Геометрия: Методические рекомендации для студентов I курса математического факультета. Часть 2

Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Уральский государственный педагогический университет» Математический факультет Кафедра геометрии

ГЕОМЕТРИЯ Методические рекомендации для студентов I курса математического факультета часть 2

Екатеринбург 2007

Данное пособие является составной частью учебнометодического комплекса по дисциплине «Геометрия» и призвано оказать помощь студентам в самостоятельной работе по изучению теоретического материала, выполнению индивидуальных заданий. В него включены: программа курса, тематические планы лекций и практических занятий, материалы для практических занятий, домашних заданий и контрольных работ, а также вопросы к экзамену. Составители: Толстопятов В.П., к. ф.-м. н., доцент кафедры геометрии Дударева Н.В., к. пед. н., доцент кафедры геометрии Хохлова О.В., ассистент кафедры геометрии

Содержание 2

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9.

Программа курса 4 Лекции 4 Практические занятия 5 Материалы для практических занятий и домашних заданий 6 Вариант контрольной работы по теме «Метод координат в пространстве» 17 Пример тестового задания для проверки остаточных знаний 18 Вопросы к экзамену 21 Методические советы студентам-первокурсникам23 Литература 25

1. Программа курса 3

1. Аналитическая стерео-метрия О задании фигур в пространстве. Плоскость в пространстве. Прямая линия в пространстве. Квадрики в 3мерном пространстве (поверхности второго порядка). Квадрики и прямые в пространстве. 2. Многомерные пространства Аффинные пространства. Плоскости в аффинном пространстве. Евклидовы пространства. Плоскости в евклидовом пространстве. Квадрики в аффинном пространстве. 2. Лекции Аффинная система координат в пространстве. Различные способы задания плоскости. 2. Геометрический смысл знака четырехчлена плоскости. Расстояние от точки до плоскости. 3. Прямая в пространстве. Взаимное расположение прямых, прямых и плоскостей. 4. Цилиндрические поверхности. 5. Конические поверхности. Конические сечения. 6. Поверхности вращения. Сжатие пространства к плоскости. 7. Эллипсоид. 8. Гиперболоиды. 9. Параболоиды 10.Прямолинейные образующие поверхностей второго порядка. 11. n-мерное векторное пространство. n-мерное аффинное пространство. 12. k-мерные плоскости. Взаимное расположение k-плоскостей. 1.

4

Определение некоторых фигур аффинного пространства. 14.Евклидово векторное пространство. 15.Евклидово n-мерное точечное пространство. 16. Квадратичные формы. Квадрики в аффинном пространстве. Классификация квадрик в аффинном пространстве. 17.Применение многомерных пространств. 13.

3. Практические занятия Метод координат в пространстве. Уравнение плоскости. 2. Расстояние от точки до плоскости. 3. Прямая в пространстве. 4. Взаимное расположение прямых. 5. Взаимное расположение прямых и плоскостей. 6. Расстояние между прямыми. 7. Метод координат в пространстве. 8. Метод координат в пространстве. 9. Исследование поверхности методом сечений. 10.Исследование поверхности методом сечений. 11.Построение тел, ограниченных поверхностями. 12.Построение тел, ограниченных поверхностями. 13.Аффинное n-мерное пространство. 14. k-плоскости. 15.Квадрики в аффинном пространстве. 16.Евклидово пространство. 17.Евклидово пространство. 1.

