М И Н И СТ Е РСТ В О О Б РА ЗО В А Н И Я РО ССИ Й СК О Й Ф Е Д Е РА Ц И И В О РО Н Е Ж СК И Й ГО СУ Д А РСТ В Е Н Н ЫЙ У...
22 downloads
185 Views
285KB Size
Report
This content was uploaded by our users and we assume good faith they have the permission to share this book. If you own the copyright to this book and it is wrongfully on our website, we offer a simple DMCA procedure to remove your content from our site. Start by pressing the button below!
Report copyright / DMCA form
М И Н И СТ Е РСТ В О О Б РА ЗО В А Н И Я РО ССИ Й СК О Й Ф Е Д Е РА Ц И И В О РО Н Е Ж СК И Й ГО СУ Д А РСТ В Е Н Н ЫЙ У Н И В Е РСИ Т Е Т Ф и зи ческ и й ф ак у л ьтет К аф едра ради оф и зи к и
Практику м почисленным методам и математическому моделированию дл я сту дентов 2 к у рса днев ног о отдел ени я
С остав и тел и : Радченк о Ю.С., Бу тей к о В.К ., Захаров А.В.
Воронеж 2002
СО Д Е РЖ А Н И Е 1. Вы чи сл ени е ф у нк ци й спомощью беск онечны х су мм 2. Интег ри ров ани е ф у нк ци й 3. Решени е нел и ней ны х у рав нени й 4. Д и ф ф еренци ров ани е ф у нк ци й 5. Решени е ди ф ф еренци ал ьны х у рав нени й 6. Решени е си стемл и ней ны х у рав нени й 7. Вы чи сл ени е и нтег рал ов методомМ онте-К арл о 8. При л ож ени е Ли терату ра
2 4 9 13 15 18 23 28 32
1. В ЫЧИ СЛ Е Н И Е Ф У Н К Ц И Й СПО М О Щ Ь Ю Б Е СК О Н Е ЧН ЫХ СУ М М При в ы чи сл ени и разл и чны х специ ал ьны х ф у нк ци й , в стречающи хся в ради оф и зи к е и ради отехни к е, часто и спол ьзу ется представ л ени е ф у нк ци й к ак беск онечны х су мм S ( x) =
∞
∑
k =0
y k ( x) .
(1)
При в ы чи сл ени и на ЭВМ су мм(1) сл еду ет при держ и в аться сл еду ющи х прав и л . Прав и л о 1. Сл аг аемы е yk (x) су ммы (1) обы чно представ л яют собой дробь yk ( x) = α k ( x ) β k ( x) , чи сл и тел ь α k (x) и знаменател ь β k (x) к оторой мог у т неог рани ченно в озрастать с у в ел и чени ем k, хотя частное yk (x) ок азы в ается к онечны м. Н апри мер, при в ы чи сл ени и г и пербол и ческ ог о ∞ x 2 k +1 в ел и чи на β k ( x ) = (2k + 1)! бы стро си ну са по ф орму л е sh( x) = ∑ k = 0 ( 2k + 1)! в озрастает с у в ел и чени ем k и при k > 34 прев ы ш ает 10100 , а в ел и чи на α k ( x ) = x 2 k +1 бы стро в озрастает су в ел и чени ем k при x > 1. В резу л ьтате при в ы чи сл ени и сл аг аемы х yk (x ) су ммы (1) с бол ьши ми и ндек сами k в озни к ает перепол нени е рег и стров к омпьютера, что при в оди т к пол у чени ю нев ерны х резу л ьтатов . Поэтому при расчете сл аг аемы х yk (x) сл еду ет и збег ать непосредств енног о в ы чи сл ени я ф у нк ци й α k (x) и β k (x ) при бол ьш и х значени ях k. Д л я этог о при в ы чи сл ени и yk (x) мож но в оспол ьзов аться сл еду ющей рек у ррентной процеду рой . А. В начал е рассчи тать перв ое сл аг аемое су ммы (1), т.е. y 0 ( x ) . Е г о в ы чи сл ени е обы чно не в ы зы в ает затру днени й . Н апри мер, в рассмотренном в ы ше при мере дл я ф у нк ци и sh(x) и меем y0 ( x) = x . Б. О стал ьны е сл аг аемы е yk (x ) , k = 1,2,… в ы чи сл ять через ранее расчи танны е y k −1 ( x) по рек у ррентной ф орму л е
yk ( x) = yk −1 ( x) h( x, k ) , (2) г де h ( x, k ) - ф у нк ци я, к отору ю сл еду ет най ти анал и ти ческ и по ф орму л е h( x, k ) = yk ( x) / yk −1( x) . (3)
Н апри мер, дл я ф у нк ци и sh( x) = yk ( x ) = x
2 k +1
∞
∑
k =0
/ (2k + 1)!,
x 2 k +1 / (2k + 1)! и меем y k −1 ( x ) = x 2 k −1 / ( 2k − 1)!,
h( x, k ) = x 2 k +1 (2k − 1)! / x 2 k −1 (2k + 1)! = x 2 / 2k (2k − 1) .
При в ы чи сл ени и ф у нк ци и (3) сл еду ет обязател ьно сок рати ть в се степенны е ф у нк ци и и ф ак тори ал ы , к ак сдел ано в данномпри мере. Прав и л о 2. С у мма (1) яв л яется беск онечной . О днак о ряд (1) обы чно сходи тся, так что, начи ная с нек оторог о значени я k, сл аг аемое yk (x ) су ммы (1) в носи т меньш и й в к л ад в су мму , чем y k −1 ( x) . Поэтому при в ы чи сл ени ях с к онечной точностью к ол и честв о сл аг аемы х су ммы (1) мож но ог рани чи ть нек оторы м бол ьши м, но к онечны м значени ем N. В резу л ьтате су мма (1) при бл и ж енно представ л яется в в и де S ( x) ≈ S N ( x) =
N
∑
k =0
yk ( x ) ,
(4)
г де чи сл о N определ яется и сходя и з требу емой точности аппрок си маци и беск онечной су ммы (1) к онечной су ммой (4). При прак ти ческ и х расчетах ог рани чи в аются так и мзначени емN, дл я к оторог о в ы пол няется у сл ов и е y N ( x ) S N ( x) < ε , (5) г де ε - допу сти мая относи тел ьная пог решность в ы чи сл ени й . О бы чно в ы би рают значени е ε = 10 −3..10 −4 . ЗАД АН ИЯ . Вы чи сл и ть сл еду ющи е ф у нк ци и с помощью су мм дл я заданны х значени й x. Расчеты пров ести спог решностью ε = 10 −3 x ∞ ln(t ) ( x − 1) k dt = ∑ (−1) k дл я 0 ≤ x ≤ 2 . 1. Д и л ог ари ф м: Li ( x) = − ∫ 2 t − 1 k k =1 1 2. Интег рал ьны е пок азател ьны е ф у нк ци и : ∞ xk Ei ( x) = γ + ln( x) + ∑ дл я 0 < x ≤ 2 , k k ! k =1 ∞
∞ ( −1) k x k exp( −t ) dt = − γ − ln( x ) − ∑ k k! дл я 0 < x ≤ 2 , ∫ t k =1 x г де γ ≈ 0,57721566 - постоянная Эй л ера.
E1 ( x) =
∞ sin (t ) ( −1) k x 2 k +1 3. Интег рал ьны й си ну с: Si ( x) = ∫ dt = ∑ , 0 ≤ x ≤ 10 . t k = 0( 2 k + 1)(2 k + 1)! 0 4. Интег рал ьны й к оси ну с: x
∞ ( −1) k x 2 k cos(t ) − 1 С i ( x) = γ + ln( x) + ∫ dt = γ + ln( x) + ∑ дл я 0 ≤ x ≤ 10 , t ( 2 k )( 2 k )! k = 1 0 г де γ ≈ 0,57721566 - постоянная Эй л ера. 5. Интег рал ы Ф ренел я : x ∞ ( −1) k (π / 2) 2 k x 4 k +1 2 C ( x) = ∫ cos πt / 2 dt = ∑ дл я 0 ≤ x ≤ 3 ; ( 2k )! (4k + 1) k =0 0 x
(
(
)
)
(−1) k (π / 2) 2 k +1 x 4 k +3 S ( x) = ∫ sin πt / 2 dt = ∑ дл я 0 ≤ x ≤ 3 . ( 2 k + 1 )! ( 4 k + 3 ) k = 0 0 6. Интег рал в ероятности : 2 x 2 ∞ ( −1) k x 2 k +1 2 erf ( x) = ∫ exp(−t / 2) dt = π ∑ k! (2k + 1) дл я 0 ≤ x ≤ 5 . π 0 k =0 7. Ф у нк ци и Бессел я 1-г о рода порядк а n : n k k 2 x ∞ ( −1) ( x / 4) , n = 0,1,2,... , 0 ≤ x ≤ 10 . J n ( x) = ∑ 2 k = 0 k! ( n + k )! 7. М оди ф и ци ров анны е ф у нк ци и Бессел я порядк а n : x
2
∞
2 k x ∞ ( x / 4) , n = 0,1,2,... , 0 ≤ x ≤ 3 . I n ( x) = ∑ 2 k =0 k! (n + k )! 9. Т ри г онометри ческ и е ф у нк ци и : 2 k +1 2k ∞ ∞ k x k x sin( x) = ∑ (−1) , cos( x) = ∑ (−1) дл я 0 ≤ x ≤ 2π . (2k + 1)! (2k )! k =0 k =0 10. О братны е три г онометри ческ и е ф у нк ци и (у честь, что (-1)!!=0!!=1); ∞ ( 2k − 1)!! x 2 k +1 ∞ (−1) k x 2 k +1 , arctg( x) = ∑ дл я x < 1 . arcsin( x) = ∑ 2k + 1 k = 0 ( 2k )!! ( 2k + 1) k =0 11. Ги пербол и ческ и е ф у нк ци и : ∞ ∞ x 2k x 2 k +1 sh( x) = ∑ , ch( x) = ∑ дл я x < 2 . ( 2 k 1 )! ( 2 k )! + k =0 k =0 n
2. И Н Т Е ГРИ РО В А Н И Е Ф У Н К Ц И Й b
Рассмотри мзадачу в ы чи сл ени я определ енног о и нтег рал а I = ∫ f ( x) dx a
ф у нк ци и y = f(x) на и нтерв ал е x ∈ [a; b] . С у ществ у ют разл и чны е ф орму л ы чи сл енног о и нтег ри ров ани я. М етоди к а пол у чени я эти х ф орму л , к ак прав и л о, св оди тся к сл еду ющему . Интерв ал и нтег ри ров ани я [a;b] разби в ается на N поди нтерв ал ов [ x i ; x i +1 ] , i = 0,1,..N − 1 . Т ог да и нтег рал от ф у нк ци и y = f(x) представ л яется в в и де
I=
N −1 xi +1
∑ ∫
i=0
f ( x) dx . В предел ах к аж дог о и нтерв ал а [ xi ; xi +1 ] ф у нк ци я f(x)
xi
при бл и ж енно аппрок си ми ру ется нек оторой ф у нк ци ей f ai (x) , л ег к о и нтег ри ру емой анал и ти ческ и . В к ачеств е ф у нк ци и f ai (x ) обы чно в ы би рают
пол и ном нев ы сок ой
степени .
