  x2  f(x) = 1 + , −∞ < x < ∞, k > 0.   k  Γ ( k 2) π k  dunif(x, a, b), punif(x, a, b), qunif(p, a, b), runif(n, a, b) — рав номерное распредел ени е 1 f(x) = , a ≤ x ≤ b, a < b. b−a dweibull(x, s), pweibull(x, s), qweibull(p, s), rweibull(n, s) — распредел ени е Вей бу л л а Γ ((k

f(x) = sxs −1e− x

s

, x > 0, s > 0.

Д ру гие ф у нкции

cnorm(x) — и нтег рал в ероятности 1 Φ (x) = 2π erf(x) — ф у нк ци я ош и бок erf(x) =

x

∫e

−t2 2

dt .

−∞

2 x −t2 ∫e dt . π0

Γ( z ) — г амма-ф у нк ци я. rnd(x) — псев досл у чай ное рав номерно распредел енное чи сл о в ди апазоне от ну л я до x. Рекомендуемая литерату ра 1. М арчу к Г.И. М етоды в ы чи сл и тел ьной математи к и / Г.И. М арчу к . М .: Н ау к а, 1989. 2. Бахв ал ов Н .С. Г.М . Ч и сл енны е методы / Н .С. Бахв ал ов , Н .П. Ж и дк ов , Г.М . К обел ьк ов : Н ау к а, 1987. 3. Вол к ов Е .А. Ч и сл енны е методы /Е .А. Вол к ов . М .: Н ау к а, 1985. 4. Самарск и й А.А. Вв едени е в чи сл енны е методы /А.А. Самарск и й . М .: Н ау к а, 1987. 5. Самарск и й А.А. Ч и сл енны е методы /А.А. Самарск и й , А.В. Гу л и н. М .: Н ау к а, 1989. 6. Амосов А.А. Вы чи сл и тел ьны е методы дл я и нж енеров / А.А. Амосов , Ю.А. Д у би нск и й , Н .В. К опченов а. М .: Вы сш ая ш к ол а, 1994. 7. Бог л аев Ю.П. Вы чи сл и тел ьная математи к а и прог рамми ров ани е/Ю.П. Бог л аев . М .: Вы сш ая ш к ол а, 1990. 8. Справ очни к по специ ал ьны м ф у нк ци ям с ф орму л ами , г раф и к ами и математи ческ и ми табл и цами /Под ред. М . Абрамов и ца, И.С ти г ана. М .: Н ау к а, 1979. 9. К орн Г. Справ очни к по математи к е дл я нау чны х работни к ов /Г. К орн, Т . К орн. М .: Н ау к а, 1984. 10. Воробьев а Г.Н . Прак ти к у мпо в ы чи сл и тел ьной математи к е/Г.Н . Воробьев а, А.Н . Д ани л ов а. М .: Вы сшая ш к ол а, 1990. 11. Пл и сА.И. Лабораторны й прак ти к у мпо в ы сш ей математи к е/А.И. Пл и сА.И., Н .А. Сл и в и на. М .: Вы сш ая ш к ол а, 1994.

Состав и тел и : Радченк о Ю ри й Степанов и ч, Захаров Ал ек сандр Ви к торов и ч, Бу тей к о Вл ади ми р К онстанти нов и ч. Редак тор : Т и хоми ров а О .А.