4. Материалы для практических занятий и домашних заданий 5

Занятие 1. Метод координат в пространстве. Уравнение плоскости Цель занятия: Сформировать навыки составления уравнения плоскости. Задачи 1. Определить, компланарны ли точки а) A( 3,1,0) , B( 0,1,2) , C ( − 1,0,− 5) , D( 4,1,5) ; б) K ( 0,0,5) , L( 0,0,2) , M (1,1,0) , N ( 4,1,2) . 2. Даны вершины D (1,3,7) , C (1,5,7) , D1 (1,3,5) , B1 (− 1,5,5) куба ABCDA1 B1C1 D1 . Найти: а) площадь треугольника DCB1 ; б) расстояние от точки A до прямой B1C ; в) биссектрису DN треугольника DCD1 . Найти: а) уравнение плоскости DD1 B ; б) уравнение плоскости, содержащей грань AA1 D1 D ; в) уравнение плоскости, проходящей через середину ребра AB параллельно плоскости DD1 B ; г) уравнение плоскости, касающейся в точке D1 сферы, описанной около куба. Найти: а) общие и каноническое уравнения прямой пересечения плоскостей AD1C и DC1 B ; б) параметрические уравнения прямых A1 B и D1C и расстояние между этими прямыми; в) канонические уравнения прямых DC1 и CB1 и расстояние между этими прямыми. 3. Составить уравнение плоскости, проходящей через точки M 1 ( 3,− 1,2) , M 2 ( 4,− 1,− 1) , M 3 ( 2,0,2) . 4. Через точку D ( − 5,− 4,8) провести плоскость, параллельную плоскости ABC , если A(2,3,1) , B(4,1,− 2) , C (6,3,7) . 5. Через точку P( 7,− 5,1) провести плоскость, отсекающую на осях координат положительные отрезки равной длины. 6

Через точку F ( 2,− 4,− 3) провести плоскость, перпендикулярную вектору n = ( 3,6,2) . 7. Найти уравнение плоскости, касающейся сферы ( x − 2) 2 + ( y − 3) 2 + ( z + 1) 2 = 24 в точке M 0 ( 0,1,3) . 8. Через точку M 0 (1,1,− 2 ) провести плоскость, перпендикулярную плоскостям α : 2 x + 3z = 0 и β :x − y + z − 1= 0. Домашнее задание ИДЗ. Работа 2. Составление уравнения плоскости. [6]. 6.

Занятие 2. Расстояние от точки до плоскости Цель занятия: Научиться применять формулу вычисления расстояния от точки до плоскости к решению задач. Задачи 1. Вычислить расстояние между плоскостями α :11x − 2 y − 10 z + 15 = 0 и β :11x − 2 y − 10 z + 45 = 0 . 2. На оси Oy найти точку, равноудаленную от плоскостей α : x + 2 y − 2 z − 1 = 0 и β : 3x + 5 = 0 . 2 2 2 3. К сфере x + ( y + 1) + ( z + 2 ) = 9 провести касательную плоскость, параллельную плоскости α : 6x + 3y + 2z = 0 . 4. Найти множество всех точек пространства, отстоящих на расстоянии 3 от плоскости α : 3 x − 6 y − 2 z + 14 = 0 . 5. Найти уравнение биссекторной плоскости двугранного угла, образованного плоскостями α : 3 x − y + 7 z − 4 = 0 и β : 5 x + 3 y − 5 z + 2 = 0 , в котором находится точка M 0 ( 2,− 1,3) . 6. Даны вершины D(1,3,7 ) , C (1,5,7 ) , D1 (1,3,5) , B1 ( − 1,5,5) куба ABCDA1 B1C1 D1 . 7

Найти: а) длину перпен- дикуляра, проведенного из вершины C к плоскости BDC1 ; б) уравнения плоскостей, делящих пополам двугранные углы между плоскостями BDC1 и DD1 B ; в) уравнения плоскостей, параллельных плоскости DD1 B и отстоящих от нее на расстоянии 2. 7. Установить расположение плоскости DCD1 относительно сферы x 2 + y 2 + z 2 = 11 . Домашнее задание ИДЗ. Работа №3. Расстояние от точки до плоскости. [6]. Занятие 3. Прямая в пространстве Цель занятия: Научиться составлять уравнение прямой в пространстве. Задачи  3x - y - 7z + 9 = 0  5y + 2z = 0

1.

Для прямой l : 

2.

найти: а) точку ей принадлежащую; б) направляющий вектор; в) каноническое и параметрические уравнения. Провести плоскость через точку M 0 ( 4,− 2,− 3) и пря 3x − y + 2 z + 9 = 0 . x+ z− 3= 0 

мую l :  3.

 5x − 4 y − 2z − 5 = 0 на  x + 2z − 2 = 0

Найти проекцию прямой l :  плоскость β : 2 x − y + z − 1 = 0 .

8

4.

Найти проекцию точки C ( 3,− 4,− 2) на плоскость, проходящую через прямые l : m:

x− 2 y− 3 z+ 3 = = . 13 1 − 4

x− 5 y− 6 z+ 3 = = и 13 1 − 4

Найти точку, симметричную точке P( 2,− 5,7 ) относительно прямой, проходящей через точки M 1 ( 5,4,6) и M 2 ( − 2,− 17,− 8) . Домашнее задание [3] №1144, 1150, 1155, 1158. 5.