С у мма
N −1 xi +1
∑ ∫
i =0
в ы чи сл яется анал и ти ческ и . В резу л ьтате и нтег рал представ л яется в в и де к в адрату рной ф орму л ы I ≈ IN =
f ai ( x) dx
xi
I при бл и ж енно
N
∑
i =0
Ai f ( x i ) ,
(6)
г де к оэф ф и ци енты Ai и точк и отсчета (у зл ы ) xi определ яются в соотв етств и и с в ы бранны м способом аппрок си маци и поди нтег рал ьной ф у нк ци и f(x). Пог реш ность к в адрату рной ф орму л ы (6) зав и си т от в и да аппрок си ми ру ющи х ф у нк ци й f ai (x) , а так ж е от распол ож ени я и к ол и честв а у зл ов xi . Т очность ф орму л ы (6) у в ел и чи в ается сростом чи сл а у зл ов N. Д л я рав ноотстоящи х у зл ов xi с ш аг ом h = xi +1 − xi = (b − a) / N точность ф орму л ы (6) у в ел и чи в ается су меньшени емh. При прак ти ческ и х расчетах значени е N обы чно в ы би рают в зав и си мости от требу емой относи тел ьной пог решности ε в ы чи сл ени я и нтег рал а. Д л я этог о по к в адрату рной ф орму л е (6) находят су ммы I n и I rn при нек оторы х N = n и N = rn соотв етств енно (обы чно в ы би рают r=2). Е сл и ( I rn − I n ) / I rn < ε , (7) то чи сл о сл аг аемы х N = rn в (6) счи тают достаточны м дл я обеспечени я заданной пог решности ε , а в к ачеств е при бл и ж енног о значени я и нтег рал а I при ни мают в ел и чи ну I rN . Е сл и у сл ов и е (7) не в ы пол няется, то в ы би рают бол ьшее значени е n, пов торяют в ы чи сл ени е и срав нени е и нтег рал ов I n и I rn , пок а не бу дет в ы пол няться это у сл ов и е. Перечи сл и м наи бол ее у потреби тел ьны е к в адрату рны е ф орму л ы чи сл енног о и нтег ри ров ани я дл я рав ноотстоящи х у зл ов xi = a + ih , г де h = (b − a ) / N - ш аг и нтег ри ров ани я. У к аж ем так ж е оценк и пог решностей R к аж дой ф орму л ы . 1.Ф орму л ы прямоу г ол ьни к ов : Ф орму л а л ев ы х прямоу г ол ьни к ов . Н а к аж доми з и нтерв ал ов [ x i ; x i +1 ] ф у нк ци я f(x) заменяется на постоянну ю f ai = f ( x i ) , в ел и чи на к оторой сов падает со значени емподи нтег рал ьной ф у нк ци и f (x ) на л ев ой г рани це и нтерв ал а. Ф орму л а и меет в и д I ≈h
N −1
∑
i =0
f ( xi ) .
Ф орму л а прав ы х прямоу г ол ьни к ов . Здесь ф у нк ци я f(x) на к аж доми з и нтерв ал ов [ x i ; x i +1 ] заменяется на постоянну ю f ai = f ( x i +1 ) , в ел и чи на к оторой сов падает со значени емф у нк ци и f(x) на прав ой г рани це и нтерв ал а. Т ог да N
I ≈ h ∑ f ( xi ) . i =1
Т еорети ческ ая пог реш ность эти х ф орму л и меет порядок R = ( Nh 2 / 2) f ' (ξ ) , г де f ' ( x) - прои зв одная ф у нк ци и f(x), а ξ ∈ [a; b] - точк а мак си му ма ф у нк ци я f ' ( x) . М оди ф и ци ров анная ф орму л а прямоу г ол ьни к ов . Ф у нк ци я f(x) на к аж дом и з и нтерв ал ов [ x i ; x i +1 ] заменяется на постоянну ю f ai = f ( x i + h / 2) , в ел и чи на к оторой сов падает со значени емф у нк ци и f(x) в середи не и нтерв ал а. Т ог да I ≈h
N −1
∑
i =0
f ( xi + h / 2) = h
N
∑
i =1
f ( xi − h / 2) .
Пог решность ф орму л прямоу г ол ьни к ов рав на R = ( Nh3 / 24) f ( 2)' (ξ ) . Здесь и дал ее под f
( m )'
( x) пони мается m-я прои зв одная ф у нк ци и f(x), а ξ ∈ [ a; b]
- точк а мак си му ма ф у нк ци и f ( m)' ( x) . 2. Ф орму л а трапеци й . Здесь ф у нк ци я f(x) на к аж доми нтерв ал е [ x i ; x i +1 ] заменяется на л и ней ну ю ф у нк ци ю f ai ( x) = ci + xdi , сов падающу ю со значени ями поди нтег рал ьной ф у нк ци и f(x) на г рани цах и нтерв ал а (т.е. при x = x i и x = xi +1 ). Ф орму л а и меет в и д N −1 f (a ) + f (b) I ≈ h ∑ f ( xi ) + , R = ( Nh3 / 12) f (3)' (ξ ) . 2 i =1 3. Ф орму л а Эй л ера-М ак л орена (моди ф и ци ров анная ф орму л а трапеци й ).
[
]
N −1 f ( a) + f (b) h 2 ' I ≈ h ∑ f ( xi ) + − f (b) − f ' (a) , R = (11Nh5 / 720) f ( 4)' (ξ ) . 2 i =1 12 4. Ф орму л а С и мпсона (ф орму л а парабол ). Ф у нк ци я f(x) на к аж дом и нтерв ал е [ xi −1 ; xi +1 ] заменяется на парабол у f ai (x) = ci + xd i + x 2 g i , сов падающу ю со значени ями ф у нк ци и f(x) при x = x i −1 , x = xi и x = x i +1 . Т ог да N / 2 −1 h N /2 I ≈ 4 ∑ f ( x2i −1 ) + 2 ∑ f ( x2i ) + f (a ) + f (b) , 3 i =1 i =1 R = ( Nh 6 / 180) f ( 4)' (ξ ) . Здесь сл еду ет в ы би рать четное значени е N > 2.
5. Ф орму л ы Н ьютона-К отеса замк ну тог о ти па. В к ачеств е аппрок си ми ру ющей ф у нк ци и здесь и спол ьзу ются пол и номы Лаг ранж а порядк а n. При n = 3 N / 3−1 3h N / 3 [ ] I≈ f x f x f ( x3i ) + f ( a) + f (b) , 3 ( ) ( ) 2 + + ∑ ∑ 3i − 2 3i −1 8 i =1 i =1 R = ( Nh 6 / 80) f ( 4)' (ξ ) . Сл еду ет в ы би рать значени е N > 3 и к ратное 3. При n = 4 (ф орму л а Боде) I≈
2h N / 4 ∑ {32 [ f ( x4i −3 ) + f ( x4i −1)] + 12 f ( x4i − 2 )} + 45 i =1 N / 4 −1
f ( x4i ) + 7 [ f ( a ) + f (b)] , i =1 R = (2 Nh8 / 945) f (6)' (ξ ) . Здесь в ы би рают N > 4 и к ратно 4. При n = 5 + 14
∑
5h N / 5 ∑ {75 [ f ( x5i − 4 ) + f ( x5i −1)] + 50 [ f ( x5i −3 ) + f ( x5i − 2 )] } + 288 i =1 N / 5 −1 + 38 ∑ f ( x5i ) + 19 [ f (a ) + f (b)] , i =1 8 ( 6)' R = (55 Nh / 12096) f (ξ ) . Здесь N > 5 и к ратно 5. При n = 6 I≈
I≈
h N / 6 ∑ {216 [ f ( x6i −5 ) + f ( x6i −1)] + 27 [ f ( x6i −4 ) + f ( x6i −2 )] + } 140 i =1 N / 6−1
i =1
+ 272f (x6i −3)}+ 82
∑ f (x6i ) + 41[ f (a) + f (b)] ,
R = (3 Nh10 / 2800) f (8)' (ξ ) . Здесь N > 6 и к ратно 6. При n = 7 I≈
7h N / 7 ∑ {3577 [ f ( x7i −6 ) + f ( x7i −1)] + 1323 [ f ( x7i −5 ) + f ( x7i −2 )] + 17280 i =1 N / 7 −1
f 7i + 751 [ f (a ) + f (b)] , i =1 10 (8)' R = (1169 Nh / 518400) f (ξ ) . Здесь N > 7 и к ратно 7. При n = 8 + 2989 [ f ( x7i − 4 ) + f ( x7i −3 ) ] } +1502
I≈
∑
4h N / 8 ∑ {5888 [ f ( x8i −7 ) + f ( x8i −1)] − 928 [ f ( x8i −6 ) + f ( x8i −2 )] + 14175 i =1 + 10496 [ f ( x8i −5 ) + f ( x8i −3 )] − .
− 4540 f8i − 4 } +1978
N / 8 −1
∑
i =1
f8i + 989 [ f ( a ) + f (b)] ,
12
296 Nh f (10)' (ξ ) . Здесь N > 8 и к ратно 8. 467775 При n > 8 к оэф ф и ци енты в ф орму л ах Н ьютона-К отеса и меют г ромоздк и й в и д. При n ≥ 10 метод станов и тся чи сл енно неу стой чи в ы ми зза представ л ени я к оэф ф и ци ентов Ai в в и де дробей сбол ьши мчи сл ом значащи х ци ф р и сразны ми знак ами . О тмети м, что ф орму л ы Н ьютона-К отеса при ф и к си ров анномзначени и n яв л яются точны ми ф орму л ами и нтег ри ров ани я дл я ф у нк ци и y = f(x) в в и де пол и нома степени n-1. 6. Ф орму л ы У эддл я. Испол ьзу ют бол ее просты е значени я к оэф ф и ци ентов Ai , чемф орму л а Н ьютона-К отеса соотв етств у ющег о порядк а, однак о обл адают меньшей точностью. При n= 6 пол у чаем R=
I≈
N /6 3h N / 6 [ ] + + 5 f ( x ) f ( x ) ∑ ∑ [ f ( x6i − 4 ) + f ( x6i − 2 )] + . 6i − 5 6i −1 10 i =1 i =1 N /6
N / 6 −1
i =1
i =1
+ 6 ∑ f ( x6i −3 ) + 2
∑
f ( x6i ) + [ f (a) + f (b)] ,
R = (47 Nh / 75600) f (ξ ) . Здесь N > 6 и к ратно 6. 7. Ф орму л ы Н ьютона-К отеса отк ры тог о ти па. Здесь, в отл и чи е от ф орму л Н ьютона-К отеса замк ну тог о ти па, не и спол ьзу ются значени я поди нтег рал ьной ф у нк ци и на г рани цах и нтерв ал ов [ x i ; x i +1 ] . В резу л ьтате ф орму л ы и нтег ри ров ани я пол у чаются неск ол ьк о проще, однак о они обл адают бол ее ни зк ой точностью. При n = 3 8
( 4 )'
3h N / 3 ∑ [ f ( x3i −2 ) + f ( x3i −1)] , 2 i =1 Здесь N > 3 и к ратно 3. При n = 4 I≈
R = ( Nh 4 / 12) f ( 2)' (ξ ) .
4h N / 4 { [ ] } I≈ 2 f ( x ) + f ( x ) − f ( x ) ∑ 4 i − 3 4 i − 1 4 i − 2 , 3 i =1 6 ( 4 )' R = (14 Nh / 180) f (ξ ) . Здесь N > 4 и к ратно 4. При n = 5 5h I≈ 24 R = (19 Nh / 144) f При n = 6 6
N /5
∑ { 11 [ f ( x5i −4 ) +
i =1 ( 4 )'
f ( x5i −1 )] + [ f ( x5i −3 ) + f ( x5i − 2 )] } ,
(ξ ) . Здесь N > 5 и к ратно 5.