Занятие 4-5. Взаимное расположение прямых. Взаимное расположение прямых и плоскостей Цель занятия: Научиться определять взаимное расположение прямых и плоскостей в пространстве. Задачи 1. Даны вершины D(1,3,7 ) , C (1,5,7 ) , D1 (1,3,5) , B1 ( − 1,5,5) куба ABCDA1 B1C1 D1 . Найти: а) общие и каноническое уравнения прямой пересечения плоскостей AD1C и DC1 B ; б) параметрические уравнения прямых A1 B и D1C ; в) канонические уравнения прямых DC1 и CB1 . 2. Определить взаимное расположение прямых:  x = 3t + 7 x− 1 y+ 2 z− 5  = = а) l : и m :  y = 2t + 2 ; 2 −3 4  z = − 2t + 1   x = 9t  2 x − 3 y − 3z − 9 = 0  б) l :  y = 5t и m :  ;  x − 2y + z + 3 = 0 z= t− 3   2x + 3y = 0  x+ z− 8= 0 и m : .  z− 4= 0  2 y + 3z − 7 = 0

в) l : 

9

3. Написать уравне-ние прямой, лежащей в плоскости α : y + 2 z = 0 и пересекающей прямые x= −t+ 1 x= −t+ 2   l :  y = t и m :  y = 2t + 4 .  z = 4t  z=1  

4. Найти уравнение прямой, проходящей через точM  ( 2,3,1) ку и пересекающей прямые x+ y = 0   x + 3y − 1 = 0 l : и m : . x− y+ z+ 4= 0  y+ z− 2= 0

5. Написать уравнения прямой, относительно которой

симметричны

прямые

 x = 11t + 1  l :  y = − 5t − 1  z = − 7t + 1 

и

x− 1 y− 2 z+ 1 = = . 11 −5 − 7 6. Через точку M 0 ( 2,0,1) провести прямую, перпенx+ 7 y+ 4 z+ 6 = = дикулярную прямой l : и пере3 4 − 2 m:

секающую ее. Домашнее задание ИДЗ. Работа № 4. Взаимное расположение двух прямых в пространстве. [6]

Занятие 6. Расстояние между прямыми Цель занятия: Научиться вычислять расстояние между прямыми в пространстве. Задачи 1. Даны вершины A( 2,2,− 1) , D( 2,2,7 ) , C ( 5,4,5) , D1 (1,3,− 3) параллелепипеда ABCDA1 B1C1 D1 . Найти: а) параметрические уравнения прямой пересечения плоскостей BC1 D и CB1 A ; б) канонические 10

уравнения прямых AB1 и DC1 и расстояние между этими прямыми; в) параметрические уравнения прямых A1 D и D1C и расстояние между этими прямыми. 2. Найти расстояние от точки P(1,3,5) до прямой l:

x y+ 1 z− 2 = = . 1 −1 −1

3. Вычислить расстояние между прямыми  2 x + 2 y − z − 10 = 0 x+ 7 y− 5 z− 9 l : = = и m: . 3 −1 4  x − y − z − 22 = 0

4. Вычислить расстояние между прямыми l:

x+ 7 y+ 4 z+ 3 x − 21 y + 5 z − 2 = = = = и m: . 3 4 − 2 6 − 4 −1

Домашнее задание ИДЗ. Работа № 1. Прямые и плоскости в пространстве. [9] Занятие 7. Метод координат в пространстве Цель занятия: Сформировать навыки применения метода координат к решению задач. Задачи 1. Даны точка A( 2,− 1,3) и плоскости α : x − 2 y + 3z − 2 = 0 , β : x − 3 y + 2 z = 0 и γ : 2 x − y + 3 z − 3 = 0 . Не пополняя данных, сформулировать и решить не менее семи задач на метод координат. 2. Основанием пирамиды является равнобедренный треугольник с катетами AC = BC = a . Боковое ребро SC перпендикулярно плоскости основания и равно a . Точка M — середина ребра SA . Найти площадь сечения пирамиды плоскостью, перпендикулярной прямой BM и проходящей через середину ребра SC . 11