I≈
6h N / 6 ∑ {11 [ f ( x6i −5 ) + f ( x6i −1)] − 14 [ f ( x6i − 4 ) + f ( x6i − 2 )] + 26 f ( x6i −3 ) } 20 i =1
R = (41Nh8 / 840) f ( 6)' (ξ ) . Здесь N > 6 и к ратно 6. 8. Ф орму л а Гау сса. Т очность и нтег ри ров ани я по к в адрату рной ф орму л е (1) мож но пов ы си ть, есл и в ы би рать нерав ноотстоящи е значени я у зл ов xi . Н аи бол ьш ее распространени е пол у чи л а ф орму л а Гау сса, г де значени я xi в ы би раются в соотв етств и и сраспол ож ени емну л ей пол и номов Леж андра порядк а n. При меняя ф орму л у Гау сса на к аж доми з поди нтерв ал ов [ xi −1 ; xi +1 ] , пол у чаемф орму л у и нтег ри ров ани я N −1 h n x + x i hi + tj, I ≈ ∑ i ∑ A j f (u ij ) , hi = x i +1 − x i , u ij = i +1 2 2 2 i =0 j =1 г де n - порядок и спол ьзу емог о пол и нома Леж андра, t i -нерав ноотстоящи е значени я у зл ов на стандартном и нтерв ал е [−1;1] , сов падающи е с пол ож ени ем ну л ей соотв етств у ющег о пол и нома Леж андра. Есл и в ы би рать xi = a + ih , то hi = h . Значени я у зл ов t i и к оэф ф и ци ентов Ai дл я разл и чны х n рав ны : при n = 1 : t1 = 1, A1 = 2 ; при n = 2 : t2 = −t1 = 0.577350269 , A1 = A2 = 1 ; при n = 3 : t 3 = −t1 = 0.774596669 , t 2 = 0 , A1 = A3 = 0.555555555 , A2 = 0.888888 ; при n = 4 : t4 = −t1 = 0.861136311, t3 = −t2 = 0. 339981043 , A1 = A4 = 0.347854845 , A2 = A3 = 0.652145155 ; при n = 5 : t5 = −t1 = 0.906179846 , t4 = −t2 = 0.538468310 , t 3 = 0 , A1 = A5 = 0. 236926885 , A2 = A4 = 0.478628670 ; A3 = 0. 568888888 . Ф орму л а Гау сса при заданномn яв л яется точной , есл и ф у нк ци я y =f(x) пол и номстепени 2n-1.
ЗАД АН ИЯ . Испол ьзу я одну и з ф орму л чи сл енног о и нтег ри ров ани я, в ы чи сл и ть и нтег рал сотноси тел ьной пог решностью ε = 10 −3 . 5
1.
1
3 4 −1 ∫ x ( x + 16) dx .
2.
1
0
2 x − 1 dx .
0
1
3. 10 ∫ exp(− x) dx .
∫
4.
1 2π
1.95
∫
−1.95
x2 exp − dx . 2
3. РЕ Ш Е Н И Е Н Е Л И Н Е Й Н ЫХ У РА В Н Е Н И Й
Задача реш ени я у рав нени я f(x) = 0 зак л ючается в нахож дени и к орней у рав нени я, т.е. значени й арг у мента x ф у нк ци и f(x), у дов л етв оряющи х этому у рав нени ю. Н ахож дени е к орней у рав нени я в общемсл у чае пров оди тся в 2 этапа. 1 этап. Вы дел ени е и нтерв ал а л ок ал и заци и [a;b], на к оторомнаходи тся еди нств енное реш ени е (к орень) у рав нени я f(x) = 0. Есл и и меется неск ол ьк о к орней у рав нени я, то дл я к аж дог о и з ни х дол ж ен бы ть у к азан св ой и нтерв ал л ок ал и заци и , при чеми нтерв ал ы дл я разл и чны х к орней не дол ж ны перек ры в аться. Этот этап обы чно осу ществ л яется на основ е аналит ичес к ого и л и граф ичес к ого анал и за ф у нк ци и . Счи тается, что есл и ф у нк ци я f(x) знак опеременна на к онцах нек оторог о и нтерв ал а [a;b], то в ну три нег о су ществ у ет хотя бы оди н к орень у рав нени я f(x) = 0. Е сл и при этом су ществ у ет прои зв одная f ' ( x) на у к азанноми нтерв ал е, и она не меняет знак а в предел ах в сег о и нтерв ал а, то к орень яв л яется еди нств енны м. Е сл и и нтерв ал [a;b], на к оторомнаходи тся и ск омое решени е (к орень) у рав нени я, заранее и зв естен, то переходят сразу к в ы пол нени ю сл еду ющег о этапа. 2 этап. Н ахож дени е к орня у рав нени я f(x) = 0 на в ы дел енноми нтерв ал е [a;b] чис ленны м им ет одам и. Вы бор метода осу ществ л яется в зав и си мости от в и да ф у нк ци и f(x). Е сл и ф у нк ци я f(x) на и нтерв ал е [a;b] непреры в на, но неди ф ф еренци ру ема, то сл еду ет и спол ьзов ать методы пол ов и нног о дел ени я, зол отог о сечени я, сл у чай ны х проб (М онте-К арл о). Е сл и ф у нк ци я f(x) непреры в но ди ф ф еренци ру ема на и нтерв ал е [a;b], то так ж е мож но и спол ьзов ать бол ее бы стры е и тераци онны е методы : метод просты х и тераци й , метод хорд, метод сек у щи х, метод Н ьютона, метод Эй тк ена Стеф ф енсона и др. О днак о сходи мость эти х методов обеспечи в ается при в ы пол нени и допол ни тел ьны х требов ани й к в и ду ф у нк ци и f(x) и в ы бору начал ьног о при бл и ж ени я. М етоды Н ьютона и Эй тк ена-Стеф ф енсона обл адают пов ы ш енной сходи мостью по срав нени ю сметодомпросты х и тераци й . Рассмотри мчи сл енны е методы нахож дени я еди нств енног о к орня у рав нени я f(x) = 0 на в ы дел енноми нтерв ал е [a;b]. 1. М етод пол ов и нног о дел ени я (би сек ци и ). Интерв ал л ок ал и заци и [a;b] к орня у рав нени я дел ят попол ам точк ой x* = (a + b) / 2 . Затем определ яют, на к ак ом и з поди нтерв ал ов [a; x* ] , [ x*; b] находи тся к орень у рав нени я, и заменяют и нтерв ал [a;b] на этот поди нтерв ал . Д л я нахож дени я ну ж ног о поди нтерв ал а срав ни в ают знак и ф у нк ци и f(x) на г рани цах поди нтерв ал ов : - есл и f (a ) f ( x* ) < 0 , то к орень находи тся на отрезк е [a; x* ] и сл еду ет
пол ож и ть b = x * , - есл и f (b) f ( x* ) < 0 , то к орень находи тся на отрезк е [ x* ; b] и сл еду ет пол ож и ть a = x * .
Е сл и ж е f ( x* ) = 0 , то значени е x = x * яв л яется точны мк орнем у рав нени я, и в ы чи сл ени я прек ращаются. Н ов ы й и нтерв ал [a;b] снов а дел и тся попол амточк ой x* = (a + b) / 2 , находи тся поди нтерв ал л ок ал и заци и к орня и и нтерв ал [a;b] заменяется на этот поди нтерв ал . Т ак ая процеду ра у меньш ени я и нтерв ал а [a;b] л ок ал и заци и к орня пов торяется необходи мое чи сл о раз, пок а не бу дет най ден точны й к орень у рав нени я и л и дл и на b-a и нтерв ал а [a;b] не станет меньше заданной точности ε нахож дени я к орня. В посл еднем сл у чае в к ачеств е к орня у рав нени я при ни мают значени е x* = (a + b) / 2 . 2. М етод просты х и тераци й . У рав нени е f(x) = 0 представ л яется в в и де ϕ ( x ) = x . Н а отрезк е [a;b] в ы би рается ну л ев ое при бл и ж ени е x = x 0 к орня у рав нени я. Затем значени е к орня у точняется по и тераци онной ф орму л е x i = ϕ ( x i −1 ) , i = 1,2,... до тех пор, пок а не бу дет в ы пол няться у сл ов и е x i − x i −1 < ε , г де ε - заданная точность нахож дени я к орня. В к ачеств е к орня у рав нени я при ни мается посл еднее в ы чи сл енное значени е x = x i . Сходи мость метода обеспечи в ается при в ы пол нени и у сл ов и я ϕ ' ( x) < 1 на в семи нтерв ал е [a;b], в томчи сл е и при x = x 0 . 3. М етод хорд (л ож ног о пол ож ени я). М етод основ ан на замене ф у нк ци и y = f(x) на пряму ю (хорду ), проходящу ю через точк и ( a; f ( a )) , (b; f (b )) и сов падающу ю с ф у нк ци ей f(x) на г рани цах и нтерв ал а [a;b] л ок ал и заци и к орня у рав нени я. В к ачеств е ну л ев ог о при бл и ж ени я x 0 к орня при ни мается точк а пересечени я данной прямой с осью x. Д ал ее и нтерв ал [a;b] заменяется на оди н и з поди нтерв ал ов [a; x0 ] , [ x 0 ; b] , на к отором находи тся к орень у рав нени я, т.е. на к онцах к оторог о ф у нк ци я f(x) и меет разны е знак и . Н а нов оми нтерв ал е [a;b] ф у нк ци ю y = f(x) снов а заменяют прямой , находят сл еду ющее при бл и ж ени е x1 к орня к ак точк у пересечени я прямой с осью x и заменяют и нтерв ал [a;b] на оди н и з поди нтерв ал ов [a; x1 ] , [ x1 ; b] , на к оторомнаходи тся к орень у рав нени я. Т ак у ю процеду ру нахож дени я при бл и ж ени й xi к орня у рав нени я пов торяют до тех пор, пок а не бу дет в ы пол няться у сл ов и е x i − x i −1 < ε , г де ε - допу сти мая абсол ютная пог решность нахож дени я к орня. В к ачеств е к орня при ни мается посл еднее в ы чи сл енное значени е x = x i . В резу л ьтате метод хорд св оди тся к и тераци онны мф орму л ам: 1) есл и f (b) f ' ' (b) > 0 , то f ( xi ) x 0 = a , xi +1 = xi − (b − xi ) , пок а x i − x i −1 > ε .; f (b) − f ( xi ) 2) есл и f ( a ) f ' ' ( a ) > 0 , то
f ( xi ) ( xi − a ) , пок а x i − x i −1 > ε . f ( xi ) − f (a) 4. М етод Н ьютона (к асател ьны х). Идея метода Н ьютона анал ог и чна методу хорд. В отл и чи е от метода хорд, прямая яв л яется к асател ьной к ф у нк ци и в точк е анал и зи ру емог о при бл и ж ени я. М етод св оди тся к и тераци онной ф орму л е f ( xi ) x i +1 = x i − пок а x i − x i −1 > ε . f ' ( xi ) Н ачал ьное при бл и ж ени е x 0 в ы би рается и з у сл ов и й сходи мости , есл и f (b ) f ' ' (b ) > 0 , то x 0 = b ; есл и ж е f ( a ) f ' ' ( a ) > 0 , то x 0 = a . М етод работоспособен при f ' ( xi ) ≠ 0 . Е сл и анал и ти ческ ое нахож дени е прои зв одной f ' ( x ) затру дни тел ьно, то мож но и спол ьзов ать моди ф и ци ров анны е ф орму л ы Н ьютона: x 0 = b , xi +1 = xi −
f ( xi ) пок а x i − x i −1 > ε ; f ( xi + ∆x) − f ( xi ) f ( xi ) и л и xi +1 = xi − ∆x пок а x i − x i −1 > ε . f ( xi ) − f ( xi − ∆x) Здесь ∆x дол ж но бы ть мал ой в ел и чи ной . Эти ф орму л ы пол у чены заменой прои зв одной f ' ( x ) на ее при бл и ж енное в ы раж ени е через при ращени я ф у нк ци и и арг у мента. f ( xi ) xi +1 = xi − 2) пок а x i − x i −1 > ε , K г де K - к онстанта, бл и зк ая к среднему значени ю f ' ( x ) на и нтерв ал е [a;b]. 5. М етод сек у щи х (прав и л о л и ней ной и нтерпол яци и ). Вы в оди тся и з метода Н ьютона при замене прои зв одной f ' ( xi ) на ф у нк ци ю [ f ( xi ) − f ( xi −1 )] / ( xi − xi −1 ) . В резу л ьтате пол у чаеми тераци онну ю ф орму л у : x f ( x i ) − x i f ( x i −1 ) x i +1 = i −1 пок а x i − x i −1 > ε . f ( x i ) − f ( x i −1 ) При и спол ьзов ани и метода необходи мо задав ать дв а начал ьны х значени я x0 ∈ [a; b] и x1 ∈ [a; b] . М етод работоспособен, есл и f ( xi ) − f ( xi −1 ) ≠ 0 при x i ≠ x i −1 . 6. М етод Стеф ф енсена (Эй тк ена-Стеф ф енсена). Я в л яется моди ф и к аци ей метода и тераци й и обл адает по срав нени ю сни м у ск оренной сходи мостью. У рав нени е f ( x ) = 0 представ л яется в в и де ϕ ( x ) = x . Д л я заданног о начал ьног о при бл и ж ени я x = x 0 в ы чи сл яются 1)
xi +1 = xi − ∆x
промеж у точны е при бл и ж ени я x1* = ϕ ( x 0 ) и x1** = ϕ ( x1* ) к орня у рав нени я. Затемв ы чи сл яется перв ое при бл и ж ени е x1 =
x 0 x1** − x1*2 x1** − 2 x1* + x 0
к орня.
Испол ьзу я при бл и ж ени е x1 к ак начал ьное, анал ог и чно находят сл еду ющее при бл и ж ени е x 2 к орня у рав нени я и так дал ее, пок а не бу дет в ы пол няться у сл ов и е x i − x i −1 < ε , г де ε - заданная точность нахож дени я к орня. В резу л ьтате метод С теф ф енсена св оди тся к и тераци онной ф орму л е xiϕ[ϕ ( xi )] − ϕ 2 ( xi ) xi +1 = пок а x i − x i −1 > ε . ϕ[ϕ ( xi )] − 2ϕ ( xi ) + xi У сл ов и я сходи мости метода те ж е, что и дл я метода и тераци й . ЗАД АН ИЯ . Реши те у рав нени е одни ми з методов сзаданной точностью ε . В ск обк ах ( ) у к азан и нтерв ал л ок ал и заци и к орня. 1. М етодомпол ов и нног о дел ени я : a) x 4 − x − 1 = 0 , ( [1;2] ); б) x3 − 6 x + 2 = 0 , ( [1;2] ); 2. М етодоми тераци й и л и Эй тк ена-Стеф ф енсена : a) exp( − x / 10) − x = 0 ; б) x3 + x = 1000 . 3. М етодомН ьютона и л и сек у щи х : а) x − sin x − 0,25 = 0 , ([0,5;3]); б) x 4 − 3 x 2 − 75 x − 10000 = 0 , ( [0,1;30] ). 4. М етодомхорд : x3 − 0,2 x 2 − 0,2 x − 1,2 = 0 , ( [1;1,5] ). 4. Д И Ф Ф Е РЕ Н Ц И РО В А Н И Е Ф У Н К Ц И Й Задача чи сл енног о ди ф ф еренци ров ани я ф у нк ци и f(x) зак л ючается в нахож дени и ее n-й прои зв одной f '( m ) ( x) = d m f ( x) / dx m . При этомф у нк ци я f(x) мож ет бы ть опи сана анал и ти ческ и и л и задана в в и де табл и цы значени й ф у нк ци и при ф и к си ров анны х значени ях арг у мента. Ч и сл енны е методы ди ф ф еренци ров ани я ф у нк ци й св одятся к замене и ссл еду емой ф у нк ци и f (x) на заданноми нтерв ал е [a;b] на и нтерпол яци онны й пол и ном f n ( x ) = c0 + c1x + c2 x 2 + ... + cn x n степени n, сов падающи й со значени ями ф у нк ци и f(x) в заданны х точк ах x = x i (у зл ах). При этомпредпол аг ается, что в ы пол няется рав енств о f '( m ) ( x ) = f n'( m ) ( x) и прои зв одну ю ф у нк ци и f(x) мож но замени ть на л ег к о в ы чи сл яему ю прои зв одну ю и нтерпол яци онног о пол и нома f n (x ) . Е сл и ф у нк ци я f(x) задана анал и ти ческ ой ф орму л ой , то дл я пол у чени я ее прои зв одны х чи сл енны ми методами у добно и спол ьзов ать ф орму л ы , пол у ченны е на основ е и нтерпол яци и Лаг ранж а дл я рав ноотстоящи х значени й арг у мента x i сшаг омh. Т очность и нтерпол яци и в озрастает с у меньшени емш аг а h. 1. К в адрати чная и нтерпол яци я (n = 2) f ' ( x) = [ f ( x + h) − f ( x − h)] / 2h , f ' ' ( x ) = [ f ( x + 2h ) − f ( x − 2h)] / 4h 2 ,
f ' ' ' ( x) = [ f ( x + 3h) − f ( x + h) − f ( x + h) + f ( x − 3h)] / 8h3 .
Д л я в ы чи сл ени я прои зв одны х бол ее в ы сок и х порядк ов сл еду ет посл едов ател ьно при менять эти ф орму л ы необходи мое чи сл о раз. 2. В сл у чае n = 4 f ' ( x ) = [ f ( x − 2 h ) − 8 f ( x − h ) + 8 f ( x + h ) − f ( x + 2 h )] / 12 h , f ' ' ( x) = [ f ( x − 4h) −16 f ( x − 3h) + 64 f ( x − 2h) + 16 f ( x − h) − 130f (x) + +16 f ( x + h) + 64 f ( x + 2h) −16 f ( x + 3h) + f ( x + 4h) ] /144h2,
f ' ' ' ( x) = [ f ( x − 6h) − 24 f ( x − 5h) + 192 f ( x − 4h) − 488 f ( x − 3h) − − 387 f ( x − 2h) + 1584 f ( x − h) − 1584 f ( x + h) + 387 f ( x + 2h) + + 488 f ( x + 3h) − 192 f ( x + 4h) + 24 f ( x + 5h) − f ( x + 6h) ] / 1728h3. Д л я у в ел и чени я точности в ы чи сл ени я прои зв одны х по эти мф орму л ам сл еду ет брать мал ы е значени я ш аг а h. Е сл и ф у нк ци я f(x) задана в в и де табл и цы значени й в рав ноотстоящи х точк ах x = x i , i = 1,2,.., n сшаг омh, то дл я в ы чи сл ени я прои зв одной ф у нк ци и f(x) мож но в оспол ьзов аться ф орму л ами : 1. К в адрати чная и нтерпол яци я (n = 2). Вы чи сл ени я пров одятся по трем значени ямф у нк ци и f (x) в точк ах x1 = x0 − h , x 2 = x 0 , x3 = x0 + h . ]
f ' ( x) = [ ( p − 1 / 2) f ( x0 − h) − 2 p f ( x0 ) + ( p + 1 / 2) f ( x0 + h)] / h ,
Здесь и дал ее p = ( x − x0 ) / h . 2. К у би ческ ая и нтерпол яци я (n = 3). Вы чи сл ени я пров одятся по значени ямф у нк ци и f(x) в точк ах x1 = x0 − h , x 2 = x 0 , x3 = x0 + h , x4 = x0 + 2h . f ' ( x) = [ − (3 p 2 − 6 p + 2) f ( x0 − h) / 6 + (3 p 2 − 4 p − 1) f ( x0 ) / 2 − − (3 p 2 − 2 p − 2) f ( x0 + h) / 2 + (3 p 2 − 1) f ( x0 + 2h) / 6] / h, 3. n = 4. Вы чи сл ени я пров одятся по значени ямф у нк ци и f(x) в точк ах x1 = x0 − 2h , x2 = x0 − h , x 3 = x 0 , x4 = x0 + h и x4 = x0 + 2h . f ( x 0 − 2h ) f ( x 0 − h) − (4 p 3 − 3 p 2 − 8 p + 4) + 12 6 + (2 p 3 − 5 p) f ( x0 ) / 2 − (4 p 3 + 3 p 2 − 8 p − 4) f ( x0 + h) / 6 +
f ' ( x) = [ (2 p 3 − 3 p 2 − p + 1)
+ (2 p 3 + 3 p 2 − p − 1) f ( x0 + 2h) / 12 ] / h . Ф орму л ы чи сл енног о ди ф ф еренци ров ани я в сл у чае не рав ноотстоящи х точек рассмотрены в [2-7] и др. Пог решность у к азанны х ф орму л и меет порядок h n +1 . ЗАД АН ИЯ . Вы чи сл и ть прои зв одны е ф у нк ци й
1. f ( x ) = x m ; 2. f ( x) = exp(ax) ; 3. f ( x) = sin(bx) . Срав ни ть пол у ченны е резу л ьтаты сзначени ями анал и ти ческ и в ы чи сл енны х прои зв одны х. 5. РЕ Ш Е Н И Е Д И Ф Ф Е РЕ Н Ц И А Л Ь Н ЫХ У РА В Н Е Н И Й Задача реш ени я обы к нов енног о ди ф ф еренци ал ьног о у рав нени я dy ( x ) y' = = f ( x, y ) зак л ючается в нахож дени и ф у нк ци и y (x) , dx у дов л етв оряющей этому у рав нени ю при заданном начал ьному сл ов и и значени и y 0 = y ( x 0 ) и ск омой ф у нк ци и в точк е x = x 0 . Ч и сл енны е методы реш ени я у рав нени я y ' = f ( x, y ) позв ол яют най ти значени я yi = y ( xi ) и ск омой ф у нк ци и в заданны х точк ах x = x i обл асти определ ени я x. М етоды чи сл енног о реш ени я ди ф ф еренци ал ьны х у рав нени й мож но у сл ов но раздел и ть на односту пенчаты е (однош аг ов ы е) и мног осту пенчаты е (мног ошаг ов ы е). О дносту пенчаты е методы позв ол яют по и зв естному значени ю yi = y ( xi ) ф у нк ци и y(x) в точк е x = x i най ти при бл и ж енное значени е y i +1 = y ( x i +1 ) ф у нк ци и в точк е x = x i +1 = x i + h , г де h – шаг в ы чи сл ени я ф у нк ци и . Т ак и м образом, и спол ьзу я начал ьное значени е y 0 = y ( x 0 ) ф у нк ци и в точк е x = x 0 , находят значени е y1 = y( x1 ) ф у нк ци и в точк е x1 = x 0 + h . Затем, и спол ьзу я пол у ченное значени е y1 = y ( x1 ) ф у нк ци и при x = x1 в к ачеств е начал ьног о, находят значени е y 2 = y ( x 2 ) ф у нк ци и при x 2 = x1 + h и так дал ее. При меняя однош аг ов ы й метод необходи мое чи сл о раз, посл едов ател ьно находят значени я y i ф у нк ци и y (x) в о в сех требу емы х точк ах x = x i обл асти определ ени я. К однош аг ов ы м методам относятся методы Ру нг е-К у тта разл и чног о порядк а. При мног ошаг ов ы х методах к аж дое при бл и ж енное значени е y i +1 ф у нк ци и y(x) в точк е x = xi +1 определ яется на основ е значени й y i , y i −1 ,… , y i − r ф у нк ци и y(x) в точк ах x i = x i +1 − h , x i −1 = x i − h ,.., x i − r = x i − r +1 − h , г де чи сл о n = r + 1 >1, и спол ьзу емы х при в ы чи сл ени ях значени й ф у нк ци и y(x), зав и си т от порядк а при меняемог о метода. Е сл и задано тол ьк о одно начал ьное значени е y 0 и ск омой ф у нк ци и y(x) в точк е x = x 0 , то недостающи е дл я при менени я мног ош аг ов ог о метода начал ьны е значени я y1 ,… , y r находят с помощью одног о и з одношаг ов ы х методов . Затем, при меняя мног ош аг ов ы й метод, необходи мое чи сл о раз, посл едов ател ьно находят значени я y i ф у нк ци и y (x) в о в сех требу емы х точк ах x = x i обл асти определ ени я. К мног ошаг ов ы м методам относятся метод Адамса, нек оторы е методы ти па прог ноза и к оррек ци и (и л и преди к тор - к оррек тор) и др.