3. Найти множество всех то- чек пространства, равноудаленных от данной точки и данной плоскости. 4. Ребра куба ABCDA1 B1C1 D1 равны a , M — середина ребра CD . Найти площадь сечения куба плоскостью, перпендикулярной прямой A1 M и проходящей через точку D. 5. Найти множество всех точек пространства, расстояние от которых до данной точки вдвое меньше расстояния до данной плоскости. Домашнее задание ИДЗ. Работа №2 Составление задач на метод координат. Работа №3 Координатный метод решения задач. [9]. Занятие 8. Контрольная работа по теме « Метод координат в пространстве» Занятие 9-10. Исследование поверхности методом сечений Цель занятия: Научиться определять вид поверхности по ее уравнению и восстанавливать уравнение поверхности по ее изображению. Задачи 1. Исследовать методом сечений и построить поверхности: x2 + 1 x2 4). − 1 2 x + 7). 16

1).

y2 = 1 y2 − 1 2 y + 9

x2 y2 z 2 x2 − + = 1 ; 3). − + 1 9 4 1 z2 x2 y2 z 2 + = 1 ; 5). + − = 0 ; 6). 1 4 4 9 z2 = 1. 4 z ; 2).

12

y2 = 1; 4 x2 y2 − = z; 4 2

2.

По изображению поническое уравнение.

верхности составить ее кано-

Занятие 11-12. Построение тел, ограниченных поверхностями Цель занятия: Научиться строить тела, ограниченные поверхностями. Задачи 1. Построить тела, ограниченные поверхностями: 1). x = 0; y = 0; z = 0; x = 2; y = 3; x + y + z = 6 ; 2). x = 0; y = 0; z = 0; x = 4; y = 4; z = x 2 + y 2 ; 3). z = 9 − y 2 ; 3x + 4 y = 12; x = 0; y = 0; z = 0 ; 4). 5). 6). 7). 8).

x2 y2 x2 y2 + = z2; + 2z ; 9 4 9 4 x2 y= ; y + z = 2; z = 0 ; 2 x + y + z = 6; x + 2 y = 4; y = 2 x; x = 0; z = 0 ; x 2 + z 2 = 4; y = 3 x; z = 0; y = 0 ; 1 z = y 2 ; 2 x + 3 y − 12 = 0; x = 0; z = 0 . 2

Домашнее задание ИДЗ. Работа № 4. Построение тел, ограниченных поверхностями. [9]. Занятие 13-14. Аффинное n-мерное пространство. k-мерные плоскости Цель занятия: Усвоить определения аффинного пространства, k-плоскости. Задачи 1. С помощью аксиом Вейля аффинного n -мерного пространства доказать: а) MM = 0 ; б) MN = − NM ; 13

(

)

AB = v, CD = v, A ≠ B ⇒ B ≠ D ; в) г) OM ′ = k OM , ON ′ = k ON ⇒ M ′N ′ = k MN . 2. Доказать, что если две точки прямой принадлежат k -плоскости, то все точки этой прямой лежат в этой плоскости. 3. Доказать, что если прямая не параллельна гиперплоскости, то она имеет с ней единственную общую точку. 4. Доказать, что в четырехмерном аффинном пространстве существуют две двумерные плоскости, имеющие только одну общую точку. 5. Доказать, что для любой гиперплоскости найдется точка, ей не принадлежащая. 6. Доказать, что двумерная плоскость, не пересекающая гиперплоскость, параллельна этой гиперплоскости. 7. Выяснить, лежат ли точки ( 2,5,− 1,− 2) , (1,6,− 2,− 4) , ( 6,1,3,6) на одной прямой. 8. Найти уравнение 2-плоскости, проходящей через M 0 ( − 1,0,2,2 ) параллельно векторам p 1 = (2,1,4,4) , p 2 = ( 0,0,7,7 ) . 9. Написать уравнение плоскости наименьшей размерности, содержащей точки M 1 (1,1,− 3,− 2) , M 2 ( − 2,0,0,0 ) , M 3 (1,2,0,− 1) и параллельной векторам p 1 = ( 3,3,1,0 ) и p 2 = ( 4,4,4,0 ) .

(

)

14

10.

Установить взаимное расположение плоскостей  x1 = t1 − t 2   x1 − x3 = 0 ′  x 2 = 1 − t1 π 2 : и π 2 :  x = t + t в четырехмерном  x1 − x 2 + x 4 = 0  3 1 2  x 4 = t 2 − 1

11.