Ч и сл енны е методы реш ени я ди ф ф еренци ал ьны х у рав нени й яв л яются при бл и ж енны ми , и х точность в озрастает су меньш ени ем шаг а h = x i +1 − x i в ы чи сл ени я и ск омой ф у нк ци и y(x). Н а прак ти к е пров одят неск ол ьк о в ы чи сл ени й реш ени я ди ф ф еренци ал ьног о у рав нени я с разл и чны ми значени ями h. Т очность в ы чи сл ени й счи тают достаточной , есл и посл еду ющее у меньшени е ш аг а h (напри мер, в 2 раза) при в оди т к мал ому относи тел ьному и зменени ю и ск омы х значени й ф у нк ци и y(x) в заданны х точк ах x = x i (меньш е заданной относи тел ьной пог решности ε ). При в едем наи бол ее распространенны е ф орму л ы дл я реш ени я обы к нов енны х ди ф ф еренци ал ьны х у рав нени й 1-г о порядк а с у к азани ем оценк и R абсол ютной пог реш ности эти х ф орму л . 1. Ф орму л ы Эй л ера и Ру нг е-К у тта. Я в л яются одношаг ов ы ми и требу ют одно начал ьное значени е y 0 = y ( x 0 ) и ск омой ф у нк ци и y(x). Д опу ск ают в озмож ность в ы чи сл ени я спеременны мш аг ом h = x i +1 − x i , i = 1,2,.., N Ф орму л а Эй л ера (Ру нг е-К у тта 1-г о порядк а). y i +1 = y i + h f ( x i , y i ) , R = O (h 2 ) .
М оди ф и ци ров анная ф орму л а Эй л ера (Ру нг е-К у тта 2-г о порядк а) yi +1 = yi + h f ( xi + h / 2, yi + K / 2) , K = h f ( xi , yi ) , R = O(h3 ) . У сов ерш енств ов анная ф орму л а Эй л ера-К оши (однош аг ов ы й метод прог ноз-к оррек ци я) yi +1 = yi + [K + h f ( xi + h, yi + K )]/ 2 , K = h f ( xi , yi ) , R = O ( h3 ) . Ф орму л а Ру нг е-К у тта 3-г о порядк а yi +1 = yi + ( K1 + 4 K 2 + K3 ) / 6 , K1 = h f ( xi , yi ) , K 2 = h f ( xi + h / 2, yi + K1 / 2) , K3 = h f ( xi + h, yi − K1 + 2 K 2 ) , R = O (h 4 ) . Ф орму л а Ру нг е-К у тта 4-г о порядк а yi +1 = yi + ( K1 + 2 K 2 + 2 K3 + K 4 ) / 6 , K1 = h f ( xi , yi ) , K 2 = h f ( xi + h / 2, yi + K1 / 2) , K3 = h f ( xi + h / 2, yi + K 2 / 2) , K 4 = h f ( xi + h, yi + K3 ) ,
R = O ( h5 ) .
2. Эк страпол яци онны е ф орму л ы Адамса n-г о порядк а. Я в л яются мног ошаг ов ы ми . Здесь значени е y i +1 ф у нк ци и y (x) в точк е x = xi +1 в ы чи сл яется на основ е n предшеств у ющи х значени й y i , y i −1 ,.. , y i −n +1 ф у нк ци и y(x) в точк ах x i = xi +1 − h , x i −1 = xi − h ,.., xi − n +1 = xi − n + 2 − h с помощью пол и номов Лаг ранж а. Д остои нств о метода - дл я пол у чени я очередног о значени я ф у нк ци и y(x) требу ется л и ш ь одно в ы чи сл ени е ф у нк ци и f(x,y), что заметно у ск оряет расчеты . Ф орму л а Адамса 2-г о порядк а.
y i +1 = y i + (h / 2) [ 3 f ( x i , y i ) − f ( x i −1 , y i −1 )] ,
R = O ( h3 ) .
Ф орму л а Адамса 3-г о порядк а. yi +1 = yi + (h / 12) [ 23 f ( xi , yi ) − 16 f ( xi −1 , yi −1 ) + 5 f ( xi − 2 , yi − 2 )] + O (h3 ) ,
R = O ( h3 ) .
Ф орму л а Адамса 4-г о порядк а. yi +1 = yi + ( h / 24) [55 f ( xi , yi ) − 59 f ( xi −1, yi −1 ) +
+ 37 f ( x i − 2 , y i − 2 ) − 9 f ( x i −3 , y i −3 )], R = O (h5 ) .
3. М ног ошаг ов ы е ф орму л ы ти па прог ноз-к оррек ци я. Здесь в ы чи сл ени е значени я y i +1 ф у нк ци и y(x) в точк е x = xi +1 пров оди тся в дв а этапа. Сначал а на основ е n предш еств у ющи х значени й y i , y i −1 ,.., y i −n +1 ф у нк ци и y(x) в точк ах x i = xi +1 − h ,.., xi − n +1 = xi − n + 2 − h в ы чи сл яется прог ноз
y i(+01) = y ( xi +1 ) ф у нк ци и y(x) в точк е x = xi +1 . Затемпрог нози ру емое значени е y i(+01) к оррек ти ру ется (у точняется) p ≥ 1 раз, т.е. в ы чи сл яются у точненны е значени я y i(+j1) = y ( x i +1 ) , j = 1,2,.., p ф у нк ци и y(x) в точк е x = xi +1 . Прог ноз в торог о порядк а и к оррек ци я по ф орму л е трапеци й . К оррек ци я прои зв оди тся 1 раз. yi(+01) = yi −1 + 2h f ( xi , yi ) , R = O(h3 ) . Прог ноз -
[
]
К оррек ци я - yi(+1)1 = yi + (h / 2) f ( xi , yi ) + f ( xi +1, yi(+01) ) . Прог ноз мож но осу ществ л ять и по дру г и мф орму л ам, напри мер по ф орму л е Эй л ера. Прог ноз в торог о порядк а и к оррек ци я по ф орму л е и тераци й . К оррек ци я прои зв оди тся p ≥ 1 раз.
y i(+01) = y i −1 + 2h f ( x i , y i ) , R = O(h3 ) .
Прог ноз -
[
]
К оррек ци я yi(+j1) = yi + (h / 2) f ( xi , yi ) + f ( xi +1, yi(+j1−1) ) , j = 1,2,.., p . Прог ноз мож но осу ществ л ять и по дру г и мф орму л ам, напри мер по ф орму л е Эй л ера. Ф орму л а М и л на. Прог ноз
y i(+01) = y i −3 + (4h / 3) [2 f ( x i , y i ) − f ( x i −1 , y i −1 ) + 2 f ( x i − 2 , y i − 2 )]. К оррек ци я y i(+1)1 = y i −1 + (h / 3) 4 f ( x i , y i ) + f ( x i −1 , y i −1 ) + f ( x i +1 , y i(+01) ) , R = O(h5 ) .
[
]
ЗАД АН ИЯ . Испол ьзу я одну и з ф орму л чи сл енног о ди ф ф еренци ров ани я, най ти решени е ди ф ф еренци ал ьног о у рав нени я
y ' = f ( x, y ) сзаданны мначал ьны му сл ов и емна заданноми нтерв ал е значени й x:
1. y ' = − x / y , y (0) = 1 , x ∈ [0 ; 0,9] . 2. y ' = 1 + cos( x ) , y (0) = 1 , x ∈ [0 ; 7] ; 3. y ' + y 2 = 0 , y (0,5) = 2 , x ∈ [0,5 ;10] . 4. y ' + 2 y = 0 , y (0) = 10 , x ∈ [0 ; 3] ;
6. РЕ Ш Е Н И Е СИ СТ Е М Л И Н Е Й Н ЫХ У РА В Н Е Н И Й Рассмотри мрешени е си стемы л и ней ны х у рав нени й a11 x1 + a12 x 2 + ... + a1n x n = b1 a x + a x + ... + a x = b 21 1 22 2 2n n 2 , и л и AX=B, ....... a n1 x1 + a n 2 x 2 + ... + a nn x n = bn b1 x1 b x ... a2n a a , B= 2 , X= 2 . г де A = 21 22 ... ... ... ... ... ... bn xn an1 an 2 ann М етоды решени я си стем л и ней ны х у рав нени й мог у т бы ть раздел ены на дв е г ру ппы : 1) точны е (прямы е); 2) при бл и ж енны е (и тераци онны е). К прямы мотносятся методы , позв ол яющи е за к онечное чи сл о операци й сточны ми чи сл ами пол у чи ть точное реш ени е си стемы у рав нени й . К точны мотносятся метод Гау сса, метод К рамера, метод г л ав ны х эл ементов , метод к в адратны х к орней . Вы чи сл и тел ьная пог решность эти х методов св язана ск онечны мчи сл омразрядов ЭВМ при представ л ени и в еществ енны х чи сел , оши бк ами ок ру г л ени я и т.п. К и тераци онны мотносятся методы , позв ол яющи е пол у чи ть к орни си стемы у рав нени й сзаданной точностью в резу л ьтате реал и заци и сходящи хся беск онечны х процессов . К так и мметодамотносятся метод простой и тераци и , метод Зей дел я, метод рел ак саци и . Пог решность при при менени и и тераци онны х методов ск л ады в ается и з пог реш ности и спол ьзу емог о метода и в ы чи сл и тел ьной пог реш ности . Эф ф ек ти в ность методов определ яется ск оростью сходи мости и тераци онног о процесса и в ы боромначал ьног о при бл и ж ени я. Эти методы мог у т бы ть при менены и при реш ени и си стемнел и ней ны х у рав нени й . Рассмотри мчасто при меняемы е методы решени я си стемл и ней ны х у рав нени й . a11
a12
... a1n
1. М етод Гау сса (метод и ск л ючени я). При менени е метода раздел яется на дв а этапа: прямой ход и обратны й ход. Прямой ход. М атри ца A л и ней ной си стемы AX=B при в оди тся к треу г ол ьному в и ду A=A’ (прои зв оди тся три анг у л яци я). Т реу г ол ьная матри ца A’ – матри ца, в се эл ементы к оторой под г л ав ной ди аг онал ью ' ' ' ... a1' n a11 a12 a13 ' ' 0 a22 ... a2' n a23 ' рав ны ну л ю, т.е. A' = 0 0 a33 ... a3' n ... ... ... ... ... ' 0 0 0 ... ann Д л я в ы пол нени я три анг у л яци и мож но перестав л ять местами строк и матри цы , а так ж е заменять строк и на л и ней ну ю к омби наци ю строк так , чтобы определ и тел ь матри цы не и зменял ся. При этомсл еду ет так и мж е способомпреобразов ы в ать и матри цу B. В резу л ьтате, матри цы A и B
переходи т в матри цы A' и B' = b1' b2' ... bn'
T
соотв етств енно, а си стема
AX=B переходи т в эк в и в ал ентну ю си стему A'X=B', и меющу ю так ое ж е реш ени е. Процеду ра три анг у л яци и св оди тся к сл еду ющему . 1. Вы би рается перв ая строк а матри цы A ( i =1). 2. Есл и a ii = 0 , то среди сл еду ющи х строк сномерами k = i+1,… ,n находи мстрок у сэл ементом a ki ≠ 0 и перестав л яемi-ю и k-ю строк и матри цы . Т еперь a ii ≠ 0 и переходи мк дал ьней ш и мв ы чи сл ени ям. Е сл и в се aki = 0 , то решаемая си стема у рав нени й яв л яется в ы рож денной и не и меет решени я. Е сл и a ii ≠ 0 , то при сту паемк и ск л ючени ю эл ементов a mi , m = i + 1, i + 2, ..., n . Д л я этог о в се эл ементы aij и bi i-й строк и матри ц A и B норми ру емна a ii и переобозначаем
a ij = a ij / a ii , bi = bi / a ii , j = 1,2,..,n. Затеми з к аж дой k-й строк и ( k = i + 1, ..., n ) в ы чи таемi-ю строк у св есом a ki и переобозначаем
a kj = a kj − a ki a ij , bk = bk − a ki bi , j = 1,2,..,n, k = i+1,… ,n. В резу л ьтате, в i-мстол бце: aii = 1 , aki = 0 . 3. Переходи м к сл еду ющей строк е (у станав л и в аем i = i + 1 ). Е сл и i ≤ n − 1, то переходи м к в ы пол нени ю пу нк та 2). Е сл и i = n и ann ≠ 0 , то три анг у л яци я матри цы A и соотв етств у ющее преобразов ани е матри цы B зак ончены . В резу л ьтате, матри цы A и B переходи т в матри цы A’ и B’ соотв етств енно. М ож но переходи ть к э тапу 2 реш ени я си стемы . Есл и ж е i = n и a nn = 0 , то си стема не и меет реш ени я.
О братны й ход. Реш ается треу г ол ьная си стема у рав нени й A'X=B’. Решая посл еднее n-е у рав нени е си стемы , пол у чаем x n = b n' (так к ак ' a nn = 1 ).
Подстав л яя
это
реш ени е
в
n-1-е
у рав нени е,
находи м
x n −1 = − и так дал ее в пл оть до 1-г о у рав нени я. В резу л ьтате и ск омое реш ени е си стемы у рав нени й запи ш ется в в и де bn' −1
x n a (' n −1) n
x n = bn' , xi = bi' −
n
∑
j =i +1
x j aij' , i = n − 1, n − 2,...,1 .
2. М етод К рамера. Е сл и det A ≠ 0 (определ и тел ь матри цы A отл и чен от ну л я), то си стема у рав нени й AX=B и меет еди нств енное решени е xk = det Dk / det A , k = 1,2,.., n , г де Dk – матри ца, пол у чаемая и з матри цы A заменой k-г о стол бца матри цы на стол бец B. Е сл и det A = 0, то си стема не и меет решени я. О предел и тел и матри ц, и спол ьзу емы е в методе К рамера, находят разл и чны ми методами . Е сл и размер матри цы нев ел и к , то мож но и спол ьзов ать ф орму л у прямог о в ы чи сл ени я определ и тел я через ег о эл ементы . Т ак дл я матри цы A размером 2 × 2 и меем: det A = a11a22 − a12 a21 . О предел и тел ь матри цы A размером n × n в ы чи сл яется через определ и тел и матри ц размером (n − 1) × (n − 1) по ф орму л е: H ij n
det A = ∑ ( −1)(i +1) a1i det H1i , i =1
г де
матри цы
H ji
пол у чаются
из
A
в ы черк и в ани емj-й строк и и i-г о стол бца. Е сл и размер матри цы достаточно в ел и к , л и бо предпол аг ается в ы чи сл ять определ и тел и матри ц разл и чны х размеров , то цел есообразно и спол ьзов ать чи сл енны е методы нахож дени я определ и тел ей . О ди н и з методов основ ан на три анг у л яци и матри цы (при в едени ю ее к треу г ол ьному в и ду так , чтобы определ и тел ь матри цы не и змени л ся). Е сл и матри ца A размером ( n × n) при в едена к треу г ол ьной матри це A ' ' ' ' (запи сана в ы ше), то det A = det A ' = a11 a22 ...ann . Д л я три анг у л яци и матри цы A мож но в оспол ьзов аться опи санной в ы ш е процеду рой прямог о хода метода Гау сса. 3. М етод просты х и тераци й . При и спол ьзов ани и метода и тераци й си стему у рав нени й AX=B при в одят к в и ду X=CX+E, г де e1 x1 с11 с12 ... с1n e x с с ... с 2 n С= 21 22 , E = 2 , X = 2 . Задается ну л ев ое ... ... ... ... ... ... en xn с n1 с n 2 с nn
при бл и ж ени е x1 = x1( 0) , x2 = x2(0) ,.., xn = xn(0) решени я си стемы . Затем при бл и ж ени е у точняется по и тераци онной ф орму л е
x1(i ) = с11x1(i −1) + с12 x2(i −1) + ... + с1n xn(i −1) + e1 ; (i ) (i −1) (i −1) (i −1) x2 = с 21x1 + с 22 x2 + ... + с 2 n xn + e2 ; xn(i ) = с n1x(i −1) + с n 2 x(i −1) + ... + с nn xn(i −1) + en ; 1 2
i = 1,2,.. ,
до тех пор, пок а не бу дет в ы пол няться у сл ов и е max( x1(i ) − x1(i −1) ,..., xn(i ) − xn(i −1) ) < ε , г де ε - заданная точность нахож дени я к орней си стемы
у рав нени й . В к ачеств е реш ени й си стемы при ни маются посл едни е в ы чи сл енны е значени я x1 = x1(i ) , x 2 = x 2(i ) ,..., x n = x n(i ) . У сл ов и я и ск орость сходи мости и тераци онной процеду ры зав и сят от способа представ л ени я си стемы AX=B в в и де X=CX+E (от значени й эл ементов матри ц C и E). С у ществ у ющи е необходи мы е и достаточны е у сл ов и я сходи мости метода и тераци й неу добны дл я прак ти ческ ог о n
и спол ьзов ани я. Перечи сл и мдостаточны е у сл ов и я сходи мости : 1) ∑ cij < 1 j =1
дл я в сех i = 1,2,..., n ; и л и 2) n
n
∑∑
i =1 j =1
n
∑
i =1
cij < 1 дл я в сех j = 1,2,..., n ; и л и 3)
2
cij < 1 .
Ч асто при в едени е си стемы AX-B=0 к в и ду CX+E=X пров одят, раздел и в к аж дое i-е у рав нени е си стемы на эл емент a ii и перенося переменну ю x i в прав у ю часть у рав нени я. В резу л ьтате пол у чаем b1 / a11 0 − a12 / a11 ... − a1n / a11 b /a − a21 / a22 0 ... − a2 n / a22 С= , E = 2 22 . Т ог да метод ... ... ... ... ... bn / ann − an1 / ann − an 2 / ann 0 и тераци й реш ени я у рав нени я AX=B св оди тся к рек у ррентной ф орму л е x1(i ) = [ −a12 x2(i −1) − a13 x3(i −1) − ... − a1n xn(i −1) + b1 ] / a11; (i ) (i −1) (i −1) (i −1) x2 = [ −a21x1 − a23 x3 − ... − a2 n xn + b2 ] / a22 ; i = 1,2,.. . ....... xn(i ) = [ −an1x(i −1) − an 2 x(i −1) − ... − a( n −1)( n −1) x (i −1) + bn ] / ann ;. n −1 1 2
Т ак ая и тераци онная ф орму л а назы в ается методом Я к оби . Д остаточны е n
у сл ов и я сходи мости метода перепи ш у тся к ак 1) ∑ a ij / a ii < 2 дл я в сех j =1
i = 1,2,..., n ; n
n
∑∑
i =1 j =1
или
n
2)
∑
i =1
a ij / a ii < 2
дл я в сех
j = 1,2,..., n ;
или
3)
2
aij / aii < 1 + n .
4. М етод Зей дел я. Я в л яется моди ф и к аци ей метода и тераци й . Здесь си стему у рав нени й AX=B так ж е при в одят к в и ду X=CX+E. Задается ну л ев ое при бл и ж ени е реш ени я си стемы x1 = x1( 0) , x2 = x2(0) ,.., xn = xn(0) . Д ал ее, в отл и чи е от метода и тераци й , при бл и ж ени е у точняется по и тераци онной ф орму л е x1(i ) = с11x1(i −1) + с12 x2(i −1) + с13 x3(i −1) + ... + с1n xn(i −1) + e1 ; (i ) (i ) (i −1) (i −1) (i −1) x2 = с 21x1 + с 22 x2 + с 23 x3 + ... + с 2n xn + e2 ; (i ) i = 1,2,.. , x3 = с 31x1(i ) + с 32 x2(i ) + с 33 x3(i −1) + ... + с 3n xn(i −1) + e2 ; ..... (i ) (i ) (i ) xn = с n1x1 + с n 2 x2 + с n3 x3(i ) + ... + с nn xn(i −1) + en ; до тех пор, пок а не бу дет в ы пол няться у сл ов и е max( x1(i ) − x1(i −1) ,..., xn(i ) − xn(i −1) ) < ε , г де ε - заданная точность нахож дени я к орней си стемы у рав нени й . В к ачеств е реш ени й си стемы при ни маются посл едни е в ы чи сл енны е значени я x1 = x1(i ) , x 2 = x 2(i ) ,..., x n = x n(i ) . У сл ов и я сходи мости метода Зей дел я отл и чаются от у сл ов и й сходи мости метода просты х и тераци й . В частности , достаточны е у сл ов и я сходи мости и меют в и д: n
n
1) max ∑ cij < 1, i = 1,2,..., n ; и л и 2) max ∑ cij < 1, j = 1,2,..., n . i
j =1
j
i =1
Е сл и при в едени е си стемы AX-B=0 к в и ду CX+E=X пров одят анал ог и чно методу Я к оби , то метод Зей дел я решени я у рав нени я AX=B св оди тся к и тераци онной ф орму л е x1(i ) = [ −a12 x2(i −1) − a13 x3(i −1) − ... − a1n xn(i −1) + b1 ] / a11; (i ) (i ) (i −1) (i −1) x2 = [ −a21x1 − a23 x3 − ... − a2 n xn + b2 ] / a22 ; i = 1,2,.. , . x3(i ) = [ −a31x1(i ) − a32 x2(i ) − ... − a3n xn(i −1) + b3 ] / a33 ; xn(i ) = [ −an1x1(i ) − an 2 x2(i ) − ... − a( n −1)( n −1) xn(i−)1 + bn ] / ann ;
Т ак ая и тераци онная ф орму л а назы в ается методомН ек расов а. Д остаточны е n
у сл ов и я сходи мости метода перепи ш у тся к ак max ∑ aij / aii < 2, i
j =1
n
i = 1,2,..., n ; и л и max ∑ aij / aii < 2, j = 1,2,..., n . j
i =1
ЗАД АН ИЕ. Реш и ть си стему у рав нени й чи сл енны мметодом: x + 2 y + 3z = 41; 4 x + 0,24 y − 0,08 z = 8 ; 1. 20 x + 4 y − 7 z = 32 ; 2. 0,09 x + 3 y − 0,15 z = 9 ; 7 x − y + 5 z = 54 ; 0,04 x − 0,08 y + 4 z = 20 ; 1,84 x + 2,25 y − 2,53z = −6,09 ; 3. 2,32 x + 2,6 y − 2,82 z = −6,98 ; 1,83x − 2,06 y + 2,24 z = −5,52 ;
3x − 2 y + 5 z = 7 ; 4. 7 x + 4 y − 8 z = 3; 5 x − 3 y − 4 z = −12 ;
x + y + z + t = 10 ; x + 2 y − 2 z + 3t = 11; 5. 2 x + z = 5; 3x + y + 2 z + 2t = 19 ;
4 x − 2 y + 3z + t = 13; 5 y − 2 z + 3t = 16 ; 6. 2 x − 3 y + 4 z − 2t = 0 ; x − 3z + t = −4 ;
x + 2 y + 3z − 2t = 1; 2 x − y − 2 z − 3t = 2 ; 7. 3x + 2 y − z + 2t = −5; 2 x − 3 y + 2 z + t = 11;
x + 2 y + 3z + 4t = 7 ; 2 x + y + 2 z + 3t = 6 ; 8. 3x + 2 y + z + 2t = 7 ; 4 x + 3 y + 2 z + t = 18;
2 x + 10 y + 16 z − 6t + 8s = 20 ; 3x + 2 y + 4 z + 8s = 20 ; 9. 6 x − 4 y + z + 3t + 5s = 10 ; 8 x − 2 y + 4 z − 3t + s = 0 ; 3x + 2 y + 4 z + t + 5s = 30 ; 7. В ЫЧИ СЛ Е Н И Е И Н Т Е ГРА Л О В М Е Т О Д О М М О Н Т Е -К А РЛ О Вы чи сл ени е определ енног о и нтег рал а b