аффинном пространстве. Выяснить взаимное расположение в пятимерном  x1 + x3 = 0  аффинном пространстве плоскости π 2 :  x 2 + x 4 = 0 x − x = 0 5  4

12.

и плоскости π 3 , проходящей через начало координат параллельно векторам u 1 = (1,0,− 1,1,0) , u 2 = ( 0,0,0,1,0 ) , u 3 = (1,0,0,0,1) . Выяснить расположение в четырехмерном аффинном пространстве плоскостей π 1 и π 2 , если  x1 + 4 x 2 + 5 x3 + 2 x 4 − 2 = 0  π 1 :  x1 + 2 x 2 + 3 x3 + x 4 = 0 ,  2 x + 9 x + 8 x + 3x = 0 1 2 3 4   5 x + 9 x3 + 2 x 4 − 20 = 0 π 2 : 1 x2 = 0 

Занятие 15. Квадрики в аффинном пространстве Цель занятия: Выработать навыки приведения уравнения квадрики к нормальному виду методом Лагранжа. Задачи 1. Привести к нормальному виду уравнение квадрики и определить ее тип. Найти формулы соответствующего преобразования системы координат: 1). Q : x1 2 + 2 x1 x 2 + x 2 2 + 2 x1 − 2 x2 − 3 = 0 , Q ⊂ A2 ; 15

2). 2

2

Q : x1 + 11x3 − 2 x1 x 2 + 4 x1 x3 − 6 x 2 x3 + 4 x 2 − 12 x3 − 12 = 0 , Q ⊂ A3 ; 3). Q : x1 x 2 + x1 x3 + x 2 x3 − 4 x 2 + 2 x3 = 0 , Q ⊂ A3 . 2 2 2 2 4). Q : x1 − x 2 + x3 − x4 + 2 x1 x3 + 2 x2 x4 = 0 , Q ⊂ A4 ; 2 2 2 5). Q : 2 x1 + x 2 + 2 x3 − 2 x1 x 2 − 2 x 2 x3 + 4 x1 − 2 x2 = 0 , Q ⊂ A3 .

Занятие 16-17. Евклидово пространство Цель занятия: Усвоить понятие евклидова пространства. Задачи 1. Вычислить координаты ортогональной проекции точки M (1,1,1,− 1) на гиперплоскость π : x1 + x 2 − 2 x3 + x 4 − 1 = 0 . 2. Найти ортогональную проекцию точки A(1,1,− 2,1) на прямую x1 = t , x 2 = − t + 1, x3 = t + 2, x4 = 2t − 1 . 3. В четырехмерном евклидовом пространстве найти проекцию точки M ( 2,− 1,1,1) на плоскость  x − x 2 + 2 x3 − x 4 − 5 = 0 π 2 : 1 .  x1 + x 2 + 2 x3 + 3 x 4 − 1 = 0 4. Найти проекцию точки A( 3,− 1,1,0 ) на плоскость  x + 2 x2 + x4 = 0 π 2 : 1 .  − 2 x1 + 1 = 0 5.

Вариант контрольной работы по теме «Метод координат в пространстве»

Даны вершины D(1,3,7) , C (1,5,7) , D1 (1,3,5) , B1 (− 1,5,5) куба ABCDA1 B1C1 D1 . 16

I.

Найти: а) площадь треугольника DCB1 ; б) расстояние от точки A до прямой B1C ; в) биссектрису DN треугольника DCD1 . Найти: а) уравнение плоскости DD1 B ; б) уравнение плоскости, содержащей грань AA1 D1 D ; в) уравнение плоскости, проходящей через середину ребра AB параллельно плоскости DD1 B ; г) уравнение плоскости, касающейся в точке D1 сферы, описанной около куба. Найти: а) длину перпендикуляра, проведенного из вершины C к плоскости BDC1 ; б) уравнения плоскостей, делящих пополам двугранные углы между плоскостями BDC1 и DD1 B ; в) уравнения плоскостей, параллельных плоскости DD1 B и отстоящих от нее на расстоянии 2. Установить расположение плоскости DCD1 относительно сферы x 2 + y 2 + z 2 = 11 . Найти: а) общие и каноническое уравнения прямой пересечения плоскостей AD1C и DC1 B ; б) параметрические уравнения прямых A1 B и D1C , и расстояние между этими прямыми; в) канонические уравнения прямых DC1 и CB1 , и расстояние между этими прямыми.