I = ∫ f ( x) dx
(7.1)
a
от ф у нк ци и , зав и сящей от одной переменной , не в ы зы в ает в опросов . r О днак о есл и ф у нк ци я зав и си т от r переменны х x = ( x1 , x2 ,..., xr ) , г де r >3, то обы чны е к в адрату рны е ф орму л ы дл я в ы чи сл ени я
b1
br
a1
ar
I = ∫ dx1... ∫ f ( x1 , x2 ,..., xr ) dxr непри г одны и з-за к атастроф и ческ ог о роста объема в ы чи сл ени й (он растет к ак nr , г де n – чи сл о у зл ов и нтег ри ров ани я). О дни м и з способов в ы чи сл ени я мног омерны х и нтег рал ов яв л яется метод М онте-К арл о [6-8]. При в едем основ ны е пол ож ени я и з теори и в ероятностей и математи ческ ой стати сти к и , необходи мы х дл я пони мани я этог о метода: а) определ ени е в ероятности собы ти я {a ≤ ξ < b} b
p = P( a ≤ ξ < b) = ∫ wξ ( x) dx, a
г де wξ(x) – пл отность в ероятностей сл у чай ной в ел и чи ны ξ; б) среднее значени е сл у чай ной в ел и чи ны b
mξ =< ξ >= ∫ xwξ ( x)dx; a
в ) среднее значени е ф у нк ци и сл у чай ног о арг у мента b
f m =< f (ξ) >= ∫ f ( x) wξ ( x)dx; a
г ) ди сперси я ф у нк ци и сл у чай ног о арг у мента b
D ( f (ξ)) =< f (ξ) > 2
− f ξ2
b
= ∫ f ( x ) wξ ( x)dx − [ ∫ f ( x ) wξ ( x)dx]2 ; 2
a
a
2
D(const)=0, D(ξ/c)=1/c D(ξ). (7.2) Итак , определ енны е и нтег рал ы мог у т бы ть и нтерпрети ров аны к ак в ероятности , моменты , средни е значени я ф у нк ци й сл у чай ног о арг у мента с нек оторой пл отностью в ероятностей . Рассмотри м эмпи ри ческ и е оценк и соотв етств у ющи х теорети ческ и х параметров : а) параметр: р – в ероятность собы ти я. k О ценк а: p= , (7.3) n г де n – чи сл о и спы тани й ; k – чи сл о и спы тани й , в к оторы х и мел о место рассматри в аемое собы ти е. Х арак тери сти к и оценк и : < p >= p - несмещенная оценк а, D ( p% ) = p(1 − p ) / n → 0, n → ∞. б) параметр: mξ ;
1 b (7.4) ∑ ξi ; n i =1 Х арак тери сти к и оценк и < ξ >= mξ , D( ξ ) = D(ξ) / n → 0, n → ∞ в ) Параметр fm; 1 n оценк а: f = ∑ f (ξi ) ; (7.5) n i =1 Х арак тери сти к и оценк и < f >= f m , D( f ) / n → 0, n → ∞. При в еденны е соотнош ени я л еж ат в основ е цел ог о ряда ал г ори тмов М онтеК арл о. Базов ы й ал г ори тм1.0 (М К -1.0). При нци п ег о в и ден и з сл еду ющи х соотношени й
оценк а:
ξ=
b
b
I = ∫ f ( x) dx = (b − a ) ∫ f ( x) a
a
b
1 dx = (b − a) ∫ f ( x) wξ ( x) dx , (b − a) a
(7.6)
г де wξ ( x) = 1
- пл отность в ероятности рав номерно распредел енной (b − a ) сл у чай ной в ел и чи ны a<ξ
b
(b − a) 2 I2 . f ( x ) dx − n ∫a n
Базов ы й ал г ори тм 2.0 (М К -2.0) Пу сть и зв естно, что ∞
∫ f ( x)dx = 1, 0
∞
è ëè
∫
−∞
f ( x)dx = 1 .
Т ог да f(x) мож но и нтерпрети ров ать к ак пл отность wξ ( x) нек оторой сл у чай ной в ел и чи ны ξ. При этом
в ероятности
b
I = ∫ f ( x)dx = p = P [ a ≤ ξ < b ] .
(7.8)
a
О ценк ой I яв л яется k I% = p = , (7.9) n г де k- чи сл о попадани й сл у чай ной в ел и чи ны ξ в и нтерв ал [a,b] в сери и и з n посл едов ател ьны х и спы тани й . О ценк а (7.9) так ж е несмещенная, а ее ди сперси я p(1 − p ) 1 D ( I% ) = = (I − I 2 ) . n n Итак , этапы в ы чи сл ени я по методу М К -2.0: а) ф орми ру емспомощью Д СЧ чи сл а αi ∈ [ 0,1], б) ф орми ру ем чи сл а ξi = ϕ(αi ) пу тем нек оторог о нел и ней ног о преобразов ани я, однозначно св язанног о сf(x), в ) подсчи ты в аемk-чи сл о собы ти й a ≤ ξi < b , г ) посл е норми ров к и на n пол у чаемоценк у и нтег рал а I% = k / n . Базов ы й ал г ори тм3.0 (М К -3.0) Пу сть ф у нк ци я f(x) в пи сана в прямоу г ол ьну ю обл асть x ∈ [ a, b ] , c ≤ y ≤ d Сф орми ру емдв е рав номерно распредел енны е сл у чай ны е в ел и чи ны ξ1, i ∈ [ a, b ] , ξ2, i ∈ [ c, d ], i = 1,...n . Рассматри в ая и х к ак к оорди наты точк и на пл оск ости , определ яем, к ак ая часть и х ок аж ется под к ри в ой . Т ак к ак S=(b-a)(d-c), то k I% = S , (7.10) n г де k- чи сл о точек под к ри в ой , а n- пол ное чи сл о точек в прямоу г ол ьни к е. О ценк а и нтег рал а (7.10) несмещенная с ди сперси ей D ( I% ) = SI − I 2 / n .
(
)
Итак , сог л асно этому ал г ори тму реал и зу ются сл еду ющи е этапы а) ф орми ру емспомощью Д СЧ чи сл а α1, i , α 2, i ∈ [ 0,1] , i = 1,...n; б) масш таби ру емэти чи сл а ξ1, i = α1, i (b − a ) + a, ξ2, i = α 2, i (d − c) + c; в ) пров еряемнерав енств о ξ2, i ≤ f (ξ1, i ) и подсчи ты в аемчи сл о k соотв етств у ющи х собы ти й в n и спы тани ях; г ) в ы чи сл яем оценк у I% = Sk / n . Из при в еденны х в ы ше соотношени й в и дно, что ди сперси и оценок % D ( I ) → 0, ïðè n → ∞ , но чи сл о и спы тани й n дл я дости ж ени я точности
ε∼10-5-10-6 мож ет бы ть очень бол ьши м. Пони ж ени е ди сперси и оценк и и нтег рал а бази ру ется на св ой ств ах ди сперси и сл у чай ны х в ел и чи н (7.2). О тсюда в ы тек ает ряд моди ф и к аци й М К -1.0 – М К -3.0. О станов и мся на моди ф и к аци ях базов ог о ал г ори тма М К -1.0. Ал г ори тм 1.1. Вы чи сл ени е в спомог ател ьног о и нтег рал а. Вы берем в спомог ател ьну ю ф у нк ци ю g(x), бл и зк у ю к f(x) , с точно b
в ы чи сл яемы ми нтег рал ом I g = ∫ g ( x)dx . Т ог да a
b
I = I g + ∫ [ f ( x) − g ( x) ] dx
(7.11)
a
О ценк ой и нтег рал а (7.11) яв л яется n %I = I + 1 [ f (ξ ) − g (ξ )] . ∑ i 1.1 g i n i =1 Т ак к ак f ( x ) − g ( x) << g ( x ) , то D ( I% ) << D( I% ) . 1.1
Ал г ори тм2.1. Н орми ров к а на в спомог ател ьну ю ф у нк ци ю. Вв едем неотри цател ьну ю ф у нк ци ю wξ ( x) >0, бл и зк у ю к f(x) по норме в нек отором метри ческ ом пространств е и у дов л етв оряющу ю у сл ов и ю b
норми ров к и
∫ wξ ( x)dx = 1 . Перепи шеми нтег рал
сл еду ющи мобразом
a
b
b
f ( x) wξ ( x) dx . w ( x ) ξ a
I = ∫ f ( x)dx = ∫ a
Т ог да 1 n f ( ξi ) I%1.2 = ∑ , n i =1 wξ (ξi )
(7.12)
г де ξi реал и заци я сл у чай ной в ел и чи ны ξ спл отностью в ероятности wξ ( x) . Е сл и f ( x) / w ( x) ≈ const , òî D ( I% ) << D( I% ) . ξ
1.2
Ал г ори тм1.3. Вы рав ни в ающее преобразов ани е ф у нк ци и 1
Пу сть
задан
и нтег рал
I = ∫ f ( x) dx,
x ∈ [ 0,1] .
О чев и дно,
что
0
1
I = ∫ f (1 − x) dx . 0
1
Вв едемф у нк ци ю f ( x) = ( f ( x) + f (1 − x) ) / 2 . Т ог да так ж е I = ∫ f + ( x)dx . +
0
Поэтому оценк ой и нтег рал а яв л яется n %I = 1 f + (α i ) . ∑ 1,3 n i =1
(7.13).
Е сл и f +(x)≈const, то D ( I%1.3 ) << D( I% ) . Рассмотри мв к ачеств е при мера в ы чи сл ени е тестов ог о и нтег рал а 1
I = ∫ exp( − x)dx = 1 − exp(−1) = 0.63212 0
n
1 Ал г ори тмМ К -1.0. I%1,0 = ∑ exp(−αi ), D( I%1,0 ) = 3.275 ⋅ 10−2 / n n i =1 Ал г ори тмМ К -2.0 I%2.0 = k / n, k : 0 ≤ ξi < 1, ξi = − ln(αi ). D ( I% ) = 2.325 ⋅ 10−1 / n . 2.0
Ал г ори тмМ К -3.0. I%3.0 = k / n, k : α 2, i ≤ exp(−α1, i ) , D ( I%3.0 ) = 2.325 ⋅ 10 −1 / n . 1 n Ал г ори тмМ К -1.1. g(x)=1-x, Ig=0.5, I%1.1 = 0.5 + ∑ ( exp(−αi ) − 1 + αi ) , n i =1 D ( I% ) = 1.2451 ⋅ 10 −2 / n . 1.1
Ал г ори тмМ К -1.2. wξ ( x) = (3/ 7)(1 − x / 2)2 ; ξi = 2 − 3 8 − 7αi ; n exp( −ξi ) −3 %I = 1 ∑ , D ( I%1.2 ) = 4.036 ⋅ 10 / n . 1.2 2 n i =1 (3/ 7)(1 − ξi / 2) 2 n Ал г ори тм М К -1.3. I%1.3 = ∑ ( exp( −αi ) + exp(−1 + αi ) ) , n i =1 D ( I% ) = 5 / 29 ⋅ 10−4 / n . 1.3
ПРИ Л О Ж Е Н И Е Н екоторые встроенные ф у нкции Mathcad sin(z) — cos(z) — tan(z) — cot(z) — exp(z) —
Э лементарные ф у нкции си ну с asin(z) — арк си ну с к оси ну с acos(z) — арк к оси ну с танг енс atan(z) — арк танг енс к отанг енс ln(z) — нату рал ьны й л ог ари ф м эк спонента log(z) — десяти чны й л ог ари ф м
Д ру гие ф у нкции Re(z) — дей ств и тел ьная часть к омпл ек сног о чи сл а z. Im(z) — мни мая часть к омпл ек сног о чи сл а z. arg(z) — арг у мент к омпл ек сног о чи сл а z (в ради анах).