II.

III.

IV.

6.

Пример тестового задания для проверки остаточных знаний

1. Аффинный репер в пространстве задают: а) точка и два неколлинеарных вектора; б) точка и три неколлинеарных вектора; в) точка и три неком17

планарных вектора; г) три некомпланарных вектора; д) два неколлинеарных вектора. 2. Заданы R = O, i, j, k и точки M ( 4;11;− 5) , N ( 2;13;− 4) . Вычислить длину отрезка MN .

(

)

(

3. Заданы R = O, e1 , e 2 , e3

) и точки

A( 7;− 4;11) , B ( − 7;6;13) . Найдите координаты середины отрезка AB . 4. Заданы R = O, e1 , e2 , e3 и точки P( − 1;6;− 5) , Q( − 5;− 2;3) .

(

)

Найдите координаты вектора PQ . 5. Заданы R = O, e1 , e2 , e3 и точки A( − 3;4;7 ) , B( 3;− 8;13) . Найдите координаты точки C такой, что простое отношение точек A, B, C равно 5 . 6. Относительно R = O, e1 , e2 , e3 сфера задана уравнением x 2 + y 2 + z 2 + 6 x − 14 y − 2 z + 23 = 0 . Найдите координаты центра сферы и ее радиус. 7. Преобразование координат точки при переходе от

(

)

(

(

)

)









′ ′ ′ репера R = O, e1 , e2 , e3 к реперу R ′ =  O ′ , e1 , e2 , e3  за x = x′ − y ′ + z ′ + 5  дано формулами  y = − x ′ − y ′ + 2 z ′ . Определите коор z = y′ − 2  динаты точки O ′ и векторов e1′ , e2′ , e3′ в репере R .

8. Установите соответствие между уравнением плоскости и его названием: 1) Векторное уравнение; 2) Параметрические уравнения; 3) Общее уравнение. а) r = λ a + µ b + r0 , aII b ; б) r = λ a + µ b + r0 , a b ;

18

 x = λ a1 + µ b1 + x0  в)  y = λ a 2 + µ b2 + y 0 , где  z = λa + µb + z 3 3 0 

a = ( a1 , a 2 , a3 ) , b = ( b1 , b2 , b3 ) , a b ; г) Ax + By + Cz + D = 0 ;

д) Ax + By + Cz + D = 0, A 2 + B 2 + C 2 ≠ 0 . 9. Запишите общее уравнение плоскости, заданной точкой M ( 3;− 4;− 1) и векторами a = ( 2;− 4;1) и b = ( 3;− 1;0) . 10.Точка M ( − 2; y;5) принадлежит плоскости α : 4 x − 2 y + 3 z − 13 = 0 . Найдите y . 11.Плоскости α : 3x − 4 y + 5 z − 18 = 0 параллельны векторы: а) a = ( 3;− 4;5) ; б) b = ( 3;− 4;− 5) ; в) c = ( − 3;5;1) ; г) d = ( 3;1;− 1) . 12.Установите взаимное расположение плоскостей а) 6 x − 9 y + 15 z − 4 = 0 и 8 x − 12 y + 20 z − 13 = 0 ; б) 3x − 7 y + 5 z + 2 = 0 и 6 x − 14 y + 7 z + 5 = 0 . 13.Плоскость α : 2 y + 3z − 7 = 0 а) параллельна оси Oz ; б) параллельна плоскости Oyz ; в) проходит через ось Ox ; г) параллельна оси Ox ; д) совпадает с плоскостью Oyz ; е) проходит через начало координат. 14.Даны M ( 3;− 4;1) , N ( 5;− 2;4) , α : 2x - 3y - 5z - 1 = 0 . Точки M и N лежат а) по одну сторону от α ; б) по разные стороны от α ; в) одна из точек принадлежит α ; г) обе точки принадлежат α . 15.Найдите координаты орта нормального вектора плоскости 12 x − 12 y − z − 7 = 0 . 16.Напишите общее уравнение плоскости, заданной точкой A( − 3;2;2) и нормальным вектором n = ( 2;− 1;5) . 19

17.Вычислите расстояние от точки M ( − 1;4;− 5) до плоскости 4 x − 3 y − 12 z + 3 = 0 . 18.Вычислите косинус острого угла между плоскостями 4 x + 2 y − 4 z − 13 = 0 и 2 x + y + 2 z + 8 = 0 . 19.Установите соответствие между уравнениями прямой и их названием: 1) Векторное; 2) Параметрические; 3) Каноническое; 4) Общие  Ax+ B y+ C z+ D = 0

A

B

A

C

1 1 1 1 1 1 1 1 а)  A x + B y + C z + D = 0 , где A ≠ B ∨ A ≠ C ; 2 2 2 2 2 2 2  2 2 2 2 б) Ax + By + Cz + D = 0, A + B + C ≠ 0 ;

 x = tl1 + x0  2 2 2 в)  y = tl 2 + y 0 , где l1 + l 2 + l3 ≠ 0 ;  z = tl + z 3 0 

г) r = t l + r0 , l ≠ 0 ; д) x − x0 y − y0 z − z 0 2 2 2 = = , l1 + l 2 + l 3 ≠ 0 . l1 l2 l3

20.Найдите координаты орта направляющего вектора  2x + 3y + 2z − 7 = 0 .  x − 2 z − 15 = 0

прямой 

21.Установите взаимное расположение прямой

x+ 1 y z+ 1 = = и плоскости 2 x + y + 6 z − 11 = 0 . 3 − 2 2 7.

Вопросы к экзамену

1. n -мерное векторное пространство: определение, примеры. 2. n -мерное аффинное пространство: примеры, простейшие следствия из аксиом Вейля. 20

3. Аффинная система координат в n -мерном аффинном пространстве, преобразование аффинной системы координат. 4. k -плоскости в n -мерном аффинном пространстве, Q ∈ π k ( P, W ) , то примеры. Доказать, что если π k ( P , W ) = π k ( Q, W ) . 5. k -плоскости в n -мерном аффинном пространстве, примеры. k -плоскость π k ( P,W ) как пример k -мерного аффинного пространства. 6. k -плоскости в n -мерном аффинном пространстве, примеры. Теорема о задании k -плоскости линейно независимой системой точек. 7. k -плоскости в n -мерном аффинном пространстве. Общие и параметрические уравнения k -плоскости. 8. n -мерное аффинное пространство. Определение простого отношения трех точек прямой, отрезка, луча, угла, r -мерного параллелепипеда. 9. n -мерное евклидово векторное пространство. Примеры. Определение длины вектора, нахождение орта ненулевого вектора. 10. n -мерное евклидово векторное пространство. Примеры. Неравенство Коши-Буняковского. Определение угла между векторами. 11. n -мерное евклидово векторное пространство. Примеры. Доказательство существования в евклидовом векторном пространстве ортогонального базиса. 12. n -мерное евклидово точечное пространство. Расстояние между точками. Неравенство треугольника. 13. n -мерное евклидово точечное пространство. Расстояние между точками. Выражение условия, что точ21

ка лежит между двумя другими точками, через расстояния между точками. 14. Квадрики в n -мерном аффинном пространстве. Центр квадрики, его геометрический смысл. 15. Приведение к нормальному виду уравнения квадрики в n -мерном аффинном пространстве. 16. Классификация квадрик в n -мерном аффинном пространстве 17. Уравнение плоскости в трехмерном пространстве. Плоскость как поверхность первого порядка. 18. Условие параллельности плоскости и вектора. Взаимное расположение двух плоскостей. 19. Геометрический смысл знака четырехчлена плоскости Ax + By + Cz + D = 0 . 20. Расстояние от точки до плоскости. 21. Различные виды уравнений прямой в пространстве 22. Взаимное расположение прямых в пространстве, прямой и плоскости. 23. Расстояние между прямыми в пространстве. 24. Цилиндрические поверхности. 25. Конические поверхности. Невырожденный конус. 26. Пересечение невырожденного конуса с плоскостью, конические сечения. 27. Поверхности вращения. 28. Эллипсоид: различные определения, изучение формы методом сечений. 29. Однополостный гиперболоид: различные определения, изучение формы методом сечений. 30. Двуполостный гиперболоид: различные определения, изучение формы методом сечений. 31. Эллиптический параболоид: различные определения, изучение формы методом сечений. 22

32. Гиперболический па-раболоид: определение, вывод канонического уравнения, изучение формы методом сечений. 33. Прямолинейные образующие поверхностей второго порядка.