δ(x,y) — си мв ол К ронек ера (1, есл и x=y, и 0, есл и x ≠ y; x и y — цел очи сл енны е в ел и чи ны . Φ( x) — ф у нк ци я Х ев и сай да (1, есл и x ≥ 0, и 0 в проти в номсл у чае). ceil(x) — наи меньшее цел ое, не прев ы шающее x. floor(x) — наи бол ьш ее цел ое чи сл о, меньш ее и л и рав ное x. mod(x, modulus) — остаток от дел ени я x по моду л ю. Арг у менты дол ж ны бы ть дей ств и тел ьны ми . Резу л ьтат и меет так ой ж е знак , к ак и x. if(cond, x, y) — x, есл и cond бол ьш е 0, и наче y. until(в ы раж ени е1, в ы раж ени е2) — в ы раж ени е1, пок а в ы раж ени е2 отри цател ьное. Ф у нкции для матриц и векторов augment(A, B) — при соеди нени е матри цы B к матри це A справ а; обе матри цы дол ж ны и меть оди нак ов ое чи сл о строк . cols(A) — чи сл о стол бцов в матри це A. csort(A, n) — сорти ров к а матри цы A по стол бцу n (перестанов к а строк по в озрастани ю значени й эл ементов в стол бце n). submatrix(A, ir, jr, ic, jc) — в ы дел ени е и з матри цы A су бматри цы , состоящей и з эл ементов , содерж ащи хся в строк ах сir по jr и в стол бцах сic по jc. Д л я сохранени я порядк а строк и стол бцов необходи мо, чтобы ir ≤ jr, ic ≤ jc. diag(v) — ди аг онал ьная матри ца, эл ементы г л ав ной ди аг онал и к оторой — в ек тор v. identity(n) — еди ни чная к в адратная матри ца размеромn. last(v) — и ндек спосл еднег о эл емента в ек тора v. lenght(v) — чи сл о эл ементов в в ек торе v. matrix(m, n, f) — матри ца, в к оторой (i, j)-й эл емент содерж и т f(i, j), г де i=0, 1, ... , m и j=0, 1, ... , n. max(A) — наи бол ьш и й эл емент матри цы A. mean(v) — среднее значени е в ек тора v. median(v) — меди ана. min(A) — наи меньш и й эл емент матри цы A. norme(M) — ев к л и дов а норма матри цы M. rank(A) — ранг матри цы A. reverse(v) — перев ерну ты й в ек тор v. rows(A) — чи сл о строк в матри це A. rsort(A, n) — сорти ров к а матри цы A по строк е n (перестанов к а стол бцов по в озрастани ю значени й эл ементов в строк е n). sort(v) — сорти ров к а в ек тора v по у бы в ани ю. stack(A, B) — ф орми ров ани е матри цы пу тем распол ож ени я A над B. М атри цы A и B дол ж ны и меть оди нак ов ое чи сл о стол бцов . stdev(v) — среднек в адрати ческ ое отк л онени е эл ементов в ек тора v. tr(M) — сл ед матри цы M (су мма эл ементов , распол ож енны х на г л ав ной ди аг онал и к в адратной матри цы M). var(v) — ди сперси я (в ари аци я) эл ементов в ек тора v.
hist(intervals, data) — г и стог рамма. Век тор intervals задает г рани цы и нтерв ал ов в порядк е в озрастани я; data — масси в данны х. Возв ращает в ек тор, содерж ащи й чи сл о точек и з data, попав ш и х в соотв етств у ющи й и нтерв ал . Реш ение у равнений и систем lsolve(M, v) — решени е си стемы л и ней ны х ал г ебраи ческ и х у рав нени й в и да M ⋅ x=v. Minerr( x1 , x2 ,...xn ) — в ек тор значени й дл я x1, x2,K, xn , к оторы е при в одят к ми ни мал ьной оши бк е в си стеме у рав нени й . root(expr, var) — значени е переменной var, при к оторой в ы раж ени е expr рав но ну л ю (в предел ах точности TOL). polyroots(v) — к орни мног очл ена степени n, к оэф ф и ци енты к оторог о находятся в в ек торе v дл и ны n+1.
О сновные законы распределения Ф у нк ци и , и мена к оторы х начи наются с “d” , в ы чи сл яют пл отность в ероятности (и л и в ероятность дл я ди ск ретны х в ел и чи н), с“p” — ф у нк ци и распредел ени я, с “q” — к в анти л и и с “r” — г енери ру ют в ек тор n сл у чай ны х чи сел ссоотв етств у ющи мзак ономраспредел ени я. dbeta(x, s1 , s2 ), pbeta(x, s1 , s2 ), qbeta(p, s1 , s2 ), rbeta(n, s1 , s2 ) — β -распредел ени е Γ (s1 + s 2 ) s1 −1 f(x) = x (1 − x)s2 −1 , 0 < x < 1, s1 ,s2 > 0. Γ (s1 )Γ (s 2 ) dbinom(k, m, p), pbinom(k, m, p), qbinom(p, m, q), rbinom(n, m, p) — би номи ал ьное распредел ени е k k m−k P(k) = C m p (1 − p ) , 0 ≤ k ≤ m, 0 ≤ p ≤ 1. dcauchy(x, l, s), pcauchy(x, l, s), qcauchy(p, l, s), rcauchy(n, l, s) — распредел ени е К оши 1 f(x) = , −∞ < x < ∞ , s > 0. 2 π s(1 + ((x − l) s ) ) dchisq(x, k), pchisq(x, k), qchisq(p, k), rchisq(n, k) — χ 2 -распредел ени е k/2 −1
exp( − x/2) x f(x) = , x > 0, k > 0. 2Γ(k/2) 2 dexp(x, r), pexp(x, r), qexp(p, r), rexp(n, r) — эк споненци ал ьное распредел ени е f(x) = r ⋅ e − rx , x > 0, r > 0. ⋅ dF(x, n1 , n2 ), pF(x, n1 , n2 ), qF(p, n1 , n2 ), rF(n, n1 , n2 ) — распредел ени е Ф и шера
f(x) =
Γ
( (n1 + n 2 ) 2 )
n1n1 2 n n2 2 2 x (n1 − 2)
2
, x > 0, n1 ,n 2 > 0. 2)Γ (n 2 2)(n 2 + n1 x)(n1 + n 2 ) 2 dgamma(x, s), pgamma(x, s), qgamma(p, s), rgamma(n, s) — γ -распредел ени е Γ (n1
x s −1 ⋅ e− x f(x) = , x ≥ 0, s > 0. Γ(s) dgeom(k, p), pgeom(k, p), qgeom(p, q), rgeom(n, p) — г еометри ческ ое распредел ени е P (k ) = p (1 − p ) k , 0 < p < 1. dlnorm(x, µ , σ ), plnorm(x, µ , σ ), qlnorm(p, µ , σ ), rlnorm(n, µ , σ ) — л ог нормал ьное (л ог ари ф ми ческ и нормал ьное) распредел ени е 2 2 1 f(x) = ⋅ e−(ln(x) − µ ) (2σ ) , x > 0, σ > 0. 2π σ x dlogis(x, l, s), plogis(x, l, s), qlogis(p, l, s), rlogis(n, l, s) — л ог и сти ческ ое распредел ени е e− (x − l) s f(x) = , −∞ < x < ∞, s > 0. s(1 + e− (x − l) s )2 dnbinom(k, m, p), pnbinom(k, m, p), qnbinom(p, m, q), rnbinom(n, m, q) — отри цател ьное би номи ал ьное распредел ени е P(k) = C km + k −1p m (1 − p)k , 0 < p ≤ 1, m > 0, k ≥ 0. dnorm(x, µ , σ ), pnorm(x, µ , σ ), qnorm(p, µ , σ ), rnorm(n, µ , σ ) — нормал ьное распредел ени е f(x) =
1
−
(x − µ )2
, −∞ < x < ∞, σ > 0. 2π σ dpois(k, λ), ppois(k, λ), qpois(p, λ), rpois(n, λ) — распредел ени е Пу ассона k −λ λ ⋅e P(k) = , λ > 0, k ≥ 0. k! dt(x, k), pt(x, k), qt(p, k), rt(n, k) — распредел ени е Стьюдента e
2σ 2
− (k +1) 2
+ 1) 2) x2 f(x) = 1 + , −∞ < x < ∞, k > 0. k Γ ( k 2) π k dunif(x, a, b), punif(x, a, b), qunif(p, a, b), runif(n, a, b) — рав номерное распредел ени е 1 f(x) = , a ≤ x ≤ b, a < b. b−a dweibull(x, s), pweibull(x, s), qweibull(p, s), rweibull(n, s) — распредел ени е Вей бу л л а Γ ((k
f(x) = sxs −1e− x
s
, x > 0, s > 0.
Д ру гие ф у нкции
cnorm(x) — и нтег рал в ероятности 1 Φ (x) = 2π erf(x) — ф у нк ци я ош и бок erf(x) =
x
∫e
−t2 2
dt .
−∞
2 x −t2 ∫e dt . π0
Γ( z ) — г амма-ф у нк ци я. rnd(x) — псев досл у чай ное рав номерно распредел енное чи сл о в ди апазоне от ну л я до x. Рекомендуемая литерату ра 1. М арчу к Г.И. М етоды в ы чи сл и тел ьной математи к и / Г.И. М арчу к . М .: Н ау к а, 1989. 2. Бахв ал ов Н .С. Г.М . Ч и сл енны е методы / Н .С. Бахв ал ов , Н .П. Ж и дк ов , Г.М . К обел ьк ов : Н ау к а, 1987. 3. Вол к ов Е .А. Ч и сл енны е методы /Е .А. Вол к ов . М .: Н ау к а, 1985. 4. Самарск и й А.А. Вв едени е в чи сл енны е методы /А.А. Самарск и й . М .: Н ау к а, 1987. 5. Самарск и й А.А. Ч и сл енны е методы /А.А. Самарск и й , А.В. Гу л и н. М .: Н ау к а, 1989. 6. Амосов А.А. Вы чи сл и тел ьны е методы дл я и нж енеров / А.А. Амосов , Ю.А. Д у би нск и й , Н .В. К опченов а. М .: Вы сш ая ш к ол а, 1994. 7. Бог л аев Ю.П. Вы чи сл и тел ьная математи к а и прог рамми ров ани е/Ю.П. Бог л аев . М .: Вы сш ая ш к ол а, 1990. 8. Справ очни к по специ ал ьны м ф у нк ци ям с ф орму л ами , г раф и к ами и математи ческ и ми табл и цами /Под ред. М . Абрамов и ца, И.С ти г ана. М .: Н ау к а, 1979. 9. К орн Г. Справ очни к по математи к е дл я нау чны х работни к ов /Г. К орн, Т . К орн. М .: Н ау к а, 1984. 10. Воробьев а Г.Н . Прак ти к у мпо в ы чи сл и тел ьной математи к е/Г.Н . Воробьев а, А.Н . Д ани л ов а. М .: Вы сшая ш к ол а, 1990. 11. Пл и сА.И. Лабораторны й прак ти к у мпо в ы сш ей математи к е/А.И. Пл и сА.И., Н .А. Сл и в и на. М .: Вы сш ая ш к ол а, 1994.
Состав и тел и : Радченк о Ю ри й Степанов и ч, Захаров Ал ек сандр Ви к торов и ч, Бу тей к о Вл ади ми р К онстанти нов и ч. Редак тор : Т и хоми ров а О .А.