8. Методические советы студентам-первокурсникам Лекция. Как ее слушать и записывать 1. Лекция – основной вид обучения в вузе. 2. В лекции излагаются основные положения теории, ее понятия и законы, приводятся факты, показывающие связь теории с практикой. 3. Накануне лекции необходимо повторить содержание предыдущей лекции (а также теорию по изучаемой теме в школьных учебниках геометрии, если эта тема была представлена в них), а затем посмотреть тему очередной лекции по программе (плану лекций). 4. Полезно вести запись (конспекты) лекций: для непонятных вопросов оставлять место при работе над темой лекции с учебными пособиями. 5. Записи лекций следует вести в отдельной тетради, оставляя место для дополнений во время самостоятельной работы. 6. При конспектировании лекций выделяйте главы и разделы, параграфы, подчеркивайте основное. Практическое занятие. Как к нему готовиться

23

1.

2.

1. 2.

Практическое занятие – наиболее активный вид учебных занятий в вузе. Он предполагает самостоятельную работу над лекциями и учебными пособиями. К каждому практическому занятию нужно готовиться. Подготовку следует начинать с повторения теории (по записям лекций или по учебному пособию). После этого нужно решать задачи из предложенного домашнего задания. Организация самостоятельной работы На самостоятельную работу по геометрии следует расходовать по 3-4 часа в неделю. Начинать самостоятельные занятия следует с первых же дней семестра, установив определенный порядок, равномерный ритм на весь семестр. Полезно для этого составить расписание порядка дня.

Литература 1. Аналитическая стереометрия [Текст]: сост. Ю.Н. Му-

хин, В.П. Толстопятов, Г.Ф. Шульгина. – Свердловск: СГПИ, 1991. – 36 с. 2. Атанасян, Л.С. Геометрия. Ч. 1 [Текст] : учеб. пособие /Л.С. Атанасян, В.Т. Базылев. – М.: Просвещение, 1986. – 336 с. 3. Атанасян, Л.С. Сборник задач по геометрии. Ч. 1 [Текст] /Л.С. Атанасян, В.А. Атанасян. – М.: Просвещение, 1973. – 256 с. 4. Базылев, В.Т. Геометрия. Ч 1 [Текст] : учеб. пособие / В.Т. Базылев, К.И. Дуничев, В.П. Иваницкая. – Б.м.:Б.и., 2004. – 351 с. 24

5. Векторная алгебра и ана- литическая геометрия в си-

6.

7. 8.

9.

стеме таблиц [Текст]: сост. Т.А. Унегова. – Екатеринбург: УрГПУ, 1999. – 34 с. Дидактический материал по геометрии. [Текст] / Методическая разработка; Сост. Т.А. Унегова, Г.Ф. Шульгина. – Екатеринбург: УрГПУ, 1986. – 35 с. Ефимов, Н.В. Высшая геометрия [Текст]: учеб. пособие / Н.В. Ефимов. – М.: Физматлит, 2003. – 584 с. Жафяров, А.Ж. Геометрия. Ч. 1 [Текст]: учеб. пособие / А.Ж. Жафяров. – Новосибирск: Сибирское университет. изд-во, 2002. – 271 с. Метод координат в пространстве. [Текст] / Индивидуальные задания; Сост. В.П. Толстопятов, Т.А. Унегова, О.В. Хохлова. – Екатеринбург: УрГПУ, 2003. – 30 с.

25

Учебно-методическое издание

Геометрия. Методические рекомендации для студентов I курса математического факультета. Часть 2 Составители: Толстопятов В.П., к. ф.-м. н., доцент, доцент кафедры геометрии Дударева Н.В., к. пед. н., доцент кафедры геометрии Хохлова О.В., ассистент кафедры геометрии

26

ГЕОМЕТРИЯ Методические рекомендации для студентов I курса математического факультета часть 2

Подписано в печать Формат 60х84/16 Бумага для множительных аппаратов. Усл. печ. л. 1,5 Тираж экз. Заказ Уральский государственный педагогический университет 620017 Екатеринбург, пр. Космонавтов, 26